Περιεχόμενα
Πρόλογος Μεταφραστή
Πρόλογος Συγγραφέα
1 Πίνακες και Απαλοιφή Gauss
1.2 Η Γεωμετρία των γραμμικών εξισώσεων
1.3 Παράδειγμα Απαλοιφής Gauss
1.4 Συμβολισμός και Πολλαπλασιασμός Πινάκων
1.5 Τριγωνικοί Παράγοντες και Εναλλαγές Γραμμών
1.6 Αντίστροφοι και Ανάστροφοι
1.7 Ειδικοί Πίνακες και Εφαρμογές
Ασκήσεις για επανάληψη
2. Διανυσματικοί Χώροι και Γραμμικές Εξισώσεις
2.2 Η λύση m εξισώσεων ως προς η αγνώστους
2.3 Γραμμική Ανεξαρτησία, βάσεις και διάσταση
2.4 Οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι
2.5 Γραφήματα και δίκτυα
2.6 Γραμμικοί μετασχηματισμοί
Ασκήσεις για επανάληψη
3. Ορθογωνιότητα
3.2 Εσωτερικά γινόμενα και προβολές σε ευθείες
3.3 Προβολές και προσεγγίσεις ελάχιστων τετραγώνων
3.4 Ορθογώνιες βάσεις, ορθογώνιοι πίνακες και η ορθοκανονικοποίηση των Gram-Schmidt
3.5 Ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier
3.6 Ανασκόπηση και προοπτική
Ασκήσεις για επανάληψη
4. Ορίζουσες
4.2 Ιδιότητες της ορίζουσας
4.3 Τύποι για την ορίζουσα
4.4 Εφαρμογές των οριζουσών
Ασκήσεις για επανάληψη
5. Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
5.2 Η διαγώνια μορφή ενός πίνακα
5.3 Οι εξισώσεις διαφόρων και οι δυνάμεις Α^k
5.4 Διαφορικές εξισώσεις και το εκθετικό e^AT
5.5 Μιγαδικοί πίνακες: Συμμετρικοί έναντι ερμιτιανών και ορθογώνιοι έναντι ορθομοναδιαίων
5.6 Μετασχηματισμοί ομοιότητας
Ασκήσεις για επανάληψη
6. Θετικά Ορισμένοι Πίνακες
6.2 Κριτήρια θετικής ορισιμότητας
6.3 Ημιορισμένοι και αόριστοι πίνακες, Αχ = λΜχ
6.4 Αρχές ελαχιστοποίησης και το πηλίκον του Rayleigh
6.5 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων
7. Υπολογισμοί με Πίνακες
7.2 Η στάθμη και ο αριθμός κατάστασης ενός πίνακα
7.3 Ο υπολογισμός των ιδιοτιμών
7.4 Επαναληπτικές μέθοδοι για το Ax = b
8. Γραμμικός Προγραμματισμός και Θεωρία Παιγνιων
8.2 Η μέθοδος Simplex και η μέθοδος Karmarkar
8.3 Θεωρία Δυϊσμού
8.4 Μοντέλα Δικτύων
8.5 Θεωρία Παιγνίων και το Θεώρημα Minimax
Παράρτημα Α
Παράρτημα Β
Παράρτημα Γ
Βιβλιογραφία
Λύσεις Επιλεγμένων Ασκήσεων
Ευρετήριο

Автор: Strang G.  

Теги: άλγεβρα  

ISBN: 978-960-7309-70-9

Год: 2011

Похожие

Первая эннеада.

Ellhnikh Patrologia 1

Ellhnikh Patrologia 2

Ellhnikh Patrologia 5

Текст
                    Gilbert Strang
ГРАММ1КН Аагевра
I ЕФАРМ0ГЕ1

в ж
AN[П11ТНМ I А КЕI ЕКДО IЕI X KPHTHI

ГРАММ1КН АЛГЕБРА
kai ЕФАРМОГЕ2

Oi 77ave7riCTTT)/ziaK€? Ек86аи$ Крт]тт]$
eivai тр.т]р.а той 18рир.ато$ Те%уоХоу1а$ кал 'Epeuvas.

Gilbert Strang
Massachusetts Institute of Technology
ГРАММ1КН АЛГЕБРА
кд. ЕФАРМОГЕЕ
Алддоаг] ata e^^viKa:
Парк; ПацфгХод
JlANEIIILTHMIAKEZ EkAOSEIZ KpHTHL
I8pVTiKT| Scoped Паукрг|Т1кг|<; Evcocteok ApsptKT|<;
H РАКЛЕЮ 2011

IlANEIIISTHMIAKE2 EKA0XEI2 KPHTHS
lAPYMA TEXNOAOriAS KAI EPEYNAS
HqqxXelo Kofjrrjc, T.0. 1527, 711 10. Trjk 2810 391097, Fax: 2810 391095
AOijva: Kteicro6r]S 3, 10677. TtjX. 210 3849020-22, Fax: 210 3301583
e-mail: info@cup.gr
2EIPA: HANEHETHMIAKH В1ВЛ1О0НКН 0ETIKQN EIIETHMQN I MA0HMATIKA
ALUvOwTrig Ei-ioac: £r@,avo; Tpa/avac
ThAoq npojrozijnon: Linear Algebra and its Applications
© 1988: by Harcourt Brace Jovanovich
© 1993, yia тг/v e.AAriviKrj ykbaaa: EIANEIIETHMIAKEZ EKAOZEE KPHTHL
Алддот/ гтта eAArjviKd: Пирц IldptpiXoi;, KiiOriyr/Tp- MafiijpariKod Tptjparoq
Пауелютг/рюи Kprprpp
Тшкр ЕлщёАыа ргл<'иррапру: Дтщртрт]:; KapaytavvdKri^, NIkoi; T@v</Kpq,
Mdpto Тербррои
Прштг] Ёкдоагр. ОктсоРрюд 1995
AvaTmdiaeiq: ОктсоРрюс 1996, louvioq 1999,1сят!:и[1р1о< 2000,
lavoudptoi; 2001, louXtot; 2001, ФЕ0ро1)йр1о<; 2002,
AxpiXtog 2003, ZEniEpPptoi; 2004, Октифрю? 2005,
ДекецРрю; 2006, ФвРропар1о<; 2008, Anpi/лос 2009,
Маю:; 2010, ФвРроиарих; 2011, Nospppto<; 2011
XTOiyEioesaia - rri'.l.uioTioiprTp: Eocpia ХаРРакт| - П.Е.К.
Ектилахн]: Tyfiokpeta Kazanakhz abe
A/iAianp r.(a></>vAAov: Дрцг|трг|д T^dvpi;
ISBN: 978-960-7309-70-9

IIEPIEXOMENA
Прологов Метлфрлггн	ix
Прологов 2угграфеа	xi
rilNAKES KAI АПАЛ01ФН GAUSS	1
1.1	Eioayiuyi]	1
1.2	H rpinuETolu toiv YQa|i^iz()>v e^ioo'xjEoiv	3
Aanr)OELQ	11
1.3	Падабегуца АлаХокрг]; Gauss	13
Aaxyoeig	18
1.4	Si'iioo/.iciLiog xai По/./.ал/.ао1ао|1дд flivaxoiv	21
Дотджд	31
1.5	Toiyiuvixoi Паоауоутгд xai EvaXXayeg	Гдаццыу	35
AaxyoEig	45
1.6	AvrioTQOcpoi xai Avdoxgocpoi	48
A mtr/mig
1.7	EiSixot nlvaxeg xai EcpaQfioyeg
Aaxi/aeig
Aaxi]O£ig yia Eiravakippr]	69
S S

G. STRANG
AIANYXMATIKOI XfiPOI KAI ГРАММ1КЕХ EHIXQXEIS	73
2.1	Aiavw|iaTixoi/(bpoi xai wtoxwQoi	73
Aoxr)O£lQ	80
2.2	H Нют] m E^iotboEiov tog npog n ayvdjoToug	82
AaxrjoeiQ	90
2.3	Гдар.ц1хг| AvE^aQrqoia, 6aa£ig xai Siacrraar]	92
Aaxyoeig	100
2.4	Oi xeaoEQig 0E^E/.i(j)6sLg UTto/wooi	103
Aoxrjoeic;	115
2.5	Грасргцшта xai dixrtia	118
Aaxr/mic;	131
2.6	Грацц1хо1 |летаохт]Натю|ло1	135
AoxrjoEiQ	146
Aaxi]a£ig yia ЕлаусЛтуфг]	149
OP0OH2NIOTHTA	153
3.1	KaOrra 6iav6ap.ara xai ooOoytbvioi woxojqoi	153
Aoxr)oeiQ	164
3.2	EotoTEQixa yivofiEva xai лробоАгд oe EvOsiEg	167
Aoxyjoeig	175
3.3	ПдобоХЕд xai TQOOEyyiOEig eKaxiortov TEToayo'mov	177
Aax.ijatLC	188
3.4	Op0oy6vi£g 6aa£ig, ogOoytbvioi nivaxsg
xai T] OQ0oxavovixojtoir|cir| tcov Gram-Schmidt	192
AoxijasLq	209
3.5	О тахбд [Г£таохЛ11аиО|К)д Fourier	213
A axrjOEiQ	227
3.6	Avaax6nr]or] xai лроолпхг)	228
А ОХГ)О£1С,	241
Aaxr|OEig yia Exavakr]ipr]	244

ГРАММ1КН АЛГЕБРА
4	Opizoyses	247
	4.1 Eioaywyr|	247
	4.2 Ididiiyreg rrjg ogi^owag	251
	Aoxt/oeli;	256
	4.3 Twroi yia tt]v ogiXowa	260
	Аохг/оги;	267
	4.4 ЕсрадцоуЁд tojv ooiloltov	270
	Aaxi/aetg	278
	Aaxr|OEig yia EnavdXiyipt]	281
5	Iaiotimez kai Iaioaianysmata	284
	5.1 Eujayinyr]	284
	AaX?/OEig	293
	5.2 H diaywvia цор<рг| svdg nivaxa	296
	Aoxijoeig	303
	5.3 Oi E^iowasig diatpdgarv xai oi &uvd|48ig A*	305
	A oxTfOEit;	317
	5.4 Aiaipogixeg E^iodioEtg xai to exSetixo eAT	321
	A 0XT]OEIQ	334
	5.5 MiyaSixoi Ttivaxsg: Su^jiETgixoi svavxi sgp.iTiavwv	
	xai ogSoycbvioi Evavxi ogOopovadiaiaiv	338
	Aokt)O£i<;	351
	5.6 М8тао'/л|латю|1о1 оцо1отт]тад	355
	Aaxi/aeig	368
	Aaxr|08ig yia snavakiyipT]	372
6	©etika Opismenoi IIinakes	376
	6.1 Екахюта, цвуюта xai оауцаиха ar^Ela	376
	Aoxi/aetg	383
	6.2 KgiTT|Qia 0etixt|s одюцхот^тад	385
	AoxrjaEig	393
	6.3 Hfiiogiotisvoi xai aogiOTOi nivaxsg, Ax = kMx	396

G. STRANG
Аохг^оек;	403
6.4 Ag/eg еХ.ахютол:сит]ОТ]д xai to	TTiy.ixov too Rayleigh	405
Aox^oel:	411
6.5 H реОодод Tiov	nEnspaopEviDV	oToixeiwv	414
Aaxr)OEi<;	419
YnOAOniMOI ME fllNAKES	421
7.1	Eiaaywyn	421
7.2	H атабрт] xai о api0pog хатаотаот]д evog nivaxa	423
Aaxr]O£i<;	430
7.3	О тлоХоуюрбд tcdv iSioTipibv	432
Aoxr](JElQ	441
7.4	EnavakTjJTTixEg ps0oSoi yia to Ax = b	443
Aoxt/oek;	450
fPAMMIKOS ПРОГРАММАТЕМОХ KAI ©EQPIA IlAirNIQN	452
8.1	Граццьхёд AviooTryteg	452
AoxrjOELQ	458
8.2	H рёбобод Simplex xai г)	рёбобод Karmarkar	460
AoxrjueiQ	478
8.3	©EiDQia Auicipoij	481
Aoxrjoeig	492
8.4	MovTska Aixtixdv	495
Aoxr)OEtQ	503
8.5	©Ecopia naiyvicov xai то	©Егодтцш Minimax	506
Aoxt]oeic;	515
Парартнма A	518
Парартнма В	531
Парартнма Г	539
В1ВЛЮГРАФ1А	554
AYZEIZ EniAETMENQN AZKHSEQN	555
EYPETHPIO	585

-ky niom)[ ЗаосЬуздолао 5aoi oiro пХгз Skoiirs тздкод ‘охиотоао оАоуоло
imsApdnir лзд одзкгзд 01 91г» отлз \/jtre[n8uis,, одр aoi рюото 1391901га aoir
l(»icbdoTioi9i„ aoxuonioao aoi от1оиот1кХо 01 isirsdnirs Soiwdir о
Aro^oigi,, aoAsriaoioiroiiiokdX Aioogpdoir niox aoi паю ^Sozdaik Socbdorioigi,,
обо aoi «издою X"Y kirodiodir aoi kxig 3j\ лотдо aotxiaXsi aoti koogoiro
kgdo лкю 5(0191 ‘Skikda лотзоодха лотхптНкюпгзлпц aoti kiAagasig ‘олоХода
аол»(Ьз1х aoi kyogriao It adiIi 5koiir3 lixiiAniik^ 'кюотлАплп aoi лаодкод aoir
‘лотзокдкюдтг Sogliyir 3ii олзткзх oi зоиооукдз inx пгзузткш IixiasA ki 3X13
aoir кхрллтАодпя kdikriky оЛуздрлао 01 oiro 10X13 nisgkog kziiAorik^
oyoxoag ayoir idais (5зт1т1одА 5no
оозг1оло 1013^09019 O131D» 01 aoirg) аоууо (9Z’£'£ оюдхзло-кокхоо aIiio X7)
оуохаз idais oiao aoyvy liooddioisri кхтлку^з aIiio idx doriaoiX 3iri oidoiropig
01 ‘yaio 01 oiao (rxistboisri da ooliQpiroodjj )1(.о(олЛоло UxiiX3oodir niioiro
олзтдзх o^ олзт1оХз1дз1£ зо олхак DAodXoiani юууто ‘odadro^A oAo^ isgoyir
iox 5i3opiodir 5зт1о1лао ‘Ssdzirl isioiroTiiolidX ЬозсЬодААао о ‘oiraipimoir oij
олзтЫпдА рхмХзюхтдп ioais aoir 01^919
orholidX iioTiAndir плз oiA шпзхрдц штИлюпгзлтг bid oioiiUgorl oiniAlirio^s
00.9 зо lois^oioaodoir 5(од11лао aoir (urpiof aoi 5lid)dori 5lii orilidrosg 01 iox
krioxo) Didai30 lii liyo 5lioiir31369 dq 5UiootaAdad Золзкот/оюлооодк рхпкдетзд
О •олзткзх oio ioiA(oili^ao aoir SodgsAyo SlixiTiriodA 5Ui SsAoiidodbs 5u oiro
5зх1дзт11DA13 ‘joiinoj SprionniiLiXoDisTi 5aXoi ‘acoiaAidit oidcosg ‘5от1о11отМодАод1г
5рх1т1т1одА ‘DiniilidbodA ‘oaixig ‘Sisorooi^s Ssxidodioig ‘коауоло lixnliTigidv
1П1зла0аз1го oioiro 010 аолюх аохпосолАпло aoi oiliiadas li iox ‘лтз^здсшо
aoti oiyoxas li ‘doriaoiX oioioiirsy 01 ‘5li§pdir iox Soidmsg a^oisri niiroddooi
Lt ‘ЛГО391 aoti код к1злр к iox nikioyirn к idais aoi 5з1здп 5no позт!плу
•is^idoQDX лк1 ‘Sioyyoir лз ‘iox аолэгИзхплп aoi к^туз§з лк1 isoaoyoxodoir
aoir ‘baogis aoi (idiioi1,, лолз oiro олзтМодА idais 119 010 inisyiscbo oiay
91016(0X3^ ‘5i3(fioirn 5зу/о1г oiro ‘idais SodgsAyp SlixniriodA oiygig 01 oiaoj^
Hizvdovxaw aoi xoiovodii

5luUd}{ аозгИиоигзлюц aoi
SUiUAUgn^ 5и,ютд11укплу
5opcbri»]j Sidpn
tz66T 5О1ЛЛ.О1
•»г1»лло 9xiior>§3xomg inx
oiiiolidZ олзтЪзх плз 1иоотлЛплю пл1гууз лого ndsriUo OTQigndnir 5aoi nisgUog lii
зт1119 от^шуз 'pridsg отгтдюХлз 5aoi 5aoian Stioyo, 'oidliisdas 01 лп^шзлсго inx
олзтВзх oi пхпхзоодк Anongnig aoir ‘одюлбо^ oirrinypSnx i»x oyaoi£9xndiliTi
H±ZVd<I>V13W AOl SOJOVOdU

5зуояоад ауон томз лзд 5пб9зАуу
5lixiririn6j 5U.1 53391 5здз1охплх>т111о то то>[ 9137009 Цхзхбп 13909 5lxi лп ‘П0Х
-яххголп ng lufiaxo Uxiinriligmi тк пхСшэлох! н ^плтодпупхпх 5яох ‘5ao6mXoira
зт< 5134137009 лпхо, пхптШздпбпк srt тохлоХбз 53391 io ‘li^nx л1ххо тех Sotim
‘017919 0x3 <r>%i3Qoi£D пл Tpdnir moliA.li^3 пл тдпноодц иоСюлпхпх aUxo
063x9001631г 9701г mx ‘nilupdliioan aIixd 06ЗХ9Л17 толп liontbiis ц -ляоХвпко
»xn»Tilt0iojv пбкхояп nx тох лп	tox пхптИлботз0 зо U6U7X970 тохзл
-отбхлзхЛао лз§ Ю130»1£оод1с н ’Stu »i^n лкх тох ‘SnogsAyy 51хх1тМпбд 5lxi nidb
-dorio aIii- 53603711 099 5ix тох 13^139 пл толп 0017919 яох яохяп 59110x0 о
AOTX11DTill0DJ^ ЛСО1 DTiUril ОХ101ЛЗХ ПЛЗ ТОХ ‘5з9(1О1ГО 53X1130
тЛ OAsriftoiTOicnodir плз- 5охз oxi6x U 063x939 ox mA nriliQpri oxlixindmrn плз
5<п Uxx39oirn 5(пзбяз лозук толп пбдзАуу Uxn+rindj Li тох ‘п^пууп пл зизбкз
л(р9яох:о nririndAoSir oj, 'lidsxoyoxfts толп 5тХлхлз тох ‘SorioiAoy Soxixoodniry
о ооо Ixriioprldndn 0D9X тох lixiong 009Х плзЛ пХз пддзЛуу lixiriiindj ц nxoiX
-зляо пл soaodoirri Л39 Uonxonxnx пюхзх nij^ ЛПХ9ЛПХ 5охптИл0пт1 яох nwnriko
Uxixo/j U тох nAsrilidlidro руок ЛПХ9ХОП919 ‘Aidir шл9дХ пхзу u)ii3iouorho
-йдХ тох ivi3^vi3dx SndgsAyy 5Uxiririndj 5Ux пдлзук Uyyn U толп Ixxay
•5aoxixnrili0nTi 5podn0nx mA ОЛ9111X9 inx— 9xixAnrilio ixnx
толп лао^]г1зк lorionagAao io толпхз aoir 9хяу (руохаз тохз^п9П19 5oXoy9dir
о 5(О01хл(то .noiXdn U9I1 пХз птИцрот! ох 1x9 тот1р9Оф) тодгоХ oxnxonip-^T лох
оу9 ллоо1т!зЛ П0 лзд Л(охпт1оалт9 лопдх лтх лтлпхз то^опарлао то пблоАлз
•зхзлпх ох пл зхз^Хбп (nriU,0nri ox 9x100 (о) 5ошпх пууп ‘SporlonagAao 5aox
5aoxan 5лоур 139 пл ndoirri 5oioirnx лп тдз§ лзу 59хпла9 nitoxn толп 5<noi
пууп ‘птопхлпсЬ lixo 5063x970x009 толп т1оалп19 oxidx ох 5здо<Ъ 09.9 лопг1
063x939 ох ляо охотбк ox Saiiro 59т1опя9ляо 5плд, зх/зр пх пл Л993Х0 зхпбокг!
‘оботХ охпхоп19"ЗХ лохо пхпт<оялп19 ni6x зхзХз лу odidoito тох одп0пхз§
толп пдязук mrl Ux 9iry птИх0пт1 9Х19ПЛ011 плз толп пддзЛуу Uxirtrindj ц
¥ЯФ¥<иЛАЗ АО1 3OJOVOJU

mj ( лоха» OAori iXg тох 5аот1опадлао 5aox Saoyg тзХрбзк aoir ‘лотхпт1оалт9
обгоХ лплз зг1аобгоз@) лгоукхо лгох обгоХ лого пг1оалп1д плз толр 01910x0 oxidx
0x3 у aox лгоукхо лгох SgrionagAao 5плз толр oignxo олзт1д1гз 0x3 "lorigidn
5royirn толр ху ох 01910x0 охгобк плз -пт1оалр1д плз тоз пхплто 5длз ‘ж шз у
aoiiomonyirnyyoir aox milig 5здго1узг1з0 ох тол1а i5aoirg6x 5аох1Хзбо<Ьтд зтГпзд!
mri збаоо пл 3iiaoooirTi 5(pir от5рд пл mA ‘miAi3gn6mr плз (oo(og пл ro6oirp\[
q = ху л!хх mA igisyx ox лаоузхохгп Slioiirs loxay oirg6x
oxiocidi 5(оузхлз лплз nxnx пхпг1Ардпбп1г лаоАпбтг тох ‘пбздпхо nyyn nxmgnxo
тохлоооахютлп тобгоХ 10 ioxay -„li^nx,, тох ^lionxonig,, тох tlliDng,, Ьзтоллз io
лаодколпхпх пл тох ‘птокхдп^злп тох Uolixdn^s IxxiTiiindA li isgUAli^a пл 5oirg6x
5дх1хпг1озузхокп our о толр - ху aox тох у aox тобтХолздЫ то тох ‘лготМпбА
5об(оХ о ‘у aox лотукхо лгох 5од(оХ о- юбетХдгга 51зд(О1узт1з0 51бзоозх 10 ixg
130О13К (0X3, -5аоб(оХ ЬаохпптЬалтд зхопг1д5п1збХ ‘пхптЬалтд плзгЬбхзхАао
mA плу 53391 тохлоХбз .nxlixaXnx U з5,пууп ixo тз^бсолА пл тзхсзбк li§nx р
•пдзха0пд тзлтоAlin тох licbioymrn л1хх зг! гз^ГХбп aoir q = ху 5lix 1хо1юлпхпх
mri nyyn ‘SlixmAoyoira 5плз 1злпх пл p6oirri aoir lorimAoyoira ioxixliri0i6n iXg—
5аодр аохизбоЛшд nisyaog min-rilio oxan тох ‘глзуаод 1163x9001631г lannirn 1
oinyntbs^ 03 -p/dn чзл.-!А. юл тзиздк лзд [ огоурдзэц ох зхдх ‘лотхплпг 5i35p6ir зт!
lio(oi3xio§3 1зХбпка лу nxlixaXnx lixoroo li Р0збд пл толр пг1зд оууп пла,
[_у лох U лттЫпбА 5i3§ndxt зт! слот! ItAsriaoyoXon lionioaodnir
mri 9100 13^16(0X35 ox aoir ‘SoxnriUpnri aodngoo 5олз nrlApg плз толр oxan плзг1
nij -Li^nQir л1ххо lixixAnTilio пбзг^обх 5(от1о толр ‘рхаздкупкз пл оуохаз толр
тох ‘ni0ng толр лзд liolidlxxnSnir li Uxay -[qq = у -.лгохплш лсох1лотА1дх оад
олзг1ол1А зо тохзауплп у о 1x9 ‘/j gxiAcoAidx <олп плз р у пхплш oxiXdn лох
gitn 13AI190 lubioymrn li 5<о0пх ‘isgnynxnx пл 5рлпх тзкзбц IxxlixTOd) 30пх
mA лодзХо пзл тох 5lix 1ло1холпхпх лкх mA Ugroiysi^ nprilio лаоХбпка ‘куохаз
ооох толр 5о9О0зт1 U тох лп ‘5отХахаз то^ 'лтхолпс от!оп1опукпууок лохо
liA(oAnoi3 шзузх mri тол1а '(j53oao5i6o зт) iXo) ssnop Udtnoynirn лкх- Sltoayiirs
O9O031I UdsxoTiiolidX тох lidsxoaoyirn лкх зт) тох ‘q = ху ‘лотхоотлАп и Згзоро^з
и зт) siiao^iXdn пл isipdir 1x0 отазхото пхап пуд 4бпц -5130(00153 5зхп-МпбА
mA ixnx 5пхло5]6(олА nrlli0nrl oxoidir 0x0 тохлоХбз Ssxltxiocb тобзхоотбзк iq
tnriU.0pr1 ox isoiXdn пл зкзбкз П0 5(оц iliolixcods U 1ЗЛ1А пл 131гзбк П0 года
•1злпх ох пл pdoirrl 5lxxlixiod> 30пх
тох ‘nxixnrili0np[ пхо обзхаупх u‘g толр nrilig ох охау -иэд обгоХ охпхотд-г/
лохо ogsinirs плз 1х пр©аз mil окп nxioatb тох рукп пбгоХобц -5охптИл0Пг1 аох
liong lix рузхокп aoir Ыплад li isAadroig 5по пл p6oirii лзд пууп ‘зхрхотзбХ
П0 лзд aoir 5i3oUAli53ir3 лаоХбпгга 5rooi тох ‘зхзгКрупбтг П0 aoir iodbn6An6mr
лаоХбпкх nxixnrHi0nj^ nxixnriAn6ir 1359919 пл mA олзгМпбА толр ixo ‘aoiygig
aox aoxan yaxo охпггоообк тох отИюшзлп ox giro rooiir ‘зхрд пл гоазхопг тох
ro5iirya DA- 01 ]зхбп ‘oAoygi5n ixnx р0Хазхпгз пл p6oirri ngnrioggs
л1гх 5збго 5is6x зт! .mili0nTi длзх плз лаог!а0пгз 5зх(1А110пх 10 U 5зх1лхто(Ь 10 ixg
гоазхопг лзу -aox giroxo ox isonX пл зхого ayoir оодх рдазхоаоукп 1зХз
лзу oiygig gxiirniligmi плз толр дхап ixg пбп0пх опт пл пуз01х п©
уаФУзазлх лох xoaovodii

oi ‘Зогкготйскздгоплп mdkiidx плз лаол1д 5з1ау 'х\ = ху 5кг inx q = ху 5кг
а^тзт! oxidx охпздлао лог ‘Зэоао^тдо 5п is^nioaodon р ошурЛз^ ог ‘шох»^
оюурЛзх ог oiao З1рт1пона лкр^ корд кхмолпходдо mrl is^pasxooinx пл
5mn к ‘одетХоиа лплз ,о солон пурдодн пл Sooxc It ‘юмтАоддо юл1з юдотХона
ютои к ‘пгздрх толпз тпг1оалтд пюмрх згой 51злох is^iOcoaA пл- кдспюао iox
013X10 1ОЛ13 oiorilig oi ‘nxidgsA^y nrlkgnrl oicodir oi оно лсдн огколпгпх юл1з
oian ‘pxidi3Ti(03j oiUipiAW/Logdo лкю тогзлсодхлзхпсз £ oinvnd)3>{ oi ‘аодотХ
аохппг1оалтд aoi nsgi л1и idXsri ло1 iox ktbioynno л1и оно обзн 1зокд
-соХодн 1 отоурсЬз->{ oi аосЬу -олзт1(отузт1зд рупх юл1з охтуа oi юх- коколпгпх
к ЮЛ13 Зонохо о ‘плодХогапд, -ЗзЛотЮпсЬз 5зюклА оно ‘шгзаХтлз юх ‘1О113л
-ixndnn 019(030 н ’SndgsAyy Slixnirindj nrikgnri оггодн плз юл1з дгау
•(Saoiigido SaoxignAni 5аог 1зАптз iox) пддзЛуу
lixniriodj lii 3ii тогзздлао рлзго ооон Зтзшаупхплп пл кокго1дпХаз толщ
кхилптИш толп inx 1зХдпиа nsgi 11 но (п^рдтлА отЛз 5соно) згз^дголЛ пл олот!
5(001, |»хпл1н олзтЬдхзхЛао лплз 311 аог1отопунпууон 5онодг 5одоЛкдЛ 5олз
одой оууп ЗЮН111пл1з лзу -псопЛдз^знз kxmdiluk л!н0 копгоплпнз тздзсЬ 1зХз
iox ‘nxiinrikgnj\ плодХЛао ого п^рдсоХз^ аон SoTigidoAyn о 5otoi шл1з 5ргау
jaunoj orio'iioriLiX.ooiai^ аХтэ£ лог mA ЗосЬпдАпдпн (кхнздтоодн inx) пзл mil
1зХдпна inx ‘олзтИзх ого толзт1(огт1(оолз шл13 iorioiimih7.oni37i lonrririTodA iq
:л(олзт1оХз1дзц лон пхплш лого 1пглол1о<Ь аон ЗзАоууп оад содзсЬплу ndotbmg
кг is^isg ng кокхоп к кокЛк^знз кукуупгпх к лого — 5огпт1к0т1 аог аогао
5кок0рт1хз rax Sniynxongig 5кг тздрноодн Iwdsiikgnx лкго олот! лаолпсЬ од
51зо(01гузд 5п 5згап ,нп 5здзгооо1дзн iq плзт1оХз1дзн ого 5ко1из юх ‘(kXoidsn
П1здаз ауон mil зо ‘5ззл толп Зздрглогпхз) 51зокхоо 5по юх косолрЛдо лкго-
51зо(о1гузд gun ndiso кдкухоуо mil охкдд ‘5(оХзлао ог 5рглохопд1у шлр
аог олз111зх1глп ог noig олпглсо^ mioxn шл1з nrlkgori ог огап лз^пу'уп 1зХз
лзд пт1азли ог ndaoAij Т1 ^9 РХХЮ ‘»1зхю шл1з fl ЗосЬпдЛпдпн ц
•ЗзЛп’у'уп згзосогоштд ng ‘aoiygig аог Зтзоодхз 5злзт1аоЛкоди 1з§ згзХз лу
•5(одкун 1здсЬ1зт1пглп ng тздпноодн н '5згкгю<Ь то тогло^тздХ п‘о
лао^пд!^ пл лсозоклто О1дз0аз-/з лаоХз 5згкЛкдпх ю по соазгощ -Dmimiligvjy
тэлзг1оог1дп(Ьз Aao^TpqiQ тол iaoxiivriligvri 5аодтодток зо ззиздзшз аон: oiygig
олз тлтз раау '5зЛот1дп(Ьз 5по плзтМадх 130311 лз тол13 аон пузглот! лао^10(оХз§
пл ЮЛ13 ‘оддзЛуу kxniiiodj к руох ооог 1злрх ог inx ‘лаолрх пл лаодомт!
pxunrikgnj^ пг аон огау niyoxongig кг mA огш1А1здпдон 5ко1из лаолсд
юх лсргтАоуонх ктИггтнд лкго iox кх1лпХкр^ кго оуод охплт1ко лао^спн
‘л(охрл1н 5зЛкн Ззтодаоно тол1з по аог 5огхз ‘пгт1к(ЬпдА пг юх пагх1§ oj,
pxnmikgmi пг зг1 5злзт1зд толп пууп 5оузг ого 1зго1дзг1пдпн лаоХз лзд 5згап
5зАот1дп(Ьз iq niAoyoig кг юх пхп1олох1о ‘кхпопог^ кг юх Ззгкголпдщ
5п ‘кх1лпХк{\ кг ‘кхюаф кго лотАотЮосЬз oiigidn оупАзт! лплз лаоХэтдзц -5пдд
-зАуу Skxirlrindj 5огтИ1дт1 5длз тддпх к nnriApdu тол1з д-у тпурЛз^ nj,
•51зоздлаотд 5п 1зоотд пл 1знздн oiygig ог
iox ‘тпдаоно тол1з пдзоозг пг гс ого аог 5kAoridnd>3 5кг т1озузгоио ог
тл1з ху inx ог1о1гт1кХопгзг1 pxirhindA лплз пго1дпнплп у о ‘кго1ддзАуп лплз

УЗФУЗЛЛАЗ 3OJOVO3U


ПРОЛОГО2 TOY ХУГГРАФЕА
оло!о ava68ixvo8i то goXo tojv iSioTipdiv. Amo eioayei to TfiXsoTaio рвуаХо
6qpa ото paOqpa.
Sto КвфбХаю 5 Kagoootd^ETai q Siaywvionoiqoq kqiv ало Tq родфГ)
Jordan. Oi ьбюпрёд xai та idiodtavoopaTa pag odqyoov хат’ euOeiav ало svav
nivaxa A orig SovapBig тот) Ak. Aovoov E^iocbosig лоо s^sXiooovTai ypovixd
—dovapixa лдобХг|рата, os avTiOsoq ps то отапхб xgo6Xqpa Ax = b. Падё/ооу
snioqg лХт]дофод1Ед лов 5bv sivai лдофаув!д ало tov idio tov nivaxa —evag
nivaxag Markov e/ei iSioripq Amax = 1, svag og0oycbviog nivaxag ё/81 бХа та
|A| = 1, xai svag ooppETgixog nivaxag e/ei лдаурапхёд iSioTipsg. Av то pa0qpa
oag cpraoEi orqv agxq too КвфаХа1оо 6, oi oxeosig рвта^б iSioTipcbv, oSqycbv
xai ogi^ooocbv ooppBTgixibv nivdxwv 0a avadst^ouv vq oovoxq oXoxXqgoo too
avTixEipiEvoo. (H TEXsoraia ладаудафод too xa0s хвфаХа1оо sivai ngoatgBTixq.)
Karomv, то КвфбХаю 7 BnixsvTQOJVETat orqv agiOpqTixq Tgappixq АХувбда,
лоо sivai q 6aoq yia pa0qparixoog олоХоуюробд. Kai лютвбсо oti axopq xai
pia odvTopq paria ото КвфбХаю 8 xavBi dovarq pia Bioaywyq otov ygappixo
лдоударратюрб, лоо a^i^Ei tov хбло xai Eivai, таотбхдоуа avsTq -oi фот-]тёд
poo xaigovTai лоо 6giox8Tai ото тёХод, xai 5sv Е^вта^Етаи
0a qOsXa v’ ауафёдю то Еухецндю tov AaoxaAov, xai sva aXXo 6i6Xio.
To syxEigiSio nsgiexsi Tig Xoosig oXcov tojv aoxqoscov (оорлвдйарбауорвусоу twv
Aoxqoscjv yia EnavaXqipq ото тёХод xaOsvog ало та КвфбХаю 1-5), xai snioqg
pia ooXXoyq iSscbv xai лдотаовшу yia rqv вфадроорёур Fgappixq АХуЕбда.
ЕХл1^о) 6тго1 didaoxovTsg 0a ^qrqooov sva аут1толо ало tov sxdoTq (HBJ
College Department, 7555 Caldwell Avenue, Chicago IL 60648). Ел(^д еХлС^ю oti
oi avayviboTEg аотоо too 616X100 0a oovexiooov ото влорвуо. Аото bxbl titXo
Ектаушут/ ora Eipao^ooutva. Мавгцлатсяа, xai aovdoa^si Tq Tgappixq АХувбда
pe Tig А1афод1хвд E^iocbosig ob 8va xsipBvo yia ooyxgova Ефадроорёуа Ma-
OqpaTixa xai MaOqpaTixa yia Tqv TBXVoXoyia. Il8giXap6dv8i avdXooq Fourier,
piyaSixBg psTa6XqT8g, pegixeg бюфодтоёд e^iocbosig, agiOpqTixsg рвОобоод xai
б8Xтloтoлo^qoq -aXXa to oqpsio sxxivqoqg sivai q Tgappixq АХувбда. 'Exsi
6qpooiEO08i ало Tqv Wellesley-Cambridge Press (Box 157, Wellesley MA 02181)
xai syivB s'^aigETixd алобвхто — лоХХа TpqpaTa tqTqoav pia ava08cogqp8vq
sxSooq, yia va dtda^oov o,tl sivai лвдюоотвдо anagairqTO.
Аото to 6i6Xio, xa0(bg xai sxBivo лоо axoXo60qo8, otoxsoei va SeI^bi ti
рлодв! va xavBi 8vag олоХоуютг)д (xojgig аото va xogiagxsi). H Xooq Bvdg
лдобХт]ратод 6bv отарата лю ото ygatpipo piag алв^д osigdg, q orqv sogsoq
8vdg толоо блюд о xavdvag too Cramer, aXXa лдох«да orqv хатаохвот) Bvdg
алотвХ80рат1хоо aXyogi0poo. Аото ала1тв1 хаХвд 1бёвд: stoi та MaOqpaTixa
8Л1^ооу! Н АХувбда nagapsvsi оафт)д, алХт| xai OTa08gq. Tia Tqv алаХо1фТ|,
то psTgqpa лда^вазу ото КвфаХаю 1 bxbl xai бвбтвдо охолб -va bvioxoosi рв
Хвлтор8дв18д Tqv xaravoqoq Tqg лвд1лта^д п вл! п, рвтдюутад та лдаурат1ха
бт|рата. Оргод 6ev та xavco бХа orqv ra^q. То xsipsvo лдвл£1 va oopлXqgd)V8l
aXXa xai va Sivsi та xogia oqpsia.
Me Soo Xoyia, xee^^ETai sva 6i6Xio лоо va вл1тдёлв1 va 6i6ax0oov ps

ПРОЛОГОВ 2УГГРАФЕА
Елгтгг/са oi Ефадроуёд, ое ouvbriaopd ре та Ма0т]рат1ха лов г)лохдг)лтоута1.
'Eva тетою 6i6Xio лдоола0г]аа va удагра).
TeXeabvovTag, аитг] eivai pia xaXf) evxaigia yia peva va ли та егг/адьота)
рои. Eipai E^atgerixa evyvojpojv атаид avayvcboTEg лог> тоод ageoe то 6i6Xio,
xai exow хатаХабес tl avTiJtQoowjtEVEi. IloXXoi рои syovv otelXei ibeeg xai
ps E/ouv evPaggrivEt, xai avacpepo) povo лёуте ovopara: Dan Drucker, Vince
Giambalvo, Steve Kleiman, Beresford Parlett, xai Jim Simmonds. Kai axoXonGei pia
jtXr]0d)Qa cpiXcov xai xgirixcbv iron eipai г)ледг]фауод otl e/oj. H ладопоа tqity]
ёхбоот] e/el беХтиоОе! yagig о’ аггта лог) auToi e/ouv bibddjei —oe фо1тт]тёд xai
ото оиуурафёа. Hrav лоХг> peydXr] Еохад1отт]аг] т] ouvEgyaaia pe rqv Sophia
Koulouras, лог) 6ахтг)ХоурафГ|ОЕ то х^роурафо, xai tov Michael Michaud, лог)
oxediaoE to 616X10 xai то е^(Ьфг)ХХо. IIava> ал’ 6Xa, eiryvinpovd) тг] ои^ггуо,
та naidia xai тоод yoveig рог). To 616X10 avf|xei xai о’ аглог)д, xaOtbg xai to
луспра тог) -лог» TeXixa eivai то лау. Ад рог) елгтрале! va аф1еда)ою лаХ1
аг)то то 6i6Xio otov латёда xai тг] рт]тёда рог), лог) лдоофедау тооо лоХХа: Sag
Ег)хадютго xai тог)д бгю.
Gilbert Strang



oirn 5оххз ‘зг1аоокАк§з ng отаупгЬзх ox oxan -кхоотлЛплп лою птзхто kg к
толр пл pSoirri 5кх kibSoTi nioirnx зо тох ‘kyirn рхпклпунпдтг толр пз§1 ц
ssnef) Utbioynico рхмзЛ То1з^пг1оло aoir ‘orlgidpAyn лох лрхап зг!аодпупхпх пл
толр SoXpxo 5nri 5охотдц ’лотзоото^з лотхпт!кхоао лотупЛзт! коду кх mA зхохлпк
тохртохготкокдХ aoir 5ододзг( к толр кЛтоупют к отлз ‘ndorbriao mri к^пдк лкхо
тол]3 5зоао^1бо 1злпдт1пу1дз1г aoir 5ододзг) клзт1аздкхпгз опт к ‘пптйпдц
•(Зк^Зпка 5клпготддлп 5клзт1о1дклао 5mii 5клог1о1га 5кх oido одзхотлп
oxo aoiridsir тохлохо1дд f = и к £ = и пх) кдзхдупх толр 5ододзт1 moir зхохлпх:
тохзлтосЬтд лзд oigidisXAs плз (о тохлодуплп аохс nxnrlApgndnir пх giry -и
11гз и лотоао^до одд oxpkir 5от (лотхоотлЛп лотх Ssrhx 5зхоото Six кдпукд) коду
кх 1зл1д 5oioiro о ‘хэагехэ аох Soirgx тохзЛзу aoir ‘Soirgx SkgiSxn 5плз isXQnirx
лтоао^до Am nsgi лкх pioiroriiokdX 5ододзг1 клзт1аздкхпгз опт тох кбзхдзд
nijAj nriA/isgndnir охзхзХо плз оЛр зо зт1дохопЛдз^з1гз п@ пдпзо ксЬодхоплп
зт! 5аохо<олЛп 5аоууп 5аох srigodg пл тох otdiit пх Sodir srinir пл оуоходд толр
лзд ‘лпгохп^ -5(оозт1п тохзлду nioiro к ‘охосолЛп лплз 4ri коотод^з niii 1злрт1о1гп
аохд 51бХзт) тохзлпдт)пуплп1гз nionxignig н ‘ЗаохоотлЛп [ - и зт! летзоето^з
X - и mikxogo odsxgdxiri плз зо рЛкдо охау -5охоотлЛп SoxcnSir о 5зхап tirn
pgdnsynirn пл зхоот юхз 51зоото1§р 5з^уп 5u oirn тохлдодтосЬп Soxmikxoao аох
Skocooi^s 5кхотд1г 5кх nionyirny^oir nioiro лкхо ‘Stidnoynirn Skx 5ододзт1 к толр
kxrodir н -лтзоето^з лотхптМпдЛ Ьтзоду loirgdx толзг1етдз1дпх одд лаоХдпкх
5лоююлА»
и 5оди 5w 5(30(901^3 и TOiikyggdir oxiong ох дхап зг! лохгтоу зг1аоокл1хз^ п©
лотзоа)О1§з л<пх Soglpir ох зт! тохдоот лтхостлЛп лотх Sogkyir ox nioiro лкхо клрхз
толр koroxiridsir поаодзсЬтдлз лозук тох кдзходоуют ц лотзоотоп^з лсохтгМпдЛ
лотхпт1кхоао коду к толр ЬпддзЛуп SkxirhindZ. 5кх nrikyggdir рх1дхлзх о^
HJWJV3I3  I I
ssnvo НФЮУУПУ
IVM ZHNVNIU
I

•5ю1детзд
5lix Uoroiysriag niri nxiwmmo рузхохю (/] той j 5зхлоЛюдюх тохшоЛюх тохгузх
io тех лсрг1г1юдЛ 5зЛюууюлз li 511(Ь1оуюхю юхюгИхд лаоузххз aox 5зхюлгх то ‘лтхо
-зузхлао 5юхюлгх о) лсохюлтх лгох юоотуЛ lixo аох 1ло11длюхюх li ‘юлодХдхаюз
•лотЛог1дюсЬз oiyixiox lixixxliyxoxox mri зо TOXi3ioxoriiolidX aoir SorigidgAyo о
юхпш1Аюдх толп 5gxay -Slidnoyoxio SorigidgAyo 5одзхдх1хюг1озуз1охю лохпл
-ag 01 ООО ‘5юлз толп ng аотоуюсЬзх aox аохаю юг!озузхохю дхг/зх 03
•5aox 5lioay oxodi aoi tox It^pdx aIixd тохлтхлюлао aox
oxorilixoao юх ariaog юл здаоузд ‘5зпдзг1оххзу зо зпаокт! юл 5idmx (’iXg ю'/ую
‘юхкдотоаз толп юхюдкудодх юхгдздо) -дхилютИю толп юл уздохд SlioluoxoyaA
-Aodxo miyptbo 01 ‘юхюгИлд тдатМохюхз юлз дхю юхзг! ‘зд 1цщ, югдатМохюхзогдх
юууох 1X9 юуую лотз^юдх тдатМохюхз плюх юл ndoxri SlixmAoyoxa q -аоузхлот1
aox тздпдхю л!лх юлХао is^idoigoodx лгогкпЛоуоха лтх 5оходх ox -Slidnoy
-юхю ододзт) Ux sri miltxoao юлз здаооау юл тЛ тохлаохтохю аох люз§юдх
Amxiihtigidn лгох Sogtiyx 01 юх1ддлоХ srlao^idmAA юл охгхлютИхо толщ (t)
•юлзг1дХздлз юх юхаю (хю юлздюх плотдздхю^з 511сЬ1О'/юхю Sogogsri It oioxo
лох зг1 охддх лох 3riaooUx3Y3Ti юл зг!аоузд ‘5югХахохю Uomxxidax ютохзх npi 33
лтзоа/ Soghfu: odiaiap 1зХдюна юл ti (way isXdona Ahii па. ndoxri IidotxxiQsx
ютохазрх aLix£ ’коа^ AOAgti тох югт1 лаоХз лзд Згзото^з го гхдгд зхгз ‘5гх 5юхл
-оооюууюлз юуохаз тохзлотддогд аох ют1Людх ‘юдгзо илзг1оюдлюу зо люоЬкЬюдЛз
5гзо<рог§з го гхдгд зхгз— плюХЛллохю юд borrig 5гзоотххг<Эзх Ззхгдтз 5згохюх 33;
югуохоад 5idmX юдотХодх Мпоуюхю U 5гзогоххгдзх Зздзхдоогдзх 5гх^ (д)
у юхюлгх 5длз {_у оЛодюил» лох тох ху oihodionA»
лох 51101X3 sriaooido ю© -5аох аог1оютоюухюууох 5аог1дл 5аох тох 5отдюх ‘юхюг!о
-алтд тох 5зхюл1х охддх gxixorilixoaD зт! зт1аоЛюЛюо13 юл юхетдх 1зхздц
fl аоюлт/лдг тлю
5рлз 7юх q юхюлух лотлт/лдх тгюх 5рлз ff] олзг/рлтА. юлз зо у aoi коUjон
-охлокодон лкю mi3колю кдуюуонъ к 3x93 -q = ху ‘5зхюл1х зт! ‘юхпхолао
‘Swootoi^s 5ix тох х ют<оалю1д юлз зт! 5аохоотлЛю 5аох 5юхлосЬюдЛ1дзх ‘лгозоото
-1^з и югИххоао ох тк лстхюлгх grioiyogriao лох зт<аоЛюЛюо13 ю© лотхозузхлао
юхюлпх аох 51хо111охохлоЛюдюх 5m SUdnoyoxx) aogggsrl 5lix юпзлЫдз ц (г)
•(1злотддохюх ох тох) хюдхзткозА. Ux рхоюхлюсЬ юл 1зхздх ItoligoTOig
li aoxg ‘51зоюхою1д юхзхлз Six li 51дзоозх 5ixo nrilivggdx ox 1здз<Ьюхзт1 юддзАую
11Х1гМюдЛ li ‘л1хдхюз -лдхюлад толгз юдаоЛто 51зоюхотд 5гздх 5по юдзхшз юздх
зэд -лдхюлад лддзХо толгз 5mrig охддх отохюх юхюх- аодтХ аох аохаю onriliD
gxigoAori юлз (о тохлолг1зх юл юдзх]хз юх юхаю (хю и зг1аод юл одзхдуохоад
Ыдхю тал-13 -одотХ охюхою1д-п л»лз (о одзхпхз охюхотд-gj юлз зт!аодоюхл
-Ю(Ь юл оуохаз толп лзу 'лтзотт^з лтхгНг1юдЛ лтх nidistimsk н (l)
:толтз ююхо юх ‘51иЬтоуюхю
дг1о1люХ1п1 духю лох дхю юдзхадюд ‘юлзт!длто(Ь юдзоозх ‘origidgAyn лох oigi лох
SSnVO НФЮУУПУ 1УЯ запуши

лоту1ио aoti inx лотгМпОЛ aoti ппд1зт1отзЛ Ц n -Xj
1им9О1^з hxii»tioaA»ig mri nikigxninriAndir
лкю пплпз 5пзоотоп§з 5з1опдотХз§ oag iq -Soinrikioao аохпгМпдЛ. aoi SayUio
5пю То1зл(од1лзх1кз клзт<опдклао 0091 пплпз asq копЛЛзоодк кдзкгзд н
kdnoynirn kxninrikioaD sri 139369 ng niioiAao inx- £= fi inx z = x пплпз
aoi 5злзг1Лп131лао io ‘лотзоотоп^з oag aoti nnx koay кхпдплог! It пплпз 5откзлао
rax 5зпздаз oag 5nio inx oaiox oaoiI 01 толпз Skrioi onriko ox коду liio ппздаз
kimdir aLii пзлг1з1 tox j- = xp/flp толпз 5ki копух ц ’(nx’l »пздаз кдз1азд
mri пзЛпдпк ‘g = ft + x ‘коотоп^з kdsiasq н ’(D13^^° юозткидлз ni tyjo nnx (g ‘g)
nnx (T — ‘g) ni nnx Smgnx) g = ft = x nnx [ = ft = x rmrilio »i 0100 юлдзи:
юпздаз н -/i‘x о^зпипгз 010 юпздаз mni зт< пшзлююпдпх { = ft — xz коотоп^з ц
пдоЛкдЛ птзлпЛ nnx олзткпдклао onir 01 пплпз oiay isririndA 5ni ппЛсг/ пууп
зг1 ‘йпзоотоп^з 5злзт1отлот1зг1 5ni pirn отдаЛ птзлотд1лзхп1гз Soundi Зокодк о
•оа§ 5aoi ппх зг)аооп1з§з
пл sionnipdsdbmQAS ппх ‘nrikioao 01 oian sriaoq пл noitodi оа§ лаоХдпкх
•g = ft + х
1= ft - xz
топдппхаз nnri ssneQ лою З1зоот§ ng nio (о5пкуз
nian 4y9 ‘dnjj -ЗпддзЛуп Skxniinindi 5ki nnikgnrl 01 5пдотХ з1зоау 5ni пл зшоаод
-cirri ng nig Ьшло^пдотлЛплп ‘5пзоотоп§з 5злпзкп1 пхпуоддзют оад зг! зтколпхзт?
nrlAnsgndnir 01 пплпз 5ошг1зд aoi aoian кокдлпшх лк1 ппЛ Soirgdi q
ЫЦЯЗОГПЕЯ SltJMIKilAIVdJ \iil Vld l llAicSd l H  Z’l
NnaSnSISH N?)NIWWV<n.l №1 VldlHWUHJ H Z l

niNAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
To лрббХцра eivai va SgovfiE tov avvdvaofid twv Siawofidriov-oT^mv otijv
aQiatEQri л/хьуа, jtov itaQaysi to diavvofta art] ds^id jitevQd. Aoxd та
6i6idoTaxa dtavoopaxa jragioxavovTai pe xig ita/eieg ураррёд too S/. 1.16. Oi
ayvwoxoi eivai oi api0poi x xai у пои лоХХалХаош^ооу та 6iavoopaxa-oxr|Xeg.
H 6Xi] i6ea aneixovi^exai o’ аото то охлра, слои 2 црорёд т] oxr|Xri-l npooxiOexai
3 форёд oxr] отг|Хг]-2. Геюретртха, аото napdyet то 7reQi<pr]p.o лараХХг]Хдурарро.
АХуеботха, napdyei то ошотд 6iavoopa, [ ] отг] de'^ia лХеора xwv e(paiboeot>v
рад. Н eixova xwv orrjXibv ел1беба1соуе1 oxi т] Хбот] eivai х = 2, у = 3.
0а рлоробое va ^odeoxei лерюобтерод ypovog о’ аото то ларабе1ура аХХа
npoxipd) va лрохюрлою ото п = 3. Tpeig eijiowoeig eivai ахбрт] 6ovaxov va
peXexT]0oov xai лроофёрооу лоХо реуаХбтерг] noixiXia. ©ешргрте oav eidixo
ларабегура то
2u + v + w = 5
4u - 6v = —2	(1)
—2u + 7v + 2w = 9.
Млоробре лаХ1 va реХетт|оооре xig ураррёд т| Tig orrjXeg, xai ^exivape ало xig
ураррёд. KdOe e^iocoor] леунурасрел eva ел1ле6о oxig xpeig 6iaoxaoeig. To лрсото
ел1лебо eivai 2u + v + w =5, xai ё/et o/ediaoOei 0X0 ^X- 1-2. Aino лер1ёхе1
та oi]pieia (|,0,0) xai (0,5,0) xai (0,0,5) xai npooSiopi^exai ал’ aoxd та xpia
oi]pieia i) ало оло1абт)лоте xpia orjpeia too -еф’ ooov 6ev nepiexovxai oe pia
eo0eia. 2x|penovoope ev ларобю oti to ел£лебо 2u + v + w =10 eivai лараХХг]Хо
ото лротууоир^о. Ta avxioxoixa oqpeia eivai (5,0,0) xai (0,10,0) xai (0,0,10),
oe binXaoia алоотаот] ало ttjv архл —лоо eivai то xevxpixo oripeio и = 0, v = 0,
w = 0. AXXatjOvxag xi] de^ta лХеора ретатол^ооре то ел1лебо лараХХт]Ха oxov
еаотб too, то бе ел1лебо 2и + и + w =0 лepvd ало ttjv ap/ip*
То бебтеро ел1лебо eivai то 4и-6о = —2 xai exei ^coypaqjioxei хатахброфо,
6l6tl to w pnopei va napet олоюбгртоте Tip). О oovxeXeoTrig too w ovpi6aivei
va p]6evit,exai, тоото брод ларарёуе! ел!лебо too xpi6idoTaxou х<Ьрои.
(Eav т) e^iowor] r|xav 4u = 3 r] oxr]v axpaia лер1лта>от] лоо и = 0, аотт] 0а
лер1еурасре лаХ1 eva ел1лебо.) То охлра 6eixvei rqv торг) too беотёроо ел1лёбоо
ре то лрсЬто. Н торт) eivai pia eoOeia. 2xig xpeig 6iaoxaoeig алаигош’та! ббо
e^tocboeig, oxig n 6iaoxdoeig ала1тот^та1 n — 1.
ТёХод, то xpixo ел1лебо тёpvel аотт] xr]v eoOeia o’ eva orjpeio. To ел1лебо
(6ev ёхе1 oxe6iao0ei) ларютауе1 xryv Tpixri e^iowoi] -2u + 7v + 2w = 9, xai тёруе1
tt]v eoOeia ото и = 1, v = 1, w =2. To oijpeio аото Xovei to ypappixd оботпра.
Псод елехте^ета1 аотт] г] eixova oxig п 6iaoxdoeig; Exei 0a ёхооре n
e^ioiboeig лоо nep^xoov n ayvcooxoog. H лрштт] e^iocooi] 0a opi^ei ndXi ёva
“ел1лебо”, лоо 6ev 0a eivai лXёov ёva ооут]0юрёуо 6i6idoxaxo ел1лебо too xpi-
* Eav oi 6!>o hqiote? tcKKiKitig rpav 2u + v + w =5 xai 2u + v + w = 10, tote та елтлеба 6ev
0a TEpvovxav xai 6ev 0a 1)лг]О-/_е /л>ог|.

1.2 H fEQMETPIA TQN TPAMMIKQN E3I2Q2EQN
EX. 1.2 H eixova to>v OTTjko'jv: xe|iv6p.eva enineda.
бюотатов /(hgou. Ката халою трбло г) “бюотаот] tod 0a Eivai n - 1”.
Авто, ларбко лов цад qpaivsTai oav OTspsd, лрЁЛ£1 va eivai s^aipETixa квлтб
xai ел1ле5о цЁоа otov п-бюатато утро. Eav т] тЁтартт] баУатаот] slvai о
Xpovog, tote то ел1ле6о t = 0 Tsp-vsi tov тетрабюотато х®ро xai ларауЕ1
tov TpibiaoTaTo xoj0° цёоа otov оло1о ^овце (г| хаквтера, tov хбоцо блюд
r)Tav otov t = 0). 'Eva akko ел1ле6о slvai to z - 0, то олою slvai Ел1от]д
TptdiaoTaTo. Авто slvai to obvt]0io|tevo ел1ле6о ж, у 9eidqoij|ievo yia xa0s Tip]
тов t. Авта та тр1бюотата Ел1леба 0a TE|ivovTai! Авто лов exobv xoivo
Eivai to obvt)0iojx£vo ел1ле6о x,y yia t = 0. Катебт|хацЕ OTig бво 5iaoTdosig,
xai то елоцеуо елСледо цад acprjvEi це yia ев0е1о. ТЁкод eva тЁтарто ел1ле6о
a<pr)vsi eva yovadixo отщею. Eivai to orpsio ottjv тоцг] twv 4 влтлЁбагу OTtg 4
diaoTdaeig xai Xbvei Tig 4 npoxsiysvEg E^ioiboEig.
0a Ёх<в цлеХабЕд av авто то ларабег/ца ало тт| охЕТ1хбтг|та трабт|^Е1
ларалЁра.. То а^юотщЕ1а)то sivai oti ti ypap.y.ixr| аХувбра ptopsi va бовХЁ'фЕ1
це олою6т|лоте лкт]0од E^iowoEiov. Н лрсотт] s^ioioaq opi^si eva п - 1-бюотато
ел1ле6о OTig п diaoTaasig. Н бввтЕрт] e^Iowot] opi^si Ёуа akko ел[ле6о xai авта
тЁроута1 (еХ.л1^овце) о’ ёча рхротвро obvoXo “б1аотаот]д п-2”. Уло0Ётоутад
oti бХа лаув xakd, xd0s уёо ел1ле6о (ха0в УЁа e^iowot]) (iehovei тг| бюотаог]
хата Ёуа. Sto тЁкод, otov xai та п ЕлСлвба ёхову кт]ф0£1 вл’ dipiv, г] тоцт)
ёхе1 тт] бюотаот] цт]6ёу. Eivai Ёуа отще1о, лов ЛЕр1Ёхета1 об ока та Ел1лвба,
xai oi OBVTETaypveg тов txavonoioBv xai Tig п s^totoosig. Eivai г] квот]! Н
sixova автт] slvai 6iaio0r]Tixf| -т) у£(оц£тр1а 0а XQeiao0si tt]v влоотт)р1^т] тт|д
акувбрад— oBOiaoTixa бцшд slvai оюотт].

5<wri(pd» 15.i
5aoi ззз5зую1д юл обзхоуохаз 5moi imp 5i3onio»i§ 153 S113 ((q ‘q ‘o) 1лХдю и1?] л1*х оию лаолг/.з5
юуо,) 'Saorigid» 5i3di 5<ioi U oisrilio 01 'Sovag 01 З1з5зуп1д юл 311збоь'[\ 'юдоЛтд гз'/.бют лзд no
upiriofg юг1оалю1д oi пюг1Лпдк толр 5оузд 01 119 злзу юл лаот1поб1г 51з<ЬюдЛЛло ioxi63j\
[£H?b #[?h
:(1шлл0лз1юк Ьаздилю л1по плХп9 пл зкздкз ng ют1оалю19
ox ‘z~ люхй лю тох) z зт1 5ог1оююю1(1гюууо1г 5юлз пХдюзга 01539 oriliXo 013
[1-МО-И]
тооетхомао Sodir юоотхтлоо
тохпузххз юл liosgoodir л1и зхззгзуд ю£’х ’Хз 013 oiigidn 3ii Spriomonyvnr/ox
о тох лтюИоллтд коздордм U толп ютоютИю пХз aoir охаю ‘юх1хюг!Людц
•Ю130ЮХ тохзлаигах1гу11хо-юг1оалю19
юлз люхо (юхюгМох 51д(оХ) ЗзуахЛю 5зх1лтЛюд1зх тох ‘юило^здо тохлаодгоХюхюх
5злзт1Люхзхлао то люхсэ ‘юхюгЫох тох 51зоз0лздю1г srhoTOiroriiolidX or/gig 01 ovo
33 *-liXdo л1и О1гю юлпхз^ aoir 5оуз§ юлз 3ri зт1аоо1и.оюдю1г оз. юл sriaodoirri
U (6‘Z-‘s) = <? л1и люо юхозу Ю1т1 зо аох 5злзт1Люхзхлао 5ix зт)аоо1д<пХюхюх
юл siiaoSoirrl U Uylxxo mri зо юг1оалюз9 ох зг1ао4хюдЛ юл sriaodoirjAj aonrilio
аох 5злзт1Люхзхлао Six зг! 5олзг1о5юЛдз юддзЛую зо ю1дхзт1отзЛ lix зфадхзхзг! aoir
‘saxreosoQ аох 0391 U люх!х Ixxay 'юсЬодхоплю тох юг!оалю19 юлз to тзХтохоплю
аодотХ аохюхою191бх аох onrilio здю^	»»Л13 Ззлзг/Атззлал ю аоюио
aoi oistiho 01 sti 1»1з^илх>1 q niionApig oj; юг1оалюз9 ox зг1аоою19зХо юл
лаокздхигз 5ют< 5зотохо1лао то 5зхаю тох ‘6 5зоотхо1лао Six 13X3 юдазузг
91^39 lixo q ют1оалю19 ojl ^зу/ию-юхют/оаахюр юхшо»7р?5х толп тлюиюдюк ю^
(Z)
IH=[?b+lHa+[Fl”
толп (({) л1хх з-Н
0191 li) 110(00153 11Х1хюг1оалю19 U юдосЬ lix lixay -5зу11хо Sixo sriaodndxonra
S3/I1X3 - юхюНоалтоу
ssnvo НФЮУУПУ 1УЯ Sa>IVNIU

AaoXdnira 5зу1ио отЛ плохпз л1пз ’5зт1т1пдЛ шЛ юлох13 л1по орзтопз и AoXdlnra
ng ‘5ао1оа)лАо и 5odir 5oi 5i3ocooi§3 и зр\[ -5130010019 и 5no ‘5130010019
Sisdi It 099 5п 91m odsir 31I909 пл толп aoir ‘0X910 лох з1плХз5 лкр^
лзрЫ AD1U 5aoi Ззооэхтлао 5п оют 5зх1дзг1 aoir oyodnir ‘01010019161 adiIi
nriliXo 010 niorioaAOip ni nyo 119 зюапзтИс^ лгоошюзлао ЗодЦуаг 0191 oi лаоХз
П1пт1оалт9 ni лото AOApri тонгзбшгз толп тог1ооа9лао loxiriiindA 10 ‘9ian jj
оооптлао 30DX тЛ pioidoiX тохлаоузххз Uo30O9dir тох 59riomonvirnvvoij
(п931Г11гз nidi ni То1лолг1з1 ао1ю) лоттМпдЛ лоп 0Л9ХП л1по (^‘l Ч)
onrilio 01 тох Slioiirs 5ф0пх ‘Aar/lao-ACoinrioaAn^ лап 9т1опа9лао 9xiriiindA
910010 aoi лаол]9 тох ^=т‘\=а‘\=п толп ioii0idn то ioiay -q pdasyir
01539 л1п лпЛпЛ11бп1г D0 aoir ог‘а‘тг Ззюзузхлао 5aoi soaoili^ liomoi^s ц -(3)
Uoaioi^a л1п 1злау (аог1опа9ла0 9,0x1913 aoi aoian nionrilio Ui з1з51бо)лЛплу
59iiona9Aao 59хтНг1пдЛ о (loaniridsir л1п Aliian to тох ‘59iioDa9Aao 59xiririnSA
тохзЛзу niiosysioirn OJ, т1лзд'11оод1£ anrpinx rox iaorigidn sri тхло^то
-пу1гпууо1г niDTioaADig :5i35pdir Ssxiong 099 io in^OTOiroiiiolidx 'SndgsA'/n
511Х1гМпдЛ 5ln 53391 5зх1б1лзх 5n 91m mri Slioiirs misXsidsir 01539 oriliXo 013
q зт11019.001 лотукто лап SorlonriQArio SoxiihinSX о :люу1по лап олох13 н fy ‘Хз
№33^3123 NnNIHIHVdJ NE51 VI<II3Wt53J H J I

•5aoi 5Urioi
прдаз aUio oykyynonit толр nyyn пдзкшз nyyn »io oyltyyndrm толр лз§ oipigirs oiidi ox *
•лсозоау псотзи» к lioav nirfrtox :Si3D<piirid3ir Sscbdorloigi ’^3
(8)
bsyliyypdDU 5зур
(A)
SUrtoi »)30аз
(Я)
Urloi njrlrlDM
(»)
53yUyyndnit oag
,/nidi mo тох длтох oniiko nXdoica лзд nyyn тохзлгЬх лсодзкпгз
5оЛаз5 30их -олсоЛпбх плз Aao^nnrikXo ксНохпх лкх оку ’»9пзо л1ио юхздюх
тол1з юдзшдкз хюдх юх то^ -gp'i -Хз охо тохзлюхтобюк гиуохоад юзл н
•ю^ку^юдюк толп юл SidcoX nrikyggdir лаоХз юл ndoirri
Зпоюхотод 5пбх 5по юдзктоз 5<пг1о хюд^ -тохлсохлюлао люто ocbdotioigi kri тох
5зукуупбп1г толп 5зпдаз то люто ocbdorigigi толп ютИ-удодк -5коазддюхюх
косохаидзк клот! к толп Спаю ‘юдзкшз юсЛ илю 5зпдаз зт! ‘nrikyggdir oxoxooigig
0x3 ’(kcfroiro ютН пл1д юуу ’Хз ojJ koav пХдюка лзд зхозго— SsxoogigTiaoo
толп юл ‘ц = т^ + п^ +пр тох д = т + а + П£ ‘Х’к 5поото1^з 5п 4кю оад nooirj\
•ю^йхуюдюк толп юл nqsiqira юх толп ‘srinoconriUo U9I1 аом ‘юхСиюхюлад ют^
;юдюЭхо пюк юл ndoirri ^юхаолт/зх лзд ‘лттМюдЛ лап юлдхп лкхо ‘юдзкшз
Ю1дх юх ид тох 5поюхою1§ 5пдх 5ио туюк sxonrioxoidg по зхоздокл
liotoxMidsK U<bdorioi$i ц
лотукхо лсох ртйтоадлао
лохо Ззхозузхлао то = лсодзхспгз лгох Sliriox onrilio о^£ лшзоомп^з лтз колу
лотукхо-лотхю^оалюпд лсох
5отктоа§лао Зрх'аМюдА Зотокюх толп q юдазук ю^зд н лт^кю лт плот^
лотдзкшз и Uriox лшМодЛ лстл юлрх!^
п^ао^псКолао юхсодц
 luhdoiiaiQ'i зт)ао5ют1оло аом
1ю(ох1идзк лкхо ‘пзддюхюх кхаю люхо Scogidxo зхрх ‘ю]дхзт!(озЛ кх зг1ао^юхз§з
рхаю jj -кхюх лкх зг1аоокхзузг1 юл толп косохтодзк куюх лкх зт!аооколюхюх
юл тк Ьоиюдх о ‘Зсо^рдюдюц -лохюладю толп юд охаю Зпосоо^з 5зтокюх
юпЛ юу^ю (тоуую лаоХЗюка лзд) ртЪюадлао отохзх люлз зт1юхкдд юг1Лпдюдюк
олзгИдхзхЛао 0x3 'q ох зт! пюхаоот aoir лтхюг!оалю1д и лсох дгктадлао охп!т1юдЛ
люлз лаохк^ 5nocooi§3 iq тодазугг юс^зд лкхо q юг1оалюсд юлз лао пхют!оалю1д и
ssnvo НФЮУУНУ IVM SHSVNIII

•Лу1 лочч1г1юдЛ лачх юлохчз
лкхо чзХюхочхлю aoir ддд лдчукхо лап юлдхчз лкх чзлчд дхау -q 01 лаоЛюдюк юл
зюго Saouodi 5aodi3i£v ari лаоооюадлао юл лаодоит) Ззукхо Зчздх io коачпгчдзи
лкх лкхаю -5чзоау 5зууо1г юдчэк лаоХдюка Uoaixiridsir лкх лкхаю <о тох лдч^кхо
лап ogsiriirs охо тохзХзздзм юл q ох олзт!оХздлз юлз тох 5ап1о чзХдюшх "коау тзХз
лзд ют1кхоао ocbdorioigi юлз чзлзЛ. лз :5здосЬ Зздзхооочдзм 5п чзлтодгкнч охау
•коау чзХдюка
лзд зхох одзчгчкз ох дхаю to чюхзХзчдзк лзд q юг1оалючд ох люд (кХдю лкх tiro
чэлдзк aoir) одзчгшз ох охаю to Зкошз чюхлоХзчдзк 5аох чоч1оюадлао loxiririodA.
то тоуо тох юду одз1£1из юлз (о 1Ю1лоХз1дзи 5зу1ио Sisdi 10 5зтю по чюлчз
Ю1хто н ’люхк лзд (9‘$‘г) = q ох ючд -лдхюлад люхк охаю (д‘д‘£) = q ox ючд
гя гн и
(t?)	?= £ «+ р «+ гр
:q ох зч1аоЛюдючг юл зхоач
зч1аооюадлао 5п юл зч1ао0Ю1гоод1г тох лачзоаюч^з лап юдазухс кдзхочдю лкхо
Ззукхо 5чздх чую1г лаоХдюкх 'Sa>ir толп 5a»rio юг1зд ох ‘чзюуюХ юл чзчгздчг кхау
tothdorigigi толп nrilixoao ох люхд лачукхо лап юлдхчз лкх зт! чзлчю9ч1ао чд
•юлз (о чюхло^чхаюх юдз1гч1гз ючдх
юх чхдчд- лачзоау одзкчкз одкухд-^о пл9 чзХдюка (j(o‘O‘O) = qh. Sanro) 5здаз^к
Ззч^зд Ззхчдчз ючд (Qf l '^Z) чзХдюка лзд Зздазучг Ззч^зд Зздзхдоочдзчг
5чх ючд лачдзкччгз ла>у1гууюдю1£ лаччдх 1юсохчгчдзхс ючюдхю li юхчоадч чзХдючгх
ЗзЛчу ayoir окю чхлю Sisony Ьзухам юдюзс дкю чзХоюк юдап
ю^ую ‘осЬдоч1очдч чуюк чюлчз ючИсудодчг од -5чзоа^ дтоо ючздаз rmi чюхз^пючИеХо
чюх юуую юх юхлюлао ‘тлючг юх 5odir чюхчзлчхюхзг! одзчикз апюх од -юхчлсЬю^
чз^юуую юлохчз U (/, ‘g ‘2) = q юдазуи юч^зд Ux ючЛ чюх 5аох рхаюз лохо юуи-ууюдючг
лачдзчгчкз лап коччгохюхзч! чюлчз лотдазук лдчч^зд лап ЗиЛю-уую 5Ux ючзкзлао ц
•(Луу -Х^) ючздаз идиухдуо ючт1 клчох лаоХз юдзкччгз ючдх юх иоачхчгчдзг лкх
лкхаю -лапачдчг оад лап юч^очоддю ох чюлчз коачоч^з кхчдх U чхочд ‘охоачо
чюхзлчюсЬ aoir ‘0=0 лаолчд чюх чюхло^юадлао 5чзодчоч§з 5чз0х чо зхох '£ чзлчЛ
Зиоачоч^з 5ючюхазузх 5Ux 9 ох люд 'Зкоау 5ючт1т1юх плю лтзоау тдикп зч1 юуую
олзг!аоЛиод1г ox 5odir 5злзЛЛао ‘юч1ихоао осЬдоч1очдч оуую юлз чюх чзХдюкх
5зююд1дг1аюю чюлчз Зчзоачоч^з чо ‘ssn^g 1л(Ьчоую1гю
лкх зт! чюх юхчхюч1ихоао чзоачхочкючд Ю0 Зачко ‘юду g = о оч1очЛоуюдю1г лохо
чзЛкдо g коачоч^з лочзч1 коачоч^з лао £ коачоч^д 'юдазухс юч^зд кх ючЛ чзаХоч
лзд охау кхчдх лкх лаолчд 5злзг1о^чод0ю Эздазук Зздзхочдю Ззхачдк оад чо
g = (Т1-|7 + а +
(£)	Ч=т£+ nz
Z = (п + а + п
ох 5ач1го юг1кхоао осЬдо^дчдч юлз (о чзХчохочхлю
чюх лачдз1гч1гз лачукууюдюк лачх Зклчзхз коачхчлдзчг кдзхозоклао чюлчз кхау
Nf5HZf5ZI-H Nf5NIWWV<IJ NGl VldTHWOTJ H 31

origidgAyn лох 3ii зг1пл1хз§
‘Зззокхоп Зп ni3j\ \U(biOYDim) origidgAvn оукуупюх 5i6a)X тох (лтхрлш)
giioi^ogrlao oyk^ynmx SidmX зт(аоо1Хзлао пл sriaodoirrl лзд 5i3oa)iiti63ir оад
5по то>1 Imay niririnx тох к Ззууок лаоХбгпга пл isdoirti aoirg коошпбзк кхзлзА
ki П1зузг1 отоупсЬзх олзг1о1гз oj^ 139369 пл тзкздк aoir коду niri isXdnira aoiro
-koaniridsir ktbdoripigi Uri ki- niikyggdir лодзсЬтдлз our 01 nispri ото'/псЬзх
01 giay 7 отоуп'Ьз>{ 01 oirn у aoinvnchsxq aoi ndocbmg lii ззлетдзлпЛ inx
‘ЗпбдзЛуу SUxirlrlndj 5ki nrlondairriao Зздапуз^зд плз тол13 oiay 'лаг/kio лап
плох13 лк1 зт! тох 1зл1пдт1ао ng 0191 01 ‘лапМпбЛ лап плохпз к 13зббптх лпд
одзкпсз oigi ою 1»1лоХз1дзи ii'fliu) и ю inx 3101 ‘oisrllio oaiox лаоХз лзд
пдз1£1хз и ш л»д -Sisoniomg и Зпо тох Зкдкуп 1злзг1п6тс тох- kxuoiAo’/oira
iXo ‘тздкуп kxnnTikgnri mil тол13 kiay -0191 01 лплпхз ЗзтЫпбЛ ю тох 11919
‘лздкт! oi лаоогод пл зюго лтло^падлао пд ЗзуСпо то 5апг зтЬо^бамА. 119 тол1з
тздкуп ц ogsiriirs плз (о 1П1лоХз1бз1г пл 5зукю ю зг1аолзгИдз1г oioiro Л01
тЛ ЗоЛду SgxnnriAndir о Scorig тол13 лзд ‘9x110131г nxiioiAoyoira тол13 91а у
•лфтМпдЛ лап плдх13 лк1 girn зг1ао^1да>лЛ Запю- ланоау nisgas
кдкухдуо mri isXdnira ‘(3- ‘j - ‘g) aoi отоп^ют^хои sioirkgoioiro sriaoosgoodir
пл 3Tiaodoirrl kgisirg -лздкк 39193 aoir (3— ‘l— ‘£) дткгоадлао ло1 коау kiaidir
лкю 5шло1здоод1г niiraxodir aoir ‘(g kykio)-(g kykio)-({ kykio)^ Skoiirs
ШЛ13 q пт1оалп19 0191 oj^ чотктоадлао юууп loxyoir тох тал13 Saiiig тошлад
aooi ’i39aX пл 1з6о1гт1 mikioao 01 3191 —g k^kio ki лао g kyLno к тол13
gian пт1оалп19 oi- 0931ГШЗ 01 gian 4o 5кошз то1зХз1дз1г (z,‘g‘3) = q 01 Заию
пт<оалп19 плз лпад, -5з1к1дп§злп тол13 Ззукю 099 то лолдт! тох лот^уп 099 лап
О931Г11ГЗ ою тол1з i кукдо н ’£ b-X^1D 5здо<Ь 099 Л90 кукю лк1 sri 1П19001
X k^kio к 5здо± Sisd^ 7- = сп ‘j- = a ‘g = п тол13 Sgian grloiAoyoira лото1гпх
giro nisjAj -лэдку! niioioSgn 1зл1д aoir лтукю лап 9т1опа9лао лплз 31(9069 пл
ШЛ13 кок1лп1гп nij\ iogsiriirs плз 4о то1лоХз1бз1г Эз^кю 5i36i то 119 зт!ао51ба»лЛ
5а>ц "isgkAoxoinxig Saiiig лаоХз лзд aoir ioiioi6aXoi Sisgkxn тол13 nian nyo,
лот'укто лап аодзюхз aoi 5о1лз к Soixs q 01 :5i3oaniri63ir Sscbdorioigi ‘Xj
5i3ony ЬзсИзип ({j)
O93U)1Z3 30
1П1ЛОХ31С13и
rioix 5зу1по
Uoay nirlrlnx (и)
одзишз зо
пплоХзгази
aou bsyliio
ssnvo MIOVVIIV IVM SHSVNIU

1.2 H fEQMETPIA TQN TPAMMIKQN EEI2Q2EQN
ALKHEEIE
1.2.1 SyediaoTe rrjv eixova thv ypa[i|io'jv yia Tig doo egiacbaeig x + у = 4, 2т - 2y = 4
(61)0 lepivopieveg evOeieg) xai ttjv eixova tojv OTiq/.div (ai)vdi)aa|i6g tojv 6do OTqkuv
looirrai рт то 6idvpo|ia-aTr|kr) (4, 4) ott|v 6eqia jtkeapa).
1.2.2 Лооте то трсуатхо оратгцта
и + v + w =bt
v + w = Ь2
и =Ь2
Ле!^те oti г] Лрот] oag bivei evav oovdoaopid tojv aTT]kd)v пои laovrai це тт) атгртт]
атг] бе^ю nkeopd.
1.2.3 riepiypaipre ttjv торт) tuv toio'jv eiuirebaiv и + v + w + z = 6 xai u + w + z =4 xai
и + w = 2 (oka otov тетрабюотато уоЗро). Eivai рта eoOeia, eva or)p.eio г) to xevo
mivoko; Iloia eivai г] торт eav (тиртеоа.турОел то тётарто етяебо и = — 1;
1.2.4 S%e6iaoTe Tig eoOeieg
x + 2y = 2
x - у = 2
У = 1
Mnopoov va Xo0ovv TauToyoova oi Tpeig e^iocboeig; Ti oo)i6aivei ото о/тцш otov
dkeg oi дертёд ллеирёд eivai irr]ddv; Yndpyet рт |rr)6evixr] emkoyi) tojv 6e'§io'jv nkeopo’iv
not) eTtiToenei OTig Toeig eoOeieg va TepivovTai ото 16ю ог]рт!о xai OTig Tpeig etjioo'joeig
va eyovv рта Xdot);
1.2.5 Бресте 6do от]рт1а ottjv eoOeia тортд twv tqicov eninedojv t = 0 xai z = 0 xai
x + y + z + t= l otov тетрабюотато ydjpo.
1.2.6 'Otov to b = (2,5,7) брелте рта лбот] (ti, v, w) tod авоттщатод (4) 6ia<jpopeTixr| ano
Tig kiioeig (1,0,1) xai (4, —1, —1) noD pn'jp.oveijovTai ото xeijievo.
1.2.7 Лиате био ахорт беёртд лЛеорёд, ехтод ртд b = (2,5,7), yia Tig onoieg то отюртца
(4) kuveTai. Лиате 6do ахорт 6e^ieg пЛеорёд, ехтод тг)д b = (2,5,6), yia Tig onoieg
6ev XOveTai.
1.2.8 Бертоте уют! то оаортца
и + v + w = 2
и + 2v + 3w =1
v + 2w = О
eivai i6i6|roQcpo, 6pioxovTag evav ODV&Daop,6 tuv toiojv e^iooboeuv hod 6ivei aOpoi-
оца 0 = 1. Me пою Т1рт npenei va avTixaTaoTaOei to jrr)6ev ртд be^idg nkeDpag,
шоте oi e^iacboeig va eyoav kuaeig -xai noia eivai рта an’ Tig kaaeig;

у = ft‘£ = X 0X0
kxrodir лкх пхлплло aoic 5п1здлз 5kyyn 5»iri коото1§з лк1 зхпдд -g = fi ‘o = x ox oirn
5юпдлз Skykyynooic 5lii korooi^s лкх 311309 ‘д = ffy + x юпдлз лкх он» Зпхлголгхз^
t»231£11T3 ПХ ПХЛ» fi О130ПХ ТОЛП nrlo<TA»iq О1ОЦ TOlillXD
0191 010 2 = z + fi + x 01 mA 0191 01 З1л.»)1 -Q < z ‘0 < ft ‘g < x oidoriko^Ao oxixsg
oio тохзХз1дзи лог лодзхтгз лох 5одзг1 01 li [ = z + ft + x о§змшз oi 3100193X3 ZI'Z'T
Чгозолу
П130ЛЭ кдкухоуо пХдпхгл о лох 5зткх Ззтохс mj g = ft = x колу лкх пдлоЛю ллоХз
Q= fi/D + XZ
g = fiz+ xv
Sisomoi^a 10 IVZ'l
;»130лз niri
зо (£fl ‘z) ‘(^fl 4) ‘(l^ ‘o) wjsriko »x 1»хлоХз1дзш ‘Z/г ‘i/i вх тк Ззхкдлло 5зюк oirx OIT‘1
•(О *0 ‘О) ют!олл»1§ oziAsgkri ox толп q
ox л»з (m ‘л ‘n) 51золу 10 толп 5зтоц лтуую ол§ лгох отЬплцлло 5го кукхо kxidx лкх
5»хло^юд<Ьхз ‘OQ3K1K3 oiqi охо тохлоХз^дзк пдзхопб» »хо 5зукхо 5пдх то ixo зх^пу

толп Зкокхоп 5клзт1лоЛкод1£ 5кх лгоукхо лгох плохп ц 6Т‘Т
ssnvo HOIOVVLIV IVM Za^VNin

Liiidi aIiio Iio<odi§3 Uirodir лк1 зЛюозооодк пл U^nvliv I'H'i'Z
•liiidi a(ii oiro liomoi^3 lidsiasg lii 5з6о(Ь j — sriaodindin (Л)
тЛоу nyyn 3ti li
liiidi aIiio liomoi^a (1631039 lii логгтоу зг(ао130ообц -a oi з^оофозутго пл зюго
(liiidi li ‘лолог! inx niri плзг(о1го liomiiridsir aIii Uian to) SnomoiSp Siirioyoiro
5n oiro Sliorooi^3 Sloan 5(16310,39 Sin oionyxnyyoir плз зг1оооздто(Ьп tg тох
g- тол1з nriUg 01 oian ,o SpAligo q -5lidyio^nirn nionxigmg nigi aIii 5зхап n
зг1аоорг1дп<Ьз пл sriaodoirri тох cn tox a 5зх1гудпхзт1 5u лолог! лаоХз16з1г 51зотт§з
5зууп 009 iq liomoi^s lixmdir л1о зт1аоолЛп 51кЬюуп1го nrllip олзт1о1гз 013
•aoi mxnx giro
miAOXoidg aoir Saorigidn 5aoi 0/U190 aoi зт1 зхохлп1г ndimg ‘5зхошопу1гпууо1г
Sgoioroo 5aoi (кЬюушго li 130160190061г пл mj SpZfago Soxmdir 5m ЗохотлЛ толп
liomoi^3 liimdir aIiio n охотлЛп oimdir aoi з^птопуютууок aoir z 51позуз1лао q
'Pl =	+ a8
(z)	Zl- = ™Z - ^8-
g = сп + a +
лтзоамм^з nriliioao orinAgqooi плз толп nrlosysioirn ox
liiiQi aIii oirn liomoi^s liimdir aIii *5здосЬ у- sriaoosdmdro пл (9)
‘(1631039	9K,C) Uomoi^s liimdir aIii 5з6о<Ь г зг1аоозбтоЛп пл (n)
:i3nnirn oiay -^зото^з Эзгогазузг onp 5?i pirn n 01 13<Ь'13^тсх) юл
зют ioi3 ‘isicio^oica 5n pirn 5Uomoi^3 5/umdir 5lii пюпуютуугпг ioidmdmdm
пл1хз^ Sopogsri н ( LiA3riaoioiroTiioli6X пбзхолХао li толп liian ‘aoi nrioAp 01
лаобзсЬ aoir 53391 5n 5зуо (irn ‘UXai Цхзлтбп nmx ‘5ioiaoi лд ппгзу пхзр 5rooi
3D11DOX aoi aoir 11оазл1гг1з л(и л1иап рЛ iXo 5mrio ndaoXio ‘AroxiinrHiQnri лт1
лтуо SoioiAsri о лпо тоаз^бтлЛплп ssncr) q) ssnBf) lidiioynirn siiaoooridndn
ng тох ‘cn inx a ln Ami Ssriu 5з1отлАп 5u 31(0069 юл i»a.13 nriliygodir og
(I)
•6 = nz + aL + nz-
Z~ = ng — np
g = cn + a +nz
nriliioao 01 3ii Sisoniomp 5n6i 5no
зт1ао^1Хбу nTiAngndnir 01 толп 5отт1з0 aoi aoian 5liolioAninx Soirodi о
ssnvo знфюуупу vmmvvdvn  ri
ssnvo ЗНФЮУУЦУ VlNJIHVVdVLI £1

•5aoian tr1 зт!аодзпзр
пл зт1аоуз0 miAO^iAsglni пл тлзиздниз лзд toAUgo ю ‘аот!оздо 33
oimdir лох зт! зюкпх Зпхлолгоззуз!
тох озтазузюдк лох 5одк 5m лз1гргох Зтлолау ‘оютлЛп озтазузх лох pirn
5п1ло^зХдп- li^ninig ксЬодюплп зо lioay Ui ззЛпдшг копюпшхилп Ыодрплп
Н ’рхзлтЛзд! зплзз nrlliioao 01 лтр ззлтззуз! пзопхздпзд 1п!оддплп н ’оЛкро
озтазуз! лох зт! олзг1опзопу1гпууо1г ‘их оютлЛп озтазузх лох лолрт! ззХзздзк
котоз^з пзшазузх li ‘Зоуза -pAligo обзхазр лох pirn minx liyliio кдзхазд lii
sriao^idngnx mkoibj pAligo oimdir лох tirn minx 5зюзуз1лао Saoi Saoyp
зг1аоо1лзд1п1 пл пзЛ Яюто^з 5lumdir 5lii niopyirnyyoir sriaoioiroriiolidX nrilig
oimdir 013 -Зздазук Ззз^зр 5n pirn Slioiirs ininidn^s копюпшхилп lirlodgmn
li тлз лтзо(О01§з лап Зздазук Зздзюздп 5п pirn зтз^здодпх liiay -lidnoynirn
LixiXopniq li ззптгп oisgniroodir lidsiaynAsri In ‘nriliygpdir оупЛзг! плз
pymi Зздазуи о ад то ?пх iniAO^nioaodnir
л1пап ,о iioiq— пз§зр liio тох Slioiirs зтлолзЛ лтзотоз^з лтх ndasyir кдзюзоп
л1ио 5i3§ndir зо пр зз^зупсЬоп^з aoir ородзг! Ln Ilian sisoliriiiodir пл зпздокр^
•lionioninxiwo Ыоддрлп тЛ oriiois ‘nrlliioao oxmmAidi плз 1злзг1о1гп 5оуз1013
Гг	too]	Гн	е	8	о!	Гб	z	l	z-l
• zi- г- 8- о «- п- z- 8- о <- z- о 9- Р
Ls	i т zj	Ls	i	т	zj	Ls	i	i	z J
:oioiXny3 олзт1тлг1аЛо1гп плз tri зт!аолзт1
лоштоу wig, ‘nrlliy здпх зо = тох m тох a tox n nyogriao ni зйкхЬрдЛплп пл
кхЛплп толзз лзу -liyliio лозуи iirs mrl лпо рдазухс пп^зр lii sriaognyidsirriao
пл толзз Slidnoynirn лаппгИлд лтх SlubndAninx Soicpoi 5оупх Зплд, -.котз^и^
•5111 (олпк oirn Liomo'iSjs л1ио liriu потздо
-чЛоуока nintboodir здпх Зтлтюздпхплп ‘тлрк т 5оди minx pirn ‘пзздок
[нЬодюплп зт! зхкдау pian nrlliioao 01 ‘лшот^ "(g) nrlliioao ирх1лтЛ1д1„ 010
зотсЬа, -5111 minx pirn 5зг1г1пдЛ 5n pirn SliririnSA здпх monyirnyyoir зоздтоЛу
I ‘8~ ‘Z SaoAliqo 5aoi sAnAlidnir lidnoynirn UxiXogmq ц :зт!аолпдт1пуплп1га
копюпхпхплп
(кятНоодплю 1л) 1лг1оддплп тохзЛзу nionxiqniq liian liyirn Н 'l = /7 ,3212 liomoigs
liimdir li ‘5оуза з = a sriaoxoidg lidsiasg liio 5тлт101дпхилу -^ = m ispip
liomoi^s птохазуз! ц -511лп(Ьод1г толп Soinriliioao aoi aoian Slioayiirs lixnxni ц
’Z = m
(£)	Zl- = ^Z - ^8-
£	= m + a + п%
nrlliioao OAsrllnoiroyirn oio nAlipo тох ‘коладазюх l(5pdirri3
ni 5oSir„ л!11 pinx лоюзХруао! ‘5lidliyir ndmi толзз Slidnoynirn пзопхзрпзр ц
ssnvo НФЮУУПУ ГУМ SHNVNIU

1.3 ПАРАДЕ1ГМА АПАЛО1ФН2 GAUSS
H aitorv/ia tqg anaXoi<jpqg
©ёХоице va xavovpe duo £QOJTr]Osig. Mnopei va cpavow халшд ngowgeg
—acpou pdZ.ig лои sidape tov akyogi0po va douXsuEi— opoig г] алауттрт] тоид 0a
qj(j)rioEi ледюобтедо тт) цё0о5о. H лдштг] eqcott]ot] eivai: Улд xoisg ctvvOijxec:
Ev^E/ETai va anorvxei », dtadtxaoia; H £д(Ьтг|от] dsv sivai уешр8тд1хг| a/Ad
aXys6gixr].
H an;dvTr]crr] sivai: Eav о aXyogi0pog ладау£1 n odrjyoug, tote илад/ел pia
xai povadixp Хиот] тои оъотг]ратод, то оиатгра sivai pt] idiopogipo xai kuvsTai
ps diabo/ixi] алаХокрт] xai avadgopr] avTixaTaoTaor|. Eav oping отг] 6 sop evog
odpyov EfitpaviaOei era ptfdEvixo, tote p алаЛокрр лдёлв! va отаратро£1 —site
ogioTixa eite irgooGigivd. To owTTjpa [tjtoqei va sivai p xai.va pryv Eivai
ididpogipo.
Eav ppdEvi^ETai о лдготод odpyog, ott]v jravio адютвда ywvia, tote p
алаХокрр тои и ало Tig aXXsg s^iowosig 0a Eivai advvaTp. To idto akpOsvsi
xai yia xa0E svdiapEOo брра. SppEicboTS oti svag Evdiapsoog odpyog pnogsi
va ppdsvio0Ei хата тр diadixaoia алакокррд, axdpp xai oTav о ovvTE^EOTpg o’
avrp TT)V 0ёор, ото agyixd оиоттща, Eivai цт] [rqdEvtxdg. MikibvTag ngd/Eiga:
dev yviofH^ovfiE av 6a EfapaviaOei налою fitidsviitd xqiv va JtQoanadijaovfiE,
лада pdvov acpoii EXTsksooupiE tt] dta&ixaoia алаХокрт)д.
S’ адхЕтёд ЛЕд1Лта)ОЕ1д auro то лдобХгща цлодЕ1 va avTi|_iETomoO£l xai
т] алаХокрт] va owexio0eI. Eva тётою оиотгра owimoZoyl^ETai ота цт] idid-
цодфа- sivai piovov о aXyogi0piog лои xgsia^ETai елюхецг). S’ akksg ЛЕд1Лта)ОЕ1д
т] алоти%1а Eivai avaлдcp£vxтт]. Аита та аОвдалвита оиотфата sivai idid-
piogtpa, siTE 5sv ё/ouv Xvosig siTE ё/ouv лада лоХХёд xai dev цлодоицб va
бдоицЕ Eva лХт|дед ovvoXo odriydiv.
MH 1АЮМОРФО ПАРААЕ1ГМА (08далви8та1 svakkaooovTag Tig s^iocbosig
2 xai 3)
u+ v + w=_________ u-P v+ w-____________ u+ v + w=_____________
2u + 2v + 5w =  —>	3w =  —> 2v + 4w = 
4u + 6v + 8w =_____ 2v + 4w =____________ 3w =__________________
To owttjjux sivai лХёоу Tgiycovixd xai Auvstol pis avadgopr] алаЛокрг].
1АЮМОРФО ПАРААЕ1ГМА (аОвдалвито)
и + V + w =
2u + 2v + 5w =
4u + 4v + 8w =
3w =
4w =
Twga dsv илад/Е1 EvaXXayr| ygapiubv лои ало<р£л')у81 то prjdsvixo отт) бвитЕдт]
о6т]у1хт) 0ёот]. Oi idtsg oi s^iocbosig p^ogsi va XuvovTai i] va p]v Xuvovtol.

лох зт< плохЬтко) pAltpo л.01 tirn minx liyliio In зг1аоо1лз§1(г1 пл mA 5i3^n6ir
ц — sioniip^oisdX ‘Ьззоотт^з ц зНаоХз aoirp oipnio 01^ •Soixdnig лаол1пдхтг1
Sisocpoi^s io aodro ‘одзхоЛл^ лаохдтр niniilig птохазуз! т по пбоп зюапзгШз
(ЗкгМпдХ Sliimdx: 5U1 и лап Зохяз ‘Ззюзузглао zu Saoi тя зг/ао^пууг) Л
тлз^тздХ :51л^з U тол13 и — zu aoi lu|ioirn Uyyn тдо) ’5i3^ndir и — zu = (у — u)u
1П1з5р1збХ litbioynirn li oiqnio 5ln oimdir 010 ndn ‘Inmdic л1п pirn onpx 5згМпоЛ
X - и лаоХдпкх '511г1г1пдЛ 5ln Soxliri рюх 5зюзуз1лао 5аозл 5aoi siiaodg пл mA
53irioypira 5u inx ‘/ отопу1гпууо1г 01 sriaoQp пл mA niri- Sn^ndir и 1П1ло^П1здХ
‘liyliio InroSir л1по зг1аолтоХа131г aoir piioiAspLoi здпх mA 3101 ‘u Soxlni 13X3
Uorooi^s Inaidir U лп ‘UXdn л1п^ 'li^ndir клзгЬдхзхтр niri лпо Uosdindro li
oiionionyirnyyoir здпх inx liosdimq здпх зт1аод(озр пл 3riaooliA(otbriao 5у
•51хлз11о1гз
5U1 5зюзуз1лао 5aoi pirn тохлаодтосЬп лпгртх тх / зг1 тохло^птопунп'/уок
5(озо(ро1§з aoAlipo 5U.1 5зюзуз1лао iq ^^[(оздтоЛп-ао^оптопуютууок,, prionap
-лао лплз 5отХзлао зт1п1лплао ‘куур л1п pirn 5lio(ooi§3 5nirl 5ln коздтосЬп л1п
л1пап 5шлолпх ‘литоту -liocooi^s 51п 1ллзт1р1гз л1п pirn зг!аооздтосЬп 4л isirsdir
5(озо(рт^з aoAlipo 5ln (/ апоз) отопуютууом 0101г sriaodp пл птЛ pAltpo лох зт!
UosSinip 1ПЛ13 niri j-j 'AOTpis oap тол]з 5зхау 'ndasyir UdsioiSn л!по Sn^ndir
5n лолрт< зю1лд1зт1 inx лтзото^з лап ndasyir ni§3§ Ino 5i3^ndir 5n лЫЛпо
5odir зюколЛу ’SUioiAoyoira о 1зозузххз ng aoir лгоз^пдк лап SogUyir 01 3iiao<ti
-З1лпт1 пл козе зо 3ioniii3 пл З1гзд1гз ng ‘ninrlUg ni nyp sriao^iQanA aocby
(j Soinriliidndnir aoi ubjuoj Ssxiqaix 5aoi siSDliTOiroTiiolidX пл li nririndApdir
рхпзХо oioirnx 3131здтр пл isdoirri) 511<Ьтоуп1гп nionxipmq In 1зозуз1хз ng
aoir ‘InoiXoyoira лплз (o 5nii 1шзд In STiaooaig ng 3101 ‘оупЛзт! толп и oi лпд
‘.5ао1отлА,то и тя 51зото1%з и 3ri nrihioao плз fi ‘йЛпоутт лйг птя тглао!
-mim 5i3^ndi£ ЗзгтдтХз^ Ззооц ’UxnxnQir ayoir 1ПЛ13 LioliKods 5nri Ityyn н
5li<biOY»irn 5lu 5oioox oj
•[пплар lidsiaynx li толп ‘зт!ао^1Хзлао
nioiro л1п зг1 ‘Inan lioaniridsir н л(озо(оо1§з лап ndiso In 311ао§пууп 4л
inis^nisSX пл 5idaiX ‘тох1лз§1и1 Ini тол]з loAlipo и 10 inx 110 зг1аод(озд лрбшг
oi 5одц ( SpAligo 5oiidi isXdnira лзу) 'pAlipo одзхазр g 01 зг1аоопт!оло ng
inx mp 01 isdiisynirn пл Inipxn pdoirii oig oj^ 'ЦсЬтоутгп л1по 5п1лолтоо1аох
nd(oXo6ir inx lioaniriOsir LabSoripipi л1п is^nis^s отупсЬз^ oj^ -летЛиро
оуолао Ssdliyir плз лаоЛпбтг 5зЛпууплз то siojl -ocbdoiipipi Ini тол1з niilnoao
01 лп1р ‘лтгМпдЛ 5зЛпууплз 5п STiaoolnlt^ao ng p-j оЪпдЛпдпц л1п^
•a oi тх п oi тох 51п
LiaotI isoidognx пл pQoirrl лзр lioaioi^s UwoSir li пууп = m, 110 лзт1 sriao^idaiAj
•5i3oay 5зд131гп зт1аоХз Uoaniridsir LubSoripipi л1п л1пап to 3101 —g = mp inx
9 = mg 10 5a>irp- Ssiongigiiao тол13 пл Sisoaioi^s 5зхап oa§ io iscjrlao лпд
•тохлолау лзр 3ipi ‘£ = mp тох 9 = mg тол]з 5i3O(poi^3 5зто1азуз1 oap 10 лпд
ssnvo НФЮУУЦУ IVN ZHNVNIU

•luUoun UximcoooSk mri 5туют толр
»л iniSATOdroiQ nriAnScb minx oj^ '9Z.£‘Z 01 <шп roinx зЛ1ш 5r/ori li’/.idtiz In oirn magliog зр^
U ‘U<biO7DirD л1п »U SmXaiag ^-rotbpdA aoir liriAno In 1злзг1пдп1г тох aoicp oi
pirn minx (JAJ0I Slii од1лзх охпклаздз ою) зозкз Ыпздхз о 0x173,1 и аоюлар
aodsipdxni aoi Сюздаз л1п mA nilnpidlnondp I1X11XI171CDIDX mri soltAixodnir
1кКау»хплп li tnay -g-£ « £ z§oj лою g toais aoir ‘g z8oj oirn (пздхз aoi 3009
-31DX piay 7, ail тох лаол1Л da Sanio Aaodoirii ‘Saorionionyirn'YYOir g лаоптгп
da TOiAOAind) odroX oimopipip ada3 fi AOTiprloaADiQ oa§ loiionapAao oap :5рлоА
-зА pyirn плз pirn тохрхдо^з piay |5аои!ошооу1гоууо2г Дг8о1гг,9 лолог] ззлзтсю
aoir Sogogsri mri isXdmtci лозум пдтл tox tiASiiyotbos 3xlnXi3poirn liolirhixs li
liiao ‘oilixopoodiry ('Saoppgsri 5n 5370 Saoi лкНр sira лаолр9т1п7 da 5miip 5id
-mX ‘лпалх13ро1го 01 aoir nimilidmsg tox 0101701! AoXdkirx) Зао^отопукпууок
g/£u oirn ЗаодзтоЛту 0.701г 3ii 13907 da зоаодокт! од лзр ‘ЗаоюголАп и зт! лтзогоо
-1§з и Diilnoao рхмзА плз ‘D1A07 0770 здо -101011739 ‘рхпотоао ‘toais lorigidn
10 ioian по з1здз1га ng ЗрхппгИхдпт! здрх лррзХо ‘тлрОХ pxidsii pirn aiSjj
•Slidsioidn 5ln £/£и 5п pirn ЗздзтоЛту
0701г- Sta^pdit zu mA тлзладаз пдазум т$зд 1л одр ‘Цотортхило Ыоддрло
тЛ рдазук 01^39 In Aao^piiioisodic nimilig Inioxo Z./zu n9 sriaog dq
Z Z
— « 7-------7— = и + • •  +1 + i
zu (x + u)u
ТОЛ13 SllDDlOpiOXIlAD SluiodpDAD
5ln AOis^pdir лап Sogliyir oj^ -x-o’x oap mis^pisdX ЗоюсолЛр Soiniasysiodir о
‘(oAUpo oiniasysi aoi зг1 liosdimp Dili) A.OApii tox niri 3ii 1013x0169 Зою
-солЛр Зотошзуз! q UdsiaXni рхплтИю toais которюхплп Ыоддрлп ц
•oiopyirnixo О1О IDlSAD^an 5oioox 01 3101 ‘A3§lni 1DA13 лапо
-зуз1лао лап хз лолрт! 10X17 тох isgomonyirip SoioTiLnoao aoi ЗодзЛзт! 01 adiq,
£u^ i»Ai3 люз^пдлс лтл inogUfu лол 1лоШихз liy»x ‘гг оурЛзт! nij
глодзЛтрлз
toais Diiondsiriiao ox ’(онгзуодзтзр xt iSAiniilio ‘3J плз (o nririndApdir oynx
плз mA ‘aoir) niDTilig aoidariiioinxs aoi oiidi плз aoiridsir 1л oap ‘олзлпх isdpir
da isdoirii UdnoYoiro lixiXopmp li 119 siiaoirsyg (и - £гг)у oirai лою ggx = и
тох = и тох х = и SniAonoigoxiiAy -ла)ла)Лпд131 и лапотдк лап mioiodgo
01 тох Aanigidn и лапотди лап nrloiodgp 01 mA loirai lOAStioigliAao толп ioiay
и - £и~ (х + и)и (х + а£)(х + и)и ~ ^-и+	+ ^zu+ +
:и 5а>з х 91г» 2/ aoi Ssrin 5п 5379 mA Ц - лап mioiodgp 01
толп лтзоотоз^з лап рдаз71г Udsioido л1по Acos^pdir лап Soglqir 01 рх17ола^
(и зг1 aoi adiIi .7 01 AD19 ‘Diili9 oimdir ою тох зт1по9г1дп<Ьз aoir 9iioiAo77ao
ssnvo ZH4>IOVVUV VWJiaVVdVU £1

aoi илю ‘косоо^з kiidi лкю a aoi 5к1озуз1лоо 5оюц зипХзлао i»x Ski mwx
oiro aIli зт! lioa)oi§3 лк1 31O3qd13t1iiad ‘козд kxiAkgo зо oxiA3Qkii ngoiAOtbris Siyoj^
•y— = cn + a — n
9 = ai - a£ + n£
Z~ = СП + Cl + n
mikioao oin ktfnoynirn aiooiiSrxbg fr‘£‘I
•(5ko<iy 5ki 5oysi 010 зхзоюкЬ пл idXari z ‘cn la ln
ni з1з<ЬпбЛ пл SroXig) kykio kiirtisic nirl лпо пблзух ni^3§ ki згзупд пл зрзбокдо
•д= zz + rn -
О = z - cnz+а -
О = cn — az + п—
О = a -nz
лшо ЗлоЛкдо 5лм 311369 1ИХ nrilaoao 01 зюлу £’£’1
колу ki тох Зотдпх ‘kdnoyniin kxiXognp ki пгзг! nrikimo oxwoAidi 01 311369
lz= mS + Cl£ + n
0 = СП£+ Л£ + П
Z = cn + a + n
niikiofto 01 nij Z‘£‘l
•5зууп 5ii oirn inii36ind>n ЬкгЖпбЛ oin
-nyirnvyoic плз 531О1ГО 5n ninx 5i3§n6ir 5i36i Sn зъкпбЛпт^ tioXkqo 10 толп 1010ц
'S = m£ — ci — nz
Z= cn + ci£ — щ?
£ = ci£ - nz
niikioao 01 3i3Oiiy пл тЛ котоптхилп кНоддплп тх kdnoynirn зюог1бп<Ьа p£’l
згазнязу
•рюсолЛ Uiioxn iXo
ипх ‘5з2о»Хдз^з2гз ю^к^'рдтс: iovvoic: тохллотоютгЬокдХ лто 5оюох 01 oioe
толп nrikygodir oincboodic oik лодзсЬтдлз рхпкдтзд ‘(5(О1зуз1 к) Srnidax
‘13X3 пл 5о§о0зт1 пзл к зют ‘5oxoyimyoi£ 0091 толр SpiioiinrlrindAoSir о тох
5поз0оодк Ззууои: oooi тохллогтокп ‘курЛзт! 0091 ‘рхшдхЛло ‘толр j пдз0пхо
SSHV9 НФЮУУНУ 1УЯ ЗЗЯУЫШ

(лозук тез лплз лолот) 5orionionvK«vyoK О ТОХ 8WdW
X АУЯЭ лплз fi 5aovxgx SaoxniAovoSto i^3 нлзЗпгзоХ Uo30oodir It no оооюсо
зНаолоизтИх^ 5оюох 5id(oX ‘q + v It Scoirg ‘5i3O30ooSir зтзлпх пл inisirsSrnrg) 5aorlo
roion'/iTD'/voir лолот! inx SisSi srl pv + oq inx pq — ov Ssiliioooic 5н sisoiAoyoira пл
sipSoirri ‘i oi ЗшлгоолЛу 'Pv ‘PQ ‘3(l ‘jr> 5аот1оп1опу1гпууо1г 5(дзооз1 ззлпуНпупдзи
(pv + oq)i + (pq - on) = (pi + a)(qi + »)
лотт101дп Acox'iqnZiri oag Sorionionvirnyyoic о пх1лолп>{ (lixnsdinodir wop) ого
'£ lio<ooi§3 л1и pirn 3 5Ud<ddi§3 5Lli li [ 5lio<ooi^3 51н
оюпукпууок inipSmdro лзд 3ioi 5i© inx n(j ni 1зХз1дз1г luxooi§3 Uiidi U лпд (Л)
£ Uoa>oi§3 л1н oiro £ 5110(001^3 5Ui oionyiroyyoir TOipointbn
лзд 3ioi (ciq oi 1зХз1дзк) 111озуз1лло одзитзд oxiAsgliri 1зХз liocooi§3 Uiidi Lt лпд (g)
•£ lto(ooi5,3 лк1 oiro у 5110(001^3 5Ui oionyirnyvoir mipSindro лзд 3101 (пд зт!
is^iXdn) 1иозуз1лло ох1лзд11г1 зг1 пл1хз§ lio(ooi§3 Uiidi Lt лпд (п) :пг1зф. li msglivy 6TI
(•з13130П1д ло1 лпз ‘5одз1охп1олох1о толр
АУИЭ о но (о^Нол— Snisgidxn 5Uyirig толр 5i3§nSir iq) iniSaTtrioinxs ц 1зуз1хз
aoir 3/0WX АУНЭ лплз р 11 000 08 ]3V31X3 aoir ХУЛ лплз р U онгз’/оОзксзд oi
5i3§nSi£ 000’8 13Y31X3 aoir ЭЯ »лз р 1П1ло5птздХ ткзуодзкгзд пооц ‘(К)9 = и 5тз§
-ni 5oinriliiD(io 5олз Itoay It лто^тздХ по 5r3O3dinrf>n-5aorionionvirovvoic 5лоорц Я‘£‘[
t5od>0oTioigi толр у о но
lubioyniro U тзАопхплп по 3ioir ‘Ssigi толр у aoi 5з-/11ю 5зкод1г oag ю лпд (9)
лтгМпдЛ
ЗзЛпууплз 131гздп1гз aoir £ iirs £ пт1Л13§пдтг плз З1^пиф :5od)SoTipigi толр у о но
Млоушго It тзЛсг/пхплп П0 31О1Г ‘Ssigi 10 толр у aoi 5зт1т1пдА 5з1(001г oag 10 лпд (п) Д'£'1
•mili9 О1п1лз-/з1 ою niXaioirn
U тох 5miio iXo— 5зт1т1пдА 5п1лооопууплз То1злго0до1д nrilig oimSir ою niXaioirn ц
•£ = CIV + Пр
1= л + nv
01 шЛ ‘niliyx
-П1зт1п 11 пл1д<ооод1г ‘lubioynirn It 13лпХЛаю1гп 5зто1го 5н тЛ v aoi 5зг1н 5н 3ipdg 9‘£‘Т
litbioynirn л1н nisii miraxodir aoir 5lto(ooi^3 Slidsiasg 5пзл
5lti nriltcbpOZ 01 ‘проаз Irrioxn nni SUoiirs зюзооодц 'lioav Luo 1шлолт1з1 5зр0аз io
.fi‘x aogsiriirs aoi проаз mil лпо liotooi^s з©пх nioidnir aoir niiliXo 01 зюхпдзХ^
81 = fig + X£
q = ft — x
пЛюр 01 Slidnoynirn ogo03ri In зт! зюау g‘£‘I
hsXaioirn пл Sltcbioynirn oqo()3t1 In зЗпхАплп
no тох Snionxigniq 5lti СюГХзлао Ln 1нпладп зоаою10пх n© ‘nSan isXOnira aoir j-
ssnvo awovvuv VWJiaVVdVII ri

niNAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
1.3.11 Хр^ощолоирте алаХокрл) yia va Хгоете та
u+ v+ w= 6	u+ v+ w= 7
u + 2v + 2w=ll xai u + 2v+2w=10
2u + 3v — 4w =3	2u + 3v — 4w = 3.
Me rig елдцегед aowjaeig алоитахе erat efinxioia axrjv хатаотооюг/ уоацщхт
e^iawoewv. УлоОёате oxi
(а)	ал’ doovg ap/i^ouv pua xpovia axr]v KaXupopvia, 80% pievovv xai 20% (pevyow.
(6)	ал’ doovg apxi^ow pita xpovia exxog KaXicpopviag, 90% jievouv e^w xai 10%
enavEQXovxai.
Eav yvaipi^oupie rqv apxixrj хатаотаот), X.x- 200 ехатоццёрса ё^ш xai 30 exaxopipiupia
цёоа, хоте eivai еихоко va брогце xoix; apiOpioug и xai v avrcbv лог xeXixa pievovv
e^io xai цёоа:
0,9(200.000.000) + 0,2(30.000.000) = и
0,1(200.000.000) + 0,8(30.000.000) = v
То лраур.ат1хо лрббХтща eivai va лаце лрод та л1аа> xai va илокоу1ооир.е ttjv
арх^Л лооотг]та цёаш тт]$ xekixr|g.
1.3.12 Eav и = 200.000.000 xai v = 30.000.000 ото тёкод сои xQovou, бютилахгге (xoopig
va kxiaexe) Tig e^iowoeig лог npoabiopi^ow та apxixa и xai v.
1.3.13 Eav та и xai v ото тёХод eivai та idia pie та и xai v oxr|v архл, noieg eivai oi e^i-
awoeig; lloioc; eivai о Xoyog тог и лрод то v, o’ avxr| xq “отаОера хатаотаот)”;

1.4 SYMBOAISMOS KAI ПОЛЛ АПЛ AST A2MOX niNAKQN
1.4  EYMBOAIEMOE KAI ПОЛЛАПААЕ1АЕМОЕ niNAKQN
Me то 3 ел1 3 napdSeiypa рад, рлоровааре, рёхр1 тоэра, va урафовре 6Xeg
Tig e^ioiboeig avaXBTixd. 0a рлоровааре ахорт] va хатаурафовре Хелторергод
xaQeva ало та бгщата тг]д алаХо1фГ|д, лов acpaipovv eva лоХХалХааю тт]д ршд
е£рошог]д ало ttjv aXXr} yia va фтааову ое pia трсуатхт] рорфГ]. Qotooo, о’ eva
peydXo аватара, аитдд о тролод хатаурафг]д тт]д алаХо1фГ]д 6а о5т]уовое ое
abie^odo. Xpeia^eTai evag лоХв авуолпхотерод тролод. 0а еюауауовре овр-
боХюро льуахшу yia va лер1урафовре то apyixo аватт]ра xai лоХХалХаоюарб
nivaxwv yia va лергурафовре Tig npd^etg лов алХолоюот то аватара.
SripetdxjTe oti xai ото лара&ееура рад
2и + v + w = 5
4и — 6в = —2
—2и + 7в + 2w = 9
epфav^^ovтal Tpeig &1афорет1хо1 твло1 peyeOibv. Етг] 5e^ia лХевра eivai то
dtdvuopa-OTr)X'r] b. Erqv арютерт] лХевра eivai oi ayvwoToi u,v,w. Ettjv
арютерт) лХевра ел1от]д eivai evvea авутеХеатёд (evag ал’ автовд aup6aivei
va pri&evi^eTai). Eivai фислхо va ларютауоире товд Tpeig ayvdioTOBg pe eva
didvuopa:
["1	. И
о ayvaiOTog eivai о x = в , r] Xwi] eivai x = 1 .
Lw]	|_2j
'Ooo yia тоид evvea ошлеХеотёд, лов хатауёроута! ae Tpeig ураррёд xai Tpeig
отт|Хед, то осоото о/лра eivai ёуад nivaxag tQia ел1 rgia. Аитод Хёуета1 лгхахад
tcdv ovvteXeotwv:
А=[1
О A eivai ёvag rsTQaywvixdi; л1уахад, dioTi то лХт|9од twv ayvwoToiv оврл1лте1
ре то лХг|0од tcdv e'^iaojoeoiv. TevixoTepa, eav то овотт^ра лер1ё%е1 п e^iotboeig
xai п ayvwoTovg, ёуовре ёvav тетрауалчхо лЬаха ouvTeXeoTo'iv, ra^etwg п.
Ахорт] yevixoTepa, рлоре1 va ё/оире овоттра тп e^iocboewv ре п ayvwoTOBg. S’
obtt|v tt]v лер1лта>от] о л^ахад eivai лара22?;2оура/<иод ре m ураррёд xai п
отт)Хед. Me aXXa Xdyia, ёуад “nivaxag m ел1 n”.
Oi nivaxeg лpooтi9evтal рета^в товд r| лоХХалХао1а'С^та1 ре отаберёд,
олоэд axpi6cbg та diavuopaTa —хабе aвvтeтaypёvr] ^е/озрюта. Прауратц рло-
ровре va бесоровре та SiaviiopaTa oav е1&1хёд лер1лто')ое1д nivaxwv: Eivai

Fzl
[s]= [Z • I + I • I + I • Z] = I [l I z]
Ш
:(aoi орХтою oziqmori oi зт1 STiao^iiani лох aoir :'Н'1'з)
X lies у 5пхплч1г 5плз толчз 5UyUio-5oi0i1o<iaviq U х ]кз и юхплш 5олз тох
Ur/r/ndA-nrioaiiniQ плз толр аок ‘и 11гз х пхплш 5олз олзт1ол1Л 01 ‘пт Лег/ п'/ур
здо 'лсогргк/ллтр оар лап. олз^рлчЛ охчдзютоз тохзЛзу Sorigidn 5олзтй0хзхЛао
о Soiay -origidn охчрплот! тох лплз чзЛрдпк тох ‘лао^рчбто! lixlrri ш леттоют
лгох ‘1г/111о-пгк>алп'19 плз чх ЦтМпдЛ-пч1оалп19 плз .ri рлчхз^; •лгохрлчк Sporlo
-пчопуютууом 5aoi Saovo пчЛ Slipcor/ariag толр (z) Цоеточ^з л1ио li^ndir н
3rlnolwx3^ спсшо 01 з/i лтзогооч^з лапдх лап niiliioao 01
зг! 5трчдхп рч^пларооч q = ху лтхрлчк кооточ^з U 1013, ’UrlTinSA Uiidi л1и oirn
чзигаходк потючлао 1ичдх U тох -ад - пр толр- у aoi LrirlndA кдзхазр Ui омп
чтз^чдочроодк ху аолзч!олчЛ aoi поотючлао кдзхазр jj 'SomiiUioao aoi liomo
-ч^з liicodic It чплр ‘5 = m, + a + .q aoi посоюзлао 1иотд1£ л1и зт1 оот толр oiay
(Z)
Гаг!
•[аг + а + пг]= a [x X Z]
:x 1гу1ио-т1оалп1§ oi зт1
у aoi UririndA Uirodir л1и ^тло^птопукпу'/ок,, iswaxodir пл 1зкзбк ху аол
-з^олпЛ aoi 11лзт1Лп131лао LiimSir U ‘5ашзла£ -vrlUioao qmXdn 01 /з^/пдпмэлп
пл зют Ю13 рдтдо ng 5oian Зо^отопукпууои q -у пхплш лох зт< олзт1ото
-пукпууох: х пг1оалр1р 01 pirn торзузюкп пдазук (здзютдп хх	л(,0Л3^
-orio liri„ лап иу111о-т1оалп1§ oi толр .5lidbno пхзхдп толр q пдазук пч^зр ц
Гб I Г^1 Fz l z-1
тж? rd
толр и^аигплп USUyir зо Spian 5oirai о q= XV ^зхплш зг! UdbdoTi
илзтИпоко’укп лкю баоюсплЛп 5чзд1 зг! лтзоточ^з лапд1 лгох (х) nriliioao 01
зг1ао<НрдЛ 5у •oi'iDTyogTiao лох лохап sriaoioKoriiolidX пл лозук sriao^iXdy
юНоалрчд 3ii »хпл11£ ЗоНотою^мп'п0!!
Г8 о! |> о! [9 т! Fz I 1 Ffr 01
'hH?r drhrH
TOTiliXo oipi 01 лаоХз лто лолог! ‘лаодзюоди пл лртлар
толр 5зхпл11г оар ‘П1пг1оалтр т тох Sotoq, Ir/liio aoaqri viri 3ii 5зхпл11£
ssnvo H'MOVVUV IVM Z3NVNIU

' од ("О = ix тох S = Zx ‘Z = l;c ‘зт1юХр 5<OA3YiaoAliodic о^оюююукюууохс лох^)
'  3ii iraxs^pogriao вотхтлло- С ц ’5111X139 5юлз рхдю х ют1оалю1д oi mj
•юротЛ отхюх Ю1^зд Uxo толр ишх> oi тох U^xpig ЫИюдЛоукууюдюхс
mri лао^пютИхХо aoir 5зоотхо1лао иш лаоХдхша рхпуола^ -и 5отз х giro f ° тох
5зг1г1»дЛ ш лаоХдюка— ш 5отз х 9КЮ тоз-зууидшзт! г Sliixpg о 3191 ‘и тоз ш
5юхюл1К толр у о лу -(9 люхк ti'o 01 тох £ люхк |го oi койхою клз^аоЛкодк
aIiio) 5к7кхо grigidn лох 5одзхдзд о тох SLiririioQA grigidn лох 1злотдзлю± Skxxpq
SoKpSxr о •<?» 3ii тохз^г/одтко С кукхо I110 тох г 1лт1т1хэОЛ lixo юоотхоиао ц
•070x9.3 толр дхау -у аох юоотхоиао ютИздюх Ю1Л gTioi^ogriao sxooTig^oisdX
‘51зоюхою1§ и 5ио юлдлюх дх1лзЛ лох STiaooroiraxioig юл sriaookgoiroodir люд
х аох
5злзт1Лю131лао то толзз 537I110 511 лао^юююумюууок аохг 5зхозузхлао iq у
aoi Amyhio SorionaqAao 5»лз тол13 ху ох дхаю jg (g) лкхо 5откд ‘5зу1лхо
5зд11ух9уо 5oiAmioi£oriiolidX isgoiAoyoira юл pdoirri ху олзг1дл1Л og yj
:1сою(Ьг1з зг1аооотд юл Ю1Л зг1аолюд11юуюлю1гз лох тох
017919 охо кгКк^юлюнгз рюх TOipioiroriiokSX юд Ssvlixo 5u Ю1Л 5юл9люх о
•(5аот1ою1ОЮ71гю77О1£ Saoigi 5аох зт1аолюх
юл тзкздк ‘ютоао лкхо тох) дхаю tri рлот1п1ао лсотНюдЛ лотх юлдхтз U юхюаф
’О ‘S ‘Z 5зо(1)хо1лао 5и 1зХз х 1хоау U 3191 ‘д ‘9 ‘£ 5зосрхо1лао 5и 13X3 q юдазук
юфзд li люд -q = ху 5охют1111оао аохп1г1юдЛ 5длз (1л(ру1ио лотх ЮЛ9Х13,, л1ио
1зХ1о1О11лю дхау 7 lr/liio li 5з9о<Ь g лао х Uyluo li 5здосЬ £ тол1з койхлюию ц
(£)
Z= XV
5зу1ио 3ii
:у aoi
AwyliMt Avndi Ami iqriooaqAOO тол13 тох 5xmi pig тохзхо1даз олз11дл1Л од -Ir/hio
Sodir Lr(liio griooiooyifoyyoir лох 1зузххз тох ‘лотдз<Ью1длз опт тох oxoiypii 5otdi
‘лотдз(Ью1§лз aooi §;з толр 5oirgdx 5одзхазд о 9770 ‘5от01ллао лаоЛк^з ох юхд,
Ш	Го-fr + s-т + z-т!	Го!	|>	i	т!
9 =	0 ’ £ + S ’ 0 + г ’ £ =	S	£	О	£\=xv
LzJ	Lo • 9 + s  I + г 	IJ	LzJ	1.9	I	IJ
5згМюдЛ зт1
юг1Л1здюдю1г Ю1Л :5зтй1юдЛ SisSx
лаоХдюма люхд юлзт1дл1Л юх1бзхотоз хидх лаоХдюхгд ’аолзт1ол1Л аох Ь.лзг1Аю131лао
юп11ЗЛ19 тох ют1оалю1р ох зг1 тохз^юадлао юхюлто аох lirlriodA здюд •liririodA 5odir
liriiiodA. толр 5юлз о ’зг1аолюх ох юл юкддх oaq лаоХдюка 119 siiaog юд ‘ют1о
-алхид зт1 юхюлш аог1ою1ою71£Ю77О1£ ‘grioiAo7oim, 079 лох зг1аооюхз^з люд
’llDOTOl^S
lixrodit л111 рюхсолюх! (z‘x‘x) = х ^О9-Х tiAsiigAisiodir li ид ^лоттодздшз дхау
№NVNIU ZOWZVIZVVLIVVVOLI IVM ZOWZIVOllWAS fl

oi 5idmX f'xlv Itrlozn li ‘fx—V 3'JmdAa lioagoodir i»x Scoinrioian i3Ai»rilio SUixiaq
5олзг1ол»9г1пуплп1гз 5плз око лоз ni»x ^orior/ooritw oxiuxum,, лох зЛпЛкокз upisuig q *
[гНП [J j rb
:пг1оалп1§ 11гз
пхплш aoriomonyirnyvoir плрлох aoi SniAqnoiroriiolidX srlaoAgnonrmQ oi giay
° ° 1
• 0 I z- = 3
Lo 0 I J
:вхюлш l^mhoiD
олзг/оиз aoi зг! q oi 3riaoomor>vimvvou лто з^аолтХазззг T)rio3'/3ioim oiqi
oi no sionrig^idaXoi tox кдзгазд lii oxen q aoi пооптлао Incodir л1н 5здосЬ 3
зг1аооздто<Ьп ,л шгздк но плтотИю 91а» ‘пдазум пх^зд л1н nxj -LiSsiasg 1н tirn
коахох^з Ingxdir л1н 5здо<Ь 3 зг!аооздхп<Ьп tA лпхк nrilig oirodir 01 ‘Sori nriAxsgndmr
oij ИлсЬхоушгп л1н pinx хтлаоузххз aoir 5x3^ndir 5xi зт! хшзлхЛ xa -q = xy lirbndA
UrioiAao In летзосрох^з nrlliioao gxxXSn 01 mA. srinoliioiroriiolidX nSgn хсУХзр\[
пхплхк 3ii Slobioynirn 5oi»riltg 5олз копбЛхд
*-л(охплх1г Sgrioxyogriao о
ooo gyirn oooi хплп лзд Smrlg gian r>[ Acniprioiodgn nyogiiao зг! зг1аоазуаод пл
обзюаоумп тол13 ‘пхнауплп niAnir ni зт!аосЬпдЛ пл плу (nrioaAnig oinionig
-ш плз 1зЛпбп1г тох) пг1оалп1§ omionig-n плз пз^ппопуютууок 5пхпл11г и шз
ш 5плд, 'х aoi 5oxliri 01 зт! is^niSmi пл 131гзд1г у aoi (лоту1но лон Sogliyir
01) AimirlndA лап 5oxLni 01 119 rynir зт!ао1гз”уд -ихиН> + • • • + Zx&v + ^х толхз
nrioioQgn 01- ninriosysioirn ni 5п1ло1здоод1г тох и 5стз у oirn 5зт1п 5и 5зуо
С Lnxng лою 5niAogig ‘х 01 зт! aoi аолзг1ол1Л aoxidsimos aoi oiionnriUZo
010 ‘у aoi SlnirindA 51но-г Slii 5oxliri nmx тз/liqo 5nrl nrioiodgn 01 giay
xy aoi поапочлао-г U. толхз fxf?n
:umLVio,,
Sliosgogdir oyogriao 01 sriaoioiroriiolidX xy олзт!ол1Л 01 srlaoifindAidsir пл mj
пплд^до TOisdbndA плхдтоодк aoir Uyliio-nriDaAnig плз Smgxdxn
толпа ’£ Т 5пхпл11г 5плз толп лзд gian 119 ою Uoncbrls лаолпд ninririgx
т тох 51зоз0лздтг iq ’(O‘S‘S) - х °1 Sonrg ‘UrlrindA mri зо птзлдпга! Smrlg
ЗздосЬ 5зх1дзг1 — и iirs х 5пхпл11г 5плз— Ir/Luo-nrioaAniq лпо Заздклао inisdrodA.
SSOV9 НФЮУУПУ IVN ЗЗМУЫШ
к

1.4 SYMBOAI2MO2 KAI ПОЛЛАПЛА21А2МО2 niNAKQN
H лрсотт] xai xpixT] owioxcboa, 5 xai 9, HapEpsivav oi idisg (Adyco тт)д eidixrjg
pioQcprjg TT)g лрсотт]д xai трьтт]д ypappg tod E). H vsa дввтЕрт] OBvioxcbaa e/ei
XT) ошотг| Tip] -12 xai sppavioxT]XE цеха то лрсото бфа xr|g алаАо1фТ|д.
Eivai евхоАо va лЕрсурсктровцЕ ntvaxeg лов exteAobv pp,ovcopva бгщата
алаАо1фТ|д, олшд о Е. StpEicbvoup вл1от]д xov “тавтотсхо irivaxa” лов dsv
xavsi алоАвтсод tLjxote.
IB О nivaxag лов a<pf|vsi xa0s diavuop.a avaAAoicoxo Eivai о tavtouxog
xivaxag I, p 1 ott] Siaycovio xai 0 navxou аААов. О nivaxag лов aipaipsi
sva лоААалАаою A тт]д ypapipg j ало тт] ураррт] i Eivai о отощеиобцд
nivaxag EZJ це. 1 отт] diaycovio xai xov apiOpio -А отт] ураррт] i xai oxx]
OXT]At] j.
[1 0 01	Г 1 0 01
ПАРААЕ1ГМА I = 0	1	0	xai E3} =	0	1	0	.
[o	0	1J	[-A	0	1J
Eav лоААалАаосаоЕТЕ олою5г]лоте 5iavBop,a b |ie xov xaBToxixd л^аха,
ла1£^ЕТЕ лаХ.1 то 6iavBop.a b. Автод о л1уахад sivai то avaAoyo хов 1 tcov
apiOpicbv: lb - b. Eav dpog лоААалАаосаоЕТЕ |xs xov E33 naipvsxs ЕцЬ =
(b3,b2, b3 - Abi). Abtt] sivai pa твл1хт] лра^т] oxx] Se^kx лАввра xwv e^iocdoecdv
xai to orpavxixo sivai xi aB|i6aivsi оттр арютврт] лАввра.
Па va б1атт]рг]оов|ХЕ ттр юоттра, лрЕлвс va ЕфарцбоовцЕ xr]v i6ta лра^т]
xai oxig бво лАвврёд xr|g Ax = b. Ms aAXa Adyta, лдвлЕ! va лоААалАасяаоовцЕ
то 6iavBO|ia Ax p xov nivaxa E. Kai лаА1 etoi atpaipsixai 2 cpopsg т] лрютт]
OBViaxaioa ало тт] 6ebteqt] xi atprjvovTai r| лрштт] xai xpixi] OBViaxiboa avaA-
AoicoTsg. Metci ал’ авто то бтцха, то vso xai алАовотвро овоттцла (ioodijvap.o pis
то лаАю) sivai axpi6d)g Е(Ах) = Eb. Авто sivai алАовотвро Абую хов pjdEvi-
хов хата» ал’ xov лрсото обгууо, юоботацо 6s, Sioxi цлоровр va ЕлаувАОовр
ото apxixd овотг]р,а (лрооОЁтоутад avxioxpoqia 2 срорвд ттр лрсвтт] s^iowor] отт]
бввтЕрт]). 'Exoi xai та бво оватфата ё/obv ттр iSia axpi6d»g Авот] х.
ПоААалАаоюоцбд лшахагу
ЕрхбцаатЕ та>ра отгр лю svdiaipEpoBoa Ера»тт]от]: Па>д ^o/J.anAaoia'QovuE
dvo nivaxeg; Mia ev&el^t] ёховце ал’ ттр алаАокрг] Gauss. Fvwpi^oBp xov
apxixd rcivaxa A, yva»pi^oBp,s xi naOaivst ц£та то лрсото бтцха алаАо1фТ|д xai
p,6Atg yvcnpiaap xov лЬаха E лов sxTsAsi авто то бфа. 'Etoi еАл^овце oxi
Г	1	0	01	Г 2	1	11	Г 2	1	11
Е = -2 1 0 ел! А= 4 -6 0 bivEt ЕА =	0 -8 -2 .
L	0	0	1J	[-2	7	2J	[—2	7	г]

FUN AKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
H лрбтг] xai tqiti] ypappr) tov A dev tpaiveTai v’ aXXa^ovv otov EA, evcb
био форёд г] лрсотт] ypappr] афа1рё0г]хе ало тт] бебтерг]. Кат’ avTov tov троло
о лоХХалХаоюорбд лиуаха^ <paiv£Tai va ovp-tpaivei ре Tig лра^еьд алаХо1фГ|д
pera^v to)v ypappwv tov А. Млоробре va yparpovpe то алотёХеора eire oav
Е(Ах) = ЕЬ, ефаррб^оутад tov Е опд био лкеирёд тг]д e^ioojorjg, eire oav
(ЕА)х = ЕЬ. О veog л^ахад ЕА хатаохеиа^етас ётос боте oi био аитёд
e^iOMoetg va ovjiqxovow. Me aXXa X6yta, oi napevQeoeig eivai лер1ттёд xai
рлоробре va ypdipovpe алХбд, EAx = Eb*
Улархе! pia ахбрг] ала1тт|ог] yia tov лоХХалХаошорб лиуахо^: Fvatpi-
igovpe лсод va 6pioxovpe to yivopevo Ax, evdg nlvaxa ел1 6iavvopa, xai о veog
рад орюрбд 0a ёлреле va eivai ovp6i6aoTog p’ avrov tov лоХХалХаоюорб.
Otav о л^ахад В лер1е/е1 pia xai povo отг]Хт] x, тбте 0a лрёле1 то yivopevo
xivaxoiv AB va Tavri^erai ре to yivopevo л^аха ел1 diavvopa Ax. Axopr]
хаХитера 0a eivai va loyvet yevixoTepa: 'Otov о В лер1ёхе1 diacpopeg orqXeg,
X-X- X], X2, x3, еХл^оире oi отг]Хед tov AB va eivai axpt66g oi Axi, Ax2, Ax3.
Тоте о лоХХалХаоюорбд Л1уаха^ 0а eivai алХоиататод. &а охефтбраоте tov
В алотеХоиреуо ало отг|Хед, тт) pia бюХа ovqv аХХт], xai 0а лоХХалХаокт^оире
xa0e pia ^ехюрюта. О xavovag аотбд ефаррб£ета1 orovg nivaxeg лои лоХХа-
лХаокхоаре лрог|уоирёус)д. Н лро'зтт] отг|Хг| tov ЕА loovrai ре Е форёд ttjv
лрбтт] отт]Хт] тои А,
HiillJHi
xai то i6io toxuei xai yia Tig аХХед отт]Хед.
Sr]peid)OTe oti t] лрбтт] рад ала1тт]от] eixe va xavei ре лра^е1д рета^и tcov
ypappcbv even т] беитерг] ре отг)Хед. Mia TpiTT] лрооёууюг], xai еХл^оире r|
хаХитерт), eivai va лер1урафоире xa0e OTOtxeio тои AB. Прауратц илархе!
ёvag xai povov xavovag лои dev yvcnpiiyi) лоюд tov avexaXvipe, лаутсод xavei
та лаута va dovXevovv xaXd. Аотдд &ev ел1трёле1 tov лоХХалХаоюоро
олоюобг|лоте ^evyovg л^ахол'. Eav eivai тетрауатхоц блюд ото ларабеиура
рад, тбте лрёле1 va eivai tov iSiov реуё0оуд. Eav eivai лараХХт]Хбурарро1,
тбте Sev лрёле1 va ёxovv то iSio рёуе0од, аХХа то лЛ1}0од tow otj/Awv tov А
Л()ЕЛЕ1 va laovtai fiE то л/л/Оо^ toiv ygafi/iaw tov В. Тбте povov рлоре1 va
лоХХалХаоюо0е1 о A pe xa0e отг|Хт] tov B. Me aXXa Xoyta, otov о A eivai p
ел1 m xai о В eivai m eni n, тбте о лоХХалХаоюорбд eivai SvvaTog xai to
yivo/ievo AB Oa Eivai p eni n.
neptypwpovpe тсора tov троло evpeorjg tov OTOixeiov tov AB лov 6pioxeTai
ott] ураррт) i xai отт] отг)Хг] j tov AB.
* Авто eivai xai to voi]|ia tod “nQooeTaiQioTixoD voumi” oav tov 2  (3  4) = (2 • 3) • 4, noD
цокнут Togo noo<pavr|c. шоте SroxoXa ipavTatopiairre oti pinooei va eivai Xd0og. 'Olkd; to i&io Sa
р1лороиоар1е va лоёце yia tov “iiiTaOeTixo vopio” 2  3 = 3  2, iron yia nivaxeg eivai ovxiog Xa0og.

охюлш aoi лаугМодЛ кЛюууолз плз^одк »дзю1Й» Зохюлто о
. Ге Z1 = Г8 Z.1 Го 11
[8 AJ [£ zj |Д OJ
z viviuvvdvn
gy лохо тох isaXoi oi§i 01 оЛоу лох
охаю дЛ тох о толп g aoi liykio lixidx jj ’liyliio кдзхаз^ тох liririndA luniasq
lii оют (j—)(o) + (z)(V) тал]3 8 °± ’liyluo Inrodit лкх зт1 SliririndA 51uot01£ 5lix
олзтЪлпЛ 9x16311003 ox ’yli9 ‘($)(e) + (l)(z) ™л]з /д onXioxo ox ‘miAngodnir oij
.Го	8	fr 1 = Го	i-	s] Го	Я
[o	I	£lj [o	Z	IJ [e	ZJ
I VlVirdVVdVII
•летхолш 9Tiomoioyiooyyoir лох mA
плрлпх «эхплзЛ 0191 лох sriao'ioirorholiciX liomuridsir здюх з^  ggg тох Urloxio lx
У7 I1 Vd 13л!^ n0 «ОзхоЛду Зюхюл'ш ^SliQcmsXioxo,, 5»лз g aoira ‘yg лпхк
олзт1ол1Л ox ‘5»ri птШздпдпк олзткоЛкодк ох^ 'ssrreg кЛюуюют лкх зт) козХо
ююхгюх Зотхкхтодтг» лаоХз лз§ 5зх»лш ю lgy sriaodroSA. лохо, -ho(oi3riU^
(0
nqKV + t£q££v + zzqt£v + ziqiEo = ^(gy)
‘91 ao1 OTiAisgndmr ox »ij g aox C liyliio lii 3ii у aoi
г Sliririn&A 5lix олзг1ол1Л 9Х1дзхтоз ох толп gy аох (Г ‘г) опзХюхо од эх
лгохвлиг aorio»io»yimyyoir вНЛп^пдвц '9Д *Хз
г )“3 £	г }“з t	р шз £
Ьпяплш	Ьпхплш	Ьохплш
NONVNIII ZOWZVIZVVUVVVOU IVM ZOINSIVOaJNAZ KI

28
niNAKEZ KAI АПАЛО1ФН GAUSS
ПАРААЕ1ГМА 3 О xavroTixog лЬахад aqprpvei xdOe Siavvopia avakkoiioTO
xai хабе itlvaxa eniorpg avakkoiioTo:
IA = A	xai BI = B.
ПАРААЕ1ГМА 4
Ш'
[ a
d\ |_2a + 3c
b 1
26 +3d] ’
Auro qjavepoivei ttjv iSioTtpra пои ekra^apie on lo/uet yia атг)кед. О В алотеке1-
xai ало <5ио отг|Х.ед, ттр pna 51лка OTtpv akkrp, xai о A локкалкасяа^е1 хабе |iia
xovg ^e/wgioTa. Etoi xaOe otijAi} tov AB eivai avvdvaafiog tiov otijImv tov
A. 'Orang axpiddig otov лоХкалкаоюорхд ravaxa era diavvopia, oi оттркед tov A
n;oXXan:Xaoidi;ovTai pie тоид api0piovg (ip ypapipiara) tov В. Н лрсоттр оттрктр tov
АВ eivai “а форёд” тр отг)Хг) 1 ovv “с срорёд” тр отгрктр 2.
Рютарте тира yia Tig ypa/ipueg tov АВ. О локк.алХао1аор1бд propel елшгрд
va yivei уоа/лцг] jtQog YQa^rj. Н беитергр ypapipir] tov yivopievov xgqoipio^oiei
тоид apiOpiovg 2 xai 3 ало ттр Sevreprp ypapipup tov A. Avroi oi apiOpioi
лоХЛалХаокх^оггу Tig ypapipieg tov В yia va Scboovv 2[a 6] + 3[c d]. Opioicog,
т| лрсоттр ypapipup tov yivopievov xprpaipionoiei xovg apiOpiovg 1 xai 6 yia va Sennet
ae pita oetpa l[a 6] + 6[c d]. 'Олшд axpi6cng OTrpv алаХокрг|, ал’ Trpv олоСа
^exivrpoav oka, хабе ypapipirj tov AB eivai avvdvaafiog tiov YQafi/iibv tov B.
Svvorpi^ovpie то5ра xovg rpeig 6ia<popeTixovg тpдлovg yia va 6А.ёле1 xaveig
tov лоХХалХаошоцд лгуахшу:
ID (i) Kd0e OTOixeio tov AB eivai to yivdpievo puag ypapipirpg xai
piiag отг|кг]д:
(AB)ij = ypapipir) i tov А ел1 отг|кг] j tov В
(ii) Кабе атт|кт| tov AB eivai to yivdpievo evdg лгуаха
xai рад оттрктрд:
отт|Хг] j tov AB = А ел1 отт|кт] j tov В
(iii) Кабе ypapipir] tov AB eivai to yivopievo puag ypapipir]g
xai evog nivaxa:
ypapipir) i tov AB = ypapipir) i tov А ел1 В.
H ларатг]рг|ат] avTr] eivai XQ^oipirp yia tt)v eлakr]0evor) piiag ало Tig orjpia-
vTixorepeg idtoTTjTeg tov локкалкасиаарюи nivdxwv. Улобёоте oti A, В xai C
eivai napa/Arpkoypapipioi nivaxeg xai oti to охЛР-а TOUS ел1трёле1 лоХХалка-
oiaopio pi’ avrri tt) didra^rp: то лкгрОод tojv OTrpkGJv tojv A xai В raipia^ei,

1.4 SYMBOAISMO2 KAI ПОЛЛАПЛА21А2МО2 niNAKQN
29
avriaroixa, це то ллг|0од tcdv ypapqicbv tojv В xai С. Тоте г] iSiorqTa eivai q
e£r|g:
IE О локХалЛао1ао|1дд nivaxcov eivai лроаета1рют1хбд: (AB)C = A(BC).
Eav о C eivai eva 6iavwp.a, dqkadq, о nivaxag exei pia povo OTqkq, auro
eivai icrodBvapo pe Tqv a^aiTqoq (EA)x = E(Ax) лов avaipepap-e лдогр/оир.е-
voig. Авто eivai то ОецёХю oXiov twv vopaiv тов локкалкаоюоцов xivaxwv.
Eav о C exei лерюобтеред OTqAeg, to p,6vo лов p.evet eivai va Tig охефтовре rq
pia Sinka OTqv akkq xai va ефаррбаовре tov vopo лерюобтеред форёд. 'Etoi
oe eva ytvopevo negioaoTeQaiv itivaxaiv 6ev xpeia^ovTai itagevOeoeig. Авто
SianioTibveTai eitiaqg, OByxpivovTag хабе OToixeio tcdv (AB)C xai A(BC), 9a
беке optog ларахатсо (Aox. 1.4.20) yiaTi лротрювре tov оврбоХюрб леуаха^.
©ёХовре va лрох<орт|оовре oTq oxeoq рета^в лоХкалкао1аоров nivaxaiv
xai алаХо1фГ|? Gauss, аШ л^^уовцёуоэс; лрёле1 va pvqpoveBOOBpe бво axopq
i&ioTqTeg -pia iSioTqTa лов о лоХХал^аоюорбд nivaxwv exei xai pia aXXq лов
6ev exei. H iSiOTqTa лов loxbci eivai q:
IF О лоХАалХаоюарбд л^ахауу eivai enipepiOTtxdg:
A(B + C) = AB + AC xai (B + C)D =BD + CD.
Фвсяха, та охФата avtwv tcdv л^ахсуу лрёле! va TaiQia^oBv -oi В xai
C exoBV to i6io ахЛНа, ара лроот!6еута1 xai oi A xai D exoBv to xaTaXkqko
цёуебо^ yia локкалХаашоцб ало цлроота xai ало лшш. Н алббе!^ автов
тов xavova це Xoyia eivai локв баретт).
Н idioTqTa лов &ev ioxbbi eivai халшд лю еу&юфёровоа:
1G О локХалкао1аацбд nivdxaiv 6ev eivai р.етабет1хбд: SuvqOwg FE / ЕЕ.
ПАРААЕ1ГМА 5 Улобёате oti Е eivai о л!уахад лов еюауауаце npoqyoB-
lievwg, тов оло!ов q dgaaq qTav va афа1ре! бво форёд Tqv лра^ e^iocooq ал’
Tqv devrepq —xai влобёоте oti о F eivai о л!уахад yia то enojievo 6qp.a, Tqg
npoaOeaqg Tqg ypap.|iqg 1 OTqv ypajijiq 3:
Г	1	0	01	Г1	0	01
E = -2 1 0 xai F = 0 1 0 .
[	0	0	1]	Li	o	Tj

•5пхпл11г SoxiAtoAidi
rawx iynir толр лгохплпг лгох1лтЛ1д1 minx oastIoaiA oi no siomisrilix
•odindAndnir 1слзг1о1гз л1по гзлтодт1ао 5lioiir3
aoir— Skdnoyoim лтпртШд лт ксЬодюило a/a n?X U^vimq Uiomo к тома 5тт1о
5mXaiag ’Ыпоутго л1п mA liyliyyninxD толр li^nimg It 5mZaioa\z -олзт1ол1А
ою лп130аз pnx лпхТигг! ioian .sxligXndnimg лзд q aoi j тох aoi j aoi
Amrigidn лап	11919 5o<bdorio our толр ЭЯ Я 5пхпл11г 5oyyn q
ocbnOAndnir liAsripirs л1по
silaogoAn^ 01 D0 gxiamXidi man лою у pxiXdo aoi isddad) aov Snxnaw
о чомз 5oiay ’Slubioynirn 5ln U^ninig ItxnmiAndir li толр олзт!ол1А ox
’ 0	I	Z-	ЭЯЯ ™	0	I	Z~	= ЯЯЭ
Lo	0	I J	LO	0	I J
:5mapdXoiaoi Skdnoyoim 5зкомм Siadi 5aoi
зт! iSAingriao n sriaog пл mA ‘nrilig Inioxn плз зтТаолпх пл	ЯЭ / ЭЯ
л1п mA 5оАоу 5плз тох	л1п mA SoApv 5плз зХдйкл 'пгИюл oioirnx
лаоХз 5зхпл11г 10 Smito годз -зшлздптзт) лзд 5зхпл11г тодзюотдзк 10- miAndir
mgi 01 ndaoAio лддзХо злХпздз ng nriAisgndmr oinXai плд,	ndy
ГI	I	0 I	Fl	I	z-1	[l	0	0 I	Гт	I	01
 0	T	z-	= ЭЯ учу™	о	T	z-	=	о	T	z-	p	T	0	= ЯЭ
Lo	0	T J	Lo	0	T J	Lo	о	T J	Lo	0	tJ
ЯЭ ao1 ^030 иХююрлп лкю i~ плз isXSnira тлз
aoi (x‘£) 1юз0 Ino oxiAsqliri плз згрд n© -SLnmdir Stu liondgiirs л1п ramioicba
лз§ Ltomoi^s Lnidi It 3101 aoi nisrl isgys о лпд -luiSi л1по пддпгз aoir
LiSsiasg U10 пддпгз liocooiip liimdir и 'lirhioynirn л1по зг1по111лплао 5т1ло aoir
li^ninig li толр liiay 'lnidi л1п aidir TOisyyngnisri liomoiip lidsiasg It aoi
лпготх тох aoi sriao^orldncbs aoirg ‘lioroiiridsir liimdir л1п^ oyod is^inir
U^nimg li ndrax •£ UrMvdX U10 UririodX lii laiagoodu- milig oiniasysi 01 mA
5пхпл11г о толр £> о nyyn 5oigi о толр о 119 зюз^ока 9 VT\UI3VVdVII
•nionrilio SidroX
толр Ii5nipi9 I* Unmiiridsir Uxigis л1п л1пап to 11919 ‘oag ni inx SaiApOXoiani
li ‘ndi3o sioirlignioiro 3ii- niniilig oag ni тох руз1хз олзг!ол1Л 01 oiao^
П ° t 1
'ЯЯ= 0 T z- = ЯЯ
Lo 0 T J
:ioiA3QU»i3ii 5зх»лиг oag 10 wiay
ssnvo H®IOVVUV IVN Z3NVNIU

С тох г здрх тк ‘^v— = тохплш aoxi6i3iiriaoiiAn (§
С < г здрх niA. ‘о = f?o тохплто aoxiAoiAidi гол» (Л
•[ тох г здрх mA ‘?ги = -v toxhaiit aoxidisriiiao (9
С г тк о = f?o toxdaw аоглгоЛтд (п
(0 = у ох отодзд 1X0) д W3 д ninriAisgnSmr зтогоу $-у£
•5о1»т1о1од0п лох oyogriao 01 SniAmioiiOTiiolidX ‘х ltyliTO-5oinrioaAnig
aoi тох [uft • • 	= ft Ыг1»дЛ-5о1пг1оалтд aoi олзт1олзЛ охздзютоз 01 3i4ipdj Д'п
7+?(T-)= СгЧ
тох С + г = f'o ‘пХтотоплп ‘о 13X1010 ari q тох у 5зхпл1к i тоз g Saoi sidindj g-yi
‘.5i3oay mri
0100 5здз1оотдз1с З11зд9 пл 311здокр\[ лсозогот^з Atnidi Ami тох рдазук nifpg liio
nxiA3gliri зт! тох у пхплто aoi Apian (iA ‘0 = xy 5oi»iiUioao aoi x Uoay mri siisdg
oastIoaiA 01 BioiAoyoirx ST’l
!g ПХПЛ1И d 1113 и аплз
i3^nionynnyyoi£ у о a»io isAingiiao ij, tiniAo^msdX ioiionionviroy’/ок 1олзт1отлог1з11
iooom ‘x nrioaAnig oinionig-u »лз тз5п1оп’/кпг/о1с у 5пх»лш и тоз ш 5»аз лпд
(олсоЛ»д131 010) SoinrioaAnig aoi 5oxlni 01 isaiq омодк од
’[I S £] Z- i»x S [Z. z- l] i»x z- [z, z- l]
:a<ox»aii£ oa3i1oaiA юлз тох пазг1оа1Л ПХ1О31ЮОЗ oag з1тзод g-yj
»A3rioAiX ni зтозЛоуока ‘liyliio Sodir liyliio Зшлоазуаоу Z'P'l
oririndAoylr/yndnic 01 5niAOA<;>Qliyi£rlao ninrioaAnip оад »i зтоз0оодц •£= ft ‘q = x
тох у = ft, ‘3 = x msrilio ni 5оди кузд ni тох асоло^п Acnisgnx 5оЛаз5 плз зютдзХj
[£ Ит ° °1 И Р 0 ч
тох 3-010 тох Ы о I 0
Ls J Lo о tJ Ш Li о td
плзт1дл1Л ш зтозЛоуоид ГК[

NOMVN11I SOWSVISVVnVVVOU IVM ZOWZIVO3WAZ fl

32
IIINAKE2 KAI АПАЛО1ФН GAUSS
1.4.9 Me лою aeipd лра^ешу локкалкаош^ооу oi елоцеуед povriveg tov A eni to x;
DO 10 I = 1,N	DO 10 J = 1,N
DO 10 J = 1,N	DO 10 I = 1,N
10 B(I) = B(I) + A(I,J) * X(J) 10 B(I) = B(I) + A(I,J) * X(J)
Алб ца0т]цат1Х1] ахолкх, та алотеАёоцата eivai ioo5wap.a, eip’ doov олоОёоооце
oti ao/ixci B(I)=0. Оцшд г] 8оцт| тт]д FORTRAN xaOiora tov беотеро xwSixa
халшд алотекеоцатсхотеро (Парарттща Г). Avro eivai локо алотекеоцатсхотеро
oe цса diavuopiaTixT] цт]хаут) блшд r, CRAY, 8loti о eoarrepixog xvxkog цлорес v’
akka^ei локка B(I) TavTO/povog, evw о лрштод xoldixag xavei nokkeg аккауёд о’
eva цецоушцёуо B(I) xai 8ev SiavuopaToitoiei.
1.4.10 Eav та OTOixeia tov A eivai аг} хрт)О1р.оло1Г|ате ооцбокюцб SeixTo'iv yia va уратрете
(1) tov лршто о8т)уб
(2)	tov лоААалАао1аатг| A, । тт]д ураццт)д 1 пои acpaipeiTai ало тт] уоаццг] г.
(3)	то veo otoixeio лоо avTixaOiaTd то цета tt]v acpaipeorj
(4)	tov беитеро обг|уб.
1.4.11 ААт]0ёд г] трео8ёд; Aware avTinapa&eiypia OTav eivai треубёд.
a)	Eav т] лрштг] xai тр1тг} ottjAt] tov В eivai iSieg, to i8io ovp.6aivei xai це ttjv
лрштг] xai tqitt) атт]Ат] tov AB.
6)	Eav г] лрштт] xai tqitt] ураццт] tov В eivai i8ieg, to ISio ovji6aivei xai це tt)V
лрштт] xai tqitt] ураццт) tov AB.
y) Eav г) лроттт] xai tqItt] ураццт] tov A eivai i8teg, to 18io ov]i6aivei xai це tt]v
лриотт] xai tqItt] ураццт] tov AB.
8)	(AB)2 = A2B2.
1.4.12 H лрштт] YQap.|ir| tov AB eivai уращпход ow8vaa|i6g dkwv tojv ypa]i]id>v tov B.
П0101 eivai 01 ovvrekeoTeg avrov tov avv8vaop.ov xai itoia т] лрсотт] урацр.т] tov
AB, av
1.4.13 To yivdpievo 6vo хатш Tpiyojvixo'jv nivaxcov eivai naXi хатсо TQiywvixog (oka та
oroixeia vnepavco Trjg Siaycoviov eivai p.r|8ev). Елакт]0еттоте то це eva лара8е1уца 3
ел1 3 xai е^г]уг]0те лак avro ёлета1 ало tov; vd]iovg лоААалкааюоцоё nivaxcov.
1.4.14 Вре1те лара8е1уцата nivdxojv 2 ел1 2, тётошуу шоте:
а)	А2 = —I, це А лоо ёх£1 цоуо лрауцат1ха OTOixeia.
6)	В2 = 0, evco В / 0.
у) CD = —DC, x<opis va ооцба1уе1 CD = 0.
8)	EF = 0, x(”QiA хауёуа otoixeio tov E xai F va eivai 0.
1.4.15 FlepiypaipTe Tig ураццёд tov EA xai Tig отт]Аед tov AE av E = [	.
1.4.16 ЕлаАт]0ет>ате tov лрооета1рют1хо уоцо (EF)G = E(FG) yia Tovg nivaxeg ото
хе!цеуо.

