Автор: Назаров X. X. Очилова X. О. Подгорнова Е.Г.
Теги: математика геометрия алгебра геометриядан масалалар туплами кыргыз тилинде
Год: 1993
Текст
X. НАЗАРОВ, Х.ОЧИЛОВА, Е.ПОДГОРНОВА
ГЕОМЕТРИЯДАН
МАСАЛАЛАР
ТУПЛАМИ
Пкисм
X. X. НАЗАРОВ, X. О. ОЧИЛОВА
Е. Г. ПОДГОРНОВА
ГЕОМЕТРИЯДАН
МАСАЛАЛАР
ТУПЛАМИ
]1 К кем
Узбекистан республикаси халц таълими на»
зполши педассмика пне гигу тларининг .Матема-
тика" па .Математика ва физика" ихтисосидаги
ст\лепглари учун уцув цулланма сифатида ;ав-
сия этган
Тошкент „Уцитувчи" 1993
Такризчилар: М. А. Собиров, Т. А. Абдуллаев
Махсус му^аррир: — проф. М. А. Собиров
Тупяам педагогика ииститутлари геометрия курси программа-
сининг 2 ва 3-курс талабалари учуй мулжалланган материалини
уз ичига олади. Унла гоометрик ясашлар, проектив геометрия,
тасвирлаш усуллари, топология элементлари, дифференциал гео-
метрия ва гоометрня асосларига дойр масалалар берилган. КУп
масалаларпинг жавоблари курсатмалар билан, баъзилари муфассал
ечимлари билан беришаи.
Тупламдан кечки ва си p i ди булим талабалари дам фойдала-
нишлари мумкпп.
1118
На тарой X. X. на бошц.
Геомпрнядап масалалар дуплами: Пед. ин-
тлартншг «Ма шматпки* ва «Математика ва
фишка* их। неосилл и стул, учун уцув. ((улл.
(X. X. Ни ;а|юн. X <) (Нилова, 1‘. Г. Подгорнова;
(Maxcvc м\\нррнр М. А. Собиров), К. 2.—T.I
.V i-.ll I \ нчн I 'I'l.l I ;,G О
I I . Ли 1 ip loin
Ни ц||1<>|| X. X и цр Сборник задач по геометрии. 4.2.
БВК 22. 151я73
|1><)?().>|)О1Ю К.II
II /II
l.i.1 ((H) . .4 1
<fi „Укшувчи’ вашрнйти, .T,;993.
- »I
СУЗ БОШИ
Ушбу масалалар туплами педагогика ииститутларн-
1шнг математика факультета талабаларига мулжаллан-
ган, ундан кепки па сиргки будим талабалари хам фой-
даланишлари мумкин. ?(улланма музллифлариинг „Гео-
метриядан масалалар туплами", I цисм („Уцитувчи"
нашриёти, 1983 й.) китобининг бевосита давоми булиб,
„математика1*, „математика ва физика** ихтисосликлари
учун геометрия программасининг цолган булимларини
уз ичига олади. Тупламда геометрик ясашлар, проек-
тив геометрия, таевнрлаш усулларн, топология эле-
меиглари, дифференциал i еометрия ва геометрия асос»
лари, шупингдек, хисоблашга дойр планиметрии ма-
салалар келтирилган. Куп масалаларнинг жавоблари,
уларни ечишга ёрдам берадиган курсатмалар берил-
ган.
Айрим темаларта дойр мисол ва масалалар мавжуд
адабиётларда етарлича булгапи сабабли улар мазкур
т^пламда берилмади. (Масалан, ин₽ерсияга дойр маса-
лаларга Р. К. Отажоновнинг „Геометрик ясаш мётодла-
ри“, („$\итувчи“, Т., 1984) китобида кепг урин бе-
рилган). Тупламни тузишда муаллифлар узларининг
куп йиллик иш гажрибаларидан хамда мавжуд адабиёг-
лардан фойдаландилар.
Тупламнинг II III, VI, VIII бобларипи X. Назаров,
I, VII бобларини X Очилова ва IV, V бобларипи В. Под*
горнова ёзган.
Кулланмани тайёрлашда узларининг цимматли мае-
ла^атлари билан яциндан ёрдам берган Тошкенг Дав-
лат педагогика институтининг геометрия кафедраси
доценти Н. Дадажоновга ва Тошкент Давлат универ-
ситетининг профессори, китобнинг махсус мукаррири
М. А. Собировга чуцур минватдорчилик билдирамиз.
Муаллифлар
1026. Евклид геометрияси учун А. В. Погорелов
таклиф цилган аксиоматикада таърифсиз кабул кили-
надиган объектлар ва уларни богловчи муносабатлар
нт атардан иборат?
1027. Берилган аксиомалар системасида зидликнинг
юз бермаслиги- кандай исбот килинади? Мисол кел-
тиринг.
1028. Гильберт аксиомаларининг биринчи груипаси
кандай моделларда ту ла бажарилади ।тетраэдр, анали-
тик изок-интерпретация).
10 9. Пуанкаре томонидан Лобачевский геометрия-
си учун таклиф этилган модель нимадан дарак беради?
1030. Г. Вейль аксиоматикасидан урин олган улчам
(размерность) аксиомаларини алгебра ва геометрия тил-
ларила цандай ифода килинади?
1031. 1) Лобачевский геометриясида параллел тугри
чи.а<к тар аксиомаси кандай киритилади?
2) Бу аксиоманинг мустакиллигп, яъни эркинлигини
псботлашда канси гояларлан фойдаланилади?
1032’. ch c- — ch— ~ ch -- теш лик Лобачевский гео-
/г k
мегрияспда пиманн ифода килади?
1033. Узлуксизлик тушунчасини киритишда Деде-
кинд аксиомаси кандай роль уйнайди? Унинг Архимед
ва Кантор аксиомаларига эквивалептлиги кандай да-
ли лланади?
1034. Нкки учбурчакнинг учала тойон буйича тенг-
,’iiirnii-i Гильберт кандай исботланган?
1015. Лобачевский геомегриясита клракаг гушунча-
. и у;.план киритилади?
I боб
ТЕКИСЛИКДА ГЕОМЕТРИК ЯСАШЛАР
1-§. БЕВОСИТА ЕЧИЛАДИГЛН ЯСАШГА ДОИР МАСАЛАЛАР
I. Берилган кесмаии 3 та, 5 та, 6 та тент булак-
ларга б'улпиг.
2. Берилган нуцтадан берилган тугри чизицца:
1) параллел цилиб тугри чизиц утказинг; 2) пер-
пендикуляр цилиб тугри чизиц утказинг.
3. Бурчак томонлари орасига маълум узунликдаги
кесмаии:
1) уиипг учлари бурчак томонларидан теиг кес-
маляр ажратадиган цилиб жойлаппиринг; 2) бу
кесма бурчак томоиларидан бирига перпендикул-
яр буладиган цилиб жойлаштирииг.
4. А нуцта, / тугри чизиц ва а кесма берилган.
Маркази / тугри чизицда ётувчи, А нуцтадан утган,
а радиуслп айлана ясанг.
5. Айланада ётадиган ва берилган кесманинг учла*
рилак тенг узоцликда жойлашган нуцгани ясанг.
Айланага: I) бу айланада ётгаи нуцтадан; 2) айо
ланадан ташцарида ётган нуцтадан утадиган уринмани
ясанг.
7. Ен томопи, асосидаги.бурчаги берилган тенг ён-
ли учбурчак ясанг.
W. Асоси ва ташци чизилган айлапасининг радиуси
буйича тенг ёнли учбурчак ясанг.
9. Гипотенузами ва уткир бурчаги буйича тугри
бурчакли учбурчак ясанг.
П-. Бир уткир бурчаги ва шу бурчак учидан чиц-
цап биссектрисаси буйича тугри бурчакли учбурчак
ясанг.
11. Бир томони, шу томонга утказилган медианаси
5
ва шу гомон учидаги бир бурчаги буйича учбурчак
ясанг.
12. Бир бурчаги ва бу бурчакка ёпишган томонла-
рига утказилган баландликлари буйича учбурчак ясанг.
13 Икки томони ва ташди чизилган айланасннинг
радиуси буйича учбурчак ясанг.
14. А, а учлари ва бу учлардан чиддан биссектри-
салар кесишган О нудтаси буйича АВС учбурчак ясанг.
15. Икки томони ва учинчи томонига туширилган
баландлиги буйича учбурчак ясанг.
16. Икки томони ва улардан бирига туширилган
баландлиги буйича учбурчак ясанг.
17. Бир томони ва шу томонига туширилган ме-
дианасн ва баландлиги буйича учбурчак ясанг.
18. Икки томони ва бу томоилардан бирига утка-
зилгап медианаси буйича учбурчак ясанг.
19. Икки томони ва учинчи томонига утказилган
медианаси буйича учбурчак ясанг.
20. Икки учнлаи чиддан баландликлари ва улар-
нннг онрндап уишзилгап медианаси буйича учбурчак
ж ипг.
21. Бир нинши на долган пккп томонига утказилган
мезиаииларп буипч.т учбурчак ясанг.
22. А'чала мсаиаи.и и буйича учбурчак ясанг.
2.1. 1н1,> гомони, шу томоига \ тказилгап медианаси
на iaiiiK.il чи пинан айлаиаснпннг радиуси буйича уч-
бурч.и, Ш'.ШГ
21 1>ир । iMoiiii, niy юмоига ёпиинан бир бурчаги
па yiii.i । у шпрплгап палапдлигп буйича учбурчак ясанг.
25. |>пр томони. унга снншг.тп бир бурччгп ьа шу
бурчакпипг бнссск । рисаси маьлу.м учбурчак ясанг.
26. Гшр 10МОИИ. \ ига гуширплгап оаландлиги, бу
Томон учнлаи чиддан медианаси буйича учбурчак гсанг.
.’7 Бир 1OMOIHI, ш\ юноша ёппшгаи учиааи ччкцан
баландлиги на опссектрисаси буйича учбурчак ясанг.
28. Икки бурчаги на улардан бирининг биссектри-
сасн буйича учбурчак ясанг.
29. Асоси, унга туширилган баландлиги ва асосида-
ги бир бурчаги буйича учбурчак ясанг.
30. Асоси, асосига ва бир ён томонига туширилган
баландликлари буйича учбурчак ясанг.
31. Баландлиги, асосига ёпишган бир бурчаги ва
бир ёп томони буйича учбурчак ясанг.
6
32. Томонларининг урта нуцталйри буйича учбур-
чак ясанг.
33. Гипотенузаси ва тугри бурчаги учидан гипоте-
нузага туширилган баландлиги буйича ту гр и бурчакли
учбурчак ясанг.
34. Икки медианаси ва учинчи томбнига туширил-
taii баландлиги буйича учбурчак ясанг.
35. Баландлиги. унинг асосда хо:ил дилган кесма-
ларидан бири ва учидаги бурчагининг биссектрисаси
буйича учбурчак ясанг.
36. Бир томони, унга ёпишган бир бурчаги. цолган
икки томонининг йигиндиси буйича учбурчак ясанг.
37. Икки бурчаги ва периметри буйича учбурчак
ясанг.
38. Бир томони, уигй ёпишган бир бурчаги ва цол-
ган икки томонининг айирмаси буйича учбурчак ясанг.
39. Катетларининг йигиндиси ва гипотенузаси буйи-
ча тугри бурчакли учбурчак ясанг.
40. Бир катети ва иккинчи катети билан гипотену-
□асининг йигиндиси буйича тугри бурчакли учбурчак
ясанг. >.
41. Ташци чизилган айланаси, икки томонининг
йигиндиси, улардан бирининг царшисидаги бурчаги
буйича учбурчак ясанг.
42. Тишки чизилган айлаиарининг радиуси, бир учи-
диги бурчаги ва асоспга туширилган баландлиги буйи-
ча учбурчак ясанг.
43. Бир учидаги бурчаги, долган икки учининг ич-
ки чизилган айлана марказидан узоцлиги буйича уч-
бурчак ясанг.
44. АВ ва ВС томонларига туширилган баландлик-
лари ва АС томонга утказилган медианаси буйича уч-
бурчак ясанг.
45. Берилган айланага маълум бурчак остида кеси-
шувчи уринм1лар утказинг.
46. Берилган айланага берилган тугри чизицца нис-
батан: 1) параллел уринма утказинг; 2) перпендикуляр
уринма утказинг.
47. Икки томони ва диагонали буйича параллело-
грамм ясанг.
48. Бир томони ва икки диагонали буйича паралле-
лограмм ясанг.
40. Учта томонининг урталари берилган паралле-
лограмм ясанг.
7
50. Бир бурчаги ва шу бурчагн учидан чиццан диа-
гонали бснича ромб ясанг.
51. Томони ва диагоналларинннг йигиндиси буйича
ромб ясанг.
52. Икки диагонали буйича ромб ясанг.
53. Асослари ва ён томонлари буйича трапеция
ясанг.
2- §. ГЕОМЕТРИК УРИНЛАР МЕТОДИ
54. Берилган икки айланага уринувчи маълум ра-
диусли айлана ясанг.
55. Бир хил радиусли учта айлана берилган. Бу
учала айланага ташки уринувчи айлана я.анг.
56. Берилган айланага ва берилган тугри чизицца
уринувчи маълум радиусли айлана ясанг
57. Берилган тугри чизицда шундай нуцта ясангки,
у берилтап икки нуцтадан тенг узоцлашган булсин.
56. АС тугрн чизиц ва унга тегиш ш булмаган В
нуцта берилган. АС тугри чизицда шундай X нуцтани
>н лпг-п, АД' -р ХВ кесма берилган I кесмага тенг бул-
син.
• >>. Никита нуцта берилган. Шундай тугрн чизиц
я ши кн, Oepiiaiaii пуцгалардан унга т\ ширилган пер-
пснннкулярларнпнг сзуиликлари берилган кесмалар
ут\н шкларига тенг булсин
60. Асосп, унга угказнлгап медиаиаси ва ташчи чи-
зплгаи аиланаспиипг радиуса буйича учбурчак ясанг.
61. Асосп. ума туш прилган баландлиги ва ташци
чтн.тган анлапасппнпг радиуса буйича учбурчак ясанг.
62. Маълум нуцгадап угувчп, берилган радиусли
шундай айлана ясангки, упинг маркази берилган икки
кесптунчи тугри чизицдан тенг масо |>ада ётсин
63. Пккпта нараллел тугрн чизиц ва улар орасида-
ги А/ нуцта берилган. Бу нуцтадан утадиган шундай
айлана ясангки, у берилган параллел ту'гри чизицлар-
га уринсин
64 Бир бурчагн ва колган бурчакларининг учларн-
дан гуширилган икки баландлиги буйича учбурчак
ясанг.
65 Бир уткир бурчагн ва унинг царшисида ётган
катети буйича тугрн бурчакли учбурчак ясанг.
66 Бнр бурчаги, бу бурчагпдан чиццан баландлиги
ва иккипчи баландлиги буйича учбурчак ясанг.
8
67. Асоси, баландлиги ва бир ён томони буйича
учбурчак ясанг.
68. Асоси, учидаги бурчаги ва асосга туширилган
медианаси буйича учбурчак ясанг.
69. Берилган учбурч книнг хар бир томони 120° ли
бурчак остита куринадигаи нуктани ясанг.
70. Бир бурчаги ва икки диагонали буйича паралле-
лограмм ясанг.
71. Агой, учидаги бурчаги ва асоси билан унта
утказилган биссектрисасининг кесишган нуцтаси буйи-
ча учбурчак ясанг.
72. Асоси, учидаги бурчаги ва ён томони буйича
учбу1чак ясанг.
73 Бир томони, шу томом царшисидаги бурчаги,
шу бурчаги учидан туширилган баландлиги буйича
учбурчак ясанг.
/4 А ва В учидаги бурчаклари, АС ва ВС томон-
ларшишг айирмаси I буйича учбурчак ясанг.
75. Бир томони, унга ёпиниан бир бурчаги ва Кол-
ган ш.ки томонининг айирмаси буйича учбурчак ясанг.
76. Асоси ва нчки чизилган айланчеининг радиуси
оуГшча тенг ёалн учбурчак ясанг.
77. !1чкп на ташки чизн.ц ан айлапаепшшг раднус-
лпри ii.-i пир бурча! н Бунича учбурчак ясанг.
7-:. Нчки па iuiiii<ii чнзил!ан анланаларнпинг ра-
.шу» лари ч\нич.1 1,\1 ри бурчакли учбурчак ясанг.
79. loMi iiii ва нчки чизилган айланасининг радиуси
буйича ромб яг анк.
80. Учта томони ва диагонали берилган хамдата'и-
царнсига айлана чизиш мумкин булган туртбурчак
ясанг.
81. Икки душни томони, иккала диагонали ва кол-
пт Никита томони орасидаги бурчаги буйича туртбур-
чак ясанг.
82. Тугри бурчакли учбурчак берилган. Шундай
айл.-ша ясангки, унинг маркази учбурчакнинг катет-
лардаи бирида ётсин, айлана тугри бурчак учидан ут-
сип на гипотенузага уривсин.
83. Асоси, учидаги бурчаги ва ён томонига утка-
зилган медианаси буйича учбурчак ясанг.
84. А учидаги бурчаги, баландлиги /ic ва периметри
'2р берилган учбурчак ясанг.
85. Асоси, учидаги бурчаги, нчки чизилган айлана-
СП1И1НГ радиуси буйича учбурчак ясанг.
9
86. Бир томонига Утказилган баландлиги ва колган
икки томонига Утказилган медианалари буйича учбур-
чак ясанг.
87. Бир томонига утказилган медианаси ва цолган
икки томонига утказилган баландликлари буйича уч-
бурчак ясанг-
88. Бир учидаги бурчаги ва бу бурчакка ёпишган
томоиларига утказилган баландликлари буйича учбур-
чак ясанг.
3- §. ГЕОМЕТРИК А.ПМАШТИРИШЛАР МЕТОДИ
Нуцтага ва Уцца нисбатан симметрия
89. Учта a, Ь, с тугрн чизик берилган. а, b тугри
чнзпкларда ётувчи шундай икки нукта ясангки, улар
с тугри чизицца нисбатан симметрии булсин.
90. Уткпр бурчак ва бу бурчакнинг ичида М нук-
та берилган Бурчакнинг трмонларида шундай A, Y
нуцталар топнпгкн, УИАК учбурчакпинг периметри энг
кичнк булсин.
91. АВ кесма на унп кесуичн а тугрн чизик берил-
ган. и тугрн чнзицда шундай X нукта топингки, а
тугрн чпзпк АХВ бурчакнинг биссектрисаси булсин.
92. / тугрн чизнк ва уида ётмаган А, В нукталар
берилган. / тугрн чнзнкла шундай X нукта ясангки,
/А' | АВ ПИГПП1И энг кичнк, АХ— ВХ айирма эса энг
каста б\ лени.
S3. Томонларнппнг урталарп буйич’а учбурчак ясанг.
94. Т омонларииинг ургаларн буйича бешбурчак
ясанг.
95. Биссектриса.iapti спаи тУ'гри чнзпклар ва то-
мопларпннпг бприда спаи .11 нукта буйича учбурчак
ясанг.
9:;. Маркази ва параллел томонлари ётган тугри чи-
зиклардаги икки нуктаси буйича квадрат ясанг.
97. Икки томони ва бу томонлар царшисидаги бур-
чаклари айирмаси буйича учбурчак ясанг.
98 Бир томони, унга ёпишган бир бурчаги, кблган
икки томонининг айирмаси буйича учбурчак ясанг.
99. Баландлиги, асосидаги бурчакларинииг айирма-
си, балзпллигининг асссда хосил цилган кесмалари
айирмаси буйича учбурчак ясанг.
100. Икки ку шни томони ва шу томенларнинг уму»
,0
мни булмаган учларидаги икки бурчаги берилган, ич-
ки айлана чизиладиган туртбурчак ясанг.
ПИ. Диагоналларидан бирининг узунлиги т кесма-
га тенг булиб, берилган а тугри чизицда ётадиган,
цолган икки учи берилган Ь, с тугри чизицларда ётув-
чи ромб яса-нг.
102. MN тугри чизиц, а кесма ва (Оп г,), (О2, г2)
айлапалар берилган. Диагонали берилган тугри чизиц-
да ётувчи, узунлиги п га тенг, цолган икки учи бе-
рилгап айлаиаларда ётувчи ромб ясанг.
103. Тугри бурчакли учбурчак берилган. Шундай
айлана ясангки, унинг маркази катетлардан бирида ёт-
CIH1 на айлана тугри бурчак учидан утиб гипотенузага
урипсип.
Буриш
101. Лсоси, унга ёпишган бир бурчаги ваёнтомон-
лприпииг йигиндиси буйича учбурчак ясанг.
105. Бпр учи берилган /И нуцтада, цолган икки учи
м, /» пара мел тугри чизицларда ётган тенг томонли
учбурчак ясанг.
100 а, Ь, с параллсл тугрн чизицлар берилган. Уч-
ли рп riy i\ । рп чтицларда ёггап квадрат ясанг.
107. Берилган ква драт га бир учи маълум нуцтада
<чнап п'и.н тепг гомонли учбурчак ясанг.
ЮК. Я пума, (О, г) айлана ва d тугри чизиц бе-
рплган. Бпр учи А нуцтада, цолган икки учи айлана
на d тугрн чизицларда ётган тенг томонли учбурчак
ясанг.
100. Кесишадиган а, b тугри чизицлар ва М нуцта
берилган. Учи Л1 нуцтада ва бу учидаги бурчаги 30°
булгап, асосининг учлари а, b тугри чизицларда ётган
гене ёнлп учбурчак ясанг.
ПО. Икки томони ва учинчи томонига утказилган
медпанаси буйича учбурчак ясанг.
111. Берилган параллелограммга ички квадрат чи-
зппг.
112. Берилган квадратга ички тенг томонли учбур-
чак чизинг.
113. О, М, N нуцталар берилган. Маркази О нуц-
тадя ва царама-царши томонлари М, N нуцталардан
утадиган квадрат ясанг.
114. а бурчак (а <90°), О нуцта ва шу нуцтадан
Утмаган икки а, b тугри чизицлар берилган. Шундай
11
айлана ясангки, унинг маркази О нуцтада, а, b тугри
чизицлар орасндаги ёйи О нуцтадан берилган а бур-
чак 'остида куринснн.
115. я бурчак (я < 90°), О нуцта ва икки айлана бе-
рилган. Маркази О нуцтада булган шундай ей чизинг-
ки, унинг учлари берилган айланаларда ётсин ва ёй О
нуцтадан берилган я бурчак остида куринсин.
Параллел кучириш
116. Уткир бурчак томонлари орасига маълум узун-
ликдагн кесмани шундай жойлаштирингки, у бурчак
томонларидан бирига перпендикуляр булсин.
117. Асоси ва учидаги бурчаги буйича тенг ёнли
учбурчак ясанг.
118. Пики айлана, MN тугри чизиц ва а узуплик-
лаги кесма берилган. Шундай кесма ясангки, унинг
у.чуилшп а га юнг, MN га параллел булиб, учлари
икки айланада ётсин.
119. <z, t> параллел тугри чизнклар, улар орасндаги
иолосадан икки томонда жойлашган А. В нуцталар
берилган. Учлари а, b да ётган, уларга перпендикуляр
бу.’нан шундай MN кесма ясангки. AMNB синиц чи-
зиц узунлнги энг цисца булсин.
120. Параллел а, b тугри чизицлар хамда уларни
косно утунчи с тугри чизиц берилган. Томони берил-
ган кесмага тенг булган шундай тенг томонли учбур-
чак ясангки, унинг учлари берилган тугри чнзикларда
ё г> 1111.
121. lypiia томони буйича трапеция ясанг.
122. АсоСларн ва диагоналларн буйича трапеция
иг шг.
123. Вир томони, диагоналларн ва диагоналларн
ор.гчшагн бурчаги буйича трапеция ясанг.
124. Учала медианаси буйича учбурчак ясанг.
125. Икки параллел тугри чнзиц ва улар орасида
спаи пуцга берилган. Берилган тугри чпзицларга ури-
нн') маълум (берилган) нуцтадан угувчн айлана ясанг.
126. Учга бурчаги ва -икки карами-каршн томони
буйича цавариц туртбурчак ясанг.
127. Учта догони ва туртинчн томонпга ёпишган
икки бурчаги буйича туртбурчак ясанг.
128. Туртта томони ва икки царама-царши гомонла-
рн орасндаги бурчаги буйича туртбурчак ясанг.
12
129. Туртта томони ва икки карама-царши томон-
ллрипииг урталарини бирлаштирувчи кесмаси буйича
туртбурчак ясанг.
130. Икки диагонали, икки харама-царши томони
на улар орасидаги бурчаги буйича туртбурчак ясанг.
Ухшашлик алмаштиришлари
131. Икки бурчаги ва уларнинг биридан утказилган;
I 1) баландлиги; 2) медианаси буйича учбурчак ясанг.
I 132. Икки бурчаги ва: 1) ташци чизилган айлана-
синппг радиуси; 2) учинчи бурчагининг биссекгрисаси
буйича учбурчак ясанг.
133. Томонларининг нисбати ва: 1) ички чизил1ан
iiil'iauaciiniiiir радиуси; 2) ташки чизилган айланасининг
I ралнуси; 3) бир медианаси; 4> 1а биссектрисаси; 5) ие-
i1 piiMiTpu буйича учбурчак ясанг.
134. Вир кагети иккинчисидан икки марта катта бу-
либ: I) гинотенузага туширилган баландлиги берилган
тугри бурчаклн учбурчакни ясанг;
2) гинотенузага туширилган баландлиги билан ка-
-кчларииппг йигипдиси берилган тугри бурчаклн уч*
оурчакин ясанг.
135. Вир томони на иккинчи томонининг диагонал-
ей iiiicoani (ципча ц грн туртбурчак ясанг.
136. Леослариипиг писбагн, катга асосига ёпишган
иккига бурчаги па баландлиги буйича трапеция ясанг.
137. I шлзпдлигп ва томонларининг нисбатлари буйи-
ча трапеция ясанг.
138. Витта бурчаги баландлиги билан томонининг
нисбати буйича параллелограмм ясанг.
139. Диагоналларининг нисбати, улар орасидаги бур-
чягп на: 1) бир томони; 2) бир диагонали буйича па-
раллелограмм ясанг.
