Н. Ф. Нелипа
Физика
элементарных
частиц
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1977
530.4
Н 49
УДК 539.12(075)
Рецензенты:
кафедра теоретической физики физического факультета МГУ
и доцент кафедры теоретической физики
Университета дружбы народов Ю. П. Рыбаков.
Нелипа Н. Ф.
Н49 Физика элементарных частиц. Учеб, пособие для ву-
зов. М., «Высш, школа», 1977.
608 с. с ил.
В книге систематически изложены наиболее общепринятые и разработан-
ные идеи и теоретические методы современной физики элементарных частиц.
Рассмотрены основные типы взаимодействий элементарных частиц — сильное,
электромагнитное и слабое. Излагаются инвариантные свойства физических
систем, электромагнитные взаимодействия лептонов, взаимодействия адронов,
слабые взаимодействия частиц, унитарная симметрия (группа SU3 и алгебра
токов), множественное образование частиц.
Предназначена для студентов физических факультетов университетов и
педагогических институтов, а также может быть использована научными ра-
ботниками, специализирующимися в области физики элементарных частиц.
н
20402—271
———--------42—77
001(01)—77
530.4
© Издательство «Высшая школа>, 1977
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет ссбой несколько расширенную обра-
ботку лекций, читанных автором в течение ряда лет (последний
раз на физическом факультете Московского государственного
университета им. М. В. Ломоносова).
Физика элементарных частиц —одна из наиболее бурно разви-
вающихся областей современной физики. В современной физике
элементарных частиц сложилась довольно своеобразная ситуация:
получен огромный экспериментальный материал и объем его
непрерывно растет, но до сих пор отсутствует последовательная
теория, которая объясняла бы с единой точки зрения все имею-
щиеся опытные данные. Разработан лишь ряд разрозненных
методов расчета, каждый из которых имеет довольно ограничен-
ную область применимости. В основе этих методов лежат более
или менее правдоподобные гипотезы, которые приводят к резулв-
татам, не противоречащим эксперименту, но сейчас трудно ска-
зать, какие из этих гипотез останутся в будущей последователь-
ной теории. Короче говоря, современная физика элементарных
частиц находится в стадии становления и сейчас не ясно, на
каком пути и когда будет построена последовательная теория
элементарных частиц. Пока ведется интенсивный поиск, разра-
батываются различные подходы, зачастую исходящие из прямо
противоположных предпосылок.
В этой книге излагаются наиболее общепринятые и разрабо-
танные идеи и методы расчета физики элементарных частиц. Рас-
сматриваются основные типы взаимодействия элементарных час-
тиц—сильное, электромагнитное и слабое.»
Книга рассчитана на студентов старших курсов физических
факультетов университетов и пединститутов, знакомых с аналити-
ческой механикой, электродинамикой, специальной теорией от-
носительности, квантовой механикой и высшей математикой
(в объеме программы физических факультетов).
1*
ВВЕДЕНИЕ
Таблица элементарных частиц. В начале нашего века были
известны две элементарные частицы — электрон и протон. В настоя-
щее время обнаружено более 200 частиц и число их продолжает
расти.
Все известные элементарные частицы можно разбить на три
группы: фотон, лептоны, адроны (см. таблицу элементарных
частиц на 602 стр.). Ко второй группе относятся электронное ve
и мюонное нейтрино, электрон, позитрон, рД-мезоны. Третью
группу составля'ют мезоны, барионы, мезонные и барионные
резонансы.
В таблице для каждой частицы приведены: символ, которым
она обозначается в книге, значения пространственного спина s,
изотопического спина I, странности S, барионного заряда В,
лептонного числа L, величина массы, время жизни или ширина
распада Г, а также пространственная внутренняя четность Р,
зарядовая четность Сп (для истинно нейтральных частиц), G-чет-
ность. Величины, не установленные точно, взяты в скобки;
барионные резонансы, спины которых неизвестны, не приводятся.
Экспериментальные ошибки величин в таблице опущены.
' Типы взаимодействий. Известно три типа взаимодействий
(кроме гравитационного) элементарных частиц, резко отличных
друг от друга: сильное, электромагнитное, слабое. Каждое из
этих взаимодействий характеризуется определенной константой
связи — «зарядом». Константа связи сильного взаимодействия
g^l — 10, электромагнитного 1/10 и слабого 10 б.
Слабое взаимодействие осуществляется между всеми частицами
(кроме фотонов), электромагнитное — между заряженными части-
цами, а также заряженными частицами и фотонами, сильное —
между всеми адронами.
Двухчастичные и миогочастичные процессы. В зависимости
от числа частиц, удобно все процессы разделить на два класса:
двухчастичные, или бинарные, и многочастичные. К двухчастич-
ным относятся реакции, в начальном и конечном состоянии ко-
торых имеется по две частицы: 1 + 2-> 3 -ф 4, а к многочастич-
нум — процессы множественного образования, в которых при
столкновении двух частиц большой энергии образуется более
двух частиц: а + b ->-1 + 2 + 3 + 4 +... + п.
Двухчастичные процессы. Остановимся сначала на более про-
стых и лучше изученных двухчастичных процессах.
Типы процессов. Двухчастичные реакции удсбнб раз-
делить на три типа: 1) с участием фотонов и лептонов, 2) с уча-
введение
5
стием только адронов, 3) с участием фотонов и адронов или
лептонов и адронов.
К реакциям с участием фотонов и лептонов относятся, на-
пример,
у -|- е~ -+ у + е~ (рассеяние фотона на электроне),	(1)
v + ег -> v + е~ (рассеяние нейтрино на электроне),	(2)
е~ + е~ -> е~ + ег (рассеяние электрона на электроне). (3)
Первый процесс обусловлен только электромагнитным взаимо-
действием, второй — только слабым, третий — электромагнитным
п слабым взаимодействиями; при этом для реакции (3) основную
роль играет электромагнитное взаимодействие, а слабое дает лишь
небольшую поправку, вкладом которой можно пренебречь.
Процессами с участием только адронов являются, например,
л+ + р -> л+	(рассеяние заряженного л+-мезона на
протоне),	(4)
зт° + р -+ л° + р (рассеяние нейтрального л°-мезона на
протоне).	(5)
Первый из этих процессов обусловлен сильным, электромаг-
нитным и слабым взаимодействиями, а второй — сильным и сла-
бым взаимодействиями. При анализе этих процессов можно огра-
ничиться учетом только сильного взаимодействия, и лишь в неко-
торых специальных случаях оказывается полезным принимать
во внимание электромагнитное взаимодействие.
К реакциям с участием фотонов и адронов или лептонов и
адронов относятся, например,
у4-р-> л+4*« (образование фотоном л+-мезона на	(6)
протоне),
4* р ->• е~ + Р (рассеяние электрона на протоне).	(7)
Первый процесс обусловлен сильным и электромагнитным
взаимодействиями, а второй — сильным, слабым и электромагнит-
ным взаимодействиями. В отличие от процессов (4), (5) для
реакций (6) и (7) необходимо учитывать и сильное и электро-
магнитное взаимодействия, а пренебречь можно только слабым
вза и модейств ием.
Несколько обособлены процессы распада частиц, в результате
которых* из одной образуется несколько частиц. К наиболее про-
стым из них относятся двухчастичные и трехчастичные распады:
«->14-2; а-^ 14-24-3.
Распады мезонных и барионных резонансов обусловлены силь-
ным взаимодействием, а распады лептонов, мезонов и барио-
нов—слабым взаимодействием (за исключением распадов л0-,
т]°-мезонов и £°-гиперона, вызываемых электромагнитным взаимо-
действием).
6
Введение
Существуют те же типы распадов, что и процессов. Приведем
в качестве примера типы распадов, обусловленных слабым вза-
имодействием:
1)	распады с участием только лептонов, например,
рг -> с" + ve-j-(распад р~-мезона);	(8)
2)	распады а участием лептонов и адронов, например,
-> л° + е++ ve (распад л+-мезона),	(9)
p-|-e_-|-ve (Р-распад нейтрона);	(10)
3)	распады с участием только адронов, например,
ЛрЦ-лг (распад Л-гиперона).	(11)
Распады заряженных лептонов происходят на фоне электромаг-
нитных взаимодействий, а заряженных адронов — на фоне элек-
тромагнитных и сильных взаимодействий. Последние нельзя «вы-
ключить» или «отсортировать», поэтому необходимо рассматривать
слабое взаимодействие, «обросшее» электромагнитным и сильным
взаимодействиями.
Экспериментальные характеристики. Типичная
схема опыта двухчастичного процесса изображена на [иг. 0.1.
Поток частиц 1 падает на рассеиватель 2. За ним образуется
рассеянный поток 3 и частицы отдачи рассеивателя 4. На опыте
измеряется число частиц, прошедших через площадку dS, постав-
ленную перпендикулярно лучу, проведенному из центра рассеи-
вателя 2. Пусть dNЕ — поток частиц, проходящих через пло-
щадку dS и имеющих энергию Е. Число dN Е пропорционально
размерам площадки dS (поскольку она мала) и обратно пропор-
ционально квадрату расстояния г до рассеивателя. Кроме того,
dNE пропорционально потоку частиц N в падающем пучке. Сле-
довательно, рассеянный поток
'dNE — w(E, 6,	(12)
где N — число падающих частиц, a w(E, 6, <р) — множитель про-
порциональности между dNE и N. Величина dQ = dS/г2 есть
телесный угол, под которым видна площадка dS из центра рас-
сеивателя 2. Отношение dNE/N определяет вероятность рассеяния
частицы в телесный угол dQ с энергией Е; это отношение равно
dNp
-j^ = w(E, 6, <p)dQ.	(13)
Обычно процесс рассеяния характеризуют величиной do, пред-
ставляющей собой отношение вероятности w к плотности на-
чального потока /о
do = ® dQ.	(14)
/о
Введение
7
Величину do, имеющую размерность площади, называют диффе-
ренциальным сечением процесса рассеяния частицы в телесный
угол сШ с энергией Е. Интегрирование выражения (14) по пол-
ному телесному углу дает полное сечение о процесса рассеяния:
о = ДсШ.
J /о
Таким образом, основными экспериментальными характери-
стиками двухчастичного процесса являются дифференциальное и
Рис. 0.1. Схема опыта по двухчастичному рассеянию
полное сечение рассеяния; при этом дифференциальное сечение
дает как угловое, так и энергетическое распределение частиц.
Если частица сбладает спином s, то она может находиться
в общем случае в (2s +1) состояниях. Каждое из этих состояний
характеризуется своей волновой функцией и называется поляри-
зационным состоянием. Возможны два типа опытов. В одних из
них определенное поляризационное состояние частиц экспери-
ментально не фиксируется. В таких опытах измеряются вероят-
ности или дифференциальные сечения, усредненные по спиновым
достояниям частиц. В других опытах экспериментально фикси-
руются определенные поляризационные состояния частиц. При этом
измеряются вероятности или сечения, зависящие от поляризации
частиц, а также величины поляризации частиц и корреляция
между спинами и импульсами различных частиц.
8
Введение
Основными источниками получения экспериментальной инфор-
мации о взаимодействиях элементарных частиц являются уско-
рители. В настоящее _время действуют несколько десятков уско-
рителей протонов и электронов, в которых эти частицы уско-
ряются до различных энергий (максимальная энергия протонов
~ 1500 ГэВ, электронов ^20 ГэВ).
Теория. Основной задачей теории является вычисление ве-
личин (дифференциальные сечения, поляризационные параметры
и т. п.), характеризующих данный процесс.
Пусть начальная система i, находящаяся в состоянии т,
характеризуется волновой функцией Ф?. Найдем вероятность
того, что начальная система i перейдет в конечную, систему /,
находящуюся в состоянии п и описываемую волновой функцией
Фр. Введем оператор S, переводящий функции начального со-
стояния Ф,- в функции конечного состояния Ф/
Фу = £Ф;.	(15)
Оператор S называется S-матрицей рассеяния, а величина
snm=opW	(16)
— матричным элементом оператора S, или амплитудой процесса.
Введение последней величины важно потому, что квадрат модуля
I Snm |2 определяет вероятность перехода из начального состоя-
ния т в конечное п. В самом деле, разложим волновые функция
начальной Ф( и конечной Фу систем по функциям возможных
состояний:
ф/ = £С*Ф?, Ф/ = 2с^фь
k	k
Подставляя эти выражения в формулу (15) и умножая обе части
на сопряженную волновую функцию Ф", найдем, учитывая, что
фГф;=6п*.
СР = Ф"+£ФрСр = 2	(17)
Если начальное состояние задано, т. е. k = tn и Ср = 6Ат, то
из формулы (17) получаем
CP = Snm	(18)
или
|Gp|2 = |Snm|2.	(19)
Величина | Ср |2 равна вероятности обнаружить определенное
состояние п конечной системы f. Вследствие этого равенство (19)
имеет следующий смысл: если определенное состояние т началь-
Введение
9
пой системы i задано, то вероятность найти определенное состоя-
ние п конечной системы f определяется квадратом модуля соот-
ветствующего матричного элемента S-матрицы, или амплитуды
процесса; при этом дифференциальное сечение
do=^ dQ1 Snm dQ.
/о	/о
Иначе говоря, с помощью амплитуды процесса, или матричного
элемента S-матрицы, можно вычислить все основные характери-
стики процесса. Поэтому одной из основных задач теории
является разработка метода, который позволил бы найти с по-
мощью небольшого числа фундаментальных принципов (аксиом)
амплитуды различных процессов. Общим для всех подходов
является требование релятивистской инвариантности амплитуд
(инвариантности относительно преобразований Лоренца), т. е.
теория элементарных частиц должна быть релятивистской кван-
товой теорией.
Конкретные же методы построения амплитуд двухчастичных
процессов для взаимодействий с малой или большой константой
связи существенно отличаются друг от друга.
Для анализа взаимодействий с малой константой связи (т. е.
электромагнитных или слабых) широко применяется теория воз-
мущений. Нахождение с помощью теории возмущений матричных
элементов, например, электромагнитных процессов, ведется сле-
дующим образом. За исходное берется лагранжиан или гамиль-
тониан системы взаимодействующих полей (поэтому метод теории
возмущений называют еще лагранжевым, или гамильтоновым ме-
тодом). Как показывает опыт, для электромагнитного взаимодей-
ствия кроме релятивистской инвариантности существует инва-
риантность относительно ряда преобразований — инверсии про-
странства, обращения времени, замены частицы на античастицу,
калибровочных. Поэтому лагранжиан выбирается в виде, инва-
риантном относительно перечисленных преобразований Далее
с помощью принципа наименьшего действия находится уравнение
для взаимодействующих полей, а из него —уравнение для
S-матрицы. Для решения этого уравнения используется метод
теории возмущений, т. е. разложение в ряд по малой константе
электромагнитного взаимодействия. Это дает выражение для
S-матрицы, а следовательно, и для матричного элемента про-
цесса в любом порядке теории возмущений.
Построение с помощью теории возмущений матричных эле-
ментов процессов, обусловленных слабым взаимодействием, осу-
ществляется тем же путем; при этом за исходное берется гамнль-
Часто вместо «инвариантность» говорят «симметрия». Эти слова имеют
одинаковое значение, так как из симметрии вытекает инвариантность, а сущест-
вование инвариантности предполагает симметрию
10
Введение
тониан слабого взаимодействия. Как видно, при нахождении
амплитуды в рамках теории возмущений наряду со свойствами
симметрии существенно используются уравнения для взаимодей-
ствующих полей.
К взаимодействиям с большой константой связи, например
к взаимодействию адронов, теория возмущений не применима.
Поэтому для анализа взаимодействий адронов были предложены
способы, не использующие теории возмущений. К наиболее раз-
работанным из них относятся методы, основанные на унитарно-
сти и аналитичности (тесно связанной с причинностью). Ампли-
туды процессов сильных взаимодействий строятся так. Сначала
для построения Используются лишь инвариантные свойства. Как
показывает опыт, сильное взаимодействие инвариантно относи-
тельно тех же преобразований, что и электромагнитное. Кроме
того, сильное взаимодействие инвариантно относительно враще-
ний в зарядовом (или изотопическом) пространстве. Поэтому
амплитуда выбирается в виде, инвариантном относительно пере-
численных преобразований. Существенно, что использование тре-
бований инвариантности позволяет определить амплитуду лишь
с точностью до неизвестных скалярных функций (зависящих
от. энергетических и угловых переменных), т. е. представить
амплитуду в виде
S = '£iTiiRiri,	(20)
i. i
где Tt — неизвестные скалярные функции; г7 — известные ве-
личины. Число слагаемых в выражении (20) определяется харак-
теристиками частиц (спинами, пространственными четностями,
изотопическими спинами).
Свойства амплитуды, вытекающие из требований инвариант-
ности, обычно называют кинематическими. Скалярные функ-
ции Ti, входящие в амплитуду, определяют ее динамические
свойства. Для определения динамических скалярных функций Т[
кроме требований симметрии необходима дополнительная инфор-
мация. Можно было бы, как и в случае теории возмущений,
добавить уравнение для взаимодействующих адронных полей.
Однако методы решений этих уравнений отсутствуют. Поэтому
пошли по-другому пути— добавили к инвариантным свойствам
амплитуды еще требования унитарности и аналитичности. Исполь-
зование этих требований приводит к методу (дисперсионные соот-
ношения), который позволяет, по крайней мере, в области малых
энергий получить уравнения, определяющие функции т. е.
решить динамическую задачу взаимодействия адронов. В области
предельно больших энергий из требований аналитичности и уни-
тарности вытекают определенные ограничения на асимптотиче-
ские сечения, а также соотношения между сечениями.
Введение
11
Наряду с теорией возмущений и методами, основанными на
аналитичности и унитарности, широкое применение в теории
элементарных частиц находит также метод теории групп, кото-
рый позволяет установить ряд важных свойств амплитуд про-
цессов. Свойства элементарных частиц можно разделить на два
класса. Один из них составляют те, которые остаются инвариант-
ными при преобразовании четырехмерного пространства-времени.
Наряду с этим существуют преобразования, при которых про-
странственно-временные координаты остаются неизменными,
а изменяются лишь волновые функции. Такие преобразования
связаны с внутренними свойствами полей и соответствующих им
частиц и потому могут быть названы внутренними преобразова-
ниями. Свойства, остающиеся инвариантными относительно внут-
ренних преобразований, обычно называют внутренними инва-
риантными свойствами. Они й составляют второй класс свойств.
Для описания пространственно-временных и внутренних
свойств можно ввести группы соответственно пространственной
и внутренней симметрии. Группы пространственной симметрии
(такие, как группа трехмерных вращений, группа Лоренца,
группа Пуанкаре) применяются в теории элементарных частиц
давно, и с их помощью получен целый ряд фундаментальных
результатов. В последнее время интенсивно применяются к тео-
рии элементарных частиц группы внутренней симметрии, в ча-
стности, группа SUs. С помощью этой группы можно произвести
классификацию элементарных частиц и получить ряд соотноше-
ний между амплитудами, а также между формфакторами и кон-
стантами связи различных процессов.
Таким образом, в настоящее время основными способами
построения амплитуд двухчастичных процессов являются: 1) тео-
рия возмущений, 2) методы, основанные на аналитичности и уни-
тарности, 3) метод теории групп.
Многочастичные процессы. В последнее время вступило в строй
несколько ускорителей протонов высокой энергии (28, 76, 400
и 1500 ГэВ в лабораторной системе координат). При таких энер-
гиях интенсивно идет процесс множественного образования час-
тиц, в котором в результате столкновения двух частиц а и b
высокой энергии рождается п частиц:
а 4- b —> 1 4- 2 4- 3 4-..	п.	(21)
Все эксперименты по множественному рождению частиц можно
разделить на две группы: эксклюзивные — опыты, в которых реги-
стрируются все образующиеся частицы, инклюзивные — опыты,
в которых регистрируются одна или несколько рожденных час-
тиц, независимо от того, сколько при столкновении образовалось
других частиц. В настоящее время основное внимание уделяется
изучению инклюзивных процессов:
о4-Ь-> 14-24-34- ...+т + Х,	(22)
12
Введение
где X — все остальные частицы, за которыми в данном опыте
не ведется наблюдение.
Процессы множественного образования обладают рядом специ-
фических особенностей по сравнению с двухчастичными реакци-
ями. Это относится как к экспериментальным характеристикам
и опытным закономерностям, так и к методам их теоретического
анализа (см. гл. 18).
План изложения. Книга состоит из шести частей. Поскольку
первым шагом в построении амплитуд является учет инвариантных
свойств физических систем, то именно этим свойствам посвящена
первая часть.
Во второй части рассматриваются методы анализа электромаг-
нитного взаимодействия лептонов. В гл. 3 излагается лагранжев
формализм для уравнений поля, а в гл. 4 — ковариантная теория
возмущений. Вычисления электромагнитных процессов в первом
порядке теории возмущений блестяще согласуются с опытом.
Однако учет высших приближений теории возмущений ведет
к принципиальным трудностям (расходимостям). Об этих труд-
ностях и об одном возможно.м пути их преодоления (перенорми-
ровках) говорится в гл. 5. В связи с трудностями теории возму-
щений был разработан в рамках лагранжева формализма метод
функций Грина, не использующий теории возмущений. Этот метод
обсуждается в гл. 6. Другим методом, не использующим теории
возмущений, является аксиоматический метод, основывающийся
на аксиомах квантовой теории поля. Некоторые общие следствия
из этих аксиом получены в гл. 7; при это.м используется аппарат
квантовой теории поля.
Третья часть посвящена методам анализа сильных взаимо-
действий, основанным на аналитичности и унитарности амплитуд.
Сначала (гл. 7 — 12) рассматриваются процессы с участием только
адронов. В гл. 8 излагается способ построения амплитуд, вводит-
ся важное понятие каналов реакции. В гл. 9 выписываются
одномерные и двойные дисперсионные соотношения; с помощью
одномерных дисперсионных соотношений вычисляется (в двух-
частичном приближении) амплитуда рассеяния зт-мезона на стати-
ческом нуклоне. В гл. 10 выясняются вытекающие из аксиом
квантовой теории пол-я аналитические свойства амплитуд и эти
свойства используются для обоснования одномерных диспер-
сионных соотношений. Обоснование двойных дисперсионных соот-
ношений пока отсутствует.
Дисперсионные соотношения эффективно 'работают лишь в об-
ласти сравнительно небольших энергий частиц (<Ч ГэВ). Поэтому
возникает необходимость в методах, пригодных для анализа
процессов при больших энергиях. Мы остановимся на двух
таких методах. Один из них (гл. 11) основан на использовании
аналитических свойств-амплитуд (см. гл. 10) и позволяет полу-
чить для области предельно больших (асимптотических) энергий
Введение
13
ограничения сверху для сечений и определенные соотношения
между сечениями. В другом методе (гл. 12) асимптотические выра-
жения для амплитуд процессов получаются благодаря введению
комплексных моментов. Эти амплитуды зависят от ряда парамет-
ров, которые-определяются из опыта.
Взаимодействие фотонов и лептонов е нуклонами анализиру-
ется в гл. 13. Такие процессы обусловлены одновременно сильным
и электромагнитным взаимодёйствиями. Это ведет к тому, что
эти процессы обладают рядом специфических свойств по сравне-
нию с реакциями, в которых участвуют только адроны.
С помощью одномерных дисперсионных соотношений можно
вычислить (в некотором приближении) амплитуду процесса. На-
ряду с этим одномерные дисперсионные соотношения и предполо-
жение об определенном поведении амплитуд при больших энер-
гиях приводят к определенным соотношениям для абсорбтивных
частей амплитуд. Эти .соотношения получили название дисперси-
онных правил сумм. Им посвящена гл. 14.
В четвертой части анализируются различные процессы, обус-
ловленные слабым взаимодействием. Слабое взаимодействие обла-
дает рядом специфических свойств, которые резко отличают его
от электромагнитного и сильного взаимодействий.
В пятой части рассматривается применение группы SU3 к силь-
ному, электромагнитному и слабому взаимодействиям. Обсуж-
дается проблема классификации адронов в рамках группы SU3,
получены соотношения между сечениями различных процессов
(гл. 16). В гл. 17 излагается метод алгебры токов и получены
токовые правила сумм, аналогичные дисперсионным правилам
сумм (гл. 14).
Наконец, шестая часть посвящена процессам множественного
образования частиц. В гл. 18 обсуждаются основные экспери-
ментальные закономерности этих процессов и различные теоре-
тические методы их анализа.
Единицы и обозначения. Мы используем систему единиц,
в которой скорость света и постоянная Планка А, деленная на 2зт,
равны единице: с = А/2зт = 1. В этой системе действие и скорость —
безразмерные величины. Поэтому энергия Е=тс2, импульс p = mv
и масса т имеют одинаковую размерность: [£] = [Р] = [т]. Так
как длина l = vt,Et h, |р|7~А, то размерность времени и длины
также выражается через размерность массы: [/] = [/] = [т1].
Иначе говоря, в системе Л/2л = с= 1 энергия, импульс и масса
имеют размерность обратной длины, а время — размерность длины.
Чтобы перейти к обычным единицам, надо учесть, что
х 1О14см, р-2 ^7- 10~25с, —1023г-1,гдет —масса протона.
tn
Светлыми буквами (р, q, г и т. п.) обозначаются четырехмер-
ные векторы, а жирными (р, q, г м т. п.)—трехмерные век-
14	Введение
торы. Четырехмерное суммирование обозначается греческими
индексами, а трехмерное — латинскими. Обычно подразумевается,
что по дважды повторяющимся индексам производится суммиро-
вание, и индекс суммирования не указывается.
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов запи-
сывается в виде (ab) = = aobo — ab, т. е. опускается контра-
вариантный индекс с помощью метрического тензора gyiv. Напри-
мер, av = giivail, так что avbv — avbvgvv\ причем ^*xv = g'nV и ggv = 0,
если p=/=v и g00 = —g11 = —g22 = —g33= 1.
Для операций принимаются следующие обозначения: * — ком-
плексное сопряжение; т —транспонирование; 4—эрмитово сопря-
жение.
Часть I
ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И ИНВАРИАНТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Первым шагом в построении амплитуд является учет инвари-
антных свойств-физических систем (или свойств симметрии); по-
этому мы начнем с изложения этих свойств. Все инвариантные
свойства можно разделить на два типа: пространственно-времен-
ные и внутренние.
В этой части мы будем говорить о пространственно-временных
инвариантных свойствах. Их в свою очередь удобно разбить на
две группы: непрерывные и дискретные. К непрерывным инва-
риантным свойствам относятся релятивистская и трансляцион-
ная инвариантности. Эти свойства соответствуют непрерывным
преобразованиям пространства-времени. К дискретным инвариант-
ным свойствам относятся инвариантность относительно инверсии
пространства, обращения времени, замены частицы античастицей
(или зарядового сопряжения), т. е. инвариантности относительно
дискретных преобразований пространства-времени.
Сначала (гл. 1) остановимся на непрерывных инвариантных
свойствах, а затем (гл. 2) перейдем к дискретным. О внутрен-
них инвариантных свойствах будет рассказано в § 5 гл. 8 и
в гл. 16.
Глава 1-
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
§ 1.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕЛИЧИН И ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ
Четырехмерные величины. Согласно принципу относительно-
сти все физические законы одинаковы во всех инерциальных
системах. Следовательно, уравнения, выражающие физические
законы, инвариантны по отношению к преобразованиям коорди-
нат и времени от одной инерциальной системы к другой. Тео-
рия, основанная на принципе относительности, называется реля-
тивистской. В релятивистской теории переход от одной инер-
циальной системы к другой осуществляется с помощью преобра-
зований Лоренца.
Релятивистская инвариантность означает инвариантность физи-
ческих законов и соответствующих им уравнений относительно
преобразований Лоренца.
16
Глава 1. Релятивистская инвариантность
Характерным для релятивистской теории является тесная
связь между пространством и временем. Поэтому какое-либо,
событие удобно характеризовать с помощью координат х, у, г
и t в четырехмерном пространстве-времени. В дальнейшем эти
координаты будем обозначать так:
x=xlt у = х2, г — х3,1 = х0.
Преобразования Лоренца выглядят следующим образом: .
xi + wo	,	’	xo + vx't
V —— Л • V	, «Л	«•“   < л	«л _  V » л
Л1 —	г-.--- , Л2 — ла, лз — лз, ло —	,
у 1 — v2	У 1 — v2
где и —скорость движения (вдоль оси %i) системы /С' относи-
тельно системы К.
Все физические величины делятся на классы в зависимости
от того, как они ведут себя при преобразованиях Лоренца.
Простейшими являются величины, которые не изменяются
при этих преобразованиях. Такие величины называют скалярами.
Следующим по сложности является четырехмерный вектор
(4-вектор). Так называется величина, компоненты которой преоб-
разуются при преобразованиях Лоренца так же, как коорди-
наты хц:
Лц = CI1VBV.
Четырехмерным вектором является 4-импульс частицы, представ-
ляющий совокупность ее полной энергии Е и трехмерного
импульса р: р {Е, р).
Приведем еще несколько примеров четырехмерных векторов:
/ д д \	{ д	д	д	д \
-ч—,	или	д—, -д—, -ч—, -д—	— четырехмерныи
\ дхв ’ ох /	\ дхв	дх,	дх2	дх3 /	г ,
40	7	°	1	7 градиент (со-
кращенно
(jo, j) или (/о, /1, /2, /з) —4-вектор плотности тока /ц;
(Ло, А) или (Ло, Л1, Л2, Л3) — 4-вектор — потенциал элек-
тромагнитного поля Лц.
Первая компонента 4-вектора называется временной, а осталь-
ные три — пространственными.
Произведение двух 4-векторов образует совокупность шест-
надцати величин Вар (а, 0 = 1, 2, 3, 0), которые при преобра-
зованиях координат Ха = Сархр преобразуются как произведения
координат:
ЛаР “ СауСреВ^С-
Так преобразующаяся величина Та$ называется 4-тензором
второго ранга. Пример такой величины — произведение двух
4-векторов и qv: pvqv. Аналогичным образом можно образе-
§ 1. Преобразование величин и волновых функций	17
вать тензоры более высокого ранга. Например, p^qvka — тензор
третьего ранга и т. п.
Таким образом, при преобразованиях Лоренца четырехмерные
величины ведут себя как скаляры, векторы и тензоры.
Релятивистским инвариантом называется величина, которая
не меняется при преобразованиях Лоренца. Инвариантом является
скалярное произведение двух 4-векторов а^ и 6М, которое опре-
делим так:
Пцбц = а060 — 0161 — о262 — a3b3 = aobo — ab;
Разные знаки у пространственных и временных компонент под-
черкивают, что четырехмерное пространство в теории относи-
тельности не евклидово, а псевдоевклидово (заметим, что иногда
скалярное произведение определяют и так: a6 = ab — а060). Инва-
риантом-, в частности, является величина
P2 = PuPn = Po-P2 = E2-P2 = m2- ‘	(1-1)
Здесь Е — полная энергия, т — масса покоя частицы, р —трех-
мерный импульс.
Релятивистскими инвариантами будут также следующие ска-
лярные произведения 4-векторов:
РЛ = Ро*о - рх;	VjJn =	/0 (х0, х) - ~ j (х0, х),
~~дх% ~ дх*' (х) =-^-Ло (х0, х)~ т^-А(х0, х).
Заметим, что для реального фотона £2 = 0, так как масса реаль-
ного фотона равна нулю. По определению, виртуальной назы-
вается частица, для которой не выполняется равенство (1.1).
Поэтому для виртуального фотона £2=/=0, а точнее А2 = А2, где
А2 характеризует «виртуальность» фотона.
Вектор х называют времениподобным, если х2 > 0, пространст-
венноподобным, если х2<0. Для частицы с массой т^О 4-им-
пульс времениподобен (р2 = т2>0).
Волновые функции. В квантовой механике частицы описы-
ваются волновыми функциями. Волновые функции зависят от
пространственно-временных координат хц и переменной, связан-
ной со спином частиц. Обычно в качестве спиновой переменной
выбирают значение проекции спина на какое-либо направление
в пространстве. Спин частицы равен целому или полуцелому
числу и спиновая переменная пробегает ограниченное число
дискретных значений. Таким образом, волновая функция частицы,
обладающей спином, представляет собой совокупность не одной,
а нескольких различных функций координат,. короче говоря,
является многокомпонентной. Для частиц с ненулевой массой
число компонент равно числу проекций спина, т. е. 2s4-1, где
s — величина спина.
18
Глава I. Релятивистская инвариантность
Наиболее простой —однокомпонентной —волновой функцией
описывается частица, спин которой равен нулю. У частицы со
спином г/2 имеется два состояния, соответствующие двум воз-
можным проекциям спина: + ’/г и —1/2. Поэтому для описания
такой частицы необходима двухкомпонентная волновая функция.
Для описания частицы со спином 1 (имеющим три проекции: +1,
О, —1) надо использовать трехкомпонентную волновую функцию,
а для описания частицы со спином 3/2 (имеющим четыре проекции:
3/2, 1/г. —1/г, —3/2) — четырехкомпонентную волновую функцию.
Волновые функции зависят от координат частиц. Вследствие
этого при преобразованиях Лоренца наряду с координатами
преобразуются и сами волновые функции. При этом оказывается,
что волновые функции преобразуются существенно различным
образом, в зависимости от того, какой у них спин —целый или
полуцелый.
Волновые функции для частиц с целым спином s = 0, 1, 2, ...
преобразуются при преобразованиях Лоренца так же, как соот-
ветствующие четырехмерные величины, т. е. как скаляры (s = 0),
векторы (s = 1) и тензоры (s2s2). Поэтому такие волновые функ-
ции и соответствующие им частицы называют скалярными (s = 0),
векторными (s=l) и т. п.	\
По-другому преобразуются волновые функции частиц с полу-
целым спином s = 1/2, 3/2, 5/2.Эти волновые функции назы-
ваются спинорами, а описываемые ими частицы — спинорными.
Специфичном для спиноров является то, что если сделать поворот
вокруг какой-либо оси на 2зт, то спинор изменит знак, в то
время как волновые функции частиц с целым спином возвра-
щаются к своему первоначальному значению.
Частицы с целым спином подчиняются статистике Бозе —
Эйнштейна и поэтому называются бозонами, а частицы с полу-'
целым спином — статистике Ферми —Дирака и называются фер-
мионами.
Каждая из волновых функций, описывающих частицы с дан-,
ным спином, подчиняется определенному уравнению, ковариант-
ному относительно преобразования Лоренца (ковариантным назы-
вается уравнение, которое после преобразования координат и
функций не изменяет своей формы).
К краткому рассмотрению ковариантных уравнений, описы-
вающих частицы со спинами s = 0, 1, 1/2, 3/2, 2, мы и переходим.
Частицы с такими спинами обнаружены экспериментально.
§ 2.	РЕЛЯТИВИСТСКИ КОВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ (БОЗОНЫ)
Нейтральные скалярные частицы. Чтобы получить уравнение
для скалярной частицы, используем соотношение релятивистской
теории
Е2_ц2 = (Д	(2.1)
§ 2. Релятивистски ковариантные уравнения (бозоны)
19
или в четырехмерной записи
Произведя в формуле (2.1) замену величин операторами
q_>i JL и действуя полученными операторами на вещественную
волновую функцию, зависящую от координаты хц, получаем
уравнение
-(-5'-5-)(PW = fx2(PW’	(2-2)
или
(□-н2)<р(*) = о.
где Д — —	---й?)’ И-масса скалярной частицы. Уравнение
(2.2) представляет собой релятивистски ковариантное уравнение
для вещественной волновой функции скалярной частицы в коор-
динатном представлении.
Чтобы записать уравнение (2.2) в импульсном представлении,
представим функцию ф(х) в виде четырехмерного интеграла
ф	S dPe~‘PX Ф (Р)-
Здесь dp = dp0 dp = dp0 dpi dp2 dp3, px = poxo — px, а множитель
(2зт)~2 выбран для удобства дальнейших вычислений. Подстановка
этой формулы в (2.2) дает релятивистски ковариантное уравне-
ние для волновой функции скалярной частицы в импульсном
представлении:
(р2-р2)ф(р) = 0.	(2.3)
Заряженные скалярные частицы. Функции, описывающие
частицы, могут быть как вещественными, так и комплексными.
Комплексное скалярное поле ф (х) = ф1 (х) + мр2 (х) характери-
зуется двумя независимыми вещественными функциями <pi (х) и
<р2(х). Последние можно выразить через ф(х) и ее комплексную
*
сопряженную <р (х) = <рг (х) — i<p2(x):
Ф1(х) = у [ф М + ф(*)1.	= ~ [<р(х)-ф(х)].
Другими словами, комплексные поля можно описывать функ-
циями либо <Pi(x), <р2(х), либо <р(х), <р(х). Удобнее использовать
I
20
Глава 1. Релятивистская инвариантность
функции <р (л) и <р(х). Каждая из них подчиняется уравнениям
(2.2) или (2.3):
(□-р2)<р(х) = 0, (р2 — р2) <р (р) = 0,	(2.4)
(□-р2)ф(х) = 0, (р2-р2)ф(р) = 0.	(2.5)
Ток / скалярного поля определяется выражением
Как видно, ток вещественного скалярного поля равен нулю,
а комплексного —отличен от нуля. Следовательно, вещественное
поле описывает нейтральные, а комплексное — заряженные ска-
лярные частицы.
Векторные частицы (в частности, виртуальные фотоны). В про-
странстве-времени следующей по сложности после скалярной
является четырехкомпонентная волновая функция £/ц(х) или
ии(р). Для каждой из ее компонент можно написать уравнения
(2.2) или (2.3):
(□~14)Цх(х) = 0,	(2.6)
(Р2-^)^(Р) = О,	(2.7)
где ц„ —масса векторной частицы; р —4-импульс векюна. Функ-
цию ЦДх) можно представить в виде
£/ц(х) = ^₽*	(2.8)
Множитель характеризует различные спиновые состояния
частицы. Обычно говорят об этих состояниях как о состояниях
с различной поляризацией и называют четырехмерным вектором
поляризации частицы.
Как уже говорилось, для описания частицы со спином еди-
ница нужна трехкомпонентная волновая функция. Чтобы убрать
«лишнюю» компоненту, наложим на компоненты следующее
дополнительное условие, которое является релятивистски инва-
риантным:
V^u(x) = 0,	(2.9)
или
РМР) = О.	(2.Ю)
Его называют	условием Лоренца. Подставляя (2.8) в (2.9),
получаем
рЛ = РоСо-Р? = О.	(2.11)
Эти соотношения показывают, что из четырех компонент век-
тора поляризации независимы только три. Другими словами,
при данном импульсе р у вектона возможны три линейно неза-
$ 2. Релятивистски ковариантные уравнения (бозоны)
21
висимых вектора поляризации. Пусть р направлен вдоль оси х3
(рис. 1.1). Тогда в качестве независимых векторов можно выб-
рать единичные орты Xi> Хг. Хз. вдоль осей xlt х2, х3:
Xi(l. О, 0), Х2(0, 1, 0), Хз(0, 0, 1).	(2.12)
Два первых орта соответствуют поперечной поляризации век-
тона, а последний — продольной. Вместо векторов Xi. Хг и Хз
можно выбрать другие ортогональные единичные векторы x+i.
X i и Хо:
о),	-^,0), Zo(O, О, 1). (2.13)
Выясним физический
Пусть трехмерный
смысл наборов векторов (2.12) и (2.13).
вектор поляризации £ направлен вдоль
оси Хх. Тогда учитывая, что
U (х) = £е‘ (рл-рх),
находим
Ui (х) = exp i (рохо — рх),
С/2(х) = 0; 1/3(х) = 0..
В этом случае вектор Щх), изменяясь
со временем, остается все время направ- Рис (д векторы поля-
ленным по оси хг. Поэтому говорят, что ризации вектона или вир-
вектор U (х) линейно поляризован вдоль туального фотона
оси Xi. Аналогичным образом опреде-
ляется линейная поляризация вектора U (х) вдоль осей х2 и х3.
Направим вектор £ вдоль x+i- Тогда поперечные компоненты
Ul(x), U3(x) запишутся в виде
(*) = уу £+i exp i (рохо - рх);
£4 (х) =	£+1 exp i (рохо - рх + у
или, если х = 0,
И) = у^ Си ^Р iPoXo;
U2 (х) =	Си exp i ( рохо +	,
И 2	\	2!
т. е. вектор U (х) вращается, оставаясь постоянным по величине.
Поэтому говорят, что поле U (х) поляризовано по кругу.
Если вектор £ направлен по x-i. то
(х)	exp ipoxo;
(х) = -у- exp i (рохо + у
22
Глава 1. Релятивистская инвариантность
т. е. вектор U (х) опять поляризован по кругу, однако направ-
ление вращения в этом случае противоположно по сравнению
со случаем, когда £ направлено вдоль /+1.
Таким образом, векторы (2.12) определяют линейную поляри-
зацию вектона, а векторы (2.13) —его круговую поляризацию.
Векторы (2.12) или (2.13) полностью характеризуют спино-
вые состояния вектона, т. е. являются его спиновыми волновыми
функциями. Эти волновые функции можно переписать в эквива-
лентной матричной форме следующим образом:
а)	в случае линейной поляризации
/1\	/0\	/ОХ
• Xi= 0 ), Х2 = ( 1 ), Хз = (0);	(2.14)
\0/	\0/	\1)
б)	в случае круговой поляризации
/Г\	/ 1\	/0\
X+i = VF ‘	=	1 ’ Хо= ° .	(2.15)
г \о/		\ О/ \1/
Реальные фотоны. Как показывает опыт, электромагнитные
волны являются поперечными (т. е. у них отсутствует продоль-
ная компонента). Поэтому волновая функция фотона должна
быть двухкомпонентной. Кроме того, из опыта следует, что спин
фотона равен единице, а масса —нулю. Чтобы получить уравне-
ние для волновой функции фотона с 4-импульсом k, надо в (2.6)
и (2.7) положить т = 0, что дает
□Лц(х) = 0,	(2.16)
й2Лц(^)=0.	(2.17)
На волновую функцию фотона Лц(х) по-прежнему накладывается
условие Лоренца (2.9):
&ц71и(&) = 0 или = feoeo — ке = 0,	(2.19)
где Вц —4-вектор поляризации фотона. Но при этом в уравне-
нии (2.6) остается еще одна «лишняя» компонента. Чтобы ее
убрать, надо воспользоваться тем, что уравнение для электро-
магнитного поля инвариантно относительно градиентных преоб-
разований:
^(х)->Лц(х) + -^-/(х),	,	(2.20)
Ai(k)-^A^(k) + k^f(k),	(2.20')
где f(k), f (х) — произвольные функции.
§ 2. Релятивистски ковариантные уравнения (бозоны)
23
Так как на четырехкомпонентную функцию наложены два
условия —(2.18) и (2.20) или (2.19) и (2.20'), то в уравнении
(2.17) или (2.16) независимыми останутся лишь две компоненты.
Используя преобразование (2.20'),-выберем Лц(й) так, что ее
временная компонента A0(k), а следовательно, и е0 обратятся
в нуль. Тогда вместо (2.19) получим
ео = О, ks = 0.	(2.21)
Это условие является условием поперечности фотона. Оно отра-
жает тот факт, что у реального фотона, в отличие от виртуаль-
ного, существует только две поперечные поляризации, а продоль-
ная отсутствует (рис. 1.2). Поэтому если во всех результатах,
полученных для вектона, пренебречь продольной поляризацией,
то они станут пригодными для реального фотона. В частности,
линейную поляризацию фотона
рактеризовать векторами
%1(1, 0, 0), Хг (0, 1, 0),
а круговую — векторами
Х+1\/2’ УТ’ °)’
- W °)’
Выражения, относящиеся к процессам, Рис. 1.2. Векторы поля-
в которых участвуют реальные фотоны, ризации реального фотона
должны быть инвариантны относительно
градиентных преобразований. Сформулируем правило, с помощью
которого можно проверить, является ли выражение градиентно
инвариантным. Пусть имеется выражение, в которое наряду
с другими величинами входит волновая функция фотона Лц(&),
или 4-вектор поляризации ец. Представим заданное выражение
в виде произведения Лц(&) и функции Fll(k), не-зависящей от
Д1(£). Имея в виду (2.20'), находим:
А'и. (k) F* (£) = Л (fe) F» (k) + kJ (k) F» (k).
Чтобы исходное выражение не изменилось, второй член должен
обратиться в нуль. Так как f(k)^=O, то £р7ц(/г) = 0. Однако
выражение k^F^ (k) получается из исходного (fe) Fv (k) заменой
Ац(к) (или	Следовательно, выражение euFp (k) будет
градиентно инвариантным, если после замены	(или
Л(1 (fe)fej оно обращается в нуль.
Пусть k, pi, р2, q — векторы энергии-импульса частиц, а ец —
вектор поляризации фотона. Из этих величин можно составить
различные релятивистски инвариантные комбинации: р^ъ, qe,
(Piq), (Pze)> [(Pi® (qe) — (qk) (ptf)]. Легко видеть, что не только
24
Глава 1. Релятивистская инвариантность
релятивистски, но и градиентно инвариантна лишь последняя
комбинация (так как она обращается в нуль при замене е->&).
Частицы со спином 2. Частица со спином 2 описывается пяти-
компонентной волновой функцией. Чтобы построить такую функ-
цию, возьмем симметричный тензор второго ранга В^, удовлет-
воряющий условию Лоренца (отдельно для каждого значения
v= 1, 2, 3, 0)
^В$(х) = 0 или рцД$(р) = 0	(2.23)
и условию
2	= 0 (или + В™ + В% + В% = 0).	(2.24)
И
Симметричный тензор второго ранга В$ содержит десять неза-
висимых компонент. Требования (2.23) и (2.24) налагают на эти
компоненты пять условий, т. е. симметричный тензор В$, удов-
летворяющий условиям (2.23) и (2.24), действительно содержит
пять независимых компонент. Для каждой из этих компонент
можно написать уравнение (2.2) или (2.3). Следовательно, урав-
нение для частиц со спином 2 и массой р./, отличной от нуля,
запишется так:
(□-H?)4v(x) = 0,	(2.25)
(р2-р|)В^(р) = 0,	.(2.26)
причем
£в$(х) = 0 или рцВ$(р) = 0 и Ss<ft = 0.	(2.27)
Решения уравнений. Релятивистски инвариантное уравнение
для бозонов имеет два решения; например, для вещественного
скалярного поля (2.2) '
ср(+) (х) = ДГе+‘(Ро*о—рх), <р(-) (х) =	<(Ро*о—рх),
где N — нормировочный множитель. Первое из них соответствует
положительной (+ ipoxo), а второе —отрицательной (—tpoxo) энер-
гии. Общее решение запишется в виде суперпозиции
<р (х) = <р(+) (х) 4- <р(_) (х).	(2.28)
Аналогичным образом можно представить решения для комп-
* -
лексного скалярного поля <р(х) и электромагнитного поля Аи(х):
Ф (х) = <р(+) (х) + <р<-> (х), ф (х) = ф(+) (х) 4- ф(~> (х),	(2.29)
Ац(х) = А;х+,(х)4-Ац'(х).
§ 3. Релятивистски ковариантные уравнения (фермионы)
25
В дальнейшем мы будем нормировать волновые функции
бозонов так, чтобы в единице объема находилась одна частица;
тогда скалярная плотность потока /0 должна равняться единице.
Для комплексного скалярного поля <р (х)
и, чтобы /о равнялось единице, нормировочный множитель надо
выбрать' в виде
N = -±=,	(2.30)
/29о’	’
где <7о-энергия скалярной частицы.
§ 3. РЕЛЯТИВИСТСКИ КОВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ФЕРМИОНЫ)
Уравнение Дирака. Частицы со спином у, как уже отмеча-
лось в § 1, описываются двухкомпонентными волновыми функ-
циями. Такие волновые функции преобразуются иначе, чем тен-
зорные функции (см. конец этого параграфа), поэтому они полу-
чили специальное название — спиноров. Имея в виду уравнение
(2.2), уравнение для спинора х(х) в координатном представлении
запишем так:
□ X (х) = т2х (х),
(3.1)
т. е. в виде ги^ференциального уравнения второго порядка.
Более принята другая, эквивалентная форма уравнения для
спинорной частицы —в виде дифференциального уравнения пер-
вого порядка, но для четырехкомпонентной волновой функции.
Для‘перехода к этой форме уравнения введем сначала двух-
рядные матрицы Паули
/О 1\ • /0 —А /1	0\	/1 0\
°1=\1 о/’ a2-V	о/’ аз-'о -1/’ а°-\о 1/
(3.2)
Непосредственным перемножением этих матриц можно убедиться,
что они удовлетворяют следующим соотношениям:
с ( 1> если k = j,
1)	o*o,-+-o/aft = 26ft/, где ой/ = <
(О, если kФj;
2)	0(0,- — u,oz = 2teZyftuft
или, если учесть предыдущее соотношение,
3)	и|=1.
Кроме того, справедлива формула -
(оа) (ob) = ab-H (<r[ab]).	-	(3.3)
26
Глава 1. Релятивистская инвариантность
Чтобы получить уравнение для четырехкомпонентной волно-
вой функции, перепишем'(3.1):
(~ Й ~ т2) * W = - £ * W =	(3-4>
или
О i	+ т) X W = (ст,‘ 1} (Gi /х) *	(3-5)
Обозначим
(f	+ m) х	= (ai Й) Ч’ W’	<3-6>
тогда вместо (3.5) будем иметь
=	(3.7)
Таким образом, вместо одного уравнения второго порядка (3.1)
получили два уравнения (3.6) и (3.7) первого порядка, т. е.
произведена «линеаризация» уравнения (3.1). Два уравнения (3.6)
и (3.7) для спинорных функций <р(х) и / (х) можно записать
в виде одного уравнения, но для четырехкомпонентного спинора
ф(х), который называется биспинором,
(«То Д ”W ’	(3.8)
или
=	(3.9)
/Ф1 (х) \	АД (х) \
. . х /ф (х)\ / ф2 (х) | /ф2 (х) 1	..
где ф(х) =	, , =	,»=,,• Уравнение (3.9) назы-
\Х(х)/ 1%1(х) / 1фз(х)/ р	’
\Ъ(Х)!	\ф4(х)/
вается уравнением Дирака в х-представлении.
Матрицы Дирака. Четырехрядные матрицы у, которые назы-
вают матрицами Дирака, имеют вид
/ 0 иД	/ 0 о2\	/ 0 иа\
Т1 = |	п). ?2 = 1 Л > Тз=	п ,
\—их 0/	\—о2 0/	\—и3 О/
(I О'
Т.=(о	(ЗЛО)
где 7 —единичная матрица.
Матрицы у должны быть такими, чтобы удовлетворялось
условие р2 = т2. Умножив уравнение (3.9) слева на tyv^-,
§ 3. Релятивистски ковариантные уравнения (фермионы)
27
получим
w (х>=mVvl И = т2Ф(х)-
Так как операторы 1-^- и i/- коммутируют между собой, то
oxv ох^
последнее равенство можно переписать так:
”2 PpPv (ТцЫ- ТуТц) (х) = т2г|) (х).
Отсюда вытекает, что матрицы удовлетворяют следующему
перестановочному соотношению:
TnTv + TvTn = 2g(iv,	(3.11)
причем g|iv = 0, если	gm = 1, gn = g22 = g33 = —1.
Важной является матрица
/о Л
Тб = «ТтТгТзТо = — I; QI,
для которой
ТиТб = —ТбТю Тз = А	(3.1 Г)
Подчеркнем, что выбранный нами вид матриц у не единствен-
ный; иногда матрицы у выбирают в другом виде (как говорят,
в другом представлении).
.Выясним, как ведут себя матрицы у при комплексном сопря-
жении, транспонировании и эрмитовом сопряжении. Комплексное
сопряжение матрицы сводится к комплексному сопряжению всех
ее элементов. Имея в виду (3.10) и (3.2), получаем:
ТГ = Т1, Т? = —?2> Тз=Тз, То — То, Тб=Тб-
При транспонировании столбцы матрицы заменяются строками,
так что
ТТ = ~Т1, Т1 = Т2, Т1 = —Тз, То = То, Т1 = Тб-
При этом транспонированное произведение нескольких мат-
риц равно прбизведению транспонированных матриц, взятых
в обратном порядке. Например, для произведения двух матриц:
(ThTv)t = Т^Тц-
Эрмитово сопряжение есть произведение комплексного сопря-
жения и транспонирования, поэтому
Ti= —Ть Та= — Т2, Тз= —Тз, То=То, Т^ = Тб-
Эрмитово сопряжение от произведейия нескольких матриц равно
произведению эрмитово сопряженных матриц, взятых в обратном
порядке. Например, для двух матриц: (TnTv)+= TvTu-
Сопряженный спинор. Найдем уравнение Дирака для сопря-
женного спинора. Взяв эрмитово сопряженное уравнения (3.8),
28
Глава 1. Релятивистская инвариантность
находим:
[7. д . д X , . ;1+	+ . . /	. . 3 ...3	\
- ‘V S - т) Я’ (x)J = яр (X) (- iYJ зТо + И>+ £ -	=
= -^(x)(iYo^o + iV^ + /n) = 0.
Для того чтобы привести оператор Уо^~ +?з“ к исходному виду
UXq Оа
д д
^°дх—^дх* Умножим последнее уравнение справа на у0> и, поль-
зуясь тем, что ViYo = — ТоТь будем иметь
+ . .(. д , . д .	\	+ (. д . д .	\
* W ^«аго + 'V я + m) Vo = яр То (и>0£- - «Т а +	=
= ^>(x)[iyll~ + m^ = 0.
Спинор яр(х)=яр(х) уо называется сопряженным (точнее, дира-
ковски сопряженным) относительно яр(х). Если яр (х) представляет
собой столбец
/Ф1 (х)\
*(,)=(*•« ,
4>о«/
\яр4(х)/
то яр (х) является строкой
яр (х) = ЯрТо = (яр! (х), Яр2 (х), — ярз (х), — ф4 (х)).
Решения уравнения Дирака. Записывая функцию яр (х) в виде
четырехмерного интеграла
яр W = (2^7 S dPe~ipXu (Р)
и подставляя ее в (3.9), приходим к уравнению для спинора
и (р), т. е. к уравнению Дирака в импульсном представлении
 (р-т)и(р) = 0, /5 = РцТц.	(3.12)
которое в соответствии с (3.6) и (3.7) можно переписать так:
(Ро + т)х(р)-(ор)ф(р) = 0, (Ро-т)<р(р)-(стр)х(р) = О. (3.12')-
Найдем решения этих уравнений. Они представляют собой одно-
родную систему уравнений относительно функций <р (р) и х (р)»
которая имеет решение, если равняется нулю определитель
Ро + m — (ар)
—(ар) ро — пг . -	.	-
§ 3. Релятивистски ковариантные уравнения (фермионы)
29
т. е. система уравнений разрешима, если
Ро = £2 = р2-ф т2 или £ = ±]/р2-|-т2.
Отсюда следует, что уравнение Дирака (3.12), так же как и
уравнение для бозонов, имеет два решения н(+) (р) и н(_) (р);
при этом функции в координатном и импульсном представлении
связаны следующим образом:
Ф'+) = S dPe“’XuM (Р)> И =
= (2^ J dpe-'W-> (р).	(3.13)
Общее решение уравнения Дирака будет суперпозицией решений
„(₽) = „» (/» + «-><₽)	+	(3.14)
\Х(+)(Р)/ \Х<_)(Р)/
ф (х) = ф(+) (х)4-ф(-> (х).	(3.14')
Подставляя в (3.9) волновые функции (3.13), получаем уравне-
ния для им (р) и и(_) (р):
(р-ф m) и(+) (р) = О, (р — tn) u(“> (р) = 0.	(3.15)
Эти уравнения отличаются друг от друга знаком четырехмерного
импульса Рц.
Аналогичным образом найдем уравнения для дираковски
сопряженных спиноров:
й(р)(р —т) = 0, й(+) (р) (р —т) = 0, й(-> (р) (рт) = 0. (3.15')
Две различные волновые функции н(+) (р) и ul-) (р) описывают
две различные частицы -со спином 1/2. В дальнейшем мы будем
сопоставлять функции (р) частицу (электрон,’протон, нейтрон
и т. д.), а функции им (р) — античастицу (позитрон, антипротон,
антинейтрон и т. д.).
Из уравнений. (3.6) и (3.7) следует, что спиноры <р(р) и %(р)
не являются независимыми:
х(-’(р)=^^<ры(р). <р(+) (р)=^^х(+) (р);	(3.16)
Х(+) (р) =	ф(+)  <f(") = М-	(3.17)
Далее будем предполагать, что волновые функции нормиро-
1ы следующим образом:
й (р) и (р) = 2m,
й(-> (р) им (р) — — 2m, й(+) (р)	(р) = 2m;	(3.18)
<Р+ (Р) <Р (Р) = 1. Х+ (Р) X (Р)	(3.18')
30
Глава 1. Релятивистская инвариантность
Подставляя функцию (3.16) во
(3.14) и учитывая (3.18), найдем
ния Дирака для положительной
сом р:
второе слагаемое формулы
явный вид решения уравне-
энергии с данным импуль-
!	\	{_।	I
"w(P)~K₽« + m («р|	, ,| = Кй+»1	.	(3.19)
\Ро + ш \(р^) /
Выберем двухкомпонентную функцию в виде
Первая функция описывает спинорную частицу с проекцией
спина по оси z, а вторая — против оси z. Подстановка последней
в (3.19) приводит к двум различным решениям уравнения Дирака,
соответствующим двум проекциям спина частицы:
' (Р) = Vpo + m
1
0
/ °
i4”(p) = /Po4-m 1 п
'	\ (ер) А
\Ро + ™ \1/
(3.20)
Иначе говоря, для положительного значения энергии существует
два различных решения уравнения Дирака. Общее решение
будет их суперпозицией
(р) = a't 1 (р) с4 ’ (р) +	1 (р) у* ’ (р).
Подставляя функцию (3.17) в первое слагаемое формулы (3.14),
находим решение уравнения Дирака для отрицательной энер-
гии:
(Р) = УРо-«
/ <р(+)
(^р)_ „(+)
\р0 — m г
$ 3. Релятивистски ковариантные уравнения (фермионы)
31
V
причем двум проекциям спина (по оси г и против оси г) соот-
ветствуют функции
/ 1
^+,(Р) = КРо-«г °	/1
I (gp)
\рл—т \0
/ °	\
и'1+'(Р) = УРо-т 1	/0\ ; (3.21)
I (gp)	/
\Ро + ш \1/ /
так что п(+) (р) = а'/' (р) oi+‘ (р) 4-	(р) v£’ (р).
Для покоящейся частицы (р = 0 или р0 — пг) четыре различ-
ных решения уравнения Дирака выглядят так:
£<0
Таким образом, при заданном значении импульса р уравнение
Дирака имеет четыре различных решения. Каждое из них опи-
сывает состояние с определенным знаком энергии и проекции
спина. При этом разложение функций (р) и й<±> (р) по
спиновым состояниям (г = 1, 2) запишется в вйде
u(±) (Р)= S аШДОцСйф,
г=1, 2
' й(±)(р)= S a‘±>(p)vty(p). (3.22)
г=1, 2
Билинейные комбинации спиноров. Выясним, как преобразу-
ются волновые функции и их определенные комбинации при
преобразованиях Лоренца, исходя из требования ковариантности
уравнения Дирака. Для этого удобно использовать уравнение
Дирака в координатном представлении
(1Ь'Д;-/п)ч1’(^) = 0-	(3.23)
Координаты хъ х2, х3, х0 четырех мер кого пространства-вре-
мени при произвольных вращениях координат преобразуются
32
Глава /. Релятивистская инвариантность
так:
Xj = СюХо — ОцХ] —	#12^-2	— 013*3,	
Хг = о2о*о — 021*1 —	#22^2	— О23Хз,	
Хд = о30*о — С31Х1 —	#32-^2	— Озз*з,	
*0 == OqoXq — CfllXl —	#02*^2	— О03*3	
или коротко			
*и a^vxv.			(3.24)
При вращениях скалярное произведение двух векторов х и у
остается неизменным: х'^у'^ = x^jj^ или
OpvOna*vi/<x —
т. е. коэффициенты преобразования обладают следующими свой-
ствами:
OgvOpa ~ gva-	(3.25)
Пусть при поворотах волновая функция, являющаяся решением
уравнения Дирака, преобразуется с помощью оператора L:
фа(/) = £арфр(х),
что символически можно записать в виде
ф'(х') = L ф (х).	(3.26)
Исходная ф (х) и преобразованная ф' (х') волновые функции содер-
жат одну и ту же физическую информацию. Такие преобразо-
вания осуществляются унитарными операторами, обладающими
свойствами
iJL—l, или и = 1г1.	(3.27)
Определим оператор L, исходя из требования ковариантности
уравнения Дирака. После поворота осей координат уравнение
(3.23) перейдет в следующее:
М = °-	(3-28)
\ и /
При этом мы предположили, что при преобразованиях Лоренца
матрицы у остаются неизменными (был также рассмотрен вариант,
в котором волновые функции остаются постоянными, тогда как
матрицы у меняются).
Умножая обе части уравнения (3.28) слева на обратный опе-
ратор L-1, учитывая (3.26) и соотношение
• д ______ dxv д  д
§ 3. Релятивистски ковариантные уравнения (фермионы)
33
получаем
£- - т] ф (х) = 0.	(3.29)
Уравнения (3.23) и (3.29) совпадают, если выполняется соот-
ношение
L-^a^L = yv,	(3.30)
или
LVvL-1 = VZgv.	' (3.31)
Иначе говоря, вид оператора L, входящего в (3.26), определяется
соотношением (3.31). Из последнего можно найти явный вид
оператора ^ [см. формулу (3.38)].
Чтобы установить, как преобразуется дираковски сопряжен-
.—	+
ный спинор ф (х) = фу о, возьмем эрмитово сопряженное выраже-
ния (3.26) и умножим полученный результат справа на у0:
ф'у0 = ф' = ф£+у0 = фуоуо^+Уо = ФУ<Л+Уо = ф£7.	(З.ЗГ)
Следовательно, дираковски сопряженный спинор преобразуется
оператором L/ = y0£+y0, и из (3.27) вытекает соотношение уо£+уо =
= Lr1. Тогда вместо равенства (З.ЗГ) получим
ф' (х') = ф (х) Lr1.	(3.32)
Таким образом, при произвольном лоренцовом преобразова-
нии координат (3.24) функции ф (х) и ф (х) преобразуются сле-
дующим образом:
ф' (х') = £ф (х) и ф' (х') = ф (х) Lr1,
пли в импульсном представлении
и’ (р) = Lu (р) и й’ (/?') = й (р) Lr1.	(3.33)
Рассмотрим билинейную форму
ф(х)Оф(х),	(3.34)
где О — произвольный оператор, содержащий матрицы у. При
лорепцевом преобразовании (3.24) билинейная форма на основа-
нии (3.33) преобразуется так:
ф (х) Оф (х) ->ф' (х') Оф' (х') = ф (х) £-1О£ф (х).	(3.35)
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1)	0=1, тогда ф'(х') ф'(х') =ф (х) ф (х), т. е. форма ф(х)ф(х)
является релятивистским скаляром-,
2)	О = у5; так как £-1у3£ = у5, то ф (х) у5ф (х) также является
релятивистским скаляром (см., однако, гл. 2, § 1);
2 Ислипа 11. Ф, -
34
Г лава 1. Релятивистская инвариантность
3)	0 = 7,1 (fi= 1, 2, 3, 0); используя (3.31), получим
Д; (х) = ф' (х') уиф' (х') = 2 ц^ф (х) угф (х) = allvAv,
V	V
т. е. четыре величины Av = ф (х) ууф (х) преобразуются как 4-век-
тор;
4)	O = YgyB; форма ф (х) у(1уБф (х) также преобразуется как
четырехмерный вектор (см., однако, гл. 2, § 1);
5)	О = YjiYv~КГц! используя (3.31), получим
Ф' (х) (YnYv - YvYn) ф' (х') = Ф (X) {2 OgaTaOvpTp - ^рУрЦшУа} Ф(х) =
= S <2цаОурФ (X) (ТаТр - УрУа) ф (х),
а, р
т. е. величины ф (х) (y(lyv — yvy(l) ф (х) преобразуются как анти-
симметричный тензор второго ранга, состоящий из шести ком-
понент.
Спиноры ф (х) и ф (х) являются четырехкомпонентными вели-
чинами, поэтому при их перемножении получится 16 билиней-
ных комбинаций. При преобразованиях Лоренца эти 16 комби-
наций и разбиваются на пять рассмотренных различных групп.
Вследствие соотношения (3.11) для матриц у все другие более
сложные тензоры можно выразить через комбинации пяти рас-
смотренных величин.
Преобразование спиноров и векторов. Найдем явный вид опе-
ратора L преобразования спинора, использовав соотношение
(3.31). Рассмотрим частный случай вращения, например, вокруг
оси х3 на угол ф. Тогда координаты, согласно (3.24), преобра-
зуются так:
xl = x1cos<p4-x2sin<p, х2 =— x1sin<p4-x2cos<p, х3 = х3,
xj = xo (3.36)
и (3.31) приводит к четырем соотношениям:
Vi cos <р — у2 sin <р = — Ly^Lr1,
У1 sin <р+у2 cos ф = — LyzLr1,
y3 = -Ly3L~\	(3’37)
y0 = Ly0L-1.
Отсюда непосредственной проверкой можно убедиться, что при
преобразовании координат (3.36) спиноры преобразуются с по-
мощью оператора
L (ф) = (cos у ф+*У1У2 sin ф) у0,	(3.38)
причем
Lr1 (ф) = (cos ± ф -fyiy2 sin фу у0.	(3.39)
§ 8. Релятивистски ковариантные уравнения (фермионы)
35
Аналогичным образом- выглядят операторы, соответствующие
повороту системы координат вокруг осей х2 й хг. Произведем
поворот на угол 2л. Такому повороту соответствует оператор
L (<р + 2л) = (cos (у ф + л) 4- тууг sin (у <р + луо =
= (— cos у <р — У1У2sin у <р)у0 = — А(ф).
Как видно, при повороте на 2л спинорная функция меняет знак.
Поворот на 2л приводит систему в первоначальное положение,
т. е. совпадает с поворотом на ноль градусов, при котором вол-
новая функция знака не меняет. Отсюда следует, что знак у спи-
норной функции не определен. Иначе говоря, спинорные волно-
вые функции с положительным и отрицательным знаком физи-
чески эквивалентны.
При пресбразовании координат (3.36) компоненты векторной
волновой функции преобразуются так же, как координаты:
(х') =	(х) cos <р -|- U2 (х) sin ф,
t/2 (х') = — Ui (х) sin <р 4- U2 (х) cos ф.
В противоположность спинорной знак векторной волновой функ-
ции при повороте как на нулевой угол, так и на 2л остается
неизменным.
Частицы со спином 3/2. Спин 3/2 получается при сложении
спинов 1 и 1/2. Ясно поэтому, что уравнение для частицы со спи-
ном 3/2 можно получить, комбинируя уравнения для векторной
и спинорной частиц. В самом деле, уравнение для векторной
волновой функции Utl (х) и дополнительное условие, как уже
говорилось, выглядят так:
(□-^)1/ц(х) = 0,
-Дг^М = О.	(3.40)
Допустим теперь, что волновая функция Ц((х) преобразуется
одновременно не только как вектор, но и как спинор. Такие
величины называются спин-векторами. У вектора U^fx) каждая
из компонент — обычная функция, а у спин-вектора каждая из
«компонент» —спинор. Допустим, что этот спинор двухкомпонент-
ный, тогда уравнение (3.40) перепишется в виде
(□ - /п2)ч|£ (х) = 0.	(3.41)
Индексы р и s указывают на то, что волновая функция является
как вектором, так и спинором.
Имея в виду только спинорный характер волновой функции,
можно повторить те же рассуждения, что и при получении
2*
36
Глава 1. Релятивистская инвариантность
уравнения (3.'9) из уравнения (3.1). В результате будем иметь
уравнение
(»Тц~ т) = °'	(3 - 42)
Индекс s заменен s' для того, чтобы подчеркнуть, что в (3.42)
спиновая функция, так же как и в уравнении (3.9), есть четы-
рехкомпонентный спинор. Конечно, в уравнения (3.9) и (3.42)
входят одни и те же матрицы у. Волновая функция ф®' (х) содер-
жит всего 12 независимых компонент (3 векторные х 4 спинор-
ные). А для описания частицы со спином 3/2 надо 4x2 = 8 ком-
понент. Удвоение компонент происходит потому, что при пере-
ходе от (3.41) к (3.42) мы перешли от спинора к биспинору.
Чтобы убрать лишние компоненты, наложим на ф£ (х) дополни-
тельное условие
(х) — 0,	(3.43)
которое релятивистски инвариантно. Так как матрицы у четырех-
рядны, то условие (3.43) эквивалентно четырем линейным урав-
нениям для компонент ф^', т. е. условие (3.43) убирает 4 ком-
поненты. Следовательно, если учесть условие (3.43), то в урав-
нении (3.42} остается 8 независимых компонент; иначе говоря,
условие (3.43) убирает все лишние компоненты.
В дальнейшем индекс s' у спин-вектора будем опускать.
Таким образом, уравнение для частицы со спином 3/2 запишется
в координатном и импульсном представлениях так:
т)к W = °.	(3.44)
(р— m)ull(p) — Q,	(3.44')
причем волновая функция фДх) подчиняется условию (3.43).
Из	последнего	условия	и	(3.44)	следует, что	~з~-ф(( (х) = 0.	Так
'	гт	а**1
же	как	и	в	случае	уравнения	Дирака, получим	уравнение	для
-—	+
дираковски сопряженного спин-вектора ф(1 (х) — фцуо:
Фи(^)(«К-^ + «г) = 0.
Приведем для примера несколько билинейных комбинаций,
образованных из волновых функций спинорных частиц и частиц
со спином 3/2 (спин-векторы):
1)	Фи (х) Фц (х)> _Фи (х) ТвФц (х) — релятивистские скаляры,
2)	фц {X) ф (х), фц_(х) у5ф (х) — векторы,
3)	фи(х^(*), Фц(*)?6Фу(*), Фи(*)^Ф(*). Фц(*) ЬЬФ (*) —
тензоры второго ранга и т. д.
jS 4. Трансляционная инвариантность
37
Релятивистские инварианты. Из импульсов частиц и их вол-
новых функций можно Образовать комбинации, инвариантные
относительно преобразований Лоренца. Очевидно, такие комби-
нации будут релятивистскими скалярами. Приведем несколько
примеров релятивистских инвариантов:
1)	ф (х) у.(	V?. (спинорная частица),
2)	Ф W МФ (*) ^Ф (*), где Г = 1, уБ, увУ(г, Yll, VllYv- YvTll
(спинорные частицы),
3)	Дц(х)Дй(х) (электромагнитное поле),
4)	ф (х) у^ф (х) Д(1 (х) (спинорное и электромагнитное поля),
5)	ф (х) УцУбф (х) Дц (х) (спинорное и электромагнитное поля),
6) ф (х) ф (х) <р(х) (спинорное и скалярное поля),
7)	ф(х) ТбФМЧ’М (спинорное и скалярное поля),
8)	Фи W КФ (х) -£- Д,1 (х) (частица со спином V2, 3/8 и электро-
магнитное поле),
9)	Фц (х) угф (х) Bliv (х) (частица со спином 1/2, 3/8 и 2).
Как увидим далее, не все из этих комбинаций автоматически
инвариантны относительно других преобразований (например,
пятое и седьмое выражения меняют знак при инверсии прост-
ранства и т, п.)
§ 4. ТРАНСЛЯЦИОННАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Инвариантность относительно преобразований Лоренца или
вращений в четырехмерном пространстве-времени связана с изо-
тропностью пространства-времени. Наряду с этим теория должна
быть инвариантна относительно смещений в четырехмерном про-
странстве-времени. Эта инвариантность получила название транс-
ляционной. Трансляционная инвариантность связана с однород-
ностью пространства-времени и означает, что при пространст-
венно-временном сдвиге х(1 -> Хц = х(1 + а волновая функция Ф(х)
переходит в функцию Ф(х'), дающую ту же физическую инфор-
мацию, что и Ф (х). Вследствие этого связь между функциями
Ф(х) и Ф(х') устанавливается с помощью унитарного опера-
тора U: Ф (х') = (7Ф (х), где UU+=1.
Удобно рассматривать бесконечно малые сдвиги. Им будет
соответствовать унитарный оператор U, отличающийся беско-
нечно мало от единицы,
U-1 + Mx^,
где Рц —оператор бесконечно малого сдвига, 6хц — бесконечно
малая величина, квадратом которой можно пренебречь. Йз уело-
38
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
вия унитарности UU+ = 1 следует, что Р^. = Рц, т. е. Р^ — эрми-
тов оператор. Действуя оператором U на любой оператор В(х),
получаем
В (х') = UВ (х) U-1 = (1 + 1’бх^Д,) В (х) (1 — гбХцРц) =
= В (х) + t6xu [Рц, В (х)]
отсюда
d-^ = -i[B(x), PJ_.	(4.1)
Интегрируя это выражение, находим правило преобразования
оператора В(х) при трансляциях
В (х) = е‘РхВ (0) е~iPx	(4.2)
или
В(х + о)=егРаВ (х)е~1Ра.
Из уравнения для собственных значений р|Л оператора Р^
РцФ = р(1Ф
следует, если учесть (4.1):
1 <ф*|^?| ф1> = <ф2|[ем. ^]-|Ф1> =
'= (Рш - Р2ц) <Фг I в (х) I Ф^;
откуда получаем правило преобразования матричного элемента
при трансляциях:
<Ф81В (х) | Фт> = <Ф21 В (0) | Ф,) ег1 -р^х.	(4.3)
Глава 2
ДИСКРЕТНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА
§ 1. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ИНВЕРСИИ ПРОСТРАНСТВА
Преобразование физических величин. При физических иссле-
дованиях выбирают определенную систему координат. Инвариант-
ность физических законов и соответствующих им уравнений
относительно инверсии пространства означает, что законы и
уравнения останутся неизменными, если перейти к другой си-
стеме координат по правилу х->х'= — х. При этом временная
координата останется неизменной: х0-> xj = х0. Другими словами,
инвариантность относительно пространственной инверсии озна-
чает равноправность правого и левого направлений.
Выясним, как преобразуются при пространственной инверсии
физические величины. Компоненты трехмерного импульса частицы
§ /. Инвариантность относительно инверсии пространства
39
изменяют знак: р->р' = — р, так как р = т^-. Знак энергии
частицы не изменяется: £->£' = £, так как Е = ]/р2 4- пт2. Мо-
мент импульса знака не меняет: М—>М, tr-xr, так как М =
= [ххр].
Используя полученные результаты, легко установить, как
преобразуются комбинации, составленные из перечисленных вели-
чин. Например, скалярное произведение (<тр) меняет знак:
(<тр)-э—(стр), а скалярное произведение .вектора о на векторное
произведение двух векторов <т [pipa] — не изменяет знака: a [piP-2]->
-►<r[pip2].
Преобразование волновых функций. Выясним, как преобра-
зуются при пространственной инверсии волновые функции частиц.
При этом важно иметь в виду, что преобразованию подвергаются
как компоненты волновой функции, так и ее аргументы.
Скалярное поле. При инверсии пространства х0 -+ х'е =
= х0, х -> х' = — х, и волновая функция скалярного поля <р (х0, х)
преобразуется с помощью оператора Р инверсии пространства
так
(х0, — х) = Рср (х0, х).	(1.1)
Так как исходная ср(х) и преобразованная <р' (%') волновые функ-
ции дают одинаковую физическую информацию, то оператор Р
должен быть унитарным, т. е. РР+=1. Чтобы найти вид уни-
тарного оператора Р, используем уравнение для скалярного поля
х>“0' <12>
которое после инверсии пространства перепишется в виде
+ х) = °-
Умножим обе части этого уравнения слева на оператор, обрат-
ный Р, т. е. на Р~г (по определению РР1=1):
х)=0-
Вследствие инвариантности относительно инверсии пространства,
уравнения (1.2) и, (1.2') должны совпадать. Поэтому оператор Р
должен быть таким, чтобы выполнялось равенство
п , I Й2 Й2 | ,\ п 02	д2 , 2
Р	dx2 + ) Р — dxl	дх2 + р- •
Выражения, стоящие справа и между операторами Р слева,
равны. Поэтому в рассматриваемом случае оператор Р вырож-
*> В общем случае для многокомпонентной волновой функции Ф (aj и опе-
ри юра О имеем Ф' (а') = ОФ (а), Ф (а) -> Ф' (а’) —ОФ (а).
40
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
дается в постоянную комплексную величину. Из условия уни-
тарности, которое в данном случае запишется в виде Р*Р=1,
следует, что модуль этой комплексной величины должен быть
равен единице, т. е. Р можно представить так: P = eia = T]p, где
а —число. Тогда формула (1.1) перепишется следующим образом:
Ф'(х0, — х) = vp (х0, х).
Действуя на обе части равенства (1.1) еще раз оператором Р,
т. е. производя двойную инверсию пространства, получаем
Рф' (Л-о, — X) = Р2ф (%0, Х)=Г|рф(Х0, х).
Двойная инверсия пространства эквивалентна вращению на
угол 2л. При таком преобразовании волновая функция скаляр-
ного поля не меняется (см. гл. 1, § 3). Поэтому из последнего
соотношения следует, что т]р= 1, или т]р = ± 1, т. е. возможны
два типа волновых функций:
Рф(х0, х) = + ф(х0, х) и Р<р(х0, х) = — ф(х0, х).
Волновая функция, не меняющая знака при пространственной
инверсии, называется скалярной, а изменяющая знак — псевдоска-
лярной. Величина т]р называется внутренней пространственной
четностью частицы.
В настоящее время экспериментально обнаружено (см. таб-
лицу элементарных частиц) восемь псевдоскалярных частиц (их
обозначают 0"): л-, К-, т]-мезоны и несколько скалярных мезо-
нов (их обозначают 0+).
Если система состоит из нескольких, например из двух, не-
взаимодействующих частиц, то волновая функция системы равна
произведению волновых функций частиц: ф(Х1, x2) = <Pi(*i) ф2(х2).
Произведя пространственную инверсию, получим
Р<Р (ХЬ Х2) = Рф1 (Xj) ф2 (Х2) = Т)р‘’ф1 (%1) Т)'р2’ф2 (*2) =
= Лр’Пр’<₽1 (Х1) Ч>2_(х2) = Т)"’Г]'рг>ф (хъ х2),
т. е. четность т)р системы, состоящей из двух частиц, равна
произведению четностей этих частиц: т]р = т]р Вследствие
этого четность называют мультипликативным квантовым числом
(в отличие от аддитивного квантового числа, примером которого
является момент импульса).
Аналогичным образом можно показать, что четность системы,
состоящей из нескольких частиц, равна произведению всех про-
странственных внутренних четностей частиц.
Определим, какова четность состояния частицы с заданным
моментом импульса I и спином, равным нулю. Такие состояния
описываются шаровой функцией У/т(0, ф) = PT (cos 0) е'тч>. Про-
странственная инверсия для сферических координат сводится
к преобразованию г = г, 0->л —0, ф->ф+л. При замене ф->
§ 1. Инвариантность относительно инверсии пространства
41
->фЦ-л множитель е'т<₽ умножается на (—1)т, а при замене
0->л —6 полином P7’(cds6) переходит в Р? (—cos6) = (—l)z-mx
xP?(cos6). Поэтому yZm (6, гр) умножается на (—l)z, т. е. чет-
ность состояния с данным I есть (—l)z. Все состояния с чет-
ным I четны, а с нечетным I — нечетны. Если спин частицы отли-
чен от нуля, то ее пространственная четность по-прежнему
определяется так: (—l)z, причем/ = /-{-s,/4-s—1,..., |/—s-{-1|,
I/ — s|, где / — полный момент частицы.
Имеет смысл говорить о результирующей пространственной
четности частицы, равной произведению ее внутренней и орби-
тальной пространственной четности. Так как внутренная чет-
ность л-, К-, ^-мезонов отрицательна, то результирующая чет-
ность системы, состоящей, например, из двух л-мезонов в s-со-
стоянии (/ = 0), положительна: (—1) (—1)(—1)° = 4-1, четность
этой же системы в р-состоянии (/= 1) отрицательна: (—1)(—1)х
Х(—1) = — 1 и т. д.
Если существует инвариантность относительно пространствен-
ной инверсии, то относительно этого преобразования гамильто-
ниан системы Н также инвариантен: Р~гНР = И, или РН=НР,
т. е. гамильтониан системы Н коммутирует с оператором про-
странственной инверсии Р. Это означает, что соответствующая
оператору Р пространственная четность сохраняется. Иначе
говоря, если имеется инвариантность относительно пространст-
венной инверсии, то результирующая пространственная четность
системы до реакции и после реакции должна быть одной и
той же. Так формулируется закон сохранения пространственной
четности. Этот закон приводит к тому, что некоторые реакции
оказываются запрещенными (правила отбора, обусловленные за-
коном сохранения пространственной четности). Например, про-
цесс рассеяния л-мезонов на л-мезонах л + л -> л + л. разрешен,
если все мезоны одновременно либо скалярные, либо псевдоска-
лярные, и запрещен, если один из мезонов скалярный, а три
остальные— псевдоскалярные. В случае, когда все мезоны, на-
пример, псевдоскалярные, внутренние четности начальной и
конечной систем равны. Согласно закону сохранения момента
импульса орбитальные моменты начальной I и конечной V си-
стемы должны быть одинаковы (т. е. / = /'). Поэтому результи-
рующая четность начальной и конечной систем в рассматривае-
мом случае одинакова и, следовательно, процесс разрешен..Этого
не будет, если, например, в начальном состоянии взять скаляр-
ный и псевдоскалярный мезоны.
Аналогичным образом можно установить, что покоящийся
(/ 0) псевдоскалярный мезон не может распадаться на два
псевдоскалярных мезона в s-состоянии (/ = 0).
Векторное поле. Чтобы выяснить, как преобразуется
волновая функция вектона при инверсии пространства, рассмот-
42
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
рим уравнение для векторного поля (/g(x0, х):
(□ — ps)t7g(xo, х) = 0.
Выделив из этого уравнения четвертую компоненту Uo (х0, х),
получим для пространственной части U (х0, х) уравнение
(□ — Цо) U (%о, х) = 0.
Повторяя те же рассуждения, которые были проведены для
скалярной частицы, найдем, что при инверсии пространства вол-
новая функция вектона (7р.(х0, х) преобразуется так:
^о(хо, х)—>(/о(хо> — х) = (/0(х0, х),
U (х0, х)U'(х0, — х) = г|ри (х0, х)	* • '
или
т. е. при пространственной инверсии возможны векторные (tjp =
= —1) и псевдовекторные (т|р=+ 1) частицы.
В настоящее время экспериментально обнаружено (см. таб-
лицу элементарных частиц) девять векторных частиц 1_: со-, ср-,
р-, /(’’"-мезоны и несколько псевдовекторных мезонов 1+.
Электромагнитное поле. Принципиальным отличием
реального фотона от виртуального является отсутствие продоль-
ной поляризации. Поэтому если в результатах, полученных для
вектона, пренебречь продольной поляризацией, то получим ре-
зультаты для фотона.
Из совокупности опытных данных следует, что волновая функ-
ция фотона ЛЦ(Л) преобразуется как четырехмерный вектор:
Ло (х0, х)-> ЛЛ (х0, — х) = Л0(х0, х),
А (х0, х) А' (х0, — х) = — А (х0, х)
или
ео->ео->-ео. е->е' = —е.
Спинорное поле. Чтобы выяснить, как преобразуются
при инверсии пространства спиноры ф (х), рассмотрим.уравнение
Дирака
(»То i ~ X ~ т) Я5 (хо, х) = 0.	(1.4)
При инверсии пространства
. д . д . д . д	. д . д	. n । /	\
----, i -з — I	Ф (х0, — х) = Рф(х0, х).
дх0 дх'о дх0 ’ дх дх' дх’ т	' тс о» /•
Поэтому уравнение (1.4) после инверсии пространства перепи-
шется так:
х) = 0-	.	(!-5)
£ 1. Инвариантность относительно инверсии пространства
43
Найдем вид унитарного оператора Р исходя из того, что
вследствие инвариантности относительно инверсии пространства
уравнения (1.4) и (1.5) должны совпадать (причем матрицы у
остаются неизменными). Умножим обе части уравнения (1.5)
слева на оператор, обратный Р:
^X(£Vo^+£^Д-т)РгНх<ь х) = 0-	О-6)
Уравнения (1.4) и (1.6) совпадут, если
п , (. д . . д. \ п . д . д
р 1(lYo^+£v^-zn)p = £v^-^^-m-
Таким свойством обладает оператор Р = г|ру0 (где — произволь-
ное число, но ! Лр I2 — 1):
V» ‘ (‘Vo + ‘V £ -	Vo = % Ч (/То	- ‘V - т);
следовательно,
гр' (х') = Ргр (х) = Пр?оф W•	(1-7)
Чтобы выяснить, как преобразуется при инверсии простран-
ства дираковски сопряженный спинор тр (х), возьмем эрмитово
сопряженное для гр' (х') = т]Рт0'Ф(х):
Ф'+ (х') = т]ргр+ (х) уб = ПРФ+ (х) уо.
Умножив это выражение справа на у0, получим гр'+(х')у0 =
= т]ргр+(х) уо?о, или
гр'(х') = т)ргр(х)у0.	(1.8)
Выясним, какова внутренняя четность спинорной частицы ты.
Подействуем на обе части равенства (1.7) еще раз оператором Р;
Р2гр (х) = ПрТоТ’Я’ (х)-,
тогда, имея в виду (1.7), получим:
ф (х) = ПрТоТоФ (х) = ПрЯ5 (х).	(1.9)
Произведенная двойная инверсия пространства эквивалентна вра-
щению на угол 2л. При таком преобразовании спинорная вол-
новая функция определена лишь с точностью до знака (см.
гл. 1, § 3). Поэтому из (1.9) следует, что
г£ = ±1
ИЛИ Г|р =
± 1, если г]р = + 1,
±i, если 1]р ——1.
(1.Ю)
В следующем параграфе мы увидим, что первая возможность
должна быть отброшена. Следовательно, внутренняя четность
44
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
спинорной частицы определена только с точностью до знака.
Обычно ее выбирают положительной == + О и обозначают
спинорные частицы так: х/г+.
Рассмотрим, как преобразуются при инверсии пространства
билинейные комбинации спиноров [см. гл. 1, формулы (3.34) и
(3.35)]:
ф (х) Оф (х).	(1.11)
При инверсии пространства ф (х) Оф (х) ->ф' (х') Оф' (х'). Подстав-
ляя сюда (1.7) и (1.8), имеем
ф (х) Оф (х) -> ф' (х') Оф' (х') = ф (х) уоОуоф (х).
В частности:
а)	ф (х) ф (х) ф (х) уоТоФ (х) == ф (х) ф (х),
т. е. величина ф (х) ф (х) — скаляр',
б)	Ф (х) у6ф (х) ф (х) уоУбТоф (х) = — ф (х) У0У0У5Ф (х) =
= — Ф(х)у5ф(х),
так как у0у6 = — Т5Т0, т. е. величина ф (х) у5ф (х) — псевдоскаляр-,
-	[—Ф(х)уцф(х) для р= 1, 2, 3,
в)	ф(х)у\1ф(х)-*Ф(х)уоУ1Хуоф(х) = {
+ Ф (х) Уцф (х) для р = О,
т. е. величина ф (х) у^ф (х) —вектор;
г)	Ф (X) уму5ф (х) ->
ч , , ч ( + Ф WТцТбФ(х) для р = 1, 2, 3,
-^Ф(х)УоУ(гУ5?оФ(х) =
( —ф(х)уму5ф(х) для р = 0,
т. е. величина ф (х) уцу5ф (х) — псевдовектор.
Таким образом, величины, неразличимые с точки зрения реля-
тивистской инвариантности (например, фф и фу5ф), становятся
различными, если учесть еще инвариантность относительно инвер-
сии пространства.
Частицы со спином 3/2. Волновая функция ф^ (х) частицы
со спином 3/2 является как вектором (индекс р), так и спинором
(индекс s). Поэтому функция ф^(х) при инверсии пространства
будет преобразовываться как вектор по индексу р:
ФЖ. х) *Ф;5(х0, — х)=ф5(хи, х),
ф5 (х0, X)ф'« (х0, — х) == т^рф5 (х0, х)
и как спинор по индексу s:
фц (х) фц (х') = ПрТоФй (х); фц (х) -> фц (х') = т)Рфц (х) у0.
£ 1. Инвариантность относительно инверсии пространства
45
Так как внутренняя четность вектора отрицательна, а спи-
норной частицы положительна, то внутренняя четность спин-
вектора будет отрицательной, а псевдоспин-вектора — положи-
тельной. Иначе говоря, 3/2“-частицы описываются спин-вектором
ф^(х), а 3/2+-частицы—псевдоспин-вектором (х). Эксперимен-
тально обнаружены как 3/2--, так и 3/2+-частицы.
Приведем для примера несколько билинейных комбинаций, обра-
зованных из волновых функций спинорной частицы и 3/2-частицы:
1)	фц (х) фр (х) — скаляр,
2)	Ф^ (х) ?6фр (х) — псевдоскаляр,
3)	фц (х) ф8 (х) — вектор,
4)	фц (х) увф8 (х) — псевдовектор,
5)	фр (х) ф\ (х) — тензор второго ранга и т. д.
Дуальные величины. Как мы видели, при пространственной
инверсии наряду с величинами (скаляр, вектор и т. д.) суще-
ствуют псевдовеличины (псевдоскаляр, псевдовектор и т. д.).
Задача построения величины, если задана псевдовеличина, или,
как говорят, задача построения по данной величине ее дуальной,
может быть решена с помощью полностью антисимметричного
тензора четвертого ранга 8apyg, обладающего свойствами:
Ка₽уС —
О, если среди значков а, р, у, 6 имеются одинаковые,
1, если значки а, Р, у, 6 можно расположить
в порядке 1, 2, 3, 0 посредством четного числа
перестановок,
—1, если значки а, р, у, 6 можно расположить
в порядке 1, 2, 3, 0 посредством нечетного числа
перестановок.
Например, 812ю — О» Ё3201— Ч- 1» S3102— —1.
При вращениях преобразуется как тензор Однако при
инверсии пространства 8арУб по определению, не меняет знака,
в то время как соответствующий истинный тензор должен менять
знак на обратный. Иначе говоря, 8ару6 —псевдо тензор. В даль-
нейшем над псевдовеличинами мы будем ставить знак тильда «~».
С помощью символа 8ару6 и четырехмерных величин можно
построить псевдовеличины:
а)	из тензора четвертого ранга Пцруб — псевдоскаляр а:
(L = Ка₽уС^а₽тС>
б)	из тензора третьего ранга «ру6 — псевдовектор аа:
1 ~ .
Яа — g
46
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
в)	из тензора второго ранга ал,6 — псевдотензор второго ран-
га аа₽:
1 ~
®а₽ — 2
г)	из вектора а& — псевдотензор третьего ранга aapY:
д)	из скаляра а — псевдотензор четвертого ранга аа^:
Яа₽уС ~ 8арубП.
Аналогично запишутся обратные формулы для получения вели-
чин из псевдовеличин.
Произведение величины на псевдовеличину дает псевдовели-
чину, произведение двух псевдовеличин дает величину. Напри-
мер, если задан 4-вектор рр, то с его помощью можно образовать
псевдотензор третьего ра.нга ра$у — ёа₽тбРс. Из тензора четвертого
ранга, образованного из векторов р, q, г, £, т. е. po9prT&j, можно
образовать псевдоскаляр ^a^paq^rytf,.
Как мы уже видели, билинейная комбинация спиноров пере-
ходит в дуальную, если между спинорами добавить матрицу ув;
например, фу(1ф —вектор, фурувф — псевдовектор и т. п. Напомним,
что произведение двух тензоров ёархр и ёИЛ,ро равно:
— ea₽xcegVpa = (pa) [(v₽) (рХ) (об) + (р₽) (оХ) (v6) +
+ (a₽) (vX) (рб) - (р₽) (vX) (об) - (vp) (оХ) (рб) - (о₽) (рХ) (v6)] -
- (Н₽) [(va) W (об) + (pa) (оХ) (v6) + (oa) (vX) (рб) -
— (pa) (vX) (об) — (va) (оХ) (рб) — (oa) (pX) (v6)] +
+ (p^) [(va) (pP) (об) + (pa) (op) (v6) + (oa) (vP) (рб) -
- (vP) (pa) (об) - (oa) (pP) (v6) - (oP) (рб) (va)] -
- (P6) [(va) (pP) (oX) + (pa) (op) (vX) + (oa) (vP) (pX) -
- (vP) (pa) (oX) - (oa) (pP) (vX) - (op) (pX) (va)], (1.12)
где (pv) = g'(lv и t. д. Суммирование по одному, двум, трем и
четырем индексам дает:
— Ёаз?.вёаура = (Pv) (Хр) (бо) + (Рр) (Хо) (6v) +
+ (Ро) (Xv) (бр) - (Рр) (Xv) (бо) - (Pv) (Хо) (бр) - (Ро) (Хр) (6v); (1.13)
Ёархаёарро = 2 [(Хр) (бо) - (Хо) (бр)],	14)
^a₽vC^a₽vo — 6 (бо); ёар¥^ёарЛ,5 ==	24.
Инварианты относительно инверсии пространства. Из импуль-
сов частиц й их волновых функций можно образовать комбина-
ции, инвариантные относительно инверсии пространства. Приве-
£ 2. Инвариантность относительно зарядового сопряжения
47
дем несколько примеров таких инвариантов:
1)	Ф (*) Ти (спинорная частица х/2+);
2)	ф (х) Гф (х) ф (х) Гф (х), где Г = 1, у5, ?р., Уру8, ogv (спинорные
частицы х/2+);
3)	Лц (х) Дц (х) (электромагнитное поле 1~);
4)	ф (х) у^ф (х) Лм (х) (спинорная х/2+ частица и электромагнит-
ное поле);
5)	ф (х) 1]) (х) <р (х) (спинорная х/2+ и скалярная 0+ частицы);
6)	ф (х) у8ф (х) ф (х) (спинорная х/2+ и псевдоскалярная О- ча-
стицы);
7)	-^^-Трф(х) (7р(х) (частицы х/2+, 3/2+ и 1“).
§	2. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАРЯДОВОГО СОПРЯЖЕНИЯ
Зарядовое сопряжение. Каждой частице с положительным
зарядом можно сопоставить такую же частицу 'с отрицательным
зарядом, или каждой частице можно сопоставить античастицу.
При этом нейтральная частица сопоставляется сама себе. Под-
черкнем, что частица отличается от античастицы не только зна-
ками электрического заряда, а следовательно, и магнитного
момента, но также знаками и других «зарядовых» квантовых
чисел: барионного заряда, странности, гиперзаряда (о которых
мы будем говорить далее, в гл. 8, § 5). Операцию замены частицы
античастицей обычно называют зарядовым сопряжением. Инва-
риантность относительно зарядового сопряжения означает, что
физические законы и соответствующие им уравнения не изменятся,
если все частицы заменить античастицами. Иначе говоря, законо-
мерности «мира» и «антимира» эквивалентны.
Преобразование функций. Рассмотрим, как преобразуются вол-
новые функции частиц при зарядовом сопряжении.
Бозонные поля. Чтобы выяснить, как преобразуется при
операции зарядового сопряжения волновая функция электро-
магнитного Др.(х) и скалярного ф(х) полей, рассмотрим уравне-
ние для скалярного поля ф (х) в присутствии электромагнитного
поля. Для получения такого уравнения надо в уравнении для
свободного скалярного поля заменить i —> i  еА^ (х); тогда
Яг)	12	1
i— еДц (х)J — р2|ф(х) = 0.	(2.1)
При комплексном сопряжении это уравнение переходит в сле-
дующее:
{ [' + МТ -	= °'	2)
48
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
Уравнения (2.1) и (2.2) остаются неизменными относительно
следующих преобразований волновых функций:
ф (х) -> <РС (х) == 1VP (х), гр (х)	фс (х) = ivp (х);
(2.S)
(х) -> А ц (х) = —	(х) (или ец->ец = — еД
Выражение для тока /ц мезонного поля
М = - ie [^- ф (х) - ф (х)
при преобразованиях (2.3) меняет знак. Следовательно, преобра-
зование (2.3) волновых функций бозонов соответствует переходу
к частицам противоположного заряда (по отношению к перво-
начальному), т. е. зарядовому сопряжению. Иначе говоря, при
операции зарядового сопряжения волновые функции бозонов пере-
ходят в свои комплексно сопряженные. При этом бозоны и анти-
бозоны входят в теорию симметрично, т. е. волновые функции
бозона и антибозона подчиняются одному и тому же уравнению,
как этого и требует инвариантность относительно зарядового
сопряжения.
Если ф (х) — действительная функция, соответствующая ней-
тральной частице, то г|с — действительное число, причем т)?=1 и
т]с = ± 1 (см. § 1). Это означает, что Сф = ±ф, т. е. состояние
отдельной нейтральной частицы является собственной функцией
оператора С зарядового сопряжения. Собственное значение г|с
называется зарядовой четностью частицы.
Правило преобразования волновой функции векторного поля
(7ц(.х)-при зарядовом сопряжении имеет вид
Uli(x)-^Ucll(x) = ricU (х).	(2.4)
Соответственно ->	для нейтральных вектонов
-> = ± причем верхний знак относится к зарядово четным
(qc= + 1), а нижний —к зарядово нечетным вектбнам (т]с = — 1).
Спинорное поле. Волновая функция спинорной частицы
при зарядовом сопряжении преобразуется более сложным образом
из-за ее матричного характера. При зарядовом сопряжении вол-
новая функция ф (х) спинорной частицы также переходит в эр-
митово сопряженную функцию ф (х). Вместо последней обычно
используют более удобную дираковски сопряженную функцию
ф (х) = ф (х) уо- Однако одного преобразования дираковского сопря-
жения в данном случае, в отличие от бозонных полей, недоста-
точно. Действительно, заменив в уравнении Дирака для частицы
---тлф(х) = 0 волновую функцию ф(х)->ф(х), получим
§ 2. Инвариантность относительно зарядового сопряжения
49
уравнение Дирака для античастицы

(2.5)
Как видно, уравнения для спинорной частицы и античастицы
выглядят по-разному. С другой стороны, если существует инва-
риантность относительно зарядового сопряжения, то спинорная
частица и античастица должны входить в теорию симметрично,
т. е. волновые функции частицы и античастицы должны удовлет-
ворять одному и тому же уравнению Дирака, Чтобы этого
добиться, подействуем на ф(х) дополнительно таким унитарным
оператором' С, который приведет к зарядово сопряженной функции
фс(х) = Сфт(х),	(2.6)
удовлетворяющей тому же уравнению, что и функция ф (х):
(^4г~тИт(х)=0‘	(2-7)
Для нахождения вида оператора С возьмем от обеих частей
уравнения (2.5) транспонированное и умножим полученный резуль-
тат слева на С:
Cy^i	= °’
Функция Сфт(х) удовлетворяет уравнению (2.7), если
CyJ. = — ТцС, или С~'у^С =— vp.	(2.8)
Требуемыми свойствами обладает оператор С =’Пс'Уг'Уо» так как
(Т2То)_1Тц?2То = — Кроме того,
С+ = СХ = С, С = —Ст, С*—— С, С-ХС=1.	(2.9)
Спинор Сфт (х) называется зарядово сопряженным к ф (х).
Как преобразуется при зарядовом сопряжении спинор ф? Так
как ф (х) -> фс (х) = Сфт (х) = С [ф+ (х) уо]т = Ст1ф+Т (х), то взяв эрми-
тово сопряженное, получим соотношение
ф+ (х) -> (фс (х))+ = фт (х) yJ+C+
или после умножения обеих частей на То и учета (2.8) и (2.9)
ф (х) (фс (х))+ уо=фт (х) уиС+То = фт (х) ?о (— ТоС+) = — фт (х) С;
следовательно,
фс (х) = — фт (х) С.
(2.Ю)
50
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
Преобразования, обратные (2.6) и (2.10), выглядят так:
ф (х) = Сф" (х);	(2.11)
ф (х) = — ^(xJC.	(2.12)
Рассмотрим еще преобразование зарядово сопряженных спино-
ров при инверсии пространства. Подставляя в соотношение (2.6)
формулу (1.8), найдем
фс'(х') = т)рС?офт(х)
или в соответствии с (2.8)
Фс' (У)= -т]рТоФс (х).
Если предположить, что зарядово сопряженные спиноры фс(х),
фг(х), при инверсии пространства преобразуются так же, как
и спиноры ф (х) и ф(х), т. е.
Фг' (х) = Пр?офс (х), фс' (х') = 1^фс (х) уо,
то из двух значений т]р — + 1 и т]£=—1 однозначно следует
выбрать т]р = — 1, что мы и сделали в § 1.
Частицы со спином 3/2. Волновая функция ф-^ (х) частицы
со спином 3/2 является одновременно и вектором (по индексу р)
и спинором (по индексу s). Поэтому функция ф^ (х) при зарядо-
вом сопряжении будет преобразовываться как вектор по индексу р:
%(х)->(ф^ (х))с=П< (х)
и как спинор —по индексу s:
Фи (х) -> (ф’ц (х))с = Сф” (х).
Зарядовая четность. Правила отбора по зарядовой четности.
Проанализируем подробнее свойства нейтральных частиц и ней-
тральных систем частиц. Относительно операции зарядового
сопряжения все нейтральные частицы и нейтральные системы
частиц можно разделить на два класса. К одному из них отно-
сятся те элементарные частицы и их системы, которые при заря-
довом сопряжении переходят сами в себя. Такие частицы и системы
называются истинно нейтральными. Последними являются фото-
ны, нейтральные мезоны (л°, т]°, р°, со0, ср0, №), позитроний
(е+е_), протоний (р+р~) и т. п. Другой класс составляют нейтраль-
ные частицы и нейтральные системы частиц, которые не перехо-
дят сами в себя при зарядовом сопряжении. К ним относятся,
например, нейтрон (антинейтрон обладает обратными, по знаку
магнитным моментом и барионным зарядом), атом водорода (при
зарядовом сопряжении переходит в систему из позитрона и анти-
протона) и т. п.
§ 2. Инвариантность относительно зарядового сопряжения
51
Особый интерес представляют истинно нейтральные частицы
и системы частиц. Так как они при зарядовом сопряжении пере-
ходят сами в себя, то волновые функции начальной Ф и преобра-
зованной Фс системы могут отличаться друг от друга лишь
постоянным множителем Фс = т]сФ. С помощью оператора зарядо-
вого сопряжения С это равенство можно переписать так: Фс =
= СФ.
Повторяя рассуждения, проведенные в случае инверсии про-
странства (см. § 1), найдем, что при зарядовом сопряжении нейт-
ральных" систем возможны два типа волновых функций: СФ = Ф,
СФ=-Ф.
Величина гр называется зарядовой четностью нейтральной
системы. Как видно, зарядовая четность системы может быть
либо положительной, либо отрицательной.. Зарядовая четность
является мультипликативным квантовым числом: зарядовая чет-
ность системы, состоящей из нескольких истинно нейтральных
частей, равна произведению зарядовых четностей частей-.
Выясним, какова зарядовая четность истинно нейтральной
системы, состоящей из частицы и античастицы (например, из
электрона и позитрона, из л+- и л_-мезонов и т. п.). Будем описы-
вать систему волновой функцией Ф(Х1, Si, х2, %, Q2), зави-
сящей от координат хъ х2, спинов %, % и зарядов Q2 час-
<. тицы и античастицы (причем Qj = — Q2). Для определения заря-
довой четности систем используем обобщенный принцип Паули,
согласно которому волновая функция системы из двух тождест-
венных частиц при перестановке всех их характеристик (т. е.
х, s, и Q) либо не меняет знака (в случае бозонов), либо меняет
его (в случае фермионов). С другой стороны, при перестановке
зарядов (Qi^tQ2) у функции. Ф, по определению, появляется
множитель i]c, характеризующий зарядовую четность системы,
Ф(%1, slt Qu х2, s2, Q2) = т)сФ (%i, %, Q2; x2, s2, QJ.
При перестановке координат (x!^*:x2) частиц относительный
радиус-вектор частиц меняет' знак, поэтому (см. § 1) волновая
функция Ф приобретает множитель (—1)', где / — орбитальный
момент системы частица — античастица:
Ф(Х1, Si, Q1J х2, %, Q2) = (— 1)гФ(*2, S1, <21! *1, s2, <2г)-
Спиновая волновая функция Ф4 рассматриваемой системы выгля-
дит так:
Ф(8Ь mSl; s2, mS2) = C^SissmS!®i(s1)®2(s2),
где С — коэффициент Клебша — Гордана; s — полный спин системы:
ms — проекции спинов; Фъ Ф2 —спиновые волновые функции
частицы и античастицы.
62
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
Из свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана и
перестановочности функций Фь Ф2 следует, что при перестановке
спинов частиц Si^±s2, mS1 ^mSs у функции появляется множитель
( — l)s~Si—s% который с учетом равенства спинов частиц и анти-
частиц (si = s2) запишется так: ±(— I)5; верхний знак относится
к бозонам, а нижний — к фермионам, т. е.
Ф(хь slt Qu х2, s2, Q2) = ±(— 1)хФ(%1, Qu x2, slt Q2).
С учетом сказанного принцип Паули приводит к соотношению
(± 1) = тр ( — l)z[± ( — l)s]. Отсюда следует, что зарядовая чет-
ность i]c системы, состоящей из частицы и античастицы с произ-
вольным спином, равна
ilc = (-l)z+\	(2.13)
где s —полный спин системы. Например, зарядовая четность
позитрония, состоящего из электрона и позитрона, в основном
состоянии (1 = 0) с полным спином s = 0 (парапозитроний) поло-
жительна. Зарядовая четность л+л~ системы (s = 0) в р-состоянии
(/=,1) отрицательна.
Если имеется инвариантность относительно зарядового сопря-
жения, то зарядовая четность сохраняется, т. е. результирующая
зарядовая четность системы до и после реакции должна быть
одной и той же. Это приводит к определенным правилам отбора
для реакций.
Прежде чем приводить примеры правил отбора, выясним,
каковы зарядовые четности истинно нейтральных частиц. Мы уже
видели, что при зарядовом сопряжении волновая функция фотона
меняет знак, т. е. фотон имеет отрицательную зарядовую чет-
ность: Су = — 1.
Из того факта, что покоящийся (/ = 0) л°-мезон распадается
на два фотона л°->у-|-у и не распадается на три фотона л°ф>
-/►уфу-фу следует, что л°-мезон имеет положительную зарядовую
четность: Сф = -ф 1. По той же причине положительна зарядовая
четность у if-мезона: Сф=ф 1.
Покоящийся р0-мезон не распадается на if- и л°-мезоны:
роф^оф л° и распадается на л+- и л_-мезоны: р°->-л+фл-,
поэтому зарядовая четность р°-мезона, как следует из (2.13),
отрицательна: Ср»= — 1.
Известно, что покоящийся ю0-мезон не распадается на три
л°-мезона <о° ф- л° ф л° ф л° и распадается по схеме ©0 -► л+ ф
фл~фл°, причем система (л+-, л~)-мезонов образуется в анти-
симметричном состоянии. Оба эти факта указывают на то, что
(о°-мезон имеет отрицательную зарядовую четность: Сф = — 1.
Наконец, из существования распада (р°-мезона на Ki- и Kz-
мезоны (обладающие противоположной зарядовой четностью):
ср0ф/Сг следует, что зарядовая четность <р°-мезона отри-
цательна.
§ 3. Инвариантность относительно обращения времени
53
Приведем примеры некоторых правил отбора, обусловленных
тем, что существует инвариантность относительно зарядового
сопряжения, т. е. существует закон сохранения зарядовой
четности.
1.	Некоторые из распадов покоящихся (/ = 0) псевдоска-
лярных и векторных мезонов являются разрешенными, например
(оо->л°+т; <о°-> л° + + е_; р°-> л°-ф л°-ф у,
а некоторые —запрещенными, например
(оо->р^-|-у; i]°->л°4-л04-у; i]°-> л°-ф е+ф-ср0-► <о° + у.
2.	Согласно (2.13) находящийся в основном состоянии (/ = 0)
парапозитроний (s = 0) обладает положительной зарядовой чет-
ностью и может распадаться только на четное число фотонов,
а находящийся в том же состоянии ортопозитроний (s=l) обла-
дает отрицательной зарядовой четностью и может распадаться
только на нечетное число фотонов.
3.	Запрещены все процессы, в которых нечетное число фото-
нов превращается в четное (теорема Фарри).
§ 3. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАЩЕНИЯ ВРЕМЕНИ.
СРГ-ТЕОРЕМА
Преобразование физических величин. При физических исследо-
ваниях выбирают определенное направление течения времени:
из прошлого в будущее. Инвариантность физических законов
и соо.ветствующих им уравнений относительно обращения вре-
мени означает, что законы и уравнения не изменятся, если
изменить направление течения времени, т. е. сделать преобра-
зование хо-+хо= — х0. При этом пространственные координаты
остаются неизменными, х->х' = х. Образно говоря, инвариант-
ность относительно обращения времени означает следующее: если
кинофильм физических событий запустить в обратном направле-
нии, то наблюдаемая при этом картина описывается теми же
уравнениями движения, что и идущая в прямом направлении.
Определенную так операцию обращения времени обычно называют
слабым обращением времени (в отличие от сильного, обращения
времени, о котором мы скажем ниже).
При обращении времени физические величины преобразуются
следующим образом:
1)	компоненты трехмерного импульса р меняют знак р->р' =
dx
- — р, так как р — т-г-;
ах0
2)	энергия Частицы знака не меняет Е->Е' = Е, так как она
зависит от импульса р квадратично: £ = флр2+ т2;
54
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
3)	момент импульса, а также спин частицы изменяют знак:
М-> —М, o-i—о потому, что М = [хр].
Из перечисленных величин можно образовать комбинации,
которые при обращении времени меняют знак;
(о[Р1Р2]) -> - (о [pip2])
и не меняют его:
(<тр) -> (<тр).
Преобразование функций. Выясним, как преобразуются волно-
вые функции частиц при обращении времени. Для этого рассмот-
рим уравнение Шредингера для произвольной функции Ч*', описы-
вающей консервативную систему (гамильтониан Н не зависит от
времени)
1^=ДТ(/).	(3.1)
При обращении времени последнее переходит в
ДТ(-/).	(3.1')
Уравнения (3.1) и (3.1') не совпадают, поэтому Чг( —/) не явля-
ется «обращенным во времени» решением исходного уравнения.
Для нахождения этого решения рассмотрим уравнение, комплексно
сопряженное уравнению (З.Г)
гдЧГ^ = Д*Ф(-/).	(3.2)
Так как оператор Н эрмитов, то Д и Д* имеют одни и те же
собственные значения (но, вообще говоря, различные собствен-
ные функции), т. е. существует такой унитарный оператор V,
что ЙД*Ш1 = Д. С учетом этого соотношения уравнение (3.2)
перепишется в виде
1-^ф^ = ДУТ(-/),
т. е. ШТ (— /) является «обращенным во времени» решением, так
что 4f(/)->4fz(f)= W ( —/). Следовательно, оператор Т слабого
обращения времени представляет собою произведение унитар-
ного оператора V на оператор К комплексного сопряже-
ния: Т — VK.
§ 3. Инвариантность относительно обращения времени
55
Бозонные поля. Из сказанного следуют правила пресбра- •
зования бозонных полей при слабом обращении времени:
ср (х0, х) —> (хо, х) = трср(х0, х),
U (х0, x)->LK(x6, x) = T]zU(x0, х),
До(хо, х)->6»(хб, x) = i]zt/0(x0 х),	(3.3)
А(х0, х)->А'(хб, х)= — А(х0, х),
Ао (%о. х) !-> А!о (хб, х) = Ао (х01. х).
Аналогичным образом преобразуются компоненты векторов е и £.
Спинорное поле. Волновая функция спинорной частицы
при обращении времени преобразуется бэлее сложным образом
из-за ее матричного характера. При обращении времени волно-
вая функция спинорной частицы также переходит в эрмитово
сопряженную функцию ф+(х). Вместо последней обычно берут
функцию дираковски сопряженную ф (х) = ф' (х) у0. Однако только
преобразования, дираковского сопряжения в данном случае,
недостаточно. Действительно, заменив в уравнении Дирака
(IYo х) = 0 (3-4>
волновую функцию фг(х0, х)->ф_г( —х0, х), проекции спина
г-> — г (так как <r->crz= — о) и время х0-> —х0, получим урав-
нение Дирака, обращенное во времени,
ф_г (- XoL х) ( - iy0 Д - if + т) = 0.	(3.5)
Как видно, исходное и обращенное во времени уравнения Дирака
выглядят по-разному.
С другой стороны, если существует инвариантность относи-
тельно обращения времени, то спинорная частица и «обращенная
во времени» спинорная частица должна входить в теорию сим-
метрично, т. е. волновые функции частицы и «обращенной во
времени» частицы должны удовлетворять одному и тому же
уравнению Дирака. Чтобы этого добиться, подействуем допол-
нительно на функцию фг(х0, х) таким унитарным оператором
у0В, который приведет к обращенной во времени функции
фг (х0, х)->фг'(хб, х) = ТоВф-г( —Хо х),	(3.6)
удовлетворяющей тому же уравнению, что и функции фг(х0, х):
х) = 0- <3-7)
Для нахождения вида оператора В возьмем от обеих частей урав-
нения (3.5) транспонированное и умножим полученный' резуль-
56
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
тат слева на у0В:
- i ТоВТо'Ф- г(~х0, х) + упВ1ус £ ф! r (- х0, х) ф-
+ my0BtyLr{ — х0, х) = 0. (3.8)
Функция уоВф-Дх) будет удовлетворять уравнению (3.7), если
Ву1=у0В, Вут =уВ или Вт^ = у(1В.	(3.9)
Требуемым свойством обладает оператор В = '•'№71, причем
В-1В=1, В+=В~\ Вт = — В, В*——В. Формулу (3.6) можно
переписать так:
фл(х0, х)->ф!_г( — х0, х) = уоВуо$-г( — хо, х) =
= Вф_г( — х0, х). (3.10)
Проверим, что при таком преобразовании волновой.функции
меняют знак и проекции г спина спинорной частицы, как этого
требует преобразование обращения времени. Для этого надо пока-
зать, что соответствующие функциям фг (х0, х), а также функциям
у0Вф—г (— х0, х) или Вф^г( —х0, х) собственные значения опера-
тора Sz проекции спина частицы на ось z имеют противополож-
ные знаки, т. е. если
•$гфг (х) = гфг (х),	(3.11)
то
5г(Вфг(х)) = — г(Вфг(х)).	(3.12)
Оператор Sz проекции спина на ось г выглядит так (см. гл. 3,
§ 5):
=	(3.13)
причем Sz = Sz, SZ = SZ и
BS^B^^ = ^^LBz=_SzB.
Беря от выражения (3.11) комплексно сопряженное, найдем
В!фг (х) = 51фг (х) = гфг (х).
Умножая обе части этого равенства на В, получаем соотноше-
ние (3.12):
В5?фг (х) = — Sz (Btyr (х)) = г (В$г (х)).
Чтобы найти, как преобразуется «при обращении времени
сопряженный спинор ф (х0, х), возьмем от (3.10) эрмитово сопря-
§ 3. Инвариантность относительно обращения времени
57
женное и учтем, что В+ — В1:
ф+(*о, х) = ф7(— х0, х) В1.
Умножение на у0 дает соотношение
Ф+ (хо,. х)То = 4т(—*о, х)В ^о,
т. е.
ф.(х0, х)->[ф(х0, х)]/ = фт(— х0, xjB ^o-	(3-14)
Частицы со спином 3/2. Волновая функция ф^ (х, х)
частицы со спином 3/2 является одновременно и вектором (по
индексу р) и спинором (по индексу s). Поэтому функция ф* (х0, х)
при обращении времени преобразуется как вектор по индексу ц:
фЧх0, х) -> [ф5 (х0, X)]Z = Т]/фХ (х0, х),
^(*0, Х)-*[ф'(Хо, х)]' = 1)/ф® (Хо, X)
и как спинор — по индексу s:
Фи(х0, х) -> [фц (х0, x)]z = у0Вфц (— х0, х),
фц (хо, х) [фц (х0, х)]* = ф" (— хо, х) В^уо-
СРГ-теорема. Мы рассмотрели раздельно операции инверсии
пространства и обращения времени.
Можно ввести операцию Ps:
xg—>-x^ = Хр,		(3.15)
одновременно изменяющую направление пространственных осей
и времени. Операция Z?s получила название сильного отражения
пространства-времени. Оно содержит в себе не только инверсию
пространства и сбращение времени, но и преобразование заря-
дового сопряжения. Иначе говоря, ^-преобразование является
произведением ОРТ-преобразований: RS = CPT.
Если существует инвариантность относительно /^-преобразо-
ваний, то это означает, что имеется инвариантность относительно
произведения трех преобразований С, Р и Т, взятых в любом
порядке. Инвариантность относительно /^-преобразования полу-
чила название СРТ-теоремы.
Комбинацию сильного отражения пространства-времени Rs и
инверсии пространства Р называют сильным отражением вре-
мени Ts, т. е. TS = RSP.
Слабое обращение времени Т, о котором шла речь ранее,
связано с сильным обращением пространства-времени так: Т =
RsCP.
Слабое сбращение пространства-времени Rw представляет
собой комбинацию сильного обращения пространства-времени и
зарядового сопряжения: RW = RSC.
58
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства
Перечислим коротко основные следствия GPT-теоремы.
1.	Отсутствие какой-либо одной инвариантности влечет за
собой нарушение, по крайней мере, одной из двух других инва-
риантностей. Так, несохранение P-четности требует отсутствия
инвариантности либо относительно зарядового сопряжения С,
либо относительно обращения времени Т.
2.	Если существует инвариантность относительно произведе-
ния двух преобразований, то имеется инвариантность и относи-
тельно третьего преобразования. Например, из СР-инвариантности
следует Т-инвариантность и, обратно, из Р-инвариантности сле-
дует CP-инвариантность и т. д.
Так как Т-инвариантность полностью эквивалентна СР-инва-
риантности, то вместо комбинированной CP-четности можно гово-
рить о временной четности и вместо сохранения комбинирован-
ной четности — о сохранении временной четности.
3.	Массы частиц и античастиц равны.
4.	Полные времена жизни частиц и античастиц равны.
Два последних следствия подтверждаются опытом для всех
типов взаимодействий и это означает, что СРТ-теорема выпол-
няется.
Инвариантность относительно сильного отражения простран-
ства-времени. Мы уже установили, как преобразуются физические
величины и волновые функции при С-, Р- и Т- преобразованиях
порознь. Беря их произведение, получаем закон преобразования
величин и функций при сильном отражении пространства-вре-
мени. Естественно, тот же результат можно получить, используя
непосредственно уравнения для свободных частиц.
Операторы уравнений для скалярного, векторного и электро-
магнитного полей инвариантны относительно замены —хц,
поэтому волновые функции указанных полей преобразуются так:
ср(х)->срд (— х) = Т]«(Р(х),	.	(3.16)
Uи (х) -> U* (- х) =	(х),	(3.17)
4(х)->Л^(-х) = 1)я4(ф	(3.18)
Уравнение Дирака
' (iTn^-m)ip(x) = O	(3.19)
после /^-преобразования примет вид
(~ 1Т|^--т)/ЭД’(*) = О.	(3.20)
Чтобы это уравнение сводилось к (3.19), оператор Rs должен
удовлетворять условию
п-i I • д \ п . д
Rs \~R°=l^д^--т-
§ 3. Инвариантность относительно обращения времени	59
Таким свойством обладает оператор = где | тр? |2 = 1, так
как
. д \	. д
Следовательно, при сильном отражении пространства-времени
спинор ф(х) преобразуется следующим образом:
Ф (х) -> ф* (— х) = 1р?у6ф (х),	(3.21)
причем
Ф (х) -> фд (— х) = — г^ф (х) у5.	(3.22)
Произвольная билинейная комбинация спиноров, если учесть
(3.21) и (3.22), преобразуется так:
ф(х)Оф(х)-> — ф (х) у5Оу5ф (х).	(3.23)
Следствия Т-инвариантности. Остановимся на двух важных
следствиях, которые вытекают из инвариантности относительно
слабого обращения времени.
Связь дифференциальных сечений прямого и
обратного процессов. Рассмотрим процесс 1 ф-23-|-4.
Пусть дифференциальное сечение da (-»-) процесса 1ф-2->Зф-4
известно. Тогда, если падающие частицы не поляризованы, то,
используя инвариантность относительно слабого обращения вре-
мени, можно найти дифференциальное сечение do (-«-) обратной
реакции: 1 ф- 2 ч- 3 ф- 4.,
Рассмотрим задачу в системе центра масс. Пусть р, и —
относительные импульсы частицы в начальном и конечном состо-
янии и частицы поляризованы. Будем характеризовать спиновые
состояния частицы с помощью проекций спина s,-, sf. При обра-
щении времени [гр] ——[гр], т. е. проекции спина меняют'знак,
поэтому для дифференциальных сечений do имеем;
do(->-) = |-^|2-|<pf. sf 151Рь s<>l2.
dCTK-)=i^|2l<—Рь — S/|S|-P/, — s/)l2.
Если существует инвариантность относительно обращения вре-
мени, то do (->) = do (-«-). Другими словами, инвариантность
относительно обращения времени приводит к связи между сече-
ниями прямой реакции и такой обратной, в которой спины ори-
ентированы в противоположном направлении по отношению
к ориентации спинов прямой реакции. Это соотношение пред-
ставляет собой так называемую теорему взаимности.
Рассмотрим случай, когда частицы не поляризованы. Тогда
надо произвести суммирование по проекциям спинов в конечном
60
Глава 2. Дискретные инвариантные свойства.
состоянии и усреднение по проекциям спинов в начальном состо-
янии:
(->) =	(2S! + I) (2s2 + 1) s2 1<Р/> Sf I 5 I Pi» si)|2>	(3-24)
da iP/p (2s3+1)(2s4+1) 2 K—P'’~—s^I2- (3-25)
s., Sy
Вследствие инвариантности относительно обращения времени
имеем
2КР/,%1 S|p/>S,.>|^ = _SI<-Р/, -S/|S|-PZ, —SZ>|2.	(3.26)
Так как это выражение должно быть инвариантным, кроме того,
относительно поворотов в трехмерном пространстве, то оно зави-
сит лишь от скалярных произведений импульсов р®, р|, (ргР/);
поэтому наличие отрицательных знаков в правой части равен-
ства (3.26) несущественно и их можно опустить. Из-за того, что
суммирование производится по всем проекциям спина, знак про-
екции спина также несуществен. Поэтому вместо выражения (3.26)
получим
£|<р„ sf | 5|p1-,s/)|2 =	1<Р/. S/ISIP/, s/>|2,
т. е. множители, связанные с S-матрицей, одинаковы и поэтому
do (->) ____ I р/ Iй (2s3+1) (2s4+ 1)
- Пл? (2Sj+ 1) (2s2+ 1) •
Это соотношение называется принципом детального равновесия.
Соотношение (3.27) применимо и для реакций с участием фото-
нов. Только при этом надо иметь в виду, что у спина фотона
две проекции.
Используем соотношения (3.27). Рассмотрим процесс рассея-
ния протонов р с образованием дейтона d и мезона М со спи-
ном s: р-}-p^d-}-M. С помощью соотношения (3.27) найдем
связь между сечениями:
do (->)	3 I pf l2
^ = TbrF(2s+1)-	<3-28)
Множитель 3/4 появился из-за учета спинов частиц. Из фор-
мулы (3.28) видно, что для значений s = 0 и s=l отношения
сечений различаются в три раза. Это обстоятельство было исполь-
зовано при измерении величины спина л-мезона.
Наблюдать реакцию захвата фотона у нейтроном с образова-
нием протона р и л-мезона (у + и->р + л) трудно, так как ней-
тронных мишеней не существует. Однако можно изучать обрат-
§ 3. Инвариантность относительно обращения времени
61
ный процесс, а значение do (->) для прямого процесса определять
из соотношения
, , .	1	, ч IP/!2
<*о(-^) = -2 do(«-)|^.
Электрический дипольный момент частицы. Из
требования релятивистской инвариантности следует, что спинор-
ная частица может обладать собственным дипольным электри-
ческим моментом р.ео (см. формулу (1.3) гл. 4). Обусловленное
этим моментом взаимодействие частицы с электрическим
полем Е описывается выражением Ду = (сЕ). Это взаимодействие
меняет знак как при Р, так и при ^-преобразованиях, т. е. не
инвариантно относительно этих преобразований. Следовательно,
если имеется инвариантность относительно Р- и Т-преобразова-
ний, то собственный электрический дипольный момент частицы
должен равняться нулю.
Инвариантность относительно дискретных преобразований и
опыт. Требование инвариантности относительно каждого из рас-
смотренных дискретных преобразований ведет к определенным
следствиям, которые можно проверять на опыте. Так, из инва-
риантности относительно СРР-преобразований вытекает равенство
масс и полных времен жизни частиц и античастиц, из инвари-
антности относительно Т-преобразований —определенные соотно-
шения между сечениями прямых и обратных процессов, из
инвариантности относительно С-преобразований — отсутствие про-
цессов, запрещенных законом сохранения зарядовой четности,
равенство сечений зарядово сопряженных процессов, из инвари-
антности относительно Р- и Т-преобразований —отсутствие элек-
трического дипольного момента у частиц и т. д.
Для процессов, обусловленных сильным и электромагнитным
взаимодействиями, все следствия, вытекающие из инвариантности
относительно всех дискретных преобразований, подтверждаются
опытом. Это означает, что для процессов, обусловленных сильным
и электромагнитным взаимодействиями, существует инвариант-
ность относительно всех, дискретных преобразований.
Для процессов, обусловленных слабым взаимодействием, след-
ствия, вытекающие из требования инвариантности относительно
С-, Р- и CP-преобразований, на опыте не выполняются. Это
означает, что для процессов, обусловленных слабым взаимодей-
ствием, инвариантность относительно Р-, С-, СР-преобразований
отсутствует (подробнее об этом сказано в гл. 15).
Часть II
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЛЕПТОНОВ
Перейдем к рассмотрению электромагнитного взаимодействия
лептонов. Все реакции с участием лептонов и фотонов можно
разделить на две группы:
1)	процессы с участием только лептонов, например:
(рассеяние электрона на электроне),
рД + и*“*	(рассеяние ц-мезона на ц-мезоне),
р,~+е~-(рассеяние р-мезона электроном);
2)	процессы с участием лептонов и фотонов, например:
+ (упругое рассеяние фотона на электроне, или
Комптон-эффект на электроне),
е~ + Vi + у2 (аннигиляция электронно-позитронной пары
в два фотона),
е~ + я->я4-е_ + т (тормозное излучение электрона при рассе-
янии на ядре).
Первая группа процессов обусловлена электромагнитным и
слабым взаимодействиями. Однако вклад слабого взаимодействия
невелик и поэтому мы его учитывать не будем.
Константа электромагнитного взаимодействия мала
поэтому сначала для анализа применяется теория возмущений.
Лагранжев формализм изложен в гл. 3, а формулировка ковари-
антной теории возмущений и вычисление с ее помощью дифферент
циальных сечений в первом неисчезающем порядке теории возму-
щений — в гл. 4. Учет вклада высших порядков теории возмущений
и обсуждение возникающих при этом трудностей производится
в гл. 5. Затем (гл. 6) рассматривается метод функций Грина,
не использующий теории возмущений, и его применение к электро-
магнитным процессам. Наконец, в гл. 7 получен ряд общих
выражений, которые следуют непосредственно из аксиом квантовой
теории поля; найденные выражения будут использованы далее
(гл. 10, 17).
<5 I. Лагранжева форма уравнений поля
63
Глава 3
СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ. ЛАГРАНЖЕВ
ФОРМАЛИЗМ
§ 1. ЛАГРАНЖЕВА ФОРМА УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ
В гл. 1 приведены основные релятивистски ковариантные
уравнения полей. Теперь эти уравнения запишем в лагранжевой
(|юрме. Для этого сопоставим каждому уравнению поля свой
лагранжиан, подобранный так, что при варьировании действия
по полевым переменным щ (х) получается заданное уравнение поля.
Лагранжиан. Введем функцию X (х0, х), относящуюся к данной
четырехмерной точке поля, и назовем ее плотностью лагранжиана.
Тогда лагранжиан Л (х0) поля, заключенного в некотором трех-
мерном объеме V, запишется в виде интеграла
Л(х0) dxX (х0, х).
v
Произведем в последнем выражении еще интегрирование по вре-
мени. Интеграл от плотности лагранжиана X (х0, х) по некото-
рому объему Q четырехмерного пространства-времени называется
действием
А = dx dxoX (х0, х) = jj dxX (х).	(1.1)
о	о
Обычно X (х) называют просто лагранжианом.
Чтобы уравнения поля, получающиеся из действия, были
инвариантными относительно лоренцевых L, Р, С, Т и градиентных
преобразований, потребуем, чтобы действие А было инвариантным
относительно указанных преобразований. Поскольку элемент
четырехмерного объема dx — лоренцев инвариант, то из инвариан-
тности действия следует инвариантность лагранжиана.
Кроме того, лагранжиан X (л) должен быть вещественной функ-
цией (хотя сами функции поля могут быть комплексными). Это
требование вытекает из того, что динамические характеристики
поля (энергия, импульс и т. п.) выражаются линейно через
лагранжиан (как увидим далее), а они должны быть действитель-
ными числами. Чтобы лагранжиан был вещественным, будем
брать его в виде суммы X (х) ~[~Х* (х), где X* (х) — лагранжиан,
комплексно сопряженный X (х).
Наряду с этим на лагранжиан поля X (х) накладывается ряд
математических требований (имеющих, конечно, определенное
физическое содержание); а именно, лагранжиан выбирают так,
чтобы он:
64
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
а)	приводил к дифференциальным уравнениям для функций
поля щ (х) не выше второго порядка; поэтому он может зависеть
только от функции поля щ (х) и их производных ;
б)	приводил к линейным уравнениям для поля щ (х)\ поэтому
он может содержать комбинацию членов только квадратичных
относительно функций поля щ (х) и их производных —:
в)	описывал локальное взаимодействие, т. е. был функцией
четырехмерных координат одной точки и не содержал функций
и их производных, взятых в различных точках.
Кроме того, предполагается, что лагранжиан не зависит явно
от координаты х.
Таким образом, лагранжиан поля, описываемого многокомпо-
нентной функцией щ (х), запишется в виде
^(x)=^(W/(x), М).
(1.2)
Вариация функционала. С математической точки зрения дей-
ствие А является функционалом, в котором роль независимых
переменных играют функции поля щ(х) и их производные ди1^- 
Поэтому к действию можно применить методы вариационного
исчисления. Напомним коротко основные понятия вариационного
исчисления параллельно с аналогичными понятиями для функций.
Рассмотрим для простоты вещественное скалярное поле, опи-
сываемое одной вещественной функцией ф(х). Тогда лагранжиан
, .	„ <Эф (х)
зависит от <р (х) и ее производной & •
1. Переменная величина у
называется функцией перемен-
ной х: y=f(x), если каждому
значению х из некоторой обла-
сти изменения х соответствует
значение у, т. е. числу х соот-
ветствует число у.
2. Приращением Дх аргу-
мента функции f (х) называется
разность между двумя значе-
ниями переменной Дх = х2 —Xi.
Если х — независимое перемен-
ное, то дифференциал х совпа-
дает с приращением Дх:
dx — &х.
1. Переменная величина А
называется функционалом, зави-
сящим от функции ф (х): Л (ф (х)),
если каждой функции ф(х) из
некоторого класса функций соот-
ветствует значение А, т. е.
функции ф (х) соответствует
число А.
2. Приращением иди вариа-
цией аргумента бф(х) функци-
онала Л (ф (х)) называется раз-
ность между двумя функциями
бф = фг (х) — Ф1 (х). При этом
предполагается, что ф (х) ме-
няется произвольно в некотором
классе функций.
£ /. Лагранжева форма уравнений поля
65
3. Если приращение функции
kf — f (х + Дх) — f (х) может быть
представлено в виде Д/ =
А (х) Дх + Р (х, Дх) Дх, где А(х)
не зависит от Дх, а р (х, Дх) -> О
при Дх->0, то функция назы-
вается дифференцируемой, а
линейная по отношению к Дх
часть приращения А (х) Дх назы-
вается дифференциалом функ-
ции и обозначается df. Разделив
на Дх и переходя к пределу
при Дх->0, получим, что А =
= /'(х), следовательно, df =
= f' (х) Дх.
3. Если приращение функци-
онала ДЛ = А (<р (х) ф б<р (х)) —
— А (<р (х)) можно представить
в виде ДЛ = L (<р (х), 6q> (х)) 4-
4-Р(<р(х), бф (х)) max | бф (х)
где L (<р (х), б<р (х)) — линейный
по отношению к б<р (х) функци-
онал, max 1б<р (х) | — максималь-
ное значение 1б<р (х) | и Р‘(<р (х),
б<р (х)) -^0, когда max | б<р (х) I -+
—>0, то линейная по отноше-
нию к б<р (х) часть приращения
функционала, т. е. L (ср (х), бср (х))
называется вариацией функци-
онала и обозначается 6 Л (ср (х)) =
= L(<p(x), б<р(х)).
Итак, вариация функционала — это главная, линейная по отно-
шению к бср (х) часть приращения функционала. При исследова-
нии функционалов вариация играет такую же роль, какую играет
дифференциал при исследовании функций.
Можно дать и другое, эквивалентное определение дифферен-
циала функции и вариации функционала. Рассмотрим значение
функции /(х4-“Дх) при фиксированных х, Дх и изменяющихся
значениях параметра а. При а=1 найдем приращенное значение
функции /(х4-Дх), при а = 0 получим исходное значение функ-
ции f(x). Нетрудно проверить, что производная от /(хф-аДх)
но а при а = 0 равна дифференциалу функции f (х) в точке х.
Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции
~/(х4-аДх) |а-о = /:' (хф-аДх) Дх |а_0 = Г (х) Ax = df(x).
11 для функционалов вида Л (<р (х)) или более сложных можно
определить вариацию как производную рт функционала Л (ср (х) 4-
| абср (х)) по а при а = 0. Действительно, если функционал
имеет вариацию в смысле главной линейной части приращения,
то его приращение имеет вид
ДЛ = Л (tp (х) 4- абср (х)) — Л (<р (х)) = L (ср (х), абф (х)) 4- ₽ (ф (х),
абср (х)) | а | max | бср (х) |,
Производная от Л (ср 4-абср) по а при а = 0 равна
ДЛ .. ДЛ	.
lim == lim — —	*• v
а_оДа <х-0 «
. _ |im Чф(х), абф(х)) 4- Р (ф (X), <х5<р(х))|сс | max | 6<р(х)|
а-»0	«
= |jm Д(ф(х), абф(х)) [jm Р (ф (X). абф (X))1 а | max | 6<р (х)| _
а-»0 а	а —0	а
ад
= £(<р(л), 6ф(х)),
М

3 Нелина Н. Ф.
66
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
так как в силу линейности
L (<р (х), абф (х)) = aL (<р (х), бф (х)),
а
у Р (<Р (х), <х6<р (х)) | а | шах | 6<р (х)| _
а->0	“
= lim р (<р (х), абф (х)) max | бф (х)| = О,
а—» О
потому что Р(<р(х), абф(х))—>0 при а—>0.
Итак, если существует вариация в смысле главной линейной
части приращения функционала, то существует и вариация
в смысле производной по параметру при начальном значении
параметра, и сба эти определения эквивалентны.
4.	Дифференциал функции	4. Вариация функционала
f (х) равен	А (<р (х)) равна
df W=^7(*+aA*)la-°-	M(<pW)=^(tW+
+ абф (X)) 'а-о (1.3)
По определению, функционал А (<р (х)) достигает на кривой
Ф = Фо(х) максимума, если значения функционала А (ф (х)) на
любой близкой к ф = ф0(х) кривой не больше, чем А (фо (х)), т. е.
ДА = А (ф (х)) — А (фо (х))	0. Если ДЛ 0, причем ДЛ = 0 только
при ф(х) = ф0(х), то говорят, что на кривой ф (х) = ф0 (х), дости-
гается строгий максимум. Аналогично определяется кривая ф (х) =
= ф0(х), на которой реализуется
0 для всех кривых, близких к
 5. Если дифференцируемая
функция f (х) достигает макси-
мума или минимума во внутрен-
ней точке х = х0, то в этой
точке df (х) = 0.
минимум, в этом случае ал
кривой ф(х) = ф0(х).
5. Если функционал Л (ф(х)),
имеющий вариацию, достигает
максимума или минимума при
ф (X) = фо (Х), ТО При ф (X) = фо (х)
6Л (ф (х)) = 0.
Доказательство для функционалов производится так. При
фиксированных ф0 (х) и бф (х) функция Ф (а) = Л (ф0 (х) + абф (х))
является функцией а, которая при а = 0, по предположению,
достигает максимума и минимума, следовательно, производная
ф'(0) = 0 или Л (фо(х) + абф (х))|а-о = 0, т. е. 6Л=О.
Таким образом, на кривых, на которых достигается экстремум
функционала, его вариация равна нулю.
Вариация действия; уравнения поля. Для получения уравне-
ний поля используем принцип наименьшего действия. Этот прин-
цип заключается в том, что для действительного движения дей-
ствие (1.1) имеет минимум и, следовательно, вариация действия
6Л равна нулю. Другими словами, для получения уравнений
§ 1. Лагранжева форма уравнений поля
67
поля надо найти вариацию действия А и положить ее равной
нулю. При этом на функции поля налагаются фиксированные
граничные условия, ото означает, что на границе варьируемые
функции должны принимать одно и то же значение, т. е. вари-
ация функции поля 6<р (х) на границе обращается в нуль.
Найдем вариацию действия (1.1). Если рассматривать значе-
ния функционала
Л(ф(х)) = \dxX((f)(x), <р'(х)), ф'(х) = -^-
12
только на функциях ф = ф(х, а), то функционал Л(ф(х)) пре-
вращается в функцию а: Л(ф(х, а)) = Ё(а), так как значение
параметра а определяет ф = ф (х, а) и тем самым определяет и
значение функционала Л (ф (х, а)). Функция F (а) достигает своего
экстремума при а = 0, так как при а = 0 получаем ф = ф(х), и
функционал, по предположению, достигает экстремума по срав-
нению с любой близкой допустимой функцией ф(х, а). Необхо-
димым условием экстремума функции F (а) при а = 0 является
обращение в нуль ее производной при а = 0. Так как
F(a)= ^dx£((p(x, а), ф' (х, а)),
я
то производная
Р' — V 4,-Г д% d<p (х, а) , дх а/(х, а)]
г	|_дф(х) ба	да ]‘
12
С учетом соотношений
^ф(х, а) = -^-[ф(х)+абф(х)] = 6ф(х),
). ф' (х, °0 =	[<₽' (х) +а6ф' (х)] = 6ф' (х),
получим
F’ (а)= §	^(4>(х, а), ф' (х, а))6ф(х)ф-
+	45	аУ>йср' м] •
Отсюда следует согласно (1.3) выражение для вариации дей-
ствия (1.1):
F' (0) = 6Л (ф (х)) = 6 dx=5f (ф (х), ф'(х)) =
12
= dxSJf (ф(х), ф'(х))= ^х[^бф+^бф']. (1.4)
Q	12
3*
68
Глава 3, Свободные поля. Лагранжев формализм
Учитывая перестановочность операций варьирования и диффе-
ренцирования, т. е. 6	~	(^Ф)> проинтегрируем второй
член по частям
Я	я
Последний интеграл по четырехмерному объему Q согласно тео-
реме Гаусса — Остроградского заменим интегралом по трехмер-
ной поверхности £, ограничивающей объем й:
$	= S ^х-^-бфп(х).
Я	2
Здесь У, — поверхность объема Q, п — четырехмерный вектор,
направленный по внешней нормали к этой поверхности. Вариа-
ция функций поля на границе объема равна нулю, поэтому
интеграл на поверхности £ исчезает, т. е. последнее слагаемое
в (1.4') обращается в нуль и вариация действия (1.4) в рассмат-
риваемом случае окончательно запишется так:
dx
дХ	д дХ ~
д<р	дх 0 дф
дх
бф.
Согласно^ принципу наименьшего действия уравнения поля опре-
деляются условием
бл=S
я
_ А эх -
д<р дх йф
дх
бф = О.
(1.5)
Так как в (1.5) вариация бф внутри объема и объем интегриро-
вания произвольны, а также отличны от нуля,-то условие 6Л = О
будет выполнено лишь тогда, когда
дХ	д дХ _ Q
дф	дх & дц>
дх
(1-6)
Это и есть уравнение в лагранжевой форме для вещественного
скалярного поля ф (х). Как уже говорилось, это поле описы-
вается уравнением (2.2) гл. 1. Чтобы получить эти уравнения
с помощью (1.6), выберем лагранжиан X (х) в виде (инвариант-
ном относительно L, Р, С, Т и градиентные преобразований):

(1.7)
§ 1. Лагранжева форма уравнений поля
69
Действительно,
дХ 2 дХ
-д^==-^(₽’ уЭф=^’
дх
(1.8)
Подставляя последние соотношения в (1.6), приходим к уравне-
нию (2.2) гл. I. —
Если поле описывается несколькими волновыми функциями
ut (х), то лагранжиан будет зависеть от каждой из этих функ-
ций и их производных, и каждая функция подчиняется уравнению
(1.6):
дХ д
ди, дх д дщ
дх
(1.9)
Комплексное скалярное поле характеризуется двумя незави-
*
симыми функциями <р(х) и <р(х), которые удовлетворяют урав-
нениям (2.4) и (2.5) гл. 1. Выберем лагранжиан’ этого поля
в виде (инвариантном относительно L, Р, С, Т и градиентных
преобразований)
*
* —(1-10)
дХ 2	Эф
дф	д-Х
дх
Тогда из (1,9) следуют уравнения (2.4), (2.5) гл. 1. Действительно,
<Эф Е Т, дф дх ’
дх
Подставляя последние соотношения в уравнения поля (1.9), кото
рые в данном случае запишутся в виде
, дХ д дХ _ дХ д дХ __0
'	дх	’ дф дх ,дф
дх	д~~
Як
придем к уравнениям (2.4), (2.5) гл. 1.
Таким образом, уравнения для функций поля можно полу-
чить, если задать соответствующий лагранжиан поля.
Заметим, что лагранжиан поля определяется неоднозначно.
Это объясняется тем, что принцип наименьшего действия форму-
лируется в интегральном виде, а уравнения движения полу-
чаются в дифференциальной форме.
Добавление четырехмерной дивергенции к плотности лагран-
жиана! не меняет уравнений движения. Действительно, рассмот-
рим вместо X лагранжиан
5?,=^+^/(4’W)»
70
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
где f (<р (х)) — 4-векторная функция переменных поля. Член
(х)) в интеграле действия может быть преобразован по
теореме Гаусса— Остроградского в интеграл по поверхности 21.
поэтому его вариация тождественно равна нулю. Если f(x) зави-
д , »
сит от производных -^-<р(х), то сказанное остается справедливым
при условии, что X' не зависит от вторых производных. Физи-
ческое содержание лагранжианов X и X', конечно, одинаково,
однако соответствующий им математический формализм будет
различным.
§ 2.	СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ
Инвариантность действия и сохраняющиеся величины. Рас-
сматриваемые лагранжианы и соответствующие им действия инва-
риантны относительно ряда непрерывных преобразований коор-
динат и фуйкций поля. В частности, к таким преобразованиям
относятся:
1)	четырехмерный сдвиг (трансляция) координат
Хц-> Хц = xh + Цн	(2.1)
2)	вращения в четырехмерном пространстве
Хц г-*- Хц = fl|lvXv,	(2.2)
3)	калибровочные преобразования функций поля
# * * “*
щ -> и- = uteia, ui-^-u't=uler~ia.	(2.3)
Назовем сохраняющейся ве-личиной такую комбинацию функ-
ций поля и их производных, которая не зависит от времени.
Покажем, что инвариантности действия относительно данного
непрерывного преобразования соответствует определенная сохра-
няющаяся величина (теорема Нетер). Идея доказательства тео-
ремы сводится к следующему.
Инвариантность действия относительно какого-либо преобра-
зования означает, что
р , ! , ди'- (х') \ р / ди. (х) \
\dxX[ui(x'), —ч-;—) — \ dx X [щ(х), —з—) = 0,	(2.4)
j	\	С/Х I	1	\	ОХ /
Q'	Q
где Q и й' — начальная и преобразованная области интегриро-
вания.
В случае непрерывных преобразований удобнее рассматри-
вать вместо конечных бесконечно малые преобразования коорди-
§ 2. Сохраняющиеся величины	71
нат хц и функций щ(х)-.
х^ = хи + бхц,-	(2.5)
и, (х) -► и- (х') = и, (х) +	(х).	(2.6)
Тогда из (2.4) и определения вариации функционала следует^
что инвариантность относительно непрерывного преобразования
означает обращение в нуль вариации действия
$ dx’ X (х) 4- б«, (х),	4-6^-) -
- J dx^(u,(x), ^1) = бЛ=О. (2.7)
о .
Другими словами, для определения сохраняющейся величины
поля надо вычислить вариацию действия 6А, обусловленную
бесконечно малыми преобразованиями координат и функций
поля, и положить ее равной нулю. Аналогичную задачу мы
решали при выводе уравнений поля (1.6). Однако при выводе
уравнений поля координаты были фиксированными и варьирова-
лись лишь функции поля. При нахождении'же сохраняющихся
величин изменяются как координаты, так и функции поля, поэтому
в (2.7) надо производить варьирование как по координатам, так
и по функциям поля, т. е. вариация‘(2.7) слагается из вариации
лагранжиана и вариации области интегрирования,
б А = J dx 8Х 4-	(dx).	(2.8)
Q	£2-
Бесконечно малые преобразования. Прежде чем находить
вариацию (2.8), рассмотрим подробнее соотношения (2.5) и (2.6)
для конкретных случаев (2.1) —(2.3). Бесконечно малое преоб-
разование координат бхц в (2.5) можно представить в виде
бх(1 = Xgv 6cov,	(2.9)
где Х^ — матрица преобразования координат-, б со v — бесконечно
.лалые параметры преобразования. Например, в случае трансля-
ций (2.1) в качестве малых параметров преобразования можно
выбрать сами величины смещения 6cov ->• 8av = 6xv, т. е. бхц =
X|iv6xv. Отсюда следует, что матрица преобразования коорди-
нат равна
Xuv = ^v.	(2.10)
В случае вращения на конечный угол, которое определяется
формулой (2.2), коэффициенты преобразования czuv удовлетво-
ряют условию (3.25) гл. 1. Последнее при вращении на беско-
нечно малый угол в соответствии с (2.5) перейдет в формулу
(1 4"®nv) (1 4-®nv)T= Ь Отсюда, если ограничиться величинами


72	Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
первого порядка малости, имеем
®HV = —®nv или <oUy= —<ovg,	,	(2.10')
т. е. матрица <о|П, антисимметрична. Вследствие этого вращение
характеризуется шестью независимыми параметрами при-
чем p<v. Индексы ц и v обозначают плоскость, в которой
происходит вращение, т. е. в данном случае нижний индекс v
в формуле (2.9) распадается на два v->po. Следовательно,
согласно (2.9) будем иметь
бХц = У 6tOv — У* -^ulpa] ^®[pa] 
P<o
С другой стороны, из формулы (3.24) гл. 1 следует, что для
бесконечно малых преобразований
< = аиаха = У, (1 + Ха = Хц 4- бхц.
а
Приравнивая значения бхи в двух последних выражениях и исполь-
зуя затем антисимметричность <oMV, получаем
• _____________________
У -Хц[ро] б<О[ра] — У ха б*Эца = У ха	==
а	а, р
= У ха ^Ирабрр + У -^а 6tt>pagpp. — У бсоар (^абрц -^рёац).
а<Р	а>Р	а<Р
Отсюда вытекает, что матрица преобразования координат равна
^ц[ра]= gpnxa ёвцхр< (Р<°)-	(2.Н)
В случае калибровочных преобразований (2.3) координаты
остаются без изменения, т. е. 6x^ = 0 и из (2.9) следует, что
Xuv = 0.	(2.12)
Бесконечно малое преобразование волновых функций записы-
-вается в форме
= 7^6(0/,	(2.13)
где Уц — матрица преобразования функций.	»
Для бесконечно малых вращений компонент волновых функ-
ций имеем
= У (1 + Apa] «[pa] И/ (х) = Щ (х) +	i
/
4* У A/; [pa]U/<O[pa] — Ui (X) -|- 8U[ (х),
/
где Д1л, — матрица бесконечно малых поворотов в пространстве
i	волновых функций. Отсюда получаем, что в случае вращений
<У 2. Сохраняющиеся величины	73
матрица преобразований функций
У i [ро] = У1, Ац; [ро]Ы/.	(2.14)
I
Конкретный вид матрицы Ац- [рО] определяется поведением функ-
ции поля при преобр'азованиях Лоренца. Например, скалярное
поле при преобразованиях Лоренца остается неизменным, поэтому
ДЛЯ НеГО А7;[ро]== 0.
При трансляциях функции поля не меняются: u't (х') = щ (х),
поэтому их вариация равна нулю
6иг(х) = 0,	(2.15)
а следовательно, обращается в нуль и матрица Уг/, входящая
в (2.13):
Kf/ = 0.	(2.16)
Бесконечно малые (а-э-0) калибровочные преобразования
согласно (2.3) запишутся так (г —заряд частицы):
«/ (*') = (1 + iaz) ui (х) = ui (х) 4- iazui (х),
Я:	Я:	Яг	Яг
u'i (х') = (1 — iaz) (х) = щ (х) — iazut (х),
т. е. вариация функций равна
биг (х) = ui (х') — Ui (х) — iazui (х), биг (х) = — iazui (х).	(2.18)
Следовательно, согласно (2.13) в случае калибровочных преоб-
разований матрица бесконечно малых преобразований функций
поля имеет вид
Yi — izui(x), Yi = — izui(x).	(2.19)
В общем случае вариацию функции поля 8и{ (х) можно предста-
вить так
8щ (х) = 8щ (х') 4- fiui (х),	(2.20)
т. е. в виде суммы вариации би,- (х'), обусловленной изменением
формы функции (при одном и том же значении аргумента)
8ut (xr) = ui (х') — щ (х')	(2.21)
н вариации биг(х), обусловленной изменением аргумента (одной
и той же функции)
6ui (х) = Ui (х') — Ui (х).	*	(2.22)
Отсюда удерживая только члены первого порядка малости, найдем
8и, (х) = щ (х) 4-6хи- щ (х) =	бхц.	(2.23)
74
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
В том же приближении би, (х') = 8ui (х-|-6х)	(х), и поэтому
из (2.20) получим выражение для вариации формы функции
поля 6u/(x) = 6u,(x) —би,(х), которое после подстановки (2.13),
(2.23) и (2.9) выразится через матрицы X и У:
6uf (х) = [—g- Xva] 6toa.	(2.24)
Эта формула нам понадобится в дальнейшем.
Вариация действия; законы сохранения. Переходим к вычис-
лению вариации действия (2.8). По аналогии с (2.20) полную
вариацию лагранжиана, входящую в первый интеграл (2.8),
представим в виде суммы вариации формы ЪХ и вариации
обусловленной преобразованием координат
6J? = \Х' (х’) - X (x')J + [X (х') - X (х)] = 6^4-7^.	(2.25)
При этом 6Х определяется из выражения (1.4)
6Х =	4----б f,	(2.26)
дщ ‘ ' .Л диЛ \ дх ]’	'	'
\ дх )
а
3^ = ^(uz(x4-6x), ?М;+М)-^(иг(х),
= X (X4- бх) - X (х) =	бх. (2.27)
Чтобы найти вариацию области интегрирования, преобразуем
область интегрирования Q' к области Q, т. е. перейдем от dx'
к dx. Эти величины связаны так:
где
dx’ =
I дх»
I dxv
он равен
dxv
dxv
дх»
dxv
dx,
(2.28)
— определитель
с учетом (2.5)
якобиана преобразования координат;
дх', дх,
дх, дх2
дх2 дх2
дх, дх2
дбх,
дх,
дбх2
дх.
ддх,
дх2
ддх2
дх2
= 1 4-бхц. (2.29)
*> Соотношение 6 ^-£^0 =(6«/)-имеет место только для вариации
формы функции 8uj, а не для полной вариации функции 5и; = 6н< |- би/.
$ 2. Сохраняющиеся величины
75
Подстановка (2.29) в (2.28) дает
dx' = (l+-^-)dx.	(2.30)
или для вариации области интегрирования
б (dx) = dxr — dx = -я 11 dx.	(2.31)
oxll
Подставляя (2.25), (2.26), (2.27), (2.31) в (2.8), находим вариа-
цию действия
6Л= dx\^-8ul + -^-y8 (^L\ + ^-6x+x4-(6x)\ (2.32)
J I иЩ	a дщ \	\ dx J ' OX 1 dx v 1J v '
или после интегрирования второго слагаемого по частям согласно
формуле (1.4') и объединения слагаемых, стоящих под знаком
производной
М= )
dx^
дщ дх
д д%
д(%
6u/4-
\ dx-P дх
J дх
о
би/4-^бх . (2.33)
д
Существенным при получении выражения для сохраняющихся
величин является использование уравнений для функций поля
(1.9). С учетом соотношений (2.24), (2.33), (1.9), (2.9) и (2.13)
условие (2.7) инвариантности действия относительно заданного
бесконечно малого пресбразования запишется в виде
с	д0.,„ „
6Л = — \ dx—5— бсоа — 0,
.) дх
£2
где
Оца
дX Г дщ v v 1 v
(дщу va у‘а\~Лл*а
(2.34)
(2.35)
Так как под интегралом в (2.34) параметры пресбразования и
объем интегрирования произвольны и отличны от нуля, то усло-
вие (2.34) будет выполнено лишь тогда, когда
^ = 0.	(2.36)
Это — дифференциальная форма закона сохранения.
Для того чтобы записать закон сохранения в эквивалентной
интегральной форме, выделим в (2.36) временную и простран-
ственную части и затем произведем интегрирование по трехмер-
76
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
ному пространству:
-4-Л dx0o<x4- йхЛ-0Аа = О.
UXq J	J (zA£
(2.37)
Второй интеграл этого равенства с помощью теоремы Гаусса —
Остроградского преобразуем в интеграл по поверхности. Так как
функции поля на бесконечности исчезают, то этот интеграл обра-
щается в нуль; поэтому закон сохранения в интегральной форме
запишется так:
-£ J dx0Oa = 0.	(2.38)
Величина Jdx0Oa является сохраняющейся. Как видно, она
представляет собой интеграл функции 0Оа по трехмерному объему.
Таким образом, непрерывному преобразованию, относительно
которого действие инварианто, соответствует определенная со-
храняющаяся величина.	,
Сохранение энергии-импульса. Выясним, к какой сохраняю-
щейся величине приводит инвариантность действия относи-
тельно четырехмерных трансляций (2.1). В этом случае, если
учесть (2.10) и (2.16), формула (2.35) принимает вид
<2-39’
Эта величина преобразуется как тензор второго ранга и назы-
вается тензором энергии-импульса. Такое название объясняется •
тем, что соответствующая ему согласно (2.38) сохраняющаяся
величина является четырехмерным вектором энергии-импульса'.
P^ = \dxT^.	(2.40)
Временная компонента этого вектора Ро представляет собой энер-
гию поля, а пространственная Pk — три компоненты импульса
поля. При этом согласно (2.39) плотность энергии поля, или
плотность гамильтониана <3^, имеет вид
^Г = 7’оо = -^-^-^.	’ (2.41)
дх0
Следовательно, инвариантности лагранжиана относительно четы-
рехмерных трансляций (2.1) соответствует закон сохранения век-
тора энергии-импульса. Например, для действительного скаляр-
ного поля, определяемого лагранжианом (1.7), тензор энергии-
импульса согласно (2.39) запишется в виде
(2-«)
$ 2. Сохраняющиеся величины
77
Из (2.40), (1.7) и (2.42) следуют выражения для энергии и трех-
мерного импульса действительного скалярного поля:
Ро — dx Тоо — 2"
dxTOk =
L и _ J
(k=l, 2, 3).
дх0 dxk '	’	'
(2.43)
(2.44)
Аналогичным образом, для комплексного скалярного поля, учи1-
тывая (1.10),* будем иметь
гр ___ т	I ^У ^У_____Qp
dxv дх^ "т" дх^ dxv
р0=
L и
Р=
J \ дх0 дх 1 дх дх0)
(2.45)
(2.46)
(2.47)
Сохранение момента. Найдем сохраняющуюся величину, соот-
ветствующую инвариантности действия ^относительно враще-
ний координат (2.2). Подставляя (2.11) и (2.14) в (2.35), полу-
чаем тензор энергии-импульса
Мц [ро] —
дХ дщ у
д1диЛ дхр
. \dxj
_ Г д-% dui
д (^Р\ дх°
-
или с учетом (2.39)
А1 р. [ро]=ТррХа — Т
дХ
И/[ро].
дХ
[ра]»
(2.48)
(2.49)