L l]=fl’V=O [J °] = ff 1DX f]=y
5зхпл11г 5aoi dij £Z'P'l
(0~)V 1K3 (ff)V олзт1ол1Л oi тал.1э отоц (9
•(Z0 + l$)uis inx
(?$ + l0)so° oi mk Ssilnoiani 5n mm (Zq + i$)y = (г#)у( l#)y л1п sioasgliynirg (°
0SOO
0UIS-
Q ins 1	, .
Q soo J - (6)V
1ПЛ13 ft ‘x OQ31f11£3 01 иЛаО(Ьзб1О„ (IO1£ 53ХПЛ11Г IQ ZZ'P'l
(av)
013X1010 01 mk 1	^1X Цюото lii 13919 пдазуи ni§3Q It nniA sioUXli^g (9
aoTionionyirnyyoir плолпх aoi aoian j 1кз 3 nriAisgndnir плз 3io<j>v (»
UJUO +    + ZjZj + Ijly = g-y
inx Зпхплш 5плз ШЛ13 ij to 3101 ‘uл ‘	‘ ij 5зг1г1вдЛ.-в1вг1оалв19
di ШЛ13 g aoi 5зг1т1пдЛ ю тох иэ ‘	‘ b шл13 у aoi 5зу1по 10 лпд -ЗзтЫпдЛ 1кз
5зу1по лво ‘лгохплш oiionionyKnyyoir ло1 зг!ао§ пл Soirodi 5oiSni3i 5плз 1зХдпм\ 1ГК1
Y = 7fo здпх inx и 1кз и толр □ о лшо 5з9азук оа§ 5u sioiXoyoirx
(	< \ Ч /	Ч \ <
г/?°2К= /<э () ZK
:то1зсЬпдЛ
(□ff)y = Э(вУ') 5от1ол 5oxnoidini3oodit о ‘prioiyogiiao 0191 ло1 зу^
01 311369 Ч 1ПЛ13 5aoi nisXioio ni nyo inx и ii£3 и Ззхплш 1пл13 д ‘у то лпд
ч
f4q4fv^=
1ПЛ13 ду aoi 013X1010-С 'г 01 ‘лаппткмоддп orioiyogriao 33 OZT'T
za+va+av+гк ‘(к+a){a+к) ‘(ff+v)a+(e+v) v ‘ za+avz+zv1 г(к+a)
;z(ff + У) 3ri 1O°') ndooAio ШЛ13 5зхпл11£ 5аолзг1окз 5aoi xrn ютоц бТТ'Т
•g aoi Lr/liio liimdir л1и шэ у толр пл ду aoi liyliio liimdir л1и 1з5пхЛплп (хд)у
= х(ду) ‘уохомух. о по З1§1зу "О ‘' ‘О ‘Т 5зоот1О1лао зт! liylno-nrloaAniq 01 х <0103, gyyi
aoxnoiani aoi boionyirnyyoir
ШЛ13 у о 3101 ‘д пхплш здпх шЛ уд = ду лу q = э = q inx р = v 110 31§1зу
[т 2] = 1ПХ [о l] = 5ЛО1 31^ 1п13011п131^ [д р] = У
о nxiQis inx (уд = ду) пхплш 3 шз 2 здпх зт1 imsgimisii у о по зюздоих LT'P'l
NfSNVNIU SOJVXVISVVUVVVOU IV>I SOWZIVOSWAZ fl

niNAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
брелте Tig 6vvay.eig A2, A3 (jtov eivai A2 eni A), ... xai В2, B3, ... xai С2, C3, ...
1.4.24 П10 yevixog ало tov локкаякатаоцо це атг)кед eivai о локкалкасяаоцбд це аллох.
Eav 01 xivaxeg xojqioOovv ое цлкох (vnonivaxeg) xai та о/гщата Tovg елетоелову
tov ло/./.ал/.а<:яао|16 це цлХох, тоте елгсрёлетак
а)	А"УТ1хатаотг|оте avra та х це apifipovg xai елебебакботе oti о лоХлалХаоеаорбд
хата рллох eivai осоатбд.
6)	Дебите 6vo ахоцт] naQaSeiynaTa (це х) це A va eivai 3 emi 4 xai В va eivai
4 eni 2. Oi xaQeToi ^la/ojoiopioi tov А лоёле.1 va TaiQia^ovv це тоне ooigovTiovg
diaxwQiop.ovg tov B.

1.5 TPIfQNIKOl flAPArONTES KAI ENAAAATES TPAMMQN
1.5  TPirQNIKOl IIAPAI ONTEL KAI ENAAAATEL TPAMMQN
©a eTtave^erdao'up.e tt]v anakoicpr) yia va dodpis rang yivETat гр nsQiyQaqjr]
ттрд це nivaxsg. To orppisio sxxivrporpg r|rav то avorqpia Ax = b:
Ar=[ 4 4 JI [“] =[4] =0.
2	7 2_| |_wj |_ 9j
(1)
Tpia rpTav та бтщата anakoicpipg:
1)	AcpaiQEOE 2 cpoQsg Tiqv лро'зтг] E^iocDorp ало ттр Setiteqt].
2)	AcpaiQEOE -1 (рода Tipv пдсоттр s^lacoor] and Tip tqItt].
3)	AcpaiQEOE —1 cpoQa ттр Setiteqi] e^Iocoot] ano tt]v tqItt].
To anoTsksopia r]Tav eva veo xai ankoooTEQO adoTippia pis veo nivaza ouvteXe-
OTcbv лоо ощбок^оирсв pis 17:
Ux =
[2	1	11 Гн! Г 5 I
0 -8 -2 v = -12 =c.
°	° 1J |_w] |_ 2 J
(2)
Аотбд о nivaxag U sivai avto TQiyiavixog -ока та OTOi/sia хатсо an’ Tipv ziiQia
dtaycbvio sivai prqdsv.
H ds^ia nksuQa now Eivai eva veo diavwpia c, nQOEXinps and to aQ/ixd
diavuopia b це та idia бтщата пои odrpyrpoav tov A otov U. Aqcc гр апакокртр
ovvocpi^ETai ота:
SsxivrpoE pie та A xai b.
EcpaQpioos та 1), 2) xai 3) pi’ avrrp vrpv osiQa.
TeXeIcooe piE tov U xai to c.
To TEksoTaio отабю sivai г] киот] too Ux = c piE avadQopir] avTixaTaoTaorp nQog
OTiypirjv dev aoxokoT>pi£0a pis auro. EoTia^ovpis rr]v nQooo/r] piag отгр о/еог] tcdv
A xai U.
О nivaxag E yia to 6rjpia 1), о F yia to 6r|pia 2) xai о G yia то бфа 3),
OQio0r]xav Y|6r] ottjv nQorpyodpiEVTp naQciyQacpo. AotoI ovopia^ovTai oroixeimdeig
mvaxeg, xai sivai svxoko va doupis rang douksiiouv. Tia va acpaiQEOEi xavsig
Eva nokkankaoio Л Trjg E^ioaiorjg j and tt]v E^iocoor] i, 0etei tov aQi0pio -A orqv
0EOT] (г, j). Tia та undkoina xQaTast tov tciutotixo nivaxa, pis 1 ott] diaycbvio
xai 0 navTod akkod. Тоте о nokkankaoiaopidg mvaxcov EXTsksi to 6r|pia.
To anoTsksapia tcdv tqicdv 6r]pidTcov sivai GFEA = U. SripiEtcboTE oti о
A nokkankaoia^ETai пдсЬта pie tov E, pisTa pis tov F xai piETa piE tov G.
0a pinooodoapie va nokkankaoiaooopiE тоид GEE pia^i xai va 6Qoupis evav

lioioiindiir liSsioaoyir»
л1хх «>уз згкюу юл ox»x толр лзу i»i3Ai»d> aori nyyn ‘o<b»dX»d»ir 1хлзгкшз лкхо DxixnriUxoaD on
клоЬодишлп Siioi зто5пюаодп[у [пуохаз ооох тохлосЬздхоплй лзу Ззхплш юдзхоогпбзк io *
О nrin^livmnz лом 22 aoi тох srinoluixs^ лом у aoi 9^01311 5ог1оз§лао о тох
5(П0»х ‘SlicbioynMn 5lu пдпзрс oi толп 91а» тох	0 гал/!3 пл пмздм
5oiay у лою otoim д ло1 плдзсЬ аом пхплш ло1 зт1ао51доолЛплп пд(О£
•mnrilig nxiXdn ni лаодтолп юсЬодюилп ю 5оом 31139 пл
шЛ ‘/2 ло1 Uo30 liio уядэ ло1 5по lufnxo Uio З1зо11ютпхплп пл зпздомэд
(s)	-у= Пг-э^-я
'i-Я 1ЮЛ.13 О1тазуз1 01 тох толп nrilig оЛодюилп 0631939
oi пдп ‘11§П1П19 1113011лп зг! miAO^Mndbris юЛодюплу 1и>лл0аз1»х (издохл»
лЬю 13<Ьюдюилю П0 пои Soiwdit о юлр юл 1зизди ‘q ‘aoi S»x»aim о ‘д лою
у лог окю liongmsri hi ю1юн ормлзуз! 01 лю1Ь (£ юНк§ 01 аосЬю 119 siownrili^
у лою OTD1M у] ло1 плдзсЬ 5пхпл1м 5оюм 31I909 пл тох 5mr1 919 0100x19019
1лу9 л1и зтТаооздтолп пл толп птИг^дм 9x11(31 ох ток Х-Я тах \-Я 5aoi
SniAOTiOMoriiolidX 51кЬюупмп 5lu nrilig З0пх зт1ао<Нздюилп 4л зт1аодомдо
‘(•fz) 11о(по1§з li
ШЛ13 Uiay ’5ПХПЛ1М 59x1101am о толп 1мз 1013, зт1 inis^iyogilaD
59100 5пхпл1м о *‘Li030 П191 лкю у+ ло1 пХз 5о<Ьодю11лп о 3191 ‘(f ‘г) 1юз0
л1хю у- 9rl0idn ло1 пХз 5пхпл]м 51190013X1010 о лпд -ao’f/n aoi 5о(Ьодюилю
о толп 5пхпл1м 5плз о ‘лотхплш тЛо’уодо 33 ‘11ууп л1и пдтолп	Н
Fl	О	о]	Fl	О	О	"I Fl	0	01
(0	-010=013- О IZ
Lo	О	lj	Lo	О	Т	J Lo	о	tJ
:пхпл]м 9x1101am лою oooiM 3iiaooi6aA пл толп 1103009дм л1и тох
1юздто(Ьп л1и тох зг!аолпх пл aoi пткпузюмп oj, (jliioodM лкю ЦтМпдЛ 1сдз1аз9
л!11 5здо(Ь 099 iXq,) 11031939 liio ЦтМпдЛ (потдм л1и 5здоЛ 099 зт!ао130оодм
зт!аооздто(Ьп 4л илу ’0^0x93 топздтолп (j nriliQ 01 ’Х’у ‘nrilig 9x19^01! плд,
issnBf) $к(Ьиу(юз£ю 5hi oiotihg oi
З11аоозд1юлю юл 3tiaodoi£ti 5юц ‘у лою cdoim /у ло1 9МП зт!пм пл з^одомг! 5отц
:1мЬод1О11лп U Soogidxn толп 1ю1иоодз поаодз<Ьт9лз 01м li nyyn 9'/пх толп 9iay
<£> [’ нФ г1 df1:1[1:
:51л^з 5от ТО13Л1А. 9ian ‘пх1лз91гг1 т 5тломпупдпц
•(э ою q 01 тох 511О1МЗ 5оо0пх) /у лою у ло1 плдзсЬ аом пхплш олзгЬдхзхЛао
ssnvo нфюууну IV» гяяукш
9£

TPIfQNIKOI FIAPAfONTES KAI HNAAAAFEX TPAMMQN
jtlvaxag аитбд oupSoXi^ETat це L dioxi eivai хаты TQiyarvixog aXXa exei xai pa
eidtxr] i6ioTT]Ta non «paiverai jiovov цеха rqv ехтёХеог] tiov лоХХалХаоюоцат
Вёбаю о L eivai хатю xpiycovixog, це 1 arr]v xvpia diaydmo xai 0 ало
navco. To a^iooTip-eiioTO eivai oti та oroi/eia xarw ал’ r»/ diaywvto eivai
axQi6ibg oi лоМмлкатаатед A =2,-1 xai -1. 'Oxav лоХХалХаош£оута1
Ttivaxeg, xavovixa лерцхёуог)це oti dev иларуеь троло? va бойце ал’ euOeiag
то алотёХеоца. E6d) oi льуахед eppavi^ovTat axpi6d>g це тт] owott] oeipa,
ёто1 (опте то yivopevo тоод va propel va yparpei ацёосод. Eav о г)лоХоуютг|д
ano|ivr]|ioveijei хабе лоХХалХаошотт] X{j -tov аргбцб лог) лоХХалХаога^ег tt]v
обгууб ураццг] лр1У ttjv arpaipdoet ало тт) ураццг| г, xai ларауег kva p]6evixo
отг| бёат] (г,})- готе avtoi oi лоИалХатаатёд bivovv eva лЬцдед iotoqixo
rtjg алакокрт/д. Oi Оёоегд тоид otov лгуаха L, о оло1од q^pvei tov U л1ою otov
A, eivai oi оюотёд.
1H (Toryaivixri naQayovronoirja^ A = LU): Eav dev anaiTouvTai evaX-
Хауёд ураццо^, о ap/ixog л1уахад A propel va ypaipei oav yivojievo
A = LU. О nlvaxag L eivai хата» Tpiycovixog, це 1 отт] diaydmo xai
Toug лоХХалХаоюотёд Av (лог? opi^ovTai orryv алаХокрг|) хата» ало тт]
diaydmo. О U eivai о avw Tpiywvixdg nivaxag лог) eppavi^exai цета
тт) diadoyixr] алаХокрт] xai npiv ало ttjv avddpop, агахатаотаот]. Ta
diaydivia oxoixeia тог) eivai oi odr]yoi.
ПАРААЕ1ГМА 1
О A = [1 2] OTOV jj _ [1 pjg TOV £ _	0]
ПАРААЕ1ГМА 2 (лог) ypeia^eTai evaXXayr| ураццсоу).
О A = [0 2] dev ларауovTCOToieiTai oe A = LU
ПАРААЕ1ГМА 3 (блог) oXoi oi odrjyoi xai лоХХалХаоюотёд eivai loot це 1)
Г1	1	11	Г1 0	01	Г1	1	11
4= 1	2	2	=	1 1	0	0	1	1	= LU.
[1	2	3j	[11	1J	[o	0	1]

38
niNAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
Ano tov А npog tov U yivovTai acpatpeoetg, and tov U npog tov A, npoo0eoeig.
ПАРААЕ1ГМА 4 (otov о U eivai о TaDTOTixog xai о L idiog це tov A)
Г1	°	°1
A =	A21	1	0	.
A31	A32	1J
Ta бтщата апаХокрт|д eivai 1) о E noD acpaipei A2i cpopeg тт] ураццт] 1 and
tt] ураццт] 2, 2) о F пои atpaipei A31 cpopeg тт] ураццт] 1 ano тт] ураццт] 3 xai
3) о G non aipaipei A32 cpopeg тт] ураццт] 2 ano тт] ураццт] 3. To апотёХеоца
eivai о таитоихбд nivaxag: о’ аото то парадесуца U = I. 2tt]v avTiOTpoipT]
xaTeuSuvoT], eav о xavovag цад eivai оатотод, 01 avTioTpocpoi 0a ёпрепе va цад
ipepvovv nioar otov A:
E 1 e<pagfiog6nevog otov (F 1 e<paQ|iogd|xevog arov (G 1 E<^uo|iot6|.itvoq i ™v/))=A.
A2i 1 eni 1 eni 1
1J [ A31	1J L Л32 1
eni I = A.
H бкхта'^т] eivai T] oidott] споте v’ anocpeuyovTat aXXT]Xeni5pdoeig цетади tcdv
mvaxiov. 2тще10)оте oti oi napev0eoeig dev Tftav avayxaieg, Xdyco tod прооетат-
plOTLXOD v6цoD.
A = LU: H nepinTioot] n eni n
H napayovTonoiT]OT] A = LU eivai tooo evdiacpepoooa noD a^i^et va tt]
оодт]тт]аоице перюобтеро av xai ouvr]0a)g anoooia^ei ano та цабтщата Грацщ-
xi]g АКуебрад, idiaiTepa OTav aura entxevTpiovovTai ottjv асрт]ртщёут] 0еЛрт]ОТ].
Ili0avdv va eOeaipetTO xai noXo SdoxoXt] -aXXa eoeig г|5т] тт] yvarpi^eTe. Eav
to TeAeoTaio Парабесуца 4 обт]ут]0е1 eva бтща napanepa, Лоте va eniTpanei
опоюо5т)поте U avTi тт]д eidixT]g перштЛоеатд U = I, тоте yiveTai bovaTO
va &ооце пЛд douXeuet о xavovag yevixa. KaToniv npenei va пооце пЛд
Хрт]О1цопо1е1та1 аитт] т] napayovTonoiT]OT] LU ott]v пра^ц.
О xavovag eivai oti о nivaxag L, E(paQfio^6fiEvog arov U, odt/yei niai»
arov A:
[1	0 0 "I Г ураццт] 1 tod U "I
/21 1 0 ураццт] 2 tod U = A.	(T)
I32 1J [ураццт] 3 tod U J
H anodei^T] yiveTai E<pap/zo£ovrag та бгщата туд алакокрт/д. 2тт] de^ia nXeDpa
0a o5t]yt]oodv tov A otov U. 0a бе^ооце oti xcxvodv tt]v idia doDAeia xai ott]v
арютерт] nXeopd, e^aXeiipovTag tov L. AcpoD xai 01 5do пХеорёд тт]д (7) oStjyodv

LioIxdX тохзлтА nioiro л1н юхюх) э oxo q ох оют sriodroXodir Млоуюют [1x1X09019
3j^ -f[ тох 7 5aox зг1ю^1д(олЛ люз ‘рдколЛю (л зоаобозгН ng у о ‘пют1ЛюЗц
q = ху аох Lioay lx рогодкухоуо юл тЛ isirsdir aoir 5зхюл11г 5аох 13Л1§ тох
51кЬтоую1гю лтхюгИхд лет. МтдЛюхюх IryirD mri огю oSsioooidsir нюх толр
oiay 727 = у л1н зг1 юхнзХо охпхюбк лодзеЬгюдлз юлз isXdoirx
oxorilxxoao юх1л<оЛ1д1 oay = nrtluocw oxiriitodX юла,
(/. Т 5о<±годЛю<Эюц) лстзоото^з AmxidocbraiQ DTiliygodir лодзЛюп^лз
юлз О1гю тохзХдзодш 91010 юг1Л13§юдю1г 07 -5ао1л(оЛю19 ЬзхплздЦг! Ini 099 зг1
5зхлоЛюдю1г 1зХз 5ао1лотЛю19 SsxiasqIitI Ini 51здх3ii 5юхюл11г 5юлз Saur 1злХ139 oiay
I
I- I
I-	I rz i-
II-	= I- Z l-
11- I- z 1-
i J L 1- 1
(513030 5злзх 5iio oxias^LitI зг1 ‘jqq = y) VIAIJiaWJVII
•lioIxSX зо qqq = у лох зтко^юд лнгохюх тох oriXisgodoir
lirtoxo юлз sriaoAiq (093  qqq = у Smgidxo толр лотхюлнг лон лонаю юткподдю
ох тох Ю11119 30юх зо юхюлш оукю люлз “П^дао'угЬз^,, Ixdnoyoiro It 5mir 13лХ13§
-рхитИцуощ VA3riooridTO(bq nio UAmAvoiq aori 01^919 07 q — и li^ox lidsxoy
-InioX [хлзтЬшз лкхо orllxvgpdir и шз и здюх 5юхлоЛюлю ‘кЛотЛюкз зт) jqq = у
лохо 1злю11) U^isQoiro lixidi oij^ -5зхюл11£ 5аодзхауюЛзг1 Ю1Л тох тохло^отЮюсЬз
loiioiAoy^aD 10 Saur 31139 пл sxpdoirri пух° Ьзхюлте £ тхез g siiaoioiroTiiolidx
•1ю1ЛЛзоод1г Ud3i(i39 oni тох тохзалх^охп 51зо1лхою 5по зхоот ‘ютодот 0091
тох ‘SoiooiiliD 51лх11О1ОЮ(Ьо1гю 0091 тол13 /27 = у UoliioiroiAoAoooir
•5зо1 толр юл 131гзд1г юдотх юдю-
/2 лох Sodir 5зо1 толр юл лаоЛкуюхюх (/,) 5lu 5здазу1г 099 то тох 119
59Л0Л3Л ох 1ЗЛОТ1Ю93911ГЗ 9iay 72 0 ол9г! тзлрг! 13X3 юдзхтодю юхо */ зо
риюдхюхзг! 1зХз q о юнг ЛЮ19 ‘5оузх 013 ’лот^оююю^кюу^ок лон лтхаю
логу9 Ю1зхдю19 кх юхюх qq юхюл11г лох 5ют1 i^orl 41зт<аоо1г(Ю9аох„ юл
131гздхнгз 5ют1 SorfoA 59хно1дтохзоод1г о ’юхюл11г 9хнохаюх лох згкгоХз
1013 тох ‘1x10(00 U толр зх1101л0аоуохю aoir юд1зо н ’£ кт!т1юдЛ In 91ГЮ (о
7 ‘0 li толр aoir) 1лтМюдЛ юза In iirs аох олзт19л1Л ох зт!аооздто(Ью
юл толр ют11л9 oxidx 03 •£ IxiiriiodA lix 91ГЮ у IxrirtodA lix 11гз i£; олзт19Л1Л
ох рдтоЛю UoliAix 1хдзхаз9 н -tzj 01 псЬрую^з aoir oriAodir ‘IxiirtodA
1сдзхаз9 lix 91ГЮ (о‘о 7) л^х 1КЗ 1г/ олзт19Л1Л ох рдтосЬю Ю1И19 oxcodir 03
•1x10(00 толр (д) 1х тох 5зо1 толр 5здаз^1г 099
то 5зхаю ‘oriiJisdiDiiAO толр Л9хаю ,о злю1г Sori aoir oxorilxg юх тох ljq 0191 лохо
№wwva.i sajvvvvNa ivs xaiNoavavu южгиш S' 1

толр тох омддз pxiXogmg 3ri тохзлау q = 07 U 5ош зхзкзуд '?/g oxo пзлтод
-зхюх лотз^пбк лотх 5о01лук 01 Ззхплзк и5рд1зо1лтох„ Saoxigis 5аох 5аоха» ,ij
^=^x
L
6
 01
= X 13A1Q aoir
£ = *X — lX
Z = lx — ix
э=хП
lx — lX
>
£
z
 i-
= э i3Aig aoir
»x»rilixoao »xo тохзаупл»
X = txz + ix -
I = Px - ixz + ix -
q = xy
X = ix - ixz + 'x-
X =	ix - '.r
(q «базук r«539 зт! ют1Ь移б»к олзг1аоЛ1юбк 01) VKJIHVVdVII
•«базук «1§3Q llXO у О '130|1'1ОКО1ЛОЛ»б»К
ил »iA тохлаохток» аок ninrllig £/£и »x ок» обзх<эЛ1у ауок толр охау олоИ
Syndic zu 3ri 130здд па isdoturi tq юдлзум пза здпх тЛ йоау ц тохптИлд
Z/zu зо »лз0«х ‘»x»rilxxoao »х1лотЛ1бх oag «1 1злау тох (g) liorooi^s л1гх wok
-ол»Х1 золу «лпаобока хх ^«"юпАбз^экз олзтЪзхплп ззлзЛ «л тзбокг! летбазук
лап^з? пбззо U6liyxoyo mri по ззлтотИю лапптИхд лап лапа» 5orioi6foX»ig о
(х ох 5збд q тох /] тох 7 5аог дк») золу 7
(/2 тех 7 5аох 5збд у лох ок») зоиюиохлоЛпдпц 7
:»б1зо »igi л1п зг1 ззазуаод
»гМ»бЛобк оу»х юлз тох ‘lidiioynK» li 5<»9i6x» 1зл»х аок »г1Л»бк ‘»боЛ1лбЛ
тахзлау niilixoao дхчлотЛлбх 30»^ ~q = ху тлр лом ‘oq = хfyj злздпм юл. »?Х
7 3ri Uomoi^s йдзхпзр hi зююююумюууои -q = ху ох sri ог1пла§оо1 тол]з охау
(g)	-э = XQ »хзт< тох q = oq юхотбк
:п1пН1иоло
nxiAtoXidi олд зо q = ху ох is^idroX Ммоуик» U ‘лсохплзк пооетуЛ 33
у лох 5i6otX sriaorHsyaog »л ‘зкзбкз П0
тох ‘зт1аобокг1 ‘5зхлоЛ»б»к 5аох 1збд зт)аоХз лихо, '(/] ао1 holx6X тохзлтЛ »токо
л1гх »х»х) х ою э ох окп зг1аолтоЛ1хк копхопхпхпл» Ыобдпл» зт1 тох (7 аох
ssnvo НФЮУУПУ IVN Z3NVNILJ
Ot

:5к^з
oi толр oiaipiikooi^n oir 07 • д tox q ‘7 пхтузх nxo nidsgasys isXdnira Л39
‘Skorna -nrikg олзкаоЛкодк oioirnx зо лпокдХкдтг aoir пхзлзркт! ni mikg плз о
лпсЬздюзшх ng пуохаз ‘k^ninig ninXai mri зо летгМпдЛ a^nisri Sis^nSir aodro
‘п1дздазуз Skdkyir isXdnira лзр Smrio ndaoAi3 oirpdi охпздосктр ЗтдгЬпуз лплз
зт! SaorloiAoyoira Saoi рхзразтр aoir (lin0JD aoi SorigidpAyn,, Зплз тох isXdnira
тох ‘п1дздазуз znoirnx isXdnir^ "Sogny толр oiay ’k^nimg kxnsdotbmg
sri lorloiAoyoira ю лаолхЛ пл ою тдздазуз isXSnira лзр пр коатахлз лк1
arinomp пл pdoirri ‘Skdnoynirn Ski nimikg пх 5п1ло<ЬпдЛ1дзц i hohdUindDjj
(j лою z~ rax
j SaoAkgo Saoi тох ‘yy tox 7 лап тлотЛтр Ino 5зрплог1 тзХз олзг1ол1Л 01 oiay
ло7Чг J [г“ Ш’ ?ИГ J[l г]= [г т] = ^
oi толр miAisgnSnir плз, -oirodi
0191 лох зт! fi тох 7 Saoi sionrip^idisXnisri 3101 тох рЛкро лох зг! рдздтохр 1зХз
LiririndA здпх по ‘тЛоу пууп зт1— о1лотЛт§ 1по Зздплог!1зХз jj о по тохролока
/2(77 зхзкзуд лпхо, •/] птЫрдЛ 0191 01 зг) 5пхплт 5ох1лсоЛ1д1 тлп 5озл о
Soian inis^pogriao пл ‘коаХЛао 1г/пЛзг1 nynxodir тох лп ‘тздклао U isXdniry
•awAIiqo AWl
5»хплпг ЗошоЛтд о i»Ai3 q о тх омюЛтд hio 5зд»лоН ллоХз у]
7 aoirp ‘fKjq = у плХао i»i3<b»dA hoUiovoiAoXndvij: UxiAtoAidi fj
лох oirn 5охпз<Эо<Ьп19 толр у2(77 о Зотдклао тох 0x1913 ayoir лтк 5aiiio oiay
•nionriUo 1зХз ЛЗ9 lioltdlnndnir поаодтг U тох Зпхплт Soxnoiam о толр (j о
lioaniridsir л1п л1пап '[ = гр лтк 10AI190 то тоуо пг1Л139пдтг отохазузх 013
(6)
- г“р
zp/EZ/i -[	гр
ip/£in ip/zi/г х J L	1р.
-up -   чрчр SaoAUpo Saoi oirn
олзт1аоуз1О1гп (j пхплмг оытАтд лплз уу лох oirn sriaoAn^H 'пуохаз тохзлотд
-6019 oiay -5з9плот1 1зХз 7 о aoiro ‘aopaiAm9 5тдах 5ln Soxlrri птх ЗаоЛкро
1зХз /у о :кЛо1гр лтт1 птх ukdi3riiiaon„ толр у/7 kebdori ц I кокдкюдпц
•П1ЛП1Г Scoiro- ‘кошопшхплп кт1од9плп
зт1 тохзлау э = х/2 к лшош^ -ксЬтоутгп лк1 птх 1злтадг1ао aoir Saigidxn oian
NflWWVdJ ZHJVVVVN3 IVN SaiNOJVdVII lOMINCUIdl S I

42
IlINAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
II Eav A = LiDjUj xai A = L2D2U2, 6xov 01 L eivai xarw Tpiywvixoi pie
piovaSeg ott] Siaycbvio, 01 U eivai avw xpiyiovixoi pie piova&eg оттр Siayibvio
xai 01 D eivai Siaywvioi nivaxeg pie pit] pir)6evixa axoi/eia отг] Siayibvio,
тбте Li = L2, Di = D2, Ui = U2. H ларауоллоло^от] LDU xa0ibg xai r]
LU ooi£,ovTai piovoorjpiavTa ало tov A.
H алббес^г] eivai pita xaXr| aoxrpr] yia avTioTpocpovg Ttivaxeg, лои е^ета-
'Qovtul ott]v enopievq ларауоафо.
Evakkayeg ypappioiv xai Ilivaxeg geraOeoewv
Прёлет толра va avTipieTamioovpie то лрдбХгща лои pieypt тюра алосребуархе:
о api0pidg лои neptp^vapie va хрт]О1цоло1Г|0оир.е oav obrjyo, pmopei va eivai
prqbev. Аитб 9a рглоробое va лрохбгре1 ото (isoov tov илоХоуюрюб r] axoitr] xai
ott]v apxr) (ott]v лер£лт(оог| лои ап = 0). 'Eva алХд лара5е1ур1а eivai то
Р РРИИ
Н SvoxoMa eivai ipavepr]. Kaveva лоХХалХаою тг)д лрштгрд ураццг|д Sev цлорег
va e^aXeiipei tov ovvTekeovr] 3.
H Оералеса eivai е^ ioov <pavepr]. ЕуаААа|те ng 8vo	xai exoi
nriyaivexe to 3 ndvco, ott] 0eor| tov o&riyov. S’ avvr]v vqv алХг] лер1лтгоот] о
nivaxag 0a yivoxav ацёоюд avoi xpiyivvixog xai то оиоттща
3u + 4v = 62
2v = bi
0a XvvoTav ацёосод pie ava&popir] аут1хатаотаог].
Па va ЬютилсЬаоице аитг] ttjv лра^г] отт] yXwooa twv л^ахюу лрёле1 va
Spovpie tov Ilivaxa цета0еог]д лои npo^evei tt]v evaXXayr] ypapipidiv. Avrog
eivai о
xai ovToig, о локкалкаоюоцдд pie tov P evakkaooei Tig урацргёд:
PA
О P ёх£1 tt]v ibia enibpaor] xai ото b, evaXkaooovTag та bi xai Ь2- To уёо
ovoTT]pia eivai PAx = Pb. Oi ayvcnoToi и xai v Sev pieTa6aXX.ovTai хата tt]v
evakXayri ypapipw'jv.

blwaymy 5ln (nihdoiioiqi=),Mun|n3’uis обо лох зг! mi^qiAoridm i
юл mA Soimdir о кЛзузхгз nxiAliyva юю ‘5oSo 50631939 о пзюдхигз той лу	Н. : Н'ГХ **
'5Iix>Iih>kowAAo6i<>
nriypcbo ох зт1по51до1дз1г 9Л1190 обзхаупЛзг! 5»1лоЛзую1у лз§1лг1 SrogiSxn толп л.19 лшо тох Urlox»—
л.з§1лг1 лррзХо толп SoAkqo 59x1X6» о лито тох лтгМюбЛ ЦЛюууюлз зт1аолюх ligpoir лкх^ *
зоаохлплао ng лзд yj лох зг! Uctnovmrn U зхо^ ЯХОп л.1п tirn j лох зг1 5пт1
пхплш лох зтТаоопюп^ют^тг пл STinoaodoirri ng ‘зтТаолпх пл п grinds^ лпд
Го	то]	Го	О	li	ГО	Т	01
d =	0	0 1	=	0	I	О	Т	0	0	= £dad
Lx	о oj	Lt	о	oj	Lo	0	ij
:(j5oxcnSir ndg ild ° ао1£9) лгозоздпхзг!
ла>лзг1(плот1зг1 оад лспх олзтТолзЛ ox толп тох ‘5mri nip ЗзЛпууплз ogg Six тох ny
-ЗХХЗ aoir Зтзоздпхзт! 5пхпл11г Зплз nXdnirjg юхотптИлоо^п Urlgxn ixnx то^
•£ mx x ЬзгМпдЛ 5n 5злзг1Лпууплз
3ii Ьпхплш Soxixoxanx о толп пл nirsdir £d = p^d miAngpdnir mj тохплто
oxixoxanx лохо Тюздпхзт! Ux gxooriSndn :пт!оплХзх oindm плз ,ri тохлохотОд ioxay
Го	Т	01	[0	0	т!
’ Т 0 0 = ad inx о Т 0 = £d
Lo	0	ij	Li	о	oj
Ззхплш Saox (irn лаохндхоОхг aj Uoggnxsri Uxan
идзхазд U inx ^d lungpisri UxmSir н •лотгМпдЛ ОЛпууплз Urioxn mri тохз^ппОХ
лздин толп лз§ v ох лпз inx ‘(oxoUOXn толп тлпхс giro э ox) дхап tirn гохпх
пботх толп v SorigiOn о 'oxiAsgUri плз iynir nXOnira Зтохаох лз aoAUgo Uosg
иОзхазд Uxj 'SsdUyir толп nriUg oxroSir ox inx aoAUgo козд Uxo p ox по1хл1хпхзг1
ng £ inx x лоттМпдЛ л<пх 1лЛпууплз mri ‘лэркг! толп лз§ р ох лпд Яоау Ьадплог!
mA. ngiirys nXOnira лзу ^yiotbdoiioi^i толп Зпхплш о тох охазхгпоздп толп
nriU'YgoSir ох ‘д = р лпд -р origiQn лох охгп тохлотхдп^з nyo 5mi UomxiriSsir лкх^
*-пдтХзлао пл ndoirri Utbioynirn U тох SgAUgo 5отохЛплп о тохзл1Л опХтохо
oxiAsqUri Uri о^ -лотт1г1пдЛ UAny/плз mri зг1аоузххз зхрх ‘UyUxo nigi лихо тох
отхпх от опХтохо ох1лз§иг1 Uri плз пХЭхша лпд 'рюлэ^йт/ oi ,хгп аппх Зпхл
-о^пхтох тохз^1оп(Ьо1гп охау кдпдоо шл13 »л isdouti U ‘юуохлз imsasimdsQ
пл isdoiiti юг/олоад jj :5зхихохплад оад пОпЛз aoAUgo Uosg зо oxmsgUri плд,
[/ 9 Р~\
' I 9 0 0 = V
Lq v oj
SUdidorl 5Ux £ 11гз £ Зпхплш
толп у о ixo зхоздокх ’UoaixiridsK Uyoxoag our mri зо пдотх зт!пдотХоОц

№wmvdj sajvvvvNa iva zaiNOJVdvn roNiNOJidj. s i

иЛдп avoir лозуи зюлзз туп ‘у = 'Ey u isAiaiindmi
пл inx лох тох q aoi agnurl nnir юл зхздиз dq j о по злзу aori SaioidgsAw iq *
* [Y1 = Vd л^хо I = I£Y 30 pgUygmsri ng Slnomonyirnyyoir
о ‘UXdn aUio пл1Л li/пууплз U Uiaoi лпд £ тох 3 ЗзтМпдЛ. 5n поопууплз no
зюздока лигою-)} у = izy 5тлоЛпдтг ‘3 UririndA Ui 91x0 j UririndA. Ui ndindro
Udnoynirn U 119 31D30OKX "7 aoi 3ri TOxnxsoodit зюр пл nirsdjj lu>fadtu»d»n
j pxnadodtmg лплз лплзрз ng ‘SomriAnpndnir
аолзгкгоЛкодк aoi 5йл1зхз UdiodioiMn ndno зо толзг!отопу1гпууо1г шз
птлздптзг! пл йхЛплп толп лзр тошу Uosgnisri пзл mri толп Згозоздшзт!
лтхплпг оад олзг1рл1Л о^ (sioirn зз^пууп лзр) Зпхплш 5олзг1оздилао опт тох
Sodsioaoyirn о толп j = j ‘unrlAndy U^mnip Uxipn moirnx зг! ‘дхпозаш
402 зг! 5згМодА. 5з?р; 5?2 тз7.з j 5тзоз0шзг1 Stoxtomu: Зплз 119 siomnriU^
•лсоЛкро оуолао SsdUyir
плз пЛпдтг пл ndoirri лзр и^шпзрплп niririnx Чютхтдззг Lubdoriaiyi л1и^
'ПЛ Ltcbdori U10 yj лох зт<аоо11Ю1со1лоЛпдп1£
пл sriaodoirri ‘5зтМпдЛ 5п 5UXdn ^з Зпхлооопхтрплп (£)
лоттМюдЛ кЛпууплз тох Ыуюупкп зт! тогзхопдд Lunn (2)
Uoay кхпрплог! mil пХз q = xy U (у)
liocoiiridsir л1п Inan лсрЛкро лап 5позд
5по nxiA3pliri лаодХазсЬоип пл зюот у aoi 5зтМпдЛ 5п поопшпрплп aoir
j 5a>3O3gni3Ti Зпхплш 5плз nXdnira ‘ котюдзи: Lubdorlpiyi М I113 П
:511§з 5а> пдокНолао пл ndoirri ssiibq
5lidnoynirn 5lii nida)30 н 'Q ]^з q зо LioltioiroiAoXndnir 11лзт1о1д11лао Ln пкздпкз
у j о ‘тЛру пууп 3j\ лотЛкро лап 5позд 5по ппХюю пхзлзркг! Uri пЛрдтг
aoir li^nipip mri зо толп лозук Ssioiro то ‘5зг1т1пдЛ Ssdliyxpyo зт! пазуаор
Udnoynirn н 'лтгМпдЛ 5зХпууплз тхз^пчздХ. лзр 5пхп4?1г аз о тох yj
Л01 пзЛпдтг piay Snionxipnip 5ln UXdn л1по то1лол1Л 5зЛпууплз то 5залп пр
зт1аодоп1лп(Ь пл srlaodoirrl 3191 ‘лтгМпдЛ лотЛпууплз nngltog In зт! пдозуз1лао
пл ndoirri Udnoynirn li лпд :oiaoi толп Santo oiainriliooi^n oj, Udnoynirn U
пл1Л пл плзг1о1гп SrogltAa^ TOXiinrlanitrlao толп SpxmaiXidi толп пр 5рлоЛзЛ o^
[э 0 0]
Q ° 0 = Vd
/эр]
‘U^ninip Inomo U10 SsririndA 5n 3j^
ла)зоа)О1^з лап U^ninip Uxnx UxiXdn U лп111 ng pxnx олрг1 01 tox ‘Ssiyoxoag
ssnvo НФЮУУЦУ IVN 3HNVNIU


1.5 TPirQNIKOI IIAPArONTES KAI ENAAAAEES TPAMMQN
ПАРААЕ1ГМА A = 1 1 3^0 0 2 -> 0 3 6 = U.
|_2 5 8j [0 3 6j [o 0 2]
Me evaAkaypieveg rig ypapipieg 6pioxorpie tov LU -тюра opicog Л31 = 1 xai A21 = 2:
Г1	0	01	Г1 0	01
P = 0	0	1	xai L =	2 1	0	xai PA = LU.
[0	1	oj	[10	1]
Evvoipi’Qovue-. 'Eva хаХо лроурацца алако1<рг]д Gauss xaTaypdcpei tov L, tov U
xai tov P. Oi nivaxeg avrol лер1е/огу tt]v лХт]ро<рор1а пои ap/txa лер1е1хе
о A -xai цакюта oe mo егхртртт] piopcpf|. Emaqg елюрёлош' тт] Xroi] тог
Ax = b pieoco 5tjo Tpiycovixcov огаттщатауу xai eivai to лрахт1хо avaXoyo tcov
rnoXoyiopidiv лог xdvorpie ларахатю —yia va бдогщг tov avrioroocpo nivaxa
xai тт] /.var/ x - A~ 'b.
ALKHLEIL
1.5.1 Поте evaq avco TQiycovixog Ttivazag eivai |ir] ibiopiopcpoq;
1.5.2 Пою лоллалХаою тт|д ураццг)с; 2 0а acpaipeoei г] алакокрт) ало тт] ураццг) 3;
Г1 0 01 Г5 7 8"1
А= 2 1 00 2 3.
[1 4 1J [о 0 6J
П0101 0а eivai 01 о5т]уо1; Мтртах; anaiTeixai evakkayi) ygapipubv;
1.5.3 ПоХлалХа(лаоте tov xivaxa L = Е AF 1G 1 crrqv e^ioworj (6) pie tov GFE ott]v
e^iaioai] (3):
Поллал/.аак'юте ел1ат]д xai oe avTioTQOipi] бккта^т]. Г taxi 01 anavrijaetg eivai
aweQ nov eivai-,
1.5.4 Ефарцботе алаХ.окрт| yia va ларауете тогд naodyovieg L xai U yia тогд
1.5.5 Парауоутоло1г]оте tov A oe LU, xai ypaipre to avco ipiycovixo оготгцса Ux = c
лог epcpavi^exai цеха rqv алалокрг|, yia to

•у лох 31-1399 ил н1/'- ГП
Гг]	Г™1	Гт	о	01	Гт	о	т!
5ло1 зхзогпопукпууок пл 5ido>X	0	=	3	Т	0	0	Т	Т	л1п зюау H‘S‘I
LzJ	L«J	Lt?	t?	zJ	Lo	о	tJ
:л«)1озуз1л(1о пхплш 09 ]из 09
0191 aoi art ninrilnoao ox поау пл mA Udnoynirn li yiOHorholidX ninrilig пооц (9
to = xf) тох q = oq ni окп плзрпх зздау
пл niX 5Uo3d-inT>n-(iorionionyKnyyoic ninrilig z/zu лсплдзи ппло^птздХ nmj (n OUST
:q = oq 01 pun 5тлотл1хз§ q = xy niiliioao 01 зюау (9
олзг1ол1Х oi толтз у о лшо ‘SochoorioiQ-i Ini у о толп 5зх110лао Зззои oirx (° 6‘S‘T
у aoi 5з1лп ‘i-i лао1И1кт1ао qq <101 5зт1т1пдХ 5зууп то тох птозТодпц
q aoi W3 q aoi £ LniiinOX Lil
зт! ooi Smgidxn plan 1злпх (су oi окп) лотхплпг aoTiomonyiinyyoic 5плолпх 5отоц
•(/j aoi £ UrlrinOX)х + (/2 aoi £ liririndX) + (/7 aoi х UrlrlnOX) Иу = у aoi £ UriiindX
л1а зг! mgi толп Ltomoi§3 liAsriaoXliodir н (9)
• 1лтИпдЛ SoXUgo nni notiTOicoriiolidX U9I1 тзХз лтр позу
:1ю1плп1гу ‘.у aoi 5згМпдЛ то 1X0 тох /7 aoi 5зтМпдЛ то то1лаодто<Ьп iimj (о)
•(/2 aoi z InWndX) ^£у - (jq <wi х LniiindX) i£y — у aoi £ liririnSX = q aoi £ LiririnoX
:(j/2 fioi) z T лтгЫпдЛ лап пторуипууои 5тла>дто<Ьп у aoi UririndX
Lnidi л1п oitn то1зХдзод1£ jq aoi liririndX Lnidi у (/27 = V ^i li^isgoicn Цдзшзу) g'S’I
T Z 0 O’
T 0 0
T 0
TOGO
T Z 0
T 0
T 0 0 o’
T 0 0
T z
= H
= Э
(лэрЦг!
ПХ1Л01Л1Э1 толрк ni 5п1ло1£1зупдп1£) лшо q^}JJ тох плзНолзЛ ni зпздд £’g’x
лшо ‘[-3 тох тох 5aoi 311здд
9ST
ssnvo НФЮУУПУ IVS StTXVNIII

1.5	TPIFQNIKOI FIAPAIONTEX KAI ENAAAAfES TPAMMQN
47
1.5.12 Псод 0a цподоооате va nagayovronoiriaeTe tov A o’ eva yivopievo UL, avw
TOiywvixot) xai хаты Toiytovixop; 0a eixe tovto Totig i&iotig nagayovTeg pie tov
A = LU-
1.5.13 Лооте це алалокрг], xavovrag ev avayxrp evaXAayeg ygapipicbv:
и + 4-v + 2w = —2	v + w = 0
-2u -	+ 3w = 32 xai и + v =0
v+ w= 1	и + v + w = 1
П0101 nlvaxeg цетаОёаесод anaiTOWTai;
1.5.14 Катаудспрте длоид top? e^i 3 eni 3 nlvaxeg цетаОёаешд, тор P = I oopinegiXapi-
6avopievoti. Пдоо&1од1оте TOi)g avriOTgdcpotig тоид, oi onoioi eivai eniorjg nlvaxeg
цетавёаесод -ixavonoioov ttjv PP~l = I xai negiexovrai otov idio хатаХоуо.
1.5.15 Bgelxe Tig nagayovTonoir)oeig PA = LDU (xai епаХтрвеооте Tig) yia
1.5.16 Бресте evav pir| idiopiopcpo 4 eni 4 nlvaxa, nor ХОЕ1(^ЁТЫ1 Tgeig evaXXayeg ygapipicbv
yia va cpepei etg negag tt)v anaXoicprp. Ei dovciTov, ag eivai то napcideiypia evag
nlvaxag pieTaOeoecog.
1.5.17 Sttj SiaTaijrp LPU, not) npoTipioijv oi aXyeSgioneg, rp anaXoicprp evaXXaooei ypapipieg
piovov ото тёХод:
4 ; я 4; i жж ? ж i я
L2 5 8J	Lo 3 6j Lo 1 oj Lo 0 2J
Iloiog eivai о L o’ at>rr|v tt]v пед1пто)от|; AvtIGeto pie ttjv PA = LU xai to
nagabeiypia цета то 1J, oi nokkankaoiaoxeg Sgioxovrai ottjv 0ёот] торд (о A21 eivai
1 xai о A31 eivai 2).
1.5.18 AnoipaoioTe av та enopieva оооттщата eivai ibiopiopxpa i) o/i xai eav exow piia,
xapipiia r| aneigeg Xtioeig:
v — w-2	v — w=0	v + w=l
и — v	=2	xai и	— v =0	xai u + v =1
и — w	= 2 и -	w = 0 и +w=l
1.5.19 Iloieg Tipieg twv a, b, c o&qyow oe evakkayeg ypapipitbv xai noieg xdvouv Tong nlvaxeg
iSiopiogipovg;

48
IIINAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
1.6	 АМТ1ЕТРОФО1 KAI ANALTPCEI’OI
О avxioxpoipog evog n ел1 n mvana eivai evag aXkog n em n jdvaxag. Eav
о лрсотод xivazag eivai о A, о avxioxpoq)6g xov ypatpexai A1 (xai Xeyexai “A
avxioxpoipog”). H 0ep.eXtd)5T]g iSiorqta eivai алкт|: Eav л:оЛ/.ал/.ао1аоЕТЕ fie
rov A xai xaTomv це tov А-1, бдьакгатг лтосо, exel nov ^sxivijaaTs:
eav Ax = b тбте A rb=x.
Apa A~'Ax = x. О лЬахад А ел£ tov л^аха A-1 eivai о Tavxoxixog л^ахад.
Aev exouv oping 0X01 oi л^ахед avxioxpoipo. To лробХтцха epxpavi^exai oxav
то Ax eivai p]6ev akka to x dev eivai prjdev. О avxioxpoipog 0a ёлреле
va лт]уаЬе1 л£оа>, ало то Ах ото х. Kavevag лЬахад oping dev propei
va локкалкао1аое1 то p.T]5evtxd diavvopa xai va ларауе1 eva pr| (irjdevixo
Siavvopa -o’ avnyv xr|v лер1лто)ог] о A”1 dev 0a илархеи Oi oxoxot pag eivai
va opioovpe tov avxioxpoipo, va tov илоХоуюоире xai va tov хр^о^олоо^ооире,
oxtg лер1лта>ое1д лои vnapxei -xaxontv de va xaxakadovpe noioi лЬахед exow
avxioxpoipo.
IK О nivaxag A eivai avTiox^ipipog eav vnapxei evag nivaxag В exoi
woxe BA - I xai AB = I. Уларх£1 то локи evag тётоюд В, Xeyexai
avxioxpocpog tov A xai аицбоХ1^ета1 це A-1.
A lA=I xai AA г=1.
(1)
Егцл£1ыаг] 1 Aev р.лоре1 va vnapxovv 5vo SiacpopeTixoi avxioxpoipoi, dioxi eav
BA = I xai AC = I, тбте exojie
В = B(AC} = (BA)C = C.
Eav vxapxet evag apioxepdg-avxioTpocpog xai evag de^tog-avTioTpocpog (о В
лоХ.калХ.ао1а£е1 ало т’ арютера xai о С ало та Se^td) тбте avxoi eivai oi
iSioi.
LtlHEioifft] 2 О avxioxpoipog tov A-1 eivai о iSiog о A xai ixavonoiei tt]v (1)!
EtjfiEiaat] 3 'Evag nivaxag 1 ел1 1 eivai avTiaxpeipipiog oxav 5ev eivai prqSev:
eav A = [а] тбте A 1 = [l/а]. О avxioTpoipog evog 2 ел1 2 nivaxa цлоре1 va
xaxaypaipei ацёогод xai yevixd (eq>’ ooov r] ad - be &ev p.r]6evi^exai):

1.6 АМТПЛТОФО! KAI АМАГГРОФО!
49
Et]fiEi(iMn] 4 'Evag diayo'ivtog Kivaxag eivai avTiaTgeipip.og orav xaveva бюую-
vio OToi/eio tod dev eivai ptqdev:
eav
тоте A 1 =
1/4
1/4
Etifieiiooif 5 0 2 ел! 2 nivaxag A = j dev eivai avTiGTgexpipiog. Oi отт|Хед
tod В ел! A eivai oiyoDga idieg xai dev ptogei va eivai oi doo отт|Хед tod I,
noD eivai diaipogeTixeg. (0a Ье1те aXXoDg xai xaXDTegoDg XdyoDg уют! aDTog о
A dev eivai avTiOTgeipipiog).
'Otov e/oD|ie va xavoDp це 5do itivaxeg, dev [тлодооце va лобце плоте
yia tov avrioTQoepo tod A + В. To aOgoiopia progei va eivai r] xai va p]v eivai
avTiOTQ8Api|io, ave^dgrqTa ало tt]v avTiOTgeipip.dTT]Ta tojv nepioviopievwv A xai
В. Алб ттр аХХт], о avTioTgocpog tod yivopvoD AB алотеХе! tov тило xXetdi
OTODg DnoXoyiopioDg nivaxwv. Tta ODvq0iopievoDg agiBpioDg т] хатаотаот] eivai
T] idia: to (a + b) ’ 1 алХоло1е1та1 dDOxoXa, evw то 1/ab diaondrai oe 1/a ел!
1/Ь. Па лСахед брод, г] та^т) tod лоХХалХаоюоцоб лдёле1 va eivai ошотт)’ eav
ABx = у, тоте Bx = A~}y xai x = B~AA~'y, лoD Seixvei люд oi avrioTgocpoi
eppavi^ovTai oe avTiOTgocpT] бюта^т).
IL To yivojievo AB avTioTgeipipov nivaxiov ё/ei avTiorgocpo. ADrog
6gioxeTai лоХХалХаою^оУтад TODg avTiargoipoDg л1уахед oe avTioTgocpr]
SidTaJjq:
(AB)-1 =B-1A-’.	(2)
AnodEi^tj Tia va dei^OD^e oti о В~}А~г eivai о avrioTgocpog tod AB, тоод лоХ-
ХалХаою^ооце /дг]01|4оло1оАтад tov лдооета1дют1хб vdp.o yia v’ a<jpaigeooDp.e
Tig ладеу0ёое1д:
(AB)(B-1A“1) =ABB~1A~i =AIA~l = AA~' =1
(B-'A-’XAB) = B-’A-’AB = B-'/B =B~'B= I.
Падбцоюд xavovag to^Dei xai yia Tgeig r] negioooTegoDg л^ахед:
(ABC)”1 =C-1B-1A-1.
Tr|v avTioTgocpT] тт]д бюта^д тг] ODvavTtiqapie лдогууооцёуюд, otov avTioTgeipapie
тоод OTOt/eicbdeig лСахед E, F, G ЛOD o6r)yODV ottjv алаХокрг], ало tov U л!ою

50
niNAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
otov A. Проуюрбутад tt]v алакокрт) о GFEA rjiav о U. Sxr|v avrioTpoqn]
xaTErOrvoi], L = E 'F ] t|tov to yiv6p,evo twv avTioTpdqxov. Enei6r| о G
Ефарцодбтау Tsksrraiog, о G~x sppavi^ETai лрсотод.
Mia E^laaiOT] Kivaxwv блюд r] GFEA = U цлорв1 va локкалкао1ао0Е1
хата целт] це tov G-1 (ал’ та арютЕра) г] це tov А"1 (ал’ та Ss^ia) т| це
tov U~x (xi ал’ Tig био Ц£р1£д). Eav урЕю^бцаотау tov А 1 агтбд 0а rftav
U ]GFE. ПарахаХхо va то Елакт]0ЕГОЕТЕ dtOTi Егхока yivovTai ХаОт].
О глокоушцдд тог А
©eo)qt|ots tt]v e^Ioojot] АА~Х = I. Eav 0E(opi]0Ei отгрл] лдод otijAij,
aim] т] E^iowoi] лрообюр1^Е1 Tig OTrjksg тог А-1. Н лрштт] отг)кт] тог А~х
локкалкао1а^Ета1 це tov A yia va Scbosi tt]v лрютт] отт|кт] тог тагтоихог:
Ах] = в]. Пардцою Ахз - вз xai Ахз = ез, блог та ег sivai oi отт]Х.£д тог I. S’
sva 3 ел1 3 ларабетуца, А ел1 A-1 sivai
[ 2 1 ш	1 г	IT100!
4 -6 0 Ж1 ж2 хз = в] е2 е3 = 0 1 0
[-2 7 2J [	J [	J L© ° 1J
(3)
Etoi ё/огце тр1а оготтщата e^iowoewv (i] п оготтщата) лог syorv ока tov idto
лЬаха oovteXeotcov A. Oi ds^isg лкЕгрЁд sivai SiaipoQETixsg akka цлорогцЕ va
ехтеХеоогце алакокрт) ое д2а та аиотуиата ravroxQdvwg. Агтг| г] btadtxaoia,
лог ksyETai fieOodog rotv Gauss-Jordan, avxi va отацатт|ОЕ1 otov 17 xai va
apyioEi tt]v avaSpop] avTixaxdoTaoT], owsyi^Ei aq>aipd)VTag локкалкаою рад
ураццт|д ал’ Tig ало лауо> ураццёд. 'Etoi ларау£1 p]6svtxa тбоо хатю ал’ тт]
Siaywvio боо xai ало navw, xai oxav gnavsi otov тагтот1хб л^аха е/огце
6psi tov A1.
To лара&вгуца елюгуолтет Tig xpsig OTT|ksg ei, e2, e3 xai borksuEi це ураццёд
цт]хогд s^i:
ПАРАДЕ1ГМА
Г 2	1	1	1	0	01
[А в] е2 ез] =	4	-6	0	0	1	0
[-2	7	2	0	0	1]
'2	1	1
0 -8 -2
0	8	3
’2	1	1
0 -8 —2
0	0	1
1 0 0‘
-2 1 0
1 0 к
1 0 О'
-2 1 0
-1 1 1
= [[/

лкхо oditI oi tox ксЬтоуюкю лкхо ЗюхлотдотХодк ooirl ox \и толтз юдлзун ni§3q
здпх mk SogUyir ox ‘5от0клл^ ’j-У лох коздлз лкх mk тохллохтотгю лог л(оз§
-юдк лотх Sogk'/M ox зтТлоотЛоуотгл 5ю ‘ютзЛОзтдзк кдюдюх oiry j liolidUindnu
•aotbodioiiA.?) aoi nisXioio
ni n/q 1X0 inx liociq It ШЛ13 3iiniU^ non qiny -юхютТкд zu r/nir люхдЗютзоХ
ng qt_y Здтктотоюуиюууои ° TOX niT^ i-V ЛО1 D1/t“ 1ИХ тзлХот кококхюдюн
ютотТддюц -^7 aoi 3ri q ox к {_jq aoi зт! э aoi зтТлооютоюутгюууотг юл ютЛ
5тз§юок ^/zu kriozn люолохлд^ютздХ Ю0 лосЬю ‘олодХ юкохою злтоуюлюхюх Ю0
охлу тюх [_у 5зхюлт1г 5лох ‘зг1лоопют!кХо юл зтгздтгз Ю0 лзд откпЛоуошт
охтххюдтг люлз зо тюх ‘зт!юоиют!кХо лзд тхо 5отт!о зхосотзкк^ 'q^q^f} =
= х тюх = э зт!лос|1юдЛ юл тюх ютдхют! ото зтТютг юл зтТюолодотгт! ю©
•э = x{q тюх q = oq лсох плю qT_y = х
:ол§
ютЛ плю юг!кд юлз to q = ху ох тзллу ЗосЬодхоплю о ng тют!оХздюдюц ’отхотлло
лох лзд отЛз ‘t_y лох от!отЛоуокл лохо ютХлхшз кхлю кдзт!одх лкх юдюц
SaoAkqo 5лох
зт! тюхллодтютд 5зт!т!юбЛ то люхо ‘Зоузх охо тюхз^тлюсЬт!з тюх (x)(g—)(з) ла>Лк§о
лотх олзт!олтЛ ох зт! тюхлоот лок \_у лох 5зхоют!олодюк 5лохо клзт!95тлюсЬт!з
9J- юоло^тдо лкх зхтз§ юл зхтздох:р\[ :лоуузт! ох ютЛ кооттзт!ко ютр\[ -осЬодхоплю
лох зтктотЛоуошл тохд, -t_y лохо j лох людзсЬз юл тзшздш юдлзухс ют^з^ кхо
5тз§юдг 5зт9] то */ охо зЛ1ш у ох лосЬу ^хпохлюх о злтЛз 9отт! 9дзхотдю
охо лотхозузхлло 5юхюлтхс о ’ЬлоЛкдо 5лох зт! зт!юоздтот9 ют!кд отюхлзузх ох^
Fl I I- Т О
•[^К /]= 8/Z-	8/£-	8Д О Т
I.9T/9— 9l/S— 9T/ZT О О
Гт	т	т- т о
Z	£	iz— 0 8—
L8/9- 8/S- 8/ZT О О
[т т т- т о
г £ р- о 8-
т- т- г от
:t_y лохо зт!лолюхсЬ
‘юхюлш отохлзузх лохо 5лоЛк§о 5лох тт тлпи юхтлздкт! ЗюхлолХютхф q лохо
jq лох giro тзютг Ю0 дотт! оуую ох юдотх тюх jq лохо у лох дкю зЛкх: ЗксЬтоуютгю
5кх 9отт! охотдш о^ ('qjq = {_q тохюлш дхтхохлюх лохо лотз^юдтг лотдоттзХ
-тохо лотх 5кЛот!дюсЬз 5кх ютТозузхотгю ох толтз oxaojJ q~q лох Ззукхо 5тх зт!
Ззтдт то толтз ‘коюхоюхюхтхлю кт!оддюлю ютЛ 5злзт!оют!тохзод1£ Зздлзук 5зт§зд то
толтз лотг ‘Ззукхо Ззуую 5тздх tq дхтлсоЛтдх отлю лох ллолтд юхюлтк лотах
-лзузх лох Ззукхо Ззхотдтг Зтздх tq ксЬтоуюттю кхтХодютд кх тзлотдкуштТло дхлу
ЮФОЛХУМУ IVN ЮФОЛЗНЫУ 91

SaxiAagUti Uri к Saono^ido SaxiAsqUri Uri лао^пхз^з той 5зх»л11г 5аох1лтАпдхзх
олдг! лаокздхшз mnyntbsx mnoygira ny yy aox к тУУ aox 13(Ьздхоил» £
отоу»<Ьз>[ ох тох 5зукхо 5зхкхд»^злп к SaririndA Ззхкхдп^злп рхтокп 3 отаугэЛз'х
01 :5аосЬодхо11лп 5аодазукдлот1 тох Ззхплто SaorlrindAgykyyndmr 30 тохлолрхх
-sirs mdkxiox ni 5здосЬ 5зх1дзр\ •Зпхкхдгкб.здхоилп oiSkxidx (orimagooi nyyn)
gxusdodroig плз лаоотд ng mnyndnx зхлзк пхтдк ni ок» плздпх ‘пт1Апдц
•51зокхл»к» 5зууок пзХз aoir ‘кокхгодз поаодзсЬтдлз 0001 толр кхау aXg
10101г тох ю^кКздхоплп толр 5зх»л1К ютои зг1ао51бтлА »л ‘5оузх ‘зт!аоуз@
Sothflorioigi lij\[ = ёоНккзбюилу
•ЭзтМпдА тлпк ок» 5no pgkAkodxc лаоХз ng аок лтз^пдк
лтх mAgy ‘»Х1лздкт< пууок 1зХз ng 5оузх 01 nxnx тлз ‘kxnrisA nxixxndir толр
ng kririndA кдзхазд k kriAixo ki клрхд 'олка^з толр лзд дхау 'aoi minx oirn
тох 009 aoi тлпхг ок» oogx пхтлздкг! sriaoAndmr пл зхот ‘лдхап .о зт1»л»д±
5iygrl ‘5]д(ол gAkgo одзхазд лох sriaoolnoKorliokSX »л srinoaodoini п@ пхизд
-ocbmg тох зт1аол»х пл зг1поаодокг1 п@ 7] ао1 5казхо»хпх 5кх 5оузх ох idXsri
‘ssnijg [рлоупкп лкхо тох 5ткд ‘зкпокдтХодм ‘irepxof-ssnpg origidoAyn лохо
чплсоЛтд lix ti£» тлпк nxiAsgliri зг1аолХпп<Ь пл sriaooiXSn Л1дц UoUdUxiodnji
тохэ^Лоуока пл зкздкз ng
лзд тох тохз^пзздХ лзд t_y о ‘пхап tyg <дпц -(coAingnyninx u‘o .к» ‘онтоушд
01 тохз^пзздХ £у аох SorioiAoyoira о тох) охазхош» лодзХо тохзлто<Ь 5длоЛзЛ ох
дхау -у аох orioiAoyoira лох тЛ тох тохло^ппздХ 5зод ‘5i3§»dir 5зодх t_y аох
orimAoyoira лох тЛ лоалоу тохло^птздх ‘Зпз^пбк у тахз^птзОХ олот1 тох лтхпл
-nr 5oTionionyxcnyyoi£ о aodro ‘Sgoxiri nxcopriliooi^n толр Soxan 5origiSn q
• u=mu+_L+2.
1	\£u J £u £u
imp гу aox prio'i/.oyoiza лох n?/ лтз^пдх: лтх
5oqUyx: ржузх oj uBpjof-ssnBg ододзг) лкхо 5тко ‘плодХохапх зхр ‘плзг1тлог1зг!
ТО1ЛОЛ1Л пхап 3113- т лаоЛпдпк nxiysx аок nxnrilig »х1т1одд»лп (^/£и)и
тох тох у лохо тохло^отЮпсЬз аок Sis^oSk g/£и 51зд1ллао 5и зг1 рдопадлао пл
пзкздк дхау -9/£и толр Udnoynir» UxiXogmg Ux mA 5од1хум дхролао ох зт1аоХз
‘С тох пуд mA SniAo^iodgy 7/z(f - и) охо is^nyyn гэ ох mA лсоз^пдк лотх
5одкук ох nxliigxiimiAndu лкхо пд» ‘5зоотхтлао С - и олдт! 1зХз дхап ппгМох
оу ’козд С лкхо х ох (к» отхпх олдт! 5зАпуу» toxaoaiA kdnoymrn kxiXogmg
kxj (пх1лздкт1 nyyoir) fa лотдазук лдп^зд лтх гоЛду odsxgdxni толр аохс
‘gxiinriAndir 01 рт одзхаупАзк ауок 5тохаох лз толр дхап пкозузхокп оу
•лтз^пдк
£/£тх|7 оуолао плз зкаоХз у лох oigi лохо Sn^ndir £/£и Six Зпхлолпдкп'лбзхгкао
тох ‘£и 1злпд дхап ‘5здазук 5зп§зд ЬзхпздосЬтд и ту копхопхпхплп Ыобдплп
ssnvo H<DIOVVLIV IVN ZaMVNIII

х	х	о	О
х	х	о	О
х	х	о	О
х	х	х	гр
,х х х х
о i3ctia.xodir лохо зззддпхпх пууп у пхплш откскздхоплп
лплз зг! пл1хз5 kcbioynirn li по зюзрока ‘kocnxiridsir птодхп odsxoAiy mri з^
(аохпохапх аох кукхо mri isAndnir пл тох лсохпздкт! кукхо mri isonionyirnyyoir
пл 5осЬодхоплп о зоаодокг! пд лзр зхоц) лсохпзрЫ кукхо кдкухоуо mri 1зХз
пл isdoirri лзр зхрх ‘осЬодхоплп 1зХз у о лпд :котх1идзх: птодхп mri зо рдзлпсЬ
толу охаох 'SaoAkpo и 1зХз ‘ЗогМздхоплп толу у о лпд Sotbdotioigi liri
юмз 5»к»л11£ 5оН1(11здю11лю здр^ :5здкуп Зкошз толу осЬодхоплп ох
Soriifisdionx» 1ПЛ13 Зюхплпс Sochdorioigi Uri здтс ‘тохд, осЬодхоплп oi^xp
лох зг! 5ooi талу пл 131гзд1г ‘у Uomyriko Ux пхпх тох МзХдпкх ’5осЬодхоплп
5рдзхтдп 5плз 5отлпсЬод1г толу ‘у аох пдзхтдп ‘коздлздтг лкхо 5пхпл11г о
(1^)
I = v<& •  • d •  • я  • • t-a)
:летхплпг Saoriomonyirnyyoir oirn тдаоу
-охп птаплпА1А mri nxkxoxnnriAndir лкхо толу irepxof-ssnpr) monxipmp н
•5аох SaoAkpo 5аох зг! SpririndA 5п 5зуо ariaodimp пл mA ‘(t—СТ к) <j (£
С тох г 5зг№пдА 5п зг!аооопууплз пл mA ‘	(%
г UririndA Ux (irn С SkririndA 5кх у monyirnyyoir зкаодтоЛп пл mA (j
слтхплпг лотрапзХтохо
Saoirax 51здх sriaoirsdxnrg -nxnxnr 1щтз7лою лплз зг/ пдзгтдп oirn Sgrionw
-тг/ип'/'/ои 7П473 uvpMf-ssn&f) aoQOQ3ri 5hi Torihg здпу :кокдкхпдтс kyicn mri
sri ‘2 отоупсЬз’я ox SidcnX tox sriaookAk^s ox пл Scorio sriaodoirpy -5осЬодхоплп
Sodasyintbrin тох плодХохапх толу пхплп аохмсоАпдхзх 5олз 5осЬодхоплп 5од
-азуколог! 5плз :отоуп<Ьзх олзкокз ox oirn nxiraxodir niAoyoinxip тр\| кокхсодз
клзгМ1дхзх kri mri толу кхау tnmA пууп = yt_y лкх тох плодХохапх ззоау
зйгоХз j = t_yy лкх 5пхлолау -5о(Ьодхоплп пдзхтдп тох Ькошз толу 5зукхо
5п 5зхап (ri (_у 5пхпл11г о по зт<ао§у§ пл isirsdir ‘пдкхоап 5пхлотуц\
•5злзг1шдо пхлпг1коолот1 толу t_y
аох 5зукхо то пууп ‘лсогМпдА 5зАпууплз лаодотздХ пл ydoirpy irepiof-ssni’Q
monxigmQ зг! к ксЬтоутгп зг! лаодаупгз пл лохпла§ толу aoir t_y аох 5зукхо
5п mA ?э = ?жу nxnrlkxoao nxoidcoXs^ и пзл!^ / = [_уу коото^з н ("тохчлздкг!
kri толу тоАкро то пр iynir sriao^iriafysitx) ’bocbdorioipi kri толу Soxan aorio
-ido .SaoAkpo и oirn оуолао 5здку1г плз 1зХз 5пхпл]1г о по зхоздокх
•гзлпХАахпгз по (ЗаосЬпдАпдтг Ззхпкдтзд our 5mirnx
5зА]у зо) sriao^yp пл зт<аоуз@ ssni?9 ксЬтоутгп лкх пхпх зт<покхлплао aoir
олухз толу mdkxidx охап отохазузх ox SnoAligo SaoxiAsgliri liri к Ssriuoigi
IO<t>Od.I.SVNiV IVN lOOOdlZLLNV 91

54
niNAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
Avrog о jrlvaxag, onota xi av eivai та x, dev рлоре1 va eyei avtloTQOcpo.
Mia anoSet^r] eivai va XQY|ai|io^oir|aoiipie npa^eig рета^б tcov avqXibv (yia
лрштг] фора;) шоте va xavovpe 6Xrj ttjv tqItt] oti)Xt) pr]devixi). Афа1ра^тад то
оаготб лоХХалХаою тг)д отг]Хт]д 2 xai xaTOJtiv тг)д отг|Хг]д 1, фтсАоире oe evav
nlvaxa пои olyovpa dev eivai avTiorperpipog. Ара xai о apxixog A dev eivai
avTioTpeipi^og xai ёхооре piav avrapaor). 'Chav ^exivape ало evav аутютрёфцхо
jrlvaxa г] алаХоир) dev рлоре1 va xarappevoei.
H алаХо1фТ| dlvei eva алотеХеорапхб xpirripio yia tt|v блар^т) tov A^1:
Прёле1 va iCTapxovv n odrjyol.
'Evag TeroaycDvixdg nivaxag eivai avTioToeiptuog
eav кас piovov eav eivai pit/ idio/uoocpog.
To КефаХаю 2 6a xpr)oiponoir|0ei upa^eig ypappwv otov A yia va xaraXi^ei oe
pia ypappr) pr)devixd)v xai ото Idio алотёХеора. Tia opiopeveg de^^g лХеирёд,
то оботцра Ax = b dev ё/ei Xvoeig. Tia ёvav аутютрёфцхо л^аха, vnapxsi
лсАтоте povadixt) Хбог) х = А~ХЬ.
АуаотрофО1
Хрею^браоте 6vav ахбрг) л^аха лои, evTvxcbg, eivai лоХб алХоботерод
ало tov аутштрофо. Тоитод ovopa'gerai ауаотрофод тои A xai oupdoXl^erai ре
Ат. Oi отг]Хед tov oxTJHatl^ovrai ал’ ev0elag ало Tig ураррёд tov A -г) г-атг]
yoapiuri rov A yiverai tj i-airj arrikri tov At — xai ёто1 xaraoxevd'geTai xwQi-$
плоХоуюроид:
Edv л = [о О з] TdTe AT= ! °
Tavrdxpova oi отг]Хед tov A ylvovrai ураррёд tov Eav о A eivai m ел1
n л1уахад, тбте о AT eivai n ел1 m. Avto лоу ovp6alvei, TeXixa, eivai ёvag
хатолтрюрбд tov лЬаха хата prjxog т-qg xvplag dtaycovlov tov, хата tov оло1о
to otoixeIo tov At ott] ypappr) i xai отг) отг)Хт) j лроёрхета1 ало то otolxeIo
tov A лov 6ploxerai отг| ypappr) j xai отг) отг|Хг] i:
(АТ)г1 =Л
(5)
О ауаотрофод evog хата) rpiycovixov nlvaxa eivai ava> Tpiyarvixog. О avaorpo-
фод tov AT odrjyel л1осо otov A.

1.6 АМПГГРОФО! KAI ANA2TPO4>OI
УлоОёоте xo'ipa oti ёхоорсе 6do nivaxeg A xai B. Eav тоод лроо0ёаоир1е
xai цеха xovg avaoxpeipoDpie, то алотёХеор1а eivai to idio pie to va xovg
avaoxpeipoDpie xai цеха va xovg лрообёооорсе: (A + B)T eivai to i5io pie
AT + BT. Aev eivai opiwg ipavepo лоюд eivai о avaoxpocpog evdg yivopievoD AB
ip evog avTiaxpotpoD A~' xai avroi eivai oi 6aoixoi ttotoi aDTipg ттрд лараурасроо:
IM (1) О avaoxpoipog tod AB eivai (AB)r = BTAT.
(2) О avaoxpocpog tod A-1 eivai (A-1)T = (AT)-1.
SrppieicboTe oxi о тилод yia xov (AB)T pioidt,ei pie exeivov tod (AB)-1. Kai oxig
5do лерслта'юесд avTiaxpeppoDpie ттр diaxa^rp naipvovxag BTAT xai B-1A-1. H
алобе^тр yia xov avxioxpocpo ipxav ебхоХтр, aXka aDxog edib алагге! aoDvrpOioxrp
Dлo^lovr] oxoDg лоХХалХаосаорюбд лсуахшу. H лрспттр ypapipitp tod (AB)t eivai
тр лрсоттр oxipZ-ip tod AB, лoD orppiaivei oxi oi отгрХед tod A exoDv oDv&Dao0ei
цёоо) ттрд лратттрд оттрктрд tod В. Mexa(ppdt,ovxag oe ypapipieg, todto oippiaivei oti
oi ypapipieg tod At exoDv ODvdDaaOei pieoco тгрд лратрд ypapipifpg tod BT. Adti)
axpi6<bg eivai тр лрсоттр ypapipirp tod BtAt.
Кат’ avaXoyiav ODpircircTODv xai oi akkeg ypapipieg xaiv (AB)T xai BTAT.
ПАРААЕ1ГМА
Fia va aKodei^oDpie xov тбло tod (A-1)r Sjexivoopie ало Tig AA-1 = I xai
A 1A = I xai лa^pvoDple avaoxpocpoDg. Ал’ ттр pua piepia IT = I. Ал’ xrpv dkkrp,
yvoopi^oDpie ало то (1) oxi rp avaoxpotprp yivopievoD divei
(A 1)TAT=1 xai AT(A 1)r=l.
(6)
Adto xavei xov (A1)7" avxioxpoipo tod At xai алоде1хуое1 то (2).
Exovxag алоде1^е1 aDxoijg xoDg xavoveg, pinoponpie va eioayayoDpie pua
etdixip xaxrpyopia л^ахоА, Л10ау<од rrpv лю evSiaipepoDoa ал’ 6X.eg. 'Eva$
avfifiETQixog nivaxag eivai evag л/уахад лог taovrai pe tov avdorpoipo tov:
AT - A. Avayxaoxixd о nivaxag 0a eivai xexpayiDvixdg xai xa0e oxoixeio tod
0a lOODTai pie то “хатолтр1хо” tod ало то dXXo piepog rrpg diaycovioD: aij = aji.
Ado алХа napa&eiypiaxa eivai та
Нг з] Чо

HINAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
Evat; оиццЕтр1хбд nivaxag 6ev sivai avTiaxpsip^og, цакюта 0a цлороиае va
sivai svag nivaxag p]6svixcbv. Eav бцоод imag/Ei о A~\ xouxog Eivai enioqg
оиццетщхбд. Алб то (2) лю navai, о avaoxQoipog xqg A'1 toouxai navxoxE
це xov (Ат)~’ лои yia оицц£тд1хоид nlvaxeg sivai axgi6o')g о A-1. Aga o’
auxqv xqv neginxcooq о A'1 toouxai це tov avdaxQocpo xou xai елоцёусид sivai
аиццетосхбд oav xov A.
Хиццетосхос nlvaxeg s[Kpavit,ovTai oe xd0E £т]тг]ца xou onoiou oi xavoveg
sivai 6ixaioi. “Ka0s 6gaoq exei цю tor] xai avxi0Exq avxidgaoq”, xai to
otoixeio лои 6ivei тт] 6gaoq xov i navio oxo j xaigia^si це xq 6gaoq xou j
navio oxo i. 0a боицЕ xouxq xq оиццетрьа oxqv елоцеуг] ладаудафо, oxig
б1афод1Х£д e^iowoetg. Ебсо ЛЕдюд^бцаоте oxqv алаХоцрт] Gauss xai ^таце va
цабоицв noisg sivai oi sninxojoEig xqg оиццЕтд1ад. Ouoiaoxixd avrtj ntoiooi'QEi
тг) bov'/.Eui ото fiioo. Oi илокоуюцо1 navo) ал’ xq diaycbvio Ц1цойута1 xoug
илокоуюцобд xaxoj ал’ xq dtayibvto xai о avco xgiycovixog U ngoodtogi^exai
nkqguog ало xov xaxco xgiyiovixo L:
IN Eav о A eivai оицц£тд1хбд xai nagayovxonoieixai oe A = LDU x<ogis
EvaHaysg удаццоА лои xaxaoxgwpouv xq оицц£тд1а той, tote о ava> xpiya)-
vixog U sivai о ауаотрофод той xdxw TQiywvixou L. El napayovTonoiqoq
yivExai A = LDLT.
Tia xqv anodet'^q, OewQqoxE xov ауаотдофо той A = LDU. Oi ауаотдофо1
ЕЦфау1^оута1 це avxiax^^pq biaxa^q xai Sivouv AT = UTDT LT. EnsiSq о
A sivai оиццЕтр1хбд, loouxai це tov At, ада ёхоице био napayovTonoiqasig
той A os xaxw xpiyiovixo ел1 6iaycbvio sni avio TQiyiovixo. (O LT sivai avtu
xpiycovixog це цovdбEg oxq 6iay<bvio, блшд axQi6cbg xai о U.) Ката то II auxq
q naQayovxonoiqoq sivai цovaбlxq. Ара о LT nQsnsi va xauxi^Exai це tov U,
лрауца лои okoxXqQibvsi xqv an66si^q.
ПАРААЕ1ГМА (це оиццЕТ<э1хб A xai LT = U)
[2 sH Шо ?]
Msxd ало xa0£ бтща xqg anaXoupqg, о nivaxag oxq 6s^ia xdxa) yaivia naga^vsi
оицц£тр1хбд -блюд xai цвта то лрсото бтща:
а b
Га b с "I
5 d е
[с е
Ьс
а
О

1.6 АМТ12ТРОФО1 KAI А1ЧА2ТРОФО1
57
H epyaaia тт]д алакоирг|д pieubvETai хат’ owiav ото рпаб, кбуа) avpipiexpiag, ало
п3/3 oe n3/6. Aev влад/ес avayxr] va anopivr]piov£voovpiE та отосуеса xai ало
xig ббо piegieg тт]д Siayioviov, r] va алоб^хеиоовце xai tov L xai tov U.
ALKHLEIE
1	.6.1 Bpeixe xovg avxiaxpoipovg (dev axaixeixai eiSixo aviJTrppia) xa>v
. Г0 21 л Г2 oi . rcostf -sinfll
Л1 = [з о] ’ X2 = U 2j ’ A34sin0 cos»]-
1.	6.2 a) Bpeixe xovg avxioxpocpovg xojv xivaxwv piexaOeoeiov
Г0	0	11	го	0	11
P = 0 1 0 xai P = 1 0 0 .
L1	o	oj	Lo	I	oj
б)	Е'дт]ут|охе yiaxi yia nivaxeg piexaOeoeiov P, о P-1 eivai navrore о idiot; fie tov
PT. Tia xt]v алббе^т] хрх]С1р10ло1Г|охе oxi oi piovaSeg eivai oxr] owoxr| Oeoiq dioxe va
лрохблхе! iq PPT = I.
1.6.3 Алб xx]v AB = C 6peixe хбло yia xov A1. Kavxe xo idio yia xov PA = LU.
1.6.4 a) Eav о A eivai avnaxpeipipiog xai AB = AC, Seiigxe ypriyopa oxi В =C.
6)	Eav A = [ Q q ], 6peixe ларабехуца iboxe AB = AC akkd В /С.
1.6.5 Eav В eivai о avxioxpoipog xov A2, deluxe oxi о avxioxpoipog xov A eivai AB.
(Svvenibg о A eivai avxioxpetpipog, oxav о A2 eivai avxioxpetpipiog.)
1.6.6 Хрх]01цоло1Г)охе xr| pieOo&o Gauss-Jordan yia v’ avxioxpeipexe xovg
Г1	o	01	Г	2	-i	0]	Г0	0	1]
Aj = 1 1 1 , A2 = -1	2 -1 , A3 = 0 1 1 .
Lo	0	1J	L	0	-1	2j	Ll	1	1J
1.6.7 Bpeixe xovg л^ахед 2 ел! 2, лои eivai diaipopexixoi xiov A = I xai A = -I xai
xavxi^ovxai pie xovg avxioxpoipovg xovg: A2 = I.
1.6.8 Aei^xe oxi о [	^ ] ^ev ^Xel avxioxpoipo, лроолаОоАхад va kvaexe xo
Г1 11 Га bl _ Г1 01
h 3j Lc d] “ Lo ij •
1.6.9 Aei^xe oxi oxav anoxvy/avei гр алакоирг| yia evav ididpiopipo nivaxa блюд о

UxiAroXidi голп Uyyn U голз UxiAroXidi minx толп пбазук
Dili li iiuiA 3ioliAU§3 тох	= г(7г7,-7 Snorooi^s 5n З1плпдз1гг1аз (n
llX1Q»AOrl ТОЛП UoUlOlTOlAoAnOnir U 3101 ‘5orh(fl3dlOHAD ТОЛП у о
л»а -zn = inx Zq = ia ‘Z7 = iq no si^ng ‘Waz7 = V 1HX 41lGl7 = V Л»Я 8Г91
:q = fijy aoi lioay Ui лаоогод ng ninrilnoao nxiAroXidi пюц (9
SaoAligo Заолюх лаоХз (лоттМпдЛ ЗзЛпууплз 5idroX
Ззхплтк loxiAroAndiii) j.y о тох у о по sioronrilij :^.у aoi ItoUioiroiAoAndnir
иХтоюплп li TOAT3 moi inx q лоп SaoiAroXnig Sno 5здплот1 зт) f}(jq = у лпд (n дуда
‘.и Згоз^тп ПХПА1К
ох1д1зт)т)аоплп лплз зо п11пдп§злп лаодтдо пл лошлад толп nnXioio пооц (9
‘.и ЗгозЗп!
пхпл1и oxidisririao лплз зо шСпдпЗрлп лаодотдо пл лспплад толп ппХтою пооц (п 9Т‘9‘Т
пхплш аох1д1зтЖаоплп Золз тох aoxidisrliiao
5олз nrioiodgn лпо д aoi зпНпдЛ тох [ |	= д лшо Ззхплтм Saoi Saoian 3indg
j/- =	110 плтотИю aoir- 5ох1д1зт)т)ао-плп з1О1лпк толп ±д - д = jq о тох
Зох1д1зт)т)ао зю1лп1г толп jJJ+g = V ПХПЛ11Г ох1л(оЛпд1з1 здпх тЛ по З13пу <П"9‘1
Ззхплтк 5аох1лгоЛпд131 тЛ тох Inioxn ‘loxnadorhnig толп
пл пдокг) loian по niiAngndnir зг) 31^пу loxidisririao 3101ЛПИ толп y Ly тох
jyy 10 Ззхплш SaoririndAoyliyyndnir тЛ тох liripxn по si^ngoiry (поаодзсЬт^лц)
j-yg тох ^ду ‘у^д ‘Qjy 5aoi sioiAoyoim ‘	= д тох [*] = у лпЯ nvi
(у/g о 5<тго Заотодзхп SniAOAngrinyidsiniao) nintionyx толп
aoi ппХюю ni nyo (g) lorigidn ютодзхп толп aoi ппХюю т пур (0 SoiAmXniQidi
толп у о (f) Soxidisiiiiao толп у о (2) 5ох1л<оЛ1д1 толп у о (у) i(,_y о пХдпка по
5п1ло130ока) aoi осЬодюплп лою inx iniAaodlnniq пхплш 5олз 5з11по1§1 5зюц П‘9‘1
aoi осЬодюплп
aoi mA oitai тох lirioxn 311369 — ЭойиНздюплп толп t_y + \_д о inx по ai^nq
inx j_y + t д = {_д(д + у)[_у по siolnoiroriioUdX Uolixon niniasysi aLiij
•ТО1ло<Ьз6юплп g + у о тох Smgnx д ‘у 10 (£
1П1ло<Ьздюплп лзд д тох у io aoir оуо .дпи то1з<Ьз61оплп ,л g + у О (с
то1лосЬз61оплп д тох у то aoir оуо ,дтг то1зсЬзд1оплп лЫ пл д + у о (l
зют 1013 д тох у лотхплпг ninriAngndnir зюту 11'9‘Т
лап ЗаосЬодюплп Saoi (oirodi orinioA sioirligoioiro зг!) nndg 0Г9‘1
!ло1пладп
plan толп nmj q = yt_y aoi lirlrindA Lnidi л1п погод пл мгздкз пд ‘у aoi
SniAO^nionyirnyyoir ‘t_y aoi UiirindX lnidi ц то13<Ьздюплп пл nQoirii лзд у о 3101
ssnvo НФЮУУЦУ IVN 3HMVNILI

1.6 ANTIXTPO<I>OI KAI А1ЧА2ТРОФО1
59
6) EvyxQivaxe ng zvoieg Siaywviovg a’ avxr|v tt]v e^iaaiOT] xai xaxorav auyxQivaxe
xai та exxog Siaycoviov oxoixeia.
1.6.19 Yno note; ow0r|xeg yia та oxoixeia tov eivai о A avxioxQeipi|xog, oxav
1.6.20 Eav о 3 eni 3 nivaxag A e%ei уоардг] 1 + уоар.|гг] 2 = урацр.т| 3, deluxe oxi
eivai aSvvaxov va M)0ei то слхпг)|ш Ax =[12 4]T. Mnogei о A va eivai
avTiaxeeipinog;
1.6.21 Ynokoyioxe xr|v аг>ццет01ХГ| naQayovxonoirjor] LDLT xiov
1.6.22 Bgeixe xov avxioxQocpo xov
1.6.23 Eav A xai В eivai тетоауотхос irivaxeg, Sei^xe oxi о I - AB eivai avxiaxQeipinog,
oxav о I - BA eivai avTiaTQetpiiiog. Sexivx|oxe and xi]v B(I - AB) =(I - BA)B.

60
niNAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
1.7  EIAIKOI niNAKEE KAI ЕФАРМОГЕЕ
S’ aurrjv Tt)v naQctYQacpo ёхоице duo ordxoug. О evag eivai va е^г]уг|ооице
evav тобло це rov onoio epxpavl^ovtai ott]v лда^г] цеуаХа оиоттщата YQa^ixcbv
eigiodjoeojv. Meygi rdiga dev цугщоуеиоаце o’ auro to 6i6Xio халою есрадцоут],
xai eivai aXr)0eia dri yia va ледиудафоице eva |ieYaXo xai reXeicog geaXionxo
лоббХтща rijg хатаохеиаопхг|д jiT]xavixr|g r| nov olzovoolzojv 6a ёлделе va лаце
лоХи iiaxQia. Уладуес соотбоо цю cpuoioXoYixr| xai evdiatpdgouoa ecpaopioYr] лои
dev ала1те1 лоХи лдоето1цао1а.
О aXXog ordxog eivai va dei^oupie, це ttjv idia aurr| ecpa^^oYT], ng eidixeg
i6ioTT]Teg лои ouxva e/ouv 01 лЬахед auvreXeanuv. Eivai aouvf]0ioro va
ouvavTcqre цеуаХоид nivaxeg лои va cpaivovrai oav va хатаохеиаотт]хау orr]v
тихл- Sxeddv лаутоте иладуес eva илотилозца, одатб цаХюта xai це tt]v
лдбстр цапа -ouxva eva илотилсоца оиццетдхад f| лада лоХХсйу p]6evixcbv
OTOiyeicov. Stt]v reXeuraia лед1лтсоот], еле1бт| evag agaiog nivaxag negieyei лоХи
Хгубтедоид ало n2 cpogeig лХг]досрод£ад, oi uлoXoYЮцo^ лдёле1 va douXeuouv
лоХи алХоиотеда ал’ 6,n oe evav Y^aro л^аха. 0a е^етаооице idiairega
TaiuioEideig лёиахед, nov оло1юу та цт] цт]беУ1ха oroixeia ouYxevrgcbvovTai
Yugco ало ttjv хидю diaYftivio, Yia va боице лсод аитт) iq idioTrjTa avTavaxXdrai
ott] dtadtxaoia алаХоирт|д. Падахапо 0a боиХётроице це evav eidixd raivioeidri
nivaxa.
О idiog о nivaxag cpaiverai orryv e^iowor] (6). Oi елоцеуед лад^да<ро1
e^rp/ouv tt]v ecpagцoYr].
To ладабегуца цад лдохилте1 orav цета6а1уоице ало eva ouvexeg лдб-
бХтща о’ eva 5iaxgiTO. То ouvexeg лдобХгща exei anetgoug aYvworoug (avaijira
цю u(x) Yta xa0e x) xai 5ev цлоде1 va Xu0ei це албХитг] axgi6eia o’ evav
wroXoYtorr]. Пдёле1 Хо1л6у va лgooeYY^o9ei ало eva 6iaxgird лдббХтща -doo
ледюоотедоид aYvcooroug ёхоице тооо це?/аХитедг| axgideta 0a летиха1уоице
aXXa xai rdoo ^YaXurego to xdorog. Sav eva алХо aXXa xai лоХи тил1хо
ouvexeg лдобХтща етХё^оице тг] 6iaipogixr| e^ioworj
Аитг] eivai Y(?aццlxf] e^iocoot] cog лдод ttjv ciyvcoott] оиуадтцот] и, це цг| оцо-
Yevr) dgo f. Ynagxei халою eXeu0egia ото лдобХтща, асрои хабе оиубиаоцод
С + Dx 0а цлодоиое va лдооте0е1 ое олоюбт|лоте Хиот]. То абдоюца 0а rftav
цю аХХт] Хиот], асрои г] беитедт] ладсг/ог/од тг|д С + Dx 5ev ouveiocpegei плоте.
Tt’ аитб г) a6e6aidrr]Ta лои алоцёуе1 X6y<o tcov auOaigenov oraOegcbv C xai
D 0едалеиета1 елюиуалтоутад цю “ovvogiaxtj awOr/xt]” oe xd0e axgo rou
бюоттщатод:
u(0) = 0, u(l) = 0.	(2)
To алотёХеоца eivai eva лдббХтща ouvogiaxcbv пцсоу це био ormeia, лои
ледг/дасре1 oxL eva цетабапхб aXXa eva сра1Уоцеуо отабедад хатаотаоесод

одхлзх охо	тотзуоигю лкх
зт! тохлаохгоддоот^з юдзхотдю юх длю клзг!дХдз (i_fn — fn) li тюх ют^зд юх <хсю
клзт!дХдз (i+fn — fn) код к rnoiro aIiio ‘5ют1годдоот коюхоюхюх mri люо (g) лкх
зт!аооколюхюх юл оуохаз талтд •(лздкт! тюлтз лзд люз лаодзсЬотзлао юд лохотХюу
-аох к) 5аодд ЗтзлзЛоко кт! 5аохо 5юхлодз<Ьотзлао лтзосоо^з лотх юдазук ют^зд
aIiio тюхлодзсЬюхзг! той Ьзхкдлао Ьзхютдолао то толп 5аох 5зт1п то- тохотлЛю
толтз лзд aoir ‘i+un тох ®п 5и лаолюдт!юутдз1гт!ао коюхоюдюк ютюхазузх It тюх
kxcodir н 'и1 ‘‘ ‘l = f Lrriix здюх ютЛ ютт! ‘5к(Ьдот! 5кх5кхаю Зтзотот^з и лаоХдюиу
(g)	'(чИ/гЧ = '~'п ~ -nt + '+'п~
‘zp ох зт! 5юхло^
-ютоюукюууозг тюх (j?) 5кх дЛоуюлю опдхютд oi 91ГЮ лозук тюхюхотдюхтхлю (х)/
= ^хр/пр- коотот^з кхтдосЬютд к ‘г/Г = х отзт!ко оозт!ютдлз дхтках юлз (з
ц дхпзд юлз то зт!аоокхют!юхо юл тзкздк юуую
‘О <— ц ох 5<р0юх ^хр/пр 5кх liriix кхтхют!Люд1г лкх тз^тЛЛзоодг юдазук ют^зд к
:зт!аолю9т!юуюлю1гд ’х ох тдзк 5дхтдхзт!т!ао толтз юл ют!кдзход1г ох тюх тзХз 5охау
(V)
._____________гЧ__________~ 7?Р
(ц - х)п + (х)п£ ~ (Ч + х)п ~ пгР
:ц^х тюх х юхо 5зг1зх 5тх лолдт!
тзто1гот!токдХ aoir 5дт!оюадлао 5тдтдхю 5юлз тзХдтюга оЛатЛюдюк кдзхазд кх mj
•5здтдхю опт ох тхюНЛюди толтз ‘х ох тдз1г дхтдхзгМао толтз кдтз1гз ‘отохазузх о^
(с)	•_______Чк____________ и ________Ч_______ ц _________Ч_______~ ±44.
v ’	(т/ - х)п - (ц + х)п ' (т/ - х)п - (х)п ' (х)п - (ч + х)п пР
:5тзоау 5зхтххюууюлз 5здосЬютд лаоХдюиа хр/пр лкх ют j -лэдкН ох тзотЛЛзоодтг
юл (ху к) Ч 010 5юхло1гзбхт1гз kri тюх urikg олзкоюдзкзк отокюх зо 5юхлсрхюг1юхо
]30отЛЛзоод1г юл isdoirri ‘лтдоЛютд лсохтукк отдд толтз ЗоЛгоЛюдюк здюх aocby
‘.ъхр/пр оЛспЛюдю1г лкх зт1аохот0юхтхлю тх зт! ‘толтз кокхотдз kxrodir ц
•у = \+ип ‘0 = Оп 5зт!тх 5зхосоо то тздод кдк лаоХз ‘т/(х + и) = \= 1+их тюх
О = °х юдхю юх^ тотзг1ко ютдт юх юхаю (о 5коау 5кхтхют!Люд1г 5кх ип ‘	‘ in 5зт!тх
5зхтхотЛЛзоод1г толтз юд з^аоотЛо’уока юд aoir дхаю тюх ци = их‘   •	= Zx
‘г/ = ix ютзт!ко юхлоХзкюот зо 5кх 5зг!тх 5тх -Х-у лкх ютЛ лоттдоскодкук 5од
-kyir олзт1оюдз1гз1г юлз юдю1г зг!аодХз§ юл srlaoSoirri лзд оЛду ох лдхаю jj
•ЗюддзЛую 5кхтт!т1юдЛ orikyggdir юлз ‘ют/тоу юуую зт!— mikyggSir лотзоюхоютд лгал
-зт!оюдз1гз1г к дхтдхютд юлз зкаоЛюдюк юл толтз 5ют! 5оХдхо о тхд зхтздкт!а0
•(х)/
5юхкх9т!дз0 kAkir 91m тюхзлтюкбзд тюх од ютоюдхокозд кдздюхо зо тюхлаохюдх
5кх юдхю юх aoir оддюд ютт! зо 5ютоюдхогкЭзд кт!олюхюх лкх ‘юг!Лтздюдю1г ютЛ-
ZaJOWdV<D3 1VM zaNVNiu ioxivih l i

’Z l-
i- Z l-
i- z
T-
юЛкро
oxcodir лох oim coxnx nxiAsplirl srlaoXndnir тох Slidnoynirn Slix nrilig oxcodx ox
зг1аоузххз no зг!аооздо1га 5n ‘SnXdn xn^ tlicbioynirn л1п ой pxan 1зХз nionrilio
птоц -SoiAcpAmpiSx толр у о 119 5рлоЛзЛ рх1дхлзх 010 зг!ао(Ьздхоша
ЗйоЬстошг/аААодхо nriyncbo 010
5олзт!1здзххз Зсорузх toais ‘лсогМпдЛ ЗзЛпууплз Sidco'Z ‘тох SoAsrioido nxixsg toais
лзр aoir ‘aotbndAndnir Slix Зоузх oxo у пхплш лох зт! Ьюздилп зо ‘рхау ’li^ndir
aIixo тох 009 псдсозд lixo 0D9X Ssxxidsir toais лсотЫпдЛ ЗзЛпууплд :тз1гзлао
liosrin nni лаоХз loAltpo loxixsg тох o'idxsririao оорхоу ’lidnoynirn aIxx зт! лаолпх
пл зхогих лаоХз лзр Saoioiro Saox (irn тодзхроосдзк го ‘аолзгкпдо рхгхзд аох
lorioido тог1плароо1 гохзхдп лаодор пд 9 отоупсЬз^ oxj -юхпзд тлр юАйдо
ю 1x9 тзлтогИхо тох loAlipo го тохло^Лоуопа пд Зотдпх рдаздкутгз пд aoir
nxlixpipi лозуп iirs mri толр lixay ‘ЗолзНтдо тсизд тмз 5»хплш о (д)
•SpxiQxsiiriao лпх1с пд лзр у о зхдх \г.р/пр 1л
ycp/nfp 1х Scoirp Зсоз^пх Slixxidsir лпх1л ЗоЛсоЛпдпк 11 лпд -Sliocooi^s Slixidodroip
SlixiXdn 5lix пгдхзтЫао Ux пухплпхлп у аох lixan пгдхзтМао н \jlGl = V
толгз пд ItoluoiroxAoAndnir (ахт^зх U тох ‘q аохглтЛгбх отхпх аох ЗосЬодхоплп о
толгз пд pi ЗдхглотЛлдх отлп о roxg, 'jy = у гохз тох ‘?fo аох плдхгз lixidxr
-охпх лкх зт! тохдоот 013X10x0 здп^ ‘Soxidistitiao i»ai3 5»x»aw q (3)
ssnEf) lidbioynirn aIix pxuxnriodx лаоюиоукп
nxiAspliri пх пхау -у < |Г — ?| лпхд g = -v :3x01m isXQnira asq n^daiy
lix alixan (irn Sgxxg 'SaoiACoAmq 5зх1лох1зЛ oaq Six tox oiacpAniq Liao голрк
inxAoxoidg nisXioxo pxiAsqlni In! nx n"/o, "SoiAwAmgidi i»ai3 5»х»лиг q ([)
:5139<р1^зт1зд toais 5i3dx aotioito лоох хз Ssxlixgiqi Ssxiqis Ззууок 1зХз
Зпхплш о чотоХах толгз пл ох дкп лаоХзкп ауох ЗотлпЛодм ютоко 10 пууп
‘LtynXsri ayoir толр пл pSoirii и Цпх 11 лгогоко лсох лсохозузхлао Ззхплто зт!аоХз
1x9 толр nioniiliD 1зХз aoir 9хау -Soxmlliygodic аох 11Л1ш лкхо moiir srlnxiox пл
ЦхЛплп толр лзр тох ‘(9) котоу^з лкх зг/ sr/aocfisyaoq ng 51x^3 0x0 тох пдсох 91/у
(W1
(4£)f z4 =
(^Z)/
 (v)/ J
tn
in
in
. ln.
'Z 1-
1- Z T-
1- z 1-
T- z 1-
T- z
:g = и li 9/j = i[ зт!аоЛзуту 'q = ny
5зхпл11с зт! пдзхаупх рдпхопдтг пл pdoirri (g) лсозосоог^з и лсох liriop ц
ssnvo НФЮУУПУ IVN XHMVNIU

g = у |эр : у аох пооо^тбо U толп лотЛ1л§о лгох олзг!ол1Л од
тох SiaSppdir (Mori 00,9 тохлаоппкп Slidnoynirn Sin milig здпх з^ 'лтз^пбк
л<01 Saoglr/K aoi LiAnvvn Itoli'/ir nni зо лаоЛи.90 Sisoliioiroyirn ю 53iay
OA.3TioiXaia3 ayoir liioiAovow лох лаолпх Ззхплп ююхц чзлтупЛзг)
и oi Зтдпх х+ Lirin Uxmdo nni зо лаолт/хЛао ЬтлпсЬобк гоЛкдо го *'ioxii30
тол13 ?р 10X1190 10 119 тох ‘пгдхзтМао In pirn лптолзгИолп Smiro ‘ао^/п aoi 5плз
о юсЬобюплп толгз тох 7 го 119 51юшз siomisrilij у лог зг/ лтхзлзркг/ йНод
пгр? лйг ayov-o/.iy лаоХз тх юмтХтдкр тмз пхплиг aoiamXnrprdi 5рлз ft тх
7 5з1лоХ-рдти iq :511§з 5го ллодашаютд пл лаодокг! (Л - (п 5i3oli6liin6nir iq
:у aoi Uoliroiroi/voAndmr- ftfjq л1п srlaog пл толгз 59xnira^nxoirn on:
О ’Saoirodi Saododrorg з-ri пНозузюкп 9x1/31 oi зг1аоог<Нолао пл sriaodoirjv
(9 тох (п лап 5гзо1по1гоу1:п
5u Sicons гтлоХзр ‘плзгЬггз ni тох Ьотдпх ‘ЫлсЬтоупкп nrilig одзхазр 07 (Л
•([лоттМодЛ 5зЛп^»лз лп^пгоаоют 5от0пх) Шмоутт
л,й1 Tonox sxhgUdUi-MQ U<f>dori пытЛтутдх li лозуи ng -nrilig oicndir 01 a^oir
лпокгоггоукп li/liio liicpdic mx LnirindX 1потд1г л1по Л91Л07 пхглз^Ы ng
•5 lioridujdin-aorloDiDnvunyyoif
li^ndi: олог/ mx mri зхкдопгздХ ‘у — = UY аотоп/шу/ок aoi 91101601900611
лох nisj^ •LiTirindA lidxiri ayoir mri зо зх1поз/з1хз nrilig 01 oiaog (9
•9Л1190 лох 91ГП minx 013X1010 pxiA3$liri Uri oapri олз 1зХбп1гх (n
:5i3O
-азюао/ип 5зупЛзг1 09,9 зт1аокз/9 ‘g пз g пхплп 9Х1ЛЗЛ лплз 3ii ЗшлолгдхЛа^
aoi 5з1лоЛрдпк 10 mx 5пхплп SliQiaowni 5плд, '/3
m =
£9
хзломлуфз ivn zaNVNiu lONivia дч

•£ oi ari TOii3(3i»i9 »q iaoinn скп 5юлз 'lOTijjidn lozi'/.o^niQ толп
I + и тх и ‘1 — U io aodby 'Ьотодзию толаз j о no згЬогиотозо 5юо юл 51з7.л1лз Dgarlig #
X ЛО1 О1ЛЮТИ1ООЛОТ1
oi tox LCgdnira л1п	‘9 = ху летзосоог^з лотхтгМюдЛ Sowrllnoao 5олз lirioq
ltUxnlidOT30„ Luo зг!ао(Ьздюшз отауюЛзх олзг!о1гз oi^ -Цюд1г aIiio зг!ю1люлао
5(oiao aoir ‘лапютИпоао лтхиНюдЛ лат^юЛзт! acdi Saogra aoi ют!Л1здюбю1г oioIiaA.
юлз зоаху аодзхз (<Ью тох (jltAsriaigsirTis Saidlqir 5<o 3iiaoda>30 лотш aoir)
51л(Ьюую1гю 5ю1оюх12Ю12 5ln каоотлЛюлю aoi SaoSsri хз коколхпюх aIii зоаХоуз
5олз tdro :5aoiroxo oag зо1пзд1ига^з охаю ютШздюдхш oi no sriao^iiryg
•ql_y = ql_7l_/] = ol_// = rcoi лаоЛюдюи aoir 1юююю1юхплю 11хп1оддюлю
тох Мпо^гшю lixiXoQmg зг1аоозуз1хз юл Ю1Л lignyliQ ‘э = x/q oi лшохюх тох
9 = 37 oi siiaooay юл Ю1Л up лаохдю а>лз ‘51з^юд1г zu упю1гю q 01 зт) (_у aoi
5от!ою1оюу1гюууоц ’[-У ЛО1 71‘Р /нп ‘fl т* 7 ^aoi xriaodg пл оуохаз опт ауои
mala ‘q = ху oi sriaooay юл кпЛ ‘1013, ’Зюхюлш 5кб11у1г 5юлз толу 5о(Ьодюплю
о ‘у о Sanro ‘лотдоЛточд лотлзт!оюдз1гз1г юхюлш люлз nij -oyrlliD oidax 01
srlaooiAOi юл 5anio зг1аоузд ‘лотз§юд1г лап miltdisri 01 зг1юоапз'/з1 <093
5збоЛ11дЛ ayoir толу
11оююю1юхплю кНоддюлю U тох ооо lidnovrairn It 0001 тох 5одаз oigi 01 лаоХз aoir
г] тох 7 5з1лоЛюдю1г 5aoxnm/adi пзХз у 5юхюлш 5U§i3oiatoi 5юлд, :зг1о^'14голаз
*’£/(! + М)(Т - и)и = d зт!аолдто1гюлю5 и = т ззХз aoir юхюлш Ltdlqir люлз mj
’£/(Т + mZ - u£)(l - т)т = d тол13 (oxidisririao у лох зт!ао130О1га юл SidaiX)
/2 тох q ‘q 5aoi лаоЛюдтг aoir лазз^юдк 5от101дю 51лд1дхю о ’ogidmy 1лд1лоХ
0001 Ю1Л SodaiX 1зХдю1га лз§ aodro ‘т лозук тол1з лзд 5ю1лта1 51п 5одаз 01 ю1ла>Л
юз^зд апюх л1по по 5олоЛзЛ 01 О1гю то1Ю1дю§з летз^юдхг Saogliyir aoi UoUrinxs
кдзюздздхю юзр\ -£и ‘юхпддлоХ ‘lypir тохзлзЛ ла)з^юд1г лап 5o0lqir 01 тох 1з^1т!зЛ
5юхюл11г о и oi i3^nioliyir т 01 5ср0ю^ -т aoi аолотЛюдхз! aoi оЛоуюлю тох
1ЮЛ13 по зг!ао1гзу9 юдап тох и aoi оЛоуюлю толу лсоз^юдк лап bogliyir 07
5i3^Tpdu: uzcn гитиг) пл чзизди: тсплис
5aoyi3OM-ini 5рлз lidnoynirn к ‘юхютПлд и зт!аоХз aotby 'т Sodas oxtoatoi тую1г
зт!аоХз ют!119 oi дхаю 41гю (дзюа тох 51з^юд1г (у - т)т 1зпю1гю 511<Ь1оую1гю 5U1
ютИлх) oiroSir 03 ’юхюлш UOUyir люлз ючЛ и= т тох о1ла)Лю1§101 люлз хюЛ у = т
‘юхюлш о1ла)Лю1§ люлз Ю1Л у = т толу „Sodas^iili) охюхлтох,, 03 ’(/д ’Х^)
аг > \ С — г\ юдздазу 1по то1лоХз1дз1г aoir лапаю 5о1хз лздкт! толу юуХюю юх юуо
aoioiro aoi 5юхюлш SIiqisoiatoi 5юлз толу у о по юдз1ох1лзЛ зюздокх
•ютоп1А.по лодзХо тохлолау Ю1юг11шэао юглсоЛюгдгд! юу 'и aoi 5а>зг1юла§ 5ютп гХо
тох ‘u aoi обоуплп тл1з лтз^пдк лап Зодйуи 01 юду 7/zu лап плю SisSppdir
иу то1ло^ю1здХ г/ю1г aoirg ‘коюююхюхплю кг1од§юлю л1п юзЛ тох гзаздк^ю oigi
°± ’ЗаодзЛзт! 513^ю1 Зэдк^хоуо хпюх 5одз1аХю1 толу SgrloiA.O'yoira о тох иу
олрг! 1щло^п1здХ 5i3^ndir £и тЛ илю »бу ’юиотИхд юю131 и лаоХдюка
ssnvo НФЮУУНУ IVN ZaNVNIU
^9

1.7 EIAIKOI niNAKES KAI ЕФАРМОГЕ2
65
Ефакра LTQoyyvXEVoqg
©Etopqxixa, q pq idi6|ioQcpr] Л£р1лхо^ e/el oXoxXqpa>0sl. Tia va фхаооорв o’
eva лХт|рЕд ovvoXo oSqytbv рлорв! va xpEid'^ovxai EvaXXays.g ypappdiv. Kaxoxiv,
то ovoxqpa Ax ~ b Xvvexat ps ava&popq avxixaxaoxaoq. Sxqv jTQa'§q рлорв!
va XQEia^ovxai st; ioov xai aXXsg ЕчаХкауёс, ypappo'jv — diaipopsTixd q Xvoq лои
vnoXoyi^ovpE рлорел svxoXa va yivsi xsXsiaig axpqoxq. 0a acpispwooopE doo
osXi&sg (xfiXsimg irpoaipsTixEg yia to paOqpa oxqv xd£q) yia va xavovps xqv
anaXoapq лю svoxaOq -xai va Soups yiaxi /psia^Exai xai л<од yivsxai.
0vpq0EiXE oxi yia sva ovoxqpa psxpiov psysOovg X-X- 100 ел! 100, q алаХо1фГ|
XQEia^Exai sva xpixo tov sxaxoppvpiov лрб'^Егд. Алб xaOs ixpa^q лрёл£1 va
avapsvovps sva офбХра oxpoyyvXsvoqg. SvvqOoig xpaxaps sva oxaOspo лХг]0од
ipqtpiiov (X.x- xpia, yia sva лоХп advvaxo VKoXoyioxq). 'Etoi q irpdoOsoq 6vo
apiOpmv SiaqjoQsxixov peysOovg 61vel
0,345 + 0,00123 —> 0,346
xai та xsXsvxaia ipqcpia oxov pixpo apiOpo xdvovxat opioxixd. To Epwxqpa sivai
xovxo: xi ovvEiocpspovv 6Xa avxa та pspovwpsva ocpaXpaxa oxpoyyvXEVoqg oxo
teXixo acpaXpa xqg Xvoqg;
Avxo &ev Eivai evxoXo rrtQoSXqpa. EpsvvqOqxE ало xov John von Neumann
лоп qxav q qyETixq paOqpaxixq (pvoioyviopia xov xaipo лоп ^acpvixd oi олоХо-
yioxEg sxavav £<pixxq xqv sxTsXsoq Evog sxaxoppvQiov лра^ЕО^. Jlpaypaxi, лар’
6Xo лоп xai avxq q sxxipqoq xov oqpaXpaxog oxpoyyvXonoiqoqg ало xov von
Neumann qxav лоХо лep^лXoxq, о ovv&vaopog xcov Gauss xai von Neumann Sivei
oxqv алХт] алаХо1фГ| pia a^iooqpeiwxa лХоиою loxopia. Tq ocooxq anavxqoq
oxo epwxqpa 6pqxs о Wilkinson, лоо та 6i6Xia xov sivai лХеоу xXaoixa.
Avo алХа лараб£1урата Saveiopeva ало xov Noble xai xovg Forsythe
xai Moler, 0a фavEpcboovv xpia еубюфёроута oqpsia yvpco ало то офаХра
oxpoyyvXsvoqg. Та ларабЕ1урата Eivai
Н лра^ 0soq рад sivai:
IO MEpixoi л^ахЕд sivai s^aipsxixd svaioOqxoi oe pixpeg аХХауёд svco
aXXoi 5sv sivai. О лЬахад A Eivai os xaxq xaxdoxaoq (dqXadq EvaioOq-
xog). О A' sivai os xaXq xaxdoxaoq.
Алб лооох1хг] ало^л], о A sivai o/s&ov 1бюрорфод svco о A! &ev Eivai. Eav
aXXa^ovpE xo xEXEvxaio oxot/sio xov A oe a22 = 1 avxog yivsxai ачброрфод xai

Q=n li lX=l + nl000‘0
ariaoXa
‘oithluH oiOmai 010 олдт) 5ogpy toais aoir \ = a lirin aIii ioAsrioXs§ ‘охаю jA плу
•I = 71 li ‘x = 6666‘0 +«1000‘0
toais пл airadira ng a 910100 01 sii liomoi^s liirodir li ‘tioniopinxiiAD UriodpDA»
U tois^iXsaoo Scorio 5(ogn>f -Acoithlufi лапарпхзр aotiOi lioiAAsoodir pinx 910100
toais a 0111919 ‘lioav UgiOxoAD mil so тохрухплшлп ЛЗ9 Sliomoi^a 511631939 5Ui
litbodioninx li 1093 5idXaj\ 'x = a li ‘g000l~ = «00001- 130109 n0 UoasyaAAodio н
’06666 ‘0 = « U ‘8666- = «6666-
ТОЛ13 da 31£з01гз ng liocooi^s 11031(139 li ‘СкЬюуоют aIii disjaj
T = « + «
X = а + nxooo ‘0
DTiAi39pdmr 9x191s 01 3iolid(O30
3xligoiADcbD§3 nxDAiir (loxiXOn aoi
X ni 9irn 5oaXi здря '00001- 13Л19 nitbMi nidi mA SlioasyaAAodio nrlyptbo oi
рууо 6666- toi3aiA O13X1O1O 01^39 minx 01 -11031(139 ^i 91г» TOiisdindro liririnOA
liicpdir li SaOorb ggggx tox 59AI190 5oiot0it ado 91x3901г» toisaiA X000‘0 01 n9
зюздокх -SaoTigidoAvn 5011119101г 5UX(oid) 5аою оозг1рлп ‘ ,y dxdaiic aoi di A
‘toais ssnog UdnoyDirn 5п1здаз tirn li 119 зг1ао1Хз9одтг da sriiioyndio lumy 3j^
•origid9A'YD Smliigioir 5liXcoid) лплз 91m
ISdbndlODlDX da isdoirri lioniopinx It/dx so Sdxdaiit 5олз tox lllfoxy JX
:toai3 5nrl Uosg Iid3ia39 н
•liiligoinas оОзтоАту toais
da isdoirri Л39 lioii’/ liASTio^iAoyoira li mx liiligoiDas avoir toais lioav lixnnTiAndir
H ’isgrbisyn^s da isdoirri Л39 рууп oyyp плз to О1зг11ло плз giro isgonromisri
da isdoirri lioniopinx lixox д ’ЗэХодштор 5з<5х»7 зо о1окдоюаз л.1и лкхлп
1зАасЬо2£о ол iidoini лзд 5ододзг! UxnUrigido тптМтоу Slioa^ 5 lii aoi(bli(fi
aoimdir aoi ZiZnyy» »»У зо sx/ipaapsXstf q aoi oitblofi oiviiiv 010 /«Хпу/о п?/у
’X = a = n toais аодз1аз9 aoi liog.7 li ‘g = a ‘3 = n toais aoiiodir aoi linay н
’1000‘Z= «1000‘I+ «	Z=«l000‘l + «
TOX
Z=a +n Z = a +n
:q=xy
aoi 5здазу1г 531^39 5злилох ayoit 09,9 siolidcos© -53191 idiaoaiA Ssyliio 09.9 io
ssnvo MIOVVLIV IVM ZHNVNIU
99

,o 5kioiAoyoira о тзлрх ii лозук тз^рбтлА ЗкюстлАпло о ‘5<01лрц ’5«>3§pi
ко1т)0рдолп inis^pisdX кукю mri лп aoi копхз^з It Scoiro ‘Snotpuysg Urioxn
Ssxidsri лаол1А da лоюлад толщ lutliAligo hwidari art tubio^nisn :5пддзАуу
Slixnirindj 5kxukri0iSn 5ki от<01доАуп Ugmiprisg лою pxrpi зтТпорхф
кхптТозузхоют
рхзхдо толр UokAligo kxidsii It юлз одрдолобХ толр лаолзтТоют аок лгоукю
лап лоро orh§pdi оф *5оюрх 01 тол1з тохпкдкхлао зхоптйз пл aoi niyoxoag н
(•5lio30pi3Ti пхплш плз зг! pi^pg oirn 5от1оп1опу1гпууо1г 5плз li лдпкудтзт! лап
коЫ01дплтгз mil тохз^тздХ тЛоу nyyn зрд) -aoAkgo коз© liio lirhi kioiApii lii
Ilian лаолдзсЬ aoir лотукю тох рууп лоттМпдЛ 5зАпууплз олот! тохло^ртздХ лзд
kokAkgo kdkyir aIii^ оЛкдо отлад одзхаупЛзг! лох тздд пл mA 5зукю 5злзг1о1гз
5п 5зуо тох рууп кукю кю-з/ л111 лолог! iXo зз^рхз^з aoir ‘5/roZ<XZrgo SnodUyu 5ki
kxiAkinOio кдзхохпкдкхлао Inioxn aLii oirn тохзлздхтд kokAkgo lixidsri p
’6666- TOZ 1000 ‘0 лтк 5отлзт1аоАкодц ’5aoi
5ао0зЛзг1 k§pi лкю тзуз1 лаол<о<1)г1ао тох 6666 ‘о тох [ dOoti толр loAkgo oag iq
. р о] рббб‘0 о] р 1000‘о] = р ЮОО‘о] = v
UoliioiroiAoAndnir лкх 1зХз tyj = lty 5dxdaiit 5озл о -511оз0р1зт1 пхплш
плз 11гз oiiomDD'Yirn'YYOir пзлтотИю ‘5голзг1аоЛ1юд1г тох Smiro ‘plan ‘5зхпл11г 3j\
•лсргЫпдЛ иЛп’ууплз nni 5отозг1п лтрлзЛ tdq тох х зт! iniaom aoir aoi roipx oirn
oisXioio oi зт1 ADioAidxAao D0 T000‘0 SpAligo 5олзт1оХздлз о у пхплш лощ
UoliAh^o Uxidarl тохзЛзу ‘5оЛ11до о пзлзЛ пл liriu LiimAsri li liian зюот
1013 ‘лготМпдЛ лтХтоюилп лап 11Лпу^плз U тох 5aoicbluKoira 5aoi 5аоур ^п
аодзхаупАзг! aoi ОЛоупгз ц -li^liio mgi лкю 5aoAligo 5аохплад Заоууп 5aoi
5аоур зт< oAligo 30рх 13Л1дхАло пл 131гзд1г D0 ‘oi30iiad oi шЛ котурЛоп^з
kxigi3 isXdpira aoir Зотзодшпдзк 5ki 5о1хз ‘SkimAoyoira q кЛпууп кхпх
-ndir mii 1зуур9пгз 5рЛкдо 5одхп1 5плз тох ioi3 ‘кЛю^шгп лкю кЛпууп
кхикдотз0 nni зупдзкз аоЛкдо коз© зо ох1лздкт< плз 5(pgidxn 5опго, ОТ
:5ml коз0 kiidi к толр liiay -лсрМтодА Ыпууплз-
кдзлпЛ толр пр1гпдз0 к тох тздрдоп зоклз§о01г х000 ‘0 SoAkgo 5o0xiri q
.Г I 01 Г6666-	0 Hl 000011
1.00001 ij [ 0	1000‘0J [о I J ,V
:5пхпл11г 5oxiXdn о п‘д 4irn
5пхпг1рх 5куур 5горуз1 толр ‘koiAAsoodir pmx 3ip 5pgidxn 3ip ‘/j inx q ‘j
5з1лоЛпдп1г iQ 51100100 Smimg толр kdnoynirD лпр0аз pox nni ‘koniopinx
kynx зо толр у о aoir оуо ^пц "5о0ру 5<оруз1 толр STinoiAoyoira aoir п oj.
Z.9
Znj()WdV*H IVN Z3MVNIU lONIVia Z.’I

nidi зо oiigidn здпх ЗшлоазуаЛЛодю (и) SaoiioiAoyoxa Spgidzn зт1 (i) arepiof
ssnuQ acoi SUdnoyniro nionzigmg liASTioigliAao lii SniAoiioxoTiioliSX ‘Saoirodi 0119 3ii
ИЭЦПН ао1 ПХПЛ11Г £ 113 £ aOl 0(Ьод1О11ЛП AOI 31О]ЛоуО1£Х (1О1ЮЮ1ЛОЗ) 9'£Ч
•0= (l)n ‘I = (o)n
aooaiA 5зх1л0лло Ззхтдолао io лпз ‘(9) л1п хпшдпхплп g 113 g niilnoao оюц g*£'T
•p/£ = x inx г/x = x ‘p/x = x Л.П10 xu-zuis = n lioay
liznnriAndic л1п зт1 Зшаолюх/ло Sogny 01 311389 lnx £n "Zn ‘ln D1 5oc',H 5ro зюоу
1DA13 (g) AoiQotbmg liooioiSa U ‘auxins zxp = (x)f inx p/x = ц mj у/д
UlAnrillDOAOTi
толи Л39 Uoay li ndn xq + £) 0S0 aoio niliioinysyn aIii лаодтолп Л39 5зх110лао
Ззхтдолао 099 iq -[ + (х)п aUi зг! inx iSAingriao 0191 013191 ‘SoinriliygodK ЭлоХзлао
aoi Uoa^ 1ПЛ13 (ж)п U апз no ‘nXioioiiAn ‘з1^1зу •botbdoiioigi толзз у о пдп 439(111
oi 1зЛпдп1с (x‘x‘l‘l‘l) пт1оалп19 одздпю 010 SoAirio^oiidncbs ‘5по 5пхпл11г о по
siisgroingsa -Чп= 1Их in, = On 5п зт! 5зх110апо Ззхтдолао 5п Зтлоптдпхплп

л1п 1з^1ЛЛзооди аок g 1кз g пхпап aoi З11здд £'£’Х
'О = (Т)п = (0)«	‘х=п+^-
птР
л1п тЛ (р/х = ц) л<пдо(Ьп19 лтлзНопдзкзк пхпл1к £ ш £ aoi 3idindj z‘L‘l
•ПХПА11Г aoiAwAnigidi aoian аозл aoi QQ'J lioUioiroiAoAnSnir aIii 3113S9
тх ‘X = II» 30 £ = II» 01 SniAOqnyyn ‘OA3lil3X ОЮ П11Л139ПбП1£ OI 310I110K0K001 X'£’I
31ЯЗНМЗУ
isXdpira
лз§ no Sonio m^iiiox "x 01 юхппт1Людк wiaxoiSg 5qnr aoi 5lioliAli§3 Soirodi
Зодзкэуохаз Зплз зХ31ша пл ллог1оХаз о© -(поюлЛплп aoi (IiaoiIoko тох) олодХ
ayoir зосоуплтпх 5nii licbndAiSsi: li -q^-V зюпюпушпууок тх ,_у л.01311369-
иЛпдЛздзк “lixiiUdo)30„ In зт< liAsrlpAidxAa^ 'лгозофт^з лсохпМпдЛ milnoao плз
ssnvo НФЮУУПУ IVN saNVNiu
89

A2KHSEIS ПА EHANAAHVH: Keep. 1
69
qrqcpia. 2т]це1о)от): npdxeixai yia цю лер1лтсоог] опои x| обг]уг|от| bev 6от}0а. О A
eivai oe xaxr) zaxdoxaoT] xai абералеитод.
1.7.7 Ztsyzpivaxe Tig deejieg nkevpeg xi]g Ax = b, yia tov nQoi'|yoi>|j.evo nivaxa xai yia xig
kuoi-tg x =(1,1,1) xai x = (0,6, —3.6).
1.7.8 Лботе то Ax = b = (1,0, ...,0) yia xov 10 еж 10 nivaxa тот) Hilbert це atJ =
l/(z + j - 1), xpqo^onoKjlvxag халою лрбурацца yia урацщхёд egiaojoeig. Kavxe
xaxoniv цю щхрх) akkayr| oe eva axoi/eio xov A r] xoi> b xai oir/xpivaxe xig kuoeig.
1.7.9 Zvyxpivaxe xoi>g odr|yo6g xr]g xavovixr|g алакокрх|д ц’ ашобд xr|g цер1хт|д o6i)yr]or)g,
(Auto eivai лрауцап eva ларабечуца лог ypeid'^exai avaoxdO|iior| npiv xr]v ала-
koi<pr|.)
1.7.10 Е^т]уг|0те yiaxi axr] цер1хх| одт]уг]сг] okoi oi локкалкааюатёд AZJ otov L ixavo-
noiovv xqv |Ajj| < 1. 2г>цлерсгуате oxi eav та oxoixeia xov ap/ixod nivaxa A
ixavonoiobv xr]v |ajj| < 1, хоте цеха xx)v ларауа>уг| xwv p.r]bevix6)v oxrjv лоо’)тг|
отг]/,т|, oka та oxoixeia cppdooovxai ало то 2, цеха &e ало k бхщата tppaooovxai
ало то 2fc. Млоре1те va хатаохеиааете eva лара6е1уца 3 ел! 3 це ока та \aij\ < 1
xai |Ajj | < 1, xwv onoiojv о xekevxaiog oSqyog va eivai 4;
AEKHEFIL Г1А EIIANAAHM'H: Keqdkaio 1
1.1 a) Tpatpre okoug roug л^ахед 3 ел! 3 це oxoixeia
• • 1
aii = г ~ J xai Oj? = ~-
J	J J
б)	Улокоуюте та yivo^va AB xai BA xai A2.
1.2	Ynokoyioxe xovg nlvaxeg AB xai BA xai A-1 xai B-1 xai (AB)-1, oxav
»] h; ?].
1.3	Bpeixe лара6е1уцата nivaxcov 2 eni 2 це a^2 = 1/2, yia та onoia
a) A2 = I 6) A-1 = AT y) A2 = A.
1.4	Листе це алакоирт) xai ауайроцт] avxixaxaoTaor]:
и +w =4	t; + w= 0
и + v =3 xai и + w = 0
u + t) + w= 6	u + v =6

70
niNAKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
1.5	napayovTononioxe xoi>g лрот]уобц1^онд nlvaxeg oxx) цорсрг] A = LU i] PA = LU.
1.6	a) Yndpxow 16 nlvaxeg 2 eni 2 tcov onoicov та oxoixeia eivai 1 r) 0. П0001 e§ avrcbv
eivai avxiaTpeipipoi;
6) (Полб бнохокохерт]!) Eav балете axr|v tx>xt] 1 xai 0 ота oxoixeia evog 10 eni 10
nivaxa, xi eivai mOavoxego va napexe, evav avTiorperpmo r] evav сбюцорсро nlvaxa;
1.7	Ynapxow 16 nlvaxeg 2 eni 2 tcov onoicov та oxoixeia eivai 1 xai —1. Iloaoi elj
avrcbv eivai avnaxoeipipioi;
1.8	IToieg eivai 01 ураццёд xov EA oe абухрюг) це xig ураццёд too A, oxav


1.9	Госбрте eva опотхща 2 eni 2 nov exei dneioeg Xvoeig.
1.10	Bpeixe це то цап x| це тт] цёОо&о Gauss-Jordan хонд avriorpdcpovg, еср’ ooov vnapyovv,
tcov:
Г1	0	1]	[2	1	01	Г 1	1	~21
A =	1	1	0	, A =	1	2	1	, xai A =	1	-2	1	.
Lo	1	1J	Lo	1	2j	L-2	1	1J
1.11	Eav о E eivai 2 eni 2 xai npoaOexei xr]v прсотт] e^ioioar] ott] devxepr|, xi eivai 01 E2,
E* xai 8E;
1.12	AkrjOeg r| rpevSeg; Me Sixaiokoyia yia akiqOeg, xai avTinapczdeu^a yia rpevSeg:
1)	Eav о A eivai avriorpexp^og xai 01 ураццёд xov eivai oe avriOexT] dicixagi] otov
В, хоте xai о В eivai avriorpeip^og.
2)	Eav 01 A xai В eivai опццетрсхо!, хоте xai о AB eivai онццетрсхбд.
3)	Eav 01 A xai В eivai avrioxQeipqioi, хоте xai о BA eivai avriorpeip^og.
4)	KdOe цт] сбюцорсрод nivaxag цпоре! va napayovronoirjOei 0’ eva yivo^vo
A = LU evog xaxco xpiycovizov L xai evog avco xpiycovizov U.
1.13	Лиоте то Ax = b, kvvovxag та dvo xpiycovixa оиоттщата Lc = b xai Ux = c:
Г1 0 01 Г2 2 41 ГОП
dl» d'
Пою тцх)ца топ A-1 6px|xaxe an’ avro to eiSixo 6;
1.14	Bpeixe, ei Suvaxov, блонд хонд 3 eni 3 nlvaxeg В exoi cboxe
a)	BA = 2A yia xaOe A
6)	BA = 2B yia xaOe A
у) о BA va evakkaoaei xr]v npcoxx] це xx]v xekevxaia ураццг) xov A
6) о BA va evakkaoaei xr|V ngcoxx] це ttjv xekevxaia отт|кт] xov A.

L 0 Z J ~ d Л”3	1101 ^3 ^10 511Wz VO ао1 ^зтМюбЛ 5u зкНвдЛюзц ~[Z‘l
I = лк1
ллспсшолюх! вл 5а>зоз0П1зг1 5зхвл11г £ lira £ 10 1070 зюот 1013 ц krlBACiQ mri 3ii3dg (9
Iacoxdatk и 1K3 и aoti ibx f 11га f aoti Sspprio 5110 ТО1ЛоХз1дзК В1зХ1О1О вооц (в
•5зхвлш 5(i.oi Saoyo mA ibiisiokoabxi 11019-
£d(Zdlc[) = (VWd SoAOABX о 1В1131О1ГОЛВХ1 1DX DQDTio aIiio ISXllAD 50Х1101ЯП1
о ‘apprio лкю лаохклв аок SnodbodimiAD лаоХз ‘opprio лкю л(голзг1вдтг 5aoi
dastIoaiA "SvQvrio,, miAi3§pdni£ АодзсЬтрлз толп 5отзоз0В1зг< Ssxdaiic и ткз и iq q^‘T
'X = (П[_ + (lg + П£	\=(П[^+П£ + П£
0 = т£ + а + п тох о = т£ + az + п
q = т, + а + п	0 = сп + л + п
:aoti колу гзХдрша лзр по 31^139 к ktbioyaim зг! зюау 6Г1
у aoi зг1 Ucbdori mgi л1п 1зХз пои ‘[_у aoi зпздд (9
•0 / 2л 5п1ло130окл ‘Qq олзт1ол1Л зо aoi з1о111опо1лоЛвдвц (в
О
О О
.0 О
tTl О'
£л О
гп о
1<г I
'.Л ВТ1ОЛЛВ1§ OI ,1TB 3 Sltyliio 5ln
UOBIOBIBXIIAB 3ri ‘ВХВЛ11Г t? 1ШЗ OXllOlftBl AOI 4KB 1311'ftXOOlC У О ПО 31O30OKX 81Д
•[q 4v]=V WX
Г it v ol
L I Tr
aoti jficiq = у UoUiokoiaoAbObit lixidisririao Ui зпздд
!51зоау 5зд1зкп li bit! ‘BiririBX
I = fly + x
T = + ху
Brilnoao 01 гзХз ц aoi 5зт1п 5зю1г bij 9pj
= у и из и AOl BIJ
abio □ aoi Lirin лк1 зпзбд g[-[
I lHAHVVNVUa VIJ X13ZHMSV

П IN AKES KAI АПАЛО1ФН GAUSS
1.22	a) Eav о A eivai avTiciToecpipog, лоюд eivai о avrioTpocpog tov At;
6)	Eav о A eivai елсстрд ОЕрретосхбд, лоюд eivai о avaoTpocpog tov A-1;
. _	,	. Г2 1]
y) Ecpagpocrte Tovg ovo Tvnovg OTav A = К .
1.23	neipapari^opevoi pe n = 2 xai n = 3 бре1те Tovg
Г2	31"	Г2	31"	Г2	31"1
Lo	oj ’	Lo	ij ’	Lo	i]	•
1.24	EexivcbvTag p’ eva лрсото ел1ле6о u + 2v — w =6, бре1те ttjv e'^iocoor] tov
a)	napakkr]kov елслёбоЕ did трд ao/r|g
6)	evog Sevrepov Kapakki)kov елслёбоЕ лое negiexei xai та orjpeia (6,0,0) xai (2,2,0).
у) evdg Tpirov лараккт|коЕ ел1лёбоЕ лое ovvavTa то лрсото xai to Sevrepo ото
crqpeio (4,1,0).
1.25	Пою локкалкааю тт]д Ypappi)g 2 acpaipeirai ало tt|v Ypappi) 3 отт] diado/ixi)
алакоцрт] tov
Г1	0	01 Г1	2	0]
A =	2	1	00	1	5;
Lo	5	1J Lo	0	1J
Псод xaraka6aiveTe C/.cooig va локкалкаснаоете) oti о A eivai ovppeTpixog, avTi-
OTpeipipog xai TpidiaYcoviog; П0101 eivai 01 одтр/о! tov;
1.26	а) Пою didvuapa x 0a xavei Ax = (отг|кг| 1) + 2(отг|кг] 3), Yia evav nivaxa 3 ел! 3;
б) КатаахеЕсште evav лЬаха лое ё/ei (атг|лт| 1) + 2(атг|лт| 3) = 0. Елакт]0еЕСУте
oti о A eivai idiopoocpog (kiYOTepoi ало 3 oSryyoi) xai е^т]7Лоте усат!. ovpSaivei
avTO.
1.27	Акт]0ёд r| ipev&eg, pe dixaiokoyia Yia акт]0ёд xai avTinapadeiypa Yia ipevdeg:
1)	Eav Lit/j = L2U2 (pe dvcn TpiY<ovixovg U /copig prjSevixa отт] SiaY<bvio xai
хатсо Tpr/wvixoEg L pe povddeg отг| 6iaY<i»vio), тоте L\ = xai U-[ = H
лapaYOvтoлoir]oт] eivai povaSixi).
2)	Eav A2 + A = I, тоте A 1 = A +1.
3)	Eav oka та 6iaY<ovia OTOixeia tov A eivai pTjdev, тоте о A eivai i&iopopcpog.
1.28	neipapaTi^opevoi ре tt] peOodo Gauss-Jordan vnokoYioTe tov?
Г1	0	01"	Г1	0	01"1	Г1	0	01"1
\ I 10,	/ 10	, \l 1 0	.
Lm	0	1J	Lm	0	1J	Lo	m	1J
1.29	Гранте Tovg nivaxeg 2 ел1 2 40v
a)	avTiarpecpovv ttjv xaTevGvvor] xaOe diavvoparog
6)	лpoбdkkovv xa0e didvvapa otov a'ijova ж2
Y) OTpecpovv xa0e Siavvopa хата 90° avTiOera ре to pokoi
6) avaxkovv xa0e Siavvopa сод лрод Tiqv evOeia (xkioiqg 45°) X\ = x2.

2
AIANY2MATIKOI XQPOI
KAI ГРАММ1КЕ2 E3EQSEIS
2.1  AIANYEMATIKOI XSJPOI KAI YIIOXS2POI
H алаХокрт] алХолота то удацц1хб оботтща Ax = b oxoi/elo лоод oroi/elo.
Ката готоут] абцлтсоотц алХоло1е! вл1от]д xai тт] 0E<DQia. Oi 6aoixsg £QWTr)OEig
yia tt]v vnaQ^r) xai to yovoayuovto — unaQ/ei pita, хацц1а T| ansipsg Xdoeig;—
anavTcbvTai лоХб eoxoXoteqo цета tt]v алаХокрт). Xpsia^ETai v’ адлвдсЬоооцЕ
|ila ахбцт] ларауоасро о’ аотвд Tig EQO)Tr)oeig, цета tt]v oxoia аотбд о xoxXog
iSsibv 0a e/ei oXoxXi'iqcoOel Qotooo, о pixaviopiog Trjg алаХоарт]д Sivsi Evav
|idvo tqoxo xaTav6r]OTig too удацц1хоб ооотгщатод evw о xopiog отбход цад
sivai va летохооце цю ба0бтерт| zaTavorpr]. To xscpaXaio аото naet ott]v
zagbia тт]д Г(эацц1хг]д АХувбрад xai iooog sivai ЬоохоХбтеро ало то лрсЬто.
Кат’ адхад XQELa£opaaTe T1l'v evvoia too diavvo/iarixov xioqov. Tta va
sioaydyoopiE aoTT|v tt]v idea ^sxivapie ало тоод лю EvSiacpsgovTsg х<Ьроод лоо
oopi6oXi^ovTai це Я1, R2, R3,.. .• олархе1 EV<*S уьа xa0s 0etix6 ахёдаю. О
Хсород Rn алотЕХЕ1та1 ало 6Ха та б1аубоцата-атт]ХЕд pis п ooviOTiboEg. (Oi
oovioTibosg Eivai лдауцат1хо1 ад10цо1.) О XOJQ°S R2 napiOTavsTai це to
oovt]0io^vo ел1ле6о x,y. oi Soo oovioTwosg too SiavirapiaTog yivovTat oi
aovTETay^vsg x xai у too avTioToixoo от]це1оо. О R? sivai s^ iooo oixsiog xai
oi TQEig ooviOTibosg divoov eva от]це1о too TQtdiaoTaToo yjopoo. О цоуобшотатод
Xcbpog R] sivai ц1а soOsia. To ormavTixo yia тт] удацщхт) аХувбра Eivai oti
г] Елёхтаог] oxig n SiaoTaosig sivai sEj iooo алХгр yia sva бахуооца otov
елтабкютато xwo R1, yia tov оло!о ббохоХа ёх.ооце уеюцетр1хг| елолтЕ1а, то
цдvo лоо xpeia^ETai va ^ёрооцв sivai oi влта owiOTiboEg too.
2тоод x<o£>oog аотобд, xa0cbg xai os xa0E &1ауооцат1хб x«qo, ббо лра^етд
sivai bovaTsg:
MjtoQovfie va TCQoaOeaovfiE dvo biavvapata
xai va xotAanAaaiaaoviiE diavvapata pe aQiOpovg.

AIANY2MATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 EHI2Q2EI2
Tia тоод /(jiQoug R" oi npa^eig аотёд yivovTai ooviOTiboa лрод ooviGTxboa.
Eav x eivai to diavoopa too R4 pe oovioTiboeg 1, 0, 0, 3, тбте 2x eivai to
diavoopa pe oovioTiiioeg 2, 0, 0, 6. Mnopei va dianiOTCD0ei pia окбхкцрг] oeipa
ало 1&1отт]тед блюд: о ретабет1хбд vopog х + у = у + х, т] блар^т] “prjdevixod
dtavdopaTog” лоо ixavonoiei tt]v 0 + х = х, г] олар^т] evog diavdopaTog “-х”
лоо ixavonoiei ttjv -х + х =0. Ал’ бкед аотёд Tig iSiorrjTeg, охтю, лоо
neptkapdavoov xai Tig nporjyoopeveg Tpeig, eivai 0epekiibdeig xai о хатакоубд
тоод ларат10ета1 OTiqv Aoxrjar] 2.1.5. Tonixa, лрау/ianxdg biavvafiauxog
/юрод eivai eva avvoko “diavoopaTiov” eipodiaafievo pe xavbveg diavvofiarixijg
лдбаОеодд xai лоАЛалАмтаароо fie ngayfiatixovg agiOfiovg. H лрбо0еог] xai
о локкалкаошорбд лрёле1 va napayoov diavdopaTa errog tov -/woov xai va
ixavonoiodv Tig охтю аотёд idiOTrjTeg.
Ката xavova, та diavdopaTa рад eivai oovr]0iopeva &iavoopaTa-OTr|keg xai
avr|xoov a’ ёvav ал’ тоод ywpoog Rn. Qotooo, о Tonixog орюрбд ел1трёле1 va
охефтбраоте xai akka лраурата oav diavdopaTa — еф’ ooov г] лрбо0еот) xai
о локкалкаоихарбд pe apiOpodg eivai хака opiopdvoi. Aivoope Tpia napadeiy-
рата:
(1)	О aHEiQodiaararog xd)Qog R°°. Ta diavdopaTa too ё%oov aneipeg
oovioTiboeg, блюд то ж = (1,2,1,2,1,...) evtb oi vopoi лрбо0еот]д xai локкалка-
oiaopoo лapapёvoov oi idiot.
(2)	О xd)Qog twv mvaxwv 3 em 2. S’ aorr|v tt]v лер1лтюог] та “diavdopaTa”
eivai nivaxeg! Млоробре va лроо0ёоооре Soo nivaxeg, A + В = В + A, олар/ei
ёуад prjdevixog nivaxag хтк. О /юрод аотбд eivai idiog pe tov R6. (Oi ё^1
oovioTiboeg 5ieo0eToovTai oav op0oyibvio лараккг]кбурарро, avTi oe pia отт|кг|.)
Ka0e enikoyr] tov m xai n 0a ddide dva ларброю napadeiypa, tov /(про twv
nivaxwv m eni n.
(3)	О x<dpog rwv ovvagTijoewv f(x). Аехбраоте ебю okeg Tig oovapTT|oeig
/(ж) лоо opi^ovTai o’ eva ovyxexpp^vo бкхотг|ра k.x- то 0 < x < 1. О X“Q°5
аотбд nepikapSavei Tig f(x) = x2, g(x) - sins, to a0poiopa тоод (f + g)(x) =
x-2+sin x ха0юд xai oka та локкалкаою, блюд то З.т2 xai - sin х. Та diavdopaTa
eivai oovapTT|oeig xai r| бкхотаот] eivai naki aneipr] -xai ракюта pia aneipia
реуакбтерт]* ало aorrjv too R°°.
Eninkdov napadeiypaTa didovTai OTig aoxrjoeig, akka oi diavoopaTixoi x<d-
poi лоо хреьа^браоте лерюобтеро eivai халоо akkod -nepidxovTai fieaa отоод
Rn. Аотоод тоод х<броод 0ёкооре va nepiypaxpoope xai va е^т]ут]оооре ytaTi
eivai тбоо ev6laфёpovтeg. Геюретр1ха, охеф0е£те tov oovr|0iopdvo TptdiaoTaTO
X<dpo R3 xai бюкё^те dva eninedo diepxopevo ало rqv apxr|. Avro to ejtinedo
eivai ало fiovo tov evag diavvafiarixog xwQog. Eav локкалкаокхоооре dva
* S.T.E.: Tia tt)v лХг|от] xaTavoT]aT} <м;тг'|д тт|д avYXQiorjg xQEl“?OVTal Yvroaeig ало тт] Oriuoia tciv
diaTaxrixibv aoiOjnitv.