140. Учидаги бурчаги ва асоси билан баландлиги-
нпнг йпгиндиси буйича тенг ёнли учбурчак ясанг.
141. Асосига ёпишган бурчаклари а, (а<45°,
<4 /'), асоси билан асосга туширилган балапдлйгининг
айирмаси буйича учбурчак ясанг.
142. Ён томони ва асоси билан балапдлигининг
йигипдиси буйича тенг ёнли учбурчак ясанг.
143. Периметри берилган ва маълум учбурчакка
Ухшащ булган учбурчак ясанг.
144. Томони билан диагоналннинг: 1) йпгиндиси буйи-
ча квадрат ясанг; 2) айирмаси буйича квадрат ясанг.
13
145. Бурчак ва унинг ичида Л нуцта берилган. Бур-
чак томонларига уриниб, А нуцтадан утувчи айлана
ясанг.
146. Берилган учбурчакка иккита учи бу учбурчак-
нинг берилган томонида ётувчи ички квадрат ясанг.
147. Берилган учбурчакка бир томони иккинчиси-
даи 3 марта катта булган ички тугри туртбурчак чи-
зииг.
148. Берилган учбурчакка берилган параллелограмм-
га ухшаш булган ички параллелограмм чизинг.
149. Берилган учбурчакка томонларининг нисбати
маълум ички учбурчак чизинг.
150 Берилган сегментга бир томони ватарда, бу
томонга царши учлари ёйда ётувчи ички квадрат ясанг.
151. Берилган А'С учбурчакка уткир бурчат маъ-
лум'ички ромб чизинг, унинг бир томони АВ । есмада
ётсив, цолган икки учи АС ва ВС томоцларда ётсин.
152. Берилган туртбурчакка ички ромб чизинг,
рс.:.:бни:и’ томонлари ту(тэурчакнинг лиагоналларша
параллел бул<ин.
153 Берилган айланага асоси ва ён томонларининг
нисбати берилган ички учбурчак ясанг.
154 Берил ian айланага бурчаклари берилган: 1) ич-
ки учбурчак ясанг; 2) ташци учбурчак ясанг.
155 Кесишган учта тугри чизиц берил,ан. Учлари
шу тугри чизицларда стадион тенг томонли учбурчак
ясанг.
156 Пикта тугри чизиц на нуцта берилган. У.чла-
ри г-;. тугри чизицларда ётадшан на шу нуцтада т-.п
вис атда оулинадиган кесма >нанг
1 >7. Чоиратшг нккята раднуси утказилган. Доира-
Ш!” шундай нттарипи ясангки, у шу радиуслар пилав
кесншиб гепг уч иудаика оулинсин.
158. Берилган а, Ь, с кесмаларга турггпчи пропор-
ас
диовал кесма л = ни ясанг.
ь
4-§. АЛГЕБРАИК МЕТОД
159. Куйидаги формулалар билан ифодаланган кес-
маларни ясанг:
1) х = —: 2) х — а2 -р be;
de
О. а' + *3 ,: + йз
3) , =-------—- 4) х ==--------.
аг ab + ас
14
160. Бирлик кесма берилган. Ушбу кесмаларни
нсаиг;
1) л - К2|__________2) а 2 - У2;
3) х = 1^2 — V2 + К2;
4) х ~ ]АЗ) 5) х — ]^5.
161. Цуйидаги шартлярни цаноаглантираднган х бур-
14111(1111 ясанг:
,. , а л\ I a sin Л
1) sin л = 5 2) sin а = ----;
ь ь
. fl’ /X ak —
3) sin х — ; 4) cos л —--------;
' & аг + Ь*
5) tg А — - .
ь V а* — *<
162. Юзи берилган тугри туртбурчак юзига тенг
ва асоси маълум булган тугри туртбурчак ясанг
163. Юзи берилган тугри туртбурчак юзига тенг
к надрат ясанг..
164 Юзи берилган иккита тугри туртбурчак юзла-
piniuiir йигиидисига тенг квадрат ясанг.
2
165. ’Юзи берилган квадрат юзининг — цисмига
тенг квадрзт ясанг.
166. Доирага юзи берилган квадрат юзига тенг бул-
ган ички тугри туртбурчак чизинг.
167. Доирадан ташцарида шундай нуцта ясангки,
упдан утказ! лган уринма узунлиги марказ орцали Ута-
диган кесувчииинг узунлигидан икки марта цисца бул*
сип.
168. Айлашдан ташцаргдаги нуцтадан шундай туг-
рн чизик Утказингки, унинг айлапч билан кесипв-ши-
лан косил цглинган кесмаси берилган узунликка тенг
булсин.
169. АВС учбурчак берилган, бу учбурчакнинг асо-
сига параллел булиб, унинг юзини тенг иккига була-
диган тугри чизик утказинг.
170. Дшмегри I га тенг доирага юзи т2, га тенг
нчки ту<ри |уртбу[,чак ясанг.
171. Учбурчакка юзи тг га тенг ички тугри турт-
бурчак ясанг.
15
172. Трапецияда асосига параллел килиб, диагонал-
ларп билан кесишганда тенг уч булакка булинаднган
кесузчи утказинг.
173. Радиуси /?, га тенгдоирага ички квадрат ясал-
ган, квадратга ички дойра ясалган, бу дои> ага яна
ички квадрат ясалган, унга ички дойра ясалган ва к. к.
Юзи ^осил булган хамма доиралар юзларининг йигин •
дисига тенг дойра ясанг.
174. Икки томоии: Ь. с ва улар орасидаги бурчак*
Винг биссектрисаси I берилган учбурчак ясанг.
175. Гипотенузаси ва тугри бурчагининг биссектри-
саси берилган гуг[и бурчаклн учбурчак ясанг.
I боб
ЕВКЛИД ФАЗОСИНИ ХОС ЭМАС ЭЛЕМЕНТЛАР
БИДХН ТУЛДИРИШ. ПРОЕКТОВ ФАЗО
5-§. ЕВКЛИД ТЕКИ< JIHI llilli ХОС ЭМАС ЭЛЕМ1-НТЛАР
Б’.’ЛАН тулдир; 11J
170. Тугри чмзикда куйидаги нудталар узларшинг
декарт ксординаталари билан берилнан:
Л(1) Д(- 2), С(0), о(-~
\ 6
Шу г.уцталарнниг бир жвнслп коордииаталарини то-
пинг.
177. Туг и чпзицда декарг репера 0(0), Д(1) нук-
тз. -'р.пи! и ораг. Шу тугри чизицдаги кос эмас пук-
lai i пр и.пнгли ко(>рдина13л.'|рш1Т1 тонинг.
178 Текнелик.ча марка:»’ X иуцтада булган даста
гугуи чизиклари билан а тугрн чизик нуцталари ора-
zi:w биектив мослик урнатлган. а тугри чизицнинг
хос эмас пуктасига дастанинг цайси тугри чизиги мос
келади?
179. Евклид текислигпда айлана берилган. Шу ай-
лананипг диаметрал карама-царши нукталарини Л1 туп-
ламиинг нуцталари деб карался, бу тупламнинг проек-
тиз тугри чизиц булишини курсатинг.
180. Берилган иккнга Л, В нуцталардан тугри чи-
зик утказинг. Бу нукталардан бири ва- иккаласи хос
эмяс булган холни куринг.
16
181. Кенгайтврилган Евклид тугри чизигида цуйи-
Л1Н и иумалар бир жинсли координаталари Силан бе-
рнлган:
А (1:1) 5(2:3), С (-3:- 5),
5(1:0). 5(0:1). 5(1:1).
Шу нуцталарнииг декарт координаталарини топинг.
182. Евклид <| азосида сфера берилган. Л1 тунлам-
HI1IH' иуцтасн деб, шу сферанинг диаметрал карама-
цнрнш пуцталарини тугри чизиц деб катта дойра ай-
л.ши ппппг диаметрал карама-царши нуцталари жу-ф-
niuitur туиламини царалса, М туплам проектив текислик
оулишиии курсаишг.
183. Евклид текислигида цуйидаги нуцталар узла-
рннинг декарт координаталари билан берилган. Шу
нуцгаларнинг бир жинсли координаталарини топинг:
4(2.5), 5(—3,1\ 6(4, -2), £)(—1,5), 5(1,0),
0(0, О).
184. Цуйидаги тугри чизнцларнинг бир жинсли го-
ордииаталардаги тенгламасиии тузинг:
а) 2х З у тг 1 = 0; б) х -}- у — 5 = 0;
в) 3» —у + 2 = 0; г) х = 0; д) у = 0.
185. Кенгаптирил/ан текислик хос эмас. тугри чизи-
гвинпг бир жинсли коордниаталарда ёзилгач тенглама-
(IIHII тузинг.
186. 3% —5у4-1 =0 тугри чизицдаги хос эмас нуц*
гашиш бир жинсли координаталарини топинг.
187. Куйидаги берилган нукталар жуфтидан утувчи
тугри чизиц тенгламасиии тузинг:
•-') Д(1 :0:1) ва 5(1 :1-: - 1);
б) 6(1:4:3) ва D (2: 1 : 3);
I») 5(2: -1:0) ва 5(0 : 1 : 0);
Г) 6(-2:->: I) ва Я(з: -2: 1),
А) /<(1 :1: - 1) ва L(~ 1:0:1).
188. Куйидаги тугри чизицларнинг кесишган нуцта-
ciiiiii топинг:
2л’! + х2 + л‘3 = 0 в a 3Xj + Зх2 ф- 2х3 =» 0.
189. Х<1с эмас нуцта Ва. ва а тугри чизиц берил-
IUH. Улар орцали утувчи текислик тенгламасиии ту-
чи пг.
I г (О
17
190. Хос эмас тугри чизиц Ьа ва А нуцта берил-
ган. Улар орцали текислик утказинг.
191. Учта хос эмас Ап, Вх, С№ нуцта берилган.
Улар црцали текислик утказинг.
192. Хос эмас Аа нуцтадан утиб, айцаш Ь, с тугри
чизицларни кесиб утадиган тугри чизиц утказинг.
193. А (4 : — 2: 5) нуцта ва лг, 4- — 0, —
— л2+4л8 —0 тугри чизицларнинг кесишиш нуцтаси-
дан утадиган тугри чизиц тенгламасини тузинг.
194. М (1 : 1 : 6) ва N (2: — 1:0) нуцталардан утув-
чи тугри чизицнинг 2х, 4-л2 4-х8 = О тугри чизиц би*
лан кесишиш нуцтасини топинг.
195. 1(уйида туртта ту'гри чизиц берилган:
а: %, -}- л2 — л3 * 0, b : 2xt -J- л2 — 2х3 == О,
с: х1 — х3 — х3 «= 0, d: 2xt — л2 -J- 2х3 «= 0.
7И — anb, jN = cnd булса, MN тугри чизицнинг тенг-
ламагини тузинг.
196. А (1: 2: — 3) нуцта ва 2xt — ха 4- Зх3 = 0 туг-
рп чизицнипг хос эмас нуцтасидан утадиган тугри чи-
зиц теигламасинн тузинг.
197. х, —л24-л3 = 0 ва xt 4- 2х2 4- Зх3 = 0 тугри
чизицларнннг хос эмас пуцталаридан утувчи тугри чи-
чиц теигламаспни тузинг.
198. А (ал : а2: о3), В (bt: Z>2: b3), С (ct: с2: с3) нуцта-
ларнипг бир тугри чизицда ётиш шартини топинг.
199. Олтита А, (7 = 1, 6) нуцга берилган: А, (1: Ох
:1), А2(0:1:1), А3(3:4:5), Л4(1:0: — 1), 4(0:
: — 1: — 1), Ао (—3:4: 5). Агар A, As п А4А5 Q —
АгА , 11 44,> =” 44 о 44 булса, бу нуцталарнинг
бир Tvipn чизицда ётиншни курсатинг.
200. /1(—4: —2:1), В (2 : - 2 : 1), С(0:7:1),
С, (2: 8:1), 4(8: 1:1). At (10:3:6) нуцталар б ери л-
гаи. АН ва А,В,, ВС ва В^, АС ва AtCt тугри чи-
зпц'шрнпнг кесишиш нуцгалари коллинеарми?
201. Олтита нуцта берилган: А (10:5:1), В (8 :1:1),
С(2:8:1), Р(-4:-2:1), 0(2: —2:1), О (0 : 7 :1).
А/?, BD, СО тугри чизицларнинг бир нуцтада кеси-
шншини текшириб куринг. A, D, О нуцталар колли-
неарми?
202. Иккита учбурчак учларининг ксюрдинаталари
маълум: А (4 : 2: Г), В (2 : - 2:1), С (0:7: 1), At (10:
:5i 1), (8 :1:1), С, (2:8:1). АА, билан BBt нинг
кесишган нуцтаси ССг га царашлими?
18
6-§. ПРОЕКТИВ КООРДИНАТАЛАР СИСТЕМАСИ
203. Кепгайтирилган тугри чизиода репер Л,, Л2, Е
1 <нуц|.тлардан ибораг. Уларнинг бир жинсли проекгнв
координаталари цуйидагича 6J лии-ини к^рсатинг:
/1,(0: I). Д(1 :0). 2Г(1:П.
204. .$ тугри чизицла А,, А2, Е проектив репер бе-
рнлг.тн. Куйидаги нукталарни ясанг: Л( — 2: 1), £(3:
: I), Г?(3:2). /Д5:2).
205. d тугри чизи^да /?={Л0, Alt Е^} проектив ре-
1 пер берилган. 1(уйидаги нуцталарни ясанг: /»1(—1:1),
Л/(1: 2).
20<>. d тугри чизивда /?=[Л0, Л,, Е\ репер берил-
, tun До, А, нукталар d нинг хос нуцталари булиб, Е
1 ну Kia Л(>/1| кесманинг уртаси булса, d нинг хос эмас
iiyijaciiUHiir координаталарини допинг.
207. d тугри чнзикда Л,„ Л! нукталар берилган. d
пинг хос э.ас Ма нуцтасипинг R = (Ло, Л,, Е\ репер-
дагн координаталари (—1:2) эканлиги маълум; Е нинг
координаталарини допинг.
208. d тугри чнзикда /?==[z"0, Хю, Е\ проектив ре-
пер берилган. А1(2:1) нуктани ясанг.
209. Кенга; тирилган текисликда {Л,. Л2, А3, Е\ ре-
пер берилган. Репер учлари координаталарининг цуйи-
/пнича булишини курсатинг: Л^];! : 0), Л.9(0:1:0),
Л;|(О:0: 1), £(1 : 1:1).
210. Текисликда = Л2, Л3, Е\ проектив ре-
пер берилган бу.:са, куйидаги координаталари билан
берилган нукталарни ясанг: Л (1:2: .), /3(0:2: 1),
С('.:0:1), D(-l:3:l), £(0:2:- I).
211. Текисликда R «= {Л,, Л2, Л,, Е\ проектив ре-
пер бери Iran. Агар Л, А,Еп Л3Л3. Л2 — А.,ЕП Л,Л3,
- Лх/:'пЛ,Лг булса. Ль Л2, Ла нукталарнинг R ре-
перен нисбатан координаталарини допинг.
212. R — (Лп Л2, А3, Е\ проектив реперга нисбатан
а тугрн чизик берилган: а(1:2: —2). Шу тугри чи-
ни «ии ясанг.
213. Проектив тугри чнзикда иккита R ва R' репер
бери .гаи булиб, коордннаталарипнг алмаштириш фор-
( ?х + х\
мулзлари куйидагича * булса :
рл, — 2л\ — л,
. а) Л(1: — 1), B(0:1), С (3:1) нуцтапаркинг
R' га нисбатан координаталари буйича R даги
координаталарини топинг;
б) £>(0:1), £(1: —1), £(2:7) нуцталарнииг
R га нисбатан координаталари буйича R' даги
координаталарини топинг.
214. Проектив тугри чизицда иккита /?={Л,, Л2,
£,} ва/?' = (Л)', А'2, £') репер беричган. R га нисбатан
А\ (—1:3), Л'(1:2), £J(—2:1) булса, координата-
ларнинг алма птириш формулаларини ёзинг.
215. Проектив тугри чизицда бирор реперга нис-
батан R репернинг базис нуцталари берилган: Л( (1 : 0),
/12(1:3), £(1 :—3). Агар Л, В, С нуцталарнииг /?' га
нисбатан координаталари мос равиида (1:1), (2:—3),
(0:1) булса, уларнинг R га нисбатан координататарини
тош нг.
211». Цуйидаги берилгаиларга асосан R= |Л,, Л2(
Л.„ /:) реиерни R' -= | Л', Л', Л', Е'\ реперга утказув-
чи алмаштириш формулаларини топинг:
а) Л; (1:1:1), Л'(0:1 :0), Л', (1 :0:0), Е' (0:0:1);
б) Л' (1 :0: — 1), Л' (2:1: 0), Л' (0:0: 1), £'(3: 1: 0);
в) Л;(1:0: - 1), Л'(2: 1 :0), Л'(0:0: 1), £'(1 : 1:2)..
217. Тугри чизицдаги проектив алмаштириш берил-
ган:
рх\ — Зл\ -ф 4х2,
рх? -= 2-V, -Т Злу,
:0 тескари а.:м:ии.ирппшинг аналитик ифода-
< или;
о) наше нуцтадарнинг образишц
н) паше нуцгаларнинг ас.типи топинг.
2IK. Г. три чизицдаги проектив алмаштириш х' —
- * 1 Формула билан берилган, £(—2), Л(—5) нуц-
таларпппг образларини аницланг.
219. Тшш/ликдаги коллииеар алмаштири :: берил-
ган:
рл-j = г, ~ 2 г„,
рл-2 X. — 2д-3,
, рх\1 = ?<2.
20
Цуйплш и 'i.ipiui .чин',.i;nir:
и) .1(1 : I : - 2) нуцтанппг образини;
6i /• ( 2:2:1) нуцтннинг аслиии;
к) /: ZV,-| -'з —О тугри чизпцнинг образини;
। I т : 2 1, -|- -'г + л3 = 0 ту гри чизи^нинг аслини.
2'20. Цуни i.iru коллииеацняларнинг кузгалмас нуц-
ltir>i<i|iiiiiii 'loiiiiHi:
Л) (М| — ла-|-.г,, б) ( рП = Хп
(• V.’ •" .У, -|- Х3, I pXj — х2,
I'' 1 Д'| -I- х2; I рА'з = х, — х3;
п) р.п -= 4хг — х2,
рЛ-2 = 6Xj — Зх2,
рл'з — х, — х2 — х3.
221. Ушбу проектов алмаштирши берилган:
pxi = — 9х( — 6х2 — 2х3,
Р%2 == 11 xt + 5л'2 -р 9х3,
рл’з = л'1 -}- х2 -f- -^з-
AtA.j тугри чизикнинг образини ва 2л, —Зх3«0 тугри
’истциипг аслиии топинг.
222. Kyiii/iarn лроектив алп'аштириш берилган:
рХ] =• х2 4* Xg,
рхг = х, 4- л-3,
. рхз == X, 4- х2.
Цуйидагиларни аниклапг:
а) ДД2 базис тугри чизицнинг образини ва ас-
лини;
б) Л1 (1:—2:1) нуктанинг аслиии.
223. Куйидаги алмаиипришларнинг цузгалмас нук-
таларинп топинг:
а) ! pxi == Зхц 4- х5, б) I pxi = 2х, 4- х2;
I == 2х1 4- Зх2; I рхг = 2х3 4* Зх2;
в) / ?.vj ==2х, 4 х2,
I р.х2 = Xi 4- 2х2.
21
224. Тугри чизицдаги проектив алмаштириш у
жуфт мос нуцталари билан берилган. Алмаштиришниш
аналитик ифодасини топинг:
а) Л, (1:1) — Л! (1: ~ 1); £, (1: 0) - В\ (2: 1)
С, (1:1)- Ci (1:1);
б) А2(2: 1)- Л'_(8: 7); £,(1: - 1)->£'.(1 :-1)
С2(0:1) -G(2:3).
в) Л3(1: 1) -> Х(0:1); В3 (2 : 1) - в’А (1 : 3);
Cg(3:1) — Сз(2Г:5).
225. Икки жуфт мос нуцталари билан берилган игг
волюцияиинг аналитик ифодасини топинг;
а' Л(1 :2) —А'(5: -3);
Н(\ : - 1) «- . В'(- 1:0);
о) А(1 :())<--,/1'(1 :2);
/>’(<>:>)—•//( 1 : - 1);
и) Л(1:1)- •/!'(! : - 1);
В(\ -/Г (2:1).
226. Уилу пннолюцпяларпинг турларини аницланг:
а) | (М11 - л-, 4- 2 v 2, б) ( пх{ = 2xt — 4-v2,
I pt — -a2; l r>x2 = xt — 2x2;
h ) I ' । ', I '2,
I \, \...
227 </ num цпидпп Mt'inaмарнда цуйидаги инво-
люции । niiup hi.iiik, i-.aii.i.ni ципматларнда эллиптик бу-
лл ли.
I >ai axt — хг,
i рхл — 2л, — ax2t
228. Текисликдаги коллинеация турт жуфт мос нуц-
талар билан берилган. Унинг аналитик ифодасини то-
пинг;
а) Л (0: 0:1) -- Л' (2: 3 : — 2),
£(1:1:1)- £'(3:5: - 3),
С(2:0: 1)-С'(6:7: - 4),
0(0: 1 :0)-£:'(! :3:0);
22
П) Л('.!: 1 : I)-A'(2t I :5),
//(I 1) • /Г (2: — 1 :3),
t.’( I : 1:1), (/(- 1 : 2:3),
//(-- 1:1: 1) - Л»'(1:2:1);
it) A (1 : - 1 : 1) /Г (1 : - 1:0),
Л(1 : I : 1) , A'(| : 1 :0),
< c.!:n: I) >C'(2:0:1),
/>(<»:<>: 1) , //(0:0:1).
22!) Коллииеар булмаган учтя А, В, С нуцтани Л',
//', iiyiiiii.iapra утказувчи чексиз куп проектив ал-
MiintiiipiiiiMiip мявжудлигини курсагинг.
2 И), Икина ихтиёрий d, g тугри чизицларни их-
ц|ёрнй tl', g' тугри чизицларга утказувчи чексиз куп
1 пр«Фкпп1 ялма нтиришлар мавжудлигиии курсатинг.
231. Текисликда /? = {Л„ Л2, Ла, £) репер берил-
гли. Л,Ла тугри чизицни AtA-j тугри чизицка утказув-
чн бипор проектив алмаштириш топинг.
232. + а2х2 + а3А3==0 тугри чизицни хх =0 туг-
ри чизицца утказувчи бирор проектив алмаштириш то-
1Ш11Г.
233. Л8, А,, А2, В базис нуцталарни мос равишда
Л2, Дц, В, Л, нуц1аларга алмаштирувчп коллинеация-
IIHIII' аналитик и . одасини топинг.
234. Цуйидаги коллииеацияларнинг турларини аниц-
лвпг:
а)
pxj = А, — Аз,
рАг = а, + л з,
РАЗ = 2.Т| — 2х> + За3;
б)
рА1 --= А2 + А’з,
рХ-2 = А, + А,,
рАз = А] -j- л2;
В) ( рА1 = А, — 2а2,
"i рА.| —: 2А| А 2,
I рАз = А3.
235. Гиперболик гомологпяпииг аналитик и.|юдасини
цуйидаги курииишга келгпринт мумкип эканлигини пс-
боглаиг:
pAj = *1,
рА> = ах2 -I- Ьхъ,
рАз = с г2 + dxs.
23
236. Параболик гомологиянинг аналитик ифодасини
куйидаги куринишда ёзиш мумкин эканлигини курса»
тинг:
pXj = Xt + х2 + х3,
рхг = х2 4- сх3,
рх3 = dx3.
237. Гомологиянинг маркази S, уци s ва бир жуфт
(Л; А') мос нуцталари маълум.-Берилган т тугри. чи-
зицнинг хос эмас нуктасига мос келувчи нуцтани ясанг.
238 Д(0:0), 23(0: 1), С(1 : 1), 0(1:0) квадратна
А (0:0), £(—4:1), С(0:2), 0(4:1) ромбга алмашти-
рувчи коллинеация топинг.
239. \г = 4л параболани a2+v2=1 айланага утка-
зувчи коллинеар алмаштириш топи- г.
2-10. Гомология маркази S, уки s ва бир жуфт (А:
: .-V) мог нуцталари билан берилган. АА' тугри чизиц-
ка царин-'л» бужан Л1 нидага мос нуцтани ясанг.
111 боб
ПРОЕКТИВ ГЕО У-ЕТРИЯНИНГ
АС0С1Ш ФАКТЛАРИ
7-Jj ’JKMiJiJiK (ДУЛЛЛНК) П' ИНЦИПИ.
ДИЗл! ’ 'I iД-Р г-д; .{,и
241. Цуйгда: и (J i!i ? p.-'.i:ipr.'i кнч!к за катга иккилик
прин! ин.! б-вина г.аплай фш >ралар мос келадп:
;i) Бирин'!: гарнДлп ка!Ор -мир тугри чпзицка ца-
pdijj.j- л-;,-I .'.-.'.-ip '1 ун-тами;
б) -I ., jpii чизпклар ласта, н—текпслпкдаги бир нуц-
тадан j rraii тугри чизицлар туплами;
в) текьсликлар .лзсгаси—бир тугри чизик орцали
утган текис/шклар тугдама;
г) ясси майдои--бир текисликдаги нуцталар (тугри
чизнцлар) тупламн;
д) тугри чнзиклзр богламп— фазодзги бир нуцтадан
утган ^амма тугри чнзицлар титлами?
242. куйидаги жумлаларга кпчик иккилик припцнпи
буйича мос келувчи жумлаларни ифодалаб беринг:
24
ii) iii ini hi ivp.'iii А, В иуцталар бнтта ва фацат бит-
1И tVrpn 'нмнцца царашлидир;
П) "iriiii тугри чизицца цараптли булмаган учтя
нуцн1 мшокуддир;
в) Пир тугри чизиц ва унда ётмаган нуцта фацат
Лиин Irian .тикни аннцлайдп:
i) Gurin тугри чизицда ётган учта нуцта мавжуд-
лнр.
243. Куйндагп жумлаларга катта нккилик принципн
луПнчп i.iii'iaii жумлалар мос келади:
и) \ир цинний текисликда бир тугри чизицда ёт-
мц> пи учн1 нуцтп мавжуддир;
п) \ир цпнлаП тугри чизиц орцали камида иккита
нчиклни ушли;
и) учбурчак деб бир тугри чизицда ётмаган учта
цуц|ц пи уларпи туташтиришдан цосил цилинган учта
•Угри чилпцдаи иборат фигурага айтилади?
244. текисликда 1-чизмада курсагилганлек ясаш
гижирнл!ан: а текисликнинг ихтиёрий ,И нуцтаси шу
шкнглнкдаги АВС учбурчакнинг учлари бнлан туташ-
iiipiMirnii. Бу тугри чизицлар учбурчакнинг ВС, АС,
АВ |<>монларини мос равишда Ло, Во, Со нуцталарла
। и» иди, Патижада /\АВС га ички чизилган дйс Во Со
Ми нл цилинади. Катта нккилик приниипи буйича 1-
чн'мпги мос келадиган чизмани чизинг.
245. Текисликда иккита: АВС, АгВ}С, учбурчак
учлпрннннг координаталари берилган. Дезарг теорема-
гндиги шартнинг бажарилишини текшириб куринг:
а) Л(2:-1:4), В(2:2:1), С(7:0:1), 4.(5:10:1),
/<,(-1:8:1), С,(-8:2:1)|
б> /1(0:-6:1), В(-5: -5:1), С(-3:0:1), Д(0:
:(1: I), В,(о:5:1), С,(3:0: 1).
56
245. Тек исликда Д«={А,, А2, Ая, Е\ проектив репер
берилган. Агар А,ЕпА2А3 == Аъ А> =-^2»
Ajfcf]A,Aj = A3, S = AjAjfiAiA^, Р — А2А3р}А2Аз, Q =
= AjAjfiAiAa булса, S’, Р, Q нуцталарнинг коллпнеар-
лигини исботланг.
247. Проектив текисликда олтита нукта берилган:
А(0; 5; 1), £(0:2:1), С(0: 7 : 1), Р(- 1 : 1 : 0), 0(3:
: 2 :0), 0(2: —2:0). АВ ва PD, ВС ва DO, АС ва РО
тугри чизикларнинг кесишган нукталаринп топинг. Бу
иуцталар бир тугри чизицда ётадими?
248. АВС, АХВХСХ учбурчаклар учларининг коорди-
наталари маълум. Бу учбурчаклар Дезарг учбурчак-
лари буладими:
A(-4:2:l), £(2:-2:1), C(0:7:l), 0,(2: 8:1),
£,(8:1 : 1), А,(10:5: 1)?
249, Дезарг теоремасидан фойдаланиб, учбурчакнинг
медианалари бир нуктада кесишганлигипи исбот килинг.
250. Евклид текпслигида трапеция т^ртбурчакка
ички чизнлгаи булиб, унинг параллел томопларп турт-
бурчакнинг битга диагоналига параллел (2-чизма).
Трапециянинг параллел булмаган томонларининг ке-
сишган нуктаси туртбурчакнинг бош^а диагоналига
царашли эканлигини курсатинг.
251. Текисликдан ташцарида ётгаи М нуктада ке-
сишадиган т, т' тугри чизицлар ва уларга карашли
булмаган А’ нукта берилган. ALV тугри чизикни ясанг.
252. ABCD трапецияни АВ асосига параллел булган
р, q тугри чизиклар кесиб утган (3-чизма. Агар
2-чизма,
а-чизма
2S
pf}AD = Al, = P, = A', yffEC = Q булса,
ft=MNf]PQ нуцтаиипг AB тугри чизицда ётишини ис-
ботланг.
253. Текисликда a lyrpn чи:-иц, унга царашли АВ
кесма ва унипгургаси С нуцта берилган. I тугри чи-
зицнинг Л1 (М£а) нуцтасидан а тугри чизицца факат
чизгичдан фойдаланиб, параллел тугри чизиц утказинг.
254. Иккита параллел а, b тугри чизиц ва уларга
царашли булмагаи С нуцта берилган. Дезарг теорема-
сидан фойдаланиб, С нуцтадан берилган тугри чизиц-
ларга параллел тугри чизиц утказинг.
255 Евклид текислигида параллело! рамм ва унинг
томонларига параллел булмагаи I тугри чизиц берил-
ган. Фанат чизгичдан фойдаланиб, / тугри чизицда бн-
рор кесма ясаб, унинг уртасини топинг,
256. Евклид текислигида битта айлана, унинг мар-
кази ва айлана билан кесишмайднган I гугри чизиц
берилган. Факат чизгичдан фойдаланиб, I тугри чи-
зицда бирор кесма ясаб, унинг уртасини аницланг.
257. АВС, А1В,С1 учбурчЗкларда АВ\\АХВХ, ЛСЦДС,,
ВС\В,С, булса, ААХ, BBit СС, тугри чизицларнинг бир
нуцтада кесишиши ёки параллел булишини исбот Ки-
линг.
258. АВС, А^ВуС' учбурчакларда AAt I] ВВ^СС,,
АВ и АХВ„ AC f| ДС, булса, ВС || Д,С( эканлигини ис-
бог цилянг.
2- ТУР I ТА НАЦ!АНИНГ МУРАККАБ НИСБАТИ
259. Туртта нуцтанинг мураккаб нисбати (ABCD)^
=л булса, цуйндаги тенгликларнинг тугрилигини ис-
ботланг:
а) (АВВС) = б) (АСДГ))=1-Х;
Л
в) (ACDA)== -L ; г) (ADBC)- ^ ;
1 — X X
д) {ADCB^~^-.
260. Тугри чизицда .4, В, С нуцталар берилган
булиб, шу тугри чизнцнипг ихтиёрий D нуцтаси учуй
(ABCD) = X булса, А, В, С иуцталарга мос келувчи
сонларни топинг.
261. (AiBCL)^) = (АДС) эканлигини исбог цилинг.
27
262. Тугри чизицда бешта: А, В, С, D, Е нуцта бе-
рилган булса, цуйидаги тенгликнинг бажарилишини
исботланг:
(ABCD)=
(АВСЕ)
(ABDE) ~
(АВС)
(ABD) '
263. Мураккаб нисбатнинг хоссаларидан фойдала-
ниб, бир тугри чизицда ётган А, В, С, D, нуцталар
учуй цуйидаги тенгликнинг бажарилишини курсатинг:
АВ-CD + АС-DB -J- AD ВС = 0.
264. S(a, b, с, d,...) даста тугри'чизицлари билан
s(A, В, С, D,. . .) тугри чизиц нуцталари орасила
перспектив мослик урнатилган. (ABCD) = (abed) экан-
лигини исбот Ц11ЛИНГ.
265. Евклид тугри чизигида туртта нуцта узининг
координаталари билан берилган; Af?,), В(^), C(s3),
D(?t) (ABCD) ни цисобланг.
266. Тугри чизицдаги нуцталар узларининг бир
жинсли координаталари билан берилган:
B(b,:b2), С(с,:с2), D(dl:d.i)- Уларнипг мураккаб нис-
батини цисобланг.
• 267. Агар бир тугри чизицда А. В нуцталар берил-
ган булиб, С = А-}- )~В, D—AA-pB булса, (ABCD)—~
эканлигини исбот цилинг.
268. Маркази координаталар бошида булган дастага
царашли
: у = kxx, as: у = k.x, а3: у = ksx, at: у = ktx
туртта тугри чнзицнинг мураккаб нисбатини цисобланг.
269. А,(1: —1:2), А,(0:1:2), А,(1 :0:4), А4(2: —
— 1:6) нуцталарнииг бир тугри чизицда ётишлигини
текширииг ва (AtA2AsAt)=% экаплигини курсатинг.
270. Цуйидаги берилган туртта тугри чизицнинг
битта даста тугри чизицлари эканлигини исботланг ва
уллрнинг мураккаб нисбатини цисобланг:
а) а : х, — 2х2 + х3 = О,
А: х2 д- х3 — О,
с: хх — л'3 == О,
d : лц — х2 — 0;
б) а : х2 — О,
b: л, — л'2 = О,
с : Злц — х2 === О,
d : 5х, — х2 = 0.
271. АВС учбурчакнинг С учидагп ички ва ташци
бурчакларининг биссектрисалари царшисидаги АВ го- '
28
монии Р, Q пуцталарда кссса, А, В, Р, Q нукталарнинг
гармоник т^ртлнк ташкил кнлишипи, яъни (ABPQ)=>
=—1 тенгликин исботланг.
272. а, b тугри чизицлар С нуктада кесишади. Агар
€, d тугри чизиклар а билан b ташкил цилган ички ва
ташки бурчакларннинг биссектрисалари булса, (abcd)=
= —1 экаилнгини исбот килинг.
273. АВС учбурчакда СМ медиана ва СХ\\АВ туг-
ри чизик утказилган. (СА СВ СМ СХ)=—1 эканлигини
исбо гл ан г.
274. Тугри чизицда учта А, В, С нукта берилган.
Тугри чизикда шундай D пуктаип ясангки, (ABCL) =
=2 булсин.
275. л, + xi + тугри чизик А' |А,, А2, А.,, /:|
ренернннг томонларпни Л/)э М2, М3 пуцталарда кссади.
(AtA2EM3) = (AiAj/j.lL) = (А2Д..А’Л/,) — 1 экан.тп-
ГИНИ исбот КИЛИНГ.
276. Маркази хос эмас нуктада булган дастанииг
учта тугри чизиги берилган: Уларга гармоник
булган туртинчи d тугри чизикни ясанг.
9- §. ТУЛИЦ ТУРТБУРЧАК ВА УНИНГ
ГАРМОНИК ХОССАЛАРИ
277. Тугри чизикда А, В, С пукталар берилган.
Факат чизгичдан фойдаланиб, берил! аи нуцталарга i ар-
моник булган D нуцтапи ясанг.
2/8. Дастага царашли а, Ь, с турри чизицлар берил-
ган. Фацат чизгичдан фойдаланиб, уларга гармоник
булган туртинчи тугри чизикни ясанг.
279. Тугри чизикда AfxJ, В(х2), C(xs), пук-
талар берилган. (ABCD)——1 булиши учуй нуктанинг
координаталари кандай шартни бажариши керак?
280. у = ’), х = 0, y = kx, у = --Лл тугри чизиклар
гармоник жойлашганми?
281. Никита параллел а, b тугрн чизнцлар .цамла
уларнииг бирнда АВ кесма берилган. Фаца1 чизгичдан
фойдаланиб, АВ кесмаии тенг иккига буладнгап Пук*
тани топинг.
282. Иккита параллел а, b тугри чизик ва уларга
царашли булмаган С нуцта берилган. Фацат чизгичдан
фойдаланиб,, С нуцтадан а га параллел тугри чизик
утказинг.
2^3. ABCD параллелограмм ва унинг маркази S
нукта берилган. Параллелограммнннг диагоналлари ст-
29
гаи тугри чизицлар билан S нуцтадан параллелограмм»
нинг томонларига параллел цилиб утказилган тугри
чизицлар узаро гармоник жойлашганлигини исбот ци-
линг.
284. Евклид текислигида параллелограмм берилган..
Фацат чизгичдан фойдаланиб, унинг диагоналларииинг
кесишган нуцтасидан томонларига параллел тугри чи-
зицлар утказинг.
285. Евклид текислигида АВ кесма, унинг уртаси С
нуцта ва АВ га царашли булмагаи М нуцта берилган.
Фацат чизгичдан фойдаланиб, .И нуцтадан АВ га парал-
лел тугри чизиц утказинг.
286. ABCD трапеция диагоналларииинг кесишган
нуцтаси Л1, ён томонларининг кесишган нуцтаси N,
асосларининг ургалари Р, Q нуцталарнинг коллинеар
эканлигини исбот цилинг.
287. Евклид текислигида иккита параллел тугри
чизиц ва уларнинг бирида АВ кесма берилган. Фацат
чизгичдан фойдаланиб, 2 АВ га тенг кесмани ясанг.
288. 5 дастанинг с тл'гри чизиги «, b тугри чизиц-
лар ташкп.т цилган бурчакни тенг иккига булади.
(abed)— — 1 шарг бажариладиган 5 дастанинг d тугри
чизигини ясанг
289. S дастанинг а, Ь, с тугри^чизицлари берилган
булнб, с±а шарт бажарилса, Да, Ь) га тенг бурчакни
факат чизгич ёрдамида ясанг.
290. ABCD трапецияда: >4£|1С£>, P = CB[\AD, Q =
= AC[\BD, X^ABftPQ, Y=CD[)PQ, K^AYftBD, 7 =
—АВдЦР булса, 217 = 1/3 AB эканлигини исбот цилинг.
291. Евклид текислигида иккита параллел тугри-
чизиц ва уларнинг бирида АВ кесма берилган. Фацат
чизгичдан фойдаланиб, АВ кесмани тенг уч циемга
бул ИН г.
292. Иккига параллел тугри чизиц ва уларнинг
бирида АВ кесма берилган. Фацат чизгичдан фойда-
ланиб, АВ кесмани тенг беш циемга булинг.,
293 АВС учбурчак томонларининг хос эмас иуцта-
лари В^, Ск дан иборат. Уларга гармоник булган
туртиичи Dx ни ясанг.
294. Л 'нуцтадан b, I тугри чизицларнииг чизмадан
ташцарисида кесишган D нуцтаси орцали утувчи тугри
чизицни ясанг.
295. Тулиц тургбурчакнинг уч жуфт царама-царши
30
томонларининг ихтиёрий тугри чизиц билан кесишиш
нуцталари битта инволюцияга царашли эканлигини ис-
ботланг.
10- §. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИЦЛАР ВА
УЛАРНИНГ ТУРЛАРИ
286. /?= {А,, А2, А3, £'] репер учларидан утадиган
иккинчи'тартибли эгри чизицнинг тенгламасиии тузинг.
297. Цуйидаги иккинчи тартибли эгри чизицларнинг
тенгламасиии каноник куринишга келтиринг ва улар-
нинг турларини аницланг:
a) 4xj-|-x2 2х|х,1 4- 2x2x,t = 0;
б) 20X2 + t0x,x2— 3x2xt "О;
в) xi-f-3xj — 4х(л\ — 4л'1Х. + 4х2х3 •= 0.
298. Кенгайтирилган евклид текислигида /?={АЬ
А2, А3, 2?) реперга нисбатан иккинчи тартибли эгри чи-
зиц—0 узининг тенгламаси билан берилган:
анх?4-а22Х2 4- а33х3 + 2anxtx2 + 2«13х1х3 + 2а23Х5Х3 = 0.
Бу эгри чизиц хос нуцталарининг геометрик урни ев-
клид текислигидаги одатдаги иккинчи тартибли эгри
чизицни ташкил этишини исботланг.
299. Узаро проектив иккита дастага царашли тугри
чизицларнинг кесишган нуцталари геометрик урни ик-
кинчи тартибли эгри чизицдан иборат эканлигини ис-
бот цилинг.
300. Иккинчи тартибли эгри чизиц узининг бешта
нуцтаси билан аницланишини исботланг.
301. Цуйида берилган нуцталардан утадиган иккин-
чи тартибли эгри чизиц тенгламасиии тузинг:
а) Ао(—4:0:1), /?о(О:0:1), Со(2: — 1:0); /3(5:
:-1 : 1U), £0(1 : 1 :О);
б) А,(1 :0:0), £,(0:0: 1), С,(0: 1 :0), £?,(2:2:1),
£,(0: -1 :2);
в)А,(0:1:0), //(0:0:1), C,(l : 1 : - 1), £),(2:
:4:-1), £,(1 : — 1 : 1).
302. Марказлари иккинчи тартибли цаторда жой-
лашган иккита дастанинг мос тугри чизицлари кесиш-
ган нуцталари шу чизицца царап’ли булса, бу икки
дастанинг проектив эканлигини исбот цилинг.
31
303. Ихтиёрий тугри чизиц иккппчн тар ними чн-
зиц билан энг купи билан иккита уму мин nyiyraia на
булиши мумкинлигини курсатинг.
304. Иккинчи тартибли эгри чнзицца кнчик inc и пн<
припиши буйича цандай фигура мос келадн?
305. Иккинчи тартибли эгри чизнцца царашли ' < iii-
та । уцта берилган: А, В, С, D, Е. Унинг япа би; неч-
т-т нуцтасини ясанг.
306. Уш Су
р*2 — х2,
/ • ,1
I Р^з = х, + - xs
проектив алмаштириш параболами цанлай чизицца ал-
маштирадн?
307. х* —у2—1 гиперболами х2+у2=1 анланага ал-
маштирувчи бнрор проектив алмаштириш юпинг.
308. Эуамма айланаларнинг (1:г:0) ва (1 : — z: 0)
нуцталардан утишини курсатинг.
11-§. ТУГРИ ЧИЗИК БИЛАН ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ
ЧИЗИЦНИНГ УЗАРО ВАЗИЯ1И
309. х, — х34-хя«=0 тугри чизицнинг иккинчи тар-
тиблн xf — 2х,ха х2 — Зх,д2 — Xj=0 чизиц билан ке-
сишган пуцталаринп топинг.
310. Куйндагп маълумотларга асосан х?—2х,х2-|-х2—
— За. у., a' (I iiKKiiipiii тпртнблн чнзпцнннг АВ тугри
чи.шц билан кесншган нуцтнларнпп пн.....
а) /.(I : 7 : 2). В(7 : - 1 : 0); б) И(1 : 1 : 0), B(-l t
: I : 10);
в) Z(1 :2: 1). В(\ :(): — 1).
311. 2Г|Х2 - г,г, -Х| v, =0 квадриканинг х, + х,-= 0
тугрн чнанцца (0:0:1) пуцтада уринишини .исботланг.
312. vj - Ay । у,.Гц— о квадриканинг ^4(1 :2:3) пуцтн-
сидагн \ рннма ге шла мнении тузинг.
313. .4(1: 0:0) нуцтадан х2+ 2x1 — XjX2 - 5 v;.x:, — 0
квадрика!а урннма утказпнг.
314 3\, | 4л2 — 40 — 0 тугри чизицншн л/|л2 —
32
— 10л,л-3 = О квадрикага /(4 : 7 :1) нуцтада уринишини
исбот цилинг.
315. «,,Л1 + а.12кч + о33лз + 2о12л,хг + 2о|3л,х3 4-
4-2а23х2л3 = 0 чизицнинг хос эмас нуцтасида унга
утказилган уринмасининг тенгламасини топинг.
316. Иккинчи тартибли эгри чизицнинг туртта нуц-
таси ва уларнинг бирида утказилган уринмаси берил-
ган булса, чизицнинг яна бир-икки нуцтасини ясанг.
317. Иккинчи тартибли эгри чизицнинг учта нуц-
таси ва бу нуцталарнинг иккитасидан утказилган урин-
малари берилган. Шу чизицнинг яна бир нечта пуцта-
сини ясанг.
318. 31 т- масаладаги чизицнинг хос эмас тугри чи-
знц билап кесишган нуцталаринн топинг.
12-§. ЦУТБ ВА ПОЛЯРА
319. Куйидаги нуцталар жуфтининг цайси бири
xj-yxl + 2х,х3 = 0 квадрика билан гармоник эмас:
а) Д(1:1:1), 1: - 1 : - 1);
б) Д2(—1 :2: 1), Я2(1 :2: - 3);
в) Л9(0: -1:1), Д,(1 : 1:0).
320. /1(1 : — 1 :(.)) пуцтанинг х24-4х,х3=0 квадрика-
га инсбатаи иолярасинн топинг.
321 За, — х2 — х3 = 0 тугри чизицнинг —Xi + xj-f-
4-л'з — 2х,л2 = 0 квадрикага нисбатан цутбини топинг.
322. k- квадрика ва унга царашли булмагаи А нуц-
та берилган Фацат чизгичдан фойдаланиб, А нуцтанинг
поляра’инн ясанг.
3'3. Айлана ва унинг ташцарисида нуцта берилган.
Фацат чизгичдан фойдаланиб, шу нуцтадан айланага
уринма утказинг
324. Иккинчи тартибли чизиц к1 нинг иккита Р ва Q
нуцтада утказилган уринмалари берилган. PQ тугри
чизиц цутбини топинг (ft2 нинг узи берилмаган).
325. а'14-Х2—xl + 2x,x2 + 4-х,х8 — 0 квадрикага нис-
батан /1(—3:1: —3) нуцтага гармоник цушма булган
4л, 4- х2 — х3 = 0 тугри чизицнинг нуцтасини топинг.
326. Иккинчи тартибли чизиц ичида ётувчи нуцта-
дан шундай ватар утказингки, у шу нуцтада тенг
иккига булинсин.
327. Иккинчи тартибли чизиц kJ ва А £ И1 берил-
3-1490
33
ran. Агар X, )’, Z, Т, О, V нуцталар А нуцтадан ут-
казилган а,, а2, <7:| кесувчиларнинг 1г‘ билан кесишган
нуцталари булиб, P=A7UZK. Q — L/TUZV булса, PQ
тугри чизиц А нуцтанипг полярасн эканлигини исбот
цп тинг.
328. Квадрика k‘ ички нуцталарининг полярасн k2
Hi! кесмаслигн, ташци нуцталарининг поляралари А2 ни
КесиШПНИ исбот цилинг.
329. Л1 Ч-лт—2л\л;, = О квадрика берилган. А(2 : 1 : 0)
ва В{— 1 : 1 : 1) нуцталарнииг квадрикага нисбатан пол-
яралари булмиш а, b ни топинг. С = а[}Ь нуцта пол-
ярасининг АВ тугри чизицдан иборат эканлигини тек-
ил ириб к.урннг.
330. k- квадрика билан кесишмайдиган d тугри
чизиц берилган. Агар AQd нуцтадан А2 га утказилган
уринмаларнинг уриниш нуцталаринн туташтирувчи
тугри чизиц d ни В нуцтада кесса, В дан k? га уг-
казилган уринмаларнинг уриниш нуцталаринн бирлаш-
тирувчи тугри чизиц А дан утишини исбот цилинг.
331 /г' айлана ва у билан кесишмайдиган d тугри
чизиц берилган. у-.11 £d нуцтадан /г2 га утказилган
уринмаларнинг уриниш нуцталаринн ту гаштирувчи
тугри чизицларнинг бир нуцтадан утишини исбот ци-
линг.
332. А- айлана ва Ap0(k‘ нипг ички нуцтаси) берил-
ган. /1 дан утказилган барча ватарларнинг k2 билан
кесишган пук талари ian k2 га утказилган уринмалар-
пив1 M'liiiH.'ii' нуцталари АО га перпендикуляр бул-
га: ivrpn чизицда стишипи исбот цилинг, бу ерда О
Лнлаииннпг мар.лшп
333. Ai ар (0:0: 1) нуцта /В га нисбатан а":!—о туг-
ри ипзпцнннг цутбп булса, /г- иииг юпгламаси цанлай
i.ypiiiiiiiii .а оулади?
334. Агар проектив репсриинг учлари царшисида
ётган тосонларнинг fe2 га нисбатан цутби булса, А2
яинг теигламаси цандай курннишда бхладн?
‘335. Эллипс, гипербола ва параболанинг директриса-
лари мос фокусларининг поляралари эканлигини исбот
цилинг.
13-§. ПАСКАЛЬ ВА БРИАНШОН ТЕОРЕМАЛАРИ
336 А< 1 : О : )).. AJO: 1 : 1), А3(3 : 4 : 5), . 14( I : О: —
— 1), АДб:—1:1), Ас(—3:4:5) нуцталар оерилгап.
Агар Q = A,A,f)/L.A-,
34
булса, Р, Q, R нуцталарнинг бир тугри чизикда ёти-
шини исботланг.
337. Олтита нукта берилган: Л(10:5:1), В(8: 1 :1),
C(2:8:l). P(-4:-2:l), £)(2:-2:1), О(0:7:1).
АР, BD, CD чугри чизицларнинг бир иуктада кесиши-
шини исбог килинг.
338. Иккинчи тартибли чизикдаги олтита нукта
нечта Паскаль тугри чизигини аниклайди?
339. Иккинчи тартибли дастага карашли булган
олтита тугри чизик 60 та Брианшон нуктасини аник-
лашини исбот килинг.
340. Квадриканинг Сениа нуктаси берилган. Унинг
яиа бир нечта нуктасини ясанг.
341. Иккинчи тартибли дастанииг бешта тугри чизиги
берилган. Унга карашли бир-иккита тугри чизик ясанг.
342. Квадрика узининг бешта Л, В, С, D, Е нук-
таси билап берилган. D иуктада кгадрикага уринма
утказинг.
343. Иккинчи тартибли чизик узининг учта Л, В, С
нуктаси ва /I, В нукталарида утказилган уринмалари
билан берилган. С иуктада унга уринма утказинг.
344. Иккинчи тартибли эгри чизик узининг туртта
нуктаси ва уларнинг бирида утказилган уринмаси би-
лан берилган. Шу чизициинг бирорта нуктасини ясанг.
345. Л,, А., Л5 ва Л2, Л4, Ли нукталар мос равишда
аг ва и тугри чпзицларда ётади. Бу ерда Р=Л)Л?р]Л4ЛЕ,,
Q=Л2Л,р]Л5Лс, /^««ЛзЛдПЛсЛ,. Бу нукталариинг бир
тугри чизикда ётишини исботланг.
346. Паскаль теоремасида Паскаль тугри чизиги
хос эмас булган кол учуй чизма ясанг.
347. Брианшон теоремасида Брианшон нуктаси хос
эмас булган кол учуй чизма ясанг.
348. Паскаль—Пан конфигурациясида куйидаги кол-
лар учуй чизма ясанг:
а) тугри чизикларидан бири хос эмас;
б) нукталаридап бири хос эмас.
349. Эллиас да гургга Л, В, С, D цукта берилган
булиб, АВ ва CD эллипспинг кушма диамегрлари бул-
са, эллипсницг яиа битта нуктасини ясанг.
350. SJo,, bit Су, . . . ) [\S^a2, b^c2,. . .). дасталар
берилган булиб, (а„ #Л=(аа, ь2), (а„ с,)=(а2, с2), . . •
булса, бу дасталар мос тугри чизикларининг кесишган
нукталари кандай чизицдан иборат булади?
351. К айлана ва унинг маркази О берилган. Фацат
чизгичдан фойдала-
ниб, берилган Р нуц-
тадан I тугри чизицца
параллел тугри чизиц
утказинг.
352. ABCD тугри
туртбурчак берилган
булиб, AD, CD томэн-
лар бир хил сондаги
тенг кесмаларга б?лнн-
ган. А, С нуцгаларлан
цисоблаб, мос нуцта-
ларни В ва А нуцталар
билан тугаштирувчи тугри чизицларнинг кесишган
нуцгалари ярим уцлари ОА ва ОЕ дан иборат эллипс-
да ётишини исбот цилинг (4- чизма)
IV боб. ТАСВИРЛАШ УСУЛЛАРИ
14-§. ПАРАЛЛЕЛ ПРОЕКЦИЯД \ ЯССИ ФИГУРАЛАРНИ
ТАСВИРЛАШ
353. Параллел проекциялашнинг цуйидаги хоссалари-
ни исботланг (бу хоссаларда проекцияловчи тхгри
чизицлардан бошкалари кузда тутилади):
1) тугри чизиц тугри чизицца ироекцияланади;
2) параллел тугри чизицлар параллел тугри чизиц-
ларга проекцияланади;
3) уч пуцтанинг оддий нисбати сацлапади (берилган
ппсбагда будит).
354. Текисликни тскисликка параллел пооекциялаш
аффпп акслантнриш эканлигини исботланг.
355 Цавариц фигуранинг параллел проекниясидаги
тасвирн- цавариц фигура булишнни исботланг.
356. Фазодаги ихтиёрий учбурчакнинг текисликдаги
тасвирн ихтиёрий учбурчак булишнни исботланг.
357. Олдинги масалага асосланиб, ихтиёрий ясси
купбурчак тасвирини ясаш усулини келтириб чицаринг.
358. Фазодаги ихтиёрий параллелограммнинг текис-
ликдаги тугри тасвири* ихтиёрий параллелограмм эка-
нини исботланг.
* Агар тасвир оригиналниш текис.|икда1и проекцияси ёки шу
проекцияга ухшаш фигурадан иборат булса, тасвир тугри деб
айтилади.
36
359. Т«рапециянинг тсгри тасвири асосларинивг нис-
бати берилган транецияникиде< булган трапециядаи
иборат эканлигини исботланг.
360. Мунтазам олгибурчакнинг тасвирини ясанг.
361. Айланаппнг аффин акси —эллипс булишини ис-
ботланг. Бундан: айланаппнг хаг> кандай тугри тасвири
эллипс эканлигини келтирпб чикаринг •
362. <о айлана у эллипс! а аффин акслансин. 1\уйи-
да!иларни исботланг:
1) нинг маркази ; нинг марказита алмашинади;
2) айланаппнг икки у3аР° ти,< днаметрларн эл-
лниснинг иккпта узаро кушма диаметрларнга усади;
3; «> га уринма у га урипмага усади;
4) <•> га ташки чпзилган квадрат га ташки чизил-
ган иараллелограммга утадп.
363. Хар кандап икки умумий уртз пуктага эта
булган бир тугри чизикда ётмаган кесмалар учун ягона
эллипс мавжуд булиб, бу кесмалар эллипснинг узаро
кушма диаметрлари булади. Шуни исботланг.
364. Хар кандай айланаппнг тугри тасвири ихтнёрпй
эллипсдир. Исботланг.
365. Хар кандай эллипс бирор айлашнишг текис-
ликдаги ортогонал проекциясп булишини исботланг.
366. Аиланаиииг унга ички чпзилган: I) квадрат;
2) мунтазам саккизбурчак; 3) мунта ам учбурчак; 4)
мунтазам олтнбурчаклар билан 6npia тасвирини ясанг.
367. Айлапанииг уша ташки чпзилган: I) квадрат;
2) мунтазам саккизбурчак; 3) му in азам учбурчак; 4)
мунтазам олтибурчаклар билан 6npia тасвирини ясанг.
368. Агар аффин ал.маштирпшда мос нукталарни
ту таштира дитан тугри чизиклар параллел булса, ал-
маштнриш ^аммине деннладп. Хамжинс алмаштириш
Хамжннслпк укига эта, бу ук—барча нукталари куз-
галмас булган тугри чизикдир.
Z—камжинс алмаштириш, /—камжинслик уки> А
ва А‘ мос и\'кталар жуфти булсин (5-чизма). / да ёт-
маган ихтнёрий В, С нуцталар учун С =
^1(С) ларни ясанг.
369. 6- чизмада АВ ва CD кесмаларнинг умумий
урта нуктаси О дан ибо-рат (AB>CD). АВ кесма <»
айланаппнг диаметра, PQ эса шу айланаппнг АВ га
перпендикуляр диаметри. АВ укка эга булган, Р пук-
тани С нуктага акслантирадиган камжинс алмашти-
37
рншдан фойдаланиб, цушма диаметрлари АВ ва CD дан
ибораг эллипснинг бир веча нукталари аксини ясанг.
370. Хамжинслик уци I на /(.4) = /Г шаргни цаноат-
..антирган алмаштириш / булсин. Узаро перпендикуляр
•У ва q тугри чизикларпи ясанг (d, q ларнинг йуналиш-
лари -чамжпнс члмаштирншдагн < от йуналшилар дейи-
лади).
371. Урта пуцгаси О дан пборп АВ, CD кесмалар
берилган. 1\ушма дна eip.iapii АВ, CD булган эллипс
уцларшш ясанг.
В- §. ФАЗОВИИ ФИГУРАЛАРНИ ПАРАЛЛЕЛ
НРОЕКЦИЯДА ТАСВИРЛАШ
372. Асоси: 1) квадрат; 2) параллелограмм; 3) тра-
пеция; 4) пхтиёрин тургбурчак булган т\р1бурчакли
призманн таевнрланг.
373. QH С2—Р призмаиинг юцори ва купи асослари,
Qi. Qi уларнпнг тасвирларп булсин. Q,', ларнинг
тенг эканлигини тушунтиринг.
374. Мунтазам учбурчакли призма ва асос марказ-
ларини туташтирувчи уки тасвирларини ясанг.
375. Мунтазам олтибурчакли призма ва асос мар-
казларини туташтирувчи узининг тасвирларини ясанг.
376. Мунтаза.м учбурчакли пирамида ва унинг ба-
лаидлигн тасвирларини ясанг.
377. .Мунтазам олтибурчакли пирамида ва унинг
балапдлши тасвирларини ясанг.
38
378. Мунтазам п бурчакли (я—3, 4, 6) пирамида ва
унинг баландлигини тасипрлаш цоидасини топинг.
379. Туртбурчакли кест. нпрамндзпинг тасвирини
ясанг.
280. 7- чизмада ку(сатнлган учбурчакли кесик пи-
рампданинг тасвирида йул к\ ("цыган хатони топинг.
381. Доир'вий цилиндр унинг уцп ва иккита вер-
пен лику 1яр ук кеч нмларниикг тасвирини ясанг.
382. Донранш: конус па vmnir иккша перпендикуляр
кеенмлар нпнг таеввршш ясаш
383. 8-чизмадагв копуч \к нес имипинг таевнридаги
х.лонк аниклан! (5/1 SB маркази О дав иборат эл-
л; р > с га у ри и ма л а р).
384. Учи 5 булган коцмеги учи 5 дан иборат мун-
тазам: 1) учбурчакли-. 2) т< ртбч рчакли пирамида ички
чизилган. lib.' <; нгураларвинг тпевирларннп ясанг.
385. Дойр тип цнлинлрга ички чизи тан ва ён кпр-
рас.и цилиндр балав тлигнга тенг мунтаза.м: 1) учбур-
ч,?клв; 2) туртбурчак и:; олтнбурчакл!: призма чн-
.-члган. lllv фигура.шпптт гаенпр.'пфини ясанг.
Цп HiiiT’-ra муп!азг-; гчоурчи'. m призма, приз-
маг;; эеа цилиндр ичк . чизи ими x )aw:i гаегтрии
ясанг. i (илиилр >ар хаж иларл’ник иксба пни: ачиц.аапг
387. Мунтазагм олтибурчаклн призчага цилиндр
ички чизилган холдаги (асвирни ясапг. IЬризманинг
дар бир цпрраси а булган. а цилиндр хижмипн товинг.
388. Ясовчиси I га параллел килиб, конус баланд-
лнгннннг уртасидан тугри чизик ужазилган. Шу туг-
ой чизициинг кочус ичпдагп кесмасини таашрланг ва
унинг узунлигиии тонинг.
39
389. Конусга куб нч-
кн чизилган долдагн тас-
вирни ясанг. Куб цнрга-
сини конус асосивинг
радиусп /? ва баландлиги
И орцали нфодалавг.
390 Конусга мунтазам
учбурчакли призма ички
чизилган долдгп и тасвир-
пи ясанг. Призмаиинг ей
ёклари квидратлардаи
иборат булса, призма
кирраснни конуснинг асос
радиуси R ва баландлиги
И орцали ифодаланг.
391. Ортогонал аксо-
нометрия: тугри бурчакли
\ Owe координаюлар сис-
)темаси чизма текислиги
/ г. га орюгонал проекция-
' лапали. Координата уц-
ларннннг деч бирм = га
параллел эмас (9- чизма).
г. текнсликнинг коорди-
ната уцлари Ох, Оу, Oz
билан гашкил цнлган бурчакларнни « р, ; орцали бел-
гилапмиз (К’-чизма). Уцлар йуналишидаги цисилиш.
коэффнциепглари hiv бурчаклярнннг косннусларига
ТСПГЛНГИ, ЯЪИП и -- nos а, 11.=-COS \ 70= COS 7 экаплиги-
нп исботланг.
392. Tv।рн бурчакли аксовомстрпяда кисилиш коэф-
(| ициешлари квадрагларпиииг йигиндиси 2 га тенг,
чъпи и‘ -j- v‘ == . экаиини исботланг.
393. Тугри бурчакли изометрия доли \чун v клар
буйича цисилиш коэффипиен тларини юпинг.
394 Т\гри бурчакли аксоиометрияда чизма текис-
:нги " ниш Ох ук билан кесшнган нуцтаси /, Оу ук
билан кеси1нга;! нуцтаси В ва Oz \ к билан кесишган
нуцт;снС’ булсин (391-масалага царинг). АВС учбурчак
излар учЪхрчаги леиилади. Тугрн бурчакли изометрия-
та АВС учбурчак тенг томонли учбурчакка, О нуцта
Дб’С учбурчакнинг марказита проекнияланишнии не-
бо глав г.
40
395. Тугри бурчаклн излметрияда О', б/у', (У z'
уклар орасидаги оурчакларии топинг.
396. Тугри бурчаклн пзометрияда ай.тнанинг об-
разини ясанг.
397. Тугрн бурчаклн изометрия, а сферанинг тас-
вирини ясанг.
16-§. ПО'НЦИОН МЧАЛАЛАР
(ТУЛИЦ ТАСВИРЛХИДА)
Бу параграфнинг хар бир масаласида барча нуцта-
лари берилганда фигура берилган деб капа чади А: ар
А нукта ва унинг бирор текистикка (асеспи текнелик-
ка) олниган проекциясипииг тасвири берилган бул-
са, у хотда А нуцта хам бери гав дейплачи, буни
/1(Д I курипншда ёзилади.
398. А(.4,), В(В}) нукдалар берилган АВ гугри чи-
зицнипг изини ясанг (т\гри ".изикнинг асосий текис-
лик билан кесишишидат и нукта унинг изи хисобланади).
399 Бир тугрн чизикда ётмаган Л(/),). В(ВХ), С(С,)
учта нукта берилган. АВС техисликнинг изини ясанг
(АВС текнеликнинг изи бу технелик билан асосий те-
кислик кесишишидан косил кили гаи тсгри чизикяир).
400 К’упидаги колла’ нинг ,\ар бирала а. b туг.ри
чизиклар хамда уларнииг alt (•, проекциятарпни тас-
ннрланг.
1) а]Ь; 2) н')б=С: 3) а~Ь.
401. ABC текислих" на PQ (PjQ,) тугри чи-
знк берилган. Тугри чизик билан текнеликнинг узаро
кандай жойлантганини аннкла
402. ABC (A,/TC,) те-
кислик ва асосий текис-
.тикка тегишли A\ нукта
берилган. АВС текислик
билан А', нургадав Утт-
диган ироекцияловчи d
тугри чп’тикнинг кеепшп-
шидан .у ос и л булги! X
иуктани ясанг.
403. АВ изи ва С(С,)
нуктаси билан з текислик
ва асосий текисликка те-
гишли X, нукта берил-
ган (11 чизма). А'! нукта-
41
12- чнзма.
сишишидан цосил булган
дан утадиган проекциялов-
чи тугри чизик билан а
текисликнинг кесишган X
нуцтасини ясанг.
404. атекислик узининг
изи АВ ва C(Ct) нуцта би-
лан, 3 текислик узининг
UE изи ва В(Г\) нуцта ёр-
дамида берилган (12-чиз-
ма).
Бу текисликларнинг ке-
/(/,) тугри чизицни ясанг.
Купёклииннг ясен кесимини ясаш—муцнм позн-
цион масаладир. 4С5—411-масалаларда кесимларни
„мактаб усули“, яъни пзлар усули билан бажариш мум-
кин. Ёцлардаги кесим кесмаларини шу ёцца тегишли
цирраларнинг. давоми билан кеенштириб, натижада
„цушни ёкца чнцилади".
405. Учбурчакли ABCA-J^C, призманинг АВ цир-
расида .If, ВВ, цнррасида Л, СС, циррасида нукта-
лар берилган. Призманинг .ИЛ’Л текислик билан кеси-
шиши натижасида досил цплипган кесимни ясанг.
406. ABCD учбурчакли пирамиданинг BD цирраси-
да 44, CD цирр -сида А7, АВС ёгида К нуцталар берил-
ган. Пирамиданинг 44ЛК текислик билан кесишиши
натижасида цосил буладиган кесимни ясанг.MN\\BC
ва MN-^BC хол.тарни алодида каранг.
407. PQRSP}(RR,S, туртбурчакли призманинг РРХ
SKS ёгидаги A, RS циррч’сидаги В, PQ циррасидаги С
нуцталардап утадиган ЛВС текислик билан кесишишн-
дан цоенл булган кесимни ясанг.
408 PQRP,QtRt -учбурчакли нризманипг PR цирра-
сида A, QQt киррасида В, PxQ,Rt асоснда С нуцталар
олинган АВС текисликнинг призма билан кесишиши-
дан цосил булган кесимни ясанг.
409. 'PQRSTffQiR1Si r, бешбурчакли призманинг ён
цирраларида А, В, С нуцталар цуйидагича олинган:
1) QA : AQ,=2 : 1; RB: BRt = 1 : 7; SC: С5,=5 : 3;
2) QA:AQ,=1:1: RB : BR^] : 3; SC=CSt=l : 1.
ABC текисликнинг призма билан кесишпшидан цо-
Сил булган кесимни ясанг.
410. Учбурчакли призманинг ён цирра уртаси, пяст-
ки асос томонининг уртаси, юцори асос томонининг
42
Уртаси op кали утган текислик билан призмаиинг кеси-
мини ясанг.
411. Учи S нуцтадаги SPQR7 туртбурчакли пира-
.миданннг ён цирраларпда А, В, С нуцталар олннган:
1) 5Д : AQ=1 : 2; SB : £/?= 3 : 1; SC : СР =2 : I;
2, 5Д : A()= 1 : 3; SB : Bl = 1:1; 5C: CR ==3:1.
.4fiC текислик билан пирамида кесимини ясанг.
Кесимларни ясашпипг универсал усули текислик
билан цпрраларнинг кесншши нуцталаринн тоиитпдан
иборат. Бунинг учуй 4U2-масалада курсатилган ясатн
усули тан фондаланнш маъцулднр.
412. Бетибурчакли призмаиинг ён кирраларида олин-
ган уч нуцта орцали утган текислик билан призмаиинг
кесимини ясанг.
413. Бетибурчакли иирамидапннг ён цирраларпда
олииган уч нуцта орцали утган текислик билан пира-
мнданипг кесимини ясанг.
414. Бетибурчакли призмаиинг цуйидзгича аннцлаи-
ган уч нуцта орцали утган текислик билап кесимини
ясанг:
1) бир нуцта призмаиинг юцори асосида, иккитаси —
-унинг ён цнрралари та;
2) бир псцта призмаиинг юцори асосида, иккита-
ен— унинг ё;т ёцларидц
3) бир нуцта призмаиинг пастки асосинииг текис-
лттгкда, иккитаси унинг ён цирраларпда:
-1) бир нуцта призмаиинг ён циррасида, иккита-
си—ён ёцларда.
415. Бешбурчакли ппрамиданинг цуйидагича аниц-
лавган уч нуцта орцали утган текислик билан кесими«
пи нсакг:
1) бир нуцта пира,миданпнг ён циррасида, иккита-
си—ён ёцларда;
2) бир нуцта пирамнданинг балаидлигида, бири ён
киррада; учиичиси—ён ёцда;
3) бир нуцта пирамида ичнда, иккитаси—унинг таш-
царисида.
416. Учбурчакли пирамида ва унинг балаидлигинивг
гасвири берилган. Пирамида баланд'итгииниг ургаси ва
асос цирраси орцали утган текислик билан пирамнда-
нинг кесимини ясанг
417. DABC тетрадцрнинг AU ва 1)С цирраларпда
43
олингап /И, ,V пудталар хамда АВС ёднинг огирлик
маркази О ордали yuan текислик билан тетраэдрнинг
кесимини ясанг.
418. 1JABC тетраэдр билан мос равишда унинг
AD, АВ. UC дирраларида олинган A!, N, Р нудталар
ордали утгаи текислик билли кесимини ясанг.
При5маларнинг кесимларипи ясашда дуйидаги тео-
ремалан фойдаланиш ^ойдадап доли эмас: агар парал-
лел икки текислик учинчи текислик билан кесишса,
кесимдаги тугри чизиклар параллел булади.
419 ABCLia^C'D, иараллелепипеднинг A^Ct уч-
лари, АВ диррапинг Z нудтаси ордали утган текислик
билан иараллелепипеднинг кесимини ясанг.
420. Кубнинг ён диррасининг уртаси ва бу дирра
ётмаган ён ёднинг диагонали ордали утган текислик
билан кубнинг кесимини ясанг.
421. Мунтазам туртбурчакли призма пасгки асоси-
даги икки душни томоннинг урталари ва, призма уди-
нинг уртаси ордали утган текислик билан призманинг
кесимини ясанг.
422. ABCDA'B'Cкубнинг В учи, СС, ва A^Dt
дирраларнинг урталаридан утган текислик билан куб-
нинг кесимини ясанг. Кубнинг диррасини а деб олиб,
кесимнинг периметрини дисобланг.
423. ABClJAt BlCiDi кубнинг At учи, ВВХС£ ва
CCtDDi ёдларнинг A Q марказлари ордали утган те-
кислик билан кубнинг кесимини ясанг.
Кубнинг диррасини а деб олиб, кесимнинг пери-
метрини дисобланг.
424 ABCDA^B'CJDi кубнинг АВ, ВС, DDy дир-
ралари урталаридан утадшан текислик билан кубнинг
кесимини ясанг.
Кубнинг диррасини а деб олиб, кесимнинг пери-
метрини дисобланг.
425. ABCDAtBxC.JDi иараллелепипедда А уч
XCC'i ёднинг Р маркази билан туташтирилган. АР туг-
ри чпзид AJ3D текисликни Q нудтада кесиб утади. Q
нудтани ясанг ва AQ:QP нисбатни топинг.
Берилган тугри чизидда параллел тугри чизиднп
тасвирлашда параллел тугри чизиклар тасвнрда парал-
лел булиши хоссасидан фойдаланиш керак Шунинг
учун купинча параллел тугри чизикни „таваккалига*1
уткази.та 1 и, лекин иккинчи тугри чизикни „таваккади-
га“ утказишдан аввал, кесишади!ан тугри чизидларнн
41
бир текмсликда ётишларига ишонч цосил цилиш ке-
рак.
426. Берилган туртбурчакли пирамида асосининг
диагонали орцали утган ва бирор ён циррасига парал-
лел булиб утган кесимни ясанг.
427. Туртб-рчакли пирамида ва унинг баландлиги-
нинг тасвири берилган. Пирамида баландлигииинг
уртасидан утган ва ён ёгига параллел булган кесим
утказинг.
428. Тетраэдрнинг учидан царама-царши ёгига па-
раллел текислик утказилган. Бу текислик билан тетра-
элрнинг цолган ёцлари текисликлари кесишишидан
цосил булган чизицларни ясанг.
429. Бешбурчакли призма асосининг диагонали ор-
цали утиб, призманинг бу диагональ билан кесишмай-
диган бошца бирор диагоналига параллел текислик
утказинг.
430. PQRSTP^R^SJ'^ бешбурчакли призмада С?,'/,
га параллел ва PtS диагонали орцали утган кесимни
ясанг.
431. ABCDAtB^Di параллелепипеднинг AD ва BtCt
цирраларида Р, Q нуцталар берилган. АВ циррага па-
раллел булиб Р, Q орцали утган текислик билан па-
раллелепипеднинг кесимини ясанг.
432. Параллелепипеднинг пастки асосида /п ён ёги-
да /2 иккита айцаш тугри чизиц берилган. Параллеле-
пипед диагоналларн кесишган нуцта орцали утувчи
Z„ 12 га параллел текислик билан параллелепипеднинг
кесимини ясанг.
433. Мунтазам туртбурчакли пирамида асосининг
нуцтаси орцали утган ва цуйидагиларга параллел те-
кислик утказинг:
1) пирамида икки царама-царши ёцларининг апо-
фемаларига;
2) пирамиданинг икки цушнн ёцларининг апофема-
ларига;
3) пирамиданинг баландлиги ва ён циррасига.
434. ABCDAJ^C'Di кубнинг цуйидагилар орцали
утган текислик- билан кесимини ясанг:
1) DCr тугри чизицца параллел, BDA диагональ
орцали;
?) АХСГ тугри чизицца параллел, В,С диагональ
орцали.
45
435. SABCD туртбурчакли пирамиданинг- тасвири
берилган. SA циррага тегишли К нуцта орцали ут-
ган, параллелограмм шаклидаги пирамиданинг кесими-
ни утказинг.
17- §. МЕТРИК МАСАЛАЛАР
436 —455-масалалар ясашга дойр, 456-488-маса-
лалар эса цисоблашга дойр метрик масалалардир.
436. АВС — тенг томонли учбурчакнинг тасвири бул-
син. PQR эса .оригиналга ички чизилган учбурчакнинг
тасвири. PQR учбурчак PQ томонининг RZ баландлиги
тасвирини ясанг.
437. Мунтазам учбурчакли призмада ён циррадаги
Л1 нуцтадан карама-царши ёгига утказилган перпенди-
куляр тасвирини ясанг.
438. Мунтазам туртбурчакли призма диагональ ке-
симларига перпеидикулярлар утказинг.
439. Кубнинг учидан унинг лиагоналнга перпенди-
куляр утказинг.
440. Мунтазам учбурчакли пирамиданинг баланд-
лиги асос томонидан икки баробар кичик. Пирамида
асосининг учидан карама-царши ён ёцца перпендикуляр
утказинг.
441. Учбурчакли АВСА^ВуС, мунтазам призмаиинг
баландлиги асосининг томонига тенг. А„ ВА, С\ учлар-
дан кесим утказилган. 71, нуцтадан АВ}С, текисликка
утказилган периепдикулярни ясанг.
442. Мунтазам тетраэдрнинг икки айцаш цирралари-
га умумий периепдикулярни ясанг.
443. (Сгзаки, чизмага цараб), ABCDAyBxC^D^ куб-
нинг тасвирнда цуйндагпларнп курсатинг:
1) кубнинг цнрралари, ёцларининг диагоналларп,
кубнинг диагоналларп, AAt цирра билан айцаш тугри
чизицлар;
2) бу тугри чизицлар ва /171, цирранинг умумий
нерпендикулярлари.
444. Кубнинг икки цушни ёцлари диагоналларипинг
умумий перпендикулярларннн ясанг. Кубнинг цирраси-
ии а деб отиб, шу диагоналлар орасидагн масофани
топинг.
445. Цкрраси а га тенг кубнинг диагонали ва бу
диагональ билан кесишмайдиган ёц диагонали орасида-
ги масора цамда улар орасидагн бурчакни топинг.
46
446. Тугри бурчаклн параллелепипедда асос томон-
лари, а, b га тенг. Параллелепипед диагонали ва бу
диагональ билан кесишмайдиган - ён ipippa орасидаги
масофани топинг.
447. Туртбурчакли мунтазам призма асосннинг то-
мони 15 га. баландлиги 20 га тенг. Асос томопидан у
билан кесишмайдиган диагоналгача булган масофани
тонинг.
448. Туртбурчакли мунтазам призманинг баландлиги
асосннинг томопидан икки баробар кагга. Призманинг
марктзидан утадиган, ён ёднинг диагоналига перпенди-
куляр кесим утказинг.
449. Туртбурчакли мунтазам пирамидаиипг баланд-
лиги асос диагоналига 1енг. Пирамидаиипг асоспинг
учи ва царама-царши ётган ён циррага перпендикуляр
булган текислик билан кесимини ясанг.
4.0. Учбурчаклн мунтазам пирамидаиипг ён кир-
раси асосннинг гомонидаи икки баразар катта. Асос
томонидан утиб, шу гомон билан айкаш булган ён
циррага перпендикуляр текислик утказинг
451. Туртбурчакли АВСГ)А^В^СхОг мунтазам приз-
з
манинг оаландлиги асос томонининг — кием ши таш-
4
кил цилали. Призма асосннинг учи Dt орцали ути'). АС
диагоналга перпендикуляр булган текислик утказинг.
452. Мунтазам тетраэдрнинг тасвири берилган.
Тетраэдр нккпёк.ш бурчат ининг чизицли бурчагини ясанг.
453. Учбурчак томонларинингузупликлари 2:1'3:
: нисбатда булганда учбурчакпи ва унинг орто-
марказипи тасвирланг.
454 ABCD— квадратнинг тасвири, Р эса АВ пинг
уртаси, Q—AC билан DP нинг кесишган нуцтаси. 1) С
уч орцали утиб, DP га перпендикулярна; 2.) APQ уч«
бурчакнинг оргомарказини тасвирланг.
455. Тенг ёнли тугри бурчаклн АВС(АС = ВС) уч-
бурчаквинг тасвири берилган. Учбурчак гекислигидаги
D нуктадан АС, ВС, АВ тугри чизицларга нерпенди-
кулярлар утказинг.
458. ABCDAiBiCjJy кубнинг АВ, ВС, DDA цмр-
раларнинг урталаридан угадиган текислик билан ке-
симини ясанг; куб киррасин ; а га тенг деб олиб. шу
кесим юзини хи.обланг.
457. Учбурчак.in пирамидаиипг ^ар бир кирраси а
га тенг. Пирамида асосннинг марказидан утиб, ён кир-
47
расига перпендикуляр текислик билан пирамиданинг
кесимини утказинг ва кесим юзини топинг.
458. Кубнинг бир учи ва бу уч тегишли булмагаи
икки ён ёцларининг марказларидан утган текислик би-
дан кубнинг кесимини ясанг Куб циррасини а га тенг
деб олиб, кесим юзини цисобланг.
459. ABCDAXBXCXD} кубнинг Dt учи орцали утиб,
кубнинг диагоналига перпендикуляр булган текислик
утказинг. Кубнинг циррасини а га тенг деб олиб, ке-
сим юзини цисобланг.
469. Учбурчакли мунтазам ABCDxBxCi призманинг
>;ар бир цирраси а га тенг. АВ, АА,, А,С, цирралар-
нинг урталари орцали утган кесим юзини топинг.
461. Кубнинг цирраси а га тенг. Кубнинг икки
цушни цирраларининг урталаридан утган ва унинг бу
цирраларни кесиб утадиган диагоналига параллел б^л-*
ган текислик билан кесими юзини топинг.
462. ABCLjAxBxCxDx кубнинг цирраси а га тенг. Куб-
пинг В учи, СС] ва AxDi цнрралари урталаридан ут-
ган текислик билан кесими юзини топинг.
463. Туртбурчакли SABCD мунтазам пирамида асоси-
нипг томони 12 га, пирамида баландлиги 6 га тенг.
Пирамиданинг А учи, SB, SD цирраларнинг урталари
орцали утган кесими юзини топинг.
464. Туртбурчакли мунтазам призмада асос томони
а га, ён цирраси b га тенг; призма асосининг икки цуш-
ни томонларининг уртаси ва призма уцининг уртаси
орцали текислик утказинг. Кесим юзини цисобланг.
465. ABCDA^C.D, кубда ABXCXD ва СВ.,А,С ке-
симлар утказилган. ILIy икки кесим текисликлари таш-
кнл цилган иккиёцли бурчакни топинг.
466. Туртбурчакли мунтазам пирамиданинг цар бир
цирраси а га тенг. Пирамида ён циррасига перпенди-
куляр ва шу циррани, пирамида учидан бошлаб, 1:5
нисбатда буладиган кесим юзини цисобланг.
467. Учбурчакли мунтазам пирамиданинг учидан
$тиб, асосининг медианаснга перпендикуляр кесимп-
нинг юзи Q га тенг. ЛАедианага перпендикуляр ва уни,
асос учидан бошлаб, 5: 1 нисбатда буладиган кесим
юзини цнсобланг.
468. Туртбурчакли мунтазам SABCD пирамиданинг
асос диагонали АС орцали утиб, SB циррасига парал-
лел кескмининг юзи 50 га тенг. АВ, ВС асос цирра-
ларининг уртаси хамда пирамида баландлигииинг ур*
^8
тасидан утган кесимни ясанг ва унинг квини хисоб-
лапт.
469. Кирраси а га тенг кубнинг марказидан утиб,
унинг диагоналига перпендикуляр булган кесимини
ясанг ва унинг юзини хисобланг.
470. Тугри бурчакли ABCDA,ByC,D, параллелеин-
педда цирраларинипг узунликлари AB = ci, AD = b,
га тенг; Ot нуцта — A^B,CyD} асоснинг маркази;
О эса ABCD асос маркази; 5 нуцта OOt ни 1 :3 нис-
багда булади. S' нуцта орцали утиб, иараллелешшед-
нинг С А, диагоналига ва aiocnnimr BiDy дпапм алнга
параллел кесимни ясанг ва унинг юзини топинг.
471. Туртбурчакли мунтазам призмада икки га парал-
лел кеч им х тказп п ап: бири асосдагн икки цушни то-
моннннг урт.чсн ва асослар марказларипи цтаппирувчи
ОО, кесмаинпг \ргаси.:ап стали, иккипчпси эса 00,
..есканп 1 :3 ипсбагда охлади. Бирпичп кегнмпннг юзи
S, ia rein. lli,кип',п косим юзини тонньг.
472. юлтнбурчак.ш мунтазам SABCDBB ппрамилада
аюс текислиги бнлан косим текислш и .ST1C СО ли бур-
чак ташки.т кнладп. SDB ёцлар орасплагп бур-
чании топинг.
473. Учбурчакли мунтазам пира.'иданппг асос то-
г.гони а га, ён кирраси га тенг. Пирамиданинг айцаш
ик'и цпррасиг.1 । арал ie.i булиб, пирамида баландлигн-
!И||Г ургасидап yuan косим юзини тонипг.
474. Туртбурчакли мунтазам нрнзмада иккита па-
раллел косим утказилган; бири призма асосининг диа-
гонали орцали мню, призмаиинг айцаш дпап калига
параллелдир, иккипчпси -призмаиинг уцинн I:3 (юцо-
ридан) шкбатда булади. Бириичн кеспмнинг юзи Q га
тенг. Иккинчи кеси.м юзини топинг.
475. Учбурчакли мунтазам пирамида ён ёгииннг
юзи 5’ га тенг. Пирамида баландлигинпнг уртасидан
?тиб, ён ёгига параллел кеспмнинг юзини топинг.
476. Туртбурчакли мунтазам пирамида асосининг
томони IS га, ён цирраси эса 15 га тенг. Пирамида
асосидаги иккиёцтп бурчакпи тенг икки'а булувчи ке-
сим юзини топинг.
477. Тугри учбурчакли А ВС А'В'С призма берилган,
унинг асоси АВС тенг ёнлн тугри бурчакли учбурчак-
дан иборат булиб, В тугри бурчак учи, h катетдир.
АВ, ВВ', В'С' цирралар урталаридап кесим утказинг
ва кеспмнинг юзини уисоблаиг, бунда призма балаид-
лигини цам h деб олинг.
4—.490 19
478. Асоси квэдратдан иборат тугри бурчакли парал-
лелепипедни текислик уткир бурчаги а булган ромб
буйича кесиб утади. Бу текислик параллелепипеднинг
ён к.ирраларини кандай бурчак остида кесиб утади?
479. Цирраси а булган ABCDA' В'С D' кубда АВ
цирранинг уртаси F, ВВ' кирранинг уртаси /7, ВВ’С'С
ёцнинг диагоналларн кесишадигаи нуцта О маълум. О
нуцта орцали утган тугри^ чизиц АН ва СР тугри чи-
зицларии мос цолда Р, Ц'нуцталарда кесиб утади. PQ
масофани топинг.
480. АВсГЭ тетраэдрда АС, ВС, DC цирралар узаро
перпендикулярдир М нуцта АВС текислигида жон-
лашган булиб, АВ, ВС, CD цирралардан тенг масофа-
дадир. А' нуцта BCD текислигида жойлашиб, уша цир-
ралардан бир хил узоцлашган ВС—CD— Jz3, AC — 3
булса, /И/V нинг узунлигини топинг.
481. Туртбурчакли мунтазам пирамидага куб ички
чизилган. Кубнинг туртта учи пирамиданинг ён цир-
раларида, колган туртта учи эса пирамида а.осининг
текислигида жойлашган. Пирамиданинг баландлиги А,
асосининг цирраси а га тенг. Кубнинг циррасини то-
П ИНГ.
482. Мунтазам, призманинг асосида учлари асос то-
монларининг урталаридан иборат учбурчак жойлашган.
Призма ва пирамида асос текислиги билан чегаралан-
ган ярим фазода жойлашган ва пирамиданинг баланд-
лиги призма баландлигииинг учдан бир цисмини таш-
кил цилчди. Призма цажмининг кандай цисми пирами-
дадан ташцарида жойлашади?
483. К/бнинг цирраси 1 га тенг. Доиравий цилиндр-
нинг спргида кубнинг 6 та учи жойлашган булиб,
цнлиндрпинг уцн куб диагоналига нараллелдир. Цк-
линдрнннг радиусипи топинг.
484. Цирраси а га тенг мунтазам тетраэдрнииг икки
айцаш цирралари доиравий цилиндр асосининг диаметр-
ларидир. Цилиндр цажмини топинг.
485. Баландлиги А, асосига ички чизилган дойра-
нинг радиуси г булган учбурчакли мунтазам пира-
миданинг асосида, асос марказита уриниб шар жой-
лашган. Пирамиданинг учи ва асосининг икки гомони
урталаридан утган текислик шарга уриниб утмоцда.
Шарпинг радиуснни топинг
486. Цирраси а га тенг кубга шар ички чизилган.
ьо
Кубнинг учта ёти1а хамда шарга уриниб угадиган ик-
кинчи шариинг радиусини аннклаиг.
487. У к кесимининг учидаит бурчаги 60° га тенг
булган доиравий тугри конус ичига г радиусли 3 та
бир хил шар жойлаштирилгап. Бу шарларнинг хар
бири колган икки шарга, конуснинг асоси ва сиртига
уринади. Конус асосннинг радиусини топинг.
488. Конус асосннинг радиуси R га тенг. Шар шу
конус асосига уриниб, унинг хар бир ясовчисини 3 та
тенг бурчакка ажратади. Конус хажмиип топинг.
V боб
ТОПОЛОГИЯЭЛЕМЕНТЛАРИ
18-§ МЕТРИК ФАЗОНИН1 ЭНГ СОДДА ТОПОЛОГИК
ХОСС ХЛАРИ
•? — метрик фазо булсин, униш ipicxi тупламларини
/!, 3, . . . , X, . . . Coin харфлар билан. унинг нуцта-
ларини эса а, Ь, . . л, ... кпчик харфлар билан бел-
.нлаймиз. - п улчовли Евклид фазоси.
4'9. Метрик фазода олипган очик шар очик тОктач
з нлигпии iicurr.'iaHi.
440. |<7, Л| кц ма </HL булсиг, |о, />]'Т?. Агар
•) А’.
2) /? = /:2 булса,
</К> —/ п1 Л? нинг ички цисмини курсатинг.
491. Очик тупламларнинг куйидаги асосий хоссала-
ринг- исботланг:
1) Сони ихтиёрий (чеклп ёкп чексиз) булган очик
тупламларнинг бирлашмасн хам очиц тупламдир.
2) Соин чеклп очик тупламларнинг кеспшмаси очик
'упламдпр.
3) Бутуй фазо, хамда буш ту илам очикдир.
492. Сипи чексиз очиц тупламларипиг кесишмаси
очик булмаган холга мисол келтиринг.
493. Куиидаги икки узгарувчилп фупкцияларнинг
аниклапиш сохалари очиц тупламдан пборат. Шу туп-
ламларии текисликда тасвирланг:
I ; ~ == ... , + ig -i- у' - 1);
4 - л“= - у=
51
3)г-да
4) г = In sin it (x2 + y‘)\
5) г = ctg it (л + y).
494. Л1 тупламнинг [Л1] ёпилмасининг куйидаги хос-
саларини исботланг:
1) Л1С[Л4];
2) ЦЛ7]| = р7]:
3) [Л]С[£];
4) [Л U А] = [-4] U [£].
495. <Л4> =/?\|/?\Л1] ни исботланг.
496. [Л|С [#] дан А С. В келиб чицмаслиги мумкин
булган холга мисол келтиринг.
497. А фазода олинган ихтиёрий А/ тупламнинг
ёпилмасн /? фазонинг .41 пи уз ичига олган энг кичик-
ёпик туплам эканлигини курсатинг.
498. Л1 очик туплам <==> А\А1 ёпик туплам. Шу
муносабатни исботланг.
499. А\етрик фазода олинган ёпик шарнинг ёпик
тупламлнгини исботланг.
560. Ёпик тупламларнинг куйидаги асосий хоссала-
рини исботланг:
1) Ёпик тупламларнинг ихтиёрий (чекли ёки чек-
сиз) кесишмаси ёпик тупламдир;
2) Ёпик тупламларнинг ихтиёрий чекли бирлашмасн
ёпик тупламдир;
3) Бутун фазо, хамда буш туплам ёпикдир.
501. Ёпик тупламларнинг чексиз бирлашмасн ёпик
булмагаи ^олга мисол келтиринг.
502. дЛ1 — п [А \ М | муносабатни исботланг,
бунда дМ оркали .41 тупламнинг чегараси белгилан-
ган.
503. М ёпик туплам <==> d.MC Al. Шу муносабат-
ни исботланг.
504. Тугри чизикда жойлашган шундай тупламга
мисол келтирингки, бу туплам:
1) очик; 2> ёпик; очик хям эмас, ёпик хам
эмас; 4) хам очик, лам ёпик булсин.
52
505. 1) оМ == o|.VI|; 2) о'М •= о <М>; 3) дМ =
— (){R\.M) муносаоатлар лар доим тугрими?
506. Л1 Г/,; LCR булсин. |/И|£ = L Q [/И]/; муноса-
батни исботланг. Бунда |/И]; орцали /VI тупламнинг L
фазодати ёпнлмасн белгиланган.
507. /ИСL, LC.R булсин. М тупламнинг L да ёпиц
(очиц) булншн учуй Л7 туплам L билан /? фазода спиц
(очиц) булган тупламнинг кесишмасидан ибораг були-
ши зар.ур ва етарлидпр. Шуни исботланг.
508. R — E2, бунда L туплам /? фазода олинган ай-
ланааир. L да очиц ва спиц тупламлар цосил цилинг.
509. Z. чегарасн I дан иборат Е'г да жойлашган яс-
си квадрат булсин. а (-1 нуцтанинг L даги & атрофини
цосил цилинг.
510. Е2 да ёпиц ва бир пуцтасини олиб ташлаш на-
тижасида очиц тупламга айланадиган тупламга мисол
келтиринг.
511. Очиц булмаган икки тупламнинг бирлашмаси
очиц буладиган тупламларга мисол келтиринг.
19-§. ТОПОЛОГИИ ФАЗО
R — топологияси т дан иборат топологии фазо.
512. /VI туплам R да очиц (Л4£-о -<==> М нинг бар-
ча нуцталари ички. Шу муносабатии исботланг.
513. Л1 туплам R да ёпиц //^t) -<==>
<==^ Л4=|А1). Шу муносабатии исботланг.
514. LCR булсин. R даги т топологияга цараб, L
да топология цандай кнритилади?
515. /: А -» У узлуксиз <==> Y да очиц (ёпиц) бул-
ган ихтиёрий тупламнинг асли А да очиц (ёпиц) була-
ди. Шуни исботланг.
516. X—> У узлуксиз акслантиришда А да олинган
очиц (ёпиц) тупламнинг образи Y да очиц (ёпиц) бул-
маслиги мумкинлигига мисол келтиринг.
517. Тескари акслантиршии Г1 узлуксиз булмаган
узаро бир цийматли ва узлуксиз f акслантиришга ми-
сол келтиринг.
518. Куйидаги фигураларнинг гомеоморфлигини ис-
ботланг:
1) ихтиёрий икки кесма;
2) ихтиёрий икки оралиц;
3) оралиц ва ту'ри чизиц;
4) ярпморалиц ва ёпиц нур.
53
519. Текисликнинг бир нуктаси олиб ташлангаи сфе-
рага гомеоморфлигипи исботланг.
520. Чегаравий айланаси олиб ташлангаи яримсфе-
ранпнг очик донрага гомеэморфлигини исботланг.
521. Очик квадрат ва очик дойра гомеоморф
лигини исботланг.
522. Очик доиранииг бутун текисликка гомеоморф-
лигини исботланг.
Бу мпсолнн дагн очик шариинг га гомеоморф-
лиги холпга умумлаштпринг ва исботланг.
523. Чегаравий айлаиалари олиб ташлашаи. пекли
баландликдаги доиравий цилиндр Сиртинн куйидагнлар-
га утказадигаи гомеоморфизмни топинг (13-чизма):
1) чегаравий айлаиалари олиб ташлангаи ясен кал-
цага (14- чизма).
2) икки нуктаси олиб ташлангаи сферага;
3) бир кавакли гиперболоидга.
524. Бир нуктаси очиб ташлангаи очик доирани очик
ясен хальага утьазадиган го.мео .морфизм га мисол кел-
ТНрИ (Г.
525 Бир нуктаси олиб ташлашаи айланани т\ гри
чизикка стказадигаи гомеоморфизм! а мисол келтнрипг.
526. Купила; нларшпш гомеоморфлигинн исбот. ки-
лпнг: П синусоида ва тсгри чизик; 2) парабола ва туг-
ри чизик.
527. Бог.шнишликнпиг топологии инвариантлигндап
фойдаланиб, куйидаги фигуралариииг гомеоморф эмас-
лигини исбот килинг: 1) гипербола ва парабола; 2) кес-
•ма ва т\гри чизик; 3) эллипс ва иарабо ia; 4) айлапа ва
тугри чизик. 5) ярим оралик ва айлана.
528. !<омш1«тлш‘Т1:нг топологии ппваршшглигндан
13-чизма»
11-чизма.
54
фойдаланиб, куйидаги фигураларнинг гомеоморф эмас-
лигинп исбот цилинг: 1) кесма ва оралиц; 2) чшаравий
айланаси билан олинган ярим сфера ва айланма пара-
болоид; 3) сфера ва текислик.
529. Узлуксиз акслангиришда богланган тупламнинг
асли кар доим кам богланган булавермайди, шунга ми-
сол келшринг.
530 Тордаи бир меридиан ва бир параллель олиб
ташланган, цолгац нуцталар туплами богланган туплам
буладимн?
531. I _v . sin —, х 0 да,
у = [ I-
!), с — 0 да
функциянииг графиги боглашап гупламнн ташкил ки-
ла дими?
о32. Уриниш нуцтаси ошб ишашан бир-бирига
уринадиган икки айлана ан тузнлган туплам богланган
туплам буладимн?
533. Узлуксиз акслантиришда компакт тупламнинг
асли компакт булмаслиги кам мумкинлигига дойр ми-
сол келтиринг.
534. Куйидаги купхилликларга мисоллар келтириш:
1) чети йуц икки улчовш компакт; 2) чеги бор икки
улчовли компакт; 3) йккн улчовли компактмас; 4) бир
улчовли компактмас; 5) бир улчовли.
535. Купхиллнк булмагаи Эгри чизиц ва сиртга ми-
соллар келтиринг.
536. Маркази О. нуцтада булган ABCD тугри турт-
бурчак берилган (15-чизма). О га ннсбатан марказий-
симметрик АВ ва CD томонларнинг нуцталарини бир
хил, яъни апнанлаштирилган „еб цисоътаймиз. Нати-
жада, Мёбиус япроги деб аталадигап сирг косил бу-
лади. Мёбиус япрогида учбурчакларнинг ориентирлан-
маган кетма-кетлигини цосил цилинг, яъни Т2, . ..,
in кетма-кетликда 7'; ва 7’,..(i (Z —1, 2 ни учбурчаклар бир хил ори- ентирланган ва 7„ цам /, лар @ цушни булиб, царама-царши г— ориентирланган (ориентирлан- | маган учбурчаклар кетма-кет- лигининг мав.кудлиги <ирт- нинг ориентнрланмаслигини нс- ботлайди). . . п1) куш- ь 1й.р<дм. 66
537. Цуйидаги фигураларнинг сиртлари ориентир-
ланувчилигига ншонч цоспл цилинг: 1) куб; 2) призма;
3) пирамида.
538. Спргип икки цупшнси бир хил ориептирланган
топологии учбурчакларга ажратиш йулн билаи цуйи-
дагп сиртларнинг ориеитирланувчи эканлигини нсбог-
ланг: 1) сфера 2) юр.
539. Цуйидаги сиртларнингЭйлер характеристикаси-
ни хисобланг:
I) сфера; 2) тор; 3) Мёбиус япрогн.
540. Сферадан оира кирциб олипиб, циркам чегаря-
сига Мёбиус япрогн ёппштирилган ।чегара буйича) ва
ёпиц Ф сирт хоспл цилинган. Ф нпнг проектив текис-
ликка гомеоморф эканлигини курсатинг.
541. Проектив текисликнииг компакт ориептирлан-
маган икки улчовли чети йуц кунхнллик эканлигини
курсатинг.
542. Проектив текистикнпнг Эйлер характеристика»
£ИНИ хисобланг.
\ I боб
ДИ Ф ФЕ Р ? ! IЦИ А Л Г Е О М ЕТ РИМ
ГО §. СК\ЛЯР API A МЕН fЛИ ВЕКТОР ФУНКЦИЯЛАР
Вектор вя скаляр функииялар таърифига асосланиб,
цуйпдагиларнп исботланг (lim г, (/) =• ah lim/(/) — s);
543. lim г2(/)| = а, ±
t-t,
544. lim [/(/) • r,(/)| = / • а,.
545 liin(r,(/) • г,(/)) = (я1 • a>).
546. lim (r,(/) Д r2(t)) = (a( Д aa).
547. lim (r,(/) r2(t) == («, а2а2}.
t-t.
r^l], /=1, 2, 3 ва f(t) дифференнпалланувчи функ-
циялар берилган. Цуйидаги -формулаларни исботланг:
548. [ди) ± гу t)\‘ = r,(t) ± г//)-
56
549. '(/(/) •/,(/)! /'(/)/,(/) -i-
550. :/,(/) A(/))' - (r'(/) r‘(/)) + (/(/) ?'(/)).
551. (г (/) Л -<(/) A G(/) 4- г, (О Л <(/).
552. (r'(i)r2(t) r^t))' (rj(/)Z(/)Z(/)) -Ь (г,(/)0(/) X
X rs(/)) -г (/,(/) r2(/) /'(/)).
Куйидаги нек1<>р-фупм1ия.1арнпнг бнрнпчи тартиб-
ли досилаларции топинг, бу ерда г==г(/).
553. I' г'. 554 -1—. 555. г-е
556. |г —|. 557. гД—. 558. г' Л г".
К <и !
559. [—- f г А ) У 560 (г г' г').
\ <it \ /) v
56i I [г' /\
562 t2 (0-1 лап фойдаланиб (г г'г")- ни хнсоб-
ланг.
563. г (t- 4- I) i 4~ (3/ — 5) / /3А, г', г" ни топинг.
564. г=г(0 вектор функциянииг координаталари
берилган. —- пинг коорлинаталарини .^исоблапг.
а) г(/г — 2/, /к — 2);
б) г (a sin i, b cos /);
. / a — t t \
в) r -----, ------1:
\ a t о + t /
r) r(t, t'1, e‘)\
д) r(s’n2/, 1 — cos2/, 2cos/);
e) / («sinO, b sin /cos/, ccos/).
57
565. е (?) = cos 9 г 4- sin <р у куринишдаги вектор-
функция доиравий бирлик вектор-функция дейилади.
Куйидаги муносабатларнипг тугрилигини исботланг:
а) е (® -г’) — е (<р)cos з 4-g (?)sin /, бу ерда g(?).=
— е (? + «/2).
б) у-= ?(?!,
566. г — г (t) вектор-функциянинг бнрор оралицда-
ги t нинг хамма киима 1ларила хосиласп 0 булишн учун,
:п\ оралицда г = со> st, яъни у t га боглиц булмаслиги
зарур ва етарли эканлигини исботланг.
567. (/,, /.,) да I г | const б\лса, г‘ . г эканлигини
куреатпш . г' г булса, |г'|—. tunst буладими?
568. г(/) вектор -функция доимо бпр текисликка
пара алел булини учун (г(/) г'(t) шартнинг
зарур ва етрлп эканлигини исботланг.
56). г = г.р в( каор-фуикциянпнг бнрор ораликдаги
книг ;..амма цийматларида х<кнласп г(/) га коллпне-
ао б\.пнии учуй, шу оралнцда вектор функциякинг
iiviia.iiiiHu у:и <-.р.\:ас б\.пп1Ч1 зар\р ва стар.н: эканлиги-
•П' i coeviaiir.
5/0. I\ j пндаги 1С’.1ГЛ1!кларппнг цайспларп тугри:
a) б) (г г') ~ |r I! г'|?
574. Ц'унидаги функцияларнинг бирнпчн ва иккнн ;и
тартнблн хусусий хоеилаларини топ1п:г (г - г (и, v))
a) rJ; б) (rs г...): в) (г г* rj.
572. //. 7* параметрларви'П' varapHin сохаси.та' г„ =--
™г,,=:-=0. Щу со^ада г-’coast эканлигини исбот ди-
линг.
58
573. Цилиндрик координаталар системасида ашщ-
ланган вектор-функциялар берилган:
е = cos <р Z — sin <ру,
* —► - >
<?. = k;
е, — —sin " i + cos т j.
Куйидаги тенгликларнинг пгрилпгинн курсатинг:
г) - 6; д) - - (L
<)? <>г
574. Сферик координаталар снстемасида аницлан-
гаи вектор-функинялар берилган:
ez = sin 0 cos s i + si и 6 s in s j cos 6 k.
e. — — sin 7 i -p cos ® j.
e{t = cos ; cos 0 i -|- sin <s cos rJj — sin 0 k.
Куйндаги тсиглнкларнн исбот цилинг:
лГЛ с'с,, де^ ->
а) — = ег, б) — — — е; в) — = 0.
д<> ь OU г 64
ое, „ -* се(, ->
г) —- — sin 6 с ; д) — = cos 6 е •
—
е) -^ =—sin —COS б <?(,.
,9Г
21-§. ЧИЗИЦНИНГ ТЕНГЛАМАСИ
575. гс, ги г2 век горлар донмий булиб, г, г2.
Куйидаги вектор-функцияларнинг годографи нима-
дан иборатлигинн аницланг:
а) 7=7, + /г,;
6) 7=70 + /г. + z2g;
59
в) г — ra + C°S I Г. 4- sin / Г,;
..> j + ,2 .... о, ->
Г) Г = Г,) 4----- Г| 4-----— г2.
• 1 — t- 1 -i-1-
576. Узуплиги а га тенг АВ кесмапинг учлари Ох
ва Оу ёклар буйлаб сирпанади. (Л нук'’а Оу уцка те-
I шили.)eОДС7? тугри туртбурчакнинг С учидан АВ га
перпендикуляр цилиб СЛ! туширилган. Г>у перпенди
куляр асосларининг, яъни /11 (л, у) нинг геометрик ур"
ни астроида _\осил цилади. Астроиданинг нараметрик-
те игл амас 11 и и тузинг.
577. х — a cos и, у = a sin и ва х = а , у = а X
I + а!
х 2«
, -——~ чизпцлар маркази координаталар оошида ва
радиуси а га тенг айлана эканлигини курсатииг.
578. Радиуси а га тенг айлацанинг рутб координа-
галаршшг бирор системасидаги тепгламасиии тузинг.
579. х ~ и cos s., у — !> sin т<, л = а -——-, у -=« h 'А
•’I
i тенгламаларнинг битга чизикни ифодалашини
исботланг.
I 4- г2 2/
580. л —а , у — b——; бу тенгламалар гипер-
болами ифодалашини исботланг.
581. Куйидаги тенгламалар цандай чизикларни ифо-
да цилади:
а)
б)
“)
v = В - t + 1
x =- г — 2/ 4- (
л — a sin't.
у-= /*4 Z-1J
у •= Р — 2/ + 1;
у — b cos1' t.
a
г)
t
а 4-1
Д I
b-\ R-=-—?
е)
' ГТТГ’’
а — t
Л- «=-, у«
а+ I
X^a-BR^,
1 + т»
582. Ушбу ~ — — «= 1 гиперболанинг нараметрик
аг Ь*
тенг ;i а мал арин и тузин г.
ей
583. л3 -{- У3 — 3<7л'у=0 (декарт япроги) учун —- =
— t деб, унинг нараметрик тепгламаларини тузинг.
584. ХаР биридан Л',, Л, нуцталаргача бул1ан масо-
фалар кхпайгмасн - -(/’,, /,) га тенг булган текис-
лик нуцталарииинг геомс1рик • рпи Бернулли лсмччс-
катаси дейилади. Унинг тенгламнении тузинг.
585. х~ 4- у2 — 2</л_ = 0 чп ииуипиг нараметрик теиг-
ламаларини ёзинг на иараметрнппг геометрии маъноси-
яи аницланг.
586. Куйидаги чпзицларнинг махсус иукдаларини
топинг:
а) X — UcnAt, у - <7 Sill"/;
б) а = a sin /, У == а (cm t i III to ‘ t , (0, it);
в) A-* — Л2у ; у' = (I;
г) у'1 = л-3(2 - A).
587 A’( —1, —1), Z(4, 2), Л1(1, 2) иукталар •' -=
<=/3 — 2t, y = /a —2 чизпцда ётадимн? ISv ч.........
координата уцлари билан кесишган пуцталариип го-
пинг.
588. Радиуси R га тенг сфера билан, ясовчиларидан
бири сферанинг марказидан уталиган лоиравии цилнн-
дрнинг кееишнш чизиги Вивиани чизиги дейилади.
Унинг нараметрик тенгламаларини тузинг.
589. Узгармас а узунликка эга булган АВ ке. ма
Oz уккз тик булиб, унинг А учи шу \цда ётади. Бу
кесма Oz уц буйлаб силжиб, айни вактда бу ук атро-
фид'а шундай айланадики, кесманинг В учи айланиш
бурчагига пропорционал йёлии босиб боради. Бу кес-
манинг иккинчи В -учи винт ни чизади. Унинг па-
рамегрик юнгламаларини тузинг.
590. Ушбу сиртларпинг кесишитидан цандай чизик
косил булади:
д - .!_ y'J . J н;| у‘ . z~ _ л-з — । ?
591. х = t, y — t~, zе’ чизицпп иккита сиртнииг
кесишиш чизиги сифатпда курсатинг.
592. л = sin 2/, у == 1 — cos./, £ = 2cos/ чизиднинг
сферада ётишини курсатинг.
СП! 1 Р 13
593. х — --------, у =* ---------, z — —-----------
1 + г1 -( t‘ 1 + t« + о 1 + /* -М1
til
чизикнинг маркази С^О, Oj нуцтадаги сферада ёти-
шини курсатинг ва сферанинг радиусини кпсоблан
594. х = /, у = О. z=O чизикнинг координата те-
кисликларидаги проекциясини топинг.
595. Ушбу | Z ' j q чизикнинг Оху те»
кисликдаги проекциясини топинг.
* Г л 1 v2 ।
596. { ’ чизикнинг Оуг гекисли»:»
1 х — 2у 4 4z — 4 = О
даги проекциясини топинг.
f z = х* Ч” 2 у2
597. у ' чизикнинг Оху текислик»
|2х—4у4г = 0
даги проекцияси эллипс эканлигини курсатинг ва унинг
ярим укларини топинг.
598. х— а/cos/, у — at sin /, z= — чизикнинг ай»
2/г
лайма параболоидда еппнпни курсатинг на унинг Оху
•скисликдаги проскцняспнп топинг.
22-§. ЧИЗИЦНИНГ УРИНМАСИ ВА НОРМАЛИ
599. Куйндаги чизикларнинг / = 0 пуктасида утка-
зилган урннма ва нормалнинг тепгламаларини тузинг:
а) .с = /2, у
б)х- 0-1-1, у-=О-О.
6(10. Куйндаги чизикларнинг махсус пукталаридаги
\рипмаларинипг тепгламасннн ёзпнг:
а) (х- 4- \г) х — 2пу2 = 0;
б) (2« х) у2 = х (х — ц)2;
в) (х' 4 у2) = 2ц- (xL — у );
г) (х2 4 У2 — 2ах)’ = 4а’2 (х2 4 У2)-
.2 2. 2
601. х’1 4 V1 = я1 чизикнинг ихтиёрий нуктасидаги
ур!нмасининг коор пшата уклари орасидагн кесмаси
узунлиги а га тенг эканлигини исботланг.
602. а) — 4 v = 1; б) x = acosZ, y=--=fcsin/ курн-
а'2 />-
нишларда берилган эллппспинг ихтиёрий нуктасидаги
уринмаси ва нормалининг тенгламасиии тузинг.
'52
603. Парабола уринмаси парабола уци ва фокуси-
дан чиццан радиус-вектор билан цамма нуцтада бир
хил бурчак ташкил цилишини исбот цилинг.
604. х —a(l — sin/), у = «(1 — cos/) циклоиданииг
уринмаси ва нормалининг тенгламасини тузинг.
605. л’ + у2 = 2 айланага уринадиган, тенгламаси
у = хг ах -Х-b куринишдаги параболани топинг.
606. Текисликдаги у =/(л) чизицнинг Л10(х0, у,)
нуцтасида
Л/07' уринма ва M0N нормал утказилган
Л/п7 —уринма узунлнги, .И„А'- нормаль узуп-
лиги, 7’7 — уринма ост, 7AV — нормал ост
дейпладп.
Ну кесмалариинг узунликларннп топинг!
607. у-= 1рх иараболаиинг нормаль остнип цисоб
ланг.
608. Хар бир иуцтасг.га утказилган нормаль узунли-
гн доимий булган чнзицнп топинг.
609. ХаР бир нуцтасндаги уринма узунлнги доимий
а кесмага тенг булган чизнцнн топинг.
610. Фокуслари умумин булиб, у ц.тариниш йуна-
лишларн царама-царши булган параболаларннпг тугри
бурчак остида кеспшншини курсатппг.
"ill. Эллнпсичиг шундай нуцтасини топннгкп, бу
нукт.да утказилган урипманннг эллипс уцлари орасн-
даги кесмаси шу н-ктада тенг иккига булинсин.
612. Агар чидгцка утказилган урннмалар битга нук-
тааан утса, у холла бу чизицнинг тугри чпзнц iки
унннг цнсми эканлигини исботланг.
•;ГЗ. Ai ар чизнкца утка шлган нормал ар бпгга нук
та I... утса. г .\o.oia б\ чизмцпшш айлана экаплппш;!
К I ИНГ.
'14. Эллиш i.i.ii .’> ну к гаспда yiKani.naii урвпм 1
унк>и бгпта ну -и. ь । .рп ।план нкмишп радиус-век-
тигпнннг даьниг ор.-к пд.11 и мурчании теш иккига бу-
лншини исбог КП ПНИ .
615. Гиперболашпп уринмаси ва нормалининг тенг-
ламасини тузинг.
616. Гииерболага утказилган уринма уриниш нуцта
сида утказилган раднус-векторлар ташкил цилган бур-
чакни тенг иккига булишнни исбот цилинг.
63
23-§. ЧИЗИЦЛАР ОИЛАСИ. УРАМА
Цуйидаги чизиклар оиласини текшириб, уларни чи-
зинг (с, г, k — иараметрлар).
617. л2 + 2су == 0. 618. с2х2 + у- = сх.
619. х2 + су — ’2ху. 620. у2 = 2сх.
621. (х — З)2 + (у — 4)‘2 = г2. 622. у = kx -J- 3
Куйилаги чизиклар оиласнпипг урамасини топинг
623 v = с2(х — су. 624. (х —с)2 + у2= 25.
625. (у — с)2 — хй— 0. 626. л'=с2-П, у = ся /-
627. х~=2ру параболанинг учидан утган ва мар-
казлари шу параболанинг усгида ёгган ай>аналар оила-
сини нг урамасини топинг.
ь28. Тугри чизиклар оиласи Ок, Оу уклар билан
кесишиб, юзлари S — '2а'2 га тенг учбурчаклар ташкил
килади Шу тугри чизиклар онласннинг урамасини до-
пинг.
629. Берилган иккн пукгадап стаднган аплана.-.ар
оиласини тёгри бурчак осгида косно угаднгаи чизик-
лар онласннинг теигламасиин тузннг.
630. у2— 2.1.x параболалар оиласига ортоганал бул-
ган чизиклар on iacitnn гонинг.
631. х2 : у2 = R айлананинг A v 4- By 4- С == О туг-
ри чизиклар оила и учуй урама булиши учун А, В, С
к )Э Ьфициенг iapra нисбатан кантай шартлар бажарали-
1ип керак?
6 2. Марка ;лари радиусп R га тснг айланада vi>b-
чп г ради\с.п1 айланалар онласннинг урамасини то, а.пг.
633. - ; ==!,/> ! 7— 1 чн шцлар онласн11ПН1 \ pa-
x’ V
'•а нпн гонинг.
24-§ ЁИ tl.HU И. ЭГРИЛИК
634 л — 8at\ у -- За (‘2t2 — /4) чизикнинг .11, (Z -—О)
ва = 2) нукталарн орасидаги ей узунлнгини то-
пинг.
635. x — ad — sin/), y = €z(I—cosZ) циклоида блр
гармогининг (0 < / < 2л) ёй узунлигинн .уисобланг.
636. у = — х2 — — In г чизикнинг A.= i на ха — 4-
7 4 2
яукталари орасидаги ёй узунлигинн топинг.
С4
637. у — In cos x чизицнинг (0, 0), (у, — In2j иук-
талари орасидаги ёй узунлигини хисобланг.
638. л = a cos8/, у = я sin’/ астроиданинг ёй узун-
лигини хисобланг.
639. Чизик тенгламаси цутб коордннаталарида г =
»=г(ф) куринишда берилган; унинг ёй узунлигини хи-
собланг.
6Ф>. г— а<? Архимед спирали бичта урамининг ёй
узунлигини хисобланг.
641. л3 = 2ду параболанинг училан абсциссаси х га
тенг нуцтаснгача булган ёй узунлигини хисобланг.
642. v —а4 чизицнннг 0(0, 0) нуцтасидаги эгрили-
гини хисобланг.
Куйидаги чизикларнинг эгрилигини хисобланг.
643. x=t\ y=.t\
644. х =- ci (t — sin /), у = а (1 — cos /).
645. уг = 2рх. 646. а-у ~хя. 647. д’у==л‘.
643. Эллипснинг эгрилигини хисобланг ва унинг эл-
лине марказидан уринмвгача булган масофанинг куби-
та пропорцийнал эканлигини исботланг.
649 Ушбу Р(.г, у)г/л-| О (a, y)rfv—О дифферен-
цнм тенглама билан нфодалапгэв чнзицнинг эгрилиги-
ни хисобланг.
650. л2 —2ру параболанинг уринмаси Ох уци билан
а бурчак ташкил цилади. Парабола эгрилик радиуси-
нинг га тенг эканлигини исботланг.
COS За
651. x=flcos<₽, y = i>sin’f эллипснинг эгрилик ра-
диусиип юпинг.
652. у = sin х синусоиданинг эгрилик радиусини хи-
собланг.
653. Агар чизицнииг тенгламаси х~ >с($), y(s)
(л —ёй узунлиги) куринишда берилган булса, у холда
унинг эгрилик радиусини цуйидаги тенгликдан аниц-
лаш мумкинлигини курсатинг:
1 /115? 1
А» “ '
654. № a cos8/, y=-«sin'/ астроиданинг эгрилик
радиусини хисобланг.
66
5-1430
. ... 25-§. ЭВОЛЮТА ВА ЭВОЛЬВЕНТА
Куйидаги тенгламалар билан аницланган чизиКлар-
нинг эволютаси тенгламасини тузинг ва графигини чи<
ЗИНГ
655. л2 - 4 г 4- У2 — 13 =“ 0.
656. л = a cos /, у = b sin /.
657. ' л'2 = 2ру.
658. x — acosxt, у — ashr'f.
659. л = «О cos 0, у = a1) sin 0.
660. *2 — 21 = 1.
а-' Ь“
661. а' = a (f — sin /), у = а (1 — cos /) циклоиданииг
эволкласи яна циклоида эканлигини исбот цилинг.
662. а' 4- у- = /?2 айлана эвольвентасинипг тенглама-
сини чузппг на упп чизмада тасвирланг.
663. V — —л2 парабола эвольвешаспнннг тепглама-
'I
сини тузинг.
664. Архимед спиралинппг №a0cos0. у = «Osin О
параметрик тенгламаси буйича унинг эвольвентасп тенг-
ламасини тузинг.
Куйидаги тенгламалар билан берилган чизицларнииг
табипй тенгламаларини тузинг.
665. л = a cos t, у — a sin /.
666 х - a (i 4- sin t), у ==« (1 4-cos/).
667. х = a (cos 'f 4- <р sin ср), у а (si и ср — ср cos 'р).
668. v = a In —~J..2..7^4.. _|. \/ (1*
х
669. у2 = лЛ
670. х = — ’П' епт cos «, у == -у—"-ета sin а.
+ 1 Kni-+'i
671. у = -|(^4-е"Ч
672. Чпзикнинг табипй тенгламаси k = — буйича
аг
у пинг параметрик тенгламаларини тузинг.
673. Кандай чизицнинг табиий тенгламаси /?2 ==
•=16о2 —s2 дан иборат. Dj’ ерда а — доимий сон.
бб *'
26-§. ФАЗОВИЙ ЧИЗИЦЛАР УЧУН ФРЕНЕ
ФОРМУЛАЛАРИ.' ЭГРИ ЧИЗИК ЁЙННИНГ У 35 НЛИГИ
Куйидаги тенгламалар билан берилган чилицларга
берилган нуцтасида утказилган урннманинг тенглама-
ларини тузинг.
674. д = /, у = z t\ {t = 1 К
675. х •= 3t - /:i, у= З/2, г— • / r t\
676. x = 2cosf, у 2sin г »=-/; (t = 0).
677. х = а(/ — sin i), у=- а (1 — cos /), г = 4а sin
678. х=°(1 Г- COS./) V «=- si!iг r.Sin (0,
2 2 2
О, 0).
679. Агар чизикпинг тенгламаси )»нбу
fix, у, z) = 0 >
з (х, у, г) = 0
курш.иш а берилган.булса, унинг (у,,, ’,’о, гъ) нуктаси-
да утказилган уривманинг тенгламалари куйидаги ку-
рнншада булшииии исботланг:
-V — -Уо А--уп
‘fy-fz h
;-ф (D i (Г С-
। Т v т з I Y z f f
н,;И1,.,г А?с(0, 0, 1)
нук1зсидаги уринманипг генгламасини тузинг.
681.
( 2х~ Зу- -j- с2 — 47 = О,
{ тепгламалар билан бе-
! г--2у-‘ - г = О
ритгаи эгри чнзнцнинг Л10(— 2, 1, 6) нуцтасидаги урин-
маиинг теигламаспнп гузинг.
682. Агар эгри чизикка уриималарининг .^аммаси ба-
рор текистпкка параллел булса, бу эгри чпзикнинг яс-
ен эканлигини исбот килинг.
683. г — /, у — /2, г==/3 чизикка уринмаларнинг
Оху текислик билан кесишиш нукталарининг геометрчк
уриини топинг.
Куйидаги тепгламалар билан аникланган чизиклар-
ьинг курсатилган нуктасидаги бош нормали ва бинор-
маливннг теигламасини тузинг.
67
684. л — t, y — t’, z — t3. Л1о(/== 1).
685. л = a cos t, у = a sin t, z == bt; ихтиёрий нуцта-
си да.
685. л —sin Л у—cos/, z = tg t, t(-(— —, —
M 2 2 /
MH
687. _•=/, У =-=/'', z- o'; -H„iO).
688. x — i sin/, у - /cos/, с =г /</; (0,.
689. x = y = ln/, z =— /'чизицпиш шундай пуц-
I
таснни топингки, шу нуцтадаги чизицнинг бинормали
х — у + Яг т 2 — о текисликка параллел булсин.
690 z = a cos/, у --= a sin /, z=? bt винт чизицнинг
бош нормали унинг уцнпи тугри бурчак остида кеси-
шини небит КИЛИНГ.
691. Куйидаги чпзицлар учуй Френе репери бирлик
векторларк v, р нинг коордпиаталаркни топинг:
а) у -= /, у - fz. z = t ’-.
б) л: о cos /, у ~-а sin /, г = bt.
692. < = /, y==/\ 2 = /' чизицнинг ёпишма, нор-
маль на тугриловчи текисликлари координата гекислик-
лари билан устма-уст тушишини курсатинг.
693. л—«cos/, y = «sin/, z = bt чизицнинг ёииш-
ма, нормал ва т$гриловчи текисликларининг тенглама-
сини тузинг.
694. .с —/cos/, у = —/sin/, z = cit чизицнинг ко-
ордината боншдаги ёняшма текпелнгииинг тепгламасн-
ни т уз" к г.
635. * ^’тепглама билан берилган чи-
i М.т, V, z) 0
зицн ённшма текпелигппннг тенгламасини топинг.
( л -I- V' -1~ = 9
</j,s ; - ~ ’ чизикпинг /И0(2; 1; 2) нуц-
. л- у =3
таендш и пинита текислик тенгламасини тузинг.
69*’. Хлм-лт вуцталаридаги ёпишма тскиеликлари
бинт ну, г.-,.ши утган чизицнинг ясси чизиц эчаилиги-
I1K ГСб: I',,1 И Г.
698. Ен,;шма текислигининг тенгламаси Д(г)т-|-
-4-Z/.:riy-s / (/) z 4- D(t) = О дан ибс рат чизицнинг ienr-
ламасики Юинш мумкинмн?
68
699. r = r(t) чизицнинг ясен булиши учуй зарурий
ва егарли шарт (i? г" r"')=~Q дан иборатлигини исбот-
лаб Оерииг.
Куйидаги тепгламалар билан и | одаланган чизицлар-
нинг курсатилган нуцтасидаги нормал текислигниииг
тенгламасини тузннг.
700. л- = у = z = Мо (f = 1).
701. х = a (i — sin t), у = а (1 — cos t)> г== 4j sin —
k 2)
702. x <=• 2 cos t, у = 2 sin t, z = 4/; M„ (t = 0).
703. ( Г = 7 Al0(l, 1, 1).
I z = x-,
704. ( Г + ^ = 25. /И (| 3 4)<
U4y’ = 10;
705. | + У" + г" = !- л/до, 0, 1).
I X2 + г2 = 1
lyyihnarn тенгламалар билан берилган чизицларнинг
курсапниан нуцталарн орасидаги ей узунлигинн то-
пинг.
701 х = /, у—|21п/, г-у; Л/Jl), Л12(Ю).
707. х =» с* cos/, y==e'sin/‘, г = е‘; ЛЛ(0), Л12 >).
708. г--= | (ег + е y = l(e'-e 'j, z = at+c\
74,(0), ЛЦ1).
709. х — a cos t, у = a sin t, г — ht, (а =/= 0, b =7= 0),
A1J0), ЛМ1М.
710. л- = t y^t-^, z = I2- Ло (1), Л12 (/ ’.
711. x2 = 3y. 2лу =3г; Л/„(0, 0, 0), .ИДх, у, г).
712. л = со4/, y = sin3/, z = cos 2/; (0</<.2it), бу
ёпиь; чнзицнинг узунлигинн топинг.
7I3. Винт чизик берилган: х = За cos t, y = .3asin/,
z = Aat. Бу чизицнинг Оху текислик. билан кесишган
нуктаендан ихтиёрии М (t) нуц1асигача булгаи ей узун-
лигини ^исоблаш.
69
Куйидаги мисолларда параметр сифатида ёй узун-
олиб, чизицларинпг тенгламасини ёзинг;
v = /.}--£ у — t - г = Г2.
з ’ з
лигини
714.
715
716.
717.
л = a cos /, у = a sin t, г = bt.
х = с‘ cos t, у =_ f'sin t, z = e‘.
Ушбу мисолларда Френе фсрмулаларндан фойд&ла-
ниб, r~r(s\ учун куйидаги тенгликларнинг тугрили-
гини исбот килинг:
719. {Jr • - —1=-0.
.-Is
720. -Л =
J-
721. i'i! У — >."r.
722. (? •/' T7:'i = -/?•! Л /.
' b l
12.0 > )==-•//(—,,
/ Г
12A. A = И CO?/, V = «SHl /, ~ = bt РИН: чизиги учуй
Фреш1 формулаларики сзинг.
725. Дгар ~ = *(s}, ' = v(s), S==?(.s-| нс-кторлардан
фака! ппрп берилган бмл<а, чизицппнг тенгламасини
ёзиш мумкпими?
726. Френе формулаларинп Дарбу вектори ч> оркали
Куйидагича ёзиш мумкнн.тнгини курсатинг ;-а уни то-
пинг:
.._ = ((0/\7), — = (0 Д V), - = (со , S).
/.V ds ds
727. Чизикнинг уамма нукталарида >. = с булса,
унинг ясен чизик эканлигини исботланг.
728. х — /cos/, у — / sin/, z j= at чизициинг (0,0,
0) нуцтадаги эгрилнгини хисобланг.
70
729. x ~ cos81, у == sin31, z = cos 2t чизикнинг эгри'
ЛИГИНИ ТОПИНГ.
Тенгламалари билан берилган куйидаги чизиклар'
нинг эгрилиги ва буралишини хисобланг.
730. х = 2t, у = In t, z = t'1.
731. x = 3/ — t*, y = 3/ , z=3/-H3.
732. x = a cos у — a sin ut, z — bt.
733. x = e1, у = e~‘, z —
734. x = t, y = /21n/,
735. x == — —- sin 2s, у = — cos 2s, z = sin s.
2 4 4
736. х2==2ху, х3=6й2г чизикнинг эгрилик радиуси-
ни хисобланг.
737. Куйидаги чизицларнинг неси эканлигини ис-
ботланг, тегишли тенгламаларни тузннг:
а) х>=^21_£ у = —J... г = ——;
1-/ л l-t* 1 + t
6)x = cos8/, y = sin3/, z==cos2/.
Куйидаги чизнцларнинг табиий тенгламаларини ту-
зинг:
738. х--=^ (е‘ + е-'), у = | (ef-е~‘), z^at.
739. х = t, у = уг21п/, z = —.
740. x = acos/, у = «sin/, z = bt.
27- §. СИРТНИНГ ТЕНГЛАМАСИ
741. Oxz текисликда z — f(r) чизиц берилган бу-
либ, г — чизикнинг нуцтасидан Oz укигача масофани
билдиради. Шу чизицппнг Ог уди атрофида айлапиши-
дан хосил дплинган сиртнниг параметрик тенгламала-
рини х —г cos о, у — г sin v, z — /(г) куринишда ёзиш
мумкинлигини исбот цилинг.
742. Oxz текисликда Oz удини кесмайдиган х =
= /(«), z = g(tc) чизик берилган. Шу чизикнинг Oz
уци атрофида апланишидан х°сил этилган сиртнпнг па-
раметрик тенгламаларини тузннг.
742- масаланинг шартидан фойдаланиб, куйида бе-
рилган чизикларнинг Oz уди атрофида айланишидан
71
хосил этилган сиртларнинг парачетрик тенгламаларини
ту ШНГ.
743. х == '1 cos и, у =0, г =» a sin и.
744 х = a sin zz, у — 0, z — a pn tg — 4- cos «j.
г / z»a ° L /> 11 а \
745. х = —-------у = 0, г и.
2
> у2
746- ~ + — == 2z гиперболик параболе.иднипг пл-
раметрик тенгламаларини л — я (и 4-т>), у =? b (и —-в),
z—‘2uv куринишда ёзиш мумкинми?
«'47. х — а-----, у —о ------, z— ——— тенглама-
и + V и + 'V и -У V
лар бир пэллали гиперболоиднинг параметрик тентла-
малари эканлигини асосланг.
*7 л о ее С1 ]
/43. х=---------, у =--------, г—---------ва л =
«/г j. ' иг 4 t)2 ni _|_ t,s
= zz cos о, у = г? sin v, z == u‘ тенгламалар битта сиртни
иф'ча э а тми?
749. х = и 4- sin v. у '= и. + cos и, г = н 4 а тенглама-
л-|р Данаан сиртнинг пара.метрик тенгламалари энанли-
гичл аниц ianr ва бу сиртниш нсошкор куринишидаги
тенгламасини ёишг.
750 41(4, 2. 3). А (1, 4, —2) пуцталарнинг 1<айси
бири х=« + с, у = и —v, z = uv сиргда ётади?
751. .Vino-/ х — Зет у-т)1I, у = 2zz-I-т,г — 1, г =
= —н 4-2о сиргга каоашли бир нечга нуцтани топинг
г „ ) f, V — Г2 г 4 ,
ва -..- =—-— — —— т\гри чизицнинг увда егиши-
ни небо гланг.
752. х'~v- с- li.r— Sy — 10г =0 сиртнинг мах-
сус нуцтасини топит ва коордпнаталар бошини шу
нуцтага кучириб, у.шпг тенгламасини содлалаштиринг.
753. х = sin и cos v, у — sin zz sin t', z — cos zz 4-
4-lnt^ y псевдосфера махсус нуцталарининг 1еомегриж
урнини гопинг.
Куйидаги сиртларнииг координата чизицлари нима-
дан иборат эканлигини аницланг.
754, х — a cos и cos и, у => a cos и sin v, z=aslnu.
14
756.
X1 . у1 zk
л« с»
757. х = a cos и, у = а sin и. г = Ьи 4- v.
758. х = a cos (и 4- ®), у — a si и (и 4 г»), г = f’u.
759. х — a cos (и -f- v), у == й sin (« 4- г1). г = 1\и г-).
28-§. СИРТНИНГ УРИНМА ТЕКИСЛИГИ ВА
НОРМАЛИ
Сиртларнинг курсагплган нудгасидаги уринма текис-
лиги ва нормалининг ченгламаларипи ёзинг.
76*4 х — 2и — V, у — и* — v'1, z — ия — гг\ 41 (3, 5,7).
761. х — и 4- v, У = и — v, z — iru\ 41(3, 1, 2).
762 х — и, у = и’ — 2ii.ii, z = uJ — 3iCv; 41(1,3,4).
763. л84-уг4-22= 169; 41(3, 4, 12).
764. + 1; л4(Ло> У(> ,о).
765. х — и cos v, у = и s:n v, z = аъ\ М (и, т).
766 хуг = й? сиртга шундай уринка текислик утка-
знн ки, бу текислик ксордипача jrpicj идан тенг кес а-
лар ажратсин.
-7z»^ I У'* , 1 А у ~ С
767. —4-----(- —1 сиртни т —=--==—- нг-
//’ c‘J 1 0 1 -1
рн чизицдан уталиган уринма текисликларини топинг.
768. Координата iap бошидан x~ucosv, у == и sin v,
z ~ kv сиртга утказилган уринма текисликларгача бул-
ган масофани хисобланг.
769. х — 2 1^1} и cos v, у = 2 Yq и sin ‘V, г — 2иг паря-
болоилнинг уринма текисликларига координагалар <'о-
шидан туширилган перпендикулярлар асосларининг ге-
ометрик уриини аницланг.
770. Конуснинг вхтиёрий иуктасидаги уринма текис-
лигининг конус учидан утишинн исбот цилинг.
771 Сферанинг нормаллари бир нуцтада кесишиши-
ни исботланг.
772. Агланма сирт нормалларининг айланиш уци би-
лан кесишишини ис'ют дилинг.
773. Сирт.чииг нормаллари битта тугри чизид билан
кесишса, унинг айланма сирг эканлигини исботланг.
73
29-§. СИРТНИНГ БИРИНЧИ КВАДРАТИК ФОРМ АСИ
774. Ушбу х « t(u) cos v, у = f(u) sin v, z •= g(u)
айланма сиртнинг биринчи квадратик формасини то-
пинг.
774- масаладан фойдаланиб, куйидаги (775 —780) ай-
ланма сиртларнинг биринчи квадратик формасини хи-
собланг.
775. Сфера: х = a cos и cos и, у = aws>tid\nv, г =
«=» a sin и.
776. Айланма эллипсоид: х = a cos и cos v, у«=оХ
X cos и sin v, z — с sin и.
777. Айланма параболоид: z==zzcosp, у — «sin®,
Z — и\
778. Доиравий цилиндр: х = Rcos-v, y = Rs\nv,
z — u.
779. Top: x = (a 4- b cos u) cos v, у = (a -j~ b cos «) X
X sin v, z — b sin it.
780. Псевдосфера: x = a sin и cos v, у = a sin и sin v,
z = a I in tg — + cos — 'j
k 2 2 I’
781. x = и cos г1, у— и sin v, z = av тенгламалари би-
лан берилган сирт тугри геликоид дейилади. Унинг би-
ринчи квадратик формасини топинг.
782 г = г(л, у) тенглама билан берилган сиртнинг
биринчи квадратик формасини топинг.
783. ds' =du2 4- kdttdv — 2dv2 квадратик форма би-
pop сиртнинг биринчи квадратик формаси буладими?
784. х — td V-, у — и? — ъ2, z — uv (j и | 4-1 I ¥= 0)
сирт устидаги v — u =0 чизикнинг 41,(1, 1) ва 442(2,
2) нмкталарн орасидаги ёйи узунлигинн хисобланг.
785. Биринчи квадратик формаси ds3 = du? (и2 4*
4-б\лг<!н сирт устида ётадиган и == и =
V
= — v ~ 1 чизиклар эгри чизицли учбурчак косил
килади. Шу учбурчакнинг периметрии» хисобланг.
786. х — a cos и cos v, у = a cos и sin v, z~as:nu
сфера координат турларининг ортоюналлигнни исбот
КИЛИНГ.
787. х = и cosc, у = и sin v z~av тугри геликоид
устида ётадиган и ?-v ==п ва и — v — О чизиклар цан-
дай бурчак хосил кидади? •
74
788 х = и cost', y«=Msin®, z<^ii2 сирт устидаги
t — it-f-l ва t = 3 — и чизицлар орасндаги бурчакни
допинг.
789. Биринчи квадратик формата эга булган rfs* =
«= du* 4 dv* сирт устидаги u = t, ?< = 2/ чизиц билан
v — 2t чизиц орасндаги бурчакни хнсобланг.
790. х-— —=2z гиперболик параболоиднинг тут ри ч«*
р ч
зицли ясовчилари оиласига ортогонал булган чизицлар
оиласини топинг.
79 i х = (а т- Ь cos v) cos и, у = (я 4- b cos а) sui и,
z=£sint (0<«<2s 0 < v < 2-) торнинг сиртини
(юзини) ц и соб лапг.
792. х == и . os v, у = (i s п », г — av тугри геликоид
устидаги я = О, и = а, t = О, v 1 чизицлар л ри чи-
зицли туртбурчак ташкил киладилар
Щу туртбурчакнипг юзини цнсобланг.
30-§. СИРТНИНГ ИККИНЧИ КВАДРАТИК ФОРМАСИ
793. Айланма сирт уци Oz дан иборат = ((и) cos v,
у = fin) sin v, z = g(u) сиртнинг иккинчи квадратик
формасини топинг.
Куйидаги айланма сиртларнинг иккинчи квадратик
формасини- хнсобланг.
794. Сфера: л = A? cos я cos t, у — ft cos и sin t, г==»
= sin и.
795. Айланма параболоид: x ~ и cost, y^usirit,
z = и2.
796. Доиравий цилиндр: x = ^cost, y==/?sint,
z *= u.
797. Псевдосфера: л = a sin «cos t, у == a sin и sin t,
г —= a pn tg — 4- cos иj.
798. Катеноид: x = 4- аг cos v, у — 4- a2 x
X sin v, z^= a In (u 4- 4- O ).
799. x = «cost, v = «sint, z — av тугри гелико-
иднинг иккинчи квадратик формасини топинг.
800. z — z(x, у) тенглама билаи берилган сиртнинг
иккинчи квадратик формасини топинг.
801. Сиртнинг цамма нуцтасида иккинчи квадратик
формаси нолга айлаиса, бундай сиртнинг текислнкдан
ибораглигипи исботланг. Тескари даъво ^ам тугримн?
75
802. Сфера учун биринчи на иккинчи квадратик
формяларнннг мос коэффициенглари пропорционал экан-
лвгини курсатинг.
803 Куйитат сиртларнинг юмалоцланиш нуцталари-
ни ’опине:
у 2
а, 2г = - ф < , (zz > ft);
b-
б) xyz — а3.
801 х = a ccs <₽, у = и sin ф, 2= <р («)-,!• ?г®, (т =
— const) сиртмиш биринчи ва иккинчи квадратик фор-
м ал армии х исобланг.
805 х~ fl cos®, y=zz. sin®, ?=/(«) айлаима сирт-
нинг бош нуналишлврини аницланг.
800. X==ZZCOS®, y=.'zsin®, z—bj тугри геликоид
бош иуналишларинигг тенгламаларини аник.танг.
807. Тугри геликоиднинг бош пуналишлари ясовчи-
лари унинг билан винт чизицлари орасидаги бурчании
тенг икки! а булади. Шуни исбот килинг
8С8 _r=flsin«cos®, у = a sin к sin®, z = <zcos«4-
-ф flints’— псевдосфера нинг бош эгриликларини хи-
собланг. _ _ _ _____
; 09. х — I-' и -фф2 cos ®, у =, а2 -р a* sin®, г = в1п(ы-ф
-фг/zz*+«21 каюноидяинг бош эгриликларини топинг.
810. л— zzcos®, y=zzsln®, 2 = ft® геликоиднинг
бош эгриликларини хисобia6, унинг уртача эгрилиги
иолга тенг э:,аптигпни курсатинг.
Ь11. \~lt~ и®2, y = zz2 — ®2, 2 —zz® сиртнинг /И(1,1)
нуцтасидаги бош эгриликларини хисобланг.
812. г <?(л2 -ф у‘) иараболоиднинг координаталар
боши аги ( o n эгриликларини тоннпг.
813 г г( ., у) те шла ма билап берилган сиртнинг
тулиц на урча эгриликларини хисобланг.
М4. z — а гип рболоиднинг x = v=0 нукгасида-
!и тулик ва рта эгриликларини топинг.
815. Куйидаги сиртларнинг гул и к эгрилигини гонинг;
а) .< =zzcos®, y = zzsin®, z = ft®;
б) 2_2 + t = 2г.
Р <1
816. х=?[ й2фп2соз®, у = ф zzs + fl2sin®, г = а1п «ф
:-1^/г2ф-о2) катеноиднинг урта эгрилиги si >лга тенг
ткаилигини курсатинг.
76
817. г — r(s) чизицнииг бош нормалларидан тузил-
ган сиртнинг тулик эгрилигини топинг.
818. г = г(и, v) сиртнинг тулик эгрилигини куйи-
даги формула билан кпсобла н мумкинлигини исбот
Килинг:
бу ерда
у EG
-J)
dv
Еу__ ।
|Z Tg (1v Д у/EG
dE dG
—, G„ = —
oo du'
819 818- масалянинг шартидан фойдаланиб, биринчи
квадратик фор-. леи ds2 drd ф- (о2.ф- Ir'dv бу.тган сирт-
нннг тулик эгрилигини хисобланг.
<.20 Текислпкка ёииладнгап тиртнинг биринчи квад-
ратик формаси ушбу курннншда берилган: ds2 (1 ф-
ф- /dv2)dn2 ф- 2diido -I- dv1.
Бу сиртнинг тулик эгрилигн нолга тенг. Шуни ис-
бот КНЛ-.Ж.
821. Биринчи квадратик формаси ds2 — did ф- G(u,
v)dvl Kvpniiiiwiarii сиртнинг тулик эгрилигини k —
~ --------формула оркали аниклаш мумкинлигини
l-'ti
исботлан!.
Цуйнлигп иккннчи ,артибли сиртлар нуцталаринин!
харакгерани TeKiiiiipiiiii.
82?. Сфера: '2 ф- у2 ф- г2 = <R~.
823. Эллипсоид: - Ф — ф- — == 1.
я2 bJ е2
j^2 у2
824. Бир паляали гиперболоид:---{----— =1.
а2 Ь2 с2
825. Икки пал тали гиперболоид: -----—= 1.
я2 b2 Cs
826. Эллин гик цилиндр: - ф- --= 1.
а Ь2
g
827. 2л2-)-—-у2 = г сиртнинг (0, 0, 0) иуктасидаги
Дюпен ипликатргсасининг тенгланасини гузинг.
8' 8 г = а(.\-+ \'-) сиртнинг координаталао бошида
1
ги индикатри< аси г.адиу<и —— га тенг анлана эканлн
у 2а
гини исботланг.
ЗЬ§, СИРТ УСТИДАГИ ЧИЗИЦЛАР
829. >=«cost’. ',=usinv, z=^av сиртда ётувчи
чэМа8 — u2dc2 == О чизиклар оиласннинг цушма тур таш-
кнл цилишини исбот цилинг.
830. <=zzcost>, у = «sinv, z = и + v сирт устида
= чизицлар оиласи берилган. Бу чизнцларга
цушма булган чизиклар онласинмпг дифференциал тенг-
ламасини гузинг.
831. 2г==—-j~- эллиптик параболоидда л + у ==
а‘ !fi
-= const текисликлар ёрдамида кесимлар >;оспл цилин-
ган. Шу кесимлар билан цушма тур хосил циладиган
чизицлар оиласини топинг.
832, —-ф-—р — = 1 эллипсоиддаги v =const чизиц-
а* Ь~ с~
лар оиласи билан цушма тур х.осил циладиган чизицлар
оиласини топинг.
833. x=/zcosT', х —//, striT, z = v гели коидлаги
асимптотик чизиклар оиласидан биря тугри чизицлар,
иккинчиси винг чизицлардан иборат эканлигини исбот
цилинг.
834. х ~ a sin и cos v, у = a sin и sin v, z = a'costi
4-lntg-^ псевдосферадаги асимптотик чизицларни
топинг.
835. Бир паллали гипер''олоидпинг тугри чизицли
ясовчилари асимптотик чизицлар эканлигини исбот
ЦИЛИН
830. х ==V zz24 о2cos тц у =у н’-[-п2 sin и, г=«1п(«4-
4- \^fr ф аг) катеноиднииг асимптотик чпзицларинп
1О11ИИГ,
0,-7 2 2 , 11
8о7. л ==---, у=------, z = t чизиц г—-----------
1 +1 1 — t л2 у2
сиртнинг асимптотик чизиги эканлигини курсатинг.
838 Урта эгрилиги нолга тенг сиртнинг асимптотик
чнзицлари тугри ортогонал булишини исботланг.
839 x==zzcosr?, у = « sin г1, г = bv тугри геликоид
эгрилик чизицларининг тенгламасини тузинг.
840. г — г(т, у) тенглама билан берилган сирт эгри-
лйк чизицларининг дифференциал тенгламасини топинг.
841. z — axy параболоиднинг эгрилик чизицларини
топинг.
78
842. -+ — + - = 1, (a > b < с) эллипсоид эгрилик
д3 b1 с3
чизицларининг дифференциал тенгламасини тузннг.
843. Параметрик тенгламалар билап берилган
х -/pin. + V'-, у == |Л?(« —• t»), z = 2zw
параболоид эгрилик чизицлари.шнг дифференциал тенг-
ламасини тузннг.
844. Ушбу х«== 3« — Ц3 + Зи®2, у — D3 - Зи v — Зи,
г — 3(«а — ®2) сиртнинг координата чизицлари эгрилик
чизицларидан иборат эканлшини исбот дилинг.
845. ' х = -1 и3 — uv1 4--—, y=u2v—- ц2-|-—
3 zz3-)-^2 3 u34- v*
z~2ii сиртнинг эгрилик чизицларини топинг.
846. аг2 — \у сирт эгрилик чизнцларининг хОу те-
кисликдагп нроекцнялари тип рболалпрдан иборат экан-
лнгини исбот Г[НЛИИГ.
847. Ц'уйидагн айннятларни исбог цилинг:
а) = t" Г'£ + g‘v-'
Сирт геодезии чизицларининг куйидаги хоссалар
билан тулнц характ. рлаиишнни курсатинг.
848 Эмилии полдни фаркли кар бпр нуктасида
геодезии чизикнинг coin нормали сиртнинг нормалидан
иборат булади.
849. Геодезии чизикнинг тугриловчи текислиги сирт-
пинг уринма текислиги булади.
859 Геодезии чизикнинг ихтиёрий нуктасидагн
ёпишмп 1екис.тнги сиртнинг шу нуцтасидагп уринма
текислигига перпендикуляр булади.
851. Сиртнинг тугри чизицли ясовчилари геодезии
чизиклар эканлигини курсатинг.
8 2. Сферанннг каста доиралари геодезик чизик
эканлигини исботлаиг.
853. х— cos --у, y=/?sln-^-, г доиравий ци-
линдрнинг геодезик чизнкларини топинг.
854. Айланма сиртнинг ихгиёрий мериднани гео-
дезик чнзик эканлигини исботлаиг.
854 Тугри гелнкоиддаги винт чизикларнннг геоде-
зик эгрилигн шу чизикнинг эгрилнгига. цилиндр усги-
дагп пиит чизикнинг геодезик эгрилигн эса 0 га тенг
эканлигини исбот кнланг.
7Э
856. х «= и cos v, у = и sin-о, 2«=z(w) айланма сирт-
нинг геодезии чизицларини топинг.
857. х = a sin и cos д, у = a sin и sin v, г
= 0pntg-~b
-f- cos«) ясевдосферанинг геодезии чизицлари топилсин.
858. Псевдосфера устидаг и геодезии учбурчак ички
бсрчакларининг йигипдиси к дан кичик эканлигини ис-
бот цилинг.
\ if боб
ХИСОБЛАШГА ДОИР МАСАЛАЛАР
32-§. УЧБУРЧАКЛАРГА ДОИР М\САЛАЛАР
854. С учидаги бурчаги а га т< иг АВС учбурчак-
нинг ВС ва АС томонларида шундай Л, на Д пуцта-
лар олинганки, ABBt ва ВАЛ, учбурчаклар тенг. АВС
учбурчакнинг А ва В учлари аги бурчакларини топинг.
8 0. 1\гри бурч.?1-..лг учб\ pM.iK.oi । ifiioieiiy.ianiiiir уч-
ларилан бошлаб унинг . аво.мларпга шу учларга мос
катетларг а тенг у-'унликдаги ко ’малар цугшлгап. Хо-
сил булган нуигаларни тугри бурчак учи билан бир-
лашгирувчи тугри чизиклар утказилган. 15 у ту гри чи-
зицлар ора идаги бурчании топинг.
86 i. Томонлари АВ = 25 см ВС= 30 см, АС—25 см
булга-i учбурчакнинг АВ томонига туширилган баланд-
лиг и ни топинг.
862. АВС учбурчакда ^<4 = 70°, ^С = 8()° оулиб,
у«ищ- /1 ва С учларпдап утказилган баландликлари О
нуцтала кесишади. .-/\ОС ни торцпг.
8 3. АВС учбурчакнинг В учидаги бурчаги 115°.
АС томонининг уртасидап утказилган перпендикуляр
ВС томонии D пуцтада кесади, ALJ нур эса А у гдаги
бурчании АС томондан бошлаб 5:3 нисбагда булади.
Учбурчакнинг цолган бурчакларини топинг.
8 4. Учбурчакнинг периметри р булга, унинг то-
монлари урталарини бирлаштирувчи учбурчак пери-
метрини топинг.
865. Периметри 64 см булган тенг ёнли уч-.уг^чак-
нинг ён томони а о.идан 11 см ортиц булса, ён то-
монига туширилган баландлигини топинг.
86 . АВС учбурчакнинг BD биссектрисаси мВ то-
моша ва DC кесмага тенг. Агар учбурчакнинг /1с то-
80
м-они уэунлиги b бслса, цолган томонларининг узун-
ликларини топинг.
86<. Агар учбурчакнинг бир учидан чиццан медиа-
на на баландлик шу учлаги бурчакни тенг уч буланка
ажратса, бу учбурчак бурчакларини топинг.
8Ь8. Томони а га тенг булган мунтазам учбурчак-
нинг томонида ихтиёрий олинган Л1 нуцтадан учбурчак
томон гаригача масофалар йигиндисини топинг.
869 Тенг ёнли учбурчакнинг ён гомонига туширил-
ган баландлиги узунлиги шу том ж узунлигининг яр-
мига тенг. Учбурчак бурчакларини топинг.
8(0 Тенг ёнли учбурчакнинг асоси 4pz2 см, ён то-
MOHiiia ут'азилгаи медианаси 5 см булса, уч урчак-
нииг ен томонпии топинг.
871. Кагетлари 6 см ва 12 см бслгаи тугри бурчак-
ли учбурчакнинг тугри бурчаги биссектрисасини топинг.
872. Д&С учбурчак а Л учидан биссектриса ва ба-
ландлик утказилган. Агар учбурчакнинг А ва (, учи-
даги бурчаклари js на f га тенг булса, биссектриса ва
баландлик орасндаги бурчакни топинг.
873. Учбурчакнинг а, b томонлари ва улар ораси-
даги у бурчаги берилган. Шу бурчак биссектрисаси на
баландлигипи топинг
87АВС учбурчакда АС== />, АВберилган. А
учидаги бурчакпинг биссектрисаси царшисидаги томон-
пи Г) нуцтада кесади ва A/J = BD. Учбурчакнинг ВС
томопипн топинг.
87 . Генг ёнли тугри бурчакли АВС учбурчакда
С учидаги 6ypaat и 90°. ДА, ва БВ, меаианалар ораси-
даги бурчак косинусини топинг.
876. Тенг ёнли уч мае бурчакли учбурчакнинг утмас
бурчаги учидан ён томонига перпендикуляр утказиб
учбурчак асоси 'план кесишгунча давом эггирил ан.
Ai ар учбурчакнинг асоси 32 см, баландлиги 12 см
булса, утказилган перпендикулярнинг асосда цосил
цилгаи кесмаларини топинг
877. Косииуслар теоремасидан фойдаланиб, томон-
ларининг узунликлари а, Ь, с булган учбурчак юзини
^исоблаш формуласи (Герои формуласи)ни чицаринг.
878. Учбурчакнинг а ва b томонлари берилга i. Улар
opai идаги бурчак кандай булганда учбурчак юзи энг
катта булади?
879. Тугри бурчакли учбурчак тугри бурчагинннг
биссектрисаси гипотенузами узунликлари т ва п га
0- 4 т9 J
Б1
тенг кесмаларга ажратади. Учбурчакнинг т^гри бурча-
гидан утказилган бадандлигининг узунлигинн топинг.
880. Учбурчакнинг а томони ва унга ёпишган а. р
бурчаклари берилган. Унинг юзини топинг.
881. АВС учбурчакнинг 5 юзи ва а. р бурчаклари
берилган. Учбурчак томонларини топинг.
882. Тенг ёнли учбурчакнинг ён томонлари ораси-
даги В бурчаги 2а га тенг. В учидан туширилган ба-
ландликнинг уртасидан утиб, асоснинг давоми билан р
бурчак хосил цилувчи тугри чизик учбурчакни икки
цисмга ажратган. Бу цисмлар юзларининг нпсбатини
топинг.
883 АВС учбурчакда Л учдаги бурчак В учдаги
бурчакдан икки марта катта, АС*=Ь, АВ=с булса, ВС
томон узунлигинн топинг.
884. АВС учбурчакда АС томонининг узунлиги 5 см.
ВС томони АВ томонидан 2 см узун ва А учидаги
бурчаги С учидаги бурчагидан 2 марта катта. Учбур-
чакнинг АВ ва ВС томонлари узунликларини топинг.
885. Тугри бурчакли учбурчакда гипотенузага ут-
казилган медиана узунлиги 5, гипотенузага утказилган
Урта перпеидпкулярнипг учбурчак томонлари орасида-
15
ги булагининг узунлиги эса — бирлик. Учбурчак ка-
тетларини топинг.
886. Томонлари а ва b булган учбурчакнинг шу то-
монтарга утказилган медианалари тугри бурчак остнда
кесишади. Учбурчакнинг учинчи томонини топинг.
887. Уткпр бурчакли учбурчакнинг иккита баланд-
лигп 3 см ва £|/"2 см булиб, учинчи балапдликни ба-
лапдликлао кесишгаи нуцта учидан бошлабб:! нис-
батда булади. А чбурчак юзппи юпинг.
888. Учо\рчакнииг а ва 3 га тенг икки бурчаги бе-
рилган. Учинчи учидан чиццан медиана билан баланд-
лик орасидаги бурчакни топинг.
889. Томонлари а, Ь, с га тенг учбурчакнинг учин-
чи томоннга утказилган медиаиаси ва биссектрисасиви
топинг,
890. Тенг ёнли АВС учбурчакнинг ёп томонига ут-
казилган AD биссектриса учбурчакни юзлари мос ра-
вишда S, ва 52 булган ABI) ва ADC учбурчгткларга
ажратади. АВС учбурчакнинг асосини топинг.
891. Учбурчак томонларининг нисбати 4:5:6 каби.
Унга ухшаш учбурчакнинг энг кичик томони 8 дм га
82
тенг булса, шу ухшаш учбурчак кичик томони кар!' и-
сидаги бурчагининг косинусини топинг.
8з2 Учбурчак томонларининг-нисбати 2:5:4 каби.
Унга ухшаш учбурчакнинг периметри 55 м га тенг
булса, шу ухшаш учбурчак томонларини топинг
893. Тенг ёнли икки учбурчакнинг ён томонлари
орасидаги бурчаклари тенг. Бу учбурчаклар асослари-
нинг нисбати 2, биринчи учбурчакнинг ён томони 3 см
га тенг булса, иккинчи учбурчакнинг ён томонини
топинг,
894. АВС учбурчакнинг hlt hit баландликлари бе-
рилган. Унинг томонларини ва бурчакларини топинг.
895. Асоси АС булган тенг ёнли АВС учбурчакнинг
В учидаги бурчат 36°. Унинг AD биссектрисами }т-
казилгзн Агар CD кссма узунлнги а булса, учбурчак-
нинг ён томошши топинг.
896. АВС учбурчакла С учдан/.Ятомонга туширил-
ган перпендпк’.лярпвпг асоси С . Агар СС\ — СХА СЛВ
муносабат урннли булса учбурчак томонларининг узун-
ликларл орасидаги бсиланишнн топинг.
897. АЬС учбурчак томонларининг узунликлари а,
Ь, с булса, унга ички чпзилган айлана радиусини топинг.
898. Асоси ён томони b бслгач тенг ёнли учбур-
чакка ички чпзилган айрана ралнусини топинг.
899. Тенг ёнли учбурчакнинг учи 'аги бурчат 123°,
ён томони а булса, унга ички чизилгаи айлана радиу-
сини топинг.
900. АВС учоурчакка ички чпзилган айлаца мар-
кази О иуктада. Учбурчакнинг ВС ва АС тоионлари-
да шундай Р ва Q нуцталар олинганки, улар учун
ВР-АВ=ВО\ АСВАВ*=АСР муносабатлар уринли. Р,
О, Q нуцталар бир тугри чизикда ётишини курсатинг.
901. Катетлари а ва b га тенг тугри бурчаклн уч-
бурчакка ички ва ташки чпзилган айланалар радиусла-
рини топинг.
902. Тугри бурчаклн учбурчакка ташки чизилгаи
айлана радиусининг ички чизилгаи айлана радиусига
нисбати 5:2 каби булса, бу учбурчак томонларининг
нисбатини топинг.
903 Катетлари 3 ва 4 булган тугри бурчаклн уч-
бурчакка ички ва ташци чизилгаи айланалар марказла-
ри орасидаги масофани топинг.
904. Мунтазам учбурчакка ички ва ташки чизилгаи
айлана радиусларини унинг томони орцали ифодаланг.
83
905. АВС учбурчакнинг А!Ц ва BH2 баландликлари
утказилган. АВ томонининг уртасида олингаи Л1 нуцта
учу в - —90° булса. учбурчакнинг С учидаги
бурчагини топинг.
995. Тугри бурчакли учбурчакнинг тугри бурчаги
учидан туширилган бадандлиги гипотенузаяи 1,8 см ва
3,2- см узунликда и икки кесмага ажрагаги. Учбурчак-
нинг кагетларпни топинг.
917. Тугри бурчакли учбурчакнинг кагегллри бири
пккннчисндан бар бирлик узун. Тугри бурчав учидан
туширилган ба 1ачд-шкнинг гипо гену га >:i нкраоан ес-
мала ниинг кпчш я 1,8 булса, учб»рча. тот. • шарики
1О1П1НГ.
908 Тугой бурчакли учбурчакда тугр i бур гак учи-
лап гипогеиезага туширилган баландликпинг г.шотену-
зада ажратган кесмалари р ва q бутса, \ чбурчак юзи-
пи топинг
909. АВС учбурчакнинг баландликлари .4/1, на BBt
булса. Л,В,С учбурчакнинг АВС учбурчакка ухшащ
булчшп.т исбот кнлннг.
919. АВС учбурчакппнг юш .S’, нчкп чизилгап aii-
ланасинннг радиусп г, А учидаги бурчаги i берилган.
Бу учбурчакнлн. ВС точопини топинг.
911. Учбурчакнинг иккига а, ? бурчаги ва ташки
чизи-.ган аилапа рятиуси /? берилган. Учбурчак юзиии
топинг.
912. Томонлари а, о, к булган учбурчакка тиаметри с
томонда ётган ички ягим дойра чпзилган. Бу ярим до-
иранинг диаметрлнн топинг.
'.'3- §. КУПБУРЧАКЛАРГА ДОИР МАСАЛАЛАР
913. Каварпц тургбурччк диатпал >арн с, га b га
тенг. Учлари берниан туртбурчак томонларининг ур-
таларида ётган туртбурчак периметринп топинг
914 1\аварик туртбурчакда карама-карши томонла-
рининг ургаларпни тугашгирувчи кесмаларниш- узун*
ликларн а ва Ь га тенг булиб, улар уза )> 6 )° ли бур-
чак -хосил цила.тн. Туртбурчак диагона марининт узун-
ликларини топинг
9!5. Кавариц туртбурчакиинг диагоналлари уни турт-
га учбурчакка ажратади. Агар гартпб билан улардан
учгасвнинг юзлари S2, S3 булса, тургпнчи учбур-
чак юзини топинг.
4
916. Карама-царши томонлари узаро параллел ва
тенг булган цавариц ABCDEF олтибурчак берилган.
АСЕ учбурчак юзининг ABCDEF олтибурчак юзига
нисбатини топинг.
917. Царама - царит томонлари параллел ва тенг
ABCDEF олтибурчак берилган. Унинг параллел булма-
ган АВ ва LC, DC ва EF, ЕЕ ва АВ томонлари лавом
эттирилганда Л1, Д', Q нуцталарда кесишади. Агар ол-
тибурчакнинг учта томонида цосил булган BCM, EDN,
AQF учбурчак.lapaiinr периметрлари ри р2, р3 булса,
Mi\Q учбурчак периметрнни топинг.
918. Тенг ёнли \ чбурчакнинг ён томони а га тенг.
Учбурчак асосида олинган нуцтадан унинг ён томонла-
рига параллел тугрп чизиклар утказилгапда цосил бул-
ган параллелограмм периметрнни топинг.
9.-9. Параллелограмм икки юмоншшнг нисбати 3:4
га тенг. Унинг периметри эта 2,8 м га тенг, паралле-
лограмм т< монларинн топинг.
920. АаС учбурчакнинг АА1 ва ВВ, медианалари Л/
нуцтада кесишади АРМ учбурчакнинг АВ томогига
параллел PQ урта чизиги утказилган: i) AxBJm> турт-
бурчак параллелограмм эканлигини исбот цилинг; 2)
учбурчакнинг икки медианаси 'кесишиб. бу нуктада
цар бирп учи. ан бошлаб 2:1 нисбатда 6v.i'ih.iiiihhh ис-
бот цилинг; 3) учбурчакнинг учала медианаси бир : уц-
тада кссншишипи исбот цилинг,
921 Тенг ёнли ту« ри бурчакли учбурчакка тугри
туртбурчак шундай ички чизилганки, унинг икки учи
гипотенузада, цо.тган икки учи категларда ётади. Агар
тугри туртбурчак томонларининг нисбати 5:2 га тенг,
учбурчак гипотенузаси 43 см га тенг булса, тугри
тУр1бурчакнннг томонларини топинг.
92?. ABCD параллелограммда АВ, ВС, CD, DA то-
моиларнинг хргатари мос равнина Р, Q, R, S нуцта-
лар бу’лпб, !>D. AQ, SC тугри чизицлар утказил-
гапди, бу rvipii чи итцлар кес. шишидан яна паратле-
лограмм цосил булгап. Агар ABCD параллелограмм
юзи S булса, ,\о ил булган параллелограмм юзини то-
пинг.
923. ABdD параллелограммда АВ = a, AD == Ь,
(b -> а . ^А — а D 90°) берилган. AD ва ВС томон-
ларда шундай В ва F нуцталар олинганки, BEI F фи-
гура ромб, ан иборат. Шу ромбнинг гомонини топинг.
924. ABCD параллелограммда АВ — а, ВС = Ь,
85
^АВС^а.. АВС ва ADC учбурчакларга ташки чизил-
ган айланалар марказлари орасидаги масофани топинг.
925. ABCD ромбда АВС ва ABD учбурчакларга
ташки чизилгаи айланаларнинг радиуслари R ва г бе-
рилган булса, ромбнинг юзини топинг.
926 Ромбга ички чизилгаи дойра юзи ромбнинг юзи-
дап икки марта кичик булса, ромбнинг бурчакларини
Т О П ИНГ.
927. Ромбнинг баландлиги унинг томонини узунлик-
лари т ва п булган икки кесмага ажратади. Ромбнинг
ди а го и алла ри н и топинг.
928 $ткир бурчакларидан бири 60° булган тугри
бурчаклн учбурчакка ички ромб шундай чизилганки,
6'.)° ли бурчак бу ромбга хам ички бурчакдан ибораг
булиб, ро-бнинг учлари учбурчакнинг томонларида
ётади. Ромбнинг томони 6 см булса, учбурчакнинг то-
монларини топинг.
929. Учбурчакка бптта бурчаги умумий бу.пан ромб
ички чпзилган. Ромбнинг бу учга карама карши учи
учбурчак! инг томонини 2:3 нисба!да булади. Ромб-
нинг дна*, опалл ри т ва п булса, у чоурчакнннг ромб
билан умумий учта эта булган томонлари узунликла-
рини топинг.
930. ABCD ромбнинг А учидаги бурчаги 120°, то-
мони а га тенг. ВС ва AD томонларда мос равишда Е
ва F нуцталар олинган. BF АС диагональ билан О
иуцтада кесишади ва АО: ОС—I : 3; BEFA, ECDF турт-
бурчаклар юзларининг нисбаги 1:2 каби. ВО кесма
узунлигини топинг.
931. Параллелограммнинг уткир бурчаги а, томон-
ларининг узунликлари а ва b га тенг. а бурчак учи-
дап чиццан диагональ параллелограмм томонлари би-
лан хосил цилган бурчакларининг тангенсларини топинг.
932. Квадратнинг томонларига унинг ташкарисида
мутазам учбурчаклар ясалган. Бу учбурчакларнинг
ква.ратга тегишли булмаган учларини бирлаштириш-
даи \осил булган туртбурчак периметрининг квадрат
периметрита нисбатини топинг.
933. Томони а га тенг булган икки квадратдан би-
ри иккинчисининг учи афофида 45° га буришдан ^о-
сял цилинган булса, бу квадраглар умумий цисмининг
. юзини топинг.
। 934. Томони а га тенг булган икки квадратнинг
марказлари устма-уст тушиб, диагоналлари орасидаги
| .86
бурчак 46° га тенг. Бу квадратлардан э^осил булган
саккиз учли юлдузнинг периметри ва юзини топинг.
935. Тугри туртбурчакнинг диагонали унинг бурча-
гини пг.п нисбатда булади. Туртбурчак периметрининг
диагональ узунлигига’нисбатини топинг.
935. ABCD тугри туртбурчакда кушни томонлари-
нинг нисбати V2 ва АВ томоннинг уртаси Е нукта
булсин. DE билан АС диагональ орасидаги бурчании
топинг.
937. Тугри бурчаклн учбурчакнинг гипотенузасига
учбурчакдан ташкарида квадрат ясалган. Агар учбур-
чак катетларининг йигипдиси I га тенг булса, учбур-
чакнинг тугри бурчаги учидац квадрат марказигача
булган масофани топинг.
938. Катетларп а на Ь булган тугри бурчаклн уч-
бурчакнииг гипотенузасига чашки квадрат ясалган.
Унинг диагопалларн кесншган нуктаси учбурчакдаги
тугри бурчак учи билан бирлаштирилганда бу тугри
чизик гипотенуза билан кесишпб, гпгютенузада косил
Килган кесмаларининг узунликларипн топинг.
939. Квадратга бир учи квадрат билан умумий бул-
ган мунтазам учбурчак ички чизилгаи. Бу учбурчак
юзинипг квадрат юзпга нисбатини топинг.
940 Трапециянинг диагопалларн уни т^ртга учбур-
чакка ажратадн. 1'п чомопларига ёпишган учбурчак-
ларнинг юзларп тсиглнгппи исбот к11711!|1Г-
941. Трапенняьнпг диагопалларн уни туртта учбур-
чакка ажратадп. Асосларга ёпишган учбурчакларнннг
юзларп У, на 5, бул-.-а, грапецня юзини топинг.
942. Диагопалларн узаро перпендикуляр бчлган тенг
ёнли трапециянинг урта чизиги т га тенг. Унинг ба-
лан.тлигпни .топинг.
943. Асосларининг узунликлари а ва b {аОЬУ бул-
ган трапеция дгагоналларц урталарини тугаштнрувчп
кесма у .унлнгнип топинг.
44. Хсоиларинннг узунликлари а ва h булган тра-
пециянинг лнагошгллари кесншган нудтадан асосларга
параллет т$грп чизик утказилган. iy тугрн чизикнинг
ен чомоплар орасидаги кесмасипииг узунлигини топинг.
945. Тенг сити трапециянинг диагонали унинг vt-
мас бурчагини тенг иккига булади. Трапециянинг кат-
та асоси унинг иериметридан a ia кам, урта чизиги b
га т нг булса, упигп кичик асосини топинг
946. Тугри бурчаклн трапеция диагонали уни бири
87
томонининг узунлиги а га тенг булган тенг томонли,
иккинчиси тугри бурчакли иккита учбурчакка ажрата-
дн. Трапеция урта чизигини топинг.
947. Трапеция асосларининг узунликлари а ва Ь
(а -Ь) маълум. Трапеция ён томонларининг давомлари
кесиинан нуцтадан асосларига параллел цилиб утка-
зилган тутри чизицнинг диагоналлар орцали $1тувчи
тугри чизицлар орасндаги кесмаси узунлигини топинг.
948. Асослари а ва Ь, баландлиги Л булган трапе-
ция ёп томонларининг давомлари кесишиб, унинг асо-
си билан цосил цилган учбурчак баландлигини топинг.
949. Трап ция асосларининг узунликлари АВ — а
ва С1>~Ь га тенг. Трапециянинг диагоналларн DAB
ва АВС бурчакларнииг биссектрисаларидан иборат б. л-
са, трапеция юзини топинг.
950. Учбурчак томонларининг узунликлари 52, 56,
60. Катта юмонига параллел цилиб утказилган кесу в-
чи периметри 155 га тенг трапеция ажразади. Шу тра-
пеция юзини топинг.
951. Тугри бурчакли транеппянпнг бурчакларилан
бирк 63°, бу бурчакка спинная асоси/ а, ён томони с
берилган. Трапеция юзини топинг.
952. Тенг ёнли трапециянинг диагоналларн узаро
перпендикуляр булиб, унинг урта чизиги т га тенг.
Трапеция юзини юпинг.
9 3. Ички айлана чизилган тенг ёнли трапециянинг
юзи S, баландлиги эса ён томонидан икки мар!а кичик
булса. унга ички чизилган айлана радиусини топинг.
954. ABCDEP мунтазам олтибурча нинг томони а га
тенг Унинг Л учидан CD томонининг уртасигача ма-
софани цисоблапг.
95>. Томони а га тенг булг hi мунтазам ABCDEF
олтмбурчакиинг ВС на CD томонларининг урталари Л1
ва N б\лса, .-И нуцтада i Л/V кесманинг уртаси булган
Р нукгагача масофан'и топинг.
956 Томони а га тенг булган мунтазам олтибур-
чакнинг учидан утувчи тугри чизиц уни тозлацининг
нисбати 2:3 каби булган икки купбурчакка ажрагади.
ESy тугри чизицнинг мунтазам олти бурчакка тегишли
кссмасииинг узунлигини топинг.
34-§. АЙЛАНАГА ДОИР МАСАЛАЛАР
9 >7. А лананинг бир нмцтасидщ узаро п рпендику-
ляр иккига Baiap учказилган. Ьу ва!арлар марказдан
88
6 см вз 10 см узоцликда булса, шу ватарлар узунлик-
Ларины топинг.
958. г радыусли айланага ташки нуктадан узаро пер-
пендикуляр иккита уринма утказилган. .Уринмаларнинг
узунликларини (берилган нуктадан уриниш нуктасига-
ча масофани) топинг.
959 Айлана радиусы 5 см га тенг. Айлана маркази-
дан 13 см наридаги нуктадан айланага уринмалар утка-
зилган. Уринмалар узунлигинн ва улар орасидаги бур-
чании топинг.
960 Айланадан 4 см наридагн нуктадан айланага
узуилит В см уринма утказилган. Айлана радиусини
топинг.
9 1. Айлана диаметрининг учлари айланага утка-
зилган уринмадан 1.6 м ва 0,6 м узоцликда жойлаш-
ган булса, диамеф узунлигинн топинг.
962. Айланадаги нуктадан унинг диаметрига туши-
рилган перпендикуляр бу диаметрни икки кесмага аж-
ратади. Оу кесмаларнинг айирмаси 12 см, перпендику-
лярнинг узунлиги 8 см булса, диаметрни топинг.
963. Айланага учбурчак ички чизилган. Бу учбур-
чакпинг бир бурчаги 15о°. шу бурчак каршисидаги то-
мони 10 см. Айлананинг радиусини топинг.
944. Айланадан ташкарида берилган нуктадан айла-
нага утказилган уринмаларнинг узунликлари тенглигн-
ни исбот килинг.
965. Айланага ташки чизилган тугри бурчакли уч-
бурчакнинг катетлари а ва b булса, айлана радиусини
топинг.
966. Тугри бурчакли учбурчакка айлана ички чизил-
ган, агар учбурчак гипотенузасн с, катетларинииг йи-
гиндиси / берилган булса, айлана диаметрини топинг.
967. Тугри бурчакли учбурчакка ташки чизилган ай-
лана радиусининг шу учбурчакка ички чизилган айла-
на радиусига нисбатп 5:2 каби булса, учбурчак томон-
ларининг нисбативи топинг
968. Радиусы 24 см булган айланага тенг ёнли тра-
пеция ташки чизилган, унинг ён томони 50 см. Трапе-
циянинг асосларини топинг.
969. Айланага ички чизилган туртбурчак карама-кар-
ши бурчакларининг йшиндиси 189° га тенглигини ис-
бот килинг.
970 Айлана! а ташки чизилган туртбурчзкнинг ца-
89
рама-царши томонлари узунликларининг йигиндиси
тенг эканлигини исботланг.
971. Томонлари а Ь, с булган учбурчакка ички ай-
лана чизилгаи. Айланага шундай уринма утказилганки,
у учбурчакнинг биринчи икки томонлари билан кеси-
шиб, учбурчакни туртбурчак ва учбурчакдан иборат
икки фигурага ажратган. ^осил булган учбурчак не-
риметрини топинг.
972. г радиусли айлана ташцарисида унинг марка-
зидан d масофада нукта олинган. Шу нуцтадан айлана
нуцталаригача булган энг катта ва энг кичик масора-
ларни топинг.
973. Айланага ички чпзилган мунтазам учбурчак
томони а га тенг. Шу айланага ички чизилгаи квадрат
томонини топинг.
974. Радиуси R га тенг булган айланага ички чи-
зилган мунтазам унбурчакнинг ва мунтазам бешбур-
чакнинг томонларини топинг.
975. Диаметри 1,4 м булган доиравий темир лист-
дан томони 1 м квадрат ясдш мумкиими?
9/6. г радиусли айлана ичига узаро уринувчи ва
берилган айланага уринувчи 6 та тенг айлана чизилгаи.
Шу айланаларнинг радиусларини топинг.
977. г радиусли доирага мунтазам олтибурчак ички
чпзилган. Доиранинг мунтазам олтибурчакдан ташца-
ридаги кисмининг юзини топинг.
978. г радиусли доирага ички чизилгаи мунтазам
12 бурчакнинг юзини топинг.
979. Радиусларп R ва г булган иккита кесишувчи
доиралар марказлари орасидаги масофа d га тенг.
Улар кесшпмасидан косил булган умумий кием юзини
топинг.
980. Асоси а, унинг царшисидаги бурчаги я булган
учбурчакка айлана ички чпзилган. Бу айлана маркази
ва асоснинг учларн орцали утувчи иккинчи айлана чи-
зилган. Бу айлаианинг радиусини топинг.
981. Айланага ички чизилгаи АВС учбурчакнинг то-
монлари fiC=2f АС=3 ва С учидаги бурчаги 60°. Ай-
лана марказидан ва учбурчакнинг А ва В учларидан
утувчи айлананинг радиусини топинг.
982. 60° ли бурчакка узаро ташки уринувчи икки
айлана ички чизилгаи. Кичик айлана радиуси г га тенг.
Кагта айлана радиусини топинг.
983. Маркази О нуцтада, R радиусли айлана берил-
ган. Бу айлананинг шундай туртта Л, В, С, D нукта-
лари олинганки. улардан ту'зилган АС ва BD нурлар
айланадан ташцарида ётувчи Р нуктада тугри бурчак
остида кесишади Р нуктадан АВ ватарга туширилган
перпендикулярнинг асоси Pt учун АВ ватарда ОРА-=*
==РХМ нуцта олинган. А1Р нипг узунлигинн топинг.
984. /? радиусли айланага учи таги бурчаги а булган
тенг ёнли учбурчак нчкн чизилган. Учбурчакнинг ён
томонига утказилган баландлшининг узунлигинн топинг
985 Айлана! а ички АВС учбурчак чизилган. В ва
С учларидаги бурчаклар / ва у булса, А нуктада ай-
ланага уткази.иан уринма билан ВС томон орасидаги
бурчании топинг.
.86. Радиус.Hi; и /? ва г булган икки айлана ташки
уринади. Бу айланалар а ташки умумий уринма утка-
зилган. Айлана.тарнинг уриниш нуктаси билан умумий
урнвманинг уриниш нукталари бирлаштирилгандi ко-
сил булган учбурчакнинг томоиларини топинг.
987. Р радиусли ярим доиранинг диаметрига мунта-
зам учбурчак ясалган- Бу учбурчакнинг ярим доира-
дан ташкаридагн кисмининг юзини топинг.
988. Ромбнинг диагоналлари а ва А га тенг. Унинг
Хар бир г< монинп диаметр цилиб ромб ичига ярим ай-
ланалар чизилган. Бу ярим айланалар косил ки.тган
япроцвииг юзини топинг.
989. Радиусн А? га тенг булган тутри бурчакли сек-
тор унинг ёии учини марказ килиб, R радиусли ёй чи-
зиш билан икки булакка ажратилган. Булаклардан ки-
чигига ички чизилган дойра юзини топинг.
990. R радиусли доирага узаро ташки уринувчи уч-
та тенг айлана ички чизилган. Бу айланаларнинг ра-
диусини топинг.
991. Радиусларп г\. г2. г3 булган учта айлана бпр-
бири билан узаро ташки уринади. Уриниш нукталари
оркали утувчи анлананипг радиусини топинг.
992. Ярим анлананипг уртаси диаметр учлари би-
лан бирлаштирилгапда косил булган ватарларнинг ур-
таларидан ина ватар утказилган ва у урта нуцталар
ёрдамида 3 булакка булинган. Ватарнинг икки ён ке-
симларинпнг дар бмри с ia тенг булса, ярим айлана
радиусини топинг.
993. Айланага ;> чбурчак ташк.и чизилган. Айлана-
нинг учбурчак юмопларига параллел уринмалари ут-
казилганда улар бу учбурчакдан учта кичик учбурчак-
91
лар ажратадилар. Агар бу учбурчакларга ички чизил-
ган айланаларнинг радиуслари rlt г2, г, булса, катта
айлана радиусини топинг.
994. г радиусли доирада марказий бурчаги 60° га
•тенг булган сегментнииг баландлигини юиииг.
995. Дойра сегментининг баландлиги Л, асоси а бе-
рилган. Дойра радихсини топинг.
993. Баландлиги 6 дм булган мунтазам учбурчакка
ташки чизилган доирага тжгдош квадрат томониии
топинг.
VIII боб
ГЕОМЕ1РИЯ АСОСЛАРИ
997. A нукта т тугри чизицца, В нуцта п тугри
чизицца царашли булиб т, п тугри чизиклар кесиша-
ди. А нукта п т\гри чпзпкла стнши мумкппми?
998 Агар АС — 9 см, ( !)—$ см, UB — 9 см булса,
AD—CB эканлигини курса ниш.
999. А; ар .'(ас) = 20°, ,.'(«/) = 25 , = 20°
булса cb} эканлигини курсатинг.
1090 Тс кисликда бирор бурчак берилган. Фацат
чизгичдан фойдаланиб, шу бурчакка тенг бурчак ясаш
мумкинми?
1001. aMNP^^ABC, ALV-5. ДС=7, ^Л1Л'Р==71°
булса, бу учбурчакларда бернлганларга мос томонлар
ва оурчакларнн топинг.
1002 У чбурчакшшг энг катта томопигя энг кичик
баландлиги мос келишнии кхрсатииг.
НЮЗ. Учбурчакнинг катта юмонига кичик медиана-
Сп мос келипншн исбот кнлинг.
1001. Учбурчак ички бгрчаклири иигипдиси 5(A) =
= ‘2d экаилш пип in бо г цилинг.
101/5 Мунтазам ; чбурчакнинг учта медианаси бир
пущала кссишишини исботланг.
1006—1014 да< и т оремаларни канси аксиома ва тео-
ремаларга таяниб исбот килиш мумкин.
1005. £\ДВС ичида /11 нукта олинган. {АВС)< (АЛ1С)
дир Агар учбурчакнинг оаландлиги унинг периметри-
ин тсиг иккига булса, бу учбурчак тенг снлидир.
1007. Туртбурчак царама-царши томонларининг йи-
гипдиси бир бирш. тенг. булса у .у>лда уларикиг бис-
сектрнсалари бир нуцтада кеснша,ui.
92
1008. Диагоналлари тенг булган трапеция тенг ён-
лидир Бир тугри чизикда ётмаган учта иуцгадан биг-
та ва фанат бигта айлана утади.
1009. Учбурчакнинг ички бурчаклари йигиндиси 2d
га тепг. Тенг ёнли учбурчак медианаси шу учбурчак
учун хам биссектриса, хам баландлик булади.
1010. Перпендикуляр огмадан кичик.
lull. Учбурчакда капа томен царитсида капа бур-
чак ётади.
1012. Бир тугри чизикка перпендикуляр булган ик-
ки тугри чизик кеепшманди.
1013. Учб\’рч.|кпп|1г бнрор учнлаи ннццаи пур шу
бурчак пчидап утса, бу пур шу бурчак царшиепдаги
томонии кееадн.
1014. Учбурчакнинг учта бпссектрисаси блтта нук-
тала кссишади ва бу нукта учбурчгкпнпг ички пцга-
си булади.
10! 5 —1019 даги жумлалар бешинчи постулатга эк-
вивалент эканлигини курсатинг.
1015. чбаурчакнинг баландликлари доимо кесишади.
1016. Юзи егарлича капа булган учбурчак мавжуд.
1017. Айланага ички чизилгаи мунтазам слтибурчак
томони шу айлана радиуепга тепг.
1018. Б\рчак инида олиигап нукта..ап шу бурчак-
нинг икг.ала loxoHiiHH кесувчн тугри чизик утказиш
мумкггн.
191У. Лобачевский акспомасидан фойдаланиб 1020—
1024 даги теорема.гаргги исботланг.
10 0 Лобачевский текнелигида учбурчак ички бур-
ча кларннпнг йигиндиси 180° дан гам.
1021. Олдинги теореманинг Лобачевский аксиомаси-
га эквивалент эканлигини курсатинг.
1022. Лобачевский текислигида учбурчак ички бу.-
чакларппипг йигиндиси турли учбурчаклар учун тур-
ЛИД1р.
1023. дар кандай уткпр бурчакнинг бир вацтда бир
томов:.га перпендикуляр булггэ. иккинчи томонига иа-
ралл.-л тугрн чгзик мавжуд.
1024. Икки тугрн чизик билан учинчи тугри чизик
кесишиб, хоеггл кгмппгаи мос бурчаклар тенг булса, бу
тугри чизиклар \ .-оклашувчп булади
1025. Айлана, -жнндисгап чизик, орицикл — бу уч
чггзикиив’' хамгкатаи эгри чизик эканлигини исбот ки-
линг: cja.ruHni- кар бирига карашли \еч кандай уч
нукта батта тугри чизикда ёта олмайдн.
93