В соответствии с (2.38) сохраняющейся величиной в данном
случае будет антисимметричный тензор второго ранга
А1[ро] — dxMo [ро]—
dx (Т'дрХо ^оо-^р)
дХ
^i[pa] »
(2.50)
который, если принять во внимание формулу (2.40) и ввести
обозначение для плотности импульса Рц(х) = 7’о1г(х), перепишется
так:
М[ро] =
dx (ррха - роЛр) -
дХ
[ро]
(2.51)
78
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
Зта величина представляет собой полный момент импульса. Сле-
довательно, инвариантность действия относительно вращений про-
странственных координат приводит к закону сохранения полного
момента импульса.
Подчеркнем, что полный момент импульса состоит из двух
слагаемых, различных по своему характеру. Первое из них
зависит от координат и потому является орбитальным моментом
импульса поля. В противоположность этому второе слагаемое
в выражении (2.51) не зависит от координат, оно определяется
законом пресбразования функций, т. е. связано с внутренними
свойствами поля, поэтому его называют собственным моментом
импульса поля, или спиновым моментом поля.
Так как для скалярного поля (действительного и комплекс-
ного) матрица Y = 0 (скалярные функции не изменяются при
вращениях), то спиновый момент скалярного поля равен нулю,
т. е. скалярное поле описывает бесспиновые частицы.
Орбитальный же момент действительного скалярного поля,
описываемого лагранжианом (1.7), определяется согласно (2.51)
так:
М[Ра] = § dx	ха - хр ) - X (gOp - gooXp)}- (2.52)
Аналогичным образом, учитывая (1.10), будем иметь для ком-
плексного скалярного поля
Л^[ра] = § dx {[^ "Хр — Хр ) +
'	—	(£°РХ° ~ £оа*р)} •	(2 •53)
Подчеркнем, что величина 0gv (2.35) определена неодно-
значно: если к ней добавить полную дивергенцию от произ-
вольного антисимметричного по. двум индексам р, р. тензора
fa IPP] — fa [цр]»
®ца = ®ра4~^г/аГри]»	(2.54)
то условие сохранения (2.36) останется без изменений и, следо-
вательно, останутся неизменными сохраняющиеся интегралы
(2.38). Действительно,
д йв..а д2	дв.и,
йХр	дхр дхр дхр 'а	дХу ’
д2
потому что d^-g^-/cc[pU|== 0 (как произведение симметричного
тензора на антисимметричный). Отсюда, в частности, следует,
что тензор энергии-импульса (2.39) также определен с точностью
$ 2. Сохраняющиеся величины
79
до дивергенции от произвольного тензора fp[pv], т. е. тензор
Tvv и тензор
7^=7^ + ^	(2.55)
удовлетворяют условикГ сохранения (2.36), приводят к одним
и тем же сохраняющимся величинам (2.38). Эту неоднозначность
можно использовать для переопределения тензора-энергии
импульса.
Условие сохранения орбитального момента. Рассмотрим тензор
орбитального момента импульса Л4Р[РО], условие сохранения
которого имеет вид
^МД[ра] = 0.	(2.56)
Выясним, какое требование налагает это условие на тензор
эгергии-импульса TpV.-Подставляя в формулу (2.56) входящее
в тензор (2.49) выражение для Mplpaj
|ро] = ТppXa ТцаХр,
найдем
(Т'црХр 7'рахр) —
, Т'цр I Хр Тpagpg — О-
ц /
Так как
— Т =—Т =0
ЙХр 1 W дХр1 на
то,условие (2.56) выполняется, если 7,ра = 7,ар, т. е. если тензор
Tliv симметричен. И обратно, если TpV — симметричен, то сразу
получаем условие (2.56):
1 Мр [pa] — Qx (ТррХр ТррХр) — Тор Тра — 0.
Итак, для сохранения тензора орбитального момента Mp[paj
необходимо и достаточно, чтобы был симметричным тензор энер-
гии-импульса.
Тензоры энергии-импульса (2.42) и (2.45) вещественного
п комплексного скалярного полей симметричны. Иногда лагран-
жиан может приводить к несимметричному тензору энергии-
импульса TpV. В этом случае Ttlv надо симметризовать.
Пусть тензор TpV несимметричен. Пользуясь тем, что он
определен неоднозначно, выберем его в' виде (2.55). Выясним,
нельзя ли подобрать функции /p[pvj так, чтобы переопределен-
80
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
ный тензор Т'^ (2.55) был симметричным, т. е. чтобы
Тщ — Т^у, 4- g^- f [ц%] v = 7\.р 4* g^- f [Vx] ц = 7\,p-	(2.57)
По определению
Л4р Ip°] ~ Tup xo TpoXp — TцрХа	Tp.pXp 4~
+ [uZ] p) x° ~ {fdxf f °) xp (2.58)
и если Tpp симметричен, то Л4р[ра] удовлетворяет условию
^^[Ра] = 0.	(2.59)
Такому же условию, вследствие (2.36), удовлетворяет тензор
полного момента импульса (2.49)
g^r Мр, [ро] — g^- [ТррАчг WP 4- Хц [ро]] — 0.
(2.60)
Из (2.59) и (2.60) вытекает, что тензоры М и М° либо в точ-
ности совпадают друг с другом, либо отличаются на величину
д г,
^ZruMlpa], Т. е.
Л4р[ра] = Л4И[рО]4-g^Aiajipo]-	(2.61)
Сравнение (2.58) и (2.50) с учетом (2.61) дает
f ЩМ р) хо ~	f [рЛ] о) Хр — Хц [ рО] 4*	f [рХ] [ро]
или
(f[pa) p~~f[цр] a) —	(f[рХ] рха ~ f[рХ] аХр) =
= 5р[ро] 4- f'ltfXl [ро].	(2.62)
Так как тензор /[р?.][Ро] произволен, то выберем его в виде
Г In?-] [ро] = — (/[цЛ.]р*о — F[pX]oXp).	(2.63)
Тогда из (2.62) вытекает условие симметрии тензора TpV:
^f[jio]p — f[pp]o — Хр[Ро],	(2.64)
которое связывает тензор f[pa]P, обеспечивающий симметричность
тензора Т', с тензором плотности спинового момента Xp[Poj.
Наоборот, если условие (2.64) выполняется, то подставляя его
в (2.50), а полученный результат —в (2.59), приходим к соот-
' ношению (2.57), указывающему на симметрию тензора 7pV. Сле-
довательно, соотношение (2.64) является необходимым и доста-
точным условием того, что тензор Tpv симметричен.
$ 2. Сохраняющиеся величины
81
Сохранение тока. Для того чтобы найти сохраняющуюся
величину, соответствующую инвариантности действия относи-
тельно калибровочных преобразований (2.3), подставим (2.12)
и (2.19) в (2.35). Это приводит к четырехмерному вектору
. / дХ * ЭХ \	,Q ксх
/|Л —	U-i\’	(2.65)
[..{диД	-JduA
' \dxj	\dxj /
Этот вектор согласно (2.36) подчиняется уравнению непрерыв-
ности
^ = 0	(2.66)
Q — \ dx jo (х) = iz \ dx
п потому отождествляется с четырехмерным вектором тока.
Пространственный интеграл от его временной компоненты
' дХ * дХ >
д№1\
' \дха] \дх0/	.
(2.67)
в соответствии с (2.38), не зависящий от времени, отождест-
вляется с зарядом поля.
*
Заметим, что для вещественных полей (щ (х) = и, (х)) вектор
тока обращается в нуль, т е. заряженные частицы удобно опи-
сывать комплексными полями. Так, вектор тока комплексного
скалярного поля, описываемого лагранжианом (1.10), имеет вид
—ie
dxtl'J
(2.68)
при этом заряд поля
*
(2.69)
Следовательно, инвариантности действия относительно калиб-
ровочных преобразований соответствует закон Сохранения четы-
рехмерного тока.
Импульсное представление. Выше найдены выражения для
сохраняющихся величин в координатном представлении. При
квантовании полей (см. § 3) удобно пользоваться импульсным
представлением. Поэтому перепишем сохраняющиеся величины
в импульсном представлении. Переход от координатного пред-
ставления к импульсному совершается с помощью преобразова-
ния Фурье.
Рассмотрим для примера вещественное скалярное поле. Раз-
ложение Фурье функции <р(х) выглядит так:
‘I’ (%о> х) = TrW	Т7к= Ф (%о> 9) e'i4X-	(2.70)
(2n)'vz J у 2<?0
82
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
Множитель обусловлен нашей нормировкой волновых функ-
у 2<7о
ций бозонов —см. (2.30) гл. 1. Между функциями ф(х0, х)
и ф(х0, Ч) имеется взаимно однозначное соответствие: функция
ф(х0, Ч) полностью определяет функцию ф(х0, х), и наоборот.
Функция ф (х0, х) дает описание поля в координатном представ-
лении, а функция ф(х0, Ч) — описание той же системы в импульс-
ном представлении.
Подставляя (2.70) в уравнение (2.2) гл. 1, найдем уравнение
для функции ф(х0, Ч). зависящей от времени,
д2(Рд^' q)+(42 + H2)<PUo, Ч) = 0.	(2.71)
Это уравнение имеет два решения, соответствующих положи-
тельной и отрицательной энергиям (^0 = ± Кч2 +1*2)- Общее ре-
шение (2.71) запишется в виде суммы этих решений:
Ф (х0, ч) — ф(+) (— Ч)	+ ф(_) (Ч)	(2.72)
Подстановка (2.72) в (2.70) дает для функции
ф (х) = фи) (х) + Ф(ч (х),	(2.73)
где
у= 4>н| (Ч) «*“•	(2.74)
Ч>Н«—ЙЗЙ	(2-75)
Функции ф(+) (х) и ф(_) (х) называют положительно-частотной
и отрицательно-частотной частями функции ф(х). Эти функции
отличаются знаком произведения qoxo.
Вещественность функции поля ф(х), т. е. равенство ф(х) =
*
— <р(х), ведет к определенной связи между функциями <р(+) (q)
и ф(_) (ч). Действительно, беря комплексно сопряженное (2.73)
*	1 г* 1
'<'W=-(-SpF	U,,4»-«-" +
,Z76)-
и приравнивая его (2.73), имеем
(Ф1+,(Ч))* = ^-)(Ч).	(2.77)
Таким образом, вещественное скалярное поле характеризуется
одной комплексной функцией: либо ф1+) (Ч)> либо Ф('*(Ч)- При
этом правила комплексного сопряжения для функций ф1+’ (ч)
и ф(_) (ч) определяются формулой (2,77).
$ 2. Сохраняющиеся величины
83
С помощью разложения (2.73) сохраняющиеся величины поля
можно выразить через функции ф(+) (q), ф(_) (q), т. е. найти их
вид в импульсном представлении. Чтобы это сделать для энер-
гии поля, подставим (2.73) в (2.43) и проинтегрируем по х:
Ро = £ dx700 = 4 £
J 2 J d**1 ^X>i ^X>1 dX>i ^X>i
4- |i2 (ф(+)ф(+) _|_ 2<pW<f)(_) -J- ф(_)ф(_))>.
Вычислим, например, такое слагаемое под интегралом:
(x ГУ 4-|i2<p(+)<p(+)
дхр дХц r r
в
dq dq'
21^90^
= (2л)3 dxx
-1 (ч+ч')Хф(+) (q) <p(+) (q,)e'(’o+’o)xo^|i2 ——
= £	<p<+> (q) <p<+> (- q) e2^ (p2 - ql + q2). (2.78)
J zvo
В результате аналогичных вычислений получим
Ро—\~ {[ф(+) (q) Ф(+) (— q) е2‘9»х<> + ф1-) (q) <pt-) (— q)х
X (и2 - ql + q2) 4- [ф(+) (q) Ф^ (q) + Ф(-) (q) ф1+) (q)] (р2 + ql + q2)}
пЛл, имея в виду, что 9o = q2 + p2,
Н = ± dq q0 [ф(+) (q) ф1-) (q) + ф(-) (q) Ф(+) (q)]-	(2.79)
Подставляя (2.73) в (2.44) и интегрируя по х, находим выра-
жение для импульса скалярного поля через функции ф(±) (q):
Р =	{<?оЧФ(+) (Ч) Ф1+) (— Ч) е2*’»*0 4-
4- <7оЧФ(-) (q) Ф(-) (— Ч) е-21^0 4-
4- <7оЧ [ф(+) (ч) ф(_) (q) 4- ф(_) (ч) ф(+) (ч)]}, (2.80)
которое, если учесть соотношение, обусловленное нечетностью
подынтегральной функции § dq qф(±K(q) ф(±) (—q)e±2i?»r»=0, пере-
пишется в виде
Р = J- § d4 Ч [ф(+) (Ч) Ф1-) (Ч) +	(Я) Ф(+) (Ч)]•	(2-81)
Заметим, что оба слагаемых под интегралом в (2.79), а также
(2.81) совпадают. Однако для перехода к квантовой теории поля
удобно взять выражения (2.79), (2.81) именно в такой форме.
. Следовательно, основные величины скалярного поля в импульс-
ном представлении определяются формулами (2.73), (2.79)
, п (2.81). Подчеркнем, что энергия действительного скалярного
84
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
поля согласно (2.79) может принимать только положительный
значения.
Остановимся теперь на комплексном скалярном поле. Разло-
жение Фурье комплексного, скалярного поля ф (х) запишется
в виде, аналогичном (2.73),
ф(х) = ф(+) (х) + фь) (х), ф (х) = ф(+)(х) +ф1-) (х),	(2.82)
где
Ф(±)(*)= ^72	йЧр==Ф(±)(ч)е±‘Ч Ф(±)(х) =
If*	1	*
= ^ГчГ5’’,±’(ч)е1'в' (2-83’
Как видно, частотные функции введены таким образом; что,
например, ф'+) (q) означает не комплексно сопряженную с ф1+) (q),
*
а положительно частотную часть ф^). Поэтому правила комп-
лексного сопряжения имеют вид
(ф(+) (ч)) * = ф(Ч (ч). (ф1-) (q)) * = ф(+) (ч).	(2.84)
Специфичным для комплексного скалярного поля является то,
что для него отсутствует условие (2.77), и поэтому это поле опи-
сывается двумя независимыми комплексными функциями: фи) (q)
и ф‘ч (Ч).
Подстановка (2.82), (2.83) в (2.46), (2.47), (2.69) приводит
к следующим выражениям для энергии, импульса и заряда
в импульсном представлении:
Н = $ dq q0 [ф'+> (q) ф'~> (q) ф- ф<~> (q) ф<+> (q)],	(2.85)
Р = $ dq q [ф(+) (q) ф<-> (q) + ф<~> (q) ф<+> (q)],	(2.86)
Q = $ dq [ф<+> (q) ф(-> (q) - tpH (q) ф<+> (q)].	(2.87)
Как видно, энергия комплексного скалярного поля может при-
нимать только положительные значения. Заряд поля может быть
как положительным, так и.отрицательным.’
Таким же способом можно найти выражения в импульсном
представлении для сохраняющихся величин других полей,
(см. § 4, 5).
§ 3. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЕЙ
Основные положения. Одним из наиболее фундаментальных
свойств элементарных частиц является их взаимопревращаемость:
частицы могут рождаться и уничтожаться. При классическом
описании полей, которые мы изложили, возникновение и уничто-
§ 3. Квантование полей
85
жение частиц явным образом не рассматривается. Чтобы описать
взаимопревращаемость частиц, классические поля надо прокван-
товать. При этом функции поля перестают быть функциями
в классическом смысле, а становятся операторами, которые
содержат операторы рождения и операторы уничтожения частиц.
Операторные функции поля подчиняются уравнениям поля и
определенным перестановочным соотношениям.
Переход от классических полей к квантованным (так же как
и переход от классической физики к квантовой) совершается
с помощью принципа соответствия. Как мы видели, классиче-
ские поля характеризуются функциями поля и рядом сохраняю-
щихся величин —энергией, импульсом, моментом импульса, током.
Для перехода к квантованным полям согласно принципу соот-
ветствия сопоставим функциям поля и классическим сохраняю-
щимся величинам соответствующие операторы, т. е. функциям
поля сопоставим операторы функций поля, энергии поля — опе-
ратор энергии поля и т. п.
Операторы функций поля действуют на общую для всех полей
полновую функцию, которую мы будем называть вектором состоя-
ния**'1. Вектор состояния описывает систему с произвольным
числом частиц, т. е. является функцией числа частиц. Опера-
торы рождения и уничтожения, действуя на вектор состояния
с данным числом частиц, приводят к вектору состояния с дру-
гим числом частиц. Тем самым становится возможным описание
процессов рождения и уничтожения частиц.
Проквантуем, например, действительное скалярное поле. Осно-
вываясь на принципе соответствия, примем, что функция поля,
энергия и импульс квантованного действительного скалярного
поля определяются выражениями (2.73), (2.79), (2.81), в которых,
однако, функции <p(+) (q) и <p(_) (q) являются операторами. При
этом оператор поля <р(х) удовлетворяет уравнению Клейна —
Гордона. Операторы сохраняющихся величин должны быть эрми-
товыми. Чтобы этого добиться, надо операцию комплексного
сопряжения классических функций заменить эрмитовым сопря-
*
жеппем. Тогда условие вещественности скалярного поля (<р(х) =
<р(х)) переходит в условие эрмитовости ***>
<	р+(х) = <р(х),	(3.1)
откуда вместо (2.77) находим
(4/+)(q))+ = ’₽(-)(q).	(3.2)
*	’ Процедуру перехода от классических полей к квантованным называют
также вторичным, квантованием полей.
*	*’ Иногда вместо «вектор состояния» говорят «амплитуда состояния».
***' Эрмитовым оператор функций поля будет только для вещественных
полей. Для комплексных полей оператор функций поля будет неэрмитовым.
86
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
В дальнейшем для операторов в квантованной теории и соот-
ветствующих величин в классической теории будем применять
одни и те же обозначения.
С учетом (2.73), (2.79) и (2.81) выражения для эрмитовых
операторов функции поля ф(х), энергии Н и импульса Р запи-
шутся через положительно и отрицательно частотные части one- 4
раторов следующим образом:
Ф (х) = Ф(+) (х) + ф1-) (х);	(3.3)
Рц (*) = у J dti 1<Р1+) (Ч) Ф1-) (Ч) + Ф(-) (ч) Ф(+) (Ч)].	(3.4)
Для комплексного скалярного поля операторы функции поля
(неэрмитов), энергии, импульса и заряда (эрмитовы) в соответст-
вии с (2.82), (2.85) — (2.87) выглядят так:
Ф (х) = ф1+> (х) 4-Ф(_) (х); ф(х) = ф1+) (х) + ф(~> (х);	(3.5)
Д = $ dq <7о [фА+> (q) ф1~> (q) + ф(+) (q) ф(-> (q)];	(3.6)
Р = ^Ч Ч [фи) (Ч) Фь) (Ч) + Ф(+) (Ч) Фь) (ч)];	(3.7)
Q = ^Ч [ф1+) (Ч) ф(~> (Ч) - Ф1+) (Ч) Ф(-) (Ч)]-	(3.8)
Аналогичным образом можно записать операторы функций
поля и сохраняющихся величин для других полей. Эти опера-
торы также будут выражаться через положительно и отрица-
тельно частотные части операторов функций поля.
По отношению к операторам положительно и отрицательно
частотных частей функций поля возникает два вопроса: 1) каков
их физический смысл, 2) каковы те перестановочные соотношения,
которым они удовлетворяют. Чтобы ответить на эти вопросы,
получим некоторые соотношения, которым удовлетворяют опера-
торы функций любого поля. Эти соотношения вытекают из пра-
вил преобразования вектора состояния и операторов функций
поля при преобразованиях Лоренца.
При преобразованиях Лоренца
хр, > Хц = а^Ху	(3.9)
вектор состояния Ф преобразуется оператором {Д:
Ф-^Ф' = Д£Ф.	(3.10).
Оператор Ul должен быть унитарным
ULUt=l,	(3.11)
чтобы обеспечить инвариантность нормы ФФ вектора состоя-
ния.
§ 3. Квантование полей
87
В частности, при бесконечно малых преобразованиях Лоренца
(см. § 2)
х->х' = х+6х	(3.12)
получаем для вектора состояния
Ф' = (1 + Wl) ф, =i^ua 6<оа;	(3.13)
а
при этом из условия (3 11) следует, что оператор 6t/i —антиэр-
митов (6(/л =— SUl).
Выясним сначала, как преобразуются операторы функций
поля, если преобразование вектора состояния определяется (3.10).
Для этого возьмем среднее значение пресбразованного оператора
функции поля и' (х) по состоянию, описываемому непреобразо-
напиым вектором Ф. Последнее в соответствии с (3.10) будет
равно среднему значению непреобразованного оператора функции
поля и (х) по состоянию, описываемому преобразованным вектором
Фы'(х)Ф = Ф'ы (х)Фг.	(3.14)
Отсюда с помощью (3.10) получаем формулу преобразования
операторов функции поля
и’ (х) = U‘Lu (х) Ul.	(3.15)
Из этого выражения следуют определенные соотношения для опе-
раторов поля. Чтобы их найти, подставим (3.12) и (3.13) в (3.15),
тогда получим
и' (х) = и (х) — f)ULu (х) + и (х) &Ul = и (х) + [и (х), 8Ul]_ (3.16)
пли
и' (х) — и(х) — 6и(х) = [и(х), 61/г]-,	(3.17)
гДс 8и (х), как и в § 2, обозначает вариацию формы оператора
функции поля. Используя явный вид (2.24) для 8и (х), приходим
к .искомому соотношению для операторов произвольного поля:
i (Yla -	Xva) = Pa, «/]-.	(3.18)
\	UXy	f
Найдем конкретный вид этого выражения для различных пре-
образований. В случае трансляции координат, когда в соответ-
стппп с (2.10), (2.16)
= Yja = Q, Ua = Pa,
формула (3.18) перепишется так:
iW. ЛЛ--	(3.19)
88
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
При вращении координат четырехмерного пространства согласно
(2.11) и (2.14) имеем
Хц [ра] =ёррЛа ёв1>хрг Ptfpol — У,	^[ра] =Л^[ра]»
I
соотношение (3.18) дает
Iдх ^°6рВ gallop)!= [Л4[ра], Н/]_.	(3.20)
I i	И	J
Изменение функций поля при калибровочных преобразованиях
комплексных полей определяется формулами (2.18). Соответст-
вующее преобразование вектора состояния Ф осуществляется
унитарным оператором Ua:
Ф' = иаФ.	(3.21)
Последнее в случае бесконечно малого параметра а запишется
так:
(7а=1+ б(7а, б(/а = tQa.	(3.22)
Здесь Q — эрмитов оператор, физический смысл которого устано-
вим с помощью принципа соответствия. При бесконечно малых
калибровочных преобразованиях волновые функции преобразу-
ются по формулам (2.17):
+ +
u'i (х) = (1 + iaz) Ut (х), u'i (х) = (1 — iaz) Ui (х),	(3.23)
которые по форме совпадают с (3.22), причем роль оператора Q
в них играет заряд z. Поэтому в силу принципа соответствия
оператор Q должен быть отождествлен с оператором заряда. Сле-
довательно, для калибровочных преобразований, когда
( 1щг для и,
Xp.v — 0, Ua = Q, У//а = <	+	+
( — lUiZ для и,
формула (3.18) приводит к следующему результату:
z«z(x) = [uz(x), Q]_;	.	(3.24)
— zui(x) = [ui(x), Q]_.	(3.25)
С помощью соотношений (3.19), (3.20), (3.24) и (3.25), вытекаю-
щих из (3.15) и (3.18), можно выяснить физический смысл опе-
раторов функций полей и найти перестановочные соотношения
для них.
Физический смысл операторов. Для выяснения физического
смысла положительно и отрицательно частотных частей оператора
функции поля воспользуемся уравнением (3.19). Рассмотрим поле,
описываемое оператором и (х), причем
и (х) = им (х) + м(_) (х),
jf 3. Квантование полей
89
где ы1±) (х) ——С dp -yJ=ul+) (р) е-1рх. Подставим в соотноше-
(2л)3/2 3 К2р0
ппе (3.19) разложение оператора и (х) по операторам им (х) и
и{~' (х); это приводит к следующим коммутаторам:
1«1+> (х), Рц]_= - —^2 dp Pil иМ (р) <?'₽*,
(ZJly V	т ^Ро
[Ы1-> (X), Рц]_=—£ dp Pll «(-> (р) е~‘рх
v	г ^ро
(3.26)
(3.27)
или
[«(+) (р), PJ- = — РрЫ(+) (р),
[«<-’ (Р), Рр]- = Рр«1~)(р).
Рассмотрим теперь уравнение для вектора состояния Ф,
обладающего четырехмерным импульсом k:
P^k=k^k,
(3.28)
(3.29)
(3.30) .
где Pw — оператор энергии-импульса, который, например, в слу-
чае действительного скалярного поля определяется выражениями
(2.79), (2.81): ku — собственные значения оператора Рр. Умножая
(3.28) справа на'Ф*,
п11 > (р) РрФ* - Рр«(+) (Р) Ф* = - Рр«(+) (Р) Ф*
п учитывая (3.30), найдем для ы(+) (р) соотношение
Рр«(+) (р) Ф* = (Pii + kJ им (р) ф*.	(3.31)
Аналогичным образом с помощью (3.29) получим для (р)
(р) Ф* = (^- Рр)	(р) Ф*.	(3.32)
Следовательно, если Ф/г — собственный вектор состояния опе-
ратора Рр, соответствующий собственному значению энергии-
импульса ^р, то вектор ы(+) (р) Ф* представляет собой вектор
состояния с энергией-импульсом Рр + ^р, а (р) Фй — с энергией-
импульсом (^р — Рр); при этом выполняется соотношение р2 = т2.
Это означает, что оператор им (р) описывает Рождение частицы
с м iccoft m и энергией-импульсом Рр, а оператор ы(_) (р) _ унич-
tuoiiceHue такой же частицы.
Чтобы выяснить, чем различаются между собой операторы и
их эрмитово сопряженные, рассмотрим соотношения (3.24) и
(3.25). Умножим последние справа на вектор состояния Ф? с опре-
деленным зарядом q:
гнФ9 = ифФд — Qud>g,
+.	+	+	(о.оо)
— гиФд = иОФд — Qtd&g.
Вектор состояния Фг описывается уравнением
(?!’, = <7Фг,	(3.34)
г
90
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
где Q — оператор заряда [в случае комплексного скалярного поля
он определяется выражением (3.8)j; q — собственное значение опе-
ратора Q. С учетом (3.34) формулы (3.33) перепишутся в виде:
QuCDg = (q — г) иФ9, QuG>g = (q-\-z) иФ9.	(3.35)
+
Таким образом, оператор и увеличивает заряд поля на величину
г, а оператор и —уменьшает заряд на такую же величину. Теми
же свойствами обладают и положительно и отрицательно частот-
+
ные части операторов и и и по отдельности.
В.частности, в случае комплексного скалярного поля, если
выбрать в качестве основных положительно заряженные частицы,
+ . .
оператор <р(+) (q) описывает рождение частицы с положительным
зарядом е, а оператор <pl+) (q) — рождение частицы с отрицатель-
ным зарядом ( —е), т. е. рождение античастицы. Аналогичным
образом операторы <p(_) (q) и <p(_) (q) описывают уничтожение
соответственно частицы и античастицы. В случае действительного
скалярного поля частицы тождественны античастицам, поэтому
это поле описывается одним оператором рождения и одним опе-
ратором уничтожения.
Подчеркнем, что найденные свойства положительно и отрица-
тельно частотных частей операторов поля являются совершенно
общими, справедливыми для любых полей.
Состояние вакуума; вектор состояния. С помощью операторов
рождения м(+) (р) и уничтожения м(_) (р) можно получить вектор
состояния, описывающий произвольное число частиц. Назовем
состоянием вакуума Фо такое состояние, в котором частицы
отсутствуют, т. е. энергия и импульс вакуума равны нулю. По--
скольку оператор уничтожения уменьшает энергию и импульс,
а энергия не может быть отрицательной, то действие оператора
уничтожения на вакуум Фо дает нуль:
ы(-)(р)фо = О	(3.36)
или для эрмитово сопряженного
Фоы<+)(р) = О.	(3.37)
Соотношения (3.36) и (3.37) и условие нормировки
ФЬФО=1	.	(3.38)
определяют вакуум свободного поля.
Действие операторов рождения на вакуум приводит к векто-
рам состояния с определенным числом частиц. Так, для вектора
состояния, соответствующего одному скалярному мезону с импуль-
сом q, имеем
Ф1= ф(+) (q) Фо,
£ 3. Квантование полей
91
двум скалярным мезонам с импульсами qx и q2 имеем
ф2 = ф(+) (Ч1) ф(+) (q2) ф0.
В общем случае вектор состояния может быть представлен
в виде суперпозиции векторов состояний без частиц Фо (вакуум),
с одной Ф1, с двумя Фа и большим числом частиц:
Ф = СосхФ1с2Фг ~Ь • • •	(3.39)
Причем вероятность обнаружить состояние с определенным чис-
лом частиц п определяется квадратом коэффициента сп.
Векторы состояний Ф/ можно рассматривать как координаты
вектора состояния Ф, т. е. (3.39) представляет собой разложе-
ние вектора Ф по координатам Фг-.
Число частиц в данном состоянии называется числом, запол-
нения. Как видно, вектор состояния Ф однозначно задается чис-
лами заполнений. Поэтому иногда переход к квантованным по-
лям называют переходом к представлению чисел заполнения,
а вектор состояния (3.39) — волновой функцией поля в представ-
лении чисел заполнения.
Перестановочные соотношения. Найдем перестановочные соот-
ношения, которым удовлетворяют операторы функций поля.
В классической теории свободных полей с квадратичным
лагранжианом скобки Пуассона функций поля [ит(х), и„(у)]
зависят только от координат х, у. Поэтому согласно принципу
соответствия примем, что в квантовой теории свободных полей
перестановочные соотношения для операторов функций поля и (х),
и (у) могут быть двух типов:
[ит (х), ип (у)]_ = ит (х) ип (у) — иП (у) ит (х) =
= Лтп(х, у) (коммутатор), (3.40)
|wm (х), и„ (у)]+ = ит (х) ип (у) + ип (у) ит (х) =
= Дт„(х, у) (антикоммутатор), (3.41)
где Л„1Л —функция (неоператорная), зависящая только от коор-
динат х и у.
Из инвариантности относительно преобразований трансляции
следует, что функция Д(х, у) может зависеть лишь от разности
координат х — у, т. е.
|»т(х), un(y)U = \^'(x-y).	(3.42)
Из этого соотношения вытекает, что операторы функций поля
одинаковой частотности коммутируют или антикоммутируют
между собой:
|ыи> (х), ц(+) (#)] = [w(+> (х), и(+) (г/)] = [w(+) (х), w(+) (#)] =
= [w(-> (х), W(-’ (£/)] = [«<-> (х), l/< > (f/)] =
= [«<-) (х), «< >(г/)] = 0. '(3.43)
92
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
В самом деле, рассмотрим коммутатор, например, двух положи-
тельно частотных функций
[t4+,W, « л’(£)]- = i dkdle^^lu^ (к), ^+’(1)]_.
Чтобы этот коммутатор зависел от разности х — у, должно выпол-
няться условие k — — I. Но это невозможно из-за того, что вре-
менные компоненты этих векторов должны иметь одинаковые
знаки.
Физический смысл соотношений (3.43) заключается в том,
что рождение частиц происходит независимо друг от друга,
так же как и уничтожение их. Взаимосвязаны между собой лишь
акты рождения и уничтожения частиц.
Для комплексных полей, помимо (3.43), равны нулю комму-
таторы или антикоммутаторы операторов рождения и уничтоже-
ния частиц разных зарядов:
[»(+) (х),	(г/)] = [ы(+> (х), и(~> (г/)] = 0.	(3.44)
Рассмотрим первое из этих соотношений. Действуя на векторы
состояния ы(+) (х) и(-} (у) Фд и w(_) (у) им (х) Ф, оператором Q и
умножая вытекающие из (3.24), (3.25) уравнения
г«(±) (х) = [ы<±> (х), Q]_
справа либо на ы(+) (х) Ф9, либо на и(_) (х) Ф9, получаем с уче-
том (3.34)
QuM (х) иН (у) Фд = (q — 2z) м<+> (х) иН (у) Фд,
Qu<~' (у) им (х) Фд = (q — 2z) м<-> (у) u(+) (х) Ф?.
Складывая и вычитая эти равенства почленно, находим
<3 [и(+) (х), и<~> (г/)] Ф? = (9 — 2?) [и(+) (х) и(~>(у)] Ф9.
Если бы входящий сюда коммутатор или антикоммутатор
[ц<+)(*). «ы(*/)1	(3-45)
был отличен от нуля, то сокращение его давало бы равенство
ОФд — (q — 2z) Фд. Но последнее противоречит уравнению (3.34);
поэтому (3.45) должно обращаться в нуль.
Второе соотношение (3.44) доказывается аналогичным обра-
зом. Физический смысл его сводится к тому, что рождение и
уничтожение частиц с различными зарядами происходит незави*
симо друг от друга. Взаимосвязаны между собой лишь акты
рождения и уничтожения частиц с одинаковыми знаками.
Из (3.43) и (3.44) следует, что отличными от нуля будут
только следующие коммутаторы или антикоммутаторы операто-
ров полей:
[и(+)(х), и{ )(у)] и [«‘"’(х), им (#)].
f 3. Квантование полей
93
Типы перестановочных соотношений. Чтобы решить вопрос
о вьбэре типа перестановочных соотношений (3.40), (3.41), т. е.
о выборе знака, рассмотрим оператор энергии-импульса Р^.
11редставим операторы функций поля w(±) (р) в форме разложе-
ния (3.22) гл. 1
«(±)(Р) = 2Ч±)(Р)^±)(Р).	(3.46)
п
Тогда для коммутатора и антикоммутатора имеем:
а(_> (р) ам (р') — ам (р') аН (р)_ = (р — р'),	(3.47)
о<_) (р) а(+) (р') + ам (р') аН (р)+ = Д(2) (р — р').	(3.48)
Оператор энергии-импульса в общем случае выражается через
операторы а так:
/’и = $ ^РРр [а<+) (р) о(") (р) ± а(-’ (р) ам (р)].	(3.49)
Положительный знак относится к бозонам, т. е. к частицам
с целым спином (см. § 2, случай скалярного поля), отрицатель-
ный—к фермионам, т. е. к частицам с полуцелым спином (см.
далее § 5).	’
Потребуем, чтобы собственные значения оператора энергии-
пмпульса были положительными. Тогда выбор типа перестано-
вочных соотношений (3.47), (3.48) производится однозначно. Дей-
(•."иптсльно, рассмотрим выражение (3.49) с положительным зна-
ком (бозонные поля) под интегралом. Определяя из (3.47) про-
н нк'депие «Н (р) а(+; (р) и подставляя его в (3.49), получаем для
оператора энергии-импульса (опуская постоянную, соответствую-
щую А(1)-функции)
/’и Ji dpp» [«(+) (р)«(-) (р)(+) + «(+) (р) «(-) (р)].	(3.50)
< Собственные значения этого, оператора положительны, так как
они представляют собой сумму двух положительных собственных
п1иче||пй операторов. В случае перестановочных соотношений
(.1.48) .собственные значения оператора (3.50) будут разностью
। пбстиенных значений операторов а<+)а(“) и	т. е вели.
aiiiioii положительно неопределенной, а поэтому физически бес-
। мысленной. Следовательно, для операторов бозонных полей надо
Н1.прать перестановочные соотношения в виде (3.47) (квантова-
ние но Бозе —Эйнштейну).
11одобпыми рассуждениями можно установить, что операторы
фермионных полей должны подчиняться перестановочным соотно-
шениям (3.48) (квантование по Ферми —Дираку).
Явный вид перестановочных функций. Найдем явный вид пе-
|ч 1.ПЮВОЧПЫХ функций Д, входящих в (3.47), (3.48). Для этого
94
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
используем (3.19) и выражение для оператора энергии-импульса
данного поля. Подставляя (3.49) в (3.19), получаем
- Рц а'Г (р) = $ dp'p^ [«Г (р),	(< (р') «Г (р') + «Г (Р')«/” (Р'))1-
(3-51)
Рц а'Г' (Р)=$ Ф'Ри И" (р). S Й+' (р') а/~’ (Р'> +°/+’ (р') аГ-(Р'))1-•
/
Из (3.43) и (3.44) вытекает, что
[al+> (р), а'{+> (р') а'Г’ (p')J = 0; [af (р),	(р') а'г' (р')1 = 0-
Тогда (3.51) приводят к соотношениям
У, И” (Р),	(Р') «/" (Р')1- = — б (Р-Р')«£+’ (Р)>
'	+	(3.52)
у, [«г1 (р), «г (р') «г* (р7)]-=б (р - р') «г (р).
/
Если операторы с одинаковым знаком частоты коммутируют
(бозонные поля), то из (3.52) имеем
У, #’ (Р') Й" (р')> at (р)]- = б (р - р') а[+> (р),
/
У [а'г' (р), a'f' (р')]-аГ (Р') = 6 (Р — р') «Г* (р).
/
Отсюда следует явный вид перестановочной функции и, следо-
вательно, перестановочных соотношений бозонных полей:
й” (р'). «г (р)]-=б (р - р') бу,	(3 53)
[а'г1 (р), а?’ (р')]_ = б (Р - р') бу.
Если операторы с одинаковым знаком частоты антикоммути-
руют (фермионные поля), то из (3.53) получаем:
- У 4+’ (Р') П+’ (р), аГ (р')]+ = - б (р - р') аг (р),
У, [а’г1 (Р),	(р')]+ «/"’ (р') = б (р - р') «г* (р).
/
Отсюда вытекает явный вид перестановочных соотношений для
фермионных полей:
[«Г (р), а’Г‘ (Р')]+ = б (р - р') б,/,	(3 эд
[oi” (Р),	(Р')]+ = б (р -р') бу.*
§ 3. Квантование полей
95
В частности, скалярное поле квантуется по Бозе —Эйнштейну.
Поэтому . для операторов ф{+) (q) и ф<_) (q) действительного
скалярного поля имеем следующие перестановочные соотношения:
[ф(-> (q), ф<+> (q= 6 (q - q'),
[ф<_) (q). ф( ’ (q')]~=[ф(+) (q), ф(+) (</)]-=о.
Перестановочные соотношения для операторов ф{+) (q), ф(~’ (q),
Ф1 * (Ч). Ф<_) (Я) комплексного скалярного поля выглядят так:
[ф(-> (q), ф<+> (q')]_ = 6 (q - q');
+	(о. 5b)
[ф(-> (q), ф<+> (q')]_ = 6 (q - q'),
а все остальные коммутаторы операторов равны нулю.
Если принять за основное поле с положительным зарядом,
то операторы ф(+) (q), ф1+) (q) описывают рождение частиц соот-,
петственно с отрицательным и положительным зарядом, а опе-
раторы ф1-) (q), ф(_) (q) — уничтожение частиц с отрицательным и
положительным зарядом.
Формулы (3.55) определяют перестановочные соотношения
операторов действительного скалярного поля в импульсном пред-
ставлении. Чтобы найти вид перестановочных соотношений для
операторов функций поля ф(+) (х) и ф<_) (х) в координатном пред-
ставлении, воспользуемся разложениями (2.74) и (2.7.5):
1 Г С р1(Ч'У—Чх}	, ,
[фЬ) (х), ф‘+) (£/)]_ = dq rfq'	^-[ф(->(q), ф(+>(q')]_=
1	(• p—iQlx — y) i
= -L-\dq^----------=~D~(x-y),	(3.57)
(2л)3 J 4	2q0 i '	’
i с	Л(«—У)	I
Гф(+) (х), ф<-> (У)]_ = ^?А_ (fq£_—__ = ±£>+(х-у);	(3.58)
/
так что £)+(х) =— D- (—х),. Складывая (3.57) ч (3.58), почленно
получаем выражение для коммутатора полных функций ф(х)
|ф(х), ф(г/)]_ = у£)(х-^),	(3.59)
где перестановочная функция
I) (х) =D+ (х)+D- (х) = dqe£4X	(3-60)
Как видно, функции D+ (х) и D~(x) представляют собой положи-
1СЛЫЮ п отрицательно частотные части полной перестановочной
i|i\ пкцпн D(x).
По аналогии с (3.57)—(3.60) коммутационные соотношения
Tin операторов функций комплексного скалярного поля в коор-
96
Г лава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
динатном представлении с учетом (3.47) запишутся в виде:
[ф(“’ (X), ф(+) (£/)]_ = ^D~ (X -у),	(3.61)
[ф1+) (x), Ф(-’(#)]- = -f D+ (х- у),	(3.62)
[ф(х), ф (£/)]_ = [ф (х), ф(«/)]- = уП(Х-Г/).	(3.63)
Запишем перестановочную функцию D(x) в явной	реляти-
вистски инвариантной форме. Для этого воспользуемся соотно-
шением для 6-функции
6 (<72 - р2) =т & [<7» - (Q2 + Ц2)] =	(<7о + КчЧЧО +
z I Vo I
+ 6(<7o- Уч^+р)]-
Тогда (3.60) принимает вид
D =$ d(>e igx8 ~ е	(3.64)
Здесь <7о> в отличие от (3.60), может быть как положительным,
так и отрицательным, причем
( +1 при <7о>0,
при д0<о.
Скалярный множитель е(^0) введен для того, чтобы интегриро-
вание в (3.64) по приводило к разности двух экспонент, со-
держащихся в (3.60). Так как множители qx, q2 и d<y —реляти-
вистские скаляры, то выражение (3.64) релятивистски инвариантно.
Перестановочную функцию D (х) можно выразить через функ-
цию Бесселя. Полагая в (3.60) | х | = г и q0 = -f- ]/| q j2 -|- р2, полу-
чаем для перестановочной функции
D (х, ЛЬ) =75^3	dq е1^	=
'	(2л)3 ч /|Ч|2+И2
= тД-3 Гd|q||4|2 Sine def dtp e'-'q,ix!cose^m^= =
.(2л) o’
1 С I Ч I2 d I q I sin i q 1 r .	1 1 d £ .	.	„r.
= -S-J- \	--i-5— Sin qoXo =------f(r, Ло), (3.65)
2л2 J ]/|q|2 + p2 |q|r 70	2л2 r dr'K ’  V ’
где
oo
f(r, ЛЬ) = — \	-q! cos I q I r sin <7oXo.
j’ V.qr+н3
(3.66)
£ 3. Квантование полей
97
Произведя в последнем выражении замену | q | = р. sh у и интегри-
руя, имеем
- у Л(р 1/хГ—72) при х0>г,
f(r, Ab)= о
при —r<.X0<Zr,
у J0(p V 4 — Г2) при Хо< — Г,
4" со
2 С
где J0(z)=— \ sin (z ch Р)ф —функция Бесселя нулевого по-
0
рядка. Подставляя (3.66) в (3.65) и дифференцируя, найдем
D (х) = — е (х) (б (х2) - 6 (х2) А
' ' 2л ' 'I V ’	2 '	[1/х2 >
(3.67)
Здесь Ji (г) — функция Бесселя первого порядка, 0(г/) = 1 при
//>0 и 6(г/) = 0 при у<0.
Перечислим основные свойства перестановочной функции D (х).
1.	JD (х) — релятивистски инвариантная функция.
2.	Функция О(х) удовлетворяет уравнению Клейна— Гордона
(□, - Р2) D (х) = J dqe~i<lx (q2 - р2) 6 (q2 - И2) е (q0) = 0,
потому что хб(х) = 0.
3.	Из формулы (3.60) следует, что функция D (х): а) обра^
ищется в нуль для одинаковых времени (х0 = г/0). б) является
нечетной функцией х.
4.	В соответствии с (3.67) для значений х2 = 4 — г2<0 функ-
ция D (х) обращается в нуль (так как 6(—х2) = 0 и б(х2) = 0
для х2у=0). Значения х2<0 лежат вне светового конуса и соот-
ветствуют пространственно подобным интервалам. Следовательно,
.коммутаторы полевых операторов, аргументы которых разделены
пространственно подобным интервалом, обращаются в нуль, т. е.
сами операторы поля коммутируют. Это означает, что соответст-
вующие этим операторам физические величины в различных
точках вне светового конуса независимы и могут быть измерены
одновременно. Так и должно быть, если учесть, что скорость
распространения сигнала не может превышать скорости света.
5.	Для малых х2, т. е. вблизи светового конуса, функцию
I) (х) согласно (3.67) можно представить в виде разложения **
О (х) = е (х) {б (х2) -	6 (х2) +	(3.68)
*) Напомним, что функция Бесселя Jn (г) разлагается в степенной ряд
СО
•/«(г)=(т)" 2	1лг(и+/+,)г1’
z / = 0 '
4 Ислипа Н, Ф.
98
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
в котором члены, исчезающие при х2->0, опущены. Как видно,
на световом конусе функция D(x) обладает б-образной сингу-
лярностью и конечным разрывом (скачком). Таким образом, на
световом конусе перестановочная функция D (х) является сингу-
лярной функцией, содержащей довольно сильные особенности.
6.	Наконец, из (3.60) найдем вид перестановочных соотноше-
ний для функции ф (х) и ее производной по времени -X- ф (х)
при одинаковых временах (х0 = у0):
<₽(*), 43	=tfp 43	=
= i D (х ~	=W" $ dqe‘4 (х “ у) cos	Ьо=я>=
= б(х-у). (3.69)
Нормальная форма операторов. Вычислим минимальное значе-
ние энергии Ео, соответствующее вакууму в случае действитель-
ного скалярного поля. Умножая (3.30) слева на Фо, в случае
+	4-
Р0 = Н, Ф = Ф0 получаем ФоРоФо = £оФоФо — Ео или после' -под-
становки- (3.4)
£о = у б/99о{Фоф(+)(9)ф1-)(9)фо + Фо<Р(-)(9)ф(+)(Ч)Фо}- (3.70)
Вследствие (3.36) первое слагаемое под интегралом обращается
в нуль и выражение (3.70) перепишется в виде
Ео = у 5 dqdq'^oV4 (q) ф(+) (q) Фо 6 (q' — q).
Так как ф,_) (q) ф(+) (q) = [ф(_) (q), Ф(+) (q)]- +Ф(+) (q) Ф(_) (q), то,
учитывая (3.55) и (3.36), найдем
£0 = 4 dqdQ'Vo 6 (q' — q) б (q' — q) = oo,
т. e. минимальное собственное значение оператора энергии бес-
конечно. Чтобы избавиться от этого физически бессмысленного
результата, надо уточнить вопрос о выборе гамильтониана. При
переходе от классического гамильтониана к квантованному мы
заменили классические величины ф(+> (q), ф(_) (q) операторами
Ф(+)(9)> Ф(-) (q). Очевидно, эта процедура неоднозначна и ее надо
доопределить. Назовем нормальным такой порядок операторов,
когда операторы уничтожения ф~(Ч1), ф ^2), ... частиц располо-
жены справа от операторов рождения частиц ф+^1)’, ф+^2), ••••
При переходе от классического гамильтониана к вторично кван-
тованному будем не только заменять функции поля их операто-
рами, но и располагать операторы в нормальном порядке. Тогда
<5 3. Квантование полей
99
вместо (3.4) получим для гамильтониана
р0=н=d<i<7o<pt+) (q) ф(_) (q).
и если иметь в виду соотношение (3.36), то
Ео = $ *1<7оФоф<+) (q) фь) (q) Фо = О,
т. е. минимальное собственное значение гамильтониана, взятого
в нормальной форме, равно нулю (а не бесконечности).
Аналогичным образом можно исключить физически бессмыс-
ленные бесконечные значения для других величин, если записы-
вать операторы этих величин также в нормальной форме. Напри-
мер, оператор импульса (3.4) в нормальной форме запишется
так:
Р= § dqq<p(+) (q) Ф(_) (q), при этом ФоРФо = О.
Формулы (3.6) —(3.8) для операторов энергии, импульса и
заряда, записанные в нормальной форме (операторы рождения
стоят слева qt операторов уничтожения), будут выглядеть сле-
дующим образом:
н=5 rfq<7o [ф(+) (q) ф(_) (q)+ф(+) (q) ф(_) (q)];	(3.71)
Р = $ dqq [ф(+) (q) Ф(“* (q) + Ф(+) (q)<p<-> (q)];	(3.72)
Q = z\ dq [ф(+> (q) ф1~> (q) - Ф(+) (q)(q)J,	(3.73)
Квантование полей и дискретные преобразования. В гл. 2
показано, как преобразуются неквантованные волновые функции
полей при дискретных преобразованиях. При этом мы исходили
ii.’i уравнений для свободных полей. Операторы свободных полей
удовлетворяют тем же 'уравнениям, что свободные волновые
функции. Поэтому при дискретных преобразованиях операторы
свободных полей преобразуются так же, как соответствующие
волновые функции. Следовательно, для получения Р-, С-, 7-ин-
впрпаптных величин в теории квантованных полей надо заме-
нить в соответствующих выражениях для неквантованных полей
волновые функции их операторами и взять полученное выраже-
ние н нормальной форме.
Выясним еще, как преобразуются при дискретных преобра-
зованиях операторы рождения и уничтожения частиц. Рассмот-
рим, например, P-преобразование оператора комплексного ска-
лярного поля ф(х), который определяется выражением (норми-
ровочные коэффициенты опущены)
Ф (-*0, х) = $ dq [ф(+1 (q) е‘ (’°*°—«*> + ф(~) (q) е~1(чоъ—«*)].
4*
JOO
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формален
'После P-преобразования Рф(х0, х) Р~* = т]рф (х0, — х) имеем
Рф (х0. х) Р-1 = J dq [Рф(+) (q) p-igd^o—ч») -f-
+ Рф(_) (q) p-ig-i(<7o*o-qx) ]f
т]рФ (x0. — x) = J dq [т]рф(+) (q) e£<’“x“+q’<) + 'Прф(-> (q) g-* <«•*»+ч*)]
(3-74)
или после переобозначения переменной интегрирования (q-> — q)
в последнем интеграле
Прф (х0, — х) = $ dq ['ПРф,+) (— q) е1 («<л> -ч*) -f-
4-т]рФ(-) (— q) е~1	ч*)]. (3.75)
Из сравнения (3.74) и (3.75) получаем правило преобразования
операторов рождения и уничтожения скалярного поля при Р-пре-
образованиях
Рф(+) (q) p-i = т)рф(+) (— q), Рф(-> (q) p-i = т]р<р<-> (— q);
аналогичным образом для сопряженного оператора
РфW (q) Р-1 == т]рф(+> (— q), Рф(- > (q) Р’1 = т]рф((— q).
Как и следовало ожидать, при P-преобразованиях частицы
с импульсом q заменяются частицами с импульсом (—q).
Подобным путем, задаваясь характером преобразования опе-
ратора поля можно найти правила преобразования операторов
рождения и уничтожения других полей при других дискретных
преобразованиях.
Можно действовать и наоборот: задаваться преобразованием
операторов рождения и уничтожения и искать характер преоб-
разования соответствующего оператора поля. Например, для
зарядового сопряжения, при котором частицы заменяются анти-
частицами, имеем, по определению, для операторов рождения и
уничтожения комплексного скалярного поля
Сф(+) (q) С"1 = т]сф(+) (q), СфН (q) С-1 = т]сф(_> (Ч)-
Отсюда для оператора поля ф(х) получаем*
Сф (х) С-1 = $ dq [Сф(+> (q) С-^+СфЬ) (q) С^е-^] =
= 5 d4 ГПсф(+) (Ч) eikx + 11сФ(-) (ч) flkx] = W (х),
т. е. при зарядовом сопряжении оператор скалярного поля, как
и следовало ожидать, переходит в эрмитово сопряженный.
f 4. Электромагнитное поле	101
§ 4.	ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Лагранжева формулировка. Свободное электромагнитное поле
описывается вектор-потенциалом ЛДх), который удовлетворяет
уравнению (2.16), гл. 1.
□	Дц(х) = 0	(4.1)
и дополнительному условию Лоренца (2.18), гл. 1:
4гЛи(*) = 0.	(4.2)
Чтобы получить уравнение (4.1), выберем лагранжиан электро-
магнитного поля в следующем виде *> (инвариантном относительно
/., Р, С, Т преобразований):
Из этого лагранжиана с помощью формул (1.9), (2.39), (2.40)
получим выражения для уравнения поля
□	Дц(х) = 0,.
для тензора энергии-импульса
__ д£ дАр _ дАр дАр 1 дАр дАр
J	»v~ дАо дхи	д д -+ 2 дх д gp.v, (Ч.ч)
~дх^
для вектора энергии-импульса
С	С Г дД, &Ар 1 дАр дАр 1
Ptl= d*Tp»= dx -+	(4.5)
Подчеркнем, что энергия Ро электромагнитного поля не явля-
ется положительно определенной. Как мы увидим, энергия ста-
новится положительно определенной, если учесть дополнитель-
ное условие Лоренца (4.2).
*	» Иногда лагранжиан электромагнитногр поля выбирают в другом, но
чкпивалентном виде:	~
1	1 /	\2	1
-^-Ла₽ла₽—у > Хг = ~ -у лар/Уар,
дЛр дАа
,яс "“₽= йС""Эйр
1 д Г дАа а4«1
I (ервый из них отличается от (4.3) дивергенцией — Лр ч-Ла
L
и потому совпадает с лагранжианом (4.3). Второй лагранжиан отличается от'
(•1.-3) на величину, которая при интегрировании по всему пространству времени
и yiciii условия Лоренца обращается в нуль, т. е. не дает вклада в действие.
102
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
Импульсное представление. Перепишем вектор-потенциал Аи (х)
и сохраняющиеся величины электромагнитного поля в импульс-
ном представлении. Вектор-потенциал Аи(х), удовлетворяющий
• уравнению (4.1), запишется так:
(х) = а;? (х) + д- (х) = —L- С dk-^e1^1 (к) +
(2л) ' *) у 2я0
+ —кт- ? dk	e-ikxA^ (к). (4.6)
(2л) /г J /2Л0 и	'
При этом правила комплексного сопряжения для функций А(±) (к)
определяются формулами
(Д;г,(к))* = А!Л)(к).	(4.7)
Разложим вектор Аи(х) по состояниям поляризации. Пока
не наложено условие Лоренца (4.2), электромагнитное поле
можно рассматривать как суперпозицию четырех скалярных
полей, соответствующих различным поляризациям X фотона:
з
Ац (X) = У,
х=о
Выберем такую систему координат, в которой проекции векто-
ров импульса фотона k и поляризации ejj соответственно равны
^ = М1. °. °. !).
8х=о = (11 0, 0, 0), 8X=1=(O> it о, 0), е*=2 = (0, 0, 1, 0),
8х=з = (о, 0, 0, i)t
т. е. единичные векторы и ортогональны друг другу
и вектору к, а единичный вектор ej’ направлен вдоль вектора к.
Эти свойства векторов /ги и ец можно записать так:
0 для
= ejA) — e?k = — для
ko для
Х=1, 2,
Х = 3,
Х = 0.
(4.8)
Так как c^ = 6ux, то скалярное
поляризации запишется в виде
произведение двух векторов
еИ = 6ох6ох« ~	(4-9)
а общая сумма (не скалярное произведение) по поляризациям
равна
2^=2^=^.	’	(4.10)
$ 4. Электромагнитное поле
103
Разложим коэффициенты Л[”(к) и Л[/ (к), входящие в выра-
жение (4.6), по системе векторов е£;
(к) = еХ1 (к) + W (к) + еХ* (к) +	(к) =
= Z^4+,(k), (4.11)
А|Г’ (к) = 8Х* (М + W (к) + W (к) +	(к) =
= 2еХ-)(к). (4.12)
х
Из (4.11), (4.12) и из свойств вектора следует, что
al” (к) = (е*А<+> (к)), аГ (к) = (eaA<+> (к)),
а'а+* (к) = (е3А(+> (к)), ai+l (к) = е°Ло+,(к) = Ло+1 (к).	’
Другими словами, а'” (к) и а'^' (к) суть проекции вектора А+(к)
пп векторы, перпендикулярные к, т. е. поперечные компоненты
Л(|> (к); аз+* (к) — проекция вектора А(+) (к) на направление к, т. е.
продольная компонента вектора А(+) (k); ctf' — компонента ска-
лярного потенциала. Аналогичным образом найдем, что «Г1 (к),
<4 '(к), а»-’(к) — поперечные и продольная компонента вектора
Л( > (к), а ад"1 (к) — компонента скалярного потенциала Л(Г’(к).
Подставляя (4.11), (4.12) в (4.6), получаем разложение Ajjx)
и виде суммы поперечных, продольной и временной составляю-
щих:
Л|1(х) = Л^(х) + Л(1Г*(х) =
з
= ~(2^ S dk ТС 2 8Н И+) W *"'**]• (4-14>
ll.'i условия (4.7) найдем
(к))* = а+(к).	'	(4.15)
С учетом этого соотношения (4.14) можно переписать так:
з
2;Ш+’<к)^+4+| м *-“]. <4.1б>
Выясним теперь, к каким соотношениям между ax(k) при-
пилит условие Лоренца. Согласно (4.14)
з
(Ми	1 р I Vi _ _
"С" = (2n),Zl S Л K2feu 20 (8р/г'1) Х
X [al+) (k) eikx - al_) (к) е~1/гх] = 0. (4.17)
104
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
Отсюда следует, что
з
. S	Ч+) (Ю=№) «<+’ (к)+(W а!+) (к)+(W Ч+) (к) +
х=о
з
+(W	(к) = 0; £ (еХ) «Г (к) = °- (4-18)
л=о
или, если учесть (4.8),
а£‘ (к) - а'+ (к); с!3' (к) = а'в~' (к).	(4.19)
Следовательно, электромагнитное поле описывается комплекс-
ными функциями «л (к), удовлетворяющими условию (4.19).
Подставляя (4.14) в (4.5), производя интегрирование и ис-
пользуя свойства (4.8), найдем следующее выражение для гамиль-
тониана электромагнитного поля в импульсном представлении:
з
H = -\dkk0 £ ak+,(k)4~4k)(^')==
л. v=o
3
= —$dkAio У, (к)	(к). (4.20)
Л, Л' = 0
Слагаемые а3 (к)а!г'(Ч и	характеризующие вклады
продольных и скалярных компонент, входят в (4.20) с разными
знаками и, благодаря (4.19), сокращаются. Поэтому выражение
(4.20) перепишется следующим образом:
2	1
H = \dkk0 £ а£‘ (к) а£' (к).	(4.21)
Х=1
Итак, после учета условия Лоренца энергия Н неквантован-
ного электромагнитного поля принимает только положительные
значения.
Аналогичным образом найдем для импульса неквантованного
электромагнитного поля
2
Р = dk к У а'£' (к) а£' (к).	(4.22)
Х=1
Следует подчеркнуть,. что в энергию и импульс электромаг-
нитного поля дают вклад только поперечные компоненты потен-
циала.
Квантование. Перейдем к квантованию электромагнитного
поля. Квантование должно производиться так, чтобы одновре-
менно выполнялись требования: 1) релятивистской инвариант-
ности, 2) положительности энергии, 3) дополнительное условие
Лоренца и 4) условие поперечностй электромагнитного излуче-
ния.
4. Электромагнитное поле
105
Ясно, что независимое квантование каждой компоненты век-
тора-потенциала электромагнитного поля Аи (х) по образцу ска-
лярного поля невозможно, потому что такая процедура в соот-
ветствии с (4.5) не обеспечивает положительности энергии. Более
того, если, несмотря на это, провести независимое квантование
но общему рецепту (см. § 3), то придем еще к одной трудности.
Действительно, из (4.5) вытекает следующее выражение для
вектора энергии-импульса:
= - \dk k» (g^at (к) at' (k)).	(4.23)
Это приводит к таким перестановочным соотношениям в импульс-
ном представлении:
[«Г (k), «Г (к')]_ = -gwS (к - к')	(4.24)
или для-оператора а0(к0)
(к), af (к')]_ = - 6 (к —ек'). •	(4.25)
Сравнивая последнее с (3.53), видим, что операторы рождения и
уничтожения «временных» фотонов а0+ как бы поменялись местами
из-за' отрицательного знака члена afctt' в (4.23).
Однако такое положение не совместимо с фактом веществен-
ности электромагнитного поля. В самом деле перестановочные
соотношения (4.24) в координатном представлении перепишутся
так:
Х[Л(,Г’(к), АГ(к')]_ =
:pi (k'y — kx) у
(X У),
(4.24')
где D„ (х — у) — перестановочная функция. Так как масса фотона
равна нулю, то Do(x — y) получается из D (x — у), определяемой
(3.57), если в ней положить массу р, равной нулю: бй(х — у) =
Л)~(х — г/) !u= = o. Из (4.24') следует, что
|ЛГ (%), ЛГ 0/)]_ = —e~ik	(4.26)
Возьмем от левой части этого равенства среднее по вакууму:
<1>о [АГ (х), АГ К)]_Фо = Ф0АГ (х) At'(у)Фо = ФоАо (х) А0^)Ф0,,
умножим его на произведение действительных функций h (х) h (у)
в проинтегрируем по х и у.
d’o $ Ао (х) h (х) dx $ Ао (у) h (у) dy Фо =
= Фо| $А0 (х) h (х) dx |2Ф0 > 0.
В результате получается явно положительная величина.
106
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
С другой стороны, производя те же операции в правой части
(4.26), приходим к явно отрицательной величине
— §	§ dxh(x) dyh(y)e-ik<x~0 =
Следовательно, квантование электромагнитного поля по обыч-
ному рецепту приводит к противоречию. Поэтому необходимо
отойти от стандартного пути. Это можно сделать потому, что
соответствующие третьей и нулевой компоненте «продольные» и
«временные» фотоны в действительности не существуют и реаль-
ного вклада в физические процессы не дают.
Положительности энергии можно добиться, если видоизме-
нить условие Лоренца. Действительно нельзя потребовать, чтобы
дД, (х)
Ф = 0,
потому что такое условие противоречит, например, определению
вакуума. В самом деле, полагая Ф = Ф0, найдем
\ <Эхц /	\ <Эхц /
Умножение слева на дает
д- {у) Фо=(дт (у) аг (х)) Фо =
v дху, и охц
=	(X) Д (У)) Фо —(X - у) g-^Фо =
= --^7Do+(x-^)°o#=O.
т. е. приходим к противоречию. Поэтому сформулируем условие
Лоренца для допустимых состояний в ослабленной форме
бЛ'Г’ (х)
(4.27)
(4.28)
причем ему сопряженное равно
+ дА*'(х)
Ф =0.
<4.
Эти соотношения обеспечивают выполнение. условия Лоренца
в среднем:
йА,(х)
ф -ф=о,
(4.29)
что вполне достаточно для соответствия с классическим полем.
§ 4. Электромагнитное поле
107
Ослабленное условие Лоренца приводит к положительной
средней энергии. Действительно, проквантуем (4.14) и подставим
его в (4.27) и (4 28); это дает, если учесть, что k0 — | к |
(йо"'(к) —«8~'(к))Фо==О, Фо(аЬ+,(к)-аз+,(к)) = О.	(4.30)
Отсюда вытекает
Ф (<ëà - <’С’) ф0 = —Фо К' - 4+’) аГ’Фо = о,
т. е. полная энергия и импульс «продольных» и «временных»
(|х)тонов равны нулю. Поэтому для вектора энергии-импульса
находим
ФРИФ = $ dk ^Ф (— а'*’ (к) а’ф' (к)) Ф =
= dkk^ Ф (й)+' (к) а'Г’ (к) + а?' (к) а2- (к)) Ф. (4.31)
Как видно, энергия и импульс положительны, и вклад дают
только поперечные компоненты вектора-потенциала. Иначе говоря,
благодаря дополнительному условию (4.29) допустимы лишь такие
состояния, которые содержат равное число «продольных» и «вре-
менных» фотонов с одинаковыми энергиями и импульсами. «Вре-
менные» фотоны дают отрицательный вклад и он уничтожается
с положительным вкладом «продольных» фотонов.
Чтобы устранить трудность, возникающую при квантовании
электромагнитного поля, используем индефинитную метрику.
Г>удем считать, что оператор а0, в отличие от остальных опера-
торов ah антиэрмитов, т. е. ai,2.3 = o1>a>3, с0 =— йо, или а^ =
‘—gwflv-- Тогда независимые операторы «л (к) и Лц(х) будут
удовлетворять не (4.24) и (4.24'), а обычным перестановочным
соотношениям:
[аГ(к),	(Ю]-= 6(к-к')8м.',
L/liT1 (х), Аф‘ (у)]_ = 6	(х-у),
\	(4.32)
IА;(х), 4,- 0/)]_ = fi |DJ(X - у),
Mn(x), Л¥(^]_ = бц¥уП0(х-^).
Кроме того, восстанавливается обычный смысл операторов (к):
они являются операторами рождения и уничтожения четырех
пе.ишпсимых сортов фотонов —двух поперечных, «продольных» и
«временных».
Однако оператор а-,. должен быть по-прежнему эрмитовым,
т. е., по определению, обладать свойством
(ФнлФ)+ = ФйьФ.	(4.33)
108
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
Чтобы сохранить эрмитовость оператора ак, изменим ,простран-
ство векторов состояний. Для этого введем эрмитов оператор tj,
перестановочный с ak (k = 1, 2, 3) и антиперестановочный с а0:
^ =—gKKaKi\ или
t]Oi,2.3 = o1i2i3T], т]йо = —йот]! т]а=1, т]Ф0 = Ф0.
+
Далее определим заново сопряженный вектор состояния ФЛ = Фч]
и с его помощью — обобщенное скалярное произведение
(фЛф) = (фт]Ф).	(4.34)
При т] = 1 получаем обычное положительно определенное скаляр-
ное произведение; в общем случае скалярное произведение (4.34)
может быть как положительным, так и отрицательным. Поэтому
говорят, что (4.34) соответствует индефинитной метрике в гиль-
бертовом пространстве.
В пространстве с индефинитной метрикой оператор а-,„ уже
будет эрмитовым, так как для него выполняется условие (4.33)
(ФЛ«ЛФ)+ = (®T]a/D)+ = Ф+а£т]Ф = ФцфФ = ФЛоуФ,
+	4-	+
ибо ад = (ад)+== цел = Таким образом, если ввести инде-
финитную метрику, то электромагнитное поле удается прокван-
товать непротиворечиво.
Заранее не очевидно,, что введение индефинитной метрики не
приведет к каким-либо парадоксальным результатам вроде «отри-
цательных вероятностей» и т. п. Однако таких парадоксальных
результатов не появляется. Чтобы в этом убедиться, покажем,
что среднее значение наблюдаемой величины К, содержащей
операторы (у) и их производные, по векторам состояний про-
странства с обычной и индефинитной метрикой совпадают. Для
этого докажем, что
ФЛ/СФ = Ф/ЛГ/С'ГФ/Г,	(4.35)
здесь Ф/г — векторы состояний, Ktr — операторы, не содержащие
«продольных» и «временных» фотонов. Другими словами, в обеих
метриках в физический процесс дают вклад лишь поперечные
компоненты Ли(х).
Рассмотрим сначала один оператор Л'и" (х). Представим опе-
з
ратор У, е* (к) ак (к) в виде
х=о
3	2
У eJ; (к) ак (к) = £ е* (к) а7 (к) +
Х=0	Х=1
+	(к) (Со (к) - а3 (к)) + (е* (к) + е” (к)) а3 (к). (4.36)
$ 4. Электромагнитное поле
109
Из (4.8) следует, что
ku,
8Д(к) + ^(к) = /.
(4.37)
С учетом (4.36) и (4.37) оператор Д'ц’(х) в координатном пред-
ставлении запишется так:
(х) = Л£(-’ W +	+ Ц” (х),	(4.38)
где
w -$ <*ткi *(к) (к) е~'“-
Л'->W—I ^гт И 7g-т “Г” <к)	м-39»
(х) =	$ dk % (к) (аГ (к) - аг (к)) <г'Ч
Из (4.30) вытекает, что Ь'ц ' (х) Ф = 0. Так как согласно (4.39)
□ Л1*) (х) = 0, то член—вследствие градиентной инвариант-
пости может быть опущен. Поэтому
А<->(х)Ф = Л?н (х)Ф
(4.40)
и аналогично
(4.41)
Из (4.40), (4.41) следует соотношение
<Ьа(1(х)Ф = Ф4г(х)Ф.
(4.42)
11одобиым путем можно получить более общее соотношение (4.35).
Векторы состояния. При построении векторов состояния с опре-
деленным числом фотонов используем четырехмерные операторы
вождения d£‘ (к) и уничтожения оГ'(к) фотонов (Х = 0, 1, 2, 3).
Действуя на вектор состояния вакуума Фо операторами рождения,
получаем вектор состояния с определенным числом фотонов:
например, «к+1 (к) Фо — вектор состояния с одним фотоном с импуль-
сом к и поляризацией X, ^’(М^Й (ка)Ф0 —с двумя фотонами
с импульсами къ ка и поляризациями Xlt Ха и т. д.
В общем случае вектор состояния задается числами заполне-
ния фотонов с определенными импульсами к и поляризациями X.
по
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
§ 5. КОМПЛЕКСНОЕ СПИНОРНОЕ ПОЛЕ
Лагранжева формулировка. Заряженные лептоны со спином Va
(электроны, р-мезоны) описываются комплексной спинорной функ-
цией, которая подчиняется уравнению Дирака (см. гл. 1, § 3):
(г’Т1л-^——	(л:) =°;	(5.1).
Ф	=	(5-2)
Чтобы получить эти уравнения', выберем лагранжиан спинорного
поля в инвариантном виде
% = у [ф (*)	~ ЬФ (*)] ~ тф (х) Ф (X).	(5.3)
Заметим, что этот лагранжиан обращается в нуль, если функции
ф(х) и ф (х) удовлетворяют уравнениям поля (5.1) и (5.2). Выбе-
рем в качестве независимых переменных функции ф (х) и ф (х).
Тогда из (5.3) следует, что
д%
дф
i дф
7^ дхц
,	. дХ i ,
дХ	i дф у	i -
дф —	2 дх„	т^’	, дф ~ 2
(5.4)
(5.5)
Подстановка в (1.9) соотношений (5.4) приводит к уравнению
(5.1), а соотношений (5.5) —к уравнению (5.2). Тензор энергии-
импульса спинорного поля согласно (2.39) запишется так:
.г д,£д$ дХ дф
’ Tuv=——	4----~	(5.6)
д дф dxv g дф dxv
дХц
или, если учесть (5.4) и (5.5), а также то, что (5.3) обращается
в нуль для ф (х) и ф(х), удовлетворяющих уравнениям (5.1) и
(5.2),
„ i 7 дф	« дф .,	/Е-
— 2 ФТр дХу!	2 дХу1 Тцф.	(5.7)
Вектор тока (2.65) в случае комплексного спинорного поля
имеет вид
/н (х) = — ie [	ф-----ф\ = — ефТцф,	(5.8)
ff 5. Комплексное спинорное поле
111
откуда для заряда поля (2.67) получаем
Q = — е § с?хфуоф.
(5.9)
Имея в виду (2.40), находим для вектора энергии-импульса спи-
норного поля
Рц= ( </х7оц = у dxWo-^- - 4Л dx^rW =
J	** J	С/Л|Д^
= i </хфу0(я^То-ф)- (5.10)
*7	-	Р-	«7	Р
Второй член последнего выражения равен нулю. Его, временная
компонента обращается в нуль вследствие закона сохранения
полного заряда, определяемого (5.9),
J <1хфуоф = О,
а пространственная компонента — вследствие отсутствия полей на
бесконечности:	'
Поэтому вектор энергии-импульса спинорного поля выглядит так:
= 1 jj dxtyy0-^-.
(5.П)
Импульсное представление. Перепишем функции ф (х) и сохра-
няющиеся величины спинорного поля в импульсном представле-
нии. Как уже говорили (гл. 1, § 3), при фиксированном значении
импульса уравнение Дирака имеет четыре независимых решения —
дна с отрицательной энергией (г =1,2)

(5.12)
f ’(х)
п два с положительной энергией (г = 1,2)
= —V ^р^^г4“’(Р)е~‘'(р'Л’~рх)
(2л)3/Е ' *У2р0
им (р) и (р) удовлетворяют уравнениям (3.15) и
(3.18), (3.18')-гл. 1. Множитель обусловлен нор-
спиноров й (р) и (р) = 2т.
решение уравнения
(5.13)
Функции
условиям
мпровкой
Общее
суперпозиции решений (5.12) и
ч|) (х) = ф(+) (х) + ф(_) (х) =
• —V dp -4= ui+> (р) eipx 4- -
Дирака представляется в виде
(5.13)
—!-j— f dp -yL= иН (р) e~ipx. (5.14)
112
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
Соответственно для сопряженного спинора
ф (х) — ф(+) (х) 4- ф(_) (х) =
= —тг dp	й(+) (р) eipx 4-Цт- f dp	(р) е-'Р*. (5.15)
(2л)/2 J Р/2р0	(2л)’/е J н/2ро	'
Если функции > (р), й(±)(р) заменить их разложением по спи-
новым состояниям согласно формулам (3.22), гл. 1, то решения
(5.14) и (5.15) перепишутся в виде:
ф (х) = ф(+) (х)4-ф(-) (х), ф (х) = ф(+) (х)4-ф(-> (х),
где
2 ^-’^-’(р).	(в1б)
(2л) J у 2р0	2
ф(±> (х) = —Цт- dp ipx У 0(±> (р).
Y '	(2л)8/2 J н /2р0 Г^Т2
Функции ф(+> (х) и ф(_) (х) представляют собой положительно и отри-
цательно частотные части функции ф (х); поэтому условия- эрми-
това сопряжения для спиноров ц<±>(р) имеет вид
(Ц(Т) (р))+ = ц(±>(р),
и аналогично для коэффициентов а± (р)
(а+(р))+ = а±(р).
Мы предположили (см. гл. 1, § 3), что для дираковски сопря-
женных спиноров выполняется следующее условие ортонормировки:
(Р)	(Р) =	(Р) То^’ (Р) = ч= 2тЬГГ’.	(5.17)
Из (5.17) и уравнения Дирака найдем:
а)	условие ортонормированности для спиноров v (р)
(ц(±> (р))+ц(±> (р) = 2p06rrs	(б. 17')
б)	условие взаимной ортогональности спиноров v (р) с различ-
ными знаками аргументов
^?(Р)^Т)(—р)==0;	(5.18)
в)	формулы суммирования по проекциям спина частицы и
античастицы:
Л1"'	V'^ (Р)	(Р) == (Р 4- "1)а₽,
г;’	(5.19)
Л,+’= 2 Vrta(p)0r7'₽(P) = (p-m)a₽.
§ 5. Комплексное спинорное поле
113
Для доказательства соотношения (5.17') будем исходить из
уравнений Дирака
(Торо — w + m)«r+’(P) = 0, (Торо - TP - tn) v'r' (р) = 0.	(5.19')
+
Умножим первое из этих уравнений слева на Он'(р):
Роб'г1 (р) v'r+' (р) - v {“’ (р) (ру) v’r+' (р) 4- т <р) г4+’ (р) = О
и возьмем его эрмитово сопряженное
Pov'r" (Р) v'e (р)	(р) (ру) vP (р) + т v'r~' (р) о?’ (р) = 0.
Сложим оба выражения и подставим их в левую часть (5.17);
и результате найдем
v'r~‘ (р) V?’ (р) = 2робгг-.
Аналогичным способом доказывается второе соотношение (5.17').
Для доказательства свойства ортогональности (5.18) умножим
первое из уравнений (5.19') слева на v'J'f—р):
Рок*’ (— Р) v'r+l (р) —kt’ (— р) [уо (ур) — ту0] v'r+' (р) = 0,
в второе —на v'^ (—р) и возьмем эрмитово сопряженное
Рок1-' (— Р) ' (Р) + к*’ (— Р) [у0 (ур) - Wo] (р) = 0.
Складывая два последних выражения, находим одно из соотно-
шений (5.18): v'r'1 (—р) о/(р) = 0. Аналогичным путем доказы-
вается второе соотношение (5.18).
Для доказательства первого соотношения (5.19) воспользуемся
гем, что функции и/’ (р) и г>',+’ (р) удовлетворяют уравнениям
(см. гл. 1, § 3): (Р — т) v‘r~' (Р) = 0, 0'/’ (р) (р — т) = 0; следова-
тельно,
(/5 — т) v'r-’a (р)	(р) = о';’а (р) ц-t’p (р) (р - т) =
= (р-т) Л-' (р) = Л'~ (р) (р - т) = 0,-
Гпк как р^т2, то из последнего следует формула суммирования
по проекциям спина частицы
А(-)(р) = (р4-т)ар.
Аналогичным образом найдем формулу суммирования по проек-
циям спина античастицы:
Л’'' (р) = 2 « <Р)	<Р) = (Р “ т)«Р-
Найдем выражение для энергии и импульса в импульсном
представлении. Для этого подставим (5.16) в (5.11) и проинтегри-
114
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
руем полученное выражение по х и р.', пользуясь формулами:
W- S dp/ S dxei(₽+₽'’* =
= ? dp'e* (ро+ро)^ 1  f dxe~‘(p+p')x =
J	(2л)3 J
= (j dp'e‘ (po+po) (p 4- p') = e2i‘po*o; p — — p',
dp' dxe'(p—p')z= dp'e‘(po—po)*o6(p —p')= 1; p = p'.
Учитывая (5.17) и (5.18), приходим к следующим выражениям
для энергии и импульса поля в импульсном представлении:
Po = $dppo 2 &+’ (Р) а'Г1 (р) - аГ(Р) аГ (р)],	(5.20)
г=1, 2
P = $rfpp Ц к/’(Р)«г’(Р)-£’(Р)«г+1 (Р)]. .	(5.20')
г=1. 2
Аналогичным образом получаем выражение для заряда (5.9) ком-
плексного спинорного поля в импульсном представлении
Q = -e$dp 2 [аГ (р)а-г-(р) + аГ(Р)^+’(Р)].	’	(5.21)
г = Ь 2
Из (5,20) и (5.20') следует, что энергия спинорного поля может
принимать как положительные, так и отрицательные значения,
т. е. энергия не является положительно определенной величиной;
заряд же может принимать только один знак, т. е. заряд —
положительно определенная величина. Другими словами, ситуа-
ция в случае спинорного поля противоположна той, которая
имеется для скалярного поля *>.
Квантование. Перейдем к квантованию спинорного поля. Для
этого заменим в выражениях (5.16), (5.20), (5.20'), (5.21) функ-
+
ции (р) и (р) операторами, а операцию комплексного
сопряжения классических величин — операцией эрмитова сопря-
жения операторов. После такой замены операторы энергии,
импульса и заряда будут эрмитовыми.
Из структуры вектора энергии-импульса (5.20), (5.20') видно,
что спинорное поле должно быть проквантовано по Ферми —
Дираку (см. § 3). Поэтому операторы ^’(р) и а (р) удовлетво-
*’ Рассмотренные примеры являются частными случаями общей теоремы
Паули: если существует релятивистская инвариантность, то для частиц с целым
спином энергия положительно определена, а заряд положительно не определен,
для частиц с полуцелым спином, наоборот, энергия положительно не определена,
а заряд положительно определен.
§ 5. Комплексное спинорное поле
115
ряют коммутационным соотношениям
|Ч+'(р), а'г“'(Р')]+ = 6г'г6(Р- Р').	(5.22)
[a'r~' (р), а'А‘ (р')]+ = 8Г.Г8 (р - р'),
т. е. антикоммутатор операторов аГ} (р), «/’(р) и (р), aZ’(P)
равен 6-1})ункиии, а остальные антикоммутаторы операторов а'/1,
+ • +
a'r+\ d^' обращаются в нуль (эти операторы антикоммутируют).
По установившейся традиции будем считать, что основными
частицами спинорного поля являются электроны, а античасти-
+
нами — позитроны. Тогда (см. § 3) операторы а'/’ и аГ’ описы-
вают рождение и уничтожение электронов, а операторы а^1 и
I- _
а'г' — рождение и уничтожение позитронов.
Оператор спина. Убедимся, что операторы а являются также
операторами рождения и уничтожения частиц и античастиц
с определенной проекцией спина на заданное направление,
и качестве которого выберем направление трехмерного импульса р.
• +
Для этого надо показать, что векторы состояний а/’(р)Ф0 и
<4 ' (р) Фо являются собственными векторами оператора проекции
спина на направление импульса (с определенными собственными
значениями)..
Найдем сначала выражение для спина неквантованного спи-
норного поля. Оно определяется последним слагаемым формулы
(2.И8), которое с учетом (2.14) в рассматриваемом случае запи-
шется в виде (так как А— А)
Sfiy— f dx j4|iv,арфр “Ь f dx _ -Дрл,(5.23)
J d<^a	J Л^Фа
d*b	dx0
где Дцт.ар-матрица бесконечно малых преобразований спинор-
ных функций. Для нахождения матрицы Л^.ар в случае спинор-
ного поля учтем (см. § 3, гл. 1), что при конечных преобразо-
ваниях Лоренца Хц = Оц.уХу спиноры преобразуются следующим
образом:	'
ф' (%') = ^ф (х), ф' (%') = ф (х)
причем матрица X удовлетворяет условию (3.31) гл. 1:
=	(5.24)
В случае бесконечно малых преобразований Лоренца имеем
для коэффициентов а^,\
i'hv ”	(5.25)
116
Глава 3. Свобооные поля. Лагранжев формализм
и матриц <5?:	»
= 1 + У Л^со^,	= 1 - 4	(5.26)
где согласно (2.10') <0^ = — (о^.
Подставляя (5.25), (5.26) в (5.24), находим, что матрица Л^
должна удовлетворять условию
["Vai Дрл;]-= gati4v ёахУц-	.	(5.27)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что это соотно-
шение будет выполнено, если матрицу Л^ выбрать в виде
Лцу= (ТцТу TvTh) = ~2	(5.28)
где
^ = у(ТцТт-ЬТц).	(5.29)
Подставляя (5.28) в (5.23) и учитывая (5.4) и (5.5), приходим
к выражению для спина спинорного поля
suv = Ft dx Ф (*)lw + o’JtvTo] ф (x)	(5.30)
или, для его пространственной части (i, Л=1, 2, 3)
= — 4 dxijj (х) сг£*-ф (х).	(5.31)
Определим вектор спина спинорного поля так (eiw — единичный
полностью антисимметричный тензор):
(5.32)
Тогда, используя (5.31) и (5.29), найдем для вектора спина спи-
норного поля
S; = “2“ ( ^ХФ (х) Лгг|) (х),
(5.33)
где Л;= 4е/й/°лг = у е/л/ТйТ/. Матрицы А, эрмитовы и удовлетво-
ряют перестановочным соотношениям для операторов момента
импульса: [Лг, Л*]_= 2е/иЛг.
Из-за отсутствия симметрии у тензора энергии-импульса (5.7)
вектор спина спинорного поля не сохраняется (см. § 2). Однако
проекция вектора спина на направление импульса (Sp) сохра-
няется. Это следует из того, что оператор (Sp) коммутирует
с гамильтонианом уравнения Дирака. Проекцию спйна на направ-
ление импульса называют спиральностью. Пусть п =
р
£ 5. Комплексное спинорное поле	И 7
пичный вектор в направлении импульса. Так как оператор (Sn)
коммутирует с гамильтонианом уравнения Дирака, то спиноры
м(+> (р) и (р), являющиеся решениями уравнений Дирака,
будут также собственными функциями оператора (Ап):
(An) и?' (р) = iru'r+’ (р); (Ап) и'Г’ (р) = ir и’Г' (р).	(6.34)
Ясно, что г может принимать два значения (г = ±1), которые
соответствуют проекции спина вдоль и против направления
импульса.
Для получения выражения для оператора спина квантован-
ного спинорного поля надо в (5.33) заменить согласно (5.16)
функции ф(х), ф(х) их операторами; в частности, для оператора
проекции спина (Sn) на направление импульса после интегри-
рования по х, р
$3 = J (Р) 4-’ (р) е (р) (An) v'7> (р) +
+ а'-' (р) а? (р) & (р) (An) г&> (р)}. (5.34')
Чтобы найти значения проекций спина, соответствующих
+ .
вектору состояния а+ (р) Фо, рассмотрим уравнение
(Sn)> (р)Фо= ([(Sn), аГ (р)]_+а'+’ (р) (Sn))Фо.	(5.35)
Имея в виду (5.34), получаем для коммутатора
[(Sn), a™ (p)]-=g &+‘ (Р) (An) v<r+> (р))-> (р).	(5.36)
С учетом условия нормировки (5.17) и ортогональности (5.18),
и также уравнений (5.34) коммутатор (5.36) перепишется так:
[(Sn), ^’(Р)]- = 4^’(Р),	(5-37)
п аналогичным образом
[(Sn), й'-’(р)]- = |гаГ(р).	(5.38)
Подставляя последнее в (5.35) и учитывая, что (5п)Фо = О (спин
нвкуума равен нулю), получаем окончательно
(Sn) a'r+' (Р) Фо = 4 гаГ (р) Фо.	(5.39)
Аналогичным образом  вычислим
(Sn) (р) Фо = 4 /‘а(~) (р) Фо.	(5.40)
Следовательно, вектор состояния а)-+’(р)Фо описывает частицу
г энергией р0, импульсом р, зарядом (—е) и проекцией спина
mi направление импульса (спиральностью), равной г/2, а вектор
118
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм
а1/’ (р) Фо — античастицу с энергией р0, импульсом р, зарядом
(+ е) и спиральностью г/2, т. е. операторы а'г+> (р) и а'г' (р) дей-
ствительно описывают рождение электрона и уничтожение пози-
трона (напомним, что основным является электронное поле).
Векторы состояний. Действуя операторами рождения на ваку-
умную функцию Фо, можно образовать векторы состояния, соот-
ветствующие системе с заданным числом частиц. Например,
а,+) (р) Фо — вектор состояния электрона с импульсом р, а'г+> (р) Фо—
+ +
позитрона с импульсом р, dr (pi) а)+) (р2) Фо — двух электронов,
a'/’ (Pi) аг+1 (Р) Фо — электрона и позитрона и т. п.
В общем случае вектор состояния спинорного поля однозначно
задается числами заполнения частиц и античастиц.
Нормальная форма. С помощью (5.20), (5.20') и (5.21) выра-
жения для операторов энергии, импульса и заряда, записанные
в нормальной форме (оператрры рождения стоят слева от опе-
раторов уничтожения), имеют вид:
P0 = $dpp0 и (> (р) аг (р) + а!У (р) а” (р));	(5.41)
г—1,2
P = $rfPP S (^+’(р)аГ(Р) + ^+,(Р)йГ(р));	(5.42)
г=1, 2
Q = e\dp (^’(Р)«Г(р)-^’(р)аГ(р)).	(5.43)
г=1, 2
Перестановочные соотношения. Имея в виду формулы (5.16),
(5.22), (5.19) и (3.57) — (3.60), получаем коммутационные соотно-
шения для спинорного поля в координатном представлении:
[Фа’ (х), ф₽+’ (£)]+ = (2ЙН S dp S dp' 2V^,ei(Py~PX}X
X XpW‘(P')]+=-(^)3 J dp J	X
K,
X[<’(p), а$’ф')]+=(-А_ J dp2^e‘P^-^2^ (p)6₽t?.(p) =
(2л)3 J P	2p0
[Ф(+) (x), ф(-> (p)]+ =	J- 4- m) у £><+> (x - y)
(д \ 1
}sa₽(x-i/), (5.44)
l-S+(x — y),
(5.45)
lS(x-p). (5.46)
§ 1. Взаимодействие между полями
119
Здесь D (х — у) — перестановочная функция, a D± (х — у) — ее поло-
жительно и отрицательно частотные части (см, § 3); причем
S(x — y) = S+(x—y) + S~ (х-у) = (iyp ~ 4- m) D (х - у). (5.47)
В частности, в случае одинаковых времен (х0 = #0) переста-
новочные соотношения (5.46), если учесть (3.60), перепишутся
так:
[ф(х), ф (г/)]+|
г
_!_х
(2n)3i А
к f
•7	РО	|ХЬ=Уа
=То А ’ С dpeW*-» sinPo(*o-fo)|
г дхе (2л)3 J н	Ро I-
= Vo (2^ J dpe'₽ <Х-У) C0S Ро “
|*о =Уо
Уо) к=й = То 6 (X - у). (5.48)
Глава 4
КОВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1.	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ПОЛЯМИ
Неквантованные лагранжиан и гамильтониан взаимодействия.
До сих пор мы анализировали свободные поля. Перейдем к рас-
смотрению взаимодействующих неквантованных полей. Взаимо-
действия между полями характеризуются лагранжианом взаимо-
действия X]. Последний представляет собой в общем случае
сумму инвариантов, которые можно образовать из функций вза-
имодействующих полей (можно было бы учитывать и такие
инварианты, в которых наряду с функциями поля входят также
н их производные, но на таких взаимодействиях мы останавли-
ваться не будем).	’
Приведем выражения для некоторых инвариантных лагран-
жианов взаимодействия:
1)	(х)==£г.'ф(х)'ф(х)<р(х) —взаимодействие скалярного поля
со спинором,	(1.1)
2)	<5?/ (х) = £ргф (х) у5ф (х) ф (х) — взаимодействие псевдоскаляр-
ного поля со спинорным, (1.2)
3)	(х) = — еф (х) Ур. (х) ф (х) Дц (х) — взаимодействие электро-
магнитного поля со спи-
норным.	(1.3)
Здесь gs, gpS, е — константы взаимодействия, характеризующие
сто интенсивность.	'
Заметим, что если использовать и производные функций
Дц(х), то наряду с (1.3) можно построить еще два типа лагран-
120
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
жианов взаимодействия, удовлетворяющих требованиям реляти-
вистской инвариантности:
X™ (х) = |imip (х)	(х) Ftiv (х),
«З?/ (х) = Цг'ф (х) Оу v1p (х) CpvaP^ар (%)»
1	йЛр(х) dAv(x)
где OpV=g- (TpTv — TvTp), /> = —--------------тензор электро-
магнитного поля.
В нерелятивистском приближении эти лагранжианы выглядят
так (Е, Н — напряженности электрического и магнитного полей):
[/7 = цт(аН), t4 = |ie(aE).	(1.3')
Величины pim и представляют собой собственные магнитный
и электрический моменты электрона.
Электромагнитное взаимодействие без учета X™ и Xе,, т. е.
взаимодействие (1.3), иногда называют «минимальным электро-
магнитным взаимодействием'». Далее будет рассматриваться лишь
«минимальное электромагнитное взаимодействие».
Полный лагранжиан X двух взаимодействующих полей равен
сумме лагранжианов свободных полей Хи Х2 и лагранжиана
взаимодействия Хр
X = Xfj- Х2-\- X f.	(1.4)
Например, лагранжиан взаимодействующих спинорного и элек-
тромагнитного полей согласно (4.3), (5.3), гл. 3 и (1.3) запи-
шется так:
1 <ЭЛ„ сМц i Г— dip dip 1
—	(х) чр (х) - ёф (х) у^чр (х)	(х). (1.5)
При варьировании (1.5).по потенциалам электромагнитного поля
Ли(х) получаем уравнение Максвелла с учетом спинорного поля
□ Лц(х) = —ёфуцф.	(1.6)
Аналогично варьирование (1.5) по яр и ip дает уравнения Дирака
с учетом электромагнитного поля:
(*) = 0,	(1.7)
Ф(*)^Тц^+пИц) + ^(*) = 0-	(1.8)
С помощью выражения для лагранжиана системы можно
найти вид плотности гамильтониана . Для этого восполь-
зуемся соотношением (2.41), гл. 3. Например, для X, опреде-
I
§ 1. Взаимодействие между полями		121
ляемого (1.5), имеем
«л- _^Фа . дФа ,	^<3? дЛц у (19)
\дхо /	\дхв I	\дх0)
Так как лагранжиан взаимодействия (1.3) не содержит произ-
водных функций полей, то он не дает вклада в первые три сла-
гаемые формулы (1.9). Поэтому имеем
<£^\=^'0-Х1г	(1.10)
где е^о —сумма плотностей гамильтонианов свободных полей:
Плотность полного гамильтониана системы равна сумме
плотностей гамильтонианов <г%'0 свободных полей и плотности
гамильтониана взаимодействия
=	+	(1.12)
Из сравнения (1.10) и (1.12) следует выражение для плотности
гамильтониана взаимодействия спинорного и электромагнитного
полей: е%<’/(х) =— ^i(x). Это соотношение остается в силе и
для других систем полей, лагранжиан взаимодействия которых
не содержит производных по функциям полей.
Квантование. Если заменить в выписанных выше выраже-
ниях функции поля их операторами и взять операторные выра-
жения в нормальной форме, то получится вид плотности лагран-
жианов и гамильтонианов в квантованной теории поля; так, для
(1-3)
(х) = eN (ф (х) тиф (х)) Аи (х) = eN (ф (х) А (х) ф (х)). (1.13)
Веря интеграл от плотности <£% / по всему трехмерному объему,
приходим к гамильтониану
+ оо
Hi(t)= 5 dx^/(x).	(1.14)
— со
Чтобы собственные значения операторов X и Н были веществен-
ными, эти операторы должны быть эрмитовыми. Поэтому будем
брать их в форме
Jf(x)+Jf+(x) и Я(х) + Я+(х).
Исходя из оператора лагранжиана можно получить уравне-
ние для операторов полей и вид операторов сохраняющихся
величин. Вычисления вполне аналогичны тем, которые проводи-
лись в случае неквантованных полей (см. гл. 3).
122
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Представления взаимодействующих полей. Рассмотрим пове-
дение вектора состояния Ф динамической системы со временем.
Это поведение описывается уравнением Шредингера
=//5ф5(/)> (1 15)
где Ф® (t) — зависящий от времени вектор состояния; Hs =
=	/)— полный гамильтониан системы, не завися-
щий от времени для замкнутых систем.
Представление, в котором вектор состояния зависит от вре-
мени, а операторы сохраняющихся величин не зависят, назы-
вается шредингеровским. В этом представлении среднее значение
оператора Fs определяется так:
(0Fs®s (t).	(1.16)
Оно зависит от времени благодаря зависимости от времени век-
тора состояния Ф® (/).
От представления Шредингера можно перейти к представле-
нию Гейзенберга, в котором от времени зависят операторы, а не
вектор состояния. Для этого введем оператор U = erlHSt, кото-
рый переводит вектор состояния ФЛ, не зависящий от времени,
в вектор состояния Ф®(/), зависящий от времени,
ф« =	Ф>‘.	(1.17)
Оператор U — унитарный, т. е. он обладает свойством
[7(7+ = g—imgiHt _ j
По определению вектор состояния ФЛ в представлении Гейзен-
берга удовлетворяет уравнению i—= 0. Чтобы наити вид опе-
раторов в представлении Гейзенберга, подставим (1.17) в (1.16):
Fs (/) =	1 Fse~iHS' ФЛ.	(1.18)
Эту формулу можно интерпретировать как среднее значение
оператора
Я (t) = eifiS tFse~tHS № — Hh,	(1.19)
зависящего от времени, по векторам состояния Ф4, не завися-
щим от времени, т. е. (1.19) является оператором в представле-
нии Гейзенберга. Дифференцируя соотношение (1.19) по времени,
получаем уравнение, описывающие изменение во времени опера-
торов в представлении Гейзенберга:
“ ‘	= Hh]ph ~ FhHh = ^Hh’	(1 -20)
I
§ 1. Взаимодействие между полями	123
Представления Шредингера и Гейзенберга в известном смысле
противоположны друг другу. Промежуточным между ними яв-
ляется представление взаимодействия, в котором от времени
зависят и векторы состояния, и операторы. Чтобы перейти
к представлению взаимодействия, введем унитарный оператор
U0—elH%, в который входит не полный гамильтониан, а только
его часть Hs0. В этом случае вектор состояния преобразуется так:
<b(f) = etH%<bs(t).	(1.21)
Дифференцируя последнее по времени и используя (1.15), полу-
чаем
.	=  я,ф +	+ е-1нрф =
= е^Нк"^Ф(0,
т. е.
1^М,(1)Ф(0,	(1.22)
где
Н, (0 = е1Н°‘ Н]е~1Н^.	•	(1.23)
Таким образом, в представлении взаимодействия векторы состоя-
ния Ф(0 зависят от времени и удовлетворяют уравнению Шре-
дингера с гамильтонианом также зависящим от времени.
Чтобы найти вид операторов в представлении взаимодействия,
подставим (1.21) в 41.16):
Ф (0 е‘н°* Fs ё~ Ф (0 = Ф (О F (/) Ф (/),	(1.24)
здесь
Р(1)=е1Н°‘ Р*е~1Н°*,	(1.25)
т. е. в представлении взаимодействия операторы зависят от вре-
мени.
Для получения закона изменения операторов во времени
и представлении взаимодействия продифференцируем выраже-
ние (1.25) по времени:
- i = H0F - FH0 = [Но, Л-	(1-26)
Эти уравнения движения для операторов по виду совпадают
с соответствующими уравнениями в представлении Гейзенберга,
по в (1.26) входит не полный гамильтониан Н, а только его
чисть Но, т. е. в представлении взаимодействия операторы под-
чиняются уравнениям для свободных полей.
124
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Следовательно, уравнения для векторов состояния и опера-
торов записываются в различных представлениях так:
1)	. dOF(t) 	= о_представление Шредингера;
2)	=	=	Fh (0]-“• представление Гейзен-
берга;
3)	t =/7;ф (t), — i ^ = [Н0, F (/)]_ — представление
взаимодействия.
Векторы состояний Ф\ ФЛ, Ф и операторы Fs, Fh, F в трех
представлениях связаны между собой унитарными преобразова-
ниями:
Ф‘ it) = е~lfiht ФЛ, Ф (0 = е1Н°* Ф5 (t),
h h	(1.27)
ps =е-1Н^рке1нЧ F==eiH^FSe-tH^ _
Так как переходы между представлениями совершаются М
с помощью унитарных операторов, то физически все три пред-
ставления совершенно эквивалентны.
Перестановочные соотношения. В теории квантованных вза-
имодействующих полей кроме системы уравнений для операторов
полей надо сформулировать перестановочные соотношения для
операторов полей.
В представлении взаимодействия операторы полей зависят от
времени и подчиняются уравнениям для свободных полей. По-
этому в представлении взаимодействия операторы полей удов- '
летворяют тем же перестановочным соотношениям, что и опера-
торы свободных полей —см. формулы (3.59), (4.32), (5.46), гл. 3.
В представлении Шредингера, по определению, операторы
полей не зависят от времени. Поэтому, чтобы получить переста-
новочные соотношения для операторов полей в представлении
Шредингера, надо избавиться в перестановочных соотношениях
в представлении взаимодействия от времени, например, положив
Хо — Уо — G. Тогда согласно формулам (3.60), (4.32) и (5.48), гл. 3
перестановочные соотношения в представлении Шредингера при-
мут вид: 
[<PS (х), ср* (</)]_ = 0; [Л^ (х), Л’ («/)]_ = 0;
г —	1 ।	(*-28)
[ф5 (х), ф* («/)]+ ={,„ = уоб (х - у).
В представлении Гейзенберга операторы полей зависят от
времени и подчиняются уравнениям для взаимодействующих
полей. Чтобы написать перестановочные соотношения в этом
случае, надо сначала найти явный вид операторов полей с уче-
том взаимодействия. Однако этого сделать нельзя и поэтому
перестановочные соотношения для операторов полей в представ-
§ 2. Выражение для матрицы рассеяния в теории возмущений	125
лении Гейзенберга неизвестны. Перестановочные соотношения
в представлении Гейзенберга можно записать лишь в случае
одинаковых времен. Для этого надо воспользоваться тем, что
задание перестановочных соотношений для одинаковых времен
эквивалентно заданию перестановочных соотношений в момент
времени хо = О. Гейзенберговские операторы определены так, что
в момент времени хо = 0 они совпадают с операторами в пред-
ставлении взаимодействия. Поэтому в соответствии с формулами
(3.60), (4.32) и (5.48), гл. 3 перестановочные соотношения в пред-
ставлении Гейзенберга для одинаковых времен имеют вид
№ W, ф" (г/)]-	= 0; [Д£ (х),	ДО]. IХо^ = 0;
[фл(х), ^(f/)]+k=z/o = To6(x-y).
Общим в перестановочных соотношениях для операторов
полей во всех представлениях является то, что они равны нулю
вне светового конуса (для пространственно подобных интерва-
лов), где взаимодействие отсутствует и перестановочные соотно-
шения для операторов взаимодействующих полей совпадают
с перестановочными соотношениями для операторов свободных
полей.
«
t 2. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ В ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Задача рассеяния частиц. В квантовой теории поля, так же
как и в квантовой механике, существуют две основные задачи.
11ервая из них сводится к определению энергетических уровней
системы, а вторая представляет собой задачу о столкновениях.
Мы будем изучать лишь последнюю задачу. В общем виде она
формулируется следующим образом. Задано состояние системы
в начальный момент времени t0, описываемое вектором состояния
Ф (/о). Требуется определить состояние системы в конечный мо-
мент времени I, описываемое вектором Ф(/). Для ответа на этот
вопрос надо решить систему уравнений для взаимодействующих
полей, т. е. найти зависимость вектора состояния от времени.
Сейчас мы сосредоточим внимание на процессах взаимодейст-
вия лептонов с электромагнитным полем. Для конкретности
ограничимся взаимодействием электронов с электромагнитным
полем (квантовая электродинамика). В этом случае гамильтониан
взаимодействия (1.14) пропорционален заряду электрона е. По-
следний можно рассматривать как малый параметр, a Hi—как
мвлое возмущение. Поэтому для решения уравнений квантовой
электродинамики применима теория возмущений.
Уравнение и его решение. Будем исходить из уравнения для
вектора состояния Ф(/) в представлении взаимодействия:
(-^==/Д(/)Ф(/)	(2.1)
126
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
и, пользуясь методом последовательных приближений, найдем
решение этого уравнения в форме разложения в ряд по степе-
ням параметра е. Представим вектор состояния Ф (t) в виде
<D(t) = S(t, /0)Ф(М.	‘	.(2.2)
где Ф (t0) — значение вектора состояния Ф (t) в некоторый началь-
ный момент времени t = t0, a S(t, t0) — неизвестный оператор.
Подстановка (2.2) в (2.1) дает уравнение для оператора
S (t, t0):
. dS ^to)	(2.3)
причем S (t, t0) удовлетворяет начальному условию
3 (t0, to) = 1.	(2.4)
Будем искать решение уравнения (2.3) в виде ряда по сте-
пеням е
S(t,to)=% enSn(t, to).	(2.5)
n=0
Подставляя (2.5) в (2.3), найдем
i (So 4- eSi -f- e2S2 ^Sg	...) =
= Ht (t) (So + eSx + e2S2 + ...). (2.6)
Приравнивая члены при одинаковых степенях е (причем Н/г^е),
получаем
^=о, ^=НЛПЗО, i^-=HI(t)S1,
i^ = Hi(t)S2, ...
откуда находим вид решения в соответствующем порядке теории
возмущений
50(/, ^о)== Si (t, to) = —dtiHj(ti), S2(t, to) =
^0
= (- 02 $ dt2H i (t2) Si (h) = (- i)2 $ dh $ dt2Hi (h) Hi (t2).
'°	t 4	'°	<2-7)
Sn(t, t0) = (— i)n\ dh J dt2 $ dta ...
^0 to t0
*п-г
... J dtnHi (ti) Ht (t2) Hi (t3) ...Hi (tn).
to
§ 2. Выражение для матрицы рассеяния в теории возмущений
127
Верхние пределы интегрирования в этих интегралах различны
и лежат в интервале (t0, t); пусть
Как видно, интегрирование в (2.7) производится по различным
интервалам (t0, (to, tn-г),   , (to, tj, (t0, t).
Преобразуем интегралы в (2.7) так, чтобы интегрирование
в каждом из них производилось в одном и том же интервале
(t0, t). Поясним идею преобразования на примере интеграла
ft (t, t0):
t	ц
S2 (t,. to) = — dti J dt^Hi (ti) Hi (t2).
t0	^0
Здесь интегрирование производится (рис. 4.1) по нижнему тре-
угольнику, для которого ti>t2. Заменим в (2.8) переменные
И ti -► ti'.
t	ц
S2 (t, to) = — \ dti $ dtiH! (ti) Hi (tj
to	^0
(2.9)
и поменяем в последнем порядок ин-
тегрирования (что поведет к изменению
пределов интегрирования):
Л’и (t, t0)=- \ dtr $ dhHi (ti) Hi ft).
t,
(2.Ю)
(2.8)
Рис. 4.1. Области интегриро-
вания
Зцссь интегрирование производится (рис. 4.1) по верхнему тре-
угольнику, для которого ti>ti. Сложим почленно (2.8) и (2.10):
ft ft to) =
t г t,	t
2 I dtiHi (ti) Hi (ti) dtiHi (t^ Hi (tj) •.
to Go	3	tl
(2.П)
Kcjiii бы операторы H (trf и H (t2) коммутировали, то послед-
нее выражение переписалось бы в виде двойного интеграла
t t
ft ft, to) = --AdtA dtiHi ft) H (ti),
и in п ором оба интегрирования производятся уже в интервале
(/„, /), т. е. по всему квадрату ft, t), изображенному на рис. 4.1.
|1 >|,шпом случае операторы Н ft) и ft ft) не коммутируют.
Введем оператор Т и назовем его хронологическим-, он распо-
iiii.irr и произведении множители, отвечающие меньшему зна-
•н пню премеип, справа от множителей, отвечающих большему
128
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
значению времени. В. частности, для операторов //;(/]), Hi(t^)
ЦН^М))-
или
H^tJH^),
Н^) H{(h),
если
если
ti < tii
ti < t%
(2.12)

т (Ht (h) h, (Z2)) = e (^ - 4) H! (h) Ht (4) +
(2.13)
( 1, если x>0,
где 6(x) = {
( 0, если x< 0.
С помощью хронологического оператора T выражение (2.11)
для S2 (t, t0) запишется в виде двойного интеграла уже по пол-
ному интервалу (t0, t):
t t
S2 (t, /о) = — 4Д dh dtzT(Hi(h) Hi(t2)).	.	(2.14)
io io
Аналогичным образом можно показать, что в общем случае
/	t	t
Sn (t, to) = J dti J dt2... J dta T (Hi (ti) Ht (t2) ...Hi (tn)).
fo	fo	io
(2.15)
Здесь T — хронологический оператор, располагающий множители
таким образом, что их временные аргументы возрастают справа
налево.
S-матрица рассеяния. Задача рассеяния частиц формулируется
следующим образом. Пусть задана начальная система невзаимо-
действующих частиц при t=— со, описываемая вектором состоя-
ния Ф(—со). Надо найти, в каком состоянии в результате взаи-
модействия окажется система при Z=-]-oo, характеризуемая
вектором состояния Ф(оо). Из (2.2) следует, что
Ф (со) = S (со, — со) Ф (— со).	(2.16)
Оператор S (со, —со) называется S-матрицей рассеяния. Этот
оператор, действуя на вектор состояния начальной системы,
заданной в бесконечно удаленном прошлом / = — со, дает век-
тор состояния системы в бесконечно удаленном будущем (/ = оо).
Чтобы получить вид S-матрицы в теории возмущений, надо
в выражении (2.15) заменить конечные пределы интегрирования
бесконечными:
4-00	4-со
S„(oo, — оо) = Ц^- dti § <#2...
—со	—со
4-00
... $ dtn Т (Н, (4) Hi (t2) ...Hi (t„)). (2.17)
— co
$ 2. Выражение для матрицы рассеяния в теории возмущений
129
Исли учесть (1.14), придем к выражению для S-матрицы через
плотность гамильтониана:
4-00 4*со
S„(oo, —оо) =	dxr dx?,...
— СО	—оо
4-00
... 5 dXnT^'dx^^!^) ...^С^Хп)). (2.18)
— оо
Этот ряд можно записать в виде
/	/	+°°	\\
S(oo, —оо) = Т (exp I — i	dt'Н{(/'))) —
\	\	-со	I/
/	/	+°°	\\
= 7 exp — i J dx,<^I(x')\\. (2.19)
\	\	—ОО	//
Отсюда, в частности, следует, что S-матрица унитарна, т. е.
SS1 - 1. Действительно, вследствие эрмитовости <^4(х),< матрица
•S’* выражается в виде произведения тех же множителей, что и S,
только взятых с обратным знаком и в хронологически обратном
порядке. Поэтому при перемножении S и S+ все множители
попарно дают единицу.
Матричные элементы. Подставляя (2.18) в матричный эле-
мент, имеем
Sti = Ф^Ф,- = ФJj] S„} Фй	(2.2°)
г. с. в теории возмущений матричный элемент данного процесса
представляет собой сумму членов, соответствующих различным
порядкам теории возмущений —нулевому, первому, второму ит. д.
11ашей задачей является вычисление матричного элемента
определенного процесса рассеяния в заданном порядке теории
по 1мущепнй. Чтобы пояснить основную идею вычислений, рас-
смотрим для примера процесс упругого рассеяния фотонов на
•лектропах (эффект Комптона на электроне):
V(^) + e(p)->T(^)+e(p').	(2.21)
Нуннами в скобках обозначены 4-импульсы частиц. Выпишем
нпд матричного элемента этого процесса, например, во втором
порядке теории возмущений. Векторы состояний начальной и
конечной системы определяются формулами (п^ (к), aty (р) — one-
р. । горы рождения фотонов и электронов):
Ф/ сГ(к)£”(Р)Фо, Фг = ^'(На^(Р')Фо,	(2.22)
,) ।амильтониан взаимодействия—формулой (1.13)
- * t eN (ф (х) ф (х))	(х).	(2.23)
0 Ислипа II, Ф.
130
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
С учетом (2.22) и (2.23) матричный элемент процесса (2.21)
во втором порядке теории возмущений согласно (2.20) запишется
в виде
S))’ = Фу52Ф, = Фо п'7> (р')	(k') S2 а'+> (Р)	(к) Фо, (2.24)
где
4“ со +°°
Х2 = Ц^- jj dx,. § ^Т^^ОеЭГ/^)).
— оо —со
Входящие в S2 операторы ф(х), ф(х), Ли(х) представляют собой
сумму операторов рождения и уничтожения электронов и фото-
нов. Иначе говоря, матричный элемент представляет собой сред-
нее по вакууму от определенной комбинации операторов поля.
Вычисление матричного элемента (2.24) можно производить
следующим образом. Будем перемещать операторы рождения
налево, а операторы уничтожения — направо, используя комму-
тационные соотношения. При этом операторы либо «погасятся»
соответственно операторами уничтожения и рождения, давая 6-
функцию, либо подействуют на вектор состояния вакуума и
дадут нуль. Отличный от нуля результат получится лишь тогда,
когда все операторы рождения «погасятся» операторами уничто-
жения и все операторы уничтожения — «погасятся» операторами
рождения.
Как видно, вычисление матричного элемента сводится к за-
даче приведения к нормальному виду комбинации операторов,
стоящей между векторами состояния вакуума Фо и Фо. Конечно,
можно было бы делать такое приведение всякий раз непосред-
ственно. Однако ввиду большого числа получающихся при этом
членов была разработана методика, которая существенно упро-
щает приведение операторов к нормальному виду. К изложению
этой методики, основанной на теореме Вика, мы и переходим.
Сначала (см. § 3) мы остановимся на задаче приведения к нор-
мальному виду S-матрицы, а затем (см. § 4) перейдем к задаче
вычисления матричного элемента S-матрицы, приведенной к нор-
мальному виду.
§ 3. ПРИВЕДЕНИЕ S-МАТРИЦЫ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Матрица рассеяния (2.18) представляет собой сумму интегра-
лов от хронологических произведений операторов поля, причем
отдельные множители этого хронологического произведения уже
являются нормальными произведениями, взятыми для одного и
того же момента времени. .Такого рода Т’-произведение называют
смешанным Т-произведением.
Покажем, что смешанное хронологическое произведение опе-
ратрров поля можно представить в виде суммы нормальных
ff 3. Приведение S-матрицы к нормальной форме	13i
произведений. Сначала остановимся на нормальных произведе-
ниях, а затем перейдем к хронологическим произведениям (обыч-
ным и смешанным).
Нормальное произведение операторов. Рассмотрим произведе-
ние двух операторов. Как известно (гл. 3, § 3), каждый оператор
можно представить в виде суммы положительно и отрицательно
частотных частей. Введем оператор N нормального произведения,
который при действии на операторы, поля расставляет их в нор-
мальном порядке (операторы рождения стоят слева от операто-
ров уничтожения).
По определению, под знаком нормального произведения опе-
раторы можно переставлять друг с другом, считая, что они либо
коммутируют (бозонные поля), либо антикоммутируют (фермион-
ные поля). Например, на произведение двух операторов скаляр-
ного поля оператор N действует следующим образом:
N (ф(+) (х) <р(+) (у)) = ф(+) (х) <р<+) (у);
N (Ф{+) (х)	(у)) = ф{+) (х) ф<-> (у),
N (ф<-> {х) ф(-) (у)) = ср1”’ (х) ф1~> (у);
N (Ф<-> (х) ф<+) (у)) = ф{+) (у) ф(-> (х).
Запишем в нормальной форме произведение двух операторов
Ч'(Х)Ч>(У)- Из (3.1) следует, что
'Р (х) ф (у) = (ф{+) (х) + ф‘-) (х)) (ф<+> (у) -I- ф<-> (у)) =
= ф{+) (х) ф(+) (у) -|- ф(+) (х) фЧ (у) -I- ф<-’ (х) ф{+) (у) +
+ Ф<-)(х)ф‘->(^). (3.2)
Гак как согласно (3.57), гл. 3
ф1~’ (х) ф(+) (у) = Ф<+) (у) срн) (х) — iD- (х — у),	(3.3)
то (3.2) перепишется в виде
ф (х) ф (у ) = фе+) (X) ф(+> {у) -I- ф<+> (X) ф<-> (у) -I- ф‘+> (у) ф(-> (х) +
4- ф!-’ (х) ф{-> (у) - iD~ (х — у) — N (х) ф (у)) - ю- (х-у}. (3.4)
Следовательно, ^-неупорядоченное произведение двух операто-
ров скалярного поля равно сумме нормального произведения
•них операторов и перестановочной функции £)-(х — у). Второе
слагаемое в (3.4) обычно называют спариванием исходных опера-
торов н обозначают ф(*)ф(т/). Поскольку вакуумное среднее
нормального произведения, по определению, равно нулю, то
согласно (3.4) спаривание можно определить как среднее по
вакууму от исходного IV-неупорядоченного произведения опера-
юров:
'Ч<|‘ (х) 'I (у) Ф. = <р (х) ч (ч) = — ID (х—у).
о-	1-----1
132
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Итак, произведение двух операторов скалярного поля равно
сумме нормального произведения этих операторов и их спари-
вания:
<Р (х)	= (ср (х) ср (у)) 4- ср (x) tp (у).	(3.5)
Тем же путем получим аналогичное соотношение для опера-
торов электромагнитного поля:
71ц (х) Av (у) = N (4ц (х) Av (у)) -|- igfivDf) (х — у).	(3.6)
При этом согласно (4.32), гл. 3 спаривание операторов электро-
магнитного поля равно
4ц (х) Av (у) — Ф04ц (х) Av (у) Фо = (х — У)-	(3.7)
।_____।
На произведение двух спинорных операторов оператор N
действует так:
N (ф(+) (х) ф(+) («/)) = ф(+) (х) ф(+) (у),
N (ф{-> (х) ф<~> (у)) =чр(-) (х) ф(-< (у),
N (ф(+) (х) ф'г’ (у)) = ф(+) (х) ф(Ч (у),
N (ф<-> (х)ф{+) (у)) =—ф<+> (#)ф{-> (х).
В последнем соотношении появился знак минус потому, что опе-
раторы ф(_) и ф1+) антикоммутируют.
Запишем в нормальной форме произведение двух спинорных
операторов фиф. Учитывая (3.8), имеем
ф (X) Ф (у) = (ф<+> (х) -I- ф{-> (X)) (ф1+> (у) -I- ф<-> (у)) =
= Ф1+) (х) ф1+) (у) -|- ф(+) (х) ф<-> (у) -I- ф(-> (х) ф{+> (у) +
+ ф<->(х)ф1-) (у). (3.9)
Так как согласно (5.44), гл. 3 ф(_) (х)ф{+) (у) — —ф<+) (г/)ф('* (х) —
— iS~(x — y), то (3.9) перепишется в виде
Ф(*)Ф(#) = ^(Ф (x)q(y))-iS~(x-y)==
= (Ф (х) Ф (у)) +Ф (х)ф (у). (3.10)
Аналогичным образом наймем:
Ф (х) $(y)=N (Ф (х) ф (yj) - iS+ (у- х) =
= IV (ф (х) ф (у)) + ф (х) ф (у), (З.ю;)
Ф (*) Ф(У) = N (ф (х)ф (у)), ф (х) ф (у) = N (ф (х) ф (у)).
J 3. Приведение S-матрицы к нормальной форме	133
Отсюда следует, что спаривания различных произведений спи-
норных операторов фиф определяются так:
ФСФР (У) = — iS~ (х — у);
ty(x)ty(y)= — iS+(y — x); ф (х) ф («/) = 0; ф(х)Ф0/) = 0.
Таким образом, произведение двух операторов поля U и V
равно сумме их нормального произведения и спаривания:
UV=*N(UV) + UV.	(3.11)
Теорема Вика. Неупорядоченное произведение не двух, а произ-
вольного числа операторов также можно привести к сумме нор-
мальных произведений. Для этого используем теорему Вика:
неупорядоченное произведение п операторов XYZ ...UV равно
сумме их нормальных произведений со всевозможными спариваниями".
XYZKL ...UV = N (XYZKL ...UV) + ...,	(a)
+ N (XYZKL ...U.V)+N (XYZKL ...t/V) +
+ N (XYZ.,.UV)+ ?*.., (6)
I I.
-I-	W(XYZKL ...UV) + N(XYZKL ... UV) +	j2)
+ N(XYZKL...UV) + ..., (в)
l1—1 I
-I-	N (XYZKL..,UV) + N (XYZKL.,.UV) +
i '— ।____। i ।1 i	1—1
здесь (a) — нормальное произведение, без спариваний, (б) —все
возможные нормальные произведения с одним спариванием, (в) —
все возможные нормальные произведения с двумя спариваниями,
(ij —все возможные нормальные произведения с тремя спарива-
ниями и т. д. В последнем члене суммы все операторы спарены.
Спаривания несоседних операторов определяются так: спари-"
ввемые фотонные (бозонные) операторы можно просто поставить
рядом; спариваемые спинорные операторы также можно поста-
вить рядом, но при этом надо умножить ^произведение на
( 1)/г, где k — число сделанных перестановок спинорных опера-
торов. Например, если UVW — спинорные операторы, то
N (UVWXYZ) = — U YWX К (VZ). Спаривания можно вынести
| I ,1 |	U——J I—J
и । под знака нормального произведения.
134
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
. Переходя к доказательству теоремы Вика, предположим, что
каждый из операторов UVW... в (3.12) является либо операто-
ром поглощения, либо оператором рождения. Эти операторы рас-
положены произвольным образом. Чтобы привести (3.12) к нор-
мальной форме, возьмем самый правый оператор рождения и
будем последовательно переставлять его со всеми операторами
поглощения, стоящими левее его. При этом согласно формуле
(3.11) появятся дополнительные слагаемые со спариваниями.
Такую операцию упорядочения проделаем с другими операто-
рами рождения. В результате исходное произведение будет выра-
жено в виде алгебраической суммы TV-произведений со спарива-
ниями. В эту сумму войдут не все спаривания, а только спари-
вания между неупорядоченными операторами. Однако спаривания
между TV-упорядоченными операторами равны нулю, поэтому
можно считать, что в сумму TV-произведений войдут все возмож-
ные спаривания.
Отличные от нуля TV-произведения могут входить как с поло-
жительными, так и с отрицательными знаками. Но если в TV-произ-
ведении переставить множители так, чтобы их порядок совпадал
с исходным, то знаки всех TV-произведений станут положитель-
ными.. Тем самым теорема Вика доказана.
Теорема Вика справедлива и для смешанных произведений,
т. е. таких произведений, в которых некоторые сомножители
входят уже со знаком TV-произведения: UVW N(XYZK) LM.
Однако в этом случае не надо менять местами операторы, стоя-
щие под знаком одного и того же TV-произведения, так как эти
операторы уже TV-упорядочены. Поэтому соответствующие им
спаривания будут отсутствовать. Для смешанных произведений
теорема Вика формулируется так: смешанное произведение опера-
торов можно разложить согласно формуле (3.12), если опустить
спаривания между операторами, стоящими под знаком одного и
того же N-произведения.
Например, смешанное произведение
N (Ф И ук1ф (х)) TV (ф (у) угф (у))
с помощью теоремы Вика запишется в нормальной форме, если
учесть только ненулевые члены, в виде
N (Ф (х) у^ф (х) ф (у) ууф (у)) + TV (ф (х) у^ф (х) ф (г/) ууф (у)) +
_+ TV (ф (х) у^ф (х) ф (у) ууф (у)) + TV' (ф (х) Уцф (х) ф (у) угф (у)).
!_________________I	|।— ।I
Хронологическое произведение операторов. Переходим к Т-
произведению операторов. Рассмотрим сначала произведение двух
операторов. Введем оператор Т-произведения, который при дей-
ствии на произведение операторов поля располагает их в хроно-
$ 5. Приведение S-матрицы к нормальной форме
135
логическом порядке, т. е. так, что временной аргумент опера-
торов возрастает справа налево.
На произведение двух операторов, например, скалярного поля
оператор Т действует так:
Ф Ф i ф (у) Ф (х) при х0 < у0.
(3.13)
Заметим, что определение Т-произведения релятивистски инва-
риантно, несмотря на выделенную роль времени. Действительно,
если точки х и у разделены времениподобным интервалом
(х —«/)2>0, то понятие более позднего и более раннего времени
носят абсолютный характер, и поэтому при преобразовании
Лоренца хронологическое упорядочение, или Т-произведение опе-
раторов, нё нарушается. Если точки х и у разделены простран-
ственноподобным интервалом, то хронологическое упорядочение
операторов может нарушиться. Однако в этом случае операторы
коммутируют между собой, и поэтому их можно расположить
и любой системе отсчета в том порядке, который установлен
и Т’-произведении.
Скалярное поле. С помощью (3.5) хронологическое произ-
ведение операторов (3.13) можно выразить через нормальное
произведение:
Т (ф (х) <р (у)) =
Л/ (ср (х) <р (у)) + ф (х) <р (у) при х0 > у0,
I---------------------1	/о 141
N (ф (у) ф (х)) + ф (у) ф (х) при х0<у0.	 7
I___I
Поскольку операторы скалярного поля под знаком М-оператора
можно переставлять, т. е. Л/ (ф (у) ф (х)) — N (ф (х) ф (у)), то (3.14)
перепишется в виде
Т (Ф (х) Ф (У)) = N (ф (х) ф (у)) + ф (х) ф (у),	(3.15)
где
Ф (х)ф(у) =
Ф (х) Ф (у)
Ф (У) Ф (х)
при
при
Хо > Уо,
X» <Z Уо.
(3.16)
Функция ф(х)ф(у) называется хронологическим спариванием опе-
раторов ф(х) и ф(у); она выражается через /V-спаривания опера-
lopon. Из (3.16) следует, что под знаком хронологического спа-
ривания, как и под знаком W-произведения, операторы также
можно переставлять друг с другом, считая их либо коммути-
рующими (бозонные поля), либо антикоммутирующими (фермион-
ные поля). 
Функция ф(х)ф(у) описывает причинную связь процессов
ро/кдеппя и уничтожения частиц в различных точках простран-
cnia времени и потому называется причинной функцией. В самом
136
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
деле, матричный элемент оператора (3.16) по состоянию вакуума
равен хронологическому спариванию операторов:
<Р (-*) Ф (У) = &оТ (<р (х) ср (у)) Фо =
= I Фо<Р (х) <р (у) Фо = — ID- (х - у) при х0 > у0,
* Фо<Р(У)<Р(л:)Фо = ^+(л: — у}	при х0<у0 '
Матричный элемент Ф0<р1~’ (х) ср1+’ (у) Фо = — iD~ (х — у) описывает
процесс рождения скалярной частицы в точке у и ее последую-
щее уничтожение в точке х, если хй>Уа- Напротив, если хй<_Уа,
то частица рождается в точке х и уничтожается в точке у; этому
процессу соответствует матричный элемент Ф0<р(-' (у) ср(+) (х) Фо =
= — ID~ (у — х) — ID* (х — у), т. е. функция <р (х) ср (у) действительно
описывает правильную последовательность событий во времени.
Поэтому ср (х) ср (у) называют еще функцией распространения, или
пропагатором скалярной частицы. Подстановка явного вида
функций D~(x — у) м D+(x — y), определяемых формулами (3.57)
и (3.58) гл. 3 в (3.16') дает для пропагатора -
'<$(х)ч(У) =
1
(2л)3
1
(2л)3
J ^7о
dcp^—e^-y'
при Хо > Уо,
при ХоСУо-
(3.17)
Если учесть, что q0 — У q2 + pz и ввести обозначение ср (х) ср (у) —
— — iDc (х — у), то (3.17) перепишется следующим образом:
&(х-у) =
—— dq—е-И/д^+цЧ-Уо-Уо)—ч(х—у)1 прИ Хо>(/0,
(2л)3 J 42/q2+g2	1	° уо’
dq V4^-2e<I|/q,+|t,(X,,~g,>)~<1(X~y)1 ПРИ
(2л)3 J 2 У q2 ц2
(3.18)
Покажем, что функцию Г? (х — у) можно представить в виде
одного четырехкратного интеграла по контуру С:
__ 1 С p-tqix-yi
D (х-у) =	\ dq q2_^2 , dq = dq0 dq,	(3.19)
если выбрать определенным образом контур С.
Действительно, произведем в (3.19) интегрирование по пере-
менной q0. Знаменатель подынтегрального выражения обращается
в нуль в точках
9oi = К q2 + р2, qOz = — V qz + n2»
(3.20)
$ S. Приведение S-матрицы к нормальной форме
137
'г, е. подынтегральное выражение в (3.19) обладает двумя полю
сами. Если хе>у0, то надо получить первую формулу в (3.18).
Чтобы обеспечить положительный знак у временной части экспо-
ненты, выберем в качестве контура С полуокружность, располо-
женную в нижней полуплоскости (рис. 4.2, а). Тогда интеграл
(3.19) определяется вычетом *’ в полюсе q01. Чтобы получить
Рис. 4.2 Контуры интегрирования
’шик минус перед интегралом, выберем определенное направле-
ние обхода контура, для которого вычет в полюсе qOi будет
отрицательным В результате для интеграла (3.19) будем иметь
LF (X — у) Ьо>1Л> =
=  -  С da   ?_________+	Уо)~q(x—у)]	/3 21)
(2л)3 J	2]<Ч2 + |Лг
Если х0<Уо, то выберем контур С в виде, изображенном на
рис. 4.2, б. При этом интеграл (3.19) определится вычетом в полюсе
(/<ш:
(х у) —
= —.— f da—1	^[/дг+иа<хо-уо)-д(х—у)], (3.22)
(2л)з J 2/q2-f-p2
Кик видно, выражения (3.21), (3.22) действительно совпадают
с (3.18), если контур С выбрать в виде, изображенном на рис. 4.2.
Следовательно, хронологическое спаривание операторов скаляр-
ного поля определяется формулой (3.19).
Вместо интегрирования вдоль контура С (см. рис. 4.2, а, б),
обходящего полюс qOi сверху, а полюс q^ — снизу, можно интег-
рировать вдоль вещественной оси q0, сместив первый полюс
н нижнюю, а второй —в верхнюю полуплоскости (рис. 4.2, в).
Для этого надо в знаменателе подынтегрального выражения (3.19)
, ,, .	,,	.	С f (г) dz
") 11ипомним, что если / (г)—всюду аналитическая функция, то ф —
j г—г0
2л«/ (гй).
н
138	Глава 4. Ковариантная теория возмущений
заменить р. на р. — ie,. где е — бесконечно малое положительное
число. При этом полюсами будут точки q0 = ± ]/q2 + (р — ie)2 =
= ± l^q2 + р2 — ie' = ± ]/ q2 + р2 zp ie", т. е. полюс gOi сдви-
гается вниз, а <7о2 —вверх (рис. 4.2, в). В этом случае выраже-
ние (3.19) для функции хронологического спаривания запишется
в форме
— 1 С p-iqix-y)
D	5 d%2—ц2+ге’	(3.23)
Таким образом, функцию хронологического спаривания двух
операторов можно представить в виде четырехмерного интеграла,
если выбрать определенное правило обхода полюсов.
Электромагнитное поле. Хронологическое спаривание
операторов электромагнитного поля, или пропагатор фотона
Dcw (х - у) = - 1Ф0 Т (Лц (х) Av (у)) Фо	(3.23')
представляет собой тензор второго ранга. В наиболее общем виде
этот тензор можно записать так:
О и» (х - У) =	(х - у) +	D1 (х - у),	(3.24)
где £>о» ^ — скалярные функции.
Вследствие произвола в выборе калибровки потенциала (х)
электромагнитного поля (см. формулу (2.20), гл. 1) физический
результат не изменится при замене
, а/ц(г) . d/v(z)
Вцу (z) —(z) +	4 & > z — x у, (3.24)
Иначе говоря, выбор функции Dl(x~у) в (3.24) произволен и
не отражается на физических результатах.
В дальнейшем будем полагать D1 (х — у) — 0 и записывать
пропагатор фотона в виде-
D^v (х — у} = g^D^ (х— у).	(3.25)
Выражение для £>о(х — у) получается из формулы (3.23) если
в нем положить р = 0:
D0(x — У)=-(2й)Г- § dke~ikix-y> fe2+/8 .
Подставляя последнее в (3.25) и учитывая (3.23'), получаем ин-
тегральное представление для функции хронологического спари-
вания’операторов электромагнитного поля:
।-----1	,	Quv С е~‘к,х~У''
Л (х) Av (у) = -^~ D‘o (х — у) —	5 dk . (3.26)
(5 3. Приведение S-матрицы к нормальной форме
139
Формула (3.24) в импульсном представлении имеет вид
(k) = ^vDoe (k) - k^D1 (k),
где Dc0 (k), Dl (k) — компоненты Фурье функций D6(x — y) и
D' (x —у). Мы выбрали калибровку, при которой Dl (k) — 0. Иногда
удобны другие способы калибровки. Например, можно положить
1)' (k) — D°^ (калибровка Ландау), тогда
(^) — £2
Siiv
I2-/'
Такой выбор аналогичен лоренцовской калибровке потенциала:
W*) = °-
Можно положить Dfitkl = 0, Dcoikt = 0 (кулоновская калибровка)-,
тогда, если произвести над (3.25) преобразование (3.24') и
положить
1ч~~~ 2(fe2-k2)k2 ’ 'i— 2(fe2-k2)k2’
получим
=	Doo = —~	Deoi = o.
Такой выбор аналогичен кулоновской калибровке потенциала:
div А = 0.*
Спинорное поле. На произведение двух операторов спи-
норного поля оператор Т действует следующим образом
Т (ф (х)ф (у)) =
Ф(*)Ф(*/).
— ф(г/)ф(х),
*0 > Уо>
Уо > х0.
(3.27)
С помощью (3.10) последнее выражается через нормальное
произведение:
Т(ф(х)ф(г/)) =
М(ф(х)ф(у))+ф(х)ф(у), х0>уо-,
LT“J	(3.28)
— М (ф (у) ф (х)) - ф (у) ф (х), уо > Ло.
(___________________I
'Гак как - N (ф (у) ф (х)) = N (ф (х) ф (у)), то (3.28) перепишется
и виде
Т (ф (х) ф (у)) = N (ф (х) ф (у))+ф (х) ф (у),	(3.29)
*> Иногда наряду с оператором Т вводят оператор Р, который только
хронологически упорядочивает операторы поля пи не учитывает знаки, появ-
ляющиеся при перестановке операторов фермионных полей.
140
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
где ф (х) ф (у) — хронологическое спаривание спинорных операто-
ров, причем
1	" ) Ф(*)Ф(£/) =	Ф (*)Ф (У) =4S-(х- у), Хо >у0, .	(3.30) — Ф(!/)ФИ = г5+(^-у), Уо>х0. (	1
Аналогичным способом найдем для других произведений опера-
торов спинорного поля
7 (ф (х) ф (у)) = - Т (ф (у) ф (х)) =	,
=—м(ф(^)ф(*))-ф(^)ф(*). (3.31)
7(ф(х)ф(у)) = N($(х)ф(у)), Т(ф(х)ф(у)) = /V (ф(х)ф(у)),
откуда для хронологических спариваний
Ф (*) Ф (У) = — Ф (У)Ф (х), ф (х)ф (у) = 0, ф (х)ф (у) = 0.	(3.32)
Подстановка в (3.30) явного вида функций S~ (х — у), S+(y — x),
определяемых формулами (5.44) и (5.45), гл. 3, дает выражение
для пропагатора электрона
Ф (х) Ф (У) = (»Тц + tn\ у 0е (х - у),	(3.33)
где	—— dp 1 .= х (2л)3 J 2Ур2-|-т2 X e-'bV+'n^o-itol-Plx-y)] хо>(/о	п.ч
7>с(х-р) = •	»	(3 34) 1 С j	i 	\ dp—r	X (2л)3 J 2/р2+т2 X ё P2+m2 U.-Fo)-P(x-y)), х0 < у0.
Функция Dc(x — у) совпадает с (3.18), если в последней заменить
р,2->-т2. Поэтому, учитывая (3.23), получаем для хронологического
спаривания двух спинорных операторов представление в виде
четырехмерного интеграла:
ч> (*) ? to) = ф (* - у) =
<3-35>
или, в другой форме (так как р2 — т2 = (ТцРц + т) (УрРц — т)),
Ф(*)Ф(«/) = ]-Sc(x-y) =
= _ —* V dp ,—i-7-r-	(3.36)
(2л)41 J p—tn+ie	4	’
£ 3. Приведение S-матрицы к нормальной форме
141
В дальнейшем в выражениях для хронологических спариваний
член ie в знаменателе будем опускать, т. е. будем подразумевать,
что квадрат массы /п2 заменяется па /п2 — ie.
Таким образом, хронологическое произведение двух операто-
ров поля U и V равно сумме их нормального произведения и
хронологического спаривания:
T(UV) = N (UV) + UV.
(3.37)
При этом явный вид хронологического спаривания операторов
электромагнитного и спинорного полей . определяется форму-
лами:
Ф Iх) Ф (У}= у Sc (х-у) =
= ~ 1 V do _P + m 1р(х-у)	~~ 1 С	1—e-ip(x-y)
(2л)41 J p2 — m2	(2л)Ч J *p—tn
Ф (x) ф (У) = — ф (У) Ф (х) = iSc (У~х) =
= дЛг dp-4^е-‘Р^~х\ (3.38)
(2л)41 J *р2—m2	’ '	'
f-----1	„	gtiv (* p-iktx-yi
/l(l (x) Av (y) = i£)nv(x - y)=^77 3 dk —*2— •
Функцию f(x~y) можно представить в виде
f(x-z/) = (2^т $ dpf(p) е-Ы*-У\
поэтому (3.23), (3.26), (3.38) приводят к следующим выражениям
для хронологических спариваний операторов (пропагаторов) ска-
лярного, электромагнитного и спинорного полей в импульсном
представлении:
(3.39)
Теорема Вика для хронологического произведения. Хроноло-
гическое произведение не двух, а произвольного числа опера-
торов, не приведенных к нормальной форме, также можно
выразить через сумму нормальных произведений. Способ такого
разложения Т-произведения по нормальным произведениям в об-
щем случае дается теоремой Вика: Т-произведение п операторов
UVWR...XYZ равно сумме их нормальных произведений'со всеми
142
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
возможными хронологическими спариваниями:
T(UVWR...XYZ) = N(UVWR...XYZ) + ...	(a)
+ N (UVWR...XYZ) + N(UVWR...XYZ) + ... (б)
I------1	(3.40)
+ N (UVWR...XYZ) + N (UVWR...XYZ)+... (в)
+N (UVWR.'..XYZ) + N(UVWR...XYZ) + ... (r)
и т. д.;
•
здесь (a) — нормальные произведения без спариваний, (б) —все
возможные нормальные произведения с одним хронологическим
спариванием, (в) —все возможные нормальные произведения
с двумя хронологическими спариваниями, (г) —все возможные
нормальные произведения с тремя хронологическими спарива-
ниями и т. д. Кончается разложение нормальным произведением,
в котором все операторы хронологически спарены.
Доказательство теоремы Вика для Т-произведений аналогично
доказательству теоремы (3.12) для обычных произведений. Сна-
чала заметим, что если переставить одновременно множители
в соотношении (3.40) справа и слева, то от этого соотношение
не нарушится. Поэтому без ограничения общности можно пред-
положить, что операторы в (3.40) уже расположены в хроноло-
гическом порядке. Предположим, что каждый из операторов U,
V, ... в (3.40) является либо оператором поглощения, либо опе-
ратором рождения. Чтобы привести (3.40) к нормальной форме,
возьмем самый правый оператор рождения и будем последова-
тельно переставлять его со всеми операторами поглощения, стоя-
щими левее его. При этом в соответствии с формулой (3.37)
появятся дополнительные слагаемые с хронологическими спари-
ваниями.
Такую операцию упорядочения проделаем и с другими ^не-
упорядоченными операторами рождения. В результате исходное
7-произведение будет выражено в виде алгебраической суммы
N-произведений со спариваниями. Очевидно, что в эту сумму войдут
не все спаривания, а только спаривания между ^неупорядочен-
ными операторами. Однако спаривания между М-упорядоченными
операторами, являющимися одновременно 7-упорядоченными,
равны нулю, поэтому можно считать, что в сумму ^-произведений
войдут все возможные спаривания.
Если в N-произведении переставить множители таким образом,
чтобы они стали снова Т-упорядоченными, то все ^произведе-
ния будут входить с положительным знаком, и мы придем
к представлению 7-произведения в виде суммы N-произведе-
ний.
§ 3. Приведение S-матрицы к нормальной форме	143
Приведение S-матрицы к нормальной форме. Рассмотрим вы-
ражение (2.18) для S-матрицы. Оно отличается от формулы (3.40)
тем, что содержит под знаком Т-произведения /V-упорядоченные
сомножители, т. е. является смешанным Т-произведением:
Т [1V (ф (хх) уцф (xj) N (ф (х2)	(х2)) ... ЛГ(ф (хп) уаф (х„))].
Для смешанных Т-произведений теорема Вика доказывается
так же, как и для «чистого» Т-произведения. Однако теперь не
надо менять местами операторы, стоящие под знаком одного и
того же N-произведения, так как эти операторы уже ^упо-
рядочены. Поэтому соответствующие им спаривания будут
отсутствовать. Следовательно, теорема Вика для смешанного
Т-произведения формулируется следующим образом: смешанное
Т-произведение можно разложить согласно формуле (3.40), если
опустить спаривания между операторами, стоящими под знаком
одного и того же N-произведения.
Например, для смешанного Т-произведения T[UN(VWZ)]
согласно теореме Вика
Т \_UN (VWZ) ] = N (UVWZ) + N (UVWZ) +
+ n(uVWz) + N (UVWZ).
В сумму не входят спаривания WZ, VZ, VW.
Запишем с помощью теоремы Вика- для смешанных Т-про-
пзведений S-матрицу (2.18) в нормальной форме. Выражение
для S-матрицы в первом порядке теории' возмущений, т. е. пер-
вый член ряда (2.18) в случае гамильтониана (1.13) запишется
в нормальной форме так:
Si = - ie\dxT[N (ф W ?Л W )ЛМ (х) ]
= — ie\dxN($ (х) у(1ф (х)} Лц (х).	(3.41)
Рассмотрим S-матрицу во втором порядке теории возмуще-
ний, т. е. второй член'ряда (2.18). Если учесть, что операторы
ф(х) и Лц(х), относящиеся к различным полям, коммутируют,
то этот член перепишется в виде
S2 = (~2‘е)2- § dXidx2T [W (ф (xj уцф (Xi)) N (ф (х2) у^ф (х2))] X
X Т(Дц (Xi) Av (х2)). (3.42)
С помощью. теоремы Вика для смешанных Т-произведений
последнее выражение, если учесть только члены, отличные от
144
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
нуля, запишется в нормальной форме следующим образом:
$2 = (~2‘е)2 § </Х1б/х2{лЧф (Xi) уцф (хх)ф (х2) ЬФ (*г)) +
1Z------------Z------* 1	_	I----Г!
+	(Х1) Тцф (%1) ф (х2) туф (х2)) + N (ф (Х1) уцф (хх) Ф (х2) ТУф (х2)) +
+ ^(ф (хх) уцф (Xi) ф (х2) ууф (х2))} [w (Лц (хх) Av (х2)) +
+ ЛЦ (хх) Л(х2)]. (3.43)
Второй и третий члены этого разложения эквивалентны. Чтобы
в этом убедиться, переставим во~ втором члене в (3.43) под зна-
ком N операторы ф(х2) ^Ф (х2) иф (хх) уцф (хг), поменяем местами
переменные интегрирования (xi^x2) и индексы суммирования
р и v и учтем, что Т (Лц (Xi) Av(x2)) = T(AV (Xi) Лм (x2)). В ре-
зультате получим третье слагаемое (3.43). При вычислениях на-
до учитывать либо второй, либо третий член и для него опус-
тить знаменатель 21, содержащийся в (2.18).
В третьем порядке теории возмущений разложение S-матрицы
по неэквивалентным нормальным произведениям выглядит так (ко-
эффициенты, знак интеграла и аргументы у операторов опущены):
S3 ~ (фЛф) (фЛф) (фЛф) + (фЛф) (фЛф) (фЛф) +
+ (фЛф) (фЛф) (фЛф) + (фЛф) (фЛф) (фЛф) 4-
+ (фЛф) (фЛф) (ф^ф) + (ф^ф) (ф^ф) (фЛф) +
+ (фЛф) (ipy4ip) (фЛф) + (чрХч|з) (фЛф) (фЛф) +
+ (флф) (фл ф) (фЛф)+(ф •'44’) (ф^ф) (ф л ф)4-
+ (фЛф) (фЛф) (фЛф) + (фЛ ф) (фЛчр) (фЛф) +
4- (фЛф) (фЛф) (фЛф) + (фЛ ф) (фЛф) (фЛф) -р
I---------1
г"7'...._ -I
+ (фЛф) (фЛ ф) (фЛ ф).	(3.44)
При этом имеется 31 эквивалентных произведений для нормаль-
ных произведений с одним хронологическим спариванием; 31 с
двумя хронологическими спариваниями, в которых неспаренные
операторы обладают разными аргументами; три — для нормаль-
ных произведений с двумя спариваниями, в которых неспарен-
ные операторы обладают тем же аргументом и два —для нор-
мальных произведений с тремя хронологическими спариваниями
$ 3. Приведение S-матрицы к нормальной форме
145
В общем случае число эквивалентных нормальных произ-
п!
равно —,
ведений
где п — число комбинаций -фуф под зна-
ком ^оператора, g — число индексов точек, не меняющих вида
нормального произведения.
Аналогичным образом с помощью теоремы Вика можно пере-
писать в нормальной форме другие слагаемые разложения S-мат-
рицы в ряд (2.18). Как видно, теорема Вика позволяет почти
автоматически приводить неупорядоченные произведения опера-
торов к сумме нормальных произведений, умноженных на функ-
ции спаривания. Матричный элемент S-матрицы, приведенной
к нормальной форме, если удержать операторы только одного,
например, электромагнитного поля, выглядит так:
<Ьоа'-> (kf) а<~> (кг) ... N (A (Xi) А (х2) ...) ... а(+) (к2) п(+) (кх)Ф0 =
= Ф0М («<-’ (к Г) а<~> (к£)...) N (А (Х1)	(к2) № (к^Фо.
(3.45)
Согласно теореме Вика (3.12) для смешанных произведений
оператор выражения (3.45) равен сумме нормальных произведе-
нии со всевозможными спариваниями операторов а(_) (kJ) с А (х;),
А (х/) с а(+) (к,) и а(_) (к/) с а(+) (к;). Матричные элементы послед-
них операторов будут отличны от нуля только тогда, когда им-
пульсы начальных и конечных частиц совпадают. В дальнейшем
такие случаи рассматривать не будем и поэтому нормальные
произведения операторов a(_)(kj) и а(+,(ку) опустим.
При спаривании операторов уничтожения а(_)(к9 с А (х,) от-
личный от нуля вклад дадут лишь положительно частотные
части операторрв А (ху), т. е. операторы рождения А1+’ (Ху) (со-
держащие оператор (к/), а при спаривании операторов А (Ху)
с операторами рождения а(+) (ку)— отрицательно частотные части
операторов А (х;), т. е. операторы уничтожения А(_,(ху). Следо-
вательно, если S-матрица приведена к нормальной форме, то
вычисление матричного элемента сводится, к спариванию опера-
торов уничтожения из S-матрицы с операторами рождения того
же поля из вектора начального состояния Ф( и операторов рож-
дения из S-матрицы —с операторами уничтожения того же поля
+
из вектора конечного состояния Фу.	4
Следовательно, при вычислении матричного элемента S-мат-
рнцы, приведенной к нормальной форме, автоматически отпадает
необходимость учитывать все возможные спаривания между опе-
раторами из S-матрицы, между операторами рождения из S-мат-
рпцы п Ф,- между операторами уничтожения из S-матрицы и Фу.
Это обстоятельство, естественно, ведет к существенным упроще-
ниям вычислений. Отсюда ясна полезность использования S-мат-
рпцы в нормальной форме.
146
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
§ 4. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 5-МАТРИЦЫ. ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА
Переходим к вычислению матричных элементов Sfl, опреде-
ляющих вероятность процесса*’.
Комптон-эффект на свободном электроне. Рассмотрим для при-
мера процесс упругого рассеяния фотонов на свободных электро-
нах — Комптон-эффект на свободном электроне:
y(k)+e(p)^y(k')+e(p).	(4.1)
Буквами в скобках обозначены четырехмерные импульсы частиц.
Векторы состояний начальной и конечной систем определяются
формулами (а'г’(р). а'Г (к) — операторы рождения электрона и
фотона):
Ф/ = а'Г (р) a't (к) Фо, Фу = а? (р')	(к') Фо,
а матрица рассеяния—разложением (2.18). Поэтому матричный
элемент процесса (4.1) согласно (2.20) запишется в форме
sfl = ф/2S„yDf = I + S# + S'fT + Sfl +	+...	(4.2)
Первый порядок теории возмущений. Выражение
для матричного элемента в первом порядке теории возмущений
согласно (3.41) выглядит так:
Sy = —ie\ drfbtia'p’ (р') «V (k')	(x) ф(х))	(х) х
ха'Г(Р)йТ(к)Фо. '	(4.3)
Операторы электромагнитного и электронного полей коммути-
руют, поэтому (4.3) можно переписать в виде
S* 1}} = — ie dx [фоа>’(р') N (ф (х) уцф(х)) а? (р) Фо] X
' х [<W (Ю 4 (х) аТ (к)Ф0].	(4.4)
Подставляя в первый множитель операторы ф(х), ф(х) в виде
разложения на положительно и отрицательно частотные части и
производя перемножение, получаем четыре слагаемых, отличаю-
щихся различными комбинациями операторов ф<±) (х) и ф(±’ (х).
Учитывая, что N (ф'71 (х) (уц) /лф'£’ (х)) = — фТ (х) (у^ы ф'7’ (х) =
1
(2П)“/!><
1
соответственно у фотонных, электронных
*i Чтобы не загромождать формул, будем опускать коэффициенты
___1 1  1
ХУЖ’ (2П)’/! /2^’
функций и спариваний. Эти коэффициенты мы учтем при формулировке пра-
вил написания выражений для матричных элементов.
j(! 4. Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана
147
; _ ф'+> (х)у^ф,_’(х), для первого множителя (4.4) будем иметь
Фо«'?’ (р')[ф'+1 (х) тцФ'~’ (х) + ф'"’ (х) ЪФ'“’ (х) +
+ Ф'+’ (х) WT’ (х) - ф‘+’ (х) уЙ?-’ (х)]пГ (р) Фо-	(4.Б)
Вычислим отдельно вклад каждого слагаемого. Рассмотрим
первое слагаемое в (4.5). Подействуем'оператором уничтожения
ф' ’ (х) на вектор начального состояния Ф,-, содержащий оператор
рождения at (р):
ф"’ (х) а+г (р) Фо = [ф'"’ (х),а'Г (р)]+Ф0- а'Г (р) ф'"’ (х) Ф0Л (4.6)
Так как ф(_)(х)Фо = О, то последний член в (4.6) обращается
и пуль. Используя формулы (5.16) и (5.22) гл. 3, находим
|ф- (х), a't' (р)]+Ф0 = 5 dP'v'^ (Р') Ь3''7’ (Р'). & (р) ]+е-'₽'*ф0=
= dp'v'r' (р) бгг'б (р — р') е~£р'*Ф0 = v'7' (р) е~£р*Ф0.	(4.7)
Следовательно, действие оператора уничтожения электрона на
лектор состояния пф’ (р) Фо, описывающий начальный электрон
с 4-импульсом р, дает функцию, являющуюся решением свобод-
ного уравнения Дирака. В показатель экспоненты входит скаляр-
ное произведение координаты, от которой зависит оператор ф (х)
из S-матрицы, и импульса, от которого зависит оператор рож-
дения из Фг, а знак скалярного произведения совпадает со зна-
ком частотности функции ф1~* (х) из S-матрицы.
Аналогичным образом, действуя входящим в первое слагаемое
(4.5) оператором рождения электрона ф(+1(х) налево на вектор
состояния конечного электрона ФОЙ‘?’(Р,)> имеем:
‘W (р') фн->(х) = Фо [а? (р'), Ф,+' (х)](+) - ФоФ,+’ (х)а1? (р') (4.8)
пли, если учесть (5.16) и (5.21) гл. 3, а также то, что ФоФф)=О,
Фо[й7-’ (р')> Ф(х)]+=ф0$	(р)	(р')> (р)Ье‘рх=
= Фо v1? (р') е‘р,х. (4.9)
Следовательно, действие оператора рождения на вектор конеч-
кого состояния ФоПф’ф') приводит к функции, являющейся реше-
нием уравнения Дирака для сопряженного спинора. В показа-
тель экспоненты входит скалярное произведение координаты, от
которой зависит оператор ф'+’(х) из S, и импульса, от кото-
рого зависит оператор уничтожения а'7' (р') из Фр знак скаляр-
ного произведения совпадает со знаком частотности оператора
148
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
функции ф'+' (х) из5. Таким образом, первое слагаемое (4.5) отлич-
но от нуля.
Вычислим второе слагаемое в (4.5). Учитывая (4.7), получаем
ф(х) ф'~’ (х) a f (р) Ф0 = у'7’ (р) е'/рЛф (х) Фо = О,	(4.10)
т. е. это слагаемое вклада в матричный элемент не дает. Иначе
говоря, оператор ф'~’ (х) уничтожает электрон начального состоя-
ния, а второй оператор уничтожения ф,_’(х), действуя на вектор
состояния вакуума Фо, дает нуль.
Аналогичным образом, действуя оператором ф1+1 (х) ф'+’(х) на
вектор конечного состояния Ф^, имеем с учетом (4.9)
Фойг'’(р,)Ф,+’(л:)Ф,+’(л:) = Фо'Ф(+’(л:) v<r! (р')е,р'х — 0,	(4.11)
т. е. вклад третьего слагаемого (4.5) в матричный элемент равен
нулю (оператор ф‘+’(х), действуя на Ф^, уничтожает электрон,
а второй оператор рождения, действуя на Фо, дает нуль).
Поскольку в начальном состоянии нет позитронов, то вклад
четвертого члена, содержащегося в (4.5), в матричный элемент так-
же равен нулю. Итак, отличный от нуля вклад в матричный эле-
мент дает только первое слагаемое (4.5). В этом слагаемом име-
ется оператор рождения спинорного поля в S-матрице и опе-
ратор уничтожения того же поля в векторе Ф£ конечного состояния,
а также оператор уничтожения в S-матрице и рождения в Ф£.
В результате коммутации эти операторы попарно «погашают» друг
друга и дают отличный от нуля результат. В остальных слага-
емых (4.5) полного «погашения» операторов не происходит и мат-
ричные элементы «лишних» операторов обращаются в нуль. Под-
ставляя (4.7), (4.9) в (4.5) и учитывая, что ФоФо=1, имеем
(р') eip'x (р) e~ipx.	(4.12)
Вычислим второй множитель в (4.4). Подставляя в него опе-
ратор Ац(х) в виде разложения на положительно и отрицательно
частотные части, получаем два слагаемых
Фоа5?’ (Ю А'’’ (х) ctf (к) Фо + Фоа$?’ (к') А(х) а1£> (к) Фо. (4.13)
Вычислим первое слагаемое. Подействуем оператором уничто-
жения А*ц (х) направо, на начальный вектор состояния a't’ (к) Фо:
А'ц (х)й(х’(к)Ф0 = [А'ц’(х), аТ(к)]_Ф0 + «Т(к) АГ(^)Фо. (4.14)
Так как А'ц (х)Фо = О, то последний член в (4.14) обраща-
ется в нуль. С помощью (4.14) и (4.24") гл. 3 найдем
[А'ц (х), а'Г (к)]_Ф0 = J dk'eJi' e~ik'x [с® (к'), а'? (к')]_ =
(4-15)
f 4. Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана	149
Следовательно, действие оператора уничтожения фотона Д'д’ (х)
па вектор состояния фотона с 4-импульсом k дает функцию, явля-
ющуюся решением уравнения для свободного фотона. Подстановка
(•1.15) в первое слагаемое (4.13) приводит к следующему резуль-
тату:
Еце-"глФоа1у> (к') Фо = О,
т. с. первое слагаемое (4.13) вклада в матричный элемент не дает.
Переходим ко второму слагаемому (4.13). Действуя операто-
ром рождения фотона Д‘+’ (х) налево, на вектор Фо ak7’ (к'), по-
лучаем
Фоак-’ (к') А^ (х) = Фо [ак-’ (к'), А 'Д’ (х)]_ + <Ь0Л'Д’ (х) ак"’ (к') =
= Ф(4'ег^.	(4.16)
Следовательно, действие оператора рождения на конечный век-
тор состояния Фоак/’(к') приводит к функции, являющейся реше-
нном уравнения для свободного фотона. Подставляя (4.16) во
пгорое слагаемое (4.13), имеем
Ец'е^ФоаУ(к)Фо = О,
т. е. второе слагаемое в (4.13) также обращается в нуль.
Оба слагаемых (4.13) обращаются в нуль потому, что в них
не происходит полного попарного «погашения» операторов рож-
дения и уничтожения из S-матрицы и из векторов состояния Ф;
и <1>г. Следовательно, второй множитель в (4.4), а значит, и весь
матричный элемент (4.4) равен нулю.
Таким образом, матричный элемент процесса (4.1) в первом
порядке теории возмущений обращается в нуль.
Второй порядок теории возмущений. Найдем выра- .
жепие для матричного элемента процесса (4.1) во втором порядке
теории возмущений, т. е. вычислим матричный элемент оператора
S.j. Разложение S2 по нормальным произведениям дается форму-
лой (3.43). Подставим (3.43) в (4.2). Оператор N (ф (хх)уцф (хх) х
' Ф (xz) ТуФ (ха)) не Дает вклада в матричный элемент. Действи-
тельно, если представить операторы ф и ф в виде суммы поло-
жительно и отрицательно частотных частей и произвести пере-
множение, то получатся произведения, содержащие не менее либо
двух положительно частотных, либо двух отрицательно частотных
операторов спинорного поля. Два отрицательно частотных опе-
ратора, действуя на вектор начального состояния, содержащего
одни оператор рождения, дадут нуль (полного «погашения» опе-
раторов не происходит). Два положительно частотных оператора,
действуя на вектор конечного состояния, содержащего один
оператор уничтожения, также дадут нуль. Так как Ф0Ф=1, то
последнее слагаемое (3.43) даст в матричный - элемент вклад,
150
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
отличный от нуля. Однако, это слагаемое соответствует нефизи-
ческому процессу, в начальном и конечном состоянии которого
нет частиц, и потому должно быть отброшено.
Два нормальных произведения с одним хронологическим спа-
риванием в (3.43), как мы видели, эквивалентны; поэтому доста-
точно рассмотреть одно из них. Для него матричный элемент
процесса (4.1) выглядит так:
= (te)2 dx2 [Фоа^’ (р') IV (ф (х^ уцф (xi) ф (х2) у„ф (х2)) х
хаГ (р) Фо] • [<W’ (kz) Т (Лц (хх) Av (х2)) df (к) Фо]. (4.17)
Рассмотрим первый множитель. Если подставить в него разло-
жение операторов ф(х) и ф(х), содержащих положительно и
отрицательно частотные части, то получим четыре слагаемых.
Из вычислений матричного элемента в первом порядке теории
возмущений следует, что отличным от нуля будет лишь одно сла-
гаемое
Ф(+) (*i) ТцФ (*х) Ф {х2) ^ф(~’ (х2).	(4.18)
Подставляя (4.7), (4.9), (3.38) и (4.18) в первый множитель
(4.17), получаем
[...] = — 0‘Д’ (р') dpi &	е~tp> ~x^yvv’r' (р) егсрХг. (4.19)
Интегрирование по четырехмерному импульсу появилось за счет
хронологического спаривания операторов. В общем случае п
спариваний операторов произвольных частиц появится п-кратный
интеграл по импульсам соответствующих частиц.
Для второго множителя в (4.17) согласно теореме Вика имеем
Т (Лц (х^ Av (х2)) = N (Лц (Xi) Av (х2)) + Лц (Xi) Л¥ (х2).	(4.20)
Последнее слагаемое не дает вклада в данный процесс.
Если воспользоваться разложением операторов Л на положи-
тельно и отрицательно частотные части, то
N (Лц (Xi) Л¥ (х2)) = Л1^ (xi) ЛУ" (х2) + Л^1 (xi) Л^ (х2) +
+ Л(Г’ (х2) А^' (xi) + Л^1 (xi) Л7’ (х2). (4.21)
Операторы Л(+)Л(+) и Л(_)Л(_) не дают вклада в матричный элемент.
Отличный от нуля вклад в матричный элемент от второго и
третьего члена в соответствии с (4.15) и (4.16) равен
Фоа^' (k') N (Лц (хх) Лv (х2))	(к) Фо =
=	е£е- ikx^’gik'x^	(4 22)
Переход к импульсному представлению. Подста-
. вим (4.19), (4.22) в (4.17). В результате придем к выражению,
ft 4. Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана
151
содержащему координаты Xj, и х2 только в показателе экспоненты.
Поэтому интегрирование по переменным хг и х2 приводит к двум
6-функциями
$ dXi dx2e~ix' <- p'-*'+₽i)e- '*.(₽+*-₽.) =
= (2л)4 6 (p' + k’ — pj (2л)4 6 (p + k — pi). (4.23)
Каждая из этих 6-функций обеспечивает сохранение четырехмер-
ного импульса в точках 1 и 2, а произведение 6-функций — сохра-
нение четырехмерного импульса для всего процесса:
f>(p'+k' — Р1)6(р + /г — р1) = 6(р'4-А!,-р-А!).	(4.24)
Интегрирование по пространственным координатам означает пере-
ход к импульсному представлению. Очевидно, что и в других
случаях переход к импульсному представлению сведется к вычис-
лению интегралов вида (4.23). Следовательно, подставляя (4.19),
(1.22) в (4.17) и интегрируя по переменным хг и х2, придем
к выражению для матричного элемента процесса (4.1) во втором
порядке теории возмущений в импульсном представлении:
S'fl' = (ie)2 J dp! {гфН (p') (2л)4 6 (р' + k' - pr) yv (2л)4 х
X 6 (р + k — рг) пГ’ (Р) Ев (Р') Тв (2л)4 6 (р' — k — pj X
х (2л)4 6 (р — k’ — pi) v(r-) (p) e^'}. (4.25)
В этом выражении переменная интегрирования рг содержится
только в 6-функции. Поэтому по переменной рг в (4,25) можно
произвести интегрирование, пользуясь определением 6-функции,
plp16(p-p1)= 1.	(4.26)
11осле интегрирования одна 6-функция в (4.25) еще остается.
Итак, выражение для матричного элемента процесса (4.1)
но втором порядке теории возмущений в импульсном представле-
нии окончательно запишется следующим образом:
S'ii = (щ)2 NB {^' (р') [е^ etTv+
+ «&V |S «в Тв]	(Р)} (2л)8 6 (р + k - р' - />'), (4.27)
где NB — опущенные нормировочные коэффициенты, fi = p
/и p-k’.
Заметим, что в высших приближениях теории возмущений
и (бавнться от интегрирования по импульсам не удается.
Третий и более высокие нечетные порядки тео-
р и и возмущений.
Оператор 53 также представляет собой произведение двух
множителей: один из них содержит операторы спинорного поля,
152
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
другой — три оператора электромагнитного поля: Т (Ар. (х4) Av (х2) X
хАр(х3)). Разложение последнего по нормальным произведе-
ниям согласно теореме Вика будет состоять из нормального
произведения трех операторов М (ApAvAp) и суммы всех возмож-
ных нормальных произведений с одним хронологическим спари-
ванием. Нормальные произведения с одним хронологическим
спариванием, содержащие один оператор А, вклада в матричный
элемент процесса (4.1) не дадут (см. вычисления в первом порядке
теории возмущений). Нормальные произведения трех операторов
после разложения на положительно и отрицательно частотные
части приведут к матричным элементам, содержащим либо три
оператора рождения, либо один оператор уничтожения и два
оператора рождения, либо два оператора уничтожения и один опе-
ратор рождения, либо три оператора уничтожения. Действуя
в первых двух случаях налево на вектор конечного состояния,
а в двух последних — направо на вектор начального состояния,
получаем нуль. Следовательно, матричный элемент процесса
(4 1) в третьем порядке теории возмущений равен нулю.
Аналогичным образом можно показать, что матричные эле-
менты операторов S-матрицы нечетных порядков обращаются
в нуль.
Четвертый порядок теории возмущений. В этом
приближении в отличие от предыдущих нормальное произведение
операторов электромагнитного поля с одним спариванием будет
давать вклад в матричный элемент:
W (Ар (х4) Av M Аа (xs) А₽ (х4)), W (Ац(х4) Av (х2) Аа (х3) Ар (х4)),
И Т.д.
К отличному от нуля результату приведут также нормальные
произведения операторов спинорного поля с тремя различными
спариваниями.	-г
Путем вычислений, аналогичных предыдущим, получим, что,
например, оператору
_	( J	I---
54 == (ie)4 J dXi dx2 dx8 dxt ty(+> (x4)	(xj (x2)	(х2)г]э (x3) x
i---tj.	i-----<
XTpty(X3) 1])(x4)(x4) Ap (Xi) Aa(x4) AV (x2) A'₽-(x3) +...
соответствует следующее выражение в матричном элементе про-
цесса (4.1) в четвертом порядке теории возмущений в импульсном
представлении:
5)?’ = (ie)'W dpi dp2 dps dkiv'tf (pz) ?p (2л)4 б (р' —pj — kr) х
xr^Vv(2n)46(p1-|-A!'-p2) • г-Ц-Тр(2я)4б(р2-А-р3)х
x(2л)46 (p8 - p 4- kt) v{,~ (p) • gw ± e*'e* +... (4.28)
f 4. Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана
153
Наличие четырех спариваний в операторе привело к интегри-
рованию по четырем импульсам в (4.28). По одному из этих
импульсов, например р1г можно провести интегрирование; в резуль-
тате получится 8(k + p — k' — p'), т. е. закон сохранения энер-
гии-импульса для всего процесса. Однако интегрирование по трем
импульсам останется.
Аналогичным путем можно найти выражение для матричного
элемента Комптон-эффекта в более высоких порядках теории
возмущений.
Иногда счет порядков теории возмущений ведут по неисчезаю-
щпм приближениям Тогда первым неисчезающим приближением
процесса (4.1) будет второй порядок теории возмущений, вторым
неисчезаюшим приближением — четвертый порядок теории возму-
щений и т. д. Первое неисчезающее приближение теории возму-
щений называют также борновским.
Аннигиляция электронно-позитронной пары. Рассмотрим еще
процесс превращения (аннигиляции) электрона и позитрона в два
фотона:
^(Pi) + e+(p2)->T^i)4-T(^)-	(4-29)
Специфичным для этого процесса является наличие двух тождест-
венных частиц (фотонов) в конечном состоянии. Начальный и
конечный векторы состояния процесса (4.29) имеют вид
Ф, = а'+' (Р1) а£’ (р2) Фо, Ф,=< (М (М Фо.
В первом порядке теории возмущений матричный элемент
процесса (4.29) обращается в нуль. Во втором порядке теории
возмущений отличный от нуля вклад в матричный элемент дает
оператор
(%i) Тцф (Xi) ф (х2) кф(-> (х2) (Ар. (xj Av (х2)).
(4.30)
Действуя оператором Ли"’ (хх) AV' (х2) налево, находим с учетом
(4.16)
Фо4г’ (М 47’ (к) 4+) (*1) ^+)
(х2) = Ф0(е^е№1Ж,е^,е/*,*'! 4-
(4.31)
Как видно, получается два слагаемых, отличающихся друг
от друга перестановкой импульсов ^7=1 k%. Объясняется это тем,
что в конечном состоянии процесса (4.29) имеется две тождест.
пенные частицы (фотоны), которым в матричном элементе соот-
ветствуют два оператора Ар'АУ, отличающихся лишь аргумен-
iiiMii. При коммутации надо учитывать обе комбинации операторов:
Aji" (xt) AV‘ (х2) и Лр'(х2) A'v+'(xi)> отличающиеся друг от друга
порядком расположения аргументов, а это приведет к двум ука-
панным слагаемым в матричном элементе.
154
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
В общем случае для процесса с k одинаковыми частицами
в начальном или конечном состоянии получится k\ слагаемых
в матричном элементе, отличающихся перестановкой импульсов
частиц. Если все одинаковые частицы — фотоны (бозоны), то все
слагаемые войдут в матричный элемент с одинаковыми знаками.
Если одинаковые частицы — электроны (фермионы), то выражение
для матричного элемента должно быть антисимметричным по отно-
шению к одинаковым фермионам (т. е. выражение должно менять
знак при перестановке двух произвольных частиц); например,
матричный элемент для процесса рассеяния электрона на элек-
троне содержит два члена с различными знаками [см. далее,
формула (4.41)].
Подействуем в (4.30) спинорными операторами уничтожения
направо, подставим в полученный результат формулу (4.31),
проведем интегрирование по хх, х2 и промежуточному импульсу
Pi, тогда придем к выражению для матричного элемента процесса
(4.29) во втором порядке теории возмущений
= (ie)2 fe;1 (p2)	-—g------(pi) +
l	pl—kl — m
+v% (p2) eZ1 -—;----еЧ’ (pj lx
Pi—«2— m	)
X(2n)86(p1 + p2 — k1 — k2), 8 = 8^.	(4.32)
Высшие порядки теории возмущений. Аналогичным образом
можно вычислить матричные элементы других электродинамичес-
ких процессов в-определенном порядке теории возмущений. Задача
по-прежнему сведется к коммутации операторов рождения из век-
тора состояния Ф; начальной системы с операторами отрицательно
частотных частей из оператора S и операторов уничтожения
из вектора состояния конечной системы Фу — с операторами поло-
жительно частотных частей из оператора S. Матричный элемент
будет отличен от нуля в том случае, когда все операторы рожде-
ния из Ф; «погасятся» операторами уничтожения из S и все
операторы уничтожения из Фу «погасятся» операторами рожде-
ния из S. При этом в выражении для матричного элемента
электрону в начальном состоянии соответствует определяемый
(4.7) результат коммутации операторов а'г+> (р) и (х):
vT' (р) e~ipx,	(4.33)
электрону в конечном состоянии — определяемый (4.9) результат
коммутации операторов dr~' (р) и ф(+) (х):
^+,(р)е'₽*,	(4.34)
$ 4. Матричные элементы. S-матрицы. Диаграммы Фейнмана
155
позитрону в начальном состоянии —результат коммутации опе-
раторов а{-+1 (р) и ф(_) (х):
гф~’ (р)е~’₽*,	(4.35)
позитрону в конечном состоянии — результат коммутации опера-
торов а1г~’ (р) и ф(+) (х):
v<r+l (р) е1?*,	(4.36)
фотону в начальном состоянии — определяемый (4.15) результат
коммутации операторов а?' (к) и (х):
^e~ikx,	(4.37)
(ротону в конечном состоянии —определяемый (4.16) результат
коммутации операторов (к) и А'£’ (х);
eze'**.	(4.38)
Таким образом, для нахождения выражения для матричного
элемента надо: 1) выписать выражение для начального Ф; и
конечного Фу векторов состояния, 2) выписать вид оператора
5-матрицы рассеяния в рассматриваемом порядке теории возму-
щений, приведенного с помощью теоремы Вика к нормальной
форме, 3) записать выражение для матричного элемента про-
цесса, 4) отобрать те слагаемые S-матрицы, которые дают отлич-
ный от нуля вклад в матричный элемент, 5) прокоммутировать
.операторы уничтожения S-матрицы с операторами рождения
пичального вектора состояния Ф; и операторы рождения из
5-матрицы —с операторами уничтожения из конечного вектора
состояния Фу, 6) в полученном результате произвести интегри-
ронанде по координатам, т. е. перейти к импульсному представ-
лению, 7) произвести интегрирование по одному из виртуальных
импульсов.
Диаграммы Фейнмана. Аналитические выражения для матрич-
ных элементов можно изображать графически. Для этого необ-
ходимо установить правила соответствия между аналитическими
ныражениями и графическими образами. В общем случае анали-
iiniecKOe выражение для матричного элемента электродинами-
ческого процесса представляет собой комбинацию функций, со-
ответствующих начальным и конечным частицам, хронологических
спариваний операторов спинорного поля фф и электромагнитного
поля ЛцАу и некоторого числа матриц у. Очевидно, что для гра-
фического изображения матричного элемента надо задать графи-
ческое изображение перечисленных элементов.
Условимся изображать начальный электрон, описываемый
(1.33), линией, входящей, в точку х (рис. 4.3, а), а выходящий
156
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
электрон, описываемый (4.34),—линией, выходящей из точки х
(рис. 4.3, б). Начальному позитрону, описываемому (4.35), сопо-
ставим линию, выходящую из точки х (рис. 4.3, в), а конечному
позитрону, описываемому (4.36),— линию, входящую в точку х
(рис. 4.3, г). Входящий и выходящий фотон, описываемые (4.37)
и (4.38), изобразим в виде волнистой ненаправленной линии
(рис. 4.3, д).
Хронологическому спариванию операторов электромагнитного
поля
Дц (%k)	(fy) — 71 v (Ху) Лц (Xfe) — IgfiyDo (%k xj) >
симметричному по аргументам xtl, х,, сопоставим ненаправленную
волнистую линию, соединяющую точки xk и Xj (рис. 4.3, е). Она
изображает движение фотона между точками xk и X/.
Рис. 4.3. Графическое изображение физических состояний
Несимметричное хронологическое спаривание операторов спи-
норного поля
ф(х*)ф(хх) =TSC(x*-x/) = (^7 S dP^~^e~lP{‘Xk~X‘}	(4.39)
изобразим линией, соединяющей точки xk и xt (рис. 4.3, ж).
Выберем направление линии. Было условлено (см. § 5, гл. 3)
считать электроны основными частицами спинорного поля, а пози-
троны — античастицами. Тогда операторы спинорного поля at (р)
и at (р) описывают рождение и уничтожение электронов, а опе-
раторы at и а; —рождение и уничтожение позитронов. Другими
словами, в (4.39) оператор ф(х*) описывает рождение позитрона
и уничтожение электрона в точке х, а оператор ф (ху) — рожде-
ние электрона и уничтожение позитрона в точке Ху. Говоря
наглядно, оператор ф(х*) соответствует вхождению электрона
в точку xft, а ф (х*) — выходу электрона из этой точки (и нао-
борот—для позитронов). Так как мы приняли за основную
частицу спинорного поля электроны,, то естественно спариванию
$ 4. Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана	157
(4.39) сопоставить линию, направленную из точки Xj в точку xk
(см. рис. 4.3, ж). Она изображает движение электрона от точки х/
к точке xk или движение позитрона от точки xk к точке Xj.
Как видно из (4.33) —(4.38), частицам, входящим в точку
(т. е. уничтожающимся) с импульсом k, всегда соответствует
отрицательно частотная.экспонента ехр (—ikx), а частицам, выхо-
дящим из точки х (т. е. рождающимся) —положительно частот-
ная экспонента ехр (+ ikx). Такое же соответствие верно и для
внутренних линий, в частности для спаривания (4.39), которое
описывает электрон, выходящий из точки Xj (множитель
ехр (+ ipXj)) и входящий в точку xk (множитель в ехр (—ipxh)).
Для описания движения позитрона также можно пользоваться
формулой (4.39), если учесть, что импульс позитрона равен
импульсу электрона с обратным знаком.
Наконец, множителю (2л)4 б (р2 — Pi — k), входящему в выра-
жение для матричного элемента, сопоставим вершину xt, в кото-
рой сходятся одна фотонная линия, одна входящая и одна выхо-
дящая электронные линии (рис. 4.3, з). Это правило следует из
ннда взаимодействия спинорного и электромагнитного полей:
(xt) = eN (ф (х^ уцф (х^) Лц (Xt).
Очевидно, что число вершин совпадает с порядком теории воз-
мущений.
11еречисленные правила соответствия в импульсном представ-
лении сведены в табл. 4.1. Изображение матричных элементов
н виде графиков было предложено Фейнманом; эти графики на-
н.in,-потея диаграммами Фейнмана.
11одчеркнем, что каждой внешней линии диаграммы Фейн-
M.nia соответствует реальная частица в начальном и конечном
гиспипши. Поэтому диаграммы Фейнмана являются схематическим
и юбражением реально происходящих процессов. Диаграммы Фейн-
мана, например, для обоих слагаемых матричного элемента
Кпмнтон-эффекта во втором порядке теории возмущения (4.27)
приведены на рис. 4.4. Диаграмма рис. 4.4, а описывает такую
ниследовательность актов взаимодействия. Начальный электрон
( импульсом р поглощает в точке %! начальный фотон с импуль-
< < >м k и переходит в промежуточное состояние с импульсом
| /,. Наличие &(p-\-k — рг) указывает на то, что четырехмер-
ni.ilt импульс в вершине сохраняется. Однако масса частиц в
iH-piiiiine не сохраняется. Действительно, pj = tn* #= ft = р2 -ф-
| •.» (pk) = т2-ф2 (pk). Другими словами, для частицы в проме-
»|.\1очпом состоянии не выполняется условие pi = m2. Такие
iiiiuii называются виртуальными. Образовавшийся виртуаль-
i'iiii электрон движется в промежуточном состоянии. Наконец,
сиргу;1Л1.пыГ| электрон испускает в точке х% конечный фотон
 импульсом k' и переходит в конечное состояние с импуль-
1" । //, Сохранение четырехмерных импульсов в вершине обес-
158
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Таблица 4-1
Правила соответствия для матричных элементов (без учета коэффициентов)		
Физическое состояние	Математическое выражение	Г рафическое изображение
Электрон в начальном состоянии	(р)	
Позитрон в начальном состоянии	«Г-’ (Р)	
Электрон в конечном состоянии	0J.t’ (р')	
Позитрон в конечном состоянии	V'? (р')	
Фотон в начальном или конечном состоянии	е>-	
		