ло1 mA aodro ‘(п) 5плдлпх о TOia^nigndnjj ’SodmXgira толр лзд ‘поэт! 13л11сЬп
5nii liosgogdir U тох лзд1и! oi тзХзтдзк aoir oygdnir ‘giay g < /г тох о < х
лаотоколпхт 5злзт!Лп131лао то тох oidgiiliidnisi oimdir 01 толр оуолаоотга oi
gian зхох одзкшз /г‘ж oi толр 5odmX 5gxiXdn о люд -лз^Ы 1л 5зхпзд толр
5злзт!Лп131лао io лапшго лап шпт!оалтд ni пуд зю1лдюз@ у VKJISVVdVII
iodmXgira aoi siadipynmxAs пл 5idmX ‘giigidn ari шпт!одлтд з1зопю
-nyirnyyoir »л тох nimioaAnig 31зоздоод1г пл згрдокдо :(и) тох (i) Snoliimirn
то птлаотохолпхт лп ‘толр зг1аоо1л1лп1гп пл isirsdir aoir 1ю1л1отдз U liocoiirid
-зк здпх з^ 'аодсоХока 5длз тох аоудлаоока 59ЛЗ а§п1зт! ndocbmg I11 ЦдзлпЛ
лаолпх ‘пдзюЛдп олзткмдо тох ndmi sriaoAig aoir nimiApgndmr пхтдздо
•(пт!оалп1д gxiAsglui 01)
5ln 11лдт! UXdn li nigi Li тох 5UXdn 5lti nig прдаз здпх ‘51лХдп 5lii nig ogsiriirs
здпх о 5oigi о :пуохаз то1ло<ЬпдАлдз1г lodcoXgira тошлад то юуд 3191
о толр SodcoX ЗдхтХдп о лшо, 'odmXgira тХо\ лз лою тоазХзтдзк пткжлптд
здпх— SodmX SgxiXdn о 5odliyxgyo толр 5odmXgira 5дхппт!оалтд 5одз1дупЛзт!
о ‘Uomiiridsir птодхп Uyyn л1и^ 'SodcoXgira толр лзд оуолаоока длзх 01:5одтХ
5рю1-от1оалтд 5озюлад 5одз1рдх-1т/ о тл1з 5piay ‘дэ nionyirnyyoir ni пуд
зт! тох 1зл1пдт!ао oigi 01 тох (lopiilto 5длз одотХ ло1 лдшп (о 1П1зХз1дз1г д + д
niioiodgn 01 пошлад толр Sgiiomonyirnyyoir тох liosgogdir лосЬп ‘то1ллоюк
-олпхт (п) inx (i) 5злдлпх iq -1лХдп л1лю oprilio 01 олдт) 1зХз1дзш aoir u5odroX
Эдхппткжлтд 5о1пюп1долзд1п1„ 5плз толр Soiaoj^ -дх1лзд1лг1 01 ‘пткжлтд
олдт! тох плз тзХзтдзк пл толр odmXgira лплз шЛ тСидюлад птодхп опт н
'0=о толр пл grlgidn ло1 si^syniy :(п) плдлпх лою inisypcbo oigox -odmXgira
3Qpx зо тхзХз^дзи: ng юг/оалтд ряыздйг] 01 nxigis ид ЗЮОТ1ЗТИ13 -odmXgira
здпх зо тох лаоаздСрп ng 5minTioian ‘одотХ тлоуупдтдзтг лою лаоаздСрю aodro
ngig ‘Ssiliigigi roixo 5u зг1аооазд1лутгз пл (лхЛплп толр лзд 1013, -odaiXgira
ло1 (irn айз лаоЛкдо 5nri пл 5idcoX аодотХ boiAoyyngidsir aoi Ззлдлпх 5aoi
лаодаоуохп Ssian Sn^ndir iq 'Saorigion зт! griomonvirnyvoir ло1 inx liosgogdir
л1и Sodir 5(0 1(дю1зух„ толр aoir оуолаоока плз толр 5odcoXgira ‘тЛду пууп 3[\
odmXgira лою pnir inisXgidsir хэ oionyirnyyoir 01 ‘э
giigidn лплз зг! aodcoXoira aoi х пг!оалп1д плз STiaoonionyirnyyoir лпд (п)
•odmXgira лою inisXsidsir ft + х 5aoi
niioiodgn 01 ‘aodcoXoira aoi ft тох x п1пт!оалтд оад srlaoosgoodir лпд (?)
:5i3olinnirn 5злзт!д1гз оад 5и ртоиолпхт aoir оуол
-aooira длзх Ini плз то1зЛзу аодтХ аохипт!оалтд 5длз ЬодтХди^ SOIAKIdO
•5пддзЛуу SUxniiinSj 5U1 5п1дтзд 5U1
5зздт 5здзюзд(тузт!з0 5п giro nni 1здз1готоод1гплп тох лодтХ aoxiXdn aoi
ЗодюХрил 5плз толр gian ogsiriirs oj^ ’ogsiriirs 010 1злзг!пдтг 5aoi niioiodgn 01
‘аодзкпгз aoi ninriooAnig oag siiaoosgoodir лпд -ogsiriirs oigi 010 олзт!дХз1дз1г
пт!оалп1д плз зт1аолдто1г ‘grigidn оууп oioirnx U д- li £ зт! аодзкпгз aoi пт!оалп1д
IOJC5XOUA IVN IOdf5X lONLLVWZANVIV IT

•у aoi AcnyUio лсох Зр^оюарлоо 5рхтт!т!юдЛ mod тюхз^юдЛхз q
тэтк>алютр oi люхр ‘3101 лолрт! тох зхрх тюхзлау q = xy ютИпоао oy yZ
•3Tiao4i3Y9»dmr лох юл тох ndoirri юуохаз
aou ‘Зрукю ооох тюлтз оуолаоохга ох охаю зг!ао4т,юдЛтдз1г юл 5oirpdi Зюлд,
q лсох оуолаоока ох рхаю
sriaodp юл srlao^sQ -q лсо1ют!оалютр лсохюхототртдх лотхюлар лсох лсоур оуолаоока
иригзу„ ayoir юлз ютЛ юх1прхпют!Люд1г лкхо тох Зэдазук 5зт§зр олрт! 5злзт!отдо
ютЛ тохзлау и < ш зт! ютИиоао юлд, -Unay 1зХ.дпма пд лзр 5тдйлао по зт!аол
-зт!тдз1г юл isirsdir тюх ЭаохосолЛю 5аох р1гю Зтзотот^з 5здзхроотдз1г лаоХдюша
liocoxiridsir юоаодюк лкх^ (тохз зхохлютг толтз лзр aoir оур 4дю1г) Зтзоау Зз^уок
sriaodp юл зт!юлзт!тдз1г юд Зтзосоот^з п‘р 41гю тохосолЛю тодзхроотдзк люХд1пга люд
:лтохосолЛю
оар тюх лсозосоот^з лсотдх ют!Лтзрюдю1г юлз ,т! солютг OTir юх зт!ао5;тлтдхазту
аох ToScoXpira толтз тюх ‘(х ох отрт ох U) у аох ЗзгМюдЛ то Scoirp ‘Ззосохотлао
и лаоХз юхют!оалютр юх 5тзосригтдз1г Ззуую 33; шу аог lodcoXpira толтз тюх ‘у
аох 5зу1по то 5coirp ‘Ззосохотлао ш зт! юхюткталютр лаоХзтдзтг 5тзоооигтдз1г Ззхтдзт!
3^ -q = ху ютИиоао ох ютЛ ЗзтдосЬодкуи лаолтр тюх у юхюлп люлз зт! юозт!ю
тохлозрлао тохау -лсодсоХога ютртз'ух-юхютМтзрюдюи юхо юдоох зхоют!рХда
•SaodarXoira оар 5аохо тюх тзхклю Зюхюлтк
Зрхтлзркт! о ‘юхтоаф -тохтдхзтЫао толтз д1у то лю тохтдхзт!т!ао тюх тохтлсоЛтдх
сохюх толтз д‘у то лю тохтлсоЛтдх сохюх толтз тюх ‘д тюх у лсох 5зх1пртрт 5п
лаот!олод1г/х уэ ютоюукюууои юх тюх д + у юхютЬтоддю юх ‘5тзоооигтдз1г оар
Зтхо тюа -ЛСОХЮЛТ1Г лсохтдхзтЫао лсох оуолао ох толтз Зоу^ю Зюлд, ’лсохюлтк
лсохтлсоЛтдх сохюх лсох оуолао ох толтз SodcoXpira Зрхюлар Зюлз зхрх ‘£ Т1гз £
лсохюлтк лсох одсоХ рхпют!оалютр лох О1гю зт!аоо1хлтхз§ лу z VLMJI3VVdVII
01 odlr/xpyo толтз отдртИпдюхзх oxcodir 01 тзХзтдзг aoir
SodcoXpira Зодзхрдхтт! о тотдртШхдюхзх юх юхаю (о тюхзХзтдзк лзр aoir [j [.-]
ют!оалютр ох тзлтр [х - z~] 01 31^ [Z l] ао1 liosgopdir li aodro ‘(1) Зюлрлюх
о тохз^ютдюдюк юд Scorip юдсоу ’тохтзтоколюхт юд (тт) Эюлрлюх о тох odcoXpira
лохо тзлзт!юдю1г юд хэ отоюуютууок здюх :тз^юхлз тюлтз ЗртЬютоюуиюу’уотг о
зхрх ‘oxcodir 01 зт! т^ют! отдртИпдюхзх охтдх ох тюх зт!ао9юутдз1гт!ао люд
•oirodir 01 ютЛ плю отдртИпдюхзх охтдх
охо тюлтз [х - х-] = хэ отоюу1гюу(О1г ох ‘[х х] »т!оалютр ох тюх х- рт!дтдю
3133031-3 33NIJNWVdJ ТУЯ TOdOX ICTMI1VJN3ANVIV
9L

2.1 AIANYSMATIKOI XQPOI KAI YITOXQPOI
77
S/. 2.1 О xcbgog twv ottjXwv: eva enixedo tod TQididaTciToi) xwqou.
Аитг| т] лер1урафГ| dev nepie/ei лара p.ia avadiaTDXwor| tod огаттщатод Ax = b
ott] цорфт|:
^ЫО1'	<2)
Агтёд eivai oi idteg xpeig e^towoetg cog лрод xoDg doo ayvwoTODg. Twpa
ojiwg бХёлогце oti to лрдбХтща eivai to eijr|g: Na 6pe0oDv api0p,oi и xai v лог
лоХХалХао1а^дцеуо1 ел1 xqv лрсотт] xai бегтерг] отг|Хг], va xapdyorv то diavDO|ia
b. To аиоттцта Xwexai тдте axpi6wg oxav глар/orv Texotoi oDvxeXeoxeg xai to
diavDoy.a (u, v) eivai r] Xdot] x.
Exo^vwg то odvoXo twv eqxxxwv de^twv nXerpwv b eivai to ovvoAo oAojv
raw ovvdvaofiwv ra>v orrjXmv tov A. Ae^ia лХегра eivai dovaxov va eivai t] idia
т] лрозтт] ottjXt], oxav ё/огце огутеХеотёд и = 1 xai v = 0. Mia aXXr] dDvax6xr]Ta
eivai т] devtepri от^Хт]: и = 0 xai v = 1. Mia xpirq eivai t] de'§td лХегра 6=0,
oxav и = 0, v = 0 ([Г aDxx|v rqv Texpipipievr] ел1Хоуг| летг/а^огце то b = 0, блоюд
xi av eivai о nivaxag).
©ewporpie xwpa оХогд xorg ODv5raop.oijg twv 6do ott]Xwv xai лер1урафогце
то алотёХеоца yewfiexpixa: to Ax = b Avvsrai eav xai [itivov eav to b ттедьёхетас
ото етледо лоо ладауетас ало та dvo diavvofraTa-OTijXeg (Sx- 2.1). Агто
eivai то Хелто orvoXo twv еф1хто^ b. Eav то b eivai ехтод тог ел1лёдог, тбте
dev eivai урацц1хбд ODvdDaa|i6g twv dro ott]Xwv xai o’ aDTrjv tt]v лерзлтоаг] то
Ах = b dev ё/ei Xdotj.
Adto лог ёхе1 отщао1а eivai oxi to ev Xoyw ел1лебо dev eivai eva алХб
глоотАоХо tod R3, aXXd ёл'ад Dлдxwpog xai 0a xaXeixai /юрод on/Xoiv tod A.
О /oipog oxr]Xwv evog л^аха алотеХе1та1 ало okovg tovg mivdvaofiovg rmv

•q = xy aoi IioLwadidx aLu пй 5mi 5ззозААзоод1г 009 5u oirn nirl 13919
odmXgira aoi gisgpx aoi sri i^nri Soiay 'aoQm'Z aoi aodliyxoyo inx aodmXoira
aoxiasqlui aoi a^nisri aoirpx misxoidg Aioyluo 5одотХ о лоззоют aioi ‘5oimiliXo
3ioirli§aoio 5зхплз1г SaorhindApylryyndnir тох 5зхплз1г SaotbSorioipi 5Lioiir3 sriaod
-msg ndcpj^ уц oi тлзз Aioyluo SodroX о aoioiro aoi и iirs и dxdaiit 5олз
‘lioaniridsir (luprioigliAao our mx) liQsioaoyirn alu зз1по1изузз1 ззхд -озоурсЬзх
01 (093 019,01 зо зшзХззбзк x omyptbs^ 01 oirodi oioir зт! здозлр911пуилу
•oxnAiir aochSorioiQi Ini 5олз aotvIuo
odcoX лою ззхклп q здрх 5от1гзла^ -ssrreg lubioyDirn зг1 q = xy 01 ariaooay da
sriaodoirii mx 10AU90 g лаоХдрга dxdaiit 010131 лплз mj 'лтукю одтХ лтоо
01 одкухруо 1зХз Згоямш § юз § 5od)doripigi kri эрпу] -oxoaiit aoxuoiani aoi
слог! шкзздотлА oxiioidluxndnX тлзз ЛЗ9 oiay ,-ц aoi nrioaApip sioirliQoioiro
лаоАрдтг пл тх oyUyypinx лаодопарлао пл лдюлар тлзз aoxuoiani aoi
5зу1ио 31Л31Г то тх 01 odliyxpyo тлзз aoi л(оу1ио 5од(оХ о зю£ -SoxnAiir
g iirs g 5oxnoiani о зплзз у ио зюздока ‘Uoauiridsir пзпЗхп liyyp л1и^
q = жд aoi lioay Lu зз1гздп1гз q aoi liAoyurs li luan aoaotI mx g = q 01 тлзз
(лгоукю лап SorionaqAao Залог! o) aoi л(оу1ио одтХ лою mioaApig OAori 03
’0 = у dxdaiit oxiAsglrri aoi oirn зтзХдзодк ‘лтукю аодсоХ аотлар аодзюдхзт!
aoi ‘Uooniridsir ninSxn mri 77 тзэдаз niri idais Aliri da isSoirri ‘x‘^ ‘X^ oio
srinopipsXo Slioiirs aoir ‘5оЗсоХ лотукю одтХ aoi 5o9ir 5о1здрх о ‘птог1одпц
аоботХ aoipionipidi aoi 5р1лз opsiriirs oiniopipip плз sriaoXs da UxAdad
1ПЛ13 лзу -5зхиздо(Ьп12 ayoir тл]3 пл pdoirri aoir Sisopiomq 5u sriaoojdm^a
ad- x’Z SoinrHiXj aoi luan Scoirp тлзз Uomiiridsir IixiasA li ‘pxidisiiaraj
qo = (хэ)у тЛоу пуур 3]y -qo 01 sriaolpdnir
ng □ 3ii aorionapAao aoi 111озуз1лао здрх Зшло^ртоп^ютууок 3101 ‘(q = xy
•X-y) q 01 ззЛрбтг лотуСио лай ЗоИопарлао Soioirpx лу -qo oiopyirnyyoir
здрх 3ii mx iSAingrlao 0191 01 ‘Acoyluo odcoX 010 тлзз q 01 лрд (n)
•miwoiroADXi SaodroXoira mA Itolumirn lucodir li mx liosgopdir
aIu 5odir 5co pionyx тлзз шп^оалпзр р1хзсЬз 03 Uyluo) Lu лао (x Uyluo)
Lu sri 3010.003 tq + q 01 3191 ‘(3 Uyliio) In 5здо<Ь z 3ri ткгооз fl 01 зпх (3 liyliio)
Lu лоззт1 (x Uyluo) In зг! зтаооз q 01 лрд -Aipyluo лай 5оз1опа9лао 51гоз1гз зплзз
fl + q 01 зпх fl + q = (;ж + x)y 3193 -fl зпх q ni лаоЛрдтг aoir SaorionapAao
5aoi лаол19 tx mx x ni aoirg ‘tx oioirpx mA tq = txy mx x oioirpx mA q = xy
5(олзт1о1гз mx Aipyluo одотХ лою 1тлоХзздз1г fl mx q ni 119 зюздомх (l)
туохаз miAoasgliynirs (n) mx (1) Sisolumirn 10
зпх 5зо(рю1лао ш лаоХз 5зу1ио io 11919 aoi 5od(oX9ira 5плз тлзз ng 59100
dxdaiit и 11гз ш лплз mj у aoi лтукю одтХ лою ю1зХз1дзи: q 01 лрз лолрг!
зпх лпз 7шзлау q = ху кото^з 77 ’(у)2£ 31^ mi35iy°9^aD тох аО1
ZIHSElZIEa ZHMIWIWdJ IV3 lOdOX lONUVHZANVIV	SL

:5о1пт1оалтр
aoi aoian oiopyirnyyoir здпх тох Здтдпх	Эзодпотлоо зт! пт1оалртр oi
тзХзтдзк д пхплш аозл aoi aoian Sanio ЗодгоХрлзркг! о 'здпоклтхз^ Ззтоко
Sii 3ii лотукю oap лап nrioiodgp oi Зотдтдхп толтз тох yi X^ aoi opsirrirs oio
тогзХзтдзк kykio пзл н 'V ao1 Apian tr1 Зотрт толтз g aoi лсрукю SodmX q
[? J
:л(О1(рд1г оар лап 5от1опар
-лао толтз aoir liyliio kridi mri sriaoosgoodir Siypri тз^пууп lioniopinx н
О = a = n толтз рдазук пт^зр liio лзркг! oi тзЛпдтг aoir 5рт!опарлао Золот! о
•пткталптр охтлзрЫ oi олот! тзХзтдзтг ЗодатХолэркт! о котигтдзк л!и локтоу лкшп
 К '0= 01 3ipi чз^рхЛплп коотот^з кдзшзр к тох о = п тзлтр котот^з kicpdir н
тоуохаз ттзхотдд 5ошг1Лтзрпдпк аолзт!аоЛкодх
aoi 5од(оХолзркт1 q одотХока лаоузюкп (о = q) Soimikioao 5а<мзХот7о Золз
Зтзоау то лолору кхтлзркг) kri толтз рдазук пт^зр к лшр лаоаХот пл лаоатг
Эзхкдлао оар то тох о = (хэ)у 3101 о = ху лрд :(п) kokiinirn к тох 5кошз
тзаХо[ о = (tx + х)у 3191 g = ,ху тои 0 = ху лрд :(l) koluinirn к тзаХо!
'шН ао1 5odmXoira лтк лтукю ЗодатХ о тох 5ашо
‘иН аох SodmXoira 5плз толтз Spiay -g = xy nioiro ni птЛ х пшт!оалтр т
nyo (irn тштзузюют тох (y)jV зт! То1з^туодг1ао пхплтиг 5олз ЗодатХрлзркг! q
у aoi Sod(oXoA3gUti о- $одюХ ЗохпюНоллтд
5юлз aoi олрг/ par» тилтз g = XV лог люзолу лстл оуолро oj, ( ш < и лто
крпукр ‘Зтзоотт^з 5и (irn lodsioooidsir тол13 тоюотлЛр то лто зю1лр1г лаоХ
-dnira тох) Зтзоау Ззуур 5здтз1гр тох лаоХдрка пл isdoirri пууп ‘о = х коау
кхтртз лк1 ЗЮ1ЛП1Г тзХз о = 9 пдазук пт^зр н ’лаолрХЛашгз 5п aoir х лотзоау
лап оуолао oi тох пууп ‘ЗзаххЬз толтз q Зздазук 5зт^зр 5зто1г олрг! тХр лаодзсЬ
-птрлз 5п[\ Skicpdir Ski „кхт.ар,, толтз q = xy aoi котЛЛзоосЫ кдзшзр н
у аох ЗодгоХрлзрки! о
lOdGXOUA IVM IOdC5X IOMU.VTN3ANVIV 17

:5злолюх толзт1окз ю тохлаотоколюхп юл зг1аохтокю
оЗотХ oxnwriodAmq юлз .о ЗаоНдкЗю зт1 отктотоюукюууок лох тох ОоздооЗк лкх оку STZ
!5аодотХока Заохаю oaq 5аохо тох тохзХэтЗзк аок ЗоЗотХока ЗоЗзхауюЛзт!
о толтз 5отоц :5зхюл1к SaoxiAroAiSx minx Заох Заоуо тох Ззхюлтк 5лохю1зг1г1ао
5аох Заоуо пХзтЗзк аок £ 1кз £ лотхюлш лотх ЗоЗотХока ЭоЗзхоЗхп) о толп 5оюц fTZ
лотхюлтк лап оЗотХолздкг) лох тох ла>у1лхо оЗотХ лох зхДюЗЛтвзц f’l’Z
О = iq£ + iq - iq л1хх лаоюколюх! аок (iq ‘iq ‘ к/) юхюЗоалтд o j
(l ‘О lZ) ~ 1пх (О ‘l ‘l) = х лотхюг!оалю1§ оад лап тотйтоадлао то юуо, (3
‘(О ‘О ‘О) = Ч юг1оалю1§ олзт1отлог!зг1 oj, (q
•(О = iq аодзкшз аох тох о = 1<?
аодзкшз аох ‘ла>ЗотХока oaq коотлз U толп 1ххаю) о = iq Iq зг! q юхютк>алю1§ юх (Л
X = lq зт1 q ла)хюг1оалю12 лотх oqskiks ох (9
О = iq юоапотлао (лхотдк зт) лапю^оалютд лотх о§зк]кз ох (ю
ГюЗотХрка пют1ЛюЗк толп аох юуолаоока юлзт1окз юх «экю ютоц ZTZ
лотхюг1оалю19 коздоодк
лкх ЗоЗк 5от iXo юуую оНохпоюукюууок лох ЗоЗк Зот охопух (тЗотИаЗюхзх
юхздплю оа§ юх окю oxixsSodroig) аоЗотХ aoxrnopiqiq аох оуолаоока юлз (9
5аот1013ю зт! ог!оюююукюууок
лох ЗоЗк Зот тох 5отт!о 1X0 ‘лотхютк>алю1§ 1юздтосЬю лкх 5оЗк 5от тох юхтоуют!
тох 1тоз0ооЗк лкх 5оЗк Зот охопух ‘аоЗотХ aoxmooiqiQ аох оуолаоока юлз (ю
:5юхлоЗюазхоюхюх ‘ЗзхкхЗю^злю
пют1ЛюЗк толп оЗотХ охпюИоалюзд люлз тк (и) тох (т) 5по1ххтокю то по зх^тзу? ri'Z
3I3SIDIZV
•5аодсоХока 5аохаю
‘О 5аохз0»х oaq 5аох тох 5(ognx ‘у аох одотХолз^Ы лох ‘у аох лотукхо одотХ
лох tiQnyli§ ‘у юхюлш лох зг! тех 5аох а^юхзт! юлзхо тохлоз^лао аок ЗаодотХока
Sidaooai 5аох тох ззоколюхюх 5юхлоХз З11ао^1хуюхюх Ю0 ixo зтко^шуз лаоЛюдюк
5аох аок лапю^оалгид orllixoao оукууюхюх юлз тох 5а»0юх лспдотХока лотх лотхаю
5пзоюхою1§ 5ix 3TiaooiAoyoKa юл 1зкздк ixo пзлтогШо охаоу одотХолз§11г1 лохо
х юхют1оалю19 юх тох лотукхо одотХ лохо тохлоХзпдзк q юхюг1оалю1§ юу -0 = ху
аох 5пзоау Six 5зуо тох 5от0юх q 5здазук Ззп^зд ЗзххкЬз Six 5зуо siiaoxoiog
юл 1олюх1 зхоютЬз юл ‘q = ху ютИххоао 30юх mA ‘зт1аоуз0 :зг1ао^1((1ола^
•лодз<Ью19лз одзхто1ф 1зХз
тох юхюлш аох Ssylxxo 5ix зт! юозт1ю тохз^пзХо аок (о^зкпкз юлз) одотХ охз0юх
люлз ззХз 5одотХолз§1хт< 5охюхою1§олот1 о Зрхау (-одотХока З0юх зо 1з^ог1дю 5отко
‘1хХдю лкх (кю юлдзк Ю130аз ц) '°0 5отз оо— окю тохзууюдюхз11 э ох аоко ‘э— = z
‘э = ft ‘э = х ю13тИю юх юуо 1зХз1дзк аок Ю130аз U толзз д аох ЗодотХолздЫ q
ZiaZfJZIHS Z35iIWINVdJ IVM lOdOX lONIlVmANVIV
08

2.1 AIANYXMATIKOI XQPOI KAI YIIOXQPOI
1.	x + y = y + x
2.	x + (y + z) = (x + y) + z
3.	Yndgxei eva (lovaStxo “p.r]6evix6 5idvu<jp.a” 0 etoi (bate .t+0 = x,
yia xa0e x
4.	Гю xa0e x vnagxei eva jiova&ixd —x etoi сооте x + (—x) =0
5.	lx = x
6.	(С1С2)ж = c}(c2x)
7.	c(x + y) =cx + cy
8.	(cj + c2)x = c\X + c2x.
a)	YiroOeaxe oti г] лрооОеог] ото R2 лрооОётес цю |iovd&a oe xa0e ovvioTcboa,
олоте (3,1) + (5,0) toovTat це (9,2) avxi yia (8,1). IIoioi xavoveg хаталатоб-
vxai av асрг)оо1>це tov 15io локкалкаоюоцб це ар10цоид.
6)	Aei^xe oti to avvoko okcov tcov Ostixoiv agiOgcbv це Tig лоа^есд x + у xai ex
аккауцёуед соате va inovvTai avTioToiya це xy xai xc, eivai evag SiavvtmaTixog
Xcbeog.
2.1.6 'Еотсо P то ел1лебо tov TgididaxaTov xebgov це e^iacoori x + 2y + z =6. Iloia eivai r]
e^iowcH] tov елследои Po, biegxo^vov ало tt|v agxr) Kai nagakkrjkov ото P; Eivai
та P xai Pq vл6x<0QOl tov 7?3;
2.1.7 П0101 ал’ Tovg елоцетоод eivai iOT6x<ogoi tov i?°°;
a)	Okeg oi axokovOieg, блсод r] (1,0,1,0,1,0,...), nov neQitaqi6avovv aneigovg
p]devixovg opovg.
6)	'Okeg oi axokovOieg (x^, x2,...) це Xj =0 ало халою отщею xai лера.
у) Okeg oi <p0ivovaeg axokovOieg Xj+l < Xj yia xa0e j.
b)	'OXeg oi ovyxkivovoeg axoXovOieg: та Xj exovv doio xa0cbg to j oo.
e)	'OXeg oi аслОцтупхёд ngoo&oi: a;J+1 — Xj eivai to i&to yia xa0e j.
£)	'Okeg oi уесоцетрсхёд nQoodoi: (x^, kx^, k2x\,...) enixpenovTag oka та к xai xr.
2.1.8 lloieg ало Tig end^veg nepiypacpeg eivai осоотёд; Oi kvoeig x tov
Лж=[! о 2] [^] = [?]
oXiFaTi^ovv eninebo, ev0eia, спщею, vnoxwoo, цт]^^6хсо(эо tov A, x®Q° OTT]k<bv
tov A.
2.1.9 Aei^xe oti to avvoko twv цт] сйюцодсрал' 2 eni 2 nivaxcov 5ev eivai Ьитюцаиход
Xcbgog. Aei'ijTe eniorjg oti to avvoko tcov ibic^opcpcov 2 eni 2 nivaxcov bev eivai
biavva^iaTixog xebgog.

5пхпл1К 59x1X60 о ло тох лздШ 5йoiиз тлзз minx от орХюю oi коошлбзк
оолобтт лк1^ 'лсотМобА кАпууплз лк1 лол рюх 5тлоХз— 013X1010 рхтлзркт! Leri
mA. minx онто sripnox 91ЛП jA тох лзркт! зл1Лз SoAliqo 50031939 SoichkAioira о
Fz 9 0 ol
’ I £ О О Ь- V
Lz £ £ IJ
:рАк§о лох лрнлп онто minx kykio liirodir лкю рхтлзркт! ллоАрбшт
ng Sii^dOh 5139(013X1010 5злзт!т0клло ю тох тохз^лзркт! лзр [ = 11и 5рАкро q
ГО £ £- 1-1
£69 Z = V
Lz £ £ I J
:q рблзун ррзр lii кХбп лкю 5шл(оолАп ‘p 1113 g dxdaiit лплз зт! зг1рл1хз5
•nyyn mA Diririnx тох
q oioirpx mA колу Dili к nyyn mA колу niTirinx тох q тонтох mA 51золу 5зб131гр
к q 30рх mA Sisony Ьздззнто ллоХбркл пл тздонр^ -q 30px mA x 5колу 5тт1
онлпг1коолот! тох к^дттл олодХохлт зг!лоХз пл isdoini лзр тох тонз^лпсЬп^з
(т) ткнршллр к ‘5зхпл11т 5лог1г1пдАоукуупдп1с mj тот1кол iypir 13X3 {_у о
лосЬп ‘ и5огй(к.зд1О11лп тол]з у о„ лкх зт! aQ v„ лк1 зг!лою10пхилу '5зхпл1Н
5лох1лгоАпд131 mA тох ллорт!ло пл ллодонт! Sisomiindsir то Ззхлп 5зуо,
komiiridsir Uiongigriao
Uri к толр калу -q = xq 5ki колу 1зХбр1тл лзр 3101 ‘о q тох о = о лрд (in)
•кх1рплот! iXo рууп
колу 1зХбрн:л лон:о ‘komiiridsir Uioidon к толр калу ’о = xq лк1 рюнолпхт
х 30рх тох Зтзолу 5зд131тр ллоХдркл 3101 ‘о = q тох о = о лрз (и)
•(о пхплш х 11^3
X лоткгкздюплп 5рлз) котплдзн: li(hdorigiqi Uri к толр килу •kxipDAori толр
калп колу к тох v/q = х колу тт! тзХдрттл lq 30рх mA 3191 ‘о / v лрд (i)
:5з1к191плл9 5i3di 5и ллолгодзлпсЬ лон nimlAppnOnn
‘р = a?Q к о = ао к р = х£ толр пл pdonpj ’лоютлАп 59ЛЗ тох 5которз
5пп! ипт!к1оло„ mA 10113x9612 -q = xv komoi^a kxukri0idn лк1 Зшлтпох
5з1к191пллр 5п зт!лоо1лк(Ьпот§ пл ‘nriAispodniT 01 лхбн ‘910010 толр 5тох;
5здосЬт§ 5злзг!о1до тохлоХдзтззтл копюрюхилп kxirlodpnAD
зт! 5колу Ski коздлз лкю тзлркЬ Scorfe лото ‘5зАпууп 5зхплт!ко 5idmX pSmXodir
kdnoynicn к mpi н '5от!т!пбА9укуупбпн толр Sdxdaiit о лото То1ло5ртолоб
-шт лон: Ззхкюшллр 5ззл то лло0тдзлпсЬ пл mA miAisppdmr плз рхбп тох
5зхпл11т 5лох1лтАпд131 mA прхто луон: лозун: толр 5ксЬтоупн:п nionxipmp ц
ЗАОХЗУШУ " ЯИ1 МУЯЗУ31ЕЯ ш H3AV Н  Z’Z
ziasc5sisa zaaiiNwvdJ ivn юдех iomllvjnzanviv

(ла>х1лз<?1и1 Ini) »§пдю mri зо ariaollr/niBX 'liAarioin лкю 5»1лолтоЛ1ш inx Uyliio mri 5»1лол1л<Ь»
U 5згМ»дЛ 5»1лооо»уу»ла олгдтооди толв от» пуу» ‘U039 UxrlUgo mri зо охглздЫ згкюдо
»л гздош! '5li±iov»irn 5lii т 3x6919 Ui nin>[ loxnaqUri liri гюлзз roXliqo 10 110 sipglnin© *
•5nynxo nriOTiraioira 01 пзЛпдтг от» тох
5Urlrl»dX отлп1г oiro 5lii aoXlipo aoi ni^sq то inisxoiSg boAlujo зд»^ (in)
•lidnoynirn piro nisri
Aaoiiraxodir aoir AroxiAsqlrri liyliio mri isXdnira oALiqo здпх oiro min^ (n)
лотгМпдЛ aoti
Aroian npXioio nxiASglni liri niiodir ni толр loAliqo 10 inx — лотгМпдЛ 5зЛпууплз
зг1плпх ng пхизЗосЬтр— 5з1отд1г iniAo^iAnchris 5згМпдЛ SaxiAsqliri Liri iq (1)
roriliXo 0113лотдзлп(Ь aoir nian тЛюу sri srlaooidioAao пл sriaodoirj^
fl юхюлш aoicoxoriiyx aoxixai 5олз юрХтодо ихглздЫ Uri dj x'Z ‘^3
'OOOOOOOOO'
®[o	0	0	0	0	000
*	*	*	*	*	® I	0 0 0	:
*	*	*	*	*	*	♦ (*) 0
.******** ®.
= n
Asgliri 1X9 к толр пл pdoirri npXioio nyyn ni отлз ‘mxnyxax зо
isirrl лаоХз loAhqo iq '6 I113 S Uoroiiridsir mri тЛ inm^iAOXisiro Z oio aoir
Uibdori Uimwniiiyx mri li tt5ny»xo miOTiraioiro,, плз (o 1П1лолот01лзхЛао пгзХюю
nxiASpltrl liri ni 119 1ПЛ13 лодз<Ьт§лз oj^ озлотЛтр mdax aIiio ЦхЛплп (inx
1пл1з лзд ^loAltpo io 5rori9 ‘IixiaotAiSi отлп rynir тол1з fi aoi lidbdori lixiysi н
•isgrodlryxoyo 13X3 lidnoymrn lixiXopmg
H -зг1аоо1Хзлао пл лозугг 3riaodoirri лзр inx liosg lixiAliqo лкю 9Х1лз§11г1
оууп зт1п1лплао aoira ‘liyliio Ltidni3i aIiio srindmXodir ‘ndliioan 5тлоту1до
Го	0	0	ol
I	£	0	0	=П
Lz	£	£	lj
Лою зг1аолпкЬ ‘liiidi л1п 91т liririndA lidsiasg lii 5здо<Ь oaq 5тлотдто(Ьу
•TOis^iAsqliri лзд 59Л1190 о aoiro ‘Ziy/rio клэг1ои:з nliio зг/пк тол тол1з зт1аолпх пл
sriaodoirri aoir ол9т! oj^ 'licbioynirn л1и STiaooumidsi пл 50Л9У isXdnira лзр тох
53qny3irri зт1аолзт11дз1г пл isirsdir ‘1зХ1 пл тох Sotito ‘nxnAiir orlrlndAgyliyyndnir
зрм -Sotbdoitoiqi толр Ьпхплш о 119 злтог111оз ng 91ЛП ‘59Х1лгоЛпд131 лтк
sxoi3?5NJV " aw NoasciziEa ш hzav н z z

aoir Sailiygniaii Зздздлзуз 5n oirn imnysioiro npprio liyyp н ’Ssiliypnisri
5sidax io толпз m inx n ni ndn ‘SaoAlipo лаоХз1дз1г liyliio Inidi inx Inmdir н
SaoAUgo art Sa/Liio зо лаоХююплп aoir Ssian ‘Sailiygviari Saxwng 5n oirn
iniisysioirn npprio niri н "Sspprio oap зо iniAo^idmX ft inx m ‘a ‘n юютлЛр iq
0 0 ol
£ 0 0 = -41
£ £ lj
;0 = xfi л1по 5myirn 1П1зЛрлп ‘g = xy
li ‘Sndasyir Sni^sp Siu nxiAspliri did liondpiirs лаоХз лзр SsririndA 5no 5i3§ndir
io lipisirs ‘3io£ 0 = 9 ‘liomiiridsir 11лзЛог1о л1п зт! sripAixs^ no зюздокх
q = xy Soinrllnoao
aoi (лаоХдрка лоор (сЬз) 51зоау 5n sriaodg пл toais ndmi 5nri 5oXpio q
Л7 = Vd 31ОФ inis l/2 5пхплпг Spiroxnriiyz и iirs ш 5плз
inx Srognx ‘омтЛтр liio 5зррлог1 зг! q 5пхпл11г 5pxiAmAidi minx 5плз idx
j 5оозоз0П13т1 5пхпл11г 5плз 1зХтоюплп у oxoaiit и 11гз ш 30рх з^ gj
:nrllidoo30 oidax oi aopj -Socbdoripipi liri toais
у о no 3iiaoo30oira пл ЦхЛрлп inx isXdpira лзр ‘liyliio Ьлзпорзр nrri зо loAlipo
лаоХдрка лз§ лто ‘liyliio 1глзт1о1гз л1по sripdm’Zodir aocby 'lidnoyDirD li isoiXdn
Л161С ‘лсттМпдЛ 5зЛпууплз озлрх пл isdoirri aoir 5оозоз0тзг1 dxdaiit лплз
зЛпЛ11О13 D0 plan ‘x oinypd>3}[ ою mx 5ooirQ, -лоэгМпдЛ (лЛпууплз mri toais ‘1злзЛ
лз тогз^тздХ пууп ‘5mi pTiXisppdmr ою 3xli0opi3dX лзр aoir li^poir liAori j~[
fl inx у лап лоэгМпдЛ лоо1 5o0liyir oi толр aoir £ = ш Sms^pi
5пхпл11г толр Soiay 'SoxiACoAndisi pyyn SoririndApyliyyndDir тлю лзр j о по
isDooisriliD пл isirsdir D0 inx = у no 1зоотюпгтр пл isdoirri 51по(плЛолп О
Г1 г Т-1
• О I г =7
Lo О I J
xf лою лп130аз tmx зг1ао<ЬрдЛА.з т пл 131гзд1пгз 5nri aoir
oirodi зг! idiaoaiA 5lioiir3 псЬодюплп m piay •srinosdiDcbD 5тлзг1аоЛ1юй1г aoir
oiopyirnyyoir плз 5тло130ооб1г ‘5солзг1аоЛ1юд1г inx 5miro Slioiirs idisaiA Soinrllig
30px ocbodioiiAD oj^ 'liiao oirn roipx Uyyp лтг1 oirn SlirirlodA 5mri oiopyirnyyoir
плз sriaodiDcbo nrilig 30px зо lypir in>j -isaXoi л1Ы пл 5оЛоу isXdnira лзр ‘лпЬпуур
лзр Slidnoynirn 5ln nimilig ni aocby ‘fyj = у laaXoi :5тлзпаоА1юд1г inx 5ooiro
‘nxnAiir oxiacoAiQi minx лплз зг1 5зхпл11г io loian Ш1лозрлао :1301птбплп П0
ndaoAio 51пооолЛплп о ‘fj лою srin^liyninx тх у aoi зт1 зт1по11Л1хз§ aocby
313X031-3 33MIWWVdJ IVN lOdOX IOML1VW3ANVIV
frS

12 H AYSH т EHISQ2EQN ME п AFNQ2TOYZ
85
ovtiotoixoov oe огцкед xov dev xeQiexovv odtfyovg. Аотёд sivai r| Seoteqt] xai
г] тётартт] атг)Л.г], dpa oi v, xai у Eivai sXfioOEpsg ц£табХт]Т£д.
Па va бробр tt]v лю ysvixi) Хбот] too Ux - 0 (r| toodovapa too Ax = 0)
[ллоробр va Swooop ao0aipsTsg трёд отсд EXsoOspsg ртабХтрвд. Уло0еоте oti
ovop^oop oXsg аотёд Tig Tipg, алХсод, v xai y. Tote oi 6aoix£g ртабХтрбд
лроо&юр1£оута1 ацвоюд xai oi Tipg тоод onoXoyiipvTai usow tojv EXsoOspwv
ртабХцтсоу xai це ava&popxr] avTixaTaoTaor]. AdvovTag лрод та raivw,
3w + у =0 ларёхе1 w = -(l/3)y
и + Зо + 3w + 2y = 0 лар£ХЕ1 и = -Зо - у.
Ynapxsi “бслХт] ansipia” Xooswv too ооотгщатод це ббо sXsoOEpsg лара-
цётроод о xai у. Н yEvixr] Хбог] sivai о oovSoaopg
(1)
KoiTa^TE, ларахаХсб, лаХс tt]v TsXsoTaia ppcpi) тт]д Хбоцд too Ах = 0. То
Siavoopc (—3,1,0,0) Sivsi тг] Хбог], OTav oi sXsoOEpsg ртабХрвд ex°ov Tig Tipg
o = l xai у = 0. To TskEOTaio diavoop sivai r] Xoot], otov о = 0 xai у = 1.
OXsg oi Xoosig sivai ypappxoi aovboaopoi aorwv twv &oo. Sovsnwg, svag xaXog
трблод yia va бробр oXsg Tig Xoosig too Ax = 0 Eivai
1.	Афоб г] алаХокрт) сртаоа ott]v Ux = 0, va si;axpi6wooop лосвд sivai
oi 6aoixsg xai ло1вд oi fiXsoOspsg ртабХтрд.
2.	Na Swooop os pa EXsoOspT] р.ЕтабХг]тг| ty]v Tip) 1, OTig aXXsg EXsoOspsg
ц£табкг]Т£д tt|v Tip) 0 xai va Хбооор cog лрод Tig 6aoixsg ртабТртёд.
3.	Ka0£ еХеоОер'Г] ртабХтрт] ларау£1 pa Хбот], poco too бфатод 2, xai oi
oovSoaopi okcov aorcbv twv Xooewv алотвХооу tov pdsvoxwpo -tov
XWpo 6Xwv twv Xooswv тт)д Ax = 0.
rswpTpixa, t] sixova sivai т] E^r|g: Мёоа otov ТЕтрабахотато x^po dXwv
twv SovaTwv diavocpaTwv x, oi Xoosig ттуд Ax = 0 алотвХотА sva SidiaoTaTO
ел1ле5о -tov pqbevoxcoQO too A. Sto ларабвгра, аотод лараувта1 ало та
ббо biavoopxTa (-3,1,0,0) xai (-1,0,-(1/3), 1). Oi oovSoaopi aoTwv twv
Soo biavoopcTOJv алотвХош sva oovoko, xXeloto wg лрод tt|v лроо0Еог| xai tov
лоХХалХао1аоцо pis apiOpog. Oi лра^Е1д аотвд ofrnyoov алксод oe ЛЕрюобтЕрЕд
koosig тт]д Ax = 0 xai 6Xoi aoToi oi aovdoaopi алотвХобу tov p8svoxwpo.
Aoto Eivai to arjpio ото оло1о avayvwpiipop sva s^aipsTixd sv&iacpspov
0swpT]p,a. УлоОеоте oti ^sxivap p evav л^аха лоо exel ЛЕрюодтЕрвд отт]Х.Ед
ал’ 6,ti урацрд, п > т. Тоте, асроб ptopsi va олархооу то лоХб т odriyoi
(5sv ondpxoov архЕтёд урацрд yia va ooyxpaTT)ooov лврюоотЕроод), ва лоелел

й 1 ГI III
:(i/7 aoi iXo тох) у aoi
5зукю Зчдзооз! 5ii pirn misAndnir 5odmXpira (0Л97 лз о у aoi лаукю odmX
лою то1зХз1дз1г q 01 лпю ‘3191 лолрт< тох 3101 ‘То1зла1( q = ху к inrikik} 0191 01
зт1ао^р1з5|з пл oirpdi оууп лплз тох з^ао^дголЛ ‘уз осЬпдЛпдпц л1и piry коау
isXSnira лкт1 пл pdoirri ‘51зото1^з п‘р рт ююголЛп тодзюотдзк лаоХдпка aoir
oi(9 (дпц -5одт% Soinio-p-iyidi о 5оур юлр лзд q лапюг/оллтд лтткЬз лт
оуолао oi ‘тЛру юуую здо -р = lqg + Zqz, - £Q люз 5о1хз ‘53iovgigriaon полу
5i3oa)oi$3 ю 5т1гзлао тох лзрЫ толзз ndasyir 5ki kdsioiSn н -kyogidnin avoir
толр komoi^s kiidi н koa"( лаоХз 51зоотт^з 10 5sian лп ЗзсЬпо толр лзу
•отоупсЬзх олзг!аоЛкод1г ою тох Srogidxn 5mirp ‘qt_7 01 толр
‘Skcbioynirn 5ki ninrikp ni nisri ndasyir т^зр кю sxkioyntbris aoir э т1оалтр оу
(г)
:э = xjq nrikioao pxmoiAidi голп
плз толу ng nriosysioirn оу -bkomoi^s 5ki 5з9азу1г оар 5по тох ‘/j лою у ло1
(irn лпокЛкро aoir ‘Sis^ndir 5п siiao^priQndn inx ‘q = xy nriAragnonir pxiXdn 010
sriaodydimirg -kxusdotbmp nisxdn толр ‘q / q ‘komiiridsir 5клзЛог1о kri ц
•5п1дз0аз1(з 5aorl0ng 5aoi ndisrl aoir Spi^idn 5плз толр тох ocbndXndnir клз^ркз
лкю Smgidxn mis^ido aodroXoira 5рлз 5lumio»ig 5ki П391 кх1д1лзх у
лт1кудто1зг1 лтдздазуз ла>1 5одкум: 01 зг/ ahoviomg,, mqi лй1 1зХз
5одтХрлзрМ о -aodmX aoimonip-u aoi пр0аз mri pirn 5одз1а.1(пЛзт1 ТО13Л1Л
ЗодсоХрлзрЫ о 3ipi ‘53ik'(gni3ri 5здз0азуз 5здз1роо19з1г лаоХдпиа лпз тох х aoi
nip пр0аз лк11зХз1031г 5одотХрлзркт1 О 0 = (ЖЭ)У Skoiirs рто1голпх1 П0 хэ
oion^irn^oir 30пх aodbn ‘5тзоау 5зд131гп лаоХдпиа П0 nikipxnnriAndir лк1^
’О = х клзт1т11д131 лк1 tirn кхиздосЬтр ‘ж
коау isXdnity :коау клзг1г11<Э131 kri mri тох 1зХз 3191 ‘(ш < и) Sisomoi^s 1Г9
,irn 5аоюа»лЛп 5аодзюотдз1г пзХз о = ху nrikioao 5злзЛог1о плз лпд 33
TOiiondsirriao олзг!р1гз ою рЛкро plan тох 5зг1п 5з1здто0ап лао0ор
пл лртлар толр kian kikygmsii ki^ 'кдз0аз'(з толр пл isirsdir Ssikvgnisri
511 pirn niri лою1Хп1(ао1 ‘isAinpriao пл тох п‘р Заплпц -q aoi 5зт1г1пдЛ
5зх1дзг1 То1ло^1лзркг1 пл 1злторт1ао лпз 5з1кудтзг1 Зздзраз'/з 5здз1ротдз1г kripxn
лаоХдтга пр пюупр^ 'biiLivyDiiri5здздазуз ш-и ‘doioiXpyaoi ‘лаоХдриа юл
ZiazriSIEH XH^IWMVdJ IVS IOJC5X lONI I.VWXANVIV
98

ktbdoi) kxo рсЬюдЛ юл pdoirri коау кхтлзА к Ч^ют) Ззогохоиао
Зтдзоозх Six тох Зюхлтохтод -лотзоау юпдззкю kyiriQ юп) isXdoira iynir тод
ft — ag —	= п к	[ =	+ oig + ag + п
ft- — у =т li £= ft + СП£
лаол]§ 5зуую то отлз ‘лютолз^юлю Sonra ‘о = 0 1»лр kooioi^s ютохазузх ц
охо 131гздхюхзт) ох к<Ьтоую1гю н
тохзлзЛ q = ху ют)кхоао од -(о =	- tq li тохртоютлюх! юл зт)аоХзоод1г)
g ‘g ‘у толр юл рАзуигз лаоХз q аох 5зоотхо1лао то oioiro охо ‘ют)Л13§юдюк
9x1913 юлз зткю^юхз^з коюхоюхюхплю Цхп^оддюлю зт) iypir TOiAo^idoi^oodir
Эзхкудюхзт) $3x1009 то 3x9g -5о)лзт)аоАко61г тох Scoira ‘5зткх 5зхздто0аю зт)аоо<р9
юл зт)аодо1гт) fl тох а Ззхкудтпзт) 5здз0азуз Six^ "0=0 лкхо тохзАюлю 5охют)кхоао
аох коото^з ютохазузх д 'юуохаз тохлохотдд q = ху аох Зпоау то ЗХ9Х
‘лтукхо одтХ лохо 1зхклю юдю ‘oqsitiits ох 9хаю to тохзХз1дз1г q ох люд
•кукхо здюх зо охз0юх толр
(X ‘3- ‘S) »т<оалю1§ ох 1x9 31)0,09 Ю0 ‘юхтдхзткозд -q 0x0 тох тохзууюдигз тохз aoir
9т1о1до1дзх: лох Л9хаю ртоколюхт liylxxo З0ю^ 'йоау 1зХз юл ютИххоао ох зхоот
ТОХ13ЮШОЛЮХ1 юл 131гздхг aoir 59iioi6oid3i£ о толр 59хаю тох о = iqg + tqz - tq лкх
лаотоколюхт aoir (£Q‘zQ‘Tq) юхют1оалю19 юх юу9 9100 тохтзузхокю aoir ogsiriirs
ох 1ЮЛ13 9хаю 1ют1юла9оо1 тозл sxoirix лаодзсЬтозлао лз§ тох oqsitiits ох 9хаю
(о тохлоХз1дз1г 5зукхо 5зуую iq £ тох х Ззукхо Six 91ГЮ тохзАюдюк aoir o§3iriir3
ох толр Ю1дзт) юн) Ux (iry -Saoiradx Saoxixsdodroig 5<оузхлз оа§ зт) pdrodAidsir
юл лозу1г 1здо1гт) лсоукхо 5одотХ о ('SaoAkgo лаоХз лз§ aoir $0)916x0 5злрхз
тол13 ‘кхдюхзх тох кдзха.39 к ‘5зукхо 5злзт)кхдю5з то 5зхаю 1x9 зхоот1зт)к^) ’Skxidx
5кх ютктоух ото1гюх лао kxmdir лкх зт) koi толр кукхо кхдюхзх к тох kxrodir к
ЗздосЬ 5i3dx толр кукхо кдзхазд н 'зодсоХ аохюхоюцидх аох 0931Г11ГЗ юлз лол9т)
лао^1т)зЛ 5аох тот)оюа9лао то ‘юхют)оалю19 юдзоозх лаоХдтжа aoir 079 ,дюц
Z.8	SAO13ONJV « HW NnaSDSIE3 “ HEAV Н Z Z

:5(1§з 5от
(здокколао пл ndoirri litbioynirn (г/д It тох -юхпаш aoi li^ni li толп- пг!олд плз
rriaoomg ng л grigion aoi лдхап Ssihygmari 5здз0азгз л- и wox ЗзхЬуршзг/
5зхш»р л лаоХдюиа 3iqi ‘ioAIiqo л лаоХдпиа лсд -Acoilr/gnirri летдздазуз лап
grigidn лох тох 5cognx acoALiqo acoi grigidn aoi isiiraynxoirn lidnoynitn н
•(g) oio Scmxp ‘51зоду
51зазЛог1о 5no imsgiioodir пдот£ -(g) liocooiSi aLiid ngcoirai зХ1з лзд о =
oi Smrio ‘miliXo охзлзЛ oio is^nidim 91aу jnrloaAmg gxiAsgliri 01 Anili lioay
(1x1913 li ‘g = xy It Anili liomoi^s U лшо, 'Z ЮФ9 oi a^nioaoirn 5<олзг1аоЛ11одц
•(aockoXoAsglrti
aoi x nrioaAnig паз) lioay LiAsXorio mri 5369 ‘AsgliTi Lirin aIii Sgilrycjnisri
5з(Эздазуз 5зууп 5uo DAodXgiani 5niAOi3@ толз loin aLu InlivgniSTi
кдздазуз здпх зо ‘pxiXogmg ‘зоотд тох лзд(1г1 пдаз'/ir т^зд л(п злр>[ *£
•Itoay lixipis mri 5здд тох 5з11судп1зт1 5здздазуз 5п 5з^д зотАздЬцд;
•э = х/2 oio q = ху oi зЛпЛплу •[
inrilig оза
плз лаолр9г1прдз1£ lorknAoyoita 10 1013, коау (1x1913 aIii pinx isgoiiromisri
1зХз тох ‘5(олзг1аоЛ1юд1х srinXis aoir одетХдлздЫ aoi Sodir liyliy^ndnir толп
тзлпЛпгз тко\ лз н ‘UXdn aIii 1зХз1дз1г ЛЗ9 11919 ‘SodmXgira толп лзд Smrig
aoic- тзлрсЬпгз (1101001919 mri iynir лао^зЛ 51зоау 5зх1лзЛ ю ‘nxiSisrimsj
•д + q = Ц*’лзЛа;у зхзлдток ‘у
aoi зг! oioinyir oio lioOToi^a aIii зхзопюпуютууок лтд, -пдтЛоуока I19I1 1зХз
5odcoX9A39liri о aocbn ‘nnririox озл олдг! 01 тох тол1з giay 'A^Uri Lirin li 1здо9 гзХз
5з11г/9О1зг( 5здздазуз 5п 5зуд 4о лтд Soinrilnoao aoi Uoay Ln girn imsXosooir
(g) aoi (way (1x1913 н -одтХдлздЫ aoi 4irn тохзХозодк nnririox 5злзЛог1о oj^
5аолзЛот1о<£ _|_	_ Irzi.viA,
:g = xy aoi 5Lu>av Smri mt SUsay Slixigia Smri nrioiodf)» 1пл1Э
q - xy aoi hoa^ 30»% -(g = xy л1п лаоюколпхг 11919) 5тзоау Ssdsigooiosir
лаоЛрдтг тодд тотохазуз! oa.9 10 лпгдтх ‘nrilnoao 011злау 5gian aodiy -q = xy
aoi hoa^ lixivia mri толгз aoir (g‘i‘O‘Z_) 01 толгз 5giay ’Sodg 5озл 5плз тох
isXdnira 119 aoi Sgixs ‘(g) liocooi^s aIiio g = xy aoi Uoay In sri mgi li толгз liiay
SiaSC53IEH ZHMIWINVdJ IVN ЮЛПХ IOMLLVWZANVIV
88

•mpi li зхохлпк толу у лох lubdori liicoxmliyx Цлзг1А11лп lizr/зх
li ‘5здз0пхо 3ri лтгМпдА 5i3O3dim§ tox лттМпбА 5зАпууплз тохлолпд^путдзктко
Ssioiro 5uo ‘лсоз^пдтг лотраизХтохо лсох 51хАоупгз 51и 5отх1лхдп§злу :у лох и1иЬ5ог1
кхглолпх,, mri лпо лодзсЬшрлз oxulidmsg отохтох 009x001 13X3, ’lixoiAoyoim
лплз ,о 11Аоупгз lixoidir U толр пл тк Sis^nSir 5зууок ndnir yximrn UdbSori
lixcoxnrhyx (1x1913 li кхлп ix тохз ‘[„у лохо тохзлпХ I11I09 кхтлтох здпх тох
Ззхплрг 5лох1лгоАпдхзх зт) 5лог1о1Аоуокл Злохпхпом зо 11Адп опт толу trepjof
-ssrrer) Ц 5mgidxn Scoitq, -уу] = у лкхо 511А<оАплп ‘ssneg пхпх ‘SliAjrioigliAfto
51хх ]хлп uvpMf-ssnvf) SUctnoyowo 5lix liooniridsir mri mk raxisxgdn 'пхолто
oxixoxanx лохо зт1лоА1гупхпх Socbdorloigi liri тох 5охглетЛпдхзх толу у о лпхо,
[О 0 0 о!
ud
лпхк ng litbOori етЛоу лз U ‘лолзтйзх лох у пхплто
лох mj -oAUqo здпх pirn етлпхг тох пууп сохпх олот! iXo пхглзрЫ тохлоАпдпг
тох ‘пдз0пхо mri зт! InirindA 30пх Зпхлюдтотр ‘у+ liriix лкхо тохллоюкохглолпх
roAligo го тоуо 1хо охо тохзхотдд ndodroip н '„U.cbdo'ri Ixxcoxnriyx LusriAhAn,, liyirn
our lirloxn mri зо 130уз Зпхплш о лохо SiSXsri тз^Хзлло пууп ‘ у± лохо nxnrinxo
лзд Slidnoynirn nionxigmg li mygig nyyoir 33 liofcdtundmr Uxiiadivodu тщ
пдлз^аг ni^sg 30nx mA тохзллу nrilixopo ox тох шу[ ox odlivxoyo
толу ладило 5одотХ о ox mA lorioidoidsir ллоХдпкл лзд ‘ш = л mj
lx толу колу liAori н ’0 = х ох олог! isXsidsir ЬобетХолэрЦг! о ‘и = л mj
лохо 5зг1г1пбА 5зх1лзр1гг1 ллоХдпкл лз§ зхрх ‘ш = л лпхо, (z)
х охо 5зх1г/дпхзг1 5здз0лзуз ллоХдптгл лзр зхрх ‘и = л лпхо, (т)
гкхпллр идзхлупАзг! U толу li^nx It лпхо ‘bisoroxiridsir 5зтодхп олд 5ix sxoipisrilij
у пхплш лох тохзАзц л 5ori0idn о
'О = х ох олот! isXsidsir ЗодотХолзрЫ о тох SsxUygnxari 5здз0лзуз ллоХдпагл
лзр зхох ‘и = л лпд -(5лодхз11пдп1г 5зх1ххбп5злп лпо bsxliygnxsri 5здз0лзуз
л - и 5ix зт!) 511олу 5лолзАот1о 5тт! тох (5злзткплз§1п! 5зх1т^9пхзт! 5здз0лзуз
5ix 5зуо зт!) 51юлу 5lixigi3 5mri пт<огод0п ох толтз колу 1лхглзА ц
колу niri зхохлпк тзХдпхгл ‘ш = л лпд 'лзрСп! 5Uoiir3
толу э лох 5зоетхо1лло л — ш 5зтохлзузх то лпхо ‘лолот! тох зхох ‘колу mri
1зХдп1гл и© лзрЫ толу лох 5згМпдА л - ш 10 inx loAligo л ллоХдппл
1x9 отход, э = х/2 охо q = ху ох тзАплп Udnoymrn li 1x9 зхоз0охгх GZ
68
SAO1ZC5NJV “ aw MfiaznziHa ш hsav н zz

90
AIANYSMATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 EHI2QSEI2
AEKHEEE
2.2.1 Попа Sward axeSidafiara 2 site 3 xkipaxcorcbv nivaxcov (олсод aired tov Sy. 2.2)
pnopeire va бреете; Ta отог/eia ora device tcov oSqycbv eivai aSiacpopa.
2.2.2 KaraoxevaoTe то pixpdrepo ovorqpa nov pnopeire, це nepioodrepovg ayvebarovg
ал’ on e^iocboeig akkd x<opig kvaq.
2.2.3 Ynokoyiore rqv napayovronoiqoq LU yia tov
[12	0	1-1
A =	0 1	1	0	.
[1 2	0	1J
ripoadiopiore eva avvoko 6aaixcbv pera6kqT<bv xai eva avvoko ekevOepcov pera6kq-
rebv xai 6peire rq yevixq kvaq too Ax = 0. Графте rqv oe pia popepq лардроса rqg
(1). Пою eivai г] rcdjq tov А;
2.2.4 ITpoodiopiore rqv xkipaxcorq popqjq U, rig 6aaixeg peradkqreg, пд ekevOepeg цета-
бкт]тёд xaOcbg xai rr|v yevixq kvaq tov Ах = 0, yia tov
A-[° 1 4 °]
[o 2 8 oj ’
Kardniv есраррбате anakoicpq arqv Ax = b, це ovviorcboeg b} xai b2 arq Se^ia
nkevpd xai 6peire ng avvOqxeg сооте to Ax = b va eivai огцбебаотд (бтркабт) va
eyei kvarj) xaOcbg xai ттр yevixi) kvor] orqv idia popepq ц’ avrr| Tqg e'ijiacocrqg (3). Iloia
eivai q ra^q tov A;
2.2.5 Kavre та iSia бтщата yia та t>i, i>2;	^4 °Trl Se^id nkevpa tov avdorpoepov nivaxa
2.2.6 Гра-фте rq yevixq kvaq tov
aav аОроюца цсад eiSixqg kvoqg tov Ax = b xai rqg yevixqg kvoqg tov Ax = 0, блюд
orqv (3).
2.2.7 Переурафте to ovvoko tcov ecpixrcbv de^icbv nkevpcbv b yia to

[юлу 1зХз ng лзд охов пт1кхоло 01 пбу -kw13# колу niiiiinx nyyn
5п.олзЛог1ох 513I)iy/ 5зууок ллоХбвкл пл одоко oio q = ху nrlkxooo z !кз Z пл? зхфлрбд . pyz'Z
iq/ Zq+ Iq лпхо тхзллу лзд
010110 ох ‘5<олзт1лоЛкоб1г 5<oiro ‘колу кх1лзЛ mqi лкх зт! £ ткз £ пг1кхоло плз зх]збд £i’Z‘Z
тлр пл колу кхалзЛ к лоюио aoi q = ху nrikxooo £ lira z зхрбд ZVZ'Z
‘.у лох кдпх к ШЛ13 пюц о = х
1плтз (ЗлохоголЛп и зт! Зазоетш^3 ш) 0 = XV ао1 колу кхадплог! к ixo зхоздоих H'Z"Z
‘.(q ‘q ‘о) зо (о ‘о ‘о) oirn is^nyyn пблзук пп^зд к лп 51золу 10 тлр 5зтоц (9
О 0 01
Т 0 0 = ХП
£ г iJ
лох Зазову 5ix 5зуо зхрбд (п OITZ
q= ху
лох колу кх1лзЛ кх inx Згодпх у лох обстХолздкт! лохо х пхптЬллшд олд зхрбд
‘колу q = ху ох 1зХз (inxAo^nisdX лооо ^з) iq тх iq пх тЛ 5зхкдлло 5з1ои ошх 6'Z‘Z
*Э = /71 + Cty 4- 71£
д = ai — a£ + nz
z = cnz + (I +п
лох колу кх кхпллд nxoignx лок э 5кх kiiix лкх зхрбд $’Z'Z
!51зооу 10
тлр 5зооц (Ззхкудпхзг! Ззбздлзуз ю тлр Ззооц ikSnx к тлр пюц (кЛюупшп лкх
пхзт!) 0=0 kocooi§3 kxi6x лкх ллолпх лохе q ох тЛ Saorioiooiosic 5лох 5пхлохо1б9
SAOIXfSNJV » aw Nnasnsisa ш hzav н z z

лотхтоуохл лих Зогкэюлдлло ЗохнМюдЛ
толп шлю 4хю оюхюх тох юлзг1кх9ю§з ЗотхтгМюдЛ толтз зхох ‘плтодткго
лзд охаю лу юхкхдю^злю 5отхтг1г1юдЛ толп ‘	‘ кг юхюткжлшд юх зхох
‘О =	= ... = гэ = 1э люхо долог! плтодтко о = ЧаЛэ • • • + гоХо + 1л b
‘UgOyUg
‘лздкт! ох пЛюдюх лох Золот! о толп Зо'Иоюлдлло 5олзт!г11дхзх о люд 3£
•плзгИитуз толп юхпколлтлд юх зхох ‘лздкт1 ох пЛюдюх лох:
5ог1оюлдлло Зоуую Зоюхюх пХдюхл люд тохкхдю^злю толп юхют1оллю1д юх зхох
плздкую охлох люд ’Золздкт] лох ЗкЛотАюдюх Зоходх 5ох1дюлот1 о толп Зохлю лю
толп ютИсхотдз од д = ^ciq ч--г lag то^оллтд ох1лздкг1 ох пЛюдюх ЭотлюсЬодх
‘О = ?э „кбод,, юх юуд зг! Зд^оюлдлао 5олзтМ1дхзх о -ЧаЧэ + • • • + гагэ + 'аЬ Злох
5лот1оюлдлло 5лох1гМюдЛ Злох з^ло^тз^з “*а ‘ • • • ‘га ‘ 1л лотхют1оллтд лоуолло
5олз Эохлздоу -»ш1ид»|зл» UxuirindA, Ux siiaooido юл толп milig охтдх од
•лодтХохл Золз коюхоту ‘р
лодтХохл Золз коюд •£
лодтХохл Золз кЛотЛюдюц 3
кокхдю^з U ютокхдю^злю lixiririndj 3
:5ззд1 Зчдзоозх згкюо
-UioxorhoUdX юл тох зклоокЛк^з юл толп лоЛюдЛюдюх 5Ux 5кхлю ЗоХохо о
gxixoiAoyoxa юдюх gxixoTikgori одзхооочдзх orioido люлз
‘лкхлю tri 5зк)г1одюх Ззуую .о тох Зотдюх ‘юхкхооох лкх лкхлю .о зткооотд юл
лдхтоу зт1лоуз@ -у юхюл7Х аох лтгМтодА лтгйгдъ^злп 5тюйлЛ лтх Зодйуи ох
юдхз-Н U^tdi н тохоютИю UxuUqotoiq кухю ю]т! тох пХз 1x919 ‘onilUo ох охлю (о
зклоокхюдюх лох юл ют1уюсЬо Smiio люхк ю© 'кхотЛоуохл люлз охю пдколюхюх юл
золодохг! юд лох ЗохчлюХкг! ооох толп Sorioido о Эохлод юхюлш охчузх лохо
лттМюдЛ лтхтлздкг! liri лтх Sorigido люо ‘юг!юллдоо1 U ‘ЗМпоуюхю 0100x19019
лкхо лотЛк9о лтх Soiigido люо ‘оходх охитЛоуохл одюдох люлз (т1 sxkgoido
к^юх н U. толп тохз^ююлодюх юл n^iXdo лох SorigiSo лтдзсЬтдлз о
•093x1x3 0x0x001919 юлз to пхтулсЬхз
юл лтукхо одтХ лох юхз Зюхло^юхЛюлю ‘5Uxidx тох SUxmdx Зкх 1ог1оюл9лло
Зтухто люхк кукхо кхдюхзх к тох кдзхлзд к Зотдюх ‘Ззхкхдю^злю люхк ЛЗ9 Зкошз
Ззукхо iq -g = ху oiiUygodx 5злзЛот!о охо koodgixs UxixoriAodx oirirlox 5idmX
кгМюдЛ кх1лз9кт1 ютг! зо sxkgkygoxsii Udnoyoxo лкх юхзт! тох олд лотуую лотх
ЭотЪюлдлло Зюлз люхк UriiiodA Uxidx к юуую ‘Ззукхо 51дзоозх тох ЭзтМюдЛ Зпдх
зХп Sori oriAisgodox охо 5юхюл1х о 'ЗохютИлхоло ooxiririodA 5олз лтзоюхотд
лотх1хют1Людх лотх юлохп кузхю юп1 ллол19 ‘5лох юлот1 1и тох ш lorigido iq
HZV13VIV IVM 31ЯЗУЯ ‘VIXHLdУНЯКV HMHAILWdJ  £ Z
ziazyxisa zaaiwwvdj iva юапх ionitvhzanviv
Z6

юхкхдю§злю 5тхтгМюбЛ
толтз юхют1оалютд юх юдю ‘5олзтМтдхзх о толтз ют1оалютд дхтлздкт! oi тзЛюдхш
aoir Здт^оюадлао 5олот1 О '() = 1;> Л-1ХХ тз^юхЛюлю ‘котот^з kxcodir лкхо 5юхлотхо
-10ОХПЛ» тох о = Zy 1злтд когоот^з клзгЬш к лигдхюд ’о = £э тзлтд косоот^з
ютохазузх н Aaqliri лкхЛюлю <хюх тюлтз £э тох ‘^э  io т ид 3riaoS[i3g юл тззгзйп
ИЧМ1,з
:лздкт! ох тзЛюОюк aoir лотукхо лотх откгоа^лао
люлз зг1аоокхк^юлю 5туот1 тохзлстдзлюсЬ ‘тхютЛ од •тохло^тлздкг! лзд аотлотЛютд
5кх ютзХтохо юх люхд ‘5<охют1охаю тзлтодг!ао дхау 'Ззхкхдр^злю 5тхтг1т1юдЛ толтз
Гг О 01
S I о =у
Lz fr eJ
юхюлш аохтлтЛтдх аох Ззукхо tq g VIAIJIdVVdVLI
(•q = q злтдз Ю0 лзд коотот^з кхтдх к ‘о = iqg + iqz — iq лкх 5т9тх 'giongigriao
толтз юл q = ху ох зхоет ‘5юдазу1г 5ют§зд 5кх iq ltq ‘iq юх лаотошолюхт юл 31гзд1гз
aoir Здтктоадлао 5отдт о толтз 5дхау) д кгМюдЛ кх 5збо<Ь зхлз1г лотзт! z krirlnoA
кх 5здосЬ оад зт1 кот толтз £ ктМюбЛ ц -5злзг1кхдю§з 5кот1гз толтз ЗзтМюдЛ tq
лотхтлздЫ кукхо ютк тзлтд О ‘о ‘Т ‘£ кдюд зт1 5аох 59г1оюадлао о
5кхотд1г 5кх ютоюухстдх толтз кукхо кдзхазд к аосЬю ‘ЗзлзИкхдю^з ЗсохтккюдЛ толтз
Го	£	£-	1-1
£	6	9	Z	= V
Lz	£	£	Т J
юхюлш аох 5зукхо tq Z VHIJiaVVdVII
•лздЫ ох тзЛюдхш aoir Зд^оюадлао
ЗолзтЫтдхзх kri 5юлз толтз 5дхау ’0 = ?э т>\\д юх юуд тюх £ = 1э зткго^зуютд
юл srlaodoirj^ 'олзккхдю^з ЗотхтгМюдЛ толтз оуолао ох юдаоЛто зхдх ‘ют1оалютд
дхтлздкт! ох кдк толтз ia ох юхют1оалютд юх д1гю юлз люд j VlVJISVVdVII
•юлзг1кхдю§з зхохлю1г толтз аох юхют1оалютд юдзоозх ‘ютдзг! куую лкх
(iry ютокхдю^злю кхттНюдЛ тзЛюдюх: юл З1гзд1гз Ю0 ‘юхтхотдкххюдюХ юдзхтютдт
5тдотХ ‘лотхюг1оалютд лттбх кЛоушз ютюХах ютр^ ’одзкшз отдт охо тюхлоХзтдзх
люхд ‘юлзккхЗю^з толтз юхюткталютд ютдд ‘Ю130аз ютдт лкхо тюхлоХзтдзк люхд
‘юлзЛхдю^з толтз юхют1оалютд оау -кХОю лкх (1гю лаолтхз^ юхюкоалютд юх юуд
люхд ‘одотХ охюхоютдтдх лохо юуохаз тохзлюхотдгш кокхдю^з кхттМюдЛ ц
£6
Hzvizviv ivn ziazva ‘vizHidv-aNiv hmiwiwj.i гг

94
AIANYSMATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 EHISQSEI2
Me оицбоХюцо nivaxcov, auto то nagadeiypia 0a ygaipoTav
ГЗ	4	21	ГсЯ	Г01
°	1	5	c2	=	0	.
[О	0	2j	[сзJ	L°J
Ле^аце oti о	ле{не1хе povo to fitfScvixo biavvopa: c} =c^ =съ =
0. Auto eivai axgi6d>g to idto це to va лопце oti oi отт/^Ед eivai ударщха
avE^aQTiftEg.
Падоцоюд ооХХоуюцбд e<pagp.dt,ETai xai otic; удаццёд топ A, non eivai
eniorig ave^aQTTjTeg. УпоОёоте oti
c, (3,4,2) + c2(0,1,5) + c3(0,0,2) = (0,0,0).
And Tig лдсотед onvtoTinoeg 6gioxonpie 3cj = 0 i) Ci = 0. KaToniv oi бептедед
onvioTiboeg divow c2 = 0 xai тёХод c3 = 0.
H idia 1<5ёа enexTeiveTai oe onoiovdrjnoTe хХфахютб nivaxa U, aga oi цг]
p]dev^g удаццёд топ лдёле1 va eivai ауе^адтт]тед. Eniorjg, eav ^e/wgioonne Tig
отг|Хед non neg^/onv топд odriyong, аптёд eivai ave^agrqTeg. Ето ngoryyonjxevo
nagadeiypia це tov
[1 3 3 21
0 0 3 1,
0 0 o oj
oi отт)Хед 1 xai 3 eivai aveigdgTr]Teg. Кауёуа nnoowoXo це Tgeig отт|Хед dev
eivai ave^agrqTO xai oiyonga oi тёоаеднд dev eivai ave^agTryreg. Eivai aXr]0eia
oti ave^agrryreg eivai eniorjg xai oi отт)Хед 1 xai 4- av ev Towoig аХХа^аце то
TeXenraio 1 oe 0, 0a lytav xi аптёд e^aQrqpweg. Anreg now eivai eyyvruxeva
avE^aQTijTeg, eivai oi отг)ке<; xov negteyovv odijyovg. О yevixog xavovag eivai:
2F Oi г |лт] |iT]dev^g удаццёд evdg хХцхахштоп nivaxa U eivai удацрихшд
ауе^адтт]тед xai to idio onp.6aivei xai це Tig r orrjXeg non neg^/ow odryyong.
ПАРААЕ1ГМА 4 Oi отг|Хед топ TanroTixon n eni n nivaxa
0
.0
0	•	O’
1	•	0
•	•	0
0	0	1.
eivai удацщхсЬд ave^agTrjTeg. Апта та eidixa diavnonaTa ё/onv tov eidixo
опцбоХюцо ei, e2,..., en xai nagiGTavonv piovadiaia dtavnopiaTa хата Tig dien-

Asglrri зт! miaooi ‘lnidi aIii лао lidsiasg In лопт! liyliio Inoidir li
‘lidng nidi ni pian -j = io = гэ i3Aig о = ЭЛ aIiio lionioninxiiAn
lixiriodgnAn U 3ioi ‘£o Inliygmsri lidrgaryr aIiio x л-111 sriaoogig лра
:q = oy oi згкголау ‘лздЫ oi isAndnir aoir Aipylno лап ог1опадлао aoi 3riaodg
пл mA. inx ninrioaAnig nilndn^SAn nidi AaoXdnira пл isdoirri лзд гу aoi^
aoi Ssylno Sisdi 5n siolidmiQ g VWJI3VVdVII
•33 aoi liAnyyndnir mri oian (o пзо^тлЛплп ,g 51по(рлЛплп q
Ш < и ЛП10
‘олзгИшЭп^з лкхЛплп дпх толр aoi лоппг1оалтд и оуолао плд,
‘О^э Sisoay з1О1лпк 13X3 Зззоотт^з п‘о 4irn ЗаоюотлЛп
Saodsioooidsir зт1 о = оу nriliioao 5злзЛог1о плз тх и oirn lidsiodxiri толу пл
isirpdir ii§pi Н ’ллодХэд 5aoi пл mA SpririndA Snaxdn AaoXdnira лзд npig ‘тоЛйдо
и AaoXdnira пл iidoirri лзу jSsilndn^SAn толр пл pdoirri лзд Sryliio то зхоа
ш < и по ЗЮ30О1ГХ 'и ]кз ш 5пхпл11г 5плз голгз у о ndn ‘5зодптлао ш
лаоХз nimioaAmg т по отюд, ’Aod3(bmgA3 oxigis гзХз Uoroiiridsir nij^
•SsAsrilndnSp ScoxiririndA тлгз 5зу1по io inx UxiAsgliri liri гзЛзупгз
пл ЬхЭздазуз тлгз Lnliygnisri AOimXnyaoi niri 3101 ‘u aoi lidaiodxiri тлгз li^ni
li лрд -nilndn^san тлгз ninrioaAnig ni inx () = 3 ao1 Soixs SooroXoasgliri
5oyyn isXdnira лзд 3191 (и тл13 li^pi li) Snliygmsri Ssdsgasys AaoXdnira лзд
лпд nA3riliidn§3 толу ninrioaAnig ni 3101 ‘о = о л1п oirn lixnsdocbmg lioay
isXdnira лпд '0 = 3У nTilnoao 01 зюау Aiiroin^i ’П1пг1оалтд тлздод ni
толу 5зу1по и io aoioiro aoi у nxnaiir aoi aioiinriliXo ‘niolndn^sAn lixiririndA
aIii 5odit 5a) ua ‘	‘ ia лоппг1оалтд оуолао oioirnx 31зоп1з5з пл nij
•odaoAio our 01 тх оуохаз our 01 толу Sanio oasriaoAliodir oa ’nilndn^
-злп SmxiririndA тол13 ао1 лопртЬалтд Acodnoosi пуолао ndsioooidsir na
ni толу nian py[ ЛО1Х •лсолзг1Лп131лао Згзолад
S6
hzvixviv ivn siasva ‘vishuv-hnv hnihiwvjj ez

тох иц лох лаоЛпдпц :53t)ixoq оар Six тох лаолдзк иэ ‘	‘ >э пхпт)оалтр nj^
пт)оалптр рхтлзркт) ox OAorl тзХзтдзк пл зхсздкз ng Зодзхазр о ‘5оупЛзт) 5отхдшгз
толр пл зшдтгз пд 5охотдк о одтХрлздкг! лог зг/ тзз^пзХо тойздю^злю
U гох лтукзо одтХ лоз зг1 тзз^ззХо ЬХтХтодтон [j -q = ху ох зт)аолау
‘5зх)ххдп§злп толр Saylixo то лп згкоотопсЬокп пл nij -q = ху oi зг)аоооу пл
зт)ао0пкоод1г ‘лотукхо лсох SprionapAao толр q 01 лп зт)аоотоп(Ьо1£п пл nij
i иИ лох лпоЛпдтг аохс Slcxuoxani 5lix 5зу1ххо
то лолрт) Smrio толр лзу ’1a’1q + •  • + igiq = q :5зоотхотлао то 5зтр1 то толр lidnp
пх ‘птйтзрпдшг ох охлп лотукхо лсох лотхап ЭртЬпарлао толр (uq ‘	‘ iq) = q
т)оалптр 30П’>[ лох лаоЛпдпк пхап зхох ‘пхплтк охпохаш лох окп тохлоХ
-дзодк aoir “э ‘ • • • ‘гэ ‘ 1э лотлзт)Лпхзхлао пхпгкрлтр пх толр 5зу)ххо то лпд
лсоукхо одотХ лохо тохзХзпдзк ху пг)оалтр ох тох лотукхо лотх
ртктоарлао лплз тзлтр х ох зт) у аох SpTionTonyirnyyoir о ’лаоЛпдтг aoir одотХ
лох зт)аоо1лдотз0 пл ох зг) 0191 ох толр лср-yltxo лотх 5аот)опарлао 5аох 5аоуо
зт)аоо1хдотз0 пл ox aodro ‘тохртохголпхт Зрткидо о 5зукхо 5и он» 1»ззЛ»д»и
лои 5одтХ о Smgidxn толр пхплш 5олз лотукхо 5одотХ о д VHUISVVdVII
•пр0аз тт) олот)
лаоЛпдтг тох 'т пх отлз ‘5аох плсэт) пхпт)оалпт9 пхсодк оар пх тох лаолпх
отрт о£ • одотХ охпхоптртдх лохо поэт) (filx 0931гшз ох) 093КШЗ ох лаоЛпдшг
(О‘О ‘Z-) = £<тг тох (о‘I ‘о) = г«г ‘(0‘0 ‘т) = \т пхпт)оалт9 nj, 9 VMJiaVVdVU
ТОХ19ПЛ01) л1ххЛплп рпх толр
ЛЗ9 5зхозузхлао то -пг)оалпт9 oxiA39liri ох тох тзХз1дз1г пл pdoirri пхотупт)-
оупЛзт) ауон толр пл рдокт) тзЛпдпк ох аок оуолао ох 5от0П^ лотхозузхлао
пуолао пдзхротдзк 1х плз оют тохзЛпдпк пл а пт)оалт9 019т ох тохзшдхшд
?э 5зхозузхлао 5аотокпх тЛ 1тЪ + • • • + как» = а
:т лотх 5от)опа9лао 5от р0опд<Ьхз пл рдокт)
аох а пт)оалп19 30пх ‘тЛоу пууп зр^ тодотХ лох лаоЛпдтг пхап nxnrio
-алп19 пх зхох Чсп ‘ • • • ‘1аг лотхпт)оалт9 лотлзтИдхзхЛао 5аот)опа9лао 5аохп)
-т)пдЛ 5аох Saoyp (irn тохрузхокп уу 5одотХ 59хппт)оалп19 5плз лпд HZ
:51х^з о Sroyirn толр 591)0160 59Х1лзЛ о 'ихплтк аох лотукхо одотХ 093КТОЗ ох
9хап зт)попт)оло тох пхплш 59ЛЗ 5зу1ххо оар 5п 91ТО тохзЛпдпк аок О931гт1гз ох
тЛ зт)по1луп) ЛПХ9 ‘аотоупсЬзх аох IxXdn лкхо 069 лох Л9хап зт)по1лто1ют)то11дх
•одотХ лох тзЛпдтг пл лотхпт)оалп19 оуолао плз птЛ тзлтогИю п ‘зт)аоотдо пл
толр П0 5аодотХ 5аохтхпт)оалт9 5аох птЛ LiolixU^ao лкхо nrilxg олзт)91гз о_р
одотХока лплз 5пхлоЛпдпц
siasssisa xaMiwwvdJ ivn юлух iomiivwsanviv
96

2.3 ГРАММ1КН ANEEAPTHSIA, BASEIl KAI AIA2TA2H
eivai удащихсЬд ave^doTqxa. MikwvTag луб/ецаа: xaveva diavvo/ia avrov tov
avvokov dev xdei %apevo. Товто odriyei OTqv idea |iiag 6dm]$.
21 Bd<nj evdg &iavBO|xaTixoB x«qob eivai eva obvoXo &iavBOjxaTwv лов
exei TavtoxQova rig Sbo ibioTqTeg:
(1) Eivai уращнхюд ave^dpTiyro.
(2) ITaQayei tov xo'iqo.
Автод о овуёваоцбд i5iott)twv eivai evreXwg 0ep.eXiw6qg yia Tq Гра|Л|ихт]
А/.уебра xai oq^aivei oti xa0e didvBopia otov /(j'iqo eivai ouvduaopog twv 6aot-
xwv 6iavBop.aTwv, афов авта tov napayoBV. Sqpaivei axd|iq oti о овубваоцбд
автод eivai ^ovaSixog: Eav v = a^vi + • •  + xai enioqg v = b\V} + •  • + b^Vk,
тоте q acpaipeoq Sivei 0 =	— bi)vi. Kai Twpa q ave^agrqoia nai^ei to qoXo
Tqg, xaOwg хабе OBVTeXeoTqg (a, — bi) npenet va p]5evi£eTai. Aga a, = bi xai
vndgxEi ivaq xai udvov evag tqohoq va ygaipovye то v aav avvdvaouo twv
daaixwv diavvayaTwv.
0a лрёлес ал’ Tqv apxq va ToviooBjxe oti та diavBoiiaxa oBVTeTaypievwv
ei,...,en dev алотекову rq p.ova5ixq 6aoq tob Rn. Mepixa лрауцата orq
уоащихг] акуебра eivai ^ovaSixa, aXXa oxi авто. 'Evag diavBopiaTixog xoJQ°S
fyei atteioia diaqioQenxwv Saaetov. Otov evag TeTQaywvtxog nivaxag eivai
avTiOTQeipi|iog, тоте oi OTqkeg tob eivai ave^dgTqTeg xai алотеХову ща 6aoq
tob Rn. Oi бво отг|Лед evdg олоювбг|лоте |iq i5iop.oQ<poB nivaxa блюд о
алотекову 6aoq tob R2. Ka0e 6i5idoTaTo 5idvBO|ia eivai удащихбд овубваоцбд
aBTibv twv OTqXwv лов eivai xai ave^aQTqTeg.
ПАРАДЕ1ГМА 8 ©ewQqoTe to OBvq0iojievo ел1ле6о x, у (Sx- 2.3) лов eivai
axpi6wg to J?2. To diavBopia Bi ало |idvo tob eivai удащнхюд ave^aQTqTO akkd
6ev nagayei to R2. Ta TQia diavBopiaTa щ, v2, v3 oiyoBga ларауову to R2 aXXa
eivai е^адтфёуа. Каде &vyo<; ал’ авта та бахувоцата, к.х- та i?i xai v2, exei
xai Tig 5bo iSioTqTeg -napayei to enineSo xai eivai ave^aQTqTO, aga алотеХе1
6doq. Sq^eiwoTe лаХ.1 oti evag diavvoyaTixoQ xwqoq dev exei yia ydvo 6day.
ПАРААЕ1ГМА 9 ©ewgqoTe tov xXinaxwTO 3 eni 4 nivaxa U:
Г1	3	3	21
t7= 0	0	3	1	.
[o	0	0	oj

„уд aoi lumionig тохз^юг1оло тох аодотХ аох „Ьхлдздазуз Saorigog,,
5aoi 13^юдсЬхз ‘5i3opg 5n 5зуо mA. 5олюх ‘Зохаю Sorlgido q лотхют1оалю1д
origido oigi лох лаоХз1дз1г д аодотХ аохпюг1оалтд аох Зззоюд oay f£
:одотХ лох oigi лох зз^дкххюдюХ aoir oxLixoigi mri толр lixay '5зЛоупгз 5n Ззхаю
5зуо зо олтох нюх пзХдюка ‘юуюх aooi §з лаохзд1ига^з Ззхкхохюлад ЗзхнздосЬ
-mg 5зд131гю тох 51ююд кЛоупгз 1нлюг11хоолот1 isXdpira лзд aoir оуо .дюц
аодотХ аохнюдоалтд lioDiomy
•5ог11ф.здхоилю тох ЗдхмотЛюдхзх толр юл 131гзд1г
Зюхюлш о зхох ‘аодотХ аох аохаю коюд лаоузхоггю юл 5зу1по 5н ,1гю зг1аоо1пто1гю
тох иу лох одкухоуо зг1аоокдотз0 люд 5ог1г1юд7-.оукууюдю1г зхр 5ох1лотЛюдхзх
толр Ьюхюлто о зхр- лотуСпо аодтХ аох 1ююд лаоузхоют ‘5зх1пдю§злю толр
люд "аох лотукхо одотХ лох лаоЛюдюк юхюлш 5олз 5зу1лхо iq :зг1ао^]41олаз
у аох
лотукхо одотХ лох зт) ivia^iiavi лзд охау -£у лохо юозт1 ft ‘х ogsiriirs ох толр
/2 аох лотукхо 5одотХ о ‘иют1Людц ’одотХ лох тох лаоЛюдюк но sriaog юл оуохаз
толр тох 5з11ндю^злю толр 5зхаю но J3 охо srtoocpnrili^ л(Л‘(1чо аодтХ aoi
йоюд лаоузхо1г» (Ззхкудюхзт! 5зхююд 5но лаоХтохонлю aoir ‘Uiidi It тох liicpdir
It liomiiridsir л1п лкхаю (o) StioXligo ллоХз1дз1£ aoic Sa^Uio iq :кЛоунгз Uxigis mri
зг!аолрход1г 5рг1з оодхоот ‘1ююд тот! тЛ 5зЛоупгз 5зууо1г лаоХдюкх ’ЗэхЕпдю^злю
Srorio толр лзд ‘лотукхо одотХ лох лаоЛюдтг 5зукхо Зздзоозх ю ‘юхлюк Sotitq,
zH ao1 корд mri тох одзкшз ох ззЛюдюк аох оуолао олд, '£‘Z 'Х'З.
313303123 333IHHIVdJ IVN lOdOX IOMLLVW3ANVIV
86

5отио ‘В1»г1оялп1§ DiniopipnSp толр aodcoXoira aoinionpnSisi aoi aoian »pXioio »x «.aqliri толр
nomiouao iriniarpi tox Uimdir li лопоно лап (|н aoi лоп»гк>ал»19 лои оуолао oi ml/.uppdni
'Saoixodi iaoxii.ido'lonQ оар зг! inipioKOTiiolidX Soiniopiq-,, Ipiv U no sisomnrilio »л 13избц *
толр пл 1зкздк шу aoi лапп^оалпр i+ш оуолао здпх 119 3Tiao§pq пл тЛ ‘5а>л
-STiaoMiodir srinoliioiroriioltdX aoit Inan зт! mgi лтк li^isgoirn голпкпдтг p
и > ш ткпотлад lii sriaojiiddoirn пл isirsdir
ndy 'bong лаоузюкп no liosgoira л1ио 13хопсЬплп oiaoi тох т1пдп§злп толр
лзд ni 119 лдкюу ддзлпсЬ тохзлц 'Asgliri mioiodgn лаолр <э 5здздто 5п зт1
плзт^падлао fm П1пг1оалтд ni но iSAinrilio aoir ‘д = :>д\ U д = эуд зт!аоХз
У1 лох зт! Зтло^пюпуипууор -д = эу aoi lioay liAsririidisi Ini isXdnira пд ‘33
oi зт1 плахЬЬа^ -и > ш inx и п'з ш толр у о :лодз(Ьтдлз ппх siiao^idaiAA
пууп ‘ -v 5зюзуз1лао ю 1ПЛ13 1ОЮ1Г зт!аодз§ лзу 'Д aoi 5зу1по 10 толр -a ш
тох /р aoi 5зу1по 10 toais лт ni аоко ‘уд = Д[ то1з<ЬпдЛ oiaoi ‘5зхпл11г з[\
•?а<?и	= шаГги» + • • • + ia<in = fm.
:?а лап Зоткэпа^лао лпо то1з<ЬпдЛ пд fai здпх тох odaiX aoi
лаоЛпдпк пл тзкздхс ‘liong лаоузюкп -a ni aocby 'UontbiiAn зо siiao^Uyninx tdq
и > ш ’Х’у ‘аоууп aoi odsiodxiri толр оуолао плз 01 по зюздохх h^isgouy
'и= ш 310'д аодотХ аохпптЪалпр
aoigi aoi 5i3ong оа§ толр исп ‘	‘ iai тох шл‘  • • ‘ кг по зюздокх NZ
aoi зт! 5orinAaQOoi
толр SlionioniQ Sin пз(У1 li imnidn§3 oioiro aoi tirn ‘fz aoi SorkndaXoi о
•ASQliri 3ri
Uoi aoi lionionig In inx aodaiX aoi aoian bong лпо оуолао олзх oi зт!аода)зд
пл siiaoAmcbiia^ •nrioaAnig охиздЫ oi олдг! isXsiSsir aoi Acoylno 5od<nX о пор
‘5оз1здто^з лоуупт! толр 5пхпл11г 5ох1лзд1п1 о aoi 5odmXoxa 5oinionigig„
5плз liqnylig лтк ‘3 lionionp зХр ‘g nriAisgndnjj ою ‘/j aoi Aroylno 5oda>X
О -и 1»л13 иц aoi копыту и ’ла^оладазр (|ла)11пдп§злп nxiriiinoA)
лсоууп лапд1 li z 7i ‘а: лотло^п лап Soxlrri птх тппг!оалпр nidi sionrio^msdX
Sisoniomq 5i3di 5nj 7 толр aoi lionionig li ndn ‘bong здпх зо П1пг1оалтд
oag 13X3 yz O1D ‘x одзюкз 07 ’5aoi lionionig In isoamrilio пл inx
ninrlApqndnir ni 13g пл ЬютлЛплп aoi tnn nicodir sriniliz лаппт!оалп1д origidn
oiqi aoi AaoXsiSsir 5i3ong 5з1плад ю 5зуо :5li^3 01 sriao^pqoirn л isipdjj
66
hsvizviv iv5i ziazva ‘vixhuvshnv hniiaunvjj t z

г 7i ‘ж SaorlgiSr) aioidiQmoioito mA ‘(г ‘/г ‘ж) ‘(j ‘ [ ‘о) ‘(о ‘О Ч) ‘(О Ч Ч) (А
*л	DiDiioaADip sioitIiqdioito mA ‘ b - *7г ‘hi —	— hi ‘hi - la (9
(i4 4)‘(i‘z4)‘(z4 4) (»
лом. 1X0 U пюкаов^зло aIii mA згпдлвсЬоку £-£'Z
(l‘0‘0l0) = № + ••
+ I'll) OI 313OftV DA 5niAO)0»l£OOdl£ ‘^y AOI ЛЛоАиОПИ DiaD AD 5UO11C3 31D1OD(boiTy
:0 = ЪгЪ + Qib + hih) + b b
Ol SniAOAllV ‘1X0 U DllllQp§3AD 1DA13 В1ВТк>ОЛВ1§ DA3liol£3 DI AD 31O1OD<bOKy V£‘Z
smshmzv
•odroSApdorr liAsrioira
aIiid зт1ло§1зд ng Sotko ‘dxdaiit aoi U§pi aIii sri TOiaooi аок лотуСпо аодотХ aoi
Uodiodiq U toaitj »rilioA лаоХз лзр 5зха» bnopdcb iq \t5lrop9 5mri lioDiopig,,
U uaodor»X 5олз Ii^di,, li ^dxdaik 5олз Liopg,, 5aodp 5aoi sriao'iOKorholidX лзр
зюц -ЭоддзАуу SUxirirtodj 5lii oiAoyodo aIiio lioconrilio lixiysi Diri to^
odroX aoi nApdoir da 5DiA<p0aoyoxD§3 odswdxiri lirioxn
isaiA da ndoirri лзд aoir ‘оуолао лоАюдюи oioiXw(3 das 5koii£3 толп liopg dij\
DioliidD^SAD U 130DX da 5id(oX одзхооопдзи IitIoxd тзоотуоАзт! da idisaiA asq aoir
‘оуолао oihid»^3A» oioiAsri олз толп liopg Diri 119 толп oironiiUDOi^D oj^
•DiDrioaADig DAsrioido IixAdad
аз SdiaotoaAd ‘liop9 Dili зо toisAdad aoi nApdoir аок оуолао sgp^j
DiDrioaADiQ Ddsioooidsir IixAdad аз Эохлоптрлаошз ‘liopg Diri зо
130D1X31T3 da ndoirri yi aoi оуолао oiliidp^SAD 5mxiririDdA здр5[ qj
:оурЛзт1 ayoir sin odxni ayoir sin ‘AmiprioaADiQ
оуолао das 91П) 5diawaix3§ ‘корд Diri зо зг1аоА1туо10х da пкздпкз 5dt1 aoir ‘das
AOAprl sriaoasAoriliAri aotioito aoti хз ‘DiDrllidong upxia§„ Dyyp ix лаоХдркх
одтХ
лог чзЛпдпх тол ladoicrl лзд тпг/оалтд ц giro odsigAiy зг/ оуолао здох юя
олзгНидпЪз гол]з оюг/оалочд ц giro одзхдооздзи зг/ оуолао здох ‘ц 5тзоою
-очд одтХ gxuorioaAoig лолз	ох 1»лп DTioodsirrlao рх1лзА 01119 зг!ао§
da sriaodorri ‘пот1Лрдц ACpyUio-AOTiprioaADig 5аодотХ aIixAdad 4idx 1X9 ‘одтХ
pXIlDTioaADIQ 30DX ЗО ТОХ ТО13ЛП1Х31ТЗ ll^nppim DIOripdDlT D1JA[ олзтИидо^з
SiaxnSIHS SaNIWJNVdJ IVN lOdSX lONLLVmANVIV
001

•Ззот толр Ьзоотюпао Ззхотдк одд то лоттоко
лап aoi л<01пг1оалтд лотх лотуд аодотХока aoi Snong ЗзхпздогЬтд oag зхтздд iyyz
‘ /2 лотхплш лотютхптЬух лоп лотуо оуолао oi 01г»
тохзЛпдпк ЗодотХока Зотоц -аодотХ aoi aoian liong mri зрздд -Зтз^пдк 5n Эзхап
Зодк Зот охотзух толтз лотхплгк лотх оуолао 01 тох Saorigidn зт! дотктоюпукпууок тох
лотхплп Зкоздоодк Ззлолпх зт!аоХз ‘толлз 11лзг1тд11лао In зг! тпт1одлтд толр лзд
nian аок оуо 4дпц „итЬалпгд,, плз лпо 3 1кз % пхплгк здпх зт1аодотзд по зюздокх 0TTZ
•лотукю одотХ
охпздоЛтд зг1 пууп hzbdori UiOTxnrhyx л1п л1пап 4т1 у пхплш лплз SIioiks зрздд
•лоту1по лотхтопд лот! отктоадлао лпо Long I110 тзхклп лзд аог liyliio здпх зюпдсЬхд
’О
О
г
.£
О
О
О
О'
О
О
0.
aoi лотукю аодотХ aoi Itong niri зрздд ‘ЗаоЛкдо Saoi Зшло^зкохлд б‘£7
•лотуLuo аодотХ aoi liong mri зюоту гу aoi тох
[9 | ] = у aoi лотукю одотХ ло1 ‘/г ‘х одзкзкз ою оздзХо зт! к тЛоу зт! зьКпдЛздзц g-£7
q зюккдотоко mA ‘(g ‘g ‘g) = hn ‘(j ‘g ‘g) = ten ‘(g ‘g ‘г) = гаг ‘(g ‘г ‘1) = l‘7) (9
•(S‘fr‘£)= <?‘(Z‘0‘0)= £™‘(l‘Z‘Z) = M()Tl) = '» (n
лпхо пт!озузюкп oi толр ОТОЦ
•q = xy 01 зхзоау пл зюкдпкоодк тох у пхплш aoi 5зукю лпо ’т ш зюкдотз©
^(п ‘	‘ 1<тг ш окп тохзЛпдпк аок одотХока лою тохзХзгдзк q 01 лп зююпсЬоку £‘£‘2
•Ззогоюзлао Ззхпзд зт1 тпт1оалп1д ni пуо (д
thong лаоузюкп nian окп кЛаз^ птоц п1пг1оалтд плзг1аоЛ1юдк 1§з ш тох (Л
•(l‘Z‘O)‘(l‘l‘O)‘(T‘O‘O) (9
'(О‘Z‘0)‘(0‘I‘0)‘(0‘0‘0) (»
ш окп тогзЛпдпк аок 1101 одотХока лох пх1д1зт!отзЛ зкИпд/адзц g'£'Z
V£'Z XOV 5ln птт1оалтд пю oian siogridncbg :5пто1пдп§злп
Sin nmx li дзка ‘1иЬтоупкп li тохзлтоЛокп Зотц у aoi Ssylno 5u тЛ 11лп
5зт1г1пдЛ Згю То1лао1здоко1 зг1аооп13^з пл зт1аоузд аок пшт1оалтд т по зюздокх S’£T
("i3aXoi ?□ ток
тЛ зрздд тох д = £лг£э+ ^т^э+ hub Зогктоадлао Зотокпх по зюздокх tltSrsgoK/J
!п11пдп§злп 5гох1г1т1пдЛ 5lioiK3 толр £(i+	= ^сп ‘£а + b = ^т,	+ >а = >аг ninrio
-алтд т тох 3101 ‘ш1пдп§злп ЭотхпМпдЛ толр £а ‘^а ‘ Ь т лп ‘по msgliyn толтд yyz
ЗзлзгИпдп^з ЗотхптИпдЛ толр 5зг1г1пдЛ то 3191 ‘лздЫ ззл]Л
Г/ о oj
э р 0 = 1
Lo q nJ
aoi орХтою оплотЛтд зюккдотоко лпз по :п5ру £-£х
101
HZV1ZVIV ГУМ ziazva ‘VISHldVHSNV HNIJNINVdJ £7

102
AIANYXMATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 EHISQSEIX
2.3.12 Бресте avTinapadeiYpa otov endpevo loxvpiopd: Eav та Vj, v2, v3, v4 anoTekovv
6aoq too diavvopaTixov xwpov R4 xai о W eivai evag vndxwpog too, тоте халою
unoauvoko twv щ алотеке! 6aaq too W.
2.3.13 ВоеСте тт] diaoTaoq too
a)	xwpov twv diavvopaTwv too R4 twv onoiwv oi ovvioTwoeg ё/ovv аброюра 0.
6)	pqdevdxwpov too tovtotixov 4 ел1 4 nivaxa.
y) too xwpov dkwv twv nivdxwv 4 eni 4.
2.3.14 Tia tov nivaxa A =	enexneivane to avvoko twv Ypappwv oe pta 6dor]
tov R? xai (^exwQiOTa) бреете ало то avvoko orqkwv, (iia 6aoq tov R2.
2.3.15 Упобёоте oti о V exei diaoTaoq к. Aei^re oti
а)	onoiadqnoTe к ave^apTqna diavvopaTa anoTekovv 6aoq.
б)	оло1абт|лоте к diavvopaTa naoaYOvv tov V, anoTekovv 6aoq.
Me akka koYia, otov о aoiGpog twv diavvopaTwv eivai owoTdg, q pia ал’ Tig
idiOTqTeg xqg 6aoqg ovvenaYenai tt]v akkq.
2.3.16 Bpeae rq diaoTaoq tov xwpoi’ twv ovppeTpixwv 3 eni 3 nivaxwv, xa0wg xai pia
6aoq.
2.3.17 Дебете oti av oi V xai W eivai TpididaTaToi vndxwpoi tov R5, тоте oi V xai W
exovv eva xoivd pq pqdevixd diavvopa. Ynodei^r}: Sexivqore and ddaeig yi« tovg
dvo vnoxwpovg, nov owokixa oxqpaTi^ovv avvoko e^i diavvopaTwv.
2.3.18 AXijOeg rj ipsvdei;; a) Eav oi orqkeg tov A eivai YQ«p.p.ixwg ave^dpTqTEg, тоте то
Ax = b exei pia axpi6wg kvaq Yia хабе b.
6)	'Evag nivaxag 5 eni 7 dev exei лоте YQappixwg aveijapTqTeg arqkeg.
2.3.19 Улобёоте oti naipvovpe n diavvopaTa tov Rm aav orqkeg tov nivaxa A. Eav
avra eivai ave^apTqTa, noia eivai q Ta^q tov A; Eav napaxovv tov Rm noia eivai
q TaJjq; Ti avp6aivei otov avra anoTekovv 6aaq tov Rm;
2.3.20 BgeiTe p.ia 6aoq tov vnoxwpov twv 2 eni 2 nivaxwv twv onoiwv та аброюцата twv
OTqkwv xai та а0ро1оцата twv YQap.|iwv eivai oka ioa. (Гю ijexwQiarq eni6gd6evoq:
BoeiTE лётае Ypapipuxd ave'^dpTqTovg 3 eni 3 nivaxeg [Г avrqv Tqv iSioTqTa.)
2.3.21 Eav о A eivai ёvag 64 eni 17 nivaxag Ta^ewg 11, ndoa ave^dpTqTa 5iavvo|iaTa
ixavonoiovv to Ax = 0; Пбоа ave^agTqTa diavvoqaTa ixavonoiovv to ATy = 0;
2.3.22 УпоОёоте oti о <5iavvop.aTix6g X®QOg V ёхет Siaoraoq 7 xai о W eivai vnoxwpog
SiaoTaoewg 4. AkyOeg у ipevbet;:
(1)	Ka0e 6aoq tov W enexTeiveTai oe (iia 6aoq tov V, eniovvanTovrag Tpia axdpiq
6iavvo|j.aTa.
(2)	Ka0e 6aoq tov V nepuixei 6aoq tov И-', nov npoxvnTei napakeinovrag Toia
diavvaptaTa.
2.3.23 Улобёоте oti iq, v2-,   , vg eivai ewea diavvoqaTa tov R7.
a) Ta 6iavvop.aTa avTa (eivai) (dev eivai) (цлоре! va eivai) YQajquxwg ave^apTqTa.
6) Avra (napaxovv) (dev napaYOw) (pnopei va napaYovv) tov R7.
Y) Eav та diavvopaTa avTa eivai oi orqkeg tov А, тоте то Ax = b (ёхе0 (dev exei)
(pnopei va pqv ёхе1) kvaq.

'иЦ ао1 юботХрка толр (jy)2L лоттМпбЛ 5обгоХ о тох (y)Y 5обо)Хрлзр1п1 q
:ла)лзт1Лп131лао лота Sogliyir 01 5тло5пхз§з ‘5ao6eoXpira 5aoi Saoian ^лоолз^оу
-icb,, тоберХ totoit 31139 пл згрбоигт! ‘и шз ш 5пхпл11г 5плз толр у о ivdiq -^у
лох oirn тохлоХбзоби тобтХрма тотошзуз! оар то по толр oicoisriliooi^n 07
'(^у)^ зг! ims^iyogriao
тох о = nioiro ni тЛ ft ninriooAmp ni nyp 1зХз1бз1г 5piay
' jy aoi 5об(пХрлзр1гН о толр aoir ‘у aoi 5обстХрлзр1лг< 5рбз1тбп q
у aoi ЗзтМпбА. 5n ,irn тогзЛпбпк тох (j-y)££ о толр
Spiay  ±V ао1 Aipyliio 5одотХ о толр aoir ‘у aoi ланМпдЛ SodwX q •£
’(УХ/V зг) TOis^ixogriao aoir ‘y aoi SodwXoAagtiii о T
(y)2/. зт) mis^iyogriao aoir ‘y aoi люукы 5od(oX q 7
ТОЗЛ ТОЛ13
oap тох Ю13Х1О тол]з 5aoian pirn oay 'SaodcoX Siapcprprisg 5i6soo3i 5aoi oirn
лплздпх ‘pdi3o In зт1 ‘siiaodmg ‘lioliili^ao Uyo л^х зг1аоосрлпЛбо пл mj
\-V otbodioiiAV одазуюд к
оЛодюплп oi^3g к q о^юдюилт) одзююп лплз гз'/.з Зпхплпг о ззеп
‘и = ш = л к ш = л к и = л ‘kinлад кдзлауоХзи' к пэлуз k^ni к шд
:5i3oroiirid3ir Ьзтобхп 5п srlao^niiox пл 131гзб1г ‘5зууп 5п oirn
liosiaynAsri осЬпбЛпбтг л1п 1злпх ng gian aoir оур 46nir ‘лпгрш^ -lidnoynirn
л1п ninx то1лоЛпбп1г aoir (j тох) тох 7 Saoi 5niA<pioiroiiioli6X ‘у лох
зт1 то1ло^11зХо aoir 5ao6aiXoira 5aoi 4irn лплздпх пй liong niii 3iiao6g ng 5<pir
зг1ао§13§ n© -nionxigmg li тол13 ng nioir 1з4131лт1 пл i36oirri 51поотлЛплп о
•nionxignig lixiiniiliioao nirl то1з^п1збХ пууп
‘Liong mri зг1ао<НпбЛ пл ‘nnmi mri зт! ‘лошлад толр лзд 5i3ocpiiri63ir 5п oirn
niririnx з£ -1О11о1бо1бз1г юлзг1олпдт1пуплп1гз лаоХбпга пл yooini кбзхазд л1и^
5зу1ио 5зю1лбХп лаоХбпка пл i36oirri Lidro6Ai63ir lnm6ir л1и^ -oTioi6oi63ir лплз
1злпю1бп1г nrlliioao 01 oian (о liorooi^s здпх inx д = ху 01 лаотоютлпхт aoir
ninriooAoig ni nyo pirn minysioirn 5об<оХрлзр1и1 о лаотоколпх! пл 131гзб1г
5зх1лдлао 5зто1г пууп ‘оботХ лою 1П1лоХз1бз1г ninriotymq nioir iXp mis^uidxasig
5пр\[ -5o6mXpira о 1зто1голпх1 пл 131гзб1г aoir iorioi6oi63ir юлзт!о1бо тохлорр
обзхазр Л013 '5зу1по то рдшбодпх лаоХз лто ‘лту1по аобтХ aoi Liocrairi63ir
li толр liiay юботХ лох лаоЛпбтг aoir л<тпг1оалтр оуолао плз inispiq oiai6ir
ло1^ ’5aoirp6i оад 5аолзг1р1гз 5aoi зг! ‘13лзЛ лз ‘то1лосЬпбЛ1бз1г io6a)Xpira iq
•liong 1ллзг11бхзхЛао mri sriaooiZ.
-oyoira пл зг1пузд ng ‘ao6<nXoira 5рлз (лсЬпб/лбзк кхпауплп mri pirn Зтлтлгхзд
‘пбот£ -зт1аобд lii пд 5отаг iXp пууп Long mri толр п зт1ао51бтлд -Ззазхош
-пх зг! пбтг 5aorioi6o sri 06310001631г sxligliyoXon 5od>n6Anonir 11лзг1аоЛ1юб1г р
lOdOXOUA ХГ1¥ШУЯ1\К40 ЗЫЯЗЗЯ1 Ю  VZ
£01
юагзхоил sisvoivhwh© зыазхнз. ю vz

•iniAO^iiani лоттМпдЛ тодотХ то 11919 ‘kong mgi лкх тон 5отдпх д aoi лотт!
-т!пдЛ одотХ лох зт! л komonig 0191 лк1 isXs у aoi лоттМпдЛ. 5одотХ q
•3101m 1здзсЬо13лао
лзд ктМпдЛ kiidi к aoian 103 у пхплш gxiXdn aoi mA тон nmrlAndir
пЛоуоло ni зт!аолтодз1гт1ао пуохаз 0191 01 ‘коотигт!ао kXaias ’pinj[ 'л Lumioviq
1зХз aoi лсогМпдХ SodmX о ?nx 5з1й1дтр^зло голлз aoi 5зтЫпд& 5зюлз^11г1 liri
iq :5згМпдЛ 5зх1лздкт1 Liri л тох 5аоЛкдо л зт! пхплш giOTxmiiyx здпх mA
тох isaXoi 5плолпх 5оют!одпц -лотгМпдЛ аодотХ aoi Long лаоузюкп 5зтМпдЛ
Ззхотдк 09,9 iq '31ОК11 1здзсЬо1злао А39 kiirindA kiidi li 00910m- лотт1г1пдЛ aoti
SaoiionagAao 5aoi 5aoyg ‘лоттМпдЛ 5одстХ здпх Sroirg ‘1зХз1дзц '5одзлпсЬ толр
д пхплш aoiOTxmiiyx 5длз лоттЫпдЛ 5одотХ q у aoi лотИНпдЛ ЗодотХ о ’£
•pdi3o поаодзсЬ
-тдлз ош тт! зт! SaodroXgita 51дзооз1 5aoi зг!ао^п1з§з ‘зт!аоокг1оюлтох пл nij
ГО £	£~	1-1	ГО	0	0	01
£6	9	Z	= Vтох	I	£	о	о
[z £	£	I J	[z	£	£
= A
.fl giOTxmiiyx aoi tox зт1аодотзд ‘у пхплш gxiXdn aoi зт! modXgiani ‘gian
(ij у aoi ЗаодотХдка 5aoi зт! f aoi SaodmXgira 5aoi зткооздлао пл toais 5m!
птИгудддк oj^ Udbioynirn aIii nisri ‘/2 о toais 5пхплш Sgyirn о ‘ЗотдОла^ -^у aoi
лотукю 5одотХ о toais у aoi лсттЫпдЛ 5одотХ о тох 13<Ьпдюплп лаоХз 5зтМпдЛ
то тох Urtoxy •Ss'yIiio пштЬалтд toais ninrioaAmg ni nyg 119 31doti3i!Ii£
r°i
01 isXsidsir (^у)уу о 1 о 1пх Т 1011зХз1дзш (y)jf о
LoJ LoJ
:гу ою П1здаз mi! toais SodcoXgAsgln! Sgdsioidn о тох aoi одзкшз плз toais
SodcnXgAsglui о -£у ою то1зХз1дзк aoir ‘j-fg g т] 01 girn плдзк aoir тздаз li
toais лоттМпдЛ 5одотХ О ' Р I 01 рлдз1г aoir nisgas li толр лотукю 5одотХ о
о 5от1Г9
пхплш gyirn лплз mj -ш лаоХз 5зукю io тох 5зоотю1лао и лаоХз 5зтМпдЛ iq
шЯ ЛО1
lodroXgira толр (у)24 лотукю 5одотХ о тох (^.у)уу SodmXgAsgki! Sgdsioidn q
mzosisa zaNiwwvaj ivn loaox ionuvinsanviv

li толгз аоот'/олздЫ aoi Leong mri тох ‘fi тох a
‘Uidniai li тох Ьбзкгзд li толгз aoi Ssiliygnisri 5збздазуз ro пбу •£ тох x Ssylno
5no SaoAligo гзХз nriAiagndmr oj^ 'Snliygmsri Ззбздазуз 5n тох 5зхгопд 5n
SniAanoifori'ioliSX g = xfl 01 aiinoay oroiro aoi sri 5oiro6i о толгз Scpgidxn 5<nay
‘(y)jV ао1 лаоузюют oiro6i aoi лдзлп tri лаоигахобк aoir тт1оалтд
d - и ‘Ssiliygnisri (5зхтопд) Ssirroyoira 5n mA Ьопюптхплп UrlodgoA»
зт! 0 = XQ 01 гтзаупгз тох о Inin li 53iUygni3ii Эзбздазуз 53irioyoira
5n 5зуд fi тох x Ivriix li Lnliygnisri Ьбздазуз здпх зо nxrXogmg гтзлгд
‘литоту -5aoAligo лаоХзпбзгс лзд aoir aoi Aioylno ami лотлгзхз 5зХююплп
‘53iliygni3Ti Ззбздазуз d — и гзХз aoir ‘о = xfi miliioao 010 ЬАагАплп 3ii
лтз^юазхоптх Long тх\ -d-и liomomg гзХз (у)ру 5оба>Холзд1Ы q
:аод<т>Холзд11г1 aoi Uopg mri sriaodg пл oirodi обаоАго
лплз зг1аоХз Ззгтазуз! 5п sriao^symg лрз -fi aoi ЗзгМпбА ЗзхглздЬг! Ini d 5п
oirn (пбзюздгбхп) U у aoi 5зг1г1пбА 5з11пбп^злп 5ipxriirin6A d sioirligosroiro
oirn TOiAO^idognx loiay -ioilu6n§3An толгз лолог! d ‘лагзоотт^з ш лап агозг!
гтлоуупдпгз пхглзг1олто(Ь aoir Saorimdoidsir ш 5aoi oiry -ц aoi одюХолздМ
aoi 3ti Soigi о ЮЛ13 у aoi iodmXoAsgliti о ndy -11г1г4гзб1оплп толгз monxigmg
It Inan тох 0 = x/i 010 гшзАплп g = xy miliioao ox ^пзоау 5n 4irn moirnx
пз^пууп пл SidroX ‘лотзоотт^з летхп1г1пдЛ acoi miliioao 01 isolnoiroyirn пл Anili
5li<bioynirn 5U1 SoXgio 5oxiXdn о no siisgliriaQ у aoi SoSioXoAsgliri q 4
n
aoi 5зтМпдЛ ЗзхзлздЫ Ini 5n ‘5opgidxn ‘sriaooliindx пл одзюаоуют Anili 1013,
•sriaoiHisyndnir пл 5зю1г тох sriaooliindx пл 5зг1г1пдА 5зто1г 3iiaooiond)oirn пл
оуохоад лп11л пл 5mrio Scooj, зг1аолпх oi пл srinogodoini ng ‘33 01 зт) плго<Ьг1а^
•bong mri зо sriao^liynmx пл mA Ssian tirn d — ш 5п1лотолЛп ‘лсогМпдА одотХ
aoi лаоАпбшг aoir ‘у aoi 5зт1т<пдА ш 5п 3ii srinoliAixs^ лзд 110 sioiorsrili^
•лоттНпдЛ odmX aoi лаоузюкп
готйтоадлао го Smgrdxn roiay -miAO^iiani 5aoi лотгМпдА лап юг/опадлао го
nyyn ‘5зтЫпдА 5зхпзбо<Ьтд лаоХз fi тох у го по тздЬуп толгз 'Л ао1 Z тох
X 5згМпбЛ 5п oirn Angyliodir у aoi SsririnSA iq -у aoi i»x x 5зг1г1пбА 5n oirn
sgyliodir /I aoi LiririnSA ц -fi aoi 5sian 4irn лаод1пхплп1гз пл лошлад толгз
у aoi SsririndA iq птзлрХ лзд sioirri ‘гзсЬпдюплп пл isdoirri milig здпх ligisirs
‘5отлодХо1ап£ -озл sioirn гзХзгбзк лзд fi aoi лотгНпбА 5оботХ о пбп ‘у aoi лагН
-rin6A лотхгХбп лап гог1опадлао roxrrirlndA толгз fi aoi 5зг1г1пбА iq -окотоууплп
лаггМпбА оботХ aoi лаолЬдто 5гз§пб1г 5гздапзХто1о го по ою гтзхогбд ппто ц
loanxoiiA siavnivaiNH© zidaszai ю г г

Aco^liio odmX лох у sri солз Ixbrii л1п ariaoAmiariUo .1 зг! Sori олзгЬзх 013
»г1т1пЗЛ 0191 oi зг| r/nir is^iXdn лотгМюдЛ SoSmX о рхг/ЛЛу »ю 110 UocoiKriao UriliXop imjy *
5зХююилп 5u зг/ гоя чзлтод-г/ао oigi 01 3101 ‘ох/адп^злп толр у aoi лту/iio
оуолао плз лпд -5з1озуз1лао Smgiozn Saoipi 5aoi зт! ‘д aoi Aar/lno лотх a^Disri
‘О = хд LiolndpSp D11^ 30 рХююплп liolndp^s Iх 'x 01 noiAO^idooox
aoir 5з1озуз1лао sri ‘y aoi Aioylno aoti liolndp^s UxniiiodA n^pddizs о = xy
DrioaApip шз dxdaiit олзг1рл1А ox ’(g liylno)(g/x) + ([ liyliio) sri lioi Sltoiirs adiIi
fl aoi liyliio Lndoisi gj '5isoay Ssipi 5n лаоХз inx DTioaapooi толгз DiDrilnoao
oap dx ’0 = хд 5g>gidxD adio isaXoi 0 = xy no toais oian ,1A diito ц
у aoi лоту1по aodmX aoi Long
лаоузюко у aoi 5зу1по 53Xioioiiad io 3191 ‘д aoi Amylno aodmX aoi Long
лаоузюют fi aoi 5зу1по Ззлзгкпдо adiq, '(g liylno)(g/x) + (l liyliio) 3ii imaooi
liyliio Uidnin н -5lnmdir 5ln Diopyiridi idais pyyn ‘Inlndp^aAD толпз лзр liyliio
lidsiasp li odaoAi^ -aoi Amylno aodmX aoi liong лаоузюют у aoi liyliio lnidi
inx Inrodit н 'Saxusdodroip toais 5зу1по ю тох loiodo toais лзр 10AI190 io tox
ad— dxdaiit oxiXSo aoi diA rax isaXoi 0191 ox oap лап лапао 5от1ооадлао
toais liyliio liyyp здпх rax SaoMigo ллоХмдзк aoir Ssylno io toais 5siay
aoi Amylno aodmX aoi liopg лаоузюют д aoi liyliio lnidi inx Lnmdir g[
•трз 01(013rill001§D 01 TOX
toais oiay ’lioDiopig nipi aIii лаоХз pyyn (;5зхпл11г 5aoi sis^pnox da isxdo)
юяиздоАшд ШЛ13 toian iodwX iq '(у)т± Aipylno aodmX aoi liopg mri inx
pyyn (/2)2/, Amylno aodmX aoi liopg mri sriaodg da toais 5mi prlliygodir oj^
*’(y)2£ prioiyogriao orioiAao aoi tox 3riaoolii30oia D0
pyyn лтуйю 5odmX odo aoi siiaoioiroriiolidX da sriaoolioaoyoxn^p d© -AOTylno
SodaiX о toais Aioriii 01931г 01 ndp ‘Amylno лап лет^ооадлао лап лотур оуолао oi
ScogiSxD toais oian no sriao^idaiAj (’]30ay da isdoirri q = xy li nioiro di mA q
di nyo ‘niAoy nyyp 3jy) 'xy DinrioaADig рюлад ni nyo 4irn 5ln Arorin 01931г oi
tox uy[ 010 x oi oyo oirn TOiisysioirn 5ln aorioido 01931г o^ 'xy = (x~)J li толр
liolndpAao li 5ori lioanirid3ir л1п^ -AiDrin 01931г ою (ж)/ 01 inx aorioido 01931г
ою isxIiad x oj^ ’(ж)/ лотт1п лсршлад лап лагур аоурлао 5a> */ SliolndpAao
5niri Aqiriii aoipsir aoi D391 11011лао In sri inx OAaxbriao толгз piay -(^ nriripdA
01 raisXdsodir 13X3 (irn) у aoi (лохНп) 01931г ims^prioAO у aoi Amylno 5odmX
о рлХао raiAoyodo л1п sri рхпзХо npx niardn у aoi Aipylno 5odaiZ q "j
шкгдятлздМ тохзАзу ./ — и
aoi liODiopip li тох у aoi Зплйдаи: тох 5lioiir3 То13^рт1оло 5odmXpA3pliri q
•liopg mri лаоузюют niDiioaADip y-p=a-um ndy -^xH + ^xa SprionapAao
5плз toais lioay IixiasA li inx odaiXpAspliri aoi Slioiirs AaoApdmr DiDrioaADip
piao oap dx ’0 = гэ - io sriaoXs da toais ‘0 = z-x?o + ish li toiisioitoadxi
da Soirpdi 5олрт1 Q ’ооаптлао fi 5a> Ъэ Urin л1п тох ооапотлао a 5ai io Inin
aIii 1зХз zjjZq + 1Ж1Э SprionapAao 30p^ -Dilndp^sAD toais plan DinrioaADip
ni no sriaop пл оуохаз толгз ‘Dd3ipxiA3A тох li oriAispodoir 01 oiaoi 33
ziazfjzisa zaniwwvdj ivs iojsx ionuvwzanviv
901

•ОХ11ЛЮ1111О ОШ 01 ТОХ О1К-Г/ ОШ
oi 5UO11T3 толчз ‘isXU^o споют ою Qg oiionSsirriao oj -5олзт1юХ 1зюм лз§ 'UXai 5mi liyox mj -014919
010 ndoii ю'/.зт! 3xUooiA»<bri3 <1011 orioiAoyvao оигзу ош aoi топзходц no то1злтосЬ aoj\ *
лотукхо zraziono лап лопаю 5от1оюадлао Soioirpx по зхоздокх ’(!У о.ох‘fl
аох лотукхо аодотХ aoi) Long лао’рхокю юл isirsdir 3101 ‘Эзхкхдю^злю 5отхп111юдЛ
толр —кххз тох ‘кхдюхзх ‘kxrodir к— Ьзукхо 5зхтоюд 51здх io пр зг1ао§рр юл
зг1аооздохп1 лю юдю ‘5злзт1Люхзхлао Ззхпздкг! Uri 51здх олог! лаоХз 5зукхо iq
солюкюдюк 1X9 тох ззукхо 5зхкхдю§злю 51здх Зкошз лаоХдюка по dionrionidaXoi
О’
О
о
= п
:5зтЖюдЛ Ззхкхдю^злю Зтздх юдаоЛто 1зХз ft Зюхюлш ЗрхотхюгИух
О ’£ = к^юх зт! коюхоюхюх кхшах mri зхокдотзд ‘а коюхою1§ oigi лкх лаоХз ft
аох лотукхо 5одотХ о тох лоттМюдЛ 5одотХ о по юдосЬ lirioxo xmi sxpg юл юу
•охколохаю
тохзлтоЛ» лзр охаю ‘юзсЬюдЛЛао лохо лохо1Хюуаох ‘т/юи та>{ -(ЗотсЬодхоплю тох)
аох Ьз-/1ио 5и зт/ im T3<vmgriao oigi 01 ‘Ьзхкгдр^зато ЪтхтгМтодА томэ -оххмш
доюлтА.тод131 5рлз 5згМтод& ю люд :5зхюл1хг 5аох1лотЛюдхзх 5аох Ю1Л пюх 1ззу
SUdikh -5злю<Ьод1г аоуодюх толр лзд Ч113 01 »хюлш люлз Ю1Л аок юкоз-рхоют
юлз 1з^юд(Ьхз тох ^лотукхо lt|»x = лтМюдА b|»i„ Liopdtb lixo тохз^з^олао юлХа^
•ЬюддзЛ’уу Slixnirtodj 51хх юхютИхдотзд юхлодзсЬюздлз опт юх окю толр ‘а коюхоюр
mgi лкх лаоХз лоттМюдЛ 5одотХ о тох лаг/кхо 5одотХ о по ‘ЗолоЛзЛ ох охау
•5аоЛкро лаоХзздзк аок
/2 аох лотукхо лотх 5зХтохоплю ‘у аох 5зукхо а 5п окю тохрузхокю (у)и
аох коюд oipj -лоттМюдЛ лотхкхдю^злю лотх prigido лох зт1 тохаот лотукхо
лотхкхдю^злю лотх 5от101дю q :лсргМюдА аодотХ аох kooxopig кх зг1 тох тохаоот
аок Р к§юх лкх зг! тохаоот (у)2£ лстукхо аодотХ аох коюхою1§ н OZ
:5к^з
юх зт! юлот<Ьг1ао у юхюлш лохо 5зукхо Ssigi Six лошоу зт!аолдтоц £[ аох коюд
лао'узхокю 5аоЛк§о лаоХз1дзх: аохг Эзукхо a iq лох Ю1Л крк зл1Лз aoir охаю
зт1аото1го11токдХ ‘(у)2/, лот^кхо аодотХ аох коюд юп1 юдотх sriaodg юл юу
уЗтЛрдгоилп тх ft aoi 5зуйю
Z.0I
lOdoxoux ziHvoivHwa© sidaszai io kz

‘шЛду apv -и = (л - и) + л лпх1х
охаю у лох mj AroyUxo SogU^ir охролао ox sri гз^пгбтох пл 131гзб1г лгохиудпхзг!
лгобздазуз лгох Soglo/ir ох лао лгохиудпхзг! лгохюпд лгох SogUyir ох ‘пхплто
здрх mj	аобгоХолзрЫ аох аохап Uonxonig Ux 3iiaoxoi6g nvoxag
у аох п^оалрзролзрЫ дбзхтбп тохз^рг!оло Uriiin6A-niioaAnig отохзх плд,
[О 0] = [ V    1«] = у jfi
:Urhin6A LomagUri
Ux лаоЛпбтг mx у aox ЗзгМпбЛ Six Aao^monvirnvvoir Ззхап Ззосохоглао то
‘О = уЗпхлосЬпбу -Ззогохшлао ш гзХз /г пт!оалтд ох тох шц аох ЗобгоХогга
толр аох ЗоботХолздЫ о 1ш шз и толр ху о зхох ‘и ш ш Зпхплш толр
у о лпд (^у аох ЗобгоХолздиИ о =) у аох ЗобсоХолздии Зодзипд» о Т
•у аох pidsri идзхтдп лихо inxs^pndnis пг1оалтд ох тох g = y±fi
isAinriUo g = Hjy ixoig у аох ЗодазХрлздкН Spdaioidn U ‘у аосЬодхоплп аох
ЗобгоХдлздЫ о толр Soxay ’(^у)_/у о толр пл 131гзб1г ng Зохбпхзх о ‘(^у)2/.
inx ‘(у)уу ‘(у)2£ 10 1»л13 тобгоХ тохотбк Згзбх 10 aocby -SUAndro пбгох iSXsri
злзтЬдпк aoir ‘aodroXoira 5аоротрзг1зд аохбпхзх aox n6i3o U пбгох тохзХбд,
д лох oirn ЗголдбХЛао лаодзбд пл лохплад толр тох Uonxonig
nigi лих лаоХз (^у)г/. тох (у)£/. то ixo толр ЭолоЛзЛ оу -5зхап tirn mri толр
лзд Uxaox пууп ‘аосЬобхоплп аох 5i3olt6X Say/oir лаоХбпггу msgi Uxoroo U Sanio
толр лзд ‘ЗаобгоХ Заохогоо Saoxo pAUgo oxan то^ '(jfl лох oirn Uxixsdocbmg
толр aoir) аох Ucbdori Uxroxnripx лихо ^у лох зт!аоЛплп пл лпгохпх тох ‘(аох
лготМпбЛ обгоХ лох зт< аох лгоуихо обгоХ лох тох) аох SsyUxo 5ix зг! аох ЗзгМпбЛ
5ix Эпхлооопууплз ‘у лох зг1ао<Нзбхоплп пл 3rinoao6oirrl пд пбаоЛто тох лп
‘j.y лох зт! зг1пх1лдопЛбз лзу -у лохо Udno^nirn лих nxsii оад то тох лпхидо
-1бпдпхз§ лго'/Uxo ЭобгоХ о тох леттМпбЛ ЭоботХ о ixo охо Uondnis srlaogiy
•(у)2/. лох Uong лаоузхоют
-miAi3gn6nir ox oxan to ‘зт1ао^1б<олЛ aoir зхао nxopnii oioiro лох ‘у 5oxiX6n о
лпх1л лп ix SoTOiro- у аох UyUxo Uxxs тох ихбпхзх ‘Uxro6ir U 1x0 зг1аолтобз1гт!ао
‘g = xfi мл лолог! inx лп ‘g = xy Ugisirg -U51399KD 13лотбЬ(1Г11ао inx
тоихбпЗрлп Uxiiiiin6A лих 1залх1здо1гп дхау ’g = b Зоузх inx ‘g tp ixoig
‘тохз^уздиН пл 131гзб1г ox inx лпгдхп^ -g ip aoAUgo aox mko\ ‘inxs^ysgUri
пл 131гзб1г io ox 1x9 3iiaoit3Y9 ‘5год1хлао Sanro ‘голп1г nx 5o6ir Зпхлоазуаоу
O'
0
0
 0-
0
*
0
0
0
Ip.
io
:лздии ox 1зЛпбтг
siazcizi-a sasiwwvdj ivm icmcx ionuvwza.wiv
801

2.4 OI TE22EPIS ©EMEAIQAEIX YITOXQPOI
109
didoraor) too xo'jqoo orrp.cbv + didoraor] too pr]dev6xojpoo = лЦОод orr]Xd)v.
О xavovag аотбд ecpappo^erat eij iooo xai otov At лоо e/ei m orrjkeg, eivai
eg iooo xaXog nivaxag pie tov A xai г] didoraor) too x°ipoo OTr)kd)v too eivai
enior]g r. 'Etol ёхооре
r + dimAf(AT) = m.	(1)
2P О apiorepog prjdevoxcopog Lf(AT) exei didoraor] m - r.
Ta diavoopara у xpo6ovrai халоо oriqv алаХоирг], orav oi ураррёд too A
oovdod'govrat yia va лapdYOOV Tig m - r ur/dsvixEi; yoauyEg too U. Tia va
бробре та у ^exivape ало rrjv PA = LU r| L~xPA = U. Oi reXeoraieg m - r
ураррёд too L ‘P лрёле! va алоте/.oov баот] too apiorepoo pr)devoxo)poo
-dion локкалХ.аа1а^оута1 pe tov A xai divoov Tig pirjSevixeg ураррёд too U.
Exavaz.apSavoope: О apiorepog prjdevoxwpog лер1ёхе1 тоод oovTeXeoTeg лоо
oovdoa^oov Tig ураррёд too A, wore va лapdyoov to prjdevixo diavoopa.
Sto 3 ел1 4 ларабиура рад, r] prjdevixr] ypappr) rpav (ypappr) 3)—2(ypappr)
2) + 5 (ypappr) 1). Аотбд rpav о idiog oovdoaopog pe tov Ьз - 2Ьз + 56i тт)д
de'^idg лкеорад, лоо odrjyoooe tt]v reXeoraia e^iowor] отг) popcpr) 0=0. Ката
oovёлela oi oovioriboeg too у 0а eivai 5, -2,1. То diavoopa аотб eivai баот]
too арютероб pr)dev6x<opoo, лоо ёх£1 didoraor] т - г = 3- 2 = 1. Аотб
eivai г) rekforaia ypappr) too L~xP xai ларауе1 тг] pr]d£vixr| ypappr) too U
-ooxva рлоробре va to doope /copig va onoXoyiooope Tr]v L~x. Av сртаоооре
oe aлбYvcooт), рлоробре лdvтoтe va кбоооре to ATy = 0.
Avayvcopi^w oti to 6i6Xio, рё/pi riopa, dev (jpav6pa»oe tov Aoyo yia tov
олою рад evdiacp6pei о J\f(AT). Av yparpco pe лХаую ураррата о aQiateQot;
yydEvd%(OQo<; sivai Enlayt; ayfiaviiHOQ, 0a eivai oidoto aXXa хаОбкоо леюпхб.
H хатаотаог] 6eXTiibveTai ото елбреуо xetpaXato, блоо 6pioxoope pia ipooixr]
epprjveia too y.
To'ipa лХёоу yvojpi'Coope Tig diaordoeig tcov Teooapwv x.o'jpcov xai рлоробре
va Tig oovorpiooope oe ёvav л^аха, раХюта cpaiveTai oidoto to va Tig diaipr]pi-
ooope oav to
2Q ведеЛкбдед 0£mQt]fia rtjg rpafipixifc Алуеврад. Mepog I
1.	P-(A) = о XW°S OTrjXcbv too A, 6%et didoraor] r
2.	N\A) = о pr)dev6x<opog too А, ёхе1 didoraor) n - r
3.	P(AT) = о x®pog ypappibv too А, ёх£1 didoraor) r
4.	M(AT) = о арютербд pr)dev6x<opog too A, 6xei didoraor) m — r

•осЬодюплю лодазухр
1зХз 5юхюл11г 5ох1лтЛ»д131 5юлз олор^ хплюгИзоолот! тох liSjdnim юлодХокгюх
13X91311 юл pdoirri 5юхюл11г 59Х1лтЛюд131 5юлз олот! юбю 1и = л тох ш = л 1зХз
юл isdoirri 5юхюл11г ЭрхзлетЛюдхз! 5юлз олор^ -LixigiMori толр (isXdoira Л009 <сЬз)
lioay U lioroiiridsir [1631939 Ln^ '[1097 зхохлюк 13X3 q = ху 01 Uooniridsir Lnmdir
ли.13 ^осЬодюплю 596310160 тзХдюка 3191 и = л люто тох 5осЬодюплю 591^39
isXdoira 3191 ш = л ЛЮ19 119 3riao§p9 юл sriao^s© 'и 91ГЮ 5аодзюоо1дз1т 1л
590Л1190 ш 91ГЮ Saodswooidair oiX 5одтХ isXdoira лзу 'Ssyliio 5з11идю^злю и
U 5зтМюдЛ 5з11идю^злю ш рзт 5здзюоо1дз1г 1зХз юл pdoirri Л39 5юхюл11г и 1ез
Ш 5юла, 'и > Л л111 ТОХ 5ф0ЮХ Ш > Л л111 ЗЮ1ЛЮ1Г 131ОЮТЛЮХ1 11§Ю1 Н
(июллд (idaiapoXari It тмз Ь§»1 й лто лол
-oti 5о(Ьод1оилп $»лз tsXdmcn ‘0613X961: 5ю1ла)рр\[ -ЗаоДюдюплю 5ooi 590ШЮ
лаоХз тоток ariaooioocboiro юл 01(0x93 толр ‘юхюл]1г 59ЛЗ 5U^»i SUi ютздСюд Ln зр^
Э = O(VS) = (ЭУ)3 = 9 :1ОО1 тал13 ю<Ьодю11лю 099 то 3191 ‘(j = jy) осЬодю
-11лю 91^39 тох (j = yq) осЬодюплю 96310160 1зХз у о лю 119 зткго^дотлд
лсосЬодюплю к§дюмх,
5oiii(/i3dioiidD юл13 5юх»лпг о тох Q= И тох о = х Ю1Ют1о9ЛЮ19
юх ол9т! лаоХз1дз1г 5одстХ9лз911т1 5963101613 о тох 5од(оХ9лз91о1 о = л 1юююю19
лаоХз лттМюдЛ 5о6тХ о тох лгоукю 5одотХ о ’лао^юуую 5130910019 то 5зу9
3191 ‘д зо 9 91СЮ у aoi opXioio отохазузх 01 зхз^ют/ю лю 119 siomisrili^
•opixTOir ибзтуюЛзт!
лаоХз юд 5i3olixoo iq •; = л - ш тох \ = л - и тох [ = л 5по тохзурсЬо aoir
ЮТИ1Х91Ю толр 9iay \5ззздаз dvili lodmXpim 5?зд1 ю тох 91аю 011X1399601: 013
•лз91п1 oi 13Л19 р 1юх £— 5зюзуз1лао зт1 у aoi
лготЫюбЛ лап 59т1оюа9лао о- о = fi^y 01 ртомолюхт 91аю ют1оалю19 о^р
• [ j aoi ютоюукюууок Ю1 згто 1зХз1дз1г ЗодтХрлздМ Spdsiotd» q ’р
j.y aoi лотукю одетХ
лою 1Ю1зХз1дз1г ‘ю61поаю 5ю1лаг/и1 росЬю ‘1г(1(,ю-юг1оалю19 люо тсЬюбЛ
oi 0190а •	] ао1 ютоюу1гюууо1£ Ю1 oy9 1зХз1бз1г лтИгкодЛ SodwX о •£
•Q = ху oi Л9ОЮ1ЮЛЮХ1 aoi ютоюукюууок Ю1 тох 5отдюх рхаю
ют1оалю19 °1 •	] aoi ютоюукюууох юх 079 1зХз1дз1£ 5одтХрлз^М о Т
•озл ЗЮ1ГП 1здзсЬо13лао ЛЗ9 тох 1иэла0931юх 0191 л1по толр liyliio
I1631939 н • [ ] aoi юююукюууог Ю1 юу9 1зХз1дзк AtofUio SodmX q *р
1=з‘г=и=ш |j |]=^ VKJISVVdVU
ZISZDSIEa SaXIINWVdJ IVM lOdSX iomuvukanviv
on

2.4 OI TE2SEPIX OEMEAIQAEIS YnOXQPOI
111
2R УПАРЕН: To odoTqpa Ax = b exei pia тооХауютоу Xooq x yia xdOe
b, av xai povov av oi OTqXeg nagdyoov tov Rm, олбте r = m. S’ aorqv
Tqv neginTiooq onagxei evag n eni m 5e'§tog avTioTgocpog C yia xov onoio
AC = Im eivai о таототхбд nivaxag xa^ecog m. Aoro eivai buvaxdv povov
oxav m < n.
MONOSHMANTO: To oooTqpa Ax = b exei то noXo pia Xooq yia xa0e
b, av xai povov av oi ygappeg eivai ygapptxa aveigdgxqTeg, олбте г = п.
S’ aoxqv xqv neQinxiDor] onagxei evag n eni m agioxegog avxiaxgocpog B,
yia xov onoio BA = In eivai о таототгход nivaxag xa^ecog n. Aoxo eivai
bovaxov povov oxav m > n.
Sxqv ngibxri neginxwor] pia Sovaxq Xooq eivai q x = Cb, асроб тоте Ax =
ACb = b. &a оладх.ооу opcog xai aXXeg Xooeig eav оладхооу xai aXXoi be^toi
avxioxgocjpoi.
Sxq Seoxegq neginTcoor], eav оладхе1 pia Xooq too Ax = b aoxq ngenei va
eivai x = В Ax = Bb. Mnogei opcog va pqv unagxei Xooq.*
Ynagxoov oxq 6ia0eoq pag anXoi xonoi yia тоод адютедобд xai de^ioog
avxioxgocpoog, ecp’ ooov aoxoi onagxoov:
В = (ATA)-'AT xai C =AT(AAT)~].
Be6aia BA = I xai CA = I. Aoxo opcog noo 6ev eivai xooo oiyoogo eivai to
oti oi ATA xai AAT eivai ovxcog avTioxgeipipot. Exo KecpaXaio 3 Seixvoope
oxi о AT A exei ngaypaxi avxioxgocpo oxav r] xd^r] eivai n xai oxi о AAT eivai
avTioxgeipipog oxav -q xa^q eivai m. 'Etoi oi xonoi aoxoi exoov voqpa oxav
axgidcbg q xa^q eivai q peytoxq Sovaxq xai хоте ngoobiogi^ovxai oi povonXeogoi
avxioxgocpoi.
Ynagxet enioqg pia mo cixoixeicobqg ngooeyyioq. Mnogoope va ava^qxq-
croope evav nivaxa C e^exa^ovxag oxqXq ngog oxqXq xqv
AC=I q А[хг x2  хт]=[ег e2 ••• em].
Ka0e oxqXq too C, noXXanXaoia^opevq pe xov A bivet pia oxqXq too xaoxoxixoo
nivaxa. Гta va Xoooope to Axi = ei xgeia^exai та Siavoopaxa oovxexaypevcov e,
va negiexovxai otov x<ogo oxqXcbv. Eav aoxog negtexei aoxd та diavdopaxa, тоте
о x^QO? OTqXcbv ngenei va eivai 6Xo to Rm\ H btdoTaoq too (q Ta^q) ngenei
va eivai r = m. Eivai q neginTiooq xqg “onag^qg”, OTav oi OTqXeg nagayoov tov
Rm.
‘vnaQJjng” eivai 1 r| oo.

’z<?(s/l) = z-7’ ‘= l;r толп (jkxignAori) koay к ‘лздкк толп iq oi adiq,
f M r^i Г0 °1
•0 = £<? лпю То1злау Zq = L g 0
L1qJ l J Lo izj
:коау OT»i1зХз oian nriAngndmr oi 119
31139 пл зпздокдо 'кх1дплог1 тох толп ng koay niri nXOpira ad ndp ‘g = ,z - zz
aodro 53ilr/gni3ri 5збздазуз лаоХдрка лзд тох и = л толп k^pi Н ’5з1к1др^злп
SzoxiririndA толп у aoi 5зукю и ю лпю ‘u5nikioxignAori котил дзк,, лк1
mA oxnrai толп giay д aoi кукю kiidi к толп kisdingan 5тпуз1 юд<р1
0
0
:5ao(bodioiiAD inodaioidn Saodnirn
зт! ‘коладазюх kisgiiAD лкю miAngpdmr плз плзд у aoi ЗоЛюдюрлп о
пт1к1дрдпц oimdir ою зг1аоооапгплп
aoir ‘ЬкЛоушз Soirodi 5oxiaoadx 5oioirpx nXdpira лзд лто ‘ао<Ьодюшлп aoxign
5длз 5кЛоухз 5oirodi 5плз- ((аоб6рдю71л»ораз<А,, aoi котил дзк mri толп
kiay 'лздкк толп пл 1Их 5здздпю 5з1здтодап 5п пЛзушз 5oirai о
I: < -ь
кЛоупгз kxign лк1 плгд	= Э Soirai о ‘nriAngpdnir 01 gian jj
пхплш
£ шз £ aoi зт< плтсЬкао пл ndoirri лзд тох лздкг! ndaoAio толп yg aoi кукю
пто1азуз1 к uoig otbodioiiAD лодзюгдп пХз лзд у 5пхплш q 5п1кюх1дплог1
тох 5mrlo iXo Sk^Smra koooiiridsir mri толп kiay ’kisdingan 5тгзуз1 толп
j aoi kririndA niniasysi ц lodbodioiiAD im^sg loyyoir лаоХдрха поткрдц
otbodioiiAD ог^зд лплз п^ипЛоп^з nrikdong 01 ‘£ = ш = л kgnirg
[0 S 0]
Lo 0 frj
= v
5<i)3§ni пхплш £ шз 2 gyirn aoi зюкбгоз© VKJISVVdVII
3iaZOZIE3 SSNIWWVdJ IVM IOd?5X lONUVIAKANVIV

milliDao oi sri Ssrimagooi толп = (’7)«7 Snocooi^s ю ‘nnrlAndn 'лапото^з
лап Sogliyir oi 3ii n^mdmi (u толгз aoir) (7)^ aoi лапозуз1лао лап 5o0liyir
OX 'пхпл11г ох1лтЛпд131 лплз зт1 зт1аолпх пл sriaoXa по толп oixsoodiroi^n ох
и1 • • • ‘у = г тЛ = (?7)<7 :5зт)п 5п 5з1ап <о misyyngrisdnir aoir [ — и aorlgng
ог1алатуо1г плз nXdnira ‘uq‘---‘iq Aiprhi зюккдлапогсо лаплздоу :5U§dnira
orioidaXoi лплз то1зА.п1гзлао inx SnilngxignAori SorioidaXoi 5плз толп oiay
•Ss^id и пХз пл ndoirri лзр у - и amigng oriaAaiayoir оууп плзлп^ о s (p)j 01
толп "у ‘	‘ 17 nnrilio шлздод и зо гшз^глздЫ aoir oriaAioayoir 010131 олдг! ox
X - и aorlgng (7) <7 пг1алотауо1г ni nyo siolidars© liAoridndjs lixnrai mri aogi
5олзг1о1до nxii30 толп ydy О (б)
•у aoi Uriuoigi толп лзд лзд1п1 ox (g)
•inis^iAsglni лзр у aoi noao^ido ц (д)
•j = у t_y = t_yy oioiro aoi mA j_y 5пхпл11Г 5плз nXdnirx (9)
’0 -p ni nyo 3ii ‘/2(77 = у <7 :i30a)dliyxoyo пл pdoirri licbioynirn ц (g)
•5з11пдп5злп SaixirlrindA толп у aoi SsrirlndA iq (fr)
uH ЛО1 AaoAndnir у aoi SsririndA iq (g)
•Socbdorioigi liri толгз у о по n^iyntbon^s тох liyyn
здпх зг! Ыпладот толп aoAoyninx aoi 1гх110лао 30п^ тотоурЛзх плзг1о1гз пю
зг!ао§зд1 лто nxign ‘Sodsiadxnri ayoir гзлгЛ пл isdoirri 5oian SoAoyninx о
Q= x lioay lixignAori
In 1зХз о = xy 01 Ю13 тох 5з11п6р5злп SioxiririndA толп Ssylno iq (3)
•q 30nx mA. lioay
AOioiXnyaoi niri пХз q = xy 01 1013 тох иц aoi лаоЛпбшг 5зу1по iq (у)
:5зх110лао 5злзг1о1гз
5п oirn niri 1П113Ю1ГОЛПХ1 пл толп ‘Socbdorioigi Ini у 5пхпл11г 5ох1лгоЛп6131 5плз
толп пл mA 11х110лао (ллпхт тох птохЛплу roirgdi оууп зт! тох sriaooipiraimg
01 пл sriaodoirri oiay 'и = ш = л :1пплад 1птЛзг1 It толп пл li^ni li ‘толп
п11прт11<Кз61оплп л1п л1пап jA 11х110лао н	тлзЛрлсзлао ълклрюуолог]
тк Х)1й1рюдт>л,ог1 шзАпизлао и^дтсл ‘5ох1ла>Лп6131 толп 5пхпл11г о лшо,
•j_y = j = Q о ‘5о(Ьо6ю11лп 5плз лолрг! nXdnir^ -осЬобюплп oi^sg пХз лп
лолог! тох лп осЬобюплп odsioidn лплз пХз 5пхпл11г 5oxncoAndi3i 5плд; ’liyyp
л1п тох зт!аоХз пл nAodXoiani 5idmX nilnoigi niri Ln зт1аоХз пл ndoirri лзд и = ш
лпд -О130ПЛП oi плтодг1ао пхплгк ох1лспЛп6131 лплз з^ -и = л тох ш = л тох
sriaoXs пл ndoirri лз§ ‘и 01 oirn ndscbmg ш oi лпд -о1лт!11оолот! тох li^dnira
nAodXpiani зг!аоХз пл toisaiA лзд ‘пхплш oririndAoyliyyndnir лплз mj
lOdtlXOLIA ZISVniVHWH© zidazzsi 10 VZ

n SoimiogAmp aoipi aoi mopyirnyyoir 5зуо толр
Saylno то тох SoimioaAmp 00191 aoi пюру1гпууо1г 5зуо толр 5зтМпдЛ iq
• хап = у lyhdori куасп aIii 1зХз юлз 5тз%т 5юхюлпс здю^
:плз 5етз§р1 пхплш оуур здрх зт1 тох isAingiiao ng miApdir 0191 ox
тордаз nni зо тохзЛрлп тох \ = л Uoniopip
5lioiir3 13X3 лаг/liio SodatX о Slr/lno-SoiniioaAmp aoipi aoi monvirnyvoir
5зуо толр 5зу1по io плодХохат по зюстзтШ^ толз li^pi 13X3 aoir ‘£ шз р
5ПХПЛ11Г 5ПЛЗ ТОЛ.13 £ 11ГЗ £ ПХПЛ11Г 5рлз тох £ 11ГЗ р пхплш 5рлз олзтЬмА. ОХ
: Мг1тод&-юг1оалттд
юлз yi 5liYUio-5oivi1oadvi^ 5олз олзт/олтА. лпо ‘oirodi 0x1913 олзт1о1гз лох зг)
пхпл11г aoi odliyxoyo siiaoiHpdA. пл srlaodoirii ‘пптЫрдц 'Soiniop^OAOii толр
лсотМпоЛ SodaiX о тох SlirlrlndA Sluiooic 5ln oionvirnvyoir толр LnirindA здр^
’I-	т-	z-'
• 17	р	8	=у
Z	Z	Р	v
-T	I	Z	-
:oxnoidlnxndnX toais OTiA/isppdnir
олзт!о1гз ox £ = а ‘»лз S<03§pi 5зхпл11г толр mipriiiox пдзюаоуют ni ‘пддзЛуу
Uxnirindj U13 TOiipTiTiox пдзюаоукп зо isgoniromp пл isdoirrl Stoic sriaodg пл
SoinriAndir аохздлао 5олз 5о1лздор ‘толр Afoxiinrilignj\ лап niniiliiU^ ndsiox
-плптИю ni (irn плз, '(лзрЫ li^pi13^? aoir пхплш aoxiAspliri aoi 5о1хз) ктлар
Udsipdxni li толр li^pi aoirp ‘UoaniriSsir йдзхруохаз л!по зт<аолпд(Ь 5оузх
плз 5<оз§п1 Ззхплщ
•inis^iAspliTi лзр iimiApdir по sriaop пд тох у aoi noao^iQo л1п srlaodg
пд пдзхоЛбу nprilio pxnsdodroip и зо 5зт1п sioirliposioiro pirn плдз1г пл
pQoirTi oiiaAaiayoir плз- Unay nni 13X3 q = xy 01 ndy Sothdoiigipi Ini толр у о
no 1П131ГЗ ‘(g = j лшо лолот! лршлар толр g = (??)<х mAoy nyyn 3ii) g = x lioay
lixipnAori In 1зХз g = xy li aotby :oiioiAo’f/ao 01 зг1аолрдт1пуплп1гз -эриашзарирд
aoi 5ютл]и: лпо ЬрюсплЛ толр тох и lies и толр у лапозузхлао 5пхпл11г q
XIHZOZIH3 Z3>IIWIMV<LI ivn iojox ionllvwzanviv
Hl

:b5?ni li толр пюц Удтздокх 0 =	1»л.1з о = fi^y
(ioi limy liAori li 110 siSpg ‘lioay лоюГ/.nyaoi niri зюипи 1зХз q = xy oi люд ll'p'Z
oScoXoA3Qliri O1§1 ЛО1
ari £ шз £ пхплш лплз 3ipSg 'Ц = £x^ + ^x£ + nioiro ni nd Eg aoi ninriomniq
ni nyo i'n impysioirn ЗодсоХолздЫ о aoioico aoi £ шз ] пхплш лплз З11здд oryj
tnmA mx bsni li толр пюц
’0 = x Li толтз (ЗаоюетлЛп и зг1 5i3omoi§3 ш) о = ху aoi Ьоау Ьлот1 li по зюз0О1Гх 6't'Z
!jJj х l] nrkxwaiQ 01 oaq ю inx лаоХ
-31031г ЗооогХолэрЬг! о тох лопМпдЛ ЗодтХ о aoioiro aoi Зпхплш ззХдпка лзд nmg Я’УЕ
‘.q здпх тЛ Sisoay Зздтшп 1зХз q = ху oi (9
= у (_у = [_уу :осЬоб1О11лп одазукгд 13X3 у о (п
5aori0iSn 5ло1
5aoian jA 5зх110лао Ssioir oirx -i Sma^ni и шз ш Эпхплш толу у о по зюз0О1Гх L'VZ
;1пот1оууплп Uonionig In 13л11(Ьп
5liyb.ii) лозухс шз Sniri lixli0oodir 1л зюц лту1по аоЗотХ aoi bomonig li толр b5ni ц
ib^isqoEX liyliio лозун шз лпо q 01 5п1ло130пдтг то1з5ппт1ЬХо ?у о аоио ‘(y)li§ni
=	лп19 319х лол-9^ 1ЮХ 319х ‘от<1оаушз толр q = ху 01 птЛ зюЬЛЬ^д 9477
(•liTirindA lixMsqliTi mri 13Л1§ тох q Л01 is^nionyirnyyoir
у aoi liiirlnSA 30пх aodro ‘q aoi одгоХолз^Ы одзютоп лою ТО1зХз1дз1с у aoi
лопМпдЛ ЗодгоХ о ЗЬошд) -у aoi одсоХолздЬт! лою 1П1зХз1дзк q aoi лгоукю ЗодспХ
о по 3i§pQ ‘о = ду ‘Зпхплш SoxiasqIitI о толр люхплш оа§ олзг!ол1Л 01 лпд
ло1 зт! 1П1ло5пзХо
aoir ‘aodmX aoinionigiSi aoi SaodmXoira 51з<)«)1узт1з0 51дзооз1 Saoi зиКпдЛтозц yyj
ГО 0 0 01	ГТ О Z 11
О I Т 0 = Л 1п* ОТТО =У
Ll О Z TJ	LT О Z lJ
лсохплш лап лаэдтХоша ла)§стузт1з0 лахЗпооз! лап liong mri тох bonionig In sipdg
ггг
- Г° 0 0 °1 =л WX [° 8 Z °]=у
Lo у т oJ 77 Lo v 1 oJ v
Ззхплш 5aoi сшп лплз 30пх зт1 гшло^пзХо
aoir лох)а>Хо1га ла)дпооз1 лап liong niri зюразхошпх тох lionionig In 31130g
•ла>у1по
oQinX ло1 3ri iniaooi у aoi лапМпбЛ SoQioX о 3101 ‘и = ш лрд iSyqasdi U 5з0Ьуу ууг
3I33HM3V
юлпхопа siavnivawae siaassai ю п

116
AIANYSMATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 ESISQ2EIS
2.4.12 Eav to Ax = 0 exei цю цт] pjSevixq kvaq, delate oti to ATy = f 6ev exei kvoq yia
OQia|iEveg deijieg nkevgeg f. KaTaoxevaore eva ларабегуца tetoiov A xai f.
2.4.13 Воелте Tqv Tatjq тон A xai уоатрте tov mvaxa oav A = uvT:
2.4.14 Eav 6o0ovv та a, b xai с, це a / 0, л<од npenei va елЛеуел to d, o'jote о
va exei Taigq eva; M’ aveq rqv enikoyq tov d, napayovTonoiqaTe tov A OTq цоо<рг|
UVT.
2.4.15 BpeiTe tov арютерб avTiargocpo xai/q tov Se^io avTiargoipo (oTav vnagxei) yia Tovg
A=[J J ?] xai M=|jl 1] xai T=[“ £] .
2.4.16 Eav oi атгр.ед tov A eivai урацщха avegdpTqTEg (o A eivai m eni n) тбте q Tagq
tov eivai__________________xai о [rq5evox<vQog eivai___________xai о XGJQ°S ураццюу eivai
__________xai vndpxei evag____________avrioTQoepog.
2.4.17 ('Eva лаоадо^о) УлоОёоте oti ava£qTOV|ie tov Se^io avTiOTQOipo tov А. Тоте
AB = I oSqyei OTqv ATAB = AT q В = (АтА)~гАт. О В бцоэд ixavojioiei
Tqv BA=I xai eivai аоютербд avrioTQoqjog. Пою бтща otov ovkkoyia|x6 eivai
XavSaopiEvo;
2.4.18 Eav V eivai о vnoxwQog о лараубцеуод ало та
6geiTe evav nivaxa A nov exei tov V oav x®qo yQa|xp.(i)v xai evav nivaxa N nov
exei tov V oav piqdevoxwQO.
2.4.19 BgeiTe ща 6aoq yia xa0e eva ало tov? тёооедпд vnoxwQovg tov
ГО	1	2	3	41 Г1	0	01 ГО	1	2	3	41
A= 0	1	2	4	6=1	1	00	0	0	1	2.
Lo	0	0	1	2J Lo	1	1J Lo	0	0	0	oj
2.4.20 Грссфте evav nivaxa це Tq gqToilvevq лю хата; i&ionqTa xai e^qyqoTe yiani vnaQxovv
tetoioi nlvaxeg.

2.4 OI TE22EPI2 ©EMEAIQAEIS YnOXQPOI
Г1] r°i
a)	О x<oQog ott]A.wv rtEQie/ei та 0 , 0 , о /ojoog orqkwv negtexei та
6)	О x(,)Q°? oty|Xcov exei бааг] то [ 1 j , о (XT)6evdxa>Qog exei бааг] то [ 2 j
у) О X.wQOS aTT]kd)v =R4, о x®Q°S yQcWojv =R3.
2.4.21 Aiderai oti о A exei тоид idiopq Teaaegig SegekicoSeig unoxwooug p,e tov B. lox^ei
тоте A = B;

'0,01
л,<т>9т1ох-лтг1хп 5<о;юо>шооок Зюхюлгх о тох milicbndA олз^ог^ошлиообх юлд, yj "Xj
ogtiox аою С ogriox aoi ото	Urixn U луд -krixo U гзлотлз aox Saogriox
oag 5aox гзлХгзд aoir krixo здрх mA kririodA mri пХз 5охаю 5юхюлгх о 'V зт^
TOisj/iyogriao тох p ixs g толгз Atogtiox-Awrixn Swaoipiuoodu 5»x»aix q
•aoi коладазхюх лкх гз^гбодюх aoir 5оузд юлз пХз 5orio6g здюх noig ‘гтоТайюбХ
OAarioT^oivAvoodic юлз толп 5юг1 охгд од '5зг1хю 5а> Saorlodg 5аох тох Saogriox
5от 5nyox 5n зг1 ‘кхбюХ oxigo юлз (ri 5когхз n^moj^ ’(тохлоазбоЛюхю ogriox oigi
лою лаоЛкуюхюх тох рхю лаолгхз^ aoir loriodg тох) охкхтобюхю толгз лзд оюхзх
nog 'кг1хю mri зг! л<одг1ох ЬоЛаз^ здюх гзздлао лзд тох ‘5зг1хю с, тох 5aogrigx р
пХз р"£ Х^ ою ютИкЬюдЛ од -лаоздлао 5п аох алтт/хп„ к лсо^рбд оуолао юлз
тох udmgriox„ к лдхЬабох оуолао юлз тохпююао оад гзХз vriluhndA юлд,
у jy 5юхюл1х 5oxi6i3ririao SgxMcoAioSisi о 5оузх ою то1з^глю<Ьг)з 5тх ох тох
5(О0юх ‘гзоюбд лз 5зхюлгх 5аог1г1юбАдукууюбюх sriaog юл хпбтохаз лкх ‘оооюот
‘плгд ‘кхпзбтообх толгз кхаю 5о<ЬюбЛюбюх It тох лу -orioiAov охпообпхю
лох 5обх юдтг UxiSotboSltyir лкх 5odir идзюзгок^к тох ‘Uxusdodrorg Згогзузх
—тохгзЛк^з юуохаз аох— югоюгИю кдзхазд mri гзХдюхх ’(гж = куодюдшт
U ’Х’у 5(охо) 51ло1идюлао 5тт1 mllidrodA гзлтотИло лзд uorilid>pSA,, к§зу к по
зг1аоогло1 aodro ‘юг!Лгздюдюх дхгдгз юлз tri зт!юлгхз§ тох mlkdrodA юлз дхю
люгздаз (1юх тахзХдзодх 5тзо(р1хоодх Зюхюлгх о ^cniorikrtodA югбсозд кю
тох лотаххгд юпдтзд кю 070S охгбхлзх люлз лао^тох годотХоха <oAov лз iq
•лотдотХоха лгодюоозх лап юхюгкэалтд юхгоюд юх зт! тох Зотдюх ‘q тох q 5аох
зт1 тох гзлтодг!ао mgi ох пд толгз ох<01зг1коог§ю толгз аох охау о к j- ‘j
зт! тохаот 5аох отзХюю здюх тох iwsomiuoodic Ssxvaik люо гоюотлЛ толгз
тохау ’ЗзхлодзсЬюгдлз юлобХохаюх тох гоухю толп :юхют1кдзюдх оад лаоХз аох
лтхюлгх лотгМюдЛоукууюдюх югдоЛкхюх mri гзЛюогз 5о(ЬюдЛюбюх к кхау
•гобгоХдха го юхаю толп гохплюг1ко юхпютМюбх ооох тох злтдзлюЛ лзд
охаю (1Л ‘кЛог!бю(Ьз югоклЛ тохюх охю люхрХдзодх лзд тох 5олзг1колгхз юхклХзх
люхк 5отт1о Зюхюлгх отлюхюдюх Q -5зх1лздкг1 kri люхк а - ш ‘л ‘а - и ‘а 5аох
Зпоюютд го 5зуо, -голзтМгдхзх kri тох rorlroiAoyoxa люхк юбтХоха Згдзоозх
ю :5охпкюхолюх1 ауох люхк 5охаю тхохо кхпкдтзд дху -аосЬюдЛюдюх
5клзг1аоАкобх 5кх юхюлгх р гхз £ лох зг! 5олзг1кгохолюхг ю'/зхоуо rarin лзу
VA1MIV IVM VIVI\IH<I>Vei l  S’Z
ZiaznZIEH SHNIWWVdJ IVN lOdOX ioxiivwzanviv
811

Ззоотюглао 31Л.31Г iq -Sq = tq + iq + iq Зотозкп зг!аолд1гш (у) 5i3omoi§3 5n
SniAOisgoodir aocbn ‘озл sioirri толзз лзд 5mrio 019.0j, -g kririndA li толр у, тох £ ‘I
лотгМпдА лап nrioTOdgn 01 no 51юшз sriaoxordg ‘lionises лк1 лкшп Эшло^гХзла^
(Т)	'0 = iq - tq + iq тох 0 = iq - iq + iq
3101 ‘ЛОТукю одотХ ЛО1О
гзхклп q 01 лпю ‘зг1аоо1(Колло пл mj 0=0 гз^кушпх пл kdnoynirn к зюот
‘iq = tq + iq д,к1 ртоколпхг пл isirpdir пдазук пч^зд к пду -g kririndA li толр р тох
g лоттНпдА aoti nriorodon 01 ‘SOTioriQ ’коау тзХдртга лзд пхпздосЬтд ‘iq = iq + [q
л!л1 sionrio^msdX ndasyir пг^зр л1и^ •£ kririndA It толр £ тох у лотгМпдА aoti
пт1тод0п ox -пхплш лою otoiit srlnir огдкпдх oosrin плз sripodg пл mj
‘.q = ху oi sriaooay пл aripodoirri iq ‘	‘ iq 5здо<Ьпгд Ззток nij :лотукю Зойрх
•ЗаодотХ 5гзд1 Saoinoygita Saoi
пдст1 sriao^rdoigoodp '5oinionigoAori толр Зотзоотигоодк пхплш aoi aoian
ЗодсоХрлзрЫ о -Skrixn 30пх Soxkri ninx пхп1плад пот гзлтот1ко о = ху 1191g
‘одотХдлздкт! лою п1пт!оалтд плот! m толр nian ‘nnriAndyy у aoi одотХдлзд
-kri лою толр (э ‘э ‘э ‘э) = х oi но тзлоттодздшз aoir nriAndir ‘Saoi Ssdocbmg io
лао^пууп пл ЗтдотХ ‘э пдз0пю mgi лк1 ninx gxirinAaq 01 зг!аооот1зт1 пл к sriaoo
-k§an юл. 3riaodoiry\ [лотладп толр Srorig oiaox 'tx ‘ • • • Чх пхпг)плад ni зрздд
iq ‘	‘ lq лотдосЬтд лот1 лаплзооу :пг11нотдз 01Т3130 q - ху коотог^з к Зошзла j
•лсот1хп 31Л31Г aoti Soxkri ninx aoxrrinAag Ssdotbmg 5n лаолар aoir (у Ski Skri
-rindA Skirodir 5ki y^: ni oirn tx — ix толр kirodir к) Ззоотюзлао З1лз1г ззХз ху ox
аохтг!плад ЗздосЬтд 5н тзл]§ ху пгЬалптд 01 зюх Snogriox 5лою тшЬзлад
лпо tx4x‘ix‘ix Ьзоотютлао 5п зг1аоокдотз0 лп ‘пг1к<эл oioirnx тзХз oiaox
•коа.у pnir 1зоот§ пл тох q = ху Ski кору
тт! зо p03ioodir пл pdoirrl (э ‘э ‘э ‘э) = х “Пгкэалптд одз0пю„ з©п^ •кхчдплот!
толр лз§ q = ху 5коото1^з 5ki (moirnx isXdnira лп) коау н 0 = XV 13(^D1
oioiro 01 mA	= х :лот§плот1 лап пт1оалп1§ 01 тзХзтдзк 5одотХолз§кт1
о 5от1гзла^ -йуйю 1лх'1лздкт1 hi TOTioiodgTp лаоХз 5зук1о tq тонпт! mri рхдп
5отт<9 тдз ‘kcbioynirn лк1 П1зт1 ТО13919 kokiAnirn к пхтлолпх ^лзркт! 01 тзлр
aoir лотукю aoti SgrionagAao isXdnirx у noi ода^лздкН ло1 зт! зтЬэлтхз^
• “ЛотдтЬэх-лотНхп,,
5отзоот11гоод1г Зпхплш о толр aoi 59<Ьодюплп q -и шз ш толр у о 3191
‘Saogrigx и тох 5зг1хп ш тзХз nrikcbndA. 01 лто, ’5зукю п‘9 ,irn ЗзтМпдЛ
5здзюоо1дз1г тзХз 39 5от0клао ‘ЗптХоуотго! Зпхплш к 5viliioxiix3dao Зпхплш
тох ndocb nntrinx тшзЛзу у q тшзХдз^з Sorigdg о ‘то1лоХдзтз £ тох loiigdg
iq ттлоХдз^з TOTOir тох то1лоХдзо13 lorlgdg totoit тззу 5nri— £ 091I9X ло1 птЛ
5з1до<Ьодку1г тзлтд кукю kiidi ц ’Ззукю 5ио iSAingrlao aoir gian зюот1зт1кз
у ogrigx лою у ogiigx ло1 91ГП isnir aoir
krixn kiirripir лк1 girn inisXdsodir g kririndA p 7 ogrigx лою у ogrigx aoi girn
krixn mri азлХрд у kririndA yy -nrikcbndA ою nyirig pomirai тзХз Smsoconroodir
Зпхплш о -ц Iwhio лкло 1+ vox С кукю лйю у- 13X3 UtittodX h 3101 ‘ц
6П
VAISIV IVN VlVWH<£VdJ S3

толр aoi lionionig U aodbn ninrioaAnig ni П79 Santo 1X9 ‘aodmX aoimoTiigndisi
aoi nimtoaA.n'iq тзХзтбзк лоттМпбА. ЗоботХ о 'SoinriluhndA aoi msgliog lii зт1
nrilioA TO13919 oioko agio ЗобооХдка Soimasysi о toais Soiay :люНг<п6Л Ьобсрх
•лзу/гг/ 1ЮЛ13 юл 131сзди
lurfxntt Soxliri юлтс лохп1юллд людосЬтд лап югкподую о£
лог лоюг/юллу 5юлрлюя о толр
ларЬио обатХ лою q 01тзхклп пл mA отбкпбх 01 'SoinrlUdrodA aoi Заоух
-ax 5аою лаоХтоюплп аоботХдлздЫ aodsioton aoi ninrloaAmg пд, SZ
•jjoqqojix aoi ла)хп1плау плолпх aoi лпо оюсолЛ ‘Acoinrimyxax
Зппдгозд Slii от1ол плз лпо 1гоапк1бзк (1x1913 л1и Ilian sriao^toaiXninx tox
Цоапк1бзк кхтлзЛ liio raoir sriao^toaj '„ЗпбдзЛуу SUxirirlnSj Slii Soinriltdms©
5аодд)тузгГз@„ aoi 5обзг( odsiasg 01 mtoiAao тзлтЛ ng aoir ‘0 = q^fi плолпх aoi
тзлотбзлпЛ oiay -g =	+ iq л(и лаотоколпхт ларкю aodmX aoi П1пг1оалт§
ni ‘(о ‘о ‘х- ‘х ‘х) =	011зХз1дз1г SodmXoAsgliri Sodsioton о лто, '1олзг1здз§лао
плзю толр ЗодсоХдлздЫ Sodsioton о тох ларкю ЗоботХ о 119 з1зкзуд
•SoinriluhndA. aoi оухдх
дхтбзют^з aoi 1зл1§ (х— ‘х ‘О ‘l ‘Т) =	nnriAndir .одаЛдлз^СЫ 96310160
лою 51со11гз толр г/г тох лап 1ог1опадлао iq ’аоухах aoi 1юладаз1пх л1п
зт1 (юладазшх nigi л1п 13X3 Sloixn Sin 5оуз§ 01 ооок ninx тзлХрд x_ Ц 1+
поотютлао н 'аобтХдлздЫ аобзютбп aoi /г пт(оалп19 плз 1зЛпбтг Зоухах здпх
li- I I 0 0]=^ тох [О О I- I т] = ^
толр д = ул1п лаотоколпхт
aoir тпг1одлп19 п£ роухах 10 lioliiAnirn лаолгд Slioiirs oian to тох -Ь-т1т1>э6А
UxiAsglui Ui лаол1§ лттМпдЛ лап ютктоадлао ютоц гЗобгаХолз^ЬН Зобзютбу
•£ = а толр к тох Ss^liio
5з11пбп5злп 5i36i лаоХбпкх 'лотуСпо обтХ лою то1зХз1бз1г q 01 Saicjtoxn лто
То1злау q = ху 01 aodro ‘isirtoir тох Smirg ‘Sisolinnirn oqg 5п 5з1ап лаотоколпхт
у aoi 5зу1по то 119 siogmrili^ тоухах аппх ло1 giro то1зХ6зо61г д = Sq - "q + iq
Uolninirn U ‘лтЛоуплп pnx ’(£rc — i-x) = (£ж— 1ж) + (1ж — i-x) л1п лаотоколпхт пл
тзкзбк аохтНплад 5збо(Ьтд то ‘пг1пла§оох -д = iq - iq + iq тзаХт пл ттз^птзбХ
gxnioAag 0191 ою аник siiaoonidb пл тох оухах лою зт1аоо11ба>Хобк пл тд
(Заоузд aoi Згозоладазтх 5U1 атЛо'у тогрппкп лорт! 01) iq- тох iq4q толр
аоухах аобзкплп aoi Soxliri птх ЭзбосЬтд iq 'лздШ miDiodQn лаоХз юл
131азд1£ оухах рз.О1зрс люлз fi аохп1юлар 5здо(Ьтр ю 119 толр SoitoA о
птИкЬпбЛ oi тЛ nioniiUo птокпх тох лаоХз пл тзкзбк ахр
пууп ‘йсЬтоупкп зт1 nxnnriliioao oik лаодзбд пл лпоаобокт! пд Ssian Ззхкдлао
Ю 7 - S = £ lionioni^ тзХз летукю 5оба>Х о 11919 ‘Ззхкдлао 09,9 лаотоколпхт
sisznsiza zaMiwjMVdJ iva юапх ioxllvinzanviv
oz i

2.5 ГРАФНМАТА KAI AIKTYA
121
г = 3. Гш va 6govpie xgetg ave^dgTX]reg удар1рсёд pinogovpie f] va xotra^ovpie
axriv anakoippx) f] va xoira^ovpie ото ygacpx]pia. Oi xgeig ngcnxeg удаццёд eivai
e^apTrpeveg (didri yoapipif| 1 + ygapipn) 2 = ygapipo) 3) even oi ударцлёд 1, 2,
xai 4 eivai ave'§dgxx]xeg. Fgapipidg avxioxoixouv oe axpdg xai удардёд eivai
ave§aQXT]xeg e<p’ doov dev jxeoiey.ouv xvxXovg.
Oi ударерхёд 1, 2, 4 anoTekovv 6aox|, aXXa pie xi piota^ovv oi ovvdvaopioi
xovg; Se хабе ygapipif] та oroiyeia ё/ovv aGgoiopia p.r]bev. Svvenoxg хабе
ovvSvaopidg 0a ё/ei tt|v idia ididTX]Ta. Eav f = (/i,/2,/з,/4) eivai evag
ygapipuxdg ovvdvaopidg xenv ygapipicbv, тоте
/1+/2 + /з + /4=0.	(2)
Avto eivai eva xgiTx)gio споте то f va avx)xei otov yengo ygapipicbv. KoiTa^ovTag
та ngorp/ovpieva, 0a пдёпе1 va vnagyet xanoia оуёот] pie to dtavvopia x =
(1,1,1,1) tov pixidevdyoogov. Аотёд oi тёооед1д piovadeg otx]v e^iowor] (2) dev
pinogei va eivai ооцлт(оцат1хёд:
Eav to f nsgieyETai otov ~/аюо yoayuo'jv xai to x nEQieyETai otov yybsvcr/Moo
tote fTx =0.
Kai ndki avro bivet pita eixova tov ©epiekicbdovg ©еюдтщатод тх]д Tgapipiixfig
Акуебдад (Мёдод 2). Tavxdygova tovto пдоёдуетах ало sva Gepiektcbdxp vdpio
тт|д Gecogiag xvxkcnpidxcnv, nov тсода eivai о Kavovag Pevuotoq tov Kirchhoff.
H о'/ляу noy oe яаве ядубо sivai yybiv. Oi agiGpioi /1,/2,/з,/4 eivai “пг|уёд
gevpiarog” OTOvg xopi6ovg. H mqyx] j\ пдёпе1 va e^iooggonei то -yi - уз - y$
nov eivai r] gof| nov cpevyei and tov xop,6o 1 хата pif|xog tcov ax[i<nv 1, 3 xai 5.
Avti) eivai г] пдеотх] e^iocnox] tov ATy = f. flagdp.oia loyvovv xai orovg akkovg
xd|i6ovg: diaTf|gx]ox] tov epogriov anatrei “eioegyd|ievo epogrio = e^egydgevo
epogrio”. To oogaio eivai oti о avdargoipog tov A eivai axQi6ibg о яатаАкцкод
nivaxag yia tov vofio tov ocv/iatog
To ovoTX]pia ATy = f Xvverai drav to f avf|xei otov yibgo GTX]Xd)v tov At,
nov eivai о yibgog ygapipicbv tov A:
2S' Oi тёооед1д e^ioiboeig ATy = f, yia Tovg rdaoegig хоцбоид tov
удасртщатод, excpgdi^ovv tov Kavova tov Kirchhoff:
To avvokixo ocifia ae xaOe x6fi6o eivai fitidev.
О vdpiog avTog pinogei va ixavonoieirai pidvov drav to okixo gevpia nov
падёуета1 e^anegixa orovg xdpidovg eivai /1 + /2 + /3 + /4 = 0.
Eav f = 0, тоте о Kavovag Pevpiarog tov Kirchhoff eivai ATy = 0. Kai
ixavonoieiTat and хабе gevpia nov &юддёе1 ёvav xvxXo. 'Etoi 01 xvxXoi divovv
та dtavvopiaTa у tov pix]devdxwgov tov At .

:idais UoUiaditd ц tSsiUidp^sAD toais 5тзогоиго
-odir пхплш 5олз SsririodA 5зтоц :UoUimd3 UxiasA Uio lypit pAUgo piay
SsiUidp^SAD 5mzirlrindA
adiU у aoi 5sririndA 53irodir Sisdi iq •AmxiAsgUri Ami 5UiirindA Sninias^si
Ski 591x3 у aoi зт! 5oi§i о toais /] о ndy 'UTirindA Uidmsi aUio pxiAsgUri
isAlicbn tox Urixn озл lii aUiod ix is^iAndro^s SUrhiovnifn nrilig oiniasysi
01 лаолгр tox гтло^радлао £ <— Z ™x Z «— t7 D111919 P Sodir £ ао1 UxiXdn
aUi 91m di301iad tsatoAUit па iSAingriao liiay -(5oi»t11iXd aoi Sodsri тлглг
ою) Urixn Uiirsy пзл Ui 91m 130diodidxiiad da lypir isirsdir Urixn тлгоАшр
Uiirsy н •£ oio fz 01 giro Urixn пзл mri toais aoir (i-‘x‘0‘0) 01 roiaApdnir
p UririndA пзл U10 z UririndA Ui 5тло130оо6ц 'oiorigOnir toais d0 9.0AU90
UririndA ado z UririndA Ui SniAioioiroriioUdX ‘SUdnoynirn 5Ui nrilig олзЛпгз o^
Urixn пзл Ui Aiiian у 5Ui Uo30 Ui зотрз । oio p 01 91m Urixn
ртоутг h y 010 P 01 9KD ‘SoinriUdrodA aoi Urixn Uiirsy aUio гзХгоюплп UririndA
пзл н ’Srosomiiroodir SnxDAiir 5плз 5Uow3 толгз Soxoaiit о tox rsXsrdsir
SUorirs aoir ‘T—‘O‘T‘O UririndA Uidnisi пзл Ui rsApdnir 9iay toiaotA pdsimdn
coipx U A3§Uri гзлгА da mA p UririndA Uio j UririndA Ui i3i30oodir milig oimdir o^
I-	0	0	I
I	I-	0	0
0	I	i-	0
.0	0	I	1-
TOriArsppdnir плз to ninriUg ni pian sriaoysixs .miUtbpdA 01
mA inx npx i3AinriUo SUdbioynirn 5Ui milig 30px ‘Srosoroiiroodir 5зхплг1г mj
5m3omiiroodir Sdxdaiit
толгз лзр у SnxoAiir о 5piay -(SUorirs noao^rdo 5ro inx) 9AU90 odsiasg 5m z плз
rsApdnir D0 ксЬтоутго U 3191 ‘
= у aoi giro зг1аоо11л1хз5 лу q inx jq
5n 91m rniAaorioAodU^x aUtI da pdoirri inx niUgAOian iniAaodro30 da isirsdir лз§
di 00910У ’srinoUAixs^ oioiro aoi sri 5co3omiiroodir dxdaiit aoi mA заз011уп
aodro ‘oAdsidsir inisAind) Uri da isdoirri giay ’Ucbio^DirD 91m miAoXdsodir aoir
‘DG7 = Vd A-ljL1D SaiAoApdmr 5aoi mA тох 1заз0куп 0191 o^ -o U U x толгз
fi inx x AroiprioaAmgOA3§Uri Ami 013X1010 30px 119 oimisriUooi^D iDAig
SsiirindA 53iUidp§3An тох пдрлзд тлоз^лаз
SiaSC5SIE3 ZnNIWWVdJ IVN lOdnX [OMLLVWZANVIV


'I = (лотухлх 5о()1г/к) + (лт11хп 5<>()livir) — (л<о<)Нох 5o()lr/ir) <= iovx.ix
I + и — ш п<к)|Л/7> UxmriixV »ri лот/ir misaaxr.iQoiri) aoir ‘japs aoi Soirai о толр 5oiay *
‘0 = q j-fi лотукю odcoX лею q пт!оалпгр здпх mg -лзр1п1 nrimodgn лаоХз nmriasd
пхгдзют^з ni ‘g =“/ + •+ iy =/j-x лоттМпдЛ одотХ лою f пг1оалпгр здпх mg
•Заоухдх Saoi pirn ft гзХзгдзгг ‘x + и - ш Uonioprp ЗодтХ.длздиг! 5рдзю1ду
одрлзр лозрлао здпх око 5зг1г1пдЛ 5з11пдр§злп ‘х-и liomoprp -мтМядЛ5одтх
5з11пдр^злп толгз Ззукю у — и sioirliposroiro ‘х — и копюпгр :аоту/ш> 5ода>х
(X ‘ • • • ‘у) = х oi гзХзгдзк ‘х lionioprp .ЪодтХрлздк]^
:51л^з Зот тогло^уКолао 5отзоотигоод1г пхплгк aoi Ssilnprpr то тох -5aoi
a^nisri лотг!хп liriodpmp mri гзХдпка- ogriox оууп здпх зт! гздзрлао пл rsdoirrl
5отт111<ЬпдЛ аохпхзлао Зрлз Sogripx здрд ’Засухах 5ао11пдр^злп \ + и-ш гзХз
пл гздаоуохп^з -рхпхзлао 5ю1лолзт1пдтг- аорзггпгз aoi то1зХдз§з nrilubpdA
oi лпю inx ItTipxy 5о11пдр5злп лшк лзд Эоухах 5рхгдзют§з ЗоурЛзг! зд
о ‘тоухах rodxrri roroisi оар лпХд1ига ’Xj ою— uaoXpdg Заоухах,, Saoi
5отозт1п зт1аоо1111У}Плп пл sriaodoirri ‘opsirrirs плз to гшзХзгдзк птИкЬрдЛ oi лпд
у\ + и — ш 1л а — ш толгз Lnay ’аодотХрлзркг! аодзюгдп aoi Uonioprp li толгз
aoir ‘лотухах лот11пдп5злп лот1 prigrdn ло1 SUorin гзлгр plan пШдотзд од
•ЗпддзЛуу SUxirlrlndj SUi пгИхдотз© 5зрсогузг1з@ oi гзптгп
Sroirp ‘u = I + (х — и) Ьтлолгр гтлздгюодк Згзорютр го ’(х ‘ ’ ‘I ‘х) = х
пг1оалргролзриг1 oi pirn илзг1рХдзгр пгздаз mri толгз у aoi ЗодотХрлздСЫ о
•Uylno 11хглзр11г1 U толгз пткподдр oi Scorip лоттоко лот1 ‘Ззукю \ - и лаоХдрка
рхгуола^ Ssyliio 5з11идр5злп \ - и тох лаоХдргга пл Sliorin гзкздц
ПХПЛ11Г aoi li^pi U плодХршп! тох у aoi лотгТИпдЛ
лот11идп§злп лап Sprigrdn о толгз Spiay Ззг/х» х — и 1зХз оддлзд лоздлло
3QVX 3101 ‘Saogrlpx и гзХз nrllitbpdX рхпхзлао плз лпд ’одрлзр одз1аупЛзг1
лршлад oi оор плз толгз одрлзр лозрлао плд, тоухах лплз з^иргШХо пд
(Slirlxn Slixxp 5птг1) 51п1т1пдЛ Зкуур Smri lixligoodir тох у aoi лотгМпдЛ аодотХ
aoi liong mri лаоузюкп 5з1ап ЗзгМпдЛ то nilnpxnnrlAndir л1п;<[ -лотгЖпдЛ одотХ
oi лаоЛрдтг aoi ЗзгМпдЛ то тох птИкЬрдЛ oi лаоЛрдтг aoi 5зг1хп iq °^л?р
лоздлло плз толгз SoinrllicbndA aoi ogrlpx здпх гз^гЛЛп aoir одрлзр плд,
одрлзр одз1аупЛзт1 oi зг1аоо1п11^плп пл pxroaib толгз 5отт1р ‘pdxrri
толгз пл rsdoirrl одрлзр плд, толот! niri зт1 тох U 5зт1хп оар зт1 тох гзлтодт1ао торг
°1 'одрлзр плз лаоузюют SoimilidrodA аохгХдп aoi (5зг1хп 5гзд1 sioirliposroiro
nilnpxnnrlAndir л1по тох) 5зт1хп Ssimdir 5гзд1 то оорюу '5з11пдр5злп толгз
лзр у aoi 5зг1г1пдЛ 5гдзооз1 то тех одрлзр лао^пптИгХо лзр птИкЬрдЛ Snri
рхглотЛпд131 ою 5зт1хп Згдзооз! го пддлзд гтлоЛзу piay ’Засухах лаоХзгдзк
лзр aoir лотт1хп пуолао mA лапптИкЬпдЛ пгдотзд 1по пг1олр плз тзХдркд
•оухах лао'уптэгШХ.о лзд 5зг1юэ 5зХюю]1лп ю лоор л(Ьз
5з1к1др^злтз толр 5згМтодА iq
£U
VA1NIV I VS V1VMH<I>V<1J S'Z

5аохосолАп 5здпхлохпхз Ззхтдзг! долог! тох 5i3omoi§3 Sagniyi"/ Ssxidsri 1злтот!ко
ошу -тдтлХттг здпх mA ?q= ах - Чх зхот тохз ‘ngnrio здпх mA х grigidn лплз
зткодд пл зг!аодтгоодц 'Saiyoxoag (лохогХпуаох) оад гзХз кхап 5ододзг! н
кдзхаупх li толгз дхп1плад
охпхюлп ох зг! ngnrio к но тлтскНао kdkyir srinXis пд komxiridsir лкх лкхап
jigiAXinir ох лао^ток пл лпх лпхд^тздХ пд лзд пхотупдо '5аох лтхп!плад
лтх ах - Чх ndodbmg лкх зг! koi лпхк пд лтхпг!озузхо1гп лтх q ndocbmg к
‘komxiridsir кхтлпдт лкх^ -з^тдбзх ng дхтт!плад обзхаупАзт! ох зХтз aoir кхап ‘ц
лкх зт! з^ттгз a ngnrio U лпз ‘зхо£ -ngnrio здпх зо 1(дх1г!плад„ плз зг!аоо
-гХтохоплп пл srinogodoioi пд ‘gxiAoy Ьгоузхлз лпхк oSintboggoir ох лпд
•odmcboogoir 01 тк nrikdtoSA ox •££ -/3
uoiaouijj
sexax jsn aiBJS 0140	Э1®А ргвлгвн
(aoioirnx
лоплплз тдтл'Хток тз^так лп 5дххз) oxcodir ох толгз лзд Х1И ox по sriao^ngoirn
л sriaodoirri лзд ‘nxnnrlkgnri 5пхлтуц\ дхпхзлао толгз лзд nrikcbndA ox (mAgv
пх пхап mcbndA oioiro охо) тАзуох ох дхап jA 5тХахад -аох gdincboggoir ох
mA inxa^irikch лзд aoir отАзуох плз тох 5содпх ‘лотдпт!о лидпдоо лтууп лотюкпх
тох лотдпт!о лоттосЬабох лтх 5одзт! тзлХтзд nrilxXo ojl -ngnrio поаолз^оухЬ lix
5odir ngnrio шдхкзхотоз лкх girn коладазхпх зт! ,5зт!хп ЗздргрХ 5зхтдзг! тох
logrigx Эздпхлохпхз Эзхтдзт! лдшоу лаоХбпггх '5зг!>т то толгз mgidXmic пх
тох logriox то толгз 5здпг/о iq ’5аох а^пхзт! krixn niri тзХдпгга зхдх лкх
зг! з^токз С ngnrio к лпд -nrikdbndA ox srigodg пл толгз nrikg oxmdrr ox
•корд kxrxnrikgnri обзхдотдзк mri зо 5здпт1о 5п 5зуд зт!ао§пхпхпх пл зг1аоузд
Sprig -5здпт!о пхздтд 5зхтдк 5п пхзт< kyogrcbrin gyoir тохзлтЛ aoir ‘лтз^юют
twin козг! птг! зо клзг!д^топд ‘кхтлзгкзхока толгз koidx н ’Ssgnrio ЗзхтдтогЬоод
-oir ЗзхшЛзуох 5п лаооопхпхпх 5здоххзухз то ‘aoggidsir здпх 5оузх дх^
лтдпНо люхгбгпЛоодох: к^пхпхпх ц
•толгз пл 5-idmX kdnggon is^niori aoir kAoridndte mri mA у
пхпл-iir лохо лкг!Агхо Sodir зг!аол1зт1пдп1г 5у -5m3omxiroodir пхпл-iir аох iXg тох
aoxiya аох nxkxgigi тз^пдсЬхз тох ft ох зг! х ох тзздлао 5дхап 5ог!дл о "Smosrin
зт!аод пд aoir ‘ащо аох °^9N 01 тох Л°ЧЧЭ-1!'Я аох 5злдлпх 5аох giro тохло1гз
пхау -лздкг! nrimodgn лаоХз аоухдх 5длз 5охкт! пхпх дохп!плад 5здо<Ьтд то
siazosiHH Z3Miwwv<iJ ivx юагзх ioniivhisanviv
tzi

юдо<Ьютр lu окю отлгтк 5аог10юд ooi ™x Urioxn U ()g люздотр тзлдток 51uIixta о
liDOT0doi9 liyyp Amri tox Sroiip sriaoasAoriliAii ‘g отюуюсЬз^ ою тююлтЛ piay 'q
oio юдзюзтокук лрюлар oi ooo xy oi зт1аодз<Ь юл лшлшЛпдззз, лтммХпуз aoti
SoQogsTi li тюлтз li^nwwx LixiwriAodir ютт1 зо sriaoooid) »a ютЛ Soirpdi 5рюото
О тохтЛоу ayoir 0091 толтз лзр aodrocboopoir aoi юпптозузютгю юд ’лотукю
одотХ agio тююХзтдзк лзр ‘зю1лю1г лррзХо ‘q oi DiUioxuorlXodir л1и^
•5тзоау лооХдюко тох о = о aIiio тзЛкро 1кЬтоую1гю li зюд 'Sridaayic 511дзютдю
5lu 5зт1т1юдЛ 5n sri Sisoludio^a 5зхтт1т1юдЛ 5зтрт 5n тзтоиолюхт q ют1оалтюр 01
agio ‘5отдтдхю 3101 ттзлау q = xy ютИиоао oi :5юддзЛую ЗйхттМюдЛ 5lu 5ог1рл
tox 5U.O1K3 тюлтз Soiay  лзр liri ют)отод0ю лаоХз юл тзкздк аоухах 5олз Soxlui
ююх аохтт1юлар ЗздоЛютр io- ijjoqtp.iig aoi аохтт1юлау Sorlpfq о толтз Soiay
•0 - Hdq + <iAq + ahq
Asgliti vrioiodgn лаоХз пл аоухах Золз Soxliri
mvx лот1ют1озузю1гю aoti 5здосЬютр то тзкздк ‘одзюоотдзш lirtoxn юютуюдо
•рдвлзвц 01 тзойхтл иотээиид 01 тох uojaouug 01 тзокхтл эртд oi ‘э[вд oi тзокхтл
рзвлзвуу 01 лю То1злау лзр q = ху oi юдаоЛт^ ;лотхтт1юлар оуолао юлз (о ююуркю
лао^ютдто! Ю1ют1озуз1окю ютоц -юуохоар опт тю1зсЬюдЛтдз1г лотукю 5одотХ q
юпютМох юютдотХз^ оар згкто^юннюх
юл лрнэлар толтз лзр тюх пютНох 30юх зо рхтт!юлар юлз 5ю1лотто1годз0Ю1о
то1тздтолю 1иаю ютдз0азуз н 'х ао1 5ютдз0азуз лотт)0юд aoti 5o0liyir 01 зт1
TOiaooi— SouoTiUdrodA. aoi лотпютМох aoti от10тдю aoi зт1 тшаоот aodroXoAsgltri
aoi lioDiooiQ н (’UiOTdir То1зоою1ю1юх ogorio IiastIotisA li 3191 ‘Asgtirl 01
oirn minx тюлтз юхтт!юла§ юуую oi люд -oxirlnAaq рхтлздкт! 5ю1лотХтоют1лю
люлзлюх зткохтдю лзу) -ЗоиэгИгсЬюдЛ aoi upririox (охихзлао) 30юх зо nqpiio
Dill ТОХ юуую piBAJBJ-I 01 OApri iXp ЗТ|аОООТТЗЛ ЮЛ лоитоу ТЗТГЗдц '0 = юуую
Ю1 юуо тюх х = 11И1ж юг1оалют§ 01 тюх тю1зХзтдзк лоалю тодотХолз^Ы лою
юткталютр юлз тздзсЬотзлао 5о1юг111(ЬюдЛ aoi upriiiox олзт!отлог1зг1 З0ю^ -тзхдютгз
лзр oiaoi Охихзлао тюлтз лзр ютИкЬюдЛ 01 bcmto люд •(5отхт1ют1110ют1 отоллз)
олзтИсЛоуотюхтр 5от1ауотгю тюлтз 9iay -лзрЫ тюлтз юл рзвлзвц aoi 9Х1т1юлар 01
Ю1здто0аю зт!аодюк юл siiaodoini юхтт1юлар Ю1 з^аоотдотроодк юл ютд -ах - Чх
5здо(Ьтд 5и ОЛ911 ts^twtIIiXo у о aodro ‘лотрюлот! aoti юг1оалютр 01 зю1люх
тзХзтдзц -оюттэтИтоот^ю нюх тзлотдзлюЛ тюх 5оуохаз тюлтз Ьода^лзрЫ о
•5зтуохоа§ оа§ то тюх лао0оютоаодюк Ю0 Ю1Ю19ЛЮ0ТЦ тохтрюлот! тюлтз
лзр рюю lidsiasp Luo lx 01 тзХдютга лзр йоотштдзк 1иотдтг л1и^ -Ю1лют111оолог1
тю1ло^тдо лзр х юхтИюлар Ю1 3191 ‘5U1 9дотХ9лзрЫ лою ю1ют1оалютр юхтлзрЫ
liri тзХз у о люд :ютуохоар lidsiasy тохт^юлар кртдхю лао0здд юл лрюлар
тюлтз лзр 5оттуую ‘5от1ауо1гю лао^ютдтю! юл тзкздк ю1Ю11озузю1£ю юд -Uoay
тзХдютга лзр ‘лотукю одотХ лою тю1зХзтдзк лзр q 01 люд :ютуохоар 1иотдц
•тртлХтюш
oi рюю со лао^тож 5зрют1о 5зток лаолХтзр aoir— a Uyluo luo у— тох 1/ liyliio
Luo х+ зт) ктМюдЛ ютт! тзХз тртлХток 30юд -Зюзоштоод^ 5»x»aiir 5юлз тюлтз у о
OTOiro ою ‘q = ху ютИиоао рхттЫюдЛ, юлз лао^иютПтХо = ах - Чх 5тзоотот^з tq
SZI
VAJDIIV IVN VJ.VWI№VdJ ST

126
AIANYSMATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 EsIXQSEIZ
алоте^еацатюу. Люфооинха to va xspdi^si це 1 yxoX. Eivai лоХи xovxa ото va
Xavei (is eva yxoX. Тоито odx]ysi та mokoyi^opiEva алотЕХ.ёоцата локи xovxa
oxa лрауцаттоа.*
ПроаОх/хф хата tij didpOwox,. Афои ёурафа avxx|v xr]v лараурафо брт]ха то
EftdpiEvo арбро oxx]v ЕфГ)ЦЕр16а New York Times:
“Sxa xsXixd npoyvcooxixa yia xo 1985 о г)лоХ.оуюхг|д хатёта^е xx]v
Miami (10-2) navw ало xrjv Tennesse (9-1-2), oxx]v Ёббоцх] 0Ёох]. Alysg
pispsg цЕта, apxioav va xaтaф0dvow oxo aOXrytixd тцгцха xmv Times
бёцата pis nopxoxaXia xai ураццата 6v(io)(isvo)v OKaddiv xxjg Tennesse.
H орут] лроерх£та1 ало то ysyovog oxi r] Tennesse ouvsxpiipE oxovg
xsAixoug tt]v Miami (35-7). TsXixa x] Tennesse хататах0х]ХЕ хЁхархх] xai
x] Miami oxpavxixd лю xdxw.
X0sg то лрол Ефтаоау axxjv ало0х|хх] svvsa yapxoxi6o')xia (is лортоха-
kia. Проорюцбд xoug x|xav xo voooxopisio Bellevue xai ouvobsuovxav (ie
xr]v лроЕ1боло1Т]ог] oxi т] лоютхуха xai то лвр^хор^о xov xopxoxa^ubv
slvai ацф1бока”.
ApxExa yi’ auxx| xx]v Ефарцоух) xx]g Гра(фихх|д АХувбрад.
Aixxva xai Aiaxpixa ЕфарроарЬ'а MaOqpaxixd
Eva урафгща (isxaxpsxExai oe di'xTvo oxav avxioxoixioovjis apiOpiodg
с,,..., cm oxig ах|1Ёд. О apiOpiog сг propsi va ox||iaivEi |ix|xog xr|g axjix)g i
г| 6uvap.ix6 r| xdor] (av л£р1Ёхе1 E.Xaxr]pio) x| ауо)у1ц6тт]та (av лер1ЁХ£1 avxi-
oxaor]). Oi apiOpioi airroi лвруаУЕ os svav m ел1 m Siaywvio nivaxa C. Avxog
avxavaxkd “i6t6xr]TEg top ukixov” os avTiOsox] pis xov л1уаха лроолтоюршд A,
лог) divsi лХт]рофор1Ед yia xig owdsoEig. О onvdvao|i6g axixwv xmv duo nivaxoiv,
C xai A, spupavi^Exai oxig 0£|iEXid)d£ig s^ioiboEig xr]g Osojpiag dixxucov, xig оло1вд
0a E^T]yr|OOVpiE.
H лвриурафг] (lag 0a 6aoio0Ei otov r]X£xxpio(id. Sxr]v ахцт| i T( aya>yi(i6xr]Ta
Eivai Ci xai T] avxioxaoT] 1/с,. О v6[iog too Ohm Xeei oxi то рвица лоо nEpva
ало xt]v avxioxaor] slvai
yi = CiCi, x| (pEV|ia) = (ау1иу1|16тт]та)(лто')от] buva(iixov).
Тоито урафЕта! влшцд xai cog E = IR, т] лто'юх] Suvapixou loovxai (is to psupa
ел1 xx]v avxioxaoT]. О vd/iog tov Ohm oe 6iavuo(iaxixx| (1орфХ| xai yia 6Xsg xig
ахцёд xauxo/povoig ураф£та1 у = Се.
* О Dr. Leake (Notre Dame) ёбюоЕ |па л>.г|от] avakvor] ото лерюбгхб Management Science in
Sports (1976).

/= ^У
q= xy + fi^j
:jjoqqoii^j aoi Ззлолпх oog 5aoi 3ii iuqQ aoi 0119л ло1 лаоЗ
-падлао Эзтою io Smicoddooi Siaowoi^a Sisqm^atiag 5no Lionrbiia aiiaoAiy
•Soimiaad 11хАплп isXdnia лзд тох лзд1о) niioiodgn ‘лотухах Soxliii nmx
‘лаоХз Saidnmiii io li aodincboogoi aoi Aonniioaysioin Sadocbmg io liooniidai
л1и liian -Soimiaad liod тзХЭтло лзд птою лкю liooniidai li толр lioay
‘nxnniianniao ‘13X3 q = xy miliioao 01 aoio liooniidai lixigia U ‘iimiAndu
'ft^-Э Sodo 5озл 5плз ndgn isXdniy ‘(5ао1О(плЛп oin Siaomoi^i Sadaioomdai
AnXdliia noig оуохоад лик aoi:) q = xy 01 aiiaooay пл лозу! aiiaognioodi лзу
(£)	q=xy + fil-D ь (ху-<1)э = к
толр mx ft 01 3ii x 01 ззздлао эу> = ft uiqo aoi SoiioA о зто£
xy — q= э ndocbmg л1и gin iniagig inx Iwnioiuo лкю iniaypcbo Sliogni Sin
oirroyoia oj^ '-q lioni Irrixn л1ио iiXadni nioio li mdninvii mri зо iniay pcbo пл
pdoni Sltomiic Sin Sodapq -аохи1плад компе л1и 1зл1д aoi ‘xy- 01 aiiaoAdini
‘niilioodi ni 5п1ло(Ьзд1оилу -Aoigiiox a^nisri аохп!плад ndocbmg л1и здпдз xy
Soiiomonyinyyoi о -5Uovioiidv 5viri 5oxUr! pinx аохпЬэлад liogni li толр aoi
‘9 01 aiiaodg пл mia^niadX nyyn ‘iuqQ aoi Soiioig о толр liomoi^a liyyn ц
•f = fyy Ш13Л1Л SoiioA о 3ioi ‘uf1 • • • ‘l/ nimiaad nxidairo^a m^oXadni
Saogiiox Saoio лдктоу лпд ’5зЛ1ш Saxidsico^a siiaoipdina ‘ndaioxmaj
•g = fijy тол.13 ffoqqjjijf aoi ioiwiaaj 5тэаолх)^ о LiOOTiiridai
л!11 Ilian -5зЛ1ш 53Xid3ictfp лaoXdnlra лзд лто ‘лздЫ толр Saogiiox 5аою
Aminiiasd лтхт/олао лап /г^у oian mioaAOig oj^ ’(Acpiixn лап йузд ni 3ii
nAoicbiiao) niilioodi niooio ni 31I nimiaad ni isiagoodi 5oTiomonyirnyyoi
О 'TOiAoXd3§3 aoir Saiixn mA j- inx ogiiox лою miAoXdsoia aoi Ssiixn mA [+
13X3 Soiay [ liyliio In зг1 у лою iniSAnioidnir Soioio о ‘C ogiiox лою Aaoaddao
aoi nimiaad ni aiiaooagoodi пл тзазооЛша Smi Soiniiaad aoi Зплолпх q
TOiAaodTOAnoytiyyn шлп1 ni mono mo ‘0 = (^x — ix) + (Zx — ^x) + (lrc — гж) oi
5(oio nimioiodgn лаолчд аоухах 5олз 5oxLni nmx Sadocbmg ю шою^ Saogiiox
5aoio ux ‘	‘ ix nxninAag aiiaooiXioioiiAn пл isisdnia аохп1плад 5плдлпх q
•лздЫ 3ii iniaooi ogiigx лплз to Aonniiaad лап niioiodgn oj^ MdM
•лзд1п1
niioiodgn лаоХз aoyxax Soxlni nmx аохп!плад Sisomii iq :>[VM
miiaad 01 mA inx охпЪлад 01 mA jjoqqoii^ aoi
Ззлолп^ 5aoi inx aioniio^madX SnionAds oioinyi 01 aiiaoocpdliyiiiao пл mj
LZ\
VAJ.5IIV IVN V±VWH<DVdJ S Z

:(51зопюилп З1лз1г тох) Soinriasd liAlur mri ‘nidninirri niri misgiioodir
SaiAsriaoAltodir aiinoliili^ao лои mimyxax oio 119 зюздоих VKJIHVVdVII
:y - и 5(O35pi 5пхпл]1с ЗогМрдюилп
5плз толр ‘x 5odir 5cn (9) nrlliioao 01 srlaooay пл mA igisyx 01 толр aoir
VOjY 5nxmiir 5gxiAmAndi3i q 'Ssiliidn^SAn толр aoi 5зу1лю ю тох у - и
ii£3 ш 5пхпл11г 5плз толр ‘у зт! тупи sriao^pogriao isiiraxodir aoir пхплш лоу
рдздтосЬп 1зХз Sliomiirogdir пхплто aoxiXdn aoi liyliio liioo-u li тох 5олзг1т1зА
толр 5ogrlgx 59100-iz Q 'о = их igx'irioAag плз Acodsiodir лот1 хз TOipioirodsgmo
пл gxuonioao толр 51зотт5з 5u Ssian jA зю1лпц Uolidhindnu hxuAmiU^
х 01 mA liocooi^s mri лаолр
тох то1лосЬруп5з ft ninriasd п£ •/ = fi^y л1ио (xy -q)j= ft ox SniAmioignx
-плп isiiraxodir aoir (9) Iiomoi53 л1ио Ssgmidliioari 01 sioirii isXdnira лзу
'fl 01 тох зг!аолдто1г miluoao oimdir oio tionioninxiwo Ыоддплп зт! Aiirgm^j
(9)	7 ~ ЯЭ jY = xVDjY
:толр inx
‘liririndA niniasysi л1и 91m inisgig ‘ж 5odir 5ro pgay пл isipdic aoir nrlliioao oj
толр ПГ1озуЗЮ1ГП OJ^ 'gAllgO ЛО1 (irn
minx jy 01 i35p3gliri 1хоздто(Ьп li inx □ толр 5liionionyirnyyoir о ‘ толр
SgAligo о 'xoyirri licbdori lii л1иап to lidnoynirn зг1аолпх пл moiynri sriaodoirj^

jV
1-0
SU.53 5m (1xoyirri lubdori,, зо pdrodA пл pdoirri
nrlliioao gian gxiririndA 01 inx x pxirlnAag ni inx fi ninriasd ni толр юютлАп
iq -р0О1лп(Ьп5з 1зХз э oi oioiro 01 girn nrlliioao gxidisririao плз mA innsxgdu
zrazozi-a zaNiwwvdJ ivm годах iomiivwzanviv

2.5 ГРАФНМАТА KAI AIKTYA
To лршто лрауца пои лрёле1 va е^етаооице eivai о Kavovag гои Реёцатод
OTOvg хбцбоод 1, 2, 3:
—У1 -Уз~У5
У1 - yi
У2 + Уз - У4
= °	Г-1	О
= I exei Ат =	1-1
= 0	L о	1
-1	0	-11	Го]
0	0	0	xai /	= /
1	-1	oj	[о]
Tia tov хоцбо 4 dev уршрооце e^iaiocn]. S’ avTov tov хоцбо о Kavovag tov
Реёцатод 0а r|Tav y^ + у5 = 0. Тоито ёлета1 ало Tig аХХед тоеед e^iowoetg, tidv
onoitov то аОроюца eivai axpi6d>g -y4 - y> = 0.
H аХХт] e^ioiooT] eivai C {y + Ax = b. To Svvapixo x ovvbeeTai це то
реёца у цёош tov Nopiov tov Ohm. О btaydiviog irivaxag С лер1ёхе1 Tig л^те
avTiOTaaetg Ci = 1 //?,;. H 6e^ia л/.evpd exippd^ei rryv таот] rrjg цлатар1ад 63 = V
xai т] цорсрг) цлкох ёхе.1 то С ' у + Ах = b ndvw ало то Ату = f:
0
0
V
о
о
о
I
0.
То оиатфа eivai 8 ел1 8 це лёуте реоцата xai тр1а Svvapixa. Н алаХокрт)
o6r]yei ото 3 ел1 3 оооттща АтСАх - ATCb-f. О nivaxag о’ авто то оооттща
лер1ёхе1 та avTioTpoipa Ci =1/Ri (Slotl arqv алаХокрт| eoeig SiaipeiTe це Tovg
oSriyovg). О л^ахад аотбд eivai о ATCA xai a^i^et tov холо va tov Sov^ie,
ov|xnepika^6dvovTag xai rqv тётартг] ypap|if| xai отт|кт] tov yeuoprvov xop.6ov:
ATCA =
 Cl + C3 + c5
-Cl
-C3
-C5
-Cl
Cl +C2
-Cl
0
-C3
-C2
C2 + C3 + c4
-c5 (хоцбод 1)
0 (хбцбод 2)
—c4 (xdjx6og 3)
c4 + c5 (хоцбод 4)

130
AIANYSMATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 EHISQ2E1S
MnoQEire va belre. avtov tov nivaxcc лоХХалХаош^оутад tov At це tov A -tt]v
хатсо арютера ycovia pe tt]v raxvco 6e^ia ycovia too ev Xoyco 8 eni 8 rrivuza. To
лрсото OToi/elo eivai 1 + 1 + 1 r] c, +c3+c5 otov оврлерсХабоврЕ tov C, oi ахрёд 1,
3, 5 ayyi^oBv tov хорбо 1. To елореуо Siaycbvio OTOi/eio eivai 1 + 1 rj ci +<+, ало
Tig ахрёд лов ayyi'CoBV tov хорбо 2. Парброса, то C2 + C3 + C4 лроёрхета1 ало tov
хорбо 3. Ехтод тт]д SiaycovioB та с epcpavl^ovTat ре apvrpixd лрботщо, б/i бишс
xai 01 a'/.utQ nov ayyi’Qovv rov ysiMfievo ябубо 4. Автёд avrjxoBV ott]v тётартт]
ypappr) xai отт|Хт], лов ларатлс^тси otov г] тётартт] ураррг| a<paipe0ei ал’ tov
A. TeicbvovTag tov теХев+aio хорбо avaydpe0a а’ ёva аватт|ра та^есод п - 1
xai, лраура лю orjpavTixo, oe 6уоу л^аха АТСА лов eivai с^т1отрётр1род.
'OXeg 01 ураррёд xai 01 отт|Хед тов 4 eni 4 nivaxa 0а edivav а0роюра pir|^v xai
то (1, 1, 1, 1) 0а av-qxe otov pr]devdxcjpo.
SrpEiiboTE oti о ATCA eivai оврретрсхбд. О avaoTpocpog tob {AtCA')t =
ATCTATT eivai naXi о A'CA xai ёх£1 OeTixoBg обтууовд, авто opcog то
acprjvoBpe yia то Кесракаю 6. Прохвлте1 ало то 6aoixd nXaioio epyaoiag tcov
Ecpappoopevcov Ma0r]paTixcbv, лов aneixovi^eTai ото охФа:
Е/. 2.6. То nXaioio epyaoiag yia tt]v кторрол1а: лт]уёд Ь xai /, nivaxag АТСА.
Гю rpiexTptxa хвхХсоцата то х nepieixe SBvapixd xai то у nepieixe ревцата.
Stt] |xr]xavix1l Ta x xai У yivovTai цетатол£ое1д xai таоекд. 2та вура eivai л£еот]
xai тахвтт]та por|g.* 2тт] отатют1хт| то е eivai то осракца xai 01 e^ioiboetg
SivoBv tt]v хаквтерт] Sbvott] лрооарцоут] eXaxioTiov TeTpaycbvwv ота бебоцёуа.
To тр1лЛо yivopevo tcov AT, C xai A oBv^Ba^ei та Tpia бтцхата тов лХаююв
epyaoiag oe ёvav nep.ovcopivo nivaxa лов еХёухе! rqv юоррол1а.
TeAei<j')voB|ie то xeipaXaio о’ авто то xaipio отцхе1о: тт] diarvmooti evdg
0еаеЛ1о')Ьовд лроблфатод ота е(рарцооцёуа ца0г]р.ат1ха. Sbxvo товто anaiTei
лерюодтерг] 6taio0r)or] ал’ 6,ti г] kvirq тов лробХгцхатод. Sav лрсото бгща
отт] урацц1ХТ| а/.уебра, Хвоаце ото Keipdkaio 1 уращпхёд e^tocboeig, opxog т]
бютвлсоот] ала£тт|ое тт| ба0втерт] yvcboT] тов KecpakaioB 2. Н OBveiocpopa tcov
]ia0T]p.aTixcbv xai tcov av0p<imcov dev eivai 01 Bnokoyiapoi aXXa г) ев<рв1а.
* Acte; 01 E^iacbaEig nivaxcov xai 01 avTiaToixe; SiacpogiXEg E^iacoaeig Lit+fToivTai ото rr/tioidid
цад Екш-.'ос/т] ота ЕсрадхооцЁуа МаОфапха (Wellesley Cambridge Press, Box 157, Wellesley MA
02181.)

taoyxax 5олз 5oxUti ninx аохпЪэлпд 5здосЬтр 5u mA i лп влтоЛо i£
q = xy Soimilnoao aoi лотзоотт^з лоп— aoi лотгЫпдЛ моих лоп о iri nriAndK 0191
oi 31§1зу -q = £q — Зд + iq л.1и рюколпхт ng aoi лотукю аодотХ aoi пг1оалп1§ здпх
110 aoi 5зу1по 5п оип лппдаз дпх 31§13Q ‘пхплш £ шз £ олзтЬоЛкодк aoi nij £$£
у aoi аодсоХолздЫ аодзютдп aoi шптЬалтд т пуо зкНпдЛхдзк
тх о = fiTy aoi lioay mri 51юшз зпздд у aoi аодотХолздЫ aoi шт1оалтд ni
пуо зкНпдЛхдзх тх д = ху aoi lioay mri 31136g (ninxndmr 5oinriUXo aoi 5aogriox
£ зт1 SoinrilidindA аоххлотЛхд! aoi у 5а>зоот1коодк пхплш £ шз £ Л01 sufindj I'ST
•KUXHMTV
'x отлад
odaiaynx 010 -5п1д1эт1отзЛ 5ln moari- nAligo aoir ‘q^y = XV jV Ц ‘(Z.) Iwotoi^3
li толп плзт)о1т aoir giay кюладп lioay lii плох inx л<оу1ио аодотХ aoi 5оххз
1013x0169 aoir q aoi 5одзт1 oi зг1аооздто<Ьп пл nirsdir srlaooay л1п пл mj 'lioay
13X3 лзд ‘1ШЗЛ19 5otito ‘Iiootoi^3 ц лтукю одюХ лою ммзХмдзх лзд q 01 лою
q = ху oi mA 1ю1илп1т лтт1 i3Aig mngliog 1лх1дзют§з 5ida»X пддзЛуп li 1злпх
пл ndoirii лзд aoir oian 5lioiir3 плп>[ SaodaiXoira 5ао1лгоЛоддо 5аою inx 5nong
5зх1лолпходдо 5по плпкЬ inx ‘лотдотХо1га лап inx лотзопд лап пддзАуп л1ио
п1д1зг1отзЛ lii шздоодц •£ аотоупЛз^ aoi пдосЬоплао U inx толп П0 Inay
•ода)Холзд1гг1 odsioidn лою отлпк ft
aoi Uyogodir л!п inx лотуСио одотХ лою отлхпг ху aoi Uyogodir л1и— niinriiiox
П130ПХ oaq зо miniromq q пт1оалп19 01 oiaoi inx ndp ‘q шлп 5aoi nrioiod0n
oj^ jniniiasd пю 5з130рх толп aoxiiimaq Sadorbniq iq 7i ою oisgpx толп xy
01 :охпюот1га1лз шлп 13Л1пдт1ао aoir oian ‘nriliygodir 013 Saoi 5злзг1Лтз1лао
5злзг)отлот1зг1 5ii зг1 1П1лол1Л lorioiAoyoira 10 лпю inx Lnioxn ‘Lniioidx толп
одотХ ою лаппт<оалп1§ лап Ыолпшх ц л1пап pirn lixnsdothniq Sairlq толп
‘пддзАуп л1п зг1 n^iqngriao aoir nidisrimsA li толп UAliir niniasysi н
•лкНо tira i30d)liy пл nirsdir aoir 51юотлЛ UAliir
lnioxn nni 5отт1о nXdnitx 'RjY = XVjV 01 13Л9-Х SliioiAoyoira о inx 0 = (xy
- q)jY лкю nXligo (копюпшхплп лпп0аз tmx inx li) пддзЛуп tixnirlndA н
(L)	°=
q = xy + a
1П1ЛОЛ1А
5niiroddooi 5i3ootoi^3 10 (7 = 7)) 5попюплп 5з1П1§плот1 3j\ 'Soinriasd ог1ол ло1
13Ю1ГОЛПХ1 fl оу -аохп1плад от<ол ло1 лаоюколпхт aoir аохп1плад badobmq 5п
пл1§ xy 01 ‘naixiq nij -5зЛог1дп(Ьз 5no то1ло^ппдХ Snolnoiroirai 53Xiimili0nri
io 5sian 1191g ‘0 = ftjy aoi лгозоау лап оуолао oi 5от одотХрлздЫ odsioidn
ло1 inx xy лаппт1оалтд лап оуолао oi 5от лотукю одотХ ло1 srinoidQ
Sodinis »i Sodir nunri nij\[
I£l
VA1NIV I' X V.I.VWH<I>V<1I S3

132
AIANYSMATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 E312Q2EI2
Kop(k>g 2 акцт] 2 i«5q|k>g 3
2.5.3 Делите хат’ evOeiav ало ng удаццед on хабе дссАоаца f tov x<oqov ураццс<А 0a
ixavonoiei Tqv fy+h + h = 0- AnodeiigTe то I6io ярауца xai yia Tig Tpeig e^iocboeig
ATy = f- Ti or]|iaivei avTO OTav та f eivai та реёцата nov napeyovTai oTovg
xdp,6ovg;
2.5.4 YnokoyiaTe tov сгиццетр1хо 3 eni 3 nivaxa ATA xai dei^re oti eivai аиццетосхос
akka i&i6|iopcpog- nota 6iavvop.aTa nepiexovrai otov p]6evdx«>p6 Tovg; Acpaipcbvrag
rqv Tekevraia orqkq tov A (xai rqv Tekevraia ураццт) tov At) npoxvnrei evag 2
ent 2 nivaxag orqv avco арштера ycovia. AeiijTe oti avrog eivai цт] idu^opcpog.
2.5.5 ВаЛте tov diaycbvio nivaxa С це та oroixeia С],с2,сз ото peaov xai vnokoyioTe
tov ATCA. Aei'Ere ndkt oti о 2 eni 2 nivaxag orqv avco арютера ycovia eivai
avnoTpei|np,og.
2.5.6 Графте tov 6 eni 4 nivaxa A yia to devrepo урасртща tov axqpaTog. To Siavvopa
(1,1,1,1) eivai otov pT]6ev6xwpo tov A, akka пора 0a vnapxovv m - n + 1 =3
avei;dpTT]Ta 6iavvo|xaTa nov ixavonoiovv Tqv ATy = 0. Бресте Tpia diavvopara у
xai avvdeoTe та це Tovg xvxkovg tov ypacprmaTog.
2.5.7 Eav то ура<рт]ца avTO napioTavei e^i naixvidta цета^ё Teaadocov opddcov xai oi
diaipopegtcovаяотекеоцатсоу eivaib^,... ,b6, поте eivai dvvardv vaavnoTOixiaovpe
dvvaqixd ong оцабед, etoi (bare oi diacpopeg dwa^xov va ax^ninTovv axpi6cbg це
та 6; Me akka kdyia (це Kirchhoff f| це апакокрг|) 6ре1те Tig avv0f)xeg yia to b, сооте
то Ax = 6 va kvverai.
2.5.8 Графте Tig diaoTaoeig tcov Teaaapcov Oe^ekicoddcv vnoxcbpcov yia avrdv tov 6 eni 4
nivaxa npoanTcbaecog xai ща 6doq yia хабе vndxcopo.
2.5.9 YnokoyioTe Tovg ATA xai ATCA, onov о diaycbviog 6 eni 6 nivaxag C exei
oroixeia ct,..., c6. Пою eivai то апотопсоца Tqg xvpiag Siaycoviov ATCA -ncbg
цпореНе va anocpavOeire, ano то ураср^ца, noia c 0a e^pavigovrai orqv j ураццт);
2.5.10 Фпа^те eva урас^ца це api0^^veg xai npooavaTokiopceveg ахцс^ (xai ар10^цё-
vovg x6цбovg) tcov onoicov о nivaxag npoonTcbaecog eivai

2.5 ГРАФНМАТА KAI AIKTYA
133
Eivai avro то урасртща devSoo; (Eivai oi ураццёд tov A ave^aprqTeg;) Делите
oti acpaipcbvrag ttjv Tekevraia ахцг] прохолтел eva avvSeov &ev6po xai тдте oi
vnokoineg ураццёд eivai цю 6aoq tov_______;
2.5.11 'E/ovTag acpaioeaei Tqv Tekevraia OTqkq otov npoqyoi^evo A, xai це Tovg арсОцобд
1, 2, 2, 1 orq Siaycbvio tov С, урагрте то 7 eni 7 от>отг)ца
C~'y + Ax =0
ATy = f.
= f-
Anakeicpovrag та y^, У2, Уз, У4 цёуоиу Tpeig e^iocooeig ATCAx = — f yia та
x\,X2,Xi.. Avare Tig e^iocooeig orav f = (1,1,6). M’ avra та ребцата va ita-
рё/ovrai OTOvg хбцбоод 1, 2, 3 tov хохксоцатод, пою eivai та dvvamxa crrovg
x6цбovg xai та ребцата OTig ахцёд;
2.5.12 Eav о A eivai nivaxag проаптбаесод 12 eni 7 evog ovvexnxov урасргщатод, noia
eivai q rclcq tov; Пбаед eivai oi ekevOepeg цетабктугёд отт] kvaq tov Ax = b;
Пбоед eivai oi ekevOepeg цетабклтёд orq kvaq tov ATy = f; Пбаед ахцёд прёпе1 v’
aipaipeOovv yia v’ алоцеЬес eva ovvSeov бё^ро;
2.5.13 Bpeire xai та 16 ovv&eovra бё^ра a’ ёva ypaqq^ia це 4 хбцбовд xai 6 ахцёд.
2.5.14 Eav E xai H eivai rerpaycovixoi nlvaxeg, noio eivai to yivo^vo tcov nivaxcov oe
цпкох цорсрт)
mj ураццёд Г А В1 Г Е F1 щ ураццёд
т2 ураццёд [С D] [G Н] п2 ураццёд
xai пою 0а eivai та сг/гщата tcov цпкох ото yivc'^evo;
2.5.15 Eav то MIT vixqaei то Harvard це 35-0 xai то Yale loocpapiaei то Harvard xai то
Princeton vixqaei to Yale 7-6, noieg бюсрорёд алотекеацатсоу ста vndkoina 3 nai-
XviSia (H-P, MIT-P, MIT-Y) 0a Scoaovv бюсрорёд алотекеацатоа nov enn^novv
абцлтсосэт] це бюсрорёд Swa^xov; Av oi бюсрорёд tcov алотекеацатоА eivai Yvcoaтёg
ую та naiyviSia evog сп^бёоутод 6ёv6pov, eivai yvcocreg ую oka та naiyvidia.
2.5.16 а) П0101 eivai oi Tpeig vбцol tov реицатод ATy = 0 arovg цq yeico^vovg хбцбоид
napanavco;
б) Псод о xavovag tov ресцатод otov yeico^vo хбцбо ovvayerai ano Tig Tpeig ev
koyco eijiacooeig;

•Х=юухах+5зт1хю—logriox -.£ц 5юд1узо 5U1 Jajnq aoi oirai лох
siogsfjlr/nira ‘aoi nSiiavic здюх зо Saogriox юхзд гзХз noir 0X0S9 оло>Люд131 люлз mj 61‘S‘Z
тохлошздшгз лзд aoi охаюз
лою ogiiox 01г» Ssrixn тох *5aogriox и гзХз milidroSA oj^ :юхтуолао лаоХдюка 5зг1хю
5зоолс (югИиЬюдЛ 5зд1лук юлз) л«>дт1ох ЬаоЛаз^ здюх а^юхзг! Ыхю mri гзХдюка люд 81‘ST
!гздюугдз1£г1ао ligli зНаоХз 011л— 51юююплю 5lti ЗодзАзт! 01
лг<Нд tica зт1аодюу юл зкзднз юд аодтоЛоодок лсрхпотлЛодк 5юг1 ogogsri Uio 5coirlij\ LVS'Z
•Sowrlroyxax aoi лгоухах лтх mosri q = fiaoi bisoay 5n зккюдлздзц (Q
! jy aoi	li толгз ююц (Л
ZinZfSZIHH ZHNIWWVJJ IVH IOd?5X IOMLLVWZANVIV
Hl

2.6 ГРАММ1К.О1 METASXHMATISMOI
135
2.6  ГРАММ1КО1 METASXHMATISMOI
S’ аотб то офею yvogillooLie jtcbg цета/еф^етои evag itivaxag ogioiievoog
илбушдоод. О ^Sevoxcogog ndei ото p,r]5evix6 diavoopa, otov локкалкаою-
ooop.E lie tov A. Oka та diavdopaTa itave otov x^go OTqkcbv, diOTi to Ax
eivai oe хабе ледилтшот] evag oovdoaopog twv ott]Xwv. SovTopa 0a беьте xai
xaTi локб wgaio -oti о A отё/.vei tov x«qo ygappcbv too otov xd»go otyi/.o'jv
too xai o’ аотобд тоод xdigoog, 6iaoTaor|g r, eivai 100% avTiOTpeipijeog. Aoti)
т] лдауцат1ХГ| бдаот] evog nivaxa хдббета1 халаод ало тоод pr|dev6xo)QOog xai
тоод адютедобд pr]6ev6x(ogoog, лоо eivai og0oyd)vioi xai axokooOoov tov dixd
тоод dgopo (лдод то p.T]5ev) -otov бцсод о A eivai тетдауатхбд xai avTiOTpe-
ipipog, тбте oi x0)Q°l aoToi dev exoov or]|iaoia. Аотб лоо exei OT]paoia eivai ti
oop6aivei рёоа otov xcbgo ~ бг]кабг] рёоа otov п-бсаотато х<Ьдо, otov о A eivai
n ел1 n. Аотб то or]peio xQeid^eTat лю лдооехт1хт| рекётт].
УлоОёоте oti то х eivai п-бсаотато 6idvoopa. 'Otov о А лоХХалкаош^ес
то х, рлодобре va 0ecogr|ooope oti то /lerao/ij/ian^Ei о’ ёva vёo diavoopa Ах.
Аотб oopdaivet oe xa0e oiqpeio х тоо п-бкхотатоо хсодоо Rri. Okoxkqgog о
Хсодод цЕтаохфоаДета! рёосо too nivaxa А г] anetxovi^ETai otov еаотб тоо.
Aivoope тёооеда лада^уцата ретаохфатсороА лоо лgoёgxovтal ало лЬахед:
1.	ПокХалХаою тоо таотот1хоб nivaxa, А = cl,
А = I С 0	йгаотёЛЛе» xa0e 5iavoop.a р.е tov i5io oovTekeoTr) с.
L 0 с J	ОХбхХ^дод о x°JQ°g бюотёХХета! г] ооотёХХета! (г] хата
халою тдбло лegvd цёош тг)д адхлд ott]v avTiOeTi]
лХеода, otov то с eivai agviyrixo).
2.	Ilivaxag Trepiorpoijpjjg лоо отдёфе1 око tov х“до
А = К А убд<о ал’ ttjv адхг|. То ладабе1уца аотб отдёфе! ока та
1.1	багубоцата хата 90° цетаохфат^с^тад то (1, 0) otov
a^ova х ото (0, 1) xai отёкуоутад то (0, 1) otov a^ova
у, ото (—1,0).
А =
[? л
3.	nivaxag avaxAaoqg лоо цетаох1щат1^е1 xa0e dia-
voop.a ott]v eixova too, ало tt]v akkr] (iegia evog xa-
Одёлтт]. S’ аотб то ладабе1уца о ха0дёлтт]д eivai г]
eo0eia це хМот] 45° у = х, xai ёуа отщею блюд то
(2, 2) &ev цетабаХХетаи 'Eva офею блсод то (2, -2)
аутютдёфета1 ото (-2,2). S’ ёvav oovdoaopio блсод о
(2,2) + (2, —2) = (4,0), о л^ахад acpr]vei то ёуа цёдод
iSio xai аутютдёфе! то аНо. То алотёкеоца eivai va
evakkayoov та у xai х xai va лдохофе! то (0, 4):

nio liomronig siinXig •ogf’ 5(озоух юудаз л1п Sodir 5m axligoidnroinx (g »
ют!оалю1д oi лшо isondg лз (in) юлрлпх лт siingig ’(g - э sidnir) oimdir
лох isXsidsir 5одз1дзд о тох тоуохдз толу loigidir oag iq ’аодотХ aoi Sgorkm
-niiliXomsii 5аою 5злрлюх 5aoi Sgoian тзт/пдпгз лтхюлпг Sprionionvirnvvoir q
•fly + xy = (fi + x)y god)» ‘,/Z + tx ою 13лтоЛ1иг пл isirsdir fi + x
5(ioi niioiodgn oi inx 3101 ‘ fi inx tx пю злюк fi inx x тюг1одлю1д m люд (nt
'(xyfi = (хэ)у god)» ‘,хэ 010 13лтоЛ1иг пл isirsdir хэ oi юдз1рХ1лзу
 txz 010 1злтоЛ1ш пл isirsdir ж£ oi 3101 ‘ tx 010 isnir х ют1оалп1д 01 лпд (и
ПХПЛ1К
здпх тЛ 1здХт д = ду go<bn ‘UXdn It ygonroimsii пл лотлддю тол1а (i
:5зхюл11г 3ii лдодтоюдтг пл
лрюлад толу лзд lorlonnrlliXonisii юкпгох тох тлюк ni лаолпх пл лдодокг!
лзд 5зх»л11г то по зг)аоо1дтлЛплп пл isirgdir оооюу -ninTiXygnSnir lirioxn
nvvn тох nixid)3 тох птохЛплп тол1а -(од1лзх 010 Saoypir одд 5aoi тох)
ogsiriirs oi pian (о солпи: тлпк т isyyngodir пок 5»х»л1к 5»лз isXdnicx ’(°У9К
опол зо О1здод ло1 5»1ло511»т111Хоп1зт1) дол1дзтШо1 aoi одзюкз 01 5odir 5ет
лдо^хпл» л1п U лао<Ьзд1О1бзк л!п 1л Itj Ln лпоуузютд пок 5зхплш лаоХдпкх
•5i3o»iomg 5i3di 5по лдодазх1лзЛ пл лподобокт) пд man ninriAygndnir пу
•5оботХолзд1п1 о толу (UXdn л1по тоазууюдодк аок)
5юло5» 5о1здюх о отлз ‘у ат лсоуЕпо 5одд>Х о толу
5таю 5юло^ю о ’ило^ю аоплр^кЭо aoi (д‘ж) oyrilio
одзтЛЛз ою аодзюкз aoi (й‘ж) тЪалтд здпх 13^11
-тИлХотзт! nriAisgndmr оу -(Зотй^здюплю толу юл уд Г 0 01
-окг1 лзд gian tiA) SUonionig 51лдз1рдхп1 одотХрюа лплз К = V
fi одтХ oi odlr/xpyo 1злузю aoir Siiyogodir 5»хюл1ц •(?
:5i3(Hpirn
ogg 5п pirn inx pyirn толу nriAisgndmr oidmsi оу толрх1з UxidisrimsA Ln
здадхз aoir ‘pyirn 0001 nxidgsA’yn лт1л ‘(ж ‘/г) 010 (fi ‘ж) oi Зтлолузю ‘то
-ypw ;51юздю1зт1 5юхюл11г тох 5lioiir3 толу gorioidiiroinx Зюхюлуг о 5piay
лотхплпг летдюооз! спозг) аодзкпгз аох зогктютШХотздо x’Z ’^3
U^o£|odx
Цоиухплю о06 »1»я labodio
Uyoionig
siazHzisa zzimiwwvcIJ iv^ юапх iomiivwzanviv
9£I

5дхтг!г1пдА
толр ‘(у) лкх ртоютлпхп лотдстХ лотюхзх а^пхзт! 5orionnril£Zonx3rl 5плз лоод й(Ьд
тох (7).т Зпзокхдплао тох U Ззхплто ‘пт!алотауо1г толр пл nxUxgxuniiAndir
лкхо лаодош! ft тох х июхптк>алт§„ пх- ftp + хэ 5lid)dori 5lti Saorionayiao
1знздпнз 5одтХ 5т<ит1оалтд здпх ‘aoiimdo ’5дх1дплот! тох iXo пууп
5oriioUdX толр 5охап 5одотХ q иу[ лох 5зу1лхо-пхпт!одлтд толр пл кхАплп
толр лзд ft тох х пх oogxojj ’Saorigidn зт! Sgriomonyirnyyoir о тох лапптклалтд
Uosgogdir It толр (у) bnxUxgxiririndA кхкдлао Uxo тохло^рпсЬ^з aoir 5i3§ndit
iq -зт1аоо1ххпт1пхо пл SoAgy тзХдпка лзд ‘nidxnri 009Х тзопхсЬ 5пхлоХд,
•SaoiimxnriliXonxsTi
5aoxiririndA похаю пх лаоЛпдтг похз тох 5зхюлп1г SaoTinindAgyUyyndnir girn nynx
aoon §з ппхрпоиолпхп SnxUxgxnririndA 5плдлпх о '5злзт!Апхзхлао ш пзХз aoir
ху пт!оалюпд охо nnxs^nxnriUXonxsri тох 5злзт!Лпхзхлао и пзХз х пт!оалппд дхпХ
-дп ох \и lira ш пхплш лплз зг! тох пзлппдт!ао 5отдпдхп дхау ’шц аодотХ
аохпхздосЬппд 5длз пхпг1оалтд зо шу аох пхпт!оалппд пз^пхптШХопхзт! пл 9x1г
-здхппгз nxaygirn толпа иН одотХ лох опдп лохо одотХ лох пзлузхо пл
кхЛплп толр лзд SgrioixnriliXonxsd 5плз 1x9 охо Uondnnis здаооотд пл пзхгздц
•SaorionnTiliXonxsTi 5аохп!т!пдА лаохопдтг 5roir зт!аод ng пдотх тох 5зхплп1г
зт! лпрдаз pnx sriaoolpixag пл зг1по1хтйходц ’aoiygig аох аохап копЛЛзоодк
тдах л1хх giro UAsrilidlicbn our ayoir толр aoir - 5lix 5з131гзлао 5п 5пхлоооах1гплп
тох (х) nxlixgigi лкх girn 5пхлотлпхз^- 5пддзЛуу SUxnirindj 5lix lioOTiysrlsg Ux
рузхокп ппдотзд U Uxay -UoUxcods лкх лкхап (о (5пзопхоп1§ и 5ixo ‘nxixndrox
-пх) 1зо1ххлп1гп пл толр аотоупсЬзх аох аохап олзгИзхплу ;пхпл11г лплз зо
SgrioixniiUXonxsTi SgxiririndA здпх pAUgQ :UoUxrod3 иЛюдхопхлп U толр поаод
-зсЬтдлз опц •grioixnriUXonxsTi gxiririndA плз to 5отозт1п pAUgo 5пхпл11г здра
borio'iimiLiXoTJ^Ti iowri
-rind/. 5плз толр плдлпх лох лдхап рюиолпхп aoir SgriounrlUXonxsTi здп^
(i)	-(^v)p + (XV)° = <fiP + ЖЭ)У
:5niUx9xiTirlndA плдлпх лох рюмолпхп лотхплпг Sgrionionyirnyyoir
о ‘ft тох х пхпг1оалп1д пх пуд тох р тох э 5aorigidn 5аох 5аоуд mj XZ
толдлпх олдт! тох лплз 4о лаодопадлао пл лаодо1гт1 5зхап 5зх1хдлао iq
южгМпдА, тохлоЛзу (ni)-(i) 5злдлпх 5аох лаотоколпхп aoir 'jorioixnriUXonisjAj
:пг!олд плз зг1поотд 5аох ‘5аох SniUxgingaoiro 5Ux отЛду	лплз он»
1»1зХдзод1£ лои orion»riliXo»i3ri 3Q»x mA лаоаХот тохап 5злдлпх iq -лотуододк
лотх Uosgogdir тох Ssyogodir 5зхо1дотХз^ ‘Uonironig :5зуодод1г 5ix зт! тох пзлпА пл
3oaodoirri ng oigi ох тохопдотХ AnxUgoidxiroxnx Udsri oag пх тох (3— ‘3) +	‘3)

lOPVXUVlNHXSViaW lOMIWWVdJ 9Z

138
AIANY2MATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 ESIXQSEIS
naigvovpe oav ларабесуца тоод yojQOEg Pn twv oitolwv та diavvop.aTa
eivai локоа^оца бабцоо (то локи) п. Aura exovv tt]v цодфг] p = ao + aA -t--p
antn xai г] didoTaor] tov /ojqov eivai n +1 (koyw tov отабедоо ogov, VKagyow
n +1 ovvTekeoTeg).
ПАРААЕ1ГМА 1 H лда'§т] тт]д ладауюумл/?, A =d/dt eivai удацрххт]:
Ap =	+ a\t +    + antn) = a, + • •  + nantn~A.	(2)
dt
О p]devdxwg6g vr]g eivai о p.ovodiaoTaTog ywQog twv OTa6egwv nokvwvvpwv:
dao/dt = 0. О ywQog OTT]kwv eivai о n-dtdoTaTog ywgog Pn-i xai r] de^id лкеода
TT|g (2) jiepie/eTat navTOTe o’ avrov tov /o'jqo. To абдоюца тцд p.r|devixdTr]Tag
(=1) xai тт)д Talgqg (=n) eivai r] didoTaor] tov ap/ixov xwqov Pn.
ПАРААЕ1ГМА 2 H okonkrffffoatf ало то 0 ewg то t eivai ел1от]д удащихт] (xai
OTekvei то Pn ото P„+i).
Ap = / (a0 + ait + •  • + antn)dt = aQt +  •  + tn+1 *	(3)
Jo	n +1
Avtt| тт) фода dev vnagyei (rqdevdxwgog (ехтод tov p.T]devixov diavvopiaTog,
6лwg лаута!), 6|iwg rj okoxkrjgwoT] dev ладауе1 oka та xokvwvvpia otov Pn+\. H
de^ia лкеода Ttjg (3) dev negiexei отабедо 6go. Ili6avwg та отабеда nokvo'jvv|ia
6a axoxekovv tov адютедо ^rjdevdxwgo.
ПАРААЕ1ГМА 3 Поккалкаотаород це eva ovyxexgtpievo локосоуоцо, 6лwg то
2 + 3t eivai удащпход:
Ap = (2 + 3t)(a0 + • • • + antn) = 2a0 + • • • + 3a„tf+l.
Kat лаке. аотбд цетаохтщат1^е1 то Pn ото Prl+i, XCJQL? jiT]devdxwgo, ехтод tov
p = 6.
S’ aura та лagadeiYцaтa, 6лwg xai oe oka oxedov та лagadeiY^laтa,
г] удацц1х6тт]та dev eivai dvoxoko va dianiOTw6ei. Макюта dev фасета!
xai локо evdlaфёgovoa. 'Otov оладхец eivai лдахт1ха advvaTov va rqv
ладабкёфооце. Пад’ oka аота eivai т] лю OTip.avTixr| idioTT]Ta лоо цлоде1
va exei evag p.eTaoxj]|iaTio|idg.** <£>voixd, oi ледюоотедо1 |летаохтщатюцо1
dev eivai удацрххо! -yia nagadeiy[xa, о TeTgaywvio(iog nokvwvvp,wv (Ap = p2)
г] лдообеот] tov 1 (Ap = p + 1) r| to va хдатаце тоод 6eTixovg ovvTekeoTeg
(A(t - t2) = t). Oi удацц1хо1 |ieTaoxr]|iaTio|ioi xai pdvov avToi eivai лоо ба цад
odry/rjoovv л1оо) отоод л1уахед.
*	S.T.E.: Evag “а/сАаанхбд” тг]д avdkvaT]g 0а grjTovaE аккауг) тт)д |хетабЪ]тг]д цеаа ото
оХохкуцхоца atpov то t qi<(avi grTai oav бою oz.ozM']o<ii<7i']q.
** 'Incog сю cVi'Ti-or] лю aiquavTizTi tt]v аутютрефсцот^та.

oSmX oziimimAnig ЗотлвсЬоби лао^зюив лзд (о / aorio»9 aoAsriogsg rovw з()вх тох
5<mro) юг!алтауо1г »iriopgoiidi SwidIiaA nj. \£ i»x idXsri,, aorio»9 вшлт.г/сш ролоил :'3’i’3 *
^=vd ‘z^=£d	li= ld
^miprioaAmg хттотод лотдроозх лтх ЦАоупгз IrziAo'/oioacb mri
isXdpira (j? toais ItoDiop'ig It aoioiro aoi *5одсрХ о) £ aorigng miaAfoayoir mj
liopg mri 3riao§3vmg ng aoir UtIAiid aIii oirn лотлар toisaiA piay liocoolr/xo'/o
aIii i3Anioidnir aoir dxdaiit лплз inx ItoiAroAndoir aIii isApioidnir aoir dxdaiit
ad аз sriaodg da 01 зг1- Diik^godir озл паз sri одзткоуоХоп тзХзлао Ui£
[o] = [rh ™ |j] = [iP
зт1 5orimiDiiliXoDi3Ti SoziririndA SoxigDAorl
о Slioiirs toais Soian ‘(j— ‘^) тох (у ‘x) ’X’ir Uopg Uxusdodroip oirn Sdiaotaixs^
DXDAIIT AOI 311 5от1оП1ОП^1ГПууО1Г 1DA13 DA 131Г361Г 5О1Лу
' = Z'E^r 0X0 to] = Za” 011DX = ,xv 010 [x] = 137
01 isavsio 5oi1oiiDriLiXDDi3Tl SoxiriiiDSA 5отоц ilioliimog p VKJISVVdVII
•SoiioiiDiitiXoDisTl о Sodltyxoyo тох isgoidogox ззХз 3101
‘AaogoiSognx pian Scorio adiq, •(niltidp^SAD toais aoir) 5liop9 5lii П1от1оалп1§
did OTADir П1дздазуз ззХз SptiounriliXoDisri о -ux‘---‘‘x DinrioaADiq и mA
(t?) лою isAligo ‘fi тох x DimioaADig oag mA (x) SoApAnx о •5п11иохи1т1одА
5lii отозт1 TOis^idognx аот1оппг111Хоп1зт1 aoi oirioyoira ox то1дздазуз oirlrlnx
i3A3rioirD аз§ у Aoio ‘DiDiioaAmg 0x1009 did isgriao ng 11 зхкдотоосЬоют aocby
(t?) -(иху)иэ +    + (lxy)<0 = xy 3101 иХиЭ +    + >xk) = X AD3
:xy 01 is^idoigoodir DiliioxirlrlDdA It 3101 тох (одотХ aoi лаоАрдтг
aoir) AOTiprioaAmg acoxiqis aoti Atnian SprionagAao toais x nrloaAmg o'f/p здрх
310^ -Uopg mil Aaopioirn ux ‘	‘ ^x DiDiioaAmg и di no зюздопх 'одотХ aoi
odlr/xpyo fi DiioaApig здрх mA xy 01 зг1ао^1дголА 3191 ‘5tiop9 5nn1 mioaApig
здрх mA xy 01 sriao^idoiAA лрд гтзкзлао lirhoidx mil пзХз DiltioxiiiTinSA ц
S3XDA11T sri iDiAOApimdnir aoir iorioii»riUXo»i3i4[
6£l
lOWZI.I.VWHXZVJ.ZIW lONIWWVdJ 97

•odgiX здпх тЛ Liong niri ттз^птздХ ‘oyyn лплз
.о аодотХ 5рлз SaorioTinriLiXonisri nrj 'liong тт1 тзхоп ‘aoi oians лою аоосоХ
5олз SaorioTinrHiXonisri mj 'liyirn толтз 5nTdocbodlryir 5Ln LioLiToiroxTgmx ц
SorionnriliXonisTi
SgxrririndA о тох 5оюотлЛ толтз 3ioi ‘5пхплт1г о тох 5отдпх liong li 1поюлЛ толтз
лпд iiidobodlr/u 5эхиопюао 5и 5з'/о чздзЛтлзг! 5пхплт1г о ‘Зтло^т^ола^
аог1ал<г>ауо1г здпх оЛсоЛпдтг л1п зг1аооазлотИллт1о1гп пл оЛоупдтг лт11 п@
'51ютЛ(рАпдтг 5oirpdi 5охтрплог1 о толтз Soian— озл зюмп толтз лзд oian тех
SniUioxTririndA 51п юозт) ттзхотдд — г? — ? + z = d oi 'Х'у 5roiro аог!опадлао
аоууп sioirligaoTOMO 5олз 5оЛсоЛпдтг ц '(отг10пдодз1азд плз толтз аот!алсоауок
аохтдах 5олз 5оЛ<оЛпдтг li) ^dlid^d ni тзХзтдзк лаг/liio 5oomX q '(лздliri толтз
Зпдздпю 5mri ЗоЛгоЛпдтг li) id 01 тзХзтдзтг 5одотХолзд11г1 q -td£ толтз *dy 01 тох
zd£ толтз £dy о£ • id 01 толтз aoir aoi Liyliio Lidsiasg li толтз tdy o^ 'Ajgliri толтз
aoir ‘aoi Liyliio liicndir li толтз idy oj, y^lioTAipXnSnir 5пхплт1г„ о толтз 5giay
лт11 П0 (s) л11ю тзХтоюплп aoir 5пхплт1г о sipj,
’(l‘0‘0‘0) =	‘(О‘l‘О‘О) =	‘(0‘0‘l‘0) = zd ‘(o‘o‘o‘i) = лсолзт1Лп131лао
пшг1оалтд ni— liong (1лзт1от011лао lii зг! одсоХ oinionrgndisi олзг!от011лао лою
лп1опг1рхотдд по зюз0О1гх ^пхплш 5oioir пууп ‘5пхплт1г 5плз лпо пдд у q
(S)	-£d£=Pdy ^dz=idy 4d=tdy ‘q = 'dy
li	‘О толтз 5aoi тоЛотЛпдшг tq •ninriooAmg пхтопд пдзооз! ni nian 4o
1ютЛ(рЛпбп1г li тзлпх ti sriao^nis^g 'liyliyyninx onr li толтз Lnan тпх nrrl srlao^
-зутмз пл кхЛплп 5<nrio толтз ‘(толтз лзд sioir) 11хтдплог1 толтз лзд Lnan liong н
3IH3f5ZIH3 SH^IINHVdJ IVM IOd?5X lOXHVWZANVIV
он

'1 »г1Л139»д»ц ою UooMsriUooira лЯх зхру : gTj
= <>''<>у<1»ьу тох
t	0	0	0	0‘
О	£	0	0	0 _ Sd1£
О	0	£	О	О	’
-0	0	0	1	0-
:5юхюлтк 5 шз t? о тюлтз aoir ‘(ютклотауок) юхтдах
юхо ютт^дюдохдюхзх юх ок» ЬкотЛотЛюдюк юхюлш лох зхоют^ютздХ ‘Ззхюлш
5аохо тзлтодкао охаю лю sriaog юл »tj -кокхдюлао кхтХдю лкхо отош тзЛкдо
‘котЛотЛюдюк 91г» йлз^аодлоутт коотдкухоуо лохотХюуао^ -У^рди 5зсЬодго
-ил» люо коотдкухоуо лкх тюх котЛотЛюдюк лкх 3xo»ri9xd>3xj holidliindnn
Т 0 0 0
0 f 0 0
0 0 f 0
0 0 0 1
.0 0 0 0.
= °УОу
о тюлтз коотдкухоуо лкх тзлюхотдюк aoir Зюхюлш о тохд,
ь	ь	or	or
•sfi- = txy U = ?p£f / ‘ • ‘z/i = ixy к 7 = ppi /
:A aox
5ko‘pg 5kx ютЪалютд здюх зо ^коотдкухоуо 5юхлолюх Tsxiraxodir тох р шз g к и
шз ш толтз Ю0 5юхюлш о 'fr aorigrag ют1алотауо1г юх лаоЛюдюк aoir ‘^7 =	‘Е?
=	= ЗД‘х = lfi тюлтз кЛоушз кхтЛоуотоагЬ н 'М аох ^оюд ютг! зхоют!
-о^ютздХ юою ‘V = И4 Л-О1° £d = Л ЛО1 Зюхло^тхютИгХоюхзт! ‘ютт^дюдохдюхзх зо
ют!ал(у)ауо1г юхтдах тзлузхо lixay -lioa)dlivxovo лкх ютЛ тох отдт ох зИаолюх
•юхюлш
лох зоюазхоюхюх (9) 5юлолюх о ’о ‘£ ‘0 ‘0 их зХтзтдзк кукхо ютохазузх к ^dQ
+ £d£ + zdg + idQ = z7g kgisirg '^£ = £i(pp/p) лкх окю stfiaxsodir кукхо ютюхазузх
H ’лздкИ люхк x кукхо к тохз тох лздкт! люхк аох 5оЛтЛюдю1г ц _х = xd 5коюд
5кх юНоалютд oxcndir ох 91с» згкахзодк х кукхо к ‘5котЛ<пЛюдю1г юхюлш лох^
(9)
+ • • • + Z/lfto + I/iflp = fxy
:С кукхо кхо злюлдзаг аоткюадлао аох
аохаю Ззхозузхлао то тюх лотх Sgrioioa^ao 5юлз тюлтз !-ху юг1озузхокю
oj, Ькоюд 5кх юг1оалют§ 9x0-Г охо у лох Зюхло^дтЮюЛз тюхзхотдд кукхо
кхо-Г н ‘юхюлш люлз зт! тюхзлюхотдюк уХ1 Л-О1£) Л 01 V SgrioTxnrikXo
-юхзт1 ЗдхттМюдл здюх зхду аох корд лаоузхокю ШП‘  ‘di юх тюх /х
аодотХ аох коюд лаоузхокю их  • • ‘ 1ж юхюг1оалютр юх 1x9 зхоздоих НЕ
IH
lOWZUVHHXSViaiN lOXIlNINVdJ 9 Z

•5»хюл'ш о тох oiSiartoaA U : @ тих Inbodij -gx
euis = s
0SOO = Э
= ъ
•(0soo‘0uis -) ою то1з<Ьзбю (x‘o) oiioaApi9 9x1009 06319.39 ox -^013903-^,,
л1ио то1зХз1бз1£ юх x тури: toais Soxlni 01 aoioiro aoi (^uis‘^soo) 010 isaidAUit
oicndir ox DiorioaAOip 0x1009 099 D1D mA-pir oriosysioiro 01 Slioiirs тзлХур
oiiliXo ox '0 oiaotA piox Udbodio oirl iois^iaoxis gx oiiliX^ 013 luhodi^ x
[0] ™X [l] UO”9
lixioacb lii SoiAOTioiro'iiiolidX ‘5зхол11г 5aoi Saoiao sriaotHayoxoAo ,л sriaoysQ
5зхол11г 3ii loiAOAoioidoir OA isirsdir тох о = оу :рдз0ою 1злзт1одо1г UXdo li
Aooo ,сЬз ‘lOTioiioriliXoDisrl loxirWodA Slioiirs toais loiao 10^ -odiiroipx nyyn
5o6ir 5m 51зорухоло тох 5з130аз 5зуур зо Ззуодобк ‘5з1лтЛ 5зуур рюх 5з(Ьобю
зт1ао0(Ы1у11АО оа оуохаз 0191 01 Л093Х0 toais 119 39 ioisaioJi аодо -loyiro aooi
§3 толу filx ao93iriir3 aoi lOTionoilliXooisii loxirirlod^ ioXioioiiao io ‘рхюаф
(коиухрлю)
(Uyogodir)
[2
(Uzbodio)
rioyiro
063110191 aoiU 5aoi 5зхол11г iq ~o<;p 5Uoiyx О130аз aIii 5o6ir 5m 51зорухоло rax
x оло^р лою 5зуо9об1г ‘OQ6 рюх 5з(Ьобю 3ii зо11Л1хз§ 5о<Ьо6Лрбо1г U liiay
д SisopyxnAy inx ‘j йзуодобц ‘О 5з<Ьо61з
u?
It toais u7 5lii аоЛтЛобок 5lii (7 5тз о 91ГО OTiro6Uyxoyo 01 5m0ox 59x11
-oiaoi о 1О1зХз1бз1г йи^уохоу aoi 5зу1ио 5зуур 5n^ ’A^lni toais 5рбз0ою Soiri
5оЛтЛр6о1г н ’pxiA39liTi 1зХз g lies g оазтЪаУ 01 aoira liyliio 5oy9 ix liimdir aLiio
isApXAaioiro liiay j = 6»^yoy°y ц iaa30liyo 4л i36oirii A39 [1^01019 lid)o6ioiiAo
aIiix iSaodradioiiAo 5аобазу1£19 лаоХз ол 1з6о1гг1 ЛЗ9 Ssxoaiit loriTiod/^yLiy
-уобтг 5miio, ’5lioroeUyxoyo 5lii UtbodioiiAn Udaioid» toais lioiAmAo6oir ц
SIH3f5XIHH 33NIWINVdJ IVX IOJC5X IOXLLVW3ANVIV


2.6 ГРАММ1КО1 META2XHMATI2MOI
143
StippiDva це tov xavova (6), oi aptOpoi avroi nave oxig отцХед тог) mvaza xai
Хрг]О1цоло1ог)ЦЕ onvTp.r|OEig c xai s yia to owi]|xitovo xai то t^tovo. H oixoye-
veia агпг] tcov отдофол Qg Sivei [ua e^aigeTixi] Evxaigia va &1ал1ото')оог)це tt|v
avTioToi/ia цгтаёд) цЕтаохгщатюцол xai jrivaxwv:
Eivai о avTtoTQoepoq tov Qg loot; fie Q_g (отрофГ) лдод та juoid хата 0);
Eivai то TETQaywvo tov Qg ioo це
ycovia); Nat.
top Q2g (отрофГ] хата тг] бслХаою
«=[= ~’][s
-2cs
c2 - s2
cos 20
sin 20
- sin 20 j
cos20_|
Eivai to yivo^svo tov Qg xai tov С}ф ioo це tov Qg+ф (отрофГ] хата ycovia 0
xai xaxdniv хата ф); Nai.
z) л) _ Г cos 0 cos ф — sin 0 sin ф ___________1
sin g cos ф + cos g sin ф _________j
_ Г cos(0 + Ф) - sin(0 + Ф) I _ n
[ sin((9 + ф) cos((9 + Ф) ]
H TcAEUTaia лер£лта>ог] oc|ixegiz.ap.6dvei Tig лдсотед bvo. О аутСотдофод ец-
фаУ1^ета1 oxav г] ф yivei -0 xai то тетдауало epupavigeTai oxav г] ф> yivet +0.
Kat oi Tpeig аптёд epcoTTjoeig aMavTT|0T}zav хдг]оцюло1олтад Tgiycovop.ETgizEg
таптдтг]ТЕд (xai Sivonv evav veo тддло yia va бицдоаоте аптёд Tig ташотцтЕд).
Фгхлха £>ev rprav Tir/aio to oti 6Xeg oi aлavтr)oelg lyrav vai. To ytvo^vo ju-
vdxwv ooi'QtTai хат’ avTov tov tqotto шоте to yivopEvo mvaxtov v’ avTiffToi%Ei
ото ytvo/ievo* T(ov iiETaff/iifiariofiov.
2V Улобёоте oti A xai В eivai удаццххо£ ЦЕтаохтщатюцо1 ало tov V
otov W xai ало tov U otov V. To yivo^ievo тоид ^exiva ц’ kva Siavuopa
и too U, лт]уа^Е1 ото Ви тог) V xai хатакт|уе1 це то ABu тог) W. Н
“ow0eot]” аггтг] АВ eivai лаХ.1 ёуад удацщхбд цетаохгщатюцод (ало tov U
otov И7) xai о л^ахад лог) tov ладютауег eivai то yivojxevo tcdv л^ахол
лог) ладюхауогл тоггд A xai В.
*	Z.T.E.: Ф|!<ц-х<1 то “yivohevo tov |.UTao7>||.i«Ti<>n<i>v” 6ev Eivai лара r] <ii’vi|()r|q ovvOeot]
anEixovioEiov.

• , = Г (г* + z°\s (г* + гэМ= Г zs Ч = г
[(г? + гэ)&э (г<? + гэ)гэ]	_р]
= гс/ тох pdocb mri sriaoypgodir пл oi ari oigi oi толр 5здо<Ь oag sriaoypgodir
пл ог ‘тЛру nyyn здо j5aoi ргапз лого тоглоуурдодк 5пр0аз-$ 5ln nprilio ni
плобХргапу j aoi SodaiXpAsgliri о толр Ilian прдаз ц -UXdn лкго тоглоуурдодм
‘прдаз Ui30nx лкхо отлпк ‘(э1^-) ог Sanrp nprilij -осЬодгоплп 1зХз лзд
5oTionnriliXoni3Ti о npig ‘осЬобгоплп 1зХз лзд 5ргап Эпхплш о ^й'/одобк
пхпл11г aoi liylno кбзгазд л1п 1зл1д ргау '(zs 1зэ) ого тзгсЬзгс тох s 5oxlrri
пзХз (х ‘о) аог Uyogo6ir U ‘тог!рбпц '(soly>) U т!оалп1д опшдплог! ог огап
и5збо<Ь э„ толр (о ‘х) аог Цуодобзг н ’(о ‘х) aoi Utbodio li толр) х Soxliri
ззХз огап пг!оалглд о^ ’плзг1оп0лпу пхСцуЪзхо отЛз 5апгр ‘(s ‘э) ог толр лзд
5liyogodir opriho ог пд згоалзтИг^ 'psoa = э толр 5liyogo6ir 51п 5ох1гт1 07
пр0аз-$ 1по отлпк (о‘х) аог Uyogo6ir й тогз^рохпз уз nrlliXj 017 куододц
•5пхплр о тох тодгзг1о)зЛ U :п1здаз-^ liio голюхс Ipogooxi ‘6Т ‘^3
5зхпл11г 5аозл зт! ninriXpgndnii: плзтйбхзхЛао зо тургс nocoi sHao haoioixg
•лд>т1оипгШХоп1зт1 лотхчтМпдЛ олзг!рл1Л ог зт1 is^nidmi пл isipdir по
lignylig— lioliiTOifn лкг Inan oirn ScoSliyir зх110О]до0пх x аотоупЛз'х аог лгохплпг
aorionionyirnyyoir Зплолпх о по зт1аолпдг1п'уплп1гз	= [ffy] :5от)оглао
ayoir тогзл|Л дз аолзт1ол1Л аог 5плрлпх о згог ‘([у] зт1 sriaoopogriao 5п oioiro
лог) аог рхплтк аог тох у aorionnriliXonisri аог a^nisri lioidxnig зт1аолпх лпд
•34 аог Long liio q аог Uopg In pirn пгоето isnir лгохплпг олзг1ол1Л 01
лог шЛ Long mgi л1п 5пглаппд^ -у[ тох /] лап тох 5а>0пх ‘44 тох лап
51зор9 sionrio^msdX 5зхпл]1г зт1аоопазхоп1пх пл mj :Uokdkivdm£ кюМз±
•оурд плз 1з^то1г
li^ninig U ‘копухплп mri тох Ucbodio mri mj -е£)ф£) лог зг! Soigi о толр
о тох /г‘х одзггшз ог оур зг! лпигпгзлао 34 тох юботХ то- monrilto ззХз
л1ст1 пл aoriomonyirnyyoir аог пдчзо It 1злтодт1ао 5з(Ьодго mj (’5збз0П1о 5п 5зур
з^рлздЫ aoir дпкуоу-°у лог mA. тох Ыипкз 5а>0П^) -Spxnoiani о лпг1г 5prionnri
-LiXonisri 5огз0лао о aoirp °'<°уо™у лог тЛ 5тлзг1аоЛ1год1г 3xli0gnonrmg ргау
siHsysisa saMiwnvdJ ivm loaox ioniivhsanviv

:юг1Лгздюдюхг mj '5Lumg 5/u h/.oyiui л hi oun
miTpidv^s Зюхюток о no коюсЬ11з зт! sriao^nox tox Зкоюд Ski ЗкЛоупгз 5kx orikik^
oi tox Soorio гзХдюхгх осЬюдЛюдюк лкх лкхаю ,o юг1зд oidax ох толтз Sotoko о
тох ‘тзлюхотдюхс ох аохг юхюлш люлз тюх тзХз юг1Лгздюдюхг здю^ ’Зтзокхою
Зпо тюхлортр 5тзот<1>дог1юдюк тох Ьзуохоюгр :5oxkri 01 лаолю^аю юл тздош1
тогктюШХоюхзг! тоууу -(Ззуододк) Soxkri 01 лао^гдогдзгг к (5гзоюухюлю тох
5зсЬодхо) юхттоууюлю kxkri юх лаолкЛю к TorlonnrikXonisri тохаю 5гздх iq
j = zj лкх лаотоколюхт ЗзуодоОк го Ззуо aodro
7= I + dV-zdt = z(l~dt)=zH
по Зкотггз тзлготодздшз oxaoj ’SkyogoSn
5kx отоюуглр 01 sri тюхаоот рхгХдю oi лао юлохгз к- xjz = х + хц пр тзлтог1ко
охау j - л = jj :лот'уодод1£ тох лгозоюухюлю 5тзозХо Ski <оозг1 тохзлтЛ
5о1юг1зд аох когЛЛзоодк югр\ Ski юхюлш лох окю ЗзлюсЬодхг Smrip одзхрАт/
‘югдхзгкозА кх охгю ЗзлюгЬодк толгз аохг ют1Любк \-Н = Н ксЬодхоплю лкх
3rd тохаоог коюухюлю югг! 5отлзг1ока 'О1зШи> отХдю ою тою ллолдз/Ь 5»rf
5гзо»ух»л» ору j = юхкхогрг кх(пгзт1коог§ю лкх гзХз 5охаю Зюхюлгм о
•5юхюлг1г о тох югдхзгкозЛ к тогэрлз-^ лкх 5одп 5от конухюлу -pTT ’Xj
•юглоургт юх гзгохгоххюх
юхкхохггМюдЛ. н югдзт! куую лкх 4кю ‘кхпзддюх аох аоозг! югд злюлдзхс югзт1ко юх
юуо тох 5кх коладазхюх лкх гзсЬздхоплю югздаз лкхаю р кхздюх pj Ski козд кхо
гзлзг! югздаз-# к горд 'гохпздосЬюгр ауохг толгз гог1опюг1кХоюхзг1 оад то ооохоот-
kdrodxo кх зт1 тох злтодзлао 5ашо ‘охтХдю ох зт! тохаоог аолзг1отухюлю аох Soxkri
oj, югздаз-0 лкхо (o‘j) аох коюухюлю лкх гзлХгзд 0x7 orlkX^ oj коюухюлу ’£
•ЗдхгдхзгМао толгз Skoing aoi ол<9Л»д131
oi sri i»iaooi Slrfogodu 5»x»aii£ 5va,ji j = #zuis + в zsoo = zs + p ‘юхюаф
iomu.vwHxsviHw ioniwwvjj 97

146
A1ANYSMATIKOI XQPOI KAI ГРАММ1КЕ2 EEISQSEIS
(i)	Па лдобокё^, влобёоте oti то прсото 6aoixd 5idvvap.a пер1ёхета1 orqv
(9-ev0eia xai to devrepo eivai хабето о’ аитт]. Тоте о nivaxag npo6okr|g yiveTai
ndkt P = [ J q j • О nivaxag avTOg хатаохеоа^етас dnoog avvqOcog: q npcorq
orq/.q too лроёруета! and то лршто 6aoixd didvvapa (nov пробаХХета1 otov
еаотд tov) xai q devrepq GTqXq npoepxeTat and то devTepo 6aoixd dtavvopia
nov npodaXkeTai ото p]6ev.
(ii)	Па avaxXaoeig, q idia 6aoq didei H =	. To devrepo 6aoixd
didvvo^ia avaxkdrai ото apvqnxd tov xai napayei rq devrepq orqXq. О nivaxag
H e^axoXovOei va eivai ioog це 2P - I, orav xpr]oi|4onotovp.e rqv idia 6aoq yia
tov H xai tov P.
(iii)	Tia OTpocpeg, 9a цпоротюаце va dtaXe^ovpie naXi piovadiaia dtavvopiaTa
хата jrqxog rqg 0-ev0eiag xai rqg хабётоо rqg. Qardoo о nivaxag dev 0’ dkka^e.
Oi ev0eieg avTeg nepioTpeipovTai naki хата 0 xai Q=	dncvg xai
npoiiyovpievcog.
To dXo Оёца rqg emXoyqg rqg xaXvrepqg 6aoqg eivai xevrpixqg oq^raiag xai
0a епютрёчрооце o’ avro ото KeipaXaio 5. О ото/og eivai va yivei о nivaxag
diaycoviog, oncog ovve6i] це Tovg P xai H. Tia va yivei о Q diaycoviog xpeia^ovrai
^yadixa diavvo^iTa, didri dXa та прауцапха GTpeipovTai.
Муццоуеоооце edcb rqv enidpaoq nov exei otov nivaxa цю аЛЛауу баот]<;,
orav о цeтaoxqцaтloцdg napa^vei о idiog. О nivaxag A (q Q i) P i) Я)
peiaTQEXETai otov S~'AS. Apa, evag xai цdvo цeтaoxт]цaтloцdg napiGTaveTai
and noXkovg diaqiopeTixovg nivaxeg (цёосо diacpopeTixcbv 6aoecov nov avTinpo-
ooinevovTai ano tov S'). H 0ecopia tcov ldlodlavvoцdтcov 0a odr)yr|oei o’ avTov
tov Tvno S~}AS xai oty|v хакшерг] dwarf] баот].
AEKHZEE
2.6.1 Iloiog nivaxag Spa це апотёкеоца va orpEipei xa0e diawapa хата 90°, xai xaxdniv
va to npo6akei otov aijova ж;
2.6.2 Iloiog nivaxag napiaTavei rqv пообо/.г] navco otov dgova x, axokovQovpevog and
Tqv пообо/.q navw otov aijova y;
2.6.3 To yivdpevo 5 avaxkdoewv xai 8 OTQoqxbv ото eninedo x, у napayei цю отросрт) q
цю avdxkaoq;
2.6.4 О nivaxag A =	napayei цю diaaroAq хата Tqv xaTev0vvoq x. SxediaoTe
tov xvxko ж2 + y2 =1 xai yvpco an’ avrov та oq^ia (2x, y) nov npoxvnTOW
nokkankaoia^ovTag це tov A. Ti а/гща exei avTq q хацлвА];

2.6 ГРАММ1КО1 METASXHMATISMOI
147
2.6.5 Ka0e ev0eia ypappt) nagagevei evOeia рета ano evav ypappixo цетаахтщатюцб.
Eav то z eivai to jieoov рета^б twv x xai y, deiijTe oti to Az eivai to jieoov рета^б
Ax xai Ay.
2.6.6 О nivaxag A = napayei evav цетаахт)р.ат1ор.6 (nQ£6hixrqg nov acprjvei tov
a^ova у avakkoiwTO. Дсооте (iia eixova тцд dpaorjg tov otov d'^ova x, deixvovTag
ti na0aivei то (1, 0), to (2, 0) xai to (-1,0), xa0wg xai nwg ретаохлИ^^еточ
окбхклрод о a^ovag.
2.6.7 П0101 nivaxeg 3 eni 3 napioravovv Tovg ретаохлцатчоробд л°и
i)	npo6akkovv xa0e diavvopa ото eninedo x, y;
ii)	xaTonToii^ovv xa0e diavvopa wg npog to eninedo x, y;
iii)	OTpetpovv to eninedo x, у хата 90°, a<pr|vovrag tov a^ova z отаОеоб;
iv)	GTgeipow to eninedo x, y, xaTomv to x, z xai xaToniv to y, z, oka хата 90°;
v) exTekovv okeg Tig пролуобреуед отросрёд akkd хата ywvia 180°;
2.6.8 Поюд nivaxag napiOTavei tt|v (fi/dt2 otov x<i»po F3 twv xvdixwv nokvwvvpwv;*
Катаохеиаоте tov ev kdyw 4 eni 4 nivaxa xQOOiHonoiwvrag tt] ovvi]0iop6vr] баот]
1, t, t2, t3. Поюд eivai о prjdevoxwpog, о x«pog OTrjkwv xai noia eivai та nokvwvvpa
nov avrjxovv o’ avTovg;
2.6.9 Поюд nivaxag napiOTavei tov nokkankaoiaopo pe to (2 + 3t) nov OTekvei та xv6ixa
nokvwvvpa top P3 ота nokvwvvpa тётартои 6a0pov tov P4; Oi orr|keg avTov tov 5
eni 4 nivaxa oxTlllaTi?c,VTal etpappo^ovrag tov ретаохлцатюцб oe xa0e eva ano та
6aoixa diavvopaTa x} = 1, хг = t, x3 = t2, z4 = t3.
2.6.10 Oi kvoeig тт]д ypappixr|g dia<popixi)g e(jiowoT]g cPu/dt2 = и oxr|H«ti^ovv evav diavv-
opaTixo х(|)0° (atpov ovvdvaopoi kvoewv eivai naki kvoeig). Врелте dvo ave^apTT]Teg
kvoeig nov anoTekovv баот] avrov tov x<opov.
2.6.11 Поюд ovvdvaopidg twv 6aoixwv diavvopiaTwv тт]д Aax. 2.6.10 kvvei tt]v e^iowoi], це
apxixeg Tipeg и = x xai du/dt = y, yia t = 0; О ev kdyw цетаохгщатюцбд, an’ Tig
apxixeg Т1цёд, отг] kvor], eivai урацщхбд. Поюд eivai о nivaxag nov tov naptOTavei;
(XpT]oip.onoiT]OTe x = 1, у = 0 xai x = 0, у = 1 oav 6aoq tov V xai тт] баот] oag tov
W).
2.6.12 EnakqOevoTe хат’ evOeiav ano Tiqv s2+c2 = 1, oti 01 nivaxeg avdxkaorjg ixavonoiovv
TT]v H2 = I.
2.6.13 Упобёоте oti о A eivai evag урацрххбд цетаох1111аТ1ОНОС TO1J eninedov x, у otov
eavro tov. Aeitgre oti о A-1 eivai eniarjg урацщхбд цетаохлцитюцод (e<p’ ooov
vnapxei). Eav о A napioTaveTai ano tov nivaxa M, е^у^оте уют! о A-1
napiOTaveTai ano tov nivaxa 7И-1.
2.6.14 To yivopevo (AB)C ypappixwv ретаахлцатюцоА, ^exiva p’ eva diavvopa x, napa-
yei eva diavvopa и = Cx, xaTomv de axokov0ei tov xavova 2V ecpappo^ovTag tov
AB ото и xai (jpTavei ото (AB)Cx.
i)	Eivai то апотёкеора то idio pe avro nov npoxvnTei e<papp6t,ovTag tov C xaTomv
tov В xai тёкод tov A;
* S.T.E.: At:(тт vnoor|peia>or| рета то 1lapadeiypa 4.

йоотзззШоока илзг1аоЛ1юбк зхззу
!(1ж 1^х Чх) ою (^хЧх‘^х) oi ззлузю
аок aorioiinrlliXonisTl aoi ЭксЬобю юзлотА li тох ‘ЗОсЬобюзозк 5юло§ю о толзз 5озоц Ц'9'Z
х soo = (x)J (р)	И + х = (x)J (э) хэ = (a?)/ (q)	= (х)/ (в)
•(э) о люх зшо ‘5рХ1тИ»дЛ толгз
лзд 5плзл»>[ ;зог1з41з6ю11лю зюлзз ЗаозТдзбю ЗаохиюзТАюбк 5аою ,я ЗаозТдзбю
5аохиюг1Аю6к 5aoi ок») 5aoiioiimiUXoni3ri 5аолзз1ркз 5aoi окю зозоц q nxiiludn
mA Uoay nirfrinx тох q юхизд mA 5ззоау oag ззХз q = gr. li 1101g ‘orhJisSimiA» толзз
лзд ус. = (x)f юзТАзздюдюк ox -q здюх mA Uoay Зотдзбхю niii ззХз q = (a:)/ toiLiiox
-здплот! тох й§6юка ззаХоз люю тохзТззбюилю 5oTimi»riliXo»i3Ti 5oxiriri»dA Uri 5юлд ()Z’9'Z
liong mil 311369 lnz 5одсоХдка толзз g
о no зюаздТзуюка g = xp(x)d °f 3ii лотг(алотауок лот1 оуолаоока 01 g союз ^x^v
+ yr4v + x lo + 0» = д ^лотзТалотауок лгохздах лот1 лотуо д одотХ охз1пг1оалтд Л013 6T'9‘Z
‘.уд тох ду юлзз1ол1А »1 толзз тоц -^хЧхЧх) 010 (^х^х^х^х)
oi igqiinriliXonisri аок ою отозк 01 окю д 5ltmKoini3ti Зидзюздю 5U1 пхюлзк
ло1 51юзкз з1зздд '(^х1^х‘^х‘о) ою inra^iimiliXonisri (£х ‘%х ‘ 'х) т1оалтд здпх
пзоко л1и »inx lioiKoinrsrl »з§зд U1 ззлпюзбпк аок у пх»лзк £ зкз р ло1 з1зздд SV9‘Z
'i-V= £V п9 3i§i3v
‘.^у aoi 1ю»6д U толзз тоц (ix‘t'x‘£xlZx) ою i»i3^ii»riUXo»i3ii (^х‘£х‘£х‘1х)
»г1оал»зд здпх rUosgnisri lixivxax mri ззл»юзд»к аок f? зкз t? пхюлзк Л01 31136g ci'9'Z
‘д = гу ззаХт iimj ’Long л1и л1иаю 5о6к 5от ‘у aoi юхюлзк ло1
311369 1пх юхюлзк г зиз 1 здюх 5/<66odi»»4» o3io3imiUXo»i3Ti охзгМюбА ло1 зю1л6отз@
.ГТ 01 t ГО II .ГО 01 .ГО 01
Lo oJ Lo oJ Lt oJ Lo tJ
„ттТоалюзд,, юхзоюд юбзооз! »i ззХззбзк j зкз £ лотхюлзк лот1 лотуо оуолао ox 9l‘9‘Z
гу о тох зюлзз оздз 01
3101 -(ед лою £д aoi -Х-у) 5oiio3i»3iliXo»i3ri 5охзз1з1ю6А зюлзз у о люю зю з1§зз\7 si’9’Z
Ьзхюлзк юзА юлолюх аоздз
aoi к^зздокю liosiaynx li зюлзз Ulan ‘AZ лолзз1олзА юлолюх ло1 зз1 1(лзг1о5юадлаз
5aorio3imiliXoni3Ti 5аохзз1з1юбА юзА ззаХоз (g)g)y = 0(ffV) 5озТол Зохзюзбзтзообк
о зюх 5зизбзк зюлзз 5ззоз0лзО»к зо 3101 ‘тол люд ‘.у ло1 ок» лолззТаодаоуохю
g)g ло1 5ю1ло^ог16ю<Ьз зз1кахобк аок oia» ззТ оздз 01 тТозузюкю 01 зюлзд (п
siasysi-a saNiwwvdJ ivn юлах ioxiivwsanviv
8Н

t»iSi юЗзкззд ni
окю 1Ю1зЛюЗюк юл лттМюЗЛ 5o3mX о аотоко aoi тох nidi юкрЗк Ю1 окю тохзЛюоюк
юл лтукю SodmX о аотоко aoi g шз 9 Зюхюлтк Зюлз пХЗюка aoi Ю1ют1оал
-Ю1§ зюккдютоко Ю1д1 тох 9я aoi Ю1юг1оалю1<? зюккдютоко Ю131 лаодод люд (9
(g ‘х) oi окю то1зЛюЭюк лтгМюЗЛ ЗоЗтХ о аопоко aoi тох (г ‘I ‘т) юг!оалю1§
oi окю то1зЛюЗюк лтукю ЗоЗтХ о аотоко aoi юхюлтк люлз зююазхою1ю^ (Л
•(s‘iW
01 1зХз1дз1г ЭоЭтХолздкт! 5о3зю13ю о аотоко aoi юхюлш люлз зююазхою1ю^ (9
•(г‘1‘1)= х
юкоалгпд oi 1зХз1дзк ЗоЭтХолздМ о аотоко aoi юхюл]к люлз зююазхошюд (ю gx
X = tn — п ‘i= т + л + п aoi коау кхмзЛ к толр ютоц дх
Saoi окю toiao^iSoiqoSk аок лгоЗтХока лтдтг/зтТзд лтЗюооз! л<т>1 Зтзоюд sipdg 9Х
’ 3	I	0	0	= ff 1»« I	О	0	= У
L?	I	О	oJ	LT	о	oJ
ла>1 оЗтХолздкт! ло1тох kgni л1и 3ipdg gx
1лсоЭтХока лтдгозузтТзд лтЗюооз! лсп1 51зою1ою1д то толр Ззтоц
Гг-	L~	£~	г	11
‘ о	т	т	г-	т-	= v
Lt	г	о	г	т J
юхюлтк aoi /у UcbSorl ккохютТтух к толр ютоц fX
’гу ЛО1 зт!
тох тзлтодНао 0191 01 ‘Эзукю 5з1к13ю^злю пзХз 5юхюл1К 5ох1лтЛюд131 5юлз люд (з
kcbdoti ккохюг1г/х зо у ло1 5ю1лоЛюлю
рдтоЛоуока юл тзоокт) аок кою§ кх^юлот! юп1 1зХз у aoi лготМюЗЛ SodmX q (9
•ft = х 3101 ‘Ну = ху люд (Л
клзх зюк толр Л39 aodmX аохиюкоалю19 лтдгоХока oag krioi ц (9
•ш = g штр 3101 ‘g оЗтХока Л01 лаоЛюЗюк шх ‘Чх юштТоалюзд т люд (ю
:(53ga3(H 01 тк ютТЛ^юЗюкплю зт!) 5з§аз(Н к Зздкуу £‘Z
'(Т ‘О ‘О) ‘(О ‘Т ‘О) ‘(О ‘О Ч) лголзт1Лю131лао тютТоалюзд ю1 окю
юлзлюх 1зХз13зк лз§ аок £д aoi оЗгоХока люлз зккюЭЛпЗзк ‘aoi коюд юпТ 5ю1лохо13д гх
(S‘tz‘£‘z) тох (fr‘£‘Z‘l) ‘(Т‘Т‘Т‘Т) И1 9^» то1зЛюЗюк аок оЗгоХока лоу (Л
д = fra; + ix тох д = ix + ^х + lx ютоко Ю1 ютЛ юиотТоалюзд юд (9
fra;^ = 1х ютоко Ю1 Ю1Л тютТоалтд юд (ю
лтЗтХока 51йз лго1 коюд »iri зцздд jx
г о1»^»<ЬзЯ :НАН¥¥Ы¥ПЯ ¥1.1 31ЯЗНЯЗ¥
г <Ьзм :H/fiHWNVua vij ziasHMXv

j = у no 31^132 ‘и = у li^oi тох у = гу тох и шз и 5юхюл1к 5юлз толр у лпд ЯХТ
’О = х но З15рд ‘fi 30»х Ю1Л о = firx тох aoi юНоалю1§ толзз х мэ^ iyz
;коот1К1дзк 3(jnx зо и тох ш Ю1 зт! х oi иснзздлао Зотк ‘lioltxori 11лзт1аоЛ1юдк aUij pyj
q aoi 5от1111дю§злю ‘ [ (ai
q oi 314 юЛоуюлю ‘oo 1л о (in
q aoi 5от11ндю§злю ‘oo (n
q oi зг1 юЛоуюлю ‘у U о (i
ТОЛ13
q = xy aoi лотзоау лап Sorlgid» о Sooioko Saoi mk у лотхюл1к юиотирдюдюк зюоту ^VZ
!£а aoi Uo»9 oni (g ‘y ‘t) mx (9l£ lZ) ‘(£ ‘l Ч) Ю1ютк>олю1§ »i лаоузюку tl'Z
!5з11ндю§злю ЗотхнМюдЛ Ssyltw io толр ‘p ‘o ‘q ‘o Saorlfpon Saoi зт1 5зх110лао Ззюк nij
ЛЮ1О
‘/27 = у ЭзалоЛюдюк SaoxiAtoXidi Saoi зрздд юл Ю1Л 1кЬтоуюкю siolnoKOTiioltdx £17
taoi аодотХоАздЫ aoi
liooiooig It толр юток — и толр aoi liSni It тох у — и шз и Зюхюлш толр у о люд ZXZ
iUririodX liidoisi U pgeiAsgltii
юл зюот торзднхЬю 51лт1т1юдЛ SUpdi Slti оююукюууок отои ‘у aoi ксЬюуюкю aIiij (§
Uoay oni 1зХз q = ху
It Ю1О1Ю Ю1 юзЛ q ю1юг1оалю12 ю11идю§злю юдз1ооо1дзк ло1юла§ oi ооо зрздд (Л
aoi лсотИюдЛ aodmX aoi lurog лаоузюкю у aoi ЗзтМюдА 51дзооз1 iq ih V
у aoi Atpyltio aodqiX aoi liong лаоузюию /q aoi 9 ‘£ ‘x Ssyltio io /h V
у aoi AtoririodX aodgiX
ЗзтМюдЛ 51зд1 Ззмпдк iq (Зздазд Ssgliyy) Д» у (9
aoi иоюд лаоузюкю /] aoi
:aoi аодстХолздЫ aoi Long oirl зюотд тох у aoi LtSni л1и зрздд (ю ц'£
‘.aoi liooionig It толр ююц
Зкоздоодш юлолюх ло1 sisoido юл пзиздц ’„у лою ло1 окю SaorionrariliXomsri
ЗаохпХНюдЛ Saoi Заоуо тзХрдзк юл аок одотХ охиют1оалю1д люлз зююазхою1ю>[ 0x7
:5зхюл1к 5аот1кНздю11лю Saoi окю то1зЛюдюк ЗодотХока 5оюк (д
!(0 < ю1 юуо) 5зхюл1к 5аохпз0 5aoi окю то1зЛюдюк ЗодотХока 5оюк (Л
!5отзоз0Ю1зт1 5зхюл1к Saoi окю 1Ю1зЛюдюк ЗодотХока Soiok (9
^ЗодотХока х 5отз§ю1 лотхюлпк лап оуолао 01 толр (ю
1кз 1 лотхюлзк лап одотХ aoij
SIHSnSISH ZdNIWWVdJ IVM lOdOX IOMLLVWZANVIV
OSI

A2KHSEI2 Г1А EIIANAAHVH: Keq>. 2
151
2.19	Поюд vndxcopog tov mvdxotv 3 eni 3 napayexai ano xovg axoixeicbbeig nlvaxeg E^j,
це eva oxqv biaycbvio xai то nokv eva цт| p,q6evixo axoixeio ano xaxco;
2.20	ndaoi nlvaxeg цетаОёаесод 5 eni 5 vndpxovv; Eivai урацц1хсод ave^apxqxoi; Па-
payovv oko tov xwqo tov 5 eni 5 nivaxcov; Aev xpeia^exai va xovg xaxaypdipexe
dkovg.
2.21	Iloia eivai q xdijq tov nivaxa n eni n nov xa0e axoixeio tov eivai 1; Iloia eivai q
xa^q tov “nivaxa axaxiov” це a.(J = 0 oxav i + j eivai dpxio xai a,tJ = 1 oxav i+j
eivai nepixxd;
2.22	a) Ynd noieg ovvQqxeg yia to b exei to Ax = b цю kvaq, oxav
Г1 2 0 3]	Г&11
A = 0 0 0 0 xai b = i>2 1
L2 4 0 1J	Ы
6)	Bpeixe цю 6aoq tov цqbev6xcopov tov A.
y) Bpeixe xq yevixq kvaq xov Ax = b, oxav vnapxei kvaq.
6)	Bpeixe цю 6aaq xov x<i»Qov axqkcov xov A.
e) Пою eivai q xd^q xov AT;
2.23	Псод цпоре!те va xaxaaxevaaexe evav nivaxa nov цeтac^xqцaтigel та xpia biavv-
ацата ovvxexay^vcov e],e2,e3 ae xpia 6o0evxa Siavikqiaxa Vi,V2,v3; Поте eivai
evag тётоюд nivaxag avTiaTpeipqiog;
2.24	Eav 6^62,63 eivai ото x<bpo axqkcov evog nivaxa 3 eni 5, exei хоте avxdg be^id q
apiaxepd avxiaxpocpo;
2.25	Yno0eaxe oxi о T eivai evag урацц1ход цетаохлцатюцбд xov R3 nov oxekvei to
сп]це1о (u, v, w) oxo (u + v + w, и + v, и). Персурсгфте xi xavei о T-1 ото от|це1о
(x, y, z).
2.26	Akq0eg q Tpevbeg: a) Ka0e vnoxopog xov R4 eivai цqдev6x<opog xanoiov nivaxa.
6)	Eav о A exei xov ibio ^bevoxcopo це xov AT, хоте о nivaxag eivai xexpaycovixog.
у) О цeтaoxqцaтюц6g nov naei to x oxo mx + b eivai урацщхбд (ano xov R1 axov
R1).
2.27	Bpeixe baaeig tcov xeaaapcov 0ецеккоЬа« vnoxcbpcov tcov
2.28	a) Eav 01 ураццёд xov A eivai урацц1хсод aveijdpxqxeg (o A eivai m eni n) хоте q
xct^q eivai___________xai о X(,)P°g oxqkcbv eivai_______xai о apioxepog ^bevoxcopog
eivai______.
6) Eav о A eivai nivaxag 8 eni 10 це bibidoxaxo ^bevdxcopo, bei^xe oxi to A2x = b
цпоре! va kvOei yia xa0e b.

:() = xy aoi limy (лхзлзЛ It толр тоц
‘.у aoi аодтХолядЫ аодзюздю aoi коюююзд U толзз тоц (з
у aoi лтукю аодтХ aoi Uopg mil зюгоу (g
•5з11идр§злю 5тхзг1г1юдЛ зюлзз у aoi £‘z‘l 5зз1з1юдЛ зо :5з§аз<Н U Ssgliyv
у aoi лгогМюдЛ аодтХ aoi Uopg юзз1 зюту (9
‘у aoi U§pi U зюлзз тоц (ю
юХзоюплю ‘зюлзз /27 = yj 5зхюлзк зо зю зюздоку ££•£
aoi лтукю одтХ 5т одтХрка ло1 лртю ззХз аок пхюлзк люлз з1зздд (Л
одтХолздЫ 5т одтХрка олзг1аоЛ1юдк ло1 ззХз aoir юхюлзк люлз з1зэдд (9
•9а: + Sa: =	+ la: 5з1
лаозоколюхз аок aoi ‘лткрзкзалюзд лт1 лтур одтХрка лою Uopg юзг! з1зздд (ю
Jq = zy ззХз ‘ j-an = у ‘l 5озз§ю1 5юиюлзк о зюц jyz
у aoi лт'/liio одтХ лою зю1зХзздзк zy aoi лтукю 5одтХ о зю з15ззу (9
у aoi одтХолз^иг) ло1
ззХзздзк zy aoi ЗодтХолздЫ о зю З1§ззр ‘5юхюлзк 5рхзлтЛюд131 зюлзз у о люд (ю ()£•£
5зхюлзк 5aoi зз1 ‘Q ‘о) зюх (о ‘у) Uopg liASTimgluao I11 5одк 5го зтл
-олююздюк аок ft ‘х аорзкзкз aoi 5аог1оиюг111Хою13г1 5аохзз1г1юдЛ 5aoi зкКрдЛздзц
SHNIWWVdJ IVN IOdf5X IONLLVH3ANVIV
ZS'I

ЗюддзЛуу SUxiririodj 51лх ютИхдотз© SsgwrysTis© ox гзоотдкухоуо юд piay «М
лохо oaq тох лохо oa§ ‘oa§ юлю гохздюх толгд -5aoi а^хлзг! юзлтАоддо
гомз юдтХоиа Siagmiyartif) 51дзоозг 10 no ‘зг<аокзу9 oi юл (юаюудкю толгз
аок юукю тох ю<Ьдот1о oooi ‘зг1ао4гауюхюлю .0 "юхздюх толгз юл pdoirri
51югкз гопаю ng подотХдка тох лаоХзхзгМао юл гзкздк юл9хгз лкхо ‘лозук гкд
•Ю1юг1оалюг9 юх1пдю§злю 5отх
-гтМюдЛ окю 5юхлотлгхз^ ‘юпют1оалюг§ юхздюх зг1аооюазхоюхюх юл 5отк (g)
лсп1юг1оалю'1§ 5ю11ио130юх oidlixrdx oi (g)
5о1юг1оалюг§ 5олз 5oxliri 01 ([)
зг1ао5гдотлЛ юл гзкздк юд юуую ‘гздХазхгкз юл 51югкз гздокг!
охаю тод толз Soxliri лаоХз юл гзкздк юд юхют1оалюгд юд :1лхглюдг аокгдзк
Iloiog Ux 1злюх аок коазхгдгз^з Urtoxo rmi гзХдюкх ’SaoriorAoyoKa 5аох 5аохаю
зт!аооазхоаоукю юл югЛ 5гзою9 5зглетЛодбо тох ‘SaoriorAoyoKa SaoxiSgsAyn зо
Ззазхоюхюх 5зхгдхзт1(пзЛ зг1ао(Нзбхюхзг1 юл югЛ коюд ютт1 зююАрэюгзох toxLiio
-то§аоко зо (погк огк ауок гзюк лз§ [1009 юглотЛоддо югт1 зо коазхгдгз^з U зхох
‘5юд9зЛую SlixrrirlodA Slix 5гз§отгузг1зд 5гх <экю толгз Slioog 5lix юздг U люд
1юю9 юглооЛодбо югт! sriaooltrhxodK юл зг1аолгзх
‘1хою9 югт! ЗюхлоЛзуюгу 'loidmXogdo зюглпи ‘Зтхияпди: ‘тл]з юююхпюбб U
тз^пазяоптя лои лтлзг/Хтзллло 5зло^тр iq рохздюх 5тд1хлао толгз юхогуют!
‘5зхлобюк толгз 5зло§ю го ‘ия лох 1х одотХ охюхоюг^гдх лох 1л fi ‘ж одзкгкз
ох 1юг1ох±зхо аок юдосЬ здюх ‘ооохоот ‘5зло§ю 5аох 5аохаю йкю юх11хдю§злю
тохз^гдо 5одотХ 59хгхюг1оалюг§ 5юлд, ’лотлзтйюхзхлао лотл9§ю оуолао юлз толгз
*юхгдхзт1отзд одотХ лох лаоЛюдюк аок лотхюг1оалюг9 лотхкхдю^злю оуолао юлз
толгз ‘юхгддзЛуу -[1099 толгз гх зг1ао^гдотлЛ отоуюсЬзх олзг1аоЛ1юдк ох 9ку
ЮЛУХОПА Ю1Ко Ю0<Ю IVX VIVIV^AMVIV V I10VX  I E
VIHlOINyJOQdO

Н =
[£- г т] =

:у^Л зплзз (g- ‘г ‘х) = х aoi 5ох1лз1 01 тох- х±х олзз!олзЛ 01 зт! ззигз1гт1ао
лтлотЛпд131 л(01 niioiodgn oj^ 'nrilig здпх зо кошопзд mri 5тло1здоод1г
‘ЗздосЬ i — и пдоЛпдац aoi aoirai aoi UXoridncbs зо пхзд1эт!тзЛ зтзЛплп oiay
(I)
aoi n^id UxiAwAndisi Uxuag U i»Ai3 „я aoi Soi»rioaA»ig 5олз ||x|| Soxhri oj
1юзз!п зплзз (ux‘ • • • ‘ix) = x лоззопюпзд и пзкзалпзд плз (o коазхзлзЛ н
•£ж + гж+1Ж= гду + гуО= г||х||
oirai ло1 oirn зшздзд aoir ||х|| 5oxlrri 01 толзз
дуО лолгоЛзд! aoi поаолззюзга н ‘(ду тох VO ЛЛ)1 одз1гз1гз 010) пдоЛпдац
ло1 зупхг тох здаодозупхззгз пл sriaoSoirii Ю1з тох (£х‘о‘о) pctoayir Сиздпх л1и
зт! пзлотЛ ligdo n^iinriliXo Uiay ф|х + ’x = yQ ззлзр тох liong lii ззХздшзд aoir
(O‘zx‘ix) = уq очлтЛтд Ui nioiroixni luxoiiridsir Uimonigig н пдрЛпдац
aoi oirai Л015здосЬ оад 5тло5от<дп(Ьз isiiraxodir 5oxlirl 01 тох (gi'£ ’X^) aonaox
5рлз ЗозлстЛтд li толзз (£x‘£x‘ix) = x пт1оалпзд oi 5ззоп1опзд 5ззд1 5з1£
|x + ^x = г||x| | тодоЛпдац Л01 oirn ‘одзпх ayoir
тох отдз ‘зхкдздд Saoxlirl aoi олтЛпд131 oj, '(nyg -Xj) аолтЛзд! аозлтЛоддо
5рлз поаолззюиа л1и (irn ззигаходк 5ззоп1опзд оад 5зю тох ‘||х|| зт! зшз^зу
-ogriao aoir ‘5о1ш1оалтд 5олз SottUti 01 sriaodg пл толзз nrilig oicodir о^
5о1пг1оалюзд aoinioxng-idi 5олз зпх -зд 5олз 5oxUt1 ох Т£ ‘/3
(Я)
V1H1OINOJO03O

:(k Ir/Ixxo-mioaAOig oi)
X шгз и юхюлш 5длз тох (ж Цт1г1юдЛ-»т1оал»19 ox) и шз x юхюлш 5олз олзт1ол1Л
ох Ugo’ylxg ‘fij-rc 01 зг! oigi lx Smgidxo тол1з oxlxxgooir lx 1ххаю no эхоопзтИх^
(£)
лто тлшЛоддо хюлхз ft tm х юх -.лзркк
7ZM73 „люде лтгюзг!', лт mio'iodgo 01 лто ‘mkipoi к 1заХо1 (?) лкю оду
(“к + • • • + i^) + (иких +  + mix)z -(uzx + --- + ^x)
л1по тохзооахютлю aoir ‘5ю1^зд 5lix 5одзг1 пдтолю юдазух Udsxoido ц
_ их) +... + г( 1/г _ 1Ж) =	+... + 1й) + (их +... + ix)
зт1аолдто1£ ‘5oxlxri 01 Ю1Л ‘(х) oirax лох 5юхло^ог1дю<Ьа
(г)	•г||/г-х|| = г||/г|| + г|И|
лто тзд-рх тол13 к im х т
тодоЛюдац аох оках лох юлю§ sriaoioirorholidX ‘oidlxxidx 5у олотАздх озлотЛоддо
юлз лао^шютИхХо лоод td>3 ‘к охо очлетЛоддо тол1з х ох ‘о§з1гшз ох охаю 4о
юозэд 'И ™х х юх лаоЛюдюхг aoir о^зкшз охо зг1аол1зт1юдю1г юл lypir sriaodoirii
юуую „м лохо 1хоазх1лзЛ 1хх зхоют!о5ю1здХ года ю1дхзг1ол<пЛ1дх зт! одзкшз охюхо
-01919 юлз йо 1зд1ххлю1гю 4л isdoirri 1ххаю 1ю1ххтдз ц !5юхйхо1ла»Лодбо oidlxxidx
ох тол1з oioir ‘ю1Аоу ю^ю зр^ ;юхздюх тол1з лю зг1аодлюсЬо1гю юл sriaodoirrl
S<PLI (Z’£ '^Z) Ч тох х юхют!оалю1д оад тохлод1д 1x9 udmx зхоздокх
'к — х тох к 1х 5збазу1г зг! олетЛ1дх одзкшз о_£ х’£ ‘^3
lOdfixoux ioi№joe<io ivn vivhkanviv vxaevx re

5обк лаолХтзр тох = ||?э|| SoxIit! тзХз 5аох плз здпх- пхпт!оалтр птптрплот!
тплтз ‘ыа лох liopg кбзхоаоукп лкх лаоузхокп ‘пхплтк аохтхохапх aoi 5зу1по
io тплтз piay (<M лох иэ‘    ‘^э‘1э латлзт!Лпхзхлао лапрткталптр лап оуолао ох
тплтз лаппт!оалтр 5аох а^пхзт! латтлотЛодбо пт!Лтзррбпк лобзсЬтрлз от ох
•пхкхбр^злп
тплтз пхпт!оалтр пх 5а)лзг!окз тох ‘о = Ъ пх пур зг1 ‘ЗолзтМтбхзх о толтз лзркт!
oi тзЛпбпк аок -п лотх 5рт!опарлао Золрт! о тохд, здпх тЛ тох тзаздкуп
отрт ох '0 = 1э Заткзлао тох о / la Ja ‘рхтлзркт! liri лпокдзхзка пхпт!оалтр пх
кртэкд ‘о = lajakr :(д) л1ио обо лолрт! лплз тзлМтп а лап пхкхртлатЛодбо н
(g)	’0= о2л= +  • • +
: ia ох зт! латбазук оар лап олзт!рлтЛ рхтбзхотоз ох зхбрк ‘лзркт!
толтз 1э ох пр зхз^тзр пл mj о = ^а^э +    + lab пр зхоздокх к^здоиту
охйхдтр^злг) 5<пх1тМпдЛ юх юллз зхох ‘(пууп Д пур 4о охздпх толтз пткталптр
здпх) 5асп а^пхзт/ тлт^о^до ими иа‘---Ча тохтот1оалтд пхтлзр/п/ liri тох
люд тотокхбп^злп LixiTirindA. In зт! козХо куют птН тзХбпка ‘5рХбп дпх
•пхкхртлатЛодбо Li толтз тздзсЬптрлз 5пт! аок пхкхотрт li атлз-
5аобатХрка 5тзрапузт!зд 5тбзоозх 5аох зт!ооколпхпх пл толтз 5пт! ЗоХрх^ -ЗзтлатЛ
5з0до 5по зхопт!р5тботдзк осЬпбЛрдпк л!п лкхап <3 ’0 = $ soa лаоХз пхпткталптр
п130пх тох обатХ охпхортр-w, лохо аолрхттИхлао аох рт!отбо рхтЛоуотоасЬ лплз
тзлтр рхау тотлатЛ 5аох а^пхзт! In тз^тботрообк ох птоко пх птЛ тох
птлатЛодбо толтз лзр аок пхпт!оалтр тпхло^пхз^з осЬпбЛрбпк 11лзт1ркз лкх£
'£ = l + t + t^A SoxIit! лаоХз оар
пх тпя -(г‘г‘1-) = охо отлотЛодбо толтз (l-‘z‘z) = х о± VWIiaVVdVII
’иЯ ао1 пИоалртр здпх зо отлатЛодбо толтз о = х
пт!оалртр ох 'лэрЫ ох толтз -аох рхапз лохо отлотЛодбо ‘пт!оалптр олрт! ох
тЛру пууп зт!- 5ох1лт! рхтлзр1ст1 зт! пт!оалртр олот! ох 'г||ж|| = “ж + - • - + ^х= х^х
аоках аох атозт! тпхлозрлао аолзт!олтЛ аохтбзхсооз аох тох 5аох!лт! аох 5ззрт tq
•птлтЛодбо толтз
И тох х пх лрз лолрт! тох лпз ‘лзркт! толтз рхау лох И тох х (ла>у1по-)
лаппт!оалтр лап олзт!рлтЛ рхтбзхотоз ох толтз И^х пхкхроок н V£
'fi^x pTioTyogTiao лохо зт!аолзт!пбпк пл тох oxarfpAiZ oxidsxwoa зт!ао^рт!оло
ох пл зт!рт!тхобк 5аплпк 5тзт!а -ft  х 1л (/? ‘ж) зт! тпхз^туодтЬо тох птзузх
-олзт!рлтЛ li олзт!рлтЛ pxarTigng тохз5рт!оло ЗзбосЬ Ззхтбзэд -аобатХ аохпхортр-п
аох 5птбхзт!а)зЛ 5lix 11о11лазбзтр здпх зо тпхзЗрлпсЬт!з 5охап 5рт!опарлао о
юх юл]з Slunirj) '-И-х^ толтз 5охпт!отобдп аох рт!отуо9т!ао лох зт! ‘рхау
V1HLOI№JO0<IO
951

•5U1 охаюз лою юзлсоЛоддо толп лзу юбаоЛю тох SaoXioi oaq Saoio mx зтзХззбзц
тох а 5з1зо<гз лаоХбргл рзаздЦую лзу окюх Srorio 5и,1 orioido лох >>iw>[ toi aoi пузкшз oiagox
зг! ластоног! aoiwricog 5олз SoXioi 5олтоу1г о тох 5олпообиг1 о но тдХзуюбтс юл ззкзбц *
7 тох М ‘Л SaodarXgira
5зздх 5aoxo rax охздпх толр пг1оалпзд дхзлздЫ ох олог! тох ‘р = х + । + i
лаолзд 5злзт1о^од0» 5ззопхопзд io Skoiirg лкю тох д ою тох кхздтзх толр
(fz- ‘S ‘О ‘О) = z 01 плдзю aoir 7 прдаз н ’одотХдзга охздх лплз пзЛ 5odg>X тох
idXdpira aoi х тох Z 5(пзорхопзд лсодюХока лгох косопгзозм лкх кхап
•д одзюзиз oi одк^хдуо 4о пзлдзЛоддо толр пд
УХХ прдаз U ‘а оад пю тох озлдзЛоддо толр т 01 кдззюз ‘3107 •($ ‘р ‘q ‘д) = т
ох giro зпхзЛпдтг aoir прдаз U толр тох (д‘д‘х‘х) = ~са тох (д‘д‘д‘х) = 'а
ni giro зпхзЛпдтг aoir одзюзиз 01 толр д пд зхоздозгх VlVJISVVdVII
‘сп тох а здпх пзЛ д = аг^.а : ,ух
aoi т пг1оалпзд здпх зо озлдзЛоддо толр д аох а пгкзалпзд здпх лпхд
юзлдзЛоддо толр лодотХ аоздз аох д\ тох д lodcoXgira оду Я£
:51л^з о толр 5дг1оздо о Эззопхопзд и 5зх£ -{д} лохо олдг1 5о1лотЛоддо
толр £я 5оддзХ о Sodkyxg’/o *’одз1тгз плз (п отлтЛоддо зплзз пл pdoicri лзд
одззтгз плз пууп ‘одзюзиз плз зо U прдаз mri зо тлстЛоддо толр пл pdoirri
прдаз mp\i '5аодотХо1га 5аох 5аоуд зо 5о1лотЛоддо толзз {д} 5odooXgira о ’£ Ц Z
‘X ‘д 51зопхотд 5п лаоХз пл pdoirri lodcoXgira iq ’одотХ лох odlt^xgvo lx 5ln клдт!
UXdn лкх girn Sisogniridsir Ssindxn Sue тох UXdn лкх (irn тохлоХдззд aox ngsiriirs
тох Ззрдаз sri тохлолпхтдтг lodmXgira io ‘odmX oxnionigidi лох^ 'aoy^n aox
пИоалтд здпх зо озлотЛоддо зплзз пл ‘aodcoXoira 5длз аох пНоалпзд здпх
girn pxinirn Uxay 'лсодетХока оад пхкхдзлотЛоддо лкхо пддп sxonrigXdg
зобетХохса зозлозЛоддд
•(д = га2^) 5п1к1дзла)Лоддо тох
(X = га^а тох х = Saoxkri аозпздплог! nriXisgndnir nrigxn плз зплзз дхау
(д soa lg uis -) = га ‘($ uis soo) = la
пх
ззАпдтг Ucbodio к кхап ‘одззгзкз ох^ •лтхпз1оалпзд летзпздплоз! зпх лотзлотЛоддо
пз1кхоао озл плз кдпукд \Uong кюлолтоходдо,, пзл пзг) зплр nriosysioirn ох
‘nrikioao 01 дхап srlaorlpdxo лпд -лотлзг1Лп131лао лтлд§п лап коладазхпх лкх
Z.SI
lOdOXOUA IOlNDJO0dO IVX V1VJN3ANVIV V130VN ГЕ

лотз^чздокю oag лотх а§юхзт1 коздчхлю н '5злзч!Люхзхлао окю охкхдю^злю окддх
юлз 4г1 чюх зч1ао§чздокю (л зт)аоуз0 юч!Лтчдк очдч оу Мрздрхп кдззлзу
• jY О1 Зч! ЧЮХЮХОЧдЮХЧХЛЮ у О1 ЛОКО ‘5о1ют11лда>30 аОХ дочт! ОХОТдК ОХ зт!
чз^ючоч! дхау ’(у)2/. Т (j,y)jV :лотукхо одотХ ою очлотЛоддо чюлчз аодотХолздктч
додзхочдю аох юч!оалючд дхчках О1 ючзкзлао ЮХЮХ ЧЮХ ‘ЛОТукхО ЛОТ1 Оч!оЮЛ9ЛЛО
здюх зо чюх очлотЛоддо чюлчз п ох юду -рдазук юч§зд lixo лотхчлзрЫ лотх отЛду
‘кооточ^з лкх окю чюхзлчюсЬ дхау -kykxo здюх зо очлотЛоддо чюлчз ft юч!оалрчд оу
I'
к
(/,)
•[о ••• 0] =
[ш/1 • • • i/i ] = у
:д = у-Ji к д = /г^у лкх дкю лаохкаходк чодотХдка чочлотЛоддо чоуую чо
'(ХУ)21 Т (уЫ kg»ykg ‘лотч!ч1юдЛ аодотХ аох юч!оалючд здюх зо очлотЛоддо
лдкчоу чюлчз аодотХолздкч! аох х здю^ •лотч+НюдЛ лотх дч^оюадлао здюх зо чюх
очлотЛоддо чюлчз юдю ‘кчЫюдЛ здюх зо очлотЛоддо чюлчз х ох ‘5юдазук 5юч^зд 5кх
лотхчлздкч! лотх отЛду 7 кч!ч1юдЛ кх ючЛ юч!Людк очдч ох чззу кооточ^з кдзхазд ц
лздкг! чюлчз олзч19лчЛ 5аох дхчдзхотоз ох 4x9 чззу кооточ^з н 'х 0X0 юмтАоддо
туз х Mrivdti й :кооточ^з кхотдк лкхо кдк чзлчю9ч1ао охотчзч!кооч5ю оу
ш ктМюдЛ
(9)
О
• 0.
г®
1 кч!ч!юдЛ
у кчМюдЛ
= ху
ксЬдоч! кхо юдзхдхчхауюлю чзскюдЛ юл чздокч! лотзосточ^з ш лотх юч!кхоао ох чюх
g = ху зх9у -аодотХолзркч! аох юч!оалюч§ чюлчз х 4x9 зхоздоку к^здоип Uiwdjj
(шН лохо) одотХдлздкч! 9дзхочдю лохо 5очлотЛоддо чюлчз лотукхо 5одотХ о
1ИХ (иИ лохо) одсоХдлздкч! лохо ЬочлотЛоддо чюлчз лотч!ч!юдЛ 5одотХ о Э£
'х юйоллтд ою 5з1Л(аАоддо пмзз SsririndA. 10 4x9 ‘g = ху
кооточ^з лкх 0Л941 5юхлотчокоч!чокдХ ‘зч!ао5чз9 юл чзкздц ’д = ху аох Зчзоау 5чх
зт! чюх чзлчюдч!ао очдч ох чюх 5зоотхочлао и лаоХз 5зч!ч!юдЛ чо ‘„а аох чодотХдка
чюлчз чохау -лоттМюдЛ 5одотХ о чюх ЭодотХдлздкч! о чюлчз 5оЛаз^ охотдк оу
•кЛаз^ юхюх злюк чюх чодотХдка Зчдзоозх чюлчд jiodeoXpua
Зчздтг/зИзд 10 гчоххазсЬдкюлю чюлчз юхкх9хчхюч1Людк лкх^ -кЛаз^ юхюх
юхлюк злюк чюх ючюХах чюхло^члю(Ьт!з лзд 5аохаю ,кю 5зхлодзсЬючдлз очк 4Q
:5к§з 5ст чюхчзЛоуочюхчд 5аодотХока 5аочлотЛоддо ючЛ 5юч! лодзсЬючдлз оу
VXHXOIN?5JO0dO

тЛ ari inxs^ivogrlao тох
д aoi nricodLr/icrlao оытХоддо idis^diIoao д лою озлотЛоддо толзз аом
лотхрг1оалп1д лап. лотуо 5одотХ о аох д аодотХома Зохлздоу ЗОГМЗЫО
•д = ху aoi 5ззоау 5п 5зуо oirn зпхззузхоют 5одотХолздЫ о
пг)оалтд oioiai здтрх гзХзюзк пууто ‘лотзЫпдА. одотХ лохо пзлотЛоддо пхпз1оал
-mg oioirpx 5отумп ззХзздзм лзд (у)уу О ’nisglxyD Li lidliyxpyo Scorio зплзз лзд-
лттМпоА одотХ лохо 5охздрх толзз ЗодгаХолздСо! о 119 niapliyn толзз одаоЛз^
•oxiiDidltixDdnX охздоодм
ох охап (зЛ 5по liAoiioira л1и отдозупхпгз пл ззмздм тох шкпозлотЛоддо Lived
л1п oirn одзхоооздзм прх ззлзпд^ао году -ш = (а - ш) + х niioiodgn ззлзд
5оЛаз^ оуур оу -и = (х - и) + х толзз niioiodgn 01 лотзомо лотх Зззорхопзд
лаоХз 5одотХолзд1п1 о тох лотг!г1пдЛ 5одотХ о гзлзЛ л у	одотХ лохо £ = 3 + £
5ззорюпзд зХзз (одзмзкз тох пзздаз) ЗоЛаз^ одзхазд оу ’гд одотХ лохо £
= X + X Зззорхопзд зХзз (Зззздаз оад 10) 5оЛаз^ охотдм ох по зхоотззгШз;
•д = уjfi 5lii олз-НрХзздзиг ох
зплзз Зотдздхп охаоу g = е/?£ + г/13 + Ш одззтсз охздтрх ох толзз пл зз1гзд1г Зохау
ogsiriirs плз зплзз ЗодотХолздЫ Зодзхоздп о тох (£‘з‘£) аох pig пзздаз It зплзз
лотукхо ЗодотХ о \Н ЛО1° тхлоХзздзм зодотХома oag iovvp 10 ‘куохотдило 33
0= [S][6 d ™« 0=[te]l9 21 1»х 0= [;’][£ 11
зззомолпхз аом аох пзздаз Спздрх
It Зотдздхп зплзз 5одотХолзд11г1 о ‘зхпзМрдц -SsiiiindA 5по озлотЛоддо зплзз аом
(£ “£-) ох ззХзздзм 5одотХолз§1п1 о тох (£ ‘£) аох пзорумпууом зплзз SsiiiindA 10
[?
:5ззздаз зплзз аох лотз+НпдЛ
тох лотукхо зодотХ зо пдр ‘£ li^px ззХз у о по зхоздому VHIJI3VVdVII
(8)
'° = °лг = хУх^ = х лУ^ = хла
тозлотЛоддо зплзз по LniiindA nni зо
ззУо^ззд D0 (-AOTTiiindA. одотХ лохо зпхзХзздзм aodro ‘лотз^пдЛ лотх 5рз1опадлао
зплзз а пгкзалпзд оу) -z ткзалрзд oioirpx пзЛ zху = а тох д = ху зхоу
•AOTiiiindA одотХ охо а ох тох одотХолздЬЫ лохо тохзХзздзм х ох пр зхоздому
•|лх1юлпхпх пдзхоуохаз тох
11дз1оз(Ьпо зплзз nioir пдз^и пл пуздк о© aoiioiA.oyyao aogogsii 1(511лзз1здхзхЛао„
5niii зхлплз tl5liA3iilidli<bD„ 5niri niiAisgpdnir oiiiolidX плз 1поотлЛплп лохо ззлзд
ЮЗОХОПА IOINC5JO0dO IVN V1VWZANVIV V130VN ГЕ

одотХдлздЫ ддзютдю
лою охздюх толр юл q 01 ют Л рпюкю liian ‘юозгМз Зюхлокзуд -лот^кю одотХ
лою q 01 тюхзХзтдзк юл тзпюкю q = ху U ‘юозтЬэ лкх Зюхлотгзуд \53tiioayiir3
томз 5i3omoi^3 5з1ом зз^юодпх ooqioo) nioiro U ‘аордтд aoi 1юзт1 Luo клзтМадх
‘liooiodir юзт1 толр liiay -одотХолзд11г1 ддзютдю лою отлотЛоддо толр 3ioirligTi‘o
тзХзтдзк лотукю 5одотХ о 'одотХдлздЫ лою отлотЛоддо толр sioirlignto тзХзтдзх
лоттМюдЛ 5одотХ о ’ЗэтЬсНздюплю толр Зтзоююди: то 5з1аю ng зг1аолюдг1юуюлю1га
‘шМ лою лотукю
аодотХ aoi юг1отд1л^1гт1ао отлотЛоддо 01 толр ЬодотХдлздЫ Ьддзютдю о
«Н
лою лотгМюдЛ аодотХ aoi oriOTdtiyirriao отлотЛоддо oi толр ЗодотХдлздЫ о
3 5одзр^ ‘5»<?дзЛуу SUxttirindj Siu шИлдта® ЗздаюузгУзф а£
•Ю1юг1отд1гу1гт1ао ютлотЛоддо толр но ююрют! тох ‘тохздюх толр 119 зг1ао5]дотлЛ
тэдоту лотукю li^pi = лапМюдЛ li^pi по ЬдлоЛзЛ 01 тох 5отдюх лотдотХока
лотдапуздзд лотдюоозх лап Зтзоююютд 5п зоотдз goto опади оу 'ЗюддзЛ'/у
ЗкхттМюду Sin 5о1югИлдотз0 5аод<ртузг1з@ aoi ooiri одзхазд oi тзлотд1гу1гт!ао
oigoy -ш = л + (л — ш) юткподдю лаолтд Saoi Зтзоююютд iq mivricooLc/oricio
тлтАоддо тл13 (y)^L лог^йю 5одтХ о тх	5одозХол.здМ 5одзю1до q
:юг1оюдзкт1ао oxiaq 011зЛюдюк ‘у лою 5олзг19^ог1дюсЬз ‘ЗдткюЛоууао Soigi о
’T((y)jV) = (jY)2L :лтог<г1юдЛ одотХ лою то1зХз1дзк одотХдлздЫ лою
омотЛоддо юг1оалю1§ здюх 119 зг1аолтодзкг1а£ -Soimdir о тох п^юуую юл лохюл
-адю толтз ‘тог1дтдю тотохаз'узх оад то лао^юуую лзд ‘г 01 5ю1ло1кюлаошз ‘aocby
лотукю Sogliyir = (аодотХдлздСп^штр + (лоттНюдЛ аодотХ)штр
:и = (л - и) + d 5oirai 5одаоЛто 5юлз тзХдюма
119 Santo зт^ао^тдотлд -одотХдлздЫ лох згко^юуую юл 5тдотХ ‘у aoi лоттМюдЛ
одотХ лох зг1юлотуюЛзг1 юд ‘у aoi ктМюдЛ лозутг шз люо z 01 Зюхлонгюлаопгз
319у лсттМюдЛ аодотХ aoi Sgixs тюх пууп одотХдлздЫ лою отлотЛоддо толр
г юткталютд отохсюх пд лдтлоу зюздотгу тосЬодюплю sripic юдап ‘лдхаю со
ютлотЛоддо тюлтз aoir х юх юуд srtoxlidg тюх лоттМюдЛ одотХ лох дню з^юоклтхз^
‘д = ху oi 5ю1лолау aocby -ЬзлюсЬодк 0091 тюх толр лзд giay тодотХдлздСЫ
лою ютлотЛоддо тюлтз аок Ю1ют1оалютд Ю1 юуд тзХзтдзтг лоттНюдЛ 5одотХ о :1шзХо
ксЬодюплю U. тюх тзаХот юлодХдхаюу ' T(( Ly)2Z,) = (у)Л" :л.<х>тЖтоЭЛ, аодотХ aoi
oriardtiyirriao отлотЛоддо oi толр 5одотХдлзд11т1 о ‘ютЛоуодо л1п 1паю
VlHlOINfSJOQdO
091

3.1 KA0ETA AIANYSMATA KAI OPQOfQNIOI YITOXQPOI
161
ЗЕ H e^iowoi] Ax = b XoveTai eav xai |iovov eav bT у = 0 xaOe cpopa
пои ATy - 0.
H аццеот] лрооёууют] rptav “то b лрёле1 va eivai aovSoaoptog twv ott]Xwv”. H
epieor] лрооёууют] eivai “то b лрёле1 va eivai opOoywvio oe хабе Stavoopia
пои eivai opOoywvio OTtg отг)Хед. Аотб Sev axooyeTai oav беХтаоог] (yia
va то ехфраоооце fpia). 'Otov брод oiraQ/oov лоЛЛёд отгр.ед xai piovov
eva г) Soo Siavoop.aTa opOoywvia о’ аотёд, тбте eivai лоХб еохоХбтеро va
елакт]0ебоооце аотёд Tig pia f| Soo oov0f]xeg тт]д pop<pf|g bTy = 0. О Nopog
Aovapixoo too Kirchhoff, тт]д Параурафоо 2.5, eivai eva xako napaSetypa. To
va бсалютсооооре pr|Seviop6 хата pf|xog xoxkwv eivai лолб еохокбтеро ало то
va avayvwpiooopt’ oovSoaopoog twv ott]Xwv.
ПАРААЕ1ГМА Oi арютерёд лХеорёд twv ларахатю e^iowoewv SiSoov aOpoi-
opa piqSev:
X\ — X2 = b{
X2 ~ X3 = b2 f]
X3 ~ X\ = Ьз
Г 1 -1	01 Гж1"|	ГМ
0	1 -1 Ж2 = Ы
[-1	О	1J ХзJ	[b3J
Oi e^iowoeig Xovovtoi eav xai udvov eav to авооюиа twv <jTOt%eiwv twv
de^iwv nAevgwv eivai yybev. Eivai еохоХбтеро va еХёу^ооре av b} + b2 + b3 = 0
-лоо xavei to b opOoywvio ото у = (1,1,1) too арютероб pr]Sev6xwpoo- лара
va бюлютбоооце av то b eivai oovSoaopog twv ott]Xwv. Ката то бецекаобед
бесорфа та Soo аота eivai ioo6ova|xa.
О nivaxag xai oi олб/wpoi
Tovi^oopie лаХ.1 oti, otov oi SiaoTaoetg тоод eivai лоХб ртхрёд, тбте oi V xai
W цлоре1 va eivai opOoywvioi, xwpig va eivai оор.лХт](Х1)|1ат1хоо H eo0eia V
лоо ларауета! ало то (1,0,0) eivai opOoywvia ottjv eoOeia W лоо ларауета1
ало то (0,0,1) aXka OTig Tpeig SiaoTaoeig о V dev оорилте! це tov Ил±. To
opOoywvio oo^Xf|pw|ia too W eivai SiSiaoTaTO. Аотб eivai ёva ел1лебо xai
T] eoOeia V eivai eva цёрод too p.6vo. 'Otov oi SiaoTaoeig eivai owoтёg, тбте
opOoywvioi onoxwpoi eivai avayxaoTixa opOoywvia ооцлкт]р(Ьр.ата. Аотт) f]Tav
т] лepiлтwoт] too x<bpoo ypapiwv xai too pjSevoxwpoo, xai г) алббе^т] рлоре!
va ecpap^oaOei yevtxa:
eav W = V± тбте V =W±.

xy = ‘ху
:лотукхо одотХ лою тохз^1лох131гю лотгМюдЛ одотХ 010 юоотхтолао к
О = иху :лздliri лою тохзРлохтзют одотХолздкт! лою юосохотлао li
-,иху + dxy = ху
1зл1д ‘у лох зг! рдоютоюукюууок лигр inx ‘их + dx = х иодотХдлздкг1 лою,,
юоотхомао mri тох илотткк>дЛ одотХ лою,, юоотхомао mri 1зХз охау -х ютк>алю1д
охотах юлз 5юхло^юхтох зхздюуюхюх лкх юл sxpdoirii тох лотукхо аодотХ аог
тох лоттМюдЛ. аодотХ аох а^юхзг! 1злтодг1ао коюдд kxixoiiAodir ц тодотХолздкт!
одзхтодю лою тохзлузхо лзд зхоюх юг)оалю1д охглздкг! ою тохзррохтзкю
ЗодсоХолздкт) q лохо оад тоуую то тох лохо oxoriiodliyirriao Ю1лотЛоддо
толгз тодотХохса оду ’лотдотХ лотдюоозх лотх ог1ог/о1плт>оодк лох тох зг1ао^гдотлЛ
юдотх ф(к§юх лкх) а kooxooig oigi лкх лаоХз лотукхо ЭодотХ о тох лотгМюдЛ.
ЗодотХ о 1хо ох люхк igisyx ох 'лотдотХоиа лотх 57зоюхою7р Six s^idoigoodir
5охюг1кдотз0 аох 5одзг1 юла, 'XV ртЬюююуютчуох: рхтозлюсЬигз лох giro отхюх
1злтодг)ао aoir охаю— юхюлш 5олз коюдд kxixoiiXodir лкх 1з^1лох131гю aoir
‘5юддзЛуд ЗкхтгМюдЛ Skx orikdcpsg 5здоттузг1з0 ох 13^1<колао у^ mikX^ ох
‘(ГЕ ‘XZ)
aor/gig аох orikXo лодзсЬгюдлз our охо ‘Ьотлюдиг ‘лаоЛкдо тох srlgoioiroTiiokdX
Six Saryiro года ’Зз'уододш то 5зхаю тохлохо1дд Sroir лаолХ^зд тосЬюдЛюдхиг
5злзг1о1гз iq ‘ai лохо х аох kyogodir к толр т юоотхтолао хилотЛоддо ц
odroXpira лохо kyogodir к толр а ют1оалю1д ох 'сп + а - х :ют1оалю1д здюх зт1
тох 1зл1юдт1ао oigi ох ‘кдзт1 юмотЛоддо оад зо тахза^юлю ЗодотХ о люхо,
•(£•£ ’Х^) кдзт1 ютотЛоддо оад зо тохздуюлю 5одотХ
о тох 5зхоото то толр ai Л ЛЮ1 Sisopxooig iq = ТТЛ ‘Ю1^9Х ’OYYP 3И
юрдаз тох одзирз лохо юхют1отдк^1£г1ао тлотЛоддо ТЕ ’^3
VlHlOINCJJOQdO
£91

> £ '^3 01 »A»T(iri>dmr
5no m 3i3Alid>n лкл 'т1и<>1л<оЛо()0<> л1и тох 5i3o»io»ig 5n 5з1л» зхзлтодюушпх лрд -j, — и тох
j Sluroiopiq SaoScoXoim ЭаодлотЛоддо oap зЛтоор^зХо »л 5mn зтотюшлЛ лзр 'рхипп/тодц *
•ЗотМздюилп дплдз л пхдлзркт! kri ni дзХзддзк aoir 5пхплд1го1га q -ЗодлотЛпдр
дплдз у 5пхплд1г о лпю 5злпсЬод1г дплдз piay	aoi рдотХрлзркт!
лою отлз ‘5од1д<кздюд1ло дплдз у о SaodmXoira Заошюпдр-^ 5aoi Saoian
aoi лт/кю одтХ лою aoi лтддпдА одтХ ло1 la^iinriliXooisri Зпхюлю 30»х
•лотгМпдЛ аодотХ aoi пг!оалпдр олрг! тох плз дшз^длохдзют q 010
тох ^х = 1х крпукр ‘лзркг! oi толу pian оду -aoi plans лою одлотЛоддо дзлпх
oi тох лотд+НпдЛ одотХ лою тох ооо одотХрлзркт! лою 0091 jx — ‘х 01 yisgoiroi
козХо li kiay -q= q—q= (^x — лх)у 3101 ‘q = ^xy ззлдр лоттЖпдЛ одотХ лою dtx
пг1оалп1р оуур oioirpx лра ’о = иху дзлдр одотХолэркт! лою поотюдлао li aocbn
‘лоттНпдЛ одотХ лою лх зт! лху 01 дплдз pian п11ирхдтт1Лпд1г л1и^ -лот^кю лот1
ху 5ртктоарлао дплдз 3101 ‘лотукю одотХ лою дшзХзддзк q 01 лпд kgnppiry
•лотд1д1пдЛ аодотХ aoi х пг!оалпдр олрт1 дпх плз pirn дтзХдзоди
лотукю аодотХ aoi q пгкдалпдр здп^ -ЫкИздюилп ‘nikipxiimiXndir лкю
‘дплдз лотукю одотХ лою лоттМпдЛ одотХ ло1 pirn кодлрхдзют н jg
*-дзлдп9г1ао pian 5roir дзлХдзр mikXo 01 тох -оууп sioirii дзлпх пл
isdoirrl лз§ 5пхплд1г о- лотукю одотХ лою дшло^длохдзгп ‘пхдоасЬ ‘тлп1г пу
у ПХЮЛД1Г aoi lionop ц "Хз
£91
lOdOXOUA lOINHJOQdO IVN V1VWZANVIV V1H0VN Г£

9 £1
аох лотукхо одтХ лохо отлотЛ
-ogdo ‘Л ютЪалютд юлз тох ‘лоттМюдЛ одотХ лою отлотЛоддо х юткталютд юлз зхтздд £•£•£
£М ЛО1 (ютИиоао охтлолюходдо юлз) лотхют1оалютд лоттотд
-юлок тох 5аох а^тэхзт! лоттлотЛоддо ютИиоао юлз зх§ютх<Ь ‘юхюткталютд юх юхаю ,ку
(O‘l- Ч) тюх (х Ч Ч) юхо ютлотЛоддо тюлтз аок юхюкоалютд юх юуо £ц лохо зхтздд ypg
лотхюНоалютд лотх а^юхзт! ‘ютлотЛоддо тюлтз кЛаз^ ютоц £‘['£
'.С г люхо ‘t_Q аох f кукхо
Uxo ютлотЛоддо тюлтз д юхюлш аот1тф.здхотхлю 5олз г ктМюдЛ U по зкао^тдотлЛ 5отц f’l’£
g = ftj-x 5юхкхотлотЛоддо кхкдлао
Ux туюк зхз^тздокю ,л ютЛ 1Й/ЭД тюх ix/tx тюлтз Зтзотух то лоттоко лотх ‘(ЭДЧ/х) = ft
тюх (Zxi I .г) = х юхюкоалютд юхо ох зхоот1дю<Ьд • [— тюлтз 5аох лотзотух лотх олзколтЛ
ох люхо ‘5зхздюх тюлтз аодзкткз аох Ззтздаз оад ‘ютдхзкотзЛ кхпауюлю лкх юхю’я £'Х'£
юхкхдю^злю
тюлтз лзд аок лотхюткталютр лоттлотЛоддо юкЛтздюдюк юлз 5коткз зхооту 5аох а^юхзт!
ютлотЛоддо тюлтз лзр аок лотхют)оалютр лотхкхдю^злю юкЛтздюдюк юлз гя лохо зхооту ГГ£
'(£ Ч Ч— Ч) = тюх (z ‘О Ч Ч) = х лотх олзт!олтЛ охтдзхотоз ох тюх Uxlrri юх зхтздд ур£
zrazHMzy
лотктхотдт тдзк юх зткодз^ юл тюхз^ютздХ ютоко лкх 4хгю лтдхг
—actWu xwibdoiioiQi tiohioi£oiAoA»d»i£ лкх— юхюлтк 5олз лотзоктохгохлоЛюдюк
лотдзхотюраохго лотх хз ютт! охгю тюхюхдю^з 5охаю 5от1отЛоуока q ют1кхдюдюц охо
тюхзлтЛ аох 5ог1отЛоуохга о тюх 5отк<кздхотхлю тюлтз 5охаю аохг тзхз у лох тзсЬздхо
-тхлю +у о юду ‘о = ft+y :зхох£тх тзлтЛ юл тздохгк лзр 5отт1о одотХрлзркт) одзхотдю
лох;^ лоттМюбЛ одотХ лохо х ютЛ х = ху+у :лохюлар тюлтз охаю аок тзхз у лох
тзгЬздхотхлю тюх +у зт1 тюхэ^туордао ‘Зо&одыилподлз^ тюхз^юг1оло охау охюхо
-юхюхока охтЛоуотоасЬ юлз зхтздд юл зхтздотп) у о тзХдюхга лзд люхо,
•5юхюлтк
5юлзлюх тзлюх юл тздохгг! лзд аохг ют!Людк ‘олот! тюх юткталютд охтлздкт! ох охгю
одотХолздкт! лох одкухоуо ототк зкаодюхг юл зг<юхк^ юл люо тюлтз ‘юхтхздосЬюту
и - ш - х люхр лолот) тзХдюка тюх— тзХдюхга 5охаох лоод (<Ьз \-У лохо
тзхклю кхаю krlxx и юхют1оалютд юлзт1отлот1зт1 юх тХд юуую ‘ЬаодотХ 5аох юхоото
тз^тлохтзхго ±у о [ЗоЛодхотхлю о тюлтз лзд 5о<Ьодхоюлю о ‘юхтоаф
лохо (оотхс (у)2£ лох ркю тюх ин лохо ототхг ши лох охгю ‘коладазхюх кхздтхлю
лкх 5одхс тзюхг ^у о 5кошд 'зхохлюхс тзаздкую охаю тхо лозухх зкао^тдотлд
VXHXOINC5JO0JO
WI

£• лою 5отлотЛо0до тюлтз д о
тох зхох лою 5о1л<рЛо0оо толтз 4| о тох дх лою 5отлотЛо0до толтз д о люд (9
'-р/д лою 5отлотЛо0до
толтз тд о тюх зю1 ‘дх лою 5отл<рЛо0до тюлтз д о люд (ю :5здаз<К 1л Sagliyy 6ITE
--j-S1 01 толтз оток ‘(х ‘О‘О‘о) oi окю тю1зЛюдюк g о люд ‘.Tg
01 тюлтз оток ‘11Хдю лк1 олот1 тзХзтдзк aoir aoi ЗодотХдка о тюлтз {0} = g люд
Зюхюлтк 5ото131 5юлз тохз^юазхоюнэх
Зотк 31ST3Q ‘д aoi liong ютт1 окю Зюхлотлтхзд :дх одотХолздЫ тюх д лоттМпдЛ
одотХ зг) Эюхюлтк тзХдпка ‘„я лою дх aoi ют1отд1лукг1ао отлотЛо0до 01 тюлтз д люд ££Т£
’(Z ‘8 ‘б ‘z) 1ПХ (l ‘t7 ‘t ‘l) nlD Ю130ЮХ тюлтз аок юногкталютд Ю1 юуо зпздд 9ХТ£
•Зюхюлтк 5ото131 тзХдюка лзд тю з1§тздокю 1л ‘(х ‘3— ‘х) О1 тзХзтдзк ЭодотХолздЫ о
аотоко aoi тюх (х‘Z ‘l) 01 тзХзтдзк лоттМюдЛ ЭодотХ о аотоко aoi юхюлтк люлз зхтздд SX'I’£
•||/г|| = ||х|| ‘лю лолот) тюх лю ‘/г + х ою отлотЛо0до тюлтз ft - х 01 тю 31§тзу ПИ
лздЫ ою одотХолздЫ одзютдю ло1 тюх лоттЫюдЛ одотХ лою ототк (y)2L л.01
5ю1лолузю ‘у£ Хз aoi оЛоуюлю ютИлХо зт) ^у aoi Sliondg 5lii юлохтз ютг1 зюоту П‘1‘£
их аодотХолз^Ы aoi юоотютлао
ютг1 тюх лх лоттЖюдЛ аодотХ aoi юоотютлао ютт1 зо 01 зююкоютд ‘(£1£‘е) = х
aoi Зо1лз0оу лоттМюдЛ одотХ лою ютлотЛо0до тюлтз 1иаю по зюаз01г/юкз тюх
aoi аодотХолэдЫ aoi liong ютт) згтздд ПТЕ
ОХТ1Ю(ЬТ1ЛЮ тюлтз
‘Зтзояу юлодХоюю! (2) тюх (х) Ю1 лаоХз юл 01 ‘тю з1§тз\7 q^fi зюот той ‘(y)/V
лою ft юлз тзХдюка U (у)г/. лотукю одотХ ою тю1зХзтдзк q 01 U ‘ютЛоу юуую здо
'О ‘0 = fijV (Z) q=xy (х)
:1юау тзХз ю1ютИлюао юлзт1окз Ю1
окю юлз лолот) тюх юлз ‘q 30юх тюх у 30юх ютд :w]oqpajj aoi Lt/bdori
11лзг1оЛзу Uio юлХао тюхзлоткахютд ЗюддзЛуу 51лхтт1т1юдд SLii ют!11дотз0 5здоттузт)з0 од IX'I'E
юг1Людк oigi О1
тюлтз юнотИхудодк оад ю1 ‘SottIo ‘ЗотлюсЬодк ‘Зкокхою 511лзт1аоЛ11одк Slti 1иЬодют1лю
It тюлтз Uiay (£‘^‘x) тох (z‘T1T) лот1ют!оалютд лот1 тогктюадлао тохттМюдЛ то
тюлтз Зтзоау то Зютоко SI11 ‘ЭаоюотлЛю 5тзд1 зт) коотот^з 1ллзЛог1о ютт! зююазхотюя О1‘Т'£
ютз0аз lidliyxovo ютт1 тюлтз ют1отд11укг)ао 01 по 3iT30tiTia©
О = ху oi Эшлолау тюх у aoi ЗзгМюдЛ люо Ю1 5ю1лотдотз0 ‘(£‘3‘Х) 1ЮХ (Z‘l‘l)
Ю1ют1оалют§ Ю1 лаоЛюдюк аок аодзкткз aoi ют)«)д1г/кг1ао отлотЛо0до 01 З1]здд gg-f
{0} = Д1 и Д :ют)оалютд охтлздкг! 01 тюлтз
ют1оалютд 5aoi олтох олдт) 01 тю 31^39 ‘тодотХока тотлотЛо0до тюлтз дх тюх д люд урС
S91
lOdOXOLIA IOINf5JO0<IO IVN VXVWSANVIV V130VN Г£

OP0OFQNIOTHTA
3.1.20 'EcjTco S илбхоюод tov R". Е^г)ут|оте xi aqp.aivei r] )j = S xai yiaxi eivai
akrjOeia.
3.1.21 ’Eotcd P to елСлебо (6/i undyoioog) xov xgididoTaxov x®qov, це e^iowar] x+2y — z =
6. Bgeixe tt]v e^iowoT] evdg eninedov P' лараккг]кои xov P, akka 6ie@xonevov ало
xx]v aoxx|. Bgeixe eKicrqg eva diavwp.a xaQexo o’ avra та елследа. Пою? л^ахад
eX^i to P' wg ixqdevdxwQO xov;
3.1.22 ’Eoto) S о 1)лох<1»оод xov R4 лои nepiexei та diavvopiaxa це Xy + x2 + x3 + x4 = 0.
Bgeixe p,ia баот] xov S^, о олоСод nepiexei oka та diavua|iaxa та oo0oycovia axov

3.2 E2QTEP1KA TINOMENA KAI ПРОВОЛЕ2 IE EY0EIE2
167
3.2  ELQTEPIKA TINOMENA KAI HPOBOAEL EE EY0EIEE
ГусодГдооце oti to eocoTegixd ytvo^ievo doo &iavw|idT(ov x xai у eivai о ад10цбд
хту. Мё/qi тшда p.ag evd^ipege p.dvo то лоте то eowTegixd yiv6p.evo eivai
pj&ev це aXXa Xoyta, лоте та doo бюу'иоцата eivai og0oycbvta. 'Hg0e r] ibga
va е^етаоооце tt]v леднлтаэот] цт] ^devtxcbv eoanegixibv yivo^vwv xai yiovtcov
лои dev eivai од0ёд. ©ёХооце va xaTavorjooo^ тт) о/ёст] eocoTegixoo ytvo^voo
xai ycoviag xa0ibg xai тт] о/ёо^ eocoTegixoo ytvo^voo xai avaoTooipoo. Sto
Ke<paA.aio 1, хатаохеиаоаце tov avdoTgotpo, yogi'^ovTag evav nivaxa, oav va
T|Tav оцеХёта. KaTi хаХбтедо 0a лдёлет va хауооце.
Eav 0еХт|Оооце va oovoipiooo^ то олоХошо too xecpaXaioo, dev цлодобце
va алосрбуооце tt]v ладатт)дт]ог] oti у ooboyojvia moixTwciy eivai локи mo
evdiaipeQovoa. Уло0ёоте oti dideTai eva отщею b, otov n-diaoTaTo x<i)QO, too
onoioo 0ёХооце va бдобце tt]v алдотаот, ало do0eioa eoOeia, X.y. tt]v eo0eia
ott]v xaTe60ovoT] too diavoo^rrog а. Ауа^тцаце, хата цт|ход тт,д eo0eiag, то
отщею р лоо eivai лХ.т]а1ёотеро ото b. То xketdi eivai отт] уешцет^а: Н EvOeia
xov ovvdEEi то b це то р (г| dlaxexoццёv1'] eo0eia ото Sy. 3.5) sivai xdOsTt}
ото diavvopa a. Avry у aXyOeia Oa pag emrQeipei va 6Qovpe то пЛуспеатедо
ayyeio p, xai va олоХоу1оооце tt]v алдотаот) too ал’ то b. Пар’ 6Xo лоо та
do0ёvтa dtavoo^xTa dev eivai oQ0oycbvia, rj Xoor] too лробХУщатод negva цёоа
ал’ Ti]v OQ0oya)viOTr]Ta.
H хатаотаог] eivai idia це exeivq хата tt]v onoia, avTi yia xaTeo0ovor] a,
dideTai 6va eninedo, r| yevixoTega onoioodrptoTe олб/сород S too R" . Sava to
лдобХтща eivai va бробце eva отщею p too олохсороо, лоо eivai лХт]О1ёотедо
ото b. To oypeio p eivai у лдобоХу tov b otov vx6%wqo. 'Otov фёдооце цю
S%. 3.5. Mia povodiaoTaTT] лообоХт'| otov n-diaoTaTO /(про.

ЗпохотлЛп OOO OOfr
тох 5i3o<noi§3 mdarlrioinzs зг! pony пл зхои 3xli()Li6i37.iir3 аок nriltioao ошла§ одзхаупЛзт! oi
i3mv пл 1359193X0 'V'LTH лгох SUolicbnSAoidnX пюздЦма U ‘0101090133 I117 •/гоауплп Uxiriodqnav
л!ио тохзХдзтзка лотлсоЛпдхзх лтипХоуз лап 5090931! li ‘lixuonoi^ lixo тох nxirioAOXiQ 013 *
то 51п олохзгШлао
ох тох OAOiirlli 01 oiA зткоХз ooaotAi6i aoi ооаолрюка тох толр oioiro
01 ‘5оют1оало19 aoi Soxlnl 01 толр ||о|| но Ьтло^рдотлд -(g-g -Х^) х оло^р
ло1 зт1 v пг1оалп1§ 01 is^iiorlliXo aoir оротЛ li толр о по зюздош^ -LioOTiiridsir
11101001919 Ino I190VI19 ‘о1д1зг1ола)Л1д1 л1лю зг1аоЛазсЬо1ох ‘оНоизХоао ло1
sriaodg ол oiA. ‘1013, '5протЛ 5Ui oaoimUiaiw ox 'nyyn ‘олзг!ол1Л 9x16310103 oi
31I 5ордаз tiro То1зз9лао aoir оротЛ li 501916x0 толр Л39 no sisoononroig 09
odoAUdj ’лоплотЛ тох люлзг<ол1Л лотх1дзютоз 1631г ItoliilTpo Ln зт1рл1хз^
ziBMqas aoi nilnooiAn U inx плзНолтЛ 9x16310103
•oioriooAoi9 oiAoiAogdo
oio OTOiir 5о1лоХз6юло ‘06319001631г Lrrioxo Saoirai 5aoi sriaooliioiroviro ол
1злзт1о1го лшоюз -g-g осЬобЛрбоц л1по ппзлау тох 5аод1зг1одо1г Зздзюооюзк
зт1 лотлотЛод131 лотю1Хоуз 0909311 1по рХююпло ‘liooniridsir кхплотИю опт U
‘Lnay ‘aoi Uopg onl sriaoioiroiliolidX тох Aoisopiooig лотдзюоо1бз1г odmXgira
лолз to зт1аоуур9од1г Л019 So’yiro рхпздто^з 1злзт1одо1г d 01 oiA Soirai о
‘5отХа1аз -5зротЛ 5n тох олзт1ол1Л 9x16310103 oi зт1 Uyogodir л1п Inaoi зт1аооз9лао
од тох оуур зо отлрзг от1оалр19 олз ‘5ао1юд1 5aoSo<bpi9 зт1 ‘ariaoyogodir 09
liAsrtoirs л1по тох otbodApSoir л!п 1пао -ор0аз оп1 толр SodroXgira о
Л019 оуохаз толр ‘d 01 oiA aoirai 51юздаз 51п ‘отИпотдз 06310.39 03
*‘1п1п11901(Ьт1оло толр 5кЛог1до<Ьз 5ln Slnao oioorilio н
•(лЛоупгз 111ола9 lidaiayox л1п лоо d opiilio 01 рдотзд лсолтЛодгз! лашиХоуз лап
5090931] н '1лоау isXdpira ЛЗ9 тох 5aoi а§о1зт! 5310091911000 толр Sisogioi^i io
‘Л010Л990 толр oiaoi 119 зг1ао1гз"/9 ‘аодотХ aoi aoiao лот1рт1оало19 лотхюод лап
9т1ооа9лао лоо q 01 зт1аоф,рдЛ ол STiaooligoiroodir лу -одотХдка oiAsgog лою
1О1зХз1дз1г ол зюот ‘ligpY рууо1г odpir isXsidsir тох Srsolnroxoorilig тох oiorlpdisir
giro Aooiiraxodir aoir ‘0ЛЗ110939 01 iSAOioidoir q от1оалр19 од лотлотЛпдхз!
лшимХпуз л.(01 оцедят! lu arf 5oi»rftnoao аолзйо1до1доодз£дз1£л 5олз 5йоау
51п orili'Y99dir 01 зг! Srogidxo 0191 01 толр ‘рх1д13т1отзЛ олдт! 3Tio<tip6A/id3ir
обап а6Хзт1 aoir ‘Sori prili^ggdir 03 зол odaoAio толр Sisoliwoiro iq
‘d Uyogodir
л1п oiA Soirai 5oioirpx isXdpira ‘aodaiXoira aoi U009 oni зт1аоХз лрн (g)
!5зЛот16о(Ьз 5зхпхо61г зо oiilpggdir 01 9100 noriApdir lois^podnig ([)
:1ю1плр1го то1ло5р1здХ aoir
51зо111от6з 009 Santo AooXdpirx 'S лотдотХо1га тох q лотртИю a§oi3ii лотзорюоко
OTiliY99dir gxioacb 010 1юау Lpiro onl толр Lnao ‘pxidiailmaA SoiAor/ipj 'odaiXgira
Л01 1злт1з1 I11390X li ОО1Ю opiiliD 01 толр d 01 ‘g oio q 01 giro tnsgpx
VlHlOI№JO0dO
X9l

лгодазук 1лхЫ 5miip тз^пзХоао ‘(х) 5oirai о ооо 5о1азлрт111лт1оуохаз oopi тол
-из лзд Spiay тоткгодзктко 0191 ою лхмздаз nnx isAUgo aoir ‘аолрптИшго
aoi 5от1рл о ‘SnidisrioAmAidi 5Ln 5плрлпх 5ovyn 5плз тох isXdnirjg liomiariluz
"о081 Ю1юх 1з5»Пю »]л.соЛ U тлз ‘$soo aoi oriliopdir 01 тох is^nyp ‘q aoi
oriliopdir 01 Зшло^пууп ‘nidsii lof/n л-^1 .“V ’О1ГО1оууплп 1злзг1пдп1£ олог1г11(лао
oi тлз 51иопт1олодп1г о тох SUiluigidn о тох mis^nionvirig 3101 ‘q aoi 5oxliii 01
sriaoDnionyirig лпд ‘51зопютд 5п 5odir 5m 5рюто тол13 5oirai о no siomisrili^
(Z)
= a soo
4j?
толзз q tox v лт1пгк>алтд оад а^тзг! 5п1лтЛ 5U1 оломгИхлао од f)g
isiinili^ aoir йозХо In i3Aig тох о
тох q лап олзт1ол1Л охздзкооз 01 Smgidxn толгз oirai ло1 лошп р 5liiliri0idn о
|Ы| |Ы|
. inn II _ ю U|S л7 UIS + SO3 Н SO3 = Д $оэ
ZqZv+iqi'o  & 	w
:1зо11лот1о1г/
пл isdoirii лзд 51злпх aoir nilupiani lixidisrWmAidi л1п pirn inisgig олог]т111 oi
‘ю - g/ Sropidxn тол13 Q U, ndgn Ugisirg -|\q]|/iq тол]з оло11г111лао 01 тох ||q||/zq
толтз оло11т111 oi :g/ aoi пзлтЛ UXioioiwo л1п тох q 01 niA inx isasgliyn oigi og
IMI Jl»ll
•^1—- = WSO3 ‘rl—-=OUIS
lo	Zo
ю - £/ = 0 ЗтлсоЛ 5ln оло11Н11лао од ‘9‘£ 'Xj
691
задела az zavoaodu ivn vnhwonij vNiaainza z e

_ (v Tv)	/V Tv\ V Tv	II V Tv |l
° <	~ ‘	~ ’ll
:11хп11лдю толр юл pdoirri лзд д-g -X^ oio
z||d-q|| liooiooiro 11лзт1о1лотЛ»д131 li 119 ЗдлоЛзЛ 01 giro ‘pxnnrimiirriao лддзХо
‘rsiiraxodir юл зюхзлтосЬ mtoidgir oj^ (юхюткхглюгд югЛ mlngoiAO lixiACoAidi л1п sri
—dl‘Z’£ Uolixoy aIii 3ipg— liriDAggoor Slioiirs толзз liiay) -fix^ gxidisrimsA aoi
oirn SodsiayoAsri толр l/{fi + ж) 5оозт1 Sgxnlirigidn о no 5олоЛзЛ 01 LioOTiiridsit
lixign люо iSApgrinyidsicriao тох лотхпюг!110Ю1\ aoti oiIiiooiao ooaodsdrorgAS on
li толр 5(олю01м aoir ‘nrloidgir oiropriliooi^o юлз тохзЛю^з oirai aoi охаю tiry
d
01 Ю1Л oirai 010OTD aoi 3ii g-g rrriliX^ 01 зг!аооюгдзХоюлю5 юл isirsdnirs 5ют1 giay
v Tv
(с)	-о—= vx = d
Uv
:толр
v тох q Ю1 giro TOis^ido aoir юрдаз aIiio отлюк q aoi liyogodir jj ц£
.d 01 тох x 01 югЛ oirai aoi sriaoXs giao ,1гю to>[
v rv
(f?)	-_±— = x li lQ= (vx — q) v It ‘о т (vx — q)
:v nrioaAniq 010 lu30»x иолр vx=d oisrilio
одзызюкук oio q 01 oicn nisQns h no ‘юпздкую 11Х1д1зг1отзЛ li толр grioiAoyoira
aoi лохаю jA зюют1о^ю1здХ aoir олдг! oj, 'х Ьпозузхлао aoi 3TiaooiAoyoira юл
толр rariliyggdir oi тох —о aoi опоюукюууок oioirox толр 5юрдаз 5ln opiilio
здюх— v 5о1ют1оалю1д SoiAagog aoi vx = d oiopyiroyyoir oioirpx толр юл
131гзд1г озлю oprilio о^ 'd 5Uyogodir oprllio 01 sriaodg юл юддп sripiliz
'qvQ oaotAiSi
ogsiriirs oio srlaoioidoidsir юл sriaodoirri aodro ‘51зоююю1д и 5no аолдптИзлао
aoi oirai aoi ззалх1здо1гю охаю ‘юзоао aLuj аолоптИхлао aoi (2) oirai aoi
зг1о^1д(олЛюлю ‘Sliomoi^s 5ln Зздазук oag 5no VjV tox q±q Ю1 5ю1лотю1гоу1гу
'в S03 I l°l I I l<?l IZ - v^v + q {q = v^v + q- q^q
1Ю13Л1Л (£) 11 3191 TOX
c(v-q)j(v-q) люо рдауюлю юл pdoirri г||o-q\| коюююдюк U л1п ,1гю Santo oiln
-дю^злу TOrilidOT30 огздрЛюдац 01 ppir sriaoxotog ligdo толр g юротЛ Lt люхо,
(£)	-osm IHI 11<?11г-г11»Н + г11911 = г11»-<?11
:аолотЛ1д1 sioirligaoioiro
viHioiNfiJoeao
or. I

3.2 E2QTEPIKA HNOMENA KAI ПРОБОЛЕВ SE EY0EIE2
171
Е/. 3.7. H лооболг| tod b eni top a lie cos 0 =	=
Елегбг] о xekevxaiog ар10рг]тг]д dev eivai лоте apvqxixog, exovpe (bTb)(aTa) >
(aT6)2 -xai naipvovrag TExpaytovixeg Qi'Ceg:
31 Avo олоюбгртоте diavvopaxa ixavonoiovv xr]v avioorijra tov
Schwarz
\атЦ < ||a|| ||<	(6)
Xtjpriojot] 2ij[vpwva pe xov хило (2), о kdyog pexa^v xwv dvo nkevpibv xr]g avi-
оотт]тад xov Schwarz eivai axpidcbg | cos0|. Aipov oka та ovvr]pixova nepiexovrat
oxo didoxT]pa —1 < cos в < 1, avxd divei pia akkq anodei^r) xr]g (6): у avитогу та
tov Schwarz eivai у idta fie Tyv |cos0| < 1. Ката халою троло, avxr] eivai
лю euxokovoT]Tr] алобе^т] didn та owripixova eivai лю oixeia. Kai oi 5vo
ало5е1^е1д ioxvovv otov Rn, огцхекооте woxdoo oxi r] 5ixf| piag avayoxav oe
evav алко илокоуюцб xov ||6 -p||2 лоб rjxav цт] aQvqxixo xai 0a naga^ieivei pi]
aQvqxtxo oxav apydrepa eioayayoope veeg 6vvaxdxT]Teg yia цт|хт] xai eoaiTepixd
yivdpeva. 'Etoi r| aviodxx]xa xov Schwarz anodeixvvexai xwQLs va enixakeoxovpe
xr]v xpiyiovopexpia.*
* M’ (О!тг'| t>|v aviaoTT]Ta |a^b| < ||a|| ||6||, owSeeTai Ел1от]д то 6vo|ia тон Cauchy xai oi
Pibooi цакюта Tr,v avacpepovv aav aviaOTT]Ta to>v Cauchy-Schwarz-Buniakowsky! Oi iotooixoi tcov
MaOr|Li<XTix<>>v cpaiverai va m'|i<(<ovoT!V лсод i] avatpopa otov Buniakowsky avTancxpiverai OTqv

:лот^одод1г лоп
53XiimdliixndnX шли no sriaog ng aoir ‘Sailuoigi oag гзХз Soian SnxnAiir q
1ПЛ13
(X‘X ‘T) = ° ao1 P1(? oisgas aIiio отлрк тзуупдодгг aoir SnxnAiir q VJMJISVVdVII
'OjV origrdn aoi sri
5олзг1здтагд -SnxnAiir 5охглотЛпд131 5плз- LiririnQA niri iirs Lr/liio mri толгз Spiay
(£)
:d oi тзкпдт: ш q oi la^monyitrrf/oi': аок 5nxnarir о тл]^ 'li^nimg
lii Uian tri sriaodinQA lii adio тохзлсодзлпсЬ aoir j ((5Uyogodit пхплш,, лплз oirn
тохгзузххз тздаз mri зо otadit liyogodir н 'liAnyyn ‘liA3ririidi3i рхглзг1олто<Ь Ui
‘Uian oirn cooiir 5okoy 5плз nXdnirx j? = — 9^01дп aoi Aidir isgliisgoiroi
гзХз о шХоалпгд ox тодпдю oAiy Scrnrio 5олзг1т1пдЛ ‘vx = d Sori Soirai о толгз
5oiay (pJy/qJd)'D = d толгз v aoi mg пгздаз aIiio wadit q aoi Iqogodir ц
плз 5(03§ni Зз^одобц
'v ою oyliyypdDir толгз лзд q oi norg шСиооглп It гзаХох x aoi odsiodxrri
толгз OAoirriliAao oi ухД > Zl/^ 31^ огХпладоог толгз plan ‘gg/v лпо 9 oi
sriaodindA лпд УТЛ£Л > 9 ‘IIqII llBll > l9j;13l тол/!3 гтемцэд шСиооглп н
n? IR
= 0SOO
толгз OAoirriliAao од "(z ‘Z ‘z) = VZ = гюлгз Lryogodir jj
V Tv
= X

:(T ‘T ‘l) = ° n-01 P1? югздаз лкю (£ ‘z Ч) = 9 O1 зшупдобц VKJISVVdVII
•Asgliri толгз Эпгздаз 5lii тох q aoi a^nisri Uoniooirn li inx ‘tZ aoi
UyogoQir aIii sri mis^iiani q 01 Uocoiiridsir aIii л1иап g- li x SUi OAOiiriliAao
01 inx Oosx = в к oO = О ГЮЛ13 тлсоЛ н "° ао1 огопуютуушг пмп q 01 лпз лолрг/
гпх лпз 1заХт nikipoi // -ЦдЦ ||о|| > |д^п| л1и тЛ tiolidliinSnir 1лхтуз1 тр^
VlHJ.OINf5JO0dO

aIii 91ГЮ юдз1г ariaoolidco'Zodic юл nd(j)i siiaodoirp^ -лотт1о11ют111Хою1зт1 AroxiririodZ
idsir 97 осЬюдЛюдюц л1но ‘5отлзт1аоЛ1юд1г зг1ю(Науюхюлю лох j юхюлш лод
•1ноют1олодю1г лою х = г» + гэ тох $uis 01 толр s ‘$soo 01 толр □ 993
толр 5ЮХЮЛ11Г О ТОХ ($ UIS l0 SOO) = V О1 О1£Ю ЮЛд31Г Ю130С13
Н 'ft‘x 0931ЛКЗ ою ид 1юла0аз1юх„ л1н ююх Цуододц 1 VKJI3VVdVII
 jyv = у Srogidxo толр юлз 5<оз5ю1 5юхюл11г о тох
X = о±о толр 51ноют1олодю1г о 3101 ‘юлз 5oxliri 1зХз v 01 люд ^Uyogodir юхюлр
лох 1здз(Ью19лз aoir олог! 01 толр oiaoi тох 0191 U толр v aoi 919 юр0аз XX
[| МП г г1Шт^ [1Г
:5oiqi о 1злзт1юдю1г v^y/yyv
bliyogodir Зюхюлто о ‘р0оюююу1Г19 v 01 Л9а 5oz»rfiyx ЬЛюуу» aUio UoUdhindnii
•лоттМюдЛ одотХ ло1 зг1 misjjiaoi лотуЦю 5одюХ
о ‘Soxidiaririao толр j о 5cori9 1191313 ’лоттМюдЛ одотХ лою 5о130юх толр юл
З1гзд1гз Ю0 5одотХ9лз911т1 q юхиздЛот^з нюх ‘лотукю одотХ лою 5о130юх толр
5одстХ9лз911Н q ’oisysi толрюдюк 91аю юг!Л1з§юдю1г 01 ю111юхнюг1Люд1г л1н^
j 51луо9одк юхюлш aoi 5одотХ9лз91п1 о тох толр aoir ‘0931111:3 О130юх ою
л91гюу то1лоХз1дзц ’AsgUii толр 5юр0аз 5Ui Soxliri ю1юх 5aoi юоотюмао U тох »
ою Ю130ЮХ толр— о = q^y л1н лаоюколюхт aoir Ю1юг1оалю19 ю1 юзЛ топзх9дхх
•лодзЛ>ю19лз одз11Ю191 лаоХз о = d ою TOiAovyngodir aoir Ю1юг1оалю19 юд 'v aoi
919 юр0аз л1но 1Ю1зХз1дз1г qj 01 юдю ‘о aoi ютою^1гюууо1г толр liyliio 30Ю}[
'V ою О130ЮХ oi О931Г11ГЗ oi 91гю торзузюкю aoi 59дотХ9лз91гН о
(X ‘х ‘х) = о п.01 919 юр0аз л1н 9100 торзузюют aoi лотукю ЬодотХ q
X = а толр aoi li^P1 Н
:лотдотХо1га лагану
-зт1з0 лотдюооз! лап 11о1юлю1юх л1н Ю1Л ют1Л139юдю1г oTO9aoiro Slioiirs рузюиу
d = г</ :(го1 oi-люз ло1 зт) TOiaooi aoi 9лотЛюд131 03 (и)
5юхюл11г 59Х1д1зтМао толр j Q (1)
ZHIHQAH HS SHVOaOdU IVN VN3WONIJ VJUd3±OS3 Z f

j? = (Ajy^fxg) = fi^xgy)
:g aoi ml- Aiiroinx
тох у aoi mA nirodir ‘(g) aoi 5здосЬ oa§ 5niAo59ii6nd)3 тохзАоттодздшз oiay
(6)	\LVjJa= ^av)
:аолзт)ол1А 59ЛЗ ocbodio
-паю aoi mA oirai aoi з^лооаздкутгз пл 011961 оууп лплз 13ai§ 5np^ (n)
•g-g оЛпбАпбпц aUio mi3^i6o oastIoaiA
рхпдзютоз ОЗЛ 01 5aoioico 5aoi mA ‘Aonigidn летхктоАп) aoii liocoiindsir aIiid
niomiUo Udaiimgi nixoirn 9iay oirodi 9xii3dodjm§ плз tri oAsrtoAiA 9x1631(003
01 зг)аолбто1г ЛП19 ‘оЛобюплп aoi 3riaoioiroriioU6X пл 5(oir 13зу 5nj^ (1)
:5aoX9io 099 1зХз 59101) 591)0160 q
(8)
'(^)^=Г1ху^=^(ху)
119 isAiniiUo 5(oyirn 9ian ‘nxnraj, diLy 01 зт)
x aoi oa3t<9aiA 9x1631(003 01 зт) iniaooi fl 01 зт) xy aoi oas^aiA 9x16310103
o^ rniliwipi liASitoics aIii 91m 1390160 пл i30oirri ху 5о(Ьо6юплп о f£
:aod>90ionAn aoi 59110160 ti5oA3Tili0lidTO,, our ayoir тох 5озл 5плз 1390160 пл mA
i30UioiroTiioli0X пл isdoirrl Uian козХо It ‘iinriApdjj nASitoAiA nxi03i(OD3 ni 3ii aoi
U.03X0 liA3io lii 91ГП 1П1зХ0зо61г aoir niomilio lidsiagng mil 13X3 5о(Ьо0юплп о
•?f(y) = -Kjy)
:y aoi (1 lC) 013X1010 01 toais C Uyliio Uio inx 1 loirin6A liio xy aoi 013X1010
01 ‘шА9у пууп 3[\ -псЬобюплп inx aoi Ssyliio aooaiA пл у aoi 5зт1т1п0А ю
310(0 ioi3 ‘aoi 9iA(oAni§ m6ax aIii 5o6ir 5ai ‘y aoi 5п1л(рухплп ^y aoi 3Tin^i6o
ndcoi 10Хзр^ 53ХПЛ11Г ЗаосЬобюплп 5aoio 3Tiaod)30ioii£3 ^шлолапз^з^
ПХПЛ11Г 5олз 5о(Ьо6ююл» о
'9<f = d :d 3*i зото»у1£»у(о1£ ‘v 010 q aoi kyo^odir aUi »jj
:d Iqogoeir aIii
1зАп6шг 59100 119 тупи sriao^iAOX Aoisoniomg 91)0160 sioirliqoioito лплз mA
g Uyogodir aIii srlaGoiAoyoira пл inx тз0аз mri зо ftQx аорзкшз aoi liyogodir
VlHlOINOJO0dO


3.2 EWTEPIKA TINOMENA KAI ПРОВОЛЕ2 2E EY0EIEX
175
Oi avdorgocpoi YQdqjovrai хат’ avrloTpocpr] Siaxa^r] отт] de^id лХевда, блсод
ахрсбсод ос avxloTQoipoi nlvaxeg otov avakoyo толо (AB)-1 = В 1 A-1. <S>up.i-
цоице лаке oti oi 6vo avrol голос owfrua^opevoi dlvovv tov a'§iooT]|ielcoTO тбло
(А-1)'Г=(АГ)-1.
AEKHEEIE
3.2.1 a) AoOsvtwv dvo Oetixwv agiOpwv x xai y, 0swgr]OT8 b = (\/x, x/y) xai a = (^/y, y/x).
Есраорбате rpv aviooTpra too Schwarz xai avyxQivaTe xov agiOpryrixo рёао (x + y)/2
p£ TOV ySWpETQlXO pfOO y/xy.
6)	УлоОеоте oti (jtxivdpiE ps sva diavvopa ало ttjv адхл £°>g to arjpsio x xai
xotokiv xcioaOexovpE sva diavvopa pqxovg ||j/|| ovvdsovrag to x pts то x + у. H
tqItt) лЛЕгда too roiywvov ла£1 ало tt]v ag/A ото х + у. H TQiyuvixy апаотута
кт/VQl'QeTai oti у албатаоу аоту dev илооел va eivai уеуа/.ьтеоу ало то аОооюуа
Tiov dvo XQUTUv:
||ж + Т/Ц < ||ж|| +
Ava'/OeiTe ottjv avioorpTa Schwarz, TETQaywvi^ovTag Tig Soo л/.есдед xai агалтоа-
aovrag to (x + y)T(x + y).
3.2.2 Xopaiponoiwvxag tov тбло (5), Еяалг]0Е.соте oti to рг|ход тг]д яровом^ slvai
IIpII = ЦЬ|| | cos6>|.
3.2.3 Пою лоЛАалЛаою too a = (1,1,1) slvai лкраюстедо ото oqpsio b = (2,4,4); BqeIte
Ел1ат]д то отцхе1о трд svOslag did too b, лоо slvai лЛГ|а1Еотеоо ото a.
3.2.4 Е^г]'/г|оте уют! tj avioorqTa too Schwarz ylvexai юдттуга ott]v xeqIxtwgt] лор та a
xai b л£Qlsxovтal ottjv I6ia sv0sla did tt]c ag/A; xai povov o’ auTT|v ttjv леослтшот].
Ti oi'pdalvEi orav ЛЕО1Ехогта1 ExaTsgotOsv тг|с ao-/r|c;
3.2.5 Пою ycovla охт]рат1рЕ1 то diavvopa п SiaoTaoEiov (1,1,..., 1) lie rovq a^ovEg tcov
owTETaypsviDv; Поюд slvai о л^ахад лоово/.г]д P лdvco о’ аотб то diavvopa;
3.2.6 'Orav та a xai b xavovixoxoiqOovv sx twv ngoTEpwv, r] aviooTTjTa tov Schwarz
алоЬ£1ХУО£та1 os pia ygappr]:
|arfo| = |5>A| < E la71 IM E |aj|2^|bj|2 = | \ = I|a|I l|b||.
Пою ал’ Tig лдо^уобрЕУЕд aoxrjOEig dixaioXoyEi to psoalo 6r)pa;
3.2.7 Aia/.EvovTaq to deAo diavvopa b orr|v aviaoTrira tov Schwarz, axodsi^TE oti
(aj +  • • + an)2 < n(aj + • • • + a^).
Поте ioxvei г] ю6тг)та;
3.2.8 To pogio tov ps0avlov CH4 slvai disvOsTTjpsvo oav va rpav то аторо tov av0gaxa
ott] psor] xai та теоаеда атора tov vdgoydvov oTig xogvipsg. Eav 01 xoovipeg
toxo0stt]0ovv ота oripsia (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1) xai (0,1,1) —GTipsiwoTs oti xai

:oag лтх лтъта aSoisri oiaoiA
It 1ОА13 О1ОЦ ‘.O1Q1 Oi Т/ОК 1OA13 fl J OI 311 XJ (IO1 ОЛЗТ1ОЛ1А 0X10310)03 01 11O1J (A
•(Z‘l‘Z) = H ™x
(l ‘0 ‘z) = x ‘(T— ‘T ‘l) = ° лпх9 oAoiiriliAao oi 31130g iSsiQi то 5з1ло)А oa§ 10 lOAig (9
‘.ft 01 зт1 xj aoi
oastIoaiA ozidsKooa 01 зт! 1010001 fij 01 3ii x aoi oasiIoaiA oxiSsicoos 01 noij (o
v aoi niQ »130аз aUio отлрк Sliyogodir Soxdaik о ioais j no зюз0окх 9I‘Z‘£
 jyy = уjy aoio ‘х^У aoi 5oxlni 01 зт! loiaooi xy aoi Soxliri 01 no spray srz’f
Iq = ? - x тох 0 = 1 + fi + % лсодзюкз
лап Sluioi Ю130аз aIiid (»лрк aoi oisrilio 30px isvypgodK j Soxdaik ioiojj ИТ£
X зт) 001 ЗЮ1ЛП1Г толп -aoi aoiisZioio
acowoAdiq лап ют1оюб0» oi ioais аок- vуо/[т> = d ftox «•5ozt^7., ox 1X9 ai^isgoiry £VZ’£
Q= fiZ + x
013003 л1по (олрк ао^зкпз aoi oprilio 30px 13YYP9O01£ аок охолш aoi siisdg ZVZ'£
•3ioliAli§3 юх tj ij юх tj + \j 5aoi зютЛо’/оку (9
v oio U.130OX л1п TO130O3 л1по азлон тз'/'/р9одк аок Zj oxoaik
aoi rax 5<O0Ox [	° aox 91? »]30O3 л1по \j SlqogoSK oxdaik aoi 31130g (о ПТТ
‘Mo по!Л 1л noij :5от1|<Кзд1опло 5liyogooK Soxoaik о loiig OIT£
(j^vvjyv oxoAiK aoi AOO3ii 010 Vj-v oii0iSo aoi З1§зоодц) j = zj no 31^139
юх 013003 Dili зо голрк 1зуур9одк аок v^у/j}>v = j oxoaik aoi siouaiAodisi 6’Z’£
CoS‘601
aoKidsK ЮА13 ‘AmxiTiliX лап ЗотИдотлА 5отуок 5олз ‘ootIosq diaoiA ц) ‘5з<Ьадох 5п
5одк (2	‘|) 001A3X 01 око злрк аок лтлпхо лап a^bisrl 5о1ла>А 51п олоптИглао
01 toais оюк —oxiAOADX ЮА13 од§зрб131 oi одр ‘^л Soxliii лаоХз 5зт1хо 1§3 то
VIHXOINOJOQdO
9Z.I

^q - хшп) +  + z(iq - хШ) = J|<? - xo|| = ,y
ox 5пхлгото1гохотХпуз
q = xv ox 1(зг1аолау„ •когохштдзтг кхтлзЛ kx sri mx тзлтдгкго 0191 oj^
•Oj.» 01 kxonrioAodmr лохо тлз q^y 01 5тзлпх тзтдтлАплп kxkrigrdn лох^
. zt+zE + zZ l x
£<?fr + z4£ + ’9Z
тплтз aoir q= xv 5kx лголгоЛпдхзх лсохотХпуз koay lix srioXs ‘x 5odir 5m 5пхлолау
’0 = [H£9 - XP) + E(z<? - x£) + z('q - XZ)]Z = ~
aoiro отзкко охо охотХпуз зт) kyogndmr mri тлтз
кокхдплао к ‘n aox оЛоуплп тплтз лзд q ox aoir когохктдзк клпдпг ow лкх^
•g = тлтз nriyncho охотХпуз ox зхох ‘q - xv aox koay Skgrdxn mri rsXdnira лпд
•г(£9 - XV) + г(г<? - х£) + г(19 - XZ) =
.лтлтЛпдгз!
mi nrimodgn 01 тлтз Зоукуупхпх опт о nyyn ‘5одо 5оозт1 5отохзх 5плз тздотдо
пл тотюдх тоууок лаоХдпкл 'Зтзотт^з ш 5110 nr/yncbo оозг! 01 isiomoidiX
-пуз aoic х oi з^по^зутд пл одзхаупх ayoir тплтз ‘5зктоуока 5тхо oxoriyndro
пурЛзт! тпх Зтзогоот^з 5зхтдзт1 зо птзртдхо зг1аохгот§т1гз пл тхлу -1хЛ1ш т§т лкх
pirn тхлоХдзодтг Ьтзогоот^з ш то тпх лпхо олзткоЛоуотпхтр nyoxoap nrlAndir
‘октоуохга ох 5пхлтолЛп тпх Soxnrilxxoao аох 5одзг1 5пхлтто1гот1то119Х х ох зт1аоо
-тдотроодтг пл тплтз пхкхохплар лаодау пл кхЛплп тплтз aoir 5тзотот5з
Ssxongrgriao Liri тхлгохлплао li^ndir лкхо ‘5аох 5тзоау птт1пла§п лкх пдпц
пг1оалпт9 ох зт1 птздаз трт
лкхо тплтз q ох лпхо лолот! тзХдптга пд тпх ‘тзХдпка лооо 4<Ьз ‘кхтрплог! пдаоЛто
тплтз х коау ц 5аоЛоу лаоХз 5здазу1г Ззт^зр то лпхо лолрг) ‘тхзлау пд
£q= ау
z4= х£
iq=xy
mikxoao ох ‘пг1Лтз§пдтг mj 'кхкудпхзг! nrri зг! лтзотот^з лтхтдзт!
nrikxoao плз to ‘пдаоЛто лорзХо ‘тзлтпдт<ао рхау ’тзлпХЛахоют ssriEQ kdnoynirn
к тпх pxongrgriao kri тплтз nrikxoao ox ‘(y)2t лтукхо одтХ лохо тхзХзтдзц лзд
q ох лпд -тзХз лзд зхтз коау mri тзХз зхтз q = ху nrikxoao плз ‘ndmx tSXsjaj
ЫОЫПЛУЛХЯ!, NiSXXIXVV'l згазилязо<ш IVM зяуояодп  £‘t
LLt
NC5NC5JVd±ai NfllSIXVVH SIHSIJjaSOdLJ ivn savoaodu f£

тох лотхоотлЛю л<ох и origidn лох окю ЗобзхауюЛзт! тюлтз лотзокбкхюбюк лотх ш
5ог101дю о 1x9 5коткз зт1аоботз0 'Ззукхо и юдотх тзХз Зюхюлтк о ‘о кукхо-ют<оалют9
охтдюлот! юлз (ti ‘охоотлЛю лолрг! юлз зг1аогКздхткз юл тхлу -и ткз ш Зюхюлтк
5юлз толтз у о юдо<Ь кх кхаю юуую ф = ху лкх ркю зг1юлтхз§ по зхоздокд
5к§з 5от тзхкаходк охаю ютИгудрдк од ютздаз зо Зкуододк 5кх плю оботХока
лплз (о q aoi SUyogodit Shi nrihg охилтНю 01 mA тогйохз лозук зхоютйд
Ssxkfgnxsri Ззбзхооотбзк зН лотлотЛюбхзд лотхотХю^а юхюбк-^обц
TOriQTSra лоуую зхокк§лотоко
‘Кю кЛоуткз (1кхтбхзт1т1ао„ отк mri тзузхокю .л тохзлтосЬ ‘лохотХюуаох ‘аок krirg
*0 = — Ь1тх зоаоХтохотхлю Ю0 коотхктдзк л1хх лкхаю 4о тюх ‘х охо krirx ютокюх
тзокХтохотхлю юл тюлтз ‘ютШхдюдюц охо ‘ао^юдхоплюос^азсН Skx oxIltotItkoxo
mj\ -куодюдюк ютЛ плю ютз0аз ютхл9^тдо oiri тюлтз к тюх ||q - жо|| = g
5о0юу otqt ох лаолт§ х аох ЗзгИх то Зз^о, ‘Т30отдот9оодк юл лохюладю тюлтз
X отоюукюууок OX ТХ9 59Л0Л3Л ОХ ЮХООТО юухюлюхлю ‘0/0 ют11юл ЗтдотХ юлз ‘ж
ох ютЛ Зоках о 009x0^5 ’IxyogodK лкх ютЛ отсЫкНока ол9г1 ох тюлтз о = d тохд,
•OTsrilio юлз 4о тюхз^туасЬхз ютз0аз U тюх лз§1лт1 тюлтз о аох ютоюукюууок юх ю^о,
q = v котхктдзк клзтЫтдхзх лкх зхооттзг!ко ‘кокбкхюдюк юоаоазбзхазд лю^
9^
:v охо
кхз0юх тюлтз юл тзкздк d ох зт< q ох тзз§лао аок ютз0аз к Зкоткд ’аосЬюдЛюдюк
5клзг1аоЛкодк Зкх ютдхзт1созЛ кх з^аоосттюдздткз юл ютЛ 9т1отЛоу 9хтхоодтзкю
зт!аотоког1токдХ ‘лздЫ зт! оЛетЛюдюк лкх Зюхлолотот^з тюх лкх Зюхло^тЛтЛ
-юдюц -коюхо9кю лютт! зг!аооктокохотХюуз юл ох- летлгоЛюдхзх лтхотХюуз Зох
-ютИхудодк аох ютзлккдз кхтдхзт1отзЛ кхо зткосЬзбхоткз ЗотХзлао тх9 зхзкзуд
^ = х
тюлтз Зкхку9юхзт!
5ютт1 q = xv ют<ку99дк юлз (о лотлтАюдхзх лотхотХюуз лотх коау ц х£
:ютдхзт1отзЛ
к 5отлзт1аоЛкодк зоотдз аок лкхаю tri кокхлюкю ютдт лкх тзлтд 39т1отЛоу 59хтхо
-одтзкю о тюх о аох ют§ ютз0аз лкхо q ох 9КЮ коюхо9кю лкх зг1аотокохотХюуд
•0 =	— жшо) +  •  + i»(iq — ж1р)
отоко ох ютЛ oTsriko охо лз§кН тюлтз Зкх ЗоЛотЛюдюк н
V±H±OINOJO0dO

qxV =
u 0 = (xy - Q)jV
.jY аох одсоХолздЫ лою
тюхзХзтдзк юл тзкздк ху — q 5охюг!ую<Ьо aoi ют!оалютд oi тохд, -одтХрлздМ
рдзюядп лою тюхлоХзтдзк ‘лотукю одотХ лою юхздюх юх ‘юхют!оалютд юд д
:5аокодх оад зт1 зт!аолюх лох
зюот ‘511доттузт!зд 0091 толтз ху = d 5liyogodir 5lix тох х аох 5дт!отЛоуо1га о
(8 £ '^Z) одтХ aoi aoian (о oisgnx тар пл 1зизди ху - q ioinriyncbo aoi
nrioaAnig oj^ -„лотуию одотХ лою отлюк q аох Liyogodir U,, тюлтз юл тзтгздк d ох
:5ю1дхзгкозЛ Slix одхкЛузд ох srlaoriuodic Зтзоююютд и 5и^ -дткиЛоу дхтюодтзкю
U ютдхзт!отзЛ STiaooU'ioiroTiiolidX юл sriaodoirrl х ох зт!аоотЛоуома юл ютц
7 ткз g юхюлттг 5олз лотукхо одотХ лохо liy0900 ц -g-g */3
•лоту1по аодотХ аох
ютзтИю юуую (х юуо ,кю ‘q ою одзюзто1ху1г тюлтз aoir ху = d отзтИю 01 srtoxlc]
юл ох зг! отдт ох толтз ‘д- ох тзтокоютХюуз аок ‘х лотлотЛюдхзх лотютХюуз лотх
lioay lii srtoxli^ юл ох ioig, Qux ‘ • • • ^х 5зюзузхлао зт! лотукю лотх 5ог1оюадлао
толтз ху ох 119 3i]3Qliria0) лгоуйжо aodmX aoi ху oisrilio 01 01т q aoi
Uoviogim h ligoylig ‘||q — жу|| = g тюлтз ют1ую<Ьо og ‘лотлотЛюдхзх лотютХюуз
лотх ogogsri lii зт! тзлтЛ юд 1иаю 11о1иохсоютХюуз U тюх юг!ую<Ьо ох зг1аоо1хток
-оютХюуз юл зюот тохз ‘х ох зт!ао5зуткз юл толтз ютШудддк ох туюк тю^
•лотуСио аодотХ аох 5оххз тюлтз
юд юуую ‘у аох лотукю лотх 5от!оюадлао тюлтз юд лзд q ют!оалютд ох Зотлюдтхг
‘ютЛоу юуую здо ~q юлзг1одзд vi зг/ Smgidxn тз^ютдтюх юл аок х aoi йАоучхз
ззХдтса пд лзд Зтлпдц/ оююдтдт!ао Ini тюлтз юд q = ху ох тхо зт!аолзт!тдз1г тохз
6Z.T
NC5Nf5JVdl31 NC513IXVV3 XIH3IJJ33OdU JVM savoaodu ГЕ

180
OPQOrQNIOTHTA
2. To diavDopia tod ocpaXpiaTog npenei va eivai ха0ето oe xdOe arr/Ay tod A:
n'(b - Ax) = 0
a^(b - Ax) = 0
b — Ax = 0.
H TekeDTaia eivai itaXi r] e^ioworp AT(b - Ax) = 0 r| AtAx = ATb. 'Evag
Tpinog TQOJiog eivai va napoDpie piepixeg napaydiyoDg ттрд E2 = (Ax — b)T(Ax — b).
Auto divei 2ATAx - 2ATb = 0 even о ODVTopioTepog тролод yia do0ev стиоттрца
Ax = b, лои dev Xuverai, eivai va itolAaxXaoidaovpE axQi6<bg fie tov At. Kai
oi Tpeig aureg icoduvapieg pie0odoi napayoDv tov тетрауатхо nivaxa ATA,
jtod eivai aupipieTpixdg (о avaoTpoipog tod dev eivai о AAT!) xai о 0е|леХкЬбтрд
nivaxag odtod tod xecpakaioD.
Oi e^iocboeig ATAx = ATb eivai yvcooTeg оттр ototlotixti oav “zavovtxeg
3L H Xdot] eka/ioTciv TeTQayibviov evog pirp oDpi6i6aaroD аиаттщатод Ax = b
pie m e^iooioeig xai n ayvcooTODg ixavonoiei Ttpv e^iowar]
A? Ax = ATb.
Eav oi <ттг|Хед tod A eivai ypapipuxcbg ave^aprr]Teg, тоте о ATA eivai
avTiorgexpipiog xai
x =(ATA)-1ATb.	(2)
'Etoi гр лробокг] tod b navw otov /cbpo OTrjkcbv eivai
p = Ax = A(ATA) гАтЬ.
(3)
EitiXeyoDpie eva napadeiypia yia to onoio r] diaiaOTiar] piag eivai to idio
xaXf] pie TODg тилоод:
-В 43
Enetdri xai oi duo отт]Хед TeXeicbvoDv pie prqdevixa, eivai еохоко va cpavTao0oupie
oti о Xo'iQog orqkwv tod A eivai to eninedo x,y otov TpidiaoTaTO /o'iqo. H
лробоХт] tod b = (4,5,6) 0a eivai p = (4,5,0), oi x xai у ODvioTiboeg napapievoov

логюладю ways oian ‘5nxna)ir
5ог/?7»дХоу/гурэ5п2£ толп у о aniQ ’i-(j,y)i-y люо зт/аофудЛ oi юл пэх
t_(yху) oi з^аооу/юлю юл sriaodoitiimono лйю котнндзи 1ллрг1 U тл^з Uiay
q = q^V j-C^i-yy = q^V^-iVxVyV = d
-.q oi зт1 miaooi d oi inx
aoi 910ns лою iniayypgodir orioa^niQ здпх sioiro ‘5oda>X о Sodliyxgyo толр aoi
лту1по 5od(oX о ‘5ог1кНзд1оплп тох 5ох1лотЛпд1з1 толр у о лшд, £ lurfidtundn/f
•О = О^Су^у = qxV 1-(У^У)У = d
:пт(оалп19 рхзлздЫ ою тоазуупдодк Uooniridsir л1и Uian
to пдп ‘о = qj.y sriaoXs liyliio здпх зо oisgnx толр (1913113 лоту1ио одгоХ ою
oisgnx толр q 01 по зюздоюа ‘lioaniridsir птодхп liyyn лп^ z liolidUindnn
•олзг19лзт1плп nriAndir ‘q 01 0191 01 толр d oprllio oSsioaioltyir 03
q=xy= xVjy ^(y^y = d
:q 01 0191 01 толр q aoi Uyogodir U 310j, -лоту1по лап xy = q SorionaQAao толр
Ii9nyli9 ‘у aoi лсоуСпо odaiX лою то1зХз1дзк: q 01119 зюздоюх I holidUindnjj
•9 пхпопхЛплп толр котоп^з lnidi лкю nriypcbo oj^ 3 = inx i = ndy
•9 = гжд + ixg
g = ix<i + i ж
p = ^xz + lx
:q = xy aoi 51300)01^3 Ssiaidir 099 5n sriaooay
пл толр зт!аолпх пл sriaoSoirri aoir odsiaynx 01 ‘liomnridsir (1x1913 л1п Uian
|^['][? ?]=zk-
:5aoitai Saoi 91m тох то1злсттодздпгз 9iay чшз^лпсЬп^з 9 = z 01 отлз 53191 io
181
NONinjvdiax Nnxzixvva ziaxijjHsodii ivx zavoaodii et

182
ОР0ОГЙМЮТНТА
IIapaTi]fftiffij 4 (Пдобокт) oe so0sia) УлоОёоте on о A exei pia povo otv)X.t],
лои KEQiexei to Siavoopa a. Tote о nivaxag ATA sivai о agi0pog aTa xai to
x sivai aTb/aTa. S’ аотт| tt]V ледктшот] рлодоорв, avTi va отаратг|оооре otov
(Ar A) ', va Siaigsooops p£ tov ATA xai va 6go6ps tov ngor]yo6psvo толо.
О nivaxag eototeqixov yivopsvoo ATA
To povo texvlxo ^г]тг]ра лои алорке1 sivai va s^sTaooops Tig lSiott]-
TEg too A'A. Аотод sivai oiyooga ooppsTgixog: о avaoTgocpog too sivai
(ATA)T = ATATT лоо sivai лак о ATA. To OTOixeio too (z,j) sivai to
sowTsgixo yivopsvo тт|д OTT)Xr]g i too A ps tt} отт|кт] j too A xai oopninTSt ps
to otoixeio (j, i), лоо sivai r] отт|кт] j вл£ тт] отт)кт] i. 'Eva 0spa-xksi6i sivai r]
avTioTQSipipoT^Ta too ATA xai хата еотохл оорлтсоот]
О АТ A E/£l TOV ibio fltld£v6x(OQO flE TOV A.
Siyooga otov Ax = 0, tots xai ATAx = 0. Ta 6iav6opaTa x too pr]6ev6xco-
goo too А Л8(>1бхоута1 8лют]д xai otov pr]6svdxcogo too AT A. Tia va ларе
avTiaTQOipa, оло0еоте oti ATAx = 0 xai ладтв то socoTsgixo yivopsvo ps to x:
xTATAx=0, т| ||Аж||2 =0, т] Ax =0.
Ара to x nsgisxsTai otov pT]6sv6xcogo too A xai oi doo priSsvoxwQot таот^о-
vTai. EiSixa, av о A sxst avs^agrqTsg OTqksg (xai povo to x = 0 Л8д18хета1 otov
PT]5sv6xwqo) tots to i5io aXr|08O8i xai yia tov AtA:
3M Eav о A 8XEi ygappixcbg avs^agrrjTsg OTrjksg, tots о AT A sivai
rsrgaycwvixog, ovfifiETQixdg xai avtiatQhpyioc;.
ApyoTsga 0a bsi^oope oti о AT A sivai sniorig 08Tixa ogiopsvog (6Xoi oi odrjyoi
xai oi tSioTipsg sivai 08Tixsg).
S’ aoTTjv tt|v леднлтюат], лоо sivai т] лю xoivr] xai лю svSiaqjsgoooa ал’
6kg, oi xavovixsg s^ioibosig sivai dovaTov va X.o0oov сод лдод x. 'Олсод xai ото
agi0pT]Tix6 лада6б1ура, о A sxei “рёуютт] Ta%q OTqkcbv”: oi n отг|кд too sivai
avs^aQTT)T8g, лоаура oxi onavio otov т-6ахотато x<i»go, otov m > n, akka oxi
xai аоторатсод akr]0sg. IlavTcog ота 8л6p8va олоОвтоорв oti loxoel.
ffivaxsg лдобокок
Oi олокоуюро£ рад ansSst^av oti to лкроюатвдо OT]psio ото b sivai to
p = A(ATA)-1 ATb. О тблод аотбд sx^ga^si ps лгоахбд, Tqv катаахеиг) рьа<;

3.3 ПРОБОЛЕВ KAI ПРО2ЕГПХЕ12 EAAXDJTQN TETPAfQNQN
183
evOeiai; яаветрд ото '/moo oryXatv tov A nov д/по/ртал ало to b. О nivaxag
owtow tow Twnow eivai evag nivaxag npo6okr]g now 0a ооцбом^оце це P:
P = А(АТА)~'АТ.
О nivaxag awxog npo6akkei xaOe 8iavwo(ia b navai ото /ojqo orr]kd)v tow A*
Me a/J.a koyia, to p = Pb eivai r] owviOTiboa tow b ото /oigo OTT]kcbv xai to
o<paX|ia b — Pb eivai t] owviOTiboa ото op0oyd)vio owp.nXr|Q<op.a. ('H, onaig eivai
ipwoixo va побце, о I — P eivai enior]g evag nivaxag npo6oXr|g, now npo6akXei
to b ото opOoyibvio owp,nX.r]Qa)p,a xai г) пробоХт] tow b eivai (I — P)b = b — Pb.)
SwvonTixa, eyowjie xwnowg це nivaxeg yia va бюопаце eva 5tavwo|ia oe 5wo
хабетед owvioTiboeg. To Pb nepieyeTai otov ydigo oTT]k<bv Tt(A) xai T] akkr]
owvioTiboa (/ - P)b nepiexexai otov арютерб p]5evdx<opo J'/(AT), now eivai
opBoyoiviog ото ydipo OTT]Xo')V.
AwToi oi nivaxeg пробоХцд exowv аХуебдихг] xai уеюцетр1хг] or](iaoia. Ano-
те/.owv jxia oixoyeveia nivaxcov це eidixeg 1&1отт]тед now 0a хел01^071011!^0^
арубтера oav bopixoi Xi0ot yia okowg xowg ow(X(xeTQixowg nivaxeg. Ti’ awxov to
Xoyo xavowpie eva Ц1хрб 5idXeip.p,a yia va е^етаоооце Tig iStorqTeg tow P, npiv
entOTOE'Apowp.e ота еХахюта TeTpdycova.
3N О nivaxag пробоЦд P = А(АтА)~гАт exei Swo 6aoixeg idiOTTjTeg:
(i) loowTai це то Texpayaivo tow: P2 = P.
(ii) loowxai це tov avaoTpoipo tow: Pt = P.
AvTiOTQOtpa, xa0e owццeтQlxдg nivaxag це P2 = P naQiaxavei ща пдюбоХт].
Anodei^t] EwxoXa 6Xenow^. yiaxi toxwei P2 = P. Eav ^exivrjoow^ ano xanoio
dtavwo^i b, тоте то Pb negiexeTai otov wnoxwQO navco otov onoio ngo6dXXow^
xai, хата owveneia, oxav ^avanQoSakkovfiE 6ev	xinoxE. To Sidvwo^i
Pb eivai t]5t] otov wnoxwQo xai to P(Pb) eivai naki to Pb, це aXXa Xoyia
P2 = P. Awo, Tpeig r] xai nevrjvxa пробоХёд &ivowv to i&io отщею p це tt]v
npdiTT] пробокт):
P2 = A(AT A)-x AT A(AT A)-'AT = A(AT A)-'AT = P.
* 'lacog гстау/о халоюд xiv&vvog от",'‘/1'<5Г|д iir tov? nivaxeg цетаЭёаесоу лои oi>|i6okigoLie ел1ог|д
ue to '/od|i|ia P. О xiv6wog шатбоо eivai uixoog xai лроала0о1>|1е va [irjv aiipavigovTai лоте xai
oi 5г>о evvoieg ott]v idia aeXiSa.

184
OPOOrQNIOTHTA
Гia va dei'^ooiie on о P eivai enioT]g ооццетр1хбд naipvoop.e tov avacngocpd
too, бгр.абт] лоХХалХаою^ооце тоод avdoTQOipoug це avTiaTQO(pr| oeipa xai
XpT]ot|ionoio6]ie ttjv таотбтт]та (B~A)T = (Вт)~г p.e В = ATA yia va лаце люоэ
otov P:
PT =(AT)T((ATA)~})TAT =A((AtA)t)~'At =A(AtA)~'At = P.
Tia to avTioTQoqjo, лрёле1 va oop.nepavoop.e ало Tig P2 = P xai PT = P
oti о P eivai лробоХт]. 'Orang xai хабе aXXog nivaxag, о P 6a OTeXvet хабе
Stavooga b otov xcoqo orqkibv too xai to Pb 0a eivai oov6oao]iog aoTibv
tcov OTT]Xd)v. Tia va ano5ei^oo|ie oti аотг] eivai г] лоо6о'/,г) navco o’ aoTov tov
илб/wQO, auro лоо npenei va dei'§oo|ie eivai oti to цёрод too b лоо anojxevei -to
6iavoop,a too ОфаХцатод b - Pb -eivai OQOoycbvio otov vnoywQo. Прауцать,
yia хабе Sidvoopia Pc, o’ aoTOv tov олбхсоро, то eoanepixo yivopevo eivai
jir]5ev:
(b - Pb)TPc = bT(I - P)TPc = bT(P - P2)c = 0.	(4)
Ада to b — Pb eivai opOoycbvio o’ aoTov tov олбх<про xai to Pb eivai г] лробоХт]
navw otov xtoQO OTT]X.cbv.
ПАРААЕ1ГМА Улобёоте oti о A eivai xai avTiOTQeipi|iog. Eav eivai 4 eni
4, тбте oi Teooegig отт)кед too eivai ave^apTT]Teg xai о X0)Q°5 ott]Xo')v too eivai
оХбхХт]род о R4. Пою eivai т] лробоХг] navio o’ oXoxkqpo tov x<bpo; Eivai о
таотот1ход nivaxag.
P = A(ATA)~}AT = AA~\AT)~lAT = I.	(5)
О TaoTOTixdg nivaxag eivai ооццетр1хбд, I2 = I xai то ОфаХца b - lb eivai
p]5ev.
To а^юлдбоехто ота dXXa napadeiypaTa eivai oti аотб лоо oove6r] ottjv
(5) dev еттдёлетас. EnavaXap,6avoop.e: otov aoroi oi nivaxeg eivai лараккт]-
Хбурарцоц 5ev цлодобце va аутютдёфооце |ie|iovco|i8va тоод AT xai А. Аотбд
лоо avTiOTQEXpeTai eivai о тетдауатхбд nivaxag ATA.
ПарербоХг! oe bedopeva це tt] цеОобо Ekaxiorwv Tetgayiovoiv
Улобёоте oti xavoojie цю oeiga neigajiatiov xai лед^ёуооце oti to e^ayo-
pievo алотёХеоца b 0a eivai удащпхг] oovagnjor] too eioay6|ievoo бебоцёуоо t.
Ava^T]Tap.e (ila eo0eia b = C + Dt. Гю ладабе1уца:
(1) Метраце oe бюфоред х,роУ1хёд опуцёд, Tiqv алботаот] evog борофброо,
хабсЬд xaTeo06veTai otov Apr], S’ аотт] tt]v лер1лта>ог| t eivai о xpovog xai
b eivai т] алботаот]. Ехтод тт]д лерттсооеоод лоо ЬооХебеь о xivr]TT]pag г) г]

3.3 ПРОВОЛЕЕ KAI nPOSEITISEIS EAAXISTQN TETPAEQNQN
185
6apuxqxa eivai aioOqxq, о борофброд 0a xiveixat pie oyedov oxa0epq Tayoxqxa
v : b = bQ + vt.
(2) Mexa6dXXoopie то ipoQTio navw o’ eva uXtxd xai piexpapie xqv xaoq лов
dqpnoopYeixai. S’ аото то neipapia то t eivai to фортю xai to b eivai q evSei^r]
too piexpqxq xdoewg. Ехтод xqg nepinxiboewg лов то фортю eivai pieyaXo xai то
oXixd eyei onooxei piovipir) лаоа|1др<ро)ат], pita ypapipuxq оуёот] b = C + Dt eivai
oovqOiopievq oxq 0ewpia eXaoTixoxqxag.
(3) To xdoxog napaywyqg t 6t6Xiojv, блюд авто edo'j, eivai oyedov ypapipuxo,
b = C + Dt, це C yia xq OTOiyeio0eoia xai елщёХею xai D yia xqv exxonwoq
xai to бёо1рю (то xooxog yia xa0e eni nXeov 6i6Xio).
To epcbrqpia eivai, mog onoXoyi^ei xaveig та C xai D ало та алотеХёоршта
neipapiaxiDv. Eav q оуёот] eivai npaypiaxi ypapipuxq xai dev onapyei ocpaXpia
ото neipapia, тоте dev оларуе! np66Xqpia. Aoo piexpqoeig too b apxoov yia va
npoodiopiooov nXqpwg xqv eo0eia b = C + Dt. OXeg oi eni nXwv piexpqoeig 0a
nep^yovTat o’ aoxqv rqv eo0eia. Eav dpioig onapyet офаХрга xai та eni лХёоу
oqpieia adovaxoov va npooyeico0odv oxqv eo0eia, тоте 0a лрёле! va exoipiaoxoopie
va napoopie “цёоед” Т1цёд tcdv neipapiaxwv xai va бробце xqv xaXdxepq dovaxq
eoOeia. H eo0eia aoxq 5ev 0a лрёле1 va ооууёета1 це xqv eo0eia navco oxqv onoia
лробаХарге то b oxqv npoqyodpievq лараурафо! npaypiaxi, афоб onapyoov био
dyvaioToi C xai D лов лрёле1 va npoo&iopio0ovv, 0a бооХёфооце це лробокёд
oe didiaaraTo unoycopo. To np66Xqpia eXayioTaiv Texpayobviov npoxonxei ал’
eo0eiag ал’ та neipapiaxixa алотеХёоршта
C + Dt. = b.
C + Dt?= b2
(6)
C + Dtm — bm.
Aoxd eivai eva илерлрообюрюцёуо odoxqpia pie m e^tocboeig xai био ayvcboxoog
xai eav lOTCtpyow офаХреата dev 0a ёуе1 Xooq. Tovi^oopie oxi о nivaxag А ёуе1
био oxqXeg xai to ayviooxo 6tdvoopia x ёуе1 био oovioxcboeg, xqv C xai xqv D:
[Sb
Ax = b.
(7)

H xaXiixepq Xooq C, D eivai exeivq лов eZayioxonoiei to
E2 = \\b - Ax||2 = (b. - C - Dt.)2 + •  • + (bm - C - Dtm)2.
Se opoXoyia nivaxcov, бюХёуоцге exeivo to x yia to onoio to p = Ax eivai
to nXqo^oxepo 6waxov oxo b. Ал’ 6Xeg xig ei)0eieg ураррёд b = C + Dt,

186
OP0OFQNIOTHTA
ЬсаХёуовце exeivr] лов ларецбаХХета1 хата xov хаХвтеро трбло ота dedopdva
(^Х- 3.9). Stt] YQacpixr] лараотаот], та о<раХцата eivai oi xataxoQvipES
anoaraaEig b — С — Dt ало tt]v euQeia ураццт] (oyt oi xdOexeg o’ aoxr]v
алоотаоеьд!). Автёд oi хатахбрвсред алоотаоеед eivai лов Texpayiiivi^ovTat,
aOQoi'Covxai xai eXaxioxonoiOBvrai.
ПАРААЕ1ГМА УлоОёоте oti didovxai xpeig p.ETpr]OEig, блюд OT]|Eeid)vovxai oxo
арютерб о/гща:
6 = 1 yia t = -1,	6 = 1 yia 4=1,	6=3 yia t =2.
Ефекботе oxi oi xipeg tob t лрёле1 va loane/OBv. О neipapaxi^6|ievog propel
va ел1Хё^е1 хатаХХт]Хед xijxeg (ахбца xai apvryrtxeg) yoipig xapiia ел1лтюот] oxa
ца0фат1ха. To лрюто бтща eivai va xaraygacpovv oi E^iawoeiQ nov 6a ioyvav
eav T] evOeia f/nogovoE va nsgaasi xai ало та трш огщЕ^а:
C- D = 1
C+ D = 1	1]
C + 2D = 3
Eav T|xav &Bvaxov va Xb0obv автёд oi e^ioooeig Ax = 6, 6ev 0a влr|pxav
офйХцата. Оцюд та or]|ieia 6ev nep^xovxai oe piia eoOeia xai oi e^ioiboeig 5ev
Xbvovtoi p.ev oi idieg, aXXa Xbvovtoi автёд xrov eXaxioxoiv Texpaydivaiv:
aval б] [S] =[б]^
H Хвог] eivai C = 9/7, D = 4/7 xai т] хаХвтерт] eB0eia eivai т] (9/7) + (4/7)ё.
3.9. Прооёууют) це eudeia ураццв xai avTiaxoixT) лробоХг|.

3.3 ПРОБОЛЕВ KAI ПРО2ЕГПХЕ12 EAAXI2TQN TETPAfQNQN
187
Паратт]рт|оте rig copaleg o/eoeig цета^б tcov Ьбо oxrmbiTOJv. To лрббХгща
eivai to 15ю aXXd то о/тща cpalveTai SiacpopeTtxa. Sto Se^to о%т]ца то b dev
sivai cnjv6ua(jp.6g tcov OTi]Xcbv, то (1,1,3) 5ev eivai ot)vdTjao|i6g tcov (1,1,1) xai
(-1,1,2). 2то арютерб, та тр1а огще1а 6ev JieQiexovTai oe eo0ela. Та еХахюта
Terpdycova avrixaOiOToov to b це to p xai та огщею лов dev tteptexovTai orqv
eo0ela це огщею лоо negiexovTai o’ aoTrjv. Mr] цлорсоутад va Хбоооце то
Ax = b, Хбуооце to Ax = p.
Ахоцт] хаХбтера: H eo0ela (9/7) + (4/7)t exei бтрг] 5/7,13/7,17/7 отоод
XQovoug цётрт]ог]д —1,1,2. Лота та ог]це1а reepiexovtai ott]v eoOela. Suvencbg
to бюуооца p = (5/7,13/7,17/7) лерюх£та1 ото x°bpo OTrjXcbv. Ел1 лХ^, г]
eo0ela аг)тг] eivai г] хаХбтерг) xai to 5idvwp.a ел1от]д то хаХвтеро, Sloti eivai t)
лробоХг] (too b). To Se^id оугща eivai OTig Tpeig diaoTaoeig (r) m diaoTaoeig,
av иларх°оу m ог]це1а) xai то арютеро охлца eivai OTig doo бюотаоесд (r) n
Siaoraoeig, av onapxoov n ларацетро1).
Acpaipcbvrag то p ал’ то b ёхооце то осраХца е = (2/7,—6/7,4/7). Аота
eivai та хатахоросра Ха0г] тов арштероб охгщатод xai oi ouvioTCjaeg too
&iaxexo(j.]^voo бёХоод ото de^to охлца. To Stavoopia аотб eivai op0oycbvio ott]v
лрсотг] отг|Хг] (1,1,1) 5l6tl 2/7 - 6/7+ 4/7 = 0 xai op0oycbvio отг] бебтерт] отг|Хт]
(-1,1,2) Sioti -2/7-6/7 + 8/7 =0. Eivai Xootov op0oycbvio otov xcbpo ott]Xcov,
ара лер1ёхета1 otov арютеро p]6evoxcopo.
Ерштрор: Eav ol арх1хёд цетрг|ое1д 65ivav b = (2/7,—6/7,4/7), лою 0a r]Tav
г] хаХбтерт] eo0ela xai то хаХбтеро ж; Алаутгрг]: Н p]6evixr) eo0ela г] оло1а
ооцл1лте1 це tov opt^ovTio a^ova, xai то х = 0.
Млоробце va ооуогрюооце ург|уора Tig e^iocboeig ларецбоХг]д ую цю
eo0ela. Н лрсотг] отг]Хт] тоо А лер1ёхе1 цovdдeg xai г] бебтерг] лер1ёх£1 тоод
Xpovoog ti, ара о АтА лер1ёх£1 то а0роюца tcov тп цovd6cov, то а0роюца tcov
ti xai то а0роюца tcov t?:
ЗО _Av_6o0oov oi цетртреьд b\,...,bm ота от]це1а	t] ео-
0ela С + Dt лоо eXaxioronoiei то Е2 лрохблтес це тт] цё0о6о eXaxlorcov
TeTpaycbvcov:
 1+ ЙШШ
Парап/рг/сп, Гю та ца0гщат1ха tcov eXaxloTiov TeTpaycbvcov 6ev nal^ei iSialrepo
poXo то oti ларецбаХХооце eo0eleg ураццёд oe бебоцёуа. Se лоХХа лесрацата
dev олархес Xoyog va лерц^ооце цю ураццсхг) охёот] xai 0а rjTav лараХоуо
va зрс^ооце ую цю тётою. Уло0ёоте Х-Х- oti е^ета^ооце халою pa&ievepyd

1:]=’ t';b
лшр ху = d oi 311369 1ИК юлотЛюдхз! пютХпуз зт! q = ху 01 зюау £‘£‘£
•ютздаз Inouyag In зюптдзХо тох плсоА»д131 nioiXnya зт! д = qz
тох j = (j 5ii зюау -liXdn лй1 тт SlidaiioXdaig IQ = q Зптздаз liyogrisdnir лкю
лаоАкдо 1=4 lnx I = l? 5аоло9Х 5aoio *£ = tq tox [ = 53iin 10 110 зюздокх ^‘£‘£
'(t7 *£) Uylixo U10 oisgnx толтз (ж(?
— g ‘ж£ — 0[) Soimiyncbo пИоалптд 01 no sioasgLiynirg iininioiroioiXnys	nriyndio
010ц -g = ay ‘ОТ = x£ 5n mA x ло)лтАпд131 лсоютХпуз lioay lioaiaynx aUi niadg x‘£'£
згазнязу
•лтлиАпд131 лопотХпуз
ninrilr/cjodir пхтт!т1пдА зо зт!аолзт!пдп1г 5тзо1лхоп 5n^ "ri тох у топузд ш
mA Ьтзоомп^з 5зхтт!т!пдА лпигахзоди пд лзд лздСп! 01 зт! aoi SaoAgiAndnir 5п
5coTip Ьшлолдют^д 'STinoaoioiroioiZnys 01 ng тох лоппт!уп<Ьо лап латлдтАпбаз!
лап nrioiodgp 01 lignylig 01 зт!поаодтзд ng iynir in^j -odsipyoxoag ndn
тох ла>лтА.юд131 лтиМтмуз тШудоди: pxnftfntM Uri толтз отохазузх 07 -rl тох
у 5Uoniromg 5aoiigad 5aoi зт!ао(\аупхплп пл siinoaogmroodir тох q тох j
Ssiluciooir 5п зт!п51ба>лЛ лп Uxnsdocbmg 5апзуз1 лтк ng lionioninx н
у/ тх j 5зг!п 5з1опузд isooig пд лсолотЛпдхзх
лапотХпуз лап 5а>т!о UXdn н G тах ~Э 5°dir 5оо зт!аооау пл sriaodoioi лзд
п11полпдп£ попк пшх 3101 ‘2 < ш ‘513§1здлз oag pirn Зздзтоотдзк зт!аоХз лпд
•ш9 « ^п-Э(1+^х_э0
ч<?~ ^п-эа+^х-эО
:lioiAA3oodir ninx тштзюколпхт
(g) li тох • • • ‘7 5аолрдХ зо шд‘ • • • ‘ig Ьтз^тздлз зг1аолдто1г ‘лошп jA плу
•InlidisTi ло1 pirn 5(ogidxn ттзАпдпютлп лзд 5pian 5oirai о ‘U^nQir л1п£
(8)	•?г/-Э(7 + ?у-эа = (?
:(п1здаз тт! лпо iXo тох) лдтхпздхз оад пткпобдп
01 лпо то1лодз<Ь1дз1гт1ао дэ8тэ£) Inlidisii aoi 51з^1здлз io 3101 1q тох х) толтз
5з11проо1г 5зюо)лАп оад то 5зшп лпд тот!А1т! ою 1П1зХз1дз1г Сюсолз здпх л1п ,мп
oopir зт!ао^15а)лА Lit! пл тздоит! пууп ‘(Sltomronig 5аот!дад U) aoTiomonyirigoira
5аолрдХ 5aoi SUoiirs зт!ао^1д(олА лсотоко лоп лсозоотлз лсохттНГХ лтАозлзтдпо
оад nTiAiTi толтз 5пт! pxiya 01 пр зт!ао^1да)лА пл i3doirj\ 7 5зт!Апо 5зхтлодХ
5здосЬтд зо юЗгэд InlidisTi 5рлз к^здлз U толтз ng q олзт!рАп5.з 07 рхтуа
VlHXOINOJOQdO
881

'тЛ ао1 (Т~ ‘О ‘Т ‘О) = 9 010 одзхозюкук ох ‘д лох юткшлхид ох (Л
Л охо голрн j Slxyogodn охолш лох (9
т/1 5охот<год11унт1ао аортЛоддо аох Long Dili (о
зхрдд ‘(О ‘ I ‘О ‘О)1ИХ (l ‘О ‘l Ч) 01 9КН тохзЛрдок аок 5одгоХона о толтз д лрд ПТ£
аох о(Ьодхо1хлю лох зг! тохз^хаох J о
по зх^ру £)</ lnx b + d 10 1ОЛ]3 ютоц yg orimdliymiao о1ла>Лоддо охо Зкуододк
5охол1к о толр ф тох g одтХока лохо Зкуододн 5охол1к о толп j 1x0 зхоздок^ П'Г£
‘Лп тох 'о лтх одзкзкз охо тлрк q аох liyogodu U толр отоц
ЛцУ тох V jX nl 1пл-13 той ‘тлгоЛоддо толр q тох гвчв oxorioaxoig ох лрд 0Г£‘£
if) = j 5охол1к о ззуурдоди одтХоиа лоток 33 (9
SIxyogodK 5охпл1к толр j о ixo зх§р§ ‘d^d = d Л»Н (» 6’£'£
taox U§px U толр оток rax j аох лтукхо 5одгоХ о толр
5оток ‘ug аодтХ аох g одтХока oxmooiQ-ry лолз (о bliyogodn Зохолш толр j лрд 8‘£'£
(l- ‘l ‘l) = г° ох 1ПХ
(l ‘О Ч) = 1» 01 9КП тохзЛрдок аок одтХ лохо (плрк j Экуододк охолзи лох зхрдд £•£'£
‘.Ь ох 1зХз1дзк 5аода>Х SiQsoosx Saox оно 5отоц одазХ лох лохао
р охздрх толр b тох лотукхо одгоХ лохо тзхкло d аоко ‘b + d зо q ох зхоауолу
:у аох лтукхо одгоХ лохо отлри q аох Uyogodn лкх зхрдд 9'£-£
‘.у аох ла>у1лхо одтХ
лохо тлрк q аох Ixyogodn U толр отоц ‘г(б - а + g>) + г(§ - j) + z(t? - <j - j) aori
-алтауок аохзлтЛодхзх аох UoliioKoxoiXoys зо pXltqo аок ордаз oiii зхоурдт1здоц
:lioay 13X3 лзд oiilixoao олзт1окз ох £•£•£
‘.q- d isaXoi ixoij ху = d куододк л1хх тох х lioay Ux зхрдд
•5i3oa>oi§3 5зх1лолох 5ix тзлзд о1дхзт1тзЛ U тох 000 SorloiAoy 5oxixoodi3Ko о ооох
ixo Зохлоаздкуокз = SV^y лкх зт1 5i3orooi§3 5зоаохкаходк Six зхол1дхЛа^
[е]=,	•[;] = .	•[:;] = „
лохо ‘л тох п
5одк 5m ‘аох 5аоЛтЛодок 5ix лзд1и1 зг1 зхотоз^з тох г||д — жу|| =	01 зх^ахколу
у аох 5зу1лхо 5ixo охздрх толр d -q 5oxoiiypd>D ог1оалр1д ox 1x0 зхоаздкуокд
681
№№JV<LL3± NfSXSIXVVa ZI3SIJJHSOdU IVN ZSVOaOdU £ £

О 4 ‘z) = q
‘(о‘Т ‘о) = г® ‘(O‘l ‘l) = ln лшо x Sodir 5m зюау '53130(13 oag 5no tv?x + q inx >»1ж
npriko ndsiosiokvir ni sipdg пл тЛ ‘| |q - Zv^x - ioi®|| 01 лаотоигоюиХпуз aoir Zx
inz kr 5odir 5m 5i3orooi§3 5n airtindj -Zn aoi коладаззр lii nmx q aoi nig пзздаз li
толр inx in aoi коладаззд lii nmx 5kXdn 5ki nig пзздаз It толр ij 110 зюздокд IZ‘£‘£
(5aoi a^nisrl Ю1лтЛоддо толр lodmXoira oag iq) iodmX^sgliTi
лою Nj kyogodir It толр тон ‘y aoi лтгМпдЛ одтХ лою kyogodir It толр И,/ лпд 0Г£'£
(i J’cf о толр лзу) 1лтгМпдЛ одтХ лою тлпгг Mj kyogodir It толзз
nioir ‘у aoi лтукю одтХ лою тлп1г kyogodir It толр j^y ytVjY^V = :)d ЛРН 6Г£'£
лтлтЛпдгз! лошпХпуз koay кюнузд lii тЛ 5аоютлЛп £ зг1 Siaomoi^a £ 3ipdg (j)
(ogsiriirs 010131 isXdnira лоор ,<Ьз) npriko пдзооз!
ni pirn ogsiriirs плз З1зопдз1г пл тЛ 5аоютлЛп Sisdi зг! SisomoiSp згрдд ([)
•0 = г ‘д = ? тЛ д = /г
£ = г ‘о = 7 тЛ 9 = ft
[ = г ‘£=7 тЛ р = ft
\ = z ‘j = 7 mA £ = /г
nprilto пдзооз! пю zg + 777 + 0 - ft ogsiriirs зг1аоупдг1здтг пл зг1аоуз@ gi‘£‘£
10 = ft + х прдаз 0£р— лкю fi ‘х ogsiriirs 01 isyyngodir 3 iirs £ 5пхпл11г 5оюц ДГ£‘£
оютлЛп лплз зг1
лтлтЛпд131 лошпХпуз ninrikygodir зо Smgidxn лаоХююплп плз Sms^ni Savogodp
vx = d oprilio 01 толр qj 01 тох о aoi nig прдаз лкю oitnir Uyogodir 1ШЗЛ1Л j
о ‘||»||/п = п 5п1лоЛзуту (и) тох (1) Ssiliipigi 5п 13X3 Ugnyltg ‘SUyogodir 5пхпл11г
толр ^пп = d ял? 5тз§п1 5пхпл11г о ‘п nrioaAnig oinigmori тЛ ‘uniA si^py 9Г£'£
/ = iiniA ‘nxidgsAyn inx nxidisrimsA
зюкЛк^з 772 ~ I = Н «^^юпухплп пхплю,, aoi liondg Ui iscbndXidsir пл aoir niitiXo
плз sionigsXo 'ft -x aogsirnrs aoi прдаз зо тлпи Sltvogodic 5пхпл11г о толр j лпд £Г£'£
^3gltri 010 тогзуупдодк aoir
q nrioaAnig oxiASglni kri плз inx Srognx ‘ogsiriira ою голп1г j Skyoyodir пхплю ло1
згрдд £д aoi ogsiriirs плз лаоЛпдтг ([ ‘j ‘[) = щх (о‘[ 7) = io ninrloibvnig 07 H’£‘£
aoi лтукю одтХ лою тлпм (о ‘ 1 ‘£ 7) = q <1°1 к'/ододк лк1 згрдд лпгр1п>[
'2= 7 тЛ о = q ‘0= 7 тЛ у = q
Ч - = 7 »iA. £ = q ‘Z - = 7 V = q
51зокд1зг1 5п тЛ (плтЛпд131 пюпХпуз) Sltyogrisdnir прдаз кюпузд ki 3ipdg ££’£'£
VlHXOINC5JO0dO
061

3.3 ПРОВОЛЕ2 KAI ПРО2ЕГГ12Е12 EAAXISTQN TETPAEQNQN
191
3.3.22 Воьтте тт] бёктютт] ev0eia ларецбокуд C + Dt yia та b = 4,2, -1,0,0 oe xQovoiig
t =-2,-1,0,1,2.
3.3.23 AeigTE oti t] бёктютг] ладецбокг| ekaxioTiov TETgaycbvcov yiag ooi'^ovTiag evOeiag
—це akka koyia yiag oTaOegrjg ovvagTi]or)g у = C— yia eva avvoko цетдт]оеоА
т/l,, ym eivai г] цёот] Tiyr| Tovg
c = Уъ--- + Ут
m
2e ататют1ХГ| ogokoyia, t] ejtikoyr) tov у nov eka/iOTonoiei то осракца E2 =
(У1 — У)2 + • • • + ('Ут — у)2 eivai о цёаод ogog tov SeiyyaTog xai то nooxvnTov E2
eivai T] diaonoga (r| biazvpava»]) a2.
3.3.24 BgeiTe тт] бёктютт] evOeia ларецбок^д tcov eno^vcov |ieTQT|oe(i)v xai oyeSiaoTE tt]
kvot] oag:
у = 2 yia t = —1,	у = 0 yia t = 0,
у = —3 yia t = 1,	у = —5 yia t = 2.
3.3.25 УлоОёоте oti avri yia evOeia ларецбакаце, ота SeSoyeva тт]д лрот]уо6цеут]д аохт)-
aqg, yia лаоабокт): у = С + Dt + Et2. Поюд eivai о nivaxag ovvrekeciTcbv А, то
ayvcooTO Siavvaya х xai то Siavvoya бебоцёуоА b, ото цт) ovy6i6aaTO оёоттща
Ах = b nov л(>охг)лте1 ало тёстоерк цетог]ае1с; Aev -/oeiageTai va vnokoyioeTe то x.
3.3.26 'Evag avOgconog tov pieoaicova enip]xvv0T]X£ o’ ёvav too/o 6aoavioTT]Qicov oe цг]хт]
L =5,6 xai 7 noScbv, xaToniv e<paQp.oyr)g Swayecov F = 1,2 xai 4 tovvcov.
УлоОёто-утад oti io%vei о vopiog tov Hooke L =a + bF, бре1те то xavovixo tov vtpog
а це XQT)or| ekaxioTCOV TETgaycovcov.

192
OPQOfQNIOTHTA
3.4  OP0OTQNIEE BAEEIE, OPOOI QNIOI HINAKEE KAI H
OP0OKANONIKOHOIHEH TQN GRAM - SCHMIDT
Ее pia opOoywvia 6dcrq, xaOe Siavoopa eivai xaOero oe xa0e akko Siavoopa.
Oi amoves ouvreTaynevcov eivai opOoyojvtoi рета^б тоод. Auro eivai oyedov
iSavixo xai iq pdvrq Swarr) SeXriwor) yiveTat eoxoXa: Aiaipoope xa0e Siavoopa
pe то piqxog тог xai то xavoope povaStaio Siavoopa. To 6iqpa auro ретатрёпе1
pia одОоушпа 6aoiq oe pia op0oxavovixr/ 6aoiq. 0a оорбоМ^ооре та 6aotxa
diavdopaTa pe q, yQr|oipon:oi(i)VTag авто то ypappa yia va SiqXdivoope rr]v
op0oxavovixoriqTa.
3P Ta Siavoopara Qi,... eivai opOoxavovixa orav
( 0 orav i / j, nov Sivet rr)v ор0оуют1отг)та
( 1 otov i =j, noo Sivei tt]v xavovixonqra
'Otov opOoxavovixa Siavoopara yivovrai onqXeg evog nivaxa, о nivaxag aorog
0a oopdoXi'^erai pe Q.
To nto evSia<pe.pov napaSeiypa eivai rq “ovvqQiafj.Evr] баот]”. Ето eninedo
x.y, oi mo yvwoToi a^oveg dev eivai povo xa0eroi aU.a xai opi^ovrioi xai
xaTaxopocpoi xai т] 6aoiq eivai ei = (1,0), 62 = (0,1). О Q eivai о Taororixog
nivaxag. Srtg n SiaoTaoeig iq owiqOiopevr] 6aorq anorekeirai naXt ano Tig отгр.ед
too Q = I:
Аотт] Sev eivai бёбаю iq povrq op0oxavovixr] 6aoiq. Mnopodpe va отрётрооре тоод
a^oveg, xwQig va ретабаХооре rig ор0ёд ytovieg хата Tig onoieg oovavTibvTai.
AotoI oi nivaxeg отрофГ]д 0a etoa/Oodv падахатоэ oav nagaSeiypara mvaxiov
Q. An’ tt]v dXXiq peQia, av evSiaqieQopaoTe o/t yia tov R" aXka yia xanoio
ono/wpo too, тбте та oovr]0iopeva SiavoopaTa pnopei va p-qv neQ^/ovrai otov
ono/oopo. S’ аотт) riqv педнптюат] Sev eivai тооо профауёд oti pnopei va 6pe0ei
xanoia opOoxavovixr) баот]. 0a Sei^oope opwg oti onapxei ndvroTe pia тётою
баот], noo хатаохеоа£ета1 pe anXd rpono, ^exivcovrag ano pia onoiaSrjnore
баот]. Аотт] iq хатаохеот] noo ретатрёпе1 ёva nXayioycbvio odonqpa a^oviov o’
ёva opOoydivto, eivai yvojorr] cog xavovixonoi'jjoTj rtov Gram - Schmidt.
SovonTixa, та Tpia 6aoixa Оёрата аотг|д Tiqg napaypaipoo eivai:

3.4 OPQOKANONIKOnOIHSH TQN GRAM-SCHMIDT
193
(1)	О орюцод xai oi iSiorqTeg tcov op0oycovicov nivaxcov Q.
(2)	H квот] тов Qx = b, acvqOiop^vq q це екауюта Terpcxycova.
(3)	H цё0о6од tcov Gram - Schmidt xai q EQp.qv£ia Tqg cog цсад veag
napayovTonoiqoecog A = QR.
OpOoywvioi nivaxeg
Evag opOoycovtog nivaxag eivai ankcog evag rerQayrnvixog nivaxag fie
ooBoxavovixeg artfkeg* XQqoip.onoiou|ie то урацца Q yia tov nivaxa xai та
qi,..., qn yia Tig OTq/.eg tod. Oi iSiOTqTeg tcov OTqkcbv qrav qT qj = 0 xai qfQi = 1
xi авто 0a ёпрепе va цетасрра^етас oe tdioTqTeg tod nivaxa Q. Me автг] Tq
цЕтасрраог], пов eivai поко ankq, 0a cpavei naki q aijia тов овцбокюцов це
nivaxeg.
3Q Eav oi OTqkeg tod Q eivai op0oycbvieg тоте
QTQ =
Apa QTQ = I xai QT = Q 4 Tia op0oycovioDg nivaxeg, о avdirtQoipog
eivai о avTiarQotpog.
Orav q ураццт] i tod Qt nokkankaoia^ei Tq orqkq j tod Q, to апотёкеоца eivai
qf qj = 0. 'Etoi npoxnnTODv та (cq&evixa ехтод Tqg Siaycovion. Srq Siaycbvio,
onoD i = j, ёуоце qf qt =1, SqkaSq Tqv xavovixonoiqoq oe diavDO|iaTa piqxocg
1.
Sq|ieicboTe oti QtQ = I lo/net axojiq xai yia napaXXqX6ypa[i]io Q. Тоте
бцсод о QT eivai jxdvov арютерод avrioTpocpog.
ПАРААЕ1ГМА 1
cos 0 — sin в
sin 9 cos 0
cos в sin 0 1
— sin в cos 0 I
* 'Eva za/.i'Tioo 6vo|ca 0a rjrav ooOozavovrzd; nivaxag, a/./.a eivai ло/.ij aqya yia v‘ aij.aSei
to ovoua. Aev I'ndo'/i i eniar|g азтобехтбд брод yia evav лаоа/./.г|/.<>уоа11|1о nivaxa lie opDoxavovixeg
отт|кед. Tia evav тётою едахолотОобие va урасрооце Q, аХКа 5ev tov ovojidtoue “opOoycbvio
nivaxa” av Sev eivai Terpayiovixog.

194
OPOOrQNIOTHTA
О Q OTQEcpei xa0e Siavwjia xaxa тг| ycovia 6, xai о QT to oxgetpei avxiOexa,
xaxd ycovia -0. tlpocpavcbg, oi orqXeg eivai ogOoxavovixeg xai xonxo didxi
cos2 0 + sin2 0=1.0 nivaxag QT eivai OQ0oycbviog, dncog axQidcbg xai о Q.
ПАРААЕ1ГМА 2 KaOe nivaxag цета0ёоеюд P eivai oQ0oycbviog. Oi oxr|Xeg
топ eivai oiyonga [xovadiaia SiavvojiaTa xai 6e6aia xai ogOoycbvia, didxi t]
piovaba e|i<pavi^eTai oe цса diacpopeTixi] Оёог] oe xaOe отт]Хг|:
ГО	1	01	ГО 0	11
eav Р =	0	0	1	тоте Р~х = Рт =	1 0	0	.
|_1	0	oj	[01	0J
Eivai лрофауёд oti РтР = I, дт|Хадт| о avaoxQocpog eivai о avxioxQocpog. 'Evag
dXXog P, це Р,з = P22 = P31 = 1, oxeXvei xong aijoveg x,y,z oxong z,y,x, drjXadr)
ёva “de^idoxQocjpo” опотгща o’ ёva “aQiOTeQOOTgocpo”. 0a rftav koindv XaOog
va unovor)oonp.e oti xaOe opOoycbviog Q nagtoxavei цса отдосрт]. Mia avdxkaay
,	n ГО 11 _
Eivai e^ loov EmTQEmy. О nivaxag P = К I oev avrjxei OTig oxQocpeg топ
naQadeiypiaTog 1, didxi dev nnapyei тсцг] xr)g в non va napayet tov P. AvxiOexa,
о P avaxXa xaOe отщеш (ж, у) ото (у, ж), non eivai г] хатоптдисг] eixdva топ
<ng ngog ty]v enOeia це xXior] 45°. Ге(оцетр1ха, ёvag OQOoyibvtog Q eivai yivo^vo
^ag OTQO<pr|g xai niag avaxXaor]g.
NEvei ахоцт] ц1а xoivr) 1ён6тг]та tcov OTQoepebv, tcov avaxkdoecov xai oXcov
tcov opOoycoviojv mvaxcov, 6/i оца^ xai tcov npodoXcbv, non dev eivai ogOoycovieg,
цакюта опте avTioTg^ip^ieg. Oi npodo^g ^xgaivonv to pjxog evog dtavi^aTog,
even 01 OQ0oy6)vioi nivaxeg ё/onv цю 1<идтг]та non eivai xaQaxrqQioTixr] xai nio
evdiaq^Qonoa an’ 6Xeg:
3R О noXXanXaoiaomog це opOoydovio nivaxa 6iaTT]Qei та цт|хт]:
||<5ж|| = ||ж|| yia xaOe бшупоца ж.
AiaTT]Qei eniorjg та eocoTepixa yivo^va xai Tig ycovieg, &i6ti (Qx)T(Qy) =
xTQTQy = xTy.
H 6iaTT]QT]OT] tcov ццхсоу ngoxnnTei an’ enOeiag and ttjv QtQ = I:
||(?ж||2 = ||ж||2 Siotl (Qx)T(Qx) = xTQTQx = xTx.
'Oxav о xcoQog negioTQacpei i] xaxonxQioOei, diarqQonvTai oka. та eocoxegixa
yivd^va xai та цг|хг|. To цr|xog npoxionxei cpnoixa and to eocoxegixd yivd^vo
топ dtavno^ixog це xov еапто топ xai 01 ycovieg and to eocoxegixo yivd^vo

тохлолтЛ пхпт)оалтд oxioog ng 'q = ху nriliioao oi ariaooay пл oi зт! 0191 oi
толр uvux +  + дткгоадлао лпо q 01 зт)аоопосЬхз пл og -5зх1лолпходдо
толр лзд 5зу1ххо то лпхо тохзлтЛ ix 5lioiK3 тзлХрд лтхплтк котот^з н
qjb плзт)дл1Л пхтдзхсооз пх
толр ‘5<олзт)аоЛ1юдк тох 5<окд ‘аок х аох 5зотхтлао то 5зуо тохло^1лп(Ьт1з mgg
(г)

= х ^коткз толр lioay
li -пхкхохтлолпходдо li тахзХдзотзка аок толр етдз-	5отт)о кдтзкз
'9i-& = х тол13 ао1 Ь-оп-Х Н ('х ао1 5зоотхо1лао 5ix лао^птопукпууок £> аох
5зу1ххо iq) 'Я = х& Л.ОТХПЛ1К косоот^з лкх зт1 krikogxanx толр аок ‘у = ubux
+    + 1£1ж косоот^з кхпптЬалтд lixo 5зхозузхлао 5аох зт)поаохк^плу ’5зхпл1К
зт) оках лох лохап (oifindA. пл ‘от)опд1зк лохо отдпхоплп 4л отдокт) лзу
•5ох1ла>Лпдхзх толр ф о пдп ‘liong niri зхопт)д^п1здХ gxan зт)аолпх ox пл mj
(у) -ub(q ™b) +   + zb(q£b) + ib(qjb) 3ii iniaooi q п^оллтд 3f)ny{
:q ox зт)аолдток тхютМох nx Зшло^падлаоплп тох оках оукп лплз зт)аоХз q
аох iinrlriox здпх nig •5пхкхо1лотЛоддо mAoy лаолтодзк тодо токтоуока iq •
зг! зг1аоопюпукпууок лпхо ‘5одо лго^ткз 5олог1 о lq£b = ?-х толр 511хозузхлао
5одзхазд о ‘Sanorio -qj;b зт! тохаот аок х ох рдд зт!аоХз ‘у = ЯЬ^Ь 1лд1зкд
ibj:blx = q^b
толр 1злзт1окп
аок охау 'одо охетдк лох 4кп 5дххз (о = ^bj.b 11019) 1О^9 10 1ОХ9 тохло^лпсЬп^з
ni^sg lix^ 'qjb згкголдток рдазук (лдзхтдп лкх^ зт) Slioiooi^p 5lix 5здазук
oag 5u тох зхоптопукпууоц тот)оплХзх оукп плз 1зХдпка ‘>х ох зхрдд пл mj
‘ubux +  + Цэ^х + 'б ix = q оНоюлдлло лплз лпо q 01 sufindj
-.аог/оюадлао aoi aoian Ззюзузглао 5aoi зг/qodg пл толр птИхудрдк ох тох
лотхпт)оалт9 лтхюпд лтх 5от)опадлао толр пт)оалп1д здпх зхох ‘liong тт) тохзд
-19 лпд -xaunoj 5здпо 5ix 4кп otoik тдтзух-пздт лкхо pAligo 5дхап ixg зт)аолХр9
пдзхоЛдп .liong шлсоЛоддо шт) шЛ 5дукп пхиздто^з толр 5охап ‘11§пдк л1и^
liong зхокЬдптоко зо тзлтЛ пл рдокт) 5от)о1Лоуока о ‘nxixlida>3@ ’[_£)=
nxlixoigi lixigis лкх ртокотйокдХ аок от)тЛоуока лохо пдотх зхопт)оХдд
•лохркк ох охап тз^пууп
лзд о тох ||/i|| \\x\\/ftyx nrionyx ох окп тохздтд $soo ox ixoig ‘/г ox зт) x аох
xaiwHos-Hvao nhx HZHioiioniNONVNoedo

196
OPQOrQNlOTHTA
oxqZ.Eg tov nivaxa, олоте хрвш^бцаотЕ tov A ', лои avataqi6avsi xq Soukeia.
2 xqv op0oxavovixq nsplnxaioq бцюд, урвю^бцаохЕ |idvo xov QT.
TlaQatriQtjfftf 1 О Xoyog q^b/q^q\ E|i<pavioTr]XE xai лрот]уорцЕУ(од, oxav лро-
баХацЕ то b navio as EV0Eia. Tote ЕС/ацЕ xqv EV0sla dia xov a xai q npo6okq
qxav (aTb/aT a)a. Tdipa ёуоицв xqv EV0£ia did xov q\, о лароуоцаотг)д sivai
1 xai q лробоХт) sivai (q^b)qi. 'Е/оицв X.oin6v цю vsa SQuqvsla xov толов
b = E(QTb)qi лои d60qxs oxo лХ.а1ою: Каве didvva/ла b sivai то dOgoiofsa. tcdv
fiovo-diaaTaTCDV xoo6oi>.d>v tov xdva> OTig svOsisg did tcdv q.
Kai xdxi axop.q. Еле15г| аотёд oi лробокёд sivai opOoycbvisg, о По0аубрад
npsnsi лаМ va ЕлаЬ]0ЕОЕта1. То xsxpdywvo xqg олоте^оооад npinsi va sivai
loo це to аброюца tcdv xETpayibvwv xwv oovioxojoojv:
IK = (q?b)2 + --- + (qTb)2.
Аото лрёлЕ! va Eivai to Idio це to ||6||2 = ||Q6||2 лоо алобе^ацв npoqyoo^vcog.
Падаттцмсн] 2 Еле16х] Qt = Q~} ё/ооцв ЕЛ^д QQT = I. Oxav о Q sivai
цлроота ало xov QT, tote о лоХХалкаоюоцбд cpTid/vei то Eocoxspixo yiv6p.£vo
xwv yoafifioDV xov Q. (Sxov QTQ qxav oi oxqksg.) Ensidq то алотёкеоца
sivai лам о xaoxoxixog nivaxag, ё/ооцв sva avanavxE/o ооцлёраоца: 'Orav oi
orijAcg evog тетрау«тхои nivaxa eivai ogOoxavovixeg, тоте то idio <rvfi6aivei
xai fie ид удащлед tov. Oi ураццёд, блюд qjalvsxai xai otov елоцеуо nivaxa,
xaxEvOvvovxai npog TfiXslmg б1а<рор£Т1хёд xaxsvOiJVOEig ало xig oxqXsg xai 5sv
6Х.ёла> у£о)Ц£тр1ха yiaxl s^avayxa^ovxat va Eivai ор0охауоУ1хёд, блюд лрауцат1
оицба1уЕ1.
ПАРААЕ1ГМА:
ri/Уз 1/V2	1/V61
Q = l/x/3	0	-2/76 .
Ll/x/3 -1/V2	l/x/6j
TlapakkqXoypappoi nivaxeg це opOoxavovixeg wxqXEg
To XEipaXaio avro ao/oXslxat це xqv Ax = b, хш0^ о A va Eivai ava-
yxaoxixa xsxpayiovixog. 2’ avxq xqv лараурасро бвубцаотЕ Enloqg xqv Idia
Svvaxoxqxa yia xqv Qx = b -цлорв1 va vnapyovv лЕрюобтЕрвд ураццёд ал’
6,xi oxqXsg. 'Е/оце n diav-иоцата qi, лои sivai oi oxqkeg xov Q, aXXa aura
та бюуиоцата ё/ow m > n ovvioxiooEg. Me aXXa Xoyta, о Q sivai m sni n
nivaxag xai dsv лрёл£1 va nspi^vot^E axpi6q Xiioq xqg Qx = b. Qg ex tovtod
xq Ivvov/iE fis Tq psOodo eXaxiaTCDV TSTgaycbvcDV.
Av vnap/Et xanoia dtxaioovvq, oi орОохауоУ1хёд oxqXsg 0a ёлреле va
anXonoiovv то лрбб^ца. Avxo akq0EVE yia TETpaywvixovg nlvaxsg xai xibpa

3.4 OP0OKANONIKOnOIH2H TQN GRAM-SCHMIDT
197
0a боЬце oti akqGeDei xai yia тоод параХ.Х.Г|Х.оураццопд. To xkeidi eivai r]
паратт|рг]от] oti r] QtQ = I E^axohovdei va akqOever.
О QT dev eivai itkeov avTioToocpog tod Q, napa^vet 6р.озд apiorepog avTiwTpo-
фод xai auto eivai 6,ti xpeia^eTai yia та еЛахюта TeTpaycova. Oi xavovixeg
e^iocboeig npoexuipav noXXanXacndt.ovTag то Ax = b це tov avcxoTpocpo nivaxa,
прауца пои ёбсоое ttjv AtAx = ATb. Edcb A eivai о Q xai oi xavovixeg
e^iocboeig eivai QTQx = QTb. 'Оцсод о QTQ eivai о xaDTOTizdg nivaxag! Aga
т] kbot] eivai QTb, eiTe о Q eivai тетрауотход xai t] Xwq eivai axpidrjg, eiTe о
Q eivai лараНцкбураццод xai ёхоице тг] Xdot] eXaxioTOJV TeTpaycbvcov.
3S Eav о Q ёх£1 орбохауоусхёд итг|кед, тоте то пробкцца eXaxiaTcov
TeTpaycbvcov ankonoieiTai:
Qx = b (параХХцкоураццо оиотгща xwQ^ киот] yia та лерсаоотера b)
QTQx = QTb (xavovixr) e^iocoar] yia то бёХтюто x оттуу onoia QTQ = I)
x = QTb (to Xi loovvai це q[b)
p = Qx (т] пробокг) tod b orig атг|Х.ед eivai (q^b)qi + • • • + (q^b)qn)
p = QQTb (ара о nivaxag npo6oX.r]g eivai P = QQT).
Oi TeXeDTaioi Tiinoi ^hcx^odv це TODg p = Ax xai P = A(AT A) ’1 AT, noD
SivoDv tt]v пробоХт) xai tov nivaxa пробоХцд yia tdxovtci A. Chav oi отцХед
eivai ор0охауоУ1хёд xai о A loovrai це Q, тоте о nivaxag ATA yiveTai о
TaDTOTixdg nivaxag QTQ = I, to &doxoXo цёрод tcov ekaxioTcov TeTpaycbvcov
e^acpavi^eTai xai та бшиооцата eivai opBoxavovixa. Oi пробоХёд OTODg a^oveg
dev aXXr]Xoe^apTcbvTai xai to p eivai аброюца odtcov tcov цоуобсаотатсоу
npo6oXcbv: p = (q?b)q} + (pfb)q2 +  + (q?b)qn.
Tovi^oD^: 6ti oi пробоХёд aDтёg 5ev avanapayoDV to b. Adto ODvёбalve
ott]v nepinTcoor] noD m = n, dev ODцбaivel бцсод ott|v параХХт]Хдураццт] ne-
pinTcoor] onoD m > n. Oi пробоХёд аптёд napayoDv то p xai oxi to apxixd
бнхуооца b. Adto eivai to xaXurepo noD цпоробце va nepi^voD^, otov Dnap-
Xodv перюобтеред e^iocboeig and ayvcboTODg, олоте та q dev anoTeXow n?Aov

Zb тох lb рхполпходдо зо лруододк nrioioog» = о§зм11гз зо куододц •()[•£ -Xjj
:5аоютлАп оад 5odir 5(0 Зпзоотт^з Зтздх зо pAligo + q= ft лк1 siiaoyngrlsdnit
пл ni30niroodir U зхох ‘£ = £? ‘o = Z1 ‘£- = l? "X'y ‘лзд1п1 Inin liosri лаоХз aoir
ЭаолддХ зо	5i3olidi3ii лаолпЛ лпд 'Ззукю 5зх1лолпхо0до зо рЛкдо
Зппзоаз liyogriadnir li nioiro л1п ninx liomiiriSsir niri isXdnirx Z VJMJISVVdVLI
[Ohwx
Го о о]
О l 0 = lbzb + iblb=d
Lo o ij
толр SUyogodir Зпхплш о
Го]	Го] Го]	Го]
й = zb(qZty тх х = zb I 0 =	1ПХ 0 = lb
Я тох х пло^п
лою (0ЛП1Г лтуододк лотлзг1отлот1зг! оад nrioiodgn oi толр oian тох (о‘й‘х) = d
толр aoi Lpogodir ц Я1х одзкшз ою (г‘/?‘х) = q oprllio плз sriaoyyngodir
по зюз0О1г^ ’lixnrai пууп liyirn толр liomiiridsir 1ллзт1о1гз н I VWJIHVVdVII
ао1 oOaiXoAsgUri
ло1) nTiOTdliyirriao о1лотЛо0до ою чшз^лздкН пууп (Ssiliygnisrin 13лк(Ьп 5п j
о) aoi 5зук1о 5по pxnoiani ло1 3ii isiiriiniao aoir Ltyogodir ш шз ш mri
толр о тлз ‘Зпхплш Spxnoiani и шз и о толр о по sioansrilis
(to	xbb = d u Jjbl-(bJ,b)b = d
лою тдз
mipioiroyirn ‘jy i-(.VjV)V тол]3 5<о011лао aoir ‘Sliyogodir Зпхплш о hong
VlHXOINIt5JO0<IO
861

3.4 OP0OKANONIKOI1OIHSH TQN GRAM-SCHMIDT
199
С + ^=У1	Г1 -31 гг1 Г yi
C + Dt2 = y2 P 1	0 n = У2
C + Dt3=y3	[1 3j L^J [уз
Oi dvo ату Лес; eivai ogdoycvvieg, ара рлоротре va лробаХотре то у oe xd0e pia
and Tig orpXeg xai va бротре тотд бёХтютотд отутеХеотёд С xai D ^ехсорюта:
Р = [1 1 1][з/1 У2 Уз]Т „ = [-3 0 3][т/1 У2 у3]т
12 + 12 + 12	’	(-3)2 + 02 + 32
Ерренооте tt|v idiairepp алХотрта tod С = (yi + у2 + уз)/3, лот eivai о /сеоод
брод тсоу dedopevwv xai divet тг] бёХтютр ларербоХр ре pia opi^ovria ет0еса,
evcb г] Dt eivai p бёХтютр ларербоХр ре euOela лот 6iepxerai ало rpv архр.
Еле1бр oi атуХед eivai OQOoywvieg, то авооюиа avrwv twv dvo ^exwQioTwv
ueoo'jv eivai у бёктюту лаоеибо/.у /летали 6/mv twv dvvavwv evOeiwv. Еле1бр
opcog oi отрХед 6ev eivai pova6iaia 6iavTopaTa —та 6iavTopaTa 6ev eivai
ogdoxavovixa- о ттлод трд лробоХрд лер1ёхе1 otov лароуораотр то TeTpaycovo
тот ррхотд.
Oi opQoycbvieg отрХед eivai tooo лоХтпред лот a^i^ei tov хдло va pe-
таботре o’ аттё-g. Eav p peop Tipp tcov xpovcov ларатрррорд dev eivai pp6ev
—p peop Tipp eivai t = (ti + • • • +	тоте p apxp tcov xpovcov рлорес va
ретатолю0е1 хата t. AvtI трд у - C + Dt еруа^браоте pe rpv у = c + d(t -t).
H бёХтютр ет0е1а eivai p iSia! 'Ctacog xai ото ларабетура, бр1охотре
[1-1][У1-Ут]Г = №+• + fa
l2 +12 + • • • +12	m	. .
J = [(Й	= EGi - ОУг	'
(i1-i)2 + ... + (im_y)2
To бёХтюто c eivai p peop Tipp xai ёхотре ел iopg eva хатаХХрХо ттло yia
то d. Stov лроруотреуо АтА та exTog SiaycovioT OTOixeia rpav zaL
peтaтoл^^ovтag tov xQovo хата t леттхаре tov ppdeviopo avrcbv tcov otoi-
Xeicov. H ретатдлюр аттр eivai napaSeiypa Tpg &ia5ixaoiag Gram-Schmidt, лот
opOoYioviojtoiEi* njv каташаш] ex twv jtqoteqwv.
Srpv api0ppTixp Tpappixp АХуебра oi op0oycbvioi л^со^ eivai oppavri-
xoi <5i6ti dev npo^evoTv аотабею. Ka0cbg та ppxp ларарё-voTv avaXXoicoTa, to
ocpaXpa OTpoyyTXonoipopg eivai тлд ёХеухо. Ti’ аттд p op0oxavovlxoлo^pop
diavTopaTcov exei yivei pia oppavrixp Texvixp, лl0avcbg беттерр oe олотбаю-
трта, рета rpv алаХонрр xai o6pyei oe pia лapayovтoлoipop A = QR eg loot
cppplopёvp pe rpv A = LU.
X.T.E.: Stt)v лрау|1ат1хдтг)та о асгуурафеад cvvoci “ogSoxavovixonoiei.”.

200
OPOOrQNIOTHTA
H 6ia6ixaoia tojv Gram-Schmidt
Улобёоте oxi 6i6ovrai xpia ave^agxqxa бюубоцата a, b, c. Eav aura eivai
ogOoxavovtxa, тоте т] Ыт] eivai eoxokq. Tia va лдобакете eva биАооца v oxo
лдсЬто, onoXoyi^exe to (aTv)a. Fia va лдобаХкете то i6to бюуооца oxo ел£лебо
tcdv ббо jtofijxmv agxei va лдообёоете (aTv)a + (bTv)b. Tia va лдобакете otov
олохотдо, otov oitoio oi a^oveg 6i6ovxai ало та a, b, c, agxei лаб va лдообёоете
xig xgeig лдобокёд. To ^idvo лоо XQeL(*^eTaL °’ d/.oog тоод олоХоуюцобд eivai
та eocoxegixa yivojieva aTv, bTv xai cTv. Qoxdoo, yia va eivai aoxd ocooxd,
лдёле1 va ^exivqooop.e Xryovrag “eav eivai og6oxavovixa”. Пдобеот] цад тогда
eivai va бдобце ёvav тдбло va та xdvoojre og6oxavovixa.
H цёбобод eivai алХт]. AiSovxai та a,b,c xai ^тутаце та Qi,Q2,Q3- Tia
to q\ 6ev iredgxei лдобХгща xai цлоде1 va Seixvei лдод xqv xaxeo6ovoq too
a. Aiaigoojxe це то цгрсод xai ёто1 qi = a/||a|| eivai цоуабюю бюуооца. To
лдауцат1хб лдобкгща ладооо1а^ета1 ото q2 лоо лдёле1 va eivai og6oycbvto ото
су ।. Н 1<5ёа eivai va ^ехтрооце це то b xai av то бюуооца аото ёхе1 oovioxiboa
хата xrjv xaxeo6ovoq qt (лоо eivai xai q xaxeo6ovoq too a), 0a лделет va
a(f>aiQ£Govfi£ aurqv rq avvumbaa-.
b'= b - (q^b)qt.	(6)
To b' eivai лХёоу og6oycbvio oxo g, xai eivai то цёдод too b лоо xaxeoeovexai
лдод цю vёa xaxeo6ovoq, 6iacpogexixq exeivqg too a. Sxo Sx- 3.11, to b' eivai
хабето oxo q\ xai xadogi^ei xqv xaxeo6ovoq too бюубоцатод q2. Enei6q to
<?2 лдёле1 va eivai xai цova5юio б^ооца, бю1добце то b' це то цт|ход too:
92=^71^'11;
S’ аото то отщею ёхооце 6gei та q\ xai q^. Гю tt]v xgixr] ogdoyibvia
xaxe60ovoT] ^ех1Уаце ал’ то с, то олою 6ev ба лед1ехета1 ото елюебо tcdv Qi
xai q2 лоо Taoxi^exai це то ельлебо tcdv a xai b. То с соотбоо цлоде1 va ёхе1
oovioxcboa о’ аото то елюебо лоо лдёле1 va aq)aige0ei. (Eav ооцбе£ с' = б,
тобто ormaivet oxi та a, b, с 6ev qxav ave^dgrqra, ал’ xqv адхт|.) Аото лоо
алоцёуел eivai q oovioxcDoa с' лоо уодебооце, бт]Хабт] то цёдод тоо с лоо 6eixvei
ое цю уёа 6ieo0ovor] хабетт] ото ел1лебо:
ЕХ- 3.11. Асрацэобце xq avvioxcbaa q\ too b xai xavovixoxoioo^ та a xai b'.

3.4 OP0OKANONIKOnOIH2H TQN GRAM-SCHMIDT
201
c' = c - (qfe)q} - (q2c)q2.	(7)
Aon) eivai 6>.t] zi оЛт] r] i6ea oX.dxX.'qp'qg тт]д diabizaoiag twv Gram-Schmidt: v’
atpaiQEaovpE ало каве veo diavvopa ng ovvianboEg пата ng bievOvvoEig nov
diavvapdnov лоо e%ovv rjdt] 6qe0eI. H i&ea aoxr| хр^сяцолосестаь ^ava xai
^ava.* Eav uirdo/ei xai тётарто didvuqia, a<paipoo|te xig aoviorojoeg too хата
tt]v xaxebOovoT] twv q\,q2,q2. Фоо1ха то p,ova6iaio Siavoopa <73 о/тщатшО^хе
ало to c', Siaipwvxag (ie то цг]ход too: q2 = с'/Цс'Ц.
ПАРАДЕ1ГМА УлоОёоте oti та ave'§dpxr]Ta diavoopiaxa eivai
 Й Й -|:|
Tia va брооце то Qi, цетатрёлооце то лртто &tdvoop.a oe jxovaSiaio: q\ = af\/2.
Tia va броЬце то q2, aipaipodpie ало то беЬтеро diavoa|ia тт] oovioxwoa too
хата tt)v лрттт] xaxedQovor]:
т M 1 Г1Л/51 Г 51
b' = ь - (q?b)q} = 0 -—=	0	= 0 .
[oj ^2 [1/v^J |__1]
To хауоу1хологфёуо q2 eivai to b' diaipep.evo це то цг|ход too b', лоо eivai
Tia va 6pod|ie to q2 a<paipobp.e ало то c xig oovioxwoeg хата тт] SiebOovoq twv
<71 xai q2:
c' = c- (q?c)q\ - (q2tc)q2
[о] Lv^J L-i/v^J LoJ
Аотб eivai г|6т] |tova5iaio, apa eivai to q2. 'Exava цеуаХт] лроолабею wore va
xepiopiow то лХ.г]0од twv Texpaywvixwv pi^wv (лоо алотеХош то xoopaorixo
цёрод тт]д Gram-Schmidt). То алотёХеоца eivai eva obvoXo opQoxavovixwv
diavoojidrwv <71, q2, Q3 ^oo nave oxig orr]Z.eg evog opQoywvioo л^аха Q:
Г 1 ri/V2 1/^2 01
Q = hl 92 9з =	0	0	1 .
* Av nooiroq тт) ахёд>0г]хе о Gram, и алёцегуе yia tov Schmidt;

202
OP0OFQNIOTHTA
Eivai cpavego oti oi отт]Х.ед airrec; eivai og0oxavovixeg.
ЗТ H [leQobog Gram-Schmidt Sjexiva ало ave^agrr]Ta 6iavoo|iaTa
ai,..., an xai xaTaXifyei oe og0oxavovixa 6iavwp.ara qi,..., qn. Sto
j'-oto бгща acpaigei ало то aj Tig aovioTcboeg too хата Tig dieo0ovoeig лои
e/ovv T|6r| 6ge0ei:
a'j = aj - (qf djfa------(qJ_Aaj)qj^.	(8)
To qj eivai to (iova5iaio 6iavoop.a a</||a' ||.
UagarriQqat] move; moAoyiopoog. Eivai еохокотедо va og0oyajvionoir|ooo|ie
бюубоцата, xaigig va anatTT|Ooo[ie та р]хт] тоод va eivai eva. Тоте oi тетда-
yiovixeg gi^eg epupavi^ovTai ото тёкод, orav 5taigoop,e ц’ аота та цт]хт]. Та
бюубоцата a' eivai та i5ia:
а'- = а?-(лдобоЛг| too aj ото а',) --(лдобокт) too aj ото
То [idvo лоо Siacpegei eivai о тблод тт]д лдобокт|д, лоо /grpiiionoiei то цг]
xavovixonoiTjpievo 5iavoop.a a' avri too [xovaSiaioo бюубоцатод q:
лдобоХт) too aj ото a\
(aj)T aj
ai = (QiTaj)Qi = лдобо/.г| too aj ото Qi.
Sto лдо-qYOO^evo naga6eiyp.a 0a ei%a|ie та iSia b' = a'2 xai c' = a'3, /«gig
Tig тетдауатхёд gi^eg:
pl	i pl	Г21	Г1!	Г У
Ь' = 0 - - 0 xai хатблгу с' =1-0-2	0
L°J Ы	Ы	Id	[-к
Н ладауоутоло1т](л] А = QR
EexivT|oap.e ало tov л^аха А, тоо олоюо oi отт|кед r|Tav a, b, с xai
хатакт|^аце otov nivaxa Q, too оло£оо oi отг|кед eivai qi,Q2,<?3- Пою eivai
г) охёог] цета^б aoribv tcov nivaxcov; Kai лою eivai t] охёот] oe ледюобтедед
SiaoTaoeig, orav ^exivap.e ало та аь ... ,an xai хатакт)уоо|те ота q\,... ,qn-,
Oi nivaxeg A xai Q eivai m eni n, orav та &iavoop.aTa negiexovrai otov
m-бюотато х«до xai 0a ngenei va onagxei evag rgirog nivaxag noo та oovSeei.

5oi§3v = iqSia "H’l’x
толу г oi лою A3§liri toais oiay ’гоуй toais aoiao (f‘z) 013X1010 oi tox
и iirs и толу у 5oxoaiit о -0191 It Srogidxo toais LioOTiiridsir IixiasA ц
НТ О ° толзз уф U 3191 ‘HHV к i30Uda>30 /yj li лрз -SaorioiAo^oira
5aoi oiA 5зх1д1лзх рхпздто^з тох ЗоддзАуу SLixiririoflj 5lii О1дотз0 lii mA
SsxiiAorllio толу SisolnoiroiAoAodoir 009 10 tox SottIq, -(ла/рд aotxiaotAo6131
лотх отАоу) fjq li 000 отодот 0091 toais лз§ уф LioLiioiroiAoAndoir U 5oto[,
£) oiAoApdoit oimdir лою loiAoXsioair ‘5lioUioiroxiAOAoxo0do 5Ui олзгЬзхил»
oi лао-узюгго тох £й‘?й‘1й 01 toais aoir ‘oiorioaAOi9 рх1лолохо0до 01 0191 oy
•)piunp$-ureJ9 0100x19019 lii sri лох110здтосЬо aoir Ай iox tfi aoti oiop^irof/oir
01 толр ао1лгоАо19 5Ui 591x3 -у ‘у ‘/o aoti lixliri 01 зхзкзуд у aoi 01ЛГ0А019 Ui^
Г I	1 Го z^/i- z/Vil Го о il
ub = z? z/Vi 1 о 0	= 1	о 0 = v
zj4\	гл J Lo	za/t	гл/ij Lz	i ij
толу LioUioiroiAoAodoir
Liyg h -srioosdioig oioiro 01 sri х‘гЛ/т‘гЛ lixlirl 01 toais 013X1010 оглотАогд
оу •5отлз'ИаоА1юб1г лох110здд aoir j/v = э^й = э^й тох ^л/х = q}b io^ic)» 10
толу у aoi 013X1010 аоглтАогд 591x3 оу •(i30tiioiroTiiolidX I19I1 1зХз у orlrlpdA
01 тох) *aoiAOTAoi9 5oidax 5U1 01^39 010 толу 013X1010 pxiA39lni liri 01 11919
‘у TOis^prioAO aotAdOoit 5одз1аз9 q '5зу111о 5зх1лоаохо0<Эо 1зХз aotAoSoit
5о1отд1г о odroi 119 aoi 591x3 ‘уу = у a.Lii зг) is^mori LioUioiroiAoAodoir н
•orllig oiiQi 01 idXsii sioirii
лодзсЬзтзлао ЛЗ9 £й тох э оюг1оало19 oiidi оу -0931.91:3 0191 ою то1лоХз13з1г
гй ‘ 1й тох q lv 01 ‘лигоюд То130аз 0191 aIiio то1лоХз1дз1г 1й тох о oiorioaAOi9
oimdir оу -фтшцэд-шшд 0100x19019 U 10113731x3 oioiro aoi зг) aoiradi aoi
otAov -59Х1лотА1д1 толр aoir ‘oxoaiit отохазуз! лою pxiA39Uri 01 sioUdliiodou
,> ^1) qjb	® 1й = э q v
q±b vjb\ [	J [
:y£> = у UohiouoiAoAndnic юзл hi sriaoAdioit ‘5зхол11г sri oiaoi зг)аоорб<Ьхз
лрз -£й(э^й) + ^й(э^й) + 1й(э^й) = э :лотоотю1лао £й тох *гй ‘1й aoti от)тод0р 01
toais э oi ‘ототЪЗоц -aoi лотоотхтлао ^й тох 1й aoti orloiod0p 01 толу ао931гигз
aoi т)оалр19 30p>j -(х) oioioyir 010 Lidotoi^s лкю otoiit тохзАрло oiaoy
•гй(9^й) + ьй(дА) = Ч
:59г1ооа9лао о 59100 толу 5oioir зт)ао51<ЭотлА oimypri тох zb тох 1й
лот1рт)оало19 лотх1лолохо0до aoti 59т1ооа9лао толу хх‘£ O1D Ч ю'Ноя.лр^ 01
‘от1А139рдо1г oiy -й aoti 5аог1ооа9лао лоо о 01 зт1ао<НрбА ол толу 0391 н
laiWHOS WVaO МГН HSHIOUONINONVXOQdO V£

204
OP0OFQNIOTHTA
цеуаХбтеро too j (то qi хатаохеоаотт)хе хабето ото cz;) xai ётос о R eivai avco
rpiycovixog. Та oroixeia too £|xcpavi^ovTai otov тбло (8), idiairepa orav to a'
avTixaTaoTaQei це то ||а'Ц<?'-:
aj = (qT a	+ + (<!j-i^qj-i + Wa'jWqj.	(9)
H depict лкеора eivai axpi6cbg Q eni R, ураццёут] avakorixa.
3U Ka0e m eni n nivaxag А це урацц1хсод ave^aprr|Teg отг]Хед цлоде1
va napayovTonoir]0ei oe A = QR. Oi отт|кед тои Q eivai op0oxavovixeg
xai о R eivai avco Tpiycovixog xai avTiOTpetpi|iog. 'Otov m = n xai 6X,oi oi
nivaxeg eivai Terpaycovixoi, о Q yiveTai opOoycbviog nivaxag.
Aev лрёлес va ^e/aoio to отщаупхбтеро отщею vr]g op0oxavovixonoitior|g,
лоо an/.onoiei то лробЬща e/.ayioTiov TeTpaycbvcov Ax = b. Oi xavovixeg
е^юшоесд eivai naki осоотёд, aXXa о ATA avTioTpecperai еохокбтера, xai
yiveTai:
AT A = RTQTQR = RTR.
'Etoi tj 0ецеХ.1сЬбг]д e^iocoot] ATAx = ATb anKonoieirai ott]v
RT Rx = RTQTb r| Rx = QTb.	(10)
AvTi va Хбоооце rqv QRx = b, лоо dev yiveTai, коуооце ttjv Rx = QTb, лоо
yiveTai лолб ypriyopa, 5l6tl о R eivai Tpiycovixog. To лрауцат1хо хботод eivai
OTig mn2 npa^eig тт|д Gram-Schmidt, лоо anaiTobvrai хат’ ap/ад yia va бробце
тоод R xai Q.
H i6ia i&ea ор0оуатбтг]тад есрарцд^ета1 xai yia oovapTi)oeig. Ta rmirova
xai oovr^iTova eivai opOoycbvia, evcb oi Sovdqxeig l,x,x2,... Sev eivai. 'Otov
t] f ypacpeTai cog ооубоаоцбд rmiTovcov xai oovr^iTovcov, лрохблте1 ща aeiga
Fourier. Ka0e брод eivai лробоХг] navco oe цю eoOeia, Tiqv eoOeia ото ycbpo
oovapTt|oecov лоо nepiexei та лоХХалХаою tcov cosnx r) sinner. Аотб eivai
evTekcbg ларбцою це rqv лерютсоог] tcov 5iavoomiTcov xai тбоо evSiacpepov,
лоо a^i^ei va цеХ.етт]0ек Tekixa ёхооце xai цю боокею yia tov Schmidt: va
op0oxavovixonoir|oei Tig dovo^eig too x xai va napayei та лоХосоуоца too
Legendre.
Xcopoi oovapTrpecnv xai oeipeg Fourier
Aoti) eivai цю oovrop] xai npoaiperixt) лараурасрод це хацлооед хаХёд
npoOeoeig:
(1) va eioayayei тоод лю cprmio^voog але1робюотатоод 5юvooцaтlxoбg
Xcbpoog.

•5oqmori
SUx одзхаупЛзт! зюг толп ЛЗ9 олохзтИглао ох цэщщ одотХ лохо тох Urtoxy
•]|гта|| ||а|| > гхвмцэ^ лох пхкхооплп U naXoi пл пдаоуохп^з пхот1оалот9
sxoirUgmoiro 09.9 mA ixo тох ‘плг/хАао охлп mioiodgn ox ixo тохзалхпроку
д = • • • + са»£л + 41Л1 + imki = cnfa
‘лз§1хт1 толп 5аох 9лзг1ол1Л pxidsxmos ох ЛПХ9
‘отлотЛоддо толп т тох а пхот1оалот9 nj^ :5отлзт1аоЛиод1г тох Sotiot ‘oirodx 0191
лох зт1 тохло^дотлЛплп Ззпдаз 5зхздпх то тох ‘^no^ogndnir тохлол1Л Ззуодпдотг
ю ‘1х913О(Н1зууз пхпхоотдодпкп тохлол1Л Зтздхззууз iq -аодотХ аотзфзухад
аолзгкпдклао аох п1дхзт1отзЛ Ux srlaooUxndx пл плодХ9хапх тох Зздпкп лаол1Л
пл 51зопхоот§ Six sriaooUdro пл Soirodx SgxiAoyoioacb о толп цэщщ ЗодотХ о
}зэдцц SodtoX SmiUdiidaic о толп 59хау ’одотХ дхипткэалтд лаоузхоют
пдп ‘Saorigidn зт1 лаодоотопумпууок пл тох (||аг|| + ||а|| > ||аг + а||) 5аох а^пхзт!
лаодзхоодк пл лаодокт) ‘одотХ 9Х1хпг1оалот9 лаоузхоют Soxliri олзт1опдз1гз1г зг!
пхот1оалот9 пу	01 чзрухокп пууп '‘£/т‘z/l‘l) »т1оалот9 ох
nAngrin^idsirriao aoir лспхпт1оалот9 оуолао охпхоотдодпкп плз hrigxn плзт1о1гп
9iioidoid3i£ лох Л9хап jy -mioiodgn олзт1опдз1гз1г плз ,о плзухЛао пл nirsdir
(П)	•• +t'a + fa+1Л= г||л||
пдпо Udnirn н ’Soxbrf олзИоюдзизи
ллоХз аои югюИоллтд »1 пмзхз лолоН sriaoohdmsg па тох ‘лотлотЛпдхзх лотх
Soxmioiodgn аопд9Лпдац аох n^id 1лх1лотЛпдхзх лкх лпо ‘SaoxUii аох 9rioido
9хоотлЛ лох sriaooUxndx пл толп пз§1 Udsxaynx ayoir otjaj -SoTiioUdX толп
пл отЛ Эо^рЛзт! ауок толп ‘<л лотоотхотлао лотх ЗоХЛзуз пХдпга ЛЗ9 ЛПХ9
‘39хап ЗодотХ о ’лотоотхотлао nigaoyoxn Udnxro mri лаоХз aoir (• • • ‘t'a ‘га ‘ki)
= a nxmioaAniQ nx xiyo nXaidsir aoir лохо Smi lufiaxo U nnir пл 9xioa<h
толп ‘SUonxopig 5илзтктодз1гз1г „я ЗаодотХ Saox Saovg 3TiaooUx3V3ii aocby
ЗпддзЛуу
SUxniiindj SUx лотЛог1дп<Ьз лотзл 01931г odUyxgyo плз пЛтолп aoir ‘mirindAgdir
01 91ЛП oirodx 9xixmiUxoao 3ii sTiaoDUgaoyoxn пл ariaooUgniroodir t>q
•UriTindA отздаз nni 91m (a?)/ SUx UoiAAsoodir Uxoixysg Ux ndg пл (9)
• • • ‘гх lx ‘x
от1алотауо1г nxo ipiuiqas-ureig иои1О1гох1лолпходдо i3O9ridnd>3 пл (у)
•плох111илао пх тох
плохой пх толп одотХ лох лаоЛпдотг aoir uS3yUxo,, 5з1лотЛоддо iq -лотуододк
лотхпхоот9олот1 mioiodgn 5от (ж)/ SUx xaunoj пдпо Ux по1дотлЛплп пл (g)
'(x)J 51зо1лхдплао зо а пхот1оалп19
91ГП ‘аолзт1ол1Л аох1дзхотоз аох тох SaoxUii аох $3391 5ix плпххзгз пл (г)
SOZ
lOIWHOS-MVaO Nf51 H3HIOUOMINONVMO0dO VI

or	or	or	or
• - •  + a:p^(j:uis) / iq + xpx uis x soo / in + rrpj:uis / Op = xpx uis (x)fi /
_U£«/
:xuis oi ari лотдазук oag лотх tox oasiIoa/iA. gxidaxroos
oi sxdnir ‘тЛду rr/'m 3j\ (nrlkxonig oi gxan (o mxa^ido fi кокхдплао ц)
01 5(03 0 01 91г» зхо<одкухоуо тох ж uis кокхдплао kZioxoiXAn лкх зг1 Зздазук
oag 5n тох sxonionyirnyyoir ‘iq о 5от1гд кхозузхлао лплз эхзояЛоуоиа пл mj
 • + Ж£ uis ?q + ж£ soo г» + x uis iq + x sod in + Op = (x)fi
:плох
-iiitiAuo тох nAOxirik зо коауплп mri толп Зкокхдплао Smii jaunoj ndiao ц •£
•jr/'- Saox Soxkii ox 3ii koadimg oirn пхзт! 5зх1лолпходдо тох толп
Ззхау 5з1лотЛоддо тохло^пг1оло пд ‘лздкт! толп олзт1дл1Л дх1дзхотоз ох aotioito
лтх ‘жвоэ 1х тох xuis к 5roirg ‘5покхдплао оад ‘пхюаф -||б|| ||/|| > |(6‘/)| :туп1г
тох тохпюколпх! ziBMqog пхкхоочлп н ’г||/Н = (/‘/) 5кх отозг! Soxkii ох зт)
iynir тохзздлао тох f)Tf олзт!ол1Л дх1дзхотоз gxixmioaAnig ох зг! n^niori дхау
7	or
= xp(x)6(x~)J	/ =(6Lf)
толп OAaripAiX 5аох 9x163x1003 ох зхдх
‘ж soo = (х)б тох ж uis = (ж)/ лпд люзоЬидплао оад oAstioxiA oxidsiwos ох тох
пЛпдтг пг1(одкухоуо зг! Soxmioiodgn аох 5копхопхпх1хлп 5кх пздп mqi ц
odnirn толп гж/х 5кх пгкодкухоуо
ох 1x919 ‘x/i = (x~)j кокхдплао кх -Ху пХзпдзи лзд 5дхау (ц) лохо 5тл
-siiooAkodir тох 5<pgiQxn Зсохсд ‘5охкг1 олзг1опдзкз1г лаоХз аок 5покхдплао 5ix
5зуд пХз1дз1£ 5одотХ о тох 5аох 5oxkri ох зг1пдхзт! пл oirodx плз зт!аоХз ‘5покх
-дплао толп пхпг1оалтд пх лтзокхдпляо SodwX злпЛз 5ml 5од(оХ оэцуц о
or	or
(Zl)	-14= жрг(жип) / =жрг((ж)/)	/=г||/||
-.йотдиухоуо
лкх oirn ‘oirgdx оххаз<Ьо1гплп тох gxiAoyoioacb плз пхпх ‘тохпхоздпхплп дхап
niioiodgn ох '5охпг1оалтд аоюхзх 5длз Soxkri ox aiiaodg пл тк лсооотхтлао лгох
лголгоЛпдхзх лотх 5коздодд1г плдлпх олзг1тдклао лох arlaoogridndn пл лозуя
охпладп толщ -5oxniikxomg аох Soxkri пхпх ж uis 5кх Ssriix Six ‘Ззоотхтлао
girn 5зХзлао обкухдуо пХз aoir пНоалтд плз зг! n^niori кхап / н 'UZ
> ж > д mikxomg охо ж uis = (ж)/ кокхдплао кх зг)аодотзд ixg зхоздокх Т
onriko одзхазд охо плдзЛ Snii дхап ix
5покхдплао толп пл ndoicri аох 14пхпг1оалтд,, пх 'ЗпозгкНпхзг! Ssyixioir gira
зг1пхлплао лох :»ikxgigi kxronrlkooi^n кууп mri тох пХз Sgxan 5odroX q
VXHlOINnJO0dO
90Z

•у тох Q пдх» зт1 тохлаооллз ninrifndUyzo'/o п [ ig-rj *
-оуока люлз тЛ тох krigxy -юигоЛоддо тол13 тол. ox дкю ауок лао'Хзкю zx тох
х ‘х юх 11019 ‘Saorigidn ЗаоуюЛзт! тзХз1дзк аок осЬодхоплю тзХз Здхаю Зюхюлтк q
(ж»
(х 1х)
(х‘х)
(l‘z)
(l‘I) J
= VjX
‘X > х > о uiikxopig oij
•рэцпн ао1 »хвл« Зтзоюхоюхюх Зкхюх лох окю тахздтд коздлаоютд k Dioiyori
тох летхюлтк котхктдзк лкхо ^(у^у) о Зетдтдхю 5сокд ‘5oxi9x Здхпздлао Зюлз
тзХдюка ю© 'zx 010 тох х охо ‘у охо сплюк 5кх лотуододк лотх ют!отоддю
01 толу лзд (x)fi кокхдюлао kxo куодюдюк кдзхозтокук U ‘охаю (ij ( гж
Зкх югкодкухоуо ох толу 1x919 ‘9x1x39 зхохлюк толу zx тох х летх олзт1дл1Л
дхтдзхтоз оу) -ЮХ30ЮХ толу юл -zx тох х‘х Зтзокхдюлао ю- Ззло^ю тохотдк
5i3ox io тох kiigxo ‘отоко охо ‘orikxomg тзХдюка лзд ЗтХахоад тох ют!ала>ауок
юх талу Зздзюаоукю iq -ЗзтлотЛоддо зхохлюк толу лзд Ззтоко то ‘юлох111клао
тох юлох1т1к дкю лотхпздосЬютд ‘лотзокхдюлао лсоткокдХ Эодкук тзХдюкх ‘f
лтлр^п лтхздтс (Эодкук ох лсодукю) оуолао плз iodic im fl а5о1т1оалтд„
aoi 5злзг/Аю1Э1лао 5и тзлтд jaimoj vdiso к ‘ютлетЛоддо толу юлох^клао юх тох
юлох1т![1 юх IxgisKg толох^тШлао U, олох^к юлз зо отлюк /г аох куододк толу
5юлз здюх Ugoylig ‘5ю01зо Skx 5ао9д 5аох 5аоуд Ю1Л паздкую oigi о^ -ft охо
юдзхозтокук лдхюлад ох 009 жиу iq ох 13лдзсЬ Здхаю ‘хиЛду юуую зт! ‘к = zuis iq
Skomoi^s 5ktiioayiK3 kri 5kx лтлотЛюдхзх лтхо1Хюуз lioay U толу iq Ыххозузхлао
О ( юж люхй юхют!одлю1д oij) 'xuisiq 5отд1дхю толу коладазхюх лкх кхаю to
d аох юоотхо1лао н ’жщв ою шлпи ft лЬ1 зг/лоууюдоди xaunoj pSiso Dili 3j
vj,v
:юдзх1дтл ауок зхкдо1Лоуока v ox 1зЛюдюк
аок Зюудаз 5kx Soxlirl юхюх q 5охют1оалю1д аох юоотхомао ц Ззуододк 5ix зт!
хиЛоуюлю лкх sriaog юл талу SaorioiAoyoKa 5аох Заохаю ,о лодзЛюдлз ох
ху soo ох зоаотоког1токдХ юд г»
о тох ‘жиу аох козд кхо xsoo ох зодотоког!юкдХ юд io xaunoj Зкхозузхлао о
(жиу‘жиу) XPt(XUlS)azf t
(.Tins'1 ft) xpxuK(x)fi
:ют1отдкухоуо дхтздкт! kri юлз ox дхаю зт! клзг1здто1д
юдазук кдзхо1дю к толу iq ох юду -(gy) лохо 5ткд ‘оытА.оддо 5aoi а$шзг1
тпл1з naoiiriклао тох oaoiirik 'аох дхаюз лох 13^ютоюукюууок a:uis ох отоко
охо ‘5длз лкук ‘лздкг! толу юхюткодкухоуо юх дкю юлз здюх ‘юдазук Ю1§зд kxj
laiWHOS WVHO NOL HSHIOLIOMINONVXOQdO ГЕ

. Гт]_ Г<т1 Гт fl ц Г(^‘®)1 _ [<?! Г(^‘^) (т‘^)1
Ы’Ьш iJ ' [И’ЫН (vt)J
ТО13Л1А q^y
= xVjV Ьоото^з н толотАпд131 nioiXnys зг1 дх = [х х] 01 зюау (т)
|ОтоупсЬзх oi одкухоуо
3i39»yninx пл sipdoirri ‘5aoi a^nisri 313Л]дхАао Sctoi лрз aoir ‘проаз л1и Uian
sriaodp пл loirodi AoioiXnvaoi Sisdi лаоХдпк^ ‘X > х > о nrilnoni^ ою lxq + j
UririndA проаз niri sri у = fi лкх sriaooiAAsoodir пл sriaoysg по зюз0О1г^ •§
•aipuaSaq
пг!алотауо1г (хх U) oi »i<p9ic ni pirn плз здпх зо Зтлоу/пдодю ‘5з]Аоуо1лпд
-31гп 5idroX ‘orlioiAoyoira лозую толр пхзр aoriQng о^алотауою одзюзюкую о£

коаздйутщ
X > х > х- nriUionrp ою ‘Saoi a^nisri тлотАо0до гплгз inx aipuaSaq aoi
пг1алотауо1г гтлоАзу oirodi лох лрхап trl гтло^пазхоптх aoir пИалсоауою п^
хртУ х_х(х‘х) T(vt)
xpylJ Z ^х‘х>) (zx‘l)
толр ог1алотауо1г омотАоодо
oiidi oi ‘(д) oirai лох пт^[ у aoi inx x <roi a^nisrl nproA U толр STiaoomgdoKj
пл sriaoXs aoir олог< oi inx ‘Эзло^п Saoisgnx oap Saoicodir Saoi Sot x = ^-a inx
X = la юлзг1оХзро1гп ipiuaps-ureir) nionxiqmp Ui sriaooliAixsS пл sriaodoirri wig,
Q=xp£x l^=(£xlx) lo=xpx f=(x‘l)
:5зпдп 5n 5зуо to Ssisgnx 51зг1плар Эзшдзю 5n Ззур nioignx oiaoi 11019
‘l > x > x- °i 5miro ‘oxidisririao nriUionig sri sriaogonAds пл orinrpxo толщ
•Saoi
a^nisri юпотЛоодо тол13 пл loioiro io ‘£x тох x‘x лап 5аог1опа§лао зг1п1к5плу
аргшцэд-швзг) птх коктоюохглолпхоодо 1злтог1ко oiaoi тох Ззло^п 5ао1лотЛо0
-до зо зг!аоопдз1г пл толр пз§1 кюото ц 1л1пла§ толр пл isirsdir пг1алотауо1г зг)
UoiAAsoodir н з^аооотдлз пл inx isirsdir лз§ ‘nidsri кууп лк1 (iry £|ох oirn odsi
-aynAsri 1позуз1лао зг! о1зла.0зЛзт1з по SUoUioiroyaAAodio nrivncbo 30nx :ssnpg
UdnoYnirn sri nrikioao 01 oian sriaooav пл ododniaon толр ‘пдзюзсрдху
•пхз§ aoriong от1алотауо1г одз1озтоЬ(1г
oi зг1аод9 пл niA = хуjV ох зт1аооау пл ododniaon nxnxndir толщ
•Ззло^п Urloxn ЗаоАр зт<аооз0оод1г лто ‘кдосЬоюалп toisaiA Uonionmx U ‘UioiA
VlHlOINOJOQdO
80Z

3.4 OP0OKANONIKOFIOIHSH TQN GRAM-SCHMIDT
209
(2) EXaxiOTO7toir|OTE to E2 = /о'(ж5 - C - Dx)2dx =	+ C2 +
CD + ^D2. Oi nagayaiyoi <05 ngog C xai D, цеха ало Siaigeor] це то 2, o6r]yovv
nioco OTig xavovixeg e^iowaeig тт]д цебобои (1):
-| + С + 1Г>=0 xai	_| + |C + |Z>=0.
(3) Есрадцботе 5ia5ixaaia Gram-Schmidt yia va avTixaTaoTTjoeTe то x це
то x - (1, x)/(l, 1) = x - 1/2, nov eivai og6oyibvio ото 1. Tioga jtXeov 01
цоуобнютатед лдобокёд Sivovv тт) бёктютт] evOeia:
(1,1)
<x\x- 1)

AEKHSEIS
3.4.1 а) Катауоа'фте rig reooegig e^iocboeig ладецбок^д Tiqg у =C + Dt ота дедоцёуа
у = -4 yia t = -2, у = -3 yia t = -1.
у = — 1 yia t = 1, у = 0 yia t = 2.
Aei^re oti 01 отт)Хед eivai ogOoycbvieg.
6)	Bgeire тг] бёктютт] evOeia удаццг], oxE6iaoTe eva удасртща xai ygaipre to осракца
E2.
(у) Е|г]уг|оте то yeyovog oti to осракца eivai prjSev це тт] 6or|0eia too oq/ixov
оооттщатод reooagcov e^iocooecov xai Soo ayvo'joTwv. Пои 6gioxerai q Se^ia nkevga,
oe о/ёог] це tov /ojoo oTTjkcbv xai лою eivai т] лдобокг] тт]д p;
3.4.2 ПдобаХате то b = (0,3,0) oe xaOe eva ало та ogOoxavovixa diavvapara a, =
(2/3,2/3,—1/3) xai аг = (—1/3,2/3,2/3) xai xaroniv 6geire ttjv лдобокг] too p
ото enineSo tcov a, xai a3-
3.4.3 Bgeire ел1ог]д tt]v лдобоЛг] too b = (0,3,0) ото a3 = (2/3,-1/3,2/3), лдооОёоте
Tig rgeig povodiaarareg лдобокёд xai е^т]уг)оте то алотёХеоца. Пат1 о Р =
а^а^" + а2а^ + a3aj" laovrai це tov ravroTixo;
3.4.4 Eav 01 Qy xai Q2 eivai ooOoyojvioi nivaxeg xai елоцёусод ixavonoiovv rr]v QtQ = I,
Sei^re oti о Q\Q2 eivai ел!от]д ogOoycbviog. Eav о Q\ eivai т] отдоди) хата в
xai о Q2 eivai г] отдосрт) хата ф, лоюд eivai о Q1Q2; Млооесте va бое(те Tig
тщуо^оцетогхёд таитдтгцед yia то sin(0 + ф) xai то cos(0 + ф) otov локкалкао1аоц6
xivaxcov Q1Q2;
3.4.5 Eav и eivai цоуа&1а1о бктпюца, delate oti Q = I-2uuT eivai ogOoycbviog nivaxag.
(Awog eivai цю avaxkaor], yvcoorog eniopg aav цетаахгщатюцод tov Householder.)
Ynokoyiore tov Q, orav uT = [1/2 1/2 —1/2 —1/2].

210
OPOOrQNIOTHTA
3.4.6 Bpeixe pia rpitr] отт)кт], exoi йоте о nivaxag
Г1/л/3	1/л/14	I
Q = l/y/3	2/x/14
L1/V3 -3/У14	J
va eivai opOoydtviog. Aoxi) лрёлее va eivai eva piovadiaio diavoopia, opOoyibvio
ang ai.Xeg doo axr|Xeg. Поот] ekeuOepia anopievei; Елалг]0еиохе on xauxoxpova oi
ураццёд yivovrai аотоцатсод opOozavovixeg.
3.4.7 SyrniarigovTag ал’ eoOeiag to bTb, deluxe oti о xavovag тот) ПиОаубра ioxoei
yia олоюу&тртоте auvduaapo b = x^q^ +  + xnqn opOoxavovixmv diavuop.ani)v:
||d||2 = ж2 + •  • + Xn- Se ооцбоХюр.6 pie nivaxeg b = Qx, apa avco deixvei лам oxi
diaxtipouvxai та цх|хт): ||Qa:||2 = ||ж||2.
3.4.8 ПробаХате то diavuo|ia b = (1,2) navo> oe dvo diavoopaxa лоо dev eivai opOoywvia,
xo ai = (1,0) xai xo a2 = (1,1). Aei'Ejre on, avxiOexa це xryv op0oyojvia лер!лпоог),
то аОроюца xwv doo piovodiaoxaxcDv npo6oXojv dev loodxai p,e b.
3.4.9 Eav та diavoopiaxa q2, q2, q2 eivai opOoycbvia, лоюд oovdoaagdg nov q\ xai q2 eivai
ллт]<лёатеоод oxo <73;
3.4.10 Eav та diavwpiara q\ xai q2 eivai opOoxavovixa, лоюд oovdoaopog eivai лктрою-
атерод ото diavoopa b; ЕлактрОеооте oxi xo diavoopa ocpakpiaxog eivai ooOoyo'jvio
oxo qy xai q2.
3.4.11 Aei^xe on av ёvag OQ0oycoviog nivaxag eivai xai avio xpiyiovixog тбте eivai diaycb-
viog.
3.4.12 Пою локкалкаою too a-[ = [ 1 1 ] лрёлет va acpaipeOei ало то a2 = [ 4 0 ] yia va
yivei то алотёкеоца OQ0oyd>vio ото щ; Парауоутоло1Г|оте xov [J 0] ae *5^
ooOoxavovixa diavoopiaxa otov Q.
3.4.13 EcpaQirooxe diadixaoia Gram-Schmidt oxa
-lii- -Й- "[il
xai уоссфте то алотёкеоца отг] |лодкрг| А = QR.
3.4.14 УлоОёоте oxi та do0ёvтa diavoopiaxa eivai
43 •< 43
BQeixe та opOoxavovixa diavoopiara qA, q2, q2.
3.4.15 Bpeixe ёva opOoxavovixd oovoko q\,q2,q2 ал’ то олою та q\,q2 napayoov xov
X<bpo oxr]kd)v too nivaxa

3.4 OPQOKANONIKOnOIHSH TQN GRAM-SCHMIDT
211
П0105 0ецеккЬдг]д lOTO/ojQog negiexei to q2; Пена eivai r] коот] ekaxiorwv Tergaymvwv
tod Ax = b, oxav to b = [1 2 7]T;
3.4.16 Exqjgdore rr|v opOoxavovixonoirjor] Gram-Schmidt twv
wg A = QR. AoOevrwv n SiavuopaTeov аг, xd0e eva ало та onoia exei m
ODviorwoeg, noia eivai та охЛЦата ™v A, Q xal
3.4.17 Гю tov idio nivaxa A xai це b = [1 1 I]7 , х0Ла1ИОЛО1Лате ttTv A - QR Yia va
кинете це ekaxiora Tergayrnva то пробкгща Ax = b.
3.4.18 Eav A = QR, бреете evav anko голо yia tov nivaxa ngo6okr|g P nava) otov xwgo
OTT]kd)V tod A.
3.4.19 AeiSje oti та rpononoirmeva Gram-Schmidt бтщата
c" =c- (qfc)q\	xai c' = c" - (q£c")q2
nagayoov to i6io дктп>оца c' dnwg arr)v (7). Ynokoyiorixa, eivai noku nio euoraOeg
to va аерацхтце Tig пробокёд ц!а лрод ц!а.
3.4.20 Bgeire то цт|ход tod Stavi^arog v = (l/\/2,1/л/4,1/л/8,...) xai тт|д ODvagTTjaqg
f(x) = ex (ото бюоттща 0 < x < 1). Пою eivai то eawrepixd yivd^vo twv ex xai
e x o’ aDTO то бшотгща;
3.4.21 Пою eivai t] nkrjaieOTegr] ODvdgrqot] a cos x + b sin x отт) ODvdgrr|aT] f = sin 2x, ото
бюоттща -тг < x < n; Пою eivai г] пк^оюстерт] eD0eia c + dx\
3.4.22 E^iocovovrag ttjv naoayojyo це ^6ev, бреете rqv Т1ЦГ| tod b] noD ekaxioronoiei to
SDyxpivare todto це tov aovrekeatr) Fourier . Eav y(x) = cos x, noio eivai to b\;
3.4.23 Bgeire TODg oovrekeoreg Fourier a0,a],6j Tt]g хк1цаха>тт|д ODvdgrr]Oi% y(x), non
looDrai це 1 ото Ьюаттща 0 < x < n xai це 0 ото ano^vov бюоттща n < x < 2n:
a0 =	a] = (^’cosa:)	5 = (?Asin3;)
(1,1)’	(cos x, cos x)'	(sins?, sin x)
3.4.24 Bgeire то епоце^о покеюууоцо Legendre ото бюоттща — 1 < x < 1 —eva xd6ixo
nokDwvDцo, og0oy<bvio Ong 1, x xai x7- — 1/3.
3.4.25 Пою eivai T] nktioieoregr] ED0eia ураццт], ottjv naga6okr| у = x7, ото бюотгща
-1 < x < 1;

212	OP0OFQNIOTHTA
3.4.26 Stov тело (7) tcov Gram-Schmidt елакт]Оег>оте oti to d eivai OQ0oycbvio ота q\ xai
<?2-
3.4.27 Бресте pia ogOoxavovixt) баот, tod wro/cbpou hod ларауетас ало та а; =
(1,-1,0,0), а2 =(0,1,-1,0), а3 =(0,0,1,-1).
3.4.28 Есрарроате тт] рёОобо Gram-Schmidt ага (1, —1,0), (0,1, —1) xai (1,0,—1) yia va
бре1те pia opOoxavovixi) баот, тог елслёбос xt + х2 + х3 = 0. Пою eivai г] бюотааг]
avroij тог DKoycbpoD xai попа pr] prjSevixa diavDopara hooxuttodv ал’ ttjv Gram-
Schmidt;

3.5 О TAXYX META2XHMATISMO2 FOURIER
213
3.5  О TAXYE METAEXHMATEMOE FOURIER
Его тёХод rqg reXeuraiag лараурасрои xavape pveia oxig oeipeg Fourier лои
qrav ypappixq аХуебра oe aneipeg diaoraoeig. Ta “diavuopara” qrav ouvaprq-
oeig f(x} лои лробаХаре ora qpirova xai ovvqpirova, лраура лои ларг|уауе
rovg ouvreXeoreg Fourier. Ал’ aurq rqv aneipq axoXov6ia qptrdvcov xai ov-
vqpiroviDV, лоХХалХаоюорёхол' pe rovg ошлеХеотёд rovg Fourier, рлоробре va
ауаларауоире rqv f(x). Aurq eivai q xXaotxq лер1лта>ог], блюд rq ouveXa6e о
Fourier. Sroug лрахпхобд илоХоуюроид юотбоо, auro лои vnoXoyi^ovpe eivai
о diaxQirog рЕтаахцратитрбд Fourier. О Fourier ел1^е1, aXXd orig лелераорёуед
diaoraoeig.
H Oeopia eivai xaGapq ypappixq аХуебра, 6aoii;6pevq orqv opOoymviorqra.
Avri rqg ouvaprqoqg f, та SeSopeva eivai pia axoXouQia api0p<bv y0,..., yn_,.
To t^qroupevo eivai pia aXXq axoXouOia tdiou pqxoug- avri piag aneipqg axo-
XovQiag, eva ouvoXo n owTeXeorobv Fourier Co,..., cn~i. H oxeoq цехами imv у
xai c eivai ypappixq, ара лрёле1 va SiSerai ало evav л^аха. Avrog eivai о
nivaxag Fourier, ало rov onoio e^aprarai xai oXdxXqpq q rexvoXoyia еле^ер-
yaoiag rpqcptaxdiv oqparrov. Abtaxpirwg too av лроёруета! ало optXia, eixoveg,
axouorixa xvpara q тqXeлlxolvюvieg (q axopq xai avixveuoq nerpeXaiou) то
oqpa ipqipionoieiTai. Auro peraoxqpaTi^erai pe rov лЬаха F xai хатбл^
pnopei va avaxrqOei, юоте va ларах6е£ q apxixq eixova. Eivai ало<раоют1хг|д
oqpaoiag to oti xai oi био peraoxqpariopoi pnopouv va exreXeo0ouv тахитата:
(1) о avriorpoipog nivaxag F~r лрёле1 va eivai алХбд
(2) oi лоХХалХаоюоро1 pe F xai F-1 лрёле! va eivai ypqyopoi.
Sqpepa nXeov aXqOevouv xai та био. О л1уахад F-1 eivai yvoiorog ало
Xpovia xai pota^ei лоХи pe rov F. Праурап о F eivai oupperpixog xai
opQoyibviog (ехтод ало evav owreXeorq y/n) xai exei eva povov еХаттюра:
та oroixeia той eivai fiiyadixoi aQiOfioi. Amo eivai eva pixpo avriripo to
onoio лрёле1 va лXqpюooupe xai to лXqpюvovpe ларахатю. Oi dvoxoXieg
еХахютолоюг^та! ало то yeyovog on oka та oroixeia rov F xai tov F 1
eivai dwayeig evog fiovadixov agiOyov w. Avri piag nXqpoug eioayojyqg oroug
piyaSixovg apiQpoug, лрохюраре pexpi too oqpeiou va XQ1'lolH°Jtolo'upe rqv
a§ioaqpeio)Tq e^iocnoq wn = 1, лои лер1ех81 qpirova, owqpirova xai ехбепхёд
dwapetg xai 6pioxerai orqv xapdia rqg dtaxpirqg avaXwqg Fourier.
H euxoXia avriorpocpqg rou F eivai aipooqpeianq xai axopa xi av auro
qrav to povo nporepqpa rov (xai pexpi to 1965 qrav ovrwg to povo), о dtaxpirog
peraoxqpariopdg лаХ1 6a xareixe pia evdiacpepouaa 0eoq. Sqpepa брюд imdpxei
xdn лapaлdvю. Oi лоХХалХао1аоро£ pe rov F xai rov F-1 eivai Suvorov va
yivouv pe evav e^atperixd ypqyopo xai ё‘§илуо троло. Avri rcov n2 ^exwpiordiv
лоХХалХаоюорс^, лои лpoёpxovтal ало та п oroixeia той л^аха, eva yivopevo
mvdxcov oav то F 'y ала1те1 povo (nlogn)/2 6qpara. О лоХХалХаоюорбд

214
OPQOrQNIOTHTA
eivai o idiog akka yiverai це цю xakr] ava&iara^r]. H avadidra^T] aovr] keyexai
Ta/ug METaaxufiaTiafiog Fourier (TMF).
H ладаудафод аотт) ^exiva це то w xai Tig 1бютт)тёд тон, negvd otov F
xai хатакгр/et otov TMF, tov тауб цетао/гщатюцо xai Tig ефадцоуёд топ. H
олооба1а ефадцоут) ovoцd^eтal ooveAi^t, xai то xkei6i тт]д елегохцад eivai о
xavovag туд avveXi^yg.
MiyaSixeg gi^eg rqg povdSog
Mepixeg лдауцапхёд e^iocboeig цлоде£ va ё/ouv щуаб1хёд kooeig. H e^iocoor]
x2 + 1 =0 обт|ут]ое ott]v ел^бтрт] тт]д i (xa0cbg xai трд —г!). Аотт) 0есодт)0т]хе
oti eivai цю киот] тт]д eigiocoopg xai то 0ёца ёкц'^е. Eav халоюд дапобое ую
т-qv х2 - i =0, олт)дхе a^avTijor]: Oi тетдауатхёд git,eg mya6ixcov agi0mov
eivai Iraki Ц1уаб1хо£ ад10цоь Пдёле1 va алобех0е1те огл'боаоцоёд х + iy, це
лдауцапхб цёдод х xai (pavraorixd цёдод у xai dev xgeia^ovTai ледюобтеда
тexvdoцaтa. Ка0е локоагуоцо ба0цоб п ёхе1 п axgi6cbg gi^eg (ev6exo^vcog
Ц1уа&1хёд xai ev6exo^vcog локкалкёд). Аото eivai то Оецекиобед ©есбдтща тг|д
Акуебдад xai г] кё^т] “ц1уаб1хёд” ооцледскацбауес тг) боуатбтт]та цт]беуюцоб
тон (jpavTaoTixoo цёдоод у = 0, олбте о ад10цбд eivai лдауцат1ход.
Mag evdiaq«goov e^iocboeig блюд г| ,т4 =1, лоо 0а ёлделе va ёxoov тёооед1д
kooeig, oi оло1ед 0а ёлделе va eivai “ot riooeQig gtijeg тт/g povadog”. Oi Soo
тетдауатхёд gi^eg тг)д цоуабод eivai rj 1 xai r] -1. Oi тётадтед gi^eg eivai oi
тетдауатхёд gi^eg tcov Tergaycovixcbv gt^cbv, 1 xai —1, i xai —i. О ад10цбд i
0a lxavoлolei tt]v i4 = 1, 6loti ixavonotei tt]v i2 = — 1. Гю Tig бубоед gi^eg
тг]д цоуабод хдею£,бцаоте Tig тетдауатхёд gi^eg тт]д i xai тобто цад odr|yei oe
myadtxodg адШцобд блюд о w = (1 + i)/V2. Tergaywvi^ovrag to w лдохблте1
то (1 + 2i + г2)/2 лоо eivai то i5io це то i, &ioti to 1 + i2 eivai цт]6ёу. Афоб
то Tergayaivo eivai w2 = i, г] бубог] 6ova^q w8 = i4 =1. 0a лдёле1 va оладхе!
халою ооаттщапхг] цё0обод ебсо лёда.
Oi mya6ixoi ад10цо£ too л^аха Fourier eivai Tekeicog ei6ixoi. Та лдауца-
Tixa тоод цёдт] eivai oovrmirova xai та фагтаот1ха тоод цёдт, eivai Tairova:
w = cos в + i sinO.	(1)
Уло0ёоте oti то лдауцат1хб цёдод ormeicbveTai otov a^ova x xai то фаутаопхб
цёдод otov a^ova у (Sx- 3.12). Тоте т] алботаот] too w ало tt|v адхл eivai
cos2 в + sin2 0 = 1, о w лед1ёхета1 otov fiovadiaio xvxko xai axjmarit.ei це tt]v
ogi^ovno tt] ycovia 0. S’ аото то охлца xa0e цсуабсхбд адШцбд z = х + iy ёхес
цю 0ёог] ото ел(.лебо лоо ovoцd^eтal fiiyadixo егаледо. Okoxkqgo то елслебо
е^ета^етас ото Кефакаю 5, блоо eцфavi£ovтal mya6ixoi ад10цо1 сод сбюпцёд

(£)	'вг-Э~~ ‘вш9-ип 10^~гт
:зг1аолзт11дзк 5п 5гоко толр 51зт1юла9 то 5откзла j
•тохпошлюЛ толр 5з130хз то люю ‘лаоаХто юл лаодаоуохю^з ‘,-Э = £э/гэ
11 ?э = (£э)(гэ) 5ст1£о ‘лотзт<юла9 51юздто1§ тох аог1оютоюу1гю^ок 5злолюх iq
(г)
гэ = О UIS 1 + 0 SOO
:0 5отзою<Ь 5ю1лтоЛ тох юлз 5аодаз
Ыюлад 11X1130X3 lixignAiri юп1 толр oaoiitIIi oi зт! аологп111лао aoi Soiiooa^Aao
О -т aoi 51зт<юлад sriaooiiorHiXo юл Soirodi 5одз1ауюх 5юлз тзХдюк^
1заз01тую аок ют!Людк ‘$гг ю]лотЛ In п^пюгИГХо ит
oi по зт1ао0ОЮ1(Кока юл 1злюх 5ют1 oiay '0^ ютлюЛ numyicig 1зХз ют/ю ‘оухах
отоп^юлот! лою 5U.O1K3 1Ю1зХз1<Эзк т aoi олотЛюд131 oi тох 0% uis г + 0Z soo = гаг
wig, (-59т<01дю 5охпют1Люб1£ 5юлз толр 5одзг1 рхпогплюсЬ oi :то1злю9т1юу1дз1£г1ао
лз§ г oi по зюопзтШз) ’^uis oi толр $ uis $ soo г 5о9зт1 охпою1люсЬ oi тох
01 soo зт1 TOiaooi 0 uis - 0 zsoo 5обзт1 9хпют1Людк oj, -5ю1д1зт1олотЛ1д1 5ln 5ю1лотЛ
5ютоюуш9 Sin oirai aoi зт! р0азл11т1дз юл idXsrl ог111Хою то1злтосЬ 91аю тод
'О soo 0 uis + 0 гир - 0 zsoo = z{0 мкг + 0 soo) = zm
:5отозг1ю i30oiAoyoira юл рдош!
aoi 9лотЛюд131 oi odaoAij \т aoi Ыюлад liioo-u л1п sriao^iAo'/OKa 5отц
оухах ото1§юлот1 лою toiaoXsiSsk аок ‘аг юргИю ЮХ1913 лол9т1 зюют!
-9^ю1здХ 3 = ит л1п зт!аооау юл ютЛ ‘<993 '(лотхюлтк лотхпют!Людк тох lutoxio)
•5оухах 5ото1§юлот1 о тох оцзкрз охрпЛтг! 03 xi'i ’Хз
SIZ
xHianod xowzuvwHxsviaw saxvi о st

216
OP0OFQNIOTHTA
Н n-оотг] 6i)vap.T] охтщать^Ес тт] yiovia nd. 'Oxav п = -1, о avriorootfog
1/w oxij/iari'CEt тт/ ywvt'a -0. Eav лоХ.ХалХаош^аце tov cos#+ i sin# це tov
cos(—в) +zsin(—0), 0a ёлделе va ладооце 1. Пдауцатц елеьбт) cos(—0) loooxai
це cos0 (то owrmiTOVo eivai agxia aovagTr]or]) xai sin(-#) toooxai це - sin#
(to r^iixovo eivai лер1ттг] oovagxT]or]), о лоХХалХаоюоцбд avrog 6ivei:
elOe1(> = (cos0 + i sin#)(cos# - i sin#) = cos2 0 + sin2 0 = 1.
2Л]це1ы<н] 0пцаца1 лои T|g0e ща цёра eva удацца ото MIT ало ёvav (poXaxi-
cqjivo отт] Мёа Yopxr], лои дютобое av о холод (2) rjxav аХт]0т)д. Eivai лрауцат!
ладабо^о, oxav то xaAooxeipxeixe, oxi xpeig oovagxi)oeig xXet6ia xoiv ца0т]ца-
xixibv oov6oa^ovxat цеха^б xovg це ёvav xdoo agцovlxд тдбло. H хаХбхедт]
алс^тт]ог| цад r|xav va 0ешрх]оооце тт] 5^ацоое1ра
(г#)2	(г#)2
2!	3!
То лдауцат1хо тт/д цёдод 1 — #2/2 + • •  eivai то oovrmixovo. То cpavxaoxtxo тт]д
цёдод 0 - #3/6 + • • • eivai то rmixovo. О холод eivai оатотбд xai 0а еихоцоиу va
е1хаце oxeiket цю юдаютедт] алббе^т].
М’ aoxov xov тбло цлодопце va Хбоооце xx|v e^iowox] wn = 1. Aoxr] yivexai
егпв = 1, олбте то п0 лдёле! va цад фёдец 6iaoxi£ovxag xov хбхХо, люо) oxr]v
адхт). Н Хоат] eivai va ел1кё^ооце 0 = 2л/п: Н “лдштадх^”* п-оотг) gi£a т??д
fiovadog eivai
Н n-оотг] бё^ацт) тт]д eivai е2кг лоо toooxai це 1. Stt]v ледьлтшог] п = 4 xai
п = 8, аотт] т] лдаттт] gi^a eivai
л	. . л
W4 = cos — + г sin — = г
л	. л	1 + i
w» = cos — + г sin — = —
4	4^/2
Н тётадтт] gi^a axva^ei 0 = 90° xai г] бубот] 0 = 45°. Аотёд eivai 360°/4
xai 360°/8 aXXa 6ev eivai oi цоуа&1хёд тётадтед xai бубоед gi^eg тт)д цоуабод!
Х.т.Е.: H “л(хЬтг]".

oag плп iniA.'iodTOA'oovlivvn пл 5i<5<o7. ‘лз§1и1 nrioioSg» SIuiiki
ЛГ10919 1 aoi 53^16 Ssxigax 10 00910J5 -лаиздпл» ItAruq ‘oag плп Xao^nnriUXo :.-п/ю то ‘5ondn
толр и oi лто, \т- = gm ‘£т- = Lm \сп- = 9т ‘т- = sm Uoanirpsir лкх Uian *
7/хг£ = х mk 8
IL = X
г!^ = x
mk 9
= хкэ^э + хг7эЪ> + э 1э + Оэ
тЛ р	'
q = х mk z
.iLi 5ооз о giro milixopig
охо тлзгИхо юхлоХз1гюо1 юдзоозх mk юлзг1одзд юхо пДлдтох aoir лгодд лсодпоозх
jaixnoj odiso mri Aaooidoigoodir вл лаохк^ Sisocoopp iq -£д‘гд‘1д‘0д толр
ла)лзт1аох1х5 лтх nigaoyoxo р "8 ‘9 ‘р ‘Z = толр лоолзт1одзд aoti Digaoyoxo ц
(9)
•8 = £эг + £д - кп - «д
9 = £д - £д + 1д - Од
р = ктг - гд - 1дг + од
1 = £д + гд + 1д + Од
толзз 8 ‘9 ‘р ‘1 5зт<1Х Six лаоЛрдтг аог
5130000153 то ‘р = и зт1 Diilxyggdir gxurax юлз ’Sisooooi^s и i3Aig aoir DiiAodir
lv]3r1Uo и зо oiliipoi лкх олдг! sripxliz -oioiigdoir ixpx зт1аолзг11дзк юл oiiaodoirri
лзд ‘5зхозузхлао и олдг! зг1аоЛзую1р aoirg ‘lioooxiridsir IxxiSxoig I1X3 ’(51зт1юлад
5зх1хз0хз lx) юлох1тИхлао тох юлох1т11л odisiro 5юхлоото1гог1то1хдХ 5lxx aorioido ютИххо
-pig ох оуо fi (а?)/ лкх 1зЛюдю1гюлю xaunoj pSiso li Ixocoxiridsxc кХзлао Ixx^
аох 5о<Ьодх011лю о i»x хэипод Зюхюлш о
*-лз§иг1 толр юл 131гзд1г ют!оюд0ю ох ох зг1 рдоюююумюууош люхо
‘5охоо1оууюлю 1злзт1юдю1£ aoir Sgiigido 5олот1 о толр лзд1о1 ox Ugisirg юртИхо oigi
юх рхролао лаолзт!ю9ю1г юуую ogf7 юрооЛ юхюх тохлосЬздхо юрг11хо ооххо ю^ (д
зт! тохаоо! |аг ох юуую ‘^т +    + ^т + 8т ox isxiraxodn) кхсотоууюлю 1зл1хсЬю лкх
aoir ‘т ох зт! юдазук 1хдзхо1дю л!хх зг1аооюююу1гюууохс юл толр li^isggiro oipj
(9)	'о = ^cn +    + 8cn + 8m + x
толр охаю 8дг д,1хх
Ю1Л тох о=г - j - г+i Soogidxo толр охаю г = л!хх oi j лздйг1 voais Avtyd
лотх лхоур шйпод@п ox ixg 51хо11гз sxoooisrilx^ xaunoj grloixioiilxXooxsrl аХюх лох
mA охпоююао pgXisgoiro юд aoir ют1Люд1г ‘^т ох толр «аг 51хх олотЛюдхзх ох
по юлю^ 3xoooi3iilx3 -и/о^дх юхюх ‘оухах отадюлот! лохо оолюш ‘5аох а^юхзт!
лаоХз1гюо1 Ss^iQ 1О ’|аг ‘ •‘|аг‘|аг 51зт1юлад то толр Ss^id 5зодЛд Ssirioygira
iq х = wx = £? I- = г? 51зт1юлад то толр 53^15 5зх9юхзх Ssirioygira iq
Z.IZ
И31ЯПОЗ ZOWXI.I.VOJHXXV.I.HW 3AXV1 О ST

218
OPQOrQNIOTHTA
Аптёд eivai oi xeoaepig e^iocboeig (6). Tia x = 2тг r] oeipa елютрёсрес ott]v apxixr]
тт]д Т1ЦГ) yo = 2 xai onvex.i^ei nepio6ixa.
Хтщекооте on r] oetoa Fourier ypacperat onyvorepa отг] Ц1уаб1хт| тт]д цорсрт),
cog onvdnaoyog nov exOeTixcbv егкх цаккоу, пара cog оцубпаоцбд t^itovoiv xai
owr][xiTdva)v. 'Oxav aup^epiXaiiSavovrai 6Xeg oi apyovixeg, oi бпо xponoi eivai
iao6wap.oi, koyw тцд юбтт)тад
скегкх + c_ke гкх = ak cos кх + bk sin kx.
(7)
Млооойце va ларацехуопце ong лрауцапхёд aetpeg, аШ oxav аптёд orayaxonv
otov тётарто opo, anaixeixai eiSixrj npoaoyr) xai oi xnnot 6ev eivai хоцчро!. Mia
хаХптерт] цёОобод eivai va хРЛ°1Нол:о111ооиНе TT1 цсуабсхг] цорсрг) xai va Хпоопце
tt]v e^iowoT] (6) шд лрод топд ашаеХеотёд со, су , сг, сз.
Аптб dev eivai бпохоко va yivet. Eav лрооОёоопце Tig тёаоер1д e^iocboeig,
nnapyei xepdona aXb]XoavaipeoT] orqv арютерг| лХепра. To алотёкеоца eivai
4cq = 20 xai ёто1 то cq eivai 5, г] цёот] пцт) tcov отщатагу 2, 4, 6, 8.
Yndpxet ел 101% трблод enpeoiqg топ c\. ПоХХалкаоахоте Tig e^tocboeig це
xai лрооОёоте. Та navxa apioxepd aXkqAoavaiponvTai ехтод топ
4ci лоп loonxai це 2 — 4г — 6 + 8г. Snvencbg Cj = —1 + г (отщекооте oti eivai
myaSixog). Прёле1 va nnapyei xai ларбцою цёОобод yia то сг xai то сз.
Н diadixaoia (paivexai хаОаротера ypacpovTag Tig e^iocboeig це nivaxeg. Oi
тёооер1д e^iocboeig eivai Fc = у xai о nivaxag eivai
Ta 16 аита oroixeia eivai та idia це топд опутеХеотёд тт% (6). AvtI топ г9
урсараце лрогууопцёусод г, то г6 опцл1лте1 це —1 xai то г3 eivai —г. М’ аптт]
тт) цорсрг] о F-1 avayvwpi^erai епхоХотера. Ехтод ало tov оцутеХеотт] 1/4, о
avrioTpocpog nivaxag ёхе! nqv idia axpi6cbg цорсрт)!
О хат’ enOeiav лоХХалкаоюоцбд 6i5ei FF~X = I. Tia ларабег/ца, г] бептерт]
ураццг) топ F eni тг) бептерт] отт]Хг| топ F~} eivai (1 +1 +1 +1)/4. Парбцою xai
та плбХоша 6iay<bvia oroixeia toonvTai це 1. 'Eva rvnixo yivo^vo non 6i6ei
OTOixeio ехтод тг]д 6iaycovion eivai то 1+г+г2+г3 = 0. (0пцг]9е1те oti to аОроюца
tcov TexapTcov pti^cbv eivai цт]бёу.) Алб ttjv navco ураццт| тт]д с = F~}y бХёлопце
ЛС1Х1 oti то со eivai г) цёог] Т1ЦТ| tcov Teooapcov отщатюу, со = (Уо + У1 +Уг + Уз)/4.

:u/ili тлотЛ s^nnriUXo m о солз	(ouao^iOo
лкх зт!) пит! is^imriUXo aoir ‘ ,_т origidn oxignAiri лот oirn isiiraxodir
о :5плолпх 5ох1лзЛ о тох толп Soiay 'i/i oi oirn лто^пазхотпх {_^
о тЛру пууп зт! ‘г- aoi 51зг1пла§ sXisidsir Зпхплш SocbodioiiAn о р sirs р
Uomiiridsir aU1£ -j aoi зг1ао41здюплп пл isirsdir э ni sriaoog пл nij
•{ = ТОЛ13 Saoi
nisXioio ni nyo ioi3 ‘о = тзХз liyliio liupdic li inx Q = С 1зХз UririndA Uirodir ц
:m aoi UrinAag mi! toais UyUid ц tox UririndA f'
aUio j aoi О13Х1ОЮ o£ Зорплот! SUi n^id Uioo-u Uirodir aUi 3ii iniaooi
m о 1злзЛ ла ’SopoAori SUi n^id Uidnisi U ‘г oi AniU m Sorigidn о p = и nij
*a jaunoa Зпхплиг о гомз 5omy
ТОЛ13
nriUioao oi nxiysi inx m aoi 51зг1пла§ Зздзколп лаоЛпогз nisriUo nirioyoira n£
ад = (i-“)zml~U° + • • • + Zml3 + 03
:zm oi toais aoir ‘uoi iSAngrlnyidsir ufiLp = x oisriUo oiiSi oi
•i/i=	+ • • • + aib + Oo
' и/гит? = m 9Т<01б» orlioidx aoi 1зЛпо1з aoir = x oi toais oisriUo одзкгзр oi
•0/1= l-uJ + ...+ 1Э + 0э
:g = x mA isAingriao Uoaiiiriiao Uirodir н (тзгНш и зп) fi oi зт1
i3iiriirriao пл (юдо u) • •  + хгэ io + Оэ ndiso илзт1опдз1гз1г aUi oirn isnnitn Ssioiro
Sii oirn nni здпх ‘Sisomoi^a и iSAnioidnir 5oian SnxnAiir о пуохаз хзсЬпдюплп
пл тох 13(ЬпдЛптх пл isdoirri э oi зт! fi oi 1зздлао aoir Зпхплш о ‘и здпх
mj -р = и зо inis^iSoiSsir лзд SaiAsriaoAUodir srinxlidg aoir nionxignig н
и oi 5(пз х oi oirn 11лп ‘x - и oi 5(оз о oi pirn Ssyliio 5n
inx SsririndA 5ii sriaorigidn пл pxiAoyoioarb толр jounoj 5зхпл11г з^ liowisrili^
61г
XHinnOd ZOWZI1VWIIX3V1HIN 3AXV1 О S £

220
OPOOrQNIOTHTA
3V О avrloTQOcpog nivaxag n eni n xaTaoxeva^eTai ano Tig Swa^ieig
tov w~x = 1/w:
(9)
Sxtg negmTiboetg n = 2 xai n = 3 avro aquaivei oti о

exei F~'
ITgenet va епак^беоооице oti о FF~x ioovtol це tov tovtotixo nivaxa.
Tia tt]v xvgia diayibvio tovto eivai aaipeg. H удаццт) j tov F~x eni tt]
отг|кт] j tov F eivai (l/n)(l + 1 + • • • + 1) non eivai 1. To dvoxoXoTego цёдод
eivai та OTOixeia ехтод тт)д diaycoviov, onov ngenet va Sei^oojie oti г] удаццт) j
tov F eni tt) удаццт) к tov F~x loovvai це p.r]5ev:
l-l + wjw~k+ w2jw^2k+ --- + w^-^jw-(n~x')k =0 eav j^k. (10)
To xXetdi eivai va паратг]дг|0оице oti oi ogoi avxoi eivai oi 6uvd)ieig tov
W - w^w~k:
1 + W + W2 + --- + Wn-' =0.	(11)
О ар10ц6д W eivai naXi ща gi^a тт]д jiovddog: Wn = wn:>w~nk nov eivai ioo
це Fl k =1. Eneidr] to j eivai diacpogeTixo and то к, to W eivai biaipogeTixd
tov 1. Eivai ovvencbg ц1а ano Tig аЛЛед gi^eg, nov eivai looxaтaveцr]цёveg navco
otov xvxko. 'Оцюд dXeg avxeg oi gi^eg ixavonoiovv tt)v 1 + W н-+ Wn~x = 0.
To тёхуаоца eivai to idio це exeivo тт]д (5): ПоХХапХаоюоте це то W nov dev
akka^ei tt|v адютедт) nXevga (eneidr| to Wn ото axgo de^ta loovTat це то 1
tov agioxegov axgov). To аОдоюца, поХХапЛаою'^дцеуо це то W, naga^vei
avaXXoiwTO, ада пдёпе1 va цт)деу1^ета1.

г£/г-гэ = г(^9/г-гэ)	г^=г(*’9‘П)
:&т тох г>т
лоп a^nxsri 51юзХо Slr/irn 5lix mApv ‘рхххЬз толп тох nasglivn plan ‘li^ndir л1и^
•(лаипг1озузхо1гп лотх 511оздлаоплп Зохорх oi лао) aoirili oi ninx лпхрлотпт! ng
ппуаор It ‘з£ тагз 3g SaorionnriliXonisii оар огп пдпхопхпхплп пл зоаобокт! Х9
шз f?9 SpiiounTHiXonisrl 5плз лпз ‘тог1рдпц х ш f SpiiounriliXoniSTi Зтздаз
tirn Зплз тахз^ппбХ liop .irn ппуаор олрг! lioiri I11 гзппкп ‘5здо<Ь оад тохпрххз
лпхо тох lirioxn ‘3 шз з SpriounriliXonisrl q 'лзрЫ толп fa aoi ппХюхо noiri
пх по пдзхточдт sioionrili^ х аох Sn^id ЗкхтотЛпдхзх SLtx ‘х~ = zm аох 5пт1плад
Зп nXsidsir j о 7 = V(n ‘Т ао1 Sn^id 51идпхзх 5lii 5пг1плад 5n isXsidsir iy о
I- I
I I
= лох зт! тохз^пзХо aoir
I I
:fa пхплш лплз лао^оо aoir
‘Zj- аох пЛпдЛплп oap sri пдзхаупх li ‘Zj- лох sri аох LunXo Luo 1013x0169
ignyx ox тодоЛидЛ пдозузххз пл ndoirrl nionxignig lx 119 зг!ао§пр n©
•aoxirioiZ.oy aoxnorilnonrs aoi oinyndnx рх!дхлзх
Зотп^зх плз толп -э ox pirn /г аох тох /г ох pirn э аох SprioiAoyoira о- лотхпгИю
1юз0лао тох коауплп U 1013, 'lioav lixo лаодз<Ьо13лао i^nri Ззур inx oiroSx
5lii oxig лох зт! ndmXodir ЗпхкхрлХао поотхомао 3gn>j 'лтдосЬтр Зпоотт^з
inx 5i3orooi§3 Ззхпотб1г/хоуо ‘Sisdotoi^s Ssxidocbmg пй 5зуйуупхпх ayoir толп
51зо1пдплао Ззхпздхз iq  э Siu оююукпт/ок плз lynir тли юИозузлокп 01
‘ц + х ою х oi згздзбнпзй U зхзотдй^хо^о л1и U х^э л!и sisoiAwXndnn лпз
:рхап X пито 1лх1дхлзх niri зг1аол1дхт§ пл sriaodoini тох nionriliD lidsiimgi
niri лаоХз 5по1лхдплао Ззхиздхз то ЗаоЛру SaoxnmdUgnTi тох 5aoxioaib mj
•UcbdoTioinTiax л1по cooiir nALipo 5nri nionxipmp ксЬодхоплп н 'лаоузхокп лкх
aoir 5зх1прлХао 5ио Udidorioinriax mri зт!аооауплп пл толп зг1аоо1пзузт1 In пл
mA 5oirpdx Зодзхаупх q -5зЛог1дп(Ьз 5зхпхпд1г пХз up толп поаодзЛтрлз тох
плпх лкх aoir plan пу'уп ‘nidcosg UXodsira niri толп launoj коауплп ц
jgunoj 5prioixnriliZoni3j\i 5aXnj q
 о толп аох ЗосЬодхоплп о up sriaoir пл sriaodoirri ‘и ох зт!
Зпхлсодппр inx чст) SaoxignXiri ЗпЛа^ао зг!аолдто1г up Зпхлокзурпдпц
5з1лшАо0до тли j лол SsyUio iq TOis^usglul пл nirsdit лтЛпдтг Зотохазузх
о пдп ‘х толп лзр 5стт1р ox TOis^uspliri ndasyir кдзхтдп li ‘х = lignirg
(Zl)	'(j-uAl + '' • + гтИ + M + 1)(Ж - l) = UM - I
nxliipiani л1и 4irn Smoprin nxiraxodir li^nppirn liyyn mx\ Unlidtundnu
IZZ
XHIXflOd SO1NSI1VWHXZV±HIA1 3AXV1 О S’E

222
OPQOrQNIOTHTA
H 32-г) pi^a eivai oe dmdaia алдотаот] otov хбх/.о ал’ tt]v 64-t]. Eav w64 = 1,
тоте (w2)32 = 1. Ev ydvei, orav to m eivai то цюб too n, тоте rj m-оотт] pi^a
eivai то тетрауалю тт]д п-оотт]д pi^ag:
w2t= vjm eav m = ±n.	(13)
H та%дтт]та too TMF ottjv тололоищёуц цорсрг] лоо ларооою'дооце edo'j,
Е^артата1 ало tt]v epyaoia це цеуакед dovd|reig блюд т] 212 = 4096. О л1оахад
Fourier 0а exei п2 OTOixeia, ара x0J€?eg tov тахо цетаохтщатюцб XQetd^ovTai
(4096)2 = 224 локкалкаоюоцог yia va лрохбфег то F ел1 х. Oi лок.Х.алХ.ао1аоцо1
хат’ елауактуфт] це tov F yivovTai коьлоу лауахр1бо1. 2е аут10еот] ц’ аото,
evag тахбд цетаохтщатюцбд цлоре1 va xavei хабе локкалкаоюоцб ое 6 • 212
бтщата, лои eivai леуюаотгуо ало 680 (родед та/итЕрод, 6loti аутгхаОюта
eva ларауоута 4096 це 6. Ev yevei, OTav то n юобта1 це 2fc, о цетаохтщатюцбд
avTixaOiOTa n2 локкалкаоюоцобд це (nk)/2. 2оохет1^оутад tov л1уаха Fn це
Soo avTiypacpa too хатблту це тёооера avriypaipa too Fn^ xai Tekixd
це n avTiypacpa too F\ (лоо eivai тетрщцёуод) та n2 ооут]0юцёуа бтщата
avayovTai oe (nlog2n)/2.
Прёле1 va бодце люд то у = Fnc (eva бшуооца це п ooviOTiboeg) цлоре1
va avaxTT]0el ало ббо бюубоцата лоо ёхооу то цюб цт]ход. То лрало бтща
eivai va биирёоооце то idio то с. То бюуооца (со, с1;..., сп_]) бюолата1 ое
ббо Ц1хрбтера, x<opi'CovTag Tig apTieg ал’ Tig лереттёд ооуютюоед:
с' = (со,с2,.  • ,с„_2) xai с" = (ci,c3,... ,cn_i).
Oi ооутеХеотёд хатауёцоута1 evakkaij ота d xai с". Катбл1У, ал’ аота
та бюубоцата охтщатИ^ооце та у' = Fmd xai у” = Fmd', лоо eivai ббо
лоЛАалХао1аоцо1 це tov щхрбтеро л1уаха Fm (0оцт]0е1те oti т = п/2). 'Олстд
xai ott]v ауттхатаотаот] too F4 це tov F2*, t] dookeia лерюрюттще ото цюб.
To xevTpixd лрббктща eivai va ауаларауооце то у ало та цюоб цеуёбоод
бюубоцата у' xai у", лрауца лоо ёбеЦ^су лсод yiveTai oi Cooley xai Tukey:
3W Oi лрютед m xai oi Tekeoraieg m ooviOTiboeg too бюубацатод
у = Fnc eivai
= y'j + Wny'j, j = 0,..., m - 1
yj+m = y'j - w3ny'-, j = 0,  • •, m - 1.
Etoi та тр1а бтщата eivai: бшолаое то с ота d xai с", цетаохлцатюе
аота ота у' xai у" xai хатаохебаое то у ало ttjv e^iocoor] (14).

•5от101доЛую 5охпздо(Ью1§ Scopipi 5олз TOis^piseX *5о1отбк толр
и oi oigi 01 люд -(j aoi SniipAag mA ол<эт1 iXo тох) лоэт^бо лоткобк 5i3iipAag
5зуур тлЛ тох тзаХто ол зюа> ‘оуохаз тогртококоб! 0391 н 'р0аз01г/окз 13X3
НИЛ aoi Зокаа о тох (дх) 5lii 5обзт1 обзиузд 01 1зл1д аот111оо6к liAir/vo Н
•I- = ?Ji3 = и/шг1£гэ = “аг 11919 “аг- = ш^т 01 ‘piao (ко айз
Т = г/T = u^jm 11919 <“аг. 1злзт1обок (ш+г^пг 01 oioTioioSgo did odsiI
laorilioodif liAoyvo рлз^обк oiaoi тох С
aoi 11ло ш + С oi siooTio^msdX 5обзт1 обзкгзд 01 oig -(gj) л1и зг1 0191 oi толр
(дх) ло)1 5обзт1 О1отбк од • ,рш^ тох р'-'-'р 5ао0зЛзт1 aooirl Sao-rioiiDiiliXoDisii
5aoi око лао1кахобк aoir -fi тох -fi oi 5cogi6xo толр piao 0101(010600 од
0=4	0=4
(ST)	^аг 25 > +	2^ =
толр oiorioiod0o
009 01 ‘шт зт1 loiaooi “аг 01 (здтзкд ’SaoSo i/u = ш 13X3 01^39 oiioio60p З0рз
0=4	0=4	0=4
'l+stz° c(\+^pm 25+ 4Z')c^m 25 013T^ TOi35]iani 25=
l— Ш	\—Ш	[— и
oi :1иЭзг1 oap зо 01 oiA ока,1 Л01 OKOD19
oiaog -(i+3izq 5зо<ою1лао 5зтбзк 5n) tp 01 око то1зХдзодк аок 5обзт( олз зо
тох (К-э 5зоа»1О1лао 5зибр 5и) р 01 око ТО1зХбзобк аок 5обзт1 олз зо эр = ft
aoi ооооюмао 30рх зюркоогу :й 01 о?Х (jg) локаг aoi коаздкутгр
jaijnoj 51юаурло 5(1116x019
5U1 licbdori I11 5<пруз1 13^рууо о зюго ‘ги 01 9К0 96x111 oik ауок 0091
толр illu 01 Sioiaoi лз ’(дх) л.11ю 5аот(оо10о1(ко^ок 5aoi рухоло1ло
I 5от101брЛоу о тох 9Х1гМо6Л 9К0 обз19оо1бзк оЛр прх толр 501D9X од
•/uf = ш + ((х -
:и oi о?Х ummilig orlgidv л.01 lagjq ‘юг1отох)^1т^о1£
лор{1£ ?кз ш лао ‘ш oi шА. amioriUg mi oiop^mq 01 :5отлзт1аоЛ1ю6к srioofog
аок ол9лох лою 1заохока z/lu 59iao 591I016O q 7/(/'u) толр лтртЦхр 591(0160
59хролао о 3191 -SotIooiod'/kovvok 101350136Х ЛЗ9 аок9- [ = uoi idXsri
01(969 01 079 зт(аоо11бтХобк тох = и ТЫолар lii зт( зт(аоо11л1хз§ лу ’9SZJr лою
лою t’ZOij- ло1 9К0 зт(р6отХо6ц р0<Ь11уолокз ол рбокт( 0391 11 лозук 1КЗ
•(дх) л(1ю ^аг 5аот(01бо ш 5aoi зт1 SaoriooioovKovyoK лозук 1кз ш 5aoi лао
‘“j- ло1 9К0 oiorilig »1орук19 ОЛ9111О1з5р1збХ aoi SoiioiAcyoKa о 119 толр
5U1 Dioorllio н (5об9зЛур 5U1 рло 5lio6 orliiooApip oxiAoy 01 3101I1106K ол
pdoKj\) -fi 010OT0 0113919 0100x19019 U liiao 119 Scooaiio 3iiaooa30livoK3 o@
az
xamnod ZOUlZIJ.VWHXZV.I.nW SAXV1 О ST

224
OPQOfQNIOTHTA
ПАРААЕ1ГМА Та 6г]рата ало п = 4 ое т - 2 eivai
О хатаХХг|Ход owSvaopog twv tqio'jv SrjpaTwv noXXanXaaid^ei то с ре tov F4
xai bivei то у. EneiSr) хабе бгща eivai ygappixo, лрёле1 va jigoeQ/ETai ало
evav nivaxa xai то yivopevo avrwv twv nivdxwv лрёле1 va eivai о F4:
1 i i i-i ri 1 -I ri 1 -I ri
1 i ?2 i3 1	«1—1
1 i2 i4 i6 ~ 1	-1	11
1 i3 i6 i9 _	.	1	—i. .	1 —1.
• (16)
Avayvwpi^eTe aoipaXwg та 6vo avTiypaq^a tov F2 ото xevtqo. Sttj Se^ia pepia
eivai о nivaxag peraOeoewg лov бахала то с ота с' xai с". 2та арютеда eivai
о nivaxag nov nokkankaoia^ei ре то wJn. Eav ^exivovoape ре tov nivaxa Fg, о
peoaiog nivaxag 0a negteixe 6vo avTiypatpa tov F4 xai xaOe sva ал’ avra 0a
бшалотау длшд xai лдоцуогрёгюд. Etoi о TMF avayerai oe pia yiyavriaia
napayovronoirior] tov nivaxa Fourier! О ovyxexQipevog nivaxag Fourier pe n2 pr]
prjdevtxa oroixeia eivai eva yivopevo ало, хата лдооеууют], I = log2 n nivaxeg
pe eva ovvoXo ало nl pt] pT]<5evixd OTOixeia.
О nXqpqg TMF xai i] neralovSa
To npwTO 6r|pa tov TMF avTixaBtOTa tov локкалкаоюоро eni Fn pe 6vo
nokkanXaoiaopovg ел1 Fm = Fn/2. Oi ovviOTcboeg pe agriovg deixreg (co, c2,...)
ретаахЛИат^ол,та1 5ia<popeTixa ало Tig (c1,c3,...). Aivovpe eva Siaygappa
Qorjg yia n = 8:

3.5 О TAXYX META2XHMATIXMO2 FOURIER
225
Н xevTQixr) idea eivai va avTixarairtriaovpe хабе xovti F4 pe pia napopoia
eixova Jtov jtepiexei dvo xovrtd F2. О veog ларауоуу w4 = i eivai to TeTgayiovo
too лаХаюб w = w8 = e27”/8 = (1 + i)/\/2. To Jtavco цюб too урасргщатод
aXXa^ei ало F4 oe
Kaxontv, хабе eva ал’ аита та хоиткх yia то F2 = j eivai цю цецоую-
pivr] летаХобба:

•(□ пШхбпбпц охо SsiAUgo) Snxigcnx 5плз
лпзбсод 10x391x019 ‘qipau aoisiiodgaXnx аохмобххз^и пюзбика aUx оку
nriUg 30юх зо тохзлод^пуплокз 01л» тох (x зт! лаолсгпзузх аок 5aori0i6n
5аох aiok inxAo^iAndWs о зт! лаолстозузх аок lorioion) лсоххсбзк лсох тохлаоЛ
-Uo6k iori0i6n ioix6y 'SoxnriUdradA аох «базук Uosxoion лкхо ^ACoitbUiU U^nxnig
ксЬобхопло зг!„ тохло^1лпсЬг1з 5зхх1зд iq Scioi dmid>Udi ami vdiao Ui aidiadio
-илто тох Long Uxignag зо £‘ ”‘x‘O 5зхх]зд Saox sxtlwdj ЛО1° 090013
лкх aiSk о лсох tiD30DX3Ti Ixx mk Sdaoadx 5ох1хх1сукхз 5»лз 1зХд»кх y/(m^°1m)
toais 5oii0id» Sgxiysx о зхдко ‘5аот1о»10Ю’укоухок з/u тохз^хпзбХ orlUg 30»>[
:51ixiAoy 5ltx «xlcxp'/Kn aLix
tox 5li0iK3 пзлХрд- л1лха» to лаолпх аок xnmiUg SoglcyK ox w. 8o[ nx tox Scognx
JW± лохо тохлоХдзопз э (SogliyK ox) и nx dioko aLix sri Lt^roirpiQ Ux ззлХгзд
аок ‘DAOX13 aUx USUyxoyo 3x139 пл зх1збокг1 ‘nxnrilicbnQA nx Эпхло^падла^
l-
VlHlOINOJOQdO

аолопт111 orionmiliXonisri aXni
лплз ‘O nAltgo mx (з/л£ uis‘л uis‘j/л uts‘(j uis) oi oirn mx э oi oirn iniscbndAnxn
O1UO£ 0 = V ‘l/~ - £/ ‘0 = °f ПО ПЛ1ПгИю О1ЛП p = и mj f/- = ' 'fi ЛП1О
oindsir тлп / пНоалпзд oa ошдзк толп э oi 3101 ‘ошдзк толп / oi лпхо no
3ioa3()livnir3 mx p шз p nxmiir Л01 mA £o‘Za‘l3‘<b »i mA bnoirai 5aoi 3i4indj £JV£
(l ‘О ‘ l ‘О ‘ l ‘О ‘ I ‘О) = 3 3T^ giioiAoyoira лох зтдпуплтгд
(О‘Т‘О‘Т‘О‘Т‘О‘Т) = 3 лпю ‘dW± rtO1 nimilig nidi ni 3ii = fi 01 sioiAoyoitx ZI'S’£
(О ‘I ‘0 ‘l) = э лшо ‘dW± ao1 nini'ilxg nidi m зт! = fi 01 зюаАоуол^ H'S'E
fii mx fi лап по1ш)плао nyo ‘ВД 01 mx ЭД 01 зхтздд пл mA lidsiasg
In mx i/i’ 01 mx o/j 01 aindg пл mA liriiindA Uioidir л1п sioliioiroriiolidX ‘p = и mj
'Z = и mA ‘lidnaiq In oirn 01 mx (t?[) 5ln IniiindA tiiaidir л1п oirn Wi 01 anfindj 0Г£'£
э 01 311309 mx (o‘o‘O‘T) = n-9 »dan зюздокА (9)
fi = л1и 13Ю1ГОЛПХ1 (о ‘о ‘о Ч) = 3 0111-9 315l39 (I ‘ Т ‘ Т ‘ Т) = л»а (») 6‘S'£
7/jt£ ‘л ‘з/л ‘о = х nniilio пю о Ч~ ‘0 Ч
5зтЪ1 5ii nAdinir хкэ^э + Xfzak> + ж?эЬ + <Ь О1 по зюаздкутга d = 3 01
Зшло^тАоуоип mx лох Зтло^оолА ‘(о ‘Z~ ‘О Ч) = At зг1 nrilnoao oigi 01 зюау 8’S'£
fi =	01 зюау ‘mAoy nyyn здо о = ifi
= Zfi ‘q = ifi = Oft, тлп Ssdruyir 5з1§зд io лшо ‘(9) niilnoao p wa p 01 зюау /.‘ST
a aoi 5n^id
511Ю-821 SUxiXdni.'ridir ‘SZim, 5ln n^id Lixn<oAndi3i li mx 0A<nAndi3i 01 тлп отоц 9'£'£
г = е?э 5ln 5noay 5n 5зуо inx j - = ж?э 51юото1§з 5ln 5поау 5n 5зуо sindg g*g-£
‘sm + t>m + £m + zm + m + I 01 TO19OD111 3JN зг) miaooi
9m. 5ln Ыплад пюц t(5ln 5od3ii охпошлпсЬ mx oxnmiAndir 01 sinog) n^id
UxiXdnimdir li тлп тоц ц aoi 535id 5з1хз 5n 5зуо одзлтз oxignAiri 010 siofonriltj К£'£
!5Uyliio inx 5liTiTindA 51пкг1зл mx 5lnidi ‘5ln<odn 5ln ппХюю ni олдт! Ьтлаппох
‘9j ПХПЛ111 9 1113 9 лох окп тхз^пазхопшх аок £ шз £ 5пхпл11го1га о тлп 5оюц £'£'£
:5одплот1
51п лср^ай Amxigax ла>ю1 лап 5od3ii охпошлпЛ inx oxumiAndir 01 голп оюц z‘S‘£
1пх 10 1»л.п 101011 ‘дэипод 5пхпл1к р iirs р о тлп j лу ys'£
зшзнязу
манпон zowziivwHxzviaw zaxvi о st

aoir ‘liimdir н -оюголЛюлюаз our олзтйзя oi ariaoolnodx юл mk arioolnrmiooirio
aoir ‘51зо1по1го1лоЛюдю1г 5зуую 5i3di зо тох oripxo srioooioliyH ’Smsoay 5юто
-oxigoig 5ln oiorilig юх (1гю лаоигаходи 51зо1лю1го1лоЛюдю1г iq 'у?) тох уу
5aoio (зг!аоузд oi юл 5idmX лодзХо) pAligo Sori q = ху oriliioao oi 1013,
'QjV = яуху лох lioay lii sri 0191 01 толр x oxiyai oy -Saylno 5n ,iro oirl здюх
зо юлок Sayogodir Ззхюютодолог! 5n oiro isiiraxodir э 01 ‘oxidisrimaj = 2
толр q = 5ln лтлтЛюд131 лтюгХюуз lioay н "5юхюл11г Soxnoiaoi о толгз
юл о ‘Ю131гзлао юхюх ‘тох Ззхмолюходдо толр юл aoi 5зу1лю то oilngigi
кхиздто^з л1и тох 5зу1по и олог! тох SsririodA ш тзХз aoir ‘£> о толр 5олз5юдю1г
5олог1 о '1ОХ1ла)Л1д1 толр —у тох у у io— 5зхюл11г 5аох 5аохаю ,iro Sisdy
: э = агу ЛИГО1ЮХ q = э£) oimdir
4\-l\-fl=x '-э=ху ЛИГ01ЮХ q = ay oimdir
TOioriUg юуохаз
оад зо тохзауюлю q = xy oriliioao 01 ‘oririodAoyliyyodoir 3ip oxnmZ.odi3i 3113
У& = V '£ отоуюсЬз^ yy = V :Z wz l »тоу»<Ьзх
:y юхюлш aoi UoliTOiroiAoXodoir oiri oiro 3<Kax3odir lioay здюх no толр opiilio
охтохлзх ojl -5aoTioiXoyoira зт1 ‘oiygig 01 тох 5roiro ‘юл1хз§ 1ю1игохоюлю ц
•5aoi lirioi л1п тох 5aoi prioTOdgo 01 siiaoolidmag люхо лаодтозлюгЬ
юд Saoi moiir тохлодшЭх aoir Ззздт то тох 5dtodtIIid 5аодго1узг1зд 5труз1 толр
lodmXoira то оооют ‘ютоютИю In 5odir 5т лаоурток тох SaxiiDiicodliyirTiao толр
5з1ау -лтозюа лап хз Ssdsiosdroo тохлолзЛ aoir 51зоздлао 5ззл зг!аолюх юл
oidioxas л1п зт!аоХз ‘люл1Лз aoir piao ‘moiir oi 5odir 5ю1лапто^ -Saoi oni здюх
Ю1Л odsioooidsir sriaoir юл sindin юд no тох ‘лтзотлЛ лтхпюгйдюг! 5ogliyir
TOispyxidsir SsiirlodX Sisdi 5n 5зхаю 4o no зхз^тлЛюлю юд Smyocboy [оЛоуююх
pdxirl 0001 люлз 4o ют1зд 01 odliyxoyo юохНолао aoir oioadpoag Smirpx mgmioj^
= xVjV л-^1 inx liyogodir 3ii) лтлтА.г>д131 лтю1Хтауз lioay •£ отоуюЛз^
•(5aod
-roXoira 5idsoo3i 5aoi зт1) у iiouligMiono mX q = xy aoi lioay 'i отоуюЪзя
•(lidnoyoiro зт!) у orii(ji3dioiiav mX q = xy aoi lioay 3 оюоуюЪз^
:(o3drodAAao aoi oriligoii 010 лою1Хюу
-aoi) аол1лт!ю§з aoi ooiri 01 oiro odsioooidair 5ю1лт1то1гю тох q = xy oriliioao
01 oiro mdaA OAsriodndioidsir ‘y^y юхюлш oxnmlodisi лою 34i3dio3ir3 tox
SaoririodAoyliyyodoir 5aoio aolidroXodir ‘5зхюл11г 5aoxuroAodi3i Saoi oiro зоклгх
-з§ oiay -pgmdliyxoyo лозуи гзХз 5odgaAyo 5lixiririodA 5ln uooiri oimdir,, 03
HMUUOOdU IVM НЗНПОЯЗУМУ  9 £
V±HlOINC5JO0dO
8ZZ

3.6 ANASKOIIHSH KAI ПРООПТ1КН
229
цуфОУ£1>6т]ХЕ ngoqyoD^vwg xai ё/ei отщаоьа yia ng eqjaQ^oyeg, eivai r] eidixq
цодсрг] rqg A = LU q, xaXvtega, Tqg A = LDU, orav о A eivai (TvmieTQixog.
KeqxxXaio 1: H ладауогтолощот] tov Cholesky yia осццетдехб A:
A = LDLT = (LD'/2)(LD'/2)T
KetpaXaio 2: H avrff/Rvt] ладауоутолтцт] -yivop.evo m eni r xai r eni n,
yia xa0e nivaxa A: A = LU
KeipdZato 3: AvaAwij idiofioQtpimbv Tificrv yia onoiovdqnore A:
A = Q^QT
Tig е^ета^аице ц1а npog ц!а.
1. 'Orav о A eivai OD^^ergixog, о U Tavrit,erai це tov Lt. 'Etoi t| nagayovro-
noiqoq LDU yiveTai A = LDLT xai q de'^ia nXeDga eivai TeXeiwg оиццетр1хг|.
О Cholesky ngoxcbgqoe eva бтща падапёда xai Sieonaoe tov diaycbvio D,
naigvovrag Tig TeTgaywvtxeg pi^eg twv odqyibv (onoQeTovTag oti eivai Oerixoi-
dqXadq nooxeiTai yia rq “OeTixa OQto|ievq” nepinTiooq tod KetpaXaioD 6.) Тоте
о A ava/.ueTai oe doo rgiyaivixoDg nagayovreg (LP1/2)(LD1/2)T.
Edcb OD^i6aivei xaTi negiegyo: Eav о Cholesky ^exivoDoe and tov AtA (noD
exei 0eTixot)g odqyodg), oi ddo nagayovTeg tod 0a qTav axgi6d)g oi RT xai R
tod yivojievoD Gram-Schmidt. Me aXXa Aoyia
ATA = RTR (Slotl ATA = RTQTQR xai QTQ=I).
3X Oi nokkankaoiaoTeg kj tod anakoiq)T]g Gauss tod ATA TaDri^ovrai
це TODg noXXanXaoiaoreg noD og0oywvionoioDV Tig orq^eg Tqg A.
ПАРААЕ1ГМА (o nivaxag noD пдопцаце yia rq diadixaoia Gram-Schmidt)
KoiTa^Te пдшта tov ATA. H anakoiijpq пдоо0ёте1 1/2 Tqg ngojrqg удаццг^ orq
SeDTegq xai 2/3 Tqg deDTegqg удаццт^ orqv Tgirq. Oi odqyoi eivai 2,3/2,4/3. Ti
xavei q diadixaoia Gram-Schmidt otov A;
Eav о ngoqyot^evog toxDg^og eivai owoTog, 1/2 Tqg ngcoTqg orqkqg tod A
пдоот10ета1 orq devregq OTqkq. To апотёкеоца eivai a'2 = (1/2,1/2, —1,0) noD

230
OP0OFQNIOTHTA
slvai ooOoywvio artjv л:0ытт] (rtrfitj. Karoniv npooTiOevtai 2/3 тцд 5еотерт]д
отт)Хт]д оттр Tpirt] отт)Хтр To алотёХеоца eivai = (1/3,1/3,1/3, -1), nov eivai
OQdoyMvio otic dvo лоо'яес; atr/keQ. Aora eivai та бтщата Tt]g Gram-Schmidt
noo oSt]yoov oe evav nivaxa це op6oyo')vteg отт|Хед:
-1
0
2’ eva цеуаХотеро napaSeiypa, r] enopevr] отт)Хт] 6a ag/i^e це
1/4,1/4,1/4,1/4,-1. Аотб eivai eva oxeSiao^a op6oywviwv orqXwv not) <pai-
vovrai wpaieg xai Sev eixa ^avaSei цёур1 огщера. Anopievei va бапрёоооце Tig
отг|Хед це та цг|хт] тоод. То eigaiperixo eSw eivai oti to TSTodycovo raw fiyxaiv
Tavti&rai lie rovg odijyovi; tov AtA:
l2 + (-l)2=2, (i)2 + (I)2 + (-1)2 = |, (|)2 + (|)2 + (1)2 + (_1)2=4
Аотб Sev ptopei va eivai roxaio! Oi orqXeg tod A! = A(LT)~} eivai
op6oywvieg xai та TeTpaywva twv pjxwv тоод nepiexovTai otov D:
eav ATA=LDLT тбте (Л')ГА' = L~] ATA(LTyx = D.
Sto теХеотаю бгща, yia va xavovixonoir|ooD|xe Tig отт]Хед, Siaipoop p Tig
TeTpaywvixeg pi^eg odtwv twv oSt]ywv:
Q =A(LTy'D-}/2 r| A = QD}/2Lt =QR.
Auto |iag oSt]yei naXi otov Dx/2Lt tod Cholesky, лов TaoTitprai це tov R Tt]g
Gram-Schmidt.
H TpiywvixoTT]Ta tod R avTavaxX.a тг] SiaTa^t]: ПоккалХаога twv лрогр/оо-
pvwv OTtpojv acpaipoDVTai ало enopveg отг]Хед. О L хатаурасрег та бгщата
алако1<рг|д tod АтА xai о R xaTaypaipei та бтщата op6oywvionoir]or]g tod А.
2. А = LU_ eivai t] “avry/pvt] napayovTonoit]OT]”. Н TeXeDTaia, onwg xai t]
ODpieTpixt] napayovTonoir]or] LDLT, eivai лю e^iooppont]pvr| ало tt]v лаХю
A = LU, aXXa це pa SiacpopeTixr] evvoia. 'Otov о A exei та^г] г, хрею^бцаоте
отгр лрауцат1хбтг|та piovo г от^Хед tod L xai г ураццед tod U. Oi TeXeDTaieg
m - г ураццед tod U eivai Sdvotov va ларацерюбобу (aipoo бХед тоод r]Tav
p]6evixeg). iooo eivai Sdvotov va napaXei<p6oDv xai oi n - г отг)Хед tod
L (aipoo |Г аотёд лоХХалХаою'даце exeiveg Tig [trjSevixeg ураццёд tod U, x<opig
xaveva алотёХеоца). Mag anopvoov oi L xai U_, twv onoiwv to yivopevo eivai
naXi о iSiog nivaxag A:

•SorixksdioTiAn тох 5охтлотЛпд131
тплтз у о зхох ‘и = ш = а лпд ’лотгкЬэдЛ аодотХ aoi тох ооо лотукю аодотХ
aoi ооо1 konionig li тплтз k§ni к ‘йхвлш здпх mj -и = л toais k§ni TOX
5з1к1дп^злп тплтз 5зук1о io ‘кхтдплот! toais koay li adiq -ш = л тплтз k§ni
li тох 5з1к1дп^злп тплтз ЗзтМпдЛ то 3101 ‘koay mri тзХдпка q здпх тЛ AniQ,
qq о 5oyo тплтз пл тзкздк (^у)2£ лотгМпдЛ 5одотХ о :
пг1оалтд охтлздкН 01 олот1
тзХзтдзк пл тзкздк (y)yV 5одотХолз§1гг1 о : х aoi шкюхтдплорм
(j-y)yV одотХолздкт!
рдзютдп лою oisgnx тплтз пл тзкздк q 01 :
(у)2/. лотукю одотХ лою ттзХзтдзк пл тзкздк q 01 : х aoi к^дпку,
:q = ху aoi
5к1зузт1 Ski тдтзух oi лаоузюкп тодотХока Зтздоттуздзд 5тдзооз1 то тпх ‘тодотХ
тохтю^оалт^ тплтз 5aoi плот! окп аок пуолаоока тплтз тодотХокх ао1 кХдп
aIii лаоХзтдзк аок пдзкткз ni тпх Ззтздаз то Зотко ‘лотуолао лотдзюдхтг! 5о1лз тпх
Зкоткз тшло^тдо Ssian Зтз^пдк tq ’аодотХ аохт1пг1оалпт§ пдЛтздпдпк лоХз§з
oi тплтз аок одотХ oinionrg-?/ лою пуохаз тшло^тдо 5з1ап Зтз^пдк tq
•хэ ‘origidn 3ii 5griomon fi£n f (°i£ vox ‘ft + x ‘козуордм hxnntioo&mq
:5тз§пдк oag Эзюлад тплтз аок9 лодшХ шитЬялтд aoi пз§т aIii зг1
зоклтхз^ oiay ’пддзАуп лкю ndroi зюпдо^здю 5аогк)тАоуока Saoi рку
юдгаХока тпх юдотХ тохипИоалту
•5аог1отЛоуока Заохтлодкюткз 5aoi тЛ 5птопт11ю 5ао§оттузт!з0
Т30Х139ОКП гзХз jLiy н \(51юпюр1пх от10тдп„ лою тох +у ocbodioriAnogasdi
лою лаоЛкро тпх лотдотХока лотдпооз! aoti 5тзопд 5зтлотЛо0до лаолтд аок
‘лотхплтк лоттлотЛо0до оад а^шзд j 5пхплтк 5отлотЛптд 5плз toit3130okoi oian
’У 5отг1к1дпдпц aoi олздтзхплп 01 тплтз тох одтодЛпдпк niri зо тз0от4юлао
пл тЛ поаодзсЬтдлз ауок тплтз (jjy) itcgrin itmxid>dorioigi йоаутрлп '£
•у aoi
лоттМпдЛ аодотХ aoi kong лаоузюкп /J aoi 5згМпдЛ а то то тпх у aoi лотукю
аодотХ aoi kong лаоузюкп 7 aoi 5зукю л то коопктдзк здпх 33 q aoi плп
aoi 5зук1о л 5з1отдк 5ti окп Tms^TinrikXo 7 о гкЛпууп kdxrrl mri тшзлтЛ
‘Л7 = Vd зюко ‘лоттМпдЛ 5зЛпууплз тшз^тздХ у о аок кооткктдзк лк1^
•ПХПЛ1К и 11£3 Л Зрлз VOX »Х»ЛШ Л 11£3 Ш 5рл3 OA31iOAlX 30
1зд1ио1£О1лоАпдю1£ »л isdoxri л Зюз^ол Зпхплш 5»лз,
кг
HMLLUOOdLI 1VN HSHUOM3VNV 9 £

232
OPQOfQNIOTHTA
Прёле1 va лобце on та хефакаю auro. axoko60r]oav evav ODyxexpt-
цёуо ато/о: vr)v xaravoT](Tr) tod Ax = b. Kd0e vea 1бёа xai орюцбд
—ооцлер1кацбауоцёуа>у tojv 6iavDO[iaTix6jv xo'jqojv xai Tiyg урацц1хт]д ave^apTq-
oiag, Tiqq Qaoiqg xai бюотаот]д, тт|д та^т]д xai tod |ir|dev6xojQOD, tod eoiDTeptxoD
yivonevoD xai ттуд орбоуатбттугад- eiotixOt], tt] oTiyp] noD xpeia^oTav, yi’ aD-
tov tov yiovadixo охолб. To'joa ^avaxoiTayie Tig i6ieg аотёд i66eg yia va бробце
цер1хобд ооохетюцобд noD лроолераоаце.
1. H торг/ dvo biavvopaTixwv ydigoiv H xevTpixr| idea avayeTai otov орюцб
evog 6iavDop.aTixoD x(|)Qod xai evog олох^роо. ©eajpcbvTag oxi |iovov evav
yiEyiovcoyievo Dnoxcopo r| evav yieyiovcoyievo nivaxa A, akka TODg ODOxeTia|ioDg
цета^б ббо Dnoxo'jpojv rj цета^б ббо nivaxcov, (pOavoDyie oe vea ерооттщата. To
лроото £г|Тф.а eivai то лю ormavTixo:
3Y Eav V xai W eivai Dnoxojpot 6iavDop.aTixo6 xoopoD, to idio odjx-
6aivet xai це tt]v торг) V П W. Та бюубоцата noD avrjxoDV xai отоод ббо
DnoxojpoDg алотекобу evav veo Dnoxojpo.
H алббе^г] eivai ацеог]. Улобёоте oti та x xai у avrjxoDV oTiyv V П W, це
akka koyia eivai бюубоцата rdoo tod V doo xai tod W. Тоте, eneidr] oi V xai
W eivai ало цоуо1 TODg бюуооцат1хо£ x<Dpot, та x + у xai ex avrjxoDV xai otov
V xai otov W. Та axoTsAsa/iata rqg ^QoaOsatig xai tov ло/АалАаашороо
fie agiOpovg naQapsvovv EVTog njg topife. Гесоцетр1ха, t] тоцг| ббо emne6o)v
бю тт]д apx^g (r) “Dnepenine6a>v” tod R”) eivai naki evag Dnoxwpog. To i6io
Oa iox6ei xai ую тоцёд nepioaoTepcov Dnoxcopcov r| ахбцт] xai ую тоцёд aneipoD
лкт|6оод Dnoy/opiov.
ПАРАДЕ1ГМА 1 H тоцг| ббо op0oycovia>v Dnoxcopcov V xai W eivai о олбх/о-
pog evog xai цоуоу ormeioD {0}. Movo то цт]беУ1хб бюуооца eivai op0oyd>vio
otov eaDTO tod.
ПАРААЕ1ГМА 2 Eav oi Dnoxojpoi V xai W TaDTi^ovTai це та oovoka tidv
ava> xai хата» Tpiyovixcov nivaxcov n eni n avTiOToixwg, тоте т, тоцт] TODg
eivai то o6voko tcdv 6iaya)viwv nivaxov.* Adto eivai oiyoDpa 6vag олбхшрод.
Прообётоутад ббо 6iayajviODg nivaxeg r) nokkankaoid^ovTag ц’ evav ар10цб,
naipvoDiie naki ёуау бюуато nivaxa.
ПАРААЕ1ГМА 3 Улобёоте oti о V eivai цт^беуохюрод tod A xai о W eivai
цт|беубх(ород tod В. Тоте о V П W eivai о щхрбтерод цт]беубхсород tod
S.t.E.: Evvoeirai П x П.

3.6 ANA2KOFIHSH KAI ПРООПТ1КН
233
реуакбтероо nivaxa
H Cx = 0 алане! xaoxoxpova Ax = 0 xai Bx = 0, олбте то x npenet va
Ttegie/eTai xai oxoog ббо pq6evoxcbpoog.
2. To dOgoiofia dvo diavvofiaTixaw wto/wpwv SovqOcog, асроб oot,qxqooope
xai xaxavoqooope Tqv торт] ббо oovokcov, eivai cpooixo va бобре xai Tqv evcooq
xoog. Tia 6iavoopaxtxo6g yo'iQoug ev xooxoig, аото 6ev eivai (pooiokoytxo. H
ivojoy V U W dvo vxo-/uoojv dev eivai ev yevei олб'/шоос,. ©ecopqoxe tov aijova
x xai tov a'gova у ото ел!лебо. Kd0e a^ovag ало povog топ eivai onoxcopog,
xai соотбоо oi ббо palp, 6ev eivai. To aOpoiopa tcov (1,0) xai (0,1) 6ev eivai
oe xavevav agova. Тобто oopSaivei лб^тоте, ехтод rqg лерштсооесод лоо evag
ал’ тоод олохсороод nepiexexai otov dkko. Tote povov q evcooq тоод sivai лаР
олбхоюод (лоо оорл1лт£1 ps то реуакбтерб тоод).
Пар’ ока аота, Оёкооре va oov6oaooope ббо олохсороод xai yi’ аото avxi
yia xqv evcooq тоод отрефбраоте ото aOpoiopa тоод.
OPIEMOL Eav V xai W eivai ббо onoxcopoi 6o0evxog x°jpoo, тоте то
aOpoiopa тоод V + W eivai enioqg олбхсород. Аотбд anoxekeixai ало бкоод
тоод oov6oaopoog х = v + w, блоо v eivai toxov 6iavoopa too V xai w
eivai toxov 6iavoopa too W.
Аото 6ev eivai т1лоте akko лара о X0JQos лоо ларауетас ало то V U W
xai eivai о pixpoxepog олбхсород лоо neptexei тбоо tov V боо xai tov W. То
aOpoiopa too a^ova х xai too a^ova у eivai то ел1лебо x, у. To i6io oop6aivei
xai ре to aOpoiopa ббо 6ia<jpopexixcbv eoOeicbv, наветам у yy. Eav V eivai о
d'^ovag x xai W eivai q eoOeia x/.ioeiog 45° x = у, тоте xaOe 6iavoopa, блюд то
(5, 3), avakoexai oe v + w = (2,0) + (3,3). Ара то V + W eivai okoxkqpog о R2.
ПАРААЕ1ГМА 4 YnoOeoxe oti oi V xai W eivai opOoycbvta oopnkqpcbpaxa,
о evag too akkoo otov R". To aOpoiopa тоод eivai V + W = Rn. KaOe x eivai
aOpoiopa xqg лробокрд too v otov V xai xqg лробокт|д too w otov W.
ПАРААЕ1ГМА 5 Eav V eivai о X“O°S T(,)v “V(n xpiywvixibv лп'бхыз' xai W
eivai о x<oQog tcov xaxco xpiycovixcbv nivaxcov, тоте о V + W eivai о x^Qog okcov
tcov nivaxcov. KaOe nivaxag pnopei va ypacpei oav aOpoiopa evog avco xai evog
хатсо xpiycovixoo nivaxa- ре локкобд трблоод, 6ioxi та 6iaycbvta oxoixeia 6ev
opi^ovxai povooqpavxa.
ПАРААЕ1ГМА 6 Eav V eivai о X“0°S oxqkcbv too nivaxa A xai W eivai
о X0JQ°s oxqkcbv too nivaxa В, тоте о V + W eivai о XPJQ0? oxqkcbv too

'U x и ролсшА.
Т/(Т + и)и + Z/(l + и)и = и + zu (е) ° atfisyggoSir SonrQ,
и lionionig 1зХз ложплпг ло)1ла)Л.тд лотх Д4 U Д ЗодотХ о тох ди lionionig 1зХз
летхплпг лоп лаг/о 44 + д SoomX q 'з/(Т + и)и Lionionig Ln ogg ю тох лаоХз
^лтхплпг летхзлтЛздх аппх тох отлп лап дх тох д юдсоХ iq д VJAIJISVVdVII
•5oirgi 5oriliXon 0091 тох толр лзу
(£)
•дщпр + дипр = (Д1 и Д)ш?р + (Д1 + д)ипр
:nriond3irriao одаоуохп ою
зт!аолр1(Ь ‘Д| аир = / тох д аир = у ligisirs тох 5зу1по / + .у 1зХз Q о liooniriSsir
л1п Uian 'лаг/liio лап Sogliyir 01 за inigooi тСпохзлз^Ы Ln лао Li^ni U 110
з^аоДдам-Л ‘5aodgiXoira Ззздалузт+зд 5пдзооз15aoi зг1 5nri SgoiioiAoyoira 5aoi оку
(j aoi niLnoxmsgliTi + (j aoi Li^ni = (Д4 и Д)Ш!Р + (Д4 + Д)Ш!Р
зт1аоХз ‘(з) тох (4) 5п 5тл
-о130оодц 'лсодзсЬтдлз aoi 5олот1 ото толр aoir oirgi лплз ,о pAligo oiay
(2)	(j ао1 »11иох1лз§Ы = ( д-j и д)ш!Р
inis тох ип11пох1лзд1п1,, то1зЛзу аодагХдлздЫ aoi
lionionig н lionionig nigi лйг лаоХз юдтХ оад ю но тох Д1U Д aoi liong niri
зо isAligo aodmXpasgliri aoi aoian liong niri 110 sriao^pg n© обагХолздЫ
ЛО1 sriaooiAo^oira пл inx to ‘	‘ lai ‘*a ‘	‘ la толр Зз’уСно 10 aoioiro aoi ‘q
пхпл11с oigi Л01 sriaoDiinriliXo пл толр Soirgdi SgxnnTiosysioirn our о
•53xii3dodroig 5a>ppi
толр пл 5aoi 5i3ong 10 nian пуд (dnir тох ‘Д4 = д ‘inutfjproi пл inx Irrioxn
AnoaoSoirri ng юдгоХ ogg iq -m ni oirn oioirnx sri iniaooi a ni tirn oioirnx лп
STiaoognonrnig пл 1злпк1) лзд пдаоЛт^ 'лтдсоХоага оад лап 5lnioi 5Lii liong srlaoi
-Ц^плп inx to ‘	‘ to inx ‘	‘ ia 5i3ong оад miaogig по siosgoirjg nriLiiU'j
oii£3\ one g'/ou: тюлтз Д4 и Д 001 5pr/oiA.oYoira о ‘oirgdi o^ognSnir nin}[
(T)	С «-oi li^ni = (уд + д)апр
:no пуохаз То1залх1здо1гп inx (nprilio плюх лаоХз пл pdoirri lodgiX
ogg io noig) д| тох д лап лотзопютд лап от1опадлао ло1 girn lidsiodxiri
толр пл pdoirii дх + д aoi Uonionig ц -[д- у} = Q пхплш аодз1дупЛзт1
VlHlOINHJOQdO


'j UonioniQ oag io тох лаоХз
аоц ‘ланЗтЬэдЛ аодгоХ аох тох лсрукю аодтХ аох а^тзгЗ 5or1oid>Soriooi Soyyn 5плз ззХдигл *
.ц аох kong : Зз’/кхо Зззпхазузх 3 то 10 0 0
Л аох kong : Зз^кхо Ssxrodir 310 I 0 Т 0 Т I
:г ‘т ogsiriirs ох толзз /[-[ тох ft ‘х ogsiriirs 01 толзз л 8 VHIJISVVdVII
’/И ил ° тох (.G)N ° Sooirg ‘лотдотХ лотзог1длп
Зотззузх оад пг1ооздтох oio зпхзуззсЬо лодзсЬпздлз о л -лодзсЬпздлз одзхзпздз
ззХз пл пзЛ охзлзЛ avoir толзз дхап пууп ‘locbdorigoi зхохлпи зплзз копхопзд
(клзт1опдз1£31г) пздз лкх зпх (лотхотт10пд) лотг101дп пуолао пздз зз1 зодотХ оад ixg
ЗдлоЛзЛ зплзд ^-nriAndir оздз ох зплзз лпзоао дпх aoir ‘плзт1ззхзхлп nzixnrlkgnri
пхзхздосЬпзд оад ззозхзХоао пл :5кхозддзЛуп Зплз ззхотздпгз aoir Зохпгкззузхокп
аох Зодзз ох пзЛ тохззходц ’(g) inx (z) лотх k^isggirn лкх ззлотдку1гт1ао дхап
тох Ззздз зплзз Заох Зззопхопзд зо зохд, 'ао’ууп аох kong пзозгпх зо ззХзохо
-зхлп Здлз аох kong здпх зпх пуолао пхкхдп^злп ЗотхзгМпдЛ зо лаоХзохозхлп
пуолао пхкхдп^злп 5отхзт1т1пдЛ пл :nxayoirn лао^пздзп^ -зспр? Smgidxv зплзз
5зХоз7до</>з 5зхздрзХуп 5зх Ззур пзХ пууп ‘зохзхздосЬпзд зплзз зодотХ iq -лотдотХ
лотхзхпзЪалпзд оад а^пхзг! aorio'itbdoiiooi пг1Лзздпдтг оззузх плз зплзз дхау
•(81’9‘£ кокхоу)
лохо х плз лолоЛ зпх плз oirn зпхзХдзодк /Ц U Л лохо ft здпх ‘лозук
irg -fto охо ззХтохозхлп хэ ox inx fi + fi охо ззХтохозхлп tx + х ох зхох ‘ fi охо
ззХтохозхлп tx ох тох ft oxo ззХзохозхлп х ох лпд igrlgidn 3ii д^опзопузгпууох:
лох inx kosgogdir лкх зздкхпзд пзХзохозхлп к 1x9 зпхзаздкутгз пуохад Л4 и Л
аох d 5охпт1оалпзд аох тох аох х 5охпг1оалпзд аох а^пхзт) пзХзохозхлп
лкх зз^здо nionxigniq к кхау ’уЦ U Л ао1 птЬалюзд плз лаолпхоздпх
‘поз зплзз оад пх пхап кдззид -у^ лохо ззхклп пдазухс пз^зд к тох л лохо
ззхклп лотх Ьдтктоадлао 5от ‘Зкоотоз^з Зпзпхазузх 5кх пдазухс кдзхоздп ц
($)	-imi+Vx - • • - - iml+s*x- = Ча^х +-----ь ia>x
Ц
(у)	‘о = i<nl+s/x + • • • + W+3lx + ^tn^x +  + Wx
:5к^з 5от ‘лспукхо лотх пзздкод кх зт< 0 = xq
коотоз^з лкх зхгКпдЛ ‘(j аох аодотХолздкт! аох х 5охпг1оалпзд 5охлз0оу
•5пзХтохозхлп SkAsiigirs 5кх отозг! ‘пхаудют лао^пздзпх зодотХ
зохап оад то 1x9 зкао^ззд пл зплзз пгктолХзх ол ’копхопзд пздз лкх лаоХз зодотХ
зохап оад то 1x9 зг1ао^ззд пл ззкздц ’ufH ао1 SodroXgira 5плз зплзз Л1 и Л ° (Рлз
‘/+s/2f ао1 SodmXgira 5плз зплзз q аох 5одотХдлздкт1 о 1x9 ЗпХдп лпх зхоотззг1к^
ovvn лплз зт! лох Зпхло^пздзпх аодотХ 5длз Зкокдлпхпх 5кх пт1оплХзх ох зт1аоо
-kioirorhokdX П0 aoir ndotb клдт! к зплзд -Зк^ззддют Зкх кхзлХзх к зз^пзоаодтг
aoir лодзЛпздлз ox giro одзхддхзг! толзз grloiXoyoira лох пзЛ лодзсЬпздлз ох
01^919 ох дхап to ndotb kxmdir nij •(£) Зкх к^ззддют лкхо пдотх зхопкдХдд
HNUUOOdU IVM HZHUOMZVNV 9 i

(g)A'w < (ffy)yviuip (ff)*«>(s'yp (rP>(ffy)-z
5ii лаотоколох! gy aoi oilngxiAsglni li tox li^pi pj VWSIdOII
:5aoiao tiro aom9i 5isopiooig 5n mk оют1Лр9(Ь лаопг
-axo9ir gy лою ллоХююилп aoir 5ao9a>Xgira Saoi mk 51зоа)лЛ 5n 5siao (iry
g aoi ла)г1г1п9Л aoti 5дг1ооадлао 5дхп1т1о9А. ioais gy aoi IniriodA здру (ai)
’0 = SV тах з1?1 0 = VЛ»Н (in)
y aoi Amylno лап 5рт1ооадлао SoxitWdSA ioais gy aoi liyliio здрзр (n)
•(gy)jV лою 5lioiir3
isxIiao g aoi оЭотХрлздСЫ лою x здру -g = xgy юх 3101 ‘g = хд лрд (i)
•Ssioioaoyiro толп 51з§1здоют iq
g aoi amrirfodX одтХ лою тглзХзюзх gy aoi лтгМодХ SodmX q (ai)
V
aoi одтХрлзрМ рдзюпдп ло1 1зХзтдзи: gy aoi 5одтХрлзрМ Зрдзютдп q (in)
у aoi лтуйю одтХ лою зтзХзздзи: gy aoi лтуйю 5одтХ Q (и)
g aoi одтХрлзрШ ло1 тзХзтдзи gy aoi 5одтХрлзрШ о (i)
:51зозХо 53X1009
51дзооз1 лаоХ9р1га тох 1от1т1о9Л9у11ууо9о1г толп ол п9о1гт15зхол11г io ioiao тоуо,
‘.gy олзт<ол1Л ою лаоХтоюпло aoir лт9рооз1 лап тох g лою лаоХтоюпло
aoir ла>9рооз1 лап ‘у лою лаоХтоюпло aoir ла)9отХо1га лотдапузт1зд ла)9рооз1
лап a^oisri 5позХо то тол1з 5зтоц :5Li§3 oi толп 5oii prilnai93 9x1009 оу
•5oni pig oxoAiir aoi о911ухруо лао<Ьр9Л19з1г ioiao io9mXgira iq лаоЛр9о1г
aoir тоЭотХрка то 009 ‘ovgd лао^тои aoir 5зу1по то тох 5зг1т1о9Л 5злзг1а)лот1зг1
то 0091 толп лзд ‘Sairig iypir toaj ’5aoi опХтою 01 зг1 p9oir ‘лсохрлпг лап
5зу11ю 5ii It 5згМо9Л 5п- лапрг1оало1д лап оооотуЛ 1по лоуурт) то1ло5р9<Ьхз
gy 01 giro AaogliTioAo9liyx ол лао9о1гг) aoir g тох у лап Ssilngigi то ‘о1здплу
g тох у лап oisXioio 01 sri oilngiorlo oiririox лаоХз лзд 5а)лзт1оХздлз piay
ло9з(Ьо1длз o93iioigi лаоХз aoir gy aoi 013X1010 олзг1а)лог1зт1 oi толп лзд
‘oiApir SanrQ, ‘лсохрлпг олзг1дл1Л ою о9дп зт1рл9з1г ла>9д)Хо1га 11Лаз^ 01 giry
gy »A3iioAiX 01Л lodroXoira ЬпдапузНзд iq
7 + Z = I + £ 1Ю13Л1Л 44 и A 1DX Ai + Л лет1 Sisopiooig 5n 01Л (g) Soirai
О 'Ai U Л ЦП01 li толп aoir ‘x оло^р aoi коладазюх л1п 1зХз тох ‘(^ Uyliio)g +
(у Uyliio)p толп fi oiioaApig оХтоюпло оу 4 liooiopig 1зХз тох (д‘р- ‘д‘т) = х
oi 1зХз19з1г 5о9а)Хдлзд11г1 Q о 5оуд toais Ai + Л ° тох £ TOA-P g aoi Li^ipx н
V±HlOINC5JO0dO
9K

3.6 ANA2KOnHSH KAI ПРООГГПКН
237
Aev yiveTai npoona0Eia va anoSeixOei oti о AB exei реуаХбтеро pTjSevoxwpo
an’ tov А. IIpaypaTi Sev рлоробре va еууо,г]0обре хате тётою. П.х. о A xai В
0а pnopo6oav va eivai avTioToixa prjSevixoi nivaxeg 2 eni 3 xai 3 eni 2 xai о
AB va exei tov pixpoTepo pr]6ev6xiDpo R2, evcb о A exei tov реуаХбтеро R3.
©DinqOeiTe тёХод oti ёvag ibTO.Tivaxag C oxTFCcri^eTai napaXeinoveag xd-
noieg (r| xappia) ал’ Tig ураррёд tod A xai xanoieg (t| xappia) ало Tig отт|Хед
тог. Aev eivai ббохоХо va раутёгрооре ёvav лерюрюрб yia tt]v та'§г] tod C.
3L Уло0ёоте oti о A eivai m eni n nivaxag та^еозд г. Тоте:
(i) Ka0e Dnonivaxag C eivai та'^еозд < r.
(ii) Evag todXoxiotov r eni r Dnonivaxag tod А ёх£1 та'§г| axpi6wg r.
©a avayayoDpe tov A otov C oe Sdo бт|рата. To лрсото acpr]vei to
л/.г]0од tidv OTrjXcbv aneipaxTO xai acpatpei povo Tig ураррёд лоо Sev OeXoope
otov С. О x«P«g ypappolv аотоб tod evSiapeooD nivaxa В лер1ёхета1 npoipavcbg
otov x®P° ypappwv tod A xai ёто1 та^т](В) <та^т](А) = г. 2то бебтеро бб|ра,
о В avayeTai otov С napaXeinovTag Tig aveni06pr,Teg отт|Хед. 'Etol о X0)Q°S
OTrjXibv tod С лер1ёхета1 otov х«ро orqXcbv tod В xai та^т](С) < та^т](В) < г.
Adto anoSeixvoei то (i).
Tia tt]v anoSei^T] tod (ii) оло0ёоте oti о В anoTeXeiTai ало r ave^dpTiqTeg
ураррёд tod А. Тбте о X(l)0°S ypappwv tod В exei SiaoTaoiq г, Ta%iq(B) = r,
xai о x^pog oTrp.wv tod В лрёле1 va ёхе1 тгр iSia бшотаот] г. Уло0ёоте отт]
ODvёxela oti о C anoTeXeiTai ало r ave'^dpTT|Teg отт|Хед tod В. Тбте о X(,JQ°S
OTqXibv tod С ёх£1 StaoTaor] г xai та^т|(С) = г. Adto oXoxXTjpcbvei tt]v anodei'^q
tod (ii): Ka0e nivaxag та^есод r nepi6xei ёvav pr] iSiopopipo Dnonivaxa r Eni r.
ПАРААЕ1ГМА ©EcopTjoTE ёvav axopr] nivaxa 3 eni 4
Г 1	3	3	21
A =	2	6	9	5
[-1	-3	3	OJ
pe Dnonivaxa C =
Ka0e 3 eni 3 Dnonivaxag tod A eivai iSiopopcpog, evib о C Sev eivai. Ара t]
та^г] (tod A) eivai 2.
Aev a^i^ei va SwooDpe tSiaiTepr] ёрфаот] о’ аотб то Оешргра. Enupa-
veiaxa, poia^ei pe 6va ovTiog evSiaq^pov Oewpripa, лоо ёлета1 tod 2x- 3.4. S’
exeivo anoSei^ape oti xa0e A eivai ёуад avTiOTp6Tpipog р£таахлНат1ОНод tod
r-6iaoTaTOD x(i>p°D ypappcbv tod otov г-бшотато x®0° OTT]Xibv tod. Exeivoi
oi x.diQOL xai о ретаохтщат^оцбд nep^xoov бХт] tt]v nXr]poq)opia yia tov A. О
nivaxag 0a рлорооое va avanapax0ei oXoxXiqpog ало тт] yvojoiq odtod tod
ретаох^ратюроб. EScb то 'Сг|тг]ца eivai va бробре 6vav avTiOTp6ipipo Dnonivaxa

‘[(Zq - x)fm + (iq - x)^ =
119 юуохаз sriaojiAoyoirg
3(iq - x) 01гзладхю! юл одзхооопдзк pgmroodir 511о111О1гою1Хюуз nionxigmg li
тох LiolidLiindnir Ingidir aLho nionrilio LidsiaynAsri sriaogigoirn 3101 ‘Zai < im люд
•z(Zq-;r)Zm+z(iq-a;)im= гЭ-
кдтрд зг/ лтлтА.Т)д131 nr/оюддю 01 pioiroioiXnys oioiro 01 ‘ж
oi олрхз зг)ао§зутд юл толр Sgrlongigriao Sodsioaoyirn q nidotbodli^ir пюквх
Uion ix 1зХз1дз1г liolidisri кдзшзд U11919 ‘ iq = х лкю sriaoiosxdn юл зткоузд лзд
‘5mrig ююю юуд 4дюц -Zq = х Lirin It n‘g 4irra -юг1Лрд одз1ауюАзт1 giro ‘mili^ggdir
gxnonmo зо ‘li- nxnriiyx кдзюздпдхю mri girn miraxodir юл pdoirri iq = x Lirin
]-{ rounnroj^n nip? л Ln зт/aogigouv лзд Ьпойдиг/ oag 5no ng зюздои\
•лодзсЬтдлз gxnxndic
1зХз aoir ‘кЛюууюдтг 511^3 л1п sriaoolidaisg лю 5д1хз ‘lioliiAniro LixiAoyoioadi
li толр Agirioy lnay 'z/(Zq + lq) lirhi lupri li ppir толр 5gian 5оЛду о тох
Vjy/qyo - x зт! ‘vx = d толр Lryogodir ц [l] = ° 1301 ю^39аз A^XD
тлю1г q aoi liyogodir л1п тох ‘Snri 1иН1гуюлю1гз lirioiAao Luo ‘siomisrili^
•zq + iq = xz ТО13Л1А. liocnoi^s
U, тох x 11X3 x 5юхюл11г толр у о ‘птМюбц ‘q^y = jV Liootoi^s л1п giro
зг1аолдта1г nrkrodsirriao 0191 01 тох лотзо11д1зг1 лап Lirin Liosri li толр x оюпузд oj.
:z(Zq — ®) + z(iq — x) =	01 pioiroioiXn^s aoir x Lirin
л1п srinoaoili^ тох 5зюпгд1§ю 0001 §3 5i3olidi3Ti oag 5n зг1юододотз0 юддп 1дХзр^
:о1оа)лЛю
люлз 3ii лгозоотт^з oag rniLnoao oiongigriaon юлз sriao^iizansrhiAn ‘miAO^iiani
SisoLidisrI io aoir tioaniridsir aLii tirn 5gixg -Zq = x тох iq = x Aatsolidlnndnir
oag 13099 ‘5аолз0ою 5длз Saodng aoi x liolirinxs л1п ‘лтлотЛюд131 лапозХ
-пуз 5oinrlLr/godir 5одр oinioaoyirn 010 лЫЛпо Sodir зг1ао<|гзд1опгз 5у
юла)Люд1зх niDiXp'xg nAsriflirigni^
юхюлплпга aothdor/oigi М аодзигуоАзг/ aoi li^oi U man
lnay	5ln Sgrioido 5ог1юладоо1 5юлз толр sriaoXs aoir озл олдг1 од а
5отз§ю1 5зхюл11г iorii(|i3dioiiAn loyyoir лаоХдюка юл pdoirri ‘miAisgndmr 010 тох
1злтодг1ао SmirQ, ‘з^ао^зутд Ю0 5аоуд tirn aoioit оудд юлзлюх is^toit лзд тох j
VlHlOINOJOedO
8£Z

•олз^ллА. дхюзкооз 01 тох Soxkri oi
тох is^nyyn уИ 5oyyn зоря -оюттоууплп олзт1ол1Л охздзхгооз oi ззлксЬп ‘аодотХ
aoi k/hodioidsK к aocbn ‘копдршз niririnx тзХз лзр ‘пхплпк омотЛоддо лплз
ркп лотдпр лотх Sprimdognx q ’рхпздосЬтр к озл зюкп тол13 лзр олзг!ол1Л
рхздзютоз oi	□ тол13 Зр^опарлао о Зотдпх ‘£) = Ж пхплтм
очлотЛоддо лплз тЛ 119 зюапзтИс^ 'x^j^fi тол13 fi aoi тох х aoi олз^рлчЛ
рхчдзютоз o^l 'ЖуЖ = Э 9^охт2лло pxidisririaD лплз <о олрт1 лаоуупрдао
ткюхппкЛпдк лкю аок ‘ад 5зхплш 5аог1кНзд1оплп ркп лаоакаходк niay
:»A3rioAiZ рждзкпоз vi »/р тонлосЬюдЛлдзк осЬпдЛпдпк пзтазуз! л1и^
птоллз пзл ki лСшгп ,ка ‘тздпх т/пк тол13 тху — q nriyncbo 01 тох
тху куородк н 'Ж^Ж 5пхпл1к о то1з^1лп(Ьт1з лоозт! ою тох д = (ждд) ^(/гдд)
тол]з oidkndx 01 ‘nrlkioao озл oi£ -д = Xj.fi лозук 1злтог11ш лзр niltwisgn^
'гсдд aoi Soxkri олзгкпдклао 01 3ti iniaooi аок ‘х aoi Soxkri олзт!оп1дпю плз
tri sionrip^nAdg ’Ж ЛО1 пзлпд^прдзкЖо Soxkri 01 лпю ‘птНюл озл плз 1зХз
1(одзюзтокук„ к^зу li SroriQ, -q 01 5одк одзюзпокук толпз аок ‘лотукю аодотХ
aoi oprilio плз пупк тол13 куододк н ’1351РХХп 13Хз пл SLidiks 1зкздк ng Uian
'’N ‘ху 0X0 лпюуупдодк q 01 аок‘9 ‘пл9Х13 1лх1д1зт1отзЛ Uio кдзлао ij^
'9Ж^Ж jV = тх<УМ^Л11У)
рк» i»i3^idoipoodi£ q^[ = ху^ aoi люлюАюдхз! лтю^Хп^з коау ц
ол
:лотзоотт^з лотхзлолпх лотлзт1оп1дп1о лот1 5здазук оар 5по тох TOis^mndnis
Ж^Ж 5пхпл1К о тох 31ОК11 пз^пууп лзр пууп ni nin^ -q aoi козд kio q^ 01
тох у aoi козд kio у д1 ло1 лаоХз ‘пт1ку99дк озл 01 тЛ Эззоото^з 5зх1лолпх iq
Г еаг
[ О

тох
= V
5пт1 п^Ллзррдпк oi£ -тх зо х pun lioay hi 1з^юуут> piay -q^[ = ху^
nrikioao озл ою q = ху oi 5шло^пууп 131каходк тох пуохаз тогзлоткаютр
тх лою 1зЛкро аок лотлотЛпд131 лотюпХпуз пг1ку99дк олзг1тдклао о^
ою и‘9 4кп iq
oi 5одк 5одзюзюкук тол13 5опоко о ‘лотлзг1орзр лот1 5оозг1 SoAsrioitipnio 5плз
толзз тх oi = zm = im лпю зг1плдток аок ^q тох iq лот1 Skrin Skosri Ski плу
(9)
|аг +
tq^m. + lq^m
:тх koay пзл ki зЖолдток лзркд 01 зт1 01 5п1лолото1§з тох
HNLLLIOOdLJ IVN HZHUONZVNV 9Т

^ = ^=[t '] = JL
толтз 51юл»т1ахю1д пхплш aoi 5ойтоб1оплп о inx
(l-)(£/l) = (гэ1э)^ 319± Т/l toa.13 летдпу лопз0плп niUiOAnQW It пууп ‘лздЬп!
толтз SsylninX 9уок 09,9 io inx Ii Saylufia 940K 099 io inx толтз пл пккдолодш li
no зюздокх ’»10зХ пхпзбосЬтд зо лаокзудообк aocbn ‘ттло^пат ЛЗ9 Scorio
‘пбоЛообк mgi л1лю То1ло^1б1по 11919 ‘5злзтИп6п§з толтз Sisolninxs 099 iq
•f = z(i)f + z(o)f + z(i-)f = G3)3'
0= (l)f + (0)f +(l-)f = (3)tf
:£/Z toa.13 11олпт19хп19 Ii inx лзд1п1 3191 толтз nriyncbo олзт19лзт1плп
°± ’Е/l П11и9лп0пг П191 л1п лаоХз пл Л91пла9 толтз	mmiyncbo ni
liolninxs 30nx nij -лаоХзшх аок лап0пко 9ii0i6n 9x11(0 Л01 (5збоАп 5n nisri)
лао931лпт1 o§puq aoi Ssixtok юбтохзлло 099 119 зюз0окх VKJISVVJVII
•г(?9 aoi
Soinrlyncbo) aoi Inin liosri li толтз аок ‘£o SisoAnriaxnig 5п тзХзтбзк SowoAmq
md9x н '(f9 aoi nriyndio) 01 шз (lq aoi Soiniiyncho) aoi lirin 1ллзт19лз11плп li
толтз (f‘z) 013X1010 01 аотоко aoi Чтзолпг^ахтд пхплш aoi 5о<Ьоб1оплп о
тплтз /Ц^Л1 = Э 5пхплш ЗолзтШкоддоо^з ош о 'аотлтАтд 591x3 5aodg тзХз
44 о 3191 -обдздбкплп Л01 mA. nian ,кп 3190 nxioatb тох СпотоаобзА Л01
mA nian .irn п11пбп§злп тплтз ЛЗ9 0693961: Л01 mA пхтюатлАобк ni- inumi
-бп^зоуЦууп mmiyncbo ni лпд -5aoi a^ni3ri 5з11идп$злп тл]з л Ur! пл rsdoirri
5згап ‘119 01 inx тплтз лотзо1лб1ппбпк латотлп лап 5ппошо1§плп 51п лпбзц
•51п 5одпд
oi тплтз оупАзЬ ош 0091 ‘1шлпг19хт9 1163196x111 зо То1пухплп1лп аок т1Апбк
‘Uoli6i3Ti mil зт!ао^1б(олА пбзтупх ooq, ’?о/х = ?аг тл13 U6ng nioaio ni 3191
тл13 5aoi 51золпг1ахт9 io тх Saoi 9^0131! т1пбп§злп тлр лтзо1л61зг1
лап ninrivnbo ni лпд ndoxomg U тол]з аок ‘5о1пг1уп(Ьо aoi аола)Ап6131
aoi Inin 1юзт1 In зйго^бамА пл 51юшз 1збокдо jmfyncbo 9Х1лз91п1 пхпт1Апбк
зт1аолз111бзк ЛЗ9 аок 01(9 46пк ‘q aoi 5oimfyn(bo aoi „Ып клзтЪлз^плп,, li
тл13 Uiay -лз91п1 тол13 Soimiyncbo aoi Inin liosrl U 119 зт1ао51ба)лА пл 1з6окдо
•ssnBf) ло1 ,кп nxiX6n inx lixnonnio Ln (кп 1П1зХбзобк и,о1плпкп йбзтупх и
(0 aoi Ii) 44 aoi I1A071K3 U тлр тИхуддбк лобзсЬтдлз oi ‘Ц^пбк л1пз
•44 пхплш аотокпх тз01ход In зг1 ‘ОК961 ло1 лд1ап
дпх Ш1ло51бо -д fi = х лтд пхпз0 тл1з inx ft тох х т дкп ЗтхпМпбА
То1лапбп5з аок- плзтЪл^ пх1бз1аюз т пуо, ’(Зошгктлтд 90x^39(111 aoi
591x3) Soxlni gxusglni зг! пгЬалтд 1зХбпка лзд ‘5от<141з61оплп толгз 44 о UgisKg
(А)	|1а'Л1!1 = ;"lkl тех	= т№1х)
:5oxUri im олзИрлтЛ рюдззтоз
озл плз лао^до 5злрлпх юлзг/риз ?о ‘44 пхплш огЬ^здюилп здпх тj
VlHlOINf5JO0dO
OfrZ

3.6 ANA2KOHH2H KAI ПРООПТ1КН
241
О xivazotg avxog ptaivei ото p.eoov tojv oTaO[nap.evojv xavovixcbv e^iacboecov.
AEKHSEE
3.6.1 УхоОёоте oti S xai T eivai vxdx<0QOi tov R13 це dim S = 7 xai dimT = 8.
a)	Lloia eivai iq цеуаЛотерт] dvvaTiq diaoTaoiq tov S n T;
6)	Пою eivai rj Ц1хр6тедг] dvvaTiq diaoraoiq tov S П T;
у)	Пою eivai iq щхротерг] dvvanq diaoTaoiq tov S + T;
d)	Пою eivai iq цеуалитерт] dvvaTiq diaoTaoiq tov S + T;
3.6.2 noieg eivai oi тоцёд tcov exonevcov ^evywv vxoxcbocov;
a)	Tov eitijre&ov x, у xai tov emxeSov y, z otov R3.
6)	Tiqg evOeiac did tov (1,1,1) xai tov e.xvradov did tcov (1,0,0) xai (0,1,1).
y)	Tov (iiqSevixov 5iavvap.aTog xai oXdxXiqgov tov xcoqov R3.
d)	Tov exmedov tov xaOeTov ото (1,1,0) xai tov exixedov tov xaOeTov ото (0,1,1)
otov R3.
Пою eivai та авоспаиата avTcbv tcov ^bvycov vxoxcoqcov;
3.6.3 Meoa otov /cboo tcov xivaxcov 4 exi 4, ёотсо V о vx6%coQOg tcov roibiayaiviaiv
xivaxcov xai W о vxdxcoQog tcov avco TQiytovixcov xivaxcov. Педгрдачрте tov
vxoxcoqo V + W, tov oxoiov та OTOixeia eivai oi avco Hessenberg xivaxeg, xaOcbg
xai tov vxoxcoqo V П W. ExakiqOevoTe tov tvxo (3).
3.6.4 Eav о V П W xegieyei ptovo to pnq&evixo diavvopia, тоте iq (3) YiveTai dim(V + IT’) =
dim V + dim W. ExaXiqOevoTe tovto otov о V eivai о X0JQos yQ<W<mv tov A, о W
eivai о pqSevoxcoeog xai о A eivai m exi n, та^есод r. Посед eivai oi diaoTaoeig;
3.6.5 Дсооте хаоадег/ца otov R3 yia to oxoio о W П V xeoie/ei povo to pnqdevixo
6iavvo|4a, aXXa о V dev eivai одОоуатод otov W.
3.6.6 Eav V П W = {0}, тоте о V + W eivai to evOv aOyoioya tcov V xai W xai
ov[i6oki^eTai це V ф W. Eav о V хадогрета1 ахб та (1,1,1) xai (1,0,1), dia/^Te
vxoxcoqo W, ёто1 сооте V ф W = R3.
3.6.7 E^iqYiqoTe YiaTi xaOe dldvvoцa x ото evOv аОооюца V ф W цхоое! va YQacpei це
eva xai ц6vov ёva tqoxo oav x = v + w (це v otov V xai w otov TK).
3.6.8 BgeiTe цю 6acnq tov а0до1ацатод V + W tov xwqov V xov xagaYeTai axd та vt =
(1,1,0,0), v2 = (1,0,1,0) xai tov x«>qov W xov xagaYeTai ахб та wj = (0,1,0,1),
w2 = (0,0,1,1). Boeiте exioiqg Tiq diaOTaaiq tov V П W xai цю 6doiq tov.
3.6.9 Делите це xapade^a oti о ц1qdevдxcoQog tov AB dev хеснёхел хат’ avaYXiq tov
цтldev6xcoQO tov A xai oti о XWoS OTiqkcbv tov AB dev хеспёхетси хат’ avaYXiq ото
Xcoqo OTTqX.d>v tov B.
3.6.10 BoeiTe tov цёуюто аутютрёцлцо vxoxivaxa xai Tiqv Tagiq tcov
Л, = [2 0 2]
L3 0 4j
xai A2 =
110 0’
110 0
0 0 11
0 0 11

242
OP0OFQNIOTHTA
3.6.11 Упобёоте on о A eivai m eni n xai о В eivai n eni m це n < m. Aei'^xe oxi to
yivojievo AB eivai ibiopoQipog nivaxag.
3.6.12 Aeigxe ano xov xvno (3) oxi та£т](А + В) < xd§T](A)+xd^i](B).
3.6.13 Eav о A eivai Texpaywvixdg avxiaxpeip^og, deluxe oxi о AB exei xov idio (xr]devo-
X<opo це xov В (xaOcbg xai xov idio x°>po урацца'^ xai xr)v idia xd§q). Ynddedgq:
Хрт]<пцопо1Г|ате тт] о/еот] (i) xai oxo yivd^vo xov А-1 це xov AB.
3.6.14 Паоауоутопо1Т]оте xov A oe yivo^vo evog m eni r nivaxa L xai evog r eni n
nivaxa U_:
\ t S]
Г1 0 01
xai eniorjg A = 0 1 0
Lo 0 oJ
3.6.15 noA/.anXaoidgovxag xaOe oxx|kr] xov L це xr]v avxiaxoixT] ураццт) xov U xai noo-
aOexovxag, npoxvnxei to yivd^vo A = LU oav аОооюца r nivaxcov xa^ecog eva.
Kaxaoxevaoxe xovg L xai U xaOcbg xai xovg duo nivaxeg xa^ecog eva nov exovv
аОооюца xov
3.6.16 AeiJjxe oxi т] тоцт| xpicbv 6-didoxaxcov vnoxcbpcov xov Rs dev eivai eva цovadlx6
стг)це1о {0}. Ynddei^rj: Пооо щхрх| цлоре! va eivai г] тоцт] tcov duo npcbxcov
vnoxcbpcov;
3.6.17 Bpeixe tt]v napayovxonoiT)OT] A = LDLT xai xaxomv xovg duo xaxd Cholesky
napdyovxeg xov (LD1/2)(LjD1/2)t, yia xov
3.6.18 EnakrtOevoxe xov юхирюцо, oxi “xaOe у ото V П W лроёрхетас ano eva xai ц6vov
eva x xov A/XD)”, nepiypacpovxag ncbg yia doOev у пхууаЬоице nioco axr]v e^iacoori
(5) xai бршхоице то x.
3.6.19 Ti oi^6aivei отх] охаОцюц^Т] цёот] Х1цт| xw = (w^bj + w2b2)/(w2 + w|) oxav to
просто барод W| npooeyyi^ei to ^dev; H цётрг]ог] dj eivai xekeicog ava^idnioxr].
3.6.20 Tia m aveqdpxr|Teg цетрт)ое1д ,..., bm xov осриуцои oag, це барт] w-[,..., wm,
noiog eivai о отаОцюцёуод цёоод nov avxixaOioxa xov (6); H xakvxepr] ехт1цт)СЛ)
yivexai oxav oi отатют1хёд diax^avoeig eivai <7? = 1/w2.
3.6.21 Eav W = [q j 6peixe to VE-eocoxepixo yivo^vo xov x = (2, 3) xai xov у = (1,1)
xai то И'-цт|ход xov x. Пою dlavvoцaтlxr] evOeia eivai VE-xdOexr] oxo y;

3.6 ANA2KOnH2H KAI ПРООПТ1КН
243
3.6.22 Bodie тт] Avar) OTaOpiopevcov ekaxiorcov rergaycbvcov xw tov Ax = b:
A =
Г2 0 01
W = 0 1 0 .
Lo 0 1J
Дюлютсооте oti г] пдобокт) Axw eivai naki хаОетт] ото ocpakpa b — Axw (cog tiqoc,
to H'-eocoTeQizd yivopevo!).
3.6.23 a) 'Eorco oti pavrevere tt]v rjkixia tov ха0г|уг|тг| aag, xavovrag та kd0r| e = —2, —1,5
pie Hi0avdiT)ia 1/2,1/4,1/4. EnakrjOevore oti to avapevopevo ocpakpa E(e) eivai
pijSev xai ggeiie тт) ретабокг| E(e2).
6)	Edv о ха0г|ут]тг]д piavievei enioqg (r| ngoanaOei va 0vpr]0ei), xavovrag та
ocpdkpara —1,0,1 pe niOavorrjTa 1/8,6/8,1/8, noia 6dgr] Wj xai u>2 Sivovv rqv
a'ijioniOTia тт]$ 6ixr|g оад ехт1цт]от]д xai ti% ехт1цт)от]д tov ха0т]ут]тг|;
3.6	.24 УлоОёоте oti p ygapipieg xai q отт)кед, kap.6av6p.eveg pa'Qi, negieyovv oka та oroixeia
tov A. Aei^re oti t] rd^r] Sev eivai peyakvregr] ало p + q. Пбао peydko лрёлет va
eivai eva тетдауатхо рлкох prjSevixcbv oe pia ycovia evog nivaxa 9 eni 9, yia va
eijaocpakigerai oti о nivaxag eivai iSiopogcpog;

244
OP0OrQNIOTHTA
ALKHLEIL ПА EIIANAAHVH: Kecpdkaio 3
3.1	Bpeixe to p.r|xog tov a = (2, —2,1) xai хатаурспрате dvo ave^dpTTjxa Siavvofiaxa
nov eivai хабета ото a.
3.2	Бресте oka та Siavvonaxa nov eivai хабета ота (1,3,1) xai (2,7,2), naipvovxag та
xekevxaia cog ураццёд tov A xai kwovxag to Ax = 6.
3.3	Iloia eivai r| ycovia цехами tov a = (2, —2,1) xai tov b = (1,2,2);
3.4	Пою eivai q пробок») p tov b = (1,2,2) navco ото a = (2, —2,1);
3.5	Bpeixe to owr^ixovo xrjg ycoviag цетане tcov diavva|TCZT<ov (3,4) xai (4, 3).
3.6	llov necpxei т) пробок») xov b = (1,1,1) navco oxo eninedo nov napayexai ало та
(1,6,6) xai (1,1,6);
3.7	To ооотгща Ax = b exei kboq, тоте xai |i6vo тоте, oxav to b eivai op6oycbvio oe
opiojievovg ano xovg 6e|iekicbdeig vno%cbpoijg. П0101 eivai avxoi;
3.8	Пою ev6eia урацц») divei rqv xakuxepr] парецбок») oxa 6e6o|ieva: 6=6 yia 6=6,
b =6 yia t = 1, b = 12 yia t = 3;
3.9	Kaxaoxevdaxe xov nivaxa npo6ok»)g P navco otov /cbpo nov napayexai ano та
(1,1,1) xai (6,1,3).
3.10	Пою атабера ovvdpTT]ar| eivai nkijoieorepr] xr|g у = ж4, ото бюотгща 6 < х < 1,
vno xr]v evvoia tcov eka%ioxcov TeTpaycbvcov;
3.11	Eav о Q eivai op6oycbviog, au|x6aivei to i6io xai це tov Q3;
3.12	Bpeixe okovg xovg oo6oycbviovg nivaxeg 3 eni 3 tcov onoicov та oxoixeia eivai
|iT]devixd xai |iovd6eg.
3.13	Пою nokkankaoio xov npenei va acpaipe6ei ano to a2, chore то апотёкеоца va
eivai ooOoycbvio oxo ax \ Kavxe eva охфа.
3.14	napayovTonoii)oxe xov
Г cos в sin 01
[sin0	0 ]
oe yivd^ievo QR, naQaxiqocbvTag oxi r] npcbxr] отг|кг] eivai »)5t] fiovaftiaio biavvapa.
3.15	Eav хабе oxoixeio evdg oo6oycoviov nivaxa eivai 1/4 1) —1/4, nooo цеуакод eivai
о nivaxag;
3.16	Упобёоте oxi та Siavvopaxa q\,..., qn eivai op6oxavovixa. Eav b =	. +
cnqn, бсооте evav xvno yia xov просто avvxekeoxr) c1; ovvapxi)aei xov b xai tcov q.
3.17	Ti nepiypacpovv 01 e^tocboeig ATAx = ATb, to Siavvojia p = Ax = Pb xai о nivaxag
P = A(ATA)~]AT-
3.18	Eav та opBoxavovixa Siavvanara q^ = (2/3,2/3,-1/3) xai g2 = (—1/3,2/3,2/3)
eivai oxrjkeg too Q, noioi eivai 01 nivaxeg QTQ x ai QQT; Aei^xe oxi о QQT eivai
evag nivaxag npo6okr|g (navco oxo eninefio tcov q^ xai g2)-

A2KHSEE Г1А EFIANAAHVH: Keep. 3
245
3.19	Eav ., vn eivai opOoxavovixi) 6aor] tod Rn, deluxe oxi +  + vnvD -1-
3.20	A/.r|0eg x) tpeDdeg: Eav xa diavwpaxa x xai у eivai opOoyibvia xai P eivai лробокт|,
хоте xai xa Px xai Py eivai enior|g opOoydma.
3.21	Проопа0т|оте va парербакете pia eu0eia b = C + Dt oxa OT]peia b = 0, t =2 xai
b = 6, t =2 xai deluxe oxi oi xavovtxeg e^iocboeig xaxappeoDv. S/edidaxe okeg xig
бёктютед e.D0eieg hod ekaxioronoiodv xa rerpaycova tcov duo acpakpaxcov.
3.22	Пою отщею xov eninedou x + у - z = 0 eivai nkqoieoxepo oxo b = (2,1,0);
3.23	Bpeixe pia op0oxavovixr| баот] tod R3 ^exivcbvxag ал’ to diavDopa (1,1, -1).
3.24	Oi veeg prixaveg axxivcov X (oapcoxeg CT) e^exa^oov xov aa0evr| ano diacpoperixeg
dieD0Dvoeig xai napdyoov evav nivaxa nov divei xig nuxv6xr]xeg tcov ooxcbv xai tcov
laxcbv oe xa0e отщею. MaOrjparixd то пробктща eivai va 6pe0ei evag nivaxag peoco
tcov npo6okcbv tod. Stt]v nepinxcoOT] 2 eni 2, pnopeire va бреете xov nivaxa A, oxav
yveopigexe to aOpoiopa tcov oxoixeicov xaOe урарред xai то aOpoiopa tcov oxoi/eicov
xaOe отт)кт)д;
3.25	Mnopeixe va Opeire eva nivaxa 3 eni 3 oxav yveopi^exe xa aOpoiopaxa tcov oxiqkcbv
tod, та aOpoiopaxa tcov ypappcbv tod, xa0cbg enioTjg xai xa aOpoiopaxa xaxd pi)xog
xqg xopiag diaycovioD xai tcov xeoodpcov akkcov napakkr|kcov diaycovicov;
3.26	Bpeixe pia opOoxavovixr) 6aor] tod eninedoD x — у + z =0 xai npoodiopioxe xov
nivaxa P, о onoiog npo6akkei eni tod eninedoD auxoD. Поюд eivai о pr|devdx<opog
tod P;
3.27	'Eoxco A = [3 1 - 1] xai V о p]devd%copog tod A.
a)	Bpeixe pia баот] tod V xai pia баси] tod V1.
6)	Bpeixe pia opOoxavovixi) 6aot] tod Vх xai xov nivaxa пробокт|д P\ noD
лробаккес xa diavwpara tod R3 eni tod Vх.
y)	Bpeixe xov nivaxa пробокт|д P2 noo npo6akkei xa diavwpaxa tod R3 eni tod V.
3.28	Xpr]oiponoiT|OTe tt] diadixaoia Gram-Schmidt yia va хатаохеоаоете eva opOoxavo-
vixd geuyog q\, q2 and xa = (4,5,2,2) xai a2 = (1, 2,0,0). Excppaoxe xa at xai a2
cog oovdoaopobg tcov qt xai q2 xai хатаураЩте xov xpiycovixd R xr]g A = QR.
3.29	Aeigxe oxi yia xaOe A, b, x xai у
(i)	eav Ax = b xai yT A = 0, xdxe yTb = 0,
(ii)	eav Ax = 0 xai ATy = b, xdxe xTb = 0.
Пою 0есортща yia xoDg Oepekicbdeig onoxebpoog anodeixvDexai pe aoxd;
3.30	Ynapxei nivaxag tod onoioD о xwpog ypappcbv nepiexei to (1,1,0) xai tod onoioD
о prjdevdxcopog nepiexei то (0,1,1);
3.31	H апоотаот] tod eninedoD aTx = c and xr]v архл, oe evav m-didaxaxo x.cbpo, eivai
|c|/||a||. П000 paxpia eivai to eninedo xi + x2 - x2 — x4 =8 and xr]v apxt] xai пою
OT]peio tod eivai nkr]aieoTepo 0’ aDxrjv;
3.32	Sxo napak/.rp.dypappo pe xopDipeg oxo 0, v, w xai v + w deieje dxi to aOpoiopa tcov
rexpayebveov tcov pr]xcbv tcov xeooapcov nkeDpcbv tod ioodtoi pe to aOpoiopa tcov
xerpayebveov tcov prjxcbv tcov doo diaycovicov tod.

246
OP0OrQNIOTHTA
3.33	a) Bpeire |iia opOoxavovixr, 6dar| tov xwpov orT]kcbv tov
6)	Графте tov А атт] p.opcpr] QR, onov Q exei opOoxavovixeg oTqkeg xai о R eivai
avco TOiywvixdg.
у) Bpeire тт] kvarj ekaxiorcov rerpaycbvcov rov Ax = b, orav b = (—3,7,1,0,4).
3.34	Bpeire ttjv торт] V nW xai то аОроюца V + W, orav
a)	V= piT|&evdx<oQog nivaxa A, xai W = X<i>Q°S atT)kcbv tov A.
6)	V= oi ovppeTpcxoi nivaxeg 3 eni 3, xai W = avco rpiycovixoi nivaxeg 3 eni 3.
3.35	Пою eivai то ГИ-еосотерсхб yivopevo tov (1,0) xai (0,1), orav о nivaxag 6apcbv
ш Г2 1]
eivai W = К ;
3.36	Па va kvoovpe to napakkrjkdypapipio ovorr]pa Ax = b avTixaOiarovpce tov A~] (nov
Sev vnapxei) pe tov (AtA)~] At (nov vnapxei orav о A exei ave^aprr|Teg arr)keg).
Aeiijre oti avrog eivai evag apiorepog avriorpocpog tov A akka oxi xai deijidg
avriorpocpog. nokkankaaia^ovrag ano т’ apiorepa tov A npoxvnrei о ravrorixog,
ano та Seijia т] пробок?) P.
3.37	Bpeire rr|v evOeia ypappr] C + Dt nov napep6akerai бёктюта arig perpr|aeig b =
0,1,2, 5 хата rovg xpovovg t = 0,1,3,4.
3.38	Bpeire ttjv xapnvkr] у = C + D2l nov Sivei ttjv xakvrepr) парецбокг) ekaxiorcov
rerpaycbvcov arig pierpqoeig: у = 6 yia t = 0, у = 4 yia t = l,y =0 yia t = 2. Графте
rig rpeig e^iocboeig nov kvvovrai orav iq xapinvkr] Siepxerai ano та rpia or]p,eia, xai
6peire та бёктюта C xai D.
3.39	Eav oi OTT]keg rov A eivai opOoycbvieg piera^v rovg, ri pinopeire va neire yia тт]
цорсрт] rov ArA\ Eav oi on)keg eivai opOoxavovixeg, тбте ri pinopeire va neire;
3.40	Yno noia ovv0r|xr] yia ng orrjkeg rov A (nov pnopei va eivai параккг)к6урар.|лод) о
ATA eivai аутютрёфцюд;

зг!
пхплш aoi aoian noao^ido л1п 5тлол<оо1§з isiiraxodir oidlindx ox •Sochdorioigi
толр IX - у о 531OKO 5n mA ‘(Sarftiorp? 10) у aoi 5зг1п ю 5злрхз лаодздд пл
толр пгИг/99дх oi тох прХтою тлотЛтд т пуо tim inipdindro у Sodisrindnir
Н IX ~ V лгохрлш тзлзАохто лкю ndodro ‘oiygig oi mA охплптИю толр oian
отоупсЬзх oi oioiro лох mA 5oAoy о плойХршт тох ‘UAoridnchs поаодзсЬтрлз our
H SoriitfisdioiiMa vows у о 3ipi о / У1ЭР	‘5o<bdorioigi тли у о 3101 Asgliri
vows у aoi noao^ido It ляд •ЭтктогМзйюплп oidlindx плз гзХздпр (l)
:5noao^ido 5U1 5i3olidX Ssdswidax 5n oirn Ssxidsri зг!аойзгЬплу
npXioio ni nian тохлоуупдтзт!
лто ‘inisyyngmsri 5oian 5аш oi inx Smgnx ‘пхплш aoi npXioio zu ni pirn
minidn^s о oioiro лох зт! oirpdi лох 13§р9 пл толр 5oirai о 13лпХАа1шз aoir
oiay oitai лою и шз и пхплш 5олз лотрХтою лап 511опюп1пхплп Soirpdi
5охпптк>зуз1О1гп ош о 5ai pglidcosg пл pdoirri lidbioynirn Ii ‘niliioxnnriAndir
л1пз Udnoynirn зт! ims^iAoyoira noao^ido li mqi Ii inx nioiynrl у oi li (_y
лох srlao^iAoyoira oioiro лох зт! oirodi лох is^nyyn лзр 5oian 5oirai О 'i-У 'VO1
лпо л<о0зЛзт1 orioiAoyoira лох mA ‘lubdoii liimsyx зо liomondnir LiAsiiidxsxAao
nni ‘uoirai„ охпауплп лплз 13919 noao^ido ц :51л§з U толр lufioirn
Soiigidn о 5oian 1злпх пл pdoirri nopir 01 oxnxliyirnmx толр nian
,У9 ‘йпц пхплш плз mA nidocbodliyir ItAsrloidoidsir isXsidsir пл ndmr pdoirri
ЛЗ9 5ori0idn 5oi3xo 5плз ‘minx-minx 013 'ndgsAyy lixiririndj I110 5о1лойз<Ьп19лз
aoi ойхлзх 01 oirn nadxnri лозук толр bsoao^ido 10 тох 1юла0азтх 5отХзлао
лао^пууп ‘5ioiaoi лз ‘nxnnrlli0nj^ nx '5aorioi Sidsoosi s^irisAs iinj\ aoi
лтоао^до лт mdoioi н лп0у11ОЙ1г inx Saoioiro 5aoi oirn ‘5зхплш 5aoi oirn
лойзЛтдлз odsioooidsir лаоХз пл лпоаохлолтосЬ тлойХ П1л1п1о993 oirn Aidir
aoir ‘Ssoao^ido 5n mA sriaoir пл isirsdir 11 sriaooioncboirn пл oyoxoap толр
HJ«jv3ia  i t
SHSAOZIdO

(IS81-W8I) ЩОЭЕГ Г9"Я oxu»Tilx0»ri оогодц лох оку "3’i’Z **
•охЛо 3<<>rk> oiy i лох зг! ()Q;ii_'iK3vltvv>)d»ir oxnaSodmiQ 5амзузх
Гi о о \ze/ze ee/zQ xe/ze]
О	fl uis	= zg/fig	gg/fig	лд/fig	= f
LO	fl™ л- fl soo J [zg/xg	gg/xg	лд/хд\
-.np/xp SUyoiomp йюзузхлао aoi
оЛоурлп oiniopipidi oi толтз noMtydo	It aoiro ‘zpgpjpp тогзлтЛ
отохазузх O£ • 5тзоп1ОШ9 5i3di 5no iniayysionip zpfipxp = др аохЛр отзХтою
oi тох ioi3 -пг1отд1лухоуо рут плз (о ‘х oi пюпдпхплп п oi лтр- пр(пр/хр)
ою тохзуузютр хр onXioio pdxirl плз по sionripriag пл isirsdir Scopidxn 5<oirp
‘31О£ ~z = г‘fl uis а = ft‘gsozx = х толпз 5ззозХо iq 'z‘fl‘a 5злзт1Лп131лао
5зх1д§л1уах зо sriaogmsri пл sriao^iondrom 1т1отд1лухоуо oi sTiaooltTOiroyirn
тЛ ‘по ЗЮ30ОКХ 'ЛР(2‘^‘Х)/ f f f »Ti(odliyxoyo oio то1з^1лп<Ьт1з 5<mrp
‘zpfipxp = др 5ogax 5odxiri 5плз тол]з onXioio одзюаоут oj^ 'пгкобкг/хоуо
oyirnyyou плз p ‘аохЛо 013X1010 оюодззкп плз плХао тал13 j oi U^ndir л1и^
охЛр ЛОЮ131 лплз siiaooiAoyoita пл зйаоузд пл oi о^орпдтг 1злп<Ь 5<oof *’(’rt
Х3) у aoi 5згМпдА. 5п oirn toiao^iQo 5зт<хп io aoioiro aoi ‘аодотХ aoinionip-u
aoi j аорзипгзуйуупдпи aoi охЛр ло1 зт1 iniaooi у aoi noao^ido н (z)
•liioiAoyoira лплз oirn iXo тох Snoao^ido 5Ui
oirai ло1 oirn isiiraxodir aoir niagliyn mri толр pian inx Ssiinoigi и ззХз лритоу
5пхпл11г Q '5з^1д Smpidxn и 1зХз ‘Ssilupyirnyyoir тох 5тлотд1зт1 ‘5от1гзлао тох
‘и aorigng ‘у 5odir 5от от1алотауо1г толр (/у - y)iap It по зт(ао§ п© -лзрЫ oi
у aoi ЗэтМпдЛ. 5п oirn топзузюкп аох орзхпхзукуупдпх о^ 'ур -Хз
SHSAOZIdO

л1их	aoynAsri 5ол.з noao^ido li k^pdir лкю mis^iAoyoira oioiro aoi
3ri) SaoAli^o iSAngrinyidsir aoir oiidi лплз tox uoirai gxiAmAnits,, oyyn лплз
‘5aoSo ju зт! дхпауплп апаз- noao^iQo лк1 mA 5aoirai Saodocbpig sriaoAig yp
осЬпдАпдпц л1ш> ‘лпюш^я '5aoi 5з131гзлао 5зоаодз<Ьш9лз our 5п тох Snoao^iSo
Slii 531U1O191 SsxnoidkixndnX 5n sriaocbnSAninx otbndAndmr LiastIoks aLii^
•5aoi g^nisri Sgiongigriao toais
53iliioi§i SsxnoidkixndnX io— 0191 oi sioiApir toais nriosysioirn oi ‘Ssiliioigi
5ii sriamoiroriiokdX nioiro aIii sri ndiso Ui oirn nikidn^SAn 119 sriao^isg па toais
ng nrikyggdir дхикдотзд oyoxoag 011г 03 -AOTAUpo aoti oastIoaiA. 010 inx ssnpg
ktbioynirn aIiio OTDiir 130I1AI190 5mi ng aoir miAndir ‘noao^ido aIii sriaojiAo'/oira
пл sriaodoitri ‘Ssikwigi 5n Ssian nxunrikioao SniAOTioiroriiokdX ‘5<nir ‘sriao^ng пл
toais ng nrlkyggdir 011013, -5ki 5311119191 5здзюз9от1узт1зд Sisdi 5n 91m isgmdo
(ng 5otia9 tox) пл pdoirri noao^ido ц ’5кокл1ххз opriko gxiAoyoioacb плз
1залх139О1га giay aao^idluxndnZ aIii аок $3ihipigi 10 000 toicni юхпауоАю
io ooox ioais лзд ooao^ido aUi tKO юдаЛ юinti Арди пдзылоумп
•5клп<Ьод1г toais пл 01 91m ayoir isXsirn осЬодюплп aoi sri aoi kosXo U
тох 51зокАк^з1гз 5з1зхдп isoknnirn ng yp ocbndAndnp лкю Soirai SgxnavnAn q
•nihigxnnriAndir aIiio плтодйто n‘9 4irn ndswyoxas ayoir лпю^тАоуогга ng т у
о пхпздо(Ьт9 ‘лдпкудтзт! и aoti кок1дплао kyirn 0091 тох toais ЛЗ9 у jap It
5отлпсЬодц -grioido лплз 4о inx зг!аооклот(Ьг1ао пл oyoxoag толр пууп ‘SndgsAyy
Skxirlrlndj 5U1 тдотзд liio 5aoi козд lii inx 5aoi nionriko ki mA зг1аодлп<Ьо1гп пл
oyozogg олдг! толр лзу ’Ssoao^ido 5n sri mikyggdir oyyn плз inx isXdnirx
•AOToao^iQo Aoxiyliir плз толр <?г_у = x oio “SLtondgiirs 511юзуз1лао„
о ‘Itolidliindnir mri рдотдбо19 li 5oQi3rindmr mri is^nyyn nrindpir плз <o лпд q
013X1010 ЗЮЮПХЗ 01 91ГП q^y aoi LioliiSn^a aIii ndisrl noao^ido ц (j>)
•lioay
lixnlirigidn li Smrig miscbadioninx ‘ligsAsri nxiAoyoioatb зо OAsrigAiA 01 misdscb
-ПАП1ГЗ 1013, ’9A119O oynAsri nimgliAaon лплз 91m 5П991Г nmx mipgaoyoxn
Sgian 119 толр ‘59AI190 Sgdxni nioigliAaon 5плз misAascboirn ЛЗ9 ЛП19 ‘U^ndir
aIiio 5отд11лао isAingrlao aoir Soirig 9iay -OTinxndmr isgnyodir 5nri ng 59AI190
Sgdxiri о 5отазт1оХз9лз 11919 ‘лотгМпдА кАпууплз sri 59AI190 Sgdxrri ayoir 5плз
pgXaschoirn 4л oiroxon лшй 119 ‘Ltoligioirsir aIiio 30I1AI190 oiaoi ‘тлдбХ nxidsri
91ГП Aidjj -noriUoodu /<Хпууп клзг1оХ.здлз 01m 5pix3 ‘oipi 01 ^злзгЬэдюм лтАйро
лтх олзг/oaiA 01 ‘5kcbio^mcx> 5hi	Ui pun шйхдр^злп 119 nrioncpirriao
oio PAI190 ‘(awAUqo лтх OA3tipAiA)^ = noao^ido 5oirai о 119 01 toais lirigxn
лодзсЬп19лз oijj ’AOTTirlnSA кАпууплз рдотздХ ng 3191ГО ‘лз9кг1 рдо1лп<Ьг1з ng
aoAk9o козд niri зо 3191г ‘sriaotfpygodir пл mA sriaookioiroriiokdX ki пл 3iino
-aoSoirrl ng ‘nxnkdmsQ 5aoAk9o 5aoi mA 5aoirai 13A]9 noao^iSo н (£)
(•5збх1г1 nioodisirn toiaoaiA Sgrixn io 5rognx oririndAagas л99зХо зо misyyng
-nisri nyyn ‘oririndA9yairrinx то1злто<Ь 91ЛП ‘sriaoomgsXo 01 пл sriaookgniroodir
лто,) •o93iriiT3ykyyndnir 5nri gdxiri 01 toais aoir 'zpypipi aoxAg aopXioio
aoxid9Aiyax aoi л oi толр 91ЛП inx л = [ toais Snoao^ido 5ki 5kian kriu н

Hjojvzra rt

•orioido лохо nncbnon хзХдпхга лзд ndn ‘5аох а^пхзт! Saxongigriao толзз Ssxltxoigi
io по зтйхоалхпдохго ‘5поз0пхзт1 5п зт! пхпзХо Uolidliindnir кхпздтоодхг mri
зг) ‘5ov3jl иэигедз аох 5охгах о толп aoir ‘QT_y = х 5обхг 5со зт1аоолу пл
тох j_y лох sriaoSg пл niX поао^хбо лкх STiaoioKoriiolxQX осЬпдЛпдпц
sasAOZiao


'I, »|-=рт",р=1? ”1
orilioodu уз^юуую тооао^до к ‘ЗзгМтодЛ оад лаор/.пу/'пл.з люд •£
•одзхтозд! ох них толр лзд ктНюдЛ kxmdir к119 13лХ1зд 5юлдлюх 5олзт1окз о
'X 5юлдлюх
о тох 13зу 5ашо > nwx люхлоуузхоюпд юд юоао^пдо к тох 5охЛд о ‘кг!хю долог!
nirl к люхдуузхохид люд 'up юхюх люхло^зхоюдд ng noao^ido к тох 5охЛо о
51зоюхою1д и 5п^ -р юхюх 1юхлоуузхою1д 5зт1хю то аох 5зуо аок ‘аопаох 5олз
охЛд лох зт! is^niori дхау •(/ зт1 noao^ido лкх юхтузх is^nion'/Kn^^oir 5аох 5юлз
здюх тох) ктМюдЛ 30»х зо ; юхлоЛюдюк лох 1зХз у? 5юхюл1к q у jap 7 = (y?)jap
mkxgigi клздоюдлюу кх зт1 тохз^паюх лзд 5одзт1 одзхазд ох ‘ютог1ддюц
эуд - oq - рр + pv
юдозузхокю oigi ох лаолпд 5здазук оад то то^ чз^юурэ л, тохзкздхигз ктМюдЛ
Ю111 олдт! :5згМюдЛ 5ix 5зуд зхзоздоодк юл sxisdoirii лзу -р) jap + q jap =
+ g)jap oxkxgigi клзтктодлюу кх зт1 тохз^пхаюх лзд 5одзт1 oxrodir ox ixo sxomisrik^
\Р Э|?=|Р И
|<? о г \qi т\
\р э |+|р I р 3 I
I р р I J q v I I p + q p + v |
:кдзт1 oag
зо пдауюлю юл ndoirri Ьрхаю Ьюлолюх о юду -Saorigidra зг! ог1оюююукю^7ок тох
лтхют1оалю1д коздордк :51з^юдк оад зт! лаохкаходк 1от1оюадлао loxirirtodj
'Э
jap тох q jap лтх 5дт1оюадлао 5oigi о толзз у jap к пзаздоЛюка 5юлдлюх о зхо£
'Э 1DX Q Л(Р1 л.тт1г1юдЛ лтхтдк лтх Эдгктоадлао толп у аох kririodX кхтдк к
голз ‘юхзг1 тох 5аох кгМюдЛ кдзхазд кх дкю тохло^паюх p)‘ff‘y 5зхюл1к то 1x9
зхоздоку -5U1 ктЫтюЛ tiimdiz aki picv vwrlrivdA. mipidv^a voao^ido q g
5oTiioidx Smrlg толпз ‘ют1оюлХзх зт1 is^piori 5юлдлюх Soxmdir
q -^аодзАзг) эпохligaoioxo 5зхюл11г 5аох1лтЛюдхзх зо тохло^д^дюскз 5злдлюх
то 1x9 ivpir тох sriao^iAog лтхтдк лтздх лгох юпзкзлао тол1з oxkxgigi здюх
зхдко ‘5злзг1аоЛкодк 5ix pm isxiraxodir кхаю окддх oioir зт! ‘з11аолХ1зд юхзт! тох
ioxkxgigi кхдюхзх лкх дку ( |у| к у jap к тооао^до лкх Ю1Л зхоюддХздокю
аок Saorioiyogiiao оад 5аох sxomnrik^) -тохлодзЛюлю aoir Ssxkxgigi 5ix 13X3
2 lira когохюдзк лкхо Sgrioido 5олзт1о1дклао о 1x9 зг1аооаздкую1гз юд юхд,
7 lira 1 юг1Л1здюдюк юлз (о юдзхдуохаз кддхю тохлаоЛк^зкз тох тохкдлоуохаз
толр 5злдлюх 10 ‘Srorig SroXaxag ‘5оЛоуюхюх 5адхют1 5юлз isjiaxodir юд годд
ZV3AOZIJO ЗНХ 33.LH1OIVI  ГГ
JSZ
svsxozido знх saiHioivi г>

.\р 3L I p 3 I
I q v | | pi — q э/ - » |
liilr/gnism noactydo alii isaUdxo tr/vn <ami
от 5 Liri rind k Snrrl аоююумюууон ИлоздкмЬю 5Ui LiSndir SUgmisXioio jj •§
(•fz ПЛОЛПХ AOl О1ГП Т30ПЮП1ПХПЛП ПЛ 31Г301ГЗ П0 TOlklOTQT
kxnotokixndnX лпо ‘z Зплолпх о sioy -gjoog подзЛуп лкю тзаХот aoir nriAndir
‘X- = X лто тшзигтдбпшх пг1кдтзХпгз og) -g = у lap inis tox лзркг! oi toais
шкютрт aIii л1шгп ;t1 Sorigton ЭолотТ о Soikygnisrin тзлзт1пдтг Зпхплш о тох
потр ‘kikygnisrin тзлзтТпдтг Sorto Lnay orikopdir тз^пууп noao^too li no тшзд
-noira ЗзгМпбЛ oa§ ттлооопууплз лто потр ‘3 плолпх aoi 91га ттзкз oiay
•o=^-<p=|2 ”|
0 = у jap 3101 ‘5зо] toais у aoi diririndk oaq anrj у
пхплш sioirkpaoioiro 5олз noao^too лк1 siiaodg пл mk
‘nxnnrikioao Saoian Ззлолпх Saoi зг1ооокто1гог1токдХ ng aoiaoi хз Sy -5злпсЬод1г
aoyognx толтз лзр oiaoi пууп ‘imdUyir тздтдодпу. лоз'/ir чзХз noao^ido ц
•p TOA13 J
jap li no SniAO^Tirosg ‘Snan tirn niri тз^тдодпх 5oian Зплолпх о тох летоао^тдо
лапплад ti5odroX Зошюпт^олог!,, 5плз sXSlnrx '£ Зплрлпх о тз^тдодпх aoir
‘пдздпю Uxnomonyirnyyoir mri InotopTQDodirn лаолМто 3 тох { Ззлолпх tq
It	о	о|
• • • тох	1=0	т	0	1»« Т	=
|о	о	т|
’X тлр nxnanr aoKiioiavi aoi noao^ido ц •£
•Ззлолпх 5aoi 5аоуо (irn Эодзюаоуют о тплтз Soiay тохплтм aoxnoiani
aoi поао^тдо л1п зюптТо^птздХ Soysi ою тох- Snoao^too Sin orllioodir 01
тз^пууп SliririndA 1лЛпууплз здп^ тохолтхс oxnoiani лою 5атзоз0П1зт< пхплтк
лплз зтТаоЛплп пл sriaodoirri лотЛпууплз пдтзо mri 3jv -Затзозотэг! пхплп 5олз
поао^тдо лкю тзЛкро тох лодзТтптрлз aoi 5олог1 pirn тзХз z Зплрлпх о
•ктМпдЛ здпх зо тшз^отТдпсЬз
X Зплолпх о loig, -(з^поклтхэ^ aoir orikopdir ою aroiir ЗтлоЛздюпгз) ЗзгЫпдЛ
5п тупи зтТао^пууплз пл тох (х плолпх aoi пшх) р шлоЛпдшг aoi зтТаоЛп^з
пл ‘(Snoao^too Sin oriliopdir 01 Зтло^пууп) kririndA кх лк1 зг1 зг1ао^пууплз
лк1 пл srlaodoirri ‘kririndA kj ki Tsonionyirnyyoir p латЛпдтг о лпд »ю1ба»Хз§
5lu Uririodk здюн giro nxirlrlndA minidn^s noao^too к no ттзкз oian (iry
sasAOzido

4.2 IAIOTHTES THS OPIZOYSAS
253
О xavovag 1 6a ёкеуе oti onapxei evag ахоцт] брод -I | j |> ° ол°|-о5 бцюд,
хата tov xavova 4, eivai (iTjdev. Etoi та oovqBto^va бтщата anakoitpqg dev
enqpedl;oov Tqv opi^oooa.
6.	Eav о A i'/yi ur/bsvixr] yoaupir], tote det A = 0.
1° °h
Mia anodei^q ёхооце лрообётогтад халою akkq ураццт] отт] цт]^1хт]. Ката
tov xavova 5, т] opi^oooa dev akka^ei xai eneidq о nivaxag 6a exei тсора doo
loeg ураццёд, хата tov xavova 4, 6a ioxoei det A = 6.
7.	Eav о A sivai TQiywvixog, tote r] det A sivai to ytvdfisvo an  • • в-m. tcdv
OToiysiwv tt/q xvgiag diaymviov. IdiaiTEoa, oTav о A sysi 1 ката pr)xoc;
тг)<; diaywviov, tote det A = 1.
I a b I , I a 6 I ,
„	, = ad,	, = ad.
I 6 d |	’	| c d |
Anodsigt] Улобёоте oti та diayibvia OTOixeia eivai diaipopa тог) pqdevog.
Тоте та бтщата Tqg anakoicpqg цлорош' va e^akeitpoov ока та цт] diayibvia
OTOixeia, x^JQLg v’ akkd^oov rqv opi^oooa (хата tov xavova 5). Eav о A eivai
хата) Tpiyarvixog, та бтщата yivovTai це rq oovq6io^vq oeipa, ^exiviovTag ало
tov драло odqyo. Eav о A eivai ava> Tpiyamxog, тоте хабарг^ооце лрюта Tqv
Tekevraia OTqkq XQqo^onoic')VTag локкалкааш tod ann Tqg хата) yorviag. Kai
OTig ббо лер1лта)ое1д хатакцуооце ото 6iayd)vio nivaxa
I
L	&ПП -I
Tia va бробце Tqv opi^oooa too есрарцб^ооце oлoцoveтlxd tov xavova 1.
Е^ауооце tov napayovTa an, xaromv tov a22 xai тёкод tov ann, олбте алоцёуе1
о таотот1хбд nivaxag. 2то тёкод есрарцб^ооце tov xavova 3!
det D = an a22 • • • an^ det I — an a22 • • * ^nn •
AvTi6eTa, av Eva diaywvio otoixeio sivai iir/div tote rj anakoicpr) 0a xagdysi
fsia urjbEviy.r] удащтт). Ката tov xavova 5 аота та бтщата anakoitpqg dev
akka^oov Tqv opitoooa xai хата tov xavova 6, цq6evlxq ураццт] oqцa^vel
цq6evlxq opi^oooa. 'Etoi алобе1^аце tov xavova 7.

254
OPIZOY2E1
Oxav evag xgiyiovixog nivaxag eivai сбсоцодфод (Xdyco ц-qbevizot) orqv xogia
Siaycbvio) r] ogi^oood too eivai p]<5ev. О enojievog xavovag Sei/vet oxi to ISio
av|i6aivei це oXoog xovg idi6(ioQ(povg nivaxeg.
8.	Eav о A eivai idiogogcpog, тоте det A = 0. Eav о A eivai avTitJTQeipigog,
тоте det A / 0.
О [° eivai i6ionoQ<pog , av xai |idvov av ad - be = 0.
Eav о A eivai 1&1бцодсрод, тоте т] anaXoapt] о6т]уе1 oe evav nivaxa U це
цт]6еУ1хт] удаццт]. Ката xoog xavoveg 5 xai 6, det A = det U =0. Eav о A eivai
цт] 1б1оцодсрод, т] апаХокрт) о6т]уе1 oe evav ava> xgiyiovixo U це цт| ^Sevixa
OToixeia хата цт]ход xrjg Siaytnvioo. Avra eivai oi oSrjyoi d],..., dn xai хата
tov xavova 7, det A = ± det U = ±d]d2 .. ,dn. ЕЬш ovvavTdfie tov лдыто tvxo
•yia ttjv ogi^ovaa. To oov T] nktjv пдботщо е^адтатас ano то av oi evakkayeg
удацца^ eivai agxieg t] negixxeg to nXrjQog.
H eno^vr] idioTTjTa eivai tj nio апдоо6бхт]тт].
9.	Гю. dvo onoiovodgnoTe nivaxeg n eni n, g ooi^ovaa tov yivogevov AB
eivai to yivogevo tojv ooi'Qovoojv: det AB = (det A)(detB)
I a bile f ] _ I ae + bg af + bh\
| c d | | g h ] “ I ce + dg cf +dh\'
Mia eiSixT] пед1птатот| аотоб totj xavova, Sivei rqv ogi^oooa too A-1 noo
eivai 1 / det A:
(det A)(det A ') = det AA 1 = detl = 1, aga det A"1 =	.
Srqv neginToroT] 2 eni 2 о xavovag too yivo^voo eivai о ibiog це tt]v
таототт]та
(ad - bc)(eh - fg) = (ae + bg)(cf + dh) - (af + bh)(ce + dgf
Stt]v пед1птах7Г| n eni n — eneiSt] aorog eivai о mo апдоо5охт]тод xavovag—
пдоте1уооце 5oo anobei^eig. Kai oi Soo onoOexoov oti oi A xai В eivai
цт] 1б1дцодфО1, SiacpogeTixa xai о AB 6a eivai 1&1оцодфод xai t] e^ioaroT]
det AB = (det A)(detB) епаХт]0ебета1 eoxoXa, a<poo, хата tov xavova 8, 6a
Scboet 6=6.
(i) ©еатдобце то X.6yo d(A) = det(AB)/ detB xai Sei/voo^ oti e%et Tig
i6ioTT]Teg 1-3. 'Etoi, eneiSt] aoxeg oi iSioTTyteg ogi^oov ttjv ogi^oooa, о d(A)

4.2 IA1OTHTES THS OPIZOYSAS
255
лдёле1 va ооцл1ЛТ£1 це xqv det A. Tia ларабег/ца, eav о A eivai о xaoroTixog,
tote oiyooga d(I) = detB/ det В =1, aga о xavovag 3 txavoKoieixai ало tov
d(A). Eav evakkayoov био удаццёд too A, to idio oojidaivei xai pie Tig idieg
doo удаццёд too AB xai enoyievog akXa^ei то лдботщо too d, orang ала1те1
о xavovag 2. TeXog, evag ygapyuxog oovdoaagog лоо e^pavi^exai orqv лдоЗтт]
ygayi^q too A di vet tov I5io ygappuxo oovdoaop.6 oxqv лдагау удащгг] too AB.
'Etoi о xavovag 1 yia xqv ogi^oooa too AB, diaigeyievq p.e ttj атабедг) лоооттута
det В, odqyei otov xavova 1 yia tov Xoyo d(A). О d(A) ko^ov avfinimei fie
rt]v ooi'Qovoa. Аотб oqyiaivei oti det AB/ det В = det А, лоо eivai xai о тблод
цад yia то yivop.evo.
(ii)	H deoxegq алобе^г] eivai Xiyoxego xoyiipq. Eexivd олобётоутад oti о
A eivai diayibviog л^ахад D. Тбте о тблод det DB = (det B)(det В) лдохблте1
ало tov xavova 1, e^ayovrag ало хабе удацр.г| tov avxioToixo Kagayovxa d.
Tia eva yevixo лЬаха A, xavooyie avaywyq otov D цёою twv 6q|iarojv rr]g
алаХо1фТ)д “Gauss - Jordan” —це та oovT]6iG|ieva бтцтата, лаце ало tov A otov
U xai хдт)01цоло1оАтад хабе odqyo yia va фткх^ооце pqdevixd ало лdva) too,
ларе ало tov U otov D. H ogi^oooa dev aXXa^ei, лада год лдод то лдботщо,
хабе фора лоо evaXXaooovxai doo удаццёд. Та idia dqpaxa бцшд avayoov tov
АВ otov DB xai exoov Tig idieg axgi6cog ел1лт<оое1д orqv ogi^oooa. Tia tov
DB бцсод yvojgitoope oti о xavovag 9 eivai осоотбд.
10.	О avaaTQotpoq tov A e%ei ttjv idia oQi^ovoa fie tov A : det AT = det A.
I a b I _ I a cl
|c d\ ~\b d\-
Kai лаМ, q лед1лтшат] ьбюцбдфоо лЬаха eivai алХг]. О A eivai idi6pio(xpog,
тбте xai povov oxav о AT eivai idioyio^xpog xai ёхооце 6 = 6. Eav о A dev
eivai 1б1бц.одфод, тбте eivai dovavr] jua ладауоутолоиуот] PA = LDU xai
expaQiio^ovrag xov лдот]уоб|^о xavova 9 yia xqv opi^oooa yivoyievoo, ёхооце:
det P det A = det L det D det U.	(1)
Avaorg^ovrag xqv PA = LDU ёхооце ATPT = UTDTLT xai ефадцб^оутад
лаХл xov xavova 9,
det AT det PT = det UT det DT det LT.	(2)
Aoxq eivai axXoooxegq ал’ d,xi фа^етац dioxi oi L, U, LT xai UT eivai
xgiycovixoi yie yiovadeg oxq diaycbvio. Ката xov xavova 7, oXeg oi ogi^oooeg тоод
eivai eva. Enioqg хабе diaycbviog л^ахад raori^exai |ie xov ауаотдофб too:
D = DT. Axop.evoov Xoixov oi л1уахед цетабёоеюд.

256
OPIZOY2E2
H OQi^owa тог) Р eivai oiyoupa 1 rj — 1, а<рог) лроёрхета1 ало xov tccutotlxo
nivaxa, батера ало еуаккауёд ураццсоу. Паратт]рт|оте ел(ат,д oxi РРТ = I.
(Поккалкаою^оутад xov Р це xov Рт, то 1 тт]д лрштт]д ураццед тог) Р xaipia^ei
це тг| цоуаба тт]д лр(Ьтт]д отт]кт]д xov Рт xai eivai ое бюсрореттхт] 0ёот] ало та
1 tcov akkcov oxr]Xd)v.) 'Etoi det P det PT = det 7 = 1 xai oi P xai Рт лрёле1 va
e/cuv xig idteg opi^oxioeg, oi onoieg 0a eivai 1 r| — 1.
^ицлерасуоице oxi та yivo^va oxig (1) xai (2) eivai xa idia, apa det A =
detAT. To yeyovog аг)то dinkaoia^ei xov xaxakoyo цад це xig idioxiyreg, dioxt
xa0e xavovag лои ia/i)e yia ураццёд xtbpa 0a loxxiei xai yia oxx|keg: 'Oxav
£va/j.dooovrat dvo axykeg у OQc'Qovaa a/./.aQni moarjuo, dvo lost; ott)A.eq (r|
цю отт]Хт] ^qdevixobv) naodyovv nrjdevitcr) ooPpvaa, r] ooi^ovoa е^адтатал
удащина ало лаве атг)кг]. Н anddeiigq npoxvnxei avaoxp(q3ovxag xov nivaxa
xai боикегюутад це xig ураццёд.
Мог) tpaivexai oxi eivai сора va атацатт]ош xai va avaxrjpij^a) xov xaxakoyo
лХ.г|рт]. Алоцёуес va бробце evav ovyxexpqj.evo тбло yia ttjv opi^oooa xai va
xov 0ёооице oe хрт|от].
AEKHEEE
4.2.1 Пид ovvSeovxai oi det(2A), det(- A) xai det(A2) це tt)v det A, orav о A eivai nivaxag
n ел1 n;
4.2.2 Aei^xe -exxekcbvxag хабе бтща oe eva napaSeiypa 2 ел1 2- oxi pia evakkayT]
xa>v ураццаА i xai j цлорес va napa/Gei npooGexovrag тт] ураццт] i отт] ураццт, j,
xaxoniv aipaipcbvrag tt] vea ураццт] j ало тт] ураццт, i, xaxoniv лроаОётоутад tt] vea
ураццт, i отт] ураццт] j xai, тёкод, nokkankaaidtjovrag тт] ураццт) i це -1. Поюг)д
xavoveg ба цлоротюаце va хр^оцголои^оооце yia va ог>цлерауог)це tov xavova 2;
4.2.3 Есрарцб^оутад Tig npa^eig цета^г урацц^, лог) oSrjyovv otov avio Tpiywvixo U,
елокоуште Tig
xai det
2-1	0 O’
-1	2-1	0
0-1	2-1
0	0-12
4 тог) беетерог) nivaxa xai gavaijnokoyiore тоид
Evakkacje Tig ураццёд 3 xai
oStiyoiig xai ttjv opi^ouoa.
Sr;/ле[шот] Mepixoi avayvwareg yvojpigovv т|бт] ёvav тело yia Tig opigovaeg 3 eni
3, лог) ё/ег. ё§1 дроид (e§iocoor| (2) тт,д елоцёут)д лараурасрое), илар/оиу Tpeig лог,
nave лараккт]ка лрод ttjv xvpia diaycbvio xai Tpeig akkoi лог) nave avanoSa, це
лрботщо цегоу. Eivai ipvoixd va екл1^оице a’ izvav ларбцою тбло yia nivaxeg 4 eni
4. Ynapxei ёуад тблод, nepiexei бца>д 4! = 24 dpovg (xai dyi охтш fiovo). Ki dniog
•pavepwvovv oi елбцеуед aaxrjaeig, dev цлорепе va eiore oiyovpoi oti to лрботщо
цетоу аицбаЫ^ет це ttjv аккт, Siaycbvio.

‘.£) пхплш aoiA(oAo0do
5олз (Ssyliio U) 5зт!т!пдЛ Sii они ini35iimiliXo ftoqsimiBylivyndnif Зортз оюц j- 1л
1+ зт! raiaooi ф jap no 31^139 ‘j =	319ИО ‘Suxhaix 5о1лгаАо0до toais fy лпд ffz’p
пхплш (1озл. aoi no(io5ido
A.lix ‘(lioltJOEoyicn inx) oiimAoyoim Зппдпз in зт! inx U [ плолпх aoi зт! 'зпздд
.F9Z-P	ЛО1О ГР -I
[рш — q эш-vj	Lq о J
лох SniAoyyngniBrl SarhinoA 5iio 5i3§ndir opQ плодХохат згзлпх no зюзрокл 8ТТ
Y тпх i Ззлолпх 5(ioi oiin
5ni30<i3 Д'п (asqLit! толтз 1гНт!пдЛ nni лшо о = jap) 9 Зплоапх о isiimxodic Sour 311 здд L'Z'P
= JV
лоттЫпдЛ ЗзАпууплз зт! шклходи пои ‘пхплтк .aoxiAOiAidi п^окплп,, аох (з)
ПХПА11Г (lOtboSlDllAn (1O1 (q)
‘ nxnAiic (ioxiacoAiOi cninx aoi (Л)
ПХПЛ11Г (lOXIAOlAlSl (ОАП (101 (9)
плз Зотз^П! пхплш Золз (п)
5з£>ао51до 5и 31тздд 9*Z‘t?
р = и зт!пХ13 Ltoltxon ItAsriaoAliodi! aIiij (oiAmAmq Ir/'/n aIiid
j зт! ‘j 5<пзоз0п1зт! пхплш и iirs и aoi mA ‘j— = j jap 31011 inx [ = (jjap toai3
3iojj !(1и!т1пдА-и ‘LnirlndA-(j — u) ‘ • ‘11т!т!пдА-[) li^niniq кхмолпх aIiid (UiiiinSA
-j ‘11т!т!пдА-( [ — и) ‘UiiiinSA-u) aIii 3iinir пл mA тшлоЗптздХ ЗзАпууплз Ззооц S'ZT
’o 0 0 ll
T-= О 0 0 jap inx t+ =
0 10 0
.0 0 I oJ
jap
iimA 3ioliAli§3 f'Z't1
svsxozido SHi zaiHioivi z’t

258
OPIZOY2E2
4.2.10 Xpt]oiponoir|oxe npa^Eig ре урарред yia va еяаЪ]0егюете oti т] 3 eni 3 “opi^ovoa
Vandermonde” toorxai pe
[1 a a2 "I
1 b b2 = (b - a)(c - a)(c - b).
1 c c2J
H лерилтюсп] 4 ел1 4 nepiexexai oxig aoxt]oeig yia enavakiyipr].
4.2.11 a) 'Evag avxiavppexpixdg nivaxag ixavonoiei tt]v Kt = —K, блюд о
Пап ott]v ЛЕ.о1лтсоат| 3 ел1 3 to/wi det(-fC) = (-1)3 det A?; aAXor, det A'7 =
det A' (navxoxe). Supnepavaxe oxi — det AT = det К xai oxi t] opi^onoa лрёлег va
pt]6evi^exai.
б)	ГраЦгге evav avxiovppexpixo 4 eni 4 nivaxa, xov onoiov t] det AT Sev pt]&evi^exai.
4.2.12 Akt]0eg г) tpevSeg, pe &ixaio/.dyr|ar| yia aXr|0eia xai avxinapdSeiypa yia ipeuSog:
a)	Eav oi A xai В xavxi^ovxai navxor, exxog xt]g navco apioxept]g ycoviag, блог
bi i = 2ai i, лоте det В =2 det A.
6)	H opigowa eivai xo yivopevo twv o&Tjywv.
y) Eav о A eivai avxioxpeipipog xai о В ibiopopqiog, лоте о A+B eivai avriaxpeipipog.
6)	Eav о A eivai avriaxpetpipog xai о В i5iopop<pog, лоте о AB eivai i&iopogtpog.
4.2.13 Eav xa0e ypappt] xov A e%ei a0poiopa axoixeiatv prjdev, deluxe oxi det A = 0. Eav
xa0e ypappt] exei a0poiopa axoixeiatv 1, Sei^xe oxi det(A - I) = 0. Aei'^xe pe халою
ларабег/ра oxi то xeXevxaio Sev ot]paivei det A =1.
Tia noieg xipeg тог A о A - Al eivai i&idpopcpog;
4.2.16 YnoXoyioxe xt]v det A avayovxag xov A oe xpiywvixt] popcpt] (xavoveg 5 xai 7).
Г1	13]	Г1	1	3]	Г1	1	3]
A= 0	4 6	, B=	0	4	6	, C=	0	4	6	.
Ll	5 8j	LO	0	1J	Ll	5	9j

4.2 1ДЮТНТЕХ ТН2 OPIZOYSA2
259
Iloieg eivai oi ooi^ovaeg tcdv В, C, AB, ATA xai CT;
4.2.17 УлоОёохе oxi CD = -DC xai 6peixe xo AaQog oxov enopievo аиккоуюцб: IlaiQvo-
vxag xig ooi^ovaeg, exovjie (detC)(detD) = — (det Z>)(det C), apa evag ало xovg C
xai D exei |xr]6evixr| opii^owa. 2livening, r] CD = -DC eivai Svvaxr] [idvov oxav о
С x| о D eivai ididpiopcpog.

260
OPIZOYSES
4.3  ТУПО1 Г1А THN OPIZOYEA
О лрштод топос E/ei г|5г] efxcpavioOei:
4A Eav о A eivai ididnopcpog, тоте A = P lLDU xai
detA=detP 1 det L det D det U
= ± (yivdp,evo tcov odtiycbv).	(1)
To лроогщо ±1 eivai rj opi^ovoa tov (t) tov P) xai е^артатас ало то
av то лХг|0од tcov evakXaycbv ypa|i|icbv eivai артю r| nepiTTO. Oi Tpiycovixoi
napayovTeg exow det L det U = 1 xai det D = di... dn-
Stt]v лер1лтсоаг] 2 eni 2 t] ovvqOionevr] napayovTonoir}oti LDU eivai
Га 61 _ Г 1 01 Га 0	1 Г1 ^/а1
[с d] [с/а 1] [о (ad-bc)/a\ [0	1 J ’
То yivd|tevo tcov odrjycbv eivai ad - be. Eav то лрсото бтща eivai jxia evakkayr|
ypapiicov, тоте
PA= [C d] = [ 1 °] [C ° If1 d/c\
[a 6_|	|_c/a 1_| [0 (cb — da)/c\ |_0	1
To yivdfievo tcov o&riycbv eivai тсора — det A.
ПАРААЕ1ГМА О nivaxag nenepao|ievcov diacpopcov Tt]g Hapaypacpov 1.7, eixe
tt]v napayovTonoirpT] A = LDU
H opi^ovod tov eivai to yivdp,evo tcov o6r]ycbv:
—ш-m—
Ехтод ало noXv eidixovg nivaxeg, avrdg eivai о тролод це tov олсно vnokoyi-
^ovTai oi opi^ovoeg. О xebdixag ото ларарттща Г 6pioxei tt]v det A and Tovg

liri гзХз UririndA Uxoo-u U 5оузх inx UyUxo g/ aUxd oisXioxd gxiAsgUri liri гзХз
UririndA Udaxaag U ‘UyUxo о лйхо онзХюхо gxiAsgUri Url плз гзХз UririndA Uxmdir
U 119 3W30O1CX Ззуйхо $зхиздо<Ьо1д зо ioiAO$iAO<bri3 oa isirsdu: 013X1010
vxiAsghri liri 01 ^золадазюх 5зхиздо(Ьтд 5оди лаолХру aoir 5зтМтодХ 5u oaori
згко^рхз^з ioxg, noao^ido UxiAsgUri nrri inx pxiA3gUri oirn UyUxo mri isXdnirx
0
0
0
inx 5Uyyn 5Ui oiopyirnyyoir толнз niri
U 3191 ‘иоладазшх mgi лих лаоХз 53riiindA 099 лто, ’5отхпг1охап тохло^лздит!
(отлпигпдшг 5odp 5отохазузх inx Soxoidir о Sonro) 5aoxan .irn lodsxpooidsir io
‘Saii-ip 5отХахад -p = лпхй 5nri Uoroxiridsir aUx^ :5aodp Uu нзлнд Uxan иоауплп U
inx лотлзт1Апхзхлао Ззло^п и зо гздауплп ng и шз и пхпл-iir 5рлз UririndA 30рх
(£)
\Р о| + |о	э|	\р	о|	+ |о
о|	\q	о|	|о	»|	|о	»|
\р	э|	+ |р	э| =	\р	э|
|<?	о|	|о	о|	\q	»|
Ug Uxo пхзг! inx UririndA Uj лихо nxmdir— UririndA
здпх зо nxoidmXa^ ‘SnxUxpxnirindA 5Ux igisyx-nxlixpigi aUx лпгохпх srlao^ridncbq
•[p 0] + [0 э]=[р э] inx [q o]+[O o]=[<? o]
:лтлзг1Апхзхлао ЛОТЛ95П
лотх иола0аз1§ Ux пхпх ‘nxnrioaAnig зо UririndA 30пх 5пхлот1гот§ зг1пл1хз^
•5зхпл11г 5аох 5аоу9 mA
inx nionxignig Ux sriaog П0 ‘oirgdx gxixnriUxoao зг! g = и inx z = и 5i3OOTXind3ir
5ix 3iiao0onAd353i£3 лпд -aocbndAndnir bUAsriaoAUodir 5Ux g-y SsxUxgigi Six
giro ЛП130ЯЗ ,xnx Aaoxiraxodir aoir ‘baoirax sriaoApdnir пл тлр 5mi SoXgx^
•l£pZZp£lo — CEolZpZlp — ZEipEZpllp —
ZEolEoElp +	+ EEoZEtjUo
££»	ZEd	I£p
EZp	ZZtj	IZn
£1X7	El?)	Up
:59хоотлА nxsxdn iynir toais 5oirax
5оХюхоилп о ‘g = и mj тоото тл13 oq - pv ox 1x9 sriao^isg oq ‘1= и mj
•5Ux лот1зХюхо zu лотх isoUxdnAao ‘noao^ido aUx mA oirax дхгхауплп лплз
srlaodg пл Agirio-y sriaoAisxodij -noao^ido aUx is^nsdUirs aoisXioxo Эдлз UAnyvn
U oirgdx Aoioir sri ‘sriaog пл лохпладп лозунг толгз :nriUxx3AOi3ri плз гзХз ‘5аоА
-Ugo Saoxo 5mdodiodUyir 5Ux 5Uyg UooiAxairriao U ‘5юхаох лз nnroxo UxixUdai30
aUx giry -ПХПЛ11Г аох тзХгохо и nxo nxiXdn AnxgXsidsir aoir SmdocbodUyir 5Ux
5Uoa>Axairriao 5Ux miosysxoirn ox толгз joAUgo 10 ‘nxUxgxixnriAndir aUx^ -SaoAUgo
I9Z
VSAOZIdO NH1 VIJ IOLIA1 E’fr

262
OP1ZOY2E2
pridsvixo oroi/eio oxr|v v отгр.г]. Oi api0pol xwv orqXwv a. (3,..., v slvai okoi
diatpopsTixol xai anoxsXodv avabiaxa^p r| цетаОст] xwv api0pwv 1,2,
Stt]v nEQlnxwor] 3 eni 3 onapxoov 6 oqoi:
«11	«12	«13	«11
«21	«22	«23	=
«31	«32	«33	|
an
«22	+
«33	«31
«23 + «21
«32
EnavaXap6avoops: 1] avaXoor] 0a snQEns va nsgiE/Ei 33 = 27 opoog, air’ xodg
onoioog opwg, oXoi Exxdg avrwv twv 3! = 6 slvai prj&ev dioxi exoov noXXanXaoisg
OTT|Xsg. Ev ysvsi anopsvoov n\ oqoi. (YnaQxoov n 6ovax6xT]TEg sniXoyi)g yia xi]v
npcoxi] отг|кг) a, n - 1 bovaxoTTpsg sniXoyr|g yia тт] oxx|Xi] /3 xai xskog pia xai
povo dwaTorryta yia rryv TsXsoTaia oxi]kr] v, aipoo Sev 0a sxeL anopsivsi napa
pia povo отг|кт], xa0wg EkioodpsOa avapsoa oxig OTqksg too nivaxa). Me aXXa
Xoyia, vrcao^ovv n! трети ретаОст^д twv apiOfiwv 1,2,... ,n. Tia va броорв
xig avxloxoixeg psxa0£creig, s^sxd^oiips xr|v axoZ.ooOla xwv api0pwv xwv ott]/.ojv.
Oi e£i oqoi otov (4) JtQOEQXovxai and xig snopEvsg axf]X.£g:
(a, /3, i/) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2), (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1).
noo slvai oi 3! = 6 p£xa0EO£ig too (1,2,3), r] npwTt] xwv onolwv slvai i] xaoxoTixr|.
H opi^oooa too A avdysxai nXsov os s^i noXo anXoooTEpsg oplt,ooosg.
E^ayovxag xoog naQayovxsg a.(J ngoxonxst Evag OQog yia xa0s pia an’ xig s^t
pExa0EO£ig:
1
1
1
det A = аца22«зз
+ «11«23«32
+ «12«23«31
1 1
1 +ai2«21«33 1
1 + «13«21«32 1
+ «13«22«31
 (5)
Kd0s OQog slvai yivopsvo n - 3 oxoixsiwv aij, dnoo xa0E ypappt] xai xa0E отг|Хт]
spcpavi^ovxai pia xai povo tpogd. Ms aXXa Xoyia, onaQXEi svag dpog yia xd0s
biadpopr] noo diaxQEXsi xov nivaxa npog та xaxw xai xOTjoiponoiEi xa0E отт]Х.т]
pia xai povo tpopa. Eav oi oxr]Xsg ХОЛ01!1031011!^0^ He TTl didxa^T] (a, /3,..., z/)
tote to yivopsvo slvai a^a, a2ja,..., anv sni tt]v opi^oooa too nivaxa psxd0EOT]g
Pa- H opi^ooaa okdxXr]Qoo too nivaxa Eivai xo a0Qoiopa aoxwv xwv oqwv xai
to aOQOiafia auro eivai о avaAvnxdg xonog noo yvQEvafie:

IryUio tiimdic л1и mA 5nri liAovnrs li лпю miAO^imriliXo ioiay -и& oi AaoXsidsir
аок (9) 5Ui 5aodo 5aoi ariao^nia^a ‘5lioliidn§3 5ogi3 01 01а» 3riaooq)ionmi9 пл
mj -uiv‘ • • • ‘zip‘iip LnirindA liirodir aIii oirn nxnirindA immdn§3 пл isipdir ng
noao^ido н :T 011119191 U odsipooidsir 1здз(Ьт9лз 5mi <093 11019 ‘odmdAndmr
liAsrioirs лкю гздотз^з ng 1 niliioigi н 'Slioagniari 5Uxnoiam 5Ui niAoy ny/n
3ii ‘(it ‘ • • • ‘3 ‘у) = n лсоу1ио Snigaoyoxn 5lii Slioioiiridsir 5Ui 5о1хз ‘Л39Ы зю1лп1г
тлр лап плзт1ол1Л п£ -lidsioaoYirn li nxioatb тлр ‘x = /рр 119 59Л0А3А 01 ‘£
niliioi9i н '£  l 5злолпх 5aoi ртоютлпх! iimA 31I909 пл Sanio sriaodoirjy ’Здукп
ndsimiQi тл1з (9) Soirai Зохпауплп о 110 pgoidaXoi пл 51злпх pdoirri лзу
•(oq - pv U) IZpZIp - ZZpllp = I ] jgp IZpZIp + [ I 0] japZZplIp = у jgp
5а)лзг1о1гз mx (x ‘2) = о mx (z ‘x) = о
тлр 51зоздтзг1 z = iZ qO :Z 1K3 Z lioaniridsir л1п зг1аооазд1лутгз пл оуохаз
тлр тх 5noao^ido 51п UdmdAidsir кхпауплп mri гзлг9 (9) Iidctdi^s ц
•(Z) A.U1D тхло^рпсЫз aoir nrlLtoodir г^з ni oirn 09,9 тлр niay
’X = г(х~) = Dcp3P ‘(UririndA Uirdi sri Iid3ia39 oirn 11лзг1аодаоуохп ‘Udsiasp
sri liicndir) 9x1101am лою isnir пл mA ЭзЛп^плз 099 inis^nisdX 5od3ia39 о
’X- = ^cfjap ndn ‘(UrlrlndA Uiidi sri Ud3ia39) кЛпууплз nni inis^nndX Soicodir о
‘(Z ‘X ‘C) = -° л(ру1ш> nigaoyoxn ззХз	I I =
‘(Z‘£‘T) =	‘£/ 1;d) Aipyliio nigao^oxn пзХз |_x j =
•ошдзи li оид» тлр люЛпууплз moi oi л» 01 3ii пАо^пл»
x- U x+= nd w
rSnoao^ido 5Ui orlliogdir 01 ndpdioiiAn ЦАпууплз здпх mx 9x1101am лою
лаоАплп ло1 AmririndA 5зАпууплз am noao^ido л1и sriaodg пл гзлзгкпгу
•у лою f?n т лпХртх
aoir 51зозд 5uo 1тло51лпсЬг1з aoi 5з9плог1 iq 5созоздтзт1 пхплш
ло1 51ю11гз is^idognx тх пхплш aoi SsririndA 5n з^аолтдзтх Srognx лотукю
лап Saorigidn 5aoi 13Л19 Uosgnisri н '(w‘ ’ ’ ’ ‘x) Atprlgidn лап (zt ‘ • ‘n) = n
5i3O3gni3ri jit 5n 5зур 4o Ш1злр1хз niioiodgn 01 ‘it iirs it nxmiir лплз mj
(9)
jap (ZIUO ‘	‘»ip)2^ = у pp
£9Z
VZAOZIdO NH1 VIJ IOUA1 £>

krirind/. kj л!лз 5озлои]зуодт£ TOisd'iinrikXo f'jgr 5пхпл11го1га о тобазум 01^39
kio тохло^лпсЬИз i iir3 3 5зхпл11го1га iq 'i — и Ьотз^пх (5злооо»уз тохлоЛзу
aoir) Ssoao^ido Ssdaxodxiri и isaiq kxan koniropip li ‘и 5отз^пх noao^ido mil mj
££p i£p I I ££p	i£p I I iiv Z£p I I Z£p
ZZp izp + iZV	Up + Up ZZp = Up zzp
£lp	| Zip ||	lip |	| Zip Zip
:mioiod0»
OAsrtoirs oio noao^ido лкх 3iiaoonironi9 пл толп oikioxunriAndir л1ио зтколпх
aoir oian inx odo 0191 лох niA плп^ Aao0kioiroTiiokdX пл ndoirri ЛЗ9 ‘Ззукхо
к ‘Scorio ЬзтНпЗЛ Ssigi iq 'Ззукхо 5зууп 5u 91m nxuonyxoitn тохпхдп^з пл
nirsdir ng fiy aoi 5п1лоЛпдтгт1ао о ‘5kykxo 5kxoo-f 5kx пдосЬтзлао к толп
fip 01 Uglsirs ix /ip пхлоЛпдшг лох зт! лкко cira 130сЫгу пХз krliindA. Uy к отлз
‘u ‘ • • • ‘g SsiirlndA. Six oirn тохпхдп^з f Ly 5oxan 5ori0i3n о 110 srlao^idmAj
•fiy 5ззло7г>дпиг1ао
то толп 3ria.o(fcpdfcid3i£ тол, тзиздз: aou: олрг1 оз inx ‘(g) о гомз .зз^ауохтоло
йрй зг1ао7з лог оназ лоз 5mriо ‘лз^кг! ох tirn зг!аоокл1хз5 пл з1гзд1гз лп
охоздпоад ayoir лпхк п@ noao^ido лкх шЛ oirai krioxn лплз sxonrio^nndx
ЬзхлоЛпбшгНап зо у рр 5кх к^аигплу
'51зоз0лзд»хг 513Й1 5ш> 1пллоХз1дзхг £iy uiy (iiy ^ЗззлоАтрдтоиНао,, iq
(б) ’(1£огго ~ Z£plZp)£Tp + (££plZp - l£p£Zp)Zlp + (Z£p£Zp - ££pZZp)llp = у jgp
ИЗЛ19 лотдо
лотх Skokioirogmio 5oxan 5oirodx о ‘g iirs g пхплп лплз nij VKJIHVVJVII
•SkririndA
SkiOTdir 5kx “ip‘  • • ‘Up nnXioxo nx oirn nxiririndA. тахпхдп^з урр к 5от1гзлах
(g)	-uiyWIp +    + ZlyZlp + Пу Up = у pp
1П13Л1Л (9) Soirax о ‘fip 0191 01 3ii лаолгхз^ aoir 5аодо Saoi Saoyo 5пхл
-oas^njx uiy konxondnir niri зт! inxs^nionyirnyyoir zip onXioxo 01 ‘moripdnu
(д)	•'-Djpp('’up---£/Zp)2^= iiy
толп пр аох 5кхозузхлао о aoiro
‘iiyiip kcbdori kio 5aodo Saoi 5aoxan Saoyp зт1аолотдхлзхАаз (w‘ •  • ‘g) лотукхо
AOTirioyoira лотх (o ‘ • • • ‘(f) = ,0 коз0пхзт1 niri плзткпгп зхох inx [ = ю толп
zazxozido


4.3 TYFIOI Г1А THN OP1ZOY2A
265
xai tijv j-оатг) oiijh-). Ka9e ogog OTq de^ia nXevga eivai yivopevo tov a^- xai
rqg ogi^ovoag tov це то oidoto ngooqgo aw q nXqv. Ta лдоогща aura
evaXXaooovTai zaQo'ig пдо/аздаце хата цг|ход Tqg удаццт)д xai oi огцладауоутед
TavTi^ovTai TeXixa це та
Ab =(-l)1+JdetMb.
Па пададесуца, о бешедод оицладауоутад Л12 eivai 023031 -021033, лоо Tairri-
£ета1 це tt]v detA/|2 eni (-1). H iSia те/vixr] е(радцд^ета1 xai oe TeTgaywvixovg
nivaxeg onoiovbqnoTe цеуёЭоид. Mia ngooexTixq nagaTqgqoq Tqg e^iocaoqg (7)
eni6e6ai(bvei oti о Ли eivai q ogi^ovoa Tqg хата) 6e^idg yarviag Л/ц.
Mia avaXoyq avanTv^q toyvei xai yia xa9e dUi] удаццг], X.y. Tqv z-oott],
пдауца noo ano6eixvveTai evaHaooovTag ttjv z-oorq удаццг] це Tqv It]:
4B H ogi^ovoa tov A eivai evag ow6vao|idg Tqg г-оотг|д удаццг)д xai
twv ovpinagayovTCDv тг]д г-ooTqg удаццт|д:
det A = OjiA^i + Oj2Aj2 4" " " * + O-inAin-	(19)
О mifinaQaytov Aij eivai q ogi^ovoa tov Mij це то oidoto лдоогщо:
Aij =(-l)i+^ det Mi:i.	(11)
О охфат!£ета1 nagaXeinovTag Tqv z-oott] удаццг] xai Tqv j-oott] OTqXq
tov A.
Oi Tvnoi avTol excpgd'^ovv tt]v det A ivg ovv6vao|xo ogi^ovocbv та^еазд n - 1.
0a futoQovaafie Voinov va OQiaov[iE ttjv ogi^ovaa p.£ елауахуг) азд ярод n. Па
Tovg nivaxeg 1 eni 1 9a 9ётаце det A = оц xai 9a xqt]01!1031010^00!16 tt1v (1) Yia
va ogioovjie 6ia6oxixa Tig ogi^ovoeg mvaxarv 2 eni 2, 3 eni 3 x.o.x. en’ aneigov.
Пдот1цт]оаце оцазд va ogioovp.e rqv ogi^ovoa цёосо tcdv l5iott|T(dv Tqg, nov eivai
mo evxoXovdqTeg xai va ovpinegavovge, an’ avTeg, tov Tvno (6) xai tov vvno це
Tovg ovцnagdyovтeg (19).
Ynagxei цш ахоцт] ovveneia nov ocpeikeTai ото yeyovdg oti det A = det AT.
H idioTqTa avri) цад eniTgenei va avanTvooov^ oe ооцпадауоутед щад cnr)'/.r)Q
avTi удаццг]д. Qg ngog rqv OTqXq j exov^
det A = aijAij + O2jA2j + • • • + anjAnj.	(12)
H anobeiigq ngoxvnTei avanTvaoovTag Tqv ogii^ovoa tov At a>g ngog Tovg
ovцnagdYOVтeg Tqg j-OTqg удаццт|д tov, nov eivai q J-oti) onq/.q tov A.

aotbpdAodnir
5U.1 SUian UXdn aUio ‘AmAUgo Ami oAsripAiA oi sri тох isiiriirriao x + и Urin ц
•(T -u)- (u)z = I + и
:(£X) aUi isioitoadxi pian 11919 ‘x + и ioais uy aoi noao^ido U
nriUg здрх 33 -SUcbdori 5Ui SUian лтхрлпг ArodsiayoAsri Ami ooao^ioo aUi 13919
5ока1 SgxiAmAnAO о 5gian ‘£ = zypp inx 1 = lyiap 119 sriao^idmAA Ugisirg
(El)
г-«у jap - (i-“y mp)z = uy jap
:u iirs
и aUid mx 9 iirs 9 aUio Disri ‘g iirs g Uomiiridsir aUid mis^gridncbs 0391 0191 н
'гУ )эр - (£ууэр)г = fry iap
U isiiraxodir UririodA Ux aUi 91m ‘pxiyoAax x~ = г,'° аотзХюю aoxiXdn
aoi AmAndnirriao о toais Uiay 'SUcbdori 50191 5Ui 3 iirs 3 noao^ido mil isiiraxodir
oioiro aUi 91m ‘(oiiUo9dir 9x1139 01 sAoAUdoir aoir ‘x— 01 ‘013X1010 9xiA39Uri
Uri oagri олз 3X13 Uiao 11919) UyUio Ux U aoiU UAoynrs Uioroo U pdoch Ui Uiay
joriUg oioias^si oio AnxUgUioirorlioUdXoAO^ SsiAoAndoirriao io 119 01 siomisriU^
I- 0 I
Z 0 рэРг+1(Х-)
ЮЛ13 isiiraxodir aoir giao inx UyUio U^ U inisiris^ndnir 01 mj
[F t rb
:5оют1ор19зХо aoigi £ iirs £ dxoaiit аолз isaUcbo
aoir oriAndir ‘Uvliio Ux aUi inx UririodA Ux aUi SoiAoirisyndnir isiiraxodir 1 in aoi
AmApdoirriao q Saodp лолрт! oag i3Aig UririodA Ux U mgg AroxiAsgUri Sogliyir
оуоАзт! лаоХз aoir SsrlrindA mA UriiolidX our idais AmiApAodoirriao Ami Sogogsri н
'Z	I-	0	0	
. I-	Z	I-	0
0	I-	Z	I-	~ V
-0	0	I-	Z	-
Arododioig AmAsriondsirsir p iirs p пхолш aoi siolidms© VKJISVVdVII

uy aoi u(j noaoSioo aIii sriaoiliz
-[! !	•[; w-'v
:5aoiAcoAoiQ
5is6i 5uo aoiADir у sri 5dxdaiit u lira и 5о1лтАт§161 5олз toais uy о no 3iO30Oitx 9‘E‘t’
' - ‘£T -8 ‘S
‘£ ‘Z ‘I izJtnioqij aoi nigiiovoy.n л1п 5зоао51до 5n diA 1зАр0пк oiay ^~U(J + [~UG
= uq no ;n§i3Q 5Uiiri»dA Sit; SUi Soxliri пти SaiAoApdoiniao зо 5о1лоооаигплу
(и lira и) dxdaiit aoiAtoAmqidi [ ‘у ‘j aoi ooao^ido U uq roiog, g‘£'fr
‘tu > £u >
3QBX diA daoadx oxiasA лплз 311369 DA aiiaSoiip^ Q{ = hi ‘g = £u ‘9 = Zu‘z = lu
diA ‘fu tox ’u moi odsioSxirl 01 = f’» зт) dxdaik aoi noaoSido л1п aiiadg (9)
•(dxdaiit
aoi Dirodir sutipdj) Г‘г aoti odsiodxni 01 = toais 013X1010 di aoioiro aoi ‘p 11ГЗ
dxdaiit aoi noaojido aUi idx 5aoAtigo Saoi ‘ gyj UoUioitoiaoAdSdit aIii зпзод (n) y£y
"I- Ц О ‘I »oao^ido 13X3 ; idx о toais nisXioio di aoioiro aoi 5dxdaiit Ьплд, (g)
TOisSjAaqlrri
da 131T3S1T 5з1лоЛр6п1тг1ао 5aoi ^d AOioiXpyaoi 5плз 3101 ‘0 = yiop лрд (3)
'у aoi noao^iSo л1п sri TOiaooi gy^-g ao1 HOfio^iQo ц ([) :5з9аз<Н U Sifjliyy
у рр aUi sioiAoyoira ‘5оузj, noao^ido 1 iirs 3 noaoiiraxodir aIii diA
31D9pyDADlT3 TOX (f+?(|-) DIAO/TOODIT AOI T/D1T SDlAWdltlDODll) DOaOjldO Alli LliaO
jA TOX 0191 AOI 31AD->{ £ 1113 £ noao^ido Dili зо у pp aUi зиАрАплп IDX у пу.пму
aoAsriaoAlioSir aoi SliririndA 5UimSir 5U1 5з1лоАрдп1тт1ао зо noao^iSo л1п 31§аитплу Z‘£’t
•UinQsir U midp toais Uo30pi3ii U lnan ad Sdiao^dis^s ‘y pp noaoMdo
aUi sioiAoyoirx oxiAsgliri oioirpx збао^зуптз da 5i6<dX ‘SaiiiiodA SaxnsdocboiQ
тох 5зу1по 5зхпздо(Ьо1§ зо то1лоХз1дз1т aoir aojisXioio лотброоз! 511Аоупгз oirodi
oaoiI aoi— (9) oirai лою TOis^iADchrls aoir odo oxiAsgliri liri oxiQDAOii aoi 311369
DXDAIIT AOI D1J
31ЯЗНЯЗУ
VZAOZIdO NHl VIJ IOUA1 £'P

ЦсЬтоуюкю л1п siisgliriag
(Л) 013 Si3oniom§ [ - и mk SogliyK oi зт! ‘и mk SogliyK oi (9) 010 зюздлаз
!(X) SaoAligo Saoi зт! okiii aoi (k
5(ОТ) 5з1лоЛюдюкт!ао Saoi зт! окси лох (9
:(9) оках охиауюлю лох (ю
окю и ткэ и noao^ioo U зздозЛоуока юл тк тохло^ютздХ тот!оютоюукюууок юооц П’£Т
:пу jap л1и 3i3(li3V9odic юл З11здокр\ аоуую аохлюк Зздюлот! тох отлотАютд
Uio лстхтлздЫ ют!оют§зХо oigi 01 лаоХз аон ‘Ъу тох £у люхюлтк лсодзюдхи! лап
Ssoao^iSo 5ii Зкоткз З11здд 'ЗйгЫюдЛ 51иотдк 5ln 5з1лоАюдюкт!ао зо Зюхлоооахк
-юлю U юхтлздЦт! зхзЛюЛюдюк юл тк лготМюдЛ а^тзт! Зтз^юдк SniAioioKoiiiolidZ
aoi юоао^кю л1и 3ioiAoyoK\ ОГГТ
Зодзт! одзхазд ою юхкюотлю
л!п тзаздкуюкз аок ют!Лзздюдюк зютоу 7 ткз £ Ззхюлтк отдз толтз Q 'V Ю
□ ppgiap-урэрурр/
^iap 5<wrio yjiapyiap=	рр
1заХо1 пзлзЛ лз ‘р 11га р Ззхюлш тк по З1§1зу
Asgliri toais
= у aoi юоао51бо к
:(ж зт1 То1лол(п1зт111о
аок Ю13Х1010 юх1лз§Ы IltI 91 Ю1 окю ю11пдю§злю) 5od>dorioigi юдаоЛзо толтз £ шз
£ юхюлшока охзлздЫ люлз ззХзздзк аок g зкз g 5юхюл1К 5юлз 11Ю1Л sioliAli^g 8‘£Т
5ю1л
-оЗзЛоуокаюлю^ тох Ззктоуока Зи окю liyliio li[ л1п ЗтлгодтоЪю ‘зюаздкуюка (9
Z I
О 51п 51и111юдЛ 51потдк Sin 5з1лоЛюбюкт1ао Saoi зюзЛоуокх (» f£'p
L L
•0001(2
л1п 311369 ‘(iogoidsK ююк зт! тох) тохлолгоухахюлю loiigido то тохаю Згок Зю1лгод1п
-юдюц '8(7 ‘ ' 1<7(7 <£(7 5п З1]зд9 ‘о = г<7 л1п тох ; = lyy л1п окю Зюхлголзхзз (9
- иа 110 31S13Q тох иу aoi SloirlraSZ. 51шпдк 5lu 5з1лоЛюдюкт!ао зо зКдахкюлу (ю
zasAozido
89г

• I iv ciox Urhi Sfogiox» Dili юзЛ ззлзюдзко q = у jap li 5ззотхкздзк Ззкзоуокл 5ixo
110 ((g) 5зхлоЛюЭюкт)ою зо к^лхкюлю л1и ок») лзкохпх зх^ззу '^agUrl зхок толзз лзд
U лзркг! зхохлпк зюлзз у зэр U юзоко юх юзЛ юхю^Лзз^юдюк зхоту 'ос+ зо сю— ок»
то1зуу»9П1311 аок ‘ио лох 5оххз ‘Soiliygnisrl» ззлзг1юбюк у Эюхюлзк о по эхозрокд H'E'fr
tO = ЯV lap зт1аоХз
юз^Лзз^юдюк одзкхзд oio зхюзд -и < ш зг! юлз тох и > ш зг) юг!Лзздюдюк юлз зх^юзхф
( [о ЗТ1 юх tK» зхоюзопукпууоц -.и^уздри:^ £ГУ1ЭР=[^ & рэр
1X0 3X§13Q ‘ш ЗКЗ и ТОЛЗЗ Q О ТОХ U 1K3 Ш ТОЛЗЗ у о люд £ГГР
•кххзбзк U зэзхдю зюлзз коздюхэт) It лю зхзздлюсЬокю юл ззкздц + otIIiooSk Зодюу ох
1£оггв£1ю олзт)олзЛ озлспЛюздзхлю охо злзрз юд озохзх зхюд р 5ltx огИхоодк ох ллолзр
лзд ‘лтхлоЛюдюкт)ло лтх =р ютИюодк юх зт! Зюдззхюхо 5Ux юлгоЛюдхзх юд : ко<тзгШх
tUxxidsK U юзхдю
(l‘Zl£‘)7‘S) = ° I* толзз ‘юзЛоу юуую здо !- 1л + отИюодк ззХз iSv^vtev^v^v
(хозлтЛюз§ 51хуую 51хх лгоззХзохо лтх олзг)олзЛ ox ‘g зкз д юхюлзк люлз 33 ZT’f’t7
69г
VZAOZIdO NH1 VIJ IOUA1 £ Р

nXiowiu» \lio<i>oig31. U ^nriUioao,, згкюлау
no 3riaod(03Q л» ох oxn тохрхбп^з u5Ui„ inx „лох,, лоэддбп лотх UoliSX Ir/xiy [{ rgrj
io AaogoiAoyoira пл mA ‘11919) у лох ari 5з1лоАп6тгг1ао 5aoi§i 5aoi 1зХз g о
aoirg ‘5ki SkririndA 5k^ 5ki 5oxkri ninx g lap aoi miAaiirmn 011ПЛ13 (g) komoi^s
H 0 = 1DX 5зтк1пбА Ssipi 099 1зХз g о ‘1013, g aoi kriiinSA кбзхазд
кю рдХпдтгплп 1зХз у aoi kririndA kirodir ц ’кт+НюбА kg Ui oirn 591x3 ly
лох sri 50191 о 1ПЛ13 aoir ‘g пхплш аозл 5олз noao^iOo It DiliioxiinTiAndir л1ио
1ПЛ13 ‘mioiodgn олзт^оАкодк 01 зт) siiao^iAoyoira aoir piay аплц кокхлпют ц
(g)	!g = «ZyltlB 4-----1- ZZyZlp + IZyllp
139X01 iimA
‘5kg 5ki 5з1лоЛпдтгт1ао 5aoi sri 5kririn6A 5ky 5ki nnXioio ni зг1аоора9лао лпд
iao/araXmp 5Ui 5рг,сз ‘aoidvu: талздМ зг/аолдтк nmj :тол13 коккрбз kriioidx
H 'OiAipAmg kio ‘yjap ‘пт1озуз1О1гп 0191 oi лаол]9 Saoi лотхлрАпдтгкао лап
5зу1лю io inx у aoi 53iirin6A Ssirioyoira iq 'У jap 013X1010 01лотАт9 oi лаооа>9
пл inx “in ‘	‘it» ni лаоопюп'у1гп'у'уо1г пл зюот ioi3 ‘UririndA Uimdir лкю
1X0 inx liyliio liiOTdir л1ио “iy‘ - ‘iiy xn sriaoyng пл sirsdirg, жЬюдюплю
1зХз — ал.(01лрА.пдт/:г/ао лтг bvxvdju,, о— 5пхпл11г 50631939 о 110 siOOTisrili^
УРР ••• О О'
о ••• о
. о О	yw.
:аоытА.тр Smdax 5U1 5оиLiri трши ‘odsriaoili^
01 7зл?р йгах) кото^з U oioiro ою лотхплнг олзг19Л1Л плз sriao^nasxonin^
(I)
• uiyUJp + . . . + l?yl?p = У 1эр
:aoi п1лоАпбп1гт1ао лох зг! mis^nionyirnyyoir
013X1010 здпх 119 3ii30lnia0 -SUririndA 51люо-г 5U1 5з1лоЛпдшгт1ао Saoi ninx
клзт<Ла11гплп noao^ido л1н sri плтаз^ 59iay y_y лох SpiioiAo^oica q *x
•пхпауплп 51309У 5n лаол19 aoir 5aoirai srlaoXa ndmi inx (Ucbioynirn
3ii 1П1ЛОЛ1А aoir) SnOgsAyn SlixirhindA 5ln лотт1о1Аоуо1га лотдзхтбах лап a^nisri
1ПЛ13 5зхау "i о/.Up о inx joxXo ‘q = xy ^aoi Uoav ‘ЗзсЬодюилп :liAroAnoi3 лкю
3iin<KndAid3ir aoir 5зАот1дп<Ьз 5u ndiso ki sri sriao^nis^s ocbndAndnir лк1 kian
NinSAOZIdO ЫИА ЗЯЛОКНУФЭ  fr’fr
sasAozido

 f+?(l—) oi лаоХзздзк 5зхлоАпдпкг1ао io 11919 ТО1з^1лпсЬг1з лотзт! отИнтодк о у
ЛО1 5о<Ьо9хо1хлп о Z VHJiaVVdVU
р9азук 01^39 Uxo riaDy лохо поэт! 1л<Ьо9хоплп лкх зупк sioqnsrili^
<9)
Ч-У
шз у олзт1ол1Л 01 siiaoXs ‘y jap 00005160 li толзз аок ‘oq - pv 01 зт1 5пхлотЭто1 у
[oq - pv
0
0 1 = [°
aq-рт] [q-

= Zly‘p = Чу ТОЛ13
:» = ггу lq— = 1гу‘э-
аох 5зхлоЛрЭпкг1ао iq T VHIJISVVdVII
•тохзЛзбхоллп л.39 у о 3191 ‘о = у jap лпд
(S)	-TiaOyK^P = t_y
:у jap/?<у
ох лаофдхобк пл зхоот noao^ido лкх зЯ толзг1здто1§ тох (3) liio 5отко
‘толзтЫоЭхозлп ‘у аох 5зхлоАр9пктЬо jo толзз t_y лох пззХюхо пу
:(_у лох »iA oirai лох зйтолдток (тохз^злздЫ
Л39 Л009 £(Ьз) у jap 9TiQidio лох зг1 5пхлетдто1у л(пхл9Л»д»кт1ао пхплш аох
Ityltxo г тох IrrhiiodA С lixo ззрк ‘у аох Sliylixo С тох 51хг1г1»дЛ 1 Sltx 1и|пз’/пд»к
зг! ззхкаходк аок лсоЛпдпктко о 1x9 зхзздЫа© -(3) liomoi^s лкхо тохз}1лЫ)г1з
аок и5юхюл1к 51хЛа^ао о„ U ‘люхлрЛ»д»к1/ао лт 5»x»aik о толзз ^“у о 0193
(fr)
liv w) = (rill‘V)(y)
:y шз у jap ‘5Uxixoxa»x 5Ux оторукпу^ок плз зт1аоХз
(z) 5lix пдазук UdsxoiSn aIixj -^y лох Smosrln 1зл19 9хап OAsripAiZ. 03
pxocoo
толзз (2) лспхплзк олзткэлзЛ oxOTyriliooi^n ox ‘ioxg, ’(у лох ркп Uxix3dod)Di9
толзз liTiiinQA li Ixxan ол9т1 тох InirindA 1163x0,39 li тохзкззупдпк ‘5зхлоЛпдпкт1ао
ш
NnXAOZIdO №1 SaJOJ\dV0H ffr

272
OPIZOY2E2
2. Н Лшп} tov Ax = b. H SevTegq avTq ефадцоут] лдохилте1 лоХЛалХаокх^о-
VTag то b це tov nivaxa A~} Tqg (5):
det A
Auto eivai, алХогютата, то yivopevo evog nivaxa ц’ eva dtdvuona, Siaigejxevo
це tov ад10цо det Л. To алотёкеоца бцсод цлоде1 va ygatpel xai це eva (jpTmit^ievo
тддло:
4D Kavovag tov Cramer. H j-оотг] auviormaa tov x = A }b eivai
[an aj2 bi ain 1
(7)
 v ’
&nl ®n2 ^nn -I
2tov Bj то бкхуиоца b avrixaOiora tt]v y-OTqXq tov A.
Anodei^ij AvanTv^Te Tqv detB7 oe оицларауоутед Tqg j-ooTqg OTqkqg (лои
eivai q b). EneiSq oi сгицладсг^тед ayvoovv avrq тт] OTqXq, то алотёХеоца
eivai
det Bj = by Aij + 62 A%j + • • • + bn Anj.
Auro ооцл1лте1 це Tqv j-oorq owiOTcboa tov yivo^vov л^аха це ба^аца
Awb. AtaigcbvTag це tt]v det А, ла1^оице tt]V j-oott) owiOTcboa tov x.
'Etoi, xdQe ovvioTtboa tov x eivai лграхоу 6vo ogi^ovocov, evog лoZvo)vvцov
6а0цои n diatge^vov це aXXo лоЬк^цо 6а0цои n. To yeyovog avTO 0a
цлодоше va б1алюта)0е£ xai ovqv алаХоарт] Gauss, лотё ev Tovtoig Sev ёу1Уе
xaTi тётою.
ПАРАДЕ1ГМА H kvor| tov
Xi + 3a?2 = 0
2a?i +4a?2 = 6
Oi ладоуоцаотёд eivai oi iSioi xai лаутоте loot це det A, evcb oi бе'^цёд л?^дёд
0 xai 6 e^ipavi^ovTat orqv лдсотт] OTqXq yia to Xi xai отг] SevTegq yia to X2- Tia

SaoXaoidarMoivxs 5aoi тагогШдющ n^nrioAO
ox r>() Уэшехэ aoi плолпх лох uoIxiOKoriioIxdX пл лпхрхсЬзхо лпд (Д£61) изЧй<>Н lopouuq яох ‘(пэх
-роллз лошгоддлп :'И'1'3) тВаМоипз тХ vxiivrUiQ-oj^ пх ок?) тл!з пгЬпкоок?) ох охау *
аогМпдАоу1г/упдп1г лох SoxAg о ‘(%-р Х^) одз1Г11гз 013 'лотт1хп лотх OASiipAiA ох
лозук 1ПЛ13 ЛЗр 5охЛо О ЗХОХ ‘О1ЛотАо©дО 1ПЛ13 АЗр OQ3irW3YllYY»9mr ох Л»а
z - х - ft ох Saiirg ‘ndUxoao ocbodxogdixoidn паз U
z - ft - х miUxoao олзг1о1©илао ох Smirg ‘лотлзт1Апхзхлао nrlUxoao ^оЛодхоо^зд,,
паз Aao^nmiUXo Ssiixn ю лп тзлХпд у)эр SUx огШоодк о а охАо лох зг1
iniaooi noao^ido fj roAsiiaoxU^ ox i3Aig 5Uootoi^3 5Ux n^id 1лх1лотАпбхзх jj
•z(r W) = (jY 1эР)(ЮэР) = (^УУ>Р =“/••• |/>/
зт1аоХз ‘оу mx 6 5злдлпх 5aox SnxAOTioiroiiioUSX
inx Ssoao^ido Зпхлолдтоц лготМпдЛ лотх пхкхтлотЛоодо aUx girn тохлоХбзодк
aoiAwAnig SUx Здххз nxiAsgUii пх inx (лотт!хп) лоттМпОА лотх Uxliri пх шл13 ?/ п£
г/
О
и
о] ii
= ii
I
U
ii
ri
n
d
и UiiiindA'
:	= jYV
X IniTindA
ЮХЗ inx SsiaotAoqSo 5aox a^nxsii толзз Ззхап SsririndA
io 5пт1 ао1лотАо©до aox Uoraxiridsir aUx^ у ттш aox ЗзтЫпдА ю лпхк aoixaox
aox Ssiixn 10 1x0 3xi30lxiia0 noao^ido aIxx mA inx oirax 0191 лох siiaodg n©
uj    ijij = 5oxAo :лотт1хп лотх AOTxlni лотх OASiipAiA ox 5rogidxn юл1з SoxAo
о зхо£ ixaox омотАоодо плз siiaoXs inx 5aox g^nxsii 5зхз0рх toais 5зт1хп ю
lignYlxq Чзддо тлзз 5з1лотА io 5зуо ixo 5отт1о зхоз©о1гх ’51хлп<Ьод1г аоуропх шл13
лзд аохАо mx Snoao^ido а^пхзт! 1хозХо н •аодмгигзуйуупдшг 5олз 5озсЛо о •£
lioa^ Ux 01А UoUdocbodU^ir Uxnxoagidxn зг!ао'Хз
‘пуохаз inxs^oiidndbs хэшшэ aox 5плрлпх о aoirp ‘5зхпл1тг Saoxiqis nij
^•(цхэшрхэ aox 5плолпх о тлр aoir) ^ao^ogsri 5йдз1аХш 5nni UoUxU^nAn
aUxo isAUqo Uxan Uoraxoiirnig н SsxUygnxsrl 5isdx pirn 5здзхооо1дз1г зт1ао'Хз лпхо
‘SUzbioynirn 5ogo03ii U тохзлтА Uxixondaox пдздогЬ 0091г isoroxonrnig n© ‘UoUxon
лпо ‘ОЮХЗХ ixnx 13о1хд1зХпгз n© aoir 5ихоотлАплп о Sisdotoi^s oag Aaojiaxodir
пл зхоот ‘nionxigmg Ux зт!аос)пуплп1гз пл Aiirgxnx ‘SsxUygnxsii 5isdx 5odir Sot
Зпоотот^з Sisdx лао<Наход1г пл зхоот ‘лотхап ^з niii 3Tiao(fii3’/nirn пл nxrodir isirsdir
‘г‘аг‘а‘тг SsxUygnxsTi Sidsooax isXaidsir aoir nTiU-yggdir плз зт1аооау пл nij„
:(и<Ьюутгп aUx nxoUdXn txo 5пхлотхз1г) отохзх ixnx зоаохтлао aoir oiygig gx/nir
плз п^таупхплп oiigdx 3[\ 'Ззоао^тдо xqqx Anxomig^msdX п© ‘Sisomoi^s ()()©[
NHSAOZIdO NC51 зазомзуфя

274
OPIZOY2ES
£xqpa 4.2 Oyxog ладак^коудаццот = det A.
loovrai це xq 6aoq Ц ел1 то тчрод h. То бктутоца pb цг]хотд h eivai loo це
xq SeTregq удаццг] b = (021,022) Це1оу ттуу лдобоХг] xqg orqv irgdiTq удаццг]. H
nagaxqgqoq-xXeiSl eivai q e^qg: Ката tov xavova 5, q det A Sev цетабаХХета1
oxav ало xq deijxegq удаццг] aipaigeQei eva локкалкаою xqg лдо'^д удаццед.
Tauxoxgova о oyxog eivai о ISiog це exelvov evog одбоуатот баоесид /1 xai
тхротд h. MnoQovpe ).otx6v va avayayov/ue то лобблциа ottjv oodoyatvia
neQirnwop, слот ё/ei qdq ало6е1/0е1 oxi oyxog = ogltoToa.
Гta va цехахдёгротце eva ладаХЬ]Хел1лебо o’ eva ogOoycbvio xotxI, oxig n
Siaoxaoeig, xgeid'^exai ледюобхедод холод, q idea бцсид eivai q ISia. Отхе о
oyxog отхе q ogl^ouoa aXka^oTV, oxav oгloxqцaxlxd yia xig удаццёд 2,3,..., n,
асра1дотце ало хабе удаццг] xqv лдобокх] xqg oxov xtbgo лот ладауеха1 ало
xig лgoqYoг)цevёg xqg удаццёд, oxqцaxl^ovxag ёхо1 eva бахутоца “тгротд”, блюд
xo pb, лот eivai хабехо oxq 6aoq. То алохёкеоца aTxqg xqg Sia&ixaolag
Gram-Schmidt eivai ёva otvoAo og6oyaivla)v цеха^т хотд удацца^ -це xqv Idia
ogi^oToa xai xov l&to бухо хот agxixoT ладаШ]Хел1лёбот- xi eneiSq oyxog =
од1^отоа yia xqv og6oycbvia лед1лха^, q l&ia looxqxa лдёле1 va toxTei xai yia
xig адх1хёд удаццёд.
Та ладал^со отцл/.qgdivoTV хо отохехюцб бухот xai oglt,OToag. ASjlt,ei
бцоид va елюхдёгротце, yia цю axбцq cpoga, oxqv aлXoтoxegq лед1лха^.
ГЛтодсдотце oxi
dM[o 1]=1’ del [e 1]=1-
Oi од1^отоед атхёд SIvotv хотд бухотд —q, хактхеда, ха ецбаба, асрот е1цаохе
oxig бто diaoxaoeig— xov “ладаЛ?л]Лел1лёдогу” хот Х/гщаход 4.3. То лдгохо
eivai ёva цоуабю1о xexgaymvo, хот оло1от хо ецбаббу eivai о1уотда 1. То
бетхедо eivai ёva ладаЛ/^кбудаццо це цovaбlala 6aoq xai цоуабю1о тгрод,
хот оло1от хо ецбаббу eivai enloqg 1, ave^agxqxa ало xq “охдёбЛо^” лот
ладауе! о OTVxeXeoxqg с.

•Udnoynirn aoi Uxrg liio Spxan той rnxsyyngoira Чу 5пхплг1го1га о ‘г/ здпх nij
^(7*7 = 4V
лкх лаотоколпхг ЗзглтА
ndaxordn голп1г io зхох ‘/](77 Ucbdori liio тохззтоиохлоЛпдпм у о лпд
^mririndA ЗзАпууплз AaoXdpira лзд лоор /Ьз ‘Эплрлпх
ЗрхглзА 5плз толгз Soiay • [	] = ty пхплг1го1га аох иоитошохлоЛпдпк
li Smgrdxn толгз Ззукхо тох SsririndA Ssxmdir oag Згхо sriooirsyg aoir рхау
п/(эд - ро)
:у аох пглгоА ndsxordn тлп1г лкх pirn тохло^Зопроодк aoir д тох q ‘7
лтх ЗзглтА голпк то Ssdliyxpyo пууп ‘roAligo то олрг! толп лзд ‘nxliioxiinriAndir
л1пх pAUgo oxrdx лохо ndnir тохз^ртоаодтг лзд у аох oirroypira О£ -р тох
пгзХтохо пх pirn олрг1 тохпхдп^з тох о/(эд - ро) лпхк ‘Slubroynirn nrilxg
oimdir 01 пхзг1 Smosrin axltionroaodnir aoir SpAligo 5одзхазд о "° = 1Р A.nxU
: liyliio тох UririndA lixrodir л1и pirn олрг! rninidn^s SpAligo Soxrodir о ndaoAr^
?	Ч	Г?	ц	6~\
v/(09-fv)	v/(3q-pv)	о	<—	/	p	э	=y
э	q	nJ	|_э	q	nJ
vmiivvdvn
ioivriliYgodu: aoi npa/, hi Uiav to liovdgiiri лаоХз лзд у aoi 5зу1ио
U 5з1Мх>дХ 5з1£1оуд1£а iq -^у аох пглгоЛ ndsxordn тлп1г лкхо ^у пхплгкока
лох pirn SmdUyir тохло^^о roAligo roirodir ц то rip 01 толгз гдгзух-lioLidliindnir
Н 'AmririndA ЗзАп^уплз iniAo^nrsdX пл SrdmX ‘sstiEQ ксЬтоутгп li кхплад толгз
31О1Г ‘sriaoomioiirnig пл Заоузх 11гз 3riaodoirj\ лтАкдо лтхглздЫ лтх nrlliyg
-pdir 010 ndodro UAoridncbs птохазузх ц ‘5лоЛкдо Saoi »»Л Soicai Snag у
ftoririndAoyliyYndmr тох лолотАпбхзх ngngriq ур *Xj
(I э) = Z апттоаЛ
(0 ‘I) = I Uriri»dX	j = лод»{|т1з
(1 ‘О) = Z liTiriHdX
N?5ZAOZIdO NJ51 ЗНЗОПЛУФЗ fr’fr

•SoTiioUdX iv/oi: гал]з 5oian Зплолпх о ‘j отоурЛз^ oi ni3ii зг1по!11лплао лох лзр аон оуо ,до[ [
lodidoTipigi liri толр
иу ’ ’ ’ ‘гу ‘ 1у Ззхплшома тоядах то тоуо лто ‘зхох лолот! тох зхох ‘лоттМпдЛ
5зЛпууплз 5idmX тохрузххз ‘у пхплш лох тк ssn^g ксЬто'упмп ц до
:»xiA3gUri Uii пур тлр AwkUgo
лт 5i3O30 5iio тзХюы nx 3101 ‘ioxiA3gUii Uti i»ai3 ^yjap iori0idn 10 ioyo
anxQ :кокхотдз Snii kxiXdn лкхо кокхлпмп лкх 5оузх зтколдтом (б) лкх ому
°у jap	I-Uyjap	lyjap Оу1Эр
у jap = — ---= ----------- • • —-----= ир • • • zn ip
иурэр иу}эр	zy^ap 'урэр
лкх
зг1аолдтохсплп§ i^nri SaoAkgo 5лох Saoyo 5пхло^птопумпууоц (-п = \/о толу
пл ЬрЛкдо 5охотдм о зхоот тохз ‘у = f)yjap ixo зг1аолтЛг1а^) -iy лох 5поло^1до
5кх nig гу аох 5поло^1до 5кх лохукм ох омп оууп толр лзд лоп ‘п/(эд - ро)
лохукм ox Scogidxn лпхк 5оЛкдо Зодзхазд о ‘5пт1 пг1Л1здпдпм олзг!аоЛкодм ох^
(6)	
Ур-'-Zplp Чурэр
люоло^рдо оад
AOXVfUlC ЛПО ^р оЛкдО ЛОХ ЗТ1ЛОООТЛОТ1ОМП ПЛ 311(1ОдоМ11 Ч-’/р • • • Zplp ох омп
‘лтЛоуплп (хпх ‘mxsgig пд 1~Чу лох полого к кхрзмд 'иу = у пхплш лох
одкухоуо отЛ пзлХт 5сохг зг1ло^1дтлЛ лок плолпх лох зт< 5ojqi о толу ^у лох тЛ
5охлп 5плолпх q ’^у aoi ooactydo U томз лткйдо ц лтхтдм лт олз^рмА. oj,
(g)	• =/р • • • Ip \р = }Эр = 1Эр 4q рр Чгр jgp = Чу 1Эр
:5золо^1до Ьпхлолбток ллохклходк ЭлоЛкдо 5лох тЛ томах iq
•кхото толр до к тох ^у лох зг11зхмшт1ло Чррч^Чгр пуспЛ к
ixo зг1ломзу9 ‘у лох зт1 пхплш отохазузх лох 5пхлол]дхЛл^ уомддх лох лохлп
(ri ‘xoyinl пхпх лаодоптопумпууом пл лрхпллд толр -ллодотопумпууом: пл
лаодомг! пл зхоот ‘Sisonxonig 5зукуупхпх 5ix ллоХз Ьзхплшомл тогМпдЛоуку
-упдпм к тох1лотЛпдхзх то- пукуупхпх рдопмотд ллоХз 5зхплш то лоор (d>a
.[эээ + л^аз чл11аа]_\э о 1 \э о 1 а]
[	[а V?] |.о ^По
тохзл]Л
у = /КП к тох орХюхо 5одм лорХтохо лог1отоп^мп^^охс плрлпх лох зг1 ioigi
то толр loxan 5злолпх iq xo^icii пхпх лотхплш aoriomooyitoyfou 5злолпх
5лох 5пхлотто1гог1юкдХ зхр ‘отхпхпдтг kdnoynirn к пзокдотХодм пл Л1дм ‘кхотдм
рдктомоххпх пл pdoirri кхлп тлотЛ к шо 5пхло1гзуд зхр тохзл1Л к^здомп н
ZHSAOZIdO
9Z.Z

•i3X9nira тох пууп 5тлзг1аоЛ11одк arinxlidg
аок 531(119191 5и 5зуо 1зХз лол9т< 1X9 поао^до н 'SUdliyir толр It^isgoirn (л
5о1пдзк тол1з (х - у - /) + (q - /) о Ii9i3irg -ц (юз© 1лю aioiir (х - / 1лоз0
luo тохзхопдд n9on тох) / 1лоз0 liio лт1л nxiX9n aoir орХюю oi srinit пл mA
5зЛпууплз x - Ц - J зютХо^тздХ лпюлпд у liosg (лю ц 5(лоз0 5ln орХюю
oi srinir пл mA A(pri0i9n ла»х1лопзЛ 5зЛпууплз ц - j зют^тзбХ ЬзлзЛ лд
(Z‘tz‘1 ‘£) <- (z‘fr‘£‘T) <- (£‘£>‘т) <- (£‘Z>‘l) <- (£Vz‘T) - (£‘fr‘l‘z)
:ла>рХтою ла>х1лопзЛ (59ii0i9n 59111931г) 5зЛпууплз З1лз1г siiaoioiroriiolidX
‘g тох з толр пл iSAingiiao aoir ‘аппхпбтг ‘013X1010 oidnisi 01 sri 06310.39
01 зг(ао5пууплз пл mA :пг1Л139п9тг плз (о пуохаз толзлттодздпгз lnan Uolid
-Uindnir н -59111931: толр лстг101дп лаппбзк 5ao0lryir aoindsir nrioio90n 01
:лотт<01дп лотхмопзЛ лотЛпууплз 5ao0liyir аошдзк 59ЛЗ ni30(iog Ln зт! 1зл1Л пл
pdoirri 1лЛпууплз 30пх 119 sriaoolidlnndnir Srygri То1зла>9(лухоуо (15,13991™ XX
•1О1пдз1г 099 ю тох толр aoir ‘х— 1л х+ »1»х толзуупдшзг! 01 5а»лпсЬоЭ1г 3191
‘5aori0idn 5аох1лопзЛ 91m impysioirn зг(аооопууплз aoir 50Л935 oi лпд
W 9Х1^п 01 31^ (91пбз1г U оп9п)
aoirai aoian aoi лсоЛпууплз Soglryir плз sionrig^msdX ((1501919 Uxioadi lii)
0 = jv 010 sriaoonid) пл mA ‘ioig, -gr^idn 9111931г лплз ninx д/- 01 rsyyngmsri
1лЛпууплз 30nx 119 зг1ао^139 пл ‘1лоз0П1зг1 sioirLtgmoiro 91m 5тла»л1хз5 ‘mAgy
пууп 3И тошбзк 1л ondn толгз д/- oi лп oi зт< пАоуплп liindsir 1л ппдп
толгз Uo30ni3ii U 119 31X005139 пл ШЛ13 nriliili^ (плзтХЛтзш^) П901ГПЛП
тол1з (x‘z) i»x (l‘£)‘(z‘£) 1лЛаз5 ni ny9 aocbn ‘(x‘z‘£) Itfjnip^ Ui mk £=
inx 1лоз0П1зт1 lixnoiani л1и U ‘(f‘z‘x) 1^11019 Uxioatb Ui mA 0 =	»9аоЛ1^
•5одз1аупЛзт) о тол1з 59ii0i9n Soimdir о nioiro пю ‘летЛаз^ лап. 5o0lr/ir 01 ду
апоз тох 5lio30ni3ii 5lii ла>т101дп кЛаз^ m зюкдотз© -11513991™ niri 9091
•лгоХпууплз Зодйуж оидп юлз tri
йжоасЬ hi ariaoXaiait юл згой sriaodouri азр (х ‘3 ‘g) 01 оггю 5ю1лтл1хз%
119 зюпг1951даХох -9111931г тол13 лотЛпу-уплз лап 5о01лу1г 01 ‘5з10аоуохп 099
5по то^ х тох Z ni ‘Soysi ‘тох х 1ИХ £ 531 ‘Z. wz £ И1 5п1лооопууплз
зг1плтоХа131г П0 0191 о^ *(£‘^‘Х) к5пгР'|9 hxioadb luo зг!плпкЬ П0 х i»x g
лап кЛпу-уплз 1лх19плог1 inx niri зт! ‘(х ‘z ‘g) Uo30ni3ri Ln 91m 5п1лотл1хз£
’X- sri 1л x+ зг1 TO19001 inx 11лзг1о19о 5a>ynx ‘g тололкм
ло1 ninx ‘тол-13 5ln поао5]9о U rax ‘и1пп9з1г„ U unn9n„ 1лоз0П1зг1 кХююплп
л1п зг1ао5пг1оло пл зюпг^отох^ 3191 ‘010191 ппх nnriAn9ir iSAingriao лпд
!91п9з1г 31О1ЛП1Г 1л ои9п 31О1лп1г толр лотЛпууплз лап 5o0liyir 01 ‘9x1101am
лою ло1 Л90Л1190 aoir лотгМпбЛ лотЛпууплз ni0aoyoxn (1x1913 л(п 9m
п11п9п5злп ‘119 тз0(луп тол-ig :51л5з 01 толр (9) 01Г91 9хпауплп лою oprllio
oriioUiligoitbrin ОЛ911 од Smsosfiniati ююомм 5олз юоао^гдо л(лю зо(лЛ1л9о
aoir ‘лапМпбЛ 1лЛпууплз л1п птх аот1(лоо91г 51лЛпууп 51п ‘г П11119191 1л лтк
191зух од g - х лап1лю191 ла)Х1Ю191пхп9пХ лап niLiraiongigriao 1лю 3O9o9odro
1ллрхз Uoaipritio ц -лаюао^гбо лап пг1з0 01 i3oai9liyirTiao sriaoXs ‘аотоупсЬзх
aoi 1лХ9п л(лю зт<пх1л0зХоо1га aoir ‘Uocoprilio 1лхиз9тоо91г л(п 1лоз9то5з зр^
Z.Z.Z
NHSAOZIdO №1 ЗЫ ИЖОУФН Р'Р

ф uis ж = г 1ф soo Q uis j = (11ф soo g soo a. = x : ф ‘j Saxidin'bo 5ixo г ‘fi ‘ж
5злзг1Лпхзхлао 5з1лтЛо0до 5n они кЛп^уп лкх тк у noao^ioo клтдетхп| лкх зхрдд дуу
' fff ~ IV V л^10 Ззоао^до Зпхлолдток ‘mwvjj aoi юлолюх лох зхплпдз1гт1а j (Л
кукхо kxoo-f лкхо тохз^лпсМз q пЭазуи
ni§3§ к тох (/_) 5kocooi§3 5kx Зпхплш о толр jyy 1X9 31§P9 ‘Q = XV Л»Я (9
ux
t= /у 1ЭР зхох
= jy лпз
:goxixox(TOX
aox kykxo кхоо-Г лкх nxoignxiXA» x птЬалпчд ox мзхо noao^ido лкх зхрдд (n дуу
'О = г£ + жд
0= z + fi + х
X = г - fit? + ж
тох
О = fip + жэ
1= fiq + хю
uourexj aox плолпх лох зт1 z тох fi ‘ж пх зхрдд gyy
•(5отк(кздхтхлп тох) 5ох1дхзтМао толр у о лпхо ‘5ох
ндхзтНао тали t_y о ixniA зхокЛк^з ‘оЛодхопхлп лох тк ‘у iop/^у oirax лох з}\ рур
[£	1	11	Гг	I-	о	I
z г i = а 1пх I- z I- = v
I	I	iJ	Lo	1-	z	J
5aox зхзф,здхо1хлп пл тЛ лтхлоЛпдтгт1ао пхплто лох эхокюкокюкоу ур'р
(ЗогМздхоплп тох) 5ох1лтЛ1дх солп толр у о лпхо ‘ЗохплюЛпдх
солп толр х_у о 1хтЛ зхокЛк^з ‘о<Ьодхо1хлп лох тЛ ‘yjop/^y oirax лох spj уру
‘i-V ° 1ИЛ33 Зотоц
noao^ido лкх шз Зпхплш Sgxixoxanx о толр ^у шз у 1x9 зхпоаздкупкд -?<у
лсоЛпдпх£11ао о толр (Г‘г) opXioxn ox aoioiro аох пхплш лох лшохпх sxoixnrikXj
IS 0 01
аох ЗзхлоЛпдтгкао пзллз 5аох тох noao^ido лкх зхр9д уру
згазнязу
хазлогыо
8дг

4.4 ЕФАРМОГЕ2 TQN OPIZOY2QN
279
4.4.8 a) S/EdiaoTE eva xpiywvo rov onoiov oi zoptxpeg eivai A = (2,2), В = (—1,3) xai
C = (0,0). ©Ewpo'jvxag to oav цюб лараккт]кдураццо, е^т|ут|ате yiaxi то e[x6a66v
too eivai
en6a66v (ABC) = | det [	11 .
6)	YnoOeoxe oti rj tqItt] xopvqn) eivai C = (1, —4) avri yia (0,0). EnakrjOevaxE tov
xvno
Ynodeify]: Atpaipwvxag Tt)v xekevtaia удаццг] ало Tig vnokomeg naipvot^ie
S/eSidoxe Tig ходгхрёд A' = (1,6), В' = (-2,7), С = (0,0) xai 6peixe Tig oxeoeig
xovg це Tig А, В, C.
4.4.9 Е^т]ут]ате xpr]o^onoid>vxag oyxovg, yiaxi det ЗА = 3" det A, yia хаОе n ел1 n nivaxa
A.
4.4.10 Eav то цлкох-обцубд A eivai avriaxpeipmo, тоте алакокрт] хата цлкох divei
Г I 01 ГА Bl ГА В 1
[-СА-1 /] [С £>] “[о B-CA'BJ'
О nivaxag D — СА~хВ keyexai avpjt2.r)Qa>[ia tov Schur. Aei^Te oti г] opit,ovoa tov
eni Tt]v opi^ovoa tov A, loovxai це ttjv opi^ovoa tov ap/ixov nivaxa ae цлкох, oxa
apioxepa. Eav AC = CA deluxe oxi avri) eivai iot] це det(AD — CB).
4.4.11 П0101 xavoveg xov yivo^vov AB npoep/ovvai ало xovg xavoveg локкалкаосаоцог)
хата цлкох це цахрса келта цлкох nov eivai атт]кед b xai с xai ураццёд г;
АВ = [ А ] [ £>i • • • bn | xai АВ = [ cj • • • сп
4.4.12 Пробкетрте ex xwv npoxEpwv xovg o6t]yovg xai enakqOevoxe це anakonpr, :
Г2	121	Г2	1	2-1
A = 4	5 0	xai В =	4	5	3	.
1.2	7 oj	L2	7	oj
4.4.13 Bpeixe okeg xig nepixxeg цета0ёое1д xwv apiOmbv {1,2,3,4}. Avxeg eivai oi цета0ёае1д
nov npoepxovxai ало лерггтб лкг|0од evakkaycbv xai odqyovv oe det Pa = — 1.
4.4.14 YnoOeaxe oxi rj цетаОеог] a oxekvei xo (1,2,3,4,5) oxo (5,4,1,2,3).

280
OPIZOYSES
a)	Ti xavei т) <т2 ото (1,2,3,4,5);
6)	Ti xavei T] <7 1 ото (1,2,3,4, 5);
4.4.15 Eav r] a eivai ледггтт] цетаОеот], е^т]уг|0те yiaxi r] a2 eivai agxia akka r, a-1 eivai
леоеттт]. Лепоте eva ладабесуца 6xav n = 3.
4.4.16 Aeiijxe oxi eav oovexioexe va локкалкаоккдете xov А це xov idio nivaxa цетавёоешс
P, халоте г] лрсотг] удаццт] 0а eniaxgeipei л1осо axr]v ao/ixx] тт]д 0ёат].
4.4.17 Eav о A eivai nivaxag 5 ел1 5 це ока та |а^ | < 1, тоте det А < ; (Aev yviopi^w то
хакитедо ердауца, акка oi oyxoi, т| о холод (6), г| oi oSrjyoi 0а ёлделе va Sivovv
eva avco фдауца yia tt]v ogi'Coooa.)

А2КН2Е12 Г1А EIIANAAHVH : Keep. 4
281
АЕКНЕЕЕ ПА EIIANAAHVH : Ketpalaio 4
4.1	Пог> лоё.леч va бакете (rqSevixd ae evav nivaxa 4 eni 4, xQrla4Iojroic')VTag та
kiyorepa dvvaxd, akka архета yia va eivai r) opigovoa |ir|6ev;
4.2	Пог> npenei va бакете p.r]devixd xai povaSeg ae evav nivaxa 4 eni 4, xpiqaipionoiaj-
vrag та kiyoTepa Swara, akka архета yia va eivai r, opigovoa eva;
4.3	BpeiTe Tig opigovoeg twv
xai
'2—1 О -Г
-1	2-1	0
0-1	2-1
-1	0-1	2
4.4	Eav В = M 1 AM, yiari ioxvei det В = det A; Aeiigte eniarjg oti det A~} В = 1.
4.5	Дсооте avTinapaSetyna Tiqg det(A + B) = det A + detB. Па noio piye.Oog nivaxwv
loyguei ovTwg avvr, т, протает,;
4.6	Sexivwvrag and tov nivaxa А, nokkankaoidore tt,v прсотт, ураццт, tov це 3, ware
va npoxvtpei о nivaxag B, xaxdniv acpaipeore ano ttjv прсотт, ураццг, tov В tt,
devTepr,, шоте va npoxvtpei о C. Ilwg avvdeeTai r, det С це tt,v det A;
4.7	Avotc то ог>отт,ца 3u + 2v = 7Au + 3v =11 це tov xavova tov Cramer.
4.8	Eav та oroixeia tov A eivai axepaioi xai r, det A eivai 1 r, -1, nwg tn^nepaiveTe oti
та OTOixeia tov A”1 eivai axepaioi; Дсооте eva пара&е1уца 2 eni 2 (oxi Siaycovio).
4.9	Eav та oroixeia tov A xai tov A-1 eivai axepaioi, nwg ano&eixvverai oti xai oi
dvo opigovaeg eivai 1 r| -1; Knodei^: Me ti loovxai r, det A eni tt,v det A-1;
4.10	Вре1те Tovg ovцлapaYOvтeg xai Tovg avrioTpcScpovg twv
4.11	Iloiog eivai о dyxog tov napakkrjkemne&ov це Teooepig xopvcpeg ота от,це!а
(0,0,0), (—1,2,2), (2, —1,2) xai (2,2, —1); Ilov eivai oi akkeg xopvcpeg;
4.12	П6001 dpoi ovццeтExovv ото avdnTtr/ца mag opigovaag 5 eni 5 xai ndooi eivai
oiyovpa pr,dev, otov a2i = 0;
4.13	Пою eivai to Ax, otov хабе ураццт, tov A exei pT,devixd авроюца oroixeiwv xai
to x eivai 6кАиоца-атг|кг] це цovdbeg; nwg anoSeixvveTai oti det A = 0;
4.14	Пат! то nkr,()og dkwv twv цетаОёоеоА tov (1,2,9) eivai артю xai yiari 01 moeg
axpi6wg an’ avreg eivai nepiTTeg;
4.15	Eav о eivai apTiog nivaxag m'TaOeaemg xai о P2 eivai nepixxog, ovцnepdvaтe
ano Tt,v B, + P2 = P} (Pf + P2t)P2 oti det(P] + P2) = 0.

и х и юхюлш зг)аоХз no wisaoxnira^g ’'З'г3
£х	^х	х	х
£Э	гЭ	э	Т
£<?	г<?	<?	Т
,-Г)	-,J>	V	J
рр = *Л
эриошрривд поао^або р из р It iiniA зхокЛк5д PZ'V
О = q лпхо лолоа! лохпла9 толп p)(j— = Q J ‘51зоотпх1бз1х 5зууп 511 5зу9
О = jq - pv U о = Р + о :5поотпх1бз1х 099 зо Q = у рр ио зх5азу (9
у пхплш р акз р аох aoian поао^або лкх зхпбд (п
Ц о=эа+аэ
тохзлаЛ HVT кокхоу лкхо D(j- = ajh 3101 ‘[ * ™ ] = а тох [Р ’ ] = о лп3 &у
О li U х = у рр ио si^pq ‘(лздЫ толп лох ппХтодо nixioyoixa пх
тох) Saoi плздпх oi (1гю плз U у- плз к [+ плз к азХзабзк у aoi lirhinSX здпх лпд цу
!пхкхбп5злп U плзтИибп^э
(l ‘l ‘l) ‘ (О ‘ Т *?) ‘(l- ‘О‘l) пхпт1о<глп1§ пх толад 1кХбп лкх oixn олзг1оХбз19 0931x11x3 зо
тохлоХз1дз1г ([ ‘х ‘х)1ЮХ (0 ‘I ‘Z) ‘(г ‘х) oprilio пх лпхо ‘inxs^uagliri noao^ido пюц у%у
р 11X3 р ПХПЛ11Х ЛПЛЗ зт! 1П135]1Х<013т1иЛП nrikxli^
од ‘.(р ‘о ‘о) тах (О ‘Z ‘О) ‘(О ‘О ‘Z) лотх »1§ 0931x11x3 ою тохзХз1дз1х лпхо (г ‘ft 1х) ох
13Ю1ХОЛПХ1 лои Uomoi^s U толп moix ‘liolixon 1хлзт1аоЛ11од1х лкх зт< паЛоуплп 33 0Z‘f
'О = 8Т - ^Z +х U ‘0=1 8 Z Jap
Lx fl ad
лпхо ‘(д ‘х>) тох (g lz) лотх 919 паздаз лкю тохзХзадзк (fi ‘х) oasaiko 01 итЛ зюкЛк^д 6Г£
5kd>ioynixn 5кх j о толаз Л39 5охау '^о1
01лотЛт9 nidax лкхо птзХтохо пхалздЫ kri 13X3 yj о 0101x0 лох mA j Зотзоздпхзт!
5пхпл11х Smoixnx isXOnixa пл nixsSix 110 315139 ‘5о<Ьдот1о191 kri толаз у о лпд gx't?
( пзсЬпдЛЛао лох oixn (11x390061x^3
толаз колу здпх тох оуохаз ооох тох толп Л39 nrikygodix од bodadoTio^i плаЛ пл
nSoixii (q)y о 5отт1о 011069 ло1° ‘I = (т)У ло1° V ~ (0)У ЛО1 9шп ii»aiAn6ix азЛкдо
‘(у — /)? + у = (?)у лотхплих пдаоауп лкх oixn тахзсЬпбЛабзк aoix ‘р лохо у лох oixn
ип1холот1 огМпбЛадаз од) 011069 0X0 Sod>6oi1oi9i плаЛ пл 5i6otX ‘охиохапх лохо зхох
inxsyynynisii у о noao5i6o кхизд юуо лаоХз aoix ‘лотхплих n9ioayn кХзлао niri зт1
пхпл11х охиохапх лох за1 аздздлао пл пбохха1 ио 315139 ‘noao5i6o кхизд пХз у о лпд ц’р
'С+г = -v *лпхо ‘у аох поао^бо лкх зхпбд уур
ZHZAOZIdO
Z8Z

A2KH2EI2 Г1А EIIANAAHTH : Keep. 4
283
лоёлел va eivai zv6ixd nokvcowpio cog лрод x xai yiaxi avxd xo лоХосоуфо eivai
pixjSev oxa x = a, x =b xai x = c. Xox]ot|ionoidjvxag xov avpinagdyovxa xov x3 ало
xt)v Aoxxjox] 4.2.10, ngoxvnxei r)
V4 = (b - a)(c - a)(c - b)(x - a)(x - b)(x - c).
4.25 H xvxXixx| цехахблюх] piexaOexei xo (1,2, ...,n) oxo (2,3,..., 1). Поюд eivai
о avxiaxor/од nivaxag цехабёоесод P xai (е^архсоцеух] ало xo ri) noia eivai r]
ogi^ovoa xov;

лотх 5оЛаз5 oi 3iolido)30 nriAngpdnir 0x1913 л©£ ’©13x0© з1з510тлЛ ‘хэ тох
.Tins ‘urc io Smiro ‘51зо1п0»лао 5злзг1о1р11лао 5n 3i3oiAmA»0»ir ©л sipdoirri
лрд jSisoroDi^s Ssxidodroig 5по »плз0ап толр 51потлЛюлп о по аоур0©х
зг!аооз0О1га »0 лзу ’лгозогоо^з лтхтОогЛпр лго011лао lioay 11 толр PriaoApAoois
5п Ю0 oioiro л1п зг! Цл1зхз oioiypri тох ‘5aoi 5зЛот10П(Ьз 5п 0^0 ©ipy -SsriioLioX
ТОЛ13 n©iA тох 53Tinoi§i 10 толр п sriaogpyoiox ©л толр ©riLig oimdir 03
•©Оз1оЛ0© aoi(i0 idsir рууу ©0liog лзр sstiBg) о 5oigi о тох oioiypii ‘у = ху
aoi lioay U п‘о ,ir© ©rllidpXAs оуохоад тох ододолодХ опт толр лтт1по1§1 лап
SorioiAoyoira о ‘п oypAsri 01J -g = и Ii z = и a.»io ‘SoioriliycjoOir lioay Luo
p0lnoirorlioli0X 0л norlApdir pdoirri ©oao^ido U ‘»1лр1г SmirQ, (totIIkm лаоХз
лзд ‘aoioiai 5рлз ooaopdo li тох 5mirg ‘охплш aoririodAoyliyyodnir Ssrlnoigi
iq -1ох1лтЛ©д131 ©don толр 5зх»л11г то тоур по sriao^poi) ‘Ssrinoigi 10 толр
53510 10 aoioiro aoi ‘(/у - у)1эр ог1алтауо1г 01 тох qx_y = х т. mk дэшшэ aoi
©лолох ло1 :(11юау lixnoiyoridod),, 011I зо pAUgo ooao^ido It ‘Sisooniridsir oag
5no tox •AroTinoigi лоп orlliygodir озл 010 ‘q = xy ©rlliygodi: oiyoir 01 oiro
‘lioogpisTi ‘oilnpxnoiiAodir л1по ‘рузюко Ssoao^ido 5n ©iA отаурсЬзх 03
lubioyoiro л1п рюх TOiAoyypgoisri 531О1ГО 10 ‘aoi Sirinoigi 5n sriaodlnoig 0л
pyy© ‘©ХОЛ11Г 5олз ла)гМ00Л odmX ло1 sriaodliwig ©л лозуц 130з<Ь01§лз Sort лзу
•/гуур лтотг! 01т iUririvdk 5mri oiopyiroyyoir юаз 3Tiaodm(t>TD р oi лозуи: тлр лзр
тэтНлд 5здтт^зг<з0 01 pyy© — oxnmAidi тлр li о1лгоЛ©19 ло15©1лолрх— ©холш aoi
lioliioiroyir© зг1 iypir то1лолау ©0 ©wiiliygodir ©зл ©jl oyod ©лооок лолз лао^ток
©0 5l35p0ir Ю 51153 ОЮ ТОХ ©00)1 piry -licbioynirn 11 ЛП111 11Х1лХ31 5ligO)iy3Ti30 11 тох
q = ху nwrilnoao ©xirirlndA ni pxnoisyxoirn лррзХо зоао1зузг! 5о0зт1 oimdir
03 лтхрлпг 5»i0o)30 5ln uooiTi oOsiasg,, 01 1з5»1лтохЛз отоурЛзх 01 oiay
Hjyjvzia  rs
V1VIM2ANVIVOIVI
IV3 ZaiNLLOIVI
s

•Uomoi^s U тох lixli0Aao lixiXdn U тох miisioiroAnxi
1013, "nv = pp/np зхоот ioi3 ‘о шлоАпдшг OASiiaonnirn aoi 1зХз ?пэ 5ln
SoAmAndnir jj з = оэ ngig °п зт! iniaom п U ‘о = ? LniAno UxiaoOX LixiXdn лОз
(tO	= (?)n
:з1здз§ ол то1з5»1здХ aoir олдг1 01 toais 5U1 Uoay н
20
(g)	’0 = ?	an= n ‘nv = —
toais 13X3 пл isdoirii aoir licbdoii IiaotI It ‘Ssios’fsiAao
Ьаодздпю зт! inx 511лзАог1о toais лпз -liomoi^s Lixidocbmg LiznmioaAmg mA
плп ‘lixnlni0idn mii 3191 srinXis n© -lr/охаз лтк П0 liolnmds л1по lioliiAnirn
It 'oag mA плп ‘5о1оотлАп лолот1 5плз sXdliira лпз ilway lii sriaoxoidg 5отц
•олобХ aoi ,irn minidn^s лзд у 5пхпл11г о :5зюз'/з1лаа Ьаодздпю
1зХз liO(ooi^3 U ‘лозрг шз -ЗаоютлАп 5aoi 5odir 5m /гхпМпдХ moiynil тох
-5(оз^п1 5пдз1солп loAmAndnir лаоХз13тМао лзд- Scos^ni 5Ui(pdir liorooi^s mA
TOiisxgdir no 3io<pi3Tili£ 'Soinrilqgodir aoi Itocoiraimg 5ltgg)iy3ri30 Li toais lnay
(г)	•o =	? mA on = n	ny=
			
:5Uocooi^3 511Х11пт1оалп1д 11(Ьдот1 isaStoit niilnoao 01 ‘orloiyogriao aoi лдшп tp\[

:л(рюзуз1лао лап 5пхпл11г о у тох Lirin aoi LixiXdn li On ‘лапоотлАп лап
nrioaAnig 01 toais n no 01103, ’5зхпл11г sri пуохаз miSAonraimg miliioao 03
•aoi й^г/з^з л1п
3iiao4indAi63ir пл toais nrili^goSir 01 тох g тох g Ssrin 5sxiXdn 5n oirn nAixs^
niilnoao 03 ’lionioninx lirhonio mri 1X9 inx Lixungnisri mri mA зюп^ддзсЬтдлз
1013, -ЗоттИпотд аохмобХ aoioirnx ndxn oag nio 1X9 inx 0 = ? Ini Ano
lixnodX Ln То1ло51бо0пх ююоолАп iq -Amiin AgixiXSn miltyggdir плз toais giay
(I)
’0=? mA д =m, ‘aig-ag= —
20
‘0=? mA g = a ‘mg - ap = —
A(03oq)oi§3 лтлзг!Ааз5ао
S8S
HJ15JVZIH IS

sriaodoirpy 'nrlliYgodK ozidgaAyn плз is^oddbxs inx ‘x oi inx у oi ‘5аоюотлЛп oaq
npyxidsir aoir ‘аотоупЛзх aoi aoian liooioi^s liQonysriso lii зг1аоХз ndrojL
(8)
x\ = xy
aUi ijXndnir Inhioymm
U n>x ‘xfX3y = xtxa\ 13aiq ny = pp/np лкю /уэ = n 5111 11ОЮ1ОП1ЮХ11ЛЮ И
х nrioaAniQ одздпю плз шз 13Л10(Ь U пзлп^ап aoir ?уэ oii0idn лплз-ж?уэ = п
lioay 11хппг1оалт2 3i3olnoiroi1ioliSX лто sisxoidgmn^ liian Liomoi^s лк£ -ху
= ху Uthdori lii 1зХз 5зхпл11г зт1 liAsrimiraimg inx Uorooi^s lixiong li толр aoir
U)	Тг£’?
ay = z-g - пр
oi лрктоу 1злзт<о1гу -у 1из0хз 0191 ло1 лаоХз
ююотлЛп оа§ ю но зт!поз0О1га oioiro ло1 шЛ 5оЛ<эу о тох толр lidnoynirn U liiay
130<Ь1зупбп1г пл pdoirri inx Saodo Saoi 5аоу9 to 5<элтох толр ?уэ лгоЛпдтг q
•г?уэ£-/г?уэг= г?уэу
г?уэ9-й?уэ|7= /1?уэу
siiaoxoidg ‘г?уэ = т тох /г?уэ = а
511 liomoi^a л1ио 5п1л(рю10пхплу Sianay Ззхиздхз пдюдпх 5и зюйзк^юлу
:пу = рр/пр Sisoipoi^a SaxidodiniQ 5п тЛ iqisyx oi odlpxoyo толр piay
(9)	-х1Хэ = (j.)n
liomiraim^ 11хипт1оалт9 зо li
‘г,уэ = (?)т
/lJV9 = (?)Л
1юо)11Г1дз1г
Uxiiliri0idn л1и тЛ srinxlidg Siyoii aoir л1иап (ri у oi pirn koUidp^3 Uxuagxa
mpj л1и лаоХз aoir 5i3oay srlaooltili^nAn П0 inx nimilnoaD то лпр0аз inx
ndtpi sriaoolidoiXodir n@ lioiooi^s 11лзг1о)лог1зт1 mri зо ndodin лооо ‘niay
/оэ тлоЛпдтг ло1 oirn То1з51до0пх тздтоаз li пууп up г + ipj soo = ?£/?э
51зоот1лпут 1зЛпдтг 5одзг1 oxi^nXiri ojl х> 5одзт1 oxunriXndir ото лп1ло5ог1дп<Ьз
П0 nidlindx m§i ni 3191 ‘g/г + ю = ю ‘59il0iSn 59x190X111 лтк ю 01 лпд
лз§1п1 ою 1злр1 li liAsriXodd) 1злзг1пдтг ‘odisirn ою 1злр1 lioay li UgnyliQ
‘О > п лпю 5110П1оаз тох 0 = » лпю 5110пюаз ndsisqao ‘о < ю лпю 5110пюп
толр 1юо)015з н ’5аол9дХ 5аоупЛзг1 mA п Slii ndodndsirriao In зюопзтШз
V1VWSANVIVOIVI IVN XaHLLOIVI
98Z

•5зюллз 511 n.iaqoairii пууп ‘Цдз1от1о1лао толр о =	- у) Uomoi§3 ц лтг|01дп
тох лго1»г!оал»1§ ‘лсохрлш 5orioidcoXmg то1зл1Л пл »1Л Ьпхплш Soxnoiani о тохззппох
(тт)
ху=ху к о = Х(ГХ ~ У)
:х птк>алп1§о1§1 плз
рХююплп у 5ki lioay здпх зо тох korooiSp kxnoidkixndnX к тол13 kiay
(ОТ)	’0 = (IX - У>Р
isaXoi лто лолот! тох лпю у aoi krinoipi толр у Sprigidn о VS
•oian рХ oidkndx oxnnriosysioirn плз 1зл1§ noao^ido jj
SotbdoiioiQi юл1з тол гзхзди jy ~ V ° ‘ю^рУ
nXiy зру ^рлзркт! aoi nxnsdodimp пшг1оалп1§ isXsidsir пл isirsdir ‘jy - у aoi
5odcDX<M3Qkri о nikioriiokdX nioirnx 13X3 пл mj 'x Torioaamqoiyi ою лзр liri liri
толз тзХдглга Ьзтоио 5ii niX ‘y aoi i3rin 5зюу)з io 5зл?зхз лолог/ Aaodadimtps 5nri
тох ‘х.^э 53X1130X3 SniAOTioiroriiokdX (j)n koay ki зт1аоокХоуог1дплао пл толр
5nrl 5oXoij -oiokdXn толр лтзосро^з л<рхЮоТ)П1§ 5corlo koay ki mX ‘одюХолзркР
ою 31О1ЛП1Г inisXsidsir тох xy = xy лк1 31О1ЛП1Г ртоютлпхт о = x тТоалхлд
oj, -х mioaAnigoipi рюлзрШ liri зтТаооллд -зтТаооллз u Sanio зилтодпушпх
‘oxnsdocbnip ппх sriaoir пл opion тол1з -odcoXoAsgkTi 1зХз 5пхпл11г здпх ‘птодзд
•одшХрлзрМ 1зХз тол jy -у о зюю ioioisi 1тол1з у Sotigida о
/у — у aoi од(оХрлзд1и1 лою 1то1зХз1дзит х т1оал»1д oj
:5L9p 01 толр 5oiniTkygodir aoi koay ki пй igisyx oj.
(6)	’0 = х(1У - У)
rpdasyir kdsioidn лкю odo ло1 ло1ап
siinAdsd) ng inx *‘xy mA плп ‘xjy srlncbndX ng 3191 ‘nnrlXndn -x 5odir 5ro
kxiTirindX лшк ng kocooi^s к 3101 ‘у oi зтТао^аупхплп пл siinoaodoirri лпд ~x 01
is^nionyirnyyoir у 01 .komoi^a kxirhindX kri толр xy = xy к no зюапзтТк^
xy = xy Ski 5i3oay 10
•П1пт1оалт§о1§1 ni inx SsrinoiQi 5n STiaookioiroiiiokdX пл inx ariaodg
пл толр 5nri 5oXoij otioaAnigoigi оХююплп oi толр x тТоалпзр oi тох у
пхплш aoi Utinoigi inisXsy у Soiigidn о jSisoqioi^s SsxidorbniQ 5n зг!аоопХз§ пл
LSI
Hjnjvzra rs

Lirinoigi толп лз§ у ti 3101 '() = х oio 3ii30liHi2O ‘q = x(j\ — у) oi тохлолп ‘лпд
'[rH
aoi oionyirnyyoir aioirligoioiro толтз nrioaAniQOiQi 0631939 oy
[оН«Ш- zHiv~y) :г=гу
:р1О1ботХз§ 1П1зл1Л ?y 01 mA. SgrimAoyoira q
aoi oion’/irnyvoir siokIiqoioico толп (п^оалю^оз^т oimdir 01) Ltoav н
>№ 'hrt-y) :i-='v
jSodcoXoira
5плз толп TOinrioaAoi^oigi окп ппдаз Цбкухдуо mil nXaidsir ЗодетХолздЫ о
nilugxnnrlAndir л111£ ж *пт1оалп19 pxiASQlirl Uri плз пХзгбзаг aoi ЗодотХолздЫ
о 5отлзг1о1гз тх Socbdorimgi толп noao^ido lixnaploi зг1 5пхпл11г 5плд,
‘О = Х(1Х - У) I* ХХ = XV аох ^°9-X D11^
зо nAligo ‘1= X 1ЮХ T— - X ‘5зг1и 53x1913 5и 5sian tirn niri здп^ ’(aoi Ыплар
йбззлупЛзг! 1X9 nyyn) гу 01 aoi poao^ido лкю пХз /у — у Зпхплте 3 шз 3
30рз 'Ss^id oaq пХз LiomoiSp 11Х1Л(оЛп9131 здпх 11919 ‘Ssrtiioigi 099 лаоХдпггх
6ЛТ1 до» - г^Лтд-
:5ог91 5ох1лзЛ
о тох плоттодздшз 5ажо = у U = у лтр То1з^1лз91гг1 aoir ‘(3 - у)(| + у)
= 1 - у - гу 1ю11'1О1го1лоЛпдп1£ л111 oirn U SUocooi^ 51лх1лотЛпд131 Зз'дзд 511 тЛ
oirai рхплзЛ ло1 oirn лаопгахо91г тох 5311110191 то толп ‘То1з^1лз91п1 noao^ido
li 531О1ГО 511 тЛ ‘aoi Ss^id iQ ’„oz/aamayoir pxuoid/uxndnZ,, 01 толп piay
T - V - 3Y 01 + (V - £-)(Y - tO
тали /у — у aoi noao^ido н •(/ ло1 n^nio
-nyirnyyoir 11919) О1Л01ЛП19 тдах л1и 91m ЛОЛ911 inindindro у oi 119 siomnrili^
h--
li isiiraxodir i\ nmx у ло1 5п1ло^11го1П1зт1 ‘5nri пг1Лп9рдп1г 013
V1VWSANVIVOIVI IVN SHMLLOIVI

(и)	• |j] ,гэ+[j] ?_Э£=(7)п
1»Л13 5lio(ooi^3 5UxiZdn Slii колу li тох x = гэ тох £ = 1э толр 5здз0юю iq
<£I)	[s] = [•=][! !]	•	о"=гл)+1л
:0 = 7 mA °n = п UxliQAao UxiXdo li
торзтоколюх! юл зюот 1013 5aoi 5зт1п 5п зтко^зутоз юл зткодокт! но зтХаолзтИдзк
юл оАоуоз толр тох тох '□ 5оод1зт1юдюк 5збз0азуз 099 то1з зткоХд,
•51зоп,у 1уюк тол13
лсозоау тог1оюа9лао то тох 5од(оХ9ко 5юлз з1О1люк толр ЭодсоХрлз^иг! о 0 = ху
Sisocnoi^a 5зх1д0зЛую зо тох 009 (5зхп1т1юдЛ 5рлзЛот1о) Sisoaioi^p SsxiSodroig зо
0091 1Ю13^9т1дю(Ьз тох козддзиа тхзкзу 9100 олз^лтогЬ оу • lioay рюк толр
(Zl)	гж?гуэ£э+ 1ж;|уэЬ = п
59т1оюа§ла0 30юх ‘5(ркзло^ -Ъп + in л1н
зт1 тох 1злтадт<а0 0191 01 ‘пу = /р/пр коото^з ихзтМюсЭЛ. 1н лаотоколюхт гп тох
in 51зо1ндюлао 099 ЛЮ10, ’lioay 11Х1лзЛ 1но Л90Л1190 ’5злзг1з011оодк тох чз тох
1э 5здз0юю 099 зт< 5злзт)95ю1оюу1£юууо1£ ‘5i3oay 53x1913 5зюю 099 ю moiypj\
 [g] Кэ= Zx^X3 = п 1ИХ [{] ?-э= Чрэ= 71
51золу 5зх11здхз пдпупх то
толр аок ‘хгхэ = п Sisoay 53x1913 5u 1зЛюдюк 9100 ‘5i3O(poi^3 53x160*019 5ii£
'Ю1юг1оалю19О191
Ю1 толр 5з1ау ’0 = х 51н 53x11360*019 5i3oay лаоХдюка ‘лз91лт1 толр
00005160 li 119131га 0 = Ж(/У - У) nrihioao 01 золу ‘litfnoigi здпх nij •£
5311110191 10 толр 5з^1д и iq лоз1лл(олуок ЛО1 aoian 5з$1<? 5и 5здд 4
и ао^юд от1ал(рауо1£ юлз толр 1наю юоао^до й ‘юрХюю
01л(рЛю19 Ю1 9100 у oi р0зд1ю<Ью лю1о ру — у лол юоло^до aIii soikoyoic^ •£
:л(рг111О191 5о1ютИлу9одк aoi коаушз л1н mA oioiilig oi зг1ао5
-ггМюбЛока (liomoi^s Uxidodroi9 In) 5ш1 11Лот1дю(Ьз л1но silaodisdioiirs Л1дц
’(^‘S) = zx тох ({ ‘х) = 1х лап 019 5313003 ю толр 106(0X9191 то 5ют1 ютУ^юдюк
013 -ху = ху л1н лаотоколюхт Ю0 (odmXpigi sriao^mioAO ло1 аок) ру - у
aoi аод(оХ9лз91п1 aoi ююг1оалю19 Ю1 юуо, 'х- 01 зг1 тох 5(О0юх хр 01 зт! тох
1злто9т1а0 0191 oi ‘юг1оалю19О191 толр х 01 ЛЮ19 ‘юхтоаф ^зоаномао 5зуую 5п
5одк 5(о о = x(jy - у) oi (олау тох юлз зт1 Uoi х aoi юоотюмао юн1 юлХао анз0 ‘£
1кз £ 1ю(01К1дзк л1н£ -(з ‘g) лю11л юг1оалю19О191 01 тох (9- ‘^) Л.Ю111 р^у - у aoi
5зт1г1ю6Л iq -(о‘9-) aoi оююукюууок 310KU90TOK0 3191 толр ютЬалю^о^т 01
тох (q ‘о) 5о1юг1оалю19 00191 aoi ютоюукюууок толр 00 ру — у aoi 5зт1т1юдА 00.9
то тох з шз 110(О1К1дзк л1н^ :aminiioaamgoigi prioiXopoiia лою Uomi3rili^
682
Hjojvsia i s

пдпсЬзЛ niri зоазддзхпх [ oi iinriAndir ‘SmriQ, wioiu ng лзд зюк aoir nrUisgpdnir n.vj
aoi и51зою1ою1юх 5зх1лолюх„ 5u лаолююгдюк piay толз11а)лот1окю inx юЛг/
толр oimtoaAoigoigi Ю1 5mrio ScoqUacij TOHOTtoaADigoigi лю1к юд Ю1ют!одлю1д
m юуд тох йоладазшх з^юуую (q лзд юНоалтод юлзлюх 3191 ‘aoxnoiaoi aoi
огоюукюууок лю11л у о люз ‘юхюаф ointionAmgoiQi 1»мз х nMoiioauoiq 0x1913
»A3iioido xoAoti i»x 53tiiioigi юл13 у lotigidn 10x1913 ioA3iioido aoaoiI ‘юдаоуох
-юла^ -x aoi оююукюууок толгз лзд ху oi 5еткзлао тох коладазгд тз^юу'/ю ‘у
aoi зт! 1Ю1з5ютоюукюууок люю lx oxiitai юлз, '(лосоо^з то131 mri лаоюкол
-юхт лзд Ю1ют1оалю1д юдз1доо1дзк юу -х\ = ху It толр igisyx-UoaiDi^s ц
•5зх110лао 5зх1Хдю 5п
ртоколюх! юл зюго Ю13 пшз^додюх 1юз0лао U тох лотзоау лотдю0юх ла)ТО131
1юз0лао толр 5тзоау Ssirioyoira iq •pii0aS Л01 лошю ,ri то1зоорз§з х юг1оалю1р
oi отлз ‘51103909КЮ U SUoli^10 рг10ад ло1 лаол1д Ssiiuoigi то тох ж;уэ = п 51зоау
5зхиздхз тодтодтох лаоХз Sisogioi^s 5зто1зу 'пу = ур /п.р л1и зт<аолау люто
‘у aoi Ю1ют1оалю1до1д1 oi тох Ssrinoigi io то1ло^1лю<Ьт1з oioiro ло1 3ii oirodi
oinitoiao тох oxioatb Л01 зосодзлюгЬ 1лЛсоЛюо13 U luay -13Л1Л юл 1злзт1окю и
зг!аод юл тох люл1Лз аок ю1аю зг1аоо1<Нолао юл тЛ отдз юддп siiaoiortoij
тюНЛрдюдюц тох иДкугёзц
•5oimiUioao аохп1юлад 30юх лддзХо охио1д1ихюдюХ
дхплютИю our 01 толр 53iiiioigi iq 5юдоЛю 5lii 5з11п9лХао 5зхюа<Ь 5п зг! р0о
-1ло1лао юл 5ю1лот0юкоод1г aoi Uco^ Lu 1заздо§ 5luoiwriliSX 5юлз ‘юдазук 1луую
л1и дку •SliAoXUrl 5U1 5аот1оюдюдх Saoi U аог!злю aoi 5з1аю дкю юадхют! aoi
аоуаюдак aoi li aoi SpdadpX 5lu 5з11идлХао 5зхюасЬ 5u isoliwdx юл р0юкоодк
5дх1люХ11т1 5юлд, (rodsigyluft тлаох л1и з1злузю ‘юлзт1о1ло1лао л1и 5ю1лот0а> тох
ю11л1длХао 5lu lixioad) It Сиккуплю 1Ю1зл1Л юдоЛкду То1лаох Uxiqtok ютИ Згодпдхю
Scdkq,) -То1злот1люую1 юл is^iXdo ю© 3191 Ю1око U ‘5юдасЬзЛ 5lu Amiinoigi лап
niri 5одк koi railiigAXao зт! лао^рюгИф юл pgriao юл рдокт! 119 толр 5оЛду
О -5ю1лот1юкЗзк лаолдзк л1и юл тох giioiwrllig 01 лао1юг1ю1о юл тогзРокла^
тодасЬзЛ юн! лаолдзк аок лапсопюдю лап giao толр ^ютШздюдюк орхто oik 01
5а>лзт1оХздла -п 51и 1юздаз л1и Ю1Л 5о1ют1оюлХз1 5длз 5одзг1 люо 5аркю 1X9 тох
юшюз 40юх юхилютИю толр аок ‘лапют1Людк лап лапаю ютоютйю Uxioath U толр
ют1А.1здюдюк ою то13лтосЬ лзд аок Santo giay -51и pimtoaAOigoigi Ю1 тох 5зт1п
-oigi io толр Slioaioi^s 5lu igisyx 01 5аш AaoSaidmi юл 1Ю1злтосЬ юшю (уо,
•д = осп тох g = °а 5зх110лао 5зх1Хдю то тох То1лоаз01(уюкз юуохад
?гэг + ?_э£= (?)ог ‘?гэд + ?_э£= 0)а
ид 13лтотИ1о д1аю ‘piotomXs^ 5зодпо1лао оад 5и 5ю1ло<Ьюдз
VJ.VHEANVIVOIVI IVN 33WI1OIVI
(!6с

5.1 EISAfQFH
291
ооотгщатод zai enibgoov ave^agrryra то eva and т’ aXXo. Млодооце va naga-
хоХоо01]оооце tt] ооцледкуода xa0e idio5iavt)O[iaTog xai va ouv6uaoou|ie аптёд
Tig xavovixeg xaraordaeig yia va брооце цш Xdot]. To i5io лдауца exipga^eTai
xai це evav aXXo тдбло: о avrioroiypQ nivanat; [inoQei va diayaxvioiroiyftei.
Syebid'QouyiE v’ адхерсооооце ttjv Flagdygaipo 5.2 отт] 0ewgia Siaywvionoir]-
or]g xai Tig enoyieveg nagaygacpoDg OTig есрадцоуёд тт]д. Пдсота OTig e^iowoeig
Siaipogwv, отоид адсОцоод tod Fibonacci xai OTig ave/d^etg tod Markov, xai xa-
TOJtiv OTig biacpogixeg e^iowoeig. 2e хабе nagaSeiyyia, Sjexivayie DnoAoyi^ovrag
Tig tStoTiyieg xai та i6io6iavDO|iaTa. Aev Dnagxei yiovonaTt yia va ладахацгре1
xaveig аота та лдауцата. Kardniv бцсод, та тгада&е1уцата o5r]yoDV ое тооо
лоХЛёд xaTeD0Dvoeig, лоо eivai aSovarov va базоооце ocvroyieg negiX^ipeig.
Млодооце бцод va бсооооце ёцсуаот] ото oti oi OD|i|ieTgixoi nivaxeg eivai eJgat-
gerixa eoxoXoi, evw ogioydvot aXXoi “еХаттсоцат1хо1 nivaxeg” eivai e^aigerixa
SdoxoXoi. Oi reXeoTaioi oTegoDvrai evog nXrigoog oovdXoo ibiobiavDoyidTwv, 5ev
eivai 51ауатоло1Т)О1цо1 xai o&riyoov oe хатаддеоот] тт]д те/vixrig twv xavovixwv
xaTaoTaoewv. Siyooga лдёле1 xi aoroi va od^t]ty]0odv. Aev тоод еттдёлооце
бцшд va xaTaXa6oDv то цеуаХотедо цёдод tod 6i6Xioo.
Sexivayie це ладабе£уцата iSiairega xaXwv mvaxwv.
ПАРААЕ1ГМА 1 Ta navra eivai ngocpavr], drav о A eivai diaywvio$
A=[o 2] ®XEl A1 =3 ИЕ X1 = [J] ’ Аг =2 Це X2 = [1] '
Se xa0e 1бюб1ауооца о A enidga ладоцою це tov todtotixo: Axj = 3xj xai
Ax2 = 2x2- АХХа багуооцата, dnwg to x = (1,5), eivai оо^оаоцо1 x^ + 5x2 twv
6do l6lo&lavDOцdтwv xai otov о A eniSga ото x, Sivet
Ax = AiX! + 5X2X2 = [jo] •
Adto rjTav eva тотхд бшуооца x -xai oxi 1<Чо51ауооца- wotooo t] 6gaor] tod
A ngoodiogi^oTav naXi ало та ibiodiavi^aTa xai Tig 1&ют1цёд tod.
ПАРААЕ1ГМА 2 KaAr] eniorjg eivai xai r] neginTwoi] цюд
Р=[1 1] ёХ£1 Ai = 1 це xi =	, А2=0це.т2 =
Oi tdioTt/zeg fiiaq nQo6oXr)$ eivai 1 xai 0! 'Ехооце A = 1, orav то бшуооца
лдобаХХета1 otov еаото tod xai A = 0, orav лдобаХХета1 ото ^qbevixd Ьюуооца.
О x^Q0? ott]Xwv tod P уец^е1 це idiodiavi^aTa, то i&to enior]g ооцба^е1 xai

:5з1аю (1гю oag зг1аоОзсЬюлу •Aoorinorgr лотх
oriorAoyoiro aoi pisri ‘ЗгзоаздЬуюкз 5зу1гю Ззхгозт! толр (siopo о) гзкздшз 5ori
аок OAori оу 'aoriaAmayoir aoroin 5олз Зз^гд 5n mk Soirgi SgxrdgoAyo raXdoiro
юл pdoirri лзд no з^гздзггю Soian tox oriaAooayoir orrigpgoiirrisir юлз гюлгз g гкз
g dxdaiit 5длз oriaAooayoir gxnoidlnxDdDX oy ’aoi ocbpi лою siopg aoi oynxgx
юх злю^гОа юд юхпзОосЬюгд ‘5oirai 5oroi3i 3iao Diorilig dtoisi siao AaoXdpira
юл pdoirri лзд Acorinorgr лсох lioooiirrdair aIh^ (‘lioay отЛду лз л1п югЛ oirai
ligidxo люлз зооодз 1эшшэ aoi Зюлрлюх о ‘oAsriroiraimg юг1юладоог ‘н,) олдОХ
OAsrioodsirsir зо гюх AOOiprilig Sogliyir олзг!ою0з1гз1г юлз sri stfiaxaodir Aooipriliioao
AcoxrririodA lioay Sligrdxo H ’<? = XV 01 odsipyoxoag юхгюгЛоуока ‘юрод
-rcbrto SrdooX ‘гюлр aorrinorgr Driliyggdir 01 ‘Ззхюлш Saodsigoordsir 5aoi югу
•у aoi Ssrinorgr го толр лзд Ззааю ‘оглооЛюгд л1лю
5з0злю<Ь гюлр Q aoi 5зг1погдг то aoir оуд ,0юр тогзуаод In (паю дЛ liyltyyninx
толгз лзд /27 = V ssnB9 1ю11ТО1го1лоЛю0ю1г li no sriao^yoi pdotb lirioxn mri mj
•aoi Sprinorgr 5n зг1ао^юуую 4л SrdooX юхюлгк дхглооЛгОа li оглтЛюгд люлз зо у
aoi sriaoorwriliXooisri ю]д :аогюуюсЬзх aoi aoiao юНзд ordax юлз гзалхгздока
‘priori югг1 зг! 1Ю1ло5^оолЛюлю 53Tiiioigr то oroiro 010 ‘спаю юг1Лгздюою1г оу
•оглооЛюгд
ordax лкю ligli AioiAOXordg лркгоу Ssrinorgr го •2 = у11| = у‘х=у люто
‘гюаз^глздЫ гюх лоорХгою лооглтЛюгд лота олзг!олгЛ 01 Soogrdxxr гюлр xroao^rdo р
О	О I
X - I	0	= (IX - r)w
Г X - 11
5рхгл«»Л|51 гюлр у о лю1р 5зозлюЛ> SLiorirs гюлр Ssrinorgr rQ £ VWJI3VVdVII
5aoi
Ssriuorgr Sno юозг1юлю Asgliri 01 лаоХз Ьзхюлш rotbdoriorgr го оолз ‘о у 5п 5зуо
лаоХз 5зхюлг1г rorirtfiadioriAX) го ’Asgliri гюлр aoi poao^rdo li гюх SaririrrdA гюх
Ssyliio 53A3riliidr>§3 гзХз у о пд гзлгюгИю lirinorgr lixrAsgliyi -у aoi odcoXpAsgliri
010 TOisXardsir x 01 roig, жр = xy л1п лаогогголюхг 5ln ю1юг1оалюгдогдг Ю1 3191
‘гюлр люд -гюлр Aliri юл гюх pdoirri li lirinorgr гюлр юл pdoirri лздСЫ 01 ‘Sprigrdio
5оуую здюх гюх Scoiro, •рхизйг»|з 01 3101111 мыз лзд о = у U пд siooorsrili^
5aoi а§ю1зг1 SaxrisdodTOig
5зуд гюлр лзд гюх лю ‘Ssrinorgr Srdsoosi ryoir AaoXdpira ‘p rirs p гюлр j о axtiq,
(y4)(y-D= V
•0‘0‘l‘l = V 13X3
T 0 0 O'
0 0 0 0
0 0 0 0
 OOOL
:53dod> x - и гю1злюдг1юуюлю1гз о = Y U Ssdotb x гю1злюдг1юуюлю1гз T = у
U 3191 ‘x - и гюх x йоюююгд лаоХз rodooXgira то тоааю люд 'odooXgAsgliri aoi зт!
V1VWZANVIVOIVI IVN ^IWII.OIVI
Z6Z

5.1 EISATQrH
293
5B To авдоюра tcov n i6ioTip.cbv looorai це то аОроюца twv n Stayco-
vicov OTOixeicov:
Ai + •  • + An = Иц + •  • + ann.	(15)
To аОдоюца auro eivai yvcooTO cog i/vog too A. Eni nXeov to ytvo/tevo tcov
n lSlotl^cov юоота1 це tt]v ogi^ovaa too A.
О nivaxag ngo6oXr|g P eiye Siaycbvia OToiyeia | xai tStoT^eg 1, 0- xai to
1 + 1 ооцп£пте1 це то 1 + 0, oncog ava^veTai. To idio ооцба^е1 xai це tt]v
opi^ooaa, noo eivai 10=0. ВХёпооце naXi oti evag сбсоцодсрод nivaxag це
pjbevixr] ogi^oooa eyei ц1а r| negioooTegeg сбютсцёд too ioeg це ^6ev.
Aev ngenet va yiveTai aoy/oor] цета^о diaycovicov oToiyeicov xai iSioTimov.
Se evav TQiycovtxd nivaxa аота ооцпсптооу, aXXa tooto eivai e^aigeor}. SovrjOcog
oi oSijyoi, та Staycbvia OTOiyeia xai oi iSioT^eg eivai TeXeicog SiacpogeTixa xai
yia evav nivaxa 2 eni 2 та yvcogi^oo^ oXa:
° [c dj ^Xei ixvog a + d. xai ogi^oooa ad - be
det [a c (/-д]=^2- ('•Xvog)A + ogi^oooa
_ ixvog ± [(ixvog)2 - 4ogiq1/2
2
Ta Soo A ex°ov аОдоюца то ixvog. H Аахтрт] 5.1.9 Seixvei oti A«= ixvog, yia
oXoog Toog nivaxeg.
ALKHEEIL
5.1.1 Bpeixe ng iSiotipieg xai та idiodiavi>a|iaTa too nivaxa A = j. ЕлаХт]0еоате
oti to ixvog loooTai це то айроюца tcov iSioTqicov xai T] opi'gowa loovtai це то
усубцеуо тоод.
5.1.2 Me tov ifiio nivaxa А, Хооте тг] 6iacpoQixr| e^iocoor] du/dt = Au, uq = j.
5.1.3 YnoQeoTe oti цетатоп^оице tov nQoqyoi^evo A acpaipcbvTag 71:
Iloieg eivai oi сдютсцёд xai та сбюбсауооцата too В xai nebg oovSeovrai це exeiva
too A;

AOTTinoiqi лотХтоюилп aoti ninrioiodg»
ni тлр лкт! пл д + у aoi Sarhioiqi то mx д mx у aoti Aroriuoigi aoti плзт1ол1Л ni
тлр л1и1 пл ду aoi 5311110191 то зюот то1з 1кз 3 5зхпл1и oaq зюпазхотп^ (о 01TS
зтл1дхЛаз '(9l) Ski пбазук 11бзю1бп aIiio
t_u(y—) aoi Ьюзуилао aoi 3113S9 inx aoiAwAniq SniSax 5lii Soxliri ninx олзг!ол1Л
oi own iniAoXdaodic nian nyo iimA зю11Л11§а 'l_u(x~) 01 AaoApgrinyidsir аок
uuv
Z“o l“o
“Zo
“lo
Y _ zzv
Zlo
IZo
y - Ub.
lap = (IX ~ У)1ЭР
5U1 SaoSp 5aoi 5aoyo
311369 ‘Aiiroin^ (9T) Slii рбазук ni^sq U10	u(y—) aoi 11юзуз1лао aoi шотбк
3ip6g AOTiiuoipi aoti nrioiodgn 01 3ii miaooi 5oaXi 01 119 ‘ninrilig oaq зо ‘sijjsy 6'1'S
Y aoi 11Лоу1ка ItAiraija лтт1 Зшлолпх inx
‘(Y - UX) '' (Y - zY)(Y - lY) = (IX ~ K)iap
licbdoii I110 1п1тзюко1лоЛпдпк от1алотауок oxnoidkixndnX
01 119 толзг<91:1£зхо ‘AOTiiuoiqi aoti OASitoAiX 01 3ti miaooi noao^iSo U 119 si^isy g’i’S
lirhlOIQ! llXlOlDUAn Alli 311369
mx aoi nrioaAnigoigi Slwiirs toais x 01119 si^isp ‘0/ Y 119 5тло130ошх (9
•£TS Uolixoy aIii 13АОТ1П939ШЗ па 131гз61£ ng giay aoi lirinoigi
aIii 311369 mx II — у = g aoi niioaAnipoipi inx тлр 9ian x 01 119 з1§1зу (n
•жу = xy :aoi nrioaAnigoiQi oXioioiiao x mx у aoi liiinoipi шл13 y 119 зюздоиу £TS
liyyn Aoiri зо I303ioo6i£ 5liriiin6A 5mri oionvic
-nyyoir ЛП19 ‘лао^пууп пл 1збо1гт1 SsrinoiQi то 119 isaXisq аок пгРазрпбпи: зюоту 9TS
поао^бо aIii
зт! miaooi eYzYlY 01 1Х9 1пх SoaXi 01 зт! miaooi £\ + ZY + lY 01 п9 зюаздЬутга
aoti nioTioaAniQoiQi ni тх Sariuoiqi 5п з11збд STS
|1бз0пю 1злзг1пбп1£ оботХдлздЫ
лою aoi поотю1лао U отлз ‘пхпздхз 1злп§ап aotvIiio оботХ лою п aoi поотюмао н
iliyogodir niri тлр д аоою ‘пд = ур/пр aIii зюау j?TS
V1VMZANVIVOIVI IVM 3HWI1OIVI


•колу 1зХз лзд On = ту к 119 зхйру
7.(1+ la = ху коото1§з лкх зхолу лотукхо одотХ лох тох одотХдлздкг! лох зхгкюд/здзц
Zn‘in‘0n ninrioftAmgoigi 3ii г ‘I ‘0 Saiiixoigi Six ззХз у Зюхюлш о но зхоздокх SITS
9 + VS + ZVP + £V— тол.13 юл |jv — У | от1лл<;>луок лох gxixoidkxxodraX 01 зхоот юхз
I 0 0 = У
Lo I oJ
.тохюлш лодолло,, лох кгШдЛ kxidx лкх зхЬзуглу дггя
'(0Г£р kolixoy лкх зт) зхюл]дхЛло)
‘лотдюлот! Зюхюлш р шз р о толгз у о люхо — у лох Ssriixoigi Six 5зуо зхрдд 9JTS
5збо<Ь л — и тохзлюдт1юуюлюиз д = V kiiixoigi к ixo зх1здкт1л@ ‘.и шз и
ШЛ13 Зкокхою 5клзг1лоЛкод1£ 5кх q mx у io люхо ‘Ssrhxoigi 10 тох к^юх к толр ююц SITS
ISsriixoigi 5зх1лздкт1 kri Sixo ллоХтохтохлю юхюг1оллю1до1дт пюц
:ло1хюхо лох
тох лотдюлот! лотх ‘5зхюлш олд 5лох тк Sciiiixoigi Sidsoosx 5ix тох к§юх лкх зхрдд PITS
' [ □ д ] = V 9 ]шз 9 ао1 53iiixoigi 10 толр Ззтои ‘6 ‘g ‘д Ssrhxoigi
Six 13X3 (j о тох 9 ‘s ‘р Sartixoigi 5п 1зХз о ° 1ИХ £ ‘Z ‘I Saiiixoigi Six 13X3 q о люд £ITS
[ q v ] = V ЛО11ИХ [	£ ] = V ао1 юхют)оллю1до1д1 юх тох Sariixoigi 5ix зхрдд JITS
•ют1ллотлуо1£ 5лох
юхитодкххюдюХ юх 5юхлол]дхЛло ‘Sarhxoigi Ssigi Six ллоХз ^.у тох у 10 ixo зх5ру HTS
ТОхлю 1злздкую 1ХЮ1Ц
•ЮЛ3119Л1Л юх Ю1Л зд Smioiio ‘д тох у лотх лотт11хо1д1 лотх лгоуд ют)отоддю ох зт1
тохлоот д + у лох лотг11Х01д1 лотх лотуд oiioiodgip ох 1x9 Зтохлох лз зхолздкуюнз (9
hjojvzih rs

296
IAIOTIME2 KAI 1AIOAIANYSMATA
5.2  H AIATQNIA МОРФН ENOE IIINAKA
Sexivd^ie ацёошд це tov ^lovadixd ЭецеХаобт] олоХоуюцб, лог) eivai e^aigexixa
anXog xai 9a XQTlot|ionoir]9ei oe 6Xeg xig ладаудафоод aoxod too хефаХаюо.
5C Yno9eoxe oxi о n ел1 n nivaxag A e%ei n удаццххсод aveijagTiyra
idiodiavoojiaxa. Eav xa diavooiiaxa aoxd emXeyoov oav oxf|Xeg evog nivaxa
S, тоте о S~XAS eivai evag diaycoviog nivaxag А, це xig idioxi|ieg tod A
хата цх]ход тт]д diaycovioo:
S-1AS=A =
(1)
Ovo|ia^oo|ie xov S “nivaxa idiodiavooixdxcov” xai xov A “nivaxa idioxijicbv”
—xprioLp-onoKovTag хефаХЫо Хацда, Хоуш tcov |iixgcbv Хацба yia xig idioxi^eg,
отт] diaycbvio too.
Ajiddei^i] ТолоОетг]оте та idiodiavoojiaxa хг oxig oxx]Xeg tod S xai onoXoyioxe
to yiv6|xevo AS отг|Хт] лдод отг]Хг]:
AS = A xr
To xeyvao^a xaxoniv eivai va avaXvoou|ie xov xeXeoxaio nivaxa oe eva бюфо-
gexixo yivd^ievo:
©ecogcbvxag to oav aoxr]or| too лоХХалХааюацоо nivaxcov, eivai or]|iavTix6 va
толоОетооце auxodg тоод nivaxeg oxx] ocooxrj diaxa^r]. Eav о A e^avi^dxav
ngtv ano xov S. avxi yia цеха, тоте то Ai 9a noXXanXaoia^e xa oxoixeia xr]g

о толр „nxmiir aoxiinrlioiinys,, 5длз nribsgndnir
gxnrai ox ’lorholnoirowoAmg 5зхпл11г io тоуд толр лзд 5д>1гзлао тох nmrio
-алтдохдх т1пдп§злп nxiririndA и 5зхюлш то тоуд лаоХз лзу р tiolidliindnij
nigi lx 5coinrioian толр у лою лоттЬючдт лап
тох g лою лот1пт1оалп1до191 лотх Li^mnig lx ‘ппт1Лпдц ’^lY = :»Tio^A.nigoigi
толр пл isirsdir ft 01 3101 ‘/ту толр лсохплпг griomonyirnyyoir ло1 зг1 пл(0(Ьг1ао
aoir gy aoi Liyliio liimdir л1и зт< isiiriirriao plan лпд -/х iу 1л толр yg aoi liyliio
Liimdir li 3io_L -ft Lt толр g aoi liyliio liimdir li 119 зюздому ’gorloniDnyirnyyoir
5злолпх 5аою TOisxoidg gian (iA опта н у отлт/мтд ло1 лаоЛрдток -од лзд
g Ззюэлпг Tovvy ’liyyn лп1т1т1пх зо тох у aoi ninriomvmgoigi ni толр g aoi
Ssyliio io aoir liomiiridsit л1ио олдг! isaXoi yg = gy Liomoi^s p £ hoUdUiaduu
•aoxnoiam aoi
шпт1оалтдо1§1 толр штЬдлтд ni пуо no 5длоЛзЛ oi пухплтлп 91aу •(/
о 5ср91дхп толр у 5пхпл11г ЗоглтАпгд о тох) 5оглтЛтд зю1лп1г толр gj {_g о
тохзуаод л1п 1злпх g Sorlujpdioiwo sioirligooioiro = у nriXisgndmr олзг!г11д131
oi тЛ тох ‘тздзХаз lidsigooidsir Lirigxn лаолксЬп Ssrinoigi 5злзг1длп9г)пуплп1гз
g п1лао1О1со1лтЛп1д озл лплз sriaoAndnir пл тох Зздздпю 5зх1лзд1лг1 liri зг)
g aoi 5зу1по 5п sriaoonionyirnyyoir пл sriaodoirii Ьашзла^ -nrloaAnigoigi
5тлолзг1пдп1г ‘пдздпю niri зг! pgomonyirnyyoir пл pdoirii х nrloaADiqoiqi плз
5пХ6п (1п>[ Зртдюлог/ юл]з лзд g Ьпхплш лотюкоиотЛтд о Z lu>lidUiad»u
pgliioirowoAnig пл pdoirri Ssrinoiqi 5aoi a^nisri Saxusdoshniq
sri 5пхпл11г здпх ‘ndy ’((Dinxndnir Qg 01 3ipg) т1пдп5злп Scoinrioian толр
ninrioiwoigoigi и ni 3191 —5aoi a^nisri loxnsdocbmg толр u\l   • ‘>y iori0idn
10— bsrhioigi 5злзг19лп9г1пуплп1гз 1зХз лзд у 5пхпл11г о лпд i liolidliindnu
•5зЛот<
-бпсЬз li ninriApgndnir зт1аооотд Л101г 5i3olidliindnir 510зооз1 зг1ао130пбпц
•п11пдп§злп лпх1х031О1га
(п1пт1оалтдо1д1 ni) aoi 5зу1по ю ngig ‘5ог11(Нзд1оплп толр g 5пхпл11г Q
(Z)	•,-S'V5 = r Ц ‘V=S,rl-S’ ь lvs = sv
5от1гзла^ -yg олзг1дл1Л 910100 01 зг!аоХз ‘олзтМпдЛ толр
5от1го, ’liyliio Iniodir л1по р0О1лп(Ьг!з пл зт1аоуз0 5рт1з отлз ‘5tiririnSA Slniodir
LK
VNVNIU SONS НФ<ЮИ1 VINtlJVIV H 2 5

298
IAIOTIMES KAI IAIOAIANYSMATA
Oi 15ют1цёд too eivai A, = A2 =0, dioxt eivai xpiyiovixog це piT]6evixa отт]
diaydivio:
det(A - XI) = det Г j = A2.
Eav to x qxav idio6iavuo|ia, 6a ёлреле va ixavonoiei xqv:
[0
4o]-
Пар’ dXo лоо q A = 0 eivai StnAq idioTqiq —т) аХуЕбдмт] лоХХалХдтцта xqg eivai
2— exei eva p.ovo8idoTaTO x0JQ° i6io6iavwp.dT(i)v. H увшрЕтдсю] лоХХалХбтцта
xqg eivai 1 — onap/et eva (idvov ave^dpxqxo i8io8idvt)opia-- xai dev цлорооце
va хатаохеоаоооце tov S.
Idoo xai [xia лю ар.еот] anddetEjq тог oti о A dev eivai diaYiovionoiqo^og.
Eneidq Ai = Аг = 0, о A 6a ёлреле va eivai о ^Ti&evixdg nivaxag. Eav бцшд
S~'AS = 0, тоте noXXanXaoid^ovxag ало арютера pe tov S xai ало deijia це
tov S~] брюхогце oti A = 0. Eneidq о A dev eivai 0, q avxiipaoq anodeixvoet
oti xavevag тётоюд S dev цлоре1 va xaxop0(boei rqv S~}AS =A.
EXni^oo то лара6е1уца va цтр eivai napanXavqxixd. H алотгх1а Tqg
diayajvionoiqaqg dev oqjeiXexai ото oti ^devi^ovxai 01 idioxqteg. Oi nivaxeg
A ~ [0 3] xaL A ~ [1 0 ]
enioqg dev eivai dtayaivionoiqoqioi, aXAa 0118ют1цед тоод eivai 3, 3 xai 1, 1. To
лрббХлща eivai q eXXeri|rq xwv ^юбюуооцато^ лоо anaiTouvxai yia tov S, xai
aoxd npenei va Tovio6ei:
H diaywvioaoitiaipoTtiTa awdeetai (is та idio6iavvafiara.
H avriffTQExpi^orriTa awdsEtai fie ng idion/ieg.
Aev onapxet oxeoq цета^о diaywvionoiqo^dTqTag (n ave^dpTqxa idiodiavd-
оцата) xai аут1отре-ф1цотцтад (^q ^Sevixeg 1&ют1цёд). H ц6vq evdei^q nor
лроёрхета1 ало Tig 18ют1цёд eivai q e^qg: H дшушрюло^ог] oworvyyavEi /i6vo
orr/v ЛЕейлтшаг] ЕлагаХацбауоцЁгыг idiOTifi(bv. Ax6цq xai тоте бцсод, 8ev
алотоу/dvei navToxe. О nivaxag A = I ejek, Tig ena?A^6avd^veg 1&ют1цёд 1,
1,	1 aXXa eivai q8q Siayibviog! S’ аотт) rqv nepinxcooq 8ev onapxei ёХАее^л]
l&lo&lavooцdт(ov. To xpixqpio eivai va е^етаоооце, yia цш i&ioTqrq лоо ела-
va/.a^>aveTai p срорёд, eav onapxoov p ave^apTqxa i&io8iavi^aTa -це aXXa
Adyta, eav о A - XI ёхе1 xa^q n - p.
Tia va ооцл/^ро'юооце aoxov xov xoxXo idecbv, лрёле1 va деповце oxi 01
diacpoQEtixEi; 1бют1цёд dev napoooia^oov лроб/^ца.

5.2 H AIAfQNIA МОРФН ENOE niNAKA
299
5D Eav та 15ю6юувацата ap,..., xk ovtiotoixobv ae бюфорет1хёд idio-
Т1цёд Ai,..., Afc, тоте та ^юбюувоцата avra eivai урацщхсод ave^apTpTa.
Уло0ёоте хат’ apxag oti к = 2 xai oti xdnoiog овубваоцбд twv xt xai x2
napayei to црбёу: c\X\ + c2x2 = 0. IIoXXanXaoid^ovTag це tov A, бр1оховце
ci Aia?i + c2X2x2 =0. AcpaipwvTag Аг форёд Tpv лроруовцеур e^iowap, e^acpavi-
^овце то 5iawap.a x2.
ci (Ai - A2)xi =0.
EnetSp Ai A2 xai яр / 0, лрёле1 ci = 0. AvaXoya c2 = 0 xai OBvenwg та бво
dtavtio|iaTa eivai ave^apTpTa, афов p.6vov о тетрсццёуод овубваоцбд ларауес
to p]5ev.
О idiog овХХоуюцбд enexTeiveTat xai ae xa0e лХр0од i&io&iavua|iaTOJv:
Уло0ётовце oti xdnoiog овубваоцбд napayei to |iT]5ev, лоХХалХаою^овце це
tov A, афасровце Ад. форёд Tpv apxtxp eijiowop, e^aipavi^ovTag to &iavuop.a xk
xai acprjvovrag evav ов^ваоцб twv яр, ..., xk-i nov napayei to p]6ev. Ena-
vaXap.6avovTag та idta брцата (p XeyovTag Tig Xe^eig ^авццаихг] Елаушуг))
хатаХруовце a’ eva лоХХалХааю тов X] лов napayei то црбё^. Авто e^avayxa-
£ei то Ci =0 xai TeXtxa xa0e c^ = 0. Евуелоод, i6io6iavt)op.aTa лов лроёрхо¥та1-
алб biacpopeTixeg ibioTipAg eivai автоцатшд ave^agTT|Ta. 'Evag nivaxag лов
exei n SiaipopeTixeg i6ioTip.eg цлоре£ va 5iaywvionoiT]0ei xai авто eivai т] твл1хт|
nepinTwoT],
Парабе1уцата 6iaywvionoiqaqg
Елютрёфовце ато хврю 0ёца автт|д тт)д лараурафов, лов rjTav т] S~x AS =
А. О nivaxag i6io6iavBO|iaTwv S цетатрёле! tov apxixd A otov nivaxa
iStoTifiwv А, лов eivai Siaywviog. Авто (inopei va yivei avTiXT]nTd yia лробоХёд
xai отрофёд.
ПАРААЕ1ГМА 1 H лробоХг| A = [ |	] ёхе1 nivaxa i6ioti|twv A=
Ta idiodiavBap.aTa лов BnoXoyia0r|xav лрогр/овцёуозд nepvave OTig отрХед тов
S-.

H TeXeBTaia e^iawap елаХр0евета1 це цю цатш. Ара S 1 AS =А.
ПАРААЕ1ГМА 2 Гю цёа атрофр oi iSieg oi 1&ют1цёд dev eivai xai тбоо
фауерёд:
K = f 1 I)1 ] ёхЕ1 det(7r “ A/) = Д2 + L

300
IAIOIIMES KAI IAIOAIANY2MATA
Aipov o nivaxag отдёсре1 то enine&o хата 90°, mog Eivai bvvarov eva diavvafia
va aTQEifETai xai ravtdxQOva va diarr/osi rqv idia xatEvevvot]; flgotpavcbg Sev
eivai SvvaTov -ехтод xi av eivai to ^irjSevixo Siavvopi, nov eivai axgqoTO.
Tlgenei бцшд va vnagyovv i6ioTi|ieg xai лдёле1 va е1цаоте oe бёот] va kvoovjie
Tqv du/dt = Ku. To xagaxTT]QiOTixd noXvcbvvjxo A2 + 1 ngenei va exei лам Svo
gi^eg -aXXa oi gi^eg аотёд Sev eivai лдауцат1хёд.
Avtt| eivai q бю^обод. Oi iSiorqiEg tov К eivai cpavraoTixoi aQiOfioi, X\ =i
xai A2 = — i. Ta tSioSiavvopiaTa Sev eivai enioTjg лдауцат1ха. Ката халою
тдбло, отдёд^тад хата 90°, noXXanXaoid^ovTai це та i xai —i:
<*-A2ife = [; т1] И Чо]
xai
xai
Oi 1&ют1цёд, av xai <раутаот1хёд, eivai 81а<родет1хёд xai та i8io8iavvop.aTa
eivai ave^agTT]Ta. ТолоОетагутад та OTtg OTqXeg tov S naigvov|ie:

nagarqgqoq AvTi[ieT<oni£ov(ie ща avandcpevxvq хатаотаот], SqXaSq to yeyovd;
oti zgeia^d/iaore ptyadixovg aQiOpovg, ахоцц xai yia ngayfiarixovg mvaxEg.
Mnogei va vnagyovv noXv Xiyeg лдауцат1хёд 1бют1цёд, vnagyovv бцсод navTOTe
n щуаб1хёд 1бют1цёд. (Oi Ц1уа81хёд ovqnegiXaqSavovv Tig лдауцаихёд, yia Tig
onoieg to cpavTaoTixo цёдод eivai цт]6ёу.) Eav vnagyovv noXv Alya iSioSiavv-
оцата otov лдауцатсхб хбоцо R? rj tov Rn, ipdyvov^e otov C3 r] otov Cn.
О x®Q°9 С”" лед1ёуе1 6Xeg Tig отт|Хед це Ц1уаб1хёд ovvioTiooeg xai ёуе1 aXXovg
одюцоод yia то цт)ход, то eowTegixo yivd^vo, xai tt]v ogQoywvtoTryta, хш(Л?
va eivai боохоХотедод ало tov Rn. Stt]v Ilagdygaipo 5.5 xavov^ цю evxoZ.r]
лдооадцоут) отт] Ц1уа81хт| лед1лтозот].
Avvdpeig xai Tivopeva: Ak xai AB
Ynagyei ц1а ахоцт] лед1лтшот], orqv onoia 01 vлoXoyloцoi eivai evxoXoi.
Улобёоте oti ёуооце qSq 6gei Tig 1бют1цёд xai та 1бюб1ауиоцата evog nivaxa
А. Тбте oi 1бют1цёд tov A2 eivai axgdxbg Af,...,A2 xai xa0e iSioSiavv-
оца tov A eivai xai l6lo8ldvvoцa tov А2. Еех^аце ало Tqv Ax = Ax xai
noXXanXaoia^ov^ naXi це tov A:
A2x = AXx = XAx = X2x.
(3)


•59x1101am о toais o09g ninx Slobodin 5охпл11с о тох х толр у. Ыплад ц
= fry тох Slums Scpgnx [j т] =
:о09£ »i»x litbodio Sliolwic niri толр
аок л1по tox 3Tinir пл Slums siiaodoirj^ 7 = (?—)/x тох 1- = г/х толзз 5aoi
5з<Ьодю11лп io tox x— inx x— толр Saoi плотЛпдхзх ni 7— тох 1 толр 531)110191 iq
[? o‘b-* [lo t-Ь* TOX [t°- oH
:o06“ »i»x lubodio U толр inx o08l
ninx Ucbodio U толтз гу 3101 ‘ o()6 ninx lubodio li толр yj лпд VMIJISVVdVII
:UoUioiroiA(oAm9 lii SidcoX тох то1злто<Ь
oiay y/x i»ai3 aoi 53tiuoigi 10 -(x- = ц 1и)пла9 In зг!) осЬодюплп
лою тох TOis^pridncbs 5oian 5плолпх о ‘SoiiiJisdioiiAn толр у о лпд
•g аохтуз! aoi тох x_g aoxiXdn aoi 591x3 ‘g лплз рдтолп r_g здп^
(fr) S^Vi-S = (SVi-S) •  • (SV t-SXSVi-S*) = ,v
'^y aoi тох Slums рюжплотЛтд ‘у aoi ртокочлтЛтд g о лпз
тох чу aoi т1оалп1§о1§1 рпк толр у aoi пт!оалп1§О1§1 здп^ -у aoi лиг!
-noigi лап 51зт1плад 5зю-^ io 1 " '^Х 1»ЛР цУ ао1 Ssiiuoigi iq 3S
у aoi ЬЫплад здпх шЛ тох isaXoi пл рдаоуохп^з 0191 од
•то1ло51ла)Лпд131 5311110191 io отлз ‘0191 ш лаолзтЬэдтг
п1т1оалп19О191 ш 1013 inx g пхплш 0191 ло1 зг! тогртокомотЛп^ гу 5пхпл11г о
'ZV=SZV[-S к ZV= (5'Г|-5,)(5'У1-5')
зг1аолдто1с 5здазук 09.9 5п тох SniAO^paiAndisi 3191
‘V = SVi-S Л1Ра •UoliiOKOiAcnXnig Ui 91т isiiraxodir niiosysioirn 0191 од
•о<Эз1аз9 aoi 3ii тох iSAingiiao
0191 01 ‘Lnliygnisiin x aoi кюладдзшх л1п 1зл1л±п у 3ii Sgiionionyrnvyoir
Soimdir о лпд -х т1оалп19О191 0191 01 3ii гу аО1 14)110191 толр z\ li ioig,
Ю£
VNVNIU SONH НФЗОИ VIN15JVIV Н Z'S

302
IAIOTIME2 KAI IAIOAIANY2MATA
Пацв то>ра ото yivojievo dvo mvaxtov xai ava'QqTape Tig idiox^Eg tob
AB. Eivai лоХо dsXsaoTixd va хдт]О1цоло1Г|оовцЕ tov idio ооХХоуюцо, oe pita
лроолаОвю v’ алобЕ1^оир,£ xotl лоо ev ytvci dev aAtflevei. Idod ща Xav0ao^vq
ало&Ес^т] too oti о AB e/el tt]v idioTi|XT| //A, oxav о A sysi tt|v idioT^r) Л xai о
В tt]v idioTipr] ц:
ABx = A/j/x = цАх = p.Ax.
To Xd0og EyxsiTai ото oti оло0воац£ люд 01 A xai В syoov to idio idiodiavoopia
x. Ev ysvEt TOOTO dsv toyoEi. Млор£1 va ехооце doo nivaxsg це prjdEvizsg
t6ioTip.Eg, tcov onoicov to yivd^iEvo va sxei tt]v i6loti|xt| A = 1:
42 oH o]-
Ta i6io6iavdop.aTa aoTcov tcov A xai В Eivai EVTsXaig diaipopsTixa xai аотд
sivai to oovr]0Eg. Tia tov idio Xoyo, 01 idioTt^g too A + В dev exoov т1лоте va
xdvoov це tt|v A + /2.
H Xav0ao|TEvr] аотт] алд&Е^т] oлodElxvoEl tt|v aXr)0sia. Eav 01 A xai В
exoov to idio i&io8idvoo|xa, tote 01 idioTpisg лоХХалХаою!^та1 xai о AB exei
vqv idioTip] р,А. Улару£1 бцсод xai xotl лю svdiaipEpov. Уларх£1 evag ЕохоХод
тролод v’ avayvcopl^oonE лоте oi A xai В exoov Eva лХ-qpfg oovoXo xoivibv
idiodiavoopaTcov, xai аото Eivai sva ОЁца-xXEtdi ott]v x6avTop,T]xavixr|:
5F Eav 01 A xai В sivai д1аусоуюло1Т|01цо1, tote exoov tov i&to л1уаха
i5iodiavoo|idTcov S, sav xai |iovov Eav AB = BA.
Ajtddei^t] Eav о idiog S diaycovionoifii xai тоод doo, A = SAiS 1 xai В =
SA2S-1, tote цлорооцЕ va лоХХалХаошоооцЕ xai це Tig doo diaTa^sig:
AB = SAiS-'SAzS”1 = SAiAzS-1 xai BA = SAzS-’SAiS”1 = SAzAjS”1.
Еле^т] A|A2 =A2A| (01 diaycbvioi л1уахвд avT^ETaTi0EVTai лаутотв) ёхооце
AB = BA.
Tia tt]v avTioTpoipr) xaTEO0ovor], оло0еоте oti AB = BA. EExivcbvTag ало
tt]v Ax = Ax, ЁхооцЕ
ABx - В Ax = В Ax = ABx.
Ара та x xai Bx sivai xai та doo idiodiavi^aTa too A, cog лрод tt]v
idta idioTip] A (diacpopETixa Bx = 0). Eav лрод OTiyp]v оло0еоооце oti 01
idioTt^g too A sivai diatpopsTixsg цвта^о тоод -01 ididxcopoi sivai 6X01 тоод
цovodldoтaтol- tote to Bx лр£ЛЕ1 va Eivai лоХХалХаою too x. Me aXXa Xdyia

5.2 H AIATQNIA МОРФН ENOS niNAKA
303
то х eivai iSioSiavDoyia xai tod В xai тои A. H andSei^q це enavakapi6avdpieveg
i5ioTi|reg eivai kiyo p.axpDTepq.
naQarijQtjoti Xrqv x6avTopiqxavtxq, exeivoi oi onoioi DnocpepoDv ало xqv ap/ij
rijg a^EfiaioTijrag tod Heisenberg, eivai oi nivaxeg лои 5ev pieTariBevTai, блсод r|
0ёог| P xai q oppiq Q. H 0eor] eivai оеццетрсхдд nivaxag, q орцг] avTiaDpipierpixog
xai oi 6do piatji ixavonoioDv Tqv QP — PQ = I. H apxq тт]д абебаюттугад
npoxnnTet ал’ ttjv aviodrqTa tod Schwarz (Qx)T (Px) < ||Qs|| • ||Рж|| rqg
Параурсароо 3.2:
||ж||2 = xTx = xT(QP - PQ)x < 2||Qx|| ||Px||.
To Yivopevo tcov ||Qx||/||ж|| xai ||Pz||/||ж|| -noD naptoravoDv та офакцата
0ёог]д xai opqqg, orav rj xDpiaTOODvaprqoq eivai q x- eivai rooXa/ioTov 1/2. Ei-
vai adDvarov va xavoD|xe xai та &do офакцата pnxpa, diori orav лроолаОооце
va pieTpqooDpie тг| 0ёог] evog ocopiaTiSioD, aXXa^oDfxe tt)v opp.q tod.
EлlOтpёфODцe тёХод orqv A = SAS-1, Tqv napayovronoiqoq лoD лрохп-
лте1 ал’ Tig idioxipieg. Adtt| eivai tdiairepa xaraXkqXq yia va DnokoyiaoDpie
Tig dDvaqeig tod А, лрауца noD фстрсе orqv anXoDOTepq nepinrcooq tod A2.
H napayovronoiqoq LU eivai avanoTeXea|xaTixq, orav TeTpaycovio0ei, evcb q
SAS-1 eivai тёке1а. To Terpaycovo eivai SA2S-1, та i&io&iavDoyiaTa лара-
I^vodv avaXXoicoTa xai axoXoD0cbvTag aDTa та ibiobiavDopiaTa 0a XnaoDLie
e^iacboeig бшфорссгу xai 6юфор1хёд e^tacboeig.
ALKHLEIL
5.2.1 napayovTonoiqoTE xovg sndpevovg nivaxeg orqv p.op<pq SAS-1:
A=[] }] xai A=[2 J],
5.2.2 Bpeixe xov nivaxa A, xou onoion oi ibioxipieg eivai 1 xai 4 xai xa i5io<5iavi)O|iaxa
eivai [j] xai avxiaxoixmg. {Ynodei^y. A =SAS-1.)
5.2.3 Bpeixe okeg xig idioxipeg xai xa idiodiav-uopaxa xod
4;;:]
xai xaxaypaipxe 6do biaipopexixoug biaywvionoioDvxeg nivaxeg S.
5.2.4 Eav evag avco xpiycovixog 3 eni 3 nivaxag e/ei diayo'jvia axoixeia 1, 2, 7, ncog
yviopitjexe oxi pnopei va 6iay<jovionoiq0ei; Поюд eivai о A;

304
lAIOTIMES KAI IAIOAIANYSMATA
5.2.5 П0101 ал’ xovg eno^vovg nivaxeg dev eivai dvvaxov va 8iaycovionoir)0ovv;
М2 :i] MM] MM
5.2.6 a) Eav А2 = I, noieg eivai 01 Swateg iSiori^ieg tov A;
6) Eav аитдд о A eivai 2 eni 2 xai diacpopexixog tcov I xai — I, бое 1те to ixvog
xai Ti]v opigovaa tov.
y) Eav т] npcbxr] ураццт] eivai (3, —1), nota eivai r| SevxepT);
5.2.7 Eav A =	> 6peixe tov A100 diaycovionoicbvxag tov A.
5.2.8 YnoOecne oti A = uv1' eivai цса отт|Лг| eni ща ураццт) (evag nivaxag xdgewg eva).
a)	IIokkankaoid^ovTag tov A eni to u, dei^xe oti to u eivai 1&1о<51сплюца. Пою
eivai то Л;
6)	noieg eivai 01 dXXeg сбютщёд (xai yiaxi);
y) Yno/.oyicne to i'/vog (A) = vTu це dvo xpdnovg, ano то аброюца тт)д diayooviov
xai ano то аброюца tcov A.
5.2.9 Aei^xe це an’ evOeiag vnoz.oyiapd oti 01 AB xai BA e%ovv to 1610 i'/.vog, oxav
M: - М2 :]
Е1)цперсЫ1те oti AB — BA = I eivai advvaxov. (Mnopei va avц6ei ц6vo oxig
aneipeg diaaxdaeig.)
5.2.10 Упобёате oti о A eyei Tig idioxqwg 1, 2, 4. Пою eivai то i/vog tov А2; Паа eivai T)
opigovaa tov (A1) ,
5.2.11 Eav 01 1бют1цёд tov A eivai 1, 1, 2, noia an’ та eno^va eivai aiyovpa aXr|0eia;
Acbaxe dixaioAoyia oxav aXiqOevovv xai avxinapddeiy^i qttjv nepinxcoaq Xa0ovg:
(1)	О A eivai avxiaxpeip^og
(2)	О A eivai diaycovionoir|a^og
(3)	О A dev eivai diaycovionoiT)a^og
5.2.12 Упобёате oxi та ц6va tdiodiavvapaxa xov A eivai та nokkankaoia xov x =(1,6,6):
А	Ф	О	A dev а-утютрёфета1
А	Ф	О	A e%ei ща поЛЛапЛт) idioxM
А	Ф	О	A dev diaycovionoieixai
[A = акт]0ёд, Ф = чреубёд]
Г 5 41
5.2.13 Aiaycovionoir]0Te xov nivaxa A = H $ xai 6peixe ща an’ xig тетрауатхёд pigeg
xov — ёvav nivaxa тётoюv wore R2 = А. Поаед xexpaywvixeg pigeg 0a vnapxovv;
5.2.14 Eav о A eivai 8iaycovionou)oqj.og, deluxe oti t] opi^ovoa xov A = SAS-1 eivai to
yivo^vo tcov iSioximbv.
5.2.15 Aeiijxe oti хабе nivaxag* eivai аброюца 8vo цт| 1&юцбрфОА nivaxcov.
S.T.E.: E^vnaxovexai Texpaycovixog.

in	TV
"d9° ‘° = aU1° 13Л'31 a°K ^d9Q ‘° = ЗД - изд
зтколдтои »т1Ц9 pxiAodX oi зг1
SniAcodimp inx рдазук kdsioidn лкхо 015п1лодз<Ьтзр^ "'/rf(?V90 l0+l) = 1+3f^
Amdodbmp Skooioi^s 5nni 0169 01- kocooi^s kxidocbmp mri зо pcbndio пл 3ii3
‘А8 ‘6И1$ = ООО1О£‘оэ - 0001	+ I j
1ПЛ13 0169 01119 13x0169 пл тох ‘рлХао
oik плзоуо oinvnd>3x 01 1351x01 пл 3113 Ьзхкхршлар Ssxnsdodbmp 099 Sonip
isXg, •piocodX 5no n laopidnAoy пл isdoirii ЛЗ9 inx prioiAoy pxuoodisirn 1з0з^
лзд Sniiini о 119 313^1т1ол пл isdoiai ‘ппт1Ап6ц зззддтпх лотдосЬтд kooioi^J
li rax krlAuo nonir плп тхлздпообк 10x91 iq totIdixoi кХзлао лаодзсЬообк
5з^з1гпд1 io ‘кокурХотгп зо 5aoi 5аоукууп1га 5aoi лаотбх пл mA ‘5оузд
:пйзт1к плп 591I01X01 о толр nrikg OASiipirs og
’6t£l$ = 0001 • 09(S00 ‘l) = '4)9((Z l/90 ‘0) + l) = 09^
зт1аоХз 5злкт1 09 к I113 g nispj '^с?(^Т/90 ‘0 + l) = l+3,d 1»л]з лтбосЬтр
kooioi§3 пзл н плЫ плз зо ini3^idoid3i£ nrikg pxmodX oi 119 ndmi зюздокх
’8££l$ = 000Ts(90 ‘l) = °d s(90 ‘l) = W
inx 5збо(Ь g 130отопу1тздо1г
1зХз 0001 = Qd отупЛзх 9xiXdn 01 ‘U13 9 ni3j\ туохаз тохзлау inx 5aoi3
аолзткоАкодк aoi отоурсЬзх oi зт1 1из 1 + q our> pisri oinynibsx 01 133§лао
‘5aoi3 5ол.з miUg оюлодХ, 3ri лтдосЬтд котсп^з mri толгз Uiay ‘^904 - х+\1
mx 9o‘x зт! шхз^птопукпууог ошупЛзх oi 3191 ‘5aoi3 aoi §пкп шхзуупрптх
50x91 о лпд -%9 0x91 3ii ШЛ96Х зхлзк mA oooi $ sis^ixoi 119 зюздокх
•59Ti0idn 5плз
ол9г1 ШЛ13 п^зкпдх лкю Snosgninx io aodro ‘подзАур UxnlrlnQA liiniopiq-u зт1
шхз^пзХо лзр aoir клз^ркз U шл13 lioliAli^sirs lidsiaynx U Soioj, pxnnrili0oi1 mo
плп^ mx плп^ inis^iAndiTis aoir ‘5аоХзлао inx aoiidxmp a^nisri тАоуплп nipi
li inAiq -пукуурдтг 5а»уз1лз тхлоооангплп oopioai 5з1дотз0 oaq io- лоиртИсд
ло)юод131гп 5o0lqir oSisirn плз 3ii тохзлау Itomoi^a kxidocbmp nni отлз ‘лоппШд
ло)лзг1опдз1гз1г 5о0ку1г олзт1опдз1гз1г зт! тохлолау Ssioidir iq 'зкздкз П0 тох лп
‘5i3dctdi§3 Ssxidocbmp то оор 5з1оотлА 0091 тол13 лзр лотдосЬтр Sisdotdi^s iq
4V iniHIVNAV IO IV5I N?5dO0VIV ГПЯЗИЗКЯ IO  £'S
sot
4y SIHUIVNAV IO IVN NOdO<I>VIV 2133031=3 IO £ S

•yri 0021 oi
111 SU.13UDJ U9A91S J9J3J Г1О1 OlVglg О1П1О|ПО<0 01 U (2f6I ‘SSSJJ AlUfl эЗриЦШЕЭ) UIWJ pun
tflMOJQ uq -uosdiuoqj^ Хэлу aoi or/gig oi 3113Q ‘lixn»iog Uio 53ian эзЛогВгкЬз 5n mj *
лпз :5пхпл11г 5плз толп пл nirsdir у Slnomonvirnyvoir о
тох пт1оалп1§ плз толп ЗоютлАп о ndqn aoir олрт1 ‘:V90 ‘l = l+V ‘ротклхошлп
lioaioi^s л1п зг1 n^niorl Inay '*пу = Мп Soimilig 5рлз liomoi^s mri зо
зг1аоАпАплп л1п пл sriaodoirri milig oimdir лпо тох + l+iij = г+^ лгодосЬтр
liomoi^s л1п зт!аооау пл толр 5nri 5оХрю о ^00011/ 01 iS^sri ‘5аоозт1трлз 5aoi
Saoyp тох у = ij- ‘о = <>j Saoi pirn aorimAoyoira aoxiXoqmq aoi плп ‘iom?uoqij
prigidn pioovpX ло1 sriaodg пл sriaodoirri oirodi pxnsdodroiq oioir sjaj
*T£Z/m = £ld/z\d
oApv oiasioiirn лорзХо лплз лаоАзутр lodoiro io aoioiro aoi (;g6l Soidgriaojq
‘июиэшу эцииэрд) пэшюЭ<О AL рщва aoi onrodiopU oi толп пл то1злто<Ь
SlnUygnimdit о ’5з(Ьод1О1дз1г g здпх mA 5по1попудхз £j пХз ‘nxo^ira^oir
onr Urioxn ‘pin li inx 53<bodioid3ir g здпх mA SnoLnonygxs g пХз nipn^Xn ц
ipnyx oi pirn mdaA 53d>odioid3ir здпх mA Snolnonypxs д зпздр ng 5mqn
-mpg U 5piyliri li 5mdaorloing iqnyx плз зо тох ‘Ьтдпохтуз лаолпюпуд пууа<Ь
тох тдпхАу "opgig одкухруо плз пдтдзкЬп 51п пл п^п тох лтАот<дп(Ьз
niyixioir кхиотлпсЬ mri зо inis^nncbris ‘лтдосЬтд liorooi^s mri толп Lnay
(Т)	-v+l+^=^
aoi лтлзг1аоА1ю91г oaq лап mioiodgn
01 толп pDBuoqij 5prigidn здп^ :nionxiqmq In З1злтодп^п1пх 5тлзг1оХзрла
-‘£1 ‘8‘S‘£‘£‘l‘T‘0
:poBuoqij aoi nigaoyoxn lirllabidsir
л1п pirn inisXdsoSir 5mi niiAnqndnir одзтзд oi inx 5aoi 5злрг1 pirn птлохзю
aoir лтдоЛтр лтзотт^з 5ogLiyir тох 5miip nXdnirx 'odsipdxiri плзоуо лтрл1А
nrilig рхплодХ oi 5rognx ‘5здз1азр 5по лплтз Ssimdir iq 'Snorooilp 5зхпдо<Ь
-mq inx oop лтдосЬтр 5потт^з oopi SAngiin'pidsir oiao nriAnqndnir ojl
•51ЛЗО олрг1 толп pdocbmq li mx-
tiriAno nopir плп то1з^1хотлп no oi пдтг ‘олзт!опдз1гз1г плз-rindmr oinyndnx
°± 'L816VlI $ Ч1?11 толр plan lii3 g nisii тох °<??9‘0э = (?)d толп lioa^ н
vivmANVivoivi ivn zawi.i.oivi
90£

5.3 OI EHI2QSEIZ AIA<I>OPQN KAI OI AYNAMEI2 Ak
307
TOT8 to
Fk+i = Fk+X + Fk ,	Fill
YiveTai uk+x = ufe.
Ъ+i =^fc+i	L1 UJ
Auto eivai eva тпл1хб Te%vaopia yia цю e^iowoq та^есод s. H 5o0eioa e^iocooq
onv<5nal;eTai це s - 1 тет(нццёуед e^iocboeig, блсод q Fk+X = Fk+X, yia va &cboei
eva отюттща evog бтщатод. Гta топд Fibonacci qTav s = 2.
H e^iocooq uk+x = Auk kvvexai enxoAa, ^exivcbvTag ало то uq. 2to лосото
бтща лдохплте1 то щ = Auq. Sto бептедо бтща, то loovrai це Ащ лои
lOovTai це A2uq. 2s xaOs буиа yivsrai evag ло).кал/.аа1аои.6<; us A, xai цета
к бтщата e/ovv yivei к лоХХалХасяаоцо1:
Н kvat] tov ик+х = Аик sivai ик = Акио.
То лдауцат1хб лдббЛгща eivai va бдопце халоюу ygqyogo тдбло плоХоуюцоп
tcov бпуацесоу Ак xai ёто1 va лдообюдсоопце tov /iXiooto ад10цб Fibonacci. То
xXei6i лед1ехета1 OTig 1бют1цёд xai та 1бюбюупацата:
5G Eav о А цлоде1 va 6iaycovionoiq0ei, А = SA.S \ тоте
ик = Аки0 = (SAS })(SAS- })... (SAS-^uo = (SAkS~1)u0.	(2)
Oi атт]Хед топ S eivai та ^юбютиацата топ A xai SerovTag S гио = с,
т] knot] YiveTai
(3)
H knot] eivai опубпаоцод tcov “алкспу knoecov” XkXi.
Oi тплос апто1 divonv &no dtacpogeTixeg лдоаеууюесд тт]д l&iag Xuor|g
uk = SAkS~'u(). О лдсотод тплод avayvcbgi^e oti о Ak тапт1£етас це tov
SAkS-} xai 0a цлодопоаце va атацатт]оопце exei. H бептедт] лдооёууют]
бцсод Sel/vei оафёотеда rqv avaXoyla це тт] Xnoq SiacpoQixqg e^locooqg: AvtI
tcov xa0aga ex0eTixcbv X.noecov eXttXi ёхопце лХёоу Tig алХёд bnvcqxeig XkXi.
Oi хауоУ1хёд хатаотаое1д eivai лак1 та ^юбюупоцата X{ xai ое ха0е бтща
evioxnovTai це Tig 1бют1цёд A,. SnvSna^ovTag аптёд Tig е1&1хёд Znoeig, ёто1 сооте
va Tatgia^onv це то uq —xai ебш eivai лоп плеюёдх°з'та1 та ci~ бдюхопце rq
осоотт) Xnoq и = SAkS~lUo.

'X 5оди 819'1 л<о<5л.зул оЛоу ллоХз шлотЛоддо pitwiox ош nj^
лпа -531+110191 5по лпю'Хзздзгг 91а» 11919 £Л 01 злпдт1пуз10з1г inx ‘ j = у
aoi 51зт1пла9 5iid isAUqo aoir nriAiaq/idnir 9x11га! плз толр 9iay
’lY ~ yY/i+yV 01 5o0ir 13Л131 ^/1+^ 5oA9’y о inx ^у oi
зг! толзтЪлздхЛао ‘тохлт+коп то1лол1Л ^у 10 тАоу nyyn 3j\ ^ ^Inioi UoadX,, лп^
-nitoAO Ззлкууа, ю oioiro лох ‘8X9 ‘х » г/(£Л + X) 91+010» лою пхлох ayoir тол]з
пл isirsdir oooi^/iooij 5оЛ9у q -5аотодзхп 5aoi Saoigi 5aoi зг! толзт+9Л10хЛао
‘юхлптИлоп пузюуо Ш1ЛОЛ1А пд юЛ9у то 119 одзлп+юуо тол]а -5о0з1п,упЛ
-зт! lntoxn толр П0 looijr о 1DZ 591+0100 5onon03i 5плз толр ‘nxioacb ‘59iay
— aoi 5отодзхп Ьодзюзтокук = oooi^
inx 5о0зт+ отодзхп oi ОЛ91113л1кЬп коздтосЬп ц отодзхп
одзюзюкуи лох 5odir 069 окодк лох n^iiroinisri П0 aoi Зодзюдхп! зюхлпш
ШЛ13 £Л/^[(z/CS/4 - l)] ^069 Зодзхазд 0 plaits ‘ппт1Лпдц -Ьошдзхп 5плз
1злзт<о1£п 4л зюот юхлаодтолпоукууп пл 1зкздк nian ninriAndir ni 011961 oioirnx
nina -5з^1д 5зх1лсоЛпд131 mx ninrionyx зо srin^Uyninx (093 тлз ‘5aori0idn
Заошдзхп 31О1ЛП1С isAndnir	poBuoqij aoi 5пл9лпх о 11919
‘liilix99oodi£n лоуупт! тлр lutioirn mil 9101 inx srinoaoili^ aoir lioay It тлр Uiay
.^n aoi по(П1О1лао
Ud3ia39 ^1O	isiiraxodir ‘у шл13 лот1пт1оалп19О191 099 лап inx
поаптлао U031O39 It 119131га	л1по 5здз0пю io 1ПЛ13 5з1ау
Г(гУ-lY)/l-l = Го1 Гт
L(zY-lY)/T J Ы J-PY
1Ту] = °"1-5 = з
1013
тох on ою 5aoi 1юз0 Ui лаолдток у = ij- inx Q= pocuoqij loiiqidn loimdir iq
•(д‘Y) толр nrloaAniqoiqi oi пдп ‘(у- ‘x) толр jy - у aoi ктМпдЛ lidsiasq н
г
lY
‘T - Y - ZY = (7Y - r)W
V
:5зт11Ю191 5u siiaodg пл
толр mili.9 oiqidir 01 ‘ponuoqij aoi 9ian 501119 ‘nriAisqndmr 9x1913 30nx з^
V1VWSANVIVOIVI IVM 3HW1I.OIVI
80£

5.3 OI ESI2Q2EIS AIA<I>OPQN KAI OI AYNAMEIS Ak
309
diaXe^ovpe evav diacpopeuxo nivaxa, tov onoiov oi idioTipeg eivai axepaieg,
pnopovpe va eoiiaoovpe tt]v проооуг] pag ott]v алА6тг|та tcov vnokoyiopcbv,
acpov diaywvioTtoiijaovfiE tov juvaxa:
A= [10 11]	A'=1- ^“[-l]’
Аг = 6,
Ak = SAkS~} =
2 — 6fc
-2 + 2-6fc
l-6k 1
—1 + 2 - 6fc J ’

Oi Svvapetg 6fe xai lfe, nov epcpavi^ovTai otov TeXevTaio nivaxa Ak ovvSva^o-
vtoi pie та ibioSiavvopaTa.
Tovit,ovpe to xvpio xapaxrqpiOTixo тт]д e^iocoot]g diacpoQcbv гц.+1 = Au^.
Eav to x eivai tdiodiavvapa тоте
цю dwarf/ Avotj eivai quo =x, щ = Xx, U2 = X2x,...
'Otov to ap/ixo uo avp6ei va eivai ibio&iavvopa, тоте r] Xvot] eivai: uk = Xkx.
Ev yevei to u0 dev eivai idiodiavvopa, orav opcog ovp6ei va eivai ovvdvaop.6g
idtodiavvoparwv, r] Xvor| uk dibeTai and tov idio ovvSvaopio avTibv tcov eidixcbv
kvoecov.
5H Eav uo = ciX] + • • • + cnxn тоте = cjAfzi + • • • + cnXkxn. О gokog
tcov ci eivai va evaQ|iovi^ovv tt, Avar] npog Tig ap/ixeg ow0r|xeg:
Г 1ГС11
uq = \ xi   xn •	= Sc xai c = S luq. (4)
Етресрбцаоте тсора oe evdiacpepovoeg ecpapjioyeg tcov e^tocboecov diacpopcbv —r|
dvvapiecov nivaxcov.
Aveki^eig rov Markov
Ynrjpxe pia аохцог] ото прсото xecpaXaio, yia Tig peTaxivqoeig npog xai ano
Tr]v KaXnpopvia, nov a^i^ei pia бебтерт] p,aTia. Oi xavoveg r]Tav oi e^r|g:
Каве xqovo tov лХувоацоо, ехтод KaAupoQviag, еухавютатш o’ avTijv
xai tov 7tkt]0vo^iov Trjg Ttjv eyxaTaXeinovv.

AsqUri н, “ail **
зХо 5mir пууп ‘л<>ул:[\ 513§|узлп шлзз пл 5зо>5 ю inri Ssigi то тох 5<олзг1оХздлз
DiolidXp до ллохХтзк пл pdoirri 1-Чп‘---‘0п 5з±пдЛокп то тох noriodnir л1и oirn олот1
inipidn§3 i+^n Uoniopinx пзл 3()n>[ nidoioi li лкко ‘im аоуодпх тохзлпдЛг/ лзр SUoiirrj
охмодХ оупЛзг! oirn пдзхоа тохзл1Л и srlaoipyg пуохаз тох одо охотдк лохо
ЗолзтНадх толр [ = лтЛпдпк q	+ 1х^у1э копхордпм li толр кхау
‘ [ l£ ] /L ‘0)(°^Z - ЭД) + [ | ] (°г + ад) =
М[т :Г°,Ж |М«>га
•у лохо
•7 v
у лох oirn зг!аолтодпхзг1 ‘кхз гу пхзт! кйолпхпх лкх тох ^у лох зт!аодд пл nig
[V :]Р JP
L ‘0 = ZY i»* I = lY
‘£‘0 + Y£‘l-zY= (lY-y>P ‘|JO б‘о]=У
:y лох ariaookioiroiAioXnig
пл nxmSir isirsQir SaorionidnAoy Заох зт1аоокл1хз5 пл nij ззлзЛ лз ao^jej^
513^рзлп 5ix mA sriaookxk^ao юл Зоузх тох ukonxonxnx kriionxo,, niri 5odit 1злрх
Sorioagk^ir о лп siiaog пл лпгрхпх ‘(°ni-S’3fVS’ ЛО1 SnxAOTioiroiiiokdX)
л(пдо<Ьтд Iiootoi^s лкх кхап sriaooay пл nxrodic ‘коздрдк лкх srlaoXjj,
•5зх1хклдп kri 5з^о толр уу 51зт1пла§ iq х о х т-z тох ад »i ‘ \z тох
ад пх зт! тох 1злтодт1ао ng oigi ox **‘0x1x39 толр Qz тох ofi nxiXdn nx лооо .(bg
Ю13Х1010 пхпклдю 13X3 лзд Зпхплги о ixo 5олоЛзЛ охо тохпухплпхлп nxkxoigi
кдзхазд ц 5плзлпх тохзлпХ лзд тох тохлосЬпдЛохсп 5зхлпк iq д atioiodff»
лаоХз SliyUio здюх прХтохо пх ixo 5олоЛзЛ охо тохп^хплпхлп nxkxoigi кхотдк ц
*1ох1хклдп зхох: toxaoaiX лзд 5дхлз тох 5оххз loiioaokyir 10 тох Зодздпхо 1злзт1
-ndnir Sgrioagkyic 5охролао о	Эи^грзлю 5nni bsxkxgigi SsxixoidkxxndnX
оад Six Smrio 13X3 ‘прХюхо nxixnriXndir SidmX згкахзодк nxioarb nrikygodir од
[ад] [8‘0 Т‘о1 = рг]
[ад] Lz‘o б‘о] p^J
°2-8 ‘о + ад! ‘О =
огг‘о + адб‘о= l/i
Зохлз тох Зоххз Saorioagkyir
5аох зт<аоХз аолрдХ aoxaiSir аох Зоузх охо тох 5охлз о? тох Зоххз orioagkyir
ой зт! зт1аол1хзЕ лгодоЛтд коото^з nni 1залх1здока охап ЭолоЛзЛ од
VXVWSANVIVOIVI IVN Z31MLLOIVI
ОТЕ

‘5ю1лдо<Ь1ую}[ 591x3 толп от)охю 01 люд -5з1к19лю0пг зг) лаосЬюб/обзк юл рдохп)
aoi 5кокл1ХЮ13т) 5злолюх то ‘откпю олз1)о1лог)зт) юлз зт)аооюхз§з 5011)9 люд
•5з]Лоуюлю 5здздю1о зт) люхлаолтххпзт) lorioagliyir 10 5от0юх ‘59x1101601900611
5от5ку1г люхк лоухвр^ к^тузлю лкх зт)ю<кюбЛ1бз1г oioiro лох зт) Souodx о Uomisiihz
(5з'/кю юпЛ 11лю) [ ют)отоб0ю лаоХз юрХтою юх лапоют лотх
ЧзгМтэдА зт) тох лох зт) лаоазуао§ 5р<+>юдЛЛао 10x1631) по зт)аолопзт)к^
•591x3 юхтХбю лю1к Ю1дат)т)о1юхз 06 Ю1 люз тох зЛкупюх Ю0 кт)олююх 0191 лк1^
5к1 5о1лз 0£ тох 591x3 Ю1бат)т)о1юхз 09 зт) т/oir злапзузх Ю0 5oix3 Ю1бат)т)о1юхз
06 зт) зоаол1хз5, юпдоЛзуюд к люд -50191 о 1злзт)юбю1г Spiioaokyit 59x1/0 о
119 59Л0Л3Л oi зт)аою1гот)юкбХ *х aoi оююукю'/уок 910010 01 31)0.069 юл Ю1д
•°°п коюююшх юдз0юю к толр aoir ‘lx aoi oiooyirnyyoir
юлз 5odir 13Л131 «п^у коау ц д aoi Ssdswdxn) 5от1оклЛ толр |?у| 5з1гтоу91га
то 3191 ‘юхпз0 5к1 юрХтою Ю1 юу9 1зХз у aoi кт)юла9 oioirpx люз (9
Т > |?у| лк1 лаою1£олюх1 531)110191 5з1поу91га то (Л
*х = ixy aodbo ‘коююююх юбз0юю
к толр тох- 9хпкл6ю кт) толр *х ютйзалю^о^т oXtoidiiao 01 (9
111+110191 толр у = 1у (»
д лотрХтою ю1+оюб0ю тзХз aoioxro aoi кукю
30юх ‘5юхюа11£ 59хпкл6ю кт) 5юлз толр лодгеэд aoi 5юхюл11г 5юлд, jg
:лодпд\ aoi лотз^рзлю лап ютботзо ki зт)ао^1ф,олах
•оюттоу/юлю °°п oi тзлксЬю ‘олзт)91гз ою
ют)к.9 9Х1лобХ юлз 01 9КЮ тзлтоЛкхс 5ют) аохг ‘у ло1 зт) 59т)ою1оюукюуу°п д = у
Utinoigi лкю 1зХююил.п лои у aoi otioaAiaigoigi 01 тюлтз lumionmx юдздпю и
” ‘Ш=[Щ?:о б:о]
:кт)олю1юх 0191 лк1 туюк зт)аоХз аол9бХ aoi 5оуз1 ою
‘591ЛЗ | тюх 591x3 | зт) зт)аоокл1хз§ аол9бХ 59ЛЗ кХбю лкю люд £Г£д кокхоу
лкю зт)юоао1к5 aoir кт)олю1юх к 501916x0 толр коюютпюх юбз0юю к 1паю 119
0193 5aioi з1з^1ботлЛюлу |кт)олю1юх kxiX6o лк1 9100 ю1к16ю^злю isaXoi oiaoi тох
5ю1лб9<Ьт/юд 5ki 591ЛЗ | 01 тох 591x3 толр aoiioaokyir aoi аоюю | 01 юххпбо
‘00910^5 -9x1X60 ло1 зт) 501916x0 50191 о ‘«г + ofi iyoir толр 59i)oa0kyir 59x1/0 о
[!]<-«>= р]
lioDioomx Utmido
»iii зо 13Л131 hoax U тох 596x11) ayoir toisaiA 7(/_ ‘0) лотЛюбюш 5оуую q :ют)кюю19
TIE
^y ZIHWVNAV IO IVN NOdO<I>VIV SinSOSIEa IO £ S

312
IAIOTIMES KAI lAIOAIANYSMATA
xiveirai про? та evrog це ni0avoTqTa Eav eivai evrog, xiveItol npog та
ехтод це ni0avoTqTa H xlvqoq tov yiveTai цю rv/aia diadixaaia xai о
nivaxag A nov rqv xa0opl^ei Хёуета1 nivaxag ДЕта^аасюд. Aev ^ёропце nkeov
nov axpi6cbg eivai, aXXa yia хабе ётод oi ovviOTiboeg tov uk = Akuo xa0opl^ovv
rqv ni0avdvr|Ta va eivai ехтод xqg noXiTelag xai Tqv ntOavoTqTa va eivai evrog.
Oi ni0avoTT]Teg avTeg ё/ovv аброюца 1 -acpov npenei xanov va 6pioxeTai-
xai dev ylvovrat поте apvrjTixeg. Avto цад odqyel nioo) OTig dvo 0ецеХю')бе1д
tdiOTqTeg tov nivaxa цетабаоеоод: Кабе orqXq ё/ei аброюца OTOixelcvv 1 xai
xaveva otoixeio dev eivai apvqrixo.
To 6aoixd £г|ттща orq Oecvpla eivai va хатауогрооце уют1 q A = 1 eivai
navTOTe idior^q xai уют1 то tdiodiavvc^d Tqg eivai q отабера xaraoTaaq.
To прсото отщею e^qyelrai evxoXa: Кабе orqXq tov A - I exei аброюца
OTOixelwv 1-1 =0, apa oi ураццёд tov A - I exovv аброюца Tq ^devixq
ураццгр eivai урацщха е^арт^цёуед, о A - I eivai 1бюцорфод xai q Ai = 1
eivai idioxqrq. Ехтод eidixcbv nepinTcboecov,* to uk 0a npenei va Teivei ото
avTloToixo сбсобагусоца. Avro cpaiveTai otov rvno uk = C\ Afaq + • • • + спА^жп,
otov onolo хацц1а idiOTqrq dev цпоре1 va eivai ^yaXvrepq tov 1. (AiacpopeTixa
oi ni0avoTqTeg uk 0a av^avovTav expqxTixa oav Tovg ар10цоод tov Fibonacci.)
Eav Xoinov oi aXXeg tdtoTqieg eivai yvqoiwg цисротеред Tqg Ai = 1, тоте о прсЬтод
брод tov Tvnov xvpiapxei апбХота, хабсЬд oi aXXeg Ak Telvovv ото ^dev xai q
Uk -> С1Ж1 =иж.
To TeXevraio eivai парабесуца evog and та xevTpixa ^тгщата avTov tov
xecpaXalov: Av do0ovv nXqpocpopleg yia tov A, va 6pe0ovv nXqpocpopleg yia Tig
idiOT^eg tov. Edcb брт|хаце oti Amax = 1.
Ynapxei цю cpavepq diacpopa цета^б tiov api0mbv tov Fibonacci xai twv
aveXl^ecov tov Markov. Oi ар10цо1 Fk yivovrai oXoeva цеуаХптероц even, e^
орюцоб, хабе “ni0avoTqTa” nepiexerai цетане tov 0 xai tov 1. H e^lowoq
Fibonacci eivai aoraOrji; xai to idio опцба^Е1 це Tqv e^lowoq тохюцос P^+i =
l,06Pfc, dtoTi то хесраЛаю ^yaXcbvei oXoeva перюобтеро. Eav oi ni0avoTqTeg
Markov ereivav ото цqdёv, тоте q e^iocooq 0a qrav evoTa0qg. 'Оцсод dev Telvovv,
dioTi oe хабе бтща то аброюца Tovg npenei va eivai 1. Ката ovveneia, цю
aveXi^q Markov eivai ovderepa evuradiji;.
Упобёоте Tibpa oti dlderai цю e^iocooq diaepopwv ufc+1 = Auk xai бёХооце
va цеХетгрооце Tq ооцперарора Tqg xaOcbg то к oo. Упобётоутад oti о A
dtaycovionoielTai, yvojpi^ovp: oti q Xvoq Uk 0a eivai ovvdvaoцдg anXcbv Xvoecov,
uk=SAkS 40 =c1A^1 +    + cnXkxn.
* Edv o/.oi oi ехтод neTaxivorvrai eviog xai o/.oi oi evxog neTaxivowxai ехтод, тоте oi
x/.T|()i'O|ioi avTiorpecpovTai ava exog xai 6ev mcio/ei атаОеот] хатаотаси]. О nivaxag цетабаоешд
eivai A = К 11 xai exEl i6iOTi|ieg —1 xai +1, лдауца лои dev |xxoQei va ou|i6aivei oxav oka xa

•nirioAOXiQ л1ио лтхюлиг лап лотЛот<дю(Ьз (охпздтодк Ьтуззлз) opXad
-moadX odziri юлз diiaodg юл sriaodoini лоцдврц aoi 53391 5n 5ю1лоооаигюлу
ЗзЛоНОюгЬз тох 5зх»лщ ioxii30
•S = у oi зт! юг11лд здюх зо тохз^юююукюу^ок юг1оалю19О191 oimdir
°1 ’(О = X лкю рХююплю aoir) orioaAioi^oi^i одз1аз§ oi 1зо]лз§1Ы юл тох
‘у aoi Ю1юг1оалю1§о1§1 oaq юю On oi 13001:0019
юл толр Soiorilig aoirodir aoi Ю131гзлао LixiwriAiodir н 'ао1 aoA3iiaoXliodir aoi
9011) 01 толр 'in ют!оалю1§ здюх ‘orilig oimdir 01 Ю1зрм •UoAadxirio lii is^idogox
f = Y Uriiioigi lidsiayoAsri U oioiro ло1 3ii oirodi Л01 31139 юл 3ii3doirj^
lAsgltri oio
13Л131 юд koav li 5mir sriaoAsriidsir ^ny = юлолюх ло1 5ю1лтдао'/охю тох п
ютйэалю19 oxiXdo sioirlujoioiro oiro 5ю1лтл1хз5 • j тох о толр тох о1лтЛю19 oidax
л1ио TOiAoXsidsir aoi 5-31)110191 ю ‘5oxumAidi толр 11019 SUgoioas odaoAio толр
5юхюл11г о vwjiavvdvn
'°ni/V = 2/71L10^ Iх1 3T* 1злто911ао
0191 oi тох ‘лз9Ы oi 5odir лаол131 ^y 51зг)юла9 10 Iwmiiridsir (лдююаз ли.13;
I < l?Yl 13^? liTiiioi9i AOioiXpyaoi oiii ЛЮ10 SUffoio»
5з1гюу91га io тох x = | | 5зю1гюх ЛЮ19 SUgmona »дз1здло
X > | ?yI ЛЛОЮ1ГОЛЮХ1 53111110 5379 ЛЮ19 5hQ»ioa3
толр Чпу = l+3<n Amdodroi9 liomoi^p ц fg
isiiiioigi 5ii 01m
тздпюлз li tox 53iAoXpdoir 5aoi 91ГЮ TOis^idogox лт1 1гуо9Ю1зт1 ц
ЧУ SI3INVNAV IO JVM N?5dO4>VIV SIHZHSIEa IO £ S

•(iy — l)/l lirhicngi зт! nrioawi§oi§i oigi oi ззХз
j_(y —/) о зтоу -lx mioaAio'iQO'iQi oi зт1 тох iSAingiiao 0191 oi nyyn ‘Uxusg толзз
aoi Urinoipi UdsiaynAsri U олрт! iXq. :y о 5miro ‘Ьзхплзк 5аохп1слдп Uri mA 9x110
-idUixndnX oidax 01 зтко^здотлЛ. лшо ‘пуохаз То1лоалхзз9окп pian nyo,
•ззо11дтХодк пл зздокт! иЛстЛпдок ц '»лзт1
-оХдзозз ni лаолдзкз^ плзг!оХбз^з ni тох 6 ‘о = 1у ззХз nriAis^ndnir £ ш £ оу
(s)	 + <у+ гу+ у+ / =
:лтхплзк лотхиклдп Uri niioiodgn толзз t_(y - у) о 3191 ‘у > iy лпд
ззХдрка лз§ т_(у - у) о 3191 ‘I = iy лпд
59хпилдп Uri толзз лз§ t_(y - у) о 3191 ‘у < iy лпд
a aoi идзтодхзт!
зплзз пл ззкздк аок у aoi iy 111+110191 UdsiaynAsii U 13919 1913YX оу -иЛотЛодпк
aUi пзЛ ЗЮ1Л1 ззлзз+окп 40 ЛЗ9 ‘nyyoir одпк ззхозуплп 511Л(оЛпдпк 0100x19019
U лрд -5оупЛзт1 ауок зплзз пл зздокт) ЛЗ9 у о ‘UoUriiixs идззХ9дк nni 5о1лолр>[
.‘5»х»л1К SoxiiliAd» Uri пэмз (у - у) о заоц
:зплзз ft 01 зз^ртооукоууок аок охолзк ло1 01Л UoUirods
UxiiotIAoSk U ‘^[_(у—/) зплзз d01119131га Ззхиилдп Uri зплзз dтох ft UAmAndnir
U inx U0U1U5 Н OTiU'Y99dK ою SniUwxusg UoUiinirn nni тох bmrto ззХдпку
•5ог11(Нзд1оз1лп зплзз у—/ о лп зплзз siiaodg пл sriniU^ аок 0Л91101 ‘пхпззлпсЬзка
•^t_(y — /) = d U ‘fi= dy — d нот Ю1з d nrioadvi^ зздздд хщ nriUyflpdjj
dy - d 5иЛгоЛпдпк SUdngnx окзоу9ка плз ззлзт!окп inx dy зплзз
зтзхозуплпшх аок mUwooK н ЫлЛотЛпОпк 0100x19019 Ui П191 aUio зтзхозу
-олптх 5aoi 5одзг1 озокпх 11919 ‘id^dlid 531U1900K 5здз1аупЛзг1 зг1 siiaooiXdn
‘Л ззкздк 010131 11пх ззлзЛ пл nij ЬпзооЛдз 5з9рлот1 £/i inx Slubodi 5з9рлог1
г/i ‘аозупот 5з9рлог1 ifi зт!аоЛрдпк ол 3riaoSoKj\ :зплзз nriUimds oiotQk оу
(пзопЛдз)	Г у‘о £‘0 S‘0"|
(lubodi) g ‘О I ‘О 0	= У
(lynoin)	|д‘О о	^‘oj
:г SokwioQk aoi
П9рлог1 mri зздХпдок пл пзЛ зтз^рзздХ аок С 5о1Л9зрдк aoi niUwooK aUi 1ЗЛ19
01 озоко лою ‘Зйот^рлтпх охолзк лплз Зтло^пазхотпх sriaoAU^s лку
•л(пх1г1олохзо AcnxiiniiUgnTi лст1 5ззХаикз 5зурЛзт1 5зкодк 5и 9КП oiri зплзз Uiay
}эциоэг] aoi AmA3rioXd3^3-A(0A3rioXd3Di3 5»x»aik о х VKJISVVdVII
V1VW3ANVIVOIVI IVN Z3WLLOIVI
tl£

minidn^s »]г1олохто н ‘«с? Uomonmx kxiXdn sioirkgmoiro oirn inis^iAAsoodir
тох °°d komoninx кдздпю к толу limy у = у лкю уХтоюилп aoir ‘у
nxnaiir аох nrioaAnigoigi (охпклдп liri) 01 толр d 01 110 эхз^тосолАплу
!5зхап .о SkAcnAndnir nionxigmg
к Uia» yAkgo Smi tox dy = d Ssioiro Six mA Ззгйх лаоХдпкд ‘Sniiroddom
komoninx mri зо лаолух Ззхап Ssriu то ли толу тИиотдз оу ’°^гу лотткх
лотзл лета orioidognx лох mA mikxoao 01 yioirorhokOX oioiro 01 ‘acttIii оуолао
озл плз толу piay Зохлотодк здпх Ssriu 5п isocog пл mA Ззхкхооохс зт! 5зг1п
is^monvirnyyoir ody 01 зхду 'лоттИа пг1оалптд плз толу <>d 01110 зюздокх
•ЗкАеоАпдтг
ngairiirs mA плп 5зт1п 1злпхтдп1г d пг!оалтд 01 тох ‘леодплог! лета Зодк'/ir 01
mA талп ‘ЗптопАдз 5кх тох Skebodx 5кх ‘aoiynoxn aoi Lirin лкх mA srlnyiri пл зхдх
sriaodoirj/^ д лтззХюю mioiodgn ллоХз S3vliio 10 тох лоуар\ Зпхплш Зплз толу
у 5пхпл11г о koenxiridair лкх кхап nrlkioao 01 .ют ео^з 1злтоАд пл зюта 5ideoX
‘тохзАпдтг ЗеодкЗхп п‘о тохзхоуплпхпх лпхо ..дхтзух,, тохзАзу оузхлог! оу
люлзиоХдзЪэ -лтлзНоХдзтз ovsiaoiI piois-fx юлз (о 53iiii iq z vwiravvjvil
•UxirlrindA зхохлпк
толу лзд П1г1олохто li nxioacb inx ‘iniyioiroxoiXnys пл isirsdir тох олзг!тдо1дз1г
толу дх1г!плад охппАдз oi Зеодкла^ Зкоктоютюпузд nxnrlsg зо тох лотг!и
лгохпАоуоюасЬ orioidognx лою 13лп1(Ь тох г_(у - /) лох oirn ndsir ndcoXodir aoi
тдотзд ц -SkAeoAndnir тох Зкотуплтпх ..лстаопАдз пхплш,, Udliyir лплз злузюз
5з1О1го 5п (ют niri здпх ‘ЗзупХкгкпд gg sXyidsir g£6T Л01 ’V’LI'H лт1 mirindAodir
9Х1т1олохю oj. -nirioAOXio UxnnriAndir л1и <эют пуХюю токлА yioiroriiokdX
aoir оуз1лог1 плз socogs пд 010 misxoidg jaijuoaq aoi 5коазл1гг1з Ski прп jj
•	0 тох Р- I Si3Dorairid3ir oag 5п Ssian .о толу t_(y - /) Ззхплш iq
•sioirkguo 3riaoAnSnir пл sriaodoirri inx - = iy 13X3	®
«1
s‘oj
= V
kcbodioninx лкю isnir П1г1олохю к тох z = lY 13^3
TOinriAygndnir oag sriaoaiy 'лсохплпг лотхпклбп kri mioiodgn
толу [_(y-/) о 1013 inx -тохлаодтолпоукууп Sisrl^ag Ззууп io Ззуд- 5пхпл11г
Soxnoiam о олдт! 1злзг1оют у - / лох зг1 ndiso ki kian Зтло^птопуютууоц
чзлухАао •  • + гу + у + j ndiso kdisirn к тох (тздпхоаз) лздкг! ою лаолух у
аох 51зг1плад то aoirg ‘у > iy толу 5тг1олохто SaoisAa kocrairidsir kxiAcoAndnir
Н -SotbSorigigi талу пд у - / о 3igi ‘у = iy лпд -5дхпклдп kri толу пд
лзд ndaoAio t_(y — /) о kocrairidsir лк1 лкхап .о inx (iy — \)/1х пг1оалп1д
охпклбп плз .о 1х т1оалтд дхпзд 01 1злузю пд t_(y — /) Зпхплш Q
•Зохпклдп толу Sorlgidn 5oian Зотохазузх о 3101 ‘у 01 плдзкз^ [у к лпд
чу SIHWVNAV IO 1VS NOdO<I>VIV 3132031-3 IO E S

кЛотЛпдпк li 3191 (толтз тох Зошд) 5ддхтт) толтз у о лпхо, 'lnV = °п згктоХз
Опу- = in mA илу ;отош пх Зодк тзпк лотдоЛготд коотот^з к тт)олохто лкх^
Г1?1 ГГО /,‘0 s‘ol
’ XnV = 1/	8 ‘0 I ‘0 0	= °п
LIffJ Ll‘0 0 t‘oj
тплтз плзт)дХдзтз
плзт)аохттго пх 3191 ‘ I/ ‘ I/ ‘ is тплтз плзт)дХдз§з пх лпд тотопАдз тох kcbodx
‘тупохп зо котуплтпх лкх здтдз аок у пхплш £ шз £ лохо отош зт)ао<Ьздхоша
иившпэу иод aoi SvitioAOXiQ ihxsiioooaiuiOAn о^зхлощ £ VKJIMVVdVII
•птт1олохто кхтхпт1к0пт1 кхо кЛот)дп(Ьз krigxn mri тзХз отоко
ох ‘Эзхплш 5аохтхз0 mA smusqo.tj-uo.udj ami nriUdm^Q ох тплтз дхау
кт)иотдт кхотЛзт) к тплтз пл тзкздк птотго к ‘ХЕи7 лкх плдзкз^
пл тздокт) лзд |у| к пду 7 ЗаотгЬкткока Здохплад Заох giro 5плз тплтз |у| ох
пдп ‘пткталтд дхиклдп кт) тплтз дхап |г| од „пхкхдотлп кхтлотЛтдх,, лкх зт)
плот±т)ао ‘|г|у > |zy| = |z| |у| :5зт)и Ззхаудкп зткголдтшг ‘5аот)0тдп ЗаохтдпАтт)
к Эаохиклдп лаоХзтдзк пл тздош) г тох у пх кдтзкд гу = zy ид зхоз0О1га
‘ХИ17 Зкх кдзхаупЛзт) тплтз пл тздокт) лзд LtTiixoigi пттМпх ид зхтзд пл mj
•дхиз0 пдаоЛто тплтз ху ох ‘Зпхкхдт
5кх пдзхотдп схо тхдтд дхиз0 тплтз х пт)оалптдотдт од кт)иотдт mri зт)аоХз тох
жХЕи7 = ху пхкхдот лкх тзуупдткз кхап коп<Ьилп н ’одзхдоотдзм тзоотупЛзт) пл
зоаодокг! п0 х™7 о тох < fly лкх тзтоколпхт ху = ft пткталтд ох пду
•гсуХЕШ7 < хгу пхкхдотлп токлЛ тт) тзхкаходк ‘5дхиз0 тплтз у о кдтзкд у
лох зт) зг1ао^птопукпууок ‘пхкхдот лпхк лзд жХЕШ? < ху лх> ‘пхиздосЬту
_ Ху nxhiooi Ь 1заХо1 ид зт)ао§тзд П0 (тпхзлпХЛахттгз
аок) хвш7 krlu кдзхдупЛзт) лкх mj 7 5аохиз0 5аотгЬк«кока 5доууок зт)аоХз пл
mA пхкхдотлп лкх зг)аохсздхткз х^ < ху лкх^ '(о = х аох дхиздосЬтд) х
пткталтд дхиклдп кт) отокпх mA хд. < ху Заотоко 5аох mA ? 5аот)0тдп 5аох
Заоуд зт)аоокдтз0 пл тплтз пздт кхтдхлзх н 0 < V и9 зхоз0окд Мрздозсу
 ix 5охпт)оалтдотдт аох 5зоотхотлао 5и зт) тох тзлтпдт)ао отдт ох тох кхиз©
тох кхипт)Лпд1£ тплтз пхплш аохиз© 5длз iy кт)иотдт кдзхаупЛзт) н MS
 f?n птзХтохо пх пуд тплтз
пхтхз0 ‘срдд 5зхиз0 аох 5зт)иотдт 5и 5зуд тзХз тох 5дхтдхзт)т)ао тплтз Зототго о
‘пхплш олзткпдо пхиз© лплз зт) тпхззХЛао пл тзхсздк лзд аок »х»лш лохизд
Здлз лотхкхотдт лотткотдх лотх кокЛк^з кдоЛкдЛ тт) зт)аодтд пхкхддкук mj
пшоддоот тт) зо
лаолтзх 5зт)тх то ‘плп§ тох плп^ птопхтдтд кх 5пхлолр9т)пуплпкз ‘ид ox giro
V.LVWZAWIVO1VI IVX Z4WLLOIVI
91£

Sniziyli ngnrio здпх зо mdngnxo 000£ зг! 5пхлсол1хз5;
niAodX 9 mA лопдпдпхо xmi Ыолпхпх лкх зхо110аоуохпдпк inx I = £V n9 зх^ру
i:!
L9 0 oJ
toais Зпхплр о зхох ‘13ЛТО03М тох nxaylxg 1^з тзЛпдпхс lnidi lx тох | пхкхдлпдхк зт<
ЛГОХЗ O(iq ll ‘2 П11х1ОЛП01К ЗТ1 13ЛГО1д11ГЗ 5(1013 5ОЛЗ OQnrlo ll Л»3 „ОЛОдХ Olldl лохо
тохзАпдпкплп тох тлодХ олог! nidi тз5> аок,, idngnxo плз зо1изузг1 щэрвшэд q yyg
•сю <— ц ох 5<р0пх ‘тдо 01 sxoiAovora тох пх mA оках лплз зхрдд ? = '£) тох
0 = Or} пх окп 5пхлгол1хзе 'лох з1о1хтоко1Л(пАтд тох у пхпл1к лох зхрдд
+ 1+^С>) = г+Ъ ‘аох лтлзНао/Сйоди: оад лгох 5одр ЗоозН о толр Sorigidn здпх лпд £’£’£
•Irriox lioad’X lix 5одк r/nxc лаолрх / i+%j юЛоу ю по зх5ру
poBuoqy 5aorigidn Заозл 5aox тох On^ff = э 5зхозузхлао 5аозл 5aox ‘On mioaAnig
oxiXdn озл 01 зхрдд	= г+3/д плолпх oigi лох lynxc SniAiogaoyoxn
= ij mx j = Ogr ail aox nigaoyoxn лкх зоаол1хз§ pocuoqig о по зхоздокд j’£’S
' [ гт T1 = ° ли19 I0l~3 XO1311363
00iy Alli (OASripX OX 5niA(plOKOlilOlldX)
лшохпх тох [О I j = у poBuoqy лох пхплто aox ty ‘£V‘ZV SisiinAag 5ix зхрдд (n yys
ziazHMTV
• iy/X i»aj3 5и$л1июлп Sgtigad SoioiAsil о тох лрхплад одзхаХпх
ох тохзооахкплп bitIoaoxio 1л ‘д-д-у тлЛотолп зо nionAds-litbodi-iypoin зэд
oi М	ГН	К0	s‘°l	ГН
•ж—= S t	=	S	8*0	Т О	о I	= жу тах	S	=ж
6 l_6‘oj	LlJ	Ll‘O	о	fr‘oj	LtJ
толр 51гуохою1§ 51лхозузхлао о ш!А1зд»дшг ох охап р_у аох nrioaApigoigi
ОХ1Х30 охо рХюхтхлп ююхго U txrhxoigi li толр аок хвш? тохзл]Л у ох лпхо isaXoi
nxlixooi lx ‘5отлзг1аоЛ1ход1£ тох 5otxcq nidsii куур лкх око у ох зтг1 ‘sniuaqoxg-uoiiaj
лсох DTilxypodir ох лпо толр тох lnyz < in рхтакп птИхудодк ох Ьоткзла^
’О < °п? < 1п п9 /злтатИхо аок ‘UxnUddv Uri
1злзг/юдю1£ va Зшлтдаоуохп^з ditIoaoxio li рдХахколп ,л рбокт< oioko лох зг1
7 Slioli^an piigad oxoiAsri лох зо1хх1х^плп иившпа^ иод q -5зх1ххооок 5зх1х1хлдп
лаол/Л пл pdoKri лзд птопЛдз 1х тох Lubodx lx ‘тупохп ox Srognx ‘Snxlxxoxixsg
LiolxxTOKn mri рпк Smrip хзХдпкд -(х^ахкплп л1хх л1лхап лао^рдодпх ng t_y
аох 53iiixoigi iq -тохзооахкплп тг1олохю 1х тох пхлпк пх пхорплпхпх лзд
L\£
4V 3I3WVNAV Ю 1УЯ №<1ОФУ1У 3133С531“Я Ю £'£

318
IAIOTIME2 KAI IAIOAIANYSMATA
5.3.5 YnoOeoxe oti vnapxei pia em&qpia, orqv onoia xa0e pqva oi piooi ало xovg vyieig
appcooxaivovv xai eva тётарто ano xovg appcboxovg neOaivovv. Bpeixe xq oxaOepa
xaxdaxaaq yia xqv avxioxoixq aveki^q Markov
dfc+l]	Г1	I	°]	rdfcl
sfc+l =	0	|	1
wfc+iJ	Lo	o	| J	LwfeJ
5.3.6 Kaxaypdqrre xov 3 eni 3 nivaxa ретабаоесод evog paOqpaxog xqpeiag nov yivexai
oe dvo xpqpaxa, oxav xaOe еббораба | xov xpqpaxog A xai | xov xpqpaxog В
eyxaxakeinovv to paOqpa xai | xaOe xpqpaxog nqyaivovv oxo akko xpqpa.
5.3.7 Bpeixe xig opiaxeg xipeg xov yk xai zk(k oo) oxav
Ук+1 = 0, 8yk + 0,3zk yo=O
^fc+i = 0,2yk + 0, 7zk z0 = 5.
Bpeixe enioqg xvnovg yia xa yk xai zk and xqv Ak = S'Afc5
5.3.8 a) Sexivcbvxag and to yeyovdg dxi lq oxqkq + 2q oxqkq = 2(3q oxqkq), apa oi oxqkeg
eivai ypappixa e^apxqpeveg, 6peixe pia and xig idioxipeg xov A xai to avxiaxoixo
idiodiavvopa.
Г0,2	0,4	0,3]
A =	0,4	0,2	0,3	.
L0,4	0,4	0,4 J
6)	Bpeixe xig akkeg idioxipeg xov A.
y) Eav ng = (0,10,0) 6peixe to dpio tcov Akuo yia k —> oo.
5.3.9 YnoOeoxe dxi vnapxovv xpia xvpia xevxpa evoixia^opevcov cpopxqycbv. KaOe pqva
xa pioa an’ avxa nov 6pioxovxai oxq Booxcbvq xai to Aog Avx^ekeg nave oxo
Sixayo, xa akka pioa pevovv oxq 0eoq xovg xai avxa xov Sixayov poipct^ovxai e§
ioov pexaijv Boaxcbvqg xai Aog Avx^ekeg. Фпа^те xov 3 eni 3 nivaxa ретабаоесод
A xai 6peixe xq oxaOepd xaxdoxaoq иж nov avxioxoixei oxqv idioxipq A = 1.
5.3.10 a) Tia noieg xipeg tcov a xai b eivai q endpevq eijiocooq pia avekdgq Markov;
Mfc+1=AMfc = [1“a	«0=[J]-
6) Ynokoyioxe то uk = SAkS-1mo yia xaOe a xai b.
y) Ynd noieg ovvOqxeg yia xa a xai b, to uk npooeyyi^ei eva nenepaopevo dpio,
хаОсод то к —> oo xai noio eivai avxd to dpio; Mqncog о A npenei va eivai
nivaxag Markov;
5.3.11 IlokveOvixeg exaipeieg oxig Н.П.А., lancovia xai Evpcbnq e/ovv eianpageig 4 xpioe-
xaxoppvpicov $. Sxqv apxq 2 xpioexaxoppvpia $ eivai oxig Н.П.А. xai 2 xpioexa-
xoppvpia $ oxqv Evpcbnq. KaOe XP()VO | tcov xpqpaxcov oxig Н.П.А. pevei otov idio

5.3 OI EHI2Q2EI2 AIA<I>OPQN KAI OI AYNAMEIS AZ
319
tojto, | naei orqv lanwvia xai ttjv Evpwnq. Ano rqv lanwvia xai rqv Evpwnq |
l^evei otov idio tojto xai | naei arig Н.П.А.
a)	Bpeire tov nivaxa nov SiSet
H Ч-]
L E J fe+l etog L E J k eT05
6)	Bpeire Tig iSiorqxeg xai та ibiodiaviiqiaTa tov A.
y)	Bpeire rqv opiaxq xaravo^) twv 4 TQioexaTOniivQiwv $ хата rq awrekeia tov
xoonov.
6)	Bpeire ttjv xaravo^] то erog k.
5.3.12 Eav A eivai nivaxag Markov, Sei^re oti to аОроюца twv ovviotwowv tov Ax
loovrai це то аОроюца twv ovviotwowv tov x. Еоцперогуате oti eav Ax = Xx це
A 41, 01 ovvioTwoeg tov ibiodiavvo^xTog exovv аОроюца цт]6ёу.
5.3.13 H Aval] тог) du/dt = Au =	()’lu (iSiOT^eg i xai —i) Siaypacpei evav xvxz.o:
и = (cost, sin t). YnoOeore oti прооеуу^ооце це e^iowaeig 6ia<popwv ano ецлрбд,
ano niow xai ano Tq цёат]:
a)	«n+1 - «n = Aun q un+i = (I + A)un
6)	un+i -un= Aun+1 q un+1 =(I - A) 'u„
y) un+} -un = A(un+1 + un)/2 q un+i = (/ - A/2)-1(/ + A/2)un.
Bpeire Tig ifiioTqieg twv I + A, (I — A)-1 xai (1 — А/2)-1(/ + A/2). Па noia
e^iowoq Siaipopwv napapevet q Avoq navw oe xvxko;
5.3.14 Tia noieg r^eg tov a npoxvnrei aoraOeia ото агкгпща vn+i = a(vn + wn), wn+i =
a(vn + wn);
5.3.15 Bgeire Tig ^yioreg T^eg twv a, b, c yia Tig onoieg 01 eno^voi nivaxeg eivai evoTaOeig
q ovSerepa evoraSeig:
Г a	—0,81 Г&	0,81 Г c	0,81
[0,8	0,2 J	’	[0	0,2 J	’	[o,2 c J	'
5.3.16 nok/.anAaoiagovTag oqo ngog oqo, enakqOevoTe Tqv (I — A)(I + A + A2 + •  ) = I.
H aneioq avrq oeipa napiOTavei tov (I — A)-1 xai eivai apvqrixog, orav о A
eivai цq apvqrixdg, xai e<p’ oaov e%ei nenepao^vo аОроюца. Mia ixavq avvOqxq
yi’ avTO eivai q A] < 1. Kavre Tqv npooOeaq Tqg aeipag xai enakqOevoTe oti to
аОроюца loovrai це (I — A)-1, yia tov nivaxa xaTavaXwoewg
i !1.
Lo 0 oj
5.3.17 Bpeire Tig dvvc^eig Ak (tov A0 ovцneplXaцбavoцёvov) xai dei^re avakvTixa oti to
аОроюца rovg loovrai це (I — A)-1, orav A = L® .

320
IAIOTIME2 KAI IAIOAIANYSMATA
5.3.18 Е^т]ут|оте це цабгщанха т| oixovojiia, yiaTi iieyaXoivovrag халою ото1%е1о тог
“nivaxa xaTavakwoewg” A, ar^avei хат’ avayzT]v xai то tmax = A] (xai fieiwveTai r|
ауалтг^т] ti% oixovojilag).
5.3.19 Пою eivai та OQia, yia k —> oo (oi атаберёд xaTacraaeig), twv
5.3.20 Aei^Te oti xa0e тостод ао10цбд Fibonacci eivai agTiog.

5.4 А1АФОР1КЕ2 EHISQ2EIS KAI TO EK0ETIKO eAt
5.4  Д1АФОР1КЕЕ ESIESIEEIE KAI TO EKOETIKO eAt
Олоте (жтотатЕ eva оиотгща e^iocboecov, avri yia ц1а e^iocoor], r] 0eiopia
nivaxcov exei va nai^ei халою рбко. Auto ioxue yia e^tocboeig Siaipopcbv, блои
т] kuor] = Аки^ е^артато ало Tig 6шаце1д tou A. To idio loxuei xai yia
SiatpoQixeg e^ioiboetg, олои т] kuor] u(t) = eAtUo e^aprarai ало tt]v Е-лветглц
owaguicHi tou A. Tia va орюоице auudv tov exQeTixo л^аха xai va tov
xaTavoT]ooup.8, е^ета^оице ацёосод eva ларабе1уца:
^=л“ = ["12 -У”-	(1)
То лрсото бг]ца eivai va броице Tig t6ioTi(ieg xai та i6io6iavuonaTa:
Катблгу, unapyouv локкёд биуатбтцтед лои oSrjyouv, okeg, ott)v L6ia киот]. Toiog
о хакитерод трблод eivai va урафоице тт) yevixr] kuor] xai va tt]v лрооарцбооице
ото apxixo biavuapia u0 yia t = 0. H yevixr) kuor] eivai ouvbuao|iog xa0apa
ex0eTixd)v kuoecov, oi оло1ед eivai тг)д цорфг]д ceXtx, олои A eivai i&ioTip] tou
A xai x avrioToixo i6io5iavuop.d тг)д. Oi kuoeig аитёд ixavonoiouv tt) 5iaq)opixr|
e^iocoor], atpou d/dt(ceXtx) = A(ceXtx). (Hrav rj еюаусоуг] цад OTig 1бют1цёд,
ott]v архл tou xeipakaiou.) 2’ аитб то 2 ел£ 2 ларабе1уца unapxouv био xa0apa
ех0ет1хёд ouvaprqoeig лои лрёл81 va ouvduao0ouv:
u(t) = с}ех'1х{ +сгех^х2 r) u = [J -1]	e"3t] [cj] ’
Tr] xqovixt) oTtyp] pjitev, та ex08Tixa eivai e° = 1 xai T] u0 xa0opi£ei та c\ xai
c2:
u0 = С|Ж1 + c2x2 r| “o = [i -1] [c2] =Sc'
ESco avayvcopi^eTe tov л^аха i&io6iavuo|TdTiov S. Oi ота08рёд c = S-1«o
eivai oi iSteg ц’ аитёд лои хел°1Но:л:о111оаНе OTlS e^iocooeig Siaipopcbv. Avrixa-
0ioTcovTag Tig ottjv (2) ё/оице тг) kuor) тои лробкгщатод, т] оло1а, це лЬахед,
ypdipeTai
“(/)=[; Д][е" НйНГ
Idov о ОецеЬнЫпк тилод aurrjg rqg лараурафои: и = SeAtS-1u0, о олоюд kuvei
тг) Siaipopixi] e^iowoT], блюд axpi6ibg о SAkS~ruo ёкиуе ttjv e^iocoor) Siacpopcov.
Oi л1уахед-хк81&1а eivai oi
xai

О ТОЛр
= у aoi SnxnAiir 5ОХП30ХЗ о VBIJiaVVdVII
+^ + ^) + ’v + /)s =
eb-SjVS + ;lt S'-V.S' "	,‘’ VS'+ ' = ,v‘
:плодХо1а»1 inipioiroiAmXni^ SnxnAiir 5охиздхз о SodLtyxoyo
ndn ‘(g aoi i3Arod3i3§ao^3 x_g о 11919) ^g^yg = чу лкю inisooaiiriiao
yti-SVS) Мюлл^ здпх no sipgliriag ‘Aaoiiriiriiao Sisoay 5зшп oag io 119
siiao^pg пл mj '°ni_gtv9g = n li Anili aoir inx OTioiAoyoira OASiiaoAliodic лою
siinoLrroiroTiiolidX aoir licbdoii lii крзхз 3ii nigi li толр пл isirsdir liian lioay
H ko(ooi§3 lixidocbmg lii тзлау °тг?уЭ = n li no sriaoirr/g niniasysi aIii oiry
(9)
(9)
0)
?уэк - Gy9) p
/= (?y-9)(jy9)
(»+s)y9 = (?y3)Gy9)
:53iLii9i9i 5n 13X3 5lii niioiodgn
01 inx ЗЮ1ЛП1Г 13лрхЛао ndi3o н 'W ao1 SnxnAiir 59хиздхз о толр 59iay
*£	+	. if/ + r = Э
£(7y) г(?у)	1 w
(£)
:u iirs и
5»х»л11г 5плз толр niioiodgn 01 ‘j зг) у 01 inx ^y зт! x 01 sriaooLiioninxiiAn лпд
..... .
ndisoorinAag зт1
oiioido Л01 sTiaogliTiiTi пл толр »3§i UxiAoyoioadb li ‘у пхплш ох1лзЛ лплз mj
•(tioooiiridsir LiAsriaoAliooir aIiid Scoiro) oiApAmg кю ?^э Saorigidn и 5aoi 13X3 ?v9
о± ’оуохаз толр oian ‘у »x»Aiir озлсоЛхпд mj 'охпздхз oi зт1 sriao^iXdy
•5lii Linay liio inx ООО ‘5зЛот1дю(Ьз SsiiioltdX 1зХз aoir ‘liDOioi^a
лкю 0001 прлктЮз Uxioatb 3iiaoo<n§ пл толр o'f{» oj^ »x»mic локиздхз aoi
orioido 5п1здаз tirn лплз 5п1лол1§ ‘nximiilignTi ni зт1аоосод1г/1гт1ао пл толр
oirodir ox TOTiAis^ndnir oi 91а» (rl зг!аолпх пл isirsdir lotoxn ninriAnoir oayz
V.I.VWXANVIVOIVl IVN SHWUOIVI

лох xriaoog пл тох а 5о1»т11иб»б»ц <101 urpjof Uthdori
Ui sriaoolnororiioliOX пл 3iiao3oini косоппбзц Iminricoxinp л1и Uian irt'ioniAovoisi пл »ц *
•(g) 5kx тЛоу otbodiDjidT) лпо tv_a aoi згкюотдсолАплп
,4 толтз 5oirodx 5одзхаупх о ‘5оуз£ ’тохз^тлзркт! пл rsdoirri лзр охоп hynir тпд
"(?у)5олХ1Э = ?“уэ ’ ‘ ’ ?гуЭ1<уЭ = туЭ 1ЭР
:лап1тхотрт л(01 олзколтЛ
ох толтз aoir ‘поао^тдо лкх зг1аоотЛоуо1га пл тплтз котЛЛзоодк кууп тру ’лзркт1
31О1Г тплтз лзр ;уэ Sktbdori 5кх Soripidn 5плз тох- ?уэ аох кгЬхотрт кХтохотхлп
к тплтз ?уэ зхох ‘у аох ктйхотрт тплтз у лпд -аох 5зт1тхотрт 5тх 5пхла>хтох
зг)аолдттг Щрзроют Sotii<h3dioiiA» зюзлпи тплтз )уэ 5пхпл-11г о
у5охоа>о пузхоуо тзлзг1пдтг Оп?уэ = (?)п Soirax о
‘пхап (ур tdn]j -?уэ? о 5омго 5зхлоЛпдтг тох 1йпхпт1оалптротрт плзт1азхтлзЛ„ зт!
тохло^тхзХо тох 5зхтхз0хз пЗпдпх 5тх pirn 5зхз0лао опт тплтз пууп ‘лаоХдпка
лаотгтзу aoir 5тзоау то ‘nxkxoxixnriXndir лкх^ ’5тзоау Ззхтртз 5зхзхдп зт1пхотдс)
П0 лзр тох пхпт!оалтротрт и pirn пдзхрЛту зХтз П0 пхтхздосЬптр тхртр ‘тз0кто1г
-отлотЛптр пл Tsdoirri у о тхо 3rino30oira 5тзофХ1гтдз1г оар 5тхо то^[ -латдосЬптр
Ьтзоотот^з 5тх зт1 птЛоуплп kdkyir mri тзлтр -gg ох зг! зхзлтдхЛао ох лп- рхау
= а толтз Оп кхк0лао кхтХдп лкхо тохло^ртйпоодк aoir Ъ 5здз0пхо
то тох лсозокхдплао лгохтхз0хз пдп0пх 5ог1опарлао тплтз коау кхтлзЛ н
(8)
•ихг„уэиэ + • • • + 1гс?1уэ1э =
ЫЖ   • Т® = (?)п
тохз тох у аох пхптЬалптротрт пх толтз g аох 5зукхо tq
(L)
'°nxs^s =	= (г)п
коау кх тзХз пу = д.р/пр коотот^з
kxrdodbmp к зхрх \-gyg = у 1»х тохтзтотготлтЛптр у о лпхо,
:5коау 5з<Ьдог1 5тх 5зур (irn
кдзхаупх к локтоу толтз- аг?х,э латзокхдплао лотхтхз0хз пдп0пх и рт1опарлао зо
тзЛкро тох кдзхоаоуют ayoir тплтз 5отг1о кхап ktbSori ц -g лохо пхпг!оалтротрт
пхкхдп^злп и лаоХдпка зхрют ‘5ог1токто1готлтЛтр тплтз у о лпхр ‘коау птрт
лкх тзртр Y-g^ySg kcbSori ц тоуохоар тохз^тЛоуоша пууп 30пх тЛ коау кх
тзртр ?уэ пдтзо кдтз1гп н р = оэ :пхплт1г охтхохапх лох зт1аолдто1г о = ? mj
£Z£
?уэ омпяомч oi iv>i ziazysiEa зам1<ЮФУ1У ks

(ES8l-8Z.il) ‘(woaoj
iniadacbodir) i^suoj^ Ilf riozn»Tili0»rloxiDacb .icwir/OKOvvnj aoi пт1оло oi or у /g-rj *
mx ‘nrikygodir ox зг1 толзг1здздлао nxxkddn толп лизолу лап Зкуодпхзг! lorigad
iO ’Saxongigrho Злододзг! oag Six плрх aoir ‘Зплолпх 5ох1лзЛ 5плз толп
5охлу 7 = у тох x = Y ‘0 = Y :5зхздхз Sndx ioigi io тохло^лпсЬ^з r/pir mg
Fy-e 1- ol
(6)	’0= YZ-zYE + £Y-= I Y~ 0 =(ZY~r)W
L 0 I Y-J
V
aox Spriixoigi 5ix 5пхлохо1дд ‘Зотз^пх Skxaidir nxnrikxoao mA тохз^о^лао Злого
‘srindmXodir ‘ЗпддзЛуу Skxiririndj nrikQnri плз ’nxnrioaAnigoigi тохлоХдзопка
пл 51диХ 1кэ = /г тох ?э = fi ‘?оэ = fi толп Зполу Ззхпздхз пдпдпх 5пдх iq
•о = ?vXz - y)(t - y)y Ц о = ?y9(yz + zye - £y)
:?уЭ = fi ox Зиз^рх Skxidx kocooi^s
лкхо зхподохо10пх1хлп ‘лсозоио^з лих1досЬтд nrikgnri плз t j ’Saoirodx оад
зг! пдлу пл ndoirri лохстоу nrikygodir од 'Зиз^рх Зкхидхс nrikxoao mit. sriaoXg,
Г^1 Ге z- oi
•пу = Л X 0	0 = !п Ц	m= ta
L^JLoToJ	а=д
ох лаолчд тох lixiXdn лкх зт! зхох тохло^падлао
5130<ро15з 5зхап оад iq ' ,fi = п inx fi = а 5зхк^дпхзт( Ззхпкдкод 5ix тох fi
5кх 5оххз зг1аоЛпоп ‘nrikxoao £ шз £ плз 4о пюхзх mri зг1ао<кздхпхзг1 пл nij
’О = fiZ + М ~ „fi
к 5ашр ‘Зсоз^рх Зпдзхсолп коото^з клзт1тло11зт1 nni
oirn зг1аоокл1хз5 пл ndoirri ‘ixnriAndxj 'пу = /пр 5k<bdori Зкх Зап^пх Skxiodir
nxnrlkxoao зг!пхлплао aoir Snogioi^s Ssxidocbnig io Ззуо толп лзу? lionistili^
•тот1141здхо1хлп толп ni^sg 5зхпл11г оад
то то>[ лаюао^бо лд)Х1лздкг1 kri оад олзт!ол1Л ох толп uoig ‘sxoir тохз^лздкг!
лзд inx ^noao^ido 1(клтхоло<х„ тохзЛзу рдазук кдзхтдп лкхо noao^ido н
•ра--- 1а];уэ= [unfV9--- 1а?уэ]
:пхпл11г
лплз зо а}уэ Snogy 5ix sriaookxsgoirox пл srigodoirri ua ‘ >а толп пхпг1оалтд
nxiXSn пх лпд тохашг п?Х 5з1й1др^злю ЬтютЫтодА л.аолзг1тодтоз£ зхох ‘о = ?
тЛ Ззхкхдп^злп SqixnirlndA. толп 5поау и лпд :пп1гзлао Зк^з лкх пХз noig
Эпоотог^з Ssxidochnig 5ix mA Skgcoiysrisg толп кхап пхкхртк^здхоплп н
VJ.VW3ANVIVOIVI IVU ZHWI.LOIVI
П£

ЬкояХютд оузхлору -yg ’/3
О 51зогос11лзхЛао
z—
m3 - a
m + rt.3-
:(X) котот^з
лкхо ny = ip/пр 5nri ютктздюдюк 01 sri юхаудкю тз^ютдтюх ютИиоао ox 1013,
•(m _ a) + (m - 0) =
‘moriodnu лздкг! юхтхохаюх толр og 010 котдхлзхЛао к кдтзкз
‘(a - 0) + (a - m) =
толтз *5тлзт1окз Skyogoxsri SorlgaQ
5охтуо о 'ZS 01 9КП 0X0 5отзоаХют9 тАду тюх "g rnikrix оуюАзг! одзхотдю
ою ЗсозоаХютд тЛру :5аоЛоу 099 ютА. тохзууюдюхзг! а котдхлзхЛао н
tg тюх ig oxorikrix юхтдзхтоз 099 юхо (?)т тюх (у)а 5тзотдхлзхЛао
то тюлтз тохотлЛю толот! tq 'одтХ лох 5одк 5m опдхют^ юуую ‘олодХ лох 5одк
5m 5зХзлао тюлтз ютИтудодк 03 '1иЬдот1отот1о тюлтз котдхлзхЛао It nrikrix здюх зо
тхр зхоюг1о^юхлюф 5ох»т/ау»тд лол лтззирдзлзхЛло moi ndotbmq hi sti iniaooi
ACDiniiliiii лтюлоизА oag a$oi3ii SwsoaXmg Sottyad о 7 Uti&no ЬхглодХ здпк 3g
:от1ол олзг19кз лох 9кю тюхз^тбодюх тюх о = ? ол9дХ зо юлтхз^ коаХютд н WX3
-зХют§ юл ютоао UxiriLiX It тзотХдю юд аок юхзт! тюх Ixxomo тюлтз ‘юхют11хг1х юдтзтгю
юхо ‘5охют1ауют9 аох 51югодхлзхЛао SUoari 5Ux 1ххаю юл9хтз li ‘aoxto аодтзкю аох
гоЛ9у 0 толтз юхют11хт1х юдтзхгю оа§ юхо 5охют1ауют9 1югодхлзхЛао It *5зт)Лтхо
5зхтлодХ 5тх 5зу9 зо тюх юуую ЫАтхо 1ххтлодХ ютдт л1хз -от тюх вл 51лотдхлзхЛао
ют(ауют9 9XTriliX отокюх лаоХзтбзк юхюг11хг1х юлзтктюдзшк юх о = ? ЫЛтхо ЦхтлодХ
Iх! ’(Г£ ’^3) юлзт1оюдзкз1£тг111 тюлтз юлютдхю 099 юх тюх юлзтктодзкзк тюлтз
юхютИЫх ютюозт) 099 юх юхют11хг1х юдзоозх зо Saoxlxri аодтзтгю юлкуто люлз 5юхл
-гобтют9 тюхтзЛк^з аок ‘5hoaXvip ютоюхт9ют9 ютт! тзсЬюдЛтдзк котот^з кхтдо<Ьют9
Н ’лодз(Ьют9лз 9хтхют1Людк тз^ютоаодюк юлодХ9хаюх тюх юуох9з тюхтзЛк^з аок
‘	_ j = у зт! ‘пу = рр/пр 5кх ютзлкНдз кхтоасЬ кхо юдтх зхою^сЬзбхз
•кдзх9Хюх 009x0т тюхзлтоЛ 5ют1 5тз^юх 5кхтдх
5котот^з 5кх ко9у ц 'k(hdorl лао^юуую 5тзотот§з то ЛЮХ9 то^т то лаолзг1юдхж
?уэ ояпаеяз oi ivx зтнзозтеп ззмыофу^ ks

•gxidxmg iXg тох 5зХзлао толр niikyggdK oi ngig ‘пхютЬдлшд
1X9 тох 51зо1пбюлао толр no толр 5ог1тдз1(озл 5олдт1 о тох 5i3oln6nAaooigi
то толр 51зоау 5зукю iq	= и\ :53iinoigi то толр 51шздоо1то loiigad
iq ’5зх1л0лао 5зх1Хбю 5п ок» ‘юхлпк 5ашд ‘тохло^тбодюх иэ 5збз0юхо iq
1=и
XJLUUIS ? и_ЭиЭ = (7)71
толр 5»11п9г1дз0 Sliocooi^s
5Ux lioay U ‘1013, -(а:ки)ир = п U толр аок ‘тгу = уср/п^р 5Ux UoUxdmaooigi
»it1 зт!аоХз х\ - ху 5Ux niioaAnigoigi плз тЛ плу -обтзкю толр 5о01лук ох
юбап лапоко лап ‘лтзоду лотхпз0хз ю6ю0юх 1ог1оюадлао туюк толр Sisogy то
5ютоко Sin ухдгп^д = yj/ng inihipiidag Uomoi^s л1по зт!аолюхсЬ ‘oo «— jy люхд
nxmdo \хР/пгР оЛа)Лпбюк кбзхазд In 5обк пзлрх ‘51лоб ютШуддбк 01 дкп
тохзХбзобк аок юхлоЛюдпк goxnat06oig 5длз ni30Uog In зг! ‘пу юбазук
ni^sg Н Д ‘Т ogixori 01 зт! лсобосЬшд лтлзт1оюдзкзк 5юхюл1К о толр 5дхау
(01)
^п~
 РР
' Р
1п .
ох дкю
TOi3^iQo0»x 5аоход»лЛю у зт1 nriliioao 9116x019 од -у/у Saoxliri ‘niniiliTii пбзх
-96x11! плзоуо зо »л1гуа)о аох niniiliTii птоозг! пх 5»хло51бзт!»19 тох ЬоетбхлзхЛао
1лх1лз91гг! зо niniiliTii пбтзкп ogg пх 5»хлдп»бх шхз^тЛЛзообк Uian Uoaioi^s н
’О = (1)п = (6)п
axQ IQ
nzQ nQ
Uoaioi^s Iixi6od)ni9 Uxi63ii Ux зг!
тохзсЬпдЛтдзк аок SmsogXnig 5аоХзлао 5Ux ‘5аохоо)лЛп лолд-И ogg зг1 ‘иотЛЛзообк
Lni6x»ig nni рузхокю дхау тотШздпбюк ох дхаю (о отудХо Uiigxn плз то^
ос 7 ох 5д>0пх 5зо1 лддзХо
лаолтЛ П0 51зод)6хлзхЛао ogg io 5джзлао тох (д Д) пткэалптдотд! охо рХюхоплп
‘дт!0а6 лох лдхап 3ii Uomindn зо тохзуупдока аок коду н ’?~э толзз »0
5gii0a6 5дхтбо о тох кхпладп толтз коапюбпбзка U ‘513оа)бхлзхЛао 5зхпилбп Uri
олдг! тохзХздткз пгЬобрк ох лпз тох (д- Д) »iioaA»igoigi плз дкю тохлоХбзобк
юл тзкзбк 5зхаю 5зх110лао 10 ‘nxoiynj^ -?£_э дг10аб лох зг1 икоа)тодпдзка,.
nni зо isoliAUgo юл рбокт! лотхк0лао латхтХбю оуолао gxigis дуок юлз олдт!
ngig оудб обзхдхплюШо тз^ток Д р лотзоотбхлзхЛао лап 5Uoa)in6n giigao
01 5пхлол1д ‘5Uogy 5Ux n6o<bi63Kiiao Ux лао51бо0юх g- тох i~ Ssiinoigi iq
VlVmANVIVOIVI IV3 zhhi.loivi
9Z£

5.4 Л1АФОР1КЕ2 EHI2QSEIS KAI TO EKOETIKO eAt
EvertaOEia Siatpogixwv e^iodiweoiv
'Ontng axpi6(bg yia e^iotboetg dtacpooojv, avxo пои anotpaoi^ei тр oupnepi-
tpopa трд u(t), xa0(bg to i —> oo, Eivai oi tSioxipEg. Etp’ ooov о A Siayaivionoiei-
xat, 0a eyovpe n xa0apa ex0exixeg kvoeig xpg 6iacpopixr|g e'fpomopg xai xa0e
ei5ixt| knot] u(t) 0a eivai ovvdvaopdg xpg роофрд
u(t) = Se^S'uo = c1eA,<xi + •  • + cneXntxn.
H 8WTa0eia xa0opi^exai ano xovg napdyovxeg eXit. Eav okoi xeivovv oxo pr)&dv
тоте p u(f) xeivei ото ppbev, eav napapevow ippaypevoi тоте r] u(t) napapevei
tppaypevp, Eav xdnoiog an’ avxovg au^avei akpaxaiStbg tote, exxog av Eivai nokv
eiSixeg oi apxixeg ovv0pxeg, to idio 0a xavei xai p kuop. Eni nkeov, то peye0og
too ext e^apxaxai pdvo ano то npaypaxixo pepog xpg A. Movo та праудапха
fiEQtj xaOoQit&vv tijv EvaTaOsia: Eav A = a + ib, tote
eXt =eateibt =ea4(cos^ + isinbt) xai |еА*|=е“*.
To xekevxaio <p0ivei yia a < 0, napapevet oxa0epo yia a = 0 xai exppyvvxai yia
a > 0. To tpavxaoxixo pepog napdysi xaXavxcboEig, aXAa to eopog npoepxerai
and to npaypaTixo pspog.
5M H diacpoQixr] ерошат] du/dt = Au sivai
EVffTaOijg xai eAt —> 0 oxav oka та Re Xi < 0
ovdetEQa Егатавцд oxav oka та Re A, < 0 xai xanoio Re A, =0
aataOifc xai о eAt eivai pr] (ppaypevog, oxav xanoia i6ioxipr| exei
Re Aj > 0.
Kanoioi ovyypacpeig ovopa^ow tt] ow0t|xt] Re A < 0 aoopnxojxixr] euoxdOeia,
btdxi eigaoipaki^ei апообеот] oe peyakoog xQOvoug t. To enixeipr]pd pag oxtipi-
Х0т]ие oxo oxi exovpe n xa0apa ex0exixeg kooeig, akka to nopiopa loxuet xai
oxav axopr] о A dev SiayaivionoieiTai (onoxe unaQxoov oqol тт}д рор<рт]д teXt):
Oteg Ol kvaeig TEIVOW OTO fl!]d£V, TOTE xai (IOVOV TOTE, OTaV oAe$ Ol idlOTlflE^
s/ow aQvijTixo npaygarixd fiEQog.
ISiaixepa evxoka Sianioxcbvexai rj ewxd0eia o’ eva ооотрра 2 eni 2 (nov
epqjavi^exai nokv ovxva oxig etpappoyeg). H e^ioinoi] eivai

328
IAIOTIMES KAI 1AIOAIANYSMATA
xai xQEia^eTai va !;ёрооре лоте xai oi Soo 1бют1рёд ami' tod nivaxa exow
apvr]Tixd лраураиха рёрг]. (2т]рекЬоте naXt oti oi сбютцеес; propel va eivai
piyaSixoi apiOpoi.) To xpiTT|pio еоота0е1ад eivai лоХо apeoo:
To i/vo^ a + d npenei va eivai aQvtjtixo.
H OQi^ovaa ad - be npenei va eivai Oetixt],
'Otov oi idioTipeg eivai лрауратгхёд, та zpiTY]pia aura eyyoibvTai oti аитёд eivai
aovr]Tixeg. To yivopevo тоод eivai r] opi^oooa xai eav eivai 0eTix6, oi 1<5ют1рёд
eivai xai oi Soo г) 0ет1хёд г) аругрлхёд. To а0роюца тор eivai то ixvog xai av
eivai apvT]Tixo, тоте xai oi doo лрёле1 va eivai apvryuxeg.
Ta xptTT|pia ioxooov xai otov oi 1<Хот1рёд eivai ёva ^eoyapi piyadixcbv x±iy:
to ixvog eivai 2x (лоо eivai < 0) xai r] opi^oooa eivai (ж + iy)(x — iy) = x2 + y2
(лоо eivai > 0). To охлра deixvei то тетартт]рорю еоота0е1ад, xaOcbg ел1от]д
xai то ларабокхд oovopo рета^о npaypaTixibv xai piyadixcbv idioTipolv. H
ларабоХг) oipeiXeTai ott]v e^iowor) yia Tig 1бют1рёд:
det c ^-а]=^2- (*'Xvo5)^ + (opl^oooa) = 0.
Аотг| eivai pia 6еотероба0рю e^iowoT], apa oi i3ioTip£g eivai
A = | [i/vog ± (ixvog)2 - 4(opl£oooa)].	(11)
ndvio ало ttjv ларабоХт), о apiOpog ото onoppi^o eivai apvqTtxog, dpa to A
dev eivai npaypaTixo. Ел1 тг)д ларабокг|д, г] тетрауотхг] pi^a prjdevi^eTai, dpa
т] A enavaXapddveTai. Катсо ало tt]v ларабокг| г] A eivai
орКоиаа
Х,<0 Kai Х2>0 : аатав^;
5.2. Перю/ёд eooraSeiag evog nivaxa 2 eni 2.

г- тох г+=Х »б» o=l + г¥=|д у j
iSsrinoiqi 5зхчюю1лю(Ь пбюдюх зт1аоХз = noaojido тох о = 5олХч I1913K3
оухах юлз р тохзсЬздю юл п oi чзлюх ‘п j = рр/пр I VKJI3VVdVII
(p)n л1п ючЛ оках люлз зтко^чдсолЛ юл SidmX ючзоююаз чзоХчздокю 4л
isdoKii 1013 .5отхдю19 чзлчдсЬ aoir ||(?)™zHll пл? Scorip чзХдюка ‘чздау юл лохюла^ю
чюлчз юл isdoicri liorooi^a U ючоко лкх юхюх ‘5ю11и9хи1т1юдЛ liri LiomiKidsK aIiio
то1з^1дотлЛюлю AoundBiq aoi 00999311 5111 юч^ю lixinoriAiodK ц ‘A3§Iit1 ою 1зл131
юл чзкздк п ох 0191 ох тох Ю1ю11ор9злюк11юхо юАч-у окю юхзт! тох лздйт! 01 5одк
5отхдю19 1зл10(Ь Ю0 ||п_4||| oj^ ’5з0Ю1оаз чюлчз юл чзкздк пу = ,n 01 3101
5010131 5юлз чзХдюка люд -зюхлюк чзлтдсЬ тол ||(?)ПуИ|| 5ох/о/ олз^отИдтою
oi зют 1013 ‘у14 лтдюд Зюхюлюг 5плз 1здздд ол ою тююыао тх Д68Т О1
Aouncfen л.01 окю зх1ч,0Лауюхюлю Ю11ио1юла9 1гуую н ’5з11иоочлю 5и 5зхаю
чзою1з§з юл и‘9 4кю ‘ючдаоЛчо 1иЭз1ауюЛзг1 зт! 5311110191 5п чздд юл 5оточ чздокт!
51иочЛоуока о 'юхюлчк оуюЛзг! люлз ючЛ кукууюхюх чюлчз 1иаю кочЛЛзоодк U.
119 5oori9 crQirioA лзу '-о ючзХчою юх ючЛ лапЦюочлю юдчзо ютг) люхкдд аок
‘zjiMjnjq чюх qjno'g 5аою зт1ао§зд1юлю юл чюлчз ючрм ’SsiliTOiiOAaq 09.9 лаоХдюка
—О > ?Y ЭЯ зток oi ючЛ oidlindx Ssdli^K юлз— 5ючз0Ю1оаз oidlindx 9ЛЮХ1 чюх
очюхЛюлю юлз sriaodg юл ючд '1г/охоа9 очк чюлчз и чкз и liocoiKidsK ц
•ючз0ююаз li 130юХ юл isdoKri 5аочоко 5aoi
зт! ioK9di 5139(р1'/зг1з0 чо чюлчз ла^лао 5430991019 10 5siay -(asqIitI чюлчз 5олХч
oi 11919) 5зх1юю1люсЬ ipdio0X)x чюлчз 5311110191 00,9 10 ‘UXdio л1и 9КЮ голюк чюх
юло^ю О130юх ло1^ ‘(о = Zyiy чюлчз noao^ido li 11919) лз91и1 чюлчз liriiioigi ючт1
U юло^ю oiiA9^ido Л013 -Ю130Ю1ОЮ зо 3iioAd3K юоолао Ю1 юхаю Soiao^iXooiv
•511оююаз odsi39ao чюлчз liomoi^s li aoidorlliidioisi aodsia39 aoi odoAao Ю13
[z	0 1	[г-	ol	Гг-	о 1	[г	ol
[о	i-J	L о	iJ	[ о	i-J	[o	iJ
OldOHIHldVLII 30VM OIIV VIALIEIVVdVII VN3
•ю'уюЛ.зт! pisxdo чюлчз чюх
lorllurodK Ю13011ЛЮ лаоХз э чюх q юх люто ЛОЛ911 5з1юла9 чюлчз 5311110191 5зхч9юЛчдо
’О < г<^ + г(Р - о) = (г<? -	- г(Р + о) = (-5i6o)t - г(5олХ1)
3191 □ = 9 лю 11919 ‘liiara
9кю (01юх Ii SlqogxidioK 5lii чкз чюлчз 5юхюлчк 59xidi3Tii1ao 30ю^ 'lixiimlAiodK
,уэ омияеяа о± туя ziasnziEa зяяыофуту rs

/SOO
/UIS —
/uisl
/SOO j
' + 3^) + ^) + !,'+7=-э
rluHliypADirs (iox oiaoi sioliioiroTiiolidX
idx ‘j- - zy гзХз [jO = у о up sioOTisrili^ -ndiso lidisirp aIii pirn adisqus
4idx 130Oi6(oaAdad ‘A isdoirri ?уэ о ‘UoOTiiridsir UioiotiAaon ayoir aIii lnan
•oyxax das fi солок inisdsdndsir Ilian :ny = рр/пр
aoi lioay lii iscbpdAidsir oiaoi inx ticbodioidsir inioioidia Sroyiro «n mioaApig
oj, oilrygpisTio aoi Soxlvri oi АаолксЬо ‘orioaApip паз Aao^pionyirnyyoir adiq,
:aotxdaht AWiAcnAogdo aoti nitiipipi lixiiAoriliD niri is^pdtbxs Uootoi^s niniasysi ц
•|M|= ||%уэ|| TOX w_9= ^(?уЭ) TOX V~= jY
:5отзоаХтр li Sligidi отЛоу msAdsAS
idisadX лзр aoirp ‘Acnipiiliioao AioxnlidliiAao aoti Ssxdaiit io toais Smgidxn loiay
•Sdxdaiit SoixtoAogdo idajs ?уэ о aipi 5oxidi3iitiaoiixio inxi3 у о ход
:аолзт!олто(Ь aoioprlang aoAsitoirs
aoi lioOTiDgsgnrs Diri srlaoXs ndp Asplirl toais Saoi oastIoaiA oxidsimos 01 rax
das Soxkri лаоХз Ssyliio iq ’oxoaiit aoiAcoZogdo Soas Smi priAisppdDir oidax
01 toais AOTAOiirili rax AOTApnriliAao aoti Soiao Sdxdaiit q '((ОТ.п,,э = n SUcbdori
5lii toais Uoay li 110 siisgliria©) ?уэ pxnsgxs 01 toais da isirsdir odp ‘On 01
is^piooyiroyyoir Sdxdaiit Soioiasysi о jAodscbmpAS pxnsdm^s npx sriaoXs mpg
(СТ)	.Ы[18ОЭ ?u’sl = r?uiso + ?sooql =
[»] ins— jsooj [?uisq — ?soaoj
1DA13 DA
isALiyoinx (7)71 li idx 7 sos 01 Aao^piooyirDyyoir da isirsdir q tox n lorigidn 10 odp
‘ j = on 01 sri isiiriirriao da sirsdirs dq otadit our 01 ‘x = 7 son sioiro ‘0=7 mj
/7ТТ	Г ? UIS (гэ + lo) + 7 soa (гэ - ю)г-1 _
7uis(zo — Ь)г + 7sos(Zo + io) ]
porigidD loxnmiAndir iDiAO^iAodnisDAD^ (7 ins г - 7soo sri ?г_э oi
tox) 7 ins г + 7 sos sri /гэ 01 5diaotioi0dxiiav ’oradOT 1X9 pyyo 910010 toais 9iay
‘ [j] 7» 3Z;3+	??э1э=(7)п
toais lioay li тох (г ‘у) тох (г- ‘j) toais DiorioaADigoipi dj.
V1VWSANVIVOIVI IVX X4WLLOIVI
0££

ndaooai oi от голрипбпм пзокбгоХоби »л
A.lvri пл 1П13лто<Ь Luifi'l) U nvvn ‘лгохор UJirinx лкю ‘Ззиолпд 5lu>ii_':i толпа юЛтЛпбпн 5з1бп13 [	*
(и)
2 I 1 = пу = —
. Т Z-J V nzp
:у оздз ло1 зг1яоок1юдх лю ‘юззуз! толзз юд коздхЛао ц
кхзоаф lii тк тох 5corio зХд ‘юддзЛуу lixirirtodj
I11 тк охиздзюоди толзз ют1зд ох *-коду кю юддзиз ЗаоЛотЛюдюж Ззйзшзд 5зю
коюдю1зт! U 1илю 5отк ‘ззХаооколююх юл зюлзз 5ют< ЗоХдю о зюх (пу = рр/пр 5к1
илю пу = др/пд> л1и зззаооду юл ззкздц) 5<оз5ю1 Эюдзшзд Эззоетоз^з ззЛюдюзг
юззлюддю н ^оЛозЛюдюи: кдзлазд юзз1 зюлзз п 1юлаХю131гз к '»ш = д испмэу
aoi oripa ло1£ -ЗкхзожЬ 5ki оз1ол ю1лодзсЬюздлз озк лою зХо юу’/ю ‘аот/ю зюх
юзЛоуозд Ui ‘юзззИхХ кю ‘лгоЛозХдюсЬз лтуую Soglr/ir юлз ,ri зюх ззлзюдзХао оздз ох
пу = рр/пр 5тз^ю1 Skirodix юзХкюао юлз ,о люокЛкдо ЗкоаХюзд зог!дл 3Q
лоНдюд яобзюзд Зззосооз^а
•юдт1дд 11хзг1о1ю ззлзюзИю коюкоюзд Зкдююу ’коздо
-giro зо ззЛ1гую1юх зюх orhoujxoita к кдююаз ззлюх ло1 коюиотззд кдзюдхзр^
•Ззззуошю 5з1 зт! ззютддооз коюшэюзд li sioiro ‘Зкдююаз юдз1здао зюлзз люто 5ori
-loidx зю1зЛзу 5юд1лююддз1лю 5юлз ‘11хзлюХ11з1 1лхзл11дац л1и^ р VPUJISVVdVII
т = а ззХз 1юю1ою1юх юдздюю 1л юг!Лзздюбюк олзг1онз 013
•зю1ззлзхю1зз1 лзд юдю ‘j = ?оэ 01 зз1 Зззоетоз^з 5зхздо<Ьюзд 5зю
зюх х = oi зз1 зю1з5юзоюукюу"/ок лтдоЛюзд коотоз^з лкю озого 01 ‘хсшу Ski
юз1оалюздоздз 01 зюлзз одд Saoi юзЛ зюх коююхнюх юдздюю н ‘ло?[1В]Д[ 5юхюлзи
5кХзлао зюлзз р — у = д о люю ‘3101 лолдт! зюх 3igi ‘лоздвр^ 5юхюлзц зюлзз у Q
О = ХЕШу зт! ооз лотукю юз1озоддю ззХз 5ззоотоз^з 5зхзбоскюзд юзЛ ‘лозрвр^ 5юхюлзк
ЗкХзлао 5юлд, "X = Х!!Шу зз1 ооз лдз’укю юзЪзоддю ззХз ло?[двр^ Зюхюлзк 5юлд,
•д = (т,+а)рр/р тоз^зд Ьззодзоз^з одд 5з1 5ю1ло1здоодк ззигаходк Зотид ‘Зддздюю
зюлзз т + a 5aoi 5дз1дздю 5дхзуолао о ’кз1Лз1о здюх зю1лдолзхю1зз1 юздз1юз1то
Ю1 ‘5о1з юлю зю1лаолзхю1зг1 юл илу -ao^ivj^ к^злто 5кХзлао юзт! зюлзз 1шгу
m-a=tp/mp	Г Т- X 1 =
а - т = рр/ар ‘	[ X l~ J пр
TOiikiogo 01 дию
31ОК31 ззЛдзйтозд лзд 3igi ‘Ю1юз1кт11 юЭзззгю Ю1 зт!аооззух люд £ VJAIJISVVdVII
•£- = у зюх х- = у зз1
‘Экдююаз лю1к п	j = /р/пр ЗотзоаХюзд котоз^з XX Z VJAIJISVVdVU
?уэ ояиявяэ oi ivn ziasnsi-a zhnhooviv rs

uxumuq +------1- laOrriq = On
:5nilnaXni SlixiXdn 5ln q ni
ini^o^iQoiqoodir 0=7 5шло130 tox (?)n л(п SniAo^iAmAndmr ‘лиюшу 'ScoA'arl
-aoAliodir tox Scoiro ‘°n{_g ото уЛ.1190 tox v ni зт1 TOis^oridnooSir Uoiirowiarl ц
'°ni-S= V (* lVg = On ll UXUV +  • • + IrrlJJ = On
1злзг1окп 3TO1IO ‘x = 7<^SOO
тох 0 = 701119 тзлтотИш 0 = 7 :пуохаз TOiSAOTAoriom lionrainiarl UxiXdn ц
(дх) ’;.'r(j’Jmuis uq + 7umsoo uv) +   • + irc^irnuis iq + ji.^soo io) = (7)71
толоутКхлао тох nAOiirili тЪбетлА ото nio 5зхпз0хз 5злзг19аз1лпуп1
5n pirn Зшлолтодшзг! (oirai лозул шз плз ог!пплп зт1) оуохаз ош toisaiA
9iay -5зх110лао SsxiXSn 5п 91m miAo^idoonx 5здз0пто то ‘шлгш 5ошо,
(91)	-и^(^иР + ?-™Э«э) + • • • + ix(?lm?_gip + ,,„?эЮ) = (?)п
:толу ‘^у-/1 = лпто
тох и\ Чу 5311110191 5зхп(ллдп 1зХз у о лпто ‘пу = ^р/п^> aoi lioay (1Х1лзА
Н ”13X3 1х 993 nriluoao 01 5тХзлао 5п1лодз(Ьп1зт1 ‘1й)з0пто 1злзг1пдпк тзАдзлз
lixiyo li тох 1зл10сЬ 3iao 1злп^ап 3190 коау н ’»130птоаз USsi^ao лаоАпдпк
?т?э 5з1лоЛпдтг io 'котглтруог йдтодюх зо тгзиздзшзг/ lioaXniq Udnqnyf :5зх
-nnriAndir толу т 5з1(1толХао то 5зу9 5сплзг1о1гз тох 5зхи11лдп aoi 5311110191 5п
5зу9 1зХз 5отзоаХт9 5пхплш 5oidLiaA 5плд, 'х^ тох х тол]з 51зоау 53x1913 00.9 ю
‘х толу т1оалп19О191 01 лпто ‘зто£ n^iQ lixwoAndisi niri 1зХз aoic ‘0 = у лпто
лол9г1 1ззддпшх 9iay 'y-/i=F = т толу 5з130хз 099 то тох 5соз§п1 5пдз1аз9
Sliomoi^s 5lii х?т?э 5i3oay 53x1913 oaq зо уЛ119о Scos^ni 51июдк 51юето1^з 5lii
ж?уэ lioay (1x1913 30П}[ -у = zm- аот^л aoi отозт) у 5(1039091™ 9т10ад 01 зт1
То1зз9лао т шктолХао li тох уп- пдош толу (111110191 кХтотоплп н Зюлз^аоЛ
-liodu тх Sff^idxn 5(9i£p ‘у aoi ntioainiqoiqi i»it3 пл 1зизд1с x ntioaAniQ oj
(Si)	-xy=xzm- li ‘(x^y = (xims)^
гР
зт(аоХз пл 131гздш ‘liomoi§3 lixidod>ni9
(no 9XH30X3 01 9ian 5п1лотто10пхшлу 'х^э = n lididori (no Sisoay 53x1913
5n 53ian sriaodrodA тох у aoi плп m 01 srlaoioicoiiiolidX 119 зюз0(шл
•Sisoay 53X1130X3
пдп0пх зт1аотоп1здХ П0 и mA плп ‘5зх110лао 5п Ssian 3Tiaoo9iidnooSir пл
mj -^п = tp/np (lnilnaXni„ U тох On - п “lionroinisii,, li :mHnoao 01 isoLiaixs^
пл этот ‘0=7 mA лао0О15о0пх пл isirsdir аон 5зх110лао SsxiXdn то толу оау
V.I.VWXANVIVOIVI IVN SHHI1OIVI
ZEE

люсЬздюзкз юд 5з5рг1 099 то 3191 ‘лютюозхю oriopyx лтк zn/in 5оЛру о лра
• “UxiQOidsir Л093Х0,, ‘зт1зу 5ашо ‘тплтз IioLiaix It ‘5олодХ о тзлп^лп Smgn'x
niri 30юх окю Uoiri тзлюдтЬэрдзк
lioay [1x1913 Soil [1x19 It idx ‘лгозоау лотукю 099 лои лопаю 5от1оюа9лао toais
lioay 1лх1лзЛ н ’(9£’S ’^Z) SsiUinXxn 5зо1 зт1 юуую 51зола0азхюх 5з13011лю 5о6к
1Ю1лаол1х 5з^юг1 10 ‘£/1 ю11полХао зг! idx aorilioodK ао130илю 5зоопо1лао зг1
(у- ‘х) = zx lioay 1гукю [16319X01 л1п^ ‘5ю^рт) олот) 5юп1 тох aoidlnoys 5олз
л1паю /т1 0191 U тол1з у = i<n ю11полХао ц -(ю£‘£ -Xg) 3101г тохзлоплз! ЛЗ9 Uosri
luo О1дй1юуз oi тох юлзт!о1ло1лао тохлаол1х 5з^рг1 09.9 то ‘Luwy liyiro Lnoidir
л1п£ юхюг1о9лю19О191 099 юю Л90Х1010ПЛЮ аок ‘лгозооплюую! любюрюх 099
5о6о 5оозт1 о 1Ю1зл]Л (7)71 5aoi IioLiaix д -isoLiaix юл ютИпоао 01 зйголМто
0=7 UriAno 1лх1лодХ In тох 51п 1шз0 1по 1злзт1 [1631939 li етлз ‘у = "л 1шз0
luo dxiXOd 1Ю1з^1ко1Ю1зг1 ю^ют! [потдк ц •(£•§ -Х^) Ю1д1пюуз 10191 Didi зт!
SaoXioi 5аоЗз0Ю1о 099 зо тох 5aoi 9§ю1зт1 5злзт1з939лао 5з5рт1 099 siiaoXg.
:51л^з 5о) 51ю9у 51п 51паю diodtHio lixioad) Ln 3riaooliAli§3 юл sifaodoKpv
1юл13 5а)лзт1окз 1ю9у н
• - = Zv = lv ll
K]4ib=B
ТО13Л1Л zxZv + \x\-o = on U, ‘Ю9ЮЛ011
Dili piDx 130О1ко1Ю1зт1 51поплюую1 5oiot6k о лю to^i ‘Л9О0О1лю<Ью5з Ю0 7a? ins q
iodo io 3101 ‘(лз91Ы тал13 °tn 011119X01 IixiXSd li) dioIwxd ркю юл1хз^ ют11по9о
oi лрд ’ЕуЛ = гат тох х = тол13 5з11полХао то юдю ‘£— = Zy тох х — = 1Y тол13
aoi 531)110191 iq ‘юг1Л139рдюк ою 5аокр1 5aoi 590100 sriaoooridDcbs ю©
(7)11 л1п хпЛ ОК91 лою q тох v di 5ю1лопо10юхплю ТО1ЗЛ9У Liootoi^s ц
•иооплюую! идоЛ1лдЛ U тох 1лЛдю н T'S
[О] = ia;‘X= in (о)
= гж ‘^л = гп,(9)

'(/(l — э) + / = da no толр ‘Scrnorio ‘oyoxag :'3'i'3 *
013X1010 ownAmg здпх mA isaXoi Soian Зплолпх о 11019 ‘tZVa?va = (j;+?)va
плолпх OAsrloigUAao aoi isiomoadxi ^]=V 0 5ошо ‘Зпхплш 5тлотЛт§ 5плд, g’FS
<mo + / ~ d3
*119
‘nSiso Udnirn aUi SniAanoirorhoUdX ‘31^139 ‘SUyopoSx SnxnAiir 5плз toais j лпд ppg
(•(ОО11Г
ni Sodic ndcoXodir лзд SniUioriSsg UorooiSs U mx UrintwdionAn Uri toais UoaXmg ц)
oo <— ? oi 5от0пх ‘isAigd) пл iiAn тхЛзузйзлп гзлп^ап no 3ibi39 mx (j)n aUi 31130g
 [T1 = on 3ri n [ 1	T-1 = —
Ld	Lt- t J nP
:y— nxnAiir aoi 13919 inx аолодХ aoi nSotb Lt innfeflionAn 110 зюздокх £‘PS
( l = ?Qa 11019 ‘AOidocbnig 5Uomoi§3 Snni [ = у ою 1зХююпап Uoa>oi§3
Uxidocbmg mri зо q = у mx ‘логртдо Щрузлп 51лХзлао mri толгз Uiay) too <— ? 01
Srognx tonioninx трдздюю li тлр пюц ([ ‘g) = On SsxUgAao SsxiXdn sri Uoay
I1X1913 aIii mx ny = rp/np aoi Uoay UxiasA Lii зпздд ‘«холш олзг1аоЛ1юд1г aoi mj z'P'S
aoi э nxnAiir 0X1130X3 aoi mx nimioaAniQo^i ni
‘531,110191 Sii 311369 ‘aocbndXndnir Slii SUian miXisQndmr oiroSir 01 SniAiogaovoxy ppg
згазнязу
\xe/nzQ = jQ/ng Uomoifr
Uxuntfax aIii зг1 тохзсЬпдЛгдз1г Uomoninx Uian Uxmdo ц -юЛсоЛпдгш Ззбзхаз^
toiaoaiA x‘2-‘l SsiosysiACto Scioi 9103 ioiaoqiq аок ^Ssdodmiq Зздзхаз^,, io
‘099106 рзбзю niri зо тохлоазлетХАло mdlunys di idx Ss^pri ro Sotqd^ -5зХзлао
плз гзХдрка ‘Зз^рт! тЛ U 5з^рт1 оад oiA плу lUomiindsir ЦХзлао Ui sri niyUy
-уодтг л1и зг1ао§1зд ол 5idcoX oritiypodii: 01 3TiaooUdro 4л iypir sriaodoini лзу
•огзЛдзлз
л1и Uian гзХз Uoniopinx sioirligmoiro лао^рюкук Ssjpri то ndoAUdA It рЛду
•Цдздпхо гзлзг1пдп1£ тзЛдзлз Uxiyo U ‘i^sirodi огзу 5амзуз1 плз ,о ррТшплп aoir
aogdprpirri aoi пууркт, nrri sri 5(okq, nriliiopig oisxdn mA зт1аолзг11дзг лоор /Ьз
‘Т = т тох Q = а Uoniopinx Uisquad aUid тох diaox nioidoidsico AaoopioUyir
ng oioiypjy ‘Uo30 UxiXdn aUid viaox vioidoidairv лао0узлтгз O0 5з5рг1 io no
толгз sriaoir пл sriaodoirri aoir odsiaynx 01 ‘5oiUddp толгз о 5mrio Uqrsirij
opoidsir зХгз D0 ?£uis tox ?^uIs лт1 ЗотТопадлао Зплд, 'UXdn aUi pirn лтрлпд
-г1пуплп1гз D0 nionxipnig Uyp U тох о = m тох у = a Uo30 UxiXdn aUid sioirpx
V.I.VWZANVIVOIVI IVM sawnoivi
ИЕ

5.4 Д1АФОР1КЕ2 EHI2Q2EE KAI TO EK0ETIKO eAt
а)	E^qyqoxe yiaxi eA^t+T^ = eAteAT, xgqo^onoiwvrag tov xdno eAt = SeAtS~l.
6)	Aei^xe oti eA+B = eAeB Sev akqOedei yia nivaxeg, xQT]Oip.onoid)VTag to
паоабауца
. Г0 °1 о Г0 -11			 A Bx
A = К q B= q q (ogeixe це xpqoq oeigwv тоод e xai e )
5.4.6 H eijiowaq avwxegag xa^ewg у" + у =0 цлорех va ygaipei oav odoxqga ngwxqg
xatewg, xeqo^onoiwvxag Tqv xaxoxqxa у' oav лобаОето dyvwoxo:
Поюд eivai о 2 eni 2 nivaxag A, av q napanavw oxeoq ygaipei axq цодсрх]
du/dt = Au; Bgeixe Tig сбютзцёд xai та iSiodiavuopiaTa xai onokoyioxe xq X.oaq not:
gexiva це yo =2, у/ = 0.
5.4.7 Метатдёхрте Tqv у" = 0 oe оггат^ца ngwxqg xatewg du/dt = Au:
Аотбд о 2 eni 2 nivaxag A eivai екаттсоцат1хбд (exei eva ц6vo [бюбкАооца* xai
Sev цпоре! va SiaywvionoiqOei). Ynokoyioxe Tqv eAt ano Tqv oeiod I + At + •  • xai
удахрте Tqv kuoq eAtu<}, ^exivwvxag ano to ;yo = 3, y'o = 4. EnakqOeooxe oti q Xdaq
оад и = [ j ixavonoiei Tqv y" = 0.
5.4.8 УпоОёоте oti oi п^йиацос r twv xovvekiwv xai w twv kvxwv Sienovrai ano Tig
dr
— = 4r — 2w,
dt
a)	Eivai to auoTq^x аотб еиотабёд, ообётера еоотаОёд q аотайёд;
б)	Eav apxixa т = 300 xai w = 200, noioi eivai oi пЪ]0иоцо1 Tq xoovixq OTiyp] t;
у) Пою eivai to nq/.ixov twv xowekiwv ngog тоод kdxoog, цета no/,6 xoovo;
5.4.9 Е^етаоте wg ngog Tqv еоотаОею to u1 = Au, yia тоод eno^voog nivaxeg:
V) л = [; _\]	0) 4.[z; ;[]
5.4.10 Е^етаоте wg ngog Tqv еоотаОею q aoTaOeia to dv/dt = w, dw/dt = v. Yndgx.t'1
xanoia kooq noo <p0ivei;
* X.T.E.: Avatpegexai ота удацщхшд avg^agxqxa.

Dligidi пхали ari ‘о = ny — nj + t/n liomoiip л!п nv'. ‘y 5обк 5m Amrinoigi nriliyg
-одк ох1лгоЛп6131 oi 311369 lnz ,Т7уа = n 1аХ1130Х3 »6»0»x mri sinoUioninxiiAy Ll’fr’S
x
т1оалп19 oi inx m niliiOAXao lii 5o6k 5m isgay пл гзкздк aoir „лап+по^! птИг/додк
олзт)азх1лзЛ oi„ 311369 inx ж?т?э = n 1лхпздхз ndngnz л1п sinoUioninxiiAy
Srtypri ттлпс мзхэ зг! То1ло5пюпукпууок тоЛтЛпбпк 5здз1лз<> ю аоко ‘о = nyj
+ цпП licbSori л1п гзХз 5тз§п1 5пдз1аз§ liomoi^s li ‘5зЛот1дпсЬз 5здз1ооо1дзк 5nj 91'fr’S
°] = On тох Г°1=Оп 3Ti n[S 1 1 = ^
.oJ ' LiJ	Lt- s-J n^p
5тз§п1 5пдз1аз§ liomoi§3 л1п зюау SITS
•(/j) 5liomoi§3 5lti окод1 ло1 3ii ‘lioay 1хх1лзЛ In зхгздд
aoi <т> 5з11полХао ю тох у Ssrlnoigi 10 шл13 5зюц frl’fS
m inx n пю О130ПХ толтз аок— m x n itOA3iioAiA oxidsimgs,,
01 ШЛ13 ny 01 11019 ‘(э ‘9 ‘°) - m »л.о§п aoi 1дзк 1П1зсЬзд1О1дзк ng lioay н
у aoi 531111091 5u 3113S9 (Л
одздпю толр |n + |n + 5oxlni 01 по зшлпдзкг1ао (9
g = £п^п + Zn^n + Intn л1п зюаздкупкз inx ‘^n ‘tn ni 311369 (n
r»1 r 0 »- 4 I ,p
Uomoi^s 1лх1д1зт1т1аоплп л1п nij £IVS
todsgnio 1ПЛ13 ng |n +	+ tn = г| |(?)n| | 01 no
inx 5пхпл1к 5о1лтЛодбо toais ng ?^э о no ‘з1зо1Лоуока aoi пл 5i6mX З1з6й 5тц
aoi шпт1оалп19О191 ni тх 5311110191 5п зпздд n’fr’S
[/-	•[/-, ;]-* 1!:
:лтдпюп тх 5311110191
5зх19пЛп1 3ii лтдпюаз ‘Ssiinoigi 5зхппг1Лпбк 3ii лгодпюаз a^nisii лао^пууп 5зхпл1К
юлзтТокз ю j олобХ оюк зо 311369 ‘Saoi noao^ido л1п inx Saoi 5олХт 01 oi6lin6x 3p\j nvS
VJ.VWSANVIVOIVI IVS SHHUOIVI

•DiaXioio олот1 pxiiDTUndir зо тохздзсЬплу
oi 3ioav ‘AfoipTiociAHiQoigi Ami orioUoyoim ari U Iiodwdidximd UxniodgoAo здо OZ’fS
! гэ < zq + ,» лшо aoaot! mx лшо ‘5зхп»г1Л»дк толзз aoi SstIiioiqi 10 no ai^pv
litbdorl лкю ззЛтойЛ »л pdoirri лздЫ 5oaZi зг! 5»x»aiit 5юлд, 6T‘fr'£
•£/1 тох [ 5з11полХао
зг1 (готоуюсЬзх aoi (t?y) ItomoiSp л1п Эшлотдаоуохю * [	~ °in 1DZ J q ] = Ojl sri
TOii30m ‘о = ? олодХ зо InmdK U лшо ‘5»^»ri SliSsiasp 5ln UdUaix aUi siisdg 8IVS
?уЭ ОЯ11Н0ЯЯ Ol IVS 3133^531=3 ЗЗЯ1<1ОФУ17 fS

'Sailiio'iQi 5ло1 5зхпоютоло 5u 5зуо ллоХз тох 5зхюлш 5лох1дхзг1г1ло
5лохпюг1Людм 5лох ллоХз1дзмг1з 5отм тхюхюдюм зблод юд тох 5зхюлш толюштЮд
ю toais тохлу То1ют1оллю1§о1§1 юхзлолюхбддо тох SplixoiQi 5зх1хюг1Людм 5кошз
ллоХз лом 5зхюлш 5лох1§юЛп1 5лолзг1о1до зт1лохо19д :5oqo3x 5охюг1т1юдЛодм
5oiX3 юлз 1зХдюмл тох 5зуохлз толр 5зЛюуую iq ’5зхюлш тох юхюг1оллю1§
‘5лот1д1дю 5лох19юЛп1 5лохо рАкдо 5ml лом ют1Людм ‘юхктохюллд кхздплю лкх
зт! зкло^пХбю ‘5зхпюг1Лю9м toais 53111x0191 то по зг1ло^1з§ юл Ю1Л ^со^одюдюц
•5ао1 a^niiti ахздах лаоЛзушз ал лою лад 1»лр aoi aiaiioaaaigoigi »д 'Z
53tiiioigi 5зхиа11Аади 13X3 5»х»лш 5pxidi3riiiao 5алд j
:юхюг1ою9змт1ло юкЭлх 099 юхо кХооо9м лкх
311ло1О1г1)3 тох Amrinoigi юмЭотзд кхо 51зо1шодз 5золо9зсЬю19лз ош то толр 5зхлю
‘5зЛог19ю(Ьз 5зх1ххю9м 5ix 5о9м 5у ‘.5aoi TpivrioaamqoiQi ш лаоХз одзюсиу) и
тох 5aoi 53rhioigi 10 miaoxoidg aojj Ззнолш loxidiatitiao то ллодзсЬючдлз 5юг1
юдз1ТО1§1 ‘кюотлЛюлю лох Ю1Л oriiolidX ‘З11ло5шуз ‘юг!Лю9м ‘лтхюлш 5з19оЛкхюх
5здо(Ью1§ 5п омю 5юп1 здюх aottIiioiqi лоп козд ki Ю1Л ю19о<Ьо9кум к1юлл§
к9зхоз9кум лкх 5кошз 1зХз19зц 'коошлдзм 1лх19юЛп1 кхо кх1хюг1Лю9м лкх
омю кою9(Ьюхзт1 кх Ю1Л ‘9Х1§зу юлз люо рдкдотзд юл р9омг1 лом ‘ло<кю9Лю9юм
5кх 5кхлю 5оузх охо ‘оЛоуюхюх зо 1зо19соХюхюх зт1лоХз 5зхлю 5зЛюуую 5iy
’ТОХ1ХЮ11Людм толр 5зхюлш то тох юхют1оллю1§ юх люхо ‘опуюм лох 311
1зхм1М11ло Sorioido 5озл о ‘коюхмпдзм здюх з^ •лотт1д1дю летх^юЛп! лсох ко1лю(Ьт1з
лкх зт! лло^юуую 4л ззмздм ‘юхлю ,уо ‘ЮХЮЛ1М ло1л«)Лоддо тох лох1дхзтЬ1ло1хлю
‘лох1дхзтМло lorioiSo то ‘юхюлш 5олз 5о<Ьодхоюлю о ‘лотхют1оллю19 ол§ олзт1ол1Л
ох1дзх(ооз оа -лспЛюуую лтуую юдпо юп1 зо рЛкдо ‘5лохкт1 лох лог1о1Аоуомл
ломрдх лох кхлю кЛюуую н ’г|?| + гТ толр 5лохкт1 лох олетЛюдхзх ох 1x919
5охкт1 1зХз юл 5<T>ri9 1змздц '0 = г? + гТ :лз9кт1 Soxkri зХр юд (г‘х) 5зоотхо1лло
зг1 юг1оллю19 ох ЗХ9Х ‘“х +  • • +	= г||ж|| 0193 тох злХот люд чз^пууо (л
131сзд1£ Soiaiioaaaig 5рлз Soxliti 01 SairlQ, '5зл9люх 5лолзт1лоЛкодм 5лох зт1 5Л0191
5лох ллодлоуохю лгохюлш 59г1оюююумюууом о тох коздо9дм н ’5злзг1Люхзхлло
5зх19юЛ1г1 и зт! лсохютЬллтод лсох и^) одсоХ лох л9мтоу зг1лоЛюЛюо1з ю©
•5зх19юЛп1 толр юл рдомг!
(5з(Ьодхо 51хо 5сом9) лох Ssriixoigi то юуую ‘обллсолуом лох 9Х1хо1дкххюдюХ охо
5зхозузхлло 5лох1хюг1Людм 1зХз 5юхюлш 59Х1хют1Людм 5юлд, -зблоЛлсЬомю 5лох
юл зг1лодомт1 ЛЗ9 5mri9 юдотд -озл зхомш люхздо9дм юд лз§ ‘збюмздхшз 5лох люз
тох 5лог1д1дю 5лох19юЛ1г1 Ю1Л кхЛюлю Л9мтоу зХдкмл лзу -отохзх толр юд х ох тох
‘юх1хют1Людм толр q ох тох у о Л009 td>3 ‘1x9 тодлоЛто люхоюбр ‘q = ху к люхк
юг1ку99дм 9ХЮЮ9 ох Л0М9 ‘ло]у919 лох 9011! охсодм oxg ’5зхюлш 5лох1хюг1Людм
тох юхюг1оллю19 юх1хют!Людм зт1 ол9т! зхоют^юЛдз юл Л9ХЮЛЛ9 лозум толр лзу
NWIVIVVNOKOOdO V1VM lOIM&IOOdO IVM
KoNVIULAIdd V1VM ЮШИИКАл :ЗЯЯ¥ЫШ IOMIVV IILV  S S
vxvwsanvivoivi ivm zawiioivi
SEE

•Lirin Soiayoiro li ток iLi/jOTO sozipnAiri о толгз 5ззф ЭзхплпгИсо iq
псп UXa^ao лох inx origion oxignAiri лплз зт! одззгшз oxignXni oj •£• g -Xj
ЬПЛО^П 5ОХ31ПП1ЛЮ<Ь
:53iltioiq3 5зоаодз(Ьпздлз 5зз51
ззХз тох qi - о = qi + v nyanir mri зг! зп1з^зуодт1ао SliXa^ao о '(1°1 W-a^jao aoi
3ri iswiirriao SpiigiSn 5ox3inriAndir здпх тох пло^п аохзтт1Лпд1г aoi тдзт! li'f/n
л1и oirn ‘ПЛ9Х13 Uxidiiroinx U толзз 5oian ‘pxidisrimsj -Saodarl aomonuntb aoi
oii hoodie oi oi30iian зг! ‘qi — v Sorigidn о толзз qi+v aoi StiZaJap SqxigoAiri q
•(pv + oq)i + (pq - on) = pq^i + pvi + oqi + ov = (pi + o)(qi + »)
3— = гг плолпх ло1 5п1лотзо1гот1зо11бХ зшло^пзоп'/ипууои зпх
‘(Р + <?)? + (э + о) = (рг + э) + (qi + о)
л(плзг1Лп131лао пло^п оуутр лою U плз лою тлпк зтлохоздд зпх 5аог1дздп
5аохз§пЛзг1 5аою позт1плп ‘5ззоот11гздз1г 5зхзрзз лпо ‘зп1лолпдг1пуздз1гг1ао (о = о)
зот10здп зохзюп1лп(Ь зо зпх (о = q 5аозо1го Saoi пзЛ) зоз10здп зохзшг1Лпд1г 3Q
‘(fr’S 'х3) одзюзиз
охзрпЛзг! ою oirodi охзоасЬ зт1 зтз^пздзХо зпх ‘qi + о 5оз10здп 5охз§пЛзт1 5плз
зплзз аот10здп аохзюшлпсЬ 5олз зпх aox3inrlXndir 5олз nrknoSgn о^ ^рт^дзбп
5охзшз1Лпд1г зплзз q aoiro ‘qi aoi пзопуютууок ni зт! ззлзпдг1ао оздз oi зпх 5от1
-дздп 5охзюп1лпсЬ пдпдпх 5плз толзз "1~ = г! SmiAnir зззозголпхз ‘г oi зплзз
лп зх зГо ‘5от1г зз^збголЛ 5плз0пх о *’1иН11уздз1г lirioiAao пзг! sriaoomg пл пуохаз
sriaodoirri ‘5aoi пхзюздйахпдпХ nyirn оззг ni олог1 зтло^пзздХ Smrlo 1л§зз1гз -Saori
-дздп 5аохздпЛзз1 5aoi зг! 5олзг1соззхзо§з ‘5етлзг1оХздлз ‘зплзз 51иоотлЛплп о
Saoi йззЛа^ао зо inx lorigidn зохздюЛз]^
NONVLLIWda VIV^ lOMIrf.I.aWWAZ :saNVNIU IOXIVVJIW S S

'Z0 - l0 Ю1А.ОТЛ TOX Zj/U Ini'll 1шгу91£Ю 13Хз гд^Л П1§ ie?3U
+ ig diaoiA, тох Ulin Uiaygirn 13X3 гв,э^л. шз l0?aU
:5злз1ТАтз1лоо 5зхтуо1г зо пуохаз toiaoaiA Uosdimg U тох 5ог1о»1опукпууок о
. sz = ?»-£ н? + £ = ?t + £
К - ОТ ?fr - £ г + г г + Z
:aoi UAa^ao лох 31^
UionrloAodnir тох UiUrigidn зг1ао5п1опу1гпу^о1г ‘?V + £ л.01 sri зтТаооздточд пл m j
•S=|®| = j ndn z|s| = SZ=(?i7-£)(?t7 + £) = ^
:5Uriii SUiaygirn
5U1 олотЛрдхзх oi sri iniaooi x aoi UAa^ao лох шз «t7 + £ = x VJMJISVVdVII
’X = f) zu;s + g zso3y\ = 10?э| Uoniogirn
Uxwixn Udsgnio зо UXSn aUi 91m aidaA то1з<Ьздю1дз1г Sgiigidn о Ш3 oi 5соз
О oi 91m TOisv^pgnisii д oi Sctqd'x ’аодзкшз aoxignAni aoi оухах oinignaoif
лою то1зХз1бзк тох ‘0uisz + 0soo = #?э 5a>gidxn toais Sgrigidn SgxignAni о
зю£ х пол.13 л odisri oi лпю ‘Uomixidsic Uxiqis поаодзсЬшдлз mri 1зХдхшх
(£)	-в}эл=(дикг + д5оэ)л = дг + п
:зг1аолдток
5злзг1Лп131лао Ssxiyoir 5п1лф1ОКО1Т1оидХ тох 5i3ocnm^3 5п 5з1ао 5п1ло5радла^
•0uis л = q ‘д$оол = v
лажах лотх mosri
л поаолрюпа лк1 зг) q тох v Ssdasyir 5u пзздлао nidisrWmAidi U ‘5оуз£
'г*? + г% - d = 19? + °I ^з'утсш 5з1здрх зг! TOis^nogriao тох (aoiigidn
aoi odiiii U) qi + v aoxiXSn aoi Utin Soiavqim То13^рт)оло л Uoniogicn ц
(3)	\d =	+ г° =	~	+ ю)
ою Зпоаолпзюша 5U1 олтЛрдхз! 01 тол13 aoir ‘grigiQn gxumiAnSir лплз пзЛпдтг
qt — v aoi UAa^ao лох 3ii qi + » sioirligaoioiro Sgiiomon^irny^oir q (£)
{pi + a) + {qi + v)= {p + q)i - (a + o) = {p + q)i + (a + o)
:лгоЛа^ао лап mioiodgn 01 зт) iniaooi 5oiniioiodgn aoi SUAa^ao о (^)
(X) '{pi + a) (qi + n) = (pv + oq)i - (pq - зо) = (pi + o)(qi + o)
:ла)Ла^ао лап ОЛЗГ19Л1Л oi тол13 аолзт<ол1Л aoi SUAn^ao о (l)
V.I.VWXANVIVOIVI IVN ZHWHOIVI
OH

(s)
ifi ix = ft x
i»13aiA fi i»x x леи олзтЛомА охчдзкооз oi той x oi зг1 TOiBWignxiUB x oi
119 isatoiIIio 91a у -SoiDiloaADip аокобк aoi 5зХа^ао oi зг1аолбток пл oAsiipAiX
9x16310103 ою толр 5011961 5олзт1о16з10юх о тох Saoxlnl aoi orimdo озл aoi зт1
13^916101 пл зюет Ю13 p0liionono6i юл 13113611 олзг1рл1Х 9x16310103 01 ‘9100 jj
•1юзХо Ui Ilian 3iiaoolidliiioi§ юл зт1аоуз0 = г11ж11 :п.олзт!ол1Л аох1дзютоз
aoi тох Saoxliri aoi a^oisii ЦозХо клзю ютг1 зХбкиа oiDiioaADip рхиют1Хюб1£ di j
SZ = г1|Я|| тох	й ‘Z= г1И1 тох [у] = Ж VHUISVVdVU
(fr)	-г|^| + -.. + г|М = г|И|
:л1и 13Ю1ГОЛЮХ1
Soxliri 01 тох г| гж| aoi o6i3ii 01 зт1 То1юю10юхилю 01 zSpxiXoYoioadi 5oipy3i
толр 59110160 5озл о -130111О1£от11о11бХ юл лозуи p6oirri лз§ “ж + • • • + [х = J|z||
It тох 9X1130 лкхХрлю рюх толр лз§ aorl0i6o aoxipoXiii 5рлз олотХюб131 ор
•13§юуую юл 131гз61£ 5о1ют1оалю1§ Saoxliri aoi 59110160 о 119 I19I1 зг1юо1лор
'и аобтоХ аохпюг1оалю19 [10010019 ‘511ошз ЬзХз и£)
о 5а)лзт1о1гз 'Liong лао"/з1О1гю тох шЕибю^злю ppir толр 5lioiir3 ‘и^) лою рюг
толр Ю1ют1оалю19 юто19юло1103 •10x190X111 толр юл p6oirii h di юбот£ То11оалю19
9xiA39lni 01 1зЛюбю1г + • • • + 1аЪ 59гктоа9лао 5oA3iiiii6i3i Ini 5юлз люто
‘юлзгНибю^з 5стхп1т1юбЛ толр ‘	‘ in Ю1ют1оалю19 di ‘5a)A3i1aoXlio6ir тох SmicQ,
•5aoil0i6D 50,0x190X111 зт< юбоп idisaiX 59')1ою1ою'х1гю'хуо1£ о руую ‘юоаптлао
5одк юоо)Ю1лао ‘5о)лзг1аоХ1ю61£ тох 501119 ‘То1лз01юо61£ ft тох х ю1Ю11оалю19 юр
Т-Х
:5злз11Хю131лао 53x190X11! и зт1 х Ю1ют1оалю19 di 0-/9
1зХз1бз1г Ы(9 5оба»Х о аоткпбо :ю1Ир99б1г юлзлюх ^ртоаобюи: лзр piao тох
Ю1ют1оалю19 9x190X11! зт1ао0Хз9О1£ю юл толр D1II19 010161г ор -590x190X111 5аою
5аохпю11Хюб1£ 5aoi ркю зт1юк тох юбдзХуу Iixii1i1d6j liio зг1аосЬз61О11гз
liooiiuidiu LixipnXiri liio 1о<Ьодюрлю i»x lixlipv
IK
NCINVLLIMda VJ.VH lOHIdlHJNWAZ :zaHVNIII lOHIVVJIM S'S

342
IAIOTIME2 KAI IAIOAIANYSMATA
'Eva твлсхб eocoTepixd yiv6p.evo otov C2 eivai x = (1 + i, 3г) xai у = (4,2 - г):
хт у = (1 - г)4 + (—Зг)(2 - г) = 1 — 10г.
'Orav ларовце то ytvo^ievo тов х це tov еавтб тог), елютрёфовце ото тетрауотуо
тов цт|ховд:
хт х = (1 + г)(1 + г) + (3г)(3г) = 2 + 9 = ||ж||2.
^тщеаооте oti то утх eivai бюфореихб ало то хту. Алб тира xai ото е^т|д,
0а лрёле1 va лрооёховце т-q бахта^г] tcov diavuo^idToiv ото eocoTepixd yivop.evo.
Ynapyei xai evag akkog veojTepio|.i6g: Eav avTixaTaoTqooujie то x це то ex, то
eocoTepixd yivd(ievo tcov x xai у nokkankaoia^eTai 071 це то с akka це то с.
Авто цад obrp/ei ото va хспюице ц1а ахдцг] akkayi). Mia akkayi) лов
dev афора лара цоуо tov аицбокюцд xai OT^uxvcbvei ббо обцбока ое eva:
AvtI TYjg лабкад yia rq ou^uyia xai tod T yia Tqv avaoTpocpq, ову&ва^овце
автёд Tig лрагдесд OTq <rv£vyt) avaarpoiprj лов овцбок^овце це tov ехЭётт] Н.
'Etoi хт = хн xai tov i&io овцбокюцб ефарцб^овце отовд nivaxeg: О ов£вуг]д
ауаотрофод too A eivai
АТ = Ан, це OTOixeia (AH')ij=Aji.	(6)
Eav о nivaxag A eivai m ел1 n, тоте о Ан eivai п eni m. Па ларабе1уца,
То обцбоко Ан eivai ел1от]цт] avayvcbpioq тов yeyovoTog oti, yia Ц1уаб1ха otol-
Xeia, локб onavta хоеи^бцаоте цдvo tov avdoтpoфo тов А. Авто лов oyedov
ое okeg Tig nepinTiboeig ano5eixv6eTat xaTakkqko eivai о OD^Dyqg avdoтpoфog q
Egymavoq avdoTQotpoq.* Млоробце ебхока va овуофюовце Tig трололоп)ое1д
лов anaiTODVTai yia товд ц1уа<Мхобд арШцобд:
5N (i) То eocoTepixd yivo^vo tcov x xai у eivai xHy, xai авта eivai
хабета otov xHy = 0.
(ii) To цб|ход тов x eivai ||ж|| = (x11ж)1/2.
(iii) (AB)T = BTAT, xai naipvovrag то ов^ггуёд хабе oroixeioD,
авто yiveTai (AB)H = BHAH.
* O nivaza? AH avacpegEXai <nr/_va aav “A EouiTiavo;”. npenei 6e va eiaxe npooexTixoi шоте
va SiaxpivcTe аитб то ovopa ало тт) <(oaor| “о A eivai EopiTiavdq", лов orjuaivei oti о A loomai
це tov Ан.

5.5 М1ГАД1КО1 niNAKES: ZYMMETP1KOI KATA EPMIT1ANQN
343
EgpiTiavoi nivaxeg
Era ngorjyot^eva xecpakata Ц1кг|оаце yia ооццетд1хоод nivaxeg: A = AT.
Twga, noo ёхооце nivaxeg це цгуабсха oroixeia, iq idea rