Н.Ф.НЕЛИПА
Физика
элементарных
частиц
КАЛИБРОВОЧНЫЕ
ПОЛЯ
Н. Ф. НЕЛИПА
ФИЗИКА
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ.
КАЛИБРОВОЧНЫЕ
ПОЛЯ
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
физических специальностей
высших учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1985
ББК 22.38
Н49
УДК 539.12(075)
Ре це н зе н ты:
кафедра теоретической ядер ной физики Московского инженерно-
физического института; проф. Д. А. Славнов (Московский государст-
венный университет имени М. В. Ломоносова).
Нелипа Н. Ф,
Н49 Физика элементарных частиц. Калибровочные поля:
Учеб, пособие для студентов физ. спец, вузов.—М.: Высш,
шк., 1985— 280 с., ил.
В пер.: 90 к.
В пособии, являющемся продолжением книги автора «Физика элементарных
частиц» (М , 1977), изложены классическая и квантовая (основанная на методе
континуального интегрирования) теории калибровочных полей, единые калиб-
ровочные модели взаимодействий элементарных частиц (модель электрослабого
взаимодействия, грандобъединение), пертурбативная квантовая хромодинамика,
калибровочные поля и квантовая хромодинамика на решетке, топологические
солитоны и инстантоны. Большое внимание уделено техническим приемам
вычислений. Предсказания моделей сопоставлены с экспериментальными данными.
1704070000-420	ББК 22.38
Н 001 (01)—85 75-85	530.4
Николай Федорович Нелипа
ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
Зав. редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова
Редактор С. А. Крылов
Младшие редакторы М. А. Бабаркина, С. А. Доровскнх
Художник В. И. Казакова
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор А. К- Нестерова
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 4769
Изд. N2 ФМ-795. Сдано в набор 27.03.85. Подп. в печать 04.09.85. Т—•! 1689
Формат 60x90»/le. Бум. тип. № 1 Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 17,5 усл. печ. л. 17,5 усл. кр.-отт. 17,42 уч.-изд. л. Тираж 5000 экз
Заказ № 1034. Цена 90 коп.
Издательство «Высшая школа». 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО
«Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 1 13054. Москва, Валовая, 28
© Издательство «Высшая школа», 1985
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 5
Введение ........................................................... 6
Часть I
ИНВАРИАНТНЫЕ ЛАГРАНЖИАНЫ
Глава 1. Глобальная инвариантность.............................	9
§ 1,1. Глобальная группа Лоренца. Релятивистская инвариантность ...	9
§ 1.2. Глобальные группы внутренней симметрии. Унитарная инвариант-
ность . . « ...................................................  20
Глава 2. Калибровочная (локальная) инвариантность.................. 26
§2,1.	Калибровочные (локальные) лагранжианы....................... 26
§ 2.2.	Калибровочные поля.......................................... 29
§ 2.3.	Абелева группа Uf, Электромагнитное поле.................... 33
§ 2.4.	Неабелева группа SU%. Поле Янга—Миллса...................... 34
Глава 3. Спонтанное нарушение симметрии............................ 35
§3.1.	Вырожденные вакуумные состояния и нарушение симметрии ....	36
§ 3.2.	Спонтанное	нарушение глобальной симметрии................... 37
§ 3.3.	Спонтанное	нарушение локальной симметрии.................... 40
§ 3.4.	Остаточная	симметрия . , , ................................. 44
Часть II
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
Глава 4. Континуальный интеграл и амплитуда перехода............... 47
§4.1. Поля без связей ............................................. 47
§ 4.2. Поля со связями............................................. 55
Глава 5. Ковариантная теория возмущений............................ 71
§5.1.	Функции Грина. Производящие функционалы..................... 71
§ 5.2.	Модель <р4-взаимодействия . . . . ,......................... 79
§ 5.3.	Модель с неабелевыми полями................................. 83
§ 5.4.	Метод 1/М-разложения........................................ 89
Часть III
КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСЛАБОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЧАСТИЦ
Глава 6. Лагранжианы электрослабого взаимодействия частиц.......... 95
§ 6.1.	Стандартная модель электрослабого взаимодействия лептонов ...	96
§ 6.2.	Кварковые модели адронов................................... 103
§ 6.3.	Стандартная модель электрослабого взаимодействия кварков ....	109
§ 6.4.	Нестандартные модели....................................... 114
Глава 7. Квантовая электродинамика................................ 116
§7.1.	Ковариантная теория возмущений для квантовой электродинамики .	115
§ 7.2.	Дифференциальные сечения .................................. 121
3
Глава 8. Слабое взаимодействие частиц ................	126
§ 8.1.	Процессы, обусловленные нейтральными	слабыми	токами.. 127
§ 8.2.	Процессы, обусловленные заряженными	слабыми	токами... 132
§ 8.3.	Нарушение СР-инвариантности.......................... 139
Глава 9. Высшие порядки теории возмущений..................  144
§9.1.	Расходимости матричных элементов..................... 144
§ 9.2.	Перенормировка . . .................................. 148
Часть IV
КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Глава 10. Асимптотически свободные теории............................ 162
§ 10.1.	Уравнения ренормализационной группы и их решения............. 162
§ 10.2.	Модели ...................................................... 168
Глава 11. Динамическая структура адронов ............................ 178
§ 11.1.	Опытные основания скейлинта.................................. 179
§ 11.2.	Точный скейлинг и кварковая структура адронов.............	182
Глава 12. Квантовая хромодинамика. Теория возмущений................. 188
§ 12.1.	Ковариантная теория возмущений для квантовой хромодинамики 189
§ 12.2.	Примеры вычислений по теории возмущений...................... 193
§ 12.3.	Метод разложения операторного произведения................... 200
§ 12.4.	Уравнения эволюции....................,...................... 204
§ 12.5.	Метод суммирования диаграмм Фейнмана . ...................... 207
§ 12.6.	Адронная фрагментация кварков и глюонов ....................	209
Глава 13. Квантовая хромодинамика на решетке.......................*	210
§ 13.1.	Классическая и квантовая хромодинамика на решетке............ 210
§ 13,2.	Приближение сильной связи для калибровочных полей............ 220
§ 13.3.	Непертурбативные вычисления методом Монте-Карло.............  223
Глава 14. Грандобъединение	................ 228
§ 14.1.	5^/5-модель ................................................. 229
§ 14.2.	Структура фермионных мультиплетов 5(7п-модели................ 236
§ 14.3.	Общие требования и выбор модели.............................. 241
§ 14.4.	St/g-модель.....................................  ........... 244
Глава 15. Топологические солитоны.................................... 248
§ 15.1.	Одномерные и двумерные модели................................ 248
§ 15.2.	Гомотопические группы , ....................................  253
§ 15.3.	Монополь..................................................... 259
§ 15.4.	Инстантоны (псевдочастицы)................................... 263
§ 15.5.	Квантовая теория солитонов...............................  .	265
Заключение в „ . , .................................................. 271
Приложение • ........................................................ 274
Рекомендуемая литература.........................................  >	277
Предметный указатель......................................'.......... 279
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие является продолжением учебного по-
собия автора «Физика элементарных частиц» (М., Высшая школа,
1977) и представляет собой существенно расширенный и перерабо-
танный автором вариант книги «Калибровочные поля и элементар-
ные частицы» (М., ВИНИТИ, 1980).
В последнее время калибровочным полям уделяется большое
внимание. Объясняется это тем, что в рамках квантовой теории
калибровочных полей удалось достигнуть существенного прогресса
в решении ряда важных проблем теории поля и физики элементар-
ных частиц. Особенно это относится к построению теории сильных
взаимодействий адронов и единых калибровочных моделей взаимо-
действий элементарных частиц.
В пособии изложены основы квантовой теории калибровочных
полей и ее применение к построению теории сильных взаимодейст-
вий и единых калибровочных моделей.
При написании книги автор ставил перед собой три задачи:
во-первых, дать представление о главных идеях построения теории
сильных взаимодействий и единых калибровочных моделей, во-вто-
рых, изложить основные подходы в теории сильных взаимодействий,
основные единые калибровочные модели, их экспериментальные след-
ствия и, в-третьих, ознакомить читателя с тем несколько своеобра-
зным математическим аппаратом (формализм континуального интег-
рирования), который очень удобен для формулировки квантовой
теории калибровочных полей.
Калибровочные поля—бурно развивающаяся область современ-
ной физики. В книге отобран более или менее устоявшийся материал.
Существует также целый ряд других подходов, разработка которых
интенсивно ведется в настоящее время. Основные из этих подходов
перечислены в Заключении.
Автор считает приятным долгом выразить сердечную благодар-
ность своим коллегам, принявшим участие в обсуждении некоторых
вопросов, вошедших в книгу.
Книга может быть использована в качестве учебного пособия
по курсам теории калибровочных полей, квантовой теории поля,
физики элементарных частиц, физики космических лучей, физики
высоких энергий.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
За последнее время физика элементарных частиц претерпела
существенные изменения как в экспериментальном, так и в теоре-
тическом аспектах. Обнаружено уже более двухсот частиц, и число
их продолжает расти. Изменились также представления о структуре
и о взаимодействиях элементарных частиц.
Все известные элементарные частицы можно разбить на три
группы: калибровочные бозоны, лептоны и адроны, (см. таблицу
элементарных частиц в Приложении). Первую группу составляют
фотон, W- и Z-бозоньг, вторую—электрон, мюон, т-частица и их
нейтрино; третью—мезоны, барионы, мезонные и барионные резо-
нансы.
Известно три типа взаимодействий (кроме гравитационного) эле-
ментарных частиц: сильное, электромагнитное, слабое. Каждое из
этих взаимодействий характеризуется определенной константой свя-
зи. Константа связи сильного взаимодействия g ~ 1 4-10, электро-
магнитного е0,1 и слабого G~10“!.
Слабое взаимодействие осуществляется между всеми частицами,
кроме фотонов, электромагнитное—между заряженными частицами
и фотонами, сильное—между всеми адронами.
Экспериментально было установлено, что адроны образуют
определенные мультиплеты частиц. Сначала были открыты изото-
пические мультиплеты адронов, затем унитарные и, наконец, срав-
нительно недавно—чармированные. Эти мультиплеты можно связать
с представлениями соответственно SU2-, SU3- и SU4- групп.
Простое объяснение существования мультиплетов дает кварковая
модель адронов. Согласно этой модели, все адроны можно составить
из кварков, число которых равно размерности низшего представле-
ния группы. Бозоны составляются из кварка и антикварка, а фер-
мионы— из различных комбинаций трех либо кварков, либо анти-
кварков. При этом лептоны считаются несоставными частицами и
между ними существуют электромагнитное и слабое взаимодействия.
Предполагается, что между кварками существуют сильное, электро-
магнитное и слабое взаимодействия. В рамках симметрий, соответ-
ствующих глобальным группам, все три типа взаимодействий рас-
сматриваются отдельно. Поэтому возникает идея—построить модели,
объединяющие различные типы взаимодействия частиц.
Интересные возможности для реализации этой идеи открывает
использование симметрий, соответствующих локальным группам.
Дело в том, что для построения локально инвариантных теорий
необходимо ввести новые поля, которые получили название калиб-
6
ровочных. Можно предположить, что переносчиками всех трех типов
взаимодействий являются одни и те же поля — векторные калибро-
вочные. Тогда все типы взаимодействий имеют общую основу и появ-
ляется возможность их объединения.
Как известно, взаимодействия могут быть дальнодействующими
(например, электромагнитное) и близкодействующими (например, сла-
бое и сильное). Переносчиками да льнодействующих взаимодействий
являются безмассовые частицы, а близкодействующих—массивные
частицы. Калибровочные поля могут быть безмассовыми и массив-
ными. Безмассовыми они будут в случае, когда лагранжиан
и вакуумное состояние инвариантны относительно данной группы
симметрии. Если же лагранжиан инвариантен, а вакуумное состоя-
ние не инвариантно, т. е. если симметрия спонтанно нарушена, ка-
либровочные поля могут приобрести массу. Иначе говоря, калибро-
вочные поля могут быть переносчиками и дальнодействующих, и бли-
зкодействующих взаимодействий. Более того, было обнаружено, что
калибровочные теории поля со спонтанно нарушенной симметрией
перенормируемы (в отличие от обычных векторных массивных полей).
Три перечисленные идеи — калибровочная инвариантность, спон-
танное нарушение симметрии, перенормируемость — лежат в осно-
ве моделей, объединяющих различные взаимодействия. Таким обра-
зом, задача построения единых моделей взаимодействия частиц сво-
дится к построению перенормируемых калибровочно инвариантных
теорий со спонтанно нарушенной симметрией.
Первым шагом в построении калибровочно инвариантной теории
является нахождение калибровочно инвариантных лагранжианов.
Этому посвящена первая часть книги. В первой главе мы напоми-
наем основные сведения о глобальной инвариантности и глобально
инвариантных лагранжианах. Во второй главе изложен общий метод
построения калибровочно инвариантных лагранжианов, а также
основные свойства калибровочных полей. Третья глава посвящена
спонтанному нарушению симметрии и нахождению выражений для
лагранжианов со спонтанно нарушенной симметрией.
После того как получены выражения для лагранжиана, мы пере-
ходим во второй части к построению квантовой теории калиброво-
чных полей. В четвертой главе найдены выражения для амплитуд
переходов в виде континуального интеграла; формализм континуаль-
ного интегрирования оказывается наиболее удобным в случае кали-
бровочных полей. В пятой главе построена ковариантная теория
возмущений для некоторых моделей.
Третья часть посвящена калибровочной теории электрослабого
взаимодействия частиц. В шестой главе получены лагранжианы
для стандартной модели электрослабого взаимодействия лептонов,
а также кварков. В седьмой главе рассмотрено электромагнитное
взаимодействие лептонов, а в восьмой — слабое взаимодействие час-
тиц в рамках стандартной модели с использованием ковариантной
теории возмущений. Девятая глава посвящена проблеме расходимо-
стей в высших порядках теории возмущений и устранению этих
расходимостей методом перенормировки.
7
В рамках калибровочных полей по-новому выглядит проблема
сильных взаимодействий частиц. Во-первых, удается сформулиро-
вать новую теорию—квантовую хромодинамику, которая является,
по общему мнению, кандидатом на роль теории сильных взаимодей-
ствий. Во-вторых, вследствие того, что переносчиками сильных,
электромагнитных и слабых взаимодействий выступают одни и те же
поля, появляется возможность построения единой теории всех
трех взаимодействий—грандобъединение. О калибровочной теории
сильных взаимодействий рассказано в четвертой части книги, в ко-
торой изложены основные идеи теории сильного взаимодействия,
квантовая хромодинамика (пертурбативная и на решетке), а также
гра ндобъединение.
В некоторых случаях калибровочные поля дают возможность
ввести в теорию объекты новой природы, которые получили назва-
ние солитонов. Высказывается надежда, что солитоны могут играть
существенную роль в теории элементарных частиц. Классическая
и квантовая теория солитонов излагается в пятнадцатой главе.
Мы используем систему единиц, в которой Й = с — 1.
Светлыми буквами р, q,... обозначены четырехмерные векторы,
а жирными р, q,...—трехмерные векторы.
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов записы-
вается в виде (аЬ) = ацЬ.1 —aobQ——atbt—аД =	(ab).
Для операций применены следующие обозначения: «« — комплек-
сное сопряжение, «т»—транспонирование, «+»—эрмитово сопряже-
ние.
Трансформационные свойства волновых функций (представлений)
относительно группы Лоренца будем характеризовать греческими,
а относительно групп внутренней симметрии—латинскими индекса-
ми; ut (х) обозначает произвольную (скалярную, векторную и т. п.)
волновую функцию с /-компонентами.
Основные обозначения величин, используемые в пособии, при-
ведены в Приложении.
ЧАСТЬ I
ИНВАРИАНТНЫЕ ЛАГРАНЖИАНЫ
Свойства симметрии элементарных частиц можно разделить на
два класса: пространственно-временные и внутренние. Эти свойства
описываются соответственно группами пространственной и внутрен-
ней симметрии. Из групп пространственной симметрии для нас
наибольший интерес представляют группы Лоренца и Пуанкаре,
а из групп внутренней симметрии — унитарные группы (Uu SU2,
SUa, SUi и др.).
Группы преобразований могут быть глобальными и локальными.
Глобальные преобразования одинаковы для всех точек пространст-
ва—времени, а локальные—зависят от пространственно-временных
координат.
Наиболее общее требование, которому должна удовлетворять
физическая теория, формулируется как требование ее инвариантно-
сти относительно некоторой группы преобразований. Так как одной
из основных характеристик теории является лагранжиан, то обычно
задача состоит в том, чтобы построить лагранжиан, инвариантный
относительно преобразований заданной группы.
Эта часть посвящена построению глобальных и локальных лаг-
ранжианов, инвариантных как относительно точных, так и относи-
тельно спонтанно нарушенных симметрий.
Глава 1
ГЛОБАЛЬНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
В этой главе приводятся коротко основные сведения об интере-
сующих нас глобальных группах и лагранжианах, инвариантных
относительно этих групп. Локальные группы симметрии и инвариант-
ные относительно них лагранжианы будут рассмотрены в следую-
щей главе.
§ 1.1.	ГЛОБАЛЬНАЯ ГРУППА ЛОРЕНЦА.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Группа Лоренца. Рассмотрим четырехмерное псевдоевклидово
пространство — время с координатами х0, хи х2, ха и метрикой s2 =
= xl—х2. Произвольное вращение в этом пространстве вокруг фикси-
рованной точки О, которую мы будем считать началом координат,
можно представить в виде произведения шести последовательных
9
вращений в плоскостях СадО» (^Л), (-ЗДО, (*Л)> (Vo)» (х3х0). Вра-
щения, например, в плоскости (х^) на угол р и в плоскости (хох3)
на угол и запишутся следующим образом:
к! = cos р + х2 sin р
х' = — х3 sin р + *2 cos р
Хз=	*3
Хо =
X^-Xf
*2 = Ха
%з=	*з ch й+х0 sh и
Xq хо=	XgShW-f-XoCha
(1.1.1)
Такие вращения можно характеризовать с помощью матриц:
. cos 6 sin Р 0 (к
I — sin р cos Р 0 0 \
I	О	О 1 0 •
\ о	оо1/
,10 0	о .
. _(о 1 о	о \
а°8~( О 0 ch u shu 1
'О 0 sh и ch ц/
(1.1.2)
Различный характер преобразований объясняется тем, что они
совершаются не в евклидовом, а в псевдоевклидовом пространстве.
Аналогичным образом выглядят матрицы, характеризующие враще-
ния в других плоскостях. Для получения матрицы, выражающей
произвольный поворот, надо перемножить все шесть матриц, соот-
ветствующих вращениям в различных плоскостях.
Совокупность всех вращений *четырехмерного пространства—вре-
мени обладает следующими свойствами:
1.	Два последовательных вращения (или, как говорят, произве-
дение вращений) есть снова вращение; произведению вращений со-
ответствует произведение матриц, которое снова является матрицей
того же типа.
2.	Среди Вращений имеется такое, при котором пространство
переходит само в себя (единичное вращение); такому вращению со-
ответствует единичная матрица.
3.	Каждому вращению а можно сопоставить обратное вращение
а”1, например обратное вращение в плоскости (xtx2) задается углом
(—Р). Произведение исходного и обратного вращений эквивалентно
единичному вращению: аа"1 = I. Обратному вращению соответствует
матрица а"1, обратная исходной.
Совокупность вращений, обладающих тремя перечисленными свой-
ствами, по определению, образует группу; матрицы вращений обра-
зуют также группу.
Рассмотренную нами группу вращений в четырехмерном псевдо-
евклидовом пространстве называют группой Лоренца. В общем виде
преобразования координат относительно группы Лоренца записы-
вают так:
Яц  ЯцуХу*
где произведение всех матриц, соответствующих вращениям
в различных плоскостях.
Группу преобразований в четырехмерном псевдоевклидовом про-
странстве, включающих наряду с вращениями и трансляции по всем
четырем координатам, называют группой Пуанкаре. Относительно
10
этой группы координаты преобразуются следующим образом:
Хц ► Хц =	4”
где Яр,—произвольный постоянный четырехвектор.
Число независимых параметров, которые определяют группу,
называют порядком группы. Группа Лоренца—шестого порядка.
Непрерывные группы конечного порядка (т. е. с конечным числом
параметров) называют группами Ли. Группа Лоренца—пример
группы Ли.
Если все элементы группы коммутируют между собой, то группу
называют абелевой, если не коммутируют—неабелевой. Группа Ло-
ренца — неабелева.
Алгебра Ли группы Лоренца. Матрицы (1.1.2) характеризуют
вращение четырехмерного пространства — времени на конечный угол.
Удобно изучать вращения на бесконечно малые углы еар. Тогда,
разлагая каждый элемент матрицы бесконечно малого вращения
в ряд Тейлора по соответствующему углу и удерживая члены пер-
вого порядка малости, получаем, например, для матриц а12 и о03
(#12 (®12))uV ==	4"	4“ О (6jj),
(®03 (®0s))pV — 6|TV 4* (^OsJuV8#» 4" О (боз),
где p,v—-матричные индексы и
/0100.	/0 0 0 0.
. _ д п I -1 О 0 о\ , _ д I (0 0 0 0\
‘is-5p «м в=0 ~ \ 0 0 0 0 Ь ди a«a и=0\° ° ° 1 '
"	' 0 0 0 0'	Ч О 1 0'
Найденные таким путем матрицы, соответствующие бесконечно ма-
лым преобразованиям координат, называют генераторами группы-,
11г, /03—примеры генераторов группы Лоренца.
Число генераторов группы равно числу независимых параметров
группы. Непосредственными вычислениями можно убедиться, что
шесть генераторов /а(3 группы Лоренца удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
[/pv, ^poj-== gjiplva4“gpo^vp gvp^pa, (1.1.3)
где g^v—метрический тензор.
Совокупность М генераторов группы Лоренца обладает следую-
щими свойствами: сумма двух генераторов и произведение генера-
тора на любое число снова принадлежат М, коммутатор двух гене-
раторов выражается снова через генераторы той же группы. Сово-
купность генераторов, обладающих перечисленными свойствами,
образует, по определению, алгебру Ли группы. Следовательно, сово-
купность генераторов /ар образует алгебру Ли группы Лоренца.
Среди генераторов группы могут быть коммутирующие между
собой генераторы. Максимальное их число определяет ранг группы.
Группа Лоренца имеет два коммутирующих между собой генератора;
ее ранг равен двум.
Представления группы Лоренца. Частице со спином s и массой,
отличной от нуля, соответствует волновая функция с 2s4-l ком-
11
понентами, или мультиплет с 2s +1 компонентами. Компоненты
волновой функции также преобразуются при переходе от одной си-
стемы координат к другой. В общем виде преобразование компонент,
например, четырехкомпонентной волновой функции запишется так:
U1 (х ) =	(%) 4~ -^12^2 (^) Н- ^13^3 (^) + ^14^4
^2 (X ) = ^21^1 (^)	^22^2 00	^23^3	fa) ”1* ^24^4 00»
t/3 (X ) =	(X)	<^32^2 (X) *4" ^33^8	*4“	^34^4	00»
(х') = Л41«! (х) + А (х) + Л43и3 (х) + Д44н4 (х).
Это преобразование компонент (так же как и преобразование коор-
динат) можно характеризовать четырехрядной матрицей
/^И ^12 ^13 ^14\
Т =( ^2I ^22 ^23 ^24 j
й \ ^31 ^32 ^33 ^34 J*
^41 ^42 ^43 ^44Z
Аналогичным образом преобразуются волновые функции с дру-
гим числом компонент. При этом размерность матрицы равна числу
компонент волновой функции.
Матрицы Та характеризуют вращение компонент волновых функ-
ций на конечный угол. Удобно изучать бесконечно малые преобра-
зования волновых функций и соответствующие им матрицы, т. е.
генераторы представления группы. Пусть Л4ар — генераторы пред-
ставления группы; тогда
a)|1V ==	+ (Map)gvea|5 4- О (&а|з)•
Каждому генератору группы /ар можно сопоставить генератор
бесконечно малых преобразований компонент волновой функ-
ции. Потребуем, чтобы генераторы Л4а3, осуществляющие преобра-
зования компонент волновых функций, удовлетворяли той же ал-
гебре Ли, что и генераторы /ар самой группы:
Alpa]_ = g*|LipMvo + g’voAljxp §iiaMVp — gv^M^.	(1.1.4)
Тогда генераторы Map становятся представлением группы Ло-
ренца. Точнее говоря, сопоставим каждой матрице а вращений про-
странства— времени матрицу Та преобразования волновых функций
таким образом, чтобы произведению двух матриц ага^ вращения
пространства — времени (двум последовательным вращениям) соот-
ветствовало произведение двух матриц Та^ = ТаТа2 .преобразования
волновых функций. По определению, матрицы преобразования ком-
понент волновых функций, удовлетворяющие указанному условию,
образуют представление группы Лоренца.
Если алгебра Ли группы задана, то задача заключается в том,
чтобы найти генераторы представлений группы, т. е. в случае группы
Лоренца найти совокупность матриц удовлетворяющих пере-
становочным соотношениям (1.1.4).
Приведем простейшие представления группы Лоренца и те вол-
новые функции, которые преобразуются по этим представлениям.
12
1,	Сопоставим любому вращению четырехмерного пространства—
времени единичный оператор, действующий на волновые функции.
В этом случае при вращении четырехмерного пространства — вре-
мени волновая функция переходит сама в себя. Такую однокомпо-
нентную волновую функцию <р(х) называют скалярной. Она описы-
вает частицу со спином нуль.
2.	Сопоставим каждой матрице 1а$ преобразования координат
такую же матрицу, действующую на четырехкомпонентные волновые
функции Ua,(x). Так как = /Иар, то условие (1.1.4) выполняется
автоматически. В данном случае представление группы Лоренца
образуют сами генераторы группы. Волновую функцию Ua (х), ком-
поненты которой при вращении четырехмерного пространства пре-
образуются с помощью генераторов /ар» называют векторной. Она
описывает частицы со спином единица (если на ее компоненты на-
ложить еще одно дополнительное условие).
3.	Сопоставим каждому элементу группы Лоренца матрицу
= Тогда волновая функция (х) преобразуется как
а₽	а|3, тб (Я).
Такое представление группы Лоренца называют тензорным, а вол-
новую функцию (7ар (х)— тензором второго ранга.
4.	Сопоставим каждому элементу группы Лоренца матрицу
(Yp/Yv Y^Yu)»
где уц—матрицы Дирака\
/О О О 1ч /ООО —К
{	0 0	1 ОА	I	о 0	i	о А
71=1	о —1	о о A ?2 = l	oi	о	о А
1	000/	i 0 0	0/
/	0 0 1	0ч	/1	о	о	оч
(	ооо	— 1 A	/oi	о	о А
=	1 0 0 ОА 70 = 10 0—1 оА
' 0 1 О 0/	'0 0 0 —1/
Волновую функцию
Фи)~к(*)А
ЧФ< (*г
компоненты которой при вращениях четырехмерного пространства —
времени преобразуются с помощью матриц ouv:
ф' (*') = exp (ie^v) ф (х),
называют спинором. Она описывает частицы со спином 1/2. Спинор
ф(х) = ф(х)70 = (ф1(х), ф2(х), —ф3(х), — ф4(х))
называют дираковски сопряженным.
Число независимых компонент мультиплета называют размер-
ностью представления.
13
Представление с размерностью, равной порядку группы, назы-
вают присоединенным. Присоединенным представлением группы Ло-
ренца является представление с размерностью, равной шести. Пред-
ставление минимальной размерности (исключая единичное) назы-
вают фундаментальным. Из фундаментального представления путем
тензорного перемножения можно построить все остальные представ-
ления группы. Фундаментальным представлением группы Лоренца
(с инверсией пространства) является матрица
В явном виде закон преобразования волновых функций при бес-
конечно малых поворотах на углы egv записывают в таком виде:
а)	ф(х) —►ф' (х') = ф(х) (скаляр),	(1.1.5)
б)	U^(x)	С^х'^^ + ецу) С/у(х)4-О(е2) (вектор), (1.1.6)
в)	ф(х)->ф' (х,) = (1 + 1/218Г1уаМу)ф(х) + 0(е2) (спинор). (1.1.7)
Аналогичным образом выглядят преобразования волновых функ-
ций с большим числом компонент.
Таким образом, группа Лоренца обладает представлениями за-
данной размерности, или, по-другому, волновыми функциями с лю-
бым числом компонент, причем матрицы преобразования компонент
волновых функций заданной размерности также определяются груп-
пой Лоренца.
Приводимые и неприводимые представления. Рассмотрим волно-
вую функцию, которая является, например, тензором второго ранга
Uy,v(x) (состоящим из 16 компонент). Последний всегда можно пред-
ставить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:
(Уру (х) = t/цу (х) 4- Uцу (х),
так что
(я) “ Vgt^iiv (#) 4"	(я)]; t/jjy (х) = цу (х) — t/уц (х)].
Очевидно, что при вращениях четырехмерного пространства —
времени компоненты симметричного и антисимметричного тензоров
преобразуются независимо, не «перепутываясь» друг с другом. Иначе
говоря, 16 компонент тензора U^(x) при четырехмерном вращении
распадаются на две «независимые» совокупности: шестимерную
f/g,v(x) и десятимерную (7^у(х). В свою очередь, десять компонент
^цу(х) при четырехмерных вращениях распадаются на две незави-
симые совокупности: одномерный инвариант (скаляр), представляю-
щий собой сумму диагональных членов (шпур), и оставшиеся девять
компонент (образующие матрицу со шпуром, равным нулю).
Таким образом, 16-компонентный тензор второго ранга (х)
распадается при четырехмерных вращениях на три, как говорят,
инвариантных подпространства: одномерное, шестимерное и девяти-
мерное.
Соответственно представление т. е. матрица, осуществляю-
щая преобразование тензорной волновой функции (7Цу(х) при четы-
рехмерных вращениях-
= Т'ар, ywU|xv>
состоит из трех независимых матриц меньших размерностей.
14
Если представление разбивается на сумму независимых матриц
меньшей размерности, то его называют приводимым, в противном
случае представление называют неприводимым. Тензорное представ-
ление Tapt u,v, как мы видели, приводимо и распадается на три
неприводимых представления.
Релятивистские инварианты. Будем считать, что волновые функ-
ции образуют представление группы симметрии. Тогда задание
группы однозначно определяет характер преобразования волновых
функций (см., например, (1.1.5), (1.1.6), (1.1.7)), Поэтому из волно-
вых функций можно образовать комбинации Q(x), которые не ме-
няются при преобразованиях относительно группы Пуанкаре:
Q'(x') = Q(x). Такие комбинации называют релятивистскими инва-
риантами. Приведем несколько примеров релятивистских инвариантов
Ф (х) <р (х)	(скалярное поле),
Ьц (х) {/и (х) (векторное поле),
ф (х) уцдцф(х)	(спинорное поле, уц—матрицы Дирака),
ф (х) У|лф (х)	(х) (спинорное и векторное поля),
ф(х)ф(х)ф(х) (спинорное и скалярное поля).
В инвариантности этих комбинаций можно убедиться непосредст-
венно, используя (1.1.5)—(1.1.7).
Лагранжев формализм. Возможны два способа построения теории
квантовых полей: лагранжев и гамильтонов формализмы.
Лагранжев формализм оперирует с плотностью лагранжиана
L (х0, х) — функцией, относящейся к данной точке поля. Интеграл
от плотности лагранжиана L (х0, х) по некоторому объему Й четырех-
мерного пространства — времени называют действием'.
I = dx dx0E (х0, х) = dxL (х).	(1.1.8)
й	и
В дальнейшем L (х) будем называть просто лагранжианом.
Лагранжиан должен удовлетворять ряду требований. Прежде
всего он должен быть релятивистским инвариантом. Кроме того, мы
будем предполагать, что лагранжиан: 1) представляет собой вещест-
венную функцию; 2) содержит функции и их производные, взятые
в одной точке, т. е. описывает локальное взаимодействие; 3) зави-
сит только от волновых функций щ (х) и их производных ди.и( (х);
4) не зависит явно от координаты х.
Следовательно, лагранжиан выглядит следующим образом:
L(x) = L(ut(x), du,ut(x)).	(1.1.9)
Выпишем несколько лагранжианов, удовлетворяющих перечислен-
ным требованиям:
а) для вещественного скалярного поля ф(х) (т—масса)
(ф. дцф) = х/г <^Ф (х) <5цф (х) —l/2	(х);	(1.1.10)
б) для комплексного скалярного поля <р(х)
Д)(ф> дцф) = дцф (х) дцф (х) — т2ф(х)ф(х);	(1.1.11)
15
в) для электромагнитного поля Лц
^-0 (Лц, 5цЛу) = — РцуРцхг Рцл> — дцАу--^Лц! (1.1.12)
г) для комплексного спинорного поля ф(х) (М — масса)
Ц (ф, М) = 7 [Ф(х)	—<М (х) уйф(х)] — Л4ф (х) ф (х),
(1.1.13)
где 7ц—матрицы Дирака.
В релятивистской инвариантности этих лагранжианов можно
убедиться непосредственно, используя (1.1.5), (1.1.6), (1.1.7).
Лагранжианы (1.1.10)—(1.1.13) соответствуют свободным полям.
Взаимодействие между полями описывается лагранжианом взаимо-
действия Lf. Например,
1) L, (ср) =	<р4 (х) (самодействие скалярного поля; f—константа
связи),	_
2) £7(ф, Лм) = — ефуцфЛц (взаимодействие спинорного и электро-
магнитного полей; е—константа связи).
Полный лагранжиан системы взаимодействующих полей запи-
шется в виде суммы лагранжианов £0 свободных полей и лагран-
жианов взаимодействий Lp
L = L0-\- Lr.
Для получения уравнений полей используют принцип наи-
меньшего действия, согласно которому действительные дви-
жения происходят так, что при этом действие (1.1.8) минимально.
Находя вариацию 6/ и полагая ее равной нулю, получаем урав-
нения для полей!
4^- — 9ц^Ц = 0.	(1.1.14)
Принимая во внимание лагранжианы (1.1.10)—(1.1.13), получаем
уравнения:
а)	для вещественного скалярного поля
(□ + /п2)ф(х) = 0, где □ = ^цд(1;
б)	для. комплексного скалярного поля
(□ + т2) ф (х) = 0, (□ + т2) ф* (х) = 0;
в)	для электромагнитного поля
□ Лц(х) = 0;
г)	для комплексного спинорного поля
(1?цдд—М) ф (х) = 0, 1дцф (х) уц + Л4ф (х) = 0.
Гамильтонов формализм. В гамильтоновом формализме система
характеризуется обобщенными координатами Qi(t) и импульсами
16
причем импульсы определяются следующим образом;
Pt = dL/dQt;	(1.1.15)
где Q| =	; Qt в случае полей переходят в щ (х).
Гамильтониан Н (Q{, Р{) зависит от канонических переменных
Qi, Pt, а канонические уравнения движения имеют вид
a dH(Qlt Рд ь _ dH(Qb Pt)	- ]fi
—дР}----’	-----dQi--•	(1.1.1b)
Гамильтониан и лагранжиан связаны соотношением
H(Qi> PJ-'SPiQi-HQi, Pt). (1.1.17)
i
Операторная форма квантовой теории поля. Существуют различ-
ные методы построения квантовой теории поля. В одном из них
переход от классических полей к квантованным совершается путем
замены классических величин (функций поля, сохраняющихся вели-
чин) соответствующими операторами.
1.	Проквантуем, например, действительное скалярное поле, опи-
сываемое уравнением Клейна—Гордона;
(□ + та) ф (х) = О, □ = д^дц.
Это уравнение имеет два решения, соответствующие положительной
и отрицательной энергии;
ф(х) = ф(+>(х) + ф(-» (х),
где
Здесь (q0, q)—четырехмерный импульс.
Заменим функции ф*^ (х) операторами (х). Они удовлетво-
ряют определенным перестановочным соотношениям, которые, на-
пример, в координатном представлении имеют вид
[<Р(-> (х), <р<+) (*/)]- = -(2^F jdqgl-e-1»«*-"> = — \Я>~ (х—у).
Операторы ф(+’(ч) и Ф<—>(q) описывают соответственно рождение
и уничтожение скалярной частицы с импульсом q.
Назовем состоянием вакуума Фо такое состояние, в котором ча-
стицы отсутствуют, т. е. энергия и импульс вакуума равны нулю.
Действие операторов рождения на вакуум приводит к состояниям
с определенным числом частиц. Так, для вектора состояния Ф$
с двумя скалярными мезонами, имеющими импульсы qx и q2, найдем
Фа = Ф<+) (41) Ф(+)(Ч8)Ф0.
17
Аналогичным образом можно проквантовать другие поля (век-
торное, спинорное и т. п.).
2.	Система взаимодействующих полей может переходить из одного
срстояния в другое. В дальнейшем мы будем рассматривать задачу
рассеяния частиц. В общем виде она формулируется следую-
щим образом. Задана начальная система невзаимодействующих ча-
стиц при t = —оо, описываемая вектором состояния Ф(—оо). Надо
найти, в каком состоянии в результате взаимодействия окажется
система при / = + оо, характеризуемая вектором состояния Ф(4-оо).
Для решения этой задачи будем исходить из уравнений для
вектора состояния Ф(0 в представлении взаимодействия
|^=ЯД/(ОФ(О,	(1.1.18)
где Н;—гамильтониан взаимодействия полей. Представим вектор
состояния Ф(/) в виде
=	г0)Ф(/0),	(1.1.19)
где Ф(/о)— значение вектора состояния Ф(Л в начальный момент
времени t = t0, а §(/, t0)—неизвестный оператор. Подстановка
(1.1.19) в (1.1.18) дает уравнение для оператора .§(/, t0)
12Ц-А) = д,(оЗ(*> U.	(1.1.20)
причем t0) удовлетворяет начальному условию S(t0, /0)=1.
Будем искать решение уравнения (1.1.20) в виде ряда по сте-
пеням константы связи g:
Q = 2 gnSn(t, Q.	(1.1.21)
и = 0
Подставляя (1.1.21) в (1.1.20), находим
t	t	t
sn(t, /0)=ЦА”р/,... JW(Wi)-.M)).
?o	^0	^0
(1.1.22)
Здесь T — оператор хронологического упорядочения, располагаю-
щий множители таким образом, чтобы их временные аргументы
возрастали справа налево. Из (1.1.19) следует, что
ф(оо) = 3(оо, —оо)Ф(—оо).
Оператор 5(оо, —оо) называют S-матрицей рассеяния. Этот опе-
ратор, действуя на вектор состояния начальной системы, заданной
в бесконечно удаленном прошлом (t = — оо), дает вектор состояния
системы в бесконечно удаленном будущем ((=4-оо).
Для получения вида S-матрицы рассеяния в теории возмуще-
ний надо в (1.1.22) заменить конечные пределы интегрирования
18
бесконечными:
+да	+«	+ да
s„(oo, —оо) = Ц2^ J dxx j dx2... J dxnT
*-oo	—oo	— да
(1.1.23)
Вероятность	перехода	системы	из начального состояния Ф,
в конечное Фу	описывается	величиной
5^ = Фу (оо) S (оо, —оо)Ф{(—оо),	(1,1.24)
которую называют матричным элементом или амплитудой.
3.	Рассмотрим для примера квантовую электродинамику. Ей
соответствует гамильтониан взаимодействия
=	(1.1.25)
где е—константа электромагнитного взаимодействия. Подстановка
этой формулы в (1.1.24) приводит к выражению для матричного
элемента электродинамических процессов в любом порядке теории
возмущений. Так, матричный элемент процесса рассеяния фотона у
на электроне е~
у (k) + е~ (р) — у (&') + е~ (р')
во втором порядке теории возмущений выглядит так:
5)? = фДф{.	(1.1.26)
Здесь
S2 -= J dxt dx2T (Н, (xt) Н, (х2)),	(1.1.27)
Ф<« 4+> (k) 4+> (Р) Фо. Ф/ = а(р (к')	(р') Фо, (1.1.28)
♦
Т — оператор хронологического упорядочения, ajf’(k), а(/’(р)— опе-
раторы рождения фотонов и электронов; X, г—проекции спинов
фотона и электрона на трехмерные импульсы соответствующих ча-
стиц.
Подставив (1.1.27) и (1.1.28) в (1.1.26), получим выражение для
матричного элемента, которое представляет собой среднее по вакууму
от произведения операторов полей. Применив к полученному вы-
ражению теорему Вика, найдем (перекрестный член опущен):
S^«(ie)a^’(p9eftb^8^r4P)(2n)e6(p + W'-^). (1.1.29)
71—-tn
Здесь Уг-’(р) и t’r’lp')—волновые функции электрона в начальном
и конечном состояниях, eft—волновая функция фотона, уц—матрицы
Дирака, +	/^/иУц.
19
4.	Аналитические выражения для матричных элементов можно
изобразить графически. Для этого надо установить правила соот-
ветствия между аналитическими выражениями и графическими
Время
1.1. Диаграмма для Комптон-
эффекта на электроне (без пе-
рекрестного члена)
образами. Графическое изображение
матричного элемента (1.1.29) дано на
рис. 1.1. Начальный электрон описы-
вается линией, входящей в точку, а
выходящий—линией, выходящей из
точки. Входящий и выходящий фотоны
изображаются волнистой ненаправлен-
ной линией. Движение электрона из
точки 1 в точку 2 (пропагатор) пред-
ставляется направленной линией, а вер-
шина электромагнитного взаимодейст-
вия—точкой.
Изображение матричных элементов в виде графиков было пред-
ложено Фейнманом, поэтому такие графики называют диаграммами
Фейнмана.
Изложенную форму квантовой теории поля называют оператор-
ной. О формулировке квантовой теории поля с помощью формализма
континуального интегрирования мы расскажем далее (см. гл. 4, 5).
§ 1.2. ГЛОБАЛЬНЫЕ ГРУППЫ ВНУТРЕННЕЙ СИММЕТРИИ.
УНИТАРНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
Внутренние свойства частиц. Мы рассмотрели такие свойства
физических систем, которые остаются инвариантными при преобра-
зовании четырехмерного пространства — времени. Наряду с этим
существуют преобразования, при которых пространственно-времен-
ные координаты остаются неизменными (х—>х'=х), а изменяются
лишь волновые функции (Фй (%) —* (х)). Такие преобразования
связаны с внутренними свойствами полей и соответствующих им
элементарных частиц и поэтому могут быть названы внутренними.
Свойства физических систем, которые остаются инвариантными при
внутренних преобразованиях, называют внутренними.
Внутренние свойства элементарных частиц также описываются
группами симметрии. Мы остановимся более подробно на унитарных
группах.
Унитарная группа SUn. Рассмотрим преобразования компонент
волновых функций, которые осуществляются квадратными пхп ком-
плексными матрицами, удовлетворяющими условию
VV = 1.	(1.2.1)
Такие преобразования образуют группу, которую называют уни-
тарной.
Из унитарности матрицы следует, что ее определитель равен по
модулю единице, так как
det VV = det V det V = | det V |2 1,
20
откуда
|detV]=l.
(1-2.2)
Представим V в виде V — Ueia, где U — унитарная матрица
с единичным определителем (такую матрицу называют унимодуляр-
ной). Тогда вместо (1.2.1) получим
UU = 1, det 17 = 1.	(1.2.3)
Следовательно, каждое унитарное преобразование можно разбить
на два. Первое сводится к умножению на е'“, оно образует группу
фазовых преобразований. Второе преобразование осуществляется
матрицей U. Совокупность последних преобразований образует
группу SUn.
Подсчитаем число независимых вещественных параметров группы
SU„. Групповое преобразование осуществляется матрицей alk с и2
комплексными или 2п2 действительными числами. Требование уни-
тарности	— накладывает и2 условий, а требование уни-
модулярности detafA =1—еще одно условие. Таким образом, уни-
модулярная матрица содержит п2—1 независимых вещественных
параметров и соответственно алгебра Ли группы SUп состоит из
п2—1 генераторов.
[^-симметрия. Рассмотрим группу фазовых преобразований Up.
Ui(x) -*M; (x) = e-i®euz(x), ut (x) —> u-(x) = eifie иг(х). (1.2.4)
Бесконечно малые (e<^ 1) фазовые преобразования запишем в виде
(х) —* u'i (х) = ui Iх)— iguti (х),
ui (х) —* ui (х) = «г (х) + ig&Ui (х).	(1.2.5)
Группа U±—однопараметрическая и абелева.
Выписанные выше релятивистски инвариантные лагранжианы
(1.1.11), (1.1.13) инвариантны также и относительно группы фазо-
вых преобразований.
££/2-симметрия. Группа SU% описывает изотопические свойства
частиц. Эта группа тесно связана (гомоморфна) с группой вращений
в трехмерном изотопическом пространстве. Группа SU2—трехпара-
метрическая, три ее генератора образуют следующую алгебру Ли:
[7Иг,	(1.2.6)
Как видно, группа SU2—неабелева, так как ее генераторы не ком-
мутируют между собой (eiftn — антисимметричный единичный тензор).
У группы St/2 есть как тензорные, так и спинорные представ-
ления. Простейшие из них:
а)	изоскалярное—единичная матрица, действующая на одноком-
понентную волновую функцию; описывает одну частицу (изотопи-
ческий синглет);
21
б)	изовекторное—трехрядные матрицы, удовлетворяющие соот-
ношениям (1.2.6); действуют на трехкомпонентную волновую функцию
/ и1 (х)\
иа(х) = [ иЧх) , а=1( 2, з,
\U3 (х) J
описывающую изотопический триплет частиц. В качестве генера-
торов можно выбрать, например, <of/i, где
/0 0 0\	/ О О 1\ /О — 1 0\
w оо-i	0 0 0,ffl3= i оо, (1.2.7)
1	\0 i 0/	i 0 0/	\0 О О/
в)	изодублетное—двухрядные матрицы, действующие на двух-
компонентную волновую функцию
*«=(£§)• 2'
описывающую изотопический дублет частиц; в качестве генерато-
ров, удовлетворяющих соотношениям (1.2.6), обычно выбирают мат-
рицы xz/(2i), где —матрицы Паули:
’>=(?;) ’==(?“»)	о-2-7'»
Преобразования простейших изотопических волновых функций
при бесконечно малых поворотах на углы е„ в изопространстве за-
писывают в таком виде:
Ф (х) —► <р' (х) = ф (х) (для изоскаляра),	(1.2.8)
иа(х)—>-иа' (х) = (баЬ — 1еЛ©^)(х) + О(е2) (для изовектора), (1.2.9)
фа(х)->фа'(х) = (бай—уе„т^)ф6(х) + О(е2) (для изодублета).
(1.2.10)
Лагранжиан должен быть инвариантным как относительно группы
Лоренца, так и относительно группы SUt, т. е. в лагранжиан
должны входить релятивистские и изотопические скаляры. Такими
лагранжианами являются, например,
£(фа, <5р,фа) = (д(Хф°(х))(3(Хфа(х)) —т2фв(х)фа(х), (1.2.11)
£(фв, 5цфа) = 1фа(х)уу,Змфа(х)—Мфа(х)фа(х).	(1.2.12)
В инвариантности этих лагранжианов относительно группы St/3
можно убедиться непосредственно, используя формулы (1.2.8) —
(1.2.10).
Индекс а характеризует размерность изотопического мультип-
лета: а=1 соответствует синглету, а—1, 2—дублету, а=1, 2, 3 —
триплету и т. д. Пусть а=1, 2. Тогда лагранжиан (1.2.11) описы-
вает скалярное поле по группе Лоренца и изодублетное поле по
группе SU2, а лагранжиан (1.2.12)—спинорное поле по группе Ло-
ренца и изодублетное по группе SU2.
22
5(73-симметрия. Группа SU3 описывает унитарные свойства
частиц. Эта группа —восьмипараметрическая. Обычно ее генера-
торы выбирают в триплетном представлении в виде Xft/(2i), где
— матрицы Гелл-Манна:
/0 104	/0—104	/1	0 04	/0 0 14
100), 1=1	0 0 , х8= 0 -10 , 1 = 0 0 0 ,
1 \0 0 0/	\0 0 0/	\0 0 0/	4 V 0 0/
/О О -14	/0 0 04	/О о 04	. /1 о 04
1= 0 0 0 , L= 001 , L= 00-1 ,l=j= 01 0 .
6 V° О/	\o 1 0/	\0 I 0/	8 /3 4.0 0-2/
(1.2.13)
Матрицы удовлетворяют следующим коммутационным соот-
ношениям (алгебра Ли):
[Ч, Xy]_ = 2i/ft/A> SpXfX/ = 26//.	(1.2.14)
Константы fk/n полностью антисимметричны по отношению к пере-
становке индексов. Отличные от нуля независимые константы при-
нимают значения
/123 === 1» /147 = f Мв ~ fsib ~ file ~ /aS7 = f в31 — 1/2,
fits = /в78 = КЗ /2.
Ранг группы SUs равен двум.
Простейшими неприводимыми представлениями группы SU„ яв-
ляются:
а)	изоскалярное—единичная матрица, которая действует на одно-
компонентную функцию, описывающую унитарный синглет;
б)	триплетное контравариантное—трехрядные матрицы, удов-
летворяющие (1.2.14); действуют на трехкомпонентную функцию
/Ф1 (г) 4.
(*) = (	.
\1|)3 (х) J
описывающую унитарный триплет частиц. В качестве этих матриц
выбирают обычно матрицы (1.2.13);
в)	триплетное ковариантное—трехрядные матрицы представле-
ния, сопряженного (1.2.13), которые действуют на трехкомпонент-
ную функцию
ФО(*) = (Ф1 (*). Фа W. Фз(*)).
описывающую унитарный триплет античастиц.
Бесконечно малые преобразования унитарных волновых функций
выглядят следующим образом:
а)	для скаляра
Ф (х) —<р' (х) = <р (х),	(1.2.15)
б)	для контравариантного триплета
Фа W (х) = I —i е„^) ф» (X) + О (е2),	(1.2.16)
23
в)	для ковариантного триплета
фв (х) — < (х) - [ 1+4 8„ (М)“ь ]	(х) + О (е2).	(1.2.17)
Лагранжианами, инвариантными относительно группы Лоренца
и группы St/s, являются, например,
^(фа, <5цфй) == (дцфй (х)) (дмфй (х))— /п2фй (х) фй (х), а = 1, 2, 3, (1.2.18)
£(Фа, <5цфй)=:1фй(х)7ц5цфй(х) — Мфй(х)фй(х). (1.2.19)
Инвариантность этих лагранжианов относительно группы SU3
проверяется с помощью соотношений (1.2.15) — (1.2.17).
Индекс а характеризует размерность унитарного мультиплета:
а = 1 соответствует синглету, а=1, 2, 3—триплету и т. д. Пусть
а= 1,2,3. Тогда лагранжиан (1.2.18) описывает скалярное поле
по группе Лоренца и триплетное по группе SU3, а лагранжиан
(1.2.19) — спинорное поле по группе Лоренца и триплетное по
группе SU3.
Условие инвариантности лагранжиана. Сформулируем в общем
виде условие инвариантности лагранжиана относительно преобра-
зований произвольной глобальной группы G внутренней симметрии.
В случае групп внутренней симметрии преобразованию подверга-
ются только волновые функции, поэтому
Хц ► Хц = Хц.	(1.2.20)
Если группа задана, то для бесконечно малых преобразований
волновых функций ut(x) имеем
Uj(x) и- (х) = уДх) + бц{(х),	(1.2.21)
б и f (х) =	(х).	(1.2.22)
Здесь Tkr}— генераторы группы, efe—бесконечно малые параметры
группы.
Алгебра Ли группы G задается соотношениями
Го	(1-2.23)
Постоянные величины flkl называют структурными константами.
Они обладают следующими свойствами:
fiklflmnJrfkmlflinJrf,nilflkn==^' fikl= fkiI = fIkl = fHk- (1-2.24)
Инвариантность лагранжиана относительно преобразований
группы G означает, что
J dxL (и} (х), dyU't (х))— J dxL (uz (х), д^щ (х)) = 0,	(1.2.25)
£2	О
где Q—область интегрирования. Для бесконечно малых преобра-
зований (1.2.25) перепишется в виде
67 = 0,
(1.2.26)
24
т. е. инвариантность действия относительно преобразований группы
G означает, что вариация действия должна при этих преобразовав
ниях обращаться в нуль.
Определяя явный вид вариации действия, будем иметь
67 = С d% 6«f +	б (<3U«Z)I = 0.
J \ dui 1 1 д (д^ир v J
Отсюда, используя произвольность области интегрирования, полу-
чаем
-Jr-+	б(дц«{) = 0	(1.2.27)
или, если учесть (1.2.22), а также то, что еА— произвольные величины,
~ TkuUi + rvr-s ткцдии.- = 0.	(1.2.28)
ди[ J 1 д(д^и/) 11 7	x '
Эти тождества представляют собой необходимые и достаточные ус-
ловил инвариантности лагранжиана относительно преобразований
произвольной глобальной группы G внутренней симметрии.
Классификация групп. Можно показать, что группа однозначно
определяется ее алгеброй Ли. В общем виде алгебра Ли записы-
вается так:
[Xf, х/]=С//л»
где с^ь—некоторые структурные константы со свойствами (1.2.24).
Анализ показывает, что если ограничиться наиболее интерес-
ными для физики группами (их называют простыми), то сущест-
вует лишь девять различных типов алгебр Ли, которые отличаются
видом структурных констант cijk, т. е. существует девять различ-
ных типов групп (простых). К ним относят:
а)	ортогональные группы четной размерности—их обозначают
О2л, где п = 1, 2, ...;
б)	ортогональные группы нечетной размерности—
в)	унитарные—SUn\
г)	симплектические—Spin\
д)	исключительные—Е^ Е,, Е%, G^
Простейшие унитарные группы мы рассмотрели. Группа Лоренца
является ортогональной группой четной размерности, равной че-
тырем.
Так как каждой группе соответствует своя алгебра Ли, то каж-
дая группа обладает определенным, только ей присущим, набором
размерностей мультиплетов (например, у группы Лоренца есть муль-
типлеты размерности 1, 4 и т. д., а у группы SU3—мультиплеты
размерностей 1, 3, 6, 8, 10 и т. д.).
Глава 2
КАЛИБРОВОЧНАЯ (ЛОКАЛЬНАЯ) ИНВАРИАНТНОСТЬ
В предыдущей главе были рассмотрены глобальные группы пре-
образований и лагранжианы, инвариантные относительно этих групп.
Глобально инвариантный лагранжиан может быть не инвариантным
относительно соответствующей группы локальных преобразований.
Чтобы получить локально инвариантный лагранжиан, надо ввести
новые поля, которые получили название калибровочных.
Локальными могут быть как пространственно-временные группы,
так и группы внутренней симметрии. Далее мы ограничимся таким
случаем, когда группа пространственно-временной симметрии (груп-
пы Лоренца, Пуанкаре) остается глобальной, а локализируются
только группы внутренней симметрии.
В этой главе мы сначала покажем в общем виде, как локально
инвариантный относительно группы внутренней симметрии лагран-
жиан может быть простым образом получен из соответствующего
глобально инвариантного лагранжиана, и выясним основные свойст-
ва калибровочных полей. Как оказывается, для решения этих задач
достаточно только требования инвариантности относительно группы
локальных преобразований. Затем полученные общие результаты
мы проиллюстрируем на примере двух конкретных локальных групп.
§ 2.1. КАЛИБРОВОЧНЫЕ (ЛОКАЛЬНЫЕ) ЛАГРАНЖИАНЫ
Группа локальных преобразований. Группа локальных преобра-
зований характеризуется тем, что параметры в (1.2.22) не зави-
сят от координаты. Предположим теперь, что параметры группы
зависят от координаты; тогда функции поля преобразуются так:
8ul(x) = TkijEk (x)u7(x).	(2.1.1)
Группу таких локальных преобразований называют локальной
или калибровочной группой.
Калибровочные поля. Легко убедиться, что глобально инвариант-
ный лагранжиан может быть не инвариантным относительно груп-
пы локальных преобразований (2.1.1). Действительно, если учесть,
что, согласно (2.1.1),
6 (5р.иг (х)) = Tkifik (х) d^uj (х) + Tktiuj (х) д^к (х),
то для вариации лагранжиана
1=3	W + д^Гр 6	W W +
"Г	W (x) ф- Tfaj (x) (ЗйеА (x). (2.1.2)
26
В силу глобальной инвариантности выполняются соотношения
(1.2.28) и поэтому (2.1.2) перепишется следующим образом:
SL = T4suj (х) д^к (х) Ф 0,	(2.1.3)
т. е. вариация L(x) не обращается в нуль и, следовательно, L(x)
не инвариантен относительно локальных преобразований (2.1.1).
Чтобы добиться инвариантности лагранжиана относительно преоб-
разований (2.1.1), добавим к полям и{(х) новое поле
Д)(х), /=1, 2.......М,
таким путем, что оно скомпенсирует правую часть (2,1.3) и при-
ведет к новому лагранжиану 3? (х), инвариантному относительно
преобразований (2.1.1). Указанные поля сначала получили название
компенсирующих, а затем калибровочных полей или полей Янга-
Миллса.
Покажем, как, используя только условие инвариантности
лагранжиана относительно произвольной локальной группы внутрен-
ней симметрии, можно дать ответы на следующие вопросы:
1)	как преобразуются калибровочные поля Д;(х) относительно
группы Лоренца и калибровочной группы G, т. е. выяснить смысл
индекса I (см. (2.1.10));
2)	какова форма взаимодействия полей ut (х) и калибровочных
полей (см. (2.1.12));
3)	как по глобально инвариантному лагранжиану определить
локально инвариантный лагранжиан (см. (2.1.13) и (2.2.7));
4)	каков явный вид преобразования калибровочных полей отно-
сительно калибровочной группы G (см. (2.2.7));
5)	каков инвариантный лагранжиан калибровочных полей (см.
(2.2.21) —(2.2.23)).
Условия локальной инвариантности лагранжиана. Мы предполо-
жим, что в новый лагранжиан J27 (х) входят только сами калибро-
вочные поля А\ (х), а не их производные: 3?(Ut,	A't). Бесконеч-
но малые преобразования полей выглядят так:
би; (х) =	(х) Uj (х),	(2.1.4)
6Д \ (х) = P^A't (х) 8ft (х) +	(х).	(2.1.5)
Здесь Р и R—неизвестные постоянные матрицы, которые будут
найдены позднее. Второе слагаемое введено в (2.1.5) для того, что-
бы скомпенсировать члены в правой части (2.1.3).
Условие локальной инвариантности лагранжиана Я? (и,, дцЦ,-, A'i)
запишем в виде
б^ =J£-	б (<ЭцЫ;) +	6Д \ = 0,
или после подстановки (2.1.4) и (2.1.5)
27
Так как еА (х) и д^ек(х)— произвольные функции, то коэффици-
ент при каждой из них в выражении (2.1.6) обращается в нуль:
F Т"и'++7F Р'т А'п = °’
дщ	д (дц Ui)	дА z
--- '?/«/Ч-Г-Аш = 0.
д(д^) J дА1
(2-1.7)
(2.1.8)
Связь между глобальным и локальным лагранжианами. Покажем,
что тождество (2.1.8) позволяет выяснить смысл индекса I у A't и
найти в явном виде зависимость нового лагранжиана 3? от калиб-
ровочного поля.
1. Система (2.1.8) состоит из 4п уравнений, поскольку р = 0, 1,
2, 3; А=1, 2, .... п. Чтобы можно было однозначно определить
зависимость 3 от А',, число компонент А\ (где /=1, 2, .... Л4)
должно быть равно числу уравнений системы (2.1.8), т. е. М — 4п.
Пусть, кроме того, матрицы R не сингулярны и у них есть обрат-
ные, которые определяются условиями
=	(2.1.9)
Тогда калибровочное поле можно записать в форме
A*=(R^r'Ai.	(2.1.10)
Таким образом, калибровочное поле преобразуется как четы-
рехмерный вектор по группе Лоренца, а индекс k определяет число
компонент относительно калибровочной группы; как преобразуются
эти компоненты, мы выясним позже (см. (2.2.7)).
2. Если учесть (2.1,9) и (2.1.10), то система (2.1.8) перепишет-
ся так:
 дХ TkijU, + -^ = 0.
(2.1.11)
Эта система уравнений полна и якобиева. Чтобы лагранжиан 3
удовлетворял этой системе, калибровочные поля А$ должны входить
в 3 виде комбинации
(2.1.12)
которую обычно называют ковариантной производной. Итак, локаль-
ный лагранжиан должен иметь вид
дии„ Ai) = 3' (и[г	(2.1.13)
При этом будут выполняться следующие соотношения:
ди/ ди/ |^7«(.= const й(\7 I «4-=const 1* ** ’
дЯ______________________дХ' I
д (д^и/)	д (\7i*ui) I	const ’
— ЧУ' т I	(Яц/)’1 • (2.1.14)
дА/ d(\7kw/) const 7 7 k 7	7
28
Следовательно, требование локальной инвариантности ведет к
замене в глобально инвариантном лагранжиане обычных производ-
ных на ковариантные производные (2.1.12). При этом второе сла-
гаемое в ковариантной производной определяет взаимодействие по-
лей ult которые естественно назвать полями материи, с калибро-
вочными полями /4ft. Подчеркнем, что число калибровочных полей
Aft равно числу генераторов калибровочной группы.
§ 2.2. КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
Переходим к рассмотрению основных свойств калибровочных
полей.
Преобразование калибровочных полей. Выясним, как преобра-
зуются калибровочные поля Aft. Учитывая (2.1.5), (2.1.9) и (2.1.10),
получаем
6Лft = (Cft)/m А? г, (х) + д^к (х),	(2.2.1)
где (С^)/ш = (Т?^)-1 (Р{7) (/?%)—неизвестная матрица.
Чтобы найти явный вид матрицы (Cft)/m, используем тождества
(2.1.7) и соотношения (2.1.14). Подставляя (2.1.14) в (2.1.7) и учи-
тывая (2.1.12), (2.2.1), находим
’Ш+да (-	+П, тм _
-№П«^}=0. (2.2.2)
Для лагранжиана 3' (и{, \^и,и{) имеет место условие инвариант-
ности, аналогичное (1.2.28)!
д<5£' (щ, nUi) rpk । (ul> Vuui) riV7 n mo Q\
-----1 4U> +	---7 Vu«/ - 0.	(2.2.3)
Поэтому два первых члена в (2.2.2) обращаются в нуль, а остав-
шиеся, если учесть (1.2.23), дадут
—Т^] = 0.	(2.2.4)
Отсюда вытекает, что
пмм.	(2.2.5)
или
~ flktnS^v*	(2.2.6)
Подставив (2.2.6) в (2.2.1), получим искомое выражение для инфи-
нитезимального преобразования калибровочных полей:
= А * - А * = fklm А	(х) +	(х).	(2.2.7)
Следовательно, для получения локально инвариантного лагранжи-
ана из глобального надо в последнем заменить обычную производ-
ную на ковариантную и иметь в виду, что калибровочное поле
преобразуется согласно (2.2.7).
29
Чтобы найти вид инфинитезимальных преобразований ковариант-
ных производных, воспользуемся формулами (1.2.23), (2.1.12), (2:2.7);
в результате получим
6 (Vn«/) = П/В* (*)Vu«/-	(2.2.8)
Из сравнения (2.1.4) и (2.2.8) видно, что преобразуется
относительно калибровочной группы так же, как ut, т. е. —
ковариантная величина.
Лагранжиан калибровочных полей. В лагранжиан (2.1.13) входят
лагранжианы свободных полей материи и{ и лагранжиан взаимодей-
ствия полей материи с калибровочными полями А^,.
Найдем еще выражение для лагранжиана калибровочных полей,
инвариантного относительно локальной группы внутренней симмет-
рии. Этот лагранжиан зависит от калибровочных полей и их про-
изводных: .З’оМд, <5jMv). Используем условие инвариантности =2’0,
которое запишется в виде
<2-м)
или после учета (2.2.7)
(^0 f Дт 1	^0 f А Дт1 р (у\ I Р^О ,[	^0 f Лот! v
1 ад*tlmk ц+д (dv 4)'lmkC>vAtl / e‘{х}+1+ д (М) '1ткА х
Хд^(х) + -^-д^к(х) = 0. (2.2.10)
Так как функции eft(x) произвольны, то (2.2.10) приводит к следую-
щим тождествам:
-------------^r-fze*M'S = 0, /=1, 2.........и; (2.2.11)
дАу1тк ц д(М*)
= /=1' 2........(2'2Л2)
+-	V=0, k=l,2,...,n.	(2.2.13)
5(5ц4) Ж4)
При получении последнего тождества было учтено соотношение
-^-dvd^ (х) =4 ((*)• (2-2.14)
д (дуДД) v * К '	\ д (дцД?) д (dv4ji) /
Покажем, что тождества (2.2.11)—(2.2.13) определяют явный вид
лагранжиана ^0. Из (2.2.13) вытекает, что производная поля
может входить в лагранжиан только в виде комбинации
=	(2-2.15)
причем
А^ = -Д^.	(2.2.16)
Учитывая, что
___________2	_ 2	(2 2 17)
д(дуАЦ) ~ dA^v ’ д(д^) ~ dA^v ’	7
30
и переходя
(2.2.12)
к новым переменным (2.2.15), получаем вместо (2.2.11),
дАк*
ft^-2^-ftmkdvA^ = 0-,
____9	f Ai __ О
dAfr dA^ 'lmk v '
(2.2.18)
(2.2.19)
Рассмотрим систему (2.2.19). Она, аналогично (2.1.8), распа-
дается на четыре независимые системы (р = 0, 1, 2, 3). При фикси-
рованном р система (2.2.19) состоит из п уравнений и зависит от
переменных А^ и Afrv, k— 1, .. п, v = 0, 1, 2, 3; v=/=p. Эта
система полна и якобиева. Чтобы лагранжиан So удовлетворял
системе (2.2.19), поля Лц и Afrv должны входить в в комбинации
П^АЬ-Ъ^МАГ-АЬАХ), k^l, .... n; v^p,	(2.2.20)
т. e.
M£) = -WU	(2.2.21)
Отсюда следует, что
о	_о	f дт	/о 9 91'^
дМ) dF^ ’	-2 dFl»v tklmAv' ( ’ 1	’
Рассмотрим, наконец, систему тождеств (2.2.18). Учитывая
(1.2.24) и (2.2.2Г), придем к еще одному условию, накладываемому
на лагранжиан калибровочных полей:
3#WAv = 0, m=l...........n.	(2.2.22)
(7Г nxv
Таким образом, локально инвариантный лагранжиан калибро-
вочных полей является функцией только F^v и удовлетворяет усло-
виям (2.2.22), если учесть (1.2.24). Выбор лагранжиана, удовлетво-
ряющего этим требованиям, неоднозначен. Наиболее простой лагран-
жиан, квадратичный по Ffrvt был предложен Янгом и Миллсом:
глр	^гм = -1/Л^,	(2.2.23)
А П^^-д^-^^СА^-А'АЮ-	(2-2.24)
Этот лагранжиан удовлетворяет условиям (2.2.22), если принять
во внимание (1.2.24).
Используя формулы (2.2.7) и (2.2.21), приходим к выражению
для инфинитезимальных преобразований тензора Ffrv:
=	(2.2.25)
Полный локальный лагранжиан S системы полей материи и{ (х)
и калибровочных полей является суммой лагранжиана калибровоч-
ных полей и локального лагранжиана полей материи S', содер-
жащего лагранжиан полей материи и лагранжиан взаимодействия
31
полей материи и калибровочных полей:
+	(2.2.26)
Сохраняющиеся токи. Согласно теореме Нетер, инвариант-
ности лагранжиана относительно группы непрерывных преобразо-
ваний соответствует сохраняющаяся величина. Инвариантность
лагранжиана относительно локальных преобразований приводит
к сохраняющимся токам. Чтобы получить выражение для этих
токов, будем исходить из полного лагранжиана. Условие его инва-
риантности относительно локальной группы преобразований выгля-
дит следующим образом:
м«+ЖЖ6 мSa‘ 8 м - °-
(2.2.27)
Если принять во внимание уравнения для полей ы{(х) и A^fx)
в форме (1.1.14), то (2.2.27) перепишется как
(2-2-28>
Перейдем к новым переменным и(, \7ци(, А^, F^v. Учитывая
формулы (2.1.14), (2.2.21'), а также (2.1.1), (2.2.7), получаем вместо
(2.2.28)
(жж т‘<“'+2 ж '*'4t) ‘‘w+
+[жж т‘-и-+2 ж	(ж)] W+
+(^+ж)‘’А'“м=0-	<2-2-29>
Так как функции в*(х) произвольны, то отсюда имеем
<2-2-30>
ГЖЯ^+2Ж^-^+<“°-	(2-2'3”
При получении (2.2.31) учтено, что, согласно (2.2.2Г) и (1.1.14),
л дХ _ 1 л дх 1 дх
vdFkw~2 °vdM) 2 дАГ
Назовем током величину
(2-2-32)
Тогда из (2.2.31) находим выражение для тока
= (2'2'33)
32
a (2.2.30) приводит к закону сохранения тока:
<Vfl = 0, k=\, 2.....п.	(2.2.34)
Проиллюстрируем полученные общие результаты на примере
двух конкретных локальных групп: L\ и SU2.
§ 2.3. АБЕЛЕВА ГРУППА Ui. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Пусть нам задан лагранжиан спинорного поля ф с массой М.
i = y (W<W—Мф1|).	(2.3.1)
Этот лагранжиан инвариантен относительно глобальной абелевой
группы фазовых преобразований:
ф—<-ф' = е-!йвф, ф—►ф' = фе|8®,	(2.3.2)
где е — параметр группы (постоянная величина), g—константа связи
(как увидим далее). Из (2.3.2) следует, что
6ф =— tegpp, 6ф = 1е£ф.	(2.3.3)
Сравнивая (2.1.1) и (2.3.3), находим (индексы 1 и 2 относятся
соответственно к ф и ф):
Tu = -ig, T^\g, T21^Tl2=o.	(2.3.4)
Кроме того, для группы структурные константы fk[m = 0.
Рассмотрим локальную группу фазовых преобразований; тогда
е(х)—функция от координаты х. Чтобы получить лагранжиан спи-
норного поля, инвариантный относительно локальной группы калиб-
ровочных преобразований, надо в (2.3.1) обычную производную
заменить на ковариантную, определяемую (2.1.12):
<?цф —> \7иФ =	+ igiMu, дцф — ’Х/цФ =	igiM ц.
Иначе говоря, в данном случае роль калибровочного поля играет
электромагнитное поле Лм (х), а лагранжиан	взаимодействия
спинорного и калибровочного полей
—^фуцфДц.	(2.3.5)
Лагранжиан калибровочного поля Лц в соответствии с (2.2.23),
(2.2.24) выглядит следующим образом:
^0 = -1/iFllvFw,	(2.3.6)
где Fllv = dllAv— dvA^—тензор электромагнитного поля, т. е. (2.3.6)
является лагранжианом свободного электромагнитного поля.
Инфинитезимальное преобразование поля Лц определяется фор-
мулой (2.2.7):
6Лц = дце(х).
2 № 1034
зз
Полный локально инвариантный лагранжиан
S = У	<МТиФ) — Мфф—J Fiiv^nv—g^V^^n
совпадает с лагранжианом квантовой электродинамики. Согласно
(2.2.32) и (2.2.33), ему соответствует сохраняющийся ток
Л = —(2.3.7)
который совпадает с обычным электромагнитным током. Константу g
можно отождествить с константой электромагнитного взаимодейст-
вия е.
§ 2.4. НЕАБЕЛЕВА ГРУППА SUt. ПОЛЕ ЯНГА-МИЛЛСА
Рассмотрим SUrизодублет спинорных полей:
Фв=(^).	(2.4.1)
где ф1 и ф2 описывают, например, протон и нейтрон (с массой М).
Свободный лагранжиан такого дублета запишем в виде
L = у (фоуцдцфо—дцф^цф®)—А4ф®ф®.	(2.4.2)
Он инвариантен относительно глобальной неабелевой группы St/2,
преобразующей функции ф® так:
ф® _> ф«' == (е"‘^т^2)айфь, ф« ф®' = ф> (е‘йе*1’*/2)бО,	(2.4.3)
где ей — параметры группы (постоянные величины); тй—матрицы,
определяемые (1.2.7'); g—константа.
Согласно (2.4.3), имеем для инфинитезимальных преобразований
функций
6ф® = — уей(тй)вЬф6,	=	(2.4.4)
или для генераторов преобразований
Пь-----(2-4.5)
Так как [Г*, Т']_ = — тг]_ = gzklmTm, то = где
ейги—полностью антисимметричный тензор (е1а8=1).
Перейдем к локальной группе преобразований. Лагранжиан
(2.4.2) станет калибровочно инвариантным, если в нем произвести
согласно (2.1.12) замену:
- дцф“ + 4 <тл)вь Д •	1, 2, 8.	(2.4.6)
Как видно, в данном случае калибровочным является триплет век-
торных полей А$, (число калибровочных полей равно числу гене-
раторов группы).
34
Лагранжиан калибровочных полей в соответствии с (2.2.23) и
(2.2.24) имеет вид
<S?ym---(2.4 7)
где	MS—f eWw(4Hv—тензор поля Янга-
Миллса.
В выражение (2.4.7) входят кроме квадратичных кубичные чле-
ны и члены четвертой степени по полям AJ, т. е. поле Янга —
Миллса является самодействующим. Калибровочные поля А& пре-
образуются согласно (2.2.7) так:
(*) + дм8* (Х).	(2-4-8)
Для полного локально инвариантного лагранжиана имеем
2 =-£ (фвТм,дцфв—Мф°фв +
+ J? м—уфвУц(Тй)0(,г|А4£.	(2.4.9)
Постоянная g играет роль константы связи калибровочного поля
со спинорным и калибровочного поля самим с собой.
Согласно (2.2.32) и (2.2.33), лагранжиану (2.4.9) соответствует
сохраняющийся ток
/& = — f (т*Шь —
g&kimA'v [^мДу—'^уДц	(ДцДу Ду^и)] •
Глава 3
СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ
Как мы видели (см. гл. 2), калибровочно инвариантные теории
содержат безмассовые калибровочные поля. С точки зрения физи-
ческих приложений, необходимы и безмассовые, и массивные калиб-
ровочные поля. Просто добавить массивный член непосредственно
в лагранжиан калибровочного поля нельзя, так как это приведет
к нарушению калибровочной инвариантности лагранжиана. Поэтому
’был'предложен другой подход, в котором калибровочные поля при-
обретают массу за счет нарушения калибровочной инвариантности
вакуума, причем лагранжиан калибровочного поля остается по-
прежнему калибровочно инвариантным; такой подход получил на-
звание спонтанного нарушения симметрии. Нарушение калибровоч-
ной симметрии вакуума может быть неполным. Это приводит к тому,
что часть калибровочных полей остается безмассовой. Тем самым
удается построить теории, содержащие как массивные, так и без-
массовые калибровочные поля. Это обстоятельство используют при
объединении близкодействующих и дальнодействующих взаимодействий
(например, слабых и электромагнитных), переносчиками которых
2*
35
являются соответственно массивные промежуточные бозоны и без-
массовые фотоны.
Сначала мы поясним, что такое спонтанное нарушение симмет-
рии, затем рассмотрим механизм спонтанного нарушения гло-
бальной и локальной инвариантности, обратив внимание на их
специфику, и, наконец, остановимся на обсуждении остаточной
симметрии.
§ 3.1. ВЫРОЖДЕННЫЕ вакуумные состояния
И НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ
Рассмотрим квантово-механическую систему. Будем описывать ее
лагранжианом L или гамильтонианом Н. Система может находиться
в различных энергетических состояниях которые определяются
уравнением
= ^пФп*
Точная симметрия


Каждое состояние характеризуется определенным значением энер-
гии Еп и волновой функцией Состояние с минимальным значе-
нием энергии Ео, описываемое волно-
вой функцией ф0, называют вакуум-
ным. Если значению Ео соответствует
одно вакуумное состояние, его назы-
вают невырожденным, если несколько,
LhouhS то говорят о вырожденных вакуумных
состояниях.
Пусть задана определенная группа
преобразований G. Вакуумное состоя-
ние инвариантно относительно груп-
пы G, если после преобразований оно
противном случае вакуумное состояние
Ябно нарушенная
симметрия
3.1. Связь между вакуумными
состояниями и лагранжианами
переходит само в себя; в
называют неинвариантным.
В рамках локальной релятивистской квантовой теории поля
существует связь между инвариантностью вакуумного состояния
относительно некоторой группы преобразований и инвариантностью
лагранжиана относительно той же группы (теорема Коул-
мена):
1. Если вакуумное состояние инвариантно, то лагранжиан дол-
жен быть обязательно инвариантным («инвариантность вакуумного
состояния есть инвариантность мира»). Случай, когда инвариантны
и вакуумное состояние и лагранжиан, называют точной симмет-
рией (рис. 3.1).
2. Если вакуумное состояние не инвариантно, то лагранжиан
может быть и неинвариантным и инвариантным. В обоих случаях
симметрия в целом нарушается. Если не инвариантны и вакуумное
состояние и лагранжиан, то нарушение симметрии называют явным
(рис. 3.1). Если вакуумное состояние не инвариантно, но лагран-
жиан инвариантен, то нарушение симметрии называют спонтанным
(рис. 3.1).
36
Можно показать, что в случае спонтанно нарушенной симметрии
обязательно должны появиться частицы с нулевой массой. Это
утверждение известно как теорема Голдстоуна; соответст-
венно безмассовые частицы называются голдстоунами. Эти частицы
пока экспериментально не наблюдались.
Неинвариантность вакуумного состояния ведет к появлению
величин, которые позволяют превратить хотя бы часть безмассовых
калибровочных полей в массивные.
Рассмотрим несколько простых примеров спонтанно нарушенной
симметрии и проследим, каков механизм возникновения масс у час-
тиц, как появляются голдстоуны и как в случае калибровочных
теорий голдстоуны могут быть устранены.
§ 3.2. СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ
Точная симметрия. Рассмотрим модель, описываемую лагран-
жианом
L = (Зцф) (5цФ) — /пафф— 4J (фф)’,	(3.2.1)
где ф(х)—комплексное скалярное поле, f—константа связи ска-
лярных полей, т — масса скалярной частицы, f > 0, тг > 0. Этот
лагранжиан инвариантен относительно глобальной группы фазо-
вых преобразований:
* * *
Ф(х) —*ф' (х) = е~1йеф(х), ф(х)—* ф' (х) = е1в8ф (х).	(3.2.2)
Энергия произвольной модели с лагранжианом L определяется
формулой (1.1.17). В рассматриваемом случае
*	*	*	*	2
Е = (5оФ) (доф) + (<5/ф) (^Ф) + /и»фф+ l/J(фф) .	(3.2.3)
Минимальное, или вакуумное, значение энергии определяется усло-
виями
dF * f *	dF	f *
^==т2ф + ^_ф2ф==0,	=	+ f ффа = 0.	(3.2.4)
Отсюда следует, что вакуумному состоянию данной модели соот-
ветствует точка ф(х) = ф(х) = 0 (рис. 3.2, а). Таким образом, вакуум-
ное состояние рассмотренной модели не вырождено, а также инва-
риантно относительно преобразований (3.2.2). Лагранжиан (3.2.1)
также инвариантен относительно преобразований группы Ut. По-
этому модель обладает точной (/^симметрией. Вакуумному состоянию
соответствует минимум энергии, и поэтому оно представляет собой
устойчивое состояние. Среднее вакуумное значение поля ф(х) равно
нулю:
4>,W = %W = 0.	(3.2.5)
37
Спонтанно нарушенная симметрия. Рассмотрим теперь модель,
описываемую лагранжианом
Ь>в(дцф) (<Эм<р) + т2срф—1/4/: ( фф )2.	(3.2.6)
Этот лагранжиан отличается от (3.2.1) знаком при т\ но он по-
прежнему инвариантен относительно группы глобальных преобра-
зований (3.2.2).
1.	Энергия системы с лагранжианом определяется выраже-
нием
Е = (доф ) (доф) + (д, ф ) (5,ф) — т’фф + 1/ J ( фф
и условие минимума энергии выглядит следующим образом:
ЛЕ*	* f *	лр	f «
SF---»Лр + т"’ = 0-
«
Отсюда следует, что минимум энергии достигается при ф (х) ф (х) =*
<= 2т2/f или при | ф (х) | = К2т/У f. При этом система обладает бес-
8.2. Вакуум: а—невырожденный, б—вырожденный,
в— фиксированный
конечным набором вакуумных состояний, каждому из которых соот-
ветствует точка окружности радиусом R V 2mlV f в комплексной
плоскости ф (рис. 3.2, б). Иначе говоря, вакуумные состояния бес-
конечно вырождены.
2.	Преобразования (3.2.2) переводят какое-либо вакуумное состоя-
ние (точка окружности) в любое другое вакуумное состояние (дру-
гая точка окружности). Это означает, что вакуумные состояния не
инвариантны относительно преобразований (3.2.2).
3.	Однако лагранжиан Lx остается по-прежнему инвариантным
относительно преобразований (3.2.2). Поэтому система, описываемая
лагранжианом Llt обладает спонтанно . нарушенной {^-симметрией.
Так как вакуумные состояния не инвариантны, то среднее ва-
куумное значение поля ф„(х) отлично от нуля:
|ф„(х)| = К2/и/П-	(3.2 7)
4.	При построении теории необходимо выбрать определенное
устойчивое вакуумное состояние, т. е. определенную точку на окруж-
38
ности (рис. 3.2,6). При этом надо иметь в виду, что различные
вырожденные вакуумные состояния не связаны друг с другом, из
них нельзя образовать суперпозицию (такого физического состояния
не существует), т. е. различным вакуумным состояниям соответст-
вуют разные миры и можно использовать только один из них.
Объясняется это тем, что вероятность туннельного перехода
между вакуумными состояниями уменьшается при увеличении числа
степеней свободы и при бесконечном числе степеней свободы (что
соответствует полю) становится равной нулю. В самом деле, для
поля в конечном объеме й лагранжиан системы Ll ~ J d8xL ~ Lil,
кинетическая энергия ~ <p*Q, потенциальная энергия ~ Уй, где
V = | |2—т8фф + 1/1/(ф<р)*. Поэтому задача сводится к вычисле-
нию квантово-механической вероятности прохождения барьера шири-
ной ~ ф,,, высотой ~ ilm4f частицей с массой ~ й. Эта вероятность
пропорциональна ехр(—Qm3if) и стремится к нулю при Й—► оо,
т. е. переходы между двумя вакуумными состояниями действительно
невозможны.
5.	Из-за того, что преобразованием (3.2.2) любая точка окруж-
ности может быть переведена в любую другую, все вырожденные
вакуумные состояния (точки на окружности) равноправны. Поэтому
в качестве основного можно выбрать любое вакуумное состояние.
Обычно выбирают такое вакуумное состояние, которому соответст-
вует точка, лежащая на пересечении окружности с вещественной
осью плоскости ф (х) (рис. 3.2, в). При этом система координат
сдвигается вдоль вещественной оси. Тогда в исходной системе коор-
динат
Ф (*) = p=(j^= + <Pi(*) + i<P2 (х)^ ,	(3.2.8)
где Фг(х), Фг(х)—вещественная и мнимая части функции ф(х)
в сдвинутой системе координат.
6.	Подставляя (3.2.8) в (3.2.6), находим
Lj (ф)—►£,(ф1, ф^^у^ф,)2—у т2ф!2 4-у (дцф8)2—•
(ф? + 2фМ + Ф$)	(ф» + ф2) ф1 +	,	(3.2.9)
где тг = К 2m—масса частицы ^(х)
Лагранжиан Л2 не содержит члена, пропорционального <pi (х)>
т. е. скалярная частица, описываемая функцией <р2(х), — безмассо-
вая. Она появилась вследствие спонтанного нарушения симметрии
(голдстоун)
Таким образом, модель с лагранжианом Lx обладает спонтанно
нарушенной симметрией. Вследствие этого исходное комплексное поле
трансформировалось в голдстоун и вещественное скалярное поле
Фх (х) с массой jZ2m. Иначе говоря, спонтанное нарушение глобаль-
39
ной симметрии ведет к появлению голдстоунов. Подчеркнем, что
Lx и —полностью эквивалентные лагранжианы. Они описывают
динамику одной и той же системы.
7.	Из сравнения двух рассмотренных примеров видна суть спон-
танного нарушения симметрии:
а)	существует критическая точка (в нашем случае т2 = 0), кото-
рая определяет, произошло спонтанное нарушение или нет;
б)	в случае отрицательного знака при та есть невырожденное
инвариантное устойчивое вакуумное состояние системы; причем
<р„ (х) = 0;
в)	в случае положительного знака при т2 появляются другие
устойчивые вакуумные состояния системы; они вырождены и не
инвариантны, при этом фФ (х)	0.
Заметим, что существует большое количество физических систем
как в классической, так и в квантовой физике со спонтанно нару-
шенной симметрией (например, ферромагнетики, сверхпроводники
и т. п.).
8.	Отметим следующее. На первый взгляд, замена знака у т2
в лагранжиане (3.2.6) означает введение нефизических частиц с мни-
мой массой. На самом деле это не так. Дело в том, что слагаемое
*
/пафф в лагранжиане соответствует массивному члену только в том
случае, если состояние ф —0 является положением устойчивого
равновесия, т. е. минимумом потенциальной энергии. В рассматри-
ваемом случае потенциальная энергия V (ср) = 15zcp |2—(фф)а
при ф = 0 имеет не минимум, а локальный максимум (рис. 3.2,6)
и, следовательно, слагаемое тафф в (3.2.6) не является массовым
членом. При ф = 0_система неустойчива. Однако система устойчива
при | ф | = К 2т/|/ /. Чтобы определить физические массы частиц,
надо разложить потенциальную энергию в окрестности истинного
минимума. Согласно (3.2.8), в первый член такого разложения вой-
дет поле фг. Масса поля фп равная К 2m, вещественна, член 1/2т2ф2
в лагранжиане (3.2.9) является массовым и имеет обычный (отри-
цательный) знак. Таким образом, в случае лагранжиана (3.2.6)
физическим будет не поле ф, а поле фг
§ 3.3. СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ СИММЕТРИИ
Точная симметрия. Рассмотрим модель, описываемую лагранжиа-
ном (3.2.1). Предположим, что эта модель инвариантна также отно-
сительно локальных (^-преобразований. Соответствующий локально
инвариантный лагранжиан, если учесть формулы § 2.3, выглядит
следующим образом:
j	+ (du<p — igB^p) (dMq> + 1£ВиФ)—/п2ФФ — (фф)*-
(3.3.1)
40
Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразований:
Ф (х) —» ф'(х) = е-188 ф (х); ф (х) —ир'(х) = е*«8 <*> ф(х); /3.33)
Д —> Д (х) = Вц (х) + д^е (х).
*
Вакууму соответствует стабильная точка фг, = Фг, = 0; модель обла-
дает точной локальной ^-симметрией.
Спонтанно нарушенная симметрия. Рассмотрим случай абелевой
и неабелевой групп симметрии.
Абелева группа. В случае f > 0 и положительного знака при т2,
как и для (3.2.6), вакуумному состоянию соответствует окружность
радиуса R (см. рис. 3.2, б) и происходит спонтанное нарушение
симметрии. Выбирая в качестве вакуумного состояния точку (3.2.7)
и подставляя (3.2.8) в (3.3.1), находим
-2\(Ф, Д) (Ф1, ф2, Вм) = —+
+ у д|лфАФ1—/пвср? + 4 дцф8дцф2 +	Вцдцфг + 2h (3.3.3)
где —лагранжиан взаимодействия полей Вц(х), Ф1 (х), ф2(х):
*= gBp. (фЛф8—Ф Д Ф1) +	Bjtoj +
+ 4" Вц (Ф1 + Ф’) + -7-—14 f (ф* + Фа + 2Ф1Фа) — 4 т	(Ф1+Ф?) фр
Лагранжиан (3.3.3) по-прежнему инвариантен, но только относи-
тельно других калибровочных преобразований, которые получают
подстановкой (3.2.8) в (3.3.2):
Ф1 (х) -> ф; (х) = [ф! (x)+2m/|/7]cos ge (х) + ф2 (х) sin ge (х) -у=- <
Фа (х) —► фа (х) = ф2 (х) cos ge (х)—[ф1 (х) + 2m/K7]sin ge (х), (3.3.4)
Вц (х) Вц (х) = Вц (х) + <5це (х).
Замечательным свойством лагранжиана (3.3.3) является то, что
в нем появилась массивная векторная частица. Ввести прямо в лаг-
ранжиан (3.3.1) член, пропорциональный ВцВц, нельзя, так как он
не инвариантен относительно преобразований (3.3.2). Однако за счет
нарушения инвариантности вакуумного состояния появилось отлич-
ное от нуля вакуумное среднее (3.2.7), которое привело в лагран-
жиане (3.3.3) к массивному члену векторного поля. При этом лаг-
ранжиан (3.3.3) остается инвариантным относительно преобразова-
ний (3.3.4).
Другим следствием спонтанного нарушения симметрии, как и
следовало ожидать, является возникновение в лагранжиане безмас-
сового вещественного поля ф2(х) (голдстоуна).
Свободный лагранжиан (3.3.3) недиагонален, поскольку он со-
держит слагаемое (2т^/К/)5Дф2, представляющее собой произ-
ведение двух различных полей. Для определения спектра масс диа-
41
гонализуем свободный лагранжиан в (3.3.3). Для этого произведем
следующее преобразование поля:
Вц(х)«=Сц(х)—рЗцф,(х),	(3.3.5)
где Р—неизвестный параметр. Чтобы его определить, подставим
(3.3.5) в (3.3.3) и приравняем нулю коэффициент при Сцдцф8; в ре-
зультате получим
Вц (х) = С„.(х)-
С учетом этой формулы лагранжиан (3.3.3) перепишем в виде?
^в=4(аА-(^Фх)
(3.3.6)
где —лагранжиан взаимодействия полей С^х), ^(х), фа(х).
В свободном лагранжиане в (3.3 6) остались лишь две массив-
ные частицы—векторная С^(х) с массой 2§т/У f и вещественная
скалярная cpj (х) е массой У2 т. Для устранения голдстоунов из
лагранжиана (3.3.6) необходимо преобразовать наряду сполем (х)
также поля фг(х) и ф2(х). Эта операция эквивалентна выбору калиб-
ровки фа (х) = 0. После этого лагранжиан (3 3.6) становится калиб-
ровочно неинвариантным. Следовательно, после спонтанного нару-
шения локальной симметрии и выбора калибровки в лагранжиане
остаются лишь физические частицы (в данном случае все массив-
ные), а голдстоуны пропадают.
Как видно, эффект спонтанного нарушения глобальной и локаль-
ной симметрии проявляется по-разному. Первоначально мы имели
комплексное скалярное поле ф(х). В случае спонтанного наруше-
ния глобальной (7г-симметрии вместо комплексного скалярного поля
появляются вещественное скалярное поле ф, (х) и голдстоун ф2 (х).
В случае локальной t/j-симметрии кроме комплексного поля <р (х)
имеется двухкомпонентное векторное безмассовое калибровочное
поле Вц(х). При спонтанном нарушении по-прежнему появляется
вещественное скалярное поле ф! (х), но вторую степень свободы
берет на себя калибровочное поле, превращаясь в массивный век-
торный бозон, а голдстоуны фа (х) вообще исчезают. Происходит
как бы обмен нефизического голдстоуновского бозона на физическое
состояние векторного бозона с продольной поляризацией. Это заме-
чательное свойство калибровочных полей называют механизмом
Хиггса, а скалярные частицы, описываемые полями ф,(х), — хигг-
совскими бозонами.
Неабелева группа. Рассмотрим модель, описываемую лагранжианом
L — (дцфв) (d/p°) + т«фвфа — (фаф°)8.	(3.3.7)
Здесь фа = (фа) — изотопический дублет скалярных полей. Лагран-
жиан (3.3.7) инвариантен относительно глобальной неабелевой группы
42
SUit действующей в изотопическом пространстве. При этом функ-
ции Фа (х) преобразуются следующим образом:
бср“ = —1- g&k (ik)ab <рь, бфв = у gsk<pb (%к)Ьа.	(3.3.8)
Предположим, что модель инвариантна относительно локальной
группы SU2. Тогда локально инвариантный лагранжиан, если учесть
формулы § 2.4, запишем так:
+ (дцфа—£ФЬ (tk)ba Ак^ х
X (<W + jg (Ъ)аьФ6Л*) + т2ф°фа -4 (ФаФа)2. (3.3.9)
Система обладает бесконечным числом вакуумных состояний.
Выберем среднее вакуумное значение функции фа (х) в виде
Ф?(х) = ^(5)	(З.З.Ю)
и введем новые вещественные скалярные поля о(х) и 0*(х) (где
Л=1, 2, 3); тогда
^ = -7т(ту+а+^)(?)>
;« = у=.(0,1)^+о-i©4).	(3.3.11)
Подставляя эти выражения в (3.3.9), получаем лагранжиан
содержащий триплет голдстоуновских частиц 0*(х):
1	А&Ак +1 диод^-
- т2аа +1 du0*du0* + дц0М* + J’,,
где .S’,—лагранжиан взаимодействия полей Лц(х), о(х), 0*(х).
Фиксируя калибровку 0'*(х) = О, при которой голдстоуновские
частицы пропадают, получаем окончательное выражение для лаг-
ранжиана:
А = - J	- dvАЦ)Л + Д* Д* +1	+
(3.3.12)
Этот лагранжиан описывает модель, содержащую триплет вещест-
венных векторных полей Д^(х) с одинаковой массой gm/^f и ска-
лярное вещественное (нейтральное) поле о(х) с массой ]А2т. В ре-
зультате три состояния, соответствующие голдстоунам, перешли
в три продольные компоненты массивных векторных полей и осталось
одно массивное нейтральное скалярное поле.
Подчеркнем, что .S\, %	— эквивалентные лагранжианы;
они описывают одну и ту же физическую систему. Лагранжиан
43
инвариантен относительно обычного калибровочного преобразования,
3? г—относительно несколько более сложных преобразований, по-
добных (3.3.4),	—не инвариантен относительно калибровочных
преобразований, он получается из Зг, если в последнем учесть
выбранную калибровку.
§ 3.4. ОСТАТОЧНАЯ СИММЕТРИЯ
Лагранжиан (3.3.7) инвариантен не только относительно гло-
бальной группы SUit но и относительно глобальной группы Uu
т. е. (3.3.7) инвариантен относительно глобальной группы SUtx
Последняя преобразует функции срв (х) следующим образом:
<Р° — (<Р°)' = exp (— х/2	—1/2 if 484) ф°,
Ф°—* (фву-ехр^/,	+ х/2 if484) ср°, 6=1, 2, 3.	(3.4.1)
Локализуем группу SUt'x,Ul. Инвариантный относительно нее
лагранжиан с учетом формул § 2.3, 2.4 запишем в виде
& 1 =--*/	Х/ nvB uv +
+ (M“—x/2 if<p‘	ДД — 1/2if1^°BM) x
X (дц<р° + x/2 if (Tft)a b<pM£ + x/2 ifi<PeBM) +
+ mV<p“ —1/4/ (tVT-	(3 4.2)
Зафиксируем среднее вакуумное значение функции <р° (х) в виде
(3.3.10), введем новые поля а(х) и @А(х), которые связаны с полями
<р®(х) соотношением (3.3.11). Подстановка (3.3.11) в (3.4.2) приво-
дит к лагранжиану содержащему триплет голдстоунов 0*(х).
Выбирая калибровку 0'*(х) = О, при которой голдстоуны пропадают,
получаем выражение для лагранжиана
В^-^В^ + 'd^dtla-mW + 3f. (3.4.3)
Свободный лагранжиан 3 й в (3.4.3) недиагонален по полям Вр (х)
и Лц(х), так как он содержит смешанный член ВцЛц. Чтобы ди-
агонализовать 3 z в (3.4.3), введем новые поля:
=	(Д	= -yt— (Лц + Мц),	(3.4.4)
Zu — Л^соэО — BuSinO; Ли= Лц sin9 + Bucos9,	(3.4.5)
где 9 — неизвестный параметр. Из (3.4.4) и (3.4.5) следует, что
1	*	;	*
л^-р^и+яи
Л^ = Zp, cos 9 4- Лц31п9, Bu = Лцсоз9 —ZuSin9. (3.4.6)
44
Тогда слагаемые в (3.4.3), содержащие функции Вц(х) и ЛЦх),
принимают вид
у[з лз । dm2 D о ggi«2 р Д3
2^	I 2f	f
= ~~ {Z(iZu (Vjg2 cos2 о + 1l2gl sin2 0 + ggx cos 0 sin 0) +
+ ЛцДц 0/a g2sin2 0 +l/t g[ cos2 0—ggx cos 0 sin 0) +
+ ^p-Zg [l/2 (g2 — gT) sin 20 — ggx cos 20]}.	(3.4.7)
Подберем параметр 0 так, чтобы коэффициент при A^Z^ обра-
щался в нуль:
х/2 (g2—g?) sin 20 — ggx cos 20 = 0.
Это дает	________ _______________
cos0x=g/Kg* + g?, sin0 = g1/Kg2+^.	(3.4.8)
Как видно, в рассматриваемом случае физический смысл имеют
не поля и Л£, а их комбинации (3.4.4) и (3.4.5). Угол 0 назы-
вают углом смешивания.
Подстановка (3.4.6), (3.4.7) и (3.4.8) в (3.4.3) приводит к выра-
жению для лагранжиана с диагонализованным J?o:
-у (дЖ-дЖ)
-1 (^Zv-ЗД (dwZv-5vZu)	Z^-
— J (<Mv—Mn) (<Mv—A A) + у д^д^—т^с + &r.
(3.4.9)
Этот лагранжиан содержит заряженное поле (х) с массой gmlV f,
вещественное векторное поле Z^tx) с массой m K(g2 + gijlf, безмас-
совое вещественное векторное поле Лц(х), вещественное скалярное
поле о(х) с массой |/~2/n, а также члены взаимодействия этих по-
лей. Следовательно, в случае St/2x С\-инвариантности при выбран-
ном способе спонтанного нарушения симметрии только три из четы-
рех калибровочных полей приобрели массу.
Наличие безмассовой частицы объясняется тем, что вакуумное
состояние (3.3.10) остается инвариантным относительно новой груп-
пы U'x с генератором —I -Д,- (1 -f- т9):
ф? (х) —> <pg' (х) = ф“ (х) — i-y- (1 + т3) ф£ (х) 8' = ф“ (х),
где g' = gxgV g2 + gt
При этом поля Лц (х), 2ц(х), 1Гм(х) и о(х) преобразуются отно-
сительно группы Ui так:	_____
Лц (х) -> Лд (х) = Лц (х) + - 8~^ё1 д^' (х),
№ц(х) —> W7.'1(x) =	(%) — i^e' (х) 1Рц(х),	(3.4.10)
Z|* (х) > Zu (х) = Z^ (х), о (х) »• о (х) = о (х).
45
С помощью этих соотношений можно убедиться, что лагранжиан
(3.4.9) инвариантен относительно группы Учтем (3.4.10), а так-
же то, что лагранжиан поля 4ц(х), входящий в (3.4.9), совпадает
со свободным лагранжианом электромагнитного поля, тогда поле
Лд(л;) можно отождествить с электромагнитным полем.
Как видно, в рассмотренной модели выбранное вакуумное состоя-
ние (3.3.10) спонтанно нарушенной симметрии остается инвариант-
ным относительно группы Лагранжиан, получаемый после пере-
хода к новым полям (3.3.11) и устранения голдстоунов (или фикси-
рования калибровки), также инвариантен относительно той же под-
группы U'r. Такую сохранившуюся инвариантность лагранжиана
называют остаточной симметрией.
Остаточной симметрией могут обладать модели, инвариантные
относительно других групп. В общем случае вид остаточной сим-
метрии определяется числом мультиплетов хиггсовских скалярных
полей и трансформационными свойствами этих мультиплетов (век-
торные, тензорные) относительно группы исходной симметрии, при-
чем число генераторов группы остаточной симметрии равно числу
калибровочных полей, которые остаются безмассовыми.
ЧАСТЬ 11
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
Существуют различные формулировки квантовой теории поля.
Они отличаются формой записи основной величины — амплитуды пе-
рехода. В наиболее часто используемом операторном подходе ампли-
туда перехода представляется в виде среднего по вакууму от про-
изведения операторов рождения и уничтожения частиц; операторы
удовлетворяют определенным коммутационным соотношениям (см.
§ 1.1). В другом подходе амплитуда перехода записывается в виде
континуального интеграла по полям.
При изучении калибровочных полей формализм континуального
интегрирования оказался более удобным. В этой части мы изложим
квантовую теорию калибровочных полей, а также общий метод по-
строения ковариантной теории возмущений в рамках формализма
континуального интегрирования. С помощью общего метода постро-
им ковариантную теорию возмущений для двух конкретных моделей.
Глава 4
КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ И АМПЛИТУДА ПЕРЕХОДА
В этой главе мы расскажем о континуальном интеграле и запи-
шем с его помощью выражения для амплитуды перехода вакуум —
вакуум. Мы сначала рассмотрим поля без связей, а затем со связями;
к последним относятся калибровочные поля.
§ 4.1. ПОЛЯ БЕЗ СВЯЗЕЙ
Система с одной степенью свободы. Рассмотрим классическую
систему с одной степенью свободы. Такая система характеризуется
каноническими координатой q и импульсом р, а ее динамика опи-
сывается гамильтонианом Н (р, q)>
Переход к квантовой механике сводится к замене величин q
и р соответствующими операторами q, р, а функции Н (р, q)— опе-
ратором Н (р, q). Так как операторы р, q не коммутируют, то на-
до определить правило их упорядочения. Формальные рассуждения,
которые используются при получении континуального интеграла,
не зависят от конкретного выбора упорядочения. Поэтому мы будем
считать для определенности, что все операторы q стоят слева от
операторов р.
47
Эволюция системы определяется уравнением Шредингера:
i =Н (р, q)ty(x, t).
(4.1.1)
Формальное решение этого уравнения можно записать в виде
гр(Г) = #(*",	(4.1.2)
где 0 (t\ tf)—оператор эволюции, причем
£>(Г, Г) = exp [— i Н (р, £)(/" — /')].	(4.1.3)
Амплитуда перехода системы из состояния | q', t'> в состояние
|7", /"> определяется, согласно (4.1.3), следующим образом:
<q"\U(tf\ t')\q'>^<qff\exp[-iH(ft-tf)]\qf>^<qft, t" | qf, f>.
(4.1.4)
Покажем, что эту амплитуду можно представить в другой, экви-
валентной форме— в виде континуального интеграла по траекто-
риям.
Идея такого подхода сводится к следующему. Пусть в момент
времени /' система имела координату q‘, а в момент времени Г —
tit	t
4.1. Возможные траектории системы: а—классической,
б — г—квантовой
координату q\ Если бы система была классической, то ее коорди-
ната qt в фиксированный момент времени tt была бы строго опре-
делена (рис. 4.1, а). Квантово-механическая система может находить-
ся в фиксированный момент t{ с различной степенью вероятности
в точке с любой координатой q{ (рис. 4.1, б). Воспользуемся тем,
что сумма амплитуд переходов по всем промежуточным состояниям
qt для фиксированного момента времени равна единице:
2 I Яь | — 1.
С учетом этого соотношения формула (4.1.4) запишется так:
<<?". t"\q', О =	М<7'> *'>•
"i
(4.1.5)
48
Так как координата qt может принимать любое значение, то сум-
мирование по в (4.1.5) можно заменить интегрированием:
<<Д t"\q', dqt<_q", t"\qh tt><q{, tt\q', t’>.	(4.1.6)
Разобьем интервал времени (Г, /') на N равных промежутков
tlt t2, , tfj-i, t" (рис. 4.1, в), где t{+1 — =	— f)/N, i=Q,
1, 2, Af—1,	= tN = t".
Тогда, по аналогии c (4.1.6), амплитуда запишется в виде ко-
нечномерного интеграла:
<q", t"\q', f>= $ dft $ d<?2 • • • $ d^.i <<?", t“ | qN-i,
M<7i> *iX<h. M?'» *’>•	(41-7)
Приняв во внимание (4.1.4), перепишем (4.1.7) так:
<q", t"\q’, /'>=$d<71---$d<7.v_i<<7"|exp[—i/7(/" — /1V_l)]|<7A,_i>---
•••«hl exp [— iH (Z, — f)] | />.	(4.1.8)
Тем самым мы учитываем в явном виде эволюцию системы во
времени. Вычислить интеграл (4.1.8) мы не можем. Чтобы это стало
возможным, предположим, что промежутки времени /<+1 —tt малы.
Тогда экспоненту можно разложить в ряд по /ж—1{:
exp {— ifi (/f+1 — Ч)} = 1 — \Н (ti+1 — /,)Н-,
а вместо (4.1.8) получить
<?"।	“ $ d<7i • • • $ d<?w_i <q” | [1 — ifi (t"—t/j-i)] | t/N-i > • • •
— >#(G—OH/>-
Матричный элемент оператора fi (р, q) вычисляется. Действи-
тельно, по определению, с учетом принятого нами упорядочения
=	ql+1)H (q,~ 1^-)ф(<?; ^),
где тр (<?; q{)—собственные функции оператора координаты q.
В координатном представлении физическая величина изобража-
ется диагональной матрицей, т. е. -ф(</; 7/) = 6(<7—dp X
X exp [— i (q{—q)p]; поэтому
«7<+11Й19(> = J dq dp d~p в"* H ( q, -i.
Принимая во внимание, что
й( - i». ц -1	-
49
находим
= JeiW;+1	qi)-^-.	(4.1.8')
Как видно, матричный элемент оператора Н (р, q) выражается
через классическую функцию Гамильтона Н(р, q). На этом
этапе мы избавляемся от операторных величин р(, qt и переходим
к классическим переменным р{, qt. При получении выражения (4.1.8')
мы учли принятое нами упорядочение (qt стоят слева от р{). Если
выбрать другое упорядочение, то для (4.1.8'), вообще говоря, полу-
чится иное выражение, т .е. различные упорядочения приводят к
разным выражениям для амплитуд перехода.
Используя формулу (4.1.8'), приходим к выражению для ампли-
туды, содержащему интегрирование по обеим классическим пере-
менным pi, qt:
<q", t"\q', t'y =
= jdft- • .J d^-i J exp [i (7" — qN~i) PN—iH (pN, qN) (Г—^_0]x
x^~- '• $ехр[1(дг—д')рг—1Н(рг, 71)(^ —f)|]-^==
= СII dqi	.2 [p/(Q/—qj-i)—н(pf, q^it,—^_i)]k
•J i sx 1	I — 1	I / " I	J
(4.1.9)
где tN = t\ qN = q\ qQ = q'.
Перейдем к пределу W —>oo, t}-—Тогда число перемен-
ных интегрирования стремится к бесконечности и можно считать,
что интегрирование производится по значениям функций р(/), q(t)
при всех временах t, лежащих в интервале (Г, Г), т. е. интегри-
рование производится по всем возможным траекториям (рис. 4.1,г).
При этом на функцию q(t) наложено следующее граничное условие:
q(tf)^q\ q(t")~qf',	(4.1.10)
Следовательно, в пределе амплитуда перехода из состояния
\qr, tf> в состояние <q,r, t"\ запишется в виде следующего беско-
нечномерного интеграла:
<<Д t"\q', /'>= lim С П d<7zII-^Гх
N~>oo J (=1 I— 1 z*ri
X exp
y-qj-i
7
н (Рл <Jt)\ (h—=
= J П (° exp J i J At [pq — H (p, 7)] j>.
i	'	J
(4.1.11)
Этот интеграл называют континуальным (или интегралом по тра-
екториям, или функциональным интегралом). Чтобы подчеркнуть,
50
что интегрирование производится по функциям, а не по перемен-
ным, мы пишем	а не d/?(/). Если принять во внимание
формулы (1.1.8) и (1.1.17), то искомое выражение для амплитуды
перехода (4.1.4) в виде континуального интеграла окончательно
запишется так:
<7", t" | q', t'> = Jn	exp [iZ (f, t')],	(4.1.12)
где / (/", /')— классическое действие, т. e. континуальный интеграл
является функциональным интегралом по всем возможным траекто-
риям в фазовом пространстве (р, q) от функционала классического
действия с граничными условиями (4.1.10). Выражение
7 2л
называют мерой интегрирования.
Как видно, к континуальному интегралу мы пришли из-за
того, что ввели бесконечно большое число промежуточных времен
tt и, с одной стороны, учли все возможные значения координат qt
в каждый момент времени а с другой — при описании эволюции
системы во времени избавились от операторных величин, заменив
их классическими. Так квантово-механическая амплитуда перехода
оказалась выраженной через классические величины, правда, ценою
введения бесконечномерного интегрирования.
Вероятность перехода Р системы определяется квадратом модуля
амплитуды:
P = \<q", ОГ
Сделаем некоторые замечания, касающиеся континуального ин-
теграла.
1.	Последовательные переходы через все допустимые промежу-
точные состояния характеризуются амплитудами вероятности, а не
самими вероятностями. Это приводит к интерференционным эффек-
там, характерным для квантовой теории. Этот факт в принципе не
позволяет свести квантовую механику к какой-либо классической
статистической механике, хотя чисто внешне амплитуда перехода
(4 1.11) выражается через классические величины.
2.	Рассмотрим классический предел (постоянная Планка Д—>0)
амплитуды (4.1.12), когда достаточно учитывать лишь классические
траектории. В классическом пределе (1/А) / (/", f )^> 1, т. е. действие
/ велико по сравнению с А. Если траектория не является решением
классического уравнения движения, то небольшое изменение такой
траектории приведет к очень большому изменению отношения I/ft
в формуле (4.1.12) и быстрой осцилляции амплитуды. В результате
вклады всех таких траекторий погасят друг друга и эти траекто-
рии можно не учитывать. Однако для траектории, определяемой
классическим уравнением движения, действие экстремально (67 = 0)
и малые отклонения от этой траектории не меняют значения 7. По-
этому вклады в амплитуду траекторий, близких к классическим,
5!
взаимно не уничтожаются, так как они близки по фазе, которая
равна I^lK. Следовательно, в классическом пределе основной вклад
дает классическая траектория.
Учет малых флуктуаций вокруг классической траектории приво-
дит к квазиклассическому приближению, для которого действие пред-
ставляется в виде
/ = /кл + ДЛ
где Л/ учитывает вклад отклонений от классической траектории.
3.	Общие методы вычисления континуальных интегралов отсут-
ствуют. Значение континуального интеграла зависит от способа
упорядочения операторов в (4.1.1): при разных упорядочениях зна-
чения континуальных интегралов различны. Не ясно также, какие
ограничения надо наложить на класс функционалов и на простран-
ство функций, чтобы обеспечить сходимость предельного перехода.
4.	Континуальные интегралы, которые содержат гамильтонианы,
зависящие от импульса и координаты квадратично, называют гаус-
совскими. В гауссовских интегралах переменные не перепутываются.
Кроме того, гауссовские интегралы можно вычислить точно. Следо-
вательно, для гауссовских интегралов проблемы упорядочения и
существования предела отсутствуют.
В простейшем случае квадратичного по импульсу гамильтониана
+V(q)
получается следующий континуальный интеграл:
<?', ГI?', Г> - j II ехр Ь J [и -v (?) ] ’
Чтобы вычислить этот интеграл, сделаем сдвиг:
Р(0—>p(t) + mq.
Тогда интегрирования по р и q разделяются:
(г •	1
где
Нормировочный множитель N не зависит от qr и q"\ обычно его
включают в определение меры. Если V (q) зависит от q квадратично,
то интеграл по q становится гауссовским и может быть вычислен
в явном виде.
В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с континуальными ин-
тегралами гауссовского типа.
Система с конечным числом степеней свободы. Аналогичным об-
разом можно получить выражение для амплитуды перехода системы
52
с конечным числом степеней свободы:
Qzt •••» l^i» 9а» ••’» 9«’> >*“
= уц ц ®«(0рИ0ехр[и(Л(,я	(4.1.13)
Здесь qt, р{—канонические координаты и импульсы; i = 1, 2 . .., п;
п — число степеней свободы; I (Г, t')—действие системы, зависящее
от р1( .. ., рп, ?!.q„.
Бозонные поля. С точки зрения гамильтоновой динамики, поле
есть система с бесконечным числом степеней свободы, поскольку
поле характеризуется обобщенной координатой и(х) и обобщенным
импульсом л (х) в каждой точке х. Поэтому для получения конти-
нуальных интегралов в случае полей сначала задача сводится к
системе с конечным числом степеней свободы, а затем производится
переход к системе с бесконечным числом степеней свободы.
Начнем с бозонных полей. Рассмотрим для простоты нейт-
ральное скалярное поле, описываемое одной волновой функцией
<р(х). Чтобы свести поле к системе с конечным числом степеней
свободы, возьмем конечный объем V в трехмерном пространстве и
разобьем его на т малых равных кубиков с объемом vm. Аппрокси-
мируем функцию ф (х) за ф (х0, х) внутри каждого кубика vm посто-
янной функцией фт (х0) ss v-1 $ бхф (х0, х) . Функции фт (х0) будем
L»m	J
считать обобщенными координатами поля, а фт (х0) = д<рт (х0)/дх„ —
обобщенными скоростями поля. Пусть Lm — лагранжиан поля внутри
объема vm. Тогда лагранжиан L(x0) поля запишется
по всем Lm:
т
в виде суммы
L (х0) = 2 ояАи(Фт (х0), <ри (*«)).
(4.1.14)
С помощью этого лагранжиана обычным образом определяются
обобщенные импульсы поля, сопряженные обобщенным коорди-
натам
пт (Х0) = ^(^'Ч>т),
и гамильтониан поля
Н = 2	К (Хо) Ф» (Хо) — Lm (Хо)].
т
Согласно (4.1.9) и (4.1,13), выражение для амплитуды в рассмат-
риваемом случае запишется как
l" N - !	N
S- ПП й.ыПП
у, i = 1 т	1*1 т J
Г Л ।	)
Хехр р 2 2 (лт (хоЛ)фя (х0/)—Нп (лЛ (х0/), фт (х0/)) Д/7) к
/ = 1 L т	J f
(4.1.15)
53
Это выражение описывает эволюцию системы из состояния в мо-
мент времени tf в состояние в момент времени Г. Однако, как мы
уже говорили (см. § 1.1), в квантовой теории поля рассматривают
переходы системы из состояния в момент времени t = — оо в состо-
яние в момент времени £ = + оо, Чтобы получить амплитуду такого
перехода, надо в (4.1.15) перейти к пределу / = ±оо. Для этого
подействуем в выражении (4.1.4) оператором Н на функции началь-
ного и конечного состояний, предполагая, что t'< — Т и /" > Т,
где Т — некоторый большой интервал времени. В результате получим,
что временная зависимость амплитуды определяется членами
ехр[ — \En(t" + Г)] и exp [iEn(t'— 71)], где Еп — энергия стационар-
ного состояния системы. В пределе t —> ± оо вклад в амплитуду
дает только переход из основного состояния с минимальной энер-
гией Ео в основное состояние. Роль основного состояния в теории
поля играет физический вакуум. Поэтому при t * ± оо амплитуда
(4.1.15) описывает переход вакуум—вакуум. Учитывая, что при
W —* Л (*)» Фи (*о) —* Ф W.
Ф,« (*«)) —► Н(л (х), ф(х)),
и переходя в (4.1.15) к пределам Г—, со, vm —> О, Г —> оо, t' —оо,
получаем искомое выражение для амплитуды перехода вакуум —
вакуум скалярного поля:
S= $35|х(<р(х), л(х))ехр { i J dx[n (х)ф(х) —Н (л(х),
(4.1.16)
с мерой интегрирования
(<р (х), л (х)) == Нт Д П i drP™W dnm(x0) = П &>Ф(х)
^-►0 Ао ГН	X
1/->00
(4.1.17)
В тех случаях, когда гамильтониан зависит от импульса квад-
ратично, мы приходим к континуальному интегралу гауссовского
типа и его можно переписать в специальной форме—в виде конти-
нуального интеграла по всем полям. Проиллюстрируем это на при-
мере следующего лагранжиана:
А = |(д/р)ВД-^ф2-^-фа.	(4.1.18)
Согласно (1.1.16), (1.1.17), этому лагранжиану соответствуют обоб-
щенные импульсы
лМ=д^Г₽ФМ	(4.1.19)
и гамильтониан
Н (л, ф) = Лф—L ~ у л2 (х) + у (Тф (X))2 + Ф2 (х) + |р Ф3 (X).
(4.1.20)
54
Подстановка (4.1.20) в (4.1.16) дает
МП®Ф«^Х
d X
Xexp(i ^dx [шр—^-л2—y(V<p)2— ^-фа— ff Ф3]}- (4.1.21)
Производя в последнем выражении сдвиг переменной
л (х) —+ л (х) + <р (х)
и учитывая, что якобиан такого преобразования равен единице,
придем к искомому выражению для амплитуды перехода вакуум —
вакуум в виде континуального интеграла по всем полям:
S =*Nf П®ср(х)exp { i dxL(дцф(х), ф(х))У,	(4.1.22)
X
где =	dxn2(x) J — нормировочный множи-
тель; его обычно объединяют с мерой.
Формула (4.1.22) пригодна и для произвольного лагранжиана
самодействия поля <р(х) без производных.
В дальнейшем (см. гл. 5) описанный метод получения выражения
для амплитуды перехода полей используется для нахождения вида
функций Грина, а затем матричных элементов S-матрицы.
Фермионные поля. Тем же способом может быть получено выра-
жение для амплитуды перехода вакуум—вакуум в случае ферми-
онных полей в виде континуального интеграла по всем полям.
Например, для свободного фермионного поля Дирака, описываемого
лагранжианом (1.1.13), имеем
S — N	®ф(х)^>ф(х)ехр{1 £ dx[i ф(х)уцдцф(х)—Л4ф(х)ф(х)]}.
(4.1.22')
Однако в отличие от бозонных полей теперь интегрирование
прбизводится по антикоммутирующим независимым пере-
менным—фермионным полям ф(х) и ф(х). Действия с антикомму-
тирующими переменными обладают некоторыми специфическими
особенностями. Рассмотрим для простоты систему, характеризуемую
двумя антикоммутирующими переменными тц и т]2; обобщение на
случай большего числа переменных (т)х, т]2, г]3, ...) и различных на-
боров переменных (t]z, аг) производится очевидным образом. Пере-
менные тц и т]а подчиняются следующим перестановочным соотно-
шениям!
hi. п2]+ = ПЛ + ПЛ = 0-	(4.1.23)
Отсюда следует, что
т)2 = л| = 0.	(4.1.24)
По этой причине функция от переменных г]г, т)2 может быть только
конечным, линейным по 1), и т]2 полиномом:
/ Л> Ча) + аЛ + ИЛ + «12ЧЛ-	(4-1-25)
55
Производная от линейной функции т]а) по переменным и
т]8 определяется формулами
(4.1.26)
Например,	^“«х + ^аИа- По определению, производные по
г)] и г), антикоммутируют:
ВД---------ВД?	(4-L27>
Кроме того,
Г 5	1 д . д п , ,
-—, г| I	-—yi -L-n -—=s 0, к^т.
Введем дифференциалы переменных t)i и Ла» которые подчиня-
ются коммутационным соотношениям
[<Ч. <Н,]+ « dt]* dnra + dr)m dnft = 0.	(4.1.28)
Совместимое с (4.1.28) определение интеграла по переменным
т]Л выглядит следующим несколько необычным образом:
Jd^ = O,	(4.1.29)
5 dT)»n* = 8ы-	(4.1.30)
С помощью этих определений получим, например,
$ dT]J (Т)1. Па) = 5 dTli (а0 +	+ Зда + «хаПхИа) в + «гаПа-
Наконец, правило замены переменных в интегралах по анти-
коммутирующим переменным выглядит так:
П( = «;/?/, П drii = (deta)-1 П d^,	(4.1.31)
т. е. переменные и дифференциалы преобразуются взаимно обрат-
ными матрицами. Заменим, например, переменные в интеграле
$ dib dHaHilla-
Подставляя сюда (4.1.31), имеем
$ dr]! diiaHiHa = det (a) det [(а)"1] $ d^d^g, = $ d^d^g^j.
§ 4.2.	поля со связями
Системы с конечным числом степеней свободы. Рассмотрим сис-
тему с п степенями свободы, характеризуемую каноническими ко-
ординатами qt и импульсами р{ (где i— 1, 2, ..., п). Пусть на сис-
тему наложено т связей, т. е. переменные р{, q{ удовлетворяют т
56
уравнениям:
фв(Р/, <7г) = 0, а= 1, 2, т.	(4.2.1)
Наша задача — найти выражение для матричного элемента опера-
тора эволюции в виде континуального интеграла в случае наличия
связей, т. е. в случае обобщенной гамильтоновой системы. Очевидно,
что для системы со связями выражение (4.1.13) непригодно, так
как в него входят только независимые канонические переменные pt, qt.
Выясним, как надо модифицировать выражение (4.1.13) в случае
наличия связей. Наиболее прямой путь—исключить зависимые пе-
ременные. Для этого надо решить уравнения связей (4.2.1). На
практике решение этой задачи может оказаться трудным, а иногда
и невозможным. Поэтому был разработан формализм, не требую-
щий явного решения уравнений связи. Его идея сводится к сле-
дующему. Сначала получают выражение для матричного элемента
оператора эволюции в виде континуального интеграла, в которое
входят только независимые переменные. Однако это выражение яв-
ляется лишь промежуточным результатом. Далее оно сводится к
обычному континуальному интегрированию по всем каноническим
переменным, а связи переходят в виде дополнительных функцио-
нальных множителей в меру интегрирования. Тем самым отпадает
необходимость решать уравнения связей.
Первичные и вторичные связи. Будем характеризовать систему
гамильтонианом Н (pb qt). Учтем связи с помощью лагранжевых
множителей \а. Тогда канонические уравнения движения получа-
ются варьированием действия (по переменным ph q^
J dt [PiQi—H (Pi> qp- S KwAPi’ 71)]	(4.2.2)
1
и запишутся так:
 -	4- V X дфд • дн у . 5<pa
qi ~ dpt + a dpi ’ pl dqt	<4-2-3)
Для произвольной функции f (pt, qt) переменных qit pt имеем
m
f(Pi’ =	+	=	+	f},	(4.2.4)
a = 1
где {/,	= А-^А^_скобка Пуассона.
Согласно (4.2.3) уравнения движения содержат связи q>a(pt, qt).
Чтобы задача была непротиворечивой, должны выполняться опре-
деленные условия совместности уравнений движения (4.2.3) и свя-
зей (4.2.1). Для нахождения этих условий будем исходить из того,
что связи (4.2.1) не изменяются со временем: Фв(рг, б?г) == 0. По-
лагая в (4.2.4) f(pt, дР = ц>а(р{, 7(), приходим к условиям непроти-
57
воречивостш
т
{Я, фв}+ 2 Ч {Фь> Фа} = 0.	(4.2.5)
Ь= 1
При этом имеется в виду, что здесь и далее мы полагаем <pa (pit q{) =*
= 0 после вычисления скобок Пуассона.
По отношению к условиям (4.2.5) возможны три случая.
1.	Условия (4.2.5) заведомо выполняются, если обе скобки Пуас-
сона порознь обращаются в нуль. Тогда с учетом (4.2.1) условия
непротиворечивости принимают вид
{фа Фь} = 2 Cabccpc, {Н, <ра} = 2 саЬсрь.	(4.2.6)
е=1	6=1
2.	Если скобка Пуассона во втором слагаемом в (4.2.5) по-преж-
нему обращается при учете (4.2.1) в нуль, а в первом—отлична
от нуля: {Н, ф0}=Ф1а,—т0 Для выполнения условий (4.2.5) необ-
ходимо обратить Ф1а в нуль. Так как Ф1а не зависит от ка, то в
данном случае условия непротиворечивости запишем так!
Ф1в(Рр ^) = 0.	(4.2.7)
Эти условия представляют собой дополнительные связи на пере-
менные pt, qt. Связи, определяемые (4.2.1), Дирак назвал первич-
ными, а (4.2.7)—вторичными. По определению, вторичные связи
не могут быть сведены к первичным.
Вторичные связи Ф1а(р0 <?/), в свою очередь, должны удовлет-
ворять условию непротиворечивости, аналогичному (4.2.5):
т'
b= 1
Это условие надо проанализировать таким же путем, как мы ис-
следовали (4.2.5). Если {Н, Ф1а} отлично от нуля: {Н, Ф1а} = Ф2а,—
то надо ввести добавочные вторичные связи Ф2а(р(, qt) = Q. В ре-
зультате может получиться несколько вторичных связей типа (4.2.7).
В дальнейшем мы будем рассматривать первичные и вторичные
связи на равных основаниях. В обоих случаях коэффициенты Ха
являются произвольными.
3.	Если обе скобки Пуассона в (4.2.5) отличны от нуля, то ус-
ловие (4.2.5) приводит к системе неоднородных линейных уравне-
ний относительно неизвестных Ха. Общее решение этой системы
уравнений запишем в виде суммы решений Ла(р, q) неоднородной
системы и решений Via(p, q) однородной системы:
Ч = “И 2
Ь
где vb—произвольные коэффициенты.
Если число коэффициентов vb меньше числа %а, то часть коэф-
фициентов Ка не будет произвольной. Однако далее нам такой слу-
чай не встретится.
58
Дополнительные условия. Рассмотрим подробнее случай, когда
обе скобки Пуассона в (4.2.5) обращаются в нуль и все функции
произвольны. Наличие произвольных функций Ха приводит к
тому, что динамические переменные f(pt, qt\ t) в любой момент
времени не определяются однозначно их начальными значениями.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим произвольную динамическую
переменную f(p{, qt-, t) в момент времени t. Через небольшой про-
межуток времени 8t ее значение
f(Pb Яь t + 8t) = f(pt, qt\ t) + &tf(Pi, q{', t),
или, если учесть (4.2.4),
Нрь Яь t + ^ = f(Pb Яь + f(pt, qt-, 0} +
tn
+st 2 Мч>в» f(Pi яь 0}-
Возьмем для произвольной функции Хо другое значение и выч-
тем полученный результат из последнего выражения; это дает
т
kf(pb яь <4-во=б/ 2 (Ч—ха){фв» f(Pb яе, ОЬ
as= 1
Таким образом, если изменять функции Ха, то данному началь-
ному значению динамической переменной f(plt q{-, t) соответствует
целая совокупность ее значений в последующий фиксированный
момент времени. Эта совокупность характеризует одно и то же фи-
зическое состояние, описывается набором переменных р{, qt и, сле-
довательно, не должно зависеть от Хо. Совокупность значений ди-
намической переменной f (pt, q{‘, t) для всех возможных функций \а
в некоторый фиксированный момент времени называют орбитой.
Переход ко всем временам ведет к набору орбит. Так как все зна-
чения данной динамической переменной на орбите физически экви-
валентны, то нет необходимости рассматривать всю орбиту, доста-
точно взять на ней одну точку (одного представителя), т. е. доста-
точно зафиксировать на каждой орбите одно значение ка. Чтобы
этого добиться, наложим на систему дополнительныеусловия:
Хь(Ро Яг) = 0.	(4.2.8)
Для обеспечения однозначного выбора	дополнительные
условия (4.2.8) должны удовлетворять определенным требованиям.
Чтобы определить эти требования, подставим функции %ь(рг, <7? в
(4.2.4). В результате придем к условию непротиворечивости, ана-
логичному (4.2.5):
т
=	Хи}4" 2 Хь} = 0.
7” J
Эти соотношения позволяют зафиксировать значения Ха. Для
этого надо в соответствии с третьим случаем положить {<рв, %ь} #= 0,
59
что приведет к системе уравнений для Ха. Система однозначно раз-
решима относительно !ка в том случае, когда:
а)	число связей <ра равно числу дополнительных условий
(т. е. а = Ь, что приводит к квадратной матрице по индексам а и Ь);
б)	выполняется соотношение (условие разрешимости системы
уравнений)
det{cpa,	a = b==l, 2.....т.	(4.2.9)
Кроме того, удобно выбрать функции %ь(рр qt) такими, чтобы
{Хь> Хо} = °-	(4.2.10)
В дальнейшем мы будем рассматривать системы, на которые
наложено т связей типа (4.2.1) и т дополнительных условий (4.2.8).
В этом случае переменные удовлетворяют 2т условиям и опреде-
лены на подпространстве Г* размерности 2(п—т) пространства Г
размерности 2п.
Динамика в пространстве Г*. Покажем, что в пространстве Г*
можно ввести 2(п—т) независимых канонических переменных р*ь,
q*b (где Ь — т+1, .... п), которые удовлетворяют уравнениям Га-
мильтона с гамильтонианом Н*, полученным из гамильтониана Н
при учете (4.2.1) и (4.2.8). Перейдем сначала в пространстве Г от
канонических переменных pt, qt к новым каноническим переменным
Pt, Q{ (где i=l, 2, ..., п). Вследствие (4.2.10) можно выбрать в
качестве т новых импульсов функции %а (pt, qi), т. е. хв = ?а (где
с=1, 2, .... т), и пусть Qa—сопряженные им канонические коор-
динаты. Остальные канонические координаты и импульсы обозначим
соответственно Рь = Рь и О.ъ — Я*ъ (где й = /п+1, .... п).
Переменные Pt, Q{ — канонические; поэтому, по определению,
они должны удовлетворять условиям
{<2о <М„<, = 0, {Pt, P^p,q = o, {Pt, Qk}P,<,Stk. (4.2.11)
В новых переменных Pt, Qt для скобки Пуассона {%а, <ра} имеем
(Ха> ФЛ, ? = {Ха. ФсЬ>,<? = Рв>
а, с= 1, ..., т,
и поэтому условие (4.2.9) принимает вид
detQ) 0.	(4.2.12)
Иначе говоря, уравнения связей (4.2.1) можно решить относительно
координат Qa, т. е. Qe = Qe(p£, qb)', напомним, что на подпростран-
стве Г* импульсы Ра = 0.
Получим теперь уравнения Гамильтона для системы Г*. Гамиль-
тониан этой системы
Н*(Рь> Ць) — Н (Pi> ?/)|фв=о, хо=о-	(4.2.13)
60
Уравнения движения (4.2.3) в новых канонических переменных
Ра, Qa> Pt» Яь запишем в следующей форме:
•. дН (Ра, Qa, рь, qb)
Яь =------------------
dp*
_У Xa^P«_
a dtfb
dH
a
дН
Pb д *
dqb
Ра = Ха =
+• У Ха	t (4.2.14)
дрь
дН , V X д(Рс
дРа с С &Ра ’
dQa
Qa
Как мы уже говорили, выбор дополнительных условий %а = 0 ве-
дет к устранению произвола, обусловленного функциями Ка. Вслед-
ствие этого последнее уравнение (4.2.14) позволяет выразить функ-
ции Ха через канонические переменные р%, q%.
Далее, согласно (4.2.13), имеем
дН* = дН	дН dQa {р*, 4»)
dq*b dqb dQa (Р*, Ч*) dqb
или, если учесть последнее уравнение (4.2.14) и соотношение
дф°	дсра dQc
dq*b	dQc dq*b
вытекающее из условия сра = О,
дН* __ дН _____________Y1 X dQa _ дН . д(ра
дяь “ V ° dQa ~ а °	*
Сравнивая эту формулу с (4.2.14), получаем
• * дН* (/?*, <?*)
(4.2.15)
dq*b
Аналогичным образом найдем уравнение для q"b. В результате иско-
мые уравнения Гамильтона для системы Г* с 2(п—т} независи-
мыми переменными запишутся в
, дН* (р*, q*)

Таким образом, гамильтонова
на которые наложены т связей
вий (4.2.8), может быть сведена к гамильтоновой системе с 2(п—т)
независимыми переменными p*b, q^.
Амплитуда перехода. Для системы со связями можно также за-
писать амплитуду перехода в виде континуального интеграла. Для
этого надо решить уравнения связей и дополнительных условий
относительно канонических переменных, дополнительных к p*t
виде
• * дН* (p*, q*)
Рь--------d$~
система с 2n переменными ph qh
(4.2.1) и m дополнительных усло-
61
В результате с учетом (4.1.13) получим
«?;...............t"\q'x,
2>p-b(t) SDq’bit)
2л
/ г
ехр< iIсИ
( t’
q'n-
Рь<Гь—Н (Qa (Рь, Чь), я*ь, о. p*b)

(4.2. 6)
Решение уравнения связей является трудоемкой задачей. Однако,
оказывается, ее можно избежать, если перейти в интеграле (4.2.16)
от переменных p*bt qb к прежним переменным ph qt. С этой целью
перепишем (4.2.16) в следующей эквивалентной форме:
Х<71» •••»	( | ?11 •••» ty---
- у ц g^(0 |
xb(Qa—Qa (p»t q*)) exp j i J d/ £ PaQa +
\ V La=1
+ S Pb<fb-ll(Pa, Qa, p*b, q*b)
Учитывая, что
b(Qa-Qa(p*> <?»)) = (det|^б(фЛ
имеем для (4.2.17)
«Г» .... t"\q'lt ..., f> = J П^(Л(0. <МП)Х
(4.2.17)
Xexp
~ m	n
£Р,й + S PWb~H(Pa, Qa, pl, qb)
_ a= 1	be=m + l
(4.2.18)
где мера интегрирования
^(P/(i), Qt(0)= П	П ®Pa(t)0Qa(t)6(Pa)x
bsxm + l	a, I
XS(4>J
Совершим в последней формуле каноническое преобразование от
переменных Pt, Qt к переменным pt, qt. При этом, согласно теореме
Лиувилля, меры TIS)PiS)Qt и TI^Dp^qi инвариантны, а канони-
ческие переменные р{, qt связаны с каноническими переменными
Pi, Qi с помощью производящей функции F (р, q), причем
dF = 2 pt dqt + 2 Q, V>t + (^' - H) dt,
i	i
гд.е	=	= H +	— значения гамильтониана
dqi ’ dPi'	1 dt ’	’
соответственно в переменных Ph Q£ и pit В рассматриваемом
62
случае функция F (р, q) от времени явно не зависит, т. е. Н' = Н.
Поэтому
2 (Wr-Я) (И=2	At+d (F-2 PiQi ),
или после взятия интеграла по I от обеих частей
Подставим эту формулу в (4.2.18). Последнее слагаемое приве-
дет к изменению подынтегрального выражения только на границах
интервала интегрирования, поэтому вынесем это слагаемое из-под
знака интеграла в виде множителя, который опустим, как несу-
щественный (это эквивалентно унитарному преобразованию). Тогда
получаем искомое выражение для амплитуды в виде континуаль-
ного интеграла по переменным ph qi
(4.2.19)
, qn‘, t | qlt ..., qn, t У—
= j П (9 (0. P (0) exp J d^2 Р^1~~н (Pi
с мерой интегрирования
(q (t), p (/)) = JI 6 (Xa) S (<pj det {Xo, <pc} ft
(4.2.20)
Итак, мы нашли выражение для амплитуды в виде континуаль-
ного интеграла, в котором интегрирование производится по всем
каноническим переменным pit qt, а связи перешли в меру интегри-
рования. Тем самым мы избежали необходимости решать уравнения
связи.
Наконец, амплитуду можно представить в виде следующего
континуального интеграла:
• • • > t I  • •» t }***
СП П 6(Z.)det{b,
т	\
PiCfi—H (Pi, qt)—^ MJ -
а=1	/
f-c
X exp 11 \
tn
(4.2.21)
©то вытекает из того, что интеграл по Ха(/), содержащийся в
(4.2.21), совпадает с функцией б (<ра), входящей в (4.2.19).
Электромагнитное поле. Перейдем к системам с бесконечным
числом степеней свободы, на которые наложены связи. Примером
таких систем являются калибровочные поля—электромагнитное
поле, поле Янга—Миллса. Выражения для амплитуды перехода этих
63
полей можно получить тем же способом, который применялся для
полей без связей. Исходным будет выражение для амплитуды в
случае систем с конечным числом степеней свободы. Далее это
выражение обобщается на случай бесконечного числа степеней сво-
боды. Рассмотрим сначала свободное электромагнитное поле.
1.	В качестве независимых переменных можно выбрать либо
поле (х), и тогда лагранжиан электромагнитного поля запи-
шется в виде
(4.2.22)
либо поле Лц(х) и тензор Fliv(x), и тогда лагранжиан выглядит так:
=2%	1/a(^n24v	1/^Ffiv) Fnv	(4.2.23)
Говорят, что в первом случае используется формализм второго
порядка, а во втором—формализм первого порядка. Разумеется, оба
формализма приводят к одному и тому же физическому результату.
Мы будем использовать формализм первого порядка, т. е. лагран-
жиан (4.2.23).
Перейдем в (4.2.23) к трехмерной форме записи, т. е. положим
р, = 0, й; v = 0, /; k, / = 1, 2, 3. Тогда вместо (4.2.23) получим,
опуская полные дивергенции и не выписывая в явном виде зави-
симость от переменных 40 и £0 (возможность сделать последнее
будет видна из дальнейшего),
<?, = ЕкАк-Н(Ек, Ak),	(4.2.24)
где
Н (Ek, Л*) = х/2 (Ek + Gk), Ek = Fk0, Gk — 1lte,ijkFjt, Ak = d0Ak.
Из сравнения (4.2.24) с (1.1.17) следует, что Я (Ек, Ак) является
гамильтонианом, а Ек (х), Ак (х)—канонически сопряженные пере-
менные со скобками Пуассона:
{£ft(x), ДДг/)} = М(х—У)-	(4.2.25)
2.	Роль обобщенной координаты в данном случае играет поле
Дц(х), а импульса Вц(х), согласно (1.1.15),— функция
= F^ (х) = Е^ (х).
Отсюда следует, что Во (х) — Ео (х) = 0. Это первичная связь. Дру-
гие три импульса Вк (х) равны компонентам Ек (х) электрического
поля. Так как
1^<ШЦЕкАк), Е0(х)} =дкЕк,	(4.2.26)
то в соответствии с требованием непротиворечивости вторичной
связью является —0. Вторичная связь удовлетворяет усло-
виям
{дкЕк(х), d{Et (//)} = 0,	(4.2.27)
{$ ЫЦЕк, Ак), аД.(г/)}=0,	(4.2.28)
64
т. е. в данном случае дополнительные вторичные связи отсутствуют.
Следовательно, электромагнитное поле является системой со свя-
зями, причем для него условие Еа (х) = 0 есть первичная связь, а
условие дкЕк{х) — 0—вторичная связь. При этом обе скобки Пуас-
сона в (4.2.5) обращаются в нуль.
3.	Зафиксируем дополнительные условия (4.2.8). Обычно в тео-
рии поля их называют условиями калибровки или просто калибров-
ками. Ситуация с дополнительными условиями в случае полей
аналогична той, которая имеет место для систем с конечным числом
степеней свободы. Бесконечно малые преобразования калибровоч-
ных полей Ар (х) определяются формулой (2.2.7). Конечные преоб-
разования калибровочных полей А^. выглядят так:
Ли (х) —► Л® (х) = со (х) Лц (х) со-1 (х) + со"1 (х) дцсо (х),
где со(х)—элементы калибровочной группы, причем в случае бес-
конечно малых преобразований
со (х) = 1 + ек (х) Т*.	(4.2.28')
Этим преобразованиям в данной точке х соответствует класс
полей, или орбита—совокупность полей Л£“(х), где со(х) пробе-
гает всю калибровочную группу. Калибровочная инвариантность
означает, что поля Л^“(х) и Л{5“'(х) описывают одни и те же фи-
зические состояния. Иначе говоря, одно и то же физическое со-
стояние в данной точке х описывается не одним набором полей
Л{Цх), а целым классом физически эквивалентных наборов Л^“(х).
При практической работе с классами калибровочно эквивалентных
полей достаточно выбрать одного представителя из каждого класса.
Для этого необходимо наложить калибровочные условия. В элект-
родинамике наиболее употребительны следующие калибровки:
dftXft(x) = 0, fe—1, 2, 3 {кулоновская),	(4.2.29)
др.Лу, (х) = 0, р = 0, 1, 2, 3 {лоренцевская),	(4.2.30)
Ло (х) = 0 {гамильтонова). (4.2.31)
Калибровочное условие должно приводить к такой системе уравне-
ний для функций со (х), которая имела бы однозначное решение.
Для этого должны выполняться соотношения, аналогичные (4.2.9).
Наглядно каждую орбиту можно представить в виде линии, все
точки которой физически эквивалентны и переводятся друг в друга
калибровочными преобразованиями, а калибровочное условие—в
виде поверхности, которая должна пересекать по одному разу каж-
дую орбиту (рис. 4.2).
4.	Как мы уже говорили, в рассматриваемом случае число ка-
либровочных условий должно быть равно числу связей. Рассмотрим
сначала связь dkEk — 0. Сопоставим ей кулоновскую калибровку
(4.2.29). С помощью последней можно записать теорию в гамиль-
тоновой форме. Именно в этой форме был сформулирован аппарат
континуального интегрирования. Для кулоновской калибровки усло-
3 № 1034	65
вия (4.2.9) и (4.2.10) выглядят так:
{dkAk(x), Ш)М;	(4.2.32)
{дкЕк(х), d^(-(f/)} = Л1эсб (х—г/),	(4.2.33)
где М9С = &. = дкдк. Этот оператор в теории возмущений обратим и,
следовательно, не имеет нулевых собственных значений, поэтому
,	det [dkEk, <5,Д,}у=0, т. е. в теории воз-
ироиты
мущений калибровка (4.2.29) удовлет-
воряет условию однозначности. Заме-
тим, что в тех случаях, когда теория
возмущений неприменима, единственно-
сти решения может не быть (неоднознач-
ности Грибова).
Аналогичный анализ можно прове-
сти для второй связи Ео = О, если ей
сопоставить калибровку Ло = О.
5. Если учесть связи и выбранную
калибровку, то в соответствии с
4.2. Графическое изображение
орбит и калибровочного условия
(4.2.19), (4.2.20) амплитуда свободного
электромагнитного поля запишется в виде континуального интегра-
ла по каноническим переменным Лй(х), ЕЛ(х), Л0(х), Б0(я) следу-
ющим образом:
S = $ П П ®>Ак (х) ®Ек (х) &>AU (X) S>E0 (х) б (дкАк (х)) б (дкЕк (х)) х
X k
X det Л48С б (До (х)) б (Ев (х)) exp { i J dx [ЕкАк + £0Д0—
~/ЦЕк, Ак, Ео, До)]} .	(4-2.34)
Отсюда перейдем к континуальному интегралу по всем полям Дц(х):
S = II (х) б (дкАк (х)) exp {i j dxJ% (х)}	(4.2.35)
Лагранжиан определяется выражением (4.2.22). Оператор Мэс
не зависит от ЛА(х), и поэтому его детерминант вынесен в норми-
ровочный множитель, который мы опустили.
Подчеркнем, что из-за наличия б(Л0) и 6(£0) в (4.2.34) можно
произвести интегрирование по Ао и EQi т. е, фактически выраже-
ние (4.2.34) от переменных Ло и EQ не зависит. Именно поэтому мы
не выписывали в явном виде зависимость от переменных Ло и Ео
в формуле (4.2.24).
Поле Янга—Миллса. Рассмотрим поле Янга—Миллса.
1.	Лагранжиан поля Янга—Миллса в формализме первого
порядка имеет вид
•2?ум == —f 1т^ (Л^Л™ Л(?Лд) *2" nv,
(4.2.36)
66
ИЛИ в трехмерной форме, если опустить полные дивергенции и не
выписывать в явном виде зависимость от переменных At и Et,
3?YM = EtAt-H(Et, Af),	(4.2.37)
где Н (Ekt, At) = [(Ety + (Gty], Et = F'la, Gt =
Из сравнения (4.2.37) с (1.1.17) следует, что Н (Et, At) является
гамильтонианом, a Ек((х), Ак((х)— канонически сопряженные пере-
менные со скобками Пуассона
{Et(x), A1, (z/)} = Sfe fi{J8 (х—у).
2.	Для калибровочного поля первичная и вторичная связи запи-
шутся в виде
Et (х) = 0, Ск (х) = дгЕк{ (x)—gfktmAllET = 0.
Вторичная связь Ск(х) удовлетворяет условиям, аналогичным (4.2.6)!
{С* (х),С1 (у)} = gfk[m Ст (х) 6 (х — у),	(Et, Gt), С1 (z/)} = О,
(4.2.38)
т. е. у калибровочного поля дополнительные вторичные связи
отсутствуют. При этом обе скобки Пуассона в (4.2.5) обращаются
в нуль.
3.	Для полей Янга — Миллса выбиралось довольно много различ-
ных калибровок; наиболее употребительны из них следующие:
dt Ак (х) = 0 (кулоновская),	(4.2.39)
дцАц(х) = 0 (лоренцевская),	(4.2.40)
«ц^ц(х) = 0 (аксиальная-, Пц—единичный четырехвектор). (4.2.41)
4.	Рассмотрим сначала связь Ск(х) = 0 и сопоставим ей куло-
новскую калибровку (4.2.39). Для нее условия (4.2.9) и (4.2.10)
выглядят так:
{dtAt(x), djA) («/)} = 0, {Ск(х), dlAti(y)} = MkYlc(AT)b(x-y), (4.2.42)
где
МН (АТ) = Мк1 + gfklm АТд{.	(4.2.43)
Этот оператор обратим (в теории возмущений), поэтому det Мус =/=0,
т. е. условие однозначности калибровки выполнено.
Аналогичный анализ можно провести для связи Е%(х) = 0, если
ей сопоставить калибровку А£(х) = 0.
5.	Учитывая (4.2.38), (4.2.42) и (4.2.19), получаем для амплитуды
перехода поля Янга—Миллса в форме континуального интеграла
по каноническим переменным
S == $ П At (х) S)Et (х) 3>А$ (X) ®Et (x) det (A?) X
' x 6 (d{At (X)) 6 (Ck (x)) S (Ak0 (X)) 6 (Et (x)) x
X exp {i $ dx[EtAt + EtAt — H(Ekt, At, Ea, A*)]} , (4.2.44)
3*
67
или в форме континуального интеграла по всем полям
S = t П (х) 6 (dtAt (х)) det MU (Af) exp / i ( &xS \ M (x)} .
J X, k	I v	’
(4,2.45)
6.	Так как кулоновская калибровка (4.2.39) релятивистски не
инвариантна, то континуальные интегралы (4.2.44), (4.2.45) также
явно релятивистски не инвариантны, что является их недостатком.
Для устранения этого недостатка надо в интегралах (4.2.44), (4.2.45)
перейти к явно релятивистски инвариантной калибровке. Простей-
шей из них является лоренцевская калибровка (4.2.40). Переход
от кулоновской к лоренцевской калибровке, например в (4.2.45),
можно совершить следующим формальным приемом («трюк Фад-
деева—Попова»).
а)	Введем функционал AL(A^(x)), определенный условием
Д£ М&) $ П (*) 6 (Ми“ (*)) = 1.	(4.2.46)
fe, X
Здесь ^5(о (х)—-мера интегрирования, инвариантная на калибровоч-
ной группе (т. е. произведение дифференциалов параметров группы
на вес, определяемый инвариантностью этой меры относительно
группы калибровочных преобразований): S) (oxo0) — S) (®°<й) = S) (<я).
Так как мера интегрирования инвариантна, то функционал Д£ (Дц)
также калибровочно инвариантен:
Подстановка (4.2.46) в (4.2.45) дает
S = J П (х) ФА^(X) exp {i J dxJ?rM (х)} 6 (dtAki (х)) det MU (Ak() x
(4.2.47)
б)	Введем другой калибровочно инвариантный функционал
Де (Дц), заданный на поверхности д{Ак = 0 и определяемый условием
Дс И£) $ П (х) 6 (5ГД*“ (х)) = 1.	(4.2.48)
хЛ /г
Функционал Дс(Дц) совпадает с функционалом det Мус (Д*). В самом
деле, так как d/Д? = 0, то весь вклад в интеграл вносит окрестность
единичного элемента <о(х) = 1. Пользуясь разложением (4.2.28')
в этой окрестности, получаем
J П & (х) 6 (д(Д£“ (х)) ~ J (х) S (dzД?“ (х)) =
J X, k	X, k
= $ П (х) 6 (MUe, (x)).	(4.2.49)
X, k
Вычислим этот интеграл. Собственные значения оператора М$
определяются уравнением
MUez (х) =	(х).
68
Подставляя последнее в (4.2.49) и используя формулу б(А,е)«
«=|Х|-1б(е), находим
$ П (*) б (*)) = IIIЬ г1,	(4.2.50)
или, если учесть, что произведение собственных значений оператора
(бесконечномерная матрица) равно определителю этой матрицы,
П |% Г1 = (det MkY‘c	(4.2.51)
X, k
Принимая во внимание (4.2.48)—(4.2.51), приходим к искомому
результату
Дс (Aforf .о = det МН (Л*,)-	(4.2.52)
в)	Подставим (4.2.52) в (4.2.47) и затем сделаем замену перемен-
ных Д* —*	якобиан которой равен единице. В результате,
учитывая калибровочную инвариантность действия и функциона-
лов Д£ и Дс, получим
S = $ П (*) ФА^х) exp {i J dx^YM (х)} б (<Мц) Им) X
X б	И&).	, (4.2.53)
Производя в интеграле по <о замену А^~' —* Лц“ и учитывая
(4.2.48), приходим к искомому выражению для амплитуды перехода
калибровочного поля в лоренцевской калибровке:
5 =Д П ^>А^ (х) Д£ (Д& (х)) б (дцЛ£ (х)) exp {i J бх^ГЛ1 (х)} , (4.2.54)
л. k	v
В случае <ЭцЛр, = 0 имеет место соотношение, аналогичное (4.2.52):
Д£ (Ак (х)) = det (□ 6ftz 4- gfkla А% (х) <ЭД	(4.2.55)
7.	Детерминант, входящий в (4.2.55), можно представить в виде
континуального интеграла по антикоммутирующим скалярным полям
сА(х) и сА(х), которые обычно называют фиктивными полями или
полями Фаддеева—Попова:
&L Hfi) = $ II ®ёА(х) &>ск(х) exp {i $ dx[c* □ ck +gftmkckAfidu.ct]} .
w xt k	'
(4.2.56)
Для доказательства введем интеграл
/ = П W W ехР {’ Jdx dy ск (х) Му4 (Лц) с1 (у)} (4.2.57)
и совершим в нем замену переменных:
с* (х) = I* (х), MkY‘L (А^) с1 (х) = £* (х).
69
Тогда, если учесть правило замены (4.1.31) антикоммутирующих
переменных, интеграл (4.2.57) перепишется как
/ = det М^(Л^).	(4.2.58)
Отсюда, учитывая (4.2.55), приходим к (4.2.56).
8.	Аналогичным образом можно перейти от кулоновской к лорен-
цевской калибровке в интегралах (4.2.34) и (4.2.35) для амплитуды
перехода электромагнитного поля. Однако в этом случае функцио-
налы Дс и Д£ не зависят от калибровочного поля Ли(х). Поэтому Дс
и ДА можно вынести из-под интеграла, а амплитуда перехода сво-
бодного электромагнитного поля в лоренцевской калибровке запи-
шется так
8 = $ П®Аи (х)ехр {i $ dx^(x)} 6(Мц(х)).	(4.2.59)
9.	Релятивистски инвариантные выражения для амплитуды калиб-
ровочного поля в случае более общей калибровки можно получить
аналогичным образом. Рассмотрим, например, обобщенную лорен-
цевскую калибровку
<ЭцЛ*и(х) = а*(х),	(4.2.60)
где ак(х)—произвольная функция. Для перехода к этой калибровке
введем функционал А0(Лц), определяемый соотношением
А«(^) $	(х) б [М&ю (*)-«* (*)]= Г (4.2.61)
На поверхности dlxAktl(x) — ak(x)
Дв (Л£) = det Ма,
где Ма= □	+	+ Поэтому выражение для ампли-
туды запишется в виде
8 = $П^М;)(х)6 (дщ4£ (%)—(х)) det Мах
X exp {— i J dx	.	(4.2.62)
Так как det Ma не зависит от ак (х), то последнюю формулу можно
проинтегрировать по ак (х), например, с весом ехр|—i j(a* (х))2 dx) .
Это приведет к следующему выражению для амплитуды калибро-
вочного поля:
8= ( Ц&Ак (x)det Мвх
X, k
xexp^i J dx [ —2^- (<Mft)2] ).	(4.2.63)
Говорят, что амплитуда (4.2.63) задана в а-калибровке.
70
Глава 5
КОВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В предыдущей главе были найдены выражения для амплитуды
перехода вакуум—вакуум. Однако практический интерес представ-
ляют переходы системы свободных начальных частиц в систему сво-
бодных конечных частиц. Такие переходы, как мы видели (см. §1.1),
описываются матричным элементом S-матрицы. Поэтому в этой
главе мы найдем выражение для матричного элемента S-матри-
цы, или амплитуды перехода из одного состояния в другое
в виде континуального интеграла. К сожалению, эффективные ана-
литические способы вычисления этих интегралов в общем случае
пока отсутствуют. Поэтому приходится прибегать к приближенным
методам. Наиболее хорошо разработанным является метод теории
возмущений, в котором амплитуду представляют в виде ряда по
константе взаимодействия.
При практических вычислениях удобно использовать функции
Грина. Поэтому сначала мы напомним основные сведения о функ-
циях Грина и производящих функционалах для них. Затем найдем
выражение для матричного элемента S-матрицы через функции Грина.
Далее с помощью этого выражения построим для примера кова-
риантную теорию возмущений для модели <р4-взаимодействия и мо-
дели с неабелевыми калибровочными полями. Наконец, мы остано-
вимся на одной модификации теории возмущений, в которой раз-
ложение ведется не по константе связи, а по параметру 1/N, где
N>1.
§ 5.1. ФУНКЦИИ ГРИНА. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Представление в виде континуального интеграла. Функции Грина
можно записать в виде среднего по вакууму от хронологического
произведения операторов полей. Хронологическим называют произ-
ведение, в котором операторы расположены так, что временной
аргумент возрастает справа налево.
Рассмотрим, например, скалярное поле. Хронологическое произ-
ведение двух операторов скалярного поля выглядит следующим
образом:
ч / <Р(^)Ф(£/) при x0>z/0,
Т (Ф (х) ф (г/)) = <	, . , ,
V ф \У) Ф W ПРИ хо #о»
а их функция Грина в гейзенберговском представлении запишется
в виде
1<0|Тф(х)ф(г/))|0>.	(5.1.1)
Эта функция описывает распространение частицы между точками х
и у, ее называют также функцией распространения или пропага-
тором. Графически (рис. 5.1, я) такая функция Грина может б|ыть
изображена линией (двухточечная функция Грина).
71
в виде диаграммы с тремя
точечной функцией Грина.
5.1. Функции Грина: а—двухточеч-
ная, д—трехточечная, в—пятиточеч-
ная, а—вершинная
Функция Грина трех полей
Р<0|Т(<р(х)<р(^)ф(г))|0>	(5.1.2)
описывает взаимодействие трех частиц. Графически ее изображают
ми (рис. 5.1,6) и называют трех-
функции Грина большего чи-
сла операторов полей, или много-
точечные функции Грина, опреде-
ляют аналогичным образом (рис.
5.1, в, на котором изображена пя-
титочечная функция Грина).
Функции Грина можно запи-
сать в виде континуального инте-
грала. Для этого надо использо-
вать тот же метод, с помощью кото-
рого были получены аналогичные выражения для амплитуды (см.
гл. 4). Так, например, для функции Грина (5.1.1), имея в виду
(4.1.22), найдем
1 <01Т (ф (у) ф (z)) | 0> =
= И®ф(х)[ф(г/)ф(г)ехр{1 J ФиS (х)}].	(5.1.3)
Аналогичным образом запишутся функции Грина произвольного
числа операторов ф(х). Как видно, функции Грина являются сред-
ними с весом exp(i jjdx=!?(x)) от произведения двух (и более)
полей. Выражение (5.1.3), если в нем опустить произведение функ-
ций ф(у)ф(г), переходит в (4.1.22).
Производящий функционал W (J). Выражение для функций Грина
удобно записать с помощью производящего функционала. С этой
целью введем для каждого поля uf(x) вспомогательный нефизиче-
ский источник, которому соответствует вспомогательной ток J{(x).
Тогда в лагранжиане появится дополнительный член /г(х)мДх),
и новое действие запишется в виде
$ dx (х) = $ dx (х) + (х) ut (х)],	(5.1.4)
т. е. действие становится функционалом токов J/(x). Введем произ-
водящий функционал W (J), который определим следующим образом:
W (J) = (Щ (х), .... ип (х)) X
X exp {i J dx \S (х) + щ (х) Л (х) + • • • + «„ (х) Jn (х)]}, (5.1.5)
где ,®р(и;(х))—мера интегрирования. Чтобы найти выражения для
функций Грина, надо взять вариационные производные по токам и
затем положить эти токи равными нулю:
<01 Т (щ (хх) ut (х.) ... ип (х„)) | 0> =
6J„(xn) Г	(5.1.6)
72
Рассмотрим в качестве примера квантовую электродинамику,
описываемую лагранжианом
3? = — 4 F^F^ + 1ф?и дцЛр—Мфф—ефуцфАи. (5.1.7)
Соответствующий производящий функционал W(J, т]) запишем
в виде
IF (Лл)= $ ^Ам (х) ^)ф (х) ®ф (х) б (дцДи) х
Хехр {i $ dx[3’ + ЛИц + фр+фт]]}.	(5.1.8)
Отсюда, например, для двухточечных функций Грина электрона,
фотона и трехточечной функции Грина имеем:
О»Лх—У) — — 'ы„(.> 67vte) 117	(5.1.9')
Функции Грина в теории возмущений. Действие, входящее в (5.1.8),
можно записать как
J dx 3 (х) = J dx (х)+ J dxjg’y (x),
где ^0(x)—лагранжиан _свободных полей (спинорного и электро-
магнитного), 3SI (х) ₽= — еф (х) уцф (х) Ац (х) — лагранжиан взаимодей-
ствия спинорного и электромагнитного полей.
Теория возмущений сводится к разложению exp(i J dxjg^x))
под знаком континуального интеграла в ряд по константе е:
exp (i J dx S, (х)) =
= jjy У dXj У^ха. •. у dx„«2? / (xt) 3Fi (xs)... 31i (x„) (5.1.11)
П=0
и последующему почленному интегрированию получающегося ряда.
Подставляя (5.1.11), например, в (5.1.9), найдем для двухточечной
функции Грина электрона в теории возмущений
G (х—у) = — 1	{ J ^>Ац (х | Й>ф (х) ^>ф (х) б (д^Ац) х
Xexp{i J dx[J?0 + -/цА^ + пф + фт]]} [ 1 ф-i J 3’i(x)dx +
+ 4У dx У dy (х) ^i{y)-\-
+£ Уdx У	Уйг w	w+• • • ]} |,и=^пя0*
73
Диаграммы Фейнмана для функции Грина электрона, соответ-
ствующие нулевому, второму и четвертому порядкам теории возму-
щений (га = 0, 2, 4), приведены на рис. 5.2 (так называемые тад-
польные диаграммы, или «головастики», мы опустили). Как видно,
функции Грина содержат все порядки теории возмущений.
5.2. Диаграммы для функции Грина электрона в тео-
рии возмущений
Типы диаграмм. Выделим три типа диаграмм (рис. 5.2):
1)	несвязные (например, рис. 5.2, а)—содержащие части, не со-
единенные друг с другом линиями;
2)	связные (например, рис. 5.2, б)—те, в которых можно пройти
из любой вершины в любую другую, двигаясь по линиям диаграммы;
3)	сильно связные (например, рис. 5.2, в)—те, которые нельзя
превратить в несвязные снятием любой одной внутренней линии.
5.3. Диаграммы для функции Грина электрона, соответствующие:
а—производящему функционалу W, б—производящему функционалу
W/W (0), в—правой части формулы (5.1.13)
Этим диаграммам соответствуют несвязные, связные и сильно связ-
ные функции Грина, а диаграммам рис. 5.2 — полные функции Гри-
на W (J).
Диаграммы на рис. 5.2, взятые в фигурные скобки, содержат
переходы вакуум—вакуум. Так как эти переходы не описывают про-
цессы рассеяния, то их следует исключить из рассмотрения. Для
этого воспользуемся тем, что, как можно показать, диаграммы
функций Грина во всех порядках теории возмущения представ-
ляются в виде произведения двух сумм (рис. 5.3, а), одна из кото-
74
рых содержит только диаграммы переходов вакуум—вакуум, а дру-
гая— не содержит их. Сумма функций Грина, соответствующих
диаграммам переходов вакуум — вакуум, описывается, согласно (5.1.5),
функционалом W (0). Поэтому если производящий функционал (5.1.5)
поделить на W (0), то получим производящий функционал W(J)/W (0),
не содержащий переходов вакуум—вакуум (рис. 5.3, б).
Производящий функционал Z(J). Введем наряду с производящим
функционалом W (J) производящий функционал Z(J), определяемый
следующим образом:
Z(J) = — i In U7(J).	(5.1.12)
Выясним, для каких функций Грина функционал Z(J) является
производящим. Для этого рассмотрим, например, выражение для
четырехточечной функции Грина:
i W I — 1	(7) I 1 62r (J) I v
|Js=o ~ W (0) 6J16J26J36J4	Г2(0)	|j=oX
62Г (J) I	1 б2Г (J)	&W(J) I
X	№2(0) 6Л6Л |js. * 6J26J4 |j»0
____1	62W)|	(<0 I	/е n
№2(0) 6Ji6J4 |j«o’ dJ36J2
Правая часть этой формулы изображена графически на рис. 5.3, в.
Первое слагаемое (5.1.13), как мы видели, содержит совокупность
несвязных и связных четырехконцевых функций Грина и не содер-
жит из-за наличия IF“1(0) функций Грина, описывающих переходы
вакуум—вакуум; графически функции Грина, соответствующие пер-
вому слагаемому (5.1.13), изображены на рис. 5.3, в в виде диаграмм,
взятых в скобки. Три остальных члена в (5.1.13) соответствуют
несвязным функциям Грина и вычитаются из первого слагаемого.
Следовательно, левая часть выражения (5.1.13) содержит только
связные функции Грина.
Методом индукции можно показать, что аналогичная структура
будет и у многоточечных функций Грина. Следовательно, Z (J)
является производящим функционалом связных функций Грина.
Производящий функционал Г (Ф). Рассмотрим такие сильно связ-
ные диаграммы и соответствующие им сильно связные функции
Грина, у которых ампутированы все внешние линии (см. рис. 5.1, г).
Такие функции Грина мы будем называть вершинными. Последним
можно сопоставить соответствующий функционал Г (Ф).
Покажем, что если производящий функционал Z(J) задан, то
производящий функционал Г(Ф) для вершинных функций Грина
определяется ©соотношением
Г (Ф<) = Z (Jt) - $ dx JI (x) Ф, (x),	(5.1.14)
где
W-g'	(5.1.15)
Выражение (5.1.14) представляет собой функциональное преобра-
зование Лежандра, которое вводит новый функциональный аргумент
75
Ф;(х) вместо функционального аргумента Ji(x). Согласно (5.1.14),
первая производная функционала Г (Ф) поФДх) равна току Jt(x):
(S.1.16)
Вторая производная Г(Ф) по Фг(х)
<-ф)- <S1I7>
При Ф = 0 последнее соотношение переходит в выражение обрат-
ного пропагатора. В самом деле, выражение для второй производ-
ной от функционала Z(J) запишется так:
62Z(J)	v_,,..... м
6Jz(x)6JyQ/) (х у' J>'	(5.1.18)
При J = 0 оно переходит в выражение для пропагатора. Дифферен-
цируя (5.1.15) по а (5.1.16) по Ф/(у) и преобразуя получен-
ные выражения, находим
j	(!/) *	= 6^б(х—г)- (5.1.19)
Так как произведение прямой и обратной функций Грина равно
6-функции, то получаем, что выражение (5.1.17), описывающее
двухточечную функцию Грина, совпадает с обратным пропагатором,
если положить ,/=Ф —0.
Дифференцируя (5.1.19) по (z)и используя производные (5.1.15)
по Jj(y) и (5.1.16) по Ф/(г/), приходим к выражению для третьей
производной функционала Z(J) по Jf(x):
67/ (х) 6J/	(г)= j d^ d~ dil^«’ J) x
xXj-mG/—J)Xk'n(z—n; J) • (— i)a fi(Di бФи (^бФп (T)) •
(5.1.20)
Подынтегральное выражение содержит произведение трех пропага-
торов на трехточечную вершинную функцию (рис. 5.4,а), если поло-
жить Ф равным нулю:
Г/г « £)-	(—0аб«Г(Ф) I
1 U. Л. Ы - 6ф (Q 6ф (п) §ф (g) |фш0»
которая получается из соответствующей сильно связной функции
Грина путем ампутации внешних пропагаторов (рио. 5.4,6).
Аналогичным образом можно найти выражение для четвертой
производной функционала Z(J) по Jt(x). Это выражение изображено
графически на рис. 5.4, в—е, а соответствующая вершинная функция—
на рис. 5.4, ж.
Далее можно доказать по индукции, что аналогичная структура
будет у подынтегрального выражения и в случае многоточечных
75
функций Грина. Это означает, что Г(Ф) является производящим
функционалом вершинных функций Грина.
Древесное приближение для Г (Ф). Нахождение явного вида про-
изводящего функционала Г (Ф) в общем случае является довольно
трудной задачей. Однако Г(Ф) имеет довольно простой вид в низ-
ших порядках разложения амплитуды по петлям, т. е. по числу
5.4. Функции Грина: а—трехточечная, б—трехточечная вершинная,
в—е—четырехточечная, ж—четырехточечная вершинная
(5.1.21)
независимых четырехмерных импульсов интегрирования. Функциям
Грина, содержащим п независимых внутренних импульсов, соответ-
ствует n-петлевая диаграмма. Для нахождения правил соответствия
Фейнмана необходимы функции Грина в приближении, которое со-
ответствует диаграммам, не содержащим петель, т. е. в древесном
приближении. Как можно показать, производящий функционал Z (J)
в древесном приближении имеет вид
(J) = 1 (Фо/) + J dx/, (х) фо1 (х),
где I (ф0/) — классическое действие, а Ф0{(х)—решения классических
уравнений поля в присутствии внешних источников J,(х):
'« <5-L22)
Используя (5.1.21), (5.1.15) и (5.1.22), получаем в древесном
приближении
(J)	, . . (• , Ге/ (<Ро') е<р°/	, / х бфоУ (у)1
Ф1 (*) — SJ. (х) — Фо» W+ J	L 6<Ро/ (у) 6Ji(x) + 6Ji (х) J ~
(5.1.23)
Подставляя (5.1.21) и (5.1.23) в (5.1.14), приходим к искомому вы-
ражению для производящего функционала Г(Ф) в древесном при-
ближении:
Гд (ф) = гл (J) - j dxJt (х) Ф, (х) -1 (Ф<).	(5.1.24)
Запись W (J) в другой форме. Преобразуем производящий функ-
ционал (5.1.5) к форме (5.1.30), удобной для вычисления функций
Грина.
77
1. Выделим в (5.1.5) лагранжиан взаимодействия Я? i в явном
виде:
Г (J) = J	(ик (х)) х
X exp (i у dx^0 (х)) exp (i J dxfj7, (и (х)) + ик (х) Jk (х)]),
(5.1.25)
где Sip (ик (х)) =	(х) @>и2 (х) ... @>ип (х).
2. Пользуясь формулой
exp (Ju),
перепишем последний множитель (5.1.25) как
exp [i Jdx^ (- i ~, - i .........-	i ] exp{i fdxJA)
и вынесем входящий в него дифференциальный оператор за знак
континуального интеграла; тогда вместо (5.1.25) будем иметь
W) =ехр (i jdxJ^— i .... — i ^))У (uk (x)) x
Xexp (i J dx[J?o (x) + uk (x) Jk (x)]).	(5.1.26)
3. Воспользуемся тем, что интеграл в (5.1.26), содержащий сво-
бодный лагранжиан Я? й, можно представить так:
Л = 1/2 J dxdyul(x)KlJ(x— y)Uj(y), (5.1.27)
где	—у)—дифференциальный оператор, определяемый ви-
дом Подставим (5.1.27) в (5.1.26) и после этого произведем
замену:
и,- (х) щ (х) — у Кг,1 (х—у) Jt (у) dr/. (5.1.28)
В результате для континуального интеграла получим
J (ик (х)) ехр(у У dx dy ut (х) K{J (х—у) Uj (у) + i dxu{ (х) J{ (х)) =
= 2Vexp(— у У dxdy Ji(x)Ky1 (х—у) Jj (г/)),	(5.1.29)
где
N =у Sip (ик (х)) ехр (у У dx dyu{ (х) Kt/ (х—у) и, (г/)|.
Подставляя (5.1.29) в (5.1.26) и опуская несущественный посто-
янный множитель N, приходим к искомому выражению для W(J).
W (J) =ехр (i у dx^t (—	, ..., — 6jnW))x
хехр(—уУ dxdy Ji(x)Ktl (x — у) Jj (z/)j>.	(5.1.30)
78
Выражение для матричного элемента S-матрицы. С помощью
производящего функционала (5.1.30) можно построить матричный
элемент S-матрицы в теории возмущений. С этой целью введем
функционал, содержащий W (J);
S (и°к) = exp j dxgr (-г- 6J] (jt) , ....
xexp ij dxuk (x) J*(*)~у j dxdz/Jz(x) Kifrx—y) Jj(y)} | Л= =Jn=0 .
(5.1.31)
Здесь uk(x)—произвольные функции. При u*(x) = 0 функционал
(5.1.31) подобен (5.1.30).
Функционал (5.1.31) вычислить точно не удается. Поэтому при-
ходится пользоваться теорией возмущений. Разложение (5.1.31)
в ряд теории возмущений приводит к диаграммам, содержащим
свободные внешние концы, которым соответствуют произ-
вольные функции ик(х). Однако в диаграммах для матричных эле-
ментов S-матрицы содержатся свободные внешние концы, которым
соответствуют волновые функции ик (х), являющиеся решениями
свободных уравнений для частиц (как говорят, ик (х) определены
на массовой поверхности). Чтобы получить в теории возмущений
из (5.1.31) выражения для матричных элементов, надо заменить
в диаграммах, соответствующих (5.1.31), функции ик(х) функциями
ик(х). Поэтому матричный элемент Sm_^n, описывающий переход т
свободных начальных частиц в систему п свободных конечных ча-
стиц, получим по правилу
г,	! \	\	6	. .	б
-* п (Х) « о , . • • • ^im (х) » о , . ufm+i (У)	7"Г • • •
0И1 (X)	OUm (X) т OUm+i (у)
«о- .0	(5Л-32)
ОИт+л (У)	и1=— в0-
Здесь ик(х)—произвольные функции; щк(х)—свободные волновые
функции начального состояния; и^(х)—свободные волновые функ-
ции конечного состояния. Функции u£ft(x) и и;^(х) удовлетворяют
уравнениям для соответствующих свободных частиц.
Применим изложенный общий метод построения ковариантной
теории возмущений к двум конкретным моделям.
§ 5.2. МОДЕЛЬ ^-ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Модель описывается лагранжианом
Ь = 4-(^фГ-4ф8-^ <р*.	(5.2.1)
Если учесть, что интегрирование по частям дает
Jdx[(du<p)8—mV]=—jdx<p(x)(Q+ms)<p(x),	(5.2.1')
79
то производящий функционал W (J) в соответствии с (5.1.26) запи-
шем в форме
Г(7)=ехр i j Ф/ - j" ( Т 6 Д)") *} j	(х)-Х
X exp-^y jdx[—<₽(□+m2) <p] + i Jdxtpjj-,
или после преобразований—в виде (5.1.30)!
W (J) =ехр {- i 1г j dy	X
хехр /--я- ? dxdyJ (х) К'1 (х—у) J (у)\ .	(5.2.2)
I 4 J	I
Тогда для производящего функционала S (<р0), согласно (5.1.31),
имеем
S (Фо) = exp j- i J dy	ётУ‘} X
X exp i j dx<p0 (x) J (x) —у J dxdz/J (x) ft-1 (x—y) J (z/)}1 j=(f
(5.2.3)
Найдем обратный оператор /С-1(х—у). Оператор К(х—у) задан
выражением (5.2.Г), т. е. К(х—у) = — (□ + т2)6(х—у). По опре-
делению, прямой К (х—у) и обратный/С-1 (х—у) операторы связаны
соотношением
j dyK(x—у) К-1 (у—г) = 6(х—г) = ^)Г j dpe-i₽(x"2). (5.2.4)
Подставляя в эту формулу К (х—у), имеем
- (□ +	$ dPK~l (Р) е“‘₽ (х"г) =
= -(2й)Г $ d? (р2—т2) К~1 (р) е~~'р {х~г).
Отсюда следует, что в импульсном представлении обратный оператор
=	(5.2.5)
в координатном представлении
K~l = W" j dP е-'р	(5.2.6)
Чтобы получить выражение для S (<р0) в теории возмущений,
разложим дифференциальный оператор, входящий в (5.2.3), в ряд
по константе взаимодействия g\ в результате придем к искомому
ряду теории возмущений:
5 (%) — [ 1 — ’ -fp J dx^+
+4(i^’)ajdx ^(щх))4(бжУ+-- -Jexpj-iJdxq^xW)-
—у jdxdf/ J^K-^x—y)J(y)\ J=Q.	(5.2.7)
80
Отсюда находим вид S (ф0) в различных порядках теории возму-
щений:
а)	в отсутствие взаимодействия (и = 0)
S(O>(<Po) = l;
б)	в первом порядке (и=1)
511> (Фо) = — »-fj J (-gj~jj-)*exp i J dxJ (x) ф0 (x) —
— j dxdyj (x)	(x—y) J (//)}• | J=o = — i j dxcpo (x, -f-
4-g- j йхф§ (x) К-1 (0) +4r j (°)!2:
в)	во втором порядке (п = 2)
S <а> (ф0) = — -у	jj <1х<1^|фЗ (х) фЗ (у) 4-
+ 16фд (х) ф? (у) iK"1 (х—у) + 72ф? (х)ф? (у) [iK-1 (х—у)]» 4-
+ 96ф0 (х) ф0 (у) [ift"1 (х—у)]3 + 24 [ift-1 (х—у)]3 4-
+ 12i(₽8o (X) /С;1 (0) ФЗ (у)-ь [Я?1 (О)]2 ф2 (у) -
—9бф0 (х) К,- (0) К~ Чх—у) Фо3 (у)—
— Збфо (х) К-Хх (0) Ку1 (0)ф§(у) — 144ЛГ1 (0)	£/)]аФо2(у)~
—36 [ЛГ (О)]2	(0)ф№)-
- 144ф0 (х)	(0) iK-1 (х—у) Л71 (0) ф0 (у) +
+ 72К71 (0) [К-1 (х—у)]3 Ку1 (0)}, КГ (0> Л"1 (х-у) | х=у.
(5.2.8)
Найдем, например, выражение для амплитуды S^2 процесса рас-
сеяния двух частиц в две частицы во втором порядке теории воз-
мущений. Переписывая формулы (5.2.8) и (5.1.32) в импульсном
представлении, получаем
S23 = ф (<7Х) 6фо . ф (qt) 5<2’ (ф0 (qt)) | (1?/)=0,
где Ф(дх), ф(<?2)—волновые функции начальных частиц с импульсами
qlt а ф(ф8), ф(<?4)—конечных частиц с импульсами q3, q^ Произ-
водя вычисления, приходим к искомому выражению для амплитуды
$2% = — (ig)2 ф (да) ф (<?4)[\dpK~1 (р) Л-1 (Р—<7i—<72)] х
X ф (<7i) Ф (qs) б (?! + <?2—<7з — <74).	(5.2.8')
где К~1(р) определяется формулой (5.2.5).
81
В общем случае выражения для амплитуд модели содержат раз-
личные комбинации функций свободных частиц, пропагаторов и
вершин четырехчастичных взаимодействий.
Вершинами взаимодействия мы будем называть в дальнейшем
вершинные функции в древесном приближении.
Найдем явный вид пропагатора и вершины взаимодействия. Про-
пагатор ®(х—у) свободного (J?z(x) = 0) скалярного поля опреде-
ляется как
®	= 6J (х) SJ (у) Z° Ь=о>
где Z0(J)—значение функционала Z(J) при ^>[(х) = 0. Подставляя
сюда (5.1.12) и учитывая (5.2.2) и (5.2.6), находим в импульсном
представлении
® (Р) =	-	(5.2.9)
или в координатном представлении
w-</)=	(5-2'10)
Как известно, для однозначного определения свободной функции
Грина надо определить контур, по которому производится интегри-
рование. Мы в дальнейшем будем предполагать, что выбран такой
контур интегрирования, который приводит к общепринятому фейн-
мановскому правилу обхода полюсов функции Грина и, следова-
тельно, к фейнмановским функциям Грина.
Для нахождения вершины взаимодействия воспользуемся фор-
мулой (5.1.24). Тогда
Гд (Ф) = J dxL (Ф) = j dx ( 1 дД^Ф -4 Ф2-^ Ф1).
(5.2.11)
где Ф (х) =	, а 2Д (J) определяется формулой (5.1.21). По опре-
О«/ (X)
делению, четырехточечная вершина взаимодействия
Го (х, у, г, и) = (— i)3 бф w еф(^ бФ(г) 6Ф (и)	| ф=о '
Так как
6Ф (х) ~ J икс 6Ф (k) ’
то, удерживая только Ф4-член, дающий отличный от нуля вклад,
имеем
. л Ikx+lpy+ii/z+ifu 6
Г0(х, у, г, u} = (—\^Akdpdqdf&	'WWX
у 6	- 6  8________! С dSe-^-^-^-^drdsd/du х
х бФ(д) 6Ф(?) 6Ф(/) (2л)1в J	urusiuuu X
X ( -f )ф (г) Ф (S) Ф (0 ф (У) =
= 7^ J d^d<7dpd/6 (р + k + q 4- f) е
82
Сравнивая последнее с выражением для Г0(х, у, «г, и) в импульс-
ном представлении
Г0(х, у, г, и) = dMpd<7d/r0 (k, р, q, f)e
находим четырехточечную вершину взаимодействия, опуская 6 (&+
+p + q+f)-
Г0(Л, р, q, f) = — ig.	(5.2.12)
Далее 6-функции в выражениях для вершин взаимодействия мы
выписывать не будем.
Аналитические выражения для матричных элементов можно изо-
бразить графически. Для этого надо установить правила соответст-
вия между аналитическими выражениями и
графическими образами.
Правила соответствия Фейнма-
на для амплитуд в импульсном представ-
лении для модели ф4-взаимодействия све-
дены в табл. 5.1. Изображение, например,
амплитуды рассеяния (5.2.8') дано на рис.
5.5, а, а амплитуд рассеяния S^8—на рис.
5.5,6. Аналогичным образом можно изобра-
5.5. Диаграммы Фейнма-
на модели «^-взаимодей-
ствия во втором порядке
теории возмущений
зить другие амплитуды, не связанные с про-
цессами рассеяния, но мы этого делать не будем.
Таблица 5.1. Правила соответствия для модели <р4-взаимодействия
Физическое состояние	Математическое выражение	Графическое изображение
Скалярная частица	<р (р)	_2	
Пропагатор	1 - 5 ЬЭ / т \ i
Вершина взаимодейст- вия	-ig
§ 5.3. МОДЕЛЬ С НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОЛЯМИ
Рассмотрим типичную модель о неабелевыми полями, содержа-
щую мультиплет спинорных полей фв (х), мультиплет заряженных
скалярных полей <р° (х), мультиплет калибровочных полей Л.Д (х).
83
Лагранжиан модели выглядит следующим образом!
& = - 4	i (<W2 +
+ ЙГТц (<Мвь + ig (**) ab A£) ’I’6—Af^V +
+1 (дАь + ig (0ь)аИц) Ф612—m2<pV—Лв1ЛвФ V—
—W~4 fabcd4a4b(Pe4>a—(d^k)(d^ck)—
g/szeAcM^c*,	(5.3.1)
где ck(x)—фиктивные поля; t, 0—генераторы представлений, по
которым преобразуются спинорные и скалярные поля.
Первые два члена описывают калибровочное поле, третий и
четвертый—спинорное поле и его взаимодействие с калибровочным
полем, пятый и шестой—скалярное поле и его взаимодействие с
калибровочным полем, седьмой и восьмой—юкавское взаимодействие
фермионных и скалярных полей, девятый—самодействие скалярного
поля, два последних—фиктивные поля и их взаимодействие. Члены,
соответствующие фиктивным полям в а-калибровке, получают так
же, как (4.2.56).
Лагранжиан калибровочного и фиктивного полей удобно пред-
ставить в виде суммы двух лагранжианов:
+	(5.3.2)
sfjpk (дцД*)	4" fjp/J[„^А^А^А^Ау gf[тк (дц,ск) Aftc1.
(5.3.3)
Первый из них соответствует свободному калибровочному и с-полям,
а второй—самодействию калибровочного поля и его взаимодейст-
вию с с-полем.
Производящий функционал W в а-калибровке запишется в со-
ответствии с (5.1.26) как
W (.J	7*) —
«= exp (i у dx^г (— i {je) »•••)} У M W (*) X
X	(x) ®<pa (x) S)ck (x) ®ck (x) exp {i J dx 4 ^ (*) X
X	л'Лх) +
+ Ф“ (x) 8аЬ (1уцд. — М) ф» (х)——
~Ф“ (х) баЬ (□ + т2)	(х)+? (х) 8к1 □ с* (х) +
+ Ju (X) Д ц (X) 4- ф» (х) Ja (x) + Ja (X) ф" (х) + п» (X) ф° (х) +
+ W Па W + Xй (х) ск (х) + ск (х) %к (х)]},
84
б
где Sj (— i j'jfe . j —лагранжиан взаимодействий, в котором
все поля заменены соответствующими функциональными производ-
ными. После преобразования к виду (5.1.30) получим
Г(ЛЦ> ...) = expMdxJ?z(-i-|— ,...Пх
V V	\	OJ ц (X)	/ J
X ехр{— i j dxdy [у /ц (х)	(x—y))~1Jlv (у) +
+ Ja (x) Kab (X — y) Jb (y) +	(X) Wab (X—y) П6 <У) +
+ хЧх)ад(х-«/)хг(у)]}.	(5.3.4)
Для производящего функционала матричных элементов S (Дц0, . • •)
согласно (5.1.31), имеем
5(Л^0, ...) = exph CdxJ?’/— i—J—, ,..UX
I	Ц \x)	/ J
X exp {— i $ dx (Д'Д0	+ Ja$ + <p°J° +	+ т)аф“) —
— i J dxdy [1(x)(Kft, (x—z/))-V(, (y) +
+ Ja (x) K^_(x—y) Jb (y) + n» (x) ед (x—у) Т|Ь (у) +
+ xftW^7(x-y)x'(f/)]} |^=...=о.	(5.3.5)
Операторы (Л^(х—у))-1, КаьЧх—у), ЗСаЦх—у), Wki(x—y) опре-
деляются формулами
(5.3.6)
<5-3-7»
(5.3.8)
ЖйЧх-ц)—(5.3.9)
Разлагая дифференциальный оператор, входящий в (5.3.5), в ряд
по константам связи, получим выражение для 5(Лц0, ...) в теории
возмущений для рассматриваемой модели:
6
S (/4ис>
Хехр
1x^,1 — i—j-—, ... ) +
A 6Jku(x)’ г
в	\ G? /___j 6	\ ,
б4(г/) ”,/+"
(	+ j°<po + ф? Ja + W + nVo) -
- i j dx dy [i да-1 Л + JaK? JO +
+ паедпЧх’Аед,х,]}|^в. „о
@5
В выражения для амплитуд войдут различные комбинации функ-
ций свободных полей, пропагаторов и различных вершин взаимо-
действия.
Пропагаторы свободного скалярного и фермионного полей опре-
деляются формулами (5.2.9), (7.1.9) (см. далее). По определению,
для пропагаторов калибровочного поля и фиктивной с-частицы имеем
<5-310’
(»-!/)	у;, - 	(5.3 11)
Подставляя сюда (5.1.12) и учитывая (5.3.4), (5.3.7) и (5.3.9), по-
лучаем в координатном представлении
^v(x—y) = ^i(1 —	(а—калибровка),
(5.3.12)
<Х-У>	(5.з. 1з>
или в импульсном представлении
(1—	(а-калибровка), (5.3.14)
*М) = Ш	(5.3.15)
Полагая а = 0 в (5.3.12) и (5.3.14), приходим к выражению для
пропагатора калибровочного поля в калибровке Ландау, а а = 1 —
в калибровке Фейнмана. Действуя так же, как при получении (7.1.13)
(см. далее), мы найдем выражение для пропагатора калибровочного
поля в кулоновской калибровке.
Таблица 5.2. Выражения для пропагаторов калибровочного поля
в различных калибровках
Калибровка
а
Ландау
Фейнмана
Кулоновская
Аксиальная
Выражение для 2)^v (&)
8мГ«	(1	al fe|xfev 1
k* [SUv	U	a) J
f g _____	\
ki	fe2 у
ka
'	(k)-----(k) =	(k) = 0
$kl f * n2kjxkv —(tlk) kycflv—(nk) n^ky
+	(nk)a
86
Таблица 5.3. Диаграммы Фейнмана для пропагаторов модели
Пропагатор поля	„	Графическое Аналитическое выражение	изображение
Скалярного	$аЪ	——-• J № — тг
Спинорного	-}-м	“•	~ "-ь
Фиктивных частиц	Ёп,~^	Л •			* у
Калибровочного	п Г	ул	\ kl\,ky "1 1			 ^[£иу	0 а) й2 ]р-	fin	М
Найдем вид пропагатора калибровочного поля в аксиальной ка-
либровке (4.2.41). В этом случае
К{& (я—#) = P&v+Mv-
а при а—>0 пропагатор
(* * * * * * * * * х У)~ (2л)< *
fey — (tlk) kii fly — (tlk) ftp, fey \ „jfrfv(g3 ]g)
(nk)z	/
Выражения для пропагаторов калибровочного поля в различных
калибровках приведены в табл. 5.2. Графические изображения про-
пагаторов скалярного, фермионного, калибровочного и фиктивного
полей показаны в табл. 5.3; там же приведены аналитические вы-
ражения для пропагаторов.
Найдем вершины взаимодействия модели. Для этого восполь-
зуемся формулой (5.1.24):
Гд Ф°, Ф“, Тв, Т“, 31й, 51й) =
= $ dx2 U* (х), Ф« (х), Ф* (х), ...), (5.3.17)
где
(х) = 6Za(7й, ... )/S7* (х); Ф» (х) = 6Za (7й, ... )/67» (х),
Ф‘ (х) = 6Z, (7й....)/67а	(х); JF‘ (х) = SZa(7й, ... )/6т]а (х),
Т* (х) - 6Za(7й,...)/8rf (х); Я* (х) = 6Za (7й, ... )/буй (х);
3l*(x) = 6Zft(7*, ...)/6Х*(х).
Модель характеризуется девятью вершинами взаимодействия
(табл. 5.4).
87
Таблица 5.4. Диаграммы Фейнмана вершин взаимодействия модели
Вершина взаимодействия
Аналитическое выражение
~ igfab (г - q)a ё^ +	Р) ? ё^ + (Р “ % £а ?]
Ц> flaefIbd (ёофёу& &z6^>pv) —'
fladfIbc (ёафёуй	^ссу^рб)"""
/labfled (ёа,уё$&	^ссб^ру)
ёУа (ta)cb
^fabeQa
[0«. 0bl?
h-cba* ^cba
— ~f(fabcd'\-fbacd'^fabdc~\-fbadc)
g(Ga)cbPa—g@a)bcqa
1. Вершину взаимодействия двух спинорных и калибровочного
полей определим как
у, г) = (-1)1 2 * *^^-^Г„(4, ...)	_q.
Удерживая в (5.3.17) только член взаимодействия фермионного
и калибровочного полей, находим
Г§56 (/?, q, г) = £уц (ZA)e6.	(5.3.18)
2. Вершину взаимодействия трех калибровочных полей опреде-
лим следующим образом:
(х, у, г) = (-i)s	Гд (ЛЙ, • • •) |л= =0 •
88
Удерживая в (5.3.17) только член взаимодействия трех калибро-
вочных полей, имеем
у, «)-(-.) Jdpd,dfe.»»..»^- ы«мх
х -6-Ай (SF- S ds d( d0 dfe''(~ifa) x
ot/rp V) v u
(5.3.19)
Дифференцирование, например, по Л™ (г) дает
gfjpm (—isa) <4 (0 Лрр (у) 6 (s—г) + gfmpn (—isp) «4g (s) «4g (у) S (t — r) +
+ gfjtnn (—isa)	(s) «4 (0 6 (»—H-
Вычисляя аналогичным образом оставшиеся производные и под-
ставляя полученный результат в (5.3.19), находим вершину взаимо-
действия трех калибровочных полей:
го$Р(Л <7. '•) = — Igfkim	p)p+gw(p—r)v+gvP(r—<7)ц]. (5.3.20)
3.	Вершину взаимодействия четырех калибровочных полей оп-
ределим формулой
Г'оа^б (^» У> “) =
_/___ns ________8_____6_____6 г ,^к J
V &4£(Х)	б«4?(г) fi«4tf(«) я ц’' ’ ,/|«4=...=о’
Производя последовательно дифференцирование, как и в предыду-
щем случае, приходим к следующему выражению для вершины
взаимодействия четырех калибровочных полей:
Гоа$н>в(Р. q, г, s) = —ig2fkacfkM(ga^gv6—ga6g^)~
— ig2fkadfkbc (gaug’d gayg^e)
— Wfkabfked (gaygffi ~gaigpy)-	(5.3.21)
Аналогичным образом найдем выражения для остальных вершин
взаимодействия модели (см. табл. 5.4). Подчеркнем, что аналити-
ческие выражения для вершин взаимодействия в табл. 5.4 (и в табл.
12.1—см. дальше) выписаны в предположении, что четырехмерные
импульсы частиц направлены в вершину, а стрелки характеризуют
начальные и конечные состояния частиц.
§ 5.4. МЕТОД 1//У-РАЗЛОЖЕНИЯ
В некоторых случаях для нахождения амплитуды процесса можно
пользоваться модифицированной теорией возмущений, в которой
разложение ведется не по обычной константе связи, а по пара-
метру i/N, где М> 1. Такой метод получил название llN-разло-
жения.
Мы проиллюстрируем суть метода 1/М-разложения на примере
четырехмерной модели <р4-взаимодействия, инвариантной относительно
группы SUN. Пусть скалярное поле Фа(х) преобразуется по фунда-
89
ментальному представлению группы SUN, т. е. скалярное поле об-
разует мультиплет фа с N компонентами (а=1, 2,	N).
1.	Лагранжиан такой модели, аналогичный (5.2.1), запишем
в виде
= у	фафа—| А. (<рафа)«.	(5.4.1)
2.	Как мы увидим, удобно перейти к другому лагранжиану:
L = L' +	(5.4.2)
где g — KN, ст(х)— вспомогательное однокомпонентное поле.
Добавочный член в (5.4.2) не меняет динамики системы. Дейст-
вительно, производя в континуальном интеграле, соответствующем
лагранжиану (5.4.2), замены ст—* а + (g/(27\/)] фафа и фа—<-фа, по-
лучаем
J Д (х) ^>фа (х) е!/ = ( Ц ®ст (х) е W J Д ®фа (х) е!/',
(5.4.3)
где Г (х)—действие, соответствующее лагранжиану (5.4.1). Инте-
грал по ст (х) равен константе, и лагранжианы L' и L описывают
системы с одной и той же динамикой.
3.	Раскрывая второй член в (5.4.2) и учитывая, что слагаемые
(ф«фа)а сокращаются, находим
Л = 4фаК(а)Фв + у~Гст2’ (5'4’4)
где Я(ст) = —(дцдц + та + ст).
Лагранжиан взаимодействия L, полей фа(х) и ст(х) выглядит так:
Lz =— 1/2фафаст.	(5.4.5)
4.	С учетом (5.4.4) выражение для производящего функционала
W (J) для функций Грина полей ф“ запишем следующим образом
(см. § 5.1):
W (J) = j" Д S)o (х) Д ®фа (х) х
Хехр {i j dx |д фа (х) К (ст) Фа (х) + у у оа (х) + Ja (х) фа (х)] |, (5.4.6)
где Ja (х) — вспомогательные токи, соответствующие полям фа(х).
Интеграл по Фа(х) в (5.4.6) можно вычислить. Используя формулы
J Д Й>Ф (х) exp J dxdz^(x)K(x, у) ф (у) + i J dxB(x^ (х)| —
₽ - 1 .-г ехр /— 4 dxdj/B (х)К-1(х, у) В (#)}; detK=exp(Sp InK),
у det/С I *• J	J
90
получаем вместо (5.4.6) следующее выражение для производящего
функционала:
W) = $ П	W exp {W (ст (х))),	(5.4.7)
X
где /(CT) = 4[iSplnK(CT) + -^ JdxCT2(x) —jdxd4/Je(x) К'1 (х, у)х
xJa (//)]•
Как видно, функциональный интеграл по мультиплету срй уда-
лось свести к интегралу по скалярной функции а(х). В этом за-
ключается смысл введения полей а(х).
5.	В производящем функционале в рассматриваемом случае перед
действием появился общий множитель^. Пусть N—большая
величина (W > 1). Тогда можно найти асимптотическое значение
интеграла, пользуясь методом стационарной фазы. Сог-
ласно этому методу, основной вклад в интеграл определяется ста-
ционарной точкой a0(J), которая является экстремумом дей-
ствия /(о), т. е. точкой, определяемой соотношением б//6о = 0, а
высшие члены разложения действия в ряд по а в окрестности ста-
ционарной точки являются поправками. Разложение действия / (о)
в окрестности стационарной точки oQ(J) имеет вид
со
I (ст) = 7 (ст0) + 4- 7" (Сто) (ст—ст0)2 + £ -L /<«> (а0) (ст-ст0)«. (5.4.8)
п-3
Подставим это выражение в (5.4.7), вынесем последнее слагаемое
(5.4.8) из-под знака континуального интеграла и учтем, что
У И ®ст (х) exp (iW [у I" (ст0) ст2 (х) + АН/ (х) ст (х)]| =<
=[det 7" (ст0)]- exp {—J dx / (х) (7" (ст0))-х / (x)j-,
где /(х) — вспомогательный ток, соответствующий полю ст(х). В ре-
зультате для производящего функционала W (J, j) найдем
Г (J, j)=[det7"(CT0)]-1/’exp {i NI (ст0(7)))х
оо
хехр^Е^г71"’ (ст0)(1’)“п Wfexpfe f dx/(x)(7"
м=3	'	'	“
(5.4.9)
или, разлагая экспоненту в ряд, получим
00
W (J, /) = [det Г (Сто)]- */. ехр {ЛГ/ (ст0)[ Ш’х
k =0
~пГ {п) И) "
и=3	'
2N (х) U (*о)) 1 / 00 j1 •
(5.4.10)
91
Этот функционал зависит от двух токов: J (х) и j(x). Функциональ-
ное дифференцирование W (J, j) по этим токам даст соответствую-
щие функции Грина. В частности, для пропагатора D(x, у) поля
о(х) в первом порядке по 1/N, согласно (5.4.10), имеем
D(x, У) = ч I = —
1 6/ (х) б/ (у) ]j =j = Q	V V °"
Учитывая (5.4.7), получаем
r^ = '54^wL«»“rl6(X“Z/)~'2'G(x’ У' ^G{y' О(,)’
где G—функция Грина оператора К. Если для устойчивого вакуум-
ного состояния о0 = 0, то, переходя к импульсному представлению,
находим выражение для пропагатора о-поля в первом порядке
по \/Ni
Щр) = { —w[g 1 +уУ {2я)4	(p+fe)«—/п«]} • (5-4-11)
Соответствующие обоим слагаемым диаграммы представлены на
рис. 5.6.
Формула (5.4.10) определяет разложение производящего функ-
ционала W (J, j), а следовательно, и амплитуды процесса по па-
раметру \/N. Такое разложение приводит к выражениям, анало-
гичным (5.2.7), (5.2.8), причем каж-
6 д 6	$ дому слагаемому в этих выражени-
-----•------------ ях можно сопоставить соответствую-
5.6. Диаграммы, дающие вклад в
пропагатор a-поля в первом по-
рядке по 1/W
щую диаграмму Фейнмана.
6. При построении амплитуды
процесса в заданном порядке по па-
раметру 1/W можно действовать по-
другому: сначала, используя (5.4.7),
найти, какая степень N соответствует произвольной диаграмме
Фейнмана, а затем отобрать те диаграммы, которые дают вклад
в данный порядок по 1/N.
Рассмотрим произвольную связную диаграмму, которая содер-
жит Е внешних, / внутренних линий и V вершин, соответствую-
щих полю а. Согласно (5.4.7), каждая вершина диаграммы содер-
жит параметр Af. Так как пропагатор представляет собой величину,
обратную квадратичной части лагранжиана, то каждой внутренней
или внешней линии соответствует множитель 1/N. Поэтому диаграмма
характеризуется величиной	Число внутренних линий равно
числу импульсов, по которым производится интегрирование. Однако
эти импульсы не независимы, так как импульсы, сходящиеся в каж-
дой вершине V, связаны между собой законом сохранения и, кроме
того, один из законов сохранения (для процесса в целом) относится
к внешним импульсам, т. е. число независимых внутренних импуль-
сов L равно L — I—(V—1).
92
С учетом последнего для степени N данной диаграммы находим
NV-I-E = /V-E-L+1.	(5.4.12)
В частности, диаграммы, содержащие две внешние линии (£ = 2)
и не содержащие петель (L = 0, древесное приближение), дают
вклад в первый (лидирующий) порядок по 1/N.
7. Рассмотрим для примера процесс упругого рассеяния частиц
фО<ра —► ф«фв, описываемых полем ф“ в первом порядке по \/N.
В этом порядке пропагатор о-поля определяется выражением (5.4.11).
=+-чЭ’Ч.Д'ЧО''’+• • •
//Л д gz	дз	д^
6.7. Разложение диаграммы пропагатора о-поля в первом порядке по 1/2V
в бесконечную сумму соответствующих диаграмм различного порядка теории
возмущений по константе g
Найденное выражение (5,4.11) для пропагатора о-поля в первом
порядке по 1/N можно представить в виде суммы бесконечного
ряда теории возмущений по константе g. Такому ряду соответ-
ствует бесконечная сумма однопетлевой, двухпетлевой и т. д. диа-
грамм теории возмущений по полю <ра(х). Эти диаграммы изобра-
жены, на рис. 5.7, на котором штриховка указывает на учет
соответствующих диаграмм во всех порядках по g [при этом пред-
полагается, что лагранжиан (5.4.1) берется в нормальной форме].
(ра	(рл
5.8. Диаграммы
процесса срйфа —фасра в первом по-
рядке по 1/N
Аналогичным образом можно найти выражение для пропагатора
о-поля в более высоком порядке по 1/N. Если разложить это вы-
ражение в ряд по константе связи gt то можно выяснить, какие
члены ряда теории возмущений дадут вклад в данный порядок по l/Af.
Следовательно, вычисления в данном порядке по 1/N соответствуют
суммированию бесконечного числа определенного типа членов ряда
теории возмущений по константе g.
В соответствии с (5.4.5) вклад в процесс	срафа в первом
порядке по 1/N дадут диаграммы, приведенные на рис. 5.8.
8. Подчеркнем, что метод l/Af-разложения основан на возмож-
ности свести интегрирование в производящем функционале по полю
Фа(х) к интегрированию по полю о(х). Это ведет к возможности
представить производящий функционал в виде (5.4.7), содержащем
93
N только перед действием в виде общего множителя. К сожалению,
указанную возможность удается реализовать лишь в том случае,
когда в лагранжиан входят полевые функции, преобразующиеся
по фундаментальному представлению группы. Поэтому метод 1/N
разложения в рассмотренной форме неприменим, например, к ка-
либровочным полям группы SUn, так как эти поля преобразуются
не по фундаментальному, а по присоединенному представлению
группы SUn (число калибровочных полей группы SUN равно
№— 1, а не N).
Таким же путем были проанализированы другие модели, кото-
рые содержат поля, преобразующиеся по фундаментальному пред-
ставлению заданной группы.
ЧАСТЬ HI
КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСЛАБОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ
Калибровочные поля открывают новые возможности для построе-
ния единой теории взаимодействий элементарных частиц.
В этой части мы рассмотрим калибровочные модели, объединяющие
электромагнитное и слабое взаимодействия. Калибровочная теория
сильного взаимодействия и модели, объединяющие сильное, электро-
магнитное и слабое взаимодействия, будут рассмотрены позже, в ч. IV.
Основная трудность в объединении электромагнитного и слабого
взаимодействия обусловлена существенными различиями этих взаи-
модействий. Во-первых, электромагнитное взаимодействие является
дальнодействующим, а слабое имеет конечный радиус действия.
Поэтому переносчики электромагнитного взаимодействия должны
быть безмассовыми (фотон), а слабого—массивными (промежуточный
векторный бозон). Во-вторых, электромагнитное взаимодействие со-
храняет пространственную четность, а слабое—не сохраняет.
Трудность объединения электромагнитного и слабого взаимодей-
ствий можно преодолеть, если предположить, что переносчиками
обоих взаимодействий являются калибровочные поля, и использо-
вать спонтанное нарушение симметрии. При этом спонтанное нару-
шение можно осуществить так, что одно калибровочное поле
остается безмассовым (фотон) и взаимодействует с током, сохраняю-
щим четность, а остальные калибровочные поля приобретают массу
(промежуточные бозоны) и их взаимодействие не сохраняет четности.
В выборе конкретного вида модели существует значительный
произвол, поэтому было проанализировано большое число различ-
ных единых моделей электрослабого взаимодействия лептонов. Наи-
больший успех выпал на долю модели, предложенной Глешоу, Вайн-
бергом и Саламом и получившей название стандартной. Затем эта
модель была обобщена Глешоу, Иллиопулосом и Майани на электро-
слабое взаимодействие кварков.
Эта часть посвящена стандартной модели электрослабого взаи-
модействия частиц.
Глава 6
ЛАГРАНЖИАНЫ ЭЛЕКТРОСЛАБОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧАСТИЦ
В этой главе мы получим лагранжианы для стандартной модели
электрослабого взаимодействия как лептонов, так и кварков, а
также остановимся коротко на нестандартных моделях электросла-
бого взаимодействия частиц.
95
§ 6.1.	СТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОСЛАБОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЛЕПТОНОВ
Методика построения моделей. Переходим к рассмотрению моде-
лей электромагнитного и слабого взаимодействий. Для построения
лагранжиана единой модели надо:
1)	выбрать калибровочную группу; она определяет поля, пере-
носящие взаимодействие; число калибровочных полей равно раз-
мерности присоединенного представления этой группы;
2)	выбрать исходные фермионы, из которых будет строиться
модель;
3)	выбрать представления калибровочной группы и разместить
в них фермионы; обычно выбирают низшие представления группы;
4)	ввести необходимое число мультиплетов скалярных полей,
а также членов взаимодействия этих скалярных мультиплетов с
фермионами (юкавские члены), чтобы получить массивные частицы;
5)	выписать окончательный состав модели;
6)	записать глобально инвариантный лагранжиан модели;
7)	записать соответствующий локально инвариантный лагранжиан;
8)	использовать механизм спонтанного нарушения, получить
выражение для лагранжиана и диагонализовать его свободную
часть.
Подчеркнем, что выбор конкретного вида модели очень неодно-
значен, поэтому было рассмотрено большое количество различных
моделей.
Лагранжиан стандартной модели. Рассмотрим наиболее простую
единую модель электромагнитных и слабых взаимодействий, пред-
ложенную Глешоу, Вайнбергом и Саламом и названную стандарт-
ной.
1.	Для обеспечения слабого взаимодействия между лептонами
надо ввести по крайней мере три калибровочных поля (три проме-
жуточных векторных бозона). Минимальной унитарной группой,
обладающей присоединенным представлением размерности три, яв-
ляется группа SU2. Для обеспечения электромагнитного взаимодей-
ствия между лептонами достаточно ввести еще одно калибровочное
поле. Группой, обладающей присоединенным представлением раз-
мерности единица, является группа Выберем в качестве кали-
бровочной группы модели прямое произведение SU2xU1 групп
SU, и Ut.
2.	В качестве исходных частиц выберем электрон, рГ-лептон,
т-лептон и их нейтрино. Их волновые функции преобразуются от-
носительно группы Лоренца как спиноры.
3.	Предположим, что выбранные частицы размещаются в низ-
ших представлениях группы SUt (дублетах) следующим образом:
fve(x)\ /vn(x)\ pxWA
\T"(x)/’
Выделим в каждом дублете частицы с правой и левой поля-
ризацией:
96
К-Т<1-Т.>(?)-(^)а = я'. “=!• 2’	(в.1.1)
где ув = iv.T,?,?,.
Как показывает опыт, в доступной нам области энергий право-
поляризованные нейтрино и дублеты правополяризованных лепто-
нов не наблюдаются, поэтому мы ограничимся учетом лишь лево-
поляризованных SU-s-дублетов и правополяризованных 5(/а-сингле-
тов лептонов!
(ё^ЙХ. (ё-м)г. (ё-?)Х’ <К>).	4W- (6-1.2)
4.	Чтобы превратить безмассовые векторные калибровочные поля
в массивные промежуточные векторные бозоны, введем скалярные
хиггсовские поля. Как мы видели (см. гл. 3), каждому векторному
калибровочному полю, приобретающему массу, ставится в соответ-
ствие скалярное поле, которое становится нефизическим (голдстоун)
и удаляется; кроме того, появляется по крайней мере одно физи-
ческое нейтральное скалярное поле. Нам необходимо снабдить мас-
сами три векторных калибровочных поля; четвертое поле (фотон)
остается безмассовым. Поэтому надо ввести минимум четыре ска-
лярных поля; объединим их в дублет комплексных скалярных полей.
5.	Итак, модель состоит из трех левополяризованных лептонных
дублетов, трех правополяризованных лептонных синглетов и SUt-
дублета комплексных скалярных мезонов:
ИкМ. ЧИ; VW-	(6.1.3)
Электронный, мюонный и т-лептонный секторы совершенно анало-
гичны. Поэтому ограничимся рассмотрением одного из них, напри-
мер электронного.
6.	Глобально инвариантный относительно группы SU^xUf и
группы Лоренца лагранжиан электронного сектора запишем в виде
L = iZay|J,(5uZ,0 +	+ дцф°дц<рв + т2фафа—
—hLa<fiaR — hRcpaLa—f (<р® ф“)а.	(6.1.4)
Этот лагранжиан содержит свободные лагранжианы безмассовых
фермионных полей, хиггсовских скалярных полей, а также лагран-
жианы взаимодействия хиггсовских скалярных полей с фермионами
(юкавские члены, константа взаимодействия h) и хиггсовских скаляр-
ных полей самих с собой (самодействие, константа /). Фермионный
массовый член фф = LR~[-RL не вошел в (6.1.4) потому, что он не
4 № 1034
91
является калибровочным инвариантом из-за разных трансформаци-
онных свойств La (х) и R (%); фермионы приобретают массу за счет
юкавских членов. Потенциал хиггсовских полей
V (ф) = — т2фаф° +г/J (фаф°)2
обеспечивает отличное от нуля среднее вакуумное значение этих
полей. Поля преобразуются относительно группы SU2 следующим
образом:
L« (х) _ La' (х) = (e~(i/2) eW>abLb (x), R (x) — R' (x) = R (x),
ф° (x) — qX (x) = (e~(i/2) вт*е*)аЬф6 (x),	(6.1.5)
а относительно группы	—так:
La (x)-+La' (x) = (e-(1/2) eiYLet)abLb (x), R (x) -* R' (x) = e“(i/2) e'YReiR(x),
<p° (x) —< <p“' (x) =	818.) abyb	(6.1 g)
Здесь Y—оператор гиперзаряда, который определяется так:
V2y = Q-/8,	(6.1.6')
где Q—оператор заряда, /8 = г/ат8—оператор изотопического спина.
Подставляя в (6.1.6') собственные значения операторов Q и /8,
соответствующие лептонному сектору, найдем
1 v (°	(Ч* ° > Г-1/* 0 \ 1 v 1
у Yl = {o -1J — <0	О-1/2Л Ty« = — I-
Заметим, что введенные изоспины и гиперзаряд не имеют никакого
отношения к изоспину и гиперзаряду адронов.
7.	Локализуем преобразования (6.1.5), (6.1.6). Тогда для лаг-
ранжиана, инвариантного относительно глобальной группы Лоренца
и локальной группы	используя формулы § 2.3, 2.4 и 3.4,
получим
+	g4>b (тк)Ьа А£—X
х [<W +у-§(тл)а‘фМ5+у г1Ф“^и] +
+ iZ/% [сЦл + 4 g (W'L'AZ + 4 gl (У£)оЬРВц] +
+ iR Yu ( d^R + 4 gi У rR	)—hLa<?aR — hRq>a La +
4-т2Ф°Фа — 4(Та(₽а)2-	(6.1.7)
В этот лагранжиан входят:
а)	безмассовые калибровочные поля Вц(х), Л'Д(х);
б)	две константы связи g и gu соответствующие группам St/2
и Ut.
8.	Используем механизм спонтанного нарушения симметрии (см.
М, 3). Как видно из (6.1.4), симметрия SUixU1 спонтанно нару-
шена. Выберем вакуумное значение функции <ра(х) в виде (3.3.10),
введем новые вещественные скалярные поля ст (х) и (х) (где k = 1,
2, 3) и произведем сдвиг полей (3.3.11), фиксируя тем самым вакуум.
Подставляя (3.3.11) в (6.1.7) и выбирая калибровку @'*(х) = 0, при
которой голдстоуновские частицы пропадают, находим следующее
выражение для лагранжиана:
где
^0= - т (М»-М£) (Ме-М£)-| (Mv-W (д»ву-д,в») +
+ А*А&+ВЦВЦ-^ Л&ВЦ +1 mW 4- iR^R +
4- iZ>VtAL» + IDyAP -Y^L'R-^^RL\
|	(A^A?-А Ий?) (MM4) - 4 ИЬ A”-A Иц) x
Х(ЛЬЛ!?-ЛИ£) +^ав,в11 +Ла>в^ + ^оА^ +
+-f ctMMS	стМ’А + g^RB^ +
+f L^L'B» + f L^L'B» - f L^Af, + f L^Al-
(ЛЬ + 1Л&) -f	(ЛЬ- 1Л’) -
--Q h<jL»R —O- h<jRL*-l m	- i /ст4.	(6.1.8)
Вводя новые поля (3.4.4) и (3.4.5), диагонализуем свободный лаг-
ранжиан. Подставляя в полученный результат явный вид La и R,
определяемый (6.1.3), найдем выражение для лагранжиана стандарт-
ной модели через полевые функции:
^ = ^0 + ^,
где
=—7 (ал v-av^,) (<?л v -av^)11 л ц-
-1 (Му-Мц) (д^-д^) + ^±811
—j (Mv — dvA^ -h у М^ст—m2oa + iey^e—
—	+ ive7u ^ve;	(6.1,9)
4*
99
ig2
^/g=_	.. w^v(d^zv-dvz,)-
V g2+gi
-	(U-M) +
V g2+gi
-r (W	Uv,+Ьл-	+
v g24-gi
+	~ (W^W*-W^W^+W^W.-Wvd»Wv)лц-
У g2+gi
—f 1ГЛЛЛч( гллл,-.-£- ^uzMzvzv+
z	2	£2 + gi
cr4	*	*
+т4д v“v^	’W.A+
^ал’-Й71 ’^л'аа+7?й "7^z»-4'’+
+ dr? WAr-^i’A +"1(y/)aZ>Zt, +
б Tgi	V г	2 F /
+ 4	+ o2ZuZg + SS^^eAtl-
8	V g’-i-g?	___
-	(1 + eW^-Tk	+ V») v^u- ^4±sl X
Z у Z	Z z	Я
X КуцО+ъК^-ёуд fvs+^ст
(	L r+gi
—4 m/Jo8—4^4-
•2 ч )	1	—
f	1/0
(6.1.10)
В лагранжиан (6.1.9) входят поля, которые можно отождествить
с полем заряженного промежуточного векторного бозона W'n(x)
массы gtniy с полем нейтрального промежуточного векторного
бозона Zju, (х) массы gm/Y f, с электромагнитным полем /1ц, (х),
с вещественным скалярным полем о(х) массы тК 2, с электронным
полем е(х)массы tnh К2// и с полем левополяризованного нейтрино
vei(*); i = K g2 + g2!.
Токи стандартной модели. Промежуточные бозоны. Кроме того,
лагранжиан (6.1.10) содержит члены, описывающие взаимодействие
этих полей. Среди них имеются (мы учитываем электронный, мюон-
ный и т-лептонный секторы):
а)	лагранжиан электромагнитного взаимодействия лептонов
£>,= -eJeti‘(x)All(x),	е = -^,	(6.1.11)
g
где Jfiz —электромагнитный ток лептонов:
Jeii '(^) = ё’(л;)Т|хе(х) + р(х)-ум,|л(х) + т(х)7цт(х);	(6.1.12)
100
б)	лагранжиан взаимодействия заряженных слабых токов лептонов
^7 = - W (х)	(х) + э. с,	(6.1.13)
где —заряженный слабый ток лептонов:
Л+ >,z (х) = ve (х) yMLe(х) +	(х)	(х) + vt (х)-у^т (х); (6.1.14)
в)	лагранжиан взаимодействия нейтральных слабых токов леп-
тонов
= - 4 g [^H'v (X) + W (X)]	(X),	(6.1.15)
где	—нейтральный слабый ток нейтрино:
W (х) = J R (х)	(х) + 7ц (X) у^ (х) + 7Т (х) у^ (х)], (6.1.16)
—нейтральный слабый ток заряженных лептонов:
(х) = (— 72 + V [е (X) у^е (х) +ji (х) у^р. (х) + т (х)умДт (х)] +
+	(х)	(*) + Н (*) ТияМ- (х) + х (х) умх (х)].	(6.1.17)
Здесь
Vw^VnU+Vs), Yu« = Tu(l— Vs). £ = sin»Or = Д-,
g
(6.1.17')
причем при действии на спинор ip, удовлетворяющий уравнению
Дирака, имеем:
^ = %(1+т8)ф,
Vs), ipA- = ip7j(l+Vs).
где фд, фЛ—левополяризованный и правополяризованный спиноры.
Поэтому если использовать соотношение
Vn(l+Vs)==7»(l— Vb)Vu(H-Vs),
то получим
ФУньФ = 2фд уцфд,
т. е. выражения для токов можно записать в двух эквивалентных
формах, содержащих либо неполяризованные, либо поляризованные
спиноры. Для заряженного тока и его эрмитово сопряженного
имеем
(JF(x)r==JP(x).
Как видно, стандартная модель приводит одновременно к лагран-
жианам электромагнитного и слабого взаимодействий, и в этом
смысле она действительно является единой моделью этих взаимо-
действий.
Наиболее интересным свойством стандартной модели является
наличие нейтральных слабых токов. Их существование было пред-
сказано моделью. В дальнейшем целый ряд следствий, вытекающих
ИЗ этого предсказания, проверяли на опыте и было получено согла-
101
6.1. Взаимодействия; а—элекромагнит-
ное, б—слабое путем обмена И7- или
Z-бозонами, в—слабое контактное
сие теоретических результатов с экспериментальными (подробнее
см. в § 8.1).
Лагранжиан (6.1.11) стандартной" модели аналогичен лагран-
жиану электромагнитного взаимодействия квантовой электродина-
мики
2i = — ефуц'фЛц,	(6.1.18)
причем
е = — ggjg-	(6.1.19)
Другими словами, электромагнитное взаимодействие между лепто-
нами осуществляется посредством обмена фотонами (рис. 6.1, а).
Так как фотоны—безмассовые
частицы, то электромагнитное
взаимодействие — дальнодейст-
вующее.
По аналогии с электромаг-
нитным взаимодействием, слабое
взаимодействие между лептона-
ми в стандартной модели обу-
словлено обменом (рис. 6.1, б)
промежуточными заряженными -бозонами (заряженные токи) и
нейтральным Z-бозоном (нейтральные токи). Так как промежуточные
бозоны—массивные частицы, то слабое взаимодействие—коротко-
действующее.
В матричном элементе М процессов, обусловленных слабым
заряженным током, появится множитель (пропагатор)
М~ —?/6(ф-пЬ),	(6.1.20)
где «у-*-импульс, пу—масса промежуточного бозона. В пределе
малых энергий (<?’<Ст^) формула (6.1.20) переходит в
M~g*/(8/nH	(6-1.21)
Иначе говоря, при малых энергиях тот факт, что слабое взаимо-
действие осуществляется за счет обмена промежуточными бозонами,
оказывается несущественным. При малых энергиях лагранжиан (6.1.13)
переходит в эффективный лагранжиан, описывающий взаимодействие
четырех фермионов в одной точке (контактное взаимодействие)
(рис. 6.1, в). Такое четырехфермионное взаимодействие характери-
зуется константой G, и для него матричный элемент пропорциона-
лен этой константе:
(6.1.22)
Сравнение (6.1,21) и (6.1.22) для какого-либо конкретного процесса
дает
G_ g*
j/" 2	S/п^р.
(6.1.23)
102
Между константами и параметрами, содержащимися в стандартной
модели, существует ряд важных соотношений. Из (6.1.19), если при-
нять во внимание (3.4.8) и (6.1.17'), следует, что
е = — gsin0^, е = — gycosdw, е = — gsin9^cos9^. (6.1.24)
Свободный параметр 0^ называют углом Вайнберга. Из (6.1.24)
находим:
i = +	(6.1.25)
Следовательно, в стандартной модели взаимодействие всех калибро-
вочных полей определяется электрическим зарядом и свободным
параметром Свободный параметр появился потому, что группой
симметрии стандартной модели является прямое произведение двух
простых групп. St7a и i/t.
Из соотношений (6.1.19), (6.1.23) и (6.1.24) находим, что масса
W -бозона
/ ла \	1	37,3 rD е2
т™ = (	)	 X ~ ';.м - ГэВ, а = -т—.
w \ Y 2 б/ sin Оде, sin Оде,	4л
Тогда, имея в виду формулы
(6.1.26)
т^/т^-сяз Оде,,
(6.1.27)
получаем для массы Z-бозона
mz =	>    37’3	ГэВ = -Д£_ ГэВ. (6.1.28)
Z COS 9де, Sin Оде, COS Оде,	Sin 20де,	V '
Как видно, минимальные значения масс W7-и Z-бозонов довольно
велики. Промежуточные бозоны обнаружены экспериментально, при-
чем с теми массами, которые были предсказаны теорией.
Не менее важным было бы обнаружение хиггсовских бозонов.
К сожалению, в отличие от IT и Z'-бозонов в стандартной модели
массы хиггсовских бозонов не фиксируются и это затрудняет их
поиск.
§ 6.2. КВАРКОВЫЕ МОДЕЛИ АДРОНОВ
Адроны. В Приложении приведены основные характеристики
адронов, обнаруженных в последнее время.
Между адронами, как и между лептонами, существуют электро-
магнитное и слабое взаимодействия. Однако в отличие от лептонов
между адронами существует еще сильное взаимодействие. Этот факт
существенно усложняет ситуацию.
В этом параграфе мы остановимся на кварковой модели адронов.
Калибровочные теории электромагнитных и слабых взаимодействий
кварков будут рассмотрены в следующем параграфе, а сильных
взаимодействий—в ч. IV.
Как показывает опыт, адроны объединяются в мультиплеты.
Сначала были открыты изотопические мультиплеты адронов, затем
103
Таблица 6.1, Мультиплеты барионов
y = B+S		1		0		-1	—2
/		‘/2	3/2	0	1	‘/2	0
sP	V."	N1535		Л10 7О			
	Х/2 +			Л	2	S	
	3/2 +		N1232		21*38 5	S1580	
	%"	N1520		Л1690	S16ZO		
Таблица 6.2. Мультиплеты мезонов
y=s		0		±1
1		1	0	1/2
sP	0“	л	/ 11	К
	0+	$980	<$980	х1400
	1”	1 р, 1 р	-6 S	Лве2
	1 +	А,	m о	<?!
	1 +	В		Q2
	2+	Л2	J /1270 1 /1515	^С1430
унитарные и, наконец, сравнительно недавно—чармированные, Эти
типы мультиплетов связываются соответственно с S£7a-, SU3- и SUe
симметрией.
SU3-симметрия. Три кварка. К унитарным мультиплетам относятся
октеты и декуплеты барионов (табл. 6.1) и октеты мезонов (табл. 6.2).
Эти частицы размещаются в соответствующих представлениях
группы SU3.
104
Для объяснения существования мультиплетов Гелл-Манном и
Цвейгом была предложена кварковая модель адронов. Основные пред-
положения этой модели состоят в следующем:
1) существует фундаментальный SU^-триплет сильно взаимодейст-
вующих частиц, которые называют кварками и обозначают и, d, s.
Кварки и и d образуют изодублет (изоспин / = 1/з) со странностью
нуль; кварк s является изосинглетом (изоспин / = 0) со странностью
S = — 1;
2) наблюдаемые адроны представляют собой связанные состояния
либо кварков, либо антикварков, либо кварков и антикварков.
Квантовые числа кварков и, d, $ представлены в первых трех
строках табл. 6.3. Подчеркнем, что пространственный спин кварков
должен быть полу целым, так как только в этом случае удается
получить наблюдаемые значения спинов барионов и мезонов.
Т а б л и ц а 6.3. Кварки и их характеристики
Кварк	Электрический заряд Q	Чарм С	Странность S	Барионное число В	Г ипер- заряд Y	Простран- ственный спин S	Проекция спина /3
и	а/з	0	0	Чз	Чз	Чз	*/а
d	-1/»	0	0	Чз	Чз	Чз	—Л/<1
S	-1/»	0	-1	х/з	-Чз	Чз	0
с	2/з	1	0	Чз	-Чз	Чз	0
Мезоны строятся из кварка и антикварка; например, для октета
псевдоскалярных мезонов имеем:
К0 (sd)	(su)
л+ (ud) л°, т)° (ии, dd, ss) яг (du).
K+{us)	К0 (ds)
Барионы и барионные резонансы строятся из трех кварков; на-
пример, декуплет барионных резонансов выглядит следующим обра-
зом:
Q” (sss)
В** (uss) Е*~ (dss)	(6.2.1)
&+(uus)	(uds) %*~(dds)
A++ (uuu) A+ (uud) A0 (add) A" (ddd).
Электрический заряд Q кварка (адрона) определяется с помощью
квантовых чисел кварков (адронов) выражением
Q = /3 + Y/2 = /, + (В + S)/2.	(6.2.2)
3(/4-симметрия. Чарм. Для построения чармированных частиц
трех кварков недостаточно; необходимо ввести четвертый кварк—нор-
мированный. Его характеристики приведены в последней строке
табл. 6.3.
105
Таблица 6,4. Псевдоскалярные мезоны (нечармированные и чармированные)
	и	d	S	с
и	Г)' j Т] t л<* /1	' /I	л+		Do
d	л*	rf , ч	ло У"3 У в ]/"2	к»	D“
S	к-	К0	П* | 2г1 V з т V 6	F~
с	DQ		F+	Пс
Таблица 6.5. Векторные мезоны (нечармированные и чармированные)
	и	d	S	с
и	(ш« + р«)	Р+	к*+	D*!'
d	р-	—Х=-(со°—р°)		D*-
s	к*-	К*0	ф°	F*~
с	D*°	D*+		
По-прежнему мезоны строятся из кварка и антикварка. В SUe
симметрии мезоны образуют 15-плет, в который входят октет нечар-
мированных мезонов группы SU3i новый мезон со скрытым чармом
(состоящий из кварка с и антикварка с) и шесть чармированных
мезонов (с явным чармом). 15-плеты псевдоскалярных и векторных
мезонов приведены в табл. 6.4 и 6.5. Все эти частицы обнаружены
экспериментально. Принято изображать графически 15-плет в виде
восьмигранника, одна плоскость сечения которого содержит нечар-
мированные мезоны 5С/3-октета (рис. 6.2).
Барионы строятся из трех кварков (обычных и чармированных).
В 5£/4-симметрии возможны три 20-плета, один из них изображен
106
на рис. 6.3. Некоторые из чармированных барионов обнаружены
экспериментально.
В четырехкварковой модели заряд Q кварка (адрона) определя-
ют с помощью квантовых чисел кварков (адронов) следующим об-
разом:
q^!3 + (B + S + C)/2. (6.2.3)
Цветные кварки. Как мы
уже видели, у кварков долж-
ны быть полуцелые значения
спина. Такие частицы подчи-
няются принципу Пау-
ли, согласно которому в си-
стеме не может быть двух
фермионов с одинаковыми
квантовыми числами. Одна-
ко при построении частиц
6.2. Графическое изображение 15-плета,
из трех кварков этот прин-
цип не всегда удовлетвори- включающего чармированные мезоны
ется. Так, например, Q’-ча-
стица, входящая в декуплет (6.2.1), строится из трех идентичных
кварков. Чтобы избежать этого противоречия, кваркам приписали
еще одно квантовое число, которое назвали цветом. Тогда квар-
ки различаются еще цветом и противоречие с принципом Паули
исчезает. Цвет характеризует
сильное взаимодействие квар-
ков.
Увеличение числа кварков
требует расширения симметрии.
Наиболее естественным, расши-
рением 5(/гсимметрии является
3[/4х3[/д-симметрия, где5£/з—
цветная симметрия. Назовем
квантовое число, характеризу-
ющее тип кварков u, d, s и с,
ароматом и обозначим его
латинским индексом л=1, 2,
6.3. Графическое изображение 20-плета,
включающего чармированные барионы
3, 4, а для обозначения цветов
введем греческий индекс а=1, 2, 3. Тогда 12 кварков можно опи-
сать функцией которая представляется в виде следующей матрицы:
U1
<h
S1
Cl
«2
^2
«2
С2
и8
d3
S3
с3
(6.2.4)

При этом генераторы обычной 5(74-симметрии действуют на латин-
ские индексы а, а цветной—на греческие а. Иначе говоря, генерато-
ры обычной 5(/4-группы ароматов переставляют строки матрицы
(6.2.4), а генераторы цветной SL/3-груплы—столбцы.
107
Так как цветные адроны на опыте не наблюдаются, то к квар-
ковой модели добавляют еще один постулат: все адроны должны об-
разовывать синглеты цветной группы. Это означает, что барионы
должны состоять из трех кварков, различных по цвету, а мезоны—
из кварков и антикварков всех трех цветов с одинаковым весом.
Кварк-лептонная симметрия. Уже давно было замечено, что леп-
тоны и кварки сопоставляются друг другу
<г, vg, pi", ...
и, d, с, s, ...
и входят в теорию симметрично. Этот факт получил название кварк-
лептонной симметрии. Не исключено, однако, что как лептонный,
так и кварковый ряды будут продолжены далее, и остается совсем
не ясным, сохранится ли при этом кварк-лептонная симметрия.
Интересен также вопрос о максимально возможном числе арома-
тов кварков и лептонов. По различным оценкам, это число не пре-
вышает 7—8 кварков или лептонов, т. е. число лептонов и кварков
может оказаться небольшим.
В рамках кварк-лептонной симметрии лептонам также можно
приписать цвет (лиловый) и объединить лептоны с кварками, рас-
ширив симметрию до SU^xSUi Тогда 16 частиц будут описывать-
ся матричной функцией 7*(х) (где а, а=1, 2, 3, 4), которую мож-
но представить следующим образом:
/U1(X) и2(х) и3(х) ve(x)\
/у\ __1^1 (Х)	^2 (я)	^8 (х) е \	/С 9 Д/\
Qa(x)—\si(x) s2(x) s3(x)	(х) J*	(6.2.4)
XCi(x) e2(x) c3(x) vu(x) /
Два типа моделей с цветными кварками. Обычно предполагается,
что цветная симметрия является ненарушенной по отношению к
сильным взаимодействиям. Что касается электромагнитных и слабых
взаимодействий, то возможны два варианта: 1) цветная симметрия
не нарушена по отношению к этим .взаимодействиям; 2) эти взаимо-
действия нарушают цветную симметрию.
В первом случае электрические заряды кварков не зависят от
их цвета и должны быть дробными, во втором—электрические за-
ряды кварков могут быть не только дробными, но и целыми. Что-
бы убедиться в последнем, рассмотрим для примера модель, у ко-
торой группами аромата и цвета являются соответственно St/4 и
SUi Группа SU4 действует на индекс аромата а функции q% и пре-
образует функцию по фундаментальному представлению. Группа
SU[ действует на цветной индекс а и преобразует функцию q% по
сопряженному фундаментальному представлению. Следовательно,
функция q% преобразуется по представлению (4,4*). Генераторы Ай
группы SU4 аналогичны матрицам Az, которые определяются форму-
лами (1.2.13). Генераторы сопряженного представления A°k равны
транспонированным генераторам Ak с обратным знаком: А£ =—Aj.
Группа S(74 имеет три диагональных линейно независимых генера-
тора. Определим с их помощью матрицы , изоспина, гиперзаряда и
108
чарма следующим образом:
/1/2 О О (к /Vs о О (к
.	(О	-1/.	о	о\	v IО	Vs	о	о\
= 1 о	О	О	О А	г=\0	0	—а/з	о)’
'0	О	О	О'	Ч	О	О	О'
z1/1	оо	о	v
р	( 0	1/«	О	0	\	,п	л	е\
С	\0	О	1/4	о	)•	(0.2.0)
Ч	О	О	—3/а'
Эти матрицы действуют на ароматы. На цвета будут действовать
матрицы /з = — /8, Y' = — Y, С' = — С.
Имея в виду (6.2.3), определим электрический заряд цветных
кварков так:
(Q+<ruтс). А»+(«+Т у' -4 с'
(6.2.6)
Учитывая (6.2.5), (6.2.6), находим
/Vs о О О х /—Vs 0 0 О ч
/л । f)f\	I о ^/s о о \	, I 0 Vs о 0 \	л
(Q + Ч )ab, aim — I о 0 —Vs О ]	О 0 Vs о ) Ча- (6.2.7)
ко О о Vs/a& к о о О — VsZ“P
Действуя матрицей (6.2.7) на функцию q% (х), получаем значения
электрических зарядов кварков в случае группы Su4xSt/£:
Ui из ui v{,	/011	0.
di d2 d3 e~ \ I —1 0 0 —1
Si s2 s8 [i~ j *(—1 0 0 —1
'Ci c2 cs vjx' k о 1 1.	0
(6.2.8)
Как видно, все заряды кварков—целые. В настоящее время рас-
сматривают в основном модели с дробными зарядами кварков.
Тяжелые кварки. Недавно были открыты новые частицы с мас-
сой около 10 ГэВ, названные Г-мезонами. Было высказано предпо-
ложение, что этот мезон является проявлением нового, более тяже-
лого кварка Ь, обладающего новым ароматом—прелестью. Если это
так, то Г-мезон состоит из кварка b и антикварка b и вполне ана-
логичен ф-мезону—первому обнаруженному представителю семейст-
ва чармированных частиц.
Если пользоваться аналогией с другими кварками, то у 6-квар-
ка может быть партнер, названный t-кварком.
§ 6.3. СТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОСЛАБОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КВАРКОВ
Перейдем к обсуждению электромагнитных и слабых взаимодей-
ствий кварков.
Наиболее простой путь—распространить область применимости
стандартной модели на кварки.
109
1.	Выберем в качестве калибровочной стандартную группу St/2x
X Ut. Калибровочные поля этой группы являются переносчиками
слабых и электромагнитных взаимодействий между кварками.
2.	Исходными частицами модели будут 12 кварков, перечислен-
ных в (6.2.4), а также кварки b и I.
3.	Как показывает опыт, в доступной в настоящее время области
энергий правополяризованных дублетов кварков не существует. По-
этому, по аналогии с лептонами, объединим левополяризованные
кварки в SU2-дублеты:
L? = |(1+т.) (J)“ =	L? =4(1 +7.) &)“ = (£-): .
«=4-(1+ъ)(г)“-(£.)“, (в.зл)
а правополяризованные—в 5(/2-синглеты:
R? = 7а (1 —Ъ) d'a = <?, /?? = »/.(!-ъ) s'« = s'“,
^“ = 7а(1-Т6)й'“ = ^“.	(6-3‘2)
Здесь а—индекс цвета, он принимает три значения: а=1, 2, 3.
Кварки d!, s', b' представляют собой линейную комбинацию (сме-
шивание) кварков d, s, b. Необходимость смешивания кварков ди-
ктуется экспериментом; подробнее об этом будет сказано далее (см.
гл. 8).
4.	В качестве хиггсовских полей по-прежнему введем SU2-дублет
комплексных скалярных полей <р° (х).
5.	Таким образом, модель содержит девять левополяризованных
кварковых дублетов (6.3.1), восемнадцать правополяризованных квар-
ковых синглетов (6.3.2), один дублет комплексных скалярных полей
<р°(х). Три цветных кварковых сектора совершенно аналогичны
друг другу.
6.	Глобально инвариантный лагранжиан модели запишем в виде
L=iL^aTn5M,L“a+i^Y	<ЭцФа + /паф°ф°—‘/4/ (ф“фа)а—
— — * ___________________ _________*
- hnL^R^-h nR^L“a - hnL^aRan-hnR^L^a,
a—1, 2; n=l, 2, 3; m=l, ..., 6; a=l, 2, 3; ф = 1т2ф.
Преобразования входящих сюда функций относительно групп SU2
и определяются формулами (6.1.5), (6.1.6). Для кваркового сек-
тора в соответствии с (6.1.6') имеем
1у, = /а/8	0 х	/1/2	0 х	1у_ = /а/з ох
2ri ко -i/J	ко -V,; ко i/J’	2г«~ко -1/зГ
Далее, в полной аналогии с моделью Глешоу—Вайнберга — Са-
лама, найдем выражение для локально инвариантного лагранжиана
модели и используем механизм спонтанного нарушения симметрии.
В результате получим выражение для лагранжиана, аналогичное
ПО
(6.1,9.), (6.1.10), Наряду с другими членами в этот лагранжиан
войдут:
а)	лагранжиан электромагнитного взаимодействия кварков
—е^«(х) Дц(х),	(6.3.3)
где —электромагнитный ток кварков'.
Jfi ’ (*) = у	+ «*(*) Yus'(x) + Z7(x) y#(x)]—
—7S [йW Yn« (x) + c (x) ygc (x) +1~.x) Y^ («)];	(6.3.4)
б)	лагранжиан взаимодействия заряженных слабых токов кварков
^/==_Г717"м^+э-с-’	(6Л5)
где	"—заряженный слабый ток кварков!
’• Чх) = й(х) YuzX(x) + с (х) ущ/(х) + ~(х) Yul6'(x); (6.3.6)
в)	лагранжиан взаимодействия нейтральных слабых токов кварков
^l = -1M’4x)Z4x),	(6.3.7)
где УЦ-е—нейтральный слабый ток кварков (£ = sin80nz):
J'»' 17 W = (у—у &)	W + с W + ifa) Ъл! (*)]—
— у £[Й(х)уцЯ« (*)+й(х)Уияс (х)+7(х)у^ (х)] +
+ ( — у +-Н)	Yu^'(x)+s'(x) Ym s'(x) + b'(x) YuL^'W] +
+у£[й' (x) yv,Rd,(x) + sr(x)yllRs'(x)+ //(xlYuflfc'W]- (6.3.8)
Наиболее интересная особенность рассматриваемой модели за-
ключена в выражении (6.3.7) для лагранжиана взаимодействия
нейтральных слабых токов кварков. Этот лагранжиан не содержит
токов, меняющих ароматы. В частности, в этой модели запрещены
процессы, обусловленные нейтральными токами с изменением стран-
ности. Такой вывод хорошо согласуется с экспериментом: процессы
—► |л+р~,	—* л+е“е+ действительно запрещены с очень высокой
степенью точности.
Заметим, что в модели с тремя кварками указанные процессы
не запрещены, и это было одним из доводов в пользу введения
четвертого—чармированного—кварка задолго до открытия чарми-
рованных частиц.
Выражения (6.1.14), (6.3.6), (6.1.16), (6.1.17), (6.3.8) для заря-
женных и нейтральных слабых токов лептонов и кварков можно
111
записать в следующей компактной форме:
+	Л+’ = ^+и + ^+Ч	(6-3.9)
k
J'v =	ТЗ^Л—-2sin26wVji,
k
^ = -/S’' + ^’v + /r. ^==1. 2, 3.	(6.3.10)
Здесь Lk — левополяризованные SU2-дублеты:
(n. G-h (a. ea-
т—матрицы Паули; выражения для определяются формулами
(6.1.12), (6.3.4) соответственно для лептонного и кваркового секто-
ров, причем <7ц = <7^ l + Jeii
С учетом (6.3.9) и (6.3.10) лагранжиан слабого взаимодействия
запишем в виде
^=-^=-/Г«^(х) + э. с.-^-едВД. (6.3.11)
Отсюда для эффективного лагранжиана (q*<^mztW) получим
G /	\
+ «)	<в •3-12>
Согласно (6.1.28),
«УМ cos2 0ц/) = 1.	(6.3.13)
Поэтому (6.3.12) для стандартной модели перепишем так;
=	+	(6.3.14)
Лагранжианы и токи стандартной модели обладают рядом важ-
ных свойств. Перечислим основные из них.
1.	Электромагнитный ток является вектором. Поэтому лагран-
жиан электромагнитного взаимодействия инвариантен относи-
тельно инверсии пространства.
2.	Слабые заряженные токи имеют следующую пространственно-
временную структуру;
?Yu(l+?6) <7=?(Тц —bYu)<7-	(6.3.15)
Эта величина представляет собой разность вектора V и аксиаль-
ного вектора А, т. е. взаимодействие заряженных слабых токов
является (7—А)-взаимодействием. Из вида заряженного слабого
тока (6.3.9) также следует, что в него входят только левые компо-
ненты спиноров.
3.	Из того, что слабый заряженный ток имеет (V—А)-структуру,
следует, что слабое взаимодействие не инвариантно относительно
инверсии пространства. Действительно, при инверсии пространства
вектор V меняет знак, а аксиальный вектор А — не меняет. Поэтому
Н2
в лагранжиане
(7—	= т +	VA+ — AV+	(6.3.16)
при инверсии пространства первые два члена остаются без изме-
нения, но два последних меняют знак. Факт нарушения инвариант-
ности лагранжиана слабого взаимодействия относительно инверсии
пространства подтвержден экспериментально.
4.	Слабое взаимодействие не инвариантно также относительно
зарядового сопряжения. Это следует из вида лагранжиана (6.3.16),
в котором при зарядовом сопряжении члены VV+, АА+ знака не
меняют, а члены УЛ+, AV+—меняют его.
5.	Нейтральные слабые токи обладают двумя особенностями по
сравнению с заряженными: а) они диагональны, т. е. переводят
частицы сами в себя, б) содержат как левополяризованные, так и
правополяризованные компоненты спиноров. Отсутствие недиаго-
нальных членов и наличие одновременно левополяризованных и
правополяризованных спиноров подтверждаются экспериментом
(см. § 8.1).
6.	В выражение для заряженных слабых токов кварков должны
входить не кварки сами по себе, а их линейная комбинация (сме-
шивание кварков). Необходимость смешивания кварков диктуется
экспериментом (подробнее см. § 8.2).
Отметим также, что входящие в выражения (6.1.17), (6.1.18),
(6.3.8) для нейтрального тока коэффициенты, которые содержат
параметр были определены также путем анализа опытных данных,
без использования стандартной модели. При этом был получен един-
ственный набор значений коэффициентов, совпадающих с теми, ко-
торые дает стандартная модель при 1/4.
Таблица 6.6. Некоторые калибровочные модели
	Стандартная	Векторная	Асимметричная
Калибровочная группа	SUzXUi	SU2xUt	su2xut
Промежуточные поля	W±, Z, у	W±, Z, у	W±, Z, у
Левополяризованные фермионы		* i	ъ । 5*
Правополяризован- ные фермионы	UR) &R		uR, dR
Минимальное число хиггсовских полей	Один дублет	Дублет—для L Триплет—для R	Дублет—для L Триплет—для R
Соотношения между массами бозонов, § = — Sin2 0^7	/71^ (1	£) ~	m2z (1 — g) sS mfa	m|(l —
ИЗ
§ 6.4.	НЕСТАНДАРТНЫЕ МОДЕЛИ
Наряду со стандартной моделью анализировалось большое коли-
чество моделей, отличных от стандартной; назовем их нестандарт-
ными.
Интерес к нестандартным моделям можно объяснить двумя ос-
новными причинами. Первая из них связана с экспериментальной
ситуацией. В настоящее время на опыте проверено лишь ограни-
ченное число следствий стандартной модели (при этом точности
опытов еще невелики); целый ряд важных следствий стандартной
модели пока экспериментально не проверен. Вторая причина сво-
дится к проблеме однозначности стандартной модели: даже если
все основные следствия стандартной модели будут подтверждены
экспериментально, то останется еще вопрос о возможности суще-
ствования других моделей, так же хорошо объясняющих опытные
данные.
Неоднозначность выбора модели. Как мы видели, при построе-
нии единой модели надо выбрать: а) группу симметрии, б) представ-
ления группы симметрии, соответствующие фермионам, в) набор
исходных частиц, г) способ размещения частиц в выбранных пред-
ставлениях, д) представления группы симметрии, соответствующие
хиггсовским полям, е) лагранжиан взаимодействия фермионов с
хиггсовскими полями (юкавский член), ж) лагранжиан хиггсовских
полей.
Однозначно указанный выбор сделать нельзя, поэтому можно
построить большое количество нестандартных моделей. Простейшими
из них будут те, которые основаны на той же группе SU2xUlt что
и стандартная модель, но используют для правополяризованных
фермионов не скалярные, а дублетные представления (табл. 6.6).
Анализировались, например, следующие модели такого типа:
а)	векторная модель, в которой все правополяризованные фер-
мионы размещены в дублетах; одно из поколений этой модели
выглядит так:
(й». Q»;
б)	асимметричная модель, в которой правополяризованные фер-
мионы Ne и е" образуют дублет, а фермионы u, d—по-прежнему
синглеты:
&R*
Здесь —тяжелый нейтральный лептон, который пока экспери-
ментально не обнаружен.
Был изучен также ряд моделей, основанных не на группе
SU2xUlt а на других наиболее простых группах; среди них
SU3xUlt SU,xUu SO,xUlf O,xUu SPixUv SU2xSU„
U2L X UiRt su2 xU.xU^ SU2L X SU2RX £4, SU,L x SU,Rx sua, su,
114
и др. Построение нестандартной модели ведется тем же методом,
что и стандартной. Специфика группы заданной нестандартной мо-
дели проявится в том, что на каждом этапе построения появятся
некоторые характерные особенности.
Модель SU3xU1. Мы проиллюстрируем это на примере одного
из вариантов нестандартной модели, основанной на группе SU8x
1.	Калибровочной группой модели является группа SU8xUr.
Всего модель содержит девять калибровочных полей.
2.	Разместим фермионы в низших представлениях группы SU8—
синглетах и триплетах.
3.	В качестве исходных выберем следующие мультиплеты пра-
вополяризованных и левополяризованных фермионов:
а)	триплеты лептонов
е_\	/и“\	/т“\	/е”\	/и“\
Ve ) , (	) ( VT )	( £; 1 М"	( Г1 ) •	(6.4.1)
.^4	\e°Jr
б)	синглеты лептонов
Ъ, T~L, E°l, M°l, T*L;	(6.4.2)
в)	триплеты кварков
г)	синглеты кварков
cR, gL.
(6.4.3)
(6.4.4)
Здесь М°{, ТЧ—новые тяжелые нейтральные лептоны, пока
экспериментально не обнаруженные.
4.	Введем два триплета <р,- и и два октета фу хиггсов-
ских полей.
5.	Следовательно, модель состоит из перечисленных выше муль-
типлетов Ч*' лептонов, кварков, а также хиггсовских полей Ф.
6.	Глобально инвариантный лагранжиан запишем как
L =	4TW—Р (Ф),	(6.4.5)
где Р(Ф)—лагранжиан взаимодействия хиггсовских полей.
7.	Локализуем лагранжиан (6.4.5), имея в виду выражение
(2.1.12) для обобщенных производных полей.
8.	Используем механизм спонтанного нарушения симметрии.
Выберем лагранжиан взаимодействия хиггсовских полей Р (Ф)
в виде, который приводит к следующим значениям вакуумных средних:
... /о 0 0\	„ /0 0 0\	/0\	/1\
(<р<-л=7^ °(ча=-рй=-^ о -i ), фс),»^	(ф;),=Цо ),
где vx, и2, wlt а>2—параметры, определяющие значение масс частиц.
115
Диагонализуем свободный лагранжиан; при этом, как оказы-
вается, необходимо ввести два свободных параметра (один из них
аналогичен углу Вайнберга).
В результате в лагранжиан войдут поля, которые можно ото-
ждествить с полями трех заряженных и двух нейтральных проме-
жуточных бозонов, с электромагнитным полем, с полями правопо-
ляризованных и левополяризованных лептонов и кварков. Каждой
из этих частиц соответствует определенная масса.
Кроме того, лагранжиан содержит члены, описывающие взаимо-
действие перечисленных полей. Среди них есть лагранжианы
электромагнитного взаимодействия лептонов, кварков, а также ла-
гранжианы взаимодействия заряженных и нейтральных слабых токов
лептонов, кварков.
Как видно, рассмотренная модель отличается от стандартной.
Аналогичным образом можно построить лагранжианы других не-
стандартных моделей.
На этом мы заканчиваем рассмотрение лагранжианов электро-
слабого взаимодействия частиц и переходим к анализу электро-
магнитного и слабого взаимодействий в рамках стандартной модели.
Глава 7
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
В этой главе мы построим ковариантную теорию возмущений
для квантовой электродинамики в рамках формализма континуаль-
ного интегрирования, найдем правила соответствия Фейнмана для
матричных элементов процессов и получим в качестве примера
выражение для дифференциального сечения Комптон-эффекта в пер-
вом порядке теории возмущений.
§ 7.1. КОВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ДЛЯ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Квантовая электродинамика, описывающая электромагнитное
взаимодействие лептонов и фотонов, характеризуется лагранжианом
{5.1.7). Если учесть, что интегрирование по частям дает
— J dx (дцАудцАу—дцАдДуАц) == J dxAp, (Q	Av, (7,1.1)
то производящий функционал W в а-калибровке запишется в соот-
ветствии с (5.1.26) как
W (/ц,^^) = R J	(х) Й>ф (х) х
X exp (i Jdx |у Дц (□ g'p.v — (1 —^-)^v) Л + Ф	Af)i|> +
+ •Мц + ’ПФ + ФЛ
116
или после преобразований—в виде (5.1.30)
№ (Jн. П. П) = # ехр (— у j dxdyjи (х)	(x—y)Jv(y) —
— i j dxdyn(*)3^-1U—Z/)nO/)} •	(7.1.2)
Для производящего функционала 3 (Лц, ф0, ф0) = 5э, согласно
(5.1.31), имеем
Sa = R exp j — i j dx (7Ц (x) (x) + ф0 (x) t| (x) + rj (x) ф0 (x)) —
—i J dx dyjц (x)	(x—y) Jv (z/)—
— i f dxdz/rj(x)^’-1(x— z/)t](z/)l|	.	(7.1.3)
J | J — fj— l| — и
Оператор ’X"l(x—у} определяется соотношением
(iyudg— M)^jr jd/7^-1(p)e-'>(JC">') = 6(x—z/).
В импульсном представлении
в координатном представлении
(7J-5>
Обратный оператор 7Ql}(x—У) определяется из соотношения
0 gjiv	рл)4 У	е (х у} (х у)
В импульсном представлении
^(^) = -i[^v-(l-a)^],	(7.1-6)
в координатном представлении
«x-£) = ^J^[^v-(l-a)^] е^^>. (7.1.7)
Разлагая дифференциальный оператор, входящий в (7.1.3), вряд
по константе связи е, получаем выражение для Зэ в теории возму-
щений:
q	б 6	. е2 е , ,	6	6	6
5э = II + е \ ах-уц ——---------1— \ ахау-----уи —--------х
L J 6т] (%)	(х) 67ц (х) 2J У6т] (х) И 6т) (х) 67ц(х)
; '+•••] ехр{— * f ^ИиЛ+Фоп + пФо)—
оп(^) 6nto)6Jv(t/) J I J
— yj dxdyJg/f^Jv—i ydxdz/r)3?-1Ti) .	(7.1.8)
117.
Отсюда, например, во втором порядке теории возмущений получим
Sy” = —е2 § dxdyA^ (х) ijj0 (х) у^ (х) Д’ (у)	(у) yvip0 (у) —
— ie2 J dxdi/^0 (у) Tv^v (у) Ж'1 (у—х) Д£ (х) у^ (х)—
—еа § dxdy (х) ТмЯ’о (х) Kjv (х—у) (У)	(у) +
+ у е2 j dxdr/Дц (х) УцЭ£~1 (х—у) yv3^-1 (у—х) Д£ (у) +
4- е2 j dxdt/4>0 (у) yvKv,l (у—х) З^-1 (у—х) у^ (х) +
+ j е2 J dx dyW1 (х—у) yvK^ (у—х) З^"1 (у—х) yg+
+1 е2 j dx dyAl (х)	1 (0) ^у1 (0) yv Д’ (у) +
+ ув2 j dxdz/3^71 (0) yv/<vj (У—х) у^у1 (0)—
— ie2 J dx dy ijj0 (у) yvip0 (у) Д$ (y)^1 (0) уцA?, (x) +
+ e2 jdx dy ip0 (y) yvifi0 (у) /<7|1 (x—у) УцЭ^1 (0)-	(7.1.8')
Действуя тем же методом, что и при получении (5.2.8'), найдем,
исходя из (7.1.8'), выражения, например, для амплитуд процессов
рассеяния фотона на электроне во втором порядке теории возму-
щений, совпадающие с (1.1.29).
В случае электродинамики в выражение для матричного элемента
войдут различные комбинации функций свободных частиц (фермио-
нов, фотонов), пропагаторов (фермионов, фотонов), вершин электро-
магнитного взаимодействия (двух фермионов и фотона). Пропагатор
свободного спинорного поля определяем как
Я2	—
^(х—у)~--------=—20(7м, т], л) _
(*) би О')	7 j=n=n=o
Подставляя сюда (5.1.12) и учитывая (7.1.2), (7.1.5), имеем в им-
пульсном представлении
= <7-L9>
в координатном представлении
<7-L10>
Пропагатор свободного электромагнитного поля определим как
^v(^—«/)=	П’ ^L=n=VT=o'
118
Подставляя сюда (7.1.2) и учитывая (7.1.7), получим в импульсном
представлении
^vW = ^(guv-(l-a)^rL).	(7.1-11)
в координатном представлении
(х-у) = (2^4 J (ffnv - (1 -«)'^)	(7.1.12)
Полагая в (7.1.12) а = 0, приходим к выражению для пропага-
тора фотона в калибровке Ландау, а а=1—в калибровке Фейнмана.
Таблица 7.1. Выражения для пропагаторов фотона в различных калибровках
Калибровка
a
Ландау
Фейнмана
Кулоновская
Аксиальная
Выражение для (ft)
1 (	Z1 v	k[iky	\
£2 ^gUV	(1	<^)	£2	J
1 f ~	k[l fay \
£2 ( gM-V ^2““ j
1
£2 guv
J®00 (^) = —j^2»
®0fe (k) = £Dko (ty —
SJfy (#)=	gjj" J £2*
1 f f П2&Ц ky — (nk) ky. Пу — (nk) tlfi ky
Таким же образом, пользуясь формулой, аналогичной (4.2.63),
получим
Кцу (х) = ( О §iiv — U "Т ” gvkgyi .
Находя обратный вид этого оператора и устремляя a0, полу-
чим для пропагатора фотона в кулоновской калибровке
^\ly (k)-----------^lLlv(^) ----
-®00 (^) - ^2 »
®.у(й)= —
(7.1.13)
Выражения для пропагаторов электромагнитного поля в различных
калибровках приведены в табл. 7.1; по поводу аксиальной калиб-
ровки см. (5.3.16).
119
Таблица 7.2, Правила соответствия для амплитуд квантовой электродинамики
Физическое состояние
Математическое
выражение
Графическое
изображение
Электрон в начальном состоянии	*£”>(₽)
Позитрон в начальном состоянии	(р)
Электрон в конечном состоянии	^(+) ф/j
Позитрон в конечном состоянии	0,7’(р')
Фотон в начальном или конечном
состоянии
Движение виртуального электрона	I
Й31 в 2
Движение виртуального позитрона	1
из 1 в 2	7+7
Движение виртуального фо гона	J_
между вершинами с индексами сум-	№
мирования ц и v (калибровка Фейн-
мана)
Вершина электромагнитного взаимо-
действия
Вершину взаимодействия двух фермионов и фотона найдем
с помощью (5.1.24):
ГЯ(А- Т, =	V(x), Т(х)) =
= Jdx [-4	, (7.1.14)
где
_ ^д (^> Л> Л) ip /д.\ _ и» Л> Л) ip / __ ^д Л> Л)
' 6Ju(x) ’	6r]W ’	' ’
и 2д(Уц, rj> Л) определяется формулами (5.1.21) и (5.1.23). Исполь-
зуя определение
Гои(х, у, г) — ( — 1)ао-Дгд тДг ГДМ., Ф,'Р)1 „ -
бЛ.йбТй 6¥(£/) Д	’ <//и = 'Г='Г:=0
и (7.1.14), получаем для вершины электромагнитного взаимодейст-
вия, опуская 6 (р+ // + &)>
Гоц(р, =	(7.1.15)
Правила соответствия для амплитуд в импульсном представле-
нии для квантовой электродинамики сведены в табл. 7.2.
120
Подчеркнем, что в отличие от операторного метода способ кон-
тинуального интегрирования позволяет построить формализм кван-
товой электродинамики без явного введения индефинитной метрики.
Диаграммы Фейнмана в первом неисчезающем порядке теории
возмущений для двух основных электродинамических процессов
изображены на рис. 7.1 и 7.2, Соответствующие выражения для
7.1. Диаграммы для Комптон-эффекта на
электроне
7.2. Диаграммы процесса рассея-
ния электрона на электроне
матричного элемента каждого процесса, полученные с помощью табл.
7.2, выглядят так:
а)	у (k) +	(р) —> у (kf) + е~ (рг) (Комптон-эффект на электроне):
Л4 = (— ie)2 { (pz) ev	(p) +
+ i7<t> (p')	'v'~ ’<₽)}’« = ei* Vi*>	(7.1.16)
6)	e_ (Pi)4-e~ (ps) —*e“ (pa) + e~ (pt) (рассеяние электрона на элект-
М = (—ie)2 (1) <+’ (ря) Тио<-> (Р1) (рД1)г (р4) уцоГ (Ра)—
(7.1.17)
§ 7.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ
Формула для дифференциального сечения. С помощью матричного
элемента можно определить вероятность, а следовательно, и диффе-
ренциальное сечение процесса. Рассмотрим сначала процесс
1(р1) + 2(р2)->3(р3) + 4(р4),	(7.2.1)
в котором две свободные стабильные частицы сталкиваются и пре-
вращаются в две другие частицы. Матричный элемент (S—I)fi=sATft
такого процесса можно представить в виде произведения, одним из
множителей которого является функция 6(р3 + р4—Pi—ра), соот-
ветствующая закону сохранения энергии — импульса, т. е.
i7/< = Na (2л)46 (ра + pt—рг—ps) M,t,	(7.2.2)
где 7Va—нормировочный множитель.
121
Вероятность перехода из начального состояния в конечное опре-
деляется квадратом модуля Tfi:
W' = I Tfi I* = Ni [(2л)‘6 (Pa + Pi-Pt-pj\* I Mf{ I*.	(7.2.3)
Чтобы получить вероятность перехода, при котором импульсы
конечных частиц 3 и 4 попадают в интервалы (р3, p3 + dp3) и
(р4, р4 + dp4), надо умножить (7.2.3) на элемент фазового объема:
dp3l/ dp4V
(2л)3 (2л)3 •
Тогда вероятность перехода в единичное время (при Р=1)
К) = (2лЖ|/ИЛ|3б(р3 + р4-р2-р1)?|23	(7.2.4)
По определению, дифференциальное сечение doF процесса (7.2.1)
равно вероятности (7.2.4), деленной на плотность потока /0 началь-
ных частиц:
+	Р.2.5)
С помощью этой формулы можно найти дифференциальное сече-
ние как для поляризованных, так и для неполяризованных частиц.
В последнем случае надо произвести суммирование по проекциям
спинов конечных частиц и усреднение по проекциям спинов началь-
ных частиц /обозначим обе эти операции знаком 2 V
\	спин/
do=Sdar.	(7.2.6)
СПИ В
Если в конечном состоянии образуется более двух частиц, то
выражение (7.2.5) перепишем так:
4=	| Mfl |36 ( X Pf-Pi-PtYlI A,
Jo	\ f	/ f
. .	o	TT ^P/	.
где —матричный элемент процесса, JLLffijs—произведение фа-
зовых объемов частиц в конечном состоянии, 2р/—сумма четырех-
мерных импульсов частиц в конечном состоянии.
Найдем выражение
|Л4/г|* = Л^Л4„.
Рассмотрим процесс, в начальном и конечном состояниях которого
имеется один фермион (электрон или позитрон). Тогда матричный
элемент можно записать в общем виде следующим образом:
_	(7.2.7)
где О — оператор, содержащий матрицы у. Так как [м (ра) Ou (pjj* —
-u(pt)Ou(Pt), где	то
|M/(|2 = SpA (р2) ОА (Р1)о.
122
Здесь
Л (рх) = и (Pi) и (рх), Л (р8) == и (р2) и (ра).
Следовательно,
do^^/V’Sp {Л(ра)ОЛ(р1)О} d(pa+pt-Pl-Pi) Д.
(7.2.8)
Если частицы не поляризованы, то:
1) для частицы со спином 1/2 и массой т
Л(р)==р + т;	(7.2.9)
2)	для античастицы со спином 1/2 и массой т
&{р) — р—т-,	(7.2.10)
3)	для частицы со спином 1 и массой т
Л(рц, pv) = Et/u(s)^v(s) = -(^v-^)	;	(7.2.11)
4)	для фотона
Л(^, ^) = 2Л*(5)ДУ(5) = -^-	(7.2.12)
S
Если частицы поляризованы, то:
1) для частицы со спином 1/2
A(p) = Vs(3 + m)(l-Vts),	(7.2.13)
где
8ц = («о, s), se= 1(р|),	+
§—единичный вектор в направлении поляризации частицы в си-
стеме координат, где она покоится;
2) для античастицы со спином 1/2
А(/») = ‘/| (р—т)(Д— y6s).
При суммировании по четырем поляризациям фотонов удобно
пользоваться соотношениями
yvayv = 4a,	(7.2.14)
yvayv = —2а,	(7.2.15)
yva&Yv = 4ab,	(7.2.16)
yvabcyv =— 2с ba.	(7.2.17)
Шпуры. Способы вычисления шпуров матриц у основаны на
следующих формулах:
а)	для у-матриц выполняются соотношения
+	=	= —ЪТю Т& = + 1;	(7.2.18)
123
б)	шпур любых матриц (в частности, у-матриц) не меняется при
их циклической перестановке, т. е.
Sp (ЛВ) = 2 A „Вл = 5 Bjt A tJ = Sp (ВЛ).	(7.2.19)
V	И
Из (7.2.18) (и 7.2.19) вытекают следующие соотношения:
1)	шпур от произведения нечетного числа матриц у равен нулю;
действительно,
Sp (YhYv • • • Yp) = — Sp (VsTuYv  • • Yp v6) = — Sp (YgYv • • • Yp) = 0;
2)	шпур n у-матриц не меняется при изменении порядка матриц
на обратный:
Sp (YnYvYaYp • • •) = Sp (... YpYaYvYn);
3)	Sp7 = 4, где I—единичная матрица;
4)	Spy5 = 0, потому что Sp ye = Sp yoyoys = — Sp уоу5уо ==
Sp yB = 0;
5)	SpypYv“4^v;
6)	Sp ab = 4 (ab), где а и b—произвольные четырехмерные
векторы;
7)	Sp(YlxYvYaY₽) = 4(^v^p — gnagvfi + g^gva);	(7.2.20)
8)	Spabed — 4 [(«&) (cd) + (ad) (be)—(ac) (bd)],	(7.2.21)
где a, b, c, d—произвольные четырехмерные векторы;
9)	Sp а b c def= 4 [(ab) (cd) (ef) 4- (af) (be) (de) + (ab) (cf) (de) -f-
4- (ad) (be) (ef) + (af) (be) (cd) + (ac) (be) (df) 4- (ad) (bf) (ce) 4-
A (bd) (cf)—(af) (bd) (ce)—(ad) (be) (cf)-(ab) (ce) (df)—
— (ac)(bd) (ef) — (ac) (bf) (de)—(ae) (be) (df)-(ae) (bf) (cd)], (7.2.22)
где a, b, c, d, e, f—произвольные четырехмерные векторы;
10)	1SP (YeYnYvYaYp) = еишр;	(7.2.23)
11)	ту Sp (Л| 4" <2j) (Ла -j- c^i) (Л8 4- ®з) (^4 4“ O4)=	4- ct^ad x
X (Л8 At 4- Offli) 4- (Лг Л4 4- ад) GM, 4- ад)—(Л Aa—ад) x
х(ЛаЛ4—яа).	(7.2.24)
где A{, at—величины, не содержащие матриц у.
Сечение Комптон-эффекта. Вычислим для примера дифференциаль-
ное сечение упругого рассеяния фотонов на свободных электронах
во втором порядке теории возмущений. Диаграмма Фейнмана этого
процесса изображена на рис. 7.1, а соответствующий им матричный
элемент дается формулой (7.1.16). В знаменатели (7.1.16) входят
квадраты суммы импульсов:
(р 4- k)2—т2 = 2 (pk) = т2хх,
(р — k')2—т2 = — 2 (pk') s тЫг.	(7.2.25)
Заменим в (7.1.16) 8* на yv и 8х' на ум, что обеспечит суммиро-
вание по четырем состояниям поляризации фотона. Подставляя полу-
124
ценный результат в (7.2.8) и учитывая, что для любого четырех-
мерного вектора а = у0(аоуо—ау)+у0 = а, находим с учетом (7.2.9)
и (7.2.25) выражение для дифференциального сечения, когда все
частицы не поляризованы:
do = ^- Sp 0 (р + т) О (р' + т) b(p-\-k—р' — k') dp' dk'. (7.2.26)
Здесь
0 = ^%b(Zi + /n)'Yv + ^;Vv(fs + ”I)W> N '“ l&Mo'ee' /0(2л)*’
/0 = р(| v| — | | cos 9) — плотность тока; p, | v | — плотность и скорость
рассеиваемых частиц; |vs|—скорость рассеивателя; 9—угол между
к и v; со, е—энергии фотона и электрона, А==р + Л, fi = p—k'.
Выражение (7.2.26) удобно переписать так:
da = ЛР/4 Sp F6 (р + k—р' — k') dp' dk',	(7.2.27)
где
SpF = Sp	Vv + Yv	(p + tri)yvYu(p' + m) +
+ ^-Sp	+ Yi*] (p + m)Yn^^Tv (p' + tri). (7.2.28)
Произведем в (7.2.27) интегрирование no dp' и dk', используя
наличие 6-функции. Интегрирование по dp' дает
da=JV' у dk'JpSpF6(в + со—в'—со').	(7.2.29)
>	4-
Чтобы взять интеграл по к', представим объем dk в сферических
координатах:
dk' = |k' |2d | k' | dQ = co'8^- dQd£,,
где dQ—элемент телесного угла, в котором лежит вектор k'; Ef—
полная энергия конечного состояния. Тогда
da = N' 4 SpFco'8 dfi^,	(7.2.30)
при этом
в' « К/п® + (р + к—к')8 =
= |^8* + со8 + 2рсо cos 9j -f- со'8—2рсо' cos 92—2сосо' cos 9,
д (е'4-а>') p'k' _ /n8xi
дсо' Эш' е'ш' 2в'со' ‘
С учетом последнего перепишем (7.2.30) следующим образом:
da=^lSpF^g-dQ.	(7.2.31)
Вычислим теперь шпур (7.2.28). Как видно, второе слагаемое
в (7.2.28) получится из первого путем замены k—> — k', k' —+~k,
125
которой соответствуют замены Д —► Д,	> Д, -* х2, х2 —<- хР
Поэтому SpF можно представить в виде
SpF = P(xl, х2) + Р (х2, xj, Р(хп х2) = Л1(х1, х2) + Л2(хг> х2),
где
Л1 (Xi, х2) = -J-;-Sp ум (Л + т) yv (р + tri) yv (fi + tri) уц (/? + т),
/Oj
/i2 (xt, х2) == -±- Spyv (h + fri) ум (p + tn) Yv (h + tn) (p' + tri),
ifl
Производя в h1(‘Kl, x2) суммирование по p, и v с помощью
(7.2.14)—(7.2.17) и используя (7.2.24), находим
/ij (х1( х2) = -Jr Sp [ApApz + 4m2 (Др + ftp' — fD—mfpp' + 4tn4] =
tn Xj
= 8-4- (4 + 2X-L—XtXa).
Xi
Аналогичным образом получим
К (*о *2) = 8	; (4 + х, + х2);
поэтому шпур (7.2.28) равен
|sp^ = 4ri + l)44(l + ^)-(^+^UF0. (7.2.32)
Подставляя (7.2.32) в (7.2.31), получаем выражение для диффе-
ренциального сечения рассеяния фотонов на свободных электронах
во втором порядке теории возмущений:
=	(7.2.33)
где rg = ea/(4nm) — классический радиус электрона. Если ввести
инвариантные переменные
s==(p + -fe)a = (p'+A’,)a, ы=(р—А')а=(р'—^)а, t = (p'—p)*=(k'— k)*,
то (7.2.25) и (7.2.32) перепишутся такз
пг3х1 = (р + k)2—tn?~s—tn2, m2x2 = (p—k')2—m2~u—
F   . Г / m2 . ma \2 . ffl2 - m2_____1 /s—m? ~ и—m2 \ l
0	LU—m2'*' и—tn2) •* s—tn2 и—tn2	4 U — tn2' s—m2 / J ‘
Глава 8
СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ
Эта глава посвящена анализу процессов с участием слабых токов
в рамках стандартной модели. Мы рассмотрим основные процессы,
обусловленные нейтральными слабыми токами, а также заряжен-
ными слабыми токами. Кроме того, обсудим те дополнительные
возможности, которые открывают для объяснения нарушения СР-
инвариантности единые калибровочные модели.
126
§ 8.1. ПРОЦЕССЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ НЕЙТРАЛЬНЫМИ
СЛАБЫМИ ТОКАМИ
Слабые взаимодействия лептонов в стандартной модели описы-
ваются лагранжианами (6.1.13), (6.1.15), а кварков—лагранжиа-
нами (6.3.5). (6.3.7).
Рассмотрим сначала процессы, обусловленные нейтральным сла-
бым током. Последний можно записать в виде
=	+	+	(8.1.1)
Входящие сюда токи определяются формулами (6.1.16), (6.1.17),
(6.3.8). Согласно (6.3.14), для эффективного лагранжиана взаимо-
действия нейтральных слабых то-	+	+
ков будем иметь	е*	/г е\
G	X 7 /	\ Z /
=	(8.1.2)
_	е~'	,	/4’
Рассмотрение этого лагранжиа- а)	о)
на приводит к целому ряду пред- 8Л. Диаграммы процесса е+е~ ->
сказаний. Остановимся в качестве	—
примера на некоторых из них.
В лагранжиан (8.1.2) входят члены двух типов—диагональные
и не диагональные.
Диагональные члены. Диагональная часть эффективного лагран-
жиана (8.1.1) выглядит так1
= — (/"•	'• +	‘ J ft ‘	«).	(8.1.3)
Первое слагаемое этого лагранжиана описывает слабое взаимодей-
ствие между нейтрино, второе—между лептонами, третье—между
кварками. Рассмотрим процесс
е+ (k') + е~ (k)	р+ (//) +	(р).	(8.1.4)
Он обусловлен как электромагнитным, так и слабым нейтральным
взаимодействием. Поэтому в процесс (8.1.4) дадут вклад как обмен
виртуальным фотоном (рис. 8.1, а), так и обмен виртуальным Z-бо-
зоном (рис. 8.1, б). Согласно (6.1.12) и (6.1.17), амплитуда М про-
цесса (8.1.4), если пренебречь массами электрона и мюона по
сравнению с их энергиями, запишется в форме *
м = 7[Й(Р) W (Р')][ё(k')уде (Л)] + 4(<?2£т|) [( — у+Б ) Й(р) X
X Уши (р'ШЙ (Р) ТияН(р')] [( — 4+^) ^') У^е (*)+&? (k') ^Re (&)].
__________ (8-1.5)
* В_этой_главеji, е, v, к, d обозначают спинорные функции начальных час-
тиц, a |i, е, v, и, d—конечных частиц; явный вид этих спиноров, а также про-
пагаторов частиц приводится в табл. 7.2; 1/(<72—2)— множитель, обусловлен-
ный пропагатором промежуточного U7- или Z-бозона.’
127
Отсюда для дифференциального сечения в с. ц. м. при q2<^triz по-
лучаем
ф [(« + 6) (1 + cos8 ft) + (a~b) 2 cos ft],	(8.1.6)
где
6—угол между импульсами электрона и мюбна в с. ц. м. Если
х = 0, то а — = 1 и (8.1.6) переходит в сечение аннигиляции е+е~ —*
—>п+|л*“, обусловленной только электромагнитным взаимодействием.
8.2. Диаграмма процесса 8.3. Кварковые диаграммы процесса vN —> vX
Если	то х<0, (а — Ь) х/4 < О и отрицательные мюоны,
согласно (8.1.6), разлетаются под большими углами (Ф~180°)
в направлении исходного позитрона, т. е. возникает зарядовая
асимметрия. Это обстоятельство позволяет выделить эффект, обу-
словленный нейтральными токами.
Недиагональные члены. Недиагональная часть лагранжиана (8.1.2)
запишется в виде
^nd =	‘	Щ »).	(8.1.7)
Первое слагаемое этого лагранжиана описывает слабое взаимодей-
ствие между нейтрино и лептонами, второе—между нейтрино и
кварками, третье—между лептонами и кварками.
Нейтринно-лептонные процессы. Примером такого процесса
является рассеяние на электроне:
Vli(k) + e-(p)-^^(k') + e-(p').	(8.1.8)
Этот процесс обусловлен только слабым нейтральным током. Поэтому
в низшем порядке теории возмущений вклад дает только обмен
виртуальным Z-бозоном (рис. 8.2). В соответствии с (6.1.16) и (6.1.17)
этой диаграмме отвечает матричный элемент
М = ~ (vgy^Vn) [( — у + fc)	+ &4W j,
128
который приводит к следующему полному сечению:
av [(""т+^+т5’]’
где s = (p + A)s.
Нейтринно-нуклонные процессы. Рассмотрим процесс рассеяния
нейтрино на нуклоне, обусловленный нейтральным слабым током:
v(k) + N(p)->v(k') + X(p'),	(8.1.10)
где М —нуклон, X—все остальные частицы, q = k—k'=p'—р —
переданный импульс. Введем переменные v = pq/M и qa (М.— масса
нуклона). Область, в которой переменные удовлетворяют условиям
№—qa/(2Mv) (фиксировано),
называют глубоконеупругой. Ограничимся анализом процесса (8.1.10)
в глубоконеупругой области.
Нуклоны состоят из кварков. Поэтому взаимодействие нейтрино
с нуклоном сводится к взаимодействию нейтрино с кварками. Пре-
небрежем вкладом s-, s-, и-, d-кварков. Тогда, согласно (6.1.16),
(6.3.8), матричный элемент процесса рассеяния нейтрино на и- и
d-кварках в пределе малых переданных импульсов	запи-
шется так (рис. 8.3, а, б):
АТ« (vy^v)	—-у	иу^и —+
+	+ -у dy^d + idy^dj.	(8.1.11)
Отсюда для сечения рассеяния 5(! нейтрино на кварке получим
(8.1.12)
где
вг-(4-4£)’+4(4^'+(-5'+т^,+т(тЕ)’. (8.1.13)
s = {px — k)2 ~ x2pk, р—ммпулъъ нуклона, рх—импульс кварка,
х—доля полного импульса нуклона, который несет кварк (рис. 8.3, в).
Сечение (8.1.12) описывает процесс с кварком, обладающим фикси-
рованным значением импульса. На самом деле в адроне существуют
кварки с различными импульсами Пусть, например, и (х) — функция
распределения кварков по х; тогда xu(x)dx дает долю полного
импульса протона, которую несут «-кварки со значениями х в ин-
тервале dx. Таким же путем можм ввести функции распределения
других кварков: d(x), s(x), и(х), d(x), s(x) и т. п.
Функции распределения определялись из опытных данных. Для
этой цели использовались сечения для глубоконеупругих процессов,
выраженных через функции распределения. Был получен ряд наборов
функций распределения, которые в основном совпадают друг с другом
(подробнее об этом см. далее § 11.2).
5 № 1034
129
Вычислим сечение рассеяния нейтрино на «среднем нуклоне»,
т. е. 1/2(°jp + ara)- Это сечение удобно использовать при анализе
рассеяний на ядрах с одинаковым числом протонов и нейтронов.
В «среднем нуклоне» функции распределения и- и d-кварков оди-
наковы и равны. Учитывая последнее и формулу (8.1.12), найдем
выражение для глубоконеупругого рассеяния нейтрино на «среднем
нуклоне»:
= A-G2s ((/ + £>)£«,	(8.1.14)
1	1
где U = dxxu(x),	Axxd(x)—полные относительные импульсы,
о	о
которые приходятся соответственно на и- и d-кварки.
Аналогичным образом выглядит сечение глубоконеупругого рас-
сеяния антинейтрино v на «среднем нуклоне»:
о2==-Гб25([/ + £>)В£,	(8.1.15)
Bv " у ~2 “”у j -j- -у J -J- g I у "Ь у В J  (8.1.16)
Подобным путем вычислим сечения глубоконеупругого рассеяния
нейтрино и антинейтрино на нуклоне, обусловленные заряженными
токами,	в тех же приближениях; сечения имеют вид	
	= i G2s (и+°)’ i G2s +°)-	(8.1.17)
Введем	отношение сечений	
	Р —	— J	5 1 20 52 "* 2 ё + 27ё ’	(8.1.18)
	р 		J	£ „Ц £2 V	(8.1.19)
Из них	следует, что	
	g = 72(l+^v-37?v).	(8.1.20)
Электронно-нуклонные процессы. Мы остановимся на		двух про-
цессах такого типа.
1. Рассмотрим глубоконеупругое рассеяние продольно поляризо-
ванного электрона на нуклоне:
e- + N-+e-+X.	(8.1.21)
Процесс обусловлен как электромагнитным (рис. 8.4, а), так и сла-
бым нейтральным (рис. 8.4,6) токами. Согласно (6.1.12), (6.1.17),
(6.3.4), (6.3.8), матричный элемент процесса рассеяния электрона,
например, на u-кварке нуклона в пределе малых переданных
130
импульсов (</2<^m|) запишем в виде
М = ~	(-еу^ <МЬМ) +
+	+ £)^Ywze + &Tw] [(у — уё) ыТм.м—у •
(8.1.22)
Во втором слагаемом выражения (8.1.22) имеется два типа чле-
нов, не инвариантных относительно инверсии пространства: произ-
ведение кваркового аксиального тока на _	_
электронный векторный ток и произве- е 8	8	8
дение кваркового векторного тока на X. У
электронный аксиальный ток. Наличие	X
этих членов приводит к тому, что рас-	< у	>
сеяние правополяризованных и левопо-	(	S
ляризованных электронов различно, т. е.
в рассеянии возникает асимметрия. Ее f х. f х
удобно описывать величиной	и и и И
д — d<JR—ioL	а'
do£-|-da£ ’	8.4. Кварковая диаграмма
процесса e~N—ув~Х
где do^, doL—сечения рассеяния право*
поляризованных и левополяризованных электронов.
Если ограничиться учетом вкладов лишь и- и d-кварков, то
где
К (у)
1+(1-!/)2’
_ 1 Е'
с0
Ео, Е'—энергия электрона до и после столкновения.
2. Наличие дополнительного взаимодействия между электроном
и нуклоном, обусловленного слабым нейтральным током, приведет
к тому, что в потенциале взаимодействия атомных электронов
с нуклонами ядра появится член, не инвариантный относительно
инверсии пространства. Наличие этого члена приводит к ряду спе-
цифических эффектов: вращению плоскости поляризации линейно
поляризованного света, более интенсивному поглощению правополя-
ризованных фотонов по сравнению с левополяризованными для
циркулярно поляризованного света. Эти эффекты можно вычислить
с помощью стандартной модели.
Сравнение с опытом. Аналогичным способом был проанализиро-
ван теоретически целый ряд других процессов с участием нейтраль-
ных токов. Найденные выражения содержат неизвестный параметр
Теоретические результаты довольно хорошо согласуются с соответ-
ствующими опытными данными при % ~ 0,23. Исключением являются
экспериментальные данные по измерению нарушения Р-четности
в атомах; этот эффект изучался различными группами, были полу-
5*
131
чены результаты, как близкие, так и резко отличные от тех, которые
предсказывает стандартная модель.
Нестандартные модели. Процессы, обусловленные нейтральными
токами, анализировались также в рамках различных нестандартных
моделей (см. § 6.4). Результаты анализа для некоторых нестандарт-
ных моделей приведены в табл. 8.1, которая является продолжением
табл. 6.6. Как видно, предсказания стандартной и нестандартных
моделей для одного и того же эффекта в некоторых случаях совпа-
дают, а в некоторых—различаются.
Таблица 8.1. Предсказания различных моделей
	Стандартная	Векторная	Асимметричная
g(V) аМ	l-4g+16g« 3— 12g+ 16£“	1	1
о (yN -+vX) О (yN -> vX) ’ В=0,8 + 1	(2-В) (1 -2g)+4^ 1» (2 + B)(l-2g)+^^	1	Как в стан- дартной
Нарушение Р-четности в тяжелых атомах	Да	Нет	Нет
Нарушение Р-четности в водороде	Да,- 1-4J	»	Да
Асимметрия в поляри- зованном ер-рассеянии	Да	в	В
Асимметрия вперед- назад в	»		в
§ 8.2. ПРОЦЕССЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ЗАРЯЖЕННЫМИ
СЛАБЫМИ ТОКАМИ
Слабый заряженный ток кварков. Этот ток определяется форму-
лой (6.3.6). В него входят не кварки d, s, b сами по себе, а их
линейная комбинация d', s', b', т. е. производится смешивание
кварков. Необходимость смешивания обусловлена экспериментом.
Если бы заряженный слабый ток кварков имел структуру
/<+>	+	+	(8.2.1)
то кварки s и b были бы стабильными; соответственно стабильными
были бы странные частицы и адроны, содержащие 6-кварки. Однако
это противоречит опыту. Противоречие снимается, если ввести сме-
шивание кварков.
132
Смешивание кварков означает, что заряженные, слабые токи
кварков запишутся в общем виде следующим образом:
/ц+>,’ =	= С, fWvL аы
#11 #12 #13
#31 #32 #33
(8.2.2)
где Vtj—унитарная (ЗхЗ)-матрица. Элементы atj матрицы VtJ можно
выразить через определенное число независимых параметров (пара-
метризовать матрицу
Найдем число этих независимых параметров смешивания. Рас-
z
вещественных параметров.
поэтому независимых па-
Число кварков равно 2п.
'у'
У
смотрим общий случай, когда число дублетов кварков, входящих
в модель, равно п. Тогда матрица V содержит п2
комплексных или 2п2
Условие унитарности VV+ = 1 накладывает на
параметры п2 условий,
раметров останется п2.
Волновая функция каждого кварка определяется
с точностью до произвольной фазы (нефизиче- У/
ской), причем одну из фаз можно выбрать произ- /^С//
вольной, например равной нулю. Иначе говоря, xJ/x'
2п—1 фаз будут нефизическими и их можно уб- 8 51 к выводу фор-
рать. Поэтому полное число физических парамет- ’ мулы (8.2.5)
ров матрицы V равно
п2—(2п—1)==(п~~1)2.
Параметрами могут быть как фазы, так и углы поворота. Число
независимых поворотов пе в пространстве п измерений опреде-
ляется формулой
=	1)п.	(8.2.3)
Тогда для числа п6 физических фаз найдем
п6 = (/г— I)2—4 п (п— 1) = 4 (П— 1) (п—2).	(8.2.4)
В табл. 8.2 приведены значения параметров и в зависи-
мости от п.
В стандартной модели, содержащей три дублета, матрица харак-
теризуется тремя параметрами и одной фазой. Обычно явный вид
этих параметров определяется следующим образом. Рассмотрим
тройку координат х, у, г (рис. 8.5) и сопоставим ей тройку кварков
d, s, b. Переход к смешанным кваркам совершим путем последова-
тельного поворота вокруг оси г на угол 03, вокруг оси х на угол 0х,
вокруг новой оси г на угол 62. Суммарный поворот опишется
произведением матриц трех перечисленных поворотов:
Ч“о
О 0 \ / Cl Si 0\ / 1
с2 s2 ) — Si Ci О О
— $2 #2/ \ 0 0 1 / \0
о 0\
#з s3 ),
— S3 C$J
(8.2.5)
133
Таблица 8.2. Значения п0 и п6 для некоторых п
	n	n9	n6
1 2 3 4	(один дублет)	0	0 (два дублета)	1	0 (три дублета)	3	1 (четыре дублета)	6	3
где et = cos0z, s( = sin0r С учетом фазы б матрица (8.2.5) перепи-
шется так:
/1	О О \ / Cl	S1	О \	/ 1 О	О \
V = О	с2 s2 ] — Si	ci	О	О с8	s3 ].	(8.2.6)
\О	— s2 с2 у \ О	О	е16 /	\0 — «з	Сз J
Перемножение матриц дает (матрица	Кобаяши — Маскава)
f Cl	S1C3	S1S3	\
у = I — S1C2	cic2c8 — е*®s2s3	C1C2S3 + e‘6s2c8 .	(8.2.7)
\ SiSg	~~ CiSgCg—6 С25з	—C1S2S3-4-/
С учетом матрицы (8.2,7) для полей кварков d', s', V получаем:
d' — d cos 0i + s sin 0! cos 0S + b sin 0( sin 08,
s' = — d sin 0, cos 02 + s (cos 0j cos 02 cos 03—eie sin 02 sin 08) +
+ b (cos 0j cos 02 sin 03 + ei6 sin 0a cos 0S),
b' — d sin 0X sin 02 + s (— cos 0t sin 02 cos 08—eid cos 02 sin 0S) +
+ b (— cos 0t sin 02 sin 9, 4- ei0 cos 02 cos 03).	(8.2.8)
Если предположить, что b' = b, т. e. если пренебречь переходами
ub и cb, то останется только один угол	перемешивающий
кварки d и s:
dc = dcos0c+ ssin0c, sc = — dsin0c +scos0c. (8.2.9)
Угол 0C называют углом Кабиббо-, он определен из опытов по рас-
паду странных частиц, причем 0С ~ 13°. В этом параграфе мы будем
учитывать только кабиббовское смешивание (8.2.9).
Заряженный слабый ток в стандартной модели является суммой
лептонного и кваркового токов:
+	(8.2.10)
Входящие сюда токи определяются формулами (6.1.14), (6.3.6),
(8.2.8). В соответствии с (6.3.14) для эффективного лагранжиана
взаимодействия заряженных слабых токов имеем:
а> ___ G 	,(+) г(_>_
=* eff — y-g- d И Jn —
= ° (JW- '+	qW'1 + j?'	(8.2.11)
V *
134
Первый член этого лагранжиана описывает слабое взаимодействие
между лептонами, второй и третий—между лептонами и кварками,
четвертый—между кварками.
Рассмотрим в качестве примеров некоторые конкретные процессы.
Лептонные процессы. Примерами таких процессов являются
(k) +е~ (р) ve (k') +	(//),	(8.2.12)
ve+e~ —> ve4-e“,	(8.2.13)
И" + ve + V	(8.2.14)
Первый процесс обусловлен только заряженным слабым лептон-
ным током (рис. 8.6). Согласно (6.1.14), матричный элемент этого
процесса запишем в форме
М ~ ~?Т
Отсюда для полного сечения найдем
Л	S
где s = (& + p)2, р—масса мюона.
В процессе (8.2.13) участвуют как нейтральные (рис. 8.7, а),
так и заряженные (рис. 8.7,6) токи. Если учесть (6.1.14), (6.1.16),
8.6. Диаграмма процесса

(6.1.17), то для матричного элемента процесса (8.2.13) получим
Л1=	[( —	(*.ТцГ е)}-
(8.2.15)
Если использовать преобразование Фирца
(eyULVe)	= (ёу^ё) (ёеу^е),
то (8.2.15) перепишется так:
М = {ё [ ( 7 + В ) ТцЬ г ьЪя ] (VftU. ve)-
135
Этот матричный элемент приводит к следующему сечению:
т=-тг-[(4+ *0’+5- (1 —4)'-(4+)6 5]’<8-2'15'’
где Т — кинетическая энергия рассеянного электрона, m—масса
электрона, сох—энергия начального нейтрино.
Процесс (8.2.14), если принять во внимание (6.1.14), описыва-
ется матричным элементом
Последний приводит к следующему выражению для вероятности
р-распада:
Г = Gy /(192л8).
Полулептонные распады. К ним относятся распады с участием
лептонов и адронов. Мы рассмотрим для примера следующие по-
лулептонные распады:
л+(</)-> е+(/jt) + ve (й2),	(8.2.16)
л+ (</,) — л° (<?2) 4- (fet) + v, (fca),	(8.2.17)
n(Pi) -* Р (Р«) + е~ (kx} + ve (£,).	(8.2.18)
Эти распады обусловлены заряженным лептонным током (eve) и
кварковым током (ud). Кварковые диаграммы этих распадов изоб-
8.8. Кварковые диаграммы полулептонных распадов
ражены на рис. 8.8. Общая структура матричного элемента каж-
дого из этих распадов выглядит так:
М = —2=г cos 0cL , Яи,
у-2	с . ц»
(8.2.19)
где 7/ц—лептонный и адронный слабые токи. Например, для
процесса	4- i —»-1 4- f имеем
= / YgtVp	(8.2.20)
= <f I Q\i> — <f\ uyltd | i> 4- </1 wy I l> =^4- A*. (8.2.21)
Здесь t, /—начальные и конечные адронные состояния; V*, 4g —
векторный и аксиальный слабые адронные токи.
136
Матричный элемент лептонного тока определяется формулой
(8.2.20). Так как слабые взаимодействия адронов приходится рас-
сматривать на фоне сильных взаимодействий, то (8.2.21) представ-
ляет собой матричный элемент слабого адронного тока, «одетого»
сильным взаимодействием. Под этим понимается, что хотя слабое
взаимодействие адронов учитывается лишь по теории возмущений,
но вклад сильных взаимодействий учтен полностью. В такой ситуа-
ции найти явный вид матричных элементов слабых адронных токов
и мы не можем. Можно найти лишь их кинематическую
структуру, используя общие свойства симметрии.
Найдем структуру слабых адронных токов для процессов, диа-
граммы которых изображены на рис. 8.8. Для этого надо постро-
ить четырехмерный вектор и аксиальный вектор из волновых функ-
ций и импульсов частиц, а также матриц у (если в процессе
участвуют фермионы). При этом мы учтем, что матричный элемент
может зависеть лишь от суммы четырехмерных импульсов образую-
щихся лептонов, а не от каждого импульса отдельно. Это требо-
вание обусловлено тем, что пара лептонов испускается в одной
точке.
1.	В случае распада псевдоскалярного л-мезона на пару лепто-
нов (рис 8.8, а) в нашем распоряжении имеется волновая функция
л-мезона (псевдоскаляр $(<?)) и вектор импульса мезона д =
Из этих величин можно построить только аксиальный вектор
s== Лр (q) так что 1/и = 0 и адронный слабый ток
(8.2.22)
Здесь f—неизвестный инвариантный коэффициент; в данном случае
f—постоянная величина, поскольку постоянен единственный инва-
риант, от которого он мог бы зависеть: q* = mn (тл—масса л-ме-
зона).
2.	В случае распада псевдоскалярного л-мезона на такой же
мезон и пару лептонов (рис. 8.8, б) для построения векторов тока
имеем волновые функции (ft), ср (ft) начального и конечного ме-
зонов, их импульсы q13 q$ и суммарный импульс q пары лептонов.
В силу закона сохранения (ft==ft4-<7) независимы лишь два им-
пульса, поэтому общий вид слабого адронного тока
#и»'=Ф(<71)ф(<7.)(М> +Ш)-	(8.2.23)
Здесь P^q± + q2 и fb f2—неизвестные формфакторы, зависящие от
импульсов qr и q2. Из последних можно составить всего один не-
зависимый инвариант, не сводящийся к постоянной величине, на-
пример 72. Поэтому формфакторы (q2) и Д (q2) будут функциями
одной переменной q2. Если четности обоих мезонов одинаковы, то
= 0, если различны, то 0.
3.	В случае распада бариона на другой барион и пару лепто-
нов (рис. 8.8, в) для построения вектора тока имеем кроме импуль-
сов начального и конечного барионов еще спинорные функции и
матрицы у. Из этих величин можно составить три независимых
137
вектора: ыуцМ, (и<г^ы)^ и иид^ где д=.р2—plt	[l/(2i>] (y^yv —
— YvYu)> и ТРИ псевдовектора: иуцу5«, (иу6ы)Рц, иуГ1ид1Х, где Р =
= Pi + Л- Поэтому для адронного слабого тока получим
H^A^ + V^,	(8.2.24)
где
^м. = « (р2) [Д (<?2) уц + /2 (72)	+ /8 (<?2) <7ц] и (Р1), (8.2.25)
Аи = и (р2)	(</2) у,х + gt (<?2) Ри + gB (д2) у5 и (л); (8.2.26)
здесь gt (<?2), ^(ра) — неизвестные формфакторы, зависящие от д2;
д—импульс лептонов.
Из условий эрмитовости и СР (или Т)-инвариантности выраже-
ний (8.2.22)—(8.2.24) следует, что входящие в них формфакторы
являются вещественными функциями. Исходные выражения (8.2.22) —
(8.2.24) и те, которые получаются после эрмитова сопряжения и
8,9. Кварковые диаграммы распада Л° —► рл/
СР-преобразования, совпадут лишь в том случае, когда входящие
в них формфакторы—вещественные.
С учетом (8.2.22) — (8.2.24) матричные элементы процессов
(8.2.16)—(8.2.18) запишутся в таком виде:
Л4 = -Д=- cos всЛцЛц == cos 0с<Р (Ч) /<7ц Vy^e,
М = созв^Гц == cos 0С (АРЦ + ftq^ <р (ft) ф (ft) ?гуц/л
М = "рТ C0S 9= (У|! + Л и)ёум^г,
где 0С—угол Кабиббо; в последней формуле и Лц определяются
выражениями (8.2.25) и (8.2.26). С помощью этих матричных эле-
ментов можно найти выражения для соответствующих сечений.
Нелептонные распады адронов. К ним относятся распады адро-
нов на адроны. Рассмотрим, например, распад
Л°-^рл’.	(8.2.27)
Он обусловлен взаимодействием (аз)- и (йи)-токов. Для этого про-
цесса возможны два типа кварковых диаграмм: внешние (рис. 8.9, а)
и внутренние (рис. 8.9S б). Согласно (6.3.6), амплитуда распада
138
имеет вид
М = cos 0С sin 9С (dy^Lu) (uy^s) + ... .	(8.2.28)
Пренебрежем внутренними диаграммами. Предположим также,
что кварки, образующие л-мезон, не взаимодействуют с кварками,
содержащимися в начальном и конечном барионах. Тогда матрич-
ный элемент (8.2.28) распада представляется в виде произведения
двух матричных элементов. Например, для члена (dy^u) (uy^s)
имеем
<л“р | (dy^u) (uy^s) I Л> =- <л“ | dy^u 10> </? | uy^s | Л>.
Оба матричных элемента мы уже вычислили. Первый из них равен
<л“ \dy^Lu 10> = <л“ | dy^ (1 + Т6) и | 0> ==
Второй матричный элемент описывает Р-распад Л-гиперона:
<Р I | Л> - <р | йуа (1 + уб) s | Л> = ир (М>ц + ^уць) ид.
Аналогичным образом можно факторизовать другие слагаемые в
(8.2.28) и затем вычислить сечение процесса (8.2.27).
Таким же путем были вычислены вероятности распадов многих
других процессов с участием заряженных слабых токов. Теорети-
ческие результаты хорошо согласуются с соответствующими опыт-
ными данными.
§ 8.3. НАРУШЕНИЕ СР-ИНВАРИАНТНОСТИ
При изложении процессов, обусловленных слабым взаимодейст-
вием, мы предполагали, что имеет место CP-инвариантность. Од-
нако экспериментально было обнаружено, что существуют такие
распады нейтральных /(-мезонов, для которых СР-инвариантность
нарушается.
Распад нейтральных ЛГ-мезонов. Нейтральные А-мезоны зани-
мают по отношению к слабому взаимодействию выделенное положе-
ние по сравнению со всеми другими элементарными частицами.
Электрический и барионный заряды частиц К0 и К0 равны нулю.
Они отличаются лишь гиперзарядом У(У—+ 1 Для К0 и У== -~1
для /С0). Но в слабых взаимодействиях гиперзаряд не сохраняется.
Поэтому по отношению к слабым взаимодействиям частицы К0 и
К0 тождественны; в частности, они могут переходить друг в друга.
Все частицы можно разделить на две группы. К одной принад-
лежат такие частицы (протон, электрон, гиперон и т. п.), антича-
стицы которых отличаются какими-либо строго сохраняющимися
квантовыми числами (электрический, барионный заряды и т. п.).
К другой группе принадлежат частицы, тождественные своим анти-
частицам, или истинно нейтральные частицы (например, фотон,
л°-мезон). Нейтральные А0-мезоны находятся на стыке этих двух
139
групп частиц: KQ и К0 отличаются значениями странности, однако
это отличие не абсолютно, оно существует по отношению к силь-
ному взаимодействию и пропадает по отношению к слабому взаи-
модействию. Обладая определенным гиперзарядом (или странностью),
Л°- и 7<0-мезоны не имеют определенной CP-четности: при СР-пре-
образовании переходит не в К°, а в К°:
СР |/<°> == | Л?>, СР\К°>^\ /С°>.	(8.3.1)
Определенной CP-четностью обладает линейная суперпозиция /С° и
/С:
=	=	(8.3.2)
При CP-преобразовании Л° перейдет в К0, а №—в /С°, в резуль-
тате состояние /С? перейдет само в себя, а —само в себя с об-
ратным знаком:
СР | №> = | /С?>, СР |	- -1 К1>.	(8.3.3)
Следовательно, обладает положительной, a —отрицательной
CP-четностью, но /(J и не имеют определенного значения стран-
ности.
Если CP-инвариантность существует, то Л?-мезон может распа-
даться лишь на два л-мезона (их суммарная СР-четность положи-
тельна):
-------л~,
м
----> л° я0,
а —на три л-мезона (суммарная СР-четность отрицательна)г
I---> л+ + Л“ + л°,
Д2
J---Л0 + л;0 + л0.
Нарушение CP-инвариантности означает, что нейтральный
мезон уже не является К?- или К1- мезоном, а представляет собой
их суперпозицию:
где в—комплексный параметр; как показывает эксперимент, он мал
(|е| ~2-10“3), и поэтому мы пренебрегли величиной |е|а.
Если CP-инвариантность отсутствует, то /С^-мезон может также
распадаться на два л-мезона, а /С^-мезон— на три л-мезона:
j---► Л+ + Л“ ,	:---► Л+ + Л” + Л°,
KI	(8.3.4)
!--->:	JX0j	1----► ПО дО.
140
Такие распады действительно наблюдаются на опыте, и это оз-
начает, что в данных распадах СР-инвариантность нарушается.
Эффект нарушения CP-инвариантности очень мал: например, только
0,16% всех К£-мезонов распадается на л+-, л“-мезоны, а отношение
вероятностей распадов	+ и	равно всего
(3,69 ± 0,15)-10“6. При этом оказалось, что время жизни/С^-мезона
(0,86-10“10 с) меньше времени жизни Л£-мезона (5-10“8 с). Поэтому
Xs- и Кд-мезоны называют еще соответственно короткоживущим и
долгоживущим.
При наличии Р-инвариантности частицу можно представить на-
глядно в виде «гвоздя», а при наличии СР-инвариантности— в виде
«винта» с определенным направлением нарезки, причем длина этого
винта для частицы и античастицы одинакова, так как в рамках
СР-инвариантности между частицей и античастицей существует лишь
относительное различие. Если CP-инвариантность отсутствует, то
частице и античастице соответствуют «винты», разные не только по
направлению нарезки, но и по длине, так что частицы и антича-
стицы различаются между собой абсолютно. Поэтому различны ве-
роятности, например, лептонных распадов /Q-мезонов, в которых
образуются частицы и античастицы:
j---+ +	j---► л+ + р,-+^,
КГ	(8.3.5)
1--->. л- е+ 4-	!---нп- + р+ + v^,
т. е. в случае отсутствия СР-инвариантности вероятности образо-
вания частиц с различными зарядами (е~ или е+, рГ или рЛ) отли-
чаются друг от друга (зарядовая асимметрия). Зарядовая асиммет-
рия в указанных нелептонных распадах Л£-мезонов наблюдалась
на опыте.
CP-нарушение и калибровочные модели. Природа нарушения
CP-инвариантности пока не выяснена, хотя было предложено боль-
шое количество моделей. Интересные возможности для объяснения
нарушения СР-инвариантности открывают единые калибровочные
модели. При нарушении СР-инвариантности в лагранжиан должны
входить комплексные константы связи. Это следует из того, что
исходный лагранжиан и тот, который получается после эрмитова
сопряжения и CP-преобразования, отличаются друг от друга только
в том случае, если в них входят комплексные константы связи.
В лагранжиане любой единой калибровочной модели есть два ла-
гранжиана взаимодействия: один из них описывает взаимодействие
фермионов с калибровочными полями, а другой—взаимодействие
фермионов с хиггсовскими полями (юкавский член). Можно построить
такие единые калибровочные модели, в которых константы связи,
входящие в лагранжианы, комплексны.
1. Рассмотрим сначала лагранжиан взаимодействия фермионов
с калибровочными полями. В этот лагранжиан войдут заряженные
токи, содержащие смешанные кварки (см. § 8.2). Если коэффици-
енты смешивания—комплексные, то константы связи фермионов
Ш
с векторными бозонами могут стать также комплексными, хотя
в исходный лагранжиан входят вещественные константы связи. Как
мы уже видели (см. § 8.2), в модели с двумя дублетами кварков
коэффициенты смешивания не могут быть комплексными и в такой
модели CP-инвариантность сохраняется.
Напротив, в модели с тремя дублетами кварков коэффициенты
смешивания из-за наличия фазы 6, содержащейся в (8.2.8), комп-
лексны, а это приводит к появлению комплексных констант связи
Иначе говоря, в этой модели ответственной за CP-нарушение яв-
ляется фаза б. Подставив (8.2.8) в (6.3.6), а последнее—в (6.3.14),
получим выражение для лагранжиана модели, который описывает
все эффекты нарушения CP-инвариантности. В этот лагранжиан
войдут параметры 0П 0а, 08 и б. Наиболее прямой путь определе-
ния этих параметров—изучение слабых распадов адронов, содержа-
щих Ъ- и /-кварки. Однако это изучение только начинается, поэтому
пока сведения о параметрах 0г и 6 пытаются получить из анализа
распадов нуклонов, мюонов и странных частиц. К сожалению, точ-
ность определения параметров невелика и вследствие этого не
удается вычислить с хорошей точностью эффекты, обусловленные
нарушением CP-инвариантности. Сведения об этих эффектах при-
ведены в табл. 8.3.
Таблица 8.3. Эффекты нарушения CP-инвариантности в различных моделях
Модель
Беличика-------------------------------------------------1----------------------
три дублета su rxSU nXU. Два хиггсовских три хиггсов-
кв арков	2L 2/?	дублета	ских дублета
T)+_—Лоо	0,002—-0,02	0	-0	0,05
1 П + -	1	Менее 0,01	0(1)	-0	-0
1 л+-	1 Дипольный мо- мент нейтрона	~10~38	10-89	10-24—	210“25
Дипольный мо- мент А°-гиперона СР-нарушение в £>°-распаде	Малое		Может быть	5-IO’23 Малое
СР-нарушение в Р°-распаде	От малого до среднего		большим То же	»
Дадим некоторые пояснения к габл. 8.3. Входящие в нее комп-
лексные величины т]+_, т]00, т]+„0 характеризуют распады К1- и Л^-ме-
зонов. Они определяются следующим образом:
— ^л+л~ I п __ <л°л° I х!>	_ <л + л~л°|Д£>	о д.
^+~ <ячл“ |tfs> ’ ou <лол°|Л5> ’	’
142
Из требования релятивистской инвариантности следует, что спи-
норная частица (в частности, нейтрон) может обладать собственным
дипольным электрическим моментом dn(j, т о—вектор спина,
dn = e-l, е—элементарный электрический заряд,/—плечо. В настоя-
щее время экспериментально установлено, что /^10~24см. Взаимо-
действие Uf = d„(oE) электрического дипольного момента с элект-
рическим полем Е при CP-преобразованиях меняет знак, т. е. Uf
не инвариантно относительно CP-преобразований. Следовательно,
при нарушении CP-инвариантности собственный электрический мо-
мент спинорной частицы отличен от нуля; в противном случае —
равен нулю. Иначе говоря, изучение электрического дипольного
момента может дать информацию о CP-инвариантности. Как видно
из табл. 8.3, модель с тремя дублетами кварков дает для электри-
ческого дипольного момента нейтрона значение, не противоречащее
опытным данным. Собственным электрическим дипольным моментом
обладают также другие спинорные частицы, например Л-гипероны.
С нарушением СР-инвариантности распадаются не только /^-ме-
зоны, но и другие нейтральные мезоны—О0 (чармированные), В0
(содержащие тяжелые й-кварки). Изучение этих распадов сейчас
только начинается.
К комплексным константам связи в лагранжиане взаимодействия
кварков с калибровочными полями, т. е. к нарушению СР-инвари-
антности, приводит также модель, основанная на группе SU2Lx
xSU2RxUx. Эта модель содержит как левополяризованные, так и
правополяризованные токи. Причиной нарушения СР-инвариант-
ности является разность фаз ф между двумя частями эффективного
лагранжиана слабого взаимодействия — инвариантной	и не-
инвариантной S п относительно преобразований инверсии простран-
ства, так что
^ = е^с + Зп.
Соответствующие этой модели значения эффектов нарушения СР-ин-
вариантности приведены в табл. 8.3.
2. Переходим к лагранжианам взаимодействия фермионов с хиг*
гсовскими полями (юкавским членам). В этих лагранжианах комп-
лексные константы связи могут появиться в результате увеличения
числа дублетов хиггсовских полей. Мы проиллюстрируем механизм
этого появления на примере простой модели, основанной на груп-
пе SU2. Возьмем один триплет частиц
/ Л
= (	,	(8.3.7)
\О /
в который входят как левополяризованные, так и правополяризо-
ванные частицы.
Лагранжиан взаимодействия триплета фермионов (8.3.7) с три-
плетом хиггсовских бозонов ф, инвариантный относительно СР-пре-
образований, запишем в виде
L = гафф + \h (фу*<оф) ф,	(8.3.8)
где со—оператор изотопического спина, определяемый (1.2.7).
143
Рассмотрим только ту компоненту хиггсовских полей, которая
соответствует нейтральному полю ф°. Пусть ф£—среднее вакуумное
поля ф°. Введем новое поле
Ф°' = фО—ф£.	(8.3.9)
С учетом последнего лагранжиан (8.3.8) перепишем так:
L^p (tn + ип'уь)р + тпп + Ь(т—
+ № (РТбР) Ф°Л — Ж Ф°\ т‘ ==Лф»-	(8.3.10)
Чтобы привести массовые члены в (8.3.10) к канонической форме,
сделаем унитарное преобразование:
р —► е~1/2iev®/7, b —> e1/2ieVs	tg е = т'Im.
В результате для лагранжиана взаимодействия фермионов с полем
Ф0' найдем
L = h {[/? (sin е + iy6 cos e) p] Ф0' + p (sin e — iy5 cos e) b] ф0'}.
Этот лагранжиан содержит комплексные константы связи типа
h (sinб + i cose), т. e. СР-неинвариантен, хотя исходный лагранжиан
(8.3 8) инвариантен относительно CP-преобразований. Нарушение
СР-инвариантности произошло за счет спонтанного нарушения сим-
метрии.
Были проанализированы модели с двумя дублетами кварков,
к которым добавлялись два или три дублета хиггсовских полей.
Полученные с помощью этих моделей значения эффектов нарушения
СР-инвариантности приведены в табл. 8.3.
Таким образом, как видно из табл. 8.3, единые калибровочные
модели приводят к нарушению СР-инвариантности, однако пока
с их помощью удается получить лишь оценку эффектов СР-нару-
шения.
Глава 9
ВЫСШИЕ ПОРЯДКИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В предыдущих главах изучались процессы, обусловленные элект-
ромагнитным и слабым взаимодействиями, в первом неисчезающем
порядке теории возмущений. Эта глава посвящена анализу высших
порядков теории возмущений.
§ 9.1. РАСХОДИМОСТИ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Индекс расходимости. Рассмотрим, например, процесс рассеяния
электрона кулоновским полем ядра:
«Г + Я—е- + Я.	(9.1.1)
Диаграммы Фейнмана этой реакции в третьем порядке теории воз-
мущений изображены на рис. 9.1. Выделим из последних некоторые
144
элементарные диаграммы (рис. 9.2) и проанализируем подробнее
соответствующие им матричные элементы:
A4 = S(p)2‘2>(p)S(p), S<2> (р) = J dfo.	Vv jr, (9.1.2)
ры /ь\_____е1_ f doSD -U v l?+4+m I о i 3)
rvu («) —	(2л) a J aPaP |Yv P2_ma Ym (p + fe)«—J >	'
M =« (p2) Л18) (p1( p2, q) u (px), A'3’ (Pl, p2, q) =
_ e3	Xet^ (Pi-^) + m 1 /g i их
“(2^ J d^v (p2-^—m2 A W
В выражении (9.1.2) степень импульса
водится интегрирование, в числителе равна
k, по которому произ-
пяти, а в знаменателе —
9.1. Диаграммы рассеяния электрона внешним электромагнитным полем
в третьем порядке теории возмущений
четырем. Поэтому интеграл (9.1.2) пропорционален первой степени
импульса k, а так как интегрирование по k производится от 0 до оо,
то на верхнем пределе при k—* оо матричный элемент (9.1.2) ста-
новится бесконечным, или
расходящимся, причем в дан-
ном случае расходимость—
линейная. Аналогичным пу-
тем можно убедиться, что
матричные элементы (9.1.3)
и (9.1.4) расходятся соответ-
ственно квадратично и лога-
рифмически.
Диаграммы, изображен-
ные на рис. 9.2, а, б, в, войдут
также в диаграммы Фейнма-
на для более высоких no-
о.2. Диаграммы: а—собственной энергии
электрона, б—собственной энергии фотона,
в—вершинной части
рядков теории возмущений
процесса (9.1.1). Таким образом, матричные элементы процесса (9.1.1)
в высших порядках теории возмущений становятся расходящимися.
В связи с появлением расходимостей в матричных элементах
высших порядков теории возмущений возникают две задачи: 1) найти
все возможные типы расходящихся матричных элементов; 2) выяс-
нить, зависит ли число этих типов расходимостей от порядка тео-
рии возмущений.
145
Результат решения этих задач целиком определяется типом вза-
имодействия. Покажем, что, например, в случае квантовой электро-
динамики число типов расходящихся элементов конечно и не зави-
сит от порядка теории возмущений.
Возьмем произвольную сильно связную диаграмму (см. § 5.1)
квантовой электродинамики в n-м порядке теории возмущений и
выясним, какие типы расходимостей для соответствующего матрич-
ного элемента возможны. В случае сильно связной диаграммы подын-
тегральное выражение матричного элемента не распадается на от-
дельные множители, содержащие не связанные между собой пере-
менные. Поэтому сходимость интеграла в области больших импуль-
сов определяется числом со—разностью степеней импульса в числи-
теле и знаменателе; при со < 0 интеграл сходится, при —рас-
ходится. Число со называют индексом расходимости диаграммы.
Пусть F, В — общее число электронных и фотонных линий, Fe,
Вв—числа внешних электронных и фотонных линий, Fp —числа
внутренних электронных и фотонных линий.
Найдем величину со. Подсчитаем сначала число независимых пе-
ременных интегрирования. Число импульсов, по которым произво-
дится интегрирование, равно числу внутренних линий, т. е. Ff+Br
Однако они не независимы, так как три импульса, сходящиеся
в каждой из п вершин, связаны между собой законом сохранения.
Один из этих законов сохранения—для процесса в целом—отно-
сится к внешним линиям, так что всего на внутренние импульсы
будет наложено п—1 условие. Следовательно, число независимых
внутренних импульсов равно Fi + Bi— (п—1), а число независимых
переменных интегрирования Jl(Fi + Bi—п4~1). Пропагатор, соответ-
ствующий внутренней электронной линии, содержит в знаменателе
импульс в первой степени, а пропагатор, соответствующий внутрен-
ней фотонной линии,— импульс во второй степени. Поэтому в зна-
менателе подынтегрального выражения появится импульс в степени
Таким образом,
0)==4(Fi + B/ —п+1) — Ff — 2Bi = 3Fi + 2Bi — 4(n— 1). (9.1.5)
Выразим величину со только через число внешних линий. Для этого
учтем, что в случае электродинамики в каждой вершине сходятся
две электронные и одна фотонная линии. Число концов электронных
линий равно удвоенному числу вершин. Так как каждая внутрен-
няя электронная линия имеет два конца, а каждая внешняя—один, то
2Fi + Fe^2n.	(9.1.6)
Аналогично, в каждой вершине кончается одна фотонная линия и
число концов фотонных линий равно числу вершин:
2Bi + Be^n.	(9.1.7)
Подставляя (9.1.6) и (9.1.7) в (9.1.5), находим выражение со через
число внешних линий:
о = 4 — *lzPe-~BQ.	(9 Л.8)
146
Это выражение позволяет перечислить все возможные расходящиеся
матричные элементы, соответствующие неприводимым диаграммам
квантовой электродинамики. Учтем, что электронная линия не может
закончиться обрывом, и по-
этому число Fe всегда четно.
Возможные типы расходимо-
стей матричных элементов
квантовой электродинамики
изображены на рис. 9.3.
Перенормируемые и непе-
ренормируемые теории. К ак
видно, в случае квантовой
электродинамики имеется ко-
нечное число типов расхо-
димостей. Согласно (9.1.8),
величина со не зависит от п,
поэтому число типов расхо-
димостей не зависит от по-
рядка теории возмущений.
Для калибровочного по-
ля в отсутствие полей мате-
рии в случае а-калибровки
(о==4-Л^л-Л^	(9.1.9)
9.3. Типы простейших расходящихся диа-
грамм квантовой электродинамики
где Л/л, Nc—число внешних линий, соответствующих калибровоч-
ному полю и фиктивной с-частице. Так как вершина взаимодейст-
вия калибровочного поля с фиктивным полем с содержит производ-
ную, то интегрированием по частям производную можно перебросить
со
О)*1
'ТЯЯЯУОШТ
9.4.	Типы расходящихся диаграмм калибровочного поля
на внешнюю линию диаграммы. Это ведет к появлению внешнего
импульса и понижению индекса расходимости диаграммы. Типы рас-
ходящихся диаграмм с учетом последнего обстоятельства приведены
на рис. 9.4.
Для калибровочного поля, взаимодействующего со спинорным
полем,
<о = 4—Na — Nc — -|-Мф,	(9.1.10)
где —число внешних спинорных линий. В этом случае появля-
ются дополнительные к изображенным на рис. 9.4 расходящиеся
диаграммы (рис. 9.5).
147
Каждый из рассмотренных нами примеров характеризуется конеч-
ным числом типов расходящихся матричных элементов, и это число
не зависит от порядка теории возмущений. Такие теории называют
перенормируемыми.
Далеко не все взаимодействия являются перенормируемыми. Рас-
смотрим, например, четырехфермионное вза-
*7	§	имодейств ие
----О—*	LFI =	•феГЧ’е • Ш
9.5.	Дополнительные ти-
грЫаммТаХлОи"чЯногопо’. где ^-волновая функция электрона,
ля, взаимодействующего нейтрино, Г—матрица, G—константа связи.
со спинорным	В этом случае в одной точке сходятся
четыре спинорные линии и выражение для со
записывают так:
ю = 2п-|-4— *1„Ре — */2Le,
где Fe) Le—число внешних электронных и нейтринных линий.
В отличие от электродинамики для четырехфермионного взаи-
модействия со зависит от п и в каждом порядке теории возмущений
появляются новые расходимости, т. е. имеется бесконечное число
типов расходящихся матричных элементов. Теории с бесконечным
числом расходимостей называют неперенормируемыми. Следовательно,
теория с четырехфермионным взаимодействием представляет собой
пример неперенормируемой теории.
§ 9.2. ПЕРЕНОРМИРОВКА
Процедура перенормировки. Расходимости перенормируемых тео-
рий можно устранить. Для этой цели была разработана специаль-
ная процедура, которая получила название перенормировки.
Первым шагом этой процедуры является регуляризация расходя-
щихся диаграмм. Производить вычисления с бессмысленными рас-
ходящимися интегралами затруднительно, поэтому имеет смысл
временно модифицировать теорию так, чтобы сделать все интегралы
сходящимися. На конечном этапе регуляризация снимается.
После того как произведена регуляризация, можно приступить
к устранению расходимостей. Для этого была разработана специа-
льная методика, получившая название R-операции. Эта операция
позволяет получить для амплитуд выражения, которые после снятия
регуляризации становятся конечными величинами.
Для калибровочных теорий появляются дополнительные про-
блемы. Дело в том, что перенормировка эквивалентна переопределе-
нию исходного лагранжиана. Поэтому в случае калибровочных полей,
во-первых, желательно выбрать такую промежуточную регуляриза-
цию, которая не нарушает инвариантности относительно калибро-
вочных преобразований; во-вторых, проводить процедуру перенор-
мировки так, чтобы калибровочная инвариантность не нарушалась,
и, в-третьих, доказать, что перенормированная амплитуда не зависит
148
от конкретного выбора калибровки. При доказательстве перенорми-
руемости амплитуды используют калибровки, которые приводят к
лагранжианам, содержащим нефизические поля (фиктивные с-поля,
голдстоуны и т. п.), и амплитуда не является явно унитарной.
Наряду с этим существуют калибровки, которые приводят к лагран-
жианам, не содержащим нефизических полей, и ведут к явно уни-
тарной амплитуде. Если перенормированная амплитуда инвариантна
относительно выбора произвольной калибровки, то это означает,
что амплитуда также и унитарна.
Размерная регуляризация. Существует несколько способов регу-
ляризации—метод Паули — Вилларса, метод высших ковариантных
производных, размерная регуляризация. Мы остановимся подробнее
на размерной регуляризации.
Идея размерной регуляризации основана на том, что индекс
расходимости со диаграммы существенно зависит от размерности п
пространства:
L
со= 2 (rz + n—2) — п(т—1),	(9.2.1)
где суммирование производится по всем внутренним линиям диа-
граммы, L—число внутренних линий, rt — степень полинома, соответ-
ствующего внутренней линии, т—число вершин. Поэтому интегралы,
расходящиеся в четырехмерном пространстве, могут оказаться схо-
дящимися в пространстве меньшей размерности. Число п можно
брать не только целым положительным, но и нецелым и даже
комплексным; последним будут соответствовать пространства «не-
целой» и «комплексной» размерности.
Прежде чем переходить к конкретным вычислениям, необходимо
сформулировать правила действий с тензорными величинами и матри-
цами в пространстве размерности п. По определению, для тен-
зорных величин в пространстве размерности п выполняются соотно-
шения
gttvpv --P[Lt
PuPn = р\
Si>-vSva ~ gp.a> Sv-vSnv ™
(9.2.2)
(9.2.3)
(9.2.4)
а для теорий с участием фермионов вводятся матрицы уц, которые
обладают свойствами
'YhYv + YvVm. = 2^hvI,	(9.2.5)
SP (VuYv) = 4gi*v,	(9.2.6)
Sp СМаЪУз) = 4 (gnagvp — Ыац + gupgav).	(9-2.7)
Vm.PVh = 2(1—n/2)p.	(9.2.8)
ynP^n = 4pq + (n~4)pq,	(9.2.9)
где I—единичная матрица, а = ацуц.
149
Подчеркнем, что обычное определение матрицы у5 =	е^раЪКУрТа
не переносится на пространство произвольной размерности, так как
полностью антисимметричный euvpa тензор определен только для
четырехмерного пространства. Поэтому к теориям, содержащим мат-
рицы у6, размерная регуляризация неприменима.
Проиллюстрируем основные этапы размерной регуляризации на
примере интеграла
/ _ Ctf	!_______
J	(62-mW—р)2—m2) ’
(9.2.10)
При п = 4 этот интеграл расходится, а при п <; 4—сходится. Пред-
положим, что п < 4, и вычислим интеграл (9.2.10).
Произведем интегрирование по k. Для этого используем такую
параметризацию, которая позволяет явно вычислить интеграл по А,
например параметризацию Фейнмана:
1
JL= f	. d*
ab J (1 —x)]2
о
(9.2.11)
Учитывая эту формулу и производя замену переменных
k—р(1—x)—^k, перепишем (9.2.10) в виде
1
/ = j dx J	•	(9.2.12)
о
Если повернуть контур интегрирования на 90° и перейти к
переменной Ао —> iA0, то придем к интегралу по евклидову простран-
ству размерности п:
1
I = i С dx f йпк fT5-r—j—----г;,.	(9.2.13)
J J [fe’-j-m2—p2x(l—x)]2	'	’
0
Далее воспользуемся интегралом
С___У?_____я/г/гд42 (и/г-а)	(9 2 14)
J (й’4-М2)“	Г (а)	’	(	'
где Г(х) — гамма-функция. В результате получим выражение для
регуляризованного интеграла:
1
/ = 1л'»/8Г (2—-^-){dx[ma—р2х(1— х)]л/2"2 .	(9.2.15)
Как и следовало ожидать, если снять регуляризацию, т. е. поло-
жить п = 4, то интеграл (9.2.15) обращается в бесконечность, так
как функция Г (2—п/2) имеет в этой точке полюс.
Аналогичным способом можно регуляризовать и вычислить и
более сложные расходящиеся интегралы.
150
Подчеркнем, что размерная регуляризация обладает двумя важ-
ными свойствами. Во-первых, она не нарушает калибровочной ин-
вариантности теории, так как переход от четырехмерного простран-
ства к пространству другой размерности не сказывается на калибро-
вочных свойствах теории. Поэтому размерную регуляризацию удобно
использовать при рассмотрении калибровочных теорий. Во-вторых,
размерная регуляризация допускает замену переменных интегриро-
вания fe—► k—р (сдвиг переменных интегрирования). Вообще говоря,
в расходящихся интегралах такую замену переменной делать нельзя.
/?-операция. Поясним идею перенормировки на примере интеграла
(9.2.10). После его регуляризации мы пришли к выражению (9.2.15).
При снятии регуляризации, т. е. для /г = 4, в выражении (9.2.15)
появляется полюс. Это соответствует расходимости исходного инте-
грала по четырехмерному пространству. Разложим регуляризованный
интеграл (9.2.15) в ряд Лорана по п в окрестности «/2 = 2:
।
Z = +с—in2 dxln[m2—Р2х(1—х)] + О (п/2—2),
(9.2.16)
где с— конечная постоянная. Разложим затем (9.2.16) в ряд
Тейлора по внешнему импульсу р2. Выберем в качестве точки раз-
ложения, или, как говорят, точки перенормировки, точку р2 — №.
Вычитая из (9.2.16) первый (расходящийся) член полученного раз-
ложения, приходим к выражению, не содержащему расходимостей:
(9.2.17)
о
Это перенормированное выражение для интеграла (9.2.10). Выбор
точки перенормировки произволен. Выбрав в качестве точки пере-
нормировки не р2 — X2, а другую, получим выражение, отличающееся
от (9.2.17) на конечный полином по р2.
Аналогичным образом можно произвести перенормировку других
интегралов.
Как видно, процедура перенормировки сводится к вычитанию
из расходящихся интегралов нескольких первых членов разложения
в ряд Тейлора по внешним импульсам. Количество вычитаемых
членов определяется степенью расходимости диаграммы и должно
быть минимальным для обеспечения сходимости интеграла. Так как
выбор точки перенормировки произволен, то разбиение интеграла
на конечную и бесконечную части неоднозначно.
В рассмотренном расходящемся интеграле (9.2.10) содержалось
лишь одно интегрирование по импульсу, и в этом случае перенор-
мировка производилась довольно просто. Для более сложных инте-
гралов, содержащих интегрирование по многим импульсам, указан-
ный простой способ перенормировки недостаточен. В этом случае
151
для перенормировки применяется R-операция, разработанная Бого-
любовым — Парасюком— Хеппом—Циммерманом.
Ее суть сводится к следующему. Рассмотрим произвольную
диаграмму. Ей отвечает интеграл по многим внутренним импульсам.
Этот интеграл может расходиться не только при одновременном
стремлении всех импульсов к бесконечности, но и при стремлении
к бесконечности части импульсов, когда остальные фиксированы.
В этом случае говорят, что диаграмма содержит расходящиеся под-
диаграммы. Для таких диаграмм вычитания делают рекуррентно.
Сначала устраняют расходимости из поддиаграмм, а затем из диа-
граммы в целом.
Процедуру перенормировки можно сформулировать на другом
языке. Дело в том, что замена расходящихся интегралов перенор-
мированными эквивалентна добавлению к исходному лагранжиану
дополнительных членов, которые получили название контрчленов.
Поэтому перенормировку можно производить путем введения в лаг-
ранжиан контрчленов.
Таким образом, для перенормировки теорий достаточно реали-
зовать предписания /^-операции.
При перенормировке калибровочных теорий, как мы уже говорили,
возникают дополнительные проблемы, связанные с сохранением
калибровочной инвариантности теории. В этом случае перенормировка
производится по-прежнему с помощью /^-операции. При этом кали-
бровочная инвариантность не должна нарушаться. Для доказатель-
ства этого удобно использовать обобщенные тождества Уорда, или
тождества Славнова—Тейлора. Поэтому мы сначала остановимся
на этих тождествах.
Обобщенные тождества Уорда. Получим обобщенные тождества
Уорда для калибровочного поля. Исходным является выражение
для производящего функционала W (</) для функций Грина кали-
бровочного поля в обобщенной лоренцевской калибровке (4.2.60)5
Г (7) = С
X
хехр (i/— i J dx ( 2^- («*)2+ M)},	(9.2.18)
где / — калибровочно инвариантное действие.
Идея получения обобщенных тождеств Уорда сводится к следую-
щему. Изменим в производящем функционале (9.2.18) калибровку
(см. (9.2.19)); в результате (9.2.18) перепишется в виде (9.2.25), со-
держащем функцию р*(х). Так как переход от (9.2.18) к (9.2.25)
совершается путем тождественных преобразований, то (9.2.18) и
(9.2.25) равны друг другу. Найдем функциональную производную
обеих частей равенства по pft(x). Функционал (9.2.18) не зависит
от р*(х), и поэтому его производная по pft(x) равна нулю. Тем са-
мым дифференцирование (9.2.25) по р*(х) приводит к системе обоб-
щенных тождеств Уорда (9.2.27). При этом существенно используется
то, что действие / калибровочно инвариантно. Переходим к вычи-
слениям.
152
Переход в (9.2.18) к измененной калибровке
а*(х)—рй(х) = 0	(9.2.19)
совершим тем же методом, который использовался ранее (см. §4.2).
Для этого введем калибровочно инвариантный функционал Да(АЛ),
определенный соотношением
ММ)	1.	(9.2.20)
J х
Подставив (9.2.20) в (9.2.18), получим
W - j П ® АЛ^а^соб (д^-а») б (дцД^-а^-р») Дв(АЛ) х
X Дв (АЛ) exp j dx (а*)« + МЛ)}-	(9.2.21)
Перейдем в (9.2.21) к новым переменным АЛ—► Aft“, со—ив-1. Это дает
(<0 = j П ® АЛ (х)©а*(х) ©со (х) Да (АЛ) Дв (АЛ) X
X б (дцАЛ®—ак) б (МЛ~ak—pft) х
X exp^i/ —i J dx(-l-(<?)* + МЛ®)}-	(9.2.22)
Чтобы произвести интегрирование по со(х) и oft(x), восполь-
зуемся тем, что слагаемое /ЛАЛ“ в (9.2.22) из-за наличия двух
6-функционалов можно представить в виде /ЛАЛ®0» где со0(х; АЛ, рк) —
решение следующей системы уравнений:
ЗХ-а*=0, МЛ—Pfc“0.	(9.2.23)
Учтем (4.2.61), а также то, что на поверхности *= ак + рк функ-
ционал
До (Aft) = det Mo = det(n6fcI + ^lmASt^ + fffWwduA{?).
Тогда интегрирование (9.2.22) приводит к следующему результату!
F(J) = jn®Ag(x)detMox
Хехр {i/- ij dx [-^ (Mu—Pft)a +	(9.2.24)
Найдем явный вид a£“° (x), полагая, что pft(x) — бесконечно ма-
лые функции. В этом случае система (9.2.23) перепишется в виде
Mu“°-aft^ M£-«fc+ М*г8? = 0, Mu-«*-Pft = 0,
где s£ (х) — параметры бесконечно малого калибровочного преобра-
зования со0. Отсюда
/Л (X) ДЛ“° (X) = /Л (х) АЛ (х) + (X) тЛМ (х) -
= Д (X) АЛ (х)— /Л (х) ?Л' $	[<Эи (X, у)]-1 рт (у),
где ?&'авб«М£/*<иА!М Мка' = д^.
153
После подстановки A*“°(x) в (9.2.24) выражение для производя-
щего функционала запишем в форме
W (J) = С II	(х) det Ма х
хехр i J dx [А.(дцД* —pA)a H- JMf*] +
+ i jdxdyJ^(x) V^[M^(x, f/)]-1 pm (г/)у>.	(9.2.25)
Возьмем от обеих частей равенства (9.2.25) производную пор*(х).
Так как исходный функционал (9.2.18) не зависит от рк(х) и сов-
падает с (9.2.25), то
!„...=°- <92-26)
Подставляя (9.2.25) в (9.2.26) и производя дифференцирование
по рк, получаем искомую систему обобщенных тождеств Уорда для
калибровочных полей:
J П ®Ак» det Ма [-1 д^ (у) + j dz Ц (г) (V^	(г, ДО)"1] X
X exp {i/- i J dx (Mfc)s +	} = О, (9.2.27)
где Jdz[M^(x, г)]-1 М%т (г, y) = 8tm8(x—у). Эту систему тождеств
можно переписать в форме функциональных производных по токам
от производящего функционала W (J):
{a 1 &jk w ] + j (y) Vu (y, j
X (МГ)"1 x; T17Г)] } r °'
(9.2.28)
Аналогичным образом можно найти обобщенные тождества Уорда
для других случаев—калибровочного поля, взаимодействующего
с полями материи (спинорными, скалярными), теории со спонтанно
нарушенной симметрией и т. п.
Обобщенные тождества Уорда являются следствием физической
эквивалентности различных калибровок. Как видно из формулы
(9.2.28), они ведут к определенным связям между функциями Грина.
Обобщенные тождества Уорда можно получить другим способом.
Рассмотрим по-прежнему калибровочное поле. Его производящий
функционал запишем так:
W = j П W'W'exp | i J dx[^e4) (х) +
+ ЗД+ё*Х* + ?с*]},	(9.2.29)
где
«2% (*) =-4<fMv)2-iM)2-
— д^дур*—gfkimd^fikA'^cl.	(9.2.30)
154
Непосредственной проверкой можно убедиться, что эффективный
лагранжиан ^9ф инвариантен относительно следующих преобразо-
ваний калибровочного поля Ak»(x) и полей фиктивных частиц ск(х)
(преобразования Беччи—Роу Стора):
А;Лх)-+ А Ах) + (^^(х))е,
с* (х) — С* (X) —4 himc‘ Wе-
ск (х) —► ск (х) + —	(х)) 8,	(9.2.31)
где е —параметр, не зависящий от х, причем е2 = 0, ecft + cfte = 0,
ecA4-cfts = 0. [е, Л^]_ = 0.
Подставляя (9.2.31) в (9.2.29) и учитывая, что якобиан преобра-
зований равен единице, приходим к выражению для iv, содержа-
щему е. Так как (9.2.29) от 8 не зависит, то после дифференциро-
вания по 8 имеем
О = J П ® А\&скФск J бу	(у) [vuc (у)]*—
_±(у) х* ({/)—§•?<У)	с" Ц х
Хехр dx(х)4*•	(9.2.32)
Продифференцируем это равенство по х- X и положим х = Х = 0.
а затем проинтегрируем по с и с. В результате получим обобщенные
тождества Уорда (9.2.27).
Таким же путем можно получить обобщенные тождества Уорда
для более общих, чем калибровочное поле, моделей.
Перенормировка калибровочного поля. Теперь перейдем к пере-
нормировке калибровочных полей. Проиллюстрируем специфику
перенормировки калибровочных полей на примере поля Янга —
Миллса. Его эффективный лагранжиан в а-калибровке, согласно
(5.3.2) и (5.3.3), выглядит так:
о2%Ф==—Т	d»ckd»ck-gflmkd»ck- АиС1.
(9.2.33)
Типы расходящихся диаграмм изображены на рис. 9.4. Рассмот-
рим например, первую из диаграмм. Она расходится квадратично
(ю = 2) Согласно общей процедуре перенормировки, ее надо сначала
регуляризовать. Для дальнейшего нам важно лишь то, что регуля-
ризация не нарушает инвариантности регуляризованного действия,
поэтому мы не будем выписывать явного вида регуляризованного
действия, а предположим, что регуляризация проведена.
Затем, согласно R-операции, надо вычесть из вершинной функции
Грина, соответствующей рассматриваемой диаграмме, три члена.
Наиболее общее выражение для вычитаемых членов, удовлетворяю-
щее требованиям релятивистской и ЗС^-инвариантностей, запишем
155
в виде
IKftp) = 6аЬ {^ig'nv + ^2PuPv + bs (p2g-nv—РиРл)}>	(9.2.34)
где b{ — произвольные константы.
Вычитание полинома (9.2.34) эквивалентно введению в лагражиан
следующего контрчлена:
₽ b. (А*)2 + b. (дцА*)2 +	(д^-д^у,	(9.2.35)
Аналогичным образом запишутся выражения для остальных рас-
ходящихся диаграмм рис. 9.4. Для перенормировки всех расходя-
щихся диаграмм необходимо ввести восемь вычитательных членов Ьг
Константы bh введенные в соответствии с /^-операцией, обеспе-
чивают перенормировку функций Грина. Надо доказать, что при
этом не нарушается калибровочная инвариантность теории. Для
этого сделаем следующее. Введем наряду с (9.2.33) другой эффек-
тивный лагранжиан (9.2.37), заведомо калибровочно инвариантный.
В рассматриваемом случае он содержит не восемь, а только три
константы Zf, и поэтому возможность его перенормировки не яв-
ляется очевидной. Далее воспользуемся обобщенными тождествами
Уорда и убедимся, что трех констант Z{, входящих в (9.2.37), до-
статочно для перенормировки всех функций Грина. Тем самым
будет показано, что перенормировку можно осуществить, не нару-
шая калибровочной инвариантности теории. Иначе говоря, пере-
нормировка производится с помощью /^-операции, а обобщенные
тождества Уорда позволяют доказать, что при этом калибровочная
инвариантность перенормированной теории сохраняется.
1.	Выпишем сначала эффективный калибровочно инвариантный
лагранжиан калибровочного поля. Калибровочная инвариантность
лагранжиана не нарушится, если его умножить на постоянную ве-
личину и если произвольно переопределить заряд g, поэтому кали-
бровочно инвариантное выражение для лагранжиана в общем виде
запишем так
(9.2.36)
Здесь роль «заряда» в калибровочном преобразовании играет
g — Z^z'g, Для самосогласованное™ теории тот же параметр дол-
жен входить в определение ковариантной производной. Поэтому в
операторе Мк‘ = 6«Q + gekimA$d» +константу связи g
надо заменить на g. Представим det М (g) в виде интеграла по по-
лям фиктивных частиц:
det 7И (g) = J fl @)ск@)ск { i ^dxZ^dn^c11 + Z^g^^A^c1)},
(9.2.36')
где Z^1Z1 = Zr1Z1. Тогда общее выражение для калибровочно ин-
156
вариантного эффективного лагранжиана принимает вид
- Т	(M£)s +
+ Zs74 (д^ + Z^g^ А™с1).	(9.2.37)
Так как константы Zn Z2, Z1? Z2 связаны соотношением Z^ZX =*=
= Z^Z^ то в калибровочно инвариантный лагранжиан (9.2.37)
входят три независимые константы Zz.
2.	Теперь воспользуемся обобщенными тождествами Уорда и с
их помощью убедимся, что трех констант Zz достаточно для устра-
нения всех расходимостей из функций Грина. Это возможно потому,
что тождества Уорда накладывают определенные ограничения на
функции Грина, что ведет к уменьшению числа констант bv
Доказательство конечности функций Грина ведется методом ма-
тематической индукции. Сначала рассматривают функции Грина по-
рядка g2, далее — порядка g3 и, наконец, доказывают, что если
конечны функции Грина g*-ro порядка, то конечными будут и фун-
кции Грина g"+1-ro порядка. Мы не станем проводить доказатель-
ство подробно, а проиллюстрируем механизм уменьшения числа не-
зависимых констант bt на примере функции Грина, соответствующей
первой из диаграмм рис. 9.4. Эта функция Грина D^v(p) во втором
порядке по g2 связана с функцией Грина Цц№) следующим обра-
зом:
М (р)=(р)+(р) П™ (р)	(р).
Как можно показать, подстановка последнего в обобщенные тож-
дества Уорда дает
PuPv№v(p) = 0.	(9.2.38)
3.	В калибровочно инвариантной теории этому требованию дол-
жна удовлетворять и функция (9.2.34). Умножая последнюю на
pnpv, видим, что условие (9.2.38) выполняется, если &i = 62 = 0. Из
сравнения (9.2.37) с (9.2.35) следует, что 1-j-bg^Zg. Следовательно,
константы Ьг и Ь2 в (9.2.34) обращаются в нуль и для устранения
расходимости из функций Грина Dffv достаточно одной константы
Z2 (где Za2—значение константы Z2 во втором порядке теории воз-
мущений).
Подобным путем можно показать, что три константы Zt обеспе-
чивают конечность всех функций Грина во всех порядках теории
возмущений. Таким образом, перенормировка калибровочного поля
осуществляется без нарушения калибровочной инвариантности.
Аналогичным образом можно перенормировать более сложные
калибровочные модели—калибровочное поле, взаимодействующее в
полями материи, теории со спонтанно нарушенной симметрией и т. п.
Унитарность амплитуды. Из физических соображений ясно, что
перенормированная амплитуда не должна зависеть от выбора ка-
либровки. Убедиться в том, что используемые нами амплитуды
157
удовлетворяют этому требованию, можно следующим путем. Исхода
ним является выражение для амплитуды через производящий функ-
ционал. Пусть перенормированный производящий функционал задан
в лоренцевской калибровке. Так как перенормированный лагран-
жиан калибровочно инвариантен, то перейдем обычным образом
(см. § 4.2) к другой калибровке, например такой, для которой амп-
с	литуда унитарна. Исходный и
£	вновь полученный производя-
к	1	щие функционалы будут отли-
£	д	чаться только видом членов с
источниками. Однако, как мож-
Т \	г	\	но показать, при подстановке
этих функционалов в амплиту-
а	у а	д ДУ указанное различие исчезает,
т. е. перенормированная ампли-
9.6. Аномальная треугольная диаграмма: туда не меняется при замене
а—для поля ip, б—для поля ф' калибровки. Отсюда следует,
что амплитуда унитарна.
Аномалии. При получении унитарной перенормированной ампли-
туды мы существенно использовали тот факт, что существует про-
межуточная регуляризация, инвариантная относительно калибро-
вочных преобразований. Однако могут быть такие теории, для ко-
торых инвариантная регуляризация отсутствует. К ним относятся,
например, теории, в которых калибровочные преобразования полей
фермионов содержат матрицу у5. Непротиворечивого определения
матрицы у5 для пространства с произвольным числом измерений
дать нельзя, и в этом случае размерная регуляризация невозможна.
Другие известные регуляризации также несовместны с у5-инвари~
антностью. Теории, для которых отсутствуют инвариантная регуля-
ризация, обладают некоторой спецификой.
Проиллюстрируем это на примере модели, инвариантной отно-
сительно простейшей группы Модель описывается лагранжиа-
ном
S = — */4 (dvАц —duAv)2 + hpYu (дц—ig.'Ms) ф,	(9.2.39)
который инвариантен относительно следующих абелевых преобразо-
ваний, содержащих матрицу у5:
Ац (х) —. Аи (х) + д^е(х),
ф (х) -> е’ет5е(х) ф (х) -> ф (х) е1^.	(9.2.40)
Из инвариантности лагранжиана (9.2.39) относительно преобразова-
ний (9.2.40) вытекает тождество Уорда (в а-калибровке):
1«(ад-) ~	(%)+,gT1 (х) ь +те™ (х)}=°’
(9.2.41)
где
W = ^Ад^>ф^>фехр {i jdx ^(^цАц)2-)-/цАц + 'Цф + фц j).
158
Так как инвариантная регуляризация отсутствует, то это тож-
дество содержит расходящиеся интегралы.
В рассмотренных нами выше теориях обобщенные тождества
Уорда получены из инвариантного регуляризованного действия, и
поэтому перенормированные функции Грина удовлетворяют этим
тождествам. Однако перенормированная функция Грина модели
(9.2.39) не удовлетворяет тождеству (9.2.41). Чтобы убедиться в
этом, рассмотрим, например, трехточечную вершинную функцию
Грина (рис. 9.6,а), определяемую формулой
(р» <?)	(р) Gyv' (р) Gaa, (р {/) —
(9.2.42)
Если использовать частный случай соотношений (9.2.41)
-------—П7Г / ч =о (п>2),	(9.2.43)
“*в/Ц1тл..67Цп(хч) ,=Т)в0 v	V ’
то получим
РцГцта (р, q) = qvrwa (р, q) = (p + q)^^ (р, q) = 0. (9.2.44)
Непосредственное вычисление функции Г^а (р, q) с учетом того,
что она симметрична относительно аргументов (р, р), (q, v),
(—(р + 0, а), дает
гт8
i (Р + <7)Л„в (р, (?) = — £5 е^Рра^р.	(9.2.45)
Индекс расходимости диаграммы на рис. 9.6, а равен единице, т. е.
функция определена с точностью до полинома первой степени по
р и q. Поэтому наиболее общее выражение для перенормированной
вершинной функции Г^цч,а (р, q) имеет вид
Ffttiva (Р> <?) = T*va (Р> q) + cieuvaflP3 “Ь CggHvap^f), (9.2.46)
где Г^а (р, р) —симметричная вершинная функция, удовлетворяю-
щая (9.2.45). Функция ГЛ(ХТО также должна быть симметрична от-
носительно аргументов (р, р), (v, q), (a, — (р + ?)); из этого следует,
что
Cj = с2 = 0.
Следовательно, нельзя подобрать локальные контрчлены так,
чтобы перенормированные функции ГД1М,а(р, q) удовлетворяли тож-
деству (9.2.44). Случаи, когда тождества (9.2.45) отличны от нуля,
называют аномалиями. Наличие аномалий означает, что различные
калибровки не эквивалентны и модель, описываемая лагранжианом
(9.2.39), не согласована. Для модели (9.2.39) унитарной перенорми-
рованной S-матрицы не существует (по крайней мере в рамках тео-
рии возмущений). Такая трудность присуща всем теориям, которые
инвариантны относительно калибровочных преобразований, содер-
жащих матрицу уБ.
Указанную трудность можно обойти. Для этого введем в модель
(9.2.39) наряду с полем ф другое поле ф', которое взаимодействует
159
с векторным полем так же, как и ф, но с противоположным знаком
заряда
& = — 4 (Ми-W + %ц, (<5ц—igAyJ ф + if'Yn (5ц + i^nYj) ф'.
(9.2.47)
Тогда наряду с диаграммой на рис. 9.6, а появится аналогичная
диаграмма (рис. 9.6, б), в которой внутренние линии отвечают по-
лю ф'. Согласно (9.2.45), дивергенция вершинной функции про-
порциональна g8, поэтому вклады диаграмм, соответствующие по-
лям фиф', одинаковы по величине, но различны по знаку. В
результате полная вершинная функция Гцуа будет удовлетворять
тождествам (9.2.44). Непосредственными вычислениями можно убе-
диться, что другие однопетлевые диаграммы, которые существуют
наряду с рассмотренной, также удовлетворяют тождествам (9.2.44).
Можно доказать в общем виде, что у диаграмм, содержащих более
одной петли, аномалии отсутствуют.
Изложенный механизм компенсации аномалий можно
использовать и в моделях со спонтанно нарушенной симметрией.
В таких моделях лагранжиан взаимодействия спинорных полей
с векторными, ответственный за появление аномалий, не меняется,
и все рассуждения относительно компенсации аномалий остаются в
силе.
Аномалии могут возникнуть и в неабелевых калибровочных те-
ориях. В этом случае дивергенция трехточечной вершинной функ-
ции Грина вычисляется так же, как и в абелевой теории. Специ-
фика неабелевой теории проявится в том, что в выражении для
дивергенции, аналогичном (9.2.45), возникает дополнительный мно-
житель:
’ (Р + 9)аГ^а (Р. ф) = Sp {у5 [Та, 7b]+T Jeuva₽pa<7p. (9.2.48)
Здесь Т—генераторы калибровочной группы, которые могут содер-
жать матрицу ув.
Из (9.2.48) следует, что аномалии отсутствуют и теория пере-
нормируема, если
Aabe = Sp {у8 [Та, Т„]+Тс} = 0.	(9.2.49)
Перенормировка стандартной модели. Лагранжианы стандартной
модели (см. гл. 6) инвариантны относительно калибровочных пре-
образований, поэтому к ним применима изложенная выше про-
цедура перенормировки.
Как мы видели (см. §8.1; 8.2), в слабые токи стандартной мо-
дели входит матрица у6, т. е. стандартная модель содержит анома-
лии. Можно показать, что если ограничиться учетом лишь лептон-
ного сектора стандартной модели, то множитель АаЬ(,, определяемый
(9.2.49), отличен от нуля и, значит, модель неперенормируема.
Однако если учесть и лептонный и кварковый секторы стандартной
модели, то аномалии, соответствующие этим секторам, взаимно
компенсируются и множитель АаЬс обращается в нуль. Таким обра-
зом, в целом стандартная модель перенормируема.
160
ЧАСТЬ IV
КАЛИБРОВОЧНАЯ ТЕОРИЯ
СИЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В этой части мы обсудим возможность применения калибровоч-
ных полей к описанию сильных взаимодействий частиц.
Теория сильных взаимодействий—одна из наиболее сложных
проблем физики элементарных частиц. Сразу же после открытия
л-мезонов была сделана попытка построить теорию сильных взаимо-
действий в рамках лагранжева формализма с применением теории
возмущений (по образцу квантовой электродинамики), причем пред-
полагалось, что переносчиками сильных взаимодействий являются
л-мезоны. Но вскоре стало ясно, что такой подход не приводит
даже к качественному согласию результатов теории и эксперимента.
Поэтому пошли по пути создания других теоретических методов,
не использующих теорию возмущений и основанных на общих прин-
ципах аналитичности и унитарности (дисперсионные соотношения
и т. п.).
Однако в последнее время наши представления о структуре ад-
ронов и их взаимодействии существенно изменились. Опытами по
глубоконеупругому рассеянию лептонов на адронах было установ-
лено, что при больших переданных импульсах (или на малых рас-
стояниях) адроны ведут себя как системы, состоящие из слабо
взаимодействующих частиц—кварков и глюонов, которые в первом
приближении можно считать свободными. К такому же результату
приводит теория, в которой все взаимодействия между кварками
осуществляются калибровочными полями: на малых расстояниях
константа взаимодействия невелика. Такие теории получили назва-
ние асимптотически свободных. Из этих теорий также следует,
что с увеличением расстояния между частицами их взаимодействие
возрастает.
Таким образом, мы приходим к следующей качественной карти-
не: адроны имеют сложную структуру, причем взаимодействие час-
тиц, составляющих адрон, стремится к нулю на малых расстояниях
(много меньших размера адрона). На больших же расстояниях (по-
рядка размера адрона) взаимодействие становится сильным и час-
тицы не могут выйти из адрона; как говорят, происходит захват
(конфайнмент) кварков и глюонов. Эта картина лежит в основе
модели сильных взаимодействий, которая получила название кван-
товой хромодинамики. В квантовой хромодинамике адроны рассмат-
риваются как связанные состояния кварков, а сильное взаимодей-
ствие между адронами сводится к взаимодействию между их квар-
№ Ю34	161
ками, которое осуществляется калибровочными полями цветной
группы SUs] эти поля назвали глюонными.
Поскольку переносчиками и сильных, и электромагнитных, и
слабых взаимодействий являются калибровочные поля, то стано-
вится возможным объединение всех трех типов взаимодействий; его
называют Великим объединением. Великим синтезом, грандобъеди-
нением (мы будем пользоваться последним термином).
В этой части мы расскажем об асимптотически свободных тео-
риях, о динамической структуре адронов, которая следует из опы-
тов по глубоконеупругому рассеянию лептонов на нуклонах, о хро-
модинамике и грандобъединении.
Глава 10
АСИМПТОТИЧЕСКИ СВОБОДНЫЕ ТЕОРИИ
При построении теории большое значение имеет информация
о свойствах констант связи полей. В общем случае константы связи
зависят от импульсов. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, было
введено понятие эффективной («бегущей») константы связи, или
эффективного заряда. Особый интерес представляет изучение пове-
дения эффективного заряда при больших передаваемых импульсах
(| q |3 —> оо), как говорят, в асимптотической области, так как
именно в этой области происходят важные для физики жесткие
процессы.
Асимптотические свойства эффективных зарядов абелевых и неабе-
левых полей существенно различны. Для абелевых полей эффектив-
ная константа связи растет с ростом q2, а для неабелевых—убы-
вает. Говорят, что неабелевы поля являются асимптотически сво-
бодными. Асимптотически свободные поля открывают новые возмож-
ности при построении как квантовой теории поля, так и калибро-
вочной теории сильных взаимодействий.
Для изучения асимптотических свойств эффективных зарядов
разработан специальный математический метод. В его основе лежат
уравнения ренормализационной группы.
Сначала мы выведем уравнение ренормгруппы и получим выте-
кающее из него уравнение для эффективного заряда, а затем
с помощью последнего уравнения проанализируем асимптотические
свойства эффективных зарядов некоторых полей и моделей.
§ 10,1. УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
И ИХ РЕШЕНИЯ
Мультипликативные перенормировки и их группы. Рассмотрим
перенормируемые теории. Для них можно получить уравнения,
с помощью которых удобно изучать асимптотические свойства теории.
Хорошо известным примером перенормируемой теории является
квантовая электродинамика. Для устранения расходимостей в кван-
162
товой электродинамике достаточно перенормировать только три функ-
ции Грина: пропагатор электрона G(p, ей, mJ, пропагатор фотона
ДцДй, е0, то) и вершинную функцию Гц(р, k, q; е0, mJ, где p,k, q-—
четырехмерные импульсы, тл, е0—неперенормированные масса и заряд
электрона. Поэтому будем рассматривать перенормировку только
указанных функций Грина.
Функции Грина, содержащие все порядки теории возмущений,
расходятся. Чтобы их регуляризовать, введем обрезающий пара-
метр А. При снятии регуляризации (А —+ оо) функции Грина ста-
новятся расходящимися.
Благодаря перенормируемости теории из расходящихся функций
Грина можно выделить конечную перенормированную часть
GR (р, ет тя)> Dn.vR(k> ет mR^ k, q; eR, mR). Для этого надо
каждую функцию Грина умножить на соответствующий перенорми-
ровочный множитель:
G(p, е0, т0,Х) = г2(ей, т„, A, p,)GR(p, eR, mR, р), (10.1.1)
Дцу (^> ^0’ ^о>	== 2S «о- р)	&Rt HIri Р)> (Ю.1.2)
Гц(р, k, q\ еа, т0, A) = Zr1(e0, т0, А, ц)х
хТщ(Р, k, q\ eR, mR, p),	(10.1.3)
где eR, mR—перенормированные заряд и масса электрона, р—про-
извольный параметр размерности массы. В этой главе мы будем
предполагать, что вершинные функции Г не содержат заряд, т. е.
Г==еГ, так что перенормировка заряда е производится отдельно.
Тогда перенормированный и неперенормированный заряды связаны
соотношением
(ю.1.4)
Если учесть тождество Уорда (Z1 = ZJ, то
eR = Z^e0.	(10.1.5)
Разделение функций Грина на конечную и бесконечную части одно-
значно произвести нельзя. Поэтому перенормированные функции
Грина зависят от параметра р размерности массы, который является
точкой перенормировки (см. § 9.2). Обычно значение этого пара-
метра дополнительно фиксируется в теории (он подбирается так,
чтобы конечные перенормированные массы т% и заряд eR были равны
физически наблюдаемым значениям массы и заряда т, е).
Перенормировочные множители Zi входят в (10.1.1) — (10.1.3)
мультипликативно; поэтому говорят, что квантовая электродинамика
мультипликативно перенормируема, В такой форме можно пред-
ставить любую перенормируемую теорию.
6*
163
Соотношения, аналогичные (10.1.1)—(10.1.3), можно записать
в общем случае в виде соотношений для произвольной функции Грина:
f (A gQ, A) = Zf1(^o> т0> Л, Н)ГЛ(р, gR, mR, р), (10.1.6)
где р — совокупность всех импульсов, от которых зависит функция
Грина; индексы, характеризующие поля, типы вершин и т. п., не
выписаны; Zr— константа перенормировки функции Грина Г.
Преобразования мультипликативной перенормировки типа (10.1.6)
обладают групповым свойством. Соответствующую группу называют
ренормализационной группой.
Зависимость множителей Zt от безразмерных параметров. Можно
показать, что в перенормируемых теориях все перенормировочные
множители могут быть выбраны в виде, зависящем от безразмерных
параметров.
С учетом этого факта соотношение (10.1.6) перепишем так:
Г(Л go. m0> A) = ^r1(go. у-)гд(р, Sr> mR’ (10-L7>
ИЛИ
Гл(р, gR, rnR, y) = Zr(g0, А) Г (p, g„, m0, A),	(10.1.8)
при этом, по определению,
gR = Zg(g0> у) Sc mR — Zm^g0, m0,	(10.1.9)
где Zm и Zg—константы перенормировки массы и заряда.
Уравнения ренормгруппы. Параметр р, входящий в (10.1.6), про-
изволен. При его изменении меняются перенормированные заряды,
массы, значения функции Гл (при этом gn и т0 фиксированы). Учет
этих изменений приводит к определенным функциональным уравне-
ниям, которые получили название уравнений ренормгруппы. При
получении уравнений ренормгруппы будем исходить из (10.1.8).
1.	Продифференцируем (10.1.8) по р при фиксированных gu и пг0
и умножим обе части полученного равенства на р:
(10110)
dpi ар dgR dp dmR др ’ UV.1.1VJ
Если учесть соотношение
д£г -	1 dZr -	д In Zr ~
Г = 7--^^гГ=	. Г Г^,
др zr др	др к
то (10.1.10) запишем в виде
[(*•£+₽ (ад -5-+ад' Ш -4--Т ад] f»=o, (ю.1.11)
гае	(е„ -)-) .
/ / \ dttii?	dZffi	d In Ztn	d In Zttt
(gfi)=p-^f- = pm0-^=pZmm0-^-2 = p^-J,
d In Zr
164
2.	Предположим, что ГЛ—однородные функции размерных пере-
менных р, т, р степени d, т. е. tR(lp, 1т, 1р,) — 1аГя(р, т, р) (что
выполняется в теории возмущений). Тогда, используя теорему Эйлера
об однородных функциях, найдем
Величину d называют нормальной размерностью функции
Г/? (A gR. rnR, р).
3.	Находя отсюда р-^-ГЛ и подставляя его в (10.1.11), имеем
{р + mR [1 —у' (£Я)] d—₽ (gR) + у (gR)Г\ = 0. (10.1.13)
4.	Введем функцию Г(£р, gR, mR, р), у которой все импульсы
одинаково растянуты. Эта функция удовлетворяет (10.1.11), а (10.1.13)
переходит в уравнение
{k^k-f>{gR)^-V[\-y'{gR)\mR^ + y{gR)-^ ,
X !>(/?/?, gR, mR, p) = 0.	(10.1.14)
n	7	1 t,	Д d idt д d
Введем новую переменную /==1пя, при этом ^dkdt^dt •
Тогда в соответствии с (10.1,14) получаем окончательный вид урав-
нения ренормгруппы:
{ж~Р ^r)	+ /ПЛ [1 - у' (g/г)]	[d-у (g/г)]} X
хГ₽(/гр, gR, tnR, р) = 0,	(10.1.15)
где
₽ (g/г) = — go------д ze (go. v) ’
a in— х и '
и
V (g/г) = — д 1п (Л/(Л) ln (go. у) •
(10.1.16)
(10.1.17)
(10.1.18)
^^==-TkTW)lnZr(^’ f)-
Функции р (gR), у' (gR) и y(gR) неизвестны. Как видно, они зависят
только от безразмерных констант связи. Величину у (g/г) называют
аномальной разм.ерностью функции Грина.
Эффективный заряд и асимптотическая свобода. Решение урав-
нения (10.1.15) выглядит следующим образом (индекс 7? мы далее
165
будем опускать):
Г (kp, g, tn, |i) =
= exp<j$ [d—у (G (/'))] df |г(р, G(t),	p), (10.1.19)
^P = ₽(G(0), G(0) = g,	(10.1.20)
= —<^(/)[l—y'(G(/))], <^(0) = m. (10.1.21)
Выражение (10.1.19) позволяет свести изучение функций Г, завися-
щих от импульсов, к изучению функций Г, зависящих от зарядов
и масс при фиксированных импульсах. Величины G (t) и <М (t) назы-
10.1. Схематическое изображение за-
висимости эффективного заряда от
расстояния в теориях: а—асимптоти-
чески несвободных, б—асимптотиче-
ски свободных
ваются соответственно эффектив-
ными зарядом и массой. Как вид-
но, в асимптотической области
параметром, характеризующим ин-
тенсивность взаимодействия, яв-
ляется эффективный заряд.
В этой главе мы изучим
свойства эффективного заряда
G(t) в области больших t, т. е.
в асимптотической области. Эти
свойства описываются уравнением
(10.1.20).
Решение уравнения (10.1.20) оп-
ределяется неизвестной функцией
Р (G (/)). Практически ее можно вычислить только по теории возму-
щений. Свойства решения уравнения (10.1.20) существенно зависят
от знака функции P(G(/)). Пусть, например, функция р (G (/)) поло-
жительна и в первом порядке теории возмущений имеет вид Р (G (/)) =
= Ч^аО3 (t), а > 0. Тогда уравнение (10.1.20) для эффективного
заряда перепишем в виде
^0 = |aG’(0. с(0) = £-	(10.1.22)
Его решение выглядит так:
/т2
Если функция р (G (/)) отрицательна и в первом порядке теории
возмущений p(G(/)) = — 1/2aG3(/), то решение уравнения (10.1.20)
запишется в виде
G2W = hS^’ а>°-	(Ю.1.24)
Основное различие формул (10.1.23) и (10.1.24) сводится к знаку
в знаменателе дроби.
Из формулы (10.1.23) следует, что с ростом t эффективный заряд
увеличивается (рис. 10.1, а) и при £ ~ 1/ag2 становится бесконечным
166



манная
\льная
G(t)
a) S)	в)
10.2. Фиксированная точка: а—отсут-
ствует, б—стабильная, в—нестабильная
(имеет полюс). Поскольку эффективный заряд связан с функцией
Грина, это означает, что физические функции Грина также имеют
полюс. Этот факт противоречит условию унитарности и получил
название «трудности фиктивного полюса». Эту трудность можно
сформулировать по-другому. Из (10.1.23) видно, что полюс отсутст-
вует, если заряд g = 0. Это ведет к отсутствию всех физических
процессов и, конечно, является физически неудовлетворительным.
Поэтому говорят также о «трудности нуль-заряда».
Иначе обстоит дело в случае, соответствующем формуле (10.1.24),
когда эффективный заряд в асимптотической области стремится
к нулю. Эта ситуация проти-
воположна предыдущей (рис.
10.1, б). Следовательно, для
теорий с отрицательной функ-
цией P(G(/)) «трудность нуль-
заряда» отсутствует, эффектив-
ный заряд становится с ростом
импульса все меньше и меньше
и в асимптотическом пределе
исчезает. Теории, для которых
эффективный заряд G(Z) стре-
мится к нулю, когда импульс
стремится к бесконечности, по-
лучили название асимптотически свободных.
Выясним условия, при которых существуют асимптотически сво-
бодные решения уравнения. Асимптотически свободным решениям
соответствуют точки, в которых эффективный заряд, а следовательно,
и функция р (G (t)) обращаются в нуль. Назовем вещественные точки,
в которых функция ₽(G(/)) обращается в нуль, фиксированными
точками уравнения для G (/).
Если фиксированные точки у функции Р (G (/)) отсутствуют
(рис. 10.2, а), то уравнение (10.1.20) не имеет асимптотически сво-
бодных решений.
Следует различать два типа фиксированных точек: стабильные
и нестабильные. Пусть g^—фиксированная точка функции P(G(/)).
Тогда если производная< 0 (рис. 10.2, б), то для началь-
ных значений G (/), лежащих левее g„, эффективный заряд G (I) воз-
растает, а для лежащих правее —убывает. Поэтому при t—* оо
заряд G(0~(рис. 10.2, б). Фиксированную точку g-„, для кото-
рои ..0Q < 0, называют стабильной. Если - gg-^y- > 0, то G (/) не
стремится к g„ и такую фиксированную точку gm называют неста-
бильной (рис. 10.2, в). Функция Р (G (/)) может иметь несколько
фиксированных точек: стабильные и нестабильные точки чередуются.
Существуют ли асимптотически свободные теории? Чтобы отве-
тить на этот вопрос, было исследовано большое число различных
моделей и установлено, что среди них имеются как асимптотически
167
свободные, так и асимптотически несвободные. Мы остановимся на
некоторых из этих моделей.
Методика исследования. Основные этапы исследования моделей
сводятся к следующему:
1.	Надо определить модель, т. е. задать: а) группу симметрии
(Uu SU$, SU„ и т. п.), б) состав, т. е. мультиплеты полей, в) вы-
ражение для лагранжиана, инвариантного относительно выбранной
группы.
2.	Зафиксировать: а) функции Грина и перенормировочные мно-
жители, б) связь перенормированного и неперенормированного за-
рядов через множители Zt.
3.	Вычислить множители Zt в заданном приближении; в этой
главе мы ограничимся однопетлевым приближением. Для этого надо:
а) нарисовать диаграммы Фейнмана для пропагаторов и вершинных
функций, перенормировочные множители которых входят в соотно-
шение gR — Zgg0, где Zg—константа перенормировки заряда, б) вы-
писать для этих диаграмм интегралы Фейнмана, в) вычислить ин-
тегралы, удерживая члены ~In Л/р, так как только они дают вклад
в функции 0(G (/)), г) найти Zg.
4.	Найти функцию 0 (G (/)) или систему функций 0; (G{ (t)) в случае
нескольких зарядов.
5.	Выписать уравнения для эффективных зарядов.
6.	Найти фиксированные точки функций 0, и определить их тип.
7.	Исследовать уравнения для’ эффективных зарядов.
При этом следует учесть, что уравнения для зарядов не зависят
от массы, поэтому асимптотическая свобода не зависит от массы
частиц. Иначе говоря, вопрос об асимптотической свободе решается
в безмассовой теории. Поэтому в качестве исходного можно взять
лагранжиан для безмассовых частиц. Чтобы обеспечить массивность
полей материи (спинорного, скалярного и т. п.), надо добавить
в лагранжиан соответствующие массовые, или юкавские, члены,
а для обеспечения массивности калибровочных полей—добавить
необходимое число хиггсовских скалярных мультиплетов.
Переходим к рассмотрению некоторых конкретных моделей.
§ 10.2. МОДЕЛИ
Модели без неабелевых калибровочных полей. Примером такой
модели является квантовая электродинамика.
1.	Квантовая электродинамика инвариантна относительно абе-
левой группы фазовых преобразований; исходным является поле
заряженных спинорных частиц (электромагнитное поле—калибро-
вочное); ее лагранжиан запишем в виде (см. § 2.3)
& =	*/« F цуР цу 4~	цф,
где = +	—ковариантная производная.
2.	Перенормировка функций Грина определяется выражениями
(10.1.1)—(10.1.3); при этом e = Z'/!e0, т. е. надо вычислять только
множитель Za, входящий в выражение (10.1.2) для фотонной функ-
ции Грина.
168
3.	Диаграммы Фейнмана для фотонной функции Грина D^v(k)
в однопетлевом приближении изображены на рис. 10.3. Соответст-
вующий им интеграл Фейнмана выглядит так:
(k) =	(k) +	(k) P,,, (Л) ®pv (A),	(10.2.1)
где
Pkp (k) - J dp Sp yA	Yp p2^m2
Вычислим этот интеграл, удерживая лишь члены,
In (Л/р,); это дает
Р (ъ\ 16ijl21» Л м / „ Мр \
Р*> (k) = -3- In - А2 --------).
Выберем пропагатор фотона в виде (см. табл. 7.1)
содержащие
(10.2.2)
(10.2.2')
(£) = -L(guv_^
Подставив (10.2.2) и (10.2.2') в (10.2.1), найдем
ZW) = (l-^ln£)^v (А),
т е 7 — 1____In —
т. е. za — 1	6л,2 ш .
4.	Отсюда, используя (10.1.5), для функции
(10.1.16) получаем
₽ (е) согласно
₽ - д In Л/р Z^e° k=const — 12л2 — 12л2’
5.	Уравнение для эффективного заряда Е (t) запишем в виде
(10.1.22), где а=1/(6л2).
6.	Решение этого уравнения
совпадает с (10.1.23):	=	+
Е2(/) = е2/(1 — аеЧ). Р	1
Следовательно, квантовая
электродинамика не является
асимптотически свободной тео-
10.3.	Функция Грина фотона в однопег
левом приближении
рией (|3(е) > 0).
Аналогичным образом были проанализированы другие додели
(скалярное поле, фермионное, их комбинация и т. п.), не содержа-
щие неабелевых калибровочных полей, и было установлено, что они
не являются асимптотически свободными.
Модели с неабелевыми калибровочными полями. Можно показать,
что асимптотически свободными могут быть лишь такие модели,
которые содержат неабелевы калибровочные поля. Мы рассмотрим
три такие модели для случая 5(/2-симметрии.
169
Поле Янга—Миллса
1.	Эффективный лагранжиан поля Янга—Миллса, согласно (5.3.2)
и (5.3.3), имеет вид
YM 00»	(*))
_____L Г/Э А'"_д Ak_(А1 Ат_____Аг Д'3 * * * 7^]2_
—	4 I	2 ^Im	'ЛИ / I
— (дц?(*)) (<V*W)—^ЛтИдцё*) Afic1, (10.2.3)
где eft/m—структурные константы, gQ—неперенормированная кон-
станта связи поля Янга—Миллса, ck(x)—функции поля фиктивных
частиц.
'7ЯЯЯЯП
Г_у pikZltl
/г?
J] ^т,	F*™.?
Чл VHtS ' 'A'h
$	г)
h-Zszf2s'hQ
10.4.	Перенормировка функций Грина и зарядов
2.	Перенормированная g и неперенормированная gQ константы
связаны соотношением
g = ZT'Z^g0.	(10.2.4)
Здесь Z2 и ZA— константы перенормировки пропагатора D$v(p) и
вершины lVvp(p» 9) (рис. 10.4, а, б):
DJUp) = Wv(p), ВДл q, r)^Z^(p, q, г), (10.2.5)
где индекс «н» обозначает неперенормированную функцию Грина.
лкяяягГ
ч—-*
10.5.	Диаграммы калибровочных и фиктивных полей
в однопетлевом приближении
3. Диаграммы Фейнмана для обеих функций Грина (10.2.5)
в однопетлевом приближении изображены на рис. 10.5. Вычислим
интеграл Фейнмана, соответствующий, например, первой диаграмме
на рис. 10.5. Пусть греческие индексы характеризуют пространст-
венные, а латинские—калибровочные свойства пропагаторов и вер-
170
шинных частей. Указанный интеграл выглядит так:
(Р) {цЁр J d<7e«/d(— Р—2я)б	+
+ (2р + ?)Р g6„ + (q-p). g6p]	(^хл-~^+У9)я) X
х &efm l(q — p)n gte + (2p + q)k gna + (— P— tyo gnd X
x -^(^p -^)}ад(р).	(Ю.2.6)
Здесь eklm—структурные константы алгебры Ли группы SU2, 8к1—
символы Кронекера, ^(,(р) =	пропагатор поля
Янга—Миллса, определяемый (5.3.14). Вычисление интеграла (10.2.6),
если удерживать только члены, содержащие In (А/р), дает
4=®Й(Р) 1^2 Wt im f (In А/P) (Ява-	(р).
Входящая в это выражение комбинация структурных констант для
группы SU2 определяется формулой 2 e«<A»// = 26Mn. Вычисляя
аналогичным путем интегралы, соответствующие всем диаграммам
рис. 10.5, суммируя полученные результаты и учитывая (10.2.1),
(10.2.5), имеем
7—11 g° 26 In Л 7~» — 1 g" 17 In Л
1 + 16ла 3 1П ц ’ Z1 - 1	16ла 3 П ц ’
G9 22
4.	Отсюда для функции 0 (G) находим ₽ (G) = — у .
5.	Уравнение для эффективного заряда G(t) запишется в виде
(10.1.22), гдао=—
1 22
6.	Решение этого уравнения совпадает с (10.1.24), где a = -j^"3'
Таким образом, неабелево поле Янга—Миллса асимптотически сво-
бодно: ₽ (G) < 0.
Поле Янга—Миллса со спонтанно нарушенной симметрией
1.	Модель инвариантна относительно группы SU2. В состав мо-
дели входит'триплет полей Янга—Миллса А^(х) и один триплет
скаляров <рв(х)(а=1, 2, 3). Модель описывается лагранжианом
^ = ^M + |(V&V)2-4(<I’W + ,n2(PVI . (Ю.2.7)
где 2?ym~ лагранжиан поля Янга—Миллса, /0—неперенормирован-
ная константа самодействия скалярного поля <ра(х), ?цй = <5^6^ 4-
+ teo (Mft)ab —ковариантная производная, —i(a>A)ab—генераторы
триплетного представления группы St/a, определяемые (1.2.7).
Последний член в лагранжиане введен для спонтанного нару-
шения симметрии. Механизм Хиггса приводит к тому, что две ком-
поненты поля Янга—Миллса становятся массивными (т. е. превра-
171
щаются в массивные векторные мезоны), а одна остается по-преж-
нему безмассовой (ее можно отождествить с фотоном). Другими
словами, добавление скалярного триплета позволяет превратить
некоторые безмассовые частицы в массивные. К сожалению, при
этом, как мы сейчас убедимся, модель перестает быть асимптоти-
чески свободной.
2.	В соотношения между перенормированными g, f и непере-
нормированными g0, f0 константами входят константы перенорми-
ровки четырех функций Грина, изображенных на рис. 10.4, а—г.
10.6. Диаграммы, содержащие скалярные и калибровоч-
ные поля в однопетлевом приближении
3.	Диаграммы Фейнмана для всех функций Грина в однопетле-
вом приближении приведены на рис. 10.5, 10.6.
В выражении для диаграмм, содержащих линии скалярных по-
лей, появляются генераторы (— i®ft) триплетного представления
группы. Комбинации генераторов для типичных диаграмм на
рис. 10.6, а, б выглядят следующим образом:
(®„)/i (®Я)в/ 8ie 8fJ 8nk8ml = SP (®fc®«) = 26ftf,
(®«:)<ic (®i)e/ 8kl 8df 8ac8be ~ (ыктк)ьа ~ %8ab-
Вычисление интегралов Фейнмана, соответствующих этим диа-
граммам, приводит к следующему результату:
z2-1+84lnv- ^ = 1 + 1241<•
=1 -Т^ (т + 72<) 1п А.
172
4.	Тогда для функций P^(G) и (G, F), входящих в уравнения
для эффективных зарядов (j(i) и F (t), имеем
М<5«)—
₽/ (О (О, F (0) -тет [тР <'>~24С’ «) F (О + 720‘(/)] •
5.	С учетом этого систему уравнений для зарядов G(t) и F(t)
запишем в виде
16л’^ = - 14G*,	G(Q)^g,	(10.2.8)
16л»М="р«_ 24GSF 4-72G4, F(O) = f. (10.2.9)
dr о
6.	Из уравнения (10.2.8) следует, что модель асимптотически
свободна по заряду G, так как ₽г(О) < 0. Решение уравнения (10.2.8)
выглядит так:
дг2
(Ю.2.10)
где а = 7/(8ла). Подставляя (10.2.10) в уравнение (10.2.9) и произ-
водя в нем замены F — FG* и х = (l/a) In (1 + находим
16jT»-gJ = yF2— 16? 4-72.
Это уравнение не имеет фиксированных точек, т. е. его правая
часть не имеет вещественных корней. Поэтому модель не является
асимптотически свободной по заряду F.
Этот результат тем более сохранится, если ввести два триплета
скаляров, чтобы сделать все компоненты поля Янга—Миллса мас-
сивными.
Поле Янга—Миллса и поля материи. Рассмотрим поле Янга —
Миллса, взаимодействующее с полями материи. При конкретном
выборе модели существует довольно большой произвол, так как
мы можем выбирать разные мультиплеты частиц и члены, нарушаю-
щие симметрию. Поэтому было проанализировано большое количе-
ство различных моделей. Мы остановимся на одной из них.
1.	Модель инвариантна относительно группы SU*. В ее состав
входят триплет янг-миллсовских полей Дц(х), т триплетов спино-
ров ф“ (х) (/ = 1, 2, .... т) и один триплет скаляров <ра (х), взаимодей-
ствующий с одним триплетом спиноров (везде а — 1,2, 3). Модель
описывается безмассовым лагранжианом
=	+ L	+4(V“'’<₽6)2-^-(<Pa'Pa)2-iMi8ef^<pc,
i = I
(10.2.11)
где ^ym — лагранжиан поля Янга—Миллса, определяемый (10.2.3),
Vu’ = ^e6—ковариантная производная, £0—неперенор-
173
мированная константа взаимодействия поля Янга—Миллса с самим
собой и со спинорным и скалярным полями, неперенормиро-
ванная константа взаимодействия спинорного поля со скалярным
(взаимодействие Юкавы), /0—неперенормированная константа само-
действия скалярного поля.
Первое слагаемое в (10.2.11) соответствует полю Янга — Миллса
и фиктивным с-полям, второе—спинорному полю и его взаимодей-
ствию с полем Янга—Миллса, третье—скалярному полю и его
10.7. Диаграммы, содержащие спинорные, скалярные
и калибровочные поля в однопетлевом приближении
взаимодействию с полем Янга—Миллса, четвертое—самодействию
скалярных полей, пятое—взаимодействию спинорного и скаляр-
ного полей.
Чтобы сделать массивными спинорные и скалярные поля мате-
рии, добавим в лагранжиан массовый член:
— 5	(10.2.12)
/= 2
Последний член в лагранжиане (10.2.12), соответствующий скаляр-
ному полю, введен для спонтанного нарушения симметрии. Из-за
него две компоненты поля Янга—Миллса приобретают массу
массы компонент первого спинорного триплета расщепля-
ются (/И1?	и появляются скалярный мезоне массой
М = 2ц и два безмассовых (нефизических) скалярных мезона.
2.	Для определения констант перенормировки зарядов исполь-
зуем функции Грина, диаграммы которых изображены на рис. 10.4,
а—е. Там же приведены соответствующие соотношения между перенор-
мированными и неперенормированными константами связи.
3.	Диаграммы Фейнмана для функций Грина в однопетлевом
приближении представлены на рис. 10.5—10.7. Вычислив интег-
ралы Фейнмана для этих диаграмм, получим выражения для
174
4.	С их помощью найдем вид функций 0g (G),	(G, 77), (G, Н, F).
Так как в множители Zt и Z2 дают вклад диаграммы, содержащие
только константы G, то функция Pg(G) зависит лишь от G(t). В Zs,
Z6 и Ze дают вклад диаграммы, содержащие G (/) и Н (/), а в Z4 —
диаграммы, содержащие G(t), Н (/) и F (t)\ поэтому ₽Л(О, Н) зави-
сит от G(/) и H(t), а Р; (G, Н, F)—от G(/), Н (t) и F (t).
5.	Систему уравнений для эффективных констант связи G (/),
//(/), F (t) запишем в следующем виде!
16л2^ = - (14—G(O) = gr, (10.2.13)
16л*^ = 16Я‘(О—24№(/)G2(/),	Д(0) = /г,	(10.2.14)
16л2	= Ир (/) — 24G2 (0F (t) + 72G1 (t) + 16F (/) И2 (/)—
— 96Я‘(0.	F(O)=f.	(10.2.15)
6.	Выясним, существуют ли для этой системы уравнений асим-
птотически свободные решения, т. е. решения, для которых при
t оо все три эффективных заряда одновременно стремятся к нулю.
Из уравнения (10.2.13) следует, что модель асимптотически сво-
бодна по константе связи G, если ₽„ < 0, или 14—^т>0, т. е.
только в том случае, когда модель содержит либо один, либо два
триплета спиноров. При большем числе триплетов спиноров 0g > 0
и модель перестает быть асимптотически свободной. Другими сло-
вами, требование асимптотической свободы накладывает определен-
ные ограничения на возможное число спинорных триплетов. Реше-
ние уравнения (10.2.13) выглядит так:
с’<')-т4та'	(io.2.ie>
1	!16	\
где а = ТбН14-з-т>
Найдем, при каких условиях модель асимптотически свободна
по константе связи_Н. Для этого рассмотрим уравнение (10.2.14).
После замены H — HGvi перехода к новой перемен ной х = (1 /а) In (1 4-
+ ag2f) оно принимает вид
16л2-^-= 16Д* —(10 + ут)Д2.	(10.2.17)
Запишем это уравнение в общей форме:
^ = p(i/) = Xz/2 + Bz/ + C.	(10.2.18)
В случае уравнения (10,2.17)
// = Д2, Дд = 1>о, Bft = -I^(10 + ^/n), Сд = 0.	(10.2.19)
Асимптотически свободные решения уравнения (10.2.18) определя-
ются нулями функции р (у) (фиксированными точками). Корни урав-
175
нения Ay2 А-Ву-\-С = О, соответствующие фиксированным точкам,
равны уи 2 = (—В Т К В2—4АС)/(2А), т. е. функция 0Q/) имеет
нуль (рис. 10.8), если В2—4ЛС>0. В противном случае функция
00/) нулей не имеет (рис. 10.2, а).
Нули функции 0(у) могут быть как стабильными, так и неста-
бильными. При этом в стабильной точке dp (y)/dy |у=и < 0, а в не-
стабильной точке d0 (у)[Ау |F=₽H > 0.
На рис. 10.8 точка у2—стабильная,
a z/2—нестабильная.
Эффективные константы связи мо-
гут быть как положительными, так и
отрицательными величинами. Однако,
имея в виду (10.2.19), мы рассмотрим
только случай положительных кон-
стант; «/>0.
Чтобы решение в асимптотике стре-
милось к стабильной точке ylt надо выб-
рать начальное значение 1/(0), мень-
шее корня у2: у (0) < у2. В случае не-
стабильной точки у2 в качестве у (0)
надо выбрать значение, совпадающее
с этим корнем; у(0) = у2.
Таким образом, уравнение (10.2.17)
может иметь как стабильную, так и
нестабильную фиксированные точки. Каждой из них будет соот-
ветствовать асимптотически свободное решение, если выполнены
условия:
Для стабильных точек
В2—4 АС	0,
(10.2.20)
dP (y)/dy\v=ir < 0,
1/(0) < Ун-
Для нестабильных точек
В2—4АС^0,
у„^0,	(10.2.21)
dP (y)/<iy Ij,=j,H > 0,
1/(0) = Ун-
Стабильные точки. Покажем, что если ограничиться рас-
смотрением лишь стабильных решений, то изучаемая модель не яв-
ляется асимптотически свободной по константе F.
Подставляя (10.2.19) в (10.2.20), имеем
[тб^(10 + з’т)] ->®’	= Тбл2(
Л2<(4 + 4/и)^-
Эти условия выполняются как для m—1, так и для /п = 2,
т. е. модель асимптотически свободна по константе И. При этом
если t —> оо, тоЯ—>0 и Я = ЯС—►О быстрее G. Однако по кон-
станте F модель не является асимптотически свободной. Чтобы в
этом убедиться, рассмотрим уравнение (10.2.15). Подставляя в него
(10.2.16) и производя замену F — FG\ х = (1/а) In (1 +aga/)> полу-
176
чаем
16л»4^ = ^Р—( 10 +V + 72+16Ftf«—96Я4. (10.2.22)
Так как Н —* 0 при t—> оо, то двумя последними членами в (10.2.22),
характеризующими взаимодействие скалярного поля с фермионами,
при асимптотических значениях t можно пренебречь, т. е.
16+-^- = ^F —('10+-^m')F + 72,	(10.2.23)
ил О	\	О 1
л 11 П	1	/ 1Л | 16	\	9
причем 4/ = Жа, 5/ = -1б^Ц10+ зтУ Cf = ^'
С учетом этих значений условие существования фиксированной
точки (В®—4ДС^0) выполняется лишь для /п^5. Иначе говоря,
асимптотически свободное решение по константе f существует лишь
в том случае, когда число триплетов спиноров больше четырех.
Но в этом случае модель становится асимптотически несвободной
по константе G. Вследствие этого обстоятельства модель в целом
не может быть асимптотически свободной. Это означает, что в мо-
дель нельзя ввести триплет скалярных полей, с помощью которого
осуществляется спонтанное нарушение симметрии. Таким образом,
если учитывать только стабильные точки, то рассматриваемая мо-
дель не является асимптотически свободной.
Нестабильные точки. Покажем теперь, что при учете не-
стабильных точек система уравнений (10.2.13)— (10.2.15) имеет
асимптотически свободное решение даже при наличии в модели
триплета скаляров <ра(х), спонтанно нарушающего симметрию.
После подстановки (10.2.19) в (10.2.21) имеем
Щ10+НГ >0; (4+т)>°+(4+т”’)>0;
Первые три условия для /п=1, 2 выполнены, а из последнего
следует, что между константами hug существует определенная
связь: Л^=(?/8 + /п/3) g2, так что Н становится постоянной вели-
чиной: Н = (i/s + m/3)1/2. При этом эффективный заряд H — HG
при t —► оо стремится к нулю как G, т. е. для т== 1, 2 модель по-
прежнему остается асимптотически свободной по константе Н.
Так как Н—постоянная величина, то в уравнении (10.2.22)
двумя последними членами уже пренебрегать нельзя; после подста-
новки в уравнение (10.2.22) величины Я = (5/8 + ^/3)1/2 оно запи-
шется в форме
16л«~- = -Ц F« + 72—96f|+4V,	(10.2.24)
ах о	\ о о /	'
при этом Л,-^. В,-О, ^-+(1-40».-^).
177
Подставляя (10.2.24) в (10.2.20), получаем в стабильной точке
32m2 । лп^, 69. п	1 Г 3 /32т2 . .п 69?. Л
— + 40/П—2->0; -у + 40ffi-7j>0.
Последнее условие не выполняется, и такое решение мы не рас-
сматриваем. Подстановка (10.2.24) в (10.2.21) дает в нестабильной
точке:
32т2 .лп	69. Л	. л 11 . л г <,
“~3 Ь 40/п	j- > 0, у% с > 0, 24^2 £ > 0; f = g с,
где с =
./32т2 , 120m	207
И 11 "Г" 11	22 •
Первые три условия для т=1, 2 выполнены, а из последнего
видно, что между, константами g nf существует определенная связь
/2 = c2g2, так что F становится_ постоянной величиной F — f/g2. При
этом эффективный заряд F — FG2 стремится при t —► оо к нулю,
как G2. Иначе говоря, для т=1, 2 модель асимптотически сво-
бодна и по константе связи F.
Следовательно, в нестабильных точках модель асимптотически
свободна по всем трем константам связи только в одном случае,
когда на них наложены определенные связи: /i2 = (?/e4-/n/3)g'2,
/2 = c2g\ причем при t —оо эффективные заряды G (t) —► 0, Н (I) —» О
(как G(t)), F (0 —» 0 (как G2(/)). Другими словами, асимптотичес-
кая свобода возможна лишь при строго фиксированных значениях
констант связи и их нельзя «двигать» около этих значений.
Важно подчеркнуть, что наличие определенных соотношений
между константами связи ведет к определенным связям между мас-
сами частиц. Так, в рассматриваемой модели массы mv векторного
и т3 скалярного мезонов связаны соотношением 3ms2 — cmv2.
Таким образом, уравнения (10.1.20) позволяют изучить асимпто-
тические свойства эффективных зарядов для различных моделей и
тем самым выяснить, является ли модель асимптотически свободной.
Глава 11
ДИНАМИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АДРОНОВ
Согласно кварковой модели (см. § 6.2), адроны состоят из квар-
ков. Как взаимодействуют кварки в адроне? Ответ на этот вопрос
дают опыты по глубоконеупругому рассеянию лептонов на нуклонах:
e~N —* е~Х, р,-N —♦ ц.-X, vM —< р“Х, vN —► р+Х,
где W— нуклон, X — все остальные частицы. Эти процессы в глу-
боконеупругой области (на малых расстояниях) обладают интерес-
ным и важным свойством—скейлингом. Явление скейлинга можно
объяснить, если предположить, что адрон состоит из точечных не-
взаимодействующих частиц — партонов (частным случаем ко-
торых являются кварки). В свою очередь, кварковая модель невзаи-
178
модействующих частиц приводит к предсказаниям—правилам сумм,
которые согласуются с экспериментальными данными; тем самым
подтверждается правильность исходных посылок модели.
В этой главе речь пойдет о скейлинге, о кварк-партонной мо-
дели, о правилах сумм и их сравнении с опытом.
§ 11.1. ОПЫТНЫЕ ОСНОВАНИЯ СКЕЙЛИНГД
Проанализируем подробнее перечисленные выше процессы.
1. Начнем с неупругого рассеяния электрона на протоне:
е~р —► е~Х.
Диаграмма этого процесса в однофотонном при-
ближении изображена на рис. 11.1.
Этой диаграмме соответствует следующий мат-
ричный элемент:
Sfi = - <Х I (0) I р> (2л)*1в (рх+k'-p-k),
где /ц = и(А')уцЫ(Л)—электромагнитный ток в
вершине a, —электромагнитный ток в вер-
шине б, q*=k—k'—импульс виртуального фо-
тона.
Для дифференциального сечения do процесса
(11.1.1), просуммированного по всем конечным
состояниям адронов, найдем
р, do _ /2а1 ,
Д "dF- J ~Ё
где
Tgv = S ilijv — Vs 4“ Suv )]»
спин
= i £ Jdxei(fl+p-px)x<pRu(0)|X><X|Jv(0)|p>. (11.1.3)
X, спин
(11.1.1)
11.1. Дйаграмма
неупругого.. рассея-
ния электрона на
протоне в однофо-
тонном приближе-
нии
(11.1.2)
При этом мы положили массу лептона равной нулю (те = 0); Е, Е' —
энергия начального и конечного электронов. Функция содер-
жит всю динамическую информацию о вершине б.
Если учесть трансляционную инвариантность и полноту состоя-
ний X, то (11.1.3) перепишем в виде
^nv(p, =	Jdxe'^</?|[Jtt(x) Jv(O)]_|p>. (11.1.4)
СПИН
Учет требований лоренц-инвариантности и сохранения тока при-
водит к следующему выражению для функции W^:
^v(v, <72) = (-^v + ^-)fi(v, ^) +
+	'у	Fa(v, У),	(11.15)
173
где v — pqtM, М — масса нуклона, a W\(v, q*), TT2(v, q*)—неизве-
стные функции, получившие название структурных.
Область, в которой переменные удовлетворяют условиям
v^>Al2, —<?2^>Л12, х —— q2/(2vM) и фиксировано, (11.1.6)
называют глубоконеупругой. Величина х меняется в пределах от О
до 1 и берется не слишком близкой к ее предельным значениям.

0,0 г—
0,3 ~
0,2 -
0,16 7
0,3''-
0,2 -
0,12-
0,2 -
0J -
 о,№
о/
0,1)8
0,06
0,051
0,06'
0,00
0,03
0,02
8 £4 а
Х=0,35 *
5	10 20
а)
О-. . I
х-0,25
I -
1,0
х-0,55
. 4 4 :
‘to 100 200
чгМ
l+f 0<хс0,03
.	0,03 <х< 0,06
1 /7>тт т т т :
1',О Гi+ll+MV+S ♦♦ °>1<х< °-2
0,5
0,1
; +♦*♦*♦*♦♦♦♦♦**♦ п7<х,Пч
 Vl+мЛ
р t 1 l++++V<x^
_	1*4 А
И* .Ао.6<Х<О1
1	5 10	50 100 200
f(DB)
° О ®	I +
4
4
11.2. Зависимости структурных функций от переданного импульса:
а—для процесса цр—>-цХ, б—для процесса vp—>-р.Х
В лабораторной системе координат (л.с. к.)
v = pq/M = (Е—Е'), <72 = —4££'sin2(e/2)<0,	(11.1.7)
где 9—угол рассеяния электрона.
Для дифференциального сечения в л. с. к. имеем
^£^_=^£'«[1F8(v, 92)cos24-b2lFt(v, <?2) sin21]. (11.1.8)
Функции Wx и простым образом связаны с полными сечениями
поглощения продольных (aL) и поперечных (оТ) виртуальных фо-
гонов:
«М’- «’l-SOT"---	<1LL9)
K-Mv+^-.	(11.1.10)
180
Введем еще параметр R, характеризующий отношение сечений:
R =	(11.1.11)
Полученные формулы пригодны также для процесса неупругого
рассеяния р-лептонов на протоне.
В качестве примера на рис. 11.2, а приведена измеренная раз-
ными экспериментальными группами зависимость структурной функ-
ции vU72(x, 92), от <у2 при фиксированных значениях х. Как видно,
структурная функция v№a(x, q2) слабо зависит от передаваемого
импульса q2, и в первом приближении ее можно считать не зави-
сящей от q2. Свойство независимости структур-
ных функций от q2 получило название точного
скейлинга. Следовательно, в экспериментах по
глубоконеупругому рассеянию лептонов на прото-
не наблюдается слабо нарушенный скейлинг.	>
2. Рассмотрим процесс неупругого рассеяния s
нейтрино и антинейтрино на протоне с об- р
разованием заряженного лептона (например,
лентона):	'	*
Vu + р —► Ц“ + X,	(11.1.12)	П-3. Диаграмма
- .	+ . у	/11 1	неупругого рассей-
+ p—►Ц тА.	(11.1.10)	ния нейтрино на
протоне
Диаграмма этих процессов изображена на рис.
11.3. Процессы обусловлены слабым взаимодействием, поэтому их
матричный элемент запишем в виде произведения двух слабых
заряженных токов (см. § 8.2):
Mv/v=-^<x|Jr^(O)|p> д->-
где —слабые заряженные лептонные токи, J^+)’ ?—слабые заря-
женные адронные токи. Отсюда найдем для дифференциального
сечения процессов (11.1.12) и (11.1.13) выражение, содержащее по
три структурные функции:
±z/(l—|)rv1F8(x, ?2)],	(11.1.14)
где у-ч/Е, G — константа слабого взаимодействия, Е—энергия
падающего нейтрино,	—структурные функции; верхние знаки
в (11.1.14) относятся к процессу (11.1.12), нижние—к процессу
(11.1.13).
Опыт показывает (см. рис. 11.2, б), что для процессов (11.1.12)
и (11.1.13) в глубоконеупругой области скейлинг слабо нарушается.
Таким образом, для глубоконеупругих процессов скейлинг нару~
шается. Однако это нарушение мало и в первом приближении можно
считать, что есть точный скейлинг. Поэтому в этой главе мы рас-
181
скажем, как можно объяснить точный скейлинг с помощью партон-
ной, или кварковой, модели. Вопрос о нарушении скейлинга в рам-
ках квантовой хромодинамики будет рассмотрен в гл. 12.
§ 11.2. ТОЧНЫЙ СКЕЙЛИНГ И КВАРКОВАЯ СТРУКТУРА АДРОНОВ
Кварк-партонная модель. Идея партонной модели довольно проста.
Предположим, что:
1) адрон состоит из точечных частиц, которые получили назва-
ние партонов; их вид и число не конкретизируются;
2) партоны в адронах являются свободными частицами, т. е.
амплитуда рассеяния частицы на адроне есть сумма амплитуд рас-
сеяния частицы на отдельных партонах.
Тогда функции Wt обладают скейлинговыми свойствами. Чтобы
это показать, найдем сначала функции Writ соответствующие рас-
сеянию свободной точечной частицы на точечном партоне типа г (зна-
чок «-» указывает, что функция относится к партонам). Затем
проинтегрируем wrt по всем возможным значениям импульсов пар-
тонов и просуммируем по всем типам партонов г. В результате
получим структурные функции W{ адронов. В случае рассеяния
частицы на свободном партоне функции можно вычислить точно
(в заданном порядке теории возмущений). Например, для процесса
рассеяния виртуального фотона на партонах со спином V» тензор
входящий в (11.1.5), в первом порядке теории возмущений
по электромагнитной константе связи в глубоконеупругей области
выглядит так:
+ 2рГ^ 12р№ + p^v + р^~(рГ(1) £nv],
где q—импульс фотона, Qr—заряд партона, рг—импульс партона
с долей хг .от импульса адрона р, т. е. = и 0<хг<1.
Используя соотношение (prq) = xr(pq) = xrMv и сравнивая почленно
последнюю формулу с (11.1.5), найдем, что функции W'J и Wr2 свя-
заны соотношением 2MxrWi = vWr2 и определяется следующим выра-
жением:
2Mxr^[ = vWr2 = Q22Mvxr8 (q* + 2xrMv) sa
^Q*xrb(xr + ^=Q»xr8(xr-x),	(11.2.1)
где x = — q2/(2Mv). Как видно, партонные структурные функции и
vWr2 зависят только от одной переменной х. Пусть qr (хг)—вероят-
ность найти партон типа г с импульсом ргц = хгрц,. Тогда для полу-
чения структурной функции адрона надо умножить функции
определяемые (11.2.1), на вероятность qr(xr), проинтегрировать по
всем возможным значениям хг и просуммировать по всем типам
182
партонов. Это дает:
1
WAv, <7a) = 2$dxr<№)lh(x,)-
г о
“ У Axrqr (хг) 6 (хг X) = 2д£ У, QW (х),
г 0	г
1
r2(v,^) = E$dxf^(^)F2r(xr)=
г О
= У j d*r qr М % х?6 (хг ~*)=v X ®qr (х)’
г О	г
т. е.
2хМ№г (v, q3) = vW2 (v, q3) = x^Q2rqr(x). (11.2.2)
r
Из последней формулы следует, что в глубоконеупругой области
структурные функции AfF^v, q3) и v№a(v, <?2) адрона зависят от
одной переменной х, т. е. обладают скейлинговыми свойствами.
Следовательно, в глубоконеупругой области
MWx(y, q3)-+FAx), vWAv, q3)->FAx)
и соотношение (11.2.2) перепишется в форме
2xFx (x) = Fa(x) = x2 Q3qr (х).	(11.2.2')
Иначе говоря, адронные структурные функции FAx) определя-
ются функцией распределения qr (х) импульсов партонов в адроне.
Аналогичная ситуация имеет место для структурных функций рас-
сеяния нейтрино на адроне, причем
v^8(v, <?2) —»• F, (х).
Правила сумм. Интегрируя (11.2.2') по х, получаем правило су мм:
1
jj^(x) = 21^	(11.2.3)
О	г
I
где Nr — ^dx qr (х) — полное число партонов сорта г.
о
Более экономной и конкретной является кварковая модель (см.
§ 6.2), согласно которой фермионы состоят из трех кварков, а бо-
зоны— из кварка и антикварка. Эти кварки назвали валентными:
они обеспечивают адрону его квантовые числа (заряд, изоспин,
барионное число, странность, чарм, прелесть). Адроны могут содер-
жать также примесь пар кварков и антикварков; последние не
изменяют квантовых чисел адронов и образуют кварковое море.
Поэтому, например, для протона, если учесть квантовые числа,
183
должны выполняться соотношения (для простоты мы будем писать
и вместо и(х') и т. д. в тех случаях, когда функции не стоят под
интегралом):
1
$ <1*[а/з («(х)—й (*))—7з (d(x)—d(x))~73 (s(x)—s(x))+
О
+ 7з (С (х)—с (х))] = 1	(заряд),
1
$ dx^g [u (х) — и (х) + d (х)—d (х) 4- s (х) — s (х) + с (х) —
о
—с(х)]=1	(барионное число),
1
J dx [$ (х) — s (х)] = 0	(странность),
о
1
J dx[c(x) — с(х)] = 0	(чарм).
о
Эти соотношения приводят к следующим правилам сумм:
1 1
dx[и (х) — и (х)] = 2, dx[d(x)—d(x)] = 1,
о	о
1 1
J dx[s(x) — s(x)] = 0, J dx[c(x)—c(x)]=0.	(11.2.4)
о	о
Предположим, что:
а)	вклады моря qrs(x) и валентных кварков q[ (х) независимы, т. е.
Чг W = q'v (*) + qrs (x);	(11.2.5)
б)	изоспин моря равен нулю и зарядовая четность моря поло-
жительна:
us — ds = us = ds == Si,	(и 2 5')
Sj =	= S2, Gs == Cs === C.
Тогда правила сумм (11.2.4) перепишем так;
1	1
Jdxtzv(x) = 2, Jdxdw(x)~l.	(11.2.4')
о	о
Связь между структурными функциями. С помощью этих правил
сумм можно получить некоторые соотношения между структурными
функциями.
а)	Из (11.2.2') имеем
2Fr=l^ = 4(M + «) + i(d + 3) + |(s + s)+4(c+?),
1 I _	4	-	1	-	4	- 01-2.6)
2F- = 1 FT ~| (и + и) +1 (d + d) 4- j (s + s) + у (с + с).
184
Отсюда найдем
Fe2P_pen = ^x{Uv_dv)>
или, используя (11,2.4'),
О
(11.2.7)
б)	Из соотношений (11.2.5), (11.2,5') и (11.2.6), пренебрегая
с-кварками, получаем
реп/рер =	s^l	S2).
Если пренебречь вкладом моря и положить dw = 0, то
pen/pep^i^	(11.2.8)
в)	Учитывая выражения (6.3.6) для заряженного слабого тока
кварков и формулу (11.2.2'), находим:
F^ = (w + d + s + ?), ГГ = (u + d + s + ^),
FF = 2x(u + d + s + F), F^ = 2x(u + d + s + c),	(11.2.9)
xFViP~2x(—u + d + s—c), xF%p~2x(u—d—s + c).
Соответствующие выражения для нейтронных структурных функ-
ций получают путем замены u^d и uz^d. Из (11.2.9) вытекает,
что для нейтринных процессов выполняются соотношения
2xFl~Fi, F3 = —2FX.
Введем для удобства обозначения
q — и ф- d ф- s ф- с, q = и ф- d ф- s ф- с.	(11.2.9')
Тогда для рассеяния на изоскалярной мишени [W = */2 (Р + я)]
найдем:
=	=	pvN==FvN==x{q + -)j
xpvN/(vN, = х [q—'jzp (с + с — S— S)].	(11.2.10)
Пренебрегая в (11.2.9) и (11.2.10) малыми вкладами кварков s, s, с
и с, получаем:
d2ov^ _ G*ME
dxdy л
х[? + (1 — y)2q],
d^N (PME .г-.,.	42 1	v	... n ...
d7d7 = ^T-X[<?+(1-^ У—Ё- (11.2.11)
Соотношения (11.2.9) — (11.2.11) приводят к следующим результатам.
1.	Интегрирование (11.2.11) по х и у дает
7?v = ov"[avN ^l/3.
185
Это отношение равно точно 1/3, если в адроне нет антикварков.
Опытное значение Rv несколько больше 1/3; следовательно, анти-
кварки содержатся в адроне в небольшом количестве.
2.	Проинтегрируем (11.2.11) по х и учтем, что вклад антиквар-
ков относительно невелик. Тогда из проинтегрированного выраже-
ния следует, что сечение рассеяния нейтрино слабо зависит от у,
а антинейтрино—зависит как (1—у)*. Эта закономерность подтвер-
ждается опытом.
3.	Так как
ТО
peN__ 5
(11.2.12)
4.	Используя (11.2.4), приходим к правилам сумм
1
у j dx [F? (х) + Fl” (x)] = 3,	(11,2.13)
о
т. e. интеграл слева равен числу валентных кварков.
Если пренебречь вкладом $- и с-кварков, получим
। 1 1
1 f dx [ET (х) + Fp (x)] = jdx F^ (x) = J dx 2^ (
0	0	0
dtfvA/ (я) \
dx /'
(11.2.14)
5.	Из формулы (11.1.14) следует не зависящее от Fs соотношение
dx dy dx dy
^FT[l + (l-^-z/2/?'],
где
R' = (FT—2xF?N)/Fv3N.
При этом R' связано c R=ol/gt, определенным (11.1.11), так:
R' =	<R,	(11.2.15)
Сравнение с опытом. Соотношения (11.2.7), (11.2.8), (11.2.12) —
(11.2.15), вытекающие из кварковой модели, проверялись на опыте.
Теоретические и экспериментальные результаты довольно хорошо
согласуются друг с другом. Тем самым подтверждается гипотеза о
составной структуре адронов.
Для свободных частиц со спином Vs отношение /? = ол/суг~0,
а для частиц со спином 0 величина R~oo. Из опыта следует, что
/?~0, т.е. спин кварка (партона) равен 1/2.
Согласно соотношению (11.2.13), протоны содержат три валент-
ных кварка, а из (11.2.12) следует, что кварки обладают дробными
зарядами.
186
Напомним, что изученные нами ранее (см. § 8.1) глубоконеупру-
гие процессы с участием нейтральных токов также подтверждают
правильность кварковой структуры адронов.
Функция распределения кварков и глюонов. В модели невзаимо-
действующих кварков сечение рассеяния на адроне равно сумме
сечений рассеяния на кварках. Сечения рассеяния нейтрино и анти-
нейтрино на кварке, обусловленные слабыми заряженными токами,
определяются выражениями
dav?=-£^-(ty, da*» =^-(1— y)2dy,	(11.2.16)
где s=-(k + px)2x2xkp~xs.
Сечение рассеяния электрона на кварке дается формулой
dae? = AZ?2^1[l + (l-	(11.2.17)
s у
где
_/*/о для кварков и, и,
9~\1/» для кварков d, s, d, s.
Учитывая (11.2.16), (11.2.17), получаем, выражения для сечений
рассеяния на протоне электронов, нейтрино и антинейтрино через
функции распределения qi(x) кварков:
d<r/> =	1+^у)2 х [4 (« + Й) +1 (d + d) + 1 (S + 7)] dx dy,
(11.2.18)
davp = -^-x[d + s + « (1 — г/2)] dxdy,
dovp = x [« (1— U2) + d+ s] dxd#,
где s = (k + p)\
Чтобы получить соответствующие сечения для рассеяния на ней-
троне, надо в формуле (11.2.18) заменить uz±d, u^d.
С помощью (11.2.18) можно получить функции распределения
кварков q{(x). Для этого надо подставить в левые части (11.2.18)
экспериментальные значения соответствующих сечений (при фикси-
рованном <?2). Как мы уже говорили (см. § 8.1), в результате тако-
го анализа было получено несколько наборов функций q{ (х), незна-
чительно отличающихся друг от друга. Один из таких наборов
приведен на рис. 11.4. Проинтегрировав каждое из этих распреде-
лений по х, найдем полный относительный импульс, который несет
данный кварк:
1
J dx хи (х)~0,28, £>«0,15, Z7«P«0,03, S«S«0,01.
о
При этом суммарный относительный импульс всех кварков и анти-
кварков равен
Q = (/ + D + S«0,44, Q = U + D + S«0,07.
187
Следовательно, на кварки и антикварки приходится приблизитель-
но половина импульса протона. Обычно соотношение между импуль-
сами кварков и антикварков характеризуют одной из следующих
величин:
Q+Q ’
Q-Q
Q+Q
1 —2а.
(11.2.19)
Из экспериментов по рассеянию нейтрино высоких энергий следует,
что
а^0,15, В^0,7.
Из опытов вытекает также, что функции распределения (х) могут
быть представлены в виде полиномов по х типа ха(1—хД где а,
Ъ—параметры, определяемые из экспериментальных данных.
Так как кварки несут только половину импульса адрона, то
можно предположить, что
11.4. Функции распределения
кварков
другая половина импульса приходится
на глюоны. Введем функцию распреде-
ления g(x) глюонов в адроне. Функцию
g(x) можно определить косвенным спо-
собом, используя экспериментальные
данные, например, по распределению
странных или чармированных частиц,
которые образуются глюонами. Пусть
1
G — Jxg(x)dx—полный относительный
о
импульс, который несут глюоны. Тогда
Q + Q + G=l.
Иначе говоря, из кварковой модели
вытекает, что составными частями ад-
рона являются валентные кварки, мо-
ре кварков и глюоны.
Итак, точный скейлинг можно объяснить в рамках модели сво-
бодных, невзаимодействующих кварков. Однако, как показывает экс-
перимент, скейлинг нарушен. Это нарушение указывает на то, что
на самом деле кварки в адроне взаимодействуют. Предположим, что
переносчиками взаимодействий между кварками являются глюоны
(в электродинамике аналогичную роль играют фотоны). Тогда нару-
шение скейлинга обусловлено глюонными эффектами. Эти эффекты
позволяет учесть квантовая хромодинамика (см. § 12.3—12.5).
Глава 12
КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В квантовой хромодинамике адроны рассматриваются как свя-
занные состояния кварков. Тем самым взаимодействия с адроном
сводятся к взаимодействию с его кварками. Переносчиками сильных
188
взаимодействий между кварками являются глюоны—калибровочные
поля цветной группы SUa. Цветную 5(/3-симметрию считают точ-
ной, поэтому масса глюонов равна нулю.
В настоящее время существует два основных подхода к кванто-
вой хромодинамике. Один из них основан на теории возмущений
(пертурбативная квантовая хромодинамика), а в другом теорию
возмущений не используют (непертурбативная квантовая хромоди-
намика).
Эта глава посвящена пертурбативной квантовой хромодинамике —
мы построим ковариантную теорию возмущений для нее, проил-
люстрируем применение этой теории на примерах и изложим те
основные методы квантовой хромодинамики, которые позволяют
учесть вклад глюонных эффектов в структурные функции процессов.
Об одном из вариантов непертурбативной квантовой хромодина-
мики, основанном на аппроксимации непрерывного пространства —
времени дискретной решеткой конечных размеров, мы расскажем в
следующей главе.
§ 12.1. КОВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ДЛЯ КВАНТОВОЙ ХРОМОДИНАМИКИ
Лагранжиан квантовой хромодинамики. Рассмотрим St/g-три-
плет спинорных полей:
фа(х)«И»®(*)).	(12.1.1)
W(X)J
Свободный лагранжиан такого триплета запишем в виде
1(фа, дцф°) =	—Л4фаф°.	(12.1.2)
Он инвариантен относительно глобальной неабелевой группы SU3-
преобразований в пространстве, которое получило название цветного:
(х) —►	(х) == <е )аЬ (х),
)Ьа. (12.1.3)
Здесь еет—параметры группы SUs (постоянные величины), ^—мат-
рицы Гелл-Манна, определяемые (1.2.13); g — константа связи.
Согласно (12.1.3), имеем для инфинитезимальных преобразова-
ний функций
(%) = — i £ (Хя)«ь (х),
6^(x) = i|^(x)(Xffl)^eOT,	(12.1.4)
или для генераторов преобразований
^ = -4(МаЬ-	(12.1.5)
Учитывая (1.2.14), находим [Т*, Tl]a_b = —	gfklmT™b.
189
Перейдем к локальной группе 5(73-преобразований. Согласно
(2.1.12), ковариантная производная выглядит так:
(х) = <М° (х) + i f (КУ V W (х).	(12.1.6)
Как видно, в данном случае калибровочным является октет
векторных полей К£,(х); эти поля называют глюонными.
Лагранжиан глюонных полей в соответствии с (2.2.23) и (2.2.24)
имеет вид
(12.1.7)
где	dvV^—^fnpktyftVq—тензор напряженности
глюонного поля.
Глюонные поля преобразуются, согласно (2.2.7), так:
67- (х) = gf„pmV> (х) 8И (х) + д^т (X).	(12.1.8)
Для полного локально инвариантного лагранжиана имеем
S’ =	«Vi’"—j- -фвуц (КУЬ
-j	f fnpm(Vn^-V^)]\ (12.1.9)
Постоянная g играет роль константы связей полей. Выражение
(12.1.9) представляет собой лагранжиан квантовой хромодинамики.
Согласно (2.2.33), лагранжиану (12.1.9) соответствует сохраняю-
щийся ток, имеющий четыре компоненты по группе Лоренца и во-
семь— по группе SUa:
(12.1.10)
Ковариантная теория возмущений. Как мы видели (см. гл. 10),
в случае квантовой хромодинамики в области больших переданных
импульсов q2 или малых расстояний значение эффективного заряда
аДд2) невелико и, следовательно, в этой области применима тео-
рия возмущений. При малых q2 или больших расстояниях эффек-
тивный заряд as(q2) становится большим и теория возмущений
перестает быть применимой.
Сформулируем ковариантную теорию возмущений для квантовой
хромодинамики.
Квантовая хромодинамика характеризуется лагранжианом
(12.1.9). Лагранжиан поля глюонов удобно представить в виде
суммы двух лагранжианов (в а-калибровке):
^0=—|-(W-W)2-i(W)a,	(12.1.11)
^0/ = gfnpm (д^) V^VP-^	(12.1.12)
Первый из них соответствует невзаимодействующему глюонному
полю, а второй—самодействию глюонных полей.
190
Производящий функционал W хромодинамики в а-калибровке
запишем в соответствии с (5.1.26) следующим образом:
W = R j" (х) S) (х)	(х) @>ст (х)	(х) X
X exp <р j dx [ф VS (х) Ьтп ( □guv—(1 —	) V" (х)4-
+ V2 (х) 6аЬ (i^iA — М) гр (х) 4- ст (х) 8тп Qc” (х) + JS (х) VS (х) 4-
4- г|а (х) фа (х) 4- фа (х) г)а (x)4-Xm (х) с“ (х) 4-с“ (х) х” (х)])>	(12.1.13)
где /? = ехр < i С dxJ’/fi—, ...Н, или после преобразова-
k v \ 1 о*7ц, (х)	/ J
ний — в виде (5.1.30)!
№(/£?, т]“, Tia) xm- х®)=
= R exp ( — i j dx dy J'S (х) (KSS (х—у))-1 Jt (у) 4-
4-if (х) ад1 (Х—у) Т)Ь (у) 4- Xм (X) Мтп (х—у) %п (у) j ) . (12.1.14)
Для производящего функционала матричных элементов, согласно
(5.1.31), имеем
s(VS0, ...) = R exp {—i У dx(V^4~ W + W) —
-i у dx dy [1JS (x) да (x-y))-1 J4 (y) 4-
4-i? (X) ад (X-y) n6 (y) 4-Xй (x)	(X-y) Xя 0/)]} |^= =0. (12.1.15)
Операторы	—#))~\ ^ab(x—Z/)>	(x—У) определяются
формулами (5.3.7)—(5.3.9).
Разлагая дифференциальный оператор, входящий в (12.1.15), в
ряд по константе связи, получим выражение для S(Vg0, ...) в тео-
рии возмущений в случае квантовой хромодинамики:
3 Го,1 +4
f С d	f д	\
— ёГпрт}	(х)/)
_i£2 С d„f f ___________в___в 6
4 J ^xiJpmilnm()J^ w SJp	M	-Г
+	sF«4'’ "Iх
X exp ( —• i У dx (VSaJ'S 4* <Пв + M?) — ’ У dx dy	JS (KSv)"1 J" 4-
4-+гадх"]} |	=0-	(i2.i .16)
В выражения для амплитуд в случае квантовой хромодинамики
войдут различные комбинации функций свободных частиц (кварков,
191
Таблица 12.1. Правила соответствия для амплитуд в квантовой хромодинамике
Физическое состояние	Математическое импяжрние	Графическое q i CM a 1	Б bijZ a2K.cn Ис	ИЗОбР Д ^КЙИ MQ	
Кварк в начальном состоянии Антикварк в начальном состоя-		
	_г (р) (р)	
НИИ Кварк в конечном состоянии	?+> (р')	
Антикварк в конечном состоя-	(р'> 8И	
нии Глюон в начальном или конеч-		
ном состоянии Движение виртуального кварка	м-	'<R)606000' р
из а в b Движение виртуального анти-	р—т ЬдЪ	р, ,Л
кварка из а в b Движение виртуального глюо- на между вершинами аа и рб Движение виртуальной с-части- цы от а к b	р + т Г	11	х kakfi pa₽-(l— «)-|Л	1 Л	R
		Я гз	» т	S <	§ g 1	s I	5 Ст* Cr
SYa &а)сЬ
Вершина взаимодействия квар-
ков с глюоном
Вершина взаимодействия с-час-
igf аЪсЯа
тицы с глюоном
Вершина взаимодействия трех ——<7)a£|3v +
глюонов	+(р—Р)<х£а&]
Вершина взаимодействия четы-
рех глюонов
fta ef kbd X
X (gafigyb —ga&gfrv) —
igVkadf AbcX
X(gaf3gv6 — g«vg|36) —
-~^2fkabfkcd'X
Xfeaygpfi—ga6gfj7)
глюонов), пропагаторов (кварков, глюонов, 'фиктивных с-частиц),
вершин взаимодействия (трех глюонов, четырех глюонов, глюона и
двух с-частиц, глюона и двух кварков).
Выражения для этих пропагаторов и вершин взаимодействия
уже были найдены и приведены в табл. 5.3 и 5.4,
<92
Правила соответствия для амплитуд в импульсном представле-
нии для квантовой хромодинамики сведены в табл. 12.1.
Лагранжиан (12.1.9) квантовой хромодинамики по виду похож
на лагранжиан квантовой электродинамики (5.1.7). Различие со-
стоит в том, что в квантовой хромодинамике вместо одного фотона
12.1. Специфические диаграммы квантовой хромодинамики:
а—рассеяния глюона на кварке с образованием фотона,
б, в—рассеяние глюона на глюоне, г—превращение пары
кварков в два глюона
появилось восемь глюонов и что в противоположность фотонам
глюоны взаимодействуют сами с собой. Эта специфика квантовой
хромодинамики становится особенно ясной, если сравнить табл. 7.2
и 12.1. Неабелевый характер глюонного поля привел к появлению
в выражениях структурных констант и генераторов калибровочной
группы, а самодействие глюонного поля—к появлению дополни-
тельных вершин взаимодействия (трехглюонных и четырехглюо-
нных). На рис. 12.1 изображено несколько специфических для
квантовой хромодинамики диаграмм Фейнмана, которым нет
аналогов в квантовой электродинамике.
Перенормируемость квантовой хромодинамики. Лагранжиан кван-
товой хромодинамики инвариантен относительно калибровочных
преобразований, поэтому к хромодинамике применима обычная про-
цедура перенормировки (см. § 9.2). В лагранжиан и токи кванто-
вой хромодинамики не входит матрица у6, т. е. квантовая хромо-
динамика не содержит аномалий. Следовательно, квантовая хромо-
динамика перенормируема.
§ 12.2.	ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
Основные процессы. Как мы видим, теория возмущений приме-
нима к процессам, в конечных состояниях которых образуется
частица (адрон, фотон, лептон) с большим передаваемым импульсом
<72 или система с большой виртуальной или реальной массой. Такие
процессы получили название жестких. Наиболее интенсивно в на-
стоящее время изучаются следующие жесткие процессы:
1.	Глубоконеупругие рассеяния лептонов на нуклонах (см. § 11.1).
2.	Аннигиляция лептонов (например, е+е~—>-/г, е*е~—»-hX, где
h—адрон, X — все остальные образовавшиеся в инклюзивном про-
цессе частицы).
3.	Образование при столкновении адронов:
а)	пары мюонов с большой эффективной массой (рр —►р+рлХ)
(процесс Дрелла—Яна)\
7 № 1034
193
б)	пары чармированных частиц (рр—+ссХ)}
в)	л-мезонов с большим q2, (рр—> лХ).
4.	Образование струй, т. е. потоков частиц, сосредоточенных
в небольших телесных углах (струи могут инициироваться как
кварками, так и глюонами).
12.2. Диаграммы Фейнмана для процесса е~р—>е~Х:а—
точный скейлинг, б, в—глюонные поправки
12.3. Диаграммы Фейнмана для
е+е~-столкновения с образова-
нием: а—пары кварков, б —
глюона и пары кварков
Изучение процессов в рамках квантовой хромодинамики с по-
мощью теории возмущений ведут в два этапа:
1) сначала вычисляют сечения подпроцессов, в которых прини-
мают участие кварки и глюоны;
2) затем производят переход от кварков и глюонов к адронам.
12.4. Диаграммы Фейнмана для процесса Дрелла —Яна
Примеры диаграмм Фейнмана для некоторых из указанных про-
цессов в теории возмущений изображены на рис. 12.2—12.4. На
этих рисунках изображены также соответствующие подпроцессы.
Приведем для иллюстрации примеры вычислений по теории воз-
мущений в квантовой хромодинамике.
Сечения для подпроцессов. В качестве примера вычислений в
первом неисчезающем порядке теории возмущений получим выра-
жение для сечения подпроцесса ^превращения двух глюонов в пару
чармированных кварков: gg—+cc (рис. 12.5). Используя табл. 12.1,
найдем выражение для амплитуды этого подпроцесса в первом не-
194
исчезающем порядке теории возмущений:
М =	(Р.) [01 + 02+03] v<+> (Р1).	(12.2.1)
Здесь
Л - 1 W Та + „а Рьв
— 4	т2—1	8ia£23»
О 1 V 1а7₽[Л-^ + т^а	ь
^2 = Т	Л£/----1 =	е1ае2р»
4	т2 — и
°3 =	yi^iifabc [(''—92)а g₽fl + (<71 —гШб + (<?2— <71)в £а₽] е?а^р,
s = (?i + ^)2. * = (Pi—<7i)% “ = (Р1 — ЧзУ, r = q1 + qi,
Х{—матрицы (1.2.13), £ц—четырехмерный вектор поляризации
глюона, т—масса кварка.
12.5. Диаграммы Фейнмана в первом неисчезающем порядке теории
возмущений для подпроцесса gg—±сс
Тогда для квадрата модуля ) М |3 матричного элемента подпро-
цесса имеем
цвет спин
= Ж W (Р*> <°1 + 0* + °s) U’-+) <Р1) Г’ О2-2-2)
цвет спин	с
Суммирование производится по цветным состояниям начальных
глюонов и конечных кварков, а также по проекциям спинов глюо-
нов и кварков, а усреднение—по типам и спинам начальных глюо-
нов. При суммировании по цветным состояниям надо иметь в виду, что
= Sp (VW“) = 2|S, 4^ = Sp (W‘X<W) = ф,
fabMfabd = fabcfabd Sp	= 48,
= Sp (M6VV) = - f,
- ^ki^ifabe == - tfabc Sp	= 48,
- WMNifabc = - tfabc Sp ^b^c) = - 48.
При суммировании по проекциям спина глюона следует учесть,
что в соответствии с выбранной нами калибровкой ?“е?а = 0,
д|е2р = О. Тогда дивергенция матричного элемента (12.2.1) обращается
7*	195
в нуль и в (12.2.2) можно производить суммирование по физическим
и нефизическим поляризациям глюона, заменив е? на уа, е2 на уе. Учи-
тывая сказанное, например, для третьего слагаемого формулы
(12.2.2), получаем
X XI	’°з^- ’ (а = Sp (ра + т) О3 (р, — т)03 —
цвет спин
= J- fabcfabd Sp (VA*) Sp (pa + m) [gap (g2 —ft) + 2yaq^ — 2Waa)]x
X (Pt—m) [gap (ft—ft) + 2ya<7i3 — 2ypfta] =	(m2 — «) (m2—7).
Вычисляя аналогичным путем другие слагаемые в (12.2,2) и сум-
мируя полученные результаты, находим следующее выражение для
дифференциального сечения подпроцесса gg—+cc'.
do-=l-g.(m-_?)-и) + 4-	+
16s2 s2	J	(m2—t)2
(m2— t) (m2—u)—2m2(m2+«)	2m2	(s—4m2)
3	(m2 —W)2	3	(m2—«)
_6	(m2—u) + m2 (« —0 _ g W—Q (m2 — £)-|-m2 (7—ц) 1	2
s (m2—7)	s (m2—u)	*
g2
где =
Для того чтобы найти полное сечение подпроцесса, проинте-
грируем (12.2.3) по 7 в физической области:
т2—s(s—4т2) ^t^m2—у+ 4"^s^s—^т2).
В результате найдем
O(s) = -^ —( 7н----+“+17/1птЬг ’ О2-2-4)
os _	*	Sr	\	s	г
где Х —	1 — 4m2/s.
Аналогичным образом можно вычислить сечения других подпро-
цессов.
Радиационные поправки. В качестве примера вычислений в выс-
ших порядках теории возмущений для квантовой хромодинамики
найдем радиационные поправки к функциям Грина (аналогичные
вычисления для другой модели были проделаны в гл. 10; эта мо-
дель содержит как частный случай квантовую хромодинамику).
1. Рассмотрим сначала функции Грина D^v(k) поля Янга —
Миллса. Соответствующие диаграммы Фейнмана во втором порядке
теории возмущений в калибровке Ландау изображены на рис. 12.6,
а неперенормированная функция Грина выглядит так:
(k) =	(k) +	(k) Шр (k)	(k),	(12.2.5)
Vе J У
196
где (/г)—перенормированная функция Грина, Щр (А) — поляр и-
зационный оператор, gQ—неперенормированная константа связи ка-
либровочного поля.
Найдем выражение для поляризационного оператора в асимпто-
тической области в случае S^„-симметрии. С помощью вычисле-
12.6. Диаграммы Фейнмана для функций Грина калибровоч-
ного поля в квантовой хромодинамике во втором порядке тео-
рии возмущений
ний, аналогичных тем, которые были проделаны в начале § 10.2,
получим, удерживая члены, содержащие In (А/р,),
Шр w=—(у4 1п 4б^2 (^
(12.2.6)
где т—число	фундаментальных фермионных мультиплетов
группы SUn.
Выберем пропагатор поля Янга—Миллса в виде
=	(12.2.7)
Подставив (12.2.6) и (12.2.7) в (12.2.5), найдем выражение для не-
перенормированной функции Грина поля Янга—Миллса во втором
порядке теории возмущений!
D^v(k)~Z2S)^v(k),	(12.2.8)
где Z2—перенормировочный множитель (в ^-приближении), причем
Z. = l+_^_fl3n_4 m\lnA.	(12.2.9)
2	‘ 16л2 \ 3	3 J ц
2. Аналогичным образом вычисляют радиационные поправки
к функциям Грина (&п А2, Аа) с тремя внешними полями Янга —
Миллса в третьем порядке теории возмущений в калибровке Лан-
дау. Соответствующие диаграммы Фейнмана приведены на рис. 12.7.
В результате вычислений для Г^р (&п ^2» К) в асимптотической
области в случае SL^-симметрии получаем
ks)^ZT^(k19 k2, ks)t (12.2.10)
7-1 i ^0 / 17	4	\ . Д
где 4 >= 1-з mJ In-.
Эффективная константа связи. Найдем выражение для константы
связи в квантовой хромодинамике. Эффективный заряд определяется
уравнением (10.1.20), а функция |3(g)—формулой (10.1.16).
Перенормированный заряд g связан с неперенормированным за-
рядом gQ соотношением g ~ Zgg0 = ZilZf/2gQ. Поэтому, принимая во
внимание (12.2.9) и (12.2.10), получаем в однопетлевом приближе-
197
нии (т. е. с учетом диаграмм на рис. 12.6 и 12.7) в случае SUs-
симметрии
Р(г) = -£5(33-2п/).	(12.2.11)
Отсюда для эффективного заряда в однопетлевом приближении в
12.7. Диаграммы Фейнмана для функций Грина с тремя
внешними калибровочными полями в квантовой хромо-
динамике во втором порядке теории возмущений
соответствии с (10.1.24) имеем
а (^-g2(fe2)______________g2(H2)
4я — 4л(1+а§2(ц2)1п(/?2/ц2))’
(12.2.12)
где а — 4^2(33—2nz), nf—число ароматов кварков (ы, d, s, с ...),
входящих в теорию.
В квантовой электродинамике (рис. 12.8), по определению,
константа связи е равна эффективному заряду a (ft2) при ft2 = 0
12.8. Зависимость эффективного заря-
да от й2: /—для электродинамики,
2—для хромодинамики (гЛ — радиус
адрона)
то для выражения, содержащегося в
(томсоновский предел): е(£2 = 0)^
= е.
В квантовой хромодинамике
(рис. 12.8) предельные значения
эффективного заряда g(№) равны
либо бесконечности (&2 = 0), либо
нулю (&2 = оо), вследствие этого
константа связи определяется как
значение эффективного заряда
g(k2) при некотором произвольном
значении точки перенормировки pt2.
При этом значение а9(&2) не зави-
сит от выбора р2. Поэтому если
выбрать вместо р2 значение р2,
(12.2.12), получим
g-2 (р,2)	# На (M^) а In Pi = я In ЛА
Отсюда следует, что истинным параметром является не р2 и g(p2),
а константа к размерности массы, не зависящая от р2:
In А.2 — ag2 + in |Х2.
198
Подставляя последнее в (12.2.12), получаем искомое выражение для
константы связи квантовой хромодинамики в однопетлевом прибли-
жении:
4шг In (&W) ” (33—2/2/ In (&W) ’
(12.2.13)
Следовательно, в квантовой хромодинамике появляется константа
X размерности массы. Эта константа не связана с произволом в
выборе точки перенормировки и не определяется теорией.
Аналогичным образом можно найти выражение для константы
связи а5(&2) в более высоких приближениях.
Вычисленное значение константы X зависит от способа перенор-
мировки и выбора калибровки. Эта зависимость обусловлена тем,
что значения двухпетлевых поправок различны для различных спо-
собов перенормировки и выбора калибровки. Если производить
регуляризацию в импульсном пространстве и выбрать калибровку
Фейнмана (см. § 5.3), то придем к значению для X, которое обоз-
начается Хмом. Значение Хмом можно найти из экспериментальных
данных. Из анализа большой совокупности экспериментальных ре-
зультатов, относящихся к различным процессам, было найдено, что
^мом- 100 4-150 МэВ.
Асимптотическая свобода квантовой хромодинамики. В § 10.1
было установлено, что теория асимптотически свободна, если Р < 0.
Из формулы (12.2,11) следует, что квантовая хромодинамика асимп-
тотически свободна, пока nf^ 16, т. е. пока она содержит менее
16 ароматов кварков.
Нарушенный скейлинг. Как мы видели (см. § 11.2), модель
невзаимодействующих кварков приводит к точному скейлингу. Однако
из эксперимента (см. § 11.1) следует, что скейлинг нарушается,
т. е. структурные функции зависят не только от х, но и от q2.
Причиной нарушения скейлинга может быть взаимодействие между
кварками, обусловленное обменом глюонами. Тем самым открывается
возможность для объяснения нарушения скейлинга в рамках кван-
товой хромодинамики.
Наиболее эффективно квантовая хромодинамика может быть
применена к анализу жестких процессов. Для последних константа
связи невелика и можно использовать теорию возмущений.
Сравнение результатов вычислений с соответствующими экспери-
ментальными данными дает возможность проверить правильность
квантовой хромодинамики.
Задачей теории является вычисление зависимости различных ве-
личин (и в первую очередь структурных функций) от переданного
импульса 72. Для этой цели были разработаны различные методы,
использующие теорию возмущений. Мы изложим схематически три
из них.
199
§ 12.3.	МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В основе этого довольно формального метода вычисления зави-
симости структурных функций от переданного импульса q2 лежит
использование вильсоновского разложения операторного произведе-
ния токов и уравнение ренормгруппы. Мы изложим основные этапы
метода на примере процесса глубоконеупругого рассеяния электро-
нов на протонах (см. § 11.1).
1.	Исходным является выражение (11.1.4) для амплитуды
которое описывает вершину сильного взаимодействия, обусловлен-
ного глюонами:
^v(p,	= i Е	(12.3.1)
СПИН
2.	Согласно оптической теореме, амплитуда следующим об-
разом связана с амплитудой упругого рассеяния виртуального
фотона на протоне:
=	(12.3.2)
где
(р, q) = i 5 dCe’^<p I т (7Ц (?) Jv (0)) I p>.	(12.3.3)
При этом, аналогично (11.1.5), для T^v имеем
72)=(-^ + ^)Л^, <72) +
“Ь	Qvj (v, q ).	(12.3.4)
Удобнее сначала использовать а затем с помощью (12.3.2)
вернуться к ТГцу.
3.	Учтем, что в глубоконеупругом пределе основной вклад в ин-
теграл (12.3.3) дает область вблизи светового конуса. Действительно,
в системе покоя нуклона
p = (A4, 0, 0, 0), 7 = (v, 0, 0, /v2— 7а).
В глубоконеупругой области (v, —q*—+ оо, x = — q2/(2vM) и фикси-
ровано) имеем
Ш~^(С0-С3)-М^.
Экспоненциальный множитель е1^ быстро осциллирует, и интеграл
будет немалым только в случае, когда
Co-Ss-on/v),
т. е. вблизи светового конуса. Поэтому ограничимся рассмотрением
области, близкой к световому конусу.
4.	Используем для Т-произведения токов, входящих в (12.3 3),
в области светового конуса разложение Вильсона. Последнее для
200
произведения двух локальных скалярных операторов запишем в виде
J (х) J (у) « 2 Рп (*8)	112 - ’*» (7?). (12.3.5)
п
Здесь г == (х—у), R = х/з (* + {/); Fn (г2)—неоператорные функции,
вообще говоря, обладающие сингулярностями при г2—>0; Оп—
локальные операторы, не содержащие сингулярностей.
Важно подчеркнуть, что в разложении (12.3.5) все сингуляр-
ности на световом конусе содержатся только в неоператорном сомно-
жителе. Заметим также, что разложение Вильсона является обобще-
нием результатов, полученных при анализе ряда полевых моделей.
5.	По аналогии с (12.3.5), разложение Вильсона для Т-произ-
ведения операторов векторных токов запишем в виде
т W п (у)) ~	tS)i Cni (z~ie) • •  ги
i п=1
-гаЕЕi8>т, (12.3.6)
i ns=3
где i—число членов, которые соответствуют данному значению п.
6.	Подставим (12.3.6) в (12.3.3). Введем обозначение
уЕ<Р> s| ОЙ "'1" (0)|р, s> = 2Anip^...p^+ ...
S
и перейдем к пределу (—q2) —* оо.
Сравнив полученный результат с (12.3.4), найдем разложение
Вильсона для функций Т{:
^х~п>
i п~ 1
vT8~22 2 Anldni(q2)x~^,
i п — 2
(12.3.7)
где
с	_ JL	1	( п2}п ( —V С dFe1 & ^ni
cni W )— п2(п— 1)1 q> \dq2J J	(g2 —ie)2 ’
d . (дъ\ ==__!____}__/__a2)"”1 (—V'2 C dteig^—---2~1S^
4л2(п-2)Г q) \dq2J J	£2-is
7.	Перейдем от функций к функциям W[t Для этого исполь-
зуем дисперсионные соотношения для функций Tz. Как показывает
анализ, основанный на реджеонной модели, при v—> оо
Тх (v,(?2) va, T2(v,72)va“2, a^l;
201
поэтому дисперсионные соотношения запишем так:
Тг(у, <72) = 7\(0, <7a) + v j У lm ,
T5(V) ^jdv'
(12.3.8)
Учитывая (12.3.2), заменим в последних соотношениях ImT/На Wh
а затем умножим обе части на соответствующую степень х и возьмем
интеграл. В результате для моментов структурных функций Wt
получим
(<?2) = J dxx«-1U71 (х, д*) ~ 2 Antcni (g2)>
°	‘	(12.3.9)
М<2’ (?2) = С dxx^vW, (х, q') ~ 2 2 Anl dni(q*).
о	'
Из этих выражений следует, что функции Wt и vWi обладают
точными скейлинговыми свойствами лишь в том случае, когда коэф-
фициенты спС, dnl не зависят от q2.
8.	Чтобы найти зависимость функций cni, dni от q2 в явном
виде, воспользуемся уравнением ренормгруппы (10.1.15). Последнее,
например, для функции с„{ можно переписать в следующей форме:
=	g). (12.3.Ю)
Здесь t = 1/2 In (—<?2/Х2); X—неизвестный параметр; y(g) —
неизвестные функции; j—число вильсоновских операторов типа i.
Решение уравнения (12.3.10) запишется в виде (10.1.19):
= exp -jT?/(g(n)d/' \n/(l; g(0), (12.3.11)
' 4 L о	J//
^g(O = P(g(O). g(0) = g,	(12.3.12)
где g(t)—эффективный заряд, Tf — оператор упорядочения попере-
менной t. Другими словами, зависимость функций сп{ от q2 опре-
деляется функциями ₽(g(7)) и у (§(/)). Выражение для dni , g^
запишем в виде, аналогичном (12.3.11).
9.	Глубоконеупругие процессы происходят на малых расстоя-
ниях, поэтому эффективная константа связи невелика и для вычис-
ления функций (3 (g) и у (g) можно воспользоваться теорией воз-
мущений квантовой хромодинамики. Вычисления могут быть
проведены в различных приближениях — однопетлевом, двухпетле-
вом и т. д. В однопетлевом приближении функции |3 (g) и у (g)
выглядят так:
P(g) = —(’g’ + C’te6),
y?/(g) = W + ^Cg4).
(12.3.13)
(12.3.14)
202
Здесь b и X?/—коэффициенты, вычисленные в однопетлевом приб-
лижении.
Решение (12.3.11), соответствующее значениям функций P(g)
и y(g) в однопетлевом приближении, обычно называют главным
(лидирующим) логарифмическим приближением,
10.	Решение уравнения (12.3.12) с учетом (12.3.13) запишем
в виде (10.1.24):
««“T+Spi-.i.	(12.3.15)
Пусть 2$—собственные значения матриц входящих в (12.3.14)
(причем k=l, 2). Тогда, подставляя (12.3.14) и (12.3.15) в (12.3.11)
и полученный результат — в (12.3.9), находим
2
M<»(g2)= £ anik (1п5^]-^(2Ь).	(12.3.16)
i, k = I
Здесь a!}k — неизвестные величины, не зависящие от q\ Чтобы
их определить, воспользуемся опытными значениями моментов при
некотором фиксированном <?2 — qf.
W>(^) = £	(1п=^)'^/<26).
I, k = I
Подставляя последнее в (12.3.16), получаем выражение, которое
определяет искомую зависимость моментов структурных функций
от (при — 72>— q%):
(<72) = £	(д2)	(12.3.17)
11.	По моментам структурных функций можно восстановить сами
функции (обратная задача).
Подчеркнем, что при получении формулы (12.3.17) мы учли
вклад лишь главной особенности на световом конусе и использо-
вали выражения для функций р и у, полученные в первом порядке
теории возмущений (по а5). Однако, как показывает анализ, неучтен-
ные вклады нелидирующих особенностей на световом конусе ‘(выс-
ших твистов) и высших приближений для функций Р и у могут
играть существенную роль. Эти обстоятельства надо иметь в виду
при сравнении результатов, полученных по формуле (12.3.17),
с опытными данными.
Заметим также, что вильсоновское разложение операторного
произведения токов работает эффективно только в случае процес-
сов глубоконеупругого рассеяния и ^’-аннигиляции, т. е. изло-
женный метод имеет довольно ограниченную область применимости.
Поэтому были разработаны другие, более эффективные методы.
К изложению одного из таких методов мы и переходим.
203
§ 12.4.	УРАВНЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ
Этот метод вычисления зависимости структурных функций от
переданного импульса q2 основан на использовании кварковой (пар-
тонной) модели и уравнений эволюции.
1.	Качественно зависимость функции распределения от передан-
ного импульса q2 можно понять так. Пусть на адрон налетает вир-
туальная частица (фотон, W-, Z-бозон) с импульсом q$. Такая
частица различает кварки и глюоны размером l/q% (рис. 12.9). Эти
кварки и глюоны характеризуются функциями распределения qa(x)
и ge (х) по х. Частицы с импульсом ql > q% различают кварки и
глюоны меньших размеров (рис. 12.9). В рамках квантовой хромо-
12.9. К качественной картине зависимости
функций распределения от переданного им-
пульса
12.10. Структурная
функция для двух
значений <?2
динамики в низшем приближении кварк может проявиться в виде
кварка и глюона (рис. 12.9, а), а глюон — в виде кварк-антиквар-
ковой пары (рис. 12.9, б) или двух глюонов (рис. 12.9, в). При этом
импульс хр (где р—импульс адрона) каждой частицы делится про-
извольным образом между новыми частицами. Вследствие этого
функции распределения qt (х) и g± (х) появившихся кварков и глюо-
нов будут другими, отличными от 70(х) и g0(%). Аналогичная ситуа-
ция повторится в случае импульсов ql > ql, ql> ql и т. д. Следо-
вательно, функции распределения кварков и глюонов в адроне
зависят не только от х, но и от q2 (рис. 2.10). Из описанного
механизма следует, что импульсы частиц все более дробятся, поэтому
число частиц с малым импульсом возрастает с ростом q2 (рис. 12.10).
Для простоты предположим также, что массы кварков равны
нулю; в этом случае цветные взаимодействия для различных арома-
тов одинаковы.
2.	Сформулируем зависимость функций распределения кварков
и глюонов от q2 количественно. Для этого получим уравнения,
описывающие эволюцию функций распределения кварков и глюонов
при изменении q2. Чтобы получить уравнения, воспользуемся тем
фактом, что изменение числа кварков и глюонов, которые нахо-
204
дятся в фиксированном интервале dx при изменении q2, равно раз-
ности между числом частиц, прибывающих в интервал dx и убы-
вающих из него.
В рассматриваемый интервал dx придут те кварки, которые,
имея импульс ур (где р—импульс адрона), после излучения глюона
приобретут импульс хр (рис. 12.11, а), а также те кварки с импуль-
сом хр, которые образуются глюоном с импульсом ур (рис. 12.11,6).
Из интервала dx уйдут те кварки,
обретут импульс ур (рис. 12.11, в).
Крестиками на рис. 12.11 обоз-
начены те частицы, для которых
ведется счет.
Рассмотрим, например, процесс,
изображенный на рис. 12.11, а.
Пусть q (у, t)—число кварков в
интервале dy, t = In (q2/q%) — новая
ность образования кварка с импульсом хр кварком''с импульсом ур
после излучения глюона (или вероятность обнаружить кварк с им-
пульсом хр внутри кварка с импульсом ур). Тогда число квар-
ков, приходящих из интервала dy в интервал dx, равно
которые, излучив глюон, при-
12.11. К выводу уравнения эволюции
для функции распределения кварков
переменная, Рао(х, у) — вероят-
Pqg^ly)q(H, t).
(12.4.1)
Чтобы получить полное число кварков, приходящих в интервал dx,
надо (12.4.1) проинтегрировать по у.
1
^PqqWy).
X
Учитывая другие процессы (рис. 12.11, б, в), находим, что пол-
ное изменение числа кварков в интервале dx, обусловленное изме-
нением q2 (или t), запишется так:
TT- = j*[* о ₽.«(“) +2»/fl-M?)]-
X
X
0
(12.4.2)
где q(x, t), g(x, t)—функции распределения кварков и глюонов
в адроне, Pqg{xly) — вероятность процесса образования кварка с
импульсом хр глюоном с импульсом ур после образования послед-
ним пары кварков.
Множитель учитывает число различных способов превращения
глюонов g—*q+q, а множитель 2—факт рождения однотипных
кварков глюонами (кварки и антикварки не различаются).
205
Аналогичным образом запишем выражение для полного измене
ния числа глюонов в интервале dx (рис. 12.12):.
X
^P«(7) + n^(x’	(12ЛЗ)
Здесь Pgg(x!y)— вероятность процесса образования глюона с
импульсом хр глюоном с импульсом ур после излучения последним
12.12. К выводу уравнения эволюции для функции
распределения глюонов
другого глюона, Pgq(xly)—вероятность образования глюона с им-
пульсом хр кварком с импульсом ур после излучения последним
глюона.
Уравнения (12.4.2), (12.4.3) называют уравнениями эволюции (или
уравнениями Альтарелли—Паризи) функций распределения кварков
и глюонов при изменении t. Аналогичные уравнения эволюции
можно написать для функций распределения кварков и антикварков,
кварков и антикварков каждого аромата, валентных кварков и т. п.
Например, уравнение эволюции для функции распределения валент-
ных кварков qv (х, t) запишется так:
х	и
Оно получается из (12.4.2), если в последнем пренебречь вторым
слагаемым.
3.	Функции РаЬ(?) можно вычислить с помощью теории воз-
мущений квантовой хромодинамики. Как можно показать, в низ-
шем порядке теории возмущений они выглядят следующим образом:
=	P?/z) = l[Z’ + (l-zr], Pgg(z) = cF-+(i~z)\
^(2)=сД1=^+-г^г+2(1-г)],	(12Л4)
где для группы SUn имеем cv — n, cF = (n2—l)/(2n).
Подчеркнем, что при вычислении этих функций мы удерживали
лишь числа, содержащие 1п</2, т. е. функции РаЬ являются коэф-
фициентами при In д'3. Постоянные слагаемые и степенные члены
206
типа (l/q2)n были опущены. Не учитывались также вклады высших
порядков теории возмущений по константе as.
4.	Умножив уравнения (12.4.2) и (12.4.3) на х"-1 и взяв после
этого интеграл от нуля до единицы, получим систему дифферен-
циальных уравнений для моментов {функций распределения, или
структурных функций)
У^ = А°Ж(1).	(12.4.5)
1
Здесь М„(/)= dxxn~Ia(x, t)—моменты функций а(х, t) и а(х, t) —
о
структурные функции или функции распределения; А%ь =
1
= dz гп~1РаЬ (г)—моменты функций Pab(z).
о
5.	Решение уравнений (12.4.5) дает явный вид моментов функ-
ций. По ним можно восстановить сами функции. В частности, для
моментов М(пу (<?2) структурных функций (х, q*) процесса глубоко-
неупругого рассеяния электронов на протоне (см. § 12.3) имеем
(<?2) = М'1’ (ql)	] Ф<2М.	(12.4.6)
где —собственные значения матриц А°ь.
Коэффициенты А°ь совпадают с коэффициентами у#, входящими
в (12.3.11). Поэтому выражения (12.3.17) и (12.4.6) эквивалентны.
Подчеркнем, что изложенные результаты получены в пренебре-
жении постоянными слагаемыми и степенными членами типа (1/^2)п
(это эквивалентно пренебрежению нелидирующими особенностями
на световом конусе в предыдущем методе) и высшими порядками
теории возмущений по константе а5.
§ 12.5.	МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ДИАГРАММ ФЕЙНМАНА
В основе этого метода вычисления зависимости величин от д2
лежит выделение и суммирование только таких диаграмм Фейнмана,
которые дают вклад порядка (аДп(—<72))вклад диаграмм типа
(asln(—<?2))naf не учитывается. Другими словами, в этом методе
производится суммирование фейнмановских диаграмм в главном
логарифмическом приближении.
1.	Как показывает анализ, для того чтобы выделить диаграммы,
соответствующие главному логарифмическому приближению, надо
взять аксиальную калибровку (см. § 4.2). Эта калибровка эффективно
учитывает лишь поперечные глюоны и позволяет рассматривать
внутренние линии фейнмановских диаграмм как линии распростра-
нения кварков.
2.	В аксиальной калибровке главному логарифмическому прибли-
жению соответствует суммирование только диаграмм, изображенных
на рис. 12.13 (лестничные диаграммы). Диаграммы типа рис. 12.13, a
207
описывают взаимодействие валентного кварка, а типа рис. 12.13, б —
вклад кварков моря.
3.	Рассмотрим для примера процесс Дрелла—Яна
К (Pi) + h2 (р2) у (?) + X + р,“ + X, (12.5,1)
ТЯЯЯЯЯЯЯГ
тшяяяяяг,
л
'ТЯПЯЯЯЯЯГ
ПЯЯЯЯЯЯЯГ
а)
12.13. Типичные диаграммы глав-
ного логарифмического приближе-
ния в аксиальной калибровке
В этом процессе кварк и анти-
кварк адронов и h2 аннигилиру-
ют в фотон, который рождает пару
р,-лептонов.
В главном логарифмическом при-
ближении в аксиальной калибровке
процесс (12.5.1) описывается сово-
купностью диаграмм типа тех, ко-
торые изображены на рис. 12.14, а.
Вероятность процесса Дрелла — Яна
(рис. 12.14, а) пропорциональна аб-
сорбтивной части диаграммы (рис.
12.14, б). После интегрирования по
поперечным импульсам (рис. 12.14,
в) получим искомое выражение для дифференциального сечения
процесса Дрелла—Яна в главном логарифмическом приближении:

+ Dl(xlt q2)D^, <?*)]•	(12.5.2)
Здесь f—аромат кварков, ае— константа электромагнитного
взаимодействия, Qj—заряд кварка с ароматом /, s = (ри+ +Рц-)2,
S)
12.14. Основные этапы вычисления сечения для процесса
Дрелла — Яна в главном логарифмическом приближении

D%(x, q2), Dl(x, q2)—функции распределения кварков и антиквар-
ков в адронах /гг и Л2.	_
Как видно, функции распределения D4 (х, q2) и D4 (х, q2) зависят
от q2, причем зависимость такая же, как и в глубоконеупругом
рассеянии. В модели свободных кварков для сечения процесса
208
Дрелла — Яна получается аналогичное выражение, но с функциями
распределения Dv (х) и не зависящими от q2. Иначе говоря,
метод суммирования диаграмм позволяет вычислить для функций
распределения зависимость от q2, обусловленную глюонными эффек-
тами.
Аналогичным образом можно рассмотреть наборы фейнмановских
диаграмм для других жестких процессов и вычислить зависимость
от q2 соответствующих дифференциальных сечений.
В отличие от двух предыдущих рассматриваемый метод позволяет
вычислить зависимость от q2 не только структурных функций, но
и других, более детальных характеристик. Наиболее интересный
результат относится к зависимости поперечного передаваемого
импульса q2^ от q2. Из вычислений следует, что поперечный импульс
растет с ростом q2.
§ 12.6.	АДРОННАЯ ФРАГМЕНТАЦИЯ КВАРКОВ И ГЛЮОНОВ
Для сравнения предсказаний квантовой хромодинамики с экспе-
риментальными данными необходимо совершить переход от кварков
и глюонов к адронам, так как на опыте непосредственно наблюдают
не кварки и глюоны, а адроны. Процесс превращения кварка или
глюона в адроны называют адронной фрагментацией кварка или
глюона. К сожалению, описать процесс адронной фрагментации мы
пока не умеем. По-видимому, образовавшиеся на малых расстояниях
цветные кварки или глюоны разлетаются. По мере разлета они
обрастают «облаком» из кварков, антикварков и глюонов и в конеч-
ном итоге трансформируются в бесцветные адроны.
Основная трудность обусловлена тем, что в процессе фрагмента-
ции необходимо описывать поведение кварков, глюонов также и
на больших расстояниях, когда взаимодействие велико и теория
возмущений неприменима. Так как эту трудность преодолеть не
удается, то приходится прибегать к более или менее правдоподоб-
ным гипотезам. Так, например, можно вычислить полное сечение
е+е~-аннигиляции в кварки и глюоны и считать, что при больших
энергиях последующая трансформация кварков или глюонов в адроны
не меняет результата.
Детализация свойств конечных адронных состояний требует вве-
дения дополнительных предположений. В частности, можно считать,
что формой существования вылетающего с малых расстояний кварка
является струя адронов с ограниченными поперечными импульсами
относительно направления кварка-родителя и с характерным распре-
делением по продольным импульсам. Можно надеяться, что и глю-
оны, вылетающие с малых расстояний, будут также реализоваться
в виде своеобразных струй адронов, отличных по своим свойствам
от адронных струй, порожденных кварками. Современные опытные
данные согласуются с представлениями о струях.
Изложенные представления составляют направление, которое име-
нуют «наивной» квантовой хромодинамикой.
209
Подводя итоги, следует отметить, что при выяснении справедли-
вости квантовой хромодинамики путем сравнения ее предсказаний
с экспериментальными данными возникают две основные проблемы.
Первая из них относится к подпроцессам и сводится к необходи-
мости учета вкладов высших порядков теории возмущений по кон-
станте as, а также вклада постоянных и степенных членов вида
(1/72)\ Вторая проблема касается механизма адронной фрагментации
кварков и глюонов и связана с учетом вклада взаимодействий на
больших расстояниях. Окончательное заключение о справедливости
квантовой хромодинамики можно сделать лишь после того, когда
будут решены обе указанные проблемы.
Глава 13
КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА НА РЕШЕТКЕ
В этой главе мы изложим один из вариантов квантовой хромо-
динамики, который позволяет вычислить физические величины без
использования теории возмущений. В основе этого варианта лежит
замена бесконечного четырехмерного пространства—времени диск-
ретным пространством—временем в виде решетки конечных размеров.
Введение решетки конечных размеров позволяет провести числовые
расчеты на ЭВМ без использования теории возмущений. Наиболее
выгодным для этой цели оказался метод Монте-Карло.
Наряду с этим разработан приближенный аналитический метод
вычисления на решетках, основанный на разложении в ряд по вели-
чине, обратной константе связи; метод получил название прибли-
жения сильной связи.
При переходе к решеточной теории релятивистская инвариант-
ность нарушается, однако калибровочную инвариантность можно
сохранить.
Шаг решетки играет роль обрезающего фактора, и поэтому теории
на решетке не содержат ультрафиолетовых расходимостей, т. е.
являются регуляризованными (см. гл. 9).
Сначала мы сформулируем классическую и квантовую калибро-
вочно инвариантную хромодинамику на решетке. Затем изложим
суть и основные физические результаты как приближения сильной
связи, так и метода Монте-Карло.
§ 13.1.	КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ХРОМОДИНАМИКА НА РЕШЕТКЕ
Решетка, ее элементы. Перейдем от псевдоевклидова простран-
ства— времени к евклидову, т. е. произведем замену х0—+it. Пред-
положим, что евклидово пространство—время имеет дискретную
структуру как по пространственной, так и по временной координа-
там, т. е. евклидово пространство—время можно представить в виде
четырехмерной решетки конечных размеров* (рис. 13.1).
* Рассматривался также вариант, в котором дискретную структуру имеет
лишь трехмерное пространство, а время остается непрерывным, Мы на этом
варианте останавливаться не будем.
210
13.1. Основные элементы решетки:
а—узел, б—ребро, в — грань, а—
элементарный куб
Основными элементами решетки являются:
а)	узел—точка решетки, характеризуемая координатами х^ап^,
где Пщ—вектор с компонентами пх, п2, nt\ а—величина, которая
равна расстоянию между соседними узлами и называемая постоян-
ной или шагом решеткш, мы будем
считать, что шаг решетки по всем на-
правлениям одинаков (рис. 13.1);
б)	ребро—линия, связывающая
два соседних узла; ребро /(х, р,) ха-
рактеризуется координатой х его
начала и направлениями р,= 1, 2,
3, 4 осей в пространстве; ребро I
связывает узлы с координатами х и
x + qx, где р—единичный вектор в
направлении р (рис. 13.1, б);
в)	грань, или плакетка,— эле-
ментарный квадрат, заключенный
между четырьмя ребрами (рис. 13.1,
в); грань р задается координатой уз-
ла, к которой пристраивается в на-
правлениях р и v квадратик* р (х,
р- v);
г)	трехмерный куб — образуется
нями (рис. 13.1, г).
Калибровочные поля на решетке. Рассмотрим калибровочные поля
на решетке.
1.	В случае непрерывного пространства — времени (см. гл. 2}
калибровочное поле характеризуется вектор-потенциалом (х)
и описывается лагранжианом (2.2.23). Если произвести замену
M(x)-*|xfc(x),	(13.1.1)
шестью стыкующимися гра-
то (2.2.23) перепишется так:
4^2" ГцдТ'ц.у,	(13.1.2)
где F(х) = др.А%—— напряженность кали-
бровочного поля, причем
V^i^d^ — T^-A^.	(13.1.3)
Как видно, в этом случае константа связи g не входит в кова-
риантную производную и напряженность, а появляется в виде
общего множителя в лагранжиане.
Удобно также рассматривать не сами вектор-потенциалы А^(х),
а их произведение, например, на генераторы (—VA*) фундамен-
тального представления алгебры Ли калибровочной группы SU3:
8
•Дц (х) = —g-	Ар, (х) К/,.
k= 1
(13.1.4)
211
Здесь	— матрицы Гелл-Манна (1.2.13); при этом напряженность
F|wW = MvW—MnW —MnW, Д,(х)]_.	(13.1.5)
Величины (13.1.4) представляют собой антиэрмитовы матрицы
и являются элементами алгебры Ли калибровочной группы.
2.	В решеточной теории калибровочное поле описывается матри-
цей UXili, которая задается на ребре решетки. Матрицы UXtV, яв-
ляются' элементами самой калибровочной группы.
Величины UXt ц, простым образом связаны с вектор-потенциалами
калибровочных полей Дц(х) непрерывной теории. Чтобы установить
эту связь, представим UXt g в виде разложения по шагу а решетки:
^>ц=1 + Дц(х)а + 0(а2).	(13.1.6)
Так как Лц(х)—элементы алгебры Ли калибровочной группы, то
при калибровочных преобразованиях Лц(х) преобразуется следую-
щим образом:
Лц(х) —► Л$(х) = со“1(х) Лц(х)со(х)4-сй_1(х)5цсо(х), (13.1.7)
где со(х)— матрица непрерывных калибровочных преобразований.
Заменяя в (13.1.7) производные на конечные разности
и подставляя полученный результат в (13.1.6), находим закон пре-
образования UXi ц с точностью до величин О (аа):
U х, и—*•	Ц = ^х, Ц®х + ар,’	(13.1.8)
где со*—значение матрицы со в узлах решетки.
Далее разобьем ребро, соединяющее точки х и х + йц, на малые
отрезки и определим Ux< ц как упорядоченное вдоль контура мат-
ричное произведением
^.1г = /’П[1+|Л,(х+/^],	(13.1.9)
где Р—оператор упорядочения матриц.
В соответствии с (13.1.8) матрицы со во внутренних точках ребра
сокращаются, поэтому (13.1.9) определяет точное преобразование
Uf, ц, (во всех порядках по а). Устремляя в (13.1.9) отрезки к нулю,
получаем выражение, которое дает искомую связь решеточной мат-
рицы UXilx с вектор-потенциалом Лц(х) непрерывной теории:
i/*(14 = Pexp*Y с!£4ц(£).	(13.1.10)
X
Правую часть формулы (13.1.10) называют упорядоченным кон-
турным интегралом. Как видно, в решеточной калибровочной тео-
рии необходимо задавать ориентацию данного ребра. Будем считать,
212
что [л соответствует положительному, а (—р)—отрицательному на-
правлениям (рис. 13.1, в), т. е. ориентации ребер (х, р) и (%4-ар, —р)
противоположны.
Из (13.1.10) следует, что матрицы, относящиеся к ребру с поло-
жительной и отрицательной ориентациями, связаны так:
U «	(13.1.11)
х +ац, -ц х,	'
Поскольку матрицы UXf м унитарны, последнее соотношение при-
нимает вид
(13-1.12)
Основную роль при построении решеточной калибровочной тео-
рии играет простейший замкнутый контур, который совпадает с гра-
ницей элементарной грани (рис. 13.1, в). Этому контуру, если учесть
(13.1.12), соответствует следующее упорядоченное произведение:
Up = X, vU х + а\х, yUx+ai, уРх, v	(13.1.13)
Согласно (13.1.8), при калибровочном преобразовании произведе-
ние Up преобразуется как
Up-.U^^Up^,	(13.1.14)
т. е. след матрицы Uр калибровочно инвариантен. Именно эти вели-
чины используют при построении калибровочно инвариантного дей-
ствия решеточной теории.
3.	Если использовать простейшие калибровочно инвариантные
величины SptTp, то действие / (Uр) для калибровочного поля на
решетке в случае S^-симметрии запишем в виде
/(^) = ₽S(l-W-ReSpt/J,	(13.1.15)
где Р — константа. Здесь суммирование производится по всем эле-
ментарным граням решетки, т. е. по всем х, ц, v без учета их
ориентации; индекс «н» означает неориентированные грани. При
изменении ориентации грани на противоположную величина Sp U р
в соответствии с (13.1.12) переходит в комплексно-сопряженную:
SpC/F—>-(Sp иру,
с учетом этого действие (13,1.15) можно записать так:
H^)=4L(i--fsp^).	(13.1.16)
где суммирование выполняется по двум возможным ориентациям
одной и той же грани; индекс «о» означает ориентированные грани.
4.	Покажем, что решеточное действие (13.1.15) при а—> 0 пере-
ходит в действие непрерывной калибровочной теории. Рассмотрим
сначала теорию, инвариантную относительно абелевой калибровочной
213
группы t/p Используя теорему Стокса, имеем
t/, = expH cVM£)l = exp К FUv(z)da4v(z)l, (13.1.17)
(др	j (р	f
где др—совокупность четырех ребер, составляющих границу грани
р, Fp.v(z)—напряженность поля.
Если а —► 0, то напряженность FMV (2) можно вынести (с точностью
до членов порядка а8) из-под знака интеграла по поверхности; это
дает
Up = ехр {Ецу(х) а2 + 0 (а8)}.	(13.1.18)
Разложим в этой формуле экспоненту в ряд и учтем, что при пере-
ходе к непрерывному пределу (а —» 0)
а12 М d1* 2 	(13.1.19)
р а->0 J y,v
Тогда член, линейный по Fuvaa4-0 (а8), при суммировании по поло-
жительным и отрицательным р и v обращается в нуль, а квадоя-
тичный член приводит к обычному выражению для действия непре-
рывной теории, если по (13.1.19) положить |3 = -р-!
(Ац)=	"4g8" У dxFp/y (х).
Аналогичный результат получается в случае инвариантности отно-
сительно неабелевой калибровочной группы SUN, если положить
Р=—г--’
gi
/(Дц)= —^-jdxSpFM*)-	(13.1.20)
Таким образом, при а—>0 и фиксированном g решеточное дейст-
вие (13.1.15) переходит в действие непрерывной теории.
Спинорное (кварковое) поле на решетке. Сформулируем решеточ-
ную теорию спинорного поля, описывающего кварк.
1.	В непрерывной теории калибровочное преобразование спинор-
ного поля выглядит так:
ф(х) —>ф“(х) = <о(х)ф(х), ф(х) —>ф“(х) = ф(х)®(х), (13.1.21)
а величина ф(х)ф(х) является калибровочным инвариантом.
2.	Спинорное поле можно приписать узлам решетки, а не ребрам,
как это было в случае калибровочных полей.
В решеточной теории калибровочные преобразования, аналогич-
ные (13.1.21), запишутся в виде
=	=	(13.1.22)
Здесь спинорное поле и матрица калибровочных преобразований сох
определены в узлах решетки. Тогда действие /0(ф) для свободного
214
спинорного поля на решетке имеет форму
/о (ф) = — А £ 6МИ\+ац—Фх+Оц УЛ)—та ^ФЛ-
X, Ц	X
(13.1.23)
Здесь суммирование производится по узлам х и направлениям ц, —
евклидовы матрицы Дирака, т—масса частицы.
В случае а —> 0 медленно меняющееся спинорное поле фх на
решетке и спинорное поле ф (х) в непрерывной теории связаны сле-
дующим образом:
а^-Ф W = 4 ОК+ац-'Ф*)- Ф* = а’/аФ W>
фж = а’/«ф(х),	=	+	(13.1.24)
ф,, ~ = аа/а ф(х) — а^- .
т* + ац	! дхц, _
Множитель а3/* появился потому, что функция фж безразмерна, а ф (х)
имеет размерность L~ s/a. Подставим (13.1.24) в (13.1.23), устремим
а —► 0 и произведем замену:
а4 2	\ d4x.
X J
В результате получим обычное действие для спинорного поля в не-
прерывной теории (см. § 4.1).
3.	Однако, как мы сейчас выясним, в непрерывном пределе (а —> 0)
действие (13.1.23) соответствует не одному, а нескольким
различным спинорным полям. Действительно, с одной сто-
роны, действие (13.1.23) можно переписать так (см. § 5.3):
+ л/а
/о (Ф) = 72^4 j	(13.1,25)
-л/а
где G(p) — пропагатор спинорного поля, ф^ — Фурье-образ поля ф/
ф, =а’/г2ф^е"'₽х. фр = й’/!2фхе1₽’8*	(13.1.26)
X	X
С другой стороны, подстановка последнего выражения в (13.1.23)
дает
+ л/а	+ л/а
(Ф) = 72Й7 2а £1 j dHpYl*(e	—•е ₽ц ) Фр — TTyr J
ц, -л/а	-л/д
(13.1.27)
Сравнивая (13.1.25) и (13.1.27), находим выражение для пропага-
215
тора спинорного поля:
G-1 (Р) =4 |Е у ?(1(е’,р^-е,рма)_та
_и=1
- 4
V, уц sin р^а—та
_н=1
(13.1.28)
Если ,ра<^1, то разложим sinpa- в ряд по ра и получим обыч-
ное выражение для пропагатора спинорной частицы в непрерывной
теории:
G~4P)= 5 Ъ^-т.	(13.1.29)
Ц = 1
В общем случае пропагатор G (р) имеет вид
4	|	Г 4
G(p) = a 2 YnSinpna/< — 2 sm* Рца + (та)2
Ц = 1	(	|_ц = 1
(13.1.30)
Возвратимся от евклидовой метрики к метрике Минковского (заме-
нив pQ —> iE1). Тогда полюсы пропагатора G (р) определяются нулями
знаменателя формулы (13.1.30), т. е. решениями уравнения
з
sh2Ea = 2 sin2р&а + (та)2.	(13.1.31)
Ц=1
Рассмотрим решения этого уравнения для частиц (им соответствует
положительная энергия, Е > 0). Пусть частица движется вдоль
оси z, т. е. р1 = (£, 0, 0, рг). В этом случае, согласно (13.1.31),
sh2 Еа = sin2 рга-\- (та)2.	(13.1.32)
Так как синус является периодической функцией, то кроме векто-
ра р1 последнему соотношению удовлетворяют вектор р2 = (Е, 0, 0,
п/а—рг) и еще шесть векторов, которые получаются из р1 и р2
заменой нулей на п/а:
р3 = (Е, п/а, 0, рг), .... р3 = (Е, п/а, п/а, п/а—рг). (13.1.33)
Волновые функции с различными импульсами
ф'(х, у, г, t) = elEt-i^-^y-^> /=Ь	8, (13.1.34)
описывают различные состояния частиц. Так, например, волновая
функция состояния с импульсом р3 отличается от волновой функ-
ции состояния с импульсом р1 множителем (—1)п* (где пх—коорди-
ната начала ребра, направленного вдоль оси х). Это означает, что
в непрерывном пределе (а —> 0) волновая функция с импульсом р3
сильно меняется на одном шаге в направлении х.
Другими словами, состоянию частицы с данной энергией соот-
ветствуют восемь различных состояний со значениями импульсов
216
pl, ..ps, т. e. состояние системы с данной энергией восьмикратно
вырождено.
4.	Чтобы устранить указанное вырождение, перепишем действие
(13.1.23) в другой форме:
/(ф) = х£ [фж(1 —Чи)Фх+^ + фх+о;1(1 + 1Т|г)ф(х)]—(13.1.35)
X, Ц	х
где и—параметр. Последнее выражение отличается от (13.1.23)
наличием проекционных операторов (1 ± iyu). В непрерывном пре-
деле (а—*0)
И>+-аН (i3J-36>
и (13.1.35) переходит в выражение для действия спинорного поля
непрерывной теории
г	4 _	_
/ (ф) == \ dx —i 2 Ф (х) тЛф (х)— тф (х) -ф (х)
L	ц==1
(13.1.37)
если положить т = (1 — 8х)/(2ха). Величина т играет роль массы
спинорной частицы в непрерывном пределе. Масса частицы должна
оставаться конечной при а—*0, т. е. должно выполняться условие
та 1; в этом случае
х«=
1	1
84~2та	8
та 1
32 ” 8 ’
(13.1.38)
Покажем, что действие (13.1.35) не обладает вырожденными состоя-
ниями в непрерывном пределе (а —>0). Действию (13,1.35) соответст-
вует пропагатор
{4	ч
1 -х L [(1 + 1?ц) е- iP(i“ + (1 — iTg) е1₽^] > . (13.1.39)
ц=1	1
Переходя к метрике Минковского, находим, что этот пропагатор
имеет полюсы в точке, где энергия и импульс связаны соотношением
/	3	\2	3
4ха-Н 1—2х 2 cosPna ) + 4х2 2 Sin2pua
ch Ea =-----. (13.1.40)
4x1 1—2x 2 cos рца )
\	ц=1	/
В отличие от (13.1.31) правая часть (13.1.40) — непериодическая
функция, поэтому уравнение (13.1.40) в пределе а —> 0, х — > х/8 имеет
только одно решение. Действительно, в случае малых энергий
Е~т левую часть соотношения (13.1.40) можно заменить единицей,
а в правую подставить х^/д. В результате получим уравнение
для определения допустимых значений импульса частицы»
/	3	\2	/ э	\
( 3— 2 созрел ) +1 3— 2 cos2р^а ) == 0.	(13.1.41)
\	/	\	ц=1	/
У этого уравнения есть единственное решение: px = p* = p9~Q,
2П
В случае больших энергий Е > т при а—*0 равенство (13.1.40)
выполняется только тогда, когда имеет место обычное соотношение
между энергией и импульсом релятивистской частицы Е2 — р2 + т2,
т. е. уравнение (13.1.40) также имеет единственное решение.
При этом состояния с другими импульсами (13.1.33) в непре-
рывном пределе (а—>-0) становятся несущественными. Например,
состояние с импульсом = р2 = р3 = 0 согласно (13.1.40),
обладает энергией
£=4arcch[j2&<ra?L]-	(13Л'42)
Как видно, при а—>0 энергия Е—>оо и поэтому вклад этого
состояния, пропорциональный ехр (—EV), становится пренебрежимо
малым.
Классическая хромодинамика на решетке. Простейшее калибро-
вочно инвариантное выражение для действия на решетке, которое
описывает систему из взаимодействующих калибровочных и спинор-
ных полей, если принять во внимание (13.1.16) и (13.1.35), имеет
вид
I (Ф>^>) = S 1 дГUr \ + х Гфх (1 — гуц) UXt +
о4	' х, ц L
+ Фх+ац (1 Uz, 22'Флс'Фх-	(13.1.43)
X
В непрерывном пределе (а—-*0), учитывая (13.1.6), (13.1.24),
имеем
ФЛ^Л, Л+ац й3Ф W ТцФ W + я‘ф (*) ТцТцФ (х) + О (а5),
_ + ______________ __
Л а3ф (х) уиф (х) —а47цф (х) уцф (х) + О (а5),
где = д/дх^ +	—ковариантная производная.
Устремляя а—+ 0 и принимая во внимание полученные ранее
предельные выражения для I(Up) и /(ф), приходим к выражению
для действия классической хромодинамики в евклидовом простран-
стве в непрерывном случае.
Квантовая хромодинамика на решетке. Как мы уже говорили
(см. гл. 4), одним из способов квантования является запись ампли-
туды в виде функционального интеграла. В решеточной теории вы-
ражение для амплитуды квантовой хромодинамики в форме функ-
ционального интеграла по всем полям запишем так:
5=\П^^1(1®фх^ехр{-/(^ Up)},	(13.1.44)
X, JLI
где I (ф, U )— действие,	определяемое выражением (13.1.43),
И ^UXtli Й>фх^)фх —инвариантная мера интегрирования на группе.
х, ц,
218
Интеграл (13.1.44) записан в евклидовом пространстве, поэтому
он сходится.
В формуле (13.1.44) калибровка не фиксирована, и поэтому эта
формула представляет собою пример непертурбативного квантования
с нефиксированной калибровкой.
Непрерывный предел. Как мы видели, в предельном случае а—>0
решеточное действие квантовой хромодинамики переходит в непре-
рывное действие. Наряду с этим важно знать, как ведут себя фи-
зические величины при переходе к непрерывному пределу, и тем
самым выяснить, переходит ли решеточная квантовая хромодина-
мика при а -+ 0 в непрерывную теорию сильных взаимодействий
адронов.
Рассмотрим сначала, как ведет себя эффективный заряд при
а—► 0. Так как квантовая хромодинамика перенормируема, то в слу-
чае а —> 0 для эффективного заряда g (а) применимо уравнение
(10.1.20), которое в двухпетлевом приближении запишем так:
(а))=₽°£3++0 (g7>’ <13'1 -45)
гДе₽о = ~4§^г(33—2П/),	Р1==’25^(102~Тп/) • Решение этого
уравнения выглядит следующим образом:
а\1 = M’WW ехр [-1/(ад>],	(13.1.46)
где —постоянная интегрирования. Из последней формулы выте-
кает, что если а —» 0, то g —> 0, и наоборот. Это означает, что
в непрерывном пределе теория на решетке является асимптотически
свободной, а также то, что при малых g* наступает непрерывный
предел и может восстановиться инвариантность относительно груп-
пы Лоренца.
Выясним, как ведут себя физические величины при а —► 0. Шаг
решетки а играет роль параметра обрезания. Физические величины
Mi не зависят от параметра обрезания, поэтому при а—►О они
удовлетворяют уравнению ренормгруппы, аналогичному (10.1.14):
g)==°-	(13.1.47)
В случае а~► 0, g—>0 решение этого уравнения, например, для Mi
с размерностью обратной длины имеет вид
М{ = c{Kt = £ (Ро^)-₽./(2₽о) ехр [-1/(2₽0^)].	(13.1.48)
Здесь С; — коэффициент, который характеризует физическую вели-
чину Mt. При числовых расчетах выделяют значение коэффициента ct
и анализируют зависимость М{ от g2. Если начиная с некоторого
значения g2 зависимость от g2 определяется формулой (13.1.48),
то это означает, что полученное значение относится к непрерывному
пределу.
Для сопоставления физических результатов решеточной и непре-
рывной теорий надо знать связь между соответствующими парамет-
21»
рами и ?1мом (см. § 12.2). Как можно показать, в рамках 5(73-сим-
метрии эта связь устанавливается соотношением
^мом = 83,5ZP
Из расчетов следует, что Х,~2МэВ. Отсюда находим для
значение, близкое к экспериментальному (см. § 12.2).
В решеточной теории существуют два основных способа вычис-
ления функциональных интегралов —приближенный аналитический
(приближение сильной связи) и числовой с применением ЭВМ.
Рассмотрим сначала приближение сильной связи.
§ 13.2. ПРИБЛИЖЕНИЕ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ ДЛЯ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ
Контурные средние. Рассмотрим подробнее квантовую теорию
только калибровочных полей. Действие / (Up) этих полей опреде-
ляется формулой (13.1.16), а функциональный интеграл имеет вид
5=$П®^.цехр{-/(^)}.	(13.2.1)
X, У
Групповая мера инвариантна относительно левого и правого
умножения на произвольный элемент калибровочной группы:
dU = d (<ot7) =* d (<7co).	(13.2.2)
Этим обеспечивается калибровочная инвариантность функциональ-
ного интеграла (13.2.1).
Основной величиной в решеточной теории калибровочных полей
является контурное среднее <Sp (7^ Sp UCz.. .>, которое опреде-
ляется формулой
<Sp UC1 Sp Uc,.. •> =
= J пцexp{— /(t/F)}(Sp£7C1Spt/Cs...)/J II®^,Hexp{—I(U )}.
X, у.	xt у,
(13.2.3)
В непрерывном пределе (а —♦ 0), если принять во внимание (13.1.6)
и (13.1.20), формула (13.2.3) перейдет в контурное среднее непре-
рывной теории:
<Sp(/(C1)Sp(7(C2)...> =
С П W ехР 4^2 dx F^ to F^ <х)} [Spu (ci) Spy (Cz)"-]
---------------------------j------------------------, (13.2.4)
J П (x)exp 4^2 J" dx to w}
если константа |3 связана с зарядом g соотношением
(3 = 2ад.	(13.2.5)
Если параметр |3 мал, т. е. g велико, то функциональный ин-
теграл (13.2.1) можно вычислить, разлагая его в ряд по [3. Такое
220
разложение получило название приближения сильной связи (или
высокотемпературного разложения). После разложения в ряд задача
сводится к вычислению групповых интегралов типа
$	. U‘innUki'...	(13.2.6)
причем мера нормирована условием J S)U — 1.
Вычислим значение простейшего контурного среднего W(dp), ко-
торое соответствует контуру др по границе элементарной грани
(рис. 13.1, в):
WP) = (4-SP^).	(13.2.7)
где др—совокупность четырех ребер, составляющих границу грани р.
Ограничимся учетом членов первого порядка по константе
тогда имеем
Г(<Эр)=-±^.--------------------Р1---------. (13.2.8)
\ Ц	1+₽£>-* Re Sp Up,\
J х.'ц,	\ P'	/
Используя формулу, вытекающую из свойств унитарности и орто-
гональности матриц
$	(13.2.9)
получаем в случае группы SUn(N ^3)
№(др)=₽/(2№),	(13.2.10)
в случае группы SU2
Wp) = ₽/4.	(13.2.10')
С помощью формулы (13.2.9) можно вычислить в первом порядке
по Р контурное среднее Wifi) по контуру С более сложного вида.
Наличие символа 6Z'Z в формуле (13.2.9) означает, что интеграл от-
личен от нуля лишь в том случае, когда ориентированное ребро I'
совпадает с ребром I. Поэтому отличен от нуля лишь такой инте-
грал, для которого элементарные грани целиком заполняют всю
поверхность, натянутую на контур (рис. 13.2). В этом случае каж-
дое ребро в интеграле встречается дважды, причем один раз в по-
ложительном, а другой—в отрицательном направлениях; вследствие
этого все интегралы отличны от нуля. При этом в первом порядке
по Р контурное среднее (для простого контура без самопересечений)
Wifi) = <N~' Sp Uc> = [W(dp)]s™(C> = exp {—ЛХш (C)}, (13.2.11)
где smin(Q— площадь минимальной поверхности, натянутой на кон-
тур С, К. = —InW(p), W(dp) определяется формулой (13.2.10).
Закон площадей. Конфайнмент кварков. Экспоненциальный ха-
рактер зависимости контурного среднего (13.2.11) от площади носит
название закона площадей.
221
Чтобы выяснить физический смысл закона площадей, вычислим
контурное среднее по прямоугольному контуру, изображенному на
рис. 13.3. Выберем калибровку Л0(х, t) — 0. Тогда для контурного
(R,fl(RJ)
_________
(0,0)	(ОД)
13.2.	Контур, заполненный эле-	13.3. Прямоугольный кон-
ментарными гранями	тур
среднего W(Rt Т) имеем
W(Rt Т) = <5рф(0)ф(Т)>,	(13.2.12)
где
R	R
ф(0)==Рехр J dx ДДх, 0), 'ф(Т) = Рехр $ dx (х, t),
о	о
или, если вставить сумму по промежуточным состояниям,
<Sp ф (0) ф (Т)> = 2 <Ф// (0)1 n> <п I ф/, (Т)>.	(13.2.13)
п
Учтем, что состояния в различные моменты связаны соотноше-
нием (Я—решеточный гамильтониан системы)
ф (71) = е“^гф (0) е^г.
Подставим последнее соотношение в (13.2.13) и подействуем опе-
ратором Н на вакуумное состояние. В результате для искомого
контурного среднего получим
W, 0=21 <Фо(0)1 П> |ае_в«г,	(13.2.14)
п
где Е„—энергия системы.
В пределе Т —> оо в сумме (13.2.14) остается только основное
состояние с минимальной энергией Ео, т. е.
W(R, Т)-----.e-W.	(13.2.15)
Т—> со
Производя в этой формуле замену Т —► \Т, перейдем к физиче-
ской энергии Ей(К). Последняя, по определению, характеризует
изменение энергии основного состояния при внесении в поле частиц
(кварков), т. е. является энергией, или потенциалом, взаимодействия
Ёо (R) кварков. Следовательно, контурные средние связаны с потен-
циалом взаимодействия E^R) статических кварков.
222
Для рассматриваемого прямоугольного контура (рис. 13.3) фор-
мулу (13.2.11) запишем в виде
№(/?, 7’) = е“кдг,	(13.2.16)
где К—постоянная величина.
Сравнение (13.2.15) и (13.2.16) дает
Et(R) = KR. (13.2.17)
Как видно, приближение сильной связи
приводит к закону площадей, а последний — к
линейно растущему потенциалу между квар-
ками.
Коэффициент К называют коэффициентом
натяжения струны. Это название связано с
тем, что для возникновения линейно растуще-
го потенциала глюонное поле между кварками
должно собраться в трубку или струну (см.
рис. 13.4, на котором для сравнения изобра-
жено также поле в случае кулоновского по-
тенциала). Струна не позволяет кваркам ра-
зойтись на большие расстояния. Следователь-
но, если контурное среднее для больших кон-
туров стремится экспоненциально к нулю, то
потенциал между кварками линейно растет с
—-.L-.....
у
13.4. Графическое изо-
бражение силовых ли-
ний, соответствующих:
а — кулоновскому по-
тенциалу, б—потен-
циалу, линейно рас-
тущему с расстоянием
расстоянием и кварки не могут вылететь из
нуклонов. Иначе говоря, закон площадей является критерием кон-
файнмента кварков (этот критерий был сформулирован К. Вильсо-
ном).
Теперь перейдем к численному методу вычисления функциональ-
ных интегралов.
§ 13.3. НЕПЕРТУРБАТИВНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
Метод Монте-Карло. Введение решеток позволяет применить для
вычисления функциональных интегралов квантовой хромодинамики
численные методы с использованием ЭВМ. Такие вычисления можно
произвести непосредственно для любого значения константы связи,
не прибегая к теории возмущений.
Как мы видели, в решеточных функциональных интегралах кван-
товой хромодинамики необходимо производить интегрирование
последовательно по матрицам Ut на каждом ребре I и по спинор-
ным полям фх в каждом узле. При конкретных расчетах выгодно
заменить многократный интеграл суммой по состояниям системы
и вычислять эту сумму методом Монте-Карло.
1. Остановимся сначала на интегрировании по матрицам U{.
Пронумеруем все ребра решетки. Тогда состояние В системы опи-
сывается значением матрицы U± на первом ребре, (/2—на втором
ребре и т. д., т. е.
B = {UU U.......UNf}.	(13.3.1)
223
Для рассматриваемого нами сходящегося интеграла конечной
кратности последовательное суммирование по U t можно представить
как сумму по всем состояниям системы:
2S---2	=2	•	(1з.з.2)
U1	и2, ...»
Среднее <Q (В)> величины Q (В) определяется формулой
2 Q (В) ехр {- / (В)}
<Q(B)> = A=----------------,	(13.3.3)
2ехр{—7 св»
в
где Q (В) и /(В) — значения соответственно усредняемой величины
и действия для данного состояния В.
В интересующем нас случае полное число состояний велико,
перебрать их все невозможно, и поэтому для вычисления суммы
(13.3.3) выгодно использовать метод Монте-Карло.
В основе метода Монте-Карло лежит использование того факта,
что в случае вероятностных процессов для выяснения закономер-
ностей поведения большого числа случаев {генеральная совокупность)
достаточно изучить их сравнительно небольшое число {выборка).
Разумеется, выборка должна возможно более походить на генеральную
совокупность. В соответствии с этим выберем случайным образом
некоторую подпоследовательность состояний (выборка)
Л = {В0, В.....BN}.	(13.3.4)
Пусть состояние Вп встречается в выборке с вероятностью Р{Вп).
Тогда для среднего (13.3.3) имеем
2 Q (Вп)Р-^ (В„) ехр {- / (В„)}
«2 (В)>	-----------------------.	(13.3.5)
2 Р-1(Вп)ехр {— / (В„)}
П== 1
В случаях больших |3 (малых g) все состояния в выборке не будут
равновероятными. Выгодно предположить, что состояния Вп в вы-
борке генерируются с вероятностью, имитирующей распределение
в генеральной совокупности,
P(Bn)~exp{-Z(B„)}.	(13.3.6)
Тогда среднее (13.3.5) запишется просто в виде среднего арифме-
тического:
w
<Q(B)>~-L£,Q(Bn).	(13.3.7)
П=1
Последовательность состояний, которая генерируется с вероят-
ностью (13.3.6), называют равновесной. Для того чтобы пользоваться
(13.3.7), необходимо выбрать такую цепочку переходов, которая
224
начиная с любого состояния приходит в пределе к равновесному
состоянию. Можно показать, что для этого должно выполняться
условие
ехр {- / (В)} W (В -> В')« ехр {- / (В')} W (В'	В), (13.3.8)
где № (В-+В')—вероятность перехода из состояния В в состоя-
ние В'. В этом случае неравновесная последовательность состояний
приближается в пределе к равновесной, а равновесная последова-
тельность состояний переходит в равновесную.
При конкретных вычислениях вероятности W (В —► В') выбирают
различным образом, однако так, чтобы соотношение (13.3.8) выпол-
нялось. При этом скорость сходимости к равновесному состоянию
для различных W (В —> В') различна.
Средние значения величин вычисляют методом Монте-Карло са
статистической погрешностью, пропорциональной l/j/’TV.
2. Разработаны также способы численного интегрирования по
спинорным функциям методом Монте-Карло. Проще произвести такое
интегрирование в том случае, когда не учитывается вклад вирту-
альных кварковых петель, т. е. вклад кварков моря. Если такого
пренебрежения не делать, то для вычисления требуется слишком
большое машинное время.
Если пренебречь вкладом кварковых петель, то вклад валентных
кварков можно выразить через функции Грина во внешнем глю-
онном поле, и, следовательно, свести задачу к интегрированию по'
глюонным полям. Это обстоятельство используют при интегрирова-
нии по спинорным полям.
Результаты вычислений. Методом Монте-Карло производилось
вычисление различных физических величин. Мы остановимся коротко
на двух типичных примерах этих вычислений.
1. Коэффициент натяжения струны. Для вычисления коэффици-
ента натяжения К струны можно использовать связь К. с решеточным
контурным средним для калибровочных полей, которое дается зако-
ном площадей (13.2.16), предположив, что эта связь имеет место
для любых зачений 0. Однако более удобно вычислять другую вели-
чину %, которая представляет собой определенную комбинацию
контурных средних:
Х(/<, /)— In (^(fl — i, у) у—1); •	(13.3.9)
где W (R, Т)—контурное среднее от прямоугольника размером
RxT (см. рис. 13.3).
В случае T^>R имеет место (13.2.15). Подставляя последнее
в (13.3.9) и переходя к непрерывному пределу (а—»-0), находим
% =	(13.3.10)
Следовательно, функция х пропорциональна силе, с которой кварки
действуют друг на друга. Именно эту функцию и вычисляют. Расчеты
в рамках SUt- и St/g-симметрии показывают, что пока расстояние
8	1034	225
между кварками меньше радиуса коцфайнмента, взаимодействие
описывается законом Кулона. С ростом расстояния кулоновский
потенциал переходит в линейно растущий, для которого сила взаимо-
действия не зависит от расстояния. Другими словами, из расчетов
вытекает, что существует конфайнмент кварков.
Следует подчеркнуть, что в области малых значений £ (больших g)
результаты расчетов величины Л по методу Монте-Карло совпадают
с соответствующими результатами расчетов в приближении сильной
связи. Однако метод Монте-Карло позволяет получить результаты
для Кив области больших £ (малых g), где приближение сильной
связи неприменимо.
Из расчетов также видно, что при g2 < 2 зависимость коэффи-
циента натяжения К струны от g2 определяется формулой (13.1.48).
Это означает, что. в этой области уже наступил непрерывный предел.
При этом предполагается, что зависимость а2К от g2 при дальнейшем
уменьшении g2 резко не изменится. Факт наступления уже при
g2 ~ 2 зависимости а2К от g2, соответствующей режиму асимптоти-
ческой свободы, получил название раннего скейлинга.
Заметим, что если R и Т достаточно велики, то для контурного
среднего выполняется закон площадей:
F(R, T) = exp{-a2KRT}.
Подстановка последнего соотношения в (13.3,9) дает
%(R, Т) = Ж.
Следовательно, в этом случае функция % не зависит от размеров
контура. Осутствие этой зависимости при вычислениях свидетельст-
вует о том, что для контурного среднего W (С) начал выполняться
закон площадей и наступил режим конфайнмента кварков.
При вычислении коэффициента натяжения струны интегрирование
производилось только по глюонным состояниям. Мы приведем также
пример, в котором надо вычислять интеграл и пр глюонным, и по
спинорным состояниям.
2. Спектр масс адронов. Спрктр марс наиболее легких адронов
вычислялся в случае *S(/2- и 5(73-сцмметрий- Значения этих масс
определяются средними значениями корреляционных функций для
операторов 4) кварков, из которых состоит данный адрон. Так,
например, для мезонов
Auv W = <Ф U) Гц ф(х) ip (0) Гуф (0)>л,	(13.3.11)
Здесь Г=/, у5, уцу5 соответственно для скалярных, псевдоска-
лярных, векторных и псевдовекторцых мезонов. Усреднение прово-
дится как по глюонным, так и по кварковым состояниям.
В пространстве Минковского массам соответствуют полюсы
Фурье-образа корреляционной функции Д:
dxeip^
A W = У
k
Р‘ — т* '
:22G
В евклидовом пространстве посйё обратного Фурье-преобразо-
вания функция Л запишемся так:
Д(х) = 2сйе-'”*|Ч
k
При х —► оо в эту сумму дает вклад только резонанс с минималь-
ной массой:
А(х) ~е~т1Ч
Следовательно, для определения масс частиц необходимо вычислить
функции А.
Пренебрежем виртуальными кварковыми петлями. Тогда, учиты-
вая, что правая часть (13.3.11) выражается через функцию Грина
G(x, 0; Яц) кварков во внешнем глюонном поле Лц, имеем
<фф> = <Sp G (0, 0; Лц)>л,	(13.3.12)
где Sp означает операцию взятия следа по цветным и спинорным
индексам; здесь также положено х = 0, поскольку след функции
Грина конечен при х —* 0.	_
Согласно (13.3.12) для вычисления <фф> необходимо произвести
усреднение только по глюонным полям. Функцию Грина G (х, 0; Лц)
для каждой конфигурации глюонного поля находили числовым ре-
шением решеточного аналога уравнения
—(iYn^n + /n)G(x, 0; Лц) = 64х.
В результате усреднение по конфигурациям сводится к вычислению
суммы, аналогичной (13.3.7).
Масса кварка является свободным параметром. Его значение
выбирали из условия равенства массы л-мезона экспериментальному
значению. Вычисленные значения масс адронов довольно близки
к соответствующим опытным величинам.
Подчеркнем, что каждый порядок теории возмущений по кон-
станте связи g на решетке дает для коэффициента натяжения струны
и масс адронов значения, равные нулю. Отличие этих значений от
нуля в расчетах методом Монте-Карло означает, что эти величины
определяются только непертурбативными эффектами квантовой хро-
модинамики. Наряду с этим существуют физические величины, кото-
рые отличны от нуля и при расчетах по теории возмущений.
Методом Монте-Карло вычисляли также другие физические вели-
чины (массу глюбола, значения кваркового и глюонного конденса-
тов, точки фазовых переходов и др.).
Таким образом, числовые расчеты методом Монте-Карло позво-
ляют получить физические результаты исходя непосредственно из
лагранжиана квантовой хромодинамики, не прибегая к теории воз-
мущений.
При оценке результатов, полученных методом Монте-Карло, сле-
дует иметь в виду, что они содержат как статистическую погреш-
ность, так и погрешность, которая обусловлена приближениями,
сделанными при расчетах (пренебрежение виртуальными кварковыми
8*
227
петлями, ограниченность размера решетки и т. п.). Пока неопреде-
ленность расчетов по методу Монте-Карло еще довольно велика,
поэтому сделать определенные выводы нельзя, хотя результаты
выглядят довольно обнадеживающими.
Точность вычислений методом Монте-Карло сдерживается в насто-
ящее время двумя основными техническими факторами—скоростью
счета, затрудняющей набор статистики, и объемом машинной памяти,
ограничавающим размер решетки. В настоящее время ведется интен-
сивная работа по улучшению этих факторов.
Глава 14
ГРАНДОБЪЕДИНЕНИЕ
В третьей части книги мы изложили единые калибровочные
теории электрослабого взаимодействия частиц. Эта глава посвящена
единым калибровочным моделям сильного, электромагнитного и сла-
бого взаимодействий. Построение таких моделей основывается на том
факте, что эффективные константы связи различных групп, как мы
увидим далее, ведут себя по-разному с ростом энергии: константы
групп SU8 и SU2 убывают, причем первая убывает быстрее, чем
вторая, а константа связи группы Ut растет (рис. 14.1). Вследствие
этого можно ожидать, что при достаточно больших энергиях все
три константы связи совпадут. Тем
14.1. Качественная картина пове-
дения констант связи G в зависи-
мости от энергии Е
самым становятся возможными такие
модели, которые в области больших
энергий обладают одной кон-
стантой связи. Способ объедине-
ния, при котором константы связи
сильного, электромагнитного и сла-
бого взаимодействий при некоторой
большой энергии совпадают, называ-
ют грандобъединением (или Великим
синтезом, Великим объединен ием). При
этом группа грандобъединения в об-
ласти доступных нам в настоящее
время энергий сильно нарушена хиггсовскими полями и поэтому
проявляется как прямое произведение групп сильного, электромаг-
нитного и слабого взаимодействий (например. St/3xSt/ax t/t).
В качестве калибровочной группы грандобъединения можно
выбрать либо простую группу G (например, St/6, SO10, £0, St7e),
либо полупростую группу G' = G1xGa с дополнительной дискретной
симметрией между Gx и G2 (например, St/4xSi/4). Модели, осно-
ванные на группах G и G', содержат одну константу связи.
Анализировался целый ряд моделей грандобъединения—SU&,
SU9, SUlt SU9, SU9, (SUe),x(SU8)^ SO10, SOU, S0ia, SO14,
5015, £e, £7, £8 и т. п. Мы остановимся более подробно на моделях,
основанных на группе SUn. Наиболее простой из них является
SU 5-модель.
228
§ 14.1.	^-МОДЕЛЬ
Лагранжиан модели. Построение модели ведется обычным спо-
собом (см. гл. 6).
1.	Покажем, что если в области малых энергий калибровочной
является группа SU3xSU3x Ux, то минимальной группой гранд-
объединения будет SUb. В самом деле, так как сумма рангов групп
SU3, SU2, UA равна четырем, то минимальной группой грандобъеди-
нения может быть группа четвертого ранга. К группам четвертого
ранга, обладающим одной константой связи, относят следующие:
(W3)\ (S06)\ (S</8)\ (G^. SO8, S0e, Sp8, Л, St76. (14.1.1)
Две первые группы не содержат в качестве подгрупп группу SU3
и потому должны быть отброшены. Представления группы SU3xSU3
выглядят так;
(3,2) + 2(3,1) + (1,2) + (1,1).	(14.1.2)
Цифры в скобке указывают размерность мультиплета соответственно
по группам SU3 и SU^- Представления (14.1.2)—комплексные,
поэтому представления группы грандобъединения должны быть
комплексными. Из всех групп (14.1.1) такими представлениями
обладают лишь группы (St/3)2 и SU3. Однако группа (St/3)2 непри-
годна с физической точки зрения. Поэтому для калибровочной под-
группы SU3xSU3xU1 минимальной допустимой группой четвертого
ранга является SU3. Выберем SU& в качестве калибровочной группы
модели.
2.	Исходными частицами модели будут шесть лептонов и восем-
надцать кварков:
(Ui	и3 ve \
d3 е~~ \
s’ s2 ? U- I-	(14.1.3)
□1 од +3 И /	'	f
^2	^3	/
b3 b3 т~/
3.	Среди представлений группы S(76 имеются представления
с размерностью 5 и 10 со следующей структурой по подгруппе
SUtxSUti
5 = (3,1)+ (1,2),
10 = (3,1) + (1,1) + (3,2).
Разместим в этих представлениях первые восемь частиц (первое поко-
ление}, содержащихся в (14.1.3), и их античастицы следующим
образом:
Т = 5 = (d{didle-ve}L, W = 10 = -+=-
0	из	— III	—U1	—dt
— «3	0			—d2
«2	—4	0	~~и3	-d3
		«з	0	—е+
di	^2		е+	0
L
(14.1.4)
8* № 1034
229
Здесь индекс с означает зарядовое сопряжение; иногда удобнее
вместо мультиплета взять его зарядово-сопряженный, но при этом
надо заменить поляризацию мультиплета на противоположную
(L -~+ R или R —> Л).
Аналогичным образом размещаются оставшиеся в (14.1.3) частицы
и античастицы второго (с, s, v^, jx") и третьего (t, b, vT, т~) по-
колений, т. е. в 5(7б-модели все известные фермионы подразделяются
на три поколения и массы частиц из поколения в поколение воз-
растают. Для правополяризованного нейтрино в представлениях
модели (14.1.4) нет места. Модель содержит только левополяризо-
ванное нейтрино (как и стандартная модель).
Подчеркнем, что в 3(/б-модели в один мультиплет объединены
и кварки и лептоны, т. е лептоны рассматриваются наравне с квар-
ками и, следовательно, при больших энергиях кварки и лептоны
взаимодействуют одинаково.
Оператор заряда Q является одним из генераторов группы сим-
метрии. Собственные значения q оператора заряда Q получаются
при действии оператора Q на представления группы Y:
Так как в мультиплетах 3(/5-модели содержатся одновременно и
лептоны и кварки, то значения их зарядов кратны (квантование
заряда).
След генератора группы равен нулю, поэтому, в частности,
SpQ = O. Это означает, что сумма зарядов частиц в мультиплете
должна быть равна нулю, например, для 5£7б-квинтета:
SpQ = qdc + qdc + qdc + q&- + qve = 0.
Отсюда следует, что заряд d-кварка qd = —1/3е, Следовательно,
5(/5-симметрия объясняет, почему заряды кварков дробные. Вообще
говоря, заряды кварков имеют нецелые значения в моделях, осно-
ванных на простых группах G. В моделях, основанных на полу-
простой группе G' — GiXGjj с дискретной симметрией, заряды кварков
могут быть как дробными, так и целыми; последнего можно достичь,
например, путем, описанным в § 6.2.
4.	Спонтанное нарушение 5(/б-симметрии произведем в два этапа:
SU.-----> SU3хSU2х Uf------► SU3xUv
6 24-плет	2 5-плет	1
На первом этапе группа SUb нарушается до SU3 х SU2 х U19
а на втором—группа SU3xSU2xU1 до SU3xUlt Для осуществле-
ния первого этапа необходимо ввести мультиплет Ф{ хиггсовских
скалярных полей, преобразующихся по присоединенному представ-
лению группы SU& (24-плет). Для осуществления второго этапа
спонтанного нарушения симметрии надо ввести мультиплет
хиггсовских скалярных полей, преобразующихся по фундаменталь-
ному представлению группы SU5 (5-плет).
230
5.	Таким образом, в модель входят три поколения кварк-лептон-
ных мультиплетов Т'7 и также мультиплеты Ф{) Ф{ хиггсовских
скалярных полей.
6.	Глобально инвариантный лагранжиан модели запишем в виде
L =	+1	I2 +1 д.ф/ p + V (Ф) + LmK.
Здесь V (Ф) — потенциал хиггсовских скалярных полей, £юк—члены
юкавского взаимодействия, обеспечивающие массу фермионов:
Люк = Й^Ф^у +	(14.1.5)
7.	Локализуем лагранжиан, используя выражение (2.1.12) для
ковариантных производных полей.
8.	Применим механизм спонтанного нарушения симметрии. Возь-
мем V (Ф) в общем виде
v (ф)=- 4 адф/+т (<w+4 ф{ф*ф£ф) -
(ш.б)
где х, р, у, 6, о—константы связи.
Этот потенциал, если выбрать определенные соотношения между
перечисленными константами связи, приводит к следующим средним
вакуумным значениям функций Ф( и Фг:
(а	\
а	о \
«	з/24-е>	: (Ф^МООООР). (14.1.7)
ОС (—у
О	а(—3/2 — е)/
Здесь а, р, 8—комбинации констант связи, они определяют значе-
ние масс частиц, причем а^>р, а^>еа.
Произведем сдвиг хиггсовских полей и диагонализуем свободный
лагранжиан модели; при этом, как и в стандартной модели, необ-
ходимо ввести один параметр — угол Вайнберга.
В стандартной модели угол Вайнберга — произвольный параметр.
В SU6-модели этот угол имеет вполне определенное значение. Чтобы
найти его, выделим из 24 калибровочных бозонов группы SUb те
нейтральные поля Bfi(x) (где а—1, 2, 3, 4), которые соответствуют
диагональным генераторам этой группы.
Выражения для электромагнитного поля Лц(х) и полей Дц.(х),
Вц(х), входящих в лагранжианы (3.4.2) и (3.4.9) стандартной группы
SUixU1, в 5£/6-модели выглядят так:
^ц(я) = — j/*Вц (х),
Д(х)=- |вих)+
/‘V
(х) = — J/ ВД (х)	|/ -g- В^ (х).
8**
231
Подставляя два последних соотношения в (3.4.5) и принимая во
внимание первую формулу (6.1.24), получаем искомое значение угла
Вайнберга!
sin2 0w =3/8.	(14.1.8)
Подчеркнем, что это значение найдено для такой энергии, при ко-
торой точная §(/5-симметрия начинает нарушаться. В области малых
энергий (~102 ГэВ) эксперимент дает другое значение: sin2 0W~ 0,22.
О соотношении между этими двумя значениями угла Вайнберга мы
скажем далее.
5(76-модель содержит 24 безмассовых калибровочных поля. После
спонтанного нарушения девять калибровочных полей по-прежнему
остаются безмассовыми, а остальные приобретают массу (табл. 14.1).
Так как а^>еа, то массы X- и У-бозонов много больше масс
1У- и Z-бозонов.
Таблица 14.1. Бозоны и их массы
Бозоны
Массы
о
о
Глюоны (SG'3-октет)
Фотон
Z
^=1- 2- 3
Г±1/8 (=1,2,3
g У 4а2е2-|-р2/2
g₽/V"2
/5	\
g«^2—е)
gj/a2(|+e)2+(J2/2
Глюоны являются переносчиками сильных взаимодействий между
кварками (или отвечают подгруппе SU3), фотоны, и Z-бозоны —
переносчиками электрослабых взаимодействий между лептонами и
кварками (стандартная группа St/jXt/j). В 5(/6-модели появляются
дополнительные по сравнению со стандартной моделью про-
межуточные бозоны—заряженные триплеты Х+»/8, XL»/s, Y^,
где i=l, 2, 3—цветовые индексы; нижние индексы дают значение
электрического заряда. Эти бозоны обеспечивают превращение квар-
ков в лептоны и наоборот с переносом электрического заряда и
цвета.
Массы кварков d, s, b и заряженных лептонов е~, ц“, т“ воз-
никают за счет юкавского взаимодействия (14.1.5). Для обеспечения
масс кварков и, с, t необходимо ввести дополнительный член юкав-
ского взаимодействия фермионов с симметричным тензором второго
ранга хиггсовских полей. Юкавский член взаимодействия фермио-
нов с хиггсовским мультиплетом Ф{ не используется потому, что он
приводит к слишком большим массам фермионов.
232
Лагранжиан SUв-модели наряду со свободным содержит лагран-
жиан взаимодействия перечисленных полей. Вместе с другими в него
войдут лагранжиан сильного взаимодействия между кварками (пе-
реносчики— глюоны; квантовая хромодинамика), лагранжиан элек-
тромагнитного и слабого взаимодействий кварков, лептонов (пере-
носчики—фотон, Z-бозоны; стандартная модель), лагранжиан,
описывающий превращение кварков в лептоны и наоборот (перенос-
чики— X', У-бозоны).
Зависимость констант связи от энергии. Выясним, как меняются
константы связи g3, g2, подгрупп St/3, SU^ иг с энергией. Для
этой цели воспользуемся уравнением (10.1.20)
= i = ln(x> ‘ = 1.2» 3,	(14.1.9)
которое в однопетлевом приближении перепишем в виде
или
= dp..	(14.1.11)
g* 4л 1 ц	v	'
Интегрирование последнего уравнения от энергии р до М дает
1	1	,	1	/1/1 1 1ОХ
gi (И2)
С помощью вычислений,
§ 10.2, найдем
®- = ~iS-<33~2").
(14.1.13)
Здесь п—число кварковых ароматов подгруппы SUs\ т—число
дублетов подгруппы St7g; у{ — собственные значения оператора гипер-
заряда У, причем
' 4Л ’	\ ц
аналогичных тем, которые проведены в
В2=—гё(22-т),	‘
Первая генерация 51/6-модели содержит два кварковых аромата
(и, d), четыре 5/7§л-дублета и 2^ = 10/«» П0ЭТ0МУ
В- = -т£ + В« в- = ~1£ + В..
Так как величины В3 и В2—отрицательные, то соответствующие им
эффективные константы связи g3 (ра) и g2 (р2) убывают с ростом энер-
гии (см. § 10.1), причем Ва < В2 и потому g3(p2) убывает быстрее,
233
чем g2(p,a) (рис. 14.1). Величина Вг положительна, и эффективная
константа связи ^(р2) возрастает с энергией (рис. 14.1).
Для точки М, в которой Sl/j-симметрия становится точной, имеем
ga (Ма) - g2 (Ма) = gt (М2) = g (Ма).	(14.1.15)
Тогда из (14.1.12) и (14.1.15) следует, что
х | У |	2	= х + у+z .
88 (Ма) 82 (р2) "Г 81 (+) ё2 w
+ -L(xBi + yB1 + zBl)\n	(14.1.16)
где х, у, z—произвольные параметры.
Чтобы устранить из (14.1.16) Bt и неизвестную константу g(M),
положим х + у + г = 0. Тогда с учетом (14.1.14) формулу (14.1.16)
перепишем так:
или, если принять во внимание (14.1.8), (6.1.19) и (6.1.24),
*	г1ъ(х+у)—(8M4-e/s8)sm«0w(pa)	1	, оо.л 1п М
Мр)----------------МЙ5)----------------^(ЗЗх+ 22i/) In —,
(14.1.18)
где а4 = #з/(4л), ае = е2/(4л). Это выражение содержит две неизвест-
ные величины: М и sln20w(p2). Чтобы получить соотношение для
каждой из них, положим в (14.1.18) сначала у =—3/tx, а затем
у = — »/ах. В результате найдем
In — =___— (_____-______8/в Л	(14 119)
Р 33	а,Г)Г	(14.1.1У)
810>е,(и.)_|Ь^ + ^.	(14.1.20)
Последние соотношения позволяют вычислить величины М и
sina9w(pa) при энергии ~10а ГэВ. Подставляя в (14.1.19) и (14.1.20)
экспериментальные значения ав и as, получаем
sin2 9w(pa)« 0,20, М~ 104 ГэВ. (14.1.21)
Как мы видели, в области больших энергий, где справедлива SUs-
симметрия, sina0w=3/8. В области же энергий ~102 ГэВ соотно-
шение (14.1.20) приводит к значению sin20w, близкому к экспери-
ментальному.
Область нарушения симметрии определяется массой промежу-
точного бозона. Из (14.1.21) следует, что В1/5-симметрия становится
точной при энергии р > 104 ГэВ. В области энергий р< 1015 ГэВ
St/j-симметрия нарушена. При этом массы X- и У- бозонов равны
~ 1016 ГэВ. Согласно (6.1.26), SU2x C/j-симметрия нарушается при
энергии ~ 10а ГэВ,
234
Распад протона. Наиболее интересная особенность лагранжиана
£(75-модели заключена в выражении для лагранжиана взаимодействия
X- и У- бозонов с фермионами:
=	2) 2 Xfr (— e^dft — гцки1суци1—е^^ + э. с.,
1=1
3 —
2}' = (g// 2) 2 Yi2 (—^у^+ёцуц.и^—е11ки^у^) + э. с.
1=1
Благодаря этим взаимодействиям становятся возможными элемен-
тарные процессы типа
ud—+е+и, ud—+dvp, ud—+e+uy
X	YeY
которые ведут к распаду протона (рис. 14.2). Этот факт обусловлен
тем, что в 5(75-модели кварки и лептоны принадлежат к одному и
тому же мультиплету, поэтому кварки и лептоны могут переходить
14.2. Кварковые диаграммы распада протона
друг в друга. При этом лептонные и барионное числа не сохра-
няются. Аналогичным образом могут распадаться другие барионы.
Как следует из подробных расчетов, время жизни протона
%р = (0,6 ~ 25) х Ю30 (5.1оиХГэВ)* лет, (14.1.22)
где тх—масса Х-бозона. Так как, согласно (14.1.21), тх ~ 10х? ГэВ,
то хр = 1030±3 лет.
Предварительный эксперимент дает для нижнего предела хр >
> 2-1030 лет. В настоящее время создается ряд экспериментальных
установок для более точного измерения хр.
Как видно, 5(76-модель позволяет объединить сильное и элек-
трослабое взаимодействия, описать при высоких энергиях все взаи-
модействия одной константой связи, включить в один мультиплет
кварки и лептоны и тем самым объяснить квантование заряда ча-
стиц, вычислить угол Вайнберга, объяснить безмассовость нейтрино,
позволяет обеспечить массивность кварков и лептонов, предсказывает
распад протона.
235
Однако, £(75-модель обладает рядом недостатков—описывает
кварк-лептонные семейства раздельно и не объясняет числа семейств,
не объясняет смешивания фермионов и возникновения СР-наруше-
ния, приводит к соотношениям между массами частиц, не согласую-
щимися с имеющимися опытными данными, дает для перенормиро-
ванного значения угла Вайнберга значение, меньшее эксперимен-
тально измеренного, не объясняет огромной разницы масс 1Г-, Z- и
Х-, У-бозонов (проблема калибровочных иерархий). Поэтому наряду
с 3(75-моделью анализировались модели грандобъединения, основан-
ные на других группах SUn. К рассмотрению этих моделей мы и
и переходим.
§ 14.2.	СТРУКТУРА ФЕРМИОННЫХ МУЛЬТИПЛЕТОВ S^-МОДЕЛИ
Предположим, что в области больших энергий имеет место SUn-
симметрия, которая при доступных нам в настоящее время энергиях
сильно нарушена хиггсовскими полями и поэтому проявляется как
прямое произведение группы SU3 сильного и группы SU2xU1 элек-
трослабого взаимодействия, т. е. в виде SUnxSU^xUlt
Предположим также, что:
а)	кварки размещаются в триплетных, а лептоны—в синглетных
представлениях цветной группы SU3 (что'хорошо согласуется с кван-
товой хромодинамикой);
б)	кварки и лептоны обладают обычными зарядами (TVs, Т2/з,
Т1,0);
в)	электрослабые взаимодействия описываются стандартной груп-
пой 5t/2xt^i, которая является подгруппой группы SUn.
Все перечисленные предположения приводят к определенной струк-
туре мультиплетов группы SUn по подгруппам SU3, SU^
Структура $£7п-мультиплетов по подгруппе SU3. Из того, что
в модель могут входить только триплеты кварков и синглеты леп-
тонов, следует, что мультиплеты группы SUn должны содержать
лишь представления 3, 3 и 1 подгруппы цвета SU3. Можно пока-
зать, что таким свойством обладают только фундаментальное пред-
ставление и полностью антисимметричные тензоры произвольного
ранга	п—1, группы SUn. Индексы ..., im
пробегают значения от 1 до п.
Инвариантный относительно локальной группы SUn лагранжиан
взаимодействия спинорных полей 4W"i/72 с калибровочными полями
а=1, и2—1, запишем в виде
1	(Ха)^- -Лт, (14.2.1)
где (а=1, ...» и3—1) — n-мерные генераторы группы SUn;g—
константа связи.
Будем считать, что мультиплеты левополяризованы. Устано-
вим соответствие между компонентами мультиплетов ”tw, харак-
теризующимися индексами iu im и типом фермионов (кварки,
236
лептоны). Для определенности выберем в качестве генераторов под-
группы SU3 восемь генераторов группы SUn, в которых трехрядные
матрицы Гелл-Манна Хь, Ь=1, ..., 8, размещены в левом верхнем
углу, а все остальные элементы генераторов равны нулю. Оставляя
в лагранжиане взаимодействия (14.2.1) члены, соответствующие вы-
бранным генераторам подгруппы SU3t приходим к лагранжиану
взаимодействия квантовой хромодинамики:
^CD = - -f	(kb)lk +
+	(Кь)к1Чрг^-	(14.2. Г)
Здесь Aft, b=l,	8—глюоны; i, j, k, I, p, r==l, 2, 3; ix, ..., im~
= 4, n; —единичный полностью антисимметричный тензор.
Из последнего выражения следует, что мультиплет Ч^, имеющий раз*
мерность С™, где С™ = nl/[m! (и—т)!] — биномиальный коэффициент,
Распадается на мультиплеты Ч7^2 ””	Ч^23*4
Из сравнения (14.2. Г) с лагранжианом квантовой хромодинамики
видно, что Ч^2 "iffl является триплетным представлением цветной
группы SU3,	— антитриплетным, Чг^’”1/",	—син-
глетными, I, k = l, 2, 3; i\, .im = 4, ..., п. Таким образом,
мультиплет Чг/И группы SUn содержит определенное число мульти-
плетов 3, 3, 1 подгруппы SU3 и каждый из них характеризуется
определенными значениями индексов	im (табл. 14.2). Втаб-
лице I, 6=1, 2, 3; 4^i\,
Таблица 14.2. Структура S(/„-мультиплетов по подгруппе SU3
Компоненты мультиплета	Размерность представления	Число представлений
пгИ2 ... 1т т	3	Г) w Д.
wikis ... im т	3	z-rfH-2
wG ... im т	1	Ьп-З
ш12 3й ... im tn	1	/V71-3 Сп-з
Структура SU„-мультиплетов по электрическому заряду. В обла-
сти низких энергий группа SUn нарушается до подгруппы электро-
магнитных взаимодействий Ult Генератор этой группы есть опера-
тор электрического заряда. Соответствующее этому генератору
калибровочное поле является электромагнитным полем. Поле
можно представить в виде линейной комбинации нейтральных ка-
либровочных полей Л"8,	Aft”-1, соответствующих диагональным
237
•операторам Ха , р=1, .... п— 1, группы SUn:
п—1
Дм= 2 ав Аар,	(14.2.2)
Р = 3 р Iх
тде аО/,—неизвестные коэффициенты.
При этом глюонные поля	и А^=А£ не должны вхо-
дить в (14.2.2). Обращение выражения (14.2.2) дает
Аацр = ^арА11+..., Р = 3...п-1.	(14.2.2')
Подставляя (14.2.2') в (14.2.1), получаем лагранжиан электромаг-
нитного взаимодействия:
= -ёФ“‘ "• lmA^k^ -tm,	(14.2.3)
где е—константа электромагнитного взаимодействия и
= И аа
р = 3
След оператора электрического заряда равен нулю, поэтому kx —
п
—Aa = fcs = —уК, где К = 21 ki-
i=4
В соответствии с табл. 14.2 электромагнитное взаимодействие
.кварков и лептонов запишем в таком виде:
- ёЧ% -(т (kit + ... + kirn-43K) 4% - l”, 1 т < п-2,
- rf* - im (kt,+ ... + kim-W) А^^1‘ - Ч 2 < m < п-1,
-да3(‘-(я,№<+.-.+^я,-К)Лиу№'‘ -1т, 3</п<п-1,
-Л-<“(^1+...+^)ЛцуЛ«",Ч 1<т<»-3.	(14.2.4)
Так как в модель входят лишь кварки с зарядами =Е 1/3, ± 2/3 и
лептоны с зарядами ± 1,0, то (14.2.4) приводит к системе линей-
ных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов kt:
1/зЯ = { J^3’ 1<т<п-2;
V	rt /3>
kfl+---+lijm_—2/3K = { Ja/s’ 2<m^n—1;
V	± /з,
К=| ±j’ 3^m<n—1;
kh+ ...+kim=l Q’ 1<щ<п—3,
V zt1»
где klt-}- • • • +А/—все возможные суммы из s коэффициентов kit
i = 4, ..., п. Эта система имеет одно общее решение для мульти-
238
плетов произвольного ранга:
^ = ±1,^ = 0,	(14.2.5)
где 1 = 5, ..., п. Кроме того, у системы есть еще четыре дополни-
тельных решения, но они физического интереса не представляют.
Подставляя (14.2.5) в (14.2.4), находим соответствие между ком-
понентами мультиплета Ч*^ и зарядами лептонов и кварков (табл. 14.3).
В последнем столбце табл. 14.3 приведено число частиц с данным
электрическим зарядом в мультиплете при этом С„ =n!/[m!(n—т)1].
В таблице I, k— 1, 2, 3; ц, ..., im = 5, ..., п, причем (Ч^ "‘"%
эквивалентно 1/я; индекс с означает операцию зарядового со-
пряжения. С помощью табл. 14.3 можно найти структуру любого
мультиплета группы SUп по подгруппам SU3 и С/х. В частности,
для мультиплетов 5 и 10 группы SU3 приходим к (14.1.4).
Структура S(/„-мультиплетов по подгруппе 8игхиг. Используя
полученные результаты, найдем структуру S (/„-мультиплета по под-
группе электрослабых взаимодействий St/sxl\. Для этой цели
получим лагранжиан электрослабого взаимодействия. Выберем в со-
ответствии с табл. 14.3 выражения для калибровочных полей группы
SU2xU-i такими:
К =-J=- (Г> + 1П) = уу ^(Xe)M;	i^) =
= yj (U«; Г’= -	;
Вц=-]/ 4^*-)/’(14.2.6)
Т а блица 14.3. Структура S (/„-мультиплетов по электрическому заряду
Число кварковых
Компоненты мультиплета	Заряд триплетов или
лептонов
Хгг/4/3 .. mL	•	2^т^п—2	± Vs	/VM-2
urh*a ••• YmL	im>	—3	T Vs	G„-4
	...	3<CtfleCn — 1	TVs	G/j-4
v т т	••	2</n<n—2	i Vs	/п/П-2 bn-4
W1 2 34Гц mL	• •”	4 т n—1	0	z^n-4 Ьп-4
*mL	- imt 3< tn*£n— 1	T 1	Ьд~4
	•3 / к	T 1	Ьп-4
(П-	1	—4	0	yn/n Gzi-4
Учитывая (14.2.2) и (14.2.5), приходим к выражению для электро-
магнитного поля;
(14.2.7)
239
При этом поля Wp и связаны с полями и ZM соотноше-
нием (3.4.5):
4(t = cos9wB(t + sin9wF^, Zn = cos9wF^—sin9wBw, (14.2.8)
где 9W—угол Вайнберга.
Определяя из (14.2.6)—(14.2.8) выражения для калибровочных
полей группы SUn через поля , Z^ и подставляя получен-
ный результат в (14.2.1), приходим к лагранжиану слабого взаимо-
действия:
" 1т-у^"л-
"tm " in> (l4’2'9)
где Yw =
’ о,
Из сравнения (14.2.9) с лагранжианом стандартной модели
электрослабого взаимодействия видно, что компоненты, содержа-
щие индексы 4 и 5 (т. е. xFni	5"), образуют дублеты отно-
сительно группы SUq. Число таких дублетов, входящих в SUn-
Таблица 14.4. Структура SU„-мультиплетов по гублетам группы SU-i
Дублеты группы	Число дублетов в мультиплете 4rz/z
... im > ур/513...	левополяризованные дубле-
0Г1234Дв..	lJfl235/5 ... ... im	..	ты кварков левополяризованные дуб- леты лептонов С^Д3, правополяризованные дуб- леты кварков правополяризованные дуб- леты лептонов
мультиплет Vm, приведено в табл. 14.4, в которой /, 6=1, 2, 3;
i2, •••> г,я = Ь, .... п. Из табл. 14.3 и 14.4 видно, что в SUn-
модель в случае п^б входят как (V—Д)-поколения (первые две
строки, содержащие левополяризованные дублеты фермионов), так
и (V + Д)-поколения (третья и четвертая строки, содержащие пра-
вополяризованные дублеты фермионов).
240
Заметим, что из формул (14.2.6)—(14.2.8) следует асимптотиче-
ское значение угла Вайнберга:
e = gsin0w, sin20w = 3/8.	(14.2.10)
Перенормированное значение угла Вайнберга определяется тождест-
вами (14.1.12). Если на некотором этапе нарушения симметрии SUn
симметрия относительно подгруппы SUb сохраняется и модель не
содержит аномалий, то величины Bt связаны соотношениями (14.1.14).
Тогда перенормированное значение угла Вайнберга в 3 [/„-модели
совпадает с тем, к которому приводит Зб^-модель.
§ 14.3.	ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ И ВЫБОР МОДЕЛИ
Любая 3[/„-модель представляет собой набор определенных муль-
типлетов Фд, группы SUn:
2 аЛ" Ч	(14.3.1)
m= 1
где ат—число мультиплетов входящих в модель.
Для построения конкретной SU„-модели необходимо зафиксиро-
вать числа ат и ранг группы п. При решении этой задачи удобно
учесть сразу те общие требования, которым должна удовлетворять
модель. Выбрать требования однозначно не представляется возмож-
ным. Поэтому различными авторами использовались разные наборы
требований. В качестве требований использовались следующие.
1.	Выбор группы грандобъединения. Анализировались различные
модели грандобъединения. Мы ограничимся группой SUn.
2.	Состав модели по цветной подгруппе SUs, Мы предположили,
что модель содержит только представления 1,3,3 подгруппы цвета SU3,
3.	Фиксирование электрического заряда частиц, входящих в мо-
дель. Мы считаем, что модель содержит частицы только с зарядами
0, ± 1, ± 2/3, ± Х/з’
4.	Отсутствие простого повторения представлений группы SU^.
т. е. различные поколения частиц должны содержаться в одном
представлении группы SUn,
5.	Отсутствие у^аномалий. Отсутствие аномалий означает пере-
нормируемость модели. Аномалии отсутствуют, если выполняется
соотношение.
п-1
У ат (ге~3)|	== 0,	(14 3.2)
т (п—т— 1)! (т—1)1	’	'	'
т. е. требование отсутствия аномалий приводит к ограничениям на
числа ат и ранг группы и.
6.	Асимптотическая свобода. Модель должна быть асимптоти-
чески свободна относительно константы связи g группы SUп и от-
носительно константы связи g4 подгруппы SUa. Согласно § 10.2,
241
эти требования приводят соответственно к соотношениям
п- 1
(я—/п—1)! (m—1)! < lln’	(14.3.3)
m= 1
п-1
<33- <14-34>
7.	При нарушении SU„-симметрии точная SUъ-симметрия мо-
жет либо сохраняться, либо не сохраняться. Если SUa-симметрия
сохраняется, то SU„-модель содержит, в частности, результаты
£[/6-модели.	_
8.	Выполнение^условия N (5) +N (10) = N (5) +N(10), где N(5),
N (10), N (5), 2V(10)—число представлений 5, 10, 5, 10 подгруппы
SUa, которые содержат мультиплеты группы SUn. Для частиц об-
наруженных 5(76-семейств это условие приводит к массовым фор-
мулам, которые совпадают с соответствующими массовыми форму-
лами 5(/6-модели.
9.	Комплексность представлений подгруппы SUs'xSUixU1. Этим
свойством обладают и представления группы SU6 (см. формулу(14.1.2)).
10.	Хиральность модели, т. е. число мультиплетов и пре-
образующихся по сопряженному представлению мультиплетов Чг„_/Л
одной и той же размерности, входящих в (14.3.1), не совпадает.
11.	Вещественность представлений 3 и 3 группы цвета SUa,
т. е. выполнение условий
2^2,?. 2?1-'-=2?;'/-.
где 277’> 2?£1/’ — числа левополяризованных триплетов кварков
с зарядом 2/3, —1/3 и т. д. Первое из этих требований выполняется
автоматически даже в отсутствие (14.3.2). Второе требование при-
водит к соотношению
n-З	п-1
У п (»-4)'	_ у п (п—4)!
т(п —т—3)1 (т— 1)!	т (п — т— 1)! (т—3)1 ’
tn ~ 1	tn « 3
которое также совпадает с (14.3.2).
12.	Кварк-лептонная симметрия. Кварки и лептоны входят в
модель симметрично, т. е.
2^1=2^,/’.	(14.3.5).
2^ = 2^’. 2^=2<?’h	(14.3.6)
где 2f*’’—числа левополяризованных лептонов с зарядом —1,0
и т. д. Требования (14.3.5) ведут к соотношению (14.3.2), а требо-
242
вания (14.3.6)—соответственно к соотношениям
п -1
£ а>д (2-3)L;»-^+2) = о,	(14.3.7)
~2 “ («—m)!(m—2)!	v '
п-2
У zy (п—3)! (п—2m—2) q	/ ] 4 о о y
Z-U>	(14.3.6)
13.	Вещественность синглетных представлений цветной группы
SUa, т. е. равенство числа левополяризованных и правополяризован-
ных лептонов:
2^1=2^1> 2^°=2^я-
Это требование приводит к соотношениям (14.3.2), (14.3.7), (14.3.8).
14.	Равенство числа поколений кварков и лептонов:
=	2<Чг==2%
где 2G?r 2®?л—числа (V—Л)- и (V+ А)-поколений кварков
и т. д. Это требование приводит к соотношению
м-1
У	(п—2m + У	л	/1 л а
2- (n-m-l)!(m-2)l	°*	(14.3.9)
m = 2
15.	Равенство числа поколений правополяризованных и левополя-
ризованных фермионов, т. е.
24-2% 20^=2%
Это требование приводит к соотношению
V* а (п~5)! (п 2т) —«	/14 3 101
Z-“«(п—т—Я)! (m—2)! — U'	(14.3.1(J)
Соотношения (14.3.2), (14.3.7) — (14.3.10) линейно независимы.
В частности, в 5с7Б-модели выполняются условия (14.3.2), (14.3.7),
(14.3.9).
Некоторые из перечисленных требований исключают друг друга,
например 10 и 11—15. Различные наборы указанных требований
приводят к моделям с определенным составом мультиплетов. Пусть
выполняются, например, требования 1 — 6, 11 —15. Рассмотрим
£(78-модель. Группа SUa обладает следующими антисимметричными
представлениями:
8, 28, 56, 70, 56, 28, 8,
поэтому в общем виде 5(78-модель запишем так:
аг х 8 + а2 х 28 + ая х 56 + ai х 70 + аБ х 56 + а, х 28 + а7 х 8,
где ат — неизвестные целочисленные коэффициенты. Используя
(14,3.2) — (14.3.4), (14.3.7) — (14.3.10), приходим к следующей алге-
243
браической системе соотношений для коэффициентов ат:
а, + 4а2 + 5а3— 5а6— 4а3—а7 = 0,	(14.3.2')
а7 + 6а2 + 15а3 + 20а4 + 15as + 6а8 + а7 88,	(14.3.3')
fl] + 6а2 + 15а3 + 20а4 + 15а6 + 6а8 + а7	33,	(14.3.4')
а2 + 4а3 + 5а4 — 5а„ — 4а7 = 0,	(14.3.7')
4а7 + 5аа — 5а4 — 4а,—а8 = 0,	(14.3.8')
а2 + За3 + 2а4 — 2а6 — За„—а7 = 0,	(14.3.9')
аа + 2а3 —2ав—а3 = 0.	(14.3.10')
Отсюда следует, что
Й! = й, = (?5 = а, = 1, а2 = а4 = ав = 0.
Таким образом, использованный набор требований позволяет зафик-
сировать однозначно состав ЗС/8-модели:
8Д + 56z + 56z + 8l или 8д + 56£ + 56л + 8л.
§ 14.4.	«^-МОДЕЛЬ
Состав модели. Рассмотрим подробнее модель
8 + 56 + 56 + 8.
Она содержит одинаковое число левополяризованных и правополя-
ризованных лептонов и кварков и описывает одинаковое число
(по четыре) (V—А)- и (И + Л)-поколений кварков и лептонов:
dp, v/t ер, i= 1, 2, 3, 4—кварки и лептоны (V—Л)-поколений;
UI, Dp, N(, Ер, i = 1, 2, 3, 4—кварки и лептоны (У + Л)-поколений
(их называют зеркальными фермио-
нами).
Заряд фермионов Up, dh Dp, Np, eit Et равен соответственно
2/3, —x/s> 0> —1- Частицы u{, dp, v{, e{ для t=l, 2, 3—обычные
кварки и лептоны трех известных семейств: (и, d; ve, е), (с, s; Vp., ц),
(/, b; vT, т). Эти частицы размещены в мультиплетах подгруппы
SU2 следующим образом:
8: ¥( = (dcA ।  W6/	' 8i Xi ^т + 1 •••	~	\'¥6J~\NCJL, ^’1гз4о\	( иА . / Чг3а*\	/Ei \ . пизз	F . )—\di)L> \^аЬil' Тз = t/4i;	' = D„- Wa = ec{L-, 47’ = ^; .	VZv/\ . 128_	. ’ кх“/“\^Л’ \X3flZ7~ V/Л’Хз -eiL, -uIl, tiab = d‘lL-, Z436a = £,u; хГ = ^д; '” = TW=3t8	<14'4-1)
244
где е'> •••— единичный полностью антисимметричный тензор ранга
п; I, k=l, 2, 3; а, 6 = 6, 7, 8; t=l, 2, 3.
Юкавские члены и массы фермионов. Для получения правиль-
ных выражений (типа таии, теее) для массовых членов фермионов
выберем юкавские члены в виде
с_ (14.4.2)
Здесь правополяризованные мультиплеты %pR в соответствии с
(14.4.1) выглядят так:
индекс с обозначает операцию зарядового сопряжения.
Тензор %р преобразуется как антисимметричный тензор ранга р
группы SUn, а его компоненты, подобно компонентам мультиплетов
описывают определенные частицы в соответствии с табл. 14.3.
Таблица 14.5. Вид членов юкавского взаимоде ствия и отличные от нуля
вакуумные средние
Юкавское взаимодействие	Ненулевые вакуум- ные средние	Фермионы, приобретающие массу
с.	<ф?йсХ <фв78>	«(> V/, Ult Nt
+ с-	<ФЬ?>	dit et
ЧгМ2/1/2/8^МЛфЛ/!/.+э, с>	<фсВай>, <фР>	Щ, Ni, uit vt
^‘/,Хэ1дЛШ,,+э- с'	<ФЙ>	Di, Ei
/4хЬ?Фл " у‘+э. с.	<ф5678>	dt, et
^Х&* - Ч/,... /4+э' с-	< Фб678>	Dt, Ei
^•'•х^	с.	<С.л <<•>.>	ui. Ui
::: };+э. с.	<йГ>. <«”>	uit Ut
Ч?112г’Х^/’Ф/1,Л/а8 + э- с-	/ а5д\ \фаЬс/, хфабс/	di, ei, Di, Ei
Вид членов юкавского взаимодействия и отличные от нуля ва-
куумные средние компонент хиггсовских мультиплетов обеспе-
чивающих массы фермионов, приведены в табл. 14.5, где индексы
пробегают значения:
1=1, 2, 3; а, Ь, с = 6, 7, 8; а, р=1, 2, 3, 4.
Мультиплеты хиггсовских полей антисимметричны как по верх-
ним, так и по нижним индексам и преобразуются по неприводимым
представлениям группы SU п. Массы фермионов (V—Л)- и (У + Л)-
поколений задаются вакуумными средними различных хиггсовских
мультиплетов. Поэтому можно добиться, чтобы массы фермионов
245
(V + Д)-генёраций были много больше масс фермионов (V—Дегене-
раций. Заметим также, что выбранный нами вид юкавских взаимо-
действий (табл. 14.5) приводит к смешиванию фермионов.
Спонтанное нарушение SU,-симметрии. Спонтанное нарушение
5{/в-симметрии до St/sxS£7ax [Д-симметрии можно произвести раз-
личными путями. Каждый из них содержит несколько этапов, например
SU, SU, х SUt х L/, SUg xSU, xSU,x U, SUa xSU,x Uv
<1<2-10золет
1-----------2.
—-----------2!
•г >2-10™лет
0,26-
0,20-
0,22 ~
D,20~_
0,16
На каждом этапе нарушение производится с помощью некоторого
хиггсовского мультиплета. К сожалению, однозначно сопоставить
каждому этапу нарушения определенный хиггсовский мультиплет
мы не можем. Обычно на первом этапе нарушение производится
с помощью хиггсовского мультиплета, преобразующегося по присое-
диненному представлению группы SUs, а на последнем этапе (т. е.
при нарушении от SUsxSU,X U± до SU3x L\) используется хиггсов-
ский мультиплет, преоб-
разующийся по фундамен-
тальному представлению
группы SU,. Предполо-
жим, что хиггсовские ча-
стицы содержатся в тех
мультиплетах группы SUs,
которые получаются при
разложении произведения
представлений, задающих
модель, на неприводимые
представления. Как видно
из табл. 14.5, эти же мультиплеты хиггсовских полей обеспечивают
массы фермионам. Этих мультиплетов достаточно, чтобы произве-
сти спонтанное нарушение на всех этапах.
Среди возможных путей нарушения симметрии существуют та-
кие, которые приводят на некотором этапе к точной 5(7в-симмётрии,
например
su, -> su, х...	SU, х su, х иг х ....
0,06 Oft 0,1б'1^М "OfiQ 0^50
14.3, Области изменения времени жизни про-
тона
В этом случае для 5[/8-модели сохраняются результаты SU8-модели.
Наряду с этим существуют такие пути нарушения, которые не со-
держат точной 5(/6-симметрии. Обе эти возможности приводят к
различным результатам. На рис. 14.3 приведено значение времени
жизни протона, вычисленное по формуле (14.1.22), в зависимости
от as (р2) — gi/(4n) и sin20^(p2), где Р1=102ГэВ. Кривая 1 на рис.
14.3 соответствует тем путям нарушения, которые содержат на не-
котором этапе точную SUs-симметрию (сплошной линией отмечен
участок, где хр > 2-1080 лет), кривые 2 и 2' (соответственно для
коэффициентов 25 и 0,6)—остальным путям нарушения. Экспери-
мент дает для нижнего предела tj5^2-1080 лет. Область Экспери-
ментальных значений as и sin2 0«z заштрихована. Как видно, более
предпочтительны те пути нарушения 5178-симметрии, которые не
содержат в качестве промежуточной точную SU 6-симметрию.
246
Для окончательного построения St/g-модели необходимо зафик-
сировать мультиплеты хиггсовских полей и расставить их по эта-
пам данного пути спонтанного нарушения, найти явный вид матрицы
смешивания фермионов, выразить параметры этого смешивания через
вакуумные средние хиггсовских мультиплетов, получить согласую-
щиеся с опытными данными соотношения для масс фермионов в об-
ласти низких энергий. Как видно, модели грандобъединения, осно-
ванные на группах симметрии более высокого ранга, чем S(/6, обладают
большими возможностями, чем 5[/Б-модель.
Модель Пати — Салама. Как пример модели грандобъединения,
основанной на группе симметрии G' = G1xG2, рассмотрим модель
Пати—Салама.
1.	В качестве калибровочной группы модели выберем SUixSUi,
После спонтанного нарушения эта первоначальная симметрия пе-
рейдет в 5t/4x(S<72)£x(S/72)^. Калибровочные поля группы SU*
обеспечивают сильное, а группы (SU*)LX(SU\)R—электромагнитное
и слабое взаимодействия между лептонами и кварками.
2.	Исходные частицы модели—четыре лептона и двенадцать
кварков, содержащихся в (6.2.4').
Кварки могут обладать как дробными, так и целыми зарядами.
Рассмотрим модель с целыми зарядами кварков, выбрав соответствую-
щим образом оператор заряда (см. § 6.2).
3.	Объединим все частицы в восемь левополяризованных и восемь
правополяризованных дублетов (последние могут проявиться при
больших энергиях):
Тз _(us\ Ts ____ (Cs\ J 4 __
-(«)*> «•-(»)«> «>-(?)«• <«•-(?)«> 2: !=1'2-3-
4.	В этой модели в качестве хиггсовских полей приходится
вводить сложный набор мультиплетов скалярных полей.
5.	Глобальный лагранжиан модели запишем в виде
L =	+ V (Ф) + LmK (L, R, Ф),
а= 1, 2, 3, 4; a, b= 1, 2,	(14.4.3)
где V (Ф) — потенциал скалярных полей, спонтанно нарушающий
симметрию, LmK(L, R, Ф)—члены взаимодействия спинорных и ска-
лярных полей.
Мудьтипдеты фермионов преобразуются следующим образом:
а)	относительно группы SUt
L%> (X) = (е-1	x“8»»)ctp L%b(x); R4'b (х) = (е-'1 <8/2) Rgb (х);
т=1, ... 15;
б)	относительно группы (SU2)L
^W = (e-ils'/2’VA)i;cLa (х);	=	А== 1, 2, 3;
247
в)	относительно группы (SU^r
L%(x) = L“b(x)- а, Ь, с=1, 2;
а, р=1, 2, 3, 4.
Из лагранжиана (14.4,3) можно получить обычным путем локаль-
ный лагранжиан модели.
Глава 15
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ
В некоторых случаях калибровочные поля дают возможность
ввести в теорию новые объекты—солитоны. Солитонами называют
локализованные состояния, не меняющие формы со временем и
обладающие конечной энергией.
В проблеме солитонов существуют две основные задачи. Одна
из них сводится к нахождению явного вида солитонных решений
уравнений поля, а другая—к выяснению существования солитон-
ных решений и определению числа допустимых решений. Для реше-
ния второй задачи можно либо исследовать непосредственно урав-
нения поля, либо использовать теорию гомотопных отображений и свя-
занные с нею гомотопические группы, поскольку число допустимых
солитонных решений определяется топологическими свойствами
группы симметрии модели. Мы остановимся подробнее на методе
гомотопических групп.
Сначала рассмотрим классическую теорию солитонов. Мы расска-
жем об одномерных (одна координата, время), двумерной (две коор-
динаты, время), трехмерной (три координаты, время) и четырех-
мерной (четыре координаты, евклидово пространство) моделях,
обладающих солитонными решениями, о гомотопических группах
и их применении для вычисления числа допустимых солитонных
решений уравнений поля. Затем изложим квантовую теорию соли-
тонов на примере одной модели.
§ 15.1. ОДНОМЕРНЫЕ И ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ
Одномерные солитоны. Мы остановимся на двух моделях в одно-
мерном пространстве (одна координата, время: 1 + 1) — модели
<р4-взаимодействия и модели синус-Гордона (в английской литера-
туре: sine-Gordon).
1. Модель ^-взаимодействия описывается лагранжианом
/>о). <15.1.1)
где <р(х)—действительное скалярное поле, f—константа самодей-
ствия.
Лагранжиан (15.1.1) инвариантен относительно преобразований
группы Лоренца и относительно группы Zg дискретных преобразо-
248
ваний, состоящей из двух элементов:
Ф-—Ф. Ф-+—ф.
(15.1.2)
Имея в виду (15.1.1), находим выражения для уравнений поля:
—^$ = т2Ф—/ф3.	(15.1.3)
Уравнение (15.1.3) имеет решения % = 0, <pv = ± tn/]^f. Вычис-
ляя вторую производную по ф от потенциальной энергии, входящей
в (15.1.3), и подставляя в полученный результат экстремальные
значения, находим
V" (0) = — тг, V” (±т/^Т) = 2m2 > 0,
т. е. решения —	соответствуют минимуму энергии. Следо-
вательно, рассматриваемая модель обладает дважды вырожденным
вакуумом (рис. 15.1, а). Из
(15.1.1) получим также для
функционала энергии
£(ф)== J ^[4(’Й'У+
У(ф) =»/	—1/2т2(р2 (15.1.4)
с)	S')
15.1. В акуумы: а — модели ф4- вз а имоде й-
ствия, б—модели синус-Гордона, в —
модели Нильсена—Олисена
и для значения энергии относительно вакуума
£(?)-£(%)= j	(15.1.4')
— со
Найдем стационарные (dyldi — 0) решения уравнений поля (15.1.3)
с конечной энергией. Так как все члены в (15.1.4') положительны,
то с учетом пределов интегрирования энергия конечна, если при
х —>
дф/дх — 0,	(15.1.5)
4(фг-у)2 = 0.	(15.1.6)
Отсюда следует, что при х—> ±оо функция <р(х) стремится к ее
вакуумному значению:
Ф-*±т/КГ.	(15.1.7)
Для нахождения явного вида решений уравнения (15.1.3) домно-
жим его на dq/дх и после этого проинтегрируем по х; это дает
1 ( 5Ф \2 _ mV 1 /Ф4 I 1 г
2\дх)~	2 + 4	2
(15.1.8)
9 Xs 1034
249
гдр С—постоянная интегрирования. Отсюда имеем (X—другая
постоянная интегрирования)
ф
х-Х=С——=(15.1.9)
о у —т^+С
Этому общему решению в случае произвольных С соответствует
бесконечное значение энергии Е (ср). Чтобы получить решение с ко-
нечным значением энергии, воспользуемся гра-
ничными условиями (15.1.5), (15.1.7); тогда из
---------(15.1.8) следует, что С = т4/(2/). Подставляя
это значение С в (15.1.9), получаем решение
*Фй(х) уравнения поля (15.1.3) с конечной энер-
с—-------гией:
-вакуум
-т/и	..	, v. щ iU т .
<е п Г Д.	фь (^)   ф (^““ X) ——	/- ' th I' (х — X)
15.2. Графическое изо- тл\ /	i<2 v 7
Сражение кинкового	L	J
решения	(15.1.10)
Это решение называют кинком. Оно изображено графически на
рис. 15.2.	_
Используя % = m/К/. (15.1.10) и (15.1.4'), найдем значение
энергии кинкового решения относительно вакуума:
г,,	. с- / ч 2 V2 т3
^(Фа) —£(фг,) = -§-[-•
Константа взаимодействия f входит в знаменатель решения
(15.1.10). Поэтому это решение нельзя представить в виде ряда по
константе связи.
Таким образом, модель, описываемая лагранжианом (15.1.1),
обладает решением (15.1.10), которое: а) соответствует конечной
энергии Е (фА), б) в асимптотике (х—>±оо) стремится к вакуум-
ному значению, в) не меняется со временем (д<р/5/ = 0).
2. Модель синус-Гордона описывается лагранжианом
Если в этом лагранжиане произвести замены <р = (И7/т)фих = тх',
t—nif, то он перепишется в форме
{4 [(>)’-(»] +<-ф-')}.	05.1.И)
Этот лагранжиан инвариантен относительно группы Лоренца,
а также относительно двух групп дискретных преобразований:
а) ср—>фН~2л/г (бесконечная группа Z), n = 0, ± 1, ± 2,...,
gj — Ф (конечная группа Z2).
250
Уравнения поля, соответствующие лагранжиану (15.1.11), запи-
шем в виде
gJ-g —slnq>.	(15.1.12)
Это уравнение имеет решения <р = шг, п — 0, ±1, ±2, ....
а вакууму (V" (ф)>0) соответствуют решения ф = 2лп, п = 0, ±1,
±2, ... . Как видно, модель облада-	у
ет бесконечным числом дискретных ва-	2я
куумов (рис. 15.1, б).	“
Общее стационарное (d<f/di = Q) ре-
шение уравнения (15.1.12) выглядит
следующим образом (х0, С—постоян-
ные величины):
ft -
Х~ Хо = ± f =dqL —.
J У 2 (С —cos ю)
(15.1.13)
-VI-
~Z<ii
S)
15.3. Графическое изображение
решения модели синус-Гордо-
на: а—солитонного, б—анти-
солитонного
Отсюда находим солитонное решение
соответствующее конечной энергии:
фДх—х0) = 4arctgexp(x—ха). (15.1.14)
Оно получается из (15.1.13), если в
нем взять С = 1 и положительный знак
при интеграле. Это решение изображе-
но графически на рис. 15.3, а.
Энергия солитона относительно вакуума конечна и равна
00
£(Ф,)-£(ФО) = ^ j dx [1	1—соэф4] =8^.	(15.1.15)
— оо
Наряду с решением (15.1.14) у уравнения (15.1.12) существует
другое решение:
<Pes (х—хо) = —4 arctg ехр (х—х„).	(15.1.16)
Оно получается из (15.1.13), если в нем взять знак минус и С=1.
Этому решению можно сопоставить антисолитон (рис. 15.3, б).
Следовательно, модель синус-Гордона обладает солитонными ре-
шениями (15.1.14) и (15.1.16); с конечной энергией, стационарными,
стремящимися в асимптотике к вакуумным значениям. Следует
подчеркнуть, что других решений, не зависящих от времени, у мо-
дели синус-Гордона нет. Физическая причина этого заключается
в том, что солитоны'всегда между собой взаимодействуют (они описы-
ваются нелинейными уравнениями), а это означает, что поведение
многосолитонных систем зависит от времени.
Вихри. Переходим к двумерному пространству (две координаты,
время: 2+1). Рассмотрим в нем модель, описываемую лагранжиа-
ном (модель Нильсена—Олисена)
Я -+ l/t (W (VM<P) ~ V J ( ФФ —у ) \	(15.1.17)
9»
251
Здесь F|iv = |5n^v——тензор электромагнитного поля, Vgcp =
= (дц—1еАд)ф—ковариантная производная, <р(%)—комплексное ска-
лярное поле.
Этот лагранжиан инвариантен относительно группы Лоренца,
а также относительно локальной абелевой группы Ut.
Согласно (15.1.17), уравнения поля модели выглядят как
dvFnv = ie (фдцф— ф<5^р) + еМиФф,
7ц7цф = — /ф(фф—(15.1.18)
Эти уравнения поля имеют решение
FHv = 0, ГцФ = О, |<p| = m/j/f,	(15.1.19)
которое соответствует абсолютному минимуму функционала энергии.
Другими словами, модель обладает (см. § 3.3) непрерывным вырож-
денным вакуумом, который графически можно изобразить в виде
окружности с радиусом R === m/j/f в комплексной плоскости ср
(см. рис. 15.1, в). При этом все частицы—массивные! масса вектор-
ного поля равна emj]/'f, а скалярного—mjZ2. Остаточная симмет-
рия в модели отсутствует.
Найти решения уравнения поля (15.1.18) в аналитической форме
не удается. Будем искать решение в симметричном виде:
Ао —О, А = г±Л(г), ф = £(г)ехр(inQ), (15.1.20)
где га = х24-г/2, п—целое число, 0 — угол поворота, r_t—единичный
вектор, перпендикулярный радиус-вектору. Тогда система (15.1.18)
сводится к более простой:
-4г(^Н(Н'+'Н)Н
-s(737<M>)+('4<!'-r)s‘ = 0'	(15.1.21)
Вычисленная с помощью ЭВМ зависимость функции ф(г) и магнит-
ной напряженности B{r) = e,3iJdiA/ от г для п—1 изображена гра-
фически на рис. 15.4. Двумерные солитон-
ные решения получили название вихрей.
Вычислим еще магнитный поток вихря
Ф через плоскость ху. Этот поток опреде-
ляется формулой
Ф= Jdxdz/B(x, у)= J Adi, (15.1.22)
S1
где S1—окружность радиуса /?,
> оо. В соответствии с (15.1.19)
Кроме того, при г—>оо вакуумное значение tpv, согласно (15.1.20),
можно представить в виде
%=l%lexp(in0)-
Из (15.1.19), (15.1.20) следует, что при г —»- оо
А —> п/(ег), g(r) = tnlVrf\
15.4. Зависимость функ-
ций ф (г) и В (г) от г
причем
(15.1.23)
(15.1.24)
252
Подставляя (15.1.24) в (15.1.22), находим
2л
Ф = —fnd9 = —,	(15.1.25)
в J	&
о
т. е. магнитный поток может принимать бесконечное число дискрет-
ных значений. Следовательно, модель Нильсена—Олисена обладает
бесконечным дискретным набором солитонных решений.
Идея топологического анализа. Итак, мы проанализировали не-
сколько моделей и установили, что они обладают солитонными реше-
ниями. Аналогичным образом можно искать солитонные реше-
ния других, более общих моделей—с большей размерностью про-,
странства, с инвариантностью относительно групп более высокого
ранга. При этом возникает вопрос—у всякой ли модели сущест-
вуют солитонные решения, и если существуют, то каково их число.
Ответ на этот вопрос можно получить, исследуя непосредственно
уравнения поля. Наряду с этим можно использовать один из мето-
дов топологии, поскольку допустимое число солитонных решений
определяется топологическими свойствами группы симметрии модели.
Мы остановимся подробнее на топологическом методе. Основная
идея его заключается в следующем. Солитоны обладают конечной
энергией. Это означает, что солитонные решения Фг(гк) уравнений
поля стремятся на бесконечности к вакуумным значениям (к)з
ФДгк)^* — Мк),	(15.1.26)
где к—единичный вектор. При этом асимптотические значения функ-
ций поля зависят от направления пространственного вектора к. На-
пример, в одномерном случае вектор к направлен по оси или против
оси х и кинковые решения принимают различные значения при
х = 4-оо и х = — оо (см. рис. 15.2). Аналогичным образом, в дву-
мерной модели Нильсена — Олисена к пробегает одномерную про-
странственную сферу S1 (окружность) и функции X, (к) можно рас-
сматривать как отображение этой сферы, взятой на бесконечности,
т. е. при R —> оо, в вакуумное многообразие, которое является в дан-
ной модели, как мы видели, также сферой S1 (см. рис. 15.1, в).
В общем случае солитонные решения можно рассматривать как
отображение n-мерной пространственной сферы, взятой на бесконеч-
ности, на многообразие вакуумных значений модели.
Каждому солитонному решению соответствует свое отображение.
Поэтому задача заключается в том, чтобы найти все те отображе-
ния, которые приводят к различным солитонным решениям.
§ 15.2. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Проиллюстрируем основные понятия топологического анализа на
примере модели Нильсена—Олисена. Как мы уже говорили, в этой
модели происходит отображение пространственной Я^сферы (окруж-
ности), взятой на бесконечности, на 5х-сферу (окружность) вакуум-
ных значений.
253
Гомотопические классы. Два отображения пространства X в про-
странство Y называют гомотопными, если одно из них непрерывно
деформируется в другое. Совокупность гомотопных отображений
называют гомотопическим классом. При отображении, например,
окружности S1 в окружность S3 «южный полюс» х0 окружности S1
переходит в фиксированную точку yQ пространства S1. Будем зада-
вать точку на окружности полярным углом ф. Тогда каждое ото-
бражение окружности в окружность можно описать с помощью функ-
ции /(ср), которая удовлетворяет условию
f (2л) = f (0) 4- 2лп,
где п—целое число. Оно показывает, сколько раз окружность
«навернулась» на себя; его называют степенью отображения. Рас-
смотрим отображения, имеющие одну и ту же степень, например
п=1. Все такие отображения могут быть непрерывным образом
деформированы друг в друга, т. е, являются гомотопными. Эти ото-
бражения образуют гомотопический класс, соответствующий п=1.
Аналогичным образом получают гомотопические классы с другими
степенями отображения (п = 2, 3, .
Отображения, имеющие разные степени (например, n = 1 и п = 2),
принадлежат к разным классам. Они не могут быть непрерывным
образом деформированы друг в друга, т. е. не являются гомотопи-
чески эквивалентными.
Таким образом, при гомотопическом отображении окружности
на окружность существует бесконечное число неэквивалентных гомо-
топических классов (я=1, 2, ...). Это множество гомотопических
классов обычно записывают так:	Индекс у л указывает раз-
мерность пространственной сферы, которая отображается; в скобках
указывается вакуумное многообразие, в которое приходит отобра-
жение.
Гомотопическая группа. Если ввести в полученное множество
Л! (S1) гомотопических классов групповую операцию, то множество
превращается в группу, которую естественно назвать гомотопической.
Элементами гомотопической группы являются гомотопические классы.
Рассмотрим два гомотопных отображения Д (ф) и /2 (ф), где 0^<р2л,
начинающихся и кончающихся в точке Определим произведение
двух гомотопных отображений как такое отображение, у ко-
торого конечная точка кривой fr (ф) совпадает с начальной точкой
кривой /2(ф):
( А(2ф), О^ф^л,
т-л(«’>./.«={ />(2<р_2п),
причем п = «1 + «2. Тогда произведение двух классов гомотопных
отображений даст опять класс гомотопных отображений. Эта груп-
повая операция обладает свойством ассоциативности.
Роль единичного элемента {/} группы играет класс отображений
в точку (п = 0), а обратного элемента—класс отображений с проти-
воположным направлением обхода по контуру, т. е. класс отобра-
жений /(2л—ф) = /~*(ф). Например, у модели Нильсена—Олисена
254
существует дискретная гомотопическая группа (S1) с бесконечным
числом элементов.
Выясним, как связаны солитонные решения и элементы тополо-
гической группы. Как мы уже говорили, солитонные решения можно
рассматривать как отображения пространственной сферы, взятой на
бесконечности, на вакуумное многообразие. Это означает, что соли-
тонное решение задает элемент топологической группы, и, наоборот,
элементу топологической группы может соответствовать солитонное
решение. Тем самым между солитонными решениями и элементами
группы устанавливается взаимно однозначное соответствие и число
солитонных решений равно числу элементов топологической группы.
Гомотопическая группа рассмотренной нами модели Нильсена —
Олисена содержит бесконечное число дискретных элементов, поэтому
эта модель допускает бесконечное число различных солитонных ре-
шений и, как мы видели, все они реализуются.
Вычисление гомотопических групп. В общем случае рассматри-
ваемая нами гомотопическая группа запишется как
nA(G/G0)-	(15.2.1)
Индекс k характеризует размерность сферы, равную размерности
пространства: одномерному пространству (3°-сфера) соответствует
Таблица 15.1. Гомотопическая группа л0 (б)
G	л0(6)
un, SUni SOn) S" (n>l)
zso„
GLn(R)t S°, Za
Z
0
z
Таблица 15.2. Фундаментальная группа щ (G)
Примечания
Сферы	Sn
Группы вращений	80 п
Унитарные группы	Un
Унитарные унимодуляр- SUn
ные группы	SUn!Zn
Симплектические
группы	Sp2„
Торы	Tn = (Sx)n
Проективные простран- RPn
ства	СРп
НРп
О (и > 1)
Z2 (л > 2)
Z(n>l)
О (ns- 1)
nt (S1) =Z
Я! (S02) = Z
„ J SO3 = SU2/Z<>
Например, {S0fjS=SUi/Z3
О
Z -j- ... -f~ z
Z2 (n > 1)
O(n^l)
0(n^ 1)

255
Т а б л и ц а 15.3. Гомотопические группы я2 (fi) и яз (G)
а		л2 (G)	л8 (6)	Примечания
Простые группы Ли Go		0	Z	
Компактные	группы	0	Z+...+Z	
Сферы Sn Проективные	< ррп	0(п ф 2) = л2(3«) = = 0(п > 2)	0 (п # 2, 3)	(S2) == = л3(52) = = л3(«>=2
пространства	СРП НРп	л2(СР")== = n2(S2n+1/S1)=Z л2 (НРп) =0 из НРп = Sin + 1/Ss	яз (RPn) = = п3($«) = 0 (п>3)	
& = 0, двумерному (З^сфера)— /г= 1, трехмерному (За-сфера)—
четырехмерному (33-сфера) — k = 3, Под G понимается группа внут-
ренней симметрии, относительно которой инвариантна модель, а под
60—группа остаточной симметрии модели.
Число допустимых солитонных решений модели равно числу эле-
ментов ее гомотопической группы. Тем самым задача определения
числа допустимых солитон-
ных решений свелась к вы-
числению гомотопических
групп, т. е. к нахождению
числа элементов этих групп.
Существует общий метод раз-
решения этой задачи (рас-
слоенные пространства), но
мы на нем останавливаться
не будем, а приведем лишь
Вакуум	Вакуум
Пространство	Пространство
а)	5)
15.5. Гомотопные отображения: а—нуль-
сферы S0 на вакуумное многообразие моде-
ли синус-Гордона, б—нуль-сферы на ва-
куумное многообразие модели <р4-взаимодей-
ствия	окончательные результаты.
Некоторые из них очевидны и
могут быть получены интуитивным путем (как мы это сделали выше),
однако в общем случае этого сделать не удается. В табл. 15.1 даны
результаты вычисления гомотопических групп л0(С), в табл. 15.2 —
лДС), а в табл. 15.3—(G) и л3 (G). Гомотопическую группу ^(G)
называют также фундаментальной.
Проанализируем модели с помощью топологических групп. Рас-
смотрим обобщенную модель Нильсена —Олисена, предположив, что
лагранжиан (15.1.17) инвариантен относительно унитарной группы
SU п, и >2. В этом случае (см. табл. 15.2) зтг (3£7„) = 0, п ^2. Это
означает, что у моделей с лагранжианом (15.1.17), инвариантным
относительно группы SUn, п^2, солитонных решений не существует.
Остановимся теперь на. модели синус-Гордона. В этом случае
происходит отображение (рис. 15.5, а) нуль-сферы 5° (двух точек)
256
на вакуумное многообразие, соответствующее группе внутренней сим-
метрии ZxZ2 (рис. 15.1,6). В этой модели в отличие от модели
Нильсена — Олисена существует остаточная симметрия: после того
как зафиксировано определенное значение вакуума (точка у0, в ка-
честве которой выберем % = 2лп), симметрия относительно сдвига
вакуума исчезает, но еще остается симметрия относительно замены
<р —ф с последующим сдвигом на 2п -2л, т. е. относительно группы
Z2. Так как остаточная симметрия приводит только к эквивалент-
ным гомотопическим классам, то ее следует исключить. Поэтому
гомотопической группой модели синус-Гордона будет (см. табл. 15.1)
л0 (Z х Za/Z2) = л0 (Z) == Z.
Это дискретная гомотопическая группа бесконечной размерности.
Следовательно, модель синус-Гордона допускает бесконечный дис-
кретный набор солитонных решений, хотя, как мы видели, не все из
допустимых решений реализуются. Объясняется это тем, что гомо-
топический анализ носит общий характер и не учитывает специфики
задачи, которая может привести к уменьшению числа допустимых
солитонных решений.
Наконец, в случае модели ср4-взаимодействия происходит отобра-
жение пространственной нуль-сферы 3°, взятой на бесконечности,
на вакуумное многообразие, соответствующее группе Z2 (рис. 15.5, 6).
Гомотопическая группа этой модели имеет вид (см, табл. 15.1)
л0 (Z2) = Z2,
т. е. у модели имеется два решения: постоянное (pv и солитонное <р;
явный вид этих решений был найден в § 15.1.
Топологические заряды. Согласно теореме Нетер, инвариантность
лагранжиана относительно непрерывной группы внутренней симмет-
рии приводит к сохраняющемуся току, которому соответствует со-
храняющийся заряд. Однако у моделей, обладающих солитонными
решениями, существуют дополнительный сохраняющийся ток и соот-
ветствующий ему заряд, не связанный с теоремой Нетер. Появление
этого заряда обусловлено топологическими свойствами модели, и
потому он получил название топологического заряда. Число тополо-
гических зарядов равно числу допустимых солитонных решений,
т. е. каждое допустимое солитонное решение характеризуется своим
топологическим зарядом. Топологический заряд является сохраняю-
щейся величиной.
Для модели ф4-взаимодействия сохраняющийся топологический'
ток определяется выражением /ц = Ч&юдчЪ в01 = — et0= 1, е00=гп = 0.
Он ведет к следующему сохраняющемуся топологическому зарядуз
00	00
^=4 J dx/o(*> о=4 j ^>=4^+ °°)_
— сю	— о©
Вакуум можно характеризовать значением К = 0, а для кинка К=1.
257
Аналогичным образом можно определить значение сохраняющегося
топологического заряда для модели синус-Гордона:
yv==i[<p(+oo)-~(H—°0)]’ Л' = 1>2.........
В модели Нильсена—Олисена сохраняющийся топологический
ток определяется выражением /n = dvFnv и топологическим зарядом
является магнитный поток
Ф = J dx dz/F12«(2л/а) п.
Топологические заряды могут интерпретироваться как квантовые
числа.
Размерность пространства и состав модели. Состав модели, обла-
дающей солитонными решениями, зависит от размерности простран-
ства. Рассмотрим класс моделей с локальным лагранжианом, содер-
жащим скалярные <р(х) и калибровочные Ац(х) поля. Предположим,
что энергия Е модели может быть представлена в виде
Е = Е9 + Еа + У,	(15.2.2)
где
(<р, А) = J d£xF (tp) (7цф)* Уц<р,
£л(Л) = | jd^F^v,	(15.2.3)
У(ф)== J d&xU (ф),
£0— размерность пространства. При этом предполагается, что функ-
ции F (ф) и U (ф) положительны и не содержат производных. Так
как подынтегральные выражения в (15.2.3) положительны, то для
солитонных решений каждое из слагаемых в (15.2.2) в отдельности
должно быть конечным. Произведем преобразования функций:
ф (х) -* фх (х) = Ф (Хх), А (х) — А}, (х) = кА (Хх),
7цф (х) -> Х?цф (Хх), Fgv (х)XsFnv (Хх).	(15.2.4)
Тогда
£Ф(фъ Ах) = Х=-^£ф(ф, А), Ел(АЛ)~Х‘-^л(А),
Р(фД,) = Х-'!г1/(ф).
В соответствии с определением солитона в статическом случае энер-
гия Е должна быть стационарной при произвольных изменениях
поля, в частности при преобразованиях (15.2.4). Этого заведомо не
произойдет, если все члены в (15.2.2) либо только возрастают, либо
только убывают. Энергия может оставаться постоянной либо если
часть членов в (15.2.2) убывает, а часть—возрастает, либо для чле-
нов, не зависящих от X. Поведение членов в (15.2.2) в зависимости
от размерности пространства Ф показано в табл. 15.4, в которой
приняты следующие обозначения для слагаемых: f—возрастает с ро-
стом X, |—убывает с ростом X, а 0—не зависит от X. Из табл. 15.4
258
Таблица 15.4. Поведение слагаемых в зависимости от размерности
пространства
4		еа		V	
1 2	t 0				
3	1				
4	4	(	)		
	4		1		
следует, что одномерные модели, обладающие солитонными решениями,
обязательно должны содержать член взаимодействия. К ним отно-
сятся рассмотренные нами модель <р‘-взаимодействия и модель синус-
Гордона. В двумерных моделях должны присутствовать либо все три
слагаемых, либо только член £ф. Примером первой модели является
модель Нильсена—Олисена. Модели второго типа мы рассматривать
не будем. Трехмерные модели должны содержать обязательно все
три слагаемых Наконец, в четырехмерных моделях могут присут-
ствовать только одни калибровочные поля. Моделей с размерностью
пять и выше, обладающих солитонными решениями, в рассматри-
ваемом классе теорий не существует.
§ 15.3. МОНОПОЛЬ
Монополь Дирака. Как известно, уравнения Максвелла для элек-
тромагнитного поля выглядят следующим образом:
дуРцу —— |ц>	(15.3.1)
^ = 0.	(15.3.2)
Здесь —тензор электромагнитного поля, т. е. Fl)i = —Ei, Ft/—
— —in — четырехмерный вектор тока (р, j); Е, В —напряжен-
ности электрического и магнитного полей, ?gv—тензор, дуальный
F nv =	(15.3.3)
Тензор F^ получается из F^ путем замен Е —<• В, В—>—Е.
В вакууме (/^ = 0) уравнения Максвелла симметричны относи-
тельно преобразований
Рmv —* F> Рну * Рну	(15.3.4)
или относительно эквивалентных им преобразований Е—»В,
В—>—Е.
Чтобы сохранить симметрию уравнений Максвелла относительно
преобразований при наличии, материи, введем наряду с электричес-
ким током магнитный ток /ц с компонентами (Qm, j), где Qm —
магнитный заряд, j — трехмерный магнитный ток. Тогда вместо ура-
259
внений (15.3.1), (15.3.2) получим новые обобщенные уравнения:
d\F tv— /ц» dvFnv =	/ц.	(15.3.5)
Эти уравнения симметричны относительно преобразований
Рум * ^|*v»	* /ц * /ц» /и-----*	/ц-	(15.3.6)
В обобщенные уравнения (15.3.5) электрический и магнитный
заряды входят симметрично. Точечный магнитный заряд обычно на-
зывают магнитным монополем Дирака или, короче, монополем. В отли-
чие от электрического заряда монополь пока экспериментально не
обнаружен; однако в настоящее время ведутся его поиски.
Дирак также показал, что уравнения (15.3.5) можно прокванто-
вать, если выполняется следующее соотношение между электричес-
ким и магнитным зарядами:
eQm — n,	(15.3.7)
где п — целое число. Монополь с зарядом Qm создает магнитное
поле с напряженностью
=	e = J-.	(15.3.8)
Гипотеза о монополе была высказана Дираком сравнительно давно.
Однако в последнее время, в связи с разработкой калибровочной
теории, эта гипотеза предстала совсем в другом свете.
Калибровочная теория монополя. Покажем, что трехмерные мо-
дели (три координаты, время: 3-f-1) могут содержать солитонные
решения, соответствующие магнитному монополю. Рассмотрим мо-
дель, которая описывается лагранжианом, инвариантным относи-
тельно локальной неабелевой 50я-группы (модель Полякова—Хуфта}\
1/4^^ + % (V^“) (V^®)-*/J (Ф®Ф®-т2//)а, (15.3.9)
где ф®—изовектор скалярных полей (а— 1,2,3),
—dvX£ + егк[т; у^ф* = дцф* + еейгтД^ф».
В соответствии с (15.3.9) уравнения поля модели выглядят так:
УцУцф“ = -/ф®(ф®ф®-у). (15.3.10)
Эти уравнения имеют решение
F&v = 0, Уиф® = 0, | ф® | = т/У"!,	(15.3.11)
которое соответствует абсолютному минимуму функционала энергии,
т. е. модель обладает непрерывным вырожденным вакуумом (сфера
Sa с радиусом R = У модели есть остаточная 50я—симмет-
рия. Поэтому модель содержит не только массивные частицы (два
векторных и скалярный мезоны), но и безмассовую (фотон).
В рассматриваемом случае трехмерной модели вектор к, входя-
щий в (15.1.26), пробегает двумерную сферу S2. Поэтому с юпо-
260
логической точки зрения задача сводится к отображению простран-
ственной двумерной сферы S8, взятой на бесконечности, в двумер-
ную сферу S2 вакуумных значений. В соответствии с формулой
(15.2.1) и табл. 15.3 число солитонных решений или топологических
зарядов модели равно
л, (SOs/SO8) = n2(S8) = Z,
т. е. модель допускает бесконечный дискретный набор солитонных
решений или топологических зарядов.
Будем искать решения уравнений поля (15.3.10) в виде
4*0 = 0, ^ = ешхД1-^(г)]±а,
ф° = — xah(r)±i, /•2 = x? + x24-x5.	(15.3.12)
Подстановка (15.3.12) в (15.3.10) приводит к более простой системе
уравнений:
/'2/==^(g8-l) + ^2, r/i" = 2/iga + l(/i®—СМй), (15.3.13)
где С == melVf. Из требования конечности энергии следует, что если
r—+oo, g—>0, то h—>Сг.
Солитонные решения этой системы удается найти лишь с по-
мощью ЭВМ.
Масса монополя
ef	\ е2)	а \еа J’
где —медленно возрастающая монотонная функция, зависящая
от отношения констант f и е8, причем jV (0) = 1; Mw—масса вектор-
ного мезона; 4л/е8= 1/а« 137. Если положить Л4™~50ГэВ, то
М~10ГэВ.
Топологическим инвариантом трехмерной модели является маг-
нитный заряд. Чтобы в этом убедиться, введем калибровочно инва-
риантный тензор электромагнитного поля
/rnv = ₽^v—78аьсФ°(7цф|’)(Туфс). ф° = ф°/|ф|,	(15.3.14)
который можно переписать также в другой форме:
= дуРу-д^ гаЬе<ра (дцф6) (dv<pc), (15.3.15)
где Р(г = ф°Дц,.
Подставляя либо в (15.3.14), либо в (15.3.15) формулы (15.3.12),
находим для магнитного поля
Bk = xk±	(15.3.16)
Эта формула действительно совпадает с выражением (15.3.8) для
магнитного поля точечного монополя с магнитным зарядом Qm=l/e.
261
Чтобы найти топологические заряды модели, рассмотрим магнит-
ный ток, который согласно (15.3.5) и (15.3.14) определяется форму-
лой
/д =	= 8цуар8в&в3у (<ptf<?a<jp&d(3<pc).	(15.3.17)
Он сохраняется (Vn = 0) и не связан с теоремой Нетер. Току
(15.3.17) соответствует следующий магнитный поток Ф (или магнит-
ный заряд Qm):
Ф = 4nQm« (dx/i =	(15.3.18)
s3?
Здесь Sfa—сфера радиуса R, причем R —► оо. Так как сфера может
быть параметризована с помощью двух координат ^(г = 1,2), то
(15.3.18) перепишем в виде
4nQm==y f d2gleabeobc^eda^dp^ = l fd2g|/’i‘=^d,	(15,3.19)
5я
где g = det (<Эафадрфа). Входящее в (15.3.19) число d называют ин-
дексом Кроне кера при отображении сферы S2 в сферу S2. Этот ин-
декс является топологическим инвариантом, и, следовательно, маг-
нитный заряд—также топологический инвариант. Индекс Кронекера
указывает, сколько раз сфера S2 «наворачивается» на сферу S2; он
может принимать только целые значения, поэтому
Qm = d/e = n/e,	(15.3.20)
причем л2 (SOjSO^) = Z = d.
Как видно, магнитный заряд не связан с теоремой Нетер и имеет
чисто топологическую природу. Из (15.3.20) также следует, что ус-
ловия квантования Дирака (15.3.7) выполнены.
Таким образом, трехмерная модель с лагранжианом (15.3.9) об-
ладает солитонным решением, которое представляет собой монополь.
Перечислим коротко некоторые другие результаты, касающиеся
монополя.
1.	Если в (15.3.12) вместо Д§ = 0 взять
~хЧ (г)^,
где J (г) — неизвестная функция, то уравнения поля приводят к
дионным решениям с конечной энергией. Такие решения описывают
«частицы», обладающие непрерывными как магнитным, так и элект-
рическим зарядами.
2.	Обобщение модели на группы более высокого ранга приводит
к новым магнитным монополям с более широким интервалом зна-
чений зарядов.
262
3.	В предельном случае /—>0 было найдено точное решение
системы (15.3.13):
g(r) = ^, ft(r) = Crcth(Cr)-l.
§ 15.4. ИНСТАНТОНЫ (ПСЕВДОЧАСТИЦЫ)
Переходим к проблеме нахождения нетривиальных решений в
четырехмерном евклидовом пространстве (четыре координаты без
времени: 4 + 0). Такие решения называют инстантонами. Как мы
уже видели (см. § 15.2), в этом случае модель может содержать
только калибровочные поля. Поэтому рассмотрим лагранжиан ка-
либровочного поля, инвариантный, например, относительно группы
SU2:
=	(15.4.1)
где	dvAfr~gsklmAhA™. Введем обозначения
где xk — матрицы Паули. В этих обозначениях уравнения поля, со-
ответствующие (15.4.1), имеют вид
ул? “ p,v	F^v]_ = 0.	(15.4.2)
Из требования конечности действия, согласно (15.4.1), следует,
что тензор оГцу на бесконечности должен обращаться в нуль. При
этом поле Лц(х) становится чисто калибровочным, так что
(х) = iw”1 (х) дц со (х),	(15.4.3)
где со(х) — элемент калибровочной группы и х принадлежит сфере
S3. Из (15.4.3) следует, что модель обладает бесконечно вырожден-
ным вакуумом, соответствующим минимуму действия.
В рассматриваемой четырехмерной модели вектор к, входящий
в (15.1.26), пробегает трехмерную сферу S3. Поэтому с топологи-
ческой точки зрения задача сводится к изучению отображений про-
странственной сферы S3, взятой на бесконечности, в многообразие
вакуумных значений группы SU2. В соответствии с формулой (15.2.1)
и табл. 15.3 число солитонных решений модели
л3 (SU а) = Z,
т. е. модель допускает бесконечный дискретный набор решений.
Введем плотность тока
Sp (^p,v^jxv) = 5ц/ц,	(15.4.4)
причем
*7ц	Sp f -f- ^7*	•	(15.4.5)
263
Плотности тока (15.4.4) соответствует заряд
9 = jdxJ0 = j dx Sp (sFgvFgv)	(15.4.6)
ИЛИ
'7 = T^Jd%/^>	(15.4.7)
S’
где S3—трехмерная сфера с /?—>oo.
С учетом (15.4.3) последнюю формулу перепишем в виде
? = 24^ем>а₽</> d3axSp[co-1(d0(o)a>-1(da(o)co-1dp(o].	(15.4.8)
S’
Подынтегральное выражение в (15.4.8) называют якобианом ото-
бражения S3 в SU2. Этот якобиан представляет собой топологичес-
кий инвариант и, следовательно, q также топологический инвариант.
Интеграл в (15.4.8) может принимать только целые значения, т. е.
q = n	(15.4.9)
при этом л3 (St/2) = Z = qt
Числа q называют числами Понтрягина. Они указывают, сколько
раз пространственная сфера «наворачивается» на группу St/2. Иначе
говоря, для инстантонов топологическими числами, характеризую-
щими топологический заряд, являются числа Понтрягина.
Мы не будем решать непосредственно уравнения поля (Г5.4.2).
Вместо этого для нахождения решений используем соотношения,
которые эквивалентны уравнениям поля. Чтобы найти эти соотно-
шения, рассмотрим неравенство
$dx Sp (f'avi^nv)2 >0.	(15.4.10)
Отсюда, принимая во внимание (15.4.6), имеем
£ = у j* Sp (<F^v^v) у |JdxSp((FlF) | = 8л21 q |.
В случае знака равенства (15.4.10) дает
y,v = i iiv*	(15.4.11)
Если это соотношение выполняется, то уравнения поля удовлетво-
ряются автоматически, так как
Vuv ” zb ” О’
Будем искать функции, удовлетворяющие (15.4.11) (для знака «+»)>
в следующем сферически симметричном виде:
= \h (г) со-1 (х) дцсо (х),
ш(х)==(х4 —ixjj/J/r, r2^=xi + xj + x| + x4.	(15.4.12)
264
Подставляя (15.4.12) в (15.4.11), находим
rh' = 2h (1 —h).
Это уравнение, если учесть, что h(r)—* 1, имеет решение
Л(т-) ==га/(га + Ха).	(15.4.13)
Здесь X—произвольный параметр размерности длины; его можно
связать с размерами инстантона.
Подстановка (15.4.13) в (15.4.12) дает инстантонное решение
;г2
А =	(15.4.14)
С помощью этой формулы получим выражение для &
Г	а
M-V — (f2_|_^2)2
где =	ту]_,	=	= — а4Р Число Понтрягина найден-
ного инстантонного решения равно единице: д=1.
Наряду с решением (15.4.14) у уравнения (15.4.2) существует
другое решение с топологическим зарядом q~—1;
4К2	—
~	” ^2 | ^2)2 Gjlv»	(15.4.15)
где —	—aiv
Этому решению можно сопоставить антиинстантон. По-видимому,
других решений с |<?|=1 у (15.4.11) нет. Однако решения с боль-
шими значениями q существуют и они были найдены.
Аналогичным образом анализировались модели, инвариантные
относительно групп более высокого ранга, и для них были най-
дены соответствующие решения.
§. 15.5. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СОЛИТОНОВ
Для построения квантовой теории солитонов, в частности тео-
рии возмущений, можно использовать тот же формализм контину-
ального интегрирования, который применялся к моделям с обыч-
ными частицами (см. гл. 4, 5). При этом только необходимо учесть,
что квантовая теория солитонов обладает некоторыми специфичес-
кими особенностями. Мы проиллюстрируем методику построения
квантовой теории солитонов на примере одномерной модели, опи-
сываемой лагранжианом (15.1.1).
Производящий функционал для функций Грина. Для нахождения
выражения для амплитуды процесса в теории возмущений надо
знать вид функций Грина (см. гл. 5). Последние .определяются про-
изводящим функционалом W. В случае системы- с лагранжианом
(15.1.1) производящий функционал W запишется в виде контину-
ального интеграла по каноническим переменным <р (х) и л(х) сле-
265
дующим образом:
I^(J', К')= J S>cpS)nexp {1 § d/[n<p—H(n, <p) +J'tp + K'n]}.
(15.5.1)
Здесь// (л, ф) —гамильтониан, соответствующий лагранжиану (15.1.1):
Я (л, ф) = 1рх(л2^2-ф2 + 2у-гср4+4^)’ <15-5-2)
Ф, л—обобщенные координата и импульс, ф'e-^. J'> К’—токи.
Будем считать, что в случае односолитонного состояния вклад в
амплитуду в нулевом приближении определяется классическим кин-
ковым решением. Для вычисления поправок используем разложе-
ние поля около этого решения. Тем самым квантовые эффекты бу-
дут поправками к результату, соответствующему классическому
решению.
Кинковое решение (15.1.10) зависит от произвольного параметра X,
а это означает, что координата кинка, а также его импульс строго
не фиксированы. Будем рассматривать X как динамическую пере-
менную, зависящую от времени, и введем импульс Р, канонически
сопряженный X.
Разложение обобщенных координат <р (х, t) и п (х, t) около клас-
сического решения ф0(х—X (/)) представим в виде
Ф (х, 0 = Фо(х—X (^)) + т](х—X (/), /),
л (х, t) = л0 (х; Р (0,Х (0) + & (х—Х (/), /).	(15.5.3)
Далее выделим X и Р из ф и л. С этой целью введем тождество
У©Х©Р6[Л(Х; Ф)]б[Р8(Р; л, ф)]^1^=1. (15.5.4)
Подберем функции л0, F8 и Fx так, чтобы переменные г] и £, а
также Р и X были канонически сопряженными, т. е. чтобы вы-
полнялось условие
бхлф = РХ + dx£r].	(15.5.5)
В качестве таких функций, например, можно взять
р а<р0(х—Х(р)
0 Ото [1+(1/т0) дх ’
Fx = Jdxдфо(*—^ (£))ф(X, 0 = Jdx5(Ро(*~Л(<))Т](х-Х(0, 0,
<15'5,S)
«= С dxatp°'(x~X^Ux-X(/), 0.
V
266
где та = (2 К2/3) /а—масса кинка.
g = j dx агР<> <х~х <0) X .
Введем новую переменную
р = х—X(t)	(15.5.7)
и переопределим остальные переменные следующим образом:
Х(Р. 0 = П(-*—Х(/),/). й(р, =	X(t),t),	(15.5.8)
Р = Р— dpn//,	(15.5.9)
где х' = дх/Ф-
Подстановка (15.5.4) — (15.5.6) в (15.5.1) дает искомое выраже-
ние для производящего функционала:
W (J,K) = $ @)ХЗ)Р&>хФл8 ( $ q>„xdp) 6 ( $ (p'ndp) X
xexp(ijjd/ [рХф- § dp(nx—^'+ J^ + Кл) (15.5.10)
где
(Р+уНрлх') < р Г	/о 2	\
//' = т0 + 2/По (1 + g/mo)a + у j dp [л2 + х'2 + (7/—1) X2 +
+ Ji ФоХ3 + X4 ] •	(15.5.11)
Как видно, переход от (15.5.1) к (15.5.10) представляет собой пе-
реход от переменных ср, л к переменным X, Р, %, л.
Вследствие наличия в решении (15.1.10) произвольного пара-
метра X гамильтониан системы зависит от произвольного импульса Р.
Производящий функционал (15.5.10) содержит интегрирования по
X и Р. Удобно свести континуальный интеграл (15.5.10) к виду,
который встречается в моделях с обычными частицами. Для этого
его сначала надо проинтегрировать по переменным % и л при фик-
сированных X и Р, сформулировать для этого случая теорию воз-
мущений, а затем в полученных результатах произвести повторное
континуальное интегрирование по X и Р.
Теория возмущений. Для вычисления пропагаторов и вершин
взаимодействия используем производящий функционал. Согласно
(15.5.10), запишем его как
W (J, К) = $	( J dpqw) X
хб dptpojr) ехр {i J d/[dp(nx + ^x + ^JT) — #']}, (15.5.12)
здесь Н' — гамильтониан, определяемый (15.5.11).
267
Представим гамильтониан в виде суммы свободного гамильто-
ниана Но и гамильтониана взаимодействия На
Яо = J dp [1 л» +1	(1 —Х‘],	(15.5.13)
Н, = -____________С dp	уЛ (15 5 141
7	2m0(l-H/m0)2 J °Р V/* Х +	)>	(>0.0.14)
где £=§dp<pox'.
Подставляя (15.5.13) и (15.5.14) в (15.5.12) и вынося дифферен-
циальный оператор за знак континуального интеграла, находим
W (J, К) = ехр [-1 J dtHt (1	, 1-А)] Wc (j, К)> (15.5.15)
где WC(J,K)—производящий функционал, соответствующий сво-
бодному гамильтониану:
Wc (J, К) = $	6 ( dptp^x) 6 ( $ dP^) X
xexp(i j df dp ^лх—ул2—у Й2х2 +Jx + ^itj j>, (15.5.16)
02 __	d2   1 | Зфр
~~	dp*	1 + Р '
Вычислим континуальный интеграл, входящий в (15.5.16). Для
этого найдем сначала собственные функции оператора Q2:
(——— 1 4-	Т = ю2¥
\ dp2	/2 / »—
Этот оператор имеет два дискретных собственных значения п = 0,
п=1, причем (о0 = 0 (нулевая мода), и этим собственным значениям
соответствует волновая функция (1/то)фо, т. е. функция, содержа-
щаяся в 6-функциях выражения (15.5,10). Кроме того, оператор
обладает непрерывным спектром собственных значений для ю* =
= /г2 + 2, которым соответствуют нормированные собственные функ-
ции, имеющие вид
= Sh -S= I chs-£=,
1 K2 I K2
Yk=±e^[3th*^-3i*r2th-^-i-2^], (15.5.17)
Nk = 2/ (k* + 2) (2/г2 + 1) — 12 /2 (й2 + 1).
При этом использованы нормировка волновой функции на длину I
и условие периодичности ¥ по пространственной координате с пе-
риодом /. Вводя обозначения
х„ (t) = J dpx (р, 0	(р)	(X, ^„),
n„(/) = $dpMp, /)Т„(р) = (л, ¥„),	(15.5.18)
268
получаем
X (Р, 0 = 2 X» (0 Чп (р). я (р. О = 2 «» (0	(р). (15,5.19)
п	п
С помощью замены л—>л + х интеграл (15.5.16) перепишем в
форме, в которой переменные л и % разделены:
Wc (J, К) = $ ^>х^л 6 ( dp<PoX) 6 ( $ dpcpo л) X
хехр{i dfdp[—Van2—х/2х2—1/2^2Ха+^х + ^л+ Кх]}' (15.5.20)
Интеграл по л в последнем выражении равен
У £2)л6 dp<p0'л) ехр -^1 j* d/ dp л2—KnJ
или после подстановки (15.5.18)
СП^л„6 (л0) expMd/^Г—
«	1	л	JJ
= ехр df £' /СК»].	(15.5.21)
п
В сумме 2' нулевая мода отсутствует.
Интеграл по х. входящий в (15.5.20), вычисляется аналогичным
образом:
J П ^х»6 (х») ехР {* $ L [т х" iG" ‘х«+(4—^) Хл] } =
= ехр [i J 421' (J,*-X‘) IG„(JB-Kn)]t (15.5.22)
где iGn’ = (— dt—con + ie) 6(Z — t').
Подстановка (15.5.21), (15.5.22) в (15.5.20) дает искомое выра-
жение для производящего функционала:
WC(J, К) = ехр^ —у d/dpу dfdp'^4[^ (Р> 0~К(р, о] X
X G (р, р';	(р', Г)-/<(р', О] +
+ 4#(Р» Од(р. р';	о}) .	(15.5.23)
где
G (р, р'; I-Г) - £'Ч-,(р) J-g е	Т;<р'),
д (р, р'; t-tf) = -16 (i-f) S' T„ (P)(P').
n
С помощью (15.5.23) найдем выражение для хХ'пРопагатоРа!
т отко" д/(р', о ^Lk=o=G(p’ р,; *-Г);
269
для х^-пропагатора:
i 6j(P,n 6K(p', t') wc(J, ю|у=А,=о — dfG(p, p'; t—1')\
для лл-пропагатора:
T 6K(p, t) вК(Р', /') W‘(J>
— dtdt> G(p, p'; t — f) + A(p, p'; t — t').
Графические эти пропагаторы изображены на рис. 15.6
Что касается вершин взаимодействия, то наряду с обычными,
соответствующими в лагранжиане членам (ф0//2)Х3 и (4/2)-1Х4 (Рис-
Ф_____*
В)
---—.---—
в)
15.6.	Пропагаторы: а —
XX, б—хл, в—ля
15.7. Мезонные вершины взаимо-
действия
15.7, а, б), существует еще бесконечное число вершин взаимодейст-
вия, соответствующих члену
(P+^dpnx')	(15.5.24)
2m0 (1 + s/m0)2
Так как £/m0
1//. Разложение (l+£/m0)-2
1/f, то разложение (15.5.24) ведется по величине
дает набор вершин взаимодействия,
пропорциональных Р2
__£L(_2_L +
2m0 \ mb
+ 3^-44+	(15.5.25)
/По Ши	/
di
Ш Q J
mo

15.8. Мезон—солитонные вершины
взаимодействия
и равных по порядку величины I//3,
I//4, .... Второй набор вершин
взаимодействия пропорционален Pi
— Cdpnx' (1 — 2-£- + 3-Ц— 4	...\ (15.5.26)
т» J [ Л \ «о 1	1 J v >
Первые два члена (15.5.25) и (15.5.26) изображены графически на
рис. 15.8. С помощью найденных правил можно найти выражения
для функций Грина, а затем их следует проинтегрировать по X и Р,
Таким образом, в основном специфика построения квантовой
теории солитонов сводится к использованию разложения около клас-
сического решения, выделению и устранению вклада нулевых мод
270
и вычислению функций Грина при фиксированных X и Р с после-
дующим интегрированием по этим переменным.
Построение квантовой теории солитонов большей размерности
производится аналогичным образом.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Введение калибровочных полей позволило решить ряд проблем
теории поля и физики элементарных частиц.
1.	Калибровочные поля являются асимптотически свободными.
Это позволяет построить асимптотически свободные модели, в состав
которых наряду с калибровочными полями входит определенный
набор полей материи.
2.	После введения калибровочных полей неперенормируемые
теории могут стать перенормируемыми (как, например, теория слабых
взаимодействий).
3.	Все три типа основных взаимодействий—сильного, электро-
магнитного и слабого—сведены к обмену калибровочными вектор-
ными полями. Переносчиком электромагнитного взаимодействия
является фотон, слабого—промежуточные векторные бозоны, силь-
ного— глюоны.
4.	Создана квантовая хромодинамика, которая является канди-
датом на роль теории сильных взаимодействий.
5.	Построены единые модели слабых и электромагнитных взаи-
модействий; получающиеся теоретические результаты хорошо согла-
суются с имеющимися экспериментальными данными.
6.	Открывается возможность построения моделей, объединяющих
все три типа взаимодействий, в частности моделей с одной константой
связи (грандобъединение).
Вместе с тем некоторые важные проблемы пока остаются не-
решенными. В настоящее время ведутся интенсивные исследования
в следующих основных направлениях.
Конфайнмент кварков и глюонов. Мы уже говорили о рассмотре-
нии этой проблемы в рамках квантовой хромодинамики на решетках
(см. гл. 13).
С целью решения этой проблемы интенсивно исследуют свойства
квантовой хромодинамики в инфракрасной области.
Разрабатываются также другие подходы, в которых адроны рас-
сматривают как протяженные объекты—модели мешков, струн.
Существуют различные варианты, модели мешков. В одном из
них предполагается, что адроны представляют собой сферу, в кото-
рой находятся кварки и глюоны, описываемые квантовой хромо-
динамикой. Чтобы система была стабильной, вводят объемное дав-
ление и поверхностное натяжение (обе величины—свободные пара-
метры теории). Считается, что на границе сферы кварковые и
глюонные токи равны нулю, т. е. имеет место захват кварков и
глюонов. Тогда модель дает для основных характеристик адронов
(массы, магнитные моменты и т. п.) значения, близкие к экспери-
271
ментальным. К сожалению, модель носит слишком феноменологичес-
кий характер.
В модели струн исходят из того, что при больших расстояниях
(порядка размеров адрона) между кварками калибровочные поля
концентрируются в узкой области пространства вблизи линии, сое-
диняющей кварки, образуя струну, т. е. адрон представляется в
виде струны. Построены классическая и квантовая теории реляти-
вистской струны, обладающей квантовыми числами адрона (про-
странственный спин, изотопический спин и т. п.). Однако модель
струн обладает рядом существенных недостатков (приводит к
тахионным решениям, трудностям при квантовании, при перенор-
мировке и т. п.)
Предпринимаются попытки объяснения конфайнмента кварков и
глюонов путем учета вклада инстантонов.
Теория на контурах. Существует надежда, что дополнительные
возможности для описания сильных взаимодействий и, в частности,
конфайнмента кварков и глюонов может дать переформулировка
локальной калибровочной теории в виде нелокальной теории на
контурах. В такой теории калибровочные поля являются не функ-
циями координат, а функционалами ф (С) на контурах (непрерывный
аналог контура на решетке, см. гл. 13):
Ф (С) = Р ехр J dx^ (х),
с
где С—замкнутый контур, Р—оператор упорядочения на контуре.
Сформулирована квантовая хромодинамика на контурах. К сожале-
нию, пока остается неясным, как практически работать с контурными
переменными, и это затрудняет получение физических результатов.
Единые калибровочные модели. При построении единых калибро-
вочных моделей взаимодействий не решен ряд проблем. Пока не
удалось однозначно выбрать модель грандобъединения. Остаются
неясными вопросы, связанные с объяснением разницы в массах
калибровочных полей, соответствующих различным взаимодействиям
(калибровочная иерархия), а также с объяснением возможного числа
ароматов, факта существования угла Кабиббо, CP-нарушения и т. п.
Наряду с хиггсовским механизмом, т. е. спонтанным нарушением
симметрии (изложенным в этой книге), существует динамический
способ нарушения симметрии. Одной из схем динамического нару-
шения симметрии является техницвет. В модели техницвета хиг-
гсовские бозоны рассматриваются как составные частицы, построен-
ные из техникварков. Взаимодействие между техникварками осуще-
ствляется посредством обмена техниглюонами. Цель модели—дать
динамическое объяснение появления хиггсовских частиц и их масс.
Пока последовательную модель техницвета построить не удалось.
Единые суперсимметричные модели. Большое внимание уделяется
разработке единых калибровочных моделей, в которых глобальной
пространственно-временной группой является не группа Лоренца, а
суперсимметричная группа: Последняя обладает рядом специфичес-
ких особенностей (в частности, ее мультиплеты содержат одновременно
272
и бозоны и фермионы), а это дает основание надеяться, что супер-
симметричные единые калибровочные модели могут оказаться более
совершенными, чем лоренцевские.
Калибровочная теория гравитации. При локализации групп про-
странственно-временной симметрии роль калибровочных полей играют
гравитационные поля. Так, локализация группы Лоренца приводит
к теории гравитации Эйнштейна. Локализация других групп про-
странственной симметрии (конформной, суперсимметричной и т. д.)
ведет к соответствующим теориям гравитации. Исследуются все
теории гравитации и особенно интенсивно супергравитация.
Суперобъединение. Одновременная локализация групп внутрен-
ней и пространственно-временной симметрии приводит к появлению
полей Янга—Миллса и гравитационных полей. Это открывает
возможность для суперобъединения, т. е. для объединения гравита-
ционного взаимодействия с сильным, электромагнитным и слабым
взаимодействиями. Было показано, что нетривиальное объединение
(не в виде прямого произведения) группы Лоренца с группой
внутренней симметрии невозможно (теорема Райферти). Это можно
сделать в случае суперсимметричной группы, объединенной с группой
внутренней симметрии (расширенная суперсимметричная группа).
Поэтому суперобъединение ведется на базе локальной расширенной
суперсимметричной группы. В этом направлении сделаны лишь
первые шаги, и пока реалистическая модель суперобъединения не
построена.
Модель составных частиц. Поскольку число элементарных частиц
велико (хиггсовские скаляры, лептоны, кварки, фотоны, промежу-
точные бозоны, глюоны, гравитоны) и они довольно разнообразны,
возникла идея ввести более фундаментальные частицы и построить
из них часть или все указанные элементарные частицы. Было пред-
ложено большое число моделей; в каждой из них используется
определенный набор фундаментальных частиц, которые получили
различные названия (субкварки, пракварки, метакварки, преоны,
ришоны и т. п.). Однако пока последовательную модель с фунда-
ментальными частицами построить не удалось.
Элементарные частицы и Вселенная. Некоторые важные сведения
о характеристиках элементарных частиц можно извлечь из получен-
ных астрофизических данных. Таким путем были установлены верх-
ние пределы массы фотона и различных типов нейтрино, ограниче-
ния на массы и времена жизни тяжелых нейтральных лептонов,
на верхнюю границу для числа возможных типов нейтрино, а также
получены аргументы в пользу захвата кварков, в пользу существо-
вания избытка барионов над антибарионами и т. п.
Гносеологические вопросы. В физике элементарных частиц за
последнее время достигнут существенный прогресс—обнаружены новые
элементарные частицы, изменились представления об их структуре и
взаимодействиях. Эти факты имеют не только физический, но и
гносеологический интерес, так как они проливают дополнительный
свет на основные гносеологические проблемы — о соотношении между
абсолютной и относительной истиной, о единстве противоположных
273
свойств материального мира, о взаимных связях единичного и все-
общего.
В построении единой физической картины мира достигнуты
определенные успехи, что указывает на правильность наших основ-
ных физических представлений. Однако некоторые важные физические
вопросы пока не решены. Поэтому необходимы новые эксперименты
и более глубокие физические идеи. Развитие физики элементарных
частиц—яркий пример того, насколько сложен и бесконечен про-
цесс познания.
Более подробно с перечисленными проблемами можно ознакоми-
ться по обзорам и статьям, приведенным в списке рекомендуемой
к Заключению литературы.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Основные обозначения, принятые в пособии
Поле:
в общем случае
скалярное
спинорное
электромагнитное
калибровочное
фиктивных частиц
глюонное
Тензор:
электромагнитного поля
калибровочного поля
Лагранжиан:
глобально инвариантный
локально инвариантный
Действие
Амплитуда перехода
Производная:
обычная
ковариантная
Интегрирование по траектории
Параметры преобразований:
глобальные
локальные
Элемент калибровочной группы
Структурные константы:
в общем случае
для группы SU%
Генераторы преобразований:
в общем случае
для фермионов (х)
для скаляров фа(х)
м/ (х)
ф(х)
ф(х), ф(х) = ф(х) у0
Лц(х)
4 w _
сй (х), сй (х)
Уц(х)
Fnv (х)
rtv (х)
/ («,•)
S
dix
Vh
ел
4 W
to (x)
fabc
rpk
i ab
(fk)ab
274
Производящие функционалы функций Грина:
полных
связных
сильно связных
Пропагаторы (прямые буквы—точные, прописные—
в древесном приближении):
фотонов
калибровочных полей
скалярного поля
спинорного поля
Левополяризованные спинорные дублеты частиц
Правополяризованные спинорные синглеты
Токи:
электромагнитные
нейтральные слабые
заряженные слабые
Структурные функции
w(Ji)
Z(Ji)
Г(Ф<)
£>uv(x—у), S)^(x-y)
D^(x-y), 6Qk^(x-y)
Dab(x—y), @)ab(x—y)
Gab(x—y), $ab(x—y)
J,l(x)
(X)
W/(x, q2)
Таблица. Стабильные элементарные частицы
(по состоянию на апрель 1984 г.)
Обозначения: s—пространственный спин, Р—пространственная четность,
7 — изотопический спин, S—странность, С—чарм, В — прелесть.
Символ
Р / S С в
Масса,
МэВ
Время жизни,
		Калибровочные бозоны		
т	1	—	(<310“33)	Стабилен
			80800	< 7 Гэв
г			92900	< 8,5 Гэв
		Лептоны		
ve	х/а		(<46.10-6)	Стабилен
е±	х/а		0,511	»
			0	»
Ц±	1/,		105,659	2,197 10~«
	’/2		< 164	
т±	Х/2		1784,2	3,4-10-13
Нестранные мезоны
л^	0				1	0	0	0	139,567	2,603-10-’
л°	0	—	1	0	0	0	134,963	0,83-10-1»
П	0	—	0	0	0	0	548,8	Г = 0,88 КэВ
				Странные	мезоны		
	0	—	1/2	£ 1	0	0	493,667	1,237-10-’
К0	0	—	1/2	± 1	0	0	497,7	50»/вЯ°, 50»/MKs
	0	—	V»				0,893 10-1»
к1	0	—	*/.				5,183-10-“
275
Чармированные нестранные мезоны					
D± _	0	-	x/2	0	± 1 0	1869	9,2-10-13
Do, До	0	- x/s o	±1 0	1865	4,4-10-13
		Чармированные	странные .	мезоны	
F+	0	-	0	±1	± 1 0	1971	l,9’10-13
		П ре лестные нестранные мезоны			
B± _	0	- x/s 0	0	± 1	5270.8	1,4.10“i3
Bo, Bo	0	-	x/2	0	0	± I	5274,2	
Нестранные барионы
P n	*/ x/,	+ +	^2 X/2	0 0	0 0	0 0	938,279 939,573	Стабилен (> 1032 года) 898
Л	»/,	+	0	Странные барионы — 10	0			1115,60	2,632.10-ю
2+	x/2	+	1	—1	0	0	1189,37	0,8-10-1“
	x/2	+	1	—1	0	0	1192,48	5,8-10-2»
	x/2	+	1	— 1	0	0	1197,35	1,482-10-ю
E°	X/2	+	J/2	—2	0	0	1314,9	2,90-10-ю
s-	x/2	+	x/2	—2	0	0	1321,32	1,641-10-1“
Q-	%		0	—3	0	0	1672,45	0,82-10-1°
			Чармированные барионы					
К*	x/s + О О 1	0	2282	2,3-10—15
Примечание. Сведения о мезонных и барионных резонансах здесь не приводятся;
их можно найти в журнале Review of Modern Physics. Vol, 56, № 2, part II, April 1984.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Приведем некоторые книги и обзоры, в которых содержатся дальнейшие
подробности и ссылки на оригинальные статьи. Последние работы и обзоры, кото-
рые появились в мировой периодической литературе, можно найти в системати-
ческом библиографическом указателе «Сигнальная информация. Частицы и поля»
(Всесоюзный институт научной и технической информации).
Общая (к главам, указанным в скобках)
Абере Е. С., Ли Б, В. Калибровочные теории.— В кн.: Квантовая теория
калибровочных полей. М., 1977, с. 241 (к гл. 2—9).
Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных
полей. М., 1967 (к гл. 1, 4, 7, 9, 10).
Клоуз Ф. Кварки и партоны., М., 1982 (к гл. 6, 11, 12).
Нелипа Н. Ф. Физика элементарных частиц. М., 1977 (к гл. 1, 7—9, 11),
Нелипа Н. Ф. Калибровочные поля и элементарные частицы. Итоги науки.
Сер. Теоретическая физика и элементарные частицы.— М.: ВИНИТИ, 1980
(к гл. 1—12, 14, 15).
Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. М., 1981 (к гл. 3, 6, 8, 14).
Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибро-
вочных полей. М., 1978 (к гл. 2—6, 9, 10).
Тейлор Дж. Калибровочные теории слабых взаимодействий. М., 1978
(к гл. 2—6, 8—10).
Хуанг К. Кварки, лептоны и калибровочные поля. М,, 1985 (к гл. 2—9,
12, 15).
К главе 2
Элементарные частицы и компенсирующие поля: Сб. статей. М., 1964.
# главе 3
М Г р?и б А. А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля.
Бернстейн Дж. Спонтанное .нарушение симметрии, калибровочные тео-
рии, механизм Хиггса и т. п.— В кн.: Квантовая теория калибровочных полей,
М., 1977, с. 120.
Коулмен С. Тайная симметрия: введение в теорию спонтанного нарушения
симметрии и калибровочных полей.— В кн.: Квантовая теория калибровочных
полей. М., 1977, с. 23.
К главам 4, 5
Березин Ф. А. Континуальный интеграл по траекториям в фазовом прост-
ранстве.— УФН, 1980, 132, 497.
Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и
статистике. Л., 1976.
Дирак П. А. М. Лекции по квантовой механике. М., 1968.
П о п о в В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статисти-
ческой физике. М., 1976.
Фейнман Р., Хиббс А, Квантовая механика и интегралы по траекто-
риям. М., 1968.
К главе 6
Глешоу Ш. На пути к объединенной теории—нити в гобелене.— УФН,
1980, 132, 219.
Вайнберг С. Идейные основы единой теории слабых и электромагнитных
взаимодействий.— УФН, 1980, 132, 201.
132 ^229Л 3 М А* Калибровочное объединение фундаментальных сил.—УФН, 1980,
277
К главе 8
Kim J. Е., Langacker Р, Levine М. and W i 11 i a m s H. H. A theore-
tical and experimental review of the weak neutral current: a determination of its
structure and limits on deviations from the minimal SU(2)xU(l) electroweak
theory.—Rev. Mod. Phys., 1981, 53, 211.
Я главе 10
Берестецкий В. Б. Нуль-заряд и асимптотическая свобода.— УФН,
1976, 120, 439.
Владимиров А. А., Ширков Д. В. Ренормализационная группа и
ультрафиолетовые асимптотики.— УФН, 1979, 129, 407.
К главе 11
Иоффе Б. Л., Липатов Л. Н., Хозе В. А. Глубоконеупругие про-
цессы. М., 1983.
Фейнман Р, Взаимодействие фотонов с адронами. М., 1975.
К главе /2
Хорган Р., Жакоб М. Физика частиц при энергиях ускорителей-коллай-
деров.—УФН, 1982, 136, 219.
Yndurain F. J. Quantum Chromodynamics. Springer—Verlag, Heidel-
berg, 1983.
Reya E. Perturbative quantum chromodynamics.—Phys. Rep., 1981, 69C, 195.
К главе 13
Creutz M., Jacobs L., Rebbi C. Monte—Carlo computations in lattice
gauge theories.— Phys. Rep. 1983, 95 , 201.
К ogu t J. B. The lattice gauge theory approach to quantum chromodynamics.—
Rev. Mod. Phys., 1983, 55, 775.
К главе 14
Вайнберг С. Распад протона.—УФН, 1982, 137, 151.
Langacker Р. Grand unified theories and proton decay.—Phys. Rep., 1981,
72C, 185.
К главе 15
Раджараман P. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.,
1984.
Bay a L. J., Carinena J. F., Mateos I. Homotopy and solitons.—
Fortschr. der Phys., 1978, 26, 175.
Faddeev L. D., Korepin V. E. Quantum theory of solitons.—Phys.
Repts., 1978, 42C, 1.
К Заключению
Маринов M. С. Релятивистские струны и дуальные модели сильных вза-
имодействий.— УФН, 1977, 121, 377.
Thomas A. W. Chiral symmetry and bag model.—Adv. in Nucl. Phys.,
1983, 13.
Makeenko Yu. M., M i g d a I A. A. Quantum chromodynamics as dynamics
of loops.— Nucl. Phys., 1981, BI88, 269.
FarhiE., Susskind L. Technicolour—Phys. Rep., 1981, 74C, 277.
Kaul R. K. Technicolour.— Rev. Mod. Phys., 1983, 55, 449.
Fa yet P.: Unified Models of Particles and Interactions, Proc. 21 Intern. Conf,
on High Energy Physics. Ed. by P. Petian, M. Porneuf, Les Editions de Physique,
Paris, 1982, p. 673
Fa yet P., Ferrara S.: Supersymmetry.— Phys. Rep. 1977, 32C, 251.
Введение в супер гравитацию* М., 1985.
van Nieuwenhuizen, Р. Supergravity.— Phys. Rep. 1981, 68 C, 189.
Peccei R. D. Composite Models of Quarks and Leptons.— In Book: Gauge
Theories of the Eighties.— Lecture Notes Phys., Vol. 181, ed. by R. Raitio,
J. Lindfors, Springer, Heidelberg, 1983, p. 355.
Долгов А. Д., Зельдович Й. Б. Космология и элементарные части цы.—
УФН, 1980, 130, 559,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Ли 11
Амплитуда перехода* 19
Аномалии 158
Аномальная размерность 165
Антикоммутирующие переменные 55
Аромат 107
Асимптотическая свобода 167
Вакуум вырожденный 36
—	инвариантный 36
—	невырожденный 36
Вершина взаимодействия 82
Вихри 251
Внутренние преобразования 20
—	свойства 20
Время жизни протона 235
Гамильтонов формализм 16
Генераторы группы 11
—	представления 12
Глубоконеупругая область 129, 180
Глюоны 90
Голдстоуны 37
Гомотопическое отображение 254
Грандобъединение 228
Группа абелева И
—	глобальная 9
—	гомотопическая 254
—	калибровочная 26
, классификация 25
-	Ли 11
—	локальная 9
—	неабелева 11
—	, порядок 11
—	Пуанкаре 10
—	унитарная 20
—	цвета 108
-	21
-	SU2 21
-	SU3 23
Диаграммы неприводимые 74
—	несвязные 74
—	связные 74
—	Фейнмана 20'
Дионные решения 262
Дополнительные условия 59
Древесное приближение 77
Духи Фаддеева — Попова 69
Жесткие процессы 193
Закон площадей 221
Индекс Кронекера 262
—	расходимости диаграммы 146
Инстантон 263
Калибровка аксиальная 67
—	гамильтонова 65
—	кулоновская 65
—	Ландау 86
—	Лоренца 65
—	Фейнмана 86
— а 70
Калибровочные поля абелевы 33
---неабелевы 34
---, самодействие 35
---на решетке 211
Кварки валентные 183
— смешивание 132
— тяжелые 109
—, характеристики 105
—, цвет 107
Кварковая модель 105
Кинк 250
Ковариантная производная 28
Континуальный интеграл 50
---по полям 54
Контурное среднее 220
Конфайнмент кварков 223
Корреляционные функции 226
Коэффициент натяжения струны 223, 225
Лагранжев формализм 15
Лагранжиан взаимодействия 16
—	глобально инвариантный 9
—	квантовой хромодинамики 190
---электродинамики 73
—	локально инвариантный 26
—	полный 16
—	стандартной модели 99
—	эффективный 102
Лидирующее логарифмическое прибли-
жение 203
Матрицы Гелл-Манна 23
—	Дирака 13
—	Кобаяши — Маскава 134
—	Паули 22
279
Мера интегрирования 51
Механизм Хиггса 42
Модель мешков 271
—	Пати — Салама 247
—	Полякова — Хуфта 260
—	синус — Гордона 250
—	струн 271
Монополь 260
Море кварков 183
Мультиплеты изотопические 103
—	унитарные 104
—	чармированные 104
Нарушенный скейлинг 181
Неоднозначность Грибова 66
Неперенормируемые теории 148
Нестабильная фиксированная точка 167
Нормальная размерность 165
Нулевые моды 268
Обобщенные тождества Уорда 152
Операция Я 151
Орбита 65
Остаточная симметрия 46
Параметры смешивания кварков 133
Партонная модель 182
Перенормируемые теории 148
Поколения частиц 229
Поля векторные 13
—	калибровочные 27
—	материи 29
—	скалярные 13
—	спинорные 13
— тензорные 13
Правила сумм для партонов 184
Представления группы неприводимые 14
---приводимые 14
---присоединенные 14
---, размерность 13
---фундаментальные 14
Прелесть 109
Преобразования Беччи — Роу — Стора
155
Производящий функционал 72
Промежуточный бозон 102
Пропагатор 71
Процесс Дрелла — Яна 193
Равновесное состояние 224
Разложение Вильсона 200
Размерная регуляризация 149
Ранг группы 11
Ранний скейлинг 226
Распад протона 235
Расходимости 145
Ренормализационная группа 164
Регуляризация 148
Решетка, квантовая хромодинамика 218
—, классическая хромодинамика 218
—, основные характеристики 211
—, теория фермионов 214
Связи вторичные 58
— первичные 57
Скейлинг 181
Солитоны 248
Составная модель 273
Спонтанное нарушение симметрии 36
Стабильная точка 167
Стандартная модель 96
Структурные константы 25
Струна 271
Супергравитация 273
Суперобъединение 273
Суперсимметричные единые модели 27
Теория на контурах 272
Техницвет 272
Тождества Славнова — Тейлора 152
Ток, заряженный слабый 101, 111
— электромагнитный 100, 111
— нейтральный 101, 111
Топологический заряд 257
Трюк Фаддеева — Попова 68
Угол Кабиббо 134
— смешивания 45, 103
Уравнения ренормгруппы 164
— эволюции (Альтарелли — Паризи)
206
Условие непротиворечивости 57
Фиксированная точка 167
Формализм второго порядка 64
—	первого порядка 64
Фрагментация глюонов 209
—	кварков 209
Функции Грина вершинные 75
—	полные 74
—	связные 74
—	несвязные 74
— распределения глюонов 187
--- кварков 183
--- партонов 187
Функциональный интеграл 50
Хиггсовские бозоны 42
Хронологическое упорядочение 71
Чарм 105
Число Понтрягина 264
Эффективная константа связи 166
— масса 166