Движение виртуального электрона из 1 в 2	m2 — р2		1 1
Движение виртуального позитрона из 1 в 2	tn — р m2 — р2		
Движение виртуального фотона меж-	1	
		1
ду вершинами с индексами суммиро-		
вания р и v		R<
Вершина электромагнитного взаимо-	Уц(2л)46(р2—Pi —fe)	\	pf
действия		
£ 4. Матричные элементы S матрицы. Диаграммы Фейнмана
159
почивает сохранение четырехмерных импульсов в процессе рас-
сеяния.
Диаграмма на рис. 4.4, б описывает другую возможность
перехода из начального состояния в конечное: начальный электрон
испускает сначала в точке ко-
нечный фотон, переходит в про-
межуточное виртуальное состоя-
ние, а затем поглощает в точке х2
начальный фотон и переходит в
конечное состояние.
Диаграмма Фейнмана для сла-
гаемого (4.28) матричного элемен-
тп процесса (4.1) в четвертом
порядке теории возмущений изо-
бражена на рис. 4.5.
Диаграммы Фейнмана для мат-
ричного элемента (4.32) процесса
(1.29) аннигиляции электрона и
позитрона в два фотона представ-
лены на рис. 4.6. Как уже отме-
чалось, в этом случае наличие
дпух одинаковых частиц (фотонов)
а конечном состоянии ведет к двум
Рис. 4.4. Диаграмма для Комптон-
эффекта на электроне во втором
порядке теории возмущений
слагаемым в матричном элементе,
которые отличаются перестановкой
линий фотонов, обладающих им-
пульсами kr и k2.
В общем случае процесс с п
ЧНЛЫ1ОМ или конечном состоянии
которые будут отличаться друг от друга только порядком рас-
положения линий, соответствующих одинаковым частицам.
одинаковыми частицами в на-
изобразится п! диаграммами,
Рис. 4.5 Диаграмма для Комптон-эффекта в четвертом порядке
теории возмущений
Аналогичным образом можно изобразить графически, пользуясь
HKi'i. <1.1, аналитическое выражение для матричного элемента
проц нюлыюго процесса.
160
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Следовательно, между аналитическим выражением для матрич-
ного элемента n-го порядка S-матрицы и диаграммами Фейнмана
с п вершинами существует однозначное соответствие. И, обратно,
по диаграммам Фейнмана с п вершинами, пользуясь табл. 4.1,
Рис. 4.6 Диаграммы для
аннигиляции электрона и по-
зитрона в два фотона во вто-
ром порядке теории возму-
щений
можно написать выражение для матрич-
ного элемента n-го порядка.
Так, в случае диаграммы рис. 4.4, а,
двигаясь вдоль сплошной линии элек-
трона, против направления, указанного
стрелкой, т. е. начиная с конечного
состояния процесса, выпишем выраже-
ния, которые согласно табл. 4.1 соот-
ветствуют выходящему электрону, вер-
шине, промежуточному электрону, вто-
рой вершине и входящему электрону;
затем умножим полученное выраже-
ние на функции фотона, соответствую-
щие волнистым линиям, и произведем
суммирование по индексам р. и v. В
результате получим первое слагаемое
формулы (4.27).
Таким же путем найдем с помощью
диаграммы Фейнмана (рис. 4.4, б) вто-
рое слагаемое (4.27), а с помощью диаграммы, изображенной
на рис. 4.5,—выражение (4.28).
Выражение(4.32) для матричного элемента процесса (4.29), содер-
жащего две одинаковые частицы в конечном состоянии, может быть
получено с помощью диаграмм
Фейнмана, данных на рис. 4.6.
Напомним, что в случае на-
личия тождественных частиц
в начальном или конечном со- „	. , г ™
Рис. 4.7. Графическое изображение
стоянии выражение для матрич-	петли
ного элемента должно быть
симметричным по отношению к одинаковым фотонам и антисим-
метричным по отношению к одинаковым фермионам.
Специфическая особенность возникает тогда, когда диаграмма
содержит замкнутые электронные петли с четным числом элект-
ронных линий. В этом случае каждой электронной петле соот-
ветствует в матричном элементе выражение, содержащее знак
минус. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим диаграмму, содер-
жащую одну петлю (рис. 4.7). Соответствующий ей в нормаль-
ном произведении множитель имеет вид
1	I Щ	I
N (фг (Xi) (ytJ//, ф* (хх) ф, (Х2) (TvWm (^)) =
=	(%1	%г)	(^2	Ч.) —
= —Sp (yMSc (хх — х2) уVSC (Х2 — Xj)),
iji 4. Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана
161
т; е. действительно содержит знак минус. Если диаграмма содер-
жит k замкнутых петель, то матричный элемент надо умножить
на множитель тр
Т] = (-!)*.
(4.40)
Диаграммы с нечетным числом электронных линий согласно
теореме Фарри (см. гл. 2, § 2) вклада в матричный элемент не
дают.
Следовательно, выражение для матричного элемента можно
получить двумя путями: 1) либо исходя из общего аналитического
выражения для матричного элемента в данном порядке теории
возмущений и пользуясь теоремой Вика, 2) либо исходя из
диаграмм Фейнмана для определенного порядка теории возмуще-
нии и пользуясь правилами соответствия (см. табл. 4.1). По-
следний путь существенно проще первого и именно этим объяс-
няется полезность диаграммной техники Фейнмана.
Чтобы получить выражение для матричного элемента в рамках
диаграммной техники, надо;
1.	Изобразить диаграммы Фейнмана для рассматриваемого
процесса в заданном порядке теории возмущений; для этого
следует: а) зафиксировать направление оси времени и в соот-
ветствии с этим выбрать направление линий, б) учесть, что
число вершин равняется порядку теории возмущений; в каждой
псрпшне должны сходиться одна фотонная, одна входящая и одна
выходящая фермионные линии; фермионные линии должны быть
непрерывными; если в начальном или конечном состояниях
имеется k одинаковых частиц, то число диаграмм равно kl
(диаграммы отличаются перестановкой линий одинаковых частиц);
если в процессе участвуют k тождественных истинно нейтральных
частиц в начальном и конечном состояниях, то число диаграмм
глюке равно kl (диаграммы отличаются перестановкой линий
пдииаковых частиц).
2.	Написать аналитическое выражение для матричного эле-
мента, пользуясь правилами соответствия, приведенными в табл.
1.1. Для этого следует, двигаясь вдоль фермионной линии в на-
правлении, противоположном оси времени, выписать последо-
uniejibiio аналитические выражения, соответствующие фермион-
ным линиям и их спариваниям, вершинам, а затем умножить
пплучепную формулу на функции, соответствующие фотонным
линиям и их спариваниям.
3.	Умножить выражение на величину
N,
з
(/<?)”-(—1)* (2 л)~ 2 *
g
1 1 ___________1_ \
1^2^01 1^2^02	1^ 2йоу/
х;_L_	... —U Г 1
\.К2 *р01 У2рю /2p0J|_(2n)4«
() IКлипа Н. Ф.
162
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
„ nl
где п — порядок теории возмущении, у —число эквивалентных
нормальных произведений интересующего нас типа в разложении
S-матрицы (см. §3), k — число замкнутых электронных петель,
которое содержит рассматриваемая
диаграмма [см. формулу (4.40)],
7? —число внешних линий (фотон-
ных и спинорных), / — число внеш-
них линий фотонов, I — число внеш-
них линий спинорных частиц, F —
число внутренних линий (фотонов и
Взаимодействие Взаимодействие
Н(хг)	Н(х,)
Рис. 4.8 Диаграммы для. Комптон-
эффекта на позитроне во втором
порядке теории возмущений
Рис. 4.9. Диаграммы для
рассеяния: а — электрона
.на электроне, б—пози-
трона на электроне, в—
р.-мезона на электроне
спинорных частиц). В дальнейшем множитель N9 в матричном
элементе будем опускать, а учтем его в дифференциальном се-
чении (§ 5).
4.	Проверить антисимметричность полученного выражения по
отношению к одинаковым фермионам.
Например, Комптон-эффект на электроне в первом неисчезаю-
щем приближении теории возмущений описывается двумя диаг-
раммами рис. 4.4; им соответствует выражение (4.27) для матрич-
ного элемента.
,<! -I. Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана
163
Направления электронной и позитронной линий противопо-
ложны, поэтому на диаграммах Фейнмана движение позитрона
изобразится как «обратное во времени» по отношению к движе-
нию электрона. Тогда диаграммы Фейнмана, например, Комп-
тон-эффекта на позитроне во втором порядке теории возмущений
выглядят так, как изображено на рис. 4.8, а, б. В отличие от
диаграмм 4.4, а, б теперь начальному состоянию соответствует
входящая линия позитрона, а конечному —выходящая линия по-
зитрона. Двигаясь, как обычно, против направления времени,
получим с помощью табл. 4.1 следующее выражение для матрич-
ного элемента Комптон-эффекта на позитроне:
ie)2Ma(vy	е?~ + е?' eV]x
X Vr~’ (р) (2л)8 б (р + k — р' — k'),
где fi = P + k, f2=±р — k'. Если в этом матричном элементе про-
извести замену волновых функций и импульсов виртуальных
•истиц: v'r~’v'r~’,	—Д, /2—> — f2, то он перейдет
в (4.27).
Рассеяние электронов на электронах и р-мезонах. Рассмотрим
«чце процессы рассеяния электронов на электронах, на позитро-
нах и на р-мезонах. Их диаграммы Фейнмана в первом неисче-
закицем приближении теории возмущений изображены на рис. 4.9;
соответствующее выражение для матричного элемента выглядит
гак:
а) е~ (pi) + е~ (р2)	е~ (р3) + е~ (pi)
S)Y = (- ie)2 N3 {гфР (p8) (Pi)	(p4) y^'"’ (pa) -
- № (Pi) y^"’ (pl) (pTZ^j-2 (рз) ТиУГ’ (Рг)}, (4.41)
б) е- (рг) + е+ (р„) er (pi) + е+ (р"а)
= (- ie)2 N3 (pl) у^’"’ (Р1)	о?’ (р') VT (рп) +
+ vV (pi) (Рп) (pi^pj-2 v'r' (рп) (р) }, (4.42)
в) е~ (р) + р (Рц) -> е- (р') + р (рц)
5)?’ = (- ie)2 N9v'? (р") у^"’ (Р) ^7^ V? К) у^Г (рД	(4.43)
Диаграммы на рис. 4.9, а отличаются друг от друга обменом
электронных линий; эта перестановка двух фермионов ведет к
п гмснепию знака у второго слагаемого выражения (4.41) для
матричного элемента.
Обратим внимание на различный характер диаграмм на рис.
•1.9, б. В первой диаграмме в одной вершине пересекаются линии
начального и конечного электрона, а в другой — начального и
6*
164	Глава 4. Ковариантная теория возмущений
конечного позитрона. Во второй диаграмме в каждой из вершин
пересекаются линии электронов и позитронов — начальных и конеч-
ных. В правой вершине как бы происходит аннигиляция пары
с испусканием виртуального фотона, а в левой — рождение пары
фотоном.
В случае рассеяния р-мезоиов на электронах сталкивающиеся
частицы не одинаковы и не являются частицей и античастицей;
поэтому такому процессу отвечает одна диаграмма Фейнмана
(рис. 4.9, в). Диаграмма же обменного типа в этом случае отсут-
ствует.
Рассеяние внешними электромагнитными полями. Остановимся
на структуре матричных элементов для процессов рассеяния
частиц внешними классическими полями, например кулоновским.
Такие поля описываются неквантованным потенциалом Л^(х),
который представляет собой в общем случае функцию простран-
ственных координат и времени. Для рассматриваемого процесса
полный гамильтониан взаимодействия запишется так:
Ж И = - /и (х) [Ли (х) + Аец (X)].
Тогда в матрице рассеяния появятся члены, содержащие некван-
тованное поле Л® (х), а в матричный элемент войдут компоненты
Фурье Л® (?) внешнего потенциала
w = W $ d(!e~i9XAt {?)•	'	(4-44)
Функции Л® (х) не являются операторами; следовательно, их
не надо коммутировать с операторами электромагнитного поля,
и они не связаны с реальными фотонами, изображаемыми сог-
ласно (4.37) внешними линиями. Выражение -тД^-Ле(?) уело-
вимся изображать волнистой линией, которая выходит из вер-
шины диаграммы, соответствующей члену лагранжиана /и(х)Л®(х),
и заканчивается в заштрихованном кружке, символически обоз-
начающем рассеивающий центр (см. рис. 4.3, и).
В дальнейшем будем предполагать, что внешние поля можно
учитывать методом теории возмущений.
Рассеяние электрона. Рассмотрим процесс рассеяния
электрона внешним электромагнитным полем. Соответствующая
ему диаграмма Фейнмана в первом порядке теории возмущений
изображена на рис. 4.10, а матричный элемент запишется в виде
S/i’ = — ie dxv?' (ра) eip‘x § dqA^ (?) yge~ ^xv’r‘ (pi) e~iPlX. (4.45)
При переходе к импульсному представлению интегрирование по
переменной х дает функцию б(? — Pa + Pi):
5д- =—ie^dqvf (р2) уцЛц(?) v'r (pi)6(?-pa + Pi).	(4.46)
ff 4. Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана
165
Функция 6 (</ —р2-гР1) приводит к равенству <7 = р2 —Pi. Однако
такое равенство для импульсов реальных частиц невозможно,
потому что для фотона </2 = 0, а квадрат (р2 — Pi)2 заведомо отли-
чен от нуля. Следовательно, фотон является виртуальной части-
цей с импульсом 7 = р2 —Pi-
Если внешнее поле не зависит от времени, то в разложении
потенциала
Аец (х) At (х) = -±Д dqe^-At (q)
(2л) 12 л
отсутствует переменная т. е. виртуальные фотоны, описы-
плклцие взаимодействие со стационарным полем, переносят лишь
Рис. 4.10. Диаграмма для
рассеяния электрона внешним
электромагнитным полем в
первом порядке теории воз-
мущений
Рис. 4.11. Диаграмма для рассеяния
электрона внешним электромагнитным
полем во втором порядке теории воз-
мущений
импульс (их энергия ^о = 0). В этом случае матричный элемент
(1/16) перепишется так:
ЭД’ = - ie dqv'F (р2) умЛц (q) (pi) б(q - р2 +pt)б (р20 - р10),
или после интегрирования по dq
SjP = - iev'A' (р2) умЛец (q)i>;' (pi) б (р20 - р10).
(4-47)
I пкпм образом, в случае рассеяния стационарным потенциалом
сохраняется только энергия, а трехмерный импульс не сохра-
няется.
В частности, для кулоновского поля ядра Ае(х)=0 и
Ze2
еА0(г) =	(4.48)
или, в импульсном представлении
сЛ(ч)=-^е2е-ч^=4_^.
(4.49;
166
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Поэтому матричный элемент рассеяния электрона кулоновским
потенциалом в соответствии с (4.47) запишется в виде
Sjv = - ieu'A’ (р2) уоA' (q) v'r" (pj 6 (р20 - pl0) =
= - W (p2) To»'r-’ (Pi) [eA° (q)] 6 (p20 - p10).	(4.50)
Диаграммы Фейнмана для двукратного рассеяния электрона
внешним полем (второй порядок теории возмущений) представлены
на рис. 4.11.
Тормозное излучение электрона. При столкновении
электрона с ядром наряду с рассеянием электрона происходит
излучение фотона. Такой процесс называется тормозным излуче-
нием. Диаграммы Фейнмана этого процесса в первом неисчеза-
ющем порядке теории возмущений представлены на рис. 4.12.
Они отличаются от диаграмм для Комптон-эффекта (см. рис. 4.4)
Рис. 4.12. Диаграммы для тормозного излучения во втором порядке
теории возмущений
только тем, что первичному фотону k здесь соответствует компо-
нента Фурье внешнего потенциала, а рассеянному фотону с импуль-
сом k' — излучаемый фотон с импульсом k и поляризацией е£.
В соответствии с этим матричный элемент для процесса тормоз-
ного излучения электрона во втором порядке теории возмущений
имеет вид
S/T = (ie^N3Ao (q)v'A' (р') Г е*'	?0 +
L /1 ш
+То-12-S еИц'г’(р)(2л)б(ро-р6-/го). (4.51)
12 IlL J
где Д = р'4-k, f2 = p — k, q = p' A-k — p. Потенциал кулоновского
поля ядра определяется выражением
HS(q) = ^?.	(4.52)
Отметим, что одна и та же диаграмма Фейнмана описывает
одновременно несколько процессов. Так, диаграмма рис. 4.4, а
описывает процессы упругого рассеяния фотона на электронах,
аннигиляции электрона и позитрона в два фотона, образования
j(i 5. Дифференциальные сечения процессов
167
«лектронно-позитронной пары фотонами, излучения двух фотонов
электроном, рассеяния фотонов позитронами, тормозного излу-
чения электрона (позитрона), двукратного рассеяния электрона
(позитрона) во внешнем поле и т. д.
| J. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ ПРОЦЕССОВ (НЕПОЛЯРИЗОВАННЫЕ
ЧАСТИЦЫ]
Дифференциальное сечение. С помощью матричного элемента
можно определить вероятность, а, следовательно, и дифференци-
нльпое сечение процесса. Рассмотрим сначала процесс
I (Pil + 2 (ра)-> 3 (р3)-}-4 (р4),	(5.1)
и котором две свободные стабильные частицы сталкиваются и
превращаются в две другие частицы. Матричный элемент —
i n кого процесса (см. § 4) можно представить в виде произведения,
одним из множителей которого является функция б(Рз + Р4 —
Pt — Pz), соответствующая закону сохранения энергии-импуль-
гн, т. е.
(S — !)ц — 1Тfi — (2л)4 б (Рз + Р4 — Pi ~ PzlMft.	(5.2)
Найдем выражение для дифференциального сечения процесса
(П I), учитывая (5.2).
Вероятность перехода из начального состояния в конечное
определяется квадратом модуля Tff.
^*=1Л«-|а = ^И(2л)4б(р34-Р4-Р2-Р1)]а|Л1н1а.	(5.3)
I пк как S-матрица переводит систему из состояния в момент
t — сю в состояние в момент t= то естественно взять
выражение (5.3) также при /~>оо. Представим одну из б-функ-
ппй, .входящую в (5.3), в виде интеграла
Л(Р:Н-Р4-Р1-Ра)= lim 79U dx0 dxt?-1'
V -»oo W J J
/->оо	1	v
Biopiin б-функция в (5.3) остается, поэтому экспоненциальный
множитель под интегралом равен 1 и для достаточно больших
I п I имеем б (Рз + ^4 — Pi~ Р2) = Vt, где V/— четырехмерный
нормировочный объем. Следовательно,
|М/>»4-р4-р1-р2)]а = ^6(Рз4-р4-р1~р2) .	(5.4)
и (Г>.3) перепишется так:
ш' А^(2л)4б(рз4-Р4~Р1 — Pa)|A4/f|a Vt.	(5.5)
11 гобы получить вероятность перехода, при котором импульеы
ышечвых частиц 3 и 4 попадают в интервалы (рз-ЬФз, Рз) и
168
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
(Р4 + Ф4. р4)> надо умножить (5.5) на элемент фазового объема:
(2л)3 (2л)3’
Тогда для вероятности перехода в единицу времени будем
иметь (если V = 1)
W = (2л)4 NI | Mfl р б (р8 + р4 - Р1 - р2)	(5.6)
По определению, дифференциальное сечение dop процесса равн'о
вероятности (5.6), деленной 'на плотность потока /0 начальных
частиц:
dOp = ^»|M//p6(p8+p4-p1-p2)^^.	(5.7)
С помощью этой формулы можно найти величину дифференци-
ального сечения в тех случаях, когда спины частиц имеют опре-
деленное направление, т. е. когда частицы поляризованы. Если
не интересоваться поляризацией частиц, то надо произвести
суммирование по проекциям спинов конечных частиц и усред-
нение по проекциям спинов начальных частиц (обозначим обе
эти операции знаком У, j:
СПИН/
do= У dup.	(5.8)
спин
Итак, для того чтобы определить дифференциальное сечение
рассеяния поляризованных частиц, надо вычислить квадрат
модуля амплитуды процесса и подставить его в (5.7). Для опре-
деления дифференциального сечения рассеяния неполяризован-
ных частиц необходимо еще произвести суммирование по проек-
циям спинов частиц.
Если в конечном состоянии образуется более двух частиц,
то выражение (5.7) перепишется так:

где Мц — матричный элемент процесса, П
(2л)8
фазовых объемов частиц в конечном состоянии,
произведение
У, Р/ — сумма
f
четырехмерных импульсов частиц конечного состояния.
Найдем выражение

для процессов с неполяризованными частицами. В этом случае
надо суммировать и усреднять как по спинам фермионов, так
и по. спинам фотонов.
f 5. Дифференциальные сечения процессов
169
Суммирование по проекциям спина фермиона. Чтобы получить
||к>|)мулы для суммирования по спинам фермионов, рассмотрим
процесс, в начальном и конечном состояниях которого имеется
Идин фермион (электрон или позитрон). Тогда выражение для
матричного элемента можно записать в общем виде следующим
образом:
Мр=й(рг)Ои(р1),	(5.9)
где О —оператор, содержащий матрицы у.
Примером такой реакции является Комптонгэффект, матрич-
ный элемент которого в первом неисчезающем приближении тео-
рии определяется выражением (4.27) имеющем ту же структуру,
что и (5.9). Так как
|й (р2) Ou (pj* = [uo (ра) (YoO)ap«p (Pi)]* =
= |up (Pi) (ТоО)ра«а (Pa)J = U (pl) Yo?o(YoO)T*U (pa)_=
= a (Pi)Ou (pa), 0 = YoO+Yo, '
TO
M/iMfi = a (Pa) Ou (Pl) a (Pi) Ou (Pa) = й (p2) Oh^Ou (p2),	(5.10)
где Ai(pi) = u(Pi)M(p1). Перепишем формулу (5.10) так:
MpM.fi = йц (р2) О^их (р4) йа (Pj) 6apUp (pa) -	(5.11)
11орядок уленов в этом выражении можно менять произвольно,
потому что правильный порядок членов при умножении опреде-
ляют сами индексы. Поэтому (5.11) можно переписать в виде
MpM.fi = Up (Ра) ЙЦ (Ра) О^их (pj йа (рх) Оар =
~ A-api^O^'v-Aiva^ap = (А2ОА1О)рр, (5.11)
। Л2 (Ра) = и (р2) й (р2).
Полученная величина представляет собой сумму диагональных
элементов матрицы АаОА/) и называется ее шпуром (следом),
г, е. для (5.11') имеем
|M0|2 = SpA(p2)OA(p1) О.
Таким образом, вычисление дифференциальных сечений про-
цессов с участием спинорных частиц свелось к нахождению
шпуров:
<4 = Ni Sp {А (ра) О А (Р1) 0} б (р3 +р4 - Pi - р2)	•
(5-12)
Гак как поляризация фермионов нас не интересует, то для
определения явного вида А следует произвести суммирование
170
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
по двум проекциям спина фермиона (5г = ±!/2)- При этом для
фермионов надо взять волновые функции о(~’(р), соответствующие
положительной энергии (см. § 3, гл. 1), а для антифермионов —
волновые функции о(+) (р), соответствующие отрицательной
энергии.
Рассмотрим состояния с положительной энергией, когда
2
л<-’ (р)=s (р)	(р).	(5.13)
Г=1
В этом случае (см. § 5, гл. 3) формула суммирования по про-
екциям спина имеет вид
Л-(р) = (р + т)ар.	(5.14)
Для состояний с отрицательной энергией (античастица)
2
Л+ (р) = 2	(Р) Р'г7₽ (Р),	(5.15)
г= I
и формула суммирования по проекциям спина запишется так:
Л+(р) = (р-т)ар.	(5.16)
В частности, из соотношений (5.14) и (5.16) следует, что
2	.
ц(р)й(р)= У, [ v'r (p)o/(p) - о/' (р)уГ (р)] = 2ml. (5.17)
r=I
Итак, чтобы найти выражение для дифференциального сече-
ния рассеяния неполяризованных частиц, когда в начальном и
конечном состояниях имеется один фермион, надо подставить
в (5.12):
1)	Л(р1)=р14-т, Л(р2)=р2 + »1, если обе частицы — элект-
роны;	(5 18)
2)	Л(р1)=р1 —т, Л(р2)=р2 — tn, если обе частицы — позит-
роны; (5.19)
3)	Л(р1)=р1 — m, A.(p2)=pz + m, если образуются электрон
и позитрон;	(5.20)
4)	Л(р1)=р1 + т, Л(р2)=р2 — т, если электрон и позитрон
аннигилируют.	(5.21)
При усреднении по поляризациям фермиона надо умножить
соответствующую формулу (5.18) — (5.21) на 1/2. С помощью
формул (5.18) —(5.21) можно производить суммирование по
поляризациям и в более сложных случаях, когда в процессе
участвует несколько фермионов.
Суммирование по проекциям спина фотона. Переходим к сум-
мированию по поляризации фотонов. Рассмотрим для простоты
$ 5. Дифференциальные сечения процессов
171
случай, когда имеется один электрон и один фотон. Тогда
матрицы О и О принимают вид O = eG, O = Ge, где G не содер-
жит вектора поляризации фотона ем. Так как е = еоуо — еу,
1<> =еоуо+еу, то е = у0 (е)+ у0 = е; поэтому O=.Ge и
42 l^l2 = 4sP[^(P/ + /n)GB(pz + /n)].	(5.22)
X. Г
?)то выражение надо просуммировать или усреднить по двум
независимым направлениям вектора поляризации фотона е£.
Пусть к — пространственная часть волнового вектора фотона.
Выберем систему координат с осью г, направленной вдоль к.
Тогда в качестве двух независимых векторов поляризации можно
взять векторы е(|Р (1, 0, 0, 0) и е^’ (0, 1, 0, 0) и (5.22) запи-
шется так:
2 2i^ii2==42Sp^/G^i+^c^^+/7i^=
К Г	/
=4 2Sp	<5-23)
/ •
Где у обозначает суммирование по двум состояниям поляриза-
I
цни фотона.
«Продольные» и «скалярные» фотоны (см. § 4, гл. 3) не дают
вклада в матричный элемент физического процесса. Поэтому
и (5.23) суммирование можно производить по четырем состояниям
поляризации фотона, т. е. по значениям v=l, 2, 3, 0:
з
2 2 l^l2 = 4SPbG(Pi + ^GVv(p/+/n)}.	(5.24)
х=о
Чтобы это показать, воспользуемся градиентной инвариантностью
уравнений квантовой электродинамики. Если в матричном эле-
менте (см. § 2, гл. 1) заменить один из векторов поляризации ем
фотона на вектор энергии-импульса фотона, то матричный
элемент обратится в нуль. Поэтому если в (5.22) заменить один
и । векторов ем на /?м, то (5.22) обратится в нуль (к направлен
вдоль оси г поэтому kx = ky = O)‘.
S|> {(То - Ta) G (р, + /71) Ge (pf + /71)} = 0,
Sp {eG (pt + ni)G (y0 - y3) (pf + m)} = 0.
Выберем в качестве третьего и четвертого векторов е\ остав-
шихся в (5.25), векторы (0, 0, 1, 0) и (0, 0, 0, 1). Тогда вместо
172
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
(5.25)	найдем:
Sp {(То - Тз) G	+ /71) Gy3 (pf + /л)} = О,
Sp {ToG (pi + m)G (уо - уз) (pf + m)} = 0.
Складывая первое равенство co вторым, получаем
Sp ToG (pi + /71) Gto (P/ + m) — Sp y3G (pt + m) Gy3 (pf + tn) = 0.
Вычитая из последнего соотношение (5.23), получаем выражение
(5.24), в котором суммирование производится по четырем состо-
яниям поляризации фотона.
Аналогичное соотношение остается справедливым и тогда,
когда в процессе участвуют несколько фотонов. Например,
в случае одного электрона и двух фотонов с поляризациями е1(Х
и е2:, матрицы О й О имеют вид: О = е2Ле! + EjBez, О = еМег +
+ е2ВЕ1. Повторяя предыдущие рассуждения, убедимся, что
суммирование по двум состояниям поляризации обоих фотонов
можно заменить суммированием по четырем состояниям поляри-
зации:
= ~8 Sp KtHTv + TvBTm) (Pi + tn) (yv'4yM + Th^Tv) (Pf +m)}.
При суммировании по четырем поляризациям фотонов удобно
пользоваться соотношениями
1) yvayv = 4a,	3) yvabyv = 4ab,
А	А	ААЛ	А А А	(Ь.2о)
2) TvOTv =— 2а,	4) yvabcyv =— 2с ba.
Получим, например, второе выражение:
Tv^Tv = Tv («цТц) Tv = од [Tv (— TvTn + 2gnv)] =
= M—4Тд + 2ум] = — 2a.
Шпуры. Для вычисления дифференциальных сечений надо
уметь находить шпуры произведений матриц у. Способы вычис-
ления шпуров матриц у основываются на следующих формулах:
а) для у матриц выполняются соотношения
ТдК + TvTn = 2^v. ТдТз + ТзТц = 0, у? = + 1;	(5.27)
б) шпур любых матриц (в частности, у-матриц) не меняется
при их перестановке, т. е.
Sp (АВ) = ЛщВхц = S = Sp (ВА).	(5.28)
U, V	И,V
5. Дифференциальные сечения процессов	173
Из (5.27) вытекают следующие соотношения.
1.	Шпур от произведения нечетного числа матриц у равен
нулю; действительно,
Sp (ТцТу---Тр) = Sp (у5у6уиУу...Тр) = — Sp (y5yMyv...уРуБ) =
Нечетное число
= —Sp (TpTv...Tp) = 0.
Сначала мы заменили 1 на у5у5, затем переставили матрицу
yf, с матрицами у и, наконец, воспользовались (5.28).
2.	Шпур п матриц не меняется при изменении порядка матриц
на обратный:
Sp (TpTvTaTp  • •) = Sp (... YpTaYvYp).
3.	Sp/ = 4, где / — единичная матрица.
4.	Spy5 = O, потому что Sp у6 = Sp уоуоУ5 = — Sp УоУаТо =*
— Sp y5 = 0.
5.	Spy^yv = 4^v, так как Sp ypyv = Sp [2^v - yvyj = 8gpv —
Sp YpTvv a
6.	Spafe = 4(ofe), где а и b — произвольные четырехмерные
нектары.
7.	Sp(ynyvyay₽) = 4(gnVga₽-g|iOgrv₽+gMpgva).	(5.29)
8.	Sp a b cd = 4 [(ab) (cd)(ad) (be) — (ac)(bd)],	(5.30)
где a, b, c, d — произвольные четырехмерные векторы.
9.	Sp ab cde f = 4 [(afe) (cd) (ef) + (af) \bc) (de) +
+ (ab) (cf) (de) + (ad) (be) (ef) + (af) (be) (cd) + (ac) (be) (df) +
4-	(ad) (bf) (ce) 4- (ae) (bd) (cf) - (af) (bd) (ce) — (ad) (be) (cf) -
- (ab) (ce) (df) - (ac) (bd) (ef) - (ac) (bf) (de) - (ae) (be) (df) -
— (ae) (bf) (cd)],	(5.31)
где a, b, c, d, e, f — произвольные четырехмерные векторы.
10.	~ Sp (УаУлУуУаУр) = Ёцуар.	(5.32)
В самом деле, шпур в левой части антисимметричен относи-
тельно перестановки любых двух индексов:
Sp (УвЬКТаУр) = Sp [убум (2gva - yayv) ур] =
= — Sp (УбУцУаУчУр) и Т. Д.
н равен либо единице, либо минус единице, либо нулю:
4 Sp (уБУ1У2УзУо) = 4 Sp У5 = 1, .4 SP (ТбТ1ТзУ2Уо) = — Г,
Sp (УбУ1У1УзУ1) = 0 и т. д.,
174
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
т. е. обладает свойствами тензора e^vap.
11.	4- Sp (Лх -}- й]) (Л2 + а2) (Л3 -}- а3) (А4 -}- а4) =
= (Л 1Л2 Л- O1O2) (Л3Л4 -}- а3а4) -|- (AjA4 -}- О]О4) (Л2Лз -]-а2а3) —
— (Л1Л3 —	(А2А4 — @2@4)>	(5.33)
где А,, а{ — числа, не содержащие матриц у.
Вычисление сечений. Чтобы вычислить дифференциальное
сечение процесса с неполяризованными частицами, надо: 1) изо-
бразить диаграммы Фейнмана в рассматриваемом порядке теории
возмущений, 2) написать с их помощью соответствующее, выра-
жение для матричного элемента, 3) заменить в этом выражении
векторы поляризации фотона матрицами и подставить полу-
ченный результат в (5.12), учитывая (5.18) — (5.21), т. е. про-
суммировать по проекциям спинов электрона и фотона, 4) про-
извести возможные интегрирования по импульсам конечных
частиц, 5) вычислить шпур.
Комптон-эффект. Вычислим для примера дифференциаль-
ное сечение упругого рассеяния фотонов на свободных электро-
нах во втором порядке теории возмущений. Диаграммы Фейнмана
этого процесса изображены на рис. 4.4, а соответствующий им
матричный элемент дается формулой (4,27). Входящие в знаме-
натели (4.27) квадраты суммы импульсов равны:
(р + k)2 — m2 = p2-\- 2pk k2 — m2 — m22pk — m2 = 2pk = m2v.lt
(5.34)
(p — k')2 — m2 = —2pk' = m2u2.
Заменим в (4.27) e?- на yv и е?/ на уи, что обеспечит суммиро-
вание по четырем состояниям поляризации фотона. Подставляя
полученный результат в (5.12) и учитывая, что для любого
четырехмерного вектора d=^y0d+y3 = y0(a0y0 — ат)+То = а, получаем
с учетом (5.18) и (5.34). выражение для дифференциального
сечения, когда все частицы не поляризованы:
da = ^-SpO(p-|-/n)O(p' + /n)6(p + /e — р' — k’)dp' dk'; (5.35)
здесь О——Уц(Л+ /”)?¥ +-4-Tv(/2 + m)ya; N' = е,— . 1
1	'	1	1	7	16<ixo ее /0 (2л)4
/о = р (|ц| — |v,s cos 0) — плотность тока; р, |и| — плотность и скорость
рассеиваемых частиц, — скорость рассеивателя, & —угол между
к и v; w, е —энергии фотона и электрона. /i = p + &, f2 = P — k'.
Выражение (5.35) удобно переписать так:
da = N' Sp F6 (pA-k — р' — k') dp' dk',	(5.35')
$ 5. Дифференциальные сечения процессов
175
где
Sp/?==iSp [b^J^Tv + Tv	(Р + т) Vv^~-~ х
X Тц (р' + т) + Sp |тц А±^. ь + Tv	у J х
Х(^+т)Тц~^Ь(/ + /?г). (5.36)
л2
Произведем в (5.35) интегрирование по dp' и dk', используя
наличие 6-функции. Интегрирование по dp', если учесть свойства
6-функции, дает
da —N
' J dk' J
ySpE6 (е-4-w — е' — w') 6 (p + k —р' — k') dp’ =
= Af'dk'у Sp Гб (e + a> —e'—co').	(5.37)
Чтобы взять интеграл no dk', представим объем dk' в сфери-
ческих координатах: dk' = | k' j2 d | к' | dfi = и'2dQ dEf, где dQ—
элемент телесного угла, в котором лежит вектор к', Еу —полная
энергия конечного состояния. Тогда
da — N’ у Sp Е6 (е + <о —Еу) <о'2 ~^d£l dEf =
= ^lSpE<o'2dfig, (5.38)
при этом
е' == ]/ т2 + (р + к — к')2 =
= V е2 со2 2pw cos 6Х -}- и'2 — 2/хо' cos 62 — 2охо' cos 0
и
dEf d(e' + <o')	o'—pcos62 —(ocose k'(k' —p —к)
do' ды' I	e'	+	<o'e'
___। p'k'  p'k' m2-*,
a'e'	e'a>'	2e'<o'‘
(’ учетом последнего (5.38) перепишется следующим образом:
da = N’±SpF^d&.	(5.39)
ч	т Л]
Вычислим теперь шпур (5.36). Как видно, второе слагаемое
и (5.36) получится из первого путем замены	— k,
которой соответствуют замены	/2-^fi, Xi->x2, Ха-^-Хь
I liDTOMy Sp E можно представить в виде
SpE = P(x11 х2) + Р(х2, xj, Р(хь x2) = /i1(x1, х2)+Л2(х1, х2),
176
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
где
ht (Xi, х2) = Sp Tn (Д + tn) yv (р + tn) ь (fl + rn) (p'+m),
h2 (xn x2) = sp ь (/2 + /71) Тц (p + /л) Tv (fi + m} Tn (P’ + tn).
Производя в hr (xlt x2) суммирование по p и v с помощью (5.26)
и используя (5.33), находим
Л1(хъ ^) = ^^S,p[f1pf1p' + 4m2(f1p+f1p'-ff)-
- tvPpp' + 4m4] = 8 4 + 2xi-XiX2,
X;
Аналогичным образом получим h2 (хьх2) ~	, поэтому
шпур (5.36) равен
-J SpF = 4f— 4- —У4-4f— + —'J -(^ + ^)=F0.	(5.40)
8 r \Xj х2/ \Xi 1 х2/	\х2 1 xj и	'	'
Подставляя (5.40) в (5.39), получаем выражение для дифферен-
циального сечения рассеяния фотонов на свободных электронах
во втором порядке теории возмущений:
da = 4r»£T/?odfi’
(5.41)
е2
где rjj = 4^ —классический радиус электрона.
Пусть начальный электрон покоится (р = 0, р0 = т), тогда из
законов сохранения энергии и импульба (p-\-k = р' -\-k') следует,
что
,	<0
Со =----------------
1 + £(1-соз6)
(5.42)
где 0 —угол между импульсами кик' (угол рассеивания),
а соотношения (5.34) дают
2(о	2ш‘
х, = —, х2 =--------------
1 т ’ г т
(5.43)
С учетом (5.42) и (5.43) формула (5.41) в случае рассеяния на
покоящемся начальном электроне перепишется так:
+ <5-«>
Интегрируя выражение для дифференциального сечения по-
телесному углу фотона, найдем формулу для полного сечения
f 5. Дифференциальные сечения процессов
177
рассеяния фотонов на покоящемся электроне:
п — — п I2_+Х Г_?XlLixL _ in л ।	। ln ~Ь2?) _ *+Зу 1
4 °1 ?3 L 1+2?	ln(1+2Y)J+ 2у (l+2y)3]’
 -	(5.45)
8л „ <о
где a0 = -3-rg, ? = -.
Тормозное излучение электрона. Вычислим диф-
ференциальное сечение тормозного излучения электрона в куло-
новском поле ядра во втором порядке теории возмущений (все
частицы не поляризованы). Учитывая выражения (4.51) и (5.12),
получаем
da = /V'ySpF^|^6(e-e'-w),
(5.46)
где F = 0ц(р-\-т)0^(р'Оц =(/i + m)b+^To X
(/а + т) , би = уоО£То, N' =	।	(Ч) Р, М - скорость элек-
трона в начальном состоянии.
Вычислим Sp/7. Представим его в виде Sp/7 = 77i+/72,
где Fl = Sp Оц (р + т) уп	_р т),
772 = Sp Оц(р+ пг)Уи^^Уо(р' + т).
Исли в выражении для F2 сделать замену р^р', q-+ — q, k-*-
* — k, то величины хх и х2, а также Д и f2 поменяются местами:
/(т*/2, хх^±х2 и в F2 войдут те же матрицы, что и в Fi, но
только расположенные в обратном порядке:
F2(kl, х2, q2, е, е') = /71(х2, х15 q2, е', е).
11оэтому достаточно вычислить Для этого просуммируем по
индексу р в соответствии с формулой (5.26), а затем, пользуясь
правилом коммутации yod = у0 (ао?о — а?) = (о0То + а?) у0 = <2+То»
расположим две матрицы у0 так, чтобы они оказались рядом.
Так как То=1, то после такого расположения матриц у0 в каж-
дом члене остается произведение не более четырех матриц у,
вычисление следа которых может быть сделано с помощью
формулы (5.30). В результате найдем

Х|Ха
k.+2$)-4;> + 2)+51
Xi+Z2 2)+ 2^(Х2-
"* т2 \ 1	т2)
q2 у	2ее'
“ / т2
178
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Поменяв местами щ и х2, а также е и е', получим F2. Подста-
новка Т7! и F2 в (5.46) приводит к выражению
da = ДР | 2x^2 ^2 [^2 (£2 + Е') + + х2 —	— 2^ -|-
+ (х!+^)(«л + 2,$)- А+	8"-Х7">-
Произведем в (5.46) интегрирование по dp' и dk. В данном
случае, в отличие от Комптон-эффекта, импульсы р' и к неза-
висимы. Учитывая, что dp' = | р' |2 d | р' | dQ' = | р' | е' de' dQ', dk =
= w2 dm dQ, имеем
da = N' -- Sp FS (e — e' — w) de' | p' | e' dQ'w2 dm dQ =
= N' у Sp F | p' | е'и2 dco dQ dQ'.
Принимая во внимание соотношения:
m2^ = — 2 [(p'k) — е'и)] = 2<o (e' — p’ cos 02),
m2z2 = 2 [(pk) — ей)] = — 2(o (e — p cos 0),
qi = m2(ki + k2 — 2)+ 2 [ее' — (pp')], p2 = e2 — tn2, p'2 = e'2 — tn2,
приходим к следующему окончательному выражению для диф-
ференциального сечения тормозного излучения во втором порядке
теории возмущений:
, р' do dQ dQ' ( р'! sin2 О»	.
da =	— ——— (	.Л V, (4е2 — q2) +
р2 sin2 6t + p'2 sin2 6а
р <о <?4	1(е'—p'eos()2)2
--P.2.Sin261 . .. /4е'! _ д2\ । 2Ю2 _______:_
(е—pcosO)2 '	4	(е—р cos Bi) (е’—р'cos В2)
_ 2 pp>SineiSin62COS(p	, _ ,	2..2 J	/5 47ч
(е—pcosBdte' — р'созОг)'	'
где ф — угол между плоскостями (к, р) и (к', р'), р = |р|, q —
= |q |, а квадрат импульса q2, переданного ядру, связан с углами
61, 02 и <р соотношением
<72 = Р2 + Р'г + (о2 — 2/хо cos 0г + 2p'w cos 02 —
— 2рр' (cos 0г cos 02 + sin 0! sin 02 cos <p).
Рассеяние электрона. Вычислим дифференциальное
сечение рассеяния электрона кулоновским потенциалом в первом
порядке теории возмущений (электроны не поляризованы). Учи-
тывая выражение (4.50), получаем:
do =	[еА^ (q)]21 vrF (р2) Vodr- (Р1) |2	6 (е2 -
dp2 = pid | р21 dQ = | p21 e2 de2 dQ,
# 6. Процессы с поляризованными частицами
179
или после интегрирования по е2
w = SwSpf W’
I V11 = I v21 = V, I p! I = I p21 = I p I,
где Sp/? = Sp {to(A + /71)'?o(A + /71)}» v — — скорость начального
олектрона. Вычисляя с помощью (5.33) шпур, находим
<5«)
' н '	7 ЯП4 у
где 0 —угол рассеяния.	,
§ 6. ПРОЦЕССЫ С ПОЛЯРИЗОВАННЫМИ ЧАСТИЦАМИ
Переходим к анализу процесса
1 |-2-*3 + 4	(6.1)
с поляризованными частицами. В общем случае задача ставится
так: заданы поляризации начальных частиц, найти угловые
распределения и поляризации рассеянных частиц.
На опыте измеряют два типа величин: 1) дифференциальные
сечения в случае определенных поляризаций начальных и конеч-
ных частиц, 2) поляризацию одной или обеих частиц в конечном
состоянии.
Теоретический анализ поляризационных свойств реакций удобно
производить с помощью матрицы плотности. Напомним сначала
основные сведения о поляризационной матрице плотности, а затем
получим с ее помощью выражения для дифференциальных сече-
iniii п поляризаций.
Вектор поляризации электрона. Рассмотрим сначала нереля-
тпнпстский электрон. В нерелятивистской квантовой механике
имеется как закон сохранения спина, так и закон сохранения
момента импульса, т. е. обе эти величины можно рассматривать
независимо.
Спин электрона равен 1!г. Поэтому компоненты спина в каком-
либо определенном направлении z могут принимать два значения
•S’, J-V2.
Пучок электронов называется поляризованным, если состоя-
ния Sz = 1[2 и 8г — —х/2 заполнены неодинаково. Пусть N+ — число
частиц в состоянии Sz= + V2, a N- — число частиц в состоянии
.S’, —V2. Тогда поляризация Рг в направлении z определяется
следующим образом:
N+—N_
~~ N^+N_'
(6.2)
180
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Если Рг==1, то пучок называется полностью поляризованным.
В этом случае спины всех частиц пучка направлены вдоль оси г.
Значение Рг=0 характеризует полностью неполяризованный
пучок (направления спинов частиц вдоль и против оси z равно-
вероятны). В общем случае поляризация частицы имеет продоль-
ную и поперечную компоненты, т. е. характеризуется вектором
поляризации Р. Для полной характеристики вектора поляриза-
ции Р пучка надо знать его компоненты вдоль трех осей
координат 1, т, п, которые удобно выбрать взаимно перпенди-
кулярными:
Р=Р,1 + Ртт + Р„п.	(6.3)
Вектор Р определяет направление, вдоль которого преимущест-
венно ориентирован спин частицы. Модуль вектора Р дает
численное значение поляризации. Принято считать величину Р
положительной или отрицательной, в зависимости от того —парал-
лелен или антипараллелен вектор Р выделенному направлению.
Опыты по рассеянию частиц носят статистический характер.
И пучок, и рассеиватель состоят из большого числа частиц.
Экспериментатор измеряет среднее рассеяние при большом числе
парных столкновений частиц пучка и мишени. Это означает, что
можно представить пучок и мишень как статистический ансамбль
систем, каждая из которых состоит из пары взаимодействующих
частиц. Поэтому экспериментально измеряемая поляризация явля-
ется средним значением по статистическому ансамблю.
Данная частица всегда поляризована определенным образом.
При рассмотрении пучка частиц следует различать два случая:
1) все частицы пучка поляризованы одинаково и описываются
одной и той же волновой функцией; пучок частиц, находящихся
в одном и том же (как говорят, чистом) спиновом состоянии,
полностью поляризован; 2) различные частицы пучка поляризо-
ваны по-разному и им соответствуют различные волновые функции;
такой пучок представляет собой статистическую смесь различных
чистых спиновых состояний с определенными весами и получил
название смешанного-, он не имеет единой волновой функции
и описывается матрицей плотности.
Сначала рассмотрим случай полностью поляризованного пучка
частиц. Частица со спином Ч2 описывается двухкомпонентной
спиновой волновой функцией
<р = (С1\ Ф+=К 4).	(6.4)
\°2/
Пусть волновые функции нормированы следующим образом:
Ф+Ф = |о1|2 + |о2|2= 1.	(6.5)
Величины i at I2 и | о212 равны вероятности найти частицу соответ-
ственно в состояниях с 5г = 1/г и Sz = —1/2. Поэтому выражение
§ 6. Процессы с поляризованными частицами
181
(6.2) можно переписать так:
р  I а1 i2 I I2
(6.6)
I СЦ |2+ | «2 I2 ‘
Спину электрона соответствует оператор о (см. гл. 1, § 3).
С помощью последнего формулу (6. 6) для Рг можно представить
в виде Рг=(р+ог(р, т. е. в виде среднего значения оператора аг.
Для вектора поляризации Р будем иметь
р = <р+сг(р.
(6.7)
Иначе говоря, вектор поляризации является средним значением
оператора спина о. Вектор Р преобразуется так же, как вектор о;
в частности, при инверсии пространства знак вектора Р остается
неизменным.
Подстановка в (6.7) матриц о> в виде (3.2), гл. - I приво-
дит к следующим выражениям для проекций вектора поляриза-
ции Р, которые иногда называют параметрами Стокса электрона:
рх=а*а2 + а±а2 = 2Rea*a2,
Ру = ^а*а2 — а1а*'^ = 21та*а2,	(6.8)
Рг=Ы2~Ы2-
Введем спиновые функции
/1\	.о\
Ф1 = Ы и Ч>2= (J )>	(6.9)
описывающие состояние полной поляризации в двух противо-
положных направлениях. Тогда волновую функцию (6.4) можно
представить в виде линейной комбинации функций (6.9)
Ф = «1(Р1+«2<Р2-	(6.10)
Каждое из состояний, описываемых функцией <рг и <р2 (эти
функции называют базисными векторами), полностью поляризо-
вано.
Выясним, как направлен вектор поляризации Р относительно
импульсов кик' начальной и конечной систем частиц в реак-
ции (6.1). Из трех векторов к, к' и Р можно образовать
следующие комбинации: Рк, Рк', Р[кк']. Две первые комбинации
соответствуют продольной поляризации (вдоль векторов к и к'),
и последняя— поляризации, перпендикулярной плоскости рассея-
ния. Согласно формуле (6.7) Р^о, поэтому при инверсии
пространства две первые комбинации меняют знак (см. гл. 2, § 1).
Следовательно, если существует инвариантность относительно
инверсии пространства, то вектор поляризации должен быть
направлен перпендикулярно плоскости реакции (вдоль вектора
|kk'|).
182
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Так обстоит дело в случае, когда первичный пучок не поля-
ризован. Если начальная поляризация не равна нулю, то даже
при сохранении четности нельзя исключить появление продоль-
ной поляризации. Например, первоначальную поперечную поля-
ризаццю с помощью соответствующего магнитного поля можно
превратить в чисто продольную, хотя в этом процессе четность
сохраняется.
Поляризационная матрица плотности электрона. Перейдем
к анализу смешанного пучка электронов. Вычислим поляризацию
смешанного пучка электронов.
Нерелятивистский случай. Пусть Рл — значение поля-
ризации электрона в чистом состоянии п и ^ — относительная
вероятность, с которой это чистое состояние входит в смешанный
пучок. Тогда поляризация Р смешанного состояния будет сред-
ним значением Р”:
Р = 2^РЛ,	(6.11)
п
причем £gn=l. Подставляя в (6.11) формулы (6.7) и (6.10),
п
находим
р = У, £ЛР” = У gn	+ a2"*q£) О (a?<Pi + а?ф2)] =	'
п	п
= У gn {ал‘<2^р>Ф1 + ал*алФ>Ф1 + а?*а^о<р2 -|- а”*а?(р+о(р2} =
п
= 2^2сг/сгГ^(Т(Р/^22^о/йГ(Р^<р/.	(6.12)
п ij	ij п
Матрица
р(/=2Хо?«7‘^	(6.13)
п
называется поляризационной матрицей плотности смешанного
пучка электронов. Иначе говоря, матрица плотности строится из
коэффициентов разложения волновой функции чистого состояния
по базисным векторам и относительных вероятностей, с которыми
чистое состояние входит в смешанный пучок.
*
Для чистого состояния ру = а,оу, в случае неполяризованного
1 S
электрона все направления равновероятны, т. е. pv = yOv.
Формулу (6.12) можно записать так:
Р = J = Sp (per).	(6.14)
ii
Как видно, с помощью матрицы плотности можно вычислить
среднее значение оператора спина; оно равняется шпуру (сумме
диагональных элементов) матрицы per, т. е. с помощью матрицы
£ 6. Процессы с поляризованными частицами
183
плотности р можно полностью охарактеризовать поляризацион-
ные свойства смешанного пучка.
В полной аналогии с (6.14) среднее значение произвольного
оператора О в смешанном пучке определяется выражением
<ФГ | О | Фг> = Sp рО.
Запишем матрицу плотности электрона в виде, удобном для
практических приложений. Из (6.13) следует, что
' \afa" la” Is /
п \ 1	2 J 2 | 7
С другой стороны,
л /
п
+ РХ+ Р?ог)] = | [2 gn (I al I2 +1 al |2)I +
n
+ y Jl«n2-I^|2	V
T \ Mfal -|аП2 + 1^|21
(I Л i2
I o.l
a\ a"
(6.15)
(6.16)
I I2
Сравнение (6.15) и (6.16) приводит к искомому выражению для
поляризационной матрицы плотности электронов в нерелятиви-
стском случае:
р//==1(1+Р0).
(6.17)
Это выражение связывает матрицу плотности р с вектором поля-
ризации Pf; при этом Pz = Sppoz.
Существует четыре независимые двухрядные матрицы о: 1,
<тл., Gy, gz. Можно сказать, что (6.17) представляет собой разло-
жение матрицы плотности по четырем матрицам oz, нормирован-
ным следующим сбразом:
Sp (o;oz) = 26/у.	(6.18)
1 Io-прежнему в случае полной поляризации | Р | = 1, а для непо-
ляризованного пучка |Р| = 0. ’
Заметим, что матрица плотности обладает следующими основ-
ными свойствами:
1.	Из определения (6,13) следует, что матрица плотности
|рмнтова
Pz/ = Pi).	(6.19)
184
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
2.	Из ортогональности и нормировки (6.5) спиновых волновых
функций и условия ^gn=l, следует, что
п
Spp=S^(|fl"|2+|^|2)= 1.	(6.20)
п
3.	Матрица плотности электрона является квадратной двух-
рядной матрицей, содержащей четыре комплексных числа. Из
(6.19) и (6.20) вытекает, что р зависит от трех действительных
параметров. В общем случае частиц со спином s матрица плот-
ности будет n-рядной, где n = 2s-f-l, и характеризуется м2 —1
вещественными независимыми параметрами.
4.	Диагональные элементы матрицы р/у-, соответствующие
вероятности определенной поляризации частицы, должны быть
положительными величинами.
5.	Для чистого состояния квадрат матрицы плотности совпа-
дает с ней самой:
(Р2)// = S PrfcPw = S ataiafak = ataj У, | ak |2 =	= р,7.
k	k	k
Релятивистский случай. В релятивистской квантовой
механике спин электрона не сохраняется (сохраняется лишь
полный момент импульса, см. гл. 3, § 2). Поэтому в произволь-
ной системе отсчета релятивистский электрон не может харак-
теризоваться матрицей плотности. Однако в системе покоя
электрона матрицу плотности определить можно.
В нерелятивистском случае матрица плотности (6.13) выра-
жалась через двухкомпонентные собственные функции оператора
спина. В релятивистском случае матрица плотности выразится
через четырехкомпонентные функции электрона и (р):
Pik = и, (р) йь (р).	(6.21)
Для чистого состояния матрица плотности имеет вид
Pik = ui (р) ak (р)	(6.22)
и нормирована в соответствии с (3.18) гл. 1 так:
Spp = 2m.	(6.23)
В чистом состоянии среднее значение оператора спина S
определяется формулой (5.33) гл. 3:
S = у § Лк ф (х) 8ф (х) = Д и (р) S и (р)'= ~ a (р) y0S и (р), (6.24)
где S —оператор спина.
§ 6. Процессы с поляризованными частицами
185
Соответствующее выражение для смешанного состояния
согласно (6.14) выглядит так:
S = ~ Sp (py0S) = 4уц Sp (руБт).	(6.25)
Функции и (р) и й (р) удовлетворяют уравнениям Дирака: (р — т) х
хн(р) = 0, й(р)(р —т) = 0, поэтому матрица (6.21) подчиняется
уравнениям
(р — т) р = р (р — т) = 0.	'	(6.26)
Таким же линейным уравнениям должна удовлетворять матрица
плотности смешанного состояния.
Для свободной частицы в ее системе покоя применима нере-
лятивистская теория. Но в этой теории согласно (6.14) смешан-
ное состояние определяется тремя параметрами — компонентами
вектора Р. Ясно, что те же параметры будут определять состоя-
ние поляризации и движущейся частицы. При этом вектор поля-
ризации движущейся частицы получится из вектора поляризации
покоящейся частицы с помощью пресбразования Лоренца.
Для четырехмерного описания состояния поляризации введем
четырехмерный вектор а^. В системе покоя он совпадает с Р.
Так как Р — псевдовектор, то также должен быть псевдовек-
тором. В системе покоя, где ац(0, Р) и рц(т, 0), вектор
ортогонален вектору Поэтому и в произвольной системе
координат
омРц = 0.	(6.27)
Кроме того, в произвольной системе отсчета
^ = -Р2.	(6.28)
Компоненты четырехмерного вектора для электрона, движу-
щегося со скоростью v = p/£, получаются из компонент вектора
покоящегося электрона с помощью преобразований Лоренца и
равны
«0=1^Р1|, «1=Р1,	=	(6.29)
где индексы || и | означают компоненты векторов Р и а, парал-
лельные и перпендикулярные направлению импульса р электрона.
Формулы (6.29) можно переписать в векторном виде:
а = Р+ (Ppj,p	о0 = ^ = -Р, а2 = Р2+^.	(6.30)
1 т(Е-^-т) ’ и Е т’	1 т2	'	'
Для неполяризованного состояния (Р = 0) матрица плотности
может содержать в качестве параметра лишь четырехмерный
186	Глава 4. Ковариантная теория возмущений
импульс р. Единственный вид такой матрицы, удовлетворяющей
уравнению (6.26), есть.
Р=у03 + т)-	(6.31)
Постоянный коэффициент определен условием нормировки (6.23)
и соответствует усреднению по проекциям спина.
В общем случае частичной поляризации (Р=/=0) будем искать
матрицу плотности в виде
Р = 4^ (p + m)P'(p+ т),	(6.32)
где р'— неизвестная функция. Матрица (6.32) удовлетворяет
уравнению (6.26). Найдем ее явный вид. При Р = 0 матрица
(6.32) должна совпадать с матрицей (6.31). Это будет в том слу-
чае, когда матрица р' —единична, так как (p + m)2 = 2m(p-|-m).
Кроме того, матрица (6.32) должна содержать линейно в каче-
стве параметра четырехмерный вектор а^, т. е.
р' = 1 - Ауьа.	(6.33)
Для определения коэффициента А перепишем (6.33) в системе
покоя
Р = т (! + То) [1 + Л Ь (ТР)] (1 + Vo) = у (1 + То) [1 + ЛТб (ТР)]
и вычислим с помощью (6.25) среднее значение спина. Шпуро-
вание дает
2S = 2^ SP (РТоТ) = — 4 Sp (ТР) Т = ЛР.
Из условия равенства последнего вектору Р находим, что А — 1.
Учитывая это, подставляя (6.33) в (6.32) и переставляя р' и
р-\-т, получаем окончательное выражение для поляризационной
матрицы плотности электрона в релятивистском случае.
Р = у03 + т)(1 — Тб<2).	(6.34)
Вектор является релятивистским обобщением вектора Р.
Если матрица плотности р задана, то четырехмерный вектор
поляризации й(1 определяется формулой
«h = 2^sP(PT5Th).	(	(6.35)
В соответствии с (6.30) вектор а^ однозначно определяет век-
тор Р.
§ 6. Процессы с поляризованными частицами
187
Аналогичным образам для поляризационной матрицы плотно-
сти позитрона цайдем
Рп =4 {р —	— уъа).	(6.36)
Поляризационная матрица плотности фотона. Чистое состоя-
ние фотона характеризуется вектором поляризации е. Тогда
смешанное состояние можно описать с помощью набора векторов
поляризации ел и вероятностей gn, с которыми эти чистые состоя-
ния входят в смешанный пучок. Введем векторы Xi и /2, опи-
сывающие состояние полной линейной поляризации фотона в двух
взаимно перпендикулярных направлениях [(см. гл. I, формула
(2.22)]. Тогда вектор е можно представить так (см. рис. 1.2,
гл. 1):
е = eiXi + e2x2.	(6.37)
Как и в случае электрона, из коэффициентнов разложений ех и
в2 и вероятностей gn построим поляризационную матрицу плот-
ности фотона
Рц = J	•.	(6.38)
п
Матрица плотности фотона по-прежнему зависит от трех
параметров. Однако в отличие от бариона у фотона отсутствует
продольная поляризация. Поэтому физический смысл этих пара-
метров в случае бариона и фотона различен.
Выясним физический смысл элементов поляризационной мат-
рицы плотности фотона. Из (6.38) следует, что Pn = Eie*, т. е.
ри характеризует вероятность поляризации фотона вдоль оси х,
по которой направлен вектор Xi> а Р22 = 82е| — вдоль оси у, по
которой направлен вектор Хг- Введем ортогональные орты Хи
xJ, составляющие с осью угол 45°:
Х1 = у^(Х1+Х2)> Хг (Xi — Ха)-
В новых ортах формула (6.37) перепишется так:
8 = у=^ (ex ф- е2) Xi +	(8х — е2) х2-
Вероятность поляризации, соответствующей ортам х! и xL будет
равна:
Р11 = 8181* = (Pll + Р12 + P2I + Р22) = ~2 [ 1 + (Р12 + Р21)],
Раз = 2 И — (Р12 “I” Р21)]»
188
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
т. е. сумма у [ I ± (р12 + p2i)] элементов матрицы плотности пред-
ставляет собой вероятность поляризации фотона вдоль осей х!
(верхний знак) и х-2-
В ортах и /а круговой поляризации (см. (2.22'), гл. I)
Xi = рЦ (Xi’ + Xi). Х2 = (хГ - X-D
вероятность поляризации, соответствующей ортам хГ и х-I, равна
Рп — ei ei * = 2 (f*11 Р22 1 (Р12 — Р’21)]= 2 Ч +1 (Р12 — Р21)Ь
Р-22 = ~2 [1 — 1 (Р12 — Р21)].
т. е. разность [I ±i(pi2 — p2i)] элементов матрицы плотности
(комплексная величина) является вероятностью правой (верхний
знак) и левой круговой поляризации фотона.
Параметры Стокса. Наряду с матрицей плотности для описа-
ния характера и степени поляризации фотонов можно использо-
вать вектор |. Три его компоненты Н2, Ь называют парамет-
рами Стокса фотона. Через последние матрица плотности,
согласно (6.38), запишется в ортах (2.21), гл. I в виде
„ I ,, . t . I Л+£з Ь —*£2'.	„ оп.
Р = у(1+!<•)) = уL ,	f ..	(6.39)
\si +1&2 I — ёз;
где « — матрицы, совпадающие с матрицами Паули [см. гл. I,
формула (3.2)].
Параметры & пробегают значения между —I и -(-I. Для непо-
ляризованного фотона L — ёг = £з = 0, а для полностью поляри-
зованного фотона Й + К + К=1. № (6.39) следует, что
Рп — е1е* —,Ы и р22 = 2 (1 — ?з)>
т. е. параметр Е3 характеризует линейную поляризацию фотона
вдоль осей х и у, вероятность того, что фотон линейно поляри-
зован вдоль этих осей,- равна соответственно 1/г(1+ёз) и
ЧгЦ— |8). При этом значению Н3=1 отвечает полная линейная
поляризация вдоль оси х, а Н3 =—I—вдоль оси у. Из формулы
Pi2 -hР21 = 11 вытекает, что параметр характеризует линейную
поляризацию фотона вдоль направлений, составляющих 45°
с осью х, причем значениям ^ = ±1 отвечают полные поляри-
зации под углами (р = 45° (верхний знак) и <р = —45°. Так как
i (Р12 — Р21) = £2. то параметр Н2 характеризует круговую поляри-
зацию фотона, причем Н2 = ± 1 отвечает соответственно полностью
право- и лево-циркулярно поляризованным фотонам. Из (6.39)
следует, что:
£1 = Р12 + Р21 — £1^2 + Е2е*, £2 = i (elEi — ЕгЕ*).
^3 = | ех |2 — |е212. (6.40)
§ 6. Процессы с поляризованными частицами
189
Для фотона, полностью линейно поляризованного под углом <р
к оси х (рис. 4.13), формула (6.37) выглядит так:
e = Xi cos(p + x2sin <р.
В этом случае e1 = cosip и e2 = sin(p, и выражения (6.40) для
параметров Стокса принимают вид:
gx = sin 2(р,	= 0, £3 = cos 2<р.	(6.41)
Рис. 4.13. Относительное рас-
положение векторов к, к', е
Если фотон полностью циркулярно поляризован, то в рассмат-
риваемом случае (верхний знак — пра-
вая круговая поляризация)
^ = 0, g2 = ± 1, g3 = 0.	(6.42)
Возьмем за исходные не орты (2.22),
а циркулярные орты (2.22') гл. 1, тогда
Рп= 4 (1 +Ь) будет вероятностью кру-
говой поляризации, а Ри = 4 (1 +£i) и
()ц =у(1 + ^2) —вероятностями линей-
ных поляризаций (соответственно по
осям х и у и по осям, составляющим угол 45° с осью х).
В циркулярных ортах выражение (6.40) для параметров Стокса
н случае фотона, полностью линейно поляризованного под уг-
лом <р к оси х, выглядит так:
£i = cos2<p, g2 = sin2(p, g3 = 0,	(6.43)
при ЭТОМ
Р 2 & + &
Hi — i&A _ j/1
/ 2 И'”
(6.44)
Для полностью циркулярно поляризованного фотона в цирку-
лярных ортах (верхний знак —правая круговая поляризация)
F.t =0, £2 = 0, Ез = ±1.
Из (6.39) вытекает следующее выражение для параметров
Стокса через поляризационную матрицу плотности фотона:
£ = Spp<o.	(6.45)
Дифференциальное сечение и поляризация. Дифференциальное
сечение процесса (6.1), когда в начальном и конечном состоя-
ниях имеется один электрон, определяется выражением (5.7),
и матричный элемент — формулой (5.9), причем
|М,7 |2 = (UfOUi) (iLtOUf) = ЩЛа-Оа'р-Щр'Й/рОра.	(6.46)
Если электрон в начальном состоянии обладает определенной
поляризацией (полностью поляризован), то эта формула является
190
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
окончательной. Если же начальный электрон частично поляри-
зован, то в (6.46) надо заменить билинейную комбинацию и,Я/,
относящуюся к начальному электрону, матрицей плотности р‘:
ЩоЦ-la.' ~* (Р')аа'-	(6.47)
В отношении поляризации электрона в конечном состоянии
возможны две постановки задачи: I) нахождение вероятности
того, что электрон в конечном состоянии обладает. определенной
поляризацией (т. е. при измерении детектор выделяет лишь
определенное состояние поляризации) и 2) нахождение всех воз-
можных состояний поляризации образовавшейся частицы, т. е.
нахождение матрицы плотности электрона в конечном состоянии.
Для решения первой задачи надо в (6.46) заменить билиней-
ную комбинацию Ufilf, относящуюся к конечному электрону,
матрицей плотности рЛ
uf Р'й/Р	(РОр'Р-	(6.48)
В результате, если начальный электрон поляризован и фикси-
ровано определенное состояние d поляризации, конечного элек-
трона, получим:
|S/i|2-^Spp'’OprfO.	(6.49)
Перейдем ко второй задаче — нахождению матрицы плотности
электрона в конечном состоянии. Пусть матрица плотности pz
начальной системы частиц задана. По определению, матрица
плотности конечной системы
р^Ж<Г.	(6.50)
п
где N — нормировочный.множитель. Заданные начальные состоя-
ния ап преобразуются в соответствующие конечные состояния а"1
С ПОМОЩЬЮ Sfi.
a" = S,„a« d“* = S *.a"*.	(6.51)
Подставляя последнее в (6.50), получаем выражение для матрицы
плотности pf конечных частиц:
^ = ^2^X5^ =
= N 2 gnStiSikankaf =	= N (SplS+)£/.
п
Нормировочный множитель N определим из условия Spp' = 1;
тогда, если начальные частицы поляризованы, то
О',	(М2)
§ 6. Процессы с поляризованными частицами	191
Представляя матричный элемент (5.9) в двумерной форме и
подставляя его в (6.52), придем к выражению для поляризацион-
ной матрицы плотности конечного электрона:
р/ = Sp [Ор'О (р} + т)]} 1 ufSg (pf) Ор1Ьи*г, (pf).	(6.53)
Это — двумерная матрица. Для нахождения четырехмерной поля-
ризационной матрицы плотности & подставим в (6.21) разложе-
ние (3.22), гл. 1:
£ ри\(Р1)й1г,(Р1).	(6.54)
sg. sz.
Заменяя здесь pf его выражением (6.53) и используя формулы
суммирования (5.18), находим окончательное выражение для
матрицы плотности электрона в конечном состоянии:
.	(6.55)
2 Sp (pf-\-m) Ор'О
Исли начальное состояние не поляризовано, то p‘ = ^ (pi + m) и,
= 2 (Р/+^)О(А+^)О(Р/+^)
2 Sp(pf+m)O(pi + m)O
Отсюда для четырехмерного вектора поляризации конечного элек-
трона (в его системе покоя) в соответствии с (6.35) получаем
°'1 = —	(6.57)
Этот вектор согласно (6.30) однозначно определяет трехмерный
вектор поляризации Р.
Рассмотрим процесс (6.1), когда в начальном и конечном
состояниях имеется один фотон. В этом случае согласно (4.27)
S/t = st-a0ap8fp	(6.58)
и
I Sfi I2 =	(6.59)
Исли начальный фотон частично поляризован, то в (6.59) надо
заменить e/(je*a, матрицей плотности (Рф)аа,
^Ха'-*(Рф)аа'-	(6-60)
Что касается поляризации фотона в конечном состоянии, то так же,
как и в случае электронов, здесь возможны две постановки за-
дачи: 1) нахождение вероятности того, что конечный фотон обла-
дает определенной поляризацией и 2) нахождение поляризацион-
ной матрицы плотности конечного фотона.
192
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Для решения первой задачи надо в (6.59) заменить комби-
нацию SfpSfp-, относящуюся к конечному фотону, матрицей плот-
ности р^:
ef₽'ef₽ (рф)р'6‘	(6.61)
Следовательно, если начальный фотон поляризован и фиксиро-
вано определенное состояние, d поляризации конечного фотона,
то для квадрата модуля матричного элемента имеем
|S/,-|2 = Sppi0’p^0T.	(б-62)
Для нахождения поляризационной матрицы конечного фотона
выделим в (6.50) состояния, отвечающие определенному импульсу
kj = ky и различным поляризациям фотона еа, ер = ±1, т. е.
(6.63)
Определим нормировочный множитель N из условия Spp^=l,
затем подставим N и (6.58) в (6.63); в результате получим вид
поляризационной матрицы плотности конечного фотона:
pf=.
ф Sp ОтрфО
Отсюда в соответствии с (6.45) находим дЛя параметров
конечного фотона
h = SP Р>-
Выражения (6.55) и (6.65) легко обобщаются на случай
электронов и фотонов.
Комптон-эффект на электроне. Применим полученные формулы
к процессу упругого рассеяния фотонов на электронах.
1. Найдем дифференциальное сечение рассеяния поляризо-
ванных фотонов, характеризуемых параметрами Стокса g1, на
неполяризованных электронах. Поляризованное состояние падаю-
щего фотона описывается матрицей плотности (6.60). Дифферен-
циальное сечение do (I1) указанного процесса определяется фор-
мулой [сравни с (5.35)]
do (I1) = 4 <6 Sp |Oa(l (р + т) р^О₽а (р' + m)} dQ, (6.66)
где	+	+	+ а &
единичные векторы в плоскости, перпендикулярной вектору
импульса k. Выберем их следующим образом:
„<•>_ tkk'l (1> _	1 ri.ptin
1 — I [kk'] | ’ 2	| к | I 1 J ‘
(6.64)
Стокса
(6.65)
многих
$ 6. Процессы С поляризованными частицами
193
При суммировании по проекциям спина конечного фотона заме-
ним на уц (см. § 5). Шпурование в (6.66) по спинорным
индексам в случае покоящегося начального электрона приводит
к выражению
Wn)=	(6.67)
где
f =^ + ?-(1-^,’)sin2e-	(6-68)
10*2	'-T'j
Как видно, сечение зависит лишь от одного параметра
Стокса й1’. При этом фотоны, поляризованные перпендикулярно
плоскости рассеяния (£з’= 1), рассеиваются сильнее фотонов,
поляризованных в плоскости рассеяния (£з’ =—1). От круговой
поляризации сечение не зависит (оно не содержит £2). Если ли-
нейная поляризация относительно осей е"’ и е^" отсутствует
(Е»н = 0), то сечение (6.67) совпадает с сечением (5.44) для непо-
ляризованных фотонов.
2. Вычислим поляризацию рассеянного фотона (параметры
Стокса |(2)), если падающий фотон также поляризован (параметры
Стокса g(1)). Параметры Стокса конечного фотона определяются
выражением (6.65):
₽<в,	SpOa,1^ + m)P^“/nvD₽v^' + m)
S₽ {°<хц + Р“₽°рц}
Выберем единичные векторы ejf’ в виде
„<8, Ikk'l „<8> Ik'el2’]
81 ~|[kk']|’ 82 ~ |k2| •
Тогда после шпурования в (6.69) имеем для параметров Стокса
рассеянного фотона:
№ = 2 cose	=[sin2 6+(1+cos2 6) &1’] f-\
^=[(2+2) ^’]cosef"1-
Из последнего соотношения следует, что фотон с круговой
поляризацией (£221 ф 0) образуется только в том случае, когда
круговой поляризацией обладает начальный фотон (£"' Ф 0).
Если начальный фотон не поляризован (gll, = 0), то
£Г = г = о, = sin2 е (2 + g- sin2 е)-1,	(6.70)
т. е. неполяризованный фотон в результате рассеяния частично
поляризуется. Так как £з'>0, то рассеянный фотон поляризо-
ван вдоль вектора е,3', т. е. перпендикулярно плоскости рассея-
ния В классическом приближении (со1 = ы2) параметр Стокса
7 Нелина Н. Ф.
194
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
£за> = ! ^Og2y <т- е- фотоны, вылетающие под углом 90°, полностью
поляризованы.
3.	Найдем дифференциальное сечение рассеяния поляризован-
ного фотона (параметры Стокса покоящимся поляризован-
ным электроном. Сечение определяется формулой
do (?, Р) =4 (g) Sp {Oa|lp(1)p^dP(i (р' + m)}. ’	(6.71)
После шпурования находим
P) = da(g<») + ^0(g)&>Ptt)BdQ,	(6.72)
где tfo(g(1)) — сечение рассеяния фотона неполяризованным электро-
ном (6.67), В = — ^1 — cose^kcos64-к'^. Из (6:72) следует,
что отличный от нуля вклад в сечение дают лишь начальные
фотоны с круговой поляризацией (^’’^О), которые образуют
электроны, поляризованные в плоскости рассеяния (Р=^0).
4.	Вычислим поляризацию электрона отдачи, когда началь-
ный электрон не поляризован, а фотон — поляризован (параметры
Стокса £(1)). Сначала найдем с помощью (6.57) параметры а^,
а затем по формуле (6.30) — вектор поляризации Р(2) конечного
электрона. В результате получим
P^ = ^*’AF-1.	’	(6.73)
Здесь F определяется формулой (6.68), а
А=—(1 — cos 6) [(k cos 6 4- к') — (1 4- cos 9) (к — к') j.
Как видно, конечный электрон поляризуется только в том слу-
чае, когда начальный фотон обладает круговой поляризацией
(£"’ =/=0). Вектор поляризации конечного электрона лежит в пло-
скости рассеяния.
§ 7. ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ * ФОТОНОВ. «ИНФРАКРАСНАЯ КАТАСТРОФА»
Тормозное излучение мягких фотонов. Излучение фотонов малой
энергии, или, как говорят, мягких фотонов, обладает некоторой
спецификой, на которой мы остановимся подробнее.
Рассмотрим для конкретности процесс тормозного излучения
электронов на кулоновском поле ядра. Матричный элемент этой
реакции описывается выражением (4.51). В случае малых энер-
гий фотонов величиной k в числителе по сравнению с р можно
пренебречь, и тогда (4.51) перепишется так:
S'|,! = (щ)2 A* (q) v'A' (р') рv ~
- Yo Р Jp- 8V] v'r- (р) 2л6 (Ро - р'о - Ло). (7.1)
§ 7, Излучение мягких фотонов. «Инфракрасная катастрофа».	195
Так как (р — m) v'r' (р)=0, то
(Р') То (Р+т)	у(-’ (Р) =
=4' (р') т0 (/%+V) Ч_> (р)=2б<^) (р') т0^-) (р) Рцец;
(Р') Тц е£' (р' + т) (р) = 2t»<+> (р') тосД~> (Р) Рц ;
поэтому
= (ie)* Aq (q) 0^’ (p) то (p) [ W— X
x2n6(po — p'o — ko). (7.2)
Отсюда для дифференциального сечения, просуммированного и
усредненного по проекциям спина начального и конечного электро-
нов, имеем
,	,	2 (р'ек )	(ре’1') 2 dk	Q.
do — doyne (p,k) (pk) (2я)3 2tt).	I7-3)
где doyn — сечение упругого рассеяния электрона, определяемое
формулой (5.48), со —энергия фотона. Положив
р = (е, ev), (рЛ) = есо[1 — (vn)], (р'Л) = е'со[1 — (v'n)], е = (0, в)
и производя суммирование по поляризациям фотона, получим
выражение формулы (7.3) через трехмерные величины:
,	,	( [v'nl	[vn] )2 daidQ
=	(7.4)
к
где n = —, v, v —скорости начального и конечного электронов.
При малых значениях энергии фотона со обратным влиянием
излучения фотона на процесс рассеяния можно пренебречь. Поэтому
сечение (7.4) тормозного излучения мягких фотонов представляется
в виде произведения двух независимых множителей: сечения чисто
упругого рассеяния электрона doyn и вероятности wy излучения
мягкого фотона:
do = wy doy„.	(7.5)
Выражение, стоящее перед doyn, совпадает с классической интен-
сивностью (полной энергией) излучения /, деленной на со, т. е.
do = doyn~.	(7.6)
Аналогичным образом в случае тормозного излучения двух мяг-
ких фотонов найдем
da1t = dGynWyiWy,.	(7.7)
7*
196
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
Наконец, сечение процесса с испусканием п мягких фотонов пред-
ставится в виде
dan = daynwywyi ... wy^	-	(7.8)
где wyi...wy —вероятности испускания фотонов klt k2, ..., kn.
Неприменимость теории возмущений. Интегрирование сечения
излучения (7.4) по частотам со в конечном интервале от со до Wi
приводит к формуле
da а In dayn,	(7.9)
или, если учесть, что с логарифмической точностью сох^е (где
е —начальная энергия излучающей частицы):
da ~ a In dayn.	(7.10)
Аналогичное интегрирование сечения излучения (7.7) дает
da2 (a In dayn.	(7.11)
Из (7.10) й (7.11) для отношения сечений излучения двух и одного
мягких фотонов имеем
aln-5-.	(7.12)
аа	со	'	'
♦
Следовательно, в случае излучения мягких фотонов параметр
разложения равена1п-^-, а не а. При со->О параметр aln^-->oo,
и поэтому в случае излучения мягких фотонов обычная теория
возмущений становится неприменимой.
Неприменимость теории возмущений связана с тем, что вероят-
ность излучения двух и более мягких фотонов не меньше, а больше
вероятности излучения одного фотона. Действительно, из (7.4)
видно, что интенсивность излучения
di = а Г . п]---Jvnl Т da d£2
| 1—v n 1—vn J
в единичном интервале частот при со->О стремится к конечному
пределу, отличному от нуля. Отсюда следует, что среднее число
фотонов ~ при уменьшении их энергии стремится к бесконеч-
ности.’ Так как вероятность перехода электрона из состояния
с импульсом р в состояние с импульсом р' всегда конечна, то
вероятность одновременного излучения бесконечного числа фотонов
с бесконечно малой энергией (со->О) также конечна и отлична
от нуля. Поэтому вероятность излучения одного или конечного
числа фотонов близка к нулю, в отличие от обычной теории
возмущений.
# 7, Излучение мягких фотонов. «Инфракрасная катастрофа».
197
Величина — представляет собой среднее число фотонов ча-
стоты со, излучаемых электроном в интервале частот с/со. Опре-
делим вероятность того, что электрон излучает некоторое про-
извольное число п мягких фотонов с энергией в интервале <ог^
со со2. Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически
независимо, то к процессу множественного излучения можно
применить формулу Пуассона: вероятность w (п) излучения п
«ротонов выражается через среднее число п формулой
(7.13)
Среднее число dn излученных фотонов в интервале частот со,
со + dco равно dl/ca, а в конечном интервале частот (сох, со2) опре-
деляется выражением
(1)2
•-Н-	<7-14>
Сечение рассеяния don с излучением п мягких фотонов в соот-
ветствии с (7.8) можно представить в виде don = dayn • wn. Так
оо
как У, w (и) = 1, то
л=0
ОО
I don = doynt
п=0
(7.15)
т. е. dOyn представляет собой полное сечение рассеяния, сопро-
вождаемое излучением любого числа мягких фотонов. Поэтому
можно сказать, что найденное сечение (5.48) упругого рассеяния
электрона в действительности учитывает излучение любого числа
мягких фотонов. Более того, сечение чисто упругого рассеяния
равно нулю: при и1-^-0 среднее число п->со и согласно (7.13)
вероятность излучения любого конечного числа фотонов обра-
щается в нуль.
Сечение излучения мягкого фотона (7.4) обладает важным
свойством: оно обращается в бесконечность, как говорят, расхо-
дится, когда энергия фотона стремится к нулю (со->О). Расхо-
димости сечений в области малых энергий фотонов получили назва-
ние инфракрасной расходимости или «инфракрасной катастрофы».
Инфракрасные расходимости — прямое следствие незаконного при-
менения теории возмущений при исследовании излучения мягких
фотонов. Далее (гл. 6, § 5) мы вычислим функцию, учитывающую
излучение мягких фотонов, не прибегая к теории возмущений.
Эта функция будет свободна от инфракрасных расходимостей, но
если ее разложить в ряд теории возмущений, то тотчас появятся
пи(|)ракрасные расходимости.
198
Глава 4. Ковариантная теория возмущений
«Масса» фотона. Из рассмотренного видно, что теория возму-
щений неприменима в области излучения мягких фотонов. Поэтому
при вычислениях мы отбросим, «обрежем» область фотонов с энер-
гией со, меньшей некоторого предельного значения (Omin: comin < со.
Практически, однако, удобнее не накладывать ограничения
на энергии фотонов снизу, а считать, что фотон обладает неко-
торой малой массой X, отличной от нуля, причем k2 — №. Введе-
ние массы X эквивалентно условию comin < to. но, в отличие от
энергии со, масса X является инвариантной величиной и поэтому
ее использование сильно упрощает расчеты. Следовательно, чтобы
обеспечить сходимость интегралов по импульсам фотонов на ниж-
нем пределе, т. е. чтобы устранить инфракрасные расходимости,
пропагатор фотона Dc0 (k) надо взять в виде
(7Л6)
Рассеяние электрона с излучением мягкого фотона. Найдем
во втором порядке теории возмущений сечение рассеяния электрона
с излучением мягкого фотона, свободное от инфракрасных рас-
ходимостей. Для этого введем в (4.51) массу фотона согласно
соотношению Л2 = Х2; это дает, если по-прежнему пренебречь k
в числителе,
= (ie)2 Ао (q)	(р') Г	Vo +
+ То №-2pk В*] V'r~'	2"в (Ро -Ро- М-
Тогда (7.2) перепишется так:
= (ie)2 Ао (q)(Р)Т(4->(Р) —
L 2
р'е^'
№ + (p’k)
ре.к'
~№-(pk)
(2n)b(po — p'o — k0).
(7.17)
Пусть энергия фотона не- превосходит Де, которая значительно
меньше энергии электрона 8 и значительно больше массы фотона X2:
Х<^Де<^8. Так как е^>Х, то № в знаменателе (7.17) можно
пренебречь: (pk) содержит слагаемое е]/к2-]-Х2, которое значи-
тельно больше X2; поэтому
| к | = Де	| к | = Де
у	Г	/ Рр Рр, \2 4к	f	к2 d | к | dfi	х
Х	J	\(P'k)	(Pk)l ko	J	Угк2 + Х2
|k|=0	|k| = 0
J	m2	.	m2
I (s' /k2-|-Z2 — p'k)2	(e p^+X2—pk)2
~ (e' VкЧД2 -p'k) (e /кЯ7^-pk) }*
§ 7. Излучение мягких фотонов. «Инфракрасная катастрофа».
199
С помощью тождества
+ 1
_____________1____________ — IV _______________
(е']/к2 + Х2—р'к) (е )/'к2+Х2—рк)	2 У (ezV k24-X2—ргк)а ’
— 1
где р2=4(1+2)Р + 4(1-2)Р'’ g® = 4(1 + 2)e + '2’(1-2)8'’ Ф°Р"
мула (7.18) перепишется в виде
| к | = Де
J _ С к2 d |к I dQ (_____m2_________________trfi________
К~ ,,J_n Г1?+Х? Це/кЧ^-рк)8 (е'/кЧ^-р'кГ
| к | — и
+ 1
__	, f ________dz______)
РР (е./кЧ^-р.к)2)’
Поскольку
С ______dQ_______________4л____
J (e/k2+k2-pk)s ~ к2(е2—р2)+Х2е2 ’
то (7.18) принимает форму
Де
,	. f к2 d ] к | ( m*
\	___LA- (----------------
J /к2+Х2 I к2 (е2 - р2)+Х2е2
т2
к2(е'2—р'2)+Х2е'2 ~
+ 1
, С	dz
~РР } к2(е2-р2)+Х2е2
кроме того,
Де
С ________к2 d I к I_______=
J [к2 (е2—р2)+Х2е2] /к2+Х2	е2—р2
1	. 2Де
----1П-------
X
8
~ 2|р| е2-р2
1 In
8—|р|
поэтому
Л. = 4л
dz 1, 2Де
ч=йТп—“
_ ± Г 6 In e + IPl I е< In е, + 1Р'I
2 L I Р I 1 е— | р | * I р' | е' —|р'1
& е2 |П ег+|рг|
el —рг |р2|
I ! }•	<7-19)
ег I Рг I JJ
200
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
Если ввести новую переменную £
то (7.19) представится так:
= 1/~ cos2 4- + z2 sin2-^-,
ot:z Г 2 1	2 ’
Д = 4л {2(2ФсНт 2Ф—1) In
- 1-1,2 с112Ф	d£ln-}±^------------1, (7.20)
6	J l—v£	Г 6	'	'
V sin	е	(1 —v2t2)l/ t2_cos2-^-
2	cos	ь' т ’	2
где величины Ф и q связаны соотношением q2 — 4m2 ch2 Ф. Под-
ставляя (7.20) в (7.3), получаем выражение для дифференциаль-
ного сечения рассеяния электрона в кулоновом поле ядра с излу-
чением мягкого фотона, энергия которого не превосходит Де
(причем Де<^е):
da = (-----Za Y (1 - о2) {1 - г2 sin2 “ (2 (2Ф cth 2Ф -
^2nw2sin2-|-j V	2/я1'
-1)ln^ + llnl±E. + _blLch2(DG(v, 6)}, (7.21)
V Sin g-
где G{v, 6)= dt, In-jYS--------/'----  — Так как. X от-
СОЦ	(1-v^)j/ £2-cos2|
лично от нуля, то это выражение свободно от инфракрасных
расхо; имостей.
Глава 5
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В предыдущей главе были изучены электродинамические про-
цессы в первом неисчезающем приближении теории возмущений.
Теперь перейдем к определению поправок к матричным элемен-
там, которые дают высшие порядки теории возмущений. Обычно
их называют. радиационными поправками.
§ 1. РАСХОДИМОСТИ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Расходимости. Рассмотрим, например, процесс рассеяния элек-
трона кулоновским полем ядра:
e-ф я—>е~ + я.	(1.1)
Диаграммы Фейнмана этой реакции в первом порядке теории
возмущений изображены на рис. 4.10, а в третьем порядке —на
рис. 5.1, а — д. Выделим из последних некоторые элементарные
§ I. Расходимости матричных элементов
201
диаграммы (рис. 5.2) и проанализируем подробнее соответствую-
щие им матричные элементы:
a)	S^ = Sc(p)^\p)Sc{p),
2	Tv-^-6(P-^ — p'), (1.2)
6)	S^ = Dc0(k)P^(k)Dc0(k),
,Я&' (£)=___ dpSp |yv Tp. ZLma} 6 (^ + C — P ). (1-3)
в)' S)?, = K(P2)A'”(Pi, p2, ?)u(Pi),	p2, <?) =
dkyv Ьг-kY-m* (Pi-kr-m^'W 6	~P1~ ti- <1>4)
В подынтегральном выражении (1.2) степень импульса k, по
Которому производится интегрирование, в числителе равна пяти,
Рис. 5.1. Диаграммы для рассеяния электрона внешним электро-
магнитным полем в третьем порядке теории возмущений
п в знаменателе — четырем. Поэтому интеграл (1.2) будет пропор-
ционален первой степени импульса k, а так как интегрирование
ио k производится от 0 до оо, то на верхнем пределе при /г-»-оо
матричный элемент (1.2) становится бесконечным, или расходя-
щимся; причем в данном случае расходимость —линейная. Анало-
гичным путем можно убедиться, что матричные элементы (1.3) и
(1,4) расходятся соответственно квадратично и логарифмически,
202
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
Рис. 5.2. Диаграммы:
а — собственной энер-
гии электрона, б—соб-
ственной энергии фо-
тона, в — вершинной
части во втором по-
рядке теории возму-
щений
Диаграммы, изображенные на рис. 5.2, а, б, в, войдут также
в диаграммы Фейнмана для более высоких порядков теории
возмущений процесса (1.1). Таким образом, матричные элементы
процесса (1.1) в высших порядках теории возмущений становятся
расходящимися.
Диаграммы рис. 5.2, а, б, в войдут также в диаграммы Фейн-
мана высших приближений других процессов, поэтому матричные
элементы высших порядков теории возмуще-
ний всех процессов будут расходящимися.
Типы расходимостей. В связи с появле-
нием расходимостей в матричных элементах
высших порядков теории возмущений воз-
никают две задачи: 1) найти все возможные
типы расходящихся матричных элементов;
2) выяснить, зависит ли число этих типов
расходимостей от порядка теории возмуще-
ний..
Результат решения этих задач целиком
определяется типом взаимодействия. Пока-
жем, что в случае квантовой электродина-
мики число типов расходящихся элементов
конечно и не зависит от порядка теории воз-
мущений.
Введем сначала некоторые определения.
Назовем электронной собственно энергетиче-
ской частью диаграмму, связанную с осталь-
ными частями только двумя электронными
линиями; фотонной собственно энергетиче-
ской частью — диаграмму, связанную с осталь-
ными частями только двумя фотонными ли-
ниями; вершинной частью — диаграмму, свя-
занную с остальными частями только двумя
электронными и одной фотонной линиями.
Простейшие из перечисленных диаграмм приведены на рис. 5.2,
а более сложные на рис. 5.3 (а, б, в — электронные, г, д — фо-
тонные, е, ж, з—вершинные части).
Разделим все диаграммы на неприводимые, и приводимые.
Неприводимой называется такая диаграмма, которая не содержит
внутри себя собственно энергетических и вершинных частей;
в противном случае она называется приводимой. Диаграммы на
рис. 5.2 —неприводимые, а на рис. 5.3 — приводимые: а, б, в
получены путем добавления различными способами одной элек-
тронной собственно энергетической части „к неприводимой диаг-
рамме 5.2, а; г — добавлением двух фотонных собственно энер-
гетических частей к 5.2, б; б —добавлением одной электронной
собственно энергетической части к неприводимой диаграмме 5.2, б;
е, ж, з —добавлением соответственно фотонной и электронной соб-
(5 I. Расходимости матричных элементов
203
ственно энергетических и вершинной частей к неприводимой
диаграмме 5.2, в. Следовательно, любую приводимую диаграмму
можно получить из неприводимой путем вставки в последнюю
определенного числа собственно энергетических и вершинных диа-
грамм. Поэтому анализ расходимостей любой диаграммы Фейнмана
можно свести к изучению неприводимых диаграмм.
Возьмем теперь произвольную неприводимую диаграмму кван-
товой электродинамики в n-м порядке теории возмущений и
выясним, какие типы расходимостей для соответствующего мат-
ричного элемента возможны. В случае неприводимой диаграммы
Рис. 5.3. Диаграммы собственной энергии электрона, собственной энер-
гии фотона, вершинной части в теории возмущений
подынтегральное выражение матричного элемента не распадается
на отдельные множители, содержащие не связанные между собой
переменные. Поэтому сходимость интеграла в области больших
импульсов определяется числом К — разностью степеней импульса
в числителе и знаменателе; при К<0 интеграл сходится, при
/(	0 — расходится.
Пусть F, В —общее число электронных и фотонных линий,
Fe, Ве — число внешних электронных и фотонных линий, Fi, В\ —
число внутренних электронных и фотонных линий.
Найдем величину К. Подсчитаем сначала число независимых
переменных интегрирования. Число импульсов, по которым про-
изводится интегрирование, равно числу внутренних линий, т. е.
Fi + Bj. Однако они не независимы, так как три импульса, схо-
дящиеся в каждой из п вершин, связаны между собой законом
сохранения. Один из этих законов сохранения—для процесса
в целом — относится к внешним линиям, так что всего на внут-
ренние импульсы будет наложено (n— 1) условие. Следовательно,
число независимых внутренних импульсов равно Л4-В1 —(n—1),
204
Глава 6. Высшие порядки теории возмущений
а число независимых переменных интегрирования 4 (Fi + Bi —
— «Н-1). Соответствующее внутренней электронной линии спари-
вание содержит в знаменателе импульс в первой степени, а внут-
ренней фотонной линии — импульс во второй степени. Поэтому
в знаменателе подынтегрального выражения появится импульс
в степени Fi4-2Bi. Таким образом,
/< = 4(Л + В!-п+1)-Л-2В1 = ЗЛ + 2В1-4(п-1).	(1.5)
Выразим величину К только через число внешних линий. Для
этого учтем, что в случае электродинамики в каждой вершине
сходятся две электронные и одна фотонная линия. Число концов
электронных линий равно удвоенному числу вершин. Поскольку
каждая внутренняя электронная линия имеет два конца, а каж-
дая внешняя — один, то
2F1 + f'e = 2n.	(1.6)
Аналогично в каждой вершине кончается одна фотонная линия
и число концов фотонных линий равно числу вершин:
2Bi + Be = n.	(1.7)
Подставляя (1.6) и (1.7) в (1.5), находим выражение К через
число внешних линий
/< = 4--ре-Д,	(1.8)
•
Это выражение позволяет перечислить все возможные расходя-
щиеся матричные элементы, соответствующие неприводимым диаг-
раммам квантовой электродинамики. Учтем, что электронная
линия не может закончиться обрывом, и поэтому число Fe всегда
четно. Тогда для квантовой электродинамики возможны следую-
щие типы расходимостей матричных элементов:
а)	Ае=2, Ве = 0, А=1—линейная расходимость;
б)	Ае = 2, Ве = 1, К = 0 — логарифмическая расходимость;
в)	Д. = 0, Ве=1, К = 3 — кубическая расходимость;
г)	Fe = 0, Вс — 2, /<= 2 — квадратичная расходимость;
д)	Fe = 0, Ве = 3, К = 1 — линейная расходимость;
е)	Ае = 0, Ве = 4, К = 0 — логарифмическая расходимость;
ж)	Ае = 0, Ве = 0, К = 4 — расходимость четвертого порядка.
Простейшие неприводимые диаграммы, соответствующие этим
расходимостям, представлены на рис. 5.4, а —ж. Среди них
имеются такие диаграммы, которые мы уже рассматривали
(см. рис. 5.2). Диаграммы в и д соединяются с остальными
частями нечетным числом фотонных линий. Вследствие теоремы
Фарри (гл. 2, § 2) вклады этих диаграмм обращаются в нуль;
поэтому диаграммы в и д можно не учитывать. Диаграмма ж
описывает переход вакуум-вакуум и также может быть отброшена,
как не имеющая физического смысла.
§ I. Расходимости матричных элементов
205
Таким образом, в случае квантовой электродинамики имеется
четыре типа расходимостей: неприводимые собственно энергети-
ческие части фотона и электрона, вершинная часть и часть,
соответствующая рассеянию фотона фотоном (диаграмма рис. 5.4, е).
Согласно (1.8) величина К не зависит от п, поэтому число
типов расходимостей в квантовой электродинамике одно и то же
во всех порядках теории возмущений.
Рис. 5.4. Простейшие неприводимые диаграммы
Расходимости квантовой электродинамики можно устранить.
(Вообще говоря, расходимости можно устранить для тех взаимо-
действий, у которых число расходимостей конечно и не зависит
от порядка теории возмущений). Для этой цели была разработана
специальная процедура. Она получила название перенормировки
массы- и заряда.
Существуют различные варианты этой процедуры. Мы изложим
один из них. Его суть сводится к следующему. Сначала матрич-
ные элементы разделяются на конечную и бесконечную части.
Конечный матричный элемент называется регуляризованным,
а операция его получения — регуляризацией матричного элемента.
Далее показывается, что бесконечные части можно устранить,
если воспользоваться некоторыми физическими соображениями.
Остановимся сначала на регуляризации матричных элементов.
206
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
§ 2. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Неприводимые диаграммы. Произведем сначала регуляризацию
матричных элементов, соответствующих неприводимым диаграм-
мам. Рассмотрим матричный элемент (1.2), соответствующий
неприводимой электронной собственно энергетической диаграмме
(см. рис. 5.2, а). Оператор S12)(p), входящий в (1.2), можно пере-
писать в виде
2(2) № = (2лР j	y^^(P~k~P') =
= J dkRe(p, k). (2.1)
Разложим подынтегральное выражение Re(p, k) в ряд Тейлора
по внешнему импульсу р в окрестности точки р — ро-
Re(p, k)=Re(pOt	+...	(2.2)
При каждом дифференцировании функции Re(p, k) по р^ в ее
знаменателе появится дополнительная степень (p — k), содержа-
щая переменную интегрирования k. Интеграл (2.1) расходится
линейно. Вторая производная в (2.2) содержит дополнительный
множитель (p — k)2 и интеграл (2.1) от нее уже будет сходящимся.
Так как
^2(а)(Р)|Р=Р» = Т^о(Ро),	(2.3)
то, ограничиваясь в выражении (2.2) второй производной и под-
ставляя его в (2.1), получим (нижний индекс равен степени
расходимости интеграла):
2'а) (р) = 21 (Ро) + 20 (Ро) (р' - /и) + 2Я’ (р), р' = Р - Ро, (2.4)
где Si(po) = 2l2)(po) + S0(p0)m, So (р0) — линейно и логарифми-
чески расходящиеся константы, не зависящие от р, а
2д (р) = у др^ dpv 2(2) (Р).|р==ро (Рр — Pop) (Pv — Pov).	(2.5)
Таким образом, оператор 2(2) (р) электронной собственно энер-
гетической части можно представить в виде суммы двух беско-
нечных констант Si, So, не зависящих от р, и конечного интег-
рала S^’(P).
Матричный элемент (р) называется регуляризованным.
Оператор Р2 (k) фотонной собственно энергетической части
(1.3) расходится квадратично. Поэтому, заменяя подынтегральное
выражение Р(2) (k) в (1.3) его разложением по k:
Р<Ч (*) - Р<« (0)+„ +
+ тМ.(^),_0+«Г(*). (2-6)
§ 2. Регуляризация матричных элементов
207
найдем
P(a) (k) = Р2 +	+ C^kWP® (k).	(2.7)
Из требования релятивистской инвариантности следует, что (2.7)
должно зависеть только от k2, поэтому В1Ц = 0,	= g^Po и
выражение (2.7) запишется в виде
Р(2)(Й) = Р2 + ^РО+Р^(*),	*	М
т. е. оператор Р(2) (/г) представляет собой сумму двух бесконеч-
ных констант Р2 и Ро, не зависящих от k, и регуляризованного
интеграла P'r (k).
Оператор А^’ (рь р2, k) вершинной части (1.4) расходится
логарифмически. Разлагая подынтегральное выражение (1.4)
и ряд Тейлора и удерживая нулевой и первый члены, получим
представление вершинной части в виде суммы бесконечной кон-
станты и конечного интеграла:
Ац (Pi, Pi, k) = L^(p0, ро, 0)4-A$?(Pi, Р2, k).
Из релятивистской инвариантности следует, что £|Х = £0(р0, Ро. 0)уи,
поэтому
Ац’(Р1, Р2, k) = Lo(po, Ро, O^+A^pi, р2, k).	(2.9)
Аналогичным образом получим выражение для матричного эле-
мента М рассеяния фотонов на фотонах:
M(kY, k2, k3, ki) — M0.+MR(k1, k2, k3, k^,	(2.Ю)
где Mo — бесконечная константа.
Изложенная процедура регуляризации сводится к вычитанию
из расходящихся интегралов нескольких первых членов их раз-
ложения в ряд Тейлора по степеням p — tn или k2. Количество
вычитаемых членов должно быть минимальным для обеспечения
сходимости остатка. Остаток не будет содержать расходимостей
потому, что в случае неприводимых диаграмм внешние импульсы
входят в линейной комбинации с переменными интегрирования
и вследствие этого каждое дифференцирование увеличивает на
единицу степень полинома, стоящего в знаменателе подынтег-
рального выражения.
Приводимые диаграммы. Приводимые диаграммы получаются
из неприводимых путем добавления к последним собственно
энергетических электронных и фотонных частей, а также вер-
шинных. Поэтому приводимые диаграммы можно разбить на три
класса:
1)	диаграммы с полностью неперекрывающимися вставками
(см. рис. 5.3, а, г-ж)-,
2)	диаграммы, в которых одна вставка полностью содержится
внутри другой (см. рис. 5.3, б);
3)	диаграммы с перекрывающимися вставками (см. рис. 5.3, в).
208
Г лава 5. Высшие порядки теории возмущений
Регуляризацию матричных элементов, соответствующих двум
первым классам диаграмм, можно произвести методом, описанным
выше. Если вставки не перекрываются, то соответствующие им
матричные элементы можно регуляризовать независимо. Матрич-
ный элемент диаграммы, в которой одна вставка полностью
содержит другую, можно регуляризовать последовательно, начи-
ная с матричного элемента внутренней вставки.
Чтобы пояснить идею регуляризации диаграмм с перекрыва-
ющимися вставками, рассмотрим диаграмму, изображенную на
рис. 5.3, в. Ее можно рассматривать как результат вставки вер-
шинной части Ац в одну из вершин диаграммы, изображенной
на рис. 5.2, а. Выделим в Аг бесконечную часть, а оставшуюся
конечную часть Ац/? подставим вместо оператора в одну из
вершин диаграммы рис. 5.2, а. В результате все сведется к регу-
ляризации собственно энергетической диаграммы рис. 5.2, а.
Используя более сложный метод, можно доказать возможность
регуляризации перекрывающихся диаграмм произвольного вида,
но мы на этом останавливаться не будем.
§ 3. ПЕРЕНОРМИРОВКА МАССЫ И ЗАРЯДА
Как мы выяснили в § 2, расходящиеся матричные элементы
в квантовой электродинамике можно представить в виде:
S^(p) = 21 + 2o(p-/n) + ^’(p).	(3.1)
pW(k) = P2+PJ? + P%(k),	(3.2)
A™ (Pi> P2, *0 = M’i* + Apj? (рь p2, k),	(3.3)
(/^1, /^2, kg, k^) = Mg-\-Mp kg, kg, k^.	(3.4)
Эти матричные элементы содержат шесть расходящихся констант.
Константы So, Pg, Lo, Мо расходятся логарифмически, Si—
линейно, Pg — квадратично. Покажем, что расходящиеся части
матричных элементов можно устранить, если воспользоваться
тремя физическими принципами: 1) свойством градиентной инва-.
риантностн теории, 2) перенормировкой массы электрона, 3) пере-
нормировкой заряда электрона.
Свойство градиентной инвариантности. Вследствие градиент-
ной инвариантности электромагнитного поля наблюдаемые физи-
ческие величины зависят не от потенциалов поля (k), а от
тензора электромагнитного поля Fllv = kfLAv(k) — k^^lk). Поэтому
физические величины, в частности Р(2)(/г), должны обращаться
в нуль при /г|Х = 0 и, следовательно, Р2 — 0. По той же причине
равна нулю величина Мо.
Таким образом, константы Р2 и Мо можно устранить, если
учесть требование градиентной инвариантности.
Перенормировка массы электрона. Константу Si можно устра-
нить, если произвести перенормировку массы электрона. Физи-
§ 3. Перенормировка массы и заряда
209
ческая сущность этой операции заключается в следующем. Рас-
смотрим сначала свободный электрон. Будем характеризовать
его массой т. Такой гипотетический электрон иногда называют
«голш<», а его массу т — «затравочной». На самом деле электрон
взаимодействует с собственным электромагнитным полем и вслед-
ствие этого испускает и поглощает виртуальные фотоны, как
говорят, окружен «облаком» виртуальных фотонов. Вследствие
этого взаимодействия у электрона появляется добавочная масса
6/п. Экспериментально можно определить только сумму m-|-6m,
поэтому естественно назвать ее экспериментальной массой элект-
рона: ms = m-\-dm.
В уравнение Дирака входит «затравочная» масса т, вслед-
ствие этого его можно записать так:
[ти -	~ 6m)] W = °-
Это уравнение можно получить, если заменить выражение для
гамильтониана взаимодействия (1.13) гл. 4 следующим:
«5^ / (х) = еф (х) А (х) ф (х) + бтф (х) ф (х).	(3.5)
Добавленный член (его называют контрчленом) графически изо-
бражен на рис. 5.5, а. С учетом контрчлена собственно энерге-
тическая часть электрона запишется в форме:
S(2>' (р) = ХЮ (р) + 6m = So (р - т) + 2g’ (р) + 2x4- 6m.
Так как 21 не зависит от импульса р, то 6m можно подобрать
таким, чтобы оно компенсировало 2Х. Следовательно, если перейти
от «затравочной» массы т к
экспериментальной тэ, то удает-
ся устранить расходящуюся ве-
личину 21.
Процедура перехода от т
к тэ получила название пере-
нормировки массы электрона.
Как видно, перенормировка
°)
от
 о-
Рис. 5.5. Графическое изображение
контрчлена перенормировки: а — мас-
сы, б — заряда
массы сводится к предположению, что сумма масс «голого» элек-
трона и бесконечной добавки 21 к нему на самом деле конечна
и представляет собой экспериментально наблюдаемую массу.
Перенормировка заряда электрона. Будем характеризовать
свободный электрон «затравочным» зарядом е. Рассмотрим элект-
рон, движущийся, например, в слабом электромагнитном внеш-
нем поле Л* (х). Взаимодействию электрона с этим полем в пер-
вом и третьем приближениях теории возмущений соответствуют
диаграммы Фейнмана, данные на рис. 4.10 и 5.1. Диаграмма
рис. 5.1,6 описывает процесс излучения электроном фотона,
который порождает виртуальную электронно-позитронную пару.
Следовательно, электрон, взаимодействуя с вакуумом, порождает
210
Глава S. Высшие порядки теории возмущений
вокруг себя «облако» виртуальных электронно-позитронных пар,
т. е. поляризует вакуум, а это приводит к изменению заряда
электрона на величину бе. Экспериментально можно определить
только сумму е^-Ье, поэтому назовем экспериментальным заря-
дом электрона е3 величину еэ — е-[-Ъе.
Учет поляризации вакуума приводит к изменению уравнений
Максвелла для свободного поля, т. е. к изменению компонент ДДх)
электромагнитного поля или его тензора Следовательно,
эффект поляризации вакуума можно учесть, если ввести вместо
ffivW тензор =	+ б/)*/2, что приведет к появлению
в гамильтониане взаимодействия (3.5) еще одного контрчлена
6%^/ (х) — еф (х) А (х)ф (х) + бтф (х) ф (х) + б/Т7^.	(3.6)
Последний член этого выражения пропорционален квадрату тен-
зора электромагнитного поля. При переходе к импульсному
пространству он даст члены, пропорциональные квадрату импульса
фотона. Поэтому этому контрчлену будет соответствовать диаг-
рамма Фейнмана, изображенная на рис. 5.5, б. С учетом контр-
члена SfF^ собственно энергетическая часть фотона запишется
в виде
Р™ (k) = Р$ (/г) + Ро& + 8fk2.
Так как Ро не зависит от импульса k, то б/ можно подобрать
таким, чтобы оно компенсировало Ро. Следовательно, если
перейти от «затравочного» заряда к экспериментальному, то
удается устранить расходящуюся величину Ро. Процедура пере-
хода от е к еэ получила название перенормировки заряда элект-
рона.	‘
Таким- образом, расходящиеся константы Si и Ро устраняются
с помощью перенормировки массы и заряда электрона.
Остается еще две расходящиеся константы: So и £0. Путем
непосредственных вычислений в каждом конкретном случае можно
убедиться, что после перенормировки массы и заряда электрона
выражения, содержащие So и £0, всегда взаимно сокращаются.
При этом удобно использовать тождество, полученное Уордом.
Тождество Уорда. Это тождество связывает вершинную часть Л
с электронной собственно энергетической частью S (взятых во
всех порядках теории возмущений). Чтобы найти тождество
Уорда, продифференцируем тождество для причинных функций
электрона (см. гл. 4, § 3) Sc (р) [Se (р)]-1 = 1 по переменной р:
= ~-Sc(P) —У" ^(Р)-	(3.7)
После подстановки явного вида [Sc (р)]*1 получим соотношение
^^ = 5Чр)т^(р).	(3.8)
§ 3. Перенормировка массы и заряда
211
Правая часть этого соотношения представляет собой матричный
элемент,, соответствующий простейшей вершинной диаграмме
(рис. 5.6, а), у которой импульс внешнего фотона равен нулю.
Следовательно, дифференцирование пропагатора Xе (р) (рис. 5.6, б)
по переменной р соответствует вставке в электронную линию
внешней фотонной линии с импульсом, равным нулю.
Рассмотрим теперь диаграмму электронной собственно энер-
гетической части (см. рис. 5.2, а); во втором порядке теории
'возмущений ей соответствует оператор
(р) = J d4^vXe (р - k) yvD^ (k)6(p-k- р').
Дифференцируя этот оператор по р и используя (3.8), получаем
( d4£TvXe (р - k) yvSc (р - k) TvD$ (k) 6 (p - k - p').
Это —оператор Л(3) (p, p, 0), который соответствует вершинной
диаграмме, изображенной на рис. 5.2, в, если считать, что
импульс внешнего фотона равен ну-
лю. Иначе говоря, для оператора а)
Х(2) (р) во втором порядке теории |	$'
возмущений справедливо соотноше- |
пие	*
	^1^-=Л(з)(р, р, 0).	(3.9)
Диалогичным образом дифференциро-
вание оператора 2(4) (р) в четвертом
Рис. 5.6. Графическое изобра-
жение дифференцирования фун-
кции Sc по импульсу
порядке теории возмущений приведет к сумме всех вершинных
частей Л(5) (р, р, 0) пятого порядка теории возмущений.
В частности, в матричный элемент 2(4) (р) дает вклад диа-
грамма, изображенная на рис. 5.7, а\ производная этой диаг-
раммы по р содержит три вершинные диаграммы Л(5) (р, р/ 0),
Рис. 5.7. Графическое изображение дифференцирования собственно энергетиче-
ской части электрона
приведенные на рис. 5.7, б. Если просуммировать все диаграммы
электронной собственно энергетической части во всех порядках
теории возмущений, а затем продифференцировать сумму по пере-
’менной р, то получится сумма всех вершинных диаграмм во всех
порядках теории возмущений, т. е. тождество Уорда
±^.=Л1г(р, р, 0).	(3.10)
.212
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
Как видно, производная по импульсу р(1 от 2 (р) совпадает
с вершинной частью при нулевой передаче импульса. Аналогич-
ным образом можно найти и высшие производные 2 (р) по ри.
Сокращение расходимостей. Проиллюстрируем сокращение рас-
ходимостей, связанных с вершинной и электронной собственно
энергетической частями, на примере процесса рассеяния элект-
ронов внешним полем 71£(q). Диаграммы Фейнмана этого про-
цесса в третьем порядке теории возмущений представлены на
рис. 5.1. Диаграммы рис. 5.1, д изображают два независимых
процесса и поэтому их можно сразу исключить из рассмотрения.
Перенормируем волновую функцию ф, т. е. найдем связь
между волновой функцией «голого» электрона ф и «обросшего»
ф'. По определению, пропагатор Xе свободного электрона равен
(см. гл. 4, § 3):
1<0|7ф(х)ф(£)!0> ==$<(*-У).	(З.Н)
Аналогичным образом определяется пропагатор «обросшего» элект-
рона Xе'
i <01 Тф' (х) ф' (у) | 0) = Xе' (х - у).	(3.12)
Функция Si(x — у) в рассматриваемом приближении представ-
ляется в виде суммы пропагаторов свободного Xе (р) и «оброс-
шего» электронов Xе' (р):
X' (р) = Xе (р) + X" (р) = Xе (р) + Xе (р) 2<2> (р) Xе (р).	(3.13)
Согласно тождеству Уорда (3.10)
=Л» <₽>• ₽«• °> <3-14>
поэтому 2(2) (р), определяемое (2.4), перепишется так:
2<2) (р) = Si + Д,3’ (р - tn) + S4’ (Р).	(3.15)
После перенормировки массы электрона, т. е. отбрасывания линейно
расходящейся константы 2Ъ последняя формула принимает вид
2<2)(р)-Д,3)(р-т) + 24'(Р).	(3.16)
Учитывая, что Xе (р) = (р —/и)-1 и подставляя (3.16) в (3.13),
получаем
Х2С' (р) = Xе (р) - L™SC (р) + Xе (р) 2g’ (р) Xе (р).	(3.17)
Для свободного электрона (р = р0) здесь последний член в соот-
ветствии с (2.5) равен нулю, поэтому
sc2'(p)=(i-43))xc(p).	(3.18)
§ 3. Перенормировка массы и заряда
213
Отсюда и из (3.12) находим связь между функциями ф свобод-
ного и ф' «обросшего» электронов
ф' = (1 - Ц') ‘/«ф,	(3.19)
пли, если учесть, что 1$' является малой поправкой, пропор-
циональной е2,
ф'^(1-|дз')ф.	(3.20)
Для суммы матричных элементов, соответствующих диаграммам
рис. 5.1, а—г, имеем
S/?1=Л^Чр')^3’ (р. р'. <?)	(ч)(Р)+М(3)+
+ е3 р#’ (р')]' Ае (q) v'r' (р) 4-e30;t> (р') Ае (q) [v'r' (p)J', q = р' - р,
(3.21)
где Л4(3) — матричный элемент, соответствующий диаграмме
рис. 5.1, б. После перенормировки массы фотона и заряда элект-
рона, т. е. после отбрасывания констант Р2 и Ро, матричный
элемент Л4(3) становится конечным. Подстановка формул (3.20) и
Лц(Р. Р'. ?) = Ь;>3'ти + Лц3я(р, р', q) в (3.21) дает
S)?> = e3v (р') Ае (q) L™v (р) + e3v?} ( р')A* (q) иГ* (р)+
+Mr + esvp' (р') Ае (q)oZ’ (р) (2 - Д,3’) = 2е3Э'А' (₽')	(q) Дт’ (р) +
+Л^Чр^Мн(ч)^)(р)+А$), (3.22)
т. е. расходимость в матричном элементе, содержащаяся в вер-
шинной части (первое слагаемое), сокращается с расходимостью
в собственно энергетической части электрона, остающейся после
перенормировки массы электрона (последнее слагаемое).
Таким образом, в случае квантовой электродинамики пере-
нормировка массы и заряда электрона эквивалентна устранению
расходящихся констант.
До сих пор мы ограничивались анализом низших порядков
теории возмущений квантовой электродинамики. Можно дока-
зать перенормируемость матричных элементов квантовой
электродинамики в любом порядке теории возмущений. Однако
это доказательство очень громоздко. Более просто его провести
с помощью аппарата функций Грина. Это мы и сделаем в сле-
дующей главе (в § 4).
Перенормируемые и неперенормируемые теории. Как мы видели,
в квантовой электродинамике имеется конечное число типов
расходящихся матричных элементов и это число не зависит от
порядка теории возмущений. Расходимости матричных элементов
удается устранить путем перенормировки массы и заряда элект-
рона. Поэтому квантовая электродинамика представляет собой
пример перенормируемых теорий.
214
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
Далеко не все взаимодействия являются перенормируемыми.
Рассмотрим, например, четырехфермионное взаимодействие, т. е.
взаимодействие двух спинорных полей, в частности электронного
и нейтринного:
«^7 = ^'ФеГфеФуГфг,
(3.23)
где фе —волновая функция электрона, — нейтрино, Г —мат-
рица, gF— константа связи.
Будем изображать нейтрино графически в виде пунктирной
линии. Тогда взаимодействие (3.23) представится диаграммой
Фейнмана, приведенной на рис. 5.8. В этом случае в одной
точке сходятся
Рис. 5.8. Диаграм-
ма четырехфермион-
ного взаимодей-
ствия
четыре спинорные линии и выражение для раз-
ности степеней импульса в числителе и зна-
менателе К, аналогичное (1.5), записывается
так:
’ /< = —4n + 44-3Fi4-3Li,	(3.24)
где п — число вершин, F\, L\ — число внутрен-
них электронных и нейтринных линий. Для
рассматриваемого взаимодействия
2Fi + Fe = 2n, 2Ц-\-Ье — 2п,
где Fe, Le — число внешних электронных и нейтринных линий,
поэтому (3:24) перепишется в виде, аналогичном (1.8), следую-
щим образом:
= 2п + 4 - 4 Fe - f £е.	(3.25)
В отличие от электродинамики, для четырехфермионного взаимо-
действия (3.23) величина К зависит от величины п, и в каждом
порядке теории возмущений появляются новые расходимости,
т. е. имеется бесконечное число типов расходящихся матричных
элементов. Теории с бесконечным числом расходимостей называ-
ются неперенормируемыми. Следовательно, теория с четырехфер-
мионным взаимодействием представляет собой пример неперенор-
мируемой теории.
§ 4. РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Вычисление радиационных поправок, т. е. вклада высших
порядкбв теории возмущений в матричный элемент, сводится
к написанию матричного элемента данного процесса и его регу-
ляризации. Практически, однако, удобнее сначала выполнить
интегрирование в матричных элементах по четырехмерным
импульсам, а затем производить регуляризацию. Поэтому мы
сстановимся подробнее на методе вычисления интегралов (конеч-
§ 4. Радиационные поправки
215
пых и расходящихся) по четырехмерным импульсам, которые
появляются в высших порядках теории возмущений.
Вычисление интегралов по четырехмерной области. Интеграл,
соответствующий произвольной диаграмме Фейнмана, имеет струк-
туру
j _ С __f(k)dk_	(4 1)
J а^...аП ’
где «1, а2, ... — полиномы второй степени по четырехмерному
вектору k, f (й) — полином степени п, а интегрирование произ-
водится по всему четырехмерному пространству. Для вычисления
таких интегралов удобно преобразовать (парамётризовать) подын-
тегральное выражение путем введения дополнительных интегри-
рований по вспомогательным переменным £2, ••• согласно
формуле
1	__ /„	1 \| С JE f JE	(£14~?21)	(Л л\
aia2...an- <П 1)1 3^"‘J^n(aiL+a2S2+...+^„)n-	(4,2)
о о
В результате такого преобразования вместо п различных квад-
ратичных полиномов в знаменателе возникает n-я степень только
одного полинома второй степени. После введения новых пере-
менных
&1 — Хп—1» ^2 — Хп—2 Xn-i, •••» ^п-1 — %1	Х2,
£1 + £2 + • • • 4- £n-l = X!
и интегрирования по d£, формула (4.2) перепишется так:
1	Х1	Х2	Хп-2
---!	— (п—	1)!	\ dxx	\ dx2	\ dx3... \ dxn^X
а,а2 . • ап------------------J	J	•)	•'
ООО	о
_____________1______________
X +а2 (х„_2—xn-i)+• • +ап (1 — х1)1"
или в эквивалентной ей форме
1	1	1
----—=(п— 1)! \ и"~2 dux	\ и2~3 du2... \ dun^x
0^02 ...ап	J	J	J
оо	о
_________________1_________________
X [aji/j	а2«1... Мл_2 (1—«zi-i)+..-+an (1—Mi)l" ’
(4.3)
(4.4)
где Xi = «i, х2 — иги2, ..., x„_1 = tz1jz2 ••• «п-i» хъ х2, ..., хп — ска-
лярные параметры.
Убедимся в справедливости соотношения (4.4). При п = 2 эта
формула имеет вид
— «)Р
о
216
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
и проверяется прямым вычислением. Докажем, что если выра-
жение (4.4) справедливо при некотором п, то оно будет 'спра-
ведливо также при /г-}-!. Так как интегрирование по различ-
ным ut в (4.4) можно поменять местами, то имеем
i	1
аа 1 а— = (п-1)!	u"~2du1... dua^-~—,
^1^2 •••	J	J	Аап+1
0 0
где Ап — знаменатель правой части формулы (4.4). Однако
1	С л «Г1
пАпам = J dUo [Д«о+ап+1(1-«о)1п+1 ’
о
поэтому
I	1
aia2...anan+1 = nl и» du0...^ du^ [Au0+an+1(l-u^ ’
о	о
что и требовалось доказать.
Подставляя (4.4) в (4.1), получаем интеграл в ^-пространстве:
J (-«1. х2, .... х„_х) = dk цА_п)2^_а]л >	-	(4.6)
где а — четырехмерный вектор; а —скаляр; а и а зависят от
параметров хх, х2,	х„_х. Искомый интеграл (4.1) получается
из J (хх, х2>.хп-1) путем интегрирования по хх.........х„_х:
1	Х1	ХП-2
I = (п —1)1 J dxr J dx2... J dx^J (xx,..., x„_x).	(4.7)
0	0	0
Вычислим интеграл (4.6). Для вычисления всех интегралов
типа (4.6), возникающих при вычислении радиационных попра-
вок, достаточно знать интеграл
Л(Р. a)—^dk (й2_2рй-|-а)2'	(4-8)
После замены k-*-k— р и а-»-а — р2 интеграл (4.8) перепишется
так:
Л (а) = § (Л2+а)2 •	(4.9)
Вообще говоря, в расходящихся интегралах указанную замену
переменной делать нельзя. Однако в случае (4.8) такую замену
можно сделать потому, что исходный и преобразованный инте-
гралы равны. Действительно разность
J dk { [(£—р)24-(а—р®)]® “ (ft2+a)2 }	,	(4-10)
§ 4. Радиационные поправки
217
представляет собой сходящийся интеграл, а замена k-> — k при-
водит к той же разности с обратным знаком, т. е. в данном
случае разность исходного и преобразованного интеграла равна
нулю.
В соответствии с правилом обхода полюсов (см. § 4, гл. 4)
интегрирование в (4.8) по переменной k3 производится вдоль
контура С, изображенного на рис. 5.9, а. В исходном интеграле
(4.1) каждый из множителей имеет по переменной kQ два по-
люса, которые обходятся по контуру С. После преобразования (4.1)
к виду (4.6) подынтегральное выражение имеет вместо 2п про-
стых полюсов только два по-
люса n-го порядка по перемен-
ной ko, которые обходятся по
тому же контуру С. Так как
особенности подынтегральной
функции расположены на ве-
щественной оси, то контур С
можно повернуть на 90°, т. е.
совместить с мнимой осью, как
это указано на рис. 5.9, б.
Тогда k0 заменится на ik'o и
k2 = kl — k2 = — (k” 4- k2). Сле-
Рис. 5.9. Переход к эвклидовой мет-
рике
довательно, поворот контура интегрирования С на 90° соответ-
ствует переходу в ^-пространстве от псевдоэвклидовой к эвклидо-
вой метрике. При этом
dk -> idk’ = ik,2d dQt = ik'sdk'
где dk'— элемент объема; k' — четырехмерный вектор; dQ4 —
четырехмерный телесный угол в эвклидовом пространстве.
Перейдем в (4.9) к эвклидовой метрике. Интеграл по k' в (4.9)
берется от 0 до со и расходится на верхнем пределе. В этом
случае удобно производить интегрирование сначала по некоторой
конечной и инвариантной области, например, четырехмерной
сфере конечного радиуса L, а затем устремить эту область к бес-
конечности (L-»-oo). Переходя к сферическим координатам в че-
тырехмерном эвклидовом пространстве:
ki — k cos <p sin б sin х, k% = k sin ф sin 6 sin x>
k3 = k cos 6 sin x, &o = £cosx,
k = Vkl + kl + kl + kl,
dik = k3 dksin2%dxdQ, dQ — sin f) df) dtp,
(4.П)
218
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
1
I
получаем для (4.8) обычный четырехмерный интеграл
L	п Л 2л
J2 (р, a) = i С dk& j dX j dO pep (^162^ХЮ)2 =
О	ООО
. ,/. Д2 ,\
= ш2 In-----г-— 1L
\ а—р2 /Д_со
Интегрирование последнего по а приводит к следующему резуль-
тату:
(4.12)
(4.13)
(4-14)
J(P, “) — § j.2_2pfc+a —
= in2 [L2 _ | p2 + (p2 _ a) jn
Дифференцирование (4.13) по и a дает:
C dkkv	_ 1 dj(p. a) • 2 (in	3
J (*2-2p*4-a)2	~ 2 dpv ~lnPv\nla-^	2,
(* dk	1	d2J (p, a) . л2 1
(k2—2p£-|-a)3	~ 2	da2	2 a—p2 ’
dkkv	— 1	d2J (p, a)	.• л;2 _	1
(k2—2pk+a)3	4	dpv da	—	1 2 Pv p2—
dk	_ — 1	d3J (p, a)	. n2	1
(k2 — 2pk+a)*	6	da3	1 6 (a—p2)2 ’
dkkx	1	d3J (p, a)	; Л2 pv
(k2—2pk+af	~ 12	dpv da2	6 (a —p2)2’
dkkyk^	Л2	(L2	5	1
(k2 —2pk-\-a)2	1 2	Sw (1	-g-P2+2a + (P:
(4.15)
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Д2 1
,2-“) 1п^/+
--У“) ^PvPu. (4.19)
Д2 3_\
|2 Т/ "Ь
1	(4.20)
. • Л L2
+ i In-------=
\ а—р2
dkkvkix 1 d2J (р, а) л2	_
(k2—2рЛ-|-а)3	8 дрх.дрц l4 \^п а—р'
+ z P^Pv а—р2 •
Среди приведенных интегралов имеются как расходящиеся,
так и сходящиеся. Сходящиеся интегралы, естественно, не содер-
жат величины L, так как для них интегрирование можно про-
вести по всему пространству сразу (Д->оо). Подставив интегралы
тигеа (4.13) —(4.20) в (4.7), получим выражения для искомых
интегралов (4.1).
Итак, для вычисления радиационных поправок надо: 1) напи-
сать выражение для матричного элемента в рассматриваемом
порядке теории возмущений, 2) произвести в нем интегрирование
по четырехмерным внутренним импульсам, 3) регуляризовать полу-
ченные результаты.
§ 4. Радиационные поправки	'	219
Общий способ написания матричных элементов был изложен
в § 4, гл. 4, а методы регуляризации —в § 2.
Вычисление радиационных поправок. Приведем два примера
вычисления радиационных поправок.
Массовый оператор Sl2)(p). Вычислим радиацион-
ные поправки к оператору электронной собственно энергетиче-
ской части S2 (р) во втором порядке теории возмущений. Вели-
чина S(2) (р) определяется выражением (1.2), которое с учетом
формулы (5.26) гл. 4 перепишется так:
у(2)	— е2 С df,v (р + ^)+>и	1	—
21	(2л)3 J 7,1 (p+k)2-m2	+ ~
_ — 2е2 С (p+k)-2m	1	/д 2П
~ (2л)3 J (₽+*)2-m2 k2+№	'	’
Как мы1 увидим, при регуляризации Sl2) (р) возникает расходи-
мость в области малых k2 (&2->0), т. е. инфракрасная расходи-
мость (сМх § 7, гл. 4). Чтобы эту расходимость устранить, возь-
мем пропагатор фотона Dc0(k) в виде (7.16) гл. 4 (опуская gilv)
Dc0(k)=l/(k2 + K2),
где X —«масса» фотона, положительная величина (Х>0). Если
использовать (4.5) и положить аг = (рф-/г)2 — т2, a2 = k2-}-№,
то (4.21) представится в виде
2(2) (р) = _ \dx[dk f. 2 г-д ~22w. 2. , . 2,2. (4.22)
(2л)3 J J [я2 + (2р&+р2 — т2—X2) *+Х2]2 v 1
о
Интегрирование по k производится с помощью формул (4.13) и
(4.14); в результате получим
1
2(2) Ip) = _ &f dx|[р (1 - х) - 2т] In—5-7,-г —Lg- , .2/,-г +
4л J lLr v	1 р2х (1 — х) — m2x-|-X2 (1 — х) 1
о
+ (4х-1)р+2т}. (4.23)
Произведем регуляризацию последнего выражения. Для этого
надо в соответствии с (2.4) вычесть из оператора S(2) (р) два
первых члена его разложения в ряд Тейлора по степеням (р — т):
Sff (р) = 2<2> (р) - Sx (ро) - (р - т) Se (р0).	(4.24)
Из выражения (4.23) следует, что
1
(ро) = — -j- dxI—In--------2 2 ,\2-г- -ф
14л J I	— m2x24-X2 (1—х) 1
о
+ 3т«+2т’хчЙ55«}' (4'25>
220
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
Дифференцируя (4.23) по р, найдем
1
So(Po) = —§ dx {(1 — X) 1П _ т2д г+х.г (1 —х) + 2"Х ~ 1 +
о
2х(1—х)2т2 )_______te2 М . L2 A.2	JTI
— m2x24-A2(l—x)J	4л L 2 Пт2 ‘ Пт2	4 J'
(4.26)
Подставляя (4.23), (4.25) и (4.26) в (4.24), получаем выражение
для регуляризованного массового оператора Ед1 (р) во втором
порядке теории возмущений
(4-27)
Рассеяние электрона кулоновским потенциа-
лом. Вычислим сечение упругого рассеяния электрона куло-
новским потенциалом с учетом радиационных поправок в третьем
приближении теории возмущений.
1. Диаграммы Фейнмана для этого процесса в первом порядке
теории возмущений изображены на рис. 4.10, во втором —на
рис. 4.11 и в третьем —на рис. 5.1. Как мы видели (см. § 3),
вклады диаграмм рис. 5.1, в, г сокращаются с частью вклада диа-
грамм рис. 5.1,а; поэтому диаграммы рис. 5.1, в, г можно не учиты-
вать. Диаграмму рис. 5.1,5, содержащую нефизической переход
вакуум-вакуум, также можно опустить. Соответствующие остав-
шимся диаграммам матричные элементы выглядят так (рп = Р2 — q):
M<« = (ie)S,rt>-(p')Ae(q)^”(P). q = P'~P\	(4.28)
м(2)= gw){$ dMe(p'-pJg^^(p-Pn)}^'(p);
(4.29)
М<3> _D<t> Zn'l H V (P'~^+m Ae In) (P-^+m у
Ma — (2л)4 Vr 'I J ^(p'-ky-m2 Л lq' (p—k)2—m2 X
хтц^}^-’(р); (4.30)
x Tv Sp § dpn	tm2 Tn	Tv) (p). (4.31)
Как известно (гл. 4, § 4), потенциал кулоновского поля ядра
определяется формулой
Ло (Ч) = 4nZe/i q |2,	(4.32)
§ 4. Радиационные поправки
221
где Ze —заряд ядра; q = p' — р, е, е' —энергия электрона до и
после рассеяния.
2. Вычислим сначала интегралы, входящие в матричный эле-
мент (4.30). Для этого перепишем (4.30) следующим образом:

(4.33)
где
Ма == Yu (р' + tn) Л* (q) (р 4- т) y^J - [уи (р' + т) Ае (q) уоуу +
+	(q) (р + tn) yj Ja+tvMе (q) уху^Jm, (4.34)
J ~ (fe2 —2pfe) (fe2—2p'fe) (fe2+X2) ’	(fe2—2pfe) (fe2-2p'fe) (fe2+X2) ’
r ___ C __________dkkakx__________ or\
Jax ~ J (fe2—2pfe) (fe2—2p'fe) (fe24-X2) •
Из этих интегралов в области больших |&| расходится только
третий интеграл (логарифмически). В области малых &при^ = 0
расходится (инфракрасная катастрофа) только первый интеграл J
(в рассматриваемом случае р2 = /п2, р' — т2). Поэтому при на-
хождении интегралов Ja и Jax можно положить К — 0. Из формул
1 1
1 С	dx	1 ___ С 2х dx	ta пр.
ab j [ax-j-b (1 — x)]2 ’ a2b J [ax-|-b (1 — x)]3	* ' *
o	o
следует, что (X2 = 0)
1	C
(№-2pk)(№—2p'k) — J (k2 — 2pyk)2’
1
1	C	2x dx	ta q*7|
(fe2—2p^fe)2(fe2+X2) = J [fe2-2pJcfe+X2(l—x)]3’ ^‘t
rjjp Py = yp + (l—y)p', px = xpy. Поэтому интегралы (4.35) пред-
ставятся в форме
J
dk
[fe2-2pxfe+X2(l-x)]3’
2xdx
kg dk
^^2Pxkf'
ax= ( dy \ 2xdx
kakxdk
(k^-2Pxky>-
(4.38)
222
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
Интегрирование по k в соответствии с (4.15), (4.16) и (4.20) дает:
dk _______	л2/	1	(* kadk	— л2/
{k^-2Pxk+axy	' (k2—2pxk)3 “ ~2р^~Рха>
0 k^k^ dk jt2z
J (k2—2pxky = TSax
n2t
2Й
PxaPxTt
(4.39)
где ax = — X?(l— x).
После интегрирования по x получим:
1
Ja =— Л2(
о
i
о
^(1пГ|р>|- М,
Руа &У
~рГ
о
Z2
1 1 nPyaPyt\ ,
(4.40)
Чтобы произвести интегрирование по у, заметим, что,
— р1 = — [р + ?(1-р)]2 = — m2 + q2(l-y)y =
=—m2[l — 4р(1 — p)sin26], (4.41)
где 6 связано с q соотношением
q2 — 4/n2 sin2 6.	(4.42)
Введем далее вместо у новую переменную g
2^-1=8г	<4-43>
— р| = — /П2|^|, РРа = ^-(Ра-рс) + у(ро + ра)	(4.44)
и интеграл запишется в виде
1п-^|^+ ln^d|
cos 6	1 J tn в
о
так как
1п=т«=
о
то
(е
gtggdg+ein-..
J в 6®	1 tn
о
*>
(4.45)
(4.46)
(4.47)
§ 4. Радиационные поправки	223
После подстановки (4.42) и (4.44) в интегралы Ja и JaT найдем:
. n2i 6	, j , х
j	Ч 6(Рд+Ра)(Рг+Р9	(4.48)
Jar— 2 \gor^ т 4у 2m2 sin 26	v '
+ (g<n-^)(i-ectge)}.
Упростим теперь в (4.34) коэффициенты, стоящие перед интегра-
лами J, Jo, Jax. Перед J стоит выражение
Tv (p' + m)ytl(p + т) Tv = —2^ТрР' + 2m (ТмР' +р'Ти) +
+ 2т (TMj5+л>и) - 2/п2Тц.
Из уравнения Дирака следует, что матрицу _р, стоящую слева
от v‘r~' (р), и матрицу р', стоящую справа от у'р’ (р')> можно заме-
нить на т, поэтому
Tv (Р' + т) Тц (р + т) Tv = 4т2Тц + Цу^.
Последнее слагаемое в правой части этого соотношения можно
заменить на 292тц. В самом деле, так как Ти9 = —	+ то,
умножая это равенство слева на q, получим
W7 = —</% + 2<fo?.
Но второе слагаемое справа обращается в нуль:
vV (p') qv'r~' (р) =	(р') (р' -р) у” (р) = 0.
В результате коэффициент, стоящий при J, запишется в форме
Tv (р' + т) Тц (р + т) yv = 4/7?% - 2?%.	(4.49)
Аналогичные преобразования коэффициентов, стоящих перед
интегралами Ja, Jax, дают
Tv {р' + т) ТцТаТ?+ TvTaTg (р + m) Tv = 4mgolx + 2 (qy^ya- ТаТц<7).
TvTaTuTrTv = — 2тгТцТа.	(4.50)
Подставляя (4.47), (4.48), (4.49), (4.50) в (4.30) и заменяя мат-
рицу р, стоящую слева от v'r~’ (р) и матрицу р', стоящую справа
от д'р' (р')> на т, получаем выражение для матричного элемента
в
о
+4 tg е +1 +11 п g] +	(т^ - ?Ти) и} v' <р)- <4-51 >
Подобным путем найдем вид матричного элемента (4.31):
М* = - (P'j M6v'f (Р),	(4.52)
224
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
где
M6 = -~yv(q^v-guV42)	(1 -edge). (4.53)
Рассмотрим матричный элемент (4.29). Входящие в него ин-
тегралы для чисто кулоновского поля расходятся, поэтому мы
Zs
будем считать кулоновское поле экранированным: <р (г) =	ег^
и затем перейдем к пределу т)->0. В случае экранирования
кулоновский потенциал A‘(q) имеет вид •
Ае (?) = 2лб (q0).
Подставляя это выражение в (4.29) и учитывая, что
урс4~’ (р) = (То£ — tn) v)-' (р), О? (р') ур' == и? (р') (уое — т),
получаем
г»?’ (р') {т (!г - /2) + уое (71 + /2) v',~’ (р) б (е - е'),	(4.54)
где
г _С_______________ds______________
1 J [(Р'~s)2+t]2][(P—s)2+T]2](p2—s2)’
, ,	„	.	(4.55)
р+р z = С___________________sds______________
2	2 J [(р'~s)2+t]2] [Ср—s)2-f-T]2|(p2—s2 + te;*
Вычислим интегралы /г и /2. Для этого рассмотрим вспомо-
гательный интеграл
7 S S l(P-s)2+А2] (р2	s |2+Се) =
- 2п f F_____________________d | S[ [ sp мп х__________
“ J	(| P I2-2 I P 11 s | cosx+l s i2+A2)(| ря |2-1 s|2+Ce) ’
0	0
Если ввести новую переменную 7 = cos % и учесть, что подын-
тегральное выражение не меняется при замене | s | ->— |s|, t-+ — t,
то I перепишется так:
1 4~ОО
______________________I s|2d| s[_____________
'	J ai J (|p|3_2[p||s[Z+|s|2 + A2)(|pn|2_|s|2 + ie)-
— 1	—oo
После интегрирования no ]sj с помощью теоремы о вычетах
имеем
I — in2 Ip I Рл | —I Р 1 + <А
i Р| |Рл l + | Р i + «A *
§ 4. Радиационные поправки
225
Интегралы и /2 выражаются через производные по Л и Р
от I. В самом деле, воспользуемся формулой
।
lie &
и положим в ней a = T]2 + (s —р')2, b = t]2 + (s — р)2. Так как
(«'4^ + ^) = [(s-P)2 + A2]2,
где Р = у[(1 4-z)p + (l -z)p'], A2 = T]2 + |p„|2sin2-|-(l -z2), то
i
1	1 C dz
[(S— Р')2+Т]2] I(S—p)2+T]2] - 2 J [(s-P)2 + A2r
Сравнивая это выражение с (4.55) и используя равенства:
С	ds	=	1 д! _
J [(s—Р)2 + Л2]2(|р„|2—|s|2+»e “ 2ЛдЛ
л2
— Л (| ря |2—| Р |2+Л2—2« | р | Л) ’
f	sr ds	_ 1 di _____Pr di ___
J [(s—P)24-A2] (| p„ |2 — |s |2+«e) -~~~2dP^ 2NdN~
__TT? p J______________1 '__________	* I n । Р» । I P I 1
^1Л(|рл1 + |Р| + «Л)(]р„|-|₽1+»’Л)	2|P I3 * s I p„ l + l P | + »A.4
2 | P |2 4prt|-|P.| + lA T | p„ | + | P |+»A Д ’
находим искомую связь интегралов /1 и /2 с пр’оизводными функ-
ции /:
,	1 Г 1 Ы . Рг+р'г , k 1 Г / д! ,.РГ д1~\.
71 —	4 J Л ал*’ 2	2	4 J \дРг + Л дЛ.)d '
После интегрирования по z получим при т]->-0:
'1=~9, • „ .;1|п—ч—•
21рл1 sin 2	*	(4.56)
г __4____________«и2 , А <л \	•- .
cos2 —	2 I о Is cos2 — I 2 I Р I 2 sin — I
3. Произведем регуляризацию матричных элементов Маг и
М^'. Матричный элемент М'/' расходится логарифмически; для
его регуляризации надо вычесть из (4.51) величину М'а‘(р, р', я)
8 Нелипа Н. Ф.	.	. -	- -
226
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
при 9 = 0 или согласно (4.42) при 6 = 0, т. е. величину
Ма(р, р', 0) = —	1п”] = 7(1Ц3’.
В результате для регуляризованного матричного элемента будем
иметь
Мя.а(р, р', q) —
= ^4й24(Йб“1)(1П?“1)
в
Г tg26
. in2
htg^+|tge +
(4.57)
Матричный элемент М™ расходится квадратично. Поэтому для
его регуляризации от (4.53) надо отнять три первых члена раз-
ложения в ряд по степеням qa. Поскольку (4.53) содержит квад-
ратичный относительно qa множитель q^qy — g^q2, то регуляри-
зация сведется к вычитанию из множителя —i-(i-ectge)
«5^
свободного члена. Так как 6 = arctg	/2, то свободный член
равен ~ и регуляризованное выражение (4.53) примет вид
м*.б= -~4y(qrfv - W) Ы+О-edge) --^2<?2}.(4.58)
Складывая (4.57) и (4.58), получаем
да+& (р')То{4 [(1 -2Фcthф) (1 + In А) +
ф
+ уФ1НФ-Ь2с1Н2Ф § и1Ни</и + 4(1-Фс1НФ)(1-уС^2ф}-
-4--т-9Ж%}^(Р)й<е-е')’ <4-59>
где 92 = |q|2 = 4p2sin-|- = 4m2sh2©, |р| = | р'.| = р.
4. Определим дифференциальное сечение изучаемого процесса,
просуммированное по проекциям спина электрона. Матричный
элемент в соответствии с (4.28), (4.54), (4.59) представится в виде
A4S (е — е') = (р') QzV (Р) б (е — е').	(4.60)
где Q = - (Ло + Л) то + BW + С; Ао = 8^1.^, В = -	/ф ,
С = — 4iZ2a2m (Ц- /2), Ai = — 8ni ~{[(1 - Ф cth Ф) (1 -у cth2©)-
-уТ+Гп-гФангФ^ччп-Ну^Ф+гангаА uthWdu —
-4iZ2a2e(/14-/s).
§ 4. Радиационные поправки
227
Суммирование по проекциям спинов производится с помощью
формулы (см. гл. 4, § 5)
У, | М |2 = Sp {[(До + Aj) То 4- Bfo (] + С] (р+т) х
X [(До* + д ?) То + B*w + С*] (р' + т)}.
Пренебрегая членами, квадратичными относительно А, В, С, по-
лучаем
£ | М |2 = {| До + Дх |2 (/и2 - рр') + т (AtВ - Д0В*) +
4-2те (Д^СД-ДоС*)}, (4.61)
где { До + А> |2 = | До |2 + 2 Re (А0АП = 64л^ -	1 - Ф X
х cth Ф) (1 - 4- ctg2 ф) — 4-1 + Г(1 —2Ф ct6 2ф) (1 +1п 4) + х
X th Ф Д-2 cth Ф и th и du]| — 64n2^4~eRe(^i + h)>
о	9
Д0*С 4- ДоС* = 2Re (Д?С) = -	т Re (Zx -12),
Д£В-Д0В* = 21 Im Д„*В =
т2 — рр' -- 2е2
(1-^sin J).
64n3Z2a3 Ф
срт sh2®’
р = (е, — Pi), U = |v|.
Подставляя (4.61) в (5.12), гл. 4, найдем дифференциальное се-
чение чисто упругого рассеяния электрона кулоновским потен-
циалом в третьем порядке теории возмущений:
d-Qyn —
Za '
2mv sin2 -у
(1 —1>2) fl — v2 sin2-|-)x
x{l-£ 2(1 -ФсН1Ф)(1-
4-с1Ь2ф)--|-4-Ф1ЬФ4-
о	j У
ф
4-2(1 -2ФсП12Ф)(1 4-ln^4-4cth2Ф J uthudu +
О
ц2 sin2 у 2Ф
l_l)2sin2_ph2<1’
б / б \
4- ma.1v sin-g-11 — sin -|4 X
X (1 - sin24) г}^-
(4.62)
8
228
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
Как видно, это сечение содержит «массу» фотона К, возникшую
при устранении расходимости интеграла J на нижнем пределе
(«инфракрасная катастрофа»),
{j. Исключим из дифференциального сечения рассеяния (4.62)
«массу» фотона К, Как известно (§ 7, гл. 4), матричный эле-
мент чисто упругого рассеяния равен нулю, т. е. не имеет смысла.
Физическим смыслом обладает только матричный элемент про-
цесса рассеяния, сопровождаемого излучением любого числа мяг-
ких фотонов с энергией каждого, меньшей некоторого заданного
значения (Опип, причем ©mtnДругими словами, имеет смысл
лишь сумма
03 min	®min
dG = d<Jyn + d0yn $ dwa-\-dcyn $ dwaД dwa2 +...	(4.63)
о	о
Здесь dayn — сечение рассеяния без испускания фотонов, dwat—
вероятность испускания электроном фотона с энергией со/. Сече-
ние dUyn вычисляется по теории возмущений, т. е. в виде раз-
ложения по степеням а. В первом неисчезающем приближении
Если учесть поправку do^;, пропорциональную а3, то
наряду с ней надо взять также и второе слагаемое в сумме (4.63),
так как оно также пропорционально a3: dwa ~ а и doyn dwa а3.
Покажем, что при сложении этих двух величин инфракрасная
расходимость устраняется. Сечение упругого рассеяния dcy'n опре-
деляется формулой (4.62), а сечение рассеяния с излучением
мягкого -фотона do(z) — выражением (7.21), гл. 4. Масса фотона
входит в сечение dv'yh в виде
* ^(2Octh2O-l)ln^-,
а в сечение da'2' в виде
^(2Фс1Ь2Ф-1)1п^.
Поэтому в суммарном сечении рассеяния do$-J-da(2) масса от-
сутствует:
(2Ф cth 2Ф - 1) (1п^ + In (2Ф cth 2Ф - 1) In ,
т. е. расходящийся вклад от мягких (Z,->0) виртуальных
фотонов сокращается с вкладом от таких же реальных фо-
тонов.
§ 4. Радиационные поправки
229
Суммарное сечение рассеяния du^s с потерей энергии, не пре-
нышающей Ае, запишется окончательно так:
daAe = (-----V (1 - г>2) (1 -1>2 sin2 4) (1 + 8В - б«), (4.64)
I 2mv2 sin2 -g- I	'	'
где 6R =
2(1-2ФсН1Ф)(1 + 1п^) + ФН1Ф + 2(1—ФсН1Ф)х
2Ф (1 — и2)сЬФ Г /1п(1+и|)
Xsh2®+ .6 J \ 1— v%
»яп-й "4
2 cos-
^2 sjn2_-
x(l-iCW®)-4+|l„^ + 2®clh2®l„rT!y+—
'	1—tl2Sin2-g-
ln(l-^)\
1 V	2®
У V — cos2 у
I •	6
6 sinT
&b — navZ sin	.
1 —V2 Sin2 -g-
Величины 6B и 6R учитывают соответственно рассеяние во вто-
ром порядке теории возмущений и радиационные поправки к рас-
сеянию в третьем порядке теории возмущений.
Аналогичным путем можно устранить массу фотона в сечении
рассеяния электрона кулоновским полем ядра, вычисленном
в более высоких порядках теории возмущений. Этот результат
можно обобщить на произвольные процессы: для любого процесса
в любом порядке теории возмущений суммарное сечение рассея-
ния, учитывающее радиационные поправки и дополнительное
излучение мягкого фотона, не будет содержать массы фотона.
Численные значения бд и 6R, зависящие от е, 6 и Ае, срав-
нительно невелики: так, для 6 = 135°, е = 9,5 МэВ, Ае=10 КэВ
вкладов составляет 1,07%, а б^—17,5%.
Таким же способом были вычислены радиационные поправки
в различных порядках теории возмущений к другим процессам
рассеяния (Комптон-эффект, рассеяние электрона электроном,
тормозное излучение электрона и т. п.). Величины этих поправок
оказались небольшими.
Аномальный магнитный момент электрона. В соответствии
с (1.3') гл. 4 электрон обладает собственным магнитным момен-
том ц = ^а = цоа. При этом потенциальная энергия U электрона,
находящаяся в магнитном поле Н, равна 1/ = (р.Н) = р0(®Н).
Найдем радиационные поправки к магнитному моменту элек-
трона. Для этого надо в энергии взаимодействия электрона
с постоянным или медленно меняющимся полем выделить член,
230
Глава 5. Высшие порядки теории возмущений
пропорциональный магнитному полю. Рассмотрим, например,
третий порядок теории возмущений. В этом случае взаимодейст-
вие электрона с внешним электромагнитным полем описывается
диаграммами Фейнмана, изображенными на рис. 5.1, а и б. Соот-
ветствующие этим диаграммам перенормированные матричные
элементы определяются формулами (4.57) и (4.58). Выделим в них
члены, определяющие добавку к магнитному моменту.
Медленно меняющемуся полю соответствуют малые q, поэтому
в (4.57) и (4.58) надо удержать члены, линейные по q и по маг-
нитному полю, точнее, по тензору электромагнитного поля F^ (q) =
= Hq^A^lq) —	(?)]• Выражение (4.58) пропорционально д2 и
должно быть опущено. Искомый член содержится в (4.57) и
с точностью до слагаемых порядка а равен:
Ж' ~	<р')	~ А* <Ч)	(Р) =
= 8^Л+' <₽')	(9) ^’(р), (4.65)
или в нерелятивистском пределе 6Л4а’ = ^р0(оН). Следовательно,
электрон, кроме нормального магнитного момента (вытекающего
из уравнения Дирака), обладает еще дополнительным аномаль-
ным магнитным моментом, который в третьем порядке теории
возмущений равен р0. Аномальный магнитный момент обуслов-
лен взаимодействием электрона с вакуумом.
Подобным путем была вычислена величина магнитного мо-
мента электрона сучетом радиационных поправок порядка а2 и а3:
b=Po[l+^-0,3285g + (l,46±0,25)g].
Неопределенность в последнем знаке обусловлена приближенным
характером вычислений интегралов, соответствующих ^-приб-
лижению. Экспериментальное значение магнитного момента
электрона р8== (1,0011596577 ± 0,35) • 10~10 можно представить
в виде (если учесть, что опытная величина ^-= 137,03608 ±
±26-10-е)
и»= + ^ - °>3285 S+<1± °’33) S] •
Как видно, вычисленное и измеренное значения магнитного
момента электрона очень хорошо согласуются друг с другом.
Из сравнения рт и р8 следует, что радиационные поправки
дают заметный вклад, который необходимо учитывать.
Радиационные поправки к уровням электрона в атоме.
Согласно уравнению Дирака уровни s\n и р\ц электрона в атоме
водорода, соответствующие кулоновскому взаимодействию, совпа-
$ 4. Радиационные поправки
231
дают (рис. 5.10, а). Однако экспериментально было установлено,
что на самом деле в атоме водорода уровень si/2 сдвинут вверх
(рис. 5.10,6) относительно Р1/2 на величину, равную (1057,90±
1 0,06) МГц (сдвиг Лэмба). Этот сдвиг и его величину можно
объяснить радиационными поправками. Действительно, взаимо-
действие электрона с вакуумом можно трактовать как добавку
к кулоновскому взаимодействию. Учет этой добавки приведет
к смещению уровней электрона в атоме, соответствующих куло-
новскому взаимодействию. Вычисления с точностью до членов а8
дают для разности уровней si/2 и pi/2 атома водорода величину
(1057,91 ±0,01) МГц, хорошо совпадающую с измеренной на
опыте.
Таким образом, учет взаимо- о)	$
действия электрона и фотона с ва-	I
куумом приводит к целому ряду	\W57HHz
интересных эффектов — к их до-	I
волнительному рассеянию, к до- ---------fyziP'lz --------Руг
волнительному магнитному момен-'
ту электрона, К сдвигу уровней Рис. 5.10. Графическое изображе-
электрон’ов в атомах и т. п. Ана- ' ние лембовского сдвига уровня s1/2
логичные эффекты возникают при электрона в атоме водорода
учете взаимодействия р-мезона
с вакуумом. Хотя эти эффекты и очень малы, но некоторые из
них удается измерить экспериментально; при этом теоретические
результаты с большой точностью совпадают с экспериментальными.
Адиабатическая гипотеза. Остановимся еще на одном принци-
пиальном вопросе, связанном с построением теории рассеяния.
Как мы видели, частицы постоянно взаимодействуют с ваку-
умом. Образно говоря, две удаленные и не взаимодействующие
друг с другом частицы не являются «голыми», а одеты «облаком»
виртуальных частиц. Поэтому, строго говоря, при построении
теории рассеяния надо с самого начала иметь дело с реальными
(«одетыми»)  частицами. Однако реализация такой программы
встречает трудности. Вследствие этого при построении S-мат-
рицы рассеяния (гл. 4, § 2) предполагалось, что гамильтониан
системы можно представить в виде суммы гамил. тониана <£% 0
свободных («голых») частиц и гамильтониана взаимодействия
причем в качестве исходных брались фиктивные «голые» частицы.
Такой способ действия можно оправдать, если предположить, что
взаимодействие включается и выключается адиабатически.
Согласно адиабатической гипотезе процесс рассеяния частиц
происходит следующим образом:
1.	В начальном состоянии (t =— со) имеются «голые» частицы.
2.	При сближении частиц, задолго до их рассеяния адиаба-
тически включается взаимодействие, которое переводит «голые»
частицы в «одетые» (при неадиабатическом включении взаимо-
действия частицы «одеваться» не будут).
232
Глава 6. Метод функций Грина
3.	Затем частицы взаимодействуют между собой и благодаря
этому рассеиваются.
4.	После рассеяния взаимодействие адиабатически выключа-
ется и «одетые» частицы опять переходят в конечном состоянии
(t = + со) в «голые».
Таким образом, адиабатическая гипотеза позволяет заменить
задачу рассеяния реальных («одетых») частиц эквивалентной
задачей рассеяния, в которой в начальном и конечном состоя-
ниях фигурируют фиктивные («голые») частицы, не взаимодейст-
вующие с вакуумом.
Глава 6
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА
В связи с трудностями теории возмущений было уделено
большое внимание разработке методов, не использующих теории
возмущений. Один из таких методов основан на применении
функций Грина.
Как мы увидим, функции Грина содержат все порядки тео-
рии возмущений, т. е. дают полное динамическое описание
системы. Это открывает новую возможность — написать уравнения
непосредственно для функций Грина. Решения таких уравнений
без помощи теории возмущений дадут, вообще говоря, полное
динамическое описание поведения системы. Следует сразу же
отметить, что реализация этой программы встречает трудности:
получение уравнений для функции Грина не представляет осо-
бого труда, однако эффективные способы решения этих уравне-
ний в общем случае пока отсутствуют и поэтому уравнения уда-
ется решить лишь в некоторых частных случаях.
Сначала мы остановимся на основных определениях, затем
получим уравнения для функций Грина, перенормируем их и,
наконец, в качестве иллюстрации найдем решение этих уравне-
ний для частного случая.'
§ 1. ФУНКЦИИ ГРИНА ЭЛЕКТРОНА, ФОТОНА И ВЕРШИННОЙ ЧАСТИ
По определению, функцией Грина называется среднее значе-
ние хронологического произведения операторов полей в состоя-
нии вакуума.
Функция Грина электрона. В случае наличия внешнего поля
(например, кулоновского и т. п.) функция Грина Gik (х, у)
электрона в представлении взаимодействия запишется так:
Gik (х, у) = i <01 Тф,- (х) фк (У) S10>,	(1.1)
где S —матрица рассеяния, определяемая формулой (2.18) гл. 4;
7’ —оператор хронологического упорядочения, ф,(х), фй(^) —
§ 1. Функции Грина электрона, фотона и вершинной части
233
операторы электронного поля; t, А —спинорные индексы( (их
обычно будем опускать).
Если внешнее поле отсутствует, то в силу однородности про-
странства-времени существует трансляционная инвариантность, и
функция Грина зависит не от координат, а только от их раз-
ности:
Gik (х-у) = i <01 Тф,- (х) ф* (у) S10>.	(1.2)
Выясним, как выглядит функция Грина электрона в теории
возмущений. Для этого подставим в (1.2) выражение (2.18),
гл. 4 для S-матрицы; в результате получим
оэ
0«Дх-у) = 1<0|ТфЛх)фА&) £ $я1°>,	М
п = 0
ИЛИ
оэ	со
Gli,(x-y) = i<P\T^l(x)^lt(y)\0) — -^^ dxt ^tfx2<0|Tx
t	—co — co
Хф(х)ф(^)й5^/(х1)^‘/(х2)|О> + -.., (1.4)
где (x) = еф (x) уцф (x) Д(1 (x) — плотность гамильтониана взаи-
модействия электронного и фотонного полей. Члены с нечетным
числом исчезают, потому что их среднее по вакууму равно
нулю.
Диаграммы Фейнмана для функции G(x, у), соответствующие
пулевому, второму и четвертому порядку теории возмущений
(л = 0, 2, 4), приведены на рис. 6.1. В нулевом приближении
теории возмущений функция G(x, у) совпадает с функцией Грина
Go(x, у) свободного электрона (см. гл. 4, § 3)
Go (х-у) = i <01 Тф (х)ф (у) 10> = \dp	...
(1.5)
Функции Грина (1.5), (1.4) описывают движение соответственно
свободного и взаимодействующего с вакуумом электрона от точки
у к точке х.
Рассмотрим подробнее диаграммы на рис. 6.1, взятые в скобки.
Эти диаграммы описывают переходы вакуум-вакуум, т. е. соот-
ветствуют нефизическим процессам, и поэтому, их следует исклю-
чить из "рассмотрения. Для этого воспользуемся тем, что диаг-
раммы функции Грина электрона во всех порядках теории
возмущений можно представить в виде произведения двух сумм,
одна из которых содержит только диаграммы переходов вакуум-
вакуум, а другая — не содержит их (рис. 6.2). В справедливости
этого можно убедиться непосредственным перемножением диаг-
рамм на рис. 6.2. Сумма диаграмм переходов вакуум-вакуум
234
Глава 6. Метод функций Грина
представляет собой разложение в ряд теории .возмущений выра-
жения <015 10) — среднего значения S-матрицы по вакууму
(рис. 6.2). Поэтому для исключения диаграмм переходов вакуум-
вакуум надо выражения (1.1),!(1.2) для функций Грина поделить на
<0|5|0>:
Glk(x, Z/) = ^<O|T^(x)^(Z/)S|O>,	(1.6)
0/А(х-^)=^<0|Тф/(х)фЛ(^)5Ю>,	(1.7)
где для краткости (015 10) обозначено через 50.
Часть диаграммы, заключенная между двумя электронными
линиями (внешними или внутренними), называется электронной
-фВДПф- => ---------*---
<o\TY(x)	0 >
Рис. 6.1. Диаграммы для функции Грина
электрона в теории возмущений
собственно энергетической частью. Простейшей из этих диаграмм
является диаграмма второго порядка (рис. 6.2, б), а более слож-
ными — диаграммы четвертого порядка (рис. 6.2, в — е). Сумма
всех собственно энергетических электронных частей называется
собственно энергетической функцией электрона-, графически она
изображена на рис. 6.2, ж. Из рис. 6.2 наглядно видно, что функ-
ция Грина электрона, определяемая (1.4), учитывает вклад соб-
ственно энергетических частей во всех порядках теории возму-
щений (в этом смысле она является точной функцией).
Найдем выражение для функции Грина электрона в представ-
лении Гейзенберга. Для этого воспользуемся формулами (1.27)
гл. 4, связывающими векторы состояния и операторы в пред-
ставлениях взаимодействия и Гейзенберга. Пусть х^>у0. Тогда
£ 1. Функции Грина электрона, фотона и вершинной части
235
с учетом того, что
5 (Zi, t3)S(t3, t3) = S (ti, 13), s 1 (fi, t3) = S+ (fi, t3) =
= S(f2, G), S-!(fi, f2)S(fi, f3) = S(f2, f3),
будем иметь, принимая во внимание формулы (1.27) гл. 4,
<	0 ] ф (х)ф (у) S (+ со, — схэ) 10> = <0| 5 (+ со, f) ф (х) S (f, f') X
Хф (у) S ((', - об) 10> = <01 S-1 (0, оо) S-1 (f, 0) ф (х) 5 (f, 0) X
X S-1 (f', 0) ф (у) S ((', 0) S (0, - оо) 10> = <0й | Тфй (х) фй (у) 10й),
(1-8)
где |0й> = 5(0, — оо)|0>, <0л| = <01S-1 (0, оо) — векторы состоя-
ния вакуума в представлении Гейзенберга.
Рис. 6.2. Диаграммы для функции Грина электрона (диаграммы переходов ва-
куум-вакуум выделены)
Аналогично при хо<Уо
<	Ж (У) Ф (х) S ( + оо, - оо) 10> = <0й | Тфл (у) фл (х) 10й).	(1.9)
Кроме того,
<	0|5(4-оо. — оо) |0) = (0й | 5 (0, 4-оо)5(4-оо, — оо) х
X 5( —оо, 0)J0л> = <0й10л> = 1. (1.10)
Согласно (1.8), (1,9) и (1.10) выражение для функции Грина
электрона в представлении Гейзенберга запишется так:
G(x, у) = i (0h | ТфЛ (х) фй (у) 10л>.	(1.11)
Следовательно, для получения выражения для функции Грина
электрона в представлении Гейзенберга надо в (1.6) и (1.7)
заменить векторы состояния и операторы в представлении взаи-
модействия гейзенберговскими и опустить множители 5 и S#1.
236
Глава 6. Метод- функций Грина
Вектор состояния |0) описывает вакуумное состояние свобод-
ных («голых») частиц, а вектор 10Л) — вакуумное состояние взаи-
модействующих с собственным полем («одетых») частиц. Поэтому
вектор состояния |0) называют математическим вакуумом, а век-
тор состояния 10Л) — физическим вакуумом. Связь между этими
вакуумами: ] 0Л> = <S (0, — оо)|0) можно понять, например, с по-
мощью адиабатической гипотезы (см. гл. 5, § 4). Согласно послед-
ней имеющиеся при /=—оо «голые» частицы благодаря адиабати-
чески включающемуся взаимодействию переходят при / = 0
в «одетые» частицы.
Переход от функции Грина электрона в координатном пред-
ставлении к функции Грина в импульсном представлении осуще-
ствляется с помощью разложения в интеграл Фурье; в случае
наличия внешнего поля преобразуется каждая переменная
в отдельности:
G(*>	= 7^)8 $ dPidP*G(Pi’ Рг)е~1Р*х+1Р^-,	(1.12)
в отсутствие внешнего поля преобразование ведется по разности
координат (т. е. по одной переменной):
G<X~^=W § dpG(p)e-‘p<*-0,	(1.13)
где G(/?i, р2), G(p) — функции Грина электрона в импульсном
представлении.
Функция Грина фотона. Функция Грина фотона в случае
наличия или отсутствия внешнего поля запишется в представле-
нии взаимодействия соответственно так:
(х, у) = - <0j ТА» (х) Л. (у) S10>,
D»v (х - у) = - ± <0 \Т Лц (х) Av (у) S10),	(1.14)
где Лц(х), Л^ (у) — операторы электромагнитного поля. Множи-
тель So = (01 5 10) добавляется для того, чтобы исключить нефи-
зические переходы вакуум-вакуум.
Диаграммы Фейнмана для функций Грина фотона в нулевом,
втором и четвертом порядках теории возмущений приведены на
рис. 6.3. В нулевом приближении теории возмущений функция
D^v(x — y) совпадает с функцией Грина свободного фотона
(см. гл. 4, § 3):
(х-у) = -1 <01 ТА» (х) Лv(у) 10> = --gj jj	.
Часть диаграммы, заключенная между двумя фотонными линия-
ми, называется фотонной собственно энергетической частью. Про-
стейшей из этих диаграмм является диаграмма второго порядка
<j> 1. Функции Грина электрона, фотона и вершинной части
237
(рис. 6.3,6), а более сложными — диаграммы четвертого порядка
(рис. 6.3, в — е). Сумма всех собственно энергетических фотонных
частей называется собственно энергетической функцией фотона',
графически она изображена на рис. 6.3, ж.
Как видно из рис. 6.3, функция Грина фотона, определяемая
(1-14), учитывает вклад собственно энергетических частей во всех
порядках теории возмущенйй (в этом смысле она является точ-
ной функцией).
Рис. 6.3. Диаграммы для функций Грина фотона в теории возмущений
В представлении Гейзенберга функция Грина фотона имеет вид
D.iv(x, y)=-i(0h\TA*(x)Ahv(y)\0h>.	(1.15)
Функции Грина фотона в координатном и импульсном пред-
ставлениях связаны интегралом Фурье; в случае наличия внеш-
него поля
DUV (х,	= dk. dk2 (ku k2) e-1^+1^,	(1.16)
в отсутствие внешнего поля
Dilv (х - у) =	§ dk Dliv (k) е~ik <х ~ М
(1.17)
где Dliv(k1, k2),	(/г) — функции Грина фотона в импульсном
представлении.
Функция Грина вершины. Мы рассмотрели одночастичные
функции Грина G(x, у) и Dyiv(x, у). Графически они изобража-
ются Диаграммой с двумя концами или «двухвостками» (см.
рис. 6.2, 6.3).
Функции Грина нескольких полей определяются аналогичным
образом. Очень важной является функция Грина двух электрон-
ных и одного фотонного полей («треххвостка»)
KU; ik (хг, х2; х3)=~(р\Т(Хз) ф,- (Xi) ф* (х2) S10).	(1.18)
Диаграммы Фейнмана для функции Грина (1.18) в первом,
третьем и пятом порядках теории возмущений изображены гра-
фически на рис. 6.4. Часть диаграммы, связанную с другими
.частями только двумя электронными и одной фотонной линиями,
238
Глава 6. Метод функций Грина
называется вершинной частью', простейшей из этих частей соот-
ветствует диаграмма первого порядка (рис. 6.4, а).
С помощью правил Фейнмана (см. гл. 4, § 4) аналитическое
выражение для диаграммы рис. 6.4, а, содержащей свободные
линии, запишется так:
/Q (х, у, Q = d£'G" (х - £') TvG° (?' - у) (? - ?').	(b. 19)
Чтобы получить аналитическое выражение для функции Грина
вершинной части во всех порядках теории возмущений, надо
в диаграмме рис. 6.4, а заменить свободные электронные, фотон-
ные линии и вершину «обросшими» (т. е жирными линиями и
Рис. 6.4. Диаграммы для функции Грина вершины в теории возмущений
черными точками —рис. 6.4, к), а в формуле (1.19) свободные
функции Грина G°, D° и вершину ур, —точными функциями
Грина G, D и Г:
Хц (х, у, I) =
= 5 dx' dy' dt,'G (х, х') rv (x', у'-, ?') G (у', y) DVil (Г, £). (1.20)
Величина (x', y', £') представляет собой сумму вершинных
частей во всех порядках теории возмущений и называется вер-
шинной функцией, или вершинным оператором.
Существует лишь одна неприводимая собственно энергетиче-
ская электронная часть; она изображена на рис. 6.2, б. Осталь-
ные диаграммы этого рисунка приводимы. Так, диаграмма
рис. 6.2, в содержит две собственно энергетические электронные
диаграммы, диаграммы рис. 6.2, д, е — собственно энергетические
диаграммы, а диаграмма рис. 6.2, г —вершинную диаграмму.
$ 1. Функции Грина электрона, фотона и вершинной, части
239
Аналогично существует только одна неприводимая собственно
энергетическая фотонная часть; она изображена на рис. 6.3, б.
В отличие от этого неприводимых вершинных частей существует
бесконечное множество. Так, из диаграмм рис. 6.4 неприводимы
три: а, б, г; остальные диаграммы приводимы: диаграммы ж, з,
и содержат собственно энергетические части, диаграммы в, д,
е— вершинные части.
Если включить собственно энергетические и вершинные части
во внутренние линии (получающиеся диаграммы называют ске-
Рис. 6.5 Неприводимые скелетные диаграммы вершинной функции Грина
в теории возмущений
летными), то приводимая диаграмма становится неприводимой.
Важным является то, что для вершинного оператора 1\ в каждом
порядке теории возмущений существует своя скелетная непри-
водимая диаграмма (рис. 6.5, б — д), т. е. Tv в выражении (1.20)
представляется в виде бесконечного ряда (иногда диаграмму в
па рис. 6.5 называют трехгаммным» приближением).
В отличие от вершинной части во всех порядках теории воз*
мущений существует лишь одна неприводимая собственно энер-
гетическая электронная часть и одна неприводимая собственно
энергетическая фотонная часть .(см. рис. 6.2, 6.3). Иначе говоря,
диаграммы Фейнмана для электронной и фотонной функции
Грина в любом порядке теории возмущений можно получить из
одной соответствующей неприводимой собственно энергетической
240
Глава 6. Метод функций Грина
диаграммы, а в случае вершинной части в каждом порядке тео-
рии возмущений надо брать свою неприводимую часть.
Из рис. 6.5, вх для функции Гц следует интегральное урав-
нение, содержащее бесконечное число слагаемых:
Гц/х, у; £)=Уц + Лц(*. У, £) = Yu + $dx' dx" dy' dy" dg dt"x
xrv (x, x'-, Г) G (xr, x") Гц (x”, у"- ?) G (у", у') x
хГа(/, у;	?')+•• (1.21)
Второй член соответствует трехгаммному приближению.
Переход от координатного представления к импульсному для
вершинной части осуществляется с помощью разложения в
интеграл Фурье:
К»(х, у, ^=-^y3-\)dp1dp2dkKyl(Pi>P^k)ei^-iP^ + iP‘V, (1.22)
где Кц(Р1, Рг, k) — функция Грина вершинной части в импульс-
ном представлении; при этом импульсы связаны законом сохра-
нения Pi-\-k = pi.
Рис. 6.6. Диаграммы функции Грина «четыреххвостки» в теории
возмущений
Уравнение (1.21) в импульсном представлении запишется так
(см. также рис. 6.5, в2):
Гц(р2-Г^. Л)-Тц+Лц(р2+Л, k) = уи +	dsTv(p2 + k, s)x
X G (р2 + k - s) Гц (p2 + k - s, k) G (— p2) Га (— p2, — s) Dva (s). (1.23)
Многочастичные функции Грина. Аналогичным образом можно
рассмотреть функции Грина большего числа полей («многохво-
сток»). Такие функции строятся как среднее по вакууму от Т-
произведения операторов: по одному оператору ф — на каждый
начальный электрон, по оператору ф —на каждый конечный
электрон и по оператору —на каждый фотон. Например,
в случае двух электронных и двух фотонных полей («четырех-
хвостка»)
G(x', х; /, г/) = ^-<01Тф(х')ф(х)Ац(/)А¥(^)5|0>.	(1.24)
Графически функция Грина (1.24) и ее первые члены разложе-
ния в ряд по теории возмущений изображены на рис. 6.6.
§ 2. Уравнения для функций Грина (уравнения Дайсона)
241
Функции Грина связаны между собой определенными систе-
мами уравнений. Перейдем к выводу системы уравнений для
простейших функций Грина —электрона, фотона и вершиной
части.
§ 2.	УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА (УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА)
Уравнение для функции G (х, у).Сначала получим уравнение
для функции Грина электрона. Будем исходить из уравнения
Дирака для электрона, находящегося в электромагнитном поле
(в представлении Гейзенберга)
{b [i — еЛц (x)j - фл (х) = 0,	(2.1)
или
(»тР	W = и W Фл М-	<2-2)
Преобразуем левую часть этого равенства к виду, содержащему
функцию Грина электрона. Для этого умножим обе части ра-
венства на ityh(y) справа, затем подействуем оператором Т и
усредним по вакууму. В результате получим
(т^-^--^)'<°л1флмфл(у);ол> =
= /еум <0h | Тфл (х) фл (у) А* (х) | 0h>. (2.3)
Оператор Т нельзя «протащить» через оператор -Х-, содержа-
д	0X11
щий дифференцирование по времени -д—. Поэтому вычислим
коммутатор операторов Т и Для этого воспользуемся опре-
делением Т-произведения операторов фЛ (х) и фЛ (у) через функ-
ции 6(хь- Уо)'-
Т (фЛ (х) ф" (у)) =
= е (Хо — Уо) фЛ (х) фЛ (у) - е (у0 - х0) ФЛ (у) ФЛ (х). (2.4)
Отсюда, дифференцируя обе части по и учитывая соотно-
шения 6 (х0) = 6 (х0),	6 (— хо) = — 6 (х0), имеем
= 6 (Хо - Уо) {ФЛ (х) ФЛ (у) + ф" (у) ф" (х)} + Т -Д- (фл (х) фл (у)). (2.5)
244
Глава 6. Метод функций Грина
Вычислим коммутатор операторов Т и Ох. Для этого восполь-
зуемся определением Т-произведения операторов А% (х) и Av (у)
через функцию е (хо*— Уо)
Т (Л£ (х) А* (у)) = | е (х0 - у0) [ АЦ (х), А* (у)]_ +
+ 4[^(х), А»(у)]+, (2Л4)
, v [4-1, если хо>Уо,
где е(х0 — уо)—\	,
(—1, если х0<у0.
Так как -Д-е (х0 — у0) = 26 (х0 — у0), то производная (2.14) по
д
-д^ РаВНЭ
-Д- т (4 (х) Ahv (у)) = 6 (Хо - Уо) [ Ab (х), Ahv (у)]_ +
+ 4e(x0-f/o)[-^-4(x), Х^-Ц^А^х), А^(у)]+ =
= т[-^А^х)А*(у)),
потому что первое слагаемое обращается в нуль (см. гл. 3, § 4).
Аналогичным образом, учитывая, что при х0 — у0 коммутатор
Г дА* (х)	1
Hr1’ ^(y)|_=W(x-y),
получаем для второй производной
=	Ahv(y))-ig^(x-y). (2.15)
С учетом соотношений (2.13), (2.15) и (1.14) уравнение для
функции Грина фотона в представлении взаимодействия запи-
шется в виде
□ Aw (Л>	еуи <° I (х) ф (х) Av (у) S10> =
= — guv6(x-y) (2.16)
или после замены (О I Тф (х) ф (х) Av (у) •$ 10) выражением
- »
(1.20), в котором аргументы у функций фиф взяты одинако-
выми,
□ xD^v (х, у) — & Sp уи (j dx" dx' dt,G(x, x') Га (x', x"; C) G (*", x) x
xDav(t, y) =—gv^(x-y). (2.17)
Это — интегро-дифференциальное уравнение для ядро кото-
рого содержит функции Грина электрона и вершинной части,
т. е. функции G, D и Г связаны между собой.
§ 2. Уравнения для функций Грина (уравнения Дайсона)
245
Введем интегральный оператор
Рцл> (х, £) = ieSpy^ § dx' dx"G (х, х') Tv (х', х"; £) G (х", х). (2.18)
Тогда уравнение (2.17) можно переписать так:
(Одг 73) £)|дд, (х, у)— S|.iv6 (х у).
.(2.19)
Это уравнение отличается от уравнения Максвелла для функ-
ции Грина свободного фотона наличием дополнительного члена,
характеризующего поляризационные свойства среды. Поэтому
оператор Р называется оператором поляризации вакуума, или
поляризационным оператором. Поляризационный оператор пред-
ставляет собой сумму компактных фотонных собственно энерге-
тических частей, т. е. таких частей, которые нельзя разбить на
Рис. 6.10. Диаграммы поляризационного оператора в теории воз-
	мущений
части, соединенные только одной фотонной линией (некомпакт-
ной является, например, диаграмма на рис. 6.3, в). Графически
поляризационный оператор изображен на рис. 6.10; там же при-
ведены диаграммы этого оператора. Как видно, поляризацион-
ный оператор описывает взаимодействие фотона с электронно-
позитронным полем. Это взаимодействие сводится к образованию
и аннигиляции виртуальных электронно-позитронных пар.
Перепишем интегро-дифференциальное уравнение (2.17) в ин-
тегральной форме. Для этого умножим (2.17) на D^v(z — х) и
проинтегрируем по х. В результате интегрирования по частям
пайдем искомое уравнение
£>nv(z, y) = D^v (г-у)-
- 5 dx <ВДр (z - х) Pfia (х, 0 Dav (С, у). (2.20)
Графически это уравнение изображено на рис. 6.11.
Итерация уравнения (2.20) по PfiV приводит к ряду, каждый
член которого содержит определенное число поляризационных
операторов (рис. 6.12). Тем самым в диаграммах для функций
Грина фотона появятся наряду с компактными и некомпактные
диаграммы.
Уравнения (2.11) и (2.20) для функций Грина электрона
п фотона называются уравнениями Дайсона.
246
Г лава 6. Метод функций Грина
Импульсное представление. При использовании более удобна
запись уравнений в импульсном представлении. Найдем вид
уравнения (2.11) для функции Грина электрона в отсутствие
внешнего поля в импульсном представлении. Для этого заменим
в (2.11) функции G, D и Гц их разложением Фурье (1.13), (1.17)
и (1.22) и учтем закон сохранения импульса в вершине (Pi =
= р2 + ^). Преобразуя подынтегральные выражения так, чтобы
D	р	О
Рис. 6.11. Графическое изображение уравнения (2.20)
они содержали один и тот же множитель	и приравнивая
члены при этом множителе, придем к уравнению Дайсона для
функции Грина электрона в импульсном представлении:
G (р) = G« (р) —G« (р) J dkyfi (р + k) Tv (р + k, р) (k) х
X G (р) = G« (p) - G° (p) M (p) G (p), (2.21)
здесь M (p) — массовый оператор в импульсном представлении.
Рис. 6.12. Совокупность диаграмм, соответствующих функции Грина фотона
Аналогичным образом запишется в импульсном представлении
уравнение Дайсона (2.20) для функций Грина фотона:
ip	с
Z)|iV (k) = D'‘IV (k) -	(k) Sp dpyfi (p + k) Гр (p + k, p) x
X G (p) £>₽v (k) =	(k) - Д“ш (k) Pafi (k) £>₽v (k), (2.22)
здесь Pap (A) — поляризационный оператор в импульсном пред-
ставлении.
Таким образом, мы получили систему уравнений (2.21), (2.22)
для функций Грина электрона G(p) и фотона D^v(k). В эти
уравнения входит еще неизвестная вершинная функция Г (р, k).
Для последней мы нашли интегральное уравнение (1.23), содер-
жащее бесконечное число слагаемых; тем самым мы приходим
к бесконечной системе уравнений для функций G(p), Dnv(k) и
Го(р, k), т. е. эта система уравнений не замкнута. Так, напри-
мер, с помощью (2.21) можно выразить функцию Грина элек-
трона G(p) через вершинный оператор Гц(р, р-j-k) и функцию
$ 3. Уравнения для функций Грина в функциональных производных
247
Грина фотона DliV(k). В свою очередь вершинный оператор выра-
жается через более сложные вершинные операторы и функции
Грина электрона и фотона и т. д.
Получающаяся указанным путем последовательность систем
уравнений все более усложняется. Поэтому желательно было бы
«собрать» эту последовательность в одну замкнутую систему.
Оказывается, что такую задачу можно решить, если представить
функции Грина .в виде функционалов от некоторой вспомога-
тельной функции и записать для таких функций Грина уравне-
ние не в обычных, а в функциональных производных. К полу-
чению этой системы уравнений для функций Грина в функцио-
нальных производных мы и переходим.
§ 3. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ (УРАВНЕНИЯ ШВИНГЕРА)
Вспомогательные внешние источники и токи. Как известно,
электрические заряды, характеризуемые током /ц(х) =— еф (х)х
Ху|Лф(х), порождают электромагнитное поле Лц(х); причем опе-
ратор энергии взаимодействия <3% (х) = еф (х) Уцф (х) Ац (х), где
ф(х), 'Л|л (х) — операторы электронного и фотонного полей'.
Введем наряду с реальными источниками электромагнитного
поля .вспомогательные источники, которым соответствует ток
J(l(x) и энергия взаимодействия ел '(х) — — JlL(x) А}1(х). В отли-
чие от тока /ц (х) реальных источников ток (х) вспомогатель-
ных источников не содержит операторов поля, т. е. является
пеквантованной величиной. С учетом 7ц(х) выражение (2.19),
гл. 4 для S-матрицы перепишется следующим образом:
S = Т exp {i dx [/и (х) + 4 (х)] Лм (х)}.	(3.1)
Так как S-матрица входит в выражение для функций Грина,
то последние становятся функционалами от 7ц(х). Именно для
этих функционалов и составляется уравнение в функциональных
производных (впервые они были получены Швингером и назы-
ваются уравнениями Швингера).
Подчеркнем, что введение вспомогательных источников и то-
ков 7ц(х) является формальным математическим приемом и
отнюдь не предполагает присутствия дополнительных реальных
внешних зарядов. Поэтому, чтобы получить физические функции
Грина, надо в решении уравнений Швингера для функций Грина
положить ток /ц (х) равным нулю.
Уравнение для функции G(x,y). Получим уравнение в функ-
циональных • производных для функций Грина электрона. Для
этого, с одной стороны, найдем функциональную производную
выражения (1.6), определяющего функцию Грина электрона
G(x, у). В последнем ф(х) и ф (у) — операторы свободных полей
248
Глава 6. Метод функций Грина
и от 4(х) зависит лишь S. Согласно (3.1)
^=,Т(Л„М5).	(3.2)
поэтому, используя правило дифференцирования дроби, имеем
V	» V» -яЬ) It <°' ТЧ’ W * fe)s 1 °>} -
= - i Ь (° I W Ф (У) А и (х) S, 0> +
+ Тц <0 i Тф (х) ф {у) S ! 0) <01ТАЦ (х) S10> =
= — W4 (х, у; х) - iy^G (х, у) (Лц (х)>, (3.3)
где <ЛИ (х)> =	<01 ТАм (х) S j 0>.
Функция ф4ц (х)> представляет собой среднее значение по
вакууму электромагнитного поля ЛДх); при Jfl(x) = 0 функ-
ция <ЛМ (х)> = 0.
С другой стороны, функция Грина G (х, у) подчиняется урав-
нению (2.7). Подстановка функции К^(х, у; х), определенной из
(2.7), в (3.3) приводит к искомому уравнению для функции
Грина электрона G(x, у) в функциональных производных:
[йхц е 67ц (х) +	(х, у)=	6 (х у). (3.4)
Уравнение для функции (Л|Л(х)>. Получим уравнение для
функции (Лц (х)>. Оператор Лц (х) удовлетворяет уравнению
□	хЛ£ (х) = f!l (х) + 4 (х) = — еф" (х) уцфА (х) -I- 4 (х).	(3.5)
Отсюда после усреднения по вакууму и учета того, что
фа (X) (Тц)о₽ф₽ (х) = (Тц)арФр W фа ДО,
найдем
□	х <oft | Л£ (х) I 0h> = - е <0h I (Т(1)а₽Ф₽ (X) Ф2 (X) I 0ft> + (X), (3.6)
или после перехода к представлению взаимодействия,
□	х <Лц (х)) = ieSp у„(з (х, х) -I- 4 (х).	(3.7)
Уравнение для функции D^v{x, _у). Уравнение для фотонной
функции Грина D^ix, у) получается из (3.7) дифференцирова-
нием по Jv, если учесть (3.2) и соотношение
(х)
_	(3.8)
в результате получаем:
О(-^f у)	6Jv (у) Sp	~ (х У)*	(^*9)
§ 3. Уравнения для функций Грина в функциональных производных
249
Переход к переменной (ДДх)). Перейдем в уравнениях (3.4),
(3.9) от переменной /ц(х) к переменной (Лц(х)). Для этого
учтем, что
6<Ai(*)>	6	<0 I ТАи (х) S 10)	i
=	S, 1 ?^<0|ТЛи(х)Л^)510>-
- 4г <01 ТА и (х) S10> <01 ТА, (у) S10> =
= — DIIV (х, у) — i (Лц (х)> <Лv (f/)>, (З.Ю)
т. е.
6 (Ах (х)>
D)iv(x, у) —----Sjv{y} при Jv(y) -^0.	(3.11)
Поэтому функциональная производная по Jv (у) выражается через
функциональную производную по (Д|Л (£)) следующим образом:
6
67ЙУ)
= $d£
JvM-o
Ыч(у) 6(^(0)
Jv(v)-o
- J у) 6(ЛцЮ> •
(3.12)
Подстановка (3.12) в (3.4) приводит к уравнению для функции
Грира электрона:
К ('‘4? ~е	“ m}G (х> “
x)-^^- = -6(x-f/). (3.13)
Дифференцируя (3.7) no Jv(y) и учитывая (3.11) и (3.12), полу-
чаем уравнение для функции Грина фотона:
□ АгЛ*. У) =
= ~ё^ (х-у) + ie jj dCSp^-^^^-Dva (С. у). (3.14)
Уравнения (3.13) и (3.14) образуют систему, из которой функ-
ция (х) полностью исключена.
Интегральная форма уравнений. Заменим в уравнениях (3.13),
(3.14) функциональную производную 6G (х, у)/6 (йц (£)) интеграль-
ным оператором. Для этого введем обратную функцию Грина
электрона G-1(x, у), которая определяется уравнением
dx'G (х, х') G1 (х', у) — \ dx'G1 (х, х') G (х', у) =
= 6(х-у). (3.15)
С одной стороны, из тождества
60	= С dxr <х>	§ (хг _ цх
(3.16)
250
Глава 6. Метод функций Гринц
после замены 6-функции [согласно (3.15)] следует, что
(317)
С другой стороны, дифференцирование (3.15) по (Лц (£)) дает
S (х’’ — Ие <*'	<318>
Подстановка последнего в (3.17) приводит к выражению функ-
циональной производной функции G (х, у) через интегральный
оператор:
= J dx' dx"G *') Гн « х"' $ G УУ ’	(3-19>
Здесь
(3.20)
— вершинный оператор, входящий в формулу (1.20) и опреде-
ляемый диаграммами рис. 6.4. Чтобы в этом убедиться, подста-
вим (3.19) в (3.13) и (3.14); в результате получим уравнения
для функций Грина в интегро-дифференциальной форме:
М1 "4г “ е <Ли W>) ~ m] G (*• У) -
—	dx’M (x, x') G (x', y) — — 6 (x — y), (3.21)
ОлПрд,(х, у) — (x y) + 5	(x, £) Dav (£, y),	(3.22)
где M (x, x’) и P (x, £) —массовый и поляризационный операторы,
определяемые формулами (2.9), (2.18), если Гц (х', х"; С) — вер-
шинный оператор.
Наконец, перепишем интегро-дифференциальные уравнения
(3.21), (3.22) в интегральной форме. Для этого умножим (3.21)
на Go (г — х), а (3.22) —на D,"v(z —х) и проинтегрируем по х.
Интегрирование по частям дает искомые уравнения
G (Z, у) = Go (z — у) — еуц \-dx Go (z — х) <ЛЙ (х)> G (х, у) —
—	^dxdx'G0(z—x)M(x, x')G(x', у), (3.23)
(г, у) =	(z-y) — \dx dt, D’^ (z - x) P₽a (x, £) Dav (£, y).
(3.24)
Графически эти уравнения изображены на рис. 6.13.
Как видно, с помощью функционального дифференцирования
действительно удается заменить бесконечную систему уравнений
замкнутой системой (3.13), (3.14), (3.20) для функции Грина
G(x, у), D(x, у) и Г (х, у; С).
Если положить (Лц(х)) = 0, что соответствует J|1(x) = 0, то
уравнения (3.23), (3.24) переходят в уравнения Дайсона (2.11),
(2.20).
§ 3. Уравнения для функций Грина в функциональных производных
251 ’
Изложенным способом можно получить замкнутую систему
уравнений в функциональных производных для функций Грина
более сложных систем полей, например для функций Грина двух
электронов, двух фотонов и т. п.
Рис. 6.13. Графическое изображение уравнений (3.23) и (3.24)
Импульсное представление. Перепишем уравнение (3.4) в
импульсном представлении. Для этого используем разложение
функций в четырехмерный интеграл Фурье:
</ (х, у) = J dp dpi G (р, рг) e~ipx+iPiV,	(3.25)
(Л	$dq <ДЛ (</)> e~i9x,	(3.26)
w=w Sdk ikx-	(3-27)
Из последнего соотношения следует обратное преобразование
4 (k) = \dy (у)ёку.
Так как (г/)/67|Л (х) = р-|ЦЛ6 (л—г/), то
6J„ (k) р 6J,. (у) с
6W = J dy= J dye (*-У)=8^кх (3.28)
и функциональная производная по (х) выражается через функ-
циональную производную по 7ц(&) так:
б р б 6J„ (k) f ...	6
<., , . = \ dk-r-. у..	=g№ \ dkelkx 7.-, ... .	(3.29)
J 6^(6) 6Ju(x) J 6Jn(k)	'	>
Подстановка (3.25) — (3.27) в (3.4) дает:
~w Sdpi G (p’pi) -
~ 72^ 5 dq dp dpi ^)> e~iqXG (P’ Pl) e~ipx +£piy -
- -(aJjF J dp dp! dk eikxG (p, pj e-lPx+lP^ =
=	dp dpi& (p — Pi) е-‘Р*+'р^. (3.30)
252
Глава 6. Метод функций Грина
Преобразуем подынтегральные выражения так, чтобы они
содержали один и тот же множитель е~,рх+,ру, и затем прирав-
няем члены при этом множителе. Второе слагаемое в (3.30) после
замены переменных p = k, q-\-p = р перепишется в искомой форме:
дат J dk dp dP1 <ЛИ (р - k)) G (k, pj	(3.31)
В такой же форме запишется третье слагаемое выражения (3.30)
после подстановки в него формулы (3.29) и замен p = p-\-k, k=>k:
-~(?УИ ^dpdP1dk-^^G(p + k, pje^-w. (3.32)
Подставляя (3.31), (3.32) в (3.30) и собирая члены при множи-
теле e~lpx+ipty, получим уравнение для функции Грина электрона
G(p, Pi) в импульсном представлении:
(p—m)G(p, Pi)--^-^ j dk{Afl(k)) G(p — k, pi) +
+ J dk 6G(^(yx) = -(2л)4д(р-Р1). (3.33)
Аналогичным образом выглядят в импульсном представлении
уравнения (3.9) и (3.7) для функции Грина фотона DILV(k, kJ
и функции (Ац (&)>:
—	(k, kj = (2л)4 gpV6 (k - kJ - ie Sp {J dpTp	P)|,
(3.34)
-<АЦ(£)>==-Jp(6)--^-Sp {J dp^G(p + k, p)}. (3.35)
Если внешние поля отсутствуют, то уравнения (3.23) и (3.24)
совпадают с уравнениями (2.11) и (2.20); в этом случае уравнения
(3.23) и (3.24) в импульсном представлении запишутся в виде
(2.21) и (2.22). Последние, если в них подставить явный вид
функций Грина свободных полей, т. е. G°(p) =— (р — /п)-1 и
£>pV(/j) =— gvak~2, перепишутся так:
[p — m — M(p)]G{p) = —1,	(3.36)
4“ Рна (^)J Dav (k) =	(3.37)
M = W- ^dkG(p+k) rv (p + k, k) DVp (k),	(3.38)
(k} = W- SP ^dPyaG(p + k)rp(p + k, k)G (p).	(3.39)
§ 4. Перенормировка системы уравнений для функций Грина	253
§ 4.	ПЕРЕНОРМИРОВКА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Функции Грина, представляющие собой сумму ряда теории
возмущений, содержат расходимости того же типа, что и мат-
ричные элементы S-матрицы (см. гл. 5). Поэтому возникает задача
регуляризации функций Грина и перенормировки массы и заряда
электрона.
Для решения этой задачи перейдем к новым функциям G',
D', Г', (Лц), ф', ф', J'p., связанным с прежними следующим
образом:
G'=4’	=	<4,I> = Z71/2<V,	(41)
ф' = 2Г1/2ф, ф'==27,/’ф,
где Zlt Z2, Z3 — неизвестные постоянные величины (расходящиеся).
Условия перенормировки. Покажем, что величины Zlf Z2, Za
можно подобрать так, что они приведут к регуляризованной (не
содержащей расходимостей) системе уравнений для функций Грина
и к замене затравочных величин пг и е их перенормированными
значениями. Процедура выделения из бесконечных функций Грина
их конечных частей не является однозначной, поэтому перенор-
мированные величины, вообще говоря, не будут совпадать с их
опытными значениями. Чтобы масса фотона была равна нулю,
а заряд и масса электрона —их экспериментальным значениям
ma и еа, надо предположить, что перенормированные («обросшие»)
функции Грина удовлетворяют следующим условиям:
1)	функция Грина «обросшего» электрона G' получается из
функции Грина «голого» электрона путем замены m на та, т. е.
2)	функция Грина «обросшего» фотона совпадает с функцией
Грина «голого» фотона
= guv >	(4.3)
т. е. масса фотона после перенормировки по-прежнему остается
равной нулю;
3)	«обросший» вершинный оператор Г' (plt р2; k) при =
i-=p2 = p0 и k = 0 переходит в «голый» вершинный оператор
. Гц(Ро, Ро, 0) = Тц.	(4.4)
Тогда перенормированный заряд еа определяется формулой
ea = ZTlZ2Z'l2e.	(4.4')
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим какой-либо опыт, при помощи
которого определяется значение электрического заряда, например
254
Глава 6. Метод функций Грина
рассеяние электронов при < небольших импульсах. Соответствую-
щий матричный элемент в первом приближении теории возмуще-
ний выглядит так (см. гл. 4, § 4):
^зУмФ^ФЬч-Ф?.
Для учета радиационных поправок надо заменить ф°, уц и D^v
функциями ф, Гц и DpV. Однако из (4.2) —(4.4) видно, что при
импульсах электронов, когда они почти свободны (р^ш3) и обме-
ниваются фотонами с малой энергией Димпульс фотонов £<~0),
функции ф°, yM, DpV и ф, Гц, D(iv практически совпадают и замена
в матричном элементе ф°, уц, Ь1^ функциями ф, Гц, D|rv сведется
к замене е на перенормированное или экспериментальное значе-
ние еэ = Z7’Z2Zj/2e.
Определение констант Z. Рассмотрим систему уравнений для
функций Грина в отсутствие источников. Подставляя (4.1)
в (1.23), (3.36) — (3.39) и полагая 7ц = 0, имеем:
[Z2(p-m)-M'(p)]G'(p)=-l,	(4.5)
[Zagnak* 4" Рца (^)l Dav (^) = gjivi	(4.6)
Гц(р + ^. k^Z^+Z^lp+k, £) = 21Уц+АНр + £. k), (4.7)
где
= ^dkG'(p + k)rv(p + k, k)D^(k),	(4.8)
Ра₽ (k) = > Sp $dpyaG' (p + k) Г₽ (p + k, k) G' (p),	(4.9)
Лц(р + £, =	j dsK(p + k, s)G' (p + k-s)x
хГИр + fe-s, k)G'(-p)r'a(-p, -s)D^a(s). (4.10)
Найдем величины Zb Z2, Z3, используя уравнения (4.5) —(4.7)
и условия (4.2) —(4.4).
Для определения величины Z2 воспользуемся уравнением (4.5),
из которого следует, что
G'(р) = “ Z2(P-m)-M'(p)’
Разложим М' (р) в ряд Тейлора по (р — т3):
С(р)=	1
/дМ'(р)\	' (4-11)
Z2 (р — tn)—М’ (Ро)——др)р=.Ра^~т^+--
Последнее выражение должно равняться "(4.2), поэтому
р-т3 = Z2 (р-т) -М' (ро)-(р-т3) ( дМ^р} )р=Л + • • • •
§ 4. Перенормировка системы уравнений для функций Грина
255
Отсюда, приравнивая члены, содержащие и не содержащие мат-
рицу у, получаем
Р
= Zzp —
ЭМ' (р) \
др )р=рп
„	I дМ' (р) \
mB = Zztn-^-M (Ро) — ф )р=р‘отэ>
или
Z2=l+(^)
\ ор /р=Ро
та = т+М' (р0)~.
^2
(4.12)
(4.13)
Подставляя (4 12) и (4.13) в (4.5), приходим к перенормирован-
ному уравнению для функции Грина электрона G':
[р — та — Mr (р)] G'(р) — — 1,	(4.14)
где Mr — регуляризованный массовый оператор, причем
M'R (р) = М' (р) -М'(р0) — (р - та) ( dMdpiP})p=:pi>	(4.15)
Чтобы определить .константу Z3, используем уравнение (4.6), из
которого вытекает, что
па ~8vy
“v( ’ " е^+Р'^) •
(4.16)
Разложим Р' (k2) в ряд Тейлора по k2 при k2 — 0:
Ъ W-Р.* (О)-И*	+ .
Согласно градиентной инвариантности константа Р' (0) может
быть отброшена, поэтому из условия равенства (4.3) и (4.16)
имеем
После подстановки этого значения в (4.6) получим перенорми-
рованное уравнение для функции Грина фотона D' (k):
lg-лсЛ2 4* РДца (k2) ] Dav (k) — — guv,	(4.18)
где Pr (Л2) — регуляризованный поляризационный оператор, при
этом
. рн^2)=/3,(^)-^(О)-^(^Р-\2=о
(4.19)
Наконец, для определения Zi приравняем (4.4) и (4.7), взя-
тое при р = р0, k = k0, когда P»(Po + ko, ^о) = Тц: -
Ти = ЛТц+Лц(Ро4-^о. М-
256
Глава 6. Метод функций Грина
Отсюда
ZiV|i = Тц — Лц (р0 -|- ko, k0).	(4.20)
Подставляя последнее в (4.7), получим выражение для перенор-
мированной вершинной части:
Гр(р + £, ^) = Тц + Л^(р + ^, к)-Л^(р0 + к0, k0).	(4.21)
Перенормированная система. Перенормированная система урав-
нений для функций Грина в отсутствии внешнего поля выглядит
гак (штрихи опущены):
Ip -	- MR (p)J G (р) = — 1,
[£цсЛ2 Priiu (^2)1 &av (^) “ gp.vt	(4.22)
ГР(р + А, k) = уц + [Ли(р + k, k) — Лц (р0 + k0, £0)],
где
MR (р) = М (р) - М (р0) - (р - гпэ)	= ро,
/ дРав (62) \
P^^)=Pap(k^-Pa^0)-k*
=W S dk W {p+k} rv (p+k’ k} {k}’
Pafi	J dp Sp ZiTaG (p 4- k) Гр (p + k, k)G (p).
J
Перенормированное, или экспериментальное значение массы
электрона, определяется формулой (4.13).
Подчеркнем, что мы получили перенормированную систему
уравнений для функций Грина, не пользуясь теорией возмущений..
Тождество Уорда. В электродинамике вершинная часть А|Л
связана с электронной собственно энергетической частью М (р)
соотношением Уорда, определяемым формулой (3.10) гл. 5. Это
соотношение можно переписать в эквивалентном виде
ГДр, р) = -^-[С(р)Г1.	(4^23)
Чтобы получить (4.23),' надо подставить в (3.10) гл. 5 выраже-
ние, вытекающее из (2.21),
М (р) = [G0 (р)И - [G (р)]-1 =р-tn - [G (p)]-i
и учесть, что
2(р)^М(р), Г^^+Л».
Перенормировка матричных элементов. Покажем, что в кван-
товой электродинамике перенормировка массы и заряда электрона
ведет к устранению расходимостей во всех порядках теории
§ 4. Перенормировка системы уравнений для функций Грина	2S7
возмущений. Для этого достаточно рассмотреть неприводимую
скелетную диаграмму, тем самым будут учтены все приводимые
диаграммы. Пусть неприводимая диаграмма имеет п вершин,
Ft внутренних электронных линий, Fe внешних электронных линий,
Ве внешних фотонных линий, Д внутренних фотонных линий.
Такой диаграмме соответствует неперенормированный матричный
элемент, который схематически запишется в. виде
М ~еп (Г)« (G)fi (D)Bi (ф)^ (Л)ве.
Подставляя сюда перенормированные величины (содержащие пере-
нормированную массу) в соответствии с (4.1) получаем
MR — Z7nZ^i+ ^Fezfi+^ Вее" 5 (Г')«	(ф'Л (Д')в*.
В каждой вершине сходятся две электронные и одна фотон-
ная линия, причем внутренняя линия входит в две вершины,
а внешняя —в одну. Поэтому п — Ft + Fe = Ве + 2Bt и, следо-
вательно, показатели степеней Zlt Z2, Z3, если учесть (4.4'),
равны нулю, т. е.
MR (Г')" (G'}fi (D')bi (ф')^ (А')ве.
Как видно, матричный элемент, выраженный через перенорми-
рованную массу и заряд электрона, не содержит расходящихся
величин Zlf Z2, Z3. Другими словами, в квантовой электроди-
намике перенормировка массы и заряда электрона эквивалентна
устранению расходимостей во всех порядках теории возмущений.
§ 5.	ИНФРАКРАСНАЯ АСИМПТОТИКА ФУНКЦИИ ГРИНА ЭЛЕКТРОНА
В настоящее время отсутствуют методы, с помощью которых
можТТо было бы решить уравнения Швингера в общем случае.
Это удается сделать лишь в некоторых частных случаях (пре-
дельно большие или предельно малые энергии частиц, нефизи-
ческие модели). На одном из таких случаев в качестве иллю-
страций мы остановимся подробнее. Найдем функцию. Грина
электрона в предельном случае малых энергий электрона, когда
импульс электрона р2«=гт2, т. е. в инфракрасной области.
1.	Будем исходить из уравнения Швингера (3.13) для функ-
ции Грина электрона:.
{?и (t - е <ДЦ (х)>) - m - ieyp J dt, D$a (£ - x) ^g)>} X
xG(x — y; A) =— 8(x — y). (5.1) .
9 Нелипа H. Ф.
258
Глава 6. Метод функций Грина
Если учесть, что согласно (3.26) и (3.29)
1Ъ~3^С(Х~У' л) =
jdG (х-у, Л) С бЛу(г) 6	. л
+ J fiXv(z)dZG<X У' А>[’
то в импульсном представлении (5.1) перепишется так:
{/5 + II— ^dkA(k)- ie jj dk^D^ (k; A) - m} x
х6(р;Л) = -1, (5.2)
n^dkkAa(k)-^.
В области малых энергий электронов процессом образования
электронно-позитронных пар можно пренебречь и рассматривать
фотон как свободный; его функцию Грина Dpa(ft) выберем в виде
Dpa(k) = —(5.3)
2.	Перенормируем уравнение (5.2). Поляризацию вакуума мы
не учитываем, поэтому заряд перенормировать не надо. Перенор-
мировку массы произведем с помощью функции Z,
G'(p; A) = Z~1G(p; А),	(5.4)
явный вид которой определим позднее.
3.	Будем искать функцию Грина электрона G'(р; Л) в виде
G'(p; Л) = (р + П + т)А(р; Л).	(5.5)
Здесь А (р; Л) — неизвестная функция. Подставляя (5.5) в (5.2),
получаем уравнение для А (р; Л):
НЬ (р; Л) =
=3 |р + П - m - J dkA (k) - ie j dk^D^a (k‘, A) ^(fe)|,
(р + П + т)А(р; Л) = —Z"1.	(5.6)
4.	Функцию A(p; Л) ищем в форме интеграла
А (р; Л) = —i J dve~™Uv (p; Л),	(5.7)
о
где Uv(p‘, Л) —новая неизвестная функция, е>0.
5.	Чтобы получить уравнение для Uv(p; Л), подействуем на
(5.7)	оператором Н, стоящим в левой части (5.6):
ЯА(р; Л) = — ifdve~evHUv(p; Л) = — Z;1.	(5.8)
е
f 5. Инфракрасная асимптотика функции Грина электрона
259-
Зафиксируем начальные условия для функции Uv(p', Л). Для
этого учтем, что интегрирование по частям ^u=e~BV, dv*=-^-Uvdv)
дает
—i	j dve~ev ~Uv(p; Л) = Д70(р; Л)4-еА(р; A)^iU0(p-, Л).
Полагая Uo = — Z-1 и подставляя последнее в (5.8), получаем
U0(p; Л)=— | dve-BV~Uv(p; Л) = —i | dve~BVHUv(p; Л),
пли
^dve~BV{HUv(p-, A) + i~Uv(p; Л)} = 0.
о
Отсюда следует уравнение для Uv(p; Д):
_.g^(p;	Л)	(б 9)
с начальным условием 1/0(р; Л) =— Z-1.
6.	В операторе Н этого уравнения содержатся вариационные
производные по Лц. Чтобы от них избавиться, положим
~^-Uv(p-, A)=xa(v, р, k- A)Uv(p; Л),	(5.10)
Здесь Ta(v, р, k\ Л) —еще одна неизвестная функция. Чтобы
найти для нее уравнение, возьмем частную производную по v
от обеих частей (5.10) и учтем (5.9):
(5.11)
ДЛЯ нахождения физических функций Грина, надо "положить
вспомогательное поле Аа (/г) равным нулю, т. е. в конечном счете
нас будут интересовать функции А (р; 0). Поэтому сохраним в Н
только члены, линейные по Аа (k):
H = f1(k)+f2(k)\dkA(k).	(5.12)
Тогда функция t(v, р, k\ Л) не будет зависеть от Л. Действи-
тельно, интегрируя (5.9) по v и беря функциональную произ-
водную по Л, получаем, учитывая (5.12),
w = fit Z-1 ехРiH^ = №	и- (k- А> =
= Ta(v, Р, k)Uv(k; Л).
0*
260
Глава 6. Метод функций Грина
Так как та не зависит от Аа, то Ht = tH и уравнение (5.11)
перепишется в виде
___. дта (у) = дН
(5.13)
dv 6Aa(k) •
Сохраним в операторе Н члены, которые линейны по А и
жат первую функциональную производную:
Н = р* — т2—J dkA (к)(р + т) + 2(рП) +
+ J dk№Aa (k)	- ie J dk^Dfr (k) (pA-k + m) .
Возьмем от последнего функциональную производную по
подставим ее в (5.13) и учтем, что в соответствии с
б
содер-
(5.14)
Ла (k),
(5.Ю)
М (fe)-Ta(V|	в РезУльтате придем к уравнению, не
содержащему функциональных производных по А:
— i—“ (У’ fe) = (^ + 2pfe) Ta (v, р, k) - va(p + m).
7.	Решение этого уравнения, полученное методом вариации
постоянного, имеет вид
eHk‘+2pk}v_l е
Ta(v, р, k) =-----------------— уа(р + т).
(5.15)
Теперь вычислим последовательно Н, Uv(p', Л), Uv(p; 0),
Д(р; 0) и искомую функцию Грина электрона G(p; 0).
8.	Заменяя в (5.14) функциональную производную 
функцией та, определяемой (5.15), найдем выражение для опера-
тора Н, не содержащего функциональных производных по Аа (fe):
H = e^+\dkF(k) (W+zpQv,	(5.16)
где
Z>2	Р	А	1
<37f = p2_m2|Yp J dk(p+k + m)D^a(k)ya(p + tn) k2+2pk,
F = (^ T<x 05 +	a^) + 7^4 T₽ (p + k + m) Dfte (fe)Ya	.
9.	Запишем уравнение (5.9) в форме
— i Л)- =	+ J dkF (fe) 2₽*)v| (jv (p- Д)
и будем искать его решение в виде
JJv(p\ 4) = Vv(p; А)е1^.
В результате, учитывая начальное условие Uo = — Z-1, получим:
l/v(p; Л) = — Z_1exp[iWv + f dk ./.. (е‘(^+2р^)у — 1)1
К.	J *** ~1	J
§ 5. Инфракрасная асимптотика функции Грина электрона
261
или после преобразований
Uv(p; Л) = —Z-1exp|i(p2-m2)v--^ry₽^ dk(p + k + m)x
xD^a(k)ya(p-\-m) \dv' jj e£(**+2Pfe)v"dv" —
о о
— j ^Ta (p + m) Aa(k) f dv'e£<*2+2₽*>v'|.
В интересующем нас случае Аа (k) = 0, поэтому
Uv (р; 0) = — Z-1 exp [i (р2 — m2) v + Ф (v)],
(5.17)
где
F (v) = Yfl J dk (p+k + m) D^a (k) ya (p + tn) e£ <fes+2p*> v .
Заменяя функцию Грина свободного фотона £>pa (k) ее парамет-
рическим представлением
-	со	П 1.	00
D&a(k) = ig&a J d&W+W	-^-~gafi	( d^kt+1^,	e>0,
0	0
найдем после интегрирования по k
F <У) =	(p + tn) (e~ivpt - 1).	(5.18)
В рассматриваемом случае малых значений импульсов р2^ш2
z	V	.	V	.	\
Qp2 /	Р	л— IVP3__1	р	р~ IVP*_i \
\ dv------2-----\ dv-----------].	(5.19)
'ч v •	8л2 I J	v2	J	v |	х '
\ о	о	/
Оценим этот интеграл при различных значениях V. При малых v
3^2
имеем Ф (v)^ —i-g^-vp2 In vL2, при больших v
ф £ (ln v^2+ivp2 ln S’) *
(5.20)
где L2 введено для ликвидации расходимости .и далее устрем-
ляется к бесконечности (см. гл. 5, § 4). Как видно, основной
вклад в интеграл (5.19) дают большие значения v и именно они
определяют поведение функции Грина при р2^пг2.
262
Глава 6. Метод функций Грина
10. Подставляя (5.20) в (5.17) и полученный результат в (5.7)
придем к выражению для А (р; 0):
- °0	3te2 tn2 $ez
А (р;	J e-EVe(p2~m2)v+^vm2'n^(vp2)^dv.	(5.21)
l/m2
Устремим L2 к бесконечности и произведем перенормировку массы
электрона: ml = tn2-\-e2§tn, где бт =— tn2	In  Чтобы выде-
лить в (5.21) пропагатор свободного электрона, сделаем замену
переменного (р2 —m2)v = p; тогда (5.21) принимает вид
А(р; 0)
со
ЕЦ
р2 —m2
(5.22)
гдеа= &?•
11. Подставляя (5.22) в (5.5) и полагая
ОО
z = i J dV exp [- -p2=rf + 4х
i
m2
найдем окончательную формулу для функции Грина электрона
при p2F&tnt:
G' (р; 0)
э
ml
РЧ
(5.23)
Как видно, полная функция Грина отличается от функции Грина
/ ml\~a
свободного электрона множителем ^1— —%-) , который учитывает
«обрастание» «голого» электрона за счет его взаимодействия
с вакуумом.
Функция Грина электрона в инфракрасной области (p2^mj)
принимает конечное значение, т. е. она не содержит инфракрас-
ных расходимостей. Если разложить функцию Грина (5.23) в ряд
по степеням а, т. е. в ряд теории возмущений, то в каждом
приближении получим логарифмические члены
/
/	m2\~a	—alnl 1 -I	/ ms\
(1-/) =е ^~1-«^1-^) + ...,
характерные для «инфракрасной катастрофы» (см. гл. 4, § 7).
На этом примере ясно видно, что появление инфракрасных рас-
ходимостей связано с неправильным применением теории возму-
щений в инфракрасной области.
§ 1. Основные аксиомы квантовой теории поля
263
Глава 7
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Изученные. методы теории возмущений и функций Грина
позволяют детально описать динамическое поведение процесса
вплоть до вычисления дифференциальных сечений. Но эти методы
содержат принципиальную трудность, связанную с наличием
расходимостей, а для многих результатов, полученных этими
методами, отсутствуют математически строгие доказательства.
В связи с этим в настоящее время интенсивно разрабатывается
м(угод, характерной чертой которого является тщательность мате-
матических формулировок и доказательств. В основе этого метода
лежит набор аксиом квантовой теории поля (поэтому он полу-
чил название аксиоматического), а понятие лагранжиана и гамиль-
тониана не используется.
Основная задача аксиоматического метода сводится к построе-
нию матрицы рассеяния, удовлетворяющей всем аксиомам кван-
товой теории поля и свободной от расходимостей. Эту задачу
пока решить не удалось, и мы на ней останавливаться не будем.
Однако из аксиом квантовой теории поля можно вывести ряд
важных следствий. При этом никаких конкретных предположе-
ний о виде взаимодействия не делается, и эти результаты носят
довольно общий характер. На некоторых из этих следствий мы
остановимся в этой главе; эти результаты нам понадобятся
в дальнейшем.
§ 1.	ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Перечислим основные аксиомы квантовой теории поля.
1.	Теория инвариантна относительно неоднородных преобра-
зований Лоренца (релятивистская инвариантность).
2; В теории справедливы обычные постулаты квантовой меха-
ники, т. е. состояние любой системы представляется вектором
в гильбертовом пространстве, а физические величины — самосопря-
женными операторами.
3.	Существует единственное вакуумное состояние, которое
инвариантно относительно преобразований Лоренца.
4.	Существуют только такие ‘состояния, четырехмерные им-
пульсы которых времениподобны: р^2э0, а временная компо-
нента р0 — положительна: р0>0, т. е. в .теории отсутствуют
частицы с отрицательной массой.
Иногда, третье и четвертое предположение называют условием
спектральности теории.
5.	Существует набор физических состояний, который образует
полную систему, т. е. в теории, отсутствуют нефизические со-
стояния.
.264
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
6.	Теория локальна, т. е. операторы поля, разделенные про-
странственно-подобным интервалом, коммутируют. Например, для
операторов нейтрального скалярного поля имеем
[<р(х), <p(z/)]_ = O для (х-у)2<0.	(1.1)
Это требование называют также принципом микропричинности,
так как оно математически выражает тот факт, что точки, раз-
деленные пространственно-подобным интервалом, не могут обме-
ниваться световыми сигналами, и, следовательно, измерения
в этих точках не зависят друг от друга.
В этой главе мы будем .пользоваться представлением- Гейзен-
берга и индекс h у опера-торов поля будем опускать.
§ 2.	СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА
(ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕЛЛЕНА — ЛЕМАНА)
Предположим, что: 1) существует релятивистская инвариант-
ность; 2) выполняется условие спектральности (т. е. существует
вакуум и состояние только с pft^sQ й p02sO); 3) квадраты моду-
лей векторов физических состояний положительны; 4) выпол-
няется условие полноты. Тогда точную функцию Грина Ds(x — у),
например, скалярного поля можно представить в виде интеграла
по функциям Грина свободных полей Dc(x — y; m2) с различ-
ными массами:
Ds (х — у) = $ drrPp (т2) Dc (х — у; т2).	(2.1)
о
Неизвестная функция р(т2) называется спектральной, а выраже-
ние (2.1) — спектральным представлением функции Грина Ds (х — у)
или представлением Челлена — Лемана. Для определения функции
р (т2) требуется дополнительная информация.
Скалярное поле. Получим спектральное представление (2.1)
для функции Грина скалярного поля. Функция Грина Ds (х, у)
скалярного поля <р(х) в представлении Гейзенберга (см. гл. 6,
§ 1) имеет вид
Ds(x, у) = i <01 Т(р (х) <р (у) | 0>.	(2.2)
Спектральное представление для Т-произведения операторов
можно полупить из представления для произведения операторов,
поэтому мы рассмотрим сначала функцию
W(x, у) = {0\<р(х)ч>(у)\О>-	(2.3)
1.	Пусть \рп, а) —полный набор собственных векторов состоя-
ний оператора импульса т. е. Р^\р, а) = рм|р, а), где а
обозначает все характеристики поля, кроме импульса; —соб-
ственные значения оператора Тогда (2.3) можно переписать
,(i 2. Спектральное представление функций Грина
265
как сумму по полной системе собственных векторов | рп, а)
(состояния \рп, а) часто называют промежуточными)
' <01Ф(х)<р(у)|0>=	<01Ф (х) | рл, а> <рл, а | <р (jf) 10>.	(2.4)
Pn’“>
Здесь суммирование производится по всем физически различным
состояниям а и по всем значениям их полного четырехмерного
импульса рм. Квадрат р„ определяет массу: Pn = m„, которая
соответствует полной энергии данного состояния п в системе
покоя.
2.	Неоднородные преобразования Лоренца состоят из трансля-
ций и вращений в четырехмерном пространстве. Из инвариант-
ности относительно трансляций следует, что (2.4) можно пред-
ставить в соответствии с формулой (4.3), гл. 1 в виде
<01 ф (х) ф (у) 10> =
= 2 <0|ф(0)|р„, а> <рп, а | ф (0) | 0> е—<рп(*—р) =
= 2 |<0|ф(0)|р„, а>|*е-<рп<*-*>. (2.5)
|рП’“>
Другими словами, из трансляционной инвариантности вытекает,
что W (х, у) есть функция только разности координат: W(x — y).
3.	Введем функцию р (рп), определенную соотношением
. р (р„) = (2л)3 £ | <01 ф (0) | р„, а) |2,	(2.5')
а
где суммирование проводится по всем промежуточным состояниям
\р„, а) с фиксированным значением импульса рп. Так как квад-
раты модулей векторов состояний положительны, то функция
р(Рп) положительна.
4.	Согласно условию спектральности функция р(р„) опреде-
лена лишь для физических значений импульсов р«^0 и ро^0.
^5. Из инвариантности относительно четырехмерных вращений
следует, что р (р„) есть функция только р‘„: р (р„). Учитывая это
и условие спектральности, перепишем (2.5) в виде
О (Рп) 6 (р„о) Р (р„) = (2л)3 21 <01 ф (0) | р„, а> |2,	(2.6)
а
где 0 (х) = 1, если х>0, и 6(х) = 0, если х<0.
6. Чтобы получить спектральное представление функции Грина
Ds(x — y), совершим некоторые преобразования. Подставляя (2.6)
в (2.5) и заменяя суммирование по рп интегрированием по dpn,
получаем
<01Ф (х) ф (у) 10> = J dpO (р*) 6 (р0) р (р2) е^Р(2.7)
266
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
Учитывая формулу
6 (р2) = $ dm2d (р2 — т2)	(2.8)
о
и вспоминая определение перестановочной функции (гл. 4, § 3),
окончательно для (2.7) найдем
<	01 <Р (*) <Р (У) 10> =
= i dm2p (цг2)тй-4. dp6 (р0) 6 (р2 — m2) е~1р(х~у) =
0
= — i § dm2p (tn2) D~ (x — у; tn2). (2.9)
о
Отсюда вытекает, что при х0>у0
<	01 Ту (х) у (у) 10> = <0 | <р (х) <р (у) 10> =
'	= — i dm2p (m2) D~ (х — у, m2), (2.10)
о
а при у0>х0	
<	01 Ту (х) у (у) 10) = <01 <р (у) у (х) | 0> =
= — i $ dm2p (m2)D~ (у — х; tn2) = i dm2p (tn2) D+ (x — y; tn2). (2.11)
о	о
Комбинируя (2.10) и (2.11), получаем спектральное представление
Челлена —Лемана для функции Грина скалярного поля:
<	0 | Ту (х) <р (у) | 0> = yDs (х—у) =-|- dm2p (т2) Dc (х — у, т2).
о
•(2.12)
Вычитая (2.11) из (2.10), находим спектральное представление
для среднего по вакууму от коммутатора операторов поля:
(0 | [<р (х), <р (р)]_ 10) = — i § dm2p (т2) {D+ (х — у; т2) +
• о
+ D~ (х—у; т2)} = — i $ dm2p (т2) D (х — у; т2). (2.13)
о
Подчеркнем, что при выводе спектральных представлений (2.12),
(2.13) не было сделано никаких специальных предположений
о виде взаимодействия (оно может быть как локальным, так и
нелокальным).
В импульсном представлении формула (2.12), если предполо-
жить, что функция р(т2) достаточно быстро убывает, перепи-
§ 2. Спектральное представление функцийТрина
267
шется так:
СО	оо
Ds (<72) = § dm2p (m2) Dc {q2\ m2) = — § dm2
о	о
(2.14)
Спектральная функция p (m3) включает в себя состояния без
мезонов (вакуум), с одним, двумя и большим числом мезонов.
Для одномезонного состояния рх (m2) = 6 (q2 — р2). В общем случае
р (т2) = (2л)3 21 <01 <р (0) | рп, a>i2 =
= (2л)31 <01 <р (0) |р; р® = <7® =	]2 6 (<72 — |л«) +	(2,15)
+ (2л)3	| <01 <р (0) | р, а') |2 = Р1 (р2) + о (т2),
где и (т2) — сумма спектральных функций состояний с различным
числом мезонов. Подстановка (2.15) в (2.14) дает
СО
*”ОТ—<2Л6)
Таким образом, мы получили представление функции Грина
мезона в виде разложения по функциям Грина свободных частиц
с -различными массами.
Величина р (т2) существенно положительна и может быть
интерпретирована как плотность состояний с данной массой.
. Из выражения (2.16) видно, что функция Ds (q2) имеет полюс
при q2—^2, т. е. в точке, соответствующей реальному мезону.
* Из того же выражения можно сделать некоторые заключения
о характере асимптотического поведения функции Ds (q2) при
q2-^-CQ. Введем для этого интеграл
J dm2p (m2).
о
Так как р (т2) > 0, то в случае конечных J (интеграл сходится)
(<?2)	, т. е. в случае конечных J функция Ds (q2) ведет
себя в области больших q2 так же, как функция Грина свобод-
ного мезона. Если величина J бесконечна (интеграл расходится),
то функция Ds (q2) убывает медленнее, чем ~, т. е. медленнее,
чем функция Грина свободного мезона. Следовательно, функция
Грина Ds lq2) при (?2->оо убывает не быстрее, чем функция
Грина свободного мезона.
Спинорное поле. Подобным образом можно найти спектраль-
ное представление для функции Грина спинорного поля:
G (х, у) = i <01 7ф (х) ф (у) 10>.
268
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
Спинорное поле характеризуется не только импульсом но и
матрицами Из этих величин можно образовать две релятиви-
стские и Р-, С-, Т-инвариантные величины. Поэтому для спинор-
ного поля выражение, аналогичное (2.7), запишется так:
m(*)W)|0> =
= (2^)3 $ dP6 (Р2) 6 (Ро) [“'l (Р2) + <7Р) ^2 (Р2)] е^Р
Отсюда получаем спектральное представление для функции Грина
спинорного поля.
СО
G (х - У) = § dm2 [а?! (m2) -f-~ а?2 (m2)] Dc (х - у, т2). (2.17)
о	м
§ 3. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ ПРОЦЕССА ЧЕРЕЗ
ЗАПАЗДЫВАЮЩИЙ КОММУТАТОР ТОКОВ
Метод получения. Предположим, что? 1) выполняются аксиомы
1) — 6) (см. § 1); 2) выполняется асимптотическое условие, т. е.
взаимодействующее поле при / = -|-оо‘и t = — оо совпадает
с полем свободных частиц. Тогда амплитуду процесса можно
выразить через взаимодействующие операторы поля или через
коммутатор токов (такое представление амплитуды было полу-
чено Леманом, Симанчиком и Циммерманом).
Метод получения такого выражения схематически изобра-
жается следующим образом.
Ось времени
Свободные конечные частицы (поля)	Взаимодействующие частицы (поля)	Свободные начальные частицы (поля)
Асимптотические “out (х'Моля		Асимптотические «in (х)-поля
“out (х')	Асимптотическое ус-ловне и редукция 	и (х)				 “in W
Выберем ось времени, направленную справа налево. При
/ = — оо и t — + оо частицы не взаимодействуют, т. е. свободны.
Назовем состояния при t — ± оо асимптотическими, и будем
у величин относящихся к начальным состояниям (i = — оо), ста-
вить индекс in, а у величин относящихся к конечным состоя-
ниям — индекс out. Образуем полные системы векторов Ф1п и
ФОи1 асимптотических состояний, и запишем релятивистски инва-
риантное выражение для амплитуды процесса Sp. Центральным
пунктом является использование асимптотического условия, свя-
§ 3. Выражение для амплитуды через коммутатор токов
269
зывающего свободные (х)- и uout (х)-поля с взаимодействующим
нолем и (х), получившем название интерполирующего. Наличие
такой связи полей позволяет свести (редуцировать) выражение
для амплитуды, содержащее асимптотические свободные win (х)-
п Hout (х)-поля, к выражению ее через взаимодействующие интер-
полирующие поля и (х) (поэтому получающиеся формулы назы-
вают иногда редукционными). Далее найденное выражение для
амплитуды преобразуется к виду, содержащему Т’-произведение
пли запаздывающий коммутатор токов.
Амплитуда процесса. Рассмотрим какой-либо процесс рассеяния.
В начальном (t — — оо) и конечном (/ = + оо) состояниях частицы
не взаимодействуют, т. е. свободны. Начальное состояние пере-
водится в конечное оператором 5. С помощью последнего ампли-
туда Sfi процесса в представлении взаимодействия определяется
Так:
Х// = (Ф/|5|Ф/>.
В представлении Гейзенберга эта амплитуда в соответствии
с формулой (1.10), гл. 6. перепишется следующим образом:
5// = <Фои4|Фщ>.	(3.1)
4
Остановимся подробнее на процессе рассеяния нейтральных
скалярных мезонов на нуклонах. Амплитуда этого процесса
в представлении Гейзенберга запишется в виде
Sfi = (0 I <Pout (Ч2) a'r\ out (P2) ‘Pin’ (41) <2rt*in (Pl)| 0) —	(3.2)
• =<p2, out I <pg-u’t (q2) tpff (qx)| P1, in>=	(3.3)
= <01 a'r7’ out (p2) <Pout (q2)| Pi, qi, in>,	(3.4)
где <Pin'(q), aj-fin (P) — операторы рождения	мезона с импульсом
г/ и нуклона с импульсом р; | plt in) —вектор состояния началь-
ного нуклона; <р2, q2, out | —вектор состояния конечных мезона
п нуклона и т. д.
Согласно формулам (2.73) — (2.75), гл. 3 в случае нейтраль-
ный мезонов
‘pin (х) = (2л)-’/> \ dq (2q0)~[<pi„’ (q) е~^х + tpffi’ (q) е‘ях]. (3.5)
out	out	out
Отсюда найдем выражения для in- и out-операторов
‘pin (q) = i (2л)-а/г J dx (2д0)-'/‘е^хд0<р1П (x),	(3.6)
out	out
 ‘Pin (q)=—t(2jr)~’/2 \dx(2qo)~t,‘e’l9xdoq)in (x),	(3.7)
out	out
где, по определению,
лЗ;в = л^-в-(Ал)в.	(3.8)
270
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
Состояние а(+> (q)| 0), описываемое плоской волной, не норми-
руемо. Поэтому, строго говоря, следовало бы заменить плоские
волны нормируемыми волновыми пакетами. Мы, однако, не будем
делать этой замены в явном виде, а будем понимать плоские
волны как предельный случай соответствующих решений уравне-
ний Клейна —Гордона типа волновых пакетов. Тогда возможно
интегрирование по частям по пространственным переменным.
Введем обозначение
fq = (2ji)-’/»(29o)_,/^-z?Jc.	(3.9)
Подставляя (3.6), (3.7) в (3.3) и учитывая (3.9), найдем
S/z==— § dx dx'f*t (х')^> <р2, out | (<pout (x') (pm (x))| px, in) X
хДк(Д (З.Ю)
Асимптотическое условие. Выражение (3.10) можно преобразо-
вать дальше, если добавить еще асимптотическое условие. Оно
заключается в требовании существования взаимодействующего
оператора поля <р (х), называемого интерполирующим, такого,
что при произвольных (но фиксированных) нормируемых волно-
вых функциях IT) и |Ф) существует предел
lim <Y|^x(P(x)5(/q(x)|O) = <1F| $ dx<pout(x)^q(x)|O).
Xq—In
(3.11)
Как видно, асимптотическое условие требует, чтобы in- и out-поля
можно было получить из интерполирующих гейзенберговских
полей вполне определенным предельным переходом. Причем
асимптотические in- и out-поля обладают такими же свойствами,
как и поля свободных частиц.
Выражение амплитуды через интерполирующие поля. Практи-
ческая ценность асимптотического условия заключается в том,
что оно позволяет свести амплитуду, выраженную через асимпто-
тические in- и out-операторы свободных полей, к 'амплитуде,
записанной через интерполирующие операторы взаимодействую-
щего поля <р(х). Действительно, в силу условия (3.11) формула
(3.10), если оставить пока лишь оператор фш (х), запишется так:
S/z= lim i\dx(p2, q2, out | <р (х) 5</q, (х)| in). (3.12)
/—* —СО
Преобразуем это выражение к интегралу по четырехмерному
объему. С помощью тождества
-l-оо
§ dx § dxod0f (х) = § dxf (х) — § dxf (х)
—оо	/ = -[-оо	t =—со
§ 3. Выражение для амплитуды через коммутатор токов	271
вместо формулы (3.12) найдем
S/f = i dx<P2. ?2i out | <p (x)| pb in>d(/q1(*)l<-+oO-
/=-[-00
+°° ,,
— i \dx dxyd0 [<p2, q2, out | <p (x)| pb in> dofq, (x)]. (3.13)
— OO
Первый член, если иметь в виду (3.7), перепишется в виде
— i<p2, Q2, out 1 <jp£?t (Qi)| Pi, in)
пли, если учесть коммутационные соотношения для in- и out-one-
раторов и свойство стабильности одночастичных состояний, т. е.
|р, in)+ = (p, out |
<р2, q2, out | <pg+’t (q0| pi, in) = <p2, out | <ЙА (q2) Tout (qi)| Pi, in) =
= 6(qi-q2)<P2, out | px, in) = 6 (qx — q2) 6 (pi — p2). (3.14)
Дифференцирование по x во втором интеграле (3.13) приводит,
если учесть (3.8), к следующему результату
Ц-со
\dx 5 dxo[-fqi(x)5?(...> + <...)^qi(x)].	(3.15)
— ОО
д2.
Второе слагаемое в этой формуле после замены д„ ->	— р2
(р —масса мезона) и интегрирования по частям (« = (...)) пере-
пишется	так:
4"со	4-со
— ^dx J dxop-4”)/q. (*)- J dx0(...)~fqi(x) +
—co	—oo
*		+co
+	dx0^dx~(...)~fqi(x). (3.16)
—co
Производя в последнем члене (3.16) еще раз интегрирование
ио частям ^и=^(...)), получим вместо (3.16)
4-с°
§ dx dxofqt (х)	- р2) <-..)-
— ОО
+оо
- 5 ^о<--	(3.17)
— со
Второй интеграл в (3.17) равен нулю, так как получающаяся
и результате интегрирования функция при x->zhco обращается
в пуль.
Сумма первых слагаемых в (3.15) и (3.17) равна
\dxfq, (x)(LL — р2)(р2, <?2, out | <р (х)| pi, in),	(3.18)
272	Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
где □* = — до + э5-
С учетом (3.14) и (3.18) выражение (3.13) для амплитуды
приводится к четырехмерному интегралу
Sfl — 6 (qi — q2) 6 (Pi - Рг) iTfi — — i dx (ЕД — р2) х
Х<р2, Я2, out | <р (х)| in)fqi(x). (3.19)
Действуя тем же способом в случае двух мезонных операторов,
найдем, имея в виду (3.9) и опуская нормировочные множители,
выражение для амплитуды (3.10) в виде Т-произведения интерпо-
лирующих операторов мезонного поля:
Тп = dx dx'e1^*'-^ (ЕД — р-2) (ЕД' — p2) X
X (p2l out | T(p (x') <p (x)| pi, in). (3.20)
Тем же путем найдем для случая (3.4)
• Tfi = ^dv^dx'eitpiiV+‘i‘x’) — р2)(Пя—Ms) X
X <0, out | T(p (х')ф (0| pi, qlt in). (3.21)
Мы выбрали определенное направление времени (от — оо до Доз),
поэтому операторы <р (х) должны стоять в соответствующем порядке.
Так как, кроме того, операторы <р(х) не коммутируют, тр в фор-
мулы (3.20) и (3.21) введен оператор временного упорядочения Т.
Выражение амплитуды через Т-произведение токов. Преобразуем
правую часть равенства (3.20) к виду, содержащему Т-произве-
дение токов. Для этого надо подействовать оператором (ЕД —ц2)
^2
на оператор поля <р(х). Однако операторы и Т не коммути-
руют и это приводит к соотношению (2.15), гл. 6:
Т (<Р (х) <р (у)) = 1'6 (х- у) + Т <р (х) <р (0);	(3.22)
кроме того,
Й Т (<Р (х) <р (0) = Т <р (у)).	(8.23)
Учитывая' (3.22), (3.23), получаем
(□х - И2) Т (<р (х) <р (у)) = 18 (х-у) + Т (j (х) <р (0),
где (ЕД-"-р-2)<р(х) = /(х), / (х) — мезонный ток в представлении
Гейзенберга.
Аналогичным образом найдем
(□</ - р2) Т (j (х) <р (0) = Т (j (х) / (0) - 6 (х0 - у о) [/ (х), д0<Р (0]-,
(3.24)
,5 3. Выражение для амплитуды через коммутатор токов	273
если учесть, что f>(x0 — y0)[j(x), <р (//)]- = 0, так как согласно
условию причинности коммутатор двух эрмитовых операторов,
взятых в пространственно подобных точках (при х0 = у0), равен
нулю.
Подставив (3.24) в (3.20), получим искомое выражение для
амплитуды процесса рассеяния нейтральных мезонов через
Т’-ироизведение токов:
Tfi = $ dx J	<р2, out | T (j (x') j (x)) —
-6(x0 — xj)[/(x'), доф (*)]-1 Pi, in). (3.25)
Тем же способом получим для амплитуды (3.21)
Tfi = J dv J	x (0, out | T (j (x') J (v)) —
— 8(x'Q — v0)[j(x'), <Э(|ф (o)]_ | pi, qlt in>. (3.26)
Выражение для амплитуды через запаздывающий коммутатор
токов. В некоторых случаях в выражении для амплитуды удобно
перейти от Т-произведения к запаздывающему коммутатору токов,
который определяется следующим образом *>:
R [/ (х), / (х')]_ = 0 (х0 - х'о) [/ (х), / (х')]_ = 6 (х0 - х'о) j (х) / (х') —
— 6 (х0 — x'Q) j (х') j (х). (3.27)
Сравнение последнего с формулой, определяющей Т-произведение
Т (j (х') j (х)) = 0 (х’о — х0) / (х') j (х) + 6 (х0 — xj) / (х) / (х'), (3.28)
дает
Г (/ (х') / (х)) = R [/ (х'), j (х)]_ + / (х) / (х').	(3.29)
Последний член в (3.29) не вносит вклада в амплитуду рас-
сеяния в физической области значения импульсов и энергий
частиц. Действительно, если подставить (3.29) в первое слагае-
мое (3-25), то вклад от последнего члена (3.29) выглядит так:
^dx $ dx’ei^x'-‘>iK} (pit out | / (х) / (х')| ръ in),
пли, если ввести суммирование по полному набору промежуточ-
ных состояний,
^dx^dx'e1^-^^, out |/(х)|р„><р„|/(х')|Pi, in). (3.30)
Представив (р21 j (х)| Pi) в виде, который следует из трансляцион-
ной инвариантности в соответствии с формулой (4.3), гл. 1
<Ра I / W| Pi) = <Рг I J <0)1 Pi) е~^-Р^х,
{1 х> 0 -
о х < о’ откуда 6 (л)+е <— л)= 1.
274	Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
и подставив последнее в интеграл по х в (3.30), найдем
dxe~l^iX (pi, out | / (0)| рп) е1(Рг~Рп}к =
= (2n)4S(^1-pi! + p„)(p2, out | j (О)’, рп). (3.31)
Аналогичное "выражение получается и для .интеграла по х'.
Выражение для четырехмерной 6-функции 6 (<?10 — р20 р„0) 6 (qt —
— Рг + Рп) отлично от нуля, если pn0 = Pzo~qio или pn0=M — q10
(в системе координат, в которой р2 = 0 и р2П = М есть низшее
энергетическое состояние). Так как низшее значение ра0=М, то
соотношение рл0 = Рго — <7ю выполняться не может, и 6-функция
в (3.31) равна нулю.
Следовательно, Т-произвгдение токов в физической области
можно заменить /^-произведением токов и с помощью (3.25) записать
выражение для амплитуды Tfi через запаздывающий коммутатор
токов (в представлении Гейзенберга):
Tft — ^dxdx'e1^-^^, out | R [/’ (х'), /(х)]_ —
— 6(xo-x0)[/(x'), <Эоср (х)]_ | ръ in). (3.32)
Подобным образом для амплитуды (3.26) получим выражение
Tfi = J dv dx'e^^+PiV) ouf । |y , jjy)]_ —
-6(4-u0)[/(x'), doi|>(v)]-|Pi, qi, in). (3.33)
Трансляционная инвариантность. Наконец, перепишем выра-
жение (3.32) в другой форме, используя условие трансляционной
инвариантности. В соответствии с формулой (4.3), гл. 1 при
сдвиге координат на величину а коммутатор, входящий в (3.32),
преобразуется к виду
<р2, out |[/ (х')> /(%)]- |pi, in)=e-f<P«-P*>a х
Х<р2, out |[/ (х' + а), j(x + a)]_lplt in).
Если выбрать х= — а, то (3.32) перепишется так:
Tfi = \dze	) dye	2 x
X <p2, out 16 (y0) [/ (y), j (0)]_ — 6 (y0) [/ (y), doq (0)]_ | Pi., in),
где y = xt — x и z = y (x'+x). Как. видно, переменные у и z
разделились. После интегрирования по z выражение (3.32) для
амплитуды принимает вид
Тп = (2л)4 6 (pj + - р2 - q^Mti,
$ 4. Спектральное представление запаздывающего коммутатора токов 275
где
у	'
Mf/=5^/u,+?i+p,“P!)2<p2, outie(y0)[/(y), /(0)]_+
+ 8(y0)U(y), доф(0)]-|Р1, in>= (3.34)
=	/р2, out 16 (х0)	/(-у)] +
+ 6W[y(i). Дф(-|)].|р„ in>. (3.35)
Аналогичным образом запишется выражение для амплитуды
(3.33) (в представлении Гейзенберга):
Tfi = (2л)46 (Pi 4-qj. - р2 - У2)Мп,
где
Mfl = dxe (Р2 Ps>7 /0, out | 6 (х0) [/ 0^, J ( — уУ| +
+ б(*о)[/[у), Дф(-in/-' <3-36)
Редукционные формулы. В общем случае Т-произведение опе-
раторов, входящее в выражение (3.20) для амплитуды, содержит
несколько интерполирующих <р(х) и асимптотических фи, опера-
торов. Действуя изложенным выше способом, с помощью асимпто-
тического условия все ф!П-операторы поля можно свести (реду-
цировать) к ф-операторам поля и тем самым выразить амплитуду
через операторы интерполирующих полей. Получающиеся фор-
мулы называются редукционными.
§ 4. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕГО КОММУТАТОРА
ТОКОВ (ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОСТА — ЛЕМАНА — ДАЙСОНА)
Рассмотрим матричный элемент f(x) коммутатора двух опе-
раторов тока в представлении Гейзенберга:
Нх)=<р2|[/1(|), /2(-|)]_|р1>.	(4.1)
Его Фурье-образ f(q) выглядит так:
f{q) = \dxe**f(x).	(4.2)
Найдем представление для f(q), удовлетворяющее требованиям:
1) спектральности и 2) причинности (такое представление было
найдено Йостом, Леманом и Дайсоном).
Согласно условию причинности коммутатор операторов токов
должен обращаться в нуль вне светового конуса:
f(x) = O для х2 = Хо — х2 < 0.	(4.3)
276
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
Условие спектральности заключается в том, что существуют
физические состояния только с полным времениподобным вектором
энергии-импульса (р2>0), временная компонента которого поло-
жительна (ро>0), т. е. существуют лишь такие физические
состояния, векторы которых лежат внутри светового конуса.
Условие спектральности исключает из рассмотрения нефизическпе
(«призрачные») состояния (например, с мнимой массой).
Выясним сначала, какие ограничения накладывает на (4.2)
условие спектральности. Коммутатор (4.1) можно представить
в виде
f(x) = f1(x)-f2(x),	(4.4)
где, если учесть формулу (4.3), гл. 1,
fl (х) = <р2 | /! (у) /2 ( - 4) I	= 2 <р2 I Ь X
|РЛ>
X {Рп | /2 (0)1 А> e~iPnX+t{P1+Р*} % = 2 Gr (Рп) e~iPnX+‘(Р1+Рг) t (4.5)
рп
f2 (х) = <р2 | /2 у) ]\ (у) | Р1) =
= s <Р21 /2 (0)1 РпХРп | !1 (0)1 Pl) etPnX~t(P1+p^ =
Ю
(4.6)
ря
здесь рп — промежуточные физические состояния, образующие
полную систему.
После суммирования по всем состояниям с фиксированным
импульсом рп выражения (4.5) и (4.6) перепишутся следующим
образом:
fi (х) = dqe~iQxe (Р1+Р£> 2 G± (q) =
= Jd<7e-^G1(<7 + y(Pi+p2)), (4.7)
h (x) = § dqer^xG2 ( - q + у (px + Рг)) •	(4.8)
Согласно условию спектральности функции Gt (рп) и G2 (рп) для
физических состояний равны нулю, когда импульс лежит вне
светового конуса будущего. С другой стороны, Д (х) и /2 (х)
выражаются через их фурье-образы f±(q) и f2(q) так:
Л= W S	(?) •	(4.7')
(х)= W S	(?)•	(4-8')
# /. Спектральное представление запаздывающего коммутатора токов 277
111 сравнения формул (4.7) и (4.7') следует считать, что фурье-
пбраз ft{q) равен нулю, когда вектор ~ (pi + рг) + <7 не является
импульсом физического состояния, т. е. когда вектор у (pi + p2) +
| </ лежит вне светового конуса будущего. Аналогично, сравни-
вая (4.8) с (4.8'), видим, что фурье-образ fz(q) равен нулю, когда
вектор g-(Pi + Рг) ~ <7 лежит вне конуса будущего. Конкретнее,
фурье-образ fi(q) отличен от нуля только тогда, когда вектор
2 (Р1 + Р2) + <? есть 4-импульс такого состояния \pni), что
</’21Л (0)1 Р„1>	0, <рп11 /2 (0)1 Р1) ф 0,	(4.9)
а фурье-образ Д(<7) отличен от нуля только тогда, когда вектор
!, (Р1+Р2) —<7 есть 4-импульс такого состояния Jp„2), что
<Рг I /2 (0); рпг) =# 0, (рпг | /1 (0)| рх) #= 0.	(4.10)
Пусть т1 — наименьшее значение массы для состояний, удовлет-
воряющих условию (4.9), а т2 —условию (4.10). Тогда из усло-
вия спектральности следует, что* фурье-образ f (q) коммутатора
токов f (х) обращается в нуль, если одновременно выполнены
условия:
1	Г1
2 (Pio + Pso) + <7o<0» ^(Pi + PbJ + ^J <«1,
1	г 1	1а
2-(Pio + P2o) -?o<0, [2’(Р1+Р2)-<7] <т\.
(4.И)
11анример, в случае рассеяния псевдоскалярных мезонов на нукло-
нах m1 = 3p., tri2 = M-}-p,; если мезоны скалярные, то т1 = 2р,1
/н2 —М + р.
Для дальнейшего удобно преобразовать (4.11) к другому виду.
Введем систему координат, в которой у(Р1 + Рг) = (р> 0. 0, 0).
В этой системе Д (<7) =# 0, если (qo + po)^0 и (<7о + Ро)2 — q2
т. е. внутри гиперболоида ab (рис. 7.1, а). Другими словами,
у, (г/) = 0, если q0<Z — Po+lA^ + ^i- Подобным образом, f2(q)^=Q,
если (Ро —<7o)Ss0 и (р0 — g0)2^qa + ffll, т. е. внутри гипер-
болоида cd или /2 (<?) =0, если q0 > р0 — У"ч2 + т2. Таким образом,
вспедствие спектральных условий фурье-образ f (q) = Д (q) — f2 (q)
равен нулю, если
Po-l/q2 + «2<?o<-Po + l/q2 + mb	(4. П')
278	Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
т. е. вне двух гиперболоидов ab и cd, изображенных на рис. 7.1, а.
Если Ро>—Чг~2» то гиперболоиды пересекаются, при р0 <	—
не пересекаются.
Найдем функцию f(q), удовлетворяющую условиям (4.3) и
(4.11). Идея метода сводится к следующему. Введем функцию F (г),
зависящую от шести переменных, и, используя принцип причин-
ности, найдем связь (4.12) и (4.13) между F (г) и функцией f (х)
четырехмерного пространства-времени, а также покажем, что
фурье-образ F(r) функции F (г) переходит в фурье-образ f(q)
функции f (х), если приравнять нулю пятую и шестую компоненты
шестимерного импульса г —см. формулы (4.14) и (4.14?). Далее
установим, что'/7 (г) удовлетворяет шестимерному уравнению (4.16).
Затем найдем решение шестимерного уравнения и положим рав-
ными нулю пятую и шестую компоненты импульса г. В резуль-
тате получим выражение для искомой функции f (q), которое
запишется в виде пятикратного интеграла (4.18), содержащего
неизвестную ( уякцию <р (и, х2). Наконец, используя условие
спектральности (4.11), определим область, вне которой неизвест-
ная функция ф(и, х2) обращается в нуль. (Заметим, что увели-
чение числа измерений, благодаря принципу причинности,
является несущественным и делается ради удобства).
1.	Обозначим через z 6-вектор (z0 = x0, z1 = x1, z2 = x2, z3~
= x8, г^ = уи гъ = у2), а через г 6-вектор (го = <7о> ri = <7i, r2 = q2,
r3 = q3, r^qt, r5 = q6). Метрику в выбранном 6-мерном прост-
ранстве определим так: z-z = z2 = x2 — у2 = х$ — xf — х| — xf — у] —
—у1-
Рассмотрим функцию F (г), которая определена через функ-
цию f (х) 4-мерного пространства,
F (z) = 4nf (х) 6 (х2 — if) = 4 л/ (х) 6 (z2).	(4.12)
f 4. Спектральное представление запаздывающего коммутатора токов ‘279
Из (4.12) видно, что F (г) отлична от нуля только на световом
конусе 6-мерного пространства г. Из выражения *>
§ § dyi dy2 F (г) = 4л/ (х) 2л dy2 6 (х2 — у2) =
—со —оо	О
о о (4л2/ (х) при х2 О,
= 4л2/(х) 6 (х2) = <
[ 0 при х2<0,
следует, что если /(х) равна нулю при х2<0 (условие причин-,
пости), то функции F (г) и f(x) определяют друг друга, так как
функцию f (х) можно получить путем интегрирования функции F (г):
4’00	оо
f(x)=4^- $ dy1dyiF(z)=±^dy2F(z).	(4.13)
— со	О
2.	Обозначим через q 6-вектор (q0, qlt q2, q3, 0, 0), а через
/'(/j фурье-образ функции F (г):
F(r) = ^ d6zeirzF (z).
Подставляя выражение (4.12) для F (г) в последнюю формулу,
получаем связь между функциями F (г) и f(q):
ш=w S (z2) S dqer~ih f (<7)=
-7^	d6zel’(r-^26(z2)f(9)c!<7= dqD^r-q) f (q), (4.14)
(XJI/ J J	J
где
Di (r) = тА» d6zeire8 (z2) = rU,	(4.15)
’	(2л)5 J	' ' л3 (г2)2’	'	'
причем (г) — четная инвариантная функция в 6-пространстве.
Из формул (4.2), (4.13) и (4.14) следует связь между функ-
циями F[q) и /(<?):
( F (q) = deze^z 4л6 (х2 — у2) f (х) =
= лdxe^inti (х2) f (х) — (2л)2 f (q), (4.14')
т. е. согласно принципу причинности (/(х),^0 при х2<0), функ-
ция F(q) равна (2л)2 f(q).
3.	Из выражения (4.15) видно, что £>i(r) удовлетворяет вол-
новому уравнению в шестимерном /--пространстве
□ ^(4 = 0,
*’ Учтено соотношение j dy26 (х2—y2) — G (л2),
о
280
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой гТеории поля
где Об = ~	. Тогда из (4.14) вытекает, что/7(г) также
дг» j=tdrj
удовлетворяет шестимерному волновому уравнению:
□ eF(r) = 0.	(4.16)
Таким образом, если функция f (х) равняется нулю вне све-
тового конуса, то ее четырехмерный фурье-сбраз f (q) может быть
получен из решения шестимерного волнового уравнения (4.16).
4.	Воспользуемся тем, что решение F (г) уравнения (4.16)
можно представить в виде
F (Г') = $ d Sa [F (Г)	— D(r—f) та],	(4.17)
т. е. решение выражается через заданные на пространственной
поверхности значения самого решения F (г) и его нормальной
производной -£-F(r), а также через функцию D(r). Последняя
С'Г a
удовлетворяет однородному уравнению □ вП(г) = 0 и начальным
условиям
П(го = 0, гь г2, г3, г4, гв) = 0 и д£\	= П6(г,).
Чтобы выполнялось первое условие, функция D (г) должна быть
нечетной. В явном виде она выглядит так:
D (г) = J d°zer<”e (z0) 6 (z*) = e (r0) S' (r*).
Интегрирование в (4.17) производится по пятимерной про-
странственноподобной поверхности 2, определяемой уравнением
Го = /(Г1, г2, r3, rt, r5); d£a — обозначает элемент поверхности 2],
/три этом нормальная производная («градиент») к поверхности У}
определяется следующим образом:
д—	dr!... dr6 +"...+ Л dr о... drt.
дга " ог0	в 1	1 дгъ °	4
Поскольку /*'(?)= (2л)2 f (^), то, заменяя в (4.17) г на q, получаем
интегральное представление для фурье-образа f(q) функции /(х),
которая равна нулю вне светового конуса
/(«) = (i $ rfb[F(r>£o(r-$)-o(r-i)^]. (4Л7)
Ё
В этом выражении поверхность 2 произвольна. Предположим,
что она не зависит от координат г4 и гъ. Тогда соответствующие
производные выпадают и она перепишется в виде
Д dS = ^- d'Zj drt dr6 = n~ d£j dv\ v? = rl + rl.
£ 4. Спектральное представление запаздывающего коммутатора токов 281
Здесь
2, 3,
2/ — поверхность в четырехмерном пространстве, / = 0, 1,
д
ч-— нормальная производная к ней:
Д ^2/ = dti drzdr3+... + — dr0 d^ dr2,
которая, если перейти от переменных (r0, rlt r2, r3, rit г3) к пере-
менным (и0, Ui, и2, и3, «4, «§), перепишется в форме
т~ d^ii — J— du.! du2 du3 4-... 4- 5— dju0 dur du2.
uUt ' OU0	t/tZg
С учетом последнего и явного вида функции D(r) будем иметь
вместо (4.17')
+=°
f (<7) = w S j dz2 г (и’z2)i х
О
х [е («о - <7о> 6 ((и — q)2 - х2)] - е (ы0 - q0) 6 ((и - q)2 - х2)д-
Далее, имея в виду (4.1 Г), предположим, что поверхность £,•
не зависит от координат иъ и2, и3, тогда соответствующие производ-
ные в выражении ~ d£j выпадают и оно перепишется так:
f = (2^ $ du dz2 {F ^и' [e ~	6	~ ?)2 ~ z2>] ~
- e (u0 - q0) S ((« - q)2 - x2) ~ F (u, x2)|,
или после интегрирования по частям по и0
f (q) = du dx2e (q0 — u0) 6 ((q — и)2 — x2) ф (u, x2),	(4.18)
2 Л
где Ф(Щ x2)= -—g-F(u, x2).
Так выглядит спектральное представление фурье-образа коммута-
тора токов-, оно записывается в виде пятикратного интеграла и
содержит неизвестную функцию ф(и, х2).
5.	Условие спектральности (4.11') определяет область, вне
которой ф (и, х2) обращается в нуль. Найдем эту область. Пусть
/? —область в ^-пространстве (рис. 7.1,6), ограниченная двумя
пространственноподобными поверхностями ab и cd, которые
определены формулой (4.1 Г). Вследствие (4.1 Г) в области R
имеем f (q) — 0.
Введем далее гиперболоид
(<7-и)2-х2 = 0.	(4.19)
Его верхняя полость в ^-пространстве проходит выше 'ab, а ниж-
няя—ниже cd (на рис. 7.1,6 области с двойной штриховкой).
В «-пространстве (4.19) образует область S. Допустим, что
282
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
области R и S не пересекаются. Тогда для q, лежащих в R, и
для и, лежащих в 5, функция 6 [(</— ц)2 — х2] обращается в нуль,
а следовательно, обращается в нуль, если иметь в виду (4.18),
и функция f(q). Отсюда согласно (4.18) следует, что в случае,
когда области R и S не пересекаются, функция ф(Ц, х2) может
обращаться в нуль для значений и, лежащих вне S.
Найдем конкретный вид области, вне которой ф (и, х2) равна
нулю, исходя из условия, что области R и S не пересекаются.
Из (4.19) определяем, что ^0 = ц0±]/(q — u)2 + x2. Сравнивая
последнее с (4.1 Г), находим, что области R и S не пересекаются,
если
«О + У (q — U)2 + X2 S& — Ро + Т/q2 + ml,
и0 — У (q—и)2 + х2 < р0 — j/q2 4-
или если
и0 > max ( - pD + /q2 + mi - /(q - и)2-ф х2),
q
min (р0 -l/q24-ml -ф ]/ (q -u)2 + х2).
q
(4.20)
(4.21)
Приравнивая нулю производную по q от выражения в скоб-
ках в (4.20), определим его экстремум (х^О)
mpi
mi — х ’
(4.22)
Если > х, то вектор q параллелен вектору и, и значению
(4.22) соответствует максимум (4.20); следовательно,
н0> — Ро + Ни2 + (/«1 — х)2 при mi>x>0.	(4.23)
В случае v.>m1 значению (4.22) соответствует минимум (4.20).
Других экстремальных точек при конечных значениях q нет.
Второй экстремум выражения в фигурных скобках (4.20) дости-
гается при q = 'Zu, когда Л->оо. В этом пределе выражение
в скобках в (4.20) принимает значение ]и| — р0, которое при х>
>тх является максимумом, т. е.
Uo > | U I — р0 при X > /Их.	(4.24)
Аналогичным образом получим из условия (4.21)
«о < Ро — V u2 -ф (т2 — х)2 при х<т2,
«о<Ро — |и| при х>т2.
(4.25)
Собирая результаты, вытекающие из (4.23)—(4.25), найдем не-
равенства, определяющие область, вне которой функция ф (и-, х2)
f 4. Спектральное представление запаздывающего коммутатора токов 283
равна нулю:
+	—х)2 - ро < «о <Ро — Kua + (/n2-x)s
при 0<х</П1,
Г___________ (4.26)
| u | —Ро<«о<Ро — Vu2 + (fri2 — х)2 При m1<x<m2,
|u| —Ро<«о<Ро —lu| при х>/п2.
Более удобна запись области в другой форме, в которой пре-
делы интегрирования по и0 и и не зависят от х:
|и |-р0<«о<Ро-1и |; |и|<р0
x=s max {О, tn2 — V\u0 — р0)2 — и2, пь — К(«о + Ро)а — и2}.
В релятивистски инвариантной форме эта область запишется
и виде
а)	векторы y(Pi + p2) + « и (рх + р2) — и лежат в световом
Конусе будущего,
б)	x^max^O, mi — j/~(P1^P24~ ЫУ>
<4-28)
Таким образом, если функция f(q) равна нулю в области (4.11')
п ее фурье-образ f(x) равен нулю вне светового конуса, то для
/ (q) существует представление (4.18), причем функция <р(н, х2)
равна нулю вне области (4.28), а в остальном произвольна.
6. Наконец, рассмотрим запаздывающий коммутатор токов
Ir (х) = 6 (х0) f (х) = <р216 (х0) [/(у), / ( - у)]_ | Pi>.
Его фурье-образ выглядит так:
к (?) = $ dxe-igxfn (х) = $ dxe'^S (х0) f (х).	(4.29)
Йайдем из (4.2) функцию
f W ~ 72HF S dq'e~iQ Xf
подставим ее в (4.29):
M?)=-(£04 J dq'f(q') J dxe'<’-’'>*e(xo)
п учтем, что
q)x
dxoe1 ~ч'У*6 (x0)  ---- . 
284
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля
В результате будем иметь
М<7) = ~Im<7o>O.
ZJU J q0- (fo
Подставив сюда (4.18), получим

ОО
х drfe (q’o — м0) 6 [(<?J — Mo)2 — (q — u)a — x2] <p (m, x2). (4.30)
0
Вычислим интеграл no dqG. Для этого воспользуемся формулой
р (X) б (/ (х)) dx = 2	,
в которой xj —корни уравнения f (х) = 0. В данном случае корни
определяются уравнением (q'Q — м0)2 — (q — и)2 — х2 = 0 и равны
^ = Mo±[(q — u)2 + x2]V2.	(4.31)
Заменив в (4.30) q'o его выражением (4.31) и разделив полу-
ченный результат на
[(Й - н0)2 - (q - и)2 - х2] l,j=„0±[(q _U)S +и>] 1/2 =
= 2 (q'o - по) = ± 2 [(q - и)2 + х2] V2,
окончательно найдем спектральное представление фурье-образа
запаздывающего коммутатора токов в представлении Гейзенберга:
f „ (п) = ± f du Г dx2 /____в[/(д-и)2+х2]<р(ц, х2)
, 2п '	Ч'Ло—%+[(Ч—«)В+х2]1/2} 2 [(q—u)2+x2]1/2
.	e[—}^(q—u)2-|-x2] <p'(u, x2)	\
+ {«o-9o-- [(q-u)2 + x2]V2} {2 [(q_u)2 + x2]1/2}/ ~
= JL C du C dx2 и2)
2ra J aU J (q-uf-v? ’
(4.32)
Часть III
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АДРОНОВ
Все процессы с участием адронов можно разделить на две
группы: 1) с участием только адронов, 2) с участием фотонов и
адронов или лептонов и адронов. Эти процессы обусловлены
сильным, электромагнитным и слабым взаимодействиями. Для
первой группы процессов вклады электромагнитного и слабого
взаимодействий малы, и мы их учитывать не будем. Для вто-
рой группы процессов необходимо учитывать не только сильное,
по и электромагнитное (для фотонов и заряженных лептонов),
и слабое (для нейтральных лептонов) взаимодействия.
Сначала (гл. 8—12) мы рассмотрим процессы с участием
только адронов, а затем (гл. 13) остановимся на процессах
с участием фотонов и адронов, а также лептонов и адронов. Для
анализа всёх этих процессов теория возмущений не применима,
поэтому используются методы, основанные на аналитичности и
унитарности. В гл. 8 излагается способ построения амплитуд
процессов с учетом требований инвариантных свойств. Затем
(гл. 9) добавляются аналитичность и унитарность и выписываются
одномерные и двойные дисперсионные соотношения. Далее (гл. 10)
устанавливаются аналитические свойства амплитуд. Эти свойства
используются как для обоснования одномерных дисперсионных
соотношений, так и для исследования асимптотических
свойств амплитуд (гл. 11). Наконец (гл. 12), с помощью метода
комплексных моментов получается асимптотическое выражение
для амплитуд.
х	Г лава 8
АМПЛИТУДА ПРОЦЕССА. КИНЕМАТИКА
§ 1. ИНВАРИАНТНАЯ СПИНОВАЯ СТРУКТУРА АМПЛИТУД
Метод построения. Рассмотрим процесс
14-2->34-4,	(1.1)
в' котором две стабильные частицы сталкиваются и превращаются
п две другие частицы. Такой процесс можно изобразить схемой,
представленной на рис. 8.1, причем ри р2, р3, р4 — четырехмер-
пые векторы энергии-импульса частиц, a mi, m2, m3, m4 —их
массы.
286
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Согласно определению выражение для амплитуды или матрич-
ного элемента S-матрицы процесса (1.1) записывается так*’:
5// = ФГ5ФГ = <Ф"|5|Ф7>,	(1.2)
Нопромение Времени
Рис. 8.1. Схема про-
цесса с участием
четырех частиц
где ФГ и Ф" - волновые функции начального и конечного состоя-
ний реакции (1.1).
Если все взаимодействия «выключены», то S-матрица рассея-
ния будет единичной, так как при этом начальные и конечные
состояния одинаковы. Поэтому S-матрицу рас-
сеяния можно представить в виде
S = / + iT.	(1.2')
Матрица Т отлична от нуля лишь в том слу-
чае, когда происходит рассеяние.
Если учесть закон сохранения энергии-
импульса
Р1 + Р2=Рз + Р4,	(1.3)
то выражение для матричного элемента оператора Т можно за-
писать и так:
Tfi = (2л)4 б (р3 + р4 - Pi — р2) Ми.
(1-3')
В дальнейшем величину Mft будем называть амплитудой про-
цесса и индексы f и i для краткости будем- опускать.
Выясним, от какого числа независимых переменных зависит
амплитуда процесса (1.1). Из закона сохранения энергии-импульса
(1.3) следует, что независимыми являются лишь три вектора
энергии-импульса; кроме того, предположим, что частицы лежат
на массовой оболочке, т. е. их импульсы удовлетворяют соотно-
шениям
Р1=/П1, p| = ffl|, Рз = т5, pl = ml.
(1.4)
Из релятивистской инвариантности следует, что амплитуда может
зависеть лишь от релятивистских инвариантов, т. е. от скаляр-
ных произведений четырехмерных векторов pi, р2, Рз, Pt. Всего
различных попарных произведений из этих векторов можно обра-
зовать десять. Но четыре из них согласно (1.4) —постоянные,
а не переменные величины. Кроме того, умножая (1.3) последо-
вательно на рх, р2, Рз, pt, получим еще четыре соотношения
между скалярными произведениями векторов. Таким образом,
амплитуда изучаемого процесса на массовой оболочке зависит
*) Пока выражения для амплитуд даются без учета нормировки волновых
функций; нормировка будет учтена при вычислении дифференциальных сечений.
,ф’ 1. Инвариантная спиновая структура амплитуд
287
от двух инвариантов *5. Обычно в качестве инвариантов выбирают
такие:
s = (Pi + Рг)2 = (Рз + р4)2;	(1.5)
/ = (Р1-Рз)2 = (Р2-Р4)2.	(1.6)
11оэтому амплитуду будем записывать в виде М (s, /). Так как
частицы в начальном и конечном состояниях —свободные, то вол-
новые функции начального и конечного состояния представляют
собой произведение волновых функций частиц, образующих на-
чальную или конечную систему реакции (1.1):
Ф/ = Ф (Pi) Ф (Рг), Ф/ = Ф (Рз) Ф (р4).
Тогда выражение для амплитуды процесса выглядит так:
М (s, 0 = Ф+ (р4) Ф+ (р3) (S — /) Ф (р2) Ф (Р1),	(1.7)
и для дифференциального сечения —
da = № j- |М р	(2л)* б (Р1 + р2 - Рз - р4),	(1.7')
где Nc = г 1	— нормировочный множитель.
УЪр^р^р^Ры
Найдем сначала выражения для амплитуд процесса (1.1), ко-
торые'удовлетворяют требованиям только релятивистской инва-
риантности и инвариантности относительно инверсии простран-
ства, а затем учтем требования инвариантности относительно
шрядового сопряжения и обращения времени. Для этого надо
построить из матриц у (в случае наличия фермионов), а также
из волновых функций Ф, векторов энергии-импульса р и поля-
ризаций g частиц, которые входят в реакцию (1.1), выражения,
инвариантные относительно указанных преобразований. Такие
выражения будут скалярами, так как именно скаляры удовлет-
воряют одновременно требованию релятивистской инвариантности
и инвариантности относительно инверсии пространства.
Рассмотрим в качестве примера процесс упругого рассеяния
псевдоскалярных л-мезонов на нуклонах:
л (?i) Н-(Pi) ~11 (9г) Н-(Рг).	(1.8)
11усть (Р1), и(+) (р2), ф (qi) и ф (q2) — волновые функции началь-
ного и конечного нуклонов и л-мезонов**5 (спиновый индекс г
*’ Вне массовой оболочки амплитуда зависит от большего числа пере-
менных.
• * > В теории взаимодействия адронов часто используется другое обозначе-
ние спиноров, которое связано с нашим следующим образом: о{.-’ (р) = и (р),
f’J." (р) = й (р), ^'г1 (p)~v (₽)• ^г~’ (р) = ® (Р)> т. е барион описывается волно-
вой функцией и(р), а антибарион — волновой функцией v(p).
288
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
у волновых функций нуклонов мы будем опускать). Вследствие
закона сохранения (1.3) независимых будет три импульса, в ка-
честве которых выберем qlt q2 и pt. Согласно (1.7) амплитуда
рассматриваемого процесса будет такой:
М (s, t) = {б,+) (р2) Оо1-> (pi)} ф (qr) ф* (q2).
Так как ф (qr) ф (q2) — скаляр, то, чтобы амплитуда в целом
была скаляром, надо фф умножить на скаляр 0(+) (р2) 0v{~) (pi),
который можно образовать из волновых функций нуклонов
матриц у и независимых импульсов частиц. Из перечисленных
величин можно образовать довольно большое число скаляров,
например:
й1+) (р2) о<-> (Р1), ©)+> (р2)	(pi), 0(+’ (р2) /зд^1-) (pi),
(р2)	(Pi), й(+) (р2)	(Pi) и т. д. (1.9)
Однако не все из этих комбинаций независимы. Например, третья
комбинация сводится к первой: й(+) (р2) рх^уцИ1-’(рх) = М01+) (р2) X
хи1"’ (pi), ибо согласно уравнению Дирака рщУцП1-) (pi) = Mo(-)(p1).
Поскольку q2 = Pi + qi — р2, то для четвертой комбинации найдем
Э'+) (Рг) (Р1) = °'+) (Рг) (Л + 91 “Рг) (Pi) =
= 2М0<+) (рг) (pj + 0l+) (р2) ?ipTtln(-) (pi),
т. е. она сводится к первой и второй комбинациям в (1.9).
Для того чтобы воспользоваться уравнением Дирака, про-
коммутируем в последнем слагаемом (Г.9) операторы pY и р2,
имея в виду, что 7>db =— bd-j- (ab). В результате получим,
что последняя комбинация в (1.9) сводится к первой:
б'+) (Рг) АЙ#-’ (Р1) = б(+) (Рг) [— Р2Р1 + 2 (PiP2)]	(pi) =
= [М2 + 2 (pip2)] 0<+) (р2) сД-) (р2).
Как видно, возможны два типа комбинаций: сводящиеся и несво-
дящиеся к другим. Естественно, в выражение для амплитуды
должны входить те комбинации, которые не сводятся к другим.
Указанным способом можно убедиться, что для процесса (1.8)
существует две независимые комбинации. Выберем их в форме
0t+) (р2) ^-’{р!) и 0(+) (р2) 91О(_) (рх). Тогда релятивистски инва-
риантное и инвариантное относительно инверсии пространства
выражение для амплитуды рассматриваемого процесса запишется
в виде
M(s, ty-T^s, 0^+)(Рг)^~)(Р1)ф(91)ф*(9г) +
+ Т2 (s, t) 0l+) (р2) q^ (рх) ф (qx) ф* (q2).
Здесь Ti (s, f) — произвольные инвариантные функции перемен-
ных s и./.
§ 1. Инвариантная спиновая-структура амплитуд
289
В рассматриваемую реакцию входят две тождественные частицы
(начальный и конечный нуклон или мезон), поэтому возьмем
вместо qv комбинацию Q = ~ (<7i + <?2)> симметричную относительно
импульсов обоих мезонов (см. подробнее § 6). В этом случае
M(s, t) = 7\(s, /)	(р2) о(-> (Pi) Ф (qi) ф* (q2)+
+ T2(s, /)5(+’(p2)Qo(-’(p1)$(q1)$*(q2). (1.Ю)
11оследнее выражение можно записать следующим образом:
М (s,
I) = 1Й+) (р2) То1-’ (pr) (р (qr) <р*
= iA+> (р2)
" 2
S Ti(s> №
u = i
(q2) =
^_>(pi)$(qi)$*(q2), (1.П)
где Ri — соответствующие инвариантные спиновые комбинации:
Af,= l, R2 = Q. Подчеркнем, что хотя число независимых инва-
риантных комбинаций для данного процесса строго фиксировано,
выбор конкретного вида спиновых комбинаций не однозначен.
Из приведенного примера видно, что для нахождения инва-
риантного выражения для амплитуды фактически надо знать:
I) сколько независимых инвариантных комбинаций можно по-
строить для данного процесса, 2) каков конкретный вид этих
комбинаций. Поэтому к задаче построения инвариантного выра-
жения для амплитуды можно подойти по-другому: сначала сосчи-
тать, сколько имеется независимых инвариантных комбинаций
для. изучаемого процесса, а затем найти их конкретный вид.
Для подсчета числа независимых инвариантных комбинаций
воспользуемся законами сохранения момента импульса и четности.
Рассмотрим начальное состояние процесса (1.8). Если полный
момент начальной системы равен J, то орбитальный момент ме-
юва I принимает два значения: I — Jи 1= J —112. Из закона
сохранения момента импульса и четности следует, что в данном
случае разрешены два перехода между состояниями:
+	+ l =	=	(1.12)
Следовательно, в амплитуду процесса (1.8) действительно войдут
две независимые комбинации.
Таким образом, для того чтобы определить число возможных
независимых комбинаций, релятивистски инвариантных и инва-
риантных относительно инверсии пространства, надо найти число
переходов процесса, допустимых законами сохранения момента
н-миульса и четности. Если в реакции участвуют тождественные
частицы, то выражение для амплитуды следует записать в виде,
симметричном относительно импульсов тождественных частиц.
Как видно, инвариантная структура амплитуды процесса опре-
деляется спинами и внутренними четностями частиц.
10 Нелина Н. Ф.
290
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Инвариантность относительно зарядового сопряжения. Как
показывает опыт, для процессов, обусловленных сильными взаимо-
действиями, существует инвариантность относительно зарядового
сопряжения.
Выясним, какие ограничения на амплитуду процесса нала-
гает требование инвариантности относительно зарядового сопря-
жения. Напомним, что упругим называют процесс, у которого
частицы начального и конечного состояний одинаковы; например,
рассеяние л-мезонов на протонах л	л+р->л+р, рассеяние
электронов на протонах	и т. д. Если же в конечном
состоянии образуются другие частицы по сравнению с началь-
ными, то процесс называется
Рис. 8.2. Схема процесса: а—до за-
рядового сопряжения, б—после заря-
дового сопряжения
неупругим', например, рассеяние
л-мезонов на нуклонах с об-
разованием изобары n,N->n,N*
и т. п.
Для неупругих реакций ис-
ходный и зарядово сопряжен-
ный процессы различны. В
этом случае требование инва-
риантности относительно заря-
дового сопряжения приводит
лишь к связи между Этими
амплитудами и, естественно,
различными процессами и их
дополнительных ограничений на
амплитуду не накладывает.
Иной будет ситуация для упругих процессов. Чтобы в этом
убедиться, удобнее рассмотреть вместо упругой реакции 1+2->
->1' + 2' (рис. 8.2, а) реакцию 24-2'1 + 1' (рис. 8.2,6) (тре-
тий канал исходного процесса —см. § 6), у которой электриче-
ский заряд начального и конечного состояний равен нулю; на-
пример, вместо л+р->л+р рассмотрим л+л_->рр и т. п. Для
йейтральных реакций такого типа исходный и зарядово сопря-
женный процессы совпадают (частицы и античастицы — тождест-
венные в обобщенном смысле). Тогда из требования инвариант-
ности относительно зарядового сопряжения вытекает, что выраже-
ния для амплитуд обеих реакций должны быть одинаковыми.
Поэтому_те из инвариантных комбинаций, которые при зарядовом
сопряжении меняют знак, следует отбросить. Тем самым требо-
вание инвариантности относительно зарядового сопряжения может
привести к ограничениям на амплитуды некоторых (не всех)
упругих процессов 1 + 2—>-Г + 2'. Для нахождения этих огра-
ничений установим, как преобразуется выражение для амплитуды
процесса (причем за исходную можно выбрать либо реакцию
l-j-2->1'4-2', либо 2 + 2'->1 + Г, так как они простым обра-
зом связаны друг с другом).
При зарядовом сопряжении процесс с частицами переходит
в процесс с античастицами. Любую входящую линию на рис. 8.2, а
1. Инвариантная спиновая структура амплитуд 	291
можно рассматривать (не изменяя стрелки) как частицу в на-
чальном или античастицу в конечном состояниях, а каждую вы-
ходящую линию —как конечную частицу или начальную анти-
частицу. Поэтому амплитуды реакций 1Ц-2->-1' + 2' и 1+2->
- ► 1' + 2' будут связаны так:
М (р(,	== $ eipfy Ф1 (pt) <М (у, х) ё~ ipix Ф (pi) dx dy ->
-> [е“ 1р‘хФ (pt)]c М (х, у) \elpfv ф+ (Р/)]е dx dy. (1.13)
Если все частицы— бозоны, то правая часть (1.13) после
использования правил преобразования волновых функций при
зарядовом сопряжении перепишется так:
Мс (pf, Pi) = J е~lpix Ф+ (— pi) M (x, у) eipfy Ф (— pt) dx dy =
= M(-Pi, -р,), (1.14)
t. e. для получения зарядово сопряженной амплитуды надо
и исходной амплитуде поменять местами начальные и конечные
координаты, 4-импульсы и векторы поляризации частиц. При
этом переменные s и t, а следовательно, функции Г,- (s, t) остаются
без изменения.
Амплитуда процесса будет инвариантной относительно пре-
образования зарядового сопряжения, если знаки ее исходного
п преобразованного выражений совпадут. Те комбинации в амп-
литуде, которые не удовлетворяют этому требованию, должны
быть отброшены.
Если две частицы (например, 1 и Г) являются барионами,
то правая часть формулы (1.13) переходит в такую (волновые
функции бозонов опущены):
Л4С (pf, р^ = е~ 1р‘Х (Pi) У) elpfyuc (pf) dxdy.	(1.15)
После замены x^ty, подстановки соответствующих формул (2.6),
(2.W), гл. 2 и использования соотношения ита (р2) Оарц* (рх) =
! ttp (Pl) (°т)раИа (Рг) получим вместо (1.15)
М'(р„ Pi)=H(pf)CMT (—Pl, —pf) Си (pt),	(1.16)
т. e. в этом случае надо дополнительно транспонировать опера-
тор и умножить его справа и слева на оператор С.
Рассмотрим в качестве примера процесс (1.8). Его амплитуда
определяется формулой (1.10), При зарядовом сопряжении
— Q, и инвариантные комбинации преобразуются так:
(р2) ц(-> (рг) ф (qj ф* (q2) -> й(+) (р2) о1~’ (рг) ф (qj ф* (q2);
R2 = 0<+> (р2)	(Pi) ф (qr) ф* (q2) ->
-> S(+l (Рг) (—QJ (pj ф (qj ф* (q2) =/?2,
10’
292
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
т. е. выражение (1.10) инвариантно относительно зарядового
сопряжения.
Инвариантность относительно обращения времени. Для про-
цессов, обусловленных сильным взаимодействием, существует
также инвариантность относительно обращения времени.
Выясним, какие ограничения на амплитуду процесса нала-
гает требование инвариантности относительно обращения вре-
мени.
Для неупругих реакций исходный и обращенный во времени
процессы различны. В этом случае требование инвариантности
относительно обращения времени приводит лишь к связи между
этими различными процессами, а следовательно, их амплитудами
и, естественно, дополнительных ограничений на амплитуды не
накладывает.
Для упругих реакций исходный и обращенный во времени
процессы совпадают. В этом случае из требования инвариант-
ности относительно обращения времени вытекает, что выражения
для амплитуд обоих процессов должны быть одинаковыми; По-
этому те из инвариантных комбинаций, которые меняют знак,
следует отбросить. Тем самым требование инвариантности отно-
сительно обращения времени может привести к ограничениям
на амплитуды некоторых (не всех) упругих процессов. Чтобы
найти эти ограничения, надо установить, как преобразуется вы-
ражение для амплитуды.
При обращении времени начальное и конечное состояния ме-
няются местами, т. е. амплитуда преобразуется так:
Ф^Рад, р4)Ф}(Рзо, Рз)е^(Р40, р4. Рзо, Рз; Рго, Рг, Рю, Pi) X
хФг(Рго, Рг) Ф1 (Рю, Pi) -*[Фг (Рго, Рг)]' X
X [Ф1 (Рю, Р1)]'е^(Рго, — Рг, Рю, — Pi! Рад, — Рад Рзо, —Рз) X
X [Ф3 (рзо, Рз)]' [Ф4 (р40, р4)]'.
С помощью формулы ф^(р/)е^ф(р/) = ф(р/)е^тф+(р/) первый
член последнего соотношения запишется в виде
[Ф4 (Р40, р4)]' [Фз (Рзо, Рз)]' X
(рго, —Рг, Рю, —Рад Р4о, —р4, Рзо, —Рз) X
X [Ф? (рго, Рг)]' [ФГ (Рю, Pi)]'- (1.17)
Если все частицы — бозоны, то (УЙт = е7/, и последнее выражение
перепишется так:
Ф£ (Р40, р4) Фз (Рзо, Рз) X
X (р20,.— р2, р10,рад р40, — р4, Рзо, — Рз) X
X Фг (Рго,’Рг) Ф1 (Рю, Р1)- (1-18)
Как видно, в этом случае при обращении времени в исходном
выражении для амплитуды надо: 1) поменять местами в М на-
§ /. Инвариантная спиновая структура амплитуд
293
чальные и конечные четырехмерные импульсы pt^pj, а также
векторы поляризации ^5*^, 2) изменить на обратный знак
у пространственных частей перечисленных векторов. При этом
по меняются скалярные произведения четырехмерных векторов
(pq)	(pq? = poqo - (—р) (— q) = poqo - pq = (pq)
11 переменные s и t :8 = (р1 + р2)2->(Рз + Р4)2 = 8; / = (р3 —A)2-*
► (pi — p2)2 = t, а следовательно, и скалярные функции Tt(sy t).
Амплитуда процесса будет инвариантной относительно обраще-
ния времени, если знаки ее исходного и преобразованного вы-
ражений совпадут. Поэтому те комбинации -в амплитуде, кото-
рые не удовлетворяют этому требованию, должны быть отбро-
шены.
Если две частицы (например, 1 и 3) —барионы, то вместо
(1.17), учитывая (3.6) и (3.14), гл. 2, получаем:
•Лр^Ф'Ар^^ (Pw, — Р-2, Рю, — Рь Рю, — Р4- Рзо, — Рз) X
X (pj) Ф^' (р2) = й (р3) ВТ?Ж (р4) X
Х<^т(р20, — р2, Рю, — Pi! Рю, — Р4, Рзо, —Рз)то5~1тц (рг) Ф2 (р2) =
= й(рз)Ф4 (р4)Вуо X
Х®^т(р20, — р2, Рю, — Pi! Рю, — Р4, Рзо, —Рз) X
X у0В-1ц(Р1)Ф2(р2), (1.19)
т. е,. в этом случае при операции обращения времени в исходном
выражении для амплитуды процесса надо произвести кроме ука-
занных в случае бозонов операций еще транспонирование М и
умножение его на оператор Ву0 слева и уоВ-1— справа.
При обращении времени инвариантные комбинации в (1.10)
преобразуются так:
/?! = о(+) (р2) и1’’ (pj ф (qj ф* (q2) -> о1+) (р2) ByoyoB1vl'~> (pj X
X Ф (qi) Ф* (q2) = ^4:
Т?2 = ц1+> (р2)	v{~> (pj ф (qj ф* (q2) -> v(+) (р2) X
X Byo (Q0yT0 + QyT) 'уоВ’1п(-) (р4) ф (qj ф* (q2) = R2.
Отсюда следует, что e^z(s, /) = ®^(s, /), т. е. амплитуда (1.10)
ннпариантна относительно обращения времени. Таким образом,
выражение (1.10) для амплитуды процесса (1.8) инвариантно
относительно L-, Р-, С- и Т-преобразований.
Аналогичным путем можно построить инвариантные ампли-
туды других процессов.
Инвариантность относительно /^-преобразования. Покажем,
что получаемые выражения для амплитуд будут также инва-
риантны относительно сильного обращения пространства-времени
А’., (см. § 3, гл. 2). В самом деле, в выражение для амплитуд
входят: 1) волновые функции частиц, 2) скалярные произведения
294
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
4-векторов, 3) скалярные произведения матрицы у и 4-вектора
(если в реакции участвуют фермионы).
При сильном отражении пространства-времени волновые функ-
ции частиц преобразуются по формулам (3.16—3.18), (3.21) и
(3.22), гл. 2; хотя согласно (3.15), гл. 2 знак у каждого 4-им-
пульса меняется на обратный, скалярное произведение двух 4-
векторов не изменится: Pg<?g->(—Pg) (—Qg) = PgQgl скалярные
произведения двух векторов pllt или матрицы уи и 4-вектора
импульса рц преобразуются согласно (3.23) гл. 2 так:
Pg<7g -> Те (— Pg) (— <?g) Ts = TsPg<7g = Pg?g;
PgTg -> TbTs (— Pg) (— Tg) = PgTg.
t. e. такие скалярные произведения остаются без изменения.
Следовательно, получаемые выражения для амплитуд процес-
сов инвариантны относительно Ps-преобразования; иначе говоря,
требование инвариантности относительно /^-преобразования до-
полнительных ограничений на амплитуду процесса не наклады-
вает. Отсюда следует, что если амплитуда инвариантна относи-
тельно двух каких-либо преобразований, то она будет автомати-
чески инвариантна относительно третьего. Допустим, амплитуда
инвариантна относительно Р- и С- преобразований, тогда она
инвариантна и относительно Т-преобразования. Другими словами,
достаточно проверить инвариантность амплитуды относительно
двух преобразований.
Процессы с участием трех частиц. Рассмотрим еще процесс
1->24-3,	(1.20)
в котором одна частица переходит в две. Пусть р1( р2, Рз —
четырехмерные векторы энергии-импульса частиц, а m2, т3 —
их массы. Из закона сохранения энергии-импульса
Pi —Рг + Рз	(1-21)
следует, что независимы два 4-вёктора. Из двух независимых
векторов, например, plf р2 можно образовать три различных ска-
лярных произведения pl, рз, ргр2. Если частицы 1 и 2 — реальные,
т. е. pl — ml и pl — ml, то p'f и pl — постоянны, и в этом случае
амплитуда изучаемого процесса будет функцией одного инва-
риантного переменного, в качестве которого обычно выбирают
квадрат переданного 4-импульса
/ = (Р1-Р2)2.	(1.22)
Выражение для амплитуды процесса (1.20) запишется в виде,
аналогичном (1.7):
М (/) = Ф+ (рз) Ф+ (р2) (S -1) Ф (Р1),	(1.23)
причем оно должно удовлетворять требованиям L-, Р-, С- и Т-
инвар иантностей.
§ I- Инвариантная спиновая структура амплитуд
295
Выражение (1.23) для амплитуды данного процесса будет
суммой определенного числа независимых спиновых комбинаций:
М (t) = XTi(t)Rt,
i
где Ti (t) — неизвестные функции (в данном-случае их называют
формфакторами), Дг — инвариантные спиновые комбинации.
Число независимых комбинаций можно определить, используя
закон сохранения момента импульса и четности.
Когда частица 3 —реальная (/0 = р.2, где р —масса частицы),
формфакторы превращаются в постоянные величины ТДр2), рав-
ные константам связи. Другими словами, в случае, когда все три
частицы — реальные, формфакторы Ti(t) следует заменить кон-
стантами связи gt, последние характеризуют интенсивность взаимо-
действия частиц между собой.
Рассмотрим процесс превращения бариона В в барион В и
псевдоскалярный п-мезон: В->В4-л. В системе покоя начальной
частицы (/ = 0) полный момент конечной системы равен 1/2. Спин
конечной системы s' = 1/2, а ее орбитальный момент / = 0 и 1.
Внутренние четности начальной и конечной систем противопо-
ложны, поэтому разрешен лишь один переход: / = 0->/' = 1.
Амплитуда содержит одно инвариантное слагаемое
М (/) = Л (/) 0W (р2) T6tA-> (pj ф* (q).	(1.24)
Аналогичным образом можно найти выражение для ампли-
туды процесса превращения бариона (нуклона) в барион (нуклон)
п вектон (виртуальный фотон):	В системе покоя на-
чальной частицы полный момент конечной системы равен 1/2-.
Спин конечной системы s'— 1/2, 3/2, а ее орбитальный момент
,,	10,1, если s' = */2;
’ I 2, 1, если s' = 3/2.
'Разрешены следующие переходы:
/ = 1 = 11 S =1/2’
| /' = 1, s' = 3/2.
Амплитуда состоит из двух слагаемых Обычно ее выбирают
п форме (q = p2 — Pi)-
М (/) = Т&ы (р2) ТцгА-’ (Рх) + Г201+> (р) | (ThTv - YvYj X
X Ц(-) (pj QhCv (1-25)
Дифференциальное сечение. С помощью амплитуды можно
определить дифференциальное сечение процесса. Для этого надо
296
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
подставить выражение для амплитуды М в формулу (1.7'). В част-
ности, для квадрата модуля амплитуды процесса (1.8), в случае
когда оба нуклона не поляризованы, найдем, имея в виду (1.10):
41 Mfi |2 = Sp (р2 + MN) [7\ + T2Q] (pt + MN) [7? + ThoQ+уо], (1.26)
где MN — масса нуклона.
Шпуры, содержащие нечетное число матриц у, равны нулю
(см. гл. 4, § 5). Вычисление оставшихся слагаемых дает:
Sp (faPi) = 4 (p2pi); Sp QQ = 4Q2; Sp (Q/5J = 4 (QpJ;
Sp PtQpiQ = 4 [2 (p2Q) (PiQ) - (p2pj Q2].
Подставив последние выражения в (1.26), получим
I Mfi I2 = IЛ I2 [(Р1р2) + Ж] +1 Т212 {2 (p2Q) (P1Q) -
- [(Р1р2) - Ж] Q2} + 2 Re ТГЛМдг [(PlQ) + (p2Q)]. (1.27)
§ 2.	СПИНОВАЯ СТРУКТУРА АМПЛИТУД В СИСТЕМЕ ЦЕНТРА МАСС
При конкретных вычислениях необходимо выбрать опреде-
ленную систему координат. Наиболее удобна из них система
центра масс (с. ц. м.). Перейдем к
построению амплитуд процесса в
с. ц. м.
--------------------- Кинематика процесса в с. ц. м.
"г	Р' Рассмотрим процесс 1 + 2->3 + 4, в
котором две стабильные частицы стал-
Р-т	киваются и превращаются, вообще го-
Рис. 8.3. Кинематика про- воря, в другие частицы. Пусть Еъ Е2,
цесса в с. ц. м. Е3, Et, mlt т2, т3, mt — полные энер-
гии и массы частиц, р4, р2, р3, р4—
их трехмерные импульсы. Система центра масс (рис. 8.3) харак-
теризуется тем, что
Pi= —Рг и Рз = — р4,	.	(2.1)
причем 6 —угол рассеяния частиц в с. ц. м.
В с. ц. м. для рассматриваемого процесса имеется только два
независимых трехмерных импульса. Запишем выражения для
основных величин в с. ц. м.:
I Pi I = VE[ — m2t = | Ра | = V El —ml,
|P3| = V ^-m| = |p4| = /£b^l,	(2’2)
*) Напомним, что для комплексных функций 7.-, обладающих реальной
и мнимой частями, выполняются соотношения
7/7*+7*7ft = 2Re7*7ft = 2Re T/Tk,
i {TjTk - TkT*) = 2 Im T*Tk = —2 Im 7/71.
$ 2. Спиновая структура амплитуд в системе центра масс
297
поэтому
S = (л + р2)2 = (£1 + £2)2 - (Р! + р2)2 = (£1 + £2)2 = Г2 =
= (£1 + /£i + m-l-m|)2 = (£2 + /^ + mi-ml)2 =
= (£3 + /£1 + ml - m02 = (£<+/£! +	~
Из последней формулы следует, что
р  s — ml-1-ml	р  
2/s	’	2“	2/s	’
р	s—m« + m|	р _s—ml + m;
3“ 2/s’ ’	4	2Vs	‘
(2.3)
(2.4)
..	, . « (s—/п14-/п?)2 о
Отсюда Pi = pl = 5----- —ml, или в симметричной относи-
тельно частиц 1 и 2 форме
PJ = p.i = ts—(OTi+тг)2] [s—(mi—m2)2] .	(25)
кроме того,
_•> „	[s — (m3 + m4)2] [s —(m3—m4)2]	t-,.
Pa = Pi =------------4^-----------•	(z-° '
Аналогичным образом получим
t = (Рз — Pl)2 = ml + ml — 2p3Pi = m; + m| — 2^3 +
+ 21 Pj 11 Рз | cos e
Подстановка в эту формулу выражений (2.4) и (2.5) дает
I = ml + ml —	{[s — ml + ml] [s — ml + m|] — cos 0 x
X K[s - (mx + m2)2] [s — (mt — m2)2] [s — (m3 + m4)2] [s - (m3 — m4)2]}
Отсюда сразу получается выражение для cos 6 в зависимости ots,
/ н^масс частиц:
— cos 6 =
________2s (mf + mf —Q —(s—mj + mt) (s—m2 + /nf)___ g.
V [s —(т^/Пг)2] [s—(m,—m2)2] [s—(m3+/n4)2] [s—(m3 —mJ2] *
Выражение для амплитуды. Амплитуда рассматриваемого про-
цесса зависит от двух величин (см. § 1), в качестве которых
можно выбрать W = Vrs и cos 6. Поэтому мы будем записывать
амплитуду в виде F(W, 6).
Выражение для амплитуды в с. ц. м. по-прежнему запишется
и форме (1.7), но только теперь надо взять все входящие в эту
формулу функции и величины в с. ц. м., т. е.
£ (U7, 0) = Ф3 (q3) Ф4Ь (q4) S'H Ф4 ((h) Ф2 (q2),	(2.7)
298
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
где Sfi = (S — I)fi, Ф (q) — волновые функции в с. ц. м. Это выра-
жение должно быть инвариантно относительно преобразований
Лоренца, инверсии пространства и обращения времени. Под-
черкнем, что фактически речь идет об инвариантной амплитуде,
только записанной в другой форме.
В выражении для амплитуды должны входить независимые
спиновые комбинации. Их число для инвариантной амплитуды
и амплитуды в с. ц. м. одно и то же и может быть подсчитано
тем же способом, который был изложен в § 1.
Обозначим импульсы начальной и конечной систем соответ-
ственно кик', а их единичные векторы —к и к', так что к =
= к/1к] и к' = к'/|к' |. Удобно , сделать неизвестные функции
безразмерными, поэтому в выражения для амплитуд
войдут единичные векторы к и к' (и соответственно единичные
векторы поляризации g).
В случае процесса лТУ-рассеяния из векторов к, к' и а можно
образовать два независимых скаляра: 1 и (ок') (ок); следовательно,
F(W, 6) =
= Ч>Г {Fi (W, 6)4-F2 (W, 6) (ok') (ok)} ф (Ч1) ф* (q2), (2.8)
где фу, ф/— двухкомпонентные волновые функции конечного и
начального барионов (см. гл. 1, § 3).
Если в качестве независимых выбрать скаляры (kk') и
(ofk'k]), то
F(W, е) = ф^Е1(Г, е) + гГ2(ТГ, 6) (о [k'k])} ф, X
X Ф (41) Ф* (q2). (2.9)
Амплитуда инвариантна относительно обращения времени:
о [k'k] -> (- о) [(- к) (- к')] = о [к'к].
Итак, амплитуда (2.8) или (2.9) инвариантна относительно
L-, Р- и Т-преобразований.
Переход от инвариантной амплитуды к амплитуде в с. ц. м.
Инвариантные выражения для амплитуд также могут быть пере-
писаны в с. ц. м. Естественно, при таком переходе можно
добиться, чтобы спиновые комбинации совпадали с теми, которые
входят в выражения для амплитуд в с. ц. м., найденные непо-
средственно. Тогда скалярные функции при спиновых комбина-
циях амплитуды в с. ц. м. будут содержать, вообще говоря,
сумму скалярных функций 7\ (s, /) с некоторыми множителями.
Однако в целом обе амплитуды в с. ц. м., полученные различ-
ными путями, должны быть равны друг Другу. Поэтому, прирав-
нивая коэффициенты при одинаковых спиновых комбинациях,
получаем связь между функциями Ft и Ть
Рассмотрим процесс лМ-рассеяния. Он описывается инвари-
антной амплитудой (1.10). Чтобы выделить в явном виде трех-
<5 2. Спиновая структура амплитуд в системе центра масс
299
мерные импульсы частиц, перейдем от четырехкомпонентной
записи инвариантной амплитуды. (1.10) к двухкомпонентной,
используя выражение четырехкомпонентных спиноров через двух-
компонентные [см. гл. 1, формулы (3.14) и (3.17)]:
f(-) (Pi) = Г 1 S(+) (p2) = N2 (t>(->)+ (p2) у,, =
\Xi/
/1	0\
= ЛМф2. ХгЦ0 _J^^2(‘₽t, — Xs); (2.10)
X1 = £,+‘/11!ч>1’ X‘2 = £2+X f|>2’	(2-11)
Здесь A\ = ]/ + Mi > == E2 + M2 —нормировочные множи-
тели, соответствующие выбранной нами нормировке спиноров
Un — 2М, (p+q> = 1.
Рассмотрим первое слагаемое в формуле (1.10). Положим
Pi — — к, р2 =— к' и Mi = M2, тогда
7’1б(+» (р2)	(Р1) =	(<рГ, - xt) I =
\Х1 /
. 1
-ладлф. г*и-)(г^)<й =
 WW[| -^](У+<ц]т- (2-12)
Аналогичным образом, перемножая матрицы во втором слага-
емом (1.10), получаем, учитывая формулу (3.10), гл. 1:
7’2Ь(+) (р2) Qu V>(-) (Pi) =	_
-	(> • етч) [<?л - QV] ф..
11еремножим последовательно матрицы в этой формуле:
iQo 0 \ ( 0 oQ\ 1 ,
. Q.T.-Or-(p	о ) Q= 2 ,к+к *
/. сгк' \Г/С2о ‘0\	/	0 o’Q'il /	(crk)'\
V’E2 + mJ^0 —Qo/	<tQ 0j \	Е^ + Мг)
_ 7	(Pk')(oQ) rtO\ _	, (<rk')(aQ) Qo(ok')
\	E2 + M2 •	£г + м2 ’ £a+Al2
oQ
/ 1 \
„ \ I — ak ]
aQ Д£ГНЙ1/4)1 =
t2^w(q0+§^^, -
(	L'	k2
= ^l^2т2ф2 |q0 4- 2(е2+м2)+
+	+ (£2+М2) (£i 4-Mj) +	+	(<Tk,) (ok)} 4’1 -
= 7’2^l^2(p2+ [a + b (<rk') (ork)J фх. (2.13)
300
Г лава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Подставляя (2.12) и (2.13) в (1.10) и собирая слагаемые с оди-
наковыми спиновыми комбинациями, найдем
F (ЦТ*, 6) = N 4М2ф2 {Л аТ2 — [(Е4 Л41)"1(Е 2 Ч~(И2)-1	— ЬТ2] X
X (ok') (ok)} фхф* (q2) ф (q4).
Сравнение этого выражения с (2.8) дает:
-^F^Ti + aT^;
I к И к' i N^2 F* = ~ (^4-ЛМ (£8 + Л12) 71 + bTi
или после алгебраических преобразований коэффициентов (в слу-
чае Л41 = Л42==Л4)
Л = (Е + Л4) [7\4-(№-M)7V|;
F2 = (Е — М) [- Т> + (W+Л4) Т2\.
(2.14)
(2.15)
Так выражаются в данном случае функции Fu F2, входящие
в выражение (2.8) для амплитуды F в с. ц. м., через функции
7\, Т2. Чтобы найти выражение Tt через Ft, надо разрешить
систему (2.15) относительно Т:
Е — М
1
_ 1 fW + M F W-М р \
11 2W\E + MP1 E — Mt2)’
[e-J-M	Е — М ^2]-
(2.16)
Выражение для дифференциального сечения. Выясним, как
перепишется формула (1.7') в с: ц. м. Плотность потока стал-
кивающихся частиц в с. ц. м. (см. рис. 8.3) выглядит так: /„=
== (t»i + v2)/V, где Vi и v2 — скорости частиц начальной системы.
Так как t»i = lpi|/Ei, Ц2 = |Р2|/Е2, то
• _ 1 ik|(£1+£2)_ 1 |к| W
10 V ErE2 V ЕгЕ2 ’
(2.17)
где к —импульс начальной системы в с. ц. м.; W — полная энер-
гия начальной системы. Произведем в формуле (1.7') интегриро-
вание по импульсам dp3 и dp4. Так как
6 (Р1 + Р2 — Рз —р4) = 6 (Р1 + Р2 —Рз — р4) 6 (Е4 + Е2 — Е3 — Е4),
$6(Р1 + Р2 —Рз-Р4)фз=1, dp4 =! р4 j2 d | р4 dii,
то после интегрирования в формуле (1.7') по dp3 имеем
Переходя в с. ц. м. (р4 = — р2 = к, р3 = — р4 = к'), Ех + Е2 =
= Е3 + Ei = W) и учитывая (2.17), получаем формулу
Л= (W.TC 5 'м	«<£•+£• -	(2.18)
f 2. Спиновая структура амплитуд в системе центра масс
301
Из соотношения £5,4 = | к' |2 + /Пз,1 следует, что
| к' ; d । к' | = £3,4 dE3A, | к' | d; к' | = E3Et d (Еэ + Е^/М;
поэтому вместо (2.18) будем иметь
= | к 1 (&tF)2	2	(2-19)
Заметим, что если начальная и конечная системы частиц оди-
наковы, то I к | = । к'
Если ввести обозначения
то окончательно выражение для дифференциального сечения про-
цесса в с. ц. м. запишется так:
Йа = ^:£'(и7, 6)!2dQ.	(2.21)
В дальнейшем множитель dQ в выражении для du будем опускать.
Иногда формулу для du записывают в виде, содержащем
вместо dQ инвариантную величину:
J = (k — k')2 = ml + mf — 2й(Ло + 2 j k 11 k' | cos 6,
где 6 —угол между k и k'. В с. ц. м. импульсы определяются
только полной энергией k0, и если последняя фиксирована, то
dl =-2 | к 11 к' | d cos 6. Поэтому в (2.19) можно заменить выражение
для dQ:
dQ = - d (cos 6) dtp =	, •	(2.22)
где <p—азимутальный угол к относительно к'. Следовательно,
если сечение от <р не зависит, то
^а = л^|£(Г, e)|2d(-/).	(2.23)
Таким образом, чтобы найти выражение для дифференциаль-
ного сечения рассеяния поляризованных частиц в с. ц. м., необ-
ходимо вычислить квадрат модуля | F j2 амплитуды процесса и
подставить его в формулу (2.21). В случае неполяризованных
частиц надо еще произвести суммирование по проекциям спинов
конечных частиц и усреднение по проекциям спинов начальных
частиц.
Если в процессе участвуют барионы, то общее выражение
для амплитуды в с. ц. м. можно записать в виде
F(U7, е) = (р^Ф/,	(2.24)
где F — оператор, содержащий, в частности, матрицы и.
302
Г лава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Повторяя те же рассуждения, что и в § 5, гл. 4 получаем
\F(W, e)p = SPW1F+.	(2.25)
В случае неполяризованного бариона
Z=<p+<p=l,	(2.26)
поэтому
\F(W, e)!2 = SpF+F.	(2.27)
Приведем некоторые формулы для вычисления шпуров.
1)	Шпур матриц о не меняется при циклической переста-
новке:
Sp aiokol = Sp = Sp 0,0/Ofe и т. д;	(2.28)
2)	Sp(oa) = 0;	(2.29)
3)	Sp (oa) (oa) = 2a2; *	(2.30)
Sp (oa) (ob) = Sp {(ab) + i (o [ab])} = Sp (ab) = 2(ab);
4)	Sp (oa) (ob) (oc) = 2z ([ab] c);	(2.31)
5)	Sp (oa) (ob) (oc) (od) = 2 (ab) (cd) — 2 [ab] [cd] =
= 2 [(ab) (cd) — (ac) (bd) + (be) (ad)];	(2.32)
6)	Sp (oa) (ob) (oc) (od) (oe) = 2i {(ab) ([cd] e) +
+ (de) ([ab] c) + (be) ([-ad] e) - (ac) ([bd] e)}. (2.33)
Заметим, что в отличие от у-матриц шпур нечетного числа мат-
риц о не равен нулю.
Рассмотрим процесс лТУ-рассеяния. Его амплитуда в с. ц. м.
определяется формулой (2.9). Если оба бариона не поляризованы,
то для дифференциального сечения do найдем:
da = 2TTISp/:'+f = 2ТП Sp +	(° {Ft -iFl (О [k'k])}.
Используя формулы (2.29) и (2.30), получаем
do=2?Й SP [Ii2+if 2 i2 (° [,?f{D2l =
= ^[|Л|2 + |Е212[к'к]2]. (2.34)
Поляризация барионов отдачи. Величина поляризации конеч-
ных частиц процесса характеризуется их матрицей плотности р',
которая определяется формулой (6.52), гл. 4. С помощью этой
матрицы среднее значение любого оператора, в частности опера-
тора спина s, или поляризации конечной частицы запишется
согласно (6.14), гл. 4 в виде
D с , SpsfpF+ Sp sFpF+ •
₽==SPPS=-W^ = ЖГ"’	<2-35>
|к'Л
3. Разложение амплитуды в с. ц. м. по парциальным амплитудам 303
где dcp — дифференциальное сечение рассеяния поляризованных
начальных частиц.
Рассмотрим случай, когда начальные частицы не поляризо-
ваны, т. е. p0 = [(2s1-|- 1) (2s2 + I)]"1, и измеряется поляризация
бариона отдачи. В этом случае вектор поляризации Р бариона
направлен перпендикулярно плоскости рассеяния вдоль единич-
ного вектора n = [kk']/|[kk'] | и (2.35) выглядит так:
dcPn = Р'п = Sp PoF+ (on) F = po Sp FF+ (on).	(2.36)
Например, поляризация Р'п бариона отдачи для процесса лЛ/-
рассеяния, если учесть (2.9), равна
Рп = ~ Sp {F* - t’F2 (о [k'k])} (on) {Fx + i’F2 (о [k'k])} =
= —2ImF2F1*([k'k]n). (2.37)
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ АМПЛИТУДЫ В С. Ц. М. ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ
АМПЛИТУДАМ
Метод разложения. При получении выражения для амплитуды
в с. ц. м. мы характеризовали состояние системы с помощью
трехмерного импульса и проекций спина на произвольное направ-
ление z. Входящие в выражение для амплитуды процесса ска-
лярные функции Fi(W, 6) зависели от энергии и углов. В при-
ложениях удобно пользоваться таким представлением той же
амплитуды, в котором энергетические и угловые переменные
в функциях Fi(W, 6) разделены, т. е. Ft(W, 6) являются произ-
ведением функции, зависящей только от энергии, и функции,
зависящей только от угла. Такого разделения переменных можно
достичь разложением Ft(W, 0) по собственным функциям полного
момента импульса, т. е. по шаровым функциям, зависящим
только от угла. В этом случае состояние системы определяется
значениями полного момента импульса и четности.
-Идея разложения функций Ft(W, 0) по шаровым функциям
заключается в следующем. Задается выражение для амплитуды
в с. ц. м., содержащее скалярные функции F{(W, 0); для той
же амплитуды в с. ц. м. получается новое выражение в виде
разложения по шаровым функциям. Приравнивая обе ампли-
туды, получаем выражение для функций Ft(W, 0), разложенных
ио шаровым функциям.
Рассмотрим процесс
1-|-2->3 + 4.	(3.1)
1»удем характеризовать начальное состояние системы следующими
Квантовыми числами: / — относительный орбитальный момент,
mt его проекции; s —полный спин, ms — его проекции; J — пол-
304
Г лава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
ный момент, М — его проекции; v — четность (при этом J = I -f-s,...
..., 11 — s I). Конечное со^ояние системы определяется теми же
квантовыми числами со штрихом. Схематически рассматриваемую
реакцию можно изобразить так:
m

mi-
s'
(3.2)
Разложение амплитуды процесса в с. ц. м. F(W, к, к') =
= Ф/ (к') 5^'Ф( (к) по собственным функциям ф' (9) и ф-f (9') началь-
ного и конечного состояний с заданньм значением четности,
полного момента и его проекции запишется в виде
F (W, 9, 9') = S (S') S4.MV, JMv (W) ф^дл, (9). (3.3)
j'M'v" JMv
Но вследствие закона сохранения момента и четности J = J',
v = v'. Кроме того, матричные элементы SF не зависят от М,
так как в пространстве нет выделенного направления и в каче-
стве оси z можно выбрать любое направление. Поэтому вместо
(3.3) получим
F (W, 9, 9') = SfJv (W) Ф/mv (6') ф^лн, (9).	(3.4)
Jv	М
Матричные элементы Sjv (W) .не зависят от угловых переменных
и являются, таким образом, скалярными функциями только
полной энергии системы. Для вычисления матричных элементов
требуется знание детального механизма взаимодействия, поэтому
они неизвестны. Матричные элементы Sjv (ИД описывают переходы
между состояниями с определенными значениями углового
момента и четности и называются парциальными амплитудами
или парциальными волнами.
Так как волновая функция системы с моментом / и спиновая
функция системы со спином s порознь известны, то волновая
функция начального состояния выглядит следующим образом:
ф/м (9) = У, smYlM—ms (6) Xsm^i	(3.5)
ms
где mhmit — коэффициенты Клебша —Гор дана;	— спиновая
волновая функция системы.
Аналогичным образом запишется выражение для волновой
функции конечной системы:
ф/м (6 ) = У Cl’M — mS', s'ms- Yi'M — ms. (9 ) Xs'ms-.	(3.6)
ms.
§ 3. Разложение амплитуды в с. ц. м. по парциальным амплитудам 305
Подставив формулы (3.5) и (3.6) в (3.4), получим, опуская пока
спиновые функции,
F(W, 0, e’) = ^SfJv(W)SC/^_ms„s.ffls,C/M_ms>smsX
Jv	М
ХГ/^Д)^/).	(3.7)
Если начальная частица движется вдоль оси z (т. е. 6 = <р = 0),
то
Ytm (0) = ]/2Г+Тбт0.	(3.8)
В этом случае вместо (3.7) будем иметь (опуская штрих у 6)
F (W, 0) = 2 ]/2ГфТ SfJv (W) 2 s.ms, х
Jv	M
X.C'lM—ni'., sms YrM—ms, (6)	0.	(3.9)
11оследнее выражение представляет собой разложение амплитуды
и с. ц. м. по шаровым функциям Yi или по парциальным вол-
нам Sjv (W). Находя вид (3.9) для конкретного процесса и срав-
нивая его с выражением для амплитуды того же процесса,
содержащим Ft(W, 6) (см. § 2), получаем разложение скалярных
функций Ft(W, 6) по парциальным амплитудам (или по шаровым
функциям, в частности по полиномам Лежандра).
В качестве примеров рассмотрим два конкретных процесса.
1, Рассеяние л-мезонов на л-мезонах. Для этой реак-
ции s = s' = 0. Из-за множителя 6л1-т$,о амплитуда будет отлична
от пуля лишь для значения Л1 = 0, т. е. в амплитуду (3.9) вой-
дут лишь Yue (0). Кроме того, из закона сохранения момента
импульсов и четности следует, что J — l = Следовательно, имея
н виду, что С/о, оо = 1,
F (UZ, 6) =	]/2Г+Т Sp‘ (Г) УГо (6) =
'	= 2(2/ + 1)$ЬЮ Л (6). (3.10)
I
Сравнивая (3.10) с выражением для амплитуды лл-рассеяния
/•(UZ, 0) = Е1(Г, 6) ф (41) ф (q2) ф (q3) Ф (q4),
получаем
F^W, 6)= 2(2/+1)5/(Г)Р/(6)=2 (2/ + 1)Л(1ПЛ(6), (3.10')
/ = 0	1=0
|де
I ак выглядит разложение функции (W, 0) по парциальным
амплитудам (или по полиномам Лежандра). Конечно, последнее
306
Г лава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
выражение можно было написать сразу, имея в виду, что в дан-
ном случае речь идет о разложении скалярной функции по поли-
номам Лежандра.
Если ограничиться учетом образования мезонов лишь в s- и
p-состояниях, т. е. удержать в сумме слагаемые с 1 = 0 и 1, то
F(W, 6) = /о W+3A(№)cose.
Найдем разложения, обратные (3.10), т. е. выражения для
парциальных амплитуд ft через функции F^ Для этого умножим
правые и левые части (3.10') на Pi- и возьмем от обеих частей
равенства интеграл в пределах от —1 до +1. Учитывая соотно-
шение для полиномов Лежандра
+i
Pt(x)Pt’ (x)dx=26ir/(2 +1),
—1
получаем
ft (W) = ~ d cos BFi (W, 6) Pi (cos 6).
2. Рассеяние л-мезонов на нуклонах. В этом случае
s = s' = 1/2, поэтому (3.9) перепишется так:
F (W, 6) =	SfJv(W) CJr^ms„ 1/!CTs, х
Jv	M
X С/До —Vs"*,	— ms» (0) бд/__о. (3.11)
Выясним сначала, какие значения М дают вклад в сумму по М.
Из-за множителя	о амплитуда будет отлична от пуля
лишь для значений M = ms и, значит, для значений М — ms-
= ms — mS'. Так как ms и ms- принимают значения ±1/2, то
в сумму по М дадут вклад
0
1
М — ms- = ms —	=
если ms = mS’ = 1/2 или —1/2,
если ms = —mS’ = 1/2,
если ms= —mS' — —1/2.
Это означает, что в выражении (3.11) встретятся лишь Y*-, о и
У*', ±ь Выберем ось х (см. рис. 8.4, а) в плоскости единичных
векторов** к, 16 (в этом случае <р' = 0); тогда.
Y$, 0 = J/2rTT Pi- (cos6);
r^±I=±lA^^sinePHcose). (3.12)
T 1 \L L)
Из проекций спинов ms = ± 1/2 и ms- =± x/2 можно составить
четыре комбинации Fms,,ms, каждая из которых'с учетом (3.11)
*’ Здесь единичные векторы обозначаются через кик' (опускается знак ').
J ?. Разложение амплитуды в с. ц. м. по парциальным амплитудам 307
и (3.12) запишется так:.
Рч. ч. = £S!JV (W) ]Л(2/+1)(2/'+1) С#’ ч, i/2Pp-.
J
f„, _ч, _ ss'i, my	«pi-,
___________ (3.13)
r—*/« v2	Zj*jjv (w) у —у (/'-pi)—»/,_i/tG/o, i/21/2 sinor/',
F-ч* _>/t = £SfJv (W) ]Л(2/+1)(2Г+1) C^v^-vA.
j
Какие значения J дают вклад в сумму по J в формулах
(3,13)? Из закона сохранения момента следует, что- J может
принимать следующие зна-
чения:	J = 1 + 1/2 = I' + г/2,
J I + i/2 = /'_i/2, J =
/ — 7г = I -bVz, J —I — 1/2=
I' —1/2. Из закона сохра-
нения четности следует, что
( [)*+! = (—	т. е.
/ Этому условию удов-
летворяют только J=I + 1/2 =
Рис. 8.4. Система координат, используе-
мая при выводе формул (3.16) и (4.22)
/' -1- 72 И J = 1 — 7г =
/' — 7г и, следовательно,
лишь они войдут в сумму
по ./, Подставив указанные
ишчепия J в (3.13) и взяв
величины коэффициентов Клебша — Гордана из таблицы, получим
/•’-/, /, = £ [7+(/+1)Л+Л-/Р/];
1 = 0
1\,	= У, [7+ sin ер; - Л- sin ер;];
1=0
F-1/21/2 = у [ - А+ sin ер;+sin ер; j;
1 = 0
F-4a _1/2 = У [fl+ (I + 1) Pi + fi-lPil
1=0
(3.14)
•ле А. ^^=(+1/,=/%1/.(Ю; A-^^;=z_I/s=z,_1/s (Я-парциаль-
пые амплитуды рассеяния в состоянии J = l±^ и с четностью
v ( I)'11.
308
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Наряду с этим найдем выражение (2.9) в выбранной системе
координат (см. рис. 8.4, а). Проекции единичных векторов будут
такими: к(0, 0, 1), к' (kx, 0, k'z), и, следовательно,
(G [k'k]) = (kxky — kykx) Gz + (k'zkx — k'xkz) Gy + (kykz — k'Jiy) gx =
= — Gyk'x = — Gy sin 0;	(3.15)
поэтому
FiZ, */. = (1 °) [Fx + F2 COS 0 — F2£ay sin e) ( q ) = Fx 4~ F2 COS 0;
Fi/a _i/2 = (1 O)[Fx + F2cos0 — Faio^sin 0]	= — sin0F2,
F_i/,.,s = (0 1) [Fi + F2 cos 0— F2ioysin 0]	j= sin 0F2,
F_i/s _i/2 = (0 1) [Fx + F2 cos 0 — F2iGy sin 0] f ° = Fx + F2 cos 0.
Сравнение одинаковых амплитуд в (3.14) и (3.16), дает
Fi(r, 0)=f] {t(/+l)fz+ + Zfz_]Fz + (/z+-fz_)cos0P;};
(3-17>
F2 (Г, 0)=£ (л_-л+)р;.
1 = 0
В s-, р-волновом приближении
Fx(r, 0) = fo+ + 3fi+cos0; F2(W, 0) = fx_-f1+.	(3.18)
Тем самым найдено разложение коэффициентов Ft(W, 0) по
парциальным амплитудам (или по полиномам Лежандра).
Чтобы найти разложения, обратные (3.17), умножим правые
и левые части (3.17) на P*(cos0) и возьмем от обеих частей
равенства интеграл по cos0 в пределах от —1 до 4-1. Исполь-
зовав соотношение для полиномов Лежандра
+1
dxP'k{x)Pl^l(x) = bkl,
— 1
получим
+1
А+ = 4 J x)Pi(x) + F2(W, x)Pl+l(x)]dx,
— 1
4-1
A-= 4 J {Fx(r, x)Pz(x) + F2(r, x)[Pz+1(x)4-2Pz_i(x)]}fU
-i
§ 4. Спиральные амплитуды
309
Таким образом, для того чтобы получить разложение ампли-
туды процесса по парциальным волнам с помощью выражений
(3.7) или (3.9), надо: 1) выбрать систему координат, 2) найти
качения М, дающие вклад в сумму, 3) найти значения J, даю-
щие вклад в сумму, 4) зафиксировать определенные величины
проекций спинов (msms>) и произвести суммирование по допус-
 имым J и М, используя таблицы для коэффициентов Клебша—
Гордана.
Чтобы найти разложение функций Ft(W, 0) по парциальным
пмплитудам, надо: 1) переписать входящие в амплитуду спиновые
комбинации в ранее выбранной системе координат, 2) найти выра-
жение амплитуды F(W, 0) для различных комбинаций проекций
спппов, 3) приравнять значения амплитуд при одинаковых спино-
пых комбинациях (ms-, ms), 4) разрешить полученную систему
относительно Ft(W, 0).
Выражения для дифференциальных сечений. В § 2 были полу-
чены выражения для дифференциальных сечений и векторов
поляризации в с. ц. м., содержащие функции Ft(W, 0). Заменив
последние их разложением по парциальным амплитудам, получим
ныражения для дифференциальных сечений и тензоров поляри-
нщни через парциальные волны. Рассмотрим, например про-
цесс лА/-рассеяния. Ограничимся S-, р-волновым приближением.
Подставляя (3.18) в (2.34), найдем:
£/а= ж{|/о++(М+cos 0 i2+1	12 sin2 0>-	<3-19>
Аналогичным образом подстановка (3.18) в (2.37) приводит
к следующему результату:
1>'п =2Im[f1+-f1_][fJ+ + (K+ + 2As-)cos0]n!/sin0. (3.20)
§ 4. СПИРАЛЬНЫЕ АМПЛИТУДЫ
Спиральные амплитуды. При получении выражений для ампли-
I уд в с. ц. м. в § З’мы характеризовали состояние частицы
с помощью трехмерного импульса и проекции ее спина на произ-
вольное направление z. В приложениях иногда удобно пользо-
нпгься таким представлением той же амплитуды, в котором
спиновое состояние частицы характеризуется по-прежнему импуль-
сом и проекцией спина, но не на произвольную ось, а на ее импульс.
Состояние, соответствующее определенному значению импульса
и проекции спина на импульс той же частицы, называется спираль-
ным, а компонента спина вдоль импульса — спиральным кванто-
вым числом, или просто спиральностью. Число спиральных сос-
1ОП1П1Й частицы равно числу проекций ее спина. У скалярной
чистины имеется одно спиральное состояние, у фермиона —два
( I ’/а, — Va) у вектора — три (—1, +1, 0), у фотона —два (—1,
310
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематики
+ 1), у частиц со спином 3/2 — четыре (3/2, +V2. — V2. — 3/а)
и т. д.
Рассмотрим в с. ц. м. процесс 1+2->3 + 4. Если обозна-
чить спиральности частиц Z,, Z2, Х3, Х4, а их трехмерные импуль-
сы—рь р2, р3, р4, то можно говорить о спиральной амплитуде
6), соответствующей переходу системы из состояния со
спиральностями. Х2 в состояние со спиральностями Х3, A,t:
(W, 0) = <р3, р4; h, КI S -11 р4р2; U2>.
Приведем для примера возможные спиральные амплитуды
процесса л/V-рассеяния:
?, о, °,	?.	(4.1)
Однако не все спиральные амплитуды данного процесса явля-
ются независимыми, так как они связаны соотношениями, выте-
кающими из инвариантности относительно инверсии простран-
ства (для упругих и неупругих процессов)
= Л ( -	(4.2)
и обращения времени (для упругих процессов)
= (- 1)	(4 3)
где г] =	_ nss-t-sj— si—s2- ty, sz — внутренние четности и спины
частиц. Из формулы (4.2) следует, что среди амплитуд (4.1)
имеется две независимые амплитуды в качестве которых выбе-
рем Myl о и ЛЕ/Л2 °-
Разложение спиральной амплитуды по парциальным волнам.
Спиральные амплитуды так же как и скалярные функции
F/(IE, 0), зависят от энергетических и угловых переменных.
Поэтому возникает задача разделения угловых и энергетических
переменных для спиральной амплитуды, т. е. разложения послед-
ней по парциальным амплитудам. Эта задача может быть решена
с помощью формулы
= £ (J+ /2) (Fj)k±(W) ег(Л-ц)<₽^ (0).	(4.4)
j
Здесь = — р = ^3 — ^4, J — полный момент системы; <р—•
азимутальный угол; (F7)^’.— спиральная парциальная ампли-
туда, описывающая переходы между состояниями с определенными
*’ Очевидно, что число независимых спиральных амплитуд для данного
процесса совпадает с числом независимых комбинаций, входящих в выражении
для инвариантной амплитуды (см. § 1). Этим обстоятельством можно восполь-
зоваться при подсчете числа независимых инвариантных-комбинаций (см. § 1).
jj 4. Спиральные амплитуды
311
шачениями спиральностей и четности; d/ц (9)— функции, зави-
сящие только от угла.
Конкретный вид функций d^ определяется так:
а)	если J — полуцелое, то
dlч, = (J + 1/2)-,/s [У7+^ dlо (6) cos I +
+ 1/7^14+*//:, o(e)s~in|]; (4.5)
и частности, для J = Z-b1/2:
^i/2. 1/2 = 7+TcoS ~2 ^<4-1 ~ Pi)>
d- 1/2, 1/2 = fZjZT S*n "2	1 + Pl).
dJi/2, з/i^ 7+T sin 2 (]/^T+2 ^+i +~T~ Pi) ’
d-1/2,3/.2= 7+T cos ~2 (~ 1/"7+2 P‘+* + I Pi) •
6)	если J = 1 — целое, то
=iu ± н+1) U ± н)]-,я (- эт+H'*g »± я) <% (»);
(4.7)
и частности:
d,--p<’d'-—VT^f)p'‘’		(48’
d‘ . =	( — tn [(1 + cos 0) —— 1 dl —
ml |//(/+i) (	. P	sin 6 J m0
— }/ (/ —m) (Z-f-w + 1) dm± i, o| -
| —	(/ — tn) (I-j-m +1) d^-i-^ о +У (l-\-m)(l — тф1) dm—i, о +
 |- \/ (I — tn) (I — tn — 1) dm _|_ i, о + У^(I tti) {I -\-tn — 1) dm _ । _ о} •
(4.9)
Функции обладают следующим свойством:
^(е)=^щ-л(е) = (-1)х-*1^(е).
С помощью формул (4.6), (4.8) можно записать разложение выра-
жений для конкретных спиральных амплитуд по парциальным вол-
нам. Например, для процесса n/V-рассеяния 0- + 1/2+-*^-0- + 1/2+,
312
Г лава 8. Амплитуда процесса. Кинематики
используя (4;6), найдем
М\% g (W, 6) =	+ I) g (W) dJ/2 ,/2 (6) =
J
= 2 S (W) cos ° (P-J+ ,/2 (6) - Д, _ |/2 (6));
J
J
Выражения для дифференциального сечения и поляризацион-
ной матрицы плотности. Дифференциальное сечение процесса,
характеризующее переход начальной системы со спиральностями
Xi, в конечную систему со спиральностями Х3, Х4, запишется
в выбранной нами нормировке так *':
х);2;	(4.10)
I R I
здесь x=cos6, /V' — нормировочный множитель.
Если начальные и конечные частицы не поляризованы, то
в (4.10) надо произвести усреднение по начальным и суммирова-
ние по конечным спиральностям. Поэтому дифференциальное
сечение для неполяризованных частиц будет выглядеть следую-
щим образом:	~
<4"’
где Sj, s2 — спины начальных частиц. В том случае, когда в на-
чальном состоянии имеется фотон со спином s4, множитель
(25x4-1) надо заменить на 2.
Как видно из (4.11), дифференциальное сечение равно сумме
квадратов модулей независимых спиральных амплитуд данного
процесса.
Если начальные частицы поляризованы и характеризуются
матрицей плотности (удовлетворяющей условию Sppz = 1), то
дифференциальное сечение принимает вид (см. также § 2)
JiLdop=spMpiM=.2 j 2	<4-12>
Х3Х, XX XJX'
Матрица плотности р! конечной системы определяется с помощью
матрицы плотности р‘ начальной системы формулой
| do pxsxi; x'x; = 22 ^xxPxx: X^Mx'Xf •	(4.13)
xx x;x'
*> Множитель dQ мы по-прежнему опускаем; переход к doldi можно про-
извести с помощью формул (2.22) и (2.23).
Д 4. Спиральные амплитуды
313
Выражение для поляризации конечной частицы через спиральные
амплитуды выглядит так (s — оператор спина):
IJldo Р = Sp (sMp'M+).	(4.14)
» I К I
Подставляя (4.4) в (4.11), получаем выражение для дифферен-
циального сечения в случае неполяризованных частиц через
спиральные парциальные амплитуды:
da = | к | (2si+1) (2s2 +1) 2 Z Z +	+Х
J J*
X dJKfl (6) 4'u' (PJ )tt (FJ')££‘. (4.15)
'Гак как в случае неполяризованных частиц Х = Х', ц = |1', то
< (6)=4 (6) = Pj (cos 6).	(4.16)
Кроме того, воспользуемся выражением для произведения
двух функций (6) df/tf (6) через сумму по одной функции
^(6l4V=i; Ck	(4.17)
I
где C/im,/2m2 — коэффициенты Клебша — Гор дана. Подстановка
(*1.16) и (4.17) в (4.15) приводит к следующему выражению для
дифференциального сечения через парциальные спиновые ампли-
туды в случае неполяризованных частиц:
*	2 2 2 <•'+*'•> <•''+« х
X(-l)il_'1(FJ)tl	j*-MPz(cose). (4.18)
i
Связь между спиральными амплитудами и скалярными функ-
циями. Выясним, как связаны между собой спиральные ампли-
туды и скалярные функции Ft(W, 6). В § 2 были полу-
чены выражения для амплитуд процессов в с. ц. м., в виде
суммы произведений скалярных функций F/(W, 6) и спиновых
комбинаций. При этом спины частиц характеризовались их про-
екциями вдоль произвольной оси z, не совпадающей с направле-
ниями импульсов частицы. Найдем теперь выражение для ука-
шпиых амплитуд, спроектировав спины на направления импульсов
чистпц (приведем амплитуду к спиральной форме). Соберем в при-
веденной амплитуде члены, дающие вклад в данную спиральную
пмплитуду Полученное выражение будет содержать ска-
лярные функции F((W, 6). Тем самым будет найдено выражение
314
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематики
определенной спиральной амплитуды	через скалярные
функции Fi (W, 6). Разрешая полученную систему относительно
Fi(W, 6), найдем выражение последних через спиральные амплн
туды.
Рассмотрим для примера лА/-рассеяние. Как уже говорилссь,
этот процесс характеризуется двумя независимыми спиральными
амплитудами: Л4}/|о, М~'/До-
Выражение в с. ц. м. для амплитуды того же процесса, содер»
жащее функции Ft{W, 6), определяется формулой (2.8). Приведем
это выражение к спиральной форме. Направим (см. рис. 8.-I)
импульс к по оси г и расположим к' в плоскости хг, тогда едп
ничные векторы кик' будут иметь следующие проекции:
к (0, 0, 1), к'(sine, 0, cos6).
Волновые функции начального нуклона, соответствующие
проекциям спина по оси z, т. е. А, = -р1/г и против оси z, т. е.
Z = —^г» выглядят так:
фХ=1/2 =
фХ = — 1/2 =
0\
,1/
Аналогичным образом запишутся волновые функции конечного
нуклона, соответствующие проекциям спина по оси г (т. е. X
= 1/2) и против оси г (т. е. Х = — */2). Однако чтобы каждая
из этих волновых функций соответствовала определенному спи»
ральному состоянию, надо спроектировать ось г на импульс
к', т. е. совершить поворот на угол 6 вокруг оси у (см. гл. 16,
§ 1):
— Ш.Л
,	—I е .	. е\
Ф = е 2 ф = ^cos g — iuy sin g =
Окончательно для спиральных функций конечного
получим:
COS-g	—s,n TjA / J\	/C0S 2
. 6	fl \0/	1  0
Sin -g COS g- /	\ Sin 2
(6	. 6\	/	. O’
COS-g-	— Sin-gX/Qx / —sin-g-
6	0 )\ 1 /	( fl
sin 2 COS 2 / ' '	\ cos 2
фХ = 1/2 =
нуклона
(4.19)
(4.20)
\*> 5. Изотопическая инвариантность
315
Чтобы определить вклад амплитуды (2.8), например, в спи-
ральную амплитуду Al'/io» надо найти вид формулы (2.8), зафик-
сировав указанные значения спиральностей частиц:
M$g = (cos| sin ® )[Л(и7,е) + ^2(^,е)(ок')(ак)]^, (4.21)
1 О
|д«« ок = <тлЛл.4-а^ + аА= Q ;
ok' = Uxk'x + dyky + Gzk'z =
„ /1	0\
°+(o -l)cose =
_ /cos 6 sin6\
\ sin 6 — cos 6/
Подставляя последние выражения в (4.21) и производя перемно-
/нсиие матриц, находим
M-}//2o = cosy(F1 + F2).	(4.22)
Аналогичным образом получим
 л—1/2 0	/		6
М 1/2 0 = Sin ~2
cosy)
[/=!(№, e) + F2(F, 6) (ok') (ok)]
= — sin | (Л- F2). (4.22')
§ 5. ИЗОТОПИЧЕСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ИЗОТОПИЧЕСКАЯ
СТРУКТУРА АМПЛИТУД
Внутренние свойства симметрии элементарных частиц. Изото-
пическое пространство. До сих пор мы рассматривали' такие
свойства физических систем, которые остаются инвариантными
при преобразовании четырехмерного пространства-времени.
Наряду с этим существуют преобразования, при которых про-
г|рниственно-временные координаты остаются неизменными: х->
► х' = х, а изменяются лишь волновые функции Фа (х) ->Фа (х).
Inane преобразования связаны с внутренними свойствами полей
п соответствующих им элементарных частиц и поэтому могут
быть названы внутренними преобразованиями.
Свойства физических систем, которые остаются инвариант-
ными при внутренних преобразованиях, обычно называют внут-
ренними свойствами симметрии. Чтобы подчеркнуть, что внут-
ренние преобразования совершаются не в обычном четырехмер-
пом пространстве-времени, наряду с последним вводят другое
пространство, которое было названо изотопическим.
316
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Анализировались как четырехмерные, так и трехмерные изо-
топические пространства. Мы ограничимся рассмотрением случая
трехмерного изопространства. В таком изопространстве можно
ввести три оси 1, 2, 3 и рассматривать следующие преобразова
ния: вращение вокруг одной оси (например, 3) вращение вокруг
двух осей (1, 3 или 2, 3), вращение вокруг трех осей.
При построении изотопических свойств частиц вводятся те
же понятия, которые используются при изучении пространст
венно-временных свойств частиц: изотопические операторы, вол-
новая функция, преобразование, инвариантность. Однако нт
сказанного видно, что аналогия является сугубо формальной.
Остановимся сначала на вопросах, касающихся изотопиче-
ских волновых функций и операторов, а затем перейдем к пре-
образованиям в изопространстве и инвариантности относительно
этих преобразований.
Изотопические операторы и волновые функции. Опыт показы-
вает, что если пренебречь электромагнитными взаимодействиями,
то адроны можно объединить в определенные группы (мульти-
плеты) частиц, тождественных по своим свойствам. Такие муль-
типлеты могут состоять (см. таблицу элементарных частиц) из
одной частицы (например, Л, т], <о, Q-), из двух частиц (п, р;
К1, К°; К~, №; S’, Е°), из трех частиц (л+, л-, л°; р+, р~, р°;
S',	S°; S*+, S*~, S*°), из четырех частиц (Д~, А0, Д+, Д++).
Небольшая разница в массах частиц данного мультиплета обу-
словлена электромагнитными взаимодействиями. Следовательно,
в рамках только сильных взаимодействий частицы мультиплета
можно рассматривать как различные . состояния одной и той же
частицы, причем каждое состояние характеризуется (маркируется)
определенным значением заряда.
Чтобы описать эту ситуацию математически, сопоставим каж-
дому Мультиплету число, имеющее столько же проекций, сколько
содержится частиц в мультиплете, а каждой проекции — частицу
с определенным зарядом. Такое число получило название изото-
пического спина. Изотопический спин мультиплета, состоящего
из одной частицы, равен нулю, из двух — 1/2, из трех — единице,
из четырех — 3/2 и т. д. Чтобы зафиксировать частицу с данным
зарядом, зададим ее изоспин I и его определенную проекцию /я.
Сопоставление знака проекции знаку заряда произвольно. Обычно
выбирают для протона /з = 1/г1 Для нейтрона /3 =—1/2, для л1-,
л--, л°-мезонов /з=+1, — 1, 0 соответственно и т. д. (при
таком выборе знаки проекции изоспина совпадают со знаками
заряда).
Волновая функция частиц данного мультиплета, помимо коор-
динат и обычного спина, должна зависеть еще от изоспина и его
проекции. По аналогии с обычным спином последнюю зависимость
можно описать с помощью многокомпонентных изотопических
волновых функций. Тогда частицам с изоспином ноль можно
(5 5. Изотопическая инвариантность
317
сопоставить однокомпонентную изотопическую волновую функ-
цию (изоскаляр в изопространстве), с изоспином V2 — двухком-
иояентную волнорую функцию (изоспинор)
со спином 1 — трехкомпонентную (изовектор)
(5.2)
Волновая функция частицы является произведением изотопиче-
ской функции и функций координат и обычного спина.
В квантовой механике каждой физической величине ставится
и соответствие оператор; по аналогии g обычным спином, мы вве-
дем операторы изотопического спина в виде матриц, которые по
нпду полностью совпадают с матрицами обычного спина. Напри-
мер, изотопическому спину */2 сопоставим три двухрядные мат-
рицы, совпадающие с матрицами Паули,
пзоспину 1—три трехрядные матрицы, совпадающие с матри-
цами орбитального момента /=1,
/0	0	0\	/ 0	0	i\	/0	— i	0\
71 = [0	0	— I ),	Г2 = [ 0	0	0),	73 = (i	0	0).
\0	i	0/	\— i	0	0/	\0	0	0/
(5.4)
Имея в виду (5.1) и (5.2), получаем изоволновые функции для
частиц с изоспином ’/2 (например, нейтрона и протона):
(5.5)
и также для частиц с изоспином 1:
/*\	!°\
шх = 0 , cog = 1 ,
\0/	\0/
to3 =
/0
( °
\1
(5.6)
Волновую функцию частиц с изоспином 1 можно рассматривать
как изовектор с компонентами tolt w2, <о3, через которые волно-
вые функции о)+, со., и соо положительного, отрицательного и ней-
318
Г лава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
трального мезонов выражаются следующим образом:
to+
7=(®i + i<02), со- — —f=(coi — 1СО2), coo = <в3.
(5.7)
и матрицы (5.4) приобретают другой вид.
Если использовать символы Кронекера 6pi (где р=1,
2, 3 соответственно для л+-, л~- и л°-мезонов), то со,. >
= ($pi + ^Pi)> t0- = p== (^pi — i6p.2), соо = брз или в компо-
нентах
Мй' й’ “) Чй- “) °- ” <5-8>
Собственные значения оператора /3 определяют проекцию изо-
спина на ось 3. Если учесть, что волновые функции изоспинор-
ных частиц (например, нейтрона и протона) определяются (5.5),
то собственные значения оператора т3 будут равны ± 1: т3фр
= 1 • фр, т3ф„ = —1-ф„. Но так как заряд изоспинорных частиц
(например, протона и нейтрона) равен соответственно 1 и 0, то
видно, что в данном случае собственные значения оператора
1/2 т3 отличаются от значений заряда протона и нейтрона и по-
тому физического смысла не имеют. Поэтому введем оператор
«-ЧЧ “)•	<5-9>
собственные значения которого совпадают с зарядом изоспинор-
ных частиц (например, протона и нейтрона), т. е. равны 1 и 0:
<2'Фр = + 1 • фр, <2'ф„ = 0 • ф„.
Следовательно, в случае изоспинора физический смысл имеет
именно оператор О’, его называют оператором заряда. Для
частиц с изоспином 1 оператором заряда является Т3, так как
его собственные значения (1, —1, 0) совпадают с зарядами
частиц (±1, 0): T3to+ = ф- 1 -to+, 7’3w_ = —lw_, 73coo = 0  coo.
До сих пор мы рассматривали изотопические характеристики
отдельных частиц. Выясним теперь, как построить оператор
изотопического спина и изотопическую волновую функцию для
системы из двух частиц. Рассмотрим систему, состоящую из
частиц с изоспином 1 и 1/.1, например систему из мезона и ну-
клона или из S- и Е-частиц и т. п. Оператор полного изотопи-
ческого спина I системы складывается из операторов изотопи-
ческого спина нуклона и мезона:
1=|т + Т.	(5.10)
Аналогичным образом оператор Q полного заряда системы равен
Q = T3 + Q'.	(5.11)
j>’ 5. Изотопическая инвариантность
319
Из соотношения (5.10) следует, что изотопические спины скла-
дываются . так же, как обычные моменты импульса, например
сумма двух изоспинов 1 и V2 равна 1  +1/2 = 3/2 и 1 —1/2 = 1/2.
Состояние системы частиц можно характеризовать либо
с помощью. зарядов, либо с помощью полного изотопического
спина и его проекций 13. Волновыми функциями, соответст-
вующими определенным зарядовым состояниям, в рассматри-
ваемом случае будут:
(/?') = фрсо+, (/?-) = фрсо_, (р°) =	j у
(п+) = ф„со+, (п) = ф„<о_, (п°) = фп<Оо;
Здесь (р+) — функция системы, состоящей из положительного
мезона и протона и т. д. Функции (5.12), вообще говоря, не
являются собственными функциями квадрата оператора полного
пютопического спина /2 и его проекции /3. Чтобы найти ука-
laiiiibie собственные функции, воспользуемся их выражением
через изофункции нуклона ф и мезона to:
Ф"3 = S СУк.	.	(5.13)
Т'з. Ъ
где Ф11* — собственные функции квадрата оператора /2 полного
пкюппна системы; Сттв,тт3 — коэффициенты Клебша — Гордана.
Найдем, например, волновую функцию Ф3/21/2, описывающую
систему с / = 3/2 и —
,1)3/2 1/2.=	С01Гзф) .
Т„ т3 81 2 Хз 2 3
Величину /3 = 1/2 можно получить с помощью значений Т3 и т3
в двух случаях, когда Т3= 1 ит3 = —1/2 и когда Т3 = 0 и т3 = 1/2.
по /тому "
з 2.	А1
<1> 2 2 _ С 2 2^ _ £СОпф£ _ 1 + С 2 2 )	2 =
2	2	2	2 U’ 2 -2	2 2
*	=^ктг+Г2(л0р)],	(5.14)
аналогично:
<1)1/2 1/2 _ _ |/ j/З Ю()^	j/”-|-СО+ф„, Ф3/2 3/2 = СО+фр,
,|)1/2 — 1/2 _ ]/2/3 СО_фр 4- у СОофп, Ф3/2— 3/2 = (о_фл,	(5.15)
ФЗ/2 - 1/2 = ]/Т73 Ю_фр + СО0ф„.
Функции Ф ортогональны и нормированы на единицу.
320
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематики
С помощью (5.14) и (5.15) можно найти выражение «заря
довых» функций (5.12) через функции полного изоспина:
(р+) =0)3/23/2, (р-) =|/Т/3 0)3/2-1/2 _ Д/^г/ЗО)1/2 —1/2,
(рО) = ]/2/3 0)3/2 1/2 _ УТ/З Ф' /2 1/2,
(«+) = УТ/3 0)3/2 1/2 _|_ уг.|. 0)1/2 1/2,	(5.16)
(п~) = 0)3/2 - 3/2, (ПО) = |/2/3 0)3/2 -1/2 у 1/3 0)1/2- 1/2
Переходим к рассмотрению преобразований в изотопическом
пространстве. Начнем с наиболее простой операции вращения
вокруг третьей оси.
Электрический заряд. Гиперзаряд. Странность. Известно, что
физический смысл имеют лишь билинейные комбинации волно-
вых функций 0)*0>. Эти комбинации остаются инвариантными
относительно внутреннего преобразования (а — произвольное
число)
Ф->Ф' = Фе'а,	' (5.17)
получившего название калибровочного преобразования *>. Инвари
антность относительно калибровочного преобразования (5.17)
приводит к закону сохранения электрического заряда (см. гл. 3,
§ 2). Но калибровочные преобразования можно представить
также в виде вращения вокруг третьей оси в изопространстве.
Действительно, комплексное поле (описывающее заряженную
частицу), например, изовекторной частицы, является комбина-
цией его вещественной Ф1 и мнимой Ф2 частей:
Ф = (Фх + /Ф2), ф+ = -L (ф! - /Ф2).
С учетом этого калибровочное преобразование Ф->Ф'=е,аФ
примет вид
Ф14- /Фа = е'°- (Ф1 + ;Ф2) = (cos а 4- i sin a) (Фх 4- 1Ф2).
Приравнивая вещественные и мнимые части, получаем
Ф( = cos а Фх — sin а Ф2; Фа ="sin а Фх 4- cos а Ф2,
т. е. функции Фх и Ф2 преобразуются как две первые компо-
ненты вектора при вращении на угол а вокруг третьей осп
в изотопическом пространстве. Другими словами, калибровоч-
ное преобразование эквивалентно вращению вокруг третьей осп
в изопространстве. Соответственно инвариантность относительно
калибровочного преобразования эквивалентна инвариантности
»> Подчеркнем, что калибровочное и градиентное (см. гл. 1, § 2) преобра-
зования являются двумя существенно различными преобразованиями. Иногда
их называют соответственно преобразованиями первого и второго рода.
j[i 5. И; отопическач инвариантность
321
относительно вращения вокруг третьей оси в изопространстве.
11оследняя инвариантность приводит к закону сохранения третьей
компоненты изотопического спина, следовательно,
Q = /3.	(5.18)
Закон сохранения электрического заряда выполняется для всех
в |;шмодействий, поэтому всегда существует инвариантность отно-
сительно калибровочного преобразования, а следовательно, отно-
сительно вращения вокруг третьей оси в изопространстве.
Однако, как показывает опыт, у адронов наряду с электри-
ческим зарядом существуют еще два сохраняющихся квантовых
числа — барионный заряд В и странность S. Другими словами,
для волновых полей адронов должна существовать еще инвари-
антность относительно двух калибровочных преобразований:
• 1> ->Фегав, Ф—>-Фе‘“5. С учетом квантовых чисел В, S формулу
(5.18) надо обобщить в соответствии с опытными данными так:
<2 = /3+^ = /з + у.	(5.19)
Величина У = Вф5 называется гиперзарядом. Значения Q, В
и .S для адронов приведены в таблице элементарных частиц.
Ли гнадронам соответствуют значения Q, В, S и У с противопо-
ложными знаками.
Электрический заряд, барионный заряд и странность системы,
состоящей из нескольких частиц, равны алгебраической сумме
соответствующих величин. Иначе говоря, Q, В, S и У являются
аддитивными квантовыми числами. Барионный заряд сохраняется
при всех взаимодействиях. Так как барионный заряд мезонов
п лептонов равен нулю, то барионы не могут превращаться
и мезоны и лептоны. Этот переход разрешен, однако, для системы,
состоящей из бариона и антибариона (суммарное барионное
число ее равно нулю).
Как показывает опыт, странное число сохраняется для силь-
ного и электромагнитного взаимодействий. Поэтому для указан-
ных взаимодействий:
I) странная частица не может распадаться на частицы, стран-
ность которых равна нулю; например, запрещены распады,
обусловленные сильным взаимодействием, Л р + л~, 2+ —р ф- л°,
и также распады, обусловленные электромагнитным взаимодейст-
вием, /(+-> л+ф-у, 2+->рф-у, но разрешен распад 2°->Лф-у;
2) при столкновении двух частиц с нулевой странностью не
может произойти образование одной странной частицы (например,
л/i ► рК и т. п.). Возможно образование, по крайней мере, двух
। ipainibix частиц с равными по величине, но противоположными
по таку странностями или образование системы странных частиц
П Ислипа Н. Ф.
322
i
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
с суммарной странностью, равной нулю, например:
лр^КК,	и т; д.
Зарядовая симметрия. Мы рассмотрели вращение вокруг
оси 3 в изотопическом пространстве. Рассмотрим теперь вращение
в изопространстве вокруг оси 2, а также инвариантность отно-
сительно этого преобразования.
Пусть Т2(л) — оператор поворота в изопространстве на 180°
вокруг оси 2. Выясним, как преобразуются изотопические вол-
новые функции частиц при Тг (л)-поворотах. При поворотах
вокруг оси 2 изоспиноры преобразуются (см. гл. 16, § 1) сле-
дующим образом:
1,	1 .
“зг 1Т2Л — .	— --ITjIl
•ф =е2 ф; ф =фе 2	.	>
-«тл
Так как (гг2)2 =— т! = —1, то е2 2 = cos у ф-гг2 sin у == ;т2, т. е.
ф->гг2ф, ф->ф(—1т2). Действуя оператором ;т2 на изоволновые
функции (5.5) протона и нейтрона, а также антипротона фр
и антинейтрона ф„, получаем
• (Ч Я • Я Я /
1Т2'\о/	“ и г 1Х- \1 /= \о/ (частицы)’
(1, 0) (—1Т2) — — (0, 1), (0, 1)(—/т2) = (1, 0) (античастицы).
Следовательно, при Т2 (л)-поворотах волновые функции нукло-
нов (изоспиноров) преобразуются так:
Фр =—(5.20)
При Т2 (л)-поворотах компоненты изовекторной функции преоб-
разуются следующим образом: сщ—>—©j, а>2—>cd2, cd3—>—to3,
поэтому
<Во = <В3	— <В3 =-tOoi
(0+ = у— (tOj ф- 1<В2)	р== (— tOj ф- ZO)2)
(«1 - 1<02) -> Я (— сщ - /Иг)
Если имеется зарядовая симметрия, т. е. инвариантность
относительно Т2 (л)-преобразования, то, как видно из (5.20)
и (5.21), процессы, которые получаются друг из друга заменой
pz^n, р^п, л+7*л~; л°->л°, будут эквивалентны. Например,
эквивалентны процессы пф- л+-> п-\- л+, р ф- л- -> р ф- л*.
Как показывают опыты, зарядовая симметрия существует для
процессов, обусловленных сильными взаимодействиями, и отсут-
ствует в случае электромагнитных взаимодействий.. '
= — <о_;	(5.21)
= —to+.
J 5. Изотопическая инвариантность	323
G-преобразование и G-четность. Как видно из (5.21), при
ТУповороте волновая функция л°-мезона переходит сама в себя
и меняет знак, а волновые функции л+- и лг-мезонов — друг
в друга с обратными знаками.
Если имеется инвариантность относительно /^-преобразования,
то согласно (5.20) л°-мезон обладает отрицательной ТУчетностью,
а л+- и лг-мезоны — не имеют ее. Дополним ТУ преобразование
операцией зарядового сопряжения С, при которой лЛ->лг,
л —>л4', л°->л°. При С7Упреобразовании изовекторные волно-
вые функции л;+-, л;--, л;°-мезонов преобразуются таким образом:
> (ояь, Фд—	Фл—, Фл° е)л°.	(5.22)
Произведение операций С и Т2 называется G-преобразованием,
G = CT2.
Из (5.22) видно, что волновые функции всех трех л;-мезонов
при G-преобразовании переходят сами в себя со знаком «минус»:
Geon—<йя. Следовательно, все три л;-мезона имеют отрицатель-
ную G-четность, хотя отдельно ТУчетностью и С-четностью л;—
мезоны не обладают.
Очевидно, что определенной G-четностью обладают лишь те
адроны и системы адронов, барионный заряд и странность кото-
рых равны нулю, так как при зарядовом сопряжении знак этих
квантовых чисел меняется, а при ТУ преобразовании — не
меняется. Другими словами, определенной G-четностью обладают
все мезоны и мезонные резонансы, у которых странность равна
пулю (л;-, т]-, о-, р-, ср-, f-мезоны), а также системы, состоящие
из нуклона и антинуклона, бариона и антиэариона, 7<-мезона
и анти-Т<-мезона.
Выясним, какова G-четность системы, состоящей из частицы
и античастицы. Зарядовая четность т]с такой системы опреде-
ляется формулой (2.13), гл. 2. Изоволновая функция системы
частица — античастица с полным изоспином I преобразуется при
ТУповороте так:
ф-/ = (—1)'ф'_	(5.23)
Последнее следует из того, что изоволновые функции Ф7 удов-
летворяют уравнениям (7 и 73 —операторы изоспина):
/2ф/ = 7(7+1)Ф/ и 73Ф7 = 73Ф7,
которые математически эквивалентны уравнениям для шаровых
функций Yl0 с проекцией ш = 0 (так как проекции изоспинов
частицы и античастицы равны и противоположны по знаку).
При Т2-повороте (х-> — х, у-+у, z-> —z и cos6-> — cos 6)
шаровая- функция Y (cos 6) -> (—- l)z Y l0 (cos 6), что приводит
к формуле (5.23).
11*
324
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Учитывая формулы (2.13) гл. 2 л (5.23) получим, что G-
четность системы, состоящей из частицы и античастицы с про-
извольными спином и изоспином, равна
Ла = 1]с(— !)' = (— Dz+s+/,	(5.24)
где т]с — зарядовая четность; / — орбитальный момент;, s, / — пол-
ные спин и изоспин системы.
G-четность и сильные взаимодействия. В случае
сильных взаимодействий имеет место зарядовая симметрия и
инвариантность относительно зарядового сопряжения. Следова-
тельно, сильные взаимодействия инвариантны относительно G-пре-
образования. Поэтому для сильных взаимодействий выполняется
закон сохранения G-четности: результирующая G-четность системы
до реакции и после реакции должна быть одинаковой. Приведем
несколько следствий, которые вытекают из закона сохранения
G-четности.
1.	Так как G-четность л-мезона отрицательна, то четное
число л-мезонов может переходить лишь в четное число л-мезонов,
а нечетное —в нечетное. Иначе говоря, амплитуда процесса с уча-
стием только л-мезонов будет отлична от нуля лишь в том слу-
чае, если в процессе участвует четное число л-мезонов.
2.	Если G-четность части гы положительна (р, /-мезоны и т. п.),
то такая частица распадается на четное число л-мезэнов.
3.	Если G-четность частицы отрицательна (со-, <р-мезоны и т. п.),
то такая частица распадается на нечетное число л-мезонов.
G-четность и электромагнитные взаимодейст-
в и я. Для электромагнитных взаимодействий зарядовая симметрия
отсутствует, следовательно, отсутствует инвариантность относи-
тельно G-преобразования. Другими словами, в процессах с уча-
стием электромагнитных взаимодействий G-четность не сохраняется.
Поэтому, в частности, отлична от нуля амплитуда процесса
с участием любогС числа л-мезонов, е-сли при этом присутствует
фотон. Однако в процессах с участием электромагнитных взаимо-
действий сохраняется проекция изоспина на ось 3, иначе говоря,
остается инвариантность относительно вращений вокруг оси 3
в изопространстве. Следовательно, изотопическая амплитуда про-
цесса с участием электромагнитных взаимодействий должна быть
в наиболее простом случае суммой двух величин:
м1 = <Ф/ I So + V31 Ф') = <Ф/1 So IФ'; + (ф/ I V31 Ф/>,	(5.25)
преобразующихся при вращении вокруг оси 3 в изопространстве
как изоскаляр и как третья компонента изовектора (обе эти
величины не меняются при вращении вокруг третьей оси). Сла-
гаемое (ф/150|Фг/ в (5.25) описывает взаимодействие изотопи-
чески скалярной части фотона; при поглощении или испускании
такого фотона изоспин системы не меняется. Член (ф/ |У3 |Ф<)
iJi 5. Изотопическая инвариантность
325
и (5.25) соответствует взаимодействию изотопически векторной
чисти фотона, испускание или поглощение которой может либо
пс менять, либо изменить изоспин системы на единицу.
Выясним, какова G-четность изоскалярной и изовекторной
частей фотона. Зарядовая четность фотона отрицательна. При
7’а-поворотах изоскалярная часть фотона не меняет знака, поэтому
она обладает отрицательной G-четностью. При /^-преобразованиях
пзовекторная часть меняет знак, поэтому ее G-четность положи-
тельна. Отсюда следует важный вывод: переход фотона в нечет-
ное число л-мезонов может быть обусловлен лишь его изоска-
лярпой частью.
Изотопическая инвариантность. Изотопические инварианты.
11ерейдем' к рассмотрению произвольных вращений в трехмерном
изотоническом пространстве. С этим преобразованием связано
понятие изотопической инвариантности (или зарядовой незави-
симости). Изотопическая инвариантность аналогична инвариант-
ности относительно вращения в обычном трехмерном пространстве.
Согласно последней физические законы и соответствующие им
выражения остаются неизменными при вращениях в трехмерном
пространстве. С инвариантностью относительно вращений в трех-
мерном пространстве связан закон сохранения полного момента
импульса.
Изотопическая инвариантность означает, что физические за-
коны и соответствующие им выражения остаются неизменными
при произвольных вращениях в изотопическом пространстве.
Изотопическая инвариантность приводит к закону сохранения
изотопического спина: полный изотопический спин системы до
реакции должен быть равен полном}' изотопическому спину системы
после реакции.
Из рассмотренных изотопических операторов и волновых
функций можно построить’ величиньф которые ведут себя при
вращении в изотопическом пространстве: 1) как изотопические
скаляры (ф, о —эрмитово сопряженные)
фф, (фтф) ®, (®(1W2)),	*	• .	(5.26)
где со — изовекторные волновые функции;
2) как изотопические векторы фтф, [<о(1)со(2)] и т. п.
Если существует изотопическая инвариантность, то в выра-
жение для амплитуды могут входить лишь изотопические инва-
рианты, т. е. такие комбинации изотопических величин, . которые
не меняются при вращениях в изотопическом пространстве. Изо-
иивариантом будет любой изотопический скаляр, например ска-
лярное произведение двух изовекторов и т. п.
Изотопическая структура амплитуды. Для построения изото-
пической структуры амплитуды процесса можно использовать
тот же метод, с помощью которого находилась инвариантная
спиновая структура амплитуды (см. § 1).
326
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Рассмотрим реакцию
1 + 2->ЗН-4.	(5.27)
С учетом требований Изотопической инвариантности вместо фор-
мулы (1.7) будем иметь
<М = Ф^Фз+Ф4+ Ф4/+ Ti (s> 0 ЯАФ'ФгФ'^	(5.28)
i
где Ri — независимые инвариантные спиновые комбинации. Так
как операторы у и изотопические операторы I действуют в раз-
личных пространствах, то они коммутируют между собой. Поэтому
амплитуду (5.28) можно записать в виде суммы произведений:
0^ = 2 (фГфГГ,-Ф'Ф0 (ФзФ^гФ1Ф2).	(5.29)
i
Следовательно, требование изотопической инвариантности приво-
дит к тому, что каждая функция Ti(s, t) в формуле (1.7) имеет
определенную, одну и ту же для данного процесса изотопическую
структуру. Чтобы определить эту изотопическую структуру в том
случае, когда имеется изотопическая инвариантность, надо по-
строить изоскаляры из изотопических операторов и изотопических
волновых функций частиц, участвующих в процессе. Причем эти
изоскаляры должны быть независимыми. Целесообразнее сначала
подсчитать число независимых изоскаляров, используя закон
сохранения полного изоспина, а затем искать их явный вид.
С учетом сказанного выражение (5.29) перепишется так:
М = 2 (Фз+Ф4/+ 2 Т[ (s, /) г'ф/ф') (Ф^Ф^Ф^),
i	i
где г> — независимые инвариантные изоспиновые комбинации.
Подчеркнем, что изотопическая структура амплитуды процесса
определяется не конкретным видом частиц, а их изоспинами.
Рассмотрим, например, процесс (1-.8), обусловленный сильным
взаимодействием. В этом случае существует изотопическая инва-
риантность, т. е. полный изотопический спин сохраняется. Воз-
можны два перехода (1/2-> 1/2, 3/2-> 3/2). Выражение для изо-
амплитуды, симметричное по операторам т, запишется в виде
М’ = ф (УрТрТр- + 77тр-Тр) фОрОр', р = 1, 2, 3.
Учитывая соотношение
тртр' = ~2 (тртр' “Р ^’р'^'р) “Р ЦрТ'р' тр'тр) = ®рр’ “Р -% [1'р> тр']-
и переходя к новым функциям Ti, получаем
М1 =ф{П6рр- + Пу [тр-, TPJ_|фсорйр-.	(5.30)
§ 5. Изотопическая инвариантность
327
Выражение для изоамплитуды можно записать в другом виде,
используя “векторы т и Т:
М‘ =^G5 {Т'* — 7^7 (тТ)} 1рсо.	(5.30')
Изотопическая структура амплитуды процесса с участием трех
идропов (см. § 1) определяется аналогичным образом. Например,
структура амлитуды процесса превращения бариона В с изоспи-
иом */2 в барион с тем же изоспином-и л-мезон (изоспин / = I),
г, е. В->В-|-л, запишется в виде
Af = Т’ЬрТр'фЫр.	.	(5.31)
С учетом спиновых (1.25) и изотопических (5.31) свойств
амплитуда процесса N (р() N (р2) + л (q) принимает форму
М'1 (t) =	(р2) ЪТргД+Чр!) фйрф* (q).	(5.31')
Зарядовая структура амплитуды процесса. При вычислениях
удобно пользоваться полученным видом изотопической амплитуды.
Однако указанные амплитуды не соответствуют физическому про-
цессу с определенными зарядами частиц. На опыте же изучают
именно последние процессы. Поэтому возникает задача —выра-
зить амплитуду процесса с определенными зарядами частиц через
изотопические амплитуды Т[. Например, изоструктура амплитуды
процесса рассеяния л-мезонов на нуклонах, согласно (5.30), вы-
глядит так:
М> = ф {Пбрр- + ^ • 4 1тр'’ тр]-} 'Ф°)рыр'-
(5.32)
Возможны следующие процессы рассеяния л-мезонов на нуклонах:
л* + р -> л- р;
л+ + р -> л+ + р;
л- 4- р -> л° п.
(5.33)
(5.34)
(5.35)
Для того чтобы получить изоамплитуду каждого из этих про-
цессов, надо заменить волновые функции, входящие в выражение
(5,32), волновыми функциями, соответствующими данному заря-
довому состоянию. Например, в случае процесса (5.33), согласно
(5.5) и (5.8), будем иметь
$-(1.0);	0);
7?’ °)-
328
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Подставляя эти функции в (5.32) и учитывая (5.3), получаем
<л-р | T'i | ягр) = ф ^^(о_р®_р-6рр- 4- Ti ~ [тр-а_р/, ТрО) р] ф =
= (10) |т4 + TI -g [(Тхй., 1 + Т2Й_ 2 + Т3Й_,3),
(ti<b. _ j т2С1)_1 2 4" тз<»_, з)]- } ( о ) = (1 0) {у) 4" T’i X
х*1[(т*А+^А)- (’w~T!wW)-7'1+n (5-36)
Тем самым получено выражение амплитуды конкретного физиче-
ского процесса через изотопические амплитуды T't.
Аналогичным образом найдем для процессов (5.34) и (5.35)
<л+р|71|л+р) = (^-71);
(5.37)
<л°/г| T’i | л р. = — /271.
Структура амплитуды по полному изотопическому спину.
Состояние системы можно описывать не только зарядом, но и
полным изотопическим спином. Вследствие этого амплитуда одного
и того же процесса может быть записана в другой форме. Выясним,
как связаны между собой скалярные функции, входящие в эти
различные формы амплитуды.
Рассмотрим для примера процессы (5.33) — (5.35). Подставляя
в (5.30') функцию Ф8/2 .описывающую систему мезон-нуклои
с полным изоспином / = 3/2, получаем
<фа/г | Т[ | Ф’4) = (Ф’'Ч Т\ - (Тт) 71 | фа/* >.	(5.38)
Чтобы найти собственные значения оператора (Тт), возведем
в квадрат оператор (5.10) полного изотопического момента системы:
,2=(|)24-Т24-(Тт),
(5.39)
причем собственные значения оператора I2 равны I (7 4-1)- Фор-
мула (5.39) дает (Тт) = 12 —Т2 —. Отсюда следует, что собст-
венное значение оператора (Тт) в состоянии с полным изотопическим
спином / = -| равно | 4- 1)------— 1, т. е. (Тт) Ф*/» = 1 • Ф8/«.
С учетом этого соотношения формула (5.38) перепишется так:
Г? = (Ф’/21 Ti | Фа/г > = Т\ - Т}.	(5.40)
Действ-уя тем же способом, получаем для случая / = 1/2
Г? = Г]-4-271-
(5.41)
§ 5. Изотопическая инвариантность
329
Разрешая (5.40) и (5.41) относительно Т\ и Т1, находим выра-
жения последних через амплитуды полного изоспина Т]'2 и Т?2-
Т\ = 4 {Т\/2 + 2Т?), Ti = 4 (7?! - Т?*).	(5.42)
О	о
Подставляя (5.42) в (5.32), будем иметь
71=т;/4(6р'₽+4[тр'. *₽]-)+
+ Т? 4 (26p-p - -2 [V, тр]_) = Т'/2Р''2 + Т-'2 Р’'2.
Операторы Р,/г и Р2^ называются проекционными операторами
для состояний с / = ’/2.11 / = 3/г.
Формулы (5.40) — (5.42) устанавливают связь между скаляр-
ными функциями Т\ Т2 и Т41, Т2/* для процесса рассеяния
л. мезонов на нуклонах.
Подставляя (5.42) в (5.36) и (5.37), получаем выражения для
амплитуд процессов (5.33) — (5.35) через амплитуды Т2'1 и Т”/г
с данным полным изоспином:
(рл' | Ti | рл> = ТУ2* <пл’ | Ti! рл’) =	(Т7! - ТУ2\
(pjf | Ti | рл’> = 1 (T? + 27?). (5.43)
Следствия изотопической инвариантности. Изотопическая инва-
риантность приводит к определенным соотношениям между вели-
чинами (амплитудами, сечениями процессов, константами связи,
магнитными моментами, формфакторами, вероятностями распада
частиц). Получим некоторые из этих соотношений.
Соотношения между сечениями. Исключая из выра-
жений (5.36) и (5.37) или (5.43) функции Т{, получаем следующее
соотношение между амплитудами процессов рассеяния л-мезонов
па нуклонах:
М (ра+ рл') =Л4 (рл- -* рл-) + j/2 М (пп° -> рл-).	(5.44)
Ню соотношение означает, что три комплексные амплитуды
М (рл+ -> рл+), М (рл- ->рл-), У2 М (рл- -> пл°)
образуют замкнутый треугольник в комплексной плоскости. Так
пак длина одной стороны треугольника всегда меньше суммы
длин двух других и больше их разности, то, между сечениями
имеется например, соотношение	’
1|/о (рл- -> рл-)	]/2о |/гл° —* рл-) | sg
» |' ст (рл+ -> рл1) sg(]/о (рл- -> рл-) j/2o (лл° -> рл-)).	(5.45)
I акне неравенства называют неравенствами треугольника.
330
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Соотношение между константами взаимодей-
ствия. Рассмотрим взаимодействие л-мезона с нуклоном. Из
изоволновых функций этих частиц можно составить следующий
инвариант:
i»
где gftwn — константа связи л-мезона с нуклоном.
Подставив в последнее выражение волновые функции (5.1) и
(5.7), получим
фрфло)_ + К2ф«фро)+ +
+ (фрфр —	®о] •	(5.46)
Отсюда следует, что константа взаимодействия с нуклоном заря-
женного л-мезона в |/2 раз больше той же величины для ней-
трального л°-мезона.
§ 6. КАНАЛЫ РЕАКЦИИ. АМПЛИТУДЫ РАЗЛИЧНЫХ КАНАЛОВ
Каналы реакции. Рассмотрим процесс с участием четырех
частиц (см. рис. 8.1). Обозначим направление движения частиц
стрелками. Выберем определенное направление оси времени —
справа налево. Тогда одна и та же стрелка будет описывать
Рис. 8.5. Каналы реакции с участием четырех частиц
либо частицу (если направление стрелки совпадает с направле-
нием оси времени), либо античастицу (если направления стрелки
и оси времени противоположны). Изобразим начальные частицы
реакции входящими стрелками, а конечные частицы — выходящими.
Если в этом случае входящая частица становится выходящей
(или наоборот), то частицу надб заменить античастицей.
Из рис. 8.1 видно, что в случае процесса с участием четырех
стабильных частиц возможны следующие различные реакции,
в зависимости от того, какие частицы являются начальными
§ 6. Каналы реакции. Амплитуды различных каналов
331
(рис. 8.5):
14-2->34-4 (прямой канал):	'	(6.1)
1Ц-4 ->24-3 (перекрестный, или кросс-канал);	(6.2)
14-3->4-|-2 (аннигиляционный канал).	(6.3)
Возможны также процессы, обратные перечисленным.
Реакции (6.1) —(6.3) составляют три различных канала, кото-
рые называются соответственно прямым (или первым), перекре-
стным (или вторым) и аннигиляционным (или третьим). Каждый
из каналов характеризуется двумя переменными (см. § 1). Напри-
мер, первый канал можно описать величинами s и t, определяе-
мыми формулами (1.5) и (1.6). Однако удобно ввести три пере-
менные s, и, I, связанные между собой определенным соотношением.
Выпишем для всех каналов закон сохранения энергии-импульса
и определения для переменных s, t, и:
Pi 4- Pi = Рз 4- Pt,
s = (Pi 4* Рз)2 — (Рз 4* Pt)2,
u = (Pi-Pt)2^(Pi~P3)2,
i — (Pi ~ Рз)2 — (Pi ~ Pt)2',
(6.4)
II канал
III канал
Pi + Pt — Pi 4- Рз,
s = (Pi-Pi)2 = (P3~Pt)2,
и = (Pi + Pt)2 = (pi + Рз)2,
t = (Pi~ Рз)2 = (Pi - Pt)2',
Pi + Рз = Pt + Pi,
s^(Pi-pi)2 = (Pt-ps)2,
u = (Pi- Pt)2 = (Pi - Рз)2,
t = (Pl + Рз)2 = (pi + Pt)2-
(6.5)
(6.6)
Если в (6.4) произвести замену Pi -plt Рч-^-pt, Рз~>Pi, Pt-^Рз
и одновременно перейти к новым обозначениям
s-+u, t-^s, u->-t,	(6.7)
то получим выражение (6.5) для переменных s, и, t во втором
канале. Аналогичным образом, производя в (6.4) замену Pi~>-Pi,
Pt -* Рз, Pt -+ pi, Рз -> Pt и переходя к новым переменным
s->/, t-^u, u->-s,	(6.8)
получаем выражения (6.6) для s, и и t третьего канала.
Следовательно, для описания всех трех каналов можно поль-
зоваться одними и теми же переменными. Иначе говоря за исход-
ную можно взять любую из трех реакций, а затем перейти от
нее к двум другим. Поэтому при графическом изображении удобно
пользоваться косоугольной системой координат (рис. 8.6), сим-
332
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
метричной относительно переменных s, и, I (треугольник abc —
равносторонний). Каждая точка на этой плоскости, которую
называют плоскостью Манделъстама, определяется тремя коорди-
натами, равными расстоянию точки до сторон треугольника abc
ити их продолжений. Положительное направление для отсчета s, и
и t указано стрелками (направленными внутрь треугольника).
Легко также проверить, что для любых значений s, и, t выпол-
няется соотношение
s + и +1 = ml ml ml -f- mf.
Рис. 8.6. Плоскость Мандель-
стама
(6.9)
выбрать равной h = m'l -\-
Вследствие указанной симметрии s-, и- и ^-каналов все три
канала можно изобразить одной диаграммой. В частности, на
рис. 8.5 видно, что если на диаграмму s-канала смотреть со
стороны импульсов р2 и р4, то она одновременно является диа-
граммой ^-канала (рис. 8.7).
Выясним, каков физический смысл переменных s, и, t в раз-
личных каналах. Выражения (6.4) — (6.6) перепишутся в с. ц. м.
следующим образом:
I канал
u — ml-\-ml — 2ЕгЕц + 2 | рх 11 р4 j cos 6],
t = ml + ml — 2EiE3 21 px 11 p31 cos 6i;
II канал
s — mj -|- m| — 2EjE2 4- 21 Pi 11 Рг | cos-бц,
u = (E1 + E4)2,
t = ml + ml — 2E1E3 + 21 pt 11 p31 cos’Gn;
III канал
s = ml + ml — 2ЕгЕ2 + 2 | Pi 11 p21 cos 6H,,
и = ml-\-ml — 2Ei£4-|-2 | Pi| | p4| cos Вщ,
^(£X + E3)2.
(6.10)
(6.И)
(6.12)
# 6. Каналы реакции. Амплитуды различных каналов
333
Из формул (6.10) — (6.12) ВИДНО, ЧТО В С. Ц. М. S, и, t являются
квадратом полной энергии соответственно в первом, втором и
третьем каналах, а две остальные переменные в каждом канале
играют роль квадрата импульса отдачи. Поэтому часто первый,
второй и третий каналы называют соответственно S-, и-, t-каналами.
Произведя в формулах (2.4) —(2.6) замену переменных (6.7)
и масс в соответствии с (6.1) —(6.3), получаем выражение для
соответствующих величин в с. ц. м. во втором канале; замены
переменных (6.8) и масс дают выражение для тех же величин
в третьем канале.
Амплитуды перекрестного канала. Метод построения амплитуд
прямого канала был изложен в § 1 — 5. Амплитуды перекрестного
п аннигиляционного каналов строятся аналогичным образом.
Рис. 8.8. Схема процесса: а—до кросс-преобразования, б, в —
• после кросс-преобразования
Остановимся сначала на инвариантных амплитудах перекре-
спюго канала. Рассмотрим процесс, в котором участвуют два
тождественных бозона, например процесс рассеяния л-мезонов
па нуклонах (рис. 8.8, а):
Л1 + М1->л2-|-М2.	(6.13)
Поменяем местами мезоны лх и л2 (рис. 8.8, б), т. е. перейдем
в перекрестный канал	z ч
л2 ф- Л\—> Л1 ф- М2.	(6.14)
В результате приходим к реакции рассеяния антимезонов на
нуклонах.
Если амплитуда прямого канала задана, то от нее можно
перейти к амплитуде перекрестного канала (6.14). Для этого
в общем случае надо совершить над амплитудой прямого канала
кросс-преобразование, т. е.: 1) заменить волновые функции бозо-
нов волновыми функциями антибозонов и затем поменять волно-
вые функции местами; 2) поменять местами операторы изотопи-
ческих спинов бозонов.
Таким образом, для получения амплитуды перекрестного
капала надо (см. § 1) в амплитуде прямого канала произвести
334
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
замену векторов поляризации и энергии-импульса начального и
конечного бозонов:
(6.15)
При этом инвариантная величина s = (/h + ?i)2 = (р2 + 9г)2 заме-
няется « = (Pi — ?г)2 = (Р2 — ?i)2, a t остается без изменения: t
= (р2 — Pi)2 -+t. Следовательно, амплитуда перекрестного канала
получается из амплитуды прямого 'канала путем кросс-преобра-
зования. Но согласно обобщенному принципу Паули амплитуда
процесса не изменится, если переставить два тождественных
бозона. Поэтому амплитуды прямого Mrg (s, t) и перекрестного
Mqr (и, t) процессов с участием двух тождественных бозонов
должны удовлетворять условию (г, q — изотопические индексы
бозонов)
МГд (Pi, р2; qlt q2)=Mgr(pi, р2, — q2, -qi),	(6.16)
или
Mrg(s, t) = Mgr(u, t).	(6.17)
Это свойство амплитуды называется перекрестной симметрией,
или .кросс-симметрией.
С точки зрения перекрестной симметрии удобно записывать
амплитуду прямого канала в виде суммы таких комбинации,
которые при кросс-преобразовании переходят либо сами в себя,
либо в другие, но уже имеющиеся в исходной амплитуде. Этому
условию удовлетворяет, в частности, выражение (1.10).
Найдем амплитуду перекрестного канала процесса (6.13). Его
амплитуда в прямом канале определяется формулами (1.10) и (5.30).
Так как при кросс-преобразовании
Q = 4 (?1 +	- Q’ [Т₽Та]	[TaTd = — [T₽TaL
то амплитуда для кросс-процесса (6.14) запишется так (изовол-
новые и волновые функции бозонов опущены):
М (и, 0 = ц<+) (р2) {TJ (и, 0 - [трта] Т1 (и, t) -
—17| (и, t) — [трта] Т1 (и, 0] ф} (р,).
Требование кросс-симметрии (6.17) ведет к определенной
связи между функциями Т' (s, t) и Т[ (и, 0 прямого и перекре-
стного каналов:
Т{ (s, 0 = Т\ (и, 0, Tl (s, 0 = - Л (и, i);
Tl2(s, t)= — Tl(u, t), Ti(s, t) = Tl(u, f).	1 ' ’
Как видно, некоторые из функций Т{ меняют знак. Обычно
функции T'i, не изменяющие знака при кросс-преобразованнн,
называют, четными, а изменяющие знак — нечетными', иначе го-
jji 6. Каналы реакции. Амплитуды различных каналов
335
поря, функции Т\, 71 —четные, a 71, 71 —нечетные. Такой же
результат получается, если в (6.13) поменять местами тождест-
венные нуклоны и N2 (рис. 8.8, в):
Л] -|- N2 —л2 -|- Nt.	(6.19)
В этом случае для получения амплитуды перекрестного канала
надо в выражении для амплитуды прямого процесса заменить
пространственные и изотопические волновые функции барионов
нолновыми функциями антибарионов (с учетом их пространствен-
ных н изотопических свойств) и после этого поменять волновые
функции местами.
Согласно принципу Паули амплитуда процесса при перестановке
двух тождественных фермионов лишь меняет знак. Это означает,
Ч1'о в рассматриваемом нами случае амплитуда рассеяния л-ме-
юпа на нуклоне должна быть равна взятой с обратным зна-
ком амплитуде рассеяния л-мезона на антинуклоне:
(j e>P2Ui)M (p.J (у, х) e—ipixv(-) dx dy =
= — § e~ 1р^иМс (p[) oM (%, y) elp‘yv('}C (p2) dx dy. (6.20)
1 '.iioiiCTBO (6.20) амплитуды также называется перекрестной сим-
метрией.
При зарядовом сопряжении изоволновая функция нуклонов
переходит в комплексно-сопряженную функцию; при этом меняются
местами проекции изоспинов частиц (так как проекции изоспинов
частицы и античастицы противоположны по знаку). Умножение
преобразованной функции на оператор h2 приводит, как видно
hi (5.20), к исходному расположению проекций изоспинов. Сле-
довательно, чтобы изоволновые функции нуклонов входили в тео-
рию симметрично (как этого требует С-инвариантность), они должны
преобразовываться при С-преобразовании так (см. также гл. 2, §2):
<!>'->(ф/)с = 1'т2Ф/.	(6.21)
Преобразовав (6.20), получим (см. § 1)
Т, (s, t) и(+> (р2) g/H (р2, pj) ц<~> (Pi) =
= ВуТ, (и, 0	(р2) С*(-- р2)	(Р1), (6.22)
где С = Ст2.
Исли тождественные частицы в процессе отсутствуют,-то ампли-
туда перекрестного канала получается из амплитуды прямого
капала по-прежнему путем кросс-преобразования. Однако в этом
случае соотношения перекрестной симметрии (6.17), (6.20) не выпол-
няются, амплитуды прямого и перекрестного каналов представляют
гобой две. независимые функции и связь между функциями Ti (s, t)
11 Ti (и, t) прямого и перекрестного каналов отсутствует.
336
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Для некоторых процессов перекрестная симметрия приводи г
к выражению функций Tt одного канала через линейную комби
нацию функций 7,- другого канала.
Амплитуда третьего канала. Чтобы получить вид инвариантных
амплитуд в третьем канале, надо в выражениях для амплитуд
s-канала произвести те замены четырехмерных векторов и волно-
вых функций, котррые соответствуют переходу от s- к /-каналу.
Например, амплитуда процесса ля NN, являющегося /-каналом
реакции	запишется так:
М (/, s) =	(р2) {Л (/, s) + Т2 (/, s) (91 - 9а)цу4 vM (Р1). (6.23)
Она получается из амплитуды (1.10) процесса nN-^-nN, если
в последней произвести замену импульса q2 -*-q2 =— q2 и волновой
функции о(_) (рх) частицы на волновую функцию о(+) (pj. анти-
частицы.	'	_
Амплитуда F(Wt, в/) процесса ты-^NN в с. ц. м. выглядит
следующим образом:
F (Wt, 6,) = [7Д (Wt, е.) (<yk) + Н2 (Wt, 6() (ok')] <pf, (6.2-1)
где к', к—импульс нуклона и мезона в с. ц, м.; <р, <рс —волно-
вые функции нуклона и антинуклона.
§ 7. ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
Как мы установили, использование общих свойств симметрии
позволяет построить только такие выражения для амплитуды
процесса, которые содержат неизвестные скалярные функции.
Вычисление этих функций составляет основную задачу теории.
Однако прежде чем излагать теоретические методы вычисления
скалярных функций, мы остановимся на способе определения их
с помощью опытных данных. Такой метод получил название
фазового анализа.
Наиболее удобной для . фазового анализа является запись
амплитуды в виде разложения по парциальным волнам (см. § 3).
Как будет видно, число неизвестных величин, входящих в вы-
ражение для амплитуды, можно существенно уменьшить, если
воспользоваться свойством унитарности S-матрицы рассеяния.
Поэтому сначала,. используя условие унитарности, преобразуем
амплитуду к виду, содержащему минимальное число неизвестных
параметров, а затем перейдем к определению этих параметрон
с помощью опытных данных.
Унитарность S-матрицы. Рассмотрим физическую систему,
которая может находиться в п различных дискретных состояниях.
Если вероятность найти рассматриваемую систему в каком-либо
одном состояйии / равна где /=1, 2, ..., п, то полная веро-
ятность найти систему во всех возможных состояниях равна
(i 7. Фазовый анализ опытных данных
337
единице
2>z=l.	(7.1)
z=i
Исли включить дополнительное взаимодействие, то заданные
состояния перейдут в другие. При этом вероятность найти систему
и состоянии /, вообще говоря, изменится, однако полная веро-
нтность-по-прежнему останется равной единице:
(7.2)
z = i
11усть состояние / описывается волновой функцией Ф^; тогда
(7.1) и (7.2) можно также записать в виде
y;(OFOz) = l;	(7.3)
/ к 1
^(ф|ф:)=1.	(7.4)
I И I
(’, помощью S-матрицы рассеяния находим волновую функцию
системы после взаимодействия, зная волновую функцию Ф; ch-
i'гемы до взаимодействия
Ф/ = 5ЛФ/.	(7.5)
11одставляя (7.5) в (7.4) и учитывая (7.3), будем иметь
. У;5?4Ф|5пФ/ = ^Ф?Ф/5&5п = 2ф*ф/=1-	(7.6)
I	i	I
Гик как это соотношение должно выполняться для произвольной
пол новой функции Фй то
5] SFfeS,z = 6fcz.	(7.7)
i
Гпкпм свойством должна обладать S-матрица, чтобы сохранилась
кик вероятность, т. е. нормировка волновых функций, так и их
ортогональность (Ф*Фт) = 6Zm.
Матрицу, удовлетворяющую (7.7), называют унитарной. В сим-
волической форме (7.7) запишется в виде
S+S = SS+-=1.	(7.8)
('.iioiicTBO унитарносги S-матрицы приводит к важным следствиям.
В частности, условие унитарности позволяет упростить выражения
для дифференциальных сечений процессов, выраженных через
парциальные амплитуды (см. § 3).
Параметризация S-матрицы. Входящие в выражение для диф-
ференциального сечения парциальные амплитуды являются комп-
338
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
лексными величинами, и потому каждая из них характеризуется
двумя вещественными параметрами: действительной и мнимой
частями. Другими словами, для определения каждой парциальной
амплитуды надо найти два вещественных параметра. Число этих
параметров можно уменьшить, если использовать унитарность
S-матрицы и ее инвариантность относительно обращения времени.
В явном виде матрица Sfi запишется так:
/ Si, S]2 S13
I ^21	S23
ySsi S32	S33
В общем случае, когда имеется п физических состояний, могущих
переходить друг в друга, S-матрица характеризуется 2л2 веще-
ственными параметрами.
Если имеется инвариантность относительно обращения време-
ни, то S-матрица симметрична, т. е.
SaP = SPa.	(7.10)
Учет этого ведет к некоторому уменьшению параметров, опреде-
ляющих S-матрицу.
К дальнейшему уменьшению числа параметров приводит
условие унитарности.
Проиллюстрируем это двумя примерами.
1. Упругое рассеяние бесспино.вых частиц (на-
пример, лф-л->-л-|-л). В этом случае состояние системы харак-
теризуется орбитальным моментом / и его проекцией т. Вследствие
закона сохранения момента и энергии S-матрица запишется
в виде
Sz (W) бц'бпип'б (W' -W) = Ft (W)	(IE' - W),
т. е. матрица (7.9) вырождается в функцию. Требование унитар-
ности такой S-матрицы приводит к соотношению Ft (IE) F* (IE) = I.
Отсюда следует, что парциальные амплитуды можно записать,
например, в виде
Fz(IE) = e2Z6'(UZ),	(7.11)
где 6г (IE) — вещественные функции энергии. Они называются
фазами рассеяния и полностью характеризуют рассматриваемый
процесс. Иначе говоря, использование условия унитарности при
водит к тому, что для характеристики парциальных амплитуд
Требуется не два параметра (вещественная и мнимая части), а
один — фаза.
2. Упругое рассеяние л-мезонов на нуклонах.
Для этой реакции отличны от нуля переходы / ф- */2-»-^ + ’/г и / —
—11г+1' —1/я в случае, когда полный изотопический спин системы
j[i 7. Фазовый анализ опытных данных
3?9
равен либо 1/2, либо 3/2, т. е. переходы с определенным значени-
ем полного момента J и изотопического спина /. Поэтому S-мат-
рпца запишется следующим образом:
SU(W)	(W — W) = FU(W) Мп-Ъмм'б (1Г - Я,
или в виде диагональной матрицы
+V21 S/jI/ + */2)	0	\
о	<1-1/2\5и\1-1/2>)-
Из требования унитарности этой S-матрицы
Kl + 1/i\SIJ\l + 1/2>	0	\
\	0	</_х/2| S/y |Z —1/2>/
/</ + 1/2|«Ь|/ + 1/2>	0	\ =
Х\ О <Z — х/21 Z — W/'
К+ |Sw| + ><+ |5Ъ| + >	0	\
_ 1 0
~ 0 1
следует, что Fu (IV7) F*j (W) = 1. Таким образом, парциальные
амплитуды процесса лЛ7—>-лЛ7 можно представить в виде
Fu(W) =е2'6'-'(1П,	(7.12)
где SulW) — фаза рассеяния л-мезонов на нуклоне в состоянии
с данными полным моментом J и изотопическим спином /.
В данном случае, благодаря использованию условия унитарности,
число неизвестных параметров уменьшилось вдвое.
Аналогичным образом можно параметризовать парциальные
пмнлнтуды других процессов. Подставляя полученные формулы
для парциальных амплитуд в выражения для соответствующих
дифференциальных сечений, находим вид последних через неиз-
вестные параметры (фазы, модули парциальных амплитуд и т. п.).
Вычисление этих параметров и составляет задачу теории.
Однако прежде чем излагать теоретические методы вычисления
указанных неизвестных параметров, мы остановимся на способе,
к котором эти параметры определяются с помощью опытных
данных. Такой метод получил название фазового анализа. Идея
лого метода довольно проста. Задаются теоретические выражения
для дифференциальных сечений, содержащих неизвестные пара-
метры. Для тех же дифференциальных сечений имеются опытные
данные. В левые части теоретических выражений подставляются
шачения соответствующих экспериментальных величин. В резуль-
плх* получается система уравнений для определения неизвестных
параметров.
340
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематики
Рассеяние. л-мезонов на протонах. Произведем, например,
ф- зэвый анализ опытных данных по рассеянию л-мезонов па
нуклонах.
О п ы тн ые д а н н ы е. Экспериментально изучены следующие
.процессы рассеяния мезонов на протонах:
л+ + р->-л+-|-р,	(7.13)
тг + р-^тг + р,	(7.1'1)
л- + р л° + п.	(7.1!»)
Для каждого из этих процессов измерялись а) полные сечения о
для неполяризованных протонов (мишени), б) дифференцгатып.’с
сечения da для неполяризованных протонов, в) поляризация
протонов отдачи Р.
Теоретические формулы. Когда энергия начального
л-мезона становится бо'ь пе порога образования двух л-мезонов
( 200 МэВ), то наряду с упругими процессами возможны пеун
ругие. При этом вероятность того, что процесс будет упругим,
становится меньше единицы. Чтобы учесть это обстоятельство,
формулу (7.12) записывают так:
F/XlV') = ib/41V')e2'6/^UZ)_ 1).	(7.16)
Здесь t]/j(IV7)— коэффициент поглощения. До порога неупругпх
процессов t]/j = 1 > за порогом 1.
С учетом (7.16) формулы (3.17) перепишутся следующим обра-
зом:
Fi(W, 6) = ~ V {[(/ + 1)!д/+е2гб/+(и") -0 +
1 = 0
, ,( , 21б! (UZ) ,\] п ,
+ /(д'_е	-1/JA +
+[11/+гвк,,|”-ч'_г“!-,,,'’]Со5вр;}. (7J7)
w, 2	- О-
1 = 0
(7.18)
Подставляя их в формулы (2.34) и (2.37), найдем выражения
для дифференциальных сечений и поляризаций нуклона отдачи
через фазы рассеяния 6Z(IH.
В табл. 8.1 перечислены состояния, которые учитывались
в (7.16) при практическом анализе опытных данных. Первый
индекс у букв S, Р, D, F, G соответствует удвоенному знача-
ji 7. Фазовый анализ опытных данных
341
пню полного изотопического спина, второй — удвоенному значе-
нию полного момента.
Таблица 8.1
Учитываемые состояния лТУ-системы
J	/	Состояния		J	1	Состояния	
‘/2	‘/2	ри	S11	ъ/г	%	Рзз	D35
'/2	3/2		S31	’/2	V2		
Я/2	‘/2	Дз	D13	’/2	%	F3i 	G37
3/8	3/2	Т’зз	D33	"/2	’/2		бзв
6/2	‘/2	FK	D1S				
Чтобы однозначно сопоставить теоретические и эксперимен-
тальные величины, составим из амплитуд, описывающих состоя-
ния с полным изотопическим спином, амплитуды, соответствую-
щие процессам (7.13)—(7.15). Для этого воспользуемся соотно-
шениями (5.43). Подставив в теоретические выражения (2.34) и
(2.37) экспериментальные величины da и Р для процессов (7.13)
(7.15) при определенной энергии л-мезонов, получим систему
1рапсцендентных уравнений, в которую в качестве неизвестных
входят фазы рассеяния	соответствующие состояниям
перечисленным в табл. 8.1.
Метод анализа. При решении системы уравнений отыски-
вается такой набор фаз	который приводит к теоретиче-
ским величинам fT, лежащим ближе всего к соответствующим
жгпериментальным значениям f3, т. е. набор фаз, приводящий
к минимуму величины %2, определяемой суммой:
[ ]2
L	А (/э)* J ’
(7.19)
те п — полное число экспериментальных точек для da\ d<r~i°,
du , Р+, Р~, Р~/п, Д/э — экспериментальные ошибки для данной
К1ЧКИ. При этом трансцендентная система уравнений аппрокси-
мируется линейной системой, а последняя решается методом
последовательных приближений.
С помощью имеющихся опытных данных были вычислены
различные фазы рассеяния в довольно широком интервале энер-
iiili.
Ди а гр ам мы А р г а и а. В области больших энергий частиц,
1.огда образуется несколько л-мезонов, фазовый анализ позво-
ляет обнаружить резонансные состояния лМ-системы. Для этой
не'in .удобно представлять результаты фазового анализа в виде
гак называемых диаграмм Аргана.
И2	Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематики
Поясним смысл диаграмм Аргана на примере рассеяния бес
спиновых частиц. Рассмотрим сначала случай чисто упругого
рассеяния. Парциальные амплитуды чисто упругого процесса
определяются формулой (7.11)
Если две частицы в конечном состоянии с орбитальным момен-
том I и энергией W образуют резонанс с шириной Г, то в пар
циальной амплитуде fi(W) должен быть максимум при энергии
W = 1Е0. Это свойство парциальной амплитуды можно описать
формулой Брейта — Вигнера
//(№)= Ц7О_Ц7_[Т •	(7.21)
Сравнение (7.20) с (7.21), если пренебречь квадратичным членом,
приводит к выражению фазы рассеяния через параметры резонанса:
fiz(W') = arcctg-^^-.	(7.22)
Как видно, в случае чисто упругого рассеяния резонансу (117
= 1Ео) соответствует фаза 90°.
Выделим в парциальной амплитуде (7.20) вещественную и
мнимую части
Refz(U7) =у sin26z(H7), Im/Z (W) = ± [1 - cos 2fiz (Ц7)]. (7.23)
На диаграмме Аргана (рис. 8.9) по оси ординат отложим мнн
мую часть парциальной амплитуды Imfz(H7), а по оси абсцисс
вещественную часть Refz(U7). Тогда значение парциальной амплн
туды fi(W) для определенной энергии W изобразится в виде
точки. При изменений энергии W точка будет перемещаться,
описывая кривую, которая в соответствии с (7.23) определяется
уравнением
(Imfz-1/2)2 + (Refz)2= (I)2,	(7.24)
т. е. амплитуда чисто упругого рассеяния бесспиновых частиц
при изменении энергии W от —оо до 4-оо описывает на диаг-
рамме Аргана окружность радиусом 1/2 с центром, расположен-
ным в точке Imfz = 1/2, Refi — O (рис. 8.9, а); причем если энер-
гия растет, то обход совершается против часовой стрелки.
При наличии неупругого резонансного рассеяния вместо (7.21)
имеем
= КЛ’_,Г °	(7.25)
$ 7. Фазовый анализ опытных данных
343
где Г —полная ширина; Ге/ —парциальная ширина распада резо-
нанса по упругому каналу; e = -^-(U70 — U7); х = Кроме того,
(7.20) и (7.23) перепишутся следующим образом:
216,(117)
.	<7.2б>
при этом в резонансе т]=1 — 2х. Сравнив (7.25) и (7.26), получим
n/Z6<	= 1 + 2ift (W) = 1 +	(7.27)
В случае упругого резонансного рассеяния т]=1, а в случае
неупругого т)< 1, и радиус окружности уменьшается (рис. 8.9, б).
Рис. 8.9. Диаграммы Аргана для парциальных амплитуд: а—резонанс чисто
упругий, фона нет, б — резонанс неупругий, фона нет, в—фон чисто упру-
гий и не зависит от энергии, г—фон неупругий и зависит от энергии
344
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика
Если x<i1/2, то вещественная часть (7.27) положительна при
любых значениях е. Поэтому фаза 26 не может превышать л/2.
В частности, резонансу (е = 0) соответствует фаза 6 = 0 (а не л/2,
как это было для чисто упругого резонансного рассеяния).
Наряду с резонансным рассеянием (упругим и неупругим)
может происходить нерезонансное рассеяние (фон). С учетом
фона выражение (7.26) для парциальной амплитуды модифици-
руется так:
/z(tt7) = 2LL_^-----L,	(7.28)
где множитель rfe2Z6' характеризует фон. Подставляя в (7.28)
резонансную часть (7.27), получаем
fi (W) =	т/е2"'.	(7.29)
Пусть фон от энергии не зависит. Тогда если он чисто упру-
гий (т)' = 1), то формуле (7.29) отвечает резонансная окружность
Рис. 8.10. Диаграммы Аргана, полученные при фазовом анализе
(рис. 8.9, в), смещенная вдоль окружности единичного диаметра
(обе окружности касаются друг друга). Если фон неупругпн
(т]'<1), то резонансная окружность находится внутри круга
единичного диаметра (рис. 8.9, г). Если учесть, что фон зависит
от энергии, т. е. т]' и б' не.постоянны, то это приведет к иска-
жению резонансной окружности и превращению ее в петлю,
которая обходится против часовой стрелки при увеличении энер-
гии W вблизи резонанса. Следовательно, задача отыскания резо-
нансов сводится к поиску петель на диаграмме Аргана.
Резонансы. После проведения фазового анализа опытных
данных по лМ-рассеянию, на диаграммах Аргана действительно
были обнаружены петли, соответствующие лА^-резонансам. Па
рис. 8.10, а—г приведены в качестве примера четыре диаграммы
Аргана, соответствующие четырем случаям, изображенным па
рис. 8.9.
В результате фазового анализа было обнаружено довольно
большое число лМ-резонансов. Они приведены в таблице эле-
ментарных частиц.
$ 7. Фазовый анализ опытных данных
345
Однозначность
процесса:
определения фаз.
Рассмотрим да а
nps Ч" N —*• nps + Л/, (I)	+ W —> 3ips N, (И)
отличающихся друг от друга четностью падающих мезонов (nps,
Jts —псевдоскалярный и скалярный мезоны). Амплитуды этих
выражений выглядят так:
Fi = Ф/ [^i + iFz (о [k'k])] <р,ф (чх) ф* (q2), F и = (ok') F,.
I (оскольку (ок')2 = 1, то выражения для дифференциальных сече-
ний обоих процессов одинаковы. Иначе говоря, если произвести
преобразование амплитуды
F = (uk')F,	(7.30)
го выражение для дифференциального сечения процесса (I) не
меняется (теорема Минами).
Аналогичным образом формулы для дифференциальных сече-
ний указанных реакций не изменяются, если произвести следую-
щую замену парциальных волн:
Л+‘/2 -*• fi-'h	(7.31)
или согласно (7.11) такую замену фаз рассеяния:
(7.32)
Иными словами, с помощью опытных значений только дифферен-
циальных сечений du фазы рассеяния б; однозначно определить
нельзя. Так, например, если за основные принять фазы p./2, р3/!,
то согласно (7.32) равным образом основными могут быть фазы
dS/!. Однако выражение (2.37) доя поляризации нуклонов
отдачи неинвариантно относительно замены (7.32). Поэтому если
при анализе использовать одновременно опытные данные по диф-
ференциальным сечениям du и поляризациям Р нуклонов отдачи,
то указанная неоднозначность в определении фаз устраняется.
Эта программа была реализована.
Глава 9
АНАЛИТИЧНОСТЬ И УНИТАРНОСТЬ.
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Использование общих свойств симметрии физических систем
позволяет, как мы видели, построить только такие выражения
для ацплитуд, которые содержат неизвестные скалярные функ-
ции, зависящие от энергетических и угловых переменных. Чтобы
вычислить эти скалярные функции теоретически, необходимо
346
Г лава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношенич
наложить на амплитуду дополнительные требования. Наиболь-
шего успеха удалось достигнуть при добавлении к свойствам
симметрии амплитуды требований унитарности и аналитичности
(последняя тесно связана с причинностью).
Теперь мы переходим к изложению методов, основанных
на использовании аналитичности и унитарности амплитуды про-
цессов. В этой главе мы остановимся на одном из таких мето
дов — дисперсионных соотношениях. Сначала напомним основные
сведения об унитарности и аналитичности.
§ 1. УНИТАРНОСТЬ
Физические и нефизические значения переменных. Физическими
значениями переменных, характеризующих данный канал, назы-
ваются такие их величины, при которых может происходить
реальный физический процесс. Область физических значений
переменных определяется физическими значениями: а) энергии и
б) угла в данном канале. Найдем области физических значений
переменных: для каждого канала реакции, используя оба условия.
I канал. Энергия частицы в физической области должна
быть больше или в предельном случае равна массе покоя частиц:
Ех 4- Е2 Ss mi +m2 и Е3 4- Е4 т3 4- т4, что приводит, согласно
(6.10) гл, 8, к неравенствам
sS5(/7ii4-m2)2, sSs(m34-m4)2.	(1-1)
Кроме того, угол рассеяния частиц в физической области в с. ц. м,
должен лежать в интервале 0—180°. Этим углам соответствуют
значения cos 6 в интервале от 1 до —1. Учитывая, что |cosO|--- I,
получаем с помощью формулы (2.6), гл. 8:
[2s (ml + mj — f) — (s — ml + ml) (s — ml + ml)]2
[s — (mj, 4- m2)2] [s — (mY — m2)2] [s — (m3 4- m4)2] X
X [s — (ms — m4)2] (1.2)
или
{s/2 4- [s2 — (ml 4- ml 4- ml 4- m|) s 4- (ml — ml) (ml — m|)]7 4-
4- (ml — ml) (ml — ml) s4- (ml — ml — ml + ml) x
X (mlml — mlml)}	0. (1.3)
II канал. Произведя замены переменных согласно (6.7),
гл. 8 и масс, найдем:
w^(m14-m4)2, и Js (т2 4- т3)2,	(1.4)
{us2 4- [и2 — (ml + ml + ml + ml) и + (ml — ml) (ml — ml)] s 4-
4- (mf — ml) (ml — ml) и + (ml — ml +ml — ml) x
x (mlml — mlml)} ==S 0. (1.5)
§ 1. Унитарность
347
III канал. Производя замены переменных согласно (6.8),
гл. 8 и масс, будем иметь:
/ Ss (mi +/Пз)* 1 2, /^(т24-/и4)2,	(1.6)
{/u2 + [/2 — (ml 4-	4-	4- mf) 14- (ml — ml) (mf — ml)] и 4-
4- (ml — mf) (ml — ml) 14- (ml — ml + ml — mf) x
x (mlml — mlml)}	0. (1.7)
Каждое из неравенств (1.3), (1.5) и (1.7), если учесть (6.9),
гл. 8, можно записать в следующем виде, симметричном отно-
сительно s, и, t:
stupas-]-Ы си,	(1.8)
.	(mlml — mlml) (ml 4- m|—— m|)
IAL U	т* + ml + ml + ml
,	(mfmf — mlml) (ml 4- ml — mf — ml)
b =	ml + ml + mf + ml	•
__ (mlml — mlml) (ml-(-ml —ml — mf)
C~	ml + ml + ml-(-ml
В случае знака равенства формула (1.8) определяет границ)
области физических значений s, и и t.
Найдем области физических значений s, и и t для двух реак-
ций. Расположение физических областей удобно изображать
па плоскости Мандельстама (см. рис. 8.6).
1. Реакция, в которой участвуют частицы с равными массами:
uil^m2 = m9 = mi = m. К таким реакциям относится процесс рас-
сеяния л-мезонов на л-мезонах, нуклонов на нуклонах и т. п.
В этом случае неравенства (1.1), (1.4), (1.6) и (1.8) принимают
вид:
s^4m2 для s-канала, и^4т2 для и-канала,
t^4m2 для /-канала (1.9)
п
stu^sQ для всех каналов.	(1.10)
Уравнение stu = O имеет три решения:
I) s = 0; 2) / = 0; 3) и = 0.
I I.-I рис. 9.1 даны области (они заштрихованы) физических зна-
чений переменных в каждом канале, определяемые условиями
(1.9) и (1.10).
2. Реакция, в которой участвуют частицы с массами =
m9 — )i н тг = т4 = М, например процесс nN~>nN и т. п.
В этом случае неравенства (1.1), (1.4), (1.6) и (1.8) запишутся
так:
s^(M 4- р)2; и ^(Л4 4-р)2; /^4Л42	(1.11)
348
Г лава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные еоотношенич
И
stu^(M2-p2)2t.
Уравнение stu — (М2 — р,2)21 = 0 имеет два решения:
su — (М2 — р.2)2 и / = О.
(1.12)
(1.13)
Определяемые условиями (1.11) и (1.12) физические области n.i
рис. 9.2 заштрихованы.
Абсорбтивная часть амплитуды. В физической области перс
менных амплитуда процесса является, вообще говоря, комплекс-
ной величиной, состоящей из действительной и мнимой частей.
Рис. 9.1 Облачи физических зна-
чений переменных для процесса
Рис 9.2. Области физических тачс-
ний переменных для процесса л |.
Амплитуда может зависеть от переменных, лежащих и в пефп-
зической области. Чтобы подчеркнуть последнее обстоятельство,
обычно называют части амплитуды не действительной и мнимой,
а дисперсивной D = ~(T-\-T*) и абсорбтивной А = ^.(Т — Т*}
(в физической области последние совпадают соответственно с дгп-
ствительной и мнимой частями).
С помощью условия унитарности S-матрицы (см. гл. 8, § 7)
55+= 1	(1.11)
абсорбтивная часть амплитуды данного процесса может бып.
выражена через полные амплитуды некоторых других процессов,
В самом деле, подставляя формулу (1.2'), гл. 8 в (1.14), полу*
чаем для оператора 5
SS+ = (l-|-zT)(l-iT+)^l, или ((Т-Т+)=—ТТ+. (1.15)
/. Унитарность
349
Отсюда для амплитуды Тfi процесса имеем
п
пли с учетом того, что Ty = T*f,
i(Tfl-Ttff) = XTfnTtn.	(1.16)
п
Так как для сильных взаимодействий S-матрица инвариантна
относительно отражения времени, то Тц = Т}с, поэтому (1.16)
даст следующее выражение для абсо.рбтивной части амплитуды Tfi:
2lmTfi = ^T fnTni	(1.17)
п	*
пли абсорбтивной части амплитуды Mfi:
2 Im =	8 (j}i-рп) 5(p„ — pf).	(1.18)
n
.Здесь n означает те состояния, в которые могут переходить началь-
ные и конечные состояния / и f. Обычно п называют промежу-
точными состояниями. Они характеризуются числом частиц, их
массой, импульсами, спинами и внутренними квантовыми чис-
лами (странностью, четностью и т. п.).
Промежуточные состояния, отличающиеся только направле-
нием или величиной импульсов частиц, считаются различными.
Поэтому в (1.17), кроме суммирования по состояниям с различ-
ными числами частиц, спинами, проекциями спи«ов, массами
и другими характеристиками надо производить также интегрирова-
ние по импульсам (фазовым объемам) промежуточных частиц.
Подчеркнем, что матричные элементы, описываемые (1.18),
содержат 6 (р,- — рп) и б (pf — р,_), соответствующие закону сохране-
ния энергии-импульса; поэтому в формулу (1.18) входят только
гак не промежуточные состояния, которые разрешены этим зако-
ном сохранения. Кроме того, частицы в промежуточном состоя-
нии— реальные, т. е. для них выполняется условие <7(? = Ц/ (они
лежат на массовой поверхности).
С какими массами допустимы частицы в промежуточном состоя-
нии? Рассмотрим для конкретности процесс рассеяния л-мезонов
пи нуклонах
л-|- N ->
(1.19)
I ели в • промежуточном состоянии имеется л-мезон и нуклон,
io этот процесс является реальным и характеризуется амплиту-
350
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношеиич
дой	которая зависит от переменной s, лежащей в фиш
ческой области
s>;(A4 + p)2.	(I.2U)
Если в промежуточном состоянии имеется один нуклон, то пропек
(1.19) в физической области запрещен (промежуточный нуклон
не может реально превратиться в нуклон и мезон). Однако там>П
процесс допустим в нефизической области s < (М р)2. Следонл
/ N \
>л Л'
Рис. 9.3. Некоторые промежуточные состояния (разрешенные и зп«
прещеииые) в первом канале процесса л4-л->л+л
/Й /
тельно, если рассматривать амплитуду во всей области измене-
ния ее аргументов как физических, так и нефизических, то в кроме
жуточных состояниях возможны частицы с любыми массами. 11рн
этом чем больше отклонение от условия (1.20), тем дальше
от физической области располагается состояние.
Что касается других характеристик частиц, то допустимы
лишь те промежуточные состояния, внутренние квантовые числи
которых совпадают с соответствующими числами начального
и конечного состояний, т. е. лишь те .промежуточные состояния,
которые разрешены соответствующими законами сохранения.
Абсорбтивную часть амплитуды процесса, определяемую (1.17),
удобно изображать графически. Рассмотрим*, например, процесс;
рассеяния л°-мезонов на л°-мезонах. Некоторые из промежуток’
ных состояний по первому каналу изображены на рис. 9.3,
§ 1. Унитарность
351
Превращение двух л°-мезонов: а) в нечетное число л°-мезонов,
в ю-мезон, в лр-, лт]-, ютрсистему запрещено законом сохранения
G-четности (см. гл. 8, § 5), б) в один или несколько /<-или
/<*-мезонов — законом сохранения странности (см. гл. 8, § 5),
Л- Л Л Л Л Л Л Л (Л л л л
^'\я/	I	\	f '	\ Д /Z	\ А. /
Ж = Х_> +	+ утетету + >о< + К_Х +••
/ \	/л \ / \	/ \	\	/ я \
JL. ЯГ. ЯС СП. ЯГ Я ЯС ЯС ЯС •Л. Я
Рис. 9.4. Наиболее простые разрешенные промежуточные состояния про-
цесса л-|-л->-л4-л в первом канале
в) в барион или барионный резонанс — законом сохранения бари-
онного числа (см. гл. 8, § 5). Поэтому перечисленные промежу-
точные состояния должны быть отброшены.
Промежуточные состояния, содержащие только фотоны, а также
фотоны и сильновзаимодействующие частицы, являются допусти-
мыми (см. гл. 8, § 5). Однако вкладом этих состояний, вследст-
Рчс. 9.5. Графическое изображение условия унитарности для процесса
л-р/У -> л~р/У
вне малости константы электромагнитного взаимодействия, можно
пренебречь по сравнению с вкладом состояний, содержащих
юлько сильновзаимодействующие частицы.
Следовательно, в рассматриваемом случае надо учесть про-
межуточные состояния (рис. 9. 4), состоящие из четного числа
л мезонов, т]-мезона, р-мезона, КК, (ол, NN и т. п. Вследствие
тождественности всех частиц в этом процессе структура абсорб-
352
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношение
тивной части амплитуды у перекрестного и третьего каналов
будет такой же, как у прямого канала.
На рис. 9.5 графически изображены абсорбтивные части
амплитуд процесса nW-рассеяния с учетом нескольких наиболее
простых допустимых промежуточных состояний.
Найдем вид (1.18), предполагая, что в промежуточном состоя-
нии имеется одна частица с массой р и 4-импульсом q (рис. 9.6, а).
В этом случае (1.18)-запишется в виде (<у10 > 0)
2 1тЛ4л==(2л)4 J $W(V-A)4^W-V) =
спинам
= 2л £ МпМЙ6(<72-р2). (1.21)
спинам
Таким образом, в случае одночастичного промежуточного состоя
ния в выражении для абсорбтивной части амплитуды интегри
Рис. 9.6. Диаграмма процесса:
а—с одночастичным, б—двухча-
стичным промежуточным состоя-
нием
рование по промежуточному импул1>
су отсутствует.
Вычислим (1.18), предполагая,
что в промежуточном состоянии
имеются две частицы с массами filt
р.2 и 4-импульсами <ух и q2 (рис.
9.6,6). Подставляя формулу (1.3'),
гл. 8 в (1.18), получаем (<ую, <у2о>(>)
21шМ/г
(2^ 2 dc>i dc>2 6 (91 —Р?) X
СПИН
х6(<у1-р2)6(<У14-<у..-рг). (1.22)
Это выражение инвариантно, поэтому его можно вычислят!,
в любой системе координат, в частности в а. ц. м. промежуточ-
ных частиц (41 = — q2). Переход к трехмерному интегрированию
дает
2 ImMp- = -^ J $М/№-^-^6(Е1 + Еа-Е/)Х
СПИН
Хб (qi + Ч2 — Р/),
или
1тМ/^	2 $м,2м2*£<ш,
спин
где 6Q — элемент телесного угла; qc —импульс; Wc — полная
энергия (все величины в с. ц. м. промежуточных частиц).
Как видно, в случае двухчастичных промежуточных состоя-
ний выражение для абсорбтивной части амплитуды представ-
§ 1. Унитарность
353
ляет собой интеграл по dQ, т. е. выглядит значительно слож-
нее по сравнению со случаем одночастичного промежуточного
состояния.
Оптическая теорема. При столкновении двух частиц, напри-
мер протона и я-мезон а, возможно образование большого числа
различных конечных состояний
л+ + р-*
л+ + р,
Л+ +л°-|-р,
л+4-л° +л° + р.
Первый из этих процессов —упругий, остальные — неупругие.
Рассмотрим упругое рассеяние двух частиц (протона и л-ме-
зона) вперед (на нулевой угол, когда к = к'). В этом случае
начальное i и конечное f состояния совпадают. Такой процесс
описывается амплитудой Мц, для которой условие унитарности
(1.18) выглядит так:
2 I m Мц (0) = У, М1пМ*п (2л)4 б (рх + р2 — рп) =
п
= 21 Min Р (2л)4 б (Pl + р2 - р„). (1.24)
п
Покажем, что правая сторона этого равенства лишь множителем
отличается от полного сечения О7 = а2-»2 + ог2-»з + ог2-»4+...,
представляющего собой сумму полных сечений <т2-»т всех воз-
можных процессов рассеяния из данного начального состояния i
в конечное состояние f с произвольным числом частиц т. Дейст-
вительно, после суммирования в формуле (5.3), гл. 4 по конеч-
ным состояниям f, перехода в с. ц. м. и деления полученного
результата на время t и плотность потока /0 начальных частиц
найдем, что
Ot =	21 |2 (2< fi (pi+р*~Рп} •
п
('равнение этого выражения с (1.24) с учетом его нормировоч-
ного множителя дает
I m Мц (0) = 2/0E1£2orz.
Подставляя сюда (2.17), гл. 8, имеем
1шЛ4„(0) = 2|к| W,	(1.25)
где I к | —модуль импульса налетающей частицы в с. ц. м. Учи-
тывая связь амплитуд F и М, даваемую формулой (2.20), гл. 8,
вместо (1.25) получаем
IhiF(0)=^oz.	(1.26)
12 Нелипа Н, Ф
354 Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношения
Как видно из (1.25) и (1.26), мнимая часть амплитуды упругого
рассеяния вперед пропорциональна полному сечению. Так фор-
мулируется оптическая теорема.
В общем случае поляризационное состояние частиц удобно
характеризовать с помощью поляризационной матрицы плотности
(см. гл. 4, § 6). В случае поляризованных частиц левая часть
(1.26) принимает вид
Im F (0) = Im Ф'+АФГ = Im Ф{,+ F ппФ‘п = Im Ф„+ФЛЕЛЛ =
= ImSp(pF) (1.27)
и (1.26) -перепишется так:
ImSp(pF) = ^-o„	'	(1.28)
где р —поляризационная матрица плотности системы.
Если просуммировать обе части (1.26) и (1.28) по проекциям
спинов, то получим
ImSpAF(0)=J^Lor?,	(1.29)
где о? —полное сечение рассеяния неполяризованных частиц;
в случае барионов оператор А определяется формулой (5.18), гл. 4.
Важно подчеркнуть, что соотношения (1.28) и (1.29) спра-
ведливы как в с. ц. м., так и в лабораторной системе. Соответ-
ственно к означает импульс падающей частицы в одной из этих
систем.
§ 2.	АНАЛИТИЧНОСТЬ
Аналитические функции. Напомним некоторые сведения из тео-
рии функций комплексного переменного. Рассмотрим для про-
стоты случай функции f(z) от одной комплексной переменной г.
По определению, функция называется аналитической в точке
а комплексной плоскости, если в окрестности этой точки она
может быть разложена в бесконечный степенной ряд
ОО
f(z)=2 Ап{г-а)\	(2.1)
п —0
Последняя функция ограничена в точке а. Действительно, при
а первый член ряда (2.1) становится постоянной величиной,
а остальные слагаемые исчезают. Функция (2.1) также одно-
значна в точке а. В самом деле, при обходе точки а аргумент
разности (г —а) увеличивается на 2л, т. е.
(г — а) -> (г — а) е2М.	(2.2)
ОО
Подставив последнее в (2.1), получим A„(z — а)пе2П1п. Но
п = 0
e2rtin_j ПрИ любом п, поэтому после обхода точки а мы придем
к первоначальному значению функции f (г).
§ 2. Аналитичность	355
Если хотя бы одно из двух перечисленных свойств в какой-
либо точке нарушается, функция перестает быть аналитической,
л эта точка становится особой.
Функция
/(2) = ^	(2.3)
неограниченно растет при z->a, т. е. точка а является особой
точкой функции f(z). Особая точка такого типа называется
полюсом.
Функция
f(z) =]/z-a	(2.4)
при обходе точки а переходит в другую функцию, отличающуюся
от начальной знаком:
У z — а -> У (г —а) е2Я‘ — еп‘ У г —а— — У г—а.
Особая точка такого типа называется точкой ветвления (точнее,
корневой точкой ветвления). Функция f(z) — ln(z — а) при обходе
точки а также отличается от исходной:
In (г — а) -> In [(z — a) e23t‘] = In (г — а) + 2ш’.
В этом случае точка а называется логарифмической точкой вет-
вления.
Различные функции, получающиеся из исходной в результате
обхода точки ветвления, называются ветвями многозначной функ-
ции. Чтобы выделить одну ветвь не-
однозначной функции, произведем в
плоскости z разрез, начинающийся в
точке ветвления (рис. 9.7). При пере-
ходе через разрез функция изменяется.
Если же в разрезанной плоскости пе-
реходы через разрезы запретить, то
функция станет однозначной.
Область, в каждой точке которой
функция f(z) аналитическая, называет-
ся областью аналитичности функции.
Аналитичность функции является на-
столько сильным ее свойством, что позволяет находить ее зна-
чения в любой внутренней точке z области аналитичности, если
задано значение функции лишь на границе (рис. 9.8). Такая
связь устанавливается формулой Коши'.
f(z')dz'	если г лежит внутри контура С,
г'~г ( 0, если z лежит вне контура С.
12*
Разрез
х=0	|
Точка
оетйления
Рис. 9.7. Графическое изоб-
ражение точки ветвления и
разреза
356 Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношения
Величина интеграла не зависит от выбора контура интегриро-
вания. Другими словами, формула (2.5) справедлива для любого
Рис. 9.9. Выбор контура интегри-
рования при получении диспер-
сионных соотношений
Рис. 9.8. Графическое изобра-
жение области аналитичности
и контура интегрирования
Дисперсионные соотношения. Рассмотрим область комплекс-
ного переменного г (рис. 9.9). Пусть х— ось, на которой г при-
нимает только вещественные значения. Допустим, что функция
комплексного переменного обладает следующими свойствами:
A) f(z) не имеет в верхней полуплоскости z особенностей
нигде, кроме действительной
оси х\	f	/
Б) f(z) стремится к нулю g  У .	> — _
при z->oo, т. е. f(z)/z при 3	7^	7
z->oo убывает быстрее, чем
J/] z |.	Рис. 9.10. Вид контура интегрирова-
Согласно условию А контур С	ния ПРИ Я -> с»
можно выбрать так, как ука-
зано на рис. 9.9. При 7?->оо интеграл по кругу из-за условия Б
обратится в нуль и потому может быть отброшен (рис. 9.10),
Тогда устремив z'->x', получим вместо (2.5)
f(z) =
1 С f (Х'У dx'
2m J х'—г
с+
(2.5')
В предельном случае, когда точка z переходит на ось х, сверху
полагая z = x + ie, устремляя е->0 (рис. 9.10) и используя соот-
ношение
Иm J	± 1’лб (%' - Л) >	(2-6)
g t 0 л- ~~~ Л -+- ю	л л
получаем вместо (2.5')
4-00
f^=Sr $
# 2. Аналитичность
357
пли
f(x) = X ( .f(*')dxL
(2.7)
Символ ёТ5 означает, что интеграл берется в смысле главного
значения. Интегрирование производится вдоль действительной
осп х. Беря действительную часть от (2.7), придем к соотноше-
нию между действительной и мнимой частями функции f (х):
Ref(*) = v
Imf (%') dx'
х'— х
(2.8)
С помощью (2.6) последнюю формулу можно записать еще и так:
£, ,	...	1 С \mf(x')dx'
f lx) — lim — \	, ......
' ' e_»o л J x'—x—te,
(2.9)
Такого типа соотношения называются дисперсионными. Как
видно, в дисперсионные соотношения (2.8) входят функции, зави-
сящие только от действительного переменного.
В дальнейшем мы будем подразумевать, что е->0 сверху,
п в явном виде этого выписывать не будем.
Дисперсионные соотношения с вычитаниями. Выясним, как
запишется теорема Коши для функции f(x), которая удовлетво-
ряет условию Л, но не стремится к нулю при z->oo. Допустим,
что f (z) —> const при z -> оо. В этом случае можно ввести функ-
цию F(x)=f (х) — /(х—>оо), для которой уже справедливо соот-
ношение (2.9)
4-00
—оо
(2.Ю)
Полагая в этом выражении х = х0, получаем
4-оо
F(xo)=f(xo)-f(x->oo) = l $	(2.Н)
—00
Вычитая почленно (2.11) из (2.10), найдем
4-00
f (х) - f(x0) = 1 Г Im F (х') Г х,_х^ - v-'J dx' =
JV 1	I Л TV	TV TVQ Ю J
—СО
x—xQ ________Im F (x') dx'__
л J (x' — x — re) (x'—Xq — ie) ’
—CO
358 Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношения
или, если учесть, что константа f (х-> оо) — вещественная вели-
чина,
+оо
f(x)=f(x0) + -^-	42-12)
Это выражение называется дисперсионным соотношением с одним
вычитанием в точке х = х0. В рассматриваемом случае для опре-
деления функции f (х) необходимо знать не только ее мнимую
часть Imf(x), но и величину функции в точке х = х0.
Пусть f(x)->x" при х->оо. В этом случае соотношение (2.9)
. справедливо для функции f(x)/(x — xi)n+1. Подставляя последнюю
' в (2.9) и используя соотношение
—-----\ • \п+1 = Z , 1 \п+1-1л	(Х' ~ %)>
(х — x+ie)n+1	(х'—x)"+1	nl '
найдем дисперсионное соотношение с п +1 вычитаниями!
+оо
Ref(x)= (*~*°)П+1-^	+ Ref (хо) + ’
—со
+ Ref (х0) (х- хо) +... + Ref М (%о)	(2.12')
где Ref" (х0) — вычитательные функции.
Как видно, в дисперсионных соотношениях с вычитаниями
появляются дополнительные неизвестные константы. Причем
число этих констант тем больше, чем больше вычитаний.
Аналитическое продолжение. Важным свойством аналитиче-
ских функций является возможность их аналитического продол-
жения. Если функция f(z) аналитична в некоторой области g,
то можно расширить область определения, т. е. построить более
широкую область G, содержащую g внутри себя, и в этой более
широкой области определить новую аналитическую функцию F (г),
которая в первоначальной области g совпадает с f(z). Такое
расширение области определения аналитической функции назы-
вается аналитическим продолжением функции f(z). Можно дока-
зать, что если аналитическое продолжение возможно, то оно
единственно.
Поясним сказанное на примере. Примем за область круг
радиусом 1 с центром в нулевой точке, так что | z | < 1, а за
область §2 —круг радиусом /2 с центром в точке, равной мни-
мой единице i, т. е. |z —i |<]Л2. Пусть в области gi дана ана-
ОО
литическая функция f (z) = У, z". Надо построить новую анали-
п=0
” Ойо получается из (2.6) путем «-кратного дифференцирования.
j>' 3. Одномерные дисперсионные соотношения
359
гнчсскую в области G = gt + gz функцию F(z), которая ^совпа-
дала бы с f (г) во всех точках области gt. Такой функцией будет
F(z)
(' г — i
(2.13)
п
г—l 1
так как этот ряд сходится при Н 1 или, что то же, при
|z — i\<zV~2. Таким образом (2.13) есть аналитическое продол-
жение f(z) в область G — g^gz, причем функция F (г) — единст-
венная. Постепенно увеличивая область g2, найдем, что функ-
цию f(z) можно аналитически продолжить в область любых г
(за исключением z = l). Этот результат следует непосредственно
из того, что f(z) =2Z"= 1/(1 —z)> а функция 1/(1— г) анали-
п
тпчиа не только при | z | < 1, но во всей плоскости z, кроме
точки z=l. Следовательно, аналитическим продолжением функ-
ции /(z) = 2zn в область | z | > 1 является функция 1/(1— г).
Вычет функции. Пусть функция f(z) аналитична во всей
плоскости z, за исключением точки z0, являющейся простым полю-
сом f(z). Такую функцию можно представить в виде f(z) =
[ (z)/(z — z0), где /(z) —всюду аналитическая функция г. В этом
случае интеграл от f (г) может быть вычислен стягиванием кон-
тура к малой окружности вокруг полюса г0:
С f (г) dz о Д , .
(v г-г = 2ntf (zo);
J 4 — zo
(2.14)
/' (zt)) называется вычетом функции f (z) относительно полюса z0.
§ 3. ОДНОМЕРНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Дисперсионные соотношения. Вернемся к изучению амплитуд
физических процессов. Рассмотрим для конкретности амплитуды
процессов с участием четырех частиц. Как уже известно (см. гл. 8),
такая амплитуда М (s, /) зависит от двух вещественных пере-
менных, например s и t. Зафиксируем одну из этих переменных;
югда амплитуда М (s, t) будет функцией другой вещественной
переменной. Чтобы для такой амплитуды написать дисперсион-
ные соотношения, надо знать, выполняется ли для нее условие А.
Допустим сначала, что условие А выполняется (возможности
лого мы выясним в следующей главе). Тогда дисперсионные
соотношения для амплитуды М (s, /) по переменной s (при фик-
сированном /) запишутся следующим образом:
360
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношении
1) без вычитания
+со
M(s, П = - с imM(s\ t)dS' ;
'	' л J s'—s—ze ’
2) с одним вычитанием
+оо
s—s0 (* ImAlfs', t)ds' ,	. Л	...
M(S, 0 = — J 7?--Ls_t-e)(s>J.So_fe)+M(So, t). .	(3.2)
—оо
Подставляя в последние формулы выражения для амплитуд
7И (s, t) (см. гл. 8) и сравнивая в обеих частях равенства члены
при одинаковых спиновых и изоспиновых комбинациях, полу-
чаем дисперсионные соотношения для функций Т{ (s, /):
1)	без вычитания
•	1 ImT! (s', t) ds'
T (s, t) = - I ---—r—
4	' nJ s—s — le
2)	с одним вычитанием
ТЧс л - s~sq Г Im7W nds'
c' ’ ’ л j (s'—s—ze) (s’—s0—ze)
(3.3)
(3.4)
(-^(So, 0-
Для дальнейшего удобно в последних соотношениях произвести
замену s переменной v = s — и. Тогда вместо (3.3) имеем
+ °°
— оо
Im Ti (у’, t)
v'—v—ze
dv'
(3.5)
или согласно (2.6) и (2.8)
ReT{(v, t)=~ \
— оо
Im T't (v'f 0 dv'
V—v
(3.6)
Соотношение (3.4) после замены s->v перепишется в виде
+ о°
ReT7(v,
— оо
Im Т[ (v', t) dv'
(y'~v)[y'—v0)
4-4(vo, t).
(3.7)
Одновременное использование условий унитарности и анали-
тичности позволяет вычислить функции Т\ (s, t), а следовательно,
и амплитуду процесса. В абсорбтивную часть амплитуды дают
вклад одночастичные, двухчастичные, трехчастичные и другие
многочастичные промежуточные состояния (см., например, рис. 9.4
и 9.5). Для точного вычисления амплитуды надо учитывать вклад
§ 3. Одномерные дисперсионные соотношения
361
всех промежуточных состояний, однако практически это сделать
не удается. Поэтому приходится ограничиваться приближениями.
Полюсные члены. Особенно просто вычисления можно провести
и том приближенном случае, когда в условии унитарности учиты-
ваются только одночастичные промежуточные состояния (рис. 9.11).
Для нахождения амплитуды, соответствующей одночастичному
состоянию в условии унитарности, надо подставить выражение
(1.21) в формулу (3.1):
. .(1)/ а	1 С ImAf/t(s'.O . ,
Mll)(s, t) = — \ ——-—— ds =
 '	л j s —s — ie
Vi +С , ,	„	у, (Мд Mii)s=|1-,
J dS	s'—s—ie	(s M )— / ,	p2—s ‘ (3-8)
СПИН — оо	спин
В точке s = p2 амплитуда имеет полюс. Поэтому такие ампли-
туды, а также соответствующие им диаграммы с одночастичным
промежуточным состоянием назы-
вают полюсными. Коэффициент
дроби I/(p2 —s) называется выче-
том амплитуды в полюсе s = p2.
Как следует из (3.8), для вы-
числения полюсной амплитуды
надо умножить амплитуду превра-
щения двух начальных частиц
в одну промежуточную на ам-
плитуду превращения промежу-
точной частицы в две конечные,
и полученном выражении сделать
замену s->p2 и произвести сум-
мирование по спинам промежу-
точных частиц.
Вычислим полюсные члены,
например, для процесса лЛЛрас-
ссяния.
Рис. 9.11. Диаграмма процесса
с одночастичным промежуточным
состоянием
Прямой канал. Подстав-
ляя выражение (5.3Г). гл. 8 для вершинных частей (рис. 9.11, а)
з (3.8), получаем (опуская изотопические функции)
Т1 = ^=7 № (Рг) (р)	(Р)	’ (Р1)-	<3-9)
Преобразуем это выражение к виду, в котором имеются спиновые
комбинации, входящие в (1.10), гл. 8, и изоспиновые комбинации,
содержащиеся в (5.30), гл. 8. Для этого сначала произведем
суммирование по проекциям спина промежуточного нуклона
с помощью формулы (5.18), гл. 4 и учтем, что р = Pi + <h = Рг + fc,
362 Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношения
или p = -^-(pi + p2) + 4 (<71 + <7а) =	(Pi + Ра'~f-<2; тогда> имс>|
в виду (3.9), получаем
Т1 = дДт	(р2) W {4 (л+р2) + Q+м} y5v-r (Pl). (3.10)
Далее «протащим» одну у5 к другой (при этом уру5 = —
Тв=1)» учтем, что согласно уравнению Дирака (ТР1).УЬ) (Pi)
= /Mt/_)(p1), 0(+) (р2) (ур2) =7Иб(+) (р2), и примем во внимание соот-
ношение Тр-Тр = 6р-р + у [тр-, тр]_. В результате получим искомое
выражение для полюсного члена первого канала:
т1 = - v'rV (Р2) Qu--’ (Pl) {бр-р + 4 frp',4-}•	(3-11)
Сравнение коэффициентов при одинаковых комбинациях в послед-
ней формуле и формулах (1.10), гл. 8 и (5.30), гл. 8 приводит
к следующим значениям функций Ti (s, t) в первом канале в полюс-
ном приближении:
(3.12)
Перекрестный канал. Вычисление полюсного члена
кросс-канала (рис. 9.11,6) производится аналогичным образом.
В этом случае р = рх — q2 = p2 — qu или р = ~ (рх -ф рг) — Q и
тртр- = бр'р — 4 [Тр-Тр].-, поэтому вместо (3.11) имеем
7я1=-	(Ра) &г~’ (Pl) {бр-р - 4 [v^p]-}	(3-13)
и соответственно
(Т")7=о, (Н=я^7.	(З.И)
т. е. функция Т2 — кросс-нечетна, а Т2 — кросс-четна; это сле-
дует также из формулы (6.18), гл. 8.
Третий канал. В третьем канале (см. рис. 9.5) лТУ-рас-
сеяния низшее допустимое состояние — двухчастичное (два мезона).
Поэтому полюсные члены третьего канала равны нулю.
Отметим следующее обстоятельство. Если анализировать про-
цесс nTV-рассеяния в рамках теории возмущений по константе g
(см. гл. 4), то диаграммы рис. 9.11 будут диаграммами Фейи
мана в первом неисчезающем приближении теории возмущений
по константе g, или в борновском приближении. Соответствую-
щие этим диаграммам выражения для матричных элементов, если
в них заменить неперенормированную константу на перенорми-
рованную, совпадут с (3.11), (3.13). Аналогичная ситуация полу-
,<i 3. Одномерные дисперсионные соотношения
363
чается для других процессов. Следовательно, выражение для
полюсной амплитуды, полученное с помощью дисперсионных соот-
ношений, и выражение для матричного элемента в первом неисче-
аающем порядке теории возмущений (борновский член) совпадают.
Двухчастичное приближение. Вычислим функции 7{- (s, t) с уче-
том двухчастичных промежуточных состояний в условии унитар-
ности (см. рис. 9.6,6). В этом случае формулу (3.6) можно
преобразовать к более удобному для практических приложений
виду. Для этого перепишем ее так:
•	sp %°° ImT’jfv', t)
ReTl(v, t) = ^- \	---dv' =
1 ' ’ 7 nJ V —V
— co
f° Im T'i К 0 , , . f C*'» 0 , ,
= — \ ------;-----dv -J---\ ------------dv .
Jtj V —V	Jtj	v—V
Во втором слагаемом интегрирование производится по отрица-
тельным энергиям. Чтобы избавиться от интегрирования по физиче-
ски бессмысленным отрицательным энергиям, произведем во втором
интеграле замену переменной интегрирования v^—v; при этом
согласно (2.6) и (3.5) Im7(v) =—Im Т (—v) и
i	& 0° Im T't (y'< t) sp e° Im T{ (—v', t)
ReT’ily, /) = — \ -------F------dv'-\- — \ ------------------dv'.
' ’ 7 It J V —V	Л J V +v
о	о
(3.15)
Так как v = s — и, то замена v-+—v эквивалентна замене s+^u,
т. е. замена v-> — v эквивалентна переходу к кросс-каналу
(см. гл. 8, § 6).
В соотношении (3.15) интегрирование по отрицательным энер-
гиям отсутствует. Как видно, мы этого добились благодаря тому,
что заменили нефизическую абсорбтивную часть функций прямого
капала физической абсорбтивной частью функций перекрестного
Кс1НЗЛЗ.
В том случае, когда в реакции отсутствуют две тождественные
частицы (например, ур->/СЛ), функции прямого T'i(s, t) и пере-
крестного Т{(и, I) каналов (см. гл. 8, .§ 6) должны рассматри-
ваться как две независимые функции. Тогда дисперсионные соот-
ношения (3.15) после выделения полюсных членов 71£ = (71/)i +
| (Tl)ii (прямого и перекрестного каналов) и перехода от пере-
менной v к переменной s перепишутся в виде
,	° i eft С° Im 7’1 (s', t) sp Л” Imri(u', t)
Re T- (s, t) = T + — \ ds'----------- + — \ du'-----P------ .
X 1 ' ’ 7	nJ	S —S 1 Jt J	и — и
Si	Ui
(3.16)
364	Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношения
Если в реакции участвуют две тождественные частицы, то
в простейшем случае функция перекрестного канала с точностью
до знака равна функции прямого канала
Tl(-v, t)=>rfri(v, t),	(3.17)
или
=	t), t]/ = ±l.	(3.18)
Поэтому, подставив (3.17) в (3.15), получим следующие диспер-
сионные соотношения:
ReT((v, /) = 71 + -|Ц dv'ImT!(v',	V
' ’ '	я J	'	'\v —V 1 v +v/’
Vi
(3.19)
или после перехода к переменной s
со
Re (s, i) = Ti +	t ds' Im Ti (s',f) ( * +	.
•J V	\ О ~~ О	О И ]
Si
(3.20)
Определим величину Si нижнего предела интегрирования по s
в (3.16), используя условие унитарности. Согласно этому условию
вклад двухчастичного промежуточного состояния в абсорбтивпую
часть амплитуды описывается выражением (1.23). Последнее обра- <
щается в нуль при q = 0, что соответствует W —	=|/q2 + pi 4
+ V q2 + 14 = Pi + P2, т. е. порогу реакции с образованием двух
частиц в промежуточном состоянии. При q>0 функция отлична
от нуля. Таким образом, абсорбтивная часть амплитуды в нефн-
зической области 0<Si^(pi4-p2)2 равна нулю и становится
отличной от нуля в физической области при SiSs (pi + Рг)2, т. е.
нижний предел интегрирования в (3.16) равен порогу реакции
с образованием двух частиц в промежуточном состоянии: sr
= (Pi + lM2- Аналогичный результат получается для интеграла
по перекрестному каналу в (3.16): «1 = (цз + 1Ч)2- Из формулы
(1.23) видно, что функции Im T'i(s, t) и Im T'i(и, t) неоднозначны
(из-за корней У s или У и в знаменателе). Следовательно, точки
St и являются точками ветвления.
Чтобы изобразить выражение (3.16) или (3.20) графически
в плоскости комплексной переменной s, надо заменить в нем
переменную и переменной s, используя соотношение (6.9) гл. 8.
Из этого соотношения вытекает, что переменные s и и имеют
противоположные знаки (s =—и У const). Поэтому в плоскости
$ 3. Одномерные дисперсионные соотношения
365
комплексного s в случае одного полюсного члена
Re Т{ (s, t) = const (	+ rtf дрУ +
ds'Im Ti (s', t)
(Hi + Bi)
/__1
Vs'—s
(3.21)
T. e. вещественным величинам прямого канала соответствует пра-
вая вещественная ось (рис. 9.12, а), а перекрестного канала —
левая. Чтобы сделать функции Tf(s, t) и 7{-(«, t) прямого и пере-
крестного каналов однозначными, проведем вдоль вещественной
,	Полюсные члены
о)	II-
Иебый разрез f у Правый разрез
ре и 4 г г   	;—,—,—	»/?f s
Физическая область Несризическая об- Физическая область
и-канала	ласть	s-канала
$	l i
| , и-канал	.	... I Р
5 i • • •	1	••	s-канал |
3 I	'	f
Рис. 9.12. Графическое изображение: а—правого и левого разрезов,
б—предельного перехода к физическим функциям
оси правый разрез от sr до оо и левый разрез от Hi до (—оо).
Правый и левый разрезы соответствуют физическим областям
прямого и перекрестного процессов (рис. 9.12, а). Иначе говоря,
вклад прямого канала процесса определяется правым разрезом,
а перекрестного — левым разрезом.
В соответствии с (2.6) величины функций (s, и, t) на
реальной оси в области разреза зависят от способа приближения
к реальной оси — сверху или снизу. Мы понимаем под физическим
значением функций Т{ (s, и, t) их граничное значение при прибли-
жении к реальной оси сверху, т. е. для s-канала
Tj(s, и, t)= lira T'i(s-Vie, и, А,
е->0+
для и-канала
T{(s, и, f)— lim Ti(s, u + ie, t).
6—Ob
Из соотношения (6.9), гл. 8 следует, что замена tz-(-ie соот-
ветствует замене s — ie. Следовательно, если в плоскости комплекс-
ной переменной s физическим функциям Т[ (s, и, t) s-канала
366
Глава S. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношения
(правый разрез) соответствуют их граничные значения при прибли-
жении к реальной оси сверху, то физическим функциям (s, и, I)
iz-канала (левый разрез) соответствуют их граничные значения
при приближении к реальной оси снизу (рис. 9.12, б).
Вообще говоря, можно записать дисперсионные соотношения:
1) для функций Ti(s, t), входящих в выражение для инвариант-
ной структуры амплитуды; 2) для функций F{ (W7, 6), входящих
в выражение для амплитуды процесса в с. ц. м.; 3) для парциаль-
ных амплитуд.
При доказательстве дисперсионных соотношений используется
инвариантное выражение для амплитуды процесса. Поэтому есте-
ственно положить в основу дисперсионные соотношения для
функций Т', (s, Z).
При практических вычислениях удобно пользоваться с. ц. м.
Поэтому необходимо получить также дисперсионные соотношения
для функций F{ (W7, 6), если заданы дисперсионные соотношения
для Т{ (s, t). Вместо с. ц. м. можно выбрать лабораторную систему
координат.
С помощью дисперсионных соотношений для F{(W, 6) можно
получить дисперсионные соотношения для парциальных амплитуд.
Ценность этих соотношений заключается в том, что с помощью
условия унитарности они могут быть превращены в интегральные
уравнения.
Учет вклада многочастичных промежуточных состояний пред-
ставляет собой трудную задачу, и мы на ней останавливаться
не будем.
Дисперсионные соотношения и теория возмущений. Сравним
способы вычисления амплитуды процесса с помощью теории воз-
мущений и дисперсионных соотношений. Общим для обоих методоп
является представление амплитуды в виде разложения в ряд.
Отличие заключается в том, что в теории возмущений разложение
ведется по константе взаимодействия, а в дисперсионных соотпо-
ношениях —по числу частиц .в промежуточном состоянии в усло-
вии унитарности. При этом в теории возмущений в промежу-
точном состоянии возможны только виртуальные частицы, для
которых р2^=т2, а в дисперсионных соотношениях —только
реальные, лежащие на массовой оболочке частицы, для которых
р2 = т2.
Рассмотрим для конкретности процесс рассеяния л-мезонов
на нуклонах. На рис. 9.13 изображены диаграммы, соответствую-
щие нескольким первым членам разложения амплитуды прямого
канала этого процесса в теории возмущений (рис. 9.13, а) и
в дисперсионных соотношениях (рис. 9.13, б).
Как мы видели при вычислении полюсных членов, матричные
элементы, соответствующие диаграммам первого члена разложения,
в обоих методах совпадают. Однако диаграммы следующих чле-
,<i 4. Рассеяние л-мезонов на нуклонах. Модель Чу-Лоу
367
пои разложения и соответствующие им выражения для амплитуд
существенно различны. В частности, благодаря двухчастичной
диаграмме в рамках дисперсионных соотношений удается учесть
Теория возмущений
*"('&)= Ж + X
'	' Одночастичное Двухчастичное
.состояние состояние '
Дисперсионные
Трехчастичное
состояние
соотношения
Рис. 9.13. Диаграммы, соответствующие разложению амплитуды лМ-
рассеяния: а—в теории возмущений, б—в дисперсионных соотношениях
вклад в амплитуду л/У-резонанса, чего никак нельзя сделать
с помощью теории возмущений. Отсюда наглядно видно, почему
теория возмущений и дисперсионные соотношения приводят к раз-
личным результатам.
§ 4. РАССЕЯНИЕ л-МЕЗОНОВ НА НУКЛОНАХ. МОДЕЛЬ ЧУ-ЛОУ
Основные допущения. Рассмотрим с помощью одномерных дис-
персионных соотношений процесс рассеяния л-мезонов на нукло-
нах в области малых энергий, когда импульс частиц Asgip, (где
ц — масса мезона). В этом случае отношение скоростей нукло-
нов vN и мезонов vn мало: Щу/оя~р,//И = 1/6,7, т. е. имеется
малый параметр, и можно развить приближенную схему. Напри-
мер, при энергии 300 МэВ в лабораторной системе координат
(л. с. к.) отношение	1/3. Поэтому в первом приближении
движением нуклонов можно пренебречь и рассмотреть статиче-
скую задачу, т. е. процесс
Неподвижный нуклон может излучать и поглощать л-мезоны
только в состоянии с моментом импульса /=1 (р-состояние).
В самом деле, полный момент импульса системы из покоящегося
нуклона (спин г/2) и л-мезона (спин 0) с моментом I равен I ± 1/2.
Из закона сохранения полного момента для процесса N -+N ф-л
следует, что / может принимать значение 0 и 1. Однако из закона
сохранения пространственной четности вытекает, что допустимо
только 1 — 1.
Таким-образом, в области малых энергий можно ограничиться
рассмотрением рассеяния л-мезонов в p-состоянии на неподвиж-
ном нуклоне. Оба эти фактора существенно упрощают анализ.
368 Глава S. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношении
Мы будем исходить из дисперсионных соотношений для инна-
риантных функций T'i(s, t), затем получим дисперсионные соот-
ношения для функций в л. с. к., из которых найдем дисперсионные
соотношения для p-волны в статическом приближении (в случае
рассеяния вперед). Далее, используя условие унитарности, перей-
дем к интегральным уравнениям для парциальных амплитуд и
найдем их приближенное решение в случае модели Чу-Лоу.
Дисперсионные соотношения для функций Т{ (s, t). Пусть рь
рг, 41, 9а —векторы энергии-импульса нуклонов и мезонов; /И,
у, —массы нуклона и л-мезона. Дисперсионные соотношения для
функций T{(s, t), входящих в выражение (1.10), гл. 8 и (5.30),
гл. 8 для инвариантной амплитуды, если выделить полюсные1
члены, запишутся следующим образом (слагаемое ie в знамена
теле мы будем опускать):
7{(s, i) = l £ ds'Irnr'(s',	(4.|)
•Jb	)	\ О О	О U j
(7И-Ьц)2
oo
(M l-u)2
где g — константа взаимодействия л-мезона с нуклоном; изотопи
ческий индекс / = 1, 2, верхний знак в скобках относится к / = I
нижний к / = 2. Если перейти к другой переменной**
v = 4(Pi + P2) (Я1 + Чг),
(4.3)
то дисперсионные соотношения (4.1) и (4.2) перепишутся в более
симметричной форме:
ОО
T4(v,0=4 jj	(4.4)
______________________!	\ +
9 I	112	LL2_| *
---v
CO
+ - ( dvr ImTUv', ч=-Л-Y (4.5)
1 л j	2 ' ’ ' \ v—v v'-|-v j '	'
Мц+*/4
♦’ При этом /И2— s=//2 —у2—2v, Л42— u = t/2 — y2-|-2v, s1=(/H -|-y)2 —
= Л42+р2—Z/2-I-2V, и vj=/Hp + //4.
<$ 4. Рассеяние st-мезонов на нуклонах. Модель Чу-Лоу
369
Дисперсионные соотношения в л. с. к. Для дальнейшего удобно
перейти в л. с. к. (р10 = М, pi = 0), в которой
s = (<о 4-М)2 - qi = 2<оЛ4+М2+р2 =/И2 + р2 -+ 2v;
v t Г\
где со —энергия падающего мезона в л. с. к. Заменяя в (4.4),
yjr t \
(4.5) переменную v переменной со (при этом со =— —полу-
чаем дисперсионные соотношения в л. с. к.
оо
Т'(Ш. 0=1$ Л'1п,т{(ю-,0/;?1_ +t-A (4.7)
а	\	1	1 2Л4 /
Т* (со, t) =	(|х2/2д4+(1)	+
ОО
+ — ( dtf>' 1m (со', /) (—— 2,1 —г-т—1,-	.	(4.8)
nJ	v ’ ' \ со' — ш	ci>' + g> + //2M )	'	'
И
Дисперсионные соотношения для р-волны в статическом пре-
деле. Сделаем в дисперсионных соотношениях (4.7), (4.8) два
допущения.
1. Перейдем к статическому пределу, т. е. пренебрежем чле-
нами порядка со/AI. В этом случае
Г4-Л1~2Л4, W-M~ со, Е+/И — 2Л4, Е-М~^	=
Qsr
=	(4-9)
W + M	.
Е+М	1
W-М 2соЛ4
Е — М ~ ql
1	1	1	2Л4
Е-\-М	2М ’ Е—М ~ qsL ’
где 4l — модуль трехмерного импульса налетающего мезона в
л. с. к.
Заметим также, что в статическом пределе амплитуды F„к (со, t)
и /’’с.ц.л^. О в л. с. к. и с. ц. м. совпадают. Действительно, из
выражения (1.26), пригодного как в л. с. к., так и в с. ц. м.,
следует, что (q == | q |)
lmFc.„.M(in _ q О/^) __ q	/4 1 (В
,т^.с.к(“)	91 аЛ“) 91 ’	' ’ 1
так как (oz).,.c.K = (oz)c.u.M (сечение о< инвариантно относительно
преобразований Лоренца). Сравнение же формул (2.5), гл. 8 для
импульса q в с. ц. м. с аналогичным выражением для qL, которое
получается из соотношений s = (<o-|-44)2 — </£ == Л42р,22Л4ш и
370
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношенич
равно
4L ~	4Л42
приводит к формуле
qL ~\Гs }^2а>Л1 + ЛР+Ц2
~q = ~М~ = М
(4.П)
В статическом пределе qlqi = l, и согласно (4.10) и дисперспоп
ным соотношениям амплитуды FnzK(<s>) и Гс.ц.м(Ю совпадаю!
(при 6 = 0).
2. Учтем в (4.7) и (4.8) лишь p-волны, т. е. удержим в фор
мулах (3.18), гл. 8 только члены с 1=1, тогда
F{ (W, 6) = 3F//t (W) cos 6 = 3F.'/t (1 +	,
F’2(W, B) = Fll/2(W)-F,3/2(W).
(4.12)
(4.13)
Заметим для дальнейшего, что дифференцирование (4.12) по t джч
~F{(W, е)=-2^^/2(Г).	-	(4.11)
Рассмотрим рассеяние л-мезонов вперед (/ = 0). Найдем для этот
случая дисперсионные соотношения сначала, для разности пар
циальных амплитуд F2(W, t = 0), определяемой (4.13). Подсга
вим в (2.16), гл. 8 вместо F{ (№, /) и F2(U7, t) их выражении
(4.12), (4.13) и возьмем от обеих частей мнимую часть; тогда
для абсорбтивных частей амплитуды Т{ (<о, t) получим
1гпТ'(«>, 0=2^{3^-(l+-^r)lmFUW-
_-^-[ImF{/2(1F)- ImF//2(1F)]}> (4. If»
ImT'K 0=2^{--(^yimF^2(r) +
+	[ 1 m F‘/2 (W) -1 m f£/2 (№)]}. (4.1b)
Заменим во второй формуле (2.15), гл. 8 функцию F^(W, h
выражением (4.13), а функции 7{(<о', t) и 71 (а/, /) дисперспоп
ными соотношениями (4.7) и (4.8). Подставим в последние их
абсорбтивные части (4.15) и (4.16) при t = 0 и перейдем к сы-
тическому пределу, используя (4.9). В результате найдем дш
персионные соотношения для разности парциальных амплпц 
$ 4. Рассеяние л-мезонов на нуклонах. Модель Чу-Лоу371
(f-=g2/2M):
F{/2(<o)-JFi/2((o) = /2(7L±±)^ +
ОО
h-f	(4.17)
И
отсюда
Fi‘/2 (®) —/3/2 (®) =
ОО
= Т + £ Г 4S- Ч”FFi„ («,'))	- ^),
u v
(4.18)
Fj/2 (®) — ^3/2 (<o) =
OO
= £ J %[Im F'” (“'» -Im <"'»	• <4-19)
ц 4
Получим теперь дисперсионные соотношения для парциаль-
ной амплитуды F[ (W, t — О). Для этого заменим в первой фор-
муле (2.15), гл. 8 функцию /’{(№, t) выражением (4.12), а функ-
ции /’{(то, t), Т[(а>, ^ — соотношениями (4.7) и (4.8), произведем
дифференцирование обеих частей по t, подставим вместо абсорб-
тииных частей их выражения (4.15) и (4.16), положим 1 = 0 и
перейдем к статическому пределу, используя (4.9). Это приве-
дет к дисперсионному соотношению для парциальной амплитуды
/'1/2=
СО
3 гЧ i \ f2 I 1 С (3 т г?/ / г\ !	1	« I \ т
2^2 Д)/2 (®) — -4- — + - jy Im F3/2 (<о )	) —
И
± [Im F{/2 ((О') - Im /1/2 («')]	• (4-20>
отсюда
/3/2 (®) =
~~2/242 . 92 С da' Г ImF3/2 (ч>') , 21m/ч/2 (<i>') + ImFs/2 (ч>')]	/4211
	3 ш ”4" л J л'2 L а' — а	3(ш' + ш)	‘ '
I	ц
	Р‘з/2 («>) =
	2/2 <72 , <72 С da' I 1тГз/2(ш')	2 1т Л/2 (о/)-|-1т £3/2 (ш')1 ппч
	"3 а "Г л J д/2 [ а' — а	3(ш'4-ш) J‘
К
К Из соотношений (4.18), (4.21) и (4.19), (4.22) найдем дис-
В церемонные соотношения для парциальных амплитуд /[/2
й
372
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотноиичшч
и Н/2:
FI/2 (<о) =
= 4£?2
3 со ' л
Fi/2 (®) =
Im Fi/2 (о/)
(!)' — со
41тДз/г (со') — Im.F1/2 (со')
3 (со'4-со)
СО	0
2/2 g2 q2 С dco' I Im Fj/г (со') 
3 со п .1 Л'2 со' — со ”т"
ц 4
Im'Fj/2(co')—4ImF3/2 (со')
3 (со' +со)
(4.23)
(4.24)
Перейдем к парциальным амплитудам с полным изотопиче-
ским спином, используя формулы (5.42), гл. 8. Тогда вмеси>
дисперсионных соотношений (4.23), например, для амплитуды
Fi/2(<f) будем иметь
/Ч/2(<о)=4(2Г31+Л1) =
_ 4/2 g2 . g2 С dco' Г 21m Fgj (со') 4-Im Fu (со') .
3 со ”4" п J „'2 [	3 (со'—со)
и
! — 2 Im F31 (со') — Im Flt (со') 4- 81m F33 (co') 4-4 Im F13 (co') I
9(co'4-co)	I1
Здесь первый индекс у Fufa) равен удвоенному изоспину, эпю-
рой — удвоенному моменту импульса. Переписывая аналогичным
образом дисперсионные соотношения для Fi#, F^ и разрешан
их относительно отдельных парциальных амплитуд Frj, полу-
чаем дисперсионные соотношения для парциальных амплитуд
с заданными значениями изоспина и углового момента:
Fu-^^-
3 co
F13
u
3 co T-
g2 C Г
i йГ I
л J 9 L
P 2/2 q2
= co
. q2 f dco'
u
Гзз=,^^л_
ImFu , Im Fu—4 ImF13 —4 ImF31-|- 16ImF..|
co'—co
9 (co'4-co)
ImF13	—2ImFu—ImF’134-8ImF314-4ImF33
co' — co
9 (co'4-co)
ImF31 — 2ImF114-SImF13 — ImF314-4ImF!t!l
co'—co
9 (co'4-<b)
3 co
g2 f dco'
л J q'2
и
ImF33 ,	41m Flt-|- 21m F134- 21m F314- Im Fa3
co'—co
9 (co' 4-ь>)
(S 4. Рассеяние я-мезонов на нуклонах. Модель Чу-Лоу
373
Все эти дисперсионные соотношения записываются в виде одного
выражения
г I \	2 , ?2 F /1тЛ(ы') 4/yImFy(w')\
F, (со) = — су2 -i	-- _|---------1 г	(4.26)
G)	Я J q \ G) —G)	G)' + °) '
где i = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)},
4\
!	(4.27)
/1—4—4	1б\
л 1 / —2 —1	8	4| 2R
Л'/=9 1—2	8-14’ Х/““3-
\ 4	2	2	1/	\— 2/
Интегральные уравнения. Чтобы превратить дисперсионные
соотношения (4.26) в уравнения, воспользуемся двухчастичным
условием унитарности (см. § 1)
Im Л (со) = К (со) \Ft (со) |2.	(4.28)
Тогда (4.26) становится системой четырех нелинейных сингуляр-
ных интегральных уравнений для четырех функций Fi (со):
/?/(®)=4^2+
„2 f dco' /Д'(со') I Tj (со') I2 , АцК (со') I F} (со') |2 с
Т \	,2 (	/	Т"	, .	)•
Л J а \ G) — G)	G) -|“G)	/
Ц
Модель Чу-Лоу. Рассмотрим такую модель, в которой энер-
гия взаимодействия (гамильтониан взаимодействия) нуклон-
ного и мезонного полей определяется выражением, инвариантным
относительно вращений в обычном и изотопическом пространствах,
з
Hw =	( и (х) (ffV) Т/ср, (х) dx.
f=l
(4.30)
Здесь о —спиновые матрицы Паули нуклона,	т —его
нзоспиновые матрицы, ср, (х) — волновая функция мезона. Функ-
ция и (х) описывает протяженность области взаимодействия мезона
с нуклоном; ее удобно нормировать следующим образом:
(4.31)
(4.32)
jj и (х) dx — 1.
Фурье-образ v(q) функции и (х) равен:
Г(Ч)==(2^ ^e-l^u(x)dx, | q | =рЛсо2 — р,2.
Пусть функция o(q2) сферически симметрична и имеет конеч-
ный размер R. Тогда для импульсов | q|Ss 1/R функция w(q2)
।
374 Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношенич
(4.3-1)
(4.3Г»')
(4.36)
(4.38)
(4.35)
(4.37)
в
и
будет мала. Величина ^|тах=1/7? характеризует максималын.111
импульс л-мезонов, эффективно участвующих во взаимодействии
Важно то, что изотопические и спиновые переменные входя!
(4.30) симметрично. Поэтому взаимодействия в состоянии (1,3)
(3,1) одинаковы, и амплитуды F13 и F31 равны:
77i3(<o) = F31 (со).
рассматриваемой модели удобнее использовать дисперсионные
соотношения (4.26) не для функций Fi(a>), а для
.	2/6,(со) .	.
Ft (ы) _ е 1 sin о; (ы)
в
(®) q2v2 (q2)	| q |з t)2 (q2)
С учетом условий (4.33) и (4.34) дисперсионные соотношении
(4.26) перепишутся в модели Чу-Лоу в форме (если положим.
р=1)
м<0-4+
Im ft; (о/) Irnfy(w')
<£>'—<13
где
— 8
7
4
' 1
— 2
4

16\
4 1,
1/
4\
-2/

унитарности (4.28) будем иметь
и вместо условия
Im hi (со) = | q |3 v2 (q2) | ht (<o) |2, q2 = <o2 — 1.
Подставляя последнее выражение в (4.35), получаем уравне-
ния Чу-Лоу:

р (О)') ht (О)') h* (О)')	, р (О)') hj (со') Fj (О)')
+•л И	—
G)'— G)
где р (<о) = | q |3 v2 (q2).
Неоднозначность решения уравнений Чу-Лоу. Рассмотрим
вместо уравнений (4.35) более простое уравнение такого же tiiii.i ,
h(m)=-^	Im h (со) = К (®) | h (со) |2.
Для нахождения решения этого уравнения переформулируем пн
в терминах комплексной переменной z. Уравнение (4.38) онро»
деляетфункцию h (z) в плоскости комплексного z; при этом когда I
приближается к действительной оси со стороны верхней нолу>.
§ 4. Рассеяние л-мезонов на нуклонах. Модель Чу-Лоу
375
плоскости, h(z) стремится к физической амплитуде Л (со). Согласно
(4.38) функции h(z) обладают следующими свойствами:
1)	h (z) — аналитическая функция в комплексной плоскости г
с разрезом (+1, оо);
2)	Л*(г) = Л(г*);
3)	1гп Л (<ю +гО) = (со) ] Лг (<т> +iO) I2;
4)	Im/i(z) удовлетворяет условию
СО
Imh(z) = v(z) Imz, v(z) = -i- j dco' Д'(co')>0,
i
поэтому ft (co) не имеет нулей нигде, за исключением действи-
тельной оси и бесконечно удаленной точки;
5)	для <о «С 1 функция h (со) > 0;
6)	h(z) может иметь любое количество изолированных нулей
па отрезке [1, оо].
Применяя теорему Коши к функции ft(z), можно показать,
что перечисленные свойства функции h (z) эквивалентны уравне-
нию (4.38). 
Чтобы решить уравнение (4.38) надо найти функцию, удов-
летворяющую свойствам 1) —6). Для этого удобнее вместо h(z)
рассмотреть функцию, обратную ей,
H(z)=l/ft(z),
(4.39)
которая обладает следующими свойствами:
1)	Н (z) аналитична в комплексной плоскости с разрезом
(I, оо);
2)	Н* (z) = И (z*), а на разрезе Im Н (со +t0) = Im	=
hh*
3)	Н (z) не имеет нулей при 1тг#=0;
4)	H(z) не имеет нигде полюсов, за исключением интервала
11, оо); на последнем, как это следует из второго условия, воз-
можно любое количество изолированных полюсов первого порядка;
5)	Н (z) не имеет нулей на действительной оси.
В наиболее общем виде функцию Н (z), обладающую перечис-
ленными свойствами, можно записать так:
СО
Н (z) = - - - ( da'	-cz-zP (z),	(4.40)
v ' v л) со'(co'—г)	v	v ’
где P(z) = y——т, 1<со„<оо, с и Рп — постоянные вели-
ки С“и (соя—г)
п
чипы. При этом из свойства (3) следует, что P„2s0, сЭ=0.
376
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные coothohiciu i
Имея в виду (4.40), находим решение уравнения (4.38)
h (<*) =---------------------,	(4.П)
1--/ (со)—veto — vcoP (со)
эт
со
г / Ч С я • к («')
где /(<D) = <D Jdco
1
Как видно, полученное решение Л(а>) зависит от бесконечно! <<
набора параметров v, с, ©j, Pi, со2, Ра, • • •, <»и, Р,г, т. е. не
является однозначным. Это означает, что в общем случае h (ы)
содержит бесконечное число нулей и резонансов; последние обычно
называют полюсами Дастильехо—Далитца — Дайсона, или КДД
полюсами. Такой результат не является неожиданным, так кш<
дисперсионные соотношения отражают лишь весьма общие ciioii
ства квантовой теории поля (инвариантность, причинность, упп
тарность) и не детализируют конкретного механизма взаимоден
ствия частиц.
Аналогичной неоднозначностью обладают и решения ураннг
ний (4.35).
Приближение эффективного радиуса. Найти точное решение
уравнений Чу-Лоу в общем случае не удается. Найдем прнблн
женное решение уравнений (4.35). Для этого введем вместо фуни
ций hi(z) новые функции
Функции КДг) аналитичны везде, кроме полюса z = 0 и дни
разрезов (+1, + °°)> (—1, —°0) вдоль вещественной оси. Фу ни
ции gi(z) уже не обладают полюсом в точке z = 0, хотя имени
те же разрезы, что и функции hi(z) (см. рис. 9.12). Поэтому
интеграл Коши для функций gi (z) запишется так:
СО
£ = 1 +1М	+ S - ^)] +
1
оо
+ -2Д- S <Д-&+г)	- ё (- *>' - ^)] (4.42')
1
Из формул (4.42) и (4.36) следует, что для функций g/(z) на
правом (физическом) разрезе
g(<о + te) -g(го- te) = 3_L h^~h^+ie\ =
°-	'	64	' w h (<o+«e) h* (w—»e)
-	= ~	= — | q |3a2 (q2). (4.43)
	<o | h (io) |2 co 1 H1	'
*’ Строго говоря, надо было бы также учесть полюсные члены функции
gi(z), соответствующие нулям функций hi (г). Мы, однако, предположим, ши
у функций hi (г) нулей нет.
0 •/. Рассеяние я-ме.юнон на наклонах. Модель Чу Лоу
377
< .качок функции на левом (псфизическом) разрезе нельзя выра-
ШТ1> таким простым образом через характеристики модели Чу-Лоу.
Однако можио предположить, что этот неизвестный скачок Е(<о)
представляет собой гладкую функцию. С учетом последнего и
формул (4.43) выражение (4.42') перепишется в виде
Аг(г) = 1-^
Ды' | q |3 и2 (q2)
о)'2 (о/—г)
du'F (o')
w'+г
(4.44)
Иеря от обеих частей вещественную часть и учитывая (4.34) и
(1.42), имеем:
СО	О	1
1 q I3 °2 (q2) etg 6; (<о) = 1 -	(dw' Г <<) +	.
Ш1Ч|	/ Ь I \ 1	я J [	ы) 1 О) +<|) ]
(4.45)
Первый интеграл в (4.45) расходится линейно, т. е. он в основ-
ном определяется значением <отах = 1^1 + Qmax и в области <о<
- ' «щах будет слабо меняющейся функцией. Согласно условию
перекрестной симметрии интеграл от неизвестной функции тоже
будет определяться значением <отах. Поэтому заменяя в (4.45)
интеграл эффективной величиной rit получаем
A, |q|3v2(q22 dg (ft)) = j _ аГ[	-	(4<46)
Эти формулы обычно называют приближением эффективного
радиуса. Постоянные Аг даются формулой (4.35'), а постоянные
г( являются неизвестными параметрами, которые можно опреде-
лить из эксперимента.
Допуская, что при малых энергиях о2 (q2) ~ 1, получаем вместо
(4.46)
1<И8сМ.б/.= 1(1 _ )	(447)
Из последнего следует, что функция со-11 q |3 etg 6г должна зави-
сеть от <о линейно. Эта функция имеет нуль только в случае
положительных г,. Из вида матрицы (4.35') видно, что Аг будут
положительными лишь для J = 3/2, / = 3/2. Если в интеграле
правой части (4.45) доминирует первый член и если второй
член имеет тот же знак, что и первый, то знак эффективного
радиуса гг совпадает со знаком параметра А,-. Из явного вида
матрицы А' (4.35') следует, что это определенно верно для i, k = 3,
т. е. для состояния J = I = ?,I2. Поэтому, эффективный радиус
для этого состояния положителен, и фаза 633 проходит через л/2
при энергии со~1/г,-, что соответствует резонансу N* (см. гл. 8,
§ 7). Следовательно, приближение эффективного радиуса приво-
дит к nJV-резонансу. Этот вывод находится в согласии с экспе-
риментальными данными.
378 Глава 9. Аналитичности и унитарность. Дисперсионные coothouiciiii t
§ 5. ДВОЙНЫЕ ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Двойные дисперсионные соотношения (представление МанделI.-
стама). Рассмотрим процесс 1+2->ЗЦ-4. Как уже говорилось
(гл. 8, § 6), у этой реакции имеется три канала. Каждый u i
этих каналов можно описать с помощью одной и той же фупк
ции М (s, и, t), но заданной в физической области каждого капали.
Так как физические области каналов не перекрываются, то фупк
ция М (s, и, t), описывающая каналы, фактически распадается
на три разные функции, соответствующие различным каналам
Ситуация существенно меняется, если предположить, что
функция М (s, и, t) — аналитическая функция переменных s, и
и t. Тогда задание М (s, и, t) в физической области одного и i
каналов определяет ее значение во всей области аналитичности,
включающей физические и нефизические области всех каналоп,
в том числе области комплексных значений переменных s, и и /.
Иначе говоря, М (s, и, t) становится единой функцией комплекс-
ных s, и и t. Она описывает одновременно процессы для всех
трех - каналов. Выделение же конкретного канала производится
заданием значений s, и, t и его физической области.
Возможность аналитически продолжить амплитуду процесс.!
М (s, и, t) одновременно по двум переменным в область комплекс-
ного переменного пока не доказана. Поэтому предполагается,
что такое продолжение одновременно по двум переменным вое-
можно.
Кроме того, предполагается, что единственными особенностями,
которые могут быть у амплитуды, . являются полюса и точки
ветвления; причем одночастичному промежуточному состоянию
в условии унитарности соответствует полюс амплитуды, а двух
частичным и многочастичным состояниям — точки ветвления.
Предположим также, что функции Ti (s, и, t) стремятся к пулю,
когда обе независимые комплексные переменные стремятся к бес-
конечности. Тогда с помощью теоремы Коши для функции двух
переменных получим (опуская ie в знаменателе)
T,(S. и, о=т,+^ J J dr	+
So to
со со	со со
+ 4Д ds' С du' .	,ц,) +du'[ dt'. ,р23	\ • (5.1)
‘л2 J J (s —s)(u—и) 1 л2 J J («' — и) (Г —0 4 '
So Wo	Wo to
В это выражение переменные s, и, t входят симметрично. Члены
Ti соответствуют одночастичным промежуточным состояниям
(полюсы). Нижние пределы интегрирования определяются мини-
мальной суммой масс в промежуточном состоянии. Функции (>/л
вещественны. Соотношения (5.1) называют двойными дисперсион-
ными соотношениями, или представлением Мандельстама,
5. Двойные дисперсионные соотношения
379
Если функции Ti(s, и, t) не стремятся к нулю, когда обе
независимые комплексные переменные стремятся к бесконечно-
сти, то необходимо использовать двойные дисперсионные соотно-
шения с вычитанием, которые выглядят следующим образом:
ОО со
Ti(s, и, t) = Ti +	f ds' ( df
v 7	л2 J J (s —s0)(s	—
So io
(s-s^-j^ e ds, c du,	----
n2 J J (s — s) (s' — s0) (u'~ u) (u'— u0) 1
So-	Uq
co	co
(t — t0)(U — U0) f . , f , , _____Раз (и'. О__________i_
n2 J J u (f-t)(t'-t0)(u'—u)(u'—u0)^r
t(j Uq
co	co
 (S—So) fr (s') ds' . u—u0 C ff2 (u') du',
Л J (s' — s)(s' — So) n J (u' — «)(«' —Uo)
So	u„
I t to f fa (O	/К 1 z\
+ — ) (r_z) (Г+ сь t5-1 )
io
где Ci — константы вычитания.
Двойные дисперсионные соотношения (5.1) можно также полу-
чить из одномерных
Ti (s, и, t) = Tf+—
р3 ImTl (s', и, t)
J s'— s
So
ds' + i
1 31
? Im TP (s, u’, t)
\	----------du'
J	и' — и
(5.2)
если предположить, что абсорбтивные части ImTi(s', и, t) и
Im Ti1 (s, и’, t) являются аналитическими функциями переменной t.
Рис. 9.14. Двухчастичные промежуточные состояния
в s- и /-каналах
Поясним сначала, как абсорбтивные части становятся ком-
плексными. В случае, например, двухчастичного промежуточного
состояния в s-канале в /-канале промежуточные состояния отсут-
ствуют, если /<0 (рис. 9.14, а), и существуют, если />0
(рис. 9.14, б), т. е. в физической области первого канала (s>
380
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношении
> (М + р)2, /<0) промежуточные состояния в /-канале отсут
ствуют и абсорбтивная часть Im y;(s, и, /) —вещественная фупк
ция I. В нефизической области первого канала (s < (М + р)2, /?><>)
появляются промежуточные состояния по /-каналу, и поэтому
абсорбтивная часть ImTi(s, и, /) по переменной / становпн-и
комплексной (у мнимой части возникает мнимая часть). Поэтому
в общем случае для 1тУг(8, и, /) можно написать дисперспоп
ные соотношения по /, так как мы предположили, что Im Tt (s, и, /)
есть аналитическая функция /.
1тУ* (s, и, /) = - ( pl3/\s) df +-1- f М.^ц,). du'. (5.3)
' ’ ’ ' л J t'—t 1 Tt, J и'—и	'
to	t/o
Аналогичным образом получим дисперсионные соотношении
для Im Угп:
Im У" (s, и, /) =- Fр1г ds'+- ? р23.,(ы’ ,е) df. (5.1)
1 4 ’ ’ 1 я J s —S	1 л J t'—t	4	'
So	to
Подстановка в (5.2) первого члена из (5.3) и второго из (5.-1)
дает первый и третий члены в (5.1), остальные слагаемые в (5,3)
и (5.4) дают второй член в (5.1).
Соотношения (5.3) и (5.4) устанавливают связь между абсорб
тивными частями функций Im У,- и спектральными функциями
Pik. Как видно, спектральные функции pik отличны от пули
в области, для которой s>0, />0 ии>0,/>0, т. е. в псфп
зической области.
Естественно, что из (5.1) можно получить одномерные дне
персионные соотношения (5.2). Для этого надо в (5.1) зафпкгп
ровать одну из переменных.
Сведение двойных дисперсионных соотношений к одномерным.
Если ограничиться в условии унитарности учетом лишь дпух
частичных промежуточных состояний, то двойные дисперсионные
соотношения можно свести- к одномерным. Метод сведения осип
ван на использовании одного важного свойства диаграмм, кот
рое мы проиллюстрируем на примере двух процессов.
1. л-)-л->л-|-л. Низшими допустимыми многочастичпыми
промежуточными состояниями во всех трех каналах являюггн
двухмезонные состояния. Рассмотрим диаграмму с двумя меш
нами в s-канале (рис. 9.15, а); найдем для нее ближайшее по i
можное промежуточное состояние, например, по переменной /
Вообще говоря, оно может не совпадать с низшим, двухмезоп
ным промежуточным состоянием в /-канале. С точки зрении
/-канала диаграмма представляется в виде, изображенном па
рис. 9.15, б. Вследствие закона сохранения G-четности в каждой
вершине должно быть четное число л-мезонов. Как видно и i
рис. 9.15, б, ближайшим^ возможным промежуточным состоянием
§ 5. Двойные дисперсионные соотношения
381
диаграммы а по /-каналу является не двухмезонное состояние,
а четырехмезонное. Другими словами, если для процесса
+ л задано низшее значение переменной s = (2p)2, то бли-
жайшим возможным значением переменной t будет / = (4р)2, а не
/ = (2р)2, соответствующее низшему значению. Можно сказать
по-другому: ближайшая особенность (точка ветвления) ампли-
туды, соответствующей диаграмме а по переменной t, лежит при
/ = (4|1)2.
Ближайшим возможным промежуточным состоянием той же
диаграммы по переменной и будет четырехмезонное состояние,
Рис. 9.15. Определение ближайшей особенности в ^-канале
что соответствует особенности в амплитуде при м = (4р)2. Анало-
гичная ситуация получается в рассматриваемом случае для любой
пары переменных s, и, I: никакая пара из этих переменных не
может достигать одновременно низшего предела, „ равного (2р)2.
2. л +	Диаграмма, соответствующая двухчастич-
ному промежуточному состоянию в s-канале, изображена на
рис. 9.15, в. Ее вид с точки зрения /-канала представлен на
рис. 9.15, г. В этом случае ближайшим возможным промежуточ-
ным состоянием диаграммы по переменной / (рис. 9.15, г) будут
также четыре л-мезона, хотя низшим допустимым промежуточ-
ным состоянием /-канала является двухмезонное состояние.
Аналогичным образом найдем, что ближайшим промежуточ-
ным состоянием в н-канале по переменной / будет также четы-
рехмезонное состояние, т. е. ближайшая особенность в п-канале
по переменной / расположена при / = (4р)2.
Ближайшие возможные промежуточные состояния по пере-
менной и в s-канале и по переменной s в w-канале одинаковы
382
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношение
и совпадают с низшим промежуточным состоянием в этих капа
лах, равным рМЦ-р,)2.
Наконец, ближайшими возможными промежуточными состоя
ниями в /-канале по переменным s и и будут два мезона и нук-
лон, что соответствует особенностям при s = (М + 2р)2 и и
= (M + 2|i)2.
Характерным для рассмотренных процессов является то, чш
некоторые пары из трех переменных s, и, t не могут достигать
одновременно их низшего предела. Именно это обстоятельств! 
можно использовать для сведения двойных дисперсионных сот
ношений к одномерным. Проиллюстрируем это на примере пл
рассеяния.
Рассеяние нейтральных л-мезонов на л-мезонах. Двойные дне
персионные соотношения для инвариантной функции Т (s, и, I),
если учесть установленные нижние пределы интегрирования,
выглядят так:
СО	оо
Т (s, и, t) =	§ ds' § du'
4ц2	16 ц2
p12(s', и', /)
(s'—s—i е) (и’ — и — i е)
р23 (и', V, s)
(и' — и—ie) (Г — t—ie)
Pi3(s', и)
(s'—s—ie)(t'—t—ie)
Так как амплитуда рассеяния симметрична относительно замены
любой пары переменных s, и, t, то все три спектральные фупь
ции Pis, Р1з, Ргз равны: Р12 = Р1з = Ргз = Ро-
До тех пор пока /<16р2, знаменатель выражения !/(/' /)
не обращается в нуль, т. е. для /<16р2 подынтегральное выра
жение является аналитической функцией по /, поэтому по /
можно произвести интегрирование:
ОО	оо
-4 ( du' f dt'
л2 J J (и —и—ie)(t—t—ie)
4ц»	16 ц2
Ро (»')
и' — и—ie '
После аналогичных интегрирований по s и и в двух оставшихся
слагаемых двойные дисперсионные соотношения (5.5) сведутся
к следующим одномерным:
ОО	со	СО
Т (s',	и,	/) = -	( -	poW.-rfx+~ f	С -BW.-	d\
4	’	'	Я	J x—s—ie	Я J X—fZ—ZE 1 Я J X — t— IB
4ц2	4ц2	4ц2
(5.6)
$ 5. Двойные дисперсионные соотношения
383
Эти соотношения применимы до тех пор, пока |s|, | и I, 111 < 16р.2,
т. е. лишь в физических областях всех трех каналов, -вплоть
до порога рождения двух л-мезонов.
Вещественная функция р0 неизвестна. Для ее определения
подставим в (5.6) значения s, и, t в с. ц. м.:
s = 4 (к2 + р2) = 4(v-|-p2), и ——2к2 (1 ф-cosB) = — 2v(l 4-cos6),
t = — 2k2 (1 — cosO) = — 2v(l — cos 6);
тогда
OO
f(v, e)=l J
4ц2
oo
Ро (X) dx . 1 C
x—4p2—4v— ie	я J
4ц2
Po (x) dx______
x-|-2v (1 — cos 6) — ie
4ц2
Po (x) dx____________
x -|- 2v (1 + cos 6) — ie
(5.7)
В физической области
знаменатель в первом интеграле, поэтому
первого канала в нуль обращается лишь
F(v, 6) = -^ § dx
4р.2
Ро(Х)
х—4р.2—4v—ie
члены, с необращаю-
щимися в нуль зна-
менателями при v>0.
(5.8)
С помощью формулы (2.6) и замены переменной интегрирования
v' — (х — 4р.2) первый член выражения (5.8) перепишется так:
ОО
Re F (V, 6) + i Im F (v, 6) =	J + Фо (v) + {..(5.9)
о
Приравнивая члены, имеющие множитель i, находим
p0(v) = ImF(v, 6),	(5.Ю)
т. е. неизвестная функция р0 (v) равна абсорбтивной части ампли-
туды прямого канала.
С учетом (5.10) одномерные дисперсионные соотношения (5.6)
запишутся в виде
F(v,
ОО
0
Im F (v'» 6)
v'— v — IE
A C dv'	6)
я J 4v'-|-4p2-]-2v (1 — cos6)
0
OO
+ — f dv'
л J
о
ImF(v', 6)
4v'+4p2-|-2v (1-|-cos 6) ’
(5.П)
В отличие от обычных одномерных дисперсионных соотношений
соотношения (5.11) содержат дополнительный член, соответствую-
384
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд
щий вкладу третьего канала в первый. Появление дополнитель-
но го члена в (5.11) является вполне естественным, так как
исходные двойные дисперсионные соотношения записаны для ана-
литической функции, единой для трех каналов.
Оценки показывают, что вклад третьего канала в первый
невелик 10%).
Глава 10
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУД.
ОБОСНОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ДИСПЕРСИОННЫХ
СООТНОШЕНИЙ
В предыдущей главе мы выписали одномерные дисперсионные
соотношения по энергии s при фиксированном переданном им
пульсе /, предполагая, что амплитуда М (s, t) не имеет особен
ностей по комплексной переменной s в верхней полуплоскости.
В этой главе мы выясним, когда это предположение выполняется,
т. е. произведем обоснование одномерных дисперсионных соот
ношений по энергии. При этом мы будем использовать аксиомы
квантовой теории поля (см. гл. 7, § 1). Сначала (§ 1) покажем,
что для произвольных фиксированных вещественных переданных
импульсов t амплитуда М (s, t) аналитична по s в верхней полу-
плоскости лишь при нефизических значениях масс частиц и,
следовательно, в случае произвольных t дисперсионные соотпо
шения имеют место лишь для нефизических значений масс
Далее (§ 2) мы докажем, что дисперсионные соотношения имени
место и для физических значений масс, однако только для огра
ниченной области величин переданного импульса t.
Амплитуда М (s, t) зависит от двух переменных. Поэтому
наряду с изучением аналитических свойств амплитуды М (s, /)
по s (при фиксированном вещественном /) представляет интерес
исследование аналитических свойств амплитуды по комплексной
переменной t (при фиксированном вещественном s). В § 3 мы
установим, что амплитуда М (s, t) аналитична по t (при фикси
рованном вещественном s) в определенной ограниченной области
(малый эллипс Лемана, эллипе Мартена).
Подчеркнем, что указанные ограничения на области авали
тичности амплитуды являются прямым следствием использован
ных аксиом квантовой теории поля. Можно лишь утверждать,
что амплитуда М (s, /) будет заведомо аналитична внутри опрс
деленной области, однако ничего нельзя сказать об аналитнче
ских свойствах амплитуды на границе этой области и за ее
пределами. Для ответа на этот вопрос необходимо привлечение
более обширной информации, однако в настоящее время трудно
сказать, какой именно.
,\S’ 1. Аналитические свойства амплитуды по энергии
385
§ 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ ПО ЭНЕРГИИ
Для выяснения аналитических свойств амплитуды М (s, t) по
энергии s перепишем амплитуду в системе Брейта; это удобно
сделать потому, что в этом случае вся зависимость от энергии
содержится только в экспоненте. Далее продолжим энергию
н область комплексных значений и, используя принцип причин-
ности, покажем, что в случае произвольных передаваемых им-
пульсов t амплитуда будет аналитической функцией энергии
лишь при нефизических значениях масс.
Выбор инвариантных переменных. При изучении аналитиче-
ских свойств амплитуды учет спина и изотопического спина не
играет существенной роли. Поэтому для простоты в этой главе
мы будем рассматривать упругое рассеяние нейтрального ска-
лярного мезона с импульсом k и массой р. на тяжелом скаляр-
ном нуклоне с импульсом р и массой М: ns^p->ns-\- р.
Как известно (см. гл. 8, § 1), амплитуда этого процесса
в случае реальных частиц (pl = ml) зависит от двух инвариант-
ных переменных. В качестве таких переменных при исследова-
нии аналитических свойств по энергии удобно считать следующие:
..   (^1+^2) (Р1 + Р2)	Д2  Ml— ^2 \2	I Рг— Р1 \2
2 )	2 } '
где	kx — импульсы начальных, а р2, Л2 —импульсы конечных
частиц.
В дальнейшем нам понадобится рассматривать случай, когда
мезон не является реальным, т..е. когда /г|=М| = £, где С^р.2
(для реального мезона £ = р2). Поэтому мы будем считат^, что
амплитуда процесса зависит от трех переменных: М (со, A, Q.
11рп этом со и А связаны с переменными s = (рх+&х)2 = (Pz + ^г)2
п t = (р2 — рх)2 = (/гх — k2)2 так:
со= ---------=, Д2= —(1.1)
2]/
Система координат Брейта. Аналитические свойства амплитуды
по переменной со удобно исследовать в так называемой системе
Брейта, для которой сумма трехмерных импульсов нуклона до
н после рассеяния равна нулю*) (рис. 10.1): рх + р2 = 0 и
I Pi I IР21 (при рассеянии вперед брейтовская и лабораторная
системы совпадают). Найдем компоненты 4-векторов в системе
Брейта. Так как рх = — р2, то энергии нуклонов равны: рю =
♦’ Напомним, что в с. ц. м. равна нулю сумма трехмерных импульсов
начальных илн конечных частиц p1-|-k1 = O, P2 + k2=0.
13 Нелина Н. Ф.
386
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд
= Рго = УР1 + -Л42 = Ур24-М2 и на основании закона сохране-
ния энергии (р104- kw = Р20 + ^20) энергии мезонов также равны:
= ^20 = ]/к| + С = ]/к| + Z; отсюда следует, что | кх I = | к21 -
= | к|. Сохранение импульса означает,
что I кх + рх I = I к24~р21 или рхкх = р.,к2,
так как р, — р| и k| = k2. Следова-
тельно,
Рис. 10.1. Кинематика про-
цесса в системе Брейта
А = у (рг — pi) = рг — переданный импульс, тогда
(Pi + М Pi = — (Pi 4* ki) Рг =
— — (Рг + кг) pi — — (pi + ki) pi = 0,
т. е. вектор рх + кх ортогонален векто-
ру pi (см. рис. 10.1). Обозначим че-
рез п единичный вектор, перпендику-
лярный рх, т. е. пр1 = пр2 = 0, а
(см. рис.
череп
10.1)
ki = Pn + A и k2 = Pn —А,
где Р = | кх + pi I — абсолютное значение полного импульса в си-
стеме Брейта. Так как пА = 0 и (Рп4- А)2 = к|, то P2 + A2 = kf,
В результате в системе Брейта компонентами 4-векторов будут:
Р1(РД, -А), где р^ = А2 + М2; р2(рд, А),
МУкЧЧ, Pn-j-A), М/кЧЧ, Рп —А)>
причем пА = 0, п2 = 1, Р2 = к2 —А2 и, следовательно,
4 (Pi + Р2) = (рд, 0), ±	+ М = (]/кЧЧ, Рп),
А2 = А2, го =	1Рг) ——а)- = Ук2 4- £, к2 = со2-£.
2/(Р14-р2)2
(1.2)
(1.3)
При С = р2 величина со превращается в энергию мезона. Из (1.3)
следует, что в системе Брейта
-g (^i 4* k2) х — сохо — Р (хи) = сохо — (пх) У к2 - А2 =
= сохо — (nx) У со2 — А2 — £ . (1.4)
Аналитические свойства амплитуды по энергии. В системе
Брейта амплитуда (3.35), гл. 7 с учетом (1.4) запишется в виде
М (со, А2, g) = § dx J dxoe‘ 1“х°— (пх) 1/“2—Д2—d х
X <(Рд, A), out | 6 (х0) [/ (-J). / (- у)]_ +
4-6 М [/ (I) - <₽ (“ у)11(Рд’ “ А)’ in> =
= dx dxoeiax» -1 <nx>у “2 - Д2 - £ / [(pip2), (Pix), (ргх), х2]. (1.5)
$ 1. Аналитические свойства амплитуды по энергии
387
Так как согласно (1.2) и р2 от со не зависят, a и ^ — за-
висят, то вся зависимость амплитуды от со сосредоточена в экс-
поненте. Именно этим объясняется удобство выбора брейтовской
системы координат.
Рассмотрим второе слагаемое под интегралом в (1.5). Если
считать, как это обычно делается, что мезонный ток зависит
только от ср(х), но не от -£—q{x) и более высоких производных
[. / х \ д ! х \1 Г !х \ й / х \1
/Ы’ vWHn# 2JJ и*
следовательно, второй член под интегралом в (1.5) пропорцио-
нален б (х0) [ф (у) >	ф ( —	j 6 (х0) 6 (х)	6 (х). Из-за этого
после вычисления второго интеграла в (1.5) получим выражение,
не зависящее от (^i + ^2) и, следовательно, от со. Поэтому при
исследовании аналитических свойств амплитуды по со второе
слагаемое в (1.5) можно не учитывать.
Исследуем возможность аналитического продолжения ампли-
туды (1.5) в верхнюю полуплоскость комплексной переменной со.
При этом существенно используется принцип причинности
(см. гл. 7). Согласно последнему запаздывающий коммутатор вне
светового конуса, т. е. при Хо<х2, равен нулю. Кроме того,
благодаря наличию множителя 6 (х0) подынтегральная функция
отлична от нуля только для положительных значений х0.
При переходе к комплексным значениям co = cox-|-ico2 (где
со2^О) показатель экспоненты в формуле (1.5) становится комп-
лексным числом; его мнимая часть равна
Im [сохо — (пх) Усо2 — а],
(1.6)
где а = С + А2 — действительное число.
Рассмотрим два варианта:
1. В случае а<0 имеется соотношение *> Im]/со2 —а < Im со,
поэтому (1.6) перепишется так:
Im [сохо — (пх) Усо2 — а] > Im со [х0 — | (пх) | ].
(1.7)
Коммутатор в (1.5), согласно принципу причинности, отличен
от нуля при Хо>|х|, а функция 6(х0) —при хо>0. Иначе
говоря, в рассматриваемом случае (а<0) величина Imcofxo —
— I (пх) I ], а следовательно, и Im [сохо — (пх) ]/ со2 — а ] при Imco>
>0 положительна. Поэтому в формуле (1.5) появится множи-
тель ехр{—Im [сохо — (пх) ]/ со2 — а]}, играющий кроль обрезаю-
щего фактора. Он обеспечивает сходимость и, значит, аналитич-
ность интеграла (1.5). Следовательно, при а<0 возможно ана-
♦’ В справедливости этого неравенства можно убедиться с помощью гра-
фических построений в плоскости комплексного переменного ш.
13*
388
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд.
литическое продолжение амплитуды в верхнюю полуплоскость
(Imco>O) комплексного со.
2. Если а>0, то Im У со2 — а > Im со  и хотя по-прежнему
х0>|х|, всегда можно подобрать такие значения х, при которых
величина Im [сохо — (их) У со2 — а] при Im со > 0 становится отри-
цательной. Вследствие этого в формуле (1.5) появится растущий
множитель exp {im [сохо —(пх) ]/со2 —а]} и амплитуда перестанет
быть аналитичной в верхней полуплоскости.
Так как А2>0, то величина а = £-]-А2 может быть отрица-
тельной лишь в случае £<0, т. е. в случае отрицательных зна-
чений квадратов масс. Другими словами, аналитическое продол-
жение амплитуды в верхнюю полуплоскость комплексного со
возможно лишь для нефизических значений масс.
§ 2. ОБОСНОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ДИСПЕРСИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
Дисперсионные соотношения по энергии. Если учесть уста-
новленные аналитические свойства амплитуды по энергии п,
кроме того, предположить, что амплитуда стремится к нулю при
со->оо, то для нее можно написать безвычитательные диспер-
сионные соотношения, аналогичные (3.5), гл. 9:
+ °°
М (со,/,□=-( dco' Im 44,(ю'’ *’ 9 .	(2.1)
'	' л J	со —со	V '
— оо
Как уже подчеркивалось (гл. 9, § 3), интегрирование по
энергии со' в (2.1) производится вдоль вещественной оси (см.
рис. 9.12, а), т. е. переменная со' является вещественной вели-
чиной.
. Возьмем выражение для амплитуды М (со, t, Q в виде (3.35),
гл. 7. Ее абсорбтивная часть равна
ImA4(co, t, g = -^-[A4(co, t, £)-А4*(<о, t, £)] =
= J с/хе (А,+М2 <р2, °ut|[/(4),	т)]_|Рь in>- (2-2)
При этом использован тот факт, что амплитуда инвариантна
относительно перестановки импульсов и р2 (так как со и t
инвариантны относительно такой перестановки) и что 6 (х0) +
+ е (— х0) = 1.
Если ввести функцию
(со, t, £) = § dxe (kl+kl) 2 ф2> out |у 00 / (—y)| Рь in> (2-3)
то абсорбтивная часть ImA4(co, t, Q перепишется в виде
ImA4(co, t, =	t, £) — /?(—co, t, £)].
§ 2. Обоснование одномерных дисперсионных соотношений
389
Подстановка этого, выражения в (2.1) дает
4-СО
«(»>«. 0=^г 5 ‘to-w '• оЬ^г+тЛг-)-
— оо
оо _
“ -sir $	1₽ <“'• <• »-«<- '• 91(-гДг+ттчт)- <23'>
о
Вклад функции R(—о, t, Q в физической области равен
нулю; в этом можно убедиться с помощью рассуждений, анало-
гичных тем, которые приводят к формуле (3.31), гл. 7. Поэтому
после перехода к новой переменной интегрирования s = (p1 + ^i)2
и выделения полюсного члена формула (2.3') перепишется так:
СО
М (s, t, 0 = М +	§ ds'R (s', t, о х
Sj
X [s7^? + s'+s—4Д2-2Л42—2^ ]•	(2-4)
Мы доказали (см. § 1), что в случае произвольных переда-
ваемых импульсов t амплитуда М (s, I) аналитична по энергии s
лишь для нефизических значений масс (^#=р2), и поэтому дис-
персионные соотношения (2.4) в случае произвольных t сущест-
вуют только для нефизических значений масс.
Докажем, что, если ограничиться определенной областью
значений t, то дисперсионные соотношения (2.4) существуют и
для физических значений масс (£ = р2). Для этого надо показать,
что функция R (s, t, £), стоящая под -интегралом в (2.4), может
быть аналитически продолжена по переменной £ в область физи-
ческих значений масс. Тем самым будет аналитически продол-
жена в область физических значений масс функция М (s, t, £),
определяемая интегралом в (2.4). При этом аналитически про-
долженная функция М (s, t, £ = р2) совпадает с физической
амплитудой M (s, t).
Таким образом, проблема доказательства безвычитательных
дисперсионных соотношений сводится к исследованию аналити-
ческих свойств функции R (s, t, £) = ImM (s, t, t) по переменной
При этом переменная s является вещественной величиной.
Впервые доказательство дисперсионных соотношений на ос-
нове теории функций многих комплексных переменных было
дано Н. Н. Боголюбовым. Мы остановимся на другом методе
доказательства, предложенном Леманом.
Сначала получим выражение (2.6) для функции 7? (s, /, £)
через запаздывающий коммутатор токов. Затем, используя прёд-
ставление Поста — Лемана — Дайсона (см. гл. 7, § 4), найдем
интегральное представление (2.13) для R (s, t, £) и продолжим
его в область физических значений масс. Далее покажем, что
390
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд
такое продолжение будет аналитическим только в том случае,
когда передаваемые импульсы t лежат в определенной области
значений (большой эллипс Лемана). Затем определим тот интер-
вал вещественных значений t, для которого существуют диспер-
сионные соотношения.
Выражение для R(s, t, g). Преобразуем функцию R (s, t, g)
с помощью асимптотического условия (см. гл. 7, § 3). Вставим
в правую часть (2.3) сумму по полной системе промежуточных
состояний	in)(Pn> ini. воспользуемся трансляционной
п
инвариантностью (см. гл. 1, § 4) и произведем интегрирование
по х. В результате получим
R (s, t, g) = (2л)4 2	out;/(0)|p„, in>x
1₽л- in>
Х<рл, in |/(0) | pi, и1> = (2л)42<Рг, out | / (0) | px 4* ^i, a; in>x
X<Pi+£i, a; inj/(0)| pb in), (2.5)
здесь a означает оставшиеся физические величины промежуточ-
ного состояния (кроме импульса).
Пусть фй’ (р2) — оператор уничтожения входящего нуклона
с импульсом р2. Оператор фй’ (р2) уменьшает импульс состояния
на р2. Поэтому ф)п (Рг) IPi + ^i, in) есть состояние с импульсом
— Pai равным импульсу k2. Отсюда
<01 / (0) фй’ (р2) I Pi+klt in) = <01 / (0)! ks, in) = 0
для	где m1 — масса низшего состояния с импульсом k2.
Следовательно, первый множитель формулы (2.5) можно выра-
зить через коммутатор
<р2, out | / (0) | pi 4-^i, in) = <01 фм (Рг) / (0) | Pi + ^i, in) =
= <О|[фЙ’(Рг), / (0)]_ | Pi+^i, in) при klCm}.
Аналогично записывается второй множитель в (2.5):
+	in|/(0)|pi, in) = (pi4-^i, Jn | / (0) фй1 (Pi) 10) =
= <Pi + in | [/ (0), фй’ (Pi)]-10) при kl < m'f.
Действуя тем же способом, что и при получении формулы (3.21),
гл. 7, найдем выражение для коммутаторов:
[ФЙ’ Ш / (0)]_ = (2л)- j	*о) [/ (°)> J (*)]-.
[фЙ’(Р1), /(0)]- = (2л)-*/. j dx^=re~^6 (-Хо)[/(О), А(х)]_,
где нуклонные токи удовлетворяют уравнениям
(□ * — А42) ФЙ’ (х) = J (х), (□ х - М2) фй’ (х) = J+ (х).
£ 2. Обоснование одномерных дисперсионных соотношений
391
Окончательно выражение для функции R (s, t, Q через запазды-
вающие коммутаторы токов в случае k*,	< mf запишется в виде
R(s, t, £)=—(2л) f dxx С<Д2 .J—P£>2 i(kl P,) 2 x
J J Г 4PioP2O
X £ <01 6 (%10) [/	| Pl + klt a; in> X
a
X <P1 + ku a; in 16 (x20) [/ (^), j+ (- f)] | o>. (2.6)
Интегральное представление для R(s, t, g). Перепишем выра-
жение (2.6), воспользовавшись интегральным представлением
коммутаторов токов (см. гл. 7, § 4). Каждый запаздывающий
коммутатор в (2.6) можно представить в виде интеграла (4.32),
гл. 7 от функции <р„(«, %, Pi+ki), обращающейся в нуль вне
области, для которой:
1) векторы у (Pi + kJ + u и. y(Pi + ^i) — и	лежат
в переднем световом конусе,
2)
величина x^maxlO, m1

(2.7)
Перемножив функции <р„ и взяв сумму по а, найдем полную
функцию
ф(«1, «2, «и х2, pi + Ax) =
= У Фа («I, Xi, Pl + kj.)	(«2, х2, Pi + /у, (2.8)
а
которая удовлетворяет условиям (2.7) отдельно по каждой паре
переменных щ, xz (i = l, 2). Функция <р(«г, xz, рх + kj) — дейст-
вительная и зависит только от инвариантных скалярных произ-
ведений векторов «1, «2, pi + &i. Заменив в (2.6) коммутаторы
соответствующими интегральными представлениями, получим
с учетом (2.8) и опустив коэффициенты:
R(s, /,□=$
_______du, du2 dx; dx|<p (up и», xt, xs, s)_
|[y (*2—P2)—«ij —«?}{[y (*i—Pi)—«sj —*ij
Очень важно, что вся зависимость от / и £ содержится только
в знаменателе подынтегрального выражения (2.9).
Произведем в формуле (2.9) некоторые интегрирования. Для
этого удобно перейти в с. ц. м. (pi + ki = O); тогда <р станет
функцией переменных «i«2, uj, ul, и10, иго, xf, х| и s.
392
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд
Возьмем полярную систему координат (рис. 10.2), в которой
ki = /<(l, 0, 0), k2 = К(cose, sine, 0), |kx| = |k2|ssK,
Ui = ui (cos <pi sin &!’, sin<pxsin &!, cos Ox),	(2.10)
u2 = и2 (cos tpasin'&a, sin <p2 sin fta. cos'&a).
В качестве переменных интегрирования выберем Х = фх и а
= <Pi —Фа. В переменных (2.10) выражение (2.9) запишется сле-
дующим образом:
R (s, /,£)=§ du10 d«2o «i dux § и2 du2 § dx, § dx| x
2л	л	л	2л
X $ da (j d^x (j d&2 $ dx x
0	0	0	0
Ф (u/0, xj, cos a sin 0^ sin	+ cos	cos s)
X	[*1 (□—cos (6—%)] [x2 (□—cos (x—a)]
где
Xi ® =	2Ku(-sin
(2.H)
(2.H')
(s+M2—£)2—4M2s	c i , t
K=--------4Г-----’ cose=i+^.
Рис. 10.2. Кинематика процесса в
с. ц. м.
Чтобы исключить из знаменателя (2.1 Г) зависимость от &/, за-
меним переменные интегриро-
вания Ui и х;:
nj = «/sin,&/, и?Ч-хг =
= «l + xl. (2.12)
Так как &/ изменяется в пре-
делах от 0 до л, то u'i изме-
няется в той же области,
что и  ut. Поскольку xj2 =
— ui — Ui + X/ и Ui и~1, то
x/^xz. Другими словами, пе-
ременные u'i и xj изменяются
в той же области, что и щ, Ki.
Произведем в (2.11) интегрирование по переменной %, учиты-
вая, что
2л
С	 =
J [Хх—cos (В—х)1 [х2—cos (х — а)1
о
= 9тт ^1 (^ —l)-,z,+x2 (xj— 1)~1Л
XjXs-p У x'i — 1 У хЦ — 1 —cos (6 —а)
0 2. Обоснование одномерных дисперсионных соотношений
393
Так как после замены (2.12) переменные входят только в функ-
цию <р, то интегрирование по &/ просто даст новую весовую
функцию ср', зависящую от и!0, и',, ир, cos а и s. Таким обра-
зом, интегрирование (2.11) по и х приводит к следующему
интегральному представлению (если опустить штрихи):
R (s, t, £) = § du10 § du20 § dut § du2 § dx; § rfx| x
2я	и	i/
(•	. x,(xl— 1) '"- + xa(xl—1)-/2 ,nlQ.
X \ daq> (uto, ut, hi, cos a, s)- ‘	‘.л:.----------, (2.13)
jl	x^+V xl-\V xl-\ —cos (6—a) ’
где переменные ul0, ut, v,t изменяются в области
Подчеркнем, что в выражении (2.13) для R (s, t,Q вся зави-
симость от угла рассеяния б (или от передаваемого импульса t)
и от переменной £ содержится только в последнем множителе.
Именно этот множитель определяет аналитические свойства
функции 7? по указанным переменным.
Продолжение по переменной £. Продолжим выражение (2.13)
по переменной £ в область физических значений масс, т. е. по-
ложим £ = р2. С помощью 6-функции формула (2.13) перепишется
в виде
cos 6)= J dy 61 (cos a)
!/o(s)	—1
(2.15)
где
Ф (s, cos a, y) = \ duw du20 du-t du2 drf dx% X
X(p'(ui0, ult xf, cos a, s)[xx(x|— 1)_,/г + х2(^— l)_,/t]X
X 6 {y — (xix2 +	—1 Vx\ — 1)].
Минимальное значение f/0(s), которое определяет ближайшую
особенность, дается выражением у$ (s) == min [xtx2 + j/xf — 1 х
X)/х2 — 1] при условии, что переменные ui0, и,- и х, принимают
значения в области (2.14).
Если Хю, х20 — минимальные величины и х2, то у0 (s) =
= х10х20 + V"xf0 — 1 l^xlo— 1 . В рассматриваемом случае упругого
рассеяния 1 + 2 -> 1 + 2 (х10 = х20 = х0) имеем у0 (s) = 2х„ (s) — 1.
394
Глава tO. Аналитические свойства амплитуд
Здесь x0(s) обозначает минимальную величину (2.1 Г) при £ = р.а,
т. е.
х0 (s) = min х (s, и0, и, x) =
uk+“*+
когда переменные u0, и, x изменяются в области (2.14). Как
показывает анализ (он проведен в конце этого параграфа),
где р., М — массы мезона и нуклона; т1, т2 — массы низших
допустимых промежуточных состояний.
Аналитические свойства. Найдем область аналитичности
функции (2.15) при физических значениях масс £ = р2. Будем
рассматривать cos 6 как ком-
плексную переменную, тогда
R (s, cos б) становится функ-
цией этой комплексной пере-
менной. Особенности функ-
ции R (s, cos 6) могут воз-
никнуть лишь в точках, где
Рис. 10.3. Область аналитичности по пе- обращается в нуль знамена-
реданному импульсу: а—абсорбтивной тель формулы (2.15), т. е.
части амплитуды, б—полной амплитуды когда у0 (s)— COS (6 — «)=().
Раскрывая cos (6 —а) и ре-
шая уравнение относительно cos б, получаем область значений
cos б, вну'гри которой функция R (s, cos б) аналитична:
cos 6 = r/0 (s) cos а ± t j/^o (s) — 1 sin a.
Графически эта область в плоскости комплексных cos б изобра-
жается в виде эллипса с центром в начале координат, с фоку-
сами в точках cos6 = ±l и большой и малой полуосями, рав-
ными в рассматриваемом случае упругого рассеяния соответ-
ственно y0(s) и У yl (s) — 1 (рис. 10. 3, а). Иногда этот эллине
называется большим эллипсом Лемана, в отличие от малого эллипса
Лемана (рис. 10.3, б), в котором вся амплитуда аналитична по
переданному импульсу (см. далее, § 3).
Таким образом, функция R (s, cos б) и связанная с нею
абсорбтивная часть амплитуды ImA4(s, cos б) бинарного процесса
может быть аналитически продолжена по переменной £ в область
физических значений масс (£ = р2) для величин cos б, лежащих
в эллипсе с фокусами в точках cos б = ± 1 и полуосями
у0 (s) = 2x6 (s) - 1 и Vyl (s) - 1 = 2х0 (s) У *6 (s) - 1.
$ 2. Обоснование одномерных дисперсионных соотношений
395
Сформулируем полученные результаты для переменной t.
В с. ц. м., согласно формуле (2.6) гл. 8, cos б связан с t в слу-
чае упругого рассеяния так: cos 6= 1где № = [s — (р.—
—М)2] [s — (р+Л4)2]. Поэтому в случае упругого рассеяния боль-
шому эллипсу Лемана в плоскости cos 6 соответствует следующий
большой эллипс Лемана в плоскости /:
|/| + |/ + 4K2|<4K2x0(s).
Доказательство дисперсионных соотношений. В дисперсион-
ные соотношения входят вещественные отрицательные значения t.
Следовательно, дисперсионные соотношения существуют для
вещественных отрицательных значений t, лежащих на большой
полуоси эллипса Лемана, т. е. в интервале —	— причем
для упругих процессов
tM = 4 min [к2 (s)
, (m| —р2) (mj —М2)~| ,
"г" s—(mt—m»)2	’
(2.16)
где mi и m2 — массы промежуточных состояний.
Например, в случае лМ-рассеяния тх = 3р., zn2=7l4 + p
(см. гл. 7, § 4). Минимум выражения (2.16) достигается при
К2 = 0, тогда s = (p4-A)2 = (M + p)2. Подставляя эти значения
в (2.16), получаем р = ^2М — р. ~ ^,4~ Аналогичным образом
можно найти для других процессов те значения t, для которых
существуют дисперсионные соотношения. При этом для некото-
рых процессов получаются положительные значения t, т. е. для
этих процессов доказать существование дисперсионных соотно-
шений при физических t, вообще не удается (к такому процес-
су относится, например, упругое рассеяние нуклонов на нукло-
нах).
Выражение для x0(s). Получим формулу (2.15'). Для этого
надо найти минимальное значение функции
х (s, и0, и, х) =
2Ки
Ж2—р2\
2/s /
(2.17)
№+«2+х2—(и04
при условии, что переменные и0, и и х изменяются в области
(2.14). Перепишем (2.17) в более удобных переменных. Пусть
ij/s = R, тогда вместо (2.14) будем иметь
u — R^u0^R — и.
O^u^R,
х 2г max {О; mi — VTR + uo)2 — «2; m2 — )/(/? — u0P — й2}; (2.18)
396
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд
кроме того,
№ =	[4Я2- (М + ц)2] [4/?2 - (М- р)2].	(2.19)
Если ввести новые переменные £ = ]/(/? + и0)2 — и2, т] =*
—	— «о)2 — и2, то (2.17) и (2.18) перепишутся так:
x(s, g, Г])— к	/4/?2 —(§ + i])2|/4/?2 —(1^)2
(2.20)
0	У [4/?2 - (g + т))2] [4/?2 - (g - т))2]	4/?2;
V[4/?2 — (В + п)2] [4/?2 - (В - л)2] - 4/?2	g2 - Т)2
4/?2 - ]/ [4/?2 - (g + т])2] [47?2 - (g - т))2];	(2.21)
х=тах{0; —g; т2 —т]}.	(2.2Г)
Так как далее будет определяться минимальное значение функ-
ции x(s, g, т]), то в формуле для х взят знак равенства, т. е.
х фиксируется.
Рис. 10.4. Графическое изображение границ нера-
венств
Границы неравенств (2.21) графически изображены на
рис. 10.4. Как видно, все четыре неравенства (2.21) выпол-
няются лишь для тех значений переменных g и т], которые
лежат внутри треугольника- AOD и на его границах, т. е. об-
ластью определения функции x(s, g, tj) является треугольник OAD.
Тем самым задача сводится к определению минимума функции
§ 2. Обоснование одномерных дисперсионных соотношений
397
х (s, g, ii) для значений g, т), лежащих внутри треугольника OAD
и на его границах.
Пусть для определенности m2>/ni. Тогда возможны три
случая: 1) 2R>mi+m2; 2) mr + m2 > 2R > т2 — mf, 3) 2/? <
< т2 — m-i.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. Случай 2/?>zni4-m2 (рис. 10.5, а). Проведем в тре-
угольнике OAD линии т] — g = т2 — mlt = t\ — m2. Они раз-
делят треугольник OAD на три области, в которых х принимает
Рис. 10.5. Графическое изображение различных соотношений между
энергией и массами частиц
как раз те значения, которые входят в (2.21'). Исследуем мини-
мальные свойства функции x(s, g, tj) сначала внутри областей,
а затем —на их границах.
Если сделать замену переменных £ — т) = а, g-1-т^Р, т0
в области / (2.20) принимает вид
+ ml+т2 (а - ₽) - -4^+^--Н2_ ар|. (2.22)
„	о	f дх „ дх ,Л
Экстремальные точки этой функции = 0, 0J определяются
соотношениями:
— 4R2m2 - -i- а (47?2+Л42 - ц2) + у ₽ (4/?2 - Л42 - |л2 + 2ml) +
-|-т2сф = 0; (2.23)
4#2/и2 4- “ (4/?2 - М2 - |л2 + 2ml) - | Р (47?2 + Л42 - р2) -.
— т2сф = 0. (2.23')
Складывая их почленно, получаем (а + Р) (ml — М2) == 0, и так
как т2>М, то а = —р. Эта прямая соответствует прямой Е = 0,
т. е. функция x(s, g, п) может достигать экстремальных значе-
398
. Глава 10. Аналитические свойства амплитуд
ний на граничной прямой £ = 0. Однако если подставить в (2.23)
а = — р, то окажется, что экстремальное а <mi — m2, т. е. не
лежит в области /.
Аналогичным образом можно установить, что в области II
функция x(s, g, п) достигает экстремальных значений при а = р
или т) = 0, т. е. на прямой OD, не принадлежащей области II.
В области III функция достигает экстремальных значений на
прямых g = p и т) = Л4. Но так как тх>р, т2>М, то эти пря-
мые не принадлежат области III.
Следовательно, в случае 27?>m1 + m2 функция x(s, g, г])
не принимает минимальных значений внутри областей 7, //,
///. (Отметим сразу, что такая же ситуация осуществляется для
двух других случаев.)
Исследуем минимальные значения функции x(s, £, tj) на гра-
ницах областей, т. е. на линиях EF, BF, AD, OD, АО, CF.
Для линии EF имеем а = т1 — т2, m2 — m1<Z^<.m1-^-m2.
Подставляя а в (2.20) и учитывая, что х = тх —g = m2 —т)=л
= (mi + т2 — Р), получаем
х (s, Р) =	_ м2 - р2 + 2т1т2 -
- р + т2 -	(т2 —	. (2.24)
Эта функция достигает экстремального значения
О _ 47?2 (mx + m2) —(Л42 —р2) (л^ —тх)
р°—	4/?2 —М2 —p2 + 2mxm2
в
точке
(2.25)
Вторая производная (2.24) по р в точке р0 положительна:
|₽=₽о = (4Я2 - М2 - р2 + 2mxm2) (4/?2 - Рб) > 0,
т. е. в точке р0 функция (2.24) достигает минимума.
Точка р0 должна также удовлетворять условию m2 —тх<
<Ро<^х + ^2- Из неравенства т2 — f^x<Po вытекает, что
4/?2>(m2 —mx)(m2mx —р2). Так как m2>mx>p, 27?>т2-|-
+ mlt р2>0, то последнее неравенство заведомо выполняется.
Из неравенства Po>wzx-|-m2 следует, что mim2(m1-\-m2)Z>
> l^m2 + М2т1. Так как т\ > р2, WJ2>7I42, то это неравенство
также выполняется. Следовательно, в точке р0, лежащей па
прямой EF, функция x(s) принимает минимальное значение.
Подставляя (2.25) в (2.24) и учитывая (2.19), находим выраже-
ние для минимального значения функции х0, совпадающее
с (2.15').
Таким же путем можно показать, что на других граничных
линиях областей треугольника OAD функция x(s, g, tj) либо
§ 3. Аналитические свойства амплитуд по переданному импульсу
399
не имеет минимальных точек, либо имеет минимумы, боль-
шие (2.15').
Итак, в случае 27? > тг + т2 функция x(s, £, т]) достигает
единственного минимума, равного (2.15'), при условии, что
mi>p2, т!>7И2, р2>0, 7И2>0.
2. Случай w2i+wj2 >27? >т2 — тг (рис. 10.5, б). В этом
случае единственный минимум функции x(s, £, tj) по-прежнему
определяется формулой (2.15') при условии, что ml > р2, т!>7И2,
J/T (s — 7И2 — р2 + 2тхт2) > s (mr+т2) — (М2 — р2) (т2 — т±),
[s — (m2 — mi)2] [т% -|- sm2+7И2р2 — 7И2ml — p2mi] >
> s (ml — 7И2) (ml — p2).
3. С л у ч а й 27? < т2 — тг (рис. 10.5, в).
достигает минимального значения, отличного
Функция x(s, g, Г])
от (2.15') и равного
X1 (s) — 2К 0
2mj —М2 —р2
s
при условии, что т!>7И2, 0<j/s<m2 —р или т2 + р<<
<4-оо. Во всех физических приложениях выполняются условия
т!>р, т2>ТИ, s>(m2 —mi)2, поэтому в качестве минимума
следует взять x0(s), определяемое (2.15').
Итак, мы исследовали аналитические свойства амплитуды по
энергии и с их помощью обосновали одномерные дисперсионные
соотношения. Переходим к рассмотрению аналитических свойств
но переданному импульву.
§ 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУД ПО ПЕРЕДАННОМУ
ИМПУЛЬСУ
Малый эллипс Лемана. Для исследования аналитических
свойств амплитуды как функции переданного импульса t удобно
вместо (3.35) гл. 7. использовать выражение (3.36), гл. 7,
поскольку в нем переменная t содержится только в экспоненте.
Подставив (4.32), гл. 7 в (3.36), гл. 7, получим
dud^u- Pv Ч	(3.1)
( J [у (*2-Р2) + «] -X2
где ф — функция, зависящая от инвариантных скалярных произ-
ведений векторов и, pi, ki- и равная нулю вне области
O^u^-^-Vs; — у	+u<u0<-jVs — и;
x^maxjo; mt — |/”(у j/s + и0^ — и2;	(3.2)
т2 - ]/~ (у Ks - ыо)2 - »2}-
400
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд
Перейдем в с. ц м. Тогда ср станет функцией и0, u2, (ик)
и s. В полярных координатах «-пространства амплитуда (3.1)
перепишется так (без учета нормировочного множителя):
F (s, cos б) =
2л л
duQ ( и du dx2 da dp
о о
<р (и0, и, cos a sin 0, х2, s)
y(s)—cos(6—a) ’	' ' '
Здесь
y (s)  К2 + «2+х2-К+ (M2-n2) (2 Vs)-!]2
2Ku sin p
Исключив из знаменателя (3.2') зависимость от Р с помощью
замен (2.12) и введя 6-функцию, получим вместо (3.2')
оэ 2л
F (s, cos в) = ( dx da f.(*’ cos“’ s).,	(3.3)
' ’	' j J	x(s) —cos (6—a) ’	v '
x0(s)	о
_ я
где tp (x, cos a, s) = du0 § и du § dx2 dp x
о
№+„2+k2_ [M+(мг_p) (2 Vs)'1]2	.	. „ „ \
X 6 (x----т .T-----L—p--------------<P («0. U. COS a sin p,x2, s j <
(s-|-M2—u2)2—4M2s	,	. - t
. cos 0 = 1 +5^.
Нижний предел x0(s) определяется из условия
х0 (s) = min
и, пг
'№ + u2 + х2 — [«о + (Л42 - р2) (2 Vs)-* ]2 
2Ки
если величины и0, и, и изменяются в области (3.2), и равен
(2.15'):
х0
(т|-р2)(т| —Л42)]1/2
№ [s —(т!—m2)2] J
(3.4)
В формуле (3.3) угол рассеяния 0 содержится только в зпа
менателе. Будем рассматривать cos 0 как комплексную перемен
ную; тогда амплитуда F (s, cosO) становится функцией этого
комплексного переменного. Особенности амплитуды F (s, cos 0)
по cos 6 могут возникнуть лишь в точках, где обращается в пуль
знаменатель формулы (3.3), т. е. когда x0(s) —cos(6 —а)^ ().
Раскрывая cos (в —а) и решая уравнение относительно cos 0,
получаем область значений cos0, внутри которой функции
F (s, cos 0) аналитична по cos 0:
cos 0 = х0 (s) cos a ± i ]/хо (s)— 1 sin	(3.5)
§ 3. Аналитические свойства амплитуд по переданному импульсу
401
Графически эта область в плоскости комплексных cos 6 изобра-
жается в виде эллипса с центром в начале координат и с фоку-
сами в точках cos0 = ±l и большой и малой полуосями, рав-
ными соответственно x0(s) и j/%o(s) — 1 (см. рис. 10.3, б). Физи-
ческие значения cos б расположены на большой оси в интервале
— 1 -С cos 6	+1.
Найденными аналитическими свойствами по cos 0 обладает
как амплитуда в целом, так и ее реальная и мнимая части
в отдельности. Таким образом, полная амплитуда (3.3) есть
аналитическая функция комплексной переменной cos 0 в эллипсе
с центром в начале координат, фокусами в точках cos 0 =± 1
н полуосями х0 и ]/х%— I. Только мнимая часть амплитуды
I in F (s, t) аналитична в более широкой области (см. § 2);
поэтому (3.5) называется малым эллипсом Лемана.
Малому эллипсу Лемана в плоскости cos 0 соответствует
эллипс Лемана в плоскости t, внутри которого амплитуда ана-
литична по t; причем в случае упругого рассеяния большая
полуось эллипса равна 2№ (х0 (s) — 1).
Использование унитарности (эллипс Мартена). До сих пор
при исследовании аналитических свойств мы не использовали
свойства унитарности амплитуды. Покажем, как свойство уни-
тарности амплитуды ведет к положительности ее абсорбтивной
части и как из положительности абсорбтивной части следует
аналитичность амплитуды в определенном круге по переменной t
и аналитичность в более широкой по сравнению с эллипсами
Лемана области по переменной cos 0.
Свойство положительности. Рассмотрим по-прежнему
случай упругого рассеяния бесспиновых частиц с массами р. и М.
Мы доказали, что амплитуда F (s, cos 0) процесса в с. ц. м.
аналитична по cos 0 в малом эллипсе Лемана. Поэтому в этом
эллипсе F (s, cos б) можно разложить по парциальным волнам
Fi(s) (см. гл. 8, § 3):
F (s, cos б) = v (2/ + 1) Ft (s) Pt (cos 0).	(3.6)
Отсюда для абсорбтивной части амплитуды имеем
ImF(s, cos0) = JJ(2/ + l)ImFz(s)Pz(cos0).	(3.7)
Из условия унитарности для упругого процесса
ImFz(s)^|Fz(s)|2	(3.8)
следует, что I in Ft (s) положительна.
Из выражения
Л (cos б) = 2	[cos ZB+1 (%-!) cos (z-2) 6 +
+ 1 • 2 - (2Z—S) (2Z—3) cos (^— 4) 0 +.. .j = cos/гб (3.9)
402
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд
видно, что полиномы Лежандра можно разложить в ряд но
cos «0 с положительными коэффициентами а[п. Если учесть (3.8)
и (3.9), то ImF(s, cos 6) можно разложить в малом эллипсе
Лемана в ряд по cosnO:
оэ
ImF(s, cos 6) =2 C„cos/z6,
л=0
(3.10)
причем коэффициенты Сп положительны. Так формулируется
свойство положительности абсорбтивной части амплитуды
Im F (s, cos 8).
Следствия свойства положительности. Практп
ческая ценность этого свойства положительности заключается
в том, что из него следуют два полезных следствия:
1) все производные абсорбтивной части по cos 8 положительны
в случае cos 8=1:
f, 9 ImF(s, cos6)>0 для cos6 = 1;
\<Э cos 6 / v '
(З.П)
2) производные абсорбтивной части по cos 8 в интервале
—1 cos 8 +1 меньше производных в направлении вперед
(cos 8 = 1)
IС d-д У Im F (s, cos 8) I L 9 „ V Im F (s, cos 8 )|
|\5cos6/ v ’ 'I	\dcos6/ v ,|cose=i
для — l^cos	-ф 1 (3.12)
или в переменных t
iGJpm^s. 0|^(^)"lmF(s, t) |<=o
для — 4K2==U-=0. (3.12')
Для доказательства этих утверждений достаточно убедиться
согласно (3.1,0) в их справедливости для cos/гб. Функция cos//О
в случае нулевого угла положительна и максимальна: | cos мО1
1 = cos (/гО). Первая производная cos «8 по cos 6
d . D. sin пб fine—e-in$
J--r (cos n6) = /г-^=-= n —jb =3- =
dcos6 '	' sm 6	e,B—e £°
= 2/i[cos (n — l)8 + cos(/г —3)64-...|
представляет собой сумму функций cosmO и поэтому удовлетпо
ряет требованиям (3.11) и (3.12). Аналогичным образом можно
убедиться в справедливости (3.11) и (3.12) для производных ио
cos 6 более высокого порядка.
Расширение области аналитичности по t. Перс!)
дем к доказательству существования определенного круга аналитнч •
ности амплитуды по t. Будем исходить из дисперсионного coothohiv-
# 3. Аналитические свойства амплитуд по переданному импульсу
403
пия (без вычитаний) для амплитуды F (s, t) по переменной s при
фиксированном t, в котором для простоты вклад левого (пере-
крестного) разреза пока опущен:
F(s, t) = ± J ds' Imsf£s/ °.	(3.13)
s,=($+n)»
Сначала предположим, что s — вещественная величина и выберем
значение s = s0, меньшее порога реакции: s0 < sx = (М + ц)2. В этом
случае (3.13) перепишется так:
СО
F(s0, o =	(3.13')
Si
Брозом, Эпштейном и Глазером было показано, что в окрест-
ности точки s0, близкой к разрезу (т. е. к физическим значениям
энергий), и точки /, близкой к нулю, функция F (s0, t) является
аналитической функцией одновременно по переменным s и t.
В силу этого существует некоторая окрестность точки / = 0, где
функция F (s0, t) может быть представлена в виде ряда по t:
'>=2	рл)
п—О
причем этот ряд сходится по t в некотором круге 11	(s0),
где R (s0) — радиус сходимости.
Из (3.14) следует существование производных (s0, 01,_0-
Покажем теперь, используя свойство положительности, что:
А. Функция F (s, t) может быть разложена в ряд по t не
только для вещественных, но и для комплексных значений s:
СО
f <*• 4- 2
п=0
(3.15)
Б. Радиус сходимости R этого ряда (или область аналитич-
ности) по t не зависит от энергии.
Переходим к доказательству обоих утверждений.
А. Ряд (3.15) существует, если существуют производные
F (s, /) при произвольных s. Чтобы доказать существование
этих производных, возьмем от обеих частей (3.13') п-производную
по t при / —0:
[ д\п с / Л I 1 ! д \п С j i Im F (s', t) I	.„ ,
(a)	')|,_« = й(a?)	’I,.,-	(3.16)
404
Глава 10. Аналитические свойства амплитуП
(Й) F (s°’ |/=0 - i
/ д \п
s'—So
к=о
(3.17)
Теперь, используя свойство положительности, покажем, «по;
1. В интеграле (3.16) можно поменять местами порядок диф-
ференцирования по t и интегрирования по s:
ОО
ds'
S1
2. Интеграл, входящий в (3.17), существует при произвол!,
ных величинах s.
Докажем эти утверждения.
1. Чтобы доказать, что дифференцирование по t и интегрнро
вание по s в правой части (3.17) можно поменять местами, вое
пользуемся следующей теоремой, если:
СО
а)	интеграл /0(/) = (
•) s so
Si
сходится на конечном сегменте
г л\п ? (Jr) Im F (s'< 0
б)	интеграл =	70= jds'V 7 s>_So-----	(3. IM)
s,
сходится равномерно при	то в исходном интеграле
можно производить дифференцирование под интегралом.
Рассмотрим сначала интеграл
/ д \п
* k ImF(s',/)
In (X) = ds' s,_s---------	(3.19)
•J	й Ло
Si
с конечным верхним пределом х. Дифференцирование по / и
интегрирование по s в нем можно поменять местами, потому что
он сходится равномерно. Действительно, с одной стороны, в i
свойства положительности (3.11) следует, что (^"lmf’(s', /)
>0, и поэтому интеграл (3.19) есть монотонно возрастаюни»!
функция верхнего предела х. С другой стороны, функция F (sn, I)
аналитична по t в круге IZ|<;7?(so). Поэтому к ней можно при
менить теорему об интеграле Коши: если F (t) аналитична
в некоторой области, то в- этой области для F (t) существую!
производные, любого порядка, определяемые формулой
В частности, при / = 0
$ 3. Аналитические свойства амплитуд по переданному импульсу
405
Пусть ©^ — максимальное значение F (s0, f) на окружности 71=
R (s0). Тогда получаем следующее ограничение для производных
функции F («о, /) сверху:
I (~\п F /е, Л1	__ (V) df F (s°’t') <	=
| \dt j v’0’ '|/=o~ 2ni 1 z"i+i	2ni у t'n+l
n\M C d(R (s0)e/4>)
2ni J (F(s0)e/4>)n+1
o
l< I =«(So)
__ n!
~ 2ra[F(s0)]
2л
C del4
J (eM>)n+1
b
ir|=«(s„)
nl
(Согласно (3.16) и (3.19) такое же ограничение существует для
интеграла /п(х):
/ (х)^ е^п!-
lnW"~ [F (so)p-
Следовательно, интеграл 1п является монотонно возрастающей и
ограниченной функцией, т. е. сходится равномерно.
Устремим в интеграле (3.19) х->оо. Так как монотонно воз-
растающая и ограниченная функция имеет предел, то равномерно
сходится и интеграл (3.18), а следовательно, выполняется соот-
ношение (3.17).
2. Чтобы показать, что интеграл в (3.17) существует при
произвольных s, умножим его подынтегральное выражение на
конечную функцию S , где s — комплексная величина, не
лежащая на разрезе (т. е. s' #= s). Интеграл
(3.22)
по-прежнему сходится. Это вытекает из неравенства
St
«Cp(so, s)(^-)"F(s0, t)
t=0’
(3.23)
где p(s0, s) = max |ss,_s° |- Следовательно, интеграл (3.22) можно
считать аналитическим продолжением интеграла (3.17) на все
значения s, не лежащие на разрезе. Отсюда следует, что для
любых комплексных s, не лежащих на разрезе, выполняется
соотношение
(ip <». о|
/ = 0
_______к=о
s' —S
Тем самым доказано, что производные F (s, t),
ряд (3.15) существуют при произвольных значениях
щих на разрезе.
(3.24)
а значит, и
s, не лежа-
406
Глава 10. Аналитические свойства амплитц11
Б. Покажем теперь, что радиус сходимости ряда (3.15) не
зависит от s. Из (3.23) и (3.24) следует, что
(&)" F <*• ') ' I' <’" ЙГ F (*’ ') 1,-0-	<3-“>
С помощью (3.25) ряд (3.15) запишется так:
СО
п — 0
со
^p(s0, s)2 |(^)"F(so.	(3.2<l)
имеем
Поэтому для радиуса сходимости R ряда (3.15) с учетом (3.21)
/? =
Так как lim (р~’/«)=!, то радиус сходимости R ряда (3.15) не
п->со
зависит от s.
Следовательно, если учесть свойство унитарности, то амплиту-
да F (s, t) будет аналитична по переданному импульсу t в кру*
.	ге определенного радиуса, не завися
q 5[	s щего от энергии.
•.....	..............*-	Реальный случай, когда в дне
л	персионных соотношениях учнты
0	s, J3	s ваются не только правый, по п
•		* левый разрезы, может быть рассм<>1
Рис. 10.6. Разрезы функций Рен аналогичным образом и прнпо
cPfi(s, 0 и Fp (s, /) по перемен- Дит к тому же результату.
ной «	Формула для R. Покажем, что
размер круга аналитичности Л1
определяется большой полуосью малого эллипса Лемана. Основ
ные этапы доказательства этого сводятся к следующему.
Будем по-прежнему исходить -для простоты из дисперсионных
соотношений (3.13). Однако в отличие от (3.13') возьмем точку
s=p, лежащую на разрезе (рис. 10.6, а), т. е. в физической
области (именно для этой области определены эллипсы Леманн).
Введем функцию
, а 1
<Рр (s, 0 = -
₽
81
s —s
Эта функция аналитична по s во всей области, кроме разрем
(si, Р) (рис. 10.6, а), а по / — в области П (81г Р), образованной
пересечениями всех больших эллипсов Лемана, соответствующих
энергиям в интервале (sj, Р).
§ 3. Аналитические свойства амплитуд по переданному импульсу
407
Рассмотрим функцию Fp(s, t) = F(s, —	t). Функция
Fp(s, t) аналитична no s во всей области, кроме разреза (Р, оо)
(рис. 10.6, б), а по 7 —в области, образованной пересечением
областей аналитичности по t функций F (s, t) и <pp(s, t), т. е.
в области S, образованной пересечением малого эллипса Лемана
и области 77 (sx, Р) для энергии s, лежащей в интервале (si, Р).
Точка 7 = 0 принадлежит области S, поэтому в ней функция
Fp (s, 7) будет аналитична в некотором круге 171 <; /?р около
7 = 0. Чтобы найти величину 7?р, следует учесть, чтр. область
77 (si, Р) содержит круг 171 < г (Р), где г (Р) = 47(2 (хо — 1), а малый
эллипс Лемана — круг 171 <; rm (s), где rm (s) = 2R2 (х0 — 1). Следова-
тельно, область S содержит минимальный круг аналитичности
радиуса /?р. Так как всегда можно подобрать 0 и s так, что
r(P)>rm(s), и выбрать такую энергию s, при которой rm (s)
максимален, то радиус круга аналитичности Fp будет равен
Fp = max rm (s).
Si < s < CO
Используя свойство аналитичности, можно показать, что
функция F (s, 7) будет аналитична, по крайней мере, в той же
области, что и функция Fp (s, t). Поэтому искомая область ана-
литичности по 7 функции F(s, 7) определяется формулой
R = max rm (s).
S1<S<OO
Как видно, найденная область аналитичности функции F (s, 7)
по 7 действительно больше малого эллипса Лемана.
В случае упругих процессов
г,	rolz9, 1П	rts + M2 — fl2)2 —4M2S
R= max [2№ (x0 — 1)] = max	----------X
s1<s<'co	S!<s<co I
1 I4S________(m| —p2)2(mj —M2)2_______J11	(3 27)
x| \	[(s+M2 — p2) — 4M2s] [s — (m,— m2)2]	])’	'
При этом R не может превышать максимального значения 7 = 7^,
для которого доказаны дисперсионные соотношения
7? = min [tM, max 2№ (х0 — 1)].
Расширение области аналитичности по cos0. Разложение по
полиномам Лежандра аналитично в эллипсе. Вследствие свойства
положительности, эллипс аналитичности абсорбтивной части ампли-
туды ImF(s7) ограничен особенностью на положительной вещест-
венной полуоси. Как мы видели, ImF(s, 7) аналитично в области
i 71 = К21 1 — cos61 sC R. Следовательно, ImF (s, 7) будет аналитична
в эллипсе с большой полуосью, равной
У* (з) = (cos 6)max = 1+171/2№	1 + F/2№,	(3.28)
408
Глава 11. Асимптотическое поведение сечен ид
и фокусами в точках cos0 = ±l. Такой эллипс называют боль-
шим эллипсом Мартена.
В частности, при s->-oo формулы (2.15') и (3.28) перепишутгн
так:
т. е. при s->-oo эллипсы Лемана и Мартена сжимаются в при
мую. (+1. —1) на вещественной оси, однако эллипс Лемана
сжимается быстрее, чем эллипс Мартена.
Расширение области аналитичности амплитуды по t веде!
к некоторым важным следствиям —расширению области тех :ны
чений t, для которых существуют одномерные дисперсиопиыг
соотношения по s, установлению более жестких ограничений на
дифференциальные сечения в случае предельно больших энерг.
На последнем мы остановимся подробно в следующей главе.
Глава 11
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУД
И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИИ
Дисперсионные соотношения эффективно работают лппн.
в области сравнительно небольших энергий частиц (<J 1 ГэВ),
В настоящее время ведется интенсивное экспериментальное и <у
чение реакций при более высоких энергиях. В связи с этим
возникает необходимость в теоретических методах, пригодных
для анализа процессов при больших энергиях. Мы остановимся
на двух таких методах. Первый из них основан на использонп
нии аналитических свойств амплитуд, а второй —на введении
комплексных моментов.
Как было видно в предыдущей главе, из аксиом локальной
квантовой теории поля вытекают определенные аналитические
свойства амплитуды Af(s, /) процесса 1-|-2->3-|-4 по одной
из переменных (s или /). Предположим, что, кроме того, амнлн
туда обладает некоторыми дополнительными свойствами —уни-
тарностью, перекрестной симметрией, ограниченностью конечным
полиномом по энергии, ее вещественная часть меньше абсорбтнн
ной и т. п. Тогда можно показать, что в случае, когда энергии
становится асимптотической (s->oo), различные комбинации
аналитических и дополнительных свойств амплитуды приводя т к
определенным свойствам сечений: их ограничению сверху и снн«
зу, равенству сечений рассеяния частиц и античастиц на одной и
той же мишени и т. п. Некоторые из этих свойств сечений мы
и рассмотрим в этой главе (полагая F = M — см. (2.20) гл. 8).
J /. Ограничение на асимптотический рост сечений сверху
409
§ 1. ОГРАНИЧЕНИЕ НА АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РОСТ СЕЧЕНИЙ СВЕРХУ,
Воспользуемся тем, что амплитуда процесса: I) аналитична
в определенной области значений косинуса угла рассеяния cos 6
или переданного импульса / (см. гл. 10. § 3), 2) унитарна (см. гл. 9,
§ 1). Предположим, кроме того, что 3) амплитуда процесса огра-
ничена конечным полиномом n-го порядка по энергии
\F (s)!<l] Cms-.	ч (1.1)
Покажем, что из перечисленных условий следуют определен-
ные ограничения сверху на асимптотический рост сечений.
Упругие процессы.. Рассмотрим сначала процесс упругого
рассеяния бесспиновых частиц 1 + 2 -> 1 + 2. Абсорбтивная часть
амплитуды этого процесса (см. гл. 10, § 3) при заданном s>Si
(где Si —пороговая энергия) аналитична по cos 0 либо в боль-
шом эллипсе Лемана с большой полуосью у0, либо в большом
эллипсе Мартена с большой полуосью у™ (см. гл. 10, § 3). При
s->oo согласно формулам (3.29) и (3.30), гл. 10 для эллипса
Мартена
у™ ~ 1 +const/s,	(1.2)
а для эллипса Лемана
Уо = 1+const/s2.	х (1.2')
Будем исходить из выражения для абсорбтивной части амплитуды
А = ImF (s, х), разложенной по парциальным волнам (см. гл. 8, § 3),
СО
A(s,x) =	(2/+l)Pz(x)A(s).	(1.3)
1 = 0
1.	Учтем аналитические свойства амплитуды по х — cos0. Так
как амплитуда A (s, х) аналитична по х в эллипсе, то для нее
в этом эллипсе можно написать формулу Коши
Z(s,x) = ^§dx'^^,	(1.4)
Г
где Г обозначает контур эллипса. С помощью формулы
СО
f17=2(2Z+1)Qz(x')Pz(x)	(1.5)
1=0
410
Глава 11. Асимптотическое поведение ссчети)
амплитуда (1.4) перепишется в виде
СО
Л (s, х) = 2 W + 1) Pl (х) 2^ § A (s, х') Qi (х') dx',
г=о	г
(1.0)
+1
1 С J , Pl (х')
где Qi (х) = -2 dx
— 1
Сравнивая (1.6) и (1.3), получаем выражение для napnnii.ni.
ных амплитуд:
= 2S f А (s’ х') dx'-
(I И
2.	Используя условия полиномиальной ограниченности и унн
тарности, покажем, что парциальные амплитуды Fi(s) экснонгн
циально убывают при Z->oo. Для этого найдем верхнюю оценку
интеграла в (1.7). Пусть Am (s) — максимум модуля функции
A (s, х) на контуре Г. В силу предположения (1.1) о пол.......
миальной ограниченности амплитуды в зависимости от s, функции
A (s) растет при s->oo не быстрее некоторой степени s, т. е.
I Am (s)| Csn.	(I.N)
Для функции Qi(x) имеется приближенная формула, которлн
для значений х, лежащих на контуре Г. (т.- е., например, про
’ У = У™)> выглядит так:
й wi <(г)*/.

(I Ч)
Подставляя (1.8) и (1.9) в (1.7) и умножая полученный pciy.ni.
тат на величину 4(у™	— 1), большую длины контуро Г,
получаем
IF, (s)|!«; ImF, (s)«	F. (s) [1 -	+ Г(».")! + 1Д T
x(</? + FW I)
ИЛИ
1Л (s)|	(s)	+/(^)2-l= R (s)e^,n{^+]/",
(I Hi)
где R (s) — полином некоторой степени энергии s; при s->-' •
R(s)^Csn.	(I.llj
§ 1. Ограничение на асимптотический рост сечений сверху
411
Так как г/^>1, то у™ 4~	— 1 > 1, и из формулы (1.10)
видно, что парциальные амплитуды Ft (s) экспоненциально убы-
вают с ростом I.
Чтобы выделить в сумме вклад больших и малых парциаль-
ных амплитуд, введем такое l = L, для которого правая часть
соотношения (1.10) равна единице, т. е.
£ —_______111R _______ (1 12)
in^+vw^)’
Очевидно, что правая часть (1.10) меньше единицы для всех 1>L.
Из формул (1.2), (1.11) и (1.12) следует, что
const ]/s Ins.	(1.13)
Если взять вместо (1.2) формулу (1.2'), то
Lr^ const sins.	(1.13')
Как видно, эллипсы Мартена и Лемана приводят к различным
выражениям для L.
Рассмотрим сначала для простоты случай рассеяния вперед
(х= cos 0 = 1). Тогда выражение для амплитуды перепишется
так:
СО
F(s, 1)= £ (2/+1)Л(5).
1 = 0
(1.14)
3.	Разобьем эту сумму на две части: от 1 — 0 до 2L—1 и
от 2L до бесконечности и оценим каждую из этих сумм.
а)	Для суммы от l = 2L до бесконечности, вводя обозначение
l = 2L-]-n, будем иметь
СО
2 (2Z+l)Fz(s)
Z=2L
со
= 2 (4L + 2n+l)|F2l+„(s)|.
п — 0
В соответствии с (1.10) и (1.12)
I)’",
поэтому
со
2 (2Z+l)^(s)
Z = 2L
1 Г У™ 2У™
<___ A Г 0 I ______°
^R(s)L
vM -1

^=^+VW-i-
(1.15)
(1-16)
Выражение в квадратной скобке, согласно (1.12), растет не быст-
рее sln2s, а степень полинома R (s) можно выбрать достаточно
412
Глава 11. Асимптотическое поведение ceoeiiuil
большой. Следовательно, сумму от 2L до сов (1.14) можно
сделать меньше любой степени т. е. при s->oo эта суммп
обращается в нуль.,
б)	При оценке суммы от 1 = 0 до 21—1 в (1.14) восполыу-
емся условием унитарности, из которого для парциальных амнли
туд упругого процесса (см. гл. 9, § 1) вытекают следующнн
неравенства:
l^ImFz(s)»|Fz(s)|2SsO.	(1.17)
Неравенство Im Fz(s)sg 1 означает, что вероятность упругого
рассеяния не должна превосходить единицы. В случае неунру
того рассеяния Im Ft (s) > jFt (s)|2. Полагая, согласно (1.17) Ft (s) .
«g 1, найдем для суммы от 1 = 0 до 2L — 1
2L —1	2L—1
£ (2/+l)Fz(s)^ £ (2/+D = (2L)2.	(1.IH)
1 = 0	1 = 0
Таким образом, при s -> оо амплитуда рассеяния вперед в с. ц. м
в случае учета аналитичности в эллипсе Мартена (1.2) удовлетно
ряет неравенству
F (s, 1) fig const L2 const s In2 s.	(1.19)
Отсюда для дифференциального 0 и полного oz сечении
получим:
(ЙЦо^ПГГ2^^ 1 )l2^ const s In Ч	(1.2(1)
oz=^Im.F(s, 1)sgconst In2s.	(1.21)
Итак, из аналитичности амплитуды по cos 6 в эллипсе Мартеил,
ее унитарности и полиномиальной ограниченности по энергии еле
дуют ограничения на сечения сверху, определяемые соотпоше
ниями (1.20) и (1.21); последние обычно называются ограничг
ниями Фруассара.
4.	В случае использования аналитичности в эллипсе Лемини,
имея в виду (1.2') и (1.13'), найдем выражения для амплитуды
F (s, 1) fig const s2 In 2s	(1.2'.’)
и дифференциального и полного сечений
*5 const s3 In 4s,	(1.23)
\dQ/e=o	'
Gt const s In 2S.	(1.21)
Как видно, свойство аналитичности в эллипсе Мартена прннодш
к более жестким ограничениям на асимптотический рост амнли
туды сверху, чем в эллипсе Лемана.
§ i. Ограничение на асимптотический рост сечений сверху
413
Область аналитичности F (s, t). Найдем область аналитич-
ности полной амплитуды F (s, t) по х = cos 6. Для этого под-
ставим (1.10) и оценку для полиномов Лежандра
Р/(х)<|х + 1<^+ТГ	(1.25)
в выражение (3.6) гл. 10 для F (s,x). В результате найдем, что
F (s, х) аналитична в эллипсе с большой полуосью
(1-26)
Этот эллипс называют малым эллипсом Мартена (аналог малого
эллипса Лемана).
Неупругие процессы. Покажем, что найденные для упругих
процессов ограничения сверху имеются для неупругого двухчастич-
ного процесса 1 + 2-> 3 + 4. Действительно, обозначим через Bt(s)
парциальные амплитуды неупругого двухчастичного процесса
1 2 -> 3 + 4, а через Dt (s) — парциальные амплитуды много-
частичных неупругих процессов. Тогда условие унитарности для
упругого процесса запишется в виде
ImFz (s) = | Ft (s)|2 +1 Bt (s)|? +1 Dt (s)|2.
Отсюда
|Bz(s)|^/lmFz(S)^)/|Fz(s)|2.
(1.27)
(1.28)
Из этого неравенства следует, что парциальные амплитуды Bz (s)
также убывают экспоненциально с ростом I. Поэтому с помощью
тех же рассуждений, которые проводились выше, можно
получить соотношение (1.19) и для неупругих процессов.
Короткодействующий характер сильных взаимодействий. Мы
показали, что при выполнении определенных условий парциаль-
ные амплитуды Ft (s) экспоненциально убывают с ростом I. Сле-
довательно, в разложении амплитуды по парциальным волнам
можно удержать лишь члены с I < L, так как слагаемые с I > L
дадут несущественный вклад. Чтобы выяснить физический смысл
этого результата, вспомним, что при заданном значении импульса
k момент импульса I пропорционален прицельному параметру
столкновения R: R^l/k. Отсюда следует, что частицы с пара-
метрами, соответствующими 1>Ц фактически не рассеиваются,
т. е. что радиус сильных взаимодействий конечен. Говоря наг-
лядно, рассеяние происходит на сфере конечного радиуса R.
Поэтому, по определению, сечение oz полного рассеяния можно
записать так:
oz ~ л/?2.
(1.29)
414
Глава 11. Асимптотическое поведение ce<ii'iuu1
Если О/ от энергии не зависит, то 7? также является констан
той. В случае зависимости at от энергии 7? тоже зависит от эпер
гии. Из (1.21) и (1.29) следует, что при s->oo
7? sgconst Ins,
т. e. 7? растет с энергией, но не быстрее Ins.
Этот результат в корне противоречит первоначальному прел
ставлению о природе ядерных сил, согласно которому взапмо
действие переносится отдельными частицами и имеет постоянный,
не зависящий от энергии, радиус.
§ 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ПРОЦЕССОМ
Рассмотрим процессы упругого рассеяния вперед частицы I
на частице 2 (все частицы — бесспиновые)
1+2^1+2	(2.1)
и процесс рассеяния античастицы I на той же частице 2
1+2^14-2.	(2.7)
Пусть О/ и б/— полные сечения рассеяния процессов (2.1) и (2.2).
Например, в случае рассеяния л-мезонов на протонах про
цессами (2.1) и (2.2) будут:
л++р—>-л+-|-р (сечение at)
лг + р-> л--|-р (сечение ut)
Применение дисперсионных соотношений. Воспользуемся
1) аналитическими свойствами амплитуды по переменной ч,
вытекающими из аксиом квантовой теории поля (см. гл. JO, § I),
2) свойствами перекрестной симметрии амплитуды (см. гл. Н,
§ 6). Предположим, кроме того, что
3)	в асимптотической (s->oo) области энергий реальные части
амплитуд рассеяния ReF(s, t) и ReF(s, t) процессов (2.1) п (2.2)
малы по сравнению с их абсорбтивными частями, точнее
ReFIs) п .. ReP(s) п
11m ------— >0, hm —4——-------->0,	(2,3)
s—»со Im F (s) In s	s—»co Im F (s) In s
4)	асимптотические полные сечения и процессов стр<*
мятся к конечным величинам С и С:
Gt = С,	= С,	(2,1)
s —> со	s—>со
Тогда из перечисленных условий следует равенство асимптотпчсс
ких полных сечений процессов рассеяния частицы и антнчасгн
цы на одной и той же мишени, т. е. что at — 6t. Это равспспю
впервые было получено Помер анчуком и называется теоремои
Померанчука.
§ 2. Асимптотические соотношения между сечениями процессов	* 415
Докажем эту теорему. Введем вместо s новую переменную Е
представляющую собой энергию налетающей частицы в лабора-
торной системе координат. Пусть F(E, 0) —амплитуда рассеяния
процесса (2.1). Тогда, согласно свойству перекрестной симмет-
рии, амплитудой процесса (2.2) будет F (Е, Q)=F(—£, 0). Обра-
зуем антисимметричную комбинацию амплитуд F (Е, 0) и F (Е, 0):
2Fa(E, 0) = F(E, Q) — F(E, 0).	(2.6)
Учтем аналитические свойства амплитуды F (Е, 0). Как известно
(см. гл. 10, § 1), амплитуда F(E, 0) аналитична во всей пло-
скости комплексной переменной Е, за исключением разрезов,
идущих от — оо до — m и от m до + оо (пг — сумма масс частиц 1
и 2). Кроме того, вспомним (см. § 1), что при £->оо ампли-
туды F(E, 0) и F(E, 0) растут не быстрее £1п2£. Оба этих
фактора приводят к тому, что для Fa (Е, 0) можно написать
одномерные дисперсионные соотношения по переменной Е с двумя
вычитаниями (см. гл. 9, § 3), например, в точке Е = 0. В соот-
ветствии с формулой (2.12'), гл. 9 имеем:
Re Fa (Е, 0) = Re Fa (Е, 0) |£=„ + Е	|£=о +
I — S3 f dE' °) I s3 f dE' °)
+ л J	E'2(E' — E) ~л J E,2(E'—E) '
m	— co	'	'
Так как функция Fa(E, 0) антисимметрична и имеет разрезы, то
ImFa(£, 0) = ImFe( — Е, 0). Кроме того, антисимметричная фун-
кция в нуле равна нулю, поэтому получаем
Re Fa (Е, 0) = Е —
। С ImFa(E', 0)
Л J Е'2(£12_£2) >
(2-7)
Согласно оптической теореме [гл. 9, формула (1.25)]
ImFa(F, 0) = £[оД£, 0)-оД£, 0)] = (С-С)£ =
= СаЕ, Са = С-С. (2.8)
Подставляя последнее соотношение в (2.7) и опуская первый
член, пропорциональный Е, получаем для больших Е
ReFa(E, 0) ^СаЕ\пЕ.
(2.9)
416
Глава 11. Асимптотическое поведение сечвнш!
Аналогичным образом для симметричной комбинации амплитуд
2FS(E, 0) = F(E, O) + F(E, 0)	(2.10)
найдем
ReFs(£, 0)~Cs, C,= C+C.	(2.11)
Из (2.6) и (2.10) следует, что
ReF(£, 0) = ReFe(£, 0) + ReFs(£, 0).
Так как согласно (2.9) и (2.11) ReFs(£, 0) асимптотически растет
медленнее, чем ReFe(£, 0), то при s->oo имеем ReF(Е, 0)<~
~ReFa(£, 0), или, если поделить обе части на IinF(£, 0) и
воспользоваться соотношением (2.9),
Ref(£, 0)	Са । р	<2 |2)
Im£(£, 0)	С' 1ПС’	( е ’
Чтобы выполнялось первое из условий (2.3), надо в (2.12) поло-
жить Са = С — C = cit — ф=0. Отсюда следует равенство полных
асимптотических сечений:
07 = 07.	(2.13)
К такому же результату приводит второе условие (2.3).
Использование теоремы Фрагмена — Линделефа. Для доказа-
тельства равенства сечений и( и et вместо дисперсионных соотно-
шений можно также использовать теорему Фрагмена — Линде-
лефа, которая приводит к более общим результатам. По-прежнему
рассмотрим процессы (2.1) и (2.2). Их амплитуды удовлетворяют
условиям 1), 2), 4), однако вместо конкретного условия
Re£(£, 0)	„	st £(£,0)
Tm£(£ б)Ins -*“0 предположим, что амплитуды & =—~—- и
(Е, 0) имеют предел на вещественной оси. Кроме того, допу-
стим, что
5)	амплитуда eF (Е, 0) растет в комплексной плоскости Е мед
леннее любой экспоненты.
Теорема Фрагмена —Линделефа может быть сформулирована
следующим образом. Пусть <#~(Е, t) — функция: 1) аналитическая
в верхней полуплоскости Im£>0, 2) растет медленнее любой
линейной экспоненты в комплексной плоскости Е и 3) ограни-
чена на вещественной оси. Тогда eF (Е, t) ограничена во всей
верхней полуплоскости. Пусть далее eF (£, f) стремится к раз-
личным конечным пределам С и С при £->±оо вдоль вещест-
венной оси. Тогда пределы С и С совпадают и (£) стремится к С,
когда | £ | -> с».
Для функций eF(£, 0 и eF (£,7) условия теоремы Фрагмена -
Линделефа выполнены, поэтому при £->оо имеем
eF (£, t)/^ (Е, t) ~ С/С = 1,
§ 3. Асимптотические свойства ширины диффракционного пика
417
ПЛИ
<^(£, =	t).	(2.14)
Так как квадрат модуля амплитуды пропорционален дифферен-
циальному сечению
0|2’
то из (2.14) следует равенство дифференциальных сечений про-
цессов (2.1) и (2.2):
do/d (— t) = do/d (— t).	(2.15)
Согласно (2.14) мнимые части процессов (2.1) и (2.2) равны
и, следовательно, по оптической теореме будут равны и полные
сечения этих процессов:
Сравнение с опытными данными. Экспериментально измерены
полные сечения нескольких процессов упругого рассеяния частиц
и античастиц на одной и той же мишени:
1)	л+ + р ->л+4-р,	п~ + р->+ р;
2)	К++р^-К+ + р, К~+р-*К~+р;
3)	р+р-^р+р,	Р + р^Р + Р-
Хотя полное сечение каждой из этих реакций слабо растет
с ростом энергии,. однако разность полных сечений рассеяния
частиц и античастиц с ростом энергии убывает, т. е. теорема
Померанчука согласуется с имеющимися опытными данными.
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ШИРИНЫ ДИФРАКЦИОННОГО ПИКА
Опыт показывает, что при высоких энергиях дифференциаль-
ное сечение упругого рассеяния
dOgi_	1 d&el
~ЗГ “ W d (— cos 6)
убывает с ростом t в области малых значений t. Это означает,
что для упругого рассеяния существует дифракционный пик рас-
сеяния вперед (рис. 11.1). Пусть t0 — величина t, при которой
dcs/dt убывает вдвое (рис. 11.1), а оег —полное сечение упругого
рассеяния,
+ 1	о
j d(—cose) d(cosG) = $
-1	'	— 4|kp
14 Нелина H, Ф.
418
Глава 11. Асимптотическое поведение сечений
Величина |/0| характеризует размер дифракционного пика. Точ-
нее говоря, назовем шириной дифракционного пика отношение
д_____________ае1_______ _________2 I !2<TeZ	zo । \
el ~ doei/d |(- 0| t - о doez/d (- cos 6) |e_o •	1	'
Покажем, что при s->oo ширина пика Де/убывает не быстрее
l/ln2s. Будем исходить из выражения для дифференциального
сечения рассеяния вперед (cos 6 = 1)
da el
d (— cos 6)
le-o
1
|k|2
co	2
2(2/ + 1)Fz(s)
z=o
(3.2)
Как и в § 1, разобьем сумму этого выражения на две: от / = 0
до I = 2L — 1 и от 2L до оо. Вторая сумма будет по-прежнему
меньше любой степени 1/s и в асимптотике (s->-oo) не даст вклада,
поэтому
doei
d (— cos 6)
(2/+l)Fz(s)
2
2L—1	2L— I
2 (2Z+1) 2 (2z+i)iA(s)p.
1 = 0	1 = 0
(3.3)
выражение для полного сечения упругого
рассеяния записывается в виде
С другой стороны,
Рис. 11.1. Графическое изобра-
жение дифракционного пика
рассеяния
ОО
2 (2Z + 1)!^(S)!2
1=0
Подставляя эту формулу в (3.3),
производя суммирование по I и учи-
тывая (1.13), получаем
dOel I
d(— cos 6) |е_0"~-
«g const Lzael
~ const s ln2s

Отсюда, имея в виду (3.1), най-
дем для ширины дифракционного
пика
Де/Ss const/ln2 s,	(3.4)
т. е. в асимптотической области
энергий ширина пика убывает с ро-
стом s, но не быстрее l/ln2s.
# i. Асимптотическое выражение для амплитуды
419
Глава 12
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ
§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ *’
Постановка задачи. Рассмотрим реакцию
1+2 + 3 + 4,	(1.1)
предполагая сначала для простоты, что спины частиц равны
нулю и их массы одинаковы и равны т. Амплитуда F (s, t) та-
кого процесса в s-канале в с. ц. м., разложенная по парциаль-
ным волнам Fl (s), выглядит так (см. формулу (3.10'), гл» 8):
F (s, 0 ==S (2Z+ 1)FZ (s) Л (cos 64),	(1.2)
i
где
s = 4£},	(1.3)
t = — 2k? (1 — cos0s),	(1.4)
Ei, k/, 0S-энергия, импульс и угол рассеяния налетающей
частицы в с. ц. м. s-канала. Из (1.3) и (1.4) следует, что в фи-
зической области s-канала s > 0 и t < 0.
Амплитуда того же процесса в третьем канале запишется
в виде
F(t, е/) = 2(2/+1)Л(0^(со8бг),	(1.5)
i
где
1 = 4Е2,	'	(1.6)
s = — 2k2 (1 — cos 6Z),	(1.7)
E, k, в/ — энергия, импульс и угол рассеяния налетающей ча-
стицы в с. ц. м. в Z-канале, причем
k! = i(i-W).	(1.8)
MHI + tV	(1.9)
Из (1.6) и (1.7) следует, что в физической области третьего
канала t > 0 и s < 0.
*’ Используемые в этом параграфе асимптотические выражения для функ-
ций можно найти в книгах: Градштейн И. С. и Рыжик И. М. «Таблицы
интегралов, сумм, рядов и произведений», М, «Наука», 1963; Бейтмен Г.,
Э р д е й и А., «Высшие трансцендентные функции», т. 1—3, 1965, «Таблицы
интегральных преобразований», т. 1,2. М, «Наука», 1969.
14*
420
Глава 12. Метод комплексных моментов
Предположим, как и в случае двойных "дисперсионных соот-
ношений, что амплитуды различных каналов, в частности пря-
мого и третьего, являются единой аналитической функцией пе-
ременных s, и, t. В этом случае амплитуду одного канала можно
аналитически продолжить в другой. Иначе говоря, в этом слу-1
чае одна и та же функция F (s, t) будет амплитудой как прямого
(когда s>0, /<0) канала, так и третьего (когда />0, s<0).
При этом энергия s первого канала согласно (1.9) связана про-
стым образом с углом рассеяния в третьем канале.
Поставим следующую задачу —найти выражение амплитуды
(1.2) в первом канале при больших энергиях (s->oo). Из (1.9)
следует, что эта задача соответствует следующей: найти выра-
жение для амплитуды в /-канале при cosB^-^oo, т. е. для ком-
плексных углов рассеяния 0(. Другими словами, выражению для
амплитуды первого канала при s—>-оо соответствует выражение
амплитуды третьего канала при cos6z->oo, Чтобы cosez->oo,
согласно (1.9) надо ограничиться рассмотрением малых t, точнее
(//«)-> 0.
Найдем сначала асимптотическое (cosGz->oo) выражение для
амплитуды /-канала.
Легко убедиться, что для этой цели нельзя использовать не-
посредственно выражение (1.5) для амплитуды /-канала. В самом
деле, асимптотическое выражение полиномов Лежандра (при
cosOz->oo) выглядит так:
Л (cos 6)^ J^cos^.	(1.10)
Подставим это выражение в (1.5) и предположим, что парциаль-
ные амплитуды Ft(t) в (1.5) убывают с ростом / не быстрее
экспоненты. Тогда при | cos Gz | < 1, т; е. в физической области,
члены ряда (1.5) убывают и сумма будет конечной; в случае
| cos 6/1 > 1 всегда найдутся столь большие cos Gz, что члены
ряда (1.5) будут расти с увеличением / и сумма ряда (1.5) ста-
новится бесконечной.
Комплексные моменты. Чтобы найти ограниченное асимпто-
тическое выражение для амплитуды (1.5) третьего канала, пере-
пишем сначала ее в другой, эквивалентной форме. Для этого
допустим, что значения момента импульса / являются не вещест-
венными, а комплексными числами а. Тогда парциальные ампли-
туды Fi(t) станут функциями комплексного углового момента а:
(/)->£(а, /), / = 0, 1, 2, ..., и можно осуществить следующее
преобразование —заменить в (1.5) сумму по дискретным вещест-
венным значениям / интегралом по некоторому контуру в пло-
скости комплексных угловых моментов а. Это делается так.
Поскольку в (1.5) сумма по 1 берется по дискретным веществен-
ным точкам / = 0, 1, 2, 3, ..., то каждый член суммы можно
заменить интегралом по маленькому контуру Ct (рис. 12.1, а)
§ 1. Асимптотическое выражение для амплитуды
421
вокруг соответствующей точки I, лежащему-в плоскости ком-
плексного а:
F (t, е() ~ 2 (21 + 1) Ft (t) Pt (cos 6Z) =
/ = 0
co
- 2 aS° P.(«»«<>*» (' ll)
/ = 0
Действительно, подынтегральная функция при целых веществен-
ных а = 1, когда sin л/ обращается в нуль, имеет полюсы. Заме-
ним sinn/ его разложением около точки л/:
sin ла	sin л/ -ф л (а — /) cos л' = л (—1)г (а — /).
Тогда согласно формуле (2.14), гл. 9 интеграл в (1.11) сведется
к сумме вычетов, причем вычет при у равен /-му члену
ряда (1.5).
о)	б)	В)
Рис. 12.1. Деформация контура интегрирования при получении
асимптотического выражения для амплитуды
Так как интегралы по вертикальным контурам рис. 12.1,6
попарно сокращаются, то, заменяя в (1.11) сумму по контурам Ct
одним контуром С (рис. 12.1, 6), получим следующий интеграл
по комплексному а (если предположить, что F (а, /) не имеет
полюсов на вещественной оси):
FU, ад=1 f Р“+ ZSMsStOilto,	(1.12)
' ’	2« J	sin ла	’	'	'
так как (—l)a = e~ina. Тем самым мы нашли выражение для ампли-
туды третьего канала процесса (1.1) в виде интеграла по кон-
туру в плоскости комплексного момента а. Интеграл (1.12) по-
прежнему сходится при | cos 6/1^1 и расходится при больших
значениях cos 6Z.
422
Глава 12. Метод комплексных моментов
Интегральное представление является исходным при получе-
нии асимптотического выражения для амплитуды. Однако прежде
чем это делать, необходимо остановиться еще на одном важном
обстоятельстве.
Однозначное продолжение в область комплексных моментов а.
Сигнатура. Это обстоятельство заключается в том, что переход
от амплитуд Ft(t) к амплитудам F (a, t) неоднозначен. Например,
функция F (a, t) не изменится, если к ней добавить функцию
вида f(f)sinan, равную нулю при целых значениях а.
Однозначное продолжение Д(/) в область комплексных зна-
чений а возможно лишь в том случае, когда амплитуды F (а, I)
ограничены и аналитичны в полуплоскости Rea>/0, где /0 —
некоторое вещественное значение момента. Действительно, если
существуют две такие функции Fi(a, t) и Fz(a, t), то их раз-
ность F3(a, t) — F1(a, t) — Fz(a, t) имеет нули при целых I, огра-
ничена и аналитична для Rea>/0- Однако согласно теореме
Карлсона*5 функция F3(a, t) тождественно равна нулю, поэтому
Fi (а, 0 — F3 (a, t) = F (a, t).
К сожалению, амплитуды F (a, t) н/ удовлетворяют условию
ограниченности: они неограниченно растут при |а|->оо. Чтобы
в этом убедиться, найдем выражение для парциальных амплитуд
F (a, t), предполагая, что для них можно написать одномерные
дисперсионные соотношения.
Рассмотрим сначала случай вещественных I. Из (1.5) сле-
дует, что
+1
Ft (t) =4) Pi(cos®t)F (t, et)d(cosOt).	(1.13)
-i
С другой стороны, дисперсионные соотношения для F (a, t) по
cosOz при фиксированном t запишутся, если ввести обозначение
x = cos Gz, так:
со	со
F(t, х) = ±Д dx' +4 \dx' А^+х} ’	0-U)
* Ь >)	Л Л	4 L 1	Л —| Л
х0	Хо
где Ai (х, t), As (х, t) — абсорбтивные части функции F(t, х)
в прямом и перекрестном каналах; первый интеграл берется по
правому разрезу (х>0), а второй —по левому (х<0); х свя-
зано с s формулой (1.9); х0 = 1 + t^m2 ~ пороговое значение х
(при s = 4m2).
*’ Доказательство теоремы Карлсона имеется, например, в книге: Тип-
марш Е. К- Теория функций. ГИТТЛ, 1951.
а
§ 1. Асимптотическое выражение для амплитуды
423
Подставим (1.14) в (1.13). Имея в виду соотношения, связы-
вающие полиномы Лежандра Pt(x) с функциями Лежандра вто-
рого рода Qi(x) для целых I
4-1
1	С Pi (х) dx__
2	J х*—х ~~
—1
Qi (х'),
4-1	4“1
1	С Pi (х) dx   1 С Pi (—x)dx 
2	'	x'-J-x	2 J x'—x
—1	—I
(-l)zQz(x'),
Л(-х) = (-1)гЛ(х),
получаем вместо (1.13) следующие выражения для парциальных
амплитуд Fi(t) третьего канала:
СО	со
Fi(t) = ~ $ Qz(x')Ai(x')dx' + (-l)z~ \Qi(x')A2(x')dx’. (1.15)
Xq	*0
Перейдем к комплексным /, т. е. к а. В этом случае при
а ->оо функция Qa (х) ехр [(—Rea —t Im a) arch х], т. е. при
Re а = const функция Qa(x) осциллирует. Множитель (—1)г пере-
ходит в функцию (—1)“ = е~'яа, которая становится неограничен-
ной при Ima->oo. Поэтому, если в (1.15) произвести замену
вещественных I на комплексные а, то второе слагаемое при
| а | -> оо становится бесконечным, т. е. парциальные амплитуды
F (a, t) не могут быть однозначно продолжены в область ком-
плексных а.
Чтобы получить ограниченные и,, следовательно, однозначные
парциальные амплитуды, введем две функции: симметричную
F+(a, t), совпадающую с Ft(t) при / четном (когда (—l)z = + 1),
и антисимметричную F~ (a, /), равную Ft (/) при нечетном I (когда
(—1)г = —1):
СО	со
F° (a, 0 = 4 Qa (х') Al (х') dx' -фо Qa (х') Д2 (х') dx’,
Л V I	•l.i
Хр	Xq
где о = ±1. Как видно, у F+(a, О и F (к> 0 множитель eina
отсутствует, поэтому функции F+ (а, О и F~ (a, t) экспоненци-
ально убывают при |а|—>оо:
F± (а, 0	ехр (— a arch х0).
Следовательно, не существует единой функции F (a, t), убы-
вающей при | а | -> сю; Требованию ограниченности удовлетворяют
лишь отдельно симметричная F+ (а, 0 и антисимметричная F~ (а, О
функции.
Величину о, принимающую значения ±1, называют сигнату-
рой. Если а = +1, то сигнатура называется четной, если о = —1,
424
Глава 12. Метод комплексных моментов
то — нечетной. Из определения F+(a, t) и F~(a, t) следует, что
четная сигнатура соответствует четным /, а нечетная — нечет-
ным I.
Зная парциальные амплитуды F—(a, t), можно построить
симметричную F+ (t, х) и антисимметричную F~ (t, х) амплитуды
третьего канала, которые определяются так:
F+(t, x) = F(t, x) + F(t, — х), F~(t, x) = F(t, x)-F(t, — x).
Для этого надо в формуле (1.12) произвести замены
F (a, f)-+F±(a, t), Ра (cos 6Z) == Pa (x) ->
-> Pa (x) ± Pa (— x) = Pa (x) + oPa (— x).
Это дает для амплитуды третьего канала
F±(t, х) = ~ (2a+l)^|^[Pa(-x) + oPa(^)]da. (1.16)
£Л	Olli J
С
Таким образом, однозначное продолжение амплитуды (1.5)
в область комплексных моментов а возможно лишь отдельно для
ограниченных функций F+ (t, х) и F~{t, х).
Идея метода. Перейдем к нахождению асимптотического вы-
ражения для амплитуды. Будем исходить из выражения (1.16).
Идея метода сводится к следующему. Преобразуем контур С так,
чтобы интеграл (1.16) имел смысл при любых cos6z (такое пре-
образование называется преобразованием Зоммерфельда — Ват-
сона), т. е. найдем аналитическое продолжение (1.16) в область
любых cos 6Z. Подынтегральное выражение (1.16) зависит от двух
комплексных переменных: а и cos 6Z. Чтобы деформировать кон-
тур в плоскости комплексного переменного а, надо знать анали-
тические свойства подынтегрального выражения (1.16) по а.
Поэтому сначала остановимся на аналитических свойствах
подынтегрального выражения (1.16) по переменной а, затем, ис-
пользуя эти свойства, найдем аналитическое продолжение (1.16)
в область комплексных значений cos 6Z, т. е. в область любых
cos ez.
Аналитические свойства F(a, t) по а. Модель полюсов Редже.
Аналитические свойства амплитуды (1.16) по комплексной пере-
менной а определяются аналитическими свойствами парциальных
амплитуд F- (a, t) и функций Лежандра Ра (cos 6Z).
Функция —Pa(cos6z) не имеет комплексных особенностей
в конечной плоскости а (функция Ра (cos 6Z) обладает особенно-
стью при а->оо).
Исследование аналитических свойств парциальных амплитуд
F± (a, t) по а представляет собой сложную задачу, пока еще нс
решенную. Есть указания на то, что функции F± (a, t) имеют
в плоскости комплексного а не только полюсы, но и более слож-
§ 1. Асимптотическое выражение для амплитуды	425
ные особенности (точки ветвления и даже существенно особые
точки).
Сделаем существенное предположение —ограничимся учетом
только конечного числа простых полюсов Редже at (/) парциаль-
ных амплитуд /^(а, t) третьего канала; три таких полюса alt
«2 и а3 графически изображены на рис. 12.1, в; Тогда функции
/^(а, t) можно представить в виде суммы полюсных членов:
i
Здесь at (t) — полюс в плоскости комплексного а при данной энер-
гии t, а rP(f), /— (сх, ^ — функции, не имеющие особенностей
в правой полуплоскости а.
Как видно из (1.17), при изменении t положение полюсов
а,- (t) изменяется: они движутся в комплексной плоскости а вдоль
некоторых линий, которые получили название полюсных траек-
торий. При этом все возможные полюсные особенности и соот-
ветствующие им траектории можно разбить на два независимых
класса: с четной (о = 4-1) сигнатурой и нечетной (о =—1). Мо-
дель, учитывающую только простые полюса, называют моделью
полюсов Редже.
Преобразование Зоммерфельда—Ватсона. Аналитические свой-
ства парциальных амплитуд по комплексной переменной а мы
фиксировали, поэтому теперь можно перейти к задаче нахожде-
ния аналитического продолжения амплитуды (1.16) покомплекс-
ней переменной cos f)t в область любых значений cos Gt, т. е.
к задаче нахождения асимптотического выражения амплитуды
(1.16) при | cos 6,| > 1. Для этого деформируем контур С так, как
это показано на рис. 12,1, г. При а->оо имеем
Ра (— х) + иРа (х)	[ехр (— incz) + н] ехр (a arch х),
F± (а, f) ехр (— a arch х0).
Если х<х0, то на полуокружности С2 при |а|->ро подын-
тегральное выражение в (1.16)
(2а + О ехР [— а (arch х0 — arch х)] [ехр (— 1ла) 4- п] (sin ла)~т
экспоненциально убывает, т. е. интеграл по полуокружности С2
исчезает. Остается лишь интеграл JCt по контуру Сг.
Покажем, что интеграл Jct абсолютно сходится в области
a->±ioo при любых комплексных x = cos6, т. е. является ана-
литической функцией любых комплексных х. Для этого удобно
представить х так: x = cos (В] 4-i62). Тогда при |а|-э-оо
Ра (— х) 4- яРа (х) ехр (а [(i6j — 62) — Iл]} 4- и ехр [а	— 62)],
426
Глава 12. Метод комплексных моментов
и выражение для интеграла Jc, принимает вид
-J-ICO
Jc, = ^	da (2а+1) ехр (—aarchx0)X
— too
X {ехр a (г6± — 62 — in) -j- a ехр [a (i^ — 62)]} [exp ina — exp (— ina)] *.
При |a|->oo этот интеграл для любых значений х в случае
0<61<л экспоненциально убывает, а в случае 6г = 0 или 0] >
= п — конечен.
Таким образом, JC1 представляет собой аналитическую функ-
цию любого комплексного х. Так как в области х<|х0| интег-
рал JCi совпадает с интегралом Jc по контуру С, то Jc, есть
искомое аналитическое продолжение (см. гл. 9, § 2) Jc на любые
значения х, в частности | х |	1.
Асимптотическое выражение для амплитуды ^-канала. Из ска-
занного следует, что асимптотическое выражение для амплитуды
F (t, 6Z) третьего канала в модели полюсов Редже сводится (см.
рис. 12.1, д) к интегралу, вдоль вертикальной прямой Q и к сумме
вычетов в полюсах, лежащих справа от прямой Ct:
F± it, X) = Jc, + J Р? (О	[Pa, (- X) + uPai (X)].
i
Здесь p+(0 —вычеты в полюсах. Если учесть, что
Pa.(x) = (-l)^Pa.(-%) и (-l)“i = e-‘n4
то последняя формула перепишется так:
F±(t, х) = + 2	+ 1) Рг (0 (	<1JR)
i •
Выражение
& (t) = . 1	(1 + ое“ 1ла*<0)
называется сигнатурным множителем.
Если cos6z->oo, то имея в виду формулу (1.10) и пренебре-
гая асимптотически убывающим интегралом Jc, ~ *~а, получаем
вместо (1.18)
F±(t, x)^2[2af (0 + 1]р±(0^(О (—cos6,)“*<0.	(1.19)
© ‘
Так выглядит асимптотическая амплитуда процесса (1.1) в Z-ка
нале в модели полюсов Редже, когда спины всех частиц равны
нулю. Функции p±(i) и at(t) неизвестны
Асимптотическое выражение для амплитуды s-канала. Чтобы
найти выражение для амплитуды процесса (1.1) в s-канале, не-
§ 2. Реджезация амплитуды. Траектории
427
рейдем из /-канала в s-канал. Как уже говорилось, в случае
бесспиновых частиц амплитуды в s- и /-каналах являются одной
и той же инвариантной функцией, но взятой для различных
значений s и /. Поэтому, чтобы вернуться из /-канала в s-канал,
надо используя формулу (1.9), заменить в (1.19) cos В, величи-
ной s и считать, что s>0, /<0:
F± (s, /) ^2	(0 + и ₽Г (0 Ъ (f)	(1.20)
i
Так выглядит асимптотическая амплитуда процесса (1.1) в s-ка-
нале в модели полюсов Редже, когда спины всех частиц равны
нулю. Из (1.20) следует, что асимптотический вид амплитуды
процесса (1.1) в s-канале определяется суммой вкладов полюсов
(/) парциальных волн в /-канале.
Учет спина частиц. До сих пор мы рассматривали процесс
(1.1), предполагая, что спины ^частиц равны нулю. Асимптоти-
ческое выражение для амплитуды в том случае, когда спины
частиц отличны от нуля, можно получить аналогичным образом.
Наличие спина у частиц удобно учитывать с помощью спираль-
ных амплитуд (см. гл. 8, § 4). По-прежнему асимптотические
выражения для спиральных амплитуд s-канала будут опреде-
ляться асимптотическим видом спиральных амплитуд в /-канале.
Однако вычисления становятся более громоздкими и появится
ряд дополнительных осложняющих моментов. Поэтому мы на
реакциях с частицами со спинами останавливаться не будем.
§ 2. РЕДЖЕЗАЦИЯ АМПЛИТУДЫ. ТРАЕКТОРИИ
Реджеоны и реджезация амплитуды. Выясним, каков физи-
ческий смысл полюсных траекторий. В наиболее простом случае
одного полюса Редже в /-канале амплитуда (1.19), перепишется
так:
(/, s) [2а (/) + 1]	(/) £ (/) (— cos 6/)“<о.	(2.1)
Как будет выглядеть это выражение при различных значе-
ниях сигнатуры и целых значениях /? Рассмотрим случай четной
сигнатуры (о = -|-1) и а->/, где / — четно. Имеем
а (/) ^ а (/0) + а' (/0) (/ — /0) s I + а' (/0) (/ — /0),
или
а (/) — I = a' (t0) (/ — /0),
поэтому
14-e-imx _	2	2_	1
sin ла	л (а—I)	ла' (t0)	*
428
Глава 12. Метод комплексных моментов
и в случае бесспиновой частицы (1 = 0)выражение для ампли-
туды (2.1) переходит в следующее:
F (t, х)
2Р(0
ла' (tD)
1
t-t0
= g2
1
t-to ’
(2.2)
где
p-2 _. W
е ла' (to)'
(2.3)
Формула (2.2) является выражением для обычной полюсной
амплитуды г-канала в случае, когда в промежуточном состоянии
имеется частица с фиксированными массой t0 — m2 и спином /=()
Рис. 12.2. Реджезация полюсной
амплитуды
(см. гл. 19, § 3). Такой амплитуде
соответствует диаграмма, изобра-
женная на рис. 12.2, а. Анало-
гичным образом амплитуде (2.1)
можно сопоставить диаграмму (см.
рис. 12.2, б) с промежуточным со-
стоянием, обладающим перемен-
ным спином а (0, зависящим от
квадрата энергии t. Такое состоя-
ние называется реджеоном, а ам
плитуда (2.1) — реджезованной по-
люсной амплитудой. *
Из формулы (2.2) также вид-
но, что вычету Р (t) диаграммы
12.2, б соответствует произведение констант -связи в вершинах
диаграммы 12.2, а, т. е. вычет характеризует интенсивность
взаимодействия реджеонов в вершинах диаграмм 12.2, б.
Если сигнатура по-прежнему положительна (а= + 1), но
а->/ нечетно, то
1
1	re _ e—ina/2
sin ла
. ла
2 cos^
е— inaJ2
-------{
_ ла . ла .ла
2	cos % sin -g- sm -g-
В этом случае сигнатурный множитель, а также амплитуда не
имеют полюса и становятся конечными и чисто мнимыми.
Аналогично можно установить, что в случае нечетной сиг-
натуры реджезованная полюсная амплитуда имеет полюса при
нечетных I и становится чисто мнимой при четных I.
Как видно, обычная полюсная диаграмма содержится в ред-
жезованной диаграмме как частный случай. Реджезованная диаг-
рамма и соответствующая ей реджезованная амплитуда учиты-
вает вклад всех полюсов, лежащих на данной траектории, или,
как говорят, вклад данной траектории.
Сигнатурный множитель — величина комплексная. Поэтому,
в отличие от (2.2), амплитуда (2.1) существенно комплексна.
§ 2. Реджезация амплитуды. Траектории
429
Траектории полюсов Редже. Выясним: 1) какие траектории
возможны и 2) какие из них дают вклад в данный процесс.
Как уже говорилось, основной характеристикой траектории явля-
ется сигнатура. Для полного описания траектории кроме сигна-
туры надо знать значение электрического заряда Q, барионного
заряда В, странности 5, изотопического спина /, пространст-
венной четности Р и G-четности (если В —О и 5 = 0), зарядо-
вой четности (для истинно нейтральных систем). Вместо G-чет-
ности удобнее пользоваться G' = (—1)ZG. Обычно траектории
называют именем тех частиц, которые имеют такие же квантовые
числа, как и траектории; иногда траекториям присваивают спе-
циальные названия. Например, траектория с квантовыми чис-
лами со-мезона (ст = — 1, В = — 1, G = — 1, / = 0, В = 0, Q = 0)
называется (^-траекторией и т. п. Вакуумную траекторию
с квантовыми числами о =4*1, В =4*1. 0=4*1. / = 0, В = 0,
Q = 0 называют вакуумной, P-траекторией или траекторией
Померанчука и т. п.
Возможны следующие бозонные траектории (рядом указано
принятое обозначение траектории) с / = 0 и 1 и различными отно-
сительными знаками у о, Р и G':
1) знаки о, Р, G одинаковы — такие траектории образуют
вакуумную группу
g = P==G' = ± 1
7 = 0 о = В = G =
7 = 0 ст = В=.' G =
7 = 1 o = B=-G =
7 = 1 o = B=-G =
4* 1 Р, В'-траектория,
— 1	co-траектория,
4-1	Д2-траектория,
— 1	р-траектория;
(2.4)
2) знак Р противоположен знаку о и G'— траектории псевдо-
скалярной группы
о = — В = G' = ± 1
7 = 0 о = — P = G=4*1 тртраектория,
7 = 0 о = — P = G =—1 rf-траектория (не наблюдалась),
(2.5)
7 = 1 ст =— В= — G = 4*l л-траектория,
7 = 1 ст =— В=—G =—1 В-траектория;
3) знаки Р и G' противоположны знаку о-траектории аксиаль-
ной группы
7 = 0	о = — Р = — G = 4*	1	D'-траектория	(не	наблюдалась);
7 = 0	ст =— В= — G — —1	D-траектория;
(2.6)
7 = 1	сг = — P=G= 4*1	Ai-траектория	(не	наблюдалась);
7 = 1	ст =— P=G = — 1	Ai-траектория.
430
Глава 12. Метод комплексных моментов
Как показывает анализ, для удовлетворительного описания име-
ющихся опытных данных одной вакуумной траектории Р (в ком-
бинации с другими) недостаточно. Поэтому была введена вторая
вакуумная траектория Р', обладающая теми же квантовыми чис-
лами, что и Р. Обычно ^-траектории сопоставляют Ушо-час-
тицу, а Р'-траейтории —/1Б14-частицу.
Допустимые промежуточные реджеонные состояния. Так как
сбхраняющиеся квантовые числа начальной и конечной системы
должны быть одинаковыми, то в промежуточном состоянии для
данного процесса допустимы лишь определенные реджеонные
состояния, —общие для начальной и конечной систем частиц.
Найдем допустимые реджеонные состояния для некоторых про-
цессов. Рассмотрим для примера процессы, начальное и конечное
состояние которых по s-каналу содержат нуклон 1 + N -> 3 + N.
По третьему каналу таким реакциям соответствуют процессы,
в начальном состоянии которых имеется пара нуклон-антинуклон
AW: W4-Af->l4-3. Покажем, что начальная система AW может
находиться в любом из перечисленных выше реджеонных состо-
яний и, следовательно, допустимые промежуточные состояния
для процесса N W -> 1 3 определяются конечной системой
частиц. Полный изотопический спин начальной системы / == 0,
1, а ее полный спин s = 0, 1. Пусть орбитальный момент сис-
темы нуклон — антинуклон равен I, а полный момент /.Система
NN может находиться в синглетном (s — 0) и триплетном (s=l)
состояниях:	(синглет), 3/j_z n3lj=a±i (триплет). Если задано
I,	то для состояний Hj-i, 3lj-i сигнатура о = (—l)z и о
= (—l)z+1 для состояний 3Zj=z±i, так как о = (— 1)<
Нуклон и. антинуклон имеют противоположные пространствен-
ные четности, поэтому пространственная четность AW-системы
с заданным I есть (—l)z+1. Согласно формуле (5.24), гл. 8,
G' = ( — l)z G = ( — l)z+s, поэтому для синглетных состояний
G' = (— l)z, а для триплетных G' = (— l)z+1. Таким образом, сис-
тема NN с данным значением I может находиться в следующих
состояниях:
а)	и — G' — P = (— l)z+1 = ± 1, если 3/j=z±i,
б)	о= — G'= — Р = (—l)z = ± 1, если 3Z/_z,
в)	cr = G' = — Р = (— l)z =±1, если
т.	е. система NN может находиться в любом из состояний, пере-
численных выше.
Найдем допустимые промежуточные реджеонные состояния
(из обнаруженных) для нескольких конкретных реакций в /-канале.
1.	рр—Изотопический спин л+л~-системы может при-
нимать два значения: 0 и 1 (значение / = 2 запрещено законом
§ 2. Реджезация амплитуды. Траектории
431
сохранения изоспина). Для зг+л~-системы, обладающей орбиталь-
ным моментом I,
о = (—1)г==±1, Р = (—l)z = ±l, G' = (—l)z = ±l.
Так как G-четность л+лг-системы положительна, G=-)-l, то
в процесс AGV —>л+л~ дают вклад такие реджеонные состояния:
n=P = G=4-l / = 0 /вакУУмная траектория Р\ ~
’ \вакуумная траектория Р')г ' ' '
c — P==—G= — l, 1 — 1 (р-траектория)	(2.8)
Следовательно, в процесс рр-ж+лг дают  вклад Р-, Р- и р-
траектории.
2.	л+л_->л+л~. Из предыдущего примера следует, что в про-
цесс л+л~->л+л_ дают вклад также Р-, Р’- и р-траектории (сос-
тояние с / = 2 на опыте не наблюдается).
3.	рп -> л+л°. Изотопический спин л+л°-системы может принимать
только одно значение / = 1, так как суммарная проекция I г = 1
содержится только в 1 = 1. Поэтому для реакции рп -> л+л°
допустимо лишь промежуточное реджеонное состояние (2.8).
4.	л+л°—>-л+л°. Из последнего примера вытекает, что в про-
цесс л+л°—>л+л° дает вклад лишь реджеонное состояние (2.8).
Линейное приближение для траекторий. Предположим, что
траектории аг (t) различных полюсов Редже можно представить
для малых t в приближенной форме
at (0 = щ (0) + сс/ (0) 14-... ,	(2.9)
где сс;(О) и а'(0) — вещественные числа.
Будем откладывать по оси ординат величину Rea(Z), а по
оси абсцисс — величину t (диаграмма Чу-Фраучи). Тогда траек-
тории (2.9) изобразятся графически в виде прямых линий с нак-
лоном, характеризуемым величиной а'(0). Целые значения Rea(/)
равны спинам резонансов, а соответствующие им величины t —
квадратам масс резонансов. На данной траектории должны
лежать все резонансы, квантовые, числа которых совпадают
с квантовыми числами траектории.
На рис. 12.3, а изображены траектории полюсов Редже
с полуцелыми спинами, а на рис. 12.3, б —с целым спином. На
этих рисунках положительная четность обозначена затушеван-
ным кружком, а отрицательная — светлым. Как видно, предпо-
ложение (2.9) о линейном характере траекторий полюсов Редже
согласуется с имеющимися опытными данными.
В выражении (2.9) мнимые части траекторий, пропорцио-
нальные их ширинам, не учитываются, т. е. резонансы рассмат-
риваются бесконечно узкими. На самом деле резонансы обла-
дают определенной шириной; однако эти ширины невелики
(—10-100 МэВ).
432
Глава 12. Метод комплексных моментов
Заметим также, что из факта расположения резонансов (час-
тиц) на траектории следует информация о траектории a(t) для
положительных />0. Информацию о траекториях a(t) для отри-
цательных t<zO можно получить (см. § 3) с помощью анализа
дифференциальных сечений s-канала, в которые дают вклад опре-
деленные траекториии при /<0.
Рис. 12.3. Траектории- полюсов Редже: а—с полуцелыми, о—с целыми спи-
нами
Точки ветвления. Асимптотическое выражение (1.20) для ампли-
туды s-канала соответствует случаю, когда учитываются лини,
полюса парциальных амплитуд по комплексному моменту а.
Однако парциальные амплитуды обладают также движущимися
точками ветвления по а.
Найдем асимптотическое выражение для амплитуды s-канала
с учетом точек ветвления. Предположим для простоты, что
у парциальной амплитуды имеется одна точка ветвления (рис.
12.1, е). Интегрирование надо производить вдоль прямой Cj и
по контуру Се. Если, как и в полюсной модели, вкладом интег-
рала по контуру Сх пренебречь, то согласно (1.16) асимптоти-
ческое выражение для амплитуды s-канала запишется так!
F±(t, х)=± § (2a+l)F±(a, 1)Ца)Ра (x)da.
се
Интеграл по контуру Св равен интегралу вдоль разреза от раз-
ности (скачка) р (а, I) функции F (a, t) над разрезом и под ним, т. е.
ав(0
(Z, х)= § (2а1) р± (a, Z)g(a)s“da,	(2.10)
a, (t)
где «в (0 — траектория точки ветвления.
§ 3. Рассеяние л+-мезонов на л+-мезонах
433
При больших значениях s основной вклад в интеграл дает
область вблизи верхнего предела интегрирования; причем нижний
предел интегрирования ах(/) можно заменить на ( — со). Поэтому,
если ввести вместо а переменную г —а — ае, то (2.10) запишет-
ся в виде
(t, х) = В (т], t) I (ае (t)) saeW,	(2.11)
ОО
где В (т], dze~2zr,p (z, t), т]=1п s, g (а* (/)) — сигнатура точки
о
ветвления.
Функции В(т], 0 и ав (0 — неизвестны; функция В(т], I) зави-
сит от логарифма энергии т].
Выражение (2.11) получается из (1.20), если в последнем
заменить вычет 0(/) функцией В(т], t), а полюсную траекторию
а (0 — траекторией точки ветвления ae (t).
Как показывает анализ опытных данных, основной вклад
в амплитуду дают полюса, но вклад точек ветвления также может
быть заметным.
§ 3. РАССЕЯНИЕ Л'-МЕЗОНОВ НА л*-МЕЗОНАХ
Рассмотрим для примера процесс упругого рассеяния л+-
мезонов на л+-мезонах:
л+-|-л+->- л+ + л+,	(3.1)
которому в третьем канале соответствует реакция
л++ лг-> л+л~.	(3.2)
Как уже говорилось (§ 2), в процесс (3.2) дают вклад Р-, Р'- и
р-траектории (вклада точек ветвления не учитываем). Поэтому
асимптотическое выражение для амплитуды s-канала запишется
согласно (1.20) так:
F (s, 0 ~ (2ар (0 +1) ₽р (/) Ъ (/) Л(/) +
+ (2ap,(0 + i)₽P«(0^(0sV(Z) +
4-(2ap(0 + l)Pp(0gp(0saP(Z), (3.3)
а асимптотическое дифференциальное сечение процесса (3.1) равно
Так как для малых t траекторию а (/) можно представить
в виде (2.9) а(/)=а(0) + а'(0)/, то каждая траектория харак-
теризуется двумя числами а (0) и а' (0).
При практических вычислениях удобно амплитуду (3.3)
записать в форме, в которой зависимость вычета от энергии
434
Глава 13. Электромагнитное взаимодействие адронов
выделена в экспоненциальный множитель:
F (s, 0 ~	(0) ₽, (0) s“i(0) ехр {[7?| +
+ al (0) In s -1 -J] /J, i = P, P', p, (3.5)
где Р/ (0) e Rii — вычеты. Следовательно, в (3.4) войдут неизвест-
ные величины рг (0), R2{, cq (0) и а.' (0), характеризующие вычеты
и траектории. Подстановка в левую часть (3.5) имеющихся опыт-
do	„
ных данных приводит к системе уравнении, из которой можно
найти значения Р/(0), Rj, cq(O), а/(0).
Как видно, изложенный метод полюсов Редже позволяет
определить характеристики вычетов и траекторий лишь с по-
мощью опытных данных, в этом смысле он является сугубо (|ю-
номенологическим методом.
Глава 13
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АДРОНОВ
В гл. 8 —12 мы изучали процессы с участием только адро-
нов. Сейчас перейдем к анализу взаимодействия фотонов и лепто-
нов с адронами. Мы остановимся на двух реакциях: фотообра-
зовании л-мезонов на нуклонах и упругом рассеянии электро-
нов на нуклонах.
§ 1. ФОТООБРАЗОВАНИЕ Л-МЕЗОНОВ НА НУКЛОНАХ
Рассмотрим процесс фотообразования л-мезонов на нуклонах:
Т (k) + N (Pi) -> N (р2) 4- л (<?).
Изложим кинематику этого процесса.
Волновая функция вектона с заданным полным моментом,
В отличие от бесспиновой частицы вектон характеризуется пол-
ным моментом импульса /, равным векторной сумме орбитального
I и спинового s = 1 моментов:
/ = /+1, I, 1-1.
Соответственно оператор М полного момента импульса вектони
состоит из двух слагаемых: из оператора орбитального момента
импульса L и оператора спинового момента S вектона: M = L-\ .S’,
Собственные функции и собственные значения оператороп
/И2 и Мг определяются уравнениями
(1.1)
§ 1. Фотообразование л-мезонов на нуклонах
435
Здесь т,- означает. проекцию полного момента / вектона на ось
г, т. е. сумму проекций его орбитального т{ и спинового р момен-
тов: nij = mz4-p.
Состояние частицы с данным орбитальным моментом / описы-
вается шаровой функцией Y jm/. Чтобы описать состояние век-
тона с импульсом q и полным моментом /, требуется три шаро-
вые функции, соответствующие трем поляризациям вектона. Эти
шаровые функции можно рассматривать как компоненты вектора
Yjm.{b, ф), который назвали шаровым вектором. Шаровой вектор
Yjmf (6, <р) должен удовлетворять уравнениям (1.1), и, кроме
того, его компоненты должны быть согласно (2.12) гл. 1 орто-
гональны друг к другу.
Найдем удовлетворяющий обоим этим требованиям шаровой
вектор Y/m/, используя скалярную шаровую функцию	Для
этого введем три ортогональных оператора (полагая |q|2 = l):
Ь=“1'[ЧД]: N=-i[qL>^-q(q^); q-	С1-2)
Величины L, N и q удовлетворяют коммутационным соотношениям:
LmN п N n^m = i&mnrNri
Lm<]n Яп^-т — ^тпгЯг-
(1.3)
Действуя операторами (1.2) на скалярную шаровую функцию
частицы Yjm. (0, ф), получаем три векторные функции, завися-
щие от вектора q;
LYlm/, NYim., qYim/.	(1.4)
Эти функции являются собственными функциями оператора пол-
ного момента М2. В самом деле, действуя, например, операто-
ром Мг на функцию LYim., найдем
Mr (LnYlmi) = (Lr+Sr) (LnY,m/) — LrLnYjmj + SrLnY
fmj.
Используя первое соотношение в (1.3) и формулу 8ГЬ{ —
— — lErifLf, приходим к следующему результату:
Mr(LnY ~ LnLrY-ф ie.rnjLfYjmj — iernjl^fY jm. = LnLrY.• )
Действуя на последнюю функцию еще раз оператором Мг, полу-
чаем	*
M2(LnYim^LnL2Y/mh	(1.6)
Так как Y/mj является собственной функцией оператора орби-
тального момента L с моментом / и проекцией mf, то
t-zYjinj=:tnjYjmj, L2Yjmj = j(j-j-l) Yjmj.
436
Глава 13. Электромагнитное взаимодействие адроноп
Тогда из (1.5) и (1.6) следует, что
Mz(LnYimi) = т,-(ЛлУ/т.); М2 (А„У/т/)=/ (/4-1) (LnYim.),
т. е. функция LYfmi, согласно (1.1), действительно есть собствен
ная функция оператора полного момента Мг с моментом / и
проекцией пу.
Аналогичным образом доказывается, что функции NY},„у и
qY jmj и, следовательно, шаровой вектор Y/m/ являются собствен
ными функциями оператора /И2 с моментом / и проекцией ну.
Так как операторы L, N и q ортогональны друг к другу, то
функции LY, NV, qF взаимно ортогональны. Выберем для пнх
следующее условие нормировки:
Y/m (q) Y/'m- (q) dq = 4n6xv6//-6mm-.
Тогда в явном виде функции LY, NY и qY, удовлетворяющие
условиям (1.5) и (1.6), запишутся так:
(1-7’
T)_YS,=
“ " Ki (/’+ I'i [Ч5ч] Y""l lq,;	(4).
Вектор qV направлен вдоль импульса q и связан с продольной
поляризацией вектона, в то время как векторы LY и NV харак-
теризуют поперечно поляризованные вектоны.
Таким образом, состояние вектона с импульсом q и полным
моментом / описывается шаровым вектором с компонентами Y
УЦ!’, Y/my, или сокращенно Y/m/, где Х = 0, 4-1, —1. Эти орто-
гональные компоненты шарового вектора изображены па
рис. 13.1, а.
Соответственно состояние фотона с импульсом к и полным
моментом j характеризуется Шаровым вектором с компонентами
Y/mJ и Y)^„ описывающими две поперечные поляризации фотона
(рис. 13.1, б); при этом
у1,” _______1	Гц	у
т+1)Г4
Y<+n________1	ft. д у
,mi ~	ТЖН) U	Г dk)J У imi-
Пространственная четность вектона. Определим, накопи
пространственная четность состояния вектона с заданным полным
§ I. Фотообразование п-мезонов на нуклонах	437
моментом / и поляризацией X. Согласно общему правилу четность
определяется орбитальным моментом
PY/m.(e, <p)=PYzim/(e, <₽) = (-i)L+'Y,-im/(0, Ф),
L — орбитальный момент вектона. Единица в показателе появилась
из-за того, что внутренняя четность вектона отрицательна.
Рис. 13.1. Шаровые векторы: а—вектона или виртуального фотона,
б—реального фотона
Вектоны с поперечной и продольной поляризацией, описывае-
мые выражениями (1.7), преобразуются при пространственной
инверсии следующим образом:
= (~1)L+I Y/Lm,(cose) = (-1)/±1+I Y/Lm,(cose),
p^ = (-1)L+1 Y,Lm,(cos0) = (-1)/±I + 1 Y/Lm/ (cos 0),
так как в обоих случаях L — j± 1;
PY^ = (-1)L+' \iLm/ (cos 0) = (-1)'+ ’
так как в этом случае L = /; или сокращенно
PY^ = (-l/+1+xY$m/, Х = + 1, -1, 0.
Как видно, вектон удобно характеризовать полным, а не орби-
тальным моментом L.
Таким образом, в зависимости от вида поляризации существуют
два «сорта» вектонов с данным полным моментом /: а) описы-
ваемых волновыми функциями с четностью (—Ip —к ним отно-
сятся продольно- (Х = —1) и один из поперечно-поляризованных
(А=+1) вектонов; б) описываемых волновыми функциями с чет-
ностью (—1)'+1 — к ним относится другой поперечно-поляризован-
ный (Х=0) вектон. Вектоны с X = 0 называются магнитными, а с
X = ± 1 — электрическими (продольными, если Х = —1, и попереч-
ными, если Х==+1).
438	Глава 13. Электромагнитное взаимодействие адронов
Как видно, при определении электрических и магнитных
мультиполей учтено, что внутренняя пространственная четность
вектона отрицательна (в случае псевдовектона электрические и
магнитные мультиполи меняются ролями). Значение полного
момента / определяет величину мультиполя; состояния с / I
называются дипольными, с ] = 2 — квадрупольными и т. д. Чтобы
различить поперечные электрические, магнитные и продольные
электрические мультиполи, употребляют следующие обозначения:
El, Ml, LI — для диполей; Е2, М2, Ь2 — лдя квадруполей и т. д.
Пользуясь законом сохранения четности и момента импульса,
можно установить некоторые правила отбора. Рассмотрим процесс
образования псевдоскалярных л-мезонов на нуклонах виртуаль-
ными фотонами (или вектонами) V: V + W-> N' + л. Предположим,
что четность нуклона положительна. Тогда четность начальной
системы равна (—1)у+1+\ а четность конечной системы, характс
ризуемой орбитальным моментом ', будет (—l)z'+1 (единица
в показателе степени появилась потому, что мезон псевдоскаляр-
ный). Согласно закону сохранения четности
(_1у+1+х== (_!)/'+!	(1.9)
Отсюда видно, что магнитный диполь (/ = 1, Х = 0) образует
мезоны в состояниях Г — 1, 3, 5 и т. д. Полный момент началь-
ного состояния равен 1 ± х/2, т. е. либо г/2, либо 3/2. К такому же
значению полного момента в конечном состоянии приведет липа,
/' = 1. Иначе говоря, из законов сохранения полного момента а
четности следует, что магнитный диполь образует мезоны лшпь
в р-состоянии (/'=!). Согласно (1.9) электрический поперечный
диполь (/=1, Х=1) образует мезоны в состояниях с /' = 0, 2,
4 и т. д. Однако закон сохранения момента импульса допускает
лишь значение /' = 0, когда полный момент начальной и конечной
систем равен х/2> и /' = 2, когда полный момент равен 3/2. Дру-
гими словами, электрический поперечный диполь образует мезоны
лишь в s- и d-состояниях. Все сказанное об электрических
поперечных диполях в-одинаковой мере применимо к продоль-
ному электрическому диполю (/ = 1, А =—1).
Рассуждая аналогичным образом, получаем, что электрический
квадруполь (/ = 2, Х=1) образует мезоны в p-состоянии (когда
полный момент системы равен 3/2) и в состоянии с /' = 3 (когда
полный момент системы равен 6/2).
Если ограничиться случаем, когда мезоны образуются -лишь
в s- и p-состояниях, то необходимо учесть магнитный диполь,
а также электрические (поперечные и продольные) диполь н
квадруполь.
Инвариантная амплитуда. Рассмотрим процесс образования
п-мезонов на нуклонах реальными фотонами:
X(k) + N(P1)-^N(p2) + n(q).	(1.10)
§ I. Фотообразование л-мезонов на нуклонах
439
Для подсчета числа независимых инвариантных комбинаций
воспользуемся законами сохранения момента импульса и четности.
Если полный момент начальной системы равен J, то полный
момент фотона принимает два значения: /==«Л-+-1/а; /=/ —Va-
Для каждого из значений j существуют два типа фотонов: элек-
трические Е с четностью (—I)7 и магнитные М с четностью (—iy+1.
Поэтому при данном j существуют четыре типа начальных состоя-
ний: два с четностью (—1 )i=(J+*/«)+1+\ соответствующих фото-
нам Е (J-\-1/2) и M(j4-1/i) и два с четностью (—1)/=U—’/i)+i+\
соответствующих фотонам М (J —1/2) и Е (J —1/2). В конечном
состоянии при данном J возможны два значения орбитального
момента: —	I' = J—Чг или два состояния с четностями
(_l)(J+*/,)+i и (—l)(J-,/«>+1.
Из закона сохранения момента импульса и четности следует,
что в данном случае разрешены четыре перехода между состоя-
ниями:
— у)-»-Z = / + у, m(j — у)-*-l = J — у.
Следовательно, в амплитуду процесса (1.10) войдут четыре неза-
висимые инвариантные комбинации. Обычно их выбирают в виде:
Pi = Тб (Т&) (?е). ^2 = 2у6 [(Ре) (kq) - (Pk) (ge)], R3 =
= Ye [(Y^) (<7e) - (Ye) (&?)L P4 = 2yB [(у/г) (Pe) - (ye) (Pk) - M (yk) (ye)].
Тогда для инвариантной амплитуды имеем:
М (s, t) = и<+) (р2) {Ti (s,- t) ys (yk) (ye) +
+ 2Т2 (s, t) y6 [(Pe) (kq) - (Pk) (qz)] +
4-T3(s, t) у5 [(у/г) (qz) - (ye) (qk)] +
+ 2T4 (s, t) y5 [(yfc) (Pe) - (ye) (Pk) -
~ M (yk) (ye)]} v<-> (px) ф* (q), (1.11)
или
M(s,
t) = ц<+> (p2) Tv<_) (Pl) Ф* (q) =
= y(+> (p2)
E Tt-(s,
i= I
t)Ri f(_)(Pi)$*(q).
В реакцию (1.10) входят две тождественные частицы (начальный
и конечный нуклон), поэтому мы выбрали вместо ft комбинацию
Р = у (pi + p2), симметричную относительно импульсов обоих
нуклонов (см. гл. 8, § 6).
При подсчете независимых комбинаций мы не учитывали про-
дольных фотонов и тем самым удовлетворили требованию гра-
диентной инвариантности.
440
Глава 13. Электромагнитное взаимодействие адронов
Амплитуда в с. ц. м. Из векторов к, к', о, е (см. § 2, гл. 8)
можно образовать, например, следующие четыре независимых
псевдоскаляра: се, (ок') (к'е), (ок') (о [ке]), (ок) (к'е). Тогда ампли-
туда процесса (1.10) в с. ц. м. запишется в форме
F (W, 0) = ФГ [Fx (W, 0) i (08) + F2 (W, 0) (ок') (о [ке]) 4-
+ F3(IF, 0)t(ok)(k'e) +
+F4 (W, 0) i (ok') (к'е)] ф£ф* (q3). (1.12)
Разложение амплитуды в с. ц. м. по парциальным волнам.
Для решения этой задачи в случае процесса лЛ/-рассеяш1я
(см. гл. 8, § 3) мы использовали метод с применением коэффи-
циентов Клебша — Гор дана. Таким же способом можно найти
разложение по парциальным волнам для амплитуд Fi(W, 0) про-
цесса (1.10):
СО
F11W, 0) = 2{[а+1)^- + £/]Pl-i+RM/++£/+]Л'+1}.
1=0
Р*(W, 0) = S [('+ОМ‘++M-l Рь
1=1
со
r3(lF, 0) = 2	+	(1.13)
/ = |
со
P^W, 0) = S [Ml+-El+-M^-Et_]Pi.
1=2
В s-, р-волновом приближении это разложение принимает вид:
Fi — До+4~3 (М14- + £)+) cos 0;
F2 = 2М1+ + AG-; Fs = 3 (Е1+ - М1+); F. = 0.
Изотопическая структура амплитуды. В случае электромагнит-
ных взаимодействий адронов, изотопической инвариантности пе
существует и изотопическая амплитуда будет суммой изоскаляра
и изовектора (см. гл. 8, § 5).
.«При построении изоструктуры амплитуды процессов с уча-
стием фотонов удобно пользоваться следующим правилом. Чтобы
найти изовекторную часть амплитуды, надо рассматривать фотон
как л°-мезбн (именно л°-мезон у соответствует оператор Ts) н
считать, что при этом полный изотопический спин сохраняется.
Изоскалярной части будут соответствовать изоскаляры, которые
можно построить из операторов и волновых функций трех адро-
нов, участвующих в реакции. Тогда для амплитуды процесса (1.10)
имеем
М1 — Ф/ 5оф/ 4~ Ф/ Г 3Ф/ = <50) 4- (V 3),
§ 1. Фотообразование л-мезонов на нуклонах
441
где
<V3> = ф {Л6зр- + Т1 [тр Т3]| фйзЫр-,
<S0> = ТГфТр/фсбр-.
(1.14)
Амплитуды перекрестного и третьего каналов. Каналы реак-
ции (1.10) графически изображены на рис. 13.2. Инвариантное
Рис. 13.2. Каналы реакции процесса ул
выражение для амплитуды прямого канала определяется форму-
лами (1.Н) и (1.14). Из последних следует, что при кросс-пре-
образовании
Р = 4 (Pi + р2) -* - 4 (Р* + Pi) = - Р,
Уъ №) (уе) -> С (ут е) (ут k) yj С = (— уе) (— yk) у5 =
= — Уб (Уй) (Уе). ибо (yk) (уе) = — (уе) (yk), (1.15)
Уб (уе)	С(уте)увС = ув (уе),
[трт3] -> т2 [т3т₽]т т2 = — [ТрТ3].
Подставляя (1.15) в (1.11) и (1.14), находим, что функции 71}’2,
Т’з2. Т1, являются четными, а Т*, Т%, Т?2, TI — нечетными.
Следовательно, для получения инвариантной амплитуды пере-
крестного канала надо в (1.11) заменить s на и и учесть свойства
функций Tt (s, t) относительно кросс-преобразований.
Чтобы получить вид инвариантных амплитуд в третьем канале,
в выражениях для амплитуд s-канала произведем те замены
четырехмерных векторов и волновых функций, которые соответ-
ствуют переходу от s- к /-каналу. Поэтому амплитуда процесса
лу-^-NN (/-канал реакции y/V->-/Vn) получается из (1.11), если
в последней произвести замену Pi~>-Pi=—рх, q-+q =— q,
v(_) (Pi)-> v(+) (Pi):
M(t, s)=y(+>(p2)T(—рь p2, k, — <7)u(+)(pi).	(1.16)
442
Глава 13. Электромагнитное взаимодействие адронов
Амплитуда процесса ny^NN в с. ц. м. запишется сле-
дующим образом:
м (Wt, ez) = q£ [Hi (Wt, ez) (kb)+я2 (Wt,Gt)i (<j [k'e]) + 
+ H3 (Wt, Gt) i (ok') (к' [ke]) + я4 (Wt, Gt) i (o [ke])J (1.17)
где к', к —импульс нуклона.и фотона в с. ц. м. Используи
соотношение й(+) (р2) Т LR^ w(+) (— рх) ~ <р2	,
найдем (см. гл. 8, § 2) связь инвариантных функций Т{ с функ-
циями Ht(Wt, 6Z) в с. ц. м.:
Hi = -	(^ + ^г) • Hs = - (^~g|k4 (Ti + Vt Tt),
Ik nf'l	|k'I	(U8)
^ = -- и (2MT' -tT^
где E — энергия нуклона (или антинуклона).
Функции Н{ (-канала выражаются через спиральные ампли-
туды (способ получения такой связи изложен в гл. 8, § 4) сле-
дующим образом:
Л4^-,/2 (Wt, ez)= _|[tf1(U7z, Gt)+Hs(Wt, ez)+
+Ht(Wt, ez)]sinez;
A4?o,/!+,/! = -y=-(772 + ^4)(l+cosez);
X'j ,/s =	(#2 - я4) (1 - cos Gt)-,
MT'^ _1'2 = тт(H1 ~ Hs ~ Hi} sin 0z-
Подставляя в (1.19) формулы (4.4), (4.5), гл. 8, получаем раз-
ложение функций Ht(Wt, Gt) по парциальным спиральным ампли-
тудам (или по полиномам Лежандра):
74 (Wt, Gt) = - 2(j + 4)	'/2p,J (cos ez);
(wt, Gt)=- 4 2	_,/!	+(j+1)p'-ti+
+ (2J + 1) (FJ+)tllr4‘P"J\,
H3(Wt, ez)=ly{(FJ+);/r,/s[JPj+1+(J+ ПР’и-
J	(1.20)
-(2J + l)(FJ-)*1/a0-,/!A;-(2J + 1)(AJ+),1V/’ A/).
я4(Wt, ez) = -42KFJ+)iz«+ (J +1)#-11 -
-(2j+i)(fj-);v,/26},
§ 2. Упругое рассеяние электронов на нуклонах.
443
где
^±y/2 '/г __ '	'1 о — io
Л° J (J+ 1) (2 | к | | k( |)*/г ’
•J±V/2 —*/я _ 1	'10	— '	1 o
710	~ [J U +1)]1/2 (21 к 11 k'I)*7’’
Коэффициенты (FJ+)7o—1/2 и (/?J+)7o1-2, соответствуют образова-
нию магнитными фотонами нуклон-антинуклонной пары в три-
плетном состоянии с четностью (—I)7, где J — полный момент
импульса. Коэффициент (FJ~)7j—1/2 соответствует образованию
электрическими фотонами нуклон-антинуклонной пары в триплет-
ном состоянии с четностью (—1)J+1, а коэффициент (FJ~)7о1/2—
образованию нуклон-антинуклонной пары в синглетном состоя-
нии с моментом J.
§ 2.	УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА НУКЛОНАХ.
ФОРМФАКТОРЫ НУКЛОНОВ
Дифференциальное сечение рассеяния электронов на нуклонах
(в однофотонном приближении). Рассмотрим процесс рассеяния
электронов на нуклонах:
e№+N(p^e'WWW.	(2.1)
Абсорбтивная часть амплитуды этого процесса графически изо-
бражена на рис. 13.3. Специфичным для диаграмм на рис. 13.3
Рис. 13.3. Абсорбтивная часть амплитуды процесса е-рр-^е'+р'
является наличие двух существенно разных вершин. Вершина а,
описывающая взаимодействие виртуального фотона с электроном,
обусловлена чисто электромагнитным взаимодействием (с кон-
стантой связи е2//гс = 1/1з7). Вершина б, описывающая взаимодей-
ствие виртуального фотона с нуклоном, обусловлена сильным
взаимодействием. Поскольку константа электромагнитного взаимо-
действия мала, предположим, что основной вклад дает диаг-
рамма 1, содержащая в промежуточном состоянии один фотон
(однофотонное приближение). Это предположение согласуется
с имеющимися опытными данными.
444
Глава 13. Электромагнитное взаимодействие адронов
Матричный элемент, соответствующий диаграмме 1 рис. 13.3
запишется в форме

(2.2)
Первый множитель соответствует виртуальному фотону в проме-
жуточном состоянии, второй — вершине а, третий — вершипе б.
Явный вид вершины б дается формулой (1.25), гл. 8. Подстав-
ляя последнюю в (2.2), приходим к выражению для амплитуды
процесса (1):
М (s, 0 = (ez/+)(k2) ^-’(ki) Л,Л х
’(Р1)ЛУ)^-, (2.3)
где q2 = (Pz— Pi)2; М —масса нуклона; р/дг —аномальный магнит-
ный момент нуклона в ядерных магнетонах.
Если подставить это выражение для амплитуды в (5.7), гл. 4,
вычислить след (см. гл. 4, § 5) и перейти в лабораторную
систему координат, то получится следующая формула для диф-
ференциального сечения процесса (2.1) в однофотонном прибли-
жении:
do = о0 {F1 (</*) - 4^ [2 (Л (<72) +	(<72))2 tg* | +
+ (р№ (<72))2]}.
Здесь
е* cos2 2	1
а° ~ 4£2 . . е . . 2£ . . е
sm 2 1 + ^TSln 2
(2.4)
(2.4')
— сечение рассеяния электрона на нуклоне, обладающем точеч-
ным зарядом; 6—-угол рассеяния; Е, Е'— энергия налетающего
и рассеянного электронов (все величины в лабораторной системе
координат). Кроме того, мы положили массу электрона равной
нулю.
Из выражения для
4£2 sin2-®-
с? =-----------------—____лрр’ с;п2 2_
4 \+(2EIM)sm^bl2 с -2
видно, что для всех углов рассеяния передаваемый четырехмер-
ный импульс <72<0, т. е. q — пространственно-подобный четырех-
вектор.
Входящие в (2.4) функции F1(q2) и F2(q2) называются соот-
ветственно дираковским и паулевским формфакторами нуклона,
§ 2. Упругое рассеяние электронов на нуклонах
445
Причем
Ff(O) = Ff (0) = 1, и;=1,79; F" (0) = 0, F"(0) = 1, р,'„ = —1,91.
Более удобны не функции F1(q2) и F2(<72). а их линейные ком-
бинации
/т2
с£(?2)=Л(?2)+4^«(?2);	(2.5.)
GA1(92) = F1(92) + fx^2(?2), .	(2.6)
которые называются соответственно электрическим и магнитным
формфакторами нуклона-, при этом
G£(0) = l, GPM (0) = 1+И;,	(2.7)
(Й(0) = 0, 0^(0)=^,	(2.8)
т. е. GM совпадают с величинами полных магнитных моментов
нуклонов.
Помимо формфакторов Ge и Gm используются также форм-
факторы Fe и Fm'- Fe = Ge, FPM = &M-—^—r,.FnM=-^rGnM с нор-
1-Ьцр	ЦП
мировкой FE (0) = FPM (0) = FnM (0) = 1, FnE (0) = 0.
С учетом (2.5) и (2.6) получим вместо (2.4)
do = Ооtg21Gm (<?2)}.	(2.9)
Эта формула обладает рядом особенностей.
1.	Если откладывать по оси ординат — do, а по оси
°0
абсцисс — значения tg2 у, то do/o0 изобразится при q2 = const
в виде прямой линии, с наклоном —Gm («у2), ордината в точке
tg2y= - 2(1_<?12/4Л12) равна (1 — ^®/4Л12)-1СЬ. Другими словами,
наклон прямой дает значение Gm (q2), а ордината —значение
Ge (q2). Правда, при этом определяются лишь квадраты форм-
факторов и остаются неопределенными их знаки. Однако если
учесть значения формфакторов при q2 = Q, определяемые форму-
лами (2.7) и (2.8), то можно определить и знаки всех формфак-
торов, за исключением GE(q2), так как Ge(0) = 0.
2.	При рассеянии электронов назад (6 = 180°) дифференциаль-
ное сечение (2.9) перепишется так:
, ei / Е' \2	1 д2 . 2 б _ а4 [ Е' \2	, ЙЧ
—	tg2e/2 2Л42	у Gm (?) — 7ЙЦ7Ё-) GM(q),
т. е. в этом случае do зависит от магнитного формфактора
G;m (q2). Этим обстоятельством можно воспользоваться для непо-
средственного определения величины Gm (<72).
446
Глава 13. Электромагнитное взаимодействие адронов
3.	При больших значениях q2 вклад Ge(<?2) будет сущест-
венно подавлен, так как при Ge стоит множитель (1 —	\
а перед Gm — множитель
4.	Формфакторы Ge и Gm входят в формулу (2.9) раздельно,
в то время как при использовании Fi(?2) и F2(q2) в (2.4) воз-
(%' •
1,0-*
5
0,6- *
- 5
4	,	\	у
О	1,0	2,0 3,0
0,5 -5
5
0,3- 5
5 5
0,1 -	5
____I___-I---ы_
О 1,0 2,0 3,0
В| ।	।______L
40 5,0 6ft 7,0
Ч2(ГэВ/с)^
-Л-----1-----1----i—
4,0- 5,0 6,0 7,0.
Ц2(ГэВ/с)‘
Рис. 13.4. Зависимость форм-факторов от
квадрата переданного импульса
никает перекрестный член
FiF2- Поэтому при опре-
делении формфакторов из
экспериментальных дан-
ных более удобно испольг
зовать Ge и Gm.
Нахождение формфак-
торов. Для определения
формфакторов надо подста-
вить в формулу (2.9)
имеющиеся опытные значе
ния дифференциальных се
чений do и найти затем
величины Ge и Gm-
Формфакторы протопоп
Gpe и Gm можно опрсдс
лить из опытных данных
по упругому рассеянию
электронов на протонах
(е + р~+е' + р'), а ней-
тронные формфакторы Ge, Gm — из опытных данных по рассей
нию электронов на дейтонах (упругому e+d-^e' + d’ и неупру-
гому e-^d^-e' -}-п-\-р).
Найденные с помощью опытных данных величины формфак-
торов Ge и Gm протона в зависимости от величины квадрата
переданного импульса приведены на рис. 13.4. Как видно, форм
факторы протона убывают- с ростом величины q2; аналогичная
ситуация имеется для нейтрона *)-
Для точечных частиц формфактор является постоянной волн
чиной, не зависящей от q2. Наблюдаемая на опыте зависимость
формфакторов нуклонов от q2 означает, что нуклоны имеют опре
деленную структуру, например представляют собой «облако»
л-мезонов. В соответствии с соотношением неопределенности
Ax^l/A<?, изменение величины q2 дает возможность «прощупать»
структуру нуклона.
*’ Величину <?2 можно измерять как в энергетических переменных, таи и
в обратных длинах; в качестве единицы обратной длины выбирается обычно
1 ферми= 1013 см; при этом (1 ферми)-1= 197 МэВ или 1 ГэВ/с=25,7 (ферми) <
§ 2. Упругое рассеяние электронов на нуклонах
447
Справедливость однофотонного приближения. При определе-
нии формфакторов использовалась формула (2.4), в которой не
учитываются вклады многофотонных, в частности двухфотонных
промежуточных состояний.
Если учесть двухфотонный обмен, то в амплитуде процесса
(2.1) наряду с членом еА1г пропорциональным е, появится и
слагаемое е2Л2, пропорциональное е2,
Е(Г, 6)~еЛх4-еМ2,	(2.10)
так что для дифференциального сечения имеем
do~ |еЛ14-е2Л212.	(2.11)
Поскольку амплитуда Аг однофотонного обмена действительна,
а амплитуда А2 двухфотонного обмена комплексна, то (2.11)
приводит к следующему результату:
d<j~ (еЛх+е2 Re Л2)2 + (е2 Im Л2)2 ~е2Лх! + 2е3Лх Re Л2. (2.12)
Наличие вклада двухфотонного обмена экспериментально
может проявиться несколькими путями.
1.	Как уже отмечалось, из формулы (2.9) следует, что зави-
симость do от tg2 6/2 должна изображаться прямой линией.
Отклонение от прямой линии могло бы быть, в частности, обус-
ловлено двухфотонным обменом *?. Отклонения от прямой линии
на опыте не наблюдается.
2.	Второй способ выяснения роли двухфотонного обмена
заключается в сравнении упругого рассеяния электронов и
позитронов на протоне. Из формулы видно, что знаки интерфе-
ренционного члена будут разными в случае рассеяния электро-
нов и позитронов на протоне. Иначе говоря, если бы сечения
электрон-протонного и позитрон-протонного рассеяний отлича-
лись друг от друга, то это свидетельствовало бы о вкладе двух-
фотонного обмена. . Опыт показывает, что указанные сечения
в пределах ошибок равны друг Другу.
3.	Из выражения (2.10) для амплитуды вытекает, что поля-
ризация Р протона отдачи пропорциональна амплитуде двухфо-
тонного обмена: Р ^е3А11шЛ2. Если вклад двухфотонного обмена
мал, то малой должна быть и величина Р. Опыт дает для 1°
величину, равную в пределах ошибок нулю.
Таким образом, эксперименты показывают, что вклад двух-
фотонного обмена пренебрежимо мал по сравнению с вкладом
однофотонного обмена.
*’ Можно показать, что к одному и тому же отклонению от прямой линии
приводит обмен как двумя фотонами, так и более сложным комплексом, если
полный спин комплекса равен единице. Поэтому, строго говоря, отклонение
от прямой линии нельзя объяснить однозначно вкладом лишь двухфотонного
промежуточного состояния.
448
Глава 14. Дисперсионные правила сумм
Г лава 14
ДИСПЕРСИОННЫЕ ПРАВИЛА СУММ
Как мы видели (см. гл. 9), с помощью одномерных диспер-
сионных соотношений можно найти (по крайней мере в двух-
частичном приближении) неизвестные функции Tt(s, t), входя-
щие в выражение для инвариантной амплитуды данной реакции,
т. е. определить амплитуду процесса полностью.
Наряду с этим с помощью одномерных дисперсионных соот-
ношений и предположения об определенном поведении амплитуд
при больших энергиях можно получить некоторые соотношения
для интегралов от абеорбтивных частей неизвестных функций
Ti(s, t), входящих в выражение для инвариантной амплитуды
данного процесса. Эти соотношения получили название диспер-
сионных правил сумм.
i '	§ 1. ДИСПЕРСИОННЫЕ ПРАВИЛА СУММ
Найдем вид дисперсионных правил сумм для процесса 1 + 2 ->
->3-|-4. Пусть некоторые функции Tt (s, t), входящие в выра-
жение для амплитуды этой реакции, при больших энергиях $ и
фиксированном t удовлетворяют условию
Tt(s,	где и>1,	(1.1)
т. е. Tt(s, t) стремится к нулю при s->oo быстрее чем 1/s.
Тогда для функций Ti(s, t), "sTi (s, t), s2Ti (s,t)... можно
написать одномерные дисперсионные соотношения без вычитаний
(см. гл. 9, § 3); в частности,
тг(5. j	(12)
—00
sTi(s, = ± J ds' s' Ims^_(sS'’ () :	(1.3)
Умножая обе части (1.2) на s и вычитая полученный результат
из (1.3), получаем искомое дисперсионное правило сумм
+$ 1шГг(з', /)ds'=O,	(1.4)
— оо
ИЛИ
J Ira Ti (s', t)ds' — J Im T"(u', /)dw' = O,
о	о
(1.5)
§ 1. Дисперсионные правила сумм
449
где Ti и Т]1 —функции прямого и перекрестного каналов (см.
гл. 8, § 6).
В случае процессов с тождественными частицами следует
учесть инвариантность относительно перекрестного преобразова-
ния, и тогда (1.5) упрощается. Для функций, четных относи-
тельно перекрестного преобразования (когда Т’= + Т*1), усло-
вие (1.5) удовлетворяется автоматически. Для функций, нечетных
относительно перекрестного преобразования (когда Т\ =— т’1),
условие (1.5) приводит к нетривиальному соотношению
+ со
Im Л (s', t)ds' = O. 	(1.6)
о
Функции, удовлетворяющие условию (1.1), называются сверх-
сходящимися, а соотношения (1.4) — (1.6) — сверхсходящимися дис-
персионными правилами сумм.
Если функция не удовлетворяет условию (1.1), т. е. не обра-
щается в нуль при s—>со, то необходимо учитывать вклад
высокоэнергетической области. Для этого введем функции
Tia(s, t), которые при больших энергиях s>so совпадают с функ-
циями Ti(s, /), и образуем разность Ti (s, t) = Ti(s, t) — Tia(s, t).
Для последней уже можно написать безвычитательные диспер-
сионные соотношения и получить дисперсионные правила сумм.
При этом удобно разбить область интегрирования на две части:
s<se и s>so; в первой области Tt(s, t) совпадают с низко-
энергетическими функциями Tin(s, t), а во второй —с Tla(s, t).
Например, правила сумм для функций Ti (s, t) и sTi (s, t) в пол-
ной аналогии с (1.6) запишутся так:
со	sa
§ Im 77 (s', t) ds' = § Im TiK (s', t) ds' —
о	0
-JlmTi„(s', 1)^=0, (1.7)
sa
oo	sa
J s' Im Ti (s', t) ds' = J s' Im Tin (s', t) ds' —
о	0
- J s' Im Tla (s', t) ds' = 0. (1.8)
sa
Как показывает анализ опытных данных, функцию Ta(s, t)
в области больших энергий so>5 ГэВ можно довольно хорошо
описать в виде суммы нескольких полюсов Редже (см. гл. 12, § 1):
Ta(s, t)^^j(t)^(t)s^,
i
15 Нелипа Н. Ф.
450
Глава 14. Лчсперсионные правила сумм
где ЕД/) — сигнатурный множитель; Р/(/) — вычет; аД/) — траектория
реджеона. Подставляя эту формулу во второй интеграл в (1.7),
придем к следующему дисперсионному правилу сумм:
Sa
$ ImTiH(s', Ods'-^-Л+г ff(Z)+1 = 0.	(1.!»)
о	j
Действуя аналогичным образом, находим для sT (s, Г):
sa
pImTiH(s',	к^2 ffw+2 = 0.	(1.10)
о	»	’
Последние соотношения в отличие от (1.6) называются пра-
вилами сумм с конечной энергией.
При практическом применении соотношений (1.6) или (1.9),
(1.10) имеется две возможности. В некоторых специальных слу-
чаях удается выразить точно абсорбтивную часть функций Г,- (s, /)
через сечения процессов и тем самым найти точные правила
сумм. Вследствие ограниченного характера первой возможности
идут по другому пути: используя условие унитарности, аппрок-
симируют (как говорят, «насыщают») абсорбтивную часть одпо-
частичным и несколькими ближайшими многочастичными состоя-
ниями, заменяют последние резонансами и находят вклад учтен-
ных состояний в сверхсходящиеся функции Ti(s, t). В результате
получаются определенные соотношения между константами связи
и массами частиц. Недостаток такого подхода заключается в том,
что конечный результат может довольно сильно зависеть от спо-
соба «насыщения» правил сумм, т. е. от того или иного выбора
промежуточных состояний, а сказать однозначно, какие из этих
состояний надо учитывать, мы не можем.
Приведем пример сверхсходящегося правила сумм с насыще-
нием (см. § 2) и точного правила сумм с конечной энергией
(см. § 3).
§ 2. СВЕРХСХОДЯЩИЕСЯ ДИСПЕРСИОННЫЕ ПРАВИЛА СУММ
Чтобы найти сверхсходящиеся дисперсионные правила сумм
с насыщением для данного процесса: 1) напишем инвариантное
выражение для амплитуды процесса, содержащее функции 7} (s, /);
2) выясним, как ведут себя функции Tt(s, t) при s~>co и фик-
сированном t; 3) отберем сверхсходящиеся функции T, (s, i) п
для тех из них, которые меняют знак при кросс-преобразовании,
напишем правила сумм в виде (1.6); например, если T,(s, /)<~s-3
при $->оо, то правила сумм надо писать как для Ti(s, /), так
и для sTi(s, /); 4) зафиксируем те промежуточные состояния,
§ 2. Сверхсходящиеся дисперсионные правила сумм	461
которые будут учтены. Найдем выражения, описывающие вклад
учитываемых состояний в сверхсходящиеся функции 7,/(s, /) и
подставим полученные формулы в сверхсходящиеся правила сумм.
В результате придем к определенным соотношениям между кон-
стантами связи и массами частиц.
Получим сверхсходящиеся дисперсионные правила сумм с на-
сыщением для процесса фотообразования л-мезонов на нуклонах:
у (kj) -h N (pi) -> л (9) + N (р2).
1.	Инвариантную спиновую структуру амплитуды процесса
выберем в виде (1.11), гл. 13, а изотопическую — в форме (1.14),
гл. 13.
2.	Для определения поведения функций Ti(s, t) при s->oo
предположим, что высокоэнергетические свойства инвариантных
функций Ti (s, t) в s-канале определяются ведущим, т. е. обла-
дающим максимальным значением Re а полюсом Редже в /-канале.
Чтобы найти сверхсходящиеся функции Tt(s, t), воспользуемся
связью (1.18), гл. 13 функций Tt(s, f) с функциями Ht(W, 6)
в с. ц. м. /-канала, а также разложением (1.20), гл. 13 функ-
ций Hi(W, 6) по спиральным парциальным амплитудам. При
этом в последнем разложении удержим лишь те парциальные
спиральные амплитуды, в которые дает вклад ведущий полюс.
Для процесса фотообразования ведущим является р-реджеон,
для которого Р = — 1, и 1 = 1, поэтому в (1.20), гл. 13 надо
удержать лишь те коэффициенты, которые соответствуют образо-
ванию нуклон-антинуклонной пары с четностью (—1)J, т. е.
(pj- j 1 /2 1/2 = (fj- ) I /2 -1/2 = 0.
Тогда при s —> со и фиксированном / функции Ti(s, t) ведут
себя следующим образом:
Л,2,4(5. /)~s“^-\ T3(s, /)~s?“>~a.
3.	Так как а(/)<1 для /^0, то сверхсходящейся является
функция Т3 (s, /). Из трех ее изотопических компонент нечетными
относительно кросс-преобразования являются Т3 (s, /) и Т3 (s, /)
(см. гл. 13, § 1). Для последних сверхсходящиеся дисперсионные
правила сумм запишутся так:
Jim Л (s', t)ds' = Q,	(2.1)
- о
Jim Tl(s', t)ds' = Q.	(2.2)
о
4.	Учтем однонуклонное промежуточное состояние (см. гл. 9,
§ 3). Вычисляя его вклад, в частности, в функцию Т3 и подстав-
15»
452
Глава 14. Дисперсионные правила сумм
ляя полученный результат в (2,2), находим
fNNn (р-р + И") =	(2.3)
Отсюда вытекает соотношение р,р = — р,„, близкое к тому, кото-
рое наблюдается на опыте. Такое хорошее совпадение указывает
на то, что вклад промежуточных состояний с большими массами
близок к нулю.
§ 3. ПРАВИЛА СУММ С КОНЕЧНОЙ ЭНЕРГИЕЙ. ГЛОБАЛЬНАЯ ДУАЛЬНОСТЬ
Правила сумм. Получим правила сумм с конечной энергией
для процесса рассеяния л-мезонов на нуклонах:
л (<7i) + N (pi) -> л (</2) + N (р2)	(3.1)
в том случае, когда рассеяние происходит вперед (т. е. при / = 0).
Чтобы найти правила сумм с конечной энергией: 1) напишем
инвариантное выражение для амплитуды процесса, содержащее
функции Ti (s, i); 2) введем вместо функций Т[ ($, /) их комби-
нации A1 (s, t) [смысл такой замены выяснится позже — см. фор-
мулу (3.7)]; 3) выясним, .какие полюса Редже, участвующие
в процессе, дают вклад в кросс-четные, а какие —в кросс-нечет-
ные функции A1 (s, /); 4) запишем правила сумм, используя (1.9)
или (1.10); с помощью оптической теоремы выразим абсорбтивные
части функций А1 через полные сечения лр-рассеяния.
1.	Инвариантную структуру амплитуды этого процесса выбе-
рем в виде (см. формулы (1.10), гл. 8 и (5.30), гл. 8)
M(s, t) = vM (р2)	(s, t) + TUs, t)Q +
+ -l[Ti(s, t) + Tl(s, 0Q][tp, Ta]Jv<-> (P1).
Верхние индексы характеризуют изотопические свойства ампли-
туд. В качестве энергетической переменной возьмем инвариапт-
(Pi 4- Pzi Iqi 4- с?)
ную величину v =  	, которая в случае рассеяния
вперед совпадает с энергией со налетающего мезона в лаборатор-
ной системе координат.
2.	Вместо функций Т{'3 (v, t) и Т22 (v, /) удобно ввести их
комбинации	। .
ЛЧУ, o=T[(v, 0+vTHv, 0;	,о9.
Л2(т, —	t) + vTl(v, t).
Первая из них является четной, а вторая — нечетной относительно
кросс-преобразований (см. гл. 8, § 6).
3.	В высокоэнергетическую амплитуду рассматриваемого про-
цесса дают вклад Р-, Р'~ и р-полюса Редже (см. гл. 12, § 2),
§ 3. Правила сумм с конечной энергией. Глобальная дуальность
453
обладающие различными сигнатурами. Рассмотрим асимптоти-
ческое выражение для функции F~ с отрицательной сигнатурой
—v)“ — v“. При кросс-преобразовании v->- — v и поэтому
(/^)кр	— (—v)“ = — F~, т. е. функция с отрицательной сигна-
турой является нечетной относительно кросс-преобразования.
Аналогично получим, что функция с положительной сигнатурой
является четной относительно кросс-преобразования. Поэтому
полюса с положительной сигнатурой (в нашем случае Р- и
Р'-траектории) дадут вклад в кросс-четные функции, а с отрица-
тельной сигнатурой (т. е. р-траектория) — в кросс-нечетные функ-
ции.
4.	С учетом сказанного дисперсионные правила сумм (1.9) и
(1.10) для функций А2 (у, t) и v/Hfv, t) запишутся так:
ImA2(v', t)dv' — Ръ
о
va
§ v' Im A1 (v', Л dv' =Т?2-
о
(3.3)
(3.4)
Так как л Af-рассеяние вперед характеризуется одной функцией, то
/?-Е 2₽р

2Рр ар+2
ар+2ьа

2Рр' „ар.+2
ар,+ 2
где Р,— вычеты, а,-— траектории полюсов.
Преобразуем интегралы в формулах (3.3) и (3.4) к дру-
гому виду. Согласно формулам (5.36), (5.37), гл. 8 изотопические
функции А1 и А2 выражаются через функции А (л+р -> л+р),
А (л~р -> л~р) процессов рассеяния мезонов с определенным заря-
дом следующим образом:
А1 = 4- [А (л~р -> л~р) + А (л+р	л+р)],
1	(3.5)
А2 = у [А (угр -> л'р) — А (л+р л+р)],
или
Im А1 = 4- [Im А (л~р -> л~р) -|- Im А (л+р -> л+р)],
1	(3.6)
Im А2 = у [Im А (л~р -> л~р) — Im А (л+р -> л+р)].
5.	Из оптической теоремы (1.26), гл. 9 следует, что
4л Im А(лр^-лр) = 1го (лр-+лр),	(3.7)
где k — импульс мезона в лабораторной системе координат;
о (лр лр) — полное сечение лр-рассеяния. Как видно, абсорб-
454
Глава 14. Дисперсионные правила сумм
(3.8)
(3.9)
(3.10)
члены,
точные
тивные части функций А (а не Т) просто связаны с полными
сечениями рассеяния мезонов вперед. Именно поэтому удобно
пользоваться функциями А. Подставляя (3.7) в (3.6), получаем:
fi
Im А1 (со) =	[о (зг-р -> ягр) + а (л+р -> л+р)],
h
Im А2 (со) = [о (ягр л~р) — а (п+р -> л+р)],
причем при больших энергиях (s > sa), когда k^a>
Im А1 (со) =	[о (дгр -> лгр) ф- о (л+р -> л+р)],
Im А2 (со) =	[° (л_р згр) — о (л+р -> л+р)].
6.	Выделим в выражениях (3.3) и (3.4) полюсные
а затем подставим в них (3.10). В результате получим
правила сумм с конечной энергией в окончательном виде
„ s°
g^-^2 +	со)-о (л+р-> л+р; <D)]c?ci> = Z?1, (3.11)
M+2iT »
С1 СО
----Л42 + \ 8л [°	П~Р' “) + а (п+Р~^л+Р< ®)]	= ^2. (3.12)
Глобальная дуальность. Вычислим левые части последних
формул, использовав опытные значения полных сечений лр-рас-
сеяния, а правые части — используя известные величины а (0) п
₽ (0): ₽р (0)=2,75 мбарн, ар (0) = 0,54,'аР(0) = 1, аР- (0) = 0,5, ₽Р (0) =
= 19,7 мбарн, рР'(0)=19,6 мбарн.
Таблица 14.1
Значения величин Li и при различных энергиях sa
sa- ГэВ	L,	R,	£з	Rt		
3	36,8 ± 10,7	59,8	1600 ± 15	1628	0,62 + 0,18	0,98 + 0,01
5	98 ± 11,5	. 109	6750 ± 20	6863	0,90 + 0,1	0,98 ± 0,01
7	172 ± 12,7	183	17 400 ± 30	17 826	0,94 ± 0,07	0,98 ± 0,01
Результаты вычислений для энергий so = 3, 5 и 7 ГэВ при-
ведены в табл. 14.1, в которой L2, и Т?2 — соответственно
левые и правые части формул (3.11) и (3.12). Как видно, пра-
*’ Можно было бы аппроксимировать в (3.3) и (3.4) абсорбтивные части
несколькими первыми резонансными состояниями: это дало бы приближенные
правила сумм с конечной энергией для процесса лТУ-рассеяния
§ 3. Правила сумм с конечной энергией. Глобальная дуальность
465
Рис. 14.1. Сравнение амплитуд
вила сумм с конечной энергией становятся справедливыми при
энергиях sa = 5 и 7 ГэВ, где наступает реджевское поведение
амплитуды.	I
Из правил сумм (3.11) и (3.12) можно найти параметры
высокоэнергетического рассеяния. Так, если ар(0) = 0,54, то
РР(0) — 2,47±0,29 мбарн при se = 5 ГэВ и рр(0) — 2,6О±0,19 мбарн
при sa = 7 ГэВ. Независимый анализ сечений Ари больших
энергиях дает рр (0) = 2,75 ±
±0,25 мбарн.
Как видно, реджеоны третье-
го канала можно «построить»
с помощью суммы резонансов
прямого канала и, следова-
тельно, амплитуда процесса для
всех энергий определяется ре-
зонансами s-канала. На рис. 14.1
эта резонансная амплитуда изо-
бражена сплошной линией.
Обратим задачу: возьмем
реджевское выражение для ам-
плитуды, зададимся парамет-
рами Редже-полюсов, дающими вклад в процесс, и вычислим ам-
плитуду не только в области больших, но и в области малых
энергий. На рис. 14.1 эта реджеонная амплитуда изображена
пунктирной линией. Как видно, средние значения обеих ампли-
туд оказываются довольно близкими во всей области энергий.
Таким образом, из правил сумм с конечной энергией следует,
что амплитуда процесса в среднем (глобально) во всей области
энергий определяется либо резонансами s-канала, либо реджио-
нами ^-канала. Это свойство амплитуды получило название гло-
бальной дуальности.
§ 4. ЛОКАЛЬНАЯ ДУАЛЬНОСТЬ. МОДЕЛЬ ВЕНЕЦИАНО
Локальная дуальность. В связи со сказанным возникает инте-
ресный вопрос: нельзя ли, задавшись параметрами реджионов,
определить «индивидуальные» параметры (местоположение и
ширину) резонансов s-канала в области малых энергий (см. гл. 8,
§ 7). Как это ни странно, но на поставленный вопрос следует
положительный ответ. Рассмотрим для простоты реакцию с части-
цами одинаковой массы, в которую дает вклад только один ред-
жион, например, с отрицательной сигнатурой (а = —1). Асимпто-
тическая (s->oo) амплитуда F (s, t) такого процесса в s-канале,
если выделить множитель Г (а) из вычета, запишется в виде
(см. гл. 12)
1._p-istatt}
F(s, 0	₽ (0 г (Z)] sjn тох (Q s“ •
456
Глава 14. Дисперсионные правила сумм
Предположим, что эта амплитуда описывает процесс не только
при больших (s-»-oo), но и при малых энергиях. Исследуем
подробнее свойства парциальных амплитуд Ft (s) s-канала (см. § 3,
гл. 8)
+1
Fz(s) = 4J ^Pz(x)F(s, t),
—i
где s = IF2, t = — 2q2 (1 — x), x = cos 6, 0 — угол рассеяния в с. ц. м.
s-канала. Для этого сделаем относительно амплитуды F(s, t) ряд
предположений (которые упрощают рассуждения, но не сказы-
ваются на окончательном выводе): 1) пусть Г (a (t)) sin ла (/) —
гладкая функция, [при /<0 нули sin ла совпадают с полюсами
Г (а)], 2) пренебрежем зависимостью от t в членах s“(z) и Р (/),
3) допустим, что траекторию а(/) можно представить в виде
линейной функции a (t) = а (0) + а' (0) t. Тогда подставляя F (s, I)
в Fz(s) и используя формулу для сферических функций Бесселя
-И
Jz(z) = J dxeiZxPi(x),
придем к выражению для парциальных амплитуд s-канала
F‘ <s>^-2r (J(0)iXL(0)	(-2™' (0) «.
Из этой формулы следует, что фаза функции Ft (s) при любом I
изменяется на 2л. Поэтому на диаграмме Аргана (см. гл. 8, § 7)
парциальная амплитуда изобразится в виде петли. Так как замк-
нутым петлям на диаграмме Аргана соответствуют резонансы, то
это означает, что в области малых энергий резонансы в s-канале
можно «построить» с помощью реджеонов в /-канале. Конкретный
анализ амплитуд реальных процессов при высоких энергиях
действительно приводит к резонансам, которые приблизительно
совпадают с резонансами, полученными из фазового анализа
опытных данных по рассеянию при малых энергиях.
До последнего времени параметры резонансов в s-канале опре-
делялись с помощью фазового анализа опытных данных по рас-
сеянию частиц при сравнительно низких энергиях (см. гл. 8,
§ 7), а параметры реджеонов в /-канале — путем анализа опытных
данных по взаимодействию частиц при высоких энергиях (см.
гл. 12), т. е. из двух совершенно независимых источников.
Правила сумм с конечной энергией и дополнительный анализ
Редже-амплитуды в области малых энергий устанавливают между
резонансами в s-канале и ре джеонами в /-канале тесную связь,
которая получила название локальной дуальности: если ограни-
читься учетом лишь полюсов, то для описания амплитуды рас-
§ 4. Локальная дуальность. Модель Венециано
457
сеяния во всей области энергий достаточно учитывать либо сово-
купность всех s-канальных резонансов, либо совокупность всех
реджионов в /-канале.
Из свойства дуальности вытекает, что амплитуда процесса
должна быть представлена в виде единого выражения, перехо-
дящего в Редже-амплитуду при асимптотических энергиях и
в сумму полюсных амплитуд —при малых энергиях, а не в виде
суммы амплитуд Та и Тп, соответствующих большим и малым
энергиям. Объясняется это тем, что в Та дают вклад и резонансы,
а в ТИ дают вклад и реджионы.
Сформулируем условие локальной дуальности в явном виде.
Пусть Tt (s, /), Ti(u, /) —амплитуды, соответствующие вкладу
i-го резонанса в s- и и-каналах. Тогда выражение для амплитуды
Т (s, /) в физической области s-канала (s>0, /<0) запишется
в виде .
T(s, /) = £(А(8, t) + Ti(u, /)).	(4.1)
i
Суммирование ведется по всем резонансам i.
Вследствие аналитичности и перекрестной симметрии ампли-
тудой /-канала будет амплитуда (4.1), продолженная в область
/>0. При таком продолжении совокупность полюсов в s-канале
с одинаковыми квантовыми числами (заряд, четность, странность
и т. п.), но разными пространственными спинами «перейдет»
в /-канале в соответствующую траекторию Редже, а амплитуда
(4.1) в Редже-амплитуду
—inajj (О
r(S, t) = yRk(S, /) ^ У (/) . +<*L г r	sg*(0.
k	k
Поэтому условие локальной дуальности сформулируется так:
2 [Л (8, t) + Ti (и, /)] =	(s, /),	(4.2)
i	ь
т. e. сумма полюсных членов s-канала должна быть равна сумме
Редже-полюсов /-канала. Графически это условие изображено
на рис. 14.2.
Важно отметить, что условие дуальности налагает на спектр
резонансов в s-канале два существенных ограничения. Во-первых,
как следует из (4.2), в s-канале должны существовать резонансы
со сколь угодно большой массой; это означает, что в /-канале
траектории полюсов Редже должны неограниченно возрастать
с ростом /. Действительно, если массы резонансов ограничены
и не превосходят значения М, то в случае s^M амплитуда
Т (s,	и получить Т(s, /)~s“U) не удается.
458
Глава 14. Дисперсионные правила сумм
Из имеющихся опытных данных следует, что траектории
действительно неограниченно растут с ростом t (см. рис. 12.3).
Во-вторых, в s-канале должно существовать бесконечное число
резонансов с одной и той же массой, но разными спинами, т. е.
Рис. 14.2. Графическое изображение локальной дуальности
должно существовать вырождение по спину резонансов, что озна-
чает существование в /-канале наряду с основной бесконечного
числа реджевских траекторий, которые получили название дочер-
них, три из которых изображены на рис. 14.3. В самом деле,
в случае отсутствия вырождения по спину при энергии s->oo
будет существен один резонанс с моментом импульса l^s.
Однако мы знаем [гл. 11, фор-
мула (1.13)], что в области асим-
птотических (s -> оо) энергий дает
существенный вклад целый ряд
Рис. 14.3. Дочерние траектории
Редже
значений l^ys 1ns. Последнего
можно добиться только в случае,
когда в s-канале для каждой мас-
сы существуют резонансы с раз-
личными спинами I, и число этих
резонансов растет с ростом энер-
гии. Дочерние траектории пока
экспериментально не обнаружены.
Заметим, что полюс Померан-
чука (см. гл. 12, § 2) не уклады-
вается в дуальную схему. Дей-
ствительно, сигнатура полюса
Померанчука положительна, поэтому его вклад в амплитуду
F(s, t) симметричен относительно замены s на и, т. е. он при-
водит к одинаковым амплитудам для процессов рассеяния частиц
и античастиц. Это означает, что вклад полюса Померанчука
в амплитуду не зависит от квантовых чисел s-канала (барионного,
странности и т. п.); иначе говоря, он не зависит от того, есть
ли резонансы в s-канале или они отсутствуют. Следовательно,
полюс Померанчука не связан с резонансами в s-канале и не
может удовлетворять условию дуальности. Обычно при вычисле-
ниях по дуальной схеме вклад полюса Померанчука, если он
имеется, вычитается,
§ 4. Локальная дуальность. Модель Венециано
4б9
Приведем для примера два следствия дуальности, которые
могут быть проверены экспериментально. Рассмотрим полные
сечения взаимодействия различных частиц. По оптической тео-
реме (формула (1.26), гл. 9) полное сечение at процесса выра-
жается через абсорбтивную часть амплитуды упругого рассеяния
вперед. Выделим те упругие процессы (рр^~рр, рп^рп, 1<Лр-+
-*-К+р,, К+п^>-К+п), у которых в s-канале нет резонансов, за
исключением вакуумного полюса. Тогда уже при сравнительно
небольших энергиях абсорбтивная часть всех перечисленных
реакций определится вкладом лишь одного вакуумного полюса;
поэтому полные сечения процессов должны быть равны и, вслед-
ствие свойств вакуумного полюса, не зависеть от энергии и
зарядов сталкивающихся частиц, т. е.
црр (s) = op" (s) = const, <jK+p (s) =	(s) = const.
Эти соотношения хорошо выполняются на опыте.
Далее рассмотрим абсорбтивную часть разности амплитуд,
например, процессов рр-+рр и рп-+рп, в которую при больших
энергиях дают вклад только р- и Д2-реджионы. Т ак как в ука-
занных процессах резонансы в s-канале отсутствуют, то в силу
дуальности разность сечений равна нулю:
Im (Fpp^pp - Fpn^pn) ~ о?р - оГ = ₽р (0 s“pw - ₽Л2 (О з“л’(П = О-
Отсюда следует, что ар (t) = аАг (t). Аналогичные соотношения
можно получить для других траекторий. Такое поведение траек-
торий также хорошо согласуется с наблюдаемым спектром резо-
нансов.
Наконец, возникает естественный вопрос: сохранится ли дуаль-
ность, если учесть, что на самом деле амплитуды рассеяния
обладают не только полюсами, но и точками ветвления, а ширина
каждого изк резонансов не нулевая, а конечная? Ответ на этот
вопрос пока дать трудно.
Выражение для амплитуды (модель Венециано). Приведем
конкретный пример выражения для амплитуды, удовлетворяющей
условиям аналитичности, перекрестной симметрии и дуальности.
Рассмотрим процесс образования (о-мезона при столкновении двух
л-мезонов:
л (pj + л (р2)-> л (р3) + со (?)•	(4-3)
Этот процесс выглядит одинаково во всех трех каналах (пол-
ностью кросс-симметричен), и это существенно упрощает его
анализ. Инвариантная амплитуда процесса (4.3) имеет вид
M(s, и, t) = T(s, и, 0 epvpaCpplvp2pp3a,	(4.4)
где —вектор поляризации вектона. Неизвестная релятивистски
инвариантная функция Т (s, и, t) симметрична относительно пере-
460
Глава 14. Дисперсионные правила сумм
менных s, и, t. Асимптотика (s->co) процесса (4.3) определяется
р-траекторией в /-канале.
Из анализа опытных данных следует, что: 1) ширины резо-
нансов малы, и. в первом приближении их можно положить
равными нулю; 2) траектории а (/) представляются в виде пря-
мой линии
а (/) = а (0) 4- а' (0) t.
(4.5)
С учетом этих факторов функцию Т (s, и, t), входящую в выра-
жение для амплитуды, можно записать следующим образом:
T(s, и, /) = |[V(a(s), а(0) +
+ V (а (и), а (/)) + V (a (s), a (u))], (4.6)
tz , х	Г(1—х) Г (1—и)	\	л,	о
где V (х, у) = у, „ —4   ; Г (z) — гамма-функция; р —постояи-
r (z х у)
ная величина.
Напомним некоторые свойства, которыми обладают гамма-
функции Г (z):
а)	Г (z) имеет простые полюсы при целых отрицательных
значениях z и z = 0 и не имеет нулей;
б)	когда | z | —>• оо и | arg z | < л, то
Г(г)^]/2л exp {(z— 1/2) In z — z},
отсюда следует, что при | z | -> со
— (г)	(г)~а;
Г(г+«)	' ' ’
в)	выполняется соотношение
(4.7)
(4.8)
Г(г)Г(1 — z)
л
sin яг ’
(4.9)
которое связывает значения функции в области отрицательных
и положительных z; из (4.9), в частности, вытекает, что вычеты
в полюсах Г-функций при z = — п равны ^ (—1)".
Остановимся на основных’ свойствах функции (4.6).
1.	Непосредственно видно, что функция (4.6) полностью кросс-
симметрична, а также, что она аналитична во всех трех каналах,
т. е. по всем трем переменным s, и, t.
2.	При сделанных выше двух предположениях функция (4.6)
при s->oo и фиксированных / переходит в Редже-амплитуду во
всей комплексной плоскости, за исключением вещественной оси.
Сумма первых двух слагаемых (4.6), если вынести общий мно-
житель Г (1 — а (/)) за скобку и преобразовать его с помощью
(4.9), перепишется так:
Г Г(1 —q(s))	,	Г(1—q(»))	1	,4 |0)
Г (а (0) sin ла (t) [ Г (2—a (s)—а (/))	Г (2—а (и)—а (/)) J 1	'
§ 4. Локальная дуальность. Модель Венециано
461
Используя соотношение (4.8), находим
Г(1—a(s))	Г(1—a(s))	_
Г (2—a (s)—а (0)	Г [(1 -а (s))+(l-a (/))] ~
[1 - a (s)]0*')-* 1 ^ [— a (s)]“^-\ (4.11)
Г [(1 —а (и))+(1—а (<))] ~ [—а
Г (!-«(«))
В случае линейных траекторий (4.5) a(s)^s, а(и)^и и из
перекрестной симметрии (s->« = — s) следует, что —а (и) — a (s).
Кроме того, (—1)“(<>~1 =—	q учетом всего сказанного фор-
мула (4.10) при s->co запишется в виде Редже-амплитуды
r /л______!___efitai<l______s«(/)-l
р ' Г (а (0) Sin ла(/)
(4.12)
Третье слагаемое в (4.6) экспоненциально убывает при фиксиро-
ванных t и комплексных s->oo. Действительно, из соотношения
(6.9) гл. 8 (s + и -|-1 = 2m|) вытекает, что в случае линейных
траекторий a (s) -J- a (t) -J- а (и) = или а (и) = 2/n? — a (s) — a (t).
Тогда третье слагаемое (4.6), если использовать (4.9) и (4.7),
перепишется в случае больших s в форме
Г(1—a(s)) r(l-|-a(s)+a(0 —Xm|)
F(2—Sm| + a(0)	~
_________г(~а0))__________г— a	___-___ (4 13)
sinsta(s)r(—a (s)—a (0+Sm?)	*	'	sinna(s)' ' ' '
Так как
sin ла (s) <~е/я“(5) — е_/я“(5) и a (s) = Re a (s)-|-i Ima (s),
TO
gftra(s)	g—Ima(s) g-iJta(s) ^g-f-Itnals) pj	Ima (s)
’	sin ла (s)
t. e. третье слагаемое в (4.6) экспоненциально убывает, когда
Ims->oo.
Когда s ->- оо вдоль вещественной оси, то функция (4.6) при-
нимает вид, не обладающий реджевским поведением:
F(s, 0 = Р	+ctgna(s) +
I el-aV)-a(s)-a(s)______________________1 /д «дх
sinna(s)r(l—a(s)—a(«))J"	' ’
В частности, возникает член ctg^a(s), приводящий к полюсам
при a(s) = n. Этот член появляется потому, что мы пренебрегаем
мнимой частью траектории (Itna = 0) и рассматриваем бесконечно
узкие резонансы, которым соответствуют полюсы на веществен-
ной оси.
462
Глава 14. Дисперсионные правила сумм
3.	Из предположения, что траектории линейны и не обладают
мнимой частью, следует, что единственными особенностями функ-
ции (4.6) должны быть полюсы. Это действительно осуществляется.
Рассмотрим, например, s-канал. При 1—a(s) =— п' (п’— целое
число), т.. е. при a(s) = n'-|-l —п (n = 0,' 1, 2, ...), функция
Г (1 — a (s)) имеет бесконечное число полюсов, которые соответ-
ствуют бесконечному числу резонансов в s-канале. Найдя вычет
функции V (a(s), а(/)) в точке a(s) — n, получаем
(415)
п
где 7?(/) = |^^-Qn(a(s), 0-вычет; Q„(a(s), t) = [1 -a(/)+...]—
полином no t степени ti.
Согласно формуле (3.10) гл. 8 амплитуда F (s, 6) резонанса
с определенным спином I имеет вид
F (s, 6) = (2/ +1) F, (s) Pi (cos 6).
Разлагая Q„(a(s), t) в ряд по полиномам Лежандра
Q„(a(s),	CiPi (cos 6),
1 = 0
замечаем, что амплитуда (4.15) описывает целый набор резонан-
сов.
Таким образом, при одной и той же фиксированной массе s„,
определяемой условием a (sn) = n, вычет функции V(a(s), a(/))
отличен от нуля для целого ряда значений I, равных n, п— 1,
п — 2, ..., 0. Это означает, что при заданном п в /-канале помимо
траектории а(/) существует еще п траекторий: a(/) —1,
а(/) —2, ..., на которых расположены частицы с различными
массами /„, или одному полюсу t = tn соответствует мультиплет
п-|-1 частиц с одной и той же массой /nn = l/^n и спинами
(/ = 0, 1, 2, ..., п).
4.	Функция (4.6) удовлетворяет условию дуальности, так как
каждое из ее слагаемых можно представить в виде суммы полюс-
ных членов в s-канале или в /-канале, например
п	k
Заметим, что функция (4.6) определена не однозначно: ее свой-
ства останутся прежними, если к ней добавить сумму типа
VI рт,п Г (m—a (s)) Г (n—a (/))
L 1	Г(/-а(/)-оф))	•
т, п, k
§ 4. Локальная дуальность. Модель Венециана
463
Итак, функция (4.6) содержит бесконечное число полюсов
в s-канале, которые при s->oo приводят к Редже-амплитуде
и обладает при s->oo Редже-поведением, которое дает в s-ка-
нале бесконечное число полюсов. Основная идея дуальности
заключается в том, что описание процесса либо с помощью полю-
сов в s-канале, либо с помощью соответствующих реджионов
в /-канале является эквивалентным. Выбор одной из этих форм
записи функции (4.6) определяется соображениями удобства.
Основным недостатком модели Венециано является то, что
в ней нарушено условие унитарности. Наиболее ярко это прояв-
ляется в том, что в этой модели ширина резонансов равна нулю,
хотя резонансы распадаются на более легкие частицы. С этим
же нарушением связано отсутствие у функции (4.6) точек ветвле-
ния и ее нереджевское поведение (4.14). В настоящее время эта
трудность не преодолена, поэтому модель Венециано следует
рассматривать как первое приближение к реальной амплитуде.
i
I1
Часть IV
СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
' Слабое взаимодействие обусловливает распады лептонов, мезо-
нов, барионов. Если бы слабого взаимодействия ' не было, то
лептоны, мезоны и барионы были бы стабильны (за исключе-
нием распадов л°-,т]0-мезонов и ^-гиперона, обусловленных
электромагнитным взаимодействием). Слабое взаимодействие обу-
словливает не только распады, но и процессы рассеяния частиц;
наибольший интерес из них представляет рассеяние нейтрино
и антинейтрино на электроне и нуклоне.
Слабое взаимодействие обладает рядом специфических свойств,
которые резко отличают его от сильного и электромагнитного
взаимодействий. Мы сначала (§ 1) коротко остановимся па
этих специфических свойствах, а затем перейдем к разбору кон-
кретных процессов, обусловленных слабым взаимодействием.
Глава 15
СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЛЕПТОНОВ
И АДРОНОВ
§ 1.	СПЕЦИФИКА СЛАБОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Типы процессов. Процессы, обусловленные слабым взаимодей-
ствием, можно разделить на реакции с участием: 1) только леп-
тонов, 2) лептонов и адронов, 3) только адронов.
В отличие от сильного и электромагнитного взаимодействий
для слабого взаимодействия странность (или гиперзаряд) не
сохраняется. Поэтому обычно все процессы, обусловленные сла-
бым взаимодействием, делят на следующие пять типов.
1.	Процессы с участием лишь лептонов. К таким реакциям
относятся, например, распад р-мезона
p+_>e+_|_V(,_|_v|X, p--^e--bve + v|X,
рассеяние нейтрино на электроне
2.	Процессы с участием адронов и двух лептонов (один из
них всегда нейтрино, а другой — электрон или р-мезон). Такие
§ 1. Специфика слабого взаимодействия
465
полулептонные процессы удобно разделить на две группы. К пер-
вой принадлежат реакции, для которых суммарная странность
адронов начального и конечного состояний одинакова, например:
п	р+е~ + ve (бета-распад нейтрона),
ji+->-p+4-vu, n+->e+-|-ve (распад л+-мезона),
£+->A-|-e+ + ve (бета-распад гиперона);
ve + р-+п-\-е*,	+ (рассеяние нейтрино и анти-
нейтрино на нуклонах).
3.	Ко второй группе полулептонных процессов относятся
реакции, для которых странность адронов начального и конеч-
ного состояний различается на единицу, например:
/<+->-jt°-|-e+-|-ve, K+->'P++v(j (распады К+-мезона);
Л° p-\-e~-]-ve, А0 -> р + [Г -|- vg, (бета-распад А°-гиперонов).
4.	Процессы с участием лишь адронов. Такие пелептонные
реакции также удобно разделить на две группы. К первой отно-
сятся реакции, в которых суммарная странность адронов началь-
ного и конечного состояний различна; к этой группе в основ-
ном относятся процессы нелептонного распада К-мезонов и
гиперонов, например	лА-рл°, А°->-р-|-лг,	л+-|-лг,
£+ -> п + л+
5.	Вторую группу нелептонных процессов составляют реак-
ции без изменения странности. В отличие от всех предыдущих
реакции этого типа обусловлены не только слабым, но и силь-
ным взаимодействиями. Поэтому в нелептонных процессах с сох-
ранением странности вклад слабого взаимодействия проявляется
лишь как небольшой эффект на фоне сильного взаимодействия.
Закон сохранения лептонного числа. Имеется четыре лептона
(е_, те, рг, Vp.) и четыре антилептона (е+, ve, р+, v|t). Введем
электронное Le и мюонное Lt, лептонные числа и пусть
+ 1 для е~, ve,
—1 для е+, ve,
О для остальных частиц,
	 +1	ДЛЯ	Р“, V
	—1	ДЛЯ	Р+,
	0	Для	остальных частиц.
Закон сохранения лептонных чисел Le и Ltl заключается в том,
что во всех процессах, обусловленных слабым взаимодействием,
алгебраические суммы Le и сохраняются порознь.
Как и все фермионы, лептоны могут рождаться и уничто-
жаться только парами, причем закон сохранения лептонов тре-
бует, чтобы такая пара состояла из лептона и антилептона.
466
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
Закон сохранения лептонных чисел ведет к определенным пра-
вилам отбора, т. е. к разрешенным и запрещенным процессам.
Все приведенные выше реакции разрешены. К запрещенным про-
цессам относятся, например, процессы n-/+p-\-e~-\-ve, v^-j-n-/*
Они действительно не наблюдаются на опыте.
Неинвариантность относительной- и С-преобразований. В отли-
Рис.
электромагнитного взаимодействия, б—сла-
бого четырехфермионного взаимодействия
А"
15.1. Графическое изображение: а —
чие от сильного и электромагнитного взаимодействий, для сла-
бого взаимодействия, как показывают опыты *>, отсутствует
инвариантность относительно Р- и С-преобразований. Что касается
инвариантности относительно комбинированного СР-преобразова-
ния (и, следовательно, со-
гласно СРТ-теореме, отно-
сительно Т-преобразова-
ния), то в настоящее время
экспериментально обнару-
жен лишь один случай
(распад нейтральных К-
мезонов), в котором СР-ин-
вариатность определенно
нарушается. Поэтому сна-
чала мы предположим, что для слабого взаимодействия СР-инва-
риантность существует, а на процессе с нарушением СР-инва-
риантности остановимся отдельно (см. § 7).
Гамильтониан слабого взаимодействия. Так как константа
слабого взаимодействия много меньше единицы, то для анализа
процессов, обусловленных слабым взаимодействием, можно при-
менить теорию возмущений (см. гл. 4). Определяющим в теории
возмущений является вид плотности гамильтониана взаимодей-
ствия (х).
Напомним, что инвариантная относительно L, Р, С, Т и гра-
диентных преобразований плотность гамильтониана взаимодей-
ствия электрона с электромагнитным полем описывается форму-
лой (1.3), гл. 4
(х) = еф (х) уаф (х) Аа (х) = — Ja (х) Аа (х),	(1.1)
т. е. представляет собой произведение четырехмерного вектора
электронного тока Ja (х) на вектор электромагнитного поля
Ла(х). Гамильтониан (1.1) допускает наглядную интерпретацию
(рис. 15.1, а): он изображается в виде вершины, в которой началь-
ный электрон поглощает или испускает фотон и переходит
в конечный электрон; причем все это происходит в одной точке х.
Общее число частиц, взаимодействующих в точке х, равно трем.
Для процесса слабого взаимодействия, например распада ц -
мезона: p~->-e_-|-Ve-|-v|X, число частиц равно уже не трем, а четы-
*’ Ца некоторых из этих опытов мы остановимся в § 2, 3.
§ 1. Специфика слабого взаимодействия
46?
рем (рис. 15.1, б). В этом случае можно образовать два тока и
предположить, что гамильтониан слабого четырехфермионного
взаимодействия еЯС™ (х) представляется в виде их произведения:
(х) = (ток)+ х ток 4- эрмитово сопряженное,	(1.2)
причем токи берутся в одной и той же точке («контактное
взаимодействие»).
Представим реакцию 4-ve + в эквивалентном виде
р,- 4-ve е~+Для нее, например, в случае векторных токов,
образованных из волновых функций р-мезона и мюонного ней-
трино и электрона и электронного нейтрино,
/а (*) = Фе W Tatyv, (*) 4-Фи (X) ya1pV|x (X),
/а (X) = ф^ (X) уафе (X) 4-^V|x (X) Тафц (х).
Гамильтониан слабого взаимодействия (1.2) для распада р-ме-
зона запишется так:
(х) = Cvja (х) /£ (х) 4- э. с. =
= Су (фе (х) M\W) (4^ (х) Тафц (х)) 4-
4-C^(fve(x)yai|?e(x))(^(x)YaipVix(x)), (1.3)
где Cv—константа связи векторного тока.
Подчеркнем, что представление гамильтониана (х) сла-
бого взаимодействия в виде произведения двух токов, взятых
в одной и той же точке, является гипотезой. Вообще говоря,
возможен и другой механизм слабого взаимодействия четырех
фермионов (см. § 6).
Так как для слабого взаимодействия инвариантность относи-
тельно Р- и С-преобразований нарушается, то гамильтониан
(х) слабого взаимодействия должен быть инвариантен лишь
относительно L- и СР (или ^-преобразований, т. е. в (х)
могут входить как скалярные, так и псевдоскалярные величины.
Известно (см. гл. 2, § 1), что из спинорных функций и матриц у
можно образовать пять билинейных комбинаций: скаляр фф,
псевдоскаляр фр6ф, вектор фуаф, аксиальный вектор (или псевдо-
вектор) фУбТаФ и антисимметричный тензор ф (уаТ₽ — ТрТа) Ф- Каж-
дую из этих величин можно выбрать в качестве тока и построить
из них скалярные и псевдоскалярные произведения ток х ток.
Следовательно, в общем случае релятивистски инвариантный
гамильтониан (х) слабого взаимодействия представляется
468
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
в виде суммы; выпишем некоторые из слагаемых:
(х) = Ci (фефу) (фу фм) + С2 (феЬфу ) (фуЛвФц) +
С	|Л>	t-	fX
+ Сз (ФеТафу ) (фуЛаФи) + Q (ФЛаТбФуЭ (Фу,, ТаТбФц) +
С	f-C	К.	f-Д-
+ СБ (фефуе) (фуДбФц) + ..., (1.1)
г.де С{ — константы связи, вообще говоря, величины комплексные.
Выяснить вопрос о том, какие из слагаемых в (1.4) дают
вклад в физические процессы, можно лишь с помощью экспери-
мента. После долгих поисков было установлено, что опытные*
данные можно хорошо описать, если выбрать ток в виде суммы
слабого векторного V и слабого аксиального (псевдовекторного)
А токов, а гамильтониан слабого взаимодействия (х) — в виде
произведения этих токов:
^(х)=(СуУа+СААа)(СуУа + СААаГ + э. с„	(1.5)
где Су, СА — константы взаимодействия слабого векторного н
слабого аксиального токов. Такое взаимодействие называется
V — А-взаимодействием.
Подчеркнем, что хотя электромагнитный ток и слабый
ток Уц преобразуются как четырехмерные векторы, физически
это совершенно разные токи (чтобы подчеркнуть это обстоятель-
ство, мы обозначили их разными буквами).
При наличии СР (или Т)-инвариантности константы Су и СЛ
в (1.5) будут вещественными. Это вытекает из того, что исход-
ный гамильтониан (1.5) и полученный после С- и Р-преобразо-
ваний совпадают лишь тогда, когда константы Су и СА — вещест-
венные. Из сравнения теории с опытом (см. далее, § 3) было
установлено, что константы Су и СА в (1.5) равны между собой
по величине и имеют разные знаки. Поэтому гамильтониан Ну (/)
слабого взаимодействия окончательно запишется в виде
И? (0 = dx (х) = тД J dx fcja + э. с. =
= f dx (Уа - Ла)+ (Уа - Аа) + э. с., (1.6)
Г V
где G —константа слабого взаимодействия.
Так как размерность гамильтониана [///'] = эрг, а плотности
тока [/] = см-3, то из (1.6) следует, что размерность [С] = эрг-см3.
Это означает, что в системе единиц h = с = 1 константа G имеет
размерность, обратную квадрату массы, в качестве которой обычно
выбирают массу нуклона М, т.е. [G]=M-2. Опыт дает
G = 1,43 • 10"49 эрг • см3 = 10-5 Л4~2.	(1.7)
§ 1. Специфика слабого взаимодействия.	469
До последнего времени считалось, что в (х) должны вхо-
дить токи лишь таких пар частиц, одна из которых заряжена, а
другая нейтральна. Это означало, что возможны переходы только
между частицами разного заряда, т.е. что отсутствуют нейтраль-
ные токи, не меняющие заряда. Однако недавно на опыте были
обнаружены процессы, обусловленные нейтральными токами. Мы
в дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь процессов, обу-
словленных заряженными токами.
Учитывая сказанное, предположим, что гамильтониан 7 (х)
слабого взаимодействия обладает следующими свойствами:
1)	не инвариантен относительно Р- и С-преобразований, но
инвариантен относительно комбинированного СР-преобразова-
ния;
2)	представляет произведение (V — Л)-токов с константой G;
3)	обладает свойством универсальности, т.е. константа взаимо-
действия G одинакова для всех слабых процессов, в том числе
с участием адронов; если в процессе участвуют адроны, константы
СА и Cv могут отличаться за счет различного вклада в них силь-
ного взаимодействия.
Как видно, свойства слабого взаимодействия существенно
отличаются от свойств сильного и электромагнитного взаимодей-
ствий.
Теория возмущений. С помощью плотности гамильтониана взаи-
модействия еЗГ/’ (х) можно в соответствии с формулами (2.18), (2.20)
и (5.2), гл. 4 определить S-матрицу рассеяния и матричный эле-
мент процесса в любом порядке теории возмущений по константе
G слабого взаимодействия.
Для написания выражений для матричных элементов можно
пользоваться также диаграммной техникой Фейнмана (см. гл. 4).
Основное отличие от квантовой электродинамики сводится к тому,
что для слабых взаимодействий в одной вершине должны сходиться
четыре фермионные линии (четырехфермионное взаимодействие).
На рис. 15.2, а и б изображены простейшие диаграммы Фейн-
мана для процесса р-распада (p_-»-e_-|-vM. + iv(,, р+ -> е+ -|- ve ф- v^)
в первом и втором порядке теории возмущений. Правила соот-
ветствия остаются прежними (табл. 4.1, гл. 4); в частности,
диаграмма 15.2, а приводит к следующему выражению для мат-
ричного элемента:
М = =
~	'^“)(|xvn) -Ь(^/«	^a)(we) (^а	^а)(цгц)1-
(1.8)
Например, в случае двух лептонов для слабых векторного и акси-
4?0
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
ального токов имеем
Ус^'ФТа'Ф, Л=ФТаТбФ»	(1.9)
поэтому (1.8) в импульсном представлении перепишется так:
М = -j rs t№PaUv) (tlv OaUp) (tiPgUy ) (tlv Oalle)], (1.10)
у £,	ср	pc
где
Оа=Та(1+Т5) = (1-Т5)Та.	(1.11)
Первое слагаемое в (1.10) описывает рождение электрона
(функция Пе получается в результате действия оператора рож-
дения электрона на вектор конечного состояния — см. гл. 4, § 4)
Рис. 15.2. Диаграммы для процесса p“->e~+ve+vM.
и уничтожение рг-мезона, т. е. распад рг-мезона. Второе слагае-
мое в (1.10) соответствует уничтожению р+-мезона, т. е. распаду
р+-мезона.
При записи матричного элемента (1.10) для процесса р~-|-
-|-ve-> е_ + образованы токи из волновых функций р-мезона
«и и мезонного нейтрино щ, , а также из волновых функций
электронного нейтрино и электрона ие. Однако наряду с этим
можно образовать токи из волновых функций р-мезона utl и
электрона ие, а также из волновых функций обоих нейтрино
wV|x> в этом случае матричный элемент запишется в виде
Л4 = G [(НеОдИц) (llv О aUv) (lly Oauv ) (ttpOa^e)].	(1.10 )
I/ £	-ре	ер
Путем прямых вычислений можно убедиться, что матричные
элементы (1.10) и (1.10'), соответствующие (V — Л)-взаимодей-
ствию, отличаются друг от друга только знаком. Действительно,
учитывая, что
Ts = —
/ф\
и и = [ .), имеем
\Х/
(1+?б)н =
«(1-Ts) = !p+. Р+|,
0 /
/ 0
§ 2. Слабое взаимодействие лептонов
471
где Р = Ф — %. Это даст, если принять во внимание, что Та (1 + Те) =
= 4’(1~Тб)Т<»(1+Тб) и формулу (3.10), гл. 1,
(HaOaub) (ucOaud) = (PS₽b) (PJPJ — (PJoPb) (PfrPd).
T-r	Л	” P /°1\ й	ft lC1\
После введения обозначении pa =	), P»= , . Pc= ,
W2/	W2/	W2 /
ft
pd=l 1 получаем
(u.aOaub) (ucOaud) = 2 (ofcj — cjcf) (Ь^2 — b2dj.
Последнее выражение при перестановке а^=±с или b^d меняет
только знак. Следовательно, матричные элементы (1.10) и (1.10')
отличаются только знаком, и при вычислениях дифференциаль-
ных сечений можно пользоваться либо (1.10), либо (1.10').
Заметим, что найденная простая связь между матричными
элементами для V — Л-взаимодействия является частным случаем
более общих соотношений для произвольного четырехфермион-
ного взаимодействия (1.4) (эти соотношения были установлены
Паули и Фирцем).
Рассмотрим сначала процессы в первом неисчезающем порядке
теории возмущений по константе слабого взаимодействия G.
В отличие от электромагнитных взаимодействий слабые взаимо-
действия не перенормируемы (см. гл. 5, § 3). Поэтому проблема
учета высших приближений в случае слабых взаимодействий
существенно усложняется; об этом мы скажем в § 6.
§ 2. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЛЕПТОНОВ
Переходим к более подробному изучению процессов, в кото-
рых участвуют лишь лептоны. Мы остановимся на двух таких
реакциях: распаде р-мезона и рассеянии нейтрино на электроне.
Распад р-мезона
Рассмотрим распад отрицательного р-мезона
р~ (Ри)	е~ (ре) 4- ve (ke) + v,. (AJ.	(2.1)
Пусть начальный р-мезон и электрон распада поляризованы,
а оба нейтрино —не поляризованы.
Этот процесс изучен довольно хорошо экспериментально. На
опыте измерялись: 1) полная вероятность распада, 2) энергети-
ческий спектр электронов, 3) асимметрия вылета электрона отно-
сительно направления поляризации р-мезона, 4) продольная по-
ляризация электрона. Вычислим эти характеристики реакции (2.1)
для V — Л-взаимодействия.
472
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
Выражение для вероятности. Диаграмма Фейнмана про-
цесса (2.1) в первом порядке теории возмущений по константе G
изображена на рис. 15.2, а. Соответствующий ей матричный эле-
мент определяется первым членом формулы (1.10)
Л4 =(0еОаЩ>е)	(2.2)
откуда для вероятности распада с учетом нормировочного мно-
жителя имеем
1 dpe dke dk|x
dw = (2л)4 |Л4 I2 2^- (2jl)3.2£e (2jl)3.2^ (2n)3.2c0|xX
Хб4(ре + ^ + ^-р|х). (2.3)
Вычислим |Л4|2 = Л4*Л4. Матричный элемент М представляет со-
бой произведение двух сомножителей, каждый из которых имеет
вид
(йОаи), 0a = Ta (1 + Тб).
Для такого выражения получаем
(02Oa«i)* = («2ТоОаМ1)* = [Ы?р (ToOa)₽v thv]* =
= Hjv (ToOa)vPU2P = U1V (ToOa)vPW2P — 41V (Oc^To)vPU2P = 410all t,
где Оа = ТоО£то. Если 0a = Та (1 4-Тб), то
Оа = ToOiTo = То (1 4- Тб)+ ТаРо = (1 - Тб) Та = Та (1 4- Тб) = Оа.
Тогда
= G (ae°№ey = W G (й^еОр/_ге).
Следовательно, для квадрата модуля матричного элемента
| М |2 = ~ G2 (й.еОащ,^ (йГ|х0аЫц) («veOpHe) (ituOpHvJ.	(2.4)
Согласно формулам (6.34), (6.36), гл. 4 матрицы плотности
р-мезона и электрона равны;
р(|1)=4(Ах±т) (1-^'4, Р^) = 4(Л±^)(1 -Тб#),
(ар) = 0.
Верхние знаки относятся к рт-мезонам и электронам, нижние —
к р+-мезонам и позитронам. Суммирование по проекциям спина
нейтрино произведем с помощью формулы (5.18), гл. 4. В резуль-
тате получим
|М I2 =4 G2 SP (P(e)°aPv Op) Sp (p^0ppVt0a)
(2.5)
4
§ 2. Слабое взаимодействие лептонов
473
Шнурование в Лар, если воспользоваться формулами (5.30) и
(5.32), гл. 4, дает
Дар = 4 [Ра/гр + Ppka - (Pk) gap + teapY6P^6],	(2.6)
где Pa = pa — maa. Подставляя (2.6) в (2.5) и учитывая ‘фор-
мулу (1.14), гл. 2, имеем.
|Л412 = 32G2 [(рЛ) - me (ае^)] [(р^е) -	(а^е)]_	(2.7)
Входящие в это выражение четырехмерные векторы и ае
характеризуют поляризационные свойства р-мезона и электрона
(или позитрона).
Интегрирование по импульсам нейтрино. Импульсы нейтрино
на опыте не измеряются, поэтому проинтегрируем по ним выра-
жение (2.3):
dw== 16£и(2л)6 ।	.	•	(2-8)
где /а₽ = j* 5 (&е + —-Я) dke г/кц. Этот интеграл имеет раз-
мерность квадрата импульса. Поэтому в наиболее общем виде
он выглядит так:
Iafi = aq2gap + bqaqfr	(2.9)
где а и b неизвестные скалярные безразмерные коэффициенты.
Чтобы найти их, умножим (2.0) один раз на gap, а другой на qaqp
Wap = Iaa = (4a + W = 4 <72 f	6 (ke + ~ Я),
1 C dk,,dk.:
Ia$qaqt, = (fl + b) (<72)2 = T (<72)2 —— 6 (ke 4- - q).
Вычислим интеграл, входящий в это выражение. Так как
64(£е + £ц — /г) = £(®е + ®ц — ®)6(ke4-kfl — к) и
^(ке + к^-к)^
то интеграл сведется к следующему:	.
Его удобно вычислять в с. ц. м. двух нейтрино, в которой
импульсы ке и kg противоположны по направлению и равны
по абсолютной величине. Энергия нейтрино, равна его импульсу,
поэтому 4- <ое = 2<ое.
В сферической системе координат
dke = — | ке |2 d । ке | с/ф d. cos 0 = — со^ da>e cftp d cos 6,
474
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
поэтому
в dk„	р* 4лсо; da„
j^6(2®e-®)=	£6(2<ое-®) = 2л.	(2.11)
Подставляя (2.11) в (2.10), а также учитывая, что q = ke4-k(i,
^f = ^ = 0, получаем
4а-}- b — tn, 4а-}-4b = 2л.	(2.12)
С помощью найденных отсюда значений а и b интеграл (2.9) пе-
репишется в виде
/а₽ = у(^а₽ + 29а?р).
Тогда выражение (2.8) для вероятности распада р,_-мезона, проин-
тегрированное по импульсам нейтрино, принимает форму
dW = 6(2^£ц ^Ре ~ ,Пеа^а [Р'1 ~	+ 2<MFj) ’	(2‘13)
Аналогичным путем найдем для вероятности распада р+-мезоиа
dw = 6~(2лГ£й	+ т^а	+ 2<7а<?р)	*
Асимметрия и поляризация электронов распада. Энергия, вы-
деляемая при р-распаде, велика по сравнению с массой электрона.
Поэтому электроны распада_ можно считать ‘ ультрарелятивист-
скими и в (2.13) пренебрегать величинами (также как
Тогда в системе покоя р-мезона, т. е. для распада покоящихся
р-мезонов, имеем
?2 = 7^-277?p,Ee, (peq)^(pepv} = EeinVi, (qp^m^-Eetn^ (2.14)
В той же системе компоненты четырехмерных векторов а11 и а0
равны:
аи=(0, РД п- = (1, пе)^(пеРе),	(2.15)
где пе = ре!Ее — вектор в направлении движения электрона; Pf и
Ри —единичные векторы поляризации электрона и р-мезона. С по-
мощью (2.13), (2.14), (2.15) получаем выражение, описывающее
энергетическое и угловое распределение электронов или позит-
ронов (нижние знаки) при распаде поляризованного р+-мезопа,
dw = -T^V + (рЛ)]Г(з-^)±(Рипе)(1 -|^)1 X
х	(2.16)
6	£гпах
§ 2. Слабое взаимодействие лептонов	475
Здесь Emax — максимальное значение, которое может принимать
энергия электрона; оно достигается, когда оба нейтрино летят
в одну сторону, а электрон в другую.
Мы исходили из гамильтониана слабого взаимодействия
(х), не инвариантного относительно пространственной ин-
версии. Поэтому в выражении (2.16) для вероятности распада
появились члены (Репе) и (Рр,пе), также не инвариантные относи-
тельно Р-преобразования.
Появление этих членов приводит к двум важным физическим
эффектам.
1. Предположим, что электроны не поляризованы (Ре = 0),
а р-мезоны — поляризованы. Тогда вероятность распада dw^
(Рцпе) — I Рц I I пе I cos6, где 0 — угол' между направлением спи-
на р-мезона и направлением вылета электрона. Как видно,
распределение электронов по углу асимметрично (неизотропно).
Если бы Р-инвариантность существовала, то член (Рипе) отсут-
ствовал бы, вероятность dw от угла не зависела бы и распреде-
ление электронов распада поляризованного р-мезона было бы
симметричным (изотропным). Следовательно, угловое распределе-
ние электронов распада поляризованного р-мезона в случае на-
личия или отсутствия Р-инвариантности будет существенно раз-
личным.
2. В (2.16) входит лишь продольная проекция спина элек-
трона, характеризуемая (Репе). При этом вероятность dw стано-
вится максимальной, когда спин электрона направлен против
его импульса, а спин позитрона —по его импульсу; в этих слу-
чаях соответственно (Репе) = тр 1. Эго означает, что в случае
(У — Д)-взаимодействия электрон с нулевой массой покоя дол-
жен быть полностью продольно поляризован в направлении,
обратном направлению своего движения (рис. 15.3, а), а позит-
рон по направлению своего движения (рис. 15.3, б). При учете
массы появится и поперечная поляризация электрона.
Найденный результат является общим для (У — Д)-взаимо-
действия. Это взаимодействие устроено так, что спин частицы
с нулевой массой направлен против ее импульса, а спин анти-
частицы—по ее импульсу, и других физических состояний у час-
тицы быть не может.
Образно говоря, при наличии Р-инвариантности частицу мож-
но представить в виде «гвоздя», при отсутствии Р-инвариант-
ности—в виде «винта», имеющего согласно (2.16) левую нарез-
ку (см. рис. 15.3, а). При P-преобразовании левая нарезка пе-
реходит в правую (импульс меняет направление, спин —нет),
и инвариантность относительно P-преобразования отсутствует.
Более того, при отражении частица переходит в физически несу-
ществующее состояние (см. рис. 15.3, в). Аналогичная ситуация
имеется для античастицы (рис. 15.3, г).
476
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
Оба указанных эффекта нарушения Р-инвариантности при
р-распаде (асимметрия и продольная поляризация) наблюдались
экспериментально. Это является прямым подтверждением как
отсутствия Р-инвариантности, так и правильности (V —^-вари-
анта для слабых взаимодействий.
Рис. 15.3. Графическое изображение: а—электрона, б—позитрона, в, г—
поведения электрона и позитрона при Р-nреобразовании, д, е—поведения
электрона и позитрона при С-преобразовании, ж, з—поведения электрона
и позитрона при СР-преобразовании
Инвариантность относительно зарядового сопряжения также
отсутствует, так как при этом чистица не переходит в античас-
тицу (рис. 15.3, д, е). Если комбинированная CP-четность сох-
раняется, то при комбинированном СР-преобразовании частица
переходит в античастицу (рис. 15.3, ж), а античастица — в час-
тицу (рис. 15.3, з). Если теория симметрична относительно час-
тиц и античастиц, то она инвариантна относительно СР-преоб-
разований. Отсюда становится ясным смысл замены Р-инвари-
антности комбинированной СР-инвариантностью.
Спектр электронов распада. Получим выражение для спектра
электронов распада. Суммируя в (2.16) по поляризациям элек-
£ 2. Слабое взаимодействие лептонов
477
трона и интегрируя по направлениям его вылета (углам), имеем
dwE
и
96л3
Ее \ E^dEe
Emax / £?nax
(2.17)
Полная вероятность распада. Наконец, интегрируя (2.17) по
всем энергиям электронов распада, т. е. по Ee/Emax от 0 до 1,
найдем формулу для полной вероятности распада р-мезона:
G2m5„
w = -----—
192л3 
(2.18)
Подстановка в левую часть (2.18) опытного значения полной ве-
роятности р-распада приводит к следующему значению константы
слабого взаимодействия:
G = (1,4321 ± О,0002) • 10-49 эрг  см3.
(2.19)
Если вычисления производить не для (V — Л)-варианта, а
учесть все возможные слагаемые, входящие в (1.4) для 7 (х),
то вместо (2.17) получится для энергетического распределения
выражение
G2m3 г/ £ \	2	. Ее \1
1 —в-2—J — o' Р 3 — 4-ь-- --- х
е 16л3 [_\ стах /	9	\ fmax /J
xE2edEelEsmZx. (2.20)
Оно зависит от двух параметров: G —средней константы связи
и р —параметра Мишеля. Как видно, (У— Инвариант приводит к
з
р = -^-. К такой же величине р приводят измерения на опыте.
Вклад электромагнитных взаимодействий. Заряженные лепто-
ны (электроны и р-мезоны) способны кроме слабого также и к
электромагнитному взаимодействию. Поэтому возникает задача
одновременного учета слабого и электромагнитного взаимодей-
ствий. Электромагнитное взаимодействие приводит к двум про-
цессам: 1) испусканию реальных фотонов и рождению электронно-
позитронных пар при распаде р-мезонов, 2) к испусканию
и поглощению виртуальных фотонов электронами и р-мезонами
(что дает радиационные поправки к матричным элементам — см.
гл. 5).
Учесть одновременно оба взаимодействия можно с помощью
гамильтониана
Ж Т (Х) = ^7 (X) +	(X).	(2.21)
Здесь гамильтониан слабого взаимодействия (х) определя-
ется формулой (1.8), а / (х)—гамильтониан взаимодействия р-
мезона и электрона с электромагнитным полем: (*)
(*) - « (ФцТаФц^а 4-феТа'ФИа).	(2.22)
478
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
При этом учитываются члены первого порядка по (х) и
члены любого порядка по е^/(х), По аналогии с (2.19), гл. 4
матрица рассеяния S запишется следующим образом:
S = Т ехр {- i J dt [Н™ (/) 4- Не/ (/)]} Se -
- IT {jd/H?(/)е ~lJdt '°},	(2.23)
где Se относится к чисто электромагнитным переходам.
Построим диаграммную технику Фейнмана, соответствующую
матрице рассеяния (2.23), тем же способом, который использо-
вался в гл. 4. В нулевом приближении по электромагнитному
взаимодействию формула (2.23) приводит, как и следовало ожи-
дать, к диаграмме, соответствующей слабому четырехфермиоп-
Рис. 15.4. Диаграммы для р-распада в первом порядке по электромаг-
нитному взаимодействию
ному взаимодействию (см. рис. 15.2, а); этой диаграмме соответ-
ствует матричный элемент (1.10). Диаграммы следующих
приближений по электромагнитному взаимодействию получаются
из диаграммы, изображенной на рис. 15.2, а, путем добавления
линий виртуальных и реальных фотонов и замкнутых электрон-
ных и р-мезонных петель. Фотонные линии могут ответвляться
только от заряженных частиц (электронов и р-мезонов). Нейтрин-
ные линии всегда будут парой внешних концов; им в амплитуде
отвечает множитель G (6V| OaiZve ) j  Роль вершинного опе-
ратора по отношению к электронной и р-мезонной линиям
в четырехфермионной вершине играет матрица Оа (с тем же четы-
рехвекторным индексом а).
В первом порядке по / имеется две диаграммы (рис 15.4).
Они описывают процесс распада р-мезона с одновременным излу-
чением одного реального фотона (процесс р-->е-|-v-|-v-|-y). Этим
диаграммам соответствует матричный элемент
G
M==~ie4r^ (а»Оа1^ ) (HeQa^) е|,
у 2	** е
(2.24)
где Qa₽-	+
§ 2. Слабое взаимодействие лептонов
479
Во втором порядке по электромагнитному взаимодействию
получаются два типа диаграмм. Одни из них отвечают испуска-
нию двух реальных фотонов, возникающих одновременно при
распаде р-мезона (процессу р.-т>е4-v-pv-f-yi + yg), а другие —
испусканию и поглощению виртуальных фотонов электроном и
р-мезоном. К последним относятся диаграммы, изображенные на
рис. 15.5. Им соответствует матричный элемент
М = Ма -j- /Иб + Мв,	(2.25)
Матричный элемент (2.25) расходится как при больших, так и
при малых импульсах фотонов. После перенормировки (см. гл. 5)
и устранения инфракрасных расходимостей (см. гл. 4, § 7) мат-
Рис. 15.5. Диаграммы, определяющие радиационные поправки к р-
распаду во втором порядке теории возмущений по электромагнит-
ному взаимодействию
ричный элемент (2.25) становится конечным и приводит к следую-
щему значению полной вероятности р.-распада:
G2m;’ Г	а /	25\~|
Щ с  1 — Я2-------------,
192л3 L	2л \	4 / J ’
т. е. константа связи G, входящая в (2.18), равна

(2.26)
С помощью формулы (2.18) определяется экспериментальная
(перенормированная) константа связи, поэтому Go будет «голой»
(неперенормированной) константой связи. Сравнение (2.26) с (2.19)
показывает, что значение экспериментальной константы G сла-
бого взаимодействия несколько меньше значения «голой» кон-
станты Go (приблизительно на 0,2%).
Рассеяние нейтрино на электроне
Рассмотрим процесс рассеяния нейтрино на электроне:
ve(^)4-e(p)->ve(^') + «(P')-	(2-27)
480
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адроНув
Матричный элемент реакции (2.27) определяется так:
М = у= G {йе (р') Оаие (р)} {uv (k') Oauv (k)}, Oa = Ta (1 4- ?6).
Суммируя по проекциям спина конечных частиц и усредняя по
проекциям спина начальных частиц, в с. ц. м. имеем
-L | М |2 = 64G2 (pk) (p'k') = 64G2 (pk)2.
Подставляя это выражение в формулу (5.7), гл. 4, получаем для
полного сечения
-4G8 (pk)*
я (р+А)2 '
Так как в с. ц. м. (pk) = Ее®4-®2, (p-}-k)2 = (Ee-|-co)2, Ее =□
= )Ло2 + nit (здесь <в —энергия нейтрино), то
о = ^£о2,	(2.28)
т. е. полное сечение процесса (2.27) растет как квадрат полной
энергии нейтрино (при со->оо сечение стремится к бесконечности).
§ 3. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АДРОНОВ. ЛЕПТОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
С СОХРАНЕНИЕМ СТРАННОСТИ
Слабый адронный ток. Переходим к изучению слабого взаи-
модействия адронов. Мы начнем с анализа процессов, в которых
странность адронов ** начальном и конечном состояниях сохра-
Рис. 15.6. Графическое изображение распадов: а — адрона на два леп-
тона, б — мезона на мезон и два лептона, в — бариона на барион и дна
лептона, г — рассеяния нейтрино на нуклоне
няется. К таким реакция, как уже говорилось (см. § 1), отно-
сятся: 1) распады мезонов либо на пару лептонов, либо на мезон
и пару лептонов, а также распады барионов на барион и пару
лептонов, -2) рассеяние нейтрино на нуклонах. Диаграммы этих
реакций изображены на рис. 15.6, а —г.
Матричный элемент таких процессов в первом порядке тео-
рии возмущений по константе G по-прежнему запишется в виде
f 3. Лептонные процессы с сохранением странности
481
произведения двух токов. Один из них будет лептонным /и, а
другой — адронным слабым током
М = у= G [/; (х)	(х) + (х) Xt (X)].	(3.1)
Выражение для лептонного тока определяется формулой (1.9)
/и = фОцф.
С адронным слабым током ситуация существенно сложнее.
Ясно, что нельзя рассматривать слабые взаимодействия без учета
более интенсивных сильных взаимодействий адронов. Если бы
существовала теория сильных взаимодействий, то их можно было
бы исключить из анализа и тем самым найти явный вид «чистого»
адронного слабого тока. Однако теория сильных взаимодействий
отсутствует и поэтому приходится рассматривать адронный сла-
бый ток /*, «одетый» сильными взаимодействиями:
^ = </1/^10,	(3.2)
где (f\ и 11> обозначают конечные и начальные состояния сильно
взаимодействующих частиц. В выражении (3.1) подразумевается,
что хотя слабое взаимодействие учитывается лишь по теории
возмущений, но вклад сильных взаимодействий учтен полностью.
Поскольку адронный слабый ток состоит из векторной и акси-
альной частей, то
=	(3.3)
Так как в сильных взаимодействиях четность сохраняется, 'то
аксиальная часть адронного слабого тока А^ генерируется акси-
альной частью слабого тока а векторная часть слабого
адронного тока И* — векторной частью слабого тока /£.
Мы- не можем найти явный вид токов А£ и И*. Можно найти
лишь их кинематическую структуру, используя общие свойства
симметрии (см. также гл. 8, § 1).
Кинематическая структура слабого адронного тока. Найдем
вид слабых адронных токов для процессов, диаграммы которых
изображены на рис. 15.6. Для этого надо построить четырехмер-
ные вектор и аксиальный вектор из волновых функций и импуль-
сов частиц, а также матриц у (если в процессе участвуют фер-
мионы). При этом мы учтем, что матричный элемент может
зависеть лишь от суммы четырехмерных импульсов образующихся
лептонов, а не от каждого импульса отдельно. Это требование
обусловлено тем, что пара лептонов испускается в одной точке
(гамильтониан слабого взаимодействия лептонов локален).
1. В случае распада псевдоскалярного л-мезона на пару леп-
тонов (рис. 15.6, а) в нашем распоряжении имеется волновая
16 Нелина Н, Ф.
482
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
функция л-мезон а (псевдоскаляр) и вектор импульса мезона
q = ki 4- k2. Из этих величин можно построить только аксиальный
вектор A^i = f^>(q)qll, так что V^ = 0 и адронный слабый ток
Хц = Л^ = /9(1ф(9).	(3.4)
Здесь f — неизвестный инвариантный коэффициент; в данном слу-
чае / — постоянная величина, поскольку постоянен единственный
инвариант, от которого он мог бы зависеть: q2 = m^ (mn — масса
л-мезона). Для скалярного мезона А^ — 0 и Xll=V^.=fqfltp(q),
2. В случае распада, например, псевдоскалярного л-мезона
на такой же мезон и пару лептонов (рис. 15.6, б) для построе-
ния векторов тока имеем волновые функции ф (ср), ф (q2) началь-
ного и конечного мезонов, их импульсы qlt q2 и суммарный
импульс q пары лептонов. В силу закона сохранения (^ = q2 + q)
независимы лишь два импульса, поэтому общий вид слабого
адронного тока
Хи = ф (91) Ф (9г)	+ /з9ц).	(3.5)
Здесь Р = 9i + 92 и /х, /2 — неизвестные формфакторы, зависящие
от импульсов 9Х и 9г. Из последних можно составить всего один
независимый инвариант, не сводящийся к постоянной величине,
например 92. Поэтому формфакторы Д (q2) и /2 (92) будут функ-
циями одной переменной q2. Подчеркнем, что если четности обоих
мезонов одинаковы, то Хц = V'l, А1^ — 0; если четности разные,
то ХИ = Л*, У£ = 0.
3. В случае распада бариона на другой барион и пару леп-
тонов (рис. 15.6, в) для построения вектора тока имеем кроме
импульсов начального и конечного барионов еще спинорные функ-
ции и матрицы у. Из этих величин можно составить три неза-
висимых вектора: йу^и, (йо(|ри)9р, uuq^, где q — p2~Pi, и три
псевдовектора: йу^уъи, (йу5и) Р^, (uy^q^, где Р = Рт + р2. Поэтому
для адронного слабого тока получим
Хц=л£+и£,	(3.6)
где
Иц = й (р2) [Л (92) Тц + /2 (92) °цр9р + h (92) 9ц] « (Pi).	(3.7)
А» = й (р2) [gx (9)2 Тц + g2 (92) Р(1+gs (92) 9ц] (Pi),	(3.8)
здесь gt(q2), ft (92) — неизвестные формфакторы, зависящие от q2;
q — импульс лептонов.
Из условий эрмитовости и СР (или 7)-инвариантности выра-
жений (3.4) —(3.6) следует, что входящие в них формфакторы
будут вещественными функциями. Исходные выражения (3.4) —
(3.6) и те, которые получаются после эрмитова сопряжения и
§ 3. Лептонные процессы с сохранением странности
483
СР-преобразования, совпадут лишь в том случае, когда входя-
щие в них формфакторы — вещественные.
Подстановка (3.4) —(3.6) в (3.1) приводит к выражениям для
матричных элементов соответствующих процессов в первом
порядке теории возмущений по G. С помощью этих матричных
элементов можно получить выражения для различных характе-
ристик процессов.
Бета-распад нейтрона. Рассмотрим для примера 0-распад
нейтрона:
п (Рп) -> Р (РР)+е~ (ре) + ve (pv).
(3.9)
Матричный элемент этого процесса в первом порядке по кон-
станте G запишется в форме
м =pL G (У* + At) {Ие (Ре) Ь(1 +у5) UV (pv)},
(З.Ю)
где слабые адронные токи Vt и Лц определяются формулами
(3.7) и (3.8).
При вычислении вероятности распада нейтрона с довольно
хорошей точностью можно пренебречь величинами, пропорцио-
нальными q и </2; тогда
Уц = /1(0)йрТцЦл,
и для полного слабого адронного тока Хц =« Уц + At найдем
Х(г = йрТц(1+ау6)ця.	(3.11)
О	gl (0)
Здесь а = —^ —неизвестная
постоянная
величина,
характери-
зующая отношение констант связи векторного и аксиального
токов; она определяется из опыта.
Так как при распаде выделяется небольшая энергия (Д =
= mn — mpf^l,3 МэВ), то в лабораторной системе координат
можно считать покоящимися и нейтрон и образующийся протон
(Рп = Рр = 0). Их волновые функции в соответствии с формулами
(3.19), гл. 1 имеют вид ир=Уг 2МР^^, ип = У 2A4„^”j. Заме-
няя в (3.11) матрицы у их видом (3.10) гл. 1 и производя пере-
множение, получаем для. слабого нуклонного тока
Хц = 2 VМрМп (<р>„, — а<$<пр„).
(3.12)
Подставляя последнее в (3.10), находим для матричного элемента
0-распада
М = V 2МрМп G {<рJ<р„ (йеу0 (1 + у6) uv) +
+ a ((pptfcpn) (йеу (1 + ув) uv)}.
484
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
Отсюда для квадрата амплитуды имеем:
IМ |2 = 4МпМр(? {Sp (р„рр) Sp [реу0 pvy0 (1 + Ts)] +
4-а2 Sp (p„oftPpO,-) Sp [Pe?/ pv?fc) (1 +?b)J +
+ a Sp (p„<rpp) Sp [peTo PvT (1 + Te)] +
4-aSp (p„Pp<T)Sp[peypvTo(l +Ts)]}-	(3.13)
Здесь p„, Pp —нерелятивистские поляризационные матрицы плот-
ности нейтрона и протона (см. гл 4, § 6),
р„ = У [! + №)], Рр=Ц[1+(<тРр)].
а ре, pv —релятивистские поляризационные матрицы плотности
электрона и нейтрино (см. гл. 4, § 6),
Рг== у (/’е + ^е) (!+4?в). Pv~Pv
Пусть электрон, нейтрино и нейтрон поляризованы, а протон не
поляризован. Тогда суммируя в (3.13) по проекции спина про-
тона, получаем
У, IМ |2 = 4G2MрЛ4„ {Sp (ре — mA) ТоАТо+«2 Sp (ре — теае) тА? +
4- ia2 ItkiPm Sp (ре — tnfie) yipyPik (1 + Тв) + a Sp (A - mede) To X
X A (P«T) (1 + Te) + « Sp (A - meae) (P„T) AYo (1 + Тб)} (3.14)
После шпурования с помощью формул (5.18), гл. 4 выраже-
ние (3.14) принимает вид
У | М i2 = 16M°PG2 {EeEv [1 + 3a2 - (a2 - 1) (vvve) -
— 2a (a — 1) (veP„) + 2a (a + 1) (vvP„)] - £vme [(1 + 3a2) (veae) +
+ (1 - a2) (vvae) - 2a (a+ 1) (veae) (P„vv) + 2a (a + 1) PA)]}, (3.15)
где ve = pe/£e, vv = pv/£v — скорости электрона и нейтрино; Мр^=>
^7И„ —масса нуклона.
Для вычисления дифференциальной вероятности распада вос-
пользуемся формулой
J	1 I 12 J Z	X ^РР С^>е	1 ГА
= 2 (2л)» /Ир ।	। 6(Р« — Рр~ Pv~Pe)2M^ ~2Ё^ 2Ё/	(3-16)
Отметим, что содержащиеся в (3.15) члены (veP„), (veP₽),
(vvP„) при инверсии пространства меняют знак, т. е. их наличие
есть прямое следствие неинвариантности слабых взаимодействий
относительно инверсии пространства.
Рассмотрим некоторые частные случаи формулы (3.15).
1.	'Пусть распадающийся нейтрон поляризован, а электроны
распада не поляризованы (Ре = 0). Тогда угловое распределение
электронов при произвольном направлении вылета нейтрино
§ 3. Лептонные процессы с сохранением странности
485
описывается формулой
dw~X-2~T^W	(3.17)
и аналогично для нейтрино
+	(Vvpn).	(3.18)
2.	Пусть нейтрон не поляризован (Р„ = 0). После интегриро-
вания в (3.15) по направлениям вылета нейтрино получаем
dw~l-(vePe).	(3.19)
Из (3.17) и (3.19) следует, что при бета-распаде нейтрона,
как и при распаде р-мезона (см. § 2), электроны распада вылетают
асимметрично и поляризованы (см. рис. 15.3, а) антипараллельно
своему движению (левый винт), причем степень их поляризации
равна скорости электрона. Оба эти эффекта, обусловленные
отсутствием Р-инвариантности, наблюдаются на опыте. Это озна-
чает, что при лептонных распадах адронов Р-инвариантность
отсутствует.
3.	Если нейтрон и электрон не поляризованы (Р„ = Ре = 0),
то корреляция между направлениями вылета электрона и ней-
трино определяется выражением
_^=± (VeVv).	(3.20)
4.	Если подставить (3.15) в (3.16) и после этого проинтегри-
ровать по dppdpv и по углам вылета электрона, то можно найти
энергетический спектр электронов распада:
dw = (Sf <1 +	(Д - Ееу Ее dEe, Ь = тп- тр. (3.21)
5.	Интегрирование (3.17) по энергиям электрона в интервале
Д дает полную вероятность Р-распада:
Л2ЛБ
а' = °’47-^-<1 + 3а2)-	(3.22)
Экспериментальное значение векторной константы слабого
взаимодействия G было определено из полной вероятности Р-распада
ядер и оказалось равным
G = (1,405 ± 0,002)  10-48 эрг  см3.	(3.23)
Подставляя это значение в правую часть (3.22), а в левую соот-
ветствующее опытное значение полной вероятности Р-распада
нейтрона, получаем для отношения аксиальной и векторной кон-
стант
“-W = T7-±i-23±0’0‘-	<3-24'
486
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
Как видно, в случае бета-распада нейтрона константы СА и Су
не равны друг другу. Однако это не противоречит гипотезе уни-
версального взаимодействия, поскольку в процессе участвуют
адроны и вклад сильных взаимодействий в СА и Су может быть
различным.
Для входящей в (3.17) величины 2 (а2 — а)/(1 + За2) ~ | СА |2 +
+ Re СуСА опыт дает близкое к нулю значение; откуда выте-
кает, что константы СА и Су имеют разный знак.
Инвариантность относительно обращения времени. При анализе
бета-распада нейтрона мы исходили из гамильтониана слабого
взаимодействия^™ (О, который инвариантен относительно CR-пре-
образования или, согласно CRT-теореме, относительности слабого
обращения времени. Поэтому в выражении (3.15) для вероятности
распада не появилось членов, не инвариантных относительно
Т-преобразований.
Если предположить, что гамильтониан	не инвариантен
относительно слабого обращения времени, то в выражении для
вероятности распада поляризованного нейтрона появятся члены
вида (Р„[пепр]), не инвариантные относительно Tw-преобразова-
ния, т. е. dw~ (Р[п,Пр1), где пе, пр —векторы в направлении
вылета электрона и протона. В частности, вероятность одновре-
менного образования электрона и протона в плоскости, перпенди-
кулярной поляризации нейтрона, 6to^|ne| | np.[ sin 6, где 6 —угол
между направлениями вылета электрона и протона. Как видно,
вероятность dw зависит от угла 6, т. е. между направлениями
вылета электрона и протона существует определенная корреляция.
В случае гамильтониана еЗГ™ (t), инвариантного относительно
обращения времени, корреляция между направлениями вылета
электрона и протона отсутствует (т. е. вероятность образования
электрона и протона под разными углами одинакова).
Следовательно, ситуация с корреляцией вылета электрона и
протона при распаде нейтрона в случае наличия или отсутствия
Т-инвариантности будет существенно различной.
На опыте корреляция вылета электрона и протона не наблю-
дается, и это означает, что при лептонном распаде адронов
существует инвариантность относительно слабого обращения вре-
мени или, согласно CRT-теореме, относительно CR-преобразо-
ваний.
Гипотеза сохранения векторного слабого адронного тока.
Из (2.19) и (3.23) следует, что векторные константы р- и [3-распада
ядер (нейтрона) практически совпадают. Этот факт нетривиален.
Действительно, в случае 0-распада ядер наряду со слабым при-
сутствует и сильное взаимодействие. В случае же р-распада
сильное взаимодействие отсутствует. Совпадение констант озна-
чает, что сильное взаимодействие не влияет на величину вектор-
ной константы связи Су, как говорят, не перенормирует ее.
§ 3. Лептонные процессы с сохранением странности
487
Такая ситуация в физике элементарных частиц не нова.
Константы электромагнитного взаимодействия электрона и протона
(их электрический заряд) также равны, несмотря на то, что
в случае протона присутствует наряду с электромагнитными и
сильное взаимодействие, т. е. электрический заряд также не
перенормируется сильным взаимодействием. Причина этого лежит
в том, что электромагнитный векторный ток сохраняется, а это
приводит к сохранению заряда (см. гл. 4, § 2). Электрический
заряд перенормируется только благодаря радиационным поправ-
кам к функции Грина фотона (см. гл. 6, § 4). Однако эти поправки
должны быть такими, чтобы электрический заряд сохранялся.
Какой бы ни была структура частицы, каким бы ни было рас-
пределение заряда в «облаке», окружающем «голую» частицу,
Рис. 15.7. Графическое изображение вклада сильного взаимодействия
в слабое векторное взаимодействие
электрический заряд частицы всегда остается одним и тем же,
т. е. не перенормируется сильным взаимодействием.
Предположим, что по аналогии с электродинамикой векторный
слабый адронный ток также сохраняется, т. е.
^(х)
(3.25)
Это предположение, в частности, ведет к равенству векторных
констант р- и p-распадов, т. е. к неперенормируемости вектор-
ной константы Р-распада сильным взаимодействием.
Наглядно неперенормируемость векторной константы р-распада
можно пояснить так. При вычислении распада «одетого» нейтрона
надо учитывать три типа виртуальных сильных взаимодействий:
взаимодействия нейтрона до распада (рис. 15.7, а), протона после
распада (рис. 15.7, б), а также взаимодействие нейтрона и про-
тона посредством обмена адронами (рис. 15.7, в). Однако нейтрон
и протон принадлежат к одному и тому же изотопическому дублету
и их сильные взаимодействия одинаковы. Это приводит к тому,
что вклады всех трех графиков сокращаются, и «одетая» кон-
станта векторного взаимодействия оказывается равной «голой».
Изотопическая структура векторного слабого адронного тока.
Так как векторные электромагнитный и слабый адронный токи
488
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
сохраняются, то можно принять гипотезу о том, что эти токи
объединяются в один изотопический вектор (триплет). Третьей
компонентой этого вектора будет изовекторная часть электро-
магнитного тока, а двумя другими —векторный слабый адронный
ток и его эрмитово сопряженная величина.
Гипотеза об изотриплетном характере векторного слабого
адронного тока приводит к некоторым следствиям. Остановимся
на одном из них — на связи электромагнитных и слабых форм-
факторов нуклонов. В соответствии с (3.7) пространственный
слабый адронный ток перехода нуклона в нуклон состоит из трех
членов:
= й(р2) ff 1 (<72) ъ + 1г (<72)	+ /з (q2) 9ц] «(Pi).	(3.26)
В изопространстве этот ток есть компонента изовектора. Компо-
нентой того же изовектора будет матричный элемент электро-
магнитного тока, определяемый формулой (1.25), гл. 8,
Г» = й (Pi) [Ti (92) Yti+Т^п (92) о^р] и (Р1),	(3.27)
где Tl(q2) и Tlm(q2) — изовекторные формфакторы нуклона.
В изопространстве разные проекции одного и того же вектора
эквивалентны, поэтому (3.26) и (3.27) равны, откуда
Ш) = Т1(Я2), fz(q2) — Tlm(q2), fs(q2) = 0.
Следовательно, гипотеза об изотриплетном характере векторного
слабого адронного тока приводит к связи слабых и электромаг-
нитных формфакторов нуклонов.
В предельном случае малых импульсов (t?2 = 0) формфакторы
заменяются соответствующими константами.
Гипотеза частичного сохранения аксиального слабого адрон-
ного тока. Аксиальный адронный слабый ток А^(х), сохраняющий
странность, не похож на электромагнитный ток и не сохра-
няется. Прямым опытным подтверждением этого является наблю-
дение распада л—>p4-v, который был бы запрещен, если бы
аксиальный ток сохранялся. Действительно, в матричном эле-
менте этого процесса содержится множитель, соответствующий
аксиальному слабому л-мезонному току = /ф (q) q^. Если аксиаль-
М'! (х)
ный слабый адронный ток сохраняется: —-- = 0, то
А* (х) = iq»A*(q) = ifqfa (q) = ifnffl (q) = 0.	(3.28)
т. e. постоянная, определяющая вероятность распада л-мезона,
равна нулю; опыт дает f = 0,94 mn.
Из (3.28) следует, что аксиальный ток будет сохраняться
в пределе, когда масса л-мезона равна нулю. Так как свертка
§ 3. Лептонные процессы с сохранением странности
489
д h
ъ— А„ (х) преобразуется как псевдоскаляр, то дивергенция аксиаль-
ного вектора в общем случае может быть пропорциональна про-
извольной комбинации полей, преобразующейся как псевдоскаляр.
Обычно используют наиболее простую возможность, предполагая,
что дивергенция аксиального тока пропорциональна полю псевдо-
скалярного л-мезона:
^-4(х) = С/п^(х),	(3.29)
где С — неизвестный коэффициент пропорциональности.
Предположение (3.29) называется гипотезой частичного сохра-
нения аксиального тока, или сокращенно гипотезой РСАС (от
английского partial conservation of axial current).
Чтобы найти коэффициент С в (3.29), возьмем от обеих частей
этой формулы матричные элементы между состояниями с протоном
и нейтроном при одинаковых значениях энергии и импульса
(q = pn-Pt> = ty- Учитывая (3.8), имеем
«р А^ип = — Шрр^ (0)	= inijvg! (0) йруйи„, (3.30)
где gi (0) = Pnna — константа слабого взаимодействия аксиального
векторного мезона с нуклоном. При q = pn — РР->~®, если учесть
уравнение (q2 — т^) ф (q) = — /, то
1 . . 1
Cmnupq>un — С —qi Upjun = C	f (q ) йрУ^и^,	(3.31)
где f (q2) = upjun — л-мезонный формфактор нуклона, причем, по
определению, f(q2 = 0) = g^Nn, gNNn — константа лМ-взаимодей-
ствия. Подстановка (3.30), (3.31) в (3.29) дает искомое выраже-
ние для коэффициента С:
q _ ninmNSNNA	(2 22)
Так как аксиальный ток не сохраняется, то аксиальная кон-
станта бета-распада в противоположность векторной перенорми-
руется сильным взаимодействием и становится отличной от кон-
станты р-распада. Как мы уже видели, из опытных данных по
Р-распаду нейтрона следует, что Сд/Си=1,23, т. е. вклад силь-
ного взаимодействия в аксиальную p-распадную константу невелик.
Вклад электромагнитного взаимодействия. Заряженные лептоны
и адроны способны кроме слабого также к электромагнитному
взаимодействию. Поэтому возникает задача одновременного учета
слабого и электромагнитного взаимодействий. Электромагнитное
взаимодействие приводит к двум процессам: 1) испусканию реаль-
ных фотонов — радиационный распад, 2) испусканию и поглощению
490
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
виртуальных фотонов —радиационные поправки. Вычисление этих
эффектов производится способом, аналогичным использованному
в § 2. Существенное отличие заключается в том, что в случае
полулептонных процессов необходимо учитывать электромагнитное
взаимодействие фотонов с адронами, а соответствующая теория
отсутствует.
Мы остановимся коротко на схеме вычисления радиационных
поправок к 0-распаду нейтрона во втором порядке по электро-
магнитному взаимодействию. Диаграммы Фейнмана, учитывающие
эти поправки, изображены на рис. 15.8. Соответствующие им
матричные элементы расходятся как при больших, так и при
малых импульсах фотонов. После перенормировки и устранения’
Рис. 15.8. Диаграммы, определяющие радиационные
поправки к p-распаду нейтрона во втором порядке
теории возмущений по электромагнитному взаимодей-
ствию
инфракрасных расходимостей придем к следующей связи между
значениями экспериментальной (перенормированной) константы
связи G, входящей в (3.22), и «голой» константы связи Go:
0=G.{l-i
6 In —4-31п/-н^-
mP	\2£max
-2,85
(3.33)
Здесь £max — максимальная энергия, выделяемая при Р-распаде,
Л —параметр обрезания (он изменяется от 0 до оо). Параметр
вводится для того, чтобы сделать интегралы конечными. Наличием
этого параметра функция (3.33) существенно отличается от (2.26).
Так как для выбора определенного значения параметра у нас
никаких аргументов нет, то для оценки положим произвольно
Л = М; тогда
G № 1,4029 • 10_ад эрг • см3,
(3.34)
т. е. в этом случае вклад радиационных поправок в р-распад
нейтрона невелик.
Из (2.19) и (3.34) видно, что векторные константы р- и р-рас-
пада, хотя и слегка (~2%), но различаются друг от друга. Это
различие нельзя устранить с помощью радиационных поправок,
если выбрать более или менее разумную величину параметра Л.
§ 4. Лептонные распады без сохранения странности,	491
§ 4. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АДРОНОВ. ЛЕПТОННЫЕ РАСПАДЫ
БЕЗ СОХРАНЕНИЯ СТРАННОСТИ
Процессы с изменением странности. К реакциям, происходя-
щим с изменением странности, относятся распады мезонов либо
на пару лептонов, либо на мезон и пару лептонов, а также рас-
пады барионов на барион и пару лептонов. Диаграммы этих про-
цессов изображены на рис. 15.6, а —в.
Для лептонных распадов адронов с изменением странности
существует несколько правил, которые вытекают из опыта.
Правило |AS| = 1. Первое правило формулируется так:
в слабых лептонных распадах адронов странность S адронов
может меняться только на единицу: AS = ± 1. Это означает,
что не может быть слабых лептонных распадов, в которых стран-
ность изменяется на величину, большую единицы, например на
два. Поэтому запрещены, например, распады Е~-/> п ф- е~ -|- ve,
-|- р.-4-Vn, и т. п. Примеры распадов, разрешенных правилом
|AS| = 1, приведены в § 1.
Правило AQ = AS. Согласно этому правилу разрешены лишь
такие лептонные распады адронов, в которых изменение полного
заряда адронов AQ равно (по величине и знаку) изменению их
странности AS: AQ = AS. Это правило приводит к запрету неко-
торых лептонных распадов странных частиц, например £+-Ап +
-|-e+-|-ve, l?74« + lr'+'vp> K°-^n+ + e~ + ve, К°л+ + р,- +
и т. п. Примеры распадов, разрешенных правилом AQ = AS, при-
ведены в § 1. .
Правило А/ = 1/2. Это правило утверждает, что в слабых про-
цессах с изменением странности (AS=±1) изотопический спин
должен меняться на величину А/ = г/2. Это правило справедливо
с точностью до электромагнитных поправок, так как оно отно-
сится к изменению изотопического спина, который не сохраняется
для электромагнитных взаимодействий. Примеры распадов, раз-
решенных правилом А/ = 1/2, приведены в § 1. Правилом А/ = г/2
запрещены, например, следующие процессы: S+7^’lx+ + 'vu + n»
E~74.£°4-e--|-ve, Е°2+4-е--|-ve и т. п.
Теория возмущений. Матричный элемент рассматриваемых про-
цессов в первом порядке теории возмущений по константе G
слабого взаиг/одействия запишется в виде, аналогичном (3.1),
+	(4.1)
где /ц —слабый лептонный ток, а Хц —слабый адронный ток,
изменяющий странность (короче: странный слабый адронный ток).
Странный слабый адронный ток Хц представляет собой сумму
векторного Уц и аксиального Лц странных адронных слабых токов.
Как говорилось (§ 3), векторный слабый адронный ток Уц, не
изменяющий странности, сохраняется, что ведет к неперенорми-
492
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
руемости векторной константы слабого взаимодействия. Стран-
ный же векторный слабый адронный ток не сохраняется, так как
в него входят слишком разные частицы (например, Ли р; см. также
рис. 15.8). Поэтому странная векторная константа взаимодействия
перенормируется сильным взаимодействием. Иначе говоря, в слу-
чае распадов с изменением странности какая-либо аналогия
с электродинамикой отсутствует.
Вследствие сказанного прямое применение теории возму-
щений к распадам, не сохраняющим странность, приводит к про-
тиворечию с универсальной схемой слабого взаимодействия: для
распадов без -сохранения странности константа взаимодействия
оказывается существенно меньше универсальной константы взаимо-
действия G. Чтобы это проиллюстрировать, вычислим, например,
полную вероятность распада /С'-мезона с изменением странности
К* (91) л° (9г) +е+ (ре) + ve (pv)	(4.2)
и убедимся, что этот распад подавлен по сравнению с соответ-
ствующим распадом л+-мезона (без изменения странности)
л+л° + е++ ve.	(4.3)
Странный слабый адронный ток, входящий в матричный элемент
(4.1) распада (4.2), определяется формулой (3.5). Так как четности
начального и конечного мезонов одинаковы, то отличен от
нуля только странный векторный ток. Умножим (3.5) на
лептонный ток йеуи (1 +?6) Uve, учтем, что ^2 = 9i —9, 11 если
пге — 0, то 9ц,йеуц (1 + Те) uve — тейе (1 + у6) uv = 0; - после этого полу-
чим вместо (3.5):
Vp. = (fi9ip + /292ц) Ф (91) Фг 9г)-
Подстановка последнего в (3.1) приводит к следующему явному
виду матричного элемента для процесса (4.2):
М = у- Q (93) Ф (91) Ф (9г) Pvfl-еУи. (1 +?б) uVe.	(4.4)
Как видно, матричный элемент зависит только от одной неиз-
вестной функции f (<?2).
Вероятность распада процесса (4.2) равна
6fcy = '(2nj6' § 2^”2Е7 2£^ 2ЁГ |М'26(91 — Чг — Ре~ Pv)- (4.5)
Вычислим |Л412, подставим его в интеграл (4.5), произведем инте-
грирование по импульсам электрона, нейтрино и л-мезона и пред-
положим, что f (</2) — константа; в результате найдем полную
вероятность распада (4.2):
(4.6)
£ 4. Лептонные распады без сохранения странности
493
Сравнение этой вероятности с ее экспериментальным значением
(&> = 3,4-10~е с-1) дает f2 = 2,5-10± Соответствующая константа
для распада л+-► л° + е++ ve равна единице. Следовательно,
распад (4.2) действительно подавлен по сравнению с распадом
(4.3).
Аналогичная ситуация имеет место для других распадов, не
сохраняющих странности^
Модифицированная универсальность слабого взаимодействия.
Как видно, включение в анализ распадов,' не сохраняющих стран-
ности, приводит к гипотезе ограниченной универсальности этого
взаимодействия: (V — А)-взаимодействие для различных токов оди-
наково, а константы взаимодействия различны. Полную универ-
сальность можно восстановить, если предположить, что в странный
слабый адронный ток входят не адроны сами по себе, а их
линейная комбинация, т. е.
(Я, S) Н cos 6 + S sin 6,	(4.7)
где Н, S —обычный и странный адроны. Здесь 6 —угол, получив-
ший название угла Кабиббо. Угол Кабиббо — неизвестный пара-
метр; он подбирается таким образом, чтобы и для странных
слабых адронных токов (векторного и аксиального) имелась уни-
версальность слабого взаимодействия.
В соответствии с гипотезой универсального слабого взаимо-
действия выберем константу слабого взаимодействия нового стран-
ного адронного тока Н cos 6 sin 6 равной константе слабого
взаимодействия лептонных токов G, определяемой из р,-распада.
Это дает
Gw = Gcos6, G$ = Gsin6,	(4.8)
причем G// + Gs = G2.
Чтобы определить величину угла 6 для странных аксиальных
токов, сравним константы распадов K±-*-n±+vii> -* Н1- + vn-
Из (4.8) для отношений констант распадов G* и Ся этих про-
цессов имеем | G*/Gjt |2 = tg2 6Л. Подставляя сюда численные зна-
чения Gft и Ся, находим величину угла Кабиббо для странных
аксиальных токов 0Л. Аналогичным образом сравнение констант
распадов (4.2) и (4.3) приводит к величине угла Кабиббо для
странных векторных токов By. В пределах экспериментальных
ошибок углы 6Л и By совпадают: sin бу ?=« sin 6Л = 0,230 ±0,003.
К близким значениям угла 6 приводит анализ других распа-
дов.
Таким образом, с помощью введения одного параметра 6
удается включить в схему универсального слабого взаимодействия
и распады с участием странных токов.
494
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
§ (. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АДРОНОВ; НЕЛЕПТОННЫЕ РАСПАДЫ.
НЕЙТРАЛЬНЫЕ К-МЕЗОНЫ
Нелептонные распады без сохранения странности. Имеется
два основных типа нелептонных распадов без сохранения стран-
ности: 1) распады гиперонов либо на нуклон и л-мезон, либо на
другой гиперон и л-мезон, 2) распады заряженных и нейтральных
К-мезонов либо на два, либо на три л-мезона (примеры см. в § 1).
Для нелептонных распадов без сохранения странности имеет
место правило ДХ = ±1 и Д/ = 1/2.
Рассмотрим в качестве примера распад гиперона на барион
и л-мезон, например
Л(р1)-*р(р2) + л-(9).	(5.1)
Матричный элемент этого процесса не разбивается на произведе-
ние двух токов, а представляет собой сумму независимых скаля-
ров и псевдоскаляров, которые можно образовать из волновых
функций частиц, их импульсов и матриц у. Для процесса (5.1)
можно образовать один независимый псевдоскаляр й (р2) и (Pi) ф (?)
и один скаляр й (р2) у6 и (Pi) Ф (?) Поэтому для матричного эле-
мента имеем
М = ^-Ой(р2)[71(0 + 72(ОТ5]«(Р1)Ф(?).	-	(5.2)
Поскольку энергия, выделяемая при распаде гиперонов, мала по
сравнению с массой нуклона, то в (5.2) можно перейти к нереля-
тивистскому пределу. Подставляя в (5.2) формулу (3.19) гл. 1,
получаем в системе покоя распадающегося гиперона (pi = 0)
М=р^Ф+[а + И°'п)]фФ(?)>	(5.3)
где п = т^т, а = К2М1(Д2+М2)71(/), Ь = ’|/2Л41(£2-М2) 72(/).
I F2 I
Переход к нерелятивистскому приближению заключается в том,
что двухкомпонентные спиноры перестают зависеть от импульса.
В соответствии с (5.3) для ’ вероятности распада находим
tiy^Sp[a + fe(on)]pi[a + b(on)]+p2.	(5.4)
Здесь pi, р2 — поляризационные матрицы плотности начального и
конечного барионов: pi,2 = у (1 + oPi,2), где Pi, Р2 — поляризация
начального и конечного барионов. Численное значение вероятности
распада нас не интересует, поэтому коэффициенты мы не выпи-
сываем .
Приведем два частных случая формулы (5.4).
1.	Пусть начальный гиперон поляризован, а поляризация
конечного нуклона не измеряется. В этом случае угловое распре-
деление нуклонов (асимметрия распада) определяется формулой
£ 5. Слабое взаимодействие адронов, нелептонные распады	495
w (n, Pi)	1 + a (пРх),
< <	a*b-\-b*a
где коэффициент асимметрии се —	•
2.	Усреднение (5.4) по поляризациям начального гиперона дает
ьу(п, Р2)^>аа*+ bb*+ (a*b + b*a) (пР2),
т. е. степень продольной поляризации нуклона распада опреде-
ляется тем же коэффициентом а. Однако измерение степени про-
дольной поляризации нуклонов позволяет определить не только
величину коэффициента а, но и его знак.
Из двух последних формул следует, что при нелептонном
распаде гиперона нуклоны вылетают асимметрично и продольно
поляризованы. Оба эти эффекта, обусловленные отсутствием
Р-инвариантности, наблюдаются на опыте. Это означает, что
при нелептонном распаде адронов Р-инвариантность отсутствует,
как в случае распадов лептонов (см. § 2) и лептонных распадов
адронов (см. § 3).
Нейтральные Af-мезоны. Остановимся подробнее на свойствах
нейтральных №-частиц и их античастиц №. Эти мезоны зани-
мают по отношению к слабому взаимодействию выделенное поло-
жение по сравнению со всеми другими элементарными частицами.
Электрический и барионнный заряды частиц № и № равны
нулю. Они отличаются лишь гиперзарядом Y (У =	1 для №
и У = —1 для №). Но в слабых взаимодействиях гиперзаряд
не сохраняется. Поэтому по отношению к слабым взаимодейст-
виям частицы № и № тождественны; в частности, они могут
переходить друг в друга.
Все частицы можно разделить на две группы. К одной при-
надлежат такие частицы (протон, электрон, гиперон и т. п.),
античастицы которых отличаются какими-либо строго сохраняю-
щимися квантовыми числами (электрический, барионный заряды
и т. п.). К другой группе принадлежат частицы, тождественные
своим античастицам, или истинно нейтральные частицы (например,
фотон, л°-мезон —см. § 2, гл.2). Нейтральные №-мезоны нахо-
дятся на стыке этих двух групп частиц: № и № отличаются
значениями странности, однако это отличие не абсолютно, оно
существует по отношению к сильному взаимодействию и пропа-
дает по отношению к слабому взаимодействию. Обладая опреде-
ленным гиперзарядом (или странностью), №- и №-мезоны не
имеют определенной CP-четности: при CP-преобразований К°
переходит не в №, а в №:
СР | №> = | К°), СР | №> = | №>.	(5.5)
Определенной CP-четностью обладает линейная суперпозиция №
и №:
KJ=7!	™=fl	(5‘6)
496
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
При СР-преобразовании № перейдет в Д°, а — в Д°, и в ре-
зультате состояние Д{ перейдет само в себя, а Да —само в себя
с обратным знаком:
СР|Д}> = |Д?>, СР|Д§> = —!Д§>.	(6.7)
Следовательно, Ki обладает положительной, а Да — отрицатель-
ной СР-четностыо; но Д} и Да не имеют определенного значения
странности.
Если CP-инвариантность существует, то Д}-мезон может рас-
падаться лишь на два л-мезона (их суммарная СР-четность
положительна):
,л+ + л-
Д5<
^Л0 + л°,
а Да —на три л-мезона (их суммарная СР-четность отрицательна):
, л+ + л~ + л°
Д§<
'‘л0 Ц- л° Ц- л°
Оба типа распадов наблюдались на опытах, причем оказалось,
что время жизни Д}-мезона (0,86-10-10 с) меньше времени жизни
с). Поэтому Д}- и Да-
еще соответственно ко-
долгоживущим К°-мезо-
-+К

Рис. 15.9. Схема уста-
новки для регенерации
К$-мезонов
Да-мезона (5 10-8
мезоны называют
роткоживущим и
ном.
Различие, во временах жизни Д{- и Д8-
мезонов ведет к интересному явлению —
регенерации короткоживущих Д}-мезонов.
Пусть пучок л~-мезонов падает на пластин-
ку А, расположенную в камере (рис. 15.9).
В пластинке вследствие реакции л--|-р->
->-Д0 + А0 образуются Д°-мезоны. Проследим
за судьбой Д°-мезонов, полетевших направо
от пластинки А. Эти Д°-мезоны представляют собой суперпозицию
Д}- и Да-мезонов: Д° (Д} +Да). Через несколько десятков
сантиметров практически все короткоживущие Д?-мезоны, содер-
жащиеся в пучке Д°, распадутся и останется чистый пучок долго-
живущих Да-мезонов. Но последние представляют суперпозицию Д°-
и Д°-мезонов: Да = — (Д° — Д°). Поэтому, если исходный пучок
имел странность S = + 1 (Д°-мезоны), то^геперь в пучке появятся
также частицы со странностью S = —1 (Д°-мезоны). Поставим на
пути долгоживущих Да-мезонов другую пластинку В (рис. 15.9).
В отличие от Д°-мезонов, Д°-мезоны интенсивно поглощаются
при столкновении с ядрами. Предположим, что пластина В
§ 6. Высшие порядки теории возмущений	497
поглотила все №-мезоны и пропустила все №-мезоны. Это озна-
чает, что за пластинкой В вновь возникнут (регенерируются)
короткоживущие /G-мезоны; причем их интенсивность будет
в четыре раза меньше интенсивности /G-мезонов вблизи
пластинки А. Таким образом, схему регенерации короткоживу-
- щих /G-мезонов можно изобразить так:
распад	поглощение
1	к-0	1	1	„	.	f?0 I
§ 6. ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ 'ВОЗМУЩЕНИЙ
Неперенормируемость четырехфермионного взаимод ействия.
До сих пор мы рассматривали процессы, обусловленные слабым
взаимодействием, лишь в первом порядке теории возмущений по
константе G слабого взаимодействия. В связи с этим возникает
задача учета высших приближений теории возмущений. В прак-
тическом плане эта задача не очень существенна: константа G
невелика (G^10*5M2), поэтому поправки высших порядков
будут столь малыми, что их на опыте обнаружить очень трудно.
Однако имеется четкая теоретическая проблема: четырехферми-
онное взаимодействие неперенормируемо (см. гл. 5. § 3), поправки
высших приближений по G представляют собой интегралы, кото-
рые при больших энергиях становятся бесконечными (расходя-
щимися), т. е. физически бессмысленными. Это можно сформу-
лировать на другом языке. Рассматривая рассеяние нейтрино
на электроне (см. § 2), мы видели, что сечение этого процесса,
определяемое формулой (2.28), растет с энергией нейтрино
о^со2,	(6.1)
т. е. при й->оо сечение о становится бесконечным (со —полная
энергия нейтрино в системе центра масс). При получении этой
формулы мы предполагали, что слабое взаимодействие: 1) ло-
кально, 2) настолько мало, что можно пользоваться теорией
возмущений. Полученная нами зависимость от энергии указы-
вает на то, что при высоких энергиях эти допущения несовме-
стимы, так как они приводят к бессмысленному результату.
Если эффективное взаимодействие двух фермионов локально,
то в рассеянии может принимать участие только s-волна. Из
унитарности матрицы рассеяния следует, что верхняя граница
X2
сечения в этом случае будет равна 4л у (здесь % —длина волны
налетающей частицы). Следовательно, должна существовать такая
критическая энергия <окр, начиная с которой формула (6.1) про-
тиворечит свойству унитарности матрицы рассеяния. Энергия
498
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонови адронов
<окр определяется соотношением
°2{0кр 4лХ2.
аЧ>~ 2л ~ 2 ’
так как для ультрарелятивистских частиц %^2/Е, то
ft>Kp = 2’|/‘i=2’|/'10® ГэВ.
(6.2)
(6.3)
,-----—У
у-*------>-----:—е
Рис. 15.10. Графическое
изображение взаимодей-
ствия 1Г-мезона со сла-
быми токами
Таким образом, при энергии ~ 103 ГэВ (в с. ц. м.) формула
(6.1) полученная на основе представления о локальном взаимо-
действии, заведомо неправильна. Чтобы исправить ситуацию,
надо отказываться от исходных предпо-
ложений. Возможны следующие варианты:
1) слабое взаимодействие локально, ио
нельзя пользоваться теорией возмущений;
2) можно пользоваться теорией возмуще-
ний, но слабое взаимодействие нелокально
и, наконец, 3) слабое взаимодействие не-
локально и нельзя пользоваться теорией
возмущений. Так как варианты, связан-
ные с отказом от теории возмущений,
ведут к непреодолимым трудностям, то остановимся подробнее
на варианте, в котором применима теория возмущений, но взаимо-
действие нелокально. Этот вариант основан на гипотезе проме-
жуточного мезона.
Промежуточный векторный мезон. Представим себе, что слабое
взаимодействие, которое при малых энергиях выглядит как
контактное взаимодействие двух токов (см. рис. 15.1, б), па
самом деле обусловлено обменом тяжелым промежуточным кван-
том — W-мезоном (рис. 15.10). Слабый ток представляет собой
вектор, поэтому 1Г-мезопы должны быть векторными. Слабый
ток меняет электрический заряд AQ = ± 1, следовательно, W-
мезон должен быть заряженным.
Слабое взаимодействие сведется к взаимодействию слабого
тока с заряженными векторными мезонами; гамильтониан слабого
взаимодействия запишется так:
^'1 (x)=gwja(x)Wa(x),	(6.4)
где gw~ константа взаимодействия ТГ-мезона со слабым током;
Wa — волновая функция 1Г-мезонного поля.
В теории с промежуточным 1Г-мезоном матричный элемент
процесса рассеяния нейтрино на электроне во втором порядке
по константе gw выглядит следующим образом (рис. 15.10):
Af = gWjaja „2 — gw (Й£ОаЦу) (Й-vOd^e) 02 >	(6.*>)
ч —ч w
£ 7. Нарушение CP-инвариантности
499
где q — импульс, переносимый 117-мезоном; mw— его .масса; Оа —
= Та(1+Тб). Считается, что масса 117-мезона велика. Поэтому,
с одной стороны, для реальных процессов, когда muz^X?2, выра-
жение (6.5) переходит в матричный элемент четырехфермионного
взаимодействия с константой ^=С = ^/тЬ-. С другой стороны,
для виртуальных процессов, когда q2 ->оо, матричный элемент
(6.5) убывает.
Можно было бы надеяться, что в теории с промежуточным
мезоном расходящихся интегралов не появится. К сожалению,
при более детальном рассмотрении такая надежда оказывается
необоснованной: теория с векторной частицей с ненулевой массой
в свою очередь оказывается неперенормируемой. К тому же,
несмотря на многочисленные попытки, до сих пор не удалось
экспериментально обнаружить 117-мезон, который играет роль
«переносчика» слабых взаимодействий (экспериментальный ниж-
ний предел массы 117-мезона 2,3 ГэВ).
§ 7. НАРУШЕНИЕ СР-ИНВЛРИАНТНОСТИ
Распад нейтральных Д-мезонов. До сих пор при изложении
физики слабых взаимодействий мы предполагали, что имеет
место СР-инвариантность. Сравнительно недавно экспериментально
было обнаружено, что существуют такие распады нейтральных
/С-мезонов, для которых СР-инвариантность отсутствует.
Как мы уже говорили (см. § 5), если СР-инвариантность
существует, то Лл-мезон может распадаться лишь на два л-ме-
зона, а Да-мезон на три л-мезона:
,л+Ц-л’	л+4-л--|-л0
Д2°<
^'Л0 + л0,	^Л° + л° + л°.
Если СР-инвариантность отсутствует, то Ал-мезон может также
распадаться на два л-мезона, а Ад-мезон —на три л-мезона:
,Л+-|-Л“	,л+ +л~-|-л°
^л° л°,	'‘Л0 л° л°.
Такие распады действительно наблюдаются на опыте, и это
означает, что в данных распадах СР-инвариантность нарушается.
Эффект нарушения CP-инвариантности очень мал: например,
только 0,16% всех /С"-мезонов распадается на л+-|-л~-мезоны,
а отношение вероятностей распадов Ал -> л+ -|- л~ и Ki -> л+ + л-
равно всего (3,69 ±0,15)-10-6.
При наличии Р-инвариантности частицу можно представить
наглядно в виде «гвоздя», а при наличии СР-инвариантности —
в виде «винта», причем длина этого винта для частицы и анти-
500
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
частицы одинакова, так ййк в рамках СР-инвариантности между
частицей и античастицей существует лишь относительное различие
(см. § 2). Если CP-инвариантность отсутствует, то частице
и античастице соответствуют разные «винты» не только по на-
резке, но и по длине, так что частицы и античастицы разли-
чаются между собой абсолютно. Поэтому будут различными
вероятности, например, лептонных распадов ^-мезонов, в кото-
рых образуются частицы и античастицы
,n+ + e~ + ve	л+ + р,- +
Ю''
4n- + e*-+ve, чл- + р+ + Уй,
т. е. в случае отсутствия СР-инвариантности, вероятность обра-
зования частиц с различными зарядами (е~ или е+, р~ или р+)
будут отличаться друг от друга (зарядовая асимметрия). Заря-
довая асимметрия в указанных нелептонных распадах /Са-мезо-
нов наблюдалась на опыте.
Пока нарушение СР-ипвариантности экспериментально было
обнаружено лишь в распадах Ki- и /G-мезопов (перечисленных
выше и некоторых других).
Феноменологический анализ. Природа нарушения СР-инварп-
антности пока не выяснена, хотя было предложено большое
количество моделей. Поэтому в настоящее время можно произ-
вести лишь феноменологический анализ распадов, т. е. выразить
амплитуды различных распадов Ki-, /<2-мезонов через неизвест-
ные параметры, характеризующие нарушение СР-инвариантности,
а затем определить эти параметры с помощью опытных данных.
Если CP-инвариантность нарушается, то в соответствии
с СРТ-теоремой (см. гл. 2, § 3) в принципе существует две
возможности: 1) СРТ-инвариантность сохраняется, тогда 7-инва-
риантность нарушается; 2) СРТ-инвариантность нарушается,
тогда Т-инвариантность сохраняется.
Существующие в настоящее время опытные данные (равенство
масс и полных времен жизни частиц и античастиц) отвергают
вторую возможность. Поэтому мы будем предполагать, что СРТ-
инвариантность сохраняется, а У-инвариантность нарушается.
Волновые функции, собственные значения. Если
СР-ипвариантность существует, то CP-оператор коммутирует
с оператором гамильтониана Hw слабого взаимодействия. Поэтому
Ki- и /^-состояния являются собственными функциями опера-
торов Hw и СР, а собственные значения оператора СР равны ± 1.
Если CP-инвариантность отсутствует, то гамильтониан сла-
бого взаимодействия H'w уже не будет CP-инвариантным, й его
собственные функции становятся отличными от /С}- и К1- состо-
яний. Так как нарушение СР-инвариантности невелико, то СР-
неинвариантные поправки к собственным функциям и собствен-
ным значениям оператора H'w также будут небольшими. Если
£ 7. Нарушение СР-инвариантности
501
бы вид гамильтониана Н'w был известен, то можно было бы
искать явный вид его собственных функций и собственных зна-
чений. К сожалению, вид гамильтониана H'w нам неизвестен.
Поэтому приходится ограничиться более скромной задачей —
найти вид собственных функций и собственных значений, выра-
женных через неизвестные параметры, характеризующие откло-
нение от СР-инвариантности.
Рассмотрим сначала поведение К°- и А^-мезонов в вакууме.
Нарушение СР-инвариантности приводит к тому, что становятся
возможными переходы №-мезонов в №-мезоны_и наоборот. Урав-
нение, описывающее переходы №-►№, №-»-№, №->№,
К°-+К°, имеет вид
dt \1 W \1 ^°>/
(7.1)
где ф =	— двухкомпонентный спинор, его верхняя компо-
нента-амплитуда состояния К°, а нижняя — состояния К°.
Представим матрицу Л так:
*»-(£ £)• <7-2’
где
Х+ = — (im+4-T+),
Х_ = —
2i± = —(i/n±-)-T±),
Хт = —(imT + yT).
(7.3)
В общем случае матрицу Л можно разделить на эрмитову и анти-
эрмитову части:
Л№ = Л4,* —(7.4)
при этом обе матрицы Mlk и Г/Л — эрмитовы:
Mlk = M*ki, Г& = ГЛ/.	(7.5)
Согласно (5.5) CP-преобразование меняет в этих матрицах ин-
дексы: 1->2, 2->1. Обращение времени переставляет матричные
индексы начального и конечного состояний. Поэтому требование
СРР-инвариантности приводит к равенствам: М11 = М22, Г1Х = Г22.
Требование СР-инвариантности привело бы к дополнительному
равенству:
М12 = Л121, Г12 = Г21.	(7.6)
Из (7.5) и (7.6) следует, что если бы существовала СР-инвари-
антность, то Л412 и Г12 были бы вещественными.
Будем искать решение уравнений (7.1) в виде
/С\ и
Ф = \С/ ’	-
502
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
Тогда собственные значения равны
Xs = Х+-|-Х+гр, X/, = Х_— Ху ^ ,	\7,7)
где г2 = ^, р = т]+]Л1 + т]2, T] = 2^Z2?_.
Собственные значения комплексны; их вещественные части
определяют поправки к массам, а мнимые — коэффициенты зату-
хания (или обратные времена жизни) частиц Ks и К1.
Собственные функции, соответствующие найденным собствен-
ным значениям, имеют вид
/1\ / 1 \
ips = Os, фл = ( \OL,	(7.8)
\ГР/	/
' Р7
где Os,l — ^s'l> ^s,l~— (ims, l + Ts, l)-
Иначе говоря, если СР-инвариантность отсутствует, то соб-
ственные функции представляют собой суперпозицию К°- и /^-со-
стояний:
|7<s> = i№> + /-p[/С°>, | /а> = |К°>-f |К°>,	(7.9)
=('?)• 'МУ-
Так как нарушение СР-инва-
риантности невелико, то эти состояния близки соответственно
к |№> и \К1),
Подчеркнем, что | Д1) и | Ks)- состояния, обладая определен-
ными значениями массы (mL, ms) и времени жизни (tl, ts), не
имеют ни определенного значения странности, ни определенного
значения CP-четности. Эти состояния в вакууме не переходят
друг в друга.
_ Если в момент времени / = 0 мезон находился в К°- или
/<0-состояниях, то к моменту времени t (измеренному в системе
покоя №-мезон а) эти состояния перейдут в следующие:
<	№ | К° (/)> = (1 + Р2)"1 (Os + p2Oz),
<	№ | К° (/)> = (1 + р2)-1 рг"1 (Os - OL),
<	^o1/(o(Z)> = (1+p2)-ipr(()s_()L)>
<	X»|Ko(0> = (1 + p2)-i(p2Os+OL).	,
Такой же анализ можно провести, если выбрать за исходные
не К°, К°, a Кг и /^-мезоны.
Уравнение, описывающее переходы Kl -> Kl, Kl -> Kl, Kl Kl,
Kl^Kl, имеет вид
dtW)/ \\К1)Г
§ 7. Нарушение СР-инвариантности
503
Здесь ф = (	1 ) — двухкомпонентный спинор, верхняя компо-
\1 ^8//
нента которого — амплитуда состояния а нижняя — |
Если положить А = 1	, то, используя (5.6), находим:
\Л21 Л2 /
2Zi = (л। 4~ А_) 4~ (7-1 4-	» 2A.J2 (^ь — 7 ) — (^ >- — 7
2л2 = (Л.+ 4- А_) — (^± 4- >)’ 27-21 = (^+ — А._) 4- (Л.+ — К,),
где 1+, 1_, U и определяются формулами (7.3).
Если СРГ-инвариантность существует, то Z+ = Z_, и Z12 = — X2i-
Удобно записать
Zi = — (i/ni4~Ti). ^2 — — (1'т24_Тг)> ^12= — i (t/ni24-Ti2)
или, в матричной форме,
Л = — (t/R4-y) = — i
mi
im^i
im12
ГП2
Ti
.Г?21
tTwV
?2 /_ ‘
При такой записи tnt, у; — действительные числа. Дополнитель-
ный множитель i в Zi2 появился потому, что выражение =
==^(Д°-Д0) антиэрмитово, а Д1 = р=(Д° 4-Я0) —эрмитово.
Собственные значения (комплексные) равны
ЧI = - (ims, L 4- Ts, г) =	±	+ z21Z12
(7.И)
Если |A12 !<|Ai —Z2|, to msr^mlt ys^yi, mL~m2, У1.^Уг.
Соответствующие (7.11) собственные функции представляют собой
суперпозицию Д?- и Да-состояний:
|Д$> = Ю4-е|Д£>,
|ДО = 1^>4-е!Д5>,
(7.12)
(7.13)
где е = —,	~ — i----Д’12—__. Комплексный
ла—Л1—al	nt!—mz+iyt—iy2
параметр е описывает нарушение СР-инвариантности в волновой
функции Д°-мезона. Как видно, параметр е зависит от разности
масс Д’?- и Да-мезонов и разности их ширин распада.
Если CP-инвариантность сохраняется, то е = 0, и K°s совпа-
дает с Д;, a KL — с Да.
Амплитуды Д?.^-2л распадов. На опыте измеряют не
сами амплитуды Д2.->-2л, а их отношение к амплитудам распада
Д^^2л:
0+л | Kfy	(п°п° | Kfy
T)+- = (л+л- |	’ 11оо==(л<>лО|К^)-
(7.И)
504
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адроноь
Найдем выражение величин i]+_ и т)00 через параметр е. I Ipn
этом будем учитывать не только пространственную, но и изото-
пическую структуру амплитуд. Система двух л-мезонов, нахо-
дящихся в s-состоянии, с полным зарядом, равным нулю, имеет
два изотопических состояния:
-	- /Iv, +	V, -
где 4%, Ч^ — волновые функции, описывающие стоячие волны
с изотопическим спином / = 0 и 2. Как следует из опыта, для
Ks-мезона доминирующим является состояние Чф,, т. е. (Чф, | Ks)
><ЧМ^>.
В сильных взаимодействиях странность сохраняется, поэтому
вектор состояния |К°) можно умножить на произвольную фазу
| №)	1 К0') = eia | №), при этом для античастицы | К0') — е~‘а |
Тогда CP\K°') = eiia\K°').
Различные значения фаз а будут соответствовать фазам мат-
ричных элементов переходов № и № в другие частицы (л-ме-
зоны, лептоны и т. п.). Удобно выбрать фазу а такой, чтобы
(Ч'д | К0’) — (4% I К0). В этом случае состояние Kf = -^ (К0' — №)
V
не будет переходить в
<	Т0|№'> = 0.	(7.15)
Следовательно, CP-нечетный переход Кз-^лф-л^-о можно выделить.
В дальнейшем мы будем предполагать, что условие (7.15) вы-
полняется. В результате KL может переходить в Ч^ только за
счет переходов K2-^Ki и Кп,-+К2. Если обозначить Д(| =
= (4f0|Ki), то в силу соотношения (7.13) найдем
<	ЧГО | К1> = еЛ0.
Рассмотрим теперь переходы в состояние с изотопическим
спином / = 2. Пусть отличны от нуля амплитуды (Чг21KJ) п
<ЧГ2| К2>, а <Чго|К2> = 0. Если определить <4f21 К°> = -U А2,
г *
(Чг21 №)	Л2, то согласно (5.6) имеем
<	11Г2|К;>==4(Л2 + А*) = КеЛ2,
<	ЧГ2|К§> = 4(Л2-Д:) = 11шЛ2.
В случае переходов не в стоячие, а в расходящиеся волны
Чг/ амплитуды надо умножить на соответствующие фазовые мно-
§ 7. Нарушение CP-инвариантности
505
жители:
<	^01 №> = Аое/ф», <Т£ | Ki) = Re А^-,
<	^1№> = 0, <^|№> = »'1тА2е'ф«,
где фо и <р2 — фазы лл-рассеяния в состояниях с изоспином/ = О
и 2 (при энергии в с. ц. м., равной массе №-мезона). Тогда, если
пренебречь членами высших порядков, амплитуды распадов
Кл15->2л запишутся в виде:
<	л+л-1 Ki) = 2 У1 Аое^ +	Re А2е^,
(л°л° | Ks) = — j/" 3 Аое'ф» +1/”Re А2е‘^,
(л+л~ IК1) = е ( 2j/"у Лое‘Ф“ 4“	К ^г^14’2) + j/" з I™ Л2е'ф*,
<	л°л° i KL) =
_	= е	Лое'41» + Re Лге'ч12) + i Im Дге'41'
С помощью этих амплитуд, если предположить, что Re А2 Ао,
величины i]+_ и i]oo выражаются через параметр е следующим
образом:
/л+л-|./<9\	/лРлР1К?\
Т)+- = (л+л-|К^) =е+е> Лоо= ^лоло ।	=8—26,	(7.16)
где 6 = i	) с/(ф2—фо). Величина 6 характеризует нарушение
CP-инвариантности при переходе в состояние с изоспином I — 2.
Величина 6 зависит от разности фаз лл-рассеяния в состояниях
с изотопическим спином / = 0 и 2.
Лептонные распады Дь-мезонов. Аналогичным обра-
зом, учитывая, что | AZ> = |/<2>+s|/<?>=— [(1 + в) | К0)—(1— е)| А0)],
найдем для отношения лептонных распадов /('(.-мезонов:
to (K°L -> е ven+)
tin (K^-^e+v^-)
(J+e)g*-(l-E)f* 2
(1 + e)/—(1—e)g
(14-2e) x*—1
1 +2e—x
|2
1 — 4 Re e
1 — | x |2
1 + | x I2—2 Rex
где x~^, x*=^, f И g — константы распадов A0-^e+ve,n~,
К0e+veir, f* и g* — константы распадов №-^-с_тел+, №-►
-> е_т£л+.
Таким же образом можно выразить через неизвестные пара-
метры амплитуды других распадов К2- и /CJ-мезонов.
506
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов
Опытные величины. Из'(7.16) видно, что для определе-.
ния параметров е и 6, характеризующих нарушение СР-инвари-
антности, надо знать величины т)+_ и i]00; в последние, в свою
очередь, входят разности масс Kl- и Ks-мезонов Ат, ширин Г5,
ГУ, фаз ф0, <р2. Все эти величины определяются эксперимен-
тально (из различных независимых опытов). Будем считать зна-
чения Ат, Г$, Ti, ф0, ф2 известными и остановимся на опытах
по определению т)+_, Цоо-
Поскольку i]+_ и т]оо — комплексные величины, то запишем их
в виде произведения модуля на фазу: т)+_ = | т]+_ | е'ф+-, Цоо -
= | т)оо | Значение модулей дается непосредственным измерением
отношений:
W (Кь ”*л+л )	w (Kf, ”* л°1^))
te> (Kg-> л+л-) И w (К g -> лРл»)
Величины фаз ф+_, ф00 можно определить наблюдая, напри-
мер, интерференционную амплитуду распадов /Сь->2л и/С&->2л
в вакууме. Пусть в момент времени / = 0 имеется пучок Д1-мезо-
нов. В результате регенерации (см. § 5) в таком пучке появятся
Ks-мезоны. Они распадаются на два л-мезона, (л+л~ или л°л°).
Если СР-четность нарушается, то /С^-мезоны распадаются на
такие же два л-мезона. Так как амплитуды распада Ks и Д2.-ме-
зонов на два одинаковых мезона когерентны, то эти амплитуды
интерферируют. В этом случае вероятность распада на 2л-мезона
пропорциональна времени:
w (2л) -1 Os +	|2 ~ e~rst 1 т) [2е~Гь< ±
± 21 т) | е 2 ^s+I?L^ cos (Ami — ф),
где, например, в случае К ->-л+л~-распада	= ф = ф+_.
Измеряя кривую распада Дь->-2л и подставляя известные,
опытные значения для |т]|, Ат, Г$, ГТ, получаем значения иско-
мых фаз ф.
Другой возможный способ наблюдения интерференции Kl- и
Ks-распадов состоит в том, что на пути К£-мезонов помещается
слой вещества (регенератор). Фазу ф+_ можно определить также
из измерений зарядовой асимметрии в лептонных распадах Kl-ме-
зонов.
С помощью опытных значений параметров | т)+_ |, | т)оо |, ф+_, фоо
можно определить значение реальных и мнимых частей величин
е и 6. Пока не все величины удалось определить на опыте с хо-
рошей точностью, поэтому не удается найти с хорошей точностью
и значения е и 6.
Часть V
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
И УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
Переходим к применению группы SC'3 к сильному, электро-
магнитному и слабому взаимодействиям. Сначала (гл. 16) мы при-
меним группу SU3 для классификации элементарных частиц и
получения соотношений между сечениями процессов. Затем (гл. 17)
изложим суть метода алгебры токов и получим с его помощью
два токовых правила сумм.
Глава 16
УНИТАРНАЯ СИММЕТРИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
Напомним основные понятия теории групп на примере группы
вращений трехмерного пространства.
Группа вращений трехмерного пространства. Рассмотрим все
вращения трехмерного пространства вокруг фиксированной точки
О, которую будем считать началом координат. Любое вращение
можно представить в виде произведения трех последовательных
вращений вокруг ортогональных осей Oxlt Ох2, 0х3 на углы 61,
62, 63. При вращении вокруг оси Oxi на угол координаты
хь Ха, х3 преобразуются следующим образом:
х, = Xi -J- 0х2 + 0х3;
j< = 0x1 + cose1x2 + sine1x3; _	(1,1)
х3 = 0хг — sin 6гх2 -|- cos брсз.
Это вращение можно характеризовать с помощью матрицы
/1	0	0 \
g0i=IO cossin6.1 j.	(1.2)
\0 —sinOj cos 61/
Аналогичным образом запишутся матрицы, характеризующие вра-
щение вокруг осей Ох2 и 0х3:
/ cos е2 о sin е2 \	/ cos е3 sin е3 о\
£& = (	0	1	0	, ge3=l — sin63_cos63 Ob (1.3)
\— sin е2 о cos е2/	\ о 0 1/
508
Глава 16. Унитарная симметрия
Чтобы получить матрицу вращения вокруг произвольной оси,
надо перемножить матрицы (1.1) —(1.3).
Совокупность всех вращений трехмерного пространства обла-
дает следующими свойствами.
1.	Два последовательных вращения (произведение вращений)
есть снова вращение; произведению вращений соответствует
произведение матриц, которое снова является матрицей того же
типа.
2.	Среди вращений имеется такое, при котором пространство
переходит само в себя (единичное вращение); такому вращению
соответствует единичная матрица.
3.	Каждому вращению g можно сопоставить обратное враще-
ние g~\ которое задается углами (— 6/). Произведение исходного
и обратного вращений эквивалентно единичному вращению:
ggT1=l. Обратному вращению соответствует матрица g-1, обрат-
ная исходной.
Совокупность вращений, обладающих тремя перечисленными
свойствами, образует группу вращений; матрицы вращений об-
разуют также группу.
Группой называется множество элементов G, которое удов-
летворяет следующим условиям.
1.	На множестве G определено групповое действие — назовем
его условно «умножением», — ставящее в соответствие каждой паре
элементов fug некоторый элемент h из этого же множества;
это записывается так: fg = h. Элемент h называется произведе-
нием элементов fug. Произведение fg, вообще говоря, зависит
от порядка fug.
2.	Множество содержит единичный элемент /, т. е. такой,
что для любого элемента f из G выполняется соотношение
= =
3.	Наряду с любым элементом f множество G содержит
элемент f-1, обратный данному, т. е. такой, что
(1.4)
Если число элементов группы конечно, то группа называется
конечной, в противном случае группа называется бесконечной.
Группа трехмерных вращений бесконечна.
Если элементы группы могут принимать дискретное число
значений, группа называется дискретной, если непрерывное число
значений — непрерывной. Группа трехмерных вращений непре-
рывна.
Число независимых параметров, которые определяют группу,
называется порядком группы. Группа трехмерных вращений —
третьего порядка (ее независимые параметры 6П 62 , 63).
Порядок матрицы преобразования (двухрядная, трехрядная
и т. п.) определяет размерность группы. Размерность группы
трехмерных вращений согласно (1.2) и (1.3) равна трем.
§ 1. Основные понятия теории групп
ПО!)
Вообще говоря, порядок группы и ее размерность различны;
совпадение этих характеристик в случае трехмерных вращений
случайно (например, порядок группы Лоренца равен шести,
а размерность — четырем).
Непрерывные группы конечного порядка (т. е. с конечным
числом параметров) называются группами Ли. Группа трехмер-
ных вращений является примером группы Ли.
Алгебра Ли группы трехмерных вращений. Матрицы (1.2),
(1.3) характеризуют вращение трехмерного пространства на ко-
нечные углы.
Удобно изучать бесконечно малые вращения и соответствую-
щие им матрицы. Чтобы получить вид матриц бесконечно малых
вращений, разложим каждый элемент матрицы конечного враще-
ния в ряд Тейлора по углам еъ 62, 63 и удержим члены первого
порядка малости. Например, для матрицы g01, имея в виду (1.2),
имеем
/О О О
(1.5)
Матрицы бесконечно малых преобразований координат назы-
ваются инфинитезимальными операторами или генераторами
группы', Аг—-один из генераторов группы трехмерных вращений.
Аналогично найдем два других генератора группы, соответст-
вующих вращениям вокруг осей Ох2 и 0х8:
Az — i
( 0 0 1\
ООО),
1 0 0/
/ 0 1
A3 = i — 1 0
\ 0 0
0\
0
О?
(1.6)
Число генераторов группы равно порядку группы, т. е. числу
независимых параметров группы. Непосредственными вычисле-
ниями можно убедиться, что генераторы группы вращений
удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Aj, А2]- = AjA2— AzAi — iAgi
[A-г, A3]_ = iAp, [A3, Aj]_ = iA2.
(1.7)
Совокупность генераторов Alt А2, A3 группы трехмерных
вращений обладает следующими свойствами: коммутатор двух
генераторов группы, сумма двух генераторов группы, произве-
дение генератора группы на любое число а выражается снова
через генераторы той же группы.
Совокупность генераторов Alt А2, А3, обладающих перечис-
ленными свойствами, образует алгебру Ли группы трехмерных
вращений.
510
Глава 16. Унитарная симметрия
Алгеброй Ли группы Ли называется множество элементов N,
которое удовлетворяет следующим условиям:
. 1. Если X и У —элементы множества N, то сумма X-J-У
и произведение аХ (где а —любое число) снова принадлежат N.
2. Коммутатор двух элементов X и У множества N выра-
жается снова через элементы множества N.
3. Коммутаторы элементов множества N удовлетворяют соотно-
шениям
[X У]_ + [УХ]_ = 0, [X (У + Z) ]_ = [X У ]_ + [XZ]_,
[X [yz] ]_+[У [ZX] ]_+[Z [ХУ] ]_=о (соотношение Якоби).
Подчеркнем, что для алгебры Ли существование обратного
и единичного элементов не требуется (в отличие от группы Ли).
Среди генераторов группы могут быть такие, которые комму-
тируют между собой. Максимальное их число определяет ранг
группы. У группы трехмерных вращений коммутирующих между
собой генераторов нет: по определению, ее ранг равен единице
(группа первого ранга) *>.
Из генераторов группы можно образовать операторы, которые
коммутируют со всеми генераторами. Такие операторы назы-
ваются операторами Казимира группы. У группы трехмерных
вращений имеется один оператор Казимира
С = Л? + Л|+Л§.	(1.8)
В общем случае число операторов Казимира равно рангу группы.
Каков физический смысл операторов Казимира? Эти операторы
коммутируют со всеми генераторами группы, следовательно они
будут коммутировать и с гамильтонианом системы, который со-
держит генераторы группы. Другими словами, операторы Кази-
мира можно сопоставить физическим величинам, для которых
выполняется закон сохранения. В случае трехмерных вращений
оператор Казимира сопоставляется квадрату момента импульса.
Представления группы трехмерных вращений. Частице со спи-
ном s и массой, отличной от нуля, соответствует волновая функ-
ция с 2s 4-1 компонентами. Так как волновые функции зависят
от координат частиц, то при преобразованиях координат будут
определенным образом преобразовываться и компоненты волно-
вой функции. Так, например, преобразование компонент трех-
компонентной волновой функции в общем случае запишется так:
ф[ (х') = Пцф! (х) 4-п12ф2 (х) 4-п13ф3 (х);
ф2 (х') = а21ф! (х) 4- п22ф2 (х) 4- «гзФз (х);	(1.9)
Фз (х') = «31Ф1 (х) 4- п32ф2 (х) 4- «ззфз (х)..
*’ Совокупность всех коммутирующих между собой генераторов называют
подалгеброй Кар тана.
§ 1. Основные понятия теории групп	Г> 11
Это преобразование (так же как и преобразование координат)
можно характеризовать трехрядной матрицей
i&12 О1з\
°21 а22 а23 !•
W31 &32 «зз/
Операторы (в частности, матрицы), осуществляющие преобра-
зование волновых функций, образуют представление группы.
Точнее говоря, сопоставим каждой матрице вращения простран-
ства матрицу преобразования волновых функций таким образом,
чтобы произведению двух матриц g = g±g2 вращения пространства
(двум последовательным вращениям) соответствовало произведе-
ние двух матриц Ts,g2 = Tg,Te2 преобразования волновых функ-
ций. Матрицы преобразования волновых функций, удовлетворяю-
щие этому условию, называются представлением группы.
Удобно изучать бесконечно малые преобразования волновых
функций и соответствующие им матрицы, т. е. инфинитезималь-
ные операторы, или генераторы представления группы.
Каждой матрице Л/ бесконечно малых преобразований коор-
динат, т. е. каждому генератору группы А, можно сопоставить
матрицу Ji бесконечно малых преобразований компонент волно-
вой функции, т. е. генератор представления группы Jt.
По определению, матрицы Jit осуществляющие преобразова-
ние волновых функций (генераторы представления группы Ji),
удовлетворяют той же алгебре Ли, что и генераторы самой
группы Ар
[Ji, =	[*^2> «^з]- = 1'А» [*^з> <А1]_ = г\7г.	(1.10)
Если генераторы, а также алгебра Ли группы заданы, то за-
дача заключается в том, чтобы найти генераторы представления
группы, т. е в случае группы трехмерных вращений найти со-
вокупность матриц Jh удовлетворяющих перестановочным соот-
ношениям (1.10).
Приведем простейшие представления группы трехмерных вра-
щений и те волновые функции, которые преобразуются по этим
представлениям.
1.	Сопоставим каждому вращению трехмерного пространства
(или элементу группы вращений) единичный оператор, действую-
щий на волновые функции (единичное представление). В этом слу-
чае при вращении трехмерного пространства волновая функция пе-
реходит сама в себя. Такая волновая функция называется скалярной.
2.	Сопоставим каждой матрице А преобразования координат
такой же оператор, действующий на волновые функции. Так
как Ai = Ji, то условие (1.10) выполняется автоматически. В дан-
ном случае представление группы трехмерных вращений обра-
зуют сами генераторы группы (оно называется регулярным или
присоединенным представлением группы).
512
Глава 16. Унитарная симметрия
Волновые функции, компоненты которых при вращении трех-
мерного пространства преобразуются матрицами Jh называются
векторными. Как видно, компоненты векторной -волновой функ-
ции при вращениях преобразуются так же, как сами координаты.
3.	Сопоставим каждому элементу группы вращений двухряд-
ную матрицу, действующую на двухкомпонентные волновые функ-
ции. Двухрядными матрицами, удовлетворяющими соотношениям
(1,10), являются матрицы Паули
т. е. в данном случае представление группы трехмерных вра-
щений образуют матрицы Паули.
Волновые функции, компоненты которых при вращении трех-
мерного пространства преобразуются с помощью матриц о, назы-
ваются спинорами (первого ранга).
В явном виде закон преобразования волновых функций при
бесконечно малых поворотах на угол ап вокруг п-й оси запи-
шется так:
а)	для вектора = (1 — iJ^a^Ub,
б)	для спинора ф/ ->ф/ =(1 —	п = 1, 2, 3.
Аналогичным образом выглядят представления более высо-
кой размерности, по которым преобразуются тензорные и спи-
норные (высших рангов) волновые функции.
Таким образом, тензорными и спинорными называются вол-
новые функции, которые преобразуются соответственно по тен-
зорным и спинорным представлениям группы трехмерных вра-
щений.
Приводимые и неприводимые представления. Рассмотрим
волновую функцию, которая является, например, тензором вто-
рого ранга ф/А,. состоящим из девяти компонент. Последний
всегда можно представить в виде суммы симметричного ф5 и
антисимметричного ф“	тензора: ф;* = ф4 + фа, так ^4и	~2 (412 4“ Ф21)	ЧТО 2" (413 + фз1Р
= у (Ф/* + Фм) =	2 (Ф12 + Ф21)	Ф22	(4гз + Фзг)
	^“2 (41з + 4з1) у (Фгз + фзг)	фзз	j
	/	0	у (ф12 — ф21)	у (Ф13 — Фз1)\
4“ = 4	=	2 (4г1 — Ф12)	0	2" (4гз — фзг)
	\-f> (4з1 — Ф1з) у (Фзг — Фгз)	0	/
§ 1. Основные понятия теории ерупп
Г>13
Очевидно, что при вращениях трехмерного пространства компо-
ненты симметричного и антисимметричного тензоров будут преоб-
разовываться независимо, не перепутываясь друг с другом.
Иначе говоря, . девять компонент тензора %* при трехмерном
вращении распадаются на две «независимые» совокупности: трех-
мерную 4“ и шестимерную 4s. В свою очередь, шесть компонент
4s при трехмерных вращениях распадаются на две независи-
мые совокупности: одномерный инвариант (скаляр), представля-
ющий собой - сумму диагональных членов (или шпур) Sp4<ft =
= 'Фп+'Фгг+'Фзз. и оставшиеся пять компонент (образующих
матрицу со следом, равным нулю), т. е.
/"Фи + 4зз
4s = (	412
\	413
Ф12
— 411+4зЗ
1)>23
Ф1з\
4»3 j ф (Ф11 + 4'22 + 4зз).
— 2фзз У
Как видно, девятикомпонентный тензор второго ранга 4<ft рас-
падается при трехмерных вращениях на три независимые сово-
купности: одномерную, трехмерную и пятимерную или, как
говорят, ф/й является прямой суммой трех указанных много-
образий. Чтобы подчеркнуть, что сумма не обычная, а прямая,
у знака сложения добавляют кружок.
Соответственно представление Tik, т. е. матрица, осущест-
вляющая преобразование тензорной волновой функции 4/* при
трехмерных вращениях, будет состоять из трех матриц мень-
ших размерностей:
х\)
х 4“
х
х
х
х 4s (1.11)
х
X
Tihtyur=
Так как компоненты 4а, 4s и 4° между собой не перепутываются,
то преобразующие их матрицы Taik, Tsik, ТЧк стоят на диагонали
матрицы представления Tik. Говорят, что матрицы Tik в (.1.11)
имеют «ящичную» форму.
Представление, которое можно привести к ящичной форме,
называется приводимым', в противном случае представление назы-
вается неприводимым.
Представление Tik в случае вращения трехмерного простран-
ства распадается на прямую сумму трех неприводимых предста-
17 Нелина Н. Ф.
514
Глава 16. Унитарная симметрия
влений. Если учесть размерности неприводимых представлений,
это можно записать так: 9=1фЗф5.
Представления, приведенные на стр. 511, являются неприво-
димыми.
Обычно вместо выражения «волновые функции, которые преоб-
разуются по данному представлению», говорят короче: «представ-
ление группы». Другими словами, термин «представление группы»
употребляется в двух смыслах: как оператор,- преобразующий
волновые функции, и как волновые функции, преобразующиеся
по данному представлению. Поэтому можно сказать и так: пред-
ставление ф/* приводимо и распадается на три неприводимых
представления; представление ф“ неприводимо и т. п.
Рассмотрим волновую функцию, которая является смешанным
спинором второго ранга ф*. Этот спинор приводим, так как он
распадается на скаляр Spф^ и трехмерный вектор
/Ф1 Ф1\ /Ф1	Ф1\
Для того чтобы охарактеризовать представление, надо ука-
зать, из каких неприводимых представлений оно составлено и
сколько раз в него входит данное неприводимое представление.
Найдем все неприводимые представления группы трехмерных
вращений. Для этого воспользуемся следующим способом. Из
генераторов J,- представления группы трехмерных вращений
можно составить один оператор Казимира: J2 = Л + Л + ^з.
Согласно лемме Шура необходимое и достаточное условие непри-
водимости представления состоит в том, что оператор Казимира
J2 должен быть оператором, кратным единичной матрице:
J2=^I или /2ф = Хф.
Следовательно, набор волновых функций, соответствующих дан-
ному собственному значению К оператора Казимира, образует
неприводимое представление. Поэтому задача классификации
неприводимых представлений сводится к нахождению собствен-
ных значений оператора Казимира J2 и соответствующих им
собственных функций. Как известно, собственные значения J2
(оператор квадрата момента импульса) равны /(/+1), где / = О,
х/2, 1, 3/2, 2, ...
Таким образом, каждое неприводимое представление группы
трехмерных вращений характеризуется положительным целым
или полуцелым числом /. Размерность представления равна
2/ +1. При j = 0 представление одномерно и является единичной
матрицей. При	представление реализуется двухмерными
матрицами Паули. При /=1 представление трехмерно и может
быть реализовано с помощью матриц (1.2) и (1.3). Следовательно,
f /. Основные понятия теории групп
515
у группы трехмерных вращений имеются любые представления
конечной размерности.
Группа SU2. Непосредственными вычислениями можно убе-
диться, что трехмерные вращения описываются также с помощью
двухрядных унитарных матриц, которые определяются так:
VV+=1.	(1.12)
Иначе говоря, унитарные двухрядные матрицы образуют группу
и эта группа эквивалентна (изоморфна) группе трехмерных
вращений.
Напомним основные свойства унитарных матриц. Из унитар-
ности матрицы следует, что ее определитель равен по модулю
единице, так как согласно (1.12)
det VV+ = det V det V+ — | det V |z = 1,
откуда
| detV | = 1.	(1.13)
Представим V в виде
V =Ueta,	(1.14)
где U — унитарная матрица с единичным определителем (такую
матрицу называют унимодулярнои). Тогда вместо (1.12) получим
t/[/+=l, dett/ = l.
Следовательно, каждое унитарное преобразование можно разбить
на два. Первое сводится к умножению на eto; оно образует
калибровочную группу (см. гл. 8, § 5). Второе преобразование
осуществляется матрицей U. Совокупность этих матриц образует
группу SUn (буква S подчеркивает, что определитель матрицы I)
равен единице, а индекс п характеризует размерность матрицы).
Унитарную матрицу можно представить в виде U = eiH. Мат-
рицы Н, являющиеся генераторами унитарной группы, эрмитовы,
так как (7t/+ = e,7fe~‘H+= 1 только в том случае, если // = //+.
Кроме того, след матрицы Н равен нулю, т. е. Sp Н = 0. Это
вытекает из того, что dett/ = l, а матрица U, бесконечно близ-
кая к единице, имеет вид U	... В частности, гене-
раторами группы SU2 являются двухрядные эрмитовы матрицы,
след которых равен нулю.
Так как в математическом отношении группа SU2 эквива-
лентна (изоморфна) группе вращения в трехмерном пространстве,
то формальный математический аппарат группы SU2 целиком
совпадает с аппаратом группы вращений в трехмерном простран-
стве. Генераторами группы SU2 являются изооператоры т, опре-
деляемые (5.3), гл. 8, а простейшим спинорным и векторным
представлением —матрицы (5.3) и (5.4), гл. 8 или изоспинорные
и изовекторные волновые функции (5.1) и (5.2), гл. 8. У обеих
групп имеются неприводимые представления любой конечной
размерности.
516
Глава 16. Унитарная симметрия
§ 2. УНИТАРНЫЕ SU2- И ^-СИММЕТРИИ
Изотопическая инвариантность и 5£72-симметрия. Как уже
говорилось (гл. 8, § 5), изотопическая инвариантность есть инва-
риантность относительно произвольных вращений в трехмерном
изопространстве. Такие вращения образуют группу и поэтому
изотопическую инвариантность можно трактовать как инвариант-
ность относительно группы вращения или группы SU2 в изо-
пространстве. Генераторами этих групп являются изооператоры
(5.4), гл. 8, а простейшими спинорными и векторными представ-
лениями—матрицы (5.3) и (5.4), гл. 8 или изоспинорные и изо-
векторные. волновые функции (5.1) и (5.2), гл. 8. Другими сло-
вами, волновые функции изотопических мультиплетов являются
неприводимыми представлениями группы вращений в трехмерном
изопространстве. Обе группы предсказывают существование изо-
топических мультиплетов с произвольным числом частиц; однако
в природе реализуются лишь низшие из этих мультиплетов.
В основе изотопической инвариантности лежит предположение,
что частицы изомультиплета тождественны; иначе говоря, система
частиц изомультиплета вырождена по заряду. Это вырождение
на математическом языке формулируется как инвариантность
относительно группы SU2, или группы трехмерных вращений
в изопространстве.
Вырождение частиц в изотопическом мультиплете существует
до тех пор, пока пренебрегается электромагнитным взаимодей-
ствием. Учет последнего ведет к расщеплению масс внутри муль-
типлета. Тем самым вырождение по заряду снимается и изото-
пическая инвариантность нарушается. Так как электромагнитное
расщепление масс невелико, то небольшим будет и нарушение
изотопической инвариантности.
Унитарные мультиплеты адронов. Опыт показывает, что наряду
с изотопическими мультиплетами элементарных частиц существуют
более сложные, получившие название унитарных. Так, барионы
(пространственный спин 1/2, четность положительная, т. е. (1/2)+)
образуют унитарный октет, барионные резонансы (3/2)+ — унитар-
ный декуплет (табл. 16.1), а псевдоскалярные О-, векторные
1_ и 2+-мезоны группируются в девятки (нонеты), состоящие
из унитарного октета и синглета (табл. 16.2) и т. д.
Унитарные мультиплеты, в свою очередь, состоят из изото-
пических мультиплетов с различными значениями изотопичес-
кого спина I и странности S (или гиперзаряда Y = B-\-S). Так,
в октет барионов и мезонов входят два изотопических дублета
(j =	У=± lj, изотопические триплет (/=1, У = 0) и синглет
(7 = 0, У = 0), в декуплет барионных резонансов — изотопические
квартет (l =-|-, К = 1), триплет (/ = 1, У = 0), дублет \1 =
f 2. Унитарные SUг- и SUs-симметрии	617
Y = —1) и синглет (/ = 0, Y = — 2). Иначе говоря, каждый
унитарный мультиплет имеет строго определенную изотопическую
структуру. Следовательно, каждый унитарный мультиплет харак-
теризуется набором двух квантовых чисел: / и Y, для которых
выполняются законы сохранения (если учитывать только сильное
вза имодействие).
Таблица 16.1
Мультиплеты барионов
у = $ + в		1		0		— 1	— 2
/		v2	3/2	0	1	‘/2	0
	w	Л?И6		Л*вто			
	l/2+	N		Л	2	Е	
	3/2+ .		^1232		У* •^1385	77* -Ч530	Q
	?/2"	Л^20		Л* 2*1680	у* ^1670		
Вырождению частиц по заряду соответствует инвариантность
относительно группы SU2. Эта инвариантность приводит к различ-
ным изотопическим мультиплетам, простейшие из которых реали-
зуются в природе.
Т а блица 16.2
Мультиплеты бозонов
y=s	0				± 1
	/ = 1		1 = 0		Z = l/2
0", С=+ 1	Я			о	К
о+, С = + 1	/>970		Q* °803		к12Б0
Г, С= — 1		р р'		.  *ч»| е е	^<892
1+, С=+ 1	А		Qty		^1*240
1+, С=—1	в				/<Й)20
2+ С=+ 1				/1220 /1514	/<*420
518
Глава 16. Унитарная симметрия
Допустим, что существует вырождение не только по заряду,
но и по гиперзаряду. Такому вырождению будет соответствовать
другая, более высокая инвариантность. С этой инвариантностью
можно связать существование унитарных мультиплетов.
В случае изотопической инвариантности имелось вырождение ।
по одной переменной. Поэтому изотопической инвариантности
соответствовала группа вращений, или группа SU2, т. е. группа
первого ранга. Других групп первого ранга нет.
вырождению по двум переменным /3 и Y будут соответство-
вать группы второго ранга (две сохраняющиеся величины, два
оператора Казимира).
Было показано, что существует лишь четыре группы второго
ранга:
О4 — группа вращений в четырехмерном пространстве,
О5 —группа вращений в пятимерном пространстве,
SU3 — группа унитарных унимодулярных преобразований в про-
странстве трех измерений,
G2 —одна из так называемых исключительных групп.
Перечисленные группы приводят к различным мультиплетам
(табл. 16.3). Выяснить, какая из этих групп имеет отношение
к действительности, может только опыт.
Определенный изотопический мультиплет описывается изо-
волновой функцией, которая является одним из неприводимых
представлений группы трехмерных вращений или изоморфной
ей группы SU2. Число компонент (или размерность) изоволновой
функции равняется числу частиц в изомультиплете.
Аналогичным образом определенный унитарный мультиплет
можно описать многокомпонентной унитарной волновой функцией, '
которая будет неприводимым представлением одной из перечислен-
ных выше групп второго ранга. Размерность этого представления (
(или число компонент) по-прежнему будет равно числу частиц,
входящих в мультиплет. Но при этом представление должно
удовлетворять еще одному важному требованию — оно должно
содержать определенные изотопические мультиплеты (именно те,
которые наблюдаются на опыте). Итак, задача заключается
в следующем. Надо найти неприводимые представления (мультип-
леты) каждой из перечисленных выше групп второго ранга,
разбить унитарные мультиплеты на изотопические мультиплеты
и попробовать расположить имеющиеся частицы по мультиплетам.
Как показывает анализ, лучше всего согласуются с имеющи-
мися опытными данными предсказания 5£/3-симметрии. Именно
поэтому мы остановимся на ней подробнее.
Если выключить все взаимодействия, кроме сильного, то массы
частиц, входящих в мультиплет, строго одинаковы. Учет электро-
магнитного взаимодействия ведет к расщеплению масс внутри
изотопических мультиплетов, тем самым снимается вырождение
по Is и нарушается изотопическая инвариантность. Чтобы объяс-
§ 2. Унитарные SU2- и &и3-симметрии
519
Таблица 16.3
Группы второго ранга и их характеристики

Группа	Размерность унитарного мультиплета	Размерность изото- пического мультип- лета	г	у=в 4-S
	1	1	0 .	0
	з	12	‘,2	1
		11	0	0
		( 1	0	2
	6	< 2	*/2	1
		1 з	1	0
		72	%	1
	8	<3; 1	1; о	0
		I2	Г/2	— 1
		1	0	2
su3	10	2 3	*/2 1	1 0
		4	%	— 1
		3	1	2
	1	4; 2	%; 1/2	1
		3; 1	1; 0	0
		2	42	— 1
		3	1	2
		4; 2	3/2! */2	1
	27	5; 3; 1	2; 1; 0	0
		4; 2	•72; ‘/2	— 1
		3	1	— 2
	1	1	0	.0
G2	7	СМ CQ	V2 1	± 1 0
		( 1	0	± 2
	14	4 4	3/2	± 1
		1 3;1	1; о	0
	1	1	0	.0
	4	2	‘/2	± 1
О5	5	{з	0 1	± 2 0
		12	1/2	± 1
	э	11	0	0
		(1	0.	±2
	10	{ 2	1/2	± 1
		1 3; 1	1; о	0
Б20
Глава 16. Унитарная симметрия
нить разницу масс частиц, входящих в различные изотопические
мультиплеты данного унитарного мультиплета, надо ввести допол-
нительное взаимодействие; оно получило название полусильного.
Полусильное взаимодействие ведет к снятию вырождения частиц
по Y, т. ё. к нарушению унитарной симметрии («нарушенная уни-
тарная симметрия»). Отклонение массы частиц от среднего значе-
ния М масс частиц, например октета барионов, равного 1150 МэВ,
составляет ПО МэВ, т. е. /\М/М10%. Иначе говоря, полу-
сильное взаимодействие примерно в 10 раз слабее сильного взаимо-
действия.
Мы сначала рассмотрим предельный случай точной 5(/3-сим-
метрии, а затем (см. § 4) выясним, к каким изменениям приводит
учет полусильного взаимодействия.
<${73-симметрия» Унитарная 5%-симметрия означает, что силь-
ное взаимодействие элементарных частиц инвариантно относительно
группы St/з-преобразований.
Рассмотрим подробнее группу SUs — ее алгебру Ли, непри-
водимые представления (унитарные волновые функции), выраже-
ния для амплитуд, удовлетворяющих требованию 54/3-инвариант-
ности, установим следствия, вытекающие из 5(73-инвариантности.
Алгебра Ли группы SU3. Каждому независимому веще-
ственному параметру группы соответствует генератор. Подсчитаем
число независимых вещественных параметров группы Ли, а сле-
довательно, число генераторов алгебры Ли группы SUn. Группе
SUn соответствует матрица aik с п2 комплексными или 2п2
вещественными числами. Требование унитарности ^atkakj — ^n
J	к
налагает на элементы матрицы п2 условий, а требование унимо-
дулярности det aik — 1 — еще одно условие. Таким образом, матрица
группы SUn содержит п2 — 1 независимых вещественных пара-
метров, а алгебра Ли группы SUn состоит из N = n2 — 1 генера-
торов. Отсюда следует, что алгебра Ли группы SUa состоит из
восьми генераторов. Обычно эти генераторы выбираются в следую-
щем виде:
	/0 1 0^		/0 —1 0\	/1	0	0\
= (	1 0 0	L ^2 = 1	i 0	0	), Х3= 0 —1 0 1,
	\о о оу		\о о о;	1	\0 0	0/
	/0 0 ц		/0 0 —А	/0 0 0\
	0 0 0	I, ^5 = (	0 0	0	1, Хв= 0 0 1 ,	(2.1)
	U о о;		V 0 0 У	\0 1 0/
	^0 0	0		, Л 0	0 \
= 1	0 0 — <0 i 0	^8 '	° 1 /з\о 0	о -2/
§ 2. Унитарные SU2- и SUs-симметрии
521
Матрицы удовлетворяют- коммутационным соотношениям:
[X*, Х./]_ —	— ХуХд, — hjnf-n-	(2.2)
Константы fkjn полностью антисимметричны по отношению к пере-
становке индексов. Отличные от нуля независимые константы
fk/n принимают значения:
/123 = 1; /147 ~	— f 345 — /156 ~ f257 = /зв7 — V2; /458 ~
~ /й78 К- (2.3)
Матрицы Xft нормированы так, что
Sp(V/) = 26ft/.	(2.4)
Кроме того, матрицы Xft удовлетворяют антикоммутационным
соотношениям
[X*, XJ+ = XftXy -|- X,-Xft — 2dkjt!kn -|- у 8kJ-.
(2.5)
Здесь константы dAyn полностью симметричны относительно пере-
становки индексов; отличные от нуля dkjn равны:
dllB — ^228 — ^338 —
= - 1/(2]/3);
— dgSS—1/1^3; 6/448 — ^558— ^668—^778 —
^146 = d-157 ~-^247 = ^256 = ^344 ~ ^355 =
=---^366 ~ — ^377 — 1 /2.
(2.6)
Выбор генераторов в виде (2.1) удобен тем, что первые три
матрицы Хь Х2, Хе являются матрицами Паули (они образуют
алгебру Ли группы SU2). Иначе говоря, в группе SUs содер-
жится как подгруппа группа SU2.
Матрицы Х3 и Хе коммутируют между собой, т. е. SUs дей-
ствительно является группой второго ранга. Из генераторов
группы SUa можно образовать два оператора Казимира; это —
другая формулировка того обстоятельства, что ранг группы
SU3 равен двум.
Неприводимые представления группы SUs. Най-
дем неприводимые представления группы SUs. Простейшим
неприводимым представлением группы SUs является унитарный
скаляр. Он описывает частицы, являющиеся унитарными сингле-
тами.
Затем следует унитарный контравариантный спинор
/фх\
= f ip2 I,	(2.7)
\ф3/
Он неприводим и описывает унитарный триплет частиц.
Неприводимым также является ковариантный спинор
ф-> = (ф» ф? Фз).	(2.8)
522
Глава 16. Унитарная симметрия
Эрмитово сопряженный ковариантный спинор фа преобразуется
как контравариантный: фа = ф°. Так как эрмитово сопряженная
волновая функция соответствует античастицам (см. гл. 2, § 2),
то ковариантный спинор (2.8) описывает триплет античастиц *’.
В отличие от группы SU2 ко- и контравариантные спиноры
группы SUs являются существенно различными. Поэтому пред-
ставления группы SU3 характеризуются двумя числами D (р, q),
соответствующими числу контравариантных (р) и ковариант-
ных (q) индексов. Названные выше представления запишутся так:
0(0, 0), 0(1, 0), 0(0, 1).
Более сложные представления группы SO3 являются, вообще
говоря, приводимыми**’.
Чтобы найти неприводимые представления, надо разбить тен-
зор на антисимметричные и симметричные части и выделить из
последних скаляры (синглеты), образуемые суммой диагональных
элементов (т. е. 5рф). Рассмотрим несколько примеров.
1.	Тензор ф* имеет девять компонент
/Ф1	Ф1	Ф1\
фа	фа	Фа •	(2.9)
\Фз	Ф1	Фз/
След этого тензора Sp ф* = ф|+ф® + ф“ является скаляром и
не меняется при преобразованиях. Выделяя из (2.9) след, полу-
чаем уже неприводимый восьмикомпонентный тензор
/Ф1 + Фз Ф1 Ф? \
( Ф1 -Ф1 + Ф! Ф1 .	(2.10)
\ Фз Ф1 — 2ф1/
Иначе говоря, тензор ф?, если иметь в виду размерность непри-
водимых представлений, запишется в виде прямой суммы***’
(см. § 1): 9 = 1ф-8.
Тензор ф* можно рассматривать как прямое произведение
(см. § 1) двух спиноров: фг и ф*. Как видно, это произведение
приводимо (хотя ф/ и ф* неприводимы) и распадается на два
неприводимых представления. Следовательно, прямое произведе-
ние двух тензоров ф; и ф* (или тензор ф|) распадается на сле-
дующие неприводимые представления:
ЗхЗ=1+8, или 0(1, 0)х0(0, 1) = О(0, 0)фО(1, 1). (2.11)
*	’ Обычно эрмитово сопряжение унитарных функций обозначается чертой
(а не +).
*	*’ Размерность представления D (р, равна -g(p+l)(<7+l)(p + <H~2).
*	**’ В этом параграфе мы будем обозначать прямую сумму и прямое произ-
ведение значками -ф и Х> а неф и (X).
§ 2. Унитарные SUs- и SU3-cuMMeTpuU
523
Как видно, среди неприводимых представлений группы SUa
есть восьмимерное; его можно использовать для описания окте-
тов частиц.
Тензор ф* можно представить в виде восьмивектора ••••
Ve. Связь между компонентами тензора (2.10) и компонентами
Vi, V2,  , К8 Может быть найдена с помощью матриц X, опре-
деляемых (2.1). Умножая'скаляр но X на V, получаем
		V.-IV,		
ф* = ы =	V1-HV2	~v>+Viv‘	Ve-iV7	,	(2.12)
	V^+iV,	V в + i V 7	2 I/ -y-38^	
т. е. = Vi — iVz и т. д.
Иначе говоря, для описания октета частиц можно пользо-
ваться либо смешанным тензором второго ранга, либо вос-ьмивек-
тором.
2.	Тензор ф,-/г содержит девять компонент — шесть симметрич-
ных: фи, фгз, Фз.з> 'Фха 4-фг1> ’Ф1з-Ь'Фз1» 'Фгз 4*'Фзг и три антисим-
метричных: 1]512—1)521, 1)513 — 11’31, 1)523 — 1)532, ПОЭТОМу**
3x3 = 34-6, или D(0, l)xD(0, 1) = D(1, 0)+D(0, 2).
Аналогичным образом получим для тензора ф/й
3x3 = 34-6, или D(l, 0)х£>(1, 0) = D(0, !)+£> (2, 0). (2.13)
3.	Тензор ф'/г содержит 27 компонент. Среди них имеются 18
симметричных по i и k:
[ф11 -ф- ф22 -ф- ф33 -ф- (ф12 -ф- ф21)	(ф23 + Ф32) + (Ф13 +1)’31)] [Ф1 4~
+ Фг + Фз] >
из которых независимы 15, так как равны нулю три их следа
(ф5*+ф**+ф|*) = 0, fc= I, 2, 3.	(2.14)
Среди компонент ф‘* имеется также девять антисимметричных
по i, k
[(ф12 - ф21) + (ф13 - ф31) + (Ф23 - Ф32) ] [Фх+Фг + Фз].
из которых независимы шесть, так как равны нулю три их следа
(2.14). Следовательно, тензор ф)\ или произведение спиноров ф‘,
ф\ ф/, распадается на следующие неприводимые представления:
ЗхЗхЗ = Зх(1+8) = 3 + 3 + б+15, .	(2.15)
»> Если учесть, что антисимметричный ковариантный спинор второго ранга
экнивалентен контравариантному спинору первого ранга, фг=ег/*фуЛр кроме
того, фг= едефИЧ
524
Глава 16. Унитарная симметрия
или
D(l, 0)хГ>(1, 0)хГ>(0, 1) = D(1, 0)+D (1, 0)4-D(0, 2)4-
+Z)(2, 1).
4.	Тензор третьего ранга ф‘ы содержит 27 компонент. Среди
них имеется десять компонент, симметричных по всем трем индек-
сам:
ф< w = -L 4- tyik 4-	4- уьн 4-
одна компонента, антисимметричная по всем трем индексам:
фМ*] = -1 (ip'/* _ фЛ* 4- ф/« _ ф^ 4-	—tyW),
восемь компонент, симметричных no i, j и антисимметричных
по /, k:
ф {t [/) ч=у (ф</* 4- ф/'й—ф'*/ — фк/);
восемь компонент, 'антисимметричных по г, / и симметричных
по /, k:
фр {/!*) =у (ф*/*4-ф№/ — ф//й — ф/й/).
Следовательно, тензор ф,н, или произведение трех тензоров ф',
ф\ фг, распадается на следующие неприводимые представления:
3x3x3=14-84-84-10,	(2.16)
или
D (1, 0)xD(l, 0)xD(l, 0)=D(0, 0)4-D(l, 1)4-D (1, 1)4-
+^(3, 0).
Как видно, среди неприводимых представлений группы SUa
имеется десятимерное; его можно использовать для описания
декуплетов частиц.
Аналогичным образом можно найти произведение неприводи-
мых представлений некоторых других тензоров; они приведены
в табл. 16.4.
Разбиение на неприводимые представления можно произвести
и другим методом. Для этого надо воспользоваться тем, что
у группы SU3 есть Два инвариантных тензора: 6* —тензор Кроне-
кера, е,ы (или elkt) — полностью антисимметричный тензор. Дей-
ствительно, эти тензоры преобразуются так:
utlUi =(uu+)ki;
гм = U\,UkqUlrfF4r = detf/eIfeZ. '
§ 2. Унитарные SU2- и SUs-симметрии
S25
со
та
я
я
ХО
сз
Н
Умножение неприводимых представлений SU}
	СО	ICO	CO	ICO	00	0	[2
|2	_ - 24+6	12 + lib	ICO + 12 + 15!	24 + 21 + 15	IS + СЧ +. 12 + 00	1+8 + 27+64	Ю + 27 + 28+35
О	ю + иэ	24 + 6	24 + 21+15	42+15 + 3	se+zs+oi+s	10 + 27 + 28+35	
00	15+6+3	ICO + CO + 12	24+15+6+3	24+15+6 + 3	zs+oi+oi+s+s+i		
ico	3+15	8+10	1+8 + 27	6 + Г5+ 15'			
со	О + оо	in + co	in + in + 'CO				
ICO	оо +	icO + co					
СО	9+g						
Используя в первой фор-
муле условие (UU+)i =6/,
а во второй — условие
det U = 1, получаем = 6*;
,ikl иа
е — е.
Умножение произвольно-
го приводимого тензора на
6г и etki дает снова тензор,
но с меньшим числом ком-
понент. Тем самым исходное
приводимое представление
сведется к представлению
меньшей размерности. Про-
должая этот процесс, придем
в конце концов к неприводи-
мым представлениям. Оче-
видно, тензор будет непри-
водимым в том случае, если
умножение его на все три
тензора 6*, ezfe/, е‘ы даст
нуль. Если учесть, что про-
изведение симметричного тен-
зора на полностью антисим-
метричный тензор elki или
е‘ы равно нулю, то правило
можно сформулировать по-
другому: неприводимый тен-
зор должен быть симметрич-
ным отдельно по верхним и
нижним индексам, а его след
(умножение на 6Z) должен
обращаться в нуль.
Рассмотрим, например,
тензор ф/m, равный произве-
i	k
дению тензоров ф/ и фт.
Неприводимые представле-
ния получатся, если произ-
вести:
•1) двойное суммирова-
ние (и по I, m и по I, k)
(скаляр, одна компонен-
та);
2)	одно суммирование
(либо по i и tn, либо по I
и k) и обратить след
526
Глава 16. Унитарная Симметрия
в нуль:
(каждая по восемь компонент);
3)	умножение на тензор ейр и симметризацию по индексам р,
I, пг:
Dpim = elkp^hn (десять компонент);
4)	умножение на eimp и симметризацию по р, I, k:
Dpik = eZmpi]5j* (десять компонент);
5)	симметризацию по верхним и нижним индексам:
ВД = ’ИС+СС + Шт + С’И
и обратить след в нуль:
ад=i (бад+свд+б*ад+сад.
Итак, рассматриваемое произведение двух тензоров распадается
на неприводимые представления
8x8=1+8 + 8+10+10 + 27,	(2.17)
или
D(l, l)xD (1, 1) = £>(0, 0)+Г> (1, 1) + D(1, 1) + D(3, 0) +
+ D(0, 3) + D(2, 2).
Изотопическая структура мультиплета. Выяс-
ним, какие изотопические мультиплеты могут входить в данный
унитарный мультиплет. Рассмотрим триплет частиц. Две его
компоненты образуют изотопический спинор с изоспином I = 112,
а третья — изотопический синглет с изоспином 7 = 0, т. е. изото-
пическую структуру унитарного триплета можно изобразить так:
3 = 2+1. Тогда изоструктура произведения двух унитарных
триплетов будет выглядеть следующим образом:
ЗхЗ = (1/2 + 0)х(1/2+'0) = 1+0 + 1/2 + 1/2 + (00) =
= 3+1+2 + 2+1'.
Последнее слагаемое соответствует унитарному синглету,
а остальные войдут в унитарный октет, состоящий из триплета,
двух дублетов и синглета. Аналогичным образом можно найти
изотопическую структуру более сложных унитарных мультиплетов.
J 2. Унитарные SU2- и SU^-симметрии
627
Мультиплеты ££73-симметрии. Из табл. 16.3 видно, что££73«
симметрия предсказывает целый ряд мультиплетов частиц с вполне
определенной размерностью и изотопической структурой. Очень
важно, что среди этих мультиплетов есть именно те, которые
наблюдаются на опыте.
Частицы, образующие унитарный синглет, описываются с по-
мощью однокомпонентного ££73-скаляра. Такой частицей является,
например, со°-мезон.
Для описания унитарного октета частиц используем восьми-
мерное представление группы SU3. Тогда обычно октет барионов
представляют в виде такой матрицы:
Коэффициенты в матрице выбраны так, чтобы в выражении
SpBB = p/? + nn + £+£++£°£o +	+ 3° Е° + S-S- + АА
все коэффициенты были бы равны 1 и чтобы SpB = 0.
Аналогично выглядят октеты для псевдоскалярных мезонов:
	1—Л° +—7^ Л° ]<2	' /6 1	л+	А+ \
р =	л-		т=- л° 4	1]0 /2	/6	А0	(2.19)
	А-	А0	/6 1 /
и векторных
мезонов:
°4-—.<Р°
/б
Р"
А*~
р+	А*+
Р° + —<Р°	А*0
/2 /б v
А*0	-	<р°/
]/6	/
(2.20)
Заметим, что матрицы Р и V эрмитовы: они переходят сами
в себя при транспонировании и замене частиц на античастицы,
Р=Р, V=V.
Барионные мультиплеты этим свойством не обладают, так как
барионы и антибарионы образуют независимые мультиплеты;
528
Глава 16. Унитарная симметрия
при ЭТОМ
'у^ + у-Л0	Ё"	S- !
в= £+	_» £°+ ’ л° Ё° Л2-21)
.	/2 Уб
, р	п	— 2/]/б~ А0 ,
Для описания барионного декуплета у используем полностью
симметричный тензор третьего ранга, выбрав следующее соответ-
ствие между компонентами тензора и частицами:
f)222 _ ft*- £)122 _	N*0	£)112 _	£)Ш = *++
’ уз	уз
£)223 =	1	у*-	£)123=	1	у*0	£)113= ’	у*+	(2.22)
Уз	Уб	Уз
[)233 _	1	п *-	£)133 __	1 _Р *0	£)333 - Q-
Уз ’ Уз “ ’	*	'
Модели составных частиц. Имеется довольно много
элементарных частиц, поэтому были предприняты попытки по-
строения их из небольшого числа, фундаментальных частиц.
Авторы наиболее радикальной из этих попыток исходят из того,
что все наблюдаемые элементарные частицы и взаимодействия
между ними являются проявлением одного поля (нелинейного,
спинорного). К сожалению, при конкретной реализации этой
программы возникают существенные трудности, которые пока не
удалось преодолеть.
Согласно другой точке зрения все элементарные частицы
можно «составить» из нескольких, так сказать, «основных» эле-
ментарных частиц. Главный вопрос, который возникает при та-
ком подходе, заключается в том, какие частицы выбрать за
основные.
8-симметрия. В качестве основных можно выбрать октеты
барионов и антибарионов (такой подход получил название 8-сим-
метрии или восьмеричного пути). Слияние указанных октетов
приводит согласно табл. 16.4 к следующим мультиплетам: 8x8 =
= 8 x 8= 14-8 + 84-10-1-10 + 27. Барионные заряды перечислен-
ных мультиплетов равны нулю; поэтому восьмимерные мульти-
плеты можно отождествить с мезонными октетами. Иначе говоря,
с помощью октетов барионов и антибарионов можно построить
мезонные октеты.
Для того чтобы получить барионные резонансы, составим
систему из мезона (8x8) и бариона (8): 8х8х8 = (1+8 + 8 +
+ 10+10 + 27)х8. При этом наряду с другими мультиплетами
получается и декуплет (согласно табл. 16.4 он содержится в пов-
торных произведениях 8x8, 10x8, 27x8). Таким образом, из
§ 2. Унитарные SUz- и SUz-симметриа
529
октета барионов и антибарионов можно построить все наблю-
даемые другие мультиплеты. Однако при таком подходе остается
неясным, почему реализуется октетное представление группы SU3
и не реализуется ее низшее (триплетное) представление. Поэтому
были предприняты попытки построения всех элементарных ча-
стиц из триплетов частиц и античастиц (такой подход получил
название 3-симметрии).
3-симметрия. Пусть этими частицами будут нейтрон, протон
и Л°-гиперон (модель Сакаты —Маркова —Окуня). Из триплетов
этих частиц и античастиц можно образовать согласно (2.11) сле-
дующие мезонные мультиплеты: 3x3 = 14-8, т. е. как раз те,
которые наблюдаются на опыте. Так как в рассматриваемой мо-
дели р, п, Л образуют триплет, то S- и Е-частицы должны быть
отнесены к другим унитарным мультиплетам.
Из трех триплетов можно образовать согласно (2.15) следую-
щие мультиплеты: 3x3x3 = 3 + 3 + 6+15. Из табл. 16.3 видно,
что S-гиперон (/=1, У = 0) может быть размещен как в 6-,
так и в 15-мультиплете, а частица Е (I = 1/2, Y = —1) —только
в 15-мультиплете. В 15-мультиплет должны входить также частицы
с 7 = 1, Y =-2, однако они до сих пор на опыте не обнаружены.
Аналогичная ситуация имеется и для барионных мультипле-
тов большей размерности, которые получаются при использова-
нии большого числа триплетов (ЗхЗхЗхЗхЗ и т. п.).
Таким образом, существование мезонных октетов одинаково
хорошо согласуется как с 3-, так и с 8-симметрией. Объяснение
же октетов барионов в рамках 3-симметрии встречает трудности.
Модель кварков. Можно обойти эту трудность, если составлять
барионы только из триплетов частиц, без использования три-
плета античастиц, тогда вместо (2.15) получим согласно (2.16):
3x3x3 = 1+84-84-10, т. е. синглет, октеты и декуплет. Но
при этом заряды, странности и барионные числа частиц исход-
ного триплета перестают быть целыми числами. Действительно,
возьмем три частицы со спином в = 1/г и значениями заряда,
странности и барионного числа, приведенными в табл. 16.5. Эти
частицы называют кварками. Из кварков р', п', X' каждую ча-
стицу барионного мультиплета и мультиплета барионных резо-
нансов можно построить так:
E°(p'W)	’ Е-(п'И')
£+(р'р'2/)	^°, A0(n'p'X')	Yr(n'n"K')
р (р'р'п')	п (р'п'п’)
Q- (Х'Х'Х')
S*°(pW)	S*-(nW)
~S*+(pW)	S*°(p'n'X')	£*-(п'п'К)
М+(р'р’р') А+ (р'р'п’)	№ (р'п'п') Ьг (п'п’п’)
530
Глава 16. Унитарная симметрия
При этом мезонные октеты строятся из кварков и антикварков
К° (Knf)	К~ (%'/?')
л+(р'й')	Л°, Т]° (//р', п'п', к'Х')	л~ (п'р')
К+(р'Х')	кЧп'Х')
Кварки и их характеристики
Таблица 16.5
Кварк	Электриче- ский заряд	Странность	Бариоииое число	Гиперзаряд	Пространст- венный спии
Р'	Vs	0	Vs	Vs	Vs
п'	-Vs	0	Vs	Vs	Vs
У	-Vs	—1	Vs	-2/s	Vs
Таким образом, с		помощью кварков можно одинаково хорошо			
объяснить существование как мезонных, так и барионных мульти-
плетов.
К сожалению, в настоящее время предположение о том, что
кварки существуют, не получило экспериментального подтвер-
ждения.
££73-ин в а рианты. Унитарными SU ^-инвариантами называют-
ся такие комбинации унитарных волновых функций, которые не
меняются при £{73-преобразованиях. Унитарный 5Й3-инвариант
должен быть £{73-скаляром. Чтобы построить из унитарных вол-
новых функций унитарный инвариант (скаляр), надо взять про-
изведение волновых функций и произвести в нем суммирование
по всем парам верхних и нижних индексов волновых функций.
При этом, вообще говоря, суммирование может быть произведено
в различном порядке и каждой такой возможности будет соот-
ветствовать свой скаляр.	х
Приведем несколько примеров ££73-инвариантов (большие
цифры обозначают размерность мультиплета; Р, V, В, D— волно-
вые функции мультиплетов псевдоскалярных, векторных мезонов,
барионов, барионных резонансов).
1.	Заданы волновые функции 8Р, 8Р1. Из двух волновых функ-
ций Pt и Ри можно образовать один’унитарный скаляр:
nptt=sP РРЪ
2.	Заданы волновые функции 8в, 8в,. Из них можно образо-
вать один унитарный скаляр
§ 3. Применение SU3- симметрии к взаимодействию адронов
531
3.	Из волновых функций 1s, 8Р, 8р, можно образовать один
скаляр
SoP^K = Sp(V0PPi).
где So~ волновая функция унитарного скаляра.
4.	Заданы три волновые функции 8pt, 8Рз, 8р. Из них можно
образовать два унитарных скаляра, различающихся порядком
суммирования:
Pk(Pi)i (^)i = Sp(PPiP2) и SpPxPP2.	(2.23)
5.	Из функций 8Р, 8В, 8в, можно образовать два скаляра:
SpBrPB и SpBxBP.	(2.24)
6.	Заданы 10D, 8Р, 8В. Декуплет барионных резонансов опи-
сывается полностью симметричным тензором	Последний
можно представить в форме
e[I.rs]DU«) =D<%,
содержащей четное число верхних и нижних индексов. Таким
видом Dikl удобно пользоваться при нахождении унитарных ска-
ляров. Тогда можно образовать такой инвариант:
Pk Blm4qUAD{qkm} = P‘k BlmD&?}.	(2.25)
7.	Даны 8p1( 8p2, 8Bl, 8B1. Из четырех волновых функций
можно образовать девять унитарных скаляров, соответствующих
различным порядкам суммирования:
Sp В2ВХ Sp P2Pi, Sp В2Р2 Sp BiPi, Sp B2Pi Sp BiP2,
Sp B2B1P2P1, Sp B2B1P1P2, Sp B1B2P2P1,	(2.26)
Sp B±B2PiP2, Sp B2P2B1P1, Sp B2P1B1P2.
Заметим, что эти инварианты удовлетворяют следующему
соотношению: сумма трех первых комбинаций равна сумме ос-
тальных шести. Другими словами, число независимых комбина-
ций-равно восьми.
8.	Заданы 8Bl, 8Bi, 8Вз, 8В„. Чтобы получить вид инвариан-
тов в данном случае, надо произвести в (2.26) замену Р1-+В3,
Рч~^~ Bq.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ 5Т'3-СИММЕТРИИ К ВЗАИМОДЕЙСТВИЮ АДРОНОВ
Приведем примеры применения 5£73-симметрии к сильным,
электромагнитным и слабым взаимодействиям адронов.
Сильное взаимодействие
Структура амплитуды процесса. Для нахождения унитарной
структуры амплитуды процесса можно использовать тот же ме-
53Й
Рлава 16. Унитарная симметрия
тод, с .помощью которого находилась инвариантная изотопиче-
ская структура амплитуды (см. гл. 8, § 5).
Учитывая унитарные волновые функции Ф\ получаем вместо
формулы (1.7), гл. 8 следующее выражение для матричного эле-
мента процесса:
ЛГ^Ф^Ф^.	(3.1)
Так как пространственная и унитарная части разделяются, то
амплитуда запишется в виде произведений:
М' = Ф/Ф?Ф/+$Фг = ЛГФ,+5Фг = MSM,	(3.2)
или
(з.з)
s i
Здесь Р, У?( — инвариантные унитарные и спиновые комбинации;
i, s —индексы суммирования по возможным спиновым и унитар-
ным комбинациям; Т* (s, t) — произвольные функции.
Чтобы найти унитарную структуру амплитуды процесса, надо
построить из унитарных волновых функций частиц, входящих
в реакцию, унитарные инварианты —скаляры. Причем эти ска-
ляры должны быть независимыми. Целесообразно сначала под-
считать число допустимых независимых скаляров, а затем запи-
сать их явный вид. Число независимых инвариантных комбина-
ций может уменьшиться, если дополнительно учесть требование
других инвариантностей (перекрестной, относительно обращения
времени и т. п.).
Рассмотрим процесс рассеяния октета псевдоскалярных мезо-
нов на октете барионов
Р + В-»Р' + В'.	(3.4)
Предположим, что начальные и конечные октеты как мезонов,
так и барионов одинаковы. Чтобы найти число независимых
инвариантных амплитуд для реакции (3.4), воспользуемся тем,
что произведение волновых функций начального, а также конеч-
ного состояния, т. е. 8x8, разбивается на следующие неприво-
димые представления (см. табл. 16.4):
8x8=1+84-8'4-10 + 10 + 27.	(3.5)
Так как унитарная симметрия разрешает переходы только между
одинаковыми представлениями вследствие их ортогональности,
то из (3.5) видно, что в данном случае разрешены восемь пере-
ходов: 1-^-1, 8->8, 8'->8, 8->-8', 8'^-8', 10-> 10, Тб->10,
27->27. Иначе говоря, амплитуда процесса (3.4) состоит из
восьми независимых унитарных скаляров.
§ 3. Применение SUs- симметрии к взаимодействию адронов	ГЛЗ
Из произведений четырех волновых функций можно образо-
вать следующие восемь независимых инвариантов, отличающихся
друг от друга порядком суммирования [см, (2.26)]:
Sp(B'B)Sp(P'P), Sp (В'Р') Sp (BP), Sp (В’P) Sp (BP'),
Sp(B'BP'P), Sp(B'BPP'), Sp(BB'P'P),	(3.6)
Sp (BB'PP'), Sp (B'P'BP) - Sp (B'PBP').
Это число уменьшится, если учесть требование инвариантности
относительно обращения времени. Рассматриваемый нами процесс
(начальные и конечные октеты как барионов, так и мезонов
одинаковы) при обращении времени переходит сам в себя. При
обращении времени начальные частицы переходят в конечные и
наоборот, поэтому унитарные функции преобразуются при Т-об-
ращении так:
Pk-^Pt, Fk-+Pki.
Выясним, как преобразуются при Т-обращении независимые
комбинации (3.6), имея в виду, что в данном случае В' —В,
Р' = Р. Например,
Sp (BPBP)^BkiplkBTPlm-^/kpkLBlmPT^^„pl BjPT^
= Sp (BPBP) и Sp (BPBP)-+Sp (BPBP),
т. e. при обращении времени последняя комбинация в (3.6) ме-
няет знак. Аналогичным образом можно показать, что знак
оставшихся семи комбинаций (3.6) остается при Т-обращении
без изменения.
Как уже говорилось (см. гл. 8, § 1), при Т-обращении про-
странственные спиновые комбинации процесса (3.4) знака не ме-
няют. Следовательно, последняя комбинация (3.6) не' удовлетво-
ряет требованию инвариантности относительно Т-обращения и
потому должна быть отброшена. Другими словами, амплитуда
упругого процесса (3.4) состоит из семи независимых слагаемых:
м = 2 {Л Sp (В'В) Sp (Р'Р) + TI Sp (В'Р') Sp (ВР) +
+ TI Sp (В'Р) Sp (ВР') + п Sp (В'ВР'Р) -ь n Sp (В'ВРР') +
+ п Sp (ВВ’Р'Р) + TI Sp (BB'PP')} Pl. (3.7)
Рассмотрим еще рассеяние мезонного октета на барионном
октете с образованием барионного резонанса
P + B-^P' + D.	(3.8)
Так как 8x8=1 + 8 + 8'4-10 + 10 + 27 и 8x10 = 8+10 + 27 +
+ 35 (см. табл. 16.4), то амплитуда процесса (3.8) будет со-
стоять из четырех независимых унитарных инвариантов (соот-
534
Глава 16. Унитарная, симметрия
ветствующих переходам 8->8, 8->8', 10-> 10 и 27->27):
М = { Т}Pqi BlsDjqk PkmEims + T}PlsB4DjqkPkmzims +
+ T№ BrsDqrkP^lst + t'-PI BrsDqrk PlmEkms} Pt. (3.9)
Соотношение между амплитудами процессов. Рассмотрим, на-
пример, процесс
л++р-^л+ + р.	(3.10)
В данном случае, согласно (2.18), (2.19) и (2.21),	= =	—
=	= 1. Остальные компоненты равны нулю. Поэтому ампли-
туда процесса (3.10) запишется так:
Mst (л+р -> л+р) = Т\ + 7?.
Аналогичным образом можно получить выражения для ампли-
туд реакций с участием других частиц.
Исключая’из выражений для амплитуд коэффициенты Tt, нахо-
дим соотношения между амплитудами различных процессов.
Например,
Ms (К~р -> К~р) — Ms (л~р -> л-р) = Ms (К~р -* л~2+);	(3.11)
Ms (К+р -* К+р) —Ms (л+р -> л+р) = Ms (л+р -> K+S+). -	(3.12)
Переходя в (3.11), (3.12) от амплитуд к сечениям, получаем
следующие неравенства:
У в (К~Р -> л~2+) I У о (К~Р	p-р) — У о (л-р л~р) I;
(3.13)
У о (рл+ -> K+S+)	| У о (л+р -> л+р) — ]/ о (К+р-^К+р) |.
(3.14)
Электромагнитное взаимодействие адронов
Электромагнитный ток в 5’773-симметрии. Как уже отмечалось
(гл. 8, § 5), электромагнитный ток адронов имеет следующую
изотопическую структуру: —	+ где — изотопический
скаляр, /Д —третья компонента изотопического вектора, а индексу
характеризует пространственные .компоненты вектора тока. Кроме
того, гиперзаряд У обеих компонент тока должен равняться
нулю, потому что ток не меняет гиперзаряда системы частиц.
Так как октет является унитарным мультиплетом наименьшей
размерности, содержащим изотопический скаляр и изотопический
вектор с гиперзарядом У = 0, то естественно предположить, что
компоненты электромагнитного тока принадлежат именно унитар-
ному октету (Уи)₽ или [см. формулу (2.12)] соответствующему
ему восьмивектору Уц = ~ (Уц)₽ (А,-)«- При этом компоненте ок-
§ 3. Применение SUs- симметрии к взаимодействию адронов
535
тета с I — Y = 0 соответствует восьмая компонента восьмивек-
тора Уц, а с У = 0, 7=1, 7\ = Ts — третья компонента восьми-
вектора Уц. Другими словами, электромагнитный ток в 5773-сим-
метрии представляет собой линейную комбинацию компонент УД
и Уц восьмивектора УД:
7ц = а7Д + 6.7Д = аУД + 6УД.	(3.15)
Здесь а и Ь — постоянные числа, общие для всех частиц. Чтобы
найти а и Ь, рассмотрим соответствующее выражение для сво-
бодных кварков. Так как заряды кварков р', п', К равны 2/3,
— 1/з, —1/з. то выражение для вектора тока 4 запишется так:
4 = з - у - у Ш3-	(3.16)
где ф“ — волновые функции кварков. С другой стороны, для сво-
бодных кварков
(4)р =	(3.17)
Поэтому 4 выражается через (Уи)р следующим образом:
4 = (4)Ж)«-	(3.18)
Здесь Xе — диагональная матрица с элементами, равными заря-
дам кварков: 2/3, — 1/3, —1/3. С помощью 4 и Л8, определяемых
(2.1), матрица V запишется так:
Г = 7Хз+гЙХ8'	(ЗЛ9)
Сравнение (3.15) и (3.18) дает а — 1, b =1/1^3. Константы а и
Ь — общие для всех частиц, поэтому выражение для электромаг-
нитного тока в 5Д3-симметрии выглядит так:
4= (vty = 1(Уц)₽“ [(Чр«+-^ (М₽«|.	(3.20)
Последнюю формулу можно переписать в более удобном виде.
Так как (Уц)? = (Уи)1 + (Уи)1 + (Ур)1 = 0г то
- (4)1- (У^ = (УД*.
Подставляя последнее соотношение в (3.20), найдем
4=j (4)1 - 4 (Уц)| -1 (Уц)|=(Уц)}.	(3.21)
Структура амплитуды. Рассмотрим процесс фотообразования
мезонов М на барионах В: у + Bi-> В2 + Р, предполагая, что
Bi и В2 — один и тот же октет барионов, а фотон и мезон М
описываются одним И тем же октетом. Так как электромагнит-
536
Глава 16. Унитарная симметрия
ный ток принадлежит октету, то выражение для амплитуды
запишется в виде (3.7), если считать, что
P = (VM)1.	(3.22)
Рассмотрим еще реакцию фоторождения мезонного октета на
барионах с ^образованием барионного резонанса у 4- В -> D 4- Р.
Выражение для амплитуды этого процесса запишется в виде (3.9),
если в нем произвести замену (3.22).
Соотношения между сечениями. Рассмотрим процесс
У + Р-^Р + л0.	(3.23)
В данном случае согласно (2.18) (2.19), (2.21) В[ = 1, 5з=1,
Р} = — Р|=1/|/2. Остальные компоненты равны нулю. Поэтому
амплитуда процесса (3.23) запишется так:
(ур -> рл») = -L (Г 4- Тб 4- Г).
Аналогичным образом можно получить выражения для ампли-
туд других процессов фотообразования (ур-> пл+, ур->2°/<+
ит. п.). Исключая из этих выражений коэффициенты Т;, найдем
соотношения между амплитудами различных процессов; например:
—1/2 Ms (ур-> пл+) 4- Ms (ур -> S°/C+) = j/3 Ms (ур -> /С+А°);
(3.24)
f/2 Ms (ур -> 2+№) 4- Ms (ур ->рл») = 1/3 АР (ур ->pi]). (3.25)
Переходя в (3.24) от амплитуды к сечению, получаем неравенство
1/о(ур->пл+) I—1/о(-|>р->/С+2°) 4-
I V *
4-рЛ41/а(ТР->/<+Л«)|. (3.26)
Слабое взаимодействие адронов
Слабые адронные токи в 5’/7з-симметрии. Рассмотрим лептон-
ные распады адронов, обусловленные слабым взаимодействием.
Существует два типа таких распадов — с сохранением и без сохра-
нения странности (см. гл. 15, § 3, 4). Эти распады определяются
слабыми адронными токами, соответственно сохраняющими и не
сохраняющими странность. Каждый' из них представляет собой
сумму векторного и аксиального токов.
Как уже говорилось (гл. 15, § 3), в трехмерном изотопиче-
ском пространстве изовекторная часть электромагнитного тока и
векторный слабый адронный ток, сохраняющий странность, явля-
ются компонентами изовектора. Эти Токи сохраняются. Аксиаль-
§ 3. Применение SU3- симметрии к взаимодействию адронов
537
ный слабый адронный ток, сохраняющий странность, входит
компонентой в другой изовектор. Этот ток не сохраняется.
Предположим, что в £7/3-симметрии электромагнитный и
слабый адронные векторные токи (сохраняющие и не сохраняю-
щие странность) входят в октет. Аналогичным образом группи-
руются в другой октет слабые адронные аксиальные токи. При
этом сохраняющему странность току (У = 0, 7 = 1, 73 = 1) соответ-
ствует тензор (УцН, а не сохраняющему странность (У=1, I =
— Va. Z3 = ±V2)—тензор (Уц)з- Подчеркнем, что в 57/3-симметрии
странный векторный ток сохраняется, потому что он входит в
один октет с сохраняющимися электромагнитным и слабым не-
странным векторным токами, а все компоненты октета должны
обладать одинаковыми свойствами.
Структура амплитуды. Рассмотрим для примера распад октета
псевдоскалярных мезонов Р на такой же октет мезонов и пару
лептонов: Р->Тэ-}-/1-}-/2. Так как четности мезонов начального
и конечного октетов одинаковы, то в распадах принимают уча-
стие лишь векторные слабые адронные токи, сохраняющие и
несохраняющие странность (см. гл. 15, § 3). Амплитуда процесса
состоит из двух независимых комбинаций, которые можно обра-
зовать из двух различных волновых функций, соответствующих
начальному и конечному состояниям:
Msa = [gF (PlPlk - PlkPl) + gD (P№ + M)] Jiia,	(3.27)
где P — волновая функция октета псевдоскалярных мезонов;
j'. = iz‘cos 6 — для тока, сохраняющего странность, и j\ =
= V3 sin 6 —для тока, не сохраняющего странность; 6 —угол Ка-
биббо; /а = «/„Та (1 + Тз)— слабый лептонный ток, gF, gD — кон-
станты связи.
Соотношение между амплитудами. Подставляя в (3.27) ма-
трицы (2.19), получаем выражение для амплитуды
Msa = gF {[К2 (л°л+ - лтг°) + /СА° - К°К+] cos 0 +
+ [yf W “ ^°)+1^1 W - КГъ) +
+	— /<ол+] sin б| ja. (3.28)
Сравнение коэффициентов при соответствующих комбинациях
волновых функций приводит к определенной связи между ампли-
тудами распадов. В частности, для отношения амплитуд распадов
/С+ -> л° + е+ + ve, л+ -> зт° + е+ + ve
имеем
W (K+-»-n°+e++ve)
W (л+~> л°-|-е+-|-ус)
7f/l^cose=ltge.
538
Глава 16. Унитарная симметрия
Подставляя сюда значение угла Кабиббо 6, получаем для отно-
шения значение, близкое к тому, которое наблюдается на опыте.
Метод тензорных операторов
Наряду с тензорным методом, которым мы до сих пор поль-
зовались, при вычислениях можно использовать другой способ,
получивший название метода тензорных операторов. Его суть
сводится к следующему.
Рассмотрим систему, состоящую из двух унитарных мульти-
плетов. Будем характеризовать мультиплет числами У, I, 1г,
т. е. гиперзарядом, изоспином и проекцией изоспина частиц.
Если волновые функции октетов фу//г, ^Учч' заДаны> то волно-
вая функция ¥ системы запишется следующим образом:
'Р = SCy/; учч^ш ^учч'г>	(3.29)
где Суц^ учч'г — унитарные коэффициенты Клебша— Гордана.
Явный вид разложения (3.29) для произведений различных
мультиплетов при фиксированных значениях Y, 7, 1г и Y’, Г, Гг
приведен в журнале «Reviews of Modern Physics», т. 36, стр. 1005,
1964. Пользуясь этими таблицами, можно найти, что например,
для системы, состоящей из л°-мезона (Y = 0, 7 = 1, 1г — 0) и
протона (У=1, 7 = 1/2, 7г = 1/2), разложение (3.29) выглядит так
(обе части принадлежат октету, поэтому надо пользоваться таб-
лицей 8x8):
у) (о 1 oj = 1//Г~За27~3/2'1~ j/~{X)a27~I/2~
- 75	<3-30)
В случае системы, состоящей из л°-мезона и резонанса N*
(У = 1, I — Slt, = разложение (3.29) запишется следующим
образом (одна частица принадлежит к ^октету, а другая — к деку-
плету, поэтому надо пользоваться таблицей 8x10):
I - тН?- Йй + Л
(3-31)
Представляя печальную и конечную системы в виде (3.29),
получаем следующее выражение для унитарной амплитуды про-
цесса:
М = а{СтСпЬ
§ 4. Нарушенная SUg- симметрия
539
При перемножении надо иметь в виду, что отличны от нуля
лишь произведения одинаковых представлений (вследствие орто-
гональности представлений). Так, например, для унитарной
амплитуды процесса	jt0-4-7V*, имея в виду (3.30) и (3.31),
получаем следующее выражение:
м (««р -> rfW)=±	±	++
+ (3-32)
Аналогичным образом могут быть найдены выражения для
амплитуд других процессов. Эти выражения приводят к тем же
соотношениям, которые были получены выше.
§ 4.	НАРУШЕННАЯ SUs-СИММЕТРИЯ
Пока полусильное и электромагнитное взаимодействия «выклю-
чены», существует точная St/з-симметрия. Учет полусильного и
электромагнитного взаимодействий ведет к тому, что унитарная
симметрия нарушается. Рассмотрим некоторые эффекты, связан-
ные с нарушением симметрии.
1.	Расщепление масс. Возьмем для определенности барионный
октет. В точной St/з-симметрии массы всех частиц октета строго
одинаковы и равны пг0. Из волновых функций свободных частиц
можно построить унитарный инвариант m0 Sp ВВ.
Учтем полусильное взаимодействие. Предположим, что оно
преобразуется как компонента (Уи)| с равными нулю изотопиче-
ским спином, странностью и зарядом. Предположим также, что
полусильное взаимодействие мало по сравнению с сильным и для
учета полусильного взаимодействия можно воспользоваться тео-
рией возмущений. Тогда члены, учитывающие полусильное взаи-
модействие в первом порядке теории возмущений, запишутся
в виде
Вт = a Sp BBVl + b Sp BBVl,
где а и b — неизвестные постоянные числа. Полная масса частицы т
будет равна
m — m0S'p AB-j-aSp BBVl-\-b Sp BBVl.	(4.1)
Подставив (2.18) и (2.21) в (4.1), получим:
2
тз=т0-\-Ь, т^—то, mN = m0-\-a, тл=то + -^(а + Ь).
Исключение констант т0, а, b приводит к следующему соот-
ношению между массами частиц (формула Гелл-Манна— Окубо):
~ (ms + tnN)=~ (тъ + Зтл).	(4.2)
540
Глава 16. Унитарная симметрия
Аналогичным образом могут быть получены массовые формулы
для других мультиплетов.
Учтем расщепление масс, обусловленное электромагнитным
взаимодействием. Последнее преобразуется как компонента V[.
Если учесть его в первом и втором приближении теории возму-
щений, т. е. учесть V{ и К}}, то унитарное инвариантное взаимо-
действие запишется так:
=	+	(4.3)
Объединение (4.1) и (4.3) дает:
/п3- = т0 + 6 + а; /nA = m0 + y (« + &) +4 (а + ₽)-у
тЕ„ = т0 + b; mn~m0 + а-,
ms- = tn0-\-a; mp — m0 + a + $; m2+ = m0 + P;	(4.4)
m2o = m0+y(a + ₽)-v;	(« + ₽)
Из соотношения у = — у (ms+ + mj-) следует, что у = — 0,95 ±
±0,20, т. е. можно положить у = 0. Тогда из (4.4) вытекает
еще одно соотношение наряду с (4.2):
(ms—mSo) — (mp — mn)=mz-—ms+.	(4.5)
Аналогично могут быть найдены расщепления масс, обусловлен-
ные электромагнитным взаимодействием, для других мультипле-
тов.
Все полученные массовые формулы очень хорошо согласуются
с экспериментальными данными, несмотря на то, что при их опре-
делении было сделано несколько произвольных существенных
предположений (полусильное взаимодействие преобразуется как
(Й|д,)з возможность пренебрежения вкладом К|| и т. д.).
2.	Амплитуды процессов. Учет полусильного взаимодействия
ведет к изменению выражений для амплитуд, полученных в
рамках точной St/3-симметрии. Для того чтобы записать, напри-
мер, амплитуду процесса В ± Р -> В' ± Р' с учетом полусильного
взаимодействия, следует добавить к формуле (3.7) член, соответ-
ствующий вкладу полусильного взаимодействия. Для получения
последнего в первом порядке теории возмущений надо каждое
слагаемое формулы (3.7) заменить суммой всех возможных для
него сверток по V3. Например, вместо SpBP'BP получим
SpBP'BP -> SpB3P'3BP ± SpB3P’B3P + ....
Как видно, в этом случае число произвольных функций в выраже-
нии для амплитуды существенно возрастает. С помощью матриц
(2.18), (2.19) и (2.21) можно найти вид амплитуд для конкретных
процессов через эти произвольные функции. Исключая послед-
ние, придем к соотношениям между амплитудами процессов.
§ 4. Нарушенная SU3- симметрия
541
3.	<о—ф-смешивание. Вычисления в рамках нарушенной SU3-
симметрии в случае векторных мезонов дают для массы мезона
с У = 7 = 0 величину 931 МэВ. С другой стороны, на опыте
наблюдается два мезона с У = I = 0: со0 и <р° с массами 783 и 1020 МэВ.
Если считать, что даваемые St/з-симметрией массовые формулы
правильны, то указанное расхождение можно объяснить так.
Будем считать, что со0 является унитарным синглетом, а <р°, /С*,
К*, р образуют унитарный октет. Если существует точная
St/з-симметрия, то эти мультиплеты не взаимодействуют. В случае
нарушенной 5{/3-симметрии возможен переход со°г=гф°, т. е. со —
ф-смешивание. Тогда становятся отличными от нуля недиагональ-
ные элементы оператора квадрата массы равные (со°| а#21 ф°).
Другими словами, со0 и ф° являются нефизическими состояниями.
Физическими состояниями будут комбинации со0 и ф°, приводящие
к диагональным матричным элементам оператора а#2:
Ф = cos а ф0-}-sin а со0, со = — sin а ф° + cos а со0,	(4.6)
где а —угол смешивания.
По определению,
т2фо = (ф° | е^2 |ф°), /Ищо = (со01	1 со0),
/Иф== <ф|<^2|ф>, /И2и = <(0|©^2|(0>.
Подставляя в эти формулы (4.6), получаем уравнения
cos2 а /и^> 4- sin2 а /Ии» + 2 sin а cos а бф^ = tri^,
sin2 а /Ифо + cos2 а т&> — 2sin а cos а 8^ = т®,	(4.7)
(ф | М21 со) = (cos2 а — sin2 а) бфо + sin а cos а(/Ии» —	= 0,
где6фО = (ф° |©^2| со0) = (соо|е^21 ф°). Изэтих уравнений можно оп-'
ределить три неизвестные величины: т^, cos а и бфо; в частности,^
угол смешивания cos 2а =——5—, а^39°40. Поэтому
выражение (4.6) перепишется так:
ф° = ]/'|-<P-j/y(°,	=	+	(4.8)
Иначе говоря, можно вести все вычисления с нефизическими со0
иф° ,но в конечных результатах надо их заменить выражениями(4.8).
•ST/e-симметрия. Элементарные частицы обладают пространст-
венными и внутренними свойствами симметрии. Эти свойства
связаны с инвариантностью относительно пространственных групп
(группа трехмерных вращений пространства, группа Лоренца,
Пуанкаре) и групп внутренней симметрии (группа трехмерных
вращений в изопространстве, или группа SU2, группа SUs и т. п.).
До сих пор мы анализировали пространственные и внутренние
свойства симметрии раздельно. Следующим шагом является сов-
местное рассмотрение их. Для этого необходимо объединить группы
пространственной и внутренней симметрии.
542
Глава 17. Алгебра токов и токовые правила сумм
Наиболее полным решением задачи было бы нахождение
такой группы, которая объединила бы нетривиальным образом
(т. е. не в виде прямого произведения) группу Пуанкаре с груп-
пой внутренней симметрии (например, SUs). Такой синтез удов-
летворял бы требованиям теории относительности и, в частности,
мог бы привести к расщеплению масс без явного нарушения сим-
метрии. Но было доказано, что нетривиальное объединение указан-
ных групп невозможно.
Более простым вариантом является объединение группы про-
странственного спина SU2 с одной из групп внутренней симмет-
рии (например, SU3). Такой подход будет существенно нереляти-
вистским: в нем полностью пренебрегается спин-орбитальным
взаимодействием. Так как такое пренебрежение можно сделать
не всегда, то указанный подход имеет ограниченную область
применения.
Глава 17
АЛГЕБРА ТОКОВ И ТОКОВЫЕ ПРАВИЛА СУММ
В гл. 14 были получены правила сумм, т. е. определенные
соотношения для интегралов от абсорбтивных частей неизвестных
функций Tt(s, I); при этом использовались одномерные диспер-
сионные соотношения и предположение об определенном поведении
амплитуд процесса при больших энергиях.
Правила сумм можно также получить другим методом, осно-
ванным на гипотезе о том, что электромагнитные и слабые токи,
взятые для одинаковых времен, образуют алгебру Ли
(см. гл. 16, § 1). В этой главе мы изложим суть метода алгебры
токов и получим с его помощью типичные правила сумм. Послед-
ние, в отличие от дисперсионных, мы будем называть токовыми
правилами сумм..
§ 1. АЛГЕБРА ТОКОВ
Электромагнитные и слабые токи адронов. В квантовой теории
поля каждой частице приписывается свое локальное поле и свой
локальный ток, при этом взаимодействие между частицами
можно описать с помощью их токов.
У адронов наряду с токами, характеризующими сильное
взаимодействие, имеются токи, соответствующие электромагнит-
ным (см. гл. 13) шслабым взаимодействиям (см. гл. 15). В дальней-
шем мы сосредоточим внимание именно на электромагнитных
и слабых взаимодействиях адронов и на токах, связанных с этими
вз аимодействия ми.
В обычном пространстве-времени плотность электромагнит-
ного тока (х) адронов представляет собой четырехмерный
вектор, пространственной частью которого является плотность
трехмерного тока J (х), а временной — плотность заряда J0(x).
§ 1. Алгебра токов
543
В том же пространстве-времени слабый адронный ток, как мы
уже говорили (см. гл. 15), является комбинацией вектор-
ного Вр,(х) и аксиального (псевдовекторного) Лр,(х) токов.
Электромагнитный ток сохраняется, что математически форму-
лируется так:
dJll(x)/dxll — Q,
(1.1)
т. е. дивергенция электромагнитного тока равна нулю. В противо-
положность этому - слабый аксиальный адронный ток (х)
не сохраняется, т. е. дА^ (х)/дхп, =# 0. Свертка ~ А^ (х) преобра-
(7Х|х
зуется как псевдоскаляр, поэтому дивергенция аксиального
вектора в общем случае может быть пропорциональна произволь-
ной комбинации полей, преобразующейся как псевдоскаляр.
Обычно используют наиболее простую возможность (гипотезу
PC АС — см. гл. 15, § 3), предполагая, что дивергенция аксиаль-
ного тока пропорциональна полю псевдоскалярного л-мезона:
Лц (х) — С<ря(х).
(1.2)
Коэффициент пропорциональности С определяется формулой (3.32)
гл. 15.
Наряду с пространственными свойствами адронные токи обла-
дают определенными изотопическими и унитарными свойствами,
т. е. наряду с пространственным индексом адронный ток обла-
дает еще либо изотопическим, либо унитарным индексом. Как
мы уже говорили (см. гл. 8, § 5), в трехмерном изотопическом
пространстве электромагнитный ток адронов является комбина-
цией изоскаляра и третьей компоненты изовектора:
+	(1.3)
' Предположим, что двум оставшимся компонентам изовектора
соответствуют слабый адронный векторный ток (сохраняющий
странность) и его эрмитово сопряженная величина. Тогда можно
сказать, что векторный электромагнитный ток и векторный
слабый адронный ток (сохраняющий странность) образуют в изо-
пространстве изовектор.
Электромагнитный ток в 5(73-симметрии представляется линей-
ной комбинацией третьей и восьмой компонент октета (см. гл. 16, § 3):
4=4+^4	(1.4)
Если предположить, что остальным компонентам октета соответ-
ствуют векторные слабые адронные токи (сохраняющие и несо-
храняющие странность), то можно сказать, что векторный электро-
магнитный ток и векторные слабые адронные токи образуют
544
Глава 17. Алгебра токов и токовые правила сумм
октет J*(x). Аналогичным образом группируются в октет J^(x)
аксиальные слабые адронные токи.
Вместо октета плотностей зарядов 4 (х) векторных токов
можно ввести октет полных зарядов векторных токов
QJ(x„)=Jdxj‘(x)	(1.5)
и аналогично — октет полных зарядов аксиальных токов Qk (х0)
Qk(x6)=\dxJk6(x).	(1.6)
Гипотеза PC АС (1.2) для октета аксиальных токов, если
принять во внимание выражения (2.12) и (2.19), гл. 16, форму-
лируется так:
— сл+Фл+1	iJfy — сл-фл-«	(1-7)
Как видно, гипотеза РСАС позволяет заменить дивергенцию
аксиального тока полем соответствующего мезона, и наоборот.
Коммутаторы токов. Рассмотрим простую модель (типа квар-
ковой), в которой векторный ток возникает только за счет тока
барионов со спином 1/2 и изотопическим спином 1/2, т. е.
А (х) = Ф (х) Уцт* ф (х).	(1.8)
Здесь ф (х) — операторы вторично квантованного спинорного поля
(см. гл. 3, § 5); tk — матрицы ть т2, т3 (см. гл. 8, § 5), которые
подчиняются перестановочным соотношениям
tktl — Tli:k = [т\ tz]_ = ie,kimT;m.	(1.9)
Возьмем временную Jko(x) компоненту этого тока и образуем
из нее коммутатор
[4 (х). Jl0 (5/)]_ А (х) А (у) - Л (У) Jo (х).	(1.Ю)
Положим, что времена у токов одинаковые, т. е. хь = #о = £,
и вычислим коммутатор.
Операторы спинорного поля, входящие в (1.8), подчиняются
следующим одновременным перестановочным соотношениям (см.
гл. 3, § 5):
№(х, 0. ЫУ. 0]+^Фи(х, ОЫу, .0 +
+ Фт(у. 0Фи(х> 0 = 6nv6(x-y), (1.11)
[Фн(х, iMy. 0]+=№(х. О»Ф£(у. О]+=о.	(1.12)
§ 1. Алгебра токов	545
С учетом этих соотношений получим (имея в виду, что у« = 1)
[4 (х, t), 4(у, 0]- = Ф(х, о [твт\1 - Тот'4] -ф (х, /)б(х —у) —
-ф£(х, t)(tk)ab^ (у, f)tyb(x, t) (tl)cd^d (у, /) +
+Ф?(у. О (А</Фа(х, 0Фс(у, О (х, t). (1.13)
Два последних члена в этом выражении, если учесть (1.12),
сокращаются:
Ф+(У. 0Ф+(х, t) [tzToTot'; - т'уоУот''] ф (у, /) ф (х, /)=0.
Оставшиеся два члена в формуле (1.13) преобразуются к виду
ф (х, 0 уо (t4z — тМ) ф (х, 0 6 (х — у),
т. е. окончательно рассматриваемый одновременной коммутатор
токов, если принять во внимание (1.9), запишется в случае
5(72-симметрии так:
[4 (X, /), J‘b (у, /)]_ = ieWroJoro (х, 0 б (X - .у),
или, если использовать свойства тензора 8Wm и ввести матрицы
Т±= yL(Tl±t-T2), т0=тЗ и токи J± = -L- (JJ±iJg), Jg = Jg,
[JJ(X, 0, /о (у, О]- = ^о(х, /)6(х —у).	(1.14)
Как видно, коммутатор временной компоненты векторного тока
для одинаковых времен выражается через исходные токи, т. е.
набор токов 4 (х, 0 и 4 (у» О» взятых для одного и того же
времени x0 = y0 — t, образует алгебру Ли (см. гл. 16, § 1) по уни-
тарным индексам k и /.
В случае точной St/3-симметрии ток является восьмивектором
(см. гл. 16, § 3):
Л (х) = Ф (х) ?(Л*ф (х),	(х) =ф (х) ТцТ6Х/г ф (х),
причем матрицы % подчиняются коммутационным соотношениям
(2.2), гл. 16.
Заменяя в предыдущих вычислениях матрицы т матрицами %,
получаем вид интересующего нас одновременного коммутатора
октетов токов в случае 5(73-симметрии:
[4(х, t), 4(У,	=	Об(х-у).	(1.15)
Аналогичным образом можно найти выражения для коммутатора
октетов временной Jb (х, t) и пространственной Jln (у, t) частей
векторного тока (1.8):
[4 (X, 0. Jln (У, 01- = ifklmJn (X, /)б(х-у)-
-^[$пг(х)б(х-у)], (1.16)
18 Нелипа rl. Ф.
а также октетов пространственных частей векторного тока (1.8)
[Л (X, 0,	(у, 0]_ = -i6 (X- y){/7„m Дт (X, 0 +
+4	(х> о+d™Jmt (*. о]} -
-^[S^W6(x-y)]. (1.17)
При получении этого коммутатора удобно использовать соотно-
шение = gki + lefc/mVoYmYs. Обычно второе слагаемое в этой
формуле (как специфичное для кварковой модели) во внимание
не принимают.
В отличие от (1.14) в правой части (1.16) и (1.17) помимо
члена, пропорционального току, появляется дополнительное сла-
гаемое, содержащее производные (в общем случае любого порядка)
от 6-функции и симметричное относительно унитарных индексов
k и I. На наличие таких сингулярных членов впервые указал
Швингер и поэтому они получили название швингеровских членов.
Можно показать, что швингеровские члены обязательно должны
присутствовать в коммутаторах, содержащих пространственную
часть тока. Однако мы их в дальнейшем будем опускать.
Рассмотрим наряду с октетом векторных токов октет аксиаль-
ных токов
J» М = Ф(х)7ц75^Ч(х), & = 1, 2, 3,..., 8.	(1.18)
Действуя тем же способом, что и при получении (1.14)—(1.17),
найдем выражения для одновременных коммутаторов различных
компонент октетов векторного и аксиального токов; например,
для октетов временных частей векторного и аксиального токов:
[Л(х, t),	(У, /)]-= ifklmJ» (X, 06(х —у),		(1.19)
для октетов временной части аксиального и пространственной
части векторного Jln токов:
Р*(Х, О, Л (у, 0L = ifWm/rm(x, 06(х-у) —
-f^-[S«(x)6(x-y)]. (1.20)
Конечно, токи, соответствующие не модельным, а реальным
физическим электромагнитному и слабому взаимодействиям, имеют
более сложный вид, чем (1.8) и (1.18). Гипотеза алгебры токов
является обобщением рассмотренной модели.
Гипотеза алгебры токов. Она заключается в том, что для
компонент векторного и аксиального октетов физических токов
независимо от конкретной модели имеются следующие одновре-
менные коммутационные соотношения:
а)	для временных компонент октетов токов:
|</(|(Х, /), /0(У, 0|- = l7klmJо (х, /) б (х—у),
14 (х, /), 4 (У, /)]- = ifklm'K (X, /) б (Х-у),	(1.21)
[4(х, /), 4(у, 01 -ihtmJT (х, 0б (х-у);
б)	для полных зарядов (1.5) и (1.6):
[Q*(0. Qz(01- = ^/mQm(0.
[Q* (0, Q‘ (01- = ifkimQm (0.	(1.22)
[Qft (/), Qz(01- = «7«mQm(0;
в)	для временных и пространственных компонент октетов
токов (S—швингеровские члены):
[4 (X, о. Jlr (у. 0]- = tfumJ™ (х, о б (X - у) + S,
[4(Х, 0. 4(у, t)]_ = ifklmJ7(x, f)6(x-y) + S,	(1.23)
[4 (X, 0. Jr (у, 01- = ifktmJ7 (X, о б (х - у) + S;
г)	для полных зарядов и пространственных компонент токов:
[Q* (0, Jlr (у, 0 ]-=ifkimJ™ (у, t) + S,
[Q* (0. Jr (у. 0]- = ifkimJ? (у, 0 + s,	(1.24)
[Q"(0, 4 (у, t}v=ifklmJ? (у, 04-S;
д)	для пространственных компонент октетов токов:
[4(х, 0. 4 (У, t)}_ = ifklmK(x, t)grsb(x-y) + S,
[Jkr(*, t}, 4 (У, 01-=W"(x, 0^s6(x-y)4-S,	(1.25)
[4(x, t), Jls(y, t)]~ = ifklmJ^(x, t)grsb(x-y)+S.
Как видно, октеты векторных и аксиальных токов образуют
алгебру Ли по унитарным индексам.
Наряду с выписанными коммутаторами двух октетов токов
можно постулировать коммутаторы октета тока J^(x) и локаль-
ного оператора поля Ф* (х). Например, в случае оператора псев-
доскалярного поля ф' (у)
Ut (X, t), <pz (у, 0]- = hkim4>m (X, 0 б (х - у).	(1.26)
Соотношение (1.П). вследствие его одновременного харак-
тера, не зависит от масс частиц. Поэтому было сделано важное
предположение, что перечисленные одновременные коммутацион-
ные соотношения имеют место как для точной, так и для нару-
шенной St/з-симметрии.
18*
546
Глава 17. Алгебра токов и токовые правила сумм
а также октетов пространственных частей векторного тока (1.8)
[Л (X, о, Л (у, 0]- = -i6(x-y){gwUX (X, i) +.
+ekU []fI	(х. о+d^mt (х- о]} -
-1‘^-[5«Их)6(х-у)]. (1.17)
При получении этого коммутатора удобно использовать соотно-
шение УкУ^вм + ^мтУоУшУб- Обычно второе слагаемое в этой
формуле (как специфичное для кварковой модели) во внимание
не принимают.
В отличие от (1.14) в правой части (1.16) и (1.17) помимо
члена, пропорционального току, появляется дополнительное сла-
гаемое, содержащее производные (в общем случае любого порядка)
от 6-функции и симметричное относительно унитарных индексов
k и I. На наличие таких сингулярных членов впервые указал
Швингер и поэтому они получили название швингеровских членов.
Можно показать, что швингеровские члены обязательно должны
присутствовать в коммутаторах, содержащих пространственную
часть тока. Однако мы их в дальнейшем будем опускать.
Рассмотрим наряду с октетом векторных токов октет аксиаль-
ных токов
^(х) = ф(х)Тцу5ХАф(х), 6 = 1, 2, 3,..., 8.	(1,18)
Действуя тем же способом, что и при получении (1.14)—(1.17),
найдем выражения для одновременных коммутаторов различных
компонент октетов векторного и аксиального токов; например,
для октетов временных частей векторного и аксиального токов:
[Л(х, t),	/)|.= 1МГ(х, /)6(х-у),	‘	(1.19)
для октетов временной части аксиального и пространственной
части векторного Jln токов:
Ро (х, 0, Jlr (У, 0]- = ifktoi J? (X, о 6(х-у) —
-f^-[S«(x)6(x-y)]. (1.20)
Конечно, токи, соответствующие не модельным, а реальным
физическим электромагнитному и слабому взаимодействиям, имеют
более сложный вид, чем (1.8) и (1.18). Гипотеза алгебры токов
является обобщением рассмотренной модели.
Гипотеза алгебры токов. Она заключается в том, что для
компонент векторного и аксиального октетов физических токов
независимо от конкретной модели имеются следующие одновре-
менные коммутационные соотношения:
§ t. Алгебра токов	ГМ 7
а)	для временных компонент октетов токов:
[4 (х, о, 4 (у, 0]- =	(X, 0 б (X - у),
[4 (X, t), К (у, /)]_ = ifklmJT (х, /) б (х - у),	(1.21)
[4(х, /), 4 (у, O]- = ifHm4m(x, Об(х-у);
б)	для полных зарядов (1.5) и (1.6):
[Q" (0. Qz(/)]- = tfWmQm(O,
[Q*(0, Q'(/)]- = i7wmQm(0.	(1.22)
[Q*(0. Qz(0]- = Mm(0;
в)	для временных и пространственных компонент октетов
токов (S—швингеровские члены):
[4(х, t),	Jlr(y, =	/) б (х — у)-f-S,
[4 (X, /),	~Jlr (у,	/)]_ = ifklm37 (X,	t) 6 (x-y) + S,	(1.23)
[4 (X, t),	Jr (y,	o]- = tfklmJ? (x,	t) б (X - y) + S;
г)	для полных зарядов и пространственных компонент токов:
[Q* (0, Jlr (у, 0]- = ifklmJ? (У, t) + S,
[Q* (0, Jlr (у. 01-=ifklmJF (У, 0 + s,	(1.24)
[Q"W, Л (у, t}]- = ifklmJ7(y, t) + S;
д)	для пространственных компонент октетов токов:
[4(х, t), Jls(y, f)]_ = ifklmJ»(x, 0£«6(x-y) + S,
[4(x, t), Л (у, t)]- = ifkimJt (x, t)grS8 (x — y)4-S,	(1.25)
[4(x, t), 4(y,	=	t)grsd(x-y) + S.
Как видно, октеты векторных и аксиальных токов образуют
алгебру Ли по унитарным индексам.
Наряду с выписанными коммутаторами двух октетов токов
можно постулировать коммутаторы октета тока 4(х) и локаль-
ного оператора поля Ф'(х). Например, в случае оператора псев-
доскалярного поля q>1 (у)
[4;(х, t), фг(у, t)]- = hklm(pm (х, 06(х-У).	(1.26)
Соотношение (1Л1), вследствие его одновременного харак-
тера, не зависит от масс частиц. Поэтому было сделано важное
предположение, что перечисленные одновременные коммутацион-
ные соотношения имеют место как для точной, так и для нару-
шенной St/3-симметрии.
18‘
548	Глава 17. Алгебра токов и токовые правила сумм
Заметим, что сначала гипотеза формулировалась лишь для
октетов временных компонент токов и полных зарядов, а затем
она была расширена и на пространственные компоненты октетов
токов.
Токовые правила сумм. Нашей задачей является получение
правил сумм с помощью постулированных одновременных ком-
мутационных соотношений (1.21) —(1.25). Существует несколько
способов получения токовых правил сумм. Мы изложим один из
них, суть которого в общих чертах сводится к следующему.
1.	С одной стороны, показывается, что произведение импульса
и амплитуды (3.34), гл. 7, записанной через коммутатор октетов
токов для разных времен, сводится к одновременному коммута-
тору октетов токов; затем последний согласно (1.21) — (1.25)
заменяется октетом токов (на этом этапе используется алгебра
токов).
2.	С другой стороны, записывается инвариантное выражение
(см. гл. 8) для той же амплитуды, содержащее неизвестные
•функции Tt(s, t), и образуется та же комбинация (произведение
импульса и амплитуды).
3.	Сравнение обеих комбинаций дает определенные равенства
между неизвестными функциями Tt(s, t).
4.	Для функций Tt(s, I) пишутся одномерные безвычитатель-
ные дисперсионные соотношения; подстановка последних в полу-
ченные равенства для функций Tt (s, t) приводит к определен-
ной связи между интегралами от абсорбтивных частей функций
Tt (s, t), т. е. приводит к токовым правилам сумм.
5.	Далее, как и при получении дисперсионных правил сумм
(гл. 14, § 1), имеется две возможности:
а)	можно аппроксимировать абсорбтивную часть одночастич-
ным и несколькими низшими многочастичными промежуточными
состояниями, заменить последние соответствующими резонансами
и найти их вклад в функции Tt(s, t), входящие в правила сумм
(см. пример в § 2). Основной недостаток такого подхода заклю-
чается в том, что он приводит к результату, который зависит
от способа насыщения, т. е. от учета тех или иных резонанс-
ных состояний, а указать однозначно, какие из этих состояний
надо учитывать, мы не можем;
б)	в специальном случае малых энергий для некоторых про-
цессов удается получить точные правила сумм, без использова-
ния методики насыщения (см. примеры в § 2, 3).
§ 2.	ТОКОВОЕ ПРАВИЛО СУММ КАБИББО — РАДИКАТИ
- Как уже известно (см. гл. 8, § 5), изотопическая функция
фотона относительно вращений вокруг третьей оси в изовектор-
ном пространстве ведет себя как изоскаляр и как третья ком-
понента изовектора. Рассмотрим рассеяние изовекторного фотона
I
I
i
§ 2. Токовое правило сумм Кабиббо — Радикати
ГИ!>
у® на нуклоне:
' (kJ + N (pj -> Г (kJ + N (pj.	(2.1)
Найдем для него токовые правила сумм. Выберем в качестве
независимых переменных величины v—PkJ2M и t=(p2 — pj2,
где P = (Pt,-\-pJ.
1. Пусть 7ц(х), Jlv (у) — векторные по р, v .n изовекторные
по k и I электромагнитные токи в вершинах NNy. Для изовек-
торного фотона в соответствии с (1.141 k-+J- и 1~>—. Тогда
согласно формуле (3.32), гл. 7 выражение для амплитуды Я4- (у, t)
процесса (2.1) имеет вид (если опустить квазилокальный член):
IP-(у, t) = Hta(v, 0 е1р.е1а»
где
(v, t) = \dx dy el	(p21 e (x0 - у J [	(x), J a (y) ]_ | pj.
(2.2)
Умножим правую и левую части (2.2) на &2ц, заменим в правой
1 <	д	, ,	д
части — k2ll на ч— и произведем дифференцирование по ч—:
1 и	ОХц
= i dx dy е1 х
X <р2 |	6 (АЪ - Уо)} [ (*).	(У) ]-1 Pi) +
-|- j dx dy & (k^x-kiy) (p21 e (x0 — yOj
4- j dxdy e1^-^ (j)216 (x0 — у J p
-ц	J I
'’я- л Н !₽>}• <2-3)
Последнее слагаемое обращается в нуль, так как (у) = 0.
Электромагнитный ток J^(x) сохраняется, поэтому
4/';м=°-
Кроме того, производная от 6-функции равна 6-функции:
6 (*о - у J = 6ц06 (х0 — у J.
Учитывая две последние формулы, получаем вместо (2.3)
= i\dxdyel^x-k^8(x0 — yJ{p2\[Jt(x),Ja(y)]-\Pi'). (2.4)
Мы видим, что определенную комбинацию для амплитуды Яра,
записанной через коммутатор токов для разных времен, а именно
НушЯщ,, можно выразить через одновременный коммутатор токов,
550	Глава 17. Алгебра токов и токовые правила сумм
так как под интегралом появляется 6 (х0 — t/0), отличная от
нуля лишь при х0 — у0. Заменяя в (2.4) одновременный комму-
татор его выражением (1.23), придем с учетом (1.14) к следую-
щему окончательному результату (опуская швингеровские члены):
~	(р2 |/+_0Д (х) | рх> П (0,	(2.5)
где Га (t) — вершинная функция, t — переданный импульс. Анало-
гичным образом найдем
= -^ dxe^~^ (р21	(x) | pt) - Га (0.	(2.6)
2. Инвариантную амплитуду Яца, усредненную по спинам
начального и конечного нуклонов, можно представить в виде
/ца (v, t) = Sp (р2 + M) //Ja (Pi 4- М.) =
= Bi (v, t) glia 4- B2 (v, f) kiak2)l 4- Вз (v, t) Pak2ll 4-
4- Bj, (v, f) P^kia 4- B5 (v, /) P^Pa 4~ Be (v, t) k'z.ivP-'iu4"
4- B7 (v, t) kiykia 4- B8 (v, t) ki^k2a 4-	(v, t) k2aP|X 4-
4-Bio(v, tjPaki». (2.7)
При этом для правых частей равенства (2.5) и (2.6) имеем:
4- Sp (р2 4- М) ГД (ft4- М) = 4 Р^Е (0,
4 Sp (р2 4-М) Г° (Р14- М) = ~ PaG°E(t),
где Gfe (t) — электрический изовекторный формфактор нуклона
(см. гл. 13, § 2).
3.	Умножим (2.7) порознь на k2p и &1(1. Имея в виду, что
для реального фотона kf = k2 — 0 и приравнивая члены справа
и слева при одинаковых импульсах, придем к соотношениям:
(W В, (v, /) 4- (Pki) B5(v, t)— — G”e (t),
Bi (v, t) 4- (kik2) B8 (v, t) + (PkJ B9 (v, t) = 0,	(2„8)
BB(v, t) = Bu(y, t),
(Ш Be (v, t) 4- (Pki) Вз (v, t) = (kik2) B7 (v, t) 4- (Pk2)Bi (v, i) = 0.
Рассмотрим первое из этих равенств; оно записывается через
инварианты v, t следующим образом:
-BB(v, t) = ^ + 2B5(v, t)M*v = -G°E(t),	(2.9)
или, если положить v = 0,
В»(0, t)-^-=G°E(t).	(2.10)
*
§ 2. Токовое правило сумм Кабиббо — Радикати
Г>51
4.	Предположим, что для функций Bt (v, /) можно написать
одномерные дисперсионные соотношения по v (при фиксирован-
ном /) без вычитания (гл. 9, § 3). Так как В9(у, t) = B9(—v,t),
то для В9(у, t)
СО
B9(v, t) = B9(v, O + jHv'	(2.11)
•Il J	y' _
Vo
2Ll2-M	n
где v0 = p+ , ц —масса л-мезона, B9 —полюсной (однонук-
лонный) член, который при v = 0 равен
Я»(0. 0=7^+1^[1-(м;-Р«)21.	(2.12)
где рр и р„ —аномальные магнитные моменты протона и нейт-
рона. Подстановка (2.11) в (2.10) приводит к следующему резуль-
тату, если учесть (2.12):
СО
I Gfe (0 = 1 + 8^ [1 - К - м«)21 +-^ ( 1тУ’ °
Vo
(2.13)
Правило сумм Кабиббо — Радикати. Положим / = 0, тогда
из (2.7) и (2.8) следует, что
Im /рд (у, 0) = 41 m	(v, 0) 4- 2 (Pk2) Im B9 (v, 0) -|-
4-47И2 Im B9 (v, 0) = — 4TI4vImB9(v, 0). (2.14)
Подставим последнее в (2.13). Учитывая, что Im В9 (у, 0) согласно
оптической теореме выражается через полное сечение поглоще-
ния изовекторного фотона, придем к точному правилу сумм
Кабиббо — Радикати-.
1_0 = П - (Рр - Р«)21 +
+ J ~l^l/2(v)~a3/2(v)]. (2.15)
•Х + 2^
Здесь оз/2 и oi/2 —полные сечения поглощения изовекторного
фотона нуклоном в состояниях с изотопическим спином 3/2 и 1/г.
Соотношение (2.15) неплохо согласуется с имеющимися опыт-
ными данными.	г
Правило сумм с насыщением. Если/=/= 0 (рассеяние на произ-
вольный угол), то точные правила сумм получить не удается.
Однако в этом случае можно найти приближенные правила сумм.
Для этого надо аппроксимировать в (2.13) абсорбтивную часть
резонансными состояниями (например, нуклоном и резонансом N*).
Тогда правило сумм сведется к соотношению между констан-
тами связи (типа того, которое получено в § 2 гл. 14).
552
Глава 17. Алгебра токов и токовые правила сумм
§ 3. ТОКОВОЕ ПРАВИЛО СУММ АДЛЕРА — ВАЙСБЕРГЕРА
Рассмотрим рассеяние псевдовекторных (аксиальных) ^-ме-
зонов на протоне
(ft) + р (Рх) ->	(ft) + р (р2),	(3.1)
обусловленное слабым аксиальным взаимодействием (изотопиче-
ский спин 117-мезона равен 1/2). Выберем в качестве независимых
переменных величины
_ (Р1 + Рг)?2
М 2М
И t={p2-P1r, P^Pi±P^
Найдем соответствующее процессу (3.1) низкоэнергетическое
(^q1 — q2->0) точное токовое правило сумм.
1. Выражение для амплитуды М (v, /) процесса (3.1) в соот-
ветствии с (3.34), гл. 7 выглядит так:
М (v, /)	(v, /) q^qla,
где
М$а (у, t) = \dx dye1 ^x ~ ^\p2] 6 (x0 — Po) X
x[J£(x), ^(p)]_|ft>,	(3.2)
а /ц и Jla — аксиальные токи. Учитывая, что аксиальный ток
не сохраняется и используя коммутационные соотношения (1.25),
получаем следующую формулу, аналогичную (2.5), (2.6):
q^M^i^dxdye^-^x
X {<ft16 (Хо - Ро) [^- К (х) > Ja (р)]_ I Р1> + ifkirfi (х-у)х
X (р2 I Ja (х) | Рх)|. (3.3)
Умножим это выражение на qla и в первом члене правой части
1 д
повторим прежние вычисления с заменой qla на — х— и интег-
1 °Уа
рированием по частям; в результате найдем:
q^M^ia = \dx dy elss*x ~	(р216 (х0 - р0) X
х	’ дУа	~	~	—
qiafklnJа (х) 6 (х — У)\Р1). (3.4)
Пусть ql и p’l-^p,2 (где р, —масса 117-мезона). Производя
в (3.4) на основании гипотезы РСАС (1.2) замену
^J (х)=Сфл(х),
§ 3. Токовое правило сумм Адлера — Вайсбергера
г>г»з
получаем
Q^M^aqla = dx dye1 «*х ~ м! {С2 <р21 6 (х0 - Уо) X
X [фл (х), фл (у)]-1 Pi> — С6 (х0 — уо) X
Х(рг|[фл(х), Jo (Р)]_ |pi)} + Qiafkln Га (pz, pi). (3.5)
Здесь Га —нуклонная вершинная функция для векторного тока,
являющегося изовектором.
Введем амплитуды ТИц” и Aljla', четные и нечетные по изото-
пической переменной:
<а=|«'а + Х1); <еаЧ = |(<1-ЛС);	(3.6)
в частности,
<72иМца qia = 4 § dxdye1 (Ч*Х~ ^.(рг 16 (х0 — Уо) X
Х {[Д (Х)’	~ Й (х) ’	~
— 6 (Хо — Уо) (х)> *^о (у)]	[^- J)j, (X), Jo (p)j | —
— ‘^•QiafklnJa (x) 6 (X — P) I Pi).	(3.7)
2. Чтобы получить низкоэнергетическое правило сумм Адле-
ра—Вайсбергера, возьмем выражение (3.7) для Л4^а‘, положим
в нем 9i = ?2 (при этом pi = p2 = p, / = 0) и перейдем к пределу
q1==qz->0 или v->0. При qx = q2 = q комбинации
?рА1ца?а и ?цА1ца?а	(3.8)
являются соответственно четной и нечетной функциями v = -^p
Поэтому второе слагаемое в правой части (3.7), не зависящее
от v, вклада в рассматриваемую комбинацию q^M'^qa не дает
(оно даст вклад только в q^M^qa)- При v->0 слагаемое qzaVa,
входящее в (3.7), пропорционально v:	__
?аГа = 27Wv.	(3.9)
Предположим, кроме того, что слагаемое в (3.7)
dx dye1 «к*-mi ( pz	(x) t dJa
U dx^ ’ dya J-
raj'	1
-k-
- l/ = 0
-H2)2
(3.10)
является медленной функцией qz в интервале 0<92<р,2; тогда
оно может быть заменено его значением при ^2 = р,2, пропор-
554
Глава 17. Алгебра токов и токовые правила сумм
циональным в соответствии с (3.34) гл. 7 амплитуде рассеяния
л-мезонов на нуклонах,.
Лне- = ТЯ^	(3.11)
где TnN = у [Т+ (у) — 71" (v)], Т+, Т~ — амплитуды рассеяния впе-
ред л-- и л “-мезонов на протонах. Подставляя (3.9), (3.11)
в (3.7) и беря производную по v, приходим к следующему ре-
зультату:
я	I С2 дт„к
Й(Л?а)|_0 = ^-^_0 + 27И.	(3.12)
Запишем для TnN дисперсионные соотношения по v без вычи-
таний:
ОО
о	2v Г Im (v') ,
TnN (V) = TnN (v) +- J v,2^--- dv',
(3.13)
где TnN — полюсной (однонуклонный) член по переменной v. При
V—>0 в ТИцд дает вклад только полюсной член, который опре-
деляется выражением
Мца = — 4 gNNAU (Р) [ТцТв (Р - ? - ^)-1ТаТ6 ~
-TaTsfP + tf-M)-1^]^), (3.14)
где.gNNA — константа аксиального взаимодействия; отсюда
—gww/12Mv|l	2A12v2—-</4] ‘	(3.15)
Вычисление полюсного члена Тпк, входящего в (3.13), дает
T«N = ~g2NNA g 2MV	(3.16)
Подстановка (3.13), (3.15) и (3.16) в (3.12) и использование оп-
тической теоремы приводит к искомому правилу сумм Адлера —
Вайсбергера:
gbJl р,[г(<0^СГ(С0,)1^ =1’	(3-17>
L	ц	J
где а —полные сечения рассеяния л-мезонов на протонах; со =
— ]/ Л2 + р2 — полная энергия л-мезона (новая вместо v перемен-
ная интегрирования); k — импульс л-мезона.
g 3. Токовое правим сумм Адлера—Вайсбергера	555
Как видно, соотношение Адлера — Вайсбергера связывает
константу связи g^NA слабого аксиального взаимодействия с ин-
тегралом от полных сечений рассеяния л-мезонов на протонах.
Численная величина интеграла в (3.17) не является вполне оп-
ределенной, поскольку массу ря пиона в выражениях под ин-
тегралом (например, в Л' = ]/<о2 — рл) можно либо принимать рав-
ной нулю, либо не принимать. Поэтому для константы аксиального
взаимодействия вычисления дают две величины:
gjvjv4=1.24 (если ря = 0) и £дглгд = 1,16. На опыте измерено
значение g^NA = 1 >20 ± 0,02.
Часть VI
МНОЖЕСТВЕННОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ ЧАСТИЦ
До сих пор мы рассматривали бинарные процессы, £ кото-
рых две частицы рассеиваются в две частицы:	^1
14-2-^34-4.	.43
В последнее время начало работать несколько ускорителей
высокой энергии (28, 76, 400, 1500 ГэВ в лабораторной системе * ]
координат). При таких энергиях идет интенсивно процесс мно-
жественного образования частиц, т. е. процесс, в котором в ре-
зультате столкновения двух частиц а и b высокой энергии ’ I
рождается т частиц:	. J
Ь(рь) + а(Ра)->^ (?i)4-2(?2)4-3(93)4-4(^)4-...4-m(?m).	_	|
Все эксперименты по множественному рождению частиц можно 1
разделить на две группы: 1) эксклюзивные — опыты, в которых
регистрируются все образующиеся частицы, 2) инклюзивные —	1
опыты, в которых изучаются одна или несколько рожденных ча- (
стиц, независимо от того, сколько при столкновении образова-
лось других частиц. В настоящее время основное внимание уде-
ляется изучению одночастичных И двухчастичных инклюзивных • .J
процессов
( 1 (^1) 4- X,	’ •
Ь(рь) + а(ра)^ 1(91)4-2ад+х,
где X—все остальные частицы, за которыми в данном опыте '
не ведется наблюдение («потерянная масса»),
В этой главе мы остановимся на одночастичных инклюзив- •ЗЯ
ных процессах. Сначала мы изложим основные экспериментальные
закономерности, а затем теоретические подходы, применяемые при тК
анализе этих процессов.
Глава 18	тМ
ИНКЛЮЗИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ	'й
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПЫТНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ	'Ж
Основными характеристиками процессов множественного обра-
зования частиц являются: 1) полные сечения ot; 2) парциальные
сечения оп; 3) топологические сечения o„ch; 4) средняя множест-
§ 1. Основные опытные закономерности
Г>Г,7
венность заряженных частиц (п); 5) состав вторичных частиц;
6)	распределения продольных q? и поперечных q± импульсов
частиц; 7) энергетические спектры частиц; 8) корреляционные
эффекты.
Приведем основные экспериментальные закономерности для
каждой из этих величин.
Рис. 18.1. Зависимость полных се- Рис. 18.2.' Зависимость парциальных се-
чений различных процессов от энер- чений процесса л“р-столкновения от энер-
гии	гии
Полные сечения. Рассмотрим для примера процесс столкно-
вения протона большой энергии с протоном; возможны различ-
ные конечные состояния:
рр -> ррл+яг 4- ррл+л~л° ... л°+рпл+л+л~+
4- рил+л+лг л0... л° 4- ррК+К~ 4* ррК+К~л.°... л° 4- р%К+яг 4-
+ РРРР+--.)
Полным сечением называется сечение образования всех частиц,
которые могут возникнуть в данной реакции. . В области боль-
ших энергий полные сечения столкновения различных частиц
(рис. 18.1) медленно увеличиваются с ростом энергии. (Напом-
ним, что обычно сечения измеряются в барнах, причем 1 барн =
= 10-24 см2, а 1 мбарн = 10 27 см2.)
Парциальные сечения. Парциальным сечением оп, или сече-
нием п-го канала, называется сечение образования п частиц
определенного типа; парциальные сечения различаются не только
числом, но и типом частиц Парциальные сечения с ростом им-
пульса частиц возрастают вблизи порога реакции, доходят до
558	Глава 18. Инклюзивные процессы.
максимума, а затем убывают (рис. 18.2) Положение макси-
мума с увеличением числа частиц смещается в сторону больших
энергий. Сумма всех парциальных сечений ст„ дает полное сече-
ние Gt.
Топологические сечения. Топологическим сечением ст„с]1 назы-
вается сечение образования данного числа заряженных частиц
в конечном состоянии и любого числа нейтральных частиц.
Топологические сечения зависят от двух переменных — энер-
гии s и числа заряженных частиц псъ. Если nch фиксировано,
Рис. 18.3. Зависимость топологических сечений
о„с]1 процесса рр-столкновения от энергии
то топологические сечения сначала растут с энергией s, а затем,
начиная с некоторой энергии для данного псь. — слабо падают
(рис. 18.3). Пусть энергия s фиксирована, а образование опреде-
ленного числа частиц в данном акте столкновения будем счи-
тать случайным событием. В результате многих актов столкно-
вения в среднем образуется (п) частиц. При этом вероятность
данного значения п определяется распределением Пуассона
о (п) = ote~ <п> dn,
которое при больших (n) ((и)	1) переходит в распределение
Гаусса
ст (и) =  - а< . е~— <«»г/2 <«> ^п.
/2л (и)
*’ В дальнейшем мы будем приводить в качестве иллюстрации опытные
данные для одного процесса, имея в виду, что для других процессов ситуация
аналогична.
§ 1. Основные опытные закономерности
559
Зависимость о„с1д от nch изображается
кривой (рис. 18. 4), которая несколько
шире пуассоновского распределения,
соответствующего среднему (п) = 7,65.
Множественность. Обычно под мно-
жественностью понимают среднее число
не всех, а только заряженных частиц,
образующихся при данной энергии,
т. е. по определению
5 ”chanch
(«ch) = у— = 'о7 2 'kh^cir
4nch
Множественность слабо меняется с энер-
гией (рис. 18.5). Эту зависимость можно
описать- либо логарифмической функ-
цией, либо степенной с малым показа-
телем экспоненты: (п) = a In s -f- b или
(n) = asb. На рис. 18.5 изображена
также (в другом масштабе) зависимость
Рис. 18.4. Зависимость топо-
логических сечений процесса
рр-столкновения от п (энер-
гия фиксирована рЛаб =
=205 ГэВ)
от энергии числа ^астиц nmax. которые
образовывались бы в случае, когда вся энергия столкновения двух
протонов расходуется на образование л-мезонов (т, р —масса
протона и л-мезона):
_______Vs— 2т _ )^2/п (/п-|-V/w2+p2) — 2/п
Птах- -	-	-
Как видно, экспериментально . наблюдаемая множественность:
а) растет значительно медленнее и б) чрезвычайно мала по срав-
Рис. 18.5. Зависимость множественности от энергии
для процесса рр-столкновения
нению с той, которая разрешена законами сохранения энергии
и импульса. Это означает, что при столкновении двух частиц
560
Глава 18. Инклюзивные процессы
Рис. 18.6. Продольная и попереч-
ная составляющие импульса вто-
ричной частицы в с. ц. м.
на множественное образование идет лишь незначительная доля
их энергии, ее большая часть трансформируется в кинетическую
энергию движения.
Состав вторичных частиц. При столкновении двух частиц,
• вообще говоря, могут образовываться различные частицы: л-ме-
зоны, К-мезоны, нуклоны, гиперо-
ны, нуклонные пары и т. п. Опыт,
однако, показывает, что в изучен-
ной области энергий на самом деле
в основном (~70%) рождаются
зт-мезоны, т. е. самые легкие адро-
ны, в существенно меньшем коли-
честве (—--10 — 20%) К-мезоны и
в незначительном числе — осталь-
ные частицы.
Продольные и поперечные импульсы. Импульс каждой конеч-
ной частицы можнй разложить на продольную qz и поперечную
q± составляющие (рис. 18.6). Распределение данной вторичной
частицы по импульсам удобно изображать на диаграмме, в ко-
торой по оси абсцисс откладывается продольный импульс qz,
а по оси ординат — поперечный импульс (диаграмма Пейроу).
Каждой точке на диаграмме Пейроу соответствует определенное
значение импульса частицы в с. ц. м.
На рис. 18.7 приведены для примера диаграммы Пейроу для
каждой конечной частицы процесса лр ->рл+л~л~л0 при энергии
16 ГэВ/c. Полуокружность радиусом ^]/з/2 определяет область
значений импульсов, допустимых законами сохранения. Как
§ 1. Основные опытные закономерности
1М>|
видно, импульсы протонов в конечном состоянии сконцентриро-
ваны около направления падающего протона, а значительной
части лг-мезонов — около направления падающего л -мезона.
Импульсы остальных л-мезонов (л° и л+) расположены вблизи
начала координат.
Вторичные частицы, обладающие высокой энергией (в нашем
случае протоны и л--мезоны), принято называть лидирующими.
Явление образования «облака» пионов с малыми импульсами
в с. ц. м. получило название пионизации. Энергия пионов в «об-
лаке» мало меняется с увеличением энергии сталкивающихся
частиц. Аналогичные диаграммы Пейроу были получены для
различных начальных энергий и различного числа частиц в ко-
нечном состоянии. Эти диаграммы ясно показывают, что в по-
ведении поперечных и продольных импульсов имеется резкое
различие. Поперечные импульсы: а) ограничены и их среднее
значение (?д)^0,4 ГэВ/c, б) слабо зависят от типа сталкиваю-
щихся частиц, в) слабо зависят от энергии сталкивающихся
частиц в с. ц. м., г) слабо зависят от множественности; в то
время как продольные импульсы: а) сильно зависят от типа
сталкивающихся частиц, б) зависят от энергии сталкивающихся
частиц, в) уменьшаются” с увеличением множественности. Пере-
численными свойствами продольные и поперечные импульсы об-
ладают в широком диапазоне энергий.
Универсальное значение среднего поперечного импульса
(<71)^0,4 ГэВ/c является фундаментальной величиной для взаимо-
действия адронов.
Энергетические спектры. Одночастичным инклюзивным про-
цессом называется реакция, в которой детектируется одна частица
(например, р 4- р -> л+4- X), двухчастичным — две частицы (р + р->
-^-л+4-л+4-Х) и т. д. Энергетический спектр одночастичных
инклюзивных реакций
р + р-^{р+-Х; р + Х; л++Х; зг + Х; К+ + Х; К~ + Х}
для начальной энергии 1500 ГэВ/c в л. с. к. приведен на рис. 18.8.
Поперечный импульс q± вторичных частиц фиксирован:
</^^0,4 ГэВ/c. Поэтому величину начальной энергии, передан-
ной вторичной частице, удобно характеризовать безразмерной
переменной х, представляющей собой отношение продольного
импульса qz образующейся частицы к продольному импульсу
начальной частицы pz (все величины в с. ц. м.): х = qzlpz 2qz/]/^s.
Чем меньше значение х, тем меньше энергия вторичной частицы;
значение х=1 соответствует упругому процессу. Из рис. 18.8
следует, что в основном образуются частицы с малой энергией.
Корреляционные эффекты. Возможны два типа-корреляций:
1) между различными параметрами одной и той же частицы
(например, между и qz), 2) между одним и тем же парамет-
ром двух и большего числа частиц (например, между быстро-
562
Глава 18. Инклюзивные процессы
Рис. 18.8. Спектр одночастичных ин-
клюзивных процессов для рр-столк-
новений
тами двух различных частиц в двухчастичном инклюзивном про-
цессе). На опыте наблюдаются оба типа указанных корреляций.
Для одночастичных инклюзивных процессов изучаются корреля-
ции между продольными qz и поперечными qL импульсами, между
средним значением {qL) и множественностью; для двухчастич-
ных инклюзивных процессов —
между быстротами, продоль-
ными составляющими импуль-
сов, углами вылета обеих ча-
стиц.
Качественная картина. Ос-
новываясь на изложенных опыт-
ных закономерностях, можно
нарисовать следующую каче-
ственную картину механизма
множественного образования
при столкновении двух частиц
высокой энергии. Так как на
множественное образование идет
незначительная доля начальной
энергии и рассеяние происхо-
дит на малые углы (малые по-
перечные импульсы),, то отсюда
следует, что частицы претерпе-
вают в основном не лобовые, а
периферические столкновения.
При лобовых соударениях (рис.
18.9) частицы, перекрываясь,
взаимодействуют полностью,
образуя единую сложную си-
стему. При периферических со-
ударениях (рис. 18.10) нале-
• тающая частица «проскаки-
вает» вперед («лидирующая ча-
стица»), отдавая на образова-
ние новых частиц лишь часть
своей энергии.
Основные этапы процесса множественного образования частиц
изображены на рис. 18.10. Рассмотрим столкновение, напри-
мер, в л. с. к. (рис. 18.10, а). Частица-мишень а покоится.
Налетающая частица b претерпевает лоренцово сокращение, поэ-
тому она изображена в форме диска. Сталкиваясь, .частицы пере-
ходят в возбужденные состояния и затем распадаются. В основ-
ном переданная энергия уходит на пионизацию. Обычно частицы
at и bi называют продуктами фрагментации соответственно
мишени и налетающей частицы, cz — продуктами пионизации,
или продуктами центрального рождения (так как энергия час-
Рис. 18.9. Схема лобового столкнове-
ния
§ 2. Кинематика
воз
тиц Ct близка к центру допустимого интервала энергий). Основ-
ную энергию уносит -с собой налетающая частица, т. е. она
является лидирующей.
Рис. 18.10. Основные этапы множественного образования: 1 — др
столкновения, 2 — момент столкновения, 3 — непосредственно после
столкновения, 4 — конечное состояние
Вс. ц. м. лидирующими будут налетающая частица и час-
тица-мишень (рис. 18. 10, б).
§ 2. КИНЕМАТИКА
Сечение инклюзивного процесса. Рассмотрим инклюзивную
реакцию, в которой сталкиваются две частицы а и b и в конеч-
ном состоянии регистрируется п частиц с импульсами qlf q2, q3, ...
.... qn (рис. 18.11):
b (pb) + a (pa) 1 (qj + 2 fo) + 3 (<73) +... + n (qn) + X; (2.1)
при этом n определяет не только количество, но и тип частиц.
Для простоты предположим, что все частицы — бесспиновые. Про-
цесс (2.1) полностью характеризуется амплитудой
M„ = {qlt q2,.... qn\S — I\pa, pb).	(2.2)
Подсчитаем число независимых переменных, от которого за-
висит амплитуда процесса (2.2). Одночастичный инклюзивный
процесс эквивалентен реакции а + b 1 + 2, в которой одна
частица, например «2», — виртуальная; поэтому амплитуда такого
процесса зависит от трех независимых переменных (см. § 1,
гл. 8): s~(paPb), u^(paqi), t~(pbqi)- Добавление одного нового
вектора qt дает еще три независимых инварианта: (paqi), (pbqi),
(qLqi), т- е- Двухчастичный инклюзивный процесс зависит от шести
564
Глава 18. Инклюзивные процессы
переменных и т. д. Следовательно, амплитуда (2.2) зависит от 3/7
релятивистски инвариантных переменных.
С помощью (2.2) найдем (см. гл. 4, § 5) инвариантное выра-
жение для дифференциального сечения инклюзивного процесса
(2.1) в с. ц. м.:
1
I Р I /s
£1£2Е3...Ел_—
dqi dq2... dq„

X 6(ро + рй-?1 — ?2 — <7з... — ?«), (2.3)
где s = (po + pfi)2, p —импульс сталкивающихся частиц в с. ц. м.,
определяемый формулой (2.5) гл. 8; численные множители вклю-
Рис. 18.11. Инклюзивный
процесс
Рис. 18.12. Одночастич-
ный инклюзивный про-
цесс
хчены в Мп. Отсюда, интегрируя по импульсам- конечных частиц,
имеем для полного парциального сечения
°" = 1	\Mn\i8(Pa + Pb-qi-q2~q3... — qn) X
|р|У« J
,(2.4)
Суммирование по всем полным парциальным сечениям дает пол-
ное сечение инклюзивного процесса (2.1):
(2.5)
Подчеркнем, что полное сечение можно измерить и самостоя-
тельно, независимо от измерения парциальных сечений о„.
Выбор переменных. Остановимся более подробно на выборе
независимых инвариантных переменных для одночастичного
(п=1) инклюзивного процесса (рис. 18.12)
b(Pb) + a(pa)-+\(q) + X.	(2.6)
Амплитуда реакции (2.6)- зависит от трех независимых инвари-
антных переменных, в качестве которых можно выбрать раз-
§ 2. Кинематика
П(К.
личные величины. Обычно пользуются следующими наборами:
1)	S = (Pa + Pb)\ U = {Pa-q)\ t = (Pb-q)2 (ТЭК 4TOS + « + / =
= Max + mi + ml + mq),
2)	s, q*, q\_t
3)	s, x, qt,	x — qz/paz;	-	(2.7)
1 . Eq + Qz
s,	y, qL, где y = у In
*	4z
4)	s, ]q|, £2, где Q— телесный угол.
Безразмерная переменная x = 2^/Vs изменяется в области
(—1, -|- 1); она характеризует величину энергии, переданной
вторичной частице (см. § 1).
Безразмерная величина
1	Е„-\-аг	1	14-t)
у— ¥lnE^=arcthu==¥lnT^;- v=lv>’
где о —скорость, называется быстротой или рапидити-, в нере-
лятивистском случае (о<С 1) она переходит в обычную скорость
£/ = 41пгЙ~и+1г’3+----	<2-8>
Выбор набора переменных определяется тем, в какой области
ведется анализ (фрагментация мишени, налетающей частицы,
пионизация).
Выбор системы координат. При изучении инклюзивных реак-
ций важную роль играет выбор системы координат, так как
предсказания различных моделей становятся более наглядными
при подходящем выборе системы отсчета. Мы будем пользоваться
следующими тремя системами координат: 1) системой центра
масс, в которой ра + Рй = О (см. гл. 8, § 1); 2) лабораторной
системой, или системой покоя частицы-мишени «а» (р£ = 0); вели-
чины в этой системе координат будем снабжать индексом L,
3) антилабораторной системой, или системой покоя налетающей
частицы «6» (р4=0); величины в этой системе координат будем
снабжать индексом d. Переменные в различных системах коор-
динат связаны между собой преобразованиями Лоренца. Найдем
связь переменных в л. с. к. и с. ц. м. Пусть ось г направлена
вдоль оси столкновения. Так как скорость v с. ц. м. относи-
тельно л. с. к. равна v — p/E = у ]/ s — 4m2/]/~s = j/" 1
то преобразование Лоренца (см. § 1, гл. 1) от л. с. к. к с. ц. м.
566
Глава 18. Инклюзивные процессы
имеет вид
0 0
2т
0	1 О
О	0 1
0
2т
Кs—4ffi2
2т
О
О
2т
При этом поперечные импульсы не меняются,
связаны друг с другом так:

и обратно:
Яг
я*
qLy.
(2.9)
а продольные
, где ££ = ]/mi! + <7i+(<7£)2, (2.10)

где Е9 = ]Ли2 + <71 + <71. (2.11)
Далее нас будет интересовать связь между qz и при асимп-
тотических (s-*oo) энергиях. Разлагая в (2.11) подкоренные
выражения при s->oo и | qz | qL, получаем
, Vs /	/и2+<721 \
^^-£^+1^1-—1^1 + ^г)-	(?.!2)
Отсюда следует, что
lim q1; =
s —* со
Kl*«l
!2ml	4+?l\
2m \ s	2qz /
m Яг
при qz < 0,
при qz>Q,
(2.13)
2o.
или, если использовать величину х = -~-.
^(тах
lim qL —
s->oo
max J
при x<0,
при x>0.
(2.14)
1
у SX—>-J-OO
§ 2. Кинематика
567
Аналогичным образом найдем для антилабораторной системы
™b + <l\
lim qj =
s—>со
!►+
Vs
-н- \mbx-------
2 \ ° mbx
1
у SX -Э---OO
(2.15)
что
точка х = 0 выделена: в ней малым
Подчеркнем,
в с. ц. м. (qz ->0) соответствуют большие импульсы
(qt при qz-+0 стремится к бесконечности как ]/s):
импульсам
в л. с. к.
lim	<7^ = 9—
s^co	Чг ?ma
l*l<2«±/Vs
(2.16)
Быстрота у в с. ц. м. равна:
£? + ?г
Ед' Яг
(2.17)
а в л. с. к.
1 . Ьд +Чг
У — 2
^q 4z
(2.17')
При переходе из одной системы в другую быстроты просто скла-
дываются, подобно тому, как в нерелятивистской теории скла-
дываются скорости. Поэтому удобно использовать вместо про-
дольного импульса переменную у. Кроме того, из связи пере-
менных х и у
x = |ji = -|=J/m2 + 9ishy
Vs . V s
(2.18)
видно, что при s —> оо и фиксированном <?± бесконечно малой
окрестности х = 0 соответствует конечный интервал у, т. е. при
изучении области образования частиц малой энергии (х^О)
удобнее пользоваться переменной у, а не х.
Из (2.18) следует, что продольный импульс qz и энергия Ед
выражаются через быстроту у так:
qz = У^2 + <71 sh у, Eg = ]fm2 + q\ ch у.
(2.18')
Нормировка сечения. Дифференциальное сечение одночастич-
ного инклюзивного процесса представляет собой инвариантную
функцию F. Для различных наборов переменных, определяемых
У 2
568
Глава 18. Инклюзивные процессы.
(2.7), функция F имеет вид
г, do X1г do	ы do 1 da
f = (£)--- = —- ------ = ---------- =  ---------
dq л dt dMx л dQt П ndy dq\
где X’/« = [s — (ma + [s — (ma — ть)2],/г s.
Функция F определена с точностью до постоянной, поэтому на
нее обычно накладывают следующее условие нормировки:
5	=	(2.20)
где (/h) — средняя множественность частиц типа «1» при столк-
новении частиц «а» и «6»; ст,— полное сечение.
Чтобы выяснить физический смысл такой нормировки, рас-
смотрим, например, процесс р + р-> л+4-Х. Наряду с этим
учтем процессы
р + р->л+4-л+ + Х, р + р n+4-jr+4-n+4-X.
По определению, полное сечение ст, есть сумма всех парциаль-
ных сечений, когда образуется 1, 2, 3, ... мезонов:
о, = ст(рр->л+-|-Х) + ст(рр->л+л+ + Х) +
4-ст(рр->л+л+л+-|-Х)-|-..., (2.21)
а средняя множественность
,	<П1) = lpi+^+3%	(2.22)
Из (2.22) следует, что (п^ ст,= 1ct1-J-2ct24-3ct34-... . Следовательно,
нормировка (2.20) означает, что при определении ст, мы не
фиксируем, какая именно частица сорта «1» регистрируется,
а суммируем по всем таким частицам.
Аналогичным образом можно рассмотреть кинематику много-
частичных инклюзивных процессов, в частности двухчастичных.
§ 3. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ И МОДЕЛИ
Переходим к изложению теоретических подходов к процессам
множественного образования частиц. Сначала мы остановимся
на гипотезах и моделях, носящих чисто феноменологический
характер.
Гипотеза предельной фрагментации. Эта гипотеза заключается
в том, что при асимптотических энергиях (s -> оо) и ограничен-
ных продольных импульсах парциальные дифференциальные
сечения dun в лабораторной системе координат перестают зави-
сеть от энергии и приближаются к постоянному пределу, отлич-
§ 3. Феноменологические подходы и модели
Л(И»
ному от нуля. В частности, для одночастичного инклюзивного
процесса
ton F(s, q^ = f^(q^, <7±)>0.	(3.1)
q^ фикс
Функции fL(qL, различны для различных начальных
частиц и различных конечных частиц.
Частицы с ограниченными продольными импульсами q^ в ла-
бораторной системе координат считаются фрагментами мишени,
т. е. (3.1) описывает распределение фрагментов мишени. Анало-
гичным образом описывается распределение фрагментов (ограни-
ченные gjQ налетающей частицы в антилабораторной системе
координат:
lim F(s, qJ, q^ = fJ(qJ, <7±)>0.	(3.2)
qJ фико
Схематически механизм предельной фрагментации можно пред-
ставить так (см. рис. 18.10, а). В лабораторной системе коорди-
нат на частицу-мишень «а» налетает со скоростью vL рассеивае-
мая частица «6». Последняя, вследствие лоренцовского сокраще-
ния, сплюснута в плоский диск с радиусом Z? и толщиной
/?]Л1 — vl. Этот диск, сталкиваясь с мишенью, приводит ее
к возбуждению и распаду на фрагменты. Дальнейшее увеличение
энергии налетающей частицы . ведет к еще большему сжатию
диска, однако имеется такой момент, начиная с которого это
сжатие перестает влиять существенным образом на процесс
фрагментации мишени, и распределение фрагментов мишени при
фиксированных q% достигает постоянного предела, не зависящего
от энергии.
В пользу этих рассуждений говорит факт слабого изменения
полных сечений при больших энергиях. Действительно, напри-
мер, в случае лр-рассеяния в области больших энергий скорость
яг V E2—mh
мезона и =£- =1—g------, а величина лоренцева сокращения
У1 —	При увеличении энергии Е в два раза толщина
диска уменьшается вдвое. Однако сечение меняется слабо,
и это свидетельствует о том, что возбуждение мишени практи-
чески одинаково при различных энергиях, и сжатие диска не
влияет на процесс взаимодействия.
Такие же рассуждения применимы к антилабораторной системе
координат, а также к многочастичным инклюзивным реакциям. ,
Гипотеза масштабной инвариантности или скэйлинга. Эта
гипотеза заключается в том, что при асимптотических (s->oo)
570
Глава 18. Инклюзивные процессы
энергиях парциальные дифференциальные сечения don в с. ц. м.
зависят только от qL и х. В частности, для одночастичного
инклюзивного процесса
lim F (s, qz, qL)=f(x, qL).	(3.3)
s—*co
x фикс
Гипотеза масштабной инвариантности эквивалентна гипотезе
предельной фрагментации при х>0 и х<0. Из гипотезы мас-
штабной инвариантности следует, что множественность (п)
растет логарифмически с ростом энергии. Действительно, в соот-
ветствии с (2.20) множественность и функция распределения
связаны соотношением
Jdqg = <n1>Q<.	(3.4)
Так как
d3q ndq- dq	_ dx 4(<?±+m2)V/	4,
-F- = ~r-	=. = jt dq\ — 1 H----------I x =
E	x \ xs )	J/s
to (3.4) перепишется в виде
С Л । 4(?1+тг)Г1/2г, ^х , .
л J dq~ J V -------------) f Т = (п*> а‘"
о
(3.4')
Чтобы вычислить этот интеграл по х, разложим функцию f (х, q^)
в ряд по х в точке х = 0. В результате интегрирования получим
в случае больших, s: a In s-j-b = Отсюда, учитывая, что
полное сечение of постоянно, имеем для множественности:
a In s + Ь.
Отдельного рассмотрения требует область пионизации, или
центрального рождения, которой соответствуют частицы с малыми
импульсами в с. ц. м. (х^О). Согласно (2.16), в этой области
импульсы в лабораторной и антилабораторной системах стре-
мятся к бесконечности как ±]/1. Эта трудность в обеих гипо-
тезах обходится по-разному. В гипотезе предельной фрагмента-
ции область х~0 рассматривается как продолжение областей
фрагментации, и новый механизм пионизации не привлекается.
В гипотезе масштабной инвариантности дополнительно предпо-
лагается, что при jx| const/]/« функция f (х, q£) от х не
зависит:
lim J(x, q_i)=f(qx).	(3.5)
|х| -cconst/j^s
Тогда в области пионизации при х const/j/s распределение
будет постоянным, не зависящим от х. Согласно (2.10) и (2.17)
при фиксированном х и увеличивающейся энергии s быстроты у
$ 3. Феноменологические подходы и модели
Г>71
в с. ц. м. растут, поэтому центральная область в шкале быстрот
(рис. 18.13) должна расти с увеличением энергии (так называ-
емое расширяющееся центральное плато).
Реджевский анализ. В основе этого подхода лежит использо-
вание обобщенной оптической теоремы и процедуры реджезации

St 32-= 5
У
Рис. 18.13. Расширяющееся центральное плато
амплитуды. Сначала с помощью обобщенной оптической теоремы
полное сечение одночастичного инклюзивного процесса сводится
к абсорбтивной части амплитуды процесса упругого рассеяния
вперед, а затем производится реджезация амплитуды. В итоге
получаются не только гипотезы предельной фрагментации и мас-
штабной инвариантности, но и дополнительные результаты.
Напомним (см. гл. 9, § 1), что обычная оптическая теорема
связывает полное сечение О/ процесса столкновения двух частиц
Рис. 18.14. Схематическое изображение оптической теоремы для двухчастич-
ного процесса
с абсорбтивной частью амплитуды процесса упругого рассеяния
вперед двух частиц в две частицы (рис. 18.14):
Ofl+6-.i+2+3+... (s) =——, 1Л- 1тЛ4а4-б_а4-б (s, Z = 0).	(3.6)
2|р|Уз
Оптическая теорема позволяет получить некоторую информа-
цию о сложных сечениях с помощью более простой в изучении
абсорбтивной части амплитуды упругого рассеяния вперед.
Именно этим объясняется удобство применения оптической тео-
ремы.
Напомним также (см. гл. 12), что амплитуда упругого про-
цесса в случае, когда s->co и t мало (так что //s->0), может
быть ред>йезована, т. е. представлена в полюсном приближении
572
Глава. 18. Инклюзивные процессы.,
в виде (рис. 18.15)
Ma+b^a+b (s, 2) 2 0* (О
k
j.\ fg^feW	.
.	’	„а1ММЯО = -
т [—i+ctg^ffij дляо = +1.
Здесь суммирование производится по всем полюсам Редже,
дающим вклад в процесс, |3ft (t) — вычеты, — сигнатурный мно-
житель. Беря в (3.7) мнимую часть (множитель при 2) и полагая
Рис. 18.15. Реджезация амплитуды в полюсном приближении для
двухчастичного процесса
2 = 0 (рассеяние вперед), получаем согласно (3.6) для полного
сечения
a^£₽*(0)s°*(0)“1..	(3.8)
k
Мы будем предполагать, что вычеты [}* факторизуются, т. е.
могут быть представлены в виде произведения индивидуальных
вычетов Р* и характеризующих взаимодействие реджеона
соответственно с частицами «а» и «Ь>: р* — Поэтому в слу-
чае обмена только вакуумной траекторией, для которой а (0) = 1,
формула (3.8) перепишется так:
(0) р6 (0).	(3.8')
Мы предположим для простоты, что происходит обмен только
вакуумной траекторией, а вклады остальных траекторий учиты-
вать не будем.
Перейдем теперь к инклюзивным процессам. Рассмотрим для
простоты одночастичную инклюзивную реакцию. Ее сечение графи-
чески изображено на рис. 18.16. Обычная оптическая теорема свя-
зывает полное сечение ct столкновения двух частиц с абсорбтивной
частью амплитуды упругого рассеяния вперед двух частиц в две
частицы а-\-Ь ->а-\-Ь. Сечение одночастичного инклюзивного про-
цесса определяется абсорбтивной частью амплитуды Ma+6+1_o+fc+1
£ 3. Феноменологические подходы и модели
573
упругого рассеяния вперед трех частиц в три частицы (a-\-b + 1 ->
-+a-\-b-\-1)
Е= 1 Im	(s, и, t = 0),	(3.9)
где s = (pa4-p6)2, t=(pb~q)2, u = (pa-q)2,	(3.10)
так что s+u + t = (pa+pb — <?)2 + ml + ml + msQ.
Найдем асимптотические (s -> оо) распределения для одночастич-
ного инклюзивного процесса. Рассмотрим области фрагментации
и пионизации.
Рис. 18.16. Схематическое изображение оптической теоремы для одноча-
стичного инклюзивного процесса
Область фрагментации. Однореджионный пре-
дел. По определению, фрагментом мишени в одночастичном
инклюзивном процессе называется образующаяся частица с огра-
ниченным продольным импульсом qL в л. с. к. Перейдем в сис-
тему покоя мишени ««», в которой налетающая частица «6»
движется вдоль оси г, т. е. р16 = 0. Тогда в соответствии с (2.18')
координатами импульсов будут:
ра = (та, 0, 0, 0), p6 = (mftcht/6, 0, 0, mfcshi/b),
? = (pchr/L, q^, qLt psh/-),
где yb, yL — быстроты налетающей «6» и образующейся «1» частиц;
р =	Отсюда для инвариантных переменных, принимая
во внимание, что chx = ~ (ех имеем:
s = (ра + Pbf=Ша+ть + 2mamb ch уь mambeVb,
t = (рь — ?)2 =	+ mb — 2pm6 ch (yb — yL) «а — рг"^ ,	(3.11)
ша
u — (pa — q)2 = ml + mq — 2pmach yL.
Согласно последней формуле конечному импульсу qL соответствует
конечное и и вследствие (2.17') — конечное yL\ поэтому при s->oo
переменная |£|->оо. Так как |/|—>-со и и фиксировано, то
в асимптотической области (s->oo) зависимость амплитуды упру-
574
Глава 18. Инклюзивные процессы.
того процесса от переменной t можно выделить* (рис. 18.17, а),
реджезовать и взять ее абсорбтивную часть при / = 0; в резуль-
тате с помощью (3.9) получим для функции распределения
фрагментов мишени
Eg^ = F(qz, У*-' S)^T ImMo+6+i-O+6+l (s. «. < = 0)«й
<7i), (3.12)
или, если учесть вторую формулу в (3.11),
FqL, s)^sa^-^b(G)fL{qL2, qj.
(3.13)
В случае обмена вакуумной траекторией, для которой а(0) = 1,
найдем
F(qz, qL, s)^b(O)fL(q^, q±),
(3.14)
что совпадает с результатом, гипотезы предельной фрагментации.
Если использовать предположение (3.8') о факторизации
вычетов, то после деления (3.14) на о“6 = раРб получим:
9±. s) P&(°)/LGz’ 9 ±) = Ри°)/£(9г> 91) =
о?Ь ~	<	Ра(О)Рй(О)
Л	= (£(#. ?1), (3.15)
,т. е. распределение фрагментов мишени не зависит от типа падаю-
щей частицы «6». Подобным путем можно найти распределение
фрагментов налетающей ча-
стицы «Ь> (рис. 18.17, б):
Рис. 18.17. Однореджеонный предел в об-
ласти фрагментации: а — мишени, б —
налетающей частицы
FJ(q{, qL, s) ,
~—~Sb------ ^Pb{qz, ?i),
(3.16)
не зависящее от типа части-
цы-мишени «а». В распреде-
ление (3.15) входит неизвест-
ная функция fL(q%, ?±), со-
ответствующая нижней вер-
шине (рис. 18.17, а); ана-
логичная функция верхней вершины содержится в (3.16).
Область фрагментации. Трехреджеонный пре-
дел. Более детальную информацию о неизвестной функции
/l(?2,9i)> входящей в (3.15), можно получить в области очень
малых передаваемых импульсов, когда x = 2qz/yrs яа 1. Согласно
формуле x^l—A42/s, величина x^nl, если s->oo быстрее, чем
§ 3. Феноменологические подходы и модели
ПЛ>
Л42->-оо; так что M2/s^-0, или ~^-оо. Рассмотрим сначала
случай, когда s->-oo, t фиксировано и М2 = (ра-\-рь—9)2
Рис. 18.18. Трехреджеонный предел
конечно (рис. 18.18, а, б, в). Этому случаю соответствует обыч-
ный однореджеонный предел
=	М2)(^2)9“(0-1.	(3.17)
Пусть теперь Л42->оо, но так, что (3.17) еще выполняется, т. е.
s/Af2—>-оо. Тогда функцию f(t, Af)2 также можно реджезовать
по М2 (рис. 18.18, г) и формула (3.17) перепишется так:
Е9 % = Т (0	(М2)а^\	(3.18)
где	(0) — вакуумная траектория. Поскольку
то вместо (3.18) будем иметь:
Eg — = F (х, qL, s)^y' (0 (1 -	(3.20)
где У (0 = у (/) М2.
Пусть «„(0) = !. Тогда функция распределения фрагментов
мишени в трехреджеонном пределе становится масштабно инва-
риантной:
F (х, 91) У (0 (1 -х)1’20^.	(3.21)
576
Глава 18. Инклюзивные процессы
Здесь
т(0 = 1₽И0!2₽а(0)^(0.	(3.22)
ра, ₽г>,	—вычеты, характеризующие интенсивность взаимодейст-
вия реджеона соответственно с частицами «о» и «6» и двух
реджеонов с вакуумной траекторией.
Аналогичным образом получим в трехреджеонном пределе
функцию распределения фрагментов налетающей частицы (хя«—1):
F (х, q±) у (и) (1 4-	(3.23)
Пионизация. Центральная область. Найдем асимп-
тотическое распределение в области, в которой продольные им-
пульсы qz в с. ц. м. частиц «а» и «6» малы, а быстроты у близки
к центру (середине) допустимого для них интервала и велики,
т. е. в области пионизации, или центральной области. В этом
случае удобно перейти в систему покоя частицы «а»; в этой си-
стеме компонентами векторов будут;
Ра = (гпа, О, О, 0),
p6 = m6(chr/£, 0, 0, shz/£),	(3.24)
<7 = (pchtA qx, qu, pshyL), p = V q\+m*q>
где yb — быстроты частиц «1» и «to в системе покоя частицы «а».
Тогда для инвариантных величин в случае больших yL и уь по-
лучим:
s = ml + ml + 2mamb ch у^	2mamb ch уь,
u — ml-\-ml — 2map ch yL —2ma\i ch yL,	(3.25)
t = ml + т^ — 2m6pch (y% — yL) ^—2mbp ch (yLb — yP).
Поскольку \u |, |/|->co, то диаграмму (см. рис. 18.16) одноча-
стичного инклюзивного процесса можно реджезовать так, как
это показано на рис. 18.19. Этой диаграмме соответствует ред-
жезованная амплитуда
F (s, t, и) ъ 1 ^(0)ц“«<°> ро (0)р6 (0) f (s).	(3.26)
Из рис. 18.19 видно, что оба полюса Редже — вакуумные; по-
этому (3.26) можно записать в форме
F (s, t, и) ^4 (М“(0)₽а (0)₽6 (0)/ (8).	(3.27)
Из (3.25) следует, что
tu^p?s.	(3.28)
С помощью этой формулы функция распределения (3.27) частиц
в центральной области одночастичной инклюзивной реакции пе-
§ 3. Феноменологические подходы и модели
Г.Г/
репишется в виде
F (q,, <7д_, s) ~ s“«»- «₽о (0)	(0) f (qJ.
(3.29)
Рис. 18.19. Двух-
реджеонный предел
в области пиониза-
ции
целому ряду эк-
Если предположить, что вклад дает лишь вакуумная траектория
с а(0) = 1, то распределение (3.29) перестает зависеть от энер-
гии s.
Кроме того, распределение в центральной области одноча-
стичного инклюзивного процесса не зависит от qz. -Это эквива-
лентно тому, что распределение в центральной
области в шкале быстрот должно иметь плато
(см. рис. 18.13). Этот результат совпадает
с гипотезой скэйлинга. Но он содержит в себе
несколько 'больше информации. Так как
в теории Редже о“6 = то отношение
(3.30)
at
не зависит от типа начальных частиц, т. е.
в области пионизации распределение реги-
стрируемого адрона, кроме того, должно быть
универсальным при столкновении двух любых
адронов.
Как видно, реджевский анализ -приводит к
спе риментально проверяемых предсказаний.
Как мы уже отмечали, эти результаты получены в предпо-
ложении, что реджевская амплитуда факторизуется и обмен про-
исходит лишь вакуумной траекторией.
Аксиоматический подход. Двухчастичные процессы в рамках
аксиоматического подхода изучались в гл. 10, 11. В гл. 10 были
установлены аналитические свойства амплитуд, вытекающие из
аксиом квантовой теории поля, а в гл. 11 найдены для сечения
процессов ограничения, к которым приводит учет аналитических
свойств и унитарности. Аналогичным образом можно установить
аналитические свойства амплитуд инклюзивных процессов и по-
лучить обусловленные аналитичностью и унитарностью ограни-
чения для некоторых характеристик инклюзивных реакций. Мы
остановимся на ограничениях для дифференциального сечения
и множественности.
Рассмотрим двухчастичный инклюзивный процесс
а (Ра) 4- b (pb) 1 (<д) + 2 (?2) + х.
(3.31)
1. Дифференциальное сечение этого процесса в с. ц. м. со-
гласно (2.3) выглядит так:
du/dcos 6 IМ212 dT = f (91, q2 ... | S -11 pa, Pb) p dr, (3.32)
19 Нелипа H. Фм
578
Глава 18. Инклюзивные процессы.
где 6 —угол между импульсами ра и qlt а
dr = 7ЖТ <2л>4 6	+ Рь - <71 - <72 - X).
Введем трехмерную систему координат, ось z которой направ-
лена по импульсу qr, а плоскость xOz проходит через векторы
qx nq2. В качестве независимых переменных выберем s = (pa-\-pb)2,
cos 6, (о = е'<1> (где ф —угол между плоскостями (pe, qj и (qx, q2)),
ф —угол между импульсами qx и q2, рг, az — сферические коор-
динаты векторов </z (1	=Сп).
Пусть сферические координаты вектора и = | и | (sin р cos а,
sin р sin a, cosp). Тогда с помощью представления Дайсона (4.32),
гл. 7 выражение для амплитуды процесса М (s, cos в, ег<₽, ...)
запишется так:
ОЭ + 1
М (s, cos 6, е'9 ...) = dx dcosp х
*о (S)	— I
2л
V (х, р, a, s ...)
[х— sin р sin 6 cos (а—<р)—cos р cos 6] *
о
X \ da
(3.33)
Переменные в и ф входят только в знаменатель этого выраже-
ния, и это позволяет установить аналитические свойства ампли-
туды по комплексным переменным z = cos6 и <о = ег<1>, а именно:
амплитуда М (s, z, <о...) является аналитической функцией од-
новременно переменных z и <о в области
(| 1 + zl |®| + | 1 —	1 +z 11 — 2 11® |)<
<4xl(s), (3.34)
исключая точки z, принадлежащие сегментам [—%/. (s), —1] и
[1, xi(s)]. Здесь
Г	(т1~ та) (m'i — т1)Т/г
xL (s) = 1 + П2Г,_Д <2i	>' mi ~ масса наинизшего состоя-
ния, для которого
(<7х, ф2... | Ja (0) |	| Jb (0) 10) #= 0; m2 — масса наинизшего
состояния, для которого
(?!, q2 ...| «7& (0) | n2> <п21	(0) 10> #= 0.
В частности, из (3.34) следует, что для физических значений <о
(т. е. | со | = 1) областью аналитичности амплитуды М (s, cos 6, ег<₽...)
будет, эллипс Лемана с разрезами (—xl, —1) и (1, xj, а для
физических значений z (т. е. —1 =Cz 1) — кольцо с внешним г+
и внутренним г~ радиусами, равными r- — xL x'l — 1.
$ 3. Феноменологические подходы и модели
п/u
Заметим, что амплитуду М (s, cos6, ег<₽...) в оОласш ее .ни
литичности Можно разложить в двойной ряд
M(s, cos6, £-<₽...)= 2 2 (2Z+1)X
xMT(s, ...)dlm0(f))eim*. (3.35)
Докажем, что дифференциальное сечение (3.32) аналитично
по переменной z в эллипсе Мартена. Действительно, подстановка
(3.35) в (3.32) дает:
х	(з.зб)
где dr — фазовый объем конечных частиц. Условие унитарности
для парциальных амплитуд ft (s) выглядит так:
Imfz(s) = |fz (s)	2 pr|M7l(s, ...)|2.,	(3.37)
т =— I
Из этой формулы, если учесть (1.10) гл. 11, следует, что
У jj dr|M^(s...)|2=c^-e~zl”(XM + l/<^“1),	(3.38)
т=— i	’
где xu — большая полуось эллипса Мартена (см. гл. 10, § 3);
R (s) — некоторый полином по s. Использовав оценку для функ-
ций dmn (6) в случае комплексных 6 = 0х ф-162
14, п (0! ф-162) | (ch 62 + V ch202 - 1)'	(3.39)
и неравенство Буняковского —Шварца
со	/“со	/“со
2	Е1М21/ SIA'I2,	(3.40)
f, i=o V 1=0 V i=o
получим, что ряд (3.36) абсолютно сходится в области
хф-Ух2—1	।
(^+Г^-Г)1Д 
Отсюда найдем, что дифференциальное сечение (3.32) является
аналитической функцией комплексного переменного г внутри
эллипса с фокусами в точках ±1 и большой полуосью x(s),
19*
580
Глава 18. Инклюзивные процессы
Наконец, покажем, что дифференциальное сечение (3.32) при
s->oo ограничено сверху. Рассмотрим для простоты случай рас-
сеяния вперед. Полагая в (3.36) угол 6 = 0 и учитывая, что
dlm, о(О) = 6гаО, получим
du/d cos 0|е=о =	2 (2/ + <2/' + 0 S d™°i <s * * • • •)	<s • • •)
i, i'
или, если использовать неравенство (3.40),
2 (И+ЩЯ'+о/и 2 IWx
г, l' = 0	r m = — l
X]/ Sdr £ W-
V	m = — l'
Поскольку
co	I
°(s) = -|^V2(2Z+l)Ur j |МГ(8, ...)|a,
I Va I	J
/=0	m=—i
то в силу неравенства (3.38) получаем искомое ограничение на
сечение (3.32)
7^7	^о(8)1пЧ	(3.41)
dcos6 е = о	™л
2. Найдем ограничение при s->co для множественности инклю-
зивного процесса (3.31), которое вытекает из аналитичности,
унитарности и масштабной инвариантности. Найденные выше
области аналитичности при s-> оо вырождаются в области, состоя-
щие только из физических точек. Предположим, что при s-*-co
имеется аналитичность по угловым переменным z и <о также
в окрестности физических точек, т. е. в интервале углов
О<6о^0^ л — 0О;
6 < Фо ф л — ф0; фо + л -С
Ф -С 2л — ф0.
(3.42)
Тогда можно показать, что для дифференциального сечения про-
цесса (3.31), которое проинтегрировано по интервалу углов (3.42),
существует ограничение
j—гз—Ln „ sgconst
dcos6d<j>a п „
’<p:#0, Л, 2Л
In8 s
s sin2 * 4 6 sin® <p ‘
(3.43)
Согласно гипотезе масштабной инвариантности функция распре-
деления f частиц «1» и «2» зависит только от переменных хи
Ча, *г, т. е. / (хъ q1L-, х2, q21). По определению (см. § 2), сред-
няя множественность (П1П2) частиц «1» и «2» в интервале углов
§ 3. Феноменологические подходы и модели
ПИ|
(3.42) выражается через функцию распределения / так:
I (s) = (ticnd)v<3t (s, Vo).	(3.1-1)
Здесь 7($)=Д dqn dq21	dx2	-Ч11’	;
-— 1 -J- ZAf -1 Za2
P-i = y (m’ + 9ix)> Pl = 4(m2 + ^J-): Д1> Лг —близкие к нулю по-
стоянные, выраженные через углы 60, <р0 из (3.42). Так как
функция fab-* 1,2 ограничена, то
О < const I (s) const In2 —-—.	(3.45)
После подстановки (3.43) и (3.45) в (3.44) получаем, что множе-
ственность <П1П2) возрастает с ростом энергии s быстрее, чем
<П1П2> const s (In9 s)-1.
Следовательно, аналитичность, унитарность и масштабная инва-
риантность приводят к тому, что средняя множественность частиц
в интервале углов Vo почти достигает (в смысле зависимости
от s) своего предельного значения
<П1П2) i/„ *=« s/mitr^,	(3.46)
которое вытекает из закона сохранения энергии.
Принцип автомодельности. Этот принцип основывается на двух
экспериментальных фактах (см. § 1):
1) подавляющее число образующихся частиц имеют ограни-
ченные поперечные импульсы (q± < 0,4 ГэВ/c), а продольные
импульсы qz частиц растут с ростом энергии;
2) среднее число образующихся частиц (п) медленно растет
с увеличением энергии, т. е. большая часть энергии налетающих
частиц трансформируется в.кинетическую энергию движения.
Эти факты позволяют предположить, что имеется сильное
различие между продольными и поперечными направлениями.
Поэтому естественно ввести две различные шкалы длины: Lz — вдоль
оси столкновения, Lx —в поперечной плоскости.
Любая измеряемая на опыте физическая величина F имеет
определенные продольную, и поперечную размерности: [F] =
= LnzLf.
Предположим, что при высоких энергиях все физические кон-
станты (масса, эффективные радиусы и т. п.) имеют чисто попе-
речную размерность, а физических констант, имеющих продольную
размерность, не существует. Это означает, что при преобразованиях
компонент импульсов qz-*-kqz, qi.-^-qx. любая физическая вели-
чина должна оставаться инвариантной с учетом. ее продольной
размерности. Так формулируется принцип автомодельности для
сильного взаимодействия.
682
Глава !П. Инклюзивные процессы.
Приведем несколько конкретных следствий, вытекающих из
принципа автомодельности.
1. Рассмотрим процесс столкновения двух адронов: « +
-> 1 +2 + 3+ ... По определению, полное сечение ot(s) процесса
характеризуется определенной эффективной площадкой, перпен-
дикулярной оси столкновения, т. е. размерность [о/] = Ь\. Так
как S = (Ра + РьУ	и [рг] = £г1, то размерность [s] = L+
При преобразовании Pz-^t-pz в соответствии с принципом
автомодельности должно выполняться равенство
o(s) = o(X2s).	(3.47)
Величина слева имеет нулевую продольную размерность, про-
дольная. размерность величины справа отлична от нуля, поэтому
равенство (3.47) может быть выполнено лишь в том случае, когда
функция о($) вырождается в постоянную величину, т. е. o(s) = const.
К такому же результату приводит согласно (3.8') реджезация
мнимой части двухчастичной амплитуды упругого рассеяния
вперед (1 +2 —>-3 + 4), если учитывать вклад только вакуумной
траектории.
2. Дифференциальное сечение одночастичного инклюзивного
процесса запишется в виде (2.19)
F9-^ = F(s, t, и).
1 .—	Г dq I Г dqs. dq 1
Так как в с. ц. м. энергия Е — — у s, то J —j — L~£.
Кроме того, [do] = Lx> поэтому размерность [F] = Li.
В системе центра масс начальных частиц
Pa = (Pz, 0, 0, рг), pb^kpz, 0, 0, — рг), q(q0, qx, qy, qz).
Подстановка этих импульсов в (3.10) приводит к следующему
виду для инвариантных переменных:
s = 4pl, u = -2pz(q0 + qz)-, t = -2pz(q0-qz).
Отсюда видно, что переменная s всегда имеет продольную
размерность: |s]=+z2; переменные и и t могут иметь в различных
областях различные размерности, хотя их произведение ut =
= 4pz (<7о — q‘i) = 4p°z (m° -j- q\) всегда имеет определенную размер-
ность: \ut} = L^L^.
Рассмотрим различные асимптотические области.
а)	В области фрагментации частицы «я» импульс ^г->-|-оо,
и ж — 2pzqz, t~ — 2рг------- , поэтому [w] = L? и [/] = L~£. В силу
<lz
принципа автомодельности, при преобразованиях pz-^pz, qz~+hqz
и <71-х/i должно выполняться равенство F (s, и, t) — F(№s, №и, t),
что возможно лишь только в том случае, когда функция F зави-
,<> Я. Феноменологические подходы и модели	Г>н.»
епт от безразмерных величии u/s и I, т, е.
F(s, и, I) — f (u/s, t) — f(qz/pz, q±).
Этот результат совпадает с тем, который был получен при
однократной реджезации амплитуды упругого процесса 14-« +
+ b-> 1 4-a-pb.
б)	Распределение в области фрагментации частицы «Ь» полу-
чается из предыдущего, если заменить в нем индексы n^tb,
т. е. тогда qz-> —со, [t] = Lzs, [w] = Lj_ и
F (s, u, t) = f (t/s, u).
в)	В области пионизации	и определенную размер-
ность имеет лишь произведение [ut] = LZSL~±. Поэтому согласно
принципу автомодельности имеем для распределения
F(s, u, t) = f(tu/s) — f(qx),
что совпадает с двойным реджевским разложением амплитуды
упругого процесса l+n + b-^-l-pn-^b.
3.	Средняя множественность (п (s)), будучи-безразмерной вели-
чиной, не зависит от энергии s, обладающей продольной размер-
ностью, т. е. (п (s)> = const.
4.	Средний поперечный, импульс. (q£), имеющий поперечную
размерность, также не зависит от энергии, т. е. (д (s)) = const.
5.	Из принципа автомодельности следует постоянство безраз-
мерного коэффициента неупругости К (s) = <Е'/Е) = const, где
Е'— энергия, уносимая вторичными частицами в процессе а-\-
+ b -> 1 4- 2 -j- вторичные частицы.
Статистическая модель. В этой модели для анализа. множе-
ственного образования частиц применяются методы статистической
физики и гидродинамики. Существует два основных варианта
статистической модели. Общим для них является предположение
о том, что частицы претерпевают не периферические, а лобовые
соударения (см. рис. 18.9), в результате которых образуется
сильно возбужденная составная система. Различаются эти модели
предположениями о механизме образования частиц из системы:
в одной из них предполагается, что частица образуется в момент
столкновения, в другой считается, что процесс столкновения
происходит в два этапа —образование системы и ее расширение,
и частицы образуются лишь в конце расширения системы.
Рассмотрим сначала подробнее первый вариант статистической
модели. Пусть для конкретности сталкиваются два нуклона. Пред-
положим, что:
1)	частицы образуются в системе непосредственно в момент
столкновения; образовавшиеся частицы не взаимодействуют между
собой;
2)	частицы в системе можно трактовать статистически;
3)	система в целом находится в статистическом равновесии;
584
Глава 18. Инклюзивные процессы.
4)	объем системы равен объему Vo сферы радиусом — (где
И
р —масса л-мезона), сжатой вследствие лоренцова сокращения
вдоль направления движения нуклонов:
т/ 4л ( 1 \3 4л 11 \з 27И	/о
1/=УоТ = -з-(7) ^ = т(р) ~Г’	<3-48)
27И
гдеу = —-----величина лоренцова сокращения; М — масса нук-
лона; Е — энергия одного нуклона в с. ц. м.
Так как система в целом находится в статистическом равно-
весии и ее полная энергия W известна (W = 2E), то с помощью
формул статистической физики можно сразу определить основные
характеристики образующихся частиц (множественность, энерге-
тическое и угловое распределение, состав, импульсы).
Пусть Т — температура системы. В состоянии равновесия пол-
ная энергия W составной системы пропорциональна четвертой
степени температуры: W^T^V, а средняя энергия Е одной
частицы —температуре Т. Поэтому число рожденных частиц
(множественность) равно:
(3.49)
Подставляя сюда (3.48) и учитывая, что в с. ц. м. W = 2Е, имеем
для множественности образующихся частиц
п ЕЧ* V*/<	£*/• -4г- ^Е1'*
Е1*
Энергетическое распределение рождающихся частиц описывается
формулой Планка, а угловое распределение будет изотропным
(если не учитывать требований, накладываемых законом сохра-
нения момента импульса). Поскольку температура системы гораздо
выше температуры энергии покоя частиц, то наряду с л-мезонами
должны рождаться в сравнимом количестве другие мезоны, а также
нуклонные пары. Поперечный импульс образующейся частицы
определяется температурой Т системы: ~ Т, т. е. быстро
увеличивается с ростом начальной энергии частиц.
Все приведенные выводы, особенно последний, плохо согла-
суются с опытными данными. По-видимому, это можно объяснить
следующими двумя основными причинами. Во-первых, как пока-
зывают опытные данные, частицы претерпевают в основном не
лобовые, а периферические столкновения (см. § 1). Во-вторых,
сама модель внутренне противоречива: с одной стороны, в ней
предполагается настолько сильное взаимодействие между адро-
нами, что уже на пути порядка М/цЕ они полностью тормо-
зятся и передают свою энергию образующимся частицам, а с другой
стороны, родившиеся в объеме (3.48) адроны разлетаются, не
взаимодействуя. Для того чтобы устранить это противоречие,
§ 3. Феноменологические подходы и модели	r,Nh
необходимо учесть взаимодействие между образующимися 'i.icin
нами. Это было сделано во втором варианте статистической мо
дели.
Качественно процесс множественного образования частиц по
втором варианте статистической модели выглядит так:
1. При любом соударении двух нуклонов возникает сильно
возбужденная составная система, ее объем по-прежнему опреде-
ляется формулой (3.48): V = К0-у. В момент столкновения возникает
большое число частиц. Однако оно не может быть точно опре-
деленной величиной, поскольку благодаря сильному взаимодей-
ствию между собой частицы будут аннигилировать, вновь воз-
никать, поглощаться и т. д. Длина пробега частиц мала по
сравнению с V, и в системе устанавливается статистическое
равновесие. На этом кончается первый этап столкновения.
2. Второй этап столкновения сводится к расширению системы
объемом V. Расширение рассматривается как движение идеальной
(невязкой, неТеплопроводной) жидкости, т. е. применяется гидро-
динамическое рассмотрение. В процессе расширения длина про-
бега частиц продолжает оставаться малой по сравнению с раз-
мерами системы, что и определяет применение гидродинамики.
Скорости в системе сравнимы со скоростью света, поэтому надо
применять релятивистскую гидродинамику По мере расшире-
ния системы взаимодействие ослабевает и длина пробега частиц
возрастает. Когда взаимодействие становится достаточно малым,
можно говорить о числе частиц как физической характеристике.
Когда длина пробега становится сравнимой с линейными разме-
рами системы, происходит распад системы на отдельные частицы.
Такой распад происходит при температуре При рас-
ширении системы статистическое равновесие нарушается. Поэтому
для этой стадии процесса предполагается не общее равновесие
всей системы, а локальное, для каждого элемента в отдельности.
При этом вводится местная температура в местной системе покоя.
При местной температуре	частицы разлетаются. Число
частиц Afa, испущенных местной системой, пропорционально
местной энтропии sa:Na<-^sa, а —индекс местной системы. Энер-
гия, уносимая частицами, определяется местной энергией. Для
нахождения местных величин надо решить гидродинамическое
уравнение движения, описывающее расширение системы,
дху ~и-
*> Чтобы можно было пренебречь вязкостью и теплопроводностью, число
Рейнольдса R= должно быть больше единицы (здесь L — наименьшие раз-
меры системы, V — «макроскопическая» скорость, v—молекулярная скорость,
I — длина пробега) Поскольку Рио порядка скорости света с, то условие
R 1 совпадает с условием L I.
586
Г лава 18. Инклюзивные процессы
Здесь 7\iV —тензор энергии-импульса идеальной жидкости, причем
TiLV = pglLV+(E + p)ulLuv, —четырехскорость, е и р — плотность
энергии и давление.
Уравнение состояния для жидкости выбирается в виде р = е/3.
Решая уравнение движения, получаем пространственно-временное
распределение скорости и (х, /) и плотности энергии е (х, /).
Отсюда находим поток энергии и энтропии в процессе расши-
рения.
Вычислим величину множественности. Для этого учтем, что
плотность числа частиц и плотность энтропии являются функ-
циями температуры Т, но их отношение мало зависит от Т и его
можно приближенно считать постоянным. Поэтому полное число п
образующихся частиц равно '^Na^'^isa. Расширение идеальной
а
жидкости происходит при постоянной энтропии (изэнтропически).
Вследствие этого полная энтропия сохраняется и равняется ее
начальному значению. Начальный объем расширяющейся системы
определяется (3.48): V = Роу. Тогда полная энтропия системы
S = sV = e3/ilz= UT’/«y,/4 приводит к числу частиц п, совпадаю-
щему с (3.49), т. е. оба варианта статистической модели при-
водят к одному и тому же значению множественности.
Из детальных вычислений следует, что угловое распределение
частиц обладает резким максимумом в направлении вперед.
В момент разлета Т ~ р, поэтому число тяжелых частиц
подавлено. Поскольку	то поперечный импульс также
ограничен: Рх^р.
§ 4. МУЛЬТИПЕРИФЕРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Диаграммная техника. Применим для анализа процессов мно-
жественного образования частиц диаграммную технику (гл. 4) —
сопоставим процессу диаграмму Фейнмана. Если диаграмма изве-
стна, то в принципе можно вычислить в явном виде все характе-
ристики процесса (дифференциальное и полное сечения, угловое
и энергетическое распределения и т. п.), т. е. получить более
детальные результаты по сравнению с теми, которые дают фено-
менологические подходы (см. § 3).
Общий вид диаграммы множественного образования частиц
изображен на рис. 18.20. Две частицы, сталкиваясь, могут обра-
зовать: 1) частицы а, 2) резонансы б, например со- или р-мезон,
которые затем распадаются на л-мезоны, 3) более сложные, чем
резонанс, образования, которые затем распадаются на группу
л-мезонов (такие сложные образования получили название кла-
стеров). Родившиеся частицы, взаимодействуя между собой, рас-
сеиваются, образуют новые резонансы, которые затем распадаются
и т. д. В конечном итоге образуется определенное количество
$ 4. Мультипериферическая теория
IW
частиц различных сортов. Обмен между вершинами (вертикальные
линии на рис. 18.20) также может производиться различными
частицами — мезонами, реджеонами.
Как видно, в общем случае диаграмма множественного обра
зования довольно сложна и необходимы некоторые упрощения.
К сожалению, в настоящее время нельзя привести аргументов,
которые позволили бы произвести упрощения однозначно. Поэтому
приходится рассматривать различные варианты, а отбор их про-
изводить путем сравнения даваемых ими теоретических предска-
заний с опытными данными.
Рис. 18.20. Общий вид диаграммы
Мультипериферическая теория. Мы остановимся подробнее на
наиболее популярном в настоящее время варианте — мультипери-
ферической теории. В этой теории предполагается, что: 1) взаимо-
действием между образующимися частицами можно пренебречь
(некоррелированное рождение);
2) продольные импульсы qiz рождающихся частиц упорядочены,
так что импульс каждой следующей частицы меньше импульса
предыдущей:
Qiz — ^Qlzt 9зг = ^г?1г» • • • Qn+l,z =	0<Х<1;
при этом парные энергии соседних адронов невелики (<~ т2, где
т — масса частиц). Это предположение можно сделать лишь потому,
что малы (а» 0,4 ГэВ/c) и постоянны поперечные импульсы qiL
рождающихся частиц.
В мультипериферическом приближении процесс множественного
образования изобразится диаграммой в виде лестницы (рис. 18.21).
В вершинах диаграммы могут быть мезоны (рис. 18.21, а), мезон-
588
Глава 18. Инклюзивные процессы
ные резонансы (рис. 18.21,6), кластеры (рис. 18.21, в). Обмен
может производиться как мезонами, так и реджеонами (мезонной,
вакуумной и т. п. траекториями).
Для иллюстрации остановимся на двух наиболее простых
вариантах мультипериферической теории.
Рис. 18.21. Диаграмма процесса в мультипериферическом приближении
(«лестница»)
1. Рассмотрим сначала вариант, в котором все частицы в лест-
нице — нейтральные скалярные мезоны (рис. 18.21, а) с массой т.
Предположим, однако, сначала для общности, что р°а = — т и не
совпадает с т2 (т. е. частица не лежит на массовой поверхности),
а затем положим —т = т2.
Рис. 18.22. Связь диаграмм процессов с образо-
ванием п и п + 1 частиц
Для процесса, описываемого лестницей (рис. 18.21, я), можно
получить интегральное уравнение, связывающее сечение образо-
вания п 1 частиц с сечением образования п частиц. Пусть
/Ип+1 — амплитуда процесса образования п 1 частиц, а Мп—п ча-
стиц. Графически связь между этими процессами изображена на
рис. 18.22. Из этого рисунка следует, что
М„+1 (т) = #(т, т')О (т')АД (т'),
§ 4. Мультипериферическая теория
Wl'l
где D (т) = р2_Д- — функция распространения частицы; ц (i, i.')
вершинная функция. Отсюда для сечений получаем
don+1 (T)/drn+1 = [g (т, т') D (т')]2 f,
(4.2)
где don+1 = ^|Mn+1|2drn+1, dan =	1Mn |2 dFn.
Найдем связь между фазовыми объемами <£Гп+1 и dF„. Пусть
pa = (Еа, Va),p = (Е, р), q = (ю, q), где (О = Vq2 ф- q2 = ]/ ?2 ф-Vj. + <&
Еа и Е имеют аналогичный вид. В л. с. к. s = (ра ф- phy = 2mEa ф-
ф- рь + гтг и s1 = (p + p6)2 = 2m£' + p2 + m2. Из закона сохранения
pa = p + q вытекает, что Еа = Е-}-а>, |ро| = ргф-^г, <7х = Р±. Учи-
тывая соотношения Sj=ys и | ра |2 ;> | ра |2, получаем для величины
квадрата импульса —т' = —р2, переданного частице с импульсом q-.

nfiy
т' = TO 4- т--r i,
a 1 1—у 1 1—y ’
(4.3)
где т = — pa.
dq	ndq\ dq
Tак как — =---------±---
(D	(D
drn+1 и dTn будут связаны ।
dq
drn+i = drn (2л)3 2ш drn
dqg
dt/
~ "Tzzy > то Фазовые объемы
соотношением
dq\ dy
И
Подставляя последнее в (4.2), имеем
don+1 (т) = о„ (т') [g(T’ (т } j2 dq\ .
(4.4)
Интегрируя (4.4) по q\ от 0 до оо и по у от 0 до 1 и производя
согласно (4.3) замену q\ переменной т', получаем выражение
для полного сечения образования п-\-1 частиц:
ъ
on+i(T)=Jpdp J on(Tz)[g(T’ 4лР(Т)]2^,	(4.5)
О Т' fe)
/ I trfiy	,	9 r\
где т0 = тр+  t - — значение т при qy=O.
Интегрирование в (4.5) по у по частям, а также суммирова-
ние справа и слева по п в предположении, что ot не зависит от
энергии, дает искомое интегральное уравнение
СО
о, (т) = J
о
' g(T. т')Р(т')
4л
Ст/ (т') dt'.
(4.6)
590
Глава 18. Инклюзивные процессы
Здесь 07 (т) = У} оп (т) — полное сечение образования любого числа
п
частиц в мультипериферическом процессе; у0 = —, а
7? — ]/(т + т' 4- т2)2 — 4тт'.
(4.7)
Величина у0 представляет собой решение уравнения х' — ху-\- у—
Интегральное уравнение (4.6) является условием того, что
полное сечение ot (х) не зависит от энергии s. Правая часть (4.6)
при s —> со будет равна левой, если £2(т, т')^(4л)2, т. е. когда
константа связи g(x, х’) становится неразумно большой. Это
Рис. 18.23. Реджезация в мультипе-
риферическом приближении
Рис. 18.24. Лестничная диаграмма
процесса образования трех частиц
означает, что рассмотренный нами вариант слишком груб. Этого
недостатка можно избежать, если выбрать более сложную диа-
грамму. С ее помощью можно найти также другие характеристики
процесса (угловое, энергетическое распределение и т/ п.).
2. Рассмотрим лестничную диаграмму (рис. 18.23), в которой
обмен происходит реджеонами, а в вершинах образуются нейтраль-
ные скалярные мезоны с массой т. Такая лестница получается при
реджезации диаграммы множественного образования (см. рис. 18.20)
в мультипериферическом приближении. Процесс образования,
например, трех частиц описывается диаграммой, изображенной
на рис. 18.24; ей соответствует амплитуда
= РаТвР^а^ (812)“»	,	(4.8)
I
где р,-— вычеты; ^- — сигнатуры; у2 —вершинная функция; s,7- =
= (qt + q,)2. Так как согласно (4.3) для yif = Sy/s<^ 1, 111 =—т2уу +
+	— и а(^^а(<7х) = а(О)4-а'(О)<а, то (4.8)
перепишется так:
32^Мз = Рср6у2^ (S12) аь * (s23) “»	~
-1Л12+аО9В±?2з)	/4 О)
(Sia)1-“b(0W-“»(0)
1-
1
§^-'Гпубоко неупругое рассеяние электронов на притонах	591
где h/ = In slh Отсюда для сечения будем иметь
do3 = -^-1М3 Г с/Гз = | М312 (2л)46 (qx + q2 + Чз — Ра — р6) X
I F I F F F \ nd<fij.d<fiz л<г?з± rf432
ХО(Е1 + Е2 + Ез Еа Еь) (2л)32£1 .. (2зт)з2£я >
или, если учесть, что §6(qi+. .)dqi— 1,
1 dql. dq; .
do3 = lr|M3|2-^-^dg2 dg3 (2п)^(Е1 + Е2 + Ез-Еа-Еь),
гттр Я? — deliz ~ dEt
где —
Аналогичным образом запишется сечение процесса образова-
ния п частиц, определяемого амплитудой Мп:
dun = ~\Мп |2 drn (2л)4 б (Ej + £2	£6), (4.10)
где dT„~ (4^2 (4^-. .--У”*- dEidh . . d^-i.
Чтобы вычислить полные парциальные сечения оп, надо про-
интегрировать (4.10) по и h (в допустимых для них областях).
В результате, полагая, что все вершины одинаковы: у1 = у2 =
= Тз =•..=? и ра = ра(О), Рб = Р»(О), получаем
о„= § !Л4„I2dr„ = [Ш (п - 1)|П^о1"~2,	(4.11)
где	Суммирование в (4.11) по п приводит к искомому
выражению для полного сечения:
sr2
oz = оп = J [t> In (Е/и£о)]" п dn ~ п [п 1п (Е/пЕо)]"»
п	0
(4.12)
где « — значение п, дающее наибольший вклад в сумму.
Из (4.12) следует, что при п>0 полное сечение растет
с энергией s по степенному закону. Этот результат противоречит
опыту. Существуют различные пути устранения этой трудности,
но мы. на них останавливаться не будем.
§ 5. ГЛУБОКО НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА ПРОТОНАХ
Мы рассмотрели процессы, множественного образования частиц
при столкновении адронов с адронами. Наиболее характерной
особенностью этих реакций является масштабная инвариантность,
т. е. независимость парциальных дифференциальных сечений от
энергии s в асимптотической (s->oo) области энергий.
592
Глава 18. Инклюзивные процессы
Рис. 18.25. Диаграмма
глубоко неупругого
рассеяния электрона
на протоне в однофо-
тонном приближении
Множественное рождение частиц происходит также при столк-
новении лептонов большой энергии с адронами. Причем для этих
процессов также существует своеобразная масштабная инвариант-
ность (иногда говорят, слабая, электромагнитная и сильная
масштабные инвариантности соответственно для процессов с уча-
стием слабых, электромагнитных и сильных
взаимодействий).
Кинематика. В качестве примера рас-
смотрим одночастичный инклюзивный про-
цесс
е (Рь) + Р (ра) -* б' (q) + X,	(5.1)
т. е. реакцию множественного образования
частиц при столкновении электрона с про-
тоном, когда в конечном состоянии реги-
стрируется лишь одна частица — электрон.
Графически диаграмма инклюзивного про-
цесса (5.1) в однофотонном приближении
изображена на рис. 18.25. Эта диаграмма,
как и в случае упругого рассеяния электро-
нов (гл. 13, § 2), содержит две существенно
различные вершины —электромагнитную а и адронную б. Отли-
чие заключается в том, что в адронную вершину б неупругого
процесса (5.1) входит в конечном состоянии не один, а много
адронов.
Амплитуда процесса (5.1) будет функцией трех переменных,
в качестве которых выбирают инвариантные величины k2 = (pb—
— q)2, v = (kpa), (РаРь)- В лабораторной системе координат (ра =
= 0, Pao = fna) они выглядят так:
k2 = — 2Еъ Eq (1 — coseL), V = maEk =ma(Eb — Eq), (раРь) = таЕь,
где Еь, —энергия налетающего и рассеянного электронов;
6L—угол рассеяния (здесь и далее массой электрона пренебре-
гаем, так как Еь, Е9^>т). Величина k2 представляет собой
квадрат массы виртуального фотона (она отрицательна), величина
V —энергию, передаваемую виртуальным фотоном покоящемуся
протону, а величина (рьРа) пропорциональна энергии налетаю-
щего электрона.
Амплитуда неупругого процесса (5.1) запишется в виде, ана-
логичном выражению (2.2) гл. 13 для амплитуды упругого рас-
сеяния:
М = — (у'+) (q)	(р6) Си) Jv | Ра) tv,
где Сц—поляризация виртуального фотона в промежуточном
состоянии; (рх | Jv | ра) — инвариантное выражение для адронной
вершины б.
§ 5. Глубоко неупругое рассеяние электронов на протонах	593
Тогда для дифференциального сечения процесса (5.1) имеем:
da = 4maEb । М I2 (2я)^2£9 8(Pa + Pb~q — Чх)-	(5-2)
Здесь, как обычно, подразумевается суммирование по состояниям
конечных адронов и по проекциям спина конечного электрона,
а также усреднение по проекциям спина начального электрона
и протона.
Величину | М |2 удобно представить в форме произведения
трех множителей, относящихся соответственно (см. рис. 18.25)
к электронной вершине а (электромагнитный ток /ц), промежу-
точному виртуальному фотону с импульсом k и к адронной вер-
шине б (адронный ток Jv):
|Л1|2 = 1а^ОД.	(5-3)
Функция известна, поскольку известен электромагнитный
ток
/и = — еа (q) у^и (рь).	(5.4)
Из трех инвариантов (k?, у, раРъ) к адронной вершине имеют
отношение лишь два: kz, у. Поэтому амплитуда адронной вершины
будет функцией только kz и у.
Найдем инвариантное выражение для адронной вершины.
Для этого используем векторы k, ра и метрический тензор g^.
Это дает четыре симметричных тензора pnvPm, (PapAv4-£pPav)«
kpky, guv Поэтому можно представить в виде
= Л1 (Уг ^2) PayPav Ч~ Л г (Уг Р2) {РацЬу Ч" ^p,Pav) Ч"
Ч-Л3(т, k^ky + Adv, k2)gtly. (5.4')
Далее из условия сохранения четырехмерного тока
(fix I Jp. I Ра) = О
следует, что
Allykil = a1{v, k2)kv + a2(y, kz)pav = 0.	(5.5)
Здесь величины аг (у, kz) и а2 (у, kz) представляют собой линей-
ную комбинацию коэффициентов A, (v, kz), входящих в (5.4').
Согласно (5.5) условие сохранения тока приводит к двум
ограничениям аг (у, kz) = 0, а2 (v, kz) = 0, т. е. в (5.4') незави-
симы лишь два коэффициента At (у, kz) и окончательно выраже-
ние для Л^ запишется так:
Лрл, = Vi (v, kz) Rл; Ч- V2 (у, kz) R™,	(5.6)
где R^y и ОД—инвариантные комбинации. Обычно их выбирают
в форме:
ОД = РщуРаук2 - У (paflk + рау) | • V2gg
ОД = ^~А2Яил.	( 4
594	Глава 18. Инклюзивные процессы.
Таким образом, дифференциальное сечение инклюзивного про-
цесса (5.1) содержит два формфактора Vi(v, k2), Е2(^, k2), зави-
сящих от v и k2.
В соответствии с (5.4)
«uv = Wv = е2 [4pbMp6v — 2 (pbllkv + kt!pbv) -4- 2 (pbk) gtlv].	(5.7')
Подставляя (5.7') в (5.3) и производя перемножения, получаем
выражение для du через (v, k2) и Vz (v, k2):
d° = | P&?ma {У1	“ v + 4 m^2 +4v2]-
— V2(y, k2)^\d£. (5.8)
Если выбрать вместо тензоров (5.7) их линейные комбинации
(5.9)
~<а>	1 / ' п<1> । '’2 п<2>\______1
I	-Г(^2)2 I — ms \Рац
Рау
то (5.6) перепишется так:
411V =	(V, k2)	+ W2 (v, k2) aft,	(5.10)
причем новые формфакторы Wt выражаются через старые Vp
№i(v, k2) = — v2Vi + f!2V2, W2(v, k2) = k2mbVi.	(5.11)
Соответственно для дифференциального сечения в лабораторной
системе координат вместо (5.8) имеем
dc=~[w2(v, Jfe2)cos2y+2W'1(v, k2) sin2-^E^dEgd^, (5.12)
или
du = q du0 [U72 (v, k2) + 2Wj. (v, k2) tg2 dE,	(5.13)
где du0 определяется формулой (2.4'), гл. 13.
Формфакторы (v, k2) h№2(v, k2), входящие в (5.13), удоб-
нее заменить полными сечениями поглощения поперечных и про-
дольных виртуальных фотонов. Произведем эту замену. На
рис. 18.25 видно, что неупругое рассеяние электронов можно
рассматривать как поглощение виртуального .фотона адроном.
Амплитуда такого процесса запишется в виде
Л4° = ^<Рх|/ц1Ра>?ц,
где вектор поляризации виртуального фотона. Отсюда пол-
ное сечение поглощения (в л. с. к.) будет:
°z = I k I Г I !2 = 4m„ I к I Г	(5.14)
£ 5. Глубоко неупругое рассеяние электронов на протонах
Б95
Виртуальные фотоны обладают поперечной и продольной поля-
ризацией. Поэтому можно ввести полные сечения поглощения
поперечных и продольных фотонов:
ле2 д „	л
°ir~4malk\W/itr’ 4т„|к|Г
где
Atr = — 2v2I/! + 2k2 V2 = 2 Wu
At = - k2n^Vy + k2V2 = Wt +	W2.
- (5.15)
(5.16)
Формулы (5.15) и (5.16) связывают формфакторы k2) и
R72 (v, /г2) с полными сечениями поглощения и поперечных
Рис. 18.26. Схематическое изображение оптической теоремы для глубоко неуп-
ругого рассеяния электрона па протоне
и продольных виртуальных фотонов. С помощью (5.15) и (5.16)
выражение (5.13) перепишется так:
do = do0 dEg [Atr ( -	4- tg2 y) + jypr Л,].	(5.17)
Покажем еще, что тензор Л^ простым образом связан с аб-
сорбтивной частью амплитуды упругого рассеяния вперед вирту-
ального фотона на протоне (т. е. виртуального Комптон-эффекта
на протоне). Действительно, полное сечение взаимодействия
фотона с адроном определяется формулой (5.14) и согласно опти-
ческой теореме (1.25) гл. 9 связано с абсорбтивной частью ампли-
туды упругого рассеяния виртуального фотона вперед:
Ф = 2ц/|к| Im Ms = 2ГТкТ	Im М^у.	(5.18)
Сравнение (5.14) и (5.18) дает искомое соотношение:
Л^= 2у ImA4gV.	(5.19)
Графически оно изображено на рис. 18.26.
Из (5.13) следует, что если откладывать по оси ординат
dojdo0, а по оси абсцисс —значения tg2y, то do!do0 изобра-
596
Глава 18. Инклюзивные процессы
зится при k2 = const, v== const в виде прямой линии; ее наклон
равен 2ЯМ*. k2), а ордината в точке tg2 = 0 равна U72(v, k2).
Следовательно, для экспериментального определения функций
W\ (у, k2) и R72(v, k2) надо измерять угловое распределение
электронов при фиксированных значениях k2 и v.
Масштабная инвариантность. Были проделаны измерения для
различных углов рассеяния электронов. При этом было обнару-
жено, что функции (v, k2) и vR72(v, k2) в так называемой
глубоко неупругой области, для которой — k2^M2, v^>M2 и со =
= ~^-r''jconst, при фиксированном параметре со, но различных
углах рассеяния 6 слабо зависят от величины переданного им-
пульса k2. Иначе говоря, в первом приближении можно считать,
что функции W1 и vW2 зависят не порознь от переменных v и k2,
а только от их отношения о, т. е. функции и vW2 масштабно
инвариантны.
Скейлинговое поведение функций и vW2 резко отличается
от соответствующего поведения нуклонных формфакторов GE(k2),
GM(k2), найденных из опытов по упругому рассеянию электронов
на нуклонах (см., гл. 13, § 2). В то время как формфакторы
нуклонов резко падают с ростом k2 (см. рис. 13.4), функции
и vW2 убывают с ростом k2 очень медленно, т. е. в области
глубоко неупругого рассеяния нуклоны ведут себя так, как
будто у них электромагнитные формфакторы отсутствуют.
Аналогичным образом были проанализированы другие глубоко
неупругие процессы:	-> p'TV (рассеяние р-мезонов на нуклонах);
vN -> vN, vN -> vN (рассеяние нейтрино и антинейтрино на нук-
лонах); е+е~ -> X, е+е~ -> адрон -|- X (е+е_-аннигиляция).
Анализ показал, что в этих процессах масштабная инвари-
антность также нарушается.
Существует несколько подходов, приводящих к точной масштаб-
ной инвариантности—партонная и кварковая модели, использование
коммутаторов на световом конусе. Разработка вопросов, каса-
ющихся нарушения масштабной инвариантности, в настоящее время
только начинается.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Канонический подход; его основные предположения. Мы изло-
жили наиболее общепринятые и разработанные идеи и методы
расчета физики элементарных частиц; назовем такой подход кано-
ническим. Как видно, канонический подход, несмотря на значитель-
ные успехи, не решает основной задачи — построения последо-
вательной теории взаимодействия элементарных частиц, которая
объясняла бы с единой точки зрения все имеющиеся опытные
данные. Теперь остановимся на других, менее разработанных
подходах к решению этой задачи, которые назовем неканоническими.
Неканонические подходы основаны либо на отказе, либо на обоб-
щении некоторых исходных предпосылок канонического подхода.
Поэтому перечислим сначала основные предположения канони-
ческого подхода. Они касаются свойств пространства-времени,
частиц, вакуума, взаимодействия между частицами, а также ма-
тематической структуры уравнений.
1.	Пространство-время: а) четырехмерно, б) непрерывно, в) одно-
родно, г) изотропно.
2.	Частица точечна; взаимодействие между частицами локально.
3.	Вакуум единствен (невырожден).
4.	Выполняются постулаты квантовой механики: физическим
величинам соответствуют эрмитовы операторы, а физическим сос-
тояниям — векторы в гильбертовом пространстве (с положитель-
но определенной метрикой).
5.	Выполняется требование релятивистской инвариантности,
т. е. инвариантности относительно группы Пуанкаре (четырех-
мерные повороты со сдвигом).
6.	Уравнения для свободных частиц: а) линейны, б) содержат
производную не выше второго порядка.
7.	Внутренние свойства симметрии частиц описываются оп-
ределенными группами симметрии: калибровочной, SU2, SU3
(точными или нарушенными).
Эти предположения позволяют построить S-матрицу, описы-
вающую переходы из одного асимптотического состояния в дру-
гое, которая удовлетворяет условиям причинности и унитарности.
Устранение расходимостей. Канонический подход приводит
к расходимостям (см. гл. 5). Эти расходимости можно устранить
методом перенормировок (правда, только в случае перенормируе-
мых теорий).
Можно поставить задачу по-другому — построить такую новую
теорию, которая не содержала бы расходимостей вообще. Очевидно,
для этого надо менять основы канонической теории, отказываться
от каких-либо ее исходных предположений.
Возникновение расходимостей в канонической теории связано
с тем, что интегралы, входящие в высшие приближения теории
возмущений (см. гл. 5), берутся по всему пространству — от нуля
до бесконечности, так как частицы считаются точечными. Беско-
нечно большой вклад в значение интеграла дает, как раз интегриро-
598
Заключение
вание по пространственной области вблизи нуля, т. е. по очень
малым размерам. Отсюда появляется естественная мысль — ввести
в теорию элементарную длину, тогда интегрирование будет про-
изводиться не от нуля и все интегралы будут конечными. Суще-
ствуют различные способы введения элементарной длины в
теории. Все они основаны на отказе от какого-либо допущения ка-
нонической теории.
Можно предположить, что частица неточечна; тогда теория
становится нелокальной.
Будем считать, что пространство-время дискретно и состоит
из отдельных четко разграниченных точек (так что имеется некото-
рая минимальная длина, отличная от нуля). Такая модель простран-
ства-времени аналогична структуре бесконечной кристаллической
решетки. Чтобы получить дискретный спектр координат и времени,
надо ввести операторы координат и времени, т. е. проквантовать
пространство и время (теория квантованного пространства-времени).
Можно рассматривать более общие типы уравнений: вместо линей-
ных — нелинейные, вместо уравнений со вторыми производными —
уравнения с высшими производными; более общие пространства со-
стояний: вместо пространства с дефинитной метрикой — простран-
ство с индефинитной метрикой и т. п. Эти модификации также могут
привести к появлению элементарной длины в теории.
Основной задачей неканонических подходов по-прежнему явля-
ется построение S-матрицы, удовлетворяющей одновременно ус-
ловиям релятивистской инвариантности, причинности и унитарнос-
ти. Как показывает анализ, решение этой задачи оказалось довольно
трудным. В настоящее время ведется интенсивная разработка
этого направления.
Расширение группы Пуанкаре. Пространственно-временные свой-
ства в каноническом подходе определяются группой Пуанкаре.
Можно предположить, что в природе реализуются более высокие
симметрии, которым соответствуют более широкие группы, чем
группа Пуанкаре. Существуют различные возможности расшире-
ния группы Пуанкаре.
1. Расширение группы Пуанкаре до конформной группы. Кон-
формная группа включает в себя кроме поворотов (группа Лоренца)
и сдвигов еще масштабное и специальное конформное преобразо-
вание. Уравнения для частиц с нулевой массой инвариантны отно-
сительно конформной группы. Непосредственно ввести в конформно
инвариантную теорию частицы с массой нельзя. Конформно инва-
риантные уравнения можно получить, если переопределить массу,
иначе говоря, ввести «конформную» массу, но ее физический смысл
не ясен. Можно отказаться от точной конформной инвариантности,
тогда массы частиц появятся как следствие нарушения конформной
симметрии (аналогичная ситуация существует, например, в SU3-
симметрии, см. гл. 16, § 4). На этом пути пока успеха добиться
не удалось.
Заключение
599
При расширении группы Пуанкаре до конформной к тензорным
генераторам группы Пуанкаре (повороты) и (сдвиги) добав-
лялись генераторы той же тензорной природы. При таком расшире-
нии мультиплеты группы содержат либо бозоны, либо фермионы,
т. е. эти мультиплеты не перемешиваются.
2. Расширение группы Пуанкаре, при котором к генераторам
группы добавляют генераторы спинорной природы. Такое расши-
рение приводит к новому типу симметрии, получившему название
суперсимметрии. Введем суперпространство — восьмимерное про-
странство, точки которого нумеруются обычными пространственно-
временными координатами Хр, (р=0,1,2, 3) и четырехкомпонентным
антикоммутирующим спинором е. Тогда группа суперсимметрии
может рассматриваться как группа преобразований суперпро-
странства. При этом группа суперсимметрии включает в себя кроме
поворотов и сдвигов (группа Пуанкаре) еще специальное супер-
преобразование. Представления (мультиплеты) Чг группы супер-
симметрии зависят как от Хц, так и от операторов е: Чт(хб); такие
функции получили название суперполей. Суперполе содержит
одновременно как бозе-, так и ферми-поля, т. е. в суперсимметрии
бозонные и фермионные поля перемешиваются.
Все частицы в супермультиплете имеют одинаковую массу,
а на самом деле эти массы частиц различны. Поэтому возникает
проблема нарушения суперсимметрии; эта проблема полностью
не решена. Было проанализировано несколько суперсимметрич-
ных моделей и установлена их перенормируемость. Однако эти
модели далеки от реальных, и физический смысл суперсимметрии
пока остается неясным.
Обобщение групп внутренней симметрии. Изложенные нами
группы внутренней симметрии (калибровочная — см. гл. 8, § 5;
Si72 и SU3, см. гл. 16) являются наиболее простыми. Наряду с этим
интенсивно изучаются более сложные группы. Наибольшее вни-
мание уделяется двум из них: киральной группе, представляющей
собой прямое произведение групп SU2 или SU3: SU2xSU2, SU3X
xSU3, и группе локальных калибровочных преобразований.
1. При построении кирально симметричного лагранжиана име-
ется две возможности. В первом варианте лагранжиан строится
из мультиплетов киральной группы в виде полиномиальной функ-
ции операторов поля и их производных (линейная реализация
киральной симметрии). Во втором варианте лагранжиан строится
из функций небольшого числа полей в виде неполиномиальной
функции (нелинейная реализация киральной симметрии). В ки-
рально инвариантную теорию входят безмассовые частицы, массы
у частиц появляются в результате нарушения симметрии.
Было установлено, что результаты алгебры токов (см. гл. 17)
эквивалентны вычислениям в низшем порядке теории возмущений
для кирально симметричного лагранжиана, если учитывать вклад
только диаграмм без внутренних петель («диаграммы-деревья»).
600
Заключение
2. Рассмотренные нами в § 5 гл. 8 калибровочные преобразо-
вания не зависят от координат пространства-времени, т. е. они
глобальны. Такие преобразования образуют группу глобальных
калибровочных преобразований. Предположим, что калибровочные
преобразования различны в различных точках пространства-
времени. Такие преобразования образуют группу, которая получи-
ла название локальной калибровочной.
Лагранжиан, инвариантный относительно глобально калибро-
вочной группы, не будет инвариантным относительно локально
калибровочной группы. Чтобы из глобально инвариантного лаг-
ранжиана получить локально инвариантный, надо ввести допол-
нительные поля. Эти поля компенсируют неинвариантность гло-
бального лагранжиана и потому получили название компенсирующих
или полей Янга—Миллса.
Полям Янга—Миллса соответствуют векторные безмассовые
частицы; отсутствие массы следует из свойства инвариантности
относительно калибровочного преобразования. Векторных без-
массовых частиц в природе не существует (кроме фотонов). Для
получения полей Янга—Миллса с массой был предложен механизм
спонтанного нарушения симметрии, т. е. такого нарушения, при
котором лагранжиан остается по-прежнему калибровочно инва-
риантным, а среднее по вакууму некоторых полей, входящих
в лагранжиан, отлично от нуля (вакуум становится вырожденным).
Из полей Янга—Миллса нельзя построить полей материи. Поэтому
поля материи необходимо вводить наряду с полями Янга—Миллса.
Анализировались различные локально калибровочно инвариант-
ные модели. Они отличаются друг от друга группой симметрии (St72
t73 и т. п.), числом и видом исходных мультиплетов полей материи,
видом нарушающего симметрию члена. Зафиксировать однозначно
каждое из этих условий невозможно, поэтому при конкретном вы-
боре модели существует довольно большой произвол.
Рассмотрим, например, модель, предложенную Вайнбергом
и Саламом. Эта модель инвариантна относительно группы St/2.
В качестве исходных выбираются изодублеты скалярных комп-
лексных полей, дублет лептбнов (левополяризованные электрон
и нейтрино) и спинорный синглет (правополяризованный электрон).
В данной модели все исходные частицы берутся безмассовыми.
Для модели пишется 5£/2-инвариантный глобальный лагранжиан,
из которого затем получается локально инвариантный лагранжиан
(на этом этапе в модель вводят безмассовые поля Янга—Миллса).
Чтобы частицы приобрели массу, в лагранжиан добавляется член,
спонтанно нарушающий симметрию. В качестве такого члена в
данной модели выбирают определенную комбинацию скалярных
полей (механизм Хиггса). После преобразований этот лагранжиан
записывается в виде суммы членов, которые соответствуют заряжен-
ному и нейтральному векторным полям с массой, безмассовому
векторному вещественному полю (оно отождествляется с электро-
Заключение
(К) I
магнитным), вещественному скалярному полю с массой, спинорному
полю с массой (отождествляется с электронным), бсзмассоному
спинорному полю (отождествляется с нейтрино), а также членов,
соответствующих взаимодействию электромагнитного поля с элект-
роном, взаимодействию лептонов посредством векторных нолей
с массой и т. п.
Как видно, за счет спонтанного нарушения симметрии приоб-
рели массу не только три (из четырех) поля Янга—Миллса, но
и исходное безмассовое спинорное поле. Модель включает в себя
одновременно и электромагнитное и слабое взаимодействия, т. е.
приводит к единой теории этих взаимодействий. Лагранжиан
модели содержит члены, описывающие процессы с нейтральными
токами, т. е. модель приводит к нейтральным токам, которые были
обнаружены экспериментально.
Рассмотренная модель имеет, однако, существенный дефект —
она неперенормируема: в высших приближениях появляются
расходящиеся «треугольные» диаграммы. Можно усложнить модель
и добиться компенсации этих диаграмм, но тогда появятся другие
трудности, например, отсутствие нейтральных токов, необходи-
мость введения экспериментально не обнаруженных частиц (тя-
желых лептонов.)
Было проанализировано большое число различных моделей,
однако до сих пор не удалось построить такой модели, которая
была бы полностью удовлетворительной с теоретической точки
зрения и согласовывалась бы с имеющимися опытными данными.
Предпринимались также попытки построения единой теории
сильных, электромагнитных и слабых взаимодействий, но пока
без успеха.
Введение калибровочных полей позволило по-новому подойти
к проблеме асимптотических свойств квантовой теории поля. Уже
давно было показано, что в канонической квантовой электродина-
мике эффективный заряд в асимптотической области энергий ста-
новится бесконечным или перенормированный заряд обращается
в ноль (трудность «ноль-заряда»). Недавно было установлено, что
для полей Янга—Миллса эффективный заряд в асимптотической
области энергий стремится к нулю, т. е. для калибровочных полей
трудность «ноль-заряда» отсутствует. Такие поля получили на-
звание асимптотически свободных. Было также установлено, что
асимптотически свободными являются модели, содержащие наряду
с полями Янга—Миллса поля материи. Для исследования асимп-
тотических свойств был разработан математический аппарат, в
основе которого лежат уравнения ренормализационной группы.
Асимптотически свободные поля открывают новые возможности
для построения внутренне непротиворечивой теории. к .
К еще более широким группам ведет объединение групп прост-
ранственной и внутренней симметрии, например объединение
калибровочной группы с группой суперсимметрии и т. п.
602
Таблица элементарных частиц
Таблица элементарных частиц
Символ	S	р	1	6	- Сп	в	S	Масса, МэВ	Время жизни, с
					Фотон				
Y	 1				-	0	0	0	Стабилен
					Лептоны				
Ve						0	0	0	Стабилен
	Х/2					0	0	0	»
е—	*/2					0	0	0,511	>
р*	V»					0	0	105,659.	2,197- 10"в с
Мезоны
л*	0	—	1	—		0	0	139,568	2,603-10-в
л°	0	—	1	—	+	0	0	134,964 .	0,83 • 10™
	0	—	1/г			0	+1	493,707	1,237 • IO”8
К0	0	—	1/2			0	1	497,7	50%/Q 4-50%№s
	0	—	112			0	1		0,893- 10-м
	0	—	1/2			0	1		5,181 • IO"»
ч	0	—	0	+	+	0	0	548,8	Г =(0,85 ±0,12) КэВ
Символ	S	р	1	6	Сп	В	S	Масса, МэВ	Ширина, МэВ
	Мезонные					резонансы				
Р (770)	1			1	+	—	0	0	770	150
со (783)	1			0		—	0	0	782,7	10
т]' (958)	(0)			0	+	+	0	0	95-7,6	1
б (970)	(0)	(+)		1		+	0	0	976	50
S* (993)	0	+		0	+	+	0	0	993	40
Ф (1020)	1			0			0	0	1019,7	4,2
Лх-(1100)	1	-	-	1	—	+	0	0	1100	300
В (1235)	1			1	+		0	0	1228	125
/(1270)	2		-	0	+	+	0	0	1271	180
D(1285)	(1)	(+)		0	+	+	0	0	1286	30
Л2 (1310)	2	-		1		+	0	0	1310	100
£(1420)	(0)	(-	-)	0	+	+	0	0	1416	60
Г (1514)	2	+		0	+	+	0	0	1516	40
р' (1600)	1			1	+		0	0	1600	400
Л8(164О)	2			1		+	0	0	1640	300
£(1680)	3			1	+		0	0	1690	180
К* (892)	1			1/2			0	1	892	49,8
и (1250)	0	-		/2			0	0	1250	450
К* (1420)	2	+		42			0	1	1421	100
«А	.(1)	(+)		1/2			0	1	( 1240	
									{ 1280—	
									1 1400	
J/cp (3100)	1			0	—	—	0	0	3038	0,067
ср (3.700)	1			0	—	—	0	0	3684	0,23
ср (4100)	1					—	0	0		200
ср (4400)	1					—	0	0	4414	33
Таблица элементарных частиц
603
Продолжение табл.
Символ	S	р	1	в	S	Масса, МэВ	Время жизни, с
Барионы
р п Л 2+ So S" Е° Е“ S2	Ч2 Ч2 7s Ч2 Ч2 Ч2 Ч2 Ч2 7»	ч - - - - ч ч ч ч	и и	42 42 0 1 1 1 42 42 0	1 1 1 1 1 1 1 1 1	0 0 —1 —1 —1 —Г —2 —2 —3		938,279 939,573 1115,6 1189,37 1192,48 1197,35 1314,9 1321,29 1672,2		Стабилен 0,918 • 103 2,578 • 10-ю 0,8- 10 ю 1•10-м 1,482 • 10-ю 2,96 • 10-ю 1,652-10-ю 1,3 - io-ю	
Символ	S		р		/	в	S		Масса, МэВ		Ширина, МэВ
Барионные резонансы
N (1470)	Ч2	ч-	72	1	0	1390—1470	180—220
N (1520)	72		72	1	0	1510—1530	105—150
N (1535)	Ч2	—	Ч2	1	0	1500—1530	50—120
N (1670)	Ч2	—	Ч2	1	0	1660—1685	145—165
N (1688)	Ч2	ч-	Ч2	1	0	1670—1690	120—145
N (1700)	Ч2		Ч2	1	0	1660—1690	100—200
N (1780)	Ч2	ч-	Ч2	1	0	1700—1800	100—250
N (1810)	72	ч-	Ч2	1	0	1700—1850	100—300
N (2190)	72		Ч2	1	0	2100—2250	150—325
Д (1232)	72	ч-	7г	1	0	1230—1234	110—120
Д (1650)	Ч2		72	1	0	1615—1695	140—200
Д (1670)	72	—	72	1	0	1650—1720	190—270
Д (1890)	72	•ч-	72	1	0	1860—1900	150—300
Д (1910)	42	ч-	72	1	0	1780—1950	160—230
Д(1950)	72	ч-	72	1	0	1910—1940	200—240
Л (1405)	72		0	1	—1	1405	40
Л (1520)	72	—	0	1	—1	1518	16
Л (1670)	72	—	0	I	-1	1660—1680	20—60
Л (1690)	72	—	0	1	—1	1690	30—80
Л (1815)	72	ч-	0	1	—1	1820	70—100
Л (1830)	72	•—	0	1	—1	1810—1840	60—110
Л (2100)	Ч2	—	0	1	—1	2100—2120	150—300
2 (1385)	72	ч-	1	1	—.1	1383	35
2 (1670)	72	—	1	1	—1	1670	35—60
2 (1750)	72	—	1	1	—1	1700—1790	50—120
2 (1765)	72	—	1	1	—1	1723	110—150
2 (1915)	72	+	1	1	—1	1900—1930	70—140
2 (1940)	72		1	1	—1	1900—1960	110-280
2 (2030)	72	ч-	1	1	—1	2020—2040	120—200
Е (1530)	72	+	72	Г	—2	1531	9,1
ЛИТЕРАТУРА
Мы приводим некоторые книги на русском языке; в них содержатся
дальнейшие подробности и ссылки на оригинальные статьи. Последние работы
и обзоры, которые появились в мировой периодической литературе, можно найти
в систематическом библиографическом указателе «Сигнальная информация.
Частицы и поля» (издается Всесоюзным институтом научной и технической
информации).
К части I, II
Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинами-
ка. М., «Наука», 1969.	>
Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М., «Наука», 1965.
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., П и т а ев с к и й Л. П. Ре-
лятивистская квантовая теория. Ч. I. М.. «Наука», 1968.
Биленький С. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана.
М. Атомиздат, 1971.
Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы
аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М., «Наука», 1969.
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию кванто-
ванных полей. М., Гостехиздат, 1973.
Вайтман А. С. Проблемы в релятивистской динамике квантованных
полей. М., «Наука», 1968.
Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М., ИЛ, 1956.
Займан Дж. М. Современная квантовая теория. М., «Мир», 1971.
Йост Р. Общая теория квантованных полей. М , «Мир», 1967.
Кушниренко А. Н. Введение в квантовую теорию поля. М.. «Выс-
шая школа», 1971
Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая
теория. Ч. 2. М., «Наука», 1971.
Маршак Р., Судершаи Э. Введение в физику элементарных час-
тиц. М., ИЛ, 1962.
Мэтьюс П. Релятивистская квантовая теория взаимодействия элемен-
тарных частиц. М., ИЛ, 1959.
Новейшее развитие квантовой электродинамики. Сб. статей М., ИЛ, 1954.
Паули В. Релятивистская теория элементарных частиц. М., ИЛ, 1947.
Сдвиг уровней атомных электронов. Сб. статей. М., ИЛ., 1950.
Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. М., «Мир»,
1968.
Соколов А., Иваненко Д. Квантовая теория поля. М.—Л., Гос-
техиздат, 1952.
Соколова. А. Введение в квантовую электродинамику. М., Физмат-
гиз, 1958.
Стритер Р. Ф., В.айтман A. C. PCT, спин, статистика и все
такое. М., «Наука», 1966.
Тирринг В. Е. Принципы квантовой электродинамики. М., «Высшая
школа», 1964.
Умэдзава X. Квантовая теория поля. М., ИЛ, 1958.
Фейнман Р. Квантовая электродинамика. М., «Мир», 1964.
Хенли Э. М., Тирринг В. Элементарная квантовая теория поля.
М., ИЛ, 1963.
Ш в е б е р С. С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.
М„ ИЛ, 1963.
Швебер С., Бете Г., Гофман Ф. Мезоны и поля. Т. I. М., ИЛ,
1957.
Швингер Ю. Теория квантованных полей. М., ИЛ, 1956.
Литература
605
К части III
Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Во-
просы теории дисперсионных соотношений. М., Физматгиз, 1958.
Верле Ю. Релятивистская теория реакций. М., Атомиздат, 1969.
Газиорович С. Физика элементарных частиц. М., «Наука», 1969.
Иден Р. Соударения элементарных частиц при высоких энергиях.
М., «Наука», 1970.
Коллинз П., Сквайре Ю. Полюса Редже в физике частиц. М., «Мир»,
1971.
Марков М. А. Гипероны и K-мезоны. М., Физматгиз, 1958.
Н е л и п а Н. Ф. Связь фотообразования л-мезонов с рассеянием. М., Атом-
издат, 1959.
Н е л и п а Н. Ф. Введение в теорию сильиовзаимодействующих элементар-
ных частиц. М., Атомиздат, 1970.
Нишиджима К. Фундаментальные частицы. М., «Мир», 1965.
Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц. М., «На-
ука», 1972.
Новый метод в теории сильных взаимодействий. Сб. статей. М., ИЛ, 1960.
Теория сильных взаимодействий при больших энергиях. Сб. статей. М., ИЛ,
1963.
Фелд. Б. Модели элементарных частиц. М., «Мир», 1971.
Чел лен Г. Физика элементарных частиц. М., «Наука», 1966.
Чью Д. Аналитическая теория S-матрицы. М., «Мир», 1968.
Ширков Д. В., Серебряков В. В., Мещеряков В. А. Дис-
персионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях. М., «Наука»,
1967.
К части IV
Ли Цзун-дао, By Ц. Слабые взаимодействия. М., «Мир», 1968.
М а р к о в М. А. Нейтрино. М., «Наука», 1964.
Новые свойства симметрии элементарных частиц. Сб. статей. М., ИЛ, 1957.
Окунь Л. Б. Слабое взаимодействие элементарных частиц. М., Физмат-
гиз, 1963.
К части V
Адлер С., Дашен Р. Алгебры токов и их применение в физике час-
тиц. М., «Мир», 1970.
Бернстейн Дж. Элементарные частицы и их токи. М., «Мир», 1970.
Коккедэ Я. Теория кварков. М., «Мир», 1971.
Нгуен Ван Хьеу. Лекции по теории унитарной симметрии элемен-
тарных частиц. М., Атомиздат, 1967.
Румер Ю. Б., Фет А. И. Теория унитарной симметрии. М., «Наука»,
1970.
Теория групп и элементарные частицы. Сб. статей. М., «Мир», 1967.
К части VI
Бюклинг Е., Каянти К. Кинематика элементарных частиц. М., «Мир»,
1975.
Мурзин В. С. Сарычева Л. И. Множественные процессы при высо-
ких энергиях. М„ Атомиздат, 1973.
Фейнман Р Взаимодействие фотонов с адронами. М., «Мир», 1975.
К заключению
Блохинцев Д. И Пространство и время в микромире. М. «Наука»,
1970.
Труды XVI11 международной конференции по физике высоких энергий . (Тби-
лиси). Дубна. 1976.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 3
Введение............................................................ 4
Часть I
Инвариантные свойства физических систем и инвариантные величины
Глава 1. Релятивистская инвариантность ...........................  15
§ 1.	Преобразование величин и волновых функций................  15
§ 2.	Релятивистски ковариантные уравнения (бозоны)............  18
§ 3.	Релятивистски ковариантные уравнения (фермионы)........... 25
§ 4.	' Трансляционная инвариантность........................... 37
Глава	2. Дискретные инвариантные	свойства....................... 38
§ 1.	Инвариантность	относительно	инверсии пространства......... 38
§ 2.	Инвариантность	относительно	зарядового	сопряжения......... 47
§ 3.	Инвариантность	относительно	обращения	времени. СРТ-теорема 53
Часть II
Электромагнитное взаимодействие лептонов
Глава 3. Свободные поля. Лагранжев формализм..................  .	63
§ 1.	Лагранжева форма уравнений поля........................... 63
§ 2.	Сохраняющиеся величины.................................... 70
§ 3.	Квантование полей........................................  84
§ 4.	Электромагнитное поле...................'................ 101
§ 5.	Комплексное спинорное поле................................ ПО
Глава 4. Ковариантная теория возмущений........................... 119
§ 1.	Взаимодействие между полями.......................*. . . .	119
§ 2.	Выражение для матрицы рассеяния в теории возмущений ....	125
§ 3.	Приведение S-матрицы к нормальной форме.................. 130
§ 4.	Матричные элементы S-матрицы. Диаграммы Фейнмана .	...	146
§ 5.	Дифференциальные сечения процессов (неполяризованные ча-
стицы) ....................................................... 167
§ 6.	Процессы с поляризованными частицами..................... 179
§ 7.	Излучение мягких фотонов. «Инфракрасная	катастрофа» ....	194
Глава 5. Высшие порядки 1еории возмущений......................... 200
§ 1.	Расходимости матричных элементов ........................ 200
§ 2.	Регуляризация матричных элементов........................ 206
§ 3	Перенормировка массы и заряда............................. 208
'§4. Радиационные поправки..................................... 214
Глава 6. Метод функций Грина...................................... 232
§ 1.	Функции Грина электрона, фотона и вершинной	части.......	232
§ 2.	Уравнения для функций Грина (уравнения	Дайсона)..... 241
§ 3.	Уравнения для функций Грина в функциональных производных
(уравнения Швингера).......................................... 247
§ 4.	Перенормировка системы уравнений для функций Грина ....	253
§ 5.	Инфракрасная асимптотика функции Грина электрона ........ 257
Оглавление
607
Глава 7. Некоторые следствия из аксиом квантовой теории поля . .	263
§ 1.	Основные аксиомы квантовой теории поля..................... 263
§ 2'	Спектральное представление функций Грина (представление Чел-
лена— Лемана)................................................. 264
§ 3.	Выражение для амплитуды процесса через запаздывающий ком-
мутатор токов................................................. 268
§ 4.	Спектральное представление запаздывающего коммутатора токов
(представление Йоста— Лемана—Дайсона)......................... 275
Часть III	4
Взаимодействие адроиов
Глава 8. Амплитуда процесса. Кинематика............................. 285
§ 1.	Инвариантная спиновая структура амплитуд .................. 285
§ 2.	Спиновая структура амплитуд в системе центра масс.......... 296
§ 3.	Разложение амплитуды в с. ц. м. по парциальным амплитудам 303
§ 4.	Спиральные амплитуды....................................... 309
§ 5.	Изотопическая инвариантность и изотопическая структура ам-
плитуд ....................................................... 315
§ 6.	Каналы реакции. Амплитуды различных	каналов................ 330
§ 7.	Фазовый анализ опытных данных.............................. 336
Глава 9. Аналитичность и унитарность. Дисперсионные соотношения 345
§ 1.	Унитарность..............................................   346
§ 2.	Аналитичность.............................................. 354
§ 3.	Одномерные дисперсионные соотношения............... . .	359
'	§ 4.	Рассеяние л-мезонов на нуклонах. Модель	Чу-Лоу............. 367
§ 5.	Двойные дисперсионные соотношения ......................... 378
Глава 10. Аналитические свойства амплитуд. Обоснование одномерных
дисперсионных соотношений......................................... 384
§ 1.	Аналитические свойства амплитуды по энергии................ 385
§ 2.	Обоснование одномерных дисперсионных соотношений........... 388
§’ 3.	Аналитические свойства амплитуд по переданному импульсу . .	399
Глава 11. Аналитические свойства амплитуд и асимптотическое пове-
дение сечений..................................................... 408
§ 1.	Ограничение на асимптотический рост сечений сверху......... 409
§ 2.	Асимптотические соотношения между сечениями процессов ...	414
§ 3.	Асимптотические свойства ширины дифракционного пика ....	417
Глава 12. Метод комплексных моментов..........	................ 419
§ 1.	Асимптотическое выражение для амплитуды................... 419
§ 2.	Реджезация амплитуды. Траектории.......................... 427
§ 3.	Рассеяние л+-мезонов на л+-мезонах................-	. . .	433
Глава 13. Электромагнитное взаимодействие адронов................... 434
§ 1.	Фотообразование л-мезонов на нуклонах...................... 434
§ 2.	Упругое рассеяние электронов на нуклонах. Формфакторы
нуклонов...................................................... 443
Глава 14. Дисперсионные правила сумм................................ 448
§ 1.	Дисперсионные правила сумм................................. 448
§ 2.	Сверхсходящиеся дисперсионные правила сумм................. 450
§ 3.	Правила сумм с конечной энергией. Глобальная дуальность . .	452
§ 4.	Локальная дуальность. Модель Венециано..................... 455
608
Оглавление
Часть IV
Слабое взаимодействие элементарных частиц
Глава 15. Слабое взаимодействие лептонов и адронов ................464
§ 1..	Специфика слабого взаимодействия.........................464
§ 2.	Слабое взаимодействие лептонов...........................471
§ 3.	Слабое взаимодействие адронов. Лептонные процессы с сохра-
нением странности..............................................480
§ 4.	Слабое взаимодействие адронов. Лептонные распады без сохра- •
нения странности...............................................491
§ 5.	Слабое взаимодействие адронов;	нелептонные распады. Нейтраль-
ные К-мезоны	 494
§ 6.	Высшие порядки теории возмущений..........................497
§ 7.	Нарушение СР-инвариантности...............................499
Ч асть V
Элементарные частицы и унитарная симметрия
Глава 16. Унитарная симметрия......................................507
§ 1.	Основные понятия теории групп............................. . 507
§ 2.	Унитарные SC2- и Х7/3-симметрии......................... 516
§ 3.	Применение ХС3-симметрии к взаимодействию адронов.......531
§ 4.	Нарушенная 5Г73-симметрия.................................539
Глава 17. Алгебра токов и токовые правила сумм.....................542
§ 1.	Алгебра токов . .........................................542
§ 2.	Токовое правило сумм Кабиббо—Радикати....................548
§ 3.	Токовое правило сумм Адлера—Вайсбергера...................552
Часть VI
Множественное образование частиц
Глава 18. Инклюзивные процессы.....................................556
§ 1.	Основные опытные закономерности..........................556
§ 2.	Кинематика................................................563
§ 3.	Феноменологические подходы и модели.......................568
§ 4.	Мультипериферическая теория .............................586
§ 5.	Глубоко неупругое рассеяние электронов на протонах ......591
Заключение ...............•........................................597
Таблица элементарных частиц........................................602
Литература .....................................................  604
Николай Федорович Пелипа
ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
ИБ № 627
Редакторы: И. А. Иванов. А. И. Селиверстова. Художник С. И. Рокамболь. Художе-
ственный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор Р. С. Родичева.
Корректор Р. К- Косинова.
Сдано в набор 27/IX 1976 г. Подп. к печати 11/1V 1977 г. Формат 60X90x/ie«
Бум. тип. № 3. Объем 38 печ. л. (Усл. п. л. 38). Уч.-изд. л. 35,65
T-03I6I. Изд. № ФМ-574 Тираж 20 000 экз. Зак. 849. Цена 1 р. 51 коп.
План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы и
техникумы) на 1977 в. Позиция Кв 42. Издательство «Высшая школа»,
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14.
Отпечатано с матриц ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского производ-
ственно-технического объединения «Печатный Двор» им. А. М. Горького Союзполи-
графпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., д. 26
в Ленинградской типографии № 6 Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, д. 10. Заказ 191.