Автор: Сирожиддинов С. X.
Теги: математика функционал анализ курси укитувчи нашриёти учебная библиотека
ISBN: 5-640-01507-1
Год: 1995
Текст
ТАЗЛАРОВ
X МАНСУРОВ
МАТЕМАТИК
АНАЛИЗ
2
^’збекиетсн Республикаси Олий ва урта махсус таълим вазирлигч
дниеерситегиларнинг еа педагогика институтларининг талабплари
укун дарсл' к сифатида рухсат этган
Кайта ишланган иккинчи нашри
ТОШКЕНТ
^ЗБЕКИСТОН;
1995
Бадиии мухаррир И. Кученкова
Техник му.^аррир Л. Горшкова
Муса^хтц Л'1. Юлдашева
Теришга берилди 1.01.91. Босвшга рухсат этилди 2i.02.95, Короз
формата бОх'ОСН/ц. «Литературная гарнитурада юкори босма усулмда босилди^
Шартли бос. т. 27,5. Нашр. т. 29,93. Тиражи 5500. Ба.уоси щартнома асосида
4.
«Узбекистан» нашриётп, 700129, Тошкент, Навонй, 30. Нашр № 285-93.
Узбекистан Республикаси Да плат матбуот ц^мптаси ижаргдаги Тошкент матбаа
комбинатида босилди. 700129, Тошкент, Наноий кучасн, 30.
Азларов Т.? Мансуров
А 36 Математик анализ: Ун-тлар ва пед.ии-тларининг талаба"
лари учун дарслик К. 2.— Т.: Узбекистан, 1995.—436 6.
ISBN 5-640-01507-1
Ушбу китоб университетлар хамда педагогика институтлари, шушшгдек,
одни техника укув юртларининг олий математика фани чукур дастур асосида
укитиладиган факультетлари талабалари учун мулжалланган. Уни ёзишда
муаллифлар Тошкент Давлат университетининг математика, амалий математи-
ка ва механика факультетларида бир неча йиллар давомида укиган лекция-
ларидан фойдаланганлар.
Китобни ёзишда, бир томондаи, математика фанининг тобора янги ту-
шунчалар, янги гоялар билан бойиб боришига эътибор каратилган булса, ик-
кинчи томондаи, математиканинг фан ва техниканинг турли сохаларига татбик
доираси кенгайиб бориши дисобга олинган.
Китоб анализ курсининг 2- кисми булиб, уида куп узгарувчили функция-
лар дифференциал ва интеграл хисоби, функционал каторлар назарияси ва
Фурье цаторлари назарияси батафсил баён этилган.
22.161я73
Кэ 637-94
Алишер Навоий номидаги
Узбекистон Республикасининг
Давлат кутубхонаси
1602070000—05
.. 4л ’'ч
М351 «И» 95
я л
I cos /<vcos тх dx = 0, ! sin /xvshi mx dx = 0
—л — я
л
бупиб, ихтиёрий k, m=Q, 1, 2, ... булганда i cos &x-sin mx dx — 0 булади (xa-
—л
pa лее й, ушбу бобнинг i-§).
2. Куйидаги
1 co^ x sin x co< nx sin nx
] 2л ]л ’ )Лд ’ l л | л ’
функдхялар системней [—я, л] да ортопормал булади. Бу системанинг [—л. л] да
ортогою.л булиши равшандир. Унинг шу [— л, л] да пормал булиши эса
я л
(1 \2 (‘ / I \ *-
—cos kx ) dx ~ | I —— sin kx 1 dx -—I (ё -- 0, I, 2,
V Л / Ju Л /
~л —л
булишидан келиб чикади.
3,. Ушбу {Рп(х)}:
PQ (х), Р{ {х), . . . , Рп (.г), . . .
(21.59)
функциялар спстемасиии карайлик, бунда
i dn (л-2—! ]п
Рп (Х) n! 2п dxn
(ji — 0, 1, 2,
Бу система [— 1, 1] да ортогонал булади. Шуни исботлайлик. Булаклаб интеграл-
лаш усулпдан фойдаланиб куйидагини топамиз:
Агар а. = ± 1 да
булиши-л эьтиборга олсан, у холда
1
1 1
Р.; (л-> р,п (X) ах - -----7
интсгоатни яна б\лаклаб ните L
1
булади. Бу тенгликнинг унг томонндаги
X ~ ±2 • Д..
430
булшишш хисобга олиб куйидагини топамиз:
Шу /караснни лагом эттира бсриб, т кадамдап кейнн куйидаги тенгликка кедами.?:
х ~z + ] да л2 — 1 - 0 ва т > х учун --------• ^_т'Г[----г О оулишини хиг'Хга ощб
f Pk (х) Рт (х) tZx- 0 (21.60)
-I
эканлигшш тонамиз. Демак, т >k булганда (21.60) муносабат уринлидир.
Худди юкоридагмдек, т < к булганда хам (21.СО) муносабатшшг угнали буди-
ши к\ рсатилади.
Шундай килиб k т учуй I Pk (х) Р,п (х) dx-- 0 булади. Бу эса (21.62) сис-
-1
теманипг [— 1; 1] да ортогонал экаплигини билдиради.
Одатда Рп (х) — Лежандр купхада деб аталади. Бу купхад, хусусан п — 0, 1,
2, 3 булганда
3 5 3
Pff {х) = 1, Pi (х) ~ X, Р2 (х) == -- А'2 — 1, Р3 (Xj-~ — X3 — “ X
Л А.
булади.
(21.61) система серилган булсин. Унинг ёрдамида тузилган ушбу
Сп % W = Со Фо О) +с1> Ф1 W + • • Т Сп Фп W + • • • (21 61)
«=0
функционал катер {срп (х)} система буйича катор дейилади, гп,
сп, . . . , узгармас сон лар эса каторнинг коэффиниентлари дейилади.
Хусусан, фп (х) = ап cos nx + bn sin их булганда (21.61) катор
тригонометрии каторга айланади.
f (х) функция |п, Ь\ ораликда берилган ва шу ораликда шпеграл-
ланувчи булсин. Равшанки, / (х) • срд (х) (п 0, 1, 2, . . .) функция
Г/ц Ь] да иитегралланувчи булади. Бу функпкяларнииг интеграл-
^чссблаб, уни куйидагича белгилаймиз:
о
X \ f (Л • Ср„ (х) dx.
(21.62)
а
—501
431
Бу сонлардан фойдаланиб ушбу
У Тп(х) = “оФо(*) + «1Ф1 W + ... +алФя(х)+ • •• (21-63>
и о
каторни тузамиз.
21.6-таъриф. а0, а2, . . . , . . . коэффициентлари (21.62)
формула билан аникланган (21.63) катор / (х) функциянинг 'фг(%)} сис-
тема буйича умумлашган Фурье катори деб аталадн. а0, , а
. . . сонлар эса умумлашган. Фурье коэффициентлари дейилади.
Одатда, f(x) функция билан упга мос умумлашган Фурье катори
белги оркали цуйидагича ёзилади:
п О
%,ф0 (х) + at<f t (х) — ... — 'ХД',. (х) +
АДАБИЁТ
I, Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчислен
ния, т. I, И, III. —М, Наука, 1969. (I, II томлари узбек тилига таржима килин-
ган).
2. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т. I, П. — М. ,|
Наука. 1964. (Узбек тилига таржима цнлннган.) ;
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, т. I. ---
М., Наука, 1971. (Узбек тилига таржима килинган). j
4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа, т. II. -
М., Наука. 1980.
5, Хкнчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу, — М., Наука'
1977. - ‘ I
6. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. L И, — М., Выс
шая школа, 1981.
7. Никольский С. М. Курс математического анализа, т. I, II, — М., Ha^j
ка, 1973. 1
8. Ильин В. А. , Садовничий В. А. , Сендов Бл. X. Математический
анализ. —М. , Наука, 1979. |
9. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I, II
— М., Наука, 1970.
10. Рудин У. Основы математического анализа, —М. , Мир, 1976.
IL Зорич В. А. Математический анализ, ч. I, II, —М., Наука, 1981.
12. Романовский И. В. Избранные труды, т. I (Введение в анализ). Из^
АН УзССР, Ташкент, 1959.
13. Азларов Т. А. , Мансуров Д. Математик анализ, 1-^исм, — Т,
«У^игувчи», 1986.
МУНДАРИЖА
Суз боши................................................................... 3
12-б о б. Куп узгарувчили функциялар, уларнинг лимити, узлуксизлиги ... 4
1-§. Rm фазо ва унинг мухим тупламлари............................... 4
2- §. Rm фазода кетма-кетлик ва унинг лимити........................ 17
3-8. Куп узгарувчили функция ва унинг лимити........................ 31
4- §. Куп узгарувчили фунциянинг узлуксизлиги....................... 46
5- §. Узлуксиз функцияларнинг хоссалари............................. 54
6- §. Куп узгарувчили функциянинг текис узлуксизлиги. Кантор теоремаси . 58
13-б о б. Куп узарувчили функциянинг росила ва дифференциаллари .... 62
1-§. Куп узгарувчили функциянинг хусусий досилалари................. 62
2- §. Куп узгарувчили функцияларнинг дифференциалланувчилиги ..... 66
3-§. Йуналиш буйича досила .............................................. 71
4- §. Куп узгарувчили мураккаб функцияларнинг дифференциалланувчилиги.
Мураккаб функциянинг досиласи.......................................... 75
5- §. Куп узгарувчили функциянинг дифференциали.......................... 78
6- §. Куп узгарувчили функциянинг юкори тартибли хрсила ва дифферен-
циаллари................................................................. 87
7- §. У рта диймат хакида теорема ....................................... 94
8- §. Куп узгарувчили функциянинг Тейлор формуласи....................... 96
9- §. Куп узгарувчили функциянинг экстремум дийматлари. Экстремумнинг
зарурий шарти........................................................... 99
10-§. Функция экстремумининг етарли шарти .... ..................... 101
11- §. Ошкормас функциялар.............................................. Ш
14-боб. Функционал кетма-кетлик ва каторлар.............................. 129
1-§. Функционал кетма-кетлик ва датор л ар, уларнинг якинлашувчилиги . . 129
2-§. Функционал кетма-кетлик ва даторларнинг текис якинлашувчилиги . . 136
3- §. Функционал катор йигиндисининг хамда функционал кетма-кетлик лимит
функциясининг узлуксизлиги ............................................. 146
4- §. Функционал каторларда дамда функционал кетма-кетликларда хадлаб ли-
митга утиш............................................................. 148
5- §. Функционал каторларни дамда функционал кетма-кетликларни дадлаб ин-
теграллаш................................................................151
6- §. Функционал каторларни хамда функционал кетма-кетликларни хадлаб /'
дифференциаллаш........................................................14
434 / ос I
7-Даражали даторлар ...................................................... 156
8-§. Даражали каторларнинг хоссалари ...................................... 165
9-§. Тейлор датори....................................................... 171
10-§. Функциями купхад билан якинлаштириш................................. 178
15-б о б. Метрик фазолар.................................................. 186
1- §. Метрик фазо.......................................................... 187
2-Метрик фазода кетма-кетлик ва унинг лимити .............................. 191
3-§. Коши теоремаси. Тулик метрик фазо........................ . .. . . 193
4- §. Больцано—Вейерштрасс теоремаси. Компакт метрик фазолар........... 196
16-б о б. Хосмас интеграллар . ............................................. 197
1- §. Чегаралари чексиз хосмас интеграллар................................ 197
2- §. Чегаралари чексиз хосмас интегралларнинг ядинлашувчилиги......... 205
3-§. Чегараси чексиз хосмас интегралларни дисоблаш.................. . 213
4- §. Чегараланмаган функциянинг хосмас интеграллари....................... 222
5- §. Чегараланмаган функция хосмас интегралининг ядинлашувчилиги . . . 229
6- §. Чегараланмаган функция хосмас интегралини дисоблаш .................. 235
7- §. Умумий дол . . *................................................... 240
17-б о б. Параметрга боглид интеграллар .................................... 243
1-§. Лимит функция. Текис якинлашиш. Лимит функциянинг узлуксизлиги 244
2- Параметрга боглик интеграллар.........................................248
3- §. Параметрга боглик интеграллар (умумий дол) ....................... 255
4- §. Параметрга боглик хосмас интеграллар. Интегралнннг текис якинлашиши 258
5- §. Параметрга боглид хосмас интегралларда интеграл белгиси остида ли-
митга утиш ........................................................... 267
6- §. Параметрга боглик хосмас интегралларнинг параметр буйича узлуксиз-
лиги .....................................................................269
7- §. Параметрга боглик хосмас интегралларни параметр буйича дифференци-
аллаш.................................................................... 270
8- §. Параметрга боглид хосмас интегралларни параметр буйича интеграллаш 273
9- §. Бета функция (I тур Эйлер интеграли) ва унинг хоссалари........... 279
10- §. Гамма функция (И тур Эйлер интеграли) ва унинг хоссалари........ 282
1-J. Бета ва гамма функциялар орасидаги богланиш .......................... 287
18-боб. Каррали интеграллар ................................................ 291
1-§. Икки каррали интеграл таърифи.................................. . 291
2- §. Дарбу йигиндилари. Икки каррали интегралнннг бошдача таърифи . . . 295
3- §. Икки каррали интегралнннг мавжудлиги ............................ 297
4- §. I Штегралланувчи функциялар синфи............................... 300
5- §. Икки каррали интегралнннг хоссалари .............................. 203
6- Икки каррали интегралларни дисоблаш ........................ ♦ • • 306
7-§. Икки каррали интегралларда узгарувчиларни алмаштириш ................. 316
”^8- §. Икки каррали интгрални тадрибий дисоблаш ........................... 322
9- §. Икки каррали интегралнннг баъзи бир татбикалари..................... 324
10- §. Уч каррали интеграл............................................... 330
435
19'боб. Эгри чизикли интеграллар ..................................... 333
1-§. Биринчи тур эгри чизикли интеграллар............................... 335
2-§. Иккинчи тур эгри чизикли интеграллар............................,. 344
3-§. Грин формуласи ва унинг татбиклари................................. 354
4- §. Биринчи ва иккинчи тур эгри чизикли интеграллар орасидаги бсглгниш 363
20- боб. Сирт интегаллари........................................... . 364
!-§. Биринчи тур сирт пнтеграллари................................. . • 364
2- §. Иккинчи тур сирт пнтеграллари................................... 371
3- §. Стокс формуласи.................................................. 378
4- §. Остроградский формуласи ......................................... 380
21-б о б. Фурье каторлари............................................- - 382
!-§. Баъзи мухим тушунчалар............................................ 383
2-§. Фурье каторининг таърпфп.......................................... 391
3- §. Леммалар. Дирихле интеграли.....................................- 399
4- §. Фурье каторининг якинлашувчилиги .............................. 405
5- §. Кисмий йш-нндиларнинг бир эксремал хоссаси. Бессель тенгсизлигл . 412
6-§. Якннлашувчи Фурье катори йигиндисининг функционал хоссалари .... 416
7-§. Фупкцияларни тригонометрии куцхад билан якинлаштириш ....... 419
8- §. Уртача якинлашиш. Фурье каторининг уртача якинлашиши ...... 424
9- §. Функцияларнинг оргогонал системаси. Умумлашган Фурье катори. , „ . 428
На узбекском языке
АЗЛАРОВ ТУРСУН АБДУРАХИМОВИЧ.
МАНСУРОВ ХОДЖАКБАР
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
II часть
Учебник для студентов
университетов и пединститутов
Издательство «Узбекистан»,
700129 — Ташкент, 1995, Навои, 30.
булади (каралсин, 5-§). Демак, (21.58) ва (21.59) муносабат ларга кура
зт л
f If (*) - Fп ([, х)|3 dx < f [f (X) - Тп (X)]2 dx < 8
t t.
(V XQ [— л, nj)
булади. Бу эса
lim f [/ (r) — Fn (J; x)]2 dx = 0,
яъни /(x) функция Фурье катори [—л, л] да уртача я^инлашишини
билдиради. Теорема исбот булди.
Биз утган параграфда [—л, л] ораликда квадрат» била» интеграл-
ланувчи f(x) функция учун ушбу
Л Л г О Я
f [/ (*) - Fn (f; х)2 dx = f f3 (x) dx-n c±+ V; ()
T Jt — л k~\
тенгликни келтириб чикарган эдик. Бу теигликдан куринадики, агар
яъни
л
— ( Г W dx = JjL + V ( a’i -*-»;) (21.571
“ i 2 Я
булса, у холда
lim I f (x) — F (/; x)j2 dx = 0
-Jt
булади ва, демак, /(x) функциянинг Фурье катори [—л, л] да уртача
якинлашади.
Шундай килиб, /(х) функция Фурье ^аторининг [—л, л] да уртача
якинлашишини курсатиш учун (21.60) тенгликнинг уринли булишини
курсатиш зарур ва етарли булади. Одатда (21.57) Парсеваль тенглиги
деб аталади.
9- §. Функцияларнинг ортогонал системаси.
Умумлашган Фурье цатояи
1. Функцияларнинг ортогонал системаси. <р(х) ва ф(х)
функниялар [я, Ь] да берилган ва улар шу ораликда интегралланувчи
булсин.
21.4-таъриф. Агар
ь
f ф (х) • (х) dx=C)
а
/
булса, v холда ф (х) ва -Ц- (х) фхнкциялар !«, /?] да с>рт\
лади. ’ /кшд деб
428
М и с о л. ф(х) — sin х, ф(л) — cos х функциялар [— л, л] да ортогонал була-
ди, чувки
b л
i ср (Л') ф U) dx -- 1 sjn х . cos v cix (j
\1 — л
булади,
3
q?(.v') —.Y, ф (л*) — — л"2 — 1 функциялар [—1, ] да ортогонал булади. Хаки-
катан .хам,
Энди
Фо (М, <Р1б)......ф„(х), . . . (21.58)
функцияларнинг хар бири \а. Ь] да берилган ва шу ораликда ннгеграл-
ланувчи булсин. Бу (21.58) функцпялар системасини {фл(х) каби бел-
гилаймиз.
21.5- т а ъ р иф. Агар % (х)} функциялар снстемаспнннг нсталган
иккита ф,.(х) ва фш(х) (k^m) функцпялари учун
j ф;, (х) • (р(х) dx = 0 (/г =# т)
а I
булса, у холда {ф„(х)| функциялар системаси 1о, Ь] да ортогонал деС
аталади. !
Одатда, k == m(k — 0, 1, 2, ... ) булганда i
f 4>2k(x)dx >0 (fe = 0, 1, 2, . . . ) I
Г* 1
деб каралади. Бу интегрални каби белгилайлик: ;
К — I Ф* Ю № == 0, 1, 2, . . . ). j
a I
Агар (21.61) система учун
X = 1(^ = 0, 1, 2, ... ) i
fv s ।
булса, {%(•*)} функциялар системаси нормал деб аталади.
Агар (21.58) система учун j
С ф, (х) ф„, (X) dx =--= (О’ агаР f т 0Улса’ !
J 7 (1, агар k — т булса
V 1 Ci . il
булсп, .. {фл00} функциялар системаси ортонормал деб аталади.
М и со л ар, 1. Ушбу
1 cos х. sin х, cos 2 xf sin 2 xf . . . , cos nx, sin nx, ...
система (тригош метрик система) [—л, л] да ортогонал булади, чунки d Ф
ганда
/
ф (u) =--------------
и
2 sin —
9
!/ (х 4- и) -т / (х — и)]
функция хам шу ораликда абсолют интегралланувчи булади ([б, л) да
sin — функция чегараланган^ ва 21.3-леммага асосан
л
р / ] \
1 im /2 (п, б) == lim | ф (и) sin I п 4- — 1 udu — 0.
Л —> ОС J7—> Qp /
6
Натижада куйидаги теоремага келамиз.
21.1-теорем а. Ушбу
Ц (п, д) = — i |/ (х + u) + f (х — и)] —------— dll
Л J п и
6 2 sin —
интегралнинг п-^ -» даги лимити] мавжуд ^булгандагина Дирихле
интегралининг п~+ <х> даги лимити мавжуд булади ва
lim Fn (/; х) = lim Ц (п, 6).
И Л—> се
Равшанки, Д (п, б) интегралда / функциянинг [х— б, х + б] сра-
ликдаги цийматларигина катнашади.
Шундай 1<илиб, берилган / (х) функция Фурье каторининг х нук-
тада якинлашувчи ёки узоклашувчи булиши бу функциянинг шу нуцта
(х— 6, х — б) атрофидаги кийматларигагина боглик булар экан. Шу-
нинг учун келтирилган теорема локаллаштирши принципа деб юри-
тилади. Унинг мохиятини куйидагича хам тушунтириш мумкин.
Иккита турли 2 л даврли / (х) ва <р (х) функцияларнинг хар бири
[—л, л) да абсолют интегралланувчи булсин. Равшанки, бу функция-
ларнинг Фурье каторлари х<ам, умуман айтганда, турлича булади.
Бирор x0G(—л, л) ва б (0< б< л) учун
/ (х) — (р (х), агар х С [хе — б, х0 -4 6],
/ (х) =#= ср (х), агар х G [— л, л)\[х0 — б, х0 4- б]
булса, у холда п —оо да бу функциялер Фурье каторлари ]<исмий
йигиндиларининг х0 нуктадаги лпмитлари ёки бир вакгда мавжуд (бу
холда улар бир-бирига тент) булади, ёки улар бир вактда мавжуд бул-
майди.
Пировардида, укувчиларимиз эътиборини локаллаштириш принципи-
нинг яна бир мухим томонига жалб килайлик.
Келтирилган теоремадан (п, б) интегралнинг оо даги лимити
барча б(0<6<л) лар учун бир вактда ёки мавжуд булиши, ёки
мавжуд булмаслиги келиб чикади.
2. Фурье каторининг я ц и и л а ш у в ч и л и г и.
21.2-теорем а. 2 л даврли f(x) функция [—л, л] оралицда булак-
ли-дифференциалланувчи функция булса, у ^олда бу функциянинг
Фурье катори
406
«9
k=l
(ak cos kx 4- bk sin kx)
[—л, л) да якинлашувчи булади. Унинг йикиндиси
Т (/; х) = y (ak cos kx 4- bk sin kx) == ^x + °) + ^
булади (xg[— л, л)).
Ис бот. (21.29) тенгликнинг хар икки томонини
га купайтириб куйидагини топамиз:
л
7 If К + 0)]+ f (х -0)1 = - V 1 [f (х + O) + f(x -0)]
2 Л J 2
О'
/ I \
sin ) и
(21.28) ва (21.30) муносабатлардан фойдаланиб ушбу
. и
2 sin —
2
(21.30)
Fn (f; х) - 1 !/ (х 4- 0) 4- /' (X - 0)1
айирмани куйидагича ёзиш мумкин:
к: (Г’ л ~ 4/ (х 4- 0) -Г f (X - 0)1 = A- f (/ (х 4- и) 4- f (х - и) -
2 Л
9
sin I п-г“7 | и
— f (х + 0) -f (х - 0)1 —----------— du.
о . и
2sin —
2
Агар
— i If (X 4- «) — f (X 4- 0)| —--------du = Iin (ft x),
Л «у u~
о 2 sin —
/
/ Ц
4 sin I ^4,~Г I M
- f [f (x - u) - f (x - 0)1 —i---------2U- du = (/; x)
л J a *
о 2sin —
2
деб белгиласак, унда
Fn If (X4-0) + f (X-0)1 = Iln (f; X)4-I2n (f; x)
булади.
Энди lXn (f; x) ва I2n (f ', x) ларнй бахрлаймиз. Ихтиёрий б (0 < 6<
<’л) сонни олиб, 11п (/; х) ни икки кисмга ажратиб ёзайлик:
407
p sinln4-~b
Ли [/ (* + “ / (Х + °)1 —---------- du +
П л J 0 . и
о 2sin —
2
7 sinln+~-)u
+ - i I/ (x + u)-f (x + 0)] —-------— du. (21.31)
л J O • U
6 2sin
Локаллаштириш принципига асосан
.. 1
lim -
n—>co Л
булади. Демак,
[f (х + и) - / (х + 0)] —------du = 0
б" 2s in —
2
V 8 > 0 олинганда хам, шундай /г0 == n0 (s,
пиладики, у/г >/?0 учун
/ 1 \
л S1*np+_rl«
- 1 [/(х + н)~/(х + 0)] —---------^-du
Л J W
в -sin -
6) С N то-
(21.32)
8
2
булади.
Энди (21.31) тенгликнинг унг томонидаги биринчи интегрални ба-
^олайлик. У ни 6 ни тгнлаб олиш хисобига етарлича кичик к4ила оли-
шимиз мумкинлигини куреатайлик.
Шартга кура, f (х) функция [—л, л) да булакли-дифференциалла-
нувчи. Бинобарин, ух [xg[—л, л)) нуктада унинг бир томонли чек-
ли хрсилалари, хусусан, унг хосиласи
lim
z.'->4-0
(х + и)-1 (x-bO)
- Г (V + 0)
и
мавжуд. Демак, шундай 6t >0 топиладики 0< и< булганда
f (х + п) — f (х + 0)
и
(Mj = const)
булади.
Шунингдек, шундай 62 >0 топиладики, 0< и< 62 булганда
и
-------< М2 (М2 == const)
sin ~
2
булади.
Агар 6 = min
дейилса, унда ихтиёрий n£N учун
Л. 8
2МгМ2
408
(21.32) ва (21.33) муносабатлардан, уе>
о учун
булади. Натижада (21.31).
> 0 олинганда хам, шундай п0 £ N топиладики, барча п
[/ „(/; х)|< е булиши келиб чикади.
Иккннчи интеграл
1
J
о
2 sin —
хам худди тунга ухшаш бахрланада ва ]l2n(f;x)]< е булиши топила-
ди. Демак, у е > О олинганда хам, шундай п0 £ N топиладики, барча
п >«о учун
ift-* + O)+/(x-O)J|< 28
булади. Бу эса
1 im F (/; %) = -L [ (% + 0) + / (х — 0)1
эканини билдиради.
Шундай килиб, / (х) функциянинг Фурье катори [—л, л] да я^ин-
лашувчи, унинг йигиндиси Т (/; х) эса (х + 0) / (х — 0) ] га
Теорема исбот булди.
Равшанки, теорема шартларини каноатлантирувчи /(х) функциянинг
узлуксизлик нукталарида
' т v. х) _ fb+0)+f(J,-0) = . (х)
булади.
х = ± л булганда ушбу бобнинг 1-§ ида айтилган ушбу
/(л + 0) = /(-л+0)-Дл-0)
тенгликлар эътиборга олинса, унда
409
яъни
Г(/; —л)
булади.
21.2-н ат и ж а. Агар 2л даврли /(х) функция 1 — л, л| да узлук-
сиз, булакли-дифференциалланувчи ва /(— л)==/’(л) булса, бу функ-
циянинг Фурье катори [—л, л| да якинлашувчи, йигиндиси
7Л; х) = /(х) (x€l—л, л])
булади.'1
Мне о л лар. 1. Ушбу
f (х) - х2
функцнянинг Фурье катори куйидагича
9
л2 cos 2 х
cos kx --- — — 4 (cos x — —-----------
i » Пл
/е=1
cos Зх
булишини курган эдик. Равшанки, х2 функция [—л,
шартларини цаноатлантиради. Шу натижага кура, [—л
якинлашувчи, йигиндиси эса х2 га тенг булади. Демак,
л2
cos kx — — — 4 (cos х -
л2
о___ ___
л] да ораликда 21.5-натижанинг
л] да унинг Фурье цатори
cos 2х ( Ciis Зх
92 ' Р.2
f (х) == cos ах (О
функцняни карайлик. Унинг Фурье
Я< 1)
ко эффициентлари
л
l1 , п sin ял
\ cos axdx — 2-----
j ?
1 ял
«о =
о
2
п
cos ах cos nxdx
я J
о
л
п
2а
О
si п а л
а2—п2
n '
булади. Демак, берилган функцнянинг Фурье цатори
ОС
2а sin ал VI
9
cos kx
sin ал
cos ах -------
ал
булади. Агар бу f(x)=cos ах функция 21.5-натижанинг шартларини бажаришини
эътиборга олсак, унда
оо
sin ял 2 я sin ял V
cos ах —-------
ял
—— cos kx
—k2
л
булишини топамиз.
Кейинги тенгликдан х — 0 дейилса.
sin ап Г 1
СП
О
L
«2—^2
410
яъни
sin ал а
а — k!
келиб чикади.
3. Куйидаги
f (л-) =
О,
агар —л х 0 булса,
агар О с х < л булса
функцняни царанлик. Бу функция юкоридаги 21.2-теорема шартини каноатлантари-
шини куриш цийин эмас.
Берилган функцнянинг Фурье коэффициентларини топиб, Фурье ^аторини ёзамиз:
Л
i f (x) dx — — -1
J л
—Л
о
=-
X*
—л 2
—Л
Демак,
x cos kx dx — — — x sin kx
k Л
—Л
О
1 С 1 1
— | sin kx dx — — (cos kn— cos 0) ~ — f ( — 1)^ — If.
kn J k^' 7 J 1
—л
arap k — то^ сон булса,
О, агар k — жуфт сон булса.
Энди bk коэффициентларни хисоблаймиз:
л О
1 Г 1
f (х) sin kx dx — — — | x sin kx dx — —
, 1°
cos kx
•л
= —
Л
— Л
k ——
Л
k
Шундай цилиб, х £ ( — л , л)
о
cos kx
COS k Л __ ( —
k k
оо
л
—л
учун
Co
/г=1
=m
/?=1
х = ± л да эса
T(f; - л) = Л/; л) =
булади.
1, агар — л
— 1, агар О
x < 0 булса,
x С л булса
*
функцняни 1<арайлик. Бу функция юкоридаги теореманинг шартларини каноатлантн-
ради. Берилган функцнянинг Фурье коэффициентларини ^исоблаб, унинг Фурье ца-
торини топамиз:
411
о
л
л
л
П d
о
ап
л
'Э
[ f (х) cos nxdx
cos пх
—л
л
х — 1 cos пх dx ~ 0 (п = 1, 2,
—тс
—л
0
sin п xdx =
sin п х d х — —
л
л
I sin пх dx —
/гл
—л
[cos 0 — COS ПХ ]+-
пл
—л
2
[cos пх — cos 0] = —
о
(cos пл — cos 0)=
л
о
о
п
Демак,
п л
° п
0, агар п — жуфт сон булса
, агар п — ток сон булса.
пл
Шундак килиб, берилган f (х) функциянинг Фурье катори
□о
2п — 1
n=i
л
sin Зх sin 5х
sin х4- —— + ——
о
булади ва унинг
ЙИГИндИСИ
/ (х), агар х £ (— л, л)\{0; булса,
7(~0) + /( + 0)
2
— 0, агар х = 0 булса
= 0, агар х — — л булса,
Ил-0) + /(л + 0)
----------- = 0, агар х = л булса
булади. 38-чизмада f(x) функциянинг ва унинг Фурье [каторининг х), F,(f; х)
ва F3 (/; .г) кисмий йигиндилари тасвирланган.
5- §. Кисмий йигиндиларнинг бир экстремал хоссаси.
Бессель тенгсизлиги
f(x) функция [а, Ь] оралицда берилган. Бу функция ва унинг
квадрата7'2(х) хам шу ораликда интегралланувчи булсин. Одатда бун-
да й функциялар квадрата билан интегралланувчи деб аталади.
412
Агар [ (х) функция \а, Ь] да квадрати билан интегралланувчи бул-
са, у шу ораликда абсолют интегралланувчи булади. Д'акикатан хам,
ушбу
Н(х)1с4(1+Г“«)
Art
тенгсизликдан фойдаланиб
о
I \(x)\dx
а
нинг мавжуд булишини топамиз. Бу эса /(д') функциянинг [д, Ь] да
абсолют интегралланувчи эканини билдиради.
Аммэ / (д) функциянинг абсолют интегралланувчи булишидан, унинг
квадрати билан интегралланувчи булиши кар доим келиб чикавермай-
ди. Масалан, ушбу
/ (х) = -р-
I X
функция (0, 1] да интегралланувчи, лекин
Р(х) = —
X
функция эса (0, 11 да иптеграланувчн эмас (каралсин, 1б-боб, 5-§).
Демак, квадрати билан интегралланувчи функциялар туплами, аб-
солют интегралланувчи функциялар тупламининг кисми булади.
функция [ — л, л] да квадрати билан интегралланувчи функ-
ция, Тп(х)— даражаси п дан катта булмаган тригонометрии купхад
булсин:
•/
п
тДх) = + У О*cos kx + Р/г sin ^)-
Равшанки, бундай купхадлар хам [— л, л] да квадрати билан .интег-
ралланувчи буладилар. Коши — Буняковский тенгсизлигидан
Г V(x)-7\(x)]2dx (2J.34)
— JT
интегралнинг хам мавжудлиги келиб чикади. Бу интеграл муанян f(x)
да сс0, «р рр а2, |32, . . . , ап, ларга боглик:
Л
/ —/(cz0, (Zp Bp сс2, р2, ...» ал, Рл) — | [ /' (х) Тп(х)]"&х.
—л
Энди куйидаги масалани карайлик. Шу коэффициентлар кандай
тан лаб олин ганда I энг кичик кийматга эга булади? Бу масалани х4ал
этиш учун юкоридаги (21.34) интегрални хисоблайлик:
л п л л
([/(X) - Tn(xW dx = ф(х) dx - 2 у (х) тп(х) dx + (х) dx (21.35)
—л — п —л —л
/(х) функция Фурье коэффициенлари учун
413
я
f f(x) cos kxdx, (k = 1, 2, . . .)
—Я
я
^/г= ~ f f (x) sin kxdx (k = 1, 2, . . .)
—Л
формулалардан фойдалансак,
Я
i / (*) Tn(x) dx =
—Я
n
У’11 _J
2 ‘
k=l
n
|3/? sin /?x)i dx
(21.36)
! n
I "2
булади.
Arap
9
n
я
i cos kxdx ~
sin kxdx — 0.
л
( cos kx sin kx dx = 0,
-Я
Л я
sin2 kxdx ~ i cos2/?xdx = л
—я —л
(каранг, ушбу бэбнш-ir 2- § ига) эканини эъгиборга олсак, у хрлда
ляп
dx =
(21.37)
булади. Юкоридаги (21.36), (21.35.), (21.37) тенгликлардан фойдаланиб
куйидагини топамиз:
л
f [f(x)~T^xXdx
t
—л
414
интеграл
^0 ^0’
— Д,,, (/? 1, 2, ... , /z),
=--• bk, (k = 1, 2, . . . , n)
булгандагина узининг энг кичик кийматига эришади ва у киймат
Шундай килиб, куйидаги теоремани исботладик.
21.3-теорема. f (х) функция [— л, л] да берилган, квадраты
билан интегралланувчи булсин. Даражаси п дан катта булмаган
барча тригонометрии купхадлар {7\(х){ ичида ушбу
\[Hx)-Tn(x^dx
—Л
интегралга энг кичик киймат берувчи купхад f(x) функция Фурье
каторининг п-кисмий йишндиси булади:
л л
min i |?(/) — T(x)]2dx = I Ц'(х) — F (/; x)]2dx =
Л '
(21.3S)
21.3-натижа. Агар f(x) функция [ — л, л] да квадрати билан
интегралланувчи булса, у .^олда бу функциянинг Фурье коэффиииент-
лари квадратларидан тузилган
X) -ОС
2, a-k ва 2. К
/г=1 k=l
каторлар якинлашувчн булади
о
ва куйидаги тенгсизлик уринлиднр:
(21.39)
Исбот. (21.38) муносабатдан п
р (х) dx — л
—
А:—1
415
яъни
п л
булади. Бу ерда п ни чексизликка интилтириб, келтирилгап натижани
ва тенгсизликни хосил киламиз.
(21.39) тенгсизлик Бессель тенгсизлиги деб аталади.
6- §. Яцинлашувчи Фурье цатори йигиндисининг функционал
хоссалари
Биз мазкур курснинг 14-бобида якинлашувчи функционал катор-
лар йигиндисининг функционал хосссаларини батафсил ургандик. Рав-
шанки, берилган функцнянинг Фурье катори функционал каторларнинг
хусусий хрлидир. Бинобарин, тегишли шартларда Фурье като|лари
йигпндилари хам 14-бобда келтирилгап хоссаларга эга булади. Куни-
ца уларни исботсиз келтирамиз.
f(x) функция [ — л, л] да берилган ва унинг Фурье катори
Т (J; х) = -у + (d^cos пх ~г bn sin пх) (21.40)
П=1
[ — л, л] да якинлашувчи булсин.
Г. Ф у р ь е катори й и f и н д и с и н и и г у з л у к с и з л и г и.
Агар (21.40) катор [— л, л| да текис якинлашувчи булса, у холда бу
каторнинг 7 (/; х) йигиндиси [ — л, л] оралицда узлуксиз функция
булади..
2°. Фурье каторни хадлаб интегра л лаш. Агар (21.40)
катор [—л, л] да текис якинлашувчи булса, у холда (21.40) катор
хадларини интегралларидан тузилган
х ь ь
1 £ч_ dx 9 Л t, “ -Л а п = yt (& — а) 4- кагор ( — л < а < Ь < ; га тенг булади, яъни h ' Т (f; .v) dx = »- а t b = C dXL dx J 2 a , я 1 cosfixdx + b \ sin nxdx ) = ИЕМ \ c t ‘ / — 1 a a { sin nb — sin fia , , cos na — cos nb \ L °" n +b- НИЯ \ 'c < n=l г) хам якинлашувчи булади ва унинг йигиндиси * t * *• * f т (/; х) dx а о 4- cos пх 4- sjn /2%) | dx С ^ЯЕ№В^ J 1 п~ 1 X 1) Ч- \ (ancos пх + bn sin пх) dx 1. n— 1 a
416
3°, Фурье кат op ин и хадлаб дифференциал лаш. Агар
(21.43) каторнинг хар бир хадининг хрсилаларидан тузилган
V (— «ansin пх + nbn cos пх)
катор ||— л, л] да текис якинлашувчи булса, у холда берилган Фурье
каторининг йигиндиси Т (/; х)) шу [ —- л, л] да Т'(ф х) хрсилага эга ва
Т'(/'; л')= V ( — пап sin /?х + nft^cos пх)
n=i
булади
Шундай килиб, умумий хрлдагидек /(х) функция Фурье катори йи-
гиндисининг функционал хоссаларини урганишда Фурье каторининг
текис якинлашувчи булиши мухим роль уйнаяпти. Бинобарин, Фурье
каторининг текис якинлашувчи булишини таъминлайдиган шартларни
аницлаш лозим булади.
Энди шу хакида теорема келтирамиз.
Ф у р ь е катор и н и н г тек и с я к и и л а ш и ш и. 21.4- т е о р е и а.
/ (х) Функция [— л, л| оралицда берилган, узлуксиз хамда f f—л) ~
~ i (Ф) булсин. Агар бу функция [—л, л] ораликда булакли-сил шк
булса> у холда f(x) функцнянинг Фурье катори
п— 1
[— л, л! ораликда текис якинлашувчи булади.
И с бот. Берилган f (х) функция Фурье катори (21.40) ншш хар
бир
ип (х) = ап cos пх + bn sin пх (/г = 1. 2, . . .)
хади учун
| ипК) | = I C0S ПХ+Ьп Sin ПХ i | а,1 I + 1X1
(и = 1,2, . , .) булади.
Энди
п~1
каторнинг якинлашувди булишини курсатамиз.
Фурье коэффнцнентлари
И ‘ л
’ I
а = | f(x) cos/zxdx, bn =— \ f (x)sin nxdx (7г = 1, 2, . . •)
Я J Л J
—JT —.1
ни карайлик.
Булаклаб пнтеграллаш кридасига кура
л л
ап= — V f{x) d i ^+1 = —• f (x) — sin пх I —
/! J \ tl ) П П I
417
л 71
i * ll1
------ /'(.v)sin».rrfx ------------------1 f'(x)sin nx dx, (21.41)
ПЛ t- П Л J
—Л —71
л л
J 1 I* r / \ j/cos/2.v\ 1 , 1
*>., =------\ f (*) d -------- =---------f(x) — cos nx -r
л J \ a / л n
-л -л
- ? , >'
+ — \ Г (X) cos nxdx =------------- ( — ])п[/(-1) — f( —7t)i -Г
ПЛ J /7Л
— 71
4----i / (,r) cos /ix dx.
ПЛ J
—71
Arap /( — л) = /(л) шартни эътиборга олсак, у холда
f'(x) cosnx dx (21.42)
-О
булади.
Г(х) шшг Фурье коэффициентларини ап ва Ь'п десак:
= -у С f'(x) cos nxdxf bn^= — f(%)sin/ZATtr (n =- 1, 2, . . .),
—Л — Л
у холда (21.41) ва (21.42) муносабатларга кура
ап ~ -Т (П 11 2’ • • • ^
булади. Натижада
4»
булишини хисобга олсак, унда ушбу
V */
+ + (21.43,'
“ \ / П2
'генгсизликка эга буламиз.
Шартга кура f' (у) функция булакли-узлуксиздир. Бинобарин, у
квадрати билан ингегралланувчидир. Шунинг ~ учун бу функциянинг
ап^ фУРье квэффициентлари Бессель тенгсизлигини каноатлантира-
ди, яъни
418
^+y\ian + bn}<-L\f’i^dX
2 \ / я J
П=1 —л
булади. Демак,
П=1
катор якинлашувчи.
ра ушбу
Унда якинлашувчи каторларнинг хоссаларига ку-
п=1
/
г 2
/
п2
(21.44)
катор хам якинлашувчи булади.
Юкорида келтирилган (21.46) тенгсизликка мувофпк
(21.45)
п=1
каторнинг хар бир хади (21.44) каторнинг мос хадидан катта эмас.
Таккослаш теоремасига кура (каралсин, 1-том, 11-боб, 8-§) (21.45)
катор якинлашувчи, демак,
п—Л
катор якинлашувчи булади.
Вейерштрасс аломатидан (14-боб, 2-§) фойдаланпб, (21.40) Фурье
каторининг — л, л] да текис якинлашувчи булишини топамиз. Теоре-
ма исбот булди.
7- §, Функцияларни тригонометрии купх;ад билан яцинлаштириш
Юкорида, 6-§ да курдикки, агар /(х) функция [—л, л] да узлук-
сиз, булакли-узлуксиз дифференциалланувчи булса, унинг Фурье като-
ри Г(х) шу ораликда текис якинлашувчи булади, яъни пиемий йигин-
дилар кетма-кетлиги {/ф(/; х)} шу /(х) функцияга текис якинлашади.
Текис якинлашувчиликнинг таърифига биноан, V £ >0 олинганда. х^ам
птундай /рб Дт топиладики, V/z>/z0 учун
sup I Fn(f- X) — /'(.v) I < £
—ГГ ; Л* П
(21.46)
булади. Бу эса юкорида айтилган шартларни каиоатлантирувчи функ-
цияларки исталган аниклпкда F„(x) тригонометрии купхад билан так-
рибаи алмаштириш мумкинлигипи ифодалайди.
Аммо 14-бобда келтирилган Вейерштрасс теоремасига кура ихтиё-
рий [бк б’; да узлуксиз функциями исталган аниклпкда алгебраик куп-
хад билан такрибан алмаштириш мумкин эди.
419
Табиийки, (21.46) уринли булиши учун /'(х) пинг [--л, л] да уз-
луксиз булишининг узи етарли булмасмикин, деган савол тугилади.
Бу саволга жавоб салбийдир. Хаттоки, узлуксиз функциянинг Фурье
катори, умуман айтганда, якинлашувчи булмай крлиши хам мумкин
экан (каранг, И.П. Натансон, Конструктивная теория функций, Мос-
ква, 1947, 7-боб, 3-§). Демак, Фурье каторлари кисмий йшиндила-
ридан, функцияларнинг бу, кенгрок синфи учун такрибий хисоблаш
аппаратлари сифатида фойдалана олмас эканмиз. Куйида биз i—л, л]
да узлуксиз ихтиёрий /(х) функция учун шундай тригопометрик куп-
хадлар {ол (/'; х)} кетма-кетлигнни тузамизки,
lim sup 1о(/; х) — /(х)| — О
П--> со —.*1 . X П
булади. Шуни хам таъкидлаймизки, бу тригопометрик купхадлар Фурье
крторлари кисмий йигиидилари ёрдамида осонгина тузнладп.
Фей ер йигиндиси. /(х) функция 1—л, л| оралнкда берилган
ва узлуксиз булсин. Бу функция Фурье каторининг кисмий йигиндиси
дан фойдаланиб, ушбу
О *) = — ff0(/; О + х) + Fx (/: х) — . . F }(f:, х)],
п
ЗД (21.47)
йигиндини тузамиз. Одатда (21.47) йигннди /(х) функциянинг Фейер
йигиндиси деб аталади.
/(х) функциянинг Фейер йигиндиси оп (/; х) тригонометрии купхад
булади. Хакикатан хам, Фурье катори ^исмий йигнндиларининг ифо-
далари
О (/; Л = ~~ + О; cos X + i>] sin X,
F2(h X)
— + ал cos x + bx sin x -p a2 cos 2x 4- b2 sin 2л,
(/i -Я = У" + ax cos x + bx sin x + . . . + cos (n—1) x +
+ X-1 sin 0 ~
га кура
°2 (/; О = v + ф «1cos x -г ф X sin x,
420
z.. \ ci о । 2 ,
•<) = 2 + —Я1СО5Х +
Л о
<зп X) = — 4- -—- av cos х + -—- bL sin x + ... + 2 a cos (n —
n 2 ti n n
n— I
< , 1 , • / n ^0 r "VI / n— k , , n — k t . , \
— 1) x 4— bn_{ sin (n — 1) x =------1- ▼ -------ak cos kx -t-------bk sin kx
ti 2 \ n. /
k - 1
булади.
Агар 3-§ да келтирилган (21.32) тенглик
F„(l, x) = l (n =0, 1, 2, . . .)
ни эътиборга олсак, унда (21.50) дан
о„(1;х)=1 (2148)
булиши келиб чикади.
(21.47) муносабатдаги Fk(j; х) (k == 0, 1, 2, . . . п — 1) нинг урнига
унинг ифодаси (каралсин, (21.28)
2 /с —}— 1
я sin——— а
Fk (/; х> == 4 I [f (х + и)+ f (х - и)]-—— du
Jt . e W-
о 2sin —
ни цуйиб куйидагнии топамиз:
п— 1 л
А’ I 0
2^+1
sin-----и
2 / 1
----------аи -
2sin—
Интеграл
муносабат
уринли. Хакикатан хам,
п—i ‘ I
sin t V s’n (2 k + == У sint sin(2 k 4- 1)( =
A - 0 0
• о
sirr
IV
“атижада / (x) функциянинг Фейер йигиндиси ушбу
42!
л
2 r
2
(21.49)
курпнишни олади. Бу ва юкоридаги (21.48) тенгликдан
Л
1=Д_ Г2 2 fsin п/ У rf' (21.50)
пл \ sin t I
о
булиши келиб чикади.
21.5-теорема (Фейер теоремасп). f (х) функция 1—л. л]
ораликда берилган, узлуксиз ва f(—л)=/(л) булсин. У холда
lim sup |стп (/; х) — / (х)| = О
П--*х —71 х л
булади.
И с бот. (21.50) тенгликнинг хар икки томоммни f(x) га купайтир-
сак, у хрлда
/ W
/' (*) (
булади. Бу ва (21.49) муносабатдан фойдаланпб, ушбуни топамиз:
(А *) —; (х) =
+ / (х — 2 /) —
di.
(21.51)
Модомики, шартга кура /(х) функция 1—л, л] ,да узлуксиз экан,
у Кантор теоремасига биноан текис узлуксиз булади. Демак, у е _> О
олинганда хам, шундай 6 = 6(e) >0 топиладикн, |х'—л"|< 26 тенг-
сизликни каноатлантирувчи Vx', х"С[—л, л] учун
&
I/ (х') - / (х")|
булади. Шу топилгэп 6 сонни олиб (уни 6< —
кин), (21.51) интеграции икки кисмга ажратамиз:
(21.52)
деб хисоблаш мум-
Gn(/; х) - (х) =--•/Ди, 6) + 7Д/7, 6),
бунда
6
1, (п, 6) - -- С r / (X+2 /) 4-/’ (X — 20 -2/ (х) 1! У dt,
п л J L j \ sin t /
о
422
rt/2 .
I An, o)=— f f/(x + 2/) + /(x-20-2/(a)]('^^')%«.
n л J L J \ sin t ]
Энди /’Д/у 6) ва /2(и, о) интегралларни бахрлаймиз. Юкоридаги (21.52)
муносабатни эътиборга олиб куйидагини топамиз:
\1Ап, 6)|<— f[l/(x + 2/)-/(A)l + l/(A--20-
- f W!
п л t
о
sin ntх
sin t t
(//
п лJ
о
Демак, V £ >0 олинганда
п л t
о
sin nt
sin t
|Z sill nt \2
\ sin t /
хам, шундай 6 > 0 топиладикн,
булади.
Энди /2(п, 6) интегрални бахрлаймиз.
Л/2
\12 (п, 6)1 < — f |/ (х + 2 /) + / (х - 2 0 -
барча
Л/2
• 4 М \
sin nt
sin/ i
/? л t
6
8
2
0
n Л
8 \
8
9
' 0
бунда М = max \[ (х)'. Равшанки,
_ >* • <“
— Jfc "
sin nt \2
sin t /
sin2 6
л
булади. Натижада Z2(/?, 6) учун
бахрга эга буламиз.
килиб олинса, унда
ушбу |Л (п, 6)| < 2-
п л sm2 о
Агар натурал п сонини п
2 м р
—7ГТ<Т 63 ’ демаК’
п sin- о 2
2
zz0 =
булади.
ладикк
”ппга кура шундай /г0 топиладикн, у/г >
• ‘-ч
ди. Бу тасдикларни бирлаштирсак, V 8 >
ладики.
Демак, lim sup |оп(/; х)— /(х)--
О олинганда хам шундай 6 = 6(e)>0 топи-
,и. Ва шу в >0 ва 6 ---6(e)
/?0 учун |/2^, 6)1 < бул-
0 учун шундай /?0 Е топн-
л] учун |сгга (/; х) — / (л-)| < <? булади-
0. Теорема исбот булдн.
П-»оо — ЛЧХ-.Л
Натижада, функцияни тригонометрии купхад билан якннлаштириш
хакидаги куйидаги теоремага келамиз.
О’
423
21.6-теорема (Вейерштрасс теоремаси). Агар f (х) функ-
ция [— л л]да берилган, узлуксиз ва f (— л) = f (л) булса, у холда
шундай ^п(х) тригонометрии, куп^ад топиладики,
{J/ 2 пх е
2
пх2
1.
2 Л'2
булади.
lim sup (х) - / (х)1 = О
П-*со — Л
2
кетма- кетлик f (х) = 0 функцияга [0. 11 да уртача я^инлашмайди, чунки
и
—у"*’
, 2 _ op dx =
8- § Уртача яцинлашиш. Фурье каторининг уртача яцинлаш^шк
о
о
Функционал кетма-кетлик ва каторларда текис якинлашиш тушун-
часи билан бир каторда, ундан умумийро^ — уртача якинлашиш тушун-
часи хам киритилади.
1. Уртача якинлашиш. [а, Ь] ораликда бирор (х)}:
d (пх2) = (1 — £ п),
Л W, /2(х), . . . , 4(A), . . . (21.53)
функционал кетма- кетлик ва / (х) функция берилган булиб. f (х) (п =
— 1, 2, . . .) хамда /(х) лар шу ораликда квадраты билан интеграл-
ланувчи булсин.
21.2-таъриф. Агар
ь
Jim \[/n(x) — f(x)]2dx = 0
п~*=о а
।
булса у .холда (21.53) функционал кетма-кетлик /(х)
да уртача якинлашади деб аталади*.
М и с о л л а р. 1. Ушбу fn (х)} ~~ (хп ;:
х, х~, . . . , л ....(хе
функционал кетма- кетлик
•1 W*
= агар хе [0. Г) булса.
U, агар х = 1 булса
функцияга [0. 1] да уртача якинлашади. Хакикатан дам.
функцияга \а^Ь]
/
[а,
да
• —nr2 1 Г Л~ПХ2
=: 5 2 пх е dx=\ е
"с °
J —— пх1
‘______2
lim | [} 2 пх е
п 0
21.7-теорема. Агар (21.53) функционал кетма-кетлик I(х) га
Ь] да текис яцинлашса, шу (21.53) кетма- кетлик / (х) га [а, о]
уртача якинлашади. I
И с бот (21.53) кетма-кетлик [ (х) га текис якинлашсин.
Таърифга биноан, уе >0 олинганда хам шундай n0^N топиладики,
уп >Г2О ва ух С [а, Ь] учун бир йула <
Ип Ю -
£
Ь — й
булади. Демак, фп >/г0 учун
К IL W - / « dx\ < f «1 - / (Д2 dx
| । ’ /4 4 •
1
5
ва, демак, lim I гхп — opdx — 0.
о
булрр?’ Ьу эса
* К V я
I Нт П4(х) — /(x){3rfx = 0
Li удирали. Демак, {fn(x)\ кетма-кетлик f(х) функцияга \а, Ь]
I’ayj якинлашади. Теорема исбот булди. „
! ^слатма. Функционал кетма-кетликнинг [а, Ь] да уртача
crw J гнишидан, унинг шу ораликда текис якинлашиши хар доим ке-
либч! ^веРма^Ди- Масалан, юкорида курдикки ! fп (х) i = {^n / кетма-
кетлик
Мвикрок айтгянда, киритилган якинлашишни, одатда урта квадратик якинлашиш
деб аталади.
м (0, агар х G [0, 1) булса,
л (1, агар х = 0 булса
425
424
функцияга [О, 1] да уртача яцинлашади. Бирок бу функционал кетма-
кетлик шу / (х) функцияга [0,1] да текис якинлашмайди (царалсин,
14-боб, 2-§).
Юкорида келтирилган теорема ва эслатма функционал кетма- кет-
ликларда уртача яцинлашиш текис яцинлашиш тушунчасига Караганда
кенгрок тушунча эканини курсатади.
21.3-эслатма. Функционал кетма-кетлик [а, Ь\ да якинлашишидан
[(я, Ь) нинг хар бир нуцтасида якинлашишидан) унинг шу ораликда
уртача якинлашиши келиб чицавермайди. Шунингдек, функционал кет-
ма-кетликнинг [о, Ь] да уртача якинлашишидан, унинг шу ораликда
якинлашиши ([а, Ь\ нинг хар бир нуктаснда якинлашиши хам келиб
чиказермайди.
—~ пх2
М и сол. {fn Wj — J 2 п х е функционал кетма-кетлик f (х}~ 0 функ.
цияга [0, 1] да якинлашадп ([0, 1] ораликнинг хар бир нуктаснда якинлашадп):
---—ПЛ'2
lim in (х) = lim | 2 п хе " = 0 ~ / (х).
Бу кетма-кетликнинг f (х) = 0 функцияга [0, 1] да уртача якиилашмаслиги курса -
тилгак эдн.
Энди бирор ораликда уртача якинлашадиган, бирок шу ораликда я^инлашмай-
диган функционал кетма-кетликка мисол келтирамиз.
[9, 1] ораликни п та тенг булакка ажратамиз:
п— 1
[0,11- U
/г=0
бунда
(7г = 0, 1, 2, .... и — I).
Куйидаги
<?п(к, х) = 1, агар х^\п (/г),
Фп (к, х) — 0, агар [0,1]\Дп (k)
(k = 0, I. 2, . . . , п—1) функциялар ёрдамида ушбу функционал кетма-кетликки
тузамиз:
fi W — Ф1 (0. х),
f.2(x) = ср2(0, х), М*) — <р20> / I
[fi (^) = Фз (°’ МЛ /о (Л = Фз Л, х), I
{ Д.д'х)! функционал кетма-кетлик /(?<)== 0 функцияга [0, 1J ора
якршлашади. Хакицатан хам,
1 1 - Г
Нт f [fm (х) — f (х)12 dx =---- lim j Cv) ах =
1 п j
= lim | [фп (7г, х )]2 dx -= lim i 1 dx ~ lim — — 0
m—'f, fl
нал деб ата*
426
( { fm Wj функционал кетма-кетлик хадларининг тузилиши коидасига кура (х) =--
= фл (k х) булиб, т->оо да ц->оо булади.)
Бу {fm (х)} функционал кетма-кетлик f (х) = 0 функцияга [0, 1] оралихнинг
хар бир нуцтасида якинлашмайди. ^аки^атан хам. Л>хб [0, 1] нуцта учун т нинг
чексиз куп кийматлари топиладики, fm (х) — 1 булади, т нинг чексиз куп киймат-
лари топиладики, fm (х) = 0 булади.
Функционал каторларда хам уртача якинлашиш тушунчаси шунга
ухшаш киритилади.
[о, Ь] ораликда
V uk(x) = «Дх) -г и2(и) 4- . . . 4- uk(x) 4- . . . (23.54)
*=i
функционал катор берилган булсин. Бу катор кисмий йигиндиларм
п
Sn W = Uk(X) = и1 W + U2 (*) + • • • + Un W
*=!
дан нборат {Sn (х)} функционал кетма-кетликни карайлик.
21.3- та ър иф. Агар
lim j* [Зл (х) — S (х)12 dx- О
булса, у холда (21.54) функционал катор S(x) функцияга [а, Ь] да ур-
тача яцинлашади деб аталади.
2. Фурье каторининг уртача якинлашиши. f (х) функ-
ция [—л, л] да берилган. Т (f; х) эса унинг Фурье катори
Т (/; а) ~ -у + У (ak cos kx + bk sin kx)
булсин.
21.8-теорема. Агар / (x) функция {—л, л] ораликда узлуксиз ва
/'(—л) —/(л) булса, унинг Фурье катори [—л, л] да f (х) га уртача
якинлашади.
И с бот. Шартга кура /(х) функция [—л, л] да узлуксиз ва j (—•
— л)—/(л). У >;олда ушбу бобнинг 7-§ ида келтирилган Вейерштрасс
теоремасига асосан, V 8 > 0 олинганда хам, шундай тригонометрии
купхад S*n(x) топиладики, Ух£[—л, л] учун
I / (х) - (л) I < j/
бслади. Бу тенгсизликдан фойдаланиб
л. л
!/(-v) — ^n(x')]2dx< ~— i dx — & (21.55)
-i J 2л J
— Л —Л
’ ;ши топамиз.
’'-ши, / (x) функция Фурье каторининг цисмий йигиндиси
ЧУ) — F (/;х)]2 dx = min [/(х)—Т (х)]2 dx (21.56)
i-501 427
Бу тенглик ёрдамида Fn (/; х) йиринди куйидагича ифодаланади:
« sin (2л -г 1) • —-—
Fn = Т \ ' -------~г--------~ dL
2 л J t — х
_ л sin-------—
2
(21.27)
(21.27) тенгликнинг унг томонидаги интеграл / (х) функциянинг
Дирихле интеграли деб аталади.
Шундай килиб, f (х) функция Фурье каторининг кисмий йигиндиси
Fn (/; х) параметрга боглик (21.27) куринишдаги интеграл (Дирихле
интеграли) дан и борат экан.
/* (х) функция / (х) функциянинг (— оо, + оо) га даврий давоми
булсин. Бинобарин, (х) функция (— оо, 4- оо) да берилган, 2 л, давр-
ли, I—л, л) да абсолют интегралланувчи функциядир. К^улайлик
учун биз цуйида / (х) функциянинг узини (-- оо, + оо) да берилган,
2 л даврли, [ — л, л) да абсолют интегралланувчи функция деб хнсоб-
лаймиз ва /* (х) урнига /' (х) ни ёзиб кетаверамиз.
(О
>in (2п
dt интегралда i^x + u
sin
алмаштириш киламиз. Интеграл осгидаги функция 2 л даврли функ-
ция булганлиги сабабли, бу алмаштириш натижасида интеграллаш
чегараси узгармасдан колади (ушбу бобнинг 1-§ ига ^аралсин).
Натижада
и
булади. Бу иитегрални ушбу
икки кисмга ажратиб, унг томондаги биринчи интегралда и узга)зув-
чини — и га алмаштирамиз. У холда
z 1
. siii |
Fn X) — — i |/ (х Ч- и) +f (х — и)\ —-du (21.28)
л ,J . и
п 9 < 1 ’ 1 —
404
булади. Дирихле интеграли Fn (J; х) нинг бу куринишидан келгусида
фойдаланилади.
Хусусан, / (х)=1 булса, (21.28) муносабатдан
du (п = 1,2, . . .)
(21.29)
булиши келиб чикади. Хакикатан хам, бу холда
а0 =2, ^ = Ь1( = 0 (Z? = 1,2, 3, . . .)
булиб,
булади.
Fn(l; х>1
4- §. Фурье цаторининг яцинлашувчилиги
Энди берилган f (г) функция цандай шартларни бажарганда, унинг
Фурье катори якинлашувчи булишини топиш билан шугулланамиз.
1. Л о к а л л а ш т и р и ш и р и н ц и п и. Юкорида келтирилган Дирих-
ле интеграли
цуйидаги мухим хоссага эга. Ихтиёрий б(0<6<л) сонни олиб,
(21.29) интегрални икки цисмга ажратамиз:
Ь sin/rz-p—-ja
Fn х) =1 f и <х + «) + f (* -’«)] —-------------— du +
nJ . и
о . 2 sin у
sin
Унг томондаги иккинчи
с
д
-----— du
г. U
2 sin —
2
интегралнинг п-^ ос да лимити мавжуд ва нолга тенг. ^а^икатан хам
берилган [ (х) функция [-—л, л) да, ва демак, [6, л) да абсолют ин-
тегралланувчи булганлигидан
405
(S3) сирт ясовчилари Oz укига параллел булган цилиндрик сирт
булганлигидан
| j R (х, у, г) dxdy = 0 (20.24)
'(S2)
булади. (20.23) ва (20.24) муносабатлардан
j J dxdydz = J Jr (х, у, z) dxdy+ J j R (х, у, г) dxdy +
(V) " (Sj) (S2)
-г | | R (x, y, z) dxdy = (x> У> dxdy
1%) "(X)
булиши
Демак,
келиб чикади. Бунда (S) — (V) жпсмни ураб турувчи сирт.
у у— dxdydz = фф R (х, у, z) dxdy.
"(S)
тегишли
Худди шу йул билан, (V) хамда Р (х, у, z), Q (х, у, z) лар
шартларни каноатлантирганда цуйидаги
(Ю
(S)
(К)
(20.26)
(20.27)
формулаларнинг тугрилиги исботланади.
Юкоридаги (20.25), (20.26) ва (20.27)
куйидагини топамиз: i i 1 ~
JJJ \ Ух
(V)
тенгликларни
dQ (х, у, г)
Уу
хадлаб
к ушиб
f.
3R (х, у, г) '
г “
UZ
4- R (х, у, z) dxdy.
Q (х, у, z) dzdx +
Бу формула Остроградский формуласи, деб аталади.
21-БОБ
ФУРЬЕ ЦАТОРЛАРИ
Биз юкорида, курсимиз давомида, мураккаб функцияларни улардан
соддарок булган функциялар оркали ифодалаш масалаларига бир неча
марта дуч келдик ва уларни ургандик. Бу со^адаги классик масалалар-
дан бирн — функцияларни даражали ^аторларга ёйишдан иборат булиб,
у мазкур курснинг 13-бобида батафсил урганилди.
Агар каралаётган функциялар даврий функциялар булса, табиийки,
уларни соддаро^ даврий функциялар билан ифодалаш лозим булади. )^ар
бир хдди содда даврий функциялар булган функционал цаторларни ур-
ганиш мураккаб даврий функцияларни соддарок даврий функциялар
билан ифодалаш масаласини хал этишда му хим роль уйнайди.
382
Ушбу бобда, хар бир ^ади махсус даврий функциялар булган функ-
ционал каторлар—Фурье ^аторларини урганамиз.
Фурье каторлари назарияси математик анамизнинг чукур ва кенг
урганилган булими булиб, унинг амалий масалаларни хал цилишдаги
роли каттадир. Бу сохада жуда куп илмий изланишлар олиб борилган
ва мухим натижаларга эришилган.
Виз куйида Фурье ^аторлари назариясининг асосий тушунчалари,
методлари ва ютуцлари билан дастлабки тарзда танишамиз.
1- §. Баъзи мух,им тушунчалар
Ушбу параграфда келгусида керак буладиган баъзи му\им тушунча-
ларни — функцияларни даврий давом эттириш, гармоникалар хамда бу-
лакли- узлуксизлик, булакли- дифференциалланувчилик тушунчаларини
келтирамиз.
I. Функцияларни даврий давом этгириш. /(х) функция
а, Ь] ярим интервалда берилган булсин. Бу функция ёрдамида куйи-
даги
(х) — f (х — (Z? — а) т), х С (a -f- m(b — а), b т(Ь — а]
(т-0, ±1, ±2, . . .) (21.1)
функцняни тузамиз. Равшанки, энди /* (х) функция (—оо, +оо) ора-
ликда берилган ва даврий функция булади. Унинг даври TQ~b — а га
тенг. Бу бажарилган жараённи функцияни даврий давом этпгирши
дейилади.
Агарда берилган f(x) функция (а, Ь] да узлуксиз функция булса ва
f (а + 0) = lim /(х) = f(b)
булса, у холда давом эттирилган /*(х) функция (—оо, +00) да узлук-
сиз булади.
Масалан, /(х)—2|/ х(1—х) функцняни даврий давом эттиришдан
хосил булган функциянинг графиги 29-чизмада тасвирланган.
Агарда берилган f(x) функция (<з, Ь] да узлуксиз функция булса ва
f(a + 0) = hm f(x)^f(b)
булса, равшанки /в(х) функция х = а-^- tn(b — а) (т = ±1, ±2, . . )
нукталарда узилишга эга булади.
Масалан, (— 1, 2] ораликда берилган /(х)=х2 функциянн даврий
давом эттиришдан хосил булган функциянинг графиги 30-чизмада тас-
вирланган.
29- чилма.
383
30- чизма.
/(х) функция [ц, Ь) ярим интервалда берилган булса, уни даврий
давом эттириш х,ам юкоридаги сингарн бажарилади:
/*(х) = /(х — (b — а)т), xQ[a + m(b — а), Ь + т(Ь — а)
(т =0, ±1, ±2, . . .).
Агарда /(х) функция (а, Ь) да берилган булса, уни (—сю, +«>)/
/{а + т(Ь — а); т = 0, ±1, ± 2, . . .} — X* тупламга даврий давом
эттириш мумкин:
ГWI= / (•* — (Ь — а)т), х£(а + т(b — а), b + m(b — а))
(т = 0, ±1, ±2, . .
Изох. /(х) функция [а, Ь] да берилган булса, уни (—оо, -фоо)
га, умуман айтганда, икки хил даврий давом эттириш мумкин:
/* W — / С* — (Ь — а) т), xg (а 4- m(b — a), b + m(b — a)]
(m = 0, ± 1, ± 2, . . .),
/**(x) = f(x — (b—a)m), xQ[a + m(b — a), b + m(b— a))
(m = 0, ±1, ±2, ...).
21.1-лемма. /(x) функция (a, b] ораликда берилган ва tj шу
ораликда интегралланувчи булсин. У холда f(x) ни (—оо, + сю) га
даврий давом эттиришдан уосил булган f*(x) функция ихтиёрий
(а, а-ЦЬ—а)] да интегралланувчи булади еал
a-r(b-a) b
С /*(x)’dx|= [/(x)’dx (*)
«
формула уринли булади.
И с бот. Шартга кура 7(х) функция (а, £>] да интегралланувчи,
f* (х) функциянинг тузилишига биноан (царалсин, (21.1) унинг а, а+
-)-(6—а)] (\paQR) да интегралланувчи булишини топамиз.
Аник интегралнинг хоссасига кура
а+О-а)
а
f* (х) dx =
а b а-Н^-й)
f* (х) dx + /* (х) dx + ) f*l(x) dx
а а b
(21.2)
384
булади. Равшанки, fe] учун f*(x) =f(x). Демак,
ь ь
У f* (х) dx = J f (х) dx.
а а
Энди
ссД- (Ь—а)
/* (х) dx
«
ь
интегралда х = у + (Ь — а) алмаштиришни бажарамиз:
а-}-(Ь— а) а а а
J f*(x)dx = f/*(y + (& —a))di/= (f*(y)dy = — \f*(y)dy.
ba a a
Натижада (21.2) тенглик ушбу
a-f-(b—о) b
( f* (x)dx — ( f (x) dx
V kJ
a a
куринишга келади. Бу эса 21.1-леммани исботлайди. Бу леммадагм
(*) формула содда геометрик маънога эга: [31- чизмадаги штрихлангак
юзалар бир- бирига тенг.
2. Гармоника лар. Ушбу
/(х) = А • sin (ax + Р) (21.3
функцияни царайлик, бунда Л, a, р— узгармас сонлар. Бу даврий
2эт
функция булиб, унинг даври Т —— га тенгдир. Хакикатан хам,
а ...
А sin а х +
+ f> = Л • sin [(ax + Р) + 2л] =
= А • sin (a х + р) — f (х).
Бу / (х) = А • sin (a х + р) функция гармоника деб аталади.
Гармоникалар математика ва унинг татбикларида, физика ва техни-
када куп учрайди. Масалан, массаси m га тенг булган М нуктанинг
тугри чизик буйлаб ОМ (ОМ — s) масофага пропорционал булган F =
— — ks куч таъсири остидаги ^аракати (тебранма харакати) s = s (/) ни
топиш ушбу
31- чизма.
25—501
385
дифференциал тенгламани ечишга келади. Бу тенгламанилг ечими гар-
моникадан иборат булади.
Берилган
f (х) — А • sin (а х + Р)
гармониканинг графиги, у = sin х функция графигини Ох ва О у укутар
буйича сициш (чузиш) хамда Ох уки буйича суриш натижасида хрсил
булади. Масалан,
f (х) = 2-sin(2x + 1)
гармониканинг графигини ясаш жараёни ва унинг графиги 3 2-чизмада
тасвирланган.
Тригонометриядан маълум булган формуладан фойдаланпб, гармо-
никани куйидагича ёзиш мумкин:
f (х) = А • sin (а х -ф- р) = А • (cos а х • sin р -р sin а х cos 3).
Агар
A-sinp = a, A-cosp = b
деб белгиласак, унда гармоника ушбу
f (х) == a cos а х + & sin а х (21.4)
куринишга келади.
Демак, хар кандай (21.3) гармоника (21.4) куринишда ифодаланади.
Аксинча, хар кандай (21.4) куринишдаги функция гармониками
ифодалайди. Шуни исботлаймиз. /(х) = a cos ах 4- б sin а х булиб, а ва
b лар узгармас булсин. Уни куйидагича ёзиб оламиз:
f (х) — a cos а х + b sin ах — у а- + Ь-
cos а х -{-
Агар
b 1
+ ,/"Д 4,/ sin а х
у Cfi -р 0“
дейилса, у холда
/ (х) — А • [sin [3 cos а х + cos р sin а х] = A sin (а х + Р)
б^лишини топамиз.
Биз юкорида гармоникалар содда даврий функциялар булиб, улар-
нинг графиклари у = sin х функция графиги характерига эга булишини
курдик.
Аммо бир нечта (турли) гармоникалар йигиндисини олсак, у х^м
даврий функция булсада, аммо анча мураккаб функция булади, графи-
386
32- чизма
387
33-чизма
ги эса у = sin х функция графиги
характеридан бир мунча. фар1\ ци-
лади. Масалан, учта турли гар-
моникалар:
4 4
— —sinx,---------— sin3x,
л Зл
— — sin 5х
5 л
йигиндисидан иборат ушбу
4 / 1
Ф (х) =----j sin х 4——sin Зх +
Л \ d
1 • г
4- — sin 5х
5
функция графигини царайдиган булсак, у 33- чизмада тасвирланган бу-
либ, у = sin х функция графиги характерига ухшамайди.
3. Бу лак ли-уз луксизлнк в а булакли-дифференциал-
ланувчилик. f(x) функция [а, 1>] ораликда берилган булсин. Маъ-
лумки, бу функция у х G(o, b) нуктада узлуксиз булса, \амда а нук-
тада унгдан, b нуктада чапдан узлуксиз булса, у холда / (.с) функция
[а, 6] сегментда узлуксиз дейилар эди.
Энди f (х) функциянинг [о, /?] да булакли-узлуксизлиги тушунчаси
билан танишамиз.
Агар [а, 6] ораликни шундай
[а^], [aYa2], . . . , ап] (а0 = а, ап = Ь)
булакларга ажратиш мумкин булсаки,
([а, д] = [а0, а,] U [а„ а2] IJ ... U [ап_Р а„1)
хар бир (ak, ak^)k = 0,1, 2, . . ., п —-1) да f(x) функция узлуксиз
булса, х.амда x = ak нукталарда чекли унг j\a, 4-0) (4 = 0, 1,2, . . . ,
п — 1) ва чаи f(ak — 0) (4= 1,2.....п) лимитларга эга булса, у уол-
да f(x) функция [а Ь] да булакли-узлуксиз деб аталади.
Бошкача айтганда, агар / (х) функция [а, Ь] ораликнинг чекли сон-
даги иукталаридан бошка барча нукталарида узлуксиз булса ва шу
чекли сондаги нукталардаги узилиши эса биринчи тур узилиш булса,
функция [а, Ь] да булакли-узлуксиз деб аталади. f(x) функция [а, й]
да берилган ва узлуксиз булсин. Равшанки, бу функция [а, Ь] да бу-
лакли-узлуксиз булади.
Ми со л. Ушбу
х3, агар 0 х< I булса,
0, агар х = I булса,
—х, агар 1 < х 2 булса
функцняни карайлик. Агар [0, 2] орали^нл [0, 1] за [1,2] булакларга ажратсак
[0, 2] = [0, 1] U [1,2]), у ^олда [0, 1) ва (1,2] булакларда берилган функция уз-
388
луксиз, х = 1 нуктада эса чекли унг ва чап
1(1+ °) = ИтДх) =— 1, /(1—0) = lim f (х)=1
х->1-г0 z-Л—О
лимитларга эга булиши топилади. Демак, берил-
ган функция [0, 2] ораликда булакли-узлуксиз-
дир (34- чизма).
Агар /(х) функция (— ос, + оо) да
берилган булиб, унинг истаяган чекли
[а, р] кисмида ([а,р]сг(— оо, 4- оо)), бу-
лакли-узлуксиз булса, у \олда / (х) функ-
ция (— оо, -ф- оо) да булакли-узлуксиз
деб аталади
Айтайлик. /(х) функция (а,Ь] да бе-
рилган ва булакли-узлуксиз булсин. Бу
функцняни (—ос, оо) га даврий давом
эттиришдан хрсил булган / * (х) функция
(—оо, 4-ос) да булакли-узлуксиз булади.
Масалан, /(х) = х(х£( — л, л] булсин.
34- чизма
Бу функцняни (— , 4- оо)га
даврий давом эттиришдан хрсил булган функциянинг графиги 35-чизма-
да тасвирланган.
Энди булакли-дифференциалланувчилик тушунчаси билан танишамиз,
/‘(х) функция Ь\ да берилган булсин. Маълумки, бу функция
Vx£(n, &) нуктада дифференциалланувчи булса, хамда унинг а нукта-
да унг хрсиласи
/' (а 4- 0) Нт
х-+а 0
; (х) [ (а)
х — а
Ь нуктада чап хрсиласи
f (b -- 0) lim -—-—-—-
х->Ь—Ъ X — b
мавжуд ва чекли булса, у .холда f (х) функция {а,Ь\ сегментда диф-
ференциалланувчи дейилар эди.
Агар \а, Ь\ ораликни {а, Ь] = [ац, о-,] U («к а2] и • • U [ап=1, ап]
буладиган шундай [а0, aj, [йр aj, . . . , [an_v aj (а^~а, ап= b) булак-
ларга ажратиш мумкин булсаки, кар бир (ak, afeJ_[) да (k — 0, 1, 2 . . .,
35- чизма
389
36-чизма
37- чизма
п — 1) функция дифференциалланувчи булса хамда х — ак нукталарда
чекли унг f (ak + 0) {k = 0, 1,2, . . . , п. — 1) ва чап /' (ак — 0) (k —
= 1, 2, . . . , /г) хосилаларга эга булса, у холда f(x) функция [а, Ь}
да булакли-дифференциалланувчи деб аталадн.
Бошкача айтганда, агар f (х) функция [а, ораликнинг чекли сон-
даги нукталаридан бошка барча нукталарида дифференциалланувчи бул-
са ва шу чекли сондаги нукталарда чекли бир томонли хосилаларга
эга булса, функция [а, да булакли-дифференциалланувчи деб ата-
лади.
f (д) функция \а, Ь] да берилган ва дифференциалланувчи булсин.
Равшанки, бу функция [а, да булакли- дифференциалланувчи бу-
лади.
Мисо л. 1. Ушбу
X2,
/ (х) =|] 2 — х,
агар 0 х < 1 булса,
агар 1 х< 2 булса,
агар 2 <7 х булса
функцияни карайлик (36-чизма). Агар [0, 3] Ьэраликни [0, 1], [ 1, 2], [2. 3] булак-
ларга ажратсак, унда [0, 1) (1, 2,) ва (2, 3] ларда / (х) функция дифференциалла-
нувчи булиб, х = 1, х = 2 нукталарда эса чекли унг ва чап хосилалар
Г (1 —0)=-2, Г (1+0)--1, Г(2-0) = -1, /'(2 + 0) = 1
га эга булишини топамиз.
Демак, f (х) функция [0, 3] да булакли- дифференциалланувчи.
2. Ушбу
( х2, агар 0^х< 1 булса,
2, агар 1 ^х<2 булса,
(х—З)2, агар 20^ 3 булса
функцияни карайлик (37-чизма). Агар [0, 3] ораликии [0, 1], [1, 2], [2, 3] булак*
ларга ажратсак, унда [0, 1], [1, 2], [2, 3] ларда ф (х) функция дифференциалланув-
чн булиб, х = 1, х — 2 нукталарда эса чекли \ нг ва чап хосилалар
Г (1 - 0) - 2, f' (1 + 0) = 0, /' (2 - 0) - 0, Г‘ (2 + 0) - - 3
га эга булишини топамиз. Демак, ф (х) функция [0, 3] да булакли-дифференциал-
ланувчи.
390
Юкорида келтирилган таъриф га мисоллардан, \а, Ь] ораликда бу-
лакли- дифференциалланувчи функция шу ораликда булакли- узлуксиз
функция булишини куриш мумкин.
Агар / (л) функция (— оо, 4- сю) да берилган булиб, унинг истал-
ган чекли [a, (3] (Jcz, р) ст (— оо, 4- оо)) кисмида булакли-дифферен-
циалланувчи булса, у холда f (х) функция (— со, 4- оо) да булакли-
дифференциалланувчи деб аталади.
/ (х) функция (а, Ь] да берилган ва булакли- дифференциалланувчи
булса, уни (— се, 4- оо) га даврий давом эттиришдан хрсил булган
(х) (— сю, 4- оо) да булакли-дифференциалланувчи булади.
/(х) функция [п, Ь] да берилган булсин. Агар [а, £>] ораликни [я, Ь] =
= U |flj, аД U • . . U оп] буладнган шундай [п0, nJ,
п2|, . . . , l4n_p ап] (п0 == я, (in ~ £*) булакларга ажратиш мумкин
булсаки, .хар бир [ak, ^_u{) да (k = 0, 1, 2, . . . , /? — 1) функция f (х)
хосилага эга ва бу хрсила узлуксиз булса хамда х = ak нукталарда
чекли унг f (xk 4- 0) (k = 0, 1,2,... , п — 1) ва чап f' (ak — 0) (k --
= 1, 2, . . . , л) хосилаларга эга булса, у холда f (г) функция [□, Ь]
да булакли- силлик деб аталади.
Бошкача айтганда, агар /(х) функция [а, Ь] ораликнинг чекли сон-
даги нукталаридан бошка барча нукталарида f' (х) хосилага эга ва бу
хосила узлуксиз булса хамда шу чекли сондаги нукталарда чекли бир
томонли хосилаларга эга булса, функция [а, Ь] да булакли-силлик деб
аталади.
2- §. Фурье каторининг таърифи
Виз мазкур курснинг 14-бобида
ос
V ип (х) = «] (х) 4- и,(х) + ... + Ип (х) + . . .
П=1
функционал каторни батафсил ургандик. Энди хар бир >;ади
мп(х) = ап cos пх + Ьп sin пх (п 0, 1, 2, . . . )
гармоникадан иборат ушбу
+ V (ап cos пх 4- bn sin пх) (21.5)
n=i
хусусий функционал каторни карайлик.
Одатда (21.5) катор тригопометрик катор деб аталади.
п0, а2, Ь2, . . . сонлар ~са тригсномтрик каторнинг козф-
фициентлари дейилади.
Шундай килиб, тригонометрии катор гарчанд функционал катор
булса хам (унинг хар бир хади муайян функциялар булганлиги учун)
уз коэффипиентлари ^0, а2, Ь2, .... Ъп, . . . лар билан туда
аницланади.
(21.5) тригонометрии каторнинг кисмий йигиндиси
п
ТП О') = «о + V Ok cos kx + i'* Sin kx)
&=1
тригонометрии купхад деб аталади.
391
1. Фурье каторининг таърифи. f (х) функция I— я, я] да
берилган ва шу ораликда интегралланувчи булсин. У холда
f (х) cos их, [ (х) sin пх (п = 1, 2, . . .)
функциялар хам, иккита интегралланувчи функциялар купайтмаси си-
фатида (каралсин, 1-кием, 9-боб, 7-§) ] —я, л] да интегралланувчи
булади. Бу функцияларнинг интегралларини хисоблаб, уларни цуйида-
гича белгилайлик:
л
I с
(х) dx,
а„ — — f f (х) cos nxdx (ft = 1, 2, ... ),
• * <TT 1
(21.6)
«к
Бу сонлардан фонда лани б ушбу'
Т If-. х\ ..
(а„ cos пх + b sin пх)
'•it ii> 7
(21.7)
П== I
2
тригопометрик каторни тузамиз.
21.1-таъриф. а-3, Ь,, а>, Ь2, . . . коэф^ициентлари (21.6) фор-
мулалар билан аникланган (21.7) тригонометрии катор f(x) функция-
нинг Фурье капгпри деб аталади. а(), b{, .... ап, Ьп, . . . сон-
лар эса f(x) функциянинг Фурье коэффициеншлари дейиладн.
Демак, берилган функциянинг Фурье цатори шундай тригопометрик
каторки, уьпшг коэффициентлари шу функцияга боглик булиб, (21.6)
формулалар билан аникланади. Шу сабабли (21.7) каторни (унинг
якинлашувчи ски узоклашузчи булишидан катъи назар) ушбу бел-
ей билан куйидагича ёзилади:
f (х) Т ( /з. )
— V (nM cos пх ф- sin пх),
2 п п
Мне о л. Ушбу
/* 1 л < — л г л. а С)
сУшшшшшнг Ф\'рьс кагорз гушлсшг
Ш’.б) формула.ц'ш фшкгшашш, бу фучкшынип
Фурь? К:)Э ЬфШГРЗНТЛгфИ.ЧИ ТО-
ал ,—ал
/ > г
91 Л \
2
— <h 9.л.
9 Л
92
л
ап~ — 1 cos
л J
—л
1 a cos пх -j- п sin пх ,
пх dx —-------------------------------е
л a2 -i- п2
(п =
(иаранг, 1-кисм, 8-боб, 2-§).
Демак, берилган функциянинг Фурье катори
J1X
cos пх b„ >in пх) —
' fl
П--1
2а
П=]
-----— (a cos пх —
а2 4-л2
п sin пх) >
булади.
Фараз килайлик, бирор
— + V (a cos nx + bn sin пх)
Г) ' ' п П ?
(21.7)
тригонометрии (функционал) катор [—л, л] да якинлашувчи булсин
Унинг йигиндисини f (х) деб белгилайлик:
№
+ У (ап cos пх + bn sin пх) = /(.г). (21.8)
2
И—1
Бундам ташкари, (21.7) ни .\амда уни cos kx ва sin kx (k = 1, 2, . . .)
ларга купайтиришдан хосил булган
cos kx 4- у1 (ап cos nx-cos kx + bn sin nx-cos kx) =
n~ ]
— f (x) cos kx, (21.9)
— sin kx 4- У (an cos nx sin kx + br, sin nx sin kx) — / (x) sin kx
n—l
(k— 1, 2, 3, . . .) каторларни [—л, nj да хадлаб интеграллаш мум-
кин булсин.
393
(21,8) ва (21.9) ларни [—л, л) да интеграллаймиз:
1
b„ sin пх)' <Ь: =
П ' \
j
/(х) cos kxdx —
Я
/ 1 \
nxdx + bn । sin nxdx j= л *a)t
•г /
—я
п~ 1
@ Г)
9
+ bn sin пх
cos kx dx
пх ’ cos kxdx
я пл
f (х) sin kxdx = 1 | — sin kx+ у (я„ cos nx • sin kx +
L - ЛшА
—Л — л n—s
Л
+ bn sin nx • sin kx) | dx ~ | sin kx dx +
Я Л
4 ( >
a i cos nx • sin kx dx -r sin nx • sin kx dx
n 1 ‘ n 5
\ ♦-
n=z\ — я — Л
A
SI П nx
sin kx dx = -
9
—л
___| sin (n
i n -
i
sin (n 4
Л Л
C . if
I sin2 nxdx = — | (1 — cos 2 nx) dx л.
a v
— Л •—Л
шунингдек,
л я
| cos nx'Cos kx dx == 0 (« ¥= k), | cos2 nx dx — n,
— П —Л
л
j cos n.v*sin kx dx = 0 (n, k — 0, 1, 2, 3, . . .)
—я
394
булишини эътиборга олсак, унда
ГС
f / (х) dx = ящ,
—ГС
л
| f (x) cos kx dx — n-ak (k = 1,2,3, . . .
— ГС
ГС
j / (x) sin kx dx = zi-bk (/г = 1, 2, 3, ...)
—rc
эканини топамиз. Бу тенгликлардан эса
ГС
ап = — у f (х) dx,
п J
—ГС
л
ak = — 1 f (х) cos kx dx,
л J
—л
л
bk — J f (x) sin kx dx (k = 1, 2, 3, . . .)
—П
(21.6)
келиб чицади.
Демак, f (x) функция тригонометрии каторга ёйилган булса ва бу
катор учун юцорида айтилган шартлар бажарилган булса, у холда бу
тригонометрии каторнииг коэффициентлари f (х) функция оркали (21.6)
формулалар билан ифодаланади, яъни f (х) нинг Фурье коэффициент -
лари булади. Бинобарин, каторнинг узи f (х) нинг Фурье катори булади.
2. >Куфт в а то ц функцияларнинг Фурье к а тор лар и.
Жуфт ва ток функцияларнинг Фурье каторлари бирмунча содда кури-
нишга эга булади. Биз куйида уларни келтирамиз.
f (х) функция [— л, л] да берилган жуфт функция булсин. У шу
Г—л, л] оралицда интегралланувчи булсин. Равшанки, бу холда /(х)
cos пх жуфт функция, f (х) sin пх (п — 1, 2, . . .) эса тоц функция
бу'лади ва улар [— я, я] да интегралланувчи булади.
(21.6) формулалардан ([юйдаланиб, /(х) функциянинг Фурье коэф-
фициентларини топамиз:
Л
+ у f (х) cos пх dx
О л
1 Г Г С
- I /(х) sin пх dx 4- у / (х) sin пх dx
л L J J
—л о
2
395
Демак, жуфт f (х) функциянинг Фурье коэффициентлари
2 г
ап = — \f (х) cos пх dx (п = 0, 1,2, . . .),
Л
о
ьп = 0 (n = 1, 2, 3, . . .) (21.10)
булиб, Фурье катори эса
/ W ~ Т (/; х) = Ч- V a,, cos пх
п~ 1
булади.
Энди f (х) функция |— л, л] да берилган ток функция булсин ва
у шу I — л, л| ораликда интегралланувчи булсин. Бу холда f(x) cos пх
ток функция, / (х) sin пх (п 1, 2, 3, . . . j эса жуфт функция була-
ди. (21.6) формулалардан фойдаланпб, f (х) функциянинг Фурье коэф-
фициентларини топамиз:
л
ап^--- — \ f (х) cos пх dx = —
л J л
— л
о
у / (х) cos пх dx +
—л
л
с i
t f (х) cos пх dx |
J J
0
л a
1 ” i C* 1
— — 1 f(x) cos nxdx + | f (x) cos nx dx = 0(n — 0, 1,2,...).
Л u J J J
л 0 л
1 Г 1 F С Г 1
b = — \ /(x) sin nx dx “ — v f (x) sin nx dx + \ f(x) sin nxdx |
J л _ J J j
— л — л 0
Л
2
= — If (x) sin nx dx (n = 1, 2, 3. . . .).
л J
0
Демак, ток f(x) функциянинг Фурье коэффициентлари
an = 0 (n = 0, 1, 2, .. .),
[ f(x) sin nx dx (n — 1, 2, 3,
(21.11)
булиб, Фурье катори эса
f (х) « Т (/; х) = V b sin пх
булади.
Мисо л л ар. 1. f (х) = х'2 (— л х Л) функциянинг Фурье катори ёзилсин®
(21.10) формулалардан фойдаланиб берилган функциянинг Фурье коэффициент лари, ни
топамиз:
л
2 Г 2
~ — I х2 dx ~ л2,
л J 3
о
396
л
2 г 2 sin пх
а ~ — Т х2 cos пх dx = — х2------------------
л j л п
о
л
4 7 cos пх Г
— — — х •-------- -{- 1 cos пх dx
пл \ п /о j
о
л
л 4 ц
— — V х sin пх dx =
и пл J
о
Г 1, 2, . . .
п2
Демак, / (х) = х2 функциянинг Фурье катори ушбу
л2 V^I _ 4 л2 cos 2х cos Зх
х2 ~ — + У . (— 1)п — cos пх — — — 4 (cos х —--------------- ----------
3 п2 3 22 З2
п-—1
куринишида булади.
2. Ушбу
f (х) — х (— л < х < л')
ток функциянинг Фурье катори ёзилсин.
(21.11) формулалардан фойдаланиб берилган функциянинг Фурье коэффициент-
л л
Яр 2 л 2 р
ларини топамиз: Ьп ~ — j х sin пх dx ----- — — х cos пх Ч- — I cos пх dx ~ —
2 J пл о ' пл J
о о
2 /74-1 2
— — cos пл = (— 1) ь —(/1—1, 2, 3, . . . к Демак, f (х) — х функциянинг Фурье
п п '
катори куйидагича булади:
VI , 2 . ~. sin 2х , sin Зх
х~ у . (— I) 1 • — sin пх — 2 (sin х — - 4-- — ... к
7 п 23 '
72—1
3. [—/, 1\ оралицда берилган функциянинг Фурье ка-
тори. Биз юцорида I—л, л] ораликда берилган функция учун унинг
Фурье катори тушунчасини киритдик. Бун дай тушунчани ихтиёрий
[— /, I] (I > 0) ораликда берилган функция учун ^ам киритиш мум-
кин.
/(х) функция |—/, 1\ (/>0) да берилган ва шу ораликда интег-
ралланувчи булсин.
Равшанки, ушбу
(21.12)
t
алмаштириш [—1, 1\ ораликни [—л, л] ораликка утказади. Агар
дейилса, ср(() функцияни [—л, л] да берилган ва шу ораликда интег-
ралланувчи булишини куриш кийин эмас. Бу ср (() функциянинг Фурье
катори к.уйидагича булади:
ср(() ~ Т (ср; 0 = -- 4 V. (ап cos nt -j- bn sin nt),
П~- 1
бунда
л л
1 f-
cp (/) cos nt dt (n = 0, 1,2,...), b„ — — I cp (/) sin nt dt
nJ
—Л —л
397
(n = 1, 2, 3, . . .).
Юкоридаги (21.12) тенгликни эътиборга олсак, унда
ЗТ Я
„ cos п — х 4~ s in п — х
п t п L
rt —1
булиб, унинг коэффициент лари эса’
I
Ф (— х I cos п — xdx (а
k I ’ I
П
— I
i <4-
-!
п
sin n2™ xdx
булади,
Натижада
f (х)
пр
О
ляг
„ COS---
п
лях \
(21.13)
п
п~
га зга буламиз, бунда
1 f (х) cos
ЛЛ.К
i
п
»
$
(21,14)
J f (х) sin
(21.13) нинг унг томонидаги тригонометрии каторни /, I] да берил-
ган f (х) нинг Фурье катори дейилади, (21.14) Фурье коэффиииентлари
дейилади.
Мне О Л. Ушб7
функциянинг Фурье катори сзилсин.
/21.14; формулалардан фойдалаииб берилган функциянинг Фурье коэффициентла-
рини топамиз (бунда I -- 1;;
8
к
j ех dx = е —
f
ех cos л л xdx
и л sin п тс х ™ cos п л х Y
----------------:------------
1 4- Л2 Л2
——' ie cos п л
л2 л2
ех sin л я xdx ~
sin ПИХ — п ТС COS п Л X у
--------------------------------
I 4- П2 Л*
П
п
а
>
„ е — е 1
п____________
»
398
п2 л 2
п я cos п п
(е 1 — с) =
— 1
Дсмак. / ix) =- ех функциянинг (— 1 <
t.
1
- л- (с - е ~Х
------- cos п л X
п* л2
1
- л/rshi п л х
/2 — 1
к\г>ипишда булади.
„ к •/
Изох. (21.7) формула билан аникланган
Т ([; л') = -- + cos пх + s*n пх^
п=1
тригонометрии каторнинг (— ос, 4- ос) да берилган 2л даврли функ-
ция эканлигини куриш кийин эмас:
Т ([; х + 2л) - Т (/; х).
Агар [—л, л! да берилган f (х) функцияни (— ос, 4- ос) га даврий
давом эттирсак (каранг ушбу бобнииг 1-§).
f*(x)--^[(x— 2л//г), х С (—л4~2л/и, л4~2лт)(т—0, ±1, ±2» . . ,),
у холда, равшанки, (— ос, + °°) да
f* (х) ~ Т (/*; х) — — + (ап cos пх 4- ba sin пх)
л—1
булади.
3- §. Леммалар. Дирихле интеграли
Функцияларни Фурье каторша ёйиш шартларини аниклаш, юкорида
айтиб утганимиздек, Фурье цаторлари назариясининг мухим масалала-
ридан бири. Уни хал этувчи теоремани келтиришдан аввал баъзи бир
фактларни урганамиз.
1. Леммалар. К^уйида келтириладиган леммалар Фурье каторла-
ри назариясида мухим роль уйнайди.
21.2-лемма. \а, Ь] ораликда берилган ва интегралланувчи ихтиё-
рий ф (х) функция учун
ь
lim С ф (х) sin рх dx = 0, (21.15)
Р-.О5 .)
а
b
lim i ср (х) cos рх dx = 0 (21.16)
булади.
Исбот. [п, Ь] ораликнинг бирор
399
булинишини олайлик. Интегралнинг хоссасига кура
ь
I Ф (х) sin pxdx
а
булади. ф (х) функция [я, Ь] да
П-1 x/e-U!
= V | ф (х) sinрх dx
k~0 Xfo
чегараланган. Демак,
(21.17)
inf (ср (х); xQ [xt, a-^]! (^ = °, h 2> • • • n — 1)
мавжуд. Уни mk билан белгилаймиз:
m. = inf ;<p (%); x C [xft, xk_,] I (k = 0, 1,2, . . ., n — 1).
• * r
Энди (21.20) интегрални
I cp(x) sin pxdx — V f ф (x) sinpxdx = (21.18)
J J
Cl k=Uxk
n—1 л—1
— V | (Ф (x) — ;nfc) sin px dx + V mk | sin px dx ~ S} + S2
xfe /i—G xi,
куринишда ёзиб, сунгра хар бир
п—1
Sj = V j (ф — mk) S1’n рх ^х’
fc=0 хк
и-1 .у^!
S, = тк j s'mpxdx
k—0 xj,
кушилувчини бахолаймиз.
Агар ф (х) функциянинг [хл, xA,.rl] (k = 0, 1, . . . п — 1) даги
тебраниши булса, учун ушбу
П — 1 ’ П~ 1
f «« dx = V сок A xk (A xit = xk._} — xh) (21.19)
k~0x^ k—0
тенгсизликка эга буламиз. Шартга кура ср (х) функция [а, Ь] да ин-
тегралланувчи. Унда 1-кисм, 9-боб, 5-§ да келтирилгап теоремага асо-
сан, V е > 0 олинганда хам, шундай 6 > 0 топиладики, [а, 6] оралик-
нинг диаметри лр < 6 булган .хар кандай Р булиниши учун
Л—1
у Сфг-Ахл< - (21.20)
булади, (21.19) ва (21.20) муносабатлардан
IS. |< (21.21)
булиши келиб чикади.
400
n—I
k=0
sinpxdx йигиндини ба^олаймиз. Равшанки,
cos pxk — cos pxk+{
p
xk
2 П<Л
— > I т J булади. р ни етарли катта килиб олиш хисобига
Р ‘
_ п—1
2 ж-i, , г
8 булиши келиб чикади. Демак,
булади. Натижада (21.18), (21.21) ва (21.22) муносабатлардан етарли
ь
катта р лар учун I j <р (x) sinpxrfx|
а
lim | ср (х) sin pxdx = 0.
р а
(21.16) муносабатнинг уринли булиши худди шунга ухшаш курса-
тилади. Лемма исбот булди.
Хусусан, ф (х) функция [а, Ь\ ораликда булакли-узлуксиз булса,
унинг учун лемманинг тасдиги уринли булади.
21.1- э с л а т м а. Леммадаги
ь ь
I (р) j ф (х) sin pxdx, (р) = j ф (х) cospxdx
а а
интегралар, равшанки, параметрга (р — параметр) боглш; интеграллар-
днр. Мазкур курснинг 17- боб, 5-§ ида биз бундай интегралларнинг
лимитини интеграл белгиси остида лимитга утиб хисоблаш хакидаги
теоремада исбот килган эдик. Бу теорема шартлари юкоридаги интег-
раллар учун бажарилмайди (р->- да интеграл остидаги функциянинг
лимити мавжуд эмас) ва, демак, ундан фойдалана олмаймиз. Шунинг
учун хам лемма юкррида алохида исботланди. Иккинчи томондан,
лемма параметрга боглик интегралларнинг лимитини бевосита, интег-
рал белгиси остида лимитга утмасдан хам, хисоблаш мумкин эканли-
гига мисол булади.
Юкоридаги лемма че тара л анмаган функциянинг хосмас иптеграли
учун \ам умумлаштирилиши мумкин.
Ф (х) функция \а, Ь) ярим интервалда берилган, b нукта шу функ-
циянинг махсус нуктаси булсин.
21.3-лемма, (а, Ь) да абсолют интегралланувчи ихтиёрий ф (х)
функция учун
h
lim j д (х) sin рх dx = 0,
Р > Z. */
а
ь
lim ф (х) cos pxdx ™ 0 (21.23)
р -> '
а
булади.
26-501
401
И с бо т.
Ихтиёрий г) (0< г)< Ь — а) олиб,
ь
pi
I (р (х) sin pxdx
V
а
интеграции куйидагича ёзиб
д b—Y\ b
Ф (х) sin pxdx— | ф (х) sin pxdx + j ф (х) sin pxdx, (21.24)
а а b—г)
бу тенгликнинг унг томонидаги хар бир кушилувчини бахрлаймиз.
Каралаётган ф (х) функция [a, b — rj) да интегралланувчи булганли-
ги сабабли юкррида келтирилган 21.2-леммага кура
lim \ ф (х) sin pxdx = О
булади. Демак, Vs>0 олинганда хам, шундай >0 топиладики,
барча р > р0 учун
ф (х) sin рх dx ! < ~ (21.25)
булади.
Шартга к<ра ф (х) функция [а, Ь) да абсолют интегралланувчи.
Таърифга биноан, -у-е >0 олинганда хам, шундай 6 >0 топиладики,
0 < < 6
ь
булганда | I ф (х) i dx
Ь— 1]
О
I <р U) sin рх dx
Ъ—г)
— булади. Демак,
ь
pi
' I ф (х) | dx
b-x]
(21.26)
О
Юкоридаги (21.24), (21.25) ва (21.26) муноса батлардан етарли катта
ь
р лар учун ф (х) sin pxdx I < s булиши келиб чикади. Демак,
а
Ь
lim ф (х) sin рх dx 0. (21.23) муносабатнинг уринли булиши худди
у
а
шунга ухшаш курсатилади. Лемма исбот булди.
Исбот этилган леммалардан му хим натижа келиб чикади.
21.1-натижа. [—л, л) ораликда булакли-узлуксиз ёки шу оралик-
да абсолют интегралланувчи / (х) функциянинг Фурье коэффшшентла-
ри оо да волга инти ла ди:
1 im а — lim — I f (х) cos nxdx — 0,
—.1
rr
1 L
] im br, lim — t / (x) sin nxdx 0.
* n л J
—Л
402
2. Дирихле интеграли. Фруье каторининг я^инлашувчилиги-
ни урганиш, бу катор кисмий йигиндилари кетма- кетлигининг лимита-
ми аниклаш демакдир. Шу максадда катор кисмий йигиндисини кулай
куринишда ёзиб оламиз.
f (х) функция [—л, л) ораликда берилган ва абсолют интегралла-
нувчи (хос ёки хосмас маънода) булсин. Бу функциянинг Фурье коэф-
фициентларини топиб,
л
ah == - - ( / (/) cos kt dt (k ~ 0, 1,2, . . .),
n I
— Л
Л
bb = — \ /’ (Z) sin kt dt (k — 2, . . .),
— Л
сунгра топилган коэффициентлар буйича / (х) функциянинг Фурье ка-
торини тузамиз:
Энди бу каторнинг ушбу
п
Fn (/; л') = — + X5 (а;, cos kx -г bk sin kx)
кисмий йигиндисини оламиз. Бу йисиндидаги ak (k = 0, 1, 2, . . .) ва
bk (k — 1, 2, . . .) ларнииг урнига уларнинг ифодаларини куйсак, у .хол.да
л п л
IP Xk ’ i
Fn = — 1 / (0 dt 4- | f (0 k°skt'coskx -г sin£/-sin&x] dt.
2 Л .ЛЯ/Г- ’ Л J
=л k=\ — Л
Маълумки,
cos kt • cos kx ~r sin kt • sin kx ~ cos k (t — x).
Демак,
л n
-Л &=1
Интеграл остидаги ифода учун куйидаги муносабат уринли:
Хакикатан хам,
403
C Q (х, у, 2) dy = [[ у' г> dxdy - dydz,
J JJ дх дг
c(S) ($)
dzdx (20.18)
формулаларнинг уринли булиши курсатилади. (20.17) ва (20.18) 4юр-
мулаларни хадлаб г$шиб куйидагини топамиз:
| Р (х, у, г) dx 4- Q (х, у, г) dy 4- R (х, у, г) dz =
d(S)
dxdy +
dQ (х. у
dz
дР (х, у, 2)
дх
Бу Стокс формуласи деб аталади.
~ 20.2-натижа. Мазкур курснинг 19-боб, 3-§ идаги Грин формула-
си Стокс формуласининг хусусий холидир. Хакикатан хам, (20.19)
Стокс формуласида (S) сирт сифатида Оху текисликдаги (О) соха олин-
са, унда 2 = 0 булиб, (20.19) форму ладан
Г \ . ГС Г dQ (х, у) дР (х, //)] 1 ,
Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = ----------------------— dxdy
.1 J J L dy J
c{D) (D)
булиши келиб чицади. Бу Грин формуласидир.
Шундай килиб, Стокс формуласи (S) сирт буйича олинган Л тур
сирт интеграли билан шу сиртнинг чегараси буйича олинган эгри чи-
зикли интегрални богловчи формуладир.
4- §. Остроградский формуласи
7?3 (разода, пастдан z = <рг (х, у) теглама билан аникланган сил-
лик (SJ сирт билан, юкрридан z = ф2 (х, у) тенглама ёрдамида аник-
ланган силли^ (S2) сир г билан, ён то-
^"4 ду У2 мондан эса ясовчилари Oz укнга па-
ч Г \ рал л ел булган цилиндрик (Sg) сирт би-
* ----лан чегараланган (V) сохани (жисмни)
( \ i карайлик. Унинг Оху текисликдаги
i - проекцияси (D) булиб, бу (D) нинг
л.___Р 4___чегараси юкорида айтилган цилиндрик
/ , сиртнинг йуналтирувчиси сифатида оли-
1 нади ^8- чизма)
х -Ф1 уУ> 4,2 ^А’" 'D},‘
Фараз крлайлик, (V) да R (х, у, z)
28-чизма функция берилган ва узлуксиз бул-
380
син, Бундан ташцари бу функция шу сохада
dR (х, у, г)
дг
хусусий хрсилага эга ва бу росила хам узлуксиз.
Равшанки, бу холда
ИС dR (х, и, г)
J
(Г)
мавжуд булади ва 18-бобнинг 10-§ ида келтирилган формулага кура
J J J dR (X, у, 2)
d (Ю
булади.
Агар
Ф2(х, у)
dR (х, у, г)
02
dxdydz = I I i i
•и \ f]
(О) Ф1(Х,У)
дг
ф|(х, у)
булишини эътиборга олсак, у холда
фг(х,*/)
(D) (pi(x,f/)
—~ dz] dxdy — \ \ R (х, у, ф., (х, у)) dxdy —
dz / J J
(О)
— P J R (x, y, <Pi (x, y)) dxdy (20.21)
\D)
булади. Бу тенгликнинг унг томонидаги икки каррали интегралларни ,
2-§ даги формулалардан фойдаланиб, сирт интеграллари ортали ёзамиз:
f [ R(x, у, <р2 (х, у)) dxdy= [ J R (х, у, г) dxdy,
\D) (S.)
j f R (X, у, Ф! (x, y)) dxdy- f ( R (x, y, z) dxdy. (20.22)
(D) "(ХД
Келтирилган тенгликлардаги сирт интеграллари сиртнинг усгки томони
буйича олинган. (20.20), (20.21) ва (20.22) муносабатлардан цуйидаги-
ни топамиз:
ш
(Ю
dR (х. у, z)
дг
dxdydz =
J j R (X, у, z) dxdy +
<St)
+ [ j' R (x, y, z) dxdy. (20.23)
(Sl)
Бу тенгликнинг унг томонидаги иккинчи интеграл (SJ сиртнинг паст-
ки томони буйича олинган.
381
система (D) соханинг d(D) чегарасини ифодалайди. Бунда параметр-
нинг узгариш чегарасини шундай танлаб оламизки, / параметр а дан
Р га караб узгарганда d(D) эгри чизик мусбат йуналишда булсин. У
холда (19.30) тенглик ушбу
D = \ xdy = | <р {и, v) d ф (н, о) —
а(Ъ) d(D)
р
= v(0) I — U (0 + — v' (t)]dt (19.31)
ди dv
а
куринишга келади.
Агар
6(D)
(19.32)
булишини эътиборга олсак, у холда
D = ± С х % dn + х du (19.33)
J ди dv
d'(D)
булишини топамиз. Бу тенгликдаги интеграл белгиси олдига цуйилган
ишорани тушунтирамиз. Юцорида, t параметр а дан |3 га цараб узгар-
ганда d(D) эгри чизицнн мусбат йуналишда булишини айтдик. Бу хол-
да д(А) эгри чизикнинг йуналиши мусбат хам булиши мумкин, ман-
фий хам булиши мумкин. Шунинг учун (19.31) ва (19.32) муносабат-
лар бир-биридан ишора билан фарк килади. Агар d(D) эгри чизикнинг
мусбат йуналишига <Э(А) эгри чизикнинг хам мусбат йуналиши мос
келса. унда «+» ишора олинади, акс холда эса «—» ишора олинади.
Энди ушбу
[ Р(м, v)du + Q(u, v)dv= Сf (-~(а' Л- — ,jv (19.34)
J J J \ ди dv /
Грин формуласида
Р(м, у) = х Q(u, v)=x^-
ди dv
деб олсак, у холда бу формула куйидаги куринишга келади:
358
эканини эътиборга олсак, унда (19.33), (19.34) ва (19.35) муносабат лар
дан
(А)
du dv
булиши келиб чикади.
Маълумки,
/ (w, v) =
D (х. у)
D (и, v)
якобиан аник ишорали, D эса маъносига кура мусбат булиши керак.
Демак, интеграл белгиси олдидаги ишора якобианнинг ишораси билан
бир хил булиши керак. Шунинг учун
du dv
булади. Шуни исботлаш лозим эди.
3°. Э г р и ч и з и к л и интеграл к и й м а т и н и н г интегра л-
лаш йулига бог лик булмаслиги. Чегараланган ёпик богламли
(D) ((D) czR2) сохада иккита Р(х,у) ва Q(x,y) функциялар берилган
т-. г /гл\ дР(х,у) Q(x,y)
булсин. Бу функциялар (D) сохада узлуксиз ва --------—— , ------ ху-
ду дх
сусий ^осилаларга эга ва бу хосилалар хам шу сохада узлуксиз бул-
син.
1) Агар (D) сохада
—(х’ " - = (19.36)
ду дх
булса, у холда (D) со.хага тегишли булган хар кандай R ёпик чизгщ
буйича олинган ушбу
Р (х, y)dx 4- Q (х, у) dy
к
интеграл нолга тенг булади:
J Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
к
Исбот. К ёпик; чизик чегараланган со^ани (G) дейлик. Равшанки,
(G)cz(D). Грин формуласига кура
Г / Г Г / &Q (*’ дР У) j j
J Р (х, y)dx^Q(x, y)dy = jj - —^)dxdlJ
К (G)
булади. Шартга кура (£>) да, демак (G) да
Р (^> у) __ д Q (х, у)
ду дх
У \олда (19.36) муносабатдан
(' [ dxdy = о
JJ \ дх ду )
IQ
359
булади. Демак,
2) Агар (D)
буйича олинган
f Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = О,
"к
соха га тегишли булган хар кандай /\ ёпик чизик
ушбу интеграл
f Р (х, у) dx 4- Q (х, у) dy = О
"к
булса, у холда
куйидаги
[ Р (х, у) dx + Q (х, у) dy
(АВ с (D))
(19.37)
интеграл А ва В нукталарни бирлаштирувчи эгри чизи^ка боглиц бул-
майди, яъни (19.37) интеграл циймати интеграллаш йулига боглик
булмайди.
Исбот. (D) соханииг .4 ва В нукталарини бирлаштирувчи ва шу
со^ага тегишли булган ихтиёрий иккита Аа В хамда АЬ В эгри чизи^-
ня олайлик. Бу холда Аа В ва АЬ В эгри чизиклар биргаликда (D) со-
^ага тегишли булган ёпик, чизикни ташкил этади. У ни К билан бел-
гилайлик:
К — АаВЬ А.
Шартга кура
f Р (х, у} dx 4- Q (х, у) dy = f [Р(х( у) dx + Q (х, у) dy = О
К АаВЬ Л
булади, Интегралнинг хоссасидан 'фойдаланиб ушбуни топамиз:
f Р(х, у)dx + Q(x, у)dx = J ) Р(х, y)dx + Q(x, у)dy +
ДаВМ 'Л5в
+ У) dx Q (х, у) dy = f Р (х, у) dx 4- Q(x, у) dy —
ВЬ А А^а В
— J* Р(х, у) dx 4- Q(x, у) dy.
Al) 3
Демак,
Р(х, у) dx 4- Q (х, у) dy —№(х, у) dx 4- Q (х, у) dy = 0.
^3 АаВ
Бундан эса
f Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = f Р(х, y)dx+ Q(x, y)dy
ДaB АЬ3
эканлиги келиб чикади.
19.2-эслатма. Юкоридаги тасднц, исбот жараёнидан куринадики,
АВ эгри чизик содда эгри чизиклар ту'пламидан ихтиёрий олинганда
уринлидир.
3) Агар ушбу
j'P(х, y)dx 4- Q(x, у) dy (АВ cz (D)) (19.37)
^АВ
360
интеграл Л ва В нукталарини бирлаштирувчи эгри чизикка богли^
булмаса, яъни интеграл интеграллаш йулига боглик булмаса, у холда
Р (х, у) dx + Q (х, у) dy
нфода (D) сохада берилган бирор функциянинг тулик дифференциали
булади.
Исбот. Модомики, (19.37) интеграллаш йулига боглик эмас экан,
у холда интеграл А — (х0, у0) ва В — (хп yt) ну^талар билан бир ^нй-
матли аникланади. Шунинг учун бу холда (19.27) интеграл куйида-
гича хам ёзилади:
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy.
(Х9.у9)
Энди А нуктани тайинлаб, В нукта сифатида (D) соханииг ихтиёрий
(х, у) нуктасини олиб, ушбу
(с У)
I Р (х, у) dx + Q (х, у) dy
(a:.W
интеграл ни караймиз. Равшанки, бу интеграл (х, у) га боглик. булади:
*
Р(х, у) = ( Р(х, y)dx -г Q(x, y)dy.
(х9,у9)
Бу функциянинг хусусий хосилаларини хисоблаймиз. (х, у) нукданинг
х координатасига шундай Ах орттирма берайликки, (х Ч~ Ах, у) нук^та
га (х, у), (х + Ах, у) нукталарни бирлаштирувчи тугри чизи^ кесмаси
хдм (D) сохага тегишли булсин. Натижада В(х» У) функция хам ху-
сусий орттирмага эга булади:
(x-j-Дх, у\
F (х + Ах, у) — В(х, у) = f Р (х, y)dx 4- Q (х, у) dy—
(Хз, у о)
(X. >') (х-Мг. у)
i Р (х, у) dx + Q(x, у) dy = j Р (х, у) dx + Q(x, y)dy =
(Аэ. у)9 4 (X, У)
(хЧ-Дх, у)
= f Р (х, y)dx.
(4 у)
Урта кгиймат хакидаги теоремадан фойдаланиб укуйидагини топамиз:
(хЧ-Дх, У)
f Р (х, y)dx = Р (х + 9 • Ах, у) Ах (0 < 9 < 1).
(х, у)
Натижада
Fir^Ar,j/)-Rvj7) _ р , 0. ДХ) }
\х
булади. Бундан
J,-m (X + Ах, ;/) - Г .у. !/) __ j im р (А.-+ 9 . Р (х> у)
А А" Дх-*0
361
булади. Демак,
Худди шунга у'хшаш
dF(x, у)
ду
булиши курсатилади.
Шундай килиб,
Р (х, у) dx+ Q (х, у)dy = dx + dy = dF (х, у)
дх ду
булади.
4) Агар
Р(х, y)dx+Q(x, y)dy
(19.38)
ифода (D) сохада берилган бирор функциянинг тулик дифференциали
булса, у хрлда
дР (х, у)_ dQ (х, у)
ду дх
булади.
И с бот. Айтайлик, (19.38) ифода (£>) сохада берилган F (х, у)
функциянинг тули^ дифференциали булсин:
Равшанки,
Р (х, y)dx + Q (х, у) dy = dF (х, у).
Р(х, у)— , Q(x, у)=
дх ду
Кейинги тенгликлардан ушбуни топамиз:
ЭР (х, у) d2F(x, у) dQ (х, у) д2 F(x. у)
ду dx dy дх ду дх
ттт ° дР (х, /у)
Шартга кура —-—
^осилаларнинг тенглиги
лар (£)) сохада узлуксиз.
дх
хакидаги теоремага биноан (^аралсин,
Аралаш
13-боб,
дР (х, у} __ dQ(x, у)
ду дх
булади.
Шундай цилиб, Грин формуласидан фойдаланган холда, юкоридаги
1)-4) тасди^лар орасида
1)^2)^3)=>4)=^1)
муносабат борлиги курсатилди.
362
4- §. Биринчи ва иккинчи тур эгри чизицли интеграллар орасидаги
богланиш
Ушбу параграфда биринчи ва иккинчи тур эгри чизикли интеграл-
лар орасидаги богланишни ифодаловчи формулаларни келтирамиз.
Текисликда содда силлиц АВ эгри чизиц ушбу
X = X (s)
У = У (s))
(0<s<S)
система билан аникланган булсин, бунда s — ёй узунлиги (каралсин,
ушбу бобнинг 1-§), x(s) ва y(s) функциялар x'(s), y'(s) хрсилаларга
эга хамда бу хрсилалар узлуксиз.
Равшанки, бу эгри чизи^ хар бир нуктада уринмага эга булади.
Агар Ох ва Оу уцлар билан уринманинг ёй усиши томонига караб
йуналиш орасидаги бурчак мос равишда а ва р дейилса, унда
х' (s) = cos а, у' (s) = cos р
булади.
Айтайлик, бу АВ эгри чизицда /(%, у) функция берилган ва узлук-
сиз булсин. У холда
J f (*» У) dx
АВ
(х) =
книнг
нинг
!Ймат-
гунга
1.54)
интеграл мавжуд булади ва (19,17) формулага кура
f / (х , у) dx = |7 (х (s), у (s)) • x'(s) ds
АВ "°
тенглик уринли. Бу тенгликнинг унг томонидаги интегрални цуйида-
гича
f f Ms), У (*)) • *'($) ds = f f (x (s), у (s)) cos a ds
о b
ёзиш мумкин. Ушбу бобнинг 1-§ да келтирилган 19.1-теоремадан
фойдаланиб куйидагини топамиз:
J f (х(s), у (s) cos ads = f f(x, у) cos a ds.
b 'ab
Натижада юкрридаги тенгликлардан
J f (x, y)dx = f f(xy y) cos a ds.
AB AB
булиши келиб чикади.
Худди шунга ухшаш, тегишли шартларда
£ f х, у) dy=- .1^ f (х, у) cos р ds
АВ АВ
УР’
?унк-
ва умумий холда
J’ Р (х, y)dx + Q (х, у) dy [Р (х, у) cos а + Q (х, у) cos Pl ds
АВ АЕ
булади.
13 ва
тача
н-
трасе
‘трик
1.55
дис!
/ in
4i
363
20-БОБ
СИРТ ИНТЕГРАЛЛАРИ
Мазкур курсиинг 18-бобида z = z(x, у) тенглама аниклаган силла к
(S) сирт билан танишган эдик. Бунда z(.y, у) функция (D) сохада
((D) cz У?2) берилган, узлуксиз ва z'v(x, у), z'(x,y) хусусий хоснлаларга
эга х,амда бу х.осилалар хам (D) да узлуксиз функция эди. (S) сирт юз-
га эга булиб, унинг юзн
5 = j j V1 + z'2 (X, у) + г'2 (г, у) dx dy
tD) л y
(20.1)
га тенг эканлиги курсатилди.
Уша бобнинг пировардида J?3 фазодаги (Г) сохада ((У) cz 7?3) берил-
ган функциянинг уч каррали интеграли билан танишиб, уни ургандик.
Энди 7?3 фазодаги (S) сиртда берилган функциянинг интеграли ту-
шу нчаси билан танишамиз. Сирт интеграли тушунчасини киритшодан
аввал, бу ерда хам функция берилиш со^асининг булиниши, булннмш
булаклари, булинишнинг диаметри тушунчалари киритилиши керак.
Бу тушунчалар [а, Ь] ораликнинг булиниши (каралсин, 1- кием,
9-боб, 1-§) ва текисликдаги (D) соханинг булиниши (каралсин, 18-боб,
1-§) дагн каби киритиладн ва ухшаш хоссаларга эга булади. Шу нинг
учун бу ерда биз бу тушунчаларни киритплган хисоблаб бевосита баё-
нимизни сирт интегралининг таърифидан бошлаб кетаверамиз.
1- §. Биринчи тур сирт интеграллари
1. Биринчи тур с и р т и н т е г р а л и н и н г та ъ р иф и. f (%, у, г)
функция (S) сиртда ((S) cz R3) берилган булсин. Бу сиртнинг Р були-
нишини ва бу булинишнинг хар бир (Sk) булагида (k = 1, 2, . . . п)
ихтиёрий т|л, нуктани олайлик. Берилган функциянинг
£k) нуктадаги /(^А„ кийматини (5Л) нинг юзига купайтириб,
р;уйидаги йигиндини тузамиз:
п
e=i
20.1 - т а ъ p и ф. Ушбу
к
Пл, U X (20'2)
fe=l
йигинди /(.г, г) функциянинг интеграл йигиндиси ёки Риман йигин-
диси деб аталади.
(S) сиртнинг шундай
Pv Р2 . . . , Рт, . . . (20.3)
булинишларини караймизки, уларнинг мос диаметрларидан ташкил топ-
тан
• • • ’ ‘ • •
364
кетма-кетлик нолга интилсин: кр ->0 Бсндай Рт(т = 1, 2, . . .) 6v-
линишларга нисбатан /(х, у. г) функциянинг интеграл йигиндиларини
ту.эамиз. Натижада (S) сиртнинг (20.3) булинишларига мос интеграл
йигиндилар цийматларидан иборат куйидаги кетма-кетлик хрсил була-
ди:
Цр ^2’ • • • > О^, ’ ‘ *
20.2- таъриф. Агар (S) сиртнинг хар кандай (20.3) булинишлари
кетма-кетлиги {Рт » олинганда хам, унга мос интеграл йигинди кий-
матларидан иборат { от | кетма-кетлик, (£л, т^, £&) нуцталарни танлаб
олинишига боглик булмаган холда, хамма вакт битга / сонга интилса,
бу / о йигиндининг лимита деб аталади ва у
п
Нт о = lim У f (^, ±к) • Sfc = I (20.4)
кр ->-0
каби белгиланади.
Интеграл йигиндининг лимитини куйидагича хам таърифлаш мум-
кин.
20.3- та ъ риф. Агар Vе >0 олинганда хам, шундай б>0 топил-
саки, (S) сиртнинг диаметри Хр < 6 булган хар кандай булиниши ^ам-
да уар бир (\) булакдан олинган ихтиёрий (^, ^,) лар учун
[ о — /1 < г
тенгеизлик бажарилса, у холда / сони о йигиндининг лимита деб
аталади ва у (20.4) каби белгиланади.
20.4- таъриф. Агар ^р->0 %af(x,y, z) функциянинг интеграл
йигиндиси о чекли лимитга эга булса, /(х, у, z) функция (S) сирт
буйича интегралланувчи (Риман маъносида интегралланувчи) функ-
ция деб аталади. Бу йигиндининг чекли лимити I эса, f (х, у, z) функ-
циянинг биринчи тур сирт интеграли дейилади ва у
I i f (х, у, z) ds
(S)
каби белгиланади. Демак,
п
f f / (х, у, z) ds == lim о = i im V f (g., i],„
(S)
/
2. Узлуксиз функция биринчи тур сирт интеграли.
Энди биринчи тур сирт интегралининг мавжуд булишини таъминлайди-
ган шартни топиш билан шугулланамиз.
Фараз килайлик /?3 фазодаги (S) сирт
г = z (х, у)
тенглама билан берилган булсин. Бунда z — z(x, у) функция чегара-
ланган ёпиц (D) сохада ((D)) cz/?2) узлуксиз ва z^(x, у), z'(x, у) хоси-
лаларга эга ^амда бу ^осилалар ^ам (D) да узлуксиз.
365
( 20.1-теорема. Arap f(x, у, z) функция (S) сиртда берилган ва
! узлуксиз булса, у холда бу функциянинг (S) сирт буйича. биринчи
тур сирт интеграли
! .! I f(x, у, z)ds
•; (s)
'i: л
мавжуи ва
>!
5 г . г----------------------
| 1.1 / (х, у, z) ds = .1 I / (х, у, z, (х, у)) Р 1 д- г (х, у) + z'dx, и) dx dy
(S) (О) • ' 7
i’ булади.
5 И с бот. (S) сиртнинг Ps булинишини олайлик. Унинг булаклари
' (Sj), (S2), . . . , (5П) булсин. Бу сирт ва унинг булакларииинг Оху
текисликдаги проекцияси (D) соханинг PD булинишини ва унинг (Dt),
(D.„ .... (Dn) булакларини косил килади. Ps булинишга нисбатан
। (20.2) йигиндини тузамиз:
' п
° = 'V» t.t) 5Л..
*=1
Маълумки, (^, р/г, ?/,.)€ (\)- Бу нуктага аксланувчи нукта (Д, т],<)
! булади. Демак, gA==z(^, т)/;). (20.1) формулага биноан
S. = f f -./ 1 + z'dx, у) + z‘ (х, у) dx dy
Ht j \ Л
(Dk )
булади.
У рта киймат ^акидаги теорема (каралсин, 18-боб, 5-§) дан фойда-
ланиб топамиз:
I
Dk (С=;,
! Натижада ст йиринди куйидаги
k=^\
= ъ)) н ! + +42^*’ Dh^
k-^i
I
! куринишга келади.
Энди Xps->-0 да (бу холда хам нолга интилади) о йирин-
дининг лимитный топиш максадида унинг ИкЬодасини узгартириб еза-
i миз:
i
п --------------------—-----
! о = У /(’Д, ’И- г(г. , П.ЛР 1 +ХЖ’ ’Ъ + C(?o И»)
'Ll ‘ * у
/г-1
366
бунда
P I ~f~ Л/<) + Л/е) Dk. (20.5)
Бу тенгликнинг унг томонидаги иккинчи кушилувчини бахолаймиз:
М = max|/(.r, y,z)\.
Равшанки,
Ki ~ <2(Х у) + 42(х’ у)
функция (D) да узлуксиз, демак, текис узлуксиз. У холда Кантор
теоремасининг натижасига кура Vе олинганда хам шундай 6>0.
топиладики, (D) соханинг диаметри кр < 6 булган хар кандай PD бу-
линиши V4VH
я» *.
I + , Т1Д + тО-
булади. Ун да
~ /1 + 2Д5/;, + z'^k, i]J
E
M-D
п
ва демак,
k
R
э
k
оулади.
367
(20.5) тенгликнинг унг томонидаги биринчи кушилувчи
п______________________________________________.
X П*. г(1к, >1л)Ж1 + ’СНд’С^. И*) Dk
Л—1
эса
/(х, tj, Z(х, у)) V1 + (х, у) 4- z2 (X. у)
функциянинг интеграл йигиндисидир. Бу функция (D) сохада узлук-
сиз. Демак, Хр^-*() да интеграл йигинди чекли лимитга эга ва
X I Пл)) 1^1 + 2Х 'Пл) гу (£*» 11/г) ^k~
= J I /(x, у, г (x, у)) Ц1 + z'2(x, у) + z'2 (х, у) dxdy
(D) у
булади. Бу муносабатни эътиборга олиб, (20.5) тенгликда Лр^->0да
лимитга утиб топамиз:
п ,_________________________
lim о = lim X Пл> Пл)) 1Л-|-2 (Et, Пл)+2У (&v Пл) ^k~
—с /./=<->& л= 1 '
= j J / (х, у, г (х, у)) Ц1 + z'2(x, у) 4- z'2(x, у) dxdy.
(О) *
Демак,
j J f(x, у, z)ds = J J /(х, у, z(x, у))/1 4- г;2(х, у) + г'2(х, у) dxdy.
I
Теорема исбот булди.
Бу теорема, бир томон дан, узлуксиз функция биринчи тур сирт
интегралининг мавжудлигини анш\лаб берса, иккинчи томондан, бу
интеграл икки каррали Риман интеграли оркали ифодаланишини курса-
тади.
20 .1-эслатма. (S) сирт х = х(у, z) (у = у (г, х)) тенглама билан
аник;ланган булиб, х = х (у, х) функция (у (г, х) функция) (D) сохада
((D) ссТ?2) узлуксиз ва ху(у, z), xz(y,z) хусусш хосилаларга (у^(г, х),
y*(z, х) хусусий хосилаларга) эга хамда бу хосилалар (D)) да узлуксиз
булсин.
Агар / (х, у, г) функция шу (S) снртда берилган ва узлуксиз булса,
у хо^да бу функциянинг биринчи тур сирт интеграли
f J / (*. У, •?) ds
(S)
мавжуд ва
,И/(х, у. г)<1,= И1(х(у.г).у.г)у] г) + х-^ г) dy,k.
(f f f (х, у, z) ds = f J/ (х, у (z, х), г) У \ 4- у'г{г, х) 4- y'‘{z, х) dz dx)
булади.
368
20 .2-эслатма. Биз j(x,y,z) функция биринчи тур сирт интег-
ралининг’ мавжудлигини махсус куринишдаги (S) сиртлар (г = z (х. у),
x = x(tj,z), y = y(z, х) тенгламалар билан аникланган сиртлар) учун
келтирдик. Аслида функция интегралининг мавжудлиги кенг сннфдаги
сиртлар учун тугри булади. Жумладан, агар (S) сирт чекли сондаги
юкорида айтилган сиртлар йигиндиси сифатида тасвирланган булса,
унда берилган ва узлуксиз булган f(x,y,z) функциянинг сирт интег-
рали мавжуд булади ва у мос икки каррали интеграллар йишндисига
тенг булади.
3. Биринчи тур сирт ин те гралл арин инг хосса лар и.
Юкорида келтирилган теорема узлуксиз функциялар биринчи тур сирт
интегралларннинг икки каррали Риман интегралларига келишини кур-
сатади. Бинобарин, бу сирт интеграллар хам икки каррали Риман ин-
теграллари хоссалари каби хоссаларга эга булади. Икки каррали Ри-
ман интегралларннинг хоссалари 18-бобнинг 5-§ ида урганилган.
4. Биринчи тур сирт интеграл ла рн и хисоблаш. Юко-
рида келтирилган теорема функция биринчи тур сирт интегралининг
мавжудлигини тасдиклабгина крлмасдан, унн хрсоблаш йулини хам кур-
сатади. Демак, биринчи тур сирт интеграллар икки каррали Риман
интегралларига келтирилиб ^исобланади:
I \f{x, у, z)ds = I I /(х, у, z(x, у)) |1 + z’2(x, у) + г'Чх, у) dx су,
<s) (£>)
I J / (х, у, z)ds=\ \ f (х (у, г), у, z) V1 + х'*(у, z) + х' (у, z) dy dz,
(S) (D) 1
f f f (x, y, z) ds = J I f (x, у (z, x), z) у (I 4- y'2(z, x) + y’’(z, x) dz dx. (20.6)
CS) O>)
Ми соя лар. 1. Ушбу
/ = ) i (x 4- у 4-
(S)
интегралам царайлик. Бунда (S) — х2 4~ у2 + г2 = г2 сферанинг z = 0 текисликнинг
юкорида жойлашган кисми*
Равшанки. (S) сирт
г ~ } г2 — х2 —
тенглама билан аникланган булиб, бу сиртда берилган
f У> z) = х + у 4- z
функция узлуксиздир. 20.1 теоремага кура
/ = J J (х 4- У 4- У г- — х2 — у2) X 1 4- г2 2(х, у) 4- z 2 (х, у) dx dy
(Г) 9
булади, бунда (D) = ; (г, //) Е R2'-x2 + у2 г2}.
Энди бу тенгликнинг унг томонидаги икки каррали интегрални ^нсоблаймив:
z (х, у)= —
л
Кг2—х2—у2 ’
1 4" у}
/г2—х2— у2 ’
24—501
369
Демак,
t =--- ff (х + у 4- — //2 ) У1 + и, £/) 4- /2 (л-, {/) dx du =
(D)
=.- Г I f / 4- I ) dxdlj.
J J k 1 r2-X2-Z/2 /
(£>)
Келнпги интегралда узгарувчиларни алмаштирамиз:
Демак. берилган интеграл
I I (х 4- у -!- ?) ds = яг3
(S)
оулади.
3. Ушбу
' I X (l/ 4- 2 )ds
(S)
интеграции ца рай лик, бунда (S) — х~ У Ь2— у2 цилиндрик сиртнинг г = О, z~c
1.с>0) текисликлар орасидаги кисми.
Модомпки, бу (S) сирт х^УЬ2~у2 куринишда берилган экан. унда иатегрални
хисоблаш учун (20.6) формуладан фойдаланиш лозимдир.
f f f У, г) ds = и / (х {у, г), у, г)|/ 1 — х'у (у, г)^- xz‘.у, г) dydz.
(Si (О)
Бунда (D) coxa (S) сиртнинг Оуг текисликдаги проекциясидан иборат:
(D) - {(7, г) Е R2’x - Vb2 - у2, z = 0, 2 = С: =
~ г) € ^2- — ь у ь, о z
х = ]р b2—y2 функциянинг хусусий .^осилалари
/ у
Хи \У^ ~ ~ ~ , Ху (у, 2} ~ 0
у J I b2—y2 2
булади. Демак,
[ Ух((/-г ?)ds= J Гб2—у- (// + ?) У dydz=
V(S) l(D) r
— b f J (y -p- 2}dy dz
булади. Бу тенгликнинг унг томонидаги икки каррали интеграции ^исоблаб топамиз:
«1
370
Де.мак,
j [ х (у + 2) ds = b-c2.
(S'*
2- §. Иккинчи тур сирт интеграллари
К3 ()шода z = z (х, у) тенглама билан аникланган (S) сиртни ка-
райлик. Бунда г (х, у) функция чегараси булакли- силлик чизикдан ибо-
рат булган (D) сохдда ((D)cz/?2) берилган, узлуксиз, z'x (х, у), z\f (х, у)
хусусий хосилаларга эта хамда бу хрсилалар хам узлуксиз. Одатда
бундай сиртни силлик сирт дейилади. Силлик сирт хар бир (х0, у0, zG)
нуктасида уринма текисликка эга булади.
Энди (S) сиртда унинг чегараси билан кесишмайдиган К ёпик чи-
зикни олайлик. (х0, у0, z0) нукта сиртнинг 1\ ёпик чизик билан чега-
раланган кисмига тегишлп булсин. Бу чизикни Оху текислигига проек-
циялаймиз. Натижада Оху текисликда хам Д'п ёпик чизи^ хрсил була-
ди. Мазку р курснинг 19-боб, 2-§ ида текисликдаги ёпиц чизикнинг
мусбат ва манфий йуналишлари киритилган эди. (S) сиртдаги ёпик чи-
зикнинг мусбат ва манфий йуналишлари хам шу сингари киритилади.
Шуни хрм айтиш керакки, йуналишнинг мусбат ёки манфийлигини
аниклаш харакатланаётган нуктага кай томондан карашга хам боглик.
Сиртнинг (х0, у0, а0) нуктасидаги уринма текисликка шу нуктада
перпендикуляр утказайлик. Бу перпендукулярнинг мусбат йуналиши
деб шундай йуналиш оламизки, унинг томонидан каралганда иккала
(Л ^амда Кп) ёпик чизикларнинг йуналишлари мусбат булади. Унинг
манфий йуналиши эса шундай йуналишки, у томондан каралганда ЛЭ
нинг мусбат йуналишига К нинг манфий йуналиши мос келади. Пер-
пендукулярнинг мусбат йуналиши буйича олинган бирлик кесма сирт-
нинг (х0, г/0, z0) нуктадаги нормали дейилади.
Нормалнинг 0л\ Оу ва Oz укларининг мусбат йуналишлари билан
ташкил г;илган бурчакларини мос равишда л, р, у оркали белгиласак,
булади ва улар нормалнинг йуналтирувчи косинуслари дейилади (ка*
ранг, Г.М. Фихтенгольц, «Математик анализ асослари», II кием).
Исботлаш мумкинки, силлиц (S) сиртнинг барча нукталаридаги пер-
пендукулярларнинг мусбат йуналишлари (нормаллари) бир хил булади.
Ва, демак, манфий йуналишлари хам. Шунга кура, сиртнинг икки то-
моии хакида тушунча киритилади.
Сиртнинг устки томони деб, унинг шундай томони олинадики, бу
томондан царалганда иккала (Л ва Лп) ёпиц чизикларнинг йуналиш-
лари мусбат булади.
371
Сиртнинг устки томони царалганда Ап билан чегараланган текис
шаклнинг юзи мусбат ишора билан, пастки томони (иккинчи томони)
^аралганда манфий ишора билан олинади.
1. Иккинчи тур сирт и н т е г р а л и н и н г т а ъ р и ф и. f (х, у, z)
функция (3) сиртда берилган булсин. Бу сиртнинг маълум бир томо-
нини олайлик. Сиртнинг Р булинишини ва бу булинишнинг хар бир
(Sk) булагида (Ze = 1, 2, . . п) ихтиёрий gfc) нукта (k =
— I, 2, ...,/?) олайлик. Берилган функциянинг нуцтада-
ги f (§/г, g^) кийматини (3^) нинг Оху текисликдаги проекцияси (ZZJ
нинг юзига купайтириб цуйидаги йигиндини тузамиз:
° = % и Dk. (20.8)
*=1
(S) сиртнинг шундай
Р{. Р2, - Рт. . • . (20.9)
булинишларини караймизки, уларнинг мос диаметрларидан ташкил топ-
тан
р » р , . . . , Ар , . . .
Г- 1 г 2 гт
кетма-кетлик нолга интилсин: ->0. Бундай Рт (т~\, 2, . . .)
булинишларга нисбатан / (х, у, z) функциянинг интеграл йигиндилари-
ни тузамиз. Натижада (3) сиртнинг (20.9) булинишларига мос интег-
рал йигиндилар кийматларидан иборат куйидаги
^2» • • • • • •
кетма-кетлик хрсил булади.
20.5- таъриф. Агар (3) сиртнинг дар цандай (20.9) булинишлари
кетма-кетлиги {Рт} олинганда дам, унга мос интеграл йигинди кий-
матларидан иборат {<тт} кетма-кетлик, (^, т^, нукталарни танлаб
олинишига боглид булмаган долда дамма вадт битта / сонга интилса,
бу I о йигиндининг лимити деб аталади ва у
п
lim о = lim V f gft) Dk = / (20.10)
Xp ->0 Xp ->0
ка&л белгиланади.
Интеграл йигиндининг лимптини цуйидагича ^ам таърифлаш мум-
кин.
20.6- таъриф. Агар уе>0 олинганда хам, шундай 6 >0 топил-
саки, (3) сиртнинг диаметри < 6 булган ^ар цандай Р булиниши
^амда }\ар бир (SJ булакдан олинган ихтиёрий (^, ^) лар учун
| о — /| < е
тенгсизлик бажарилса, у хрлда / сони а йигиндининг лимити деб
аталади ва у (20.10) каби белгиланади.
20.7- таъриф. Агар Хр->0 да f(x,y,z) функциянинг интеграл
йигиндиси о чекли лимитга эга булса, f (х, у, z) функция (3) сирт-
нинг танланган томони буйича интегралланувчи функция деб атала-
372
ди. Бу йигиндининг чекли лимити I эса, / (х, у, г) функциянинг (S)
сиртнинг танланган томони буйича иккинчи тур сирт интеграли деб
аталади ва у
if f (х, у, z) dxdy
Ч * }
(S)
каби белгиланади. Демак,
п
j‘ f / (х, у, z) dxdy = lim о = lim У/ (|А, qv £А) Dk.
Функция иккинчи тур сирт интегралининг куйпдагича
И / (*, У, z) dxdy (20.11)
(S)
белгиланншидан, интеграл (S) сиртнинг кайси томони буйича олинган -
лиги куринмайди. Бинобарин, (20.11) интеграл тутрисида ran борганда,
хар гал интеграл сиртнинг кайси томони буйича олинаётганлигп айтиб
борилади.
Равшанки, / (х, у, г) функциянинг (S) сиртнинг бир томони буйича
олинган иккинчи тур сирт интеграли, функциянинг шу сиртнинг ик-
кинчи томони буйича олинган иккинчи тур сирт интегралидан фа кат
ишораси билангина фарк килади.
Юкоридагидек,
f f / (*, у, z) dydz, ff f (х, у, z) dzdx
(Ф (S)
иккинчи тур сирт интеграллари таърифланади.
Шундай килиб, сиртда берилган f (х, у, z) функциядан учта — Оху
текисликдаги проекциялар, Oyz текисликдаги проекциялар хамда Ozx,
текисликдаги проекциялар воситасида олинган иккинчи тур сирт интег-
рали тушунчалари киритилади.
Умумий .холда, (S) сиртда Р (х, у, z), Q (х, у, z), R (х, у, г) функ-
циялар берилган булиб, ушбу
ff Р (х, у, z) dxdy, ff Q (x, y,. z) dydz, ff J? (x, y, z) dzdx
\S) (S) (S)
интеграллар мавжуд булса, у холда
[[ Р (х, у, z) dxdy + f [ Q (x, у, z) dydz + f f P U, y, z) dzdx
(S) (S) (S)
йигинди иккинчи тур сирт интегралининг умумий куриниши деб атала-
ди ва у
-П’ Р (х, у, z) dxdy + Q (х, у, z) dydz + R (x, у, z) dzdx
(X)
каби белгиланади. Демак,
fj* P (x, y, z) dxdy + Q (x, y, z) dydz 4- R (x, y, z) dzdx —
(5)
= [[ P (x, y, z) dxdy 4- i f Q (x, y, z) dydz 4- ff R (x, y, z) dzdx.
(S) (S)
373
Энди А*3 фазода бирор (V) жисм берилган булсин. Бу жисмни ураб
турган ёпик сирт силлик сирт булиб, у ни (S) дейлик. ft.t, //, г) функ-
ция (lz) да берилган. Оху текисликка параллел булган текислик билан
(V) ни икки кисмга ажратамиз: (Г) = (Г\) — (V)3. Натижада уни ураб
турган (S) сирт хам (S3) ва (5,) сиртларга ажралади. Ушбу
1’ [ fix, у, z) dx dy л- f f f(x, у, z) dx dy (20.12)
(3'0 (Sji
интеграл (агар у мавжуд булса) f(x, у, z) функциянинг епиц сирт бу-
йича иккинчи тур сирт интеграли деб аталади ва;
ф j f (х, у, z)dxdy
’(3)
каби белгиланади. Бунда (20.12) муносабатдаги биринчи интеграл (Sj
сиртнинг устки томони, иккинчи интеграл эса (S2) сиртнинг пастки то-
мони буйича олинган. Худди шунга ухшаш
фф / у, z) dydz, ф I f(x, у, г) dzdx
(3) (5/
}{амда, умумий крлда
ф*ф Р (х, у, z,) dxdy ф- Q(x, у, z) dy dz + /?(х, у, z) dzdx
‘(S)
интеграллар таърифланади.
2. У з л у к с и з ф у н к ц и я и к к и и ч и т у р с и р т интеграл и.
Фараз цилайлик, R3 фазода (S) сирт z = z(x,y) тенглама билан берил-
ган булсин. Бунда г — z(x,y) функция чегараланган ёпиц (D) сохада
((D) cz R2) узлуксиз ва zx(x, у), zy{x,ij) хусусий хосилаларга эга хамда
бу хосилалар хам (D) да узлуксиз.
20.2-теорема. Агар fix, у, z) функция (S) сиртда берилган ва
узлуксиз булса, у холда бу функциянинг (S) сирт буйича олинган
иккинчи тур сирт интеграли
jj fix, у, г)dxdy
(3?
мавжуд ва
Н f(x, у, z) dxdy ; f(x, у, z U, у)} dxdy
(3) ~
булади.
Исбот. (5) сиртнинг Р^ булинишини олайлик. Унинг булаклари
(SJ, (S,2), . . . , (5П) булсин. Бу сирт ва унинг булакларининг Оху
текисликдаги проекнияси {D) нинг PD булинишини ва унинг (DjT (D2)
. . . (Dn) булаклариии хосил килади. Р, булинишга нисбатан ушбу
йигиндини тузамиз:
п
(20.8)
Агар (S) сиртнинг устки томони каралаётган булса, у \олда барча D?
лар мусбат булади.
374
Модомикн, /(х, у, z) функция z = z (х, у) сиртда берилган -кап, у
х ва у узгаРУвчилаРнниг куйидаги функциясига айланади:
/ (х, у, г) = /(х, у, z (х, у)).
Бундам эса
Пл) (*== ’Э, • • • > «)
булиши келиб чикади. Натижада (20.8) йигинди ушбу
п
О = И*. НлКД?
*== 1
курвнншга келади. Бу йигинди / (х, у, г(х, у)) функциянинг интеграл
йигиндиси (икки каррали интеграл учун интеграл йигинди) эканини
пайкаш кинин эмас. Агар f (х, у, z(x,y)) функциянинг (О) да узлук-
сиз эканлигини эътиборга олсак, унда лр -> 0 да
У ф;. nj)DA
*7=1
йигинди чекли лимитга эга булади ва
lim V / (^, i]fc. z(^. »]КЖ = I f С, У, г (Б «/)) dxdy
X ‘ }п}
1 D &= I
булади. Демак,
lim о
Нт у Ж, Пл $л)-°л =
Л—]
п
= lim У / (^, Пл. * (£». Пл)) Dt, = II / (х, у, z (х, у)) dxdy.
’ Пт
Бундан эса
i f / (х, у. z) dxdy = [( / (л, у, z (х, у)) dxdy
(S) &)
булиши келиб чикади. Теорема исбот булди.
Агар (S) сиртнинг пастки томони каралса, унда барча Dk лар ман-
фий булиб,
| j f U, у, г) dxdy = — | I / (*, у, z (%, у)) dxdy
Ts) То)
булади.
Худди юкоридагидек, тегишли шартларда
f [ Z У, 2) j | / У’ г)
\S) \г‘)
интеграллар мавжуд булади ва
if / (.у, у, z)dydz = ff / (х (у, г), у, z) dydz,
(5) (S)
[f / (x, у, z) dzdx = ff / (x, у (г, x), z) dzdx
(S) (D)
булади.
20 .1-на ти ж а. Ясовчилари Oz укига параллел булган (S) цилин-
дрик сиртни карайлик. / (х, у, z) функция шу сиртда берилган булсин.
У хрлда
| [ / (х, у, z) dxdy
(S)
375
мавжуд булади ва у иол га тенг:
I | / (х, у, z) dxdy — 0.
'(S)
Худди ш у и га ухшаш, тегишлп шартларда
| / (х, у, z) dydz = 0, | f f (х, у, z) dzdx = 0
’(S)
булади.
Бу тенгликлар бевосита иккинчи тур сирт интеграллари таърифи-
дан келиб чицади.
Юцорида келтирилгап теоремадан фойдаланиб, иккинчи тур сирт
интеграллари хам икки каррали Риман интеграллари хоссалари каби
хоссаларга эга булишини курсатиш ва уларни келтириб чи^аришни
укувчига Давола этамиз.
3. И к к и н ч и тур сирт и н т е г р а л л а р и н и х и с о б л а ш. Юко-
рила келтирилгап теоремадан фойдаланиб иккинчи тур сирт интеграл-
ларини хисоблаш мумкин. Унда иккинчи тур сирт интеграллари икки
каррали Риман интегралларига келтириб ^исобланади:
j j / (х> У, г) dxdy — | | f (х, у, z (х, //)) dxdy,
’(S) ’(D)
I [ f (х, //, г) dydz = f | / (х (у, г), у, г) dydz.
'(S) *(D)
j | f (x, у, г) dzdx = | | / (x, у (г, x), г), dzdx.
’(S) ’(D)
Ми co л. Ушбу
X“ У~ Z-
интегоални карайлик. Бунда (S) — — -r~ ~— = I эллипсоиднинг z ~ 0 те-
fl2 62 ' t2
кисликдан паст да жойлашган кисми булиб, интеграл шу сиртнинг пастки томони бу«
иича олинган. Равшанки, бу (S) сиртнинг тенгламаси куйидагича булиб, / х2 if2 У а2 b2 унинг Оху текислигидаги проекцияси f x2 И2 3 ) (D)= (л-, ty^R-: L —< И Г а2 b2 ! эпшшсдан иборатдир. сирт хам. бу сиртда берилган Л- Z/“ f (X, у. Z) —; ж -- ,Уг ’ а2 Ь2 фуякшш хам 20.2-теореманинг шартларини каноатлантиради. 1 ( 1 А”2 ' -/2 - / \ л > ( 1 / Л‘2 ?/2 TI ! ~7 -г ~ к~ 1 cixdt/ = - — 4- - kc 1/ JJ \а2 JJ ' 4- V (S) (D) У холда 1 \ , V2 У2 j ... к — -— ахйу a 2 h '2 •
376
булади. Интеграл (S) сиртнинг пастки томони буйича олинганлиги сабаблк тенглик-
нинг \нг томонндаги икки каррали интеграл олдига минус ишораси цуйилди.
Эседи бу
(D)
икки каррали интегрални хисоблаймиз. Икки каррали интегралда
узгарувчилдрни
х = а р cos <р, у b р sin
4. Биринчи в а иккинчи тур сирт и н т е г р а л л а р и о р а с и-
да г и бог лан иш. Биз 19-бобнинг 4-§ да биринчи ва иккинчи тур
эгри чизицли интеграллар орасидаги богланишни ифодалайдиган фор-
мулаларни келтирган эдик.
Шуи га ухшаш, биринчи ва иккинчи тур сирт интеграллари ораси-
даги богланишни ифодаловчи формулалар хам мавжуд.
(S ) сирт ва унда берилган / (х, у, г) ва Р (х, у, г), Q (х, у. г),
Р (х, у, г) функциялар тегишли шартларни цаноатлантирганда (карал-
син, 2-§ нинг 1-пункта) ушбу
( [ / (*, У, z) dydz | j f (x\ -) cos a ds,
‘(S) 2 ' (5)
f f У у г) dzdx = f | / (ач y. cos p ds, (20.13)
(S) (S)
| f f Cv> У'» г) dxdy — J ( / (x\ y, z) cos yds,
<' < • •
(S) (S)
умумий холда
| j P (,r, y, z) dydz — Q (.v, y, z) dzdx -r R (x. y. z) dxdy =
(S)
= I’ j’ [P (x, y, z) cos a 4- Q (A\ у, г) CBSp 4- (x, у, г) cos y] ds
формулалар уринли булади.
Бу формулаларнинг тугрилигпни исботлашни укувчига \авола этамиз.
377
3- §. Стокс формуласи
Р3 фазода z = z (х, у) тенглама билан аникланган силлик (S) сирт
берилган булсин. Бу сиртнинг чегараси д (S) булакли-силлик эгри чи-
зик булсин. (S) сиртнинг Оху текисликдаги проекциясини (D) дейлик.
Унда д (S) нинг проекцияси д (D) дан иборат булади.
Фараз килайлик, (S) сиртда Р (х, у, г) функция берилган булиб, у
узлуксиз булсин. Ундан ташкари бу функция (S) да
дР (х, //. г) дР (х, у, 2) дР (х, у, г)
дх ду ' dz
хусусий хосилаларга эга ва улар узлуксиз булсин.
Ушбу
I Р (х, у, z) dx
P(S)
эгри чизикли интегрални карайлик (унинг мавжудлиги равшан). Агар
д (S) чизикнинг (S) сиртда ётишини эътиборга олсак, у .холда
[ Р (х, у, z) dx — I Р (х, у, z (х, у)) dx
d(S) b(S)
булади.
Энди Грин формуласидан фойдаланиб ушбуни топамиз:
1 Р (х, у, z (х, у)) dx = — ff др (х’ у’ ‘ -- dxdy.
.) JJ ду
d(D) (£>)
Равшанки, Р (х, у, z (х, у)) функциянинг у узгарувчи буйича хусу-
сий хосиласи
дР (х, у, г (а\ у)]
ду
дР (х, у, z (х, у))
дг
у)
булади.
Ушбу бобнинг 2-§ идаги (20.7) муносабатлардан
(X, у)
COS Р
cos у
бу лишний эътиборга олсак,
dz
-•г'(х, у) dxdy =
Z7
cos ВТ t ,
—- dxdy
cos у
у, с
дг
(О)
булади.
Натижада каралаётган интеграл учун куйидаги тенгликка эга
ламиз:
378
| P (x, у, г) dx = —
a'(S)
__ f P dP (x, y, z (x, //)) dP lx, y, z ix. //)) cos (9Q 14)
J J L dy___________________________________________________________dz cos yj
(D)
2-§ даги 20.2-теоремадан фойдаланиб (20.14) тенгликнинг унг то-
монидаги икки каррали интегрални иккинчи тур сирт интеграли орка-
ли ифодалаймиз:
дР (х, /д z (х, //д
(JZ
cos у
Бу тенгликнинг унг томонидаги иккинчи тур сирт интегралини, (20.13)
формулага асосланиб, биринчи тур сирт интегралига келтирамиз:
(20.15)
Г С дР (х, у, z) , рр дР IX, и, z\ р ,
= I I --------------------L cos у ds j I ----------------—---------- COS p d-S.
(5) ~ \S)
Ba шцоят, яна (20.13) формулалардан фойдаланиб куйидагини топамиз:
РР дР (х, у, z) , рр дР lx, у. z} , ,
--------> cos у ds = ----------dxdy,
J J dy J J dy
(S) (S)
f f cos p ds = f f
J J dz J J
dP (x, //, c)
(20.16)
(20.14), (20.15) ва (20.16) муносабатлардан
f P (x\ y, z) dx = ff r| dzdx — — dxdy 20.17)
J J J dz (jу
d(S) (S)
булиши келиб чи^ади.
Худди шундай мулохаза асосида (S) сирт ва унда берилган Q (.г, у, z).
R (х; у, г) функциялар тегишли шартларни бажарганда ушбу
379
27-чизма
чегараси—ёпиц чизикни d(D)
билан белгилайлик (27-чизма).
Q (х, у) функция шу (D)
сохада берилган, узлуксиз бу-
,, dQ(x, у)
либ, —-—— хусусии хрсила-
га эга ва бу росила (D) да
узлуксиз булсин. У холда
(О)
— f Q (х, у) dy (19.24)
д(Ь)
булади.
Бу формуланинг тугрилиги
юцоридагидек муло.\аза юри-
тиш билан исботланади.
f С(д Q — д р {X'J1 \ dx dy. (19.25)
J J \ дх dy I
Энди R2 фазода цараладиган (D) соха юкоридаги икки ^олда к,арал-
гаа соханинг хар бирининг характерига эга булган соха булсин, 3(D)
эса унинг чегараси булсин. Бу (D) сохада иккита Р (х, у) ва Q (х, у)
. ' , дР(х, у) dQ(x,y)
функциялар берилган, узлуксиз булиб, улар ——-----, ———- хусу-
сий хосилаларга эга хамда бу хрсилалар хам (D) да узлуксиз булсин.
Равшанки, бу ^олда (19.23) ва (19.24) формулалар уринли булади.
Уларни хддлаб кушиб ушбуни топамиз:
J Р (х, у) dx+Q (х, у) dx =
a (oj (О)
Бу Грин формуласи деб аталади.
Демак, Грин формуласи соха буйича олинган икки каррали интег-
рални шу соха чегараси буйича олинган эгри чизицли интеграл билан
боглайдиган формула экан.
Биз юкорида Грин формуласини махсус куринишдаги (О) со\алар
(эгри чизикли трапециялар) учун келтирдик. Аслида бу формула анча
кенг синфдгги сохалар учун хам тугри булиб, бу факт у со^аларни
чекли сондаги эгри чизикли трапециялар йигиндиси сифатида тасвирлаш
билан исбот килинади.
2. Грин формуласининг баъзи бир татби^лари. 1°.
Шаклни нг юз ин и топиш. Грин формуласидан фойдаланпб, ясен
шаклнинг юзини содда функцияларнинг эгри чизикли пнтеграллари
ёрдамида хисобланишини курсатиш цийин эмас. Хацикатан хам, (19.25)
формулада Р (х, у) — у, Q (х, у) = 0 дейилса, у холда
булади. Демак,
[ (—у) dx = ^dxdy=D
d\D) (D)
D — — j ydx.
d(b)
356
Агар (19.25) формулада Р (х, у) = О, Q(x, у) = х дейилса, у холда
D = (xdy (19.26)
0(D)
булади.
1 1
(19.25) формулада Р (х, у) = -— --у, Q (х, у) = — х деб оливса, (D)
О Q
соханинг юзи
D- — i xdy — ydx (19.27)
" O'(D)
булади.
Мисо л. Ушбу
Х = • С;°п Я (0 < * < 2л)
у ~ b si n t J v 7
эллипс билан чегараланган шаклнинг юзи топнлсин. (19.26) формулага кура
‘Г?'ТТ’
1 с 1 р
D — I xdy — ydx = — I (a cos tb cos Z -f- b sin ia sin /) di =
c>(P) о
2л
1 Г
-• ~ ab I (cos2 Z-p sin2 t} dt — л ab
0
булади.
2°. Икки каррали интегралларни узгарувчиларн и
алмаштириб хисоблаш. Мазкур курснинг 18-боб, 7-§ ида (А)
сох,ани (D) сохага акслантирувчи
(19.28)
система уша параграфда келтирилган
(D) соханинг юзи
D= Н /(и, о) dudv = П
l) J «J
(Д) (Д)
Г — 3°- шартларни бажарганда
D(u, v)
dudv
(19.29)
булиши айтилган эди. Грин формуласидан фойдаланиб шу формуланинг
тугрилигини исботлаймиз.
Аввало (19.26) формуладан фойдаланиб, (D) соханинг юзи
D = f xdy (19.30)
d(D)
булишини топамиз. Фараз килайлик, о (А) параметрик формада ушбу
U ~ (а < / < Р ёки а > / > В)
V = V (0 1 '7
система билан ифодалансин. У холда куйидаги
х = Ф (и, v) ~ ф {и (0, и (/)), )
У = Ф (и, V) = Ф («(0, V (0) J
357
5°. Arap f(x, у, z) функция (V) да интегралланувчи булса, у хол-
да \f(x, у, z)| функция хам шу сохада интегралланувчи ва
[ f У, г) dV'[< у J у fix, у, z)\dV
V W) ' (V)
булади.
6°. Агар /(.г, у, z) функция (V) да интегралланувчи булса, у хол-
да шундай узгармас сон мавжудки,
z)dV — 4и • V
булади, бунда V—(У) соханинг кисми.
7е. Агар /(х, у, z) функция ёпик (И) сохада узлуксиз булса, у
холда бу сохада шундай (a, b, с) £ (Ю нукта топиладики,
р(х, У, z)dv — f(a, b, c)-V
)V)
булади.
5. Уч каррали интегралларни хисоблаш. [ (х, у, z)
функция (К)={ (*• У, z) £ (А’3: а < х < У, с < г/ < с/, е < z ^ /} сохада
(параллелепипедда) берилган ва узлуксиз булсин. У холда
(’( f f(x> у, z)dz)dy dx
ЩЖ у, z)dV = (
а
булади.
Энди (V) ((V) cr R3) соха—пастдан (х, у), юкрридан г = ф2(х, у
сиртлар билан, ён томондаи эса Oz укига параллел цилиндрик сирт)
билан чегэраланган соха булсин. Бу соханинг Оху текисликдаги проек-
цияси эса (D) булсин.
Агар /(х, у, г) функция шундай (V) сохада узлуксиз булиб, z —
—Ф, (х, у), z—ф,(х, у) функциялар (О) да узлуксиз булса, у холда
ty2(x, У)
f Cf/(x, y, z)dV = [[( f f(x, y, z)d2
(V) ID) Ifdx, y)
булади. Агар юцоридаги холда (£>) = {(x, y)CA2: a
Су<Ф2(х)} булиб, Ф1(х) ва ф2(х) функциялар [а, Ь] да узлуксиз бул-
са, у холда
b, Ф1(х)
ф2 М Ч’г (х, У)
f(x, у, z)dz)dy dx.
J .! ' J
a (f , (.г) У, (x. y)
6. Уч каррали интегралларда узгарувчиларни ал-
маштириш. Уч каррали интегралларда узгарувчиларни алмаштириш
ушбу бобнинг 7-§ да келтирилган икки каррали интегралларда узга-
рувчиларни алмаштириш кабидир. Шуни хисобга олиб, ^уйида уч кар-
рали интегралларда узгарувчиларни алмаштириш формуласини келтириш
билан кифояланамиз.
f(x, у, г) функция (I7) ((y)czR3) со.\ада берилган ва узлуксиз бул-
син, (И соха эса силлиц ёки булакли-силлик сиртлар билан чегара-
ланган булсин.
334
Ушбу
Х=ф(и, и,
У = ф(и, V. йу),
z —у^и. v, ^)J
система (А) ((А)с:/?3) сохани (V) сохага акслантирсин ва бу аксланти-
риш 7-§ да келтирилган Г—3°- шартларни бажарсин. У холда
[ff f(x, у, z)dV -= ф(ц, v, w), у(и, v, ш)) \I\dttdvdw
W "(А)
булади, бунда
дх дх дх
ди ди dw
/ = ду ду by
ди dv dw
дг дг дг
ди до dw
7. Уч каррали интегралнннг баъзи бир татби^лари.
Уч каррали интеграл ёрдамида /?3 фазодаги жисмнинг хажмини, жисм-
нинг массасини, инерция моментЛарини топиш мумкин.
19-БОБ
ЭГРИ ЧИЗИЦЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
Юкоридаги бобда Риман интеграли тушунчасини икки узгарувчили
функция учун кандай киритилишиии курдик ва уни ургандик. Шуи и
хам айтиш керакки, куп узгарувчили функциялар учун интеграл ту-
шунчаси турлича киритилиши мумкин. Виз цуйида келтирадиган эгри
чизикли интеграллар хам конкрет амалий масалалардан пайдо булган-
дир.
1- §. Биринчи тур эгри чизицли интеграллар
I. Биринчи тур эгри чизикли интеграл таърифи.
Текисликда бирор содда АВ* (А = (аъ a2)£R2, В = (6n b^^R2) эгри
чизикни (ёйни) олайлик. Бу эгри чизикда икки йуналишдан бирини
мусбат йуналиш, иккинчисини манфий йуналиш деб кабул цилайлик
(24-чизма).
* Айтайлик, х=ф (/), (Z) функцияларнинг хар бири (а, р)да берилган бул-
син. Бу функциялар (а, Р) да ф'(0» V(0 хрсилаларга эга ва улар узлуксиз булиб,
ф'2 (/) 4-ф'2 (/)>0 булсин.
текисликдаги ушбу
^ = {U, у) ЕЯ2: х=Ф(0, (а, Р)}
туилам содда эгри чизик деб аталади. Содда эгри чизи^ узунликка эга булади.
335
24- чизма
АВ эгри чизицни Л дан
В га караб Ао — A, Alt
Л2, . . . , Ап= В (Ак — (хк ,
ук) £АВ, k—0,1, . . . , п,
А=(*о. Уо)=(«р «3), Л =
= (хп’ у г) = (^1> М нукта-
лар ёрдамида п та булакка
буламиз. Бу Ас, Alt . ,
Аг нукталар системаси АВ
ёйининг булиниши деб ата-
лади ва у
л каби белгиланади Ак Л4+,
ёй (булиниш ёйлари) узун-
ликлари Ask (k — 0, 1,
. . . , п) нинг энг каттаси Р булишнинг диаметри дейилади ва у
билан белгиланади:
лр = max {Asa}.
k
Равшанки, АВ эгри чизикни турли усуллар билан исталган сонда бу-
линишларини тузиш мумкин.
АВ эгри чизикда f(x, у) функция берилган булсин. Бу эгри чи-
зикнинг
Р = {Ло, А„ . . . ,Ап}
булинишини ва унинг х.ар бир Ak Л^ ёйида ихтиёрий Qk — (±к, r|fc)
(Qfe=(^> •••.«) нукта оламиз. Берилган функ-
циянинг Qk= (lk, г)*) нуктадаги /(^, т]*) кийматини Л^+1нинг Asa
узунлигига купайтириб куйидаги йигиндини тузамиз:
п— 1
а=Z 4fe)-Asfe
fe=0
Энди АВ эгри чизикнинг шундай
Л, Р2, • • • , Рт. • - , (19.2)
булинишлари кетма-кетлигини караймизки, уларнинг мос диаметрлари-
дан ташки л топ га н
.D2’ • • • ’ ’**’
кетма-кетлик нолга интилсин: лр -> 0. Бундай булинишларга нисбатан
(19.1) каби йигиндиларни тузиб, ушбу
(Ji, (Ь>,
336
кетма-кетликни хрсил киламиз. Равшанки, бу кетма-кетликнинг х,ар
бир хади Qk=(t,k, T]fe) нукталарга боглик.
19.1- таъриф. Агар АВэгри чизикнинг хар кандай (19.2) куриниш.
даги булинишлари кетма-кетлиги {Рт} олинганда хам, унга мос йигин-
дилардан иборат {от} кетма-кетлик (^, i]ft) нукталарнинг танлаб оли-
нишига боглик булмаган хрлда х.амма вакт битта / сонга интилса, бу
сон о йигиндининг лимити деб аталади ва
п—1
lim а = lim V / (£л, Л&)'А = I
(19.3)
каби белгиланади.
(19.1) йигиндининг лимитини куйидагича хам таърифлаш мумкин.
19.2- таъриф. Агар -\/-8>0 сони олинганда хам шундай 6>0 то-
пилсаки, АВ эгри чизикнинг диаметри ?vp<6 булган хар кандай Р бу-
линиши учун тузилган о йигинди ихтиёрий (£л, цл) С нукталарда
[о — /j < S
тенгсизликни бажарса, I сон о йигиндининг 0 даги лимити деб
аталади га (19.3) каби белгиланади.
(19.1) йигинди лимитининг бу таърифлари эквивалент таърифлардир.
19.3- та ъ риф. Агар Хр->0 да о йигинди четли лимитга эга булса,
у холда /(х, у) функция АВ эгри чизик буйича интегралланувчи де-
йилади. Бу лимит Дх, у) функциянинг эгри чизик буйича биринчи
тур эгри чизицли интеграли деб аталади ва у
y)dS
А
АВ
каби белгиланади.
Шундай килиб, киритилган эгри чизикли интеграл тушунчасининг
узига хослиги каралаётган икки аргументли функциянинг берилиш со-
хаси текпсликдаги бирор АВ эгри чизик эканлигидир. Колган бошка
мулохазапар (булинишларининг олиниши, булаклардан ихтиёрий нук-
та танлаб интеграл йигинди тузиш, тегишлича лимитга утиш) юкорида
киритилган интеграл тушунчалари сингаридир.
2. Узлуксиз функция биринчи тур эгри чизикли
интеграли. Энди биринчи тур эгри чизикли иитегралнинг мавжуд
булишини таъминлайдиган шартни топиш билан шугулланамиз. Юко-
рида кегггирилган 19.3- таърифдан куринадики, биринчи тур эгри чи-
зикли интеграл АВ эгри чизикка хамда унда берилган /(х, у) функ-
циям богли^ булади. Демак, иитегралнинг мавжуд булиши шартини
АВ эгри чизи^ хамда /(х, у) функцияга куйиладиган шартлар оркэли
топиш керак булади.
22—501
337
Фараз цилайлик, АВ эгри чизик ушбу
(19.4)
система билан берилган булсин. Бунда s —4Q ёйининг узунлиги (Q =
= (х, у)£АВ), S эса АВ нинг узунлиги. f(x, у) функция шу АВ эгри
чизикда берилган булсин, Модомики, х = x(s), у = y(s) (0<s<S)
экан, унда (х, у) — f (х (s), у (s)) булиб, натижада ушбу
f (x(s), y(s)) = F(s) (0 < s < S)
мураккаб функцияга эга буламиз.
АВ эгри чизикнинг Р = {До, Аи ... , Ап} булинишини ва \ар бир
AkAk+l да ихтиёрий Qk = (cfe, i\k) нуктани олайлик. ^\ар бир Ак ну^та-
га мос келадиган ААк нинг узунлиги sk, хар бир Qk нуцтага мос кела-
диган AQk нинг узунлиги s’ дейлик. Равшанки, АкАк+1 нинг узунлиги
sfc+1— sk = Ask булади.
Натижада Р булинишга нисбатан тузилган
° = 2 Ж> VAsft
k=0
йигинди ушбу
п—1 п—1 /1—1
2 Ж. = V f(x(s*), y($).\Sk = 2 'ЖГЖ
куринншга келади. Демак,
п—1
o = V F(s‘).Asfc. (19.5)
k==Q
Бу йигиидини [О, S] оралицдаги F(s) функциянинг интеграл йигиндиси
(Риман йигиндиси) эканлигини пайкаш ^ийин эмас (каралсин, 1-кисм,
9-боб, 1-§).
Агар /(х, у) функция АВ эгри чизицда узлуксиз булса, у ^олда
F(x) функция [О, S] да узлуксиз булади. Демак, бу холда F(s) функ-
ция [О, S] да интегралланувчи:
п—1 s
Шундай цилиб, (19.5), (19.6) муносабатлардан да а йигин-
дининг лимити мавжуд булиши ва
s
lim о = [ F(s)ds
кр -*0 о
эканлигини топамиз. Натижада ^уйидаги теоремага келамиз.
338
19.1- теорема. Агар f(x, у) функция АВ эгри чизикда узлуксиз
булса, у холда бу функциянинг АВ эгри чизик буйича биринчи тур
эгри чизикли интеграли мавжуд булади ва
s
I / (х, у) cis = f / (х (s), у (s)) ds
АВ '°
булади.
Бу теорема, бир томондан узлуксиз функция биринчи тур эгри чи-
зикли интегралининг мавжудлигини аниклаб берса, иккинчи томондан
бу' интегралнинг аник интегралга (Риман интеграли га) келишини кур-
сатади.
19.1-эелатма. Эгри чизикли интеграл тушунчаси билан Риман
интеграли тушунчасини солиштириб, уларнинг хар иккаласи йигинди-
нинг лимити сифатида таърифланишини курдик. Айни пайтда бу тушун-
чаларнинг фар^ли томони хам бор. Ушбу
п—1
0 = 2 Ж- (19.5)
k~Q
йигиндидаги As^ хар доим мусбат булиб, АВ эгри чизикнинг йунали-
шига боглиц эмас. Демак,*
J_/(x, у) ds = A f (X, у) ds.
АВ ВА
3. Биринчи тур эгри чизикли пнтеграллариинг хос-
салари. Юцорида курдикки, узлуксиз функцияларнинг биринчи тур
эгри чизикли пнтеграллари Риман интегралларига келади. Бинобарин,
эгри чизикли интеграллар хам Риман интеграллари хоссалари каби хос-
саларга эга булади. Шу ни эътиборга олиб, эгри чизикли интеграллар-
нинг асосий хоссаларини санаб утиш билан кифояланамиз.
(19.4) система билан аникланган АВ эгри чизикда / (х, у) функция
берилган ва узлуксиз.
1°. Агар АВ = АС + СВ булса, у холда
| / (х, у) ds = | / (х, у) ds + J / (х, у) ds
АВ 'АС 'св
булади.
2°. Ушбу
J с f (х, у) ds — с f f (х, у) ds (с = const)
Ав 'ab
тенглик уринли.
АВ эгри чизикда f(x, у) функция билан g(x, у) функция хам берил-
ган ва у узлуксиз булсин.
3°. К^уйидаги
f If (х, у) ± g (х, у)] ds = I / (х, у) ds± J g (х, у) ds
АВ АВ Ав
формула уринли булади.
339
4°. Агар V (х, y)Q АВ да /(х, у) > 0 булса, у холда
f [ (х, у) ds > О
лв
булади.
5°. \f(x, у)\ функция
шу АВ да интегралланувчи ва
[£/ (х, у) ds\ (х, у)\ ds
АВ Хв
булади.
6°. Шундай (q, с2) Q АВ нукта топиладики«
[ f (х, у) ds = / (сь с2) • S
'лв
булади, бунда S — АВ нинг узунлиги.
6°. хосса урта киймат хакидаги теорема деб аталади.
4. Биринчи тур эгри чизикли интегралларни ^исоб-
лаш. Биринчи тур эгри чизикли интеграллар, асосан Риман интеграл-
ларига келтирилиб ^исобланади, Юкорида келтирилган 19.1-теорема га
кура АВ эгри чизик ушбу
X = X (s)l
У == У (s))
(О < s < S)
система билан берилганда (бунда s — ёй узунлиги) га f(x, у) функция
шу АВ да узлуксиз булганда эгри чизикли интеграл Риман интегралига
келди. Демак, бу Риман интегралини хисоблаш натижасида эгри чизи^-
ли интеграл то пи ла ди.
Энди АВ эгри чизик ушбу
Х = (19.7)
У=ф(0)
система билан (параметрик форма да) берилган булсин. Бунда <р(/), Ф(0
функциялар [<х, (3] да <р'(/), Ф' (0 хрсилаларга эга ва бу хосилалар шу
ораликда узлуксиз хамда (ср fa), ф(а))=Д ва (ф(Р), ф(В))=В булсин.
Равшанки, (19.7) система [а, 0] ораликни АВ эгри чизицка акслан-
тиради. Бунда ]у, б] с: [а, Р] нинг АВ чизикдаги А А6 аксининг узун-
лиги
й __________________________
f Кф' 2(/) + Ф'2 (0 dt
булади (каралсин, 1-кисм, 10-боб, 1-§).
340
19.2-теорема. Агар f(x, у) функция АВ да берилган ва узлуксиз
булса, у холда
J f (х, у) ds = J / (ф (О, ф(/)) |/'<р'2 (О + ф'2 (О di (19.8)
АВ а
булади.
Исбот. [а, р] ораликнинг
Р {t0, tlt . . . , /„} (а = /0 < Л < ... <tn = ₽)
булинишини олайлик. Бу булинишнинг булувчи нукталари tk (k — 0, 1,
. . . , п) нинг АВ даги мос аксларини Ak(k — 0, 1, . . . , п) дейлик.
Равшанки, бу Ak(k = O, !,...,«) нукталар АВ эгри чизикнинг
Мо> Ах, . . . , Ап}
булинишини хрсил крлади. Бунда Ak — (<p(Q, ф(М) (& = 0, 1, . . . , п)
ва AkAk,} нинг узунлиги
tk
булади. Урта киймат ^адидаги теоремадан фойдаланиб куйидагини то-
памиз:
Ask = Vф'2(тА) + ф'2(М • (th+x - tk) =V Ф'2(xk) + ф'2(тА)• Atk,
бунда tk < xk < tk+v Энди ф (тА) = lh, ф (xfe) = деб оламиз. Равшанки,
(^> 1ф)€Л>Д,+1 (£ = 0, 1, 2, . . . п—1) булади. АВ эгри чизикнинг
юкррида айтилган
Mi, А, • • • , ^п}
булинишини ва хар бир ЛлЛА+1 да (lk, г)А) нуктани олиб,
п—1
0 = 2 №k’ ^k)-^sk
k=0
йитиндини тузамиз. У ни куйидагича хам ёзиш мумкин:
п—1
° = 2/ ^k’ 1Ъ) A sk =
k=l
п—1 j________________
= 2 /(М- №)) VФ'2(М + ф'2(т,) А/а. (19.8)
k=‘d
Бу тенгликнинг унг томонидаги йигинди /((р(/), 'Ф(О)1 F ф,2(0 + ф'2(0
функциянинг lex, р] ораликдаги Риман йигиндисидир.
341
Шартга кура f (х, у) ва <р' (/), ф' (/) функциялар узлуксиз. Демак,
мураккаб функциянинг узлуксизлиги хацидаги теоремага кура
ф(0) ва демак, / (<р (/), ф(0)- У ф'2(/) 4- ф'2(/) функция [а, |3] ораликда
узлуксиз. Демак, бу функция [а, р| да интегралланувчи булади. Яъни
И—1 _________________
lim5 , „2 /(ф(тЛ 4Чъ)) ] Гф'Х) + ф'2(ч) =
max ' }->0 /j—J > ▼ ' я' 'г \ /?/
= ]7(ф(0. Ф(0) ]/ф'2(0 + <р'2(0 dt.
а
Модомики, х = ф(0, у =ф(0 функциялар [а, ₽] да узлуксиз экан,
унда max {A/J —► О да &xk ->-0, >-0 ва демак, A sfc-*•(). Бундан
эса булиши келиб чикади. (19.8) муносабатдан фойдаланиб
₽____________________________
Итст = ‘ /(ф(/), ф(/))] ф'2(0+ф'2(0 dt
Хр -*0 «’
булишини топамиз. Бу эса
f f(x, у) ds = J /(ф(0. Ф(0) Уц>'2 (t) + (f'2(t)dt.
лв “
эканини билдиради. Теорема исбот булди.
Бу теоремадан куйидаги натижалар келиб чикади.
19.1-натижа. АВ эгри чизик; ушбу
У = У (х) (а < х < Ь, у(а)=А, у(Ь)-=В)
тенглама билан аникланган булиб, у(х) функция [а, 6] да \осилага эга
ва у узлуксиз булсин. Агар / (х, у) функция шу АВ да берилган ва
узлуксиз булса, у холда
ь ___________
J f(x, y)ds = f/(x, y(x))Vi + у'2(х) dx (19.9)
ТгГ' OL
АВ
буллди.
19.2- и ат и ж а. АВ эгри чизик ушбу
Р = Р(9)(0о<О<О1)
тенглама билан (кутб координата системасида) берилган булиб, р(0)
функция [0О, 9J да хрсилага эга ва у узлуксиз булсин. Агар / (х, у)
функция шу АВ да берилган ва узлуксиз булса, у холда
j /(х, y)ds^ j’ /(pcosO, psin
/Zb
булади.
Бу натижаларни исботлашни укувчига хавола этамиз.
9)Kp2+p'2dO (19.10)
342
М ис о л. Ушбу
[ Ух2 4- г/2 ds
АЪ
эгри чизикли интеграл >;исоблансин, бунда АВ— маркази координата бошида, радиу-
си г > 0 га тенг булган айлананинг юкори ярим текисликдаги кисми.
Равшанки, бу АВ эгри чизиц|куйидаги
х — г cos Л
у = г sin t]
(О sC t л )
система билан аникланади. АВ да / (х, у) = Ух2 4* У2 == У (г cos Z)2 4- (г sin /)2 функ-
ция узлуксиз. Демак,
л ___________________ _____________________
| Ух2+г/2 ds = ( У (r cos z»2 4- (г sin Z)2 • У (г cos t)'2 4“ sin f)'2 dt —
5b
Л
= r2 I dt == Л r3
6
булади.
5. Биринчи тур эгри чизикли интегралларнинг баъ-
зи бир татби^лари. Биринчи тур эгри чизикли интеграллар ёрда-
мида ёй узунлигини, жисмнинг массасини, огирлик марказларини топиш
мумкин. Куйида биз биринчи тур эгри чизикли интеграллар ёрдамида
ёй узунлиги кандай хисобланишини курсатамиз.
Текисликда содда АВ эгри чизик берилган булсин. Бу чизикда
f(x, у) = 1 функцияни карайлик. Равшанки, бу функция АВ да узлук-
сиз. /(%, у) функциянинг биринчи тур эгри чизикли интеграли таъри-
фидан куйидагини топамиз:
л—1 л—1
f f(x, у) ds = lim V T]fe) Asfe =,lim VAsa = S.
Ap /г=0 Ap ->0 ^=0
AB
Демак,
S = [ ds. (*)
AB
M и с о л. Ушбу
x ~ x (t) —- a cos3 zi
у ~ у (t) - a sin3 tj
система билан берилган AB чизикнинг узунлиги топилсин. Бу чизик астроидани ифо-
далайди.
(*) форму л ага кура астроиданинг узунлиги
343
булади. Астроида координата у^ларига нисбатан симметрии булишини эътиборга
олиб, юкорида келтирилган (19.8) формуладан фойдаланиб ^уйидагини топамиз:
л
р л/2 _____________ г ____________________________________________
= b j j/"r'2 (/) 4- у'* (/) dt ~ 4 [ У(—За cos2/-sin /(2 + (За sin21 cos/)2 dt =
AB 6 6
_________ л/2
9 a2_____f
4—sin2 2t dt~ 6 a I
о
sin 21 dt ~ 6 a
cos 2 /
~2
л/2
= 6 a.
0
2- §. Иккинчи тур эгри чизицли интеграллар
1. Иккинчи тур эгри чизикли интеграллар таърифи.
Текисликда бирор содда АВ эгри чизикни карайлик. Бу эгри чизикда
/(х, у) функция берилган булсин. АВ эгри чизикнинг
Р — {<4о, Лц . . . , А^
булинишини ва унинг хар бир AkAk, 1 (k = 0,1, ... , п — 1) ёйида их-
тиёрий Qk = (?fe, л*) нуктани (Qk = (Zk, С AkAk+l, k = 0,1, ... га — 1)
олайлик. Берилган функциянинг Q;, = (gft, r,fc) ну^тадаги f (lk, -qfe) кий-
матини AkA,.., нинг Ох (Оу) уедаги A xk (A yk) проекциясига купайти-
риб цуйидаги йигиндини тузамиз:
п— I П—1
Ж* = V ^).Ау,). (19.11)
fe=0 fc=0
Энди АВ эгри чизикнинг шундай
Л, Я, . . . , рт. . . . (19.12)
булинишлари кетма- кетлигини т^араймизки, уларнинг диаметрларидан
ташки л топ г ан мос
кетма-кетлик нолга интилсин:
0.
1 т
Бундай булинишларга нисбатан (19.11) каби йигиндиларни тузиб ушбу
Цр Цо* • • * Ц^,* • * • (^1* ^2* * * • *
кетма-кетликни хрсил киламиз. Равшанки, бу кетма-кетликнинг хар
бир хади, хусусан, (Sfe, ц^) нукталарга хам боглик.
19.4- таъ риф. Агар АВ эгри чизицнинг х;ар ^андай (19.12) кури-
нишдаги булинишлари кетма- кетлиги {Рт} олинганда хам, унга мос
йигиндилардан иборат (’ff"J) кетма-кетлик (gfe, i]ft) нукталарнинг
((^* 'И*) С W-i.}) танлаб олинишига боглик; булмаган равишда хамма
344
ва^т битта Г сонга (Г' сонга) интилса, бу сон а'(о") йириндининг ли-
мити деб аталади ва
п—\
lim ст' = lim 2 = /'
Хр ->0 Хр-»0 I
(lim
Хр —>0
п—1
ст" = lim 2
bp-*Qk~0
(19.13)
^^yk = n
каби белгиланади.
ст' (ст") йириндининг бу лимитини куйидагича хам таърифлаш мумкин.
19.5- таъриф. Агар уе >0 олинганда хам, шундай 6>0 топил-
саки, АВ эгри чизикнинг диаметри Хр < 6 булган хар ^андай Р були-
ниши учун тузилган о'(ст") йигинди учун ихтиёрий (lk, >]ft) нукталарда
((?*> Л*) G А^А^р k = 0,1, . . . , п 1)
|ст' — /'| < 8 (|ст" — Г\ < 8)
тенге из лик бажарилса, Г сон (/" сон) ст' йигиндичинг (ст" йигиндининг)
Хр—>-0 даги лимити деб аталади ва (19.13) каби белгиланади.
Йигинди лимитининг бу таърифлари эквивалент таърифлардир.
19.6- таъриф. Агар да ст' йиринди (ст" йигинди) чекли ли-
митга эга булса, у холда /(х, у) функция АВ эгри чизик буйича ин-
тегралланувчи дейилади. Бу лимит /(х, у) функциянинг АВ эгри чи-
зик буйича иккинчи тур эгри чизикли интеграли деб аталади ва у
f f (х, у) dx (J f (х, у) dy)
АВ АВ
каби белгиланади. Демак,
п-1
J /(х, г/) dx = lim о' =lim f (%k,
Хв xP-,ofe__„o
p n—1
J / (x, t/)dy = lim o" = lim 2 Ж-
Хб Xp->0 Xp->o k=Q
Шундай к^илиб, AB эгри чизикда берилган /г(х, у) функциядан иккита
Ох укидаги проекциялар воситасида ва Оу уцидаги проекциялар восита-
сида олинган иккинчи тур эгри чизикли интеграл тушунчалари кири-
тилди.
Фараз ^илайлик, АВ эгри чизивда иккита Р (х, у) ва Q (х, у) функ-
циялар берилган булиб, \ Р(х, y)dx, fQ(r, y)dy лар эса уларнинг
АВ АВ
кккинчи тур эгри чизикли пнтеграллари булсин. Ушбу
J Р (х, у) dx -ь f Q (г, у) dy
АВ АВ
345
йигинди иккинчи тур эгри чизикли иитегралнинг умумий куринпши
деб аталади ва
f Р (х, у) dx 4- Q (х, у) dy
АВ
каби ёзилади. Демак,
С Р (х, у) dx 4- Q (х, у) dy—\P (х, у) dx + f Q (х, у) dy
'ав АВ АВ
Иккинчи тур эгри чизикли интеграл таърифидан куйидаги натижалар
келиб чикади.
19.3-натижа. Иккинчи тур эгри чизикли интеграл эгри чизикнинг
йуналишига боглик; булади.
Шу ни исботлайлик.
Маълумки, АВ эгри чизикда иккита йуналиш (А нуктадан В нук-
тага ва В нуктадан А нуктага) олиш мумкин (ЛВ, ВЛ; Л =4= В).
АВ эгри чизикнинг юкоридаги Р булинишини олиб, бу булииишга
нисбатан (19.11) йигиндини тузамиз:
i(^ xk ~ *k
Айтайлик, Ар->0 да бу йигинди чекли лимитга эга булсин. Демак,
lim
Хр —>0
л
п— I
2
А’-0
у') dx.
(19.14)
АВ
= J Ж
Энди АВ нинг уша Р булинишини уамда хар бир AkAkL] даги уша
(?Zt, т^) ну^таларнн олиб, АВ эгри чизикнинг йуналишини эса В дан
Л га цараб деб ушбу йигиндини тузамиз:
__ п—I
°' ----- 2 f ^k)-(xk-xk+x
k - о
Хр~>0 да бу йигинди чекли лимитга эга булса, у таърифга биноан
ушбу
j / (х, у) dx
ВА
интеграл булади:
346
эканлигини эътиборга олсак, у холда да а' йигиндининг чекли
лимитга эга булишидан о' йигиндининг хам чекли лимитга эга булиши
ва _
lim о' — — lim о'
Хр—>0 Хр —*0
тенгликнинг бажарилишини топамиз. Демак,
J/(x, у) dx — — f/(х, y)dx.
Л~В
Худди шунга ухшаш
f f(x, y)dy = — | f(x, y)dy
aS
булади.
19.4-натижа. AB эгри чизик Ox укига (Оу укига) перпендику-
ляр булган тугри чизик кесмасидан иборат булсин. f(x, у) функция шу
чизикда берилган булсин.
У холда
| f (х, у) dx (I / (х, у) dy)
АВ АВ
мавжуд булади ва
I f(x, y)dx = 0 (f /(х, y)dy = 0).
/Гв дв
Бу тенглик бевосита иккинчи тур эгри чизикли интеграл таърифидан
келиб чикади.
Энди АВ — содда ёпик эгри чизи^ булсин, яъни А ва В нукталар
устма- уст тушсин. Бу ёпик чизикни К деб белгилайлик. Бу содда
ёпик чизикда хам икки йуналиш булади. Уларнинг бирини мусбат йу-
налиш, иккинчисини манфий йуналиш деб кабул килайлик. Шундай
йуналишни мусбат деб т^абул циламизки, кузатувчи ёпик чизиь; буйлаб
харакат килганда, ёпик чизик
билан чегараланган соха унга
нисбатан хар доим чап томон-
да ётсин.
Фараз ^илайлик, К содда
ёпик чизикда /(х, у) функция
берилган булсин. Бу К чизик-
да ихтиёрий иккита турли нук-
таларии олиб, уларни Л ва В
билан белгилайлик. Натижада
К ёпик чизик иккита АаВ ва
ВЬА чизикларга ажралади (23-
чизма).
25- чизма
347
Ушбу
С f (х, у) dx +
АаВ
| f (х, у) dx
BbA
интеграл (агар у мавжуд булса) f (х, у) функциянинг К ёпик чизик;
буйича иккинчи тур эгри чизикли интеграли деб аталади ва
| f (х, у) dx ёки
к
j f (х, у) dx
к
каби белгиланади. Бунда К ёпик чизикнинг мусбат йуналиши олинган.
(Бундан буен ёпик чизик буйича олинган интегралларда, ёпик чизик
мусбат йуналишда деб караймиз.) Демак,
Г / (X У) dx == i f (л, у) dx + 1 f (х, у) dx.
i • > t /
АаВ BbA
Худди шунга ухшаш
( / (х, у) dy
к
\амда, умумий х.олда
f Р (х, у) dx 4- Q (х, у) dy
К
интеграллар таърифланади.
АВ фазовий эгри чизик булиб, бу чизикда f (х, у, z) функция бе-
* - чх ж-»»* -.:.j
рилган булсин. Юкоридагидек, f (х, у, г) функциянинг АВ эгри чизик
буйича иккинчи тур эгри чизикли интеграллари таърифланади ва улар
( f (х, у, г) dx, f / (х, у, z) dy, j f (х, у, z) dz
'лв АВ 'лв
каби белгиланади. Умумий холда АВ да Р (х, у, 2), Q (х, у, z) RJx, у, г)
функциялар берилган булиб, ушбу
f Р (х, у, 2) dx, j Q (х, у, z) dy, [ R (х, у, г) dz
АВ лв Хв
интеграллар мавжуд булса, у холда
йигинди иккинчи тур эгри чизикли интегралнинг умумий куриниши
деб аталади ва у
i Р (х, у, г) dx + Q (х, у, г) dy + R (х, у, z) dz
АВ
348
каби белгиланади. Демак,
[ Р (х, у, z) dx + Q (х, у, z) dy + R (х, у, z) dz = ( Р (х, у, z) dx+
АВ АВ
+ ( Q О, У, г) dy + J R (х, у, z) dz.
'ав 'ав
2. Узлуксиз функция иккинчи тур эгри чизикли
интеграли. Энди иккинчи тур эгри чизикли интегралнннг мавжуд
булишини таъминлайдиган шартни топиш билан шугулланамиз.
Фараз цилайлик, АВ эгри чизи^ ушбу
х = ф (О I ,rj
у = Ф (О /
(19.15)
система билан (параметрик формада) берилган булсин. Бунда <р(/) функ-
ция [а, Р1 да <р' (/) хосилага эга ва бу хрсила шу ораликда узлуксиз,
ф (/) функция ^ам [а, |3] да узлуксиз хамда (ф (а), ф (а)) = А ва (ф(Р),
ф (Р)) — В булсин.
t параметр а дан р га караб узгарганда (х, у) = (ф (/), ф (/)) нукта
А дан В га караб АВ ни чиза борсин.
19.3-теорема. Агар f (х, у) функция АВ да берилган ва узлук-
сиз булса, у холда бу функциянинг АВ эгри чизик буйича иккинчи
тур эгри чизикли интеграли
J f (х, у) dx
'ав
мавжуд ва
J f (X, у) dx = [f (ф (О, ф (/)) • ф' (О dt
АВ d
булади.
Исбот. [а, р] ораликнинг
К’ ^1> • • • ’ ^0 < < • • < Р)
булинишини олайлик. Бу булинишнинг булувчи нукталари tk, (k — 0, 1,
...,«) нинг АВ даги мос аксларини Ak дейлик (k =0, 1, . . . , п).
Равшанки, бу Ak нуцталар АВ эгри чизицнинг
{^0’ ^1* • • • >
булинишини хрсил ^илади. Бундан Ak =(ф(4)- О Г . • п)
булади. Бу булинишга нисбатан (19.11) йигиндини
п—1
349
тузамиз. Кейинги тенгликда &xk— Ад/4+1 нинг Ох укдагя проекиияси
— xk = <р (4+1) — ср (tk)
га тенгдир.
Лагранж теоремасидан фойдаланиб топамиз:
ф (4+i) - v (tk) = ф' (0,3 • (4+1 - 4) = ф' (0д.) • Л4 (0, с 14, 4. J)
Маълумки, (t,k, iy G ЛЛ+i (k = О, 1, . . . п — 1). Агар бу (sv t]J
нуктага аксланувчи нуктани TA (Tfc ^1'0 дейилса, унда
lk = Ф (4)> П* = Ф (4)
булади. Натижада о' йигинди куйидаги куринишга келади:
и—1
а' = 2 (4)>ф <т*)) ф/ 'Ofr) А^-
А—О
Энди кр ~ max {Д/А,}->0 да (бу холда Хр хам нолга интилади) of
йигиндининг лимитини топиш макса ди да унинг ифодасини узгартириб
куйидагича ёзамиз:
о' = У / (Ф (ъ)> Ф (4)) • Ф1 (S) А 4+ 2 1~ -ф ф [ф (°*) —
Ь 0 /?г= о
— ф'(4)ГА4- (19.16).
Бу тенгликнинг унг томонидаги иккинчи кушилувчипи бахрлаймиз:
п—1
I у Z (ф(тД ("4)) !ф' (4)1 А lk
п— 1
<2 1 (ф (т*)’ (т*)) 11 ф' (°*) “ ф' ("4) IА4 <
Г2—1
< м V I ф' (0,3 - ф' (т,31А 4,
А—0
бунда
М = max |/(ф(/), 4’(/)|.
а < t < 3
ф'(() функция \d, р] да узлуксиз. У хрлда Кантор теоремасининг на-
тижасига кура, V е > 0 олинганда хам шундай 6 > 0 топиладики,.
[а, р] ораликнинг диаметри < 6 булган .хар кандай Р булинвш учун
IФ' (0д) - Ф' (4) J < \ С !4. 4-1D
булади. Унда
| 2 f (f₽ (т3- ф (4)) 1ф' (f4) - Ф (4)1 А41 < М V —2—
п — 1
350
Демак,
П— I
Нт 5 ГД 4 СО)1ф' (0О — Ф1 (Tjl л С. = 0
Хр—>0 k-~= о
булади. Бу муносабатни эътиборга олиб, (19.16) тенгликда Хр->0 да
лимитга утиб куйидагини топамиз:
п—1
lim о' = lim V /(<р(т), 4(т,г)) ф'(т^)А^ =
3
= f /(ф(0, 4(0)ф'(0 dt-
а
Демак,
[*)
1 f (х, у) dx = f f (<р О), 4 (0) ф' (0 dt-
'Г'о а
А В
Теорема исбот булди.
Энди (19.15) системада <р (Z) функция [ос, pj да узлуксиз, ц(/) функ-
ция эса |cz, [3] да ф' (I) хосилага эга ва бу косила шу ораликда узлук-
сиз булсин.
19.4-т еоре ма. Агар f(x, у) функция АВ да берилган ва узлук-
сиз булса, у холда бу функциянинг АВ эгри чизик буйича олинган
иккинчи тур эгри чизикли интеграли
f / (-V, У) dy
АВ
мавжуд ва
з
f f (-V, y)dy = f Нф(0> 4(0) 4' (0 di
Дгт, ce
AB
булади.
Бу теорема юкоридаги 19.3-теорема каби исботланади.
Бу теоремалар, бир томондан, узлуксиз функция иккинчи тур эгри
чизикли интегралининг мавжудлигини аник лаб берса, иккинчи томон-
дан, бу интеграл аник интеграл (Риман интеграли) оркали ифодалани-
шини курсатади.
АВ эгри чизик (19.15) система билан берилган булиб, ср (0, ф (0
функциялар [а, [У] да ср' (0, ф' (0 хосилаларга эга ва бу хосилалар уз-
луксиз булсин.
Агар АВ эгри чизикда иккита Р(х, у) ва Q (х, у) функциялар бе-
рилган булиб, улар шу чизикда узлуксиз булса, у холда
f Р (х, у) dx + Q (х, у) dy = J Р [(ф (/), 4 (/)) ф'(t) 4-
АВ
+ Q (ф (0, 4 О) 4' (01 dt
булади.
351
iLialurt
3. Иккинчи т у р э г р и ч и з и ц л и иитегралнинг х о с с а л а-
ри. Юкорида келтирилган теоремалар узлуксиз функцияларнинг иккин-
чи тур эгри чизикли интегралларини, бизга маълум булган аник; интег-
грал — Риман интегралларига келишини курсатади. Бинобарин, бу эгри
чизикли интеграллар хам Риман интеграллари хоссалари каби хоссалар-
га эга булади. Утган параграфда эса худди шундай мулохдза биринчи
тур эгри чизикли интегралларга нисбатан булган эди. Шуларни эъти-
борга олиб, иккинчи тур эгри чизикли интегралларнинг хоссаларини
келтиришни ва тегишли хулосалар чицаришни укувчига хавола этамиз.
4. Иккинчи тур эгри чизикли интегралларни хисоб-
лаш. Юкорида келтирилган теоремалар функциянинг иккинчи тур эгри
чизикли интегралларининг мавжудлигини тасдиклабгина колмасдан улар-
ни \исоблаш йулини курсатади. Демак, иккинчи тур эгри чизикли ин-
теграллар хам, асосан Риман интегралларига келтирилиб хисобланади:
з
f f(x, y)dx — f ф(0) ф'Ю^. (19.17)
Хв “
₽
J f (х, у) dy = p (Ф (/), ф (0) Ф' (0 dt, (19.18)
3
J P (x, y) dx + Q (x, y) dy = J ]P (ф (/), Ф (/)) ф' (/) +
+ £(ф(/), W)) ty'(t)[dt. (19.19)
Хусусан, AB эгри чизик
У = У (х) (я < х < Ь)
тенглама билан аникланган булиб, у(х) функция [а, Ь\ да ^осилага эга
ва у узлуксиз булса, (19.17), (19.19) формулалар куйидаги
ь
( / (х, y)dx = р (х, у (х)) dx,
АВ а
(19.20)
( Р (х, у) dx-rQ (х, у) dy = f [Р (х, у (х)) -г Q (х, у (х)) у’ (х)] dx
куринишга келади.
Шунингдек, АВ эгри чизик
х = х (у) (с < у ^d)
тенглама билан аникланган булиб, х(у) функция [с, d] ораликда хоси-
лага эга ва узлуксиз булса, (19.18) ва (19.19) формулалар куйидаги
ь
\ f U, y)dy = ^f(x(y), y)dy, (19.21)
Хв
352
d
( P (x, y)dx + Q (x, y) dy = \ [P (x (y), y) x' (i/) + Q (x (y), y)J dy
лв c
(19.22)
куринишга келади.
Мне о л лар. 1. Ушбу
j у2 dx 4- л*2 dy
ав
интегралнн карайлик. Бунда АВ —
х2 у2
— 4- —
а2 ‘ Ь2
эллипснинг юкори ярим текисликда-
ги ^исмидан иборат.
Эллипснинг параметрик тенгламаси цуйидагича булади:
х — a cos /, 1
у — b sin t. J
А = (а, 0) ну^тага параметр t нинг t ~ 0 цнймати, В = (— а, 0) ну^тага эса I ~ л
^иймати мос келиб, t параметр 0 дан л гача узгарганда (х, у) ну^та А дан В га
караб эллипснинг юкори ярим текисликдаги кисмини чизиб чи^ади. Р (х, у) = у2,
Q (х, у) — х2 функциялар эса АВ да узлуксиз. (19.9) формуладан фойдаланиб к4уйи-
дагини топамиз:
л
J у2 ах + х2 dy = j [ b2 sin2 / (— a sin I) 4- a2 cos2- tb cos /] di =
ab °
л
= ab | (a cos3 t — b sin3 /) dt — — — ab2.
b 3
2. Ушбу
J 3 x2 у dx 4- U3 4- 1) dy
ЛВ
интегралнн карайлик. Бунда AB эгри чизик:
а) (0,0) нуктадан чиккан (0,0) ва (1,1) нукталарни би рлаштирувчи тутри чизик
кесмаси,
б) (0,0) дан чиккан (0,0) ва (1,1) нукталарни бирлаштирувчи у — х2 парабола*
нинг ёйи,
в) (0,0) нуктадан чиккан (0,0), (1,0), (1,1) нукталарни бирлаштирувчи сини^ чи-
зик дан иборат.
Юкоридаги (19.20), (19.21) ва (19.22) формулалардая фойдаланиб куйидагиларни
топамиз:
а) холда
1 1
f 3x*ydx + (х’4- \)dy = J* [3x2x4- (х3-!- l)]dx= [ (4 х’+ l)rfx= 2,
АВ ” •
б) холда
1 1
[ Зх2 ydx 4- (х3 4- 1) dy = f [Зх2 х2 4- (х3 4- 1) 2х] dx = f (5х*+ 2x)dx = 2,
АВ 0 9
в) холда
j Зх2 ydx 4- (х3 4- LW = j 3 х2 ydx 4- (х3 4* 1) dy 4~ J Зх2 ydx 4- (х34~ 1) dy,
АВ ^дс СВ^
бунда ЛС—(0, 0) ва (1, 0) нукталарни, СВ — (1, 0) ва (I, 1) нукталарни бирлашти-
рувчи тугри чизи^ кесмаларидан иборат.
23—501
353
Равшанки,
l
i 3x2 ydx + (x3 + 1) dy — 0, [ 3x2 ydx -f- (x3 4- 1) dy~ [ 2 dy ~ 2.
'ac CB °
Демак,
f 3x2 ydx -f- (x® + 1) dy = 2.
Xb
3- §. Грин формуласи ва унинг татбицлари
Маълумки, Ньютон — Лейбниц формуласи f (х) функциянинг fa, 5]
оралик буйича олинган аник интегралини шу функция бошлангич функ-
циясининг оралик чеккалари (чегаралари) даги кийматлари ортали ифо-
далар эди.
Бирор (D) сохада ((D) ~ R1) берилган /(х, у) узлуксиз функциянинг
икки каррали
Ш (х, у) dxdy
(Ь)
интегралини тегишли функциянинг шу соха чегарасидаги кийматлари
оркали (аиикроти, соха чегараси буйича олинган эгри чизикли интеграл
ордали) ифодалайдиган формула хам мавжуд. Куница бу форму лани
келтирамиз.
1. Грин формуласи. Юдоридан у — ф2(х) (я <х < Ь) функция
графиги, ён томонлардан х — а, х —Ь вертикал чизидлар дамда паст-
дан yY = <рг (%) (а С х < Ь) функция графиги билан чегараланган сода-
эгри чизикли трапецияни дарайлик. Бу сохани (D) билан, унинг чега-
раси— ёпик чизидни d(D) билан белгилайлик (26-чизма).
Равшанки, АВ — <р2 (х) Функция графиги, ЕС — <рг (х) функция гра-
фиги хамда
5(D) = ЕС + СВ +ВА + АЕ.
дР (к, у)
узлуксиз булиб, —'——
ду
хусусий хосилага эга ва
у дам (D) да узлуксиз
булсин. У долда ушбу
ff д- ’—ЕЛЕ dxdy
(D)
интеграл мавжуд булади
ва 18-бобнинг 6-§ идаги
формулага кура
(О)
b ф2 (/?)
ЕЕЛЛ'-dy )dx
J \ J ду }
G (X)
354
булади. Энди
<р2 и)
<ц (*)
dy = Р (х, у)
У=Ч>2 (X)
г/=(р! (х)
= Р С, Ф2 W) — Р (х, фх (х))
булишини эътиборга олиб куйидагини топамиз:
Ц У' dxdy = \Р (х, ф2 (х))dx — \ Р (х, (ft (,r))dx.
Ф) а а
Ушбу бобнинг 2-§ идаги (19.20) форму лага бнноан
ъ , ь
J Р (х, <р2 (х)) dx = J Р (х, у) dx, I Р (%t Ф1 ((%)) dx = f P (x, y) dx
a Ев ° ~^c
булади. Демак,
| ( д P (X, y) dx d ( p (x, y) dx — | p (x, y) dx =
rW ду y Л
AB EC
= — ( P(x, y)dx — \ P(x, y)dx.
A a
BA EC
Равшанки,
J P (x, y) dx = 0, P (x, y) dx = 0.
СВ EA
Бу тенгликларни хисобга олиб куйидагини топамиз:
dx dy = — j Р (х, у) dx — Р (х, у) dy — j Р (х, у) dx —
ЕС^ св' 'ва
ГР<9Р(х,
J J ду
Е)
Энди, юцоридан у = с\ пастдан у = d чизицлар, ён томондаи эса
х = (у)> У 4'2 (У) функциялар графиклари билан чегараланган со-
ха— эгри чизикли трапециями дарайлик. Бу сохани (D) билан, унинг
355
буйича уч каррали интеграли (Риман интеграли) дейилади ва у
П' f / (х, У, г) dV
'(V)
каби белгиланади. Демак,
f f f f (x, у, z) dV = limо = lim V/ (^, r)A,
f (x, y, z) функция (V) да ((/) cz А?3) берилган булиб, у шу сохада
чегараланган булсин:
т < f (х, у, z) < М (V (х, у, z) G (V)).
(И) соханинг булинишлар дуплами (Р} нинг хар бир булинишига
нисбатан f (х, у, г) функциясининг Дарбу йигиндилари
п п
sP (f)=VMkvk
k=l А=1
ни тузиб, ушбу
К (/)}; {Sp (/) i
тупламларни царайлик. Равшанки, бу тупламлар чегараланган булади.
18.11-таъриф. bp (/)! тупламнинг аник юкори чегараси / (х, у, г)
функциянинг куйи уч каррали интеграли деб аталади ва у
f (х, у, 2) dV
(Г)
каби белгиланади.
! Sp (j)) тупламнинг аник куйи чегараси f (х, у, z) функциянинг
юкори уч каррали интеграли деб аталади ва у
I = П'Г / (х, у, г) dV
’ (V)
каби белгиланади.
18.12-таъриф. Агар / (х, у, z) фуркциянинг куйи хамда юкрри
уч каррали интеграллари бир-бирига тенг булса, у ^олда / (х, у, г)
функция (V) да интегралланувчи деб аталади ва уларнинг умумий
киймати
I — fff / (х, у, z) dV = iff / (х, у, г) dV
“) <v>
i (х, у, z) функциянинг уч каррали интеграли (Риман интеграли)
дейилади.
fj’l f (х, у, z) dV = Ji’i’ f (х, у, z) dV — fj'f f (х, у, г) dV.
<V) (Tf V)
2. Уч каррали интегралнинг мавжудлиги. / (х, у, г)
функция (V) ((Р)сг/?3) сохада берилган булсин.
332
18.10 -теорема. 7 (х, у, z) функция (I/) сохада интегралланувчи
булиши учун V е > 0 олинганда хам шундай 6 > 0 топилиб, (V) со-
ханинг диаметра Хр < 6 булган хар киндай Р булинишига нисбатан
Дарбу йшшндилари
SPV)-sptf)<z
тенгсизликни цаноатлантириши зарур ва етарли.
3. Интегралланувчи функциялар синфи. Уч каррали
интегралнинг мавжудлиги ха^идаги теоремадан фойдаланиб, маълум
синф функцияларининг интегралланувчи булиши курсатилади.
18.11 -теорема. Агар f (х, у, z) функция чегараланган ёпик (V)
((V) cz R3) сохада берилган ва узлуксиз булса, у шу сохада интеграл-
ланувчи булади.
18.12 -теорема. Агар f (х, у, z) функция (V) сохада чегаралан-
ган ва бу соханинг чекли сондаг ноль хажмли сиртларида узилиш-
га эга булиб, колган барча нукталарда узлуксиз булса, функция (V)
да интегралланувчи булади.
4. Уч каррали интегралнинг хоссалари. Уч каррали ин-
теграллар дам ушбу бобнинг 5- § ида келтирилган икки каррали ин-
тегралнинг хоссалари каби хоссаларга эга.
Г. f (х, у, г) функция (V) сохада берилган булиб, (V) сода ноль
дажмли (S) сирт билан (I/J ва (V,) сохаларга ажратилган булсин. Агар
f (х, у, z) функция (К) да интегралланувчи булса, функция (VJ ва (V2)
сохаларда хам интегралланувчи булади, ва аксинча яъни f (х, у, г)
функция (уУ) ва (V2) содаларнинг хар бирида интегралланувчи булса,
функция (V) да дам интегралланувчи булади. Бунда
fff/ (х, у, z) dV = fff f (х, у, z) dV + fjf f (x, у, z) dV
'(V) (V,) пФ
булади.
2°. Arap f (x, y, z) функция (V) да интегралланувчи булса, у холда
c-f (х, у, z) (с = const) функция хам шу сохада интегралланувчи ва
ушбу
fl f с f (х, у, z) dV = с iff f (х, у, z) dV
(V) (Г)
формула уринли булади.
3°. Arap f (х, у, г) ва g (х, у, г) функциялар (V) да интегралла-
. нувчи булса, у холда / (х, у, z) ± g (х, у, г) функция хам шу сохада
интегралланувчи ва ушбу
ffj' 7 (х, у, z)± g (х, у, г)] dV = fff f (х, у, z) dV ± fff g (x, у, z) dV
"(V) ' ‘(У) ‘(vj
формула уринли булади.
4°. Arap f (х, у, z) функция ('/) да интегралланувчи булиб,
V (х, у, г) £ (V) учун f (х, у, г) > 0 булса, у холда
fff/(x, у, z)dV>0
(V)|
булади.
333
интеграл мавжуд булса, у холда ушбу
d b
J |]' /' (.г, у) dx | dy
с а
интеграл хам мавжид булади ва
d b
f ;7(х, y)dD = )' • l7 (х, y)dx] dy
(D) с а
булади.
Бу теореманинг исботи юкоридаги теореманинг исботи кабидир.
18.6-теорема ва 18.7-теоремалардан куйидаги натижалар келиб
чи^ади.
18.4-натижа. /(х, у) функция (D) сохада берилган ва интеграл-
ланувчи булсин. Агар х(хб[я, Ь]) узгарувчининг хар бир танин к^ий-
d
матида f/(x, y)dy интеграл мавжуд булса, y(y£[c,d\) узгарувчининг
ь
ь
хдр бир тайин кийматида ।7(х, y)dx интеграл мавжуд булса, у уолда
ушбу
; i (/(х, y}dy\dx, fl |7(х, y)dx]dy (18.13)
.-Lt < L •
a c c a
интеграллар хам мавжуд булади ва
f f f (х, y)dD = f [ f f (x, y) dy] dx = f f f / (x, y) dx] dy
(D) a c c a
булади.
18.5-натижа. Arap f(x, у) функция (D) сохада берилган ва уз-
луксиз булса, у холда
интегралларнинг хар бири мавжуд ва улар бир-бирига тенг булади.
(18.13) интеграллар, зузилишига кура, икки аргументли функция-
дан аввал бир аргументи буйича (иккинчи аргументини узгармас хи-
соблаб туриб), сунг иккинчи аргументи буйича олинган интеграллар-
дир. Бундай ннтегралларни такрорий интеграллар деб аташ (такрорий
лимитлар сингари) табиийдир.
Шундай килиб, каралаётган холда каррали ннтегралларни ^исоб-
лаш такрорий ннтегралларни хисоблашга келтирилар экан. Такрорий
интегралнн хисоблаш ьса иккита оддий (бир аргументли функциянинг
интегралини) Риман интегралини кетма-кет хисоблаш демакдир.
18.2- э с л а т м а. Юкорида келтирилган 18.6- теоремани исботлаш
жараёнида курдикки, тугри туртбурчак (О) соха, томонлари мос ра-
вишда Ал^, Az/Z, булган тугри туртбурчак сохалар (£\-0) ларга ажратил-
ди. Равшанки, бу элементар соханинг юзи Dik = Лхр^у^ булади.
310
Аввал айтганимиздек, Ах ни dx га, Ау ни dy га алмашгириш мум-
кинлигини х^амда а^х Ь, с < у < d эканини эътиборга олиб, бундам
буен интегралнн ушбу
1(D)! (% dD
куринишда ёзиш урнига
b d ! d b
f f / (%, y)dy dx ёки f f f (x, y) dx dy )
a с \ c a /
каби хам ёзиб кетаверамиз.
М и с о л. Ушбу
У (1 + л-2-j-z/2)’/2 dXdlJ
интеграл >;исоблансин, бунда (D) — {х, у) С /?2:0 х 1, 0 у 1 ].
Интеграл остидаги
3
2
функция (D) сохада узлуксиз. Унда каралаётган икки каррали интеграл хам.
dx
о
интеграл хам мавжуд.
18.7-теоремага кура
интеграл мавжуд булади ва
булишини хисобга олсак, унда
811
эканини топамиз. Демак.
Р р xdx dy
J J “(1-I-X2 +
(D)
18- чизма
18.8-теорема. f(x,y) функция
ралланувчи булсин. Агар х{х£\а,Ь\)
кийматида
ф2(Х)
Энди (D) coxa ушбу
(D) = {(x, y) Q R2: a C x<J).
<Pi(x) < у < <p2(x)}
куринишда булсин. Бунда фх(х)
ва ф2(х) [а, b] да берилган ва уз-
луксиз функциялар (18-чизма).
(D) сохада берилган ва интег-
узгарувчининг \ар бир тайин
/ W = 1' f(x, у) dy
интеграл мавжуд булса, у хрлда ушбу
b Ф2(х)
fl f / (х, y)dy]dx
a <pi(x)
интеграл хам мавжуд булади ва
Ь Ф2(х)
ff f(x, y)dD = f [ f f(x,y)dy]dx
(D) 'а фх(х)
булади.
Исбот. ф/х) ва ф2(х) функциялар [а,Ь\ да узлуксиз. Вейерштрасс
теоремасига кура бу функциялар [а, Ь\ да узининг энг катта ва энг
кичик кийматларига эришади. Уларни
min фг(х) = с, max ф2(х) = d
а<х<,Ъ а<х<Ь
деб белгилайлик.
Энди
(DJ = { (х, у) С R2: а С х < b, c^y^d}
сохада ушбу
/7 ) = I ’ агар булса,
), 0, агар (х, y)Q(Dl)\(D) булса
функцияни карайлик.
Равшанки, теорема шартларида бу функция (DJ сохада интеграл-
ланувчи ва интеграл хоссасига кура
( [ (х, y)dD = f f (х, y)dD + f f (x,y}dD =
№ (D) (do\(D)
f \f(x,y)dD (18.14)
(D)
312
булади. Шунингдек, х(л'€[й, 6]) узгарувчининг хар бир тайин циима-
тнда
d
11W = J7 (*. y)dy
С
интеграл мавжуд ва
d Ф1(х) Ф2(.г)
Л(х) = I Г (X, Ж = ( /*(х, y)dy + i /*(х, (/) dy +
С С
d <р2(х)
+ I /*(х. y)dy — y\x,y)dy (18.15)
<р'2(Х) (Pt(X)
булади. Унда 18.6-теоремага кура
J [ |7* Ж'/l dx
а с
интеграл хам мавжуд булади ва
f f Г(х, У) dD = I /*(х, y)dy]dx
(O’l) а с
булади.
(18.14) ва (18.15) муносабатдак
Ь Ф2(х)
f(x,y) dD = J | f f(x,y)dy ]dx
(D) a <Pt(x)
булиши келиб чикади. Теорема исбот булди.
Энди (D) со^а ушбу
(D) =-- {(х,у) QR-: С х < 4’(«/), с С у < d}
куринишда булсин. Бунда i|\(#) ва ДО берилган узлуксиз
функциялар (19- чизма).
18.9-теорема. f(x,y) функция (D) сохада берилган ва интег-
ралланувчи булсин. Агар y(yQ[c,d]) узгарувчининг \ар бир тайин
кийматида
Ку) = (' f(x,y)dx
ЧМУ)
интеграл мавжуд булса, у холда ушбу
d y2(t/)
|'[ ( f(x,y)dx]dy
С
интеграл хам мавжуд булади ва
\\ fix,у) dD = ]' j ( /(.г, y)dx]dy
\b) 'с "
булади.
Бу теореманинг исботи 18.8-теореманинг исботи кабидир.
313
19- чизма
20-чизма
Фараз килайлик, (D) coxa ((D) с= R1) юкорида каралган сохаларнинг
хар биринннг хусусиятига эга булсин (20- чизма).
18.6-натижа” /'(%, у) функция (D) сохада берилган ва интеграл-
ланувчи булсин. Агар xCcCjfl, b] узгарувчининг хар бир тийин кий-
матида
<₽2w
j f(x, y)dy
ФИО
интеграл мавжуд булса, у(у£[с, d]) узгарувчининг хар бир тайин
кийматида
^2<У)
J Ж y)dx
интеграл мавжуд булса, у холда
Ь <р,(Х d Ч’2(у)
И f f(x, y)dy ] dx, J ] f f(x, y)dx\dy
а (рИх)
интеграллар хам мавжуд ва
ь <Pi(x)
J’ f / (-V, у) dD = ([ J7 (x, y)dy \dx =
(D) a (Pi(x)
= j[ J /(*- y)dx]dy
булади.
Бу натижанинг исботи 18.8-
теорема ва 18.9-теоремадан ке-
либ чикади.
Агар (D) соха 21-чизмада тас-
вирланган соха булса, у .\олда
бу соха юкорида урганилган со-
халар куринишига келадиган ки-
314
либ булакларга ажратилади. Натижада (D) соха буйича икки каррали
интеграл ажратилган сохалар буйича икки каррали интеграллар йигин-
днсига тенг булади. Шундай килиб, биз интеграллаш сохаси (D) нинг
етарли кенг синфи учун каррали иинтегралларни такрорий интеграл-
лар га келтириб ^исоблаш мумкинлигини курамиз.
Мисоллар. 1. Ушбу
f f e~yZ dxdy
(О)
интегралнн карайлик, бунда (D) = !(х, у) £ /?2:0 х С /н Й У У- Бу холда
18.7-теореманинг барча шартлари бажарилади. Уша теаремага кура
И е у~ dxdy— Ц у" dx] а'-'
'(b) о о
булади. Бу тенгликнинг унг томонидаги ннтегралларни хисоблаб цуйидагиларни то-
пами з:
( С—У2 dx — ус
6
Де мак,
2. Ушбу
i ху dx dy
(Ь)
интегралнн каРайлик, бунда (D) = {(х, у) б Я2:0 х
да 18.6-теореманинг барча шартлари бажарилади. Унда
О у — х; • Бу .\ол -
Xi
(D)
булади.
(О)
24
интегралнн царайлик, бунда (7)) — рх, у.) б ^2-0 х У 1, О У у 1 —
да !8.6-теореманинг барча шартлари бажарилади. Уша теоремага кура
Бу хол-
(Я)
булади. Ннтегралларни хисоблаб топамиз:
1 1-х
j I х “Ь У dy j dx == j
0 L I) О
X р=1— х
V1: — yb j dx ~
)у=--0
—X
/ *
о
О
X л
315
Демак,
Бу келтирилган мисолларда содда функцияларнинг содда соха
буйича икки каррали пнтеграллари каралди. Куп хрлларда содда функ-
цияларни мураккаб соха буйича, мураккаб функцияларни содда соха
буйича ва айникра, мураккаб функцияларни мураккаб соха буйича ик-
ки каррали интегралларини хисоблашга тугри келади. Бундай интеграл-
лари и хисоблаш эса анча кийин булади.
7- §. Икки каррали интегралларда узгарувчиларни алмаштириш
j (х, у) функция (D) сохада ((D) с: R2) берилган булсин. Бу функ-
циянинг икки каррали
П ((х, у) dx dy (18.16)
(£>)
интеграли мавжудлиги маълум булиб, уни уисоблаш талаб этилсин.
Равшанки, / (л, у) функция хамда (D) соха мураккаб булса, (18.16)
интегрални хисоблаш к,ийин булади. Купинча, х ва у узгарувчиларни,
маълум 1<оидага кура бошка узгарувчиларга алмаштириш натижасида
интеграл остидаги функция хам, интеграллаш сохаси хам соддалашиб,
икки каррали интегрални х.исоблаш осонлашади.
Ушбу параграфда икки каррали интегралларда узгарувчиларни ал-
маштириш билан шугулланамиз. Аввало текисликда сохани сохага акс-
лантириш, эгри чизикли координаталар хамда соханинг юзини эгри чи-
зик.ли координаталарда ифодаланишини келтирамиз.
Иккита текислик берилган булсин (22-чизма). Биринчи текисликда
тугри бурчакли Оху координата системасини ва чегараланган (D) соха- <•
ни карайлик. Бу соханинг чегараси 5(D) содда, булакли-силлик чи-
зик, дан иборат булсин. Иккинчи текисликда эса тугри бурчакли Они
22- чизма
316
координата системасини ва чегараланган (А) сохани карайлик. Бу соха-
нинг чегараси 5(A) хам содда, булакли-силли^ чизиадан ибэраг бул-
син.
Ф (w, у) ва ф (и, v) лар (А) сохада берилган шундай функциялар
булсинки, улардан тузилган {ф (и, и), ф (и, 0} система (А) сохадаги
(«, v) иуктани (D) сохадаги (х, у) нуктага акслантирсин:
ф: (и, г)~>х, \
ф : (и, v)-+ty. >
Ва бу акслантиришнинг аксларидан иборат {(%, у)} туплам (D) га те-
гишли булсин.
Демак, ушбу
X = Ф (и, у), 1
У = ф (w, v) J (18.17)
система (А) сохани (£)) сохага акслантиради.
Бу акслантириш цуйидаги шартларни бажарсин:
1°. (18.17) акслантириш узаро бир кийматли акслантириш, яъни (А)
соханинг турли нукталарини (D) соханинг турли иукталарига акслан-
тириб, (D) сохадаги хаР бир ну^та учун (А) сохада унга мос келади-
ган нуцта биттагина булсин.
Равшанки, бу холда (18.17) система и ва и ларга нисбатан бир
кийматли ечилади: и ~ qy (х, y)f v = фг (х, у) ва ушбу
и = Ф1 U, у). I (18.18)
0 = ф1(х, у) )
система билан акслантириш юкоридаги акслантиришга тескари булиб
(D) сохани (А) соната акслантиради. Демак,
ф(ф1(х, у), фДх, у))=х,\
ф(Ф1(х, у), фДх, у)) = у. )
(18.19)
2Э. <р(и, и), ф (и, и) функциялар (А) сохада, фДх, у) ва фДх, у)
функциялар (D) сохада узлуксиз ва барча хусусий хосилаларга эга бу -
либ, бу хусусий хрсилалар хам узлуксиз булсин.
Зэ. (18.17) системадаги функцияларнинг хусусий хрсилаларидан ту-
зилган ушбу
дх дх
ди ди
ду ду
ди ди
(18.20)
функционал детерминант (А) сохада нолдан фар^ли (яъни (А) соханинг
^ар бир ну^тасида нолдан фаркли) булсин. Одатда (18.20) детерми-
нантни системанинг якобиана дейилади ва I (и, и) ёки D каби бел-
D (и, и)
гиланади.
Бу 2° ва 3°- шартлардан, (А) богламли со^а булганда, (18.20) яко-
бианнинг шу сохада уз ишорасини сацлаши келиб чикади.
Ха^икатан ^ам, 1(и, о) функция (А) соханинг иккита турли нукта-
ларида турли ишорали ^ийматларга эга булса, у холда 12-бэбшшг
317
5-§ идаги 12.13- теоремага кура, (А) да шундай (и0, у0) нукта топила-
дики, I (и0, и0) = О булади. Бу эса I (и, v) 0 булишига зиддир.
3°-шартдан (18.18) системанинг якобиани, яъни ушбу
ди ди
дх ду
ди ди
дх ду
(18.21)
функционал детерминантнинг хам (D) сохада нолдан фаркли булиши
келиб чикади.
^акикатан хам, (18.19) муносабатдан
дх дх ди . дх ди 1
—. . —4— ' • —— “ 1,
дх ди дх ди дх
Л/ „ ду ди , д_У 1
1 — 1 J — 1,
ф/ ди ду dv ’ ду
дх дх ди , дх ди
— - —- • —►— • 11 *** — о,
ди ду ди ду
= ду ди , . —U ду = 0
дх ди дх ди дх
булишини эътиборга олсак, у холда
Щх, у) . Р(и, V) _ 1
D(u, v) D(x, у)
булиб,
у (Х, у) = о
D (х, у)
булишини топамиз.
Демак, (D) богламли соха булганда (18.21) якобиан хам (D) соха-
да уз ишорасини саклайди.
Юкоридаги шартлардан яна куйидагилар келиб чикади.
(18.17) акслантириш (А) соханинг ички нуктасини (D) соханинг
ички нуцтасига акслантиради. ^акицатан хам, ошкормас функциянинг
мавжудлиги хакидаги теоремага кура (18.17) система (х0, у0) нуцта-
нинг бирор атрофида и ва v ларни х ва у узгарувчиларнинг функция-
си сифатида аницлайди: и — срх (х, у), v = ipj (х, у). Бунда <Pi(x0, у0) =
= фц (х0, у0) = и0 булади. Демак, (х0, у0) (D) соханинг ички нук-
таси. Бундан (18.17) акслантириш (А) соханинг чегараси д (А) ни (D)
соханинг чегараси д (D) га акслантириши келиб чикади.
Шунингдек, (18.17) акслантириш (А) сохадаги силлиц (булакли-
силлик) эгри чизик
пи (D) сохадаги силлиц (булакли-силлиц) эгри чизиц
= ф («(0> у О)',
у = 1|?(н(0, y(O)J
га акслантиради.
318
(А) сохада и = и0 тугри
тугри чизи^ни (D) сохадаги
чизикри олайлик. (18.17) акслантириш бу
х = Ф (w0, у),'
У = ^(и9ч v) /
(18.22)
эгри чизикка акслантиради. Худди шундай (А) сохадаги v — vQ тутри
чизикни (18.17) акслантириш (D) сохадаги
л = Ф (и, vQ),
у = 4*(w, и0)
(18.23)
эгри чизиккр акслантиради. Одатда, (18.22) ва (18.23) эгри чизикларии
координат чизицлари ((18.22) ни v координат чизиги, (18.23) ни эса и
координат чизиги) деб аталади.
Модомики, (18.17) акслантириш узаро бир кийматли акслантириш
экан, унда (D) соханинг хар бир (х, у) нукдасидан я гона v — коорди-
нат чизиги (и нинг тайин узгармас цийматига мос булган чизик), яго-
на и—координат чизиги (и нинг тайин узгармас ^ийматига мос бул-
ган чизик,) утади. Демак, (D) соханинг шу (х, у) нуктаси юцорида
айтилган и ва v лар билан, яъни (А) соханинг (и, г») нуктаси билан
тула аницланади. Шунинг учун и ва v ларни (D) соха ну^таларининг
координаталари деб ^араш мумкин. (D) соха нуiyraЛаринииг бундай
координаталари эгри чизикли координаталар деб аталади.
Шундай кдтлиб, и ва v лар бир томондаи (А) соха ну^тасининг Де-
карт координаталари, иккинчи томондаи худди шу и ва v лар (О)
соха нукдасининг эгри чизикли координаталари булади.
Мисол. Ушбу
х ~ р cos ф
х = р sin ф
(р > О, О С ф
системани к^райлик.
Бу система (А) = {(и, v) С R2: 0 р < + оо,
ликка акслантиради. Бу системанинг якобиани
О ф < 2 л} со-хани Оху текис-
I (и, у) =
cos ф — р sin ф
sin ф р cos ф
булади.
р ва ф лар (D) со^а нукталарининг эгри чизикли координаталари булиб, шу со-
ханинг координат чизирутари эга, маркази (0, 0) нуцтада, радиуси р га тенг ушэу
х2 + У2 = Р2
айланалардан (у —координат чизи^лари) хамда (0, 0) ну^тадан чшдан ф = р0 (0
^Ср0<С2л) нурлардан (у — координат чизи^лар) иборатдир.
Фараз ^илайлик, ушбу
(18.17)
система (А) со^ани (D) сохага акслантирсин. Бу акслантириш юкрри-
даги Г — 3°-шартларни бажарсин. У ^олда, (D) соханинг юзи
319
булади.
(D)
(Д)
Р(х, у)
D(u, v)
du dv
(18.24)
Бу формуланинг исботи кейинги бобда келтирилади (каранг, 19-
f (*, У) функция (D) сохада ((D) cz У?2) берилган ва шу сохада уз-
луксиз булсин. (D) эса содда, булакли-силлик чизиц билан чегаралан-
ган соха булсин. Равшанки, /(х, у) функция (D) сохада интегралла-
нувчи булади.
Айтайлик, ушбу
Х = ф(и, г)'1 (18 17)
у = ф (и, v) J \
система (А) сохани (D) сохага акслантирсин ва бу акслантириш юкори-
даги 1° — 3е-шартлари и бажарсин.
Хар бир булувчи чизиги булакли- силлик булган (А) соханинг Рд
булинишини олайлик. (18.17) акслантириш иатижасида (D) соханинг
РЕ. булиниши хосил булади. Бу булинншга нисбатан f (х, у) функция-
нинг интеграл йигиндиси
п
°=27 D*
ни тузамиз. Равшанки,
lim а = lim V / (&*, т]А)Ол = [[/(*, У) dx dy. (18.25)
Юкорида келтирилган (18.24) формулага кура
Dk— И \1 (и, v)\du dv
(Ok )
булади. У рта киймат дакидаги теоремадан фойдаланиб куйидагшш то-
памиз: *
Dk = 11 I'P I • \ Vk) с (АД),
бунда ДА — (Afe) нинг юзи. Натижада (18.26) йигинди ушбу
п
° I / (4 у’) X
куринишга келади.
(5ft, T]t) нуктанинг (Dk) сохадаги ихтиёрий нукта эканлигидан фой-
даланиб, уни
<р (ик, I# = lk,
t («i> yD = n*
деб олиш мумкин. У ^олда
о = ("Ь ("v 11 vk) I ’
k=]
булади.
320
Равшанки,
f (ф («, г»), Ф Оа v)) • (и, v) |
функция (А) сохада узлуксиз. Демак, у шу сохада интегралланувчи.
У холда
п
lim о = lim У f(<plw*„ vk), ф (и*, у*) | I (и*, у*)Д ==
= И 7(ф(«. у), Ф (и, v))\I(u, v)\du dv (18.26)
v' u'
(Л)
булади.
f.,, -> 0 да булишини эътиборга олиб, (18.25) ва (18.26)
муносабатлардан
(J / С*. y)dx dy = [ j’ v), ф(«, 0)0 (u, v)\du dv (18.27)
(D) (A)
булишини топамиз.
Бу икки каррали интегралда узгарувчиларни алмашгириш формула-
сид ир.
У берилган (D) соха буйича интегралнн хисоблашни (А) соха буйи-
ча интегралнн хисоблашга келтиради. Агарда (18.27) да унг томондаги
интегралнн хисоблаш енгил булса, бажарилган узгарувчиларни алмаш-
тириш узини оклайди.
Мисо л. Ушбу
f С. / Г— -v2 — и2 А А
111/ -----------dx dy
(О) F 1 + + i/2
интегралнн карайлик, бунда
(£) = {(*, г/)б/?2:х2 + ^< р //>0}
маркази (0, 0) нуктада, радиуси I га тенг булган юкори текисликдаги ярим дойра.
Берилган интегралда узгарувчиларни куйидагича алмаштнрамиз:
X = р COS (р,
у = р sin (р.
Бу алмашгириш ушбу
(Д)= {(р, ф) б /?2:0<ф<я, 0<р< •}
тугри туртбурчакни (D) сохага акслантиради ва у Г — 3е-шартларни ^аноатлантира-
ди. Унда (18.27) формулага кура
JJ У dx dy 1/S U(p’ tf'i d9d(t
(A)
булади. Бунда якобиан I (p, ф) = p булади. Бу тенгликнинг унг томонидаги интег-
рални хисоблаб топамиз:
21-501
321
Демак,
П V'
(Л)
dx dy
8- §. Икки каррали интегрални тацрибий хисоблаш
f (г, у) функция (D) сохада ((D) <= R-) берилган
тегралланувчи, яъни
f ( f (х,у) dx dy
• ’
(О)
ва шу сохада ин-
(18.28)
интеграл мавжуд булсин. Маълум куринишга эга булган (D) сохалар
учун бундам ингегрални хисоблаш 6-§ да келтирилди. Равшанки, /(л,ц)
функция мураккаб булса, шунингдек, интеграллаш сохаси мураккаб
куринишга эга булса, унда (18.28) интегрални хисоблаш анча кийин
булади ва куп хрлларда бундам интегрални такрибий хисоблаш га тугри
келади.
Ушбу параграфда (18.28) интегрални такрибий хисоблашни амалга
оширадиган содда формулалардан бирини келтирамиз.
Айгайлик, f (х, у) функция (D) = {(х, у) Q R-: а С х < с С у С а}
тугри туртбурчакда берилган ва узлуксиз булсин. Унда 6-§ да келти-
рилган формулага кура
b d
f(x, у) dx dy = ^f(x,y)dy]dx (18.29)
(Ъ) а с
ф члади.
Энди
d
f f (х, у) dy (х G [а, й|)
V
с
интегралга 1-кнсм, 9-боб, 11-§ даги (9.52) формулани — тугри турт-
бурчаклар формуласини татбик этиб, ушбу
\f(x,ii)dy^-—-У f (х, у Jlx’Gla, b]) (18.30)
J " п /?-!-
с к=Ц 2
такрибий формулани хрсил киламиз. Сунг
ь
С f (х, у , ) dx
интегралга яна уша (9.53) формулани куллаб, ^уйидаги
такрибий формулага келамиз.
(18.31)
322
Натижада (18.29), (18.30) ва (18.31) муносабатлардан
/ (х, у) dx dy «
(b—a) (d — с)
пт
т— 1 л—I
(18.32)
булиши келиб чикади.
Бу икки каррали интегрални такрибий хисоблаш формуласи, «тугри
туртбурчаклар» формуласи деб аталади.
Шундай килиб, «тугри туртбурчаклар» формуласида, икки каррали
интеграл махсус тузилган йигинди билан алмаштирилади. Бу йигинди
эса куйидагича тузилади:
(£>) {(х, у) £ R2 '-а < х < Ь, с у < rf} -— тугри туртбурчак пт та
тенг <Dik) = {(х, у) G А’2 :х;- < х С ук < у < у,_}} (i = 0, 1, '2, ,
т—1; k = 0, 1,2, . . . , п — 1) тугри туртбурчакларга ажратнлади.
Бунда
. . b — а .. . d — с
,Х: — а -г I---, т = с -г k----.
/ т К п
Хар бир (D,,) нинг маркази булган (х 3 , у ) (i = 0, 1,2,...,
i 4- - * 4- -
2 2
т— 1; k ~ 0, 1,2, . . . , и — 1) нуктада f (х, у) функциянинг кнйма-
ти / (х } , у }) хисобланиб, уни шу (Dik) нинг юзига купайтнри-
i 4— k J—
2 2
лади. Сунгра улар барча i ва k лар (i = 0, 1,2, . . . , т — 1; k 0,
1, 2, . ... п— 1) буйича йипшади.
Одатда, хар бир такрибий формуланинг хатолиги топилади ёки ба-
^оланади. Келтирилган (18.32) такрибий формуланинг хатолигини х4ам
урганиш мумкин.
М и с о л. Ушбу
dx dy
(D)
интегрални карайлик, бунда (D) = {(х, у)-п #2: о х < 1. 0 у 1}. Уни такри-
бий хисоблаймиз. (D) ни ушбу туртта тенг булакка буламиз:
323
Бу булакларнинг марказлари
о
9
3
4
нукталарда
у) =-*
функциянинг кийматларини хисоблаб, (18.32) формулага кура
dx dy
W
булишини топамиз. Бу интегралнннг аник киймати эса
- dx dy —
dx
dy = In — = 0?287682 . .
о
о
булади.
nt
9- §. Икки каррали интегралнинг баъзи бир татбицлари
Ушбу параграфда икки каррали интегралнинг баъзи бир татби^ла-
рини келтирамиз.
1. Жисмнинг х а ж м и в а у н и н г и к к и к а р р а л и интеграл
орка л и ифодаланиши. R3 фазода бирор чегараланган (И) жисмни
царайлик. Бу (V) жисмнинг ичига (А) купёклар жойлашган, уз навба-
тида (У) жисм эса (В) купёклар ичнда жойлашган булсин. (А) купёк-
лар хажмларини VA билан, (В) купёклар хажмлирини Vв билан белги-
лайлик. Биз купёкларнинг хажмлари тушунчасини ва уни хисоблашни
(худди текисликдаги купбурчакнйнг юзи тушунчаси ва уни хисоблаш
каби) биламиз деб оламиз. Натижада (И) жисмнинг ичида жойлашган
купёклар хамжларидан иборат {VA} туплам, ичига (У) жисм жойлаш-
ган купёклар хажмларидан иборат {Vв} тупламлар хрсил булади. {V А}
туплам Ю1\оридан, {V’B} туплам цуйидан чегараланганлиги сабабли
{Гд} туплам аник юцори чегарага, {Vв} туплам эсг аник куйи чега-
рага эга булади: _
зир{кл} = к inf{VB}=V.
Равшанки, _
Г
18.8-таъриф. Агар V — V, яъни sup {Ул} = inf {V в} тенглик
уринли булса, у холда (Г) жисм \ажмга эга деб аталади ва V=lz = V
микдор (V) жисмнинг цажми дейилади.
Демак,
V = sup {Ил} = inf {VB}.
Энди (V) жисм сифатида юцоридап z — f(x, у) сирт билан, ён то-
монларидан ясовчилари Oz укрга параллел булган цилиндрик сирт
324
хамда пастдан Оху текислигидаги (D) соха билан чегараланган жисмни
карайлик.
(D) епик соханинг Р булинишини оламиз. / (х, у) функция (D) да
узлуксиз булганлнги сабабли, бу функция Р булинишнинг хар бир
(Dk) булагида хам узлуксиз булиб, унда
inf {/ (х, у) : (х, у) Е (Dk)} = mk, sup {f (x, у) : (x, у) C (Dk)} = Mf.
(k = 1, 2, . . . , ri) ларга эга булади.
Куйидаги
n
A’=l
п
У в = £ Dk
/?==]
йигиндиларни тузамиз. Бу йигиндиларнинг биринчиси (V) жисм ичига
жойлашган купёкнинг хажмини, иккинчиси эса (V) жисмни уз ичига
олган купёкнинг хажмини ифодалайди.
Равшанки, бу купёклар, демак, уларнинг хажмлари хдм / (х, у)
функцияга хамда (D) соханинг булинишига боглик булади:
У А = VPA Ф’ V в = Vs (/)•
(D) соханинг турли булинишлари олинса, уларга нисбатан (V) жисм-
нинг ичига жойлашган хамда (V) жисмни уз ичига олган турли куп-
ёклар ясалади. Натижада бу купёцлар хажмларидан иборат куйидаги
Wa (/)}> (Ув (/)}
тупламлар хосил булади. Бунда {1/^ (/')} туплам юкоридан, {Урв ф}
туплам эса куйидан чегараланган булади. Демак, бу тупламларнинг
аник чегаралари
sup {V* (/)}, inf {VPB (/)}
мавжуд. Шартга кура / (х, у) функция (D) ёпик сохада узлуксиз. У
холда Кантор теоремасининг натижасига асосан, ys>0 сон олинганда
х^ам, — сонга кура шундай 6 > 0 сон топиладики, (D) соханинг диамет-
D
ри < б булган хар кандай булиниши Р учун хар бир (Dh) да функ-
циянинг тебраниши
D
Демак, (£)) соханинг диаметри Хр<6 булган хар ^андай булиниши
олинганда хам бу булинишга мос (V') жисмнинг ичига жойлашган хам-
да бу (V) ни уз ичига олган купёк хажмлари учун хар доим
О < inf jVPB(f)j — sup j Vp(f)} < e
тенгсизлик уринли булади. Бундан эса
inf { Vp(f)\ = sup {Vp (f)\ (18.33)
тенглик келиб чикади. Бу тенглик (V) жисм хажмга эга булишини
билдиради.
Энди юкорида урганилган VPA (f), VPB (/) йигиндиларни Дарбу йигин-
дилари билан та^кослаб, Уд(/) хам VpB(j) йигиндилар f (х, у) функ-
циянинг (D) сохада мос равишда Дарбунинг ь;уйи ^амда ю^ори йигин-
дилари эканини топамиз. Шунинг учун ушбу
sup (/)}, inf {У₽ (/)!
микдорлар f (х, у) функциянинг купи хамда юкрри икки каррали интег-
раллари булади, яъни
sup = Д f(x,y) dD, inf (/)} = Д f(x,y)dD.
(D) <°>
Юкоридаги (18.33) муносабатга кура
Д f(x, у) dD =Д / (х, у) dD
(D)
тенглик уринли экани куринади. Демак.
Д flх y)dD = Д /(х, у) dD = Д f (х, у) dD.
(Ь) (D)
Шундай килиб, бир томондан, царалаётган (V) жисм хажмга эга экани
иккинчи томондан, унинг хажми f (х, у) функциянинг (D) соха буйича
икки каррали интегралига тенг экани исбот этилди. Демак, (Ю жисм-
нинг хажми учун ушбу
V - ff f^,y)dD (18.34)
(D)
формула уринли,
Мисо л. Ушбу
а-
с2
эллилс^нднинг уажди топилсин, Бу эллипсоид г = 0 текисликка [нисбатан симмет-
рлкдиш Юкори кисмини ураб турган сирт
6vлади.
326
Юкоридаги (18-34) формулага кура эллипсоиднинг .хажми V:
v=2cW Vi~^'^dxdy
(D)
булади, бунда
(D) —• |(х, у) 6 R2:— + ~Г < 1 *•
( a2 b2
Интегралда
х — а р cos ф
у ~ b р cos ф,
алмаштиришни бажарамиз. Бу системанинг якобиани
/ (р, ф)=
a cos ф
— пр si п ф
b sin ф‘
b р sin ф
= ab р
булади. (18.35) система (А) = {(р, ф) б R2: 0 р
хага акслантиради. (18.27) формулага кура
1, 0^ф^2л; со.хани (D) со-
(D)
dx dy —
1—р2 ab р d р d ф
булади. Демак,
1 2л
V7 — 2 abc j j _ р2 р у р у ф == о abc I (j d ф,* У 1 — р2 р dp =
(А) 6 О
/» ________
= 4 л abc J У1 — р2 р d р= — abc.
0
Шундай килиб, эллиисоиднинг хажми
И
V — — л abc
3
булади.
2. Ясси шаклнинг юз и. Ушбу бобнинг 1-§ ида (D) соханинг
юзи куйидаги
D = [[ dD — j‘(‘ dxdy
(Ь) (О)
интегралга тенг булишини курдик. Демак, икки каррали интеграл ёр-
дамида ясси шаклнинг юзини хисоблаш мумкин экан.
Хусусан, соха
(D) j(x, у) С R2 :а^х^Ь, О С у < / (x)j
эгри чизикли трапециядан иборат булса (/ (/) функция [а, Ь] да узлук-
сиз, у хрлда
булиб, 1-кисм, 10-боб, 2-§ да топмлган формулага келамиз.
327
Мисо л. Ушбу
у2 4- а2 у2 4- Ь2
чизиклар билан чегараланган шаклнинг юзи топилсин. Бу чизиклар параболадан ибо-
рат (23- чизма). К^уйидаги
j
4
системани ечиб, параболаларнинг кесишган ну^талари
d Ь у \ / CL -j— Ь
Vab j ва ,
эканини топамиз. 1\аралаётган шакл Ох у^ига нисбатан симметрии булишини эъти-
борга олсак, у ^олда (D) нинг юзи
D = 2 f J dx dy
(Di)
булади, бунда
f m2_L/j2 __ )
(Di) = (X, у) t R2 , О < У С Vab L
( 2а 2b J
Интегрални хисоблаб, ^уйидагини топамиз;
Vab 2d
j* J dx dy = j* j* dx} dy =
(ОД 6
2a
Демак,
V ab
J (“IT- - d»~7
0
3. Сиртнинг юзи в а унинг
икки каррали интеграл оркэ-
ли ифодаланиши. Икки каррали
интеграл ёрдамида сирт юзини хисоб-
лаш мумкин. Аввало сиртнинг юзи
тушунчасини келтирамиз.
Фараз килайлик, z — f (к,у) функ-
ция (D) сохада берилган ва узлуксиз
булсин. Бу функциянинг графиги 17-
чизмада тасвирланган (S) сиртдан ибо-
рат булсин.
(£)) соханинг Р булинишини олай-
лик. Унинг булаклари (DJ, (О2)* • • •»
328
(Drt) булсин. Бу булинишнинг булувчи чизик;ларини йуналтирувчилар
сифатида к;араб, улар оркали ясовчилари Ог укига параллел булган ци-
линдрик сиртлар утказамиз. Равшанки, бу цилиндрик сиртлар (S) сиртни
(SJ, (S2), . . ., (Sn) булгкларга ажратади. \ар бир (Dk) (k = 1, 2, . .
п) да ихтиёрий (£fe, нукта олиб, (S) сиртда унга мос ну^та (gfe, т^,
T]fe) ни топамиз. Сунг (S) сиртгэ шу (gfe, r)fe, zfe) ну^тада
уринма текислик утказамиз. Бу уринма текислик билан юкорида ай-
тилган цилиндрик сиртнинг кесишишидан хрсил булган уринма текис-
лик кисмини (Tk) билан, унинг юзини эса Tk билан белгилайлик.
Геометриядан маълумки, (Dk) coxa (Tk) нинг ортогонал проекцияси
булиб,
Dft = Tfe|cos7ft| (18.36)
булади, бунда 7js. — (S) сиртга (£k, zfe)(afe,=/(^, ’]*)) нуцтада утка-
зилган уринма текислик нормалининг Oz уци билан ташкил этган бурчак.
Равшанки, Хр-> 0 да (Sft) (k = 1, 2, . . ., п) нинг диаметри ^ам
нолга интиладп.
Агар 0 да
п
V т
k=A
йигинди чекли лимитга эга булса, бу лимит (S) сиртнинг юзи деб ата-
лади. Демак, (S) сиртнинг юзи
п
k
кр --*0
(18.27)
булади.
Юкорида каралаётган z = f (х, у) функция (D) сохада f'x (х, у)
f (х, у) хусусий хосилаларга эга булиб, бу хусусий хосилалар (D) со-
хада узлуксиз булсин. У холда
' ' I
cos = - - ...===г
1 * / Я it »
булади.
(18.36) муносабатдан
л k k,
cos
булишини топамиз. Демак,
п п п
k
___cos V/,
/?=1 ' k=l
Тенгликнинг унг томонидаги йигинди
(18.38)
2
i у
329
функциянинг интеграл йигиндисидир (каранг, 1- §). Бу функция (D) сс-
хада узлуксиз, демак, интегралланувчи. Шунин г учун
f С* 2 2
= I ‘ У 1 -г У (X, У)+ у (х, у) dD
'(D)
булади.
Шундай килиб, (18.37) ва (18.38) муносабатлардан
5 = J J у' 1 + /'хг (х, у) (х, у) dD
(D)
булиши келиб чикади.
(18.39)
Ми с о л. Асосининг радиуси г, баландлиги h булган доиравий конусшшг ён
сирти топилсин.
Бундай конус сиртининг тенгламаси
h г----------------------------------------
г = - /Л2 + У2
булади. Ю^оридаги (18.39) формулага кура
(D) = [U, +
булади, бунда
ва
___У_
V X2-
h
h
/2
г
/12
Г2
№
г2
V1 -к
эканини эътиборга олиб, куйидагини топамиз:
10- §. Уч каррали интеграл
Юкорида Риман интеграли тушунчасининг икки узгарувчили функ-
ция учун кандай киритилишини курдик ва уни батафсил ургандик.
Худди шунга ухшаш бу тушунча уч узгарувчили функция учун хам
киритилади. Уни урганишда Риман интеграли хамда икки каррали ин-
330
тегралда юритилган барча мулохазалар (интеграллаш сохасининг були-
нишини олиш, булакларда ихтиёрий нукта танлаб олиб, интеграл йи-
гинди тузиш, тегишлича лимитга утиш ва >\оказо) кайтарилади. Шуни
эътиборга олиб, цуйида уч каррали интеграл хакидаги фактларни кел-
тириш билан чегараланамиз.
1. Уч каррали интеграл таърифи. / (х, у, z) функция R3
фазодаги чегараланган (V) сохада берилган булсин. (Бу ерда ва кел-
гусида хамма вакт функциянинг берилиш со^аси (V) ни хажмга эга
булган деб караймиз.) (V) соханинг Р булинишини ва бу булиниш-
нинг хар бир (Vk) (k = 1, 2, . . ., п) булагида ихтиёрий (^, ну^-.
тани олайлик. Суигра куйидаги
п
а= п*. УЛ
k=A
йигиндини тузамиз, бунда Vk — (V<) пинг хажми.
Бу йигинди f (х, у, г) функциянинг интеграл йигиндиси ёки Ри-
ман йигиндиси деб аталади.
Энди (V7) соханинг шундай
Рр А.......Рт....... (18.40)
булинишларини караймизки, уларнинг диаметрларидан ташкил топган
^р2 • • • ' * •
кетма-кетлик нолга интилсин: А,р ->0. Бундай Pfn (m — I, 2, . . .) бу-
линишларга нисбатан f (х, //, с) функциянинг интеграл йигиндисини ту-
замиз:
п
^ = 2^. ’Ь. иЛ-
k=l
Натижада куйидаги
Ср <т2, . . ., .
кетма-кетлик ^осил булади. Бу кетма-кетликнинг хар бир хади (£/г, т^,
£k) нукталарга боглик.
18.9-таъриф. Агар (И) нинг хар кандай (18.40) булинишлар кет-
ма- кетлиги [Рт] олинганда хам, унга мос интеграл йигинди киймат ла-
ридан иборат {от} кетма-кетлик %k) ну^таларни танлаб олини-
шига боглик булмаган холда хамма вакт битта / сонга интилса, бу /
сон а йигиндининг лимити деб аталади ва у
п
lim а = lim У f (sfe, 1^, '^)-Vk = I
каби белгиланади.
18.10-таъриф. Агар лр->0 да f (х, у, z) функциянинг интеграл
йигиндиси о чекли лимитга эга булса, / (х, у, z) функция (V) да ин-
тегралланувчи (Риман маъносида интегралланувчи) функция дейила-
ди. Бу о йигиндининг чекли лимити / эса f (х, у, z) функциянинг (У)
331
Исбот. (£>) сохани
= 1(х, У) € R” • л [ X -'(4-1’ У 1г У У*4-1 I
k = 0, 1, ... , m — 1)
(7 = 0, 1..............п — 1,
(о = х0 < х( < ... < хп = Ь, с = у0 < у{ < . . . < ут = d) булаклар-
га ажратамиз. Бу булинишни Рпт деб белгилаймиз. Унинг диаметри
хРпт = max ]/А х? + A у2к (Ах; = х(-+1 - л;.; /\ук = ук+1 — ук\
\ J
Модомики, f(x, у) функция (D) сохада интегралланувчи экан, у шу
сохада чегараланган булади. Бинобарин, /(х, у) функция хар бир (Dikj
да чегараланган ва демак, у шу сохада аник юкори хамда аник куйи
чегараларига эга булади:
tllik = inf f f(x< У) :(x> y)^(^ik)\<
Mik = SUP { f (x, У):(x< y) € (° J!.
(Z = 0, 1, . . . , n — 1, k 0, 1, . . . , m — 1).
Равшанки, V(x, y)€(DJ учун mik C f (x, y) М[к, хусусан, s;£
€[xt x(+1] учун хам / (В/, у) > Mik булади. Теореманинг шарти-
дан фойдаланиб ^уйидагини топамиз:
^4-1 (^4-1 ^4-1
.1 mikdy < J y)dy < J Mik dy,
УЬ УУ Ук
ЯЪНИ
'nnAyk<
^4-1
.1 HB(-, y)dy^
yk
Mik’ byk> бУВДа Ayfc =-= yft+1 — yfc.
Агар кейинги тенгсизликларни k нинг k = 0, 1, 2, ... , m—1 1\ий-
матларида ёзиб, уларни хадлаб цушсак, у холда
т— 1 т— 1 j т— 1
У mZftAyfe < 2 .f f (В/, y)dy^ 2 A4,-feAyfr,
k—Q k—Q k=Q
ЯЪНИ
m— 1 d m—l
2 J' у^у = 2 Mik^'k
k=0 <? /?=o
(/ — 0, 1, ... , n — 1) булади.
Энди кейинги тенгсизликларни А,г-(А^ = хм га
оунг хадлаб кушамиз. Натижада
купайтириб,
п~ 1 т— 1 п— 1 п—1 т— 1
у ( у т-,Ау.'(Дх. < у /(е-)Ах-С 2' S ^Ay,,') • Ах-
Ik L I \ лшЛ L>< t<) I
/>о /с'=0 г=0 ^’=0 k=Q
булади.
308
Равшанки,
л—1 т—1 п—1 tn—1 л—1 т—1
2 ( 2 mi^yk) Ад= 2 2 т1к-^Ук =22 mnPik =
;=0 Л=0 1=0 *=0 1 = 0 к=о
f(x, у) функция учун Дарбунинг ^уйи йигиндиси,
[Л—1 tn— 1 п—1 tn— I
2 ( 2 мнДук) Ад = 2 2 MikDik = 5
i=0 k=0 1=0 k—0
эса Дарбунинг юкори йигиндисидир. Демак,
л—1
s< 27(УАД^5- (18.12)
i=o
Шартга кур f(x, у) функция (£)) да интегралланувчи. У холда Хр -+
-> 0 да
s^- j | fix, y)dD, S-> I' \ fix, y)dD
'm (D)
булади.
(18.12) муносабатдан эса,
л—1
2у(У'Ад
1=0
йигиндининг лимитга эга булиши ва бу лимит
ИЖ y)dD
(D)
га тенг булиши келиб чицади:
л—1
lim v I= f f /(x, y)dD.
i—0 (Z0)
Arap
л—1 b
lim 27(УАхг = f kx)dx
kPnm-*Q i=o
ва
& i d
f I (x) dx = f I f f (x, y) dy dx
a a c
эканлигини эътиборга олсак, унда
f J /(x, у) dD = j’ [ f / (x, y) dy ] dx
(D) a c
булишини топамиз. Бу эса теоремани исботлайди.
18.7-теорема, f (х, у) функция (D) = {(x, у) С R2с^у^
С d { сохада берилган ва интегралланувчи булсин. Агар y(yQ[c, d\
узгарувчининг ^ар бир тайин к^ийматида
ь
1 (у) = J / (х, у) dx
а
309
булади. Агар Г (1) = С е~х dx — 1 булишини эътиборга олсак, унда
о
Г (п + 1) = п\ эканлиги келиб чицади.
Яна (17.41) формуладан фойдаланиб Г (2) = Г (1) = 1 булишини то-
памиз.
4° Г (а) функциянинг узгариш характери.
Г (а) функция (0, + оо) ораликда берилган булиб, шу ораликда
исталган тартибли хосилага эга. Бу функциянинг а — 1 ва а —2 нук-
талардаги 1\ийматлари бир-бирига тенг:
Л(1)НГ (2)1=1.
Г (а) функцияга Ролль теоремасини (каралсин, 1-кисм, 6-боб, 6-§)
татбик кила оламиз, чунки юкорида келтирилган фактлар Ролль теоре-
маси шартларининг бажарилишини таъминлайди. Демак, Ролль теоре-
масига кура, шундай а* (1 < а* < 2) топиладики, Г' (а*) = 0 булади.
V я Е (О, + оо) да
fl
Г" (а) = ( Xе”1 е~х In2 х dx > О
6
булиши сабабли, Г' (я) функция (0, + оо) ораликда цатъий усувчи
булади. Демак, Г' (а) функция (0, + оо) да а* нуктадан бошца нук-
таларда нолга айланмайди, яъни
Г' (а) — [ Xе”1 е~х In х dx — О
о
тенглама (0, т °°) ораликда а* дан боннца ечимга эга эмас. У хрлда
О < а < а* да Г' (а) < О,
а* < а < + оо да Г' (а) > О
булади. Демак, Г (а) функция а* нуктада минимумга эга. Унинг ми-
нимум ^иймати Г (а*) га тенг.
Такрибий хисоблаш усули билан
' а* = 1,4616 . . .
1 Г (a*) — min Г (а) = 0,8856 . . .
булиши топилган.
с Г (а) функция а > а* да усувчи булган-
I / лиги сабабли а > п -4- 1 (n £ N) булганда
,Г| / Г (а) > Г (n + 1) = п\ булиб, ундан
I / lim Г (а) = + оо
3 | 1 / о—>->°°
о \ / булишини топамиз.
\ / Иккинчи томондан, п->+0да Г(а-|-
t + 1)-> Г (1) = 1 хамда Г (а) = экан-
(2
„. .....—......лигидан lim Г (а) = + оо келиб чикади.
С! / 2 3 X а—>-Г°°
Г (а) функциянинг графиги 16-чизмада
16-чизма тасвирланган.
286
11-§. Бета ва гамма функциялар орасидаги богланиш
1Биз куйида В (а, Ь) ва Г (а) функциялар орасидаги богланишни
ифодалайдиган формулани келтирамиз.
Маълумки, Г (а) функция (0, + оо) да, В (а, Ь) функция эса
фазодаги А1 = {(a, &) £ /?2: я £ (О, + °°), b С (0, + °0)’ тупламда бе-
рилган..
17.21-теорема. V (#> С Л4 Учун
в (а, Ь) =
Г (аЧ- Ь)
формула уриялидир.
Исбот. Ушбу Г (а + Ь) = С xa+b~l е~х dx (а>0, Ь>0) гам-
о
ма функцияда узгарувчини цуйидагича алмаштирамиз:
x = (l+/)z/ (/>0).
Натижада куйидагига эга буламиз:
Г (а + Ь)= [° (1 + t)a+b-1 ya+b~} e-d+Оу . (1 + /) dy =
V
о
“Feo
= (1 + t)a+b j* ya^b~~[ dy.
6
Кейинги тенгликдан куйидагини топамиз:
Г ~*~а— i Уа^ь~1 dll.
( /\а I » J
Бу тенгликнинг ^ар икки томонини ta^1 га купайтириб, натижани (О,
+ оо) оралик буйича интеграллаймиз:
эканиЕШ эътиборга олсак, унда
булади. Энди (17.42) тенгликнинг унг томонидаги интеграл Г{а)-Г(Ь)
га тенг булишини исботлаймиз. Унинг учун, аввало бу интегралларда
интеграллаш тартибипи алмаштириш мумкинлигини курсатамиз. Бун ин г
учун 17.19-теорема шартлари бажарилншиии курсатишимиз керак.
Дастлаб я> 1, 1 булган крлни ку рай лик.
287
а> 1, &> 1 да, яъни {(a, Ь) £ О, + оо), b С (1, + оо)}
тупламда интеграл остидаги
f (f, у) = у°+6-1 /а-1
<1т^
функция V (Л у) 6 Ж у) £ ^R2‘ t G [0, + со), у С [0, + оо)} да узлук-
сиз булиб, /(/, у) = ya+b~x t0-'1 булади.
+ !
со ~Гоо
Ушбу f /(/, у) dy — ( ta-x ya+b~l е-б-rOt/ dy интеграл i узга-
V
о 0
рувчининг [0, 4- ос) ораликда узлуксиз функцияси булади, чунки
а—1
fa— 1
{)
Ушбу
) f (t, у) dt =
О t!
интеграл у узгарувчининг [0, 4
булади, чунки
) ораликдагп узлуксиз функцияси
j /а~1 ya+b~l е~dt = Г (а) • уь~] е~у
о
ва нихоят, юцоридаги (17.42) муносабатга кура
О О
интеграл яцинлашувчи.
У холда 17.19-теоремага асосан
'Too . Too
о
интеграл хам якинлашувчи булиб,
с—1
(ft dy
О О
булади. Унг томондаги интегрални
f Г I ta~~] ua-i-b-1 e-{i+i}y dy\ dt =
о о
^исоблайлик:
/•>
“I
Гос
о
17атЬ~1
О
Т оо
' О
е~у —
с а
У
о
о-1 e-ty d (f.y) dy —
' О
уЬ-\ е-у . г dy
= г (fl) • Г (b).
(17.43)
288
Натижада (17.42) ва (17.43) муносабатлардан
Г (а + Ь)- В (а, Ь) - Г (а) • Г (Ь),
яъни
В (а, Ь) = (17.44)
Г (а 4~ Ь)
булиши келиб чикади. Биз бу форму лани а> 1, b> 1 булган хол
учун исботладик. Энди умумий холни курайлик.
Айтайлик, а > О, b j> 0 булсин. У холда исбот этилган (17.44)
формула га кура
в (а + 1, b + 1) = Па/-1)|'Г<\~1) (17.45)
Г (а -р b 2)
булади.
В (а, Ь) ва Г (о) функцияларнинг хоссаларидан фойдаланиб куйида-
гини топамиз:
В (а + 1, b + 1) = — Я-. В (a, b + 1) = —; В (а, Ь),
fl —b -j~ 1 Ь -4- 1 ci ъ
Г(а+ \) = а-Г(а), Г (b + 1) = b-Г (Ь\ Г (а 4- b + 2) =(а 4-6 +
+ 1) Г (а + b + 1) = (а + b + 1) (а + Ь) • Г (а + Ь).
Натижада (17.45) формула куйидаги
-------а-±------В (а, Ь) —-------__________________
(«+ Ф («+ b -у 1) (а + Ь) (а4- b + 1) Г (a-J- £>)
куринишга келади. Бу эса (17.44) формула а>0, 6>0 да хам урин-
ли эканини билдиради.
17.1-натижа. у a Q (0,1) учун
Г (а) Г (1 — а) = —— (17.46)
Sin fl Л X /
булади.
^аци^атан ^ам, (17.44) формулада
унда
b = 1 — а (0 < а < 1) дейилса,
В (а, 1 - а) = Г(1 ~а)
Г(1)
булиб, (17.37) ва Г(1)= 1 муносабатларга мувофик;
Г(а)- (0<а<1).
sin а л
Одатда (17.46) формула келтириш. формуласи деб аталади.
Хусусан, (17.46) да а — -2 деб олсак, унда
булишини топамиз.
19—501
л
(*)
289
17.2-натижа. Ушбу
= £г^(2а) («>0)
формула уринлидир. Шуни исботлаймиз.
(17.44) муносабатда а = b деб
В (а, а) —
булишини топамиз. Сунгра
В (а, а) — | [х (1 —.r)]a-1 dx =
в
Г (а)-Г (а)
Г (а)
dx
2
интегралда
1 алмаштиришни бажариб,
i
1 <2—1 1 — ~~
1(1-/) 2d/==
4 j 4
В (а, а) = 2
О
га эга буламиз. Натижада
булади.
Яна (17.44) формулага кура
булиб, (**) муносабатдан
эканлиги келиб чицади. Демак,
Г(а)-г[а + ±
Г (2а).
(17.47)
Одатда (17.47) формула Лежандр формуласи деб аталади.
290
18-БОБ
КАРРАЛИ ИНТЕГРАЛЛАР
«Математик анализ» курсининг 1-кисм, 9—10-бобларида функция-"
нинг аник интеграли багафсил урганилди.
Математика ва фаннинг бошка тармокларид? куп узгарувчили функ-
цияларнинг интеграллари билан боглик масала лар га дуч келамиз (куйи-
да, 1-§ келтириладиган масала шулар жумласидандир). Бинобарин,
уларни — каррали ннтегралларни урганиш вазифаси юзага келади.
Каррали интеграллар назариясида х>ам, ани^ интеграллар назарияси-
дагидек, иитегралнинг мавжудлиги, унинг хосеалари, каррали интеграл-
ни хисоблаш, иитегралнинг татбиклари урганилади. Бунда аник интег-
рал ха^идаги маълумотлардан муттасил фойдалана борилади.
Шуни таъкидлаш лозимки, аниц интегралда интеграллаш оралиги
тугри чизиц (R — фазо) даги кесмадэн иборат булса, каррали интеграл-
ларда мос фазодаги со^алар булади. Бун дай сохьаларнинг турлича бу-
лиши каррали ннтегралларни урганишни бирмунча мураккаблаштиради.
Ва хатго, кейинроц курамизки, интеграл тушунчасини хам турлича ки-
ритишни та^озо килади (кейинги бобларга ^аранг).
Куйида биз, соддалик учун, икки узгарувчили функцияларнинг ин-
теграллари билан танишамиз.
1- §. Икки каррали интеграл таърифи
Аниц иитегралнинг баёнини шу интеграл тушунчасига олиб кела-
диган масаладан бошлаган эдик. Икки каррали интеграл тушунчасини
урганишни хам унга олиб келадиган масалани келтиришдан бошлай-
миз.
1. Масала, /(х, у) функция чегараланган (D) сохада* ((D) czT?2)
берилган, узлуксиз х^амда V (х, у) С (D) учун f (%, у) > 0 булсин. 7?3
фазода Oxyz— Декарт координата системасини олайлик. Ю^оридан
? = /(х, У) сирт билан, ён томонидан, ясовчилари Oz у^ига паралел
булган цилиндрик сирт ?<амда пастдан Оху текислигидаги (D) соха
билан чегараланган 0Z) жисмни карайлик (17-чнзма). (V) жисмнинг
х^ажмини топиш тала б этилсин.
Агар f (х, у) функция (D) да узгар- /
мае булса, f (х, у) = С (С — const), у
^олда (И) жисмнинг (цилиндрнинг) \ажми
га тенг булади, бунда D — (D) соханинг
юзи.
Агар (D) сохада f (х, у) х ва у узга- q
рувчиларнинг ихтиёрий узлуксиз функ-
цияси булса, у ^олда (V) жисмнинг х^аж-
мини топиш учун, аввало (D) сох>ани эгри
—------ 17- ч изма
Бу ерда ва келгусида ^амма ва^т функциянинг аникланиш со^аси (D) ни юзга
эга булган со ха деб хисоблаймиз.
291
чизиклар билан п та булакка буламиз: (D) = (J (Dk). Булувчи чизик;»
k= 1
ларни йуналтирувчи сифатида олиб Oz укига параллел цилиндрик
сиртлар утказамиз. Натижада (V) жисм п та (Vk) (k = 1, 2, . . . , п)
булакларга ажралади. Сунг хар бир (Dk) (k= 1, 2............п) да их-
тиёрий T)fc) нукта оламиз. Бу (£\) да f(x, у) функцияни узгармас
ва Л/г) га тенг десак, у холда (1^) булакнинг хажми тахминан
f (£*> ^fe) ’ Dk
булиб, (V) жисмнинг хажми эса тахминан
п
v ~ 2 f (S/, Ъ) • Dk
булади, бунда Dk — (Dk) нинг юзи.
(V) жисмнинг хажмини ифодаловчи бу формула тацрибийдир. Чун-
ки, /(х, у) ни ^ар бир (Dk) да узгармас f (^, i^) деб ^исобладик:
f (X, y) = f^k, ty. агар (х, у) С (D*) булса.
Энди (£)) сохани булакларга булиниш сонини шундай орттира бо-
райликки, бунда хар бир (Dk) (k = 1, 2, . . . , п) булакнинг диаметри
нолга интила борсин. У ^олда
п
V / Dk
k=\
киймат изланаётган (I7) жисмнинг хажмини тобора аникрок ифодалай
боради деб хисоблаш табиийдир. Демак, масала юкоридаги йигинди-
нинг лимитини топиш билан хал килинади. Бундай йигиндининг лими-
ти икки каррали интеграл тушунчасига олиб келади.
2. Икки каррали интеграл таърифи. Икки каррали интег-
рални таърифлашдан аввал баъзи бир тушунчалар, жумладан (D) со-
ханинг булиниши, функциянинг интеграл йигиндиси тушунчалари билан
танишамиз.
Бирор чегараланган (D)czR2 соха берилган булсин. (D) соханинг
чегарасидаги ихтиёрий икки нуктани бирлаштирувчи ва бутунлай шу
сохада ётувчи чизикли (эгри чизицни) I чизик деб атаймиз. Равшанки,
бундай чизиклар (£>) сохани булакларга ажратади.
Шунингдек, (D) сохада бутунлай ётувчи ёпик чизикни хам I чизик
деб караймиз. Бундай чизиклар кам (О) сохани булакларга ажратади.
Бу сохани булакларга ажратувчи чекли сондаги I чизиклар системаси
{I: I cz (D)} (О) соканинг булиниши деб аталади ва Р = {/: I ст (D) ка-
би белгиланади. (D) сохани булакларга ажратувчи хар бир I чизик Р
булинишнинг булувчи чизиги, (D) соханинг булаги эса Р булинишнинг
булаги дейилади. Р булиниш булаклари диаметрининг энг каттаси Р
булинишнинг диаметри деб аталади ва у каби белгиланади.
Мисол: (О) = {(х, у)} € R2- 1, 1} булсин.
Куйидаги
х= Xi = - (i = 0, 1, 2, 3, 4).
п:
У = Hk —~Т (^ = °- *> 2, 3)
О
292
чизиклар системаси (D) соханинг Рг булиниши,
1
х = Xi= — (I -- 0, 1. 2, . . ц),
п
k
y = tjk = — (fe = 0, 1. 2, . . . , П)
п
чизиклар системаси эса шу соханинг бошка Р2 булиниши булади. Уларнинг диаметри
5 „ V?
/?2= , Pj =---------га тенг.
12 п
Демак, (D) соха берилган холда, бу сохани турли усуллар билан
булинишларини тузиш мумкин. Натижада (D) соханинг булинишлари
туплами хрсил булади. Уни еР = \Р\ каби белгилайлик.
/ (х, у) функция (О')с:р сохада берилган булсин. Бу соханинг
Р£еР булинишини ва бу булинишнинг хар бир (Ь^) (k — 1, 2, . . , n)
булагида ихтиёрий (gft, (k = 1, 2, . . ., n) нуктани олайлик. Берил-
ган функциянинг (gfc, r|k) нуктадаги киймати f (^k, ц;.) ни Dk (Dk—(Dk)
соханинг юзи) га купайтириб, куйидаги
п
k=l
йириндини тузамиз.
18.1- таъриф. Ушбу^
п
к=\
(18.1)
йигинди, f (х, у) функциянинг интеграл йигиндиси ёки Риман йигин-
диси деб аталади.
Мне о л. 1.
булади, бунда
2. Ушбу
1,
t (х, у) = О,
j (х, у) = х • у функциянинг (D) сохадаги интеграл йигиндиси
п п
° f УВ k S/г ’ Л/г ‘
k=\ k=l
= h 2- • • • , n).
arap (x, y) E(D) да x—рационал сон, у — рационал сон булса,
arap (х, y)£(D) да, х ва у ларнинг камида биттаси иррационал сон
булса.
функциянинг интеграл йигиндиси куйидагича булади:
” D, агар барча ва тц, лар рационал сон булса,
а = )]/г) D/, = < 0, агар барча ёки барча лар иррационал сон
булса
Юкорида келтирилган таърифдан куринадики, / (х, у) функциянинг
интеграл йигиндиси о каралаётган f (х, у) функцияга, (Ь) соханинг бу-
линиш усулига хамда хар бир (Dk) дан олинган нукталарга бог-
лик булади, яъни
оР = Ср (/, «А, ПА).
I
293
1
f (x, у) функция чегараланган (D) cz R2 сохада берилган булсин.
Бу (D) соханинг шундай
Л» Р,.......Р^ • • • (18.2)
булинишларини караймизки, уларнинг диаметрларидан ташкил топган
Ар.» ^*р» • • •» ^р » * •
кетма-кетлик нолга интилсин: Хр ->0. Бундай (т = \, 2, . . .)
булинишларга нисбатан f (х, у) функциянинг интеграл йигпндисини ту-
замиз.
п
k=l
Натижада (D) соханинг (18.2) булинишларига мос f (х, у) функция
интеграл йигиндилари ^ийматларидан иборат куйидаги
кетма-кетлик хосил булади. Бу кетма-кетликнинг хар бир хади(^, q>)
нукталарга боглид.
18.2- таъриф. Агар (О) соханинг хар кандай (18.2) булинишлар
кетма-кет лиги {Рт} олинганда ^ам, унга мос интеграл йигинди ^ий-
матларндан иборат {сгт} кетма-кетлик, (^, 1^) нукталарни танлаб оли-
нишига боглид булмаган \олда ^амма вакт битта / сонга интилса, бу
I га о йигиндининг лимита деб аталади ва у
п
каби белгиланади.
Интеграл йигиндининг лимитини куйидагича хам таърифлаш мум-
кин.
18.3- таъриф. Агар уе>0 сон олинганда хам, шундай 6>0
топилсаки, (D) соханинг диаметри Хр < 6 булган хар кандай Р були-
ниши хамда хар бир (Dk) булакдаги ихтиёрий (^, т^) лар учун
[ о — 11 < Е
тенгсизлик бажарилса, у ^олда I га о йигиндининг лимити деб ата-
лади ва у
lim
Хр-0
каби белгиланади.
Энди / (х, у) функциянинг (D) со\а буйича икки каррали интегра-
лининг таърифини келтирамиз.
18.4- гаъриф. Агар Лр~>0 да f (х, у) функциянинг интеграл йи-
гиндиси о чекли лимитга эга булса, f (х, у) функция (D) сохада ин-
тегралланувии (Риман маъносида интегралланувчи) функция дейилади.
294
Бу о йигиндининг чекли лимити 1 эса f (х, у) функциянинг (D) соха
буйича икки каррали интеграли (Риман интеграли) дейилади ва у
f f f (х, у) dD
ID)
каби белгиланади. Демак,
п
( ( f (х, у) dD = lim а = lim Dk-
(D) ^p"*ob=l
Биринчи пунктда келтирилган (V) жисмнинг хажми f (х, у) функция-
нинг (D) сохд буйича икки каррали интегралидан иборат экан.
Ми с о л. 1. f (х, у) = С — const функциянинг (Р) соха буйича икки каррали
интегралини топамиз. Бу функциянинг интеграл йигиндиси
п
o=^C-Dk = C-D
fe=l
булиб, Лр => 0 да lim о = С - D булади. Демак,
7. р -> О
( Г С • dD = С • D.
'(£>)
Хусусан, f (х, у) = 1 булганда
| [ JD = D (18.3)
(D) ...
булади.
2. Ушбу пунктда ф (х, у) функциянинг (D) cz сохада интеграл йигиндисини
топган эдик. Унинг ифодаси хамда интеграл таърифидан бу функциянинг (D) сохада
интегралланувчи эмаслиги келиб чикади.
18.1 - эслатма. Агар f (х, у) функция (D) сохада чегараланмаган
булса, у шу сохада интегралланмайди.
2- §. Дарбу йигиндилари. Икки каррали интегралнинг бошцача
таърифи
1. Дарбу йигиндилари. f (х, у) функция (D)czR2 сохада бе-
рилган булиб, у шу сохада чегараланган булсин. Демак, шундай уз-
гармас т ва Л1 сонлар мавжудки, v (х, y)Q(D) да
т < f (х, у) < М
булади.
(D) соханинг бнрор Р булинишини олайлик. Bv булинишнинг хар
бир (DJ (k = 1, 2, . . ., п) булагида f (х, у) функция чегараланган
булиб, унинг аник чегаралари
[mk = inf I f (.г, у): (х, у) G j, Mk = sup {f (x, у): (x, у) £ (Dk)}
мавжуд булади. Равшанки, V (х, у) С (£>^) учун
18.5-таъриф.
mk < / (х, у) < Mk.
Ушбу
л п
(18.4)
%=1 А=1
295
йигиндилар мос равишда Дарбунинг куйи хамда юкори. йигиндилари
деб аталади.
Бу таърифдан, Дарбу йигиндиларининг f (х, у) функция га хамда (О)
соханинг булинишига боглик эканлиги куринади:
S = Sp (/), S = Sp (/)•
Шунингдек, хар доим
sCS
булади.
Юкоридаги (18.4) тенгсизликдан фойдаланиб куйидагини топамиз:
п п п
^>nkDk<^f^ Dk^MkDk.
k=l k=l fe=l
Демак,
Sp (D < °p (f; nfe) < Sp (f).
Шундай килиб, f (x, у) функциянинг интеграл йигиндиси хар доим унинг
Дарбу йигиндилари орэсида булар экан.
Аник чегаранинг хоссасига кура
/п< mk, Mk < М (k = 1, 2, . . ., п)
булади. Натижада ушбу
п п
S:=^imkDk>m^iDk = mD,
k=i fe=t
тенгсизликларга келамиз. Демак, у PQ учун
m-D^s^S^MD (18.5)
булади. Бу эса Дарбу йигиндиларининг чегараланганлигини билдиради.
2. Икки каррали иитегралнинг бошк.ача таърифи.
f (х, у) функция (D) cr R2 сохада берилган булиб, у шу сохада чега-
раланган булсин. (D) соханинг булинишлари туплами !>? — \Р\ нинг
кар бир PQ*P булинишига нисбатан [ (х, у) функциянинг Дарбу йигин-
дилари sp (f), Sp (/) ни тузиб
{sp (Di, (Sp (Di
тупламларни караймиз. Бу тупламлар (18.5) га кура чегараланган бу-
лади.
18 .6-таъриф. {sp (DJ тупламнинг аник юкори чегараси f(x,y)
функциянинг (D) сохадаги цуйи икки каррали интеграли (куйи Ри-
ман интеграли) деб аталади ва у
£=П/(Г’ y)dD
(й)
каби белгиланади.
296
(/)} тупламнинг аник; куйи чегараси f (х, у) функциянинг (D)
со\ада юкори икки каррали интеграли (юцори Риман интеграли) деб
аталади ва у
каби белгиланади. Демак,
(£>)
£_= f (х, у) cD = sup {s}, I = jp (x, y) dD = inf {S}.
Toj (£>)
18 .7-таъриф. Arap f (х, у) функциянинг (D) сохада куйи хамда
юкори икки каррали интеграллари бир- бирига тенг булса, у хрлда
f (х, у) функциянинг (D) со\ада интегралланувчи деб аталади, улар-
нинг умумий киймати
1=Л f <х- dD=J f f dD
(D) (D)
f (х, у) функциянинг (D) со^адаги икки каррали интеграли (Риман
интеграли) дейилади ва у
f f / (х, у) dD
(О')
каби белгиланади. Демак,
{* f I (х, у) dD = f J f (х, у) dD = J f f (х, у) dD.
(’о*) (оГ (О)
Агар
J [ f (X, у) dD ф / (х, у) dD
(БГ <°>
булса, f (х, у) функция (D) сохада интлгралланмайди деб аталади.
Шундай килиб, f (х, у) функциянинг икки каррали интегралига ик-
ки хил таъриф берилди. Бу таърифлар узаро эквивалент таърифлар. У
1- кием, 9- бобдаги аниц интеграл таърифларининг эквивалентлигини ис-
ботланганидек курсатилади.
3- §. Икки царрали иитегралнинг мавжудлиги
f (х, у) функциянинг (D) cr R2 соха буйича икки каррали интеграли
мавжудлиги масаласини к^араймиз. Бунинг учун аввало (D) соханинг
хамда Дарби йигиндиларининг хоссаларини келтирамиз.
(D) соханинг булинишлари хоссалари 1-^исм, 9-бобда »урганилган
1а, Ь] ораликнинг булинишлари хоссалари кабидир. Уларни исботлаш
деярли бир хил муло.\аза асосида олиб борилишини эътиборга олиб,
Куйида у хоссаларни исботсиз келтиришни лозим топдик.
f (х, у) функциянинг Дарбу йигиндилари хоссалари хакидаги вазият
^ам худди шундайдир.
l .(D) соха булинишларининг хоссалари. Фараз цилай-
лик, — \р\ —(D) соха булинишларидан иборат туплам булиб,
Ppzff’ булсин.
297
Агар Р1 булинишнинг хар бир булувчи чизиги Р2 булинишнинг хам
булувчи чизиги булса, Р2 булиниш Рг ни эргаштиради деб аталади ва
Р2 каби белгиланади.
Г. Агар булинишлар учун PY^ Р.2, Р2^ Р3
булса, у холда Р^ Р3 булади.
2е. V булинишлар учун, шундай Р£<Р топила-
дики, Рг-^ Р, Р2^ Р булади.
2 . Дар бу йигиндиларинин г хоссалари. f (х, у) функция
(D) сохада берилган ва чегараланган булсин. (D) соханинг Р булини-
шини олиб, бу булинишга нисбатан f (х, у) функциянинг интеграл ва
Дарбу йигиндиларини тузамиз:
п
k=]
п
s = sp(f) = ^ mkDk,
k=l
s = sp (/) = 2 м^-
k=\
Г. V e> 0 олинганда хам t]s)G(Da) нукталарни (k — 1, 2, . .
n) шундай танлаб олиш мумкинки,
0<Sp (f) — op (f)<e,
шунингдек, '(£*, rQ£(Dk) (k— 1, 2, . . ., n) нуцталарни яна шундай
танлаб олиш мумкинки,
О < Ор (/) — Sp (/) < £
булади.
Бу хосса Дарбу йигиндилари sp (f), Sp (/) лар интеграл йигинди
ар (/) муайян булиниш учун мос равишда аник куйи хамда аник юкори
чегара булишини билдиради.
2°. Агар Рг ва Р2 лар (D) соханинг икки булинишлари булиб,
Pi А булса, у холда
sPl (/) < sPi (/), SP! (/) < SP1 (f)
булади.
Бу хосса (D) сохднин г булинишдаги булаклар сони орта борганда
уларга мос Дарбунинг к^уйи йигиндисининг камаймаслиги, юцори йигин-
дисининг эса ошмаслигини билдиради.
3е. Агар Р± ва Р2 лар (О) соханинг ихтиёрий икки булинишлари
булиб, sPi (/), (f) ва sP2 (f), SP2 (f) лар f (x, у) функциянинг шу
булинишларга нисбатан Дарбу йигиндилари булса, у холда
булади.
Бу хосса, (D) соханинг булинишларига нисбатан тузилган куйи ни-
гиндилар туплами (sp (/)) нинг хар бир элемента (юкори йигиндилар
298
туплами \Sp(f)\ нинг хар бир элементы) ю^ори йигиндилар туплами
[Sp(f)\ нинг исталган элементидан (куйи йигиндилар туплами [sp (j)\
нинг исталган элементидан) катта (кичик) эмаслигини билдиради.
4е. Агар f (х, у) функция (D) сохада берилган ва чегараланган булса,
у холда
sup {sp (/)} < inf {Sp (/)}
булади.
Бу хосса / (х, у) функциянинг куйи икки каррали интеграли, унинг
юкори икки каррали интегралидан катта эмаслигини билдиради:
Г.
5°. Агар f (х, у) функция (£>) сохада берилган ва чегараланган
булса, у холда у е > О олинганда ^ам, шундай б > О топиладики,
(D) соханинг диаметри Хр<б булган барча булинишлари учун
(D</ + e(0<Sp(/)-/<e),
SP (f) >J_~ 8 (° sp(f)<e (18.6)
булади.
Бу хосса f (x, у) функциянинг юкори хамда цуйи интеграллари
>0 да мос равишда Дарбунинг юкори хамда цуйи йигиндиларининг
лимити эканлигини билдиради:
/ = lim Sp (/), /|= lim sp (f).
Xp —0 }.p -*0
3. Икки каррали интегралнинг м’авжудлиги. Энди
икки каррали интегралнинг мавжуд булишининг зарур ва етарли шар-
тини (критерийсини) келтирамиз.
18.1-теор ем a. f (х, у) функция (D) сохада интегралланувчи бу-
лиши учун, ув>0 олинганда \ам, шундай б>0 топилиб, (£)) со-
ланине диаметри Хр < б булган хар кандай Р булинишига нисбатан
Дарбу йигиндилари
SP 0 - Sp (/) < 8
(18.7)
тенгсизликни каноатлантириши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги, f (х, у) функция (О) сохада интегралла-
нувчи булсин. Таърифга кура
l=j^ = T
булади, бунда
7 = sup {sp 01, 7= inf {Sp(f)\.
Vs>0 олинганда хам, — га кура шундай б>0 топиладики, (О)
.4мг
соханинг диаметри Хр < 6 булган ^ар кандай Р булинишига нисбатан
Дарбу йигиндилари учун (18.6) муносабатларга кура
sp(f)-/<|, /-sp(/)<|
2 — 2
299
булиб, ундан
Sp (/) - Sp (/) < 8
булиши келиб чикади.
Етарлилиги. V 8 > 0 олинганда х^ам, шундай 6>0 топилиб,
(£>) соханинг диаметри < 6 булган хар ^андай Р булинишига нис-
батан Дарбу йигиндилари учун
Sp (f) - Зр (/) < е
булсин. 1\аралаётган / (х, у) функция (D) сохада чегараланганлиги
учун, унинг цуйи хамда ю^ори интеграллари
7_=sup {sp(f)}, 7= inf (Sp (/)}
мавжуд
булади. Равшанки,
sP(f)<±<7<Sp^.
Bv муносабатдан _
O^/-1_<SP (f)-sp(J)
булишини топамиз. Демак, V е > 0 учун
О <7— 7 < е
булиб, ундан _/ = 7 булиши келиб чицади. Бу эса f (х, у) функция-
нинг (D) сохада интегралланувчи эканлигини билдвради. Теорема исбот
булди.
Агар / (х, у) функциянинг (Dfc) (k = 1, 2, . . ., п) сохадаги тебра-
нишини (i>k билан белгиласак, у холда
п п
Sp (f) - sp (/) = У (Mk - mk) Dk = 2 Dk
b=] c=l
булиб, теоремадаги (18.7) шарт ушбу
яъни
lim У <sikDk = О
"° ^=1
куринишларни олади.
4- § Интегралланувчи функциялар синфи
Ушбу параграфда икки каррали интегралнинг мавжудлиги хакидаги
теоремадан фойдаланиб, маълум синф функцияларнинг интегралланувчи
булишини курсатамиз.
300
18.2-теорем а. Агар f (х, у) функция чегараланган ёпиц (D) cz У?2
сохада берилган ва узлуксиз булса, у шу сохада интегралланувчи
булади.
Исбот. f (х, у) функция (D) сохада текис узлуксиз булади. У хол-
да Кантор теоремасининг натижасига асосан (12-боб, 6-§), уе>0
олинганда \ам, шундай 6 > 0 топиладики, (D) соханинг диаметри
< 6 булган Р булиниши олинганда, бу булинишнинг хаР бир була-
гида функциянинг тебраниши wk < 8 булади. Демак, (D) соханинг гди-
аметри < 5 булган хар кандай Р булинишида
п п
Sp (f) — Sp (f) = 2 №kDk < 8 2 Db = e D
k=\
булиб, ундан
n
lim Усо.О. =0
булиши келиб чикади. Демак, [ (х, у) функция (D) сохада ннтегралла-
нувчи. Теорема исбот булди.
Баъзи бир узиладиган функцияларнинг хам интегралланувчи були-
шини курсатишдан аввал ноль юзли чизик тушунчасини эслатиб, битта
лемма исботлаймиз. R2 текисликда бирор Г чизик берилган булсин.
Маълумки, V 8 > 0 берилганда ^ам, Г чизикни шундай купбурчак (Q)
билан ураш мумкин булсаки, бу купбурчакнинг юзи Q < 8 булса, у
Холда Г — ноль юзли чизих деб аталар эди. Масалан, [а, Ь\ ораликда
аникланган ва узлуксиз у = f (х) функция тасвирлаган чизик; ноль юзли
чизик; булади. Шуни хам айтиш керакки, гарчанд юзаки Караганда хар
Хандай чизик; ноль юзли булиб куринса хам> ас лида ундай эмас.
(D) сохада ноль юзли Г чизик берилган булсин.
18.1-лемм а. у 8 > 0 олинганда хам, шундай 6>0 топиладики,
(D) соханинг диаметри Хр<6 булган Р булиниши олинганда бу були-
нишнинг Г чизих билан умумий нуцтага эга булган булаклари юз-
ларининг йигиндиси 8 дан кичик булади.
Исбот. Шаргга кура Г — ноль юзли чизих. Демак, уни шундай
(Q) купбурчак билан ураш мумкинки, бу купбурчакнинг юзи Q<8 бу-
лади.
Г чизих билан (Q) купбурчак чегараси умумий нухтага эга эмас
деб, Г чизих нухталари билан (Q) купбурчак чегараси нукталари ора-
сидаги масофани хаРайлик. Бу нухталар орасидаги масофа узин ин г энг
кичик хийматига эришади. Биз уни 5>0 оркали белгилаймиз. Агар
(D) соханинг диаметри < 6 булган Р булиниши олинса, равшанки,
бу булинишкнинг Г чизих билан умумий нухтага эга булган булак-
лари бузунлай (Q) купбурчакда жойлашади. Демак, бундай булаклар
юзларининг йигиндиси 8 дан кичик булади. Лемма исбот булди.
18.3-теорема. Агар f (х, у) функция (D) сохада чегараланган ва
бу соханинг чекли сондаги ноль юзли чизикларида узилшига эга бу-
либ, цолган барча нуцталарида узлуксиз булса, функция (D) сохада
интегралланувчи булади.
Исбот. / (х, у) функция (О) сохада чегараланган булиб, у шу со-
301
I
^анинг фацат битта ноль юзли Г чизигида (Г ст (О)) узилишга эга бу-
либ колган барча нукталарда узлуксиз булсин.
V е > 0 сонни олиб, Г чизикни юзи е дан кичик булган (Q) куп-
бурчак билан ураймиз. Натижада (Z?) coxa (Q) ва (D)\(Q) сохаларга
ажралади.
Шартга кура, / (г, у) функция (D)\(Q) да узлуксиз. Демак, уг>0
олинганда х>ам шундай бг > 0 топиладики, диаметри ХР1<бг булган
Рх булинишнинг хдр бир булагидаги / (х, у) функциянинг тебраниши
о^< е булади.
Юкоридаги лемманинг исбот жараёни курсатадики, шу 8 >0 га
кура, шундай б2 >0 топиладики, (D) соханинг диаметри кр< б2 бул-
ган булиниши олинса, бу булинишнинг (Q) купбурчак билан умумий
нуцтага эга булган булаклар юзларининг йигиндиси е дан кичик" бу-
лади .
Энди min {бх, 62j =6 деб, (D) соханинг диаметри Хр< б булган Р
булинишини оламиз. Бу булинишга нисбатан / (х, у) функциянинг Дар-
бу йигиндиларини тузи б, куйидаги
п
Sp (f) - Sp (/) = V (18.8)
k=\
айирмани цараймиз.
Бу (18.8) йигиндининг (Q) купбурчакдан ташкарида жойлашган (Dk)
булакларга мос хадларидан иборат йигинди
®kPk
k
булсин.
(18.8) йигиндининг цолган барча хадларидан ташкил топган йигинди
У" оА
К К
k
булсин. Натижада (18.8) йигинди икки кисмга ажралади:
(D)\(Q) сохадаги булакларда cofc< е булганлигидан
Dk^£-D (18.10)
k k
булади.
Агар / (х, у) функциянинг (D) сохадаги тебранишини Q билан бел-
гиласак, у холда
о Г о.
k k
булади. (Q) купбурчакда бутунлай жойлашган Р булинишнинг бу лак-
лари юзларининг йигиндиси 8 дан кичик хамда (Q) купбурчак чегараси
билан умумий ну^тага эга булган булаклар юзларининг йигиндиси хам
8 дан кичик булишини эътиборга олсак, унда
302
2Х < 2 е
k
булишини топамиз. Демак,
У"(0^< 2Й8. (18.11)
к. к 4
k
Натижада|(18.9), (18.10) ва (18.11) муносабатлардан
У wbD..< е D + 20 е = 8 (D + 20)
эканлиги келиб чикади. Демак,
п
Пт У(о^ = °.
Хр ->о ~
Бу эса f (х, у) функциянинг (D) сохада интегралланувчи булишини бил-
диради.
f (х, у) функция (D) соханинг чекли сондаги ноль юзли чизикра-
рида узилишга эга булиб, долган барча нук;таларида узлуксиз булса,
унинг (D) да интегралланувчи булиши юкрридагидек исбот этилади.
Теорема исбот булди.
5- §. Икки каррали иитегралнинг хоссалари
Куйида f (х, у) функция икки каррали интегралининг хоссаларини
урганамиз.
Икки каррали интеграл хам анц^ иитегралнинг хоссалари сингари
хоссаларга эга. Уларни асосан исботсиз келтира1миз.
Г. f (х, у) функция (D) сохага ((D) cz D2) интегралланувчи булсин.
Бу функциянинг (D) сохага тегишли булган ноль юзли L чизикдаги
(L cz (D)) ^ийматларинигина (чегараланганлигини саклаган хрлда) узгар-
тиришдан хрсил булган F (х, у) функция хам (D) сохада интегралла-
нувчи булиб,
f 1 / (*» У) dD == Ц f (х, у) dD
(Ц) (D)
булади.
Исбот. Равшанки, у- (х, у) С (D)\L учун
f У) = ? (х, у).
Шартга кура L — ноль юзли чизик;. Унда 18.1-леммага асосан, V ь>0
олинганда хам, шундай б >0 топиладики, (D) соханинг диаметри Хр<б
булган хар к;андай Р булиниши олинганда ^ам, бу булинишнинг L чи-
зик; билан умумий ну^тага эга булган булаклари юзларининг йнгин-
диси г дан кичик булади. Шу Р булинишга нисбатан f (х, у) ва F (х, у)
функцияларнинг ушбу интеграл йигиндиларини тузамиз:
п
<УР (/) = 2 f Dk<
k=l
п
/г=1
303
qp (f) йигиндини куйидагича икки цисмга ажратамиз:
(/) / (£&’ / (^А’ ТЪ?) ‘^/г’
к к
бунда V йигинди L чизи^ билан умумий иуктага эга булган (Dk) бу-
k
лаклар буйича олинган, эса долган барча хадлардан ташкил топ-
k
ган йигинди.
Худди шунга ухшаш
(о =2'F (В*’ D* + 2"F D*
k к
Агар V (*, У) Q(D)/ L учун / (х, у) F (х, у) эканини эътиборга олсак,
у холда
I Op U) - оР (О | < V I / ’Ъ) - F (В*. Пл) I D, С м • V Dk < М S
k k
булиши келиб чикади, бунда Л1 = sup | / (х, у) — F (х, у) |, ((.г, у) Q (D)\L).
Демак,
IОр (/) — Ор (О < Ms.
Кейинги тенгсизликда Хр->0 да лимитга утнб куйидагини топамиз:
Р / (*» у) dD = [J F (х, у) dD.
(Ь) (О)
2°. / (х, у) функция (D) сохада берилган булиб, (D) соха ноль юзли
L чизик билан (DJ ва (Z)2) сохаларга ажралган булсин. Агар / (х, у)
функция (D) сохдда интегралланувчи булса, функция (£\) ва (D2) со-
халарда хам интегралланувчи булади, ва аксинча, яъни f (х, у) функция
(Dt) ва (Z>2) со^аларнинг хар бирида интегралланувчи булса, функция
(D) сохада ^ам интегралланувчи булади. Бунда
J J f (х, у) dD = J [ / (х, y)dD+ \\f(x,y)dD.
(О) (О,) (Ь'г)
3°. Агар f (х, у) функция (D) сохада интегралланувчи булса, у хол-
да с f (х, у) (с = const) хдм шу сохада интегралланувчи ва ушбу
f f с7 (х, у) dD = с JJ / (х, у) dD
(О) (D)
формула уринли булади.
4°. Агар f (х, у) ва g (х, у) функциялар (D) сохада интегралланувчи
булса, у холда / (х, у) ± g (х, у) функция хам шу сохада интегралла-
нувчи ва ушбу
J J I/ {х, y)±g (х, у)] dD = [ р (х, у) dD± f [ g (х, у) dD
Ф) (В) (D)
формула уринли булади.
18.1-натижа. Агар (х, у), f2 (х, у), . . ., fn (х, у) функциялар-
нинг хар бири (D) сохада интегралланувчи булса, у холда ушбу
Cifi (х, у) + с2 f2 (х, у) + ... + cnfn (х, у) (ci = const, i = 1, 2, . . ., n)
304
функция хам шу сохада интегралланувчи ва
f f [q /1 (*, у) + ^f2 (X, у) + . • . + cnfn (х, у)] dD =
(D)
= fi f/1 у) <^d ~ь ^2 j* /2 с^» у) <^d • • • “Ь У У п (^» у) ^d
(D) (D) (D)
булади.
5°. Агар / (х, у) функция (£>) сохада интегралланувчи булиб,
V (х, «/)€(£>) учун / (х, у) > О булса, у холда
f [ / (х, у) dD > О
Ф)
булади.
18.2-натижа. Агар f (х, у) ва g (х, у) функциялар (D) сохада ин-
тегралланувчи булиб, V (х, у)С(£>) учун
/ (х, У) < g (х, у)
булса, у х.олда
f J / (х, у) dD < f J g (x, y) dD
<D) (D)
булади.
6°. Arap f (x, у) функция (О) сохада интегралланувчи булса, у хол-
да | f (х, у) | функция хам шу сохада интегралланувчи ва
|(|7(Х, у) (х, y)\dD
(D) (D)
булади. u
7°. У рта к и йм ат ха к и даги теорема л ар. f (х, у) функция
(£>) сохада берилган ва у шу сохада чегараланган булсин. Демак,
шундай т ва М узгармас сонлар (т = inf {/(х, у); (х, y)Q(D)\, М =
= sup {/ (х, у); (х, у)£ (£>)}) мавжудки, у (х, у)£(Ь) учун
т < f (х, у) < М
булади.
18.4-теорем а. Агар f (х, у) функция (D) сохада интегралланувчи
булса, у \олда шундай узгармас у (т С ц С М) сон мавжудки,
J |7 (х, у) dD = p-D
Ф)
булади, бунда D — (D) соханинг юзи.
18.3-натижа. Агар / (х, у) функция ёпи^ (D) сохрдр узлуксиз
булса, у ^олда бу сохада шундай (a, b)Q(D) нукта топиладики,
f [ / (х, у) dD —f (a, b) D
булади.
18.5-теорема. Агар g (x, у) функция (D) сохада интегралланувчи
булиб, у шу сохада уз ишорасини узгартирмаса ва f (х, у) функция
(D) св\ада узлуксиз булса, у холда шундай (a, b)Q(D) нукта топила-
дики,
J J7 (X, у) g (X, у) dD=f (а, Ь) [ J g (х, у) dD
(D) (О)
булади.
20—501
305
8°. Интеграллаш со\аси узгарувчи булган икки
каррали интеграллар. /(х, у) функция (D) содада берилган бу-
либ, у шу сохада интегралланувчи булсин. Бу функция, (D) соханинг
юзга эга булган хар кандай (d) дисмида ((d) cz (D)) хам интегралланув-
чи булади. Равшанки, ушбу
Ш(х. y)dD
'(d)
интеграл (d) га боглид булади.
(D) соданинг юзга эга булган дар бир (d) кисмига юдоридаги ин-
тегрални мос дуямиз:
•Ш+р, y^dD-
'(d)
Натижада функция хосил булади. Одатда бу
Ф(Ж= |7 Kx, y)dD
‘(d)
функция соланине функцияси деб аталади.
(D) сохада бирор (х0, г/0) нудтани олайлик. (d) эса шу нудтани уз
ичига олган ва (d) cz (D) булган соха булсин. Бу соханинг юзи d, диа-
метри эса А булсин.
л п а Ф((«0) , 1- Ф((Ф)
Агар А-*-0 да ——-нисбатнинг лимити lim - мавжуд ва чекли
d х-»о d
булса, бу лимит O((d)) функциянинг (х0, у0) нуктадаги соха буйича
хосиласи деб аталади.
Агар /(х, у) функция (D) сохада узлуксиз булса, у холда <D((d))
функциянинг (хс, Уо) нуктадаги соха буйича хосиласи /(х0, уп) га тенг
булади.
6- §. Икки каррали интегралларни дисоблаш
f(x, у) функциянинг (D) содадаги ((D) с: 7?'2) икки каррали интег-
рали тегишли интеграл йигиндининг маълум маънодаги лимити сифа-
тида таърифланди. Бу лимит тушунчаси мураккаб характерга эга бу-
либ, уни шу таъриф буйича дисоблаш датто содда долларда дам анча
дийин булади.
Агар /(х, у) функциянинг (D) содада интегралланувчилиги маълум
булса, унда биламизки, интеграл йигинда (D) соданинг булиниш усу-
лига дам, дар бир булакда олинган (£fe, r]fe) нудталарга дам боглид
булмай, Ар->0 да ягона ff (x,y)dD сонга интилади. Натижада функ-
(D)
циянинг икки каррали интегралини топиш учун бирорта булинишга
нисбатан интеграл йигиндининг лимитини дисоблаш етарли булади. Бу
дол (D) соданинг булинишини дамда г]*) нудталарни, интеграл
йигиндини ва унинг лимитини дисоблашга дулай дилиб олиш имконини
беради.
306
1
Мисо л. Ушбу
интегрални ^исоблайлик. Бунда
I i ху dD
'(b)
(D) = !(х, у) Е #2: 0 -V 1, 0 у 1 — х
Равшанки, f(x, У) — ху функция (Б>) да узлуксиз.
интегралланувчи.
(D) сохани
Демак, бу
f i i 4- 1 k Z? 4- 1
(D^= (х, у) е Я2: —С X <-------, — С у <-------,
' [ п п п п
(i = 0, 1. 2, . . . , п — 1, k -= 0. 1,2, ... ,
функция (D) сохада
булакларга ажратиб, хар бир (D^) да (5/ , )’—
У холда
п—1 л—1 П—1 Г П—1—1
о = 2 2 f4 ’k -)Dik = V 2 —
I=o k=Q /=0 Г k=0
k \
— деб караймиз.
rz /
1 п — i 1
п2 п 2п2
л—1
2л4
2п2
6
булади. Бундан эса
Jim о —
л—>оо 24
булиши келиб чикали. Демак,
J f ХУ dD = 77
(D) 24
Умуман, куп долларда функцияларнинг каррали интегралларини
таърифга кура хисоблаш кийин булади. Шунинг учун каррали интег-
ралларни хисоблашнинг амалий жи^атдан цулай булган йулларини
топиш зарурияти тугилади.
Ю^орида айтиб утганимиздек. /(х, у) функциянинг каррали интег-
рали ва уни дисоблаш (О) со^ага боглик.
Аввал, содда ^олда, (D) со^а тугри туртбурчак сохадан иборат
булган хрлда функциянинг каррали интегралини х^исоблаймиз.
18.6- теор ем а. /(х, у) функция (D) = {(х, y)QR2:a
содада берилган ва интегралланувчи булсин.
Агар х(хЕ[а, Ь]) узгарувчининг хар бир тайин цийматида
7W= y)dy
с
интеграл мавжуд булса, у ^олда ушбу
b d
]' [ J f (X, y)dy] dx
Л с
интеграл ^ам мавжуд булади ва
b d
(О)
а с
булади.
307
интеграл [а0, t>0] (0 < а0 < Ьп < + ОО ) да текис якинлашувчи булади.
17.2-эс л атма. Г (а) нинг (0, + оо) да нотекис якинлашувчили-
гини куриш кийин эмас.
2°. Г (а) функция (0, + оо) да узлуксиз хамда барча тартибдаги
узлуксиз хосилаларга эга ва
+ 00
Г<”) (д) = f ха~' е~х (In х)п dx (га = 1, 2 . . .).
ь
Исбот. V й С (0, + оо) нуктани олайлик. Унда шундай [о0,
(О < а0 < Ьо < + оо) оралик топиладики, aQ [ап, Ьо] булади.
Равшанки,
4~со
Г (а) = ха~} е~х dx
б
интеграл остидаги f (х, а) = ха~} е~х функция Л1 = {(х, a) С У?2; х б
С (0, + оо), а С (0, + оо)} тупламда узлуксиз функциядир. (17.40)
интеграл эса (юкорида исбот эгилганга кура) [я0, Ьо] да текис якин-
лашувчи. У хрлда 17.4-теоремага асосан Г (а) функция [n0, Ьо] да,
бинобарин, а нуктада узлуксмз булади.
(17.40) интеграл остидаги f (х, а) = ха~} е~х функция
/а (х, а) = х0-1 е~х In х
хрсиласининг М тупламда узлуксиз функция эканлигини пайкаш ци-
йин эмас.
Энди
-Нос
f /J (х, d) dx = I ха~х е~х In х dx
б о
интегралнн )а0, &0] да текис якинлашувчи булишини курсатамиз.
Ушбу Сх°-1 е~х In х dx интеграл остидаги х“-1 е~х In.г функция
о
учун 0<х< 1 да |ха-1 е~х In х| У х°»~ 11 In х| тенгсизлик уринли-
H.»
дир. (х) = х2 I In х | функция 0 < х С 1 да чегараланганлигидан ва
i -° _1 1
С х2 dx иитегралнинг якинлашувчилигидан J ха»-1 |1пх| dx нинг
о о
хам якинлашувчи булишини ва Вейерштрасс аломатига кура ка-
ралаётган С х0-1 е~х In х dx иитегралнинг текис я^инлашувчилигини
6
топамиз.
Шуи га ухшаш куйидаги
4" ос
J Xе”1 е~х In х dx
i
интегралда, интеграл остидаги х0-1 е~х In х функция учун барча х
1 да ь .
х0”1 е~х In х < xb°~^ е~х In х < хь° е~~х < f . 2_
\ Q ] X2
284
булиб, I — иитегралнинг як;инлашувчилигидан, яна Вейерштрасс
i
+со
аломатига кура ха~х е~х In х dx нинг текис як;инлашувчилиги ке-
1
либ читали. Демак, [а0, Ьо] да 1 xa~l e~h In х dx интеграл текис
о
якинлашувчи. Унда 17.16-теоремага асосан
f' (а) — f f х0—1 е~х dx У = ( (ха~х е~х)' dx = С ха~х е~х In х dx
о & о
булади ва Г' (а) [а0, &0] да бинобарин, а нуцтада узлуксиздир.
Худди шу йул билан Г (а) функциянинг иккинчи, учинчи ва хока-
зо тартибдаги хрсилаларининг мавжудлиги, узлуксизлиги хамда
Г(л) (а) = f х0-1 егх (In х)" dx (п — 1, 2, ... )
о
булиши курсатилади.
Зэ. Г (а) функция учун ушбу
Г (а + 1) = а • Г (а) (а > 0)
формула уринли.
Хфкикатан хам,
Г (а) = С ха~х е~х dx = i е~~х dl— )
х х \ а /
о о ' '
интегралнн бу лак лаб интегралласак,
о о
булиб, ундан
Г (а+ 1) = аТ (а) (17.41)
булиши келиб чикади.
Бу формула ёрдамида Г (а + п) ни топиш мумкин. Дар^акикат,
(17.41) формулани такрор цуллаб,
Г (а + п) = Г (а + п — 1) (а 4- /г — 1)
булишини, улардан эса
Г (а 4- /г) — (а + п — 1) (а 4- п — 2) ... {а 4- 2) (а 4- 1) а Г (а)
эканлигини топамиз. Хусусан, а == 1 булганда
Г(п+ 1) = п(п— 1) . . . 2-1 -Г (1)
285
+ си
2) f <p(x)dx хосмас интеграл якинлашувчи булса, у холда
а
I (у) = J f (.V, У) dx
а
интеграл Е тупламда текис якинлашувчи булади.
Исбот. Шартга кура f ср (х) dx якинлашувчи. Унда 16-бобнинг
а
2-§ ида келтирилган 16.4-теорема га асосан, V е > 0 олинганда хам,
шундай 6=6(е)>0 топиладики, V f>5, V /">6 булганда] f cp(x)rfx|<
< е булади. Иккинчи томондан, 1) шартдан фойдаланиб куйидагини
топамиз:
t" ty t"
| f f (x, y) dx\^ ф (x, y) | dx < f <p (x) dx (f < /").
r ? t-
Демак,
| f Ж y)dx|<e.
У
Бу эса f f (x, y) dx хосмас интегралнинг £ туп лам да фундаментал эка-
а
нини билдиради. Юкоридаги 17.10-теоремагэ асосан 1 Дх, у) dx пнтег-
а
рал £ тупламда текис якинлашувчи булади.
Мисо л. Ушбу
J* со^ х и
——- (ах) (у б £ = (— оо, оо))
1 -f- xi
о
интегрални карайлик.
Агар <р (х) функция сифатида <р (х) =
1) V х б [0, 4-о°) ва v у б (— оо.
1Н-х2
олинса, у холда
4- оо) учун
у)| =
cos ху
1 + Л-2
1
1+х2
<₽ (х).
то» dx
2) j (f. ix)rfx= | ——, интеграл якинлашувчи (харалсин, 16- боб, 1- §) була-
. б б 1 "!-А'2
ди. Демак, Вейерштрасс аломатига кура берилган интеграл £ = (— оо, т оо) да
текис якинлашувчи буладн.
Интегралнинг текис якинлашувчилигини ани^лашда ^ул келадиган
аломатлардан—Абель ва Дирихле аломагларини исботсиз келтирамиз.
А б е л ь а л о м а т и. / (х, у) ва g (х, у) функциялар М = {(х, у) £ £2:
х£ [a, J- оо), yg EczR} тупламда берилган. у узгарувчининг £ туп-
264
ламдан олинган хар бир тайин цийматида У) ифункция х нинг
функцияси сифатида [а, + оо) да монотон функция булсин.
Агар
j f (х, у) d х
а
интеграл Е тупламда текис якинлашувчи ва у (х, у) g NI учун
I g(х, у)\^с (с = const)
булса,
f f(x, У) • g (х, У) dx
а
интеграл Е да текис якинлашувчи булади.
Мисо л. Ушбу
4" ОО
Г _Д_ е-хи dx(y £ Е = [0, + оо))
J X
о
интегрални карайлик. Агар
f (х, у) = ----, g (х, у) — е ху
х
деб олинса, Абель аломати шартлари бажарилади. Хакикатан хам, | f (х, y)dx те-
o'
кис якинлашувчи:
+.“sin х
| fix, y)dx = | ------d
6 о x 2
(16-боб, 2-§ ва 17-боб, 8-§), g (x, у) = e~xy эса у нинг £=[0, -f-ос) дан олин-
ггн хар бир тайин киймэтидэ х нинг камаювчи. функцияси ва V х б [0, + оо),
V у с Е = [О, -L оо) учун I g (х, у) I = е~ху I булади. Демак, берилган интеграл
(Абель аломатига кура Е — [0, + °°) да текис якинлашувчи.]
Дирихле аломати. f (х, у) ва g(x, у) функциялар М тупламда
берилган. Агар у t > а хдмда у у Q Е учун
t
| f (х, у) dx\ < с (с = const)
а
булса ва у у'згарувчининг Е дан олинган хар бир тайин кийматида,
4- сю да g (х, у) функция уз лимит функцияси ф (у) = 0 га текис
яцинлашса, у х.олда f f (.X, У) g (X, у) dx
интеграл Е да текис якинлашувчи булади.
М н со л. Ушбу +fs^jdx 0 х (Уб Е= [1, 2
265
интегрални ^арайлик. Агар
f (х, у) = sin х у, g (х, у) = —
X
дейилса, унда V I > О, V у С [ 1, 2] учун
t t
I f (х, у) dx | = | f sin х у d х | —
О 'о
булади. х-> + оо да g (х, у) = — функция Е тупламда нолга текис якинлашади:
Ё (х, у) ----- 0.
Демак, берилган интеграл Дирихле аломатига кура Е—[1, 2] да текис якинлашув-
чидир.
Чегараланмаган функция хосмас интегралининг текис (нотекис)
ядинлашувчилиги тушунчаси хам юкоридагидек киритилади.
f (х, у) функция = {(.г, у) G R'2 :х G [о, Ь), у € Е ст R} тупламда
берилган. у узгарувчининг £ дан олинган х,ар бир тайин цийматида
f (х, у) ни х узгарувчининг функцияси сифатида царалганда унинг учун
х = b махсус нукта булсин ва бу функция [о, Ь) да интегралланувчи
булсин. Чегараланмаган функция хосмас интеграли таърифига кура
ихтиёрий [a, да (а < t < 5)
t
Fi(t, У) = \ y)dx
а
интеграл мавжуд ва
ь
lily) = \f(x, У) dx = lim Ft (/, у) (17.23)
a
булади. Демак, (у) функция F, (t, у) функциянинг /-> b — 0 даги
лимит функцияси.
17.8- таъриф. Агар t-+b — 0 да Fr (t, у) функция уз лимит функ-
цияси Д (у) га £ тупламда текис я^инлашса, у \олда
ь
f f (х, у) dx
а
интеграл £ тупламда текис яцинлашувчи деб аталади.
17.9- т а ъ р и ф. Агар t -> b — 0 да Ft (t, у) функция уз лимит функ-
цияси /д (у) га £ тупламда нотекис яцинлашса, у холда
♦ ь
[ f (х, у) dx
а
интеграл £ тупламда нотекис яцинлашувчи деб аталади.
Бу таърифларни «б — 6» оркали баён этишни уцувчига хавола эта-
миз.
266
17.10- т а ъ р и ф. Агар V е > 0 олинганда хам. шундай 6 = 6 (е) > 0
топилсаки. b — b — 6 < t" < b булган V f, t" лар ва
V У € Е учун
I J / (х, у) dx | < 8
г
тенгсизлик бажарилса, у холда (17.23) интеграл Е тупламда фунда-
мент интеграл деб аталади.
ь
17.11- теорема. С/Дх, у) dx интегралнинг Е тупламда текис
а
якинлашувчи булиши учун унинг Е /тупламда фундаментал булиши
зарур ва етарли.
5- §. Параметрга боглик хосмас интегралларда интеграл белгиси
остида лимитга утиш
1. f (х, у) функция М = {(х, у) G R2: х G [а, + оо), у £ cz R} туп-
ламда берилган. у0 нукта Е тупламнинг лимит нуктаси булсин.
17.12-теорема, f (х) функция
1) у узгарувчининг Е дан олинган хар бир тайин кийматида х
Узгарувчининг функцияси сифатида 1<з, + оо) да узлуксиз,
2) у-^Уо да ихтиёрий [а, fl [а</< оо) ораликда <р (х) лимит
функцияга текис якинлашувчи булсин.
Агарда
Цу)= f f {к, у) dx
а
интеграл Е тупламда текис якинлашувчи булса, у холда у-+у0 да
I (у) функция лимитга эга ва
Jim / (у) = lim С /(х, у) dx = \ q(x)dx (17.24)
булади.
Исбот. Теореманинг 1) ва 2) шартлари хамда ушбу бобнинг 1-§
идаги 17.2-теоремадан ср(х) лимит функциянинг [а, + оо) да узлук-
сиз булиши келиб чикади. Демак, <р (х) функция хар бир чекли [а, fl
(я</< + со) ораликда интегралланувчи.
<р(х) ни [о, + оо) да интегралланувчи эканлигини курсатайлик.
Теореманинг шартига кура
/ (У) = [ / (*, У) dx
а
интеграл Е да текис якинлашувчи. Унда 17.10-теоремага асосан,
V 8>0 олинганда хам, шундай о=б(е)>0 топиладики, f > 6, /">6
булган у t', t" лар ва V У € Е учун
|p(x,y)dx|<8 (17.25)
1
булади. f (х, у) функцияга куйилган шартлар 2-§ да келтирилган 17.3-
теорема шартларининг бажарилишини таъминлайди. (17.25) тенгликда
у -> у0 да лимитга утиб цуйидагини топамиз:
t"
j f ср (х) dx | < е.
г
Бундан эса ср (х) нинг [а, + оо) да интегралланувчи булиши келиб чи-
кади (16-боб, 2-§).
Энди
| j* f (х, у) dx — ср (х) dx |
а а
айирмани куйидагича ёзиб,
|f /(х, y)dx—j ср (х) dx | = | j [f (х, у) — ср (х)] dx + J /(х, y)dx —
a a a t
— [ ср (х) dx | С ф (х, у) — ср (х) | dx+ I [ / (х, у) dx [ +
i а I
+ х
+ | J ф W dx I (а < t + оо) (17.26)
тенгсизликнинг унг томонидаги хар бир к.ушилувчини бахрлаймиз.
+оо
J f (х, у) dx интеграл Е да текис якинлашувчи. Демак, V е > О
а
олинганда хам шундай (е) > 0 топиладики, барча t > \ ва
V у G Е учун
15® о
|| /(х, y)dx|<| (17.27)
t
булади.
+ со
I cp(x)dx хосмас интеграл якинлашувчи. Демак, юкоридаги V е>
а
> 0 олинганда хам шундай 62 — 62 (е) > 0 топиладики, барча t > 62
учун
1 fcp(x)dx |< | (17.28)
булади.
Агар б0 = max {615 62} деб олинса, барча />60 учун (17.27) ва
(17.28) тенгсизликлар бир йула бажарилади. у0 да / (х, у) функ-
ция ф (х) лимит функцияга хар бир [а, (] (жумладан t > 6^ да текис
якинлашувчи. Демак, уе>0 олинганда хам, шундай 6'> 0 топи-
ладики, | у—у о | <6' тенгсизликни каноатлантирувчи у С Е ва у х£ [о, /]
(а</< + оо) учун
|/(х, у)_ф(х)|<-1— (17.29)
3 (/—а)
268
j f (х, y)dx — J Ф W dx (17.30)
булади. Натижада (17.26), (17.27) (17.28) ва (17.29) тенгсизликларга
к^ра
“Г 30 .00
| j f (х, у) dx — [ <р (х) dx f < в
а а
булади. Бу эса
lim
У~>У<>
булишини билдиради. Теорема исбот булди.
(17.30) лимит муносабатни куйидагича хам ёзиш мумкин:
lim С f (х, у) dx — f Г lim f (x, у) 1 dx.
У-*Уо “ £ L У^>Уо J
Бу эса 17.12-теореманинг шартлари бажарилганда параметрга боглиц
хосмас интегралларда хам интеграл белгиси остида лимитга утиш мум-
кинлигини курсатади.
2. f (х, у) функция /Mi = {(х, у) Q Е1 2: х Q [а, Ь), у £ £ с: /?} туп-
ламда берилган, у0 нукта £ тупламнинг лимит нуктаси булсин. Шу-
нингдек, у узгарувчининг £ дан олинган хар бир тайин ^ийматида
f (х, у) ни х узгарувчининг функцияси сифатида царалганда унинг учун
х = Ь махсус нукта булсин.
17.13- теорема, f (х, у) функция
1) у узгарувчининг Е дан олинган хар бир тайин кийматида х
узгарувчининг функцияси сифатида [а, Ь) да узлуксиз,
2) У~*Уо да ихтиёрий [a, t) (a<Zt<Zb) ораликда <р(х) лимит
функцияга текис якинлашувчи булсин.
Агар
ь
А (у) = j f (*. У) dx
а
интеграл Е mi/пламда текис якинлашувчи булса, у холда у-*~у0 да
К (у) функция лимитга эга ва
b b ь
lim (у) = lim Г f (х, у) dy = f [lim f (х, у)1 dx= С ф (х) dx
булади.
6- §. Параметрга боглик хосмас интегралларнинг параметр
буйича узлуксизлиги
1. f (х, у) функция М = {(х, у) € £2: х С [а, + оо), у Q [с, d)} туп-
ламда берилган.
17.14- теорема, /(х, у) функция М тупламда узлуксиз ва
1 (У) = J f(x, у) dx
а
289
О ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O RTA MAXSUS TA’LIM
VAZIRLIGI
AL-XORAZMIY NOMLI
URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI
MINISTRY OF HIGHER AND
SECONDARY SPECIAL EDUCATION
OF THE REPUBLIC OF UZBEKISTAN
URGANCH STATE UNIVERSITY
NAMED AFTER AL-KHORAZMY
220100, Urganch sh., H.Olimjon ko'chasi, 14. Tel: (8-362)226-61-66. Fax: (8-362) 226-17-39. E-mail: hab (a>, ursu.uzpak.uz
*f3” /ИЯГс/г 200Ду
Prof.Paul Montpetit Gauthier
Universite de Montreal,3057
Avenue Cedar,
Montreal,QC,H3Y 1Y8,CANADA
e-post -
gauthier@DMS.UMontreal.CA
Dear professor Paul Gauthier!
We are pleased to inform you that Urgench State
University named after al-Khorezmf invites you to give
lectures and for scientific work at the Mathdepartment
during two weeks at your opportune period in May,2008.
We will cover all your’s and your wife - Sandralee
Mary Gauthier's expenses there during these two
weeks.Unfortunatelly,we could not able to cover your
transportation
expanses.
Rector
интеграл [г, d] да текис якинлашувчи булсин. У цолда 1 (у) функ-
ция [с, d] ораликда узлуксиз булади.
Исбот. f (х, у) функциянинг М тупламда узлуксизлигидан, аввало
бу функция у узгарувчининг кар бир тайин кийматида х нинг узлук-
сиз функцияси булиши келиб чикади. Шу билан бирга f (х, у) функ-
ция Mt — {(х, у) С R2: х Е к Ф у Е [£, d]} (а < t < + оо) тупламда
хам узлуксиз, демак, шу тупламда текис узлуксиз булади.
V У о € к, d] нуктани олайлик. у~+ус да / (х, у) функция f (х, yQ)
лимит функцияга [а, да текис якинлашади (каралсин, 250- бет). Агар
теореманинг иккинчи шартини эътиборга олсак, у холда f (х, у) функ-
ция 17.12-теореманинг барча шартларини бажаришини курамиз. У хол-
да 17.12-теоремага асосан
Jim / (у) = lim ( f(x, y)dx=f | lim f (x, y)l dx —
У~*Уо У-^Ус Ц " ! У~>Уо J
Cl Cl
= f /0, !/o) dx = 1 (>/„)
a
булади. Бу эса / (у) функциянинг [с, d\ ораликда узлуксиз эканини
билдиради. Теорема исбот булди.
2. f (х, у) функция ;И2 == {(х, у) б R2: х £ Ф, Ь), у С К Ф} туп-
ламда берилган. у узгарувчининг [с, d] орэликдан олинган ;кар бир
тайин кийматида / (х, у) ни х узгарувчининг функцияси сифатида ка-
рал ганда унинг учун х = b махсус нукта булсин.
17.15- теорем a. f (х, у) функция Л1{ тупламда узлуксиз ва
Ii (у) = i /’ (*> У) dx
интеграл, [с, d] да текис якинлашувчи булсин. У холда Ц (у) функ-
ция |с, d] ораликда узлуксиз булади.
7- §. Параметрга боглиц хосмас интегралларни параметр буйича
дифференциаллаш
1. / (х, у) функция У! {(х, у) б /?2: х б [а, Ч- оо), у g [с, d]} туп-
ламда берилган.
17.16-теорем а. / (х, у) функция ?/1 тупламда узлуксиз, /’Дх, у)
хусусий хосилага эга ва у хам узлуксиз хамда у узгарувчининг [с, d. j
дан олинган хар бир тайин кийматида
/ (у) = f / К. у) dx
к..-
а
интеграл якинлашувчи булсин.
Агар f (х, у) dx интеграл [с, d] да текис якинлашувчи булссц
а
270
у холда I (у) функция хам [с, d] ораликда Г (у) хвсилага эга була-
ди ва
/'(*/) = Г Гу y)dx (17.31)
а
муносабат уринлидир.
Исбот. V у0 £ |с, d] нуктани олиб, унга шундай Ду (Ду 0)
орттирма берайликки, у0 + Ду£ [с, d] булсин.
/(у) функциянинг у0 нуктадаги орттирмасини олиб, ушбу
(уо ~4~ Ду) I ____ С f >//о Н~ Ду) f (х, у) (17 32)
Ду " J Ду к • )
а
тенгликни хосил киламиз. Энди (17.32) тенгликдаги интегралда Ду->0
да интеграл белгиси остида лимитга утиш мумкинлигини курсатамиз.
Лагранж теоремасига кура
I (X, 4- Ду) - f (-V. Уо) = f % + 0-Ау) (17.33)
Ду у
булади, бунда 0 < 0 < 1.
Шартга кура f'y (х, у) функция Mt = {(х, у) € R2: х Е [о, Л у Е k, d]}
(a<Z <-=-<») тупламда узлуксиз, демак, текис узлуксиз. У холда
V е > 0 олинганда хам, шундай б = б (е) > 0 топиладики, | х" — х' | <
<6, |у"— у'|<б тенгсизликларни каноатлантирувчи ихтиёрий (х',
У') Е Мр К", у") Е Mt нукталар учун
булади. Агар х'= х" = х, у'— у0 у" — уй 4- А//-9 дейилса, унда
|<у|& булганда
I f'y (х, у0 4- о • Ay) — fy (х, у0) | < е (V х Е [а, /])
булади. Юкоридаги (17.33) тенгликдан фойдаланиб куйидагини топа-
миз:
г- а /л f Cv. z/o Ду) — / (х, z/o) . с' / \ .
Бу эса Дг/->-0 да —------------------— функция f (х, //0) лимит функ-
Ду ' у -
цияга текис якинлашишини билдиради.
Теореманинг шартига кура
ТОО
| f (х, у) d х
а
текис якинлашувчи. Демак, V е>0 олинганда хам, шундай 6 =
= 6 (е) > 0 топиладики, > f 6, /" > б булган t'4 ва V у £ [с, d\
учун
I
у (х, у) dx < е
27
булади. Жумладан
f'y (*- У о + Ау 0) dx
булади. (17.33) тенгликка асосан
Г00 7 (-У, Уо + Аг/) — / (х, у(,)
J Ду
а
булади. Бу эса
интегралнинг текис якинлашувчилигини
Натижада 17.12-теорема га кура
билдиради.
lim I
А#->0 J
а
тенглик уринли булади.
Юкоридаги (17.32) тенгликда Ау-*0 да лимитга утамиз:
\у
lim
Az/—>0
&у
dx
Т со
lim
lim
- dx =
Г СО
lim
Az/-►О
а
а
а
а
Демак,
а
f (х, ye)dx.
Т еорема исбот булди.
(17.31) муносабатни
куйидагича хам ёзиш мумкин:
Бу эса теорема шартларида дифференциаллаш амалини интеграл белги-
си остита утказнш мумкинлигини курсатгди.
2. f(x,‘y) функция Mj = {(х, у) С R2: xQ [«, b), у С {с, d]} туп-
ламда берилган. у узгарувчининг [с, d] дан олинган хар бир тайин
кийматида f(x, у) ни х узгарувчининг функцияси сифатида каралганда
унинг учун х = b махсус нукта булсин.
272
17.17- теорема. f(x,y) функция тупламда узлуксиз, fy(x,y)
хусусий хосилага эга ва у хам узлуксиз хамда у узгарувчининг [с; d\
дан олинган хар бир тайин цийматида
ь
Цу) = Кх, у) dx
ь
интеграл якинлашувчи булсин.
Агар
j f (х, у) dx
tj &
а
интеграл ]с, d] да текис якинлашувчи булса, у %олда
хам [?, cl] оралицда 1\(у) хосилага эга булади ва
\fUx' Odx
h(y) функция
мунссабат уринлидир.
8- §. Параметрга боглик хосмас интегралларни параметр буйича
интеграллиш
1. /'(х, у) функция AI = {(х, у) £R2: х£]а, + оо), у£ [с, d]\ туп-
ламда берилган.
17.18- теорема. Агар f(x,y) функция М тупламда узлуксиз ва
Ку) =
I f (х, у) dx
интеграл [г. d] ораликда текис якинлашувчи булса, у цслда 1 (у)
функция [с, rfj да интегралланувчи ва
d d -—СО -j- СО £?
U(y)dy = f| j' f(x, y)dx\dy = f [ f f (x, y) dy} dx
u.' 1 L t' *' -j.
с с a a c
булади.
Исбот. Теореманинг шартларидан /(у) функциянинг ]c,d] ора-
ликда узлуксиз булиши келиб чикади (каралсин, 17.4-теорема) Демак>
I(у) функция {с, d] да интегралланувчи.
Энди
I {f(x,y)dy]dx
L J j
C
тенгликнинг уринли булишини курсатамиз.
Шартга кура
со
Лу)---= I f(x, y)dx
а
273
интеграл [с, d] да текис якинлашувчи. Демак, Ve > 0 олинган хам
шундай б = 6 (е) > 0 топиладики, V/ > 6 ва А/У С [с, d] учун
4“ 00
I f f(x, у) dx I < е
't
(17.34)
булади. Мана шундай t буйича
d 4-00 d t d 4-х
[ [ I f (x> У) dx] dy = [ [ f f(x, y) dx] dy + \ \ j‘ f (r, y) dx] dy.
с a с a c t
17.6-теоремага асосан
d t t d
j [ ( / (x, у dx dy—\‘ [ \f(x, y) dy] dx
c a a c
булади. Натижада
d 4- co
t d
J I(y)dy = f [ f f (x, y) dy] dx + ]' [ j f (x, y) dx] dy
с a с ’ c t
булади. Юкоридаги (17.34) муносабатни эътиборга олиб куйидагини
топамиз:
d
| j Ду) dy
с
Бу эса
d
\f(x, y)dy] dx
c
а 4-х
| I f f (х, y)dx I dy
c t
а
d
d
d
f I(y)dy = lim П |7(x, y)dy]dx = f Г [7(x, y)dy] dx
* / _ у <7 L » . v L » _s
r t r. r nr
а
с
эканини
C a C
билдиради. Демак,
d 4~ co 4“ ^o d
[[ f f.(x,y)dxdy= f [ j’/(x, y)dy] dx.
a c
с a
Теорема исбот булди.
Энди f (х, у) функция М2 = {(х, у) G Д2: х £ [а, + оо), у £ [с, + оо)]
тупламда берилган булсин.
17.19- теорема, /(х, у) функция М.2 тупламда узлуксиз ва
4-ос 4-оо
| Дх, у) dx, I / (х, у) dy
f
а с
интеграллар мос
шувчи булсин.
Агар
равишда [с, + оо] ва [а, + оо ] да текис якинла-
f(x, у) dx] dy (ёки f
а
фх, у) I dy 1 dx,
интеграл якинлашувчи булса, у холда
_]_оо 4- со 4-ос д-зе
f | Г f(x, у) dy dx, f [ f f(x, y)dx dy
a с c a
274
интеграллар якинлашувчи ва .
Д-СО -|_00 4-00 4-00
J [ f f (х, у) dx ] dy = [ [ f f (x, у) dy\ dx
с a a c
булади.
Бу теореманинг исботини уцувчига хавола киламиз.
2. /(х, у) функция М± = |(х, у)£7?1 2:хС[п, b], у£[с, d]] тупламда
берилган. у нинг ]с, d] дан олинган хар бир тайнн цийматида f(x,y)
ни х узгарувчининг функцияси сифатида каралганда унинг учун х=Ь
махсус ну^та булсин.
17.20- теорема. /(х, у) функция тупламда 'узлуксиз ва
ь
Цу) = \КХ> y)dx
а
интеграл [с, d] ораликда текис якинлашувчи булса, у холда 1Л (у)
функция [с, d\ да интегралланувчи ва
\lx{y)dy = (' 5 \ f(x, y)dx\dy = f i 1,7’(.r, y)dy dx
г с a a c
булади.
Мисоллар. 1. Ушбу
00
„а— 1
-----dx
1 +.v
интегралнн карайлик. У чегараланмаган функциянинг [а < 1 да х = 0 махсус ну^*
та) чегараси чексиз хосмас интеграли булиб, а параметрга богликдир:
/(«)
Бу интегралнн цуйидаги икки кпсмга ажратиб,
4-оо I 4-оо
Р гл-1 у а-\ ‘ а—1
/(а)~ | --------dx ~ I --------dx -- I -------dx — 1г{а) + /2 (д)
J 1 4- х ,1 1 4- х J 1 + х
О 0 1
уларнинг хар бирини алохида-алохида якинлашувчиликка текширамиз.
да куйидаги
1
Г 7 1
тенгсизликлар уринли ва \ х dx интеграл а > 0 да якинлашувчи, а 0 да узок-
о
лашувчи (царалсин, 16-боб, 5-§). 16-бобнинг 6-§ ида келтирилган 16.8-теоремага кура
275
интеграл а > 0 да якинлашувчи а дб О да узоклашувчи булади. х > I да куйидаги
тенгсизлнклар уринли ва j ха 2 dx интеграл а < 1 да якинлашувчи, а 1 да
1
узоклашувчи (каралсин, 16-боб, 1-§). 16-бобнинг 2-§ ида келтирилган 16.2-теорема-
га кура
у»,
/2(д)~ Г —t—dx
интеграл а< 1 да якинлашувчи, а 1 да узоклашувчи булади. Шундай килиб, бе-
рилган
1
С гй~!
/(п) = I --------dx
J 1 + х
О
интегралнинг 0 < а < 1 да якинлашувчи булишини топамиз.
Энди / it?) интегрални хисоблаймиз.
Равшанки, 0 < х <С 1 да
д—I
fe 4 а
булиб, бу г;атор [а0, Ьо] (0 < <
(*) даражали цаторнинг ^исмий
r<d0< 1) да текис якинлашувчи булади.
йигиндиси
булади, Агар ~ n£N ва V%c(0- 1) учун
тенгсизликнинг уринли булишини хамда
( ха 1 dx
о
(О < а
интегралнинг якинлашувчилигини эътиборга олсак, унда Вейерштрасс аломатига кура
1
интеграл ( Sr (х) dx (и = 1, 2, 3 . . .) текис якинлашувчи булади. 17.13-теорема-
6
га кура
1 I
ilin ( Sn(x)dx — ) [lim Sn(x)\dx.
о о n-^-
276
1
яъни
интегралда х~ — алмаштиришни бажарсак, у .холда
$
1 а 1
/4(а)= | 1 +1 <# = ’ +/
С fj
о о
булади. Юкоридаги йул билан
277
булишини (каралсин, 21-боб, 4-§) эътиборга олсак, унда
п
1{а) = -------
sin а л
эканлиги келиб чикади. Демак.
2» У гиб у
£— dx = _Д_
4- х sin а л
(О
sin х
dx
интегрални' карайлик. Бу
2- § ида куррсатилган эди
^уйидаги
О
хосмас интегралининг
якинлашувчи оулиши
. Энди берилган интегрални хисоблаймиз.
16- бобнинг
Бунинг учун
4-оо
параметрга боглик хосмас
Равшанки,
о
интег рал ни ка рай миз.
sin.г ,
е у --------dx
х
f Сг, а') — е ах
sin х
------(f(0, а) = Г)
функция
ту п ла мда у з л у ксиз,
с
1 а
хусусий хосилага эга ва у хам узлуксиз функция. Куйидаги
— е ах sin х
е sin xdx
интеграл эса с^а0(ао>0) да текис якинлашувчи. 17.16-теоремага
кура
—ах sinx
е -------
dx——
а
е axs\ndx — —
булади (каралсин, 1-кпсм,
О
8-боб, 2- §). Демак,
мак,
„ — л л
булио, —7- -- с = 0 яъни С = — бу
I (а) = — — arctg а
Бу генгликда а-> 0 да лимитга утиб куйидагини топамиз:
lim /(<?)= -Л-.
2
278
л
р
Шундай килиб, 7(0) =
яъни
ДОО
f = Л
J -V 2
о
булади.
9- §. Бета функция (I тур Эйлер интеграли) ва унинг хоссалари
Биз 16-бобнинг 9-§ ида ушбу
( (1 —x/'~l dx
t
о
(17.35)
хосмас интегрални карадик.
Интеграл остидаги функция учун
1) я<1, b 1 булганда х = 0 махсус нукта,
2) а > 1, /;< 1 булганда х = 1 махсус нукта,
3) я< 1. й< 1 булганда х = 0 ва х = 1 нукталар махсус нуцта-
лар булади.
Бинобарин, (17.35) чегараланмаган функциянинг хосмас интеграли-
дир. Демак, (17.35) интеграл — параметрга боглиц хосмас интеграл-
дир. Уша ерда (17.35) хосмас интегралнинг а > О, Ь>0 да, яъни
Мк = {(a, tyQR2:aQ(Q, + оо), Ь£(0, + оо)}
тупламда якинлашувчи булиши курсагилди.
17.11-таъриф. (17.35) интеграл бета функция ёки I тур Эйлер
интеграли деб аталади ва В(а,Ь) каби белгиланади, демак
В (а, Ь) = 1 ха 1
'о
(1 — x)b~'dx (я>0, fc>0).
Шундай килиб В(а,Ь) функция R2 фазодаги 1М = {(а, &)С 7?2:<2б(0,
+ °о), &б(0, + оо)} тупламда берилгандир.
Энди В (а, Ь) функциянинг хоссаларини урганайлик.
Г. (17.35) интеграл
В'(a, b) = fx0-1 (1 — х)6-' dx
О
ихтиёрий .'Ио = {(х, b)QR2:aQ >о0, + оо), b^[b0, + со)} о0>0, 60>0)
тупламда текис якинлашувчи булади.
Исбот. Берилган интегрални текис якинлашувчиликка текшириш
учун уни куйидагича
J1/-1 (1 — х)6-1 dx = lfxG_1 (1 — x)b-' dx + f Xя-1 (1 — хЛ1 dx
0 b 1/2
ёзиб оламиз.
27S>
1/2
Равшанки, а > 0 булганда / ха 1 ах интеграл якинлашувчи, b > О
V
булганда Г (1—х)д
Г/2
Параметр а нинг
V4VH
dx интеграл якинлашувчи.
и > a{)(aQ > О)
кийматлари
ва
х0-1 1 — x)fc-i« Xе’-1 (1 — X)1’-1 С 2хЙ0-1
булади. Вейерштрасс аломатидан фойдаланиб
1 — х)° 1 dx
иитегралнинг текис якинлашувчилигини топамиз.
Шуиингдек, параметр b нинг b^b0{b
1) учун
7
О) кийматлари ва V6?>0>
ха~х (1 — < Х~[ (1 — х)*0-1 < 2(1 — х)*°
булади ва яна Вейерштрасс аломатига кура f ха 1
1/2
ралнинг текис яцинлашувчилиги келиб чикади.
1
Демак, (х^-1 (1 — х)ь-1 dx интеграл л > > О,
(1 —х)ь 1 dx интег-
ва b > bQ > 0 бул-
ганда, яъни
/Ио = {(а, Ь) 6 R-: а 6 [а0, + оо), b £ [Ьо,
“Г °0)]
тупламда текис якинлашувчи булади.
17.1-эслатма. В(а,&)нинг М = {(<7, b)QR2 4-оо),
С (О, + оо)} тупламда нотекис якинлашувчилигини куриш цийин эмас.
2°. В (а, Ь) функция М = {{а, Ь) С R2 ‘.а £ (0, + оо), /?6(0, + оо)}
тупламда узлуксиз функциядир.
катан хам,
В (а, &)= | ха-1 (1 — х)ь-1 dx
о
иитегралнинг тупламда текис якинлашувчи булишидан ва интеграл
остидаги функциянинг фДя, b) g М да узлуксизлигидан 17.15-теорема-
га асосан В (ц., Ь) функция
М — {(a, b) Q R- :а £ (0, + оо ), b g (0, + оо)}
тупламда узлуксиз булади.
3°. ду(л., Ь)£М учун В(а,Ь) — В(Ь, а) булади. Дархакикат
1 Г _1
В (а, Ь) = ;'х°-! (1—х) 1 dx интегралда х= 1 — t алмаштириш бажа-
о
> о, Vх ?
о
280
рилса, унда
B(u', b)= Гх0-1 (1 -dx = f?-’ (1 — tf~l dt = B(b, a)
о b
булишини топамиз.
4°. В (a, b) функция куйидагича хам нфодаланади:
В (а, Ь)
(17.36)
Хакихатан хам, (17.35) интегралда
са, у холда
i г'
— алмашгириш бажарил-
В (а, Ь)
(Ж)г
а—1
булади.
1) булганда
а—1
sin а я
(17.37)
о
О
булзди. (17.37) муносабатдан цуйидагини топамиз:
5°. у-фз, Ь)^М’(М’ = {(a, b)^R-:aQ(0, 4-оо), b£(l, -f-oo)}) учун
В(а, Ь) = Л"1 В (a, b — 1) (17.38)
а -|- b —1 4 7
булади.
(17.35) интегралнн булаклаб интеграллаймиз:
. ! !
_ I1 f (1 _ х}^ dx = / (1 _ х)ь-2 dx
Io а d
G 0
(а > 0, b > 1).
281
Агар
Ха 0 _ х)Ь-2 = ^-1 I J (1 _ x)b-2 _ xa-l Q __ х)Ь-2 _
— лс~](1 — Х)Ь~1
эканлигини эътиборга олсак, у холда
1 J ! . .
i’ ха (1 — х)ь~2 dx = j* ха~] (1 —- x)b~2 dx— I хс“! (1 — x)b-J dx =
е о о
= В (а, Ь — 1) — (а, Ь)
булиб, натижада
В (а, Ь) = ~[В(а, /;-1)-В(а, Ь)]
а
булади. Бу тенгликдан эса
В(а, Ь)= Ь-^-В(а, 6-1) (а > О, b> 1)
булишини топамиз.
Худди шунга ухшаш V (а, ty б А1" учун
(.VI" = {(a, b) е R2-a t (1, + °о), ь G (0, + «>)})
В (а, Ь)=-2^~В(а-1, Ъ)
а b — 1
булади.
Ху су сан, b = п (п С А) бул ганда
В (а, Ь) = В (а, и.) = 'г~ 1 В (а, п — 1)
а + п — 1
булиб, (17.38) формулани такрор куллаб куйидагини топамиз.
В (а, п) = • -AzJL . . . -Ц. В (а, 1).
J 1
Равшанки, В (а, 1) = I xa~l dx = Демак,
J а
В (а, п) =-------Ь2 . . . (а-1)-----. (17.39)
а (а 4- 1) 4- 2) . . . (а ~г п — 1)
Агар (17.39) да а = т (т С N) булса, у холда
В (т, п) =------2 ••(»-!)-----= ш ('''’.-Ll-.
т (in + 1) . . . [т ~~ п — 1; (т -4 п — 1) !
10- §. Гамма функция (II тур Эйлер интеграли) ва унинг хоссалари
Биз 16-бобнинг 9-§ ида цуйидаги
Ч-зс
[ Xй-1 е~х dx (17.40)
v
хосмас интегрални карадик. Бу чегараланмаган функциянинг (а < 1
дг х — 0 махсус нукта) чексиз оралик буйича олинган хосмас интегра-
282
ли булиши билан бирга а га (параметрга) хам боглиедир. #ша ерда
(17.40) хосмас интегралнинг а>0 да, (0, + оо) да якинлашувчи,
а<0 да, яъни (— ос, 0] да узоклашувчи булиши курсатилди.
17.12-таъриф. (17.40) интеграл гамма функция ёки II тур Эй-
лер интеграли деб аталади ва Г (а) каби белгиланади. Демак,
Г (а) — л'0”1 е~х dx.
о
Шундай килиб, Г (а) функция (0, 4- оо) да берилгандир. Энди Г (а)
функциянинг хоссаларини урганайлик.
Г (17,40) интеграл
ихтиёрий [а0, &0] (0 < < Z>0 < + 00) ораликда текис якинлашувчи бу-
лади.
Исбот. (17.40) интегрални куйидаги икки кисмга ажратиб,
"h00
( ха~х е~х dx = ха~} е~х dx 4- i .V7'1 е~х dx
6 6 i
уларнинг хар бирини алохида- алохида текис якинлашувчиликка текши-
рамиз.
Агар aQ (а0 > 0) сонни олиб, параметр а нинг а > ав кийматлари
каралса, унда барча х б (0, 1] учун е~х < булиб, ушбу
бобнинг 4-§ ида келтирилган Вейерштрасс аломатига асосан
1
о
интеграл текис якинлашувчи булади.
Агар (&0 > б) сонни олиб, параметр а нинг а < bQ ^ийматлари
^араладиган булса, унда барча х > 1 учун
булиб,
интегралнинг якинлашувчилигидан, яна Вейерштрасс аломатига кура
4 ос
е~х dx
Г
интегралтшнг текис якинлашувчи булишини топамиз. Шундай килиб,
Г (а) == j xG~l е~х dx
G
283
+»
f f(x,y)dx интеграл E тупламда якинлашувчи, аммо у шу туп-
а
ламда нотекис яцинлашувчи дегани куйидагини англатади:
1) ’[ f(x,y)dx хосмас интегралу узгарувчининг £ тупламдан
а
олинган хар бир тайин кийматида якинлашувчи.
2) V6>0 олинганда хам, шундай е0 > 0, у0 С £ ва > 6 тенгснз-
ликни каноатлантирувчи С [а, + оо) топиладики,
Г| f{x, y0)dx \ >е0
булади.
М и с о л. Ушбу
+ ?°
Цу) ~ I ye ху dx (у € Е = (0,оо))
о
интеграли!! карайлик. Бу холда
t
F (б //) = уе~Ху dx = 1 - е~1у (0 < t < 4- оо)
о
булиб, у узгарувчининг Е ~ (0, 4- оо) тупламдан олинган хар бир тайин кийматида
lim F (Л у) = lim (1 — e~iy) = I
‘ /->4-00
булади. Демак, берилган хосмас интеграл якинлашувчи ва
Ду)=- l’ уе~ху dx = 1
о
булади.
Энди берилган интегрални текис якинлашувчиликка текширамиз.
у £ Е = (О, + 0°) булсин Ихтиёрий катта мусбат 6 сонни олайлик. Агар е0 =
= -д-, t9 > б тенгсизликни даноатлантирадиган ихтиёрий ta ва у0 — — деб олсак,
У холда
+°? _1 1
| j уае xyi> dx ] = с-<оУо ~е > — = е0
булади. Бу эса
/(у) = I' уе~ху dx
и
интеграл Е = 1.0, + оо) да нотекис якинлашувчи эканини билдиради.
Энди у Е Ё' = [с, 4- оо) с Е булсин, бунда с—ихтиёрий мусбат сон. Унда
4 е >0 олинганда хам (0 < е < 1) б=—In — дейилса, т/>'б ва V у € [с,
св
+ 00 ) учун
4-х -с1- 1г?-
| уе~ху dx = e~iy <е 8 8 — в
262
булади. Демак,
+°?
/(у) = ( ye ху dx
о
интеграл Е' = [с, оо ) да (с > 0) текис якинлашувчи.
Биз курдикки, параметрга боглиц хосмас интеграл
Ry)= )' f(x,y)dx (17.18)
а
нинг Е тупламда текис якинлашувчи булиши, /-> + оо да F(t,y)
функцияни лимит функция 1(у) га (i/CE) текис якинлашишидан иборат.
Ушбу бобнинг 1-§ ида у-+у0 да f(x,y) функциянинг лимит функ-
ция ф(х) га текис якинлашишининг зарурий ва етарли шартипи ифода-
ловчи 17.1-теоремаии келтирдик. Бу теоремадан фойдаланиб, (17.18)
интегралнинг текис якинлашувчи булишининг зарурий ва етарли шарти
келтирилади.
Дх, у) функция М = ((х, у) £ : х е [а, + оо) у Q Е <= R } тупламда
берилган. у узгарувчининг Е тупламдэн олинган хар бир тайин цийма-
тидя /(х, //) — х узгарувчининг функцияси сифатида [а, 4-оо) да интег-
ралланувчи, яъни
/(«/) = I' f(x,y)dx (17.18)
d X
хосмас интеграл мавжуд булсин.
17.7-та ъ риф. Агар Ve>0 олинганда хам, у га боглик булма-
ган шундай б —- б (е) > 0 топнлсаки, f > б, t" > б ни каноатлантирув-
чи Vf, Г ва V у QE учун
t"
| ( /(х, y)dx\ <е
‘ г
теигсизлик бажарилса, у хрлда (17.18) хосмас интеграл Е тупламда
фундамектал интеграл деб аталади.
17.10-т еорема (Коши теор ема с и). Ушбу I (у) = \f(x,y)dx
й
интегралнинг Е тупламда текис якинлашувчи булиши учун унинг
Е тупламда фундаментал булиши зарур ва етарли.
Бу теорема назарий ахамиятга эга. Ундан амалпётда фойдаланиш
кийин.
Куйида биз интегралнинг текис якинлашувчилигинн гаъминлайди-
ган, купинча цулланиладиган аломатларни келтирамиз.
Вейерштрасс аломати. /(х, у) функция /И = [(х, у) QR2:
х£[а, + оо), yQEczR\ тупламда берилган, у узгарувчининг Е туп-
ламдан олинган хар бир тайин цийматида /(х, у) функция х узгарувчи-
нинг функцияси сифатида [а, -}- оо) да интегралланувчи булсин. Агар
шундай ср(х) функция (х£[а, + оо)) топилсаки,
1) Vxg[a, + оо) ва ^-yQE учун |f(x, у)|<ф(х) булса,
263
Маълумки, т-* с — 0, /-*-с + Ода, яъни i]=c — т-->0, т)’=/—
— с-> О да ушбу
т с е—т; t-
F (t,i) - If Lv) dx + \f(x)a:: — | f (x) .< r + ) i f.v) dx=Fn (r|,r)')
.< J a С-4-q'
функциянинг лимити мавжуд булса, бу лимит чегаралапмага.ч функ-
циянинг хосмас интеграли деб аталар чди:
b <• —»] ь
\j (х) dx = lim Fo (Т), г/) = lim [ ( /(.v)ih + Цх) dx].
a T"r ’’j"? л
i C i j c
?
Агар бу лимит чекли булса, хосмас интеграл якинлашувчи
а
дейилар эди.
i?
Равшанки, ( ffAjrfx хосмас интеграл ям-шлашувчи булса, яъни их-
а
тиёрий равишда г)-*0. - О да Г0(р. функция чекли лимитга
эга булса, у .холда р = г)' за р-*0 да хам бу функция чекли лимитга
эга — интеграл якинлашувчи булаверади.
Бирок А0(т|, rf) функциянинг р = if булиб, г)—>-0 да чекли лимит-
га эга булишидан Qf.rlrfx хосмас иитегралнинг якинлашувчи булиши
Л
хар доим келиб чицавермайди.
Мисо л. Ушбу
а
хосмас интегралнн карайлик. Равшанки,
с—TS Г
в С dx р — с , и ,
Г(|Б1-П'|= I ------+ I ---------= !п-------+ 1п—- (16.3?)
J Л'— с ,) X—с с —а Т|'
с C-Hi'
булади.
d — с
•п = гф ва р - 0 да Fo (г,, г)In-----булади.
с — а
Бирок, ихтиёрий равишда г| 0. р' -0 да (16.39) муносабатдан куринадики,
б»(П> if) функция аник лимитга эта булмайди.
16.20-таъриф. Агар Л = р' ва г)->-0 да F0(p, п') функциянинг
ъ
лимита мавжуд ва чекли булса, у х.олда \j(x)dx хосмас интеграл бот
&
^иймат маъносида якинлашувчи дейилиб,
JimF0(r), л)
п-0
ь
лимит эса х хосмас иитегралнинг бош циймагпи деб аталади ва
а
238
b
v. p. j f(x) dx
a
каби белгиланади. Демак,
ь
v. p. ff(.r) dx = lim Fo (Г), p).
a n-o
b
Шундай килиб, f(x)dx хосмас интеграл якинлашувчи булса, у
а
b
бош климат маъносида хам якинлашувчи булади. Бирок §f(x)dx хос-
а
мае иитегралнинг бош киймат маъносида якинлашувчи булишидан
унинг якинлашувчи булиши хар доим келиб чикавермайди.
5. Чегараланмаган фУнки-пя хосмас интегралини
такрибий хисоблаш. fix) функция [о, Ь) да берилган ва b шу
функциянинг махсус нуктаси, бу функция [а, Ь) да узлуксиз булиб,
I = \f(x) dx
a
интеграл якинлашувчи булсин. Куп хрлларда бундам интегралнн аник
хисоблаш кийин булиб, уни такрибий хисоблашга тугри келади.
Хосмас иитегралнинг яцинлашувчилиги таърифига асосан
ь
\f(x)dx = iim \f(x)dx
'a t-b-Q-c
лимит мавжуд ва чекли, яъни V е > 0 олинганда хам шундай 6 > 0
топиладики,’Ь—6 <? <{’ тенгсизликни цаноатлантирувчи барча t ларда
b t й
j j f (xj dx — f / (х) dx | = ) 1 f (x) dx j < e
a a t
булади
Натижада берилган I интегралнн такрибий ифодаловчи куйидаги
b t
\f(x)dx^y(x)dx (b—b<_t<b)
a J
формулага келамиз. Бу такрибий формуланинг хатолиги
ь
I f /(х) dx | < S
булади.
Шундай килиб, хосмас интегралнн такрибий хисоблаш — аник ин-
тегрални такрибий хисоблашга келтирилади. Ашщ интегралнн такри-
бий хисоблашда эса, бизга маълум формулалар (тутрн ауртбурчаклар,
трапеция, Симпсон формулалари, царалсин, I-кием, 9-боб, 11-§)дан
фойдаланилади.
239
7- §. Умумий хол
Ушбу параграфда чегараланмаган /(.г) функциянинг чексиз оралик
буйича хосмас интеграли тушунчаси келтирилади.
Соддалик учун, ит.-фоо) ораликда берилган /('.<) функция шу ора-
ликда бптта а махсус нуктэга эга булсин. Бу функция исталган чек-
ли [г, т] («<?<т<-4-оо) ораликда интегралланувчи, яъни ушбу
7
\f(x)dx (16.40)
интеграл мавжуд булсин.
т узгарувчининг ?<ар бир тайин кийматида (/< т <-~ оо) (16.40)
интеграл 1 га боглик булади:
(.г) dx — Fz (П.
1
Маълумки. агар ’->й-+-0 да
lim F (?)
лимити мавжуд б^’лса, бу лимит /(.у! функциянинг (й, т] оралик; бу-
йича хосмас интеграли деб аталиб, у
7
\ fix) ах
а
каби белгиланар эди. Демак,
Т 1
\flx)dx = lim Л (/) = lim !/(x)Jx. (16.41)
I i -(.-rO ‘ j-.e-bCy
Каралаётган fix) функциянинг (а, т] io<t< + ос) оралик буйича
т
хосмас интеграли ’ f(x\dx мавжуд булсин. Равшанки, бу интеграл т га
а
боглик булади.
I f(x)dx = ([ (т).
О
Агар т—- 4- оо да <( (т) функциянинг лимити
lim ф (т)
ОО
мавжуд булса. бу лимит f(x) функциянинг (а, 4- оо) оралик буйича
хосмас ннтералн деб аталиб, у
.1 f(x)dx
а
каби белгиланади. Демак,
4- ОС- 7
f /(х)йх = 1ппср(т) = lim \f(x)dx. (16.42)
и т -г
240
Юкоридаги (16.41) ва (16.42) муноСабатларга кура
—=С т т
i' j(x)dx = lim i f(x)dx = lim lim ff(x)dx (16.43)
•, t—>-7-00 c, t-> — oc о
булади.
Arap (16.43) лимит мавжуд булиб, у чекли булса, Г f(x)dx хсс-
а
мае интеграл якинлашувчи дейилиб, fix) эса (а. — х) ораликда ин-
тегралланувчи деб аталади.
Агар (16.43) лимит мавжуд булиб, у чексиз булса, f f(x)dx хсс-
а
мае интеграл узоклашувчи деб аталади.
16.10-эслатма. Агар (16.43) лимит мавжуд бмлмаса, бм холда
4- Оо
шартли равишда /(х) функциянинг \f (х) dx хосмас интеграли узо.^-
а
лашувчн деб кабул килинади.
Умуман, юкрридагидек, fix) функция («, -‘-оор’ф, с.„ . . , с !
(с<ф< + оо, t = 1, 2 . . , п) тупламда берилган. ф, с.„ ... , сп
эса шу функциянинг махсус нукталари булган холла хам f{x) срунк-
циянннг (д, + оо) оралик буйича хосмас интегралини таърифлаш ва
уни урганиш мумкин.
Биз ушбу бобнинг 1 —• 8-параграфларида функциянинг чексиз ора-
лик буйича хосмас интегралининг хамда чегараланмаган функциянинг
хосмас интегралининг якинлашувчилиги шарти, якинлашувчи интеграл-
ларнинг хоссалари, уларни хисоблаш билан шугулланган эдик. Худди
ш\’нга ухшаш масалаларнп 9-§ да келтирилган интегралларга нисбатан
айтиб, уларни урганиш мумкин.
Мисо л л ар. I. Ушбу
— эо
' хк~’ е~х dx *16.44)
О
хосмас интегрални ^арайлик. а < 1 кийматларда, х - 0 нуь;та интеграл оствдагя
функииянинг махсус нуктасн булади (чунки. х->—0 да интеграл остидагн функция
чёксизга интилади). Демак, бу холда (16.44) интеграл хам чексиз оралик буйича
олинган хосмас интеграл, хам чегараланмаган функциянинг хосмас интеграли зкан.
Бу интегрални икки кнемга:
— се 1 —х
| xfi~! e"'A’ dx= i х'1-1 е~х dx-^ ' хс—' е~х dx
О С ’ !
ажратьб, уларнинг кар бирини алохнда-а.тохида якинлашувчиликка ~текширамиз.
Биринчи
fxa-! e~xdx
О
интеггалда, интегрг.л остидагн функция учун
тенгснлшклар Сринли булади.
16-501
241
Ушбу
dx
интеграл 1 — о< I, яъни а>0 да якинлашувчи. 1 — а> 1, яъни а < 0 да у>
лашувчи (каралсин, 5-§).
5-§ да келтирилган таккрслаш хакндаги 16.8-теоремага к\ра
I
[' xn-i e-’t dx
о
интеграл а >0 да якинлашувчи, а^О да эса узоклашувчи.
+<»
Энди | х‘~1 е~х dx интегрални якинлашувчиликка текширамиз.
1
Равшанки,
.. х" 1 е~х
lim ---;----— = lim
♦+„ 1/х2 х->4-й ех
х'
0.
— dx
хг
интеграл якинлашувчи булгаллигидан, 2- § да келтирилган 1
натижага кура I
1 е~х dx интеграл ^ам якинлашувчидир. Шундай килиб.
а—1 е—х dx
интеграл а нинг ихтиёрий [кийматида якинлашувчи. Натижада бе-
рилган J хя
О
2. Ушбу
е~х dx интегралнинг л>0 да якинлашувчи булишини топамиз.
I
( х"'~1 (1 — х)6—1 dx
1)
(.16.4.-1
интегрални карайлик. Интеграл остидаги функция учун
1) а< 1, Ь~^.\ бул ганда х = 0 махсус ну^та,
2) а 1, b<z 1 булганда х — 1 махсус нукта,
3) а< 1, b<z 1 булганда х =0 ва х = I нукталар махсус ну^талари булади,
бпнобарин (16.45) интеграл чегараланмаган функциянинг хосмас интегралидир.
Берилган интегрални якинлашувчиликка текшириш учун уни куйидагича ёзиб
оламиз.’
1 2 1
[ x"'-i (1-dx= х”-1 (l-x)ft“i dx+ f хя“1 (I -x)ft-i dx.
b 6 J_
Бу тенгликнинг jlur томонидаги хар бир интегралда, интеграл остидаги функциянинг
к^’пн билан битта махсус нуктасн булади.
Равшанки,
lim (1 — х)ь~1 =- I, lim х'—1 = 1.
х-»о х-»1
242
i буллб, хосма' интегралларда таккослаш хакндаги 16.9- тссремага кура
_i_ j 2 2
; ?,..мд,1 х' 1 (1 — х}11 1 dx бнлап .г 1 dx л *
j 1 1
я t 1 .г*”1 (1 —л*»’9-1 dx билан \ <1 — 1 dx
1 j 1 L
1 2 2
интеграллар бир вактда ёки якшнашадп, ёки узоклашадп.
Маълумкн, а > 0 булганда
1/2
I л- '-1 dx
о
интеграл якинлашувчи, & > б булганда
1/2
интеграл якинлашувчи. Демак, а>0 булганда
1/2
'. х‘~1 (1 — х)й -1 dx
о
интеграл якинлашувчи булади, b > 0 булганда
I' х'-1 (1 — х)й“1 dx
1/2
интеграл якинлашувчи булади.
Шундай ^илиб, царалаётган
1
f х"~1 (1 — х)ь~1 dx
о
интеграл и > 0 ва b > 0 булганда, яъни
М = [(а, Ь) а £ (О, 4- соb £ (0, се)}
тупламда якинлашувчи булади.
17-Б О Б
ПАРАМЕТРГА БОГЛИЦ ИНТЕГРАЛЛАР
Мазкур курснинг 12-ва 13-бобларида куп узгарувчили функция-
лар ва уларнинг дифференциал х.исоби батафсил урганилди. Энди буи-
дай функцияларнинг интеграл хисоби билан шутулланамиз. Шуни ай-
тиш керакки, куп ^згарувчили функцияларга нисбатан^интеграл тушун-
часи гурлича булади.
Ушбу бобда куп узгарувчили функциянинг бнтта узгарувчиси буйи-
ча интеграли билан танишамиз ва уни урганамиз.
243
f (xL, x,, . . xm) Функция бирор M (М cz Rm) тупламда берилган
булсин. Бу функциянинг битта xk (k = 1, 2, . . т) узгарувчисидан
бошка барча узгарувчиларини узгармас деб х,исобласак, у \олда / (х,,
хг, . . ., хт) функция битта xk х'згарувчига боглиц булган функцияга
айланади. Унинг шу узгарувчи буйича интеграли (агар у мавжуд бул-
са). равшанки х1( х2, .... xft_[t хА+1, . . ., хт ларга боглик булади.
Бундай интеграллар параметрга боглик интеграллар тушунчасига олиб
келади.
Соддалпк учун икки узгарувчили / (х, у) функциянинг битта узга-
рувчи буйича интегралини х'рганамиз.
f (х, у) функция R- фазодаги бирор
М = {(х, у) G R~: а С х С b, yQEczR}
тупламда берилган булсин. у узгарувчининг Е (Е с /?) тупламдан олии-
ган хар бир тайинланган кийматида / (х, у) функция х узгарувчиси бу-
йича [а. &] ораликда интегралланувчи, яъни
ь
f (х, у) dx
а
интеграл мавжуд булсин. Равшанки, бу интеграл у узгарувчининг £
тупламдан олинган кийматига боглик булади:
ь
Ф (У) = j f (*, У) dx. (17. li
а
Одатда (17.1) интеграл параметрга боглик интеграл деб аталади,
у узгарувчи эса параметр дейилади.
Параметрга боглик интегралларда, f (х, у) функциянинг функционал
хоссаларига (лимити, узлуксизлиги, дифференциалланувчнлиги, пнтег-
ралланувчилиги ви хрказо) кура Ф (у) функциянинг тегишли функцио-
нал хоссалари урганилади. Бундай хоссаларни урганпшда f (х, у) функ-
циянинг у узгарувчиси буйича лимити ва унга интилишп характер!!
мухим роль уйнайди.
1-'§. Лимит функция. Текис яцинлашиш. Лимит функциянинг
узлуксизлиги
f (х, у) функция М = {(х, у) PR- -.а < х С b, yQE ~ R} тупламда
берилган, у0 эса Е (Е <=£) тупламнинг лимит нуктаси булсин.
х узгарувчининг [а, !У| оралнкдан олинган хар бир тайнн киймати-
да / (х, у) факат у нинггина функциясига айланади. Агар у—- yv дабу
функциянинг лимити мавжуд булса, равшанки, у лимит х узгарувчи-
нинг [а, Ь] ораликдан олинган кийматига боглик булади:
lim f (х, у) = ср (х, у„) = ф (х).
17.1-таъриф. Агар V е > 0 олинганда хам, VxGfo, 1>] учун
шундай 0 = б (е, х)>0 топилсаки, |у—yoi<6 тенгсизликни ка-
коатлаптирувчи V у £ £ учун
I f (х, у) — ф (х) I < Е
244
булса, у х.олда ср (х) функция / (х, у) функциянинг у — у0 дагн лимит
функцияси дейилади.
f (х, у) функция .И = {(х, y)QR2-, х£[а, Ь], у£Е} тупламда берил-
ган булиб, те эса Е тупламнинг лимит нуктаси булсин.
17.2-таъриф. Агар Vs>0 олинганда хам ух£[а, />| учун
шсндай А = А (е. х) > 0 топплсаки, | у | > А тенгсизликни каноатлан-
тирувчп у у QE учун
I / (х. у) — ср (х) | < е
булса, у холда ср (х) функция / (х, у) функциянинг г/-> те дагн ли-
мит функцияси дейилади.
М и с о л л ар. 1. Ушбу
i (х, у) — ху
функциями Л-J —- (х, р;£7?2.' Ocjx^l, у йй 1 i тупламда карайлик. = 1
бхлсин.
Агар У£>0 кура. 6 — е деб олинса, унда |у — ув | = I у — 1 | < 6 телгсиз-
лвкнп даиоатлантпрувчн - /у 6 [0, 11] ва £ [0, 1] учун
] / (X, у'1 — ф (х) | — I ху — х I — I Л-1 • I у — 1 I < I у — 11 < 8
булади. Демак, у-> 1 да f (х, у} —ху функциянинг лимит функцияси
Ф (х) = lim У (х, у) — lim ху = х
у->1 у->1
бУлади.
2. Куйидаги
У (х, у) = ху
функцняни /И — '(х, ii')CR2: O^x^l, 0 йй у йй Г тупламда карайлик. уп=0
булсин.
Агар х = 0 булса, у холда . у £ [0, 1 ] учун
У (0, у) = О
булади.
Агар х узгарувчи тайинланган ва х=у=О булса, у холда да
У (х, у) — ху->- х° = 1
булади.
Хакикатан .хам, г£>0 сонга кура б = logA- (1—ei (х>0»деб олчнадигаи
булса, унда j у — у^ | = | у — 0 | = | у j < 6 тангсизликни бажарадиган vz/EjO, 1|
учун
IУ (х, у) — ф (х) i —-1 x-v — 1 | =- 1 — х'! < 1 — xlog *(1 = 1 — (1 — е) -- е
булади.
Демак, 0 да берилган У (х, у) — ху функциянинг лимит функцияси
( 1, агар х 6 CO, 1 ] бхлса.
ф; (х! = ’
(_ 0, агар х = 0 булса
га тезг булади.
Юкорида келтирилган мисолларнинг биринчисида, лимит функция
таърифидаги 6 — г булиб, у факат с гагина боглик, иккинчисида эса
б = 1о£,х (1 — е) булиб, у берилган е>0 билан бирга каралаётган х
нуктага хам боглик эканпни курамиз.
Лимит функция таърифидаги 6>0 нинг каралаётган х нукргаларга
боглик булмай факаг 8>0 гагина боглик килиб танлаб олиниши мум-
кпн булган хол мухимдир.
245
17.3-таъриф. М тупламда берилган f (х, у) функциянинг //—> z/0
даги лимит функцияси ср (х) булсин. V s > 0 олинганда хам шундай
6 = 6 (е) > 0 топилсаки, [г/ — у0 | < б тенгсизлнкни цаноатлантирувчи
V у G Е ва V х G [а. Ь] учун
I f (х, у) — ср (х) | < е
булса, f (х, у) функция уз лимит функцияси ср (х) га [а, 6] да текис
якинлашади дейилади.
Акс холда якинлашиш нотекис дейилади. Нотекис якинлашмшнинг
кагьий таърифини келтирайлик.
17.4-таъриф. .'И тупламда берилган f (х, у) функциянинг //->!/„
даги лимит функцияси ср (х) булсин. у6>0 олинганда хам шунда:
е0 > О, л'0С [<з, Ь] ва \yL— у0\<& тенгсизлнкни каноатлаптирувчп у£Е
топилсаки, ушбу
I / (Хо< Уд — <Р W I > ?о
тенгсизлик уринли булса, у _\олда f (х, у) функция ср (х) га нотекис
якинлашади дейилади.
Мисо л л ар. I. Ушбу
f (х, у} х Мп у
л
тупламда караилпк. у,, = —
функциянн Л4 - = {(х, у) £ Й-: О С” х 1, 0 < у < :
л
булсин. Равшанки, булганда fix, i/i = х sin у функциянинг лимити
/з ° /з
—-— х га тенг булади. Демак, <р (х) = —-— х.
; е > 0 сонни олайлик. Агар 6= е десак, у холда | р
ни ^аноатлантирган v у учун ва 7 х£[0, 1] учуп
, , V'3
I / !,Х, у) — Ф (х) | = х sin !, — —X = | X I •
л I ,
— < э тенгсизлик-
3 I
sin у—
3
тенгсизлик бажарилади. 17.3-таърпфга кура. у~*~ да берилган j (x, p) = x-sinu
/з
функция <з лимит функцияси ф (.V) = —
3. Юкорида келтирилган
х га текис якинлашади.
f (х, у) = x-v
функция у-^-0 да уз лимит функцияси
(1, агар хб(0, 1] булса,
агар х — О булса
О,
га нотекис якинлашади.
Ха^икатан хам, ? б>0 сонни
олайлик. Агар в0 =— г/: сифатида 0 < г/1<5
4 ’
246
тенгсизликларни каноатлантирувчн ихтиёрий t/j ни ва = 2 1/4/1 деб олсак, у
холда
! 1 1
i / (х0. //1) - Ф 1х0) | = 1 — х®5‘ = 1 - — = ~ > е„ = —.
Бу эса. 17.4-таърифга кура, у 0 да f (х, у) = ху функция уз лимит функцияси
« (х) га нотекис якинлашишинн билдиради.
Энди / (х, у) функциянинг лимит функцияга эга булиши ва унга
текис якинлашиши хакидаги теоремами келтирамиз.
/ (х, у) функция .VI = j(х, у) £ Ra: а < х < Ь, у£Е\ тупламда берил-
ган булиб, уп эса Е (EclR) тупламнинг лимит нуктаси булсин.
17.1-теорема, f (х, у) функция у-+у0 да лимит функция <р (х)
га ига булиши ва унга текис якинлашиши учун V s )> О олинганда
хам, х (х£[й, Ь]) га боглик булмаган шундай 6 = 6 (е) > 0 топилиб,
\У — //0|<6, \У'— У о ! < тенгсизликларни каноатлантирувчн V у,
у' G Е хамда V х G [а, Ь] учун
I/ (х, у) — f (х, г/')|<е О7-2)
тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. / (х, у) функция да ср (х) лимит
функцияга эга булиб, унга [a, 6] да текис якинлашсин. Таърифга ку-
ра, уе>0 олинганда хам, га кура шундай 6 = 6 (е) > 0 топила-
дикн, | у — у0 | < 6 тенгсизлнкни каноатлантируечи V У € Е хдмда
фх£[а, Ь] учун |/(х, у) — ср (х) | < булади. Жумладан \у'—у0\<
< 6=> |/ (х, у') — ср (х) | < булади. Натижада
I / (х, у) — f (х, у') j < | f (х, у) — ср (х) j + | i (х, у’) — ср (х) | < е
булиб, (17.2) шартнинг бажарилишини топамиз.
Етарлилпги. Теоремадаги (17.2) шарт бажарилсин. У холда х-
узгарувчининг [а, 6] ораликда олинган х.ар бир тайин кийматида / (х, »)
функция у узгарувчининггмна функцияси булиб, V е > 0 олинганда
хам, шундай 6=6 (е) > 0 топиладики, \у — у01 < 6, | у' — ув | < 6
тенгсизликларни каноатлантирувчи V у, y'QE учун
I / U, у) — / (х, у')] < е (17.2;
булади. Функция ли.митининг мавжудлиги хакидаги Коши теоремаси-
га асосан (каралсин, 1-кисм, 4-боб, 6-§) у-^- у0 да / (х, у) функция
лимитга эга булади. Равшанки, бу лимит тайинланган х (х G [о, Ь]) га
боглик. Демак.
lim / (х, у) = ср (х).
V-^Уч
Шу билан у-^у0 да / (х, у) функция ср (х) лимит функцияга эга бу-
лиши курсатилди.
247
Энди у узгарувчини \ у — у0\<.Ь телгсизликнн каноатлантнрадиган
кийматида тайинлаб, (17.2) тенгсизликда да лимитга утсак, v
холда
! f (*, У) — ф (х) I < £
хосил булади. Бу эса у-^у0 да f (х, у) фунциянпнг ср (>) лимит функ-
цияга [а, Ь\ да текис якинлашишини билдиради. Теорема исбот булди.
Энди лимит функциянинг узлуксизлиги хакндаги теоремаии келти-
рлй.тик. Бу теоремадан келгусида биз фойдалана.миз.
17.2-т ео р ем а. Агар } (х, у) функция у узгарувчининг Е тук-
ламдан олинган хар бир кийматида, х узгарувчининг функцияси си-
фатида, [а, Ь] ораликда узлуксиз булса ва у -- у„ да / (х, у) функ-
ция ф (х) лимит функцияга [о, Ь\ да текис якинлашса, у холда ср (х
функция In, Ь] да узлуксиз булади.
Исбот. у0 га интиладиган \уп} кетма-кетликни олайлнк (yZIG£,
п = 1, 2, . . .). Шартга кура хар бир уп (п = 1, 2. . . .) да / (х, у,р
функция х узгарувчининг \а, Ь\ ораликдаги узлуксиз функцияси була-
ди. Демак, {f (х, уф} функционал кетма-кетликшшг хар бир хади [а, Ь]
ораликда узлуксиз.
Теореманинг иккинчи шартига кура у е > U олинганда хам, шуп-
дай б — 6 (е) > 0 топиладики, у х£[а, Ь\ учун
|у — у0\ < д=>|/(х, у)--ср (х)| < е у- -£) (17,3)
булади.
у„—'-Уо дан юкорида олинган 5 = б (е) > 0 га кура шундай n0G.V
топиладики, у п > п0 учун \уп — с/(, '• < б булади. У холда, (17.3) га
асосан, уе>0 олинганда хам шундай P.V топиладики, у п > л.,
ва у х G [о, Ь] учун
I / (-У Уп) ~ Ф (л)! < 8
булади. Бу эса {f (х, уп): функционал кетма-кетлик ср (х) га [а, Ь\ да
текис якинлашувчилигини билдиради. 11- боб, 3-§ да келтирилган
14.6-теорема га асосан ф (х) функция in, b\ ораликда узлуксиздир. Те-
орема исбот булди.
2- §. Параметрга боглик интеграллар
f (х, у) функция
Л'1 = . (х, у) G R-: х С \а. &], у^Е с: /?
тупламда берилган булиб, у узгарувчининг Е тупламдан олинган хар
бир тайин кийматида f (х, у) х узгарувчининг функцияси сифатида
[а, Ь] ораликда интегралланувчи булсин. Яъни у ни узгармас деб хи-
собланганда
ь
f / (х, у) dx
а
248
интеграл мавжуд булсин. Равшанки, бу интегралнинг циймати олинган
у га (параметрга) боглик булади:
ь
Ф(у) = | /(х, у) dx. (Г.1)
а
«со л. Ушбу f (х. — нплт/ функциянинг х > ягарузчнси буйичл (а Л; даги
ингггрпли (бу ерда у — 0>
ь b
(' С . I г. , со? ау—лу,'л/
1 I (х, t/] dx - I мп хи ax - — I sin xf a ixt,i =------
J ‘ •. У - У
a a a
ф'яиб, E —тупламда берилган
Ф I//) — — (co? ay — cos by}
фупкниядан иборатдир.
Ушбу параграфда параметрга боглик (17.1) интегралнинг (Ф (у)—
Функциянинг) функционал хоссаларини урганамиз.
I. Интеграл бел г не и ости да лимитга учит /(х, </)
функция ,М = {(х, y)ER2‘. х£[а, b], y^EczR} тупламда берилган бу-
либ, у„ нукта £ тупламнинг лимит нукласи булсин.
13.3-теорема. / (х, у) функция у нинг £ тупламдан олинган
хап -uip тайин кийматида х нинг функцияси сифатида {и, Ь] ора-
ликда узлуксиз булсин. Агар / (х, у) функция у-^у,} да <р (х) лимит,
функцияга эга булса ва унга текис якинлатса, у холда
& (
lim f f (х, у) dx = ( ср (х) dx (17.4)
а а
булади.
Исбот. Шартга кура f (х, у) функция у-*у,| да ф (х) пилит рунк-
нияга эга ва унга текис якинлашади. Демак, V е > 0 олинганда хам,
шундай б = 6 (е) > 0 топиладики, | у — //,, I < 6 ни цаноатлднтирузчи
V у G £ ва V х £ [а, &] учун
| f (х, у) — <р (х) I < —
9 — а
булади.
Иккинчи томондан, 17.2-теоремага асосан, <р (х) функция [a,
орапикда узлуксиз булади. Демак, бу функциянинг интеграли ( ф (Hd
мавжуд.
Натижада Ь у '• Ь
1 j / (х, у) dx — j <( (х) dx С И / (х, у) — ф (х) i d v < 1 dх ---= я ,! >> — a J <? 7
булиб, ундан 1) 1}
lim 1 и-^ил •- а [ (х. у) dx = ( <р (х) dx а
эканлиги келиб чикади. Теорема исбот булди.
249
(17.4) муносабатни цуйидагича
ь ь
lim С / (х, у) dx — ) [lim / (х, у)] dx
J 'а У--Ун
хам ёзиш мумкин. Бу эса интеграл белгиси остида лимитга утик! мум-
кинлигини курсатади.
Мяеол. Би;, .11 = (л, г/i 6/?2 - х С [0, 1], ;/€[0, 1] тупламда берилкн
/ (.г, у} - х sin у
функциянннг —> 0 л<. <j (дг> = О лимит функнияга текис якпплашишшш к_ гг; :• ;дик:
Игл .г sin .7 — 0.
У~^' г- ' , ,
Берилган функция у узгьрувчишшг .\ар бир lanim кии.матида х \ ?г. руь-шнинг
10, 1] с, алнцдагп узлуксиз Функцияси эканлиги равшпн. Демак. 17 5- емгмага
ку’ра
1 1
И.т. 1 j tv. yi dx — lim Loin у dx - Mlim x -in y] dx-- 0
булади.
2. И н т е г р а л и и и г параметр б у й и ч а узлуксиз л и г и.
17.4-теорема. Агар f (х, у) функция
Л1 (х, y)QR2: хЕ!«, b], у с [с, d\,
t.iyn'ibxda узлуксиз булса, у холда
ь
Ф (У) = ( / (х, у) dx
а
функция ic, с] ораликда узлуксиз булади.
Исбот. Ихтиёрий у0Е[с, d\ нуктани олайлик . Шартга кура f (х, г/1
функция Л1 тупламда (тутри туртбурчакда) узлуксиз. Кантор теорема-
си га кура бу функция .VI тупламда текис узлуксиз булади. Узда
у к > 0 олинганда хам, шундай 6 = б (е) > 0 топиладики,
р ((х, у), (х, у0)) = I у — у о I < б
тенгсизликни наноатлантирувчи у (х, у) Q М, у (х, учун
I/ (X, y) — f (г, г/о)|<а
булади. Бу эса / (х, у) функциянинг у-*у0 да / (х, у0) лимит Функция-
га текис якинлапшшшш билдиради. У холда 17.3-теорема га асосан
ь ь ь
lim Ф{у) = Нт / (х, у) dx = i Him / (х, у)\ dx = i fix, у^дх=Ф(уГ1)
lf-'Ус У- L--o 1 У^Уо Л
U и (и
(Vl/обК, б/1)
булади. Демак, Ф (у) функция у13 нуктада узлуксиз. Теорема исбот
булги.
М и с о л. Ушбу / (х, //)== ——-—“
х2—i/’-t-l
Зупк.Д’я .11= \<х. у; £ Р2 : х 6 [0, 1], у £ [0. !]] тспламда каралаётган булей». Рав-
250
шанки. i /<) функция Al да у.злукншпр. Юкоридаги теоремзга курд Ф <;;i функ-
ция мм [«'<. 1] да узлуксиз буладп. Берилган интегрални хнгоблаб гоз.амиз:
xdx i |1 ! 2 4- li-
J A'2-H/2 I 2 I) 2 : J- yt
3. Ивт e грални пара мeт p б у й и ч а ди ффе р е ни и а л л а ш
Энди параметрга боглик ингегрални параметр бу’йича дифференциалгао
ни караймпз.
17.5- т е о р е м а. / (.г, у) функция
/И = (.г, i/)£ R-: х G [о, 6]. у Е [с, d|!
тйпяамди берилган ва у узгарувчининг [с, d] ораликдан ыинган хар
бир тайин киймапшда х узгарувчининг функциям сифатида [£, Ь|
ораликда узлуксиз булсин. Агар f (.v, у) функция .VI тухла мда (х. у)
хусусий хисилага зга булиб, у узлуксиз булса, у фллда Ф (и) функ-
ция хал/ [с. d\ ораликда Ф' (у) хосилага эга ва ушбу
О
ф' (у) = У /у (х, у) dx (17 5)
а
муносабат уринлидир.
II с б от. Шартга кура / (.г, у) функция х уагарувчиси буйнча !-л,
орали^да узлуксиз. Бинобарин
ь
Ф (У) '= \ f (х, у) дх
О
интегра : мавжуд.
Энди V.VoCl6’> di нуктани олиб, унга шундай А у (Ар 0) эргтир-
ма берайликки, y0 + Az/Glc. с?| булсин. Ф Q/) функщгннинг р,, нукта-
дагп орттирмасини топиб, ушбу
&
Ф Ф» -г А А')—Ф <>/о) _ (' fix, i/t) 4- Д у] — f .у.,)
А у J А у
а
тенгликня косил киламиз. Лагранж теоремаси (1-кисм. 6- боб, 6- §! га
кура (уни куллай олишимиз теорема шартлари билан таъминлгнган(‘
А;.-
буладн, бу нда 0 < 0 < I.
Натижада
(х> уп +^y)dx = (А, 1}>:
« а.
+ J [fy (as У0 -г о • А у) — /у (.г, Уй)! dx
251
булиб, ундан эса
_ Г г (х_ , ЛI,,
I А у J у I
а
v
< ( 11'у (* '7о + А А у) — (х, уи) | dx <
(J
< ( О) (Д', А у) dx = (О (Д', Л у)-(о — й) (17.6)
а
булишини топамиз, бунда и Л у) — /' (х. у) функциянинг узлуксиз-
лик модули.
Модомнкв. Д' (х, у) функция .11 тупламда узлуксиз экан, унда Кан-
тор теоремаснга кура бу функция шу тупламда текис узлуксиз була-
дн. У .^олда мазкур курснинг 12-боб, 4-§ ида келтирилган теоремага
асосан
lim (о (Д’ А у) = О
булади.
(17.6) муносабатдан
ъ
т- Ф G/o — А Ф (z/(j Гг/
lim ------i------------— = | / (x, t/0) dx
A //>0 А у у “
a
булшшз келиб чикади. Демак,
ф' Q/o) = f /' (х, У<) dx.
а
Каралаётган у0 нукта [с, d] ораликнинг ихтиёрий нуктаси булгавлигини
эътиборга олсак, унда кейпнги тенглик теореманинг псботланганлигини
курсатадн.
(17.5) муносабатни куйвдагича хам ёзиш мумкин:
ь ь
7" i / (>7 У) dx = I ~ f (х, у) dx.
ay J J dy
Q Л
Бу эса двфференцналлаш амалини интеграл белгнси остига утка-дш
мумкннлигиви курсатадн.
Ис б о г этвлган бу 17.5- теорема Л е в б н н ц к о и д а с и деб аталади.
Л и с <> л, Ушбу
/ (х. у) = In «in2 х1
Гл 3 л 1
1'4 Д’ = .-.'i 6 R'±: f I —, - I, l>< и .7, < зс т\п.т< v: tv?:-
L 4 4 j .....
c;> • <r y!— — :,осил«.г«1 эга ва у х/м узлукив. Ундан олинган Ф (.,i =
3 Я/4
= | In (z/2-sin2x) dx интегрални карайлпк. 17.5-теоремага кура Ф (j,) функция
л/*
.хосилага эга булиб,
, (• ' . 2 л л
Ф ((/) = I (In lp2-:r.2 dx= —— = —
jl/4 ~ ~ ‘J
бу К.1Д!'.
4. Интегрални параметр буйича интеграллаш. / (х, у)
функция М — |(х, y)QR2: xg la, 6], i/g [c, d]; тупламда берилган ва шу
тупламда узлуксиз булсин. У холда 17.4-теоремага кура
Ф (у) = j f (х, у) dx (17.1)
а
функция [с, d\ ораликда узлуксиз булади. Бинобарин, бу функциянинг
[с, d] оралик буйича интеграли мавжуд.
Демак, f (х, у) функция .И тупламда узлуксиз булса, у холда па-
раметрга боглик интегрални параметр буйича [с, d\ ораликда ннтеграл-
лаш мумкин:
d d ь
[ Ф С/) dy = f i f (x, y) dx'i dy.
c c a
Бу тенгликнинг унг томонида f (х, у) функцияни аввал х узгарувчн
буйича [а, Ь] оралицда интеграллаб (бунда у ни узгармас хисоблаб),
сунг натижани [с, d] ораликда интегралланади.
Баъзан f (х, у) функция М тупламда узлуксиз булган холда бу функ-
цияни аввал у узгарувчиси буйича [с, d| ораликда интеграллаб (бунда
х ни узгармас хисоблаб), сунг хосил булган х узгарувчининг функиия-
сини [а, г>] ораликда интеграллаш кулан булади. Натижада ушбу
d b b d
f [) f Об У) kv; dy, 1 f f f (x, y) dy | dx
c a a c
интеграллар хосил булади. Бу интеграллар бир-бирпга тенг буладими
деган савол тугилади. Бу саволга куйидагп теорема жавоб беради.
17.6-теорема. Агар f (х, у) функция Л1 = (х, y)^Rl: х^{а. ?»1,
У € k- d\ тупламда узлуксиз булса, у холда
d ь •> d
[ f f (х, у) ах\ dy === [ ' f (х. у) dy j dx
с а а с
булади.
Нс бот. V/£[<", d] нуктани олиб, куйидаги
t ь ь •
Т (0 = I | [ / (-'6'/) dx ] dy, ф (0 = j | f I (х, i/I dy j dx
си ас
интегралларни карайлпк. Бу гр (/), ф (0 функцияларнинг хргллапдрпШ1
хисоблаймиз.
253
Исбот. Vy0C[c, d] нуктани олиб, унга шундай Ау(Ау^О) орт-
тирма берайликки, у04-Ду£[с, d] булсин. У хрлда
МУ,+&У) ₽(!/„)
F (Уо + &у) — ? (У»> = .1 Дх. уй + Ду) dx — ,1 f (х, у0) dx =
а(У„+Лу( . а(у,}
Р(у,)
= J !/(х, у0 + Ду) — f (х, y0)]dx 4"
а(у.(
р(ус+Д,у) а(у„+&у)
4- J / (X, Уо 4- Ду) dx — ]' f(x, ув +&y)dx (17.11)
₽б/п) a(yt)
булади. Бу тенгликнинг унг томонидаги кушилувчиларни бахрлаймиз.
f (х, у) функция М тупламда узлуксиз, демак, Кантор теоремаси-
га асосан, текис узлуксиз булади. У холда Ду->0 да Дх, у04-Ду)
функция уз лимит функцияси /(х, у0) га текис яцинлашади (каралсин,
250-бет) ва 17,3-теоремага кура
₽w
.1' [Дх,Уо + Ау)-/(х,у0)№ =
Р(У«)
= I' lim [/(х, Уо 4-Ау) —Дх, y0)’[dx = 0
а(у) &У~*в
булади.
(17.11) муносабат даги'
Р(у<,+Лу) а(у„+Лу)
f / (х, у0 4- Ду) dx, [ /(х, Уо 4- Ay) dx
Р(У.) а(уа)
интеграллар учун куйидаги бахргз эгамиз:
ЕИу»+Ду)
f / (х, у, 4-Ду) dx СМ|₽(уо4-Ду)--₽(Уо)1,
Р(«о)
ШУо+Ьу)
f f(x> yt + &y)dx <Mal (y0 4- Ду)—cc(y0) I,
а(Ус)
(17.12)
(17.13)
бунда Al = sup (IЖ У) I ((.x, у) C Al).
Шартга кура а (у), р (у) функцияларнинг хар бири [с, d] да узлук-
сиз. Демак,
lim [«(у, 4- Д у) — а(у0)1 = О,
lim !Р(у0 4-А у) — Р(уо)1 = 0.
Ду->0
(17.14)
Юкоридаги (17.12), (17.13) ва (17.14) муносабатларни эътиборга олиб,
^(17.11) тенгликда Ду-> 0 да лимитга утсак, унда
lim [F(y0 4- Ду) — F (у0)1 = О
Ду->0
булиши келиб чикади. Демак, F (у) функция V у0 G [с, d] да узлуксиз.
Теорема исбот булди.
256
17.8-теорема. f(x,y) функциям = {(х, y)£R2: х£1а, ft], yC[c,d]l
тдпламда узлуксиз, Ц (x, у) хусусий хосилага эга ва у узлуксиз, а(у)
р (у) функциялар эса а'(у), Р'(у) хосилаларга эга хамда улар (17.9)
шартни цаноатлантирсин. У холда
₽(W
Лу) = I f(x,y)dx
а(у)
функция [с, d] ораликда F' (у) уосилага эга ва
₽(!/)
F'(y) = ( уМх4-р'(у)7(Р<УХ У)~“'(у)7(«(у). У)
cito)
булади.
Исбот. Vy0 £ [с, d] нуцтаии олиб, унга шундай Ду(Ду^0) орт-
тирма берайликки, у0 + Д.у£[с, d] булсин.
(17.11)муносабатдан фойдаланиб куйидагини топамиз:
F (у0 + Ду) — F (ув) _ Г f (X, Уо4- Ду) — f(x, ув) j 1
Ду J Ду Ду
а(У«)
и(Уо+Ду)
+А у) dx— j* f (х, у о + Д у) dx.
date)
₽(Ус+Ду)
f /(X,
₽(Уо)
Уо +
(17.15)
Ду -> 0 да
Ух, Уо+ Ду) —Н-Г, Уо)
Ду
функция уз лимит функцияси fy(x, у0) га [а, Ь} ораликда текис якин.
лашади (каралсин, 250-бет). Унда
lim f + уд) dx = ‘ f’(x,y0)dx (17.16)
‘ a(M a(y0)
бу'лади.
Энди
₽(ув4-Ду) a(y„+&y)
f f(x, y0 + by)dx, f f(x, y0 + Ay)dx
MM a(y0)
интегралларга урта киймат хакндаги теоремани куллаб (каралсин,
1-цисм, 9-боб, 8- §), ушбу
РЙ/о+Ду)
J НА Уо + ^y}dx =f(x', Уо + Ду)[р(Уо +Ду) —Р(Уо)1,
₽(у»)
а(У«+Ду)
J Кх, У о + д у) dx = f(x", у0 4- Ду) [а(у0 + Ду) - а (у„)]
«О'»)
тенгликларни хосил киламиз, бунда х' нукта Р(у0), |3(у0 + Ду) нукта-
лар орасида, А' зса а(у0), а(у04-Ду) нукталар орасида жойлашган.
/(х, у) функциянинг М тупламда узлуксизлигини, а (у) ва Р(у)
17-501
257
функцияларнинг эса [с, d] ораликда хосилага эга булишини эътиборга
олсак, у холда
I Р(0в+Д//)
1™ — | Ж y0 + Ay)d№ lim[f(x', у0 4- Ау)х
Аг/—>0 &У J Д-,0
РОМ
х + | = Jim;(х; у + д у). ]im .^ + а»/) - Р (уа) =
Ay I 70 Ду-о Аг/
a(y^Sy)
ail/,)
= f(P(</o), Уо) Р'(Уо),
fix, у о + Ay) dx = lim
Дг/-0 .
lim —
Ду->0 Аг/
f(x", уе + &у)Х
X g(у» +-Ay)- = lim f jx", y. + Ay) JimAy) ~=
Ay Дг/->0 Ду-*0 Дг/
=/(«({/»), г/о)а'(Уг>) (17.17)
эканлиги келиб чицади.
Юкрридаги (17.15) муносабатда, Ау->0 да лимитга утиб, (17.16)
ва (17.17) тенгликларни эътиборга олиб ушбуни топамиз:
Р(Уо)
]jm F(yo+Aj/)-FM== Р ф,//0Хг+ИР(У0)-Р'(У0)-
Ду-»0 Аг/ J
«(//»)
—/(«(г/о), t/о) «'(Уо)-
Демак,
[ЛУп)
F'iy0) = У fy ix, Уо) dx + f(fi iy0), y0) &(y0) — f ia (y>), y9)a'(y0).
a(y,)
Модомики, y0 нукта [c, d\ ораликдаги ихтиёрий нукта экан, у холда
V у € [с, d] учун ‘
ply)
F’iy') = ,f f'yi-x. У) dx + f (P iy), y) P'(y) — f (a iy) ,y) a' iy)
a(y)
булиши равшандир. Бу эса теоремани исботлайди.
Хусусан, a(y)sa, p(y)^ft булса, бу формуладан 2-§ да келти-
рилган (17.5) формула келиб чикади.
17.9-теорема, fix,у) функция М = {(х, у) QR2: х G [п, ft] у£[с. d[}
тупламда узлуксиз, а (у) ва Р(у) функцияларнинг хар бири [с, d\ да
узлуксиз ва улар (17.9) шартни каноатлантирсин. У хрлда F(y) функ-
ция [с, d] да интегралланувчи булади.
Бу теоремани исботлашни у'^увчига хавола киламиз.
4-§. Параметрга боглик хосмас интеграллар. Интегралнинг
текис якинлашиши
Биз мазкур курснинг 16-бобида хосмас интеграл (чегараси чексиз
хосмас интеграл, чегараланмаган функциянинг хосмас интеграли) ту-
шунчаси билан танишиб, уни ургандик. Ушбу бобнинг 2-§ ва 3-§ ла-
рида параметрга бор лиц интеграллар баён этилди.
258
Энди умумий хол — параметрга боглик; хосмас интеграллар билан
шугулланамиз.
1. Параметрга боглик; хосмас интеграл тушунчаси.
Г. f(x,y) функция М = {(х. y)QR2: х£]а, + оо), y^EczR} туп-
ламда берилган. Сунг у узгарувчининг Е тупламдан олинган хар бир
тайин кийматида f(x, у) х узгарувчининг функцияси сифатида [о, +оо)
оралик буйича интегралланувчи, яъни
f f (х, у) dx (yQEczR)
а
хосмас интеграл мавжуд ва чекли булсин. Бу интеграл у нинг кнй-
матига богликдир:
/({/)= f f(x,y)dx. (17.18)
а
(17.18) интеграл параметрга боглид чегараси чексиз хосмас интеграл
деб аталади.
f(x, у) функция М' = {(х, у) £R2: х£(— оо , a] yQEcz R}(M" —
= {(х, y)£R2:x£(-- <х>, + <*>), y^EczR}) тупламда берилган ва у
узгарувчининг Е дан олинган кар бир тайин кийматида f(x, у)—х нинг
функцияси сифатида (—оо, а\ ((—оо, -фое)) да интегралланувчи булсин.
Бунда
а +=о
f f(x, y)dx( f f(x,y)dx)
— 00 —' ОО
интеграл хам параметрга боглик., чегараси чексиз 'хосмас интеграл деб
аталади.
2°. /(х, у) функция M1 — {(x,y)QR2:xQ]a,b), y^ficzR} тупламда
берилган. Сунг у узгарувчининг Е тупламдан олинган х.ар бир тайин
кийматида /(х, у) ни х узгарувчининг функцияси сифатида к.аралганда
унинг учун х — b махсус нукта булсин ва бу функция [с, Ь) ораликда
интегралланувчи яъни,
\f(x,y)dx (yQE^R)
а
хосмас интеграл мавжуд булсин. Равшанки, бу интеграл у нинг кий-
мат ига боглик:
h
R(y)=\f(x,y)dx, (17.19)
а
(17.19) интеграл параметрга бослиц, чегараланмаган \ функциянинг
хосмас интеграли деб аталади.
/(х, у) функция Afj { х, у) £R? :x£(a,b], yQE с: R ' тупламда берил-
ган ва у узгарувчининг Е дан олинган х.ар бир тайин кийматида / (х,у)—х
нинг функцияси сифатида к.аралганда, унинг учун х = а махсус нукта
булсин. Бу функция (а, Ь\ да интегралланувчи булсин. У холда
ь
1ъ(у) = )f(x, y)dx
а
259
интеграл х.ам параметрга боглик чегараланмаган функциянинг хос-
мае интеграла деб аталади.
3° Умумий холда. параметрга боглик чегараланмаган функциянинг
чегараси чексиз хосмас интеграли тушунчаси хам юкрридагидек кири-
тилади.
f (х, у) функция М2 = {(х, у) G х £ (с, + «), у Q Е с R | туплам-
да берилган. у узгарувчининг Е тупламдан олинган хар бир тайин
Кийматидз f(x, у) ни х узгарувчининг функцияси сифатида каралганда
унинг учун х — с махсус нукта булсин ва бу функция (с, 4- <ю) ора-
лицда интегралланувчи (каралсин: 16-боб, 9- §), яъни
+ 0о
I f(x,y)dx
чегараланмаган функциянинг чегараси чексиз хосмас интеграли мавжуд
булсин. Бу интеграл у нинг кийматига богликдир:
W=+f f(x,y)dx (17.20)
С
(17.20) интеграл параметрга боглиц чегараланмаган функциянинг
чегараси чексиз хосмас интеграли деб аталади.
Биз ю^орида келтирилган (17.18), (17.19), (17.20) интегралларни
параметрга боглик хосмас интеграллар деб кетаверамиз.
Магадан, 16-бобнинг 1- § ида карал ган
+00
/(а) = J
а
интеграл, шу бобнинг 5- § да
ъ
С
J (х—а)а ’
а
Ч (а>0,а>0)
х
каралган
(а>0)
ь
а
интеграллар, 16-бобнинг 9- § да царалган
Г (a) = +j° xa~le~ydx
о
интеграллар параметрга боглик хосмас интеграллардир.
Бу ерда хам асосий масалалардан бири — f(x, у) функциянинг функ-
ционал хоссаларига кура, (17.18), (17.19) ва (17.20) параметрга боглнц
хосмас интегралларнинг функционал хоссаларини урганишдир.
Биз цуйида уларнинг турли хоссаларини, асосан,
+оо
1 (у) = f f(x, y)dx (17.18)
интеграл учун келтирамиз. Бу хоссаларни
ь +оо
17 (-^ y)dx, [ f(x,y)dx
а е
каби хосмас интеграллар учун хам тегишлича баён этиш мумкин.
260
Параметрга боглик, хосмас интегралларни урганишда интегралнинг
текис я^инлашиши тушунчасн мухрм роль уйнайди.
2. Интегралнигтекис я и н л а ш и ш и. /(х, у) функция М =
= {(.г, у) QR~ :х£ [с, 4- <ю), yQEciR} тупламда берилган. у узгарув-
чининг Е тупламдан олинган хар бир тайин кийматида f(x, у) х узга-
рувчининг функцияси сифатида [а, 4- °°) да интегралланувчи булсин.
Чегараси чексиз хосмас интеграл таърифига кура ихтиёрий [а, /] да
(а < t < 4- о°)
F(t, У) = y)dx (17.21)
а
интеграл мавжуд ва
l(y) = +U(x,y)dx~hmF(t,y). (17.22)
Ja ^+°°
Шундай ^илиб, (17.21) ва (17.22) интеграллар билан аникланган
F(t, у) ва /(у) функцияларга эга буламиз ва /(у) функция F(i,y)
функциянинг /->4-°° даги лимит функцияси булади.
17.5-таъриф. Агар /->-4-оо да F(t, у) функция уз лимит функ-
цияси /(у) га Е тупламда текис якинлашса, у хрлда
Ду)= J' f(x,y)dx
а
интеграл Е тупламда текис якинлашувчи деб аталади.
17.6-таъриф. Агар /-> 4-оо да F(t,y) функция уз лимит функ-
цияси /(у) га Е да нотекис яцинлашса, у хрлда
/(*/) = j f(x,y)dx
а
интеграл Е тепламда нотекис якинлашувчи деб аталади.
4- оо
* Равшанки, ( / (х, у) dx интеграл Е тупламда текис якинлашувчи
а
булса, у шу тупламда якинлашувчи булади.
Шундай цилиб,
+ 00
j f(x,y)dx
а
интегралнинг Е тупламда текис якинлашувчи булиши куйидагини
англатади:
+ °0
1) [ f(x, y)dx хосмас интеграл у узгарувчининг Е тупламдан
а
олинган хар бир тайин кийматида якинлашувчи,
2) Ve>0 олинганда хам, шундай 6 — 6(e) > 0 топиладики,
>6 ва ЧуО.Е учун
+ 00
| ]• /(х, y)dx\<e
t
к( булади.
булади, бунда
( '• 21
< — = —
\ 4 j 4
и (М v (Ь) — 1 im и (/) v (/).
ЛЛ-О
М и сол. У ш С у
1
Г (Л- — 1) dx
f/( х _ ] ,2
t
I
интегрални кагайлтк. Агар п(л'>=х4- !, d ? i.f — i;,,-.dx цеб -jc.fK. унда
17 (х — 1 2
1_
и (х, • v (Xi $ = ,х -и 1) 3 (х — ] ” =« 3.
, Я
г " Т !'* п О
.1 v (х du (Xi = ! 3 ix — !) dx — — (х — i )Vi J/ — —
булиб, (16.37) ф<?рмул..га куса
\ ( x + !) dx
и (x) dv (x) = | -|У(7ГП)2 = 3 —
b c
булади. Демак.
J (x -j- 1) dx 2!
f V' u=!) = 4 ’
V
c
16.8-эслатма. Юкоридаги (16.37) формулами келтириб чикаришда
ь
j v (х) dti (ж) интегралнинг якинлашувчплиги хамда iim [гД/)чЧ?)] лимит-
я ’ ' .-,1— в
нинг мавжуд ва чекли булиши талаб эпглди.
£' Ъ
АгаР I и (.г) dv (х), j v(x)dti(xj интегралларнинг якпнлашувчилити хам-
о о
да lim [и (/) v ii'i ] лимитнинг мавжуд ва чекли булиши каби учти факт-
дан исталган иккитаси уринли булса, унда уларнинг учинчиси уамда
(16.37) ..формула Гринли булади.
3. Узгарувчиларни алмаштириш у су л и. /(.г) функция
[о,М да берилган булиб, Ь эса шу функциянинг махсус нуктасн булсин.
Куйидаги
ь
а
хосмас интегрални карайлик. Бу интегралда г = '(цс) деплик, бунда
<р(г) функция [а,р) огйлпкдя ф' (z) > 0 хосилгга эта ва v узлуксиз хам-
ь
да if (а) = п, <рф; = й. Агар J ;(<[ m ;-ц (.-),•£> кшеграл янинлашув-
а.
236
b
чи булса, у холда jf(x)d.v интеграл хам якинлашувчи булиб,
а
d р
| f !,r) dx --= I f (ср (г)) ф' (г) dz
а а
булади.
У
16.9-эслат.ма. \f{x)dx интеграл якинлашувчи бхлскн. Бу интег-
а
ралда л—Ф(г) булиб, \ юкоридаги шартларни бажарсин. У холда
р
\ f (у (z]) <р'(Z) dz шиеграл хам якинлашувчи булиб,
а
J f \xkix = .1 f (ф (г) ф' (г) dz
а а
булади.
М и с о л. Ушбу
ах
пн’;ег|’1.т,т.1 х — ф (?) =- ?г алмаштириш бажарамп?.. Равшан-ш. бу х = г- функция
(0. ij ортлякда х' — 2г>0 хосилага эга ва у узлуксп- хсмда ф(0) = 0. ф(1)= 1-
Интегра лгш хисоблайми?:
<•> 2J? , л л
/ = | ~Г = 2arctg z !0 = 2 4 = ’
i)
4 Ч е г а р а л а н м а г а н ф у н к ц и я л а р х о с м а с и н г е г р а л л а -
риии хам баъзап (аник интеграл сннгари.) интеграл йнгинди-
нинг лимити сифа’.ида хисоблаш мумкин булади,
f(x> функция [й,й| да берилган булиб. b нук/а шу гаункциянинг
махсус ну’кгасн булсин. Бу функция куйидагн шарглэрни бажарсин:
1) ф, !.d да /(.г) функция интегралланувчи,
2) да /(х) функция усувчи ва у •vt[a-УЧУ:! /’-ФХ).
У холла
I i.vi dx — lim — - V — -мд — m j (6.38)
а <-!~и Л n
булади.
Fjv (!o.38) муносабатшшг исботн ушбу бобнинг 4-§ ида исбот,.чан-
гаи (16.211 муносабагнинг псбоги кабидир.
Че г аралап м а г а н функция хосмас интегралининг
бош дни мат и. /(х) функция [о, Ь) шпервалда берилган булиб,
с(с<с<&) эса шу функциянинг махсус нуктаси булсин.
237
f (x) функция шу ораликда Ф (х) (Ф' (х) — f (х), х С [о, 4- оо)) бошлап-
гич функцияга эга булади. х-*-4-оо да Ф (х) функциянинг лимити
мавжуд ва чекли булса, бу лимитен Ф (х) бошлангич функциянинг
4- оо даги кийматп деб кабул цила.миз, яъни
lim Ф (г) ------ Ф (4- оо).
Хосмас интеграл таърифи хамда Ньютон—Лейбниц, формуласида»
фойдаланиб куйидагини топамиз:
( r(x)dx--~- lim ( f(x)dx — lim (Ф (f)— Ф (a)i —
a a
= Ф (+ oo) - Ф (a) -= Ф (x) r
(16.14)
Бу эса юкрридаги келишувга кура бошлангич функцияга эга булган
/ (х) функция хосмас интеграли учун Ньютон — Лейбниц формуласи
уринли булишини курсатадн.
Ми с о л. Ушбу
хосмас интегрални карайлпк.
булади. Демак,
ликда узлуксиз булиб, унинг
Равшанки, f‘x) = — sin — функция
.г 2 X
1
бошлангич гЬхнкцияси ф (х) cos —
X
(16.14; формулага кура
Р 1 1 1 1+х
I — 51 n — dx — cos - I =--- 1.
Х~ X X |з
л
Баъзан, берилган I хосмас интеграл узгарувчиларни алмаштириб”
ёки булаклаб интеграллаш натижасида хпсобланади.
2 Булаклаб интеграллаш у су л и. и(х) ва v (х) функция-
ларнинг хар бири [а. 4- оо) ораликда берилган хамда узлуксиз и' (х)
ва v' (х) хрсилаларга эга булсин.
Агар ) v(x)du (х) интеграл якинлашувчи хамда ушбу
а
lim и (7) = и (4- оо), lim v (t) = t> (4- 30)
лимитлар мавжуд ва чекли булса. у холда ) и (х) dv (х) интеграл
а
якинлашувчи булиб,
[ и (х) dv (х) = и (x)v (х) у (х) du (х) (16.15)
а а
булади,
214
^акикатан хам, 1-кисм, 9-боб, 10-§ да келтирилган формулага
кура t t
f и (х) du (х) = и (х) v (х) Г — С —(х) du(x) — [и (/) v (t) —
и V1
а а
г
— и (a) v (с)] — f v (х) du (х)
булиб, бу тенгликда t->- + оо да лимитга утиб, куйидагини топамиз:
t t
lim (u(x)du(x) = lim [и (t) v(t) — и (а) у(д)| — lim fw(x)d«(x)
(16-16)
Шартга кура j v (x) dи (x) интеграл якинлашувчи х.амда lim [. (/) v(/)—
a
— u(a)v(a)] лимит мавжуд ва чекли эканлигини эътиборга олсак, унда
+и
(16.16) муносабатдан ( и (х) dv (х) интегралнинг якинлашувчилиги хам-
а
да (16.15) формуланинг уринли булиши келиб чикади.
Ми со л. Куйидаги
‘ -L </
| хё~х dx
о
интегрални хисоблайлик. Агар и (х)=х, dv (х) = е~х dx дейилса, унда и (х)о(х) |q~x =
+ v. + so
= х(— е~х) = lim (— хе~*) = О, I v(x)du(x) = — | е~х dx = — I булиб,
g О
(16.15) формулага кура
”h® Ф* Фж
f u(x'}dv(x) = j хе~х dx = — хе~х \^х ~ | (— е “*) dx = 1
bb о
булади. Демак,
| хе~х dx = 1.
о
16.3-эслатма. Юкоридаги (16.15) формулани келтириб чикариш-
Да | v
(x)du(x) интегралнинг якинлашувчилиги хамда lim и (/)и(/) ли-
митнинг мавжуд ва чекли булиши талаб этилди.
Ф°° Фж
Агар I u(x)dv(x), ( v(x)du(x) интегралларнинг якинлашувчили-
0 а
ги хамда lim и (t)v(t) лимитнинг мавжуд ва чекли булиши каби учта
?“>+х
фактдан исталган иккитаси уринли булса, у холда уларнинг учинчиси
хамда (16.15) формула уринли булади.
3. Узгарувчиларни алмаштириш ус у л и. /(х) функция
(а, + оо) ораликда берилган булсин. Куйидаги
7 = (’ f (х) dx
215
интегрэлни царайлик. Бу интегралда х = ср (г) дейлик, бунда ср (г)
функция куйидаги шартларни бажарсин:
1) ср (г) функция [а, + оо) ораликда берилган, ср'(г) хосилага эга
ва бу хосила узлуксиз,
2) ср (г) функция [а, + оо) ораликда катъий усувчи,
3) ср (а) — а, ср (+ со) = Нт <р(г( = + °° булсин.
г—>4-30
У холда /(ср (г)) ср'(г) dz интеграл якинлашувчи булса, унда
а
f (х) dx хам якинлашувчи ва
а
J /(x)c/x=f /(ср(г)) • <p'(z)dz (16.17)
а а
булади.
Ихтиёрий г(а<г < -г то) нуктани олиб, унга мос ср (г) — t нукта-
ни топамиз. [a, t) ораликда I-i^hcm, 9-боб, 2-§ да келтирилган фор-
мула га кура
t 2
<\f(x)dx = р(<р(г)) cp'(a)dz
а а
булади. Бу муносабатда 4- со да (бунда г = ср-!(/)-> + оо) ли-
митна утиб цуйидагини топамиз:
lim
00
(/(x)dx=J f (ф (г)) ср' (г) dz.
а а
Бу эса )' f(x)dx интегралнинг якинлашувчилигини
Камда (16.17)
формуланинг уринли булишини курсатади.
16.4-э с л атма. f f (х) dx якинлашувчи булсин. Бу интегралда
х = ср(г) (16.181
булиб, (16.18) функция юкоридаги шартларни бажарсин. У колда
j’ f (Ф (г)) ф' (?) dz
а
интеграл \ам яцинлашувчи булиб,
(' f(x)dx--=T /(ф(г))'р' (z)dz
а а
булади.
Мисо л. У шоу
'-Гттт. (I6J”
I)
216
интегрални карайлнк. Равшанки, бу интеграл якинлашувчи. Уни хисоблайлик. Ав
вало бу интегралда х= — алмаштириш киламиз. Натижада
(16.20)
булиб, (16.19) ва (16.20) тенгликлардан
булиши келиб чикади. Кейинги интегралда
У + V У2 + 4
2
алмаштиришнп бажариб, куйидагини топамиз:
Демак,
— 05
Р dx л_
J 1 Ч- х1 ~ 2 у‘2
О
4. Чегараси чексиз бул га н хосмас интегралларни
хам баъзан (аниц интеграл сингари) интеграл йиг ин дин ин г л и-
м и т и сифатида \ и с о б л а ш мумкин булади.
f (х) функция [а, + оо) ораликда (а > 0) берилган булиб, цуйида-
ги шартларни бажарсин:
1) [<з, + оо) да / (х) функция интегралланувчи,
2) [а, + оо) да /(х) функция камаювчи ва V х С Iя, + °°) УЧУН
Ш>о.
У ^олда
f(x)dx =
1 im
/i-*0
h V f (а л-
k=0
(16.21)
булади.
Исботлайлик, [а, + оо) орали^ни [а, а 4- h], [a + h, а + 2/i], . . . ,
[а 4- kh, а + kh 4- h], ... (h > 0) ораликларг а ажратайлик. A > a
булсин. Функциянинг мусбатлигидаи
' 1-1
[ fi J a-\-kh-rh A j /i j a-r-kh~{-h
v J l(x)dx< p(x)tix< v J f(x)dx (16.22)
A>=-.o a-i-kh a a-\-kh.
тенгсизликларни ёза оламиз. Функциянинг камаювчи эканлигидан
V х Q [а 4- kh, а 4- kh + h\ учун
f(a + kk + h)^(x)^f(a + kh)
217
булади. Шундан фойдэлансак, (16.22) ни куйидагича ёзиш мумкин:
L h ) л I /I .1
V hf (а + kh 4- /г) < I f (х) dx С 'ч' /г/ (а + kh). (16.23)
А=0 а
Шартга кура, /' (х) dx якинлашувчи. Функциянинг мусбатлигидан
V А > а учун
Л + э0
f / (х) dx < § f (х) dx.
а
Бу тенгсизликдан ва (16.23) дан V
А>а, V h > 0 учун
hf (a + kn) — hf (а).
а *=о
Бун дан эса
J / (х) dx > V hf (а т kh) — hf (а)
a k=Q
булади. Шундай килиб, V f (а + kh) катор якинлашувчи бу лар экан.
*=0
Буни эътиборга олсак, f(x) нинг мусбатлигидан ва (16.22) муносабат-
нинг унг томонидаги тенгсизликдан
ос
j f (х) dx < v hf (а + kh)
a k=0
ни \осил киламиз. Бу тенгсизликнинг ихтиёрий А > а учун тугри
эканлигидан
(’ f (х) dx с h У f (с + kh).
a ft=0
Демак,
h V f (а-г kh) — hf (а) < [ f (х) dx < h V f (а + kh)
k=0 a k=0
экан. Бу ерда й->0 да лимитга утсак (16.21) формулани хосил кила-
миз.
М и е о л. Ушбу
+ х
I хе~х dx
I
интегрални карайлик. Равшанки, бу интеграл якинлашувчи. [1, -г°°) ораликда эса
f (х) = хе~х функция камаювчи .хамда х g [1, + оо) учун f (х) = хе~х > 0 дир.
Юк°Рила келтирилган (16.21) формуладан фойдаланиб куйидагини топамиз:
I хг х dx ~ lim Л V (I + е = е 1 lim п У в kh + й2 \ ke /?Л
] А=0 /1->0 L *=о /e=fJ
218
— е 1 [lim h -—Ц, + lim h- ———] ~e 1 [1 + lim e 1 ('j ] =
L/i->o 1—e л й->о (1—e ft)3| L A—o \ e ~ 1 /1
= e-1(l + lj = 2e-’.
Демак,
I xe~x dx = 2e~l.
i
16.5-эслатма. Юкорида келтирилган (16.21) формула / (х) функ-
ция х узгарувчининг бирор хи (х0 > я) кийматидан бошлаб камаювчи
булганда хам уринли булишини курсатиш мумкин.
5. Чегараси чеке из хосмас и н т е г р а л л а р н и и г б о ш
кийматлари. f (х) функция ( — оо, 4-оо) ораликда берилган булиб,
бу ораликнинг исталган [f, t\ (— оо < f < t < 4- оо) кисмида интег-
t
раллаяувчи булсин: F (t', t) — f f(x)dx.
I'
Маълумки, f (x) функциянинг (— oo, 4-00) орачиц буйича хосмас
интеграли ушбу
I j (х) dx = I’m F (f, t) ---= lim \ f (x) dx
—°0 t-++y r
лимит билан анпкланар эди. t узгарувчнлар бир- биряга боглик бул-
маган холда /'->— оо , 4- со да F (t', t) функция чекли лимитга
эга булса, j f (х) dx хосмас интеграл якинлашувчи деб аталар эди.
+®
Равшанки, Г / (х) dx интеграл якинлашувчи булса, яъни ихтиёрий
__00
равишда /'->— со, /-> 4- °° да F (/', f) функция чекли лимитга эга
булса, у х.олда бу функция /'= —I булиб, /->+ °° булганда хам,
чекли лимитга эга (интеграл якинлашувчи) булаверади. Бирок F(t', t) —
= [ /(х) dx функция, t' = —-t булиб, 4- оо да чекли лимитга эга
i
булишидан /(х) dx хосмас интегралнинг якинлашувчи булиши ке-
__ 00
либ чикавермайди.
Ми с о л. Ушбу
i sin х dx
f
t
интеграл учун t' = — t булса, равшанки, />0 учун ( sin xdx = 0 ва демак,
-t
t
lim I sin xdx = 0
-t
“i”oo
булади. Бирок | sin xdx интеграл якинлашувчи эмас.
16.9-таъриф. Агар t' = — -t булиб, /-^4-оо да F(t', t)—
219
1
t
— J f(x) dx функииянинг лимити мавжуд ва чекли булса, у хрлда
t'
4" со
j f (.г) dx хосмас интеграл бош киймат маъносида якинлашувчи
__со
дейилиб,
I-
t
+сО
лимит эса' ( f (х) dx хосмас интегралнинг бош киймати деб аталади.
+и
Одатда ( / (х) dx хосмас интегралнинг бош киймати
ос
+оо
V. р. \ f(x)dx
каби белгилапади. Демак,
+» (
v. р. ( f (х) dx — lim I f(x)dx.
J»
Бунда v. p. белги французча «valeur principiale» «бош киймат» сузла-
рининг дастлабки харфларини ифодалайди.
Шундай килиб, f f (х) dx хосмас интеграл якинлашувчи булса, у
_2'оо
бош киймат маъносида хам якинлашувчи булади. Бирок j f(x)dx хос-
_______________________________________________________со
мае интегралнинг бош киймат маъносида якинлашувчи булишидан
унинг якинлашувчи булиши хар доим хам келиб чикавермайди.
6. Чегараси чексиз хосмас интегралларни т а к р и б и йа
х и со бла ш. f (х) функция |о, + оо) ораликда берилган ва узлуксиз
бу’либ,
~сс
1 = j f(x)dx (16.24)
а
интеграл якинлашувчи булсин.
Куп колларда бундай интегрални аник хисоблаш кийин булиб, уни
такрибий хисоблашга тугри келади.
(16.24) хосмас интегрални такрибий хисоблаш хос интегрални—
аник интегрални такрибий хисоблашга келтирилади. Аник интегрални
Кисоблашда, бизга маълум формулалар (тугри туртбурчаклар, трапеция,
Симпсон формулалари (каралсин 1-кисм, 9-боб, 11-§)) дан фойдалани-
лади.
Таърифга кура
Ф03
1 im J / (х) dx = J / (х) dx
‘ а а
220
лимит мавжуд ва чекли, яъни V в >0 олинганда хам, шундай /0(а<
</0< оо) топиладики, t > t0 да
оо
U f(x)dx — \f(x)dx< 8 (16.25)
а а
булади. Агар
[ I (х) dx == f (х) dx — f / (х) dx
't а а
эканлигини эътиборга олсак, унда юкоридаги (16.25) тенгснзлик ушбу
| ( f (х) dx I < 8
't
куринишни олади.
Натижада берилган I интегрални такрибий ифодаловчи куйидаги
формулага келамиз:
j' f(x)dxx §f(x)dx. (16.26)
а а
Бу такрибий формулапинг хатолиги
| | /(х) dx\ <s
булади.
Ми со л. Ушбу
ах
о
интегрални карайлик. Бу интеграл якин.ташувчидир. Уин [0, п[ (а > 0) орали^
буйича °' е~*2 dx интеграл билан алмштириб ушбу
А 4-оо __ а ________ *
f e~x’.dx» ( е х’dx (а > 0) HG о-\
б О
такрибий формулага келамиз. (16.27') формулапинг хатолиги
-I-оо а .
'( е х~ dx~ J е~'х dx — '[ е х' dx
б о а
учун куйидаги бахога эга бу'ламиз:
4-о: 1 4-и ' I 4-х | г !
( ~хг dx - ~ 1 , хе ~х! dx-~ , e~xi d (Хф = — - е~хг ’ = — а"0*.
а а а 2а а 2а [. > 2а
Энди а= 1, а —2, а — 3 булган х.олларни карайлик. а — I булсин. Бу з^олда
( е~х' dx « Г е—dx
о б
булиб, бу такрибий формулапинг хатолиги
4-00 , 1 _ м _
( е х~ dx — ( е X*dx — $e х* dx ^0,1839
6 о о
булади.
а = 2 булсин. Бу з^олда
fe~xSdx» dx
б
221
булиб, бу тацрибий формуланинг хатолиги учуй ушбу
( с х* dx — е~ х‘ dx — ( е~х2 dx •" 0,00458
О 0 2
батога эга буламиз.
а = 3 булсин, Dv холда
— -Z _ 3
( е хг dx л: \ е dx
о о
булиб, унинг хатолиги
f e~x*dx- ( е~'х2dx = Vе~х2 dx 0,00002
ооз
бт’лади.
4- §. Чегараланмаган функциянинг хосмас интеграллари
1. Махсус нукта. /(х) функция X (Xcfl) тупламда берилган
булсин. Бирор x0(x0£R) нуктани олиб, унинг ушбу
6ф (ха) = {х : х £ R; х0 — 6 < х < ха + 6; х =# ха} (6 > 0)
атрофини (1-кисм, 118, 122-бетлар) карайлпк.
16.10 -таъриф. Агар х0 нуктанинг хар кандай ^&(хи) атрофи олин-
ганда хам 6'й (ха) П X =£ 0 тупламда f(x) функция чегараланмаган
булса, х0 нукта /(х) функциянинг махсус нуктаси деб аталади.
Мисоллар. 1. [а. Ч ярим интервалда vm6v /(х) —------------- функциями ка-
Ь — х
райлик. b нукта бу функциянинг махсус нуктаси булади. чунки [ст, туп-
ламда берилган функция чегараланмагандир,
2. (а, Ь} ярим интегралда f (х) =- функция берилган булсин. Разшанх t
бу функция (a, i)] П 65(a) тупламда чегараланмаган. Демак, а махсус нукта.
3. (a, S) интервалда ушбу fix) = --—---------(а>0, [5 > 0) фупкцчя-
(х — а) (Ь — х)р
ни к,арайлик, а ва & иуцталар бу функциянинг махсус ну^талари булади, чунки бз-
рилган функция (а, Ь)П ^s(a) ва («> ь) П 6g(&) тупламларда чегараланмагандир.
4. Ушбу — ~—j-—j* функция /?\{—1,0, I; тупламда берилган. Равшан-
ки, бу функция — 1, 0, I нукталар атрофида чегараланмаган. Демак, —1, 0, 1
махсус нукталар булади.
2. Чегараланмаган функциянинг хосмас интеграли
тушунчаси. Мазкур курснинг 1-кисм, 9-бобида математик анализ-
нинг асосий тушунчаларидан бири—функциянинг [о, орали^ буйича
аник интеграли (’Риман интеграли) тушунчаси киритилди ва уни батаф-
сил урганилди. Унда функциянинг интегралланувчи булиши функция-
нинг чегараланган булишини тацозо этади.
Энди чекли [а, Ь\ ораликда чегараланмаган функциялар учун интег-
рал тушунчасини киритамиз ва уни урганамиз.
222
f(x) функция [a, b) ярим интервалда берилган булиб, b ну^та шу
функциянинг махсус нуктаси булсин. Бу функция [а, Ь) ярим интер-
валнинг исталган [а, /( (а < t < ft) цисмида интегралланувчи (1-^исм,
9- боб, 2- §), яъни ихтиёрий t учун ушбу
f / (х) dx
а
интеграл мавжуд булсин. Бу интеграл, равшанки, каралаётган функ-
цияга ва олинган t га боглик булади. Агар f(x) ни тайинлаб олсак,
каралаётган интеграл факат i узгарувчининг функцияси булади:
f f (х) dx = F(t) (a<Zt<Zb).
a
Натижада (a, b) интервалда берилган F (l) функцияга эга буламиз.
16.11- т а ъриф. Агар t^b—0 да F (t) функциянинг лимити
lim F(t)
t-^n-ь
мавжуд булса, бу лимит (чегараланмаган) /(х) функциянинг [д, Ь) бййи-
ча хосмас интеграла деб аталади ва у
ь
)' / (х) dx
а
каби белгиланади. Демак
ь t
\f(x)dx = lim F (t) = lim \f(x)dx, (16.28)
n —0 О д
16.12- таър иф. Arap t-+b— 0 да F(t) функциянинг лимити мав-
жуд булиб, у чекли булса, (16.28) хосмас интеграл якинлашувчи дейи-
лади, }(х) эса [а, ft) да интегралланувчи функция дейилади
Агар t-+-b — O да F (t) функциянинг лимити чексиз бйлса, (16.28)
интеграл узоклашувчи деб аталади.
Худди юкоридагидек, а нукта /(х) функциянинг махсус нуктаси
булганда (а, Ь] оралик буйича хосмас интеграл, а ва b нукталар функ-
циянинг махсус нукталари булганда (а, Ь) оралик буйича хосмас интег-
рал таърифланади.
/(х) функция (а, Ь\ ярим интервалда берилган булиб, а нукта шу
функциянинг махсус нукдаси булсин. Бу /(х) функция (а, Ь] ярим ин-
тервалнинг исталган |/, ft] (а < t < ft) ^исмида интегралланувчи, яъни
ихтиёрий t (а < t < ft) учун ушбу
ff(x)dx = ®(/) (16.29)
i
интеграл мавжуд булсин.
16.13- т аъриф. Агар )->а + 0 да Ф(/) функциянинг
lim Ф(0
223
лимити мавжуд булса, бу лимит (чегараланмаган) /(х) функциянинг
(а, £>] буйича хосмас интеграли деб аталади ва
ь
f f (х) dx
Й
каби белгиланади. Демак,
ь ь
Г f (х)dx -- lim |7(х) dx = lim Ф(/). (16.30)
16.14- таъриф. Arap t-*-a + O да Ф(/) функциянинг лимити мав-
жуд булиб, у чекли булса, (7(x)dx интеграл якинлашувчи деб атала-
а
ди, /(х) эса (я, Ь] да интегралланувчи функция дейилади.
Агар Z^-a + O да Ф(/) функциянинг лимити чексиз булса (16.30)
интеграл узоклашувчи деб аталади.
/(х) функция (а, Ь) интервалда берилган булиб, а ва b нуктэлар
шу функциянинг махсус нукталари булсин. Шунингдек, /(х) функция
(а, Ь) интервалнинг исталган [т, /] (о < г] < / < Ь) кисмида интеграл-
ланувчи, яъни
(7(x)dx = <р(т, t) (16.31)
т
интеграл мавжуд булсин.
16.15- таъриф. т->я + 0, — 0 да ср(т, t) функциянинг
lim ф(т, f)
т->а-г0
/->(?—0
лимити мавжуд булса, бу лимит (чегараланмаган) /(х) функциянинг
(а, Ь) буйича хосмас интеграли деб аталади ва у
ff(x)dx
а
каби белгиланади. Де.мак,
ь i
(/(x)dx = lim f/(x)dx = lim ср(т, f). (16.32)
a t-*b-0
16.16- таъриф. Агар т->д4-0, — 0 да <р(т, t) функциянинг
лимити мавжуд булиб, у чекли булса, (16.32) интеграл якинлашувчи
дейилади, /(х) эса (я, Ь) да интегралланувчи функция деб аталади.
Агар т->я + 0, t-+b — 0 да ср(т, f) функциянинг лимити чексиз
булса, (16.32) интеграл узоклашувчи деб аталади.
сх, с2, ... , с„(фС(я, b), i = 1, 2, . . . , п) нуцталар /(х) функ-
пиянинг махсус нукталари булган холда хам /(х) нинг (я, Ь) буйича
хосмас интеграли юкоридагидек таърифланади. Соддалик учун я, b
хамда с (а < с < Ь) махсус нукталар булган холда, хосмас интеграл
таърифини келтирамиз. )(х) функция (я, 6)\{с) тупламнинг исталган
224
[т, Л (а < т < t < с) хамда |н. i>] (с < и < и < ё) кисмларида интеграл»
ланувчи, яъни
ff(x)dx = ф(т, i), f/(х)dx = i\'(u, г) (16.32)
Т li
интеграллар мавжуд булсин.
16.17- таъриф. Агар т-.йт(>, г—-с— 0 хамда м->с-)-0, V—»
-►6 — 0 да g (т, /) -т- ф (и, v) функциянинг
/ Г
lim (<f (т, г)] = lim [ if (х) dx -+- if(x)dx]
т-c-l' T-.c-.-0 т „
/->£—(• О
U и-,Ъ—G
лимити мавжуд булса, бу лимит (чегараланмаган) / (х) функциянинг
(а, /,’) буйича хосмас интеграли деб аталади ва у
t
! f (х) dx
а
каби белгиланади. Демак.
t > и
! f (х) dx = lim { i f(x)dx 4- •J(x)dx], (16.34)
c ^-0 X “
u~♦c-f-O
16.18- таърпф. Агар т-^-а + О, ?->с — 0 хамда ц-*с + О,
->6— 0 да tf (т. г) —ф(и, у) функциянинг лимити мавжуд булиб,
у чекли булса, (16.34) интеграл якинлашувчи дейилади, /(х) эса (я, Ь)
да интегралланувчи функция дейилади.
Агар т-> а -у О, t — с — О хамда и -* с 4- О, и— р — О да ср(т, /) +
-гф(и, у) функциянинг лимити чексиз булса, (16.34) интеграл узок-
ла нувчи деб’ аталади.
16.6-эс латма. Юкорида махсус нуктаси й (еки Ь, ёки а ва 6)
булган /(х) функциянинг (а, Ь| (ёки [а, 6)), ёки оралик буйича хосмас ин-
тегра ли тушунчаси F (f) нинг (ёки Ф г?) нинг t->-b— 0. ёки
ср(т, /) нинг т->л-Ц0, — 0) да лимити мавжуд булган коллар
учун кирптплди ва унинг якинлашувчи ёки узоклашувчилигп гаъриф-
ланди. Маълумки, F (t) нинг t—- и0 (ёки Фй) нинг t-^b — 0, ёки
ср(т, /) нинг т—*•«.'< — О, t-^h — 0) даги лимити мавжуд булмаган х,ол
булиши мумкин. Бу холда биз шартли равишда /(х) нинг хосмас ин-
теграли
; / (х) их
а
узоклашувчи деб кабул киламиз.
Шундай килиб. чегараланмаган функция хосмас интеграли тушун-
часи аввал урганилган Риман интеграли тушунчасидан яна бир мар-
та лимитга утиш амали оркалп юзага келар экан. 1\улайлик учун
куйида купинча «хосмас интеграл') дейиш урнига интеграл деб кетаве-
рамиз.
15-501 225
А
!
Мне ол л ар. I. (О, 1] ярим интервалда [(х) — —= функциями карайлик.
> х
Равшанки, х — 0 нукта бу функциянинг махсус нуктасидир. Берилган функция их-
тиёрий [Л I ] (О < t < !) ора'лик буйича ннтегралланувчи
I
Ф(/) = i -^=2Н—1/Г)
J I х
t
У хэлда
lim Ф </) = Нт 2(1 — J t ) = 2
булади. Демак, I -У— интеграл якинлашувчи ва v 2 га теиг.
J I х
о
1
,, , I' dx
2. i шоу | — хосмас интеграл узов;лашувчи булади, чунки
’ J х
о
I
lim Ф (7i — lim I — = limflnx]! = — ос.
z-,-9 ' t-^-o J x t—ye
t
(• dx
3. Ушбу j — - - интегрални карайлик. Равшанки, x = O ва х— I нуц-
J | х(1 —х)
талар махсус иукталардир. Хосмас интеграл таърифига ку'ра
1 1
I — - -------— hm I — = hm [arsm(2x—l)]t =
J V-x(!-yt -zoJ JZ(I_X) T-.+0
— lim farsin(2 t — I) — arsin (2 т — 1)1 —
т->-НО
булади. Демак. берилган хосмас интеграл якинлашувчи
ва
dx
J /x(l—X)
- л.
4. Ушбу
b
P dx
b
dx
I/ tr — a\
a
— (a>0)
J {b-xf
a
интегралларни карайлик. Хосмас интеграл таърифидан фойдаланиб цуйидагини топа-
миз.
(’ ах С dx Г(Х_ау-а1й
J (x —a) z-»o-i-0 J (x—a)“ M+0 L 1—a
a 4 t
= lim —[&-fl)l-a-(/-x)1-a], (a^I).
t-,a+O 1 — a
226
Бу лимит а < ) булганда ;еклп, демак /, хосмас интеграл якинлг.шувчн. а > 1
бблганда эса чексиз булиб. унда хосмас интеграл узоклашузчн ббладн. а — I б$л-
ганда
о Ъ
бблнб, /j интеграл чзукЛг.шув'шдир.
Демак.
хосмас интеграл <z < ! булгаила якинлашувчи, а : бчлганда уз«;лашувчи булади.
Худди тунга умнет курсатпш мумкинки,
хосмас интеграл а< ; бблганда якинлашувчи, с'.Дд 1 булганда уэоклашувчн булади.
Биз купила хосмас интегралларнинг турли хоссаларини урганар
эканмиз, уларнп, асосан махсус нуктаси b булган f (х) функциянинг
[я, (?) оралик буйича олинган \f(x)dx интеграли учун келтирамиз. Бу
а
хоссаларни махсус нуктаси а (ёки а ва Ь) бу’лган функциянинг мос
равишда (а, о] ёки (я, Ь)) оралик буйича олинган хосмас пнтеграллари
учун хам тегишлича баён этиш мумкин.
3. Якинлашувчи хосмас ин т е гра л ла рн пн г хосса ла-
ри. f(x) функция [а, о) да берилган булиб, b шу /(х) функциянинг
махсус нуктаси бу'лсин. Бу функция исталган |я, Л (а </<(>) да ин-
тегралланувчи булсин.
ь
1°. Агар f(x) функциянинг [я, Ь) оралик буйича \ f(x)dx интеграли
(7
якинлашувчи булса, бу функциянинг |с, Ь] (а<(;<Ь) оралик буйича
\'f(x)dx интеграли хам якинлашувчи булади ва аксинча. Бунда
С
b с о
|'/(х)ях = /(.г) dx 4- I' /(xld.x (16.35)
л а с
булади,
И с бот. Аник интеграл хоссасига кура
i f t
i7(.r)rfx = f;(.r)c'x-Г f/(x)dx (fl<Z<fc) (*)
a a c
булади.
b
{’ f(x)dx интеграл якинлашувчи. яъни
fl
b t
j /(x)dx = lim \j(x)dx
a I
w.
227
лимит мавжуд ва чекли булсин. Юкрридаги (*) тенгликни куйидагича
ёзамиз:
\ f (х) dx = \ f (х) dx — Г /' (х) dx.
с а а
Кейинги тенглнкда t-+b — 0 да лимитга утиб куйидагини топамиз:
lim [f(x)dx — lim \f(x)dx — f/ (x) dx — \'f(x) dx — [f(x)dx.
t->b—O 'c t—гй—a n a a
b
Бунда!! \ f(x)dx интегралнинг якинлашувчи за
С
l' f (x) dx = f f (x) dx 4- (' f (x) dx
a a c
эканлиги келиб чикади.
b
Худди шунга ухшаш !'f(x)dx интегралнинг якинлашувчи булиши-
С
b
дан \f(x)dx интегралнинг хам якинлашувчи хамда (16.35) формуланинг
9.
Гринли булиши курсатилади.
Куйида келтириладиган 2° —5э-хоссалар хосмас интеграл ва унинг
якинлашувчилиги таърифларидан бевосита келиб чикади.
а b
2°. Агар f/(x)dx интеграл якинлашувчи булса, у холда J cf(x)dx
а о
интеграл хам якинлашувчи булиб,
ь ь
* cf(x) dx = с J (x)dx
а а
булади, бунда с — const.
а
3°. Агар \f(x)dx интеграл якинлашувчи булиб. b) да
а
/дх)>0 булса, у холда
. ' f(x)dx О
а
булади.
Энди f(x) функция билан бир каторда g(x) функция хам [я, Ь) да
берилган булиб, b эса бм функцияларнинг махсмс нсктаси булсин.
4° Агар \f(x)dx ва \g(x)dx интеграллар якинлашувчи булса, у
а а
Ь
холда \ [г (х) ± g [х]] dx интеграл хам якинлашувчи булиб,
а
b ь ь
: [/ (х) = g (x)J dx = f / (x) dx ± g (x) dx
a fi c
булади.
228
16.4-н ат п ж а. Д (.г). /2(х), . , fn(x) функцияларнинг хар бири
[а, Ь) да берилган булиб, b эса бу функцияларнинг махсус нуктаси
булсин. Агар ( fK(x)dx(k — 1, 2, ... , п) интеграллар якинлашувчи
а
б^лса, у холда
t
f Ifj/i (х) ~ c2f2 (х) 4 ... 4- /л (х)1 dx
интеграл х.ам якинлашувчи булиб,
Ь г b
С fci/i (х) 4 с2/2 (х) -L- . . . 4 сп fn (х)] dx = c'j I /j (x) dx -f- c.2 ]’ /2 (x) dx 4
« a a
f ____
4 . . . 4 cn Г fn(x)dxcl — const, i = 1, n.
a
булади.
f r
5° Arap \f(x)dx ва | |g(x)dx интеграллар якинлашувчи булиб,
a 'a
yx€[«, b) да /(x)Cg(x) тенгсизлик уринли булса, у ?;олда
ь ь
\f(x)dx<*g(x) dx
и а
булади.
Юкоридаги /(х) ва g(x) функциялар куйпдаги шартларни хам ба-
жарсин:
1) /(х) функция [а, Ь) да чегараланган, яъни шундай т ва М уз-
гармас сонлар мавжудкп. ух£[а, Ь) да тС/(х)<Л1;
2) £(х) функция [д, Ь) да уз ишорасини узгартирмасин, яъни барча
х(хС[о, Ь) ларда g(x) >0 ёки g(x)<0.
ь ь
6°. Агар f(x)g(x)dx ва g(x)dx интеграллар якинлашувчи булса,
а с
у з^олда шундай узгармас u (т < .VI) сон топиладики,
; i(x)g(x)dx = ц Jg(x)dx
а "а
тенглик урннли булади.
Бу хосса ушбу бобнинг 1- § да келтирилган 6е- хосса исботи каби
исботланади. Одатда бу хосса у’рта киймат хакидаги теорема
деб юритилади.
5- §. Чегараланмаган функция хосмас интегралининг
якинлашувчилиги
/(х) функция |о, Ь) ярим интервалда берилган бу'либ. Ь шу функ-
циянинг махсус нук.таси булсин. Бу функция хосмас интегралининг
ядинлашувчилиги шартини топиш билан шугулланамиз.
220
b
Биз юцорида , [(x)dx хосмас интегралнинг якннлашувчилиги /—►
— b — 0 да
t
F (i) — I' f (x) dx (a <t < /-)
il
функциянинг чекли лимитга эга булиши билан таърифланпшшш к\р-
дик. Бинобарин, ;(х)их интегралнинг якннлашувчилиги шарти, t-*-
•Я
-*.0 — 0 да F (t) функциянинг чекли лимитга эга булиши шартидан
иборат.
1-кием, 4-боб, 5-§, 6-§ даги функциянинг чекли лимитга эга бу-
ь
лиши хакидагн георемалардан фойдаланиб, f f(x)dx хосмас интеграл-
а
нинг якннлашувчилиги шартини ифодалозчи теоремаларни келтирамиз.
I. М а н ф и й б у л м а г а н ф у н к ц и я хосмасинтеграл и нинг
я к, и н л а ш у в ч и л и г и. /(х) функция |п, Ь) ярим интервалда берилган
булиб, (> эса шу функциянинг махсус нуцтаси булсин.
Бу функция [а, Ь) ораликда манфнй булмасин (Vx£[a, Ь) учун
/(х)>6) ва ораликнинг исталган [а, /] кисмида (а < t < 6) интеграл-
ланувчи булсин. У холда о<г1</2<й лар учун
F (Ч) = J Z(*) dx = F(t})+ j / (х) dx > F (/J
a li
булади. Демак, /(x)>0 булганда F (/) функция усувчи бу лар экан.
Бинобарин, 1-~'с — 0 да F(i) хамма вакт лимитга (чекли ёки чексиз)
эга булади. Монотон функция лимити хакндаги теоремадан фойдала-
ь
ниб (царалсия, 1-кисм, 4-боб, 5-§) f/(x)Jx интегралнинг якдшлашув-
а
чилиги шартини ифодалайдиган куйидаги теоремага келамиз.
ь
16.7-т еор е.ча, [а, Ь) да манфий булмаган ((х) функция \f(x)dx
а
хосмас интегралининг якинлашувчи булиши учун, {F(t)- нинг юкори-
даги чегараланган. яъни Ь) учун
t
F (0 = ' f (r) dx С <? (c = const)
a
булиши зарур на етарли.
b
Одатда бу теорема f(.r) (f(x)>0) функция \J(x)dx хосмас инте-
а
гралининг ягушлашувчилиги критерийси деб аталади,
Яна уша теоремага асосан куйидаги натижани анта оламиз.
t
16.5-кат ижа. Агар F (/) = {[ f(x)dx) туплам юкрридан чегара-
а
230
b
лаямаган булса, у холда \ f(x)dx хосмас интеграл узоклашувчи б^-
'а
лади.
М а н ф и й б у л м а г а н функциялар хосмас интегралда-
р и н и т а к к о с л а ш х а к и д а т е о р е м а л а р.
16.8-теорема. f(xj ва g(x) функциялар [а, Ъ) да берилган булиб,
b эса бу функцияларнинг махсус нуктаси ва V хС[с, Ь) да
0Cf(x)<g(x) (16.36)
булсин. У .уолда:
b ь
\g(x)d.x якинлашувчи булса, \f(x)dx хам якинлашувчи булади,
а а
b о
j’ f(x)dx узоклашувчи булса, ( g(x)dx хам узоклашувчи булади.
а а
b
Исбот. \g(x)dx якинлашувчи булсин. Унда 16.7-теоремага кура
а
t
{G (/)} = { I g (x) dx} (a <Z t <Z туплам юкоридан чегараланган:
a i
G (О = 1 £ W dx (С = const)
а
булади. (16.36) муносабатга асосан
F (?) = f / (х) dx С । g (х) dx = С (t) < С
а а
Ъ
булиб, ундан яна 16.7-теоремага кура ff(x)rfx интегралнинг я^инла-
шувчилиги келиб чикади.
Энди f f(x)dx интеграл узоклашувчи булсин. Ушолда {Г (i)\ =
а
/
= [ l/'(x)dxj юкоридан чегараланмаган булиб,
а
1 1
\f(x)dx С \ g(x)dx
а а
тенгсизликдан эса
{0(0} = i)>(.Y)fix}
а
нинг Vм юк.оридан чегараланмаганлигини топамиз. Демак, юкорида
ь
келтирилган натижага кура \ g(x)dx интеграл узоклашувчи. Теорема
а
исбот булди.
16.9-те орем а. {а, Ь) да f (х) ва g(x) манфий бйлмаган функция-
лар берилган. х-^-Ь — 0 да —— нисбатнинг лимити -г бклсин:
s W
lim = ft.
х->й-0 g (X)
231
h b
4гар/г<4-оо ва [g(x)dx. интеграл якинлашувчи булса, (' f(x)dx
* а
интеграл хам якинлашувчи булади.
Агар /?>0 ва \g{x)dx интеграл узоклашувчи булса. \f(x)dx ин-
'а а
теграл хам узок.лашувчи булади.
Бу теореманинг исботи ушбу бобнинг 2-§ ида келтирилган 16 3-
теореманинг исботи кабидир. Уни исботлашни укувчпга канола этамиз.
Юкорида келтирилган теоремалардан куйидаги натнжз келиб чика-
ди.
16.6-натижа. 16.9-теорема шартларнда агар 0<£< — оо булса,
Ь ')
у холда if(x)dz на \g(x}dx интеграллар бир вактда ёки якинлашув-
Й <7
чи, ёки узоклашувчи булади.
Бирор f f (х) dx (/ (xj > 0. V-.v£[a, b)) хосмас интеграл берилган
a
6 Yr
булсин. Бу интегрални I -----— интеграл билан солиштириб. куйи-
а 1 * 1
даги д.томагларни топами!.
I’. Агар х нинг b га етарлича якин кийматларида
= (*>0)
i/> — хг
ь
булса, у холда <р (х) < е <-г о° за а<1 булганда ) f(x)dx интеграл
а
якинлашувчи, ср (х) > с > 0 за 1 булганда f (x)dx интеграл узок-
лашузчи булади.
2°. Агар .г—с- — 0 да /(х) функция —— га нисбатан a (а > 0)
Ь — х
b
тартибли чексиз катта булса. у холда (/(x)dx интеграл а < 1 б\'л-
a
ганда якинлашувчи, a > 1 булганда эса узоклашувчи булади.
Бу аломатларнинг исботи хам ушбу' бобнинг 2-§ ида келтирилган
аломагларнинг исботи кабидир.
М. : о л л а р. !. Уш-5у
интеграли;: карайлпк. Бунда интеграл остпдагп функция
ф i»
11 -X)1'4
232
булади. Равшанки, \7 х Е [0. 11 учун <р Гх> = cos2 х < 1 ва а =— <1. Демак,
4
ю^оридагп Р-аломатга кура берилган интеграл якинлашувчи булади.
2, Куйидаги
[’ х dx
‘'ll- х=
интегрални карайлпк.
V I — х
Хамда
(
Р dx
интегралнинг якинлашузчилигигш эътиборга олиб, so.6- натил-;дга асосланиб берилган
интегралнинг я^иилашувчилигиии сопамиз.
2. И х т и ё р и й ф у н к ци я .хосмас и я т е г р а л и и и и г я к и н-
лашувчилиги. /(,vj функция \а. Ы ярим интервалда берилган булиб,
b нукта / (.г) функциянинг махсус нуктаси булсин.
/Маълумки, — 0 да
F0) ------ i f (x)dx
а
b
функция чекли лимитга эга булса, у холда /(х) dx хосмас интеграл
'J
якинлашувчи деб аталар эди. Демак , )(x)dx хосмас интегралнинг
а
ядинлашувчилиги тушунчаси хам функциянинг чекли лимитга эга бу-
лиши оркали ифодалаиади Функциянинг чекли лимитга эга булиши
хакидаги теоремадан (1-кисм, 4-боб. 6-§} фойдаланиб куйидаги теоре-
мага келамиз.
16.10-т ео р ем а. (Коши теоремаси). Куйидаги
’>
f f (х) dx
а
хосмас интегралнинг ('( --махсус нукта) якинлашувчи булиши учун,
V8>0 сон олинганда хам, шундай 6 >0 топилиб, b — d<t'<b,
I) — b<t"<b тенгсизли;<ла>',ни каноатлантирувчн ва t" лар учун
IF (f') - =i|’ f(x)dx\< e
с
тенгсизлиннинг бажарилииш зарур ва -гтарли.
233
1 1
--dx интеграл якинлашувчи, аммо
1—.rj
Бу теорема му.\им назарий ахамиятга эта булган теорема. Бирок
ундан амалда—хосмас интегралларнинг якинлашувчилигини аниклашда
фойдаланиш кийин булади.
Ь
16.11-теорема. Агар j'|/pr)|dx интеграл якинлашувчи булса, у
if
b
холда (' / (x)dx интеграл хам якинлашувчи булади.
а
Бу теореманинг исботи ушбу бобнинг 2-§ ндаги 16.5-теореманинг
исботи кабидир.
ь
16.7-э с л ат м а. ]/|а-)|й.г интегралнинг узоклашувчи булишидан
с
tf(x)dx интегралнинг узоклашувчи булиши хар доим келиб чикавермайди.
а ' 1 ’
М л сол. Ушбу I ( — 11-
0
dx = I 1 ;-I dx интеграл эса уэо^лашувчидир.
f,LJ—-vj
?7
1 16.9-таъриф. Arap ^\i(x)\dx интеграл якинлашувчи булса, у
I, ь °
д ^олда [f(x)dx абсолют якинлашувчи интеграл деб аталади. /(х)
а
i’l1 функция эса [а, 61 да абсолют интегралланувчи функция деб аталади.
ь ь
Агар \f(x)dx интеграл якинлашувчи булиб. \\[(x)\dx интеграл
; а а
li . -
I1 узоклашувчи булса, у холла \f(x)ax шартли якинлашувчи интеграл
Й °
I деб аталади.
| Бирор /(.г) функция [о, Ь) да берилган булиб, b эса шу функция-
1: нинг .махсус нуктаси булсин. Бу f(x) функция \f(x)\ абсолют к.ийма-
[| ft"
J тининг [о, Ь) буйича \]f(x)\dx интегралини к.арайлик. Кейинги интег-
»( а
ралга нисбатан 6-§ даги аломагларни куллаш .му.мкин. Агар бирор ало-
I .матга кура \\/(x)\dx интегралнинг як.илашувчилиги топилса, унда
| ° ь
| 16.11-теорема га асоса н берилган f / (.г) dx интегралнинг хам якнн ла-
fl ”
I шучилиги (хатто абсолют якинлашувчилиги) топилган булади.
j 5
; Агар бирор аломатга кура f ] / (х) । dx интегралнин г узоклашувчили
I я
i гини анпкласак, айтиш мумкинки. f j(x)dx ёки узоклашувчи булади,
1а
ёки шартли якинлашувчи булади ва бу ин аннклаш кушимча текшириш-
ни талаб эта ди.
234
6- §. Чегараланмаган функция хосмас интегралини хисоблаш
Биг аввалги параграфларда функция хосмас интегралининг якинла-
шувчилигини ургандик. Энди якинлашувчи хосмас интегралларни хи-
соблаш билан шугулланамиз.
Бирор Дх) функция [<т, W да берилган булиб. b эса шу функция-
нинг махсус нуктаси булсин. Бу функциянинг хосмас интеграли
/ = J Дх) dx
а
якинлашувчи, уни хисоблаш талиб эгилсин.
1 Ньютон—Лейбниц форм у лас и. Фараз килайлик, /(х)
функция [я, Ь) да узлуксиз булсин. Маълумки, бу холда Дх) функция
шу ораликда Ф(х) (Ф'(х) =/(х), х<(я. &)) бошлангич функиияга эга бу-
лади. х-*д—0 да Ф(х) функциянинг лпмити мавжуд ва чекли булса,
бу лимитны Ф(х) бошлангич функциянинг b нуктадаги киймати деб
кабул киламиз:
НшФ (х) = Ф (6).
Хосмас интеграл таърифи хамда Ньютон — Лейбниц формуласидан
фойдаланиб куйидагини топамиз:
|7(x)dx = lim \f(x)dx = lim [ФСД—Ф(а> j = Ф(з)—Ф(а) = Ф(х) Р.
г^-0о f-0-О
Бу эса, юкоридаги келишуз асосида. бошлангич функцияга эга булган
Дх) функция хосмас интеграли счун Ньютон — Лейбниц формуласи
уринли булишини курсатади.
Берилган хосмас интеграл узгарувчиларни алмаштириб ёки булаклаб
пнтеграллаш натижасида хисобланиши мумкин.
Биз ушбу бобнинг 3- § ида чегаралари чексиз хосмас ингегралларда
узгарувчиларни алмаштириш ва булаклаб пнтеграллаш усулларини кел-
тирган эдик. Худди шу усуллар чегараланмаган функция хосмас интег-
ралларида хам мавжуддир. Уларни исботспз келтирамиз.
2 . Булаклаб пнтеграллаш у су ли. и(х> ва ц(х) функциялар-
нинг хар бири [а, Ь) да берилган булиб, шу ораликда узлуксиз и'(х)
ва v'(х) хосилаларга эга булсин. b нукта эса Дх)д^'(х) хамда и(х)с’'(х)
функнияларнинг махсус нукталари.
'э
Агар (y(x)dw(x) интеграл якинлашувчи хамда ушбу
Я
Hm u'f)'j(f)
ь
лимит мавжуд ва чекли булса, у холда u{x)dv(x) интеграл якинла-
а
шувчи булиб,
j и (х) du (х) = ы(х) у(х) ia — j Ц (х) du (х) (16.37)
а а
235
1) f (x) функция [a, + оо) ораликда узлуксиз ва унинг шу оралиц-
даги бошлангичи F (х) (F' (х) = f (х)) функцияси чегараланган,
2) g (х) функция [а, + оо) ораликда g' (х) хосилага эга ва у уз-
луксиз функция,
3) g(x) функция [а, + °°) да камаювчи,
4) lim g (х) = 0.
X—+я
У холда
f f (х) g (.х) dx
а
интеграл якинлашувчи oi/лади.
Исбот. Узлуксиз fix) ва g (х) функцияларнинг купайтмаси
f (х) g (х) функция хам [a, 4- °°) ораликда узлуксиз булгани учун, бу
f(x)g(x) функция исталган \a,t\(tf>a) ораликда интегралланувчи
булади, яъни
t
<f(/) = (' / (х) g (х) dx (16.12)
а
интеграл мавжуд.
;->4-оо да ф(() функциянинг чекли лимитга эга булишини курсата-
миз. Теореманинг 1-ва 2-шартларидан фойдаланиб, (16.12) интеграл-
ни булаклаб хисоблаймиз.
t t t t
f f (x) g (x) dx = [ g (x) d F (x) = g (x) F (x) j — f F (x) g' (x) dx. (16.13)
a a a a
Унг томондаги биринчи кушилувчи учун ушбу
| g (/) F (0! < Mg (t) (М = sup | F (/) | < 4- оо)
тенгсизликка эга буламиз. Ундан, /-*4-оо да g (/)->-О булишини
эътиборга олсак,
lim g (П F (t) = О
t->~r ОЭ
булиши келиб чикади.
" ‘ t
Энди унг томондаги иккинчи \ F (х) g' (х) dx хадни караймиз. Мо-
а
домики, g (х) функция [а, 4- оо) ораликда узлуксиз дифференциалла-
нувчи хамда шу ораликда камаювчи экан, унда V х С [а, 4- оо) да
g' (х) < 0 булиб,
f t t
[ ^(х) g' (x)|dx<Af f |g’ (x)idx = — M J g' (x)dx =
a a a
= M [g (a) — g (01 C Mg (a) (g (0 > 0)
булади. Шундай килиб, t узгарувчининг барча t^>a кийматларида
fl F (х) • g' (х) | dx
212
интеграл (t узгарувчининг функцияси) юкоридан чегараланган. У х;ол-
+»
да ушбу бобнинг 2-§ нда келтирилган теоремага кура f F (х) g' (х) dx
а
интеграл якинлашувчи (хатто абсолют якинлашувчи) булади. Декак,
lim f F (х) g' (х) dx
/->-U J
1 а
лимит мавжуд ва чекли.
Юкоридаги (16.13) тенгликда + оо да лимитга Утиб, ушбу
t
lim f/(x)g(x)dx
лимитнинг мавжуд хамда чекли булишини топамиз. Бу эса J f(x)g(x)dx
а
интегралнинг яцинлашувчилигини билдиради. Теорема исбот булди.
Мне о л. Ушбу
1,У 5in х ,
| —7- dx (а > 0)
1
интегрални карайлик. Бу интегралдаги / (х) = sin х, g(x) — —(а>0) функция-
лар юкорида келтирилган теореманинг барча шартларини ^аноатлантиради:
1) I (х) = sin х функция [1, оо; ораликда узлуксиз ва бошлангич функцияси
F (х) = — cos х чегараланган,
1 , а
2) g(x) =—функция [1, -f-оо) ораликда g (х) = — —[— хосилага зга ва
у узлуксиз,
3) g (х) = — (а >0) функция [1, 4-о°) ораликда камаювчи.
4) lim g (х) = lim -- = 0
х^+00 х->+ к х
булади. Демак, Дирихле аломатига кура берилган интеграл якинлашувчи.
3- §. Чегараси чексиз хосмас интегралларнинг их,соблаш
ь
Чекли [а, Ь] оралик буйича олинган f / (х) dx Ри.ман интеграли
а
Ньютон — Лейбниц формуласи ёрдампда, ёки булаклаб, ёки узгарувчи-
ларни алмаштириб, ёки бошка усуллар билан хисобланар эди.
Энди якинлашувчи ушбу
/ = j"/(х) dx
а
хосмас интегрални хисоблаш талаб этилсин.
1. Ньютон —Лейбниц формуласи. Фараз килайлик, f (х)
функция [«, 4- °°) ораликда узлуксиз булсин. Маълумки, бу холда
213
Лемак, р, акслантириш масофа. (С [а, 6]. pt) эса метрик фазо булади. Шундай
цилиб С [а; 6] туплам берилгаида куйидаги
р (х, у) = max I X (t) — у (01
a- t<b
ва ___________________
Pi (*, у) = |/ J [•* (0 — У (OP dt
' а
акслантиришларнииг хар бири масофа эканлигини курсатиб, натижада иккита турли
(С [л, Ь], р) ва (С [а, д], рх) метрик фазоларга эта булдик.
Энди метрик фазодаги баъзи бир тупламларни таърифлаймиз. (Е, р) метрик фазо
берилган булсин. Бу фазода бирор а (а£Е) элемент олайлик.
15.2- т а ъ р и ф. Ушбу
(х f Е : р (х, а) < } ({х g Е : р (х, о) < г}) (г > 0)
туплам (Е, р) метрик фазодаги очик шар (шар) деб аталади. а нукта шар маркази,
г > 0 эса шар радиуси дейилади.
15.3- таъриф. Маркази а ну^тада, радиуси е (е> 0) булган очик шар
Uz (а) = {х g Е : р (х, а) < е}
а нуктанинг атрофи (е- атрофи) дейилади.
Хусусан, (R, р) метрик фазода a (a£R) нуктанинг атрофи (каралсин, 1-кисм,
3- боб, 2- §)
(а) = {х С R : р (х, а) — | х — а | < е} = (а — е, а + е)
иитервални, (Rm. p'l фазода а (а = (ах, а2, . . . am)£Rm) нуктанинг атрофи
(а) = {х 6 Rm : р (х, а) = } (хх — Ох)2 (х2 — а2)2 + . . . + (х„; — ат)2 < е}
эса 12-боб, 1-§ да киритилган сферик атрофии билдиради.
G— (Е, р) метрик фазодаги бирор туплам булсин. Бу тупламда бирор хп нук-
таии олайлик. Агар х0 (х0 Е G) нуктанинг шундай U(х0) (е > 0) атрофи мавжуд
булсаки,
Ц; (*<>) С
булса, у холда х0 нукта G тупламнинг ички нуктаси дейилади.
15.4- таъриф. G тупламнинг хар бир нуктаси унинг ички нуктаси булса, бун-
дай туплам очик туплам деб аталади.
Масалан, (Е. р) метрик фазодаги ^ар цандай очиц шар
А = {х £ Е : р (х, а) < г} (а 6 Е, г > 0)
очик туплам булади (солиштиринг: 12-боб, 1-§).
F —(Е. р) метрик фазодаги бирор туплам булсин; F с£, х0 эса Е га тегишли
бирор нукта: х0£Е. Агар ха (хаЕЕ) нуктанинг исталган UR (х0) атрофида F туп-
ламнинг ха дан фар^ли камида бигта нуктаси топилса, х0 нукта F тупламнинг ли-
мит нуктаси деб аталади. Бунда хп лимит нукта F тупламга тегишли булиши хам,
тегишли булмаслиги хам мумкин.
Е тупламнинг барча лимит ну^таларидан ташкил топган туплам F тупламнинг
хосилавйй туплами дейилади ва F' каби белгиланади.
Ушбу F U F' туплам F тупламнинг ёпилмаси деб аталади ва у F каби белг.ч-
ланади: F = F U F'.
15.5- таъриф. Агар F (F с Е) тупламнинг барча лимит нукталари шу тупламга
тегишли булса, яъни Е CF булса, F 'ёгищ туплам деб аталади.
Равшанки, F ёпик туплам булса, F (J F' ==~F — F булади.
Масалан, (Е, р| метрик фазодаги шар
В = {х Е Е : р (х, а) < г} (а С Е, г > 0)
ёпиц туплам булади.
190
М — (Е, р) метрик фазодаги бирор туплам булсин.
15.6- таъ риф. Агар (£, р) метрик фазода шундай шар
В —- {х Е £ ; Р (х, а)^.г} (а ЕЕ, г> 0)
топилсаки, Л1 с 5 бу'лса, у .уолда М чегараланган туплам деб аталади. Акс холда,
яъни хар кандай В шар олинганда хам, шундай х£М мавжуд бу'лсаки, xf В булса,
М mt/пламни чегараланмаган туплам дейилади.
Масалан, (Rm, р) метрик фазода шар, параллелепипед, симплекслар (царалсин,
12-боб, 1-§) чегараланган тупламлар булади.
Шу метрик фазода ушбу
М > {х = (хь х2, . . . , x„i) Е Rm : Xj > 0, х2 > 0, . . хт > 0}
ту'плам чегараланмаган туплам булади.
2- §. Метрик фазода кетма-кетлик ва унинг лимити
Бирор (£, р) метрик фазо берилган булсин. f ,-\ар бир натурал п (пЕМ) сонга.
£ нинг бирор муайян хп(хпЕЕ) нуктасини мос тфовчи акслантириш булсин:
f : N ->- £ ёки п -> хп (re Е (V, хп Е £).
Бу / ;Л'->£ акслантиришнинг тасвирлари (образлари) дан тузилган
хп х2, . , хп, . . (х„Е£. п~ 1. 2, . . .) (15.3)
туплам (£, р) метрик фазода кетма-кетлик деб аталади ва у {хл} каби белгиланади.
(15.3) кетма-кетликнинг бирор пг номерли хп ^адини, су игра номери zij дан
катта булган п2 номерли хп ^адини ва .хоказо, шу усул билан (15.3) кетма-кетлик-
нинг хадларини олиб, улардап ушбу
ХП|. хПп....хП/{, . (п1<п2< . . . <п1г< . . . (15,4)
кетма-кетликни хрспл ^иламиз.
Одатда (15.4) кетма-кетлик (15.3) кетма-кетликнинг кисмий кетма- кетлиги деб
аталади ва {х„,} каби белгиланади.
1 nk
Энди (£, р) метрик фазода
xt, х2, . . ., хп, . . . (х„Е£> п — 1, 2, . .) (15.3)
кетма- кетликнинг лимити тушунчасиии киритамиз.
(£, р) метрик фазода (15.3) кетма-кетлик берилган булсин, а нукта £ га те-
гишли нукта булсин: аЕЕ.
15.7- таъ риф. Агар ; е>0сон олинганда хам, шундай n0EOV топилсаки.
барча п~>п0 учун р (х„, а) <и тенгсизлик бажарилса, яъни lim р (х„, а) = 0 бул-
п->м
са, о нукта {хл} кетма-кетликнинг лимита деб аталади ва Пт хп = а ёки хп->- а-
каби белгиланади.
Ю^орида келтирилган таърифга эквивалент булган куйидаги таърифни хам бе-
риш мумкин.
15.8- т а ъ р иф. Агар а нуктанинг ихтиёрий Ug (а) (V е > 0) атрофи олинганда
уам, (15.3) кетма-кетликнинг бирор ^адидан бошлаб, кейинги барча хадлари шу ат-
рофга тегишли б^лса. а нуцта (15.3) кетма- кетликнинг лимити деб аталади.
Агар (15.3) кетма-кетлик лимитга эга булса, у якинлашувчи кетма-кетлик
дейилади. Одатда бупдай якинлашиш масофа буйича я^инлашиш деб аталади.
Мисо л л ар. 1. (£, р) метрик фазо берилган булсин. V х^ЕЕ нуцтани олиб,
ушбу
хв, хп......х0, . . .
кетма-кетликни хосил циламиз. Равшанки, бу якинлашувчи кетма-кетлик булади.
191
2. (£, р) метрик фазо берилган булиб, бу фазо х;еч булмаганда иккнта турли
нукталарга эга булсии. Бу нуцталар'ни х0 ва xj билан белгилаб (лг0#=^1> х0ЕЕ
XjCF).
Хо, Хх, Хо. Xj, . . . , Хв, X]. . . .
кетма- кетликни тузамиз. Бу кетма-кетлик якинлашувчи эмас.
3. (Q, р) метрик фазода куйидаги
14--?, • • •
л /
кетма-кетликларни карайлик. Бу кетма-кетликларнинг
О га тенг (0 £ Q). Демак, (Q, р) метрик фазодаги ]
(nJ
булади.
( И
биринчиси < — ( иинг лимити
(п)
кетма- кетлик якинлашувчи
(7 1
Иккинчи кетма- кетлик < 1 4- ~ ? иинг лимити е га тенг:
(Л n 1 J
/ 1 у»
lim I + — = е
П->со \ И /
(царалсин, 1-цисм, З-боб, 8-§). Бирок e£Q. Демак, (Q, р) метрик фазода {(14-
1 VI
4- — } кетма- кетлик якинлашувчи эмас.
л / )
Энди, хусусий холларда, (£, р) метрик фазо сифатида (R, р), (7?’", р) ва
(С [л, 6), р) фазоларни олиб, бу фазоларда кетма-кетликнинг масофа буйича яцин-
лашувчилиги тушунчасини изо.хлаб утамиз.
(7?, р) метрик фазодаги {хя};
Xi, х2, . . ., х„, . . . (хп ER, п = 1, 2, . . .)
кетма- кетлик хакикий сонлар кетма- кетлиги булиб, унинг масофа буйича якинла-
шиши, 1 - цисм, 3- бобда урганилган сонлар кетма- кетлигининг якинлашишидан ибо-
рат.
(Rm, р) метрик фазодаги (х(л)};
х<», х(2>, . . ., х(п\ . . . (xweRm, п = 1.2, , . .)
кетма-кетлик Rm тупламнинг х(л) = (х(л). .Цл), . . ., х^) (n= 1, 2, . . .,) ну^тала-
ридаи иборат кетма- кетлик булиб, унинг масофа буйича якинлашиши координаталар
буйича якинлашишни билдиради (царалсин 12-боб, 2-§).
(С [д’, 6], р) метрик фазодаги /j (х). J2 (*).In W, • • , In (•*) ? c
л= 1, 2, . . . кетма-кетлик функционал кетма-кетлик булиб, унинг масофа буйича
яцинлашиши 14-бобда батафсил урганилган текис якинлашишни ифодалайди.
Энди метрик фазода якинлашувчи кетма- кетликларнинг хоссаларини келтира-
миз.
1°. Агар (£, р) метрик фазода [хп] кетма-кетлик якинлашувчи булса, бу кет-
ма-кетликнинг лимити битта булади.
Ис б от. (хл1 (ХцЕ.Е, п=1,2. . . .) кетма-кетлик якинлашувчи булиб, унинг
лимити иккнта: а ва Ь (а ЕЕ, ЬЕЕ) булсин;
lim р (хп, д) = 0, lim р (х„, Ь) = О,
П-*ео
яъни V е>0 сои олингапда хам шундай п0 Е N топиладики, , п > п0 да р(хл,с)<
162
O' f
< —. шунингдек шу e>0 учун шундай na£N топиладики, да
е — _
р (хп, Ь} <— булади. Лгар п0 = max (п, п0) дейилса, унда V п > п0 да бир вацтда
8 8
р (х„, о)< —, р (xn, Ь'}< — бхлади. Масофа таърифидаги 3'-шартдан, яыш уч-
бурчак тенгсизлигидан фойдаланиб топамиз:
р (с, />)< р (а, *;г)-гр (хп, Ь).
Демак, 8>0 ва п>л0 учун р (а, 6)<е булиб, ундан р (а, Ь) — 0 булиши
келибчи^адп. Масофа таърифидаги l’-шартга к\ра а =- b булади.
2\ Агар (£, р) метрик фазода (хл] кетма-кетлик якинлашувчи булиб,
lim хп = а (а£Е)
П—
вулса, у .холла бу кетма-кетликнинг .\ар г^андай кисмий кетма-кетлиги {х ’ <
< п2< . . . < п* < . . .) хам якинлашувчи булади ва lim х = а.
, k—tg*
Ис б от. [хл} кетма-кеглик якинлашувчи булиб, унинг лимитн а га тенг б\л.
син; lim хп = а. Бу \хп} кетма-кетликнинг [хп }: хп , х , . . ., х„......^исмий
Я I 2 Л
кетма- кетлигини олайлик.
Модомики экан, унда V е>0 сон олинганда хам шуидай n0£N топила-
дики, V /1>По учун р (х„, а) <8 булади. k-+ оо да «ft->oo булншидан т £ .V то-
ниладики, пт>пй булади. Демак, k у>т=> nk > пи => р (хПк> а)< в. Бу эса
lim = а эканлигини билдиради.
k
3- §. Коши теоремаси. Тулиц метрик фазо
Биз юкррида R даги (1-цисм, З-боб, 10-§), Rm даги (12-боб, 2- §), С fn, о]
даги (14-боб, 2-§) кетма-кетликларнинг якинлашувчи булишлари учун уларнинг
фундаментал булишлари зарур ва етарли эканлигини (Коши теоремасини) куриб ут-
дик. Математик анализиинг бу му.\и.м теоремаси ихтиёрий метрик фазо учун хам
уринли буладими деган савол тугилади. Аввало, фундаментал кетма- кетлик тушун-
часини киритайлик.
(£, р) —ихтиёрий метрик фазо, [хл]:
Х1, х2, . . ., хп, . . . (хлС£, n= 1, 2, . . .)
— ундаги бирор кетма-кетлик булсин.
15.9-та ъ риф. Агар -у е > 0 сон олинганда .^ам шундай na g N топилсаки,
V п > п0 ва т т > пй лар учун р (xn, хт] < е булса, фундаментал кетма-
кетлик дейилади.
R, Rm, С [а, Ь] фазолардаги фундаментал ва фундаментал б^лмаган кетма-кет-
ликларга мисолларпи биз ю^орида курган эдик. Яна бптта мисол сифатида (Q, р)
метрик фазодаги
кетма-кетликни келтирайлик. бхлгани сабабли (15.5) ни R даги кетма-кетлик
деб ^араш хам мумкин. R да бу кетма-кетлик якинлашувчи, яъни
/ 1
lim 1 + - =е.
п->х \ п!
/ 1 хп)
Коши теоремасига кхра Я 1 -у — 1 кетма-кеглик фундаменталдир. Q да киритилган
13—501
193
Г/ 1
масофа /? даги р (х, //) = |х—01 масофанииг айнан ёзн бхлгани учуй 1 -I- —
1\ /1/1
кетма- кетлик (Q. р) да з(ам фундаменталдир.
Ихтиёрий (£, р) метрик фазе берилган булсин. Упдаги барча якинлашувчи кет-
ма- кетликлар тупламини I. (Е), барча фуидаментал кетма- кетликлар тупламини
ср (Е) деб белги'лайлик.
Юкорида биз келтирган Коши теоремаси R. Rm, С [а, ё] лар учун НЕ) -Ф(.£|
эканиии билдиради.
15.1-т е о р е м а. Ихтиёрий (Е, р, метрик фаза учун L (Е) с Ф (Е). яъни хар
кандай яцинлашувчи кетма-кетликлар фундаментам булади.
Исбот. Хакикатаи хам, Iхп] (xn££. п =- 1,2. . . .) якинлашувчи булиб,
lim хп = а (а ЕЕ)
fl ~>ОО
булсин. Яъни v 8>0 сон олинганда хам, шундай л0 £ .V топиладики.
учун
8
р (хп, а) < —
тенгсизлик бажарилсии. Масофа таърнфидаги З'-шартдаи фойдаланпб, V п >/i0 в--
V т > /г0 лар учун
Е 8
Р (*п> хт) < р (х,„ а) -г р (а, хт) =- 8
булишини топамиз. Бу эса, [хп\ нинг фундамента.! кетма-кет лик эканиии билдиради.
Теорема исбот булди.
Аммо Ф (Е) с Е (Е) муиосабат, яъни хар кандай фуидаментал кетма-кетлик -
нинг якинлашувчи булиши ихтиёрий метрик фазо учун тугри булавермайди. Бош-
кача айтганда, шундай метрик фазо ва унда шундай фундамента.! кетма-кетлик т.
пиладики, у якинлашувчи булмайди.
Мисол сифатида (Q, р) фазойи ва упдаги (15.5) кетма-кет тикни карашнмпз мух:-
кип. Бу кетма-кетлик, курсатганимиздек, фуидаментал булса-да, якинлашувчи эмас.
Яна бир мисол келтирайлик.
(С [0; 1], р) метрик фазода куйидаги [хп1:
I, х, х-, хп, . .
кетма-кетликни олайлик. Бу фуидаментал кетма-кетлик булади. Хакнкатан
Г 1 т 1
Я' 8 >0 сонга кура //0 =
деб олинса, унда
£2
р2 (ХП
2// 1
ва демак,
, хт) = | (хп _ /n)2 dx = [Х2« .j. /т _ 2x«-r«J dx~
о b
j_—!— —2
' 2m-H
2п 2m 2
2
булади.
Бирок бу {.?'}
(чунки
кетма-кетлик (С [0, 1], р) метрик фазода
якинлашувчи
3Mcf
0, агар 0^x< 1 булса,
1, arap ,v •— 1 булса
/ (x) = lim xn
булиб, f (x)gC [a, &]).
Шундай цилиб, баъзи бир метрик фазоларда >;ар ^андай фуидаментал кетм
кетлик якинлашувчи булар экан, баъзи бир метрик фазоларда хар кандай фундамег-
тал кетма- кетлик дам якинлашувчи булавермас экан.
15.10-таъриф. (£, р) метрик фазо берилган булсин. Агар бу фазода Ф (Е)'-
сд £ (£) булса, яъни хар т^андай fx„} фуидаментал кетма-кетлик якинлашувчи бул-
са, (Е, р) mi/лиц метрик фазо деб аталади.
194
Мисо л л ар. Юкорида, 1-§ да келтирилган (R, р), (Rm, р), (С [о, d], pi. (»i, pi.
(с, pi метрик фазолар 'тулик метрик фазолар булади.
(R, р) фазонинг туликлиги 1-кис.м, З-боб, 10-§ да келтирилган теоремадсн,
(Rn‘, pi фозонинг тулицлиги 12-боб, 2-§ да келтирилган ,еоремадан (С [о, Ь]. р)
метрик фазонинг тхлпклиги эса 14-боб, 2-§ да келтирилган теоремадан келиб чи-
тали.
Энди (т. р) метрик фазонинг туликлпгнни курсагамиз. Бу метрик фазода
[хп ,хп- кегма-кетлик фуидаментал кетма- кетлик
булсин. Фуидаментал.шк таърифпдап: - е > 0 сон олинганда .хам, шундай n„E.V то-
пиладики. п > Иц. - р > По учун
р (л-„. хр)< е,
яъни
р (Х„, X ) - -up I р‘">- ^Р) | < 8
k
бхлади. Демак, • й f Л хамда п>п0, р > и0 учун
1^-^Ке
булади. Буидан ' ; g(}?, g(^, . . . . . .1 сонлар кетма-кетлпгшшпг фунда-
мента,'! кома-кеглнк экани келиб чикади. ?>'nna Коши теоремасига мувофик (1-кисм,
З-боб, 10-$) бу кетма-кетлик якинлашувчи булади:
lim ё1"’ 5*. (. . (15.6)
п "*
Энди х (ip i-j, • •• . ..) нинг т гуяламга гегпшли булишини кчрсата-
миз.
Aebhjo, хп£т -жаплигидан шундай Мп сон мавжудки, k Е -V учун
(п = 1.2, ...)
булади. Иккинчи томондан ]хп; нинг фундаменталлигидан топамиз:
- е>0 олинганда хам шундай н0 £ .V топиладики, -? л > л0 ва - р > щ уяун—-
- й Е .V да
|^>-g(p,|<e (15.7)
булади. Юкоридаги тенгсизликлардан п > п0 учун
И — в <ГVI -Le (15 7)
4+1 s< Sfe <'%+( ' 1 (l0-°
муносабатларга эга буламиз. Бу тенгсизликлардан, п-+ х да - й £ .V учун
.И„ e<g<AL ,+е
,1о-|-1 ь 404-1
келиб чикади. Демак, х =- (gj, g2, . . ., . .) кетма-кетлик чегараланган экан,
яъни х Е т.
Юкоридаги (15.7) муносабатдан »>п0 булганда sup —эканлиги
k
келиб чикади. Бу эса з(хп, х)< е булишини ифодалайди. Демак, lim р (х , л) — 0,
п--»х
яъни ,'хп] кетма-кетлик якинлашувчи.
Шундай килиб, (т, р) метрик фазодаги ихтиёрий [хп} фуидаментал кетма-кет-
ликнинг якинлашувчи булишини курсатдик. Демак. (т, р)—тулик метрик фазо.
Худди шунга ухшаш (с. р) метрик фазонинг туликлиги курсатилади.
Юкорида келтирилган мисоллар (Q, р) ва (С [6, 1], р\) метрик фазоларнинг
тули1Ч эмаслигини курсатади. 15.1-теорема хамда тулит; метрик фазо таърифидан
куйидаги теоремага келамиз.
15.2- т е о р е .м а (К о ш и теоремаси). (£, р) mf/лик метрик фазо булсин.
Бу фазода Ф (£) = /. (£), яъни (хп^Е, п — 1, 2, . . .) кетма-кетликнинг
якинлашувчи булиши учун унинг фуидаментал булиши зарур за етарли.
Тулик метрик фазоларда R даги пч.ма-ич жойлашган сегментлар принципа (1-
кисм, З-боб. 8- §), Rm даги ичма-ич жойлашган шарлар принциии (12-боб, 2-§укаби
принцип уринли булади.
195
(Е, р) метрик фазо берилган булсин. Марказлари хп (хп £Е, п = 1,2, . . .) пук-
таларда. радиуслари гп (гп 6 п=1,2, . . .) булган ушбу
Si =Sj (л-р rj = {хЕЕ: р(х,
S2 = S2 (x2, r2)=(x££-. p (x, x2)^r2),
S/i — S„ (x,,. r n ) i x £ E. p (x, xn ) г,, ).
шарлар кетма-кетлиги [S } берилган булсин. Агар бу кетма-кетлик учун куйидаги
=> S,=> ... => S„ => . . .
муносабат уринли булса, у холда {Sra ) — ичма-ич жойлашган шарлар кетма- кетли-
ги деб аталади.
15.3- теорема. (£, р) — тйли^ метрик фазо бдлсин. Бу фазода {Sn J ичма-
ич жойлашган шарлар кетма-кетлиги булсин. Агар п—<х>да шар радиусларидан
иборат {гп ] кетма-кетликнинг лимити ноль б(/лса, яъни
lim гп =0,
у холда барча шарларга тегишли булган хп (х0££) нукта мавжуд ва ягонадир.
Бу теоремпипг исботи 12-боб. 2-§ да келтирилган Rm даги ичма ич жойлашган
шарлар хакидаги теореманинг исботига ухшащдир.
4- §. Больцано — Вейерштрасс теоремаси. Компакт метрик фазолар
Биз говорила R даги (1-кисм, З-боб, 9-§), Рт даги (12-боб, 2- §) хар кандай
чегараланган кетма- кетликдан якинлашувчи кисмий кетма- кетлик ажратиш мумкии-
лигини (Больцано—Вейерштрасс теоремаеини) куриб утдик. Математик апализнинг бу
му.^им теоремаси и х т и ё р и й метрик фазо учун хам уринли буладими деган савол
тугилади.
Аввало. ушбу бобнинг I-§ ида ихтиёрий метрик фазода берилган тупламнинг
чегараланганлиги тушунчаси билан танишганимизни эслатиб утамиз.
Биз, шунингдек, ихтиёрий якинлашувчи кетма- кетлик чегараланган туплам таш-
кил килишини курган эдик. Юкорида айтилгаиига кура, (/?, р), Rm, р) метрик
фазоларда хар цандай чегараланган кетма-кетликдан якинлашувчи кисмий кетма-кет-
лик ажратиш мумкин, яъни бу метрик фазоларда Больцано — Вейерштрасс теоремаси
Уринли булади.
Бирок бу хол хамма метрик фазоларда хам уринли булавермайди. Масалан,
(т, р) метрик фазони олайлик. Bv фазода ушбу
(1, 0, 0, 0, . . . ), (О’, 1, 0, 0,'. . : ), (0, 0, 1, 0, . (15.8)
кетма-кетликни карайлпк. Бу кетма-кетликнинг барча хадлари куйидаги
(x£m:s (х, 0) 1) (0 = (0, 0, 0, . . . )’
шарда жойлашгандир. Демак, (15.8) кетма-кетлик чегараланган Айни пайтда бу
(15.8) кетма-кетликдан якинлашувчи кисмий кетма-кетлик ажратиб булмайди. Чунки
(15.8) кетма-кетликнинг ихтиёрий икки хк ва хп (fe^n) эламентлири орасидаги масо-
фа хар доим
p(x-ftj х„ ) = 1 (*#=«)
булади.
Демак, баъзи бир метрик фазоларда, ундаги ихтиёрий чегараланган кетма-кет-
ликдан якинлашувчи ^исмий кетма-кетлик ажратиш мумкин (масалан, (R, р), Rm, р)
фазолар), баъзи бир метрик фазоларда эса, ундаги хар кандай чегараланган кетма-
кетликдан дам якинлашувчи цисмий кетма- кеглик ажратиб булавермас экан (маса-
лан, (т, р) метрик фазо).
15.11-таъ риф. (£, р) — ихтиёрий метрик фазо. Агар бу фазодаги хар цандай
чегараланган {х„ | (хп ££, п = 1. 2, . . . ) кетма-кетликдан як,инлашувчи
(хп^Е. k = 1, 2, . . . ; n1<n2< , . . < пк < . . .) ^исмий кетма-кетлик ажратиш
мумкин булса, (£, р) компакт метрик фазо деб аталади. Акс холда, яъни (£, р)
да шундай чегараланган кетма- кетлик топилсаки, ундан якинлашувчи цисмий кетма-
кетлик ажритиб олиш мумкин булмаса, (£. р) компакт булмаган. фазо дейилади.
Шундай килиб, юкоридаги R, Rm фазолар компакт фазолардир. (т, р) фазо
компакт булмаган фазодпр.
196
16-БО Б
ХОСМАС ИНТЕГРАЛЛАР
Биз 1-жисмнинг 9-бобида [а, 6] ораликда берилган f(x) функция-
нинг Риман интеграли тушунчасини киритдик ва батафсил ургандик.
Интегралнинг баёнида ораликнинг чеклилиги ва функциянинг чегара-
ланганлиги бевосита иштирок этди. Биз курдикки, ушбу таъриф маъ-
носида интегралланувчи функциялар синфи анча кенг экан.
Хуш, [й,+ оо) (ёки (—оо, а], ёки (— оо, 4-оо)) ораликда берилган
/(х) функциянинг интеграли ёки [а, Ь] да берилган, аммо чегаралан-
маган /(х) функциянинг интеграли тушунчаларини хам киритиб булар-
микан? Яъни аввалги интеграл тушунчасини маълум маъноларда умум-
лаштлриш имконияти бормикан деган савол тугилади. Албатта, умум-
лаштириш шундай булиши керакки, натижада Риман интегралининг
асосий хоссалари уз кучини сацлаб к,олеин.
Биз ушбу бобда ана шундай умумлашган (ёки хосмас) интеграл-
ларини киритамиз ва урганамиз.
1- §. Чегаралари чексиз хосмас интеграллар
1. Чегаралари чексиз хосмас интеграл тушунчаси.
Бирор f(x) функция [а,+ оо) ораликда берилган булиб, бу оралвк-
нинг исталган [a, t] (а<7<+°°) цисмида интегралланувчи (каралсин,
1-^исм, 9-боб), яъни ихтиёрий t (t^>d) учун ушбу
t
[f(x)dx
а
интеграл мавжуд булсин. Бу интеграл, каралаётган функция хамда
олинган t га боглик, булиб, тайин /(.г) учун у факат t узгарувчининг
функцияси булади:
j/(x)dx=F(Z). (16.1)
V
Натижада (16.1) муносабат билан аникланган F (/) (t 6(й,+ оо)) функ-
цияга эга буламиз.
16.1- таъриф. Агар оо да F (t) функциянинг лимити мавжуд
булса, бу лимит /(х) функциянинг [а,+оо) ораликдаги хосмас интег-
рали деб аталади ва у
j f(x)dx
а
каби белгиланади. Демак,
-J-ОС t
f f(x)dx — limF(0 = lim \f(x)dx, (16.2)
16.2- таъриф. Arap Z->4-oo да F(/) функциянинг лимити мав-
жуд булиб, у чекли булса, (16.2) хосмас интеграл якинлашувчи дейи-
197
лади, /(х) эса чексиз [0,4-00) ораликда интегралланувчи функции
деб аталади.
Агар /->4-00 Да F (t) функциянинг лимити чексиз булса, (16.2)
интеграл узоцлашувчи деб аталади.
функциянинг (—оо, а] ва (—оо, 4-оо) ораликлар буйича хосмас
интеграллари хам юкоридаги каби таърифланади.
/(л) функция (—оо, д] ораликда берилган булиб, бу ораликнинг
исталган [т, а] (—о=<т<«) кисмида интегралланувчи, яъни
а
J/(х) t/x = Ф (т)
X
интеграл мавжуд булсин.
16.3- таъриф. т->—оо да Ф(т) функциянинг лимити lim Ф(т)
Г —* — х.'
мавжуд булса, бу лимит f (х) функциянинг (—оо, о] оралицдаги хос-
мас интеграли деб аталади ва у
а
j /(л')сД
— .1
каби белгилаиади. Демак,
а а
f/(x)dx = ПтФ(т) = lim \f(x)dx (16.3)
%-+-- Т—
16.4- таъриф. Агар т ——оо да Ф(г) функциянинг лимити мав-
жуд булиб, у чекли булса, (16.3) интеграл якинлашувчи дейилади,
/(х) эса чексиз (—оо, о] ораликда интегралланувчи функция деб
аталади.
Агар т-2»—оо да Ф(т) функциянинг лимити чексиз булса, (16.3)
интеграл узоклашувчи деб аталади.
/(х) функция (—оо, 4- оо) ораликда берилган булиб, бу ораликнинг
исталган [т, /] (—оо<т</<4-°°) кисмида интегралланувчи, яъни
t
§f(x)dx — ф (т, /)
т
интеграл мавжуд булсин.
16.5- таъриф. т-> — оо, /-*4-00 да ф(т. /) функциянинг лимити
lirn ф (т, /)
мавжуд булса, бу лимит /(х) функциянинг чексиз (— оо, 4-оо) ора-
ликдаги хосмас интеграли деб аталади ва у
У /(х)4х
каби белгилаиади. Демак,
+г' \
f /(х)dx — limф(т, t) = lim f/(x)rfx (16.!)
V V V1 I-—ь. -x —
198
16.6- таъриф. Агар т->— оо, /->-}-оо да ф(т, t) функции
лимити мавжуд булиб, у чекли булса, (16.4) интеграл якинлаш
дейилади, f(x) эса чексиз (—оо, -фоо) ораликда интеграллан
функция деб аталади.
Агар т—>—оо, Z-^-4-оо да ф(т, /) функциянинг лимити чек<
булса, (16.4) интеграл узоклашувчи деб аталади.
Аник интеграл хоссасига кура ya Е R учун ;лашув-
‘ ", z
У (х) dx =\f (х) dx 4- j f (x) dx
x x a
булишини эътиборг? олсак, у хрлда ( f(x)dx нинг мавжуд булиши
а
J f(x)dx ва ) f(x)dx интегралларнинг хар бирининг алохида-алох,ида
— а
мавжуд булишидан келиб чикрди. Бинобарин, уни куйидагича хам
аниклаш мумкин булади:
4-» я 4“ х
j f(x)dx=> J /(x)dx + J f(x)dx (yoET?)
—00 —» n
16.1-эслатма. Юкррида [о, + оо) ((—сю, a]j (—оо, -ф оо)) да
берилган /(/) функциянинг хосмас интеграли тушунчаси F (t) (Ф(т),
ф(т, /) нинг /->+=», (т~*— °°, /-> + оо) да лимити мавжуд булган
доллар учун киритилди ва унинг якинлашувчи ёки узоклашувчилиги
таърифланди. Маълумки, F (t) (Ф(т), ф(т, /)) нинг /->-}-оо (т-> — оо,
оо) даги лимити мавжуд булмаган хол хам булиши мумкин. Бу
^олда биз шартли равишда /(х) нинг хосмас интеграли
4"Ср / FI 4“ 00 \
J f(x)dx | J /(x)rfx, j f(x)dx j
а \—ос —со /
узоклашувчи деб к,абул 1\иламиз
Шундай цилиб, хосмас интеграл тушунчаси аввал урганилган Ри-
ман интеграли тушунчасидан яна бир марта лимитга утиш амаали орта-
ли юзага келар экан. Кулайлик учун куйида биз купинча «хосмас ин-
теграл» дейиш урнига «интеграл» деб кетэверамиз.
М и со л л а р. 1. Ушбу
•4-сС
e~edx
6
интегрални карайлик. Таърифига кура
булиб,
t
F (/)=J e~X'ix= - е _1 ф- 1
о
109
булганлигидан эса
t
lim [>=*dx=l
булади. Демак, берилган хосмас интеграл якинлашувчи ва
e~xdx = 1.
б
2. Куйидаги
интегрални царайлик. Хосмас интеграл таърифига кура
р dx ,. ° dx ,. , L ч л
j ------= lim |-------- = lim (— arctg t) = ——
Ll-rx2 T-—J 1 -гл-® T—oo 2
булади. Демак, интеграл якинлашувчи ва
? dx________л_
Joo 1 -г X2 “ 2 ’
3. Ушбу
Н-оо
/= С — (а>0, а > 0) (16.5)
J ха
а
интегрални якинлашувчиликка текширипг. Равшанки, [а, /] (а > 0) оралиеда j (х) =
t
1 Г ^х „ .. .
=------ функция узлуксиз булрб, |------ мавжуд булади. Куйидаги \олларпи i^a-
№ ‘ ха
а
райлик;
а) а > 1 булсин. Бу холда
t
С dx 1 «1-а 1 Д-а
1 im )----= 1 im---------\t — a ) =--------------c
i->4-ooJ xa ;~»—oo 1 — cc cz — 1
a
булади. Демак, a > 1 булганда берилган интеграл якинлашувчи булиб,
булади.
б) a< 1 ва a = 1 булганда эса, мос равишда
lim ('А-= lim _L_(f1_“-a1_a) = +-»,
^-♦4-00J ха t-*—oo J _ a
a
t
lim C = lim (In / — In a) = + -x
a
булади. Демак, a < I булганда берилган интеграл узоклашувчи булади.
200
Шундай ^илиб
4-00
\ J-Lta> 0, а>0)
а
хосмас интеграл <х > 1 булганда якинлашувчи, 0 < а < 1 булганда эса узоклашув-
чи булади.
4. Ушбу
f cos xdx
О
хосмас интеграл, юкоридаги келишувимизга кура узоклашувчидир, чунки <-т>-ф-оо да
t
F (7) = j cos xdx — sin t
0
функция лимитга эга эмас.
4-эо t
Юкорида f(x)d.x хосмас интеграл F ( f) == \f(x)dx интегралнинг
а а
t-^-x-oo даги лимити сифатида таърифланди. Сунгра бу хосмас интег-
рал мавжуд (мавжуд эмас) дейилиши урнига хосмас интеграл якинла-
шувчи (узоклашувчи) дейилди. Бундай дейилишининг боиси, бир то-
мондан, хосмас интегралнинг лимитга утиш амали билан таърифланиши
булса, иккинчи томондан унинг, кагорлар билан ухшашлигидир. Маъ-
оо гг
лумки, va. катор F(n) =\ ak кисмий йигиндининг ф-оо даги
“i
лимити сифатида таърифланиб, бу
СО п
У аь = lim F(n) — lim v а.
ж к ' • «ют
fe = l П-ь+ос /’->4-аэ
лимит чекли булганда катор якинлашувчи, чексиз булганда ёки мав-
жуд булмаганда эса ^атор узоклашувчи деб аталар эди.
Биз куйида хосмас интегралларнинг турли хоссаларини урганар
эканмиз, уларни, асосан, /(х) функциянинг [о, ф-оо] оралиф буйича
+'ос а
олинган [/(x)dx интеграли учун келтирамиз. Бу хоссаларни f f(x)dx
а — оо
-г»
ёки [' f(x)dx каби хосмас интеграллар учун хам тегишлича баён этиш
— СО
мумкин. Бу ишни китобхоннинг узига хавола киламиз.
2. Якинлашувчи хосмас интегралларнинг хоссала-
ри. Риман интегралини умумлаштиришдан хосил килинган якинлашув-
чи хосмас интеграллар хам шу Риман интеграли хоссалари сингари
хоссаларга эга.
/(х) функция [а, ф-оо) ораликда берилган булсин.
Г. Агар /(х) функциянинг [a, *j-oo) оралик буйича (' /(х;Ш шь
а
201
теграли якинлашувчи булса, бу функциянинг [&, + оо) (а< Ь) оралик
4-оо
буйича J f(x)dx интеграли хам як.инлашувчи булади ва аксинча.
Бунда ь \f(x)dx~i f(x)dx+ 1 f(x)dx а а b (16.6)
булади.
Исбот. Аник интеграл хоссасига кура
$f(x)dx =*- )'/(x)dx + j f(x)dx (a < t < oo) (16.7)
a a b
булади.
+oo
f f(x)dx интеграл якинлашувчи, яъни
a
-boo f
.( f (x) dx == lim \ f(x) dx
a t—> 4~ 00 о
лимит мавжуд ва чекли булсин. Юкоридаги (16.7) .муносабатни ушбу
t t ь
J f (x) dx — \ f (x) dx—^f (x) dx
baa
куринишда ёзиб, t —> + оо да лимитга утиб куйидагини топамиз:
t t ь +=o b
lim C f(x')dx. —- lim C f (x) dx — f f (x) dx = Г / (x) dx —- Г f(x)dx.
f-^-rooJ f-»+ooJ J J
b a a a a
4*oo
Бундан эса J f(x)dx интегралнннг якинлашувчи ва
ь
-boo ~noo b
J / (x) dx = f f (x) dx — J f (x) dx,
b a a
ЯЪНИ
4-oo b H~oo
j f (x) dx = J f (x) dx -r j f (x) dx
a a b
эканлиги келиб чикади.
4-00
Худди шунга ухшаш J f(x)dx интегралнинг якинлашувчи б^лиши-
t
4-00
дан ) f(x)dx интегралнинг хам як.инлашувчи хамда (16.6) формула-
а
нинг уринли булиши курсатилади.
-ТОО 4-00
2° Агар ( f(x)dx интеграл якинлашувчи булса, у холда J cf(x)dx
а а
202
интеграл ^ам якинлашувчи булиб,
pf(.\')rfx=c f f(x)dx
а а
булади, бунда с — const.
3°. Агар yxClo, 4-оо) да /(х)>0 булса, бу функциянинг хос-
мас интеграли
J /(x)dx>0
булади.
Энди f(x) функция билан бир каторда g(x) функция хам |«, 4-оо)
ораликда берилган булсин.
4". Агар f(x)dx ва ) g(x)dx интеграллар якинлашувчи булса,
у холда j 1 f (х) ± g(x) j dx интеграл хам якинлашувчи булиб,
а
"iL ОС “Г ОС Т ОС
[ [/(х) ± g'(x) | = p(x)dx± \g(x)dx
а а а
булади.
16.1- натижа. Агар Д (х), f2(x), . . , /'я (х) функцияларнинг хар
бири [а, + оо) ораликда берилган булиб, j fk(x)dx (k= 1, 2, ... , и)
a
интеграллар якинлашувчи булса, у холда
~ГОО
f ki/iW + c2/2(x,-|- . . . +cnln(x)]dx (ck = const, k = 1, 2, . . . n)
a
интеграл хам якинлашувчи булиб,
+ ос +ос
f [Cl h Ф) + Со f2 (х) -j- . . . Н- с nfn (х) J dx =с1 С Л (х) dx +
а а
"ТОО ТОО
-гС2 j f2(x)dx+ • . . +сп j fn(x)dx булади.
а а
5°. Агар ух£[а, + оо) учун /(x)<g(x) тенгсизлик уринли
’ТОО -гос
dx ва J g (х) dx интеграллар якинлашувчи,
а а
"F ос т ос
булади.
Юкорида келтирилган 2' — 5г- хоссалар хосмас интеграл ва унинг
якинлашувчилиги таърифларидан бевосита келиб чикади.
У рта циймат х.ацидаги теорема. f(x) ва g(x) функциялар
[а, + со) ораликда берилган булсин. Шунипгдек Дх) функция шу ора-
ликда чегараланган, яъни шундай т ва М узгар.мас сонлар мавжудки,
VxC [я, 4- °° ) учун
(х) С М
бу'либ, g(x) функция эса [а, 4- ) да уз ишорасини узгартирмасин
яъни V х£[а, 4-оо ) учун кар доим §(х)>Оёки g(x) С О булсин.
6° Агар |/wg(x)dx ва f g(x)dx интеграллар якинлашувчи
а а
булса, у хрлда шундай узгармас р(тСр<А1) сон топиладики,
' 7(x)g(x)dx = p ‘ Jg(x)dx (16.8)
а а
тенглик уринли булади.
И с бот. Юкррида келтирилган g(x) функция [я, 4- оо ) ораликда
манфий булмасин: g(x) >0( V х£ [а, +«>)). У хрлда
mg (7 с / (7 s (7 < мё М
б^либ, унда эса (Риман интегралининг тегишли хоссасига кура)
t t t
т f g (x) dx C f /(x) g (x) dx < M f g (x) dx булишини топамиз. Кейипги,
a a a
тенгсизликларда 4~ °° да лимит га утсак,
m+fg(x)dx< f f (x) g (x) dx С Al [g(x)dx (16.9)
a a a
эканлиги келиб чикади.
Икки хрлни карайлик:
a) fg(x)dx = O булсин. У хрлда
+ |7(x)gWdx =0
а
б^либ, бунда р деб т < р С М тенгсизликларни каноатлант ирувчи
ихтиёрий СОННИ олиш мумкин.
б) fg(x)dx>0 булсин. Бу хрлда (16.9) тенгсизликлардан
а I
J f (х) g (х) dx
т С ^7----------С .И
j' g(x)rfx
а
булиши келиб чикади. Агар
’ j' f (х) g (х) dx
‘ (g W dx
a
204
деб олсак, унда
+ г5 + "О
J f(x) g W dx = u [ g (x) dx
a a
булади.
[a, + °o ) ораликда g(x)<0 б^лганда (16.8) формула худдн тунга
ухшаш исботланади. Бу 6°-хосса у рта киймат хакидаги теорема деб
хам юритилади.
2- §. Чегаралари чексиз хосмас интегралларнинг яцинлашувчилиги
Энди [а, Ч-оо) ораликда берилган /(х) функция f/ (x)dx хосмас
а
интегралининг яцинлашувчилиги шартини топиш билан шугуллаиамиз.
Маълумки, ( f(x)dx интегралнинг яцинлашувчилиги оо да
а
F(f) = $f(x)dx (t>a)
а
функциянинг чекли лимит га эга булиши билан таърифланар эди. Бино-
барин, [ f(x)dx интегралнинг яцинлашувчилиги шарти, /-> + оо да
а
F (t) функцияниг чекли лимитга эга булиши шартидан иборат. Биз
•функциянинг чекли лимитга эга булиши хакидаги теоремани дастлаб
монотон функция, сунг ихтиёрий функция учун келтирган эдик
Л-цисм, 4-боб. 5-§, 6-§).
Аввало [а, 4- оо ) оралицда берилган хамда Vxg [я, ф- оо) да /(х)>
> 0 булган функция хосмас интегралининг яцинлашувчилигини ифо-
далайдиган теоремани келтиргмиз.
1. М а н ф и й бу л маган функция хосмас интеграли-
нин г яцинлашувчилиги. /(х) функция [я, ф- оо) оралицда берил-
ган булиб, Vxg[a, ф-°о) да /(х)>0 булсин. Бу /(х) функцияни [я,
ф- оо) ораликнинг исталган [я, t] (а < t < ф- оо) кисмида интегралла-
нувчи деб карайлик. Унда я<71<Д2< ф- оо лар учун
F &) = .17 W dx = у f (х) dx + j' f (х) dx — F (ф) +
а а Ц
+ (7(х)с?х>^1)
булади. Демак, /с(х)>0 булганда F(/) функция усувчи булар экая.
Бинобарин, /-> ф- 00 да Б(0 цамма вацт лимитга (чекли ёки чексиз)
эга булади.
Монотон функциянинг лимити хацидаги 4.4-теоремадан (1-кисм,
4-боб, 5-§) фойдаланиб, f f(x)dx интегралнинг яцинлашувчилиги
а
шартини ифодалайдиган цуйидаги теоремага келамиз.
16.1-теорема. / (х) (f (х) > 0) функция хосмас интеграли \f(x)dx
а
205
нинг якинлашувчи булиши учун, \F(t)} нинг юкоридан чегараланган,
яъни V t С (а, + 00 ) учун
F (I) = \ f (*') dx С (С — const)
а
булиши зарур ва етарли.
Одатда бу теорема f(x) (/'(х) > 0) функция хосмас интеграли
i' f(x)dx нинг якинлишувчилик кршперийси деб аталади.
а
Яна уша теоремага асосан куйидаги иатижапн анта оламиз.
I
16.2-па тижа. Агар { F (I)} — { f(x) dx j туплам юкоридан чега-
а
ралапмаган булса, у холда (' f(x)dx хосмас интеграл узоклашувчи
а
булади.
2. Манфи н булм агаи фун кциялар хосмас интеграл-
л а р и н и т а к к о с л а щ х а к и д а теорема л ар.
16.2-теорема, /(х) ва g(x) функциялар [а, + °о) сралицда бе-
рилган булиб, V х С [а, + оо ) да
0<f(x)<g(x) (16.10)
61/лсин. У холда g(x) dx якинлашувчи булса, \ f(x)dx хам якин-
, “ °
лашувчи булади, f f(x)clx узоклашувчи булса, f g(x)dx хам узок-
а а
лашувчи булади.
Исбот. f g(x)dx интеграл якинлашувчи булсин. Унда 16.1-тео-
а
t
ремага кура {G(t)J = { |’g(x)dx ; туплам юкоридан чегараланган, яъни
а
G (t) = ( g(x) dx С С (С = const)
а
булади. (16,10) муносабатга асосан V t учун (/С(я, -т °°))
F (t) = f f (х) dx С f g (х) dx = G (/) С С
а а
бу'либ, ундан яна 16.1-теоремага кура \ f(x)dx интегралнинг якин-
а
лашувчилиги келиб чикади.
Энди ( (x)dx интеграл узоклашувчи булсин. У холда {F(/)} =
а
t
= { |'t (х) dx} юкоридан чегараланмаган булиб,
а
t t
I' /W dx < I g (x) dx
a a
206
t
тенгсизликдан эса {G (Z) = {(' g (x) dx} нинг хам юкоридан чегараланма-
а
оо
ганлигини топамиз. Демак, юкорида келтирилган натижага кура, ('g(x) dx
а
интеграл — узоклашувчи. Теорема исбот булди.
16.3-теорема.’[а, + о° ) да g(x) манфий булмаган функциялар
f (?)
берилган булсин. х-> + °° да —нисбатнинг лимити k булсин:
lim f-^=k.
-+== gW
Агар k < + оо ва |'g(x)dx интеграл якинлашувчи булса, (f(x)dx
а а
интеграл хам якинлашувчи булади. Агар /г > О ва j' g(x)dx интег-
а
рал узоклашувчи булса, f f(x)dx интеграл узоклашувчи булади.
а
4~со t t>
Исбот. j g(x)dx интеграл якинлашувчи булиб, °° бул-
'а
син. Лимит таърифига кура, Vk>0 олинганда хам, шундай 70(/0>а)
топиладики, барча х > t0 учун
|Ж1
lg(x) I
< е,
яъни
(k — e)g(x)</(x) < (k + e)g(x) (16.11)
бх'лади.
-j- cc T” oo
Шартга кура |'g(x)dx интеграл якинлашувчи. У х.олда J (kA-
а а
+ e)g(x)dx интеграл хам якинлашувчи булади. (16.11] тенгсизликни
оо
эътиборга олиб, су’нг 16.2-теоремадан фойдаланиб, |’/(х)dx интеграл-
а
пинг я^инлашувчилигини топамиз.
-j- 'О
Энди g (х) dx интеграл узоклашувчи бу'либ, k > 0 булсин. Агар
а
k > ky > 0 тенгсизликни каноатлантирувчи kr сон олинса хам, шундай
1'0 (1'0 > а) топиладики, барча х > t’n учун
g W
булади. Демак, х>/'0 да
R1
207
булиб, ундан 16.2-теоремага асосан f /(x)dx интегралнинг узокла-
а
шувчилиги келиб чикади. Теорема тулик исбот булди.
16.3-натижа. 16.3-теорема шартларида агар б</?<+ ос булса,
у хрлда [ f(x)dx ва f g(x)dx интеграллар бир вактда ёки яцинла-
а а
шувчи, ёки узоклашувчи булади.
Одатда, бирор (мураккаброк) хосмас интегралнинг яцинлашувчилиги
хзцида аввалдан яцинлашувчилиги ёки узоклашувчилиги маълум бул-
ган хосмас интеграл билан солиштириб хулоса чикарилади. Хусусан,
текширилаётган [ f(x)dx (/с(х) >0)) интегрални f — (а>0, а>0,
а а *
царалсин, (16.5)) интеграл билан солиштириб куйидаги аломатларни
хрсил циламиз.
1Э. Агар х нинг етарли катта кийматларида (х>х0>а)
булса, у хрлда V х > ха учун <р (х) С с < + °° ва а >
4-^
С Дх) dx интеграл яцинлашувчи, ср (х) > с > 0 ва ос < I
а
4-ос
f f(x)dx интеграл узоклашувчи булади.
а
Исбот. Аргумент х нинг етарли катта кийматларида
1 булганда
булганда
Дх)=^ (х>х0)
X
булиб, ср(х)<с< + оо ва а> 1 булсин. У хрлда
v dx
булиб, ос>1 да [— интегралнинг якинлашувчилигига хамда 16.2-
а *+-
теоремага асосланиб, [ /(x)dx интегралнинг яцинлашувчи булишини
а
топамиз.
Ч-о? J
Агар ср (х) > с > 0 ва а < 1 булса, унда С интегралнинг
(2 X
узоцлашувчилигини эътиборга олиб, яна 16.2-теоремага кура ' \ f(x)dx
а
интегралнинг узоклашувчилигини топамиз. Г - аломат исбот булди.
2Э. Агар х->4- оо да /(х) функция — га нисбэтан а(а > 0) тар-
4--v.
тибли чексиз кичик булса, у хрлда f f(x)dx интеграл а> 1 булган-
а
да якинлашувчи, а С 1 булганда эса узоклашувчи булади.
208
Бу аломатнинг тугрилиги юкррида келтирилган 16.2- теоремадан
ундаги g(x) функцияни деб олинишидан келиб чикади.
Ми со л лар. 1. Ушбу
-fee
(' e~xl dx
о
интегрални ^арайлик. Равшанки, ихтиёрий х > 1
булади. Агар +? ё~х2 dx = [ е~х" dx + +]' е~хг dx хамда ' f интегралниннг
0 0 1 "1 х2
яцинлашувчилигини эътиборга олсак, унда 1е - аломатга кура берилган интегралнинг
якинлашувчи эканини топамиз.
2. Цуйидаги
4-°° .
[• dx
J х2 X
интегрални ^арайлик. Бу интеграл остидаги функция учун
1
ху х2+ X
б^либ, ю^орида келтирилган аломатга кура берилган интеграл якинлашувчи булади.
3. Ихтиёрий функция хосмас интегралнинг я к и н л а-
шувчилиги. Биз [а, 4- °°) ораликда берилган f(x) функциянинг
+с°
шу оралиц буйича олинган f f(x)dx хосмас интегралини
а
F (t) = f / (х) dx
а
функция /->4-оо да чекли лимитга эга булган хрлда якинлашувчи
деб атадик. Демак, J f(x)dx хосмас интегралнинг яцинлашувчилиги
а
тушунчаси, биз аввал Урганган тушунча — функциянинг чекли лимити
орцали ифодаланди. Бинобарин, бу интегралнинг яцинлашувчилик шар-
ти F (t) функциянинг /->• 4- оо даги чекли лимити мавжуд булиши
шартидан иборат булади.
Мазкур курснинг 1-кисм, 4-боб, 6-§ ида келтирилган теоремадан
(Коши теоремасидан) фойдаланиб, куйидаги теоремага келамиз.
16.4-те орем а (Коши теоремаси). куйидаги хосмас интеграл
]' /(x)dx
а
14-501
208
нинг якинлашувчи булиши учун, Ve>0 сон олинганда хам, шундай
t0 (tn > а) сони топилиб, t' > tn, Г > t0 бдлган ихтиёрий t', t" лар
учун
\F(t")-F(t')\ = |7(x)dx|<s
и
тенгсизликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Бу теорема назарий ахамиятга эга булган мухим теорема булиб.
ундан хосмас интегралларнинг якинлашувчилигини аниклашда фойда-
ланиш кийин булади (аввалги Коши критерийлари сингари).
16.5-те о рем а. Агар ' [ |/(x)|dx интеграл якинлашувчи булса,
а
у холда [ f(x)dx интеграл \ам якинлашувчи бйлади.
а
Исбот. Шартга кура \\f(x)\dx интеграл якинлашувчи. 16.4-
а
теоремага асосан, Ve>0 олинганда хам, шундай t0(tn > а) топилади
ки, /'>/(,, t" > f) булганда f | / (х) [ dx. < в тенгсизлик бажариладн.
?
Аммо
| i /(x)dx| С ||/(х)Мх
Г г
тенгсизлнкни эътиборга олсак, у холда
| \ Дх) dx | < в
г
булишини топамиз.
Шундай килиб, Ve>0 сон олинганда хам, шундай /(|(/0>о) то-
пиладики, /" > t' > tu булганда
| (' / (х) dx | < 8
булади. Бупдан 16.4-теоремага асосан f f (х) dx интегралнинг якинла-
а
шувчилигини топамиз. Теорема исбот б<лди.
16.2- эслатма. <,'\f(x)dx интегралнннг узоклашувчи булишидан
а
+ 00
f(x)dx интегралнинг узоклашувчи булиши хар доим келиб чи^авер-
а
_!_со
майди, яъни баъзи функциялар учун \\f(x)\dx узоклашувчи, [ f(x)dx
а а
эса якинлашувчи булади.
Масалан, ушбу
210
интеграл якинлашувчи, аммо
эса узо^лашувчидир.
со
16.7- т аъри ф. Агар (|/(.г)|Дг интеграл якинлашувчи булса,
а
у х.олда f(x)dx абсолют якиилаии/вчи интеграл деб аталади, /(х)
а
функция яса [а, -г =») ораликда абсолют интегралланувчи функция
дейилади,
16.8- таъриф. Агар j f(x)dx интеграл якинлашувчи булиб,
а
। ]f(x)\dx интеграл узоклашувчи булса, у холда f f(x)dx шартли
'а а
якинлашувчи интеграл дейилади.
Шундай килиб, ( f(x)dx хосмас интегрални якинлашувчиликка
а
текшириш куйидаги тартибда олиб борилиши мумкин:
Vxg[a, 4- оо) да /(х)>0 булсин. Бу холда '\f(x)dx интеграл-
а
нинг якинлашувчи (узоклашувчи) лигини 2-§ да келтирилган аломат-
лардан фойдаланиб топиш мумкин. Бощка холларда f(x) функциянинг
“ОО
|/(х)| абсолют кийматининг [rz, + ) оралик буйича | \f(x)dx интег-
d
ралини караймиз. Равшанки, кейинги интегралга нисбатан яна 2-§ даги
4- ОО
аломатларни куллаш мумкин. Агар бирор аломатга кура | | f(x)dx ин-
а
тегралнинг якинлашувчилиги топилса, унда 16-5-теоремага к^ра бе-
рилган f /(х) dx интегралнинг хам ядинлашувчилиги (хатто абсолют
а
ядинлашувчилиги) топилган булади.
Агар бирор аломатга кура j' |/(x)dx интегралнинг узоклашувчи-
а
лигини аникласак, айтиш мумкинки, Г f(x)dx ёки узоклашувчи бу-
а
лади, ёки шартли якинлашувчи булади ва буни аниклаш к.ушимча
тахлил цилишни талаб этади.
Пировардида, хосмас интегралларнинг якинлашувчилигини аниклаш-
да куп кулланадиган аломатлардан бирини келтирамиз.
16.6-теорема (Дирихле а л ома т и), /(х) еа g(x) функциялар
[ а, -г ос) оралицда берилган булиб, улар куйидаги шартларни ба-
жарсин;
211
куринишда берилсин. 1-цисм, З-боб, 4-§ да исботланганга кура бу р (х, у) учун
1° — 3°-шартлар бажарилади. Демак, р—масофа, (с, р) — метрик фазо.
5. т — барча чегараланган кетма- кетликлар (сонлар кетма- кетликлари) туплами
булсин. р акслантириш 4- мисолдагидек куйидагича берилсин:
р (х, у) = sup | хп — уп I (х = (х1т х2...хп, . . .) е т,
п
У = (У1> У2> • • Уп> • • •)€«)•
Бу акслантириш учун 1° — 3°-шартларнинг бажарилишини курсатиш кийин эмас.
Аввало р (х, у) 0 булиши равшандир. Агар р (х, у) = sup | xn — yn I = ° булса,
п
ундан V учун хп — уп, яъни х—у булиши келиб чикади. Аксинча, агар
х = у, яъни V n 6 .V учун хп — уп булса, ундан р (х, у) = sup | х — уп | — О экани
п
келиб чикади.
Иккинчидан р (х,у) = р (у, х), чунки р (х, у) = sup | xn — yn j = sup [ уп — х п |=
п п
= р (у, х). Энди X = (х1; х2, • . • , Х„, . . .) е т, у=(ух, уг.у„, . . .) 6 т ва г=
= (г2. г2, . . .) С т булсин. Абсолют киймат хоссасига кура
I xn ~n I । хп Уп I ~t~ I Уп гл । (я 6 'V)
булади. Бундан эса
I хп ~ гп К 5UP I хп - Уп I + SUP I Уп ~ гп ।
п п
эканлиги келиб читали. Аниц Ю!\ори чегара хоссасига кура
sup | х„ - I < sup |х„ - уп I + sup I уп — Zn |
п п п
булади. Бундан,
Р («, г) с Р (X, у) + р (у, г).
Демак, р —масофа, (т, р) —метрик фазо.
(Е, р) метрик фазо берилган. Ej туплам Е нинг кием туплами, яъни Ех^ Е
булсин. У .холда Ех хам Е да киритилган метрика буйича метрик фазо булади:
(Ё1( р). Бу метрик фазо таърифидан келиб чикади. Мисол келтирамиз. Равшанки,
барча рационал соилар туплами Q барча хакикий сонлар туплами R нинг цисм туп-
лами: <2с=Д. (R, р) метрик фазо эди. ((?', р)'хам R да киритилган метрика буйича
метрик фазо булади.
У^увчининг эътиборини яна битта фактга жалб этамиз. Агар F туплам берилган
булиб, р :F X F_ акслантиришлар турлича киритилиб, уларнинг хар бири Г—3°-
шартларни бажарса, натижада турли метрик фазолар хрсил булади. Мисол карайлик. „
Биз юкорида С [а, Ь] туплам бернлганда ушбу
р (х, у) = max |х (() —у W (х (/), У (ОСС [а, £>])
a-it-ib
акслантиришни аницлаб, унинг Iе—3°-шартларни бажаришини курсатдик ва нати-
жада (С [а. 6], р) метрик фазога эга булдик.
Энди худди шу С [а, Ь\ туплам берилгаида pj акслантиришни куйидагича аник-
лаймиз:
Pi (•«- У)= у / [* (0—*/(012 Л- (15'2)
а г
Бу Pi (х, у) нинг 1г — 3°-шартларни бажаришини курсатамиз.
(15.2) муносабатдан хар доим р2 (х, у) > 0 экани куринади. Агар t £ [о, д] да
х W = у (F) булса, ундан'
У‘ ь
[ [х (() — у (Z)? dt = О
а
булиши келиб чикади. Аксинча, агар
188
Pl (x, У) = 1/ J [X (0 — IJ (012 dt = 0
' a
булса, ундан V t £ [о, b] учун x (t) - у (Z) булиши келиб чикади. Шуни исботлай-
миз.
Тескарисини фараз цилайлик. Бирор tn (10£(а, Ь)) нуцтада х (ta)^y(t0),
яъни, масалан, х (tB) — у (Z0)>0 булсин. У \олда узлуксиз функциянинг локал хос-
сасига кура (каралсин, 1-^исм, 5-боб, 7-§) tB ну^танинг етарлича кичик (ta}
атрофи (U6(tB)t=[a, b]) топиладики, ¥t£U6(t0) учун х (t) — y(t)>0 булади.
У долда
[ [х (Z) - у (Z)]« dt > 0
а
булиб, бу pi (х, у) == 0 деб олинишига зид булиб ^олади. Демак, V / С [а; Ь] учун
х (t) = у (t) булади.
Иккинчидан, рх (х, у) = рх (у, х) булади, чунки
лр>-------------------- ------------------------
Pi (X, i/)= |/ [ [х (/)-(/ (t)pdt = l/ f [у (/)-х(/)]М/ = Р1 (;/, X).
' a * а
' Коши — Буняковский тенгсизлиги
b b ь
[Г / (Z) g (!) d02<j !* (0 dt f g2 (Z) dt
a ‘a a
дан (царалсип, l-кием. 9-боб, 7-§) фойдаланиб ^уйидагини топамиз:
b ь ь ь
J [/ (0 + g W2 dt - f Г- (Z) dt + 2$ [ (t) g (Z) dt + f (0 dz<
a a 'a 'a
b / b b b
) /2 (P dt + 2 1/ С /2 (/) dt J g2 (t) dt + f g2 (() dt =
'a " a a a
Демак, __________________
1 • -I /,r 1 /r"
I I [/ (0 + g (OP I I /2 (0 dt + |/ J g2 (/) dt
булади. Бу тенгсизликда
f (0 = x (0 - ' {(), g (t) = г (1) - у (l) (г (Z) e C [o; *])
деб олинса, у ^олда
b 1 /~ b
С [х (Z)- у (Z)]2 dt С I/ f [x (Z)- г (Z)? dt 4-
2 a
!~b
+ У (Z)-y (Z)]2 dt,
яъни
Pl (x, 0)<P1> (X, г)4-Рх (г. у)
булиши келиб чикади.
189
V х £ | — с, с] учун хар доим | an xn [ с | an | cn булади. Натижада,
ушбу
S |Й,Х| = l«o|+iaiX| + |fi2x2|+ • • • +lanX"i + • • •
n=0
каторнинг хар бир хади (14.37) ^аторнинг мос хадидаи катта эмасли-
гини топамиз. У холда Вейершграсс аломатига кура V, апхп даража-
п=0
ли катор [—с, с] сегмент да текис якинлашувчи булади. Теорема ис-
бот булди.
4/ 14.7-эслатма. Бу хоссадаги с(с>0) сонни (14.27) даражали
каторнинг яцинлашиш радиуси г га хар ^анча я^ин килиб олиш мум-
кин. Аммо, умуман айтганда, (14.27) даражали катор (—г, г) да те-
кис якинлашувчи булавермайди.
Масалан, ушбу
v хп = 1 + х 4- х2 4- ... 4- хп 4- ...
п=0
даражали катор (—1, 4-1) ораликда якинлашувчи (г — 1), аммо у
( — 1, 4- 1) да текис якинлашувчи эмас (134-бетга каралсин).
эо
14.18- теорем а. Агар V апх даражали каторнинг я^инлашиш
п=0
оо п
радиуси г > 0 булса, у холда бу цаторнинг S (.г) = V ап х Hufuh-
п=0
диси (—г, г) ораликда узлуксиз функция булади.
Исбот. (14.27) даражали каторнинг якинлашиш интервали (—г, г)
дан ихтиёрий х0(х0 £( — г, г)) нукдани оламиз. Равшанки, |х0[<г бу-
лади. Ушбу |хп[<с<г тенгсизликларни цаноатлантирувчи с сонини
олайлик. (14.27) даражали катор юкорида келтирилган 14.17-теорема-
га кура [—с, с] да текис якинлашувчи булади. Унда ушбу бобкинС'
3-§ идаги 14.6-теоремага асосан, берилган (14.27) даражали катор-
нинг йигиндиси S(x) функция [—с, с] да, ва демак, х„ нукдада уз-
луксиз булади. Демак, (14.27) каторнинг йигиндиси S(x) функция
( —г, г) интервалда узлуксиздир. Теорема исбот булди.
ОО
14.19- теорема (Абель теоремаси). Агар V, апх даражали
п=0
каторнинг яцинлашиш радиуси г > 0 булиб, бу цатор х — г (х —
=—г) нуцтада якинлашувчи булса, у холда (14.27) каторнинг йи-
ОО
гиндиси S (х) = V апх функция, шу х — г (х = —г) нуктада чап-
л=0
дан (Унгдан) узлуксиз булади.
Исбот. Берилган (14.27) даражали катор
V] ап хп = а0 + а,х 4- ап х' 4* ... 4- ап хп 4- ...
п=0
166
х == г нуктада якинлашувчи булсин. Демак, ушбу
У апгп = ай + ахг -^-а^ 4- . . . 4- апгп 4- . . . (14 .38)
п=0
сонли катор якинлашувчи. Унинг йигиндисини S(r) билан белгилайлик:
S (г) = У ап гп . Биз lim S (.г) = S (г), яъни lim [S (х) — S (г)] = О
х->г—О х->г—О
булишини исботлашимиз керак.
Агар х — tr (0</< 1) деб олинса, унда /-> 1 —0 булиб,
lim ]S (х)— S (г)] = lim [S (/г) — S (г)] = lim У (a „гп tn — ап гп )
Ж-+Г-0 #-»1-0 Г-»1-0
п=0
булади.
Шартга кура (14.38) катор якинлашувчи. У колда 1-кисм, 11-боб,
4-§ да келтирилган теоремага асосан, V е>0 олинганда кам, — га
к^ра шундай n!t Q N топиладики, барча п >п0 ва р = 1, 2, 3, ... да
1«п+1^+, + «п+2^+3+ • • • +«П+Р^К у (М.39)
булади. Бу тенгсизликда то да лимитга утиб куйидагини топамиз:
|a,>+i'",+1 + ‘Wn+2+ • • • l<f-
Энди куйидаги
2 anrnin =ай + ахП + а2гЧ2 + . . . + anrnt" + . . . (0<7< 1)
л=0
(14.40)
цаторни караймиз. Бу катор V (0,1) да якинлашувчи булади. Ха-
Кикатан кам,
«л+/п+1^+1 + ол+2<п+2^+2 + • • • +an+prn+P tn+p =
= [ал+1 гп+1 + а №+...+ а г"+р ] Р+р -
р-1
- 2 ^„+1 + «п+2 +•••+«/.+ / ГП+!') (^+1+Z - Ml
i = i
булишини ва юкоридаги (14.39) тенгсизликни эътиборга олиб куйида-
гини топамиз:
\an+}r^t^ + an+2rn+2t^+ . . . +an^pr^Ptn+P\C
p-i
< 1 /п+р 4- ± г V <tn+i _ fn+i+l = Д /п+1 < £
3 з^’ 3 ^3
Бу эса (14.40) каторнинг якинлашувчилигини, яьни Vs>0 олинган-
да кам, шундай n'Q Q N топиладики, барча п > п'й ва р = 1, 2, . . .
лар учун
\an+xrn+4n+x + an+2rn+2tn+2+ . . . +an+prn+Ptn+P\<_^ (14.41)
167
булишини курсатадн. Бу тенгсизликда <х> да лимитга утиб, куйи-
дагини топамиз:
I «п+1тл+1 + ап+2гП+2 tn+<1 + • • • I < —• (14.42)
Агар n0 == max {гс0, п0} деб олинса, унда га > п0 булганда (14.41) ва
(14.42) тенгсизликлар бир йула бажарилади.
Барча п > п0 учун
ОО п
|Stfr)-S(r)| = |V(ranr"Z"-ranr")|<|V akr*^ -1)| +
n—! k=l
+ I ап+1 rn~l tn+1 + ап+2 гп+2 1п+2 4- . . . | +1 а „+2 гп+1 + йп+1 гп+2 +
п
булади.
Равшанки, /->• 1 — 0 да tk — 1 0 (fe = 1 , 2.га).
Шу сабабли
п
|V v^-l)|<|
ЛИ! о
fe=l
деб олиш мумкин.
Натижада
1ЭД-S(r)|<s
булади. Бу эса
lim S (tr) — S (г), яъни lim S(x) — S (г)
/-♦1—0 x->r—0
булишини билдиради. Демак, (14.27) даражали ^аторнинг йигиндиси
S (.г) функция х = г да чапдан узлуксиз.
Худди шунга ухшаш (14.27) даражали катор х = —г да якинла-
шувчи булса, каторнинг йигиндиси — г нуктада унгдан узлуксиз бу-
лиши курсатилади. Теорема исбот булди.
00
14.20- теорема. Агар ^апхп даражали цаторнинг щинлашииГ
п=0
радиуси. г (г>0) булса, бу каторни [а, Ь] ([а, 4] ст (—г, г)) оралик-
да хадлаб интеграллаш. мумкин.
Йсбот. Шундай с (0<с<г) топа оламизки, [a. b] ~ [—с, с] ст
cz (—г, г) булади. Берилган даражали катор [— с, с] да текис якин-
лашувчи булади. Демак, [а, Ь] да (14.27) даражали катор текис якин-
лашувчи. Унда (14.27) каторнинг йигиндиси
00
S (х) = V апхп =а0 + а{х + а2х2 4- . . . +апхп 4- . . •
п=0
узлуксиз булиб, ушбу бобнинг 5-§ да келтирилган теоремага кура бу
Каторни хадлаб интеграллаш мумкин.
Ь Ь оо 00 Ь ОО
f S (х) dx = 1 V а .V» dx = V a I xn dx = V а„ ———4—
\ п п J м п п 1
а а гг=О п=0 а п=0
Теорема исбот булди.
1G8
Хусусан, а = О, b = х (| х| < г) булганда
S (х) dx V хп-1 = а., х + х2 + ... + хп +
П -Г 1 2 п
булади. Бу ^аторнинг як.инлашиш радиуси хам г га тенг. ХаКиКатан
Кам, Коши—Адамар теоремасидан фойдаланиб куйидагини топамиз:
lim ]/
П—>оо
I = 1 im „ _ДД— = 1 im У\ ап \ ' Игл
лл П—ъпп
==lim п/\ап\ =г.
п -*'Х>
14.21- теорема Уа„.г" даражали каторнинг я^инлачшш ра-
п^П
диуси г булса, (—г, г) да бу цагпарнм хадлаб диффергнциаллаш.
мумкин.
Исбот. Аввало берилган (14.27) даражали кзтор хадларининг хо-
силаларидан тузилган ушбу
V папхп~х = at + 2а.2х -г За3х2 4- ... 4- папх^~х + . . . (14.43)
цаторнинг | х01 < г тенгсизлнкни каноатлантирувчн ихтиёрий нуктада
якинлашувчи булишини курсатамиз. 1\уйидаги |ха1<с<г тенгсиз-
]
ликларни каноатлантирувчн с сонни олайлик. Унда — |х9| =(/<! бу-
либ,
| | --^nqn-1- -\апсп\
бу'лади. Равшанки, V п qn~x (<7<1)
П--1
Катор якинлашувчи (уни Даламбер ало.матига кура курсатиш кийин
эмас). Унда
lim п qn~x = О
булади. Демак, п нинг бирор /г0 кийматидан бошлаб, (/г>л0 учун)
nqn~l<Zc булиб, натижада V л>/г0 учун ушбу
I!г ап I <’1 ап сп I
(14.44)
тенгсизликка келамиз.
сС(—г, г) булганлиги сабабли V ап сп катор абсолют якинлашувчи.
. п-0
Унда (14.44) муносабатни хисобга олиб, Вейерштрасс аломатидан фой-
169
co
даланиб, '^папхп~} каторнинг (—г, г) да якинлашувчи булишини
л=0
топамиз. Демак, бу цатор I—с, с] да текис якинлашувчи булади.
Шундай цилиб, берилган (14.27) даражали катоР кадларининг хр-
силаларидан тузилган (14.43) катор текис якинлашувчи. У колда уш-
бу бобнинг 6-§ да келтирилган 14.12-теоремага кура
(2 апхП y = 2xn )Z = 2п апХП~х
п—0 п=0 п=0
булади.
Шуни кам айтиш керакки, (14.27) ва (14.43) каторларнинг якин-
лашиш радиуслари бир хил булади. Хдкикатан хам, Коши — Адамар
теоремасидан фойдаланиб куйидагини топамиз:
lim т/ п |а | = lim (i/"z2 г/"|а ) = lim i/~n - lim i/”|aJ.
Демак, _________________
lim у n|a_|= lim yla [.
n-»x n-»°°
Бу хоссадан куйидаги натижа келиб чикади.
14.2-н ат ижа. Агар (14.27) даражали каторнинг як.инлашиш ра-
диуси г булса, бу каторни (—г, г) да исталган марта дифференциал-
лаш мумкин. Шундай килиб, як.инлашиш радиуси г > 0 булган V. апхп
Л=0
даражали катоРни кадлаб интеграллаш ва кадлаб (исталган марта)
дифференциаллаш мумкин ва к°сил булган даражали каторларнинг
якинлашиш радиуси хам г га тенг булади.
14.9-таъриф. Агар /(х) функция (—г, г) да якинлашувчи дара-
жали каторнинг йигиндиси булса, / (х) функция (—г, г) да аналитик
деб аталади.
14.22-т еорем а. Иккита
2 аохП =а0 + а1х + а2х2 + . . . +апхп + . . . (14.27)
п=0
ва
V bnxn = bQ + ftjX + М2+ . . . 4- bnxn + . . . (14.45)
п=0
даражали каторлар берилган булиб, (14.27) даражали каторнинг
якинлашиш радиуси г1 > 0, йигиндиси эса (х), (14.45) даражали
каторнинг я^инлашиис радиуси г2 > 0, йигиндиси S2 (х) булсин.
Агар V х £ (—г, г) (г = min (гх, г2)) да
S1(x) = S2(x) (14.46)
булса, у хрлда у n Q N учун
П IV
яъни (14.27) ва (14.45) даражали каторлар бир хил булади.
170
Исбот. Равшанки, (14.27) ва (14.45) даражали цаторлар (—г, г)
да якинлашувчи ва уларнинг йигиндилари (х) ва S2 (х) функциялар
iiiv интервалда узлуксиз булади. Демак,
lim (х) — S, (0), lim S2 (х) = S, (0).
х-»0 ' х->0
Юкрридаги (14.46) шартга кура SL (0) — S2 (0) булади. Бундан эса
а0 — Ьд эканлиги келиб чикади. Бинобарин, V xQ (—г,'г) учун
ср Х
V апхп = V Ьп хп . Агар х=/=0 десак, бу тепгликдан барча х £ —
п^1 п=1
— г, 0) U (0, г) учун
оо х
V а„хп~' = v b„ х"-1
П=1 П=1
га эга буламиз. Бу даражали каторларнинг \ар бири хам ( — г, г) да
якинлашувчи булади, ва демак, уларнинг йигиндилари шу интервалда
узлуксиз функция булади. Шу хусусиятдан фойдалансак, х->0 да
hm V ах'1-1 = «,, lim V b„xn-1 = Ь,
i+n п 1 Х-»П п 1
п=1 л=1
булишини, ва демак, aL — bt эканлигини топамиз. Бу жараённи давом
эттира бориб, барча п Q N учун ап — Ьп булиши топилади. Демак,
(14.27) ва (14.45) даражали каторлар бир хил. Теорема исбот булди.
(— г, г) (г > 0) ораликда f (х) функция берилган ва узлуксиз бул-
син. Юкоридаги теорема, f (х) ни даражали катор йигиндиси сифатида
ифодалай оладиган булсак, бундай ифодалаш ягона булишини билди-
ради.
9-§. Тейлор цатори
Биз юкррида, хар кандай даражали
V ап хп = ап + ах х 4- а2 х2 + . . . + ап хп . . .
п=0
Катор узининг якрнлашиш интервали (--г, г) да узлуксиз S (х) функ-
цияни (даражали катор йи-индисини) ифодалаб, бу функция шу ора-
ликда исталган тартибдаги хрсилага эга булишини курдик.
Энди бирор ораликда исталган тартибдаги хрсилага эга булган
функцияни даражали каторга ёйиш масаласини караймиз.
1. Функциялар ни Тейлор катор и га ёйиш. f (х) функция
х — х0 нуктанинг бирор
Ub (х0) = {х G /?: х0 — 6 < х < х0 + 6}
атрофида берилган булиб, шу атрофда функция исталган тартибдаги
хрсилага эга булсин. Равшанки, бу хрлда функциянинг 1-кием, 6-боб,
7-§ да батафсил урганилган Тейлор формуласи
f (X) = f (ХО) + (X - Хй) + (X - х(,)2 + . . . +
I г >
+ (X - х(,)п + Гп (X)
п!
ни ёзиш мумкин, бунда гп (х) — колдик, хад.
171
I
Берилган f (х) функциянинг х0 нуктада исталган тартибдаги хрси-
лага эга булиши Тейлор формуласидаги хадларнинг сонини хар канча
катта сонда олиш имконини беради. Бинобарин, табиий равишда ушбу
/W 4- ^(х-х0)+ ...+
4- fW,(XgL (Х-ХО)"+ (14.47)
п!
катор юзага келади. Бу махсус даражали катор булиб, унинг коэф-
фициентлари f (х) функция ва унинг хрсилаларининг х0 нуктадаги кий-
матлари орцали ифодаланган.
Одатда (14.47) даражали кртор / (х) функциянинг Тейлор цатори
деб аталади.
Хусусан, х0 = 0 да катор цуйидагича булади:
/(0) + H2Lx4-O2)x2 4- . .
Р^х"
п!
(14.48)
Даражали крторлар деб номланган 8- § нинг бошланишида V ап хп
п—0
куринишдаги даражали каторларни урганишни келишиб олинган эди.
Шуни эътиборга олиб, f (х) функциянинг (14.48) куринишдаги Тейлор
цаторини урганамиз.
Яна бир бор таъкидлаймизки, (14.47) катор f (х) функция билан
узининг коэффициентлари оркали богланган булиб, бу (14.47) катор
якинлашувчи буладими, якинлашувчи булган холда унинг йигиндиси
/(х) га тенг буладими, бундан катъи назар, уни f (х) функциянинг
Тейлор катори деб атадик.
Табиий равишда куйидаги савол тугилади: цачон бирор t/g(O) ора-
лицда берилган, исталган тартибдаги хосилага эга булган /(х) функ-
циянинг Тейлор катори
/^>х» = /(0)+т1+сц> х=+...,» + ...
п! 1! 2! п!
п=0
шу ораликда худди шу / (х) га якинлашади?
14.23-теорема. / (х) функция бирор (— г, г) (г > 0) ораликда
исталган тартибдаги хосилага эга булиб, унинг х = 0 нуцтадаги
Тейлор катори
f (0) 4- — х + 2М х2 + . . . + 'J хп 4- . . . (14.48)
1! 2! п!
булсин.
Бу катор (— г, г) ораликда f (х) га якинлашиши учун f (х) функ-
ция Тейлор формуласи
/(х) = /(0) + ^х + 4^х2+ . . . 4- 2^ хп + гп (х) (14.49)
1! 2! п\
нинг цолдик уади барча х £ (—г, г) да нолга интилшии (Нт гп (х) —
п-^х
= 0) зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. Аввало (14.48) цаторнинг козффициентла-
172
ри билан (14.49) Тейлор формуласидаги коэффипиентларнинг бир хил
эканлигини таъкидлаймиз.
(14.48) цатор якинлашувчи булиб, унинг йигиндиси f(x) га тенг
булсин. У холда бу цаторнинг цисмий йигиндиси
учун
lim Sn (х) = f (х) (V х С (— г, г))
П—>'»
булади. Ундан эса V х С (—г, г) учун
lim f/ (х) — Sa (х)1 = lim гп (х) = О
П,~+х> П-ул
булиши келиб чикади.
Етарлилиги. V х G (— г, г) да lim г (х) = 0 булсин. У холда
П—>00
lim [f (х) — S (х)| = 0 булиб, ундан эса
п-*
lim Sn (x)=f(x)
П-+х>
булиши келиб чицади. Бу эса (14.48) катор (—г, г) да якинлашувчи
булиб, унинг йигиндиси / (х) га тенг булишини, яъни
ШЧ(0Нфх + ^’хЧ ... +-^х'’+ ... (*)
1! 21 п!
эканлигини билдиради. Теорема исбот булди.
Одатда (*) муносабат Гринли булса, / (х) функция Тейлор катори-
га ёйилган деб аталади.
14.24- теорема. Агар / (х) функция (—г, г) (г > 0) оралицда да-
ражали каторга ёйилган б$лса:
f (х) = а0 4- аре 4- а.2х2 + + апхп+ .... (14.50)
бу катор f(x) функциянинг Тейлор цатори булади.
Исбот. 14.21-теорема ва унинг натижасига кура (14.50) даража-
ли катор (—г, г) ораликда исталган марта (хадлаб) дифференциалла-
нувчи булиб,
/' (х) == 1 -ал 4- 2а2х + За3х2 4- . . . + п ап хп~1 + . . .
f (х) = 1 • 2 а2 4- 2 • За3х 4- . 4- п • (п — 1) ап хп~- 4- . . .
(х) — 1-2-3'Я34- . . . 4-п(п—1)(п —2)<7пхл-34- . . .
/<п>(х) = 1-2-3 . . . (п - 1) пап 4- .. .,
булади. Кейинги тенгликларда х = 0 деб цуйидагиларни топамиз:
„-ИМ а - a а - f" п -
«0-/(0). «1--—, «2----3~~ -ап-—~'---
173
1
1
Натижада (14.50) к.аторнинг куриниши куйидагича булади:
;W(Q)
п\
хп 4-
Бу эса теоремани исботлайди.
Мисол. Ушбу
f w =
_ _1_
е х‘ , агар х 0 булса,
0, агар х = 0 б^лса
функцияни царайлик. Бу функция (— оо, + оо; да
эга:
а) х 0 булганда
барча тартибдаги хрситаларга
Г (х) = 4 е
х3
1
---- е
4х6 )
_ i
х>,
I
бунда Р (и)—и нинг рационал функцияси. Бу
= е х’ (n= j, 2, . , ,
муносабатнинг тутрилиги математик индукция методи ёрдамида курсатилади,
б) х = 0 булсин. Берилган функция х 0 нуцтада барча тартибдаги зрсилялар-
га эга бу'либ, улар нолга тенг булади:
/(п) (0) = 0 (n = 1, 2, . . . ).
\ацикатан хам,
Г (0) = lim —''Y) ~ f (0) = lim - • е х* = О, /'(О)-О,
х-»0 х х->о х
}” (0) = lim ——-----—— = lim — • f (x'i —- lim — e x* 0, /" (0) = 0,
x->0 X x-,0 X X +0 x x«
..и,, lP(Lvt«
x-»0 X x-»o X \ X )
H
j I
i
Умумий холда, fw (0) = 0 (n = 1, 2, . . ,) булишини математик индукция методи
ёрдамида курсатиш мумкин.
174
Демак, берилган функциянинг х = О нуцтадаги барча тартибдаги ^осилалари
нолга тенг экан.
Бу функциянинг х = 0 нуцтадаги Тейлор катори
0 0 О
0+7Гд:+2Гд:г+--- + ^х,,+ "-
булиб, унинг йигиндиси 0 га тенг.
Келтирилган мисолдан куринадики, бирор ораликда исталган тар-
тибдаги хосилага эга булган баъзи функцияларнинг Тейлор кртори шу
ораликда каралаётган функцияга якинлашмаслиги мумкин экан.
Куйида функциянинг Тейлор каторига ёйилишининг етарли шарти-
ни ифодаловчи теоремани келтирамиз.
14.25- теорема, /(х) функция бирор (—г, г) ораликда исталган
тартибдаги хосилага эга булсин. Агар шундай узгармас Л4>0 сони
мавжуд булсаки, барча х£(—г, г) хамда барча п = 0, 1, 2, ... учун
| (х) | < М
тенгсизлик бажарилса, у холда (—г, г) ораликда f(x) функция Тей-
лор каторига ёйилади, яъни
f(x) = yj^x««f(0) + -^-x + -^-x2 + . . . (14.50)
п! И 2!
п—0
Исбот. f(x) функция учун Тейлор формуласи
f W = /(0) + -^х + -^ х2 + . . . +-&х" + rn(x)
ни ёзиб, унинг Лагранж куринишидаги крлди^ хади
/(П) (0 х„+1
(п + 1)!
(0 < О < 1)
ни олайлик. У х.олда
| г (х)I = |^(9*Lxn+l I < М - П~— (х€ (- г, г»
I п 1 । (п +1)! I (п+1)! v
булади. Агар
lim —= 0
п *оо (,ч + 1)!
булишини эътиборга олсак, у \олда
lim гп(х) -- 0 хС (— г, г)
эканлигини ани^лаймиз. Бу эса (14.50) муносабатнинг уринли булиши-
ни билдиради. Теорема исбот булди.
2. Элементар фу н к ц и я л арн и н г Т ей л ор каторлари. 1°,
f(x)-~ex функциянинг Тейлор ц ат ори. Маълумки, /(х) = ех
функциянинг (ихтиёрий чекли [—а,а\ (а>0) оралицдаги) Тейлор фор-
муласи
с' = 1+^ + У + ---+т + г"м
175
булиб, унинг крлдик. х,ади эса Лагранж курин ишида куйидагича’була-
ди:
= е0' (О<0<1)
п (п-t-l)!
(каранг, 1-^исм, б-боб, 7-§). Хар бир х£[—a. а|(а>0) да е';х <еа
булишини эътиборга олсак, унда
эканлиги келиб чикади ва п->оо да у нолга интилади. Демак, ихти-
ёрий чекли х да
ОО
г V хп , , X , | X2 , ! Хп ,
6 = = 1 +ТГ +рг + ••• + —+•
п=0
х3 , х'
булади.
2е. /*(х) —sinx функциянинг Тейлор катори. Маълумки,
f(x) = sinx функциянинг (ихтиёрий чекли [—а, а] (а>0) ораликдаги)
Тейлор формуласи
уз г- , у2л-1
sin х — х — -—{-----. . . + (— ir-1----------F- r„ (x)
3! 5! (2n—1)1 2nV
булади. Бу формула крлдик; хддининг Лагранж куринишидан фойдала-
ниб (каралсин, 1-кисм, б-боб, 7-§) \f-х Q ] — а, а! (а>0) учун
|r»wl<KT17?
булишини топамиз. Ундан
lim r2n(x) = О
П-^оо
булиши келиб чикади. Демак, •¥/ х учун
ОО
sin х (—
(2п-1)!
Л = 1
Д.2Л-4
X3 , X5
3! 5!
(П-1
(2п- 1)!
булади.
3°. f (х) = cos х функциянинг Т ей л о р ц а т ори. Бу функция-
нинг Тейлор формуласи
у2 уб
cos X = 1- — +—-4-+ • • • +(-1)п^— +г,„(х)
21 4! 61 (2,1)! 2nV
крлдик хадининг Лагранж куринишидан фойдаланиб (каралсин, 1-к.исм,
6- боб, 7- §) V х £ [— а, а\ (а > 0) учун
(2м + 2)!
176
булишини топамиз. Ундан
limr2n(x) = 0
булиши келиб чик.ади. Демак, V х учун
ХЛ , ,,П х2п , X2 . X* I / х2п t
cosx — Л . (— 1) —— =1-----------.. . +(— 1) —— + . . .
’ (2 я)! 21 4! V ’ (2 я)!
П=0
4°. /(х)=1п(1 + х) функциянинг Тейлор цатори. Маълум-
ки, бу функциянинг Тейлор формуласи цуйидагича булади:;
1п(1+х)=х-4 +4“Т+ • ' • +(-П'’-1Д1 + г„(х).
Д о 'т п
Бу формулада х £ [0, 1] да гл(х) крлдик ^адни Лагранж куринишида
Куйидагича ёзиб
, . 1)" хп+’
г гл _---1,
(п+ l)(l +0х)л+1
унинг учун
п ~ф" 1
булишини, х£[—я, 01 (0 < а < 1) булганда эса гп(х) крлдик; .хадни
Коши куринишида к.уйидагича ёзиб
унинг учун
ап+1
lrnWI<l— (14-52)
булишини курган эдик (1-цисм, б-боб, 7-§).
(14.51) ва (14.52) муносабатлардан lim гп (х) = 0 булишини топа-
П->х
миз. Демак, фх£(— 1, 1] да
1п(1 + х) = $’(-1Г'4-х_^.+ ф+...+
п==1
+ (-1)п~'4 + • • • (14-53)
булади.
Шуни таъкидлаш лозимки, 1п(1 + х) функция (—1, 4- оо) оралик-
да берилган булса хам бу функциянинг Тейлор катори — (14.53) му-
носабат (—1, + 11 ярим интервалда уринлидир.
5°. /(х) = (1 + х)“ функциянинг Тейлор ц а тори. Бу функ-
циянинг 'Гейлор формуласи
(l+x)“=1 + ix+2<izl>x!+...+
+ л1а-П.. (,-,-М, х„ +
Л ' '*
12-501
177
булиб (царалсин, 1-кисм, 6-боб, 7-§), унинг к.олдик. х.ади Коши кури-
нишида куйидагича булади:
г„ (х) = п} (1 + 0 х)а~п~1 (1-0)" х^1 (0 < 0 < 1).
п!
Уни ушбу
п п\ ’ (1 + 0 ж,1
куринишида ёзиб оламиз.
Агар — 1<х< 1 булганда: биринчидан, lim — (а —1)(а —2) . .
п->сс п!
. [(а — 1] — (п — 1)] хп = О,
чунки бу якинлашувчи
а (а —
хп
п!
каторнинг ядинлашувчилиги Даламбер
иккинчидан, |ах|(1 — |х|)“_1
11 -0 «
нихоят, учинчидан -----—
I 1 + 0.V
п = 1
цаторнинг умумий хади (бу
аломатига кура курсатилади),
+ 0 х)“~‘ < |сс х| (1 + | х|)“~1 ва
< 1 булганлигидан lim rn(x) = 0 булиши келиб чицади.
п-
Демак, |х| < 1 да
I -0
1 + 0х
i , а(а —1) „
= 14-----X + —--------- Х‘
1! 2!
а (а — 1) . . . (а — ,т + 1) п
булади.
п'.
10- §. Функциями купхад билан яцинлаштириш
Маълумки, функция математик анализ курсида урганиладиган асо-
сий объект. Купгина масалалар эса, функцияни хисоблаш (берилган
нуктада цийматини топиш) билан боглиц. Функциянинг мураккаб бу- ••
лиши бундай хисоблашларда катта кийинчпликлар тугдиради. Натижа-
да функцияни унга Караганда содда ва хисоблашга кулай булган
функция билан якинлаштириш — такрибий ифодалаш масаласи юзага
келади.
Функциянинг даражали каторга ёйилишидан, уни такрибий хисоб-
лашда кенг фойдаланилади. Бунда функцияни даражали катор цисмий
йигиндиси билан алмаштирилиб, функциянинг берилган нуктадаги кий-
матини топиш купхаднинг шу нуктадаги кийматини хисоблашга кел-
тирилади. Даражали цатор тузилишига кура содда булиши, унинг кис-
мий йигиндиси эса оддий купхад эканлиги функциянинг берилган нук-
тадаги цийматини эффектив .\исоблай олиниши мумкинлигига олиб
келади.
Шуни х.ам таъкидлаш лозимки, бундай имконият фацат «яхши»
функциялар учун, яъни исталган тартибдаги хрсилаларга эга булган
ва маълум шартни ^аноатлантирган (царанг 14.23-теорема) функция,
лар учун мавжуд булади. Ихтиёрий узлуксиз функция берилган б^лса
178
уни бирор купхад ёрдамида такрибий дисоблаш мумкин булармикан
деган савол тугилади. Яъни функцияни купхдд билан тацрибан алмаш-
тириш имкониятини аналитик функциялар синфидан узлуксиз функция-
лар синфига умумлаштириш масаласи пайдо булади.
1885 йилда машхур немис .математиги К. Вейерштрасс томонидан
узлуксиз функцияни купхад билан яцинлаштириш .мумкинлиги курса-
тилдн. Бу факт к;уйида келтнриладиган теорема ортали ифодаланади.
14.26-теорема (Вейерштрасс теоремаси). Агар f (х) функ-
ция [0,1] сегментда берилган ва узлуксиз булса, у холда шундай
Рп (х) = а0 + аус + а2х2 4- .... 4- апхп
купхадлар топиладики
lim sup |f(x) — Р„(х)| =0j
п->« 0<Х<1
булади*.
Бу теореманинг турлича исботлари мавжуд булиб, биз унинг Берн-
штейн купхадлари ёрдамидаги исботини келтирамиз.
14.10-таъриф. /(х) функция [0, 1] сегментда берилган булсин.
Ушбу
и
Bn(f, (14.54)
iSo
купхад f(x) нинг Бернштейн купхади деб аталади.
Бернштейн купхдди п- даражали купхад булиб, унинг коэффициент-
лари /(х) функциянинг — (k = 0, 1, 2, . . . . , п) нуцталардаги к;ий-
п
матлари оркали ифодаланади. Масалан, п = 1, /1 = 2, п = 3 булганда
В! (A x)=/(0)4-[f(l)-f(0)]x,
В-2 (f, х) = f (0) 4- [2 f (у)-2 / (0)] х 4- [/(0) - 2 / (-1) 4- / (1)] X2,
ВЛ х) = до) + [з/Ш_зио)]х4-[зио)-б/(^ +
Lx*5/ L \ ° /
/ о \1 / 9 \ I
+ 3/ 4 х2 4- f(l)-3/ 4)-/(0) X3
булади.
14.27-т еор ема (Б ерн шт ейн теоремаси). Aeapf(x) функ-
ция [0, 1] сегментда берилган ва узлуксиз булса, у холда
lim sup |/(х)~ Вn(f, х)| = 0
булади.
Аввало битта лемма исботлаймиз.
^Функция берилган ва узлуксиз булган орали^ ихтиёрий сегмснтдан иборат бул-
ган .^олда теореманинг исботи 183-бетда келтирилади.
179
14.1. Лемма. Ушбу
V Скхк(1-х)п-*= 1, (14.55)
fc=O
V7-— х?С* xfe(l—x)n~* = -x(1~.x) (0<x Cl) (14.56)
\ n ] n
k=O
айниятлар дринлидир.
Исбот. Маълумки, V a, bQR учун
(fl+fc)" = v скп а Ьп~*.
iSo
Бу айниятда а = х, b = 1 — х(0 С х С 1) деб олинса, ундан
£ С„хк (1 — x)n-ft = [х 4-(1 — x)]n = 1
k=0
булиши келиб чикади.
(14.56) айниятни исботлаш учун ушбу
ГС
V} ^-Ck xk(l—х)1
Ь=0
йигиндиларни хисоблаймиз.
Агар
rk п(п— 1) ... (п — k + 1)
С П —......
k\
эканлигини эътиборга олсак, у холда
k Qk _ — 1) ... (n — k-r- 1) Czt — 1 j (п — 2) ... (n — 4- 1) _
п п п k'. (к—1)1
= (14.57)
V — Скп хк (1 -х)п~к = Vck —xfc(l -x)n-k = VСкп~\хк (1 -
п & "
- х)п-к = X V С^х*-1 (1 - х)"'1"'*-1’ = X [X + (1 - х)]"-1 = X.
булишини топамиз. Энди
йигиндини ^исоблаймиз.
180
у cl ? (1 -i)“~* = V <1 - лГ* =
*5) fc=0
= V ^=_L — с*-1. х* (1 - ху-к + У - с!Г! хк (1 - x)n-k =
п п— 1 п
fe=0 fc=l
= X2 У ct22 X*-2 (1 - хГ2— +1 X (1 -
k^2 k=l
— x)n~'~ (к~1} = X2 [x + (1 — x)]"-2 + — X [x + (1 — x)]"-1 =
n n
Бу хамда юкоридаги (14.56) ва (14.57) муносабатлардан фойдаланиб,
куйидагини топамиз:
V (— — xf СК xk (1 — х)п~к = х2 + х(1 ~х) — 2х2 + х2 = .
\ п ) п п
*=0
Лемма исбот булди.
Бу леммадан куйидаги натижа келиб чикади.
14.3-натижа. Ихтиёрий х£[0, 1] ва n^N учун
У f—— xfc*xk(l —х)п~*<— (14.58)
\ п ] 4 п
*=о
булади.
Каки^атан хам, ихтиёрий х € [0, 1] учун х(1—х)<— булиб,
4
(14.56) муносабатдан (14.58) тенгсизликнинг уринли булиши келиб чи-
кади.
Бернштейн т еор ем а сн ни н г исботи. Юкоридаги (14.54) ва
(14.55) муносабатларга кура
п
Bn(f, х)-/(х) = ^М^-/(х)]^х'г(1-х)п-'! (14.59)
булади.
f(x) функция [0, 1] сегментда узлуксиз. Демак, Кантор теоремаси-
га асосан у шу сегментда текис узлуксиз булади, яъни -у-е >0 олин-
ганда хдм, шундай б> 0 топиладики, ух', х"С[0, 1] учун |х' —
— х"| < б булганда |/(х") — /(х')|<— тенгсизлик бажарилади.
Юкоридаги (14.59) йигинди k нинг k = 0, 1, 2, . . . , п кийматла-
ри буйича йигилган. Бу йигиндининг хадларини k нинг
—х|<6 (х£[0, 1])
181
тенгсизликни каноатлантирувчи кийматлари буйича хамда k нинг
I-—х|>6 (х£[0, 1])
I п I
тенгсизликнинг каноатлантирувчи кийматлари буйича ажратиб, улардан
ушбу
— xk (1 - х)л к
ларни хрсил киламиз. Равшанки,
Bn(f, х) -/(х) -
—Лх.)]с* х* (1 — х)"“*==
— f(x)lc£xn(l —X)"-* (14.60)
булади.
Энди кейинги тенгликнинг унг томонидаги йигиндиларнинг хар би-
рини алохида-алохида бахолаймиз.
— х)
-/(х).^х'(1-х)
(14.61)
бунда М = max |/(х)|.
о-х I
182
। Ь | / b \2 J
Агар -—x >6 булганда----------------х) • — > 1 булишини эътиборга
I п I \ п / о2
олсак, у холда
булади. Юкорида келтирилган лемманинг натижасидан фойдаланиб,
цуйидагини топамиз:
1____
4 п 6г
Демак,
-х)п-'=:
м
2 и б2
(14.62)
Натижада (14.60), (14.61) ва (14.62) муносабатлардэн
I М
1ЗД. *WWI<Te + 2-^ (VxGlO, 11)
м
булиши келиб чикади. Агар п ни п > . - цилиб олинса, у холда
|ВП(/, х)-/(х)|<|+|=е
булади. Бундан эса
lim sup \В (f, х) — / (х)| = 0
п->м 0<лг<1 п
булиши келиб чикади. Теорема исбот булди.
Энди /(х) функция [а, Ь] сегментда берилган ва узлуксиз булсин.
Куйидаги
b —а b — а
чизикли алмаштириш [а, Ь] сегментни [0, 1] сегментга акслантиради.
Бу алмаштиришдан фойдаланиб, ушбу
Ф (/) = f(a + (b — a)t) (14.63)
функцияни хрсил киламиз. Бу ф(/) функция [0, II сегментда берилган
ва шу сегментда узлуксиз булади. У холда Бернштейн теоремасига
кура
lim sup \В (<р, Л — ф(/)) = 0 (14.64)
П— >х О' 4^1
183
булади, бунда
В„(ф, П = |^Ф*(1-0п-\
(14.63) вэ (14.64) муносабатлардан
lim sup — /(х)| =0
n->M а х < b 1 \ о — а / |
булиши келиб чикади, бунда
(х — a)k (b - x)n~k
(Z> - а)п
Шундай ^илиб, каралаётган оралик [а, Ь] сегментдан иборат булган
хрлда куйидаги теорема (Вейерштрасс теоремаси) га келамиз.
14.28- теорема (Вейерштрасс теоремаси). Агар f(x) функ-
ция [а, Ь\ сегментда берилган ва узлуксиз бЦлса, у холда
а
Hm sup 'Bn(f, f(x)| = 0
n-.K a^x i ! \ b — a] I
булади.
Гарчи Вейерштрасс теоремаси /(х) функциями ВП(Д х) купхдд би-
лан якинлаштириш мумкинлигини ифодаласа- да, якинлашиш хатолиги
г л х)=Г(х)-вп(ф х)
ни бахрлаш имконини аниклаб бермайди. Кейинги урганишлар гп(/, х)
нинг нолга интилиш тартиби, якинлаштириладиган /(х) функциянинг "
узлуксиз модулига (1-^исм, 5-боб, 9-§ га царанг) богли^ эканлигини
курсатади.
14.29- теорема. Агар f(x) функция [0, 1] сегментда аницланган
ва узлуксиз булиб, Bn(f, х) эса унинг Бернштейн куп^ади булса,
у холда
sup \В (ф х) - f (х)1 < 1 о, (14.65)
булади, бунда ®(б) —/(х) функциянинг узлуксизлик модули.
Исбот. (14.59) формуладан фойдаланиб, цуйидагини топамиз.
п
\Вп(ф .v)-f(x)|<V \f(±\-f(x)\cknxke -x)n~k.
k=n
Функция узлуксизлик модулининг ушбу
0)(16)<(1 +Х)®(6)
184
хоссасига кура
'j — f (х)| С со П-—х| 1 = (д(у'п I-— х| • -4=-'] с
\ п / I \| л I/ \ \ п | у п )
бу'либ, натижада
п
I- -х'Сп?(1-х)п-*
/?=0
булади.
п
Энди ——xlC^X* (1—x)n~k ЙИГИНДИНИ
П I
k=0
п
V ^-х| Ускхк(1 -х)п~к Vcknxk(l -X)
куринпшда ёзиб, унта Коши — Бун яковский тенгсизлигини (каралсин,
12-боб, 1-§) куллаймиз:
п
|7 -х| Ускхк(1-х)^ - Ускхк(\~х)п~к <
fe=0
Демак,
М- -v)-/(x)|<f]Zra -4= + 1Ы-4=4 =-М-тА
nV V 2К» / \Л/ 3 \Vn j
Теорема исбот булди.
Хусусан, f(x) функция !0, 1] ораликда f (х)
Vxg[0, 1] учун \f (х)|< М (М — const) булсин.
теоремасидан фойдаланиб куйидагини топамиз:
хрсилага эга булиб,
У хрлда, Лагранж
|5П (/, х) - / (х)| = Н7) - / «|*k (I - Х)П~'! <
1S5
Демак, бу холда
sup \В (f, х) — f (х)| С—-
о-^<1 2уп
булади.
15- Б О Б
МЕТРИК ФАЗОЛАР
Юкоридаги баёнимиздан маълумки, математик анализнинг биз урганган барча
асосий тушунчаларн (лимит, узлуксизлик, хрсила, интеграл, яцинлашувчилик ва
хрказо) турли тупламлар (R, Rm, С fa, b] ва хрказо) элемеитлари кетма-кетлигида
лимитга утиш амали ортали таърифланади. Бу амал хар бир тупламда узига хос ки-
ритилган эди. Масалан,
1) R да {х„} :хР х2......х„, . . . (хп ER, п = 1, 2, . . .) кетма-кетлик берил-
ган булсин. Унинг лимити цуйидагича таърифланар эди:
V е > 0 сон олинганда хам, шундай п0 Е N топилсаки, барча п > п0 учун
| хп — а | < е (я Е R)
тенгсизлик бажарилса, у холда а сон {хп} кетма- кетликнинг лимити дейилади.
2) Rm да берилган {хя}:
х(1>, х®, .... х(л>, . . . (х<п> = (х^, х'п , . . ., х<?’) ERm, п = 1, 2, . . .)
кетма- кетлик лимити цуйидагича таърифланар эди:
V е>0 сон олинганда ^ам, шундай пп£\! топилсаки, барча п>пп учун
V(х\п} - aj)’ + (х^> - а2)2 + . . . + (х£> — лт)3 < е
(a--(aj, а2.....am)ERm)
тенгсизлик бажарилса, у ,\олда а нуцта {х<п>} кетма-кетликнинг лимити деб ата-
лади.
3) С [а; Ь] да {/я (х)}: /i (х), f2 W> • • > .....(/n W
EC [a, &], n= 1, 2, . . .)
функционал кетма-кетлик берилган булсин. Бу функционал кетма-кетликнинг лимити .
цуйидагича таърифланар эди:
V 8 >0 сон олинганда хам, шундай п0 Е топилсаки, барча п > п0 учун
sup I fn W — f (х)\<ъ
a^xcb
тенгсизлик бажарилса, у холда f (х) функция {fn (х)} функционал кетма- кетлик-
нинг лимити ({fn (х)} функционал кетма- кетлик / (х) га текис яцинлашади), деб ата-
лади.
Агар |хя —а| мИ1\дор R даги хп ва а (хп PR, a ER, п = I, 2, . . .) ну^талар
орасидаги масофа—р (хл, a) (1- цисм, Ьбоб. 10-§),
V(x^’—ai)2 + (х^1—а2)2-г ... + (хпт — am)2 (x(n) Е Rm, n = 1, 2, . . .)
микдор Rm даги хп ва а нуцталар орасидаги масофа р (хл, а) (12-боб 1- §), хамда
sup I [п (х) - f (х) |
a^xcb
ми^дор эса С [а, д] нинг fn (х) (п= 1, 2, . . .) ва f (х) элемеитлари [орасидаги
масофа — р (fn (х), / (х)) (1-цисм. 5-боб, 11-§) эканлигини эътиборга олсак, R, Rm,
188
С [я, й] тупламларда, уларнинг элементларидан тузилган кетма- кетликнинг лимити
масофа тушунчасига асосланганлигини курамиз.
Бир томондаи R, Rm, С [л, Ь] тупламларнинг турли табиатдаги элементлардаи
ташкил топганлиги, иккинчи томондаи эса уларда лимитга утиш амалининг факат ма-
софага асосланишдек умумийликка эга булиши, табиий равишда бу тупламларни уму-
мий холда ^арашга. яъни ихтиёрий туплам элемеитлари орасида масофа тушунчасини
киритиб, урганишга олиб келади.
1- §. Метрик фазо
Е — ихтиёрий туплам булсин. Бу тупламнинг узини узига тугри (Декарт) купайт-
маси
Е X Е = {(х, у): х Е Е, у Е Е}
(царалсин, 1-цис.м, 1-боб, 1-§) ни олайлик.
Маълумки. дастлабки тушунчалар ^аторида ихтиёрий А тупламни В тупламга
акслантириш
f:A^B
тушунчаси келтирилган эди (1- кием, 1-боб, 3-§).
Энди А = Е х Е, В ~ (Ej_—барча манфий булмаган ха^ицнй сонлар туп-
лами) деб ушбу
р: Е ;< E-*R+(p = p (х, у)) (15.1)
акслантиришии царайлик.
15.1 - т а ъ р и ф. Агар р:Е;< Е-> R± акслантириш учуй
Г. - х. у ЕЕ учун р (х, у)>0 (р (х, у) = О муносабат х - у булгаидагииа ба-
жарилади.
2’. х. у ЕЕ учун р (х, у) = р (у, х) (симметриклик),
3°. ~ х, у, г Е Е учун р (х. у) СР (х, г) 4- р (г, у) (учбурчак тенгсизлиги) шарт-
лар бажарилса, у _\олда бу р акслантириш масофа (метрика), Е туплам эса метрик
фазо деб аталади. Метрик фазо (Е, р) каби белгиланади. Г'1 — З’-шартлар метрик
фазо аксиомалари дейилади. Метрик фазо элементларини шу фазо ну^талари дам деб
аталади. ___
Ми со л л ар. 1. R тупламни олайлик. р акслантйриш ^уйидагича аникланса,
р (х, у) = |х — у I (V х, у ЕР),
1-^исм, 2-боб, 10-§ да исботланганга кура бу р (х, у) учун Р — Зэ-шартлар бажа-
рилади. Демак, р (х, у) — масофа ва (R, р) — метрик фазо.
2. Rm тупламни олайлик, р (х, у) акслантириш куйидагича аницлансин:
р (х, у) = д '(</1 —*1)2+(У2—х2)г+ • . • + (ут— хт)2 =
Ю^орида, 12-боб, 1-§ да бу р (х, у) учун 13 — Зэ-шартларнииг бажарилиши кур-
сатилган эди. Демак. р —масофа, (R.m, р) —метрик фазо.
3. С (я, й] тупламни курайлик. р акслантириш куйидагича булсин;
р (х, у) = max [х (Z) — у (t) | (-.• х (Г), у (0 € С &Г)-
a-^tcb
бу р (х, у) юцоридаги Г—З1- шартларии ^аноатлантиради (царалсии. 1-^исм, 5-
боб, 11-§). Демак, царалаётгаи р — масофа, (С [о, й], р) эса метрик фазо.
4. с — барча якинлашувчи кетма-кетликлар (сонлар кетма-кетликлари) туплама
булсин. р акслантириш ушбу
P (х, у) = sup | х„ — ул I, х = (х1( Xi, . . . , хп, . . .) Е с, У = (Уь У-1.Ут • •) ё с
п
187
булади. Энди 6[ (0 < 6['< 6') сонни олайлик. Юкори лимитнинг хосса-
сига асосан (1-кисм, З-боб, 2-§) {у/”Klj- кетма-кетликнинг ушбу
>Ь~ б1’ яъии | ап | > “ si)n
тенгсизликни к,аноатлантирадиган хадларининг сони чексиз куп булади.
Демак, бу холда
। i ь с * \ п
J (14.36)
булиб, бунда
b — b\ _ (А —6 )4- (б' — 6|) _ б' — б'(
ь — ь' ь — б' б — б'
булади.
Юцоридаги (14.36) муносабатдан п-* оо да (а,, } кетма-кетлик-
нинг лимити нолга тенг эмаслигини топамиз. Демак,
нуктада (14.27) даражали
v ап х?
«« ft 1
п=0
кагор узоклашувчи (катор якинлашувчилигининг зарурий шарти бажа-
рилмайди).
Шундай килиб, хар бир х0 р х01
катор якинлашувчи, хар бир ху (J х
катор узоклашувчи булар экан.
Даражали каторнинг якинлашиш радиуси таърифини эътиборга
олиб, — берилган даражали каторнинг якинлашиш радиуси эканини
ь
топамиз. Теорема исбот булди.
М исо л л а р. 1 Ушбу
b ]
1
ь
нуктада эса шу даражали
Оо
Л
Х‘
X
2 > л
2''п
даражали каторни карайлик.
формулага кура топамиз:
2 2
Бу даражали каторнинг якинлашиш радиусини (14.33)
г.--п ГI-----
lim / К j
п-»® ’
________[
__ п /
lim "1/
1 п
= lim 2 п
п-^
21 п
Демак, берилган даражали цаторнинг якинлашиш
тервали эса ( — 1, 4-1) дан иборат. Бу даражали
чеккаларида мос равишда куйидаги
радиуси г — 1, якинлашиш ин-
катор якинлашиш шггервалининг
1
2/п
164
сонли ^аторларга айланиб, уларии Лейбниц теоремаси хамда Раабе аломатидан фой-
даланиб якинлашувчи эканлигини исботлаш к;ийин эмас.
Демак, берилган даражали каторнинг як.инлашиш ссцаси [— 1, +1] сег.мент-
дан иборат.
Купинча практикада даражали ^аторларнинг якинлашиш сохаларини топишда
сонли каторлар назариясида келтирилган аломатлардан фойдаланилади. Бунда узга-
рувчи х ни параметр сифатида карал ад и.
2. Ушбу
х х2 хп
14---- 4- -----4- ... 4- -------- 4- . . .
2-5 3-52 (п+ 1)5П
даражали цаторни карайлик. Бу каторга Даламбер аломати (1-к,исм И-боб, 4-§)
ни к,уллаб ^уйидагини топамиз:
d=)im
(п 4- 1)5” хп+1
(п + 2)5п+1 хп
Демак, — <1, яъни I х | < 5 булганда катор якинлашувчи, —— >1, яъни |Л'|>
5 ' 5
> 5 булганда катор узоклашувчи.
Шундай килиб, берилгаи даражали каторнинг якинлашиш радиуси г = 5, як.ин-
лашиш интервали эса ( — 5, 5) булади.
Якинлашиш интервали (—5, 5) нинг чеккаларида даражали катор мос равишда
1— "7“ + •••+(— 1)л 1 — + • , 1+ — 4- — + • • + 4 •
2 3 п 2 3 п
сонли каторларга айланиб, бу цаторларнинг биринчиси якинлашувчи, иккинчиси эса
узоцлашувчидир. Демак, берилган даражали к.аторнивг яцинлашиш сохаси [—5, 5)
ярим интервалдан иборат экан.
8- §. Даражали цаторларнинг хоссалари
Бирор
У ап хп = а0 4- а,х 4- ... 4- апхп 4- . . . (14.27)
п=0
даражали к.атор берилган булсин.
оо п
14.17-теорема. Агар V апх даражали каторнинг якинлашиш
п=0
радиуси г (г > 0) булса, у \олда бу катор [ — с, г] (0 < с < г) сег-
ментда текис якинлашувчи булади.
Исбот. Шартга кура г — (14.27) даражали к.аторнинг якинлашиш
радиуси. Демак, берилган катор ( — г, г) интервалда якинлашувчи.
Жумладан, с<г булганлигидан, (14.27) даражали катор с нуктада
^ам якинлашувчи (абсолют якинлашувчи) булади. Демак,
Оо о
2 Ыс =1ао! + 1а11с + 1а2|с^+ •• + Н|С + •• • (14.371
ч=0
Катор якинлашувчи.
165
Энди (14.11) тенгсизликда m-> оо да (бунда п ва х парни тайинлаб,
лимитна утиб куйидагини топамиз:
|/г> (х) — / (х)| < е.
Бундан эса {fn(x)} функционал ке1ма-ке1 ликнинг Дх) лими: фунцияга
текис яцинлашиши келиб чикади. Теорема исбот булди.
2. Функционал каторларнинг текис якинлашувчи-
лиги. А4 (М с:/?) тупламда бирор
У1 и (х) wt (х) + м21Л') ** • • • т- ып -г • (14.5)
п=1
функционал [уаюр берилган булсин. Бу функционал кагор .М туллам-
да якинлашувчи булиб, унинг йигиндиси S{x\ булсин. Демак, М/гуп-
ламда
lim S„ (х) — lim [н1 (х) -f- и2 :х! 4- . . . -е и„ (X)] = S !Х)
П->с0
булади, бунда {Sn (х)}—берилган функционал каторнинг кисмий йнгин-
диларидан иборат функционал кетма-кет ликдир.
14.7-таъриф. Агар ;И тупламда ^_ип(х} функционал каторнинг
^исмий йириндиларидан иборат {Sn (х)) функционал кетма-кетлик иатор
йигиндиси S (х) га текис якинлашса, у холда бу функционал цатор М
тупламда текис якинлашувчи деб аталади. акс хрлда, яъни (х)}
функционал кегма- кетлик М тупламда S (х) га текис якинлашмаса,
(14.5) функционал катор М тупламда S (х) га текис якинлашмайди
дейилади.
Шундай килиб, функционал каторларнинг текис якинлашувчилиги
(я^инлашмовчилиги) тушунчаси хам уларнинг оддий якинлашувчилиги
сингари, функционал кетма-кетликларнинг текис якинлашувчилиги
(яцинлашмовчилиги) оркали киритилади.
М и с о л л а р. 1. Ушбу
« ]
V--------------- (0 < х < ос •
nil (x+n/x-H + l)
функционал каторни карайлик. Бу каторинг кисмий йигиндиси
1 i 1
5 (XI •— — ~~ ". ' -4— ———————— —1— , , t —4- ~
(х-f-1) (х-т-2) (х4-2) (Х4-3; lx+т (х-тпф-1)
/1 1 \ / 1 1 \ , /'1 1
= I-----—------- j Д- I -----j -j- .. .4“ ( —
\ х 4- 1 хд-2/'\х4-2 х 4- 3 / \ х 4- п х 4- п 4- 1
_ 1 1
х 4-1 х 4- п 4- 1
булиб, унинг йигиндиси
S(x) = lim S„(x) = lim f_---------------J----= —!-------
п-»м n-»® \ x 4- ) x 4- ч 4- 1 / x 4- 1
Таърифга кура, V e>0 сон олинганда пй — -—(14-х) дейилса, барча ч>«о
142
учуй
I S„ (x) -S (x)| = |—Ц- — , ' . — — I = Y"1 < o<e (14.12)
‘X l л tt 4“ 1 x + 1 I x 4- /1 l х-+-п0 4- 2
булади. Бундаги л,, натурал сон е>0 га хамда х (0<х<4- оо) нукталарга бог-
лик. Бироц пп деб
ии олинса. унда п>пп булган « ларда кжоридагп (14.12) тенгсизллик бажарилаве-
ради. Демак. берилган функционал цатор учун таърифдаги/г,, натурал сон барча х
(О^хСоо) нукталари учуй умумий булади, яъни х га боглик булмайди. Демак,
берилган функционал катор текис якинлашувчи.
2 куйидаги
п= i
функционал каторни карайлик. Бу функционал каторнинг к,исмий йигиндиси
X X X
1-(х-г!) !х-)-1) i2x-j-l) ' [In — 1) х -г 1 ] (пх4-1)
V ...Л________1_______L_\
г—1/ \x-l-l 2х-4-1/ \(п— 1)хЧ-1 nx-f-l/
булиб. унинг ЙИГИНДИСИ
S (x,i — lim S„ (х)
П—>эо
. /', 1
= lim 1 —------------
л— „ \ /1x4-
у|= 1 (0<х<оо).
Таърифга кура.
олинганда
«о
(х=# 0) дейилса, барча
я < х) — S txt I
___1_
ПХ + 1
Е
булади. Агар х—0 булса. равшанки, т п учун Sn (0) — S (0) = 1 булиб.
Sn (О) - S (0) = О
булади. Бундаги пл натурал сон е > 0 ва х (0<х<оо) нукталарга боглиц бу'либ,
у барча х'•) < х < •-<-оо) нукталар учун умумий бу ла олмайди (бу холда пп =
= — (— — 1 н нинг iO, со) да х буйича максимуми чекли сон эмас).
. X \ 8 /J
Бошкача килиб айтганда. исталган п натурал сон олсак хам шундай е0>0
/ ’ ‘ 1 \ I
масалан, «,> = — I ва х = — CiO, J- + оо) нуктд топиладики,
\ 4 п
= 7>^о
булади.
00
14.3-теорем а. Л1 (MczR) тупламда^ ип(х) функционал ка-
п=1
тор берилган булиб, унинг йигиндиси S (х) булсин. Бу функционал
каторнинг М да текис якинлашувчи булуши учун, унинг кисмий
йигиндилари кетма- кетлиги > S:i (.г)} нинг .И да фундаментал кетма-
кетлик булиши зарур ва етарли.
Бу теорема функционал кетма-кетликнинг текис яциплашиш хаки-
даги 14.2-теоремани функционал каторга нпсбатан айтилиши булиб,
унинг исботи 14.2-теореманинг исботи кабидир.
Функционал катор
V ип (х) = щ (х) + и2 (х) + . . . + ип (х) + . . .
п=\
нинг текис якинлашувчи булиши хакидаги 14.7-таъриф хамда функ-
ционал кетма-кетликнинг текис якинлашувчи булишининг зарур ва
етарли шартини ифодаловчи 14.1-теоремадан фойдаланиб куйидаги тео-
ремага келамиз.
00
14.4-теор ема. V (х) функционал цатор М тупламда S (х) га
П=1
текис якинлашиши учун
lim sup | Sn (x) — S (x) | — 0
булиши зарур ва етарли.
Мисол. Ушбу
П=1
функционал катер (— 1. 4- и да якинлашувчи б<'либ, унинг йигиндиси
I
S (х! = -----
1 — х
жанини курган эдик. Бу функционал катор учун
I Sa (х) — S (х) | = I —— | (х б (- 1, + П)
1 1 — х I
булиб,
.Ч1р | S,. (х) — S (х) | = -г оо
—1 х 1
булади. Демак, берилган 1уатор (—1,4-1) ораликда текис якинлашувчи эмас.
14.5-теорема. (Вейерштрасс аломати.) Агар ушбу
V ип (х) = и. (х) -г и.2 (х) + . . . -1- и (х) --г . . . (14.5)
;!=1
функционал каторнинг хар бир хади М (.\lcr.R) тупламда куйидаги
i«„W|<t„(/Ul, 2, . ..)(*)
тенгсизликни цаноатлантирса ва
С1 +с2 -г • • • + СП + • • (14.13)
144
сонм катор якинлашувчи булса, у холда (14.5) функционал катар
М тупламда текис якинлашувчи булади.
Исбот. Модомики, (14,13) цатор якинлашувчи экан, 1-кисм, ll-
боб, 2-§ да келтирилган теоремага асосан, V е > 0 сон олинганда хам,
шундай nuQN топиладики, барча п)>п0, тф> п учун
+ Сп+2 + . . . + Сп < Е
булади. (*) тенгсизлнкдан фойдаланиб, М тупламнинг барча х (х£Д1)
нукталари учун
| и„+1 (х) 4- ип+2 (х) -г ... -г и,п (х) { < 8
булишини топамиз. Бундам эса 14.8-теоремага кура [берилган функ-
ционал каторнинг М тупламда текис якинлашувчи булиши келиб чи-
тали.
М и с о л л а р. 1. Ушбу
функционал каторнинг текис ядинлашувчилиги аникланган эди. Бу каторнинг текис
якинлашувчилигини Вейерштрасс аломати ёрдамида осоигина курсатиш му.мкип. Да-
цикатан .хам,
1"л W |= I {х--п} (х-н-!- 1)’ I
булиши хамда
п2
n=l
цаторнпнг яцинлашувчилигидан берилган функционал каторнинг СО, + ос) да текис
якинлашувчилиги келиб чикади.
2. Ушбу
функционал каторни царайлик. Бу функционал каторнинг,умумий х.ади
пх
«л «) = ——— (ч=1,2, . . .)
1 + /15Х2
фуикциядаи иборат. Бу функцияни [0, -р ос) ораликда =*кстремумга текширамиз
ип (х) функциянинг хосиласи ягопа х ~ п ~ нуктада нолга айланади (х — п
стационар нукта). Бу стационар нуктада
бЧлг.ди. Демак, ип (х) функция х = п " б [0, -(-») иукдада максимумга зришади.
] 2
Унинг максимум кийчати эса -- п ~ га тенг. Демак, О 'Д < + <» Да
24
10-501
145
vi 1
булади. Arap —р—каторнинг якинлашувчилигини эътиборга олсак. унда Вейер-
п=1 .->
2п"
штрасс а.томатига кура, берилган функционал каторнинг [0. -у оо) да текис я^инла-
шувчи эканлигини топамиз.
3-§. Функционал цатор йигиядисининг хамда функционал
кетма-кетлик лимит фуккциясининг узлуксизлиги
1. Функционал катор йhfинди с и нинг узлуксизлиги.
.И (.И cz R) тупламда бирор якинлашувчи
J ип W = «1 (*) + «а (х) + . . - + ип (х) + - . . (14.5)
п=1
функционал цатор берилган булиб, унинг йигиндиси S (.г) булсин.
14.6- т еорема. Агар V ип (.г) функционал каторнинг \ар бир
П=1
хади ип (х) (п — 1,2, . . .) М тупламда узлуксиз булиб, бу функцио-
нал катор М да текис якинлашувчи булса, у %олда цаторнинг йигин-
диси S (х) хам М тупламда узлуксиз булади.
Исбот. х0— М ту'пламдан олинган ихтиёрий нукта. Функционал
катор текис якинлашувчи. Таърифга кура, уе>0 олинганда хам,
шундай п(, £ N топиладики, /И тупламнинг барча х нукталари учун бир
йула
|S„(.r)-S(Y)|<|, (14.14)
жумладан
I Sn (х0) - S (х0) | < j (14.15)
тенгсизлик бажарилади.
Модомики, (14.5) функционал цаторнинг хар бир хади М тупламда *
узлуксиз экан, унда
Sn (х) = «1 (х) + и2 (х) + . . . 4- ип (х)
функция хам Л! да, жумладан х0 нуктада узлуксиз булади. Демак,
юкоридаги е. > 0 олинганда хам, у- га кура шундай 6 > 0 топиладики.
| х — х01 < 6 булганда
|5„(х)-\(х0)|<| (14.16)
булади.
Юкоридаги (14.14), (14.15) хамда (14.16) тенгсизликлардан фойда-
ланиб, куйидагини топамиз:
I S (х) - S (х0) | С | S (х) - Sn (х) | + I S„ (х) - Sn (х0) | 4-
+ |S„(x0)-S(x0)il<y+f+y = e.
146
Демак, V?>0 олинганда хам, шундай 6>0 топиладики |х — х0|<д
булганда
I S (х) — S (х0) I < £
булади. Бу эса S (х) функциянинг х:1 (у x0G-И) нуктада узлуксиз экан-
л'игини билдиради. Теорема исбот булди.
Бу теореманинг шартлари бажарилганда ушбу
S (х0) = lini [lim Sn (х)] --= lim [lim Sn (x)J
X->X0 n~>x n->X0
муносабат уринли булади.
a
14.2-эс латма . 14.6-теоремадаги V ип (х) функционал каторнинг
п— 1
М да текис якинлашувчилик шарти функционал цатор йигиндиси
S (х) пинг узлуксиз булиши учун жуда мухимдир. Бу шарт бажарил-
май колса, теоремадаги тасднк, умуман айтгапда, тугри булмайди.
Буига куйидаги функционал катор мисол була олади:
V хп~] (1 — х) = (1 - х) + х (1 - х) + X- (1 - х) + . , . -Г
3=1
+ xn_l (1— Х)+ . . . (0<хС 1)
Функционал каторнинг хар бир ип (х) = х,1-1(1 —х) (п — 1, 2 . . .) хади
[О, 1] ораликда узлуксиз. Катор йигиндиси
| 0, агар х = 1 булса,
I 1. агар 0<х< 1 булса
эса [0,1.] ораликда (аникроги, х = 1 нуктада) узлуксиз эмас.
Айни пайтда, каторнинг текис яцинлашувчилиги етарли шарт булиб,
зарурий хам эмас. Яъни баъзан текис якинлашувчилик шартини ба-
жармаган функционал каторнинг йигиндиси хам узлуксиз булиши мум-
кин. Масалан, ушбу бобнинг 2- § да келтирилган
со
V-------------------- (0 < X < + оо)
(П — 1) X- 1] (пх1)
п=\
функционал катор (0, 4- ос) ораликда текис якинлашувчилик шартини
бажармаса-да, бу функционал каторнинг йигиндиси S (х) — 1 (0, + ос)
ораликда узлуксиздир.
2. Функционал кетма-кет лик лимит функцияси нинг
узлуксизлиги. М (А! ст R) тупламда |fn (х)}:
Л(Х),/2(Х), ...,/„(х), ... (14.2)
функционал кетма-кетлик берилган булиб, унинг лимит функцияси / (х)
булсин:
lim fn (х) = f (х).
14.7-теорема. Агар i/n(x)} функционал кетма-кетликнинг хар
бир ju (х) (п = 1, 2, . . .) хади М тупламда узлуксиз булиб, бу функ~
147
ционал кетма-кетлик М да текис якинлашувчи булса, у холда f (х)
лимит функция хам М тупламда узлуксиз булади.
Бу теореманинг шартлари бажарилганда ушбу
/ (х) = lim [lim fn (/)] = lim [lim f (/)]
t-*x
муносабат уринли булади.
4- §. Функционал цаторларда х,амда функционал
кетма-кетликларда х,адлаб лимитга утиш
1. Функционал катор л ар да хадлаб лимитга утиш.
М (Л! с: R) тупламда якинлашувчи
V «„ (X) = th (х) 4- «2 (х) + . . . 4- ип (х) 4- . . . (14.5)
И=1
функционал катор берилган булиб, унинг йигиндиси S (х) булсин. х0
нукта эса М тупламнинг лимит нуцтаси.
14.8-теорема. Агар х—>-х0 да V и_ (х) функционал каторнинг
П=1
хар бир ип(х) (м = 1,2,...) ходи чекли
lim ип (х) = сп (п = 1, 2, . . .) (14.17)
х
лимитга эга булиб, бу катор Л4 да текис якинлашувчи булса, у хол-
да
и=!
катор хам якинлашувчи, унинг йигиндиси С эса S (х) нинг х->х0 даги
лимити
lim S (х) = С
Х-ьХц
га тенг булади.
Исбот. Шартга кура (14.5) функционал катор текис якинлашувчи.
У холда 14.3-теоремага асосан, у'в>0 олинганда хам, шундай n0QV
топиладики, барча тд>п лар ва Л4 тупламнинг барчах нукта-
лари учун
I мл+1 (х) 4- ип+2 (х) 4- . - + ит (х) | < е (14.18)
тенгсизлик бажариладн. (14.17) шартни эътиборга олиб, (14.18) тенг-
сизликда х-> х() да лимитга утиб куйидагини топамиз:
4 сп+24- . . . 4- 6ffl[C8.
Демак, 4г8>0 олинганда хам, шундай n0Qhr топиладики, барча п >
>/z0, т>п лар учуй
4-сл.,.24 . . . +<UCe
148
тенгсизлик бажарилар экан. Катор якинлашувчнлигининг зарурий ва
етарли шартини ифодаловчи теоремага мувофик (каралсин, 1-кисм, ll-
боб, 3- §)
"V с — с, 4- с, 4* • . 4- с 4- ...
п I 1 2 1 1 п 1
л=1
катор якинлашувчи булади. Демак,
lim Сп = С,
П-+<х.
бунда
Сп = Д + С2+ ... +сп (п = 1, 2, . .
Энди х—>х0 да (14.5) функционал катор йигиндиси S (х) нинг ли-
мити С га тенг, яъни
lim S (х) = С
х->х0
булишини курсатамиз. Шу максадда ушбу
S (х) - С
айирмани олиб, уни куйидагича ёзамиз:
S (х) - С = [S (х) - Sn (х)] + [S„ (х) - CJ + [С„ - С], (14.19)
бунда
Sn (х) = «j (х) + и, (х) 4- ... 4- ип (х).
Теореманинг шартига кура (14.5) функционал катор текис якинлашувчи.
Демак, Ve>0 олинганда .хам, — га кура шундай п0£М топиладики,
барча и>и0 ва М тупламнинг барча х ну^талари учун
|S„(x)-S(x)|<| (14.20)
тенгсизлик бажарилади.
(14.17) шартдан фойдаланиб куйидагини топамиз:
lim Sn (х) = lim [w2 (х) 4- и2 (х) 4- ... 4* ип (*)] = д 4- с2 4- ... 4-
X—>Xq X—>Xq
4- с„ = С„.
1 п п
Демак, V е > 0 олинганда х,ам, га кура шундай б > 0 топиладики
Iх — -Vo К 6 булганда
|Sn(x)-Cj<| (14.2!)
тенгсизлик бажарилади.
Юкорида исбот этилгапига кура
lim Сп = С.
149
Демак. V е > 0 олинганда .хам, 4 га кура, шундай n'0QN’ топила-
дики. барча п > /?' учун
iCn-"Cl<T (14.22)
булади. Шуни хам айтиш керакки, агар = max 'п0, пи} деб олинса,
унда барча п>/г0 УЧУН (14.22) ва (14.20) тенгсизликлар бир вакт-
да бажарилади.
Натижада (14.19) муносабатдан, (14.20), (14.21) ва (14.22) тенгсиз-
ликларни эътиборга олган хрлда. ^уйидагини топамиз:
I S (х) - С ' С| S (х) - Sn (х) i + j Sn (х) - C,J + | Сп - С1 <
<7 г з + з
Демак, Vs>0 олинганда хам, шундай 6>0 топиладики, |х— х0^<6
учун (х£.И)
i S (х) — СI < е
тенгсизлик бажарилади. Бу эса lim S (х) = С эканини билдиради.
Теорема исбот булди.
Юкрридаги лимит муносабатни куйидагнча хам ёзиш мумкин:
Бу эса 14.8-теореманинг шартлари бажарилганда чексиз каторларда хам
хадлаб лимитга утиш кридасн уринли булишини курсатади.
2. Функционал кет.ма-кетликларда хадлаб лимитга
утиш. .И (А1 с 7?) тупламда /„(х)1:
fi U')> f, (X), .... /„(х). . . (14.2),_
функционал кетма- кетлик берилган булиб. унинг лимит функцияси
fix) булсин. х0 пукта эса .11 тупламнинг лимит нуктаси.
14.9-теорема. Агар х-^хп да (л')} функционал кетма-кетлик-
нинг хар бир fn(x) {п = 1, 2. . . .) хади чекли
lim fn (х) — ап (п =1.2. . . .)
X—
лимитга зга булиб, бу кетма- кетлик .W да текис якинлашувчи бул-
са. у холда тп}'
aL, а,. . ., ап, ...
кетма-кетлик хам якинлашувчи, унинг а — Ншяп лимити эса / (х) нинг
х-*х'о даги лимит ига тенг
lim f (х) = а
X
булади.
150
5-§. Функционал цаторларни х,амда функционал
кетма-кетликларни х,адлаб интеграллаш
1. Функционал каторларни хадлаб интеграллаш.
[а, ЭД сегментда якинлашувчи
(х) — иг (х) — . . . -- ип (х) -Г - (14.5)
функционал катор берилган булиб, унинг йигиндиси S (х) булсин:
S (х) — V ип (х).
п= i
14.10-т еорем а. Агар V ип (х) каторнинг хар бир ип(х) ходи
п— 1
(п = 1, 2, . . [й, ЭД сегментда узлуксиз булиб. бу катор шу сег-
ментда текис якинлашувчи булса, у холда катар хадларининг ин-
пгегралларидан тузилган
b г (!-
( ил (х) dx + | и2 (х) dx — ... — | ип (х) dx -t- . . .
а а а
b
капюр .хам якинлашувчи булади, унинг йигиндиси эса S (х) dx га
а
тенг булади:
Ct &
v ип (х) dx = S (х) dx.
п— I а а
Исбот. Берилган функционал каторнинг хар бир ип (х) хади (и=
= 1, 2, . . .) [я, ЭД да узлуксиз, демак, ип (х) (п = 1, 2, . . .) функция-
лар [й, ЭД сегментда интегралланувчи. (14.5) функционал катор [о, ЭД
сегментда текис якинлашувчи. Унда 14.6-теоремага кура, функционал
каторнинг йигиндиси S (х) функция [о, ЭД да узлуксиз, демак, интег-
рал лан у вчи булади.
Аввало (14.5) функционал катор хадларининг ннтегралларидан ту-
зилган
00 К b b b
V j ип (х) dx— ((х) dx + [ w2 (х) dx [ an (x) dx A-
n=la a a a
каторнинг якинлашувчи булишини курсатамиз.
Шартга кура (14.5) функционал к.атор [я, ЭД да текис якинлашувчи.
У холда 14.3-теоремага асосан, Vs>0 олинганда хам, —— га кура,
Ь — и
шундай nt)QC топиладики, /г>л0, т^>п булганда
I (х) + (х) 4- ... -г игп (х) < —
булади. Бу тенгспзликдан фойдаланиб куйидагиии топамиз:
с b г I Ь
j «,г+1 (х) dx 4- | ип^_2 (х) dx А- 4- [ (х) dx\ с [
a a [ а
151
+ ип+2 (х) + . . . 4- ит \dx < -±_ (& - fl) = е. (14.23)
Демак, Ve>0 олинганда хам, шундай n0QN топиладики, п>п0 ва
т^>п булганда (14.23) тенгсизлик уринли булади. 14.3-теоремага
асосан
оо Ь
V Г и (х) dx
Лал J '*• '
п— 1 а
катор якинлашувчи булади. Одатдагидек берилган функционал катор-
нинг ^исмий йигиндисини Sn (х) деймиз. Функционал каторнинг текис
яцинлашувчилиги таъриФидан, Ve>0 олинганда хам, —га кера
Ь — а
шундай n0£/V топиладики, барча п > п0 ва [а, 6] сегментнинг барча х
нукталари учун
i S (х) - S (х) | <
О — d
булади
Ани^ интеграл хоссасидан фойдаланиб цуйидагини топамиз:
ъ ь ь ь
( S (х) dx = [ Sn (х) rfx + J [S (х) — Sn (х)] dx = f ut (х) d.x4~
а а а а
b ? 2
4- J и2 (х) dx + ... 4- у Un (х) dx+ [ [S (х) — sn (х)1 dx.
а а а
Агар
ь ь
I f [S (х) - Sn (х)] dx | < [ | S (x) - Sn (x) | dx < (b — a) = e
a a
булишини эътиборга олсак, унда
lim \ [S (х) — Sn (х)] dx = О
булиб, натижада
b b b ь
) S (х) dx= \ «j (х) dx-r у и2 (х) dx -г . . . 4- f ип (х) dx 4- ...
а а а а
эканлиги келиб чицади. Теорема исбот булди. Юкоридаги муносабатни
к.уйидагича хам ёзиш мумкин:
У ип w]dx = 2 [ J*Un dx]'
а п—I п=1 а
Бу эса 14.10-теореманинг шартлари бажарилганда чексиз цаторларда
х,ам хадлаб интеграллаш коидаси уринли булишини курсатвди.
14.3-эслатма. Келтирилган теоремада функционал каторнинг те-
кис якннлашувчилиги шарти етарли булиб, у зарурий шарт эмас, яъни
баъзан текис якинлашувчилик шартини бажармаган функциал катор-
ларни хам хадлаб интеграллаш мумкин булади.
152
Мисол. Ушбу
2п+1 2л-1
— х ) (0 .г
1)
n--i
каторни карайлик. Бу к.аторнинг кисмий йигиндиси
п 1 1
fc=l
булиб, йигиндиси эса
1 0. агар х = 0 булса,
S (х) = 1 i m S (г) = 1 i m f — x - .v’ ‘ ’ ) = ; , n ,..
' n ' ' - 1 — -v, aran 0 < x 1 булса
fl-»» k
булади. Бу функционал катор [0,1] ораликда текис якинлашувчилик шартини бажар-
майди. Аммо
I
[ S (л) dx = _1_ ,
6 2
ОО I '— ----— 90 ТО
_____= _L =
^o’ ~ 2 1) 2 « n+
00 i
V 1
)] dx=M j [X
”=! о
2ft—I ,
dx
_ 1 lim ' 1
булишини эътиборга олсак, унда
1 1 оо * —
t S(x)dx= ( [ У (х2'г-г1
0 ° S
булиши топилади.
2. Функционал кетма-кетликларни хадлаб интег-
раллаш. [а, Ь] сегментда {(/'„(х)}.
fl W, /2(-\')../„(Д'), . . . (14.2)
функционал кетма-кетлик берилган булиб, унинг лимит функцияси
f{x) булсин.
14.11-те орем а. Агар {/„(х)} функционал кетма-кетликнинг хар
бир fn(x) (гг= 1,2, . . .) хади [а, Ь] сегментда узлуксиз бС/либ, бу
функционал кетма- кетлик [а, Ь] да текис якинлашувчи булса, у
холда
& b
j h(x)dxSf2(x)dx, .
a d
a
кетма-кетлик якинлашувчи булади, унинг лимита
тенг булади, яъни
ь ь
n^Rwrf-v- ^wdx.
а а
b
эса f (x) dx га
a
(14.24)
153
Бу теоремадаги (14.24) лимит муносабатни куйидагича
хам ёзиш мумкин.
6- §. Функционал каторларни х,амда функционал
кетма-кетликларни хадлаб дифференциаллаш
1. Функционал каторларни хадлаб дифференциал"
лаш. [я, ё] сегментда якинлашувчи
(х)-4-(х) 4- . . . -L и,г(х)+ . . . (14.5)
функционал катор берилган булиб, унинг йигиндиси S (х) булсин:
S (х) = V ип (х)
•7-1
Ос
14.12-теорема. Агар ^пп(х) каторнинг хар бир хади ип(х)
(п=1, 2, . . .) [о, ё] сегментда узлуксиз м,'(д) (л = 1, 2, . .) .\ocu-
лага эга булиб, бу хосилалардан тузилган
ос
X и'п W W “г + •••+«„ + • • •
>7=1
функционал катор \а, &] да текис якинлашувчи булса, у .улда бе-
рилган функционал цаптрнинг S(x) йигиндиси шу [а, &] да S' (х)
хосилага эга ва
S'(х) = гф(х) (14.25)
л= I *’
булади.
Исбот. Шартга кура
и\ (х) 4 и2 (х),4- . . + ип (х)
функционал катор (я, Ь] да текис якинлашувчи. Унинг йигиндисини
ос
S (х) дейлик: 5 (х) — 4, (х). Бу S(x) 14.6-теоремага асосан [я, Ь]
>7=1
да узлуксиз булади.
Функционал каторни х.адлаб интеграллаш хакидагп 14.10- теорема -
дан г|юйдаланиб, ушбу
S (ди =2^ (х)
.-1=1
каторни [й, .<] оралик (а < х Со) буйича хадлаб интеграллаб куйида-
гини топамиз:
154
[S(x) dx ==2 [ f u'v. Wdx\ — ! Ur W — Un(a> i = Un~
a /!=-.[ I- j 4=1 L ' J r: = l
— S u„ (a) = 5 (x) -- 3 (a). (14.26)
4=1
Модэмики. 3 (x) функция [a, ft] ораликда узлуксиз экан, 1-кисм,
6-боб, 4-§ да келтирилган теоремага биноан
f $(/) dt
о
функция дифференциалланувчи булиб, унинг хосиласи
—— | ( 3 (Г) dt • = 3 (х)
(/.Г ,1 j
а
булади.
Иккинчи томондаи (14.26) тепгликка кура
а
dx
S (xi — S (a) I
3(x),
яъни
S' (,r) = 3 (.?)
булишини топамиз, Бу эса (14.5) функционал катор йигиндиси хоси-
лага эга за унинг учун (14.25) тенглик уринли булишини билдиради.
Теорема исбот булди.
(14.25) тенгликни куйидагича .хам ёзиш мумкин.
—i иг (Х>1 .
j.f L ' ’ J
Бу эса 14.12-теореманинг шартлари ба.-карилганла чексиз :;атор-
лардэ хам хадлаб дифференциаллаш криласи уринли булишини ку’рса-
тади.
14.4-э с л ат м а. 14.12-теоремадаги функционал каторнинг текис
я^инлашувчилик шарти хам етарли булиб, у зарурий ш.трг эмас.
2. Функционал к ет м а- к ет ли к л а р и и хадлаб дирфе-
ренциаллаш. [a, сегментда якинлашувчи (ЬфСО':
Л(х), /Рх), . ., (14.2)
функционал кетма- кетлик берилган булиб, унинг лимит функцияси
/(х) булсин.
14.13-т ео рем а. Лгар {/„(х)} функционал кетма-кетликнинг хар
бир ходи /;,(x)(z2---1,2, . . .) [а, &] сегментда узлуксиз Д’г(х)(я = 1,2, . ..)
хосилага эга булиб, бу хосилалардан тузи.^ан
/((х), /;(х), . . , /'(х), .
155
функционал кетма-кетлик [а, Ь] да текис якинлашувчи булса у хол-
да f(x) лимит функция шу [а, Ь] да f (х) хрсилага эга булиб, {/„(%)}
кетма- кетликнинг лимити f (х) га тенг булади.
7-§. Даражали цаторлар
1. Даражали каторлар. Абель теоремаси. Биз аввалги
параграфларда функционал каторларни ургандик. Функционал катор-
лар орасида, уларнинг хусуснй .холи булган ушбу
V йо4-С1.г л-о2х3+ . . . + ... (14.27)
ёки, умумийрок,
ОС
V ап(х — хор = «о+дСг — х0) + • • • — х0)'г+ • • • (14.28)
л=0
^аторлар (бунда а0, а1г а2, ... ап, ... х0 — узгармас .уакикий сон-
лар) математикада ва унинг татбикларида му^им роль уйнайди. Бу ер-
да, ушбу бобнинг 1-§идаги (14.5) ифодада цатнашган ип(х) сифатида
ип Ю = апх'г (ёки ып W = ап (-v — .г0)'!)>
яъни х (ёки х — х0) узгарувчининг даражалари цараляпти. Шу сабабли
(14.27) ва (14.28) каторлар даражали цаторлар деб аталади.
Агар (14.28) каторда х— x0 — t деб олинса, у холда бу цатор /
узгарувчпга ннсбатан (14.27) катор куринишига келади. Демак, (14.27)
каторларни урганиш кифоядир.
(14.27) ифодадаги о0, аг а2, . . . ап . . . хакик.ий сонлар (14.27)
даражали каторнинг козффициентлари деб аталади.
Даражали каторнинг тузилишидан, даражали каторлар бир-биридан,,
факат коэффициент лари билангина фарк ^илишини курамиз. Демак,
даражали цатор берилган деганда унинг коэффициент лари берилган де-
ганини тушунамиз.
Мисо л л а р. Ушбу
со
2. = l-t- .?+хг-г • . + • • •
л=0
Каторлар даражали цаторлардир.
Шундай килиб, даражали каторларнинг .хар бир \ади (—со, +00)
да берилган функниядир. Бинобарин, даражали цаторни, формал нук-
таи назардан, (—оо,-фоо) да карат мумкин. Аммо, табиийки, уларни
ихтиёрий ну^тада якинлашувчи булади деб олмаймиз.
156
Албатта, ихтиёрий даражали катор х = 0 нуктада якинлашувчи бу-
лади. Бу равшан. Демак, даражали каторнинг якинлашиш со\аси ал-
батта х = 0 нуктани уз ичига олади.
Даражали каторнинг якинлашиш сохаси (туплами) структурасини
аниклашда куйидаги Абель теоремасига асосланилади.
14.14- теорема (Абель теоремаси). Агар
V ап хп = а0 + ал х а2х2 4- . . . + апхп + ... (14.27)
даража/iu катор х нинг х — х0 (х0 0) кийматида якинлашувчи бул-
са, х нинг
И<Ы (14.29)
тенгсизликни цансатлантирувчи барча кийматларида (14.27) дара-
жали катор абсолют якинлашувчи булади.
Исбот. Шартга кура
у оЛваО + а1-0Мо + . . . + a„.v«-b • . -
жчж
П=0
Катор (сонли катор) якинлашувчи. У хрлда катор якинлашувчилиги-
нинг зарурий шартнга асосан
lim , = 0
п о
п->оо
булади. Демак, {a„xg} кетма-кетлик чегараланган булади, яъни шун-
дай узгармас М сони мавжудки, V /г С У учун
тенгсизлик бажарилади. Бу тенгсизликни эътиборга олиб куйидагини
топамиз:
|VI=lv;|- тГ^л1|т1“
Ло I I Л0 I
Энди ушбу
= lflo! + IM + |G2;<2i + • • • +]°nX"l + •• • (l4-3°)
n=0
Катор билан бирга куйидаги
у м I — р = Л1 + л/1 —I + .д i — р м! —Г-т-...
А=о I -г0 I I *0 I I ’-'о I I Л'о 1
(14.31)
Каторни карайлик. Бунда, биринчидан (14.31) катор якинлашувчи
(чунки бу катор геометрик катор булиб, унинг махражи (14.29) га кура
1 Дан кичик: I —!< 1), пккинчидан (14.30) каторнинг кар бир хади
I Л.'о [
(14.31) каторнинг мос каДВДан катта эмас. У колДа 1-Кисм И-боб,
3-§ да келтирилган теоремага кура (14.30) катор якинлашувчи була-
157
ди. Демак, берилган (14.27) даражали катор абсолют якинлашувчи.
Теорема исбот булди.
14.1- натижа. Агар
ifln'‘”"=0o + °i/^f72A'2+ • • • + V + • • (14.27;
п-— О
даражали катор х нинг х=х0 кийматида узоклашувчи булса, :< нинг
|х|>|хп| тенгсизликни каноатлантирувчи барча кийматларнда узокла-
шувчи булади.
Исбот. Берилган (14.27) даражали катор х0 нуктада узоклашув-
чи булсин. Унда бу катор х нинг |х|>|х0| тенгсизликни каноатлан-
тирувчи кийматларнда хам узоклашувчи булади, чунки (14.27) катор
х нинг j.r | > J-Vol тенгсизликни каноатлантирувчи бирор х = хг кийма-
тида якинлашувчи буладиган булса, унда Абель теоремасига кура бу
катор х — х0 (| х0 I < Xj |) нуктада хам якинлашувчи булиб колади. Бу
эса (14.27) каторнинг х — х0 да узоклашувчи дейилишига зиддир. На-
тижа исбот булди.
2. Д а р а ж а ли каторнинг я к и н л а ш и ш ради у сива яки н-
лашиш и нт ер в ал и. Энди даражали каторнинг якинлашиш соуаси
структурасини аниклайлик.
14.15- теорема. Агар
ОО
V а хА — ап + о, х1-)- а„хг 4- . . . -+- а хп -+- . . . (14.27)
ц их** it
п=0
даражали катор х нинг баъзи (х=£0) кушматларида якинлашувчи,
баъзи кийматларида узоклашувчи булса, у холда шундай ягона г>0
хаки^ий сон топиладики (14.27) даражали кртор х нинг |х|<г
тенгсизликни каноатлантирувчи кийматларнда абсолют якинлашув-
чи, | х | > г тенгсизликни каноатлантирувчи кийматларида эса узок,-
лашувчи булади.
Исбот. Берилган (14.27) даражали катор х = хо#=0 да якинла-
шувчи, х = Xj да эса узоклашувчи булсин. Равшанки, |xoj < |Xj | була-
ди. Унда 14.14-теорема хамда 14.1-натижага мувофик (14.27) даража-’
ли цатор х нинг |х|<|х0| тенгсизликни каноатлантирувчи кийматла-
рида абсолют якинлашувчи, х нинг | .х | > |хг | тенгсизликни каноат-
лантирувчи ^ийматларида эса узоклашувчи булади. Жумладан (14.27)
даражали катор а(а<|х0|) нуктада якинлашувчи, &(1?>|х1[) нуктада
эса узоклашувчи булади (15-чизма). Демак, (14.27) катор [а, Ь] сегмент-
нинг чап чеккасида якинлашувчи, унг чеккасида эса узоклашувчи.
[о, &] сегментнинг
k. CL 4” ь
уртаси —
^аторни карайлик. Агар (14.27)
булса, унда
b сегментни,
нуктани олиб, бу нуктада (14.27)
а b
цатор ~— нуктада якинлашувчи
а 4- b _ ,
—!— нуктада узоклашувчи бул-
’ п Ь
2
'а,
2
са,
сегментни олиб, уни (czj, оркали белгилайлик. Де-
мак, (14.27) катор ох нуктада якинлашувчи, Ьх нуцтада эса узоклашувчи
158
15- чизма
Каторни караймиз. Агар у
I П» -г- 1)ч <
Да pV’’ Ь'-
булиб, bj сегментнинг узунлиги b, — оу — га тенгдир. Сунг
[ар сегментнинг уртаси 01-нуктани олиб, бу нуктада (14.27)
нуктада якинлашувчи булса, ун-
' 01 - by
11 2
(14.27) катоР
булиб, 1а2, &2]
жараённи да-
2
сегментни, узоклашувчи булса,
ментни олиб, уни [«„, Ьг[ оркали белгилаймиз, Демак,
а2 нуктада якинлашувчи, Ь2 нуктада эса узоклашувчи
сегментнинг узунлиги Ь2~а2 — Ь—^- га тенгдир. Шу
вом эттираверамиз. Натижада ичма-ич жойлашган
[ар &j], [а2, Ь2], . . . , [ап, Ьп], ....
сег-
сегментлар кетма-кетлиги косил булади. Бу сегмзнтларнииг \ар блри-
нинг чап чеккасида (ал-нукталарда) (14.47) кагор якинлашувчи, унг
чеккасида эса [Ьп- нукталарда) узоклашувчи, п -»-оо да бу сегмент лар
узунлиги нолга интила боради (Ьп — ап~ (l -* 0 j.
Унда ичма-ич жойлашган сегментлар приннипига кура (каралсин,
1-Кисм, З-боб, 8- §) шундай ягона г сони топиладики,
lima„ = lim У = г
п п
П“*ОО П“-*СО
булиб, бу г нукта барча сегментларга тегишли булади.
Энди х узгарувчининг | х | < г тенгсизликни каноатлантнРУзчи их‘
тиёрий кийматини каРайлик. liman—-г булгани сабабли, шундай нату-
рал /zfl сони топиладики, |х [<аПв<г булади. нуктада (14.27) ка-
тер якинлашувчи. Демак, 14.14-теоремага кура х нуктада \ам (14.27)
даражали катор якинлашувчи булади.
х узгарувчининг |х|>г тенгсизликни каноатлантирувчи ихтиёрий
Кийматини карайлик. limbn=r булганлиги сабабли, шундай натурал
/Z—
п1 сони топиладики. l.r|>/?nI>r булади. Ьп^ нуктада (14.27) катоР
узоклашувчи. Унда 14.1-натижага кура х да (14.27) катор узоклашув-
чи булади.
Шундай килиб, шундай г сони топиладики (14.27) даражали к.атор
х нинг |х|<г тенгсизликни к.зноатлангирувчи кийматларида абсолют
якинлашувчи, | х | > г тенгсизликни каноатлангирувчи кийматларида
эса узоклашувчи булади. Теорема исботланди.
159
14.8-таъриф. Юкоридаги 14.15-теоремада топилган г сони (14.27)
даражали каторнинг якинлашиши радиуси, (— г, г) интервал sea (14.27)
даражали каторнинг якинлашиш интервала деб аталади.
14-5-эслатма. 14.15-теорема х нинг х = ±г ^ийматларида (14,27)
даражали каторнинг якинлашувчи ёки узоклашувчи булиши тугрисида
хулоса чи^ариб бермайди. Бу х — ± г нукталарда (’14.27) даражали
катор якинлашувчи хдм булиши мумкин, узоклашувчи хам булиши
мумкин.
Энди мисоллар караймиз.
М и с о л л а р. 1. Ушбу
1 -ч- х + х~ -г ... +*”+•••
даражали цатор (геомегрик катор) нинг якинлашиш радиуси r~ 1, якинлашиш ин-
тервали (— 1, -У I) б<лади. Бу цатор интервалнинг чекка иукталари г — ± 1 да
узоклашувчи.
2. К,уйидаги
X х2 , хп
1 + “ -Г -Г 32 + • • • + ^Г + • • •
цаторнинг якинлашиш радиуси r= 1, якинлашиш интервали (—1, 1) бхлади. Бе-
рилган катор г = 1 да якинлашувчи, г --= — 1 да эса узоклашувчндир, Демак, да-
ражали каторнинг якинлашиш со.хаси (туплами) [—1, 1] сегментдан иборат.
3. Ушбу
даражали каторнинг якинлашиш радиуси r= 1, якинлашиш интервали эса (—1, 1)
бу’лади. Берилган катор г — 1 да якинлашувчи, г = — 1 да эса узоклашувчндир.
Демак, каторнинг якинлашиш сохаси (— 1, 1] ярим интервалдаи иборат.
14.6-эслатма. Юкоридаги теорема баъзи .хо^0 нукталарда якин-
лашувчи, баъзи хгу= 0 нукталарда узоклашувчи булган даражали кд-
торлар хакидадир. Аммо шундай даражали каторлар \ам борки, улар
ОС
факат х = 0 нуктадагина якинлашувчи булади. Масалан, Т п! хп ,
П-~1
катор исталган -Уд—0 нуктада узоклашувчндир. Хакикатан хам, Да-
ламбер аломатига кура
(п-4- 1)! /Vя I
lim-------—-------= hm(n + l).v0 = оо
П—> ОС 72. Xq j n—> оо
co
булади. Демак, v п[ хп катор исталган х=/^0 да узоклашувчи. Бун-
П = 1
дай даражали каторларнипг якинлашиш радиусини г = 0 деб оламиз.
Айни вактда шундай даражали каторлар хам борки, улар ихтиёрий
Л'С( — оо, оо) да якинлашувчи булади. Масалан, "V — ни олайлик
11!
п=!
160
Бу катор исталган х0 нуктада якинлашувчидир. Х,акикатан
Даламбер аломатига кутра
хам, яна
lim
Л—> СО
уП-М п!
л0 ------
(п+1)! -*о
= lim 1^-1 = О
П->ОС п+ 1
булади. Демак, бу катор исталган х£(— 004-00) да якинлашувчи.
Бундай даражали цаторларнинг якинлашиш радиуси г = 4- оо деб
олинади.
3. Коши —Ада мар теоремаси. Юкррида курдикки, даражали
цаторларнинг якинлашиш сохаси содда структурага эга булар экан:
ёки интервал, ёки ярим интервал, ёки сегмент. Хамма лолларда Vм
бу соха якинлашиш радиуси г оркали ифодаланади.
Маълумки, хар кандай даражали катор
V «пхп = Яо + а,х+ О2х2 Ф ... + ап хп + ... (ц 27)
п=(1
узининг коэффициентлари кетма-кетлиги |ал} билан аникутанади. Би-
нобарин, унинг якинлашиш радиуси хам шу коэффиниентлар кетма-
кетлиги оркали кандайдир топилиши керак, Берилган (14.27) даража-
ли катор коэффициентлари ёрдамида | | ап |}:
I °о I’ I а> I’ V I а21 ’ • • ’ |/" I ап I > • • (14.32)
сонлар кетма-кетлигини тузамиз. хМаълумки, хар цандай сонлар кетма-
кетлигининг юкрри лимити мавжуд (каралсин, 1-^исм, З-боб, 11-§).
Демак, (14.32) кетма-кетлик хам говори лимитга эга. Уни b билан
белгилайлик:
fe=limj^|fln| (0<b<4-oo)
П —»СО
14.16-теорема (Коши —Адамар теоремаси). Берилган
00 п
У, апх даражали каторнинг якинлашиш радиуси
п=0
__ J____________1______
b lim " 'I I (14.33)
булади.
14.6- эслат ма. Юкоридаги (14.33) формулада & = 0 булганда г =
= 4-00, b — + 00 булганда эса г = 0 деб олинади.
Исбот. (14.33) формуланинг тугрилигини курсатишда куйидаги
1) Ъ = + оо (г = 0),
2) & = 0 (г = 4- оо),
3) 0 <7 b 4- °° I г = —
\ ь j
Холларни алохида-алохида караймиз.
1) b = оо булсин. Бу хрлда у | ап | кетма-кетлик чегараланмаган-
дир. Ихтиёрий ха(хот^0) нуктани олиб, бу нуктада (14.27) даражали
И—501
161
I
каторнинг узоклашувчи экаиини курсатамиз. Тескарисини фараз ки-
лайлик, яъни шу х0 нуктада (14.27) даражали катор якинлашувчи
булсин. Демак, У а„х" катор (сонли катор) якинлашувчи. Унда
л=0
катор якинлашувчилигининг зарурий шартига асосан
НтяХ = 0
П—* 00
булади. Демак, {опх^} кетма-кетлик чегараланган, яъни шундай Уз-
гармас М сон мавжудки (уни 1 дан катта килиб олиш мумкин),
Vn£/V учун
| а„ х" | < М (М > 1)
тенгсизлик бажарилади. Бу тенгсизликдан
яъни
yjTT < —
У 1 п| |ХО|
булиши келиб чикади. Шундай килиб y 'pj кетма-кетлик чегара-
ланган бУлиб колди. Натижада зиддиятлик юзага келди. Зиддиятлик-
нинг келиб чицишига сабаб (хо¥=О) нуктада (14.27) каторнинг якин-
лашувчи булсин деб олинишидир. Демак, (14.27) даражали катор их-
тиёрий хп(х0#= 0) нуктада узоклашувчи.
2) b = О булсин. Бу колда ихтиёрий х0(х0=4=0), нуктада (14.2/) да-
ражали каторнинг якинлашувчи булишини курсатамиз. Модомики,
1 УкТ} кетма-кетликнинг юкори лимити нолга тенг экан, бундан
унинг лимити хам мавжуд ва нолга тенглиги келиб чикади. Таъри'ф-
га асосан Ve>0 сон олинганда х.ам, жумладан е = га кура
шундай пп С N топиладики, барча п > п0 учун
булади. Кейинги тенгсизликдан эса
| а„ хпп I < -1-
I п о I 2п
булиши келиб чикади.
Равшанки
00 1
S ~^г
п=0 z
162
Катор якинлашувчи. Таккослаш теоремасига кура (каралсин 1- кием
11-боб, 3-§) 4
S |«п*о|
п=0
Катор кам якинлашувчи булади. Демак,
п=0
Кагор абсолют якинлашувчи.
3) 0<Ь< + оо булсин. Бу холда (14.27) даражали катор ихтиё-
рий хЦ|х0|< —-нуктада якинлашувчи, ихтиёрий x^JxjO—j
нуктада узок.лашувчи булишини курсатамиз.
|х0|<^— булсин. У колда шундай б)>0 сонни топиш мумкинки,
^^Г+б бУлади. Энди 61(О<61<6) сонни олайлик. Бу 6, > О
сонга кура шундай nQ^N топиладики, барча п > п0 учун (юкори ли-
митнинг хоссасига кура, 1-кисм, З-боб, 11-§) < Ь + 6,, яъни
ffin ] <С (Ь + Ь})п булади. Демак, барча п>п0 учун
+ (14.34)
булиши келиб чикади, бунда
6 + 61 = (ь -у 6) - (6 - 6t) = _ б-б,
6 4-6 /? — 6 64-6
Энди ушбу
Solanxo| = |aoj + |a1x0|4-|a2x2|+ . . . + |a„xj| + . . . (14.30)
Катор билан куйидаги
2Z»+« 1 + в+/> + •+ -г <14-351
п—0 '
Каторни солиштирайлик. Бунда, бириичидан, (14.35) катор якинлашувчи
(чунки бу катор геометрик катор булиб, унинг махражи 0<^~61 < 1),
иккинчидан, п нинг бирор кийматидан бошлаб (п > и0) (14.34) муноса-
оатга кура (14.30) каторнинг хар бир кади (14.35) каторнинг мос ка-
дидан кат га эмас. Унда каторлар назариясида келтирилган таккослаш
^«Ремасига (1<WM. П-боб, 3-§) кура (14.30) катор якинлашувчи
булсин. Унда шундай б'>0 сонни топиш мумкинки,
163
ih/JU.'i
Демак, берилган функционал кетма-кетлик (—с, с) ораликда f (х) = 0 лимит
функцияга текис якинлашлди:
е~ (х—п)’ = 0 (— с , х < с; с > 0).
2. К,уйидаги
функционал кетма-кетлнкни ^арайлик. Бу функционал кетма- кетликнинг лимит функ-
циясини топамиз:
= ос булиб берилган, функционал кетма-кетлик учун 14.1-теореманинг шарти ба-
жарилмайди.
Маълумки, 1-цисм, З-боб, 10-§ да сонлар кетма-кетлигининг лп-
митга эга булиши х;ацида Коши теоремаси келтирилган эди. Шунга
ухшаш теоремами функционал кетма-кетликларда хам айтиш мумкин.
Биз к,уйида функционал кетма-кетлик кандай шартда лимит функ-
цияга эга булиши ва унга текис я^инлашишини ифодалайдиган теоре-
мани келтирамиз. Аввал фуидаментал кетма-кетлик тушунчаси билан
танишамиз.
A' (X cz R) тупламда W}:
А(х), /2(л'), • • , fn(x), ... (14.21
функционал кетма-кетлик берилган булсин.
140
14.6-таъриф. Агар Ve>0 сон олинганда ^ам шундай n0£N
сон мавжуд булсаки, «>п0, ш>п0 булганда у х£Х нуцталар учун
бир йула
|М*)-ЫХ)|<г (14.11)
тенгсизлик бажарилса, {fn(x}} функционал кегма-кетлик X тупламда
фуидаментал кетма-кетлик деб аталади.
Масал ан, юкорида келтирилган
,r , п г sin п х|
{f. (х)) = t—j
функционал кегма-кетлик X = (—оо, + °0) тупламда фуидаментал
кетма-кетлик бйлади.
<W-’»={тт^)
кетма-кетлик эса у X — [0, 1] тупламда фуидаментал кечма-кетлик бул-
май ди.
14.2-те о рем а. (Коши теоремаси.) {/„(х)} функционал кст-
ма-кетлик X тупламда лимит функцияга эга булиши ва унга те-
кис якинлашиши учун уХ тупламда фуидаментал булиши зарур ва
етарли.
Исбот. Зарурлиги. X тупламда {/п(х)} кетма-кетлик лимит
функцияга эга булиб, унга текис якинлашсин:
/„(x)=:/W (х£Х).
Текис якинлашиш таърифига мувофик Уг>0 сон олинганда хам,
га кура шундай и0ЕХ топиладики, п>л0 булганда v x£M нукталар
учун
|/nW-/«l<y
шунингдек, т>п0 булганда V х£Х учун
IMx)-/(x)< f
булади. У холда л >н0, т > па ва ух£Х учун
|fn (х) -- 1т (х)| С |/п (х) — / WI -г Ifm (х) — f (Д')| < В
булади. Бу эса {/п(х.'} кетма-кеглик X тупламда фундамент кет ма-
ке глик эканиии билдиради.
Етарлилиги, {/„(х)} кетма-кетлик X тупламда фуидаментал кет-
ма кетлик булсин. X тупламдан олинган хар бир х0)х0£Х) да {/п(х)}
функционал кетма-кетлик {/n (л'о)} сонлар кстма-кечлигига айланади.
Равшанки, {/n(v0)} кетма-кетлик фуидаментал кегма-кетлик булади.
У холда Коши теоремасига асосан (1-кисм, З-боб, 10-$) {fn (х0)} якин-
лашувчи. Демак, X тупламнинг хар бир х0(х0£Х) нуктасида {/fi(x0)}
кетма-кетлик якинлашувчи. Бу {/п(х)} кетма-кетликнипг лимит функ-
ЦИЯС11НИ /(х) дейлик;
lim fn (x) =- / (х) (х 6 X).
141
y^x: F(x, у) = 0
(У о — е? У о + е) да узлуксиз булади.
Бу теореманинг исботи ю^орида келтирилган 13.11-теореманинг
исботи кабидир.
^3. Ошкормас функциянинг хосиласи. Энди ошкормас
функциянинг ^осиласини топиш билан шугулланамиз.
13.13- теорема. F (х, у) функция (х0, z/0) £ Р2 нуктанинг бирор
Uh. k ((хо, уф) {(*> у) £R2'- ^o~fi<x<x{) +h, y0 — k<y<yQ-irk}
атрофида (ft>0, &>0) берилган ва у куйидаги шартларни бас ар-
син'.
1) Цг,/Д(*о, У о)) да узлуксиз,
2) Uht к ((х0, у0)) да узлуксиз F'x (х, у), Fy (х, у) хусусий хрсила-
ларга эга ва F' (х0, ^/0) =^= 0;
3) F (х0, уф =0.
У %олда (х0, у0) нуцтанинг шундай
Uе ((Ло» УФ) ~ {(я, У) € R2 • ~Ь б, у{) — £ <С у t/0 +е}
атрофи (0< б</?, 0 < 8 < k) топиладики,
1') V X £ (а0 — б, х0 + 6) учун
F (х, у) = 0
тенглама ягона у ечимга (у С (у0 — е, у0 + s)) эга, яъни F (х, у) = 0
тенглама ёрдамида
х-> у: F (х, i/) = 0
ошкормас куринишдаги функция аницланади;
2') х = х0 булганда унга мос келадиган у = у0 булади;
3') ошкормас куринишда аницланган
х-+у: F(x, у) = 0
функция (х0—-6, х0 + б) оралицда узлуксиз булади;
4') бу ошкормас куринишдаги функция (х0 — б, х0 + 6) ораликда*
узлуксиз хосилага эга булади.
Исбот. Шартга кура F' (х, у) функция t7ft fe((x0, yQ)) да узлук-
сиз ва Fy (х0, ^0)¥=0. Аницлик учун F (х0, уо)>0 дейлик. У холда
узлуксиз функциянинг хоссасига кура (х0, уф нуктанинг шундай
е (Цо, .%)) = {(*. у) € R2: А'о — 6 О Ой + 6, у0 — е < у < уп + е}
атрофи (0 < 6 ch, 0<£<^ топиладики, V (х, у) С г ((х0, уф}
учун F'( (х, г/)>0 булади. Демак, F (х, у) функция х узгарувчининг
(х0 — Ь, х0 + 6) оралицдан олинган >^ар бир тайин цийматида, у узга-
рувчининг функцияси сифатида усувчи. Юцорида исбот этилган 13.11-
теоремага кура
F (х, у) -- 0
тенглама (х0 — б, х,, + б) да
х-^-у: F (х, у) - 0
ошкормас куринишдаги функцияни аниклайди, х — х0 булганда унга
116
мос келган у — у0 булади ва ошкормас функция (х0 — 6, х0 + б) да
узлуксиз булади.
Энди ошкормас функциянинг ^осиласнни топамиз, х0 нуцтага шун-
дай Дх орттирма берайликки, х0 + Дх £ (х0 — 6, х0 ~Ь 6) булсин. На-
тижада
у: F (х, у) — О
ошкормас функция хам орттирмага эга булиб,
р (*0 + Дх, у0 + Д//) = о
булади. Демак,
A F (х0, у0) = F (х0 + Дх, у0 + Az/) — F (х0, у,,) = 0) (13.52)
Шартга кура F'x(x, у) ва F' (х, у) хусусий хосилалар б/. £ ((х0, '/0))
да узлуксиз. Бинобарин F (х, у) функция (х0, у0) нуктада дифферен-
циалланувчи:
A F (х0, z/0) = F'x (х0, у0) Дх + F’y (х0, z/0) Д// + а А х + р Д у. (13.52')
Бу муносабатдаги а ва р лар Дх ва Дг/ ларга боглик ва Дх-* 0
да Ду—> 0, сс—> 0, Р~*0.
(13.52') ва (13.52) муносабатлардан
Д/у //(ОТ CL
Ax Fy (x0, ye) + ₽
эканлиги келиб чикади.
Ошкормас функциянинг х0 нуктада узлуксизлигини эътиборга олиб,
кейинги тенгликда Дх-> 0 да лимитга утиб куйидагини топамиз:
F х (Хр» Уо) ~Г \ Fx (хр> z/o)
Fy (*о> !/о) + Р / Fy (х0, z/0)
Демак,
. Fх (х0, z/0)
Ух=ха = — (Хо> уо)-
^6, г Uxo, Уи)) да F (х, у), Fry (х, у) хусусий хрсилалар узлуксиз
ва F'y (х, у)^= 0 булишидан ошкормас функциянинг хрсиласи
lim Нт
~ Дх Дх->0
нинг (х0 — б, х0 + 6) ораликда узлуксиз булиши келиб чицади. Теоре-
ма исбот булди.
М и с о л. Ушбу
F (х, у) = хеу +уех — 2-0 (13.53)
t тенгламани ^арайлик. Равшанки, F (х. у) — х:у ~г уех —2 функция {(х, //) б R2' —
Ж — ос <с х <С °о , — оо <С у <С ээ } тупламда юцэр идаги 13.11- теореманинг барча шарт-
В 117
ларини каноаглантиради. Демак, V (х0, yG) £ Д2 нуктанинг е ((х0, у0)) атрофи-
да (13.53) тенглама ошкормас куринишдаги функцияни аниклайди ва бу* ошкормас
функциянинг хосиласи
Fх (х, у) еу + уех
/ --- - г . пгп г — ——
У Ру (*, у) *еу + ех
булади.
Ошкормас куринишдаги функциянинг хрсиласини куйидагича хам
^исобласа булади. у нинг х га боглик эканини эътиборга олиб, F(x,
у) = 0 дан топамиз:
Р'х (*. у) + F'y (*. У) у' = 0.
Бундан эса
г РX
у =--------------
Ру (*> У)
булиши келиб чикади.
КЦорида келтирилган (13.53) тенглама ёрдамида аницланган ош-
кормас куринишдаги функциянинг хрсиласини хисоблайлик:
F'x (*. У) + Р'у Р, «/) у' = еу + уех + (хеу + ех) у' = 0,
ех + хеу ’
4. Ошкормас функциянинг юкори т а р т и б л и хосил а-
лари. Фараз килайлик,
у) = о
тенглама (х0, //0) С R2 нуцтанинг Uе ((х0, £/0)) атрофида ошкормас
куринишдаги функцияни аницласин. Агар F (х, у) функция £ ((х0,
Уо)) Да узлуксиз F'x (х, у), F'y (х, у) хусусий хрсилаларга у)=^
=7^=0) эга булса, ошкормас куринишдаги функция узлуксиз ^осилага
эга булиб.
булади.
Энди F (х, у) функция s((x0, //0)) да узлуксиз иккинчи тартиб-
ли F'x2 (х, z/), F^y (х, у), F'y2 (х, у) хусусий \осилаларга эга булсин, у
нинг х га боглицлигини эътиборга олиб, (13.54) тенгликни х буйича
дифференциаллаб ^уйидагини топамиз:
,г (Рх^^ уУ)х р'у^^ У)—(Р'Лх, у))х F^(x, у)
J (Ру г/))2
Агар
= y)+Fxy^ у)у'-
y)Yx = F'yx (х, У) + (X, у) у' (13.55)
118
эканлигини хисобга олсак, унда
„ _ (F''x(x, У) + F'y’ (х’ У)'.'/) Fx (х< У) — (FX‘ (*’ У) + Fxy УУу") ' Fy (х' у~>
~ (Fy (X, У))2
(F'y (х, //)?
булади. Бу ифодадаги у' нинг урнига унинг киймати —
ни
куйиб, ошкормас куринишдаги функциянинг иккинчи тартибли хрси-
ласи учун куйидаги формулага келамиз:
,, __ %FX (х, У) • F'y (х, у) - Fxy (х, y}—Fy (х, у) Ftf (х, //) F* (х> У) F'y*
у .
Худди шу йул билан ошкормас функциянинг учинчи ва хоказо тар-
тибдаги ^осилалари топилади.
13.7-эс л ат ма. Ушбу
F (х, у) = О
тенглйма билан аникланган ошкормас куринишдаги функциянинг юкр-
ри тартибли хрсилаларини куйидагича хам хисобласа булади.
F (х> у) — О ни дифференциаллаб,
Fx (х, у) + F' (х, у) • у' = О
булишини топган эдик. Буни яна бир марта дифференциаллаймиз:
(*« УК + (*• У) • У'УХ =
= (*. у))х 4- у' • U- Ж + F'y у) У" = 0.
Юкрридаги (13.55) муносабатдан фойдалансак, у хрлда ушбу
F'X2 (X, у) + 2F” (х, у) у' + F” (х, у) у'2 + F' (х, у) • у" = 0
-tJ ip
тенгликка келамиз. Унда эса
бУ)+2гху (х’ У) ~ у' у8У) ‘ у'2
J F'u(x, у)
булиши келиб чикади. Бу тенгликдаги у’ нинг урнига унинг киймати
Fx (х, у)
---------- ни куйсак, унда
^(х, у)
2F'X (х, у) F (х, у) Fx (х, у) — F'\x, у) Fx2 (х, у) — Fx (х, у) • F^2 (х, у)
Z/ = ----------------------------------------------------------
(X, У)У
булади.
Мне о л. Ушбу
F (х, у) = хсу + уех — 2 ~ Q
119
ни дифференциал лаб (каралсин (*) формула),
еу + уех + (хеу + ех ) • у' = О
булишини топган эдик. Буни яна бир марта диффсренциаллаб топамиз:
еу • у' ~г у' ех уех Ц- еу у' + хеу у' • yf 4- хеу у"-]-у" ех + у'е* = О,
яъни
у" (Хеу + ) +2е</ у’ 4- 2/ у'+ хе« у’г + уех .
Бундан эса
„ 2еу y'+2f у'+ хеу z/a + уея
у = --- --------------------------
+ ех
булиши келиб чикади. Бу тенгликдаги у’ унинг урнига унинг киймати
+ yf
ех + хеу
ни цуйиб. ошкормас функциянинг иккинчи тартибли хосиласини топамиз.
5. Куп узгарувчили ошкормас функциялар. Куп узга-
рувчили ошкормас куринишдаги функция тушунчаси юкорида урганил-
ган бир узгарувчили ошкормас куринишдаги функция тушунчаси каби
киритилади.
F (х, у) — F (хп х2, . . . , хту) функция (% = (хи х2, . . . , хт) С Rn)
М {(х, у) С R”1*1: < хт < ...» ат < хт < bm, c<y<d} туп -
ламда берилган булсин. Ушбу
F (х, у) = F (хп х2 . . . , хт> у) = О (13.56)
тенгламани карайлик.
х С Rm нугугалардан иборат шундай X тупламни (X cz Rm) р^арай-
ликки, бу тупламдан олинган ^ар бир нуктада (13.56) тенглама ягона
^а^и^ий ечимга эга булсин. Энди X тупламдан ихтиёрий х нуцтани
олиб, бу ну^тага (13.56) тенгламанинг ягона ечими булган у ни мос
^уямиз. Натижада X тупламдан олинган хар бир х нуктага> юкорида
курсатилган цоидага кура, бигта у мос ^уйилиб, функция ^осил бу-
лади. Бундай аникланган функция куп узгарувчили (т та узгарувчи-
ли) ошкормас куринишда берилган функция деб аталади ва
х-^у: F (х, у) - О
ёки
каби белгиланади.
Мисол. Ушбу
F (xi, х2, у) ~ х\ х2 — х^у 4- х±у
функцияни ^арайлик. Равшанки,
F (%!, X2i у) — Х2 — %2 У 4- Х1У ~ О
120
тенглама R2\{(xb х2) € R2'Xi = *|} тупламдан олинган хар бир (хь х2) нуктада
ягона
х^ х2
у = — : •
Х2 — X!
ечимга эга, яъни
Демак, берилган тенглама ёрдамида хр х2 узгарувчиларнинг ошкормас куринишда
ги функцияси аницланади:
Энди куп узгарувчили ошкормас куринишдаги функциянинг мав-
жудлиги, узлуксизлиги хамда хосилаларга эга булиши хакндаги тео-
ремаларни келтирамиз.
13.14-теорем a. F (х, у) = F (xt. х2, . . . , хт, у) функция (х°, z/0) =
= (хр х?, . . . , х£, у0) е нукупанинг бирор Uh^ ,_hmk ((х°, у0))==
= {(хр хг, . ... , хт, у) G Rm+r: x^ — h^ X] < х® + hp х« — h2 <х2<
<O + h2, .... х®,— hm < хт < х*п + hm, y0-k<y<y0 + k} атро-
фида (7iz > 0, i = 1, 2, . . . , т, k > 0) берилган ва у куйидаги шарт-
ларни бажарсин'.
1) uh,h2 ....kmk ((•< %)) да узлуксиз;
2) х = (%!, х2 . . . , хт) узгарувчининг
{(хр х2, . . . , xm) С Rm: %? — \ < хх < xj + h[f x?2 — h2<Zx2<Z 4 +
тупламдан олинган хар бир тайин цийматида у узгарувчининг функ-
цияси сифатида усувчи (камаювчи);
3) F (х«, у0) = 0.
У холда (х°, z/0) нуктанинг шундай
6m е ((Х°’ ^2- ’ • • - У) Х°1~81<Х1<Х1+Ь1,
— 62<Х2<4+62, .... 6m<*m<4 + Sm> У0-^<У<
< yQ + е} атрсфи (0 < i = 1, 2, . . . , т, 0 < 8 < k) топи-
ладики,
1') V X € {(хр х2, . . . , xm) е Rm: х® - 61<х1 <х° + бр . .., х^-
- Ьт < хт < Х®п + 6т} учун
F (х, у) = 0 (13.56)
тенглама ягона у (у С (г/0 — 8, yG + 8)) ечимга эга, яъни (13.56) тенг-
лама х-> у :F (х, у) =0 ошкормас куринишдаги функцияни аницлай-
ди:
2') х = х° булганда, унга мос келган у = у0 булади',
121
Бу тепгликлардяги у'
ларни топамиз:
ipmuir (ринга уларнинг цнпматларини к^йнб куйидаги
(г/2 — х/х2) х;--—£---------— хгу (2у----
и", = _________________У — *1 _________________L
Xi (У2- х,х2)2
(у- — -ViX2) X]—--------------------— xji/ (2у------
и"г __________________________У- — xt Xj_____________________у1 — х
“ Л1 /О \.э
(у2 — хг х2)~
.3
(у-
-X 1 '-’2 У
<У2 — *1 х2 )3
у (г/4 — 2у2 Xj х2 — xj xj)
(.У2 — *i х2)2
6. Т е н г л а м а л а р системаси билан а н ик л а и а диг ан
ошкормас функциялар. Энди, келгусила биз учун кепак була-
диган янада у.мумийрок хол билли, тенгламалар системами оркали ан.ик-
ланадиган бир неча функциялар системаси билан танишайлик.
т+п та .у,. х2, . . ., хт ва ух, у„, . . ., уп аргументларнинг ушбу
п та
Fi (хп х», . . ., хт, ух, у.,, . . ., г/„) (1 = 1,2, . . ., п)
функниялари Т?"1-2-" фазодаги бирор
/И = {(лу, х2...........хт, у, у2, . . ., yr)
• 'С b 1, о2<^ х,<^ &2, . . ., x’m<\ &m, i/i’-C , •
Сп<Уг<~Лп}
тупламда берилган булсин. Куйидаги
Fl= -^2> • • ; Хт, Уъ у.,, . . ., Z/J=O
F.,= F2(Xi, х2, . . ., хт, yt, уг . . ., г/„)=0
(13.57)
Fr= Fn&’ х2..хт ух, у2, . . ., уг) = о
тенгламалар системасини карайлпк. x=(xlt х2, . . ., хт) узгарувчининг
кийматларидан иборат шундай
Л'1Х= {X = (xt, х2, . . ., xj е Rm : «!< Xi< b, а„< х2< b.2, . . .,
R,n
т т rrv
тупламни карайликки, бу тупламдан олинган кар бир x'=(xj, х'
х^) нуктада (13.57) система, яъни
124
Fjxj, л-;, . . xm, yL, y2.....Уп> = ®
F2(x'v x'2, . . ., x’n, yt, y2, . ., (/,,) = 0
F,.(a'i, x2, . . xm, yx, y2, • , y„) 0
* система ягона ечимлар системаси ylt у,.......у.) га эга булсин. Энди
) М тупламдан ихтиёрий (хп х2, . . ., хт) нуктани олиб, бу нуктага
(13.57; тенгламалар системасининг ягона ечимлари системаси булган
yL, у........уп пи мос куямиз. Натижада Мх тупламдан олинган хар
бир (Xj. х2, . . ., хт) га юкррида курсатилган коидага кура у2,у2, .,уп
1 лар мос куйилиб, п та функция хосил булади. Бундай аникланган
, функциялар (13.57) тенгламалар системаси ёрдамида аникланган ош-
кормас куринишдаги функциялар деб аталади. Кандай шартлар бажа-
рилганда шу (13.57) тенгламалар системаси уи у2, . . уп ларнингхар
биринн хг, х2, . . ., х,п узгарувчиларнинг функцияси сифатидааницлаши
мумкннлиги хацидаги масала му.уим. Бундай умумий масалани ^ал
кйлишни бигта соддарок хрлни урганишдан бошлаймиз'
Икки F1 = F1(x1, х2, J/р t/2) ва F2. = F2(x1, х2, pL, р,) функция
(л-о, х?. y.°)EF4 нуцтанннг бирор U hlh^kt ((хф х“, у», у°))=(-Ч, *2,
Рр у.,. е & : Х°—Й!< xt< х® + hl, х° — h2< х2< х° ~h2 у^ — kt<. У1 <
< Pi + y?2 — /?2< p2< y°2 + атрофида (hj>0, h2> 0, k^O, k2 > 0,
берилган б\глсин. Ушбу
Fi — Ft (x1, x'2> Pi, y2) — 0 (13 58)
F2 = F2(xj., ,v2, y2, y2) — 0
тенгламалар системасини карайлик.
Энди FJxy, х2, у±, у2) ва F2(xlf х2, у2, у2) функциялар кандай шарт-
ларни бажарганда (13.58) тенгламалар системаси ошкормас функция-
ларни аниклаши масаласи билан шугулланамиз.
Фараз килайлик, Ft (хп х2, ylt у2) ва F3(x1, x^jy^ у2) функциялар
учун
Fi(x°, х°, г/«) = 0, F2(x“, х°, у], р») = 0
булсин. Бундан ташкари каралаётган функциялар ((х®, х?, yj,//?))
да узлуксиз барча хусусий хрсилаларга эга ва, айтайлик,
х°, y°v /А п
--------—-------ф о
булсин. У хрлда 13.14-теоремага кура (хг(, .\2, у\, у2) нуктанинг шун-
дай атрофи (С\ с: ((х^, х°, y°v ySl) топиладики, бу атрофда
Ft(Xj. х2, ц1( у2) = 0
125
тенглама
(Ар х2. У^ У1 • F 1 (ху х*2, */j, у2\ — О
ошкормас куринишдаги функцияни анпклайди. Шу функцияни
У\ ^2> l'i)
деб белгилайлик. Буни (13.58) спстеманинг лккпнчи тенгламасидлгя у
нинг урнига к.^'йиб куйидагини топамиз:
/ о (X, Л2, Д (Л| Л'о), Уп} — О,
Энди
булсин дейлик. У хрлда яна 13.14-теоремага кура (х°}, х°, у[ р°)нук-
тапипг шундай Г2 атрофп ({.’,<= {,’дкА, ((л?, д’. у\, у§) топиладики, бу
атрофда
F2(x}, х2, /(Лр х2), //,) = О
тенглама
(Хр Л2) *" У2 * Аойу, *^2» / У 2^ === б
ошкормас куринишдаги функцияни аникламди. Бу функцияни уг =
=f2 (х} х2) деб белгилайлик.
Шундай килиб, (13.58) тенгламалар системаси (х°, х°, у°, //S) нук-
танинг бирор атрофида yt ва у2 ларни хп х2 узгаруцчиларнинг функ-
цияси сифатида аниклайди:
//i=/i (*i, -'‘г» -Х^1-
У2==/з (•'•’о л’г)-
Равшанки, Д(хф .\р, f2 (x°v хр) = ynv f2 (а?, хр = у°. Юкрридаги
(13.59) шартни куйидагича ёзиш мумкин.
дР2 , дГг _ dty
О'/2 С1?! <51/2
Бунда барча хусусий хрсилалар (xj, х^, у°_, ify нуктада хисобланган.
Агар
aG
dyi dtjj
dyi
эканиии эътиборга олсак, унда
ofi dF2 dFt dF2 dFi
dF2 , dF2 dt/t _ dFi । dFi I ^_\ ' dlh дУ1 ’ dy2 n
cu2 dyt dy. du. "r дУ1 ( -^5/ ~
<5(/i <Vi
булади. Модомики,
126
дбг дРг
дУг дч2
dF. dF
дУг ду-2
^¥=0
OtJl
экан, унда
ЛЛ _ dF.dF,. dFi Q
dw.2 дуг dyt ду.2
ЯЪНИ
^0 (13.60)
булади Шундай килиб (13. 59) муносабатни (13.60) куринишда ёзиш
мумкин экан.
Натижада ушбу теоремага келамиз.
13.16-те орема. ^(ху, х2, ух, у2) ва F2(xx, х2, уи у,) функция-
лар (?/(. х2, у°, y°)€R4 нуцтанинг бирор Uhthtkiki атрофида (hj > 0,
h2> 0. /?!> 0, k.2 > 0) берилган ва улар куйидаги шартларни бажар-
син:
1) «4 4 4 Уда УзлУк™з;
2) Uhhkk ((4 xjj, у°х, 4) да барча хусусий хрсилаларга эга ва
улар узлуксиз;
3) хусусий хрсилаларнинг (х°р х°, y°v у°2) нуцтадаги кийматлари-
дан тузилган ушбу детерминант нолдан фаркли;
дРг дРх
дуг ду.
dF. dF, - и’
дуг ду2
4) (хг(, Х°, у°, у°) да
Л(4 4 4 у°2) = 0, F.,(xr'l, х°, 4 4 = о.
У хрлда (х°, х^, у’{, 4 нуктанинг шундай U01ff8t.1Fj ((4 А, у}, 4)
апгрофи (0 < 6Х< 0 < 62< h2, 0 <ех< /?,, 0<₽2<4 пюпиладики,
бу ап-.рофда
Г) (13.58) тенгламалар системаси ошкормас куринишдаги
y!=K(xL. х,, /2(Х|, х2)), y2=f2(xx, х2)
функиияларни аниклайди:
2') (лу, х2) = (х((, х.?) булганда: унга мос келадиган
У\= >Л = Л х°, /, (х°, х^)), z/2=- у°2 = /2 (/[, х?>)
булади.
3') ошкормас куринлиида аникланган fx ва f2 функциялар
{(хп х2) е/?2: х? - \< х,< х(> + 6t, х« - 62< х2< х« + 6,}
тупламда узлуксиз ва барча узлуксиз хусусий хрсилаларга эга бу-
лади.
127
X1X2-F yiy-2^ 1
Х1У2— x2pi==3.
(13.61!
Мисо л. Ушбу
системами царайлик. Бунда
г 1 (Xj, Х2) = ХХХ2 + tJitJ-2 — I ,
•Г2 (*1, Х2) = Х2у2 — у2Х2 — 3
булиб, бу функциялар il, — 1, 1, 2) нуктанинг атрофида 13.16-теореманинг -барча
шартларини бажаради. -Хакицатан зам, х2. ylt уд, Ajixi, х2, у2, ур функция-
лар узлуксиз, узлуксиз барча хусусий хосилаларга эга, (1, — 1, 1, 2) нуктада
0f\ д/\
Ф/i Оу-2
0F2 dF2
дуг ду2
Хамда
Г1(1,-1, 1, 2)=0, f2(l, — 1, J, 2i = 0
булади. Демак, (13.61) система у, ва у2 Ларин xlt х2 узгарувчиларнинг функцияси
сифатида аниклайди. Равшанки, бу функциялар узлуксиз, хусусий хосилаларга эга.
Берилган (13.61) тенгламалар системасини бевосита z/j ва //., ларга нисбатан ечиб
цуйидагиларни топамиз:
— 3 + V 9 -г- 4 х^ — 4 хг xi 3 + -г- 4 хгх„ — 4 х, xs
1/1 =---------------------1—- , !/2 =--------------—.—L?_ .
2х2 2xi
Энди (13.57) системанинг ошкормас функцияларнинг аниклашини
таъминлайдиган (ошкормас функцияларнинг мавжудлигини нфодалайда-
ган) теоремани исботсиз келтирамиз.
13.17- теорем а. F2, . . . , Fn функцияларнинг хар бири (х°,
у0) = (л®, х!)......х^, у», у’,1, - - . , у®) нуктанинг бирор
UhkW, у0)) - Uihh> кп ((х", х?, .... х«, у», у», . . . , у")) =
= {(х®, у”) G R”‘ : n : х* — ht < X] < х® 4- ht, х^ — h„ < х2 < xf’ +
+ , х'т — hm < xw < x«„ -t- /iw, y® - kt < y. < y® +>p
У? — k.2<y.2<iF, + k2, . . . , tfn — kn<yn<y"n + kn\
атрофида (^ >0, i = 1, 2, ... , m, ^>0, /=1, 2, n) берил-
ган ва улар куйидаги шартларни бажарсин:
1) t7hfc((x°, у0)) да узлуктз;
2) Uhk((x'3, у0)) барча хусусий хосилаларга эга еа улар узлуксиз;
3) хусусий хосилаларнинг (х°, уи) нуктадаги кийматларидан ту-
зилган ушбу детерминант нолдан фцркли:
0Fr OFi OF,
dtJi dtJi °Уп
dF2 of2
йУ1 ф/l ф/п #=0;
0Fn . ^Fn
Фи С///2 ’ 1,Уп
128
4) (х°, r/°) = (x'1l, xS.х(т. у", i/S, . . . , г/®) нуктада
Ft (x°, y°) = 0, F2(x°, I/0) = 0, ... , Fn(xf>, i/°) = 0.
У .\олда (x°, у") нуцтанинг шундай U6f.((x°, у0)) — U66 . е £t£ . е
((х°, Z/0)) атрсфи (0 < б, < 1ц, 0 < 62 < h,, .... 0< 6m<hm, 0 <
<e1</?1, ... , 0<en<fc„) топиладики бу атрофда
Г) (13.57) система ошкормас куринишдаги функциялар система-
сини аниклайди. Уларни yt — (л\, х2, . . . , лт), у2 = /г(х1> Y2> • •
L> xj, . . . , yn = fn(Xl, х2.........л-J дейлик;
2') (х„ х2, ... , хт) = (л-о, xS, ...» л-0) да Zl (х», 4 . . . , 4) = у°,
f2(x"v 4 .... 4) = «о, .... /п(хо, х«, ...» х0) = I/O
булади;
3') ошкормас куринишда аникланган ft, f2, . . . , fn функциялар
{(хо х2, . . . , хт) £/?'"; хо — 6] <Xj <x^ + 6j, x!J— 62 < х2 < х§ + б2,
. . . . 4 — < л'т + I ’пупламди узлуксиз еа узлуксиз хусу-
сий цосилаларга эга булади.
14- Б о Б
ФУНКЦИОНАЛ КЕТМА-КЕТЛИК ВА ЦАТОРЛАР
1-§. функционал кетма-кетлик ва цаторлар, уларнинг
яцинлашувчилиги
1. Функционал к етм a-к ет л и к л ар. Ихтиёрий Е ва F туп-
ламлар берилганда, Е тупламни F тупламга f:E->-F акслантириш
тушунчаси 1-кием, 1-боб, 1-§ да урганилган эди.
Энди Е — N, F туплам сифатида эса XczR тупламда берилган
функцияда туплами {/(х)} ни олиб. ушбу
q:N~+{f(x)} (<p:/i->/n(x)) (14.1)
акслантиришни караймиз. Бу акслантириш функционал кетма-кеглнк
тушунчасига олиб келади.
(14.1) акслантиришни куйидагича тасвирлаш мумкин:
1, 2, .... п, ...
|| |
А(х), /2(х),... , /п(х), ...
Натижада гр :п fn (х) акслантиришнинг аксларидан (образларидан)
ташкил топган ушбу
/1(4 Ш, /„(-V), ... (14.2)
туплам хрсил булади.
(14.2) туплам X (.-V er R) да берилган функционал кетма-кетлик
(функциялар кетма-кетлиги) деб аталади ва у{/п(х)} каби белги-
ланади.
9—501
129
Шундай килиб, функционал кетма-кетликнинг хар бир хади, биз
аввал 1-кисм, 3-бобда курган сонли кетма-кетликнинг хадларидан
фаркуш уларок муайян функциялардан иборатдир.
Шу ни хам таъкидлаш лозимки, Д(х), /2(х), . . . , fn(x), . . . кетма-
кетлик турли хадларининг аникланиш сохаси, умуман айтганда, тур-
лича булиши мумкин. Биз бу ерда X сифатида шу сохаларнинг уму-
мий кисмини олиб караймиз.
(14.2) кетма-кетликда /„(л) функция шу кетма-кетликнинг умумий
уади (п- хади) дейилади. Демак, (14.2) функционал кетма-кетликнинг
умумий -чади .V ва п узгарувчиларга (х С X, п С Af) боглик булади.
Мнсоллар. 1. ф —хар бир натурал п сонга
чи акслантириш бСлсин. У холда ушбу X = (—ос,
1
-------- функцияни мос
пг -- X-
оо) тупламда берилган
ХУЮВ-
фуакционал кетма- кетликка эга буламиз. Бу кетма- кетликнинг умумий хади fn (х) =
I
=---------булади.
Л2 -f- X2 ’ _
2. ф—дар бир натурал п сонга sin -1 —- функцияни мос куюзчи аксланти-
И
риш булсин. Бу холда куйидаги
sin 1Д-, sin - , sin * х , ... sin 1 х ,
12 3 п
функционал кетма-кетлик хосил булади. У X = [0. -j- х>) тупламда берилган булиб.
умумий хади fn (х) = sin К. - булади.
3. Ушбу _ _
х, у х , х2 -|/х , . . .
функционал кетма- кетликни ^арайлик. Бу кетма-кетликнинг ток номерли уринда
турган хадлари — ос, 4- «>) ораликда берилган функциялар бу-либ, жуфт номерли
Уринда турган хадлари эса [0, 4-°°) ораликда берилган функциялардир. Бу кетма-
кетликни л = [О, — оо) ораликда берилган деб ^араймиз. Унинг умумий хади
’ п-т- 1
?л(х) = 2 ..
х, агар п — ток сон булса
у'х , агар п — жуфт сои булса
булади.
А' тупламда берилган бирор
Л(Х), /2(х), . ..,/„(х). ... (14.2)
кетма-кетликни карайлик. Бу X тупламда х0(х0£Х) нуктани олиб.
(14.2) кетма-кетлик хар бир /п(х) хадининг шу нуктадаги кийматини
хисоблаймиз. Натижада куйидаги
AW, fM............. • • (14.3)
сонлар кетма- кетлиги хосил булади.
Сонлар кетма- кетлиги эса, аницроги уларнинг якинлашувчилиги,
узоклашувчилнги. якинлашувчи кетма- кетликнинг хоссалари 1- хисм-
нинг 3-бобида батафсил урганилган эди.
130
14.1- т а ъ р н ф. Arap {fn (хц)} сонлар кетма- кетлиги якинлашувчи
(узоклашувчи) булса, {/„(х)} функционал кетма-кетлик нуктада
якинлашувчи (узоклашувчи) деб аталади, х0 нукта эса бу функционал
кетма- кетликнинг якинлашиш (узоклашиш) нуктаси дейилади.
{/„(х) функционал кетма-кетликнинг барча якинлашиш (узоцлашиш)
пукталаридан иборат туплам {/„(х')} кетма-кетликнинг яцинлашиш
(узоклашиш) сохаси (туплами) деб аталади.
Биз баъзан А/ туплам (Л1 с: Р) {fn (х)} функционал кетма-кетлик-
нинг якинлашиш (узоклашиш) сохаси (туплами) булсин деган ибора
урнига, унинг эквивалент— {/„(*)} функционал кетма-кетлик Л1 со-
хада (тупламда) якинлашувчи (узоклашувчи) булсин деган нборани иш-
латаверамиз.
Бирор \fn{x)\ функционал кетма-кетлик берилган булиб, ,М(.Мс/?)
эса шу кетма-кетликнинг якинлашиш сохаси булсин. Унда ухоеЛ1
учун унга мос
/1 /2(^0)’ • • • ’ /п(л’о)> • •
кетма-кетлик lim /п(хв) лимитга эга булади.
Агар М (М ст Я) тупламдан олинган yap бир х га, унга мос кела-
диган Д (х), /2(х)........in(x), . . . кетма-кетликнинг лимитини мос
куйсак, яъни
/:х-> 1пп/я(х),
71—>сО
унда М тупламда берилган /(х) функция хосил булади. Бу /(.%) функ-
цияни {/п (-'-')} кетма-кетликнинг лимит функцияси деб атанмиз. Де-
мак,
lim/п(х) =/(х)(хС .И). (14.4)
М и с о л л а р. ). Ушбу
( 1 I
(хУ = -------> (п = 1. 2, ... ।
п (п2-|_х2) '
функционал кетма- кетлик т х £ R да якинлашувчи булиб. лимит функция яйнан О
га тенг: \ х £ R учун
1
lim / (х> = lim -----== 0.
п п->етн2-гх2
2. Куйидаги
|fn(x)- = fn2x4- 1] (п = 1, 2, . . Л
функционал факат битта х = 0 нуктадагина якинлашувчи, колган барча нукталарда
узоклашувчи булади:
11, агар х = 0 б^лса,
lim jn (.г 1 —• lim (n2x 4-1) = -у ос, х > 0 булса.
п-»х п->х (— ос, агар х< 0 булса.
3. Ушбу
1/п WJ = [п ' мч | (п = !> 2, . . Л
I nJ
131
i
'i
!
функционал кетма- кетлик V х f R , да якинлашувчи булиб, унинг лимит функцияси
f(x)==y х булади. Ха^и^атан ^ам,
. V
lim f (х) = lim п • sin --= lim п — —
п-ъ п п^к п п-.х ( - 1 х = 1 * •
п
4. Куйидаги
{fn W) = [x"i (л= I, 2, , . .)
функционал кетма- кетлнкни карайлик. Бу функционал кетма-кетлик учун, V х£
£(', 4- оо) да
lim fn (х) = lim хп -= оо.
Я—>Х П—>-0
х = I булганда
lim fn (1) = lim ln 1,
¥ x £(—1, 1) да
lim fn (x) = lim xn — 0,
n->oo «->»
tf x£(—oo, —1] булганда эса берилган функционал кетма-кетликнинг лимити мав-
жуд эмас.
Шундай килиб, берилган [fn (х)} = !,хп} функционал кетма-кетликнинг я^ин-
лашнш сохаси М =(— 1, 1] булиб, лимит функция
_ (0, агар — 1 < х < 1 булса.
'' ' \1, агар х= 1 булса
булади.
2. Функционал каторлар. Бирор X (,V cz /?) тупламда их(х),
M2(.v), . . . , ип(х), . . . функционал кетма-кетлик берилган булсин.
14.2- таъриф. 1\уйидаги
«1 (х) + tz2 (х) + ... + ип (х) + . . .
ифода функционал цатор деб аталади ва у У. «л(л’) каби белгилаиади:
П=1
S ип W = «1W + «г(х) т .. . + ип (х) + . . . (14.5)
л=1
и1(х), и,(х), . . . функциялар (14.5) функционал каторнинг >;адлари,
ип(х) эса функционал каторнинг умумий хади (п-хади) деб аталади.
Функционал каторга мисоллар келтирамиз:
1. У, хп = 1 -f- X -{- X2 ... (— оо X оо)
П=1
Q ________х_______________X______,_______X_____.
[Ф—1)х+ 1](лх+1) 1-(х-Н) ' (х-f-1)(2х+1)
Л = 1
~г----------------+ ... (О <С х <С °о).
(2х+1)(Зх-Н)
Шундай килиб, функционал каторнинг :\ар бир .^ади, аввал (1-цисм-
132
нинг 11-бобида) урганилган сонли каторнинг хадларидан фаркли ула-
рок, муайян функниялардан иборатдир.
СО
14.1 -эс латма. У, ип(х) функционал катор турли хадларининг
п=1
берилиш сохалари (ту’пламлари), умуман айтганда, турлича булади.
Биз бу ерда X туплам сифатида шу сохаларнинг умумий кисмини
тушунамиз.
X тупламда х0(х0£Х) нуктани олиб, (14.5) функционал каторнинг
хар бир мп(.г)(.ч= 1, 2, . . .) хадининг шу нуцтадаги кийматини топа-
миз. Натижада ушбу
V ип (х0) = и, (хс) + «2 (х0) +...+«„ (х0) + . . . (14.6)
л=1
сонли катор хосил булади.
Маълумки, сонли каторлар, уларнинг якинлашувчилиги, узокла-
шувчилиги, якинлашиш аломатлари, якинлашувчи каторларнинг хосса-
лари 1-к.исмнинг 11-бобида батафсил баён этилган эди.
14.3- таърнф. Агар у ип(х0) сонли к,атор якинлашувчи (узоь;ла-
71=1
шувчи) булса, V ип (х) функционал катор х0 (х0 С X) нуктада якинла-
Л=1
шувчи (узоклашувчи) деб аталади, х0 нукта эса бу функционал катор-
нинг якинлашиш (узоклашиш) нукупаси дейилади.
оо
У, ип(х) функционал каторнинг барча якинлашиш (узо^лашиш)
п=1
нуцталаридан иборат туплам, бу функционал каторнинг яцинлашши
(узоклашиш) сохаси (тралами) дейилади.
Кейинги баёнимизда биз у мп(х) функционал каторнинг якинла-
71=1
шиш (узоцлашиш) сох.аси Л1 туплам булсин дейиш урнига V ип (х)
п=1
функционал катор Л1 тупламда якинлашувчи (узоклашувчи) булсин
деган иборанп хам ишлатаверамиз.
со
Бирор У ип (х) функционал цатор берилган булиб, М (Л4 с А?) эса
71=1
шу функционал каторнинг якинлашиш сохаси булсин. V хо G учун,
унга мос V ип (х0) = (х0) 4- «2 (хо) + • • + (*о) + • • • катор
71=1
якинлашувчи, унинг йигинднсини эса Sn дейлик.
Агар М тупламдан олинган хар бир х га унга мос келадиган
У, ип (.г) = щ (л-) + «2 (х) 4- . . . ип (х) 4- . • каторнинг йигинднсини
п=1
мос цуйсак, унда М тупламда берилган S (х) функция .\осил булади.
133
Бу S (х) функцияни V ип (х) ut (х) + «2 (х) ~ .. . -’г ип(х) ~ ...
п=1
функционал цаторнинг йигиндиси деб атаймиз. Демак. ух£М учун
У ип(х) = Ui (х) 4- и2(х) 4- ... + ип(х) — . . . = S(x).
Функционал каторларда хам, худди сонли каторлардаги каби, ка-
торнинг пиемий йигиндилари тушунчаси кнритилади.
(14.5) функционал цаторнинг дастлабки хадларпдап тузнлган ушбу
(х) = н1(х),
<$2 (х) ~ их (х) 4- «2 (х)>
Sn (х) = иг (х) 4- м2 W + • • — ип 1х;
йигиндилар (14.5) функционал каторнинг цисмий йигиндилари дейила-
ди. Демак, (14.5) функционал катор берилган холда хар доим бу ка-
торнинг цисмий йигиндиларидаи иборат {5л(х)}:
SJx), ЗД........S„(x), ... (14.7)
функционал кетма-кетликни хрсил ^илиш мумкин.
Аксинча (14.5)) функционал каторнинг кисмий йигиндиларидаи ибо-
рат ! 14.7) функционал кетма-кетлик берилган холда, хар доим \адла-
ри (14.5) функционал каторнинг мос хддларига тенг булган цуйидаги
ад 4- №)-- адпн-... 4- [ад М
функционал каторни хрсил килиш мумкин.
Сонли каторнинг якннлашувчилиги (узоклашувчи лиги) таърифини
эслаб (каралсин, 1-цисм, ll-боб, 1-§) (14.5) функционал каторнинг
х9 нуктада якннлашувчилиги (узо^лашувчилиги) ни цуйидагдча хам
таърифлаш мумкин.
14.4-таъриф. Агар п~+ оо да {S„(x)} функционал кетма-кетлик
xg(r0C;W) нукдада якинлашувчи (узоцлашуви) булса, V ил(х) функ-
п=1
ционал катор х9 нуктада якинлашувчи (узоклашувчи) деб аталади.
Бу функционал кетма- кетликнинг якинлашиш (узоклашиш) сох,аси
(туплами) тегишли функционал каторнинг якинлашиш (узоклашиш)
со^аси (туплами) деб аталади.
(14.7) функционал кетма-кетликнинг лимит функцияси S(x);
lim Sn (х) = S (х)
(14.5) функционал каторнинг йигиндиси деб аталади.
Мисоллар. 1. Ушбу
.41-1 = 1 4- х 4- №4- ... m х”-1 4- •
“1
134
функционал истории карайлик. Бу ^аторнинг ^ар бир ^ади: ип (х) = Xя 1 (п ~ 1, 2,
. . . ) функция Р = (— ос, 4- оо) да берилган. Каралаётган функционал ^азорнинг
цисмий йигиндиси
( 1 — Ул
Sn W = 1 -4- х 4- Л’- + . . . + .г-1 = ТТГ7- агаР х * 1 б>лса-
[п, агар х = 1 булса
булади. Унда
: 1 хп \ 1
V х £ (— 1, -т- 1) учун lim Sn (х) = lim I ------------- = --------,
П~>00 Л—*сС •* % %
V х Е [ 1, -4-ос) учун lim 5П (х) = оо, х £ (— х, — I] учун ,Sn (x'ij функционал
Л—'со
кетма- метлик лимитга эга эмас.
Шундай кдлиб. берилган фукционал цаторнинг якинлашиш со.часи 51 = (— 1
4- 1), узиулашиш ссцаси эса /?\А1 = (— ос, — 1] ij [1, -4-оо) дан иборат.
I
(— 1. ч- 1) оралицда функционал каторнинг йигиндиси S (х) = ---------- булади.
1 — х
2. К>уйидаги
ы?
Уида
1(п—1)х + 1](пх— 1;
л=1
функционал каторни карайлик. Бу каторнинг кисмий йигиндасипи топамиз:
пх — I
lim S (х) = lim 1 —-------------] = 1 (0 < х < 4- °°)
n-»x n->«, L пх -у- 1 j
булади. Демак, берилган каторнинг йигииднси S (х) = 1 булади.
Биз юк.орида функционал кетма- кетлик хамда функционал ка-
тер л ар. уларнинг якннлашувчилиги (узоклашувчилиги) тушунчалари
билан танишдик.
Аслида бундай тушунчалар билан биз, аввал, хусусий холда (узга-
рувчи х нинг х.ар бир тайин кийматида) 1-жисмнинг 3 ва 11-боблари-
да сонлар кетма- кет лиги, сонли каторлар деб танишиб, уларни батаф-
сил урганган эдик.
Хозирги хол, яъни функционал кетма-кетликнинг лимит функция-
си f(x), функционал катор йигиндиси S(x), лар х узгарувчининг функ-
циялари булиши бу /(х) ва 5(х) ларнинг функционал хоссаларини ур-
ганишни тацозо этади.
Масала {fn (х)} функционал кетма- кетлик хар бир fn (х) (п = 1, 2,
. . .) хадининг функционал хоссаларига кура (узлуксизлиги, днфферен-
циалланувчилиги ва хоказо) /(х) лимит функциянинг мос хоссаларини,
У ип(.г) функционал катор х,ар бир ип(х)(п= 1, 2, . . .) хади функ-
п=1
Ционал хоссаларига кура, катор йигиндиси S (х) нинг мос хоссаларини
$’рганишдан иборат.
135
Бу f(x) х,амда S (х) функцияларнинг хоссаларини урганишда, {/„(х)}
кетма-кетликнинг лимит функция /(х) га, катор кисмий йигиндиси
S (х) нинг катор йигиндиси S (х) га якинлашиш (интилиш) характери
мухим роль уйнайди. Шунинг учун баёнимизни функционал кетма-кет-
лик хамда функционал каторнинг текис якинлашиши тушунчасини ки-
ритиш ва уни урганишдан бошлаймиз.
2- §. Функционал кетма-кетлик ва каторларнинг текис
якинлашувчилиги
1. Функционал к е т м а- к е т л и к н и н г текис я к и и л а ш у в-
чилиги. Бирор {/„(х)}:
Д (х, /2(х), . . . , f;,(x), .... (14.2)
функционал кетма-кетлик берилган булиб, M(MczR) эса бу кетма-
кетликнинг якинлашиш сохаси булсин. /(х) функция (14.2) функцио-
нал кетма-кетликнинг лимит функцияси булсин. Демак, {/п(х)} функ-
ционал кетма-кетлик М тупламнинг хар бир х0(х0£М) нуцтасида,
п-»- оо да мос /(х0) га интилади;
lim/'ri(x0)=f(x0).
Кетма-кетликнинг лимити таърифига кура бу куйидагини англатади:
V 8 > О сон олинганда х;ам, шундай n0QN топиладики, барча «>«0
учун
J/„(x0)—/(x0)|<s
булади. Бунда п0 натурал сон е > 0 га ва олинган х0 нуктага боглид
булади: п0 = н0(е, х0) (чунки, х узгарувчининг Л1 тупламдан олинган
турли цийматларида {/„(х)} кетма-кетлик, умуман айтганда, турлича
булади).
М тупламдаги барча нукталар учун умумий булган п0 натурал
сонни топиш мумкинми деган савол тугилади. Буни куйидагича тушу-
ниш керак: Vs>0 сон олинганда хдм V«>«0 ва учун
|/я(х)— /(х)| <8 буладигап n0QN топиладими?
Куйида келтириладисан мисоллар курсатадики, баъзи функционал
кетма- кетликлар учун бундай п0 натурал сон топилади; баъзи функ-
ционал кетма-кет ли клар учун эса топилмайди, яъни бирор 60>0 сони
учун исталган катта nQ N сони олинганда хам шундай х£М нуцта
топиладики,
|/„x)--f(x)i >80
тенгсизлик бажарилади.
Мисоллар. [. Ушбу
функционал кетма- кегликни карайлик. Бу кетма- кетликнинг якинлашиш со\аси
Л1 = t— ос, оо), лам,.г функцняса эса
sin пх
lim / (х) = lim------= О
136
булади. Демак, f (х) -- 0. Бу якинлашишнинг характери куйидагичадир:
-.- s > 0 сон олинганда хам п0 = — дейилса, барча п > п0 га V х 6 М да
1/п <*) — f W! =
sin пх
-----=0
п
< 8
п по 4- 1
булади.
Бу .-;олда пв натурал сон факат е гагина боглик б^либ, каралаётган x(xg(—ос,
4- ос)) нуктага боглик эмас. Бошкача айтганда, топилган натурал сон барча
х(х(Д—ос. 4-ос)) нукталар учун умумийдир.
2. Ушбу
[fn WI = ] (0<х<1)
п (1 4- «4- XJ
функционал кетма- кетликни карайлик.
Бу функционал кетма- кетликнинг лимит функцияси / (х) = х булади:
пх
f (х) = lim f (х) = lim —------------— = х.
n-’оо 1 4- п 4- х
Бу якинлашишнинг характери хам аввалги мисолдагидек. Х^ки^атдан .^ам, V £ > 0
(ео!) сонни олайлик. п0 сифатида
По = (1 4-х0) —— 1
\ 8
ни олсак, п>л0 ва xf [0,1] нукта учун
ifn W - f W' = - Х0
11 -г П -L- Хо
*о(1 + *о) ^XoG+^o) .
-------- g
1 + п + *о 2 4- /?о 4“ хо
(14.8)
булади. Бу ерда, равшанки, па сон е га ва х0 нуктага богликдир. Биро^ п0 деб
пп — max п0 = 2
0<х<1
олинса v п>п0 ва ~ х(Е[О. 1] учун (14.8) бажарилаверади. Демак, п0 натурал сон
барча х(0 х 1) нукталар учун умумий булади.
3. Куйидаги
l'nW; t 1 + nV
(ОСхСЧ
функционал кетма-кетликни карайлик. Унинг лимит функцияси
пх
f (х) = lim fn (х) = lim -- • = 0
П~*х П->да I 4- ХЛ
булади. Бу эса таърифга кура, куйидагини билдиради:
V 8 >0 сон олинганда хам,
Дейилса, барча п > nQ учун
\fn (*)—f wi =!,......-'ц,. - 0
|1 -т П2х2
По= :г0(8,
(х 0)
________лх _ _1_ _ _1
1 4-П2*2 ПХ ~^(n04- 1)Х
(14.9)
(14.10)
булади, х— 0 булса, равшанки, у п учун fn(0)= /(0)—- 0.
137
Бироц, масалан, е0 =— деб олсак. исталган п£Л? сони ва х = — нуцта учун
булади.
Демах, барча х (0 ''' х 1) иукталар учун умумий булган ва <34.101 тенгсизлик
бажариладиган пе натурал сон топилмайди. (Бу .хулосага юкоридаги ч0 учун (14.9)
формулами урганиб (куриннб турибднки, у ерда х-^-0 да н0-»— oci хам келиш
мумкин эди.)
Л1 (Л4 с /?) тупламда бирор 7П(Л1} функционал кетма-кетлик берил-
ган булиб, у лимит функцияга эга булсин. Бу лимит функцияни /(х)
(х£Л1) деб белгилайлик.
14.5-таъриф. Агар V е > 0 олинганда хам шундай 40£A топил-
саки, ихтиёрий п > /?0 ва ихтиёрий .г С М нукталар учун бир пула
тенгсизлик бажарилса, {fn(x')} функционал кетма-кетлик .И тупламда
/(л) га текис яцинлашади (функционал кетма-кетлик текис яцинла-
шувчи) деб аталади. Акс хрлда, (яъни уп£А олинганда хам, шуп-
дай е0 > 0 ва хв € М мавжуд булсаки,
IfnUo) — /U°)| >е<;
тенгсизлик бажарилса) j/n(x)} функционал кетма-кетлик Л1 тупламда
f (х) га текис яцинлашмайди (функционал кетма- кетлик текис яцин-
лашучи эмас) деб аталади. \fn(x); функционал кетма-кетликнинг /(х)
га текис яцинлашувчилиги куйидагича белгилаиади:
fn (х) f (х) (X € Af).
Юкррида келтирилган мнеолларнинг биринчисида \fn (хН = f-1---1
v п
функционал кетма-кетлик лимит функция /(х) = 0 га [0, 1] оралицда”
текис яцинлашади:
тфО (0^х< 1)
п
Учинчисида эса, яъни {L(x)|=<------——3 функционал кетма-кетлик
П (1-4-.ЧгЛ2)
/ (х) — 0 лимит функцияга якинлашеа- да
-,х
бу функционал кетма-кетлик учун текис якинлашиш шарти бажарил-
майди.
14.1-теорем а. {/„(х)! функционал кетма-кетликнинг Л1 rnijn-
ламда f (х) га текис якинлашиш учун
lim sup|f (х) — / (х)| = 0
п-»к х£М
булиши зарур ва етарли.
138
Исбот. Зарурлиги. Л1 тупламда {[., (х)} функционал кетма-кет-
лик f(x) лимит функцияга текис якинлашсин. Таърифга кура, Ve>0
олинганда хам, шундай я0ЕАг топиладики, п>п0 булганда М туп-
ламнинг барча х нукталари учун
IД (х) — f (x)i' < е
булади Бундан эса V п > учун
Мп = s u р\fr. (X) — f (х)| < е
булиши келиб чикади. Демак,
I !Ш ЛГ„ — I im s u р Ifn(х)| — f (х)| = О
п—>СО Н->°с х£М
Е т а р л и л и г и . 51 тупламда {[„ (х)} функционал кетма-кетлик Дх)
лимит функцияга эга булиб,
lim sup |/„(х) —f(x)( =0
«-►-и Х^М
булсин. Демак. Ve>0 олинганда .\ам, шундай n9£N топиладики,
барча п > п0 учун
sup |fn (х) — f (х)| < е
х£М
булади. Агар ушбу
(X) - f (х)| < S и р |f„ (х) — f (Х)| (X 6 -И)
муносабатни эътиборга олсак, у хрлда Vx^M учун
1Мх) — /(х)| <е
булишини топамиз. Бу эса М тупламда {fn (х)} функционал кетма-кет-
лик f<x) лимит функцияга текис якинлашишини бнлдиради.
М и с о л л а р. 1. Ушбу
{ Д *>} = (e-U-n)’}
функционал кетма-кетликни — с <Z х < с >с • 0) интервалда царайлик. Бу функ-
ционал кетма-кетликнинг лимит функцияси
f'XT = lim Д : х| = 1 im е~ О—n)’ = 0
П-^-r. ' П->Х)
булади. Натижада
AL = up !Д(х) —/,Х)|= sun 01 = sup е-(х-п)« =
— C-'Z.X С .—с^Х С '—С-^,Х<.С
— g — [С—'Пр
булиб, уидан
lim Л1ц = Нт (с—и)’—. 0
П—то П—Ю
булишини топамиз.
139
тенглама ягона у ечимга (у£(у0 — Е, Уо + &)) эга, яъни F (х, у)--=0
тенглама ёрдамида
x-+y:F (х, у) = О
ошкормас куринишдаги функция аницланади,
2') х = х0 булганда унга мос келган у == yQ булади,
3') ошкормас куринишда аникланган
х->-у: F(x, у) = 0
функция (х0— 6, х0 + 6) оралицда узлуксиз булади.
Исбот. Uh k ((х0, у,,)) атрофга тегишли булган (х0, у0—е), (х0 х0 4-
4-е) нукталарни олайлик. Равшанки, [у0 —е, у0 + е] ораликда F(x0, у)
функция усувчи булади. Демак,
Уо " е С Уо^ F Уо е) С F (х0, у0),
У о 4- е > у0 => F (х0, у0 4- е) > F (х0, у„).
Теореманинг 3-шартига кура
Р (х0, Уо — с) < 0, F (хв, уо4-е)>0
булади.
Теореманинг 1-шартига кура F (х, у) функция Uh k ((х0, z/0) да уз-
луксиз. Бинобарин F(x, у0— е) ва F (х, у0 4- е) функциялар (х0—/г,
xe4-/i) оралицда узлуксиз булади. Унда узлуксиз функциянинг хосса-
сига кура (каралсин, 1-кисм, 5-боб, 7-§) х0 нуктанинг шундай атро-
фи х0 — 6, х0 4- 6) топиладики (0 < б < /г), у х Q (х0 — б, х0 4* б) учун
Р(х, Уо — е)<0, Р г/04-е)>0 булади.
Равшанки, (х0, у0) нуктанинг ушбу
*((*«, */о)) = {(*> У)^К-: х0 — б<х<х04-б, y0 — k< у<у0 + k}
атрофи учун теореманинг барча шартлари бажарилаверади, чунки
V?C(x0— х0+6) нуцтани олиб, F (х*, у) функцияни ^арай-
лик. Бу функция, юкорида айтилганига кура \у0—е, у + 8] ораликда
узлуксиз ва унинг четки ну^таларида турли ишорали цийматларга
эга:
Р (Л Уо — е) < 0, F (х*, у0 + б) > 0
У хрлда Больцано — Кошининг биринчи теоремасига кура (^аралсин,
1-^исм, 5-боб, 7-§) шундай у* топиладики (у* С (у0 — е, Уо + 8))»
F (х*, у*) - 0
булади. Бу топилган у* ягона булади. ^ацикатан ^ам,
у^ => F (х*, y)=£F (х*, у^), (у С [у0 —е, у0 + 8])
чунки, F (х*, у) усувчи булганлиги сабабли у > у* учун F (х*, у) >
>F(x*, у*) ва у <у* учун F(x*, у) <F(x*, у*) булади.
Шундай цилиб, х нинг (х0—6, + оралиедан олинган ^ар бир
кийматида F(x, у) = 0 тенглама ягона у ечимга эга эканлиги курса-
тилди. Бу эса F (x, у) =0 тенглама ёрдамида
ошкормас куринишдаги функция аншутанганлигини билдиради.
114
х х0 булсин. Унда теореманинг 3-шарти F(x0, у0) =0 дан, х0 га
у0 ни мос куйилгандагина:
•4“^ Уо • F С^о» У о) ~ 0.
Демак, х = х0 да ошкормас функциянинг кдшмати у0 га аенг булади.
Энди ошкормас функциянинг (х0 — 6, х0 + 6) ораликда узлуксиз
булишини курсатамиз.
Равшанки, х £ (х0 — б, xG + б) га мос куйиладиган у £ (у0 — с, ус+
+ е) булади. Бу эса ошкормас функциянинг х = х0 нуцтада узлуксиз'
эканлигини билдиради.
Ошкормас функциянинг V х* б (х0 — б, х0 4- б) нуктада узлуксиз
булишини курсатиш бу функциянинг х0 нуктада узлуксиз булишини
курсатиш кабидир.
Хакикатан хам, F (х, ц) = 0 тенглама (х0, ц0) нуктанинг атрофи
z/0)) да ошкормас функцияни аниклаганлигидан, шундай
//* С (Уо — Уо + £) топиладики, F (х*, г/*) --- 0 булади. Юкоридаги
мулохазани (х*, if) нуктага нисбатан юритиб, F (х, у) 0 тенглама
(х*, у*) нуктанинг атрофида ошкормас куринишдаги функцияни анш\-
лашини (бу аникланган функция (13.51) нинг узи булади), уни х* нуц-
тада узлуксиз булишини топамиз. Демак, ошкормас функция (х0—б,
х0+б) ораликда узлуксиз булади. Теорема исбот булди.
13.6-эс л а г ма. 13.11-теорема, F (х, у) функция х узгарувчининг
(х0 — /?, х0 + й) оралицдан олинган хар бир тайин кийматида у узга-
рувчининг функцияси сифатида камаювчи булганда х^ам уринли бу-
лади.
Биз юкорида F (х, у) 0 тенгламани (х0, yQ) нуцтанинг атрофида х
ни у нинг функцияси сифатида аниклашини ифодалайдиган теоремани
келтирдик.
Худди шунга ухшаш, F (х, у) = 0 тенглама (х0, у0) нуктанинг аг-
рофи да у ни х нинг функцияси сифатида аниклашини ифодалайдиган
теоремани келтириш мумкин.
13.12-теор ема. F (х, у) функция (х0, у0) g If нуцтанинг бирор
k ((%о» Уо)) атрофида (h > 0, k > 0) берилган ва у куйиоаги шарт-
ларни бажарсин\
0 ин, k ((*о> У о)) да узлуксиз',
2) у узгарувчининг (у0 — k, yG + k) оралицдан олинган %ар бир
тайин кийматида х узгарувчининг функцияси сифатида усувчи (ка-
маювчи),
3) F (х0, //0) = 0.
У ^олда (х0, у о) нуцтанинг шундай
е ((*0, Уо)) = Ж У G : Хо — S < х < х0 + б, у0 — 8 < у < ?/0 е}
атрофи (0<б</г, 0<е<£) топиладики,
1') V У € (Уо — £, Уо + «О УЧУ*
F (х, у) = 0
тенглама ягона х (х С (х0 — б, х0 + б)) ечимга эга, яъни F (х, у) = 0
тенглама ёрдамида у-^х: F (х, у)~0 ошкормас куринишдаги функ-
ция аницланади',
2Г) у — у0 булганда унга мос келган х = х0 булади,
3') ошкормас куринишда аникланган функция
+ 2
д----Ч— dxm xixn,.
nx i dr m—1 zn
илт— 1 лт
f(xl9 х2у ’ • • » *m) функциянинг (хъ х2, . . . , хт) нуктадаги учинчи,
туртинчи ва х^оказо тартибли дифференциаллари хам худди юкорида-
гидек таърифланади.
Умуман, f (х) функциянинг х нуктадаги (п—1)-тартибли диффе-
ренциали Дх) нинг дифференциал берилган /(%) функциянинг шу
нуктадаги n-тартибли дифференциали деб аталади ва dn f каби белги-
ланади. Демак,
dn f =d(dn~' f).
Биз юкорида f(x) функциянинг иккинчи тартибли дифференциали
унинг хусусий хосилалари орцали (13.30) муносабат билан ифодаланиг
шини курдик.
Дх) функциянинг кейинги тартибли дифференциалларининг функ-
ция хусусий ^осилалари орцали ифодаси борган сари мураккаблаша
боради. Шу сабабли ю^ори тартибли дифференциалларни, символик
равишда, соддаро^ формада ифодалаш му^им.
/(х) функция дифференциали
ни символик равишда (f ни формал равишда каве ташцарисига чи^а-
риб) куйидагича
df =- ( — dx± + — dxo + . . . 4—~ dxm 'j f
\ dx± dx2 " dxm )
ёзамиз. Унда функциянинг иккинчи тартибли дифференциалини
92
$
Ееб papain мумкин. Бунда цавс ичидаги йигинди квадратга кутарилиб,
унг f га «купайтирилади». Кейин даража курсаткичлари хусусий ^о-
илалар тартиби деб ^исобланади.
fg Шу тарзда киритилган символик ифодалаш f(x) функциянинг п-тар-
®тибли дифференциалини
Ж» „с ( d
В d f = I —- dxr +
\dx± х
|\ каби ёзиш имконини беради.
- vrj
д \п
г) dxm |
илгп /
1’1 у <-* f\ IV Cl V» VjJ У JT1 IX Г1 11 X* 11
|ренциаллари. Ушбу пунктда f(x
Ж^инг юкори тартибли дифференциалларини топамиз.
® ДАавлумки, (13.11) функциянинг ^ар бири (/f, . . . , ну^та-
жда днфференциалланувчи булиб, f(x{, х2, . . . , хт) функция эса мос
kJ-
2, ... , tk\) мураккаб функция-
x^)QM нуцтада днфференциалланувчи булса, у ^олда 13.5-
Втеоремага кура мураккаб функция (/°, . . . , нуктада дифферен.
|циалланувчи ва дифференциал шаклининг инвариантлик хоссасига асо-
|сан мураккаб фрнкциянинг дифференциали
• + — dx„,
дхт т
I; булади.
Фараз ^илайлик, (13.11) функцияларнинг .уар бири (i'J, t°2, . . .
^нуктада икки марта днфференциалланувчи, f(x{,x2, . . . , хт) функция
эса мос (х°, х2, .. .,хйт)£М. нуцтада икки марта днфференциалланувчи
булсин. У ^олда мураккаб функция хам (/J, t°2, , t^) нуктада икки
Марта дифференциалланувчи булади. Дифференциаллаш цоидаларидан
.дафойдаланиб ^уйидагини топамиз:
dx±
Ж
жп ’
лпййГ
df
dx2
dx2
dxt
+d(^-
\dXfn
—- dxm =
дхт т)
d(dx2)+
~-d(dxm) =
dxm
m
1
ш
*
— d\— ]dx+d
2
I m
m /
1
ТУ
%;
а \
А’'.
dx±
df
d%m
т
т
dx j2
2
2
У Шу
dxr дх2 ' дхт л
йул билан берилган мураккаб функциянинг кейинги тартибдаги
Дифференциаллари топилади.
(13 .31), (13.32) формулаларни солиштириб, иккинчи тартибли диф-
ференциалларда дифференциал шаклининг инвариантлиги хоссаси урин-
и эмаслигини курамиз.
93
13. 3-эслатма. Arap (13.11) функцияларнинг xtap бири t2 . . . ,
tk узгарувчиларнинг чизикли функцияси
Xm am\ + am2 ^2 + * * * + ^mk + Pm
булса (a.-, py(f = 1, 2, ... k\ j = 1, 2, ... , m)—узгармас сонлар),
у холда бундай Дхп х2, . . . , хт) мураккаб функциянинг юцори тар-
тибли дифференциаллари дифференциал шаклининг инвариантлиги хос-
сасига эга булади.
^а1\ицатан х^ам (13.33) ифодадаги функцияларни дифференциал л а-
сак, унда
dx^ = audt} + a12d/2+ . . . +a[kdtk = + а12Д/2 + . . . + а1А.Д/р
^X2 = a21^1 + tt22d{2 + • • • + a2kdik = a21A/l+ a22^2 + * ’ •
^Xm ~ aml^l am2^2 + - • • + amk^k ~~ am\^\ + am2^2 + • • • +
+ amk^ h
i
I
I
h
ii
булиб dxp dx2, . . . dxm ларнинг хар бири /р /2, . . . , tk узгарувчиларга
боглид эмаслигини курамиз. Равшанки, бундан d2x2=...=d2xzn=().
Бинобарин,
булади.
Демак, иккинчи тартибли дифференциаллар дифференциал шакли-
нинг инвариантлиги хоссасига эга экан.
Шунга ухшаш, бу хрлда мураккаб функциянинг иккидан катта
тартибдаги дифференциалларида дифференциал шаклининг инвариант-
лиги хоссаси уринли булиши курсатилади.
7- §. Урта киймат ^ацида теорема
/(%) = /(хр х2, ...» хт) функция М(М cz Rm) тупламда берилган.
Бу тупламда шундай а=(а{, а2, . . . , ат) ва &—(&р Ь2, . . . Ьт) нукта“
ларни олайликки, бу нуцталарни бирлаштирувчи тугри чизик; кесмаси
А = {(Хр х2, . . . , хт) С Rrn- = «j + — ai) х2 = а2 + t(b2 — я2),
• » Хт = ат + t(bm~am)’ 0 < / < 1 !
шу М тупламга тегишли булсин: A cz М.
13-теорема. Лгар /(х) функция А кесманинг а ва b нуцталара-
да узлуксиз булиб, кесманинг цолган барча нукталарида функция
94
Ж дифференциалланувчи булса, у холда А кесмада шундай с нуцта
В (с — (с, с„, ... с)) топиладики,
f(b) -f(a)= Цс) (b, - а,) + fX2(c) (b2-a2)+ ... + fXm(c) (bm - am)
булади.
Исбот. /(x) функцияни А тупламда царайлик. Унда
f (х) — f (Xj1 -^2’ • • • ’ %т) f (^1 (^1 ^1)> ^2 (^2 ^3 ’ ‘ ’
am + t{bm~am)) (0<^1)
булиб, /(>'], х2 ... , xm)t узгарувчининг [0, 1] сегментда берилган
функциясига айланади:
F (0 =/(0!+/(&i—аР, a2 + t(b2 — a2), .... ат +1 (bm — ат)).
Бу функция (0,1) интервалда ушбу
f (О •= Д (&1 -«Р + fX2(Ь2-а.2)+ • • + f'Xmi.bm -ат)
росила га эга булади.
Демак, F (/) функция 10,1] сегментда узлуксиз, (0,1) интервалда
эса F'(f) хосилага эга. Унда Лагранж теоремасига (1-цисм, б-боб, 6-§)
' кура (0,1) интервалда шундай t0 нукта топиладики,
Г F(1)-F(O)==F'(Q (0</о<1) (13.34)
булади. Равшанки,
£ F(O)=f(a), F(l)=f(b),
Д (Q “ fxi °т), + /0 (^2 а2^ • • • ’ ат + ^0 т
(^1 fx2 (а1 + ^0 (^1 '^1)» а2 ^0 (^2 ^2^» ••• » т
I + /0 (bm - a J) (b2 - а2) +.........+ (13.35)
W, Н“ f^1)’ &2 ^0 (^2 ^2^» * * * ’ +
+^(Ьт— ат)) (Ь,п ~ап,У
i Агар
I а{ -!/„(/>! — aj
Йг. + ^0(^2 ^2) ^2
| ат+^Ьт~аг)=ст
деб белгиласак, унда с = (ср с2, . . . , А булиб, юкоридаги
(13.34) ва (13.35) тенгликлардан
f(b)~f(a)^(c)(bl-al)+f' (c)(b2-a2)+. . + Г^О^-aJ
келиб чикади. Теорема исбот булди.
Бу теорема урга и им ат ^ацидаги теорема деб аталади .
I 13.2-натижа. Дх) функция богламли A4(/Wci/?m) тупламда бе-
рилган булиб, унинг ^ар бир ну^тасида дифференциалланувчи булсин.
Ж Агар М тупламнинг ^ар бир ну^тасида Дх) функциянинг барча хусусий
Ж ^осилалари нолга тенг булса, функция М. тупламда узгармас булади.
Ж 35
Шуни исботлайлик. Л1 тупламда a— (av сц, ...» aw) хамда ихтиё-
рий х = (хр х2, . . . , хт) нукталарни олайлик. Бу нукталарни бир-
лаштирувчи кесма шу М тупламга тегишли булсин. У холда шу кес-
ма нуцталарида 13.8-теоремага кура
f(a) =f(x)+/;i(c)(o1 — Xj)+ f'x (с) (a2 — x2)+ . . . ~ f'(c) (a.: —xm)
* * Il L
булади. Функциянинг барча хусусий хосилалари нолга тенг эканидан
F{x) = F\a)
булиши келиб чикади.
а ва х нукталарни бирлаштирувчи кесма М тупламга тегишли бул-
маса, унда М. тупламнинг богламли эканлигидан а ва х нукталарни
бирлаштирувчи вашу тупламга тегишли булган синих чизиц топилади,
бу синих чизих кесмаларига юкоридаги 13.8-теоремани цуллай бориб,
f (а) = f W
булишини топамиз.
8- §. Куп узгарувчили функциянинг Тейлор формуласи
1-кисм, б-боб, 7-§ да бир узгарувчили функциянинг Тейлор фор-
муласи, унинг турли формулада ёзилиши ^амда Тейлор формуласининг
турли формадаги колдих хадлари урганилган эди. Масалан, F (I) функ-
ция t~t0 нуктанинг атрофида берилган булиб, унда F(/), F"(Z), ... ,
хосилаларга эга булганда
Fit) = Ц/о) + F' (U it - // + F" (4) (/ - 4)2 + • • • +
+ ф F(n) (/о) (' - + Rn (0 (13.36)
п\ '
булади, бунда крлдик хад Rn(t) эса куйидагича
НН1)(с) ..
а) Коши куринишида Rn (/) =---— (/ — /0) '1 (1 — 0) ,
f(n+l)(c) ,,
б) Лагранж куринишида Rn(t) = —, , .. (i — /й) ,
\П -р- 1)
в) Пеано куринишида Rn(t) —0(t — t0)n ёзилади (бунда О<0< 1,
с = /о+0(/~ /0)).
Д.Хр х2, . . . , хт) функция очш\ тупламда берилган.
Бу тупламда (х^, х2, ...» х^) нуктани олиб, унинг F6((x^, х2, . . . ,
x^))czAf атрофини карайлик. Равшанки, V(Xp х2, . . . , x'J£t/6(Xp
х°, ...» xz2J) нукта билан (Хр х® ...» х^) нуктани бирлаштирувчи
тугри чизик кесмаси
Л = {(хр х2, . . . , xJ^^Xj^xJ + ZCx;—х°),
x2 = x02 + t(x2 — x§, . . . , хт = х» +/« — х°ту,
шу Ut(x^, х°, . . . , х®,)) атрофга тегишли булади.
S6
К*
Е?
»Л-
rb:
Айтайлик, f(x\, х2, . . . , хт) функция U б((х?, , Хп)) да
п + 1 марта дифференциалланувчи булсин.
Энди /(xi, Х2, . . . , Хт) функцияни А тупламда карайлик. Унда
булиб, f(x}, х2, . . . , хт) t узгарувчининг [0,1] да берилган функция-
сига айланиб крлади:
F(/) = f (л-о +1 (л-; - х«), х«+/(%;- х»), ... , х® +1 (х; - х®))
Бу функциянинг хосилаларини хисоблайлик:
Умуман й-тартибли росила ушбу
(k = 1,2, . . . , п + 1) (13.38)
куринишида булади. (Унинг тугрилиги математик индукция методи
ёрдамида исбот ланади).
Юкоридаги F'(f), F (/), . . . , Fln) (/) х.осилаларнинг ифодаларига
кирган /(хр х2, ... , хт) функциянинг барча хусусий хосилалари
(х, -f-1 (Х| х®), х® -|-1 (х2 х«), ... , х«т +1 (хт х®;)) нуктада х.и-
собланган.
(13.36) формулада to~0 ва /= 1 деб олинса, ушбу
F(l) = F(0) + If (0) 4- ^-F"(0) + . . . + (0) 4-~F(n^(0)
К’ X’ n\ (M~l)-?
(13.36)
х.осил булади. (Бу ерда крлдик хад Лагранж куринишида олинган.)
(13.37) ва (13.38) муносабатлардан фойдаланиб куйидагиларни то-
памиз:
Р(0) = f(х°, хо, , х®),
• Ах »* 4"
Ц1) = Х'2, ... , хт),
(a<e<l)
Кейинги тенгликдаги f(x{, х2, . . . , xm) функциянинг барча хусусий
хрсилалари (х°, х°, . . . , х^) нуктада хрсобланган.
Демак, (13.36) формулага кура
булади, бунда /(х1?х2, . . . , хт) функциянинг барча биринчи, иккинчи
ва ^оказо /г-тартибли хусусий хрсилалари (х®, x!J, . . . , х^) нуцгада,
шу функциянинг барча (п + 1)-тартибли хусусий хосилалари эса
(Хр +0(х;-х?), х2° + 6(х;~х20), ... , 4 + 0(xm-xoj) (о<0<1)
нуктада ^исобланган.
Бу формула куп узгарувчили Дхр х2, . . . , хт) функциянинг Тей-
лор формуласи деб аталади.
Хусусан, икки узгарувчили функциянинг Тейлор формуласи
куйидагича булади:
n _ df (х?, х2) df(x? xS)
f (%;, Х2) = f (х®, Х«) +--ч ~ (Xf — Х«)4---------+
<7Л| 1 1 иЛс)
98
9- §. Куп узгарувчили функциянинг экстремум цийматлари.
Экстремумнинг зарурий шарти
1. Функциянинг максимум ва минимум киймат лари.
Куп узгарувчили функциянинг экстремум кийматлари таърифлари худ-
ди бир узгарувчили функпияники сингари киритилади. Дх)=/(Хн А2>
. . . , хт) функция бирор очик 7И (7И cz Rm) тупламда берилган булиб,
Х° (х? , X® , • • • ’ Ат) £ М булсин.
13.8-та ъриф. Агар х0 нуктанинг шундай б;Дх0) = (х = (хр х2,
. . . , хт) б Rm: р (х, х0) = V(Xj — х?)2+ . . . +(хт— х^)2 < 6 ) с= М ат-
рофи мавжуд булсаки, V х б ё/6(х0) учун
/(х)</(х°) (Дх)<Дх°))
булса, Дх) функция х° нуктада максимумга (минимумга) эга дейи-
лади, Дх(!) киймат эса /Дх) функциянинг максимум (минимум) кийма-
ти ёки максимума (минимума) дейилади.
13.9-таъриф. Агар х° нукданинг шундай Ь6(х°) атрофи мавжуд
булсаки, Vх С <76(х°)\ j х°} учун f (х) < f (х°) (Дх) > f (х0)) булса, / (х)
функция х° нуктада цатъай максимумга (катъий минимумга) эга
дейилади. f (х°) киймат эса /Дх) функциянинг цатъий максимум (ми-
нимум) киймати ёки цатъий максимума (катъий минимума) дейи-
лади.
Юкгоридаги таърифлардаги х° нуцта /Дх) функцияга максимум (ми-
нимум) (13.8-таърифда), катъий максимум (катъий минимум) (13.9-
таъриф да) к^иймат берадиган нукда деб аталади.
Функциянинг максимум (минимум) киймати куйидагича белгилаиади:
ft*0) = max { f(x)} f (х0) = min {f (x)}).
X€U§ (x°) xeUfr (x°)
умумий ном билан унинг
Функциянинг максимум ва минимуми
экстремума деб аталади.
.2 ..2
функцияни карайлик. Бу функция (0. 0) нуктада катъий максимумга эришади.
Ки^итаи хам. (0, 0) нуктанинг ушбу
иг ((0, 0)) - { ( Xj , Х2 ye R2: Д- xj < г ] (0 < г < 1)
атрофи олинса, унда V (хх, х2) € б’г ((0, 0))\{ (0, 0)} учун
1(0,
булади.
13.8 ва 13.9-таърифлардан куринадики, /(х) функциянинг х° hvi\-
тадаги киймати /(х°) ни унинг шу нукта атрофидаги нукталардагн
99
кийматлари билангина солиштирилар экан. Шунинг учун функциянинг
экстремуми (максимуми, минимуми) локал экстремум (локал макси-
мум, локал минимум) деб аталади.
2. Функция экстремумининг зарурий шарти. /(хн х2,
. . . , x/zl) функция очик M(MczRm) тупламда берилган. Айтайлик,
f(xp х2, . . . , хт) функция х° = (х®, х£, . . . , х^) нуцтада максимумга
(минимумга) эга булсин. Таърифга кура х° = (х®, х?2, ...» х^) ну^та-
нинг шундай (76(x°)cz М атрофи мавжудки, V (хи х2, . . . ,
учун
f(x{, х2» . . . , хт) f (Хр х2, ...» х2, . . . , хт)
>7(4 4 ••• , 4)),
хусусан
Д*Р х®, . . . , х^)< Дх®, х®, . . . х°т) (Дхр х®, . . . , х«п) >
>/(*?, х®, . . . , х®))
булади. Натижада бир узгарувчига (х,)га борлиц булган Дх,, х§, ... ,
х®,) функциянинг U6(x°) да энг катта (энг кичик) киймати f (х®, х°,
. . . , х®г) га эришишини курамиз. Агарда х“ нуктада /Дх0) хусусий
росила мавжуд булса, унда Ферма теоремаси (каралсин, 1-цисм, б-боб,
6-§) га кура
булади.
Худди шунингдек, f'x (х°), ...,/' (х°) хусусий хрсилалар мавжуд
булса,
= о. /;,м1- о.........../;„я - о
булишини топамиз.
Шундай г^илиб куйидаги теоремага келамиз.
13.9-т еорема. Агар /(х) функция х° нуцтада экстремумга
эришса ва шу нуцтада барча f'x^ [Хг, ...» f'Xm хусусий хосилаларга
эга булса, у цолда
^(хО) = о,/;2(х«) = О, ... ,/im(x°) = 0
булади.
Бироц /(х) функциянинг бирор xr нуцтада барча хусусий хр-
силаларга эга ва
= о, f'4^ = 0, = О
булишидан, унинг шу х' нуктада экстремумга эга булиши \ар доим
хам келиб чикавермайди.
Масалан, R- тупламда берилган
100
функцияни карайлик. Бу функция f'Xi(xv х9) = х2, f'x (хр х2) ~ х} ху-
L сусий хрсилаларга эга булиб, улар (0, 0) нуктада нолга айланади.
| Ammo /(х1? ха) = xl9 х2 функция (0, 0) нуцтада экстремумга эга эмас
(бу функциянинг графиги гиперболик параболоидни ифодалайди, ка-
| ралсин 12-боб, 3-§).
I Демак, 13.9-теорема бир аргументли функциялардагидек функция
экстремумга эришишининг зарурий шартини ифодалар экан.
I f(x) функция хусусий ^осилаларини нолга айлантирадиган ну^та-
| лар унинг стационар нуцталари дейилади.
В 13.4-эс л атма. Агар /(х) функция х° нуцтада дифференциалла-
нувчи булса, у .^олда функциянинг экстремумга эришишининг зарурий
I шартини ушбу
| df(x°) = O (13.39)
В куриншда ёзиш мумкин.
В Хакицатан хам, f(x) функциянинг х° нуктада дифференциалланувчи
г булишидан унинг шу нуктада барча /^, /*, . . . , f'x хусусий хоси-
К'лаларга эга булиши келиб чикади. х° нуктада функция экстремумга
В. эришишидан теоремага кура
г = о./;р°)=о,...,
В булади. Бундан эса (13.39) булиши топилади.
В 10- §. Функция экстремумининг етарли шарти
к Биз юкррида f(x) функциянинг х° нуктада экстремумга эришиши-
Ц нинг зарурий шартини курсатдик. Энди функциянинг экстремумга
В эришишининг етарли шартини урганамиз.
К /W Функция x°QRm нуктанинг бирор
Катрофнда берилган булсин. Ушбу
I A = f(x) — f (х°) (13.40)
гайирмани царайлик. Равшанки, бу айирма ё/6(х°) атрофда уз ишораси-
I ни са^ласа, яъни хар доим А > 0(Д 0) булса, f (х) функция х° нуц-
тада минимумга (максимумга) эришади. Агар (13.40) айирма хар 1\ан-
| дай ё/6(х°) атрофда хам уз ишорасини сакламаса, у холда /(х) функ-
гция х° нуктада экстремумга эга булмайди. Демак, масала (13.40)
[ айирма уз ишорасини са^лайдиган ЬДх0) атроф мавжудми ёки йуцми,
| шуни аник4лашдан иборат. Бу масалани биз, хусусий ^олда, яъни Д(х)
i функция маълум шартларни бажарган ^олда ечамиз.
| f(x) функция куйидаги шартларни бажарсин:
Г, 1) /(х) функция бирор ^/6(%0) да узлуксиз, барча узгарувчилари
|>буйича биринчи ва иккинчи тартибли узлуксиз хусусий хрсилаларга эга;
Ц 2) х° нукда /(х) функциянинг стационар нуктаси, яъни
101
[Г
Ушбу бобнинг 8-§ ида келтирилган Тейлор формуласидан файда-
ланиб, л'° нуктанинг стационар нуцта эканлигини эътиборга олиб, т^уйи-
дагини топамиз:
Ш = 2АхН- • • + Ш Ах^ +
Z 1 2 гп
+ 2 (f' Ах, Ах., + f" АххАх3 + . . . + /" Axm_jAx )] ==
Бу муносабатда f (xj функциянинг барча хусусий хрсилалари f”
(i, k = 1, 2, . . m) лар ушбу
С^ + едху, х° + бДх2, . .x-^ + oAxj (о<е< 1)
нуктада ^исобланган ва
Д Х± = Х^ Хр Д Х2 -^2 ^*2 ‘ * * * ’ Хт Хт Xni *
Демак,
т
А= — V Г' Дх.-Ах*.
2 ' Xtxk 1 &
М=1
Берилган f (х) функция иккинчи тартибли хрсилаларини нг стацис
нар нуктадаги кийматларини цуйидагича белгилайлик:
aik ~ fxixk(X^ &= 1, 2, . . . , tn).
Унда fx.x (х) нинг х° нуцтада узлуксизлигидан
Пп = U1 + 6 А хр до + О А Х2, . . х"т + е A xm) = aik + aik
(/, k= 1, 2, . . tn) булиши келиб чикади. Бу муносабатда Дх1—>0,
Дх2-^0, . . . , Дхт->0 да барча ccZ/,->0 ва 6-§ да келтирилган 13.6-
теоремага асосан
ct^ (i, k '= 1, 2, . . . , tn)
булади. Натижада (13.40) айирма ушбу
Агар
т fn
куринишни олади. Буни куйидагича хам ёзиш мумкин:
т
т
=------- G = 1, 2, . . т)
Р
102
деб белгиласак, унда
w
f,.
т
т
Р
i,k=i
(13.41)
булади.
Ушбу
i ,/?=!
m
t t
1» b2’ • *
ZL ik
i,k=i
ифода g2,
[5
A
узгарувчиларнинг квадратик формаси деб ата-
лади, bik (i, k = 1, 2, . . . , tri) лар эса квадратик формаиинг козффи-
циентлари дейилади. Равшанки, xtap кандай квадратик форма уз ко-
эффициентлари орцали тула аницланади. Квадратик формалар алгебра
курсида батафсил урганилади. Куйида биз квадратик формата дойр
баъзи (келгусида кулланиладиган) тушунчаларни эслатиб утамиз.
Равшанки = Н2 — . . . = Л1П = 0 булса, хар кандай квадратик
форма учун
| Р (0, 0, . . ., 0) - 0
I' булади.
| Энди бошка нукталарни ^арайлик. Куйидаги холлар булиши мум-
I кин:
0 нукталар учун
. • U>0.
Бу %олда квадратик форма мусбат аникланган
z 2. Барча ^ + ^| + ... + > 0 нукталар
I Р (£1, ?2> • •и<0.
" Бу хрлда квадратик форма манфий аникланган дейилади.
3. Баъзи
баъзи нуцталар учун
деиилади.
учун
1»
1» &2» * •
0,
ва
Р (ёп U<0.
Бу х^лда квадратик форма ноаниц дейилади.
4. Барча + £| + . . . 4- > 0 нукталар учун
- > U > о
. , нукталар ^ам борки,
улар орасида шундай (gj, g2, .
%
холда квадратик форма яриммусбат аникланган дейилади.
5. Барча + В| + ... +> 0 нукталар учун
I z ^2»
gh •
№ улар срасида шундай (£
. . . , нукталар хам борки,
1> Ь2>
У ^олда квадратик форма яримманфий аникланган дейилади.
103
1. Ушбу
гп
<2 (si. U .... gm) = 2 а^к
квадратик форма мусбат ани^ланган булсин. Аввало юкоридаги
Р — У7"А %] + А • • •-Ь^Ат
ва
— 2, . . ,ш)
Р
тенгликлардан
+ + . +е;,
эканлигини топамиз. Маълумки, У?'2 фазода
Sj (0) = ((0, 0, .... 0)) = {sn g2, . . ., ln)£Rm:
gf + B| + . ..+^=1!
маркази 0 = (0, 0, . . ., 0) нуктада, радиуси 1 га тенг сферани ифо-
далайди. Сфера ёпик ва чегараланган туплам. Вейерштрасснин г биринчи
теоремасига асосан шу сферада Q (gL, функция узлуксиз
функция сифатида чегараланган, хусусан цуйидан чегараланган бу-
лади:
Q (5ь Е2, . . lm)>c (с — const).
Агар Q (£ь |2, . . ., £т) квадратик форманинг мусбат аникланган
эканлигини эътиборга олсак, унда с >0 булишини топамиз.
Иккинчи томондан, Вейершграсснинг иккинчи теоремасига кура бу
Q (5ь 52» • • •, 5m) функция (0) сферада узининг аник цуйи чега-
расига эришади, яъни бирор (gy, gy, . . ., 55г)С^1 (0) учун
Q (5?, 5^ •• •> 5^)-minQ(g1, U и
булади. Яна Q (дн 5г» • • •> 5m) квадратик форманинг мусбат аницлан-
ганлигини эътиборга олсак,
Q (Ц, Ц, .. . ) > 0
эканини топамиз. Демак, Sj (0) сферада
Q (g1; U . . . Лт) = 2 aik^k>c>Q
t ,/г=1
булади.
Энди
т
aik 5f 5д<
104
ни бахрлаймиз. Коши — Буняковский тенгсизлигидан фойдаланиб, то-
памиз:
Маълумки, Ахг-^0, Дх2->0, .. ., Ахт->0 да барча aZA,->0.
Бундан фойдаланиб х° нуктанинг атрофини етарлича кичик килиб олиш
^исобига
1
тенгсизликка эришиш мумкин. Демак, (13.41) дан
2. Куйидаги
т
Q (Bi, • • • . fem) = У}
квадратик форма манфий аникланган булсин. Бу хрлда х° нуктанинг
т ~ т
л2 / Ж. \
етарлича кичик атрофида А = -у У а<‘ + У1 aik М < 0 бУ'
l,k=l l,k—l
лиши 1- хрлдагига ухшаш курсатилади. Натижада куйидаги теоремага
келамиз,
13.10-теорема, f (х) функция х° нуцтанинг бирор U6 (х°) атро-
фида (6 > 0) берилган булсин ва у ушбу шартларни бажарсин:
1) f (х) функция U6 (х°) да барча узгарувчилар х1? х2, . . ., хт буйи-
ча биринчи ва иккинчи тартибли узлуксиз хусусий хосилаларга эгсй
2) х° нукта f (х) функциянинг стационар нуктаси;
3) коэффициентлари
'flik = CiXk 0°) (!, А’ = 1, 2, .... m)
булган
т
Q
105
квадратик форма мусбат (манфий) аникланган. У холда f (х) функ-
ция х° нуктада минимумга (максимумга) эришади.
Бу теорема функция экстремумининг етарли шартини ифода-
лайди.
3. Агар
т
Q (1т Л2, •• •• W = £
i,k=l
квадратик форма ноаниц булса, f (х) функция х° нуктада экстремумга
эришмайди. Шуни исботлайлик. £2, . . ., g„, ларнинг шундай (ftx,
ft2, . . ., hm) ва (h, h2, . . ., hm) кийматлари топиладики,
Q (hlt h2, hm) > 0, Q (ftp ТГ2, • • •, 4) <0 (13.42)
булади.
х® = (х°, х°2, . . ., х®) ва (х“ + йр х» -г ft2, . . ., х^ 4- ft,„)
нукталарни бирлаштирувчи
Xj = х)’ 4- th{,
х, = х° + th„,
С Л
(13.43)
^ = 4 + ^(о</<1)
кесманинг ну^талари учун юкоридаги (13.41) муносабат ушбу
т гп
д = у Щ aik hi hk + aife hi hk ]
i,k==l r\k=l
куринишга келади. Бу тенгликнинг унг томонидаги биринчи цушилувчи
(12.42) га кура мусбат булади. Иккинчи ^ушилувчи эса, /-^0 да
нолга интилади (чунки /->0 да А хг = х{ — 0, А х2 — х2 — 0, й
• . ^хт = хтх^-^ 0). Демак, (13.43) кесманинг х° 'нуцтага етарлича
я^ин булган х нукталари учун А айирма мусбат, яъни
/ (Х)>/(х°)
булади.
Худди шунга ухшаш, _
Xi = х 1 -р
Х2 — %2 + ^2»
Хт
кесманинг х° нуцтага етарлича якин булган х нуцталари учун А айирма
манфий, яъни
/ U) < f (л°)
булиши курсатилади.
106
Демак, Л == f (xj—f (х°) айирма х° нуктанинг хар кандай етарлича
кичик атрофида уз ишорасини сацламайди. Бу эса f (х) функциянинг
х° нуктада экстремумга эришмаслигини билдиради.
4 — 5. Агар
т
Q (£1, ?2> - • • > aik^i
£,/г=1
квадратик форма яриммусбат аникланган булса ёки яримманфий ани^-
ланган булса, f (х) функция х° нуктада экстремумга эришиши ^ам,
эришмаслиги :\ам мумкин. Бу «шубхали» хрл цушимча текшириб ани^-
ланади.
Юцоридаги 13.10-теореманинг 3-шарти, яъни Q (gn g2, . . ., ^т)
квадратик форманинг мусбат ёки манфий аншутанганликка алог^адор
шарти теореманинг марказий кисмини ташкил этади. Квадратик форма-
нинг мусбат ёки манфий аницланганлигини алгебра курсидан маълум
булган Сильвестр аломатидан фойдаланиб топиш мумкин. Куйида бу
аломатни исботсиз келтирамиз.
Сильвестр аломати. Ушбу
т
Р (ъ1. ?2> • • • • = 2 bik^k
i,k=l
квадратик форманинг мусбат аникланган булиши учун
^11 ^12
^21 ^22
?12 ’ * blm
b2\l 22 ’ • ^2tn
bm\ ^т2 ’ * ’ ^mrti
тенгсизликларнинг, манфий аникланган булиши учун
> о»
тенгсизликларнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Хусусий хрлни, функция икки узгарувчига боглик булган ^олни
^арайлик.
f (хр х2) функция х° = (хр, х£) нуктанинг бирор атрофи
(х°) - (х - (х1э х2) с R2: р (х, х°) <6} (6 > 0)
да берилган булсин ва бу атрофда барча биринчи, иккинчи тартибли
узлуксиз ^осилаларга эга булсин. х° эса каралаётган функциянинг
стационар нуктаси булсин:
4, (<“) - о. и=о.
Одатда гидек
дц=к°). «12=rXlXt w. «22=(х°).
107
Iе. Агар
„ ' =an«22-°ii>0 ваоп>0
U21 u22
булса, f (х) функция х° нуктада минимумга эришади.
2°. Агар
ailfl22 —°11>0 ВЭ «II <°
булса, f (х) функция х° нуктада максимумга эришади.
3°. Агар
^11 ^22 ^12
булса, f (х) функция х° нуцтада экстремумга эришмайди.
4°. Агар
а11 а22-°Л2 = 0
булса. f (х) функция х° нуктада экстремумга эришиши хам мумкин,
эришмаслиги хрм мумкин. Бу «шубхали» хрл кушимча текшириш ёр-
дамида аникланади.
Хацицатан хам, Г- ва 2°- хрлларда квадратик форма мос равишда
мусбат аникланган ёки манфий аникланган булади (каралсин: Сильвестр
аломати).
3°> ^олда, яъни
аН а22~°12<^0 (13.44)
булганда Q $2) = ап + 2а12^ д2 + а22Ц квадратик форма ноаник
булади. Шу ни исбот лайлик.
— 0 булсин. Бу хрлда (13.44) дан а12 =Н= 0 булиши келиб чика-
ди. Натижада Q (^х, |2) квадратик форма ушбу
Q g2) = (2а12^ + а2&) ё2
куринишга келади. Бу квадратик форма
т^ийматда мусбат:
2Й12 ’ Ь2
1)=1>0ва =
кийматда эса манфий:
булади.
Энди ап >0 булсин. Бу хрлда Q (Н^ Н2) квадратик формани цуйи-
дагича ёзиб оламиз:
108
Кейинги тенгликдан S., = 1 цийматда
а11
/ 2
о х/ t \ ’°12 1 Z ^12 °22 G22 £ 1
в3 V Ь1 >--------- + I --------------, s2 = 1 цииматларда эса
«й F aji
Q (So l)>0
булишини топамиз.
Ba нихоят, Яц <0 булсин. Бу хрлда (13.45) муносабатдан фойда-
ланиб, Q (|ъ g9) квадратик форманинг = ——2, %2= 1 крйматда мус-
Ди___________________________________________________
бат 1)>0 ва V ^ > - ^- + = 1 Кий-
V «и / «11 F
матларда эса манфий
Q (So 1)>о
булишини топамиз.
Шундай т^илиб, «п«22— «J<0 булганда Q (£р |2) квадратик фор-
манинг ноани^ булиши исбот этилди.
4°-зрлни, яъни ах1а22 — а12 = 0 булган хрлни кррайлик. Бу хрлда,
ап = 0 булса, унда а]2 — 0 булиб, Q (^0, £2) квадратик форма ушбу
Q(SP
куринишни олади.
Равшанки, а29 > 0
булганда
Q g2) > 0,
а22 < 0 булганда
Q
0
булиб, нинг ихтиёрий кийматида
Si>
0) - о
булади.
Агар
>0 булса,
Q
«11 < 0 булганда
109
булиб, ва ?2 ларнинг
t ______^12
«и
2
тенгликни каноатлантирувчи барча кийматларида Q (5П |2) квадратик
форма нолга тенг булади. Демак, каралаётган хрлда Q (51? 52) квадра-
тик форма яриммусбат аникланган ёки яримманфий аницланган булади.
Энди мисоллар караймиз.
М и с о л л а р. 1. Ушбу
f (xt, х2) = х । + х2 — 3axj х2 (а =£= 0)
функцияни карайлик. Бу функциянинг биринчи ва иккинчи тартибли хрсилалари
_fx (*!’ Х2> ~ ^2’ fx. (ХГ Х2^ ~ 3 х| — Захр
/г2 (Хр Х2) = 6Х], (xp х9) = —-За, /х2 (xj, х9) 6 х2
1 1 2 2
булади.
| Зх| — Зах.? = 0,
[ Зх9 — 3«Х| = 0
системаии ечиб, берилган функциянинг стационар нукталари (0, 0) ва (а, а)эканини
топамиз.
(а, а) нуктада
«ц = ба, «1з = — За, а22 = ба
булиб,
<7П «22 — «j| = 27а2 > 0
булади.
Демак, а > 0 булганда («ц > 0 булиб) функция (а, а) нуцта минимумга эри-
шади, а<0 булганда функция (а, а) нуктада максимумга эришади. Равшанки,
f [а, а) = — а3. (0. 0) нуктада
а ц а22 — ^11 — — 9а2 <~0 *
булади. Демак, берилган функция (0, 0) нуцтада экстремумга эришмайди.
2. Куйидаги
/ (х„ х2) = (х2 — Х'1)2+ (х2 -Г 2)3
функцияни ^арайлик.
булади. Бу нуктада
Берилган функциянинг стационар нуктаси (— 2, — 2) ну^та
2 п
«ц а22 — а12 = О
булишини топиш г^ийин эмас. Демак, биз бу ер да юцоридаги 4°- «шуб^али» эрлни
учратяпмиз. Экстремум бор- йуклигини ани^лаш учун ^ушимча текшириш уткази-
шимиз керак. (— 2, — 2) нуктадан утувчи х2 — хх тугри чизи^нинг ну^таларини
караймиз. Равшанки, бу тугри чизик ну^таларида берилган функция
f х2) = (х2 + 2)3
булиб, х2< —2 да / (хъ х2)<0, х2> — 2 да f (хп х2) > 0 булади. Демак, / (xlt
х2) функция (— 2, — 2) ну^та атрофида ишора сацламайди. Бинобарин, берилган
функция (— 2, — 2) нуктада экстремумга эришмайди.
ПО
11-§. Ошкормас функциялар
1. Ошкормас функция тушунчаси. Мазкур курснинг 1-
i^hcm, 4-боб, 1-§ ида функция гаърифи келтирилган эди. Унн эслатиб
утамиз. Агар X тупламдаги (X cz 7?) хар бир х сонга бирор цоида ёки
конунга кура Y тупламдан (Y cz R) битта у сон мос цуйилган булса,
X тупламда функция берилган деб аталар ва у
f: х-^у ёки у = f (х)
каби белгиланар эди. Бунда х га у ни мос ^уядиган цоида ёки ^онун
турлича, жумладан аналитик, жадвал ^амда график усулларда булиши-
ни курдик. Масалан, функциянинг график усулда берилишида х билан
у орасидаги богланиш текисликдаги эгри чизик^ ёрдамида бажариларди.
Энди икки х ва у аргументларнинг F (х, у) функцияси
М = {(х, у) £ R2: а < х < Ь, с<^У <Zd}
тупламда берилган булсин. Ушбу
F(x, у) = 0
тенгламани ^арайлик. Бирор х0 сонни (х0£(я, 0) олиб, уни юкрридаги
‘ тенгламадаги х нинг урнига куямиз. Натижада у ни топиш учун цуйи-
даги
F(x0, i/) = 0 (13.46)
тенгламага келамиз. Бу теигламанинг ечими ^а^ида ушбу хрллар бу-
лиши мумкин:
1°. (13.46) тенглама ягона ^аци^ий у0 ечимга эга,
2°. (13.46) тенглама битта ^ам хациций ечимга эга эмас,
3°. (13.46) тенглама бир нечга, хатто чексиз куп хаци^ий ечимга
эга.
Масалан,
г / \ __ IУ — х<2’ агаР х 0 булса,
с (*> У) — > у2 _г_ х, агар х < q б^лса
булсин. У холда
F(x, У) -0 (13.47)
тенглама х0 > 0 булганда, ягона у ~ х2 ечимга, х0 < 0 булганда ик-
кита
у ~ Т x’q, у — Т
ечимларга эга булади.
Агар бирор F (х, у) ~ 0 тенглама учун Г-^ол уринли булса, бун-
дай тенглама эътиборга лойиц. Унинг ёрдамида функция ани^ланиши
мумкин.
Энди х узгарувчининг циймагларидан иборат шундай X тупламни
^арайликки, бу тупламдан олинган ,уар бир Хийматда F (х, у) — 0 тенг-
лама ягона ечимга эга булсин.
X тупламдан ихтиёрий х сонни олиб, бу сонга F (х, у) — 0 тенгла,
манинг ягона ечими булган у сонни мос цуямиз. Натижада X туплам.
111
дан олинган хар бир х га юкорида курсатилган ^оидага кура битта у
мос куйилиб, функция хосил булади. Бунда х ва у узгарувчилар ора-
сидаги богланиш F (х, у) — 0 тенглама ёрдамида булади. Одазда бун-
дай берилган (аницланган) функция ошкормас куринишда берилган
функция (ёки ошкормас функция) деб аталади ва
x-^y:F(x, у) = 0
каби белгиланади.
Мисоллар. 1. Ушбу
У) =1 — 2
функцияни ^арайлик. Равшанки,
F(x, i/)=z//x2~ 1-2 = 0 (13.48)
тенглама х нинг /?\ { x£R: — 1 х < 1} дан олинган хар бир'кийматида ягона
ечимга эга, бундан
Натижада (13.48) тенглама ёрдамида берилган ушбу
ошкормас куринишдаги функцияга эга буламиз.
2. Ушбу
1
F (х, у) = х — у + — sin у = 0 (13.49)
тенгламани карайлик. Уни куйидагича
1
х =у — ~— sm// = (у) (уе(~:э’ °°))
курнишда ёзиб оламиз. Равшанки, ср (у) функция (—со, сю) да узлуксиз ва ср' (у) —
1
= 1 — — cos у > 0 ^осилага эга.
2
Унда тескари функция хацидаги теоремага кура. (1-кисм, 5-боб. 7- §) у —
= ф~1(х) функция мавжуддир. Демак, (— сю. го) олинган х нинг хар бир туиймати-
да (13.49) тенглама ягона z/=(p~i(x) ечимга эга, бундан
F (х, <р~*1 (х)) = 0.
^\ар бир х га ср~ (х) ни мос ^уйиб,
х-*<р~1(х): F(x, <р-1(х)) = 0
ошкормас куринишдаги функцияга эга буламиз.
3. Юкорида келтирилган (13.47) тенглама ^ам х > 0 да
х х2 : F (х, х2) = 0
ошкормас куринишдаги функцияни аниклайди.
4. Куйидаги
F (*• У) = х2 + У2 — 1п У — 0 (У > °)
112
тенгламани карайлик. Бу тенглама х нинг (— ос, со) орали^дан олинган хёч бир
Кийматида ечимга эга эмас. Чунки хар доим у2—In у ? 0. Бу холда берилган
тенглама ёрдамида функция аницланмайди.
13.5-эслатма. Фараз килайлик, ушбу
F (*, У) = 0
тенглама ошкормас куринишдаги функцияни аник ламас ин. Баъзан, бу
^олда у га маълум шарт ^уйиш натижасида юкоридаги тенглама ош-
кормас куринишдаги функцияни аниклаши мумкин.
Масалан, куйидаги
F(x, у)^х2 + у2 — 1 ==0 (13.50)
тенгламани карайлик. Бу тенглама х нинг (—1, 1) ораликдан олинган
хар бир кийматида иккита
у= — у'1—х2,
у = УГ=~Х2
ечимларга эга. Агар у га, унинг кийматлари [—1,0] сегментда бул-
син, деб шарт куйилса у холда (13.50) тенглама ёрдамида аникланган
— у 1—у2, F (х,—У 1—х2) = 0
ошкормас куринишдаги функция хосил булади.
2. Ошкормас функциянинг мавжудлиги. Биз юкорида
F(x, у) = 0
тенглама ёрдамида хар доим ошкормас куринишдаги функция аниклана-
вермаслигини курдик.
Энди тенглама, яъни F (х, у) функция кандай шартларни бажар-
ганда ошкормас куринишдаги функциянинг аникланиши, бошкача айт-
ганда, ошкормас куринишдаги функциянинг мавжуд булиши масаласи
билан шугулланамиз.
13.11-те о рем a. F (х, у) функция (х0, у0УЯ2 нуктанинг бирор
UhJt ((х0, £/<»)) = у) € R2 -х° — h < X < х0 4- h, y0 — k<
< У < У о + k}
атрофида (й > 0, k > 0) берилган ва у куйидаги шартларни бажар-
син:
1) Uh,k((x0, z/0)) да узлуксиз;
2) х узгарувчининг (х0— h, х0 +/г) оралицдан олинган хар бир
тайин цийматида у узгарувчининг функцияси сифатида усувчи;
3) F (х0, у0) = 0.
У цолда (х0, /у0) нуцтанинг шундай
= — 6<х<х0 + 6, у0— £<у<уо + ъ}
атрофи (0< S<^h, 0<е < Л) топиладики,
Г) V х С (хв— 6, х0 4- 6) учун
F(x,y)=0
8-501 , 11?
х2 узгарувчига богли^ булган
Я5 (х2) = f (х“ + д %!, х2) — f (х®, х2)
функцияларни тузайлик. Равшанки, (pOq), ф(х2) функциялар
ф' <Х1) = f'x, (ХР Х2 + А Х2) (Х1> Х2°)>
Ф' (х2) = f'x2 (х? + А х1> хг) ~ fxt (Х1 > х2>
хосилаларга эга булиб, Лагранж теоремасига асосан
булади, бунда O<0lt 02< 1.
Юцорида келтирилган Р ифодани <р (х,) ва ф (х2) функциялар орта-
ли ушбу
Р = ф (х°! + А X]) — ф, (х®),
Р = ф (х® + А х2) — ф (х«)
куринишда езиб, сунг яна Лагранж теоремасини цуллаб хуйидагилар-
ни топамиз:
Р = ф' (х^ + 0J A Xj) А хр Р = ф' (х® + О' А х2) А х2
(0<е;, е;<1). (13.28)
Натижада (13.27) ва (13.28) муносабатлардан
булиб, улардан эса
булиши келиб чикади. “
Шартга кура ва f аралаш хосилалар (xf, х®) нуцтада узлук-
сиз. Шунинг учун (13.29) да Ах1->0, Дх2—<-0 (бунда x®+0jAxJ-»-xo1,
х® + 02 Ах2->х®, х? + 0j Ах! ->х^, х® + 02 Ах2-^-х^) лимитга утсак,
fxxxS^ Х°2)- /хЛ(Х?>
булади. Бу эса теоремани исботлайди.
Агар /(%!, л2) функция очиц Л4(7Исз7??) тупламда ю^ори тартиб-
ли узлуксиз хусусий хосилаларга эга булса, бу хосилаларга нисбатан
юкоридаги теоремани такрор цуллаш мумкин.
Масалан, ['х^ f'x^ ларга теоремани татбиц этиб цуйидагиларни
топамиз:
р// / р / / / • X 1Л1Х2 ‘ f"' =f’" 1 Х1Х2Х2 1 х2х f(iV) H1V) /(IV) IXiXiX2X2 • Х\Х2Х\Х2 1 ХхХ2Х2Х1 90 = Г' 2Х1 'XjXiXi* Г" 1Х2 • x2x2xS - fHV) __ /(IV! „ /(IV) 1 X2X1X1X2 1 X2XxX2Xi I X2X2XiXi’
Шри. Куп узгарувчили функциянинг ю^ори тартибли дифференциали ту-
Жтпунчасини келтиришдан аввал, функциянинг- п(п>1) марта диффе-
|ЙЬенциалланувчилиги тушунчаси билан танишамиз.
Ж. f (х) функция очи^ Л4 (М cz Rm) тупламда берилган булиб, х° С М
Шбулсин. Маълумки, f(x) функциянинг х° нуктада ги орттирмаси ушбу
В Д/(х°) = Л1Дх1 + Л2Дх2 + . . . +ЛтДхт + о(р)
>|суринишда ифодаланса, функция х° нуктада дифференциалланувчи
ждеб аталар эди, бунда Ар Л2, . . . , Ат— узгармас сонлар, р —
ЖЬ=}/Г(Ах1)2 + (Ах9)2+ . . . +(Ахт)2 . Бу ^олда курган эдикки, A-t =
Ж df(X«) /.10 Ч
w - > 0 “ 1» 2, . . . , /71).
ОХ;
W Айтайлик, /(х) функция М тупламда , /'
Жсилаларга эга булсин. Агар бу хусусий хосилалар х° нуктада диффе-
Жренциалланувчи булса, /(х) шу нуктада икки марта дифференциалла-
Шяувчи функция деб аталади.
Ж Умуман, /(х) функция М тупламда барча п— 1-тартибли хусусий
Ж^осилаларга эга булиб, бу хусусий хосилалар х°СЛ1 нуцтада диффе-
Жренциалланувчи булса, /(х) функция х° нуктада п марта дифферен-
шциалланувчи функция деб аталади.
ж1
х2.....Ст хусусий ХР-
13.7-теорем а. Агар очиц М тупламда f(x) функциянинг барча
Жп- тартибли хусусий хрсилалари мавжуд ва х° С М нуктада узлуксиз
^булса, /(х) функция х° нуктада п марта дифференциалланувчи бу-
‘Люди.
® Бу теорема функция дифференциалланувчи булишининг етарли шар-
Ж’ТИни ифодаловчи 13.3-теореманинг исботланганлиги каби исботланади.
Ж. Фараз ^илайлик, /(х) = /(Хр х2, . . . , хт) функция очи^/И
жуупламда берилган булиб, у х = (х
Жренциалланувчи булсин. У ^олда бу функциянинг х нуцтадаги диффе-
Жфенциали
Ж' . df .
® df = dxx + — dx2
dXi OX.2
булади, бунда dx{, dx2, . . . , dxtn
нинг ихтиёрий орттирмаларидир.
Энди /(х) функция х£М нуктада икки марта дифференциалланув-
чи булсин.
13.7 таъриф. f(x) функциянинг х нуктадаги дифференциали df(x)
Линг дифференциали берилган /(х) функциянинг иккинчи тартибли
дифференциали деб аталади ва у d?f каби белгиланади:
d2f^d(d (/).
Й&Юцоридаги (13.20) муносабатни эътиборга олиб, дифференциаллаш
||£оидаларидан фойдаланиб цуйидагини топамиз:
df
• - > xm) g /И нуктада диффе-
df
т
(13.20)
% у
d2f^d(df)^d
dxt
т
г
узгарувчилар-
~dxm
tn
91
булиб, р~*~0, яъни Алд->0, Ал2->0, . . . , Ал'т->0 да од-»-О, а2->
*-*• О, . . . , сдп-> О.
Демак, f (х) функциянинг х° нуктада дифференциалланувчилигининг
(13.2) ва (13.3) шартлари узаро эквивалент дир.
Энди днфференциалланувчи функциялар \акида иккита теорема
келтирамиз.
13.1-теорема. Агар f (х) функция х° нуктада дифференциалла-
нувчи булса, у холда бу функция шу нуктада узлуксиз булади.
Исбот. f (х) функция х° нуктада днфференциалланувчи булсин.
У холда таърифга кура функция орттирмаси учун
Af (х°) — Л. Алд 4- Л2Ах2 + . . . + ЛшАхш + сдАлд + сдАх2 +
+ . . . + осггДхт
булади, бунда Лр Л2, . . . , Ат — узгармас, Ахд->0, Ах2->0.............
Ахт~*0 да од->0, а2-> 0, . . . , ат->-0.
Юкрридаги тенгликдан
lim А/ (х°) = О
ДЛл—►()
Дх2->0
Xxm-^Q
булиши келиб чикади. Бу эса f (х) функциянинг х° нуктада узлуксиз-
лигини билдиради. Теорема исбот булди.
13.2. теорема. Агар f (х) функция х° нуктада дифференциал-
ланувчи булса, у уолда бу функциянинг шу нуктада барча хусусий
хосилалари fXt (х°), fXi (х°), . . , fx (№) мавжуд ва улар мос равиш-
да (13.2) муносабатдаги Аг, А.2, .... Ат ларга тенг булади, яъни
= = .... f'Xm^) = Am.
Исбот. f (х) функция х° нуктада дифференциалланувчи булсин.
У зрлда таърифга кура функция орттирмаси учун
А/ (л<^) Л|Алд 4- Л2Ах2 4“ • • • 4“ Л ^Алт 4- ос^Алд 4~ ct2Ax2 -j-
+ . . . + ат\хт (13.2)
булади. Бу тенгликда
деб олсак, унда (13.2) ушбу
Ах, f (х°) = Л1Ах1 + • Алд
куринишни олади. Бу тенгликнинг хар икки томонини Алд га булиб,
сунг Алд->0 да лимитга утгб, цуйидагини топамиз:
д f (х°)
lim —--------= lim (Л£ + од) = ЛР
Дхх-^О Алд Дхг->0
Демак,
fx
9 4 7 1
68
Худди шунга ухшаш /(х) функциянинг х° нуктада /^(л°), f'x (х°)» • • . ,
f'x (хс) хусусий хосилаларининг мавжудлиги хамда
д к°)=а. д (*°)=-ч...........гХт ~
эканлиги курсатилади. Теорема исбот булди.
13.1-натижа. Агар f (х) функция х° нуктада дифференциалланув-
чи булса, у холда
А/ (х°) = f'Xi (х«) Ах, + f’Xt (х°) Дх2 4
+ f'Xm У°) "Чп + 0 (Р)
булади.
13.1-эслатма. /(а) функциянинг бирор х° нуктада барча хусу-
сий хосилалари f' (х°), /' (х°), . . . , Г (х°) нинг мавжуд бхлишидан,
функциянинг шу нуцтада днфференциалланувчи булиши хар доим ке-
либ чикавермайди.
Масалан, ушбу
—Д2Ц, агар (хи х2)#=(0, 0) булса,
I (х,, х2) = ф х, 4- 4
0, агар (%], х2) = (0, 0) булса
функцияни карайлик. Бу функция (0, 0) нуктада хусусий хосилаларга
эга:
f (0, 0) == lim А(Ахь °)- НО. 0) = 0)
‘ 1 Дхх-^0 АЛД
f (0, 0) = lim = 0.
Хг Дх2
Берилган функциянинг (0, 0) нуктадаги орттирмаси
А/(0, 0) = /(Ах1,
Дх2) - / (0, 0) =
ДхрАтг
булиб, уни (13.2) ёки (13.3) куринишида ифодалаб булмайди. Буни
исботлаш мацсадида, тескарисини, яъни /(хп х2) функция (0, 0) ну^-
тада днфференциалланувчи булсин деб фараз килайлик. Унда
А/ (0, 0) = fXi (0, 0) Ах; + /;г (0, 0) Ах, 4- а1Ах1 4- а,Ах, =
=А хг 4- o'^Ax.j (13.4)
булиб, бу муносабатда Алу-^0, Ах2->0 да ^->0, сс2-»-0 булади.
Демак,
= а1ДХ1 4- а3Ах2. (13.5)
] (AXiP-f-(Дл'2)2
Маълумки, Ддд ва Дх2 лар ихтиёрий орттирмалар. Жумладан, Алу ==
= Дх2 булганда (13.5) тенглик ушбу
= Axj (а, 4- а2)
69
куринишга келиб, ундан эса
+ &2 =
булиши келиб чикади. Натижада Ахд-^О, Ах20 да cq ва а2 микдор-
ларнинг нолга интилмаслигини топамиз. Бу эса /(х\, х2) функциянинг
(О, 0) нуктада дифференциалланувчи булсин деб килинган фаразга
зид. Демак, берилган функция (0, 0) нуктада хусусий \осилаларга
эга, аммо у шу нуктада дифференциалланувчилик шартини бажар-
майди.
Шундай килиб, функциянинг бирор нуктада барча хусусий хоси-
лаларга эга булиши, функциянинг шу нуктада дифференциалланувчи
булишининг зарурий шартидан иборат экан.
2. Функция д и ф ф е р е н ц и а л л а н у в ч и л и г и н и н г етарли
шарти. Энди куп узгарувчили функция дифференциалланувчи були-
шининг етарли шартини келтирамиз.
f (х) f (х\, х2, . . . , хт) функция очик М (М тупламда бе-
рилган булиб. х° = (х^, х2, • • • , ну^та шу тупламга тегишли
булсин.
13.3-теорем а. Агар f (х) функция х° нуктанинг бирор атрв-
фида барча узгарувчилари буйича хусусий хрсилаларга эга булиб, бу
хусусий хосилалар шу х° нуктада узлуксиз булса, f (х) функция х°
нукупада дифференциалланувчи булади.
Исбот. х° С AI нуктани олиб, унинг координаталарига мос равиш-
да шундай Ахд, Ах2, . . . , \хт орттирмалар берайликки, (х^ + Ах.,
x’2 + Ax2, . . . , x^ + Ax'm) нукда х° нуктанинг айтилган атрофига те-
гишли булсин. Сунг функция тула орттирмаси
(^) = / (у + Ахр х« + Ах2, . . . , 4 4- Ахш) — f (хр, х®, .... 4)
ни куйидагича ёзиб оламиз:
Бу тенгликнинг унг томонидаги ^ар бир айирма тегишли битта аргу-
ментнинг функцияси орттирмаси сифатида каралиши мумкин. Унинг
учун Лагранж теоремасини татбиц ^ила оламиз, чунки теоремамизда
келтирилган шартлар Лагранж теоремаси шартларининг бажарилиши-
ни таъминлайди:
А/ (х°) = f'Xi (х® + вДр х® + Ахг..........хпт + Ах„.) • Дхх +
+ f'Xi (xnv х» 4- 02Ах2, х® 4- Ах3, . . . , хпт 4- Ахт) • Ах2 4- (13.6)
+ Ст (Х1’ Х2’ ’ • • ’ Хт—\' Т ®trAXm) '
70
к1 бунда
О < 0,- < 1 (t = 1, 2, . . . , т).
Г
Одатда (13.6) функция орттирмасининг формуласи деб аталади.
Шартга кура х° нуктада fx , f'x, . . . , f'x хусусий хрсилалар уз-
луксиз. Шунга кура
(х° 4- 0j А хь х° + А х2, . . . , хт + А хт) = fXi (х®) + ап
fX1 (Х1 ’ Х2 "Ь ®2 А *2» Хз + А *3’ • • > Хт + А Хт) ~ Iхг Т Гх2’
4......?.+».*-<„)=/;„(»•)+«. I’3-7)
булиб, унда Дхг“>0, Дх2~>0, ... , Дхш->0 да ^->0, а2—► 0, . .
• » ат~^® булади.
(13.6) ва (13.7) муносабатлардан
A f (**) = fX1 (*о) А Х1 + Гх, (х°) А х2 + . . . + fXrn (х°) А хт + aj А хг +
4-a,x,+ . . . -|-a Ах„
1 2 Л 1 1 т .72
булиши келиб чикади. Бу эса /(х) функциянинг х° нуктада дифферен-
циалланувчи эканлигини билдиради. Теорема исбот булди.
Бир ва куп узгарувчили функцияларда функциянинг дифференциал-
ланувчилиги тушунчаси киритилди (каралсин, 1- кием, 6- боб, 4- § ^ам-
да ушбу бобнинг 2-§.) Уларни солиштириб куйидаги хулосаларга ке-
ламиз.
1) Бир узгарувчили функцияларда хам, куп узгарувчили функция-
ларда хам функциянинг бирор нуктада дифференциалланувчи булиши-
дан унинг шу нуктада узлуксиз булиши келиб чикади. Демак, бир ва
куп узгарувчили функцияларда функциянинг дифференциалланувчи бу-
лиши билан унинг узлуксиз булиши орасидаги муносабат бир хил.
2) Маълумки, бир узгарувчили функцияларда функциянинг бирор
нуктада дифференциалланувчи булишидан унинг шу нуктада чекли
Косила га эга булиши келиб чикади ва, аксинча, функциянинг бирор
нуктада чекли хосилага эга булишидан унинг шу нуктада дифферен-
циалланувчи булиши келиб чикади.
Куп узгарувчили функцияларда функциянинг бирор нуктада диф-
ференциалланувчи булишидан унинг шу нуктада барча чекли хусусий
Косилаларга эга булиши келиб чикади. Бирок, функциянинг бирор нукта-
да барча чекли хусусий хрсилаларга эга булишидан унинг шу нукта-
да дифференциалланувчи булиши хар доим келиб чикавермайди.
Демак, бир ва куп узгарувчили функцияларда функциянинг диф-
ференциалланувчи булиши билан унинг хреилага (хусусий хреилага)
эга булиши орасидаги муносабат бир хил эмас экан.
3- §. Йуналиш буйича косила
Маълумки, бир узгарувчили у — f (х) функциянинг (х G R, У € R) -у-
Косиласи бу функциянинг узгариш тезлигини билдирзр эди. Куп узга-
рувчили y — f(x1, х2, . . . , хт) функциянинг ((Xj, х2, . . . , xm)QRm,
71
у £ 7?) хусусий хосилалари хам бир
узгарувчили фу ню' нянин г хосиласи
каби эканлигини эътиборга олиб, бу
ат df df
•;— , — , хусусии ХОСИ-
ax'i ах i ^х,тг
лалар хам //-Д(лу, х2, ...» хт}
функцияниг мос равишда Охл Олу,
. . . , Олу, уклар буйича (Rm фазо-
да) узгариш тезлигини ифодалайди
х деб айтиш мумкин.
х Энди функциянинг ихтиёрий йу-
налиш буйича узгариш тезлигини
ифодаловчи тушунча билан тали-
шайлик. Соддалик учун икки узга-
рувчили функцияни караймиз.
У==/С’У, лу) ~ ДА) функция очик Af тупламда (MQR2) берилган
булсин. Бу тупламда ихтиёрий Ао ~ (л^ , х,) нуктани олиб, у оркали
бирор тугри чизик утказайлик ва упдаги икки йуналпшдан бирини
мусбаг йуналиш, иккинчисини манфий йуналиш деб кабул килайлик.
Бу йуналган тугри чизикнн I дейлик.
а ва [3 деб I йуналган тугри чизиц мусбат йуналиш и билан мос
равишда Ох} ва Ох2 координата уцларининг мусбат йуналиши орасида-
ги бурчакларни олайлик (12-чизма). Унда дА0АВ дан
v X — Y9
Л1 Л j Л л Л э
—------ = COS а, —----- — COS р
р р
булиши келиб чицади. Одатда cos а ва cosР лар I тугри чизикнинг
йуналгирувчи косинуслари дейилади.
I тугри чизикда Ао нуктадан фар^ли ва Л4 тупламга тегишли бул-
ган А нуктани (А = (лу, лу)) олайликкп, А0А кесма /И тупламга те-
гишли булсин. Агарда А нукта До га нисбатан I тугри чизикнинг
мусбат йуналиши томонида булса (шаклдагидек), у холда А()А кесма 5>
узунлиги р(А0, А) ни мусбат ишора билан, манфий йуналиши томони-
да жойлашган булса, манфий ишора билан олишга келишайлик.
3.3- таъриф. А нукта I йуналган тугри чизик буйлаб Ао нук-
тага пнтилганда (А -> Ао) ушбу нисбат
fMj —f(/l0) f (хг, x2)~f(xQ[, хф
р (40, А) Р((хр х9), (хР х2)}
нинг лимити мавжуд булса, бу лимит /(xy, х2) — /И) функциянинг
До = (xj , хц ) нуктадаги I йуналши буйича хосиласи деб аталади ва
м Д/(хр хф
еки —
dl------------------------------------dl
каби белгиланади. Демак,
___ ]jm / (А) — / Ио)
dl л-г>л0 р (Ао, А)
72
Энди f(Xj, х2) функциянинг I йуналиш буйича хрсиласининг мав-
жудлиги хамда уни топиш масаласи билан шу₽улланамиз.
13.4-те орем a. f(xn х2) функция очик М тупламда (Мая1ф)
берилган булсин. Агар бу функция Ло (ху , х°) нуктада ((х° , х° )£
£ 7И) дифференциалланувчи булса, у холда функция шу нуктада хар
кандай йуналиш буйича хосилага эга ва
df(AQ) dfix^x^ ^Y(x^xS) df(x^ x°>)
= ~ cos a 4 — cosp. (13.8)
dl-------------------------------------di-dxt-?x2
Исбот. Шартга кура /(Хр х2) функция Ло = (х^ , х°) нуктада диф-
ференциалланувчи. Демак, функция орттирмаси
f О) — / (Ло) = f (xj, л-2) — f (х° , х® )
учун
. r. n . n л
„ . , Л!хь х.ц z dt (хф хф
/И) -ЦЛ0) = —(-Ч-.Г ) + (л2 -Ш+ о(р) (13.9)
с'ЛЦ СХ
булади, бунда
(13.9) тенгликнинг хар икки томонини р—р(Л0, Л) га булсак, у
ярлда
/ (^) — I ‘ Д)) c>f (хр хф xL — х? ( df (хр х?) х2 — х? , о (р)
р(Л°;» А) Эхг р dx2 р Р
булади.
Натижада (13.10) тенглик ушбу
Н/)—/Но) с7(х°, Х°) Э/(Хр х®) я оф)
----------=---------— cos ос 4------— cos р 4------
р(Д0, A) ?xj dx2 р
(13.10)
курянишга келади. Бу тенгликда А-*-До да (яъни р—>-0 да) лимитга
утсак, унда
/(Д)-/(ЛЙ) f(A)-f(A0} dj (-4 х°) , d/(x?, х?)
---------- ~ ----------—---------2_ cosa Д-------
A-±A9 p До, A] p-*o p Эх! cx2
булади. Демак,
cosp
di(An) dfXt.xCA d/(x9, Xo) di (хъ x?i
—— =----------— =------i—- cos a 4---Ц—- COS P
dl dtL ЭХ]. cx2
Бу эса теоремани исбот лайд и.
М и с о л лар. 1. Ушбу
/ (х1? Хо) = arctg —
х>
У
х<, Функцияни ^арайлик.
Ж I биринчи квадратнинг G, 1) нуктадан Хтхвчи ва (0, 0) нуцтадан (i, 1) нукта-
ш
Ка 73
ЯиЧе -
га ь;араб йуналган биссектрисасидан иборат (13-
XI чизма). Берилган функциянинг Ло — (1, 1) нук-
7 тадаги / йуналиш буйича .хосиласини топинг.
j Берилган
1 " 7W) Х1
/ ’ /(хд, x2) = arctg —
/ I xi
/ i функциянинг Ло —(1, 1) нуктада дифференциал-
/ ланувчи эканлиги равшан. Унда юкорида келти-
/ ( рилган (13.8) формуладан фойдаланиб,
7---------Г <*/(!, П _ . Л. , <W, i) v
dl c}x1 4 Эх2
Tl / * X2 X1 \
X cos ' == j '“n ‘ ~ — 9 9 /x
13-чизма 4 \xi+x2 xi + x2 / xx=\
x2=2
• /2" n
\ 1----- ~ 0.
2
булишини топамиз. Демак,
Щ1) ~Q
dl
Каралаётган функциянинг Ло = (1, 1) нуктадаги 0xt ва Ох2 координата уклари
буйича ^осилалари мос равишда
сУ(1, 1) = _1_ Э/(1, 1) = _ __1
с\хг 2 ’ с)х2 2
булади.
2. куйидаги
t (Xl, x-j = V xf + *2
функциянинг Aq = (0, 0) нуктада исталган / йуналиш буйича .^осиласи
^(0,0) }
dl
булади.
Ха^икатан ^ам,
булиб,
/(Л)-/(Л0) _ *1+*2 р
Р (А». А) р р
f(A)-f(A0)
п m-----—-— = I
р_>0 р (Л, Л)
булади.
3. Ушбу
f (Xj, х2) — *i + U2|
функциянинг (0, 0) нуктада 0хг координата уки буйича хосиласи 1 га тенг булиб, Ох^
координата у^и буйича ^осиласи мавжуд эмас.
13.2-эсл атма. Функция бирор нуктада дифференциалланувчилик
шартини ^аноатлантирмаса хам> У шу нуктада бирор йуналиш буйича
74
ва ^атто ^ар кандай йуналиш буйича ^осилага эга булиши мумкин.
Масалан, ушбу
функция Ао = (0, 0) нуктада дифференциалланувчилик шартини бажар-
майди. Юкорида курдикки, бу функция (0, 0) нуцтада исталган йуна-
лиш буйича хосилага эга.
4- §. Куп узгарувчили мураккаб функцияларнинг
дифференциалланувчилиги. Мураккаб функциянинг досылаем
y~f(xux2, ... , хт) функция тупламда берилган бу-
либ, хр х2 . . . , хт узгарувчиларнинг хар бири уз навбагида . tk
узгарувчиларнинг Т (Т cz 7Ф) тупламда берилган функцияси бул-
син:
М — Ф1П1, • • • 1 ЙЬ
Х2 = ФгОл’ ^2» • * • ♦ ^)»
Z2, • • -У- (13.11)
Бунда (/х, t2, ... , tk)£T булганда унга мос (хп хг, ... , хт)£М.
булсин. Натижада ушбу
У ~ f (Ф1 (^1> ^2’ • • • » фФ Ф*2 (^1 ’ • • • ’ • • • , Ф^ (Л» ^2» • • • ^))
” F (tlt t2, . . . ,
мураккаб функцияга эга буламиз.
1. Мураккаб функциянинг дифференциалланувчи-
лиги.
13.5- т еорема. Агар (13.11) функцияларнинг %ар бири .
• , фСТ" нуктада дифференциалланувчи булиб, у = f(x19 х2, . . . , хт)
функция эса мос (хф х’ф . . . , хф)£Л1 нуктада (х^==ф1(/ф /ф . . .
ЭД» = Ф2 (ЭД %, ' ЭД» • • • хт = Фл-ЛЭД Z2’ • • • > ЭД) дифферент
циалланувчи булса, у холда мураккаб функция Ft2, . . . , tm) хам
(Zp , /ф нуктада дифференциалланувчи булади.
Исбот. (/’ф Й, . . . , Й')£ Т нуцтани олиб, унинг координаталари-
га мос равишда шундай А 4, Д/2, . . . , \ tk орттирмалар берайликки,
+ А ф, ЙФ-А /2, . . . , 4- А /fe) С Т булсин. У холда (13.11) ифодадаги
^ар бир функция хам Ахи Ах,, ... , Ахт орттирмаларга ва нихрят
У = х2, . . . , х^) функция А / орттирмага эга булади.
Шартга кура (13.11) ифодадаги функцияларнинг хар бири (/ф Й, . . , ,
Й. нуктада дифференциалланувчи. Демак,
75
A Xrn
(13.12)
+ ~мк + о (о)
<-!tk
булади, бунда -Т (i = 1, 2, ... , nr, j = 1, 2, . . . , k) хусусий хо-
* " dt j
силаларнинг (ф , 1%) нуктадаги кийматлари олинган,
р = /(Д/Д2 + (А/2)2 + . . . + (АО2
Шартга асосан, у = /(д, х2, .... хт) функция (х?, x‘j, . . . , х^)
нуктада днфференциалланувчи. Демак,
д/ = Лдл-1 + ^-Дх2 + . . . +^-Ахт+о'-1А.х1 +
дхъ дх2 ихт
4- а2А х2 дт А хт (13.13)
булади, бунда (i =И, 2, . . . , т) хусусий хрсилаларнннг (х°, х),
.,№) нуктадаги ^ийматлари олинган ва A.vx—>0, Ах2~>-0, . . ., Ахт—+•
—<- 0 да а1->0, а2—>0, . . . , ат~^~0 булади.
(13.12) ва (13.13) муносабатлардан топамиз:
df
dxi
df дхт
‘ i I 1г
дхт ~di^
d(k ' дх2
df '
дхт
[дХ1
Бу тенгликдаги -Д-
J d.Xi
эмас) булганлиги сабабли
Г df_ , д[
dxi ' дх2
•о(р) +
ft- йигинди узгармас (о га боглик
'хт
di '
dxm
. О (р) = о (р)
' дх2
булади.
76
Модомики, Лу = ф;(7х, 4' . . . , 4) G = 1, 2, . . . , т) функциялар (/'},
4, . . . , i'/) нуктада днфференциалланувчи эк ан, улар шу нуктада
узлуксиз булади. Унда узлуксизлик таърифига кура Д О, Д/2->0,
. . . , Д/ да, яъни р-> 0 да Д 0, Дх2-> 0, . . . , Д хт“> О
булади. Яна хам аникрок айтсак, (13.12) формулалардан р->0 да
Дх^оф), Дх2 = о(р), . . . , Ахт — о (р) эканлиги келиб чикади.
Дх,-^О, Дг2->0, . . . , Дхт->0 да эсаа—>0, а2~> 0, , . . ,
Демак,
р_>0=> барча Дх-~>0=> барча a^Q =>ocL Дхх + а2Ах2 -ф . • . +
+ атА-\л =--°(р)'
Шундай килиб,
df L df
dxt ' dx2
булади. Агар ушбу
А - —
J дхг
(13.15)
дх\ ( df дх2 ( of дхт
dtj Т дх2 dtj ' ‘ дхт dt,-
(i = 1, 2. ... , k) белгилашни киритсак, у хрлда (13.14) ва (13.15)
муносабатлардан
Д f — А1 Д 4 4- А2 Д /2 Н- • • • 4~ А^Д/^4*о(р)
келиб чикади. Бу эса . . . , /Д ср2(4, . . . , ,
Фт(4> ’ • • ’ • • • » мураккаб функциянинг (/ф/4 . .
нуктада днфференциалланувчи эканлигини билдиради.
Теорема исбот булди.
2. Мураккаб функциянинг хос и л ас и. Энди
= • • • , 4)’ ф2(4, • • •. Q, • • • > ттК, 4. ... , 4)) =
F (^1 ♦ ^2 * ' • • '
мураккаб функциянинг tx, t2, . . . , tk узгарувчилар буйича хусусий
^осилаларини топамиз.
Агар (13.11) функцияларнинг хар бири (/о, /°, ... , t°k}QT нуктада
дифференциалланувчи булиб, y = f(xt, х2, . . . , хт) функция sea мос
(х°г . . . , x-oj нуктада дифференциалланувчи булса, у хрлда му-
раккаб функция
г/ = /(ф,1(Л. /2, • • • , tkl ф2(^, /2.......t„) , . . . , . . . , у)
^ар бир t-i, i2, . . . , tk узгарувчиси буйича хусусий хреилаларга эга
булиб,
_d[_ _ , df_ ax-2 , df dxlv
dtT dxr dtx dx2 dtr ' ' ‘ dxm Злу ’
__ df dxt . df dx2 ( ( df dxt„
dt.2 dxi dt2 dx2 dt2 ’ ' dxm ’
df ____ df фх t dx2 [ . df dxm
dxt dtk 1 fix2 dtk • "Г- —
П.
булади, бунда —- (i = 1, 2, . . . , т, j = 1, 2, . . . , k) хусусий ^о-
силаларнинг (/®, /«,..., /®) нуктадаги, ~ (i = 1, 2, . . . , т) хусу-
сий хрсилаларнинг эса (х®, х®, . . . , x(mf нуктадаги кийматлари олин-
ган.
13.5-теоремага кура мураккаб функция (Z®, tlf, ...,/£) нуцтада
дифференциалланувчи булади.
Демак, бй£ томондаи
Д f — • Д tx 4" Д2 А /2 4~ • • • 4~ • Д tk 4- о (р) (13.16)
булиб, бунда
__ df дх1 । df дх2
dxt ' dx2 j
df дхт
дхт dt~
(^аралсин, 13.5-теорема), иккинчи томондаи 13.1-натижага
д/ = ^Д/14-^- • /2. 4- А. +^Д/л4-о(р)
dt-^ 01 2 k
булади. (13.16), (13.17) ва (13.18) ва муносабатларда
асосан
(13.18)
дх± 4- a/j df дх2 t dx2 dtt dxm dxm dt± '
df df dx2 . — j- e , df • • 1 - dx у
dt2 дхг dt2 dx2 dt2 Hl dt2
df ___ df dx,
dtk ~ дх1 dtk
df dx2
dx2 dt2
(13.19)
dxm
dtk
булишини топамиз.
5- §. Куп узгарувчили функциянинг дифференциали
1. Функция дифференциал и нинг таърифи.
функция очи^ M(MczjRm) тупламда берилган булиб, бу тупламнинг
х° нуктасида дифференциалланувчи булсин. Таърифга кура, у холда
/(х) функциянинг х° нуцтадаги орттирмаси
ДДх°)=Л1Ах1+Л2Ах2 + . . . +ЛтАх/72+о(р) (13.3)
булиб, бунда
Ai = (г = 1, 2, ... , т)
ва AXi-^О, Ах2->0, . . , , Ахт->0 да р~>0 булади. (13.3) тенглик-
нинг унг томони икки т^исмдан 1) Ах1} Ах2 . . . , Ах^ орттирмаларга
нисбатан чизикли ифода ЛтAxi + ААха + ... 4-Л^Дх^ дан,
2) A Xi-*-0, Дх2->-0, . . . , Ахт-> 0 да, яъни р->0 да р га нисбатан
юцори тартибли чексиз кичик мир;дор о(р) дан иборат.
78
Шунингдек, (13.3) муносабатдан р->0 да Л1Д%1 + Л2А%2+ . .. +
А-АтЛхт—чексиз кичик мицдор А/(х°)— чексиз кичик микдорнинг
бош к^исми эканлигини пайцаймиз.
13.4-таъриф. f(x) функция орттирмаси А/(х°) нинг Алд, Ах2, . .
, \хт ларга нисбатан чизикли бош цисми
Д1-Дх1+А2-Дх2+ . . . 4- Ат Д хт = дХ1 + Ж) а%2 +
£ АД <7X2
f(x) функциянинг x° нуктадаги дифференциала (тулиц дифференциа-
ла) деб аталади ва df(x°) ёки г//(Лр х%, . . . , х^) каби белгиланади.
Демак,
df(x°) = df(x°, х°2, . . . , х°„) = А} -Дх, + Л2-Дх2 4- . . . +Ат-Ахт =
Агар хп х2.......хт эркли узгарувчиларнинг ихтиёрий орттирмалари
Дх1( Ах.,, .... Д.'т лар мос равишда бу узгарувчиларнинг дифферен-
циаллари dx{, dx2, . . . , dxm га тенг эканлигини эътиборга олсак, унда
/(х) функциянинг дифференциали цуйидаги
dftpA) = -7— dxt + -^— dx., 4- ... 4- dx (13.20)
dXt c'X2 cKm
куринишга келади.
c' I c'f c'f
Одатда — dx,, -ф-dx.,, . . . , y—- dx лар /(x) функциянинг xycy-
3xx dX2 cxm
сий дифференциаллари деб аталади ва улар мос равишда d f, dxf, . .
. , d f каби белгиланади:
Демак, /(а) функциянинг х° нуктадаги дифференциали, унинг шу нук-
тадаги хусусий дифференциаллари йигиндисидан иборат.
М и с о л. Ушбу
f (xlt х2) = г1 sin^
функция V (х1, х2У € R2 нуктада дифференциалланувчи булиб, унинг дифференциали
df — —— dxi + — • Jxo = sin x2 eXl Sin '2 dxr -- лд cos x^eX1 sin *2 dx2 =
d.Vi dX2
— eXi S!n Xz (sin x2dxi cos x2dx2)
булади.
Шуни таъкидлаш лозимки, f(xly л2, . . . , x/ti) функциянинг диф-
ференциали (х'р , хАе0 нукдага боглик булиши билан бирга бу
узгарувчиларнинг орттирмалари Алд—с/лд, Ax2 = dx2, . . . , Ахг7“-
= dxm ларга хам бог лик дир.
Функциянинг дифференциали содда геометрик маънога эга. Купи-
да уни келтирамиз.
У = Дх) = Дхг, л2, ...,х;Д функция очик М тупламда (Л1 с 7?т)
берилган булиб, х°=- (xi, ад, . . ., а;„) нуктада (хи£Л1) дифференциалла-
нувчи булсин. Демак, бу функциянинг х° нуктадаги орттирмаси
учун
A f(x°) = f'xJx0) (х, — х°) + /Дх°) (х2 — х?) +
- Ъ + 0(р)
b (Хт —
булади.
Фараз килайлик у = /(х) функциянинг графиги Rm+X фазодаги уш-
бу
(S) — {(хт, х2, . . . , хт\ у): (хь х2, . . . , xni)€Rm, 1/zR}
сиртдан иборат булсин. Геометриядан маълумки, бу сиртнинг (х?, х?,
.. . ,х^, %) нуктасидан (у0 =- f(xf, х°, . . ., х°)) угувчи хамда Оу уки-
га параллел булмаган текисликларнинг умумий тенгламаси
У-у0 == ^(Х, -х°) + А(Х2 -х°) + .. . + А1П(Хт -хД
булади, бунда А\, Х2, . . . , АД, У— текисликдаги узгарувчи нуцта-
нинг координаталари.
Хусусан, ушбу
у -у0=ЦЛ°) + ДСЛ(.г2—+ ... + /;дх°) (х„- х«,) (13.21)
текислик эса (S) сиртга (х^, х^, . . . , х®(, у0) нуктаспда утказилган
уринма текислик деб аталади.
Агар Х| — х? == dX\, х2 — х°2 = dx2, ...» х„,—х,°;1 = dxm дейилса,
унда (13.21) уринма текислик
у - у0 = гх№ dx2 + ...-г дх®) dxm=d/(x°)
14- «лЕзма
к у ринишга к ел ади.
Натижада куйидаги хулосага кела-
миз: у = Дху, а'2, . . ., лу.) функция ар-
гументлари ад, ..., хт ларнинг ху —
= л^, х2 — х?,. . . , хт = х^п кийматла-
рига мос равишда орттирмалар берай-
лик. У хрлда функциянинг мос орт-
тирмаси
80
и
г?
s У
/
% нукталарнинг охирги, у координатаси олган орттирмани
Функциянинг шу нуктадаги дифференциали эса
d/(x°) = У — у0
бвлднради
уринма текислик (х“, х^, .... х°т, у0) ва (xj-ф Дхр х°-т-Дх2, . . . ,
-j- Дх,;1> У) нукталарининг охирги, у координатаси олган орттирмани
билдиради.
Хусусан, у = Дх,, х2) функция очик М тупламда (М с R2) берил-
ган булиб, (х1), х%)£М нуктада дифференциалланувчи булсин. Бу функ-
циянинг графиги 14-чизмада тасвирланган (S) сиртни нфодаласлн. (S)
сиртга (х«, х2, у0) нуктасида (у0 — /(xj, х“)) утказилган уринма текис-
лик ушбу
Э/(х", х2°) х2°)
У — Уо =------7------- (*1 — Х ’) Н--;-----
сХх сХ2
куринишда булиб, ундан
'У — уь = , *5)
эканлиги келиб чикади. Демак, у = /(xp х0) функциянинг (х9, х2) нук,-
тадаги дифференциали бу функция графигига (хр х$, f(x®, ДП нукта-
сида утказилган уринма текислик аппликатасининг орттирмасидан ибс-
рат эк ан.
2. Мураккаб функциянинг дифференциали, у —
= /(%!, х2, . . . , х,„) функция Af(A4 a Rm) тупламда берилган булиб,
хр х2, . . . , хт узгарувчиларнинг хар бири уз навбатида /р . . . , t
узгарувчиларнинг Т (T<^Rk) тупламда берилган функцияси булсин:
(13.11)
Х'2 Ф2(^р ^2’ • • ? ‘
Бунда (/р /2, . . . , 4)ЕУ булганда унга мос (х,, х„, . . . , х^^М бу-
либ, ушбу
мураккаб функция тузилган булсин.
Фараз килайлик (13.11) функцияларнинг уар бири ... ,
нуцтада дифференциалланувчи булиб, y=\f(x{, х2, . . . , х„,) функция
эса мос (х*(, х®, . . . , Е Af нуктада дифференциалланувчн булсин.
У хрлда 13.5-теоремага кура мураккаб функция (/“, /£) нугр
тада дшЬференциалланувчи булади. Унда .мураккаб функциянинг шу
нуктадаги дифференциали
булади.
Энди ——, ——-, - . . , -- хусусий хосилаларни, vniov бобнинг
C’G ct2 ctk
4-§ да келтирилган (13.19) формулалардан фойдаланиб ^исоблаймиз:
Df _ *f ^Хт
C>tl ёх2 [ j
Df с)Х1 |_ 2L дхт
Э/2 Э/2 Эх9 ^хт э/2 •
cf Sf . Э/ с’Х-2 . । 3f дхт
---~-------.----.--------------Ц . . . Н---• ----.
cXq сХт
Натижада
улади.
Агар
эканлигини эътиборга олсак, у холда мураккаб функция дифференциа-
ли учун
булиши келиб чикади.
Мураккаб функция дифференциалини ифодаловчи (13.22) формула-
ни аввал караб утилган (13.20) формула билан солиштириб, функция
мураккаб булган холда хам функция дифференциали функция хусусий
82
хрсилалари
(/ = 1, 2, . . . , m) билан (б
% . . . , хт аргументларнинг хар бири /р /2, . . , , tk узгарувчилар-
нинг функцияси) мос аргумент дифференциаллари dx-(i = 1, 2, . . . ,m)
купайтмасидан иборат эканини курамиз.
Шундай ^илиб, каралаётган функциялар мураккаб
» ^)> ’ ^2’ • * ’ » • • • » Фт^Р ^2’ * ’ ’ » ^) )
(xt- = <рД/р /2, . . . , tk), (i = 1, 2, ...» m)) куринишда булганда хам,
бу функцияларнинг дифференциаллари бир хил (13.22) формата эга
булади (яъни дифференциал формаси сакланади). Одатда бу хоссани
дифференциал формасининг (шаклининг) инвариантлиги дейилади.
Демак, куп узгарувчили функцияларда хрм, бир узгарувчили функ-
циялардагидек, дифференциал шаклининг инвариантлиги хоссаси урин-
ли экан.
Шуни алохида таъкидлаш лозимки, (13.22) ифодада dxY, dx2, . . . ,
dxm лар хр х2, . . . , хт ларнинг ихтиёрий орттирмалари Дхр Дх2, . . . ,
Дхт лар булмасдан, улар tx, t2, . . . , tk узгарувчиларнинг функцияла-
ри булади.
3. Функция дифференциалини хисоблашнинг содда
о и д а л а р и. и — f (х) ва v = g (х) функциялар очик М(М cz /?т) туп-
ламда берилган булиб, x°£Al нуктада улар дифференциалланувчи бул-
син. У хрлда и + v, u-v, — (v т^О) функциялар хам шу х° нуцтада
дифференциалланувчи булади ва уларнинг дифференциаллари учун цу-
йидаги
1) d(u ± у) = du ± dv,
2) d(u-v) — u-dv + v-du,
i / и \ vdu — udv , . 4
3) d — =---------------(v=0= 0)
\ V / t'2
форму ла лар уринлили булади.
Бу муносабатлардан бирининг, масалан, 2) нинг исботини келтириш
. билан чегараланамиз.
ц = / (х) ва v = g (х) функциялар купайтмасини F функция деб ^а-
райлик: F = u-v. Натижада F функция и ва v лар оркали х1? х2,. . .,
хт узгарувчиларнинг (х = (хр х2, . . . , хт)) мураккаб функцияси бу-
лади. Мураккаб функциянинг дифференциалини топиш формуласи
(13.22) га кура
dF =-----• du Н------dv
du * . Эи
булади.
Агар
Эканлигини эътиборга олсак, унда
dF — v-
Х‘булишини топамиз. Демак,
il’-X1 ~ А
83
4. Т акрибий форму л а лар. Маълумки, функция математик
анализ курсида урганиладиган асосий объект. Купгина масалалар эса
функцияларни дисоблаш (берилган нуктада ^ийматини топиш) билан
боглик. Каралаетган функция мураккаб куринишда булса, равшанки,
унинг кийматини ани^ дисоблаш цийин, баъзида эса мавжуд усуллар
ёрдамида ^исобланмай г^олиши мумкин*.
Чексиз сондаги операцияларни бажариш билан хал буладиган маса-
лаларни, жумладан баъзи функцияларнинг ^ийматларини дисоблаш би-
лан богликАтасалаларни ечишда каралаётган функция ундан соддарок,
дисоблаш учун осонроц булган функция билан алмашгирилади. Бун-
дай алмаштиришлар билан т акрибий фэрмулаларни ^осил ^илишда
функциянинг дифференциал тушунчаси мухим роль уйнайди.
f(x} функция очи^ М (Alcz/?71) тупламда берилган булиб, xQ£M
нуктада дифференциалланувчи булсин. У холда таърифга кура
А £ А С / 0\ A I (Х°) А I , Of (%0) д ,
A f -= A f (х°) = —-—— А ад 4------- - А х2+ . . . 4----} А хт 4-
1 ' V ’ длд дх2 2 т
+ о (р) = df (х3) 4- о (р)
булиб, ундан (df^O)
lim AL = lim
p->0 fif p->0
df + о (p)
булиши келиб чикади. Бундан эса куйидаги
А/(х°) « df (а0) (13.23)
такрибий формула келиб чикади. Бу (13.23) формула х°—(%р л^, • •-,Лт
нуктада дифференциалланувчи f(x) функциянинг шу нуктадаги А/(х°)
орттирмасини, унинг х° нуктадаги df(xQ) дифференциали билан Тали-
бан алмаштириш мумкинлигини курсатадн. Бу алмашгиришнинг мо-
^ияги шундаки, функциянинг А/" орттирмаси xL, х2, . . хт (х=
х2’ • • •» xtrA узгарувчилар Аад Ах2, . . Ахт орттирмалари-
нинг, умуман айтганда, мураккаб функцияси булган ^олда функция-
нинг df дифференциали эса А ад, А ад, . . ., Ахт ларнинг чизикли ь
функцияси булишидадир.
(13.23) формулани ушбу
куринишда хам ёзиш мумкин.
* Туги, функцияларнинг кийматини хисоблашда электрон хгсоблаш машинала-
ридан кенг фойдаланилади. Шубхасиз, х03нРги замон электрон хисоблаш машинала-
ри Е<ис^а вакт нчида жуда куп операцияларни бажариб, куйнлган масалаларни хал
цилиб беради.
84
Arap — xj, Дл'2 = л'2 — x°, . . Axm = xm —л®, эканини
Э'ыт.борга олсак, унда юкоридаги (13.24) формула куйидагича булади:
Хусусан, (х°, х°, . . х°,) = (0,0, . . 0) булганда
булади.
5. Бир ж и н с л и функциялар. / (хъ х2, .. ., хт) функция очиц
M(MczRm) тупламда берилган. М тупламда (хь х2, . . хг.,) нуцта
билан ушбу (/хх tx2, . . txm) нукта (— ОО I оо ) хам шу М туп-
ламга тегишли булсин.
13.5-т аъриф. Агар f (хъ х2, . . ., хш) функция учун
tx2, . . ., tXm)=--tpf(%!, x>, . . ., xj (13.25)
((лу, х2, . . ., хт) eM,p£R)
булса, /(х„ х2, . . ., хт) р- даражали бир жинсли функция деб ата-
лади.
Мисоллар. 1. f (х±. x2)~x\JrxT) функция иккинчи даражали бир жинсли
функция булади, чунки
f (t Xj, t X2) = (/ Xj)2 + (/ X2)2 = /2 (xf + x|j = /2 f (хъ X2).
Xt
2. f (xlt x2)= arctg — 4- e ** функциями карайлик.
Xt
Бунда
txt Xi
/(/лц, /x2)=arctg 2 = arctg c 2 =/(лд, x2)
булади. Демак, берилган функция нолинчи даражали бир жинсли функция экан.
3. Ушбу
/(х,, x2) = /in *1
функция учун (13.25) шарт бажарилмайди. Демак, бу бир жинсли функция эмас.
Фараз ф!лайлик р-даражали бир жинсли /(лу, х2> . . функция
М тупламда дифференциалланувчи булсин. Унда
f (tXl, tx2i . . ’ f (ац Ло, . . Xm)
85
тенгликнинг ^ар икки томонини t буйича дифференциаллаб ^уйидагини
топамиз:
dfttx^ tx2. . . txm)
df(txly tx2> . . txm) f
Лад %1 +
Хусусан, t=\ булганда
= *2- • • - *J-
бир жинс-
булади. Бу (13.26) формула Эйлер формуласи деб аталади.
Айтайлик, /(хх х2, . . ., хт) функция иолинчи даражали
ли функция булсин. Таърифга кура
/(/%!, tX2 ... , =
Хо,
f О1!» ^2> • * *»
булади. Агар бу тенгликда t =
Cyj Ф 0) деб олсак, унда
булиб, натижада т та узгарувчига боглик булган /(ху, х2, . . ,, хт)
функция tn — 1 та уъ у2, . . ут , | уг= -Ц у,= .... у } =
Xjl
= I узгарувчига боглик булган функцияга айланади:
Х1 /
/(хп х2, . . xJ = F(yiy у2У . . ., Ут_х).
Энди /(хь х2, . . ., х^) функция р- даражали бир жинсли функция
булсин. У хрлда
f(txly tx2i . . • f\xu x2, . . xj
булади. Бу тенгликда хам t = — (лу^О) десак, ундан
булиши келиб чикади.
Демак, р- даражали бир жинсли функция ушбу
куринишга эга булар экан.
86
6- §. Куп узгарувчили функциянинг юцори тартибли росила
ва дифференциаллари
1. Фу нкциянинг юкори тартибли хусусий ^осила-
лари. /(%!, х2, . . ., хт) функция очик М тупламда берил-
ган булиб, унинг хар бир (х1( х2, . . хт) нуцтасида Г
хусусий хосилаларга эга булсин. Равшанки, бу хусусий х°силалар уз
навбатида х2, . . . , хт узгарувчиларга боглик булиб, уларнинг
функция лари булади. Демак, берилган функция хусусий хосилалари
f'xe ^2’ * * ’’ лаРнинг ^ам хусусий хосилаларини хаРаш мумкин.
13.6- таъриф. f(xlix2, . . ., хп) функция хусусий хосилалари
fXi, f'X2, . .., f' ларнинг xk(k = 1,2, . . .,m) узгарувчи буйича хусусий
Хосилалари берилган функциянинг иккинчи тартибли хусусий %оси-
лалари деб аталади ва
x1xk
Гх Хк (^1Д,
лт хк
. . ., т)
ёки
каби
f д2 f_
дхг dxk 1 дх2 dxk
белгиланади. Демак
дх^ дх^ Х2 xk
d^f
dx2 dxk
• •, -3—3— (/?=!, 2, . . ., т)
дхт dxh х 7
/74 /V
»
д
х2 Xk
\ ^Х1
д ( df )
^dxk L дх2 / *
д । f df \
— dxk ' < dxm /
_____3_L_ — f”
dxm dxk xm xk
I / J 4 *v
r Бу иккинчи тартибли хусусий хосилаларни умумий х°лДа
dxi dxk 1 xi kX ’ ’ * * *’ ’
куринишда ёзиш мумкин, бунда k = i булганда
dxk dxk
xk xk
деб ёзиш урнига
д2 f
dx2k
"х2
деб ёзилади.
Агар юцоридаги иккинчи тартибли хусусий хосилалар турли
рувчилар буйича олинган булса, унда бу
f £" /• / ГА
; дх- дх xk
‘2-тартибли хусусий хосилалар аралаш хосилалар деб аталади.
узга-
i
87
Худдя шунга ухшаш, х2, . . хт) функциянинг учинчи, тур*
линчи за хоказо тартибдаги хусусий хрсилалари таърифланади. Уму-
ман, f(vb л2, . . хт) функция (/г—1)-тартибли хусусий хосиласининг
хусусий хосиласи берилган функциянинг п- тартибли хусусий хосиласи
деб аталади.
Шуни хам айтиш керакки, /Ор, х2, . . xtn) функциянинг х^х^ ,
. . лу узгарувчилар буйича турли таргибда олинган хусусий хрсила-
лари берилган функциянинг турли аралаш хрсилаларини юз ага келти-
ради.
М и с о л л а р. 1. Ушбу
f (хг, хД = arctg — (х2 0)
*4
функциянинг 2-тартибли хусусий хрсилаларини топамиз.
$3
функцияиинг аралаш хрсилаларини топамиз.
Айтайлик (хт, х2) ^(0, 0) булсин. У хрлда
булади.
88
Берилган f (хь х2) функциянинг (0, 0) нуктадаги хусусий ^осилаларинн таъ
рифга кура топамиз:
апо, р) v ИЛлд, 0)- но, О)
-------= lim-----------------------= и,
дх, dfQ, 0) дх2 Л Xt->0 А X, ,. НО, Дх2)-Н0, 0) — lim — 0, А х2—И) А А'о
Of (fl, A xfl df flfl 0)
d2fflfl 0) dx± dx± , . ““A X1
-----------:— = hm-------------------------------------------lllT1 ---------7-----"
а.лд дх2 д Xi-м) A x2 A x2-*v' A %2
ФИАлт, 0) __ ano, Q>
а2по, 0) a%9 a.r., Алу
-------:---------- !jir> ---------------------------------— lim ----------——I.
dxL Д Xi->0 A XL А Л-1-+0 A A'i
Бу келтирилган мисоллардан куринадики, функциянинг дх дх ва
- аралаш хрсилалари бир-бирига тенг булиши ^ам, тенг булмас-
дх2дхг
лиги хам мумкин экан.
13.6-теорема. /(-Ч» функция очик М (.Ист:/?2) тупламда бе-
рилган булиб, шу тупламда f, f'x хамда f'xVC, f"x x^ аралаш хссила-
ларга эга булсин. Агар аралаш хосилалар (№(, нуцтада уз-
луксиз булса, у хрлда шу нукупада
г„, м- - r,,„ «. Р
булади.
Исбот. (х^, х®) нукта координаталарига мос равишда шундай
А хх > О, А х2 > 0 орттирмалар берайликки,
D = {(хь х2) Е г2: xf xt X Л + А хр Л х2 X х? + А х2} сг /VI
булсин. Бу тугри туртбурчак учларини ифодаловчи (х^, х®), (х,1 +
-f-Ах,. х.р, (x’J, х® + Ах2), (xf + Axp х? + Дх2) нукталарда функция-
нинг кийматларини топиб улардан ушбу
+ Axv х® + А х2)—/(х^1 + А Х[, х®)—f(x®, xg+ А х2)+/( х\, х§)
ифодани хрсил киламиз. Бу ифодани куйидаги икки
р = [f at + д %!, л 4- а х2) - / (х® + А х„ х®)] — If (х® х» + А х2) -
р = I/ (х? + А х,, х2 4- А х2) — f at, X® + A x2)j — [f (х® 4- А х(, х®) —
-/(X®, х®)1
кУринишда ёзиш мумкин.
Энди берилган /(xlt х2) функция ёрдамида хх узгарувчига боглик
бУлган
ф (х,) f (хр х® 4“ А х2) f (Хр х2),
2- §. Куп узгарувчили функцияларнинг дифференциалланувчилиги
1. Функциянинг дифференциалланувчилиги тушун-
часи. Дифференциалланувчиликнинг зарурий шарти.
f (х) — f (хх, х2, . . . , хт) функция очик; М (7И с= Rm) тупламда бе-
рилган булсин. Бу тупламда (х%, х?, . . . , х°т) — х° нукта билан бир-
га (х^ + Ах,, х® + Ах,, . . . , х°т + Ахт) нуктани олиб, берилган функ-
циянинг туда орттирмаси
Щ (хс) = / (х« + Ахр х® + Ах2, . . х°т + Axm) — f (х®, х°2......................х» )
ни к.араймиз.
Равшанки, функциянинг А/ (х°) орттирмаси аргументлар орттирма-
лари Ахр Ах2, • • • , Ахт ларга боглик булиб, купчилик холларда
Axlt Ах2, .... Ахт лар билан А/ орасидаги богланиш мураккаб бу-
лади. Табиийки, бунда Ахн Ах2, . . . , Ахт ларга кура Af ни аник
ёки такрибий хисоблаш кийинлашади. Натижада орттирмаси Ахп Ах2,
. . . , Ахт орттирмалар билан соддарок богланишда булган функция-
ларни урганиш масаласи юзага келади.
13.2-таъриф. Агар /(х) функциянинг х° нуктадаги А/ (х°) орттир-
масини
А/ (х°) = АлДх! + А2Ах2 + . . . + AmAxm + cZjAx, + а2Ах2 +
+ . . . +amAxm (13.2)
куринишда ифодалаш мумкин булса, f (х) функция х° нуцпгада диф-
ференциалланувчи деб аталади, бунда А„ А2, . . . , Ат лар Ах,, Дх2,
. . . , Ахт ларга боглик. булмаган узгармаслар, а1( а2, . . . , ат лар
эса Ахг, Ах2, . . . , Ахт ларга боглик ва Дх,->-0, Ах2->-0, . . . ,
Ахт->0 да ax->0, а2->0, . . . , ат->-0 (Ахх = Ах2 = . . . = Ахт = О
булганда а, — а2 = ... = ат — 0 деб олинади).
Агар /Дх) функция М тупламнинг кар бир нуктасида дифферен-
циалланувчи булса, / (х) функция М тупламда дифференциалланувчи
деб аталади.
Мисо л. Ушбу f(xlt х2)-= х,-j-х® функцияни карайлик- Бу функция V (х®,
х®) £ R'2 нуктада дифференциалланувчи булади. \акикатан хам, (х®, х®).нуктада бе-
рилган функциянинг орттирмаси
Д f = / (х? + Ахр х» + Дх2) - f (х®, х°2 ) = (*” + Axj)2 + (х°2 + Дх2)2-.
— (х?)а — (xf)2 = 2х® А х, + 2х® А х2 + (А хг)2 + (А х2)2
булиб, унда Д1=2х®, А2 = 2х®, а, = Дх1; а2 = Дх2 дейилса, натижада
Af = Дхх + Л2 Дх2 + ах Дх, -}- а2 Дх2
булади. Бу эса берилган функциянинг V (xt, х2) С R2 нуктада дифференциалланув-
чи эканлигини билдиради.
/(х) функциянинг х° нуктада дифференциалланувчилик шарти (13.2)
ни куйидаги
А/(х®) = А1Ах1-ЬД2Ах2+ . . . +AmAxm + o(p) (13.3)
66
куринишда хам ёзиш мумкинлигини курсатамиз, бунда р (х1), х®, . . . ,
х,°„) _ хо ва (хо 4- Axn х° + А х2, . . . , х^ 4- А хт) нуцталар орасидаги
масофа:
р = К(А хг)2 + (А х2)2 +
4-(Ахт)2.
Равшанки,
Ах1-> 0, Ах2-> О, . . . , Ахт-> 0=>р— О
ва
р->0=> А хл -> 0, Ах2->0, ...» Ax^->0
булади.
Энди А,^—>0, Дх2—>0, . . . , Ах^—>0 да (13.2) муносабатдаги
«1 Axj + «2Ах2 + . . . + аткхт мицдор р га нисбатан юкрри тартибли
чексиз кичик миедор эканлигини курсатамиз. Агар
муносабатда
булишини эътиборга олсак, унда
| ajAxj + а2Ах2 + . . . + amAxm |< (| а, | + |а21 + . . . + | ат |) р
булади. Демак,
ajAxj + к2Ах2 4- ... 4- атЛхт = о (р).
Шундай килиб, (13.2) шартнинг уринли булишдан (13.3) нинг уринли
булиши келиб чицди.
Агар / (х) функциянинг х° нуцтада дифференциалланувчилик шарти
(13.3) куриншпида уринли булса, бундан бу шартнинг (13.2) курини-
ши х,ам уринли булиши келиб чицади. Шуни исботлайлик.
Агар р = 0 булса, унда Ахг = Ах2 . . . = Ахт = 0 булади ва (13.3)
дан (13.2) келиб чикади.
рт^О булсин. Унда Ахп Ах2, . . . , Ахт ларнинг барчаси бир йу-
ла нолга тенг булмайди. Шуни эътиборга олиб куйидагини топамиз:
о (р) = °^р) . + (Ах2>2 4- (Дхт)2 = о(р) ДХ1 . ,
Р Р р р 1
4—— • —2 • Ах2 4- • • • 4- • Axm = а1Ах14- 0^X2 4~
Р Р Р р
4“ • • • 4" C^mAxm,
бунда
а,=Це).^(4=1,2.............т)
р р
функция шу М тупламда цуйидан чегараланган, аммо юцоридан чега.
раланмагандир: Y = (0, оо).
2. Функциянинг лимити. Rm фазода бирор М туплам олай.пик
а нукта (п = (at, а2, ... , ат)) шу тупламнинг лимит нуцтаси булсин
У колда М тупламнинг нукталаридан а га интилувчи турли {x(nJj
(x(n)QM, x(n'^=a, n = 1, 2, . . .) кетма-кетликлар тузиш мумкин:
lim/'0 = а.
П—>со
Энди шу М тупламда бирор у — f(x) функция берилган булсин
12.16-таъриф(Гейне таърифи). Агар М тупламнинг нуктада^
ридан тузилган, а га интилувчи каР КанДзй {xfn)| (xfn)=£a, п=1, 2, ....)
кетма-кетлик олинганда кам мос |/'(х(71))} кетма-кетлик камма ва^т
ягона b (чекли ёки чексиз) лимитга интилса, b f(x) функциянинг а
нуцтадаги (ёки х-+а даги} лимити* деб аталади ва у
limf(x)=h ёки х->-а да f(x)-*-b
х-+а
каби белгиланади.
Функция лимитини бошкача кам таърифлаш мумкин.
12.17- таъриф. (Коши таърифи) Агаруе>() сон учун шун-
дан б>0 топилсаки, ушбу 0<р(х, а) < б тенгсизликни каноатланти-
рувчи барча xQM нукталарда
!/(/'—б|<е
тенгсизлик бажарилса, b сон / (х) функциянинг а нуцпгадаги (х-^а
даги) лимити деб аталади.
12.18- таъриф (Коши таърифи). Arap Ve>0 сон учун шун-
дай б>0 топилсаки, ушбу О<Ср(х, с)< б тенгсизликни каноатлан-
тирувчи барча х£М нукталарда
I f W | > б (Дх) > е; f (х) < — е)
булса, [(к) функциянинг а нуцтадаги (х -> о даги) лимити оо ( -^ ос;
— оо) дейилади.
Шундай килиб функциянинг лимити икки хил т аърифланади. Бу
таърифлар эквивалент таърифлардир. Бунинг исботи 1- кием, 4- боб,
3-§ да келтирилган бир узгарувчили функция лимити таърифларининг
эквивалентлигининг исботи кабидир.
Юкоридаги limf(x) = b ёки х-+а да f(x)-+b белгилашларни х =
= (x1F х2, . . . , хт), а = (an tzg, . . . , ат) камда
X ->а < >
^2 ^2
* Биз цуйида куп узгарувчили функция учун лимитлар тушунчаси бошкача кН'
оитилиши хам мумкинлигини курамиз. Улардан фарц этиш учун, баъзан, бу лимит
каррали лимит деб хам аталади.
34
эканлигини эътиборга олиб, куйидагича
]im/(Xi,x2 . . . , xm)=b
Xj^a, еки х2—>о2
да f(xlt х2,
хт)~^Ь
Х’т~^ат
ёзса Кам булади.
Rm фазода бирор Л1 туплам берилган булиб, оо эса шу тупламнинг
лимит нуктаси булсин. Бу М тупламда у = /(х) функция берилган.
12.19- таъриф (Гейне таърифи). Агар М. тупламнинг нукта-
ларидан тузилган хар кандай {х*п^} кетма- кетлик учун х<п) со да
мос {[(х(п>)} кетма-кетлик хамма вацт ягона b га интилса, bf(x) функ-
циянинг х -> оо даги лимити деб аталади ва
lim f{x) = b
каби белгиланади.
12.20- таъриф (Коши таърифи). Агар Ve>0 сон учун
шундай 6>0 топилсаки, ушбу р(х, 0) > б тенгсизликни каноатланти-
рувчи барча хС Л4 нуцталарда
|/(х)—6|<е
тенгсилик бажарилса, b f (х) функциянинг х->оо даги лимити деб
аталади ва
lim f(x) = b
х->а
каби белгиланади.
Шупи таъкидлаш лозимки, функция лимити тушунчаси киритили-
шида лимити каралаётган нуктада функциянинг берилиши (аниклани-
ши) шарт эмас.
12.2-э слатма. Юкорида функция лимитига берилган Гейне таъри-
фпнинг мохияти, каР Кандай |xw} (х(п)=^а, п = 1, 2, . . . , х(п)а)
кетма-кеглик учун мос |/(х^)] кетма-кетликнинг лимити олинган {xfn?}
кегма кетликка боглик булмаслигидадир.
Мисоллар 1. Ушбу
/W = /(%!, х2) =
хгх2
агар Xj-J-x^ ' 0 булса,
0, агар Xj + х| = 0 булса
Функциянинг х = (хг. х2)->-(0, 0) (яъни xt-->-0, х3^-0) даги лимити ноль экан-
лиги курсатилсин. Бу функция R2 тупламда берилган булиб. (0, 0) ну^та шу туп-
ламнинг лимит нуктаси.
а) Гейне таърифи буйича: (0. 0) нуктага интилувчи ихтиёрий х<п> = (х^,
0) (яъни х^-* 0, 0) 0)) кетма-кетлик оламиз- Унда мос
I /(х<п>)} кетма-кетлик учун куйидагича
М (п) Г МЛп) _____
= 1 / : .ух<«)х(п>
У(Х^+(Х^)2 V (х(!п))2 + (4)2
35
булиб, Х|П) 0, х("’ -+ О да
булади- Демак.
1 г
Д/2
xtn) x(n)
lim f(x(n)) = O
n->(O,O)
lim f(x) — lim —у 1 *2—- = 0;
*-(0,0) x,-.o у x^ + xf
б) Коши таърифи буйича: V е > 0 сонга кура 6 = 2е деб олинса, у ^олд-
О < р(х, 0) < 6 тенгсизликни цяноатлантирувчи барча х нуцталарда
Дх) - j 0 =
Х1Х2
I *1 I • I *2 I
/1+^5
1 ------------- 1 1
< К х? + х?=— PU- °) < — 6 = е
2 1 2 2 2
е нгсизлик уринли булади. Бу эса
lim f(x)=lim
x—,(0. 0) xt->0
х,-»0
Xi • хг
V x'l+x'l
эканлигини билдирада.
2) Куйидаги
Xj-x|
Дх) = f(Xx, Х2) = - 9. 2--------
*1 •х2 + (*1 — *2 )2
функциянинг х = (Х1, х2)—-(0, 0) яъни Xi-> О, х2—-0) даги лимитининг мавжуд
эмаслиги курсатилсин. Бу функция *ам К2\{(0, 0)} тупламда булиб, (О, О
нукта шу тупламнинг лимит нуктаси.
'(0. б) нуцтага интилувчи иккита
x(n)=7_Lt _LV(0(0)i
\ п п )
(ХМ)=[—, 0)
\ п п /
кетма- кетликлар олинса,"улар учун мос равишда
1_
п4
Дх(">) = -j-=l->l.
1
/I4
Гх(">= ------г=0ь0
н4 п2
бу ади. Бу эса х->(0, 0) да берилган функциянинг лимити мавжуд эмаслигини
бил;.иради.
36
3. Чексиз кичик ва чексиз катта функциял ар. 1-кисм-
нииг 3-боби, 4-§ хамда 5-§ ларида чексиз кичик ва чексиз катта
мик.дорлар тушунчалари, 4-бобнинг 7- § ида эса чексиз катта ва чексиз
кичик функциялар тушунчалари киритилиб, улар курсатилган параг-
рафларда урганилган эди.
Худди шундай тушунчалар куп узгарувчили функцияларга нисбатан
хдм кнритилиши мумкин. Уларни урганиш эса бир узгарувчили функ-
ция х.олидагига ухшаш булганпигини эътиборга олиб, чексиз кичик
^амда чексиз катта куп узгарувчили функциялар хацидаги маълумот-
дарни санаб утиш билан кифояланамиз.
Бирор а(х) функция М R"1 тупламда берилган булиб, а(а Е Rm)
нукта шу тупламнинг лимит нуктаси булсин.
12.21-т аъриф. Агар х-^-а да а(х) нинг лимити ноль, яъни
lima (х) = О
х->а
булса, у хрлда а(х) функция х—да чексиз кичик функция деб ата-
лади.
Берилган Дх) функция х->а да чекли b лимитга эга булиши учун
a (х) = f(x) — b
чексиз кичик функция булиши зарур ва етарли.
Бунинг исботи функциянинг лимити хамда чексиз кичик функция-
нинг таърифларидан келиб чикади.
Шундай цилиб, х—>а да Цх) функция b лимитга эга булса, бу
функцияни хар доим
f (х) = Ь + а (х)
куринишида ифодалаш мумкин, бунда а(х) —чексиз кичик функция.
Чексиз кичик функциялар куйидаги хоссаларга эга.
Фараз килайлик, р(х) функция ^ам шу Л'1 тупламда берилган бул-
син.
Г Агар х->с да а(х) ва Р(х) функциялар чексиз кичик функциялар
булса, у хрлда уларнинг йигиндиси a (х) + р (х) функция хам чексиз
кичик функция булади.
2°. Агар х-> с да а(х) чексиз кичик функция булиб, р(х) функ-
ция эса чегараланган функция булса, у холда уларнинг купайтмаси
«(х)-р(х) х,ам чексиз кичик функция булади.
12.22-таъриф. Агар М тупламда берилган у(д) функция учун
lim у (х) -- оо
х—>а
булса, у(х) функция х—>а да чексиз катта функция деб аталади.
3°. Агар х-+а да а(х) функция чексиз кичик (а(х)У=0) функция
булса, --- функция х->а да чексиз катта функция булади.
Щх)
4°. Агар х-> а да у (х) функция чексиз катта функция булса,---
функция х-> а да чексиз кичик функция булади.
37
4. Лимитга эга булган функцияларнинг хосса л ар и,
Чекли лимитга эга булган куп узгарувчили функциялар хам чекли ли-
митга эга булган бир узгарувчили функцияларнинг хоссаларига (цара;ь
син, 1-цисм, 4-боб, 4-§) ухшаш хоссаларга эга. Уларнинг исботи
худди бир узгарувчили функциялар хоссаларининг исботи кабидир.
Шуни эътиборга олиб, биз куйида чекли лимитга эга булган куп
узгарувчили функцияларнинг хоссаларини исботсиз келтирам 13.
Бирор Л4 cz R71 тупламда /(х) функция берилган булиб, a(a£R'"}
нуцта шу М тупламнинг лимит нуцтаси булсин.
1°. Агар
lim/(x) — b
Х—гС1
мавжуд булиб, b>p (b<Zq} булса, а нуктанинг етарли кичик атро:|
даги х£М(х=^а) нудталарда f(x) > p(f(x) < q) булади. Хусусан, b=x
булса,
2° Агар
p(f(x) < 7) булади. Хусусан,
у хрлда а нуктанинг етарлича кичик атрофида /(х)--^О булади.
lim f(x) =-• b
х->а
мавжуд булса, а нуктанинг етарли кичик атрофидаги хСЛ4(хнАш
нукталарда f(x) функция чегараланган булади.
Энди М да иккнта А(х) ва f2(x) функциялар берилган булсин.
3°. Агар
lim А(х) - А,
lim ЛК) = b2
х-+а
булиб, а нуктанинг U^(d) атрофидаги барча х нукталарда (х£ М Q
А(х)<А(х) булса, у хрлда Ьх С Ь9 булади.
4°. Агар а нуктанинг U6(a) атрофидаги х£Л4 П Ц$(я) нукталарда
A W < f(х) < А (х)
булиб, х->« да А(х) ва f2(x) функциялар лимитга эга хамда
lim А (х) = lim А(х) = b
ЭС—>(2 ЭС—ь(Х
булса, у хрлда /(х) функция хам лимитга эга ва
lim f (х) = b
булади.
5°. Агар х-^а да А(х) ва А(х) функциялар лимитга эга булса.
А(х) ± А(х) функциялар лимитга эга булади ва
lim[Д (х) ± /2(х)] = lim/, (а) ± lim/2(x).
х-^а х->а х-+а
6°. Агар х а да А(х) ва [2 (х) функциялар лимитга эга булса,
А(х)*А(х) функция .дам лимитга эга булади ва
lim 16(а-) • (л)] = 1 im ЛК) • 1 im ЛК).
х—х—>CZ X—
38
у 7°. Агар а да Д(х) ва /2 (х) функциялар лимитга эга булиб,
0 булса, функция хам лимитга эга булади ва
fz (*)
1 • fiM
lim122—
х-+а /2(х)
х—>а
lim /2(х)
х-->а
12.3-э ела тма. Бир узгарувчили функциялардагидек, х-+а да
f(x) ва /2(х) функциялар йигиндиси, купайтмаси ва нисбатидан иборат
булган фунцияларнинг лимитга эга булишидан бу функцияларнинг
^ар бирининг лимитга эга булиши келиб чицавермайди.
12.4-эсл атма. Агар х~+а да 1) Д (х) ва /2(х) функцияларнинг
^ар бирининг лимити ноль (ёки чексиз) булса, ифода; 2) /1(х)->0,
/2(х)—> °° булганда f1(x)-f2(x') ифода ва нихрят 3) ^(х) ва /2(х) турли
ишорали чексиз лимитга эга булганда Д (х) + /2 (х) йигинди мос ра-
вишда — Y О-оо, оо — оо куринишдаги ани^масликларни ифода-
О \ со /
лайди.
Агар х-> а да 1) А(х)->0, /2(х)“^0 булса, 2) /i(x)~> 1, /2(х)->оо
булса, 3) /t(x)-> 00 , /2(х)->0 булса, у холда [А(х)1^(л) мос равишда
0°, 1е0, оо° куринишдаги ани^масликларни ифодалайди. Бундай аник-
масликлар бир узгарувчили функцияларда каралганидек, /д(х) ва /2(х)
функциянинг уз лимитларига интилиш характерига караб очилади.
5. Такрорий лимитлар. Биз ю^орида /(х) = /(х2, х2, . . . , хт)
функциянинг а = (оь а2у ... , ат) нуктадаги лимити
lim /(х) = b( lim /(хп х2, . . .
Хг—>С2 I Х\—>tZj
\ <~>хт ат
хт) =ь
билан танишдик. Демак, функциянинг лимити, унинг аргументлари лу,
х2, • • • , хт «паркинг бир йула, мос равишда а1У а2, . . . , ат сонлар-
га интилгандаги лимитидан иборатдир.
Куп узгарувчили функциялар учун (уларгагина хос булган) бошка
формадаги лимит тушунчасини х4ам киритиш мумкин.
/(Xi, х2, . . . , xw) функция М cz Rm тупламда берилган булиб, а==
= (at, а2 . . . , ат) ну^та М тупламнинг лимит нуктаси булсин, Бу
функциянинг х^^ даги (бошка барча узгарувчиларни тайинлаб) лимити
lim^Xi, х2,
Xi-^Ui
• • »
Ии ^арайлик. Равшанки, бу лимит, биринчидан бир узгарувчили функ-
ция лимитининг узгинаси, иккинчидан у х2, х3, . . . , хт узгарувчи-
ларга боглиц:
lim/ta, х2, . . .
-М =Ф1(*2. Х3> ’ хт>-
89
Сунг <px(xa, х'з, . . . , xm) функциянинг х2-+а2 даги (бошка барча yd
гарувчиларини тайинлаб) лимити
Пикрил,, х3,
Х2—
^т) Ф2г^3» ^4»
» %т
ни карайлик.
Юкрридагидек бирин-кетин х3->я3,
митга утиб
» %т т Да *аи -
liifi lim ... lim Дхп х2,
хт~*ат хт—1"*ат—1 x^—>ai
ни хрсил циламиз. Бу лимит f(x^ х2, ...» хт) функциянинг такро-
рий лимити деб аталади.
Демак, функциянинг такрорий лимити, унинг аргументлари xlt л .,
. . . , хт ларнинг хар бирининг бирин-кетин мос равишда а1, а2 ... ^
ат сонларга интилгандаги лимитидан иборат.
Худди ю^оридагидек, Дхр х2, . . . , хт) функциянинг xi , ... , х,
аргументлари мос равишда aie . . . , ларга интилгандаги так-
рорий лимити
lim ... lim f(xr, х2, .... хт)
x‘k -* aik xi^aii
ни хам караш мумкин.
Шуни хам айтиш керакки, /(хр х2, • • • » Функция аргументла-
ри лу, х2, . . . , хт лар мос равишда ау, а2, . . . , atn сонларга турли
тартибда ингилганда функциянинг турли такрорий лимитлари ^осил
булади.
Мисоллар. 1. Ушбу параграфнинг 2- пунктида келтирилган
/(Хх, х2) =
9 , 9 гч ~;
агар -у %2 > 0 булса.
9 9
агар %! + х2 = 0 булса
»>
функциянинг лимити
lim f(xlf х2) ~ О
A't—>0
х2~>0
булишини курсатган эди. Бу функциянинг такрорий лимитлари мавжуд ва улар
хам 0 га тенг. Хак.икатан хам,
хг%2
lim f (хь х2) — lim —~ = 0, lim lim f {xr. x2) — 0.
ла—>0 Ai—>0 у “b x2—>0 xt—>0
Шунингдек,
Xj^ ’ Xq
lim x2) = lim—~r-^Z=- = 0, lim lim f (xr, x2) = 0.
x2->o x2->o у -f- x| *i~*0 x2-»0
Демак, берилган функциянинг такрорий лимитлари мавжуд ва улар бир-бирига те а с
булиб, бу такрорий лимитлар функциянинг (каррали) лимитига тенг булади.
2. Ушбу
( 2Xj — Х2
г „ v __ I -------» агар xi + Зх2 0 бмлса.
/ Hi- л2/ — “j jq + Зх2
( 0, агар xt + Зх2 = О булса
функцияни царайлик. Бу функциянинг такрорий лимитлари куйидагича:
। . 2Xj Х2 1 . . . . 2хХ Х2 1
lim -----------— —— —, lim lim --------------------------= —-------,
xi->o xx -p- Зх2 3 д-2_>о Х1->о xt Ч~ Зх2 3
t 2Х| х2 2xi х2 о
lim -------—_— 2, hm lim-----------------------—- = 2.
Л'2—>0 Зх2 л'1—*0 Х2—>0 ЛД —j— Зх2
Демак, берилган функциянинг такрорий лимитлари мавжуд булиб. уларнинг бири
— — га. иккинчиси эса 2 га тенг.
3
Бироц х --- (х15 х2)->-(0, 0) да /'(хР х2) функциянинг (каррали) лимити мавжуд
эмас. Чунки (0, 0) нуктага интилувчи иккита
кетма-кетликлар олинса улар учун мос равишда
булади. Бу эса (хг. х2)--*-(0, 0) да берилган функциянинг (каррали) лимити мав-
жуд эмаслигини билдиради.
3. куйидаги
функциянинг такрорий лимитлари
2 2 2 2
,. Х1-Х9 < Х}'Х7>
lim —------------------ = 0, lim lim —-----------:—-—-----= 0,
Xj-Xg + (Xj — X2 )2 *2~>0 Xi—>0 X‘j X2 + (Xj. — X2 )2
Um ——----------------------- 0, lim, jjm ——------------------------- о
х2~+® Xj x2 (Xj — X2 )2 xi~>0 x2—>0 Xj*X2~}—(Xj — x2 )2
булади. Демак, берилган функциянинг такрорий лимитлари мавжуд ва улар бир-
бирига тенг экан. Биз юцорида бу функциянинг (хх, х2)->(0, 0) да (каррали) лими-
ти мавжуд эмаслигини курсатган эдик.
4. Ушбу
( 1
Г /v v v I ХХ + X2 sin —, агар хг 0 булса,
I ixx. х2; — j
[ 0 , arap Xi = 0 булса
функцияни царайлик. Бу функция учун
НтДх!, х2) = Xi lim Нт(х1, х2) = 0
х2-->0 >0 х2->®
булиб, lim lim/(xt, х2) — мавжуд эмас. Демак, берилган функциянинг битта так-
-^2—^0 A'l—^0
рорий лимити мавжуд булиб, иккинчи такрорий лимити эса мавжуд эмас. Аммо
I f Ui, х2) — о| =
1
Х1 + х2 sin -----
Х1
I *11 +1 *21 (*1 ¥= 0)
муносабатдан (х1( х2)->(0, 0) да f(xlt х2) функциянинг (каррали) лимити .мавжуд ва
lim /(%!, х2) = 0
Xi—>0
х2->0
булиши келиб чицади.
5. Цуйидаги
1 1
f (xi> хг) = U1 + х2) * sin — ’ s^n —
Xj Х2
функцияни ^арайлик. Бу функциянинг х1->0даги лимити мавжуд эмас. Чунки
нолга интилувчи иккита
кетма-кетликлар олинса, улар учун мос равишда (х2 ф 0 да)
[ 1 \
/ ----, х2 0,
\пл /
/ 2 \ 1
/ -------—, х2 -> х2 • sin —
\(4п+1)л 2 / 2 л-2
булади.
Худди шунга ухшаш
limf(x1 х2)
х2—>0
хам мавжуд булмайди. Аммо
I f (*ь *2) — 0 | =
тенгсизликдан (хх, х2)->(0, 0)
жуд ва
булишини топамиз.
(Xi -f-x2) sin
1 1
— sin —
х2
I *1 I + I *2 I
да /(xn x2) функциянинг (каррали) лимити мав-
lim f (xb x2) = 0
Xi—>0
Юкорида келтирилган мисоллардан куринадики, функциянинг би*
pop нуктада каррали лимитининг мавжуд булишидан, унинг шу нук-
тада такрорий лимитининг мавжуд булиши ва аксинча, функциянинг
бирор нуцтада такрорий лимитларининг мавжуд булишидан, унинг шу
нуцтада каррали лимитининг мавжуд булиши келиб чицавермас экан.
Ундан ташкари функциянинг такрорий лимитлари бир-бирига хар доим
тенг булавермас экан.
Биз цуйида функциянинг каррали ва такрорий лимитлари орасида-
ги богланиш хамда уларнинг маълум шартларда узаро тенглиги хак4ш
даги теоремани исботлаймиз.
f Un х2) функция М — { (хр х2) Е R2 • | — л® I < av | х2 — х2 | < а2;-
тупламда берилган булсин.
12.8-теорема. Агар 1) (хр х2)“>(лр да -v2) Функция
нинг каррали лимити мавжуд'.
х2) = Ь,
42
2) \ар бир тайинланган х} да куйидаги
lim/(%!, х2) = (p(x-j)
х2-»х°
2
лимит мавжуд булса, у холда
lim lim/(xH х2)
Х1 ->х° х2->х°
такрорий лимит хам мавжуд булиб,
iim lim / (хп х2) == Ь
Х1-*Х° х,->х°
1 2 2
булади.
Исбот. /(л-!, л*2) функция (х„ х2)_>(х°, Л2) да каррали
Ит/(хн х2) = 6
>Х
2
лимитга эга булсин. Лимитнинг таърифига кура, v е>0 сон олин-
ганда ^ам, шундай 6 > 0 топиладики, ушбу
{( *i, х2) 6 R2'- | А', — х? I < 6,1 х2 — Х° | < 6 } CZ М
тупламнинг барча (хп х2) нуцталари учун
I f (*ь к?) —Ь | < & (12.26)
булади. Энди теореманинг 2) шартини эътиборга олиб, xt узгарувчи-
нинг Ijq—6 тенгсизлнкни каноатлантирадиган цийматини тайин-
лаб, х2-+-х® да (12.26) тенгсизликда лимитга утиб
|ф(д) —Се
ни топамиз. Демак, у е > 0 сон олинганда хам, шундай 6 > 0 топи-
ладики, |—%||<6 булганда |<p(Xi) — b\ < е булади. Бу эса
1ппф (лу) = b
Хг->Х®
булишини билдиради. Кейинги муносабатдан
lim limДх1? х2) — Ь
xt->x^ х2->х®
булиши келиб чикади. Теорема исбот булди.
куйидаги теорема худди шунга ухшаш исботланади.
12.9-теорема. Агар 1) (х^ х2)~>(х^, х°) да f{x[y х2) функция-
нинг каррали лимити мавжуд:
lim/^, х2) = 4>,
Xi-^-X®
Хо-^Х0
2 2
43
2) %ар бир тайинланган х2 да куйидаги
х2) =ф(х2)
лимит мавжуд булса, у хрлда
lim lim/fo, х2)
такрории лимит %ам мавжуд булиб,
lim lim f(xt, х2) — Ь
булади.
12.1-натижа. Агар бир вацтда ю^оридаги 12.8- ва 12.9-теорема-
ларнинг шартлари бажарилса, у хрлда
limf(x1( х2) = lim Пт/(хъ x2) = lim lim/(x1( х2)
х,-»*’ х3—>х® х3-»х’ х,->х°
х^х:
булади.
Биз икки узгарувчили функциянинг каррали ва такрорий лимитла-
ри орасидаги боиланишни ифодаловчи теоремаларни келтирдик.
Худди юцоридагидек f(x,, х9, ..., х_) функциянинг х,-, х,-,..., х,ь
узгарувчилари буйича
lim/(x1( х2,..., хт)
xik*xik
каррали хамда
lim lim .. . lim f(xr, x2, . . . , xm)
DO 0
xi -*xi xic->xit,
*1 tl ^2 Lk
такрорий лимит лари ва улар орасидаги богланишни papain мумкин.
6. Коши теоремаси (якинлашиш принцип и). Энди куп
узгарувчили функция лимитининг мавжудлиги ^а^ида умумий теорема
келтирамиз.
Rm фазода М туплам берилган булиб, а(а б Rm) унинг лимит нук^
таси булсин. Бу тупламда f(x) функция берилган.
12.23-таъриф. Агар Ve>0 сон учун шундай 6>0 сон топил-
саки, ушбу 0 < р(х, а) < 6^ 0 < р(%г а) < ё тенгсизликларни ^аноат-
лантирувчи ихтиёрий х ва х(х^М, х£Л1) нуг^таларда
тенгсизлик уринли булса, /(х) функция учун а нуктада Коши шарти
бажарилади дейилади.
44
12.10-теорема (Коши теоремаси). f(x) функция а нуцтада
пекли лимитга эга булиши учун а нуцтада Коши шартининг бажа-
рилиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. х-+а да f(x) функция чекли лимит
lim f(x) = b
х-+а
га эга булсин. Таърифга биноан, V е > О сон олинганда ^ам, ~~ га
кура шундай б > 0 топиладики, ушбу 0 < р(х, а) < б тенгсизликни
каноатлантирувчи барча х(х£М) нуцталарда
жумладан
булади. Бу тенгсизлик-
лардан
IfW - Дх) | ^ | Дх) -6| +1 Дх)— Ь | < е
булиши келиб чицади. Бу эса Дх) функция учун а нуктада Коши
шартининг бажарилишини курсатади.
Етарлилиги. Дх) функция учун а нуктада Коши шарти бажа-
рилсин, яъни V е > 0 сон олинганда хам, шундай б > 0 топиладики,
ушбу 0 < р(х, а) < б, _0 <_р(х, а) < б тенгсизликларни цаноатланти-
рувчи ихтиёрий х ва х (х, х £ М) ну^таларда
1Дх)-Дх)|<е
булсин. Бу хрлда Дх) функция х->я да чекли лимитга эга булиши-
ни курсатамиз.
а нуцта М тупламнинг лимит нуктаси. Шунинг учун М туплам-
нинг нуцталаридан {х(п)} (х(п) =£ а, п — 1, 2, . . .) кетма-кетлик тузиш
мумкинки, бунда
limx^ = а
п-+оо
булади. Лимитнинг таърифига биноан, юцорида келтирилган б>0 га
кура, шундай п0 £ N топиладики, барча п > п0, р>п0 учун 0 <
<р(х , о)< б, 0<p(xf₽'*, а)< б булади. Бу тенгсизликларнинг ба-
Жарилишидан эса, шартга кура:
булади. Демак, {f(x(n))}—фундаментал кетма-кетлик. 2-§ да келти-
рилган 12.4-теоремага кура {f(x(n)}} кетма-кетлик яцинлашувчи. Бу
Кетма-кетликнинг лимитини Ь билан белгилайлик:
lim f(x(n)) — b.
45
I 2) %ap бир тайинланган x2 да куйидаги
limffe, л2) =ip(x3)
\лимит мавжуд булса, у цолда
lim limf^, х2)
Ха-*Х® Хх-»Х®
такрорий лимит %ам мавжуд булиб,
lim Jim /(хт, %2) =Ь
Х,->Х® Х1->Х®
булади.
12.1-натижа. Агар бир вацтда юкоридаги 12.8- ва 12.9-теорема-
ларнинг шартлари бажарилса, у ^олда
limf(xn х2) = lim lim/(xn ,v2) = lim lim/(xb x2)
Xl-*xJ Xx->X®Xa ->X® Xa-»X° Xx-»X°
x,->x°
булади.
Биз икки узгарувчили функциянинг каррали ва такрорий лимитла-
ри орасидаги богланишни ифодаловчп теоремаларни келтирдик.
Худди юцоридагидек f(xx, х2, ..., хт) функциянинг xL,. .., xik
\ узгарувчилари буйича
lim/(%i, х2,..., Хт)
о
о
Х7 —>XZ
I • •••••
x^xh
каррали хамда
lim
о
fi
lim . . limfta, x2, ..., xm)
xik~>xik
такрорий лимитлари ва улар орасидаги богланишни papain мумкин.
6. Коши теоремаси (якинлашиш принципи). Энди куп
узгарувчили функция лимитининг мавжудлиги ^а^ида умумий теорема
келтирамиз.
Rm фазода М туплам берилган булиб, а(а Е Rm) унинг лимит ну^-
таси булсин. Бу тупламда f(x) функция берилган.
12.23-таъриф. Агар Ve>0 сон учун шундай 6>0 сон топил-
саки, ушбу 0<р(х, а) < 6, 0<р(%, а) < ё тенгсизликларни цаноат-
лантирувчи ихтиёрий х ва х(х£М, х£М) нукталарда
тенгсизлик уринли булса, /(%) функция учун а нуктада Коши шарти
\бажарилади дейилади.
12.10-теорема (Коши теоремаси). f(x) функция а нуцтада
пекли лимитга эга булиши учун а нуцтада Коши шартининг бажа-
рилиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. х-+а да f(x) функция чекли лимит
limf(x) = Ь
х-+а
га эга булсин. Таърифга биноан, Vе>0 сон олинганда ^ам, ~ га
кура шундай 6 > 0 топиладики, ушбу 0 < р(х, а) < 6 тенгсизлнкни
каноатлантирувчн барча х(х^Л1) нукталарда
1/(х)-6|<1
жумладан 0 < р(х, а) < 6 => | /(х) — Ь | < — булади. Бу тенгсизлик-
лардан
| f(х) - f(x) | < | f(x) - b | +1 /(x) - b | < e
булиши келиб чицади. Бу эса f(x) функция учун а нуцтада Коши
шартининг бажарилишини курсатадн.
Е тар ли лиги. /(х) функция учун а нуцтада Коши шарти бажа-
рилсин, яъни v е >0 сон олинганда ^ам, шундай 6> 0 топиладики,
ушбу 0 < р(х, а) < 6, О <_р(х, а) <6 тенгсизликларни цаноатланти-
рувчи ихтиёрий х ва х (х, х £ /И) нуцталарда
IfaWWKe
булсин. Бу ^олда /(х) функция х->а да чекли лимитга эга булиши-
ни курсатамиз.
а нукта Af тупламнинг лимит нуктаси. Шунинг учун М туплам-
нинг ну^таларидан {х(п)}(х(п)^ a, n= 1, 2, . . .) кетма-кетлик тузиш
мумкинки, бунда
limx^ = а
П-+оо
булади. Лимитнинг таърифига биноан, юцорида келтирилган б>0 га
кура, шундай п0 g N топиладики, барча п > п0, р > п0 учун 0 <
<р(х'п|, а) < 6, 0<р(хбР‘>, а)< 6 булади. Бу тенгсизликларнинг ба-
жарилишидан эса, шартга кура:
булади. Демак, —фундаментал кетма-кетлик. 2-§ да келти-
рилган 12.4-теоремага кура {f(x(n))} кетма-кетлик якинлашувчи. Бу
кетма-кетликнинг лимитини b билан белгилайлик:
lim f(x(n)) — b.
45
Энди М тупламнинг ну^таларидан тузилган ва а ну^тага интилув-
чи ихтиёрий {х^} кетма-кетлик
х(п) а(х(п) Ф а, п = 1, 2,. . .)
олинганда ^ам мос {f(x(n))} кетма-кетлик (у юкррида курсатганимиз-
га биноан якинлашувчи булади) х4ам уша b га интилишини курсатамиз.
Фараз килайлик, х(п)а(х(п) а, п=^\, 2, . . .) булганда
булсин.
{х(Г2)}, {х(п)} кетма-кетлик хадларидан ушбу
(I) -(1) (2) ~(2} (п) -Ъ1)
Лг j A 1 Л у Л j • • • , A j А !•••
кетма-кетликни тузайлик. Равшанки, бу кетма-кетлик а (а £/?"') га ин-
тилади. У холда
. /(71’), /(72)), /(72)), ) . . ., f(7n)), /(7П)), . . . (12.27)
кетма-кетлик чекли лимитга эга. Уни £>* ортали белгилайлик. Агар
{/(х(л))} ва {/(х(Г2))} кетма-кетликларнинг хар бири (12.27) кетма-кетлик-
нинг пиемий кетма-кетликлари эканлигини эътиборга олсак, у хрлда
булишини топамиз. Демак, .
&* = & = £/.
Шундай килиб, /(х) функция учун а нуцтада Коши шартининг бажа-
рилишидан М туплам нудталаридан тузилган ва а га интилувчи хар
цандай {/(7П)} (7П) #=«, п = 1, 2, . . .) кетма-кетлик олинганда хам,
мос {/(7П))} кетма-кетлик битта сонга интилишини топдик. Бу эса
функция лимитининг Гейне таърифига кура f(x) функция а нуктада
чекли лимитга эга булишини билдиради. Теорема исбот булди.
12.5-эслатма. Коши шарти ва Коши теоремаси х~+<х> да хам
ю^оридагига ухшаш ифодаланади ва исбот этилади.
4- §. Куп узгарувчили функциянинг узлуксизлиги
1. Функция узлуксизлиги таърифлари. М cz Rm туп-
ламда f(x) — f(xl, х2, . . . , хт) функция берилган булиб, а^М (а =
— (Oj, а2, . . ., ат)) ну^та эса М тупламнинг лимит нуктаси булсин.
12.24- таъриф. Агар х->а да f(x) функциянинг лимити мавжуд
б^либ,
(lim /(%!, х2, . . . , хт) = Да1( а2, , ат)\
Х^а, (*)
.... I
хт ~^апг /
булса, f(x) функция а нуктада узлуксиз деб аталади.
46
Мисол. Ушбу
2
функцияни ^арайлик. j Бу функциянинг ихтиёрий (Хр х®) =£ (0,0) нуктада узлуксиз
булишини функция лимитининг хоссаларидан фойдаланиб топамиз:
f (*?» *2)»
1 m f(xlt х2) = lim
о о
Xi—ЬХ Xi—>х
1 1
О О
х2—+х х2->х
2 1
Ушбу бобнинг 3- § да келтирилган мисолга кура
Xi • х2
lim /(хх. х3)= lim /—5-------9— =0=f(0,0)
Xi—>0 Xi~>01/ Xi “|~ Xn
x2->0 Xj->0^
булиб, ундан берилган функциянинг (0. 0) нуктада ^ам узлуксиз ^эканлиги келиб
чикади. Демак, ^аралаётган функция R2 тупламда узлуксиз.
(' Шундай ^илиб функциянинг узлуксизлиги унинг лимити орцали
таърифланар экан. Функциянинг лимити эса уз навбатида Гейне ва
Коши таърифларига эга. Шуни эыиборга олиб, функция узлуксизли-
гининг Гейне ва Коши таърифларини келтириш мумкин.
12.25- таъриф (Гейне таърифи). Агар MczRm тупламнинг
нуцталаридан тузилган. a(a^M)va интилувчи кар кандай {х(п)} кетма-
кетлик олинганда кам, мос {Дх(п))} кетма-кетлик камма вацт /(а) га
интилса, Дх) функция а нуктада узлуксиз деб аталади.
12.26- таъриф (Коши таърифи) Агар -\/-е>0 сон УЧУН шундай
б>0 топилсаки, ушбу р(х, а)<б тенсизликни каноатлантирувчи барча
х Е М нуцталарда
тенгсизлик бажарилса, Дх) функция а нуктада узлуксиз деб аталади,
Атроф тушунчаси ёрдамида функциянинг узлуксизлигини цуйида-
гича хам таърифлаш мумкин.
12. 27-1 аъриф. Агар V6>0 сон учун, шундай 6>0 топилсаки,
барча х Е ё/б(а) А М нукталарда /(х) функциянинг кийматлари Дх) Е Ua
булса, яъни
х Е L'6(a) П М=>Дх) Е U№)
булса, Дх) функция а нуктада узлуксиз деб аталади.
/(х) = Дхр х2, . . ., хт) функциянинг а = (ар а2, . . ., am) нуктада
узлуксизлигини функция орттирмаси ёрдамида кам таърифлаш мумкин.
Функция аргументларининг ортгирмалари
\х1=х1 — а1, Аха = Х2 —а2, . . ., \хт=хт—ат
га мос ушбу
Дх) —Да) = ДхР х2, .. ., xj — Даъ а2,. .., ат) =
= Да! + А Хр а2 + А х2,..ат+ Ьх^ — f(alt ait..ат)
, 47
айирма f(x) функциянинг а нуктадаги ту лик орттирмаси деб атала-
ди ва Af ёки А Да) каби белгилаиади:
А /(а) = Да2 + А х1т а2+ А х2,..., ат~- \хт) — /(а, а2....ат).
Куйидаги
Ж +Ах,, а2, . . ат) —f(alt а2, . . ат),
Дд а2 Н- А х2, а3, , . ., ат) Да2, а2, . . ат),
/(fli, а2, . . йт_р ОщН" А хт) Да], а2, . . ат)
айирмалар Дх) функциянинг а нуктадаги хусусий орттирмалари дейи-
лади ва улар мос равишда &xJ, bxj, . . &xmf каби белгилаиади.
Юкоридаги (*) лимит муносабатдан топамиз:
lim Дх) = Да) => lim [Дх) — Да)] = 0.
х-+а х->а
Натижада (*) тенглик куйидаги
lim АДа) = 0, яъни lim А Да) = 0
х=а->0 ДХ1->0
AXj-»0
• • • •
куринишга келади. Демак, Дх) функциянинг а нуцтадаги узлуксизлиги
lim А Да) = 0 / lim А Да) = 0
х—а-+0 . I ДХ1->0
I Дхт’->0
каби хам таърифланиши мумкин экан.
12.28- таъри ф. Агар Дх) функция тупламнинг хар бир
нуктасида узлуксиз булса, функция шу М тупламда узлуксиз деб
аталади.
Биз юкррида келтирган куп узгарувчили функцияларнинг узлук-
сизлиги уларнинг барча узгарувчилари буйича узлуксизлигини, яъни
бир йула узлуксизлигини ифодалайди.
Аввалгидек Дх^ х2, . . ., хт) функция М <= Rm тупламда берилган
булсин. Берилган функциянинг бирор xk(k=\,2, . . т) аргументидан
бош^а барча аргументларин и тайинлаб, бу xk аргумент га Ах;, орттир-
ма берайлик, бунда (х1( х2, . . ., xk_v xk+&xk, xA+1, .... xm) gM бул-
син. Натижада /(xj, x2, . .., xm) функция кам
-^2’ • • ч %k—1’ ^k’ • • ’ ^zti) f ^2’ • •>
(ft=l,2, . . ., m) хусусий орттирмага эга булади.
Агар Axfe->0 да функциянинг хусусий орттирмаси А / кам нолга
интилса, яъни
lim Ат f=0
xk
булса, /(xj х2, . . ., xm) функция (х^, . . хт) нуктада xk узгарувчиси
48
буйича узлуксиз деб а!алади. Одатда функциянинг бундай узлуксиз-
диги, унинг хар бир узгарувчиси буйича хусусий узлуксизлиги деб
аталади.
Демак, куп узгарувчили функциянинг х,ар бир узгарувчиси буйича
хусусий узлуксизлиги, бир узгарувчили функция узлуксизлигининг
худди узи экан.
Агар Дхр х2, . . хт) функция (х°, х°, . . ., х^) £Л1 нукдада бир
йула) узлуксиз булса, функция шу нуктада х,ар бир узгарувчиси бу-
йича хам хусусий узлуксиз булади. Х,акикатан хам, Дхп • •, -rm)
функция (х°, х°, . . .,х^)€М нукдада узлуксиз булсин. Таърифга кура
lim Д f = lim [f(x° + Д хх, х°+ Д х2, . . ., х^+ Д xj—f(x°, . . ., х^)]=0
ДХ|—>0 Дх3—>0
Д*г?Г*° Дхт->0
булади.
Хусусан,
А Axj— • • •== А _______1= А х^^_^:== . . . === Axzn= О, А О
(*=1,2, . . ., т)
булганда
lim Дх f = lim [f (х°, . . ., х°_р х° + \xk, х°+1, . . ., х°т) —
k Д^—>0
-Н4 х», ..., х^)] = о
булади. Бу эса берилган функциянинг (xj, х£, . . ., х°) нуктада х^(*=
= 1,2, . . ., tri) узгарувчиси буйича хусусий узлуксиз булишини билди-
ради.
12.6-эслатма. /(хх, х2,
. ., хт) функциянинг бирор нуцтада .хар
бир узгарувчиси буйича хусусий узлуксиз булишидан унинг’’шу нук-
тада (бир йула) узлуксиз булиши х.ар доим келиб чикавермайди. Ма-
салан, ушбу
/
/(Хр Х2) =
агар х\ + х; ¥= 0 булса,
агар х^ + х22 = 0 булса,
функцияни царайлик. Бу функциянинг хар бир узгарувчиси буйича
Узлуксиз булишини курсатамиз. Равшанки, /(хх, 0) — f(O, х2) = 0. Их-
тиёрий (хх, х2)6Т?2 нукта олиб, унда х2 узгарувчини тайинлаймиз.
Агар х2 #= 0 ва хх -> х° 0 булса,
lim /(Хр х2) = lim
о •
Х1->Х Xi-^X
1 1
2х! • х2
булади.
Агар %2=0 ва х^х^О булса,
lim /(Xj, 0) = 0 = /(х°, 0)
О
булади.
4-501
49
Агар х2 = 0 ва х1-+-л'°1 = 0 булса,
lim / (хь 0) — О == f (О, О)
Xj—>0
булади. Демак,
о
Бу эса берилган f (х2, х2) функция хг узгарувчиси буйича хусусий уз-
луксиз эканлигини билдиради. Берилган функциянинг х2 узгарувчиси
буйича хусусий узлуксиз булиши худди шунга ухшаш курсатилади.
Демак, f (хх, х2) функция хар бир узгарувчиси буйича хусусий узлук-
сиз. Биро^, бу функция (0, 0) нуктада узлуксиз эмас. Бу нуктада функ-
ция хатто лимитга эга эмаслигини курсатайлик. Хакикатан хам, (О, 0)
(/ 1 1 \) ‘ г/ 2 1 \1
ну^тага интиладиган куйидаги иккита
ликлар:
1 ва
кетма-кет-
п п
п п
олинганда, уларга [мос келадиган функция кийматларидан иборат
. f —, — В ва if —, — В кетма-кетликлар учун
\ п nJ) [ \ п п ))
= 1
булади.
Биз юкорида куп узгарувчили f (хх, х2, . . . , хт) функциянинг хар
бир Xk (k = 1, 2, . . . , т) узгарувчиси буйича хусусий узлуксизлиги
тушунчаси билан танишдик. /(хп х2, . . ., хт) функциянинг xie xit, . . .,
х, узгарувчилари буйича узлуксизлиги худди шунга ухшаш iаърифла-
/v
пади.
12.29- таъриф. Агар х^+а да f (х) функциянинг лимити мавжуд
булмаса, ёки
lim f (х) = оо,
ёки функциянинг лимити мавжуд, чекли булиб,
lim f (х) = Ь Ф f (а)
х-*а
булса, унда функция а нуктада узилишга эга деб аталади.
Мисоллар. 1. Ушбу
f (Х1, х2) =
Х1+4» агаР (*1> *з) (0, °) булса,
1, агар (хх, х2) = (0, °) б^лса
50
$>•
Ж
нкцияни царайлик. Бу функция R2 тупламда берилган булиб, унинг (0, 0) ну^та-
^аги ЛИМИТИ
х2->0
Я|&лади. Демак, берилган функция (0, 0) нуктада узилишга эга.
2. Ушбу бобнинг 1-§ ида келтирилган
.2 । J2 ’
агар (хъ х2)=^(0, 0) булса,
"Г л2
0 , агар (JQ, х2)=(0, 0) булса
функция узилишга эга, чунки
3. Куйидаги
,2
.2
2
2
.2
9
9 9 1
агар Xj + *2 * булса,
9
0,
,2
,2
ункция {(*!, Х2) с R2 ; + ^2 =
} тупламнинг хар бир нуктасида узилишга эга
О
0 „О
лади, чунки (х1э х2)->(хр х^) Оф2 + (х!?)2 = Да f (xi> *2) функциянинг чекли
ймити мавжуд эмас.
4. Ушбу
2xi — х2
х2) функция
1»
2 = 0 булса
пункция (0, 0) нуктада узилишга эга, чунки (хь х2)->(0, 0) да берилган функция-
Йнг лимити мавжуд эмас (каралсин 41-бет).
Юк4орида келтирилган мисоллардан куринадики, / (х
|гекисликнинг муайян нуцталарида ёки текисликдаги бирор чизикнинг
5арча нуцталарида (яъни чизик буйлаб) узилиши мумкин экан.
амал-
гар. Мураккаб функциянинг узлуксизлиги. Энди узлук-
*из функцияларнинг йигиндиси, айирмаси, купайтмаси ва нисбатининг
злуксизлиги масаласини урганамиз.
I 12.11-теорема. Агар Д (х) ва f2 (х) функцияларнинг %ар бири
И cz тупламда берилган булиб, улар a QM нуктада узлуксиз
$лса,
функциялар \ам шу нукупада узлуксиз булади.
Исбот. Бу теореманинг исботи, аслида лимитга эга булган функ-
ДРиялар устида арифметик амаллар ^ацидаги маълумотлардан (ушбу
бобнинг 3-§ даги 5°, 6° ва 7°-хоссалар) бевосита келиб чикади. Уни
лимитга эга булган функциянинг хоссалари (3-§ даги Г ва 2°-хосса-
|аР) хамда берилган функциянинг нуктада узлуксизлигидан фойдаланиб
51
хам исботлаш мумкин. Биз куйида икки функция нисбатининг узлук-
сиз булишини курсатамиз. Д (х) ва f2 (х) функциянинг ^ар бири а нук-
тада узлуксиз булиб, Д (а) ¥= О булсин. Равшанки, х-+а да Д (х) ва
Д (х) функциялар мос равишда Д (а), Д (а) лимитларга эга:
lim Д (х) = Д (a), lim Д (х) = Д (а) (Д (а) у 0).
х->а х-+а
У хрлда ушбу бобнинг 3-§ идаги 2°-хоссага кура, а нуктанинг етар-
лича кичик атрофи U6i (а) = {x£Rm:p (х, а) < 6J да Д (х) ва Д (х)
функциялар чегараланган булади:
< Д (х) < ЛД, т2 < Д (х) < М2, х 6 и&1 (а),
бунда /Пц Мг ва т2, М2 — узгармас сонлар. Иккинчи томондан Д (а)^=
Ф 0 булганлиги сабабли 3- § даги 1°- хоссага кура шу а нуктанинг
етарли кичик атрофи £/б> (а) = {х £ Rm: р (х, а) < б,} да Д (х) 0 булади.
Энди ушбу
Д1_(х)_Д_(ф (
А (х) A (a) V ”
айирмани карайлик. Уни куйидагича ёзиб оламиз:
_А_« __А(Ф = . 11 (х) . [Д (а) — Д (х)] + — [Д (х) — Д (а)].
Д(х) Д(а) Д(а)Д(х) А (Ф “ ’
Агар 6' = min {61э б2} деб олсак, унда Ух££7б, (а) учун
А (х) ______ Д (а)
А (х) А (а)
ЛА
«г • А (а)
• I /2 W - Д (а) I +
+ IA (Ф1
I /1 W — fl (а) I
(12.28)
•8 га кура шундай
булади.
Д (х) ва Д (х) функцияларнинг а нуктада узлуксизлигига асосан,
V 8 > 0 сон олинганда ^ам,
ладики, yxgf/6„(a) учун
0 топи-
я
IA (х)-Д(а)<^-е,
(12.29)
шунингдек, уша 8 > 0 'олинганда хам,
5'">0 топиладики, (а) учун
^2 • f2 (Д)
га кура шундай
£
2
1/2 (х)-Д(а)|< 4
(12.30)
булади. Агар 6 = min {б', б", бда} деб олинса, унда у x^U6 (а) учун
юкоридаги (12.28), (12.29) ва (12.30) муносабатлар бир йула уринли
булиб, натижада ушбу
fi (х) _ Д (а) g
А (X) А (а)
52
тенгсизликка эга буламиз. Бу эса функциянинг а нуктада узлук-
/2 W
сиз эканлигини билдиради.
Худди шу йул билан теореманинг колган кием лари хам исботла-
у вади.
у'- 12.7-эс латм а. Иккита функция йигиндиси, айирмаси, купайтмаси
ва нисбати узлуксиз булишидан, бу функцияларнинг хар бирининг уз-
4; луксиз булиши келиб чицавермайди.
Мисол. Ушбу >D = {(хх, x2)f R2 : | хх | 1, |х21^ 1} R2 квадратни олиб,
д&унинг рационал нукталари (яъни х.ар иккала координаталари рационал сон булган
жиукталаРи) тупламини Dp билан белгилаймиз. Бу D тупламда куйидаги
Ж . , . f 1, агар (хх, Х2)б Dp булса,
Ж 10, агар (хх, x2)6D\Dp булса
Ждамда
,®‘ , , , (—• 1> агар (хх, x2)6D„ булса,
Л; I 0, агар (xlt х2) б D\Dp булса
Жфункцияларни карайлик. Бу функциялар йигиндиси 4 (хх, х2) + /2(А- х2)—0(у (хх.
Жхг)€£>) булиб, у шу тупламда узлуксиз булса-да, (хр х2), f2 (хх, х2) функция-
ЖЛарнииг кар бири D да узлуксиз эмас.
у Юкорида келтирилган теорема кушилувчилар ^амда купайтувчилар
жсони ихтиёрий чекли булган холда хам уринли булишини курсатиш
Ж^ийин эмас.
ЯК Энди мураккаб функциянинг узлуксизлиги хакндаги теоремани кел-
Дгирамиз.
Яр Фараз килайлик, М с= Rm тупламда у = f (х) — f (xlt х2, . . ., хт)
«функция берилган булиб, хХ) х2, . . ., хт ларнинг хар бири Т с F^'(kQN')
®ж|пламда берилган функциялар булсин:
® Xi = <Р1 (0 = <Р1 (4, 4> • • •> 4)>
Ж х2 = <р2 (/) = ф2 (/,, 4, . . /А),
» Хт = (0 = Фт • • - Q’
риз /==(/!, /2, . . tk)QT булганда унга мос х = (Хр х2, . . ., хт)^М
^деб караймиз. Бу функциялар ёрдамида
/ (ф1 (^Х> ^2’ ‘ • •’ ^)’ Ф2 (^1> ^2’ • " ’’ • • •’ Фт (^Х> ^2’ • • •» ^/г)/ “
Г =Ф(^. 4, . . ., у =Ф(/)
Виураккаб функцияни тузамиз (царалсин, 33-бет).
| 12.12-теорема. Агар ср, (t) = <pz (/г, 4, . . ., 4) (j = 1, 2, . . ., т)
‘функцияларнинг \ар бири ta -- (t°v 4, . • •, 4) нуцтада узлуксиз б$либ,
f (х) = f (*х, х2> •> хт) функция эса t° = (/”, 1°2, . . t°k) нуцтага мос
1° = (xj, X», .
...) = Фт (/?, 4°, . . 4°))
53
нуцтада узлуксиз булса, у = Ф (/) = Ф (/х, t2, . . ,,t^ мураккаб функ-
ция t° — (tf, ф . . t°k) нуктада узлуксиз булади.
Исбот. xt- =<р(- (/) = (/г, t2.tk) (t = I, 2, . . m) функция
t° — (ф t", . . t°k) нуктада узлуксиз булсин.
T ст Rk тупламда 1° — (/'}, t%, . . ., ф ну^тага интилувчи ихтиёрий
{/"”} = {(/1W, 4_//Г)1 (п = 1,2, . . .)
кетма- кетликни олайлик. У холда узлуксизликнинг Гейне таърифига кура
1 х(п> = ф1 ф)( /(f))/0) =хор
tf—R 4п, = ф2 (ф>, ф>, • • ф’)-*Фг(фф • • Ф = 4
(
......I..............................................
I = фЛФ’. Т..........Ф»)-> Фт(ф ф • • ,Ф = 4
булади.
у = f (хи х2, . . хт) функция (х°, х", . . ., лф нуктада узлук-
сиз. У холда яна Гейне таърифига кура
у(п)_^у0
лт tn
булади. Демак, /f’->^, . . ., ф)->/2 да
1 1 zS /v гС
f (Ф1 (/(f), ф),..., /(f)), ф2 (/(f), ф),...,/(«)).фт (/(f), /(f),../(f)))->
(Ф1 (ф ф..ф, ф2 (ф ф •.ф,.., фт (ф /2°.................ф).
Бу ЭСа у f (ф| (/j, ^2, • • , ^/г)> Ф2 (^1» ^2’ • ’ •’ ^)’ • • •> (^1» ^2» • • ’’ ^fe)) ==
= Ф (/х, /2, . . .. tk) функциянинг (/®, /’2\ . . нуцтада узлуксиз экан- «>
лигини билдиради. Теорема исбот булди.
5-§. Узлуксиз функцияларнинг хоссалари
Биз куйида куп узгарувчили узлуксиз функцияларнинг хоссалари-
ни келтирамиз. Бунда бир узгарувчили узлуксиз функцияларнинг хос-
салари тутрисидаги маълумотлардан тула фэйдалана борамиз.
Куп узгарувчили узлуксиз функциялар ^м бир узгарувчили узлук-
сиз функцияларнинг хоссалари каби хоссаларга эга.
1. Нуцтада узлуксиз булган функцияларнинг хос-
салари (локал хоссалари). f (х) функция М. (М ст Rm) тупламда
берилган булсин, М тупламдан бирор х° нукта олиб, бу нуктанинг
шу тупламга тегишли булган етарли кичик атрофини каРайлик. f (х)
функция х° нуктада узлуксиз булсин. Бундай f (х) функциянинг хи
нуктанинг етарли кичик атрофидаги хоссаларини (локал хоссаларини)
урганамиз.
54
1°. Arap f (х) функция x°QM нуктада узлуксиз булса, у холда х°
нуктанинг етарли кичик атрофида функция чегараланган булади.
Исбот. Функция узлуксизлиги таърифига кура
lim / (х) = f (х°)
х->х°
булиб, ундан / (х) функцияни х° нуктада чекли лимитга эга эканлиги
келиб чикади, Чекли лимитга эга булган функциянинг хоссаларидан
(царанг, 38- бет) эса, / (х) функцияни х° нуктанинг етарли кичик атро-
фида чегараланганлигини топамиз.
2°. Агар f (х) функция х° нуцтада узлуксиз булиб, f (х°)>0 (/ (х°)<
< 0) булса, х° нуктанинг етарли кичик атрофидаги х нукталарда
f (х) > 0 (/ (х) < 0) булади.
Исбот. f (х) функция х° нуктада узлуксизлиги таърифига к^ра,
V е > 0 олинганда хам шундай 6 > 0 топиладики, барча х G U6 (х°) f) М
нуцталар учун
f (х«)-8</(х)</ (х°) + 8
булади.
Бу ерда е = f (х°) > 0 (агар f (х°) < 0 булса, е = — f (х0)) деб олсак,
фикримизнинг тасдигига эга буламиз.
Демак, f (х) функция х° нуктада узлуксиз ва f (х°) ¥= 0 булса, х°
нуктанинг етарли кичик атрофидаги х нукталарда функция кийматла-
рининг ишораси f (х°) нинг ишораси билан бир^хил булар экан:
sign f (х) = sign f (х°).
3°. Агар / (х) функция х° нуктада узлуксиз булса, х° нуктанинг
етарли кичик атрофидаги х' £ М, х!' £ М. нуцталар учун
I f (х') - f (х") I < 8
тенгсизлик уринли булади.
Ис бот. f (х) функциянинг х° нуктада узлуксизлигига асосан, уе>0
олинганда хам, — га кура шундай 6>0 топиладики, барча xQU6 (хс)
нуцталар учун
булади. Жумладан, х'С£76(х°), x"QU6 (х°) ну^талар учун хам
тенгсизликлар уринли булади. Кейинги тенгсизликлардан эса | / (х')—
— f булиши келиб чикади.
2. Тупламда узлуксиз булган функцияларнинг хос-
салари (глобал хоссалари). Энди Al cz тупламда узлуксиз
булган функцияларнинг хоссаларини (глобал хоссаларини), ани^роги
f (х) функция к^ийматларидан иборат тупламнинг хосса-
ларини урганамиз.
55
12.13-теорема (Больцано — Кошининг биринчи теорс-
маси). у = f (х) = f (хп х2, . . хт) функция богламли*
тупламда берилган ва узлуксиз булсин. Агар бу функция тупламнинг
иккита а~{сцу а2, . . а^ ва b = (1ц, Ь2, . . Ьт) нуцтасида хар
хил ишорали кийматларга эга булса, у хрлда шундай с = (с1У с2, . .
cm)QM нуцта топиладики, бу нуктада функция нолга айланади:
f (c)=f Hi, с2, . . cm) =0.
Исбот. Аниклик учун / (а) = f (а1( а2, . . ап)<0, f (&) =/(6t,
&2, . . ., ftm) > 0 булсин. MczR”1 богламли туплам булгани учун бу-
а ва b нуцталарини бирлаштирувчи ва М тупламда ётувчи синиц чи-
зиц топилади. Бу синиц чизиц учлари булган нуцталарда f (х) функция-
нинг цийматларини хисоблаб борамиз. Бунда икки хрл юз беради:
1) Синиц чизиц учларининг бирида f (х) функция нолга айланади.
Бу хрлда синиц чизицнинг шу учини теоремадаги с нуцта деб олинса.
f (с) = 0 булиб, теорема исботланади.
2) Синиц чизиц учларида f (х) функция нолга айланмайди. Бу хрл-
да синиц чизицнинг шундай кесмаси топиладики, унинг учларида f(x)
функциянинг цийматлари хар хил ишорали булади. Синиц чизицнинг
худди шу учларининг бирини а' = (а'р а2, , . ат) билан, иккинчи,
учини эса Ь' = (Ь\, Ь2, . . ., Ь'^ билан белгиласак, унда
f (а') = f (а\, а2, . . а'т)<0,
f(b') = f(b'lt ь;.......b'm)>0
булади. Синиц чизикнинг бу кесмасининг тенгламаси ушбу
xi = а\ + t (^i — «]),
х.2 = a2+t (Ь2 — cQ,
xm = a'm + t (Ьт — ат)
(0 < t < 1) куринишда ёзилади.
Агар узгарувчи х = (хх, х2, . . хт)£М нуцтани синиц чизикнинг
шу кесмаси буйичагина узгаради деб олинадиган булса, у цолда
f (х) = f (х1? х2, . . . , хт) куп узгарувчили функция цуйидагича
F (0 = f («1 + i —a[), a2 4- t {b2 — a2), . . + t (b'm
битта t узгарувчининг мураккаб функцияси булиб цолади. Мураккаб
функциянинг узлуксизлиги хацидаги теоремага кура F (/) функция
[0, 1] сегментда узлуксиздир. Иккинчи томондан £ = 0 ва t— 1 да бу
функция турли ишорали цийматларга эга:
Р (0) =f (а[, а2, . . ., О <0,
Шундай цилиб, F (/) функция [0, 1 ] сегментда узлуксиз ва шу сег-
* Богламли туплам таърифини 1-§, 17-бетдан каранг.
56
>' ментнинг четки нукталарида хар хил ишорали ^ийматларга эга .У хрл-
да 1-кисм, 5-боб, 7-§ даги 5.5-теоремага кура, (0, 1) интервалда шун-
дай /0 нуцта топиладики,
F (/о) = О
булади. Демак,
а\), a2 + t0 (b2—at), . . .,am + t0 (ат — «J)=o-
Агар
деб олсак, равшанки, с = (q, с2, . . cm)QM ва f (с) = f (сп с2, . .
ст) = 0 булади. Бу юцорида келтирилган теоремани исботлайди.
Куйидаги теорема ^ам шунга ухшаш исботланади.
12.14- теорема (Больцано — Кошининг иккинчи тео-
• рем а с и), f (х) = f (хр х2, . . хт) функция богламли MczRm туп-
ламда берилган ва узлуксиз булиб, М тупламнинг иккита а =
= (ап я2, • • , ат) ва b = фц, Ь2, . . Ьт) нуктасида f (й:)=Л, f (b) =
= В, А В булсин. А билан В орасида хар цандай С сон олинса \ам,
М. тупламда шундай с=(с1, с2, . . . , ст) нукупа топиладики,
f (c)=f (Д, cit . . ст) =С
булади.
12.15- теорема (В ейерштрасснинг биринчи теорема-
си). Агар [ (х) функция чегараланган 'ёпик; MczR^ тупламда берил-
ган ва узлуксиз булса, функция шу М тупламда чегараланган булади.
Исбот. Тескарисини фараз ^илайлик, яъни f (х) функция чегара-
ланган ёпгк; М тупламда узлуксиз булса ^ам, у шу тупламда чегара-
ланмаган булсин. У хрлда V nQlV учун шундай х(п) £М нуцта топи-
ладики,
|/(х(п))|>/г (12.31)
булади. Бундай нук;талардан {х(п)}, х{гг) С М (п = 1, 2, . . .) кетма-кет-
лик тузамиз. Модомики, М туплам чегараланган экан, унда {х(п)} кет-
ма-кетлик ^ам чегаралангандир. Больцано — Вейерштрасс теоремасига
(ушбу бобнинг 2-§ ига) кура {х(п)} кетма-кетликдан якинлашувчи бул-
д ган {x(nk>} ^исмий кетма-кетлик ажратиш мумкин: {x(xk}}-^xQ (/?-> °о).
М ёпиц туплам булгани учун х°£Л4 булади. f (х) функциянинг М тум-
ламда узлуксиз эканлигидан эса
булиши келиб чикади, натижада бир томондан (12.31) муносабатга
кура
яъни f (x(nk}) -> оо (£-+ оо да) булса, иккинчи томондан / (х(п^)->/(х°)
Жбулиб в^олди. Бундай зиддият f (х) функцияни М тупламда чегаралан-
57
маган деб олиниши оцибатида келиб чикди. Демак, f (х) функция М
тупламда чегараланган. Теорема исбот булди.
12.16- теорема (В ейерштр асе н и н г иккинчи теорема-
с и). Агар f (х) функция чераланган ёпик М cz Rm тупламда аник-
ланган ва узлуксиз булса, у шу тупламда узининг аниц юкори хамда
аниц цуйи чегараларига эришади.
Бу теореманинг исботи 1-^исм, 5-боб, 7-§ даги 5.8-теореманинг
исботи кабидир. У ни исбот лашни уцувчига хавола этамиз.
6- §. Куп узгарувчили функциянинг текис узлуксизлиги.
Кантор теоремаси
Ушбу параграфда куп узгарувчили функциянинг текис узлуксизли-
ги тушунчасини киритамиз ва уни батафсил урганамиз.
/ (х) функция М czRm тупламда берилган булсин.
12.30-таъриф. Агар Vs>0 сон учун, шундай 6>0 топилсаки,
М тупламнинг р (х', х") < б тенгсизликни цаноатлантирувчи ихтиёрий
х' ва х" (х'£7И, х"^М) нуцталарида
тенгсизлик бажарилса, f (х) функция М тупламда текис узлуксиз
функция деб аталади.
Функциянинг текис узлуксизлиги таърифидаги 6>0 сон 8>0 га-
гина боглик булади. Табиийки, агар f (х) функция М cz Rm тупламда
текис узлуксиз булса, у шу тупламда узлуксиз булади.
Мисоллар. 1. Ушбу
f (*i> х2) = х2 + х2
функциянинг D — {(х15 х2) с Я2: X] + х2 С 1} тупламда текис узлуксиз булиши кур-
сатилсин.
V 8>0 сонни олиб, унга Kvpa топиладиган б>0 сонни 6<— деб олсак,
4
У ____________________
р (х', х") = р ((хр х2), (х], х2)= V (х'1 — Xj)2+(x2 — х2)2 < 6
тенгсизликни каноатлантирувчи 7 (хр x2)gD, 7 (хр х2) € D нукталар учун
I f (Хр Х2) — / (Хр Х2) | = | (х,)2 + (Х2)2—[ (Xj)2 + (Х2)2] | = ] (Xj — x'i) (Xj + хр -г
+ (х2 — х2) (х2 + х2) | < 2 V (x'i — Xj)2 + (х2—х')2 + 2 К(х] — Xj)2 + (х2—x2f =
= 4 6 < 8 булади. Демак, берилган функция D R2 тупламда текис узлуксиз.
2. куйидаги
1
/ (*i, х2) = -
Хг х2
функцияни А = {(;q, х2) Е R2 • 0 < х2 + х2^ = 1} тупламда карайлик. Равшанки, бу
функция А тупламда узлуксиз. Бирок каРалаётган функция учун А тупламга текис
узлуксизлик таърифидаги шарт бажарилмайди, яъни V 6 > 0 учун шундай 8 > 0 ва
х' — (лд, х2) ЕА х! = (хр х2) ЕЛ нукталар топиладики, р (х , x,z)< 6 хамда
I / (Хр Х2) — / (х'р х2) I
58
Ь булади. >\ацицатан хам, V 6
ну^таларни олсак, п > п0 =
О учун 8 = 1
учун
деб ва —, — 6 Л, —, — 6 А
\ п nJ \2п 2п J
/ 1 1 \ / 1 1 \\ 1
I -Г - - I ( _ , j I __ . С
\ и п J ’ \ 2п ’ 2п )) п~|/2
ХЭД3
= Зп2 > 1 = 8
; булади.
Ж Ю^орида келтирилган мисоллардан куринадики, бирор тупламда
^узлуксиз булган функциялар хар доим шу тупламда текис узлуксиз-
Цлик таърифидаги шартни бажаравермас экан. Аммо куйидаги теорема
Жринлидир.
> 12.17-теорема (Кантор теоремаси). Агар f (х) функция
^чегараланган 'ёпиц. М (М с: R'n) тупламда берилган ва узлуксиз бул-
f^cat функция илу тупламда текис узлуксиз булади.
1 Исбот. Тескарисини фараз цилайлик, яъни /(х) функция чегара-
^ланган ёпик /И тупламда узлуксиз булсин-у, аммо текис узлуксизлик
таърифидаги шарт бажарилмасин. Бу ^олда биэор 8 >0 сон ва ихтиё-
| рий 6>0 сон учун М тупламда р(х', х") < б тенгсизликни г^аноат-
^лантирувчн шундай х ва х' (х' £ М,х''£ М) ну^талар топиладики,
। " |/(х")-/(х')|>8
Вбулади.
В Нолга интилувчи мусбат сонлар кетма-кетлиги 6lt 62, . . . , бл . . .
Жни о л ай лик:
•wrU'
1 6„->0(бп>0п= 1,2, . . .). (12.32)
ж Фаразимизга кура, юкоридаги 8 > 0 сон ва ихтиёрий 8п > 0 (п ==
1, 2, . . . ) учун /И тупламда шундай а(п) ва Ь^(п = 1,2, . . .) нук;-
|талар топиладики,
р(а(1), 6(1)) < бт ва |/(а(1)) — Д6(1))|>8,
ва -/(М2>8,
р (а(п\ &(п)) < бл ва | [ (а{п}) — f(b{n^ | > е,
^булади.
Модомики, М — чегараланган туплам ва а^ £ М(п = 1,2 . . .) экан,
|унда Больцано — Вейерштрасс теоремасига кура {а(п)} кетма-кетликдан
|яцинлашувчи цисмий {а(П/г) } кетма-кетлик ажратиш мумкин:
lim — Ц°.
k—> ОО
(12.33)
59
М ёпик; туплам булгани сабабли а°£М булади. Юкоридаги {Ь(п’}
кетма-кетликдан ажратилган {Ь,п,г} } цисмий кетма-кетликнинг лимити
хам а° га тенг бу'лади. ^акикатан хам, ушбу
р (b(nk > , а0) < р (Ь(п* > , о(п*1) + р (а(п/г> , а°)< Ьп/г + р (а(п* , а0)
тенгсизликдаги 6 ва p(d(nfe) , а0) лар учун (12.32) ва (12.33) муноса-
батларга кура k -> оо да
6nt->0, р(а(п*) ,а°)->0
11 k
булишини эътиборга олиб, fe->oo да р(6<Пй) , а°)->0 эканини топа-
миз.
Шундай цилиб, &->-оо да
а^-^а», b^-^a0.
Каралаётган /(.х) функциянинг, шартга кура М тупламда узлуксиз
эканлигидан
булиб, улардан эса
f(b{nk) ) — f(ank} )->0
булиши келиб чик.ади. Бу эса V nk лар учун
|/(d(nft) )—/(а<ПА))|>е
деб ^илинган фаразга зиддир. Бундай зиддиятнинг келиб чикишига
сабаб /(х) функциянинг М тупламда текис узлуксизлик шартини ка-
ноатлантирмайди деб олинишидир. Демак, функция М тупламда те-
кис узлуксиз. Теорема исбот булади.
Бирор М с: Rm туплам берилган булсин. Бу тупламда ихтиёрий
иккита х' ва х" ну^таларни олиб, улар орасидаги р(х', х") масофани
топамиз. Равшанки, масофа олинган ну^таларга боглик; булади. Агарн
х' ва х" нук;таларни М тупламда узгартира борсак, унда {р(х', х")}
туплам хрсил булади. Одатда, бу тупламнинг аниц юкрри чегараси
sup{p(x', х")} (х' С М, х" ^М) /И тупламнинг диаметри деб аталади
ва у d(M) каби белгиланади:
d(M)==sup{p(x', х")} (х'£М, хЧМ).
/ (х) функция М с: Rm тупламда берилган булсин.
12.31-таъриф. Ушбу
sUp{|^(x")-f(x')l} (х'е/И, х"£/И)
микдор /(х) функциянинг М тупламдаги тебраниши деб аталади ва
у со(/; М) каби белгиланади:
о(/; M) = sup{|Hx")-7(x')|} (х'СМ, х"^М).
Юкорида келтирилган Кантор теоремасидан му^им натижа келиб
чицади.
12.2-натижа. /(х) функция чегараланган ёпик; тупламда берил-
60
•9г
|Ш
w ган ва узлуксиз булсин. У холда Vе > О сон олинганда ^ам М туп-
у ламни чекли сондаги Mk ту'пламларга шундай ажратиш мумкинки,
- U Мк = М, Mk П М, = 0 (k=£j) ва со (/; Mk) < е
булади.
Исбот. f(x) функция чегараланган ёпик М тупламда узлуксиз
булсин. Кантор теоремасига кура бу функция М тупламда текис уз-
луксиз булади. Бинобарин, Vе>0 учун шундай б>0 топиладики,
р(х', .v")<6 булган V х', х" лар учун \ f(x') — f(x") |< 8 булади,
М тупламни диаметрлари шу 6 булган Mk тупламларга ажратамиз.
Равшанки, бу холда \fx' £Мк, :\/-xr'^Mk нукталар учун р(х’, х")<6
убулади ва демак,
|f(x")-f(x')|<e
S тенгсизлик бажарилади. Бундан эса
В supd/x*")— Ж)1}<8,
яъни
I «(/; ВВ<е
t булиши келиб чицади. Натижа исбот булди.
<' Биз ушбу параграфда функциянинг текис узлуксизлиги билан бог-
лик булган функциянинг узлуксизлик модули тушунчаси билан хам
г танишамиз.
/(х) функция Мс2%т тупламда берилган булсин. VS>0 сонни
олиб, М тупламнинг р(х', тенгсизликни каноатлантирувчн их-
|;тиёрий х ва х" (х'£/И, х"^М) ну^талардаги функция цийматларидан
Цтузилган \f(x")— /(%')! айирмаларни ^арайлик.
Д 12.32-таъриф. Ушбу
W-"
жайирмалар тупламининг аник юкори чегараси
Ж sup {И(х")-Ж)|} (x'QM, x"QM)
Ж p(x-,x")<6
fcf(x) сЬункциянинг М тупламдаги узлуксизлик модули деб аталади ва
SW; 6) каби белгиланади:
Ж ®(/;б)= sup {|/(XV)-/(/)!} (х'€М, Х"€М).
Бу таърифдэн, функциянинг узлуксизлик модули 6 нинг манфий
рбулмаган функцияси эканини курамиз. Бундан ташк;ари fii > S2 > О
Шбулганда ушбу
я?
sup
4 Р(х'. х")<6
{|Ж')-КО1}
{|/Ю-Цх')1}> sup
t р(х', ж")<62
g/И, x"QM) тенгсизлик уринли булиб, ундан
Ж ®(f; 6Х >®(/; б2)
^4&санлиги келиб чикади. Бу эса со (/; б)~6 нинг усувчи функцияси
(а^канини билдиради.
61
Й'
Энди f (х) функциянинг текис узлуксизлиги билан унинг узлуксиз-
лиги модули орасидаги богланишни ифодалайдиган теоремани келтира-
миз.
12. 18-теорема. / (х) функциянинг М cz Rm тупламда текис
узлуксиз булиши учун
lim со (/; 6) = О
булиши зарур ва етарли.
13-БОБ
КУП УЗГАРУВЧИЛИ ФУНКЦИЯНИНГ ХОСИЛА
ВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЛАРИ
Ушбу бобда биз куп узгарувчили функциялар дифференциал хи»
соби билан шугулланамиз. Киритиладиган ва урганиладиган хосилалар
ва дифференциал лар тушунчалари бир узгарувчининг функциялари
учун киритилган мос тушунчаларнинг тегишлича умумлаштирилиши-
дан иборат булади. Айни пайтда, биз курамизки, куп узгарувчили
функциялар учун хос булган бир канча янги тушунчалар хам (йуна
лиш буйича хосила, тула дифференциал ва ^оказо) урганилади.
1-§. Куп узгарувчили функциянинг хусусий хосилалари
1. Функция хусусий хосиласининг таърифлари.
f (х) = /(хп х2, . . . , хт) функция очик; М (М cz Rm) тупламда берил-
ган булсин. Бу тупламда х° = (х°, х°, . . . , х°) нуцта олиб, унинг
биринчи координатаси х^ га шундай Дх} (Дхт 0) орттирма берайлик-
ки, (х° + Дхр х2°, . . . , х°) С М булсин. Натижада f (хр х2, . . . , хт}
функция хам (х°, х°, . . . , х^) нуктада х} узгарувчиси буйича
+ Ахг 4 • • • > 4)-/(4 4 • • • > 4)
хусусий орттирмага эга булади.
Ушбу
Axj f / (xi + Ахх, х2, . . . , хт) f (хр х2, • . . , х^)
- = - (10.1)
Ахг-----------------------------------------Ахх
нисбатни ^арайлик. Равшанки, бу нисбат Дхх нинг функцияси булиб,
у Дхг нинг нолдан фаркли кийматларида аникланган.
13.1-таъриф. Агар Дхг->0 да (3.1) нисбатнинг лимити
]jm Д*1 f__ Цдд 4~ AXj, х2, . . . , хт) f(X[, х2> . . . , х^)
Дх1-*о Ахх ДХ1—о Axj.
мавжуд ва чекли булса, бу лимит /(х£, х2, . . . , хт) функциянинг
(х?, х®, . . . , х°т) нуцтадаги хх узгарувчиси буйича хусусий \осиласи
деб аталади ва
д|(х°р х2, . . . , х^)
1 ’
62
| белгиларнинг бири билан белгиланади. Демак,
г' / 0\ df (Х°) 1 • Д*1 f
L L (х°) = = hm —
1 дх± Дхг->0 Д*1
t Агар х° + AXj = деб олсак, унда AXj = х{—х^ ва Ах1->0 да х^
—> xj булиб, натижада
Г .. Дх, f / (*1+ А*!, • • • ’ xm) —/ (*1. *2....4>)
I 11ГП = -------— = hm -------------------------------------------------— =
L ДХ1->0 Дхх Axt->0 Д*1
f (хх, Х^, . . . , х^) — /(х^, х2°, . . . , Х^)
= lim --------------------------------------------------
X _х Л х1 --- Х1
Xi —>Л 1 1
| булади. Демак, /(хр х2, . . . , хт) функциянинг (х°р х£, ...» х^) ну^-
I тадаги хх узгарувчиси буйича хусусий хрсиласини ушбу
I / (х1? Х%, . » . , Х^)--/(х^ х2.х^)
। нисбатнинг х1->х°1 даги лимити сифатида таърифлаш мумкин.
I Худди шунга ухшаш /(хп х2, . . . , хт) функциянинг бошца узга-
1 рувчилари буйича хусусий хосилалари таърифланади:
| df 1. Дх2/ .. f(x?, х§+Дх2. х§, . . . , х^) —f(x^, х^, . . . , х^)
| — = lim —— = lim ----------------------------------------------------
| дх2 Дх2->0 Дх2 Дх2->0 Д*2
.0 .л
Ит = Hm
b' ^xm Axm-->0 Д^т
° _p x°n+ Axm) — f Up ..., x°m)
^Xm
ft Демак, куп узгарувчили f (xn x2, . . . , xm) функциянинг бирор
1- (x?, x^, . . . , x^) нуктада xk(k = 1, 2, . . . , tri) узгарувчиси буйича
1 хусусий хосиласини таърифлашда бу функциянинг xk (й==1, 2, . . . , гп)
В узгарувчидан бош^а барча узгарувчилари узгармас деб ^исобланар
р экан. Шундай к^илиб, f (хр х2, . . . . , хт) функциянинг хусусий хр-
I силалари f'x^ . . . , fx^ 1-^исм, 6-боб, 1-§ да урганилган росила—
I бир узгарувчили функция зрсиласи каби эканлигини курамиз. Демак,
I куп узгарувчили функцияларнинг хусусий хрсилаларини ^псоблашда
бир узгарувчили функциянинг хосиласини ^исоблашдаги маълум бул-
| ган крида ва жадваллардан тули^ фойдаланиш мумкин.
I Мисоллар. 1. f (х1э х2)= ]/* Xj + х2 булсин. Бу функциянинг V (х1У х2) £ R2
г ну^тадаги хусусий хосилалари
I df Xi df х2
| булади.
1 2
; 2. f (xn x2) = —=.e функциянинг (xx, x2) E R2 (x2 > 0) нуктадаги xycy
t /Х2
*
I
63
сии ^осилаларини ^исоблаймиз:
f(xlt х2) =
2Х1Х2
ц + *2 '
о .
3. Ушбу
агар (яр х2) =4= (0, 0) булса,
агар (хх, х2) = (0, 0) булса
функциянинг хусусий ^осилаларини топинг.
Айтайлик, (хх, х2) #= (0; 0) булсин. У ^олда
булади.
Энди (хх, х2) = (0, 0) булсин. У холда
а/(0,0) /(Ахь 0W(0,0) п
—------= hm ---------------------= О,
ОХг Дх^О Дх-L
#(0,0) f (0, Дх2)-/(0,0) п
------= lim --------------------= О
дх2 Длг2-*о Дх2
булади.
Демак, берилган f (xlf х2) функция V (хх, х2) 6 R* да
эга.
хусусий ^осилаларга
2. Хусусий ^осиланинг геометрик маъноси. Соддалик
учун икки узгарувчили функция хусусий ^осилаларининг геометрик
маъносини келтирамиз.
f (хх, х2) функция очиц М (М cz R2) тупламда берилган булиб,
(x°lt х®) G м булсин. Бу функция (х®, х°) нуктада (х®, х»), (хор х»)
хусусий хосилаларга эга булсин. Таърифга кура /' (х^, х?) ва* (x°v
х®) хусусий косилалар мос равишда ушбу уг = /(хр х?) ва у2
х2) бир узгарувчили функцияларнинг х<{ ва х® даги хрсилаларидаи ибо-
рат.
Фараз килайлик, y — ffa, х2) функциянинг графиги 11-чизмада
курсатилган сиртни тасвирласин. Унда г/1 = /(х1, xS) ва z/2 = /(xJ, х2)
64
функцияларнинг графиклари мос
равишда у = f (xv х2) СИРТ билан
х2 = текисликнинг хамда шу
сирт билан х3= х°г текисликнинг
кесишишидан ^осил булган Г\ ва
[\ чнзиклардан иборат.
Маълумки, бир узгарувчили
и = Ф (х) функциянинг бирор х0
(х0 € нуктадаги хрсиласининг
геометрик маъноси (1-^исм, 6-
боб, 1-§) бу функция тасвирла-
ган эгри чизикка (х0, ф (х0)) нук;-
тада утказилган уринманинг бур-
А
11- чизма
<чак коэффициент!щан, яъни уринманинг Ох уки билан ташкил этган
; бурчакнинг тангенсидан иборат эди. fXi (^, х£) ва fx (xj, х£) хусусий
хрсилалар мос равишда 1\ ва Г2 эгри чизикларга (х^, x!J) нуктада ут-
казилган уринмаларнинг Охг ва Ох2 уклар билан ташкил этган бур-
чакнинг тангенсини билдиради. Дема/, fXi (х°у, х°) ва fx (х°р х£) хусу-
сий хрсилалар у = f (х3, х2) сиртнинг мос равишда 0хх ва Ох2 уклар
йуналиши буйича узгариш даражасини курсатади.
Функциянинг узлуксиз булиши билан унинг хусу-
сий хосилага эга булиши орасидаги бог л ан иш. /(х) функ-
ция очи^ М (М cz #т) тупламда берилган булиб, х0 С М нуктада чек-
ли fXt (х°) хусусий хрсилага эга булсин. Таърифга кура
f
Hm
AXi->0
ДХ].
булиб, ундан
A f = fx (х°) • Ах, + а1 Ах,
*1 * 'Л-1 ' / 1 1 1
булишини топамиз, бунда Дх,->0 да с^-э-О. Натижада
lim Ах / = lim [f (х°) • Дх1 + а, Дх,] = О
A*i->0 1 ДХ1->0 1
' булади. Бу эса f (х) функциянинг х° нуктада хх узгарувчиси буйича
хусусий узлуксиз эканлигини билдиради. Демак, /(х) функция х° нук-
тада чекли fXk (х°) [k — 1, 2, . . . , т) хусусий хосилага эга булса,
/ (х) функция шу нуктада мос xk (k = 1, 2, . . . , т) узгарувчнлари
буйича хусусий узлуксиз булади.
' Бирок куп узгарувчили / (х) функциянинг бирор х° нуктада барча
\ хусусий х.осилаларга эга булишидан, унинг шу нуктада узлуксиз (бар-
ча узгарувчнлари буйича бир йула узлуксиз) булиши х.ар доим келиб
чицавермайди.
Масалан, ушбу параграфнинг 1-пунктида келтирилган 3-мисолда-
( ги /(Х1, х2) функция V (^1, x2}£R2 нуктада -Ц-, ~ хусусий хосн-
дхг дх2
Маларга эга бужа-да, бу функция (0,0) нурада узлуксиз (иккала уз-
|гарувчиси буйича бир йула узлуксиз) эмас (каралсин, 12-боб, 1-§).
|5—S01 лк
2. f — хар бир х б М = (х 6 Rm Р (х, 0) 1} нуцтага ушбу
х->- /1 — х?} — х2 — • • - — хГт
1^оида билан битта ха^и^нй сонни мос ^уйсин. Бу э;олда хам куп узгарувчили
функцияга эга буламиз. Равшанки, бу функция М тупламда берилган.
f(x) функция MaRm тупламда берилган булсин. х узгарувчи М
тупламда узгарганда функциянинг мос цийматларидан иборат {/ (л) _•
:х£Л1| туплам функция цийматлари туплами (функциянинг узгарит
сохаси) деб аталади. Юкорида келтирилган мисолларнинг биринчисида
функциянинг цийматлари туплами [0, + оо), иккинчисида эса [0,1] сег-
ментдан иборатдир.
Шуни яна бир бор таъкидлаймизки, куп узгарувчили (т та узгарув-
чили) функцияларда функциянинг берилиш туплами Rm фазодаги туп-
лам булиб бу функция кийматлари туплами эса хациций сонларнинг
кием тупламидан иборатдир.
фазонинг (х, у) (х £ Rm, у = f{x)(R) ну цталаридан иборат ушбу
1(х, /(*))} = !(х, f(x)y.x£Rm, f(x)QR}
туплам у — f (х) функция графиги деб аталади.
Масалан, т = 2 булганда (7?2 фазода)
г/ = х1-х2, у = ,
= y 1 — Xj— х2
функциялар графиги мос равишда
R9 фазода гиперболик параболоид,
айланма параболоид хамда говори
ярим сфералардан иборатдир (10-чиз-
ма).
MdRm тупламда ,^=[/,(х)‘=
= / (Xj.Xj, . . . , хт) функция^берил-
32
ran булиб, Yn x2, . . . , xm ларнинг ^ap бири T тупламда
берилган функциялар булсин:
Xl — <р! (/) — <р! (Zlt t2, ... ,
X2 — Ч>2 (0 = *₽2 (A> ^2» - • • > 6г)>
^m = 4,m(6 = ‘Pm(4. *2, , Q-
Бунда t = (/n t2, ... , tk) узгарувчи T c/?“ тупламда узгарганда улар-
ra мос x = (xlt x2, . . . , xm) нуцта M cR"' тупламда булсин. Нати-
жада у узгарувчи х=(хп х2,.. .,xm) узгарувчи ортали /=(А, t2, ... , tk^
узгарувчиларнинг функцияси булади:
t-+x~+y
((*1» t2, ... , y->(xn x2, .... x„,)-> y.
y = f(x(t)) = f((pl(ti, t2, ... , tk), <p2(/n t2, ... , tk,
• • > ^2> • • • > ^)-
Бу функция мураккаб функция ёки f (х) >;амда <р(-(/) (i = 1, 2, . .. , m)
функциялар суперпозицияси деб аталади.
Элементар функциялар устида цушиш, айириш, купайтириш ва бу-
дит амаллари \амда функциялар суперпозицияси ёрдамида куп узга-
рувчили элементар функциялар ^осил цилннади. Ушбу
у = ех' х'" х,п, 1/ = 1прлх1 + х2+ . . . +хт ,
у = sin (х, -х2) + sin (х2 х3) + . . . + sin (xm_1 -xm)
функциялар шулар жумласидандир.
/(x)=/(xi,-v2> • • • • хт) функция М cz Rm тупламда берилган булсин.
Агар бу функция кийматлари туплами
У ={(хн х2, . . . , xm):(xlt х2, ... , xm)£M}
юцоридан (цуйидан) чегараланган булса, яъни шундай узгармас С (уз-
гармас Р) сон топилсаки, у (xi. х2. - • • . хт) £ М учун
/(xt, х2, . . . . , хт) C(/(xlt Ха, ... , хт) Р)
тенгсизлик уринли булса, /(х) = /(хп х2, .... хт) функция М туп-
ламда юцоридан (куйидан) чегараланган деб аталади, акс ^олда, яъни
W кандай катта мусбат S сон олинганда ^ам, М тупламда шундай
(*1» Xj......х°т) нуцта топилсаки,
/(x?,x20,...,x^)>S(/(x«,x20,...,<)<-S)
тенгсизлик уринли булса, /(х) —/(хь х2, . . . , хт) функция М туп-
ламда юцоридан (цуйидан) чегараланмаган jipfy аталади.
Агар /(х) =/(хп х2, . . . , хт) функция М тупламда хам юцоридан,
х.ам цуйидан чегараланган булса, функция шу тупламда чегараланган
Деиилади.
Масалан, М = ^2\{(0,0)} да берилган
г/ 1
/(Xj, х2)= 2 2
*1 + л2
3-501 ая
Бу хоссаларни исботлайлик. (12.10) муносабатдан р (х, у) микдор-
нинг дар доим манфий эмаслкгини курамнз. Агар р (х, у) = 0 булса,
унда у, — хг = 0, у.2 — х2 = 0, . . . , у,п —хп1 — 0 булиб, х, = у,, х2 =
= у.2, . . . , х,„ — у„„ яъни х = у булади. Аксинча х = у, яъни хА—уг,
х2 = УV > хт = Ут булса, у долда яна (12.10) дан р(х, у) = 0 бу-
лиши келиб чшуади. Бу эса Г-хоссани исботлайдн. (12.10) муносабат-
дан _______________________________________
Р (х. У>=У(Уу — - О2 + (У2 — -Д)2 + • - (Ут — х,„)2 =
= УU1 — г/i)2 + (х2 — У$ + . . . + (х,„ — у.,,,)2 = р (у, х)
булади.
Масофанинг 3°- хоссаси ушбу
тенгсизликка асосланиб исботламади, а,, о2, .... ат\ 1\, Ь2, . . . ,
Ьт — ихтиёрий хаки^ий сонлар. Аввало шу тенгснзликнинг тугрилиги-
ии курсатайлик. Равшанки, у х £ учун
т
V(fl,.x+fe,.)2>0.
Бундан х га нисбатан квадрат учхаднинг манфий эмаслиги
/ т
т
а.. Ъ:
келиб чицади. Демак, бу квадрат уч\ад иккнта турли хаК(П<ий илдиз-
га эга булмайди. Бинобарин, унинг дискриминанта
т т
V Д2 X
булиши керак. Бундан эса
булиб,
булади.
Кейинги тенгсизликдан эса
(12.11)
10
булиши келиб чикади. Одатда (12.11) тенгсизлик Коим—Буняковский
тенгсизлиги деб аталади.
Ихтиёрий х = (Х| , х2, . • • , х„,) Е R"‘, У = (l/t, У2, - • . Ут € Rm,
z _ (Z11 г.„ . . . , 2,,) Е нукталарни олиб, улар орасидаги масофанн
(12.10) формуладан фойдзланиб топамиз:
Г т
Р (*• г) = |, У (гг—А'()2-
Энди Коши—Буняковский тенгсизлиги (12.11) да
п£ = У[ — xt, /ь = z£ — у{ (t = 1, 2, 3, ...» т)
деб олсак, унда
ai + = zi~xi О' = 1» 2, 3, . . . , т)
булиб,
булади. Юкрридаги (12.12) муносабатларни эътиборга олиб, топамиз:
р (х, г) < р (а-, у) + р (у, z).
Бу эса 3°-хоссани исботлайди. Одатда 3°- хосса билан ифодаланадиган
тенгсизлик учбурчак тенгсизлиги (учбурчак бир томонининг узунлиги
колган икки томон узунликлари йигиндислдан катта эмаслигини эъти-
борга олиб) деб юритилади*.
R"* 1 туплам Rm фазо (т улчовли Евклид фазоси) деб аталади. Энди
Rm фазонинг баъзи бир мух.им тупламларини келтирамиз.
Бирор а — (Oj, а2, . . , ат) С Rm нукта ва г>0 сонни олайлик.
Куйидаги
{х = (хр а-2, . . , х.„) Е Rm- (Xi — а,)2 + (л-2 — а2)- + . . . +
+ (А-,.п-ат)2<г2}, (12.13)
{х = (Хр х,....х,„) Е R'n: (Xi — О)2 + (а’2 — о2)2 +...+
-Нхи -а,„)2</2}, (12.14)
ЯЪНИ
{.гЕГ:р(х,о)<г}, (12 13')
jv Е ₽т:р(х, 0<г} (12.14')
*R"‘ фазишнг ихтиёрил иккнта х, у (х Е У-т> У € иуцталари учун Iе — 3’-
шартларнн ::аноатлантирувчи фх нкцняларни куплаб топиш мумкин, яъни х, у нуц-
талар орасида «масофа» тушунчасини турлича киригиш мумкин (бу 14-боб,
1- § га ^аранг).
11
тупламлар мос равишда шар хамда <пиу шар деб аталади. Бунда а
нукта шар маркази, г эса шар радиуси дейилади.
Ушбу
{х = (хп х2 . . . , xm) С R'n- (xj — atY + (х2 —а2)2 + . . . +
(х,м а„) г~} >
яъни
{х Е R"1 : р (%, а) -- г}
туплам сфера деб аталади. Бу сфера (12.13) ва (12.14) тупламларнинг
чзгараси булади.
Ушбу
{х = (х1; х2, .... xj £ /?"': flj <: xr С b„ а2 х2 < б2, . . . ,
агп хт б/й)
{х = (хо х2, . . . , х„,) Е R"‘: a, <х, < б1( а.2 < х2, < Ь.,, . . ,
’'х Rn}
тупламлар (бунда а1( а2, . . . , а,„; Ь,, Ь,, ... , Ьт— хакиций сонлар)
мос равишда параллелепипед хамда очиу параллелепипед деб аталади.
Ушбу
{х = (хп х2, . . . , х,„) Е R™: Xj > О, х„ > 0, . . . , х,„ > 0, х, -р х2 +
+ ... -г.х,„^ h}
туплам (т-улчовли) симплекс деб аталади, бунда h— мусбат сон.
Юцорида келтирилган тупламлар тез-тез ишлатилиб турилади.
Улар ёрдамида мух.им тушунчалар, жумладан атроф тушунчаси таъриф-
ланадп.
3. R"‘ фазода очи к в а ёпик тупламлар. Бирор х° = (х^,
х°, . . . , х°) нукта хамда е > 0 сонни олайлик.
12.2-таъриф. Маркази х° нуктада, радиуси е га тенг булгцн
очик шар х° нуктанинг сферик атрофи (е- атрофи) дейилади ва Ц. (х-*)
каби белгиланади:
(х°) = (х € Rm: р (х, Xе) < 0. (12.15)
Нуктанинг бошкача атрофи тушунчасини хам киритнш мумкин.
12.3-таъриф. Ушбу
{х = (Хр Х2, .... Xm) Е Rm Х°! - б, < X, < Х° -г б] + . . . ,
+ (12.16)
очик параллелепипед х° нуктанинг параллелепипедиал атрофи деб
аталади ва U(х°) каби белгиланади.
Хусусан бл = б2 = . . . = б„г = б булса, (12.16) очик параллеле-
пипед кубга айланади ва уни (х°) каби белгиланади.
Шундай т^илиб, Rm фазода нуктанинг икки хил атрофига таъриф
берплди.
12
12.1-лемма. х° С У?7' нуктанинг хар кандай Ue(x°) сферик ат-
рофи олинганда хам хар доим х° нуктанинг шундай (х°)
параллелепипедиал атрофи мавжудки, бунда
Л.,! . . . , 6,й (х°) cz Ue (л°)
булади.
Шунингдек, х° нуктанинг хар кандай UR . „ (х°) парал-
лглепипедиал атрофи олинганда хам хар доим шу нуктанинг шундай
U’ (х°) сферик атрофи мавжудки, бунда
U(x°)<=U. R R (х°)
еv ' 61-02.....6m v ’
булади.
Исбот. х° Q R"1 нуктанинг сферик атрофи
t;E (хл) = {л‘ Q Rm: р (.V, х°) < е}
берилган булсин. Бундаги е>0 сонга кура б<
е
тенгсизликни
Ут
^а-
ноатлантирувчи 6 > 0 сонни оламиз. Сунг х° нуцтанинг ушбу
f/6 (/>) = {.г = (%р х„ , хт) £ Rm : х»-6<л-1<хо+.
х° •— 6 <С х х° + 6}
параллелепипедиал атрофини тузамиз.
х £ U(у (х°) булсин. Унда | л;- — х?| < 6 (i = 1, 2, 3, . . . , т) бу -
либ,
/" ~т Гт ___
V < V - 6’ = 6Z""
r=l i=l
булади. Юкоридаги 6 < -Г- тенгсизликни эътиборга олиб топамиз:
Г т
Демак, р (,v, x°)<e. Бу эса х G Ue (х°) эканиии билдиради. Шундай
Килиб,
V X £ £76 (х°) => х € Ц. (х°),
яъни
Z76 (л°) <= ие (г»)
булади.
13
л°С Rm нуктанинг
^61 • б2 • • • Ст = ^А1’ Х-” ' ‘ ’ Л»3 Х° “ < Л'1
О? + Й1................
параллелет шедиал атрофи берилган булсин. Унда
8 = min {62, 62, . . . ,
нн олиб х° нуктанинг сферик атрофи
Ь’е (х°) = {.г Е Rm: р (х. -'-'°! < е}
нн тузамиз.
х G Uz (х°) булсин. У холда
Бундан эса х С tg 6 (х0) булиши келиб чикади. Шундай
килиб,
V Л-е (/(-<•)=> A-
ЯЪНИ
^(л:°)с=ц, , . са
булади Лемма исбот булди.
Rm фазода бирор G туплам берилган булсин: GcA’’". Агар х°С 6Л
нуктанинг шундай бирор е-атрофи Ц, (х°) мавжуд булсакп, бу атрсф-
нпнг барча нукталари шу G тупламга тегишли булса (U£ (№) cz G), у
холда х° нукта G тупламнинг ички нуктаси деб аталади.
М и с о л лар. 1. Очик шар
А — >х 6 Rm Р (х, с) < г,
нинг барча нукталари унинг ички нудтаси бу гади. Бунн исботланлик. у х:‘ 6 А
нуктани олиб, ушбу С=г — р (х°. а) тенглик билан аникланадиган 6 сонини ола-
миз. Равшанки, 6 > 0 булади. .Маркази х° нуктада. радиуси 6 булган
L'f (х°) = ix 6 р (х, х°)< б
очш\ шар х° пуцташшг сферик атрофи булиб, юкоридаги .4 туплам'-ннг дпсми бу -
лади. .Ха1;ндатап хам. - х 6 G,s (хп) => р (х, х°)<6 булиб, масофашшг 3е-хосса:п -
га кура
р (х, с) <С р (х, х°) - 'г р (х°, а) < б - р (а, х°) = г
булади. Демак, ? х g L'g (х°) => х £ А. Бу эса Uf, (х°) с А эканлигини билдиради .
Бундан /' очиц шарнинг ^ар бир нуктаси ички Hyjyra эканлиги келиб чикади.
14
2. Ушбу
с = Д и {(/> 0, 0, . . О), (О, г, О.О), . . (О, О. О..О, г)}
тупламнинг нукталари орасида унинг ички нуктаси булмаган нукталар бор. Масалан,
(г, О, О, . . 0) Е С нуктанинг ихтиёрий Ue ((г, 0, 6, . . 0)) (е>0)) сферик атро-
(е \
г + —, 0, 0, . . О I нукта С туп-
ламга тегишли булмапдп.
12.4- таъриф. Тупламнинг каР бир нуктаси унинг ички нуктаси
булса. бундай туплам очик туплам деб аталади.
Масалан, очик. шар очик туплам булади.
Rm фазода бирор F туплам ва бирор х° нукта берилган булсин:
F<=Rm, x0£Rm.
12.5- т аъриф. Агар х° нуктанинг исталган сферик атрофи Ut, (х°)
да F тупламнинг х° дан фаркли камида битта нуктаси топилса, х° нуц-
та F тупламнинг лимит нуцтаси деб аталади.
Ушбу А""\ |х£₽т:р (0, х)=^Е1 очик туплам оо «нукта» нинг ат-
рофи дейилади (0 = (О, О, . . . , 0)).
Каралаётган х° нуктанинг узи F га тегишли булиши хам, тегишли
булмаслнгп хам мумкин (куйидаги 1-мпсолга каранг).
F тупламнинг барча лимит нукталаридан ташкил топган туплам F
тупламнинг хосилавий туплами дейилади ва F' каби белгиланади.
Ушбу F [J F' туплам F тупламнинг ёпилмаси дейилади ва у F ка-
би белгиланади:
F = F (J F'.
Мисоллар. 1. Куйидаги
A = {x€Rm:p (х, х°)<г}.
очик шарни карайлик. Бу туплам учун шу тупламнинг барча нукталари хамда ушбу
{х € Rm-. р (х, х») == г}
сфераиинг хамма нукталари лимит ну^та булади. Демак, А нинг хосилавий туплами
А' = {х £ Rm : р (х, х0) <г},
А нинг ёпилмаси А = A U А' = А' булади.
2. Шар
£ = {х 6 Rm' Р (х, х") г}
нинг барча нукталари шу тупламнинг лимит иуцталаридпр. Бунда
£' = £,£=£
булади.
12.6- таъриф. F cz R,n тупламнинг барча лимит нукталари шу
тупламга тегишли булса, F ёпик туплам деб аталади.
Бу холда F' C.F, F J F' == F = F.
Шар
Е = {х 6 Rm- р (г, х°) < г}
ёпик туплам булади, чунки Е —Е.
15
Бирор М cz Rm тупламни карайлик. Равшанки, Rm\M айирма М
тупламни Rm тупламга тулдирувчи туплам бмлади (царалсин 1-цисм,
1-боб, 1-§).
12.7- таъриф. Агар х° (х°СРт) нуктанинг исталган Uc (г®) атро-
фида ^ам М тупламнинг, .хам тупламнинг нукталари булса, х°
нукта М тупламнинг чегаравий нуктаси деб аталади. М тупламнинг
барча чегаравий нукталаридан иборат туплам AI тупламнинг чегараси
дейилади ва уни одатда д (Л1) каби белгиланади.
Бу тушунча ёрдамида ёпиц тупламни куйидагича дам таърифлаш
мумкин.
12.8- таъриф. Агар F (FczRm) тупламнинг чегараси шу тупламга
тегишли, яъни д (F)czF булса, F ёпик туплам деб аталади.
Ёпиц тупламнинг юдорида келтирилган 12.6-ва 12.8- таърифлари
эквивалент таърифлардир.
Бирор /И cz Rm туплам берилган булсин.
12.9- таъриф. Агар R'n фазода шундай шар
ё/°= :лСРт:р (х. 0) < г}, (0 — (0, 0. . ., 0))
топилсаки, М ст U° булса, у холла чегараланган туплам деб ата-
лади.
Маълумки, бирор Е czR туплам берилган булиб, шундай узгармас р
сони топилсаки, х G Е учун | х | < р, яъни Е тупламнинг барча эле-
ментларн (—р, р) интервалда жонлашса, Е чегараланган туплам деб
аталар эди. Юкорида келтирилган таъриф т 1 булганда худди шу
таърифнинг узи булади.
Rm фазодаги шар, параллелепипед, симплекслар чегараланган туп-
ламлардир.
Ушбу
D’- = |(л-1, х2, . ., xm)QR"’ :xt>0, х2 > 0, ., х„>0;
туплам чегараланмаган туплам булади, чунки R" да хар кандай
U° = {xQRm:p (х, 0) < г)
шар олинганда .хам хар доим D тупламда шундай нукта, масалан,
(сь 0, 0, . . ., 0) нукта (с1>г) топиладики, бу нукта U° тупламга
тегишли булмайди.
Маълумки,
х = х (/),1
U2.17)
y = y(t)}(a<t<b\
яъни {х (/), у (/)} система (туплам) /?' фазода,
х = х (/),
//==£/(/), (12.18)
z ~ z (I) (а t < b),
яъни {х (/), у (/), z (/)} система (туплам) R3 фазода эгри чизи^ни ифхэ-
далар эди, бунда х (/), у (/), хамда z (/) —[а, Ь] сегментда узлуксиз функ-
циялар. Хусусан, х — + [д, у — а2/ + [З3, z = а3/ + рз (— оо < t
< + оо), аи а2, 7-з =/=0 (ctj, сс2, 7.,; (32, р3 — хакикий сонлар ва alt
16
а ая ларнинг хеч булмаганда биттаси нолга тенг эмас) булганда
(\2 17) ва (12.18) система мос равишда R2 ва R3 фазоларда тугри чи-
зицлар булади. Ана шу тушунчаларга ухшаш, Rm фазода хам эгри чи-
зик Камда ТУ1?Р" ЧИЗИЦ тушунчалари киритилади.
‘фараз цилайлик, xt (/), х2 (t), . . хт ft) функцияларнинг цар бири
[а> Ь] сегментда аникланган ва узлуксиз булсин.
Ушбу
{(*i (/), х2 (/), . . ., хт (/))} (а < t Ь) (12.19)
система ёки нукталар туплами Rni фазода эгри чизиц деб аталади.
Хусусан, %1=a1/ + Pi, х2=а2/-гР2> - - • . х',„=а„/4-0т (—оо <
</<т оо, оц, а2, . . , ат; р,, р2, . . . , (у,— хациций сонлар ва
ат ларнинг хеч булмаганда биттаси нолга тенг эмас) бул-
ганда (12.19) система Rm фазода тугри чизиц дейилади. Rm фазода их-
тиёрий иккита х' = (х' = , . . . , х^) ва x"=(x'j, х”2, . . , х",) нуцтани
олайлнк. Бу нукталар оркали утувчп тугри чизик куйидаги
{(х; + /(х;—.г;), А; + цх;-х'), . . . , х; + / (.<„-.<,))}
(— о° <с t <С Ч- °°)
(12.20)
система билан ифодаланади. Бунда t = 0 ва t — 1 булганда Rm фазо-
нинг мос равишда х ва х" нукталари хрсил булиб, 0 < t < 1 булган-
да (12.20) система R'n фазода х ва х" нукталарни бирлаштирувчи туг-
рп чизиц кесмаси булади. •
Rm фазода чекли сондаги тугри чизик кесмаларини бирин-кетин
бирлаштиришдан ташкил топтан чизиц синиц чизик деб аталади.
М a Rm туплам берилган булсин.
12.10- та ъриф. Агар .VI тупламнинг ихтиёрий икки нуцтасини бир-
лаштирувчи шундай синиц чизиц топилсаки, у М тупламга тегишли
булса, М богламли туплам деб аталади.
Мисоллар. I. R’n фазодаги параллелепипед, шар, симплекслар богламли туп-
ламлар булади.
2. Rm фазонинг иккита х' ва х" нукталаридан ташкил топган {х', х'} туплам
({х', х”} с. Rm) богламли туплам булмайди, чунки бу нукталарни бирлаштирувчи
синиц чизиц {х', х") тупламга тегишли эмас.'
12.11- та ъриф. Агар .-Vic:/?" туплам очиц цамда богламли туплам
булса, у соуа деб аталади.
R"1 фазодаги очиц параллелепипед, очиц шар, очиц симплекслар Rm
фазодаги сохалар булади.
2-§. R”1 фазода кетма-кетлик ва унинг лимити
Натурал сонлар туплами N ва Rrn фазо берилган булиб, f хар бир
« (п€Л') га Rm фазонинг бирор муайян x<и)=(xГl,, Хо1', . . ., xl",)C/?m
нуцтасини мос цуювчи акслантириш булсин: __
f:N-^R^ ёки п^х'п) = (4г),^2_________
2—501 УРГ‘’1:'’ ,7
Бу акслантиришни цуйндагнча тасвлрлаш мумкин:
1-/МЛ..ха
хт, .. .,%а
з^х(з'=(х<?, ?1’,... ,х<а
.. ..('О К1"1
X = (X 1 , Л 2 • . . . , Хт).
f:N-’-Rn акслантиришнинг тасвирлари (образлари) дан тузилган
[Х(1), Х(2*, х(3>, ... х(п\ . . . (12.211
туплам кетма-кетлик деб аталади ва у {х('1’} каби белгилаиади. Хар
бир х (п = 1, 2, . .) ни кетма-кетликнинг ,\ади дейилади. Демак,
(12.21) кетма-кетлик хадларн R"1 фазо нуцталаридап иборат.
Шуни таъкидлаш керакки, {х(П)} кетма-кетликнинг мос координата-
ларидан тузилган {х*?’}, {x’^i, . . . , (xJn’J лар сонли кетма-кетлик -
лар булиб, {х('°} кетма-кетликнп шу т та кетма-кетликнинг (маълум
тартибдаги) биргаликда каралиши деб ^исоблаш мумкин.
Кетма- кетликларга мисоллар келтирайлнк.
2. -^=(1, 0):(1, 0), (|, 0), 0), . .
3. х^=(о, 1):(0, 1), (О, 1), (0, j), . .
4. хт) = ((-1)и+1, (-1)',+1): (1, 1), (- 1, - 1), (1, I), . . .
5. х(п! = (1, п):(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . .
П Бу келтирилган кетма-кетликлар R2 фазо нуцталаридан ташкил
топган кетма- кетликлардир.
1. Кет м а-кет л и к н и н г лимити. Энди (12.21) кетма-кетлик-
нинг лимити тушунчасини киритамиз. Rm фазода кетма-кетликниш
лимит и тушунчаси хакикий сонлар кетма-кет лигининг лимити тушув-
часига ухшаш киритилади.
Rm фазода бирор
х(1’, х(:’’, . . . , Xм, . . . (12.21-
кетма-кетлик хамда а — (й15 аг, . , xm)QRm нукта берилган бул-
син.
12.12-таъриф. Агар — е>0 олинганда хам, шундай п0£М то-
пилсаки, барча п > /?э учун
р(х(",> а)<£ (12.22)
тенгсизлнк бажарилса, а нукта {х<п>} кетма-кетликниг лимити деб ата-
лади ва
lirnx(,:) = а ёки п-> оо да х’'—>-й
каби белгилаиади.
да келтирилган а нуктанинг e-атрофи таърифини эъшборга
олиб {х(п)} кетма-кетликнинг лимитипи куйидагича хам таърифласа
^1243-таър иф. Агар й нуктанинг ихтиёрий Uz (а) атрофи олин-
ганда хам, {х('!); кетма-кетликнинг бирор хадпдан бошлаб, кейннги
кетма- кетликнинг
ганда хам, {х
барча хадлари шу атрофга тегишли булса, а {.V" }
лимити деб аталади.
Агар (12.21) кетма-кетлик лимитга эга булса, у
ма-кетлик деб аталади.
Лимит таърифидаги шартни каноатлантирувчп
якинлашувчи кет-
а мавжуд булмаса,
{х<п)} коIма-кетлик лимитга эга эмас. дейилади, кетма-кетликнинг учи
эса узоклашувчи деб аталади.
Шупга эътибор бериш керакки, кетма- кетликнинг лимити таърифи-
даги Е ихтиёрий .мусбат сон булиб, изланаётгап n0 (пй€А) эса шу £ га
(ва, табиийки, каралаётган кегма-кетликка) боглик равишда гопилади.
Мисоллар. 1. R'" фазода ушбу {л<’,) — —. —
I п п
пинг лимити <i = (0. О, булиши курсатилсни.
— |- кетма- кетлик-
п I
<> сонни оладлик. Шу
т
е
е га кура п0 = —
р (х<п), а) = р((4
1 пн топамиз. Натижада барча п>п0 учун
к, о, .
}•' п F т т т
У т
е булади.
Демки, таърифга кура,
lim V'l) == lim ( — , —
П. \ n n
, 0) = а
булади.
2. Цуйидсги (—l)fi~rli);
•.1, 1), I— I, —li. U- 1), I- 1.
кетма- кетликнинг лимити мавжуд ^мас.тнги курсатилснн. Тескарисипп фаргз килай-
лик, яъни берилган кетма- кеглик лимитга эга ва у п.>> га тенг булсин. Ли-
мит таърифига к<ра -. е>0. .кумладап е— 1 учун шундай -V топиладики, бар-
ча п > п0 учун
р ((1. Г), iii1( р ((—1, — 1), иЛ)<е
буладн. Бу эса ушбу
2j'2=p i(— 1, — I), (1, 1))<Р ((— Б — ') (Д1 со)) +
Р (Ш1. «21. (1. 1))<в — е=2е — 2
аодиятта олнб келади. Буига сабаб каралаётган кетма-кеглпкнинг лимитга эга де-
йилишидир. /к-мак, берилган кетма-кетлик лимитга эга ;хт.с.
18
1S
Rm фазода {х('° = {(х*"’, х("\ . . . , X™’)} кетма-кетлик берилган бу-
либ, у а = (оу, о2, . • , а,п) лимитга эга булсин. У холда лимит
таърифига кура, ';/£>0 берилганда хам, {х(,!)} кетма-кетликнинг би-
рор я,-хадидан бошлаб кейинги барча хадлари а нуктанинг
UE (а) = {х £ R"1: р (х, а) < е}
сферик атрофига тегишли булади. Бу сферик атроф ушбу бобнинг 1-§
даги 12.1-леммага мувофик шу а нуктанинг Ue (о) параллелепипедиал
атрофининг кисми булади:
UE (а) с= Ue (о).
Демак. [х"’} кетма-кетликнинг уша п0- хадидан бошлаб, кейинги барча
хадлари а нуктанинг Ue (а) атрофида ётади, яъни барча «>п0 учун
х("’ £ Ue (а) = {(хп х2, . . . , х,„) £ Rm : ал — е < xt < а, ф-
“Г Е, . , Otn Е Xtn Qtn ф- Е '
булади. Бундан эса, барча п > пп учун
<3] — е < х<?> < ал ф- е,
О2 — Е < Х(”> < О2 -ф Е,
ат— Е<Л'(т’<ат + е
булиши келиб чицади. Демак, \/е>0 олинганда хам, шундай n0£N
топиладики, барча п > п0 учун
|х^) — й)|<8, |xW—о2|<е, . . . , |х™ — ат\<е
булади. Бу эса
lim х(]' = <7Р
lim х!'г) --=а.„
lim х™ - ат
n-*K
экаилигини билдиради.
Шундай килиб, R’n фазода {х/п)} = {(х?1, Хп\ . . ., х™’)} кетма-кег-
ликнинг лимити с —(Oj, о2, . . , а,„) булса, у холда бу кетма-кет-
ликнинг координаталаридан ташкнл тонган сонлар кетма-кетликлари
{х'р'}, lx!”1}, . . . , {х<"’)} хам лимитга эга булиб, улар мос равишда а
нуктанинг Ар о.,, . . . , ат координаталарига тенг.
Демак,
iim х("’ = о=>
П->х
,im x'f’ = ор
lim хф> = ш,
(11.23)
lim х£) = агп.
I П ->сю
Энди Л"! фазода кетма- кетликнинг координаталаридан ташкил топ-
ган ’ {лт’} сонЛаР кетма-кетликлари лимитга эга
булиб, уларнинг лимитлари мос равишда а — (а{, а^, .... «ет)СД
ну^та’координаталари а15 а2, . • , ларга тенг булсин:
lim х’"’ = Ор
lim хф> = а2,
П-+сС
lim х<"’ = ат.
Лимит таърифига асосан, V еф> 0 олинганда хам, __ га кура шун-
У т
дай топиладики, барча п^>п^ учун
IxW -fljK-—,
У т
шундай п(^ £ N топиладики, барча п > п(^ учун
ва хоказо, шундай топиладики, барча п п'”,} учун
У гп
булади. Агар л0 = max {//<'), п^>, . . . , п(0,п)} деб атсак, унда барча
« > п0 учун бир йула
1хф’ —о.-|<-4= U = h 2- > "О
‘ Ут
тенгсизликлар бажарилади. У холда
р (х{п\ а) < Е
булиб, ундан
20
21
булиши келиб чикади. Бу эса
Jim x,n) = fi
эканиии билдиради.
Демак, {х'"1} = {(х!"’, xl"’, . . . , х^’)} кетма- кетлик координатала-
ридан ташкил топтан {х*"’}, {х<п)}, . . . , {х<">} сонлар кетма-кетлик-
лариньнг лимитлари мос равишда а = (ар а2, ... , ат) ну^та коорди-
наталари аъ а2, ... , ат ларга тенг булса, {х(п)} кетма-кетликнинг
лимити юкоридаги таъриф маъносида шу а нуцта булади:
lim х{"> = ар |
П-»и I
lim х*'*’— а,. 1
! => Пт х(п)— а
......... П—> со
lim х£> = ат
П-^оо
Юкоридаги (12.23) ва (12.24) муносабатлардан
limx(,!) = с<==>
Нт х'"’ = а
lim х^> = а
П->сс
I lim х<"> = ат
эканлиги келиб чикади.
Шундай килиб цуйидаги теоремага келамиз:
12.1- теорема. R’n фазода {х(п)} = {(xi"’, Ха"’, . .
кетликнинг а — (а1,а2, . . . , am)£Rm га интилииш
(12.24)
х™)} кетма-
х^-+а (п-> оо да)
учун п~^~ °° да бир Пула
x[n^av
х(т-^ а2.
эътиборга олиб, биз куйида Rm фазода кетма-кетликлар лимитлари
' назариясининг баёнида асосий фактларнигина келтириш, уларнинг ай-
римларинигина исботлаш билан чегараланамиз.
Юкорида исбот этилган теорема хамда яцинлашувчи сонлар кетма-
кетлигининг хоссаларидан Rm фазода якинлашувчи кетма-кетликнинг
куйидаги хоссалари келиб чикади.
Rm фазода {х(п)} кетма-кетлик берилган булсин.
1°. Агар {х(п)} кетма-кетлик якинлашувчи булса, унинг лимити
ягонадир.
Кейинги хоссани келтиришдан аввал, {х(п)} кетма-кетликнинг чега-
раланганлиги тушунчаси билан танишамиз.
Агар {х(п){ кетма-кетликнинг барча хддларидан тузилган туплам че-
гараланган булса, {х(п)| кетма-кетлик чегараланган кетма-кетлик 'деб
аталади.
Rm фазода (х™) = \(х\п\ х<л>, . . . , х™)} кетма-кетлик чегаралан-
ган булсин. Таърифга кура (12.9-таъриф) шундай шар U° = {x£Rm:
:р(х, 0) < г} топиладики, учун x(n)QU° булади. Демак,
р (х(п), 0) < г.
Кейинги тенгсизликдан эса
|х<п>|<г, |x<J’|<r, .... |х^|<г
булиши келиб чикади.
Шундай килиб, {х(л)} = i(xi”, • , • , х™’)! кетма-кетлик чегаралан-
ган булса, бу кетма-кетликнинг координаталаридан иборат {xf0},
{х<п>), . . . , {х'">)} кетма-кетликларнинг хар бири хам чегараланган
булар экан.
Энди {х<п)} = {(хГ, хг”, • • • , *«’)} кетма-кетликнинг координата-
ларидан иборат {x(in,}> кетма-кетликларнинг хар
бири чегараланган булсин. Сонлар кетма- кетлигининг чегараланганлиги
таърифига кура (1-кисм, З-боб, 2-§) шундай С„ С2, . . . , Ст узгар-
мас сонлар топиладики, V пЕ N учун
l^’KCp
|х<«>|<С2,
т ит
булиши зарур ва етарли.
Юцоридаги 2-мисолда каралган {((—1)"~\ (—1)"+1)} кетма-кетлик-
нинг лимити мавжуд эмаслиги ушбу теоремадан дарров келиб чикади.
Бу теорема R"‘ фазода кетма-кетликнинг лимитини урганишнп сон-
ли кетма-кетликларнинг лимитини урганишга келтирилишини нфода-
лайди. Маълумки, «Математик анализ» курсининг 1- кием, 3- бобида
сонлар кетма-кетлиги на унинг лимита батафсил урганилган. Шуни
22
булади. Агар С = max {Ср С2, . . . , Ст} деб олсак. | х(лп)] < С (k =
1, 2, 3, . . . , т) булиб, ундан ynQN учун
р (х,п), 0)<СУт
$?лишини топамиз. Бу эса {х<г!)} кетма-кетликнинг чегараланганлигини
билдиради.
23
Шундай килиб, {/"’} = {(х(”’, х(2п>, . . . , х^’)} кетма- кетликнинг ко.
ординаталаридан иборат lx'"’), (х^1*;, • • • , ;х£’} кетма- кетликларнинг
хар бирининг чегарчланганлигидан !х(п)| кетма-кетликнинг чегаралан-
ганлиги келиб чикар экан.
Натижада куйидаги теоремага келамиз.
12.2- теорема. /?"' фазода {л("’> = 1(х(1"), х'п), . . . , х<"’)} кетма-
кетликнинг чегараланган булиши учун бу кетма-кетлик координата-
ларидан иборат !х(л)|, 1x^’1, ... , {х^1); сонлар кетма-кетлик лари-
нинг хар бирининг чегараланган булиши зарур ва етарли.
Масалан, R1 фазода П— , —(« = 1, 2, . . .) кетма-кетлик чега-
\( П п I)
рала!.гаи булади, чунки бу кетма- кетлик координаталаридан ибораг
кетма-кетликларнинг хар бири чегаралангандир. R2 фазода {(п, «)
(п — 1, 2, . . .) кетма-кетлик чегараланмаган кетма-кетлик.
Юкорида келтирилган (1, 1), (— 1, — 1), (1, 1), (— 1, — 1), . . .
кетма- кетлик хам чегараланган кетма- кетлик булади. Бу мисолда !
куринадпки, чегараланган кетма-кетликлар лимитга эга булиши хам.
лимитга эга булмаслиги хам мумкин экан.
2°. Агар {.4'1ф кетма-кетлик якинлашувчи булса, у чегараланг.з
булади.
Якинлашувчи кетма-кетликлар устида арифметик амалларни урганиш-
дан аввал R"‘ фазо элемеитлари устида бажариладиган амалларни кел-
тирамиз.
R'" фазонинг иккита а = (аг, а2, ... , b = (Ь,, Ь2, ... ,
нуктасини олайлик.
Rm фазонинг («, -\-bl, a2-Rb.,, ... , ат + Ьт) нуктаси а ва b нук-
талар йигиндиси деб аталади ва а + b каби белгиланади: а + b = (а1 —
4-Ьр .............ат + Ьт).
R"' фазонинг (а а о,, . . . , а ап) (а — хакикий сон) нуктаси и
хакикий сон билан a£Rm нукта купайтмаси деб аталади ва а а‘каби
белгиланади: аа — (глаъ аа2, . . . , аат). R'" фазонинг а ва b нукта-
лари орасидаги айирма а 4- (—\)-Ь куринишда аникланади ва а — '>
каби белгиланади: а — b — (aL— blt а2— Ьг, . . . , ат — Ьт). Шундай
Килиб, R'1 фазо нукталари устида к.ушиш, айириш ва Rm фазо нукта-
сини хакикий сонга купайтириш амаллари киритнлди.
R'" фазода иккита {x(n,J = {(х'"’, х("', ... , х*"’)}, {//('!>! = К//Г
. . , zy’"’)} кетма- кетлик берилган булсин. Ушбу
+ ...,х^,+^’): (« = 1,2,з,...)
кетма-кетлик jx(n>' ва {z/(n)l кетма-кетликлар йигиндиси деб аталади
ва 'х6-4 4-каби белгиланади. !х(Л)} ва кетма-кетликл.у'
айирмаси эса куйидаги
1(хГ-^ 4° • • . 4П) (п = 1. 2, 3, . . .)
кетма-кетлик сифатида аникланади ва {х(,1) — у{п}\ каби белгиланади.
24
R'" фазодаги .(ax*"’, ax^’. . . . , ях^)} кетма-кетлик а сон билан
j/"’} кетма-кетлик купайтмаси деб аталади ва каби белги-
ланади.
3°. Агар 1'л'(л)} кетма-кетлик якинлашувчи булиб, унинг лимити
a(aQR ) булса, у холда [ax(f!); (aR) кетма-кетлик хам якинлашувчи
булиб, бу кетма- кетликнинг лимити а а га тенг булади:
lim а х(л) = и а = а • lim х{п\
п-,к п-^х
4°. Агар {х,л)} хамда \yw\ кетма-кетликлар якинлашувчи булиб,
уларнинг лимити мос равишда а ва b булса, у холда |х(и) ±f/n>; кет-
ма- кетлик хам якинлашувчи булиб, бу кетма- кетликнинг лимити a i b
га тенг булади:
lim (х(п> — уп}) = а ± b = lim х('!) ± lim г/л).
71—>03 ^—►оо
5°. Агар а нукта Л1 (Л1 сд /?"!) тупламнинг лимит нуктаси булса,
у ^рлда Л1 туплам нукталаридан а га интилувчи {х(п)! кетма-кетлик
/1 — 1,2,...) ажратиш мумкин.
Маълумки, а нукта М тупламнинг лимит нуктаси булса, а нинг
^ар бир UE(a) атрофида (уе>0) /И тупламнинг чексиз куп нуктала-
ри булади.
Нолга интилувчи мусбат сонлар кетма-кетлиги еп = — ня олиб, а
нуктанинг
U . (а) = (х g Rm: р (х, а) < — 1
— I п )
п
атрофини тузамиз. Бу а нукта М тупламнинг лимит нуктаси булгани
учун а нуктанинг U Y (а) атрофида М тупламнинг а дан фаркли нук-
талари булади. Уларнинг бирини х(1) деб оламиз. Энди а нуктанинг
U j (я) атрофини карайлик. Бу атрофда хам .'И тупламнинг а дан фарк-
2“
ли нукталари булади. Улардан х(1) га тенг булмаган бирини олиб, уни
х<2) дейлик. Бу жараённи давом эттириб, п- кадамда а нуктанинг
i/j (я) атрофи олинса, бу атрофда .уам М тупламнинг а дан фаркли
п
Нукталари булади. Улардан х(1), х( >, . . . , х(,,-1) нукталарнинг хар би-
рига тенг булмаганипя олиб, уни х(п> билан белгилаймиз. Яна бу жа-
раённи давом эттираверамиз. Натижада А1 туплам нукталаридан (х(")}:
х11’, А . . , А, . . .
ажралади. Бу кетма-кетлик учун
p(A, я)< — (п = 1, 2, . . .)
п
булгани сабабли, погода х(п)—>-я булиши келиб чикади.
25
2, Коши теоремаси (якинлашиш припципи). Аввал ай-
тиб утганимиздек, кетма-кетликнинг качон лимитга эга булишини аник-
лаш лимитлар назариясининг мухим масалаларидаи бири.
Юкорида келтирилган 12.1-теорема, 7?"' фазода кетма-кет-
ликнинг якинлашувчи булиши бу кетма- кетлик хадлари координатала-
ридаи ташкил топган сонли кетма-кетликларнинг якинлашувчи булиши
оркали ифодаланишини курсатади.
Аввало, бу ерда хам фундаментал кетма-кеглик тушунчаси билан
танишамиз.
фазода кетма-кетлик берилган булсин.
12.14-т аъ ри ф. Агар Ve>0 олинганда хам, шундай n0£.V топил
саки, барча п > /г0, р > л0 лар учун
р .г’Хе
тенгсизлик бажарилса, фундаментал кетма-кетлик деб аталяди.
Мисоллар. 1. R2 фазода viuCy 11 —- , —]> кетма-кетлик фундаментал кет-
‘ (Д п п / J
ма- кетлик булади. Хакнкатан,
Агар V е>0 сонга к?ра п0 натурал сонни
деб олсак, у лОлда барча п > пп, р > пГ) лар учун
булишини топамиз. Демак, берилган кетма- кетлик фсндаменталдир.
1'1 1
2, /?2 фазода куйидаги !(*„ , 0)]; = 1 = —-f- — 4- . . . Д- — кетма-кет-
о tt
лик фундаментал булмайди. Хакицатан >;ам, бу кетма- кетлик учун, масалан, п > р
да
Р , с (хп , 0)) = Л (лп — хр )2 = (хп —хр) =
1 1 1 п — р
=-------- +------- 4- ... 4- — >----------
р Т 1 Р ~г 2 п п
булиб, п = 2 р булганда эса
p((.vp , 0„ (лЛ!, 01) >у
екаплиги келиб чицади. Бу эса берилган кетма- кетликнинг фундаментал эиаслигини
курсатади.
26
фа раз цилайлик, {х(,!)} = {(х,"’, х,"’, .... х'"’)} фундаментал кет-
Ма-кетлик булсин. Таърифга кура, V е > 0 олинганда хам, шундай
По £ N топиладики, барча п > п0, р > п0 учун
р(х('”, х(р,)<е
булади. Бу тенгсизликни’куйидагича
tn
..W____APtvi
8
ёзиб, ундан
булишини топамиз. Бу эса {х*"’}, х^г>., . . . , х'"1' кетма- кетликлар-
нинг хар бири фундаментал кетма- кетликлар (каралсин. 1- 191см, 2- боб,
10- §) эканлигини билдиради. Шундай килиб, 7?"‘ фазода
{х(п)} = ... ,
кетма- кетликнинг фундаментал булишидан бу кетма- кетлик'координа-
таларидан иборат {х1,0,, {xj,”’}, - . - , ‘xj”’, кетма-кетликларнинг хар
бирининг фундаментал булиши келиб чикар экан.
Энди х('°} = {(х*"’, ... , х’”’)} кетма-кетлик координаталари-
дан иборат {х,”*}, {х*,п), • • , {х^} кетма- кетликларнинг хар бири фун-
даментал булсин. Ухолда V е > 0 олинганда хам, га кура шун-
; I гп
дай Пр, п^\ . . . , п^} натурал сонлар топиладики,
барча п > р > п'^ => |/п) — х(р,| < —.
* J fit
барча п > /г(2), р > /?'2) => |xj'!) — х^Р)| < —~ ,
и “ - у т
л2 I
tH. \ (/7г) \ v I ('0 (р)| £
барча п > п0 р > п0 => |х^ — х р,| < —=
1 т
булади. Агар п0 = max{/Zg’, \ . . . , Пд"!)} деб олсак, унда барча
п > п0, р > п0 учун бир йула
кГ_хГ!<_4
» г
тенгсизликлар бажарилади. Натижада
(t = 1, 2, . . . , /«)
т
E
булади. Демак,
Бу эса {v'0} фундаментал
Р(Л('”, Л-(₽))<8
кетма-кетлик эканини билдиради.
27
Натижада куйидаги теоремага келамиз:
12.3- теорем a. Rm фазода |х(,”| = |(х<"), х!,”’, . . . , х^’)} кетма-
кетлик фуидаментал булиши учун бу кетма- кетлик координаталц.
ридан иборат (х*"’}, (x^l, . . . , х^| кетма-кетликларнинг \ар би-
рининг фуидаментал булиши зарур ва етарли.
Юкоридаги 12.1 ва 12.3-теоремалардав /?'" фазода {х”} кетма-кет-
ликнинг якинлашувчил и \а^ида куйидаги теорема келиб чикади.
12.4- теорема, {х"} кетма-кетлик якинлашувчи булиши учун у
фуидаментал булиши зарур ва етарли.
Бу теорема Коши теоремаси ёки якинлашиш принципа деб аталади.
3. Ичма-ич жойлашган шарлар пр ин цини. «Математик
анализ» курсининг 1-кисми, З-боб, 8-§ да \акикий сонлар туплами R
нинг туликлигига асослапган ичма-ич жойлашган сегментлар приннипи
караб утилган эди. Шунга ухшаш принцип Rm фазода хам уринлидир
ва ундан келгусида биз куп марта фойдаланамиз.
Марказлари а(п) = (ojn), а{"\ . . . , a^)QR'n нукталарда, радиуслари
r„€/?+(n = 1, 2, . . .) булган ушбу
S( = S,(а(1), g) = ix €Rm :р(х, «*”) < rj,
S2 = S2 (a(2), r2) — {x £ Rm :p (x, й(2)) < r2},
Sn = sn (a{n}, rn) = {x G Rm : p (x, a(n}) < r„},
шарлар берилган булсин. Агар куйидаги
Sj ZD Sz ZD ... ZD SnZD ...
муносабат уринли булса, у холда (Sn| ичма-ич жойлашган шарлар
кетма- кетлиги деб аталади.
12.5- теорема. Rm фазода ичма-ич жойлашган шарлар кетма-
кетлиги |SJ берилган булсин. Агар н->ос да шар радиуслари' гп
нолга интилса, яъни
lim гп = О
Л —>СО
булса, у цолда барча шарларга тегишли булган а(а£ R ') нуцта мав-
жуд ва ягонадир.
Исбот: {Sn}— R"1 фазода ичма-ич жойлашган шарлар кетма-кет-
лиги булсин. Бу шар марказлари ат (a n}^Rm, п= 1, 2, ...) дан
кетма-кетлик тузайлик. Равшанки, a(n,GSn. Агар р^>п булса, унда
SnzD Sp булганлигидан al,/>£Sn булади. Модомики, a(n)GSn, o(w£Sn
экан, унда
р(с«.
булади. Теореманинг шартига кура, оо да <„->0 дан ва юцори-
даги тенгсизликдан й<п,| — фуидаментал кетма-кетлик эканлиги келиб
28
чИ^ади. Коши теоремасига асосан бу кетма-кетлик лимит га эга. Биз
vf!n а билан белгилайлик:
lim а*"’ = а.
Ихтиёрий Sn(n = 1, 2, . . .) шарви олайлик. Бу шар (а(Г1>| кетма-
кетликнинг бирор \адидав бошлаб кейинги барча хадларини уз ичига
одади (ошиб борса, (a(n>) кетма-кетликнинг чекли сондаги а(1>, а(2), . .
а(п~1> з^адларигина Sn шарга тегишли булмаслиги мумкин). Демак,
д нукта $п нИНГ лимит нуцтаси ва Sn ёпик туплам булгани учун
a£Sn(n = 1, 2, . . .) булади. Шундай килиб, а нуктанинг барча шар-
дарга тегишли эканлигини курсатдик. Энди бундай а нуктанинг яго-
налигини курсатамиз. Фараз килайлик, а нуктадан фаркли барча шар-
ларга тегишли булган b нукта кам бор булсин: b£Sn(n — I, 2, . . .)
b^a. Масофа хоссасидан фойдаланиб топамиз:
р(а, b) ^р(а, а(п})+р(а{п}, Ь)^2 гп.
Бундан эса п-> оо да гп—>-0 булгани учун
р (а. Ь) — О, V,
яъни а — b булиши келиб чикади. Теорема исбот булди.
4. Кисмий кетма-кетликлар. Больцано — Вейерштр-
асс теоремаси. Rm фазода {х(,1)}:
А А . . . , х(п>, . .. (х(п,еДт, п = 1, 2, . . .)
кетма-кетлик берилган булсин. Бу кетма-кетликнинг nt, пг, ... , nk,
. . . (n, > «2 < . . - < nk < ... , N, k = 1, 2, . . .) номерли кад-
ларидан ташкил топган ушбу
х{п'\ х(п’}, . . , (х(Пк\ .... (x(nk^Rm)
кегма-кетлик {х(л,| кетма- кетликнинг цисмий кетма-кепглиги деб
аталади ва {х(л*каби белгиланади. Масалан, R1 фазода цуйидаги
кетма-кетликнинг кисмий кетма-кетликлари булади.
Равшанки, бигта, кетма-кетликдан жуда куп турлича к[,смий кет-
ма-кетликлар ажратиш мумкин.
12 6-теорема. Агар |х(л>} кетма-кетлик якинлашувчи булиб,
Унинг лимити a (a G Rm) булса, у хрлда бу кетма- кетликнинг хар
Кандай уисмий {х(Пк * | кетма- кетлиги \ам якинлашувчи булиб, унинг
лимити \ам а га тенг булади.
Бу теореманинг исботи кетма- кетликнинг лимити таърифидан бе-
восита келиб чикади.
29
12.1-эс л атма. Кетма-кетликнинг кисмий кетма-кетлиги лимити
мавжуд булишидан берилган кетма-кетликнинг лимити мавжуд були-
ши хар доим келиб чицэвермайди. Масалан, ушбу
(1, 1), (- 1, - 1), (1, 1), (-1, - 1), . . . , ((- 1)п+\ (- 1)"+’), . . .
кетма- кетликнинг
(1, 1), (1, 1), . , (1, 1), ...
(-1, -1), (-1,-1)..........(-1, -1), ...
цисмий кетма-кетликлари лимитга эга (улар мос равишда (1, 1)
ва (—1, — 1) нуцталарга тенг) булган холда берилган {((—1)п+',
(— 1)п+1)} кетма- кетлик лимитга эга эмас.
Демак, {?">} кетма-кетлик лимитга эга булмаган холда унинг пие-
мий кетма-кетликлари лимитга эга булиши мумкин экан.
12.7- теорем а (Больцано—Вейерштрасс теоремаси.) %ар
кандай чегараланган кетма-кетликдан якинлашувчи кисмий кетма-
кетлик ажратиш мумкин.
Исбот. |?"’} = (х*"’, х("\ , х("’)} кетма-кетлик чегараланган
булсин. Таърифга кура шундай шар \xQRm :р(х, 0) -5 rj топиладики,
(х(п>| кетма-кетликнинг барча хадлари шу шар да ётади.
Агар ушбу
{хСГ:Р(х, 0)<r}cztT(0)
муносабатни эътиборга олсак, у холда барча п лар учун
— т < xj-n) < г, (t == 1, 2, .... ш)
булиши топилади. Бу эса {х*"’}, (х*"’}, • •• , {*„’) кетма-кетликлар-
нинг хар бирининг чегараланганлигини билдиради.
1-кисм, 3-бобда келтирилган Больцано — Вейерштрасс теоремасига
кура {х\п}} кетма- кетликдан якинлашувчи кисмий кетма- кетлик {x(">ft^}
ни ажратиш мумкин. Натижада, биринчи координатаси якинлашувчи
булган ушбу
х™
цисмий кетма-кетликка келамиз.
Энди }Х2П*1>1 кетма-кетликни царайлик. Бу кетма-кетлик .хам чега-
раланган. Яна Больцано — Вейерштрасс теоремасига кура {х2П*‘)) дан
якинлашувчи кисмий кетма-кетлик {х^} ни ажратиш мумкин. Нати-
жада, биринчи ва иккинчи координаталари яцинлашувчи булган
<(^Ч 4“*-’.......<"Ч1
Хисмий кетма-кетлик хосил булади.
Юцоридаги жараённи давом эттира бориб, т цадамдан кейин, барча
координаталари якинлашувчи булган ушбу
{(х^"1’ . 4n/fm) • • • > )} = }
30
^исмий кетма-кетликка эга буламиз. Равшанки бу кетма-кетлик {х<п)}
^етма- кетликнинг цисмий кетма- кетлиги булади. Иккинчи томондаи,
12.1-теоремага кура [x(nfcm) } яцинлашувчи кетма-кетлик булади. Тео-
рема исботланди.
3- §. Куп узгарувчили функция ва унинг лимити
Дастлабки тушунчалар каторида (1- кием, 1- боб, 3- §) ихтиёрий Е
тупламни F тупламга акслантириш (Ф:Е-*А) тушунчаси келтирилган
эди. Сунг Е = N, F — R; Е — R, F = R ва Е = N, F = FC деб ушбу
f:N-+R(f:n-+xn; n£N, xnQR),
<p:R-*7?(<p:x->i/; x£R, y£R),
ф:Лг->/?7‘СФ:«->(%!, x2, .... xm); n^N, (xb x2, . . . xm)QRm)
акслантиришларга эга булдик. Бу акслантиришлар мос равишда сон-
лар кегма-кетлиги, функция хамда Rm фазо нукталари кетма-кетлиги
тушунчаларига олиб келди. Сонлар кетма-кетлиги ва унинг лимити
1-цисмнинг 3-бобида, функция ва унинг лимити 1-цисмнинг 4-бобида,
Rm фазо нукталари кетма-кетлиги ва унинг лимити эса ушбу бобнинг
2-§ да батафсил баён этилди.
Энди E — Rm, F = Z? деб f :#"->/? акслантиришни цараймиз. Бу
куп узгарувчили функция тушунчасига олиб келади.
1. Функция. Бирор M(MciRm) туплам берилган булсин.
12.15-таъриф.. Агар М тупламдаги х,ар бир х = (xlt х2, . . . , хт)
нуцтага бирор коида ёки конунга кура битта ^акиций сон у (y£R)
мос куйилган булса, М тупламда куп узгарувчили (т та узгарувчили)
функция берилган (аницланган) деб аталади ва уни
f:(%i, х2, . . . , хт)-+у ёки y=f(xit х2, . . . , xj (12.25)
каби белгиланади. Бунда М — функциянинг берилиши (аницланиш)
туплами, ху, х, . . . , хт эркли узгарувчилар — функция аргументла-
ри, у эрксиз узгарувчи—хъ хь . . . , хт узгарувчиларнинг функцияси
дейилади.
(хь х2, .... хт) нукта битта х билан белгиланишинн эътиборга олиб,
бундан кейин деярлик хамма вакт (хп х2, ... , хт) урнига х ни ишла-
таверамиз. Унда юкоридаги (12.25) белгилашлар куйидагича ёзилади.
f: х-> у ёки у = f (х) (хG у G R).
Функциянинг берилиш тупламидан олинган х°£А1 нуцтага мос ке-
лувчи у0 сон y = f(x) функциянинг х=х° нуктадаги хусусий цийма-
ти деб аталади
Мисоллар. 1. f — Rm фазодаги хаР бир х нуктага шу нукта координаталари
квадратларининг йигиндисини мос ^уювчи коида, яъни
/:х-*х^ + 4+ • • - + ^i
булспн. Бу ^олда у ~ jq ф- л2+ • • • + хт Функция хосил булади. Бу функция
М = Rm тупламда берилган.
31
2 • Р(*, У) = р (г/, х).
3°. р(х, z)<p(x, £/) + рО/, z).
Бу хоссаларнинг исботи 2- пунктда (умумий холда) келтирилади.
Юкррида келтирилган R3 туплам R3 фазо (уч улчовли Евклид фа-
зоси) деб аталади.
Энди R3 фазонинг мухим тупламларини келгирамиз.
R3 фазонинг a — (alt а2, а3) нуктасини \амда мусбат г сонни олай-
лик. Куйидаги
{(Б. х2, х3) £ R3: (Х1 -fll)2 + (х2 -я2)2 + (х3 -а3)2 С г2}, (12.8)
{(хр х2, х3) £ R3: (хг - а У + (х2 - я,)2 -ф (х3 - а3)2 < г2} (12.9)
тупламлар .мос равишда шар \амда очик шар деб аталади. Бунда а нук-
та шар маркази, г эса шар радиуси дейилади. Ушбу
{(xlt х2, х3) £ R3: (Х1 — о,)2 + (х2 — о,)2 + (х3 — а3)== = г2}
туплам сфера дейилади. Бу сфера (12.8), (12.9) шарларнинг чегараси
булади а нукда сфера маркази ва г эса сфера радиуси дейилади.
Юкррида келтирилган (1-2.8) тутамнинг геометрик тасвири 7-чиз-
мада ифодаланган.
Демак, (12.8) тупламда (шарда) шар чегараси шу тупламга тегиш-
ли булади, (12.9) тупламда эса (очи^ шарда) шар чегараси (12.9) туп-
ламга тегишли булмайдп.
R3 фазодаги масофа тушунчасидан фойдаланиб, шар ва очиц шар-
ларни мос равишда ушбу
{ХеД3:р(х, а)^г}, (12.8') {х £ R3: р (х, а, < г} (12.9')
тупламлар сифатида ^ам аниклаш мумкин.
8
Ушбу
{(*!, х2, х3) е R3: а < х, < b, х2 ^d,
1<Х3< s},
{(*1, Х2, х3) е R : a<xl<b, с < х2 <d,
/<x3<s}
тупламлар (бунда a, b, с, d, I, s — ха-
киций сонлар) мос равишда паралле-
лепипед хамда очик параллелепипед
деб аталади. Юцорнда келтирилган
параллелепипед 8-чизмада тасвирлан-
ган.
Ушбу
{(*1, х2, х3) 6 R3:xx >0, х2>0, х3 >0,
Xi + х2 + х3 h}
туплам (уч улчовли) симплекс дейилади, бунда й>0— узгармас сон.
Бу туплам 9-чизмада тасвпрланган.
2. Rm фазо. т та Aj. Л2, . . . , Ат тупламларнинг Декарт ку-
пайтмаси иккнта А ва В тупламларнинг Декарт купайтмасига ухшаш
таърифланади. Агар At = А, = ... = Ат — R булса, у >;олда
9- чизма
Aj к Л2 X . . . X Am = RxRx ... X R = {(хь х2.....хт) :xt 6 R,
х2 ER, . . . , хт е R}
булади. Ушбу
{(Xj, х2, . . . , хт): х, е R, хг 6 R, . . , х,„ £ R}
туплам R"‘ туплам деб агалади. Rm тупламнинг элемента (хп х2, . . . ,
хт) шу туплам нуктаси дейилади ва у одатда битта харф билан бел-
гиланади: х = (х1э х2........ хт). Бунда хъ х,, . . . . , хт сонлар х
нуктанинг мос равишда биринчи, иккинчи, . . . , т-координаталари
дейилади.
Агар х = (xltx2, . . . , хт) £ Rm, у = (yt, у2.ут) £ Rm ну^та-
лар учун xt = уt, х2=у2 ... , хт— ут булса, у холда х = у деб ата-
лади.
Rm тупламда ихтиёрий х = (хп х2, . . . , хт), у = (ylt у2, .... ут)
нукталарни олайлик.
Ушбу
Р (х. У) = ] Г(У1 ~ X,)2 + (у2 — х,)2 + ... +(ут~ хту =
Г т
= У (12Л0)
мицдор х ва у нукталар орасидаги масофа деб аталади. Бундай апи^-
ланган масофа куйидаги хоссаларга эга (бунда V х, у, z£Rm):
Г. р (х, у) > 0 ва р (х, у) = 0 <=> х = у.
2°- Р (х, у) = р (у, х).
3°. р (X, г) < р (V, у) + р (у, 2).
9
Ф(у) = \ f (•*« !/) dx Функция [с, d] ораликда узлуксиз булгани са-
а
бабли 1-кисм; 9-боб, 9-§ да келтирилган 9.9-теоремага асосан
t ъ
ф' (0 = (J Ф (//) dy\= Ф (/) = J / (х, t) dx (17.7)
с а
булади.
f (х, у) функция М тупламда узлуксиз. Яна уша 1- кием, 9- боб,
9-§ даги теоремага кура
t
( j" f (х, у) dy] = f (х, i) (х — узгармас)
С
t
булади. Демак, [ / (х, у) dy функциянинг М = ((х, [f)£R2: х£[я, й],
Г
t G [<?, d] | тупламдаги t буйича хусусий хосиласи f (х, i) га тенг ва де-
мак, узлуксиз. У холда 17.5-теоремага мувофик
ь t , ” ( *
Ф' (О = (J [J 7 (*. У) dy] dx)' = J |j f (x, y) dy^ dx — \f (x, f) dx (17.8)
a с a c a
булади.
(17.7) ва (17.8) муносабатлардан
ь
ф' (0 = Ф' (0 = У f (х, t) dx
а
булиши келиб чикади. Демак,
ср (/) = ф (t) + С (С — const).
Бирок t = с булганда ф (с) = ф (с) ~ 0 булиб, ундан С = 0 булишини
топамиз. Демак, Ф (О =Ф (0 булади. Хусусан, t = d булганда ф (d) =
= ф (d) булиб, у теоремани исботлэйди.
Мисол. Параметрга боглик интегрални параметр [буйича {интеграллашдан фой-
даланиб, ушбу
1
р — хв
А — I-------- dx (0 < а < Ь)
J In х
«
интегрални хисоблаймиз.
Равшанки, (х > 0)
булади. Демак
О 0 а
254
Интеграл остидаги f(x, у) — ху функция М = {(х, у) С Я2: х£{0, 1], уС[«, 6]} туп
ламда узлуксиздир. У холда 17.6-теоремага кура
b I
А = f dy [ xydx
a
булади. Аммо
1
f xydx
d
pl b + 1
булганлигидан A = j j- ф/=1 n Q
a
0
_____1_
Z/+ I
I rb_rd , , ,
c 64-1
булади. Демак. ) ln x—rfx=ln a । •
о
3- §. Параметрга боглик интеграллар (умумий цел)
f(x,y) функция М. = {(х, у) £R2: xg[a, b\, у£[с, d]| тупламда бе-
рилган. у узгарувчининг [с, d\ ораликдаи олинган ^ар бир тайин кий-
матида f(x, у) функция х узгарувчининг функцияси сифатида [а, Ь]
ораликда интегралланувчи булсин.
х = а(г/), х = рСу) функцияларнинг хар бири [с, d] да берилган ва
VyHc.d] учун
(17.9)
булсин.
Равшанки, ушбу
f f(x, у) dx
а(У)
интеграл мавжуд, у узгарувчи (параметр) га боглицдир:
КУ)
F(y)= f f(x,y)dx. (17,10)
d(y)
Бу интеграл ушбу бобнинг 2- § ида урганилган интегралга Караганда
умумийрок. Хакикатан хам, (17.9) да а(у)=а, (3(у)==6, (y£[c,d\)
булганда (17.10) интеграл (17.1) куринишдаги интегралга айланади.
Ушбу параграфда /(х, у) хамда а (у), Р(у) функцияларнинг функ-
ционал хоссаларига кура параметрга боглик
Ку)
F(y) = \ f(x,y)dx
а(У)
интегралнинг хоссаларини урганамиз.
17.7-теорема, /(х, у) функция М = {(х, y)QR2: х£[а, &|, у£
С [с, d]} тупламда узлуксиз, а (у) ва р (//) функциялрнинг хрр бири
[с, d\ да узлуксиз ва улар (17.9) шартни цаноатлантирсин. У холда
Ку)
Р(У) = П(х, y)dx
а(у)
функция хам [с, d] ораликда узлуксиз булади.
255
*22.161
A 36
Самарканд давлат университет!! математик аначиз ка-
федраси. УзРФА мухбир аъзоси. физика-математика
ренлари доктори, профессор .4. С. Саъоулла'з, фи-
зика-математика фанларп дчкгорп. профессор X. Р. Ла-
Мттаррир: А. .\акимжон(ми
I a $ p и •
7
ISBX 5-640-01507-1
1602070000—05
................
М 351 (04) 95
с <Х'К11ТУВЧ!•’ - - i'intt. 1989 й.
с г^ЗБЕК! (СТОН- н.мцрнёти. 1995 й.
СУЗ БОШИ
Ушбу дарслик 1993 йилп натр этилган «Мак-минц; анализ. 1-кпсм»
итоги?..|'ЗШ1Нг да; ск;и булиб, мазку;; курснинг колгаг анъанаЕнй м,;в-
у Ларин? уз ичига опади. Дарслпьни сзишдагн асссдй ьсидаларимнз
. - кис:,*га ёзвлган суз бспл-да келтирилган, 2-кисмни тайёглаш ткана-
•нид;: у lap деярли узюр.гг.ни йук. Факат куйидаги ммлох.азаларпмизн!.’
кушвх.ч.ч килишни лозим топамиз.
Дшк-лик куп узгарувчили функциялар ва уларнинг дифференциал
хнеобн баёнидан бешланадп. ЛЬълумки, бир узгарувчили ва куп у’зга-
рувчили функипялар учун дифференциал хисоб масалаларининг куйи-
лиши ва ечилвши срасида ухшашлпклар га тафовутлар бор. Биз ана
шу у хп ашлпклар ва тгфовутларви бутун дифференциал хисоб давоми-
да якголрок таъкидлашга харакат килдик.
Баъзи мавзуларга одатдагидан купрок эътибср ссрилиб, улар жмда
GaidibiH.'i баси килннди (масалан, каррали ва такрорий лимшлар, функ-
ционал каторларнинг текис га нотекис якинлашувчилиги ва хоказо).
Бу уринда шу мавзуларнинг мавжуд адабиётларда етарлича ёритилма-
1 Ы1.и.т"г:' хнеобга олдик.
Ай.ни иайтда баъзи мавзуларга, масалан, каррали интеграллар, сирт
интеграллапи, эгри чизикли интеграллар мавзуларига одатдагидан кам-
рок эътибор бернлиб, улар кискарок баси этилди. И'уни хам айтпш
керакки, эгри чизик, сирт, жисм каби тушунчалар; геометрия курсла-
рида гула баси этилишини хнеобга олиб, биз уларнинг матемапж ана-
гпз к’-рси учун зарур булган уринларинигипа ке.'1гирд1’к. Юкорндагн
интеграллар тушу пчаларипипг кирптнлиши ва ургапнлиши жапаёни
бир-Г при га ухшаш булганлнги учун хам уларга кам урин ажра;лик.
.'I «роли кн инг илмин ва методик жихатдан яхшплаиишига мз
хисса lapHHn кушганликлари учун прсфессорлар А. С. Саъдуллаев,
X. Р. Латинов, допетплар М. Зохиров, Э. X. Якубов, Б. Нав.мжонов,
А. Норисов, Р. Ранихужаевларга, шунингдек, уни иашрга тайёрлашда
катнашган А . Умаров (ТсшДУ) га миннатдорчилич билдирамчз.
Дарсликд аги камчилпкларвв бартараф этишга ва у пинг сифатини
яхши гашгч карагвлгаи фикр ва мулохазаларини 'ллднрган уртохларга
уз миннатдорчилигимизни билдирамиз.
КУП УЗГАРУВЧИЛИ ФУНКЦИЯЛАР,
УЛАРНИНГ ЛИМИТИ, УЗЛУКСИЗЛИГИ
«Математик анализ» курсининг 1-к.исмида бир Узгарувчили функ-
циялар батафсил урганилди.
Математика, физика, техника ва фаннинг бошка гурли тармо^лари-
да шундай функциялар учрайдики, улар куп узгарувчиларга богли^
булади. Масалан, доиравий цилиндрнинг хажми
V=n-r2h (12.1)
икки узгарувчи: г — радиус хамда h — баландликка боглшу-
Ток кучи
р
1 = ~ (12.2)
f\
Хам икки узгарувчи: Е — электр юритувчп куч ва R — каршилпкнинг
функцияси булади. Бунда цилиндрнинг хажми (12.1) формула ёрдами-
да бир-бирига боглик булмаган г ва h узгарувчиларнинг циймагларига
кура, ток кучи (12.2) формула ёрдамида бир-бирига боглик булмаган
Е ва R узгарувчиларнинг кийматларига кура топилади. Шунга ухшаш
мисолларни жуда куплаб келтнриш мумкин*. Бинобарин, куп узгарув-
чили функцияларни юкоридагидек чукуррок урганнш вазифаси туги-
лади.
Куп узгарувчили функциялар назариясида хам бир узгарувчили
функциялар назариясидагидек, функция ва унинг лимити, функциянинг
узлуксизлиги ва хрказо каби тушунчалар урганилади. Бунда бир у'зга-
рувчили функциялар ^а^идаги маълумотлардан муттасил фойдалана
борилади.
Маълумки, бир узгарувчили функцияларни урганишнн уларнинг
аникланиш тупламларини (сохаларини) урганишдан бошлаган эдик.
Куп узгарувчили функцияларни урганишни хам уларнинг аницланиш
тупламларини (сохаларини) баён этишдан бошлаймиз.
1- §. Rm фазо ва унинг мухим тупламлари
1. R-, R3 фазолар. Ихтиёрий иккита А ва В тупламларнинг Де-
карт купайтмаси билан танишган эдик (каралсин, 1-хисм, 1-боб, 1-§).
Энди А ва В тупламлар деб R ту'пламни олайлик: А = В — R, Унда
Ах В = Rx R = {(хр х2): xL £ R, х2 С £}
булади.
* Сирасини айтганда, аслида табиатда, фан тармокларида, кундалик хаётда де-
ярли хамма вацт куп узгарувчили функцияларни учратачиз. Аммо, биз аввал сод-
далик учуй бир узгарувчили функцияларни муфассал урганган эдик ва математик
анализнинг асосий масалаларини щу содда учун тушуниб етганриезк.
щбу
«»„ ^х1€«,хгел) . \ t
|плам R2 туплам деб аталади. Равшанки, R-
уплам элементлари жуфтликлар булади. Улар
,у туплам нукталари деб юритилади. Одатда R3
пламнинг нуктаси битта х,арф, масалан (хь х2)6
нукта х оркали белгилаиади: х = (хь х2). (
?нда Xi ва х2 сонлар х нуктанинг мос равишда (
иринчи ва иккинчи координаталари дейилади. ц-------------; *jj
Агар х = (х,, х2) 6 R2, у --= (yt, у2) £ R2 нук-
тар учун хх = уъ х2 = у2 булса, у холда х=у 1-чизма
еб аталади.
Текисликда тугри бурчакли Оху Декарт координат алар системасини
пайлик Ох у к да (абсцисса укида) Xj узгарувчининг кийматлари, Оу
рада (ордината укида) эса х2 узгарувчининг кийматлари жойлашган
ЬуЛсин. У х,олда (х'1, х2) жуфтлик текисликда координаталари* х/ ва х2
булган М (х1( х2) нуцтани ифодалайди (1-чизма).
Хакиций сонлар туплами R билан тугри чизиц нукталари орасида
узаро бир кийматли мослик урнатилгани каби (каралсин, 1-кисм, 2-боб,
10-§) R- туплам нукталари билан текислик нукталари орасида хам
узаро 61 р кийматли мослик урнатиш мумкин. Бу эса R2 тупламнинг
1еометр, к тасвьринн текислик деб караш имконини беради. Юкорида
R2 тупламнинг элементларини нукта деб аталганининг болен хам шун-
даднр. Аналитик геометрия курсида келтирилганидек, R2 тупламда
(текисликда) икки нукта орасидаги масофа тушунчасини киритяш мум-
кин. х = (х1( х2) 6 R2, у = (уj, у2) £ R2 булсин.
12.1-таъриф. Ушбу
Р (х, y)=V(Ух — xj2 + (у2 — х2)3
микдор х = (х(, х2), у — (ух, у2) нукталар орасидаги массфа деб ата-
лади. Киритилган р (х, у) масофа куйидаги хоссаларга эга (бунда
V х, у, z £ Я2):
I Р (х, у) > 0 ва р (х, у) = 0х — у.
I 2°- Р (х, у)=р(у, х).
3° р(х, г) <р(х, у) + р(у, г).
Бу хоссаларнинг исботи кейинги пунктда (умумий холда) келтири-
лади.
Одатда R2 туплам R2 фазо (икки i/лчовли Евклид фазоси) деб ата-
лади.
Энди R2 фазонинг келгусида тез- тез учраб турадиган баъзи бир
муким тупламларини келтирамиз.
R2 фазонинг a=(alt а2) нуктасинп хамда мусбат г сонни олайлик.
Куйидаги
{(ху, х2)£^: (Хх-ах)2 + (х2-а2)2^г2}, (12.3)
5
{(.г., х,) t Я2: (.V, — aj2 + (л-., — а2)2 < г2} (12.4)
тупламлар мос равишда дойра хамда очиу дойра деб аталади. Бунда
с нукта дойра маркази, г эса дойра радиуси дейилади. Ушбу
{(vn -г,) £ R2 : (хх — Oj)2 + (х2 — а,)2 = г2}
туплам айлана дейилади. Бу айлана (12.3) ва (13.4) доиралариипг чега-
расп булади а нукта айлана маркази ва г эса айлана радщу и дейилади.
(12.3) тупламнинг геометрии тасвирл 2-чизмада ифодалангаи.
(12.3; тупламда (доирада) дойра чегараси шу тупламга тегишли
булади. (12.4) тупламда эса (очш( доирада) дойра чегараси (12.4) туп-
ламга теышлн булмайди.
Очик дойра хамда бу донра чегарасининг баъзи бир нукталаридан
иборат булган тупламларни тузиб хам цараш мумкин. Масалан, 3-чиз-
мада очи>. дойра хамда унинг чегарасининг юкори ярим текисликда
жойлашган нукталаридан иборат туплам келтирилган.
Масофа таърифидан фойдаланиб, донра хамда очи^ до праларии мос
равишда куйидаги
{.г б R2 : р (х. а) < г}, (12.3') {.v £ R-: р (х, а) < г} (12.4';
тупламлар деб хам караш мумкин.
а. R с. d — хакикнй сонлар ва a<b, (<Pd булсин. Куйидаги
{(.'.'!. х.) £ R2: а С ху с х2 < d}, (12.5)
{(л,, х.,) Е R2: a<z х, < b, с<С х2 < d} (12 6)
i
4- чизмт
и- ЧИЗ'
Т\ и ччмлар. мос равишда тугри турпюурчак хамда чик тугри uiypin-
бчрпак деб аталади. Бу (1'2.5) туплам 4-чизмада Оху текисликдаги
рнрихлавгап соха сифатида тасвирланган.
ушбу ~~-у б 1<~ нукта (12.5) ва (12.6i тугри пуртбур-
2 2 i
ч^чнинг маркази дейилади.
Д'- фазой; в г ушбу
{(х„ х2) 6 R2: лу > 0; л, > 0, лу -г л-2 С h} (12.7)
!Р „ галаридан иборат туплам (икки улчовли) симплекс деб аталади,
бхкда Л- мусбат сон. Симплекс (simplex) латанча суз булиб, у содда
деган маъпонн англатади. (12.7) тупламнинг геометрик тасвири 5-чиз-
v.да нфодаланбан.
Энди R3 (разе тушунчаси билан танишамиз. У?3 фазо хам юнорвда-
1-| R- <|йзо каби таърпфланади. Иккита тупламнинг Декарт купайтма-
ги каби ихтиёрий учта А, В, С тупламнинг хам Декарт купайтмаси
т-шунчаси киритилади. Хусусан А = В = С — R булганда
.4 : В. C=Rх RXR = {(лу, х2, х3): лу £ R, х2 Е R, х3 б R}
оу лад,;.
Ушбу
{(лу, х2, х3): Xj е R, лу £ R, х2 £ R}
тхплам R3 туплам деб аталади.
R3 тупламнинг элемента (лу, лу, лу) учлик шу туплам щурпаси
дейилади ва уни, одатда битта харф, масалан, х оркали белгиланади:
' --(лу, лу, х3). Бунда лу, лу ва лу сонлар х нуктанинг мос равишда
биринчи, иккинчи ва учинчи координаталари дейилади.
Агар х = (лу, х2, х3,) ва у = (th, у2, ys) нукталар учуплу^/х,
х2 -- у2, х3 = у3 булса, у холда х = у деб аталади. *
Фазода тугри бурчакли Охуг Декарт координаталар снстемасини
олайлик. Ох укда л, узгарувчининг кийматлари, Оу укда х2 узгарув-
чинииг цийматларн ва Ог укда х3 узгарувчининг кийматлари жейлаш-
ган булсин. У холда (лу, х2, х3)
\ч.тик фазода координаталари лу,
ва лу булган .V) нуктани ифо-
!а,зайди (6-чизма).
R3 гупламда ихтиёрий л: =
(' о х2, х3), у = (ir, уг, y:i) нук-
таларни олайлик. Ушбу
< X У) '__________
lZ( Ut —лу)- + (у2—х2)24- (уя—лу)2
микдор х ва у нукталар ораси-
масофа деб аталади. Шу
га рчда аникланган масофа куйи-
хосаларга эга (бтнда V х,
. . : R3):
Г"', р (х, у) >0 ва [> (х, у) =
.'<=.^Х = у.
6- ЧИЗМ',
7