Симметрия в физике. Том 1 - Эллиот Дж., Добер П.

Автор: Эллиот Дж. Добер П.

Теги: физика монография симметрия

Год: 1983

Похожие

Лекции по теории ядра

Физический энциклопедический словарь. Том 5. Спектр - Яркость

Квантовая теория полей. Том 3. Суперсимметрия

Стандартная модель и её расширения

Текст

Дж. Эллиот, КДобер
СИММЕТРИЯ В ФИЗИКЕ. Т.1
Двухтомная монография (английских физиков) о принципах симметрии в
физике. В т. 1 кратко изложена теория групп и теория представлений групп,
лежащая в основе теории симметрии, и рассмотрены приложения этой теории к
анализу структуры атомов и кристаллических решеток, а также к описанию
симметрийных свойств ядер и элементарных частиц. В т. 2 рассматриваются
электронная структура молекул, свойства симметрии пространства и времени,
группы перестановок и унитарные группы, свойства частиц во внешних полях.
Для широкого круга физиков и математиков — научных работников,
аспирантов и студентов.
Содержание
Предисловие редакторов перевода 5
Предисловие к первому толу 7
Глава 1. Введение 11
§ 1. Роль симметрии в физике 11
§ 2. Примеры проявления симметрии 13
§ 3. Заключение 20
Глава 2. Группы и их свойства 21
§ 1. Определение группы 21
§ 2. Примеры групп 23
§ 3. Изоморфизм 30
§ 4. Подгруппы 31
§ 5. Прямое произведение групп 32
§ 6. Сопряженные элементы и классы 33
§ 7. Примеры классов 34
§ 8. Классы произведения групп 37
§ 9. Теорема о перечислении групп 38
Литература 38
Задачи 39
Глава 3. Линейная алгебра и векторные пространства 40
§ 1. Линейные векторные пространства 40
§ 2. Примеры линейных векторных пространств 45
§ 3. Линейные операторы 48
§ 4. Умножение и преобразование операторов, обратный оператор 51
§ 5. Сопряженный оператор, унитарные и эрмитовы операторы 53
§ 6. Определение собственных значений 55
§ 7. Индуцированные преобразования функций 56
§ 8. Примеры линейных операторов 59
Литература 63
Задачи 64
Глава 4. Представления групп 65
§ 1. Определение представления группы 65
§ 2. Матричные представления 66

§ 3. Примеры представлений 67
§ 4. Построение инвариантных подпространств 71
§ 5. Неприводимость 74
§ 6. Эквивалентные представления 77
§ 7. Неэквивалентные неприводимые представления 80
§ 8. Свойства ортогональности неприводимых представлений 81
§ 9. Характеры представлений 88
§ 10. Соотношении ортогональности для характеров неприводимых 89
представлений
§11. Приведение представления сиспользованием характеров групп 91
§ 12. Критерий неприводимости 92
§ 13. Число неэквивалентных неприводимых представлений, регулярное 93
представление
§ 14. Второе соотношение ортогональности для характеров групп 96
§ 15. Построение таблицы характеров 97
§ 16. Ортогональность базисных функций неприводимых представлений 98
§ 17. Прямое произведение двух представлений 100-
§ 18. Разложение неприводимого представления при сведении к подгруппе 104
§ 19. Проекционные операторы 106
§ 20. Неприводимые наборы операторов и теорема Вигнера — Эккарта 111
§21. Представления прямого произведения групп 116
Литература 118
Задачи 118
Глава 5. Симметрия в квантовой механике 120
§ 1. Краткий обзор основных понятий квантовой механики 120
§ 2. Симметрия в квантовой системе 125
§ 3. Вырождение и классификация по симметрии собственных значений и 126
собственных функций
§ 4. П ранил а отбора и матричные элементы операторов 128
§ 5. Законы сохранения 130
§ 6. Примеры 131
§ 7. Теория групп и вариационный метод 136
§ 8. Нарушение симметрии при возмущении 139
§ 9. Неразличимость частиц 143
§ 10. Комплексное сопряжение и обращение времени 145
Литература 146
Задачи 146
Глава 6. Молекулярные колебания 148
§ 1. Гармоническое приближение 149
§ 2. Классическое решение 151
§ 3. Квантовомеханическое решение 152
§ 4. Роль симметрии в молекулярных колебаниях 153
§ 5. Классификация нормальных мод 156
§ 6. Колебательные энергетические уровни и волновые функции 161

§ 7. Инфракрасные спектры поглощения и спектры комбинационного 165
рассеяния молекул
§ 8. Картина смещений и частоты нормальных колебаний 168
Литература 170
Задачи 171
Глава 7. Непрерывные группы и их представления, группы вращений 172
§ 1. Общие замечании 172
§ 2. Инфинитезимальные операторы 174
§ 3. Группа Щ 179
§4. Группа^ 184
§ 5. Оператор Казимира 203
§ 6. Двузначные представления 205
§ 7. Комплексно-сопряженное представление 208
Литература 209
Задачи 210
Глава 8. Угловой момент и группа $Щ, приложение к структуре атома 212
§ 1. Вращательная инвариантность и ее следствия 212
§ 2. Орбитальный угловой момент системы частиц 214
§ 3. Сложение угловых моментов 216
§ 4. Внутренний спин 218
§ 5. Атом водорода 226
§ 6. Строение многоэлектронных атомов 231
Литература 247
Задачи 248
Глава 9. Точечные группы и их применение в теории кристаллического 249
поля
§ 1. Операции точечной группы и обозначения 250
§ 2. Стереопроекция 251
§ 3. Перечисление точечных групп 253
§ 4. Структура классов точечных групп 260
§ 5. Кристаллографические точечные группы 265
§ 6. Неприводимые представления точечных групп 267
§ 7. Двузначные представления точечных групп 270
§ 8. Обращение времени и магнитные точечные группы 273
§ 9. Расщепление атомных уровней в кристаллическом поле 275
Литература 286
Задачи 287
Глава 10. Изоспин и группа SU2 289
§ 1. Изоспин в ядрах 290
§ 2. Изоспин и элементарные частицы 302
§ 3. Изоспиновая симметрия и зарядовая независимость 304
Литература 305

Задачи 306
Глава 11. Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 307
§ 1. Некоторые сведения об элементарных частицах 308
§ 2. Гиперзаряд 313
§ 3. Барионный заряд 314
§4. Группа SU3 315
§ 5. Подгруппы группы БЩ 316
§ 6. Неприводимые представления группы SU3 311
§ 7. Классификация адронов по 5С/з-мультиплетам 330
§ 8. Формула расщепления масс 332
§ 9. Электромагнитные эффекты 336
§ 10. Операторы Казимира 338
Литература 340
Задачи 340
Глава 12. Супермультиплеты в ядрах и супермультиплеты 342
элементарных частиц — группы SU3 и SU6. Кварковые модели
§1. Ядерные супермультиплеты 342
§ 2. Супермультиплеты элементарных частиц 348
§ 3. Трехкварковая модель 350
§ 4. Девятикварковая модель 356
§ 5. Очарование 358
Литература 359
Задачи 359

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Книга Дж. Эллиота и П. Добера представляет собой
результат многолетнего труда авторов по созданию само-
самостоятельного курса, посвященного принципам симметрии
в физике. Основным стимулом в этой их работе явилось,
по-видимому, сознание того, что, хотя многие разделы
физики (прежде всего физика атомов, молекул, кристал-
кристаллов, а также атомных ядер и элементарных частиц) стали
полем активного приложения абстрактных математиче-
математических идей теории групп, лежащей в основе теории сим-
симметрии, еще с 20-х гг., знакомство широких кругов физи-
физиков с этим направлением и соответствующим математиче-
математическим аппаратом все еще явно недостаточно. Дело в том,
что математики излагают теорию групп для физиков
слишком абстрактно, а в физике приложения теории
групп оказываются расчлененными по разным разделам,
из-за чего исчезает ощущение единства физической науки,
общности идей и методов. Мы, приступая к работе над
русским изданием, руководствовались еще и тем сообра-
соображением, что со времени издания у нас в стране лучших
книг на данную тему — классических трудов Вигнера и
Вейля — прошло уже свыше десяти лет и в настоящее
время ощущается некоторая нехватка учебной литера-
литературы комплексного характера по такого рода вопросам.
Этот недостаток и призвана восполнить книга, предла-
предлагаемая вниманию читателей.
Книга Дж. Эллиота и П. Добера написана с большим
методическим мастерством, и ее структура отвечает инте-
интересам широких кругов читателей. В русском издании
она, как и в английском, делится на два тома. В первом
томе излагаются основы теории групп и ее простейшие
приложения. Второй том следует рассматривать как спец-
спецкурс, посвященный более сложным и разнообразным при-

Предисловие редакторов перевода
ложениям этой теории в различных разделах физики.
Математическое изложение теории групп в данном, пер-
первом томе, занимая не более одной пятой всего объема
двухтомной книги, сочетает достаточную математическую
строгость с исключительной физической ясностью. Те,
кто'знаком с теорией групп, найдут в первом томе физиче-
физические приложения. «Новички» вообще могут ограничиться
чтением первого тома. Специалисты по физике атомов и
молекул, твердых тел, ядер и элементарных частиц могут
при желании читать лишь те главы, которые их непосред-
непосредственно интересуют, опуская без ущерба остальные. Чи-
Читателями первого тома (как и второго) могут быть сту-
студенты, аспиранты, научные работники (физики и матема-
математики) самой различной специализации. Подробно о со-
содержании книги говорится в предисловии самих авторов.
При переводе были исправлены немногочисленные
опечатки английского издания, а обозначения несколько
приближены к более принятым в отечественной литера-
литературе. Перевод выполнили канд. хим. наук М. Ю. Анти-
Антипин (гл. 1—6, приложения 1, 2), канд. физ.-мат. наук
Ю. М. Зиновьев (гл. 7, 16—18, приложения 3, 6), д-р
физ.-мат. наук, профессор Ю. Г. Рудой (предисловия к
обоим томам, гл. 8, 9, 13, J4, 20, приложение 5) и канд.
физ.-мат. наук А. Ю. Таранов (гл. 10—12, 15, 19, при-
приложение 4).
//. С. Желудев
Д. А. Славное

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ТОМУ
При изучении любой физической системы мы довольно
быстро обнаруживаем у нее те или иные проявления ре-
регулярности — так называемые симметрии, которые тре-
требуют своего объяснения, причем мы уверены, что, не-
несмотря на сложность системы, объяснение должно быть
простым. Столь оптимистическая точка зрения, пронизы-
пронизывающая не только физику, но и всю науку вообще, вполне
оправдывается существованием общей теории симметрии,
применяемой почти во всех областях физики и в особен-
особенности в квантовой физике. Цель нашей книги состоит в из-
изложении теории симметрии п изучении ее приложений
к широкому кругу физических систем.
Книга выросла из нескольких курсов лекций, читав-
читавшихся нами в Сассексом университете на протяжении по-
последних десяти лет. Один из курсов был общим введением
в теорию симметрии и предназначался для студентов
третьего года обучения, второй был посвящен примене-
применению симметрии в физике твердого тела и читался аспи-
аспирантам, а третий, тоже для аспирантов, посвящался при-
применению симметрии в физике атомов, ядра и элементар-
элементарных частиц. Поэтому данная книга может быть полезна
изучающим любой из указанных разделов физики. Мы
считаем, что гл. 1—5 содержат материал, минимально
необходимый любому изучающему симметрию, причем
студенты, прослушавшие курс линейной алгебры, обна-
обнаружат, что большая часть гл. 3 им хорошо знакома и
может быть прочитана очень быстро. Остальные главы
первого тома (гл. 6—12) содержат широкий круг прило-
приложений, вполне достаточный для студенческого курса.
В пределах первого тома допустимо даже ограничиться
чтением гл. 6—9, опустив гл. 10—12, где изложены воп-
вопросы физики ядра и элементарных частиц; можно также

8 Предисловие к первому тому
опустить гл. 6 и 9, посвященные точечным группам. Вто-
Второй том предназначается для более серьезного изучения
на уровне аспирантов и может также служить дополни-
дополнительным чтением для наиболее вдумчивых студентов.
'рМ В гл. 1 на очень простых примерах вводится понятие
симметрии и отмечаются наиболее общие следствия, обя-
обязанные наличию симметрии. В следующих трех главах
(гл. 2—4) мы оставляем физику в стороне и готовим в це-
целях дальнейшего использования математический аппа-
аппарат — прежде всего теорию групп (гл. 2) и линейную ал-
алгебру (гл. 3). В гл. 4 оба эти понятия объединяются на ос-
основе понятия представлений групп; именно этот аспект
теории групп чаще всего используется в теории симмет-
симметрии. К физике мы возвращаемся в гл. 5, где дается крат-
краткая сводка основных идей квантовой механики и общая
характеристика влияния симметрии на квантовые сис-
системы. Остальная часть книги посвящена приложениям
теории симметрии к различным физическим системам и
более детальному изучению соответствующих групп. Мы
рассматриваем широкий круг приложений — от молеку-
молекулярных колебаний до элементарных частиц, причем во
всех случаях ставим себе целью дать изложение основных
положений, достаточное для того, чтобы читатель, не
знакомый с данной физической системой, сумел оценить
роль, которую играет для этой системы симметрия. Каж-
Каждое из таких приложений в достаточной степени замкнуто,
причем степень сложности описываемых систем нарастает
к концу книги. Первое из физических явлений, подробно
разобранных в книге (гл. 6),— молекулярные колебания.
На^этом примере удается проиллюстрировать результаты
применения симметрии еще в классической механике, до
перехода к квантовой теории. В гл. 7 и 8 рассматривается
симметрия по отношению к вращениям и указывается
ее применение к строению атомов. Именно здесь мы впер-
впервые встречаем понятие непрерывной группы с бесконеч-
бесконечным числом элементов (или операций симметрии), и
здесь же излагаются основные свойства таких групп.
В гл. 9 весьма подробно рассматриваются свойства так
называемых «точечных групп», содержащих лишь конеч-
конечное число вращений, и с их помощью исследуется влияние
кристаллического поля на атомные состояния. В гл. 10—
12 мы рассматриваем более абстрактные симметрии, ветре-

Предисловие к первому тому
чающиеся в физике ядер и элементарных частиц, но
пользуемся той же общей теорией, что и развитая ранее
для более конкретных приложений. В этих главах вво-
вводятся группы унитарных преобразований с размерностью
два, три, четыре и шесть. Они используются затем для
описания наблюдаемых симметрии между протонами и
нейтронами, а также некоторых регулярных свойств
недавно открытых короткоживущих элементарных час-
частиц. В частности, раскрывается содержание понятий
«странность» и «кварки».
Второй том начинается с дальнейших приложений то-
точечных групп — на этот раз к движению электронов
в молекуле (гл. 13), а затем (гл. 14) мы переходим от сим-
симметрии с неподвижной точкой к изучению дискретных
трансляций (переносов) и их применению в теории крис-
кристаллической структуры. Как известно, специальная тео-
теория относительности имеет фундаментальное значение во
всей физике и приобретает практическое значение, когда
скорости движения становятся сравнимыми со скоростью
света. Для всех систем, рассмотренных в первом томе,
ввиду достаточной малости скоростей частиц было до-
допустимо игнорировать выводы специальной теории отно-
относительности. В гл. 15 рассматривается симметрия в че-
четырехмерном пространстве — времени, лежащая в основе
специальной теории относительности. Анализируются так-
также следствия этой симметрии, в особенности связанные
с классификацией элементарных частиц. Понятия им-
импульса, энергии, массы и спина интерпретируются с точки
зрения теории симметрии на основе групп Лоренца и Пуан-
Пуанкаре, причем удается определить естественное место в тео-
теории частиц с нулевой массой покоя (таких, как фотон).
Гл. 16 посвящена полям, в отличие от предшествующих
глав, где речь шла только о частицах и системах частиц.
Мы рассматриваем прежде всего классические поля (та-
(такие, как электромагнитное), используя четырехмерное
пространство — время. Затем дается краткий очерк тео-
теории релятивистских квантовых полей, которая допускает
возможность рождения и уничтожения частиц и сущест-
существования античастиц.
В гл. 17 и 18 подробно рассматриваются две общие
группы: «симметрическая» группа всех перестановок п
объектов и «унитарная» группа в N измерениях и разби-

10 Предисловие к первому тому
рается вопрос о связи между ними. Частные случаи этпх
двух групп уже встречались в предшествующих главах.
В гл. 19 описаны некоторые неожиданные симметрии
в двух знакомых потенциалах — кулоновском и парабо-
параболическом (потенциале гармонического осциллятора). В по-
последней главе (гл. 20) собраны небольшие и мало связан-
связанные друг с другом, но весьма интересные темы.
Ш В текст включены проработанные примеры и подоб-
подобраны задачи с решениями. Для читателей, интересую-
интересующихся более детальным анализом физических приложе-
приложений или желающих глубже изучить математические воп-
вопросы, в конце каждой главы дается список дополнитель-
дополнительной литературы.
Для удобства читателей мы пользовались общепри-
общепринятыми обозначениями: курсивом для алгебраических
символов (например, х, у, z) и прямым латинским шрифтом
для операторов. Так, оператор и матрица обозначаются
символом Т, а матричные элементы (числа) — курсив-
курсивными буквами Tij. Кроме того, векторы обозначаются
прямыми жирными буквами, а в гл. 15 и 16 (т. 2) встре-
встречаются четырехвекторы ё с крышкой над буквой.
Дж. Э.
П. Д.
Брайтон, Сассекс, 1979

1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. РОЛЬ СИММЕТРИИ В ФИЗИКЕ
В «Кратком Оксфордском словаре» симметрия опреде-
определяется как «Красота, обусловленная пропорциональнос-
пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подо-
подобием, гармонией, согласованностью». Хотя в физике очень
много сложного, в ней также много простоты и изящества,
что в значительной мере обусловлено симметрией физиче-
физических законов и физических систем. В соответствии с этим
симметрия не только занимает важное место в физике, но
и играет все возрастающую роль в современных физиче-
физических исследованиях. Чтобы с общей точки зрения объяс-
объяснить, почему наличие симметрии приводит к многочис-
многочисленным упрощениям физической картины как в класси-
классической, так и в квантовой механике, мы и написали свою
книгу. Общие положения в ней иллюстрируются конкрет-
конкретными простыми свойствами кристаллов, молекул, атомов,
ядер и элементарных частиц. Хотя эти физические сис-
системы столь очевидно различаются между собой, все они
тем не менее могут быть рассмотрены с позиций единой
теории симметрии. Таким образом, изучение симметрии
способствует установлению единства физики, выявляя
сходство между ее различными областями.
Симметрия играет некую роль и в классической, не
только в квантовой, физике, но именно в последней ее
проявления наиболее интересны. Это объясняется рядом
причин. С одной стороны, на микроскопическом уровне,
где, например, один электрон неотличим от любого дру-
другого электрона и всякий атом, скажем атом углерода,
идентичен любому атому того же типа, можно найти зна-
значительно больше симметричного в природе. С другой сто-
стороны, квантовая механика, которой приходится пользо-
пользоваться на микроскопическом уровне, будучи значительно
сложнее классической, в большей мере упрощается при

12 Глава 1
наличии симметрии. Примером может служить то, что
частица описывается не заданием ее положения, а зада-
заданием волновой функции. Важно и то, что исследования
строения атомных и субатомных систем представляют со-
собой сейчас передний край науки, и здесь идеи симметрии
помогают отыскивать порядок в кажущемся хаосе.
Как рабочим инструментом для изучения следствий
принимаемых теорий или моделей в физике пользуются
математикой. Например, при прямолинейном движении
частицы с массой М в направлении оси х под действием
силы f(x), согласно закону физики (ньютоновской тео-
теории), мы имеем /(х)—М(d2x/dP). Чтобы выразить коорди-
координату x(t) через время t при заданной функции f(x), нужно
решить это дифференциальное уравнение с учетом началь-
начальных значений величин х и dxldt. Для этого в ньютоновской
механике соответствующим математическим аппаратом
оказывается дифференциальное и интегральное исчисле-
исчисления. Изучая же симметрию физических систем, мы рас-
рассматриваем их поведение при различных преобразова-
преобразованиях. Например, если частица движется прямолинейно
в поле с потенциалом V(x), то этот потенциал может иметь
зеркальную симметрию относительно начала координат,
т. е. удовлетворять равенству V(—x) = V(x). В таком
случае говорят, что потенциал инвариантен относительно
преобразования, заменяющего х на —х. В случае же час-
частицы, движущейся в трех измерениях, потенциал может
обладать сферической симметрией, т. е. в сферических
солярных координатах иметь вид V(r) и не зависеть от
угла. Такой потенциал инвариантен относительно любого
преобразования, состоящего в повороте на произвольный
угол вокруг произвольной оси, проходящей через начало
координат (число таких преобразований бесконечно!).
Чтобы исследовать физические следствия симметрии
системы, мы, очевидно, должны узнать кое-что о преобра-
преобразованиях и в особенности о множестве (совокупности)
преобразований, оставляющих неизменными некоторые
функции типа потенциала. Теория, рассматривающая та-
такие совокупности преобразований, называемая матема-
математиками «теорией групп», и есть тот математический аппа-
аппарат, которым пользуются физики при изучении симметрии.
Интересно проследить аналогию между применением
дифференциального и интегрального исчислений в клас-

Введение 13
сической механике и теории групп — в квантовой. Исто-
Исторически открытие законов Ньютона и изобретение диф-
дифференциального и интегрального исчислений, датирован-
датированные семнадцатым веком, примерно совпадают во вре-
времени. Идеи теории групп возникли в математике еще
в 1810 г., но наиболее важная для исследования симмет-
симметрии теория представлений получила развитие лишь
в 20-х годах нынешнего века. Именно в эти годы физики
создавали квантовую теорию. И действительно, важное
значение симметрии для квантовой механики было уста-
установлено очень скоро в классических работах Вигнера
A931), Вейля A928) и Ван-дер-Вердена A932).
Всегда были приверженцы того мнения, что использо-
использовать теорию групп в квантовой механике необязательно.
В определенном смысле это верно, поскольку теория групп
сама построена из простейших алгебраических действий
Тем не менее затраты сил на изучение столь тонкого и
сложного аппарата, как теория групп, быстро окупаются,
ибо она позволяет внести красивую простоту и общность
в исследование сложных квантовомеханических систем.
В конце концов дифференциальное и интегральное исчис-
исчисления ведь тоже можно считать необязательными для
классической механики. Например, движение по эллип-
эллиптической орбите можно вывести из закона обратной про-
пропорциональности сил гравитационного притяжения квад-
квадрату расстояния путем лишь геометрических рассужде-
рассуждений. И сам Ньютон первоначально пользовался именно
таким методом, но в настоящее время мы обосновываем
этот результат, решая дифференциальное уравнение. За-
Заглядывая вперед, очень интересно задуматься над тем,
какие новые блестящие достижения физики и матема-
математики возможны в результате их дальнейшего параллель-
параллельного развития.
§ 2. ПРИМЕРЫ ПРОЯВЛЕНИЯ СИММЕТРИИ
4|,Чтобы оживить интерес читателя, мы перечислим ниже
ряд физических систем, обладающих симметрией, и от-
отметим их некоторые свойства, являющиеся прямыми след-
следствиями симметрии. Сначала приведем простейшие при-
примеры. Хотя в некоторых случаях мы можем связать сим-
симметрию со свойствами, не прибегая к новым методам, это,

14 Глава 1
конечно, не всегда возможно. Целью данной книги яв-
является как раз общий анализ следствий существования
симметрии, и, лишь преодолев значительную часть книги,
читатель будет в состоянии понимать и предсказывать
поведение систем со сложной симметрией.
А. Классическая частица в одном измерении
Движение частицы с массой М в одном измерении
в поле с потенциалом V(x) описывается уравнением
Мх = — dV/dx. A.1)
Предположим теперь, что V(x) — не зависящая от х
константа, другими словами, что потенциал инвариантен
относительно трансляций. Тогда ясно, что Мх=0. Ин-
Интегрируя, получаем Мх=С, т. е. закон сохранения (по-
(постоянства) импульса Мх.
Б. Классическая частица в двух измерениях
Движение частицы в двух измерениях определяется
двумя уравнениями:
= — dV/дх, My = — dV/dy. A.2)
Пусть теперь потенциал V(x, у) инвариантен относительно
вращения вокруг начала координат, т. е. если перейти
от декартовых координат х, у к полярным г и 8, то V (х, у)
не зависит от полярного угла 8. В этом случае dF/d6=O.
Однако
dV___dx_dV_ dy_dV___ dV_ SV_
~W ~~ dQ дх "т" dQ ~dy ~ У дх ~"~ Х ду '
и, используя уравнения A.2), получаем
ЯТ/" •• •• /7 • •
-щ = М {ух— xy)^M-^ (ух—ху),
т. е. инвариантность dF/<39=0 означает постоянство вы-
выражения М (ух—ху) — момента количества движения (или
углового момента) относительно оси, проходящей через
начало координат перпендикулярно плоскости.
Если частица, движущаяся свободно в трех измере-
измерениях, находится в поле с потенциалом, инвариантным от-

Введение
15
носительно поворотов вокруг любой оси, то аналогичные
рассуждения показывают, ч"то постоянна любая компо-
компонента углового момента. Другими словами, в случае сфе-
сферически-симметричного потенциала сохраняются как ве-
величина, так и направление углового момента.
В. Две классические частицы, соединенные пружинами
Две частицы одинаковой массы М связаны между
собой, а также с неподвижными опорами одинаковыми
параллельньши пружинами с коэффициентом упругости Я.
Пусть длина ненагруженной пружины равна а и опоры
расположены на расстоянии За друг от друга. Обозначим
смещения двух частиц из их положений равновесия через
хг и х2. Хотя общее смещение (рис. 1.1) не обладает сим-
А
Б
а
Рис. 1.1.
метриеи, интуиция подсказывает, что система в некотором
смысле симметрична относительно средней линии. Дейст-
Действительно, кинетическая Т и потенциальная V энергии,
инвариантны относительно перестановки х± и хг — пре-
преобразования координат Xi и х2 при отражении относи-
относительно линии А В.
В данном случае следствия симметрии не столь су-
существенны, однако приложение общих результатов к ко-
колебаниям атомов относительно их равновесных позиций
в молекуле весьма важно. Поэтому мы решим полностью

16 Глава 1
эту простую задачу. Система дифференциальных уравне-
уравнений движения имеет вид
Мхг = — "Кхг—% (хг + х2),
Мх2 = — Ъх2—К (хх -f- х2),
что позволяет ввести новые координаты Q1=x1-\-x2 и
Q2=Xi—z2. Тогда, складывая и вычитая два уравнения
системы, найдем
откуда видно, что в новых координатах Qt и Q2 мы имеем
простые гармонические колебания Qi~cos со*? с часто-
частотами со1=(ЗЯ/М)'''г и wa=(X/MI/: В исходных координа-
координатах хг и х2 у нас будут суперпозиции этих простых коле-
колебаний, поскольку Xi=1/2(Q1-\-Q2) и x2=1/2(Q1—Q2). Но-
Новые координаты Qu Q2 и соответствующие частоты обычно
называют нормальными координатами и нормальными час-
частотами.
Заметим, что координата Q± оказывается четной, а
(~>г — нечетной относительно отражения. Если мы обозна-
обозначим такое отражение буквой ст, то а<?1=(?1 и о<22=—<?г-
Другими словами, новые координаты при отражении пре-
преобразуются проще, чем исходные ж* и х2, и, кроме того,
уравнения движения, записанные в новых координатах,
оказываются независимыми.
В более сложных задачах не всегда удается так легко
разделить все уравнения движения, но тем не менее,
выбирая новые координаты, «проще» преобразующиеся
при симметрических операциях, можно существенно
уменьшить степень смешивания уравнений. Опять-таки,
хотя из данного примера ясно, что Qx и Q2 преобразуются
простейшим возможным образом, для случаев более сло-
сложной симметрии придется определить и исследовать само
понятие «простота». Это будет сделано в гл. 4. Например,
для молекулы NH3, содержащей 4 атома и имеющей в об-
общей сложности 12 степеней свободы, соображения сим-
симметрии позволяют в случае малых колебаний уменьшить
число связанных между собой уравнений движения от
двенадцати до двух. Общие принципы применения сооб-
соображений симметрии в теории нормальных колебаний бу-
будут рассмотрены в гл. 6 на примере колебаний молекул.

Введение 17
Г. Частица в трех измерениях в квантовой механике,
сферическая симметрия и вырождение
В квантовой механике энергетические уровни частицы,
движущейся в поле со сферически-симметричным потен-
потенциалом, являются вырожденными: однойяи той^же энер-
энергии отвечают несколько независимых волновых функций.
К таким системам относится атом водорода, единственный
электрон которого движется в электростатическом поле
протона. Попросту говоря, причина такого вырождения
заключается в том, что в отсутствие какого-либо выделен-
выделенного направления в пространстве энергия не может, оче-
очевидно, зависеть от направления вектора углового мо-
момента. В квантовой механике отсутствие такой зависи-
зависимости выражается в вырождении. Если сферическая сим-
симметрия нарушается, например, вследствие включения
магнитного поля, то вырождение «снимается» и возникает
«мультиплет», состоящий из нескольких близко распо-
расположенных уровней энергии, как, например, при зеема-
новском расщеплении.
Сферическую симметрию можно также нарушить, по-
поместив атом во внешнее поле, которое обладает симмет-
симметрией относительно некоторых вращений, хотя не является
сферически-симметричным. В таком случае вырождение
снимается лишь частично. Подобные явления в атоме,
находящемся в кристаллическом поле, будут подробно
рассмотрены в гл. 9.
Вырождение вследствие сферической симметрии с фи-
физической точки зрения легко объяснить, рассматривая
ориентацию вектора углового момента, но существование
вырождения характерно вообще для всякой симметрии.
Действительно, возьмем уравнение Шредингера Нф=?''ф,
где Н — оператор Гамильтона, Е — энергия и "ф — вол-
волновая функция. Выполним преобразование координат,
переводящее о|з в \|/ и Н в Н'; преобразовав обе части
уравнения Шредингера, будем иметь Н'-ф' =?Чр'. Энер-
Энергия, будучи числовой величиной, не изменяется при пре-
преобразовании. Теперь предположим, что гамильтониан Н'
инвариантен относительно преобразования, т. е. Н=Н'.
Тогда Нф' =Ety', т. е. а|/— собственная функция исход-
исходного гамильтониана, отвечающая той же энергии, чта
и а|). Следовательно, если я|/ не является с точностью до

18 Глава 1
постоянного множителя той же самой функцией, что и ty,
мы имеем по меньшей мере двукратное вырождение уров-
уровней с энергией Е. В гл. 5 мы увидим, как (вне зависимости
от точного вида гамильтониана) структура вырожденных
мультиплетов следует только из симметрии системы.
Д. Частица в одном измерении в квантовой механике,
четность и правила отбора
Рассмотрим с точки зрения квантовой механики дви-
движение частицы в одном измерении под действием четного
потенциала V(x) = V(—-x). Вследствие такой простейшей
симметрии собственные функции гамильтониана оказы-
оказываются либо четными, либо нечетными функциями пере-
переменной х. В самом деле, если Hty(x)=Ety(x), то и Нг|)(—х) =
=Ety(—х), как в п. «Г». Следовательно, ty(x) и г|)(—х)
отвечают одной и той же энергии, так что в предположении
об отсутствии вырождения эти две функции физически
идентичны. Следовательно, ¦»];(—х)=сгр(х), где с — кон-
константа. Но это означает, что г|)(ж)=сг|)(—х), а также что
ty(z)=c'zty(x), откуда с2=1, с=±1. Таким образом, i|) (x)
является либо четной, либо нечетной функцией, но не
может быть чем-либо другим. Характеристику с называют
четностью функции тр(х). Если имеется вырождение, то
мы не можем сказать, что г|)(—x)=cty(x). Но в этом слу-
случае в качестве пары вырожденных собственных функций
можно выбрать линейные комбинации {Ф(я)±1|)(—х)}/У2,
одна из которых будет четной, а другая — нечетной.
(Можно показать, что в одномерном случае вырождения
не бывает, но в трехмерном случае, на который легко
обобщить сказанное выше, вырождение возможно.)
На данном примере можно рассмотреть еще одно след-
следствие симметрии, а именно понятие «правил отбора»
в квантовой механике. Вероятность перехода системы из
некоторого начального состояния i|)j в конечное состояние
tyf пропорциональна квадрату интеграла
/ = \ \p*f (x) g (x) xpi (x) dx,
— oo
где вид множителя g(x) зависит от способа перехода.
Если подынтегральное выражение нечетно, то интеграл,

Введение 19
очевидно, обращается в нуль. Следовательно, если g(x) —
четная функция аргумента х, то интеграл отличен от
нуля только тогда, когда функции г|;г и "фу либо обе четны,
либо обе нечетны, т. е. «четность» исходного и конечного
состояний одинакова. Если же g(x) — нечетная функция,
то начальное и конечное состояния должны иметь разную
четность. Если интеграл / = 0, то и вероятность перехода
равна нулю — отсюда и выражение «правило отбора».
Е. Поиски симметрии, физика элементарных частиц
При изложении теории симметрии в физике вполне
естественно анализировать следствия существования той
или иной симметрии, но при этом всегда следует помнить,
что в эксперименте мы наблюдаем следствия и лишь затем
выясняем, какая симметрия может их вызывать. Такой
процесс поиска — двусторонний, как и бывает обычно
при разработке физической теории. Экспериментальные
данные указывают на возможные типы симметрии; ана-
анализируя следствия симметрии, делают предсказания, для
проверки которых проводят новые эксперименты.
Прекрасный пример такого метода исследований дает
нынешняя физика элементарных частиц. Массы нейтрона
и протона почти одинаковы, то же наблюдается и для
п+-, л~- и я°-мезонов. Подобные мультиплеты характерны
даже для всех наблюдаемых элементарных частиц. По-
Поскольку масса релятивистски связана с энергией, сущест-
существование массовых мультиплетов свидетельствует о сим-
симметрии фундаментального гамильтониана. Так как раз-
различные составляющие мультиплета заряжены по-разному,
симметрические операторы должны, по-видимому, вклю-
включать преобразования «зарядовых координат» частиц. Раз-
Развитие этой идеи привело к концепции «изоспина», чрез-
чрезвычайно важной для интерпретации как структуры ядра,
так и свойств элементарных частиц (гл. 10).
С возрастанием энергий современных ускорителей
в последние годы обнаруживается все больше элементар-
элементарных частиц. Некоторые зарядовые мультиплеты, о кото-
которых говорилось выше, по-видимому, имеют одинаковую
массу. Кроме того, было постулировано существование и
больших мультиплетов. Это в свою очередь потребовало
наличия симметрии более высокой, чем описываемой
изоспином. Ее назвали симметрией SU3 — обозначение

20 Глава 1
¦будет объяснено в гл. 11. К сожалению, S?/3-мультиплеты
¦обнаруживают значительное расщепление, что свиде-
свидетельствует о более низкой симметрии некоторых сущест-
существенных членов гамильтониана (подобно тому как для
атома зеемановское расщепление говорит о снятии сфери-
сферической симметрии в магнитном поле).
§ 3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выше были приведены примеры самых разнообразных
физических систем, и во всех случаях к ним применима
одна и та же общая теория симметрии. Перечислим еще
раз самые важные следствия существования симметрии
в квантовомехапических системах: 1) законы сохранения;
2) энергетическое вырождение; 3) «простота» преобразо-
преобразования собственных функций при операциях симметрии и
существование для них симметрийного индекса, не зави-
зависящего от частного вида гамильтониана; 4) правила от-
отбора; 5) соотношения между матричными элементами
наблюдаемых величин. Конечно, не все эти следствия
могут наблюдаться в случаях простой симметрии.
В предыдущих примерах мы так или иначе рассмот-
рассмотрели все эти проявления симметрии, кроме п. 5. Здесь
мы не будем на этом останавливаться, но последнее след-
следствие наблюдается при зеемановском расщеплении атом-
атомных уровней. Энергетический сдвиг разных состояний
в любом данном мультиплете пропорционален их угло-
угловому моменту по отношению к направлению поля, и это
не зависит от детальной структуры волновой функции.
Таким образом, в данном примере матричные элементы
достаточно просто связаны друг с другом, хотя их абсо-
абсолютные значения вычислить, вообще говоря, трудно.
Другим примером следствия 5 могут служить формулы
масс ядер и элементарных частиц. В этом случае малые
различия в массе между компонентами изоспинового
мультиплета очень просто связаны между собой. Вообще
же говоря, различия масс частиц S?/3-мультиплетов тре-
требуют более сложных формул, поскольку симметрия здесь
сложнее. Однако везде действует тот же принцип, что и в
случае зеемановского расщепления. Все упомянутые в этом
введении примеры будут подробно рассмотрены далее.
Но прежде всего нам следует овладеть соответствующим
математическим аппаратом — этому посвящены гл. 2—4.

ГРУППЫ И ИХ СВОЙСТВА
В данной главе мы введем понятие группы, рассмот-
рассмотрим основные свойства ее элементов и приведем примеры
нескольких простейших групп. Свойства специальных
групп, важных в физических приложениях, будут под-
подробно рассмотрены в следующих главах.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ
Хотя мы скоро перейдем к весьма конкретным приме-
примерам, начнем все же с абстрактного определения группы,
при всей своей поразительной простоте влекущего за со-
собой множество важных следствий.
Совокупность Ъ элементов G1; G2, G3, . . . называется
группой, если задан закон «умножения» элементов,
удовлетворяющий определенным требованиям. Результат
умножения двух элементов Ga и Gb называется, естест-
естественно, их произведением и обозначается через GaG;,.
Упомянутые требования таковы.
1. Произведение GaG;, любых двух элементов тоже
должно быть элементом данной совокупности, т. е.
GaGb = Gd, где Gd— элемент группы $, B.1)
2. При перемножении трех элементов Ga, G^ и Gc
не должно иметь значения, какое произведение вычис-
вычисляется первым, другими словами:
GAGbGc) = (GaGb)Gel B.2)
где действие умножения внутри скобок выполняется
в первую очередь. Это означает, что скобки не нужны и
произведение трех элементов можно просто записать
в виде GaGbGc.
3. Один из элементов совокупности, который обычно
обозначают через Е и называют единичным элементом,

22 Глава 2
обязан иметь следующие свойства:
EGa = Ga, GttE = Gfl, B.3)
для любого Ga из набора %.
4. Каждому элементу Ga из совокупности должен со-
соответствовать другой элемент той же совокупности, обо-
обозначаемый через G^1 и называемый «обратным» элементу
Ga. Этот элемент имеет следующие свойства:
GaG-i = E, G-1Ga = E. B.4)
Вообще говоря, изменять порядок умножения элемен-
элементов группы не разрешается; другими словами, GaGb —
это, вообще говоря, не тот же самый элемент, что и GbGa.
Группы, в которых GaGt,=GbGa для любых элементов
Ga и Gj, называются «абелевыми»; они редко встре-
встречаются в физических задачах. Элементы абелевых групп
называют «коммутирующими».
Заметим, что элемент, обратный произведению GaGb,
равен
(G^-^G^G-1. B.5)
Это сразу же следует из определения
если умножить справа обе части этого равенства вначале
на G^, а потом на G^1. Результаты умножения GeGj,=G<j
элементов данной группы "§ удобно записывать в виде
таблицы умножения, где строки и столбцы обозна-
обозначены символами групповых элементов, а результат Gd
умножения GaGb находится на пересечении строки Ga
со столбцом Gj. Из определения группы следует, что
каждый элемент группы должен встретиться в каждой
строке и каждом столбце один и только один раз.
Мы не ограничивали число элементов в группе. Оно
может быть конечным (и тогда его обозначают буквой g
и называют «порядком» группы), но может быть и беско-
бесконечным. В соответствии с этим и группа называется ко-
конечной или бесконечной. В данной книге мы будем рас-
рассматривать как конечные, так и бесконечные группы,
поскольку и те и другие имеют большое значение для фи-
физики. Многие общие свойства групп, о которых пойдет
речь здесь, а также в гл. 4, не зависят от того, является ли

Группы, и их свойства
23
группа конечной или бесконечной. Но в некоторых слу-
случаях приходится проводить отдельные доказательства.
Конечные группы несколько проще; из бесконечных
групп мы затронем лишь «непрерывные», которые весьма
часто встречаются при анализе интересующих нас физи-
физических задач. Так называются группы, элементы которых
обозначаются не дискретными символами а или Ь, а не-
непрерывно меняющимися параметрами. В этом случае при
малом изменении параметра можно непрерывно перейти
от одного элемента группы к другому.
§ 2. ПРИМЕРЫ ГРУПП
Простейший пример элементов группы — обычные чис-
числа с обычным законом умножения; два наших первых
примера именно таковы.
1. Два числа 1 и —1 образуют группу. Единичный
элемент — это, естественно, 1. Элемент, обратный еди-
единичному, опять-таки единица, а элемент —1 обратен
сам себе. Эти соотношения записаны в табл. 2.1 (таблице
группового умножения).
Таблица 2.1
1
— 1
— 1
1
2. Несколько более обширную таблицу того же рода
образует набор чисел 1, —1, i и —i; результаты их умно-
умножения представлены в табл. 2.2.
Обе эти группы «циклические», т. е. все их элементы
могут быть получены как степени одного элемента. Во
втором примере все 4 элемента даются выражением ik,
где /с=0, 1, 2, 3. Увеличивая показатель степени к далее,
мы, очевидно, получим повторение того же цикла. Обе
рассмотренные группы абелевы, поскольку мы приняли
обычный закон умножения. Нетрудно сообразить, что
и. всякая циклическая группа должна быть абелевой.

24
Глава 2
Таблица 2.2
1
—1
i
— i
1
1
— 1
i
— i
— 1
— 1
1
-— г
г
i
i
— i
— 1
1
—г
— г
j
1
— 1
При изучении симметрии физических систем весьма
важно знать их поведение при поворотах. Разнообразные
наборы вращений образуют группы, и к некоторым при-
примерам таких групп мы и переходим. Закон умножения
здесь таков: если поворот Rx переводит систему из поло-
положения А в положение В, а поворот R2 — из положения В
в положение С, то произведение RxR2 переводит систему
из А в С. Здесь мы впервые сталкиваемся с примером
неабелевой группы: хотя при вращении вокруг одной
и той же оси R2Ri=RiR2, в общем случае R2Ri^=RiR2.
Таким образом, вращения, вообще говоря, не коммути-
коммутируют.
Чтобы убедиться в некоммутативности вращений, вы-
выберем в качестве операции Rx поворот на угол л/2 вокруг
оси 2, а в качестве операции R2 — поворот на п вокруг
оси у. (Поворотом на положительный угол относительно
направленной оси мы, как это общепринято, будем счи-
считать поворот, соответствующий вращению правого винта,
т. е. вращению по часовой стрелке, если смотреть вдоль
оси в ее положительном направлении.) Если внимательно
проследить за перемещением каждой оси при последова-
последовательных поворотах, то мы увидим, что поворот R2Rj
аналогичен повороту на п вокруг оси A, 1, 0), тогда как
RjRa — это поворот на л вокруг оси (—1, 1, 0). Но нач-
начнем с более простых примеров.
3. Пусть Е — тождественная операция (поворот на
нулевой угол), a R — поворот на угол л вокруг оси z.
Тогда набор из Е и R образует группу с таблицей умно-

Группы и их свойства
25
жения, указанной в табл. 2.3. (Такая группа обычно обо-
обозначается через С2.)
Таблица 2.3
?
R
E
Б
R
R
R
E
4. Пусть операция I— инверсия, т. е. операция, из-
изменяющая направление всякого вектора на обратное.
Очевидно, что 12=Е (тождественная операция), так что
пара Е, I образует группу; она называется группой S2.
5. Если Rx и R2 — повороты вокруг оси z на углы
2я/3 и 4я/3, то совокупность операций Е, Rx и R2 есть
группа, называемая группой С3. Ее таблицу умножения
легко вывести (табл. 2.4).
Таблица 2.4
E
Ri
R2
E
E
Ri
R2
Ri
Ra
E
Ra
E
Ri
6. Группу образует совокупность операций Е, R:,
1*2) R3, R4 и "б> если Rt и R2 — повороты на углы 2я/3
и 4я/3 вокруг оси z, а остальные элементы R3, R4
и R5 — повороты на угол я вокруг каждой из трех осей,
лежащих в плоскости ху (рис. 2.1). Такая группа D3
с геометрической точки зрения есть группа вращений рав-
равностороннего треугольника, приводящих его в положе-
положения, неотличимые от исходного. Говоря «неотличимые»,
мы предполагаем, что треугольник не имеет меток и вообще

26
Глава 2
ничего, что нарушало бы его идеальную симметрию. Такое
преобразование геометрической фигуры называют опера-
операцией «собственного совмещения»; если разрешены отра-
отражения, то говорят о «несобственном совмещении».
У
Для наглядности мы все же вообразим, что углы тре-
треугольника обозначены цифрами 1, 2 и 3, и посмотрим, как
эти цифры перемещаются при поворотах. Таким путем
можно построить таблицу умножения (табл. 2.5). Напри-
Например,
так что R4R! = R3.
Выяснить на этом и других аналогичных примерах,
образует ли набор элементов группу, можно по таблице

Группы и их свойства
27
Таблица 2.5
E
Ri
R2
Rs
R4
R5
E
E.
Ri
R2
Rs
R4
R5
R,
Ri
R2
E
R5
Rs
R4
R2
R2
E
Ri
R4
R.3
Rs
R3
Rs
R4
R5
E
Ri
R2
R4
R5
Rs
R2
E
Ri
RS
Rs
R4
Ri
R2
E
умножения. Поскольку любая строка и любой столбец
таблицы обозначены одним из элементов набора, усло-
условие 1 образования группы выполняется. Единичный эле-
элемент появляется в каждой строке и в каждом столбце
один и только один раз — этим подтверждается справед-
справедливость условия 4. Условие 3 выполняется очевидно, а
условие 2 справедливо для любых вращений. Обратно,
уже определение нашей совокупности как набора всех
собственных операций совмещения равностороннего тре-
треугольника с собой гарантирует, что этот набор является
группой. Как произведение двух операций совмещения,
так и действие, обратное любой из них, естественно, яв-
являются операциями совмещения.
7. Треугольник из приведенного выше примера также
не изменяется нри отражении в его плоскости. Эту опе-
операцию обычно обозначают через ah, считая, что плос-
плоскость треугольника горизонтальна (horizontal). Введение
нового элемента влечет за собой появление других но-
новых элементов — произведений Riaft, R2oh, . . ., Rbah. Гео-
Геометрически ясно, что произведение К-з^ь. — это просто отра-
отражение в вертикальной плоскости, в которой лежит ось R3;
то же самое верно для R4cr/j и R5a/j. Легко убедиться, что
набор из 12 элементов
Е, Ri, R2, R3, R4> Rs» ani RiCTA' ^2стй» °з a4> °"б1
где a3 = Rscr/l и т. д., образует группу, в которой содер-
содержится группа Ds\ эту новую группу обычно обозначают

28 Глава 2
символом Dah. Ее таблицу умножения можно получить
из табл. 2.5 и соотношения ст2='Е (двукратное отражение
в плоскости эквивалентно операции идентичности). Заме-
Заметим, что группа Dsh не содержит инверсии I, хотя не-
несобственные элементы (не являющиеся поворотами) в ней
содержатся. Очевидно, что инверсия треугольника не
переводит его в себя. Элементы типа R-i<jh, содержащие
вращения в сочетании с отражением в плоскости, перпен-
перпендикулярной оси вращения, называются зеркально-пово-
зеркально-поворотными.
8. Совокупность всех вращений относительно заданной
оси образует непрерывную группу, называемую груп-
группой 5?2- Ее элементы обозначаются символами R(a),
где а — угол поворота, 0^а<2я. В этом случае таблица
умножения должна быть бесконечной, но в действитель-
действительности мы можем написать общую формулу для произве-
произведения двух любых элементов. Из геометрических сообра-
соображений очевидно, что
R(a)R(b) = R(a + b), B.6)
причем
Таким образом, элементы коммутируют и обратный эле-
элемент есть
R-i(a) = RBn —a). B.7)
9. Обобщив предыдущий пример на случай трех изме-
измерений, мы получим набор всевозможных вращений вокруг
осей, проходящих через данную точку, который также
будет группой. Здесь для описания вращений требуется
три параметра. Обычный способ параметризации вклю-
включает задание двух полярных углов, фиксирующих ось
вращения, и угла поворота относительно этой оси. Опе-
Операция вращения в этом случае обозначается через Rk (a),
где индекс к соответствует единичному вектору в направ-
направлении оси вращения. Вместо этого можно также ввести
эйлеровы углы, описывающие положение тела по отно-
отношению к некоторой исходной позиции. Данная группа,
обозначаемая символом ffls, состоит из совокупности соб-
собственных операций совмещения сферы, и мы еще вернемся
к ней в гл. 7.

Группы и их свойства
10. Набор всех перестановок Р из п объектов образует
группу, называемую обычно «симметрической группой»
и обозначаемую символом йРп. Произведение двух пере-
перестановок по определению есть такая перестановка, кото-
которая прямо переводит исходное расположение в конечное.
Перестановку удобно обозначать символом
/1 2 3 ... п \
Р= , B.8)
\Рх Р2 Рз ¦¦¦ Рп)
указывающим, что элемент i заменяется элементом рь.
Следовательно, числа рг р2 р3 • ¦ • Рп — это переставлен-
переставленные числа 1 2 3 ... п. Таким образом, существует п\
элементов, поскольку р1 можно выбрать п способами,
рг можно выбрать (п—1) способами и т. д. Так обычно
и делают, но записывать числа верхнего ряда Р в порядке
возрастания вовсе не обязательно. Так, например, два
символа
1 2 3\ /3 1 2\
1 2 3
обозначают одну и ту же перестановку, так что сразу же
можно записать выражение для элемента, обратного Р:
_/Pl P2 Рз ¦ ¦ ¦ Рп
"\1 2 3 ... п
В качестве упражнения составим таблицу умножения
для га=3. Для краткости введем обозначения
1 2 3\ . /12 3\ /1 2
1 2 3
Ро =
Получим, например,
1 2 3\/1 2 3
PlPa~v2 1 37V1 3 2
1 3 2\ /1 2 3\ /1 2 3
2 3 1 / VI 3 2/ = V2 3 1

30
Глава 2
Здесь мы для доказательства переставили столбцы в Р*
так, чтобы верхняя строка матрицы Рх совпала с нижней
€трокой матрицы Р2. Поэтому можно написать общее со-
соотношение
Рг Рз
ч* q3
Рп
1 2 3
\Pl Pi Рз
• Рп)
1 2 3
Qi Чг Чз
п
Чп
B.9)
которое будет фактически определением произведения
двух перестановок. Таким путем мы построим таблицу
умножения (табл. 2.6).
Таблица 2.6
E
Pi
P2
Рз
P4
P5
E
E
Pi
pa
Рз
P4
P5
Pi
. Pi
E
P5
P4
Рз
P2
p2
P4
E
P5
Pi
Рз
Рз
Рз
P5
P4
E
P2
Pi
P4
P2
Рз
Pi
P5
E
Рз
Pi
p2
E
§ 3. ИЗОМОРФИЗМ
Данное выше определение группы столь абстрактно,
что возможны случаи, когда две группы, элементы кото-
которых определены совершенно по-разному, тем не менее
очень сходны между собой и алгебраически могут рас-
рассматриваться как одна и та же группа. На языке мате-
математики это выражается так: мы называем две группы *§
и Ж изоморфными, если между элементами Ga группы Ъ
и элементами На группы Ж можно установить взаимно
однозначное соответствие Ga<->Ha, такое, что из ра-
равенства GaGb=G,j следует равенство НаНь=Нсг. Если
соответствие такого типа существует, но не является

Группы и их свойства 31
взаимно однозначным, то группы называются гомоморф-
гомоморфными. Таким образом, две изоморфные группы должны
иметь одну и ту же таблицу умножения; возможно лишь
иное расположение групповых элементов. Поскольку при
изучении симметрии для нас интересны в основном ал-
алгебраические свойства групп, определяемые их таблицами
умножения, понятие изоморфизма позволяет экономить
время и находить полезные аналогии, выявляя изомор-
изоморфизм групп.
С некоторыми случаями изоморфизма мы уже сталки-
сталкивались в примерах § 2. Так, взаимно однозначное соот-
соответствие 1<->Е и —1<-»R указывает на изоморфизм групп,
разобранных в примерах 1 и 3, а соответствие R]<->P5,
R2<-»P4, R3<-»Pi. R4<-»P2 и R6<-»P3— на изоморфизм в груп-
группах примеров 6 и 10.
§ 4. ПОДГРУППЫ
Часто оказывается возможным выделить внутри дан-
данного набора из g элементов, образующих группу $, дру-
другой набор из меньшего числа этих элементов, который
тоже удовлетворяет определению группы. Тогда говорят,
что эти элементы образуют подгруппу группы $. В отоб-
отобранные элементы, безусловно, должен попасть единич-
единичный, но самое главное — произведение любых двух эле-
элементов из этой совокупности обязано также быть ее эле-
элементом. В § 2 можно найти ряд групп, содержащих под-
подгруппы: в примере 2 элементы 1 и —1, очевидно, состав-
составляют подгруппу; группа 52 а является подгруппой группы
Ms (на самом деле группа 5?3 содержит бесконечное мно-
множество подгрупп iA%, определяемых выбором оси враще-
вращения); подгруппами группы 5?3 являются также все ко-
конечные группы вращения и в частности группа, рассмот-
рассмотренная в примере 6.
Группа Dj в примере 6 в свою очередь содержит не-
несколько подгрупп, как можно видеть из ее таблицы
умножения. Это циклическая группа С3, образованная
элементами Е, R2 и R2, а также три группы из двух
элементов: Е, R3; E, R4 и Е, R5. Каждая из этих трех
подгрупп изоморфна группе в примере 3. Рассмотренная
в примере 10 группа перестановок имеет ту же структуру,

32 Глава 2
что и изоморфная ей группа Da, и, следовательно, содер-
содержит те же самые подгруппы.
Существует ряд изящных теорем, описывающих под-
подгруппы, но мы здесь упомянем пока только одну, по ко-
которой порядок группы обязан быть кратным порядкам
подгрупп. Эта теорема называется теоремой Лагранжа
(задача 2.4).
С физической точки зрения подгруппы важны в теории
возмущений. Часто бывает так, что на систему, симметрия
которой соответствует группе $, действует возмущение,
которое не подчиняется всем симметрическим операциям
группы, но сохраняет более низкую симметрию, соответст-
соответствующую некой подгруппе группы S.
§ 5. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГРУПП
Пусть группа Э? содержит две подгруппы Ъ и Ж,
элементы которых коммутируют, так что GeHu=HbGa,
где Ga — любой элемент подгруппы $, а Нь — любой
элемент подгруппы Ж. Если, кроме того, любой элемент
группы 5ff может быть записан единственным образом
в виде произведения GaHb, то группу % называют
«прямым произведением» групп % и Ж, изображая это
как Jb='3xffl. Данное определение означает, что един-
единственным общим элементом групп "§ и SK является еди-
единичный элемент.
Построим прямое произведение групп С2 и ?2, рас-
рассмотренных в примерах 3 и 4 (§2). Очевидно, что инвер-
инверсия, означающая просто замену всякого вектора противо-
противоположным вектором, коммутирует с любыми враще-
вращениями, поскольку если Rr=r', то IRr = lr' = —г' и
Rlr=—Rr=—г'. Совокупность элементов Е, R, I, RI
образует группу, являющуюся прямым произведением
СгХ^а и обычно обозначаемую через C2h. Заметим, что
элемент RI есть операция отражения в плоскости ху
(обозначаемая через а). Это становится понятным, если
проследить преобразование осей координат х, у и z:
инверсия I изменяет направление всех трех осей на про-
противоположное, а при повороте R вновь меняют знак оси
х ж у. Таким образом, произведение RI обращает на-
направление лишь оси г; это и есть отражение в' плоскости
ху.

Группы и их свойства
33
Группа DSh, с которой мы познакомились в примере 7,
также является прямым произведением группы D3 и
группы, состоящей из элементов Е и oh. Последняя
группа обычно обозначается через 51( так что имеем
Dt^DsXSi.
Забегая вперед, скажем, что к группе Я3 всевозмож-
всевозможных вращений в трех измерениях можно добавить опера-
операцию инверсии, в результате чего образуется так назы-
называемая «полная ортогональная» группа Оя. Ее элемен-
элементами являются операции Rk (а) и IRk {о)-
Представление группы в виде прямого произведения
удобно тем, что при этом можно вывести ее свойства из
свойств образующих групп. Полностью оценить значение
данного обстоятельства мы сможем позднее, пока же за-
заметим, что таблицу умножения прямого произведения
групп можно прямо написать на основании таблиц ком-
компонент, поскольку
Таблица 2.7
В случае группы C2h мы получим табл. 2.7.
Е
R
1
а
Е
R
1
0
R
R
Е
о
1
I
1
о
Е
R
а
о
1
R
Е
§ 6. СОПРЯЖЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И КЛАССЫ
Во всех группах, кроме самых простых, число эле-
элементов весьма велико. Уже в примерах 5 и 8 (§2) таблицы
умножения становятся громоздкими. Но исследование
строения групп можно упростить, выделив внутри группы
«классы» элементов со сходными свойствами.

34 Глава 2
Элемент Ga некой группы называется «сопряженным»
элементу Gb, если в группе найдется элемент Gn, такой,
что
ов=е„еьо^. B.Ю)
Если элементы Gb и Gc оба являются сопряженными эле-
элементу Ga, то отсюда сразу следует, что элементы Gb
и Gc также являются сопряженными друг другу, по-
поскольку если
Ge = GBG6G^ и Ga =
то
J Gc
Это приводит к понятию «класса», в котором все эле-
элементы сопряжены друг другу. При этом ни один элемент
не может принадлежать более чем к одному классу.
В самом деле, если элемент G принадлежит двум клас-
классам, то он должен быть сопряжен со всеми элементами
в обоих классах, и тогда элементы одного класса будут
сопряжены элементам другого, т. е. эти два класса объе-
объединяются в один. Вследствие этого всякую группу можно
разбить^ на непересекающиеся классы, которые мы бу-
будем обозначать символами ftp.
В абелевых группах каждый элемент группы сам по
себе образует класс, поскольку из соотношения B.10)
вследствие коммутации групповых элементов вытекает
равенство Ga=Gb. По той же причине один единичный
элемент всегда образует класс.
§ 7. ПРИМЕРЫ КЛАССОВ
А. Группа вращений М3
Чтобы найти элементы группы, принадлежащие к тому
же классу, что и некоторый выбранный поворот Rk (a),
необходимо построить операцию вращения
RRk (a) R
для произвольного R. Такое тройное произведение можно
очень просто интерпретировать. Покажем, что это есть
роворот на тот же угол а вокруг оси к', связанной с ис-

Групп» и их сюйстла
35
ходной осью к соотношением
k'-Rk; B.11)
другими словами,
РР /гч\Р~1 D / rt\ /О 4 О\
lxlxfc Itt) л = Kf \п). \A.lL)
Если представить себе, что операция R переводит все
векторы из старых положений в новые (обозначенные
штрихом), то результат почти очевиден. Правая часть
равенства B.12) — это поворот вокруг новой оси к на
угол а. Операция в левой части равенства — это перевод
вектора из нового положения в старое, поворот вокруг
старой оси к, а затем возвращение вектора из старого
положения в новое. Для более строгого доказательства
рассмотрим равенство
[RRk (a) R-1] k' = RRk (а) к = Rk = к' B.13)
с учетом равенства B.11) и того обстоятельства, что по-
поворот, ось которого совпадает с направлением вектора,
оставляет этот вектор без изменения. Но, согласно фор-
формуле B.13), левая часть равенства B.12) оставляет на
месте вектор к'; следова-
следовательно, эта операция мо-
может быть только поворо-
поворотом вокруг направления
к'. Наконец, чтобы пока-
показать, что угол поворота а
не меняется, построим два
единичных ортогональных
вектора et и е2 в плоско-
плоскости, перпендикулярной к.
Из рис. 2.2 видно, что
(a) e± = cos a ex
-sinae2.
B.14)
Рис. 2.2.
Поворот R в соответствии с
равенств омB.11 )переводит
к в к', а et и е2 преобразует в два новых единичных орто-
ортогональных вектора ei=Rex и e2=Rea, лежащих в плос-
плоскости, перпендикулярной вектору к'. Теперь мы имеем
аналогично B.14)
B.15)

36 Глш„ 2 ___^
но, с другой стороны,
[RRk (a) R] е^ = RRk (а) ех = R (cos ae^ sin аег) =
= cos aei + sinae^;
сравнивая это выражение с B.15), мы видим, что ра-
равенство B.12) доказано.
^ Итак, классы группы &{3 очень простые. Поскольку
операция вращения R, переводящая направление век-
вектора к в произвольно заданное направление к', сущест-
существует^* всегда, любые два поворота на одинаковый угол
вне зависимости от того, вокруг каких осей они осуществ-
осуществляются, будут относиться к одному и тому же классу.
(Разумеется, мы рассматриваем только такие повороты,
оси которых проходят через фиксированное начало коор-
координат.) В то же время равенство B.12) показывает, что
два поворота на разные углы не могут принадлежать од-
одному и тому же классу, поскольку R — произвольная
операция.
Б. Конечная группа вращений D9 (§ 2, пример 6)
Выбрав эту подгруппу группы 5?3, мы можем искать
классы сопряженных элементов на основе равенства B.12).
Из него следует, что для того, чтобы два элемента группы
D3': принадлежали одному классу, они должны отвечать
поворотам на*одинаковый угол. Но это условие не яв-
является достаточным. В дополнение к нему элементом
группы Ds обязан быть и поворот R, переводящий к
в к'. Таким путем можно установить, что в данном слу-
случае имеется три класса:
B-16)
^Как обычно, единичная операция сама по себе образует
класс. Операции Rx и R2 соответствуют углу поворота
2я/3, а, R3, R4 и R5 — повороту на п (R2 можно рас-
рассматривать либо как поворот на 4я/3 вокруг положитель-
положительного направления оси г, либо как поворот на 2я/3 вокруг
противоположного направления). Таким образом, помимо
%i должны существовать еще по крайней мере два класса.

1'рдппы и uj ешойегмя 37
Чтобы показать, что элементы Rf и R2 попадают в один
класс, следует найти операцию вращения, переводящую
ось Rf в ось R2. Но это просто инверсия осп z, достигае-
достигаемая при операциях Rs, R4 и R8. Аналогично повороты
Ri и R2 переводят друг в друга оси Rs, R4 и R6. Именно:
3
В. Симметрическая группа afa (§ 2, пример 10)
Группа of а разбивается на классы аналогично группе
D3, так как эти группы изоморфны. Имеем
jfl 2 3\ /12 3N
I 3 lj' \3 1 2)\ ' B.17)
1 2 3\ /1 2 3\ /12 3Y
2 1 ЗУ' \3 2 lj' VI 3 2,
Заметим одну общую особенность элементов группы <УЯ:
все они при перестановке оставляют на месте одно из чи-
чисел, тогда как два элемента группы af2 перемещают все
три числа. Это характерно для структуры классов группы
afn при произвольном п, но более подробное исследование
данного вопроса мы оставим до гл. 17 (т. 2).
§ 8. КЛАССЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Классы группы прямого произведения ^X^f легко
установить, зная классы групп Ъ и Ж, следующим
образом. Предположим, что элементы GaHu и GcHd
принадлежат одному и тому же классу. Тогда по опреде-
определению должен существовать некоторый элемент GeH/,
такой, что
т. е.
откуда
G&J3f?=*Ge, Н,\\^ = \\л.
Отсюда видно, что Ga и Gc принадлежат одному и
тому же классу группы S, aHbHHd — одному и тому же

58 ?ла»а й
классу группы,^. Таким образом, в классе группы З
будут содержаться все произведения элементов GaHb,
где Ga пробегает целиком некоторый класс группы Ъ,
а Нь нробегает класс группы Ж. Каждой паре классов,
одному из *&, а другому из Ж,убудут соответствовать
один класс в группе ЗхЖ. Щ
\ Рассматривая в качестве примера полную ортого-
ортогональную группу О3, мы можем теперь видеть, что каждому
углу поворота а соответствуют два класса сопряженных
элементов. В один из них попадают все собственные вра-
вращения Rk(a),!"a в другой — все несобственные вращения
IRt(a). Каждая такая пара классов соответствует двум
классам группы инверсии: Е и I. Другой наш пример —
группа D3h — содержит шесть классов, соответствующих
комбинациям трех классов группы Da и двух классов
(Е и oh) группы 5Х.
§ 9. ТЕОРЕМА О ПЕРЕЧИСЛЕНИИ ГРУПП
Докажем одно простое свойство групп, называемое
теоремой о перечислении, которым мы будем часто поль-
пользоваться в дальнейшем. Теорема утверждает, что если
Ga — некоторый фиксированный элемент группы %,
а элемент Gb пробегает всю группу, то произведение
Gc=GbGa также пробегает всю группу, причем каждый
из элементов группы появляется один и только один раз.
Для доказательства вначале заметим, что при любом
заданном Gc из условия G^ = GcGa1 следует равенство
Gt=GbGa (элемент Gq1 обязан существовать по опре-
определению группы). Далее можно утверждать, что два раз-
разных элемента Gb и G'b не могут порождать один элемент
Gc, ибо отсюда следовало бы равенство
так что, умножив на Gj1, мы получили бы G(,=G^.
Тем самым теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
Элементарное, хотя математически более строгое, рассмотре-
рассмотрение групп и родственных им объектов можно найти в книге
Green J. A. Sets and Groups, Routledge and Kegan Paul, London,
1965.

Группы и их свойства 39
Дополнительная литература *)
Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторы е ее приложения.—
М.: Наука, 1975.
ЗАДАЧИ
2.1. Покажите, что в групповой таблице умножения каждый эле-
элемент появляется в каждой строке и каждом столбце один и
только'один раз.
2.2. Покажите, что элементы Е, Р4 и Р5 группы ?f% (обозначения—
как в § 2, орямерИО) образуют подгруппу, изоморфную груп-
группе Сл. " •*•
2.3. Обобщением примера 6 (§ 2)"является группа собственных
совмещений (вращений) плоского квадрата — группа* DA.
Постройте таблицу умножения этой группы и разбейте ее эле-
элементы по классам.
2.4/ Пусть ^^{Ъъ S2, ..., Sn} — подгруппа группы <§ порядка g.
Правым смежным классом всякого элемента G,- группы g
называется совокупность элементов ^G^foG/, S2G,-, ...,
SnG,}. Аналогичным способом определяется левый смежный
класс. Покажите, что если элемент G,- принадлежит группе <У,
то смежный класс тождественно совпадает с группой of. По-
Покажите, что если G,- не входит в группу ?Р, то смежный класс
не содержит элементов, общих с группой if. Исходя из этого
покажите, что всякие два правых смежных класса if либо сов-
совпадают, либо не имеют общих элементов. В заключение дока-
докажите, что порядок подгруппы п обязан быть целым делителем
порядка g группы <§ и что для данной группы <§ всегда найдет-
найдется такой набор из gin элементов G,- группы <§, что всякий
элемент группы1 <§ можно будет записать в виде Sj,G/ (так
называемая теорема Лагранжа).
2.5. Найдите классы группы <±Р3 всех перестановок трех элементов,
не пользуясь при этом понятием изоморфизма (§ 7, п. «В»).
2.6. Постройте группу, перемножая следующие элементы: а) по-
поворот R на угол я вокруг оси z; б) отражение в плоскости ху.
Покажите, что такая группа состоит из четырех элементов,
найдите классы сопряженных элементов и запишите группу в
виде прямого произведения.
2.7. Докажите, что группа ?>„, порождаемая вращениями я/3,
2я/3,... вокруг оси z и поворотом на 180° вокруг оси х, есть пря-
прямое произведение DsXC2i причем главной осью групп D3n С2
является ось z. Разбейте элементы на классы сопряженных
элементов.
х) Добавлено при переводе.— Прим. ред.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
II ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В приложениях теории групп к исследованию симмет-
симметрии интерес представляет не структура самих по себе
групп, а превращения и изменения, которые индуци-
индуцируются в тех или иных «объектах» элементами групп.
Объектами в общем случае будут либо координаты состав-
составных частей некоторой физической системы, либо, как
в квантовой механике, некие функции этих координат.
В том и другом случае наши объекты можно рассматри-
рассматривать как векторы в некотором пространстве. Задачей
данной главы и является общее, а потому довольно аб-
абстрактное изложение свойств векторов и их преобразо-
преобразований. Со многими из разбираемых здесь положений чи-
читатель наверняка уже сталкивался, когда речь заходила
о векторах в обычном трехмерном пространстве, и еще,
быть может, в начальном курсе линейной алгебры и тео-
теории матриц. Поэтому для многих данная глава будет
носить характер повторения, но не следует относиться
к ней слишком беспечно, ибо на ее основе, идеях и терми-
терминологии целиком построена следующая глава, в которой
мы рассмотрим все важнейшие моменты теории'групп.
В данной главе теория групп не используется. Изучение
преобразований, индуцируемых в векторном пространстве
элементами групп,— задача гл. 4.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Вектор — это весьма общее понятие. Мы можем пред-
представить себе просто вектор в трехмерном пространстве,
задающий положение одной частицы относительно на-
начала координат. Для N частиц потребуется 3N коорди-
координат, и их можно рассматривать^какХ координаты неко-
некоторого вектора в Замерном пространстве. В этом ЗД^-

Линейная йлеебра и /екШрняе Прострйнсшй 41
мерном векторном'пространстве^ успешно решаются за-
задачи классической механики. В квантовой же механике
область наших интересов расширяется до некоторой сово-
совокупности функций координат (волновых функций). Но
понятие векторного пространства можно распространить
и на такую совокупность функций, хотя это означает, что
размерность пространства становится равной бесконеч-
бесконечности (на практике часто рассматривают лишь подпрост-
подпространства такого бесконечномерного пространства функций,
обладающие конечным числом измерений).
Простой пример пространства функций дает нам ряд
Фурье. Разложение произвольной функции в ряд Фурье
2 сп sm пх
п = 1
можно рассматривать как разложение «вектора» f(x) по
бесконечному набору «ортогональных» базисных векторов
sin пх. Коэффициенты сп можно считать компонентами
вектора f(x), а при подходящем выборе скалярного произ-
произведения термину «ортогональность» удается придать ма-
математическую строгость. Такое распространение простого
понятия вектора вначале на конечное число измерений,
большее трех, а затем на бесконечное число измерений —
классический пример абстракции в математике. Оказы-
Оказывается, можно говорить о свойствах некоего абстрактного
векторного пространства, отвлекаясь от его размерности —
будь то 3, 3N или бесконечность. Дадим же после этих
вводных замечаний формальное определение линейного
векторного пространства.
Набор Гх, г2, . . . образует «линейное векторное прост-
пространство L», если сумма любых двух его элементов тоже
является элементом набора и если результат умножения
элемента на комплексное число с также входит в данный
набор. Если ограничиваются действительными с, то и
пространство называют действительным. Понятно, что
любое такое пространство содержит бесконечное мно-
множество элементов; эти элементы и называются векторами.
Набор векторов i\, r2, . . ., тр называют линейно неза-
независимым, если эти векторы не связаны между собой со-

отношением
lv»-o C-1)
*=1
с отличными от нуля коэффициентами ск.
Размерность пространства L определяется как наи-
наибольшее число векторов в пространстве L, образующих
линейно независимый набор. Мы будем обозначать раз-
размерность символом s (подчеркнем, что размерность — это
не число векторов в пространстве L). Если дано некото-
некоторое s-мерное векторное пространство L, то любой набор
из s линейно независимых векторов образует его базис.
Обозначим один из таких наборов символом е*, где i=
=1, 2, . . ., s. Базис хорош тем, что для любого вектора г
можно написать
г= S гЛ. C.2)
i = i
В самом деле, если существует вектор г, для которого
равенство C.2) не выполняется, то набор из (s-И) векто-
векторов г, е$ будет линейно независимым. Но это невозможно
ибо тогда размерность пространства L должна быть равна
s-fl, что противоречит определению, по которому L
имеет размерность s (вот пример доказательства «от про-
противного» — таким способом доказательства мы будем
пользоваться часто).
В физическом пространстве трех измерений в качестве
базиса обычно выбирают три взаимно перпендикулярных
вектора. Такой выбор взаимно перпендикулярных (или
ортогональных) векторов, естественно, многое упрощает
в трех измерениях, а потому следует попытаться распрост-
распространить понятие ортогональности на абстрактное векторное
пространство. И это легко сделать, используя общее по-
понятие «скалярного произведения» (называемого иногда
«внутренним произведением»). Определить скалярное про-
произведение можно по-разному, но оно обязательно должно
обладать следующими свойствами:
1. Скалярное произведение есть комплексное число,
поставленное в соответствие каждой упорядоченной паре
векторов гх, г2 [оно обозначается через (rlt г2I;
2. (г„ г1) = (г1, г,)*, C.3а)

Линейная алгебра и векторные пространства 43
где знак * соответствует комплексному сопряжению;
3. (ти сг2)=с(г1, г2); C.36)
4. (ri + r.,, г3) = (г1, г3) + (г2, г3); (З.Зв)
5. (г, г)>0 и равенство выполняется только для ну-
нулевого вектора г=0.
Положительное значение квадратного корня (г, гI/*
называют нормой (или длиной, модулем) вектора г. Если
для вектора г выполняется равенство (г, г)'/г = 1, то век-
вектор называют «нормированным». Два вектора гх и г2
взаимно ортогональны, если их скалярное произведение
равно нулю, т. е. (rl7 г2)=0. Набор нормированных и
взаимно ортогональных векторов называют ортонорми-
рованным. В векторном пространстве всегда можно выб-
выбрать ортонормированный набор в качестве базиса; по-
поэтому далее мы всегда будем считать, что базис в; выбран
именно таким образом, т. е.
(е„ еу) = 6,7, C.4)
где 8и — так называемый символ Кронекера; по опреде-
определению.
_ ( 0 при i ф /,
13 ~ \ 1 при i — j.
Может показаться неочевидным, что мы всегда вольны
выбрать ортонормированный базис, но это легко дока-
доказать. Пусть мы имеем базис е*, который не является орто-
нормированным. Тогда, исходя из е15 мы можем построить
базис.е,- взаимно ортогональных векторов по следующему
алгоритму.
1. Разделив вектор ег на его норму, получим норми-
нормированный вектор ei = e!/(ei, exI'2.
2. Построив е2—(еь e2)ej и нормировав его, получим
е2. Ясно, что тогда (el5 e2)~(ei, e2)—(ei, e2)(el7 et)=0.
3. Построив е3—(ex, e3)ei—(е2, е3)е2 и нормировав,
получим е3. Сразу же имеем (еи е3) = (е2, с3)—-0.
Продолжая такой процесс, получим ортопормировап-
ный набор ег, где г = 1, 2, . . ., s. Новый набор е, — линей-
линейно независимый, поскольку его составляющие взаимно

44 Глава 3
ортогональны. Так, предположим, что выполняется со-
соотношение
5^ = 0. C.5)
Тогда, вычислив скалярное произведение некоторого век-
вектора e^ с левой и правой частями равенства C.5), получим
с;=0. Таким образом, нетривиальные связи типа C.5)
не существуют и набор является линейно независимым.
Для завершения доказательства заметим, что ни один из
векторов е, не может тождественно равняться нулю, ибо
это означало бы линейную зависимость исходного набора
векторов е^, а по нашему предположению они образуют
базис и, следовательно, линейно независимы. Рассмот-
Рассмотренный метод построения ортопормированного набора
векторов называется ортогонализацией по Шмидту.
Коэффициенты rt в формуле C.2) для ортонормирован-
ного базиса иногда называют ?-ми «компонентами» или ко-
координатами вектора г. Они просто связаны со скалярным
произведением, а именно
г, = (е„г). C.6)
Это следует из равенства C.2), если вычислить скалярное
произведение левой и правой частей с некоторым фикси-
фиксированным вектором е7- и учесть соотношение C.4). Ска-
Скалярное произведение двух произвольных векторов, вы-
выраженное в их компонентах, равно
S S S
(*i. г2)= 2 S г'и r2/(et, е)= 2 r;tru. C.7)
Для заданного векторного пространства L с некоторым
ортонормированным базисом еь где г = 1, 2, . . ., s, можно
построить «подпространство» Lt, выбрав в качестве но-
нового базиса меньший набор е;, где, скажем, г = 1, 2, . . .,
Si<Cs. Оставшиеся базисные векторы порождают другое
подпространство L2, называемое «ортогональным допол-
дополнением» подпространства Ll. Мы часто будем пользоваться
записью L~L,~{-L2. Это означает не то, что все векторы
пространства L принадлежат либо'Lu либо L2, а"то, что
любой вектор из L можно представить в виде суммы век-
вектора из Za и ортогонального ему вектора из Ь2.

Линейная алгебра и векторные пространства 45
§ 2. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
A. Смещения в трех измерениях
Всевозможные смещения частицы в трехмерном прост-
пространстве относительно начала координат — самый естест-
естественный пример действительного линейного векторного
пространства. Сумма любых двух смещений, очевидно,
тоже есть смещение. В качестве базиса обычно выбирают
три единичных вектора ех, е„, ez, направленных вдоль
осей х, у и 2, а скалярное произведение определяется как
произведение длин двух векторов на косинус угла между
ними. Такое определение не зависит от выбора базиса;
читатель может проверить геометрически, что оно обла-
обладает необходимыми свойствами C.3).
Б. Смещения совокупности из Л/" частиц в трех измерениях
В этом примере, являющемся обобщением предыду-
предыдущего, естественнее всего выбрать базис из 3N единичных
векторов etx, et,;, etz, где t—l, 2, . . ., N и etx представ-
представляет собой смещение частицы t на единичный отрезок в на-
направлении х, при котором все остальные частицы непод-
неподвижны. Можно определить скалярное произведение как
сумму по всем частицам обычных скалярных произведе-
произведений, определенных ранее р н. «Л>>. Тогда произвольный
вектор
г=2 2 rtfitl C.8)
t=\ i=x, у, г
будет соответствовать смещению всех частиц, при котором
частица t перемещается в направлении х на расстояние
rtx и т. д.
B. Пространство функций
Далее мы рассмотрим совокупность всех непрерывных
функций ty(x), где х находится в интервале a^lx^b,
с граничными условиями 1|з(а)=г|з(Ь)=О. Легко показать,
что эта совокупность образует векторное пространство
в соответствии с определением, данным в § 1, но не сов-
совсем ясно, как нам определить здесь скалярное произведе-
произведение. В действительности можно показать, что определе-

46 Глава 3
ние
ь
= 5 *'• (*
удовлетворяет формальным требованиям C.3). В этом
случав две функции i|)' и i|) ортогональны, если интеграл
C.9) обращается в нуль, и функция я|) нормирована, если
ь
J \§(х)\Ых—\. Если положить для простоты а=0, Ь=я,
а
то набор
г|)п (ж) = B/nI/s sin nx,
где га — целое число, образует ортонормированный базис
бесконечной размерности. Соотношение
8n,n C.10)
доказывается легко, но требуется тщательно исследовать
условие полноты, чтобы доказать справедливость разло-
разложения
ФИ=2с„г1)„И C.11)
л= 1
для любой функции из нашей совокупности и тем самым
показать, что функции i|)n(#) действительно образуют
базис.
Щ^ Коэффициенты сп в разложении C.11) совершенно ана-
аналогичны коэффициентам гг в формуле C.2), и в соответст-
соответствии с C.6) имеем
л
^)dx. C.12)
В формулах C.11) и C.12) мы узнаем разложение в сину-
синусоидальный ряд Фурье и формулу для его коэффициентов.
Г. Пространство функций с конечным числом измерений
В качестве примера рассмотрим шестимерное прост-
пространство L функций вида i|)(r)=dx2+c2i/2-fc3z2-fсАуг-\-
+, зависящих от координат х, yfj, частицы, где

Линейная алгебра и векторные пространства 47
функция г|) (г) задается набором шести комплексных пара-
параметров сг. Определим скалярное произведение двух функ-
функций г|э (г) и г|/ (г) как интеграл
по единичной сфере V. Следует не упускать из виду отли-
отличие таких скалярных произведений от скалярного произ-
произведения векторов в обычном трехмерном пространстве.
Чтобы избежать путаницы, мы будем обозначать скаляр-
скалярное произведение в обычном трехмерном пространстве
символом г'-г, а для функций оставим обозначение (ф', ty).
В качестве базиса L мы можем выбрать шесть функ-
функций ¦ф1=а;2, ty2=y*, ij>s=z2, %=yz, ^b=zx; tyg=xy, обозна-
обозначив их через радиус-вектор г:
% = (ех-г)*, гр4 = (еа.г)(ег-г) и т. д. C.14)
Этот простой базис не является ортонормированным, но
линейная независимость составляющих его векторов оче-
очевидна.
Д. Волновые функции
В квантовой механике свойства системы из N частиц
в некотором определенном состоянии описывает волновая
функция •ф(г)='ф(г1, г2, . . ., Гдг), являющаяся функцией
координат частиц гь. Волновые функции удовлетворяют
определенным граничным условиям (зависящим от вида
системы); совокупность волновых функций, описываю-
описывающих все возможные состояния системы, образует вектор-
векторное пространство. Скалярное произведение определяется
как
где интеграл берется по всем координатам, а элемент
объема dV=dv1dvi . . . dvN есть произведение элементов
объема, соответствующих каждой частице в отдельности.
Предполагается, что функция i}> обладает конечной нор-
нормой (\р, 1}з). Если гамильтониан системы Н, определяющий
ее свойства, эрмитов, то можно показать, что собственные
функции ij^-, удовлетворяющие уравнению Шредингера

48Глава 3
|| и описывающие стационарные состояния сис-
системы г|)г, будут взаимно ортогональны в смысле соотноше-
соотношения (tyi, tyj)=:\tyityjdV=8t]: Следовательно, они образуют
базис в векторном пространстве. Если же при некоторой
энергии Е система становится вырожденной, т. е. имеется
набор s линейно независимых ортонормированных собст-
собственных функций г|L, соответствующих этой энергии, то
набор этих функций г[)г- (г=1, 2, . . ., s) образует базис
s-мерного подпространства, каждый вектор в котором
есть собственная функция гамильтониана Н с энергией Е.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Изложив основные сведения о векторном простран-
пространстве L, перейдем теперь к самому важному понятию всей
книги — понятию преобразования (отображения), пере-
переводящего каждый вектор пространства L в другой вектор
того же пространства. Пусть некоторый произвольный
вектор г переводится в вектор г'; определим оператор Т
равенством
Тг = г'. C.15)
Оператор Т называется линейным оператором, если для
любых векторов гх, г2 и г выполняются соотношения
C.16а)
Тсг = сТг, C.166)
где с — любое комплексное число.
Поскольку даже конечномерное векторное простран-
пространство содержит бесконечное множество векторов, на пер-
первый взгляд может показаться", что определить Т равен-
равенством C.15) можно лишь с использованием бесконечного
набора параметров. Но ограничившись лишь линейными
операторамп [формулы C.16I, мы чрезвычайно упрощаем
задачу: задавая преобразование базисных векторов, мы
тем самым задаем преобразование произвольного вектора.
На практике все операторы в этой книге, представляющие
интерес с точкн зрения изучения симметрии, являются
линейными — за одним небольшим исключением (т. 2,
гл. 15, § 7, п. Г).

Линейная йлесвра и векторные проешранстеа 4D
Рассмотрим теперь преобразование некоторого базис-
базисного вектора е* в векторном пространстве конечной раз-
размерности s. Обозначим преобразованный вектор через е-:
Те, = е;. C.17)
Но поскольку векторы ej, е2, . . ., es образуют базис,
вектор е^ можно разложить по атому базису:
Таким образом, в силу C.17) имеем
но коэффициенты Тj, очевидно, зависят также от индекса i
исходного вектора, а потому было бы желательно ввести
этот индекс в коэффициент Tj, записав его как Tjt, и
тогда
s
е; = Те,= 2 7„.е,.. C.18)
Таким образом, преобразование всего базиса полно-
полностью задается набором s2 коэффициентов Т^. Зная эти
коэффициенты, можно найти преобразование Тг=г' для
s
произвольного вектора г=/,г<е,-:
г'=тг-1, "т- - ж" ж т"°> - ж{ж г""К
C.19)
Вводя компоненты г) вектора г',
5>;у,
и сравнивая с равенством C.19), мы видим, что они свя-
связаны с компонентами rt вектора г соотношением
s
г/=.2 7>,. C.20)
1 = 1
Коэффициенты преобразования Тп входят как в формулу
C.18), так и в формулу C.20), но эти две формулы не

ffi Глава В ^ - . .»
одно и то же. Первая из них связывает преобразованные
базисные векторы с исходным базисом, а вторая — ком-
компоненты любого преобразованного вектора с его перво-
первоначальными компонентами, причем те и другие компо-
компоненты относятся к исходному базису. Отметим, однако,
что в формуле C.18) суммирование проводится по пер-
первому индексу / компонент Тп, а в формуле C.20) — по
второму индексу i.
щ Коэффициенты Тц на самом деле образуют некую мат-
матрицу Т, так что Тл — матричный элемент, стоящий на
пересечении ;'-й строки с t-м столбцом. Если представить
базисный вектор е^ в виде матрицы-столбца, элементы
всех строк которой, кроме ?-й, равны 0, а элемент 1-й
строки равен 1, то мы получим
I с;
i
6
Т ¦
= ти
т
0
6,
si
- S
т. е. просто формулу C.18), записанную в другой форме.
Произвольный вектор г можно представить аналогич-
аналогичным образом в виде
T2i
, причем Тг =
T
2 Ти г,-
2т.

Линейная алгебра и векторные пространства 51
Если базис в| ортонормированный, то возможна еще
одна интерпретация матричных элементов Tji. Вычисляя
скалярное произведение в] на e't, получаем
(е,, е}) = (е,, Те,)=S Тм (е„ ek) = ? TkfiJk = Tj,. C.21)
ft ft
Таким образом, матричный элемент Тц — это просто
скалярное произведение (е;-, Тег), в котором оператор Т
«вложен» между двумя базисными векторами е; и ег. В
квантовой механике часто встречается выражение «мат-
«матричный элемент оператора», понимаемый именно как
такое скалярное произведение.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ,
ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР
Произведением TS двух операторов Т и S в век-
векторном пространстве L называется результат действия
сначала оператора S, а затем оператора Т.
Если •
Se,- = 2 Sjfij, Те, = У, Tkjek,
i k
ТО
TSe, = S Sj/tej = у% SjiTkj4 -
так что матричные элементы произведения TS имеют вид
Отсюда понятно, что матрица произведения операторов
TS есть обычное произведение матриц Т и S в указан-
указанном порядке. Заметим, что операторы, как и матрицы,
в общем случае не «коммутируют», т. е. порядок умноже-
умножения влияет на результат. Разность TS—ST двух раз-
разных произведений операторов Т и S называется их ком-
коммутатором. Коммутатор, обозначаемый символом [Т, Si,
сам является оператором. Отметим также, что, по приня-
принятому соглашению, оператор действует на вектор, находя-
находящийся справа от него. Следовательно, можно считать, что
в произведении TS сначала действует оператор S, а за-
затем оператор Т.

52 Глава 3
Пусть имеется оператор Т в векторном пространстве
L; мы записываем, как обычно, Тг=г' и называем г'
преобразованным вектором. Тогда, вообще говоря, можно
определить «обратный» оператор Т соотношением
r = T-V. C.23)
Обратный оператор Т имеет очевидные свойства Т~1Т =
=ТТ~1=Е, где Е — тождественный оператор, остав-
оставляющий все векторы неизменными; в любом ироизволь-
ном базисе он дается единичной диагональной матрицей.
Матрица Т— это просто матрица, обратная матрице Т.
Предполагается, конечно, что обратная операция сущест-
существует, а это, в свою очередь, накладывает на Т ограниче-
ограничения, а именно преобразование должно быть взаимно-
взаимнооднозначным или, если говорить о матрице Т, ее детер-
детерминант должен быть отличным от нуля. Во всех пред-
представляющих интерес задачах этой книги фигурируют
взаимно,тоднозначные^преобразования. Заметим, что опе-
оператор, обратный произведению TS, дается выражением
(TS)~1=S~1T~1, в котором первоначальный порядок ум-
умножения изменяется на противоположный. Это утверж-
утверждение, хорошо известное из теории матриц, легко прове-
проверить: обратный оператор по™определению удовлетворяет
тождеству T(S)~1TS=E, и, умножив правую и левую
части справа на S, получим (TS)~1T=S~1, а умножив
еще раз справа на Т, получим требуемый результат
(TS)~1=S~1T~1. Этот результат очевиден, если рассмат-
рассматривать операции надевания "носков и ботинок. При
операции обувания мы сначала надеваем носки, а затем
ботинки, а при операции разувания ботинки снимают
вначале, а носки потом.
Пусть оператор Т переводит г в г', а г — в г', т. е.
Тг=г' и Тг=г'. Если при этом имеется другой опера-
оператор S,- переводящий г в г, т. е. Sr=r, мы вправе заинте-
заинтересоваться: а какой вид имеет оператор S', переводящий
г' в г', т. е. S'r'=r'. Если векторы г' и г' мы называли
преобразованными (т. е. трансформированными операто-
оператором Т), то оператор S' можно назвать трансформирован-
трансформированным оператором. Чтобы выразить S' через исходные
операторы, заметим, что r'=Tr=TSr=TST~lr'; таким

Линейная алгебра и векторные пространства 53
образом, ^™
S' = TST~1. C.24)
Понятие трансформированного оператора становится бо-
более ясным на примерах § 8, а наглядно оно поясняется
на рис. 3.1. Здесь точками представлены'векторы, а пря-
прямыми со стрелкой — операторы. Расстояния и углы не
несут здесь никакой ин-
информации. Таким образом, г L г'
уравнение Sr=r представ- \
лено прямой, обозначенной
буквой S и направленной
от г к г. Искомый транс-
формированный оператор,
переводящий г' в г', из- г
ображен пунктиром; но
такое же перемещение
можно совершить и по дру-
другому пути, пройдя три остальные стороны четырехуголь-
четырехугольника. Это будет движение сначала против направления
Т, соответствующее обратному оператору T-i, затем
движению по S и, наконец, по Т. В результате мы вновь
получаем S'=TST~1.
В более общем случае оператор Т может переводить
вектор из пространства L в другое пространство V, так
что векторы г', г' и оператор S' принадлежат прост-
пространству V.
В примере с обуванием и разуванием мы можем рас-
рассматривать Т как операцию надевания носка, a S —
как операцию его заштопывания. Если носок уже на
ноге, то штопка становится более сложной процедурой
TST, т. е. прежде всего требуется снять носок (Т), затем
его заштопать (S) и наконец надеть снова (Т).
§ 5. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР, УНИТАРНЫЕ
И ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ
Онератор, сопряженный оператору Т и обозначаемый
через Т1', по определению удовлетворяет уравнению
(г. Tts) = (Tr, в) C.25)

54 Глава 3
для любых векторов г и s в пространстве L. В частности,
выбирая г=ег, s=e,- и используя уравнение C.20), полу-
получим, что в ортонормированием базисе матрицы Т* и Т
связаны соотношением
(V)tJ = (TJt)\ C.26)
Унитарный оператор проще всего определить так:
оператор Т является унитарным, если удовлетворяет
условию
Т+Т = Е C.27)
или, другими словами, если
Т+=Т. C.28)
Такое условие важно тем, что при этом скалярное произ-
произведение сохраняется, т. е. если мы возьмем г'=Тг и
s'—Ts, то
(г', s') = (Tr, т8) = (Г) TtTs) = (r, s). C.29)
Это означает, что если векторы ег образуют ортонормиро-
ванный базис, а е[=Тег, то векторы e'i образуют новый
ортонормированный базис. Таким образом, унитарный
оператор есть оператор перехода от одного ортонормиро-
ванного базиса к другому.
Элементы унитарной матрицы, очевидно, связаны меж-
между собой соотношением C.28). Подробнее это записывается
так:
51 ПТ* = Ь*, C.30а)
/ i
2Vurt, (
хотя C.306) есть следствие равенства C.30а). Если мат-
матрица Т действительная, то Т+ будет транспонированной
матрицей и звездочки в этих двух формулах не нужны.
Унитарная действительная матрица называется «ортого-
«ортогональной».
Эрмитовым или самосопряженным называют оператор,
равный своему сопряженному. Таким образом, оператор
Н эрмитов, если
Н+ = Н, C.31)

Линейная алгебра и Фскторные пространства So
откуда следует равенство
(Нг, 8) = (г, Hs) C.32)
при любых г и s.
В заключение подчеркнем, что понятия унитарных и
эрмитовых операторов имеют смысл только тогда, когда
полностью определены векторное пространство и скаляр-
скалярное произведение.
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Если в векторном пространстве L задан оператор Т, то
можно поставить вопрос: существуют ли в пространстве L
векторы г, обладающие весьма специальными свойствами,
а именно такие, что трансформированный вектор Тг будет
равен просто вектору г, умноженному на константу?
Другими словами, можем ли мы по заданному операто-
оператору Т найти векторы г, удовлетворяющие соотношению
Тг = ^г C.33)
при некоторых А,? Для решения этой задачи лучше всего
написать выражение для вектора г в некотором базисе е^;
тогда с учетом формулы C.19) получим
т. е.
2 (TtJ—X6//)r/ = O (i = l, 2, ...,*), C.34)
где Г) — компоненты вектора г. Система s линейных одно-
однородных уравнений с s неизвестными [формула C.34)]
совместна, если детерминант ее коэффициентов равен
нулю. Это дает нам полиномиальное уравнение s-й сте-
степени по X, s корней которого X называют собственными
значениями оператора Т. Каждому корню %t соответствует
решение г=|', называемое собственным вектором опера-
оператора Т. Система C.33) однородна, а потому мы вправе
еще и нормировать ?' произвольным образом. Далее,
если оператор Т эрмитов, то его собственные векторы
взаимно ортогональны или могут быть ортогонализо-
ваны. Таким образом, из собственных векторов эрмитова

56 Глава S ¦_ ^
оператора можно составить ортонормированный базис
в пространстве L. Ортогональность доказывается просто:
из равенств
1 5 —¦ Л/5 1
вытекает равенство* {У? Т?')—(?', TV')*='kl(fy', |')—
K-f{l', V)*, а потому (V\ П')-(Т6Л ?')=(*i-W» 10
и, следовательно,
(А.,—а.;) (§л V) = {V, по—<1Л тб') = о.; (з.зб)
с учетом свойства^C.32) эрмитова оператора Т]. Положив
в этой формуле i=j, мы получим X;—A,j =0. Итак, все
собственные значения оператора Т действительны. Да-
Далее, при гф], полагая X^kj, получаем соотношение орто-
ортогональности
EЛ 60 = 0,
а после нормировки |' для собственных векторов эрми-
эрмитова оператора имеемЦ
'0, ?) = *!/¦ C-36)
Эту формулу можно вывести даже при Хг=Х]. Действи-
Действительно, хотя приведенное выше доказательство ортого-
ортогональности в этом случае не верно, рассмотренная в § 1
ортогонализация по Шмидту позволяет построить орто-
нормированпый базис внутри совокупности вырожден-
вырожденных собственных векторов (т. е. собственных векторов,
соответствующих одному и тому же собственному значе-
значению). Здесь существенным оказывается то обстоятельство,
что всякая линейная комбинация вырожденных собст-
собственных векторов сама есть собственный вектор, ч
§ 7. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕОБРАЗОЛАПИЯ^ФУПКЦШ!
В § 2, п. В и Г было показано, как из некой совокуп-
совокупности функций при подходящем выборе скалярного про-
произведения образуется векторное пространство. Один из
важных способов построения оператора в пространстве
функций — задание преобразования функций, «индуци-
«индуцированного» преобразованием аргументов этих функций.
Обозначим координаты некой системы s-мерпым вектором

Линейная алгебра и векторные пространства 57
r=(fi, r2, . . ., rs) и рассмотрим некоторую группу преоб-
преобразований G системы и, стало быть, также вектора г.
Итак, мы рассматриваем преобразования, индуцирован-
индуцированные в векторном пространстве функций г|) (г) этими пре-
преобразованиями G, примененными к вектору г. Такое ин-
индуцированное преобразование мы будем обозначать сим-
символом Т (G) и определять из уравнения
Т(О)г|3(г) = г|3(О-1г). C.37)
Для трансформированных функций T(G)o|)(r) будем ис-
использовать обозначение aj/ (r). Важно четко понимать, что
мы имеем дело с двумя векторными пространствами:
пространством координат вектора г, в котором опреде-
определено преобразование G, и пространством функций я|)(г),
в котором определено индуцированное преобразование
T(G). Через компоненты вектора г в некотором базисе ег
преобразование C.37) можно выразить таким образом:
T(GL)C-i. rt, :.., г,) = -ф-G1, 72, ..., 7j, C.38)
где Г; — i-я компонента вектора r=G~1r. Если известна
матрица преобразования G в базисе et, то для унитарного
оператора G по формуле C.20)
^^(G-^r^SG^r,. C.39)
Числа rj можно рассматривать как компоненты вектора г
в трансформированном базисе e^=Ge,-, поскольку
(е;, г) = (Ge,-, г) = (е„ G^r) =7,.. C.40)
Чтобы, зная функцию г|з(г) и матрицу преобразования G,
найти i|)'(r), нужно просто подставить C.39) в C.38).
Может показаться непонятным, зачем нужен в опре-
определении C.37) обратный оператор G, раз мы с тем же
успехом можем использовать и G. Тем не менее, согла-
согласившись применять G, мы в дальнейшем получим важ-
важные упрощения; такое условие имеет и некоторый физиче-
физический смысл. Предположим, например, что "ф(г) описывает
температуру тела в точке г трехмерного пространства,
а G есть поворот тела относительно начала координат.
Тогда по определению C.37) новая функция т|/ (г) будет
описывать температуру в точке г после поворота. Это

58
Глава 3
можно видеть на рис. 3.2, где буквой Q обозначена точка
G~Jr. Таким образом, в результате поворота G точка Q
переносится в точку Р, ибо G(G~1r)=r. Значит, темпера-
температура в Р после поворота, задаваемая функцией i|>'(r),—
это та температура, которая была до поворота в точке Q,
т. е. ^(G!1). Следовательно, мы получили я|/ (г) =iJ>(G~1r),
Рис. 3.2.
так что преобразование я|з(г) в ij/ (r) задает оператор T(G)
в пространстве функций. В этой книге мы значительно
чаще будем иметь дело не с температурами, ас волновыми
функциями, но рассуждения от этого не изменятся; кроме
того, температуру тела проще себе представить, чем зна-
значение волновой функции в точке.
Математически необходимость использования в ра-
равенстве C.37) именно обратной операции G становится
понятной при рассмотрении последовательности двух опе-
операций. Пусть функция я|/ определяется преобразованием
T(G2), заданным, как в C.37), соотношением t (G2)ij)(r) =
=г|э (G.Tхг) =я|/ (г). Тогда получим
J Т (G2) ф (г) = Т (GJ г|> (G2"lr) = T (G
(г) = ф' (G;h) =
.G,)-1 г), C.41)
а это означает, что произведение G!G2 преобразований
векторов г индуцирует в пространстве функций произве-
произведение операторов T(G1)T(G2), взятых в той же последо-
последовательности. Если использовать в определении C.37)

Линейная алгебра и 4екШоркш пространспна 59
не G, a G, то мы получили бы, что оператору ОхОг
соответствует оператор T(G2)T(G!) с запутывающей пе-
перестановкой операций.
Важный частный случай преобразования функций
C.37) мы получим, если сами компоненты рассматривать
как функции вектора г, записывая гг=(ег, г). По C.37)
компонента гг преобразуется в
T(G)r, = (e,., G~>r) = r,, C.42)
т. е. в ?-ю компоненту вектора G-1r.
Во всех предыдущих рассуждениях мы рассматривали
только скалярные функции положения, которые ставят
каждому вектору г в соответствие число я|)(г). Обобщение
на функции с несколькими компонентами, ставящие в со-
соответствие каждому г несколько чисел, будет проведено
в гл. 8.
§ 8. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
А. Вращение векторов в плоскости ху
Рассмотрим поворот всевозможных векторов в пло-
плоскости ху относительно оси z на угол а. Соответствующий
оператор, обозначаемый через R(a), есть линейный опе-
оператор в двумерном пространстве плоскости ху. Он, оче-
очевидно, соответствует определениям C.16). Матрацу легко
найти из уравнений C.21) и C.14):
откуда Rn—cosa, i?i2=—sina, i?21=sina, Ri2~cosa, так
что
/cos a —sina\
R= .
\sm a cos a)
При повороте расстояния и углы сохраняются, а потому
скалярное произведение, очевидно, остается неизменным.
Поэтому матрица R является ортогональной и удовлетво-
удовлетворяет условию C.30).
Б. Перестановки
Перестановку часто можно рассматривать как линей-
линейный оператор. Пусть перестановка Р12 меняет местами
векторы ех и еа в двумерном пространстве. Тогда матрица

Ш , Глм
?и равна
0 1
1 О
я удовлетворяет условию C.16). Примером перемножения
операторов может служить произведение (Р1аJ=Е; это
равенство можно получить, перемножив матрицы:
'О 1\/0 1\ /1 0
.1 oAi oy \Р
На этом примере можно пояснить и задачу на соб-
собственные значения. Из вида матрицы следует, что соб-
собственные значения X оператора Р12 должны удовлетво-
удовлетворять соотношению
I 1
1 — I
= 0,
откуда А, = ±1 и собственные векторы равны A/2I/2 (ei±e2).
Геометрически оператор Р12 эквивалентен отражению
относительно биссектрисы прямого угла. Очевидно, что
оператор Р12 оставляет на месте вектор (е±-^е2), а направ-
направление вектора (в!—е2) изменяет на противоположное в
соответствии с собственным значением —1.
В. Умножение на функцию в функциональном пространстве
В примере § 2, п. Д> векторное пространство состояло
из всех функций, удовлетворяющих определенным гра-
граничным условиям и обладающим конечной нормой. Ре-
Результатом умножения некоторой такой функции гр (г)
на непрерывную функцию S (г) является другая функция
ф(г) в том же пространстве, равная
. C-43)
В этом смысле множитель S (г) можно рассматривать
как линейный оператор в пространстве. Но здесь нужна
осторожность — так, например, в конечномерном про-
пространстве квадратичных функций (§ 2, п. Г) результат
умножения на любую функцию S (г), кроме константы,
не будет квадратичной функцией, и, следовательно, в
данном пространстве такой множитель не является опе-
оператором.

Яипейпшя ktteip* а еФктерние прфвтршветИ Ы.
Как и в преобразовании функционального простран-
пространства C.37), трансформированный оператор C.24) в обо-
обозначениях C.38) имеет вид S' (r)=5(G-1r)=5(r).
Г. Дифференцирование в пространстве функций
Если задана функция ij)(r)=ij)(x, у, z), то путем ее
дифференцирования можно получить новую функцию
(f(x, у, z) = (dldx)ty (x, у, z). В этом смысле д/дх есть ли-
линейный оператор в пространстве функций; конечно, пред-
предполагается, что функция (р(х, у, z) принадлежит данному
пространству. В примере 2, п. В множитель д/дх не яв-
является оператором в пространстве квадратичных функ-
функций, но у (д/дх) в этом пространстве, очевидно, является
оператором. Заметим, что операторы умножения на
функцию (§ 8, п. В) должны коммутировать друг с другом,
ибо очевидно, что 5l1(rISl2(r)il)(r) = 52(r)iS'1(r)i|j(r). Но при
введении дифференцирования это, вообще говоря, стано-
становится неверным; например, взяв ip(r)=:xy, S(r)=x,'^по-
S(r)=x,'^получим
S (г) ф (г) = х*у, -^S(T)^p (г) = 2ху,
— у(т) = у, S(r)-tLy(*) = xy-
В общем случае (§ 4) коммутатор двух операторов от-
отличен от нуля. В данном примере коммутатор вычисля-
вычисляется непосредственно, поскольку для любой функции ф(г)
и поэтому можно написать
.m]-«gL. ,3.45,
где производная dS/dx сама является оператором в смысле
примера § 8, п. В, т. е. функцией, на которую следует
умножить. Это справедливо при любой функции S(v);
в разобранном выше частном случае dSldx—i, что согла-
согласуется с формулой C.44).

6U _ Глава $
Д. Индуцированное преобразование функций
В качестве иллюстрации к общим рассуждениям, из-
изложенным в § 7, рассмотрим функцию гр (г), где г — вектор
в двух измерениях. Тогда, вводя полярные координаты
г, ф, получим г|)(г)=г|)(г, ф). По определению C.37) пре-
преобразование функции ф, индуцированное поворотом R(a),
имеет вид
т. е.
Т (R (а)) г|? (г, cp) = ^(r, ф—а).
Для примера рассмотрим две функции:
ipi(r, ф)=совф, гра(г, ф)=зт ф,
которые дадут
T(R (fl))^! (г, ф) = соз(ф—a) = cos ф cos a + sincpsina,
T(R (a))\\>2(r, ф) = зщ(ф—a) = sin ф cos a — cos фзта.
Итак,
Тг|)х = cos a% + sin a\|J,
T\|), = — sin aip! + cos алр2,
т. е. мы получили преобразование функций i]^ и г|5а, инду
цированное преобразованием R(a). Понятно, что можно
построить и более сложные функции. Снова, если мы
возьмем
гр (г, ф) = ехр(гтф),
то
Тт|) = exp [im (ф—а)] — ехр (— ima) ф,
т. е. данная функция есть на самом деле собственная
функция оператора Т с собственным значением ехр(—ima).
Заметим, что интересующие нас в этом случае функции
будут периодическими функциями угла ф с периодом 2я,
поскольку при прибавлении к ф величины 2я получаем
тот же самый вектор г. Функции типа ехр(гтф) будут
иметь это свойство, если только т — целое число (поло-
(положительное или отрицательное). Даже при данном огра-
ограничении оператор Т все еще имеет бесконечное мно-
множество собственных значений, в чем отражается беско-
бесконечная размерность функционального пространства. J

Линейная алгебра и векторные пространства 63
Е. Еще один пример индуцированного преобразования
функций
В качестве еще одной иллюстрации преобразования,
индуцированного в функциональном пространстве, рас-
рассмотрим квадратичные функции из § 2, п. Г с операцией
поворота R на угол 2я/3 вокруг оси z. В случае функции
г])г=а:2 из формулы C.38) получим
где в силу формулы C.39) и сказанного в § 8, п. А имеем
х=х cos 2n/3+y sin 2я/3= (—1/г)х+ C/4)'/гУ- В результате
получаем Т (Rx)^= (VJ*a- C/4)'/щ,+ (»/4)уЁ= G4Ж-
— C/4)'/уФв+ CU)ty2, и, таким образом, г^ преобразуется^
линейную комбинацию шести функций ф;.
Ж. Трансформированный оператор
В § 4 мы определили трансформированный оператор
S'=TST~1, представляемый той же матрицей в транс-
трансформированном базисе е,=Тег, что и оператор S в пер-
первоначальном базисе е*. Выберем в качестве примера опе-
оператор S типа обсуждавшихся в § 8, п. В, а также функ-
функциональное пространство и преобразование Т, разобран-
разобранные в том же пункте. В частности, пусть оператор S есть
оператор умножения на функцию sin Зф, вектор г|) равен
coscp и преобразование T=T(R(a)), так что Ti|)=cos((p—
—а). Таким образом, напишем
\|)' = T\|) = cos((p—а),
ф = S\]5 = sin Зф cos ф,
\р' =Тф = в1пЗ(ф—a) cos (ф—а),
так что трансформированный оператор S', определя-
определяемый соотношением S't|/=tJ)', в данном случае есть
простор оператор^ умножения на^функцию бшЗ(ф—а).
ЛИТЕРАТУРА
Подробнее относительно линейной алгебры см.
Birkhoff G., Maclane S., A Survey of Modern Algebra,
London, 1965,

64 Глава 3
ЗАДАЧИ
3.1. Покажите, что в трехмерном физическом пространстве скаляр-
скалярное произведение векторов вида (г^, r2)=|rl||r2|cos 0, где 9 —
угол между векторами г^ и г3, удовлетворяет требованиям,
предъявляемым к скалярному произведению (§ 1).
3.2. Покажите, что если Lf — одномерное подпространство, за-
заданное векторами (а, а, 0), то его ортогональное дополнение
L2 определяется векторами F,—Ь, с), и представьте вектор
A, 2, 3) в виде суммы двух векторов, один из которых принад-
принадлежит подпространству Lf, а второй — подпространству L2.
3.3. Пусть скалярное "произведение двух функций есть (/, g)=
= \ } (х)* g (x)dx. Покажите, что функции fo{x)={1l2)L^ и
—1
f1(x)=C/4I/'x ортонормальны. Воспользуйтесь методом орто-
гонализации по Шмидту для построения квадратичной функ-
функции /2(ж), ортонормальной функциям /0 и f1. Аналогичным спо-
способом постройте кубическую функцию f3(x).
3.4. Взяв функции fn(x) из предыдущей задачи в качестве базисных
векторов и Т=ж2 в качестве оператора, по формуле C.21)
вычислите матричные элемепты Г01, Тп и Г02.
3.5. Покажите, что оператор Т из предыдущей задачи эрмитов,
и рассмотрите граничные условия, которые следует наложить
на функции / (х) на отрезке [—1, 1], чтобы оператор idldx был
эрмитовым, если скалярное произведение имеет тот же вид, что
и в задаче 3.3.
3.6. Пусть преобразование R есть поворот вокруг оси z на 90°.
Для трех единичных векторов е/, направленных вдоль осей х,
у и г, найдите Re,=e;. По формулам C.38) и C.39) или C.40)
вычислите индуцированное преобразование Т (R) г|> (г), где
¦ф (г) есть: а) х, б) у, в) х2 и г) ху. Выполните то же самое, если
R — поворот вокруг оси z на 45°.
3.7. Исходя из функции / (х, у)=х2, методом ортогонализации по
Шмидту постройте ортонормированный базис в пространстве
функций х2, у2 и ху предыдущей задачи, если скалярное про-
произведение имеет вид (/ (х, у), g {х, у))= [ dx \ dy f (x, у) g(x, у).
-1 -I
Найдите матрицу Т (R), где R — поворот на 90° относительно
оси г. Приведите матрицу к диагональному виду, определите
собственные значения и собственные векторы.
3.8. Пусть R — оператор поворота вокруг оси z на 45°, а Т — опе-
оператор поворота вокруг оси х на 90°.|Покажите геометрически,
что TRT есть 'оператор поворота вокруг оси у против ча-
часовой стрелки на 45° (поворота вокруг оси —"у). Подтвердите
этот результат, перемножая матрицы соответствующих опе-
операторов в базисе ел-, е„, ez. [Это частный случай общего соот-
соотношения B.12).] •*
3.9. Покажите, что'.'если оператор S есть д/дг;, то трансформиро-
трансформированный оператор TST в обозначениях формулы C.38)
есть /

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
В двух предыдущих главах были впедены два матема-
математических понятия: группы (гл. 2) и векторного простран-
пространства (гл. 3). Теперь мы объединим эти два понятия и рас-
рассмотрим взаимосвязь между элементами группы и пре-
преобразованиями векторного пространства. В этой главе,
начиная с § 6 и далее, нам в ряде случаев понадобится
вычислять сумму по всем групповым элементам. Для
конечных групп зто не составляет труда, но в бесконечных
группах (гл. 2, § 2) суммирование заменяется интегриро-
интегрированием и возникает проблема сходимости интегралов.
Исследование данного вопроса мы оставим до гл. 7, а
пока скажем лишь, что в большинстве интересных с,
физической точки зрения непрерывных групп сумму
можно заменить интегралом, если его определить соот-
соответствующим образом.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ
Если в векторном пространстве L можно найти набор
Т линейных операторов T(Ga) (гл. 3, 5 3), которые
соответствуют элементам Ga группы # в том смысле, что
T(Ge)T(G6) = T(GeG6), Г(Е) = 1, D.1)
то такой набор Т называется «представлением» группы S
в пространстве L. Таким образом, представление группы %
есть «отображепие» элементов Оа на 'операторы Т(СД)
в векторпом пространстве L. Если размерность простран-
пространства L равна s, то представление называют s-мерным.
Пространство L называют пространством представлений Т.
г*" Представление Т(СЛ) называется точным, если су-
существует взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм)
между операциями Т(Ga) и групповыми элементами G,e.

66 Глш»а 4
Вообще говоря, можно рассматривать и отображение
многих математических объектов в один, т. е. представ-
представление нескольких групповых элементов одним и тем же
оператором. Примером может служить крайний случай
«тождественного представления», когда все элементы пред-
представлены оператором идентичности 1.
§'-2. МАТРИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
На практике оператор обычно задают его матрицей в
пекотором выбранном базисе. Выбрав базис elt e2, es, . . .
. ., es в пространстве L. мы можем для каждого опера-
оператора T(Ga) построить матрицу (гл.'З, § 3) по формуле
, ^^^!^УТп{О^,. (Л.2)
Набор" матриц Т (G,;) с матричными "элементами Тп (Ga)
образует матричное представление группы. Как и должно
быть, матрицы T(Ga) удовлетворяют уравнению DЛ)
обычного матричпого умпожепия
eb). D.3)
Это прямо следует из D.1) и D.2), поскольку
r(G,7) T (G,) *, = ^ Т (Ga) Tj, (Gft) e, =
) e, = Т (GeG4) e, = J4 Tk! (GaGb) ек,
так что
TH(GaGt) = ?,Tk/(Ga)Tf!(Gh).
На практике для вычисления матричных элементов
с использованием ортонормированного базиса, как пра-
правило, удобнее пользоваться соотношением
T/7(Ga) = (e/, T(Ge)e,), D.4)
которое прямо следует из равенстг/а D.2).

Врвдстшвлепия $pgnn
67
§ 3. ПРИМЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
А. Группа Ds
Чтобы установить, каков физический смысл представ-
представления, мы рассмотрим здесь группу Da, введенную ранее
(гл. 2, § 2, п. Е), и построим для нее матричное пред-
представление. Точное представление этой группы получается
сразу же, если записать соответствующие каждой опе-
операции преобразования в обычном трехмерном декартовом
пространстве. Выберем базисные векторы еж и еу так, как
показано на рис. 4.1, а нектор ег направим перпендику-
R/
.Л*
у-
V
Рис. ЛЛ.
лярно плоскости рисунка. Тогда отображение элемента
группы, например Яг (оператора попорота па 120° во-
вокруг оси z), примет вид
_ _ ' 3 \ V» 1
— "u — I ~r I 6 „ ^"
D.5)

Гллм 4
и, следовательно, согласно формуле D.4), его матрица
будет равна
( 1 -^ .
/4-1
О
О
Для других элементов грунны аналогичным образом
получим
1
T(R2) =
0 1
< 1
j
T(R4) =
/4 4
О
О
j =
1 l/l
2 К 4
О
О —1
Т(Е)= 0 1 О
Как нетрудно убедиться, эти матрицы имеют ту же таб-
таблицу умножения, что и групповые^ элементы. Имеем,
например, Т^)! (R4)=T(R5), что согласуется ^равен-
^равенством RiR4=k5 (табл. 2.5).
Рассматривая только одномерное пространство век-
вектора сг, мы можем построить очень простое одномерное
иредставлевие, которое обозначим через ТB):
= -1, Tl2)(E) = l.

Представления шрупп 69
Отметим, что Т12) не есть тождественное представление
[которое мы будем обозначать через Tu)(jR)j=1], ставя-
ставящее в соответствие каждому элементу группы +1. За-
Заметим также, что числа —1 соответствуют трем элемен-
элементам, относящимся к одному и тому же классу %% группы
D, (гл. 2, § 7). Это отнюдь не случайность — в § 9 мы
увидим, что представления элементов, принадлежащих
одному классу, имеют ряд общих свойств.
Поскольку в третьей строке и третьем столбце матриц
T(Rj) стоят нули, понятно, что матрицы 2x2, построен-
построенные из двух первых строк и столбцов, тоже образуют
представление группы 1)я, которое мы обозначим через
Б. Группа dit
Используя то же пространство, что и в предыдущем
примере, можно построить представление непрерывной
группы вращений di% вокруг оси 2. В этом случае индекс
а групповых элементов R (а) является непрерывным
параметром в интервале 0^а^2я, а матрица, уже полу-
полученная нами ранее (гл. 3, § 8), имеет вид
tcosa —sin a 0 ,
siu a cos a 0 j . , D.6)
0 0
1/
Отсюда сразу следует, что
Т (в) Т F)-*!>+&) D.7)
для любых а и b в согласии с правилом умножения груп-
групповых элементов R(a)R(fc)=R(ffc)
В. Функциональные пространства
Два первых примера представлений построены в
обычном физическом трехмерном пространстве, и поэтому
на данной стадии нелегко понять, каким образом для

TO Гла*» 4
групп типа Dt и 5?а могут быть построены представления
размерности, большей 3. Чтобы показать, как это может
быть достигнуто, мы построим представления в функцио-
функциональном пространстве, рассмотрев преобразования функ-
функций при повороте системы координат согласно формуле
C.37). Это будет иметь очень важное значение для при-
приложений теории групп в квантовой механике.
Пусть мы имеем пространство L функций г|)(г)> гДе
г — некоторые координаты, инвариантных относительно
группы преобразований координат Ga в том смысле, что
если т|;(г) принадлежит пространству L, то ему принад-
принадлежит и ^(G^r) для всех элементов Са этой группы.
Тогда мы можем определить представление Т в функ-
функциональном пространстве L как преобразования
T(GJl|;(r) = 1J3(G-lr) D.8)
типа преобразования, рассмотренного в гл. 3, § 7. Снова
нетрудно убедиться, что это представление удовлетво-
удовлетворяет условию D.1), ибо, определив ч|з' (r)=iJ5(G^1r), имеем
Т (Ge) T (Gb) у (г) = Т (GJ г|> (Gj'r) = T (GJ г|/ (г) =
b)-]r) = T (GaGb) г|) (г).
В данном доказательстве очень важно введение новой
функции я|)'(r)=ij)(G^1r), поскольку ъ общем случае
X
Матричное представление в функциональном про-
пространстве может быть получено, если распространить
общее выражение D.2) на пространство функций, выбрав
базис я|)| (г):
Т (GJ ifo (г) = ^ (G^r) = ^; (г) = 2 Т„ (Ga) 4V (г). D.9)
i
Здесь функции т|;4 (г) служат примером абстрактных ба-
базисных векторов е^.
В качестве иллюстрации рассмотрим шестимерное
пространство L квадратичных функций, введенных в
гл. 3, § 2, п. Г. Оно, очевидно, инвариантно относительно
любого вращения и, в частности, относительно операций
группы Da. Например, T(R1)iJ)l=1/«^i— CUV'tyt+Vrf»-

Представления групп
71
Продолжая выклядки, мы получим матрицу
Т (R,) -
1
4
з'
4
0
0
0
3
4
1
4
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
2
-/1
0
0
0
0
1
2
0
V-
-V
0
0
0
Тем же путем могут быть получены остальные пять мат-
матриц, и они будут иметь ту же таблицу умножения, что
и элементы группы.
Отметим, что при умножении функций г|5 (г) на любую
скалярную функцию /(г), где г=|г|, представление ос-
остается неизменным и, если функция f(r) достаточно быстро
уменьшается при больших г, объем V, в котором опре-
определено скалярное произведение, можно расширить до
бесконечности. В этом случае функция ф(г) может пред-
представлять собой волновую функцию частицы, движущейся
в сферически-симметричном потенциале вокруг начала
координат, как электрон в атоме водорода.
§ 4. ПОСТРОЕНИИ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
Если в пространстве L определен некий оператор Т
то может случиться так, что существует подпространств:
Li пространства L, обладающее следующим свойством
если Tj — произвольный вектор подпространства L\, то
преобразованный вектор ri=Tr( тоже принадлежит под-
подпространству Li. Такое подпространство называется «ин-
«инвариантным* по отношению к оператору Т. В общем
случае, если в пространстве L задан набор операторов
T(Ga), образующих представление группы %, то может
существовать подпространство Li, инвариантное отно-

72 Глш*а 4
сительно всех преобразований T(Ga), когда Go пробе-
пробегает группу %. В этом случае подпространство Lj назы-
называется инвариантным по отношению к преобразованиям,
индуцированным группой Ъ; в таком смысле обычно и
понимается термин «инвариантное подпространство».
В примере, рассмотренном в § 3, п. А, из вида матриц
понятно, что инвариантными являются как подпростран-
подпространство векторов ех и ev, так и его ортогональное дополнение
(гл. 3, §"il) — одномерное пространство, задаваемое век-
вектором ez. Шестимерное функциональное пространство в
примере § 3, п. В само по себе является подпространством
пространства всех непрерывных функций, имеющего бес-
бесконечное число измерений.
В данном параграфе мы хотим показать, что можно
построить инвариантное подпространство, исходя из един-
единственного вектора в исходном пространстве. Пусть г —
произвольный вектор в L. Определим набор из g векторов
га соотношением
re = T(Ge)r, D.10)
где Ga пробегает g элементов группы "§. Отсюда сразу
следует, что набор векторов та заключен в инвариантном
подпространстве пространства L, поскольку для любого Ь
= T(G,)r==r,, D.11)
где групповой элемент G,. задается соотношением Gc=
=G>.G
Если все векторы та линейно-независимы, то они
образуют базис g-мерного представления группы, по-
поскольку формула D.11) есть частный случай общей фор-
формулы D.2) для представлений. В таком случае матрица
T(Gb) будет задаваться равенством Тц(О>ь)—\, если
групповые элементы, обозначенные индексами Ъ, i и /,
удовлетворяют соотношению GbG{=Gj. Все прочие
матричные элементы должны^равняться нулю.
В общем случае векторы"; гд не являются ^инейно-
независимыми, но всегда можно^выбрать*?^^*линейно-
независимых базисных векторов в виде линейных комби-
комбинаций векторов гд. В большинстве случаев независимые
базисные векторы удобно ортонормировать "по Шмидту.
Чтобы проиллюстрировать процедуру такого построения,
вернемся к примеру § 3, п. В. Мы^будем строить неза-

Цредвта1лени»1$рупп
П
висимое пространство, исходя из единственной функции
=а;а в группе Dt:
Из вида полученных функций явствует, что они не яв-
являются линейно-независимыми, что построенное про-
пространство трехмерно и что три функции х2, у2 и ху обра-
образуют его базис, хотя и не ортонормированныи. Матричное
представление в этом базисе можно найти, пользуясь
формулой D.2); имеем
Т (Rx) =
1
4
Vi
-Vi Vi 4
Т (R2) =
т/1 -
и т. д.
Процедура ортонормирования базиса по Шмидту (гл. 3,
§ 1) требует гораздо больше вычислений. Прежде всего
напишем ц>х=Ах2, где А находим из условия нормировки
ф! с использованием скалярного произведения C.13):

?4 Глле* 4
откуда
/ 21 у/» .
ф.и= -т— Х%.
Затем положим ф»=Б (i/2—СфО и найдем С и S из условий
ортогональности (фх, фа)=0 и нормировки (фа, ф»)=1.
Получаем
Нетрудно убедиться, что произведение ху, будучи нечет-
нечетной функцией как переменной х, так и переменной у,
ортогонально и функции фх, и функции фа. Из условия
нормировки находим
ч /14 \7,
§ 5. НЕПРИВОДИМОСТЬ
Как видно из примеров § 4, исходя из все более слож-
сложного функционального пространства, можно получать
матричные представления все возрастающего размера.
Казалось бы, изучение возможных представлений даже
в простейших группах типа Da является делом устраша-
устрашающей сложности. Однако нас спасает следующее заме-
замечательное свойство групповых представлений: все пред-
представления конечной группы можно «построить» из конеч-
конечного числа некоторых определенных неприводимых пред-
представлений. Группа Ds, например, имеет только три оп-
определенных неприводимых представления: два одномер-
одномерных и одно двумерное. Здесь нам приходится вводить
некоторые новые понятия^ мы строго определим их
чуть позже, а пока для иллюстрации обратимся к при-
примеру, рассмотренному в § 3, п. А. Размерность пред-
представления в этом примере равна трем. Из вида матриц
вытекает, однако, что построенные из первых двух строк
и столбцов матрицы 2x2 образуют двумерное представ-
представление, тогда как диагональные матричные элементы, рас-
расположенные на пересечении третьей строки с третьим
столбцом, образуют представление размерности единица.
Это становится возможным, поскольку равны нулю эле-
элементы, расположенные на пересечении первых двух строк
с третьим столбцом и первых двух столбцов с третьей стро-
строкой. Если говорить о векторном пространстве, то это озна-

Преветшвления tpynn 75
чает, что два вектора еж и еу порождают инвариантное
векторное пространство, а один вектор е2 порождает
второе инвариантное векторное пространство, ортогональ-
ортогональное первому. Мы скажем в этой ситуации, что трехмер-
трехмерное представление приводится к «сумме» двумерного
и одномерного представлений. Одномерное представление,
очевидно, не может быть приведено дальше, а попытав-
попытавшись привести двумерное представление, можно убе-
убедиться в том, что и оно также неприводимо. Мы вклады-
вкладываем в эти слова такой смысл: невозможно выбрать новые
базисные векторы ei==aex+pew и е2 — §ех—ае^, такие,
чтобы матричные элементы
Tlt (Ra) = (elf T (Re) в,) и Tn (RJ = (е2, Т (Rfl) ej
обращались в этом базисе в нуль для всех элементов Ra
из группы Dt. Представления, которые нельзя привести,
называют неприводимыми.
Понятие приводимости играет чрезвычайпо важную
роль в физике, поскольку, как мы увядим в следующей
главе, из волновых функций, описывающих стационарные
состояния симметрической системы с одной и той же
энергией, можно построить базисные функции неприво-
неприводимого представления группы операций симметрии.
Дадим теперь более строгое определение понятия
приводимости. Пусть L — пространство, инвариаптное
относительно преобразований T(Ga), индуцированных
некоторой группой $ из элементов <Эа. Тогда, если Lx—
инвариантное, подпространство пространства L и его
ортогональное дополнение Ьг (гл. 3, § 1) тоже инвариант-
инвариантно, то представление Т называют приводимым. Если же
такое подпространство найти невозможно, то представ-
представление Т называется неприводимым. В этом определении
приводимости существенно, что инвариантны как под-
подпространство Li, так и его ортогональное дополнение La.
Здесь опять возможно упрощение, поскольку, если опе-
операторы T(Ga) унитарны, из инвариантности простран-
пространства Lx вытекает инвариантность пространства L2. До-
Доказательство очевидно: если базисные векторы простран-
пространства Lx обозначить через et, а базисные векторы про-
пространства L2 — через в}, то по определению L% мы имеем

76
Глава 4
В силу'инвариантности ?,-произведение (T(G,)e,-, е,-)=0,
а вследствие унитарности оператора Т последнее равенство
эквивалентно равенству (еь T(G,,)e;)=0. Из этого равен-
равенства вытекает, что векторы T(Gfi)e? ортогональны век-
векторам е{, т. е. обязаны принадлежать пространству Ьг.
Таким образом, пространство L2 инвариантно, что и
требовалось доказать. Условие унитарности преобразо-
преобразований почти не ограничивает общности, поскольку, как
мы увидим в § 6, почти все интересные с точки зрения
физики преобразования унитарны. Таким образом, ока-
оказывается возможным разбить любое пространство L на
сумму подпрострапств Lq (их может быть болыпе двух),
каждое из которых является инвариантным и неприво-
неприводимым, хотя такое разбиение не обязательно должно
осуществляться единственным образом. Можно написать
L=Li-j-L2-{-L3-{-. . ., где каждое подпространство Lq
неприводимо и инвариантно по отношению к преобразо-
преобразованиям T(Ge). Соответственно этому приведение пред-
представления можно записать в виде
Т (С„) = Т«> (G,,) ф Т<" (G,,) -f} T<" (GJ ф. .., D.12)
где "^'(G,,) — неприводимое представление, индуциро-
индуцированное в пространстве Lq. Ланпое выражепие следует
понимать как сумму оперяторот» TG>(Ga), действующих
в разных пространствах Lq,— на это указывает особая
форма знака сложения.
На языке матриц это означает следующее: если вьт-
брать"базисные векторы таким образом, что вначале идут
векторы пространства ?,-, затем векторы Ьг и~"т. д., то
матрица примет «блок-диагональную» форму с нулями
всюду, кроме диагонали,"как показано ниже. Здесь сим-
символом T(?'(G,,) обозначена квадратная матрица, размер-
размерность которой совпадает"^ размерностью~подпространства
Lq, а нулями обозначены прямоугольные матрицы из
одних нулевых элементов:
^Т 0 0 . . О
о :. о
о т»>
О О Т<"
0 0 0

Представления групп 77
Каждое Т(?> (Ga) есть неприводимое матричное пред-
представление группы "§. Если задано произвольное матрич-
матричное представление Т, то, чтобы перейти к простой блок-
диагональной форме матрицы, очевидно, необходимо ак-
аккуратно осуществить переход к новому базису, отвечаю-
отвечающему подпространствам Lq. Приведение матриц может
быть записано в виде
аналогичном операторному равенству D.12). Особая
форма знака сложения вновь напоминает нам, что мы
имеем дело не с обычным сложепием матриц, а со «сбор-
«сборкой» матрицы Т из квадратных матриц Tiq)(Ga), разме-
размещенных вдоль диагонали.
Если задан произвольный вектор г, то мы можем
построить инвариантное пространство L, используя опе-
операции T(Ga)r, как показано в § 4. Если теперь привести
это пространство к сумме неприводимых подпространств
Lq, то вектор г можно записать в виде г=У;гд, где rq при-
' я'
надлежит пространству Lq. R этом случае говорят, что
вектор г разложен на неприводимые компоненты rg.
§ 6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Описанное в § 5 приведение позволяет в принципе
свести любое представление к составляющим его пепри-
водимьш представлениям. Поэтому в дальнейшем мы в
основном ограничимся исследованием свойств неприво-
неприводимых представлений, зная, что из них можно вывести
свойства июбого приводимого представления. Даже в
этом случае число возможных неприводимых представ то-
ний остается бесконечным, как можно видеть из примера,
рассмотренного в § 3, п. А. Пространство, определенное
двумя векторами ех и еу, было неприводимым и порож-
порождало двумерное неприводимое представление группы О3.
Однако, по-другому выбрав в том же пространстве ба-
базисные векторы, мы получим иной набор матриц T(Ga).
Можно надеяться, что подобное тривиальное преобразо-
преобразование базиса не будет изменять некие существенные
свойства представления — и это действительно так. Мы

78 Глтш 4
введем понятие эквивалентности представлений, которое
придаст строгую форму нашему утверждению.
Обозначим через T(Ga) представление группы $ в
пространстве L. Тогда, если А есть отображение про-
пространства L па пространство L' той же размерности, то
набор операторов
T'(Ga) = AT(GJA-\ D.14)
действующих в пространстве Г/, также образует пред-
представление группы %. Это легко показать; действительно,
имеем
Т'(Оа) Г (G») = AT (GJ A-1 AT (G,) A =
= AT(GeG(,)A-1 =
= T'(GeG6),
что является определением понятия представления [фор-
[формула D.10I. Такие два представления Т' и Т называют
эквивалентными. Совершенно необходимо, чтобы для всех
групповых элементов Ga применялась одна и та же опе-
операция отображения А. В частном случае пространства L
и V могут оказаться совпадающими.
Если представление Т' эквивалентно представлению
Т, а Т" эквивалентно Т', то Т" эквивалентно Т,
откуда вытекает понятие класса взаимно эквивалентных
представлений.
Преобразование базиса матричного представления дает
эквивалентное матричное представление. В частности,
пусть задан набор операторов T(Ga), матрицы которых
в базисе ег имеют вид Тц(О>а). Тогда, если взять новый
базис e'{=Aei, то матрицы операторов T(Ga) в новом
базисе будут определяться матричным произведением
A~lT(Ga)A, поскольку
Те', = ТАе, = ? (ТА),, еу =« 2 (ТА)/; (A"»)» jek =
; /ft
Здесь порядок следования операторов А и А обратен
порядку в формуле D.14). Это объясняется тем, что фор-
формулой D.14) определяется новый оператор, а в данном

Иреёетаиления ерупп 79
случае тот же самый оператор T(Ge) записан в новой
бависе.
Можно ожидать, что важнейшие свойства любых двух
эквивалентных представлений одинаковы, и мы увидим
далее, что это действительно так. Поэтому мы можем
ограничиться рассмотрением из каждого класса экви-
эквивалентных представлений лишь по одному представлению.
В частности, можно рассматривать только унитарные
представления, поскольку утверждение, известное под
названием теоремы Машке, гласит, что для конечных
групп в любом классе эквивалентных представлений со-
содержатся унитарные представления. Эта теорема спра-
справедлива и для большинства непрерывных групп, рас-
рассматриваемых в физике.
А. Доказательство теоремы Машке
Требуется доказать, что любое представление экви-
эквивалентно некоторому унитарному представлению. Для
данного представления Т (Ga) мы обязаны найти опе-
оператор S, такой, чтобы эквивалентное представление
T'(Ga)=ST(Ga) S было унитарным. Мы покажем,
что этому условию удовлетворяет оператор S = { Я Т+ (G6)x
XT(Gb)}1''2, не пытаясь объяснить, что нас побудило
сделать такой выбор. Для проверки унитарности мы
должны показать, что
T'(Ge)W(GJ-i. D.15)
Прежде всего заметим, что
P(Ga)S4(Ga) = 2TN(Ge),ri-.(G6) Г (Gb)
Gc)Tb(Ge) = S*, D.16)
где Gc=GbGa. Мы использовали то свойство группы, что
если элемент Ga фиксирован, а G& пробегает всю группу,
причем каждый ее элемент встречается один и только один
раз, то. и <Эе пробегает все групповые элементы, причем
каждый элемент также появляется один и только один

80 | Глава 4
раз (гл. 2, § 9). Теперь, умножив обе части равенства
D.16) справа на T~J(GJS~l и слева на S, получим
а это и есть требуемое условие унитарности D.15). Мы
воспользовались тем обстоятельством, что оператор S
эрмитов.
§ 7. НЕЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Два представления Т и Т' называются «неэквива-
«неэквивалентными», если не существует такого оператора А, ко-
который удовлетворял бы соотношению D.14) для всех
элементов Ga группы. Эквивалентные неприводимые
представления удобно рассматривать как одно пред-
представление. (Для матриц это означает, что всегда можно
выбрать такой базис, в котором соответствующие матрицы
идентичны.) С точки зрения разложения D.12) приводи-
приводимого представления на его неприводимые компоненты это
означает, что в таком разложении некоторое неприводимое
представление может появляться несколько раз. По-
Поэтому разложение на неприводимые представления можно
записать в виде
V=2maT«», D.17)
а
где а пробегает неэквивалентные неприводимые пред-
представления, а целое число та показывает, сколько раз
данное неприводимое представление Т<а) появляется в
разложении. (.Точка над знаком суммирования означает
то же самое, что и знаки сложения в формуле D.13).]
Например, в разложение шестимерного представления
рассмотренного в § 3, п. В, дважды входит тождественное
представление. Две независимые функции (х2-(-г/2) и z2,
инвариантные в группе Da, являются по этой причине
базисными функциями одномерного тождественного пред-
представления Тш, ставящего в соответствие каждому груп-
групповому элементу единицу. Можно также показать (зада-
(задача 4.9), что и двумерное представление ТC) входит в
разложение дважды, а поэтому формула приведения
представления будет записываться в виде Т=2Тшф2ТC).

Представления групп 81
§ 8. СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОСТИ НЕПРИВОДИМЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Из сказанного в § 5—7 можно сделать вывод, что
задача исследования^ представлений группы сводится, к
изучению неэквивалентных неприводимых представлений,
обладающих, как мы сейчас установим, важными свой-
свойствами ортогональности. Эти свойства составляют^ ядро
математической теории представлений, позволяют нам
легко оперировать с ними и лежат в основе большинства
физических проявлений симметрии. Свойства ортого-
ортогональности следуют из двух положений, носящих на-
название лемм Шура. Они были выведены Щуром в 1905 г.
«Леммой» математики называют промежуточное заклю-
заключение, которое необходимо сделать при выводе теоремы
или какого-либо положения. Вначале мы сформулируем
эти две леммы, затем рассмотрим их следствия, а в конце
параграфа докажем их.
Первая лемма Шура. Пусть Т (GJ — неприводимое
представление группы Ъ в пространстве L, и пусть А —
фиксированный оператор в L. Тогда, если для всех эле-
элементов Go группы % выполняется равенство Т (Go) A =
=AT(GJ, то А=Я1, где 1 есть тождественный (или
единичный) оператор. Другими словами, всякий фик-
фиксированный оператор, коммутирующий с операторами
T(Ga) неприводимого представления для любых Ga
из группы Ъ, является единичным оператором с точностью
до постоянного множителя.
Вторая лемма Шура. Пусть TA)(Ga) и Tl2)(GJ —
два неприводимых представления группы % в простран-
пространствах Lx и L2 размерностей sx и s2, и пусть А — оператор,
переводящий векторы из L% в L\. Тогда, если представ-
представления ТA) и ТB) неэквивалентны и для всех элементов
Ga группы Ъ выполняется равенство Тш (Ga)A=ATl2) (Ga),
то^А=0, т. е. А — нулевой оператор.
Воспользуемся теперь леммами Шура для вывода со-
соотношений ортогональности матричных представлений.
Рассмотрим два неприводимых представления Т(о" (Ga) и
Т(Р> (Go) группы Ъ, причем T(a)(Ga) определено в
пространстве La, а T(P)(Ga) — в Lp. Пусть X — не-
некоторый оператор, преобразующий векторы пространства
L$ в векторы пространства La. Мы можем теперь показать,

82 ГЛМ4
что оператор А вида
D18)
как раз обладает свойствами оператора А в леммах
Шура, ибо
Т<«> (GJ А = ? Т«*> (GJ Т«*> (G,) XT'» (G*1) =
= 2 Т<а> (GaGb) XT"» (G,-1) TP (G-1) T (GJ =
ь
2
Ь
> (GaGb) XT ((GaGb)-^) T'P> (GJ =
) (Gc) XT<» (G-1) T<P' (Ge) =
Мы здесь использовали то свойство группы, что произ-
произведение GeGe,=G,. двух элементов, в котором элемент о
фиксирован, a b яробегает всю групяу, также пробегает
все групповые элементы (гл. 2, § 9). Рассмотрим два
случая:
1) Т<а> и Т<Р) — одно и то же представление, откуда
по лемме Шура А=Я1;
2) Т<а и Т'Р* неэквивалентны, и по лемме^ Шура
А=0. Эти два случая можно объединить в одно равенство
А = ХбаР1, D.19)
считая, что в нем 8ар=0, когда неприводимые представ-
представления Т<а> и Т(В) неэквивалентны, и 6„р = 1, когда Т<а)
и Т'р) — одно и то же представление. Случай, когда
Т«*> и т<Э) эквивалентны, но не совпадают, не охваты-
охватывается данным равенством, но он не представляет для
нас интереса.
Содержание обеих лемм Шура при выборе оператора
А в форме D.18) можно свести к одному равенству
>: & ?т№(Оа)ХкаТ<*}(О?) = Аи = Ма1би, D.20)
a=lm=lft=l
где X — совершенно произвольная прямоугольная мат-
матрица, но множитель Я зависит от выбора X. Мы восполь-

Представления еррпп 88
зуемся свободой выбора матрицы X и положим ее эле-
элементы раВНЫМИ Xhm — tibpfimq' ДРУГИМИ СЛОВЭМИ, МЫ
выбираем матрицу X, все элементы которой — нули,
кроме одного элемента, расположенного на пересечении
р-й строки с q-м столбцом, который принимается равным
единице. При таком выборе в формуле D.20) исчезнут два
знака суммирования и останется выражение
V. Т% (Ga) Tf F^) = Хв,„^. D.21)
Величина % имеет смътвл, только если or—p и /=/; в ятом
случае, просуммировав по I обр части равенства D.21),
получим
% У, Т\? (Ge) Tf (G-1) =^1 = и„
т. е.
и, следовательно,
ибо образом тождествеипой операции Е является еди-
единичная матрнна. Подставляя в формулу D.21) это выра-
выражение для X, получаем
V Т\? (Gn) T'tf (G,1) = gba&A*'**- V-22)
a-- \
Если матричное' представление Т'11' унитарно, то
возможно дальнейшее упрощение. Так как
мы имеем
а поятому если матрица Т унитарна, то
и при подстановке в равенство D.22) в итоге получим
'Si? {%

84 Глава 4
Данное соотношение ортогональности является чрезвы-
чрезвычайно мощным. Заметим, что индексы матричных эле-
элементов, стоящих в левой части, выбраны совершенно
произвольно, а суммирование производится только по
элементам группы. Соотношение D.23) показывает, что
получаемая сумма обращается в нуль, если аир — не-
неэквивалентные неприводимые представления. Даже если
представления аир совпадают, сумма остается нулевой,
пока в левую часть входят различные матричные эле-
элементы,, т. е. если 1Ф) или рфд. Единственную ситуацию,
в которой сумма отлична от нуля при произвольных i
и р, можно изобразить так:"
Содержащуюся в"""соотногаении ортогональности опе-
операцию суммирования по всем групповым элементам
часто называют «усреднением по группе». В более строгом
смысле для усреднения по группе требуется разделить
получаемую сумму на общее число /? элементов группы.
Термип «соотношение ортогональпостп» для формулы
D.23) озпачает, что в некотором векторном пространстве
некое скалярное произведение обращается в нуль. Исполь-
Использование этого термина в данном случае оправдывается,
если рассматривать набор матричных элементов T(f^ (Ga)
для фиксированных a, i и р как обозначенные индексом
а компоненты вектора в ^-мерном пространстве. Скаляр-
Скалярное пропзведепие двух векторов определяется в этом про-
пространстве обычным образом Гформула C.7)! как сумма
по компонентам. Тогда формула D.23) констатирует ор-
ортогональность таких векторов с разными наборами ин-
индексов а, г ш р.
' Важно понять, что соотношение ортогональности вы-
выполняется только для неприводимых представлений. Из
этого, как мы вскоре увидим, вытекает'простой'алгебраи-
ческий критерий приводимости представления.
''Прежде чем продолжить наши рассуждения, отметим
два момента, вытекающие из "полученных результатов.
Во-первых, покажем, что неприводимые представления
абелевых групп одномерны. Пусть Т(<3[) (Ga) — неприво-
неприводимое представление" абелевой группы '§. Так как по

Представления групп 85
определению элементы абелевой группы коммутируют,
для любых Ga и Gb из 'З имеем
Т(а, (Ga) T(a) (Gb) = Т(а) (Об) T«*>(Ge).
Отсюда по первой лемме Шура следует, что Т(с" (G(Z)
отличается от единичного оператора постоянным множи-
множителем, т. е. Т(гх) (Ga)=X(aa)l. Таким образом, представ-
представление Т(со (Ga) для всех Ga является диагональным и
поэтому должно быть либо приводимым, либо одномер-
одномерным. Первое предположение противоречит исходным по-
посылкам; следовательно, неприводимые представления абе-
левых групп одномерны.
" В качестве второго примера докажем ортогональность
неприводимых представлений группы Ds. В § 3, п. А мы
уже определили два из них: одномерное представление
Т(а> и двумерное ТC). Кроме того, в любой группе
существует тождественное" представление ТA). Эти три
представления даны в табл. 4.1. Все они являются не-
неприводимыми (задача 4.7) и могут использоваться для
иллюстрации ортогональности. Размерпости представ-
представлений, очевидно, равны .?t=1, .?а = 1 и яя=2, а размерность
группы #=6. Применяя формулу D.23) к данному слу-
случаю, получаем
б1
У \Т$ (Gr)]2 = 6/2 = 3 при любых t и р;
2 Т$ (Ga)TB>(Ga) = 0 при любых I и р,
= B/1 = 6 и т. д.
А. Доказательство первой леммы Шура
Пусть г — собственный вектор оператора А в про-
пространстве L с собственным значением X, так что Ат—Хт.
Если "теперь 'г 'преобразованием T(Ga) переводится в
новый векторчта=ТЮа)г, то _та также будет собственным
вектором оператора А с тем же собственным значением

86
Глшмш 4
Q-
tb
ОС
Ш
^_^—-""""""'""^ ЭИНЭ1Г
l__ 1 1
V '
ч_ .. •
y— ^
I
1
О ч
!
|СО|^ чч|М
< 1
^ ^ \О)\-<Г
чн|(М Г^-
! !
ч ,
- ,ч !
1 ^
О -*i
^ ^ ^ о
к- 1- 1-

Dpte*tn—*tHuu tpynh 8?
к, поскольку
Агв ж* AT (GJ r = Т (GJ Аг = Т (GJ Кг * XT (Ga) г == 1та.
Если Ge пробегает всю группу S, то набор векторов га
должен порождать инвариантное подпространство, так
как
Т (Оь) га = Т (G,) T(Ga) v = Т (G6GJ r = ге,
где с определяется из соотношения GbGa —Gc групповой
таблицы умножения. Но так как пространство L по
определению неприводямо, оно не может содержать
инвариантного подпространства. Таким образом, про-
пространство векторов г„ обязано совпадать со всем про-
пространством L. Следовательно, для любого вектора R=
а
а а а
но так как R — произвольный вектор пространства L,
то А=М. В матричной форме оператор А просто будет
равняться величине А,, умноженной на единичную ^мат-
^матрицу.
Б. Доказательство второй леммы Шура
Рассмотрим вначале случай ?»^Si. Тогда А перево-
переводит Ь% в подпространство ЬЛ некоторой размерности
sA^Sa^Sj в пространстве Lt. Подпространство LA со-
состоит из векторов Аг, где г — произвольный вектор в L3.
Отсюда тотчас же следует, что пространство ЬА инвари-
инвариантно относительно преобразований группы #, поскольку
и этот вектор принадлежит пространству LA, так как
вектор ra = [Tl2)(GJrJ принадлежит Ьг. Однако пред-
представление ТA) по определению неприводимо, а поэтому
Li не можег иметь инвариантного подпространства. Таким
образом, мы приходим к противоречию, если только LA
не является ни нульмерным пространством («4=0), ни
полным пространством L± isA=s1). Иными словами, мы
доказали, что либо 1) Аг=0 для любых г в L,, т. е. А=0,

88 Глм 4
либо 2) sA=Si=st. Последнее равенство вытекает из не-
неравенства SA^S2 И УСЛОВИЯ S2^Sx-
Вторая из этих альтернатив исключается в силу ус-
условия, что Т11) и Т12) — неэквивалентные представления.
Она означала бы, что Ьх и L% имеют одинаковую размер-
размерность; отсюда следовало бы существование оператора А,
обратного оператору А, и поэтому ^из допущения
TU)(Ga)A=AT<2'(Gj следовало бы, что T(J>(GJ =
= ATBi (Go) А, т. е. что представления ТA) и Т12) экви-
эквивалентны. Остается заключить, что А=0.
В случае s^>sx доказательство аналогично. В этом
случае с необходимостью sA<is2, а поэтому должны су-
существовать векторы г в L2, которые переводятся преоб-
преобразованием А в нуль, т. е. для которых Аг=0. Подпро-
Подпространство этих векторов в L2 обозначим через Ьв; его
размерность будет равна s2—sA. Тогда пространство LB
обязано быть инвариантным, так как если ra=Tl2)(Ga)r,
то Are=ATl2) (GJr=Tu) (GJAr=0, из чего видно, что
ra тоже принадлежит пространству LB. Это противо-
противоречит условию неприводимости представления ТB), если
только не выполняется равенство La=L2, другими сло-
словами, Аг=0 для всех векторов г в Ьг. Таким образом,
мы снова приходим к выводу, что А=0.
§ 9. ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Как говорилось в § 6, для всякого данного представ-
представления можно построить бесконечное число эквивалентных
матричных представлений путем изменения базиса (т. е.
преобразования подобия). Мы хотим найти некоторые
вполне определенные свойства представлений, которые
не зависят от таких преобразований. В принципе можно
построить много инвариантов, поскольку преобразова-
преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
Но в большинстве случаев достаточно одной-единствен-
ной характеристики, и наиболее подходящей для этой
цели оказывается сумма всех собственных значений,
называемая «следом» матрицы и равная сумме ее диаго-
диагональных элементов в любом базисе. Такой след матричного
представления T(Ga) обозначается через %(Ga). Набор
чисел %(Ga), где Оа пробегает все элементы группы,
называется «характером» представления Т а обозна-

Представления групп 89
чается через %. Имеем
%(Ga)= У| T;i{Ga). D.24)
Мы сразу же видим, что характер представления инва-
инвариантен по отношению к преобразованию подобия, по-
поскольку из равенства T'(Ga) = AT(GJ А "следует ра-
равенство
i ilk
Путем аналогичных рассуждений можно показать, что
вес элементы одного и того же класса %v (гл. 2, § 6)
должны иметь одинаковый характер, который мы обозна-
обозначим через %р. Действительно, предположим, что элемен-
элементы Ga и Gb принадлежат одному и тому же классу, т. е.
связаны соотношением Ga=GmGbG^. Тогда для любого
представления Т
X (©«) - ^ Тп (Ga) =* ^ Т„ (GmG6G-) «
! {
ilk
§ 10. СООТНОТПЕПНЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ
ДЛЯ ХАРАКТЕРОВ НЕПРИВОДИММК ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В случае неприводимых представлений для вывода
соотношений между характерами мы можем воспользо-
воспользоваться соотношением ортогональности D.23). Положив
в формуле D.23) p—i и q—j и просуммировав левую и
правую части по i и /, получим
a=l

$Ю
Глиша 4
так что
2
я=1
{а) (©„
D- 25а)
Если объединить сопряженные элементы в классы #р,
содержащие по сп элементов, то данное соотношение можно
записать в виде
У cv
D.256)
где суммирование проводится по га классам $„ группы '§.
В частном случае се=р имеем соотношение
У
0-1
Равенство D.25) мы будем называть «соотношением ор-
ортогональности» для характеров. Характеры у в формуле
D.256) можно рассматривать как векторы с компонен-
компонентами (СрУ'-Хр в векторном пространстве размерности га,
где п — число классов в группе '§. В этом пространстве
характеры неприводимых представлений образуют набор
ортогональных векторов. Отсюда ясно, что число неэк-
неэквивалентных неприводимых представлений не может пре-
превышать числа классов группы. В § 13 мы увидим, что эти
два числа в действительности равны.
* Для иллюстрации ортогональности характеров 'не-
'неприводимых представлений можно воспользоваться при-
примером из § 3, п. А. Характеры yj, для каждого класса р
и каждого неприводимого представления а удобно свести
в таблицу (табл. 4.2). которая теперь будет содержать
ТаЬлицаП.Ъ
Представ чение \
ТОП
т(*н
Т«,
1
1
2
1
1
—1
0

flptdem*$AtHu» tpynn 91
меньше столбцов (по одному на каждый класс, а не на
каждый элемент группы). При использовании соотно-
соотношения ортогональности для характеров следует не за-
забывать включать число су групповых элементов в каждом
классе.
§ 11. ПРИВЕДЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ХАРАКТЕРОВ Г1'У1Ш
В § 5 и 7 мы показали, как в принципе можно привести
произвольное представление i к ею неприводимым со-
составляющим. Просуммировав диагональные элементы мат-
матрицы Т [формула D.17)], мы сразу увидим, что характер
X представления связан с характерами неприводимых
представлений таким же соотношением. Если характер
представления Т для элементов класса й'р обозначить
через Хр- то получим
Хр = Ъ "lutf*, D.27)
где числа та показывают, сколько раз в разложении
представления Т встречается каждое неэквивалентное
неприводимое представление Т(а). Понятно, что возмож-
возможность определить эти та для данного Т весьма заманчива,
и это действительно делается очень просто, если только
известны характеры неприводимых представлений Хра)>
Используя соотношение ортогональности D.256) и фор-
формулу D.27), получаем
с
p
P
— У т У с v<3>»v<a> —
Щ- D.28)
Это выражение для скалярного произведения характера %
на характер неприводимого представления у/р) анало-
аналогично формуле C.6) для «компоненты» jn$ характера %
в направлении «вектора» %'Р*. В качестве иллюстрации
рассмотрим трехмерное представление Т из § 3, п. А.
Его характер равен C, 0, —1), где числа соответствуют
Хр для трех классов группы Dt и взяты в том же порядке,
в котором эти классы расположены в табл. 4.2. Записав

92 Глмш 4
в обозначениях таблицы
т т TA)ffi?n TB)ffim TC)
с учетом формулы D.28) получим
i»lB.l C + 0-3) = U,
т3~~
Отсюда следует, что представление Т приводится к сумме
представлений 12) и Tlli). cho почти тривиальный при-
пример, поскольку такое разложение^ явствует и» самого
вида матриц. Г1ем не менее он показывает, что наш^метод
неплохо застрахован от ошибок: величины та должны
быть целыми положительными числами или нулями.
Более содержательный пример дает шестимерное пред-
представление, рассмотренное в примере § 3, п. В (задача 4.9).
? 12. КРтЬРИи ШШРИВиДИМОСТИ
По характеру представления сразу можно судить,
неприводимое оно или пет. Б § 1U было показано, что
если представление х неприводимо, том
'?ср\1р? = ё- D.29)
Можно также доказать, что если выполняется условие
D.29), то представление х неприводимо; таким образом,
D.29) — необходимое и достаточное условие. Для дока-
доказательства обратимся к равенствам D.25) и D.27), которые
можно объединить в соотношение
р txpp a
Поэтому, если справедливо равенство D.29), то ^/п^—1,
а
а так как все та целые, отсюда следует, что все числа та
равны нулю, кроме одного из них, которое мы обозначим
через ту,— оно равно единице: mv=l. Мы видим, что
T=TW, а последнее есть неприводимое представление.

___ 11редста*ления групп 93
В качестве примера можно показать, что двумерное пред-
представление ТC) группы Da неприводимо, поскольку из
табл. 4.2 следует
§ 13, ЧИСЛО НЕЭКВИВАЛЕНТНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ,
РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В § 10 было показано, что число неэквивалентных^не-
приводимых представлений конечной группы # не может
превышать числа классов в этой группе. Б примере
группы Da из табл. 4.2 видно, что имеется три неэкви-
неэквивалентных неприводимых представления. Но в группе
D» имеется только три класса; это дает нам основание
заключить, что Tu), il2J и Т1В) — все возможные^ для
группы D* неэквивалентные неприводимые представ-
представления. Вообще говоря, точное число неэквивалентных
неприводимых представлений группы хотелось бы оп-
определять заранее, и сейчас, пользуясь довольно искус-
искусственным приемом, мы покажем, что оно всегда равно числу
классов в группе. Прием заключается в том, что мы строим
представление весьма специального вида,_ размерность
которого равна числу элементов грунны g. Такое пред-
представление называется «регулярным» и обозначается через
Л>)
Матрицы Т(Л! (Ga) данного регулярного представле-
представления определяются соотношением
GeGb = 2r$>(Ge)Gc. D-30)
с
Нетрудно показать, что матрицы T{R' (GJ в самом деле
образуют представление. Умножив обе части равенства
D.30) на некоторый групповой элемент Gd, получим

Но в то же время GdGeGb- (GdGe)Gb=^
сравнивая это равенство с предыдущим, получаем
т. е. условие D.1), которым определяется представление.
Отметим, что, поскольку произведение GaG6 тоже яв-
является элементом грушш, сумма в правой части равенства
D.30; содержит только один член. Следовательно, при
данных и и Ь все матричные элементы Т^ (Ga) обраща-
обращаются и нуль, кроме соответствующего одному значению
с, который равен i. 1аким образом, все столбцы матрицы
j\k> (Ga) оудух состоять из нулей и одной единицы и
эта единица будет располагаться на диагонали только
тогда, когда Ge есть единичный элемент Е. Следова-
Следовательно, характеры регулярного представления будут
равны нулю для всех элементов, кроме единичного, для
которого характер равен размерности представления g,
т. е.
X'*4G.) = U, G.^E, х^ЧЕ) = Й- D-31)
Посмотрим теперь, как приводится регулярное представ-
представление
С учетом формул D.28) и D.Ы) получаем
'«««jlf (&.)* V.M (GJ^~gta) (E)» sa, D.32)
где^ s^ — размерность неприводимого представления Т(а.
Таким образом, неприводимое представление Т(а) встре-
встречается в разложении регулярного представления столько
раз, какова его размерность sa. Это означает, что регу-
регулярное представление должно содержать все неириводи-
мые представления.
Приравняв размерность g представления ТЛ> суммар-
суммарной размерности его составляющих, получим важный
результат
Отметим, что соотношение D.32) относится к регулярному
представлению, а формула D.33) выражает общее свой-

Пре9етш*ления tpgnn 95
ство группы, а именно то, что сумма квадратов размер-
размерностей всех возможных неэквивалентных неприводимых
представлений группы равна числу ее элементов. Теперь
на основании равенства D.33) докажем, что число неэк-
неэквивалентных неприводимых представлений группы равно
числу классов этой группы.
Доказательство. В § 8 было показано, что матричные
элементы Tffi (Ga) можно рассматривать как компоненты
некоего набора взаимно ортогональных векторов Т(г/а)
в ^-мерном пространстве с базисом ев, где а=1, 2, . . ., g.
Общее число таких векторов определяется всеми возмож-
возможными значениями индексов i, j и а и равно сумме Vs^
а
по всем неэквивалентным неприводимым представлениям.
Но как только что было показано, эта сумма равняется g.
Следовательно, число ортогональных векторов Tl(fy равно
размерности пространства и, стало быть, векторы T\f>
должны образовывать пространство. Поэтому любой век-
вектор v в этом пространстве можно представить в виде
линейной комбинации векторов Т^': !*"
а его компоненты va в базисе еа — в виде;
va^y,e\al})Tl^{Oa). .34)
Выделим только те векторы v, которые имеют одинако-
одинаковые «проекции» па все «направления» еа; они соответст-
соответствуют элементам одного и того же класса группы G, т. е.
vc~vai если G^G^'G^Gj, для любого"^ из ft. Поэтому
можно записать*'
я
U
- S S с («//) Hrr(Ge) в/Л^/s, =, [с учетом D.22)]'|

96 Глава 4
Эти векторы v образуют подпространство размерности п,
где п — число классов, и формула D.35) показывает,
что характеры, являющиеся набором ортонормированных
векторов в этом подпространстве (§ 10), также образуют
его базис. Отсюда вытекает, что должно быть ровно п
таких характеров %ш), т. е. число неэквивалентных не-
гриводимых представлений равно п — числу классов
пруппы $, что и требовалось доказать.
§ 14. ВТОРОЕ СООТНОШЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ
ДЛЯ ХАРАКТЕРОВ ГРУПП
Равенство числа классов числу неэквивалентных не-
неприводимых представлений озпачает, что таблица харак-
характеров, в которой столбцы соответствуют классам, а стро-
строки — неприводимым представлениям, должна быть квад-
квадратной. В силу соотношения ортогональности D.25)
любые две строки в такой таблице ортогональны, и от-
отсюда мы можем заключить, что и для двух произвольных
столбцов таблицы также существует соотношение ортого-
ортогональности. '
Чтобы вывести это соотношение, построим матрицу В
размерности пХп, элементы которой таковы:
р (ср\1 **,{<*•>
где п — число классов, а также число неэквивалентных
неприводимых представлений. Из соотношения ортого-
ортогональности D.25) следует, что при любых а и (?
или, в матричной форме, ВВ+, = 1. Поскольку матрица
В" квадратная, отсюда следует, что модуль ее детерми-
детерминанта ~равен~, что существует обратная матрица В
ИГВ~1=В+. Поэтому также и В+В = 1, что для матрич-
матричных элементов означает

Представления групп 97
Вернувшись к характерам группы, получим
?rxr = ^V D.36)
т. е. соотношение ортогональности для столбцов таблицы
характеров.
§ 15. ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ
Мы находили элементы таблицы характеров группы D3
(табл. 4.2), суммируя диагональные элементы построен-
построенных ранее матриц представления. Это не самый простой
способ построения таблицы характеров. Но таблицы ха-
характеров для всех групп, которые могут понадобиться,
уже давно вычислены (они приведены в приложении 1).
Тем не менее было бы интересно увидеть, как из априор-
априорных соображений можно построить таблицу характеров
для большинства обычных конечных групп. Это выпол-
выполняется удивительно просто. Уже найденных нами свойств
характеров неприводимых представлений во многих слу-
случаях достаточно, чтобы однозначно определить характеры.
Выпишем эти свойства.
1. Число неприводимых представлений = числу клас-
классов.
2. Размерность sa неприводимых представлений должна
удовлетворять равенству ^4sl,=g, которое во многих
а
случаях дает для sa единственное решение. Далее, по-
поскольку характер для единичного элемента Е равен
размерности представления, числа в первом столбце
таблицы характеров — это просто целые числа sa.
3. Для каждой группы существует одномерное тож-
тождественное представление, для которого T(Ga) = l и,
следовательно, %(Ga) = l. Этим определяется одна из
строк таблицы; обычно это первая строка.
4. Строки взаимно ортогональны с весами ср и норми-
нормированы к g, т. е.
2сд^)"/р|5'* = ёгбар—это формула D.25).
р
В частности, если р* — тождественное представление, то
для всех представлений ее, не совпадающих с тождест-

98 Глава 4
венным,
У „ v(ot) о
р
5. Столбцы таблицы взаимно ортогональны и норми-
нормированы к g/cp:
D.36).
В частности, если в качестве класса %q выбран единичный
элемент Е, для всех остальных столбцов имеем
Таким путем можно построить таблицу характеров для
некоторых простейших групп. Все, что при этом следует
знать о группе,— это ее порядок g, число классов и число
элементов в каждом классе. Для более сложных групп
такой информации оказывается уже недостаточно. В этом
случае для вывода дополнительных соотношений между
характерами требуется обратиться к групповой таблице
умножения (т. 2, приложение 3.3) или же, если группа
содержит нормальную подгруппу, ее представления могут
быть выведены из представлений нормальной подгруппы
(т. 2, гл. 20, § 3). Подчеркнем, однако, что в большинстве
физических приложений теории групп необходимо лишь
просто взглянуть на таблицу характеров группы.
§ 16. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ
НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
В этом и последующих параграфах мы будем в основ-
основном рассматривать свойства базисных векторов простран-
пространства, в котором задано неприводимое представление. Эти
базисные векторы можно рассматривать абстрактно (как,
например, в § 2), обозначая их через е\а\ где г = 1, 2, . . ,sa,
или, в более конкретном случае, они могут быть функ-
функциями о|^°" (г) в некотором векторном пространстве функ-
функций (§ 3, п. В). Поскольку в квантовохимических прило-
приложениях мы в основном будем иметь дело с функциями,
для обозначения базисных векторов представления Т(а)
в этом и последующих параграфах преимущестгенно

Представления групп 99
используется обозначение ^\а}, а не eja>. Аргумент г
функций мы опускаем для краткости.
В § 4 было показано, как можно построить инвариант-
инвариантное функциональное пространство. В качестве базиса
такого пространства удобно выбрать набор ортонорми-
рованных функций. Предположим теперь, что мы имеем
инвариантное функциональное пространство, которое яв-
является еще и неприводимым, так что представление,
индуцированное в нем некоторыми групповыми опера-
операциями, является неприводимым представлением. В этом
случае мы вправе воспользоваться свойствами ортого-
ортогональности неприводимых представлений D.23), чтобы
установить ортогональность базисных функций, принад-
принадлежащих двум неэквивалентным неприводимым пред-
представлениям.
Пусть функция ф<а) преобразуется по ?-й строке не-
неприводимого представления Т(<х>, другими словами,
Т@в)ф}«« = ^Т}?>Fв)фГ, D.37)
и пусть функция i|^P) преобразуется по /-й строке не-
неприводимого представления Т<|3). Далее предположим,
что при некотором определении скалярного произведения,
применимом ко всем рассматриваемым функциям, опе-
операторы T(Ga) унитарны, т. е. для всякого элемента Ga
группы
=»(Т (GJ Ф</*\ Т (G
I т.
Если еще предположить, что базисные векторы каждого
представления выбраны ортонормированными, то мы
можем воспользоваться соотношением ортогональности
D.23). Так, усредняя по всем групповым элементам, имеем
1
ib< &) —
. /, 'ч \ "а/ - т/ \ —а/ \т< > тт / '
aim
— — 8?8и V (ф(;а), ty\a)). D.38)
Это значит, что две любые функции, преобразующиеся
по унитарным неприводимым представлениям, взаимно
ортогональны, если только они не принадлежат одной

100 Глава 4
и той же строке (т. е. они не преобразуются в соответствии с
одной и той же строкой) одного и того же (или эквивалент-
эквивалентного) неприводимого представления. Значение этого важ-
важного результата заключается не столько во взаимной
ортогональности базисных функций одного и того же
неприводимого представления (множитель 6^ при ф=г))),
так как это в принципе вопрос выбора функций, сколько
в ортогональности базисных функций, относящихся к
разным строкам эквивалентных представлений или к
неэквивалентным представлениям (множитель 6аC). По-
Последний результат совершенно не зависит от выбора ба-
базиса в каждом из представлений. Кроме того, из равен-
равенства D.38) следует, что скалярное произведение (ф$а\
ty\a) ) не зависит от г — в частности, функции фга> для
данного а, удовлетворяющие условию D.37), имеют оди-
одинаковую норму.
Одним из особых следствий из соотношения D.38)
является то обстоятельство, что если Т<а) — тождест-
тождественное представление, то данное скалярное произведение
обращается в нуль для всех представлений Т^', кроме
тождественного. Так, если под скалярным произведением,
как обычно, понимать интегрирование по координатам
и положить ф^а) = 1 (постоянная функция), мы получим
0, D.39)
если только ТсР) не является тождественным представ-
представлением. Это означает, что интегральная инвариантная
характеристика функции, преобразующаяся по неприво-
неприводимому представлению, обращается в нуль, если только
сама функция не инвариантна. Поскольку любую функ-
функцию можно разложить на неприводимые компоненты,
это означает, что после интегрирования из всех компо-
компонент останутся только инвариантные.
§ 17. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Прямым произведением матрицы А размерности пХп
на матрицу В размерности тХт называется матрица
размерности тпХтп, обозначаемая через А0В, с мат-
матричными элементами
Л/АЯЛ. D.40)

Представления групп 101
Каждая строка (и каждый столбец) матрицы прямого
произведения обозначается двойным индексом ij, причем
первый индекс i относится к строке матрицы А, а второй
индекс / — к строке матрицы В. Подчеркнем, что А®В—
это не то же самое, что обычное произведение матриц.
Таким способом мы можем построить из двух пред-
представлений Т(а) и Т<Р) пх прямое произведение Т<а)®Т<|3),
обозначаемое через Т<<ххр>1):
П (GJ = T\f (GJ Tf (GJ. D.41)
Легко показать, что прямое произведение действительно
является представлением, ибо
(J Т(вхР) vGu)]/y, и = 2 ИЗ (J № ?ъ)
тп
= 2 Т<& (Ga) Tf (Ge) Tffl (Gb) Г$ (Gb) =
mn
= T^> (GaG,) Tj.f (GaGb) = Г^х.Р' (GaOb). D.42)
Характер прямого произведения представлений равен
х<*хР) (Gfl) = 2 Т^ (GJ = 2 T\f> (GJ r;.f (GJ -
= X<a)(GJx<P)(Gj- D.43)
Другими словами, для данного группового элемента
характер прямого произведения представлений Т(ах|3)
равен просто произведению характеров составляющих
его представлений Т(а) и Т<|3>. Если представления
7<а> и j<P) непрпводимы, то представление Т<ахР\ раз-
размерность которого равна sas$, вообще говоря, не яв-
является неприводимым. Но, зная характер %(ах|3), мы
можем разложить его на неприводимые представления
(§ 11). Так, если
Va*ti> = '?myVV>, D.44)
v
то по формулам D.43) и D.28)
11 Его называют также тензорным произведением представле-
представлений.— Прим. перев.

102 Глава 4
В качестве упражнения рассмотрим произведение 0
представлений группы Dt, характеры которых выписаны
в табл. 4.2. По формуле D.43) характер четырехмерного
представления прямого произведения Т<3)@ТC) равен
в три его компоненты соответствуют трем классам в табл.
4.2. Записывая теперь
а
и используя формулу D.28), получаем
т, = |-(8-2 + 0) = 1,
так что
) _. ти> ф тB1 © ТC).
На практике прямое произведение представлений ор-
органически связано с рассмотрением произведения функ-
функций. Если набор из sa функций ф^1' преобразуется по
представлению Т(<Х), а набор функций гр'/' — по пред-
представлению Т(Р), то набор из sasp произведений функция
{ф/й3"^'} будет преобразовываться по прямому произ-
произведению представлений Т<ахР). Чтобы показать это, рас-
рассмотрим
# Ц> (GJ rjPf> (G
с учетом формулы D.41).
Предположим, что прямое произведение представле-
представлений приводимо:
v
Тогда можно, изменив базис, выбрать линейные комби-
комбинации
^" = 2C(oPy*, i/ft){<PWb D-46)

Представления групп 103
которые преобразуются по неприводимому представлению
T'V. Индекс к относится здесь к строкам представлений,
а индекс t нужен, чтобы различать функции с одинако-
одинаковыми у ж к. Такие функции будут появляться, если целое
число ту больше 1, т. е. если неприводимое представ-
представление ТG) появляется в разложении D.44) несколько
раз. Коэффициенты C(a$yt, ijk) обычно называются
коэффициентами Клебша — Гордана для данной группы.
Группы, для которых при любых а и Р коэффициенты пгу
равны 0 или 1, называются «легко приводимыми». Для
таких групп (например, 5?8) употребление индекса t
необязательно.
Ранее мы предполагали, что функции ф и ф не иден-
идентичны; другими словами, мы полагали, что либо <*=И=р,
либо если а={3, то ф'/^тЦ^00. Случай совпадения функ-
функций ф и <J) требуется рассмотреть отдельно, поскольку
набор s*a произведений ф'^'ф'"' не является линейно-
независимым. Действительно, например, ф(?а)ф(;а)—
—ф^'ф^'^О. Отсюда следует, что и функции Wky>t но-
нового базиса не будут линейно-независимыми: при неко-
некоторых значениях (y)t все sy[ соответствующих базисных
функций одновременно обратятся в нуль. Другими сло-
словами, в нуль обратятся одновременно все базисные функ-
функции некоторых представлений в сумме D.44). При этом
исчезнут представления, антисимметричные относительно
обеих функций; они должны исчезнуть, раз эти функции
одинаковы. (Вопрос о симметризации прямого произве-
произведения представлений в общем виде рассматривается в т. 2,
приложение 3.) В приведенном выше примере произве-
произведения T(S)®TC> выбор двух одинаковых базисных
наборов приведет к тому, что базисные функции представ-
представления Т(?) обратятся в нуль.
Коэффициенты Клебша — Гордана обычно нормируют
так, чтобы выполнялось соотношение
Этим обеспечивается нормировка функций Yj?" при ус-
условии, что функции-произведения сами образуют ортонор-
мированный набор. Последнее условие соблюдается всег-
всегда, если компоненты произведения ф и ф зависят от раз-
разных координат, например относятся к частице 1 и части-

104 Глава 4
не 2, поскольку тогда исходное скалярное произведение
дается выражением
X Wp B), V/<P) B)) = 6в,в6р.Р6,.А'/ D.47)
как результат перемножения двух обычных скалярных
произведений, вычисляемых отдельно для каждой ча-
частицы. В этом случае линейной зависимости быть не может.
В силу общих свойств ортогональности неприводимых
представлений функции W$u ортогональны в отношении
у и к (§ 16), а для общей ортогональности вводится до-
дополнительный индекс t. Поэтому набор ?УИ является
ортонормированным, преобразование D.46) — унитарным,
а обратное преобразование может быть записано в виде
{Ф{«>1|>}0>} = 2 С* (ору*, */*) Wf, D-48)
rth
где коэффициенты удовлетворяют соотношениям ортого-
ортогональности (унитарности)
2С* («М- W)C(o®y't', ijk') = by^btt,bkk,,
yth
Если входящие в произведение функции не обеспечи-
обеспечивают ортонормированности D.47), те же самые коэффи-
коэффициенты Клебша — Гордана могут использоваться в фор-
формуле D.46). Но хотя при этом функции х?(^){ останутся
ортогональными по отношению к у и к, они не будут
больше нормированными и в общем случае не будут
ортогональны по отношению к прежним образом опреде-
определенному t. Модуль некоторых функций Yy' обратиться
в нуль, если, как было сказано выше, функции произ-
произведения не являются линейно-независимыми. Но даже
в этом случае справедливо обратное соотношение D.48).
§ 18. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРИ
СВЕДЕНИИ К ПОДГРУППЕ
Пусть Ж — подгруппа "группы S, и пусть T<a>(Ge)—
неприводимое представление группы $. Отсюда непо-
непосредственно вытекает, что набор операторов T<a)(Ge)

Представления групп 105
для элементов Ga подгруппы Ж образует представление
подгруппы Ж. Но хотя Т(<Х) по предположению есть
неприводимое представление группы $, в качестве пред-
представления подгруппы Ж оно не обязательно останется
неприводимым. Поэтому в общем случае оно будет при-
приводимым, и мы можем написать
T(e)=!>a5T(*), D.49)
а
где суммирование выполняется по всем неприводимым
представлениям Т(а) подгруппы Ж- Зная из таблиц
характеры представлений Т(а> и Т<со, для нахождения
коэффициентов разложения снова воспользуемся форму-
формулой D.28). Заметим, что равенство D.49) относится ис-
исключительно к представлениям подгруппы SK, и %(а)
можно определить, рассматривая в таблице характеров
неприводимых представлений группы § только те эле-
элементы, которые относятся к подгруппе Ж.
В качестве примера рассмотрим сведение группы ?>8
к подгруппе СЙ (мы встречались с этими группами в гл. 2,
§ 2, п. Д и Е). Построим вначале таблицу характеров
группы Са. Все неприводимые представления, обозначен-
обозначенные через ч?а\ одномерны, так как группа Сь абелева.
Далее, поскольку для всех элементов R3=E, характеры
должны быть равны кубическим корням из единицы,
т. е. expBfcru/3), где к=0, 1 и 2; в результате имеем
табл. 4.3. Характеры неприводимых представлений Т(а)
группы Ds можно перенести из табл. 4.2, используя
только те элементы Е, R* и Ra группы ZK, которые
принадлежат подгруппе Cs (табл. 4.4). Сразу же получим,
с.
t l3>
E
1
1
1
1
exp Bni/3)
exp Dni/3)
Таблица 4.3
R.
1
exp Dni/3)
exp Bni/3)

106 Глава 4
Таблица 4.4
1
1
2
1
1
—1
1
1
—1
ТЧ1
ТО)
что для Ct представление
тогда как двумерное представление сводится в
§ 19. ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В обычном трехмераэи пространстве мы хорэшэ зна-
знакомы с геометрическим понятием проекции вектора на
плоскость ху: проекция трехмерного вектора т(х, у, z)
есть просто вектор (х, у, 0), лежащий в плоскости ху.
Это понятие проекции на некоторое подпространство моя-
но распространить и на случай пространств более высокой
размерности, а также на функциональные пространства.
Рассмотрим векторное пространство L, инвариантное
по отношению к преобразованиям T(Ga), индуцирэван-
ным элементами Ga группы %. В общэм случае про-
пространство L не является неприводимым, и, следовательно,
его можно разложить на неприводимые подпространства
по методу, изложенному в § 5 и 11. Пусть e(tX)t — набор
базисных векторов в L, причем при фиксированных а
и t индекс i пробегает sa строк неприводимого представ-
представления Т(а), а индекс t служит для случая, когда в L
имеется более одного подпространства, преобразующихся
по одному и тому же представлению Т@С) (или по экви-
эквивалентным представлениям). Тогда по определению

Представления групп 107
Зададим подпространство Lai в L набором базисных
векторов е(;а>1 с фиксированными а и г. Определим
также La= У Lai.
г = 1
В принятых обозначениях мы можем теперь показать,
что оператор
P}«)=^^T«)*(ee)T(Ge) D.50)
a
есть оператор, проектирующий из L в Lai. Для этого
напишем
1 I ? ' ¦•
a, h
/ (GJ
с учетом формулы D.23). Следовательно, Р\а) есть иско-
искомый проекционный оператор, поскольку в результате
его действия на произвольный вектор г= 2 С(Р> *> /)е/р><л
P. t, i
в пространстве L получим
Это означает, что оператор Р'р> обращает в нуль все
компоненты вектора, лежащие вне пространства Lal,
и оставляет неизменными компоненты, принадлежащие
пространству Lai.
На практике могут возникать трудности при постро-
построении оператора Р(/*\ задаваемого формулой D.50),
поскольку в нее входят диагональные матричные элементы
оператора Т<0° для всех групповых элементов Ga. Го-
Гораздо проще построить оператор, проектирующий из L
в большее подпространство La, ибо вследствие равенства
L2^ai этот оператор имеет вид
и, следовательно, требуется лишь знание характеров
группы х(а)- (Пользуясь формулой D.36), легко_показать,

108 Глава 4
что У]Р@"=1, как и должно быть вследствие равенства
а
Иногда применяется обобщенный проекционный опе-
оператор (или оператор переноса)
P«"=f??r<«>«(Ge)T(Ge). D.52)
Строго говоря, он не является проекционным оператором,
но тем не менее обладает свойством
РЬ?ЧР)'=М/^Р)'. D-53)
т. е. вначале проектирует в подпространство Laj, а затем
преобразует в Lai. На этом основании можно показать,
что для всякого г при фиксированных аи/ набор векто-
векторов rw"=P(,5"r, где i=l, 2, . . ., sa, является базисом
неприводимого представления Та:
(здесь Ge = GbG
ft о
т \г<а>/
Нетрудно'убедиться, что построенные нами операторы
подчиняютсяобычному правилу умножения проекционных
операторов:
тогда^как для обобщенных операторов выполняется соот-
соотношение
Р{ГР#вб«Эб//№ D-55)

Представления групп 109
Рассмотрение общих свойств проекционных операторов
мы завершаем двумя предостережениями. Во-первых,
неверно, что набор векторов PJa) г для данного г и фикси-
фиксированного а образует базис представления Т(о",— для
этого требуется обобщенный оператор Р^'. Во-вторых, из
того, что вектор г нормирован, не следует, что нормиро-
нормирована и проекция Р(?а> г; назначение численного множителя
sjg в формуле D.50) другое — он обеспечивает неизмен-
неизменность тех составляющих вектора г, которые не уничтожа-
уничтожаются при проектировании.
В качестве конкретного примера проектирования рас-
рассмотрим функцию 'ф1(г)=ха, использованную в § 4, и раз-
разложим ее на компоненты, преобразующиеся по неприво-
неприводимым представлениям группы Ds. Пользуясь таблицей
характеров для трех неприводимых представлений ТA),
Т<2> и у<з) (табЛ- 4.2) вместе с формулой D.51) и имею-
имеющимися в §4 выражениями для T(Ra)i(.1i, получаем
>s« = i [1 + Т (R0 + Т (R,) + Т (R.) + Т (R4) + Т (R,)] х* =
[х* + * + " + х* + X* + 1)
2 i 2 2 2 2 \ f\
" l "" ~|'~'Г "T~^ "^ 9"^ О'У ) ==U»
= -=¦ [2ж2—T (Rx) x2—T (R2) xa] =
Таким образом, мы можем написать х2=1/2(х2-\-у2)-{-
+7г(?2—J/2), где первое слагаемое преобразуется по тож-
тождественному представлению Тш, а второе — по представ-
представлению Т<3).
Далее мы можем использовать проекционный оператор
D.50), чтобы проектировать не просто на какую-то строку
двумерного представления Т<3), а на нужную нам строку.
Для этого потребуются уже не характеры, а матричные

110 Глава 4
элементы представления (табл. 4.1). Получаем
Таким образом, функция х2 не содержит составляющих,
преобразующихся аналогично первой строке представле-
представления ТC).
И наконец, в этом примере мы можем построить пару
функций, преобразующихся по представлению ТC). Для
этого следует использовать оператор D.52). Мы уже наш-
нашли, что
и теперь вычислим
= т [- (тГт (Rl) *2 НтУт (R^2- (тГт
Итак, две функции fi=xy и /2=1/2(^2—у2) преобразуются
по матричному представлению Т13), полученному в § 8.
Чтобы убедиться в этом, вычислим Т (Ri)/i. В соответст-
соответствии с табл. 4.1 результат должен быть равен T(Ri)/i=
=—V»/i-f(8/4I/l/2. На основании изложенного в гл. 3,

Представления групп 111
§ 8, п. Е. получаем
чем и доказывается сказанное выше.
С физической точки зрения одной из важных областей
применения проекционных операторов является нахож-
нахождение так называемых симметрических координат системы.
Так, пример из гл. 1, § 2, п. В значительно упрощается
после введения симметризованных координат Qi=x1-\-xi
и Qa—Xi—хг. Соответствующей группой является группа
<S (гл. 2, § 2, пример 10) с элементами Е и Р12 (переста-
(перестановка). Ее характеры приведены в табл. 4.5. Ясно, что Qi
Таблица 4.5
Т (I) 1 1
Т<") 1 —1
преобразуется по Тш, a Q2 — по ТB). Конечно, в такой
простой задаче применять теорию групп необязательно,
но в более близком к реальности примере колебаний моле-
молекулы аммиака NH3 (гл. 6, § 5), где имеется двенадцать
координат, учет симметрии ведет к весьма желательному
упрощению.
§ 20. НЕПРИВОДИМЫЕ НАБОРЫ ОПЕРАТОРОВ
И ТЕОРЕМА ВИГНЕРА — ЭККАРТА
Важнейшее значение в данной главе имело понятие
векторного пространства, одновременно инвариантного и
неприводимого по отношению к преобразованиям, инду-
индуцированным группой Ъ. В частности, мы увидели, что
такие пространства имеют строго определенные трансфор-
трансформационные свойства и размерности и что они должны
соответствовать какому-либо из неприводимых представ-

112 Глава 4
лений группы "&. Отсюда мы логически пришли к мысли
о классификации функций по их трансформационным
свойствам и о разложении произвольной функции на со-
составляющие, каждая из которых преобразуется по опре-
определенной строке i определенного неприводимого представ-
представления Т<0". Теперь мы перенесем такой подход и на клас-
классификацию операторов. Такая классификация, совершен-
совершенно аналогичная классификации функций, имеет прямой
физический смысл в квантовой механике, где операторы
используются для описания физических наблюдаемых
величин. Изучение их трансформационных свойств непо-
непосредственно приводит к пониманию правил отбора в про-
процессах перехода (гл. 5, §4; гл. 1, § 2, п. Д).
Рассмотрим преобразование Т (Gu) в некотором прост-
пространстве L, где Ga — элемент группы $. Пусть S — про-
произвольный оператор в пространстве L; тогда трансфор-
трансформированный оператор S' по определению равен S' =
=T(Ga)ST(G/,)~1 (гл. 3, §4). Точно так же, как преоб-
преобразованная функция q/=T(Ga)(p в общем случае не сов-
совпадает с функцией ф, трансформированный оператор S',
вообще говоря, весьма сильно отличается от S. 2>1ы ви-
видели, однако, что функции неприводимого инвариантного
пространства преобразуются, не выходя за его рамки
[«друг в друга» в смысле формулы D.37I. Теперь мы опре-
определим аналогичным образом «неприводимый набор опера-
операторов» S^?> с помощью соотношения
Si«>' = T (GJ S<?> T (GJ-1 = 2 Tfi > (GJ Sf\ D.56)
з
Набор операторов S<°", которые удовлетворяют соотно-
соотношению D.56), называют преобразующимся по неприводи-
неприводимому представлению Т<0°. Ясно, что число операторов в
таком наборе равно размерности sa представления Т<0".
В частности, скалярный оператор, для которого S'=S,
будет преобразовываться по тождественному представле-
представлению. По причинам, совершенно аналогичным рассмотрен-
рассмотренным в § 17, произведение двух операторов S^'s'^* пре-
преобразуется по ?/-й строке прямого произведения представ-
представлений Т(ахР>.
Чтобы подойти к изучению матричных элементов опе-
операторов, рассмотрим результат действия оператора S\a)
на функцию q>5B), где, как явствует из обозначений, и one-

Представления групп
ратор, и функция преобразуются по непреводимым пред-
представлениям одной и той же группы. Снова по аналогии с
§ 17 набор sasp функций ^ц, определяемых как
¦iy = sFV>f D.57)
преобразуется по прямому произведению представлений
Т<ахр), так как
Т (Ga) %¦ = Т (GJ Sf > Т (G.)-1 T (Ge) cpf =
h, m
%&(Оа)укт. D.58)
k, m
По этой причине мы можем с учетом формулы D.48) разло-
разложить каждую функцию ij?^ на неприводимые компоненты:
%= 53 C*(a$y't, ijk'^P*- D.59)
V',t,k'
Рассмотрим теперь матричные элементы (гл. 3, § 3).
неприводимого оператора SJa) между базисными функ-
функциями ф)Р) и ц>рК Используя формулу D.38), имеем
= 53 c*(p$y't, W){$\ Ypf) =
V'. <ih'
= 2 C* {a#yt, ijk) (cpkv), ^)l). D.60)
Во-первых, это означает, что если неприводимое представ-
представление ТG) не содержится в разложении произведения
Т(И®Т(^, то матричный элемент оператора S(,a) равен
нулю. Комбинации a, P и у, при которых матричные эле-
элементы равны нулю, находят по формуле D.45) с использо-
использованием известных таблиц характеров. Во-вторых, отсюда
следует, что все матричные элементы с фиксированными
а, р, Я, и варьируемыми i, j, к на деле определяются зна-
значительно меньшим числом констант. Заметим, например,
что, согласно формуле D.38), скалярное произведение
(q47), T^'O не зависит от к; кроме того, оно не зависит от
i и /.
Поскольку коэффициенты Клебша — Гордана извест-
известны из теории групп, выражение D.60) содержит для каж-

114 Глава 4
дого члена в сумме по индексу t только одну константу.
В частности, для «легко приводимых» групп имеется лишь
одна константа. Такие константы называют «приведенны-
«приведенными матричными элементами» и обозначают символом
«p(V> |;s«41 Ф(Р)>4 = (q#>, ^'), D.61)
где индексы i, /, к в обозначении оператора и функций
опущены, поскольку константа от них не зависит. В этих
обозначениях равенство D.60) превращается в соотноше-
соотношение
<q#\ Sf4f)= ^C*(a^t, i/Л) <VCv)|| s<»>|| ф<Р>>,, D.62)
называемое теоремой Вигнера — Эккарта и показываю-
показывающее, что i, / и к полностью определяются коэффициен-
коэффициентами Клебша — Гордана.
С физической точки зрения диагональные матричные
элементы некоего оператора — это средние значения соот-
соответствующих наблюдаемых величин, а недиагональные мат-
матричные элементы равны вероятностям перехода из одного
состояния в другое (гл. 5, § 1). Поэтому значение получен-
полученных в данном параграфе результатов чрезвычайно велико,
ибо в сложных физических системах оператор S и функ-
функции ф могут сами по себе быть весьма громоздкими, но уже
на основании одной только симметрии из соотношения
D.62) мы можем заключить, какие именно матричные эле-
элементы обратятся в нуль, и предсказать, как соотносятся
между собой другие матричные элементы.
Если S — инвариантный оператор, то представление
а является тождественным и коэффициенты С в формуле
D.46) тривиальны, а именно А,=р, j=k, индекс t не нужен
и С{а$у, ijk)=&pvbjk. При этом равенство D.62) перехо-
переходит в соотношение
(Ф(Л Sq>f) = <ф») || S | <р<»> 63v6/A, D.63)
что означает просто такой вид инвариантного оператора,
когда все матричные элементы, соответствующие переходу
от одного неприводимого представления к другому, равны
нулю, а блоки, соответствующие одному представлению,
диагональны, причем диагональные матричные элементы
равны между собой. Другими словами, внутри одного
представления оператор с точностью до постоянного мно-

Представления групп 115
жителя равен единичному, а между двумя представления-
представлениями обращается в нуль. Фактически это утверждение есть
просто лемма Шура, сформулированная для данного спе-
специального случая.
Для иллюстрации понятия неприводимого набора опе-
операторов рассмотрим операторы д/дх, д/ду и dldz в вектор-
векторном пространстве непрерывных функций ф(г) (гл. 3, §8,
п. Г). В данном случае функцию ф(г) = ф(х, у, z) проще
рассматривать как функцию координат вектора г. По фор-
формуле C.38) вращения R преобразуют функцию ф в
ф'(ж, у, г) = ТA1)ф(а:, у, г) = ф(ж, у, z), D.64)
где х, у, z — координаты вектора r=R-1r. Соответствую-
Соответствующие трансформированные операторы, очевидно, равны
д/дх, д/ду, dldz, ибо
— T(R)qj(i, у, z) = —ф(г, у, г),
дх дх
тогда как, определив ф(#, у, z) = {didx)y(x, у, z), получим
 (х, у, z)r
так что (д/дх)Т(R)=T(R)(d/dx) и, следовательно, д/дх=
=Т (Я)(д/дх) T-1(R). Оператор д/дх можно выразить череа
исходные операторы по обычному цепному правилу для
частных производных
JL — V dq' д
откуда следует, что три оператора образуют набор, ин-
инвариантный относительно вращений. Коэффициенты^этого
преобразования просто связаны с матрицей преобразова-
преобразования базисных векторов ед, поскольку из выражения^
следует равенство
q' = eg- »r = eg» • Rr = 2 5e«' • Re<j = 2 ff-^g'g»
так что dq'ldq—Rq,q и, следовательно,
q'

116 Глава 4
откуда видно, что три данных оператора преобразуются
совершенно аналогично базисным векторам ех, еу и е2.
В группе всевозможных вращений Мз данный набор
операторов, естественно, неприводим, но если мы будем
рассматривать только группу Da, то, как было показано в
§ 11, для набора векторов ед набор операторов уже не
является неприводимым и разобьется на оператор dldz,
преобразующийся по Та), и неприводимый набор из двух
-операторов dldx и д/ду, преобразующихся по Т<3) (в обо-
обозначениях табл. 4.2).
В качестве еще одного примера неприводимого набора
операторов рассмотрим умножение на функцию (гл. 3,
§ 8, п. В). В частности, функции х и у образуют неприво-
неприводимый набор, преобразующийся по представлению ТC)
группы Da, поскольку трансформированные операторы —
это просто координаты х и у, даваемые формулой C.39).
То обстоятельство, что в эту формулу входят комплексно-
сопряженные величины, в данном случае несущественно,
поскольку матрица действительная.
§ 21. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Понятие прямого произведения групп ЪХ&С было вве-
введено в гл. 2, § 5, а в § 8 той же главы было показано, что
классы в такой группе нумеруются парой классов — од-
одним из %. другим из Ж. Теперь, если заданы два непри-
неприводимых матричных представления T<a)(Ga) группы "§
ж U'P^Hb) группы Ж, легко показать, что матрицы пря-
прямого произведения, определяемые как
Т<«хР) (GaHu) =T<«> (Ga) (g) U (Hb), D.65)
¦образуют пеприводимое представление группы $ У.Ж.
Доказательство того, что Т<ахР) является представ-
представлением, почти идентично выводу формулы D.42). Непри-
Неприводимость представления Т(ахC) следует из его характе-
характера, который, как и в формуле D.43), оказывается равным
произведению характеров представлений Т(а> и U<|3):
Х<ахР> (GeH4) = x(a) (GJ х<Р» (Н4). D.66)
Отсюда, суммируя по групповым элементам и используя
для S и Ж формулу D.29), получаем
У. | х(ахР) (GaH&) ji = 2]| X(a) (Ga) |а 3 I 7^ (H6) |2 = gh.
ab a b

Представления групп
117
Но поскольку gh есть порядок произведения группы
SX^f, из этого равенства следует, что представление
Т<ах/з> неприводиио.
Далее можно показать, что представлениями прямых
произведений Т<ахР) исчерпываются все неприводимые
представления группы "§хЖ, если а и |3 пробегают все
неприводимые представления $ и Ж. Это проще всего
сделать, суммируя квадраты размерностей и пользуясь
формулой D.33):
У. (*а«з)' = 24 2«8=^-
а, E а g
Таким образом, снова применяя к произведению групп
ЪхЖ формулу D.33), мы убеждаемся, что Т(ахР) ис-
исчерпывает все неэквивалентные неприводимые представле-
представления группы f/Xffl. Таблицу характеров групп прямого
произведения получим, просто нумеруя строки и столбцы
парами индексов, относящихся к отдельным группам &
и Ж и перемножая соответствующие числа в таблицах
характеров каждой отдельной группы.
Таблица 4.6
Т ахи
Т AX2)
Т <2Х1)
Т BX2)
Е
1
1
1
1
R
1
—1
1
—1
1
1
1
—1
—1
Rl=a
1
—1
—1
1
В качестве примера возьмем группу C2xS2, уже рас-
рассматривавшуюся в гл. 2, § 5 и обычно обозначаемую сим-
символом C2h- Эта группа является абелевой, так что каждый

118
Глава 4
элемент сам по себе образует класс. Характеры групп С%
и S2 приведены в табл. 4.6, а из них непосредственно вы-
выводится таблица характеров группы C2h, где, например,
уах2> есть представление, построенное из представления
ТA) группы С2 и представления Т21 группы S2.
В качестве другого примера рассмотрим группу Dsh =
=?>3х?1, с которой мы познакомились в гл. 2, § 2, при-
пример 7. Исходя из характеров группы Da, которые были
приведены в табл. 4.2, и таблицы характеров группы Su
изоморфной S2, вычисляются характеры группы D3h;
они сведены в табл. 4.7.
Таблица 4.7
Td)
T B)
T«)
Td)'
7 B)'
T C)'
1
1
2
1
1
2
1
1
— 1
1
1
— 1
R4> Rs)
1
— 1
0
1
— 1
0
#1 (ОЙ)
1
1
2
— 1
—1
2
R2ou)
1
1
— 1
—1
—1
1
1
—1
0
_!
1
0
ЛИТЕРАТУРА
Более строгое математическое изложение теории представле-
представлений групп можно найти в книге
Boerner H-, Representations of Groups, North-Holland, Am-
Amsterdam, 1963.
ЗАДАЧИ
4.1. Покажите, что матрицы Т (R,) размерности 3x3 из § 3, п. А
имеют ту же таблицу умножения, что и групповые элементы
R,- (гл. 2, § 2, табл. 2.5.).
4.2. Постройте представление группы Dt (см. задачу 2.3) при помо-
помощи матриц 3X3 с базисными векторами ех, еу и е2; ось сим-
симметрии четвертого порядка совпадает с осью z.
4.3. Продолжая рассуждения § 3, п. В, постройте матрицы 6X6
для представлений Т (R4) и Т (R6) и покажите, что произведе-
произведение T(R!)T(R4)=T (R6).
4.4. Исходя из функции i|L=yz и группы Da, постройте инвариант-
инвариантное подпространство, базисом которого служат шесть квадра-
тичных"функций, рассмотренных в § 4. Покажите, что представ-

Представления групп 119
ление Z>3, порождаемое этим подпространством, эквивалент-
эквивалентно рассмотренному в § 3, п. А представлению Т*3'.
4.5. Найдите характер трехмерного представления группы D4,
полученного в задаче 4.2, и, используя таблицы характеров
(приложение 1), покажите, что оно сводится к двумерному и
одномерному представлениям. Проворьте этот результат, поль-
пользуясь непосредственно матрицами, найденными в задаче 4.2.
4.6. Покажите, что характеры неприводимых представлений цик-
циклической группы порядка п равны %{т) (С?)=ехр Bns mpln),
где m=0, I, 2,..., (п—1). Исходя из этого, постройте таблицу
характеров группы вращений С4 относительно оси четвертого
порядка, совпадающей с осью z.
4.7. Покажите, что любое изменение базиса делает матрицу
Т (Я3) представления ТC) в табл. 4.1 (§ 8) недиагональной
и поэтому представление ТC)неприводимо (§ 12).
4.8. Проверьте, удовлетворяют ли приведенные представления за-
задачи 4.5 соотношениям ортогональности D.23) и критерию не-
неприводимости D.29).
4.9. Исходя из матриц, найденных в задаче 4.3, вычислите харак-
характер представления группы D3 в шестимерном пространстве,
рассмотренном в § 3, п. В, и докажите правильность разло-
разложения этого представления на 2Т<1H2ТC) (конец § 7).
4.10. Постройте таблицу характеров группы Д4, используя методы
§ 15. Покажите, что неприводимое представление, найденное
в задаче 4.5, содержится в этой таблице.
4.11. Покажите, что функция / (х, у)=хг-\-уг преобразуется по тож-
тождественному представлению группы Dit рассмотренной в зада-
задаче 2.3 (ось четвертого порядка — в направлении z). Найдите
для каждого представления линейную или квадратичную функ-
функцию переменных х, у и z, преобразующуюся по нему.
4.B. Зная ответ задачи 4.10, определите характер прямого про-
произведения двумерного представления группы Д4 на самого себя
и разложите его на неприводимые представления.
4.13. Координаты х, у некой частицы преобразуются по двумерному
неприводимому представлению Т группы Z>4, так что 4 произ-
произведения XjX2, xxy2, У\?%, У1У3 для двух частиц преобразуются
по прямому произведению представлений Т®Т. Действием
проекционного оператора найдите 4 комбинации этих произве-
произведений, которые преобразуются по неприводимым представле-
представлениям группы D4. Выпишите коэффициенты Клебша — Гордана.
4.14. Найдите представления группы С4, на которые будут разла-
разлагаться неприводимые представления группы Di при сведении
последней к подгруппе С4. (Воспользуйтесь результатами
задач 4.6 и 4.10.)
4.15. Взяв проекционный оператор D.51), покажите, что функция
г3 преобразуется по представлению Т группы Dt. Характеры
возьмите из приложения 1. Далее покажите, что она преоб-
преобразуется по первой строке представления Т в базисе задачи
4.5. [Для этого используйте проекционный оператор D.50).]
Наконец, с использованием проекционного оператора D.52)
и матриц, полученных в задаче 4.5, постройте функцию, пре-
преобразующуюся по второй строке.

СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Данную главу мы начнем с обзора основных понятий
квантовой механики (§ 1). Мы исходим из того, что чита-
читатель уже знаком с основами квантовой механики (см.
литературу), и главная цель нашего обзора — напомнить
те ее моменты, которые в дальнейшем будут необходимы
для иллюстрации проявлений симметрии. К изложению
последних мы перейдем после того, как в § 2 дадим строгое
определение симметрии. В качестве иллюстрации в § 6
будет рассмотрено движение частицы в постоянном поле,
обладающем различной простой симметрией: С3, D3, ?2 и
522. В конце главы дается представление о применении
симметрии в приближенных методах. Более сложные
группы и более близкие к действительности физические
системы будут рассмотрены в дальнейших главах книги,
но все важнейшие следствия симметрии квантовомехани-
ческих систем рассматриваются в данной главе.
§ 1. КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В квантовой механике поведение системы с п степенями
свободы, описываемой некоторым набором координат
(гх, г2, . . . , гп)=г, полностью определяется ее волновой
функцией, или вектором состояния, ip(r, t). Для всякой
пары г и f эта волновая функция принимает некоторые,
вообще говоря, комплексные значения. Действительная
величина Щ>{т, t)\2dV интерпретируется как вероятность
того, что в момент времени t координаты системы имеют
значения, лежащие внутри элемента объема dV возле
точки г. Поэтому волновая функция должна быть норми-
нормирована так, чтобы полная вероятность нахождения сис-
системы в каком-либо положении равнялась единице, т. е.

Симметрия в квантовой механике 121
выполнялось равенство
>(r, t)\*dV = l, E.1)
в котором интеграл берется по всем значениям координат.
Волновые функции находят, решая уравнение Шредин-
гера
Н(г, t)yp(r, t)=ih^[T, t), E.2)
в котором Н (г, t) — оператор Гамильтона, или гамиль-
гамильтониан, соответствующий классической функции Гамиль-
Гамильтона H—T-^-V, где Т — кинетическая и V — потенци-
потенциальная энергии. Для получения квантовомеханического
оператора из соответствующего классического аналога
существуют определенные правила, например декартова
координата х частицы заменяется оператором х, а со-
сопряженный момент рх заменяется оператором —ih (dldx).
Граничные условия, налагаемые на дифференциальное
уравнение E.2) (например, обращение в нуль функции ty
на границах системы), являются достаточными для того,
чтобы в любой момент времени t функция т|з (г, t) была одно-
однозначно определена уравнением E.2), если в момент време-
времени tB известна функция т|з(г, t0).
Во многих важных задачах квантовой механики ис-
используется не зависящий от времени гамильтониан. В та-
таких случаях из самого уравнения E.2) явствует, что су-
существуют решения, для которых зависимость от времени
определяется множителем
Ыг, О = Ч>* СО ехр (-*?*/?), E-3)
где ч|)Е(г) — решение (собственная функция) не зависящего
от времени уравнения на собственные значения
Щв(т) = Еув(т), E.4)
а Е — соответствующее собственное значение. Бесконеч-
Бесконечный набор собственных функций tyE(r) есть полный набор
в том смысле, что любую непрерывную функцию с теми же
граничными условиями можно разложить в бесконечный
ряд по функциям г|зЕ(г). Следовательно, любое решение
уравнения Шредингера может быть представлено в виде
^(r, ^)=2%^(r)exP(—iEtlh). E.5)

122 Глава 5
Решения простого вида E.3) называют «стационарными
состояниями», так как плотность вероятности |<j>E(r, t)\2
не зависит от времени. Собственные значения Е физически
интерпретируются как энергия системы.
Совокупность всех непрерывных функций, удовлетво-
удовлетворяющих налагаемым на уравнение E.2) граничным ус-
условиям, образует функциональное пространство, называе-
называемое пространством Гильберта. Скалярное произведение
двух функций 1]з и ф удобно определить как интеграл
(Ф, i|j)=S<p*(rL)(r)dy E.6)
по всем возможным значениям координат г. Чтобы энер-
энергия Е при данном определении скалярного произведения
была действительной величиной, гамильтониан должен
быть эрмитовым оператором. Как следствие этого, набор
собственных функций $е(т) пРи данном определении ска-
скалярного произведения оказывается ортогональным; таким
образом, он может служить удобным базисом. В соответ-
соответствии с формулой E.1) функции \рЕ(г) обычно нормированы
на единицу. Отметим, что для стационарного состояния
условие E.1) переходит в равенство (tyE, i])E) = l.
Всякой классической наблюдаемой величине О —
энергии, импульсу, угловому моменту и т. д.— соответст-
соответствует некоторый эрмитов оператор О (обычно не зависящий
от времени), определенный в гильбертовом пространстве
волновых функций. Каждый такой оператор имеет свой
набор собственных функций и собственных значений
От|;? (г) =Яг|;? (г), причем всякий набор собственных функ-
функций tyx(r) образует ортонормированвый базис. Собственные
значения А, — единственные определенные величины, ко-
которые дает измерение наблюдаемой О; данное значение Я
будет получено лишь в том случае, если волновая функ-
функция системы в данный момент времени точно соответствует
собственной функции я|:? (г) оператора О. В общем случае
волновая функция a|)(r, t) не будет совпадать с какой-либо
Отдельной собственной функцией оператора О, но вследст-
вследствие полноты системы функций oj;? (г) всегда возможно раз-
разложение
г). E-7)

Симметрия в квантовой механике 123
Результат измерения наблюдаемой О в таком состоянии
однозначно не определен, но \cx(t)\2 есть вероятность того,
что эта наблюдаемая имеет значение Я. Среднее значение
оператора О в состоянии т|з равно сумме 2|c^(i)|2^. Это
я,
среднее значение очень удобно представить в виде скаляр-
скалярного произведения, поскольку
(Ф. OMp) = %%cl(t)cx(t)%^l, 1Й) = 2Ы012* E-8)
v я, >.
вследствие ортонормированности собственных функций
<J)J2(r). В квантовой механике скалярное произведение
(\|), Chf) обычно обозначают символом (г|)|О|ф). Отме-
Отметим, что в стационарном состоянии энергия Е может быть
измерена точно; в роли оператора здесь выступает гамиль-
гамильтониан. В соответствии с нашими обозначениями волновую
функцию стационарного состояния следовало бы записать
как iff, но для краткости мы записываем ее как г|эЕ, учи-
учитывая особый смысл оператора энергии Н.
Если спектр оператора (набор собственных значений)
является дискретным, мы сталкиваемся с явлением кванто-
квантования — случаем, когда измеряемые значения оператора
дискретны. Спектр некоторых операторов может быть и
непрерывным; в этом случае выражение E.7) принимает
вид
где интеграл берется по всей области возможных собствен-
собственных значений К.
Квантовую систему можно исследовать эксперимен-
экспериментально, измеряя ее энергию и средние значения различных
операторов. Измеренные значения можно затем сравни-
сравнивать со значениями, рассчитанными на основе некоторого
модельного гамильтониана. Другой очень важный вид
эксперимента — измерение скорости перехода, или его
вероятности, для процесса, в котором система изменяется
от начального состояния г|)г до конечного г|^. Можно до-
доказать, что вероятность перехода Wtf пропорциональна
квадрату недиагонального матричного элемента:
1Г„~№„ Ог|>,.)|2, E.9)
где Q — оператор, характеризующий данный процесс.
Понятно, что именно из измеренных средних значений в

124 Глава 5
вероятностей перехода можно извлечь информацию о сим-
симметрии квантовых систем, и в следующих параграфах
данной главы мы покажем, как симметрия влияет на ука-
указанные величины. Исследование взаимодействия системы,
например атома или атомного ядра, с электромагнитным
полем является особенно удобным и ценным методом полу-
получения такой информации. Он позволяет определять как
средние значения (путем исследования энергетических воз-
возмущений), так и вероятности переходов (путем измерения
поглощения и испускания излучения). Не вдаваясь де-
детально в теорию, укажем основные характеристики элек-
электромагнитного взаимодействия и соответствующие опе-
операторы.
Как и в классической физике, взаимодействие системы
с электромагнитным полем зависит от положений и мо-
моментов заряженных частиц, составляющих систему. По-
Помимо общего заряда системы наиболее важными величи-
величинами являются электрический и магнитный дипольные
моменты, которые для системы частиц i с зарядами ej
даются выражениями ^?е4г4 и 2 (e*/2Mc)rj Xp;. (Для частиц
i г
со спином существует дополнительный вклад в магнитный
момент, см. гл. 8, § 4.) В атоме, где все Z электронов имеют
одинаковый заряд, эти выражения упрощаются до —ZeR и
—(el2Mc)h, где R — радиус-вектор центра масс, a L —
полный угловой момент. Оба этих оператора входят в вы-
выражение для энергетических возмущений и вероятностей
перехода в квантовой системе. В частности, энергетиче-
энергетический сдвиг, обусловленный однородным магнитным полем
В, равен eh •B/2Mc. При переходах в атомах существен
в основном электрический дипольный момент, и в случае
неполяризованного излучения вклад будут вносить все
три компоненты вектора R. При поглощении же поляризо-
поляризованного света существенными оказываются лишь некото-
некоторые компоненты вектора R. Например, в случае так назы-
называемого плоскополяризованного света направление элек-
электрического поля задается вектором р, перпендикулярным
направлению пучка света. Соответствующим оператором
в этом случае является компонента вектора R в направ-
направлении р, и свет называют поляризованным в направле-
направлении р.

Симметрия в квантовой механике 125
§ 2. СИММЕТРИЯ В КВАНТОВОЙ СИСТЕМЕ
Рассмотрим систему, характеризуемую не зависящим
от времени гамильтонианом Н (г) с произвольной волновой
функцией о|)(г), не обязательно являющейся его собствен-
собственной функцией. Как и в предыдущем параграфе, вектор г
в пространстве координат описывает п степеней свободы
системы. Любая группа # преобразований координат
Gar=r' будет задавать соответствующий набор индуциро-
индуцированных преобразований T(Gfl) в пространстве волновых
функций в соответствии с определением C.37):
Согласно формуле C.24), ею определяется также транс-
трансформированный оператор Гамильтона Т(ЭЙ)НТ~1 (GJ = H'.
Если гамильтониан инвариантен при этих преобразовани-
преобразованиях, т. е. если
T:(Ga)HT-4GJ = H E.10)
для всех элементов Ga группы "§, то группу "§ называют
группой симметрии гамильтониана. Вскоре мы увидим, что
существование группы симметрии приводит ко многим
важным следствиям. При умножении справа на Т условие
E.10) приобретает эквивалентную форму T(GJH —
—HT(GJ=0, или [T(GJ, Н]=0, т. е. гамильтониан
коммутирует со всеми индуцированными преобразования-
преобразованиями группы.
Элементы Ga группы симметрии называют элементами
симметрии. Практически, определив один-два элемента
симметрии гамильтониана, обычно можно построить всю
группу симмегрин, перемножая эти элементы и возводя
их в степень до тех пор, пока не перестанут появляться
новые элементы симметрии. [Из равенства E.10) сразу же
следует, что произведение двух элементов симметрии дает
новый элемент симметрии.] Однако довольно трудно удо-
удостовериться в том, что найдены именно все элементы сим-
симметрии данного гамильтониана, а не просто элементы под-
подгруппы полной группы симметрии.
При многих преобразованиях, таких, как повороты,
отражения и трансляции, оператор кинетической энергии
инвариантен, так что условие инвариантности гамильто-
гамильтониана сводится здесь к следующему условию, налагаемо-

126 Глава 5
му на функцию потенциальной энергии V:
F(r)=F(Gar). E.11)
Выше мы дали достаточно строгое определение индуци-
индуцированного преобразования, но можно представить себе и
более абстрактный набор преобразований T(GJ в функ-
функциональном пространстве, которые не связаны с преобра-
преобразованиями координат, но тем не менее удовлетворяют
групповым аксиомам и, следовательно, определяют неко-
некоторую группу симметрии.
§ 3. ВЫРОЖДЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ПО СИММЕТРИИ
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Первые два следствия существования группы симмет-
симметрии % гамильтониана тесно взаимосвязаны, и мы рассмот-
рассмотрим их вместе. Сначала мы их сформулируем, а затем по-
покажем, как их можно вывести.
1. Собственные функции ф и собственные значения Е
гамильтониана Н можно классифицировать по не-
неприводимым представлениям ТМ) группы симмет-
симметрии Ъ и обозначать через ф№ и Е(а).
2. Энергетический уровень Е'а) должен быть по мень-
меньшей мере sa-KpaTHo вырожден, если sa — размер-
размерность соответствующего представления Та).
Для вывода этих следствий вначале отметим, что набор
всех вырожденных собственных функций, соответствую-
соответствующих некоторому данному собственному значению Е, обра-
образует векторное пространство V. (Если функции ф и г|) обе
соответствуют энергии Е, то любая их линейная комбина-
комбинация тоже соответствует энергии Е.) Далее докажем, что
пространство V должно быть инвариантным по отношению
к преобразованиям T(Ga), индуцированным группой Ъ.
Чтобы продемонстрировать инвариантность, достаточно
определить обычным образом трансформированную функ-
функцию \|/=T(Ga)i|), и тогда получим, что если ij) есть собст-
собственная функция оператора Н с энергией Е, то i|>' — тоже
собственная функция оператора Н с энергией Е, так как
Щ'~НТ(Оа)Ц~Т(Оа)Щ = ЕТ(Оа)Ц^ЕМр'. E.12)
{Здесь мы использовали формулу E.10).] Таким образом,
представление группы симметрии осуществляется в век-
векторном пространстве V через преобразования T(Ga).

Симметрия в квантовой механике 127
Это представление либо является неприводимым, либо
может быть приведено к своим неприводимым компонен-
компонентам, так что в любом случае можно выбрать в V базис,
векторы которого ^\а) обозначены индексом а неприводи-
неприводимого представления группы и индексом строки пред-
представления i. Степень вырождения определяется размер-
размерностью пространства V: она по меньшей мере равна sa и
превышает sa, если пространство V приводимо.
Всем изложенным доказываются следствия, сформули-
сформулированные в начале параграфа, но остается пояснить один
важный момент. Если представление, соответствующее
пространству V, не является неприводимым, то для обо-
обозначения энергии требуется не один, а несколько индексов
а всех неприводимых представлений, входящих в его раз-
разложение. В действительности, если используется полная
группа симметрии, подобная ситуация встречается крайне
редко — настолько редко, насколько редко встречаются
равные собственные значения для произвольной матрицы.
Поэтому употребляют выражения «нормальное вырож-
вырождение» для неприводимого представления и «случайное вы-
вырождение» для ситуации, когда два или более неприводи-
неприводимых представлений отвечают одинаковой энергии. Случай-
Случайное вырождение возможно при изменении некоторых
параметров гамильтониана Н (таких, например, как напря-
напряженность магнитного или электрического поля), если при
определенных значениях этих параметров два обычно не-
невырожденных уровня пересекаются. Если для некоторого
вида гамильтониана в группе симметрии $ систематиче-
систематически обнаруживается случайное вырождение, то это обычно
объясняется наличием более высокой симметрии. Как мы
видели в гл. 4, § 18, неприводимое представление группы
ЗС в общем случае сводится к сумме нескольких неприво-
неприводимых представлений одной из подгрупп. Таким образом,
в группе более высокой симметрии случайно вырожденные
уровни превращаются в компоненты одного-единственного
неприводимого представления. Некоторые хорошо извест-
известные примеры этого можно найти в т. 2, гл. 19. Примеры
гораздо более важного случая обычного вырождения при-
приведены в § 6.

128 Глава 5
5 4. ПРАВИЛА ОТБОРА И МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
ОПЕРАТОРОВ
Мы установили, что в системах с группой симметрии %
можно классифицировать собственные функции т|з гамиль-
гамильтониана по неприводимым представлениям группы %.
В гл. 4, § 20 было показано, что если преобразования,
¦задаваемые оператором О(а), соответствуют неприводимо-
неприводимому представлению Т(а>, то его матричные элементы, вы-
вычисленные для функций, также преобразующихся по не-
неприводимым представлениям той же группы, имеют ряд
простых свойств. Поэтому ясно, что мы сможем делать
некоторые простые заключения о физически интересных
матричных элементах, разлагая операторы на их непри-
неприводимые компоненты. Наиболее удивительный результат
заключается в том, что если процесс перехода задан опе-
оператором О<а), то переход из некоторого состояния -ф<|3>
может осуществляться лишь в те конечные состояния
*ф(Т), представление которых T<V) содержится в разложе-
разложении произведения D.44)
v
v
Таким образом, из состояния г|)<|3) под действием оператора
О(а) система может перейти только в те конечные состоя-
состояния t|j<V), которые преобразуются по одному из представ-
представлений в правой части равенства D.44). Для других конеч-
конечных состояний матричные элементы равны нулю и переход
не происходит. Это явление называется «правилами от-
отбора»; те переходы, которые не могут происходить, назы-
называют «запрещенными». Правило отбора не указывает, что
переход будет наблюдаться, а лишь свидетельствует о том,
что он разрешен по симметрии. В отдельных случаях всег-
всегда могут найтись те или иные причины, по которым от-
отдельные матричные элементы будут равны нулю. Чтобы
найти полный перечень правил отбора, нужно последова-
последовательно перебрать неприводимые представления Т<|5) и
определить коэффициенты ту по формуле D.45), исполь-
используя известные таблицы характеров групп симметрии;
переход может происходить при тех у, при которых туф0.
До сих пор мы считали, что переход определяется опе-
оператором О(а), преобразующимся по неприводимому пред-
представлению а. В действительности же оператор О может

Симметрия в квантовой механике 129
преобразовываться и по приводимому представлению.
В этом случае его можно либо разложить на неприводимые
составляющие,
и установить переходы, разрешенные для каждой непри-
неприводимой компоненты отдельно, либо, если нам непосред-
непосредственно известен характер % (Ga) «приводимого» представ-
представления, определить коэффициенты mv по формуле
вместо формулы D.45).
Операторы R = (X, Y, Z) электрических дипольных
переходов преобразуются подобно векторам при поворо-
поворотах и являются нечетными относительно инверсии. Следо-
Следовательно, они образуют трехмерное представление любой
группы вращений и инверсий. Для собственного вращения
вокруг оси z на угол Э, согласно формуле D.6), характер
равен просто Bcos 0+1), и, поскольку след матрицы не
зависит от базиса, эта величина является характером
также и для вращения вокруг любой оси. Аналогично для
магнитных дипольных переходов соответствующий опера-
оператор L. = Vi";Xp? также является вектором и потому имеет
то же значение характера относительно вращений. Однако
при инверсии R изменяет знак, a L — не изменяет, по-
поскольку при этом одновременно меняют знаки г и р, и,
таким образом, для несобственных вращений характеры
для R и L имеют разные знаки. Эти два трехмерных
представления группы вращений и инверсий часто назы-
называют представлениями векторов и псевдовекторов (или
аксиальных векторов).
Теорема Вигнера — Эккарта [формула D.62)] не имеет
отношения к правилам отбора, она связывает матричные
элементы, имеющие одинаковые а, |3 и у и разные индексы
строк i, j и к. Другими словами, она показывает, как изме-
изменяются матричные элементы при замене одной волновой
функцип другой из того же вырожденного мультиплета.
Так как простые процессы переходов включают суммиро-

130 Глава 5
вание по всем вырожденным конечным состояниям, эта
особенность симметрии менее существенна. Далее о при-
применении теоремы Вигнера — Эккарта см. гл. 8.
§ 5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Говорят, что наблюдаемая величина О сохраняется в
данной системе, если ее среднее значение в любом состоя-
состоянии системы г|) (г, t) не изменяется со временем. Эквивалент-
Эквивалентным является утверждение о том, что если в некоторый
момент времени волновая функция системы совпадает с
некой собственной функцией оператора О, то она будет
оставаться собственной функцией оператора О с тем же
собственным зпачением в течение всего времени. Теперь
мы покажем, что оператор О обладает свойством сохра-
сохраняться, если он коммутирует с гамильтонианом и не за-
зависит от времени. Имеем
Ч—
Чф, [о,
(используя уравнение Шредингера и предполагаемую ком-
коммутативность [Н, О]=0).
Далее, если система обладает некоторой симметрией,
то операторы Т (Ga) любого элемента Ga в группе ? бу-
будут коммутировать с гамильтонианом и, следовательно,
будут сохраняться. На первый взгляд это предполагает
существование большого числа сохраняющихся величин,
но они не являются независимыми. Очевидно, что сохра-
сохранение оператора T(GC) связано с сохранением T(Ga) и
T(Gb), если GaGb=Gc. Поэтому для каждой группы су
шествует минимальное число сохраняющихся величин,
соответствующее минимальному числу элементов группы,
необходимому для вывода всех ее элементов путем перемно-
перемножения. Так, для циклической группы, например С3,
существует лишь одна сохраняющаяся величина, ибо по
определению циклической группы все ее элементы полу-
получаются возведением в степень одного-единственного эле-
элемента. В группе Ds (гл. 2, табл. 2.5) для генерирования
всех элементов необходимы только два: Rx и R3, и, таким
образом, имеются две независимые сохраняющиеся вели-

Симметрия г кинтсной механике 131'
чаны. Для непрерывной группы Л%, как это будет видно
в гл. 7, §3, н. Д, все элементы можно вывести из одного-
единственного оператора.
, Следует всегда помнить, что в силу постулатов кванто-
квантовой механики только эрмитовы операторы могут соответст-
соответствовать физическим наблюдаемым. Таким образом, для фи-
физически наблюдаемой сохраняющейся величины из Т (СЭа)
требуется построить эрмитов оператор. Далее мы увидим,
что только в случае непрерывных групп эти сохраняющие-
сохраняющиеся величины соответствуют обычным классическим поня-
понятиям, таким, как импульс или угловой момент.
§ 6. ПРИМЕРЫ
Для иллюстрации следствий симметрии рассмотрим
четыре примера, соответствующие группам симметрии
С%, Da, S2 и №2- Хотя детально определять вид волновых
функций не требуется (в этом и состоит преимущество сим-
метрийного подхода), можно представить себе, что данные
примеры относятся к движению частицы в поле с потенци-
потенциалом V(г). Оператор кинетической энергии у2, будучи ска-
скалярным произведением, инвариантен относительно любо-
любого вращения и поэтому во всех четырех примерах остается
неизменным. Потенциал же можно выбрать инвариантным
лишь по отношению к низшим из перечисленных групп
вращений. Данный простой случай не такой уж искусст-
искусственный — он может соответствовать движению электрона
вокруг атомного ядра. Хотя кулоновское притяжение ядра
сферически-симметрично, можно представить себе, что
имеется внешнее поле, понижающее симметрию. Или же,
если атом находится в кристалле, присутствие других ато-
атомов кристалла будет понижать симметрию от &» до неко-
некоторой конечной группы вращений.
А. Группа симметрии С8
Для этой группы потенциал F(r) в обозначениях при-
примера 5 из гл. 2, § 2 будет инвариантным относительно пово-
поворотов Rx и R2=Rf вокруг тройной оси z. Группа С% цик-
циклическая, три одномерных неприводимых представления
%а), г12' и %м, имеющиеся в табл. 4.3. (гл. 4, § 18), можно

132 Глага S
записать в виде
т<«> (RJ = ехр [2я (а-1) г/3], E.14)
где а=1, 2 и 3. На основании общих выводов § 3 мы можем
заключить, что собственные состояния должны быть не-
невырожденными, что они могут классифицироваться в со-
соответствии с индексом а неприводимого представления
и что они обладают следующим свойством:
Т (Rj) \|)«*> = ехр [2я (а— 1) г/3] \|з<а>.
В нашем частном случае одной частицы это означает по
определению C.37), что
—~ ] = ехр [2я (а — 1) г/3] г|5<а> (ф), E.15)
где ф — обычный полярный угол поворота относительно
оси z. (Мы могли бы получить этот результат без непосред-
непосредственного использования теории групп, отметив, что га-
гамильтониан Н коммутирует с оператором t(Rx) поворота
вокруг тройной оси и, следовательно, собственные со-
состояния гамильтониана Н можно выбрать так, чтобы опе-
оператор t(R]) был диагональным. Этим состояниям можно
приписать индексы собственных значений t(Ri), задавае-
задаваемые формулой E.14). OnepaTopT(Rj) по отношению к груп-
группе С3 представляет собой сохраняющуюся величину, но он
не имеет простого физического смысла.)
Яснее свойства симметрии функций, удовлетворяющих
равенству E.15), видны из выражения
?а) (ф) = "« (Ф) ехр [-г (а-1) Ф], E.16)
где иа (ф) — периодическая функция переменной ф с пе-
периодом 2я/3. Это можно проверить подстановкой выраже-
выражения E.16) в формулу E.15):
иа (Ф - Bп/3)) ехр {-г (а -1) [Ф - Bя/3)]} =
= ехр [2л (а— 1) г/3] иа (ф) ехр [—г (а —1) ф],
т. е.
/ 2л'
фа
E-17)
Формула E.16) дает функцию т|з<а) (ф) при всех ф, если она
известна в интервале 0^ф<2я/3. Таким образом, сообра-

_ Симметрия $ квантовой механике 133
жения симметрии привели к заключению, что для решения
уравнения Шредингера в системе симметрии С3 необходи-
необходимо решить лишь эквивалентное уравнение для ма(ф) в ин-
интервале О^Гср<2я/3 с периодическими граничными усло-
условиями.
Рассмотрим теперь правила отбора для электрических
дипольных переходов между собственными состояниями
-ф(а) (ф). Для света, поляризованного вдоль оси z, соответст-
соответствующий оператор равен ez (§ 1). Очевидно, что он инвари-
инвариантен относительно поворотов вокруг тройной оси и, сле-
следовательно, принадлежит тождественному представле-
представлению тA>. Поскольку произведение представлений тA)E?)
(g)T(a)=T(a), ЭТот оператор может вызывать переходы лишь
между состояниями, принадлежащими одному и тому же
неприводимому представлению с индексом а. Для света,
поляризованного в плоскости ху, соответствующий опе-
оператор есть комбинация жиг/. Так как x±.iy=rsin6exp (±гф),
из сравнения с E.16) следует, что этот оператор преоб-
преобразуется в соответствии с комбинацией представлений
тB) и т<з)> Лз табл. 4.3 мы находим, что произведения
представлений дают тA)B)гB)=т<2), гB)B)т<2)=тC), г<2)B)
(Х)т.C>=тA> ит|3|®тC)=т|!|. Следовательно, разрешенными
переходами для света, поляризованного в плоскости ху,
являются переходы A) <-» B), A) «-» C) и B) «-» C), т. е.
возможны все переходы с изменением индекса а.
Б. Группа симметрии _D3
Эта группа была рассмотрена в гл. 2, § 2 (пример 6), и в
данном случае потенциал инвариантен относительно пово-
поворотов вокруг тройной оси z и вокруг двойных осей в плос-
плоскости ху. Характеры представлений группы D3 даны в
табл. 4.2. Собственные состояния являются либо невырож-
невырожденными с а=1 или 2, либо дважды вырожденными с а=3.
Состояния ij;A) будут инвариантными относительно всех
операций группы. Состояния ij;B) инвариантны относитель-
относительно поворотов R, i R2 вокруг тройной оси, но изменяют
знак при поворотах R3, R4 и R5 вокруг двойных осей.
В общем случае пары состояний aj)i3) и гр^3> будут смеши-
смешиваться под действием операций группы.
Найти правила отбора для электрических дипольных
переходов можно довольно просто. Соответствующий one-

Ш Глм 5 ^
ратор O=eR есть вектор с характером 2 cos 9 + 1 (§4),
так что из приведенной ниже таблицы характеров группы
Ds (табл. 5.1) мы видим, что он преобразуется как ТBH
Таблица S.1
,з
JO)
TB>
T«)
о
О (Х)ТA)
О 6дТB)
О(§)ТC>
1
2
3
3
3
6
1
1
—1
0
0
0
0
«.с.*.....
1
—1
0
_4
—1
1
0
= т<2) 0 Т<3)
= fi21 фТC)
= т*1' fR Т<3)
= 2Т<3) ф ТB) ф ТA)
0ТC). Отсюда мы делаем вывод, что разрешены следую-
следующие переходы: ТA)<->ТB), Т<1>ч->ТC\ ТB)<^ТC> и ТC)<->ТC),
тогда как переходы . ТA) <-» ТA> и ТB> <-» ТB) запрещены.
Аналогичным образом разлагая О на компоненты Т<2)
(вдоль оси z) и Т13) (в плоскости ху), мы можем сделать
вывод, что в случае поляризованного света разрешены
следующие переходы:
f 1) поляризация вдоль z: ТA) «-^ Т<2), Т<3) <-» ТC);
2) поляризация в плоскости ху: ТA) <-» ТC), ТB) <-> ТC),
Т(8) ^ ТC)_
В. Группа симметрии /S2
[ Эта очень простая группа (гл. 2, § 2, пример 4) содер-
содержит лишь единичный элемент и инверсию I, причем 12=Е.
Она имеет два одномерных неприводимых представ-
представления: тождественное представление Т11) и представление
ТB), в котором инверсии соответствует —1. Собственные
состояния гамильтониана, инвариантного относительно
инверсии, будут, следовательно, принадлежать представ-
представлению Тш или ТB\ Соответственно этому они называют-
называются четными или нечетными и часто обозначаются знака-
знаками ±. Поскольку представления одномерны, вырождение
отсутствует. Правила отбора получаются очень просто

' Симметрия t кшлнтоюй механике 135
из правил умножения ТA) (g) Т(а)=Т(а) и T(l) ® TA) =
=ТB) (Я) ТB)=ТA). Таким образом, нечетный оператор,
например оператор электрического дипольного момента,
требует, чтобы начальное и конечное состояния различа-
различались по четности, тогда как оператор магнитного диполь-
дипольного момента допускает переходы лишь между состояни-
состояниями с одинаковой четностью.
Г. Группа симметрии 5?2
Группа 5? 2 — это непрерывная группа всевозможных
вращений вокруг оси z, так что потенциал F(r), если он
инвариантен относительно операций этой группы, должен
зависеть лишь от г и 6. Элементы группы R(a) и оператор
T(R(a)) определены по формуле C.37) таким образом, что
при действии оператора на волновую функцию отдельной
частицы мы имеем Т(R(й))т|з(г, б, ср)=ч|з (г,9, ф—а). При
таком подходе переменные гиб роли не играют, и мы мо-
можем их опустить. Используя разложение в ряд Тэйлора,
можно написать
г|)(ф — а) = \|з(ф) — аЛ.,|5(ф)-|__аа
так что оператор Т (R (а)) можно выразить в явной форме
как
(^) E.18)
Экспоненциальный вид оператора следует понимать как
сокращенное обозначение соответствующего ряда. Поэтому
очевидно, что единственный оператор д/д<р генерирует все
повороты относительно оси ъ.
Поскольку элементы группы коммутируют, группа
является абелевой и, следовательно (гл. 4, §8), неприводи-
неприводимые представления должны быть одномерными. Подробнее
мы рассмотрим неприводимые представления группы 5?2
в гл. 7, § 3, но уже из выражения E.18) ясно, что функции
вида aj)(m> (ф)=Л ехр(шмр), где т — любое целое число,
могут быть базисными векторами одномерных неприводи-
неприводимых представлений, определяемых соотношением
Т(В!) (R (о)) = ехр(—гта). Выбирая действительный индекс

136 Глава 5 ;
т, мы делаем оператор Vm) унитарным, а при целых т убеж-
убеждаемся в непрерывности функции tylm) (ф) при изменении ф
в пределах 2я.
Правила отбора для электрических дипольных перехо-
переходов можно найти, если заметить, что величина z инвариант-
инвариантна относительно всех вращений вокруг оси z и, следова-
следовательно, принадлежит представлению с т.=0. Для света,
поляризованного в плоскости ху, зависимость от ф соот-
соответствующего оператора, как и в предыдущем примере,
дается комбинацией ехр(?ф) с ехр(—щ) и, следовательно,
является суперпозицией представлений с т=1 и т=—1.
Правило для образования произведений представлений
группы Si2 особенно простое, так как
T(ffi) (R (а)) (X)К') (R (a)) = oxp (—ima — im'a)
Таким образом, свет, поляризованный вдоль оси z, инду-
индуцирует переходы, при которых величина т не изменяется
(Д/?г=О), тогда как свет, поляризованный в плоскости ху,
индуцирует переходы, при которых величина т изменяет-
изменяется на единицу (Дтга=±1).
На основании сказанного в § 5 можно попытаться уста-
установить закон сохранения в случае симметрии Si2, если
оператор поворота E.18) можно преобразовать в эрмитов
оператор. Легко видеть, что таким оператором может быть
оператор д/д<р, умноженный на I. Действительно, если мы
напишем Zz =—i(d/dq>) и перейдем к декартовым координа-
координатам , то получим
где рх=—ifld/dx — обычное квантовомеханическое выра-
выражение для импульса. Это означает, что сохраняющейся
величиной lz является угловой момент относительно оси z.
В собственных состояниях ^т) (ф) оператор lz имеет собст-
собственные значения т.
§ 7. ТЕОРИЯ ГРУПП И ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД
В большинстве реальных физических задач квантовой
механики уравнение Шредингера не может быть решено
точно ввиду его математической сложности, особенно если
рассматривается большое число частиц. В таких случаях

Симметрия в квантовой механике 137
при нахождении приближенного решения для основного
состояния, а также, когда возможно, нескольких первых
возбужденных состояний часто пользуются вариационным
методом. Сущность метода заключается в том, что строят
сравнительно простую нормированную пробную функцию
¦ф, которая содержит ряд варьируемых параметров, и вы-
вычисляют среднее значение гамильтониана (i|), H\f)). Можно
показать, что при любых значениях параметров оно дает
верхнюю границу энергии основного состояния. Миними-
Минимизируя это среднее значение по переменным параметрам
волновой функции, мы найдем минимальную верхнюю
границу, возможную при выбранной форме пробной функ-
функции. С увеличением числа варьируемых параметров сред-
среднее значение ("ф, Нг|)) будет все точнее соответствовать энер-
энергии основного состояния, а пробная функция i|) — прибли-
приближаться к волновой функции основного состояния. Затем
выбирают пробные функции, ортогональные к функции ос-
основного состояния, и получают таким же образом прибли-
приближения к первому возбужденному состоянию и т. д.
Если система обладает симметрией, то, не прибегая к
расчетам, можно сказать, что под действием операций сим-
симметрии группы ее собственные функции преобразуются по
неприводимым представлениям. Этим можно руководство-
руководствоваться при выборе пробной варьируемой функции, отбра-
отбрасывая функции, которые состоят из компонент, преобра-
преобразующихся по разным неприводимым представлениям.
Более того, в общем случае можно сказать, что физическая
система, существующая за счет сил притяжения между
своими компонентами, имеет основное состояние с макси-
максимальной симметрией. Математически это означает, что ос-
основное состояние должно преобразовываться подобно тож-
тождественному представлению, т. е. оно должно быть инва-
инвариантным относительно всех операций группы. Можно,
например, строго показать, что основное состояние час-
частицы, движущейся в поле со сферически-симметричным
потенциалом V(r), само является сферически-симметрич-
сферически-симметричным, т. е. 1=0. Поэтому при аппроксимировании основно-
основного состояния следует брать только сферически-симметрич-
сферически-симметричные пробные функции. Чтобы найти первое возбужденное
состояние, нужно сконструировать пробную функцию,
преобразующуюся в соответствии с некоторым другим
представлением, и обычно это представление имеет в не-

Ш ГЛд.Л5
котором смысле наивысшую из оставшихся возможными
симметрии. Например, в случае потенциала гармониче-
гармонического осциллятора первое возбужденное состояние соответ-
соответствует значению 1=1. Нам встретятся и другие случаи воз-
возбужденных состояний с максимальной симметрией (см.,
например, спектр атома водорода в гл. 8, § 5).
При вариационном методе в качестве пробной функции
часто пользуются линейной комбинацией п определенных
функций ф; с коэффициентами с$ в качестве варьируемых
параметров
п
г|)=2]е*Ф/- E-20)
В такой форме вариационный метод иногда называют мето-
методом Релея — Ритца, он эквивалентен диагонализации га-
гамильтониана в конечном n-мерном пространстве выбран-
выбранных функций фг. Если выбрать функции ф{ ортонормиро-
ванными, то уравнение Шредингера Нт|з=?т|з сводится к
матричному уравнению. В самом деле, из уравнения H\j)=
=?¦113 с учетом выражения E.20) имеем
т. е.
Обозначая матричный элемент (ф^ Нф4) через Нц, полу-
получаем
_. ,.-E&/t)ci = O, E-21)
т. е. энергия Е и коэффициенты ct выступают как собст-
собственные значения и компоненты собственных векторов
матрицы Нц. Правда, из этого не следует, что точные соб-
собственные значения уравнения Шредингера могут быть по-
получены из конечной матрицы вХп. Она дает лишь прибли-
приближение к Е (верхнюю границу) и будет точной только в том
случае, если точную волновую функцию "ф можно разло-
разложить в конечный ряд E.20). В общем случае это невозмож-
невозможно, если только п не возрастает до бесконечности, что де-
делает набор функций фг полным, но тогда становится бес-
бесконечной и матрица, которую надо диагонализовать.

Симметрия в квантовой механике 139
Если функции фг- не ортонормированы и их скалярное
произведение обозначено через Sji = ((f>j, фг), то формула
E.21) принимает вид
-ESJt)c, = 0, E-22)
и тогда энергия находится из детерминантного уравнения
|Н — ?S| = 0. E.23)
В методе Релея — Ритца условие симметрии можно ис-
использовать двояко. Во-первых, в сумму E.20) следует
включать лишь такие базисные функции ф;, которые пре-
преобразуются по одному и тому же неприводимому представ-
представлению Тга). Если размерность представления больше
единицы, что обычно бывает при описании возбужденных
состояний, то в сумме E.20) можно ограничиться функция-
функциями, которые преобразуются по некоторой строке представ-
представления Т<0". Это ясно из формулы D.63), которая показы-
показывает, что инвариантный оператор, например гамильтониан,
имеет нулевые матричные элементы между функциями,
преобразующимися по разным строкам представления.
Кроме того, формула D.63) показывает, что матричные
элементы не зависят от индекса строки. Отсюда следует,
что матрица Н, определенная в базисе функций, преобра-
преобразующихся по строке i неприводимого представления Т<06),
будет в точности такой же, как и матрица Н в соответст-
соответствующем базисе, где все функции преобразуются по какой-
либо другой строке этого представления. Таким образом,
необходимо лишь записать и диагонализовать матрицу для
одного выбранного i. В том, что любой другой выбор /
приводит к той же матрице и потому к тем же собственным
значениям, всего лишь находит выражение факт яа-крат-
ного вырождения, где sa — размерность представления
В следующем параграфе мы рассмотрим пример исполь-
использования симметрии в методе Релея — Ритца (т. е. в мат-
матричном методе).
§ 8. НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ ВОЗМУЩЕНИИ
Во многих физических задачах гамильтониан рассмат-
рассматриваемой системы состоит из основной пасти и малой до-
добавки (или нескольких малых добавок). Напишем
E.24)

140 Глава 5
где Нх — малая добавка. Часто оказывается, что оператор
Но намного проще оператора Нх, и можно найти прибли-
приближенное решение, рассматривая Ht как возмущение точно-
точного решения Н„. В принципе возмущение следует рассмат-
рассматривать как степенной ряд по Нъ но мы здесь ограничимся
поправками первого порядка, так как нас больше всего
интересует влияние симметрии.
Для невырожденного уровня Eh напишем уравнение
Шредингера невозмущенной системы в виде H^h=Eh^-k.
Тогда, если считать т))й пробной функцией для Н, среднее
значение энергии будет равно (a))fe, H\|jfe)=.fi'ft-f (\|3ft, Н^).
Это означает, что поправка первого порядка к невозму-
невозмущенному значению энергии Ек равна AE—(tyh, H^).
Если энергетический уровень Еп вырожден и ему соот-
соответствует набор независимых волновых функций фп;,
таких, что Hoq>ni=En(fni, то, чтобы найти поправку пер-
первого приближения, обусловленную возмущением Hi, мы
должны взять пробную функцию типа E.20) как линейную
комбинацию вырожденных состояний. Из изложенного в
§ 7 явствует, что энергетические сдвиги определяются соб-
собственными значениями матрицы Ht в базисе ф„г.
Теперь предположим, что в разложении E.24) гамиль-
гамильтониан Но принадлежит более высокой группе симметрии
$0) а Нх имеет более низкую группу симметрии Si, яв-
являющуюся? лишь подгруппой группы #0. Разумеется,
полный гамильтониан тоже принадлежит группе симмет-
симметрии $!. Будем рассматривать случай, когда Ht — малое
возмущение, которое существенно не влияет на Но, так
что функции, соответствующие разным энергетическим
уровням оператора Но, не смешиваются. (Математически
мы требуем выполнения условия |^^Н^пИ^ЦЕп—Ет\.)
Если имеется некоторое заданное собственное значение
энергии Еп гамильтониана Но, то, согласно сказанному
в § 3, его собственные функции будут базисными функци-
функциями а))(-а> некоторого неприводимого представления Т(а)
группы $0 и уровень будет «„-кратно вырожденным. Ин-
Интуиция подсказывает нам, что влияние гамильтониана Ht
должно приводить к снятию этого вырождения, так как
группа $! может не иметь неприводимого представления
размерности sa и поэтому не будет иметь собственных
состояний с вырожденностью sa. Пространство //"> собст-

Симметрия в квантовой механике 141
венных функций уровня Еп по отношению к подгруппе
%i будет распадаться на подпространства, неприводимые
относительно !§1, т. е. в соответствии с обозначениями гл.
4, §18
?«*>= *?LW>i. • E.25)
5, q
Индекс q служит для обозначения пространств, которые
преобразуются по эквивалентному неприводимому пред-
представлению Т(а) группы %х. Далее по таблице характеров
для групп "§0 и Si нетрудно определить, какие индексы а
группы $! входят в формулу E.25) для данного представ-
представления Т(СО группы #„•
А. Примеры
Примеры такого анализа были даны в гл. 4, § 18 для
перехода Ds —>• С3. Было показано, что двумерное пред-
представление Tt3) группы D3 сводится к сумме двух одномер-
одномерных представлений С3. В действительности, однако, этот
частный случай понижения симметрии обычно не приводит
к расщеплению энергетического дублета, так как два пред-
представления группы, являясь комплексно-сопряженными,
имеют одинаковую энергию в случае действительного по-
потенциала F(r) (или, в более общем случае, для любого ин-
инвариантного относительно обращения времени гамильто-
гамильтониана; т. 2, гл. 15, § 7, п. Г).
При понижении симметрии типа Э1г ->- С3 вырождение
также не снимается, поскольку представления группы 5i2
не вырождены. В этом случае состояния, которые при сим-
симметрии 5?2 обозначались индексами т=0, ±1, ±2, . . . ,
при симметрии Ся будут обозначаться индексами т=0,
±1 с прибавлением или вычитанием любого числа, крат-
кратного трем.
Чтобы найти более интересный пример, нужно перейти
к более сложной группе. Группа октаэдра О (гл. 9, § 3, п. А)
имеет трехмерное неприводимое представление Ti, и при
переходе к подгруппе D3 можно из таблицы характеров
(приложение 1) увидеть, что оно приводится к двум непри-
неприводимым представлениям Т!=А20Е группы D3 с раз-
размерностью 1 и 2. Таким образом, при включении возму-
возмущения симметрии D9 трижды вырожденный уровень 7\

Ш Глава 5
гамильтониана группы симметрии О будет расщепляться
на уровень Аг и дублет Е. Другие аналогичные примеры
приведены в гл. 9, § 9, п. Б в связи с расщеплением атом-
атомных уровней в кристаллическом поле.
Б. Величина расщепления
Таблица характеров дала нам возможность установить
характер расщепления вырожденных уровней, но она ни-
ничего не говорит ни о величине расщепления, ни даже о
порядке возмущенных уровней. Полагая, что волновые
функции невозмущенных уровней известны, эти характе-
характеристики расщепления можно найти, вычислив матричные
элементы «возмущающего» гамильтониана Н, и, если это
необходимо, диагонализовав малую матрицу (§ 7). Как мы
сейчас покажем, учет симметрии при выборе базиса мат-
матрицы и в этом случае упрощает расчет.
Из сказанного в конце предыдущего параграфа явст-
явствует, что в соответствии с разложением E.25) матричные
элементы возмущающего гамильтониана Hi между функ-
функциями, преобразующимися по неэквивалентному непри-
неприводимому представлению Т(а), равны нулю и что в преде-
пределах набора функций т|^а) с .?=1, 2, ... , s^ матрица Иг крат-
кратна единичной. Если какое-либо представление Т(а) в раз-
разложении E.25) встречается только один раз, то, чтобы най-
найти энергетический сдвиг, обусловленный возмущением
Н!, нужно вычислить лишь среднее значение
(#>, Н^П E.26)
для любой строки г. Если волновые функции невозмущен-
невозмущенного уровня заданы в произвольном базисе, то найти воз-
возмущенные волновые функции ф[а> можно с использованием
проекционного оператора"гD.50) или, в данном случае, с
помощью более простого оператора D.51). Затем можно
прямо вычислить энергетический сдвиг E.26). Если в раз-
разложении E.25) представление Т(а> встречается более од-
одного раза, скажем гпп раз, то тогда будут существовать-
тпп линейно-независимых фупкций типа i^'/3", которые
можно обозначить через i|)'-aw, где д=1, 2, ... , т^.'В об-
общем случае"" возмущение Йх будет иметь между функциями

л Симметрия в квантовой механике 14S
этого набора ненулевые матричные элементы, и энергети-
энергетические сдвиги можно найти путем построения матрицы
размера т^ Xmj в некотором удобном базисе и ее после-
последующей диагонализации. Базисные функции снова нахо-
находятся с использованием проекционного оператора D.50),
действующего на волновые функции невозмущенного вы-
вырожденного мультинлета. Применение общего метода, из-
изложенного здесь, можно найти в гл. 8, § Г>.
§ 9. НЕРАЗЛИЧИМОСТЬ ЧАСТИЦ
В классической механике может существовать система
идентичных частиц, которые тем не менее можно разли-
различать между собой. Можно мысленно как-то выделить из них
одну частицу в некоторый момент времени, а затем про-
проследить ее путь. В квантовой же механике движение час-
частицы описывается только волновой функцией, так что го-
говорить о ее определенной траектории нельзя (принцип
неопределенности). Поэтому в квантовой механике иден-
идентичные частицы неразличимы в том смысле, что если мы
наблюдаем одну из них, то невозможно сказать, какая
это частица. Математически утверждение неразличимости
выражается в том, что все наблюдаемые величины пред-
представлены операторами, симметричными относительно пере-
перестановки частиц.
Гамильтониан системы п взаимодействующих частиц
должен быть инвариантным относительно перестановок,
а поэтому группа всех перестановок of n (гл. 2, § 2, пример
10) является группой симметрии системы. Если не счи-
считать малых значений п, то имеется много разных неприво-
неприводимых представлений группы ?Рп, которые мы оста-
оставим до т. 2, гл. 17. Но если некоторое собственное состоя-
состояние принадлежит неприводимому представлению Т(а)
группы if'„ с размерностью sa>l, то вследствие симметрии
всех физических операторов мы должны иметь вырожде-
вырождение, которое совершенно ненаблюдаемо. Никакой физиче-
физический оператор не может привести к расщеплению уровней
или индуцировать какие-либо переходы из одного вырож-
вырожденного состояния в другое. В природе столь причудливая
ситуация, по-видимому, не возникает. Опыт показывает,
что единственными встречающимися представлениями груа-

144 Глава 5 >
пы <?Р п являются два одномерных представления, соответ-
соответствующие полностью симметричным или полностью анти-
антисимметричным состояниям. (Первое из них есть тождест-
тождественное представление, и соответствующее состояние 1J5S
удовлетворяет условию Р'фв^'Фв Для всех перестановок Р.
Антисимметричное состояние t|>A обладает свойством
^ц"^А~—'Фл Для всех пар ij, где Рг; обменивает местами
частицы i и /, оставляя остальные частицы без изменения.
, Подробно мы остановимся на этих представлениях в т. 2,
гл. 17, § 4.) К примеру, вся теория атомного строения,
включая интерпретацию периодической системы элемен-
элементов, рухнула бы, убери мы из нее предположение об анти-
антисимметричности волновых функций электронов. В общем
случае установлено, что частицы с целым спином имеют
полностью симметричные волновые функции, тогда как
частицы с полуцелым спином имеют полностью антисим-
антисимметричные волновые функции. В последнем случае оче-
очевидно, что любые две идентичные частицы не могут нахо-
находиться в одном и том же одночастичном состоянии — эта
закономерность носит название принципа Паули. Час-
Частицы, описываемые симметричными волновыми функция-
функциями, называют «бозонами», а антисимметричными — «фер-
мионами», подразумевая, что они удовлетворяют статис-
статистикам Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака.
Вт. 2, гл. 16, §3,п. Г мы рассмотрим теорему о статис-
статистиках спина, в которой на основе очень общих теоретиче-
теоретических посылок делается заключение о том, что частицы с
полуцелым спином не могут описываться симметричными
волновыми функциями, а частицы с целым спином не могут
иметь антисимметричных волновых функций. Эта теорема
согласуется со сказанным выше, но не исключает сущест-
существования для частиц с целым или полуцелым спином пред-
представлений со смешанной симметрией. Действительно, вы-
высказывались гипотезы (гл. 12, § 3), что все еще необнару-
необнаруженные кварки принадлежат представлениям со смешан-
смешанной симметрией (случай так называемой парастатистики).
В заключение заметим, что если «нумерация» частиц
не является физически наблюдаемой, то можно построить
квантовую механику и не вводя ее. На практике это делает-
делается так называемым методом «чисел заполнения» или
«вторичного квантования» (т. 2, гл. 16, § 3, п. А). Но во
многих задачах подобную нумерацию вводить удобно (как

Симметрия * кшантовой Механике 145
это мы уже сделали) лишь для того, чтобы определить
симметричность или антисимметричность волновой функ-
функции, зная при этом, что подобная нумерация не имеет
физического смысла.
§ 10. КОМПЛЕКСНОЕ СОПРЯЖЕНИЕ II ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ
Если i]) (r, t) есть зависящее от времени решение урав-
уравнения Шредингера E.2) с действительным гамильтониа-
гамильтонианом, не ^зависящим от времени, то из этого уравнения пря-
прямо следует, что решением является и функция ф (г, t) =
=\l)*(r, —t). Другими словами, если функция \J)(r, t) опи-
описывает возможное состояние системы во времени, то его
описывает и функция ф(г, t). Физическую взаимосвязь
между функциями ty(r, t) и ср (г, t) можно выяснить, срав-
сравнивая средние значения операторов наподобие г и р в двух
состояниях. Учитывая определение E.6) скалярного про-
произведения, имеем
<ф(г, i)| х | Ф (г, J)> = o|)(r, — 0|x|iK*> —0>.
<Ф(г, О1Р*1<Р(Г1 Ф = -ОКг, -*)|рж|Ч>(г, —0>-
Но, согласно классической механике, при замене x(t) на
х(—t) и px(t) на —рх(—t) мы получим обращенную траек-
траекторию движения всех частиц. Например, частица, нод-
брошенная вверх при t=0 и достигающая наивысшей точ-
точки А в момент t=l, должна быть заменена частицей, начи-
начинающей падать из точки А в момент t=—1 и достигающей
земли при t=0. Поэтому мы рассматриваем переход от
i])(r, t) к ф(г, t) как обращение времени и вводим оператор
Т, определяемый как ф(г, ?)=Ti];(r, 2)=\])*(г, —t). В т. 2,
гл. 15, § 7, п. Г будет введен более общий оператор, обра-
обращающий также и направление спина.
В случае стационарного состояния E.3) операция об-
обращения не изменяет множитель ехр(—iEtlti), так что со-
состояния i|> и $* имеют одинаковую энергию; этот же
результат следует и из уравнения на собственные значения
[формула E.4)]. Следовательно, если tp — комплексная
функция, то функции f Hf* независимы и имеет место
двукратное вырождение. Здесь мы имеем еще один пример
вырождения вследствие симметрии гамильтониана, в дан-
данном случае симметрии в отношении обращения времени.

Ш
Поскольку последовательное применение |двух опера-
операций обращения времени не изменяет физической ситуа-
ситуации, мы имеем дело с группой, изоморфной группе S%, и
на этом основании могли бы ожидать следствий, аналогич-
аналогичных рассмотренным в § 6 для группы Sa; но это неверно.
Дело в том, что оператор Г, который осуществляет
обращение времени, не является ни линейным, ни унитар-
унитарным. Поэтому здесь мы не вправе пользоваться теорией
представлений, изложенной в гл. 4. Этот вопрос мы от-
отложим до второго тома (гл. 15, § 7, п. Г), где будет пока-
показано, что «четным» относительно обращения времени мо-
может быть сделан оператор, но не волновая функция. При-
Приводит или нет к увеличению вырожденности включение
операции обращения времени в данную группу симметрии
системы, это зависит от группы. Мы кратко остановимся
еще на данном вопросе в гл. 9, § 8 и в т. 2, гл. 15, §7, п. Г.
В заключение отметим, что найти гамильтониан, не имею-
имеющий симметрии обращения времени, нетрудно. Например,
введенный в § 1 оператор L взаимодействия с магнитным
полем является нечетным, а оператор кинетической энер-
энергии — четным.
ЛИТЕРАТУРА
По нерелятивистской квантовой механике так много книг, что
выбор затруднителен, но в качестве очень простого введения ре-
рекомендуем
Mathews P. Т., Introduction to Quantum Mechanics, McGraw-
Hill, London, 1963,
а как руководства более серьезного уровня рекомендуем учебники
Landau L. D., Lifschiz E, M,, Quantum Mechanics, Pergamon,
London, 1958.
i-ч, [См. также: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механп-
ка.— М.: Наука, 1963.]
Messiah A., Quantum Mechanics, North-Holland,J Amsterdam,
1961.
ЗАДАЧИ
В этой главе мы даем лишь несколько задач, поскольку все вве
денные в ней понятия снова встретятся в следующих главах в при-
приложении к различным физическим системам.
5.1. Покажите, что группа С3 есть группа симметрии потенциала
V~cosQ sin3 Э cos 3<р, а группа Z>3 — потенциала F=sin3 0X
Xcos Зф. Обладают ли эти потенциалы дополнительной симмет-
симметрией отражения или инверсии?

Симметрия t квантовой механике 147
5.2. В соответствии с изложенным в § 3 собственные состояния га-
гамильтониана с симметрией ?>4 можно классифицировать по
неприводимым представлениям этой группы, найденным в гл.
4, § 10. Имеется ли у этих состояний вырожденность и какова
она? Выведите правила отбора для дипольных переходов в этой
системе.
5.3. Покажите, что в случае частицы, движущейся в поле с потен-
потенциалом симметрии С3, оператор cos Bл?г/3) соответствует сох-
сохраняющейся величине.
5.4. Рассмотрим частицу, движущуюся по окружности (так что
существенна только одна координата ф), под действием потен-
потенциала V (ф) с симметрией Cj. Взяв собственную функцию в
виде ряда Фурье \Ji(<p)= ^я„ехр (inqr), покажите, что оту сум-
п
му можно ограничить лишь целыми п=т~\-"к, где т фикси-
фиксировано (т=0, 1 или 2), а к пробегает все целые числа.
5.5. Функции .та-''2, уе~г% и ze~r2 являются собственными функция-
функциями для частицы, движущейся в поле с потенциалом сфрричес-
ки-симмотричиого гармонического осциллятора. Эти три состо-
состояния очевидно вырождены. Как будет сниматься это трехкрат-
трехкратное вырождение при включении возмущающего потенциала
симметрии D3? (Найдите характер трехмерного представления
группы 1>з и приведите его.)
Детально следствия сферической симметрии будут разобраны
в. гл. 7 и 8, а конечные точечные группы симметрии рассматрива-
рассматриваются в гл. 9.

6
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В данной главе мы приступаем к применению теории
симметрии при исследовании физических систем. Речь
пойдет о колебаниях атомов, составляющих молекулу, от-
относительно их равновесных положений. При этом атомы
считаются точечными частицами, а функция потенциаль-
потенциальной энергии, определяющая их движение,-— квадратичной
относительно смещений из положений равновесия. Равно-
Равновесная конфигурация атомов обычно имеет симметрию
группы вращений и отражений, приводящих к взаимному
обмену идентичных атомов, и потенциальная энергия,
как и кинетическая, является инвариантом группы "'сим-
"'симметрии. Хотя размеры молекул достаточно малы, так что
Рис. 6.1.
для описания этих систем необходима квантовая механи-
механика, удобнее сначала получить классическое решение, рас-
рассматривая нормальные моды колебаний, а затем выпол-
выполнить квантование гамильтониана, |который "разлагается
очень просто, если задача рассматривается в нормальных

Молекулярные колебания
149
координатах. Для классификации нормальных типов ко-
колебаний (нормальных мод) по неприводимым представле-
представлениям групп симметрии используется теория представле-
представлений, изложенная в гл. 4. Квантовомеханическое решение—
отличный пример применения общей теории симметрии в
Рис. 6.2.
квантовых системах, причем получаемыми правилами от-
отбора определяется вид инфракрасных спектров поглоще-
поглощения и спектров комбинационного рассеяния. Для конкрет-
конкретности мы будем рассматривать молекулы Н2О и NH3, рав-
равновесные конфигурации которых представлены на рис. 6.1
и 6.2.
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Мы будем рассматривать N атомов молекулы как то-
точечные частицы, движущиеся в поле с потенциалом, кото-
который имеет минимум, когда они находятся в своих равно-
равновесных положениях. Когда атомы смещаются из своих рав-
равновесных положений, потенциальная энергия увеличи-
увеличивается, и при малых смещениях ее можно представить в
в виде разложения в ряд по степеням смещений отдельных
атомов. Для определения смещения отдельного атома тре-
требуется задать три его компоненты в трех взаимно перпен-
перпендикулярных направлениях х, у иг; следовательно, для
всей молекулы нужно задать 3N компонент. Обозначим их
через q1,q2,q3,qi,--- , 9з№ ГДе ?i. 9 2 и Gз есть х-, у-иг-ком-
поненты смещения первого атома, q4, q*, и qt — второго
атома и т. д. При разложении потенциальной энергии в
ряд Тэйлора по qt линейные члены должны "исчезнуть,
так как смещения дгг измеряются от равновесных позиций,

150 Глава б
и первый ненулевой член имеет вид
±Bl/glgJ+..., F.1)
г,}
где Bij=(d2V/dqtdqj), a Vo — потенциал в отсутствие сме-
смещений (его можно принять равным нулю). Гармоническое
приближение для описания колебаний молекулы состоит
в пренебрежении в разложении V членами более высокого
порядка, чем квадратичные, и потому применимо лишь в
случае малых смещений.
Таким образом, гамильтониан молекулы в гармониче-
гармоническом приближении можно записать в виде
3N 3JV
Я^У^М.^+У, у#«¦//;'//' ¦ F.2)
4.--1 " г, =1
где Мi — масса частицы, связанная с компонентой сме-
смещения qt. Член, соответствующий кинетической энергии,
имеет здесь простую форму суммы квадратов скоростей
qt, тогда как в выражение для потенциальной энергии
входят перекрестные члены qiqj- Решение задачи значи-
значительно упрощается как в классической, так и в квантовой
механике, если мы введем новые координаты Qh путем
преобразования
h
которое выбирается так, чтобы в выражениях для Т и V
исчезли перекрестные члены и они приобрели простой вид
Это преобразование обычно выполняется в два приема.
Сначала вводят взвешенные координаты а; = (М\-)'/:<7ь та-
такие, что выражение для кинетической энергии приобре-
приобретает простой вид T=1/2y[a'j. Тогда потенциальную энергию
'У
можно записать в виде
D = Bi/
ij
дщда/

Потенциальной^эяергии можно^придать требуемую
диагональную форму, найдя собственные ^векторы З-^Х
хЗ^-матрицы Dij. Обозначим ее собственные ^значения
через со! (/с=1, 2, ... , 3N), а соответствующие собственные
векторы через ajh (; = 1, 2, ... , ЗЛО, так что
%Uj F.5)
Поскольку матрица Dti симметрична, ее собственные век-
векторы взаимно ортогональны (гл. 3, § 6) и мы вправе нор-
нормировать их в соответствии с равенством
2а,-Лг = бАг. F.6)
Теперь введем новые координаты Qu путем преобразова-
преобразования
\/ Il!, F.7)
h
из которого в силу равенств F.5) и F.6) следует, что
V=y'% DUaiai =T
i i
2 ij^
i. i, k, i
Таким образом, в результате преобразования
Ан^анЛМ,I'. F.8)
мы получаем простые выражения F.3).
§ 2. КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Теперь нетрудно решить классические уравнения дви-
движения в форме уравнений Лагранжа (т. 2, гл. 16, § 1, п. А)
dt\dQkJ dQk> (Ь-У>
где L=T-V.
Взяв для Т и V выражения F.3), из уравнения F.9)
получаем Qh = — iolQk. Это означает, что новые коорди-

152 Глава В а
наты Qk являются независимыми и каждой из них соответ-
соответствуют колебания гармонического осциллятора вида
Qk = ckcos((okt + ck). F.10)
Координаты Qk называются нормальными координатами
системы. Исходные координаты даются формулой
2 ), F.И)
где 6N констант ck и ek даются начальными усло-
условиями.
j Нормальной модой называют такие колебания, при
которых только одна нормальная координата Qp отлична
от нуля. Ее можно получить, положив равным нулю все
значения ch, кроме одного, скажем с к=р. Для этой моды
уравнение F.11) имеет вид
), F.12)
т. е. все смещения qi изменяются с одинаковой частотой
ир; их отношения определяются величинами Л,-р, которые,
если не считать массовых множителей М^ есть компо-
компоненты собственного вектора матрицы Da, соответствую-
соответствующие собственному значению Шр. В общем случае колеба-
колебательные смещения F.11) являются суперпозицией всех
нормальных мод, каждой со своей собственной частотой.
§ 3. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Квантовомеханическое решение тоже просто получить,
поскольку гамильтониан молекулы теперь имеет вид
,2 3N 3iV 3iV
н=- 2-Е hi
/е= 1 А= 1
Ь.г №• 1
Т_Т " I 2 /~\Q
где "к— 2'ooi~^~2k^k
есть гамильтониан простого одномерного гармонического
осциллятора. Квантование гамильтониана осуществляет-
осуществляется обычным образом — заменой Q% на —%2d2ldQ%. [Строго
говоря, эту операцию следовало бы доказать первоначаль-
первоначальным квантованием в исходных декартовых координатах qb
F.2), а затем переходом к новым координатам Qk.] Если
¦фге (Qk) — собственная функция гамильтониана Hft с

Молекулярные колебания 153
энергией гп , то собственные функции ? гамильтониана
Н суть произведения функций "фге :
?(нх, л„, ..., n3N) = l\\pn (Qk). F.14)
Это нетрудно показать, ибо
2„ Ш„.,(^)
ft * k' k
— /g En i,
/г *
так что полная энергия молекулы в состоянии W равна
Решения уравнения Шредингера для обычного одномер-
одномерного гармонического осциллятора можно найти в любом
учебнике по квантовой механике; они имеют вид
F.15)
где nk — пуль или положительное целое число, Нп —
полином Эрмита, \Хь=((й11/Ау/г и А — нормировочный
множитель. Полная энергия равна
*- F.16)
Этот результат мы можем также рассматривать как «кван-
«квантование» классического случая, когда нормальной моде с
частотой a»ft сообщается nk квантов возбуждения, так что
ее энергия равна {nh-\-1l2)Ti(uk.
§ 4. РОЛЬ СИММЕТРИИ В МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
В гл. 5, § 3 было показано, что собственные функции
симметричного гамильтониана можно классифицировать
по неприводимым представлениям группы симметрии га-

154 Глыа 6
мильтониана и что может иметь место вырождение с крат-
кратностью, равной размерности этих представлений. Для
молекулы, обладающей симметрией, кинетическая и по-
потенциальная энергии не изменяются при операциях сим-
симметрии, и, следовательно, к ним применимы эти общие
результаты. Более того, мы покажем, что нормальные ко-
координаты Qk также можно классифицировать по неприво-
неприводимым ' представлениям группы симметрии 'и что для
представления Т<ос) размерности sa будет существовать
набор линейно-независимых нормальных координат с оди-
одинаковой частотой колебаний. Доказательство этого почти
аналогично приведенному в гл. 5, § 3, но нужно иметь в
виду, что данный результат для колебаний справедлив
как в классической, так^и в квантовой^механике. Это
объясняется тем, что даже в классической механике задача
о колебаниях сводится к уравнениям на собственные зна-
значения F.5).
В этом и двух следующих параграфах мы остановимся
на свойствах нормальных мод. В § 6 и 7 будут рассмотрены
вид волновых функций, энергетический спектр и правила
отбора для электромагнитных переходов.
Чтобы вывести свойства нормальных мод, представим
общее смещение q в виде вектора в ЗА^-мерном пространст-
пространстве со взвешенными координатами ai=qtMi \ введенными
в § 1. Базисный вектор е} представляет собой смещение,
при котором все координаты, кроме а,-, равны нулю, а
«/=1, т. е. qj=MJ11'. Таким образом,
q = J«,e,. F-17)
i=\
Скалярное произведение двух смещений q и q' удобно оп-
определить в виде
ЗА'
(q, q')= ?,«,< (fi-18)
i= i
так что, в частности, (ег, е})=^{]. Оператор потенциальной
энергии D в этом пространстве можно определить равен-
равенством
De/ = 20//e,, F.19)
/ .
Dtj — коэффициенты, даваемые выражением F.4).

М*лекдллрпле к*леё*ник 155
Тогда потенциальная энергия при смещении q равна
1 , ~ Ч 1 V^ , _. .
F.20)
что совпадает с формулой F.4).
Координаты q; нормальной моды р, как было показано
[формула F.12)], пропорциональны коэффициентам Atp
и, стало быть, если не рассматривать временного множи-
множителя, с учетом формулы F.8) для смещения при нормаль-
нормальных колебаниях представляются вектором с ai=AipMi/'-
^=2^yw}/2e, = 2«,yv С6-21)
Следовательно, в этом приближении нормальные смеще-
смещения ортогональны, так как с учетом равенства F.6) полу-
получаем
(ир, иР') = 2 aipalp- (е„ е,) = 2 atpatp-= Ьрр..
Нормальные координаты Qk в данном базисе являются
координатами смещения общего вида, так как из равенств
F.17) и F.7) следует, что q=2<2ftuft- Наиболее важное
свойство нормальных смещений ир заключается в том,
что они являются собственными векторами оператора D,
поскольку в силу формулы F.5) имеем
Оир = 1] atfPjfij = 2 соХл^со'ху F.22)
', / /
Операция симметрии Ga, действуя на молекулу, пре-
преобразует смещение q в новое смещение q'. В частности,
каждый базисный вектор ег переводится в новый вектор e't,
и мы onpefleflHMj преобразования T(Ga), индуцированные
в ЗЖ-мерном пространстве операцией симметрии Ga,
в соответствии с равенством q' = r(Ga)q, где
е,- = Т (GJ е,- = 2 TJt (GJ еу, F.23)
/
а Ga — элемент группы симметрии Ъ. Скалярное произ-
произведение (q, q)=2-^»4? вектора q самого на себя есть взве-
t

Ш Глава в .
шенная сумма квадратов длин векторов смещения всех
атомов и, следовательно, не изменяется при действии опе-
операций симметрии. Таким образом, (q', q') = (q, q), так что
преобразование T(Ga) является унитарным и действи-
действительным, а потому оно ортогонально. Поскольку же по-
потенциальная энергия при действии операций симметрии
не изменяется, оператор D инвариантен относительно пре-
преобразований T(Ga), т. е. D=TDT~1.
Теперь мы можем точно следовать рекомендациям, при-
приведенным в гл. 5, § 3, в связи с вырождением в квантово-
механическом случае, опираясь на аналогию между ра-
равенствами E.12) и F.22). Кратко это сводится к следую-
следующему.
1. Если Up — нормальное смещение с частотой сор, то
Up=T(Ga) Up тоже есть нормальное смещение с час-
частотой Юр, так как
Du; = DT (Ga)up = Т (GJ Dap = со'Т (Ge) ир = а>$и'р.
2. Следовательно, набор нормальных смещений с оди-
одинаковой частотой образует базис представления
группы симметрии $.
3. Таким образом, в отсутствие случайного вырожде-
вырождения каждой частоте можно приписать индекс неко-
некоторого неприводимого представления Т(С0 группы
"§, и она будет состоять из sa линейно-независимых
нормальных мод.
Между рассмотренной задачей классификации нор-
нормальных колебаний и задачей классификации собственных
функций квантовомеханического гамильтониана имеется
одно очень существенное различие. Общее число нормаль-
нормальных мод конечно и равно 3iV, тогда как число собственных
функций в общем случае бесконечно. Вычисляя характер
ЗЛ^мерного представления всех смещений с использова-
использованием любого подходящего базиса, мы можем пользоваться
методами гл. 4, § 11 для его приведения и, следовательно,
классифицировать все нормальные моды молекулы.
§ 5. КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ МОД
Согласно формуле F.23), ЗТУ-мерное пространство всех
возможных смещений образует представление группы
симметрии $. Обозначим это представление через V3N>.

*"^ Молекулярные квлеёания 157
Мы уже показали, что нормальные смещения с одинаковой
нормальной частотой образуют базис неприводимого пред-
представления Т<а) группы "§. Но так как ЗЛ^-мерное прост-
пространство всех смещений распадается на сумму подпрост-
подпространств, соответствующих различным нормальным часто-
частотам, классификацию нормальных частот можно найти, ис-
исследуя разложение
Т<ЗЛ'"> = >>гаТ<а> @.24)
представления Т'3^ на его неприводимые компоненты
Т<ос) (гл. 4, § 11). Если при некотором значении индекса а
коэффициент ma~>i, то будет наблюдаться та различных
частот с одинаковым индексом а, каждая из которых пред-
представляет набор sa линейно-независимых нормальных ко-
координат.
Приведение по формуле F.24) легко осуществимо, если
мы сможем найти характер %p3W> представления Т<зЛГ) для
каждого из классов %v группы Ъ. Сколько раз каждое
неприводимое представление будет появляться при при-
приведении, можно определить по формуле D.28): W
Ар • @.40)
S P
Чтобы найти характер y?pN), напишем равенство F.23)
в немного более развернутой форме, обозначив базисные
векторы ег символами ett, чтобы можно было различать
отдельные атомы ?=1,2, ... , N и их декартовы координа-
координаты i=x, у и z:
2 A(G«)erf'. F.26)
t'• i'
В этом случае для любого элемента Ga в классе ^р харак-
характер равен ?>.¦.;
ХГ' = %i5N) (°a) = ?Tu% (Ge) • F.27 j
Однако вклады в %(psN) дают лишь те атомы t, которые ос-
остаются неподвижными при действии операции Ga, так
как если Ga переводит атом t в t', то диагональный элемент
Т{* в равенстве F.26) равен нулю. Вклад в характер
отдельного атома t, который остается неподвижным

158 Г Aunt
при действии Ga, равен ^Л?л-F0), но это есть просто
характер вращения Ga произвольного трехмерного век-
вектора относительно фиксированной точки (о его векторном
представлении см. гл. 5, § 4). Если Ga есть собственное
вращение R (9) на угол 0, то его характер равен просто
2 cos 0-т 1 (гл. 5, § 4), а если N^(&) есть число атомов, ос-
остающихся неподвижными при действии RF), то общее
выражение для характера приобретает вид
В случае несобственного вращения S@), которое можно
представить как собственное вращение R F) с последую-
последующим отражением oh в плоскости, перпендикулярной оси
R@), характер определяется как
где 7Vs<8) — число атомов, остающихся неподвижными
при действии оператора S@). В самом деле, рассмотрим
несобственные вращения вокруг оси z. Легко показать,
что в базисе декартовых координат матрица несобственно-
несобственного вращения имеет вид
/cos0 — sinG О
f sin0 cos 0 0
\ 0 0—1,
где —1 появляется вследствие отражения а^. Характер
этой операции равен следу 2 cos 0—1 данной матрицы.
Найдя %<зЛ", мы можем теперь по формуле F.25) вычис-
вычислить коэффициенты та в формуле F.24). Но сначала для
удобства вычтем из %CNrl вклад шести нормальных мод
с нулевой частотой, которые не являются колебаниями
и соответствуют трансляции и повороту молекулы в це-
целом, без относительного движения атомов. При таких
«колебаниях» молекула перемещается как жесткое тело
и в качестве трансляционных составляющих можно вы-
выбрать смещения х, у и z вдоль осей декартовых координат.
При вращении они, очевидно, преобразуются в соответст-
соответствии с векторным представлением и имеют характеры
—1).

Молекулярные колебания 159
Три вращательные моды также преобразуются при по-
поворотах подобно вектору, но они являются четными отно-
относительно инверсии, т. е. представляют собой компоненты
псевдовектора (гл. 5, § 4). В доказательство этого утверж-
утверждения отметим (гл. 7, § 4, п. А), что смещение d(r) произ-
произвольной точки г, обусловленное поворотом на малый угол,
задаваемым вектором а, равно аХг. Если d' есть смещение
в результате поворота R вектора d на конечный угол, то
из геометрических соображений ясно, что d'(r)=R (a X
XR-1r)=RaXr и, следовательно, смещение преобразует-
преобразуется подобно вектору а. Аналогичным образом, если d есть
смещение, полученное из d инверсией I, то d=l(aX
Xlr)=aXr, т. е. d — действительно псевдовектор. Таким
образом, для собственных вращений характер трех враща-
вращательных мод тоже является характером векторного пред-
представления, тогда как в случае несобственного элемента
меняется знак:
Вычитая эти величины из y}3N), получаем характер для ос-
оставшихся мод с ненулевой частотой %К0Я—Х{зт—%тра„сл—
Хвращ*
bojI(RF)) = (^(e,-2)Bcos0 + l),
XKM1(SF)) = 7VS(e) B cos 0-1).
Этот результат мы используем для классификации нор-
гальных колебаний молекул воды и аммиака.
А. Молекула воды
Молекула воды НгО имеет геометрию, показанную на
рис. 6.1, и группу симметрии С2„ (подробнее см. гл. 9).
Величина «валентного угла» 2ф несущественна в вопросе
симметрии, но известно, что он составляет около 105°.
Группа C2v имеет четыре элемента симметрии: единичный
Е, двойную ось вращения С2. лежащую в плоскости мо-
молекулы и проходящую через атом кислорода, отражение
вягплоскости молекулы^av и отражение a'v в плоскости,
перпендикулярной плоскости молекулы и проходящец по.

1150 Глава 6
биссектрисе валентного угла. Каждый элемент сам по себе
образует класс. По формуле F.28) можно вычислить ха-
характеры колебаний:
Е(собств., 0 = 0, iV/;- = 3) Хкол(Е) = 3,
С2(собств., 0 = 180°, ЛГСа=1) Хкол(С2) = 1,
а„(несоПств., 0 = 0, Nav = 3) ХколЮ = 3,
а^несобств., 0 = 0, N >=1) Хкол К) = 1.
Таблица 6.1
C2V
А,
А2
в,
В-1
Хкол
Е
1
1
1
]
3
с2
1
1
—1
—1
1
1
—1
1
—1
3
°;
1
—1
—1
1
Эти характеры собраны в табл. 6.1; разложение в этом слу-
случае очевидное (обозначение неприводимых представлений
обычное; см. приложение 1). Мы заключаем, что имеются
две невырожденные нормальные моды, преобразующиеся
по неприводимому представлению А^, и одна невырожден-
невырожденная, преобразующаяся по представлению Вг.
Б. Молекула аммиака
Молекула аммиака NH3 неплоская: три атома водо-
водорода образуют равностороннее основание тетраэдра
(рис. 6.2). Собственная группа симметрии молекулы —
группа Сsv (гл. 9, § 3, п. Б). Как и в предыдущем случае,
величина валентного угла 2<р, равная приблизительно 108°,
в вопросах симметрии не важна. Плоскость трех атомов Н
удобно считать «горизонтальной». Шесть элементов груп-
группы распадаются па три класса: единичный Е, два поворо-
поворота вокруг тройной «вертикальной» оси, проходящей через
атом N, и отражения в трех вертикальных плоскостях,
содержащих атом N и один из атомов Н. Согласно формуле

Молекулярные колебания 161
F.28), характеры колебаний таковы:
Е(собств., 0 = 0, NE = A) Xr,,-i(E) = 6,
С3(собств., 6 = 2л/3, Nc_ = l) -/кО1(с,) = 0,
а„(несобств., 6 = 0, N Gv = 2) %K0:i(ov) = 2.
с»
А,
А2
Е
Хкол
Е
1
1
2
ас,
i
1
1
—1
0
2 =--2.'
Таблица 6.2
Далее пз таблицы характеров (табл. G.2) или по фор-
формуле F.25) можно найти, что имеются две моды Л х и две
двукратно вырожденные моды Е — всего четыре разные
частоты для шести нормальных колебаний. (Обозначение
2С3 показывает, что в классе, содержащем С3, имеются
два элемента. Обозначение Е общепринято для двумерных
представлений; см. приложение 1. Курсивное Е не следует
путать с прямым Е, символом единичного элемента.)
§ 6. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ IKJEl'ITfU'IECKilE УР0ШШ1
1J ШЛЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
Классификация, нормальных колебаний имеет прямое
отношение к классической задаче о колебаниях, так как
она дает нам возможность найти вид колебаний, руковод-
руководствуясь только соображениями симметрии и не зная точно-
точного вида потенциала. Подробно дгьт рассмотрим этот вопрос
ь | 8. Здесь же и в § 7 мы остановимся на роли, которую
классификация нормальных мод колебаний молекулы по
симметрии играет при квантовомеханическом подходе.
Осног.ное колебательное состояние обозначается набо-
набором квантовых чисел nj_, соответствующих числам кван-
квантов возбуждения для каждой моды. Как показано в § 3,

162 Глава 6
его можно записать в виде
W in п
(Ц> F.29)
где В — нормировочный множитель.
Поскольку нас интересует лишь собственная структура
молекулы, мы исключили из волновой функции F.29)
шесть мод с нулевой частотой (соответствующих трансля-
трансляциям и вращениям). Экспонента в выражении F.29)
инвариантна относительно преобразований симметрии
группы S, что можно показать, введя более подробное
обозначение
2 М = U-X2 <»*QI = fv~1Zt «ap f Qipi, F.30)
k k a p= 1 i = l
где а — индекс неприводимого представления группы §,
г — индекс строки этого представления и р — индекс
для различения разных частот с одинаковым индексом а.
В таком обозначении отражается то обстоятельство, что
для каждой частоты а>ар имеется набор sa координат, обоз-
начаемый индексом i. Теперь покажем, что сумма 2 QaPi
i = l
инвариантна при всех а жр, и, следовательно, экспонента
в формуле F.29) тоже инвариант. Рассмотрим преобра-
преобразование координаты Qapi под действием операции симмет-
симметрии Т:
Q;Pi = TQapi-=2^.fQaP/- F.31)
С учетом формулы C.20) получаем
S (QaPiy=2 2 T\rT?kQ*PiQaPk = 2 QlPf, F.32)
t I Ik I
поскольку преобразование Т является ортогональным
(унитарным и действительным). Таким образом, экспо-
экспонента в выражении для волновой функции F.29) является
инвариантом и симметрия функции *F определяется сим-
симметрией входящих л произведение полиномов Эрмита.

Молекулярные колебания 163
В основном состоянии молекулы все nh=0 и, поскольку
Ho(^hQk) является константой, функция W @, 0, ... , 0)
есть инвариант. Таким образом, для всех молекул основ-
основное состояние преобразуется по единичному представле-
представлению Аг.
Низшие возбужденные состояния — это состояния, в
которых возбуждена только одна мода и одпим-едппствен-
ным квантом. В обозначениях F.30) это соответствует зна-
значениям natPl = 1 и иар=0 при ар=^=а1р1. Такие состояния на-
называют фундаментальными. Симметрия такого состояния
есть симметрия H1(\ia,1plQ<Xlpii), и, поскольку Нх(х)~х,
она соответствует симметрии набора нормальных коорди-
координат (?a,p,i с фиксированными a^pi и ? = 1, 2, ... , sa, преоб-
преобразующихся по Т(сс>. Поэтому всего будет ЗЛГ—6 фунда-
фундаментальных состояний, которые обозначаются в точности
так же, как и нормальные .моды, рассмотренные в § 5.
Энергии фундаментальных состояний равны %а>ар, а сте-
степень их вырождения равна sa.
Возбужденные состояния, в которых возбуждены две
и более нормальные моды с разными частотами, называют-
называются «комбинационными» уровнями, а состояния, в которых
возбуждена одна мода, но более чем одним квантом, на-
называются «обертонными» уровнями. Например, простой
комбинационный уровень, для которого паф1 = 1, re«2Pj = l,
а все другие пар—0, будет иметь волновую функцию с сим-
симметрией H1{\aa.lplQCMPJ)H1(\ia2l^Qa2P2j), т. е. с симметрией
произведения QalPliQa2p2j, принадлежащего прямому про-
произведению представлений T((Zi) (^) Т*™2'. Поэтому такие
простые комбинационные уровни можно обозначить произ-
произведениями представлений, которые в общем случае не яв-
являются неприводимыми (пример «случайного вырожде-
вырождения»). В действительности, если .учитывать ангармониче-
ангармонические члены в выражении для потенциала без нарушения
симметрии, то вырождение будет сниматься и получаемый
набор состояний будет обычным образом соответствовать
неприводимым компонентам прямого произведения пред-
представлений. Например, в случае молекулы NH3, если оба
дублета Е однократно возбуждены, представление прямо-
прямого произведения Е0Е сводится к ЕфЛхфЛ2 и ангармо-
ангармонические члены будут приводить к расщеплению четырех-
четырехкратно вырожденного уровня на дублет Е и два синглета
Аг и А2.

164 Глава 6
Структура обертонного уровня немного сложнее, так
как состояния уже не преобразуются просто по представ-
представлениям прямого пр шзведения. Так, если Qapl и (?лр2 —
две вырожденные координаты дублета с энергией К(йар,
то для возбужденных состояний с энергией 2%аар мы
можем образовать лишь три функции H2(\iapQapi),
Hii^apQapi) Hi(l^apQaP!), Нъ(\ьар, Qap2), а не четыре. Де-
Дело в том, что произведения H1{\iapQapl)Hl(u,apQap<,) и
Hi(lla,pQa.pi)tt-i(llapQap1) идентичны. Таким образом., в об-
общем случае обертоны, определяемые двукратным возбуж-
возбуждением нормальной моды с симметрией Т<а), пе описы-
описываются просто произведением Т(с"E<)Т<а) представления
Т(а) самого па себя, как можно было бы ожидать по
аналогии с комбинационными уровнями. Останутся толь-
только функции, симметричные относительно пары индексов,
приводя к так называемому «симметризованному произве-
произведению представлений», характер которого для элемента
группы Ga равен
х?*™ (Ge) = | [tf«> (Ga)V + i- "/(a> (G5). F-33)
Эта формула есть частный случай более общей формулы
рассматриваемой в т. 2 (приложение 3, § 1), но ее мож-
можно достаточно просто вывести следующим образом. Обо-
Обозначим всевозможные независимые произведения функций
индексами И или //' (i<Zj), где i и / — индексы строк опе-
оператора Т(а). Для функции типа И вклад в характер равен
просто [T\f>(Ga)Y, а для функции типа ij он равен
\TT(Ga)T)r(Ga) + T)r(Ga)T^{Ga)l, где второй из этпх
двух членов появляется в результате преобразования в
функцию-произведение //, идентичную функции ij. По-
Поэтому характер симметризованного произведения равен
сумме
(Ge) + T}?' (GJ T{f
= T? Pi?' (GJ T}y> (Ga) + T<jf> (Go) T;?> (GJ)
J]2 + у S T//" (GS) = у [X
(e)

Молекулярные колебания 165
Так, в примере молекулы NH3 характер спмметризован-
ного произведения ЕхЕ равен
2С9
о
т. е. первый обертон фундаментальной частоты Е будет
состоять из синглета Ах п дублета Е.
Вращение молекулы также приведет к появлению
дискретных уровней энергии. Для каждого колебатель-
колебательного уровня имеется полоса вращательных. Однако энер-
энергетическая шкала вращательного движения приблизи-
приблизительно в 10 раз меньше, чем для колебательного. Поэтому
обычно эти два эффекта можно разделить, хотя, строго
говоря, в этом случае требуется рассмотрение колеба-
колебательно-вращательного взаимодействия (см. книгу Виль-
Вильсона и др. в литературе). Вращательное движение мы да-
далее рассматривать не будем.
§ 7. ИНФРАКРАСНЫЕЧЛ1ЕКТРЫ ПОГЛОЩЕНИЯ
И СПЕКТРЫ КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ МОЛЕКУЛ
Квантовая система, вообще говоря, переходит, испус-
испуская излучение, из всех свопх энергетических состоянии
в основное состояние. При обратном процессе она может
поглощать падающее излучение, переходя из основного
состояния в возбужденное. При подобном переходе из
основного*состояния с энергией Ео в возбужденное с энер-
энергией Ei по формуле Планка Ех—Е0=Тка энергия погло-
поглощаемого излучения должна соответствовать разности
Ех—Ео, т. е. частота со поглощаемого излучения опреде-
определяется разностью энергии между уровнями системы.
В молекулярной спектроскопии обычно записывают co = j
=2ncv, где с — скорость света, и вводят величину v
обратную длине волны (волновое число), измеряемую
в см. Таким образом, чтобы получить энергию возбуж-
возбуждения в энергетических единицах, нужно умножить энер-
энергию в обратных сантиметрах на пс.

166 Глава 6
А. Инфракрасные спектры
Обычная энергия возбуждения основного колебатель-
колебательного уровня молекулы составляет около 2000 см, что
соответствует излучению в инфракрасной области спектра
(см. книги Герцберга). Основной механизм поглощения
пли испускания излучения связан с электрическим ди-
польньш моментом, оператор которого преобразуется по
векторному представлению группы Я3 (гл. 5, § 4). Но
так как основное состояние молекулы полноспмметрично,
из рассмотренных в гл. 5, § 4 правил отбора тотчас сле-
следует, что при поглощении инфракрасного излучения будут
возбуждаться только те фундаментальные состояния, не-
неприводимые представления которых появляются в раз-
разложении векторного представления по неприводимым
представлениям группы симметрии молекулы. Как было
показано в § 5, характер векторного представления равен
x(v)(SF)) = 2cos9 —1,
так что, например, для группы симметрии Civ молекулы
воды
а для группы Сгг1 молекулы аммиака
Таким образом, как в молекуле воды, так и в молекуле
аммиака будут возбуждаться все фундаментальные со-
состояния.
Б. Спектры комбинационного рассеяния
В рассмотренном выше случае инфракрасного погло-
поглощения при колебательном переходе поглощается один
квант света. В спектроскопии комбинационного рассея-
рассеяния образец облучают монохроматическим светом и ре-
регистрируют спектр рассеянного излучения. В спектре
имеются интенсивная линия той же частоты, что и у па-
падающего излучения, а также более слабые линии, симмет-
симметрично расположенные по обе стороны от центральной.
Линии с более низкой частотой называются стоксовыми;

Молекулярные колебания 167
их интенсивности выше, чем у антистоксовых линий, рас-
расположенных со стороны больших частот от центральной.
Появление этих линий связано с молекулярными колеба-
колебательными переходами, при которых расстояние между
колебательными уровнями энергии равно удвоенной энер-
энергии фотона. Стоксовы линии соответствуют возбуждению
молекулярного колебания, а антистоксовы — релаксации.
Очевидно, что при низких температурах в спектре должны
доминировать стоксовы линии, так как вероятность су-
существования молекулы в возбужденном состоянии стано-
становится малой.
Квантовомеханическое описание комбинационного пе-
перехода включает взаимодействия второго порядка с элек-
электромагнитным полем; его можно рассматривать как пере-
переход сначала в некоторое виртуальное промежуточное со-
состояние, а затем из последнего в конечное состояние.
Подробнее о комбинационном рассеянии см. книгу Бир-
Бирмана. В большинстве интересующих нас случаев проме-
промежуточное состояние имеет высокую энергию возбужде-
возбуждения, соответствующую иной, чем исходная, электронной
конфигурации. При этом можно доказать, что процесс
комбинационного рассеяния определяется квадратичными
операторами ху, yz, zx, x2, у2 и z2, вычисляемыми
между двумя рассматриваемыми колебательными состоя-
состояниями, в отличие от векторного оператора с компонен-
компонентами х, у и z для поглощения инфракрасного излучения.
Следовательно, чтобы найти правила отбора для процесса
комбинационного рассеяния, нужно определить характер
набора этих квадратичных операторов. Он дается симмет-
ризованным произведением векторного представления са-
самого на себя [формула F.33)]:
Й' (©) т (GI) +| [W (О)р
Далее этот характер можно использовать для разложения
комбинационного оператора по его неприводимым компо-
компонентам и, следовательно, для вывода правил отбора
в спектре комбинационного рассеяния. Так, для группы
C2v имеем

103 Глава 6
а для группы CSv
Возвращаясь к примерам молекул воды п аммиака, рас-
рассмотренным в § 5, мы видпм, что в обоих случаях в про-
процессе комбинационного рассеяния будут возбуждаться все
фундаментальные частоты. Вследствие простоты групп
симметрии мы пе находим в этих примерах запрещенных
переходов. При более высокой симметрии такие запре-
запрещенные переходы появляются (задача 6.3).
Отлетим, что комбинационный оператор является чет-
четным, тогда как оператор дипольного момента — нечет-
нечетным. Поэтому для молекул, имеющих центр инверсии,
линии, появляющиеся в инфракрасном спектре, будут
отсутствовать в спектре комбинационного рассеяния, и
наоборот.
§ 8. КАРТИНА СМЕЩЕНИЯ И ЧАСТОТЫ НОРМАЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИИ
Нам удалось, исходя лишь из симметрии молекулы,
установить ряд свойств энергетических уровней н внутри-
внутримолекулярных переходов. Чтобы найти классические час-
частоты со-; и, следовательно, энергии возбуждения фунда-
фундаментальных уровней Йсо^, разумеется, необходимо знать
точный вид потенциала. В данном параграфе мы изложим
метод расчета частот в том случае, когда функция потен-
потенциальной энергии известна. На практике, однако, обычно
решают обратную задачу: экспериментально измерив час-
частоты, отыскивают форму потенциала взаимодействия ато-
атомов в молекуле. Мы получим также картину смещений
при нормальных колебанлях — шаг, который поможет
нам наглядно представить движение атомов. Этп расчеты
просто осуществить, если каждая рассматриваемая мода
соответствует представлению Т<со, встречающелгуся только
один паз. Мы не будем рассматривать тонкости более об-
общего случая, когда представление Т(а) появляется более
одного раза.
Если в разложении F.24) каждое из представлений
Т<я) появляется лишь однажды (та = 1), то смещение для
отдельной нормальной моды можно получить, используя
проекционный оператор P\f\ даваемый формулой D.52).

Молекулярные колебания 160
Если q — произвольное смещение, то без учета норми-
нормировки при всяком фиксированном / вектор
есть вектор нормального смещения, соответствующий ?-fi
строке представления Т(со. Этот результат опять не тре-
требует знания других свойств потенциала, кроме его сим-
симметрии. Чтобы найтп частоту, естественно, нужно знать
потенциал; ее находят по формулам F.22) п F.20):
0,g_I«i^^)_2v4un F 35)
Таким образом, для определения частоты достаточно вы-
вычислить потенциальную энергию при нормальных смеще-
смещениях и(гга). Отметим, что вследствие инвариантности опера-
оператора D частота соа не будет зависеть от индекса строки i,
в чем обнаруживается ожидаемое 5а-кратное вырождение.
В действительности при вычислении частоты достаточно
исследовать намного более простой проекционный опера-
оператор Р(со [формула D.51)J, в который входят лишь харак-
характеры представлений группы, а не более сложный опера-
оператор Р<-"\ включающий элементы матрицы представления.
В § 5 мы установили, что у молекулы воды, показан-
показанной на рис. 6.1, имеются две нормальные моды Ах н одна
/9/77 Sin !p
Рис. 6.3.
Вх. Моду Вх легко найтп методом проектирования. В обо-
обозначениях § 5 проектированием на е1х, е1у и е3х непосред-
непосредственно находим, что три смещения
е8х, elx+e2;x. и е1у—е2у
относятся к типу Вг. Нормальная мода должна быть их
линейной комбинацией, не содержащей трансляций и
вращений; ею является смещение, показанное на рис. 6.3,

170 ^ Глава 6
а именно
sin ф {2т>/>е3х-М'>* (eu+eSj()} —M1/. cos Ф (ely-e2y). F.36)
Для двух колебаний Аг более сложный расчет приво-
приводит к линейной комбинации смещений, показанных на
рис. 6.4,— величина каждого смещения зависит от де-
детальной формы потенциала.
Рис. 6.4.
Другой пример расчета величин смещений можно
найти в задаче 6.1 (ее решение имеется в приложении
к т. 2).
ЛИТЕРАТУРА
Г] У Для дальнейшего ознакомления с теорией молекулярных коле-
колебаний рекомендуем книгу
Wilson E. В., Decius J. С, Cross P. С, Molecular Vibrations.
The Theory of Infrared and Raman Vibrational Spectra, McGraw-
Hill, New York, 1955. [Имеется перевод: Вильсон Б., Дешиус Дж.,
Кросс П. Теория колебательных спектров молекул.— М.: ИЛ, I960.]
•5 Подробнее вопросы спектроскопии рассматриваются в работах
Herzberg G., Infra-Red and Raman Spectra of Polyatomic Mole-
Molecules, Van Nostrand, Princeton, 1945. [Имеется перевод: Герцберг Г.
Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул.—
М.: ИЛ, 1949.]
Herzberg G., Molecular Spectra and Molecular Structure, III,
Van Nostrand, Princeton, 1966. [Имеется перевод: Герцберг Г. Элект-
Электронные спектры п строение многоатомных молекул.—М.: Мир, 1969.]
Birman J. L., Theory of Space Groups and Infra-Red and Raman
Lattice Processes in Insulating Crystals.— В кн.: Handbuch der
Physik, XXV Bb); Light and Matter.— В кн.: Handbuch der Physik,
B. XXV (lb).

Молекулярные колебания 171
ЗАДАЧИ
6.1. Некая гипотетическая молекула состоит из четырех одинако-
одинаковых атомов, расположенных по углам плоского прямоуголь-
прямоугольника (группа симметрии Dih; гл. 9). Определите характеры ее
колебательных мод и классифицируйте последние по симмет-
симметрии. Существует ли здесь вырождение? Изобразите на рисун-
рисунке смещения атомов при нормальной моде симметрии В~ (в
обозначениях таблицы характеров из приложения 1).
6.2. Плоская молекула трехфтористого бора BF3, в которой атомы
фтора расположены по вершинам, а атом бора — в центре рав-
равностороннего треугольника, принадлежит к группе симметрии
Dsfl (гл. 9). Классифицируйте ее нормальные моды колебаний
и отметьте все случаи вырождения.
6.3. Какую форму имеют инфракрасный спектр и спектр комбина-
комбинационного рассеяния в случае молекулы из задачи 6.1?
Другие задачи на молекулярные колебания будут даны в конце
гл. 9 после более подробного рассмотрения всех возможных точеч-
точечных групп.

7
НЕПРЕРЫВНЫЕ ГРУППЫ
II ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ,
ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ я, II т3
В гл. 2 мы различали конечные ц бесконечные группы,
причем бесконечную группу, элементы которой задаются
значениями из некоторого множества непрерывных пара-
параметров, называли «непрерывной группой». В примерах
гл. 2, § 2 группа С3 — это конечная группа, а 5?2 — непре-
непрерывная группа (однолараметрпческая). В гл. 4 и 5 мы
не делали различия между конечными п непрерывными
группами, лшпъ в нескольких местах в гл. 4 проводилось
суммирование по всем элементам группы, не имеющее,
очевидно, смысла в случае непрерывной группы. В дан-
ноit главе мы подробнее рассмотрим структуру непрерыв-
непрерывных групп и покажем, что такое суммирование можно за-
заменить интегрированием по групповттм параметрам. В та-
стьости, мы исследуем группы ..>!., п 5i3. Унитарные
группы рассматриваются в следующих главах.
§ !. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Элементы непрерывной группы будем обозначать сим-
символом G(at, а2, . . ., аг), где все г непрерывных действи-
действительных параметров aq существенны в том смысле, что
с помощью меньшего числа параметров элементы группы
различить между собой нельзя. Число г называется раз-
размерностью группы. Каждый параметр пмеот вполне опре-
определенную область значений. Поскольку рассматриваемые
элементы являются .элементами группы, для них справед-
справедлив закон умножения, согласно которому произведение
двух элементов
G(«!, а2, ..., aJGlb^ b2, ¦.., i,) = G(c1, c2, ..., cr)
G.1)

Непрерывные группа и их представления 173
есть тоже элемент группы. Значит, новые параметры cq
должны быть функциями аргументов а и Ъ:
С? = Ф9К' а2> •••. лг; Ъи Ь,, ..., Ьг). G.2)
Параметры обычно определяются так, чтобы единичному
элементу группы соответствовали нулевые значения всех
параметров. Чтобы выполнялись групповые законы, г
функций фд должны удовлетворять целому ряду условий.
Мы будем считать функции срд дифференцируемымп функ-
функциями параметров; для физических приложений, рассмат-
рассматриваемых в этой книге, такая степень общности доста-
достаточна. Группы такого типа иногда называются группами
Ли в честь норвежского математика Софуса Ли A842 —
1899). (Классификация группы Ли приведена в т. 2,
гл. 20, §4.)
В гл. 4 при выводе соотношений ортогональности не-
неприводимых представлений, а также при вычислении ха-
характеров нам часто приходилось проводить суммирование
по всем элементам гр,, .гпы. В случае конечной группы это
не создает затруднений, а в случае непрерывной группы
не только число элементов группы становится бесконеч-
бесконечным, но и ел ми элементл группы распределяются непрерыв-
непрерывно. Значит, любая Triwan сумма будет не просто содержать
бесконечное число членов, а будет представлять собой ин-
интеграл но параметрам группы, например но углу враще-
вращения. Для произвольной группы такие интегралы могут
расходиться, по для большинства интересных с физиче-
физической точки зрения непрерывных групп ложно, оказы-
оказывается, определить соответствующий интеграл, который
будет конечен. Для таких групп, обычно они называются
«компактными», все суммы У\ /(а), фигурирующие в гл. 4,
а=\
можно заменить интегралами
\ \.. . \ / (аи а2, . .., аг) р (аи а2 ..., ar) daYda«.. .dar
по параметрам ах, а2, .... аг непрерывной группы со
специально выбранной «весовой функцией» р(аь а2, . . ,,аг).
Число g элементов группы заменяется теперь объемом
группы, который получается путем интегрирования по
всем значениям параметров. Относительно выбора функ-
функции p(ai, а„, . . ., аг) и вычисления объема см. т. 2, при-

174 Глава 7
ложение 4, § 3. Соотношения ортогональности и все ре-
результаты гл. 4 и 5, являющиеся их следствиями, будут
теперь справедливы и для компактных непрерывных
групп. В частности, определения таких понятий, как
представление, неприводимость и характер, остаются без
изменения. Матричные элементы и характер представле-
представления являются теперь непрерывными функциями T\f}(ai,
а2, . . ., аг), %{а){аи а2, . . ., аг) параметров группы.
Для непрерывной группы не существует больше конечной
таблицы характеров. Поскольку число классов сопряжен-
сопряженных элементов непрерывной группы бесконечно, эта таб-
таблица и не может быть конечной, а кроме того, подобно
самим элементам группы, классы сопряженных элементов
распределены непрерывно. Число неэквивалентных не-
неприводимых представлений теперь тоже бесконечно, хотя
размерность неприводимых представлений, как правило,
конечна 1).
Бесконечное число неприводимых представлений озна-
означает, что разложение произвольной функции по функци-
функциям, принадлежащим неприводимым представлениям, мо-
может содержать бесконечное число членов. Таким разло-
разложением является, например, комплексный ряд Фурье
/(ф) = 2 еиехрAтшр)
т=-со
для произвольной функции / угла ф, поскольку, как мы
убедимся в § 3, каждая функция exp (im ф) преобразуется
по одномерному неприводимому представлению группы
§ 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Непрерывная группа размерности г с параметрами
ах, а2, . . ., аг имеет бесконечное число элементов, но
почти все свойства группы определяются копечным числом
операторов, называемых инфинитезимальными. Для удоб-
удобства обозначим множество параметров ах, а2, . . ., аг
символом а. Рассмотрим представление Т(а) группы "§
в пространстве L. Пусть параметры выбраны таким обра-
г) В случае непрерывной компактной группы все неприводимые
представления имеют конечную размерность.— Прим. перев.

Непрерывные группы и их представления 175
зом, что единичный элемент имеет все параметры aq—0,
Т@, 0, .... 0) = 1. G.3)
Еслп все параметры aq малы, то с точностью до членов
первого порядка по этим параметрам
2Л. ()
<7=1
где Xq — некоторые фиксированные линейные операто-
операторы, не зависящие от параметров aq. Эти операторы Xq
называются инфинитезимальными операторами представ-
представления Т, и из равенства G.4) они определяются как част-
частные производные:
X, = lim{T@, 0, .... дв, .... 0)- ^
G.5)
Вместо того чтобы излагать свойства этих инфинитези-
инфинитезимальных операторов в общем случае, рассмотрим сначала
частный случай одпопараметрической группы Ъ с зако-
законом умножения G(c) = G(a)G(b), где с=а-\-Ъ. Иначе
говоря, параметр аддитивен, так же как- в группе 5?а>
Тогда мы можем записать оператор 1(а) в виде Т(а) =
= {Т(а/п)}п, где п — целое число. При больших п пара-
параметр aln мал, и в пределе при п.->оо нам достаточно сохра-
сохранить в формуле G.4) лишь члены нулевого и первого по-
порядка. Тогда, пользуясь определением экспоненциальной
функции, получаем
Т(а) = lira {I + (a/n) Х}" = ехр {аХ}, G.6)
где экспонента определяется как обычный бесконечный
ряд: ехр (аХ) =*?апХ"/п\.
*с|Этот пример показывает, каким образом можно пост-
построить конечный оператор Т(«) из инфинитезимального
оператора X. Таким же путем можно доказать, что в об-
общем случае оператор Т(а) полностью определяется пара-
параметрами aq и инфинитезимальными операторами Хд.
Основные свойства инфинитезимальных операторов выра-
выражены в трех теоремах, которые мы приведем ниже без до-

176 Глава 7
казательств. Но сначала мы докажем простое утвержде-
утверждение о том, что если представление Т унитарно, то опера-
операторы Xq антиэрмитовы, т. е. Х+ ——Xq. Оно сразу же
следует из равенства G.4). В самом деле, поскольку пара-
параметры aq действительны, из условия унитарности при ма-
малых значениях параметров ач получаем
l = T(a)Tt(a)«(l+24x,U1+24xtW
V я ] \ я 1
G.7)
Приравнивая член первого порядка нулю, получаем
Xj = —Xg. Если разделить операторы Xq на число
? = (—1I//2, как это иногда делается, то они станут эрмито-
эрмитовыми.
Теорема 1. Если два представления группы % имеют
одинаковые инфинитезимальные операторы, то эти пред-
представления эквивалентны.
Теорема 2. Для любого представления Т группы %
множество инфипитезимальных операторов Xq удовлет-
удовлетворяет перестановочным соотношениям
где числовые коэффициенты е$р, называемые структур-
структурными константами, одинаковы для всех представлений Т
группы %.
Теорема 3. Любой набор операторов Xq, определенных
в пространстве L, образует множество инфинитезималь-
ных операторов представления Т группы ? в прост-
пространстве L, если операторы удовлетворяют перестановоч-
перестановочным соотношениям G.7).
Смысл теоремы 1 заключается в том, что представление
полностью определяется своими инфинитезимальными опе-
операторами. Этот результат является обобщением резуль-
результата G.6) для одпопараметрической группы.
Вторая теорема дает «закон умножения» для инфините-
зималыгых операторов. В общем случае"инфинитезималь-
ный оператор, соответствующий произведению двух эле-
элементов группы, совпадает с суммой инфинитезимальных
операторов для сомножителей:

Непрерывные группы и их представления 177"
при малых параметрах а и Ь. Но в произведении
T(a)T(b)T~1 (a)T (b) отсутствуют все члены первого по-
порядка, хотя само произведение но является единицей.
В самом деле,
Т (а) Т (Ь) Т-1 (а) Т (Ь) да1 + 2 ajb [X,, X ] + члены
ч,р
порядка > 2. G.8)
Из групповых свойств следует, что
Т (а) Т (Ь) Т-1 (а) Т (Ь) = Т (с) ^ 1 + У ctXt
t
для некоторых параметров с. Сравнивая это выражение
с предыдущим, заключаем, что параметры с должны быть
порядка аЪ, а коммутатор [Ха, XJ должен быть линейной
комбинацией операторов Х^. Следовательно, мы прихо-
приходим к равенству G.7), согласно которому коммутатор лю-
любых двух инфшштезимальных операторов должен быть
линейной комбинацией инфинитезималышх операторов.
Можно также доказать, что структурные константы clqp
полностью определяются законом умножения элементов
группы, т. е. структурные константы не зависят от вы-
выбора представления.
В силу сформулированных теорем исследование не-
непрерывных групп проще исследования конечных групп,
поскольку можно рассматривать лишь алгебру инфпните-
зимальных операторов. Таблица умножения теперь заме-
заменяется набором структурных констант.
Из этих теорем следует также, что если подмножество
инфинитезимальных операторов некоторой группы "§
замкнуто относительно операции коммутирования, т. е.
если коммутатор двух элементов подмножества представ-
представляется линейной комбинацией элементов этого подмно-
подмножества, то это подмножество есть множество инфинитези-
инфинитезимальных операторов некоторой подгруппы группы '§.
Говорят, что набор функций"(p(fa2 преобразуется по не-
неприводимому представлению Т<а),'если преобразованные
функции задаются соотношением D.37):
где Т'а) — обычная матрица представления. Для, непре-
непрерывной группы достаточно показать только, что'беско-

178 Глава 7
нечно малые измепения функций ф^а) задаются матрицами
инфинитезимальных операторов. Так, подставляя Т=
= l+2agXg в условие D.37), получаем для каждого
ч
индекса q
Х,ФГ> = 2(Х,)<?)ф«а>, G.9)
где (ХдM™' — матричные элементы оператора Xq в пред-
представлении Т(а>. В частности, если функция ф инвариант-
инвариантна, то она преобразуется по тривиальному представле-
представлению, для которого Т=1. Тогда для всех индексов q ин-
инфинитезимальные операторы равны нулю, т. е. Хдф=0.
Аналогично для того, чтобы доказать, что множество
операторов S<a) преобразуется по представлению Т(а), мы
должны показать, что при любом индексе q бесконечно
малое изменение операторов задается теми же самыми из-
известными матрицами. На основании формулы D.56) при
малых параметрах aq получаем
Таким образом, бесконечно малое изменение операторов
определяется коммутатором. Следовательно, условие, ана-
аналогичное G.9), записывается для любого индекса q в виде
[X,, S(«)]=2(X,)<fS(«). G.10)
Для определения трансформационных свойств функций и
операторов обычно гораздо проще пользоваться уравне-
уравнениями G.9) и G.10), чем уравнениями D.37) и D.56), ко-
которые связаны с конечными преобразованиями. Например,
инвариантный оператор S должен удовлетворять урав-
уравнению [Xq, S]=0 при любом индексе д. Иначе говоря,
оператор S коммутирует со всеми инфинитезимальными
операторами.
Инфинитезимальные операторы для произведения пред-
представлений имеют вид суммы инфинитезимальных операто-
операторов сомножителей. В случае инфинитезимальных прира-
приращений матричный элемент D.41) приобретает вид
j(axp) (а\ _ / §. Л-"У* a (X'a')- Vis. I ^] g
1>' \ » ч I \ р
— uiku/i ~г jli иа 1 \A<i

Непрерывные группы и их представления 179-
Следовательно, в базисе произведений функций фд.а> и.
if^3', которые мы рассматривали в гл. 4, § 17, любой инфи-
нитезимальный оператор можно записать в форме
2). G.11)
Здесь Xq A) — произведение инфинитезимального опера-
оператора Xq для фда) на единичный оператор для ф^', а
Хд B) — произведение единичного оператора для q4a> на
инфинитезимальный оператор Хд для xpfK
§ 3. ГРУППА 5?2
Группа 5?2 — это абелева группа, единственный пара-
параметр которой, угол вращения а, изменяется в пределах
0^а<2л. Он аддитивен, т.е. если R(c) = R(a) R(&), то
с=а-{-Ъ (или с=а+&—2л при с^2п). Пока мы рассмат-
рассматриваем периодические функции, недоразумений со сла-
слагаемыми, кратными 2л, не возникает.
А. Неприводимые представления
В силу абелевости группы 5?2 ее неприводимые пред-
представления одномерны (гл. 4, § 8). Следовательно, чтобы
найти возможные неприводимые представления группы
5?2, нужно найти функции Т(а), удовлетворяющие соот-
соотношениям Т(a-\-b) = T(a)T(b) и Т@) = 1. Дифференцируя
первое из них по параметру Ъ при фиксированном пара-
параметре а, получаем уравнение Т' (a-{-b) = T(a)Tr (b), где
7" — первая производная функции Т. Затем, полагая
параметр 6=0, получаем уравнение Т' (а) — Т (а)Т' @).
Это простое дифференциальное уравнение для функции
Т(а) имеет решение Т(а)=ехтр[аТ'@)], если Г@) = 1.
Значит, неприводимые представления группы Э12 пред-
представляют собой экспоненциальные функции угла вра-
вращения а. Коэффициент Т' @) может быть любым, но пред-
представление будет непрерывным, т. е. будет удовлетворять
равенству Т(а)=Т(а+2л), лишь в случае, когда коэф-
коэффициент 7" @) есть целое число, умноженное на мнимую
единицу. Обычно вводят целое (положительное или отри-
отрицательное) число m=iT"@). Тогда непрерывные непри-
неприводимые представления группы 5?2 можно записать в виде
— ima). G.12)

180 Глава 7
Целые чпсла т=0, ±1, ±2, . . . нумеруют представления.
Ясно, что такие представления унитарны. Вектор, пре-
преобразующийся по неприводимому представлению Т(га),
обозначается через ет и удовлетворяет уравнению
T(a)em=exp(—ima)em.
Заметим, что, рассматривая те=±1/2, ±3/2, ¦ • .,
можно построить унитарные представления, непрерывные
и а расширенной области значений 0^а<4л. Эти пред-
представления будут двузначны в обычной области значений
0^я<2я. В гл. 8, § 4 мы убедимся, что такие двузначные
представления необходимы для описания спнна в кванто-
квантовой механике (см. также § 6).
Б. Характер
В случае одномерных представлений характер совпа-
совпадает с самим представлением, а поскольку каждый эле-
элемент совпадает с классом своих сопряженных элементов,
характер равен
G.13)
г. е. является непрерывной функцией параметра а.
Ортогональность
Соотношение ортогональпости характеров, которое в
случае конечной группы давалось формулами D.25), те-
теперь записывается в интегральном виде:
2 Я 2 Я
^ m. G.14)
Такой выбор интеграла взамен суммы по элементам конеч-
конечной группы очевиден, но мы вернемся к данному вопросу
в т. 2. приложение 4, § 3. Весовая функция р(а) (в обо-
обозначениях § 1) выбрана единичной. «Объем» 2я, который
появился в соотношении G.14), входит вместо чпсла g
элементов группы в соотношении D.25).

Непрерывные группы и их представления 181
В. Произведение представлений
Характером произведения двух представлений T(mi>
п Т<!Пг) будет просто функция ехр[—г(те!+т2)а], которая
является характером представления ТЧ"^+т"->, Таким об-
образом, мы можем написать довольно очевидную формулу
.)=Т(":''-Г^>. G.15)
Г. Примеры блзаеаых векторов
1. Рассмотрим единичные векторы ех и еу, направлен-
направленные вдоль осей х и у. Пусть ,%2 — группа вращешш отно-
относительно осп г. Тогда, как и в гл. 3, § 8, п. А, получаем
R.. (а) ех = cos aex + sin aey,
R2(a)ey= —smaeA.-j-cos aey,
т. е.
R« (a) (e, ± ieu) = exp (=F ia) (e.v ± ie^). G.16)
Это означает, что вектор ex-\-iev преобразуется по непри-
неприводимому представлению с индексом ?тг = 1, а вектор
ес_ге7 преобразуется по неприводимому представлению
с индексом: т — — 1. Заметим, что для получения неприво-
неприводимых представлений пришлось вводить комплексные
коэффпцттзиты. На основании геометрических соображений
легко ', оед^ться в том, что в зд-плоскости не существует
i-ектора о действительными коэффициентами, который
в результате произвольного вращения относительно оси z
просто приобретал бы числовой множитель.
2. Далее рассмотрим на жу-плоскостп функции if (г, ер),
которые будем считать функциями полярных координат
лишь для удобства. Как и в гл. 3, § 8, п. Д, пользуясь
общим определением C.37) индуцированного преобразо-
преобразования функций, получаем
Т(Р.г(«))-ф(г, ф)=1|>('-. <Р —а)- G.17)
Значит, функция вида я]) (г, ф)=яр(г)ехр (iincp) преобра-
преобразуется по представлению Т('л):
Т (R2(a)) exp(i/«cp) = exp[i?n(cp — a)] = exp (— ima) exp

182 Глава 7
Следовательно, разложение произвольной функции в ком-
комплексный ряд Фурье
00
У(Г1 Ф)= 2 ^
Ш= — СО
где
2я
^т(^) = 2^ J ^ (г' ф)ехр(
есть разложение ее на компоненты, каждая пз которых
преобразуется по определенному неприводимому пред-
представлению Т(ст) группы 5?2.
Д. Инфинитезимальные операторы
Построим теперь для рассмотренных примеров'единст-
венный инфинитезимальный оператор группы 52.2- Начнем
с того, что матрица оператора Rz(a) имеет в пространстве
векторов ех п е;у вид (гл. 3, § 8, п. А):
/cos a —sin a
Rz (а) = .
^si
cos a,
При малых углах а эта матрица приблизительно равна
'О — а\ ГО — Г
Таким образом, для матрицы инфинитезимального опера-
оператора получаем выражение
'О —V
Х = (
1 О/
На основании равенства Х2 = — 1 можно убедиться
в справедливости соотношения G.6) для этого примера:
cos a —sin
. =R.(a).
sma cos a/ z

Непрерывные группы и их представления
183
a\rl
Геометрически очевидно, что преобразование век-
вектора г на х, (/-плоскости при повороте Rz(a) относительно
оси z в первом приближении эквивалентно прибавлению
к нему вектора длиной а|г|, направленного перпендику-
перпендикулярно вектору г (рис. 7.1). Зна-
чпт, прп малых углах а имеем
Rz(a)r^r + a(ezxr), G.18)
где е? — единичный вектор, на-
направленный по оси z. Поэтому мы
можем написать для оператора R2
выражение
R2(a)xl+a(егX. Рис. 7.1.
Следовательно, для примера 1 из п. Гинфинитезимальный
оператор равен
Х = егх. G.19)
Инфинитезимальный оператор на пространстве функ-
функций примера 2 можно найти, разложив правую часть ра-
равенства G.17) в ряд Тэйлора:
При малых углах а этот оператор можно записать в виде
T(Rz(a))~l—а(д/дц>). Значит, в этом примере инфините-
зимальыым оператором служит дифференциальный опе-
оператор
В самом деле, ряд Тэйлора представляет собой экспонен-
экспоненциальный ряд для дифференциального оператора д/д<р,
т.е. T(Rz(a))=exp[—a(d/dq>)], что снова согласуется
с равенством G.6). Связь с угловым моментом в квантовой
механике уже установлена ранее [формула E.19)]:
G.21)
где 1г — оператор z-компоненты углового момента (в еди-
единицах %).

184 Глава 7
Рассматривая второй член разложения выражения
G.12) при малых углах а, убеждаемся в том, что для не-
неприводимого представления Т<т> группы Э1г матричный
элемент инфинитезимального оператора X равен просто
—im. Действительно, если функция я]) удовлетворяет урав-
уравнению Х"ф = — imty, то она должна преобразоваться по
неприводимому представлению Т(т) группы 5?2-
Относительно присоединения к группе 5i2 несобст-
несобственных элементов (сражений и инверсий) см. гл. 'J, § 6.
§ 4. ГРУППА 5?s
Вращение в трехмерном пространстве обычно обозна-
обозначают через Rk(tf), где а — угол поворота (О^а^я),
a k — единичный вектор, направленный вдоль оси вра-
вращения (гл. 2, § 2, пример 9; гл. 3, § 8). Вращение зависит
от трех параметров: угла поворота а и двух сферических
углов вектора к. Но в некоторых отношениях проще поль-
пользоваться тремя другими параметрами: ах = акх, а,/ = аку,
az = akz, где kq — это трп составляющие вектора к в какой-
либо фиксированной системе координат. В связи с этим
вместо обозначения Ru (а) мы введем обозначение R(a).
Элементарные геометрические рассуждения показы-
показывают, что при операции вращения произвольный век-
вектор г преобразуется в соответствии с равенством
Rk (a)r =cos or + (l — cose) (г• к)к + sin а (кхг).
Отсюда сразу же получаем матрицу преобразования Rk (a)
в декартовом базисе. Например:
[Rk (а)]хх = cos а + A—cos a) k2x,
[Rk(a)]y.v=(l — cosa)kxky + kgsina и т. д.
Преобразование вращения сохраняет как длины, так
и углы между векторами. Значит, вращение сохраняет
скалярное произведение любых двух векторов г* и г2.
Следовательно, если мы возьмем векторы ri=Rri и г'2 =
=Rr2, то (гл. 3, §5) (rl, r0=(Rrs, Rrx)=(r2, R+Rrj), т.е.
матрица R унитарна (R+R = l) и модуль ее определителя
равен единице.
Поскольку в обычном декартовом базисе матричные
элементы матрицы R действительны, то сама матрица
ортогональна и ее определитель равен ±1. Можно даже,

1
0 -
0
0
-1
0
°\
0 '
-il
Непрерывные группы и их представления 185
выбрав какой-либо ортонормальныи базис, определить
вращения как множество ортогональных ЗхЗ-матриц
с определителем +1. Так как определитель тождествен-
тождественного преобразования равен +1, то в силу непрерывности
группы d3 определители всех матриц вращений должны
быть раины +1- С геометрической точки зрения матрицы
с определителем —1 также играют определенную роль.
Заметил, что матрица I преобразования инверсии, кото-
которое меняет знаки всех векторов, имеет вид
1 =
п, следовательно, ее определитель равен —1. Таким об-
образом, ортогональные матрицы с определителем, равным
— 1, соответствуют произведениям вращений на инвер-
инверсию. Иногда для обозначения группы ,СЛЯ употребляется
символ О.:, указывающий, что речь идет о группе ортого-
ортогональных преобразований трехмерного пространства, опре-
определитель которых равеп +1. Символом же О3 обозначают
группу всех ортогональных преобразований, включая ин-
инверсии. Группа Os совпадает с произведением ffisXS2
группы вращений Э13 на группу инверсий S2. Отметим,
что преобразования с определителем, равным —1, сами
по себе не образуют группу.
А. Пнфглштсзпыальные операторы
Выражение G.18) для поворота на малый угол вокруг
оси z непосредственно переносится на случай поворота
Rk (я) на малый угол вокруг произвольной оси к:
Rk (а) г = г + а (к х г) =
= г + а У /^(eaxr) = r + Sae(e,Xr), G.22)
q = x, у, г Q
где ag=a:iq. Данное выражение конкретизирует общую
формулу для изменения вектора г (с сохранением членов
не выше первого порядка), которая следует из равенства
G.4). Таким образом, три инфинитезпмальных оператора,
соответствующие параметрам aq, геометрически представ-
представляются как
Х, = (е,Х. G.23)

186 Глава 7
Они соответствуют бесконечно малым поворотам вокруг
осей х, у и z. Значит, в базисе ех, еу, ez матрицы пнфини-
тезимальных операторов имеют вид
/О 0 0\ / 0 0 1
Х,=( 0 0 -1 , Хв = ( 000
\0 1 0/ \—1 0 0
На основании элементарных соотношении векторной ал-
алгебры можно для любого вектора г показать, что
[Xx,Xy]r = exx{eyxv)—eyx (еххт) = хеу — уех =
Отсюда получаем перестановочные соотношения для инфи-
нитезимальных операторов группы R3:
[Хх, Ху] = Хг, [Ху, Хг] = Х„ [Хг, Х,] = Ху. G.25)
В силу уравнения G.23) три оператора Хд образуют век-
вектор, который при вращениях преобразуется как вектор
eq. Инфинитезимальные операторы группы вращенпй свя-
связаны с операторами углового момента в квантовой меха-
механике [формула G.22)], и, следовательно, эти перестано-
перестановочные соотношения совпадают с перестановочными со-
соотношениями для трех компонент вектора углового мо-
момента, с которыми читатель, возможно, познакомился
при изучении квантовой механики. Многие алгебраиче-
алгебраические выводы данного пункта параграфа имеют соответст-
соответствующие параллели в теории углового момента; в част-
частности, это относится к анализу структуры неприводимых
представлений.
Инфинитезимальные операторы Xq антиэрмитовы (§ 2).
Поэтому для удобства можно вынести множитель i =
= (—1O2, приняв обозначение iq==iXq. Под инфините-
зимальным оператором мы будем понимать как оператор
Хд, так и оператор lq. Надеемся, что это не приведет
к какому-либо недоразумению. Операторы iq эрмитовы
и удовлетворяют следующим перестановочным соотноше-
соотношениям:
[}х, iy] = iiz, [iy, iz] = iix, [iz, ix] = i)y. G.26)

Непрерывные группы и их представления 187
Эти соотношения совпадают с перестановочными соотно-
соотношениями для операторов углового момента, разделенных
на число Й. В § 3 мы доказали, что собственные значения
оператора Xz равны —im; поэтому собственными значе-
значениями оператора Jz будут числа т. В дальнейшем нам
будет удобнее вместо самих операторов Jx и iy рассмат-
рассматривать их линейные комбинации
J± = J,±*V G.27)
Преимущество такой замены — в перестановочных соот-
соотношениях операторов J± с оператором J2:
[J,, i±] = Hy±ix=±(ix±iiv) = ±i±. G.28)
Из этих перестановочных соотношений следует, что если
функция ty(m) есть собственный вектор оператора JZ)
принадлежащий представлению Т<т> группы oR2, то функ-
функции }±ty(jn) принадлежат представлениям Т(т±1) и, сле-
следовательно, операторы J± преобразуются по представ-
представлениям Т(±1):
J {J±^ (,»)} = (J±Ja ± J±) -ф (т) = J± (j, ± 1) г|) (т) =
= J± (т ± 1) ^ (т) = (то ± 1) {J^ (иг)}. G.29)
Оператор J+ называется «повышающим», а оператор
J_ — «понижающим», так как первый увеличивает, а вто-
второй уменьшает собственное значение оператора Jz на
единицу. Заметим, что данное свойство является следст-
следствием только перестановочных соотношений, а потому оно
справедливо для пифинитезимальных операторов в любом
представлении группы 5$3-
Б. Неприводимые представления
Для группы Э1г нам легко удалось доказать, что не-
неприводимые представления нумеруются целыми числа-
мп т н матричный элемент представления равен
ехр (—Una). Простота доказательства была следствием абе-
абелевости группы Sji наличия единственного инфинитези-
мального оператора. В общем случае группы обладают
целым набором инфинитезимальных операторов Xg, a
свойства неприводимых представлений определяются пе-
перестановочными соотношениями G.7) для операторов Хд.
Для группы ,%з эти соотношения даются равенствами

188 Глава 7
G.25) плн, что эквивалентно, соотношениями G.28) и
равенством
[ ] [J J ] 73°)
В данном пункте параграфа мы постараемся вычислить
размерности неприводимых представленпй группы ,У1Я и
найти способ нумерации этих представлении. Мы также
вычислим матричные элементы пнфшштезБмадышх опе-
операторов в каждом неприводимом представлении. Пусть
D — неприводимое представление группы Э1 3 в векторном
пространстве L. (Неприводимые представления группы
5?3 обтлчпо обозначают буквой D, а не буквой Т, которой
обозначают представления произвольной группы.) Вы-
Выберем базис, в котором иифинитезимальныи оператор iz
диагоналей. Векторы базиса ет имеют индекс т, соответ-
соответствующий собственному значению т оператора Jz, т. е.
неприводимому представлению "Пт> группы 3\..г. кото-
которому они принадлежат. (Векторы базиса пространства
представления ет, где т — целое число, не нужно путать
с тремя единичными векторами еж, еу, ez в обычном физи-
физическом пространстве, которые рассматривались в п. А.)
На данном этапе представляется возможным, что у не-
нескольких линейно-независимых векторов базиса ока-
окажутся одинаковые индексы т. Но в дальнейшем мы убе-
убедимся, что этого не происходит и одного индекса in доста-
достаточно, чтобы различать между собой векторы базиса
неприводимого представления. Обозначим через / макси-
максимальное значение индекса т для векторов базиса пред-
представления D. Пусть е;- — вектор базиса с индексом m=j.
Он называется вектором «старшего веса». Вектор е7- дол-
должен удовлетворять условию
J+e/ = O, G.31)
так как иначе новый вектор J + e^ "имел бы вес больший,
чем вес вектора е-. Последовательно действуя на вектор
е_,- понижающим оператором )_, построим последова-
последовательность нормированных векторов:
e/_i = Aj_1}_eJ,
еу.^А^.еу.,, G.32)
e/_3 = -4/_3-Le/_2 и т, д.
Коэффициенты Ат, которые еще не вычислены, вводятся
для нормпровки векторов ет, причем вектор е^ считается

Непрерывные группы и их представления 1891
нормированным. Все векторы данпой последовательности
имеют разные индексы т. Поэтому они линейно незави-
независимы и взаимно ортогональны. Векторное пространство L
должно быть инвариантным относительно групповых пре-
преобразований, и, следовательно, все векторы последова-
последовательности должны принадлежать пространству L. Если
размерность пространства L конечна, то последователь-
последовательность векторов должна обрываться. Это происходит на
том шаге, когда в результате применения понижающего
оператора получаем нуль. Иначе говоря, при некотором
целом t
J_e;_t = O. G.33)
Множество векторов
еу, e;-_L, ..., e;-_t G.34)
инвариантно относительно действия операторов J, и J_.
Докажем, что оно также инвариантно относительно дей-
действия оператора J+. Тогда это множество векторов будет
инвариантным относительно действия любого элемента
группы 3?3, и, следовательно, опо образует базис некото-
некоторого представления группы ?А3. Для доказательства ин-
инвариантности множества по отношению к денстзпю опе-
оператора J+ построим оператор
В силу перестановочных соотношений G.25) он удовлетво-
удовлетворяет соотношениям
при q=x, у и z. Поэтому, согласно формуле G.10), этот
оператор является инвариантом. Заметим, что оператор
J2 можно выразпть через повышающий п понижающий
операторы:
Согласно соотношению G.30), это выражение можно пере-
переписать в виде
j2 = J_J+ + J| + J2, G.35а)
или
J2 = J+J_+J1-V G.356)

¦190Глава 7
Из соотношения G.35а) и свойства G.31) следует, что е;-
собственный вектор оператора J2:
J2ey = (J_J+ + jj + j,) e,- = / (/ +1) ej.
Тогда в силу перестановочного соотношения
мы для любого вектора ет из последовательности G.34)
получаем
l*ea = j(j + l)em. G.36)
Теперь из соотношений G.32) и G.356) вытекает инвари-
инвариантность множества G.34) относительно действия опера-
оператора J + :
= Am(j + m + l)(i-mIem+1. G.37)
Значит, повышающий оператор не дает каких-либо векто-
векторов, отличных от векторов последовательности G.34), ко-
которая была получена в результате действия понижающего
оператора на вектор е^. [Тот факт, что оператор /+ яв-
является повышающим, еще не гарантирует правильности
данного вывода, поскольку он может перевести вектор ет
в новый вектор е'т+х, отличный от вектора ет + 1из мно-
множества G.34).] Вектор е;- должен быть единственным век-
вектором старшего веса среди векторов базиса пространства
L, так как иначе представление будет приводимым. Таким
образом, неприводимые представления группы ^3 долж-
должны обладать базисом, аналогичным последовательности
G.34).
Отметим некоторые свойства неприводимого представ-
представления D. На основании равенств G.356) и G.33) получаем
Сравнивая это равенство с равенством G.36), находим,
что (/—*)(/—*—1)=; (/+1), т. е. B/—t)(t+l)=O. Так как
t — положительное целое число, мы имеем 2j = t и число /
может быть только либо целым, либо полуцелым. Размер-

Непрерывные группы и их представления 191
ность представления D равна теперь 2/+1. Следовательно,
неприводимые представления группы Я3 можно обозна-
обозначать символом Dlj), где /=0, 72, 1, 3/2, 2 п т. д., причем
размерность этого представления равна 2/4-1, а векторы
базиса ет можно выбрать так, чтобы они преобразовались
по неприводимым представлениям 1ип) подгруппы М2,
где m=7, /—1> J—2, . . ., 1—у, —j. При сужении группы
Ms на ее подгруппу Ш2 разложение представления D'-"
можно записать в виде
D</>= 2 Т<и). G.38)
т=-у
Отметим, что полуцелые представления не периодичны на
интервале 2я (§3, п. А). Они встречаются лишь при опи-
описании спина в квантовой механике (гл. 8, § 4).
Теперь нужно сделать всего один шаг, чтобы вывестп
матрицы инфинитезимальных операторов iq в представ-
представлении D{J>. Начнем с того, что оператор Jz в базнсе
векторов ет диагоналей и его матричные элементы даются
равенством
izea = mea. G.39)
Матричные элементы операторов J+ и J_ определяются
по формулам G.32) и G.37), стоит лишь найти нормиро-
нормировочные множители Ат. Для вычисления этих множителей,
мы воспользуемся тем, что операторы )q эрмитовы п
поэтому Jl=J + . Отсюда
Тогда из равенств G.32) и G.37) получаем \Ат\~2 =
= G+771+1) (/—т). Отношения фазовых множителей век-
векторов базиса не определяются ни условием ортогональ-
ортогональности, ни нормировкой, и в множители Ат можно ввести
любое комплексное число, равное по модулю единице.
Обычно множители Ат считают действительными п поло-
положительными, так что матричные элементы операторов J±
даются равенствами
т +1) (/—то)]'/, ет

1_92 Глава 7
Такой выбор фазовых множителей называется «условием
Кондона — Шортлп», л отношения фазовых множителей
всех 2/ + 1 векторов базиса определяются этим условием
однозначно.
Можно показать, что множество представлений D(J>
полно, причем в случае однозначной функции можно
обойтись лишь целыми числами /:
s у: v ()
/= 0 /!!=-/
где / — целое чпсло, а каждый член o]};-m разложения пре-
преобразуется, как иг-я строка представления DW>.
Построение матриц D(Jl},m(ax, aln az) конечных вра-
гценпй с параметрами ах, ау, аг — это сложная алгебраи-
алгебраическая процедура. Мы ее отложим до т. 2, гл. 20, § 5.
Матричный элемент D{j?rm обычно представляется в виде
функции трех углов Эйлера, а не параметров ах, а;/ п az.
Считаем долгом предупредить читателя о том, что разные
авторы пользуются разными обозначениями для матриц
представлений DiJ). Наши обозначения согласуются с
обозначениями книгп Брппка и Сэтчлера (см. литературу).
В основном онп определяются формулами D.2), D.8)
я G.40).
В. Характеры
Независимо от направлений осей вращения все пово-
повороты на один и тот же угол лежат в одном классе сопря-
сопряженных элементов группы 5i3. Следовательно, характер
вращения зависит лпгаь от угла поворота. Поэтому для
вычисления характера неприводимого представления Dly)
мы можем выбрать любую ось вращения. Вращения R2(a)
вокруг осп z наиболее удобны, так как мы ранее пользо-
пользовались базисом векторов ет, которые преобразуются по
одномерным неприводимым представлениям 1{т) под-
подгруппы .%2 вращений вокруг оси z. Тогда на основании
разложения G.38) представления D{J) на неприводимые
представления подгруппы 5^2 и в силу формулы G.12)
для характеров группы Э1г мы можем вычислить характер

Непрерывные группы и их представления 193
представления D^1 для поворота на угол а:
I
Хо" = S ехР (—ima) = ехр (— Ца) [1 + ехр (ia) +
m=-i
+ ехр Bia) + ... + ехр B/ia)] =
= ехр( — Ha){exp[Bj+l)ia] — l}/[exp(m) — 1] =
= |ехр ^Л-lJiaJ—ехр [ —
( A А / 1
Х<ехр i-2ia J—ехр ( ~Т
[1
-тг I а
G.42)
sin -^
В частности, характер представления с 7=1, т. е. вектор-
векторного представления, равен
,„ .31.1 , ( 1 . / . 1 \
yJ,1' =а sin тг й/sm тга = cos a + cos -=- a sin asm -7-a) =
\ ? j
= cos a -J- 2 cos2 у й = 2 cos a -{-1,
что согласуется с равенством D.6). Единичному элементу
соответствует угол вращения а=0, при котором характер
G.42) равен 2/+1, что совпадает с размерностью представ-
представления DV.
Можно показать (т. 2, приложение 4, §. 3), что соотно-
соотношение ортогональности характеров группы Э1г содержит
в левой части интеграл
1 Г v(/i)v(/i) (А Рпч п\Лп — Л. .
2я; J Аа Ха К1 bOba)uu, — vllU.
Согласно сказанному в § 4, полная ортогональная груп-
группа О3 — это прямое произведение группы Э13 на группу
инверсий Sг- Ее неприводимые представления обознача-
обозначаются символами DV)+ и D'-'*". Тогда, согласно изложен-
изложенному в гл. 4, § 21, получаем, что характеры группы Оз
определяются соотношениями
X">±(S (a)) = x(/)± (R (a + n) I) =

194 Глава 7
где R (а) — собственное вращение, S (а) — зеркальное
вращение (гл. 9, § 1), a %iJ)(R(a)) — характер, даваемый
выражением G.42).
Г. Произведение представлений
Прямое произведение двух представлений (гл. 4, § 17)
будет представлением, которое, вообще говоря, разла-
разлагается в сумму неприводимых представлений:
2
J
Нашей целью в данном пункте параграфа будет вычисле-
вычисление коэффициентов сг Так же как для конечных групп,
мы рассмотрим соответствующее соотношение для харак-
характеров
xW-^xi- G-43)
j
Для определенности будем считать, что /i^/2- В силу ра-
равенства G.42) левую часть этого уравнения можно запи-
записать в виде
1
. , 1 \
/2-г-о- а
2 sin
sin2
(,H
1
Ya
-h +
2
) a sin у а —
2sin2-
sin f/x-|
sii
cos (/
1
-/.+
1
Qy a
1
Y
2sin2-i
J , sin
1
a
JS (/x -
sin2 ¦
¦- /2'
sin
1
) a
(/2) a
ИЛИ
ля /я ^^ Хй ~Т~ Х^ А.а
Повторяя нашп рассуждения, получаем
и т. д. Вспоминая, что характер тривиального представ-
представления Dl0) равен %аО)=1, мы после еще 2/2—2 таких шагов

Непрерывные группы и их представления 195
приходим к равенству
Сравнивая этот результат с соотношением G.43), находим,
что при (|i-/2)</<(/i+/j) коэффициенты с,=1, а при
других значениях / коэффициенты су=0. Ясно, что ус-
условие ji^ji не ограничивает общности рассмотрения.
Поэтому мы окончательно получаем
J = Ui+I,)
D(g)D(b>= 2 d«j>. G.44)
Эту формулу можно также вывести путем подсчета числа
векторов базиса произведения представлений, которые
преобразуются по каждому из представлений Т(ЛГ) группы
912. При этом нужно также воспользоваться тем, что пред-
представление D(J) группы 5J3 содержит 2/+1 векторов, каж-
каждому из которых соответствует одно из чисел M=J,J—1,.. •
. . ., —/. Ограничение |/i—/2K/<(/i+/2) иногда назы-
называется условием треугольника из-за его сходства с соот-
соотношением между длинами ]\, /2 и / трех сторон треуголь-
треугольника.
Пользуясь терминологией гл. 4, § 17, группу 5?3
можно считать «просто приводимой», так как в разложе-
разложении G.44) каждое представление D<-/) встречается не
более одного раза. Исходя только из формул G.40) для
матричных элементов инфинитезимальных операторов,
можно вывести явное выражение для коэффициентов
Клебша — Гордана, введенных в гл. 4, § 17. Но ввиду
его сложности мы не приводим его здесь. Выбор фазовых
множителей, принятый в соотношениях G.40), обеспечи-
обеспечивает действительность этих коэффициентов. Подробные
таблицы значений коэффициентов приведены в книге
Ротенберга и др. (см. литературу). Простой способ вычис-
вычисления этих коэффициентов приводится в задаче 7.8. Под-
Подробное описание коэффициентов Клебша — Гордана и
связанных с ними коэффициентов можно найти в книге
Бринка и Сэтчлера.
Разложение G.44) приводит к соотношениям между
произведениями матричных элементов представлений D(/>.
Коэффициенты Клебша — Гордана преобразуют парамет-
параметризуемые числами m-i, m.2 векторы базиса произведения

196 Глава 7
представлений в левой части равенства G.44) в парамет-
параметризуемые числами JM векторы базиса суммы представле-
представлений в правой части равенства G.44). Значит,
S # С (jJJ, mlfn2M) С VJtJ', m[m',M') D^ D^m =
где все матричные элементы матриц D соответствуют од-
одному и тому же вращению. (Числа т2, т'2, стоящие в скоб-
скобках, связаны с числами тх, пг[ соотношениями тгц-\-т2=:
=М, т[-\-т'2=М'.) В силу свойства ортогональности
коэффициентов данное соотношение можно обратить:
Эти соотношения не нужно путать с определением пред-
представления [формула D.3)]
(с)) = 2 D$n (R (a)) D& (R (Ь)),
П
где R(c)=R(a)R(b).
Д. Примеры базисных векторов
В качестве первого примера базиса неприводимого
представления DiJ) группы Шэ рассмотрим три единичных
вектора ех, еу и е2 в обычном трехмерном пространстве.
Они задают базис представления с / = 1. Очевидно, что
трехмерное пространство, порождаемое этими тремя век-
векторами, неприводимо. Таким представлением может быть
лишь представление Du>. Подобное отождествление можно
также провести на основании характера 2 cos а+1. Чтобы
записать матрицы операторов в обычной форме, введенной
в предыдущем пункте параграфа, выберем в качестве век-
векторов базиса е,к следующие линейные комбинации век-
векторов:
e1 = -(eje + teJ,)/2'/.,
е„ = ег, G.45)
Нетрудно показать, что векторы ет преобразуются по
представлениям Т(т) группы Э{г вращений вокруг оси z

Непрерывные группы и их представления 197
[формула G.13)]. Если отношения фазовых множителей
выбрать в соответствии с условиями Кондона — Шортли
[формула G.40)], то, как мы убедимся ниже, три век-
вектора ет будут ортонормальны относительно скалярного
произведения C.7). Из равенств G.23) непосредственно
следуют соотношения
Xxez—
хге, = еу, Хгеу = —ед.,
Путем замены Jg = iXg получаем
i.e1 = 2l'>et, J_eo==21/2e_1, J_e_1 = O.
Поэтому в базпсе векторов em матрицы операторов }q
имеют следующий вид:
Это согласуется с соотношениями G.40) при / = 1.
В качестве второго примера рассмотрим шестимерное
пространство всех однородных квадратичных функций,
введенное в гл. 3, § 2, п. Г. Оно инвариантно относительно
любых поворотов, так как при вращении степень однород-
однородного полинома не меняется. Функция х2-\-у2-\-г2 инва-
инвариантна. Значит, она порождает представление D(o).
Оставшиеся пять функций образуют базис представле-
представления Dl2). Это можно показать, вычислив характер пред-
представления или прямо построив эти функции, как это де-
делается ниже.
Взяв выражение G.21) для оператора Xz и проделав
в нем циклическую перестановку индексов для двух
других операторов, мы получим явные дифференциальные

198 Глава 7
выражения для инфинитезимальных операторов
дх ду j дц> '
J =Цх±-г1\
Затем построим повышающий и понижающий операторы
Ji (' д \ д
х V \дх дуj ' ч ""Sz
Из тождества
/я я \
G.47)
следует, что функция
!te|/ = r2exp Bup)
отвечает старшему весу пг = 2, так как J+i];2 = 0 n Jzi]J =
=2a{J. Последовательно применяя поншкающий оператор,
построим функции
^ J^ 2
Нормировочные множители мы взяли из равенств G.40).
Пять этих функций линейно-независимы. Вместе с инва-
инвариантной функцией x2JryiJrz2 они порождают шестимер-
шестимерное пространство квадратичных функций. Каждая функ-
функция tym пропорциональна сферической функции Y? (9, <р)
с 2=2:
, Ф).
Сферические функции удобнее всего определять именно
таким способом. При других значениях I обычно начинают
с, функции (x-\-iyI, которая, согласно формуле G.47),
отвечает старшему весу. Затем последовательно приме-

Непрерывные группы и их представления 199
няют понижающий оператор. Тогда при правильном вы-
выборе нормировочных и фазовых множителей получаются
функции
I 4л (/ — та)! I
x(cosa9-l)V2'/! G.48)
для положительных чисел т, а также соотношение У1т =
==(_1Iяу</)'- в частности, У&'>=[BМ-1)/4п]1/.Р,(со8 0),
где Рг — полином Лежандра. Как мы покажем в § 5,
сферические функции обладают тем свойством, что произ-
произведения \\>(i) = r1YiJl> (в, ф) являются решениями уравне-
уравнения Лапласа y2t};=0 при любом целом числе I. Это сеой-
ство часто рассматривают как определение сферических
функций.
Преобразование сферических функций при вращении
полезно записать в явном виде. Если 8, ср — угловые
координаты вектора г, а 6', ф' — угловые координаты
вектора R-Ii\ то на основании общих определений D.2)
и D.8) для преобразования функций получаем
и К11) J т \vi Ч ) — х in Vu i Ф / — /<~t um'in V^l x m' \°i 4 )¦
m'
Таким образом, сферическая функция, аргументами кото-
которой являются преобразованные координаты 6', ф', пред-
представляется в виде суммы сферических функций первона-
первоначальных координат. Обратное преобразование вращения
дается в виде
так как матрица представления унитарна. Координаты
9', ф' можно считать координатами точки г в новой системе
координат, которая получается из первоначальной дейст-
действием оператора вращения R.
В качестве примера разложения G.41) функции на ее
неприводимые компоненты укажем разложение однознач-
однозначной функции, зависящей от положения одной частицы,
S 2 ftm()${,<p). G.49)
1 = 0 m=-l

200 Глава 7
Ортогональность сферических функций вытекает из об-
общей формулы D.38), поскольку индекс I соответствует
неприводимому представлению группы Э13, а индекс
т — неприводимому представлению группы 5?2, т- е.
2Я П
J S Y%r (9, Ф) У<0 (в, Ф) sin 9 dQ dq> « б,,^. G.50)
Ф=ое=о
Нормировочный множитель в определении функции У^'
подобран в соответствии с этим равенством. Изложенный
выше способ построения функций Y% гарантирует нам,
что отношения фазовых множителей функций Y)? при
фиксированном числе I и различных индексах т согласо-
согласованы с условиями G.40).
Е. Неприводимые семейства операторов и теорема Вигне-
ра — Эккарта
В силу общего определения гл. 4, § 20 неприводимое
относительно группы 9is семейство операторов — это
множество операторов S(p> с фиксированными индексами
к=0, V2, 1, ... и индексами р=к, к—1, . . ., ~к, причем
эти операторы преобразуются по неприводимому представ-
представлению D(fe). Число к называется степенью или рангом
семейства. Мы убедились в § 2, что операторы из такого
семейства должны удовлетворять следующим перестано-
перестановочным соотношениям с инфинитезимальными операто-
операторами Jg группы М3'-
[V s<*>] = 2 (VW' G-51)
г
где (iqYfp — матричные элементы оператора ig в представ-
представлении Dlk>. Если матричные элементы из равенств G.39)
и G.40) подставить в эти соотношения, определяющие
неприводимое семейство операторов, то получим
м s(fe)l = nSik>
<ж _ ' - •/ (*) <7-52)
Иногда для неприводимого семейства операторов поль-
пользуются введенным Рака термином «тензор-оператор».
Неприводимые семейства операторов можно перемножать
и затем разлагать вновь на неприводимые семейства с по-
помощью коэффициентов Клебша — Гордана (п. Г).

Непрерывные группы и их представления 201
Мы уже отмечали в гл. 3, §8, п. В, что умножение на
функцию можно рассматривать как оператор на прост-
пространстве функций. В этом смысле сферические функции Y{tV>
образуют неприводимое семейство при р=к,к—1, . • •,—к.
Сравнивая перестановочные соотношения G.28) и
G.30) с соотношениями G.52), мы видим, что сами инфи-
нитезимальные операторы образуют неприводимое се-
семейство с к=1. Оно называется «вектор-оператором».
В самом деле, как нетрудно убедиться, неприводимое се-
семейство
Ji1»- —J+/21/., J«> = J,, Jif-i = J_/2V-
удовлетворяет обычным соотношениям G.52), в которые
включено условие Кондона — Шортли для фазовых мно-
множителей. Соотношения G.52) не определяют операторы
абсолютно. Поэтому мы произвольно положили J(J)=JZ.
После этого знаки и величины операторов J^> опреде-
определяются равенствами G.52). Операторы J^,' иногда назы-
называют «сферическими» компонентами оператора J. Они
аналогичны векторам базиса ет, введенным в п. Д.
Согласно теореме Вигнера — Эккарта [формула D.62)],
матричные элементы операторов из неприводимого семей-
семейства связаны между собой. Группа 5?8 просто приводима.
Поэтому индекс t в формуле D.62) не нужен. Так как обыч-
обычные коэффициенты Клебша — Гордана группы 5?з дейст-
действительны, теорему принято записывать в виде
<М |S<*>|/'m'> = С (/'ft/, m>i)(—l)«*</||S<«[/'>. G.53)
[Данное соотношение отличается от соотношения D.62)
тем, что в нем изменен порядок некоторых*индексов коэф-
коэффициента С, а также введен множитель (—IJ*. Эти изме-
изменения незначительны и равносильны другому определе-
определению приведенного матричного элемента, которое лишь
немного отличается от исходного. Мы пользовались обо-
обозначениями книги Бринка и Сэтчлера (см. литературу).
Они отличаются от обозначений, первоначально введен-
введенных Рака.]
Ж. Эквивалентные операторы
Чтобы пользоваться теоремой ^Вигнера — Эккарта
[формула G.53)] при решении практических задач, нужно
знать коэффициенты векторного сложения (коэффициенты

202 Глава 7
Клебша — Гордана). Для этих коэффициентов имеются
аналитические выражения, таблицы и вычислительные
программы. Но в некоторых простых случаях так назы-
называемый метод эквивалентного оператора позволяет обой-
обойтись без этих коэффициентов. Сущность метода заклю-
заключается в двукратном применении теоремы Впгнера —
Эккарта. Один раз теорема применяется к интересующему
нас оператору, а второй — к эквивалентному оператору,
который так же преобразуется при вращениях, но кото-
который легко вычислить. В отношении матричных элементов
двух операторов коэффициент векторного сложения сок-
сокращается. При другом подходе эквивалентным операто-
оператором пользуются для вычисления коэффициента вектор--
лого сложения.
В качестве примера рассмотрим вектор-оператор Vq,
т. е. семейство из трех операторов, которые преобразуются
по неприводимому представлению DU). Вектор углового
момента Jg тоже является вектор-ояератором. Тогда,
согласно теореме Вигнера — Эккарта [формула G.53)],
получаем
<JM j V, | JM'y = С (J1J, М'дМ) </ || V || />,
</М [ iq | JM'y = С (JU, M'qM) </ jj J [[/>.
Значит,
<JM | Vg 1 JM'y = </M 1 }q ) JM'y {^12 , G.54)
т. е. матричный элемент оператора Vq зависит от чисел
М, М' и q так же, как матричный элемент оператора Jq,
который определяется равенствами G.39) и G.40). От
конкретного вида оператора Vg зависит лишь коэффи-
коэффициент пропорциональности. Такой способ применим к лю-
любой группе. Как и в разобранном примере, эквивалент-
эквивалентный оператор обычно строится из пнфинитезимальных
операторов группы.
Метод эквивалентного оператора, как правило, непри-
непригоден для вычисления матричных элементов между функ-
функциями из разных представлений. В примере G.54) матрич-
матричные элементы эквивалентного оператора между векторами
из представлений с числами / и J'^=J должны быть равны
нулю, хотя для произвольного вектор-оператора, такого,
как вектор положения г, эти матричные элементы, вообще
говоря, отличны от нуля.

Непрерывные группы и их представления 203
§ 5. ОПЕРАТОР КАЗИМИРА
В случае группы Э12 функцию, преобразующуюся по
неприводимому представлению Т(™, можно отождест-
отождествить с собственным вектором единственного инфинитези-
мального оператора J2, отвечающим собственному зна-
значению т. В случае группы У13 функцию ty(jm), преобра-
преобразующуюся в соответствии с т-ш. строкой представления
D(/), можно также отождествить с собственным вектором
инвариантного квадратичного оператора
G.55)
Оператор Р инвариантен, так как нетрудно показать,
что [J2, Jg]=O прп q=x, у и z. Поэтому при сужении на
неприводимое представление этот оператор должен быть
пропорциональным единичному оператору. Иначе гово-
говоря, при фиксированном / все функции ф(у'иг) будут собст-
собственными векторами оператора J2, отвечающими одному
и тому же собственному значению, не зависящему от т.
В самом деле, мы доказали [формула G.36)], что при лю-
любых т
(№). G.56)
Таким образом, функцию, принадлежащую представле-
представлению D('\ можно определить как собственный вектор опе-
оператора J2, отвечающий собственному значению /(/+1).
Это общее утверждение для оператора J2 проиллюст-
проиллюстрируем на двух примерах из § 4, п. Д, где операторы ig
заданы в явном виде. Для первого примера, т. е. для
трехмерного векторного пространства, пользуясь выраже-
выражением G.23), находим
J|r = — XJr = — ех X (ех х г) = уеу + zez.
Значит, J2r=2r и оператор J2 равен удвоенному еди-
единичному оператору, что согласуется с выражением у'(/+1)
при / = 1.
Вид оператора J2 на пространстве функций, завися-
зависящих от положения одной частицы, определяется опера-
операторами Jg, которые в § 4, п. Д заданы в явной дифферен-
дифференциальной форме. После некоторых алгебраических вычис-
вычислений получаем
F = _r2{v2-f?-+l^U, G.57)

204Глава 7
где v2==<92/<9a:2+<92%2+<92/<?z2. В § 4, п. Д мы убедились
в том, что сферические функции Y'J> образуют базис пред-
представления D(/>. Поэтому PY^ = l(l+l)Y^\ т. е.
(е, ф),
G.58)
и, следовательно,
VV'Y™ (8, Ф) = 0. G.59)
Иначе говоря, мы доказали, что функции rlY$(Q, ф) —
это решения уравнения Лапласа. Сферические функции
действительно часто определяют таким способом. Мы же
определили их в § 4, п. Д как векторы базиса представ-
представления D(n. Теперь мы покажем, насколько важны сфе-
сферические функции при решении уравнения Шредингера
для одной частицы в поле со сферически-симметричным
потенциалом V(r). Соответствующее уравнение Шредин-
Шредингера [формула E.4)] имеет вид
Если мы представим решение в виде г]з(г) = ип/ (r)Y$(B, <р),
то в силу равенства G.58) радиальная волновая функция
ип1 (г) должна будет удовлетворять уравнению задачи на
собственные значения
& 2 , 2 д ,
где п — радиальное квантовое число, которым разли-
различаются собственные числа Еп1 с одинаковыми индексами I.
Оператор J2 называется оператором Казимира. Для
любой группы Ли можно построить из инфинитезималь-
ных операторов скалярный квадратичный оператор, на-
называемый оператором Казимира (см. в литературе ста-
статью Рака). Кроме того, можно доказать, что этот оператор
Казимира С дается выражением
с = 2 (г1),/А- G-61)
Р. Ч
где g — матрица с матричными элементами gn^
а с?ц — структурные константы из формулы G.7).

Непрерывные группы и их представления 205
Для перечисления неприводимых представлений групп,
больших, чем группа М3, приходится вводить несколько
чисел, подобных числу /. Число таких чисел называется
рангом группы. Рассматривая кубические и более высо-
высокие степени операторов Хд, можно построить множество
операторов Казимира данной группы. Все числа, нуме-
нумерующие представления, связаны с собственными значе-
значениями операторов Казимира.
§ 6. ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В случае конечных групп представление Т (Ga) каж-
каждому элементу группы Ga сопоставляет единственный
оператор T(Ga). В случае непрерывных групп пред-
представление Т (а) есть непрерывная функция параметров
группы а. Поскольку существуют многозначные функции,
возможны и многозначные представления непрерывных
групп. Например, если в представлении Tlm)(a) =
= ехр(—Ша) группы 5?2, рассмотренном в § 3, п. А, вы-
выбрать 7гг=1/2, то мы получим Г/»@) = 1 и Т'/»Bя) = ^-1.
Но поворот на угол 2л — это тот же элемент группы 5?2>
что и поворот на нулевой угол. Значит, наше двузначное
представление сопоставляет этому элементу как +1,
так и —1. Выбирая т=1/3, получаем трехзначное пред-
представление. Аналогично из формулы G.42) для характера
представления D^'1 группы 5?3 следует, что это представ-
представление однозначно, если / — целое число, и двузначно,
если / — полуцелое число.
Среди решений уравнения Шредингера нет решений,
соответствующих двузначным представлениям (§ 5), но
с физической точки зрения такие представления в общем
не исключаются в квантовой механике. В самом деле,
представление D'1/2* группы 5?3 необходимо для описания
спина, т. е. внутреннего углового момента электрона
(гл. 8, § 4). Обратимся на некоторое время к квантовой
механике. Допустим, что состояние T(a)i|) представляет
функцию i|) системы, преобразованную в соответствии
с элементом группы G(a). Тогда, если G(a)G(b) =
=G(c), то система, преобразованная в соответствии с эле-
элементом группы G(c), должна представляться как состоя-
состоянием Т (с)ф, так и состоянием Т (а)Т (Ь)ч]э. Фазовый мно-
множитель состояния не имеет физического смысла. Поэтому
Т(а)Т(Ь) = со(а, Ь)Т(с), где] со— некоторый] фазовый

206 Глава 7
множитель. Это более общее соотношение, нежели наше
первоначальное определение представления [формула
D.1)]. Оно справедливо и для многозначных представле-
представлений, для которых не выполняется условие D.1). Заметим,
что определение D.8) операторов представления Т (а)
на пространстве однозначных функций приводит к фазо-
фазовому множителю @=1 и, следовательно, исключает много-
многозначные 'представления.
Удобный математический спосоо описания многознач-
многозначных представлений состоит в расширении группы путем
добавления новых элементов. Тогда многозначные пред-
представления становятся однозначными представлениями рас-
расширенной группы. (Такая расширенная группа называ-
называется «универсальной накрывающей группой».) В случае
двузначных представлений группы 5?3 расширенную
группу (ее часто называют «удвоенной группой») можно
определить следующим образом. Обозначим символом Е
поворот на угол 2л. Этот оператор не совпадает с тождест-
тождественным преобразованием Е, но Е2=Е. Из соотноше-
соотношения B.12) следует, что ER(a)E=R(a), т. е. преобразо-
преобразование Е коммутирует с любым преобразованием пово-
поворота. Значит, R (a)ER(a)~1==E и новый элемент Ё
соответствует повороту на угол 2л вокруг любой оси.
Расширенная группа строится путем включения новых
элементов ER (а) наряду с первоначальными элементами
R(a), для которых |а|^п. При умножении двух элемен-
элементов группы новый элемент Е появляется в тех случаях,
когда полный угол поворота превышает 2л. Такой гео-
геометрический способ описания удвоенной группы может
показаться довольно туманным. Но, отождествив удвоен-
удвоенную группу с группой унитарных преобразований дву-
двумерного пространства, этому способу можно дать строгое
алгебраическое обоснование (т. 2, гл. 18, § 13). (Введение
удвоенной группы для исключения двузначных представ-
представлений имеет аналогию в теории функций комплексного
переменного, где двузначная функция типа функции z1/*
рассматривается как однозначная функция на двулистной
римановой поверхности.)
То, что группа 5?з имеет лишь однозначные и двузнач-
двузначные представления, тогда как группа %г имеет га-значные

Непрерывные группы и их представления
207
представления, причем п — любое целое число, можно
было бы сказать заранее, тщательно проанализировав
соотношение между множеством параметров и элементами
группы. Мы лишь кратко рассмотрим этот вопрос, относя-
относящийся к так называемому свойству односвязности группы.
У нас имеются три объекта: параметры группы а, элемент
группы G (а) и функция представ-
представления Т (а). Последовательное ум-
умножение бесконечно малых эле- j
ментов группы соответствует не-
некоторому пути в пространстве
параметров а. Предположим, что
все пути, ведущие из единицы
группы в какую-либо произволь-
ную точку а, можно получать один
из другого за счет непрерывной
деформации. Тогда представление
Т (а) должно быть однозначным, так
как у многозначной функции име-
имеются скачки в значениях. Рассмот-
Рассмотрим сначала группу 542- Ее един-
единственный параметр а изменяется
в интервале 0^а^2л, причем
оба конца интервала соответст-
соответствуют единице группы. Наряду
с прямым путем из точки 0 в точку а существуют пути,
которые сначала достигают точки 2я и затем возобнов-
возобновляются в точке 0 (рис. 7.2). С точки зрения элементов
группы такие пути непрерывны. В одномерном прост-
пространстве параметров невозможна какая-либо деформация
путей. Поэтому пути вида I, II, III и т. д. нельзя дефор-
деформировать один в другой. Существование таких различных
путей приводит к появлению многозначных представле-
представлений. Пространство параметров группы Э15 представляет
собой шар радиусом я (§4), причем противоположные
концы любого диаметра этого шара соответствуют одина-
одинаковым вращениям, т. е. Rk(it)=R_k(n;) для любого
вектора к. Путь из единицы группы, т. е. из начала коор-
координат а=0, либо прямо ведет в заданную точку а (I на
рис. 7.3), либо сначала доходит до граничной сферы, а
затем возобновляется на противоположном конце диамет-
диаметра (II на рис. 7.3). Интересным отличием группы 54з
Рис. 7.2.

208
Глава 7
от группы Э12 является то, что в группе Э13 любой путь,
который четное число раз подходит к граничной сфере,
можно непрерывно деформировать в путь, который прямо
ведет в конечную точку. Путь же, который подходит к гра-
граничной сфере нечетное число раз, можно также деформи-
деформировать в путь, который подходит к граничной сфере лишь
однажды (II на рис. 7.3). Поэтому для группы 5?8 воз-
возможны лишь однозначные и двузначные] представления.
Для пути, дважды подходящего к граничной сфере, на
рис. 7.3, III показана последовательная деформация от
положения а к положению б, а затем к положению в.
При этом диаметр АА' поворачивается до тех пор, пока
точка А не достигнет точки В'.
§ 7. КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В общем случае, если Т — матричное представление
группы, то матричным представлением будет также мно-
множество комплексно-сопряженных матриц Т*. Для группы

Непрерывные группы и их представления 20&
5?g представление Dl;)* имеет тот же характер, что и пред-
представление D'-", так как характер G.42) — действитель-
действительная функция. Следовательно, эти представления эквива-
эквивалентны. Найдем пребразование, связывающее эти пред-
представления. Прежде всего заметим, что матрицы G.39) и
G.40) операторов Jz и J± действительны. Значит, мат-
матрицы операторов Jz и ix действительны, а матрица опе-
оператора }у — чисто мнимая. Поэтому при переходе от
представления D{J) к представлению D1-7'* из-за множи-
множителя i в определении оператора iq (§ 4, п. А) знак опера-
операторов Jz и ix должен меняться, а оператор )у остается
неизменным. Иначе говоря, Jz-^—Jz и J±->—J^=.
Из формул G.39) и G.40) видно, что такое преобразование
получается при замене базиса ет базисом (—\у~т е_т.
Фазовый множитель нужен для того, чтобы изменить
знак повышающего и понижающего операторов.) Таким
образом, матричные элементы представления pw* имеют
вид
П</)* ( Л\т-т'Г)ф
Такое преобразование векторов базиса можно также осу-
осуществить с помощью матрицы DiJ) (Яу(я)), соответствую-
соответствующей повороту на угол п вокруг оси у, так как при таком
вращении меняется на обратное направление осей х и z.
ЛИТЕРАТУРА
Последовательное изложение теории групп Ли можно найти
в книге Бёрнера, 1963 (см. литературу к гл. 4) и в книге
Gilmor%i R., Lie Groups, Lie Algebras and Some of their Applica-
Applications, W—ey, New York, 1974.
Теория углового момента, а также коэффициенты векторного
сложения для группы 5?з подробно разобраны в книгах
Brink D. M., Satchler G. R., Angular Momentum, Clarendon
Press, Oxford, 1968.
Юцис А. П., Бандзайтис А. А. Теория момента количества
движения в квантовой механике.— Вильнюс: Москлас, 19771).
Таблицы коэффициентов векторного сложения для группы
31Ъ приведены в книге
Rotenberg M., Bivins R., Metropolis N., Wooten J. К., The 3-j
and 6-j Symbols, Technology Press, M. I. T., Cambridge, Mass., 1959.
Следующий сборник содержит среди других работ оригиналь-
оригинальные статьи Рака, в которых впервые введены алгебраические соот-
соотношения для углового момента:
1) Добавлено при переводе.— Прим. ред.

210 Глава 7
Biedenharn L. С, van Dam H., Quantum Theory of Angular
Momentum, Academic Press, New York, 1965.
Оператор Казимира описан в работе
Racah G., Rend. Accad. Lincei, 1950, v. 8, p. 108.
ЗАДАЧИ
7.1. На основании примера 2 из § 3, п. Г докажите, что функции
x±iy преобразуются по представлениям т^1' группы 5^2-
Классифицируйте шесть квадратичных функций переменных
х, у и z в соответствии с их трансформационными свойствами
по отношению к группе ${г.
7.2. Объясните, почему несобственные вращения (с определителем,
равным —1), взятые сами по себе, не образуют группу.
7.3. Введя декартовы координаты, запишите инфинитезимальныи
оператор G.20) вращений вокруг оси z в виде Х,= г/ (д/дх) —
—х(д/ду). Рассматривая соответствующие выражения для ин-
финитезимальных операторов вращений вокруг двух других
осей, проверьте перестановочные соотношения G.25).
7.4. Покажите, что [J+, J_] = 2J7 и [J2, iq\ = Q. [Нужно воспользо-
воспользоваться соотношениями G.26.]
7.5. С помощью равенств G.40) постройте матрицы операторов
}х, iy и U при /=1/2 (матрицы Паули), а также соответст-
соответствующие матрицы при /=1 [формула (8.15)].
7.6. Найдите характер представления DB> группы 5?з для враще-
вращений, принадлежащих подгруппе D3. На основании таблицы
характеров (табл. 4.2) найдите представления группы Ds,
которые получаются при разложении ограничения представ-
представления DB> на подгруппу D3.
7.7. Согласно равенству G.44), произведение представлений D^2'®
(X)D^1/'2' содержит представление DA). В обозначениях формулы
D.46) очевидно равенство Ч'^^сг^У^-фГ/2*, поскольку имеется
только одна функция с то=1. Действуя на Ч1^1' [формула G.40)]
понижающим оператором [формула G.11)] J_=J_A)+J_B),
где J_(l) — оператор, действующий на функцию ф, a J_B)—
на функцию г|), постройте вектор Чго и затем найдите ко-
коэффициенты Клебша — Гордана CA/2'l/i\, 1/2—V2O) и
Ci1/^1/;,!, —1/2 1/2 0) [в обозначениях формулы D.46)].
7.8. Вычислите коэффициенты Клебша — Гордана, выделяющие
из произведения представлений DA'(x)D<2) вектор с /=1, т=0.
Вычисления нужно проводить в такой последовательности:
I. Записать вектор Ч^1' в виде У[1)=щ[1^'02)+$<?Ь1\р[ю+
+7ф<-1'ф22) и с помощью условия J + 4/<1> = 0 вычислить отноше-
отношения а : Р : у. (В силу линейной независимости векторов из
любого соотношения типа e(j41)i|)i2)+&(po1>i|J2)=O следует, что
а=Ь~0.) II. Найти числа а, Р, у, считая, что они нормиро-
нормированы условием a2+P2+Y2=l, a число а положительно.
III. Действуя понижающим оператором J_ на вектор Ч1!1', по-
получить вектор Ч^1*.

Непрерывные группы и их представления 211
7.9. Взяв коэффициенты Клебша — Гордана из задачи 7.7 и фор-
формулу для произведения D-матриц в конце § 4, п. Г, получите
из матрицы Ы1'1', заданной формулой B0.38), матрицу DA>.
[Результат должен согласоваться с общей формулой B0.40).]
7.10. Постройте сферические функции Ут' методом, изложенным
в § 4, п. Д. Проверьте полученные выражения по общей фор-
формуле G.48).
7.11. Применив понижающий оператор, покажите, что набор трех
функций — (ж+гг/)/2A''2\ z и (х— гг/)/2<1/2> принадлежит пред-
представлению 6A>.
7.12. Функции -фга с индексами то=2, 1,...,—2, построенные в §4,
п. Д, преобразуются по представлению D<2> и образуют тен-
тензор-оператор ранга два. Поэтому, согласно теореме Вигне-
ра — Эккарта [формула G.53)], все их матричные элементы
для векторов базиса задачи 7.11 должны быть связаны с од-
одним приведенным матричным элементом. Проверьте это для
некоторых матричных элементов двумя способами: а) поль-
пользуясь формулой G.53) с коэффициентами Клебша — Гордана
из задачи 7.8; б) вычислив интегралы с использованием ска-
скалярного произведения из § 2, п. Г, т. е. проинтегрировав по
единичной сфере.
7.13. Покажите </ || J || ./>={/ (/+1) fl*. [Запишите оператор J2 в
виде J2 ="VJ?Jj п вычислите матричный элемент </m | J21 /m>,
проводя суммирование по «промежуточным состояниям»
V </т | ia | jm'y </m' | jj | /ro> с помощью формулы G.53) и
q,m
соотношения нормировки для коэффициентов векторного
сложения.
7.14. Докажите, что коэффициенты Клебша — Гордана С (НО,
т—т 0) имеют следующий простой вид:
СA, I, 0, т —т 0) = (—I)l-m/Bl + iy/*.
Указание.Воспользуйтесь методом задачи 7.8. Для этого нужно
а) записать вектор Wi0) в виде ^0>=2с («0, т—т0) ^ ^-т\
т
б) из условия J + ^Fo"^0 найти соотношения между коэффици-
коэффициентами; в) применить соотношение нормировки и условие
С (ПО, I —Z0)>0.
Постройте из пяти сферических функций У^' инвариант от-
относительно преобразований из группы ^?3.
7.15. Покажите, что для группы 5?3 общее определение G.61) опе-
оператора Казимира приводит к оператору С=—1/212.

8
УГЛОВОЙ МОМЕНТ И ГРУППА #„
ПРИЛОЖЕНИЕ К СТРУКТУРЕ АТОМА
В гл. 7 мы исследовали свойства группы Э13 и отме-
отметили связь между инфинитезимальными операторами этой
группы и операторами углового момента. В данной главе
мы рассмотрим эту связь подробнее на примере сначала
одной частицы, а затем и системы частиц, причем введем
понятие внутреннего спина. Далее будет рассмотрен
реальный пример атомной структуры, в котором неодно-
неоднократно проявляется наличие симметрии ,%3- Мы не ог-
ограничимся атомом водорода, но рассмотрим также много-
многоэлектронные атомы.
§ 1. ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Если гамильтониан сферически-симметричен, что оз-
означает отсутствие выделенных направлений в простран-
пространстве, то его группой симметрии является группа Э13-
Поэтому для него будут справедливы все общие след-
следствия, перечисленные в гл. 5. Познакомившись с группой
5?3 в гл. 7, мы можем теперь более детально рассмотреть
эти следствия.
Прежде всего, каждое собственное значение несет
индекс/=0, V2, 1, ... неприводимого представления D(/)
группы 5?3- Каждый уровень энергии Е будет вырожден-
вырожденным с кратностью 2/+1, причем соответствующие собст-
собственные функции образуют базис представления D(/).
Эти собственные функции можно различать по их пове-
поведению при поворотах вокруг некоторой выбранной оси
(назовем ее осью z). Это соответствует разложению G.38)
- 23 T<m> (8-1)
m=-l

Угловой момент и группа j?3 213
представления D('-) на неприводимые представления Т(т)
подгруппы 54 2- Поэтому все уровни энергии можно обо-
обозначать через E(yj), а волновые функции — через \p(yjm),
где у — совокупность всех остальных квантовых чисел,
не имеющих отношения к вращательной инвариантности.
Поэтому волновая функция i]) (yjm), как мы видели в
гл. 7, является собственной функцией двух операторов:
оператора iz бесконечно малых вращений вокруг оси z
и оператора Казимира J2. Из равенств G.39) и G.36)
следует, что
На данном этапе мы не уточняли никаких свойств рас-
рассматриваемой физической системы, кроме ее сферической
симметрии, так что пока нельзя говорить о явном виде
и физическом смысле операторов iq. Но тем не менее уже
можно утверждать справедливость равенств (8.2).
Ввиду инвариантности гамильтониана операторы ix,
)у, iz, а также оператор Р коммутируют с ним и по-
поэтому сохраняются в обычном смысле этого термина (гл. 5,
§ 5).
Если мы классифицируем все операторы перехода
соответственно их поведению при вращениях, то правила
отбора по / следуют непосредственно из результатов гл. 5,
§ 4 совместно с правилом G.44) для разложения произ-
произведения представлений группы tf,3. Пусть, например, /
и /' — индексы, характеризующие начальное и конечное
состояния системы по отношению к группе Яз', далее,
пусть рассматриваемый оператор перехода преобразу-
преобразуется по представлению D(k> . Тогда при данном значении
j индекс конечного состояния /' может принимать лишь
одно из следующих значений:
/' = (Л-/с), (i + k-1), ..., |/-й|. (8.3)
Напомним (гл. 7, § 4, п. Д), что сферическая гармоника
Ykq преобразуется по представлению D<ft). В частности,
дипольные операторы перехода (гл. 5, § 4), преобразую-
преобразующиеся по векторному представлению Э1з, соответствуют
значению /е=1. Разложение G.49) произвольной функ-
функции по сферическим гармоникам часто называется муль-
типольным разложением, причем член с Ykq соответст-

214 Глава 8
вует мультиполю степени 2к. (Можно показать, что 2к—
это минимальное число точечных зарядов, необходимых
для создания потенциального поля, пропорционального
одной сферической гармонике Ykq с фиксированным к.)
Переход, вызываемый оператором, преобразующимся по
представлению D'*' , называют 2*-польным, а именно:
дипольным при fe=l, квадрупольным при /с=2, окту-
польным при к=3 п т. д.
Если расширить группу с Э13 до О3, включив в нее
инверсию (отражение), то, поскольку группа О3=^13х8ц
есть прямое произведение групп, система будет наряду со
свойствами, описанными выше в случае группы 5?8,
иметь также свойства, соответствующие группе S^ (гл. 5,
§ 6). Иными словами, состояния будут обозначаться ин-
индексами jm, а также четностью ±1. В частности, не-
нетрудно видеть, что в силу своего построения (гл. 7, § 4,
п. Д) сферические гармоники Ykq имеют четность (—1)*.
§ 2. ОРБИТАЛЬНЫЙ УГЛОВОЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
В квантовой механике орбитальный угловой момент
одной частицы получают путем замены р—э—ift\ в клас-
классическом выражении гХр. Таким образом, имеем (в
единицах fi)
где ф — угол в полярной системе координат на плоско-
плоскости, перпендикулярной оси г. В то же время, как яв-
явствует из формулы G.20), выражение для оператора бес-
бесконечно малых вращений в пространстве собственных
функций одной частицы имеет вид
Таким образом, в случае одной частицы инфинитези-
мальный оператор вращений идентичен оператору уг-
углового момента (в единицах %). (Ввиду того что выделение
оси z не имеет особого смысла, тот же вывод в равной мере
справедлив для всех трех компонент углового момента.)
Волновые функции с полуцелым значением углового
момента неприемлемы в качестве решений (гл. 7, § 3,

Угловой момент и группа j?3 215
п. А), так как они не являются непрерывными функ-
функциями угла во всем интервале его значений от нуля до 2л.
Что касается обозначений, то мы до сих пор обозна-
обозначали операторы углового момента символом iq, а соб-
собственные значения — маленькими буквами jm. Переходя
к рассмотрению системы частиц, удобно сохранить в даль-
дальнейшем маленькие буквы за величинами, относящимися
к одной частице (и за операторами, и за собственными,
значениями); заглавные же буквы будут применяться
для систем, состоящих из нескольких частиц. Кроме того,
мы обозначаем через L (или I) орбитальный угловой мо-
момент, а через S (или s) — внутренний спин (который
будет введен в § 4). Символом / (или /) мы будем обозна-
обозначать полный угловой момент (сумму орбитального и
спинового моментов).
Рассмотрим теперь систему из п частиц. Полный ор-
орбитальный угловой момент системы, обозначаемый через
L, дается выражением
:S(o
1=1
так что, в частности,
l,=-*24' (8-6)
где, как и в выражении (8.4), величина фг есть полярный
угол i-ii частицы. Чтобы связать этот оператор с враще-
вращениями, проведем те же рассуждения, что привели нас к
формуле G.20). Обозначим произвольную волновую функ-
функцию системы через W (rt, Qt, фь г2, 92, ф2, . . ., гп, 8П, ф„);
тогда непосредственное обобщение формулы G.17)
будет состоять в том, что поворот всей системы на угол а
вокруг оси z оставляет неизменными все rt и 9г, тогда как
углы фг заменяются углами фг—а. Поэтому, опуская для
краткости аргументы Г; и 9г, имеем
т(кг(а))?(ф1. Фа. ••«. Ф„)=1Р(ф1 — а> Фг — а, ¦¦¦, ф„ — а).
При малых а разложим правую часть этого уравнения
как функцию п переменных в ряд Тэйлора. Тогда, удер-

216 Глава 8
живая лишь два первых слагаемых, получаем
T(RZ(а))?(<?!, ф2) ..., 9n)»W(91? ф2, ..., Фп)
так что можно наппсать
Таким образом, оператор бесконечно малого пово-
поворота системы частиц имеет вид
Сравнивая это выражение с (8.6), мы приходим к выводу,
что оператор полного углового момента для системы
частиц в точности совпадает (в единицах %) с оператором
бесконечно малого поворота этой системы. Именно к
такому выводу мы пришли ранее в случае одной частицы.
§ 3. СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
Рассмотрим двухчастичную волновую функцию, рав-
равную произведению двух одночастичных волновых функ-
функций:
Т(гХ1 r2) = ^jmi(r1)^im,(r2). (8.8)
Здесь индексы I — одночастичные угловые моменты, а
индексы т — их z-компоненты. Под влиянием вращения
R (а) функция ^? претерпевает преобразование
У = Т (R (а)) У = y'kmtЬ.тг = S Щт1 (•)»%, (а) X
X %
Отсюда' видно, что набор из B^+1) {212-\-1) функций
мультипликативного вида (8.8) образует базис в произ-
произведении представлений D''1*B) D''1' группы 5?8. Разло-
Разложение произведения} представлений на его неприводи-
неприводимые составляющие
S (8.9)

Угловой момент и группа Э{% 217
было получено в гл. 7, § 4, п. Г. Но поскольку полный
угловой момент пары частиц соответствует вращению
всей пары, он может принимать только значения
L = {l1 + lt), (h + h-1), ..., \h-h\. (8.10)
Равенство (8.10) называется правилом векторного сло-
сложения угловых моментов. В классической механике уг-
угловой момент есть вектор, так что сумма двух угловых
моментов li и 12 получается путем обычного сложения
векторов L=11+12. Поэтому модуль вектора L зависит
от угла между векторами 1^ и 12 и лежит в пределах от
Ilil + lbl до Illil — |la|]. Эта классическая аналогия и дала
название «правила векторного сложения» равенству (8.10);
оно стремится к классическому результату в пределе
больших угловых моментов и малых значений %.
В случае вращений вокруг оси z имеет место простое
свойство аддитивности представлений группы 5?2 (гл. 7,
§ 3, п. В)
Оно означает, что z-компонента полного углового момента
точно равна сумме соответствующих z-компонент обеих
частиц. Собственные функции оператора полного угло-
углового момента даются теми комбинациями мультиплика-
мультипликативных функций (8.8), которые обеспечивают разложение
(8.9); как было показано выше (гл. 7, § 4, п. Г), этому
требованию удовлетворяют коэффициенты Клебша — Гор-
дана. Запишем эти собственные функции в виде
WL м (ги г2) = 2 С (IJaL, mjnJM) \piitni (rj %гШг (гя).
mi
(тг = Л1-т,)
(8.11)
Они обладают следующими свойствами:
f1! Добавляя последовательно угловой момент каждой
новой частицы, по правилу (8.10) можно вычислить пол-
полный угловой момент любого числа частиц. В силу прин-
принципа Паули некоторые состояния полного углового мо-
момента могут оказаться неприемлемыми с физической
точки зрения, но этот вопрос мы рассмотрим позже (§ 6,
п. Г), когда уже введем понятие внутреннего спина.

218 Глава 8
§ 4. ВНУТРЕННИЙ СПИН
Считается, что все физические системы состоят из
частиц, таких, как электроны, протоны, нейтроны и т. п.
Каждой точечной частице приписываются конечная масса
и конечный заряд. Эксперимент же показывает, что такая
картина неполна и, в частности, не позволяет объяснить
поведение уровней энергии атома водорода при наличии
слабого магнитного поля. Как мы увидим ниже, прихо-
приходится сделать вывод, что точечным частицам нужно
приписать еще и внутренний угловой момент (спин) и,
следовательно, внутренний магнитный момент. Внутрен-
Внутренний спин и магнитный момент считают столь же фунда-
фундаментальными характеристиками частиц, как их масса
и заряд. Даже в состоянии покоя частица имеет некий
спин и отличный от нуля магнитный момент. Более того,
магнитный момент может иметь (и имеет) частица, подоб-
подобная нейтрону и не обладающая зарядом. Можно считать,
что этот магнитный момент обусловлен зарядовыми токами
внутри частицы, которая обладает отличным от нуля
полным магнитным моментом, но равным нулю полным
зарядом. Почти все элементарные частицы, такие, как
электрон, протон и нейтрон, обнаруживают в экспери-
эксперименте сппн, равный Х1%%, но, например, р-мезон имеет
спин fi, a Q~rmiepoH — спин 3/2й. Полуцелые значения
углового момента (в единицах ft) не встречались при
описании орбитального движения частиц, но их появ-
появление нельзя считать совершенно неожиданным. Доста-
Достаточно вспомнить о связи, установленной в § 2, между
оператором углового момента и операторами вращений,
а также описание (гл. 7, § 4) неприводимых представлений
D<y> группы вращений целыми или полуцелыми зна-
значениями /. Причина, по которой мы отказались от функ-
функций с полуцелыми значениями / при описании орби-
орбитального движения частиц, становится несущественной
в случае спиновых переменных. Дело в том, что орби-
орбитальное движение описывается дифференциальным урав-
уравнением Шредингера, решения которого должны быть
непрерывными функциями. Волновая же функция, со-
соответствующая полуцелым значениям /, приобретает
множитель —1 при повороте на полный угол 2л и, следо-
следовательно, не является непрерывной. Спиновая степень

Угловой момент и группа Э13 219
свободы не описывается уравнением Шредингера, но,
как будет показано в т. 2 (гл. 15), естественно возникает
при релятивистском описании. При решении подобных
уравнений появление полуцелого спина не приводит к
трудностям, а изменение знака волновой функции не
влияет на вероятность l^l2.
Чтобы показать необходимость введения понятия спи-
спина для объяснения наблюдаемых явлений, рассмотрим
прежде всего влияние однородного внешнего магнитного
поля на уровни энергии электрона, движущегося в сфе-
сферически-симметричном потенциальном поле. Рассмотрим,
в частности, B? + 1)-кратно вырожденный уровень энер-
энергии Ei, соответствующий значению I углового момента
импульса, а также набор волновых функций if(Zm), где
m=l, I—1, . . ., —I. Дополнительное слагаемое в га-
гамильтониане, учитывающее наличие постоянного магнит-
магнитного поля с напряженностью В, имеет вид
enBlz ,о .„.
Здесь ось z выбрана в направлении магнитного поля, —е
и Ме — заряд и масса электрона, а с — скорость света.
Оператор —eftlz/2Mec называется оператором магнитного
момента, а коэффициент при Blz называют магнетоном
Бора и обозначают через \хв:
цв = ей/2Мес. (8.13)
Заметим, что вклад (8.12) в гамильтониан пропорцио-
пропорционален угловому моменту частицы и напряженности поля.
Слагаемо.е (8.12) коммутирует с исходным гамильтониа-
гамильтонианом T+V(r), и его влияние на спектр сводится просто
к снятию вырождения и расщеплению спектра. Функции
¦ф Aт) будут также собственными функциями нового
гамильтониана и будут соответствовать энергиям Eni-\-
+fXB Вт. Такое расщепление уровней в магнитном поле
носит название эффекта Зеемана. С точки зрения теории
групп симметрия гамильтониана понизилась с Э1Ъ до 5?2,
так что BZ~y.)-KpaTHo вырожденный уровень расщеп-
расщепляется на B?+1) подуровней, индицируемых по непри-
неприводимым представлениям Т(т> группы 542-
Основное состояние атома водорода и почти любой
системы со сферически-симметричным потенциалом при-

220 Глава 8
тяжения соответствует значению ?=0, а потому является
невырожденным и не может быть расщеплено. Однако
эксперименты все же обнаруживают его расщепление на
два уровня. Этот факт заставляет предположить наличие
другой степени свободы, кроме пространственных коор-
координат, причем по крайней мере для основного состояния
эта дополнительная степень свободы допускает лишь два
возможных состояния. Кроме того, взаимодействие с
магнитным полем говорит о том, что это расщепление,
по-видимому, обусловлено наличием некоего дополнитель-
дополнительного углового момента. Тот факт, что состояние с 1=0
расщепляется на два уровня, указывает на значение спина,
равное xlji, поскольку 2/+1=2 при /=1/2- Спиновый
угловой момент обычно обозначают символом s. Можно
без труда убедиться в том, что расщепление возбужденных
состояний с 1ф0 также вполне совместимо с гипотезой
s=1/Ji для электрона. Посмотрим теперь, как выразить
сказанное в строгой математической форме.
Любой частице определенного типа, например элект-
электрону, приписывается спин s; предположим, что возможные
спиновые состояния частицы натягиваются на базисный
набор 2s+l состояний %?1 с ms—s, s—1, . . ., —s. Пред-
Предполагается, что при вращениях эти состояния преобра-
преобразуются по неприводимому представлению D(S) группы
= T(R(a))X« = S D% (a)jc#. (8.14)
где s может быть как целым, так и полуцелым. Иными
словами, предполагается, что эти состояния ведут себя
подобно собственным функциям углового момента. По-
Поскольку размерность пространства спиновых состояний
конечна и равна 25+1, операторы бесконечно малых
вращений имеют для них ту же форму, что и матрицы
инфинитезимальных операторов, полученные в общем
виде в гл. 7, § 4, п. Б. Обозначив эти операторы через
sx, sy, sz, находим по формуле G.40) ппи конкретных
значениях s
S 2 S*~ 2 ^1 О/' Sy~2 \l Oj'S2~2\p—l

Угловой момент и группа 5?3 221
/ о Кг о'
= 1 s, = i Кг о_ уй
\ О ]/2 О,
—/2 О \ /Ю 0\
О —"|/2 ), s2 =[ О О О ) . (8.15)
V2 0 / \0 О -1/
При s=V2 принято обозначение o=2s, причем три опе-
оператора о называются спиновыми матрицами Паули. Со-
Согласно формулам G.36) и G.39), базисные состояния яв-
являются собственными состояниями операторов sz и s2:
z/.ms —
Оператор sz принято называть z-компонентой спина, а
оператор s2 — квадратом полного спина. Как справед-
справедливо для углового момента вообще, можно составить из
линейных комбинаций базисных состояний %mi новый
базис, в котором любая другая выбранная компонента
спина будет диагональна.
Для системы частиц можно определить операторы
полного спина частиц Sq=^sq(i) точно так же, как был
i
определен в § 2 полный орбитальный угловой момент
Lq. Тогда из результатов § 3 сразу следует правило сло-
сложения спинов.
Полная волновая функция частицы со спином s должна
описывать как орбитальное, так и спиновое состояние,
и ее можно записать в общем виде
1Р= 2 Ф». (г)Хт'> (8.16)
где коэффициенты срт (г) — произвольные функции ко-
координат. В каждой точке г волновая функция],^ имеет
не просто численное значение: ей соответствует также
определенное спиновое состояние. Спиновое состояние
частицы может быть представлено вектором-столбцом с

222
Глава 8
2s+l компонентами. Если ввести обозначения
7(S) —
As —
и т. д.,
то произвольную волновую функцию (8.16) можно за-
записать в виде
(8.17)
Считается, что спиновые состояния %mf образуют ор-
тонормированную систему базисных векторов в Bs+l)-
мерном векторном пространстве, описывающем спиновое
состояние частицы. Иными словами, предполагается су-
существование скалярного произведения, обладающего свой-
свойством
Для двух полных волновых функций ? i ?, определен-
определенных равенством (8.16), скалярное произведение предпо-
предполагается содержащим две операции: интегрирование по
пространству координат г и скалярное произведение в
спиновом пространстве, т. е.
= S Г 4>т. (Г) Фт. (Г) dr.
Действие вращения на Y состоит в изменении как ф,
так i х, а потому на основании формул C.37) и (8.14)
имеем

Угловой момент и группа
22а
При малом вращении вокруг оси z на угол а имеем по
определению G.4) [вводя, как указано перед формулой
G.26), множители i]
[Г ^ V (A jnl \ гг. (f\ 7(\ ifjo \ A/(S) ;~
^~ZjU laiz)f?tnAt) Л1 шьг) km, ~
As) .
(8.18)
Таким образом, инфинитезимальным оператором для
полной волновой функции W является сумма lz-\-sz орби-
орбитального п спинового угловых моментов. Введем обозна-
обозначение jz=lz-\-sz и будем далее называть / полным угловым
моментом частицы (в единицах а).
Действие конечного вращения R (а) на функцию W
таково:
/2
D4 (
(а)фт
,. (8.19)
Поэтому если ввестп теперь преобразованные функции
срт- (г), определив их равенством T(R)?=Y<pm.
или с учетом выражения (8.17) равенством
Т (R) W ==
то получпм
(а)Ф (R-r).
(8.20)
Заметим, что суммирование здесь проводится по вто-
второму индексу матрицы вращения, а не по первому, как
было в формуле (8.14). Это объясняется тем, что равен-

224 Глава 8 ^^^
ство (8.20) выражает преобразование «координат», а не
базисных векторов.
Действие вращения на ? [формула (8.19)] выражается
в преобразованиях как функций координат, так и спи-
спиновых состояний. В ряде случаев удобно рассматривать
действие вращения на эти две части волновой функции
раздельно. Операторы sq можно рассматривать как ин-
финитезимальные операторы группы вращений Э1\ в
спиновом пространстве, тогда как операторы \q описы-
описывают группу вращений Э{\ в пространстве координат. На-
Набор из шести операторов rq, \q описывает прямое произ-
произведение групп 9ilsX9il, а три оператора jq=sg+lq—
подгруппу 9ta одновременных вращений в обоих про-
пространствах.
Рассмотрим волновую функцию (8.16) в частном случае,
когда частица находится в определенном спиновом со-
состоянии ms, а также в определенном орбитальном состоя-
состоянии с угловым моментом I и проекцией mi. В этом случае
волновая функция имеет вид простого произведения
р1,) = у1п(г)%%. (8.21)
При фиксированных I и s существует всего Bs+l) BZ+1)
таких ^произведений, соответствующих всем возможным
различным значениям тг и ms. Под действием вращений
этот набор будет преобразовываться по произведению
представлений D(/)(x)D<s) группы Э13, причем, согласно
результатам § 3, для этого произведения справедливо
разложение
D">(g)D<s>= 2 DO. (8.22)
/=l '-М
Таким образом, как и в случае двух орбитальных уг-
угловых моментов, полный угловой момент определяется
правилом векторного сложения:
/ = (Z+s), (l + s-1), ..., \l-s\. (8.23)
Собственные^функции полного углового момента j=l-\-s
строятся аналогично из простых произведений (8.21) с
коэффициентами векторной связи:
4(lsjm)= 2 С {Isj, mtmsm) $im[ (r) •$ (8.24)
mi

Угловой момент и группа ffi,3 225
Двузначность представлений с полуцелым индексом
не приводит к какой-либо неоднозначности в коэффици-
коэффициентах векторной связи, поскольку последние определя-
определяются коммутационными соотношениями между инфини-
тезимальными операторами. Однако нужно быть осто-
осторожным при анализе конечных вращений. Рассмотрим,
например, вращение вокруг оси z:
R* (а) %-т = ехР (—ima) %-т'
причем, если т — полуцелое, то
Rz Bл) 1р/т = ехр (— 2тош) г|), и = — г|з/я,.
Изменение знака волновой функции под действием опе-
операции, возвращающей систему в прежнее физическое по-
положение, не приводит к каким-либо противоречиям, по-
поскольку знак волновой функции не имеет никакого фи-
физического смысла. Необходимо, однако, внимательно
следить за согласованностью различных стадий любого
вычисления. (В т. 2, гл. 18, § 13 мы покажем, что полуце-
полуцелые представления можно рассматривать как однознач-
однозначные представления несколько более широкой группы,
чем 5is.)
Теперь мы можем учесть вклад магнитного момента,
обусловленного спином частицы, находящейся в магнит-
магнитном поле. Это достигается путем включения в гамильто-
гамильтониан члена
Bgs[iBs2, (8.25)
по форме совпадающего с (8.12), но содержащего в ка-
качестве множителя спиновый g-фактор gs. Для электрона
экспериментально установлено, что величина gs очонь
близка к 2, и этот факт можно объяснить теоретически
(т. 2, гл. 15, § 8, п. Б).
Кроме взаимодействия между спиновым магнитным
моментом и внешним полем имеется также взаимодей-
взаимодействие между спиновым магнитным моментом и эффектив-
эффективным магнитным полем, обусловленным орбитальным дви-
движением электрона^(или другой заряженной частицы). Это
взаимодействие удобнее всего вычислить в рамках реля-
релятивистского подхода; результат вычислений — дополни-
дополнительный член
-иА) (8.26)

226 Глава 8
в гамильтониане. Подчеркнем, что этот член присутствует
независимо от наличия или отсутствия внешнего поля;
он носит название спин-орбитального взаимодействия.
Радиальная функция ? (г) связана с центральным полем,
в котором движется частица.
§5 АТОМ ВОДОРОДА
В оставшейся части данной главы мы рассмотрим
структуру атомов в качестве иллюстрации следствий
инвариантности по отношению к группе 518 и введения
понятия спина. Начнем с атома водорода в нерелятивист-
нерелятивистском подходе, когда можно рассматривать движение
электрона в поле фиксированного сферически-симметрич-
сферически-симметричного кулоновского потенциала V(r) = —e2fr, создаваемого
протоном (ядром атома водорода). Без учета спина вол-
волновые функции будут иметь вид (гл. 7, § 5)
*»*»,=и»1 (') г#,(е, ф).
Решение дифференциального уравнения задачи на соб-
собственные значения [уравнения G.60)] приводит (см. лю-
любой учебник по квантовой механике) к следующему вы-
выражению для уровней энергии электрона:
Enl = — mee42fcn\
где ге = 1, 2, . . ., а 1=0, 1, . . ., (п—1). Нам не понадо-
понадобится точная форма радиальной волновой функции uni(r).
Несколько низших уровней энергии показаны на рис. 8.1,а,
где использованы общепринятые спектроскопические обо-
обозначения, в которых символы s, р, d, f, g и т. д. соответст-
соответствуют состояниям с 1=0, 1, 2, 3, 4 в том же порядке. (Вы-
(Вырождение состояний с одинаковыми га, но разными I
обусловлено не вращательной симметрией, а наличием
весьма абстрактной группы симметрии относительно вра-
вращений в четырехмерном пространстве. Кратко об этом
будет сказано в т. 2, гл. 19.) Для каждой разрешенной
комбинации nl имеется B/+1)-кратное вырождение, опи-
описываемое индексом mi. Если приписать электрону спин
1/а, но не учитывать спин-орбитальное взаимодействие,
то кратность вырождения возрастет еще вдвое соответ-
соответственно значениям проекции спина ms=±1/2. Так, на-
например, уровень 2р шестикратно вырожден; ему соот-

Угловой момент и группа 913
227
ветствуют значения mj=±l, 0 и mg=±V» и волновые
функции вида (8.21).
Включим теперь в гамильтониан спин-орбитальное сла-
слагаемое (8.26), но не будем учитывать внешнее поле. Учи-
3s Зр 3d
2s 2p
is
т
а
is
iSf/z
nlj
Рис. 8.1.
тывая, что j2= (l+sJ=l2+s2+2(l -s), можно переписать
спин-орбитальное взаимодействие в виде
^(r)|.s = -ii(r)(P —I2 —s2). (8.27)
Поскольку интенсивность этого взаимодействия мала по
сравнению с разностью энергий Enh достаточно учесть
его влияние лишь в первом порядке теории возмущений
для каждого вырожденного уровня Еп1 (гл. 5, § 8). Если

228 Глава 8
вместо базиса mima в пространстве вырожденных состоя-
состояний (при данных nl) мы выберем связанный базис jm,
определенный в формуле (8.24), то получим
Поскольку функция 5 (г) инвариантна при вращениях,
она не приведет к перемешиванию состояний с разными I,
так что сдвиг энергии, обусловленный спин-орбтталънъта
взаимодействием, дается выражением
здесь
есть радиальный интеграл. Например, шестикратно вы-
вырожденный 2/>-уровень расщепляется на два: на четырех-
четырехкратно вырожденный уровень с j=3/2, сдвинутый на ве-
величину A=Va<|>2p, и на двукратно вырожденный
уровень с /=7а» сдвинутый на А=—<?>гр-
Расщепление 2р-уровня показано на рис. 8.1, б.
Точно так же любой уровень с 1=?0 расщепится на два
уровня с /=Z±Vg> следовательно, наблюдаемые в спектре
линии излучения и поглощения будут выглядеть как
дублетные линии. Например, переход is->2p (первая
линия серии Лаймана) с теоретическим значением энергии
A—1/i)m,iei/2h ж 82 000 см в действительности наблю-
наблюдается в виде дублета с расщеплением ~0,4 см, которое,
как можно показать, согласуется с теоретическим зна-
значением 8/2<Е>2р- В более тяжелых атомах этот эффект
выражен гораздо сильнее.
Рассмотрим теперь влияние однородного внешнего
магнитного поля и выберем ось z вдоль направления
поля. В этом случае в силу формул (8.12) и (8.25) к га-
гамильтониану добавляется член
(8.29)
Волновые функции в виде произведений (8.21) с опреде-
определенными mi и ms будут собственными функциями опера-
оператора (8.29); как мы видели, спин-орбитальное взаимодей-

Угловой момент и группа $j3 229
ствже (8.27) перемешивает эти функции. Таким образом,
слагаемые (8.27) и (8.29) играют противоположные роли:
первое из них стремится связать I и s в определенное
результирующее /, а второе— напротив, стремится раз-
разделить их и оставить волновые функции в виде простых
произведений с определенными лгг и ms. Мы остановимся
далее лишь на случае слабого поля, когда поле В на-
настолько мало, что расщепление, вызванное членом (8.29),
намного меньше расщепления, вызванного членом (8.27).
В этом пределе действие магнитного поля сводится к
снятию B/+1)-кратного вырождения уровней nlj, обус-
обусловленных сшш-орбитальным взаимодействием. Опера-
Оператор (8.29) инвариантен относительно группы 5?2 вращений
вокруг оси z, и потому вырождение снимается до расщеп-
расщепления на синглетные уровни, соответствующие одномер-
одномерным неприводимым представлениям группы 91 ъ и отме-
отмеченные индексом m—j, /'—1, . . ., —/. Здесь мы находим
пример возмущения, нарушающего симметрию, о котором
в общих чертах говорилось в гл. 5, § 8. Чтобы найти
сдвиг уровня энергии при каждом^гге, следует вычислить
среднее значение
Мы пользуемся здесь обозначениями, введенными в гл. 5
после формулы E.8), с тем дополнительным упрощением,
что опущен символ *? и оставляются лишь существенные
индексы j'm.
Рассуждения, подобные проведенным в гл. 7, § 4,
п. Е, показывают, что Ins — векторные операторы и,
значит, сумма lz+2sz тоже есть компонента векторного
оператора. По теореме Вигнера — Эккарта [формула
G.53)] матричные элементы этого оператора пропорцио-
пропорциональны матричным элементам любого другого векторного
оператора (гл. 7, § 4, п. Ж). Поэтому, в частности,
<]т[\ж + 2s, | imy = AJam\\z\imy = mAj, (8.30)
где' Aj — Константа, не зависящая от т. Простерший
способ вычислить эту константу состоит в том, чтобы
прежде всего выбрать максимальное значение m=Z+72,
что возможно лишь при 7 = Z-P/2, причем в этом случав
волновая функция представляется в виде простого про-
произведения с mi~l, ms=V2- Тогда из равенства (8.30)

230 Глава 8
следует, что
л/+7,=(г+1)/(;-|-1/2). (8.31)
Чтобы найти -4z_i/2, рассмотрим два возможных состоя-
состояния с т=1—1/2. В связанном базисе этим состояниям
соответствуют значения индекса /=?+1/2 и j = l—1/2, тогда
как в мультипликативном базисе — значения индексов
mi=l, ms=—1/2 и mi=l—l, ms=+1/2. He рассматривая
общего преобразования между этими двумя базисами,
мы можем найти искомую константу, приравняв друг
другу следы оператора I2+2sz, вычисленные в обоих
базисах, и применив равенство (8.30):
так что Л/+1/г+Л;_1/2=2. Отсюда, учитывая равенство
(8.31), получаем Ai—t;2=l/(l-{-1/2). Более общий метод —
написать выражение для среднего значения
<jm | (I + 2s) • j | jm> = A, <jm | j • j | jm> = / (/ +1) Лу (8.32)
и затем вычислить в левой части скалярное произведение
Таким образом, если использовать обозначение nlj,
уровень ls./2 расщепится на два уровня с m=±1/i, сдви-
сдвинутых, по энергии на ±1 в единицах Вц, . Уровень 2рч,
расщепится тоже на два, но со сдвигом на ±х/3, а уровень
2рзл ~ на четыре уровня: два с т=±3/г и сдвигами ±2,
и два — с 7?г=±1/а и сдвигами ±2/3- Такое расщепление,
называемое зеемановским, показано на рис. 8.1, в.
В гл. 5, § 6 были высказаны общие соображения от-
относительно правил отбора дипольного излучения, соот-
соответствующих группе 5?2- Рассмотренный пример показы-
показывает, что для излучения, поляризованного в плоскости
ху (А7?г=±1), линия поглощения, соответствующая пе-
переходу ls->-2p, расщепляется на шесть линий (рис. 8.1, в).
Относительные интенсивности переходов также можно
вычислить на основании соображений симметрии (т. 2,
приложение 5, § 3).

Угловой момент и группа ffi8 231
§ 6. СТРОЕНИЕ МНОГОЭЛЕКТРОННЫХ АТОМОВ
А. Гамильтониан
Для иллюстрации дальнейших проявлений E?8-сим-
метрии в физических системах мы от атома водорода пе-
перейдем к строению многоэлектронных атомов. Для нейт-
нейтрального атома с зарядом ядра Ze и Z электронами можно
записать гамильтониан в виде
Н = 2 Т,;- 2 ZeVr, + ffi eVru + 2'Б (г,-) s,- • I,.
i i i<l i0
(8.33)
Четыре слагаемых в выражении (8.33) соответствуют ки-
кинетической энергии, кулоновскому притяжению элект-
электронов к «неподвижному» ядру, кулоновскому отталки-
отталкиванию между всеми парами электронов и спин-орбиталь-
спин-орбитальному взаимодействию, введенному в § 4. Приближение,
в котором ядро рассматривается как неподвижное, допу-
допустимо, поскольку масса ядра более чем в 1800 раз превы-
превышает массу электронов. Очевидно, что все вклады в га-
гамильтониан (кроме третьего слагаемого) представляют
собой суммы одночастичных операторов. Поэтому, как
и в гл. 6, § 3, это приводит к сепарабельному решению
Z-частичного уравнения Шредингера. Даже третье сла-
слагаемое частично эквивалентно сумме одночастичных опе-
операторов, поскольку сумма сил отталкивания, испытыва-
испытываемых отдельным электроном со стороны остальных, ана-
аналогична одному эффективному отталкиванию со стороны
ядра, находящегося в центре электронного облака. Можно
считать, что отрицательно заряженные электроны в ка-
какой-то мере экранируют ядро от электронов, расположен-
расположенных на «периферии» атома. Этот эффект можно исполь-
использовать, добавляя к гамильтониану (и вычитая из него)
дополнительное одночастичное слагаемое ^U(rf) Тогда
i
можно написать
Н = Н,+Н1 + Н„ (8.34)
где
Но^ 2 [T,-Zef/r, + U (г,-)], (8.35а)
2^^(^). (8-356)
Jvli. (8.35b)

232 Глава 8
Здесь Но — сумма не зависящих от спина одночастичных
операторов, в которую входит экранирующий потенциал
U(rt), a Hi — остаточное взаимодействие, получаю-
получающееся после вычитания экранирующего потенциала из
суммы кулоновских отталкиваний. Поэтому U{rt) выби-
выбирается так, чтобы член Hi был мал, но мы не будем под-
подробно останавливаться на этом вопросе, так как он не
имеет отношения к симметрии.
Уравнение Шредингера решается методом теории воз-
возмущений. Член Но принимается за невозмущенный га-
гамильтониан, и для него существует точное решение в
сепарабельной форме (п. Б). Из двух остающихся частей
гамильтониана Н обычно наиболее существенно оста-
остаточное взаимодействие Hi, и оно рассматривается далее
в п. В на основе теории возмущений для вырожденного
уровня в первом порядке (гл. 5, § 8). Это приводит к так
называемой LS-связш. В дальнейшем учитывается (тоже
в рамках теории возмущений для вырожденного уровня)
слагаемое Н2, которое предполагается малым по срав-
сравнению с Hj. В некоторых атомах спин-орбитальное
взаимодействие сравнительно велико, и тогда приходится
рассматривать совместно сумму Hi+H2 по теории воз-
возмущений; этот случай называют случаем промежуточной
связи. Иногда член Hi оказывается малым по сравнению
с Н2; в этом случае проще рассматривать в качестве
невозмущенного гамильтониана сумму Н0+Н2, которая,
хотя и зависит от спина, является все же суммой только
одночастичных операторов. Остаточное взаимодействие
Hi рассматривается затем с помощью теории возмущений
для вырожденного уровня как малое по отношению к
новому невозмущенному гамильтониану. Такой предел
называют случаем /'/-связи; мы не будем его рассматривать.
Б. Принцип Паули и заполнение оболочек
Согласно формуле (8.35а), невозмущенный гамильто-
гамильтониан Но=2Но@ является сферически-симметричным и
не зависит от спина. Поэтому собственные функции опе-
оператора Но(?) имеют тот же вид- ¦ф=и„г(гIЛтг(8, ф)х(^2>.
что и в атоме водорода, за одним исключением: радиальные
волновые функции uni(r) и энергии Eni даются теперь

Угловой момент и группа
233
решением радиального дифференциального уравнения,
содержащего множитель Z и экранирующее слагаемое
U(rt). Таким образом, решение для Z-электронного га-
гамильтониана может быть записано в сепарабельной форме
в виде произведений одночастичных волновых функций
Ц%(г,), (8.36)
где символом у* обозначен набор одночастичных индексов
nlmima для частицы i; соответствующий уровень энергии
обозначается через Е
В связи с неразличимостью тождественных частиц в
квантовой механике (гл. 5, § 9) пришлось постулировать,
что волновая функция системы частиц должна быть либо
полностью симметричной, либо полностью антисиммет-
антисимметричной. Полностью симметричной является волновая
функция, которая не меняется при перестановке любой
пары частиц. Тогда, если обозначить через Р^ оператор
обмена пары частиц i и /, можно написать P!J-1F=1If.
Полностью антисимметричная функция определяется так,
чтобы для всех пар частиц i и / выполнялось соотношение
PijW=—?. Согласно экспериментальным данным, ча-
частицы с целым спином (например, мезоны) обладают сим-
симметричными волновыми функциями, а частицы с полуце-
полуцелым спином (например, электроны) — антисимметрич-
антисимметричными волновыми функциями. Отсюда Следует, что про-
произведения типа (8.36) неприемлемы для Z-электронного
атома. Однако для каждого набора индексов уи ^8,.„ , yz
в формуле (8.36) (все индексы предполагаются различ-
различными) имеется всего 7! различных произведений (8.36),
получаемых с помощью всех Z! различных перестановок
номеров частиц. Единственная комбинация этих про-
произведений обладает требуемым свойством антисимметрии.
Эту комбинацию удобно записать^ в виде определителя —
так называемого" детерминанта Слэтера:
(8.37)

234 Глава 8
Величина, стоящая перед детерминантом, — это нормиро-
нормировочный множитель. После раскрытия детерминанта ста-
становится ясно, что T^i, Ya> • • -i Уг) есть сумма произве-
произведений вида (8.36). Действие оператора Р^ состоит в
перестановке двух строк детерминанта и потому приводит
к изменению его знака Следовательно, функция T(yi,
Va> • • •> Yz) полностью анасимметрична и все-таки яв-
является собственной функцией оператора Но с собственным
значением энергии 2^у (^ точки зрения теории групп
полностью антисимметричная функция преобразуется по
одномерному неприводимому представлению симметри-
симметрической группы afz всех перестановок, a ^(yt, Y^-" . Уг)
является] проекцией произведения (8.36) на это пред-
представление. Свойства группы Уz подробно рассматри-
рассматриваются в т. 2, гл. 17.)
При совпадении любой пары индексов у% два столбца
детерминанта (8.37) оказываются одинаковыми, так что
детерминант обращается в нуль при всех значениях
координат п, г2, . . . . Поэтому в произведениях (8.36),
из которых построена функция 4r(Yi, Ya> • • ., Yz)> Два
электрона не могут занимать одинаковых одночастичных
состояний yt; это положение известно под названием
принципа Паули.
Таким образом, низшие уровни энергии атома можно
получить, выбрав значения yt, соответствующие низшим
одночастичным энергиям. Ввиду вырождения одноча-
одночастичных энергий по отношению к т( и т, для Z-электрон-
ной волновой функции (8.37) имеет место еще большее
вырождение. Например, шестикратное вырождение р-
уровня [приводит к 15-кратному вырождению возможных
детерминантов (8.37) для двух электронов на р-орбитах
A5 — это число способов, которыми можно выбрать два
разных одночастичных состояния m,ims из шести). Мак-
Максимальное число электронов, которое можно поместить
на орбиты с энергией Еп1шс фиксированными значениями
nl, равюукратности вырождения 2 B?+1) данного одно-
частичного уровня; такую систему электронов принято
называть ^заполненной оболочкой. Очевидно, что запол-
заполненная оболочка|является невырожденной системой, по-
поскольку она по определению содержит число частиц,
необходимое и достаточное для того, чтобы каждое воз-

Угловой момент и группа 5?а 235
можное одночастичное состояние у с некоторыми выбран-
выбранными значениями п ш I появилось в детерминанте (8.37).
Можно также показать, что полный спин и полный орби-
орбитальный угловой момент заполненной оболочки равны
нулю, т. е. L—S=0. Для этого мы прежде всего заметим,
что в заполненной оболочке в суммы Ms=^ms и ML=*
=2]mj положительные и отрицательные значения т,
и mi входят в равной мере; следовательно, MS=ML=O.
Аналогично, если обозначить через W волновую функцию
заполненной оболочки, то L+4f=S+'vF=O, а потому в
силу формулы G.31) мы имеем L=S—0. Равенство L+4f=
=0 следует из того, что оператор L+ = 2^+ @ увеличивает
значение т/гг некоторой частицы, и, поскольку все воз-
возможные тх уже встречаются в детерминанте, функция
L+^P описывается детерминантом с двумя одинаковыми
столбцами, а потому равна нулю. Так же доказывается
равенство S+4r=0.
Несмотря на то что входящий в Но эффективный
одночастичный потенциал несколько иной, нежели в
случае атома водорода, порядок следования одночастич-
ных уровней энергии Еп\ для легких атомов сохраняется
тем же. Оказывается, что заполнение оболочек происходит
при значениях Z=2, 4, 10, 12 и 18, т. е. заполняются
оболочки Is, 2s, 2p, 3s и Зр. Для атомов, имеющих* один
электрон вне заполненной оболочки, таких, как литий
(Z=3), бор (Z=5), натрий (Z—11) и алюминий (Z=13),
спиновый и орбитальный угловые моменты атома будут в
точности совпадать с соответствующими значениями для
последнего электрона: S=1/2 и L=0, 1, 0, 1 в перечислен-
перечисленных примерах. Многие свойства атома определяются
электронами, находящимися вне заполненных оболочек,
и именно эта закономерность лежит в основе периодиче-
периодической системы элементов. В частности, в атомах инертных
газов все оболочки заполнены, а в атомах щелочных
металлов имеется один электрон вне заполненных обо-
оболочек, так называемый валентный электрон.
Поскольку основное состояние заполненной оболочки
является невырожденным, учет возмущений Н* и Hj,
входящих в выражение (8.35), приводит к малому сдвигу
уровня энергии без какого-либо расщепления.
Для атома с одним электроном вне заполненной обо-

236 Глава 8
лочки влияние возмущения Hi вновь сводится просто к
сдвигу энергии основного состояния. Хотя основное
состояние имеет 2 B/+1)-кратное вырождение одноча-
стичного уровня валентного электрона, оно все же не
расщепляется возмущением Hi, поскольку оператор Hi,
подобно оператору Но, инвариантен по отношению к
вращениям отдельно в спиновом и координатном про-
пространстве. Влияние возмущения Н2 качественно такое
же, как и ранее описанное для атома водорода (рис. 8.1, б).
Если рассматривать инверсии, то четность каждого
одноэлектронного состояния равна (—1)', причем чет-
четность детерминанта Слэтера равна произведению" четно-
стей заполненных одноэлектронных состояний. Поэтому
заполненная оболочка обладает положительной четно-
четностью и все состояния, образованные помещением t элект-
электронов в валентное состояние nl, будут 1иметь одинаковую
четность (—1)'*.
В. Атомы с несколькими валентными электронами, LS-
связь
Пусть в атоме имеется t электронов на валентном уров-
уровне nl. Тогда существует набор определителей (8.37), со-
соответствующих разным выборам чисел ms ж тх для t
занятых состояний. Число таких определителей будет
равно числу способов выбора t различных одночастичных
состояний msmi из их полного возможного числа 2 BZ+1),
т. е. оно равно DZ+2)!/DZ+2—t)\t\. Возмущение Hi
снимает это вырождение, и мы кратко рассмотрим ха-
характер возникающего расщепления. Прежде всего уп-
упростим задачу на том основании, что для понимания эф-
эффекта расщепления достаточно учесть лишь взаимодей-
взаимодействие между валентными электронами, а потому нужно
рассмотреть лишь определители для t валентных элект-
электронов. Можно показать, что взаимодействие между двумя
электронами в заполненных оболочках или между элект-
электроном, находящимся в заполненной оболочке, и валент-
валентным электроном приводит к одинаковому сдвигу энергий
всех состояний mitn3 валентных электронов.
Как отмечалось выше, возмущение Hi инвариантно
относительно вращений порознь в координатном и спи-
спиновом пространствах, так что Нх коммутирует с обоими

Угловой момент и группа $13 237
наборами операторов Lq и Sq. Можно даже рассмат-
рассматривать Lq как инфинитезимальные операторы одной
группы Э1 з, a Sq — другой такой же группы. Набор из
шести инфшштезимальных операторов Lq, Sq описывает
группу, являющуюся прямым произведением групп
ее неприводимые представления отмечаются парами ив>
дексов L и S, соответствующими каждой из групп-со-
групп-сомножителей (гл. 4, § 21). В теории возмущений для вы-
вырожденного уровня (гл. 5, § 8) мы должны снабдить мат-
матрицу оператора Hj наборами определителей, каждый из
которых вырожден по отношению к невозмущенному га-
гамильтониану Но. Но так как оператор Hi инвариантен
по отношению к данному произведению групп, при ис-
использовании базисных векторов, принадлежащих непри-
неприводимому представлению ^DUS) этого произведения, мат-
матрица гамильтониана Hi разобьется на меньшие матрицы
с индексами LS, причем матричные элементы между
состояниями с разными индексами LS будут равны нулю.
Кроме того, будет отсутствовать связь между состояниями
с разными значениями ML и Ms и будет существовать
вырождение кратности BL+1) BS-\-1), соответствующее
размерности представления D(iS>. Вопрос о том, какие
значения L и S могут возникать при заданных значениях
I ж t, довольно сложен; мы кратко рассмотрим его в п. Г.
Еще более сложной задачей является фактическое вы-
вычисление матричных элементов гамильтониана Н^ (слу-
(случаи t—2 и t=S см. в т. 2, приложение 5). Вообще говоря,
состояния с определенными значениями L и S представ-
представляют собой весьма сложные суммы детерминантов Слэ-
тера, и их обычно в таком виде не выражают.
Рассмотренная выше ситуация носит название LS-
связи. Набор из BL+1) B?+1) состояний с данными L
и S часто|называют термом. Рассмотрим теперь действие
возмущения Н2, предполагая, что оно достаточно мало и
не вызывает смешивания между различными собствен-
собственными значениями матрицы гамильтониана Н*. Тогда
действие возмущения Н2 сводится к расщеплению BL+
+1)B5+1)-кратного вырождения, или с точки зрения
теории групп к сужению группы симметрии от &l\~X3i%
до группы М3 одновременных вращений пространствен-

238 Глава 8
ных и спиновых переменных, которая описывается ин-
финитезимальными операторами Jg=Lg-f-Sg. Возму-
Возмущение Н2, не будучи инвариантным относительно про-
произведения групп, инвариантно относительно группы од-
одновременных вращений. Это следует из равенства [Jq,
I - s]==0, которое вытекает непосредственно из переста-
перестановочных соотношений для I и s (с учетом того, что опе-
операторы I и s коммутируют; задача 8.4). Таким образом,
уровни с кратностью вырождения BL+1) B5+1) расщеп-
расщепляются на уровни с кратностью вырождения 2/+1, от-
отмеченные значениями индекса /
J = (L + S), (L+S—l), ..., \L—S\. (8.38)
Эта формула для возможных значений / — не что иное,
как обычное правило векторного сложения (8.9), по-
поскольку при одновременном вращении представление
p(is> есть Пр0СТ0 произведение представлений 0а)(ЯH<5)
группы 91 s. Простое выражение для зависимости этого
расщепления от / при фиксированных значениях LS
можно получить на основании теоремы Вигнера — Эк-
карта. Обозначим через а все индексы волновой функ-
функции, кроме LS и /; тогда расщепление, обусловленное
возмущением Н2, дается выражением
2E(r/)l/-s, aLSJM> =
= A aLS <aLSJM ] L • S | aLSJMy =
Здесь мы воспользовались тем, что произведение L • S,
вообще говоря, не пропорциональное спин-орбитальному
взаимодействию, обладает все-таки теми же трансформа-
трансформационными свойствами по отношению как к Э1^, так и к
5?|. Доказать справедливость такого вывода выражения
(8.39) можно методами, изложенными в гл. 7, § 4, п. Ж.
Постоянные AaLS нельзя вычислить, не зная точного
вида волновых функций, но зависимость от / дается,
очевидно, выражением (8.39). В частности, уровни энер-
энергии упорядочены по / и их разности даются выражением
-(/_!) J}=JA
aLS.

Угловой момент и группа 91з 239
Эта формула известна под названием правила интервалов
Ланде. Вообще говоря, величины Aai$ положительны
(одного знака с |), когда оболочка занята менее чем на-
наполовину, и отрицательны в противоположном случае.
Это означает, что наименьшее значение \L — S\ числа /
соответствует минимальной энергии в нижней половине
оболочки, а наибольшее L + S — в верхней. Эти выводы
иллюстрируются в п. Г в случае двух и трех валентных
р-электронов.
Действие магнитного поля на атом с многими элект-
электронами выражается в том, что к гамильтониану добав-
добавляется слагаемое
полученное суммированием слагаемых вида (8.29) по всем
электронам. Это приводит к расщеплению уровня / с
B/+1)-кратным вырождением. Поскольку оператор Нмагн
является z-компонентой вектора, в силу теоремы Виг-
нера'— Эккарта его матричные элементы (как и в § 5)
пропорциональны матричным элементам оператора Jr
для "состояний из данного /-мультиплета. Поэтому можно
написать, что
В теории Ь5-связи константу gj, называемую ^-фактором
Ланде, при данных L и S можно вычислить по формуле
(8.32):
l (8.40)
Поэтому расщепление /-мультиплета пропорционально
величине Ozy=Mj и собственные состояния отмеча-
отмечаются индексом М. Благодаря наличию формулы (8.40)
экспериментально измеренное расщепление дает инфор-
информацию о L и S.
Г. Классификация термов
Атомы с двумя валентными электронами
Если атом состоит из замкнутых оболочек и содержит
всего два валентных электрона в состояниях с орбиталь-
орбитальным угловым моментом I, то в соответствии с обычным

240 Глава 8
правилом векторного сложения единственными возмож-
возможными значениями L и 5 могут быть L=0, 1, 2, . . ., 21
и 5=0, 1. Но не все комбинации этих значений L и S
оказываются разрешенными, когда на волновую функцию
налагается необходимое условие антисимметрии. Как
будет показано ниже, состояния с четными L симмет-
симметричны относительно перестановки орбитальных коор-
координат, а состояния с нечетными L — антисимметричны.
Будет показано также, что относительно перестановки
спиновых переменных двух частиц состояния с 5 = 1
являются симметричными, а состояния с 5=0 — анти-
антисимметричными. Таким образом, для полностью анти-
антисимметричных состояний раз-
/——~ . решенными являются следую-
/ щие комбинации: 5=1 при не-
—- ' четном L и 5=0 при четном L.
Для состояний с данными L
J'f и 5, которые иногда называют
термами, принято обозначение
J'Q 2S+1L. Индекс 2S-{-l называют
мультиплетностью терма, по-
поскольку им определяется число
уровней /, на которые расщеп-
расщепляется терм при включении возмущения Н2[формула (8.38)].
Так, в случае двух валентных электронов с 1=1 (напри-
(например, в атоме углерода с Z=6) должны быть термы 3P,1S
и 1D (здесь мы по-прежнему пользуемся спектроскопи-
спектроскопическими обозначениями 5, Р, D. . . для L=0, 1, 2, . . .).
Учет возмущения Н2 не может привести к расщеплению
«синглетных» термов ^иЩ, поскольку при 5=0 имеется
единственная возможность J—L. Однако «триплетный»
терм расщепляется на три уровня с /=2, 1 и 0, энергии
которых даются формулой (8.39); уровни представлены
на рис. 8.2.
Доказательство перестановочной симметрии двухчастичной
волновой функции
Здесь мы выведем указанное выше соотношение между
значениями L и 5 для двух электронов и симметрией
по отношению к независимой перестановке координатных
и спиновых "переменных этих электронов. Рассмотрим

Угловой момент и группа Э{$ 241
сначала возможные координатные волновые функции.
Если у двух частиц одинаковые наборы одночастичных
индексов nl, то двухчастичные волновые функции могут
отмечаться либо индексом m-jn^ в базисе простого произ-
произведения, либо индексом LM, где L=2l, 11—1, ...,1,0,
в связанном базисе. Заметим, что состояние с максималь-
максимальным значением M=L=2Z соответствует простому произ-
произведению с m1=mi=l и поэтому является симметричным:
обе частицы находятся в одном и том же состоянии. По-
Поскольку понижающий оператор L_ = Z_ A)+Z_ B) тоже
симметричен, ясно, что все состояния с максимальным
значением L=2l и любыми значениями М тоже симмет-
симметричны. Рассмотрим далее состояния с М=21—1. В базисе
простых произведений имеются два таких состояния:
с тх~1, т2 = 1—1 и с m1 = l—1, ш2 = 1; в связанном ба-
базисе они будут различаться индексами L=2Z и L—21—1.
В базисе простых произведений оператор перестановки
Р12 просто меняет местами два состояния, так что ему
соответствует матрица (J J) с нулевым характером. От-
Отсюда мы заключаем, что и в случае связанного базиса, в
котором состояние с L=2l симметрично, состояние с
L=2l—1 должно быть антисимметричным, чтобы обес-
обеспечивалось равенство нулю характера. Продолжая такие
рассуждения, мы видим, что при М=21—2 имеется набор
из трех состояний, причем характер матрицы равен 1,
так что состояние с L=2l—2 симметрично. Обобщая
данный результат, мы приходим к выводу, что состояния
с четным L симметричны, а с нечетным — антисиммет-
антисимметричны.
В случае полуцелого спина s аналогичные рассуждения
показывают, что состояние с максимальным спином S=2s
вновь симметрично, со спином S—2s—1 антисимметрично
и т. д. Но поскольку s — полуцелое, это означает, что
нечетным S соответствуют симметричные состояния, а
четным — антисимметричные. В частности, для элект-
электрона с s=V2 двухчастичное состояние с ? = 1 является
симметричным, а с 5=0 — антисимметричным.
Атомы с тремя валентными электронами
Классификация термов двух валентных электронов
была установлена путем анализа перестановочной сим-
симметрии орбитальной и спиновой частей волновой функ-

242 Глава 8
ции. В случае трех частиц следует точно так же исполь-
использовать группу # всех перестановок трех объектов. Эта
группа была введена в гл. 2, § 2 (пример 10), и был по-
казан'ее изоморфизм точечной группе Ds (гл. 2, § 3; гл. 2,
§а7, п. В). Следовательно, она имеет таблицу характеров,
совпадающую с приведенной в табл. 4.2 для ZK (табл. 8.1).
Таблица 8.1
«, с /1 2 3\ /1 2 з\ . „ _
<*% Е B 3 1/' Ь 1 2/ ри. Р.з. рп
1 1 1
1 1 —1
2—1 0
Для'различения неприводимых представлений мы вве-
введем индексы s, а, т, соответствующие симметричному,
антисимметричному и смешанному представлению. Пред-
Представление Ти) является единичным, а потому оно сим-
симметрично по отношению к любым перестановкам. Пред-
Представление Т(а) является] антисимметричным, поскольку
любая парная перестановка Р^ приводит к изменению
знака. Заметим, что элементы второго класса, подобные
(I ? I), являются произведением двух парных переста-
перестановок T(J I D=PiaPi2 и потому имеют индекс +1 в
таблице для Т(а>. Двумерное представление Т(лг) об-
обладает 'базисными функциями, которые не являются ни
симметричными, ни антисимметричными; оно называется
просто смешанным. (Для группы §fn с п>3 имеется
более одного типа смешанных представлений, и их сле-
следует отмечать более сложными индексами; т. 2, гл. 17.)
Пользуясь таблицей характеров, можно проанализи-
проанализировать (как в гл. 4, § 17) разложение произведения пред-
представлений, и тогда оказывается, что Т(а) входит только
в произведения
T<s>®T<a\ T<a>B)T<s>, TWglTe"). (8.41)
Следовательно, полностью антисимметричную волновую
функцию для трех электронов можно построить из от-
отдельных орбитальной и спиновой частей только при

Угловой момент и группа 3{$ 243
условии, что эти части преобразуются согласно пред-
представлениям (8.41). Перейдем теперь к определению воз-
возможных значений L и S, связанных с перестановочной
симметрией (по аналогии со случаем двух электронов).
Вообще говоря, поскольку операторы L± (и S±) симмет-
симметричны, при данном значении L (или S) состояния с раз-
разными ML (или Мs) обладают одинаковой перестановоч-
перестановочной симметрией.
Если частицы 1 и 2 в силу векторной связи дают S = lr
то связь с частицей 3 может дать S=s/2 и S=1/2. Если же
частицы 1 и 2 дают 5=0, то за счет частицы 3 возникает
другое состояние — с S=1/i. Учитывая мультиплетность
состояний 25+1, мы получаем правильное полное число
состояний 23=8. Рассуждая так же, как и в случае двух
частиц, приходим к выводу, что четыре состояния^ S=3/z
должны быть симметричными. Этим и исчерпывается
число симметричных состояний, поскольку в общем
случае число симметричных тройных произведений, ко-
которые можно образовать из п разных одночастичных
состояний, равно 1/(.п(п-\-1)(п-\-2); при п=2 это числа
равно четырем. Аналогично число антисимметричных
состояний равно 1/еп(п—1)(п—2), причем при п=2 оно
равно нулю. Это и понятно, если имеются только два
одночастичных состояния, поскольку в этом случае две
частицы из трех должны были бы находиться в одина-
одинаковых состояниях, так что антисимметрия невозможна.
Поэтому состояния с S=1/2 обладают смешанной симмет-
симметрией, и то, что таких состояний должно быть два (в до-
дополнение к мультиплетности 25+1), можно было сказать
заранее, так как представление Т(Я!> двумерно.
Аналогичные рассуждения для орбитальных состоя-
состояний показывают, что при Z=l имеется одно антисиммет-
антисимметричное состояние; поэтому оно должно иметь L—0 и
соответствует просто определителю, построенному на
трех одночастичных состояниях с т=1, 0, —1. По пра-
правилу векторного сложения 33=27 состояний следующим
образом подразделяются по значениям L: S-]-iiP-\-2D-\-F,
причем вновь F-состояние как состояние с максимальным L
должно быть симметричным. Однако общее число сим-
симметричных состояний равно теперь V6x3x4x5 = 10; это
указывает на то, что одно из Р-состояний .^также*
должно быть симметричным. Поэтому остающаяся пар»

244 Глава 8
Р- и D-co стояний должна обладать смешанной симмет-
симметрией.
Объединяя эти выводы с помощью формулы (8.41), мы
заключаем, что, например, для атома азота (Z=7) с тремя
валентными р-электронами возможные термы таковы:
iS, 2P и 2D. Для детального построения волновых функций
последних двух состояний необходимо использовать ко-
коэффициенты Клебша — Гордана для группы <f73 при раз-
разложении произведения представлений ТСт) (л) T(ml с целью
образования антисимметричной функции.
Результаты, полученные выше в какой-то мере искус-
искусственно, могут быть получены также путем использо-
использования характеров симметризованных произведений (т. 2,
приложение 3, §. 1; см. также гл. 18, § 10). Обобщение
на случай большего числа валентных частиц, будучи в
принципе простым, оказывается более ^трудоемким.
Д. Упорядочение термов
Чтобы вычислить относительные энергии „ различных
возможных термов на основе описанных ниже методов, в
частности чтобы найти значения S и L основного состоя-
состояния, необходимо вычислить матрицу возмущения Hi в
этих состояниях. В простых примерах, приведенных выше,
имелось не более одного терма с заданными значениями
S и L, так что матрица, записанная в связанном LS-
базисе, будет диагональной. Вычисление матричных эле-
элементов, как правило, оказывается весьма сложным про-
процессом, который мы : не будем рассматривать детально.
Существует, однако, ряд общих моментов в такого рода
вычислениях, обусловленных наличием симметрии и на-
находящих простые объяснения.
Имеется тесная связь между значением полного спина
S и симметрией волновой функции при перестановках
как спиновых, так и пространственных переменных,
выполняемых порознь. В частности, мы видели, что вол-
волновые функции для системы t электронов с максимальным
спином iS=y2? должны быть полностью симметричными
при перестановках спиновых переменных и потому пол-
полностью антисимметричными при перестановках прост-
пространственных переменных. При произвольных значениях S
можно получить некую меру симметрии, если заметить,

Угловой момент и группа ffi3 245
что для любой пары частиц i и / существует следующее
соотношение между оператором полного спина S(?/)=a
=s(i)-f-s(/) и оператором спинового обмена Р?/, пере-
переставляющим спиновые переменные частиц i и /':
S*{if) = l+Pfi. '8.42)
Действительно, в полном наоорэ Четырех спиновых со-
состояний двух частиц со едином 1/2 обе части равенства
(8.42) имеют одинаковую матрицу (задача 8.8). Переходя
далее к системе t электронов и суммируя левую часть
равенства (8.42) по всем парам частиц, получаем
тогда как для квадрата полного саина имеем
S@()
i ]P?/ есть искомая прямая мера перестано-
вочной симметрии, поскольку каждая симметричная пара
дает собственное значение -Ы, а антисимметричная —
собственное значение —1. Из равенства (8.43) видна связь
между оператором Ms и полным спином S. В частности,
состояния с максимальным спином iS=s1/2f одновременно
являются собственными функциями оператора Ms, со-
соответствующими собственным значениям }l2t(t—1), чем
подтверждается полная симметрия всех пар спинов. Для
состояний с S=1/2 при ?=3 формула (8.43) дает, что.М9
имеет нулевое собственное значение, "так что состояние
смешанной симметрии Т(т> для трех частиц содержит
симметричные и антисимметричные пары в одинаковой
пропорции. Вообще говоря, из формулы (8.43) явствует,
что при уменьшении S уменьшается и собственное зна-

246 Глава 8
чение оператора Ms, т. е. постепенно снижается число
симметричных пар спинов.
По определению любая полностью антисимметричная
волновая функция *Р должна удовлетворять соотношению
Рц^?=—?, где Рц — оператор перестановки всех пе-
переменных для частиц i и /. Однако Р^=Р^Р^-, где
Prij — оператор перестановки только пространственных
координат, так что Р^-Ч*"=—Pf7-Ч*". Поэтому на классе
антисимметричных волновых функций мы всегда имеем
точное соотношение Р|/=—Р?/- Определив далее опе-
оператор Мг= 2 PJ/i имеем Мг=—Ms, откуда [с учетом
t= t— \ t*—S (S +1). (8.44)
При фиксированном числе t электронов уменьшение пол-
полного спина S означает увеличение Мг и, стало быть,
возрастание числа пар частиц, симметричных по отно-
отношению к перестановке их пространственных координат.
При максимальном значении спина S—1/^ величина Мг,
согласно формуле (8.44), равна —1/it(t—1), что соответ-
соответствует полной антисимметрии по пространственным ко-
координатам для всех пар частиц.
Вернемся теперь к уровням энергии атомов и рас-
рассмотрим следствия, вытекающие из связи между спином и
перестановочной симметрией. Поскольку упорядочение
термов определяется отталкиванием между электронами,
основным состоянием будет то, в котором отталкивание
минимально. Как правило, отталкивание минимально
при минимальной симметрии электронов относительно
перестановок пространственных координат. Согласно фор-
формуле (8.44), это соответствует максимальному значению
спина S=1/2t, когда все пары частиц антисимметричны
по координатам. Поэтому основное состояние должно
соответствовать максимальному спину S=1/2t, а энергии
при других значениях S должны возрастать с уменьше-
уменьшением S. Этот вывод интересен тем, что он относится к
спину, хотя возмущение Hi от спина не зависит. Это
объясняется тем, что значениями S определяется спи-
спиновая симметрия, которой через условие полной анти-
антисимметрии волновой функции определяется координатная
симметрия системы электронов.

Угловой момент и группа 3iz 247
Значение У2? максимального спина системы t валент-
валентных электронов с одинаковыми квантовыми числами nl
требует модификации при заполнении оболочки более
чем наполовину. В оболочке может находиться не более
2BZ+1) электронов, но лишь половина из них будет
иметь значение ms = +1/2. Поэтому значение S = -\-1/it
может быть достигнуто лишь при заполнении первой
половины оболочки fcs^2Z-t-l. При дальнейшем заполнении
максимальное значение ? убывает с ростом t, причем
термы для [2BZ+1)—t] электронов фактически оказы-
оказываются теми же, что и для t электронов.
Упорядочение термов с одинаковыми значениями t
и S проанализировать несколько труднее, но и здесь
имеется простое общее правило. Экспериментальные дан-
данные показывают, что в основных состояниях величина L
имеет максимальное из возможных значений. Это можно
качественно объяснить тем, что вероятность нахождения
двух частиц вблизи друг от друга уменьшается в состоя-
состояниях с высоким орбитальным угловым моментом. Учиты-
Учитывая форму кулоновского потенциала, отсюда можно сде-
сделать вывод о меньшем значении энергии отталкивания
в состояниях с высоким L.
То положение, что атомные основные состояния соот-
соответствуют максимальному значению ? и максимальному
значению L, совместимому с данным значением S, было
эмпирически установлено Хундом в 1927 г. и носит на-
название правила Хунда. Некоторые детальные вычисления
упорядочения уровней энергии можно найти ]bjt. 2, при-
приложение 5, § 1.
ЛИТЕРАТУРА
Рекомендуем классический учебник
Condon E. U., Shortley G. #., The Theory of Atomic Spectra,
Cambridge University Press, London, 1935. [Имеется перевод: Кон-
дон E., Шортли Г. Теория атомных спектров.— М.: ИЛ, 1949.],
хотя многие из изложенных в нем методов были благодаря работам
Рака заменены изложенными в нашей книге.
Из более новых учебников рекомендуем
Slater J. С, Quantum Theory of Atomic Structure, McGraw-
Hill, New York, 1960.
Подробно о применении теории симметрии в атомных структурах
см. в книге

248 Глава 8
JuddB. /?., Operator Techniques in Atomic Spectroscopy, McGraw-
Hill, New York, 1963.
Дополнительная литература *):
Джадд Б. Вторичное квантование п атомная спектроскопия.—
М.: Мир, 1970.
Джадд Б., Вайнборн Б. Д. Теория сложных атомных спект-
спектров.— М.: Мир, 1973.
Слэтер Дж. Электронная структура молекул.— М.: Мпр, 1965.
ЗАДАЧИ
8.1. Состояние с / = 4 распадается и переходит в состояние с /'=2.
Каковы возможные значения мультипольности перехода?
8.2. Пользуясь формулой (8.3), найдите минимальное значение уг-
углового момента ; для состояния, в котором квадрупольный
момент (к=2) отличен от нуля.
8.3. Вычислите коэффициенты Клебша — Гордана, как в задаче
7.8, или возьмите их из работы Ротенберга и др. (см. литера-
литературу к гл. 7) и напишите волновую функцию (8.24) для случая,
когда 1=2, s=1/i, 7=3/2, тга=3/2.
8.4. Пользуясь соотношениями G.26), докажите перестановочное
соотношение
[J,, (i.s)] = 0, где iq = Lq + Sq.
8.5. Методом, основанным на формуле (8.32), выведите представлен-
представленные в § 5 выражения для амплитуд Aj зс .мановского расщеп-
расщепления.
8.6. Покажите, что электронная конфигурация атома азота {2=1)
такова: (IsJ BsJ BрK.
8.7. Исходя из ответа задачи 7.7, докажите, что состояние с S=0
двух частиц со спином s=1/2 антисимметрично по отношению к
перестановкам этих частиц.
8.8. Докажите соотношение (8.42), вычислив матричные элементы
обеих его частей в четырехмерном пространстве спиновых
состояний двух частиц со спином х/2. (Используйте связанный
базис с индексами SMs-)
8.9. Найдите возможные комбинации значений L и S для трех
d-электронов.
Добавлено при переводе,— Прим. ред.

9
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В ТЕОРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В предшествовавших главах мы уже встречались с
несколькими примерами точечных групп, а также с их
применениями при изучении молекулярных колебаний
(гл. 6). В данной главе мы выведем формальные свойства
всех точечных групп, являющихся конечными подгруп-
подгруппами группы О3 ортогональных преобразований в трех,
мерном пространстве. Эти группы имеют важное физи_
ческое значение, так как они описывают симметрию мо
леку л и геометрических фигур (таких, как правильные-
многогранники). Некоторые из точечных групп, а именно
32 кристаллографические точечные группы, особенно
важны, так как они описывают симметрию идеальных
кристаллических решеток и потому широко применяются
в физике твердого тела.
В последней части данной главы (§ 9) рассматривается
атом в поле с потенциалом, обладающим симметрией
точечной группы. Этот случай соответствует кристаллу,
где ионы, окружающие атом, расположены в соответ-
соответствии с симметрией кристалла. Такой пример очень ясно
показывает большие возможности симметрийного подхода
и хорошо иллюстрирует большую часть методов анализа
систем, обладающих симметрией точечной группы.
§ 1. ОПЕРАЦИИ ТОЧЕЧНОЙ ГРУППЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
К сожалению, существует несколько разных систем
принятых обозначений для элементов точечных групп.
В данной книге, как и почти во всей литературе по физи-
физическим приложениям теории точечных групп, использу-
используются обозначения Шенфлиса 1). Другой системой обозна-
*) В советской литературе также принята эта система, хотя
иногда используется так называемая международная система (см.,
например, книгу Штрайтвольфа, а также И. G. Желудева).— Прим.
перев.

250 Глава 9
чений является так называемая «международная» система.
Сводная таблица этих двух систем обозначений приведена
в приложении 1 (т. 2).
Элементами точечных групп являются собственные и
несобственные вращения, т. е. вращения, включающие и
не включающие инверсию. Начало координат остается
фиксированным относительно всех преобразований —
элементов точечной группы; иными словами, все оси
вращения и плоскости отражений содержат начало ко-
координат. Если поворот на угол а является элементом
точечной группы, то и любая конечная целая степень
его также является элементом группы; какая-либо сте-
степень его должна быть равной единичному оператору Е,
поскольку точечная группа конечна. Следовательно, можно
написать [R(a)]n=R{na)=E=RBnm), так что угол а
должен иметь вид 2пт/п, где т и п — целые числа. Если
для данной оси симметрии наименьший угол поворота
равен 2п/п, то ось называется осью симметрии n-го по-
порядка. Поворот на угол 2п/п, согласно Шенфлису, обо-
обозначается через С„.
Ось симметрии максимального порядка обычно счи-
считают вертикальной; тогда перпендикулярная плоскость,
естественно, оказывается горизонтальной. Отражение в
горизонтальной плоскости обозначается через ah, а в
вертикальной — через ov. Произведение поворота С„
на отражение а в плоскости, перпендикулярной оси вра-
вращения Сп, называется зеркальным поворотом и обозна-
обозначается через Sn. Зеркальный поворот можно выразить
через инверсию I и собственное вращение, поскольку
произведение сС2 эквивалентно инверсии всех осей,
т. е. аС2=1, так что ff=IC2, и поэтому
Теперь мы можем строить точечные группы, начав с
простейших и добавляя к ним элементы симметрии. До-
Добавление одного нового элемента симметрии к сущест-
существующей группе приводит к появлению других элементов.
Из простых геометрических соображений можно сфор-
сформулировать следующие правила:
1) при добавлении операции инверсии (коммутирующей
со всеми остальными элементами группы) полное число
элементов группы удваивается;

Точечные группы и их применение 251
2) при добавлении горизонтальной оси 2-го порядка
к вертикальной оси n-го порядка появляются п—1 других
горизонтальных осей 2-го порядка;
3) при добавлении вертикальной плоскости симметрии
av к вертикальной оси n-го порядка появляются п—1
других вертикальных плоскостей симметрии.
§ 2. СТЕРЕОПРОЕКЦИЯ
"Для описания симметрии точечной группы вращений
можно взять сферу с центром в начале координат, вы-
выбрать на ее поверхности произвольную точку и затем
отмечать все положения, которые она будет занимать в
результате операций вращений группы. Чтобы предста-
представить результаты в двух измерениях, отмеченные точки
следует отобразить на плоскости следующим образом.
Всякая точка «северной» полусферы проектируется на
экваториальную плоскость прямой линией, проходящей
через «южный» полюс; эта проекция отмечается крести-
крестиком. Всякая точка «южной» полусферы проектируется на
экваториальную плоскость прямой, проходящей через
«северный» полюс; эта проекция отмечается кружком.
Такой способ отображения характеризуется тем, что
точки, лежащие на окружности в одной из полусфер,
отображаются в окружность на плоскости, но центры этих
окружностей не отображаются друг в друга. Ряд подоб-
подобных стереопроекций показан на рис. 9.1. На них ис-
использованы следующие обозначения. Оси вращения по-
помечены значками, обладающими симметрией га-го порядка:
темными эллипсами, треугольниками, квадратами и ше-
шестиугольниками обозначены оси С2, С3, С4 и Ce, a
светлыми — оси S2, S3, S4 и Se. Плоскости отражения
обозначаются сплошными линиями, а другие линии по-
построения и оси вращения — пунктирными. Такой способ
представления особенно удобен в случае простейших
групп, обладающих лишь одной осью симметрии га-го
порядка g тО>2. Другие группы удобнее представлять
себе как группы операций симметрии правильных много-
многогранников (например, тетраэдра и куба).

/ \
" C\
сг
, ~\ /"« \ / « \
\ I « \ / » x \
i » : ' ¦ ii e i
. /' \« , / V" »/
4-iLl
°Jv
-'c-
,J--
^1v
<-2h
Jy
3h ^4tl
/^ X 4.
cR,
о В °] { , <» , )
v / \ '
Рис. 9.1

Точечные группы и их применение
§ 3. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
В этом параграфе мы ограничимся тем, что опишем
геометрически операции каждой группы. Для полного
изучения какой-либо конкретной группы читателю сле-
следует обратиться к стереопроекции на рис. 9.1 п определить
геометрически произведение любой пары операций груп-
группы, построив таким образом таблицу произведений. В § 4
мы остановимся на разбиении элементов по классам. Рас-
Рассмотрим прежде всею группы, содержащие лишь соб-
собственные вращения.
А. Собственные группы
Группы Сп
: Простейшие точечные группы, которые мы можем
построить, обладают одной осью симметрии n-го порядка
для собственных вращений. Эти группы являются абеле-
выми порядка п, поскольку вращения вокруг одной оси
коммутируют друг с другом. Они являются также цик-
циклическими, так как образованы одним^'элементом С„
и его степенями С*, Csn, . . ., Qj=;E.
Группы диэдра Д>„
Единственный способ, которым можно добавить еще
одну ось симметрии к группе Сп без того, чтобы образо-
образовались новые оси симметрии порядка п (в дополнение к
имеющейся оси С„), состоит в добавлении горизонтальной
оси второго порядка. Согласно правилу 2 из § 1, это
приводит к появлению п—1 других горизонтальных осей
второго порядка. Группу ZJ, имеющую в точности три
взаимно перпендикулярные оси второго порядка, иногда
обозначают через V. Группа D± не является новой, так
как это просто группа С2, у которой ось симметрии го-
горизонтальна.
Выше говорилось, что любая другая собственная то-
точечная группа должна иметь две или более осей порядка
п; выясним теперь, какие из них действительно возможны,
рассмотрев группу с несколькими осями порядка п, пере-
пересекающимися в центре сферы. Если отметить на сфере
точки Pi, в которых оси п-то порядка пересекают ее, та

254 Глава 9
в силу n-кратной вращательной симметрии относительно
любой из осей точки Pt будут вершинами правильного
многогранника (полиэдра). Если теперь соединить со-
соседние точки Pt сегментами больших кругов на поверх-
поверхности сферы (ребрами), то мы получим на ней некоторую
«сеть». На рис. 9.2 изображено по-
подобное построение для случая десяти
осей третьего порядка. Имеется заме-
замечательная геометрическая теорема,
доказанная Эйлером, о соотношении
между числом вершин В, числом
ребер Р и числом граней Г у постро-
построенной геометрической фигуры. Со-
Согласно этой теореме,
Рис- 9-2 В — Р + Г=2. (9.1)
Кроме того, следует учесть, что каждое ребро имеет на
своих концах по две вершины, а в каждой вершине пере-
пересекается п ребер, так что Р=пВ/2. Если обозначить число
ребер каждой грани через s, то, учитывая, что каждое
ребро принадлежит двум граням, мы получим также
P=Fs/2, откуда nB=Fs. Теперь можно переписать ра-
равенство (9.1) в виде
^^ 2 (9.2)
или
ia.l-l.L-L
п ~т~ s 2 "*"Г« "
Поскольку величина Ts положительна, отсюда следует
ограничение
Т + Т>Т- (9-3)
При п=2 из (9.2) следует, что Г=2, и нетрудно сооб-
сообразить, что подобная процедура просто удвоит рассмот-
рассмотренные выше группы диэдра. При пг>2 мы получим воз-
возможности, перечисленные в табл. 9.1, где приведены
также соответствующие значения Г, В и Р. В последнем
столбце таблицы указаны названия правильных много-
многогранников, образуемых точками Pt в каждом случае.
При п^б получаем s=2, и это вновь приводит нас к
группам диэдра. Полные группы симметрии для каждого

Точечные группы и их применение 255
n
3
3
3
4
5
>
3
4
5
3
3
г
4
6
12
8
20
в
4
8
20
6
12
р
6
12
30
12
30
Таблица 9.1
Многогранник ~л
Тетраэдр
Куб
Додекаэдр
Октаэдр
Икосаэдр
из этих случаев будут включать помимо осей вращения
и-го порядка и другие элементы симметрии, о которых
будет сказано ниже. Таблицы характеров этих групп
приведены в приложении 1 (т. 1).
Группа тетраэдра Т
Согласно первой строке табл. 9.1, через вершины
тетраэдра, как показано на рис. 9.3, проходят четыре
оси третьего порядка. Очевидно, что произведение вра-
Рис. 9.3
щений вокруг осей третьего порядка эквивалентно вра-
вращениям вокруг осей второго порядка, проходящих через
центры противоположных ребер тетраэдра. Например,
если за поворотом на угол 2л/3 вокруг оси С на рис. 9.3

256
Глава 9
последует поворот на угол —2л/3 вокруг «вертикальной»
оси А, то это приведет к перестановке между собой пар
осей А и В, С и D. Такой комбинированный поворот
эквивалентен повороту вокруг оси второго порядка Е.
Никаких других поворотов при этом не возникает, так
что группа Т является по
существу набором собст-
собственных операций, преобра-
зующих в себя правиль-
ный тетраэдр.
Группа октаэдра О
Согласно второй стро-
строке таблицы 9.1, через про-
противоположные вершины
куба (рис. 9.4) проходят
оси вращений третьего по-
порядка. Полная группа сим-
симметрии, как и ранее в слу-
случае тетраэдра, будет вклю-
включать в себя все собственные
операции, преобразующие
куб в себя, так как именно
эти операции переводят
друг в друга оси четвертого
порядка. Новыми элемен-
элементами являются повороты
вокруг осей четвертого по-
порядка, проходящих через
центры противоположных
граней, и вокруг осей вто-
второго порядка,проходящих
через центры противопо-
противоположных ребер.
же группа элементов симметрии получается, если
табл. 9.1, соответствующей
новые элементы симметрии
Рис. 9.4
I/
f\ Vs".
_J—^—**—
/ /
\//
Д / /
Рис. 9.5
Та
начать с четвертой строки
октаэдру; при этом никакие
не возникают. На рис. 9.5 изображен октаэдр, вписанный
в куб, что наглядно демонстрирует эквивалентность их
симметрии; по этой причине группа носит название
группы октаэдра.

Точечные группы и их применение
257
Группа икосаэдра У
Группа, соответствующая третьей строке табл. 9.1,
обладает осями вращений третьего порядка, проходящими
так, как показано на рис. 9.6. Полная группа симметрии
содержит вновь все собственные операции, преобразующие
Рис. 9.7
додекаэдр в себя. Новыми элементами являются пово-
повороты вокруг осей пятого порядка, проходящих через
центры противоположных граней, и осей второго порядка,
проходящих через середины противоположных ребер до-
додекаэдра.
Как и ранее, та же группа симметрии получится,
если начать с икосаэдра (пятая строка табл. 9.1); на рис.
9.7 изображен додекаэдр, вписанный в икосаэдр.
Б. Несобственные группы
Несобственные группы образуются путем добавления
несобственного элемента Sn к описанным выше собст-
собственным группам. Это должно быть сделано так, чтобы не
возникало ни одного нового собственного вращения, во
избежание удвоения группы. В случае групп Сп, обла-
обладающих единственной осью собственных вращений, можно
добавить в качестве несобственного элемента отражение в
горизонтальной или вертикальной плоскости, не приво-
приводящее ни к какому собственному вращению. Так могут
быть получены две новые точечные группы Сп^ и Cvn.

258 Глава 9
Группы Cnh
Эти группы образуются добавлением отражения в
горизонтальной плоскости оЛ к группе Сп. Они содержат
в качестве элемента инверсию, если порядок п четный, так
как при этом С)/2"сгА=1.
Группы Cnv
Эти группы образуются добавлением отражения в
вертикальной плоскости ар к группе Сп, что автомати-
автоматически ведет к появлению п вертикальных плоскостей
зеркального отражения. Разумеется, между группами
Cih и С1р нет никакого различия, так как каждая из них
содержит лишь по одному отражению и единичному
элементу.
Группы S2n
В частном случае к группе Сг (сводящейся просто к
единичному элементу) можно добавить любой из элементов
Sp и получить группу Sp с единственной осью порядка р
для зеркальных поворотов. При этом, однако, группы Sp
с нечетным р тождественны группам Cph, так как они
содержат Ср и сй в качестве элементов. Это доказы-
доказывается тем, что SPfl=(Cpah)P+1=CpP+1a^+1=Cp при
нечетных р, и, следовательно, группа Ср включена в
Sp. Аналогично Sp = (Cpah)P=Cpoph=oh при нечет-
нечетных р, а значит, oh также содержится в Sp. В случае
четных р=2п (п целое) образуется новая группа S2n.
При этом, если п нечетное, группа S2n содержит в ка-
качестве своего элемента также инверсию, поскольку
S^t=C2^a^=C2ah=\; в частности, группа S2 содержит
только единичный элемент Е и инверсию I. Группы
S2n являются циклическими группами порядка 2п и
состоят из элементов S2n, S|n, . . ., S2"=E.
В случае групп Dn можно аналогичным образом до-
добавлять горизонтальные и вертикальные плоскости от-
отражения.
Группы Dnh
Эти группы образуются добавлением отражения в
горизонтальной плоскости oh к группам Dn\ согласно

Точечные группы и их применение 259
правилу 3 из § 1, в этом случае должны существовать
также вертикальные плоскости отражения, содержащие
все п горизонтальных осей второго порядка.
Группы Dnd
Эти группы образуются добавлением отражения в
вертикальной плоскости а„, причем эта плоскость делит
пополам угол между двумя соседними горизонтальными
осями второго порядка. Дополнительные п — 1 плоско-
плоскостей этого типа образуются, конечно, вращением на углы,
кратные 2я/га; соответствующие отражения обозначаются
через о а, где индекс d, как и в обозначении Dnct, озна-
означает «диагональный». Эти группы можно рассматривать
как результат добавления «горизонтальной» оси второго
порядка к группам S2n-
Рассмотрим далее несобственные группы, образован-
образованные из групп Т, О, Y добавлением несобственных эле-
элементов.
Полная группа тетраэдра Т^
Она включает в себя все собственные и несобственные
операции, преобразующие тетраэдр в себя; эта группа
образуется добавлением к группе Т плоскостей отражения,
проходящих через пары вершин тетраэдра и середину
противоположного ребра. Существование шести таких
плоскостей отражения, перпендикулярных осям второго
порядка, означает наличие шести зеркальных поворотов
S4 вокруг этих осей.
Группа Th
Эта группа образуется добавлением к группе Т опе-
операции инверсии. Инверсия не является операцией сим-
симметрии для тетраэдра и потому не содержится в Td. Группа
Тh есть прямое произведение групп Т и S2, т. е. Тh=T XS2.
Полная группа октаэдра Од
Эта группа образуется добавлением к группе О ин-
инверсии I. Поэтому группа Oh является прямым произ-

260 Глава 9
ведением групп О и S2(Oh=OxS2). Группа Оh включает
в себя все собственные и несобственные операции сим-
симметрии, преобразующие в себя куб или октаэдр.
Группа Yh
Эта группа образуется добавлением инверсии к груп-
группе Y и, таким образом, равна прямому произведению
групп Y и S2(Yh—YxS2)- Она является полной группой,
включающей в себя все собственные и несобственные
операции симметрии, преобразующие икосаэдр или до-
додекаэдр в себя.
§ 4. СТРУКТУРА КЛАССОВ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
Для упрощения построения неприводимых представ-
представлений точечных групп методами, изложенными в гл. 4,
разобьем прежде всего элементы групп на классы, ис-
используя частично результаты гл. 2, § 6 и 7. Классы обо-
обозначаются по типичному элементу, принадлежащему
этому классу, поскольку все элементы данного класса —
это вращения на одни и тот же угол (например, поворот
Сп или зеркальный поворот S^). Перед обозначением
типичного элемента указывается число элементов в классе.
Если элемент класса представляет собой т-ю степень
поворота С„ вокруг оси порядка п, то он обозначается
символом (Cn)m=Q?, перед которым ставится число
элементов класса. Вместо обозначений S± и S2 обычно
используются символы а и I, причем индекс у о пока-
показывает, относительно какой плоскости (горизонтальной
или вертикальной) происходит отражение. Если имеется
несколько неэквивалентных классов вращений Сп, то
они различаются штрихами или индексами, обозначаю-
обозначающими ось вращения (обычно ось z является осью макси-
максимальной симметрии).
А. Собственные точечные группы
Группы Сп
Поскольку эти группы являются абелевыми, каждый
элемент сам по себе является классом.

Точечные группы и их применение 261
Группы Х>„
Наличие дополнительных осей второго порядка при-
приводит к тому, что элементы С? и С^р попадают в один
класс; такие осп называют двусторонними. (Эти эле-
элементы не различаются, если р=п/2 при четном п, по-
поскольку тогда С? есть поворот на угол п.) При нечет-
нечетном п все повороты на угол л вокруг горизонтальных
осей относятся к одному классу, однако при четном п
операции поворотов вокруг двух последовательных осей
второго порядка попадают в два неэквивалентных класса.
Например, для группы ZL классами являются Е, 2С4,
CJ, 2C2, 2CJ, а для группы ?>5 - Е, 2С5, 2С|, 5С2.
Группа тетраэдра Т
Для этой группы все повороты на угол я переводят
оси второго порядка друг в друга. Из восьми поворотов
на угол 2л/3 не все принадлежат одному классу, но раз-
разделяются на два класса по четыре элемента в каждом
(этими элементами можно считать повороты по и против
часовой стрелки вокруг четырех осей третьего порядка).
При этом повороты, в результате которых ось станови-
становилась бы двусторонней, отсутствуют; группа состоит из
следующих классов: Е, ЗС2, 4С3, 4Cj.
Группа октаэдра О
Восемь поворотов на угол 2я/3 принадлежат одному
классу, поскольку имеется поворот на угол я вокруг
оси, перпендикулярной каждой оси третьего порядка,
который и делает эти оси двусторонними. Указанные
шесть поворотов на я принадлежат одному классу, но
отличаются от трех других поворотов на я вокруг осей
четвертого порядка. Таким образом, группа О разби-
разбивается на классы Е, 8С3, ЗС|, 6С2, 6С4.
Группа икосаэдра Y
В этой группе имеется шесть двусторонних осей пятого
порядка, пятнадцать осей второго порядка и десять дву-
двусторонних осей третьего порядка. Эта группа имеет
следующее разбиение на классы (см. книгу Мурнагана):
Е, 12С„ 12С|, 15С2, 20С3.

262 Глава 9
Б. Несобственные точечные группы
Прежде чем подробно рассматривать несобственные
точечные группы, отметим общие особенности их струк-
структуры. Прежде всего, произведение двух несобственных
элементов является элементом собственным. Действитель-
Действительно, детерминант несобственных вращений равен —1 (гл. 7,
§ 4), а их произведение должно иметь детерминант +1;
следовательно, оно должно быть собственным вращением.
Аналогично произведение несобственного н собственного
элементов должно быть несобственным элементом. Рас-
Рассмотрим теперь несобственную группу S, элементы ко-
которой разделены на два множества: собственные элементы
Ж и несобственные Ж, так что можно написать <§=Ж-\-9?-
Умножив обе части этого равенства на какой-либо не-
несобственный элемент К(-, по теореме о перечислении групп
(гл. 2, § 9) получим
. (9.4)
Поскольку элементы К;Н являются несобственными,
а КгК — собственными, мы имеем К;Н=К, а КгК=Н, что
позволяет написать
G = H + K,H. (9.5)
Если в качестве одного из несобственных элементов в
группе имеется инверсия I, то можно выбрать Кг = 1
и, учитывая коммутативность I со всеми другими эле-
элементами группы, записать группу S в виде прямого
произведения Ъ=ЖX {E+I}=^f XS2. Если группа не
содержит инверсию, то ее все же можно записать в виде
прямого произведения %=Жх {Е+К,}, если сущест-
существует несобственный элемент Kj, коммутирующий со
всеми элементами группы. Кроме того, если инверсия
отсутствует, группа S изоморфна группе Ъ'=Ж-\-\%,
которая является собственной точечной группой, по-
поскольку IK — собственное вращение. Чтобы устано-
установить этот изоморфизм, заметим, что, поскольку I не
содержится в $, элементы группы IKj не могут сов-
совпадать ни с одним элементом группы Ж. Далее можно
элементарно доказать искомый изоморфизм, ассоциируя
элемент IKj группы %' с элементом К^ группы "§ и
учитывая, что все элементы группы Ж являются общими

Точечные группы и их применение 263
для обеих групп; например, если НеК7=Кт, то, следо-
следовательно, Не (IK/)=IHeKJ= (IKm). Используем далее эти
свойства для разбиения на классы несобственных то-
точечных групп.
Группы S2n
Эти группы — циклические порядка 2п, причем каж-
каждый их элемент образует отдельный класс. При нечетном
п эти группы можно записать в виде прямого произве-
произведения групп, так как они содержат инверсию: в этом
случае -S4m+2 = C2m+1XiS2.
Группы СпН
Отражение в горизонтальной плоскости коммутирует
с поворотами на угол 2я/п, так что группы Cnh являются
абелевыми и каждый элемент этих групп образует отдель-
отдельный класс. При четном п в группы входит инверсия и их
можно записать в виде прямого произведения С2т/г =
= C2mXiS2. При нечетном п группы Cnh также могут быть
записаны в виде прямого произведения групп Сп и Si
(последняя состоит только из единичного элемента и
отражения a): C2m+lh=C2m+1xS1.
Группы Cnv
Входящее в эти группы отражение в вертикальной
плоскости не коммутирует с поворотами на угол 2п/п,
так что группы Cnv не являются абелевыми, например:
CnOv = ovCnk. Последнее равенство показывает также,
что элементы С* и С~& принадлежат одному классу.
Все отражения входят в один класс, если п нечетно, но
при четном п они разбиваются на два класса. Из общих
результатов, приведенных выше, следует, что группы
Cnv будут изоморфны группам, полученным умножением
несобственных элементов (отражений) на инверсии. Эта
операция дает оси вращения второго порядка, перпенди-
перпендикулярные осям вращения п-го порядка; следовательно,
группы Cnv изоморфны группам Dn и обладают тем же
разбиением на классы. Например, для группы С4а
классами будут являться Е, 2С4, С|, 2ov, 2ст„, а классы
группы СЪу таковы: Е, 2С5, 2С|, 5ав.

264 Глава 9
Группы Dnh
Для этих групп отражение в плоскости ah коммути-
коммутирует со всеми элементами Dn, так что эти группы можно
записать в виде прямых произведений Dntl=DnXS1.
При четном п в группы входит инверсия и их можно
записать в ином виде: D2mh=D2mxS2. В любом случае
разбиение на классы просто связано с таким же разбие-
разбиением групп Dn: для каждого класса из группы Dn имеется
два класса из группы Dnh. Так, например, классами для
группыD3h являются Е, ah, 2С3, 2S3, 3C2, 3ov(=C2oh).
Группы Dnd \
При нечетном п имеется ось второго порядка, перпен-
перпендикулярная каждой из вертикальных ^плоскостей отра-
отражения, так что группы содержат инверсию и могут быть
записаны в виде D2m+id=D2m+1xS2; соответственно
этому их разбиение на классы следует из разбиения групп
D2m+i- При четном п инверсия не входит в группы Dnd,
но, умножая несобственные элементы на инверсию, мы
получаем дополнительные оси второго порядка, лежащие
в вертикальных плоскостях отражения; следовательно,
группа переходит в D2n. Таким образом, при четном п
группа Dnd изоморфна группе D2n и имеет одинаковое
с ней разбиение на классы. Например, для группы Did
имеем классы Е, 2S4, C2, 2Q, 2стd, а для группы D3d —
классы Е, I, 2C3, 2S3, 3C2, 3ad.
Группа Td
По определению группы Тd, данному выше, она раз-
разбивается на классы Е, ЗС2, 8С3, 6а и 6S4, поскольку
оси третьего порядка группы Т становятся теперь дву-
двусторонними.
Группы Th, Oh и Yh
Все эти группы содержат инверсию и потому являются
прямыми произведениями групп Т, О и Y с группой S2.
Их разбиение на классы непосредственно следует из соот-
соответствующего разбиения групп Т, О, Y.

Точечные группы и их применение 265
§ 5. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
Одна из основных областей применения теории точеч-
точечных групп — кристаллические твердые тела, в которых
расположение атомов может быть инвариантным относи-
относительно операций точечной группы. Лишь немногие из
групп, перечисленных в § 3, могут быть привлечены к ис-
исследованию таких тел, и целью данного параграфа как
раз и является отыскание так называемых «кристаллогра-
«кристаллографических точечных групп». Кристалл представляет собой
периодическое повторение в пространстве одного или не-
нескольких атомов. Для математического описания крис-
кристалла введем некую пространственную решетку как сово-
совокупность точек
где щ, п2, п3 — целые числа, а ах, а2, а3 — фиксирован-
фиксированные векторы элементарных частиц из данной точки ре-
решетки в соседнюю. Тогда в кристалле с каждой точкой
введенной нами решетки будет связана некая система
атомов с определенной взаимной ориентацией, называе-
называемая его базисом. Рассмотрим сначала все возможные
элементы симметрии пространственной решетки и убе-
убедимся в том, что реально возможны лишь некоторые то-
точечные группы. Затем мы перейдем к вопросу о связи
между группами симметрии решетки и кристаллографи-
кристаллографическими точечными группами.
Чтобы вращение R оставляло решетку инвариантной,
оно должно переводить каждую точку решетки п в дру-
другую точку той же решетки т; покажем, что это налагает
ограничения на возможные углы поворота. Напишем
Rn = m = m1a1 + 7n2a2 + ffi3a3.
Очевидно, что можно записать трехмерное матричное
представление операции вращения R, переводящей точ-
точку п в точку т:
/тл
\ I _" _"" „"" \ I
Рассмотрим частный случай, когда re2=rc3=0, rex = l.
Мы видим, что mp=RPl, т. е. RPl — целое число. Анало-

266 Глава 9 -
гично, полагая п1=лг3=0, тг2=1 и т. п., получим, что
RPl и ВРг также являются целыми числами. Следова-
Следовательно, след матрицы R также должен быть целым чис-
числом. Производя затем преобразование подобия к декар-
тову набору базисных векторов, мы оставляем след инва-
инвариантным и по-прежнему целочисленным. Однако в де-
декартовом базисе оператор поворота вектора на угол ср
имеет след, равный l-f-2 cos ф [формула D.6)]. Стало
быть, единственно возможные значения углов ф таковы:
0°, 60°, 90°, 120° и 180°, так что оси симметрии пятого
порядка и более шестого порядка исключаются. Анало-
Аналогично для несобственного вращения S (ф) след равен
2 cos ф—1 и тоже должен быть целым числом, так что
угол ф принимает те же возможные значения. Простран-
Пространственная решетка, определенная равенством (9.6), оче-
очевидно, обладает инверсионной симметрией; если она со-
содержит при этом ось вращения n-го порядка с тг>2, то
для нее будут существовать также п «вертикальных» осей
зеркального отражения. Если совместить эти условия,
то они, очевидно, приведут к ограничению числа возмож-
возможных точечных групп пространственных решеток следую-
следующими семью: S2, C2h, D2h, D3d, Dih, D6h, О. Эти семь
различных решеточных симметрии, или сингоний, носят
названия триклинной, моноклинной, орторомбической,
ромбоэдрической, тетрагональной, гексагональной и куби-
кубической.
Для простых одноатомных кристаллов (с одним ато-
атомом в элементарной ячейке) указанные семь групп яв-
являются единственно возможными кристаллическими точеч-
точечными группами. Для более сложных кристаллов, у кото-
которых с каждой точкой решетки связана молекула или не-
несколько атомов, симметрия понизится до той подгруппы,
которая оставляет все эти объекты инвариантными. Та-
Таким образом, полный набор всех возможных кристалло-
кристаллографических точечных групп будет включать в себя ука-
указанные семь групп совместно со всеми их подгруппами.
Таких групп всего 32, именно: С±, Clh, Cn, Cnv, Cnh,
Dn, Dnh с л=2, 3, 4, 6; St, St, S6, D2d, D3d, T, Td, Th,
O, Oh. В этом списке нет символов Clv, Dlt Dih, Si и S3,
но обозначаемые ими группы совпадают с группами
Cih, C2, C2v, Clh и C

Точечные группы и их применение 267
§ 6. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
После разбиения точечных групп на классы, можно,
следуя гл. 4, построить неприводимые представления
этих групп. В частности, введенными в гл. 4 методами
можно определить их характеры. Поскольку 32 кристал-
кристаллографические точечные группы часто встречаются в за-
задачах физики твердого тела, в приложении 1 даны таб-
таблицы характеров для 11 собственных точечных групп и
групп, изоморфных им. Все остальные группы, как ука-
указано выше, можно получить в виде прямых произведе-
произведений с группами &! или S2. Указанные изоморфизмы и
результаты взятия прямых произведений перечислены
в табл. 9.2. Все 32 кристаллографические точечные груп-
группы приведены в первых трех строках табл. 9.2; остав-
оставшиеся две строки содержат другие полезные соотноше-
соотношения. При построении таблицы характеров нам понадо-
понадобится лишь первая строка табл. 9.2. Первые пять групп
в этой строке являются циклическими абелевыми с три-
тривиальными одномерными представлениями (гл. 4, § 8).
С неприводимыми представлениями группы Ds мы уже
Таблица 9.2
Собственная
Прямое произ-
произведение групп
3XS2 Si C2fl S6 Cih. Ceh D2h D3h Dih Deh Th Oh
Несобственная
группа, не со-
содержащая ин-
инверсию I и изо-
изоморфная груп-
группе g St ?4 C3fi Civ C3v Civ C6v Ta
^2d Dsft
Другая несоб-
несобственная груп-
группа, изоморфная
группе g S2 Se C2h D3d
Прямое произ-
произведение групп
S Si C2h C3h Cih Сф D2h D3h Dih Dgfl

268 Глава 9
встречались в гл. 4, § 10. Группа D2 изоморфна группе
C2h=C2xS2, а группа De — группе D3h=DaXSt (она
может быть записана также в виде D&=D3xC2', см. за-
задачу 2.7). Поэтому единственные таблицы характеров, ко-
которые необходимо составлять заново,— это таблицы для
групп ?>4, Т и О.
В пределе при п-+со группа Сп стремится к непрерыв-
непрерывной группе Э12 (гл. 7, § 3). Аналогичные пределы сущест-
существуют для групп Cnv, Cnh, Dn, Dnh при n-+<x>; они обо-
обозначаются через х) С^, Cxh, ?>„ и D^. Группа CxV
получается из М2 добавлением любой вертикальной плос-
плоскости отражения, что приводит к появлению и всех ос-
остальных возможных плоскостей. Нетрудно убедиться
в том, что вся бесконечная совокупность отражений
в вертикальных плоскостях принадлежит одному и тому
же классу. Как и при конечных п, повороты на углы а
и —а образуют класс из двух элементов. Соотношение
at,R(a)=R(—а)о.и, справедливое для любого отражения
в вертикальной плоскости, означает, что произведение
вращения и отражения в точности равно отражению в пло-
плоскости, повернутой на половинный угол:
Это означает также, что отражения и вращения не ком-
коммутируют друг с другом и, следовательно, группа CxV
не является прямым произведением. Но эта группа изо-
изоморфна группе О2 всех двумерных ортогональных матриц,
поскольку в базисе, образованном единичными векто-
векторами ех и еу в горизонтальной плоскости, вращениям со-
соответствуют все ортогональные матрицы с определите-
определителем +1, а отражениям — все ортогональные матрицы
с определителем —1. (Заметим, что соотношение между
О 2 и ?А2 отличается от соотношения между О3 и ,5i3, так
как в последнем случае имеет место прямое произведение,
*) Такие группы с осями симметрии бесконечного порядка на-
называются также предельными или группами Пьера Кюри. Полное
число таких групп — семь: в дополнение к пяти перечисленным в
в тексте существуют еще две шаровые — скалярная (с плоскостью
симметрии) и псевдоскалярная (без плоскости симметрии). См. об
этом книгу И. С. Желудева, указанную в литературе, стр. 11.—
Прим. ред.

Точечные группы и их применение 209
см. гл. 7, § 4.) Другие группы из упоминавшихся выше
просто связаны с CaV, поскольку СООЙ=5?2Х'52) группа
Dx изоморфна группе Cxv, а ?)оо/г=СооЛх5'2. Группа
CnV является группой симметрии линейной молекулы
без центра симметрии; если же молекула симметрична
относительно средней точки, как в случае двухатомной
молекулы с одинаковыми ядрами, то ее группой симмет-
симметрии является группа Dooh.
Неприводимые представления группы C^v можно по-
построить из неприводимых представлений подгруппы ,%2-
Если ет — базисный вектор, принадлежащий представ-
представлению Т(от> группы 2&2 [например, функция ехр(ишр)],
то отражение в вертикальной плоскости преобразует его
в вектор е_т, принадлежащий представлению Т(~т).
Таким образом, при тфО неприводимые представления
группы CxV являются двумерными с характером
%ш(а) = exp (ima) -f- exp (— ima) = 2cos ma
для вращений и характером у}т)=0 для отражений (в по-
последнем случае отсутствуют диагональные матричные эле-
элементы). В особом случае, когда т=0, отражение преоб-
преобразует е0 в другой вектор е„, также соответствующий зна-
значению т=0. Если её отличается от е0 скалярным множи-
множителем, то, поскольку а„=1, отражение должно иметь
характер ±1. К тому же выводу можно прийти, если е0
и во вообще независимы, поскольку в этом случае можно
образовать две комбинации ео±ео, которые имеют при
отражениях характер ±1. Итак, при т—0 имеется два
одномерных неприводимых представления. Эти резуль-
результаты сведены в табл. 9.3.
с
А+
А-
Ет
Е
1
1
2
2 R(a)
1
1
2 cos та
Таблица 9.3
%
1
—1
0

270 Глава 9
§ 7. ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
В гл. 7 мы познакомились с двузначными представле-
представлениями группы Sis', о них говорилось в гл. 7, § 6, а также
в гл. 8, § 4 в связи со спином. Поскольку точечные группы
являются подгруппами группы Sis, можно ожидать не-
необходимость двузначных представлений также и для то-
точечных групп. В гл. 7, § 6 мы указали особый прием —
интерпретировать двузначные представления как одно-
однозначные представления двойных групп в случае группы
Не-
Неприменим теперь тот же прием для точечных групп. На-
Напомним, что двойная группа состоит из обычных враще-
вращений R, дополненных новыми элементами ER, где Е —
поворот на угол 2л вокруг любой оси. Единичный эле-
элемент Е связывается теперь с поворотом на угол 4я, так
что Е2 = Е. Новый элемент Е коммутирует со всеми
вращениями.
Таким образом, если задана точечная группа с эле-
элементами Ga, то соответствующая точечная группа $
строится путем введения новых элементов EGa, которые
в дальнейшем обозначаются через Ga. Если группа со-
содержит вращение Сп, то
Спп = Ё, С«» = Е, СП = ЁС„.
В отличие от группы 513 методы, использованные
в гл. 4 для вывода неприводимых представлений конечных
групп, основывались на соотношении D.1) и потому не
приводили ни к каким двузначным представлениям. Ис-
Используем теперь для их нахождения понятие двойной
группы. Двойная группа будет иметь представления двух
типов в зависимости от знака в соотношении %(Ga) =
==b%(Ga). (Это соотношение можно доказать следующим
образом. Поскольку элемент Е коммутирует со всеми
элементами группы, по лемме Шура он должен быть кра-
кратен единичной матрице в любом неприводимом представ-
представлении. С учетом того, что Ё2=Е, соответствующий мно-
множитель должен быть равен ±1.) Представления, соответ-
соответствующие знаку плюс, являются, очевидно, однозначными
представлениями группы $, поскольку новый элемент
Е имеет ту же матрицу, что и единичный элемент. Дву-

Точечные группы, и их применение 271
значные представления группы будут совпадать с теми
представлениями группы g, для которых в указанном
соотношении стоит минус. Для определения числа таких
представлений и таблицы их характеров, будем следо-
следовать общим методам гл. 4 применительно к группе Ъ.
Прежде всего необходимо найти число классов, совпадаю-
совпадающее с числом неприводимых представлений. Зная таблицу
характеров однозначных представлений, мы сможем за-
затем непосредственно достроить и всю остальную таблицу,
используя ортогональность и другие методы, согласно
изложенному в гл. 4.
Структура классов собственных двойных групп легко
выводится из соответствующей структуры исходных то-
точечных групп. Поскольку элемент Е коммутирует со
всеми элементами, он образует отдельный класс. Каж-
Каждому классу поворотов на угол 2п/п (пф2) соответствуют
два класса поворотов в двойной группе, обозначаемые
через Сп и С^. В особом случае поворотов на угол я
элементы С2 и ЕС2=С2 окажутся сопряженными (т. е.
принадлежащими одному классу), если ось — двусторон-
двусторонняя, т. е. если имеется элемент группы, меняющий на-
направление оси второго порядка на обратное). В самом
деле, вращения R(±9) вокруг двусторонней оси яв-
являются сопряженными, так что, в частности, сопряжен-
сопряженными являются и вращения R(±n). Однако в двойной
группе эти вращения уже не являются идентичными, но
R(—n)=RCn), так что R(jt) — элемент, сопряженный
с RCjt). Иными словами, С2 и ЕС2 принадлежат одному
классу.
В качестве примера рассмотрим собственную груп-
группу Di. Группа Di состоит из классов Е, CJ, 2С4, 2С2,
2С2. Как показано выше, новые элементы Ес2 лежат
в том же классе, что и С2, так что группа Z>4 состоит из
классов Е, Е, 2Q, 2С4, 2С4, 4С2, 4Q. Добавление
двух новых классов означает также добавление еще двух
неприводимых представлений, характеры которых удов-
удовлетворяют соотношению %(Оа) — —%(Ga). Отсюда сле-
следует, что для двусторонней оси второго порядка характер
должен быть равен нулю. Можно построить и полную
таблицу характеров (табл. 9.4), заметив, что мы уже

272 Глаза 9
A
As
Bi
B2
E
Ei
E2
E
1
1
1
1
2
2
2
i
1
1
1
1
2
—2
—2
2C4
1
1
1
1
—2
0
0
2C4
1
1
—1
—1
0
V2
-V2
1
1
—1
—1
0
-V2
V2
Таблица 9.4
4C
1
— 1
1
—1
0
0
0
<
1
—1
—1
1
0
0
0
располагаем пятью неприводимыми представлениями оди-
одинарной группы Di: которые образуют также представле-
представления двойной группы с x(Ga)=%(Ga) и имеют размер-
размерности 1, 1, 1, 1 и 2. Если размерность двух новых непри-
неприводимых представлений равна s6 и s7, то, согласно фор-
формуле D.33),
16= 12 +
так что 8=Se+s| и единственное возможное решение дает
s6=s,=2. Отсюда мы сразу получаем характеры Е и
Б, и остающиеся значения для 2С4 и 2С4 легко нахо-
находятся из соотношений ортогональности D.25) и D.36).
Структуру классов и неприводимые представления
двойных несобственных точечных групп можно получить
из соответствующей структуры для собственных, поль-
пользуясь теми же методами, что ив§4,п.Бив§6. Группы,
содержащие инверсию, вновь могут быть представлены
в виде прямого произведения с группой S2, а группы, не
содержащие инверсии, изоморфны с некоторыми двой-
двойными собственными группами. Заметим, что если инвер-
инверсия имеется, то она коммутирует со всеми элементами
группы и, как и ранее, удовлетворяет соотношению 12=
=Е, но отражение а дает теперь
ст*=AС,)« = ЕС!='1,
откуда о*=Е.

Точечные группы и их применение 273
Полная сводка таблиц характеров для всех кристал-
кристаллографических двойных точечных групп приведена в
приложении 1 (т. 2).
§ 8. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И МАГНИТНЫЕ ТОЧЕЧНЫЕ
ГРУППЫ
В гл. 5, § 10 был введен оператор обращения времени
Г, который является оператором симметрии для гамиль-
гамильтонианов многих физических систем. В случае кристалли-
кристаллической системы с симметрией относительно обращения
времени полная точечная группа симметрии будет пред-
представлять собой прямое произведение обычной точечной
группы на тождественное преобразование и обращение
времени (последнее коммутирует со всеми операциями
точечной группы). Заметим, однако, что данное утверж-
утверждение может быть верным только для немагнитных крис-
кристаллов, поскольку оператор Г меняет на обратное на-
направление токов и спинов, а следовательно, и направле-
направление намагниченности в магнитоупорядоченных кристал-
кристаллах. Тогда магнитные кристаллы должны были бы обла-
обладать симметрией только обычной точечной группы. Но
это не всегда так, поскольку некоторые магнитные крис-
кристаллы могут быть инвариантными относительно произве-
произведения операции Г на некоторое вращение, хотя они не
инвариантны относительно операции Г. Например, в фер-
ферромагнитном кристалле с намагниченностью вдоль оси z
операция Г может быть операцией симметрии (здесь R —
поворот на угол я вокруг оси х), поскольку R меняет
направление намагниченности на противоположное, а
Г восстанавливает исходное положение. Группы симмет-
симметрии этого типа, содержащие операцию обращения вре-
времени лишь в комбинации с вращением или отражением,
называются магнитными точечными группами; таких
групп существует всего 58 (см. книгу Брэдли и Крекнел-
ла). Эти группы называются также цветными или шубни-
ковскими, так как А. В. Шубников впервые изучал их,
рассматривая симметрию правильных твердых многогран-
многогранников с «цветными» (черными и белыми) гранями. Он

.274 Глава 9
включил в число допустимых операцию смены цветов,
которая аналогична операции обращения времени) 1).
Рассмотрим в качестве примера ферромагнитный крис-
кристалл, который (если отвлечься от операции обращения
времени) описывается группой симметрии D3. В магнитно-
разупорядоченном состоянии выше температуры пере-
перехода TN (при которой устанавливается магнитный поря-
порядок) добавление обращения времени приводит к большей
группе симметрии D3X{E, Г} ввиду отсутствия магнит-
магнитного момента. Ниже температуры TN кристалл стано-
становится ферромагнитным, причем его магнитный момент
направлен вдоль оси третьего порядка. Поскольку три
поворота С2 на угол я вокруг осей в плоскости ху при-
приводят к обращению направления намагниченности, они
не являются более операциями симметрии; то же отно-
относится и к обращению времени Г. Однако произведения
ГС2 сохраняют значение операций симметрии, причем
новая группа симметрии включает в себя операторы Е,
С3, С! и три оператора ГС2, содержащие обращение
времени. Заметим, что магнитная точечная группа со-
содержит подгруппу С3 исходной точечной группы D3 и
в терминологии т. 2, гл. 20, § 3 группа С3 является нор-
нормальной подгруппой с индексом 2 группы D3. Можно
показать, что этим свойством (наличие нормальной под-
подгруппы с индексом 2) обладают все магнитные точечные
группы и это условие позволяет построить все 58 таких
групп. Обозначение таких групп иллюстрируется на
приведенном выше примере, в котором принято записы-
записывать D3(CS).
Мы не будем рассматривать здесь неприводимые пред-
представления ни произведения групп на обращение времени,
ни магнитных точечных групп ввиду их сложности (см.,
однако, книгу Брэдли и Крекнелла). В первом случае
следует различать представления точечных групп, ко-
которые а) эквивалентны действительным представлениям;
г) Шубниковскими принято называть пространственные груп-
группы симметрии, базирующиеся на черно-белых точечных. Под цвет-
цветными группами понимают прежде всего точечные, использующие
нееколько пар противоположных цветов. Такие группы были вве-
введены в рассмотрение Н. В. Беловым (см. книги А. В. Шубникова и
А. В. Шубникова и Н. В. Белова, указанные в литературе).—
Лрим. ред.

Точечные группы и их применение 275
б) не эквивалентны их комплексно-сопряженным пред-
представлениям и в) эквивалентным их комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженным представлениям, но не эквивалентны действитель-
действительным. Во всех случаях следует иметь в виду антилинейную
и антиунитарную природу оператора Г (т. 2, гл. 15, § 7,
п. Г).
§ 9. РАСЩЕПЛЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ
В КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Посмотрим теперь, как симметрия точечных групп
помогает объяснить свойства атомов в кристаллическом
поле. Дальнейшее приложение изложенной теории к элек-
электронным состояниям в молекуле см. в т. 2, гл. 13. При
правильном расположении атомов в бесконечном крис-
кристалле возможна симметрия по отношению к операциям
точечной группы с центром на любом из атомов. Кроме
того, полная симметрия кристалла включает в себя не
только локальную точечную группу на каком-либо выде-
выделенном узле решетки, но также трансляции, смещающие
данный атом на целое число ячеек и оставляющие при этом
неизменной совокупность атомов внутри каждой ячейки.
Свойства, обусловленные трансляционной симметрией,
можно в известной мере рассматривать отдельно (т. 2,
гл. 14). Здесь мы остановимся лишь на том влиянии, ко-
которое локальная точечная группа симметрии оказывает
на свойства одного из атомов, составляющих кристалл.
А. Постановка физической задачи
В гл. 8 мы рассматривали состояния свободного атома,
пользуясь инвариантностью гамильтониана относительно
группы О3 вращений и отражений в трехмерном прост-
пространстве при классификации уровней энергии. Будучи
помещен в кристалл, атом подвергается действию электри-
электрических и магнитных полей, создаваемых окружающими
атомами и понижающих симметрию до одной из кристал-
кристаллографических точечных групп. Как показано в гл. 5,
§ 8, такое понижение симметрии вызывает расщепление
некоторых вырожденных уровней энергии свободного
атома, причем остаточное вырождение будет определяться
точечной группой. Детальный характер расщепления и
точные значения энергии состояний зависят, конечно, от
точного вида потенциала кристаллического поля и вол-

276 Глава 9
новых функций, но некоторые отношения величин рас-
расщеплений можно вычислить на основе только теории
групп (точнее, теоремы Вигнера — Эккарта). Экспери-
Экспериментально низколежащие уровни энергии можно исследо-
исследовать разными методами. В первых экспериментах расщеп-
расщепление исследовалось путем измерения теплоемкости и
магнитной восприимчивости, а в дальнейшем более де-
детально — на основе метода оптического поглощения. На-
Наконец, спектроскопия парамагнитного ^резонанса позво-
позволила накопить большое количество данных высокой точ-
точности для ионов переходных и редкоземельных металлов
в кристаллических солях.
Когда атомы объединяются в кристалл, обычно про-
происходит некоторая перестройка внешних электронов с
тенденцией к ионизации и образованию структур с замк-
замкнутыми оболочками. С точки зрения симметрии это не
представляет интереса, так как замкнутая оболочка не
вырождена и не может быть расщепления, обусловлен-
обусловленного сужением симметрии от группы О3 до точечной груп-
группы. Но некоторые элементы из групп переходных метал-
металлов (лантаниды, актиниды, группа железа) обладают
незаполненной внутренней электронной оболочкой, окру-
окруженной полностью заполненными оболочками. Когда
такие атомы объединяются в кристалл, их|внутренние
оболочки остаются незаполненными, поскольку они экра-
экранируются внешними электронами. Такие кристаллы —
удобные объекты для исследования влияния кристалли-
кристаллического поля на энергетические уровни атома именно
благодаря незаполненной внутренней электронной обо-
оболочке. Детальное сравнение теоретических выводов с
экспериментальными данными для таких систем не только
дало информацию об интенсивности кристаллических по-
полей, но и внесло ясность в фундаментальную теорию атом-
атомных состояний.
Гамильтониан атома или иона в кристаллическом поле
дается выражением Н=Н0+Н1+Н2+Нз (в обозначе-
обозначениях гл. 8, § 6, п. А). Здесь Но описывает центральное
поле, Нх — кулоновское отталкивание между электро-
электронами, Н2 — спин-орбитальное взаимодействие, Н3 —
кристаллическое поле. При анализе влияния кристалли-
кристаллического поля Н3 нужно рассмотреть три простых предель-
предельных случая:

Точечные группы и их применение 277
1. Слабое поле, когда Нз^Н^Н
2. Промежуточное поле, когда
3. Сильное поле, когда Н^^з^о
Соли лантанидов, или редкоземельных элементов (на-
(например, церийэтилсульфата), могут служить примером
случая слабого поля. В электронную конфигурацию иона
лаптанида входят все заполненные оболочки до ^-обо-
^-оболочки включительно; далее следует не полностью запол-
заполненная 4/-оболочка, содержащая от 1 до 13 электронов
(по мере продвижения от начала группы к ее концу), а
завершают конфигурацию две заполненные оболочки
5s25p6. Эти две оболочки окружают электроны ^-обо-
^-оболочки и экранируют их от действия кристаллического
поля, так что испытываемое ими эффективное поле очень
слабое. В этом случае B/+1)-кратный спин-орбитальный
мультиплет /, описанный в гл. 8, § 6, п. В, будет расщеп-
расщеплен малым возмущением Н3.
Соли группы железа (например, бромат ванадия) мо-
могут служить примером поля в интервале от промежуточ-
промежуточного до сильного. В этом случае в электронную конфигу-
конфигурацию входят все заполненные оболочки до Зр-оболочки
включительно. При этом самой внешней является неза-
незаполненная Зй-оболочка; она испытывает полное действие
кристаллического поля. В зависимости от конкретной
выбранной соли поле в этом случае будет меняться от
промежуточного до сильного. В промежуточном случае
Н3 считается малым возмущением кулоновского взаимо-
взаимодействия; его действие сводится к расщеплению BL+1)-
кратного вырождения мультиплета 2S+1L, возникшего
вследствие LS-свяъш. При этом спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие играет роль самого слабого возмущения. В слу-
случае сильного поля кристаллическое поле Н3 является
вторым по величине непосредственно после центрального
поля Но, так что его действие сводится к возмущению
центрального поля, в котором движутся электроны.
Б. Определение характера расщеплений из соображений
симметрии
Выберем в качестве объекта для иллюстрации методов
расчета влияния кристаллического поля в случаях 1—3
одну соль — бромат ванадия (это удобнее, чем брать три

278 Глава 9
разные соли). По существу для этого соединения кристал-
кристаллическое поле относится к случаю 2, но на практике не
всегда можно быть априори уверенным, какой именно
случай из трех возможных осуществляется для данной
конкретной соли. Может оказаться необходимым провести
вычисления несколькими
способами, и только по-
последующее сравнение с
экспериментом может ука-
указать наилучший из них.
Химическая формула
бромата ванадия такова:
Vd(BrO3J-6H2O. Выбор
такой на первый взгляд
достаточно сложной гид-
ратированной соли оправ-
оправдан тем, что нас инте-
Рис. 9.8 ресует поведение одного
иона ванадия в кристал-
кристаллическом поле. Если бы мы выбрали молекулу с высоким
содержанием ванадия, то между самими ионами ванадия
возникли бы сложные взаимодействия. В выбранной нами
соли ионы ванадия расноложены на больших расстояниях
друг от друга, так что их взаимодействием можно пренеб-
пренебречь. В этой соли шесть молекул воды окружают ион
ванадия, образуя конфигурацию почти правильного окта-
октаэдра, так что в качестве соответствующей группы симмет-
симметрии можно принять группу О. (В действительности суще-
существует небольшое тригональное искажение, которым можно
пренебречь.) Ион ванадия Vd + + обладает электронной
конфигурацией Is2...3jo63d3, т. е. в неполностью запол-
заполненной оболочке находится три электрона. Основное
состояние этого свободного иона — iF с L=3 и S=3/2.
Это можно показать методом гл. 8, § 6, п. Г. В отсутствие
кристаллического поля спин-орбитальное взаимодействие
расщепило бы мультиплет 4F на четыре уровня с /=3/2,
6/2, 7/2 и 9/2 в соответствии с формулой (8.39) (рис. 9.8,
средняя система уровней).
Слабое поле
Если кристаллическое поле слабое, то каждый B/+1)-
кратно вырожденный уровень / слегка расщепится, при-

Точечные группы и их применение 279
Ai
А,
Е
т*
Е
1
1
2
3
3
I
1
1
2
3
3
8С,
1
1
— 1
0
0
8С3
1
1
—1
0
0
СО СО
nnl
1
1
2
-1
—1
ее.
1
—1
0
1
—1
6С4
1
—1
0
1
1
Таблица 9.5
6С2
6С2
1
—1
0
—1
1
Ёг 2—21—10 У 2 —V~2 0
?2 2—21—10 —У~2 У~2 О
?/ 4—4—1100 00
DC/,)
D<s/s)
DG.)
D('/,)
D<3>
U XA2
U xfi
t/xr2
D<2>
{7-2 X Г2Х
X Г2}а
{T2 X Г2}а
{Я X Е}а
D<x>
D<*>
D№)
4
6
8
10
7
4
12
12
5
1
3
6
1
3
3
9
И
—4
—6
—8
-10
7
—4
—12
—12
5
1
3
6
1
3
3
9
И
—1
0
1
—1
1
^
0
0
^
1
0
0
1
0
0
0
_!
1
0
—1
1
1
1
0
0
—1
1
0
0
1
0
0
0
—1
0
0
0
0
^
0
0
0
1
1
—1
—2
1
—1
—1
1
^
0
-V2
0
уТ
—1
0
0
0
—1
—1
1
0
—1
1
1
1
1
0
0
-V2
—1
0
0
0
^
—1
1
0
—1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
—1
—1
0
—1
^
—1
1
_!
= и
= Ii©2F
= ?/
= ?±©1.ф
= ?фг8
= А2
= ^1
= Л2
= ?'i
= 4!e?e

280
Глава 9
чем характер расщепления можно определить, исследуя
разложение представления группы ?й3:
где Т(а> —¦ неприводимые* представления точечной группы
О. Мы воспроизводим из приложения 1 таблицу ха-
характеров (в том числе двузначных представлений) в пер-
первых восьми строках табл. 9.5. Здесь же приведены харак-
характеры для представлений D{J\ вычисленные по формуле
G.42). С их помощью легко вычисляются коэффициенты
тл. Получающееся расщепление показано на рис. 9.8
(третья система уровней). Описание упорядочения уров-
уровней Т(а) в пределах каждого мультиплета мы отложим до
т. 2 (приложение 5, § 4).
Промеж уточное поле
В предыдущем примере было проиллюстрировано дей-
действие слабого поля; еще раз напомним о том, что в дейст-
действительности поле в бромате ванадия достаточно сильно
для того, чтобы его можно было рассматривать в прибли-
приближении промежуточного поля (случай 2). Перейдем теперь
к случаю, когда кристаллическое поле велико по срав-
сравнению со спин-орбитальным взаимодействием. Начнем
вновь с одного мультипле-
мультиплета *F и рассмотрим дейст-
действие кристаллического поля
до включения малого спин-
орбитального поля. При
этом можно сначала пре-
пренебречь наличием спина и
рассмотреть разложение
орбитального состояния с
L=3 по неприводимым
представлениям точечной
группы О. Для этого нуж-
нужно всего лишь знать ха-
характер представления D<3),
вычисляемый вновь по
формуле G.42) и пред-
представленный в табл. 9.5 (там же приведено разложе-
разложение представления DC) на А2фТ1фТ2). Отсюда полу-
получается вторая система уровней на рис. 9.9, где показано
Рис. 9.9

Точечные группы и их применение 281
расщепление уровня 4F2 на три уровня 1А2, 4?\ и 4712,
обладающие кратностями вырождения 4, 12 и 12 (с уче-
учетом четырехкратного вырождения по спину).
При учете малого спин-орбитального взаимодействия
произойдет дальнейшее расщепление. Чтобы определить
его величину, заметим, что спиновое состояние ?=3/2
преобразуется как U под действием группы О (табл. 9.5,
D<s/i))i Так что, например, уровень М2 преобразуется
как произведение U(^>A2. Однако подобные произведения
можно разложить по неприводимым представлениям груп-
группы О следующим образом:
это следует из таблицы характеров.
Данный этап вычислений аналогичен разложению
D<V»>0DC>=D<V*>@D<7/!)+D<V'>-|-D<>'''> Для группы 913,
использованному при выводе второй (слева) системы уров-
уровней на рнс. 9.8. Окончательно спин-орбитальное взаимо-
взаимодействие приводит к третьей системе уровней на рис. 9.9.
Мы не будем далее останавливаться на расщеплении и
упорядочении уровней, обусловленных спинорбитальными
силами.
Сильное иоле
В заключение рассмотрим на том же примере бромата
ванадия расщепление, которое следует ожидать в пределе
сильного поля. В этом случае кристаллическое поле силь-
сильнее кулоновского взаимодействия e2/r;j- между электро-
электронами, так что его следует учитывать в первую очередь.
Это, однако, несложно, так как кристаллическое поле
описывается одночастичным оператором и его влияние
сводится к искажению центрального поля, в котором
движутся электроны. Таким образом, вместо сферически-
симметричного поля с обычным пятикратным вырожде-
вырождением уровня (значения т=2, 1, . . ., —2 для трех валент-
валентных электронов в d-состояниях) мы получим единствен-
единственное состояние электрона, отвечающее неприводимому
представлению группы симметрии О (ту же симметрию

282 Глава 9
имеет теперь и само поле). Из табл. 9.5 видно, что D<2) =
=Е0Т2, так что пять d-орбит расщепляются в дублет,
обозначаемый через е, и триплет t2. Практически оказы-
оказывается, что для бромата ванадия состояние t2 имеет более
низкую энергию, чем состояние е.
При наличии трех электронов возникает вопрос о том,
какую из орбит, е или t2, использовать, но ясно, что ос-
основное состояние будет иметь конфигурацию t%, в которой
все три частицы находятся на орбите t2 с более низкой
энергией. При повышении энергии возбуждения должны
также наблюдаться состояния, соответствующие конфи-
конфигурациям tie, t2e2 и е3. Полный спин S все еще будет
в отличие от L хорошим квантовым числом, и правило
Хунда, благоприятствующее состояниям с большим S,
все еще будет применимо. Поэтому мы, как и в случаях
1 и 2, ограничимся случаем максимального спина 6t=3/2.
Кулоновское взаимодействие между электронами при-
приведет теперь к снятию орбитального вырождения каждой
конфигурации типа t\ и ее расщеплению. На этом этапе
расчета гамильтониан, включающий Но, Н2 и Н3, ос-
остается, разумеется, инвариантным относительно груп-
группы О и вновь возникающие состояния будут классифици-
классифицироваться по тем неприводимым представлениям группы О,
которые появляются при разложении представления про-
произведений, подобных 7*2® Т2(g) Г2 для конфигурации t%.
Поскольку, однако, спиновая часть волновой функции,
соответствующей значению 5 = 3/2, симметрична относи-
относительно всех перестановок, в силу принципа Паули не-
необходимо, чтобы орбитальное состояние было полностью
антисимметричным. Следовательно, нам нужно знать
характеры антисимметризованных произведений. В гл. 6,
§ 6 была выведена формула F.33) для характера симмет-
ризованного произведения двух сомножителей; вычтя
из него {%(a>(Ga)}2 в случае полного пространства произ-
произведения , получим
где использованы обозначения гл. 6, § 6. Для произведе-
произведения трех сомножителей получим (т. 2, приложение 3,
§ 1) аналогичную формулу

Точечные группы и их применение 283
Для наинизшей конфигурации t% характер произведения
Г2®^2®^2 показан в табл. 9.5; как нетрудно видеть,
только состояние А2 имеет правильную симметрию, так
что основным состоянием в сильном поле вновь является
А2. Аналогичное вычисление для е3 привело бы к нуле-
нулевому значению характера, откуда видно, что для этой
конфигурации отсутствуют антисим-
антисимметричные состояния. Это можно бы-
было бы сказать заранее, так как е —
лишь дублет и два из трех электро-
электронов должны были бы неизбежно на-
находиться в одинаковых состояниях.
Для других конфигураций t\e и t2e2
необходимо найти характеры ан-
тисимметризованных произведений
{Т2®Т2}а и {Efg)E}an затемумно- ц 4
жить первый на Е, а второй — на Т2. v г и.»
Как явствует из табл. 9.5, эта проце-
процедура приведет к второй слева системе ис' '
уровней рис. 9.10. (Определение вели-
величины расщепления между новыми уровнями на рис. 9.10
потребовало бы вычислений с двухчастичным кулонов-
ским потенциалом, в какой-то мере анлогичных вычисле-
вычислениям, приведенным в т. 2, приложение 5.) Большее число
уровней на рис. 9.10 обусловлено тем, что учитывались
все состояния с S—3/2. Соответствующие вычисления для
случаев 1 и 2 потребовали бы дополнительного учета воз-
возбужденного мультиплета 4Р. Картина спин-орбитального
расщепления в случае сильного поля совпадает с анало-
аналогичной картиной в случае промежуточного поля, хотя
величина расщепления может быть иной.
Для получения точных результатов, а также для ана-
анализа случаев, когда величина поля не находится вблизи
одного из трех предельных случаев, следует учитывать
возможность смешивания состояний с одинаковыми ин-
индексами по отношению к группе О. Это весьма громозд-
громоздкая численная задача, включающая диагонализацию мат-
матриц. Разумеется, переход от случая слабого поля к силь-
сильному через промежуточные значения является непрерыв-
непрерывным.

284 Глава 9
Правила отбора
Правила отбора, рассмотренные в гл. 5, § 4 и 6, нахо-
находят прямое применение в задаче о кристаллическом поле.
В гл. 5, § 4 мы видели, что оператор диагональных пере-
переходов преобразуется согласно векторному представлению
DA) группы 91 з, а следовательно (табл. 9.5), согласно
представлению Тг группы О. Поскольку T1®U=E1Q)
0i?2+2f/ (табл. 9.5), все состояния, изображенные на
рис. 9.8—9.10, должны возбуждаться из основного со-
состояния U. Но более тщательный анализ свойств этих со-
состояний обнаруживает наличие правил отбора. В случае
слабой связи (рис. 9.8) правило отбора по /, согласно
формуле (8.3), запрещает переходы в состояния с /=72
и /=9/2, так что возбуждаться могут лишь первые два
состояния U ж Е2- В случаях промежуточного и сильного
полей (рис. 9.9 и 9.10) разложение Т1(^)А2=Т2 (табл. 9.5)
показывает, что состояния 7\ не могут возбуждаться
в результате дипольных процессов. Таким образом,
должны возбуждаться лишь первые четыре состояния
U, Е2, Ег и U.
Но нужно помнить, что все рассмотренные в этом при-
примере состояния возникли из конфигурации d3 и потому
имеют положительную четность (гл. 8, § 6, п. Б). Следо-
Следовательно, электрические дипольные переходы между эти-
этими состояниями запрещены (см. о группе S2 в гл. 5, § 6);
разрешены лишь значительно более медленные магнитные
дипольные переходы. На практике часто имеет место не-
небольшая примесь состояний противоположной четности
(ввиду отсутствия инверсионной симметрии кристалла),
из-за чего могут происходить слабые электрические ди-
дипольные переходы. .
В. Влияние магнитного поля
Экспериментальные измерения магнитной восприим-
восприимчивости и спектра парамагнитного резонанса при низ-
низких температурах дают информацию о низколежащих
уровнях энергии при наличии слабого электромагнитного
поля.
Измеренная магнитная восприимчивость косвенным об-
образом характеризует разности энергий уровней (энерге-

Точечные группы и их применение 285
тические щели), так как в нее входит населенность этих
уровней как функция температуры. Спектроскопия элект-
электронного парамагнитного резонанса измеряет эти разности
непосредственно с помощью радиочастотных переходов
между ними. При полном описании указанных расщепле-
расщеплений необходимы многочисленные уточнения (см. моно-
монографию Абрагама и Б лини) — например, учет спин-
спинового и сверхтонкого взаимодействий, имеющих во
многих случаях сравнимые значения. Но здесь мы рас-
рассмотрим только влияние магнитного поля для соли бро-
мата ванадия, о которой уже говорилось выше.
Как и в гл. 8, § 6, учет магнитного поля добавляет
к гамильтониану Н из п. А слагаемое
ВЦВ,] (9.8).
которое трактуется далее как малое возмущение.
Слабое поле
В этом случае основное состояние было {/-квартетом,,
соответствующим значениям /=3/2, Mj=3/2, V2, —У2, —3/2.
Поскольку в этом случае отсутствовало расщепление,
вызванное кристаллическим полем, а основное состояние
по-прежпему характеризуется определенным значением /,
расщепление, обусловленное магнитным полем, в точности:
совпадает с описанным в гл. 8, § 6, причем фактор Ланде
gj=O,A [формула (8.40)], а расщепление пропорционально
величине М.
Промежуточные и сильные поля
Вычисления, проиллюстрированные на рис. 9.9, пока-
показывают, что если кристаллическое поле превышает спин-
орбитальное взаимодействие в основном состоянии, то
последнее, бывшее квартетом U, становится орбитальным
синглетом А 2. Поэтому в отсутствие спинового момента
оно не может быть расщеплено магнитным полем, что сле-
следует из общих соображений о правилах отбора. Опера-
Оператор L преобразуется подобно вектору DA) при враще-
вращениях, или, согласно табл. 9.5, по представлению Г11'
группы О. Такой оператор должен иметь нулевое среднее
значение по состоянию А2, что следует из обычных пра-

286 Глава 9
вил отбора, так как произведение 7\(Я)^42 не содержит А2.
Сдвиг энергии, обусловленный магнитным полем, дается
просто формулой (9.8):
&ЕМ s = 2ufi = 2,u BB'Ms
с ^-фактором, равным 2. Такую ситуацию (магнитные
свойства основного состояния обусловлены исключительно
спином) часто называют «замораживанием» орбитального
движения сильным кристаллическим полем.
Заметим, что, хотя основное состояние имеет одинако-
одинаковую симметрию U относительно группы О во всех трех
случаях, g-фактор равен 0,4 в случае 1 и 2,0 — в двух дру-
г. х. Эксперимент дает значение 1,96, согласующееся со
случаями сильного и промежуточного поля.
ЛИТЕРАТУРА 1)
Впервые точечные группы для описания расщепления в крис-
кристаллическом поле были использованы в работе
Bethe H. A., Ann. der Phys., 1929, В. 3, S. 3, 133.
Очень подробные таблицы, относящиеся к кристаллографичес-
кристаллографическим точечным группам, даны в книге
Roster G. F., Dimmock J. О., Wheeler R. G., Statz #., Properties
of the Thirty-two Point Groups. Technology Press, M. I. T., Cam-
Cambridge, Mass., 1963.
Группа икосаэдра описана в книге
Murnaghan F. D., Theory of Group Representations, Johns Hop-
Hopkins Press, Baltimore, 1938. [Имеется перевод: Мурпаган Ф. Д.
Теория представлений групп.— М.: ИЛ, 1955.]
Подробное обсуждение двузначных представлений можно
найти в работах
Opechowski W., Physica, 1940, v. 7, p. 552.
Bradley С. J., Cracknell A. P., The Mathematical Theory of Sym-
Symmetry in Solids, Oxford University Press, 1972.
Штрайтеолъф Г. Теория групп в физике твердого тела.— М.:
Мир, 1971*.
Желудев И. С. Симметрия п ее приложения.— М.: Атомиздат,
1976*.
Shubnikov A. V., Belov N. V., Coloured Symmetry.— London:
Pergamon Press, 1964*.
Для дальнейшего чтения по теории кристаллических полей
рекомендуем книгу Джадда (см. литературу к гл. 8), а также моно-
монографию
*) Литература, помеченная звездочкой, добавлена при пере-
переводе.— Прим. ред.

Точечные группы и их применение 287
Abragam A., Bleaney В., Electron Paramagnetic Resonance of
Transition Johns, Oxford University Press, 1970. [Имеется перевод:
Абрагам А., Блини Б. Электронный парамагнитный резонанс.—
М.: Мир, 1972.]
ЗАДАЧИ
9.1. Пользуясь стереопроекцией, получите все элементы группы О
из четырех поворотов на угол 2я/3.
9.2. Кубический кристалл обладает группой симметрии О. а) Если
деформировать его, растянув вдоль направления A11) (оси
третьего порядка), то какова будет после этого его группа сим-
симметрии? б) Если, напротив, растянуть его вдоль оси четвертого
порядка, то какова будет группа ого симметрии в этом
случае?
9.3. Кубический кристалл с группой симметрии О обладает набором
собственных состояний, индицируемых по неприводимым пред-
представлениям О. Симметрия кристалла понижается так, как в
задаче 9.2. Определите, какие состояния в каждом случае рас-
расщепляются, и снабдите их индексами, соответствующими не-
неприводимым представлениям новых групп симдгетрии.
9.4. Покажите, что функция / (9, <f)=Ym (9, ф)+У-т (9, ф), где то
ml — четные целые числа, инвариантна относительно группы
симметрии Д2/г-
9.5. Взяв в качестве базиса функции х, у, z, постройте матрицы
для одного элемента в каждом из классов группы О. Сравните
характеры этих матриц с их значениями в таблице характеров
(см. приложение) и покажите, что функции х, у, z принадле-
принадлежат представлению Тх. Отсюда следует, что атомное р-со-
стояние не расщепляется возмущением, имеющим кубическую
симметрию.
9.6. Покажите, что пространство полиномов второго порядка по
х, у, z разлагается на сумму A (Q E Q) Т2 представлений груп-
группы О. Возьмите симметризованное произведение (§ 9, п. Б)
представления Т1 на самого себя. Путем проектирования или
другим способом постройте полиномы, преобразующиеся по
каждому из этих представлений.
9.7. По формуле G.42) вычислите характер'представления груп-
группы О, порожденного набором семи сферических гармоник Ym^-
Разложите это представление по неприводимым представлени-
представлениям группы О. Выведите отсюда характер расщепления атом-
атомного /-состояния в присутствии возмущающего поля кубиче-
кубической симметрии.
9.8. Электрон движется в потенциальном поле, описываемом груп-
группой симметрии Civ, а его волновая функция имеет симметрию
Аг. (Таблицу характеров см. в приложении 1.) Меняется
ли энергия состояния (в первом порядке теории возмущений
при наложении слабого электрического поля: а) вдоль оси чет-
четвертого порядка, б) в плоскости, перпендикулярной оси
четвертого порядка. (В случае поля, направленного вдоль
оси z, соответствующий оператор пропорционален z.)

288 Глава 9
9.9. Электрон движется в потенциальном поле с группой симмет-
симметрии Difl, так что его собственные состояния индицируются по
его неприводимым представлениям At, Bt, Bt, Bt, А[~ >
В[~, В%, Вз (приложение 1). Выведите правила отбора для
электрических и магнитных дипольных переходов между эти-
этими состояниями.
9.10. Исходя из таблицы характеров для2K, выведите таблицу ха-
характеров двойной группы D3. (Проверьте результаты по таб-
таблице А 2 приложения 1.)
¦9.11. Для каждой из следующих молекул определите группу сим-
симметрии и дайте классификацию колебательных мод, используя
методы, изложенные в гл. 6: а) молекула фосфора Р4 с атомами
в вершинах правильного тетраэдра; б) молекула метана СН4,
у которой четыре атома Н расположены в вершинах правиль-
правильного тетраэдра, атом С — в его центре; в) молекула этилена
С2Н4, компланарная с двумя атомами Н, связанными с каж-
каждым из атомов С, причем связи СН составляют угол 120°
со связью СС. (Считайте, что молекула лежит в плоскости xz и
и ось г направлена вдоль связи СС.)
9.12. Атом имеет один валентный электрон в d-состоянии и находит-
находится в кристаллическом окружении, имеющем симметрию то-
точечной группы Oh. Считая кристаллическое поле слабым и
пренебрегая влиянием спина, найдите число уровней, на кото-
которые должно расщепляться ii-состояние.
9.13. Если в условиях предыдущей задачи учесть влияние спина
и считать спин-орбитальное взаимодействие большим по срав-
сравнению с кристаллическим полем, каков будет характер сос-
состояния?
9.14. Выведите правила отбора для дипольных переходов между
состояниями, найденными в задаче 9.3.

10
ИЗОСПИН И ГРУППА SV
Все симметрии, о которых говорилось ранее, относи-
относились к пространственным координатам частиц, составляю-
составляющих исследуемую систему. В частности, мы рассмотрели
физические следствия симметрии системы по отношению
как к полной группе вращений, так и к конечным группам
вращений, а также к инверсиям и отражениям. Спин же
частицы не связан с пространственными координатами, он
описывает ее внутренние свойства. Однако компоненты
спина преобразуются при вращениях системы, а потому
спин можно рассматривать как величину, характеризую-
характеризующую поведение системы при вращениях. В этой и следую-
следующей главах мы познакомимся с симметриями, которые
никак не связаны с пространственными координатами и
с обычным трехмерным пространством. Эти симметрии
относятся исключительно к внутренним свойствам частиц,
таким, например, как электрический заряд.
|Считается, что в природе существуют четыре разных
типа сил, или четыре типа взаимодействий: гравитацион-
гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое взаимодействия.
Первые два из них знакомы нам из повседневного опыта.
Сильное взаимодействие связывает атомное ядро в одно
целое. Это взаимодействие ответственно за выделение
огромной энергии при взрыве атомной бомбы и в ядерном
реакторе. В данной главе мы рассмотрим симметрию силь-
сильного взаимодействия, которая называется изоспиновой.
(Вместо термина «изоспин» иногда употребляют термины
«изотопический спин» и «изобарический спин».) Расшире-
Расширение изоспиновой симметрии применительно к очень ко-
роткоживущим элементарным частицам — так называе-
называемая St/з-симметрия — будет темой гл. 11. В данной главе
мы не касаемся вопросов слабого взаимодействия, ответст-
ответственного за |5-распад и другие аналогичные процессы
в ядрах.

290 Глава 10
Математическое описание изоспина полностью ана-
аналогично математическому описанию спина в системе час-
частиц со спином 1/2. Таким образом, мы сможем использо-
использовать все результаты, полученные в гл. 7 для группы 5?3-
Причина этого кроется в том, что изоспиновая* симметрия
связана с группой SU^, гомоморфной группе 9i%. Под-
Подробно соотношение между этими двумя группами будет
рассмотрено в т. 2 (гл. 18, § 13).
§ 1. ИЗОСПИН В ЯДРАХ
'Самый простой'пример проявления изоспиновой сим»
нетрии можно найти при рассмотрении строения атомных
ядер. Атомные ядра с положительным зарядом 2е (это
заряд, равный по абсолютной величине заряду Z электро-
электронов) состоят шХ протонов и N нейтронов. Сильное взаи-
взаимодействие удерживает эти протоны и нейтроны в области
с размерами порядка 102 см. Протон несет положи-
положительный заряд, равный заряду электрона, а нейтрон не
имеет электрического заряда. Массы протона и нейтрона
приблизительно одинаковы: Мрс2=938,26 МэВ, Мпс2=
=939,55 МэВ; спин обеих частиц равен V2. Протон мы
обозначаем через р, а нейтрон — через п. Эксперимент
показывает, что если исключить вклад электромагнит-
электромагнитного взаимодействия, то силы, действующие в системах
рр, рп и пп, одинаковы с точностью до 1%. Таким обра-
образом, эксперимент говорит о том, что сильное взаимодейст-
взаимодействие не различает протонов и нейтронов. Это указывает на
наличие симметрии в сильном взаимодействии. Мы будем
рассматривать следствия этой симметрии главным обра-
образом в сложных ядрах, состоящих из большого числа про-
протонов и нейтронов. Из-за сходства между протоном и
нейтроном иногда пользуются для того и другого общим
названием «нуклон» и вводят «нуклонное число» А =
=Z-\-N, которое ввиду приблизительного равенства масс
протона и нейтрона иногда называют"~массовым числом
ядра. Можно даже рассматривать протон и нейтрон как
два разных состояния одной частицы. В таком утвержде-
утверждении нет особого физического смысла: любые две частицы
можно рассматривать как разные состояния одной. Но
как правило, это будет приводить лишь*"к ненужным ус-
усложнениям. В случае же с протоном и нейтроном при-

= Именин и группа SU2 291
близительное равенство масс и неразличимость по отно-
отношению к сильному взаимодействию приводят, как мы скоро
увидим, к существенным упрощениям. А именно все ска-
сказанное выше означает, что гамильтониан, описывающий
сильное взаимодействие протонов и нейтронов, инвариан-
инвариантен по отношению к преобразованиям, смешивающим
протонные и нейтронные состояния. Рассмотрим сначала
математическую сторону этих преобразований.
Два вектора состояния нуклона (протонный и нейтрон-
нейтронный) можно использовать для того, чтобы определить
абстрактное двумерное векторное пространство, так что
|p>=(i) и [га>=(°). Рассмотрим группу иг унитарных
преобразований этого пространства. (Преобразования, не
принадлежащие группеxU2, не сохраняли бы нормировку
векторов состояния.) Как показано в гл. 7, § 2, матрицы
инфинитезимальных операторов унитарной группы долж-
должны быть антиэрмитовыми. Обратно, для любой эрмитовой
матрицы Н соотношением U=exp(?H) определяется уни-
унитарная матрица U. Заметим, что любую эрмитову мат-
матрицу 2x2 можно представить в виде линейной комбина-
комбинации четырех матриц
1 0\ /О Г
.1 О,
A0.1)
'0 —А, /1 0\
о
Таким образом, эти четыре матрицы можно рассматривать
как инфинитезимальные операторы группы ?/2. Группа,
состоящая из унитарных матриц 2x2 с определителем,
равным +1, называется группой SU2. Ограничение, на-
наложенное на определитель унитарной матрицы, означает,
что для группы SUz след матрицы инфинитезимального
оператора должен быть равен нулю. Это значит, что еди-
единичная матрица не входит в число инфинитезимальных
операторов группы SU%. (To, что мы ограничились груп-
группой SU2, соответствует исключению из рассмотрения пре-
преобразований, состоящих в одновременном изменении фазы
обоих базисных векторов состояния нуклона.) Сравнивая
формулы A0.1) и (8.15), легко заметить, что с точностью до
множителя V2 матрицы rq совпадают со спиновыми мат-

292 Гллша 10
рицами частицы спина 1/2. Следовательно, матрицы tq=
=1/2тд совпадают со спиновыми матрицами sq и удовлет-
удовлетворяют перестановочным соотношениям G.26) для инфи-
нитезимальных операторов группы Si s.
Так как все свойства неприводимых представлений
группы 91 з были выведены в гл. 7, § 4 лишь из этих пере-
перестановочных соотношений, мы получим те же неприводи-
неприводимые представления и для группы SU2. Будем обозначать
эти неприводимые представления символом D(n, 71=0,
V2, 1, . . ., как и в случае группы 9ia. Величину Т назо-
назовем изоспином. Принимая во внимание установленную
в гл. 8 связь между группой 913ш угловым моментом, мы
можем ожидать, что собственные функции гамильтониана,
инвариантного относительно группы SU2, будут иметь
такую же структуру, как и собственные функции 913-
инвариантного гамильтониана. (Буквой Т будем обозна-
обозначать полный изоспин системы, сохраняя обозначение t
за изоспином отдельного нуклона, в соответствии с обозна-
обозначениями L и I для углового момента, использованными
в гл. 8, § 2.) В частности, состояния нуклона \рУ и \пУ
имеют изоспин t—1/2, и им приписываются значения mt =
=V2 для протона и /п, = —V2 для нейтрона, причем mt —
собственное значение оператора tz. Оператор заряда нук-
нуклона может теперь быть представлен в виде Q=e(V2+t2)>
так что Q\py=e\p>, О\пУ=0 в соответствии с величи-
величиной заряда протона и нейтрона. Выбранные нами значе-
значения величин mt для протона и нейтрона припяты в физике
элементарных частиц. В ядерной физике обычно выби-
выбираются противоположные значения, что делает положи-
положительной величину Tz для большинства ядер. Это объяс-
объясняется тем, что из-за наличия кулоновского отталкива-
отталкивания между протонами последних в ядре, как правило,
меньше, чем нейтронов.
А. Описание состояний с помощью изоспина, вырождение
Понятие изоспина оказывается особенно ценным при
рассмотрении одновременного изотопического преобразо-
преобразования векторов состояния всех нуклонов, составляющих
исследуемую систему. Векторное пространство VA, опи-
описывающее всевозможные зарядовые состояния системы
из А нуклонов, имеет размерность 2Л. Мы рассматриваем

Й»вепин в группа St]% 29S
преобразования этого пространства, индуцированные одно-
одновременным 5 ^-преобразованием вектора состояния каж-
каждого нуклона. Это унитарное преобразование, действую-
действующее в пространстве VA, формально можно представить
в виде произведения U=UU(t), где U(i) — преобразо-
вание из группы SU2, действующее в двумерном прост-
пространстве векторов состояния нуклона с номером i. Для ин-
финитезимальных операторов такая структура оператора
А
U означает, что Т=5]*@- Отсюда прямо следует, что
операторы Т удовлетворяют тем же перестановочным
соотношениям, что и 2х2-матрицы t(?). Таким образом,
мы видим, что в пространстве VА действует, вообще го-
говоря, приводимое представление группы SU2. Это пред-
представление может быть разложено на неприводимые пред-
представления D(r), что и приводит к классификации состоя-
состояний системы по изоспину Т. Эта процедура перехода от
изоспина отдельного нуклона к изоспину системы нукло-
нуклонов полностью аналогична той, которая использовалась
в гл. 8, § 2 при переходе от углового момента отдельной
частицы к полному угловому моменту L системы частиц.
Изоспины отдельных нуклонов объединяются точно так
же, Как угловые моменты частиц. Таким образом, в систе-
системе из А нуклонов можно получить состояния с полным
изоспином, принимающим значения до г12А. Так как
сильное взаимодействие зарядово-независимо, т. е. не
зависит от зарядовых состояний нуклонов, описывающие
это взаимодействие операторы будут единичными на дву-
двумерном изотопическом пространстве каждого нуклона.
Отсюда следует, что гамильтониан сильного взаимодейст-
взаимодействия коммутирует с операторами группы SU3 и, согласно
результатам гл. 5, § 3, собственные функции этого га-
гамильтониана можно классифицировать по неприводимым
представлениям D(T) группы SU2 или, другими словами,
по изоспину Т.
Для системы, состоящей, из Z протонов и N нейтронов,
т. е. имеющей значение A =ZJ\-N, оператор изоспина
записывается в виде 7q=^q(i), гДе q=x, у, z, a i пробе-
гает значения от 1 до А. Отсюда следует, что оператор
полного заряда для этой системы можно записать в виде

294 Главш 10
Q = '^Q(i)=e{1/3(N+Z)+Jz}. Ясно, что для каждого
i
ядра оператор заряда должен быть кратен единичному
с собственным значением <Q>=eZ. Стало быть, и опе-
оператор Тг кратен единичному с собственным значением
Мт=1/2 (Z—N). Так как размерность представления Drn
равна 2Г+1, собственные значения с полным изоспином Т
являются BГ+1)-кратно вырожденными. В случае груп-
группы М3 было удобно различать вырожденные состояния по
собственным значениям оператора iz, т. е. M=J, J—1,...
. . ., —/. Точно так же BГ+1)-кратно вырожденные со-
состояния с полным изоспином Т различаются по собствен-
собственным значениям оператора Tz, принимающим значения
МТ=Т, Т—1, . . ., —Т. Как было показано выше,
Мт=1/2 (Z—N). Это значит, что различные компоненты
мультиплета с данным Т соответствуют разным ядрам, а
именно ядрам с одним и тем же значением А, но разными
значениями (Z—N).
В качестве первого примера рассмотрим систему из
двух нуклонов, которые обозначим индексами i и /. Мы
ожидаем получить в этой системе состояния с Т = 1 и
Т=0. Четыре возможных состояния системы ъ
имеют значения Мт, равные 1, О, О и —1. Можно пока-
показать, что симметричная комбинация <К=(>]J+фз)/К2 вмес-
вместе c*pi ич|э4 образует триплет с Г=1, a 1р3=(^2—^з)/1^2 —
синглет с Т=0. Для этого заметим сначала, что, так как
tyt имеет значение AfT =+l, этот вектор соответствует
значению Г = 1. Теперь мы можем построить состояние
с 71=1, Мт=0 при помощи понижающего изоспинового
оператора Т_, определенного по аналогии с оператором
¦L [формула G.40)]. В случае одной частицы из выраже-
выражений A0.1) следует, что матрица t_ имеет вид
'0 0\
и обладает свойством t_|/?> = |rc>, t_|re>=0. Для двух
частиц T_=t_(i)+t_(/), так что
Т- I PiPj> = I П,

Изоспин и группа SU2 295
Появление множителя V2 ясно из формулы G.40). Анало-
Аналогично Т_*|)з=0, и, так как *р5 имеет значение Мт=0,
этот вектор соответствует значению Т=0. Отметим, что,
хотя зарядовая независимость ведет к вырождению между
состояниями тр!, ^ и ф4, образующими мультиплет с Т = 1,
вырождение между состояниями с Т=0 и Т=1 отсутст-
отсутствует. Дело в том, что состояния с Г = 1 являются четными
по отношению к перестановкам индексов in/, а состояния
с Г=0 — нечетными. Следовательно, в силу принципа
Паули состояния с Г=1 являются нечетными по отноше-
отношению к перестановкам спиновых и пространственных пере-
переменных, а состояния с Т=0 — четными. В действитель-
действительности сильное взаимодействие носит такой характер, что
состояния, четные по спиновым и пространственным коор-
координатам, имеют меньшую энергию. Следовательно, основ-
основное состояние (др)-системы (дейтона) обладает изоспином
Т=0. В случае же Г = 1 ядерные силы оказываются не-
недостаточными для образования связанных состояний.
Этим объясняется тот факт, что, несмотря на зарядовую
независимость, в (гс/?)-системе есть связанное состояние,
а в системе двух нейтронов — нет.
В атоме основное состояние всегда^характеризуется
максимальным возможным значением полного спина S.
Этот результат, так называемое правило Хунда, был объяс-
объяснен в гл. 8, § 6, п. Д.'В атомном же ядре основное состоя-
состояние обладает минимальным значением полного изоспина Т,
и это можно объяснить аналогичным образом. Минималь-
Минимальным, а не максимальным, потому что в ядре между нук-
нуклонами действуют силы притяжения, а между электро-
электронами в атоме — силы отталкивания. Поскольку данное
ядро характеризуется определенными значениями N и Z,
оно обладает также и фиксированным значением Мт.
Таким образом, поскольку всегда Т^\МТ\, минимально
возможное для данного ядра значение Т дается величиной
\MT\=1/n\Z—JV|. Состояния с большими значениями Т
являются возбужденными.
!В качестве второго примера использования изоспино-
вой симметрии и связанного с ней вырождения рассмот-
рассмотрим ядра с массовым числом А =13. Единственное ста-
стабильное ядро с таким массовым'числом — это углерод 13
с Z=G, N—1. При ядерных реакциях был получен и до-
довольно хорошо исследован азот 13 (Z=7, N~Q). Набдю-

296 Глава 10
дались также бор 13 (Z=5, N=8) и кислород 13 (Z=8,
JV=5), но они очень нестабильны и об их свойствах мало
что известно. Учитывая вышеизложенные соображения
относительно величины изоспина основного состояния,
следует ожидать, что 13С и 13N имеют изоспин Т=1/2 и
соответствуют двум возможным значениям Мт = :Р1/а.
С другой стороны, 18В и 13О должны иметь изоспин 71=3/2
и Мт =+3/2 соответственно. Два оставшихся состояния,
принадлежащих мультиилету с Т=3/2 и имеющих значе-
значения М т = =р1/г, должны [соответствовать возбужденным
состояниям ядер 13С и l3N. Таким образом, низшие состоя-
состояния, соответствующие этим значениям изоспина, должны
быть расположены так, как это показано на рис. 10.1.
Пунктирные линии соответствуют значению 71=3/2.
Мт—3/г Мт-—'/г .. .Мт = Уг Мх=3/г
Рис. 10.1.
На самом деле ситуация осложняется наличием элект-
электромагнитного кулоновского взаимодействия между прото-
протонами. Ясно, что это взаимодействие не является зарядово-
независимым и, следовательно, нарушает изоспиновую
симметрию. Однако вклад электромагнитного взаимодей-
взаимодействия в энергию ядра мал по сравнению с вкладом силь-
сильного взаимодействия. Если кулоновскую энергию, кото-
которую сравнительно просто вычислить, вычесть из экспери-
экспериментальных значений энергии ядер, то для низших энер-
энергетических уровней получится картина, представленная
на рис. 10.2. Здесь указаны спин /, четность и энергия
возбуждения каждого уровня. Мы видим, что для основ-
основных состояний фактически имеет место изоспиновое вы-
вырождение, как это было изображено на предыдущем ри-
рисунке. Более того, с точностью до небольших поправок
на кулоновские силы вырождение наблюдается и для воз-
возбужденных состояний, т. е. каждому возбужденному со-

, //Рис. 10.2. Изобарная диаграм-
ма для А = 13 [5]. Диаграммы
отдельных изобар смещены по
вертикали так, чтобы компенси-
компенсировать разницу масс протона
и нейтрона и исключить куло-
новскую энергию, принятую
равной ?с=0,60 Z(Z— 1)/Ач:
В квадратных скобках даны
приближенные значения энер-
энергии ядра Еп = М (Z, А) —
—ZM(ll)—NM(n)—Ec, из ко-
которой вычтена соответствующая
величина для 13С; М — атом-
атомный дефект массы в мегаэлект-
тронвольтах. Уровни, счип-
ющиеся компонентами изоспинового мультшшета, соединены пункшрс^

298 Рлава tO
стоянию ядра 13С соответствует возбуждешюе состояние
ядра 18N с теми же спином J и четностью, отличающееся
лишь значением величины Мт. Таким образом, хотя 13N
и 13С — ядра разных химических элементов, структура
их ядер почти одинакова.
Вследствие того что изоспин "связывает между собой
ядра с одним и тем же массовым числом А, его иногда
называют изобарическим спином. Первоначально исполь-
использовался термин «изотопический спин», но он не совсем
соответствует существу дела. Изотопы — это ядра с оди-
одинаковыми химическими свойствами, т. е. с одинаковым Z
и разными N и, следовательно, с разными массовыми чис-
числами А. Изоспин не связывает между собой свойства изо-
изотопов, таких, например, как 12С, 13С и 14С. Для состояний,
различающихся только величиной Мт, как на рис. 10.1,
пользуются термином «изобарные аналоги».
Б. Расщепление изоспинового мультиплета
говорилось выше, кулоновские силы, действую-
действующие между протонами, приводят к расщеплению изоспи-
изоспинового мультиплета. Однако малость этого эффекта по-
позволяет рассматривать расщепление методом теории воз-
возмущений. В п. А мы приводили экспериментальные зна-
значения энергий ядер без учета кулоновской энергии
(рис. 10.2). Это было сделано для того, чтобы продемонст-
продемонстрировать изоспиновое вырождение. Остановимся теперь
подробнее на эффектах, связанных с наличием электро-
электромагнитного взаимодействия (см., например, [1]). Хотя
кулоновские силы и не изоскалярны, электромагнитные
взаимодействия сохраняют электрический заряд и, сле-
следовательно, Мт остается по-прежнему хорошим кванто-
квантовым числом. Таким образом, расщепление изоспинового
мультиплета с фиксированным значением Т и с Мт=
= Т, Т—1, . . ., —Т аналогично зеемановскому расщепле-
расщеплению мультиплета с фиксированным значением полного
углового момента / и cMs=J, J—1, . . ., —/, вызван-
вызванному наличием магнитного^поля, направленного по оси z
(гл. 8, § 5). В случае эффекта Зеемана чисто групповые
соображения привели нас к заключению, что расщепле-
расщепление пропорционально величине Мj. Это было обуслов-
обусловлено тем, что соответствующий оператор возмущения был

Иаоспин и группа SU2 299
векторным. При рассмотрении электромагнитного рас-
расщепления изоспинового мультиплета мы должны выяс-
выяснить характер оператора кулоновского взаимодействия.
Это позволит нам найти вид зависимости величины рас-
расщепления от Мт, не обращаясь к детальному описанию
конкретных ядер. Кулоновскую энергию можно предста-
представить в виде суммы по протонам
V — ^ р2/г- ¦
протоны
или, если пользоваться операторами изоспина, по всем
нуклонам, составляющим ядро:
i W,7- (Ю.2)
(Поскольку для"нейтрона <tz(i)>=—1/2, вклад во вторую
сумму будут давать только слагаемые, у которых индексы
i и / соответствуют протонам.) Изоспиновая зависимость
энергии Vc определяется произведением
Так же как это было сделано в гл. 7, § 4, п. Е для
группы ;%3, мы можем определить тензорные операторы
S(qk) для изоспиновой группы SU2. Для этого нужно
просто заменить в формуле G.52) операторы J операто-
операторами изоспина Т. Инфинитезимальные операторы Т
образуют изовектор, аналогично тому как операторы уг-
углового момента образуют вектор J относительно группы
5?3. Следовательно, обычное правило сложения угловых
моментов [формула G.44)] приводит к тому, что опера-
оператор Ус, содержащий произведение самое большее двух
операторов tz, может быть представлен в виде суммы изо-
скаляра, изовектора и изотензора второго ранга. Каждое
из этих слагаемых должно иметь q=0, так как опера-
оператор Vc диагоналей по отношению к полному заряду.
Изоскалярная часть Vc не может приводить к расщепле-
расщеплению. Изовекторная часть, как и в случае эффекта Зее-
мана, дает вклад в расщепление, пропорциональный Мт.
Чтобы найти зависимость от Мт вклада изотензорной
части Vc в расщепление, можно воспользоваться теоремой.

300 Глава 10
Вигнер! — Эккарта [формула G.53)]. Эта зависимость
определяется коэффициентом векторного сложения С (Т2Т,
Мт0Мт), который равен {ЗМ2т—Т (Т+1)}/{Т (Т+1)х
ХBТ—1) B7т+3)}1/«. Для получения вида зависимости
величины расщепления от Мт можно также построить
эквивалентный (в том же смысле, что и в гл. 7, § 4,
п. Ж) оператор. Исходя из векторного оператора Т, легко
показать, что оператор 2Т|—Л\—Т| является компонен-
компонентой тензора второго ранга Т'/' с /с=2, д=0 (задача 10.2).
Но этот оператор можно записать в виде оператора' ЗТ|—
—Т -Т, собственное значение которого в состоянии с дан-
данными Т и Мт равно ЪМ\— Т(Т+1).
[Итак, мы показали, что кулоновское расщепление изо-
мультиплета с фиксированным значением Т имеет вид
A0.3)
Для того чтобы найти коэффициенты в этом выражении,
групповых соображений уже недостаточно; необходимы
сложные вычисления с привлечением явного вида ядер-
ядерных волновых функций. Но общий вид зависимости A0.3)
не связан с конкретными особенностями ядер и является
фактически простым обобщением формулы для зееманов-
ского расщепления, примененной к другому типу симмет-
симметрии. Если Т^>1, то имеется больше трех возможных зна-
значений Мт. Это позволяет проверить формулу A0.3), так
как в нее входят только три постоянные а, Ь и с. Таким
образом, четверка состояний с T=s/2, показанная на
рис. 10.1 и 10.2, может быть использована для проверки
нашей формулы. Зная энергии связи~ядер 13В, 13С и 13N,
а также энергии возбуждения состояний с 71=3/2 в 13С
и 13N, можно вычислить энергию связи ядра 13О. (Энергия
связи есть разность массы ядра и суммарной массы со-
составляющих его нуклонов. Энергия связи служит мерой
энергии ядра, обусловленной сильным взаимодействием.)
В первых четырех столбцах табл. 10.1 даны измеренные
значения энергии связи четырех состояний с 71=3/2 в
мегаэлектронвольтах. В последнем столбце приведена
энергия связи ядра 13О, вычисленная по формуле A0.3)
и первым трем энергиям связи, приведенным в таблице.
Нетрудно видеть, что разница между измеренным и вы-
вычисленным значениями энергии связи не превышает
ошибки эксперимента.

"В
84,45
Изоспин и
82,00 79,
группа
04
1SQ
75,56
301
Таблица 10.1
(вычисленная)
75,57
В. Правила отбора
Амплитуды перехода в системах, обладающих изоспи-
новой симметрией, подчиняются правилам отбора по изо-
спину, полностью аналогичным правилам отбора (8.3)
по угловому моменту. Если оператор, ответственный за
переход, является изоспиновым тензором ранга к, то
имеет место следующее правило отбора:
\Tt-k\^Tt^Tt+k, A0.4)
где Тi и Тt — изоспин начального и конечного состояния.
Типичные процессы распада, такие, как E- и у-распад,
описываются одночастичными операторами вида
где первая сумма распространяется на протоны, а вторая
на нейтроны. Оператор 5Р может не совпадать с Sn.
Замечая, что оператор 1/2+t2 имеет значение +1 для
протона и^ДТдля нейтрона, можно переписать оператор S
в виде
4
где суммирование ведется по всем нуклонам. В такой
записи первое слагаемое — изоскаляр, а второе — изо-
вектор. Этот факт вместе с неравенствами A0.4) приводит
к сильным ограничениям на возможные значения Tf при
данном Tt. Оказывается, что эти правила отбора выпол-
выполняются с хорошей точностью. Значительный интерес
представляют поиски процессов, запрещенных этим пра-
правилом отбора [1]. Такие процессы несут информацию
о слабом смешивании изоспиновых состояний из-за элект-
электромагнитного взаимодействия.

302 Глава 10
§ 2. ИЗОСПИН И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
Хотя протон и нейтрон являются единственными ста-
стабильными или существующими в стабильных ядрах сильно,
взаимодействующими частицами, в столкновениях эле-
элементарных частиц при высоких энергиях рождается мно-
множество новых силыювзаимодействующих частиц. Они
быстро распадаются (за время ~10~8 с и менее). Сильно-
взаимодействующие частицы называются адронами, и к
ним, в частности, относятся зх-мезоны, Л- и 2-частицы.
Подробно мы остановимся на них в гл. 11, сейчас же заме-
заметим только, что зх-мезон бывает трех типов: зх+, зх° и зх"
с зарядами 1, 0 и —1 в единицах е. Точно так же 2~части-
цы имеют заряды ±1 и 0, тогда как Л-частица не заряже-
заряжена. Массы трех зарядовых состояний зх-мезона прибли-
приблизительно одинаковы. То же относится и к 2-частицам.
Эта ситуация очень напоминает ту, которая наблюдается
в случае с протоном и нейтроном, и дает основания пола-
полагать, что зх-мезоны и 2-частицы имеют изоспин Т~{, а
Л-частицы — изоспин Т=0. Оказывается, что вообще все
адроны объединяются в изоспиновые мультиплеты и,
следовательно, им может быть приписан изоспин Т. Таким
образом, изоспин является еще одной внутренней характе-
характеристикой частиц, такой, как масса, спин, заряд и четность.
Заметим, однако, что в то время как у нуклона связь за-
заряда с третьей проекцией изоспина дается выражением
Q=eA/2-f-T2), для зх-мезонов, Л- и 2-частиц соответ-
соответствующая формула имеет вид Q=eT2. Две эти формулы
будут объединены в одну в гл. 11 в рамках более широкой
??73-симметрии.
Инвариантность сильных взаимодействий по отноше-
отношению к изоспиновым преобразованиям и правильность
значений изоспина, приписанного нами различным час-
частицам, могут быть проверены при рассмотрении ядерных
столкновений, в которых участвуют нуклоны, зх-мезоны,
Л- и 2-частицы. Приписывая определенный изоспин раз-
различным частицам, мы полагаем, что имеется некое абст-
абстрактное преобразование, действующее на изосшшовьи
переменные всех частиц. Это соответствует тому, что, хотя
разные частицы имеют разный спин, вращение системы
координат действует на спиновые переменные всех частиц
одновременно. Таким образом, изоспины складываются

Йаоспин и группа SUt
303
по правилам векторного сложения, и, как мы увидим,
эксперименты согласуются с инвариантностью сильного
взаимодействия по отношению к таким одновременным
изоспиновым преобразованиям.
А. Взаимодействие jt-тезонов с нуклонами
'Так как изоспин я-мезона Т равен 1, а для нуклона
71=1/2, изоснин системы, состоящей из я-мезона и нук-
нуклона, согласно правилу сложения угловых моментов,
может принимать значения Т=3/2 или Т=11г. Пользуясь
соотношениями! G.40) для повышающих и понижающих
операторов, можно показать, что состояния системы
с определенными значениями Т vl Мт, которые мы обо-
обозначаем через \ТМТУ, даются формулами:
3 3
4т) = Vhn
Эти равенства можно обратить. Например,
Тогда предположени<з об изосниновой инвариантности
сильного взаимодействия приведет к многочисленным со-
соотношениям между сечениями рассеяния зт-мезонов на
нуклонах. Например, два процесса упругого рассеяния
зх
-р-^п + -\-р и п
-\-п должны иметь одинаковые
сечения, так как они соответствуют состояниям с 71 = 3/2
и различаются только значениями Мт. В то же время из
равенства A0.6) следует, что в процессе п~-}-р->-л~-{-р
участвуют состояния как с Т=3/2, так и с Т—Л12. Изоспи-

304 Глава 10 __^____
новая симметрия ничего не говорит о соотношении между
сечениями рассеяния состояний с 71=3/2 и Т=1/2- Сле-
Следовательно, если не предполагать наличие какой-либо
дополнительной симметрии, нет оснований считать сече-
сечения п~р- и я+р-рассеяния одинаковыми. Эксперимент
согласуется со следствиями, выведенными из изоспиновой
симметрии, и не указывает на наличие дополнительной
симметрии. Другими словами, рассеяние в состояниях
с Т=3/2 и Г=1/в происходит по-разному. Действительно,
при низких энергиях доминирует рассеяние в состояниях
с Т=3/2, и из формул A0.6) и A0.5) следует, что отноше-
отношение амплитуд п+р- и зт""р-рассеяния равно 3 : 1, т. е. от-
отношение соответствующих сечевий равно 9:1. Экспери
мент подтверждает этот результат 12].
§ 3. ИЗОСПИНОВАЯ СИММЕТРИЯ И ЗАРЯДОВАЯ
НЕЗАВИСИМОСТЬ
Когда в § 1 мы вводили понятие изоспина в ядрах, мы
видели, что изоспиновая инвариантность гамильтониана
сильного взаимодействия эквивалентна его зарядовой
независимости. Далее понятие изоспиновой инвариант-
инвариантности было распространено на другие частицы, и экспе-
эксперимент показывает, что с точностью до электромагнит-
электромагнитных поправок изоспиновая инвариантность имеет место
в сильных взаимодействиях всех адронов. Однако такая
расширенная изоспиновая инвариантность уже не экви-
эквивалентна зарядовой независимости. Точная зарядовая
независимость привела бы к тому, что в примере из § 2
сечения п+р- и л~р-рассеяния были бы одинаковыми, а
это противоречит экспериментальным данным.
Точно так же при взаимодействии двух л-мезонов имеет
место изоспиновая инвариантность, однако нет зарядо-
зарядовой независимости. Два я-мезона с Т=1 каждый, находя-
находящиеся в s-состоянии по относительному угловому моменту,
могут иметь суммарный изоспин Т—2 или Г=0, так как
зт-мезоны являются бозонами (гл. 5, § 9). Эксперименты по
зтзт-рассеянию подтверждают наличие изоспиновой сим-
симметрии, но показывают в то же время, что взаимодействия
в состояниях с Т=2 и Т=0 различны. Таким образом, и
в этом случае нет зарядовой инвариантности.

Йаоспин и группа SU2 305
Мы столкнулись здесь с примечательной ситуацией.
Хотя именно зарядовая независимость взаимодействия
между нуклонами привела нас к понятию изоспиновой
симметрии, наблюдающейся во всех процессах сильного
взаимодействия, сама зарядовая независимость наблю-
наблюдается не во всех сильных взаимодействиях. Этот факт,
по-видимому, еще не нашел полного объяснения. Дело
в том, что сильное взаимодействие обнаруживает прибли-
приближенную симметрию по отношению к более широкой
группе SU3, содержащей изоспиновую группу SU2 в ка-
качестве подгруппы. Группе SU3 посвящена следующая
глава.
ЛИТЕРАТУРА
Подробное изложение вопросов, связанных с изоспиновой
¦имметрией в ядерной физике, можно найти в работах:
1. Isospin in Nuclear Physics, ed. Wilkinson D. H., North-Holland.
Amsterdam, 1969.
2. Bohr A., Mottelson B. if., Nuclear Structure, Benjamin, New York,
1969. [Имеется перевод: Бор О., Моттелъсон Б. Структура атомного
•тдра. Т. 1.-М.: Мир, 1971.]
Относительно применений в физике элементарных частиц см.
работу [2] в литературе к гл. И, а также следующие работы1):
". Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц.—
М.: Наука, 1972.
4. Газиорович С. Физика элементарных частиц. Пер. с англ.— М.:
Наука, 1969.
ЗАДАЧИ
10.1. Исходя из изоспина, объясните положение нескольких энер-
энергетических уровней ядер 18О (Z=8), 18Fe (Z=9) и 18Ne (Z=10).
10.2. Покажите, что оператор t\\—л\—Ту=3т!—Т2 является тен-
тензорным оператором 1ц с &=2, <7=0. Начните сТ+и примените
формулу G.52).
10.3. Оператор, ответственный за электрические диполыше пере-
переходы (Е1) в ядрах, имеет вид 'Угр> где Тр~ радиус-вектор
v
протона р. Покажите, что этот оператор можно представить
в виде суммы по всем нуклонам V О/г-Иг @)г,-. Таким об-
1
разом, El-переходы между состояниями с Т=0 запрещены.
Добавлено при переводе.— Прим. ред.

ЗОб Рлйва JO
(Воспользуйтесь хем обстоятельством, что оператор "Vr;
Т
является вектором центра масс ядра. Он не зависит от внут-
внутренних координат и не может вызывать переходов.)
10.4. Предполагая сохранение изосплна в реакции 16O+2H->18F,
определите изоспин конечных состояний 18F. Считайте, что
ядро 1вО находится в основном состоянии, а ядро 2Н имеет
Г=0.
10.5. Вычислите отношение сечений реакций
->- 18F+p,
в которых 18F и 18Ne имеют изоспин Г=1.

и
ГРУППА SU3 И ПРИЛОЖЕНИЯ
К ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ЧАСТИЦАМ
Создание в последние 25 лет очень мощных ускорителей
частиц привело к открытию все возрастающего числа но-
новых элементарных частиц. Под «новыми» мы подразуме-
подразумеваем частицы, отличные от электрона, протона и нейтрона,
составляющих стабильные атомы, из которых, как из-
известно, состоит вещество. Можно даже считать первой среди
этих новых частиц нейтрон, поскольку он сам по себе не
стабилен. Его среднее время жизни составляет около
15 мин, и в результате ^-распада нейтрон переходит в
протон, электрон и еще одну частицу — так называемое
антинейтрино. Стабилен нейтрон только в комбинации
с протонами в ядрах.
Нейтрон был открыт еще в 1932 г. при исследовании
столкновений а-частиц, получаемых из естественных ра-
радиоактивных источников. Такие а-частицы имеют энер-
энергию порядка 5 МэВ. Если энергия протона превышает
300 МэВ, то в соответствии с формулой Е=Мс2 при столк-
столкновении с протоном мишени может образоваться л-ме-
зон. При еще больших энергиях, порядка 1000 МэВ
( = 1 ГэВ), парами рождаются К-мезомы, а при энергиях
около 4 ГэВ рождается пара протон — антипротон. Полу-
Получив в протон-протонных столкновениях зт-мезоны, можно
сформировать из них пучок и исследовать результаты его
столкновения с протонами следующей мишени. Точно
так же получают пучки /^-мезонов и изучают их столкно-
столкновения. Таким образом, имеются широкие возможности для
образования множества новых частиц при различных
столкновениях. Поначалу в этом обилии результатов не
было никакой ясности, но постепенно из хаоса начал воз-
возникать порядок. В настоящее время элементарные частицы
весьма четко классифицируются по изоспину и с привлече-
привлечением более широкой группы унитарных преобразований

308 Глава И
в трех измерениях — группы SUB. При переходе от изо-
спиновой группы SU2 к группе SU3 появляется новое
квантовое число — гиперзаряд, во многих отношениях
аналогичный электрическому заряду.
В первых трех параграфах данной главы мы кратко
изложим свойства некоторых наиболее стабильных эле-
элементарных частиц, а также укажем причины, по которым
вводится гиперзаряд (см. также [1, 2]). Три следующих
параграфа мы посвятим математическим свойствам группы
SU3, а затем обратимся к физическим применениям SUa-
симметрии.
§ 1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦАХ
Термин «адрон» был введен в гл. 10, § 2 для частиц,
участвующих в сильных взаимодействиях. В табл. 11.1
приведены некоторые важнейшие характеристики наибо-
наиболее стабигьных адронов [1]. О различии между барио-
нами и мезонами, представленными в табл. 11.1 раз-
раздельно, будет сказано в § 3. К сожалению, обозначения
частиц сложились исторически и в них нет особой логики.
Так, протон и нейтрон обозначаютсс латинскими буквами
р и п, а другие частицы — греческими. Например, бук-
буквой Л обозначается лямбда-частица. Верхние индексы
«+» и «—» указывают электрический заряд в единицах е;
так, частица Д++ несет заряд 2е. Звездочкой в 2* и S*
отмечаются частицы с таким же названием, но большей
массой. Частицы с одинаковыми значениями Т и Y при-
принято обозначать одними и теми же буквами. Массы час-
частиц М приведены во втором столбце таблицы как значе-
значения Мс2 в мегаэлектронвольтах. В третьем столбце даны
значения спина, в четвертом — заряда частиц. Для пол-
полноты в третьем столбце приведены также значения чет-
четности частиц. Например, 1/2+ означает спин XIJH и поло-
положительную четность. (Точный смысл понятия четности,
не имеющей отношения к движению частицы и являю-
являющейся ее внутренней характеристикой, будет указан
в т. 2, гл. 15, § 7, п. В.)
Мы уже показали в гл. 10, как протон и нейтрон могут
быть объединены в изоспиновый дублет. Из табл. 11.1
видно, что все перечисленные в ней частицы распадаются
на изоспиновые мультиплеты, состоящие из BГ+1)

Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 309
частиц с совпадающими в пределах нескольких мегаэлек-
мегаэлектронвольт массами и с зарядами, различающимися после-
последовательно на е. Так, например, S1 и S" объединяются
в изодублет Т=1/2, а 2 + , 2° и 2~ имеют T=i. Правиль-
Правильность значений изоспина, приписываемых частицам, под-
подтверждается тем, что в экспериментах наблюдаются пра-
правила от5ора, типа указанных в гл} 10, § 2, п. В. Заметим,
однако, что соотношение Q=MTJr1/2 между зарядом Q
и третьей проекцией изоспина Мт, справедливое для нук-
нуклонов (р иге), не выполняется для других барионов.
В гл. 11, § 2 мы рассмотрим необходимость введения но-
нового квантового числа Y — гиперзаряда, представленного
в седьмом столбце таблицы. Мы увидим, что более общее
соотношение Q—MT-\-1IJT справедливо уже для всех
адронов.
В восьмом столбце приведены средние времена жизни
частиц т. Среднее время жизни определяется как постоян-
постоянная, входящая в показатель экспоненты ехр(—tli) в за-
законе распада частицы. Таким образом, меньшими значе-
значениями г характеризуются менее стабильные, быстрее рас-
распадающиеся частицы. В последнем столбце указаны глав-
главные каналы распада частицы. В случае, когда имеется
более одного канала распада со сравнимыми вероятнос-
вероятностями, указано также отношение этих вероятностей. Сим-
Символом у обозначен фотон (у-распад); v и ц — это нейтрино
и мюон.
Чертой над символом частицы обозначается соответст-
соответствующая античастица. Из теории поля и из эксперимента
следует, что для каждой частицы имеется античастица,
хотя получить античастицу иногда довольно трудно.
Античастица имеет ту же массу и спин, что и частица, но
несет противоположный заряд. Некоторые нейтральные
частицы, такие, как зт°, совпадают со своими античасти-
античастицами. К вопросу об античастицах мы вернемся в т. 2,
гл. 16.
Некоторые из более тяжелых частиц, приведенных
в табл. 11.1, могут распадаться за счет сильного взаимо-
взаимодействия за времена порядка 10~23 с. Ввиду столь малых
времен жизни проблематично, заслуживают ли они назва-
названия «частиц». Иногда частицы|с такими малыми време-
временами жизни называют резонансами. Вообще говоря,
в квантовой механике резонансы в процессе рассеяния свя-

Таблица 11.1 ¦"
Свойства самых легких адронов
а) Барпоны
тт Масса, „ „ Изоспин, Гипер- Среднее,
частица МэВ Спин Заряд т Мт заряд время Главные каналы распада
Y жизни, с
°° Стабильный
1.0-10»
p
n
Л
2+
2°
2-
E°
3-
938,28
939,57
1115,6
1189,4
1192,5
1197,4
1315
1321
1 +
2
1 +
2
1 +
2
1 +
2
1 +
У
1 +
2
1 +
2
1 +
2
1
0
0
1
0
—1
0
—i
1
2
1
2
0
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
0
—1
1

1
0 2,5-10-10 р + л- F5%), ге + я°C5%)
0 0,8-Ю-10 р + я°E3%), ге
0 <10-14 Л-fY
0 1,7-Ю-10 п + п-
2,9-10-м
1 1,7-Ю-10

Д++ ]
Д +
ДО
д-
7J— *
Q-
1232 i)
1385
H°* 1532
1535
1672
3 +
2
3 +
2
3 +
2
3 +
2
3 +
2
3 +
2
3 +
2
3 +
2
3 +
2
3 +
2
2
1
0
—1
1
0
-1
0
1
. 1
3
2
3.
2
3
2
3
2
1
1
1
1
2
1
2
0
3
2
1
2
1
2
3
2
1
0
—1
1
2
1
2
0
1
1
1
1
0
0
0
—1
—1
—2
5-10
10-
n-\-n~
1.10-*» Л + я(88%), 2
Н + я
1,1-Ю-10 Н + я,
>) Экспериментальные массы и времена жизни для этих мультиплетов содержат большие ошибки, а потому мы при-
приводим лить приближенвые средние гначения.

б) Мезоны
Таблица 11.1 продолжение
Частица
Масса,
МэВ
Изо-
Спин Заряд спин
Т
Гипер- Среднее
заряд время
У жизни, с
Главные каналы распада
139,6 0- ±1
135,0 0- 0
к±
к°
к"
493,
497,
497,
549
7
7
7
о-
о-
о-
о-
±1
0
0
0
±1
о
1
±Т
2
О 2,6-Ю-8
0 0,9-10-1в
± 1 1,2-Ю-8 ц + v (С4«/0), 2п B1%), Зя G«/0)
1 ('О.Э-Ю-10 Я+ + П- F8%), я°+п°C2%)
5,3-Ю-8 ЗпC8%), nevC5%), яцуB7%)
3-Ю-18 27D2о/0), ЗяE1о/О), 2nvF%)
Примечание. Для К0- и К°-частицимеют иесто оба типа распада, объединенных фигурной ск ей ci": (т. 2, гл. 1С, § 3,
п. Е).

Группа SUg и приложения к элементарным частицам 313
зываются с возбужденными состояниями сложной системы,
которая может быть нестабильной. Многие из частиц,
перечисленных в табл. 11.1, можно рассматривать как
возбужденные состояния других частиц, аналогично тому,
как в гл. 10 мы говорили о протоне и нейтроне как о двух
состояниях нуклона.
§ 2. ГИПЕРЗАРЯД
Подобно большинству новых понятий гиперзаряд был
поначалу введен феноменологически для описания неко-
некоторых необъясненных явлений. Но по мере того как
с учетом гиперзаряда получало объяснение все большее
число явлений, новое понятие постепенно утверждалось.
Во-первых, требовал объяснения тот факт, что в р — р-
соударениях я-мезоны могут рождаться по одному, а
/^-мезоны — только парами. Во-вторых, время распада
/^-мезонов имеет порядок 10~10 с. Но когда процессы,
происходящие благодаря сильному взаимодействию, ха-
характеризуются энергиями порядка сотен мегаэлектрон-
мегаэлектронвольт, из соотношения неопределенностей AEAt&fi сле-
следует, что характерные для этих процессов времена имеют
порядок 10~23 с $=6,6 -Ю"2 МэВ -с). Это говорит о том,
что существует правило отбора, запрещающее распад
/Г-мезона на более легкие частицы. На этом основании
было постулировано, что все сильновзаимодействующие
частицы обладают новым квантовым числом У (гиперзаря-
(гиперзарядом) и что гиперзаряд сохраняется в сильных взаимо-
взаимодействиях. Другими словами, в любых реакциях рожде-
рождения или распада частиц, происходящих благодаря силь-
сильному взаимодействию, полный гиперзаряд начального и
конечного состояний должен быть одинаковым. Таким
образом, для того, чтобы зт-мезонам было разрешено
рождаться поодиночке, им следует приписать гиперзаряд
У=0. В то же время К-мъзоны, рождающиеся только па-
парами, бывают четырех типов: К+, К0, К0 и К~. Оказалось,
что гиперзаряд будет сохраняться, если положить У = -(-1
для К+ и К0 и У=—1 для К0 ш К~. В этом случае одна из
частиц родившейся пары будет иметь У=-|-1, а другая
У =—1. Значения гиперзаряда, приписанные частицам,
можно многократно перепроверить благодаря большому
количеству разнообразных изученных реакций. Оконча-

314 Гла$л 11
тельные значения гиперзаряда приведены в седьмом
столбце табл. 11.1. Подобно заряду, гиперзаряды частицы
и античастицы равны по величине и противоположны по
знаку. В распаде /?°-мезона с У=+1 на два л°-мезона
с Y—0 сохранение гиперзаряда нарушается. Но, как было
отмечено выше, этот распад происходит в 1012 раз медлен-
медленнее, чем должно быть при сильном взаимодействии. Это
как раз такая скорость распада, к которой, как это из-
известно из других данных, приводило бы слабое взаимо-
взаимодействие, ответственное за fS-распад. Таким образом, мы
приходим к выводу, что в слабых взаимодействиях, в от-
отличие от сильных, гиперзаряд не сохраняется. Этот вывод
подтверждается и всеми остальными экспериментальными
данными.
|Иногда гиперзаряд характеризуют так называемой
странностью. Странность обозначают буквой S; она свя-
связана с Y соотношениями S—Y для мезонов и S=Y—1 для
барионов. (Вообще говоря, S=Y—В, где В — барион-
ное число, определение которого будет дано в § 3.) Пре-
Преимущество квантового числа S в том, что для наиболее
известных частиц, таких, как я-мезоны и нуклоны, оно
равно нулю E=0), а более «новые» частицы (например,
К-мезояы), частицы со «странными» свойствами, характе-
характеризуются ненулевыми значениями S. С точки зрения
классификации более удобен гиперзаряд, как мы увидим
в §7.
§ 3. БАРИОННЫЙ ЗАРЯД
Так как протон значительно тяжелее л- и /^-мезонов,
возникает вопрос, почему он абсолютно стабилен и не
распадается. Единственным ответом на этот вопрос может
быть введение еще одного сохраняющегося квантового
числа — «барионного заряда». В гл. 10, § 2 мы ввели
термин «адрон» для всех сильновзаимодействующих час-
частиц. Теперь мы делим все адроны на мезоны, имеющие це-
целый спин, и на барионы — адроны с полуцелым спином.
Две эти группы частиц — мез шы и барионы — разли-
различаются и по массе. Как видно из табл. 11.1, барионы —
более тяжелые частицы.
Барионный заряд В определяется так, что бариопу
приписывается значение В = -\-1, мезону — значение В={)

Группа SVa и приложения К ФлементарныМ чйотицйм 313
и антибариону — значение В =—1. Экспериментальные
данные говорят о том, что барионный заряд сохраняется
во всех реакциях, даже обусловленных слабым взаимо-
взаимодействием. В^ этом смысле он подобен электрическому за-
заряду, который тоже сохраняется во всех процессах без
исключения. Распад протона на мезоны нарушал бы сох-
сохранение барионного заряда, а потому он невозможен.
Для полноты картины заметим, что электрон, мюон и
нейтрино, не участвующие в сильных взаимодействиях,
называются лептонами. Все они имеют спин, равный 1/2,
и Б=0. Электрон, |А~-мезон и нейтрино имеют «лептон-
ный заряд» L=l, а позитрон, (х+-мезон и антинейтрино —
«лептонный заряд» L=—1.
§ 4. ГРУППА SUS
Выше мы показали, как частицы объединяются в изо-
спиновые мультиплеты, и ввели новое квантовое число —
гиперзаряд У. Теперь мы на время оставим физику и об-
обратимся к математическим свойствам группы SU3 с тем,
чтобы в § 7 рассмотреть объединение определенных ком-
комбинаций изоспина Т и гиперзаряда Y в большие мультип-
мультиплеты, соответствующие неприводимым представлениям
группы SUS.
Группа U3 определяется как множество унитарных
3 X 3-матриц U и является естественным обобщением рас-
рассмотренной в гл. 10, § 1 группы U2. Эта группа является
также частным случаем группы UN с произвольным N,
которая будет рассмотрена в т. 2, гл. 18. Но вместо того
чтобы использовать общую теорию, мы получим необхо-
необходимые результаты непосредственно при iV=3. Условие
унитарности накладывает девять условий на девять ком-
комплексных матричных элементов матрицы 3x3, оставляя,
таким образом, девять действительных параметров. Вы-
Выделяя из матрицы U фазовый множитель ехр(гср), так
чтобы определитель оставшейся матрицы был равен +1,
мы приходим к группе SUS, имеющей, очевидно, 8 пара-
параметров. Соответствующие восемь инфинитезимальных опе-
операторов должны, как и ранее, быть антиэрмитовыми и
иметь нулевой след. Обобщая естественным образом фор-
формулы A0.1), мы можем выбрать эти восемь инфинитези-

316 Глл*а it
мальных операторов такими:
/OJO\ / 0 1 0N
xt=-i(*oo
\ооо,
'О 0 v
A1.1)
Первые три из них — это просто инфинитезимальные опе-
операторы группы SU2, действующие на двумерном подпрост-
подпространстве, получающемся, если игнорировать третий базис-
базисный вектор. Следующие две пары аналогичны Xj и Ха
с той лишь разницей, что они действуют на подпространст-
подпространствах, натянутых на первый и третий и второй и третий ба-
базисные векторы. Два соответствующих аналога матрицы
Х3 не являются линейно независимыми от Х3. (Если бы
это было не так, то мы имели бы девять операторов вместо
восьми.) В качестве восьмого инфинитезимального опера-
оператора мы выбираем диагональную антиэрмитову матрицу
с нулевым следом Х8, которая, очевидно, линейно не-
независима от Х8.
§ 5. ПОДГРУППЫ ГРУППЫ SIT,
Подгруппу SU2 группы SUS можно построить, взяв
любое двумерное подпространство трехмерного простран-
пространства, в котором определена группа SUa. Такой подгруппе
соответствуют, например, инфинитезимальные операторы
Xit Х2 и Х3. Тройки операторов Х4, Х5, V2 (X3+V2X8)
и Хв, Х7, 1/2(—Хз+^гХя) также соответствуют 5?/а-под-
группам. Эти подгруппы могут быть расширены, так как
оператор Х8, например, коммутирует с операторами Xt-
Ха и Х3. Таким образом, эта четверка операторов порож,

tpgnn» StJf и прилФжения к влементярным частицам 317
дает прямое произведение SU2xUt. Если обозначить ба-
базисные векторы пространства, в котором действует группа
SU3, через е*, еа и е3, то на подпространстве, натянутом
на векторы е* и е2, действует подгруппа SU2, порожден-
порожденная инфинитезимальными операторами Х1( Х2 и Х3.
Элемент подгруппы Ui может быть представлен в виде
U(a)=exp(aX8), так что U(a)ex=exp(—ia)ei, U(a)e2=
=ехр(—ia)e2, а U(a)e3=expBia)e3.
^•Группа Ut абелева, так как U(a) U(&)=U(a+b);
поэтому ее неприводимые представления одномерны. Фак-
Фактически группа Ut изоморфна группе Я2, рассмотренной
нами в гл. 7, § 3, и ее однозначные неприводимые представ-
представления параметризуются целыми числами. Для дальнейше-
дальнейшего нам удобно записывать эти целые числа в виде ЗУ.
Таким образом, представления группы Ui даются форму-
формулой Т(Л=ехр(—i3Ya). Оператор Х8 в этом представле-
представлении равен —ЗгУ. При построении неприводимых представ-
представлений мы воспользуемся наличием в группе SU» подгруп-
подгруппы SU2xUt.
Если мы ограничимся действительными унймодуляр-
ными ЗхЗ-матрицами, то найдем еще одно семейство под-
подгрупп группы SUS. Они изоморфны группе Э{3, о которой
говорилось в гл. 7, § 4. В самом деле, нетрудно показать,
что действительные матрицы Х2, Х& и Х7 удовлетворяют
перестановочным соотношениям группы М3 и фактически
идентичны матрицам Э13, даваемым формулой G.24) для
представления Du>. Мы не будем исследовать соотношение
между SU3 и подгруппой 5?8. Заметим только, что наличие
этой подгруппы в SUS используется при объяснении кол-
коллективных движений в легких ядрах (т. 2, гл. 19, § 2).
§ 6. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SU3
Обратимся теперь к структуре, классификации и свой-
свойствам неприводимых представлений группы SUS. При этом
мы будем следовать методам, применявшимся в гл. 7,
§ 4, п. Б для группы i/ig. Мы будем систематически пользо-
пользоваться наличием трех <5?/2-подгрупп в группе SU3, о ко-
которых шла речь в предыдущем параграфе. Для каждой из
этих подгрупп необходимо ввести повышающие и пони-
понижающие операторы по аналогии с формулой G.27). Таким

318 Глава И
образом, оказывается удобным перейти от операторов Хд
к следующим их комбинациям:
A1.2)
Можно убедиться, что коммутатор любых двух из этих
восьми матриц является их линейной комбинацией. Это,
конечно, следствие общего свойства G.7) инфинитезималь-
ных операторов группы. Например, три матрицы Т± и
Tz» будучи инфинитезимальными операторами SU 2-под-
группы, удовлетворяют перестановочным соотношениям
G.28) и G.30):
[Т+, Т_] = 2Тг, [Т„Т±] = ±Т±. A1.3а)

Группа SUa и приложения к элементарным частицам 319
Если мы положим UZ=S/4Y—VJZ и V2=—S/4Y—VJZ,
то операторы U и V будут удовлетворять точно таким же
перестановочным соотношениям, так как и они опреде-
определяют .??/2-подгрушш:
[U+, U_] = 2U2, [U2, U±] = ±U±,
A1.36)
[V+) V_] = 2VZ, [V,, V±] = ±V±.
Говоря об этих трех 5?/г-подгруппах, мы будем пользо-
пользоваться терминами Г-спин, [/-спин и F-спин. Из формул
A1.2) следует, что матрица Y коммутирует с Т± и Tz.
В дальнейшем нам понадобятся также и следующие пере-
перестановочные соотношения, которые легко вывести из оп-
определений A1.2):
[Т„ U±]= + 4U±> [Y, U±]=±U±,
[t,,v±] = =f4-v±, [y, v±] = =fv±, (и-3в)
[Т+, U_] = [T_, U+] = [T+, U_] = 0,
[Т_, V+] = [U+, V_] = [U_, V+] = 0, (И.Зг)
[V_, U_] = T+, [U+, V+] = T_, [U_, T_] = V+,
[T+> U+] = V_, [T_, V_] = U+, [V + 1 T+1 = U_.
Напомним (гл. 7, § 2), что в случае группы Ли такие же
перестановочные соотношения выполняются во всех пред-
представлениях. Таким образом, перестановочные соотноше-
соотношения, полученные для ЗхЗ-матриц A1.2), справедливы в
общем случае.
Теперь мы воспользуемся этими перестановочными со-
соотношениями для построения и классификации неприво-
неприводимых представлений группы SU3, так же как ранее мы
использовали перестановочные соотношения G.26) для
получения неприводимых представлений D^' группы
5?3. Но сначала напомним последовательность шагов,
предпринятых для построения представлений D^'K Во-
первых, был выбран базис, в котором один из операторов,
а именно Jz, диагоналей. Затем, учитывая, что ни один
из оставшихся операторов нельзя диагонализовать одно-
одновременно с izy из них были построены операторы, повы-
повышающие и понижающие собственные значения т операто-
оператора J?. В конце концов было показано, что если / -«-

320 Глава 11
максимальное значение величины т в данном представ-
представлении, то имеется B/-|-1) базисных векторов со значения-
значениями m=j, j—1, ... , —j. Величина j для различных пред-
представлений может принимать только значения /=0, 1/2, 1,
3/2, ... . Таким образом, неприводимое представление
можно было характеризовать числом / и обозначать сим-
символом'D(/). Базисные векторы можно было изобразить
-j -;+/ -/ о 1 j-i j
Рис. 11.1.
как ряд из B/—(-1) точек на оси т, расположенных симмет-
симметрично относительно начала координат с интервалами, рав-
равными единице. На рис. 11.1 представлен случай целого j.
Так мы будем поступать и в случае группы SUS, но с соот-
соответствующими усложнениями. В этом случае можно
диагонализовать уже два из восьми операторов. Следова-
Следовательно, для изображения базисных векторов представле-
представления SU9 вместо одномерного понадобится двумерное про-
пространство. Для классификации неприводимых представ-
представлений также необходимо теперь два числа вместо одного /.
Обозначим па время неприводимое представление груп-
группы SU3 символом D. (Позже мы будем пользоваться более
детальным обозначением ОЛ1Х\ когда определим индексы
X и \i.) Мы выберем для представления базис, в котором
операторы Tz и Y диагональны. Это возможно в силу
их коммутативности. Более двух из восьми матриц A1.2)
диагонализовать одновременно невозможно, так как это
привело бы к существованию более чем двух линейно не-
независимых диагональных ЗхЗ-матриц с нулевым следом.
Поскольку Тг, Uz и Уг — это обычные ??/2-операторы,
их собственные значения, как нам известно, равны 0,
±V2, ±1, ±3/2 и т. д. Из определений операторов Uz и
Vz следует, что Y=2/3(UZ—Vz); стало быть, собственные
значения оператора Y должны быть равны 0, ±VS, ±Va,
±1, ±4/з и т. д. Тогда, если мы обозначим собственные
значения операторов Тг и Y через МТ и Y, каждому ба-
базисному вектору пространства представления можно по-
поставить в соответствие точку (Мт, Y), расположенную в
узле прямоугольной решетки с шагом V2 в направлении
№т и с шагом »/, в направлении Y (рис. 11.2).

Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 321
После диаг онал изации двух из восьми инфинитези-
мальных операторов действие оставшихся шести операто-
операторов Т±, U± и V± легко изобразить на (МТ, У)-плоско-
Чз
-г -Иг -
-1/2 ,/з
i/2 1
Рис. 11.2.
сти. Так как Т± — это обычные повышающий и понижаю-
понижающий величину Мт операторы (гл. 7, § 4, п. Б), коммути-
коммутирующие с Y, результат действия операторов Т± на ба-
• • . .
• • • %"¦
• • ¦ • \
* • • J~ * \ .
• • • yv+
•
/¦
• • ¦
• a •
T+ ' * '
. . .
Рис. 11.3.
зисный вектор, изображенный точкой (Мт, Y), изобра-
изображается точками (Мг±1. Y). Таким образом, операторы
Т± соответствуют сдвигам на ±1 в направлении оси

322 Глава 11
Мт. Точно так же из перестановочных соотношений
(И.Зв) следует, что операторы U+ соответствуют сдвигам
в (Мт, У)-плоскости на векторы (+V2, ±1), а операторы
V± — на векторы (+V2, +1) (рис. 11.3).
Неприводимые представления характеризуются тем,
что при помощи инфинитезимальных операторов из любого
вектора пространства представления можно получить ба-
х . х • х • х • х зис этого пространства. Из
рис. 11.3 явствует, что ве-
• • личина Y может меняться
> х • х - х . х только на целое число.
» Кроме того, если величи-
......... на У изменяется на не-
х • х • х • х • х четное число, то соответ-
Рис 11 4 ствующее изменение вели-
величины М т является полуце-
полуцелым. Таким образом, мы видим, что точки, соответствую-
соответствующие базисным векторам неприводимого представления,
расположены в узлах гексагональной решетки, помечен-
помеченных на рис. 11.4 крестиками. Такая конфигурация может
быть реализована на сетке, показанной на рис. 11.2, тре-
тремя разными способами:
1) с узлом гексагональной решетки в точке @, 0);
2) с узлом в точке @, 2/3); A1.4)
3) с узлом в точке @, — 2/3).
Соответственно этому неприводимые представления распа-
распадаются на три типа. [Случаи, когда узел гексагональной
решетки расположен в точках @, ±1/8), должны быть ис-
исключены, так как тогда мы имели бы ?/z=+1/4.]
Теперь нам необходимо выбрать такие точки на решет-
решетке, чтобы соответствующие базисные векторы порождали
пространство неприводимого представления. Для этого
рассмотрим в пространстве неприводимого представления
D базисный вектор с наибольшим «весом», или «старший
вектор». Под этим мы подразумеваем, что этому вектору
|ф> соответствует максимальное значение Y и максималь-
максимальное при этом Y значение Мт. (Можно было бы также опре-
определить старший вес, поменяв местами Y и Мт.) Из опре-
определения |ф> следует, что
U+\ip> = V_\xp> = 0, A1.5)

Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 323
так как операторы U+ и V_ повышают величину Y,
а оператор Т+ повышает величину МТ, оставляя величину
Y неизменной. Таким образом, из соотношений A1.5),
а также из определения операторов Uz и Vz, приведенного
сразу после формул A1.3а), следует, что вектор |ф>
имеет определенные Т-, U- и F-спины, равные
Т = МТ, U = Mu = ^Y—±
Этот вектор принято обозначать парой целых чисел %=2Т
и |Л=2С/, так что F=V2(X+n), а координаты соответствую-
соответствующей точки решетки равны
MT = ±-Xt У=Dа, + 2|Л . A1-6)
i \ о у
Теперь мы можем показать, что всем базисным векто-
векторам представления D соответствуют точки решетки, рас-
Y
Рис. 11.5.
положенные на сторонах или внутри шестиугольника,
изображенного на рис. 11.5. Стороны этого шестиугольни-
шестиугольника параллельны векторам, изображенным на рис. 11.3.

324 Глава 11
Длины сторон К и [х равны числу промежутков между
узлами решетки. (Чтобы перейти к реальным длинам,
нужно уменьшить масштаб по оси Y в 1/а|/ раз.) Начав
с точки А, соответствующей старшему вектору |ip>, мы
можем при помощи оператора Т_ последовательно умень-
уменьшить Мг на X единиц. Так мы достигнем точки F. Из
определения старшего вектора следует, что ни одна точка
решетки, соответствующая базисному вектору простран-
пространства представления D, не может лежать выше линии AF.
Аналогично, последовательное применение к вектору |\р>
оператора U_ даст f-спиновый мультиплет, состоящий из
(i+l точек решетки, лежащих на линии АВ. Базисные
векторы, соответствующие точкам на линии АВ, имеют
вид U" |nj)>. Из равенств (И.Зг) следует, что Т+\У1 |я|з> =
=и™Т+|ф>=0 и V_U" |ф>=0. Поэтому справа от ли-
линии АВ нет точек решетки, соответствующих базисным
векторам представления D. Легко видеть, что координаты
точки В таковы:
M {b + ) Y ±(X + 2) (k)
Теперь можно достроить весь шестиугольник
ABCDEF, руководствуясь соображениями симметрии. Во-
первых, имеется симметрия относительно оси Y, связан-
связанная с симметрией значений Мт в Г-спиновой подгруппе
SU^. Такая же симметрия относительно С/-спина и F-спина
приводит к зеркальной симметрии относительно двух диа-
диагоналей, изображенных на рис. 11.5. Мы получили такой
шестиугольник, что все базисные векторы пространства
неприводимого представления соответствуют точкам, ле-
лежащим внутри него или на его сторонах. (Отметим, что
упомянутая «зеркальная» симметрия имеет место по от-
отношению к узлам решетки. Чтобы превратить ее в настоя-
настоящую зеркальную симметрию, нужно уменьшить масштаб Y
в 1/tV~3 раз.)
Каждому узлу решетки на линии ABC соответствует
Г-спиновый мультиплет, пересекающий шестиугольник в
горизонтальном направлении до линии FED. Точки этого
мультиплета получаются последовательным применением
оператора Т_. Аналогично каждый узел решетки, лежа-
лежащий на линии AFE, порождает [/-спиновый мультиплет,
пересекающий шестиугольник до линии BCD, a F-спино-

Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 325
вые мультиплеты соединяют линии BAF и CDE. Таким
образом, начав с точки А, заданной двумя целыми числами
К и ц, мы можем получить неприводимое представление,
базисные векторы которого соответствуют точкам, лежа-
лежащим на сторонах и внутри шестиугольника ABCDEF
(рис. 11.5). Мы будем обозначать это неприводимое пред-
представление через 6(?|х) или просто через (Xjx). Из нашего
построения видно, что каждому узлу решетки внутри
шестиугольника соответствует базисный вектор. Но, вооб-
вообще говоря, одной точке могут соответствовать несколько
линейно независимых базисных векторов. Можно пока-
показать (задача 11.6), что каждому узлу решетки на стороне
шестиугольника соответствует один и только один базис-
базисный вектор. Если мы соединим между собой ближайшие к
сторонам шестиугольника внутренние узлы решетки, то
получим меньший шестиугольник, вписанный в исходный.
Можно показать, чтЪ каждой точке этого шестиугольника
соответствует по два независимых базисных вектора.
Такое построение можно продолжать и далее, увеличивая
на каждом птаге число линейно независимых базисных век-
векторов, соответствующих узлам решетки, до тех пор, пока
на очередном шаге вместо шестиугольника не получится
треугольник. Начиная с этого момента, число независимых
векторов, соответствующих узлу решетки, остается по-
постоянным. Путем такого построения можно показать (за-
(задача 11.7), что число линейно независимых базисных век-
векторов пространства представления, т. е. размерность пред-
представления d(k\i), дается выражением
<*(?.}.) = 1(Я + 1)(ц+1)(Л + и + 2). A1.7)
Некоторые примеры приведены на рис. 11.6. Заметим, что
если fi=0 или А,=0, то мы с самого начала имеем тре-
треугольник и, следовательно, каждой точке решетки соот-
соответствует один-единственный базисный вектор.
Остановимся более подробно на представлении DA1>.
Дело в том, что, во-первых, Dlll> — простейшее представ-
представление с двумя базисными векторами, соответствующими од-
одной точке решетки, и, во-вторых, это представление
имеет наибольшее значение в физических приложениях.
Представление DA1) содержит два мультиплета с Г=1/2
при У=±1 и мультиплет с Т=1 при У=0. Оставшийся

326
Глава 11
вектор, соответствующий точке @, 0), должен иметь Г=0,
так как в противном случае мы могли бы получить новые
независимые векторы. Точки О = @, 0) можно достичь из
начальной точки Л = A/2, 1) многими путями, включая три
7
/V
¦ X
X XX X-
X XX
Рис. 11.6.
х х
изображенных на рис. 11.7. Эти пути соответствуют сле-
следующим преобразованиям:
АО
ABO
AFO
A1.8)
Так как состояние |ip> имеет Mv=—1 и, следовательно,
F=l, то путь АО должен привести к состоянию с V=l и
Mv=0. Множитель У2 в соотношениях A1.8) возникает

Группа SUS и приложения к элементарным частицам 327
из-за определения G.40) повышающего оператора V + .
Точно так же U_|ip> есть состояние с МТ=1 и, следова-
следовательно, Т=\. Таким образом, T_U_|i]5> имеет Г=1 и
Мг=0. Аналогично путь AFO приводит к состоянию с
17=1. Мы построили три
на первый взгляд различ-
различных вектора, соответству-
соответствующих точке @, 0). Однако
эти векторы не являются
линейно независимыми. В
самом деле, соотношение
[U_, T_]=V+ [формула
A1.Зг)] непосредственно
приводит к линейной за-
зависимости |С/=1>—|Г = 1>
= |V=1>. В качестве ба-
базисных векторов необ-
необходимо выбрать две орто-
ортогональные друг другу ком-
комбинации этих трех векторов.По разным причинам удобно
выбрать векторы |Г=1> и |7'=0>, которые должны быть
взаимно ортогональными. Воспользовавшись еще раз пере-
перестановочными соотношениями A1.Зг), можно показать, что
|r = 0> = (l/j/){|Z7=l> + |V = l>}. Для этого достаточно
показать, что T+{\U=l> + \V=l>}=0. Множитель l/j/3
возникает из-за того, что состояния |С/=1> и |F=1>
не ортогональны:
<F = 11 U = 1> = у <т|з | V_U_T_ I i|>> =
Переходя к базисным векторам |Г=1> и |2г7=0>, полу-
получаем

328 Глава 11
а из ортогональности следует, что
A1.9)
А. Комплексно-сопряженные представления
Матрицы, комплексно-сопряженные матрицам пред-
представления D некоторой группы, также образуют представ-
представление этой группы, обозначаемое символом D*. Для
исследования представления D* проще всего рассмотреть
соответствующие инфинитезимальные операторы. Из оп-
определений A1.1) и A1.2) следует, что комплексное сопря-
сопряжение инфинитезимальных операторов Хг группы SUa
приводит к изменению знаков Тг и Y и к тому, что осталь-
остальные шесть повышающих и понижающих операторов ме-
меняются ролями. На (Мт, У)-плоскости это приводит к
отражению диаграммы относительно обеих осей, что эк-
эквивалентно (рис. 11.5) замене ц на К ж наоборот. Таким
образом, представление Dl01), например, эквивалентно
представлению, комплексно-сопряженному представлению
DA0). В то же время представление DA1) с Х=ц действи-
действительно, т. е. эквивалентно своему комплексно сопряжен-
сопряженному. (В случае группы 913 или 5?/2 комплексное сопря-
сопряжение меняет тп на —тп, так что D^1 и D'-7'* эквивалент-
эквивалентны; гл. 7, § 7.)
Б. Произведение представлений
Разложение произведения двух неприводимых пред-
представлений группы 5?3 определено формулой G.44). Соот-
Соответствующее соотношение
D<^>> ® D<> ^«> = 2 С (ку) D<?-« A1.10)
Ян
можно написать и для группы SU3, хотя в этом случае
правило, которым по данным (k^i) и (Х2И-2) определяются
коэффициенты С(кц), выглядит весьма сложно. Но при
малых значениях X и ц, зная как разлагаются на неприво-
неприводимые представления произведения неприводимых пред-

Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 329
ставлении группы >SU2XUi, являющейся подгруппой
группы SU3, эти коэффициенты вычислить довольно про-
просто. Неприводимые представления группы SU2xUi опре-
определяются величинами ГиУ. Произведение представлений
Ti, Yi и Т2, У2 разлагается на сумму представлений с
гр i гр | гр \ ( гр I гр л\ | гр гр t \г \г | -\т дя-
i=(-/l + -/2)l (.¦' 1+-* 2 1)> ••• >1^ 1 -/ 21 И J=2i + y2- МЫ
использовали здесь обычное правило сложения моментов
для группы SU2 (или 5?3) и аддитивный закон для Y (гл.
11, § 5). Приведем для иллюстрации несколько примеров.
Рассмотрим произведение D(lo)(><)Dll0). Так как прост-
пространство каждого сомножителя содержит базисные векторы
с T=1I2, Y=1la и Г=0, Y=—2/3, то пространство произве-
произведения содержит базисные векторы, соответствующие ком-
комбинациям Т ж Y, данным в первой строке табл. 11.2, а.
Таблица 11.2, а
-Vs
DdOHD(io) 71 = 1,0 V2, V2 0
D<01> T=0 XU —
Таблица 11.2, б
У=1 0 -1
D<10> (X) D<01> 71 = 1/г 1, 0, О
D) У2 1, 0
— О
(Конечно, подразумевается, что данному значению Т со-
соответствует мультиплет 2Т-\-1 базисных векторов с Мт =
= Т, Т—1, . . . , —Т.) Обозначение х/2, V2 указывает на
то, что имеются два мультиплета с Т=1/2, соответствую-
соответствующих значениям Т=1/2 и 7'=0 для первого и второго со-
сомножителя, и наоборот. Наибольший вес, представленный
в первой строке таблицы, есть Мт=1, Y—2/s. Отсюда мы
заключаем, что наше произведение должно содержать

330 Глава 11
представление DBo). [Мы воспользовались формулой
A1.6), связывающей значения X и ц со значениями Мт и Y
старшего вектора.] Комбинации величин Т vlY, соответст-
соответствующие представлению DB0), приведены во второй строке
таблицы. Можно убедиться, что оставшиеся базисные век-
векторы в точности соответствуют представлению D(ol). Та-
Таким образом, мы приходим к заключению, что
Dll0) (g) D(lo) = DB0) 0 D(ol).
Аналогично табл. 11.2, б иллюстрирует разложение
D<10) (g) Dl01) = DA1) ф D<00).
Точно так же, как и в первом случае, можно показать, что
D<io 0 D'11' = DB2HD(O3) 0 о^фгР^фОИ0'. A1.11)
Формула A1.11) пригодится нам в дальнейшем. Здесь же
она показывает, что группа SU3 не является «просто при-
приводимой» (см. определение в гл. 4, § 17): в разложение
A1.11) представление D(u) входит дважды. В заключение
отметим, что все вышеперечисленные результаты можно
получить из общего правила для разложения произведе-
произведения представлений группы UN на неприводимые (т. 2,
гл. 18, § 5).
§7. КЛАССИФИКАЦИЯ АДРОНОВ ПО вГ„-МУЛЬТИПЛЕТАМ
Кратко ознакомившись с неприводимыми представле-
представлениями группы SU3, обратимся снова к элементарным час-
частицам (табл. 11.1) и покажем, что адроны можно сгруппи-
сгруппировать в ^^/з-мультиплеты. Мы отождествим Г-спиновую
подгруппу группы SU3 с группой изоспиновой симметрии
SU2, а инфинитезимальный оператор Y с оператором ги-
гиперзаряда. Таким образом, SU3 есть расширение изоспи-
изоспиновой группы, включающее группу ?/ь соответствующую
гиперзаряду.
Первые восемь барионов из табл. 11.1 имеют спин 1/г.
Име нно по этой причине мы поместили S перед А, хотя
масса S-частиц немного больше.) Если мы теперь посмот-
посмотрим внимательнее на значения Т ж Y этих восьми частиц,
то убедимся, что они в точности такие же, как и значения
соответствующих операторов на базисных векторах про-
пространства представления D(u) группы SUa (рис. 11.6 и

Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 331
11.7). Кроме того, остальные десять барионов из табл. 11.1
со спином 3/2 обладают набором величин ГиУ, соответст-
соответствующим представлению DC0), изображенному на диаграм-
диаграмме рис. 11.6. Точно так же мезоны из табл. 11.1 группи-
группируются в представление DA1) группы SUa. На рис. 11.8
П : Р А" А0 Д+ Д+ +
X— х
Х-
\ \z~* Е°* 2+*/
,x-i ххх
х
К К
XX
\ / Рис. 11.8.
к" к°
показано положение частиц на соответствующих весовых
диаграммах. Представления DA1) и DC0) обычно назы-
называют октетом и декуплетом, так как их размерность равна
восьми и десяти.
, /То, как адроны группируются в 5[/3-мультиплеты, по-
показывает, что группа SU3, по-видимому, имеет некий
физический смысл. Мы уже видели в предыдущей главе,
что сильное взаимодействие инвариантно по отношению
к изоспиновой группе SU2 — подгруппе группы SUs-
Далее, так как сильное взаимодействие сохраняет гипер-
гиперзаряд Y, группой симметрии является большая подгруппа
SU3, а именно SU.2XU-l (гл. 11, § 5). (Здесь Y — инфини-
тезимальный оператор группы Ui.) Неприводимые пред-
представления этой подгруппы задаются парами величин Т
и Y, соответствующих группам SU2 и Ux. Принимая во
внимание то, насколько хорошо адроны группируются в
б'С/з-мультиплеты, попытаемся сделать еще один шаг и

332 Глава 11
будем считать всю группу 5?/3-группой симметрии силь-
сильного взаимодействия. Правда, на этом пути мы наталки-
наталкиваемся на одну трудность. Небольшие различия в массах
между членами одного изоспинового мультиплета объяс-
объяснялись наличием 5?/2-неинвариантного электромагнитно-
электромагнитного взаимодействия. Расширяя симметрию сильного взаи-
взаимодействия до группы SU3, мы вправе"ожидать, что раз-
разность масс в 5?/3-мультиплетах будет того же порядка,
т. е. порядка нескольких мегаэлектронвольт. Однако из
табл. 11.1 видно, что эта разница масс достигает сотен
мегаэлектронвольт. Таким образом, мы приходим к заклю-
заключению, что сильное взаимодействие не является пол-
полностью ^[/з-инвариантным, а содержит «умеренно силь-
сильнее» взаимодействие, нарушающее 5/73-симметрию. Ана-
Анализ относительных вероятностей различных процессов,
аналогичный тому, который был проведен в гл. 10, § 2,
п. А, подтверждает это предположение.
В оставшейся части этой главы мы продолжим провер-
проверку SUз-симметрии, анализируя различные свойства частиц.
Вопрос о том, почему не найдены частицы, принадлежа-
принадлежащие более простым, чем DA1) или DC0), представлениям,
таким, как фундаментальное представление Duo), будет
рассмотрен в следующей главе. Отметим, что в начале
60-х годов, когда на 5?/3-симметрию было впервые обра-
обращено серьезное внимание, частица Q~ еще не была обна-
обнаружена, хотя остальные девять членов декуплета DC0)
уже были известны. Первое наблюдение в 1964 г. й~-час-
тицы, обладающей всеми свойствами, необходимыми для
занятия вакансии в представлении D<30), явилось впечат-
впечатляющим подтверждением 1!??/3-симметрии сильного взаи-
взаимодействия.
§ 8. ФОРМУЛА РАСЩЕПЛЕНИЯ МАСС
В гл. 10, § 1, п. Б мы описали расщепление масс в изо-
спиновом мультиплете, рассматривая трансформационные
свойства электромагнитного взаимодействия, вызываю-
вызывающего это расщепление, по отношению к изоспиновым пре-
преобразованиям. При этом мы опирались на аналогию с зее-
мановским расщеплением уровня с фиксированным угло-
угловым моментом. Теперь мы применим тот же общий метод
для описания расщепления масс между различными изо-

Группа SU3 и приложения к элементарным частицам 333
спиновыми мультиплетами, входящими в 5С/3-мульти-
плет. При этом мы не будем принимать во внимание не-
небольшую разницу масс внутри изоспиновых мультиплетов
и будем брать для каждого Т соответствующее среднее зна-
значение массы. Наша цель — объяснить разницу масс по-
порядка сотен мегаэлектронвольт между, например, нукло-
нуклоном и 2-частицами. Эта разница масс обязана своим воз-
возникновением «умеренно-сильному» взаимодействию, ин-
инвариантному по отношению к изоспиновой группе SU2m
группе Ult соответствующей гиперзаряду. В отличие от
кулоновского, явный вид этого взаимодействия нам не
известен. Следовательно, нам необходимо сделать какие-
то предположения о его трансформационных свойствах по
отношению к группе SU3- Ограничиваясь простейшими
представлениями (рис. 11.6), мы видим, что единственный
базисный вектор, соответствующий значениям T=Y=0,
принадлежит представлению DA1>. На диаграмме ему со-
соответствует одна из точек, расположенных в начале коор-
координат. По этой, а также по ряду других причин мы пола-
полагаем, что трансформационные свойства нарушающего
S Е/3-симметрию взаимодействия совпадают с трансфор-
трансформационными свойствами базисного вектора с T=Y—0
пространства представления DA1). (Этому вектору соот-
соответствует Л-частица.)
Такое предположение приводит к тому, что в первом
порядке теории возмущений добавка к массе для состоя-
состояний, имеющих в представлении (Кц) значения изоспина и
гиперзаряда Т и Y, дается выражением
АМ(Т, Y) = <№)TY\H[(ll)T = Y = 0]\(WTY>, A1.12)
где Н — возмущение, обусловленное умеренно-сильным
взаимодействием х). Теперь для вычисления расщепления
масс можно применить теорему Вигнера — Эккарта D.62).
Отметим, что, так как группа SU3 не является просто
приводимой, сумма по t в формуле D.62) содержит, вообще
говоря, более одного слагаемого, в отличие от случая
группы 5$з> когда индекс t вообще не был нужен. Следова-
Следовательно, в общем случае в формулу A1.12) будут входить
) Обозначение H\(k\i)T=Y=0] указывает на то, что величина Н
преобразуется как базисный вектор с T=Y=0 представления
DrtM.— Прим. перев.

334 Глава 11
несколько приведенных матричных элементов величина
которых неизвестна. Можно показать, что в нашем случае,
когда оператор Н преобразуется по представлению DA1),
в нее входит самое большее два приведенных матричных
элемента. В особенности нас будут интересовать матрич-
матричные элементы между состояниями, принадлежащими пред-
представлениям DA1) и DC0), соответствующим мультиплетам
частиц, как это изображено на рис. 11.8. Число значений,
которые принимает t, в этом случае можно определить из
разложения следующих произведений представлений на
неприводимые:
Ddl)(g) QC0) = DD1) 0 DB2) 0 D',30) 0 QAD;
A1.13)
DA1) (g) DA1) = DB2) ф D@3) ф DC0) ф 2DA1> ф D(oo).
Эти формулы можно вывести так, как показано в § 6. По-
Поскольку DC0) встречается в первом разложении один раз,
a DA1) во втором разложении — дважды, в формулу
A1.12) при (Я|л) = C0) входит один приведенный матрич-
матричный элемент, а при (X]i) = (ll) — два. Воспользовавшись
известными явными выражениями для коэффициентов
Клебша — Гордана, получаем знаменитые формулы рас-
расщепления масс
<C0) ТУ | Н [A1) Т =Г = 0] | C0) TY> = aY,
где а, Ъ и с — неизвестные коэффициенты, возникающие из
приведенных матричных элементов оператора возмущения
Н [(llO'=Y=0] и постоянных множителей в выражениях
для коэффициентов Клебша — Гордана. Зависимость мас-
массы частиц от Г и У, выражаемую формулами A1.14),
можно проверить по значениям масс частиц, приведенным
в табл. 11.1. При выводе формул A1.14) мы не учитывали
электромагнитного взаимодействия. Поэтому мы пренебре-
пренебрежем электромагнитной разницей масс в изомультиплетах
и возьмем средние значения масс мультип етов, приве-
приведенные ниже:
У=1,1232; У=0,1385;
Декуплет C0 :
^=-1,1533; Г=— 2,16'2.

Группа SUS и приложения к элементарным частицам 335
Y=i, Т=Ч2, 939; Y=O,T=i, 1193;
Октет A1):
У=0, Т=0,1116; У=-1,Г=1/Я>1318
(массы даны в мегаэлектронвольтах). Для декуплета сразу
же видна линейная зависимость массы от Y. Величина а
равна примерно —150 МэВ. В случае октета мы имеем три
разности масс и две неизвестные постоянные Ъ и с Полагая
Y=±l, получаем Ьж—190 МэВ. Из значения массы
мультиплета с 3^=0, Т=\ получаем с«43 МэВ. Теперь
формула A1.14) предсказывает значение 86 МэВ для раз-
разницы масс между мультиплетами Y=0, T=l и Y=0,
Т=0. Оно удовлетворительно согласуется с эксперимен-
экспериментальным значением 80 МэВ. Таким образом, предположе-
предположение о том, что оператор, нарушающий 5С/3~симметрию,
имеет тип [(ll)T=Y—0], приводит к значениям масс час-
частиц, согласующимся с экспериментальными с точностью
порядка 10 МэВ.
Формулу A1.14) можно вывести методом эквивалент-
эквивалентного оператора (гл. 7, § 4, п. Ж). Для этого нам необходи-
необходимо построить два независимых оператора с трансформа-
трансформационными свойствами базисного вектора с T=Y=0
представления DA1), матричные элементы которых были
бы нам известны. Необходимость в двух операторах вы-
вызвана тем, что группа SU3 не является просто приводимой.
Как и в случае группы 543, попытаемся построить искомые
операторы из инфинитезимальных операторов. В нашем
случае это восемь инфинитезимальных операторов A1.2)
группы SU3- Заметим сначала, что из коммутационных
свойств A1.3) этих операторов следует, что они отвечают
следующим значениям Т и Y:
*' у: —' ; - A1Л5>
Сравнение формул A1.15) со структурой представления
DA1) позволяет предположить, что восемь инфинитези-
инфинитезимальных операторов группы SU3 преобразуются по этому
представлению. Дальнейший анализ их трансформацион-
Y=l,
Y = 0,
y=o,
y=-i.
71
1
~ 2 '
= 1,
= 0,
1
— 2 •

336 Глава 11
ных свойств подтверждает это предположение. (Аналогич-
(Аналогичный результат для группы :Аг — три оператора Jg преоб-
преобразуются по векторному представлению Dll).) В част-
частности, оператор Y обладает требуемым свойством, т. е.
имеет тип (llO'=F=0 и отвечает за члены aY и bY
в формулах A1.14). Таким образом, для декуплета проб-
проблема решена. В случае же октета нам необходим еще
один оператор. Можно попытаться построить его из квад-
квадратичных комбинаций инфинитезимальных операторов.
Очевидно, что операторы Т2 и Y2 обладают необходимым
нам свойством, т. е. коммутируют с операторами Тд и Y.
Однако каждый из них преобразуется по сумме представ-
представлений B2), A1) и @0), что видно из второго равенства
A1.13). Более детальные вычисления показывают, что по
представлению A1) преобразуется комбинация
Т2_1у2—4-С A1.16)
4 о
где С2 — оператор!Казимира, который будет определен
в § 10. Подставляя вместо Т2 величину Т(Т-\-1), а вместо
Сг выражение A1.21) с k=\i=l, получаем формулы
A1.14). Оператор A1.16) можно также построить, исполь-
используя декартовы обозначения (§ 10). Для этого достаточно
заметить, что операторы
1
f^ A / A k А & г—
> AfeAf s- ог/-С2
k
преобразуются как А{.
§ 9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ
В § 1 было приведено эмпирическое выражение для за-
заряда частицы Q=MT-\-1/iY. Из перестановочных соотно-
соотношений A1.3) следузт, что
[b + { Y, U±] = [Тг + |У, U,] =0. A1.17)
Таким образом, оператор заряда коммутирует с операто-
операторами С7-спина, и, следовательно, заряд Q играет по отно-
отношению к ?/-спину ту же роль, что и гиперзаряд Y по отно-
отношению к Г-спину. В частности, если частицы, расположен-
расположенные на рис. 11.8 на одной горизонтали, имеют одно и то же
значение Y, то частицы, расположенные на линии [/-спи-

Группа SUa и приложения к элементарным частицам, 337
нового мультиплета (т. е. на линии U± на рис. 11.3),
имеют одинаковый заряд. Рис. 11.8 иллюстрирует эту си-
ситуацию. Таким образом, можно предположить, что элек-
электромагнитное взаимодействие инвариантно относительно
{/-спиновой подгруппы SU%. Это предположение можно
проверить путем сравнения электромагнитных свойств
различных частиц в )?С/3-мультиплете. **
Одной из электромагнитных характеристик частицы
является ее магнитный момент ц. Поскольку оператор М
магнитного момента линеен по заряду, под действием груп-
группы SU3 он должен преобразовываться как заряд, а именно
как М [(li)U=Q=0]. Таким образом, структура операто-
оператора М аналогична структуре оператора Н, ответственного
за расщепление масс в 5 С/3-мультиплете. Разница заклю-
заключается лишь в замене Т и Y на U и Q, что"эквивалентно
повороту весовой диаграммы на 120°."™ Следовательно,
должна выполняться формула, аналогичная формуле
A1.14):
ц = <A1) TY | М [A1) U = Q = 0] | A1) TYy =
= dQ+e\u {U + i) —i<?2 —ll. A1.18)
Из этой формулы следует, что магнитные моменты октета
барионов (рис. 11.8) определяются двумя постоянными.
К сожалению, измерены лишь немногие из этих магнитных
моментов, однако некоторая проверка соотношения A1.18)
все-таки возможна. Например, из A1.18)"''следует, что
[x(p) = [x(S+) и что |л(ге)=2|л(Л). Экспериментальные же
значения этих величин в единицах ядерного^магнетона
efv/2Mpc таковы:
jx(p)=2,79; |i(S+) = 2,5±07;
ц(п)^—0,95; ц(Л)=—0,73+0,16.
Небольшое расщепление масс внутри изоспиновых
мультиплетов приписывается электромагнитному взаимо-
взаимодействию. Предположение об [/-спиновой инвариантности
этого взаимодействия приводит к некоторым соотношениям
между электромагнитными добавками к массам частиц.
Более детальные предположения относительно структуры
(по отношению к группе SUS) электромагнитного взаимо-
взаимодействия адронов приводят к дальнейшим следствия»!.

338 Глапа 11
Соответствующие вычисления в принципе не отличаются от
выполненных нами в гл. 10, § 1, п. Б, и мы не будем более
углубляться в эти вопросы.
§ 10. ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА
В гл. 7, § 5 мы построили для случая группы ?АЪ опе-
оператор Казимира J2, коммутирующий со всеми группо-
групповыми операторами. Следовательно, по лемме Шура в не-
неприводимом представлении D{J) этот оператор кратен еди-
единичному. Соответствующий множитель равен /(/+1), и
индекс представления / можно также рассматривать как
индекс, нумерующий собственные значения оператора J2.
В случае группы ST/3, неприводимые представления ко-
которой нумеруются двумя индексами X и ц,, имеется два не-
независимых оператора Казимира -- квадратичный и кубич-
кубичный по инфшштезималышм операторам.
Простейший способ построения этих операторов —
использовать декартовы обозначения для операторов
A1.2), подчеркивающие равноправие трех измерений.
Обозначим через А[ матрицу 3 > 3 вида
(А/)« = 8,.Д7^6,76,г- A1-19)
При г =т^7 все элементы матрицы А{, кроме (А(-)г;- = 1,
равны нулю. При i=j отличие состоит в том, что добав-
добавляется матрица — 1/S8j,[. Этим обеспечивается равенство
нулю следа матрицы AJ при любых i и /. Три диагональ-
диагональные матрицы связаны между собой соотношением А\-\-
-f-Af-r-Ajj—U. Таким образом, остается восемь независи-
независимых матриц. Соотношение между ними и матрицами A1.2)
таково:
Аг-Т, , А5-= Т. , A»==U4,
A-^IL, AJ--V + , Ai"-=V._,
А^= -Y. Ai-A? = 2T,.
Из определения A1.19) следуют перестановочные соотно-
соотношения
[А/, А*] = 8,ЙА{-6„А?. A1.20)
Исходя из формулы A1.20), нетрудно показать, что опе-
оператор С2= У AJAj коммутирует со всеми А[ и, следова-
iT'i

Группа SUS и приложения к элементарным частицам 339
тельно, является оператором Казимира. Точно так же
оператор С3= У1 А/\А[А^ коммутирует со всеми инфините-
зимальными операторами, т. с. является вторым операто-
оператором Казимира. Такие рассуждения можно было бы про-
продолжить, но все операторы более высокого порядка выра-
выражаются через С2 и С3.
Собственные значения операторов С2 и С3 в представ-
представлении Dl>411 можно определить но их действию на стар-
старший вектор. К талому же результату привело бы и исполь-
использование любого другого базисного вектора; выбор стар-
старшего вектора диктуется соображениями удобства. С учетом
перестановочных соотношений A1.20) мы можем записать
С2 в виде
%
Но для старшего вектора |ф^ выполняется
А{|ф>=0 при i<Cj. Кроме того,
(Ai - А5) | i|j> = 2МТ | г|,> = а | я^>, А} + К + А? = 0.
Таким образом, окончательно получаем
Аналогично можно вычислить оператор С;!. По удоб-
удобнее ввести оператор
С8' = 4 ? (А? а{а! + A/At A*) = C3 + ~ С2.
Его собственное значение в представлении D(Xil) дается
выражением
С;Ц» =|-(Я-|л)B). + ц. + 3)Bц + Я4-3)|г|з>. A1.22)
Собственные значения операторов С2 и Cs могут быть
использованы для параметризации неприводимых пред-
представлений группы SU3 точно так же, как собственное
значение оператора J2 в случае группы 913.

340 Глава!!
ЛИТЕРАТУРА 1)
Таблицы свойств элементарных частиц можно найти в работе
1. Particle data group, Phys. Lett., SOB, 1 A974).
В качестве введения в физику элементарных частиц рекомендуем
книг>
2. Perkins Л. Д., Introduction to High Energy Physics, Addison
Wesley, Reading, Mass., 1972. [Имеется перевод: Перкинс Д. Вве-
Введение в физику высоких энергий.— М.: Мир, 1975.J
Подробнее о iSi/g-симметпип применительно к физике элемен-
элементарных частиц см. в книгах
3. Kokkedee J. J. J., The Quark Model, Benjamin, New York,
1969. [Имеется перевод: Коккеое Я., Теория кварков.— М.: Мир,
1971.]
4*. Румер 10. В., Фет А. II. Теория унитарной симметрии.—
М.: Наука, 1970.
Более свежие данные о свойствах элементарных частиц можно
найти в работе
5*. Particle Data Group, Rev. Mod. Phys., 52, No. 2, Part II,
1980.
ЗАДАЧИ
11.1. Покажите, что инфинитезимальныев операторы группы SUa
ммеют нулевой след,
11.2. Дана произвольная антиэрмшова ЗХЗ-матрица с элементами
X{j. Определите первые три коэффициента а^ в разложении
t
матрицы X по восьми матрицам A1.1). Покажите, что все ач
2 действительны.
11.3. Дайте прямое доказательство того, что неприводимые пред-
представления группы иг параметризуются целыми числами.
11.4. Покажите, что операторы Х6, Х7 и 1/2 (—X3+V2X8) порож-
порождают подгруппу SU2 группы SUi ({/-спиновую подгруппу)
и что эрмитов оператор Q=i (X3+1/eXg) коммутирует с ними.
11 5. Постройте весовую диаграмму представления B2) группы
SU3. Покажите, что его размерность равна 27. Определите
значения Г и У для различных базисных векторов этого пред-
представления.
11.6. Докажите приведенное в § 6 правило для кратности базисных
векторов, соответствующих точкам весовой диаграммы не-
неприводимого представления SUa.
Указание: а) верхний ряд диаграммы^порождается вектсрами
(Т_)^)>, где |ф> — старший вектор представления; б) пока-
покажите, что следующий ряд может быть образован лишь Т-
мулыиплетами,-построенными из векторов l/_j\|>> и V^
в) покажите, что эти векторы независимы только если
и ц^О, т. е. диаграмма не треугольная.
г) Литература, помеченная звездочкой, добавлена при пере-
переводе.— Прим. ред.

t'ptnnu SUj а приложения к влементЛрняМ чаатицшм 34i
11.7. Выведите формулу A1.7) для размерности неприводимого
представления группы SU3. Воспользуйтесь тем, что число
точек диаграммы, лежащих на внешнем шестиугольнике,
равно 3 (Л+ц), а также известными кратностями точек на
внутренних шестиугольниках и треугольниках диаграммы.
[Покажите спачала, что кратность точек треугольников равна
(A+1), а число точек на сторонах наибольшего треугольника
равно (X—fi+1), считая, что X^jx.
11.8. Покажите методом, изложенным в § 6, п. Б, что
DU1> ® DA0) = Duu 0 Dt02) ® Duo),
DA1 > (g) DC0) = DD1 > 0 DB2> 0 D(;!0) 0 DA1).
Выведите также разложение A1.11.).
11.9. Какими квантовыми числами Т, Y и Q обладали бы барионы
из ыультиплета B2)? Воспользуйтесь результатами задачи
11.5.
11.10. Таким же методом, как в задаче 7.8, вычислите коэффициен-
коэффициенты Клебша—Гордана для состояния 1 C0) Y—\, Т=МГ=Ъ12)>,
которое возникает при разложении произведения DC0> @ D.
11.11. Покажите, что операторы Казимира С2 и С3 из § 10 комму-
коммутируют с инфиншезимальными операторами А{.

12
СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТЫ В ЯДРАХ
II СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТЫ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ —
ГРУППЫ SU, И SUe. КВАРКОВЫЕ МОДЕЛИ
В гл. 8, где речь шла о строении атома, мы видели, что
независимость взаимодействия от спина приводит к группе
симметрии ,"А* и кваптолому числу Л1. Аналогичная ситуа-
ситуация имеет моего в ядрах (ivi. 10): зарядовая независимость
взаимодействия проявляется в наличии изоспиповой SU$-
симмотрии и квантового числа Т. В дайной главе мы сна-
сначала рассмотрим следствия, вытекающие из предположе-
предположения о том, что ядерные силы не только зарядово-, но
и спиново-независимы. Это приведет к объединению
групп 54f vl SU2 ъ группе SUt. Перейдя к элементарным
частицам, мы аналогичным образом объединим группы
SU3 и i/if в рамках группы SUS. После этого мы позна-
познакомимся с новейшими гипотезами о составной природе
мезонов и барионов как частиц, состоящих из еще более
элементарных объектов, названных кварками.
§ \. ЯДЕРНЫЕ СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТЫ
Ядро состоит из А нуклонов, каждый ил которых опи-
описывается обычными пространственными координатами и,
кроме того, имеет четыре независимых внутренних состоя-
состояния. Это два спиновых состояния с проекциями спинового
момента па выделенную ось, равными ±V2, и два зарядо-
зарядовых состояния — протон и нейтрон. Эти состояния удобно
обозначать символами р^ ,nf , р*, п^, где стрелки соответст-
соответствуют двум спиновым состояниям +V2- В полной аналогии
с тем, как в гл. 10, § 1 вводилась группа SU2, действую-
действующая в линейном пространстве, натянутом на векторы со-
состояния р и п, можно ввести группу унитарных преобра-
преобразований SUi, действующую в пространстве, порожденном
состояниями р^ , nf , р]< , п^ . Если взаимодействие между
нуклонами в дополнение к зарядовой независимости не

Супермулътиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 343
зависит также и от спина, то полной группой симметрии
можно считать группу 5?/4 Ш. На самом деле ядерное вза-
взаимодействие обнаруживает довольно сильную зависимость
от спина, так что SU4 является лишь группой приближен-
приближенной симметрии. Тем не менее мы вкратце рассмотрим груп-
группу SU4, и следствия ^^-инвариантности. Отчасти это бу-
будет подготовкой к изучению 5?/6-симметрии. Как SUe,
так и SUt — это частные случаи группы SUN, которой по-
посвящена гл. 18 (т. 2).
Группа SU3 имеет З2—1=8 параметров, а в группе
их 42—1=15. Пятнадцать инфинитезимальных опе-
операторов в однонуклонном пространстве имеют вид sq,
tg и sf/t,;-, где s и t — обычные одночастичные операторы
спина и изоспина, a q, g' —эг, у, z. Для системы из А нук-
нуклонов соответствующие операторы таковы:
А А А
S,= 5s,(O. Т,= >] f, (i), YQq, = 2 У] sq @ \ (i).
i= i i=i i=i
(Заметим, что Yn'=/=2SqTg-.) Шесть операторов 5q, Tq
порождают подгруппу вида i/taXSU2 (или, вследствие
гомоморфизма между ,у13 и SU2, подгруппу SU% XSUl).
Верхними индексами S и Т различаются спиновая и изо-
спиновая группы SU2. (Заметим, что оператор Уqq> не
имеет отношения к оператору гиперзаряда Y.)
Свойства неприводимых представлений группы SUi
можно установить, прямо обобщив все сказанное в гл. 11,
§ C относительно группы SU3. Три из пятнадцати инфини-
тезимальпых операторов можно одновременно диагонали-
зовать; обычно для этого выбирают операторы Sz, Tz и
Y2Z. (Подчеркнем, что в обозначении Sz индекс z относит-
относится к направлении» в обычном пространство, а в обозначении
Т. — к направлению в абстрактном пространстве, связан
ном с зарядовой степенью свободы.) Таким образом, в слу-
случае группы SUi диаграммы, аналогичные изображенным
на рис. 11.6, трехмерны, а неприводимые представления
обозначаются обычно символом Q(pp'P">. Здесь Р, Р'
и Р' — собственные значения операторов Sz, rz и Y2Z
для базисного вектора с наибольшим весом. Другими сло-
словами, Р — это максимальное собственное значение Ms
оператора S2, P' — максимальное собственное значение
Мт оператора Tz на подпространстве с МS=P, a P" —

344 Глава 12
максимальное собственное значение оператора \гг на
подпространстве с MS=P, MT=P'.
Мы не будем пытаться исследовать свойства произволь-
произвольных неприводимых представлений группы SUi, как мы
проделали это для группы SU3, поскольку это связано со
сложными выкладками. (Относительно общего случая
группы SUN см. т. 2, гл. 18.) Вместо этого мы подробно
остановимся на простейших представлениях, появляю-
появляющихся при исследовании систем из двух или трех нукло-
пов. При этом мы будем пользоваться понятием симметрии
вектора состояния относительно перестановок аргумен-
аргументов, а также наличием в группе 5?74 подгруппы SU^X
ХБЩ. Последнее означает, что, как говорилось в гл. 4,
§ 18, любое представление группы SUt есть сумма непри-
неприводимых представлепий D(S)B)DU> группы SUfxSUl.
Следовательно, любое представление d<pp'p>/> группы SUt
характеризуется некоторым набором значений S и Т
и образует «супермультиплет»: '¦
^ST® A2.1)
ST
где mST — неотрицательные целые числа.
Четыре состояния нуклона порождают пространство,
на котором определено действие группы SUiy образуя ба-
базис ее четырехмерного неприводимого представления
ОС/гЧгЧг), Так как все четыре состояния имеют S — T=
=1/2, это представление остается неприводимым при
сужении на подгруппу SUfxSU\. Таким образом,
D<'/2 v. 1/2) = DA/2)(g)D(V2).
Пространство L внутренних состояний двух нуклонов
имеет размерность 42=16. В этом пространстве действует
представление группы SU4. Однако это представление при-
приводимо, в чем можно убедиться, разложив L на два под-
подпространства Ls и La. Эти подпространства состоят из
состояний, симметричных и антисимметричных по отно-
отношению к перестановкам внутренних координат. Инфини-
тезимальные операторы группы SUi инвариантны по от-
отношению к таким перестановкам и, значит, не смешивают
состояний из Ls и La. Таким образом, в каждом из под-
подпространств Ls и La действует представление группы
SUt. Чтобы определить структуру этих представлений по
отношению к подгруппе SUfxSUl, воспользуемся тем.

Супермулътиплеты * ядрах и еуперм. элементарных частиц 345
что, как показано в гл. 8, § 6, п. Г, состояние с 5=1 сим-
симметрично, а с 5=0 антисимметрично по отношению к пере-
перестановкам спиновых переменных. С учетом аналогичного
утверждения для изоспина системы из двух частиц полу-
получаем, что при одновременных перестановках спиновых и
изосшшовых переменных состояния группируются сле-
следующим образом:
5 = 1, Т = 1; \ 5=1, Г = 0;
5 = 0, :Г = 0. ": \ 5 = 0, Г = 1. A2.2)
Здесь мы воспользовались тем, что произведение двух
нечетных функций есть, очевидно, четная функция и т. д.
(т. е. фактически разложением произведения двух непри-
неприводимых представлений группы а?2). Учитывая, что раз-
размерность представления D<s) равна B5+1), получаем,
что подпространства Ls и La имеют размерности 10 и 6.
(Как и должно быть, в сумме это дает 16.) На основании
общих соображений можно показать, что представления,
действующие в пространствах Ls и La, неприводимы и име-
имеют тип. ЬA11) и DU00). Таким образом, формула A2.1)
принимает вид
D<m> = d (g) DA) ф D(o) (g) D(o>,
DAO(» = Du)(g)D(oHDlo)(g)Da). (I2.d)
В качестве примера можно привести состояния
¦ Ti О Л ЛЛ~ ]\/Т А \ ^1- / Л \ J-.J- / ОЧ
1 X == О === X , 1V1 т — 1V1 о — L/ —¦ ?J ' \Х I [J \~) 1
= {Pf (!) Pl B)—Pf B) Р1 A)}/К2", A2.4)
|Г = 1, 5 = 0, A/r = M,s = 0> = {pt(l)niB)—ptB)n+(l) —
-РЩ)пЦ2)+рЦ2)пЦ1)}1уг2.
В случае трех частпц мы выполним такую же процеду-
процедуру, используя теперь, как в гл. 8, § 6, п. Г, некоторые
простейшие свойства группы о? 3. Всего мы имеем теперь
43=64 состояния, которые порождают векторное простран-
пространство L, разлагающееся в сумму L--L&-\-LnH-\-LWl fLa
соответственно трем неприводимым представлениям T(s),

346 Рлава It
Tlm> и T(e) группы zf'з- Поскольку представление Tlm)
двумерно, имеются два подпространства Lm, и Ьтг, пре-
преобразующиеся по отношению к перестановкам как первая
и вторая строка матрицы Tlm). Такое разбиение простран-
пространства L служит примером применения формулы D.52),
в которую входят проекционные операторы. Перестано-
Перестановочная симметрия операторов группы SU4 снова предот-
предотвращает смешивание четырех вышеуказанных подпрост-
подпространств пространства L при действии на нем этой группы.
Таким образом, в каждом из этих подпространств опреде-
определено представление группы SUt. Эти представления также
являются неприводимыми. Однако представления, дейст-
действующие в Lmi и Ьтг, эквивалентны, так как операторы
перестановки, коммутирующие с действием группы SU4,
переводят эти подпространства друг в друга. Чтобы опи-
описать сужение этих представлений на подгруппу SUfx
xSUl, мы начнем с утверждения (гл. 8, § 6, п. Г) о том,
что состояния трех частиц со спином V2, имеющие полный
спин 5=3/2, полностью симметричны, а состояния с 5|=1/2
имеют смешанный тин симметрии ТШ). Воспользовавшись
аналогичным утверждением для изоспина, а также извест-
известным разложением на неприводимые представления произ-
произведения представлений группы ?fa (гл. 8, § 6, п. Г)
получаем, что по отношению к одновременным переста-
перестановкам спиновых и изоспиновых переменных состояния
группируются так:
,_3' т_3
, 1 m 1
1-1 Г-1
2
|-, A2.5)
Т ¦ 4~i Т i

Супермультиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 347
Размерность этих трех представлений равна 20, 20 и 4.
Учитывая удвоение представления, действующего в прост-
пространстве Lm, имеем 20+2x20+4=64 — размерность про-
пространства L. Описанные нами представления — это
D<"/, V* */«>, D<3/* V, V.) и d(V» V. -V.). Формула A2.1)
принимает в данном случае вид
D<s/2 '¦'* "/*> = D<"/*> (g) D*'1/,.) 0 D<'/*) 0 DC/.),
D<"/*V, '/=,) = D(J/*> ® D<'/*> 0 dc/2) 0 D<"/*> 0 D('/2) 0 DC/2),
A2.6)
<7 'Л '/) A/?DA/)
Вернемся теперь к атомному ядру. Если бы сильное
взаимодействие было спиново- и изоспиново-инвариант-
ным, то группа SUt была бы группой симметрии. В этой
ситуации мы должны ожидать наличия сильного вырож-
вырождения, соответствующего размерности d неприводимого
представления D<pp'p") группы SUt. Экспериментально
такое вырождение не наблюдается; это не так уж неожи-
неожиданно, если учесть, что ядерные силы, как известно, су-
существенно зависят от спина. Тем не менее S?/4~симметрия
нарушается не полностью. Ярче всего она проявляется
при р-распаде самых легких ядер. Оператор, ответствен-
ответственный за этот распад, пропорционален YM, . Систематика
ядерных энергий связи также согласуется с S С74-симмет-
рией [2].
Заметим, наконец, что состояния A2.5) с различной
перестановочной симметрией должны таким образом ком-
комбинироваться с волновыми функциями пространственных
координат, чтобы в соответствии с принципом Паули пол-
полные волновые функции были антисимметричны. Так, пред-
представление DC/г Чг —Чг) должно соответствовать симметрич-
симметричным волновым функциям пространственных координат.
Это приводит к правилу Хунда для ядер, согласно которо-
которому низшим энергиям соответствуют супермультиплеты с
меньшими значениями (РР'Р"). Доказательство проводит-
проводится так же, как в гл. 8, § 6, п. Д (для атомов) и в гл. 10, § 1,
п. А (для изоспина).

348 Глава 12
§ 2. СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
В § 1 мы показали, как различные комбинации значе-
значений S и Т объединяются в рамках неприводимого пред-
представления группы SUi. Напомним также (гл. 11, § 7), что
октет барионов имеет спин 5=1/2, а декуплет — спин
5=3/2. Естественно было бы попытаться расширить про-
произведение групп симметрии SU^xSUg до группы SUe с
тем, чтобы получить вышеупомянутую связь между спи-
спином S бариона и S?73-мультиплетом (^fx), членом которого
он является, в рамках неприводимого представления груп-
группы SUB. Нам нет нужды подробно останавливаться здесь
на свойствах группы SU&, так как все необходимое для
паших целей мы можем получить, используя метод § 1.
(Напомним, что общий случай "группы SUN рассматри-
рассматривается в гл. 18.)
Определим шестимерное пространство, в котором дей-
действует группа SUS, как тензорное произведение трехмер-
трехмерного пространства представления ЬA0) группы SUa на
пространство представления DC/*) спиновой группы.
Ясно, что в этом пространстве определено представление
D(Vj)xDA0) прямого произведения групп SUixSU3.
То, что спин барионов из табл. 11.1 достигает значения
S=s/2, означает, что нам необходимо построить произве-
произведение по меньшей мере трех фундаментальных представ-
представлений группы SUe. Такое тройное произведение можно
исследовать тем методом, который привел нас к резуль-
результатам A2.5). Как и ранее, состояния с 6г=8/2 полностью
симметричны, а состояния с S~1/2 обладают смешанной
симметрией Т(га). Что же касается группы SU3, то на ос-
основании сказанного о произведении представлений в
гл. 11, § 6, п. Б нетрудно показать, что
DA0) (X) D(lo) 0 D<10) = D<30> 0 2DA1) 0 D@0),
причем (задача 12.6) представление DC0) симметрично
DU1) обладает смешанной симметрией, a D(oo) полностью
антисимметрично по отношению к перестановкам SU3-nQ-
ременных. Таким образом, комбинируя представления
группы SU3 со спином S, мы получаем результат, анало-

Супермулътиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 349
гичный результату A2.5):
A2.7)
Множеством состояний с одинаковыми свойствами от-
относительно перестановок и в случае группы SUa порож-
порождается пространство неприводимого представления. Мы
видим, что для симметричных состояний, образующих Ls,
комбинации спина S с представлениями (Кц) точно такие
же, как и экспериментально наблюдающиеся у барионов.
Соответствующее пространству Ls неприводимое представ-
представление группы SUB имеет размерность d=6x7x8/lx2x
Х3=56, что совпадает с суммарной размерностью его
SU$ xSC/s-компонент: Dх10)+Bх8)=56. Имеются ука-
указания на то, что более тяжелые барионы и резонансы с от-
отрицательной четностью образуют 70-мерное представление
группы SUa, определенное в пространстве Lm [формула
A2.7)]. Не вдаваясь в детали, отметим, что мезоны груп-
группируются в 35-плет, соответствующий неприводимому
представлению, которое фигурирует в разложении произ-
произведения фундаментального шестимерного представления
группы SUe на его комплексно-сопряженное (см. также
§ 3).
Группа SUe позволяет не только объяснить связь меж-
между спином S и мультиплетом (Хц), но и вывести формулы
расщепления масс и соотношения^между электромагнит-
электромагнитными характеристиками частиц при условии, что сделаны

350 Глава 12
предположения о трансформационных свойствах соответ-
соответствующих операторов. Эти соотношения не могут проти-
противоречить результатам, полученным на основе 5?/3-симмет-
рии (гл. 11, § 8 и 9), так как SU3 входит в группу SUS
в качестве подгруппы. Голь ^//„-симметрии состоит в том,
что она дает новые соотношения в дополнение к получен-
полученным ранее на основе ЛЧ/ц-сиыиетрии. Мы проиллюстриру-
проиллюстрируем это на примере магнитных моментов барионов. Ре-
Результаты гл. 11, § '.) говорят о том, что магнитные моменты
октета могут быть выражены через две постоянные d
и е |форчу.ча A1.18I. Магнитные же моменты декуилета по
анало! ии о первым равенством формулы A1.14) даются
выражением f(J, где / — еще одна постоянная. В случае
группы iSf/c, простейшее предположение относительно
трансформационных свойств оператора магнитного момен-
момента состоит в том, что он преобразуется подобно мезонам
по 35-мерпому представлению н по отношению к подгруп-
подгруппе S(J^'. - SU:, имеет' тип S - 1, A1) U—-Q—Q. Теперь мы
можем воспользоваться теоремой Вигнера — Эккарта при-
применительно к группе SUe,. Анализ соответствующих про-
произведений представлении, аналогичный разложениям
A1.13), показывает, что в выражения для матричных
элементов оператора магнитного момента между состоя-
состояниями из 56-ллета входит всего один приведенный матрич-
матричный элемент. Это значит, что группа SUe позволяет выра-
выразить магнитные моменты октета и декуплета барионов че-
через одну постоянную вместо трех! В частности, такой под-
подход приводит к значению цр/(хп = — 3/2, что прекрасно со-
согласуется с экспериментальным значением Up/u,re =—1,46.
Мы получим этот результат в § 3, исходя из определенной
модели, хотя, конечно, это прямое следствие 5С/6-подхода.
§ 3. TPEXKBVPKO1SAH МОДЕЛЬ
Группы SU-i и SU(i были привлечены к описанию эле-
элементарных частиц чисто эмпирически, в значительной мере
потому, что по своим характеристикам — заряду, гипер-
"заряду, спину и изоспину — элементарные частицы объе-
объединяются в мультиплеты, отвечающие неприводимым
представлениям групп SUS и SUe. При этом барионам со-
соответствуют представления, которые проще всего полу-
получаются при оазложении на неприводимые компоненты

Супермультиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 351
произведения трех простейших нетривиальных представ-
представлений D<10) группы SUa. Такая же структура обнаружи-
обнаруживается и в случае группы SUe. Существенные для физики
представления содержатся в произведении трех представ-
представлений группы SUe, отвечающих спину S=1/2 и представ-
представлению A0) группы SU3. До этих пор мысль о построении
представления для бариоиов в виде произведения трех'
представлений была чисто математической. Но ее логич-
логичность позволяет предположить, что и па самом деле бари-
барионы состоят из трех фундаментальных объектов со спином
V2 и с другими квантовыми числами, соответствующими
представлению D<10) группы SU3. Такие объекты Гелл-
Манн назвал «кварками», взяв (без серьезных оснований)
слово «кварк» из поэмы Дж. Джойса «Поминки по Финне-
гану». Сразу же добавим, что, несмотря на десятилетние
поиски, экспериментальных подтверждений существова-
существования кварков пока нет. Но это может объясняться тем, что
даже самые мощные из использовавшихся до настоящего
времени ускорителей, не обеспечивают энергий, необходи-
необходимых для рождения кварков [3]. Тем не менее вопрос о свой-
свойствах кварков в рамках S ?/и-модсли, а также о следствиях
кварковой модели барионов представляет значительный
интерес. Данный параграф посвящен именно этому во-
вопросу.
'Из соотношения Q—MT \Л1.гУ, а также из рис. 11.6
следует, что три кварка (их обозначают символами и, d
и s), соответствующие представлению D""', имеют сле-
следующие значения Т, Мт, Y и Q:
d: Г = 1, Мг = -1, 7=4, С=-1,A2.8)
s: T = 0, MT = 0, Y=-^, Q = — J-
(Вместо ц, dи sиногда используются обозначенияр, гаи X.)
Так как барионы состоят из трех кварков, все кварки дол-
должны иметь барионный заряд В=1/3. С учетом спина имеет-
имеется шесть возможных кварковых состояний и*, и^, df, dl,
st, s^, где стрелки обозначают, как и в § 1, спиновые со-
состояния кварков. Мы сразу же видим, что кварки должны
обладать довольно неожиданными свойствами: не только

352 Рлава'г12
барионный заряд и гиперзаряд кварка, но и его электри-
электрический заряд не являются целыми. Однако это, по-видимо-
по-видимому, не может служить возражением против существования
кварков, и решающее слово в данном вопросе принадлежит
эксперименту. (В § 4 мы познакомимся с более сложной
моделью, в которой заряды кварков могут быть целочис-
¦ленными.) Основываясь на соотношениях A2.8), мы можем
приступить к построению волновых функций барионо'в.
В случае группы SUt аналогичные волновые функции
имели вид A2.4).
Из формулы A2.8) и рис. 11.8 ясно, что волновая функ-
функция частицы А++ с Afs=3/2 есть просто произведение
|А+ + , Мд='/?=иЦ1)иЦ2)иЦЗ). (Символ А++ означает,
что у этой частицы 7'=8/2 и У=1.) Волновые функции ос-
остальных частиц, составляющих декуплет, можно получить
при помощи понижающих операторов Т_ и U_. Для по-
построения волновых функций состояний с проекцией М8,
отличной от 3/2, нужно воспользоваться понижающим опе-
оператором S_. Волновые функции частиц Д~ и Q~, располо-
расположенных в двух других вершинах треугольной диаграммы
на рис. 11.8, также будут (при Ms=3/2) равны произведе-
произведениям трех одночастичных кварковых состояний — в пер-
первом случае d^, а во втором — sr. В случае октета ситуация
несколько сложнее. Все же, если обозначить нормирован-
нормированное симметризованное состояние кварков d^, и* и и* , через
| d^ uf ur >, то, учитывая значения квантовых чисел Мs, MT
и Y для протона, получаем,
\р, Afs = |-) = o|d^itfitt>-j-p|dtutui>. A2.9)
Но состояние A2.9) должно обладать свойством
J+\p, Ms=1/iy=0, отличающим протон от Д+ (рис. 11.8).
з
Используя равенство Т+= y]t+(i) и соотношения t+|u>=0
и t+|d> = |u>, получаем а=УШ, Р=—УШ. Точно так
же для нейтрона имеем
\п, Ms = -j)=y/?\u*dtdt>—y/-j\utdtdi>. A2.10)
Теперь, исходя из формул A2.9) и A2.10), можно получить
значение —3/2 для отношения магнитных моментов прото-
протона и нейтрона. Для этого достаточно предположить, что

Супермультиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 353
оператор магнитного момента имеет вид
^=^.i]Q(*K@> A2-И)
1=1
где индекс i нумерует кварки. Выраженные в единицах
ядерного магнетона fx0 магнитные моменты кварков и, d
и s равны 1/3, —Ve и —Ve. Магнитные моменты состояний
|d^utut> и №и>и+> равны 1/в+1/8+1/з = 5/6 и —V6 +
+V,—1/3=— Ve. Таким образом, цр/ц0=а/, X5/,+V«X
X(-V.)=V, и ц„/(Хо-2/3Х(-2/3)+1/3Х1/з = -1/3. Окон-
Окончательно получаем fj,p/^n =—3/г- Хотя мы исходили из не-
некоего конкретного выражения для магнитного момента
[формула A2.11)], отношения моментов, полученные в ре-
результате, такие же и в более общем случае. Их можно вы-
вычислить на основе только групповых соображений и пред-
предположения о трансформационных свойствах оператора
магнитного момента по отношению к группе SU&, допол-
дополняющего предположение о том, что по отношению к груп-
группе SU8 этот оператор имеет тип A1O1=У=0. (В обозначе-
обозначениях т. 2, гл. 18 соответствующее представление группы
SUg есть представление [2 1 1 1 1], которое получается
из фундаментального представления [11 и ему комплексно-
сопряженного представления [1]* = [1 111 1].) Выра-
Выраженный в единицах \i0 магнитный момент резонанса А+ +
равен +1, а постоянные d, e и / [см. формулу A1.18) и
конец § 2] таковы: d=1/s(x0, е=—Ч»цо, /=1/2н.в-
Если ввести антикварки, отвечающие представлению
D@1)=(DA0))*, то 35-мерное представление группы SUe
будет соответствовать мезонам, составленным из кварка и
антикварка. В подгруппе SU2xSUa такие пары порож-
порождают следующие состояния:
(D(V.) (X) D(lo)) (X) (D<V.) (X) D(ol>) = Dll) (X) (Dlll) 0 D(u0)) ©
Этот результат получен с использованием равенства, пред-
предшествующего формуле A1.11), и обычной формулы для
произведения представлений группы SU2- Можно пока-
показать, что состояние D(o) (g) D(oo) есть 5?/6-скаляр, а остав-
оставшиеся 35 состояний образуют неприводимое представление
(в обозначениях гл. 18 представление [2111 1]) группы
SUe. Эти последние состояния обладают требуемыми кван-

954 Глава 12
товыми числами. А именно, они образуют октет и синглет
с 5=1 и октет с 5=0. Скалярный октет рассматривался в
гл. 11, § 7. Октет с 5=1 содержит ср-, р- и /?*-мезоны, а
синглет соответствует со-мезону.
Познакомившись с положительной стороной кварковой
модели, обратимся теперь к связанным с ней трудностям.
В столкновениях элементарных частиц при энергиях,
достигнутых па современных ускорителях, кварки до сих
пор не наблюдались. Это говорит о том, что масса кварка
должна быть больше 5000 МэВ. Так как массы барионов —
порядка всего лишь 1000 МэВ, энергия связи кварков
должна быть колоссальной: более 14 000 МэВ. Учитывая,
что ядерные энергии связи имеют порядок 10 МэВ, следует
считать, что между кварками действуют, силы притяжения,
во много раз превышающие силы между нуклонами. Взаи-
Взаимодействие, ответственное за такие силы, называют сверх-
сверхсильным. Возможно, однако, что по какой-то пока не из-
известной причине кварки не могут рождаться как физиче-
физические частицы, и в этом случае их массы не обязаны быть
столь велики х). Такое предположение подтверждается не-
некоторыми данными, но мы здесь не будем подробно оста-
останавливаться на этом (см., например, [3]).
Если взаимодействие между кварками является сверх-
сверхсильным, то волновая функция трех кварков в барионе
должна быть симметричной относительно пространствен-
пространственных координат аналогично волновой функции трех нук-
нуклонов в ядре 3Не или четырех нуклонов в а-частице. Но
если мы примем это предположение, то с учетом симмет-
симметричности волновой функции по отношению к 5 ?/6-перемен-
ным [формула A2.7)] получим, что полная волновая функ-
функция симметрична. Однако, так как спин кварков равен
1/2, они должны подчиняться статистике Ферми — Ди-
Дирака и, следовательно, полная волновая функция должна
быть антисимметричной. В рамках трехкварковой модели
единственный выход из этой ситуации заключается в пред-
предположении, что кварки подчиняются статистике, проме-
промежуточной между статистикой Ферми — Дирака и статис-
статистикой Бозе — Эйнштейна. Такая статистика получила на-
название «парастатистики». Возможность парастатистики
*) В настоящее время господствующей является именно такая
точка зрения,— Прим. ред.

Супермулътиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 355
не исключается теоремой о связи спина со статистикой
(т. 2, гл. 16, § 3, п. Г). В нашей ситуации необходимо
предположить, что кварки являются «парафермионами
третьего ранга». Это значит, что их волновые функции мо-
могут быть симметричными по отношению не более чем к трем
частицам. (При такой терминологии обычные фермионы —
это парафермионы первого ранга.) J)
Если к кваркам, составляющим барион, применить
нерелятивистскую квантовую механику, то можно пред-
предположить, что они ведут себя подобно нуклонам в ядре.
Относительно последних известно, что они хорошо описы-
описываются моделью движения частиц в потенциальной яме с
центром, совпадающим с центром масс нуклона. Простей-
Простейшим приближением для потенциала в такой модели яв-
является потенциал гармонического осциллятора.. Такое
приближение в рамках кварковой модели привело в ряде
случаев к весьма хорошим результатам. Проиллюстрируем
это на следующем примере. Основное состояние бариона
должно соответствовать конфигурации (IsK — все три
кварка находятся в состоянии (is). Такая ситуация должна
иметь место для всех частиц, отвечающих 56-плету. Воз-
Возбужденные состояния проще всего построить, помещая
один из кварков на уровень Aр). В результате получается
конфигурация (l$J(ip) с угловым моментом L=l и отри-
отрицательной четностью. Такой конфигурации могут соответ-
соответствовать состояния, имеющие по отношению к перестанов-
перестановкам пространственных координат частиц тип ТE) или Т(т).
[Ясно, что состояние с двумя кварками на орбите (Is) не
может иметь тип Т(а),] Но оказывается, что состояние типа
ТE) неприемлемо, так как оно отличается от основного
состояния (IsK только движением центра масс бариона и
не соответствует новому внутреннему состоянию. (Такой
неоднозначностью приходится расплачиваться за простоту
нашей «оболочечной модели».) Таким образом, орбиталь-
орбитальные волновые функции первого возбужденного состояния
имеют тип Т(/л). Если теперь предположить, что полная
волновая функция возбужденного состояния бариона сно-
снова полностью симметрична, то по отношению к 5[/^-пере-
5[/^-переменным она должна иметь тип Т(т). Из формулы A2.7)
*) Сейчас считается, что кварки обладают «цветом» (§ А). В этом
случае нет необходимости в парастатистике.— Прим. ред.

356 Глава 12
явствует, что таким типом симметрии обладает 70-мернов
представление группы SUt. Таким образом, должен су-
существовать набор возбужденных состояний с отрицатель-
отрицательной четностью и орбитальным моментом L=l, который
в комбинации со значениями спина S, приведенными для
представления Т(л>) в формуле A2.7), должен, как обычно,
давать J=(L-\-S), . . . , \L—S\. Другими словами, мы
должны обнаружить: 1) декуплет с J=1/2 и 3/2; 2) октет с
/=1/2, 3/2 и 6/2; 3) октет с /=V2 и 3/а; 4) синглет с /=V2 и
3/2. Экспериментальные данные в области масс от 1405 до
1710 МэВ действительно имеют такую структуру. Мы не
привели эти данные в табл. 11.1, не желая усложнять ее.
§ 4. ДЕВЯТИКВАРКОВАЯ МОДЕЛЬ
Многие из трудностей трехкварковой модели могут
быть устранены, если сделать дополнительные предполо-
предположения о свойствах кварков. Наиболее перспективная
модель такого типа заключается в следующем. Прини-
Принимается, что в дополнение к спиновой степени свободы и
трем состояниям и, d и s кварк имеет новые степени сво-
свободы, описываемые тремя состояниями а, Ъ и с, соответст-
соответствующими еще одной группе SUS, которую мы обозначим
через SU'a. (Состояния а, Ъ и с часто называют «цветовыми»
состояниями кварка.) Таким образом, не считая спиновых,
имеется девять внутренних состояний кварка: иа, иь, ис,
da, db, dc, ... и т. д. Теперь при построении полной волно-
волновой функции бариона, составленного из трех кварков, мы
должны учитывать наличие степеней свободы, связанных
с группой SU'3. Проще всего предположить, что по отно-
отношению к цветовым переменным состояния полностью анти-
антисимметричны. В этом случае использование симметричных
5С/в-состояний, описанных в § 3, приводит к антисиммет-
антисимметричной полпой волновой функции, что согласуется со
статистикой Ферми — Дирака для кварков. Единствен-
Единственным полностью антисимметричным S f/з-состоянием яв-
является синглет Dw0> (§ 2), так что классификация A2.7)
барионов по представлениям группы SUe сохраняется.
Допустив наличие неодномерных представлений ' группы
SU'3, мы пришли бы к противоречию, так'как в этом случае
теория предсказывала бы'множество ненаблюдаемых бари-
барионов. Чтобы объяснить, почему наблюдаемым барионам

Супермулътиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 357
соответствуют лишь синглетные представления группы
SU'a, нужно потребовать, чтобы гамильтониан сильного
взаимодействия содержал член, зависящий от цветных пе-
переменных и обеспечивающий минимальность энергии синг-
летных состояний. Построить оператор с требуемыми свой-
свойствами нетрудно. В качестве него можно взять оператор
Казимира С2 [формула A1.21)]. В этом случае другим воз-
возможным представлениям группы SU'S, таким, как DA1),
должны соответствовать гораздо большие энергии. Ввиду
того, что мы имеем дело со сверхсильным взаимодействием,
неудивительно, что эти возбужденные ??/д-состояния до
сих пор не наблюдались.
Второе преимущество девятикварковой модели состо-
состоит в том, что она объясняет существование трехкварковых
систем (барионов), кварк-антикварковых систем (мезонов)
и отсутствие в то же время связанных систем, состоящих
из двух кварков или из четырех кварков и одного анти-
антикварка. В рамках же трехкварковой модели это было загад-
загадкой. Разница здесь заключается в наличии в девятиквар-
девятикварковой модели большего числа возможныхГ*состояний.. Это
позволяет выбрать вид взаимодействия таким образом,
чтобы в одних случаях между кварками действовали
силы притяжения, а в других — силы отталкивания, обес-
обеспечивая возможность образования связанных состояний
только в исключительных случаях, в синглетных по цвету
состояниях.
Еще одно преимущество девятикварковой модели —
то, что заряд и гиперзаряд кварков можно теперь сделать
целым. Это достигается тем, что вместо формулы Q=Mг+
-fVsF (гл. 11, § 1) мы можем написать Q=Mт-р/2У+Х,
где X — собственное значение одного из инфинитезималь-
ных операторов группы SU'3, аналогичного операторам Y
и Q для группы SUB. В синглетном представлении группы
SU'3 мы имеем Х=0. Следовательно, для наблюдаемых со-
состояний Q=MT~{-1/2Y. Однако для других представлений
группы SU'3 величина ХфО. В частности, мы можем вы-
выбрать оператор X таким образом, чтобы для кварков ве-
величина X в и-, d- и s-состояниях была равна V3, Vs и —2/3.
Из соотношения A2.8) получаем теперь следующие значе-
значения зарядов девяти кварков: 1, 1, 0, 0, 0, —1, 0, 0, —1.
Подчеркпем, что большая часть изложенного выданном
параграфе носит спекулятивный характер, так как все

358 Глава 12
известные частицы отвечают синглетному представлению
группы SU11). Однако косвенным подтверждением истин-
истинности девятикварковой модели является то, что идейно
она связана со многими направлениями, включая сюда и
возможность объединения слабого и электромагнитного
взаимодействия [3]. Вышеизложенным хорошо иллюстри-
иллюстрируется роль симметрии п физике. Симметрия позволяет no-i
строить ряд возможных теорий для описания рояльного
мира. Для того же, чтобы определить, какая и:) них (если
какая-либо вообще) соответствует действительности, мы
должны подождать результатов эксперимента.
§ 5. ОЧАРОВАНИИ
Для объяснении неизвестного ранен правила отбора,
выполняющегося в некоторых глабыу взаимодействиях,
было предложено простое обобщение кварконой модели.
Предполагается, что существует четвертый кварк с, яв-
являющийся 5С7з-синглетом с 71 —У—0 и отличающийся от
кварков и, d и s наличием нового квантового числа, на-
названного «очарованием». Если обозначить новое квантовое
число символом С, то для нового кварка С = 1, а для квар-
кварков и, d и s мы имеем С=0. Заряд с-кварка должен совпа-
совпадать с зарядом ц-кварка, т. е. он равен а/3е. Таким обра-
образом, соотношение, связывающее заряд с проекцией изо-
спина, принимает вид Q=Mт+1/2У+2/зС. Опять-таки,
понятие очарования выглядит как чисто спекулятивное,
но если это не так, то должны существовать новые адроны.
Они должны классифицироваться по представлениям груп-
группы SUit которая вместе с четвертым кварком приходит на
смену группе SU3. Кроме ранее известных адронов долж-
должны быть и очарованные, т. е. адроны с Сф(). Если новый
кварк тяжелее остальных, то очарованные адроны также
должны быть тяжелее. Этим объяснилось бы, почему они
до сих пор не наблюдались. Заметим, однако, что имеются
указания на то, что некоторые новые частицы, обнаружен-
обнаруженные в начале 1975 г., можно интерпретировать либо как
очарованные, либо как возбужденные состояния цветовых
степеней свободы [3] 2).
1) Наличие цпета у кварков в настоящее время — общеприня-
общепринятая точка ярения.— Прим. ра'к
") Н последнее время бы i обшцп н.еп целый ряд чагпш, i: сое
тав которых входят очарованные кварки.-- Прим. ред.

Супермулътиплеты в ядрах и суперм. элементарных частиц 359
ДОБАВЛЕНИЕ, СДЕЛАННОЕ В СЕРЕДИНЕ 1978 г.
Хотя кварки до сих пор не обнаружены [4], последние
эксперименты, а также теоретические работы говорят в
пользу кварковой модели адронов, включающей цветовые
степени свободы. Возможность приписать кваркам цело-
целочисленные наряды, о которой упоминалось в § 4, не полу-
получила перегнал над гипотезой дробных ларядов Iформула
A2.8)). Л о она и но исключается полностью. По аналогии
с электродинамикой теория, описывающая взаимодействие
между цветными объектами, называется хромодинамикой.
Частица, аналогичная фотону в электродинамике, назы-
называется глюоном. Все составляющие адрона именуются
«партонами». Для описания кварковых состояний и, d, s и
с был введен термин «аромат». Таким образом, внутренние
состояния кварков описываются векторами прямого про-
произведения пространства ароматов и пространства цветов.
В качестве же группы симметрии используется группа
SUtxSUs. Однако кварковая картина все еще далека от
завершения: открытие [7-мезона делает необходимым уве-
увеличение числа ароматов до пяти, а, возможно, и до шести.
Два новых гипотетических кварка получили названия
Ь- и ^-кварков.
ЛИТЕРАТУРА
Относительно ядерных супермулт.тиштетоп можпо рекомондо-
вать ря пн юю работу
1. Wigner Е. P., Feenberg E., Rep. Prog. Phys., 8, 274 A941)
и анализ более позднего времени
2. Franzini P., Radicatl L. A., Phys. Fev. Lett., 6, 322 A963).
Применение группы SVe в физике элементарных частиц рас-
рассматривается в работах [2, 3] из литературы к гл. 11. Прекрасный
обзор по новым частицам дан в работе
3. Coldhaber A. S., Smith /., Rep. Prog. Phys., 38, 731 A975).
В этом обзоре затронуты вопросы существования кварков, име-
имеется большая библиография по кварковым моделям, а также рас-
рассматриваются вопросы, связанные с цветом и очарованием.
4*. Jones L. W., Rev. Mod Phys., 49, 717 A977).
5*. Nucl. Phy., A152, 32 A970).
ЗАДАЧИ
12.1. Обобщая формулы A1.1), выпишите в базисе р^ , и1", р^, п^
пятнадцать эрмитовых 4Х4-матриц. Представьте их в виде ли-
линейных комбинаций операторов sq, \q и YW'=s(/t(,,.

360 Глава 12
12.2. С учетом свойств спиновых матриц s^ и \„ покажите, что
12.3. Выписав соответствующие произведения одночастичных век-
векторов состояния, покажите, что значения (РР'Р") для трех
представлений группы SU, [формула 12.5I таковы: C/2 3/а 3/2),
С/»1/.1/*) и С1^1/»-1/»).
12.4. Рассуждая так, как в гл. 8, § 6, п. Д; гл. 10, § 1, п. А и гл. 12,
§ 1, покажите, что в ядре с тремя валентными нуклонами на
р-орбитах низшие состояния с Т=1/2 в случае LS-свяяи долж-
должны иметь S=V2 с ?,—1 или L=3, тогда как низшие состоя-
состояния с У=3/2 имеют S—1/2 с L=i или L=2.
12.5. Методом, изложенным в гл. 11, § 6, докажите, что D(lo> (g)D<20>=
=D<3O>Q3D<1:1>, и выведите отсюда, что
Dllo> @ D<10) ® D<10> = D'30' ф 2D111) ф D<°°>.
52.6. Покажите, что в предыдущей задаче представление D@0) пол-
полностью антисимметрично, D<30> полностью симметрично, а
D'11) обладает смешанной симметрией по отношению к пере-
перестановкам сомножителей.
12.7. Пользуясь методами, изложенными в § 3, постройте кварковыо
волновые функции для 2+- и Л-частиц. Рассматривайте толь-
только состояния с Ms=l/2-

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редакторов перевода 5
Предисловие к первому толу 7
Глава 1. Введение 11
§ 1. РОЛЬ СПШИЗТрШ! I! фнУПКО 11
§ 2. Примеры проявления симметрии 13
§ 3. Заключение 20
Глава 2. Группы и их свойства 21
§ 1. Определение группы 21
§ 2. Примеры групп 23
§ 3. Изоморфизм 30
§ 4. Подгруппы 31
§ 5. Прямое произведение групп 32
§ 6. Сопряжепныс элементы и классы 33
§ 7. Примеры классов 34
§ 8. Классы произведения групп 37
§ 9. Теорема о перечислении групп 38
Литература «. 38
Задачи 39
Глава 3. Линейная алгебра и векторные пространства ... 40
§ 1. Линейные векторные пространства 40
§ 2. Примеры линейных векторных пространств . 45
§ 3. Линейные операторы 48
§ 4. Умножение и преобразование операторов, об-
обратный оператор 51
§ 5. Сопряженный оператор, унитарные и эрмитовы
операторы 53
§ С. Определение собственных значений . . • j ¦ 55
§ 7. Индуцированные преобразования функций . 56
§ 8. Примеры линейных операторов 59
Литература 63
Задачи 64
Глава 4, Представления групп 65
§ 1. Определение представления группы . . • • 65
§ 2. Матричные представления < Щ

362
Оглавление
§ 3. Примеры представлений 67
§ 4. Построение инвариантных подпространств 71
§ 5. Неприводимость 74
§ 6. Эквивалентные представления 77
§ 7. Неэквивалентные неприводимые представле-
представления 80
§ 8. Свойства ортогопальности неприводимых
представлений 81
§ 0. Характеры представлений 88
§ 10. Соотношение ортогональности для характе-
характеров неприводимых представлении ....... W9
§ 11. Приведение представления с использованием
характеров групп 91
§ 12. Критерий неприводимости 92
§ 13. Число неэквивалентных неприводимых пред-
представлений, регулярное представление .... 93
§ 14. Пторое соотношение ортогональности для ха-
характеров групп 96
§ 15. Построение таблицы характеров 97
§ 16. Ортогональность базисных функций неприво-
неприводимых представлений 98
§ 17. Прямое произведение двух представлений 100 '
§ 18. Разложение неприводимого представления
при сведении к подгруппе 104
§ 19. Проекционные операторы 106
§ 20. Неприводимые наборы оператором и теорема
Вгтгнера — Эккарта 111
§ 21. Представления прямого ирошшедешш групп 116
Литература 118
Задачи 118
Глава 5. Симметрия в квантовой механике 120
§ 1. Краткий обзор основных понятий квантовой
механики 120
§ 2. Симметрия в квантовой системе 125
§ 3. Вырождение и классификация по симметрии
собственных значений и собственных функ-
функций 126
§ 4. IIранила отбора л матричные элементы опе-
рнторок 128
§ 5. дакины сохранения , 130
§ 6. Примеры 131
§ 7. Теория групп п вариационный метод .... 13б
§ 8. Нарушение симметрии при возмущении . . 139
§ 9. Неразличимость частиц 143
§ 10. Комплексное сопряжение и обращение вре-
времени 145
Литература 146
Задачи 146
Глава 6. Молекулярные колебания 148
§ 1. Гармоническое приближение 149

Оглавление
363
§ 2, Классическое решение 151
§ 3. Кваитомехашпеское решение . . . . . - • ¦ 152
§ 4. Роль симметрии в молекулярных колебаниях 153
§ 5. Классификация нормальных мод 156
§ 6. Колебательные гшерггтпческие уроввп и вол-
волновые функции 101
5 7. Инфракрасные спектры поглощения п спектры
кошлшаиионноги рассеяния молекул .... 165
5 S. Картина гмыцршш и чагточы нормальных ко-
леиашш 168
Литератур;! 1^
Задачи '. 171
Глава 7. Лепрерынные группы » их представления, группы
вращений '/J2 и <°>?з 172
Ij 1. Общие замечания 172
§ 2. 11цфр1!111те:111\шл1>ные операторы 174
S Я. Группа Л, : 179
§ 4. Группа УЪ 184
§ .1. Оператор Казимира ЛОо
§ (i. Двузначные представления 205
§ 7. Комплексно-сопряженное представление . . . 208
Литература 209
Задачи 210
Глава 8. Угловой момент и группа ,%3, приложение к струк-
структуре атома 212
§ 1. Вращательная инвариантность и со следствия 212
§ 2. Орбитальный угловой момент системы частиц 214
§ 3. Сложение угловых моментов 216
§ 4. Внутренний спин 218
§ Г). Атом водорода 226
*5 О. Строение .многошюктроннмх атомов 231
Литература 247
Задачи 248
Глава !). Точечные группы » п\ применение в теории кристал-
кристаллического поля 249
§ 1. Операции точечной группы и обозначения . . 250
§ 2. Стереонроокция 251
§ 3. Перечисление точечных групп 253
§ 4. Структура классов точечных групп 260
§ ,1. Кристаллографические точечные группы . . 265
§ 0. Неприводимые представления точечных 267
групп
§ 7. Дьуяначные представления точечных групп 270
§ 8. Обращение нремени и магнитные точечные
группы 273
§ 9. Расщепление атомных уровней в кристалличе-
кристаллическом поле 275
Литература 28G
Задачи 287

S64 ОглйвлетЬе •
Глава 10. Изосшш и группа SU2 289
§ 1. Изоспин в ядрах 290
§ 2. Изоспин и элементарные частицы 302
§ 3. Изосшшовая симметрия п зарядовая незави-
независимость 304
Литература 305
Задачи ." 305
Глава 11, Группа SU3 и приложения к элементарным части-
частицам 307
§ 1. Некоторые сведения об олсментарпых час-
частицах 308
§ 2. Гиперзаряд 313
§ 3. Барнониый заряд 314
§ 4. Группа SU3 315
§ 5. Подгруппы группы SU3 316
§ 6. Неприводимые представления группы SU3 317
§ 7. Классификация адронов по $Г7~мУльтипле-
таы .- 330
§ 8. Формула расщепления масс 332
§ 9. Электромагнитные эффекты 336
§ 10. Операторы Казимира 338
Литература 340
Задачи 340
Глава 12. Супермультиплеты в ядрах и супермультиплеты
элементарных частиц — группы SUtiiSUe. Квар-
ковые модели 342
§ 1. Ядерные супермультиплеты 342
§ 2. Супермультиплеты элементарных частиц . . 348
§ 3. Трехкварковая модель 350
§ 4. Девятикварковая модель 356
§ 5. Очарование 358
Литература 359
Задачи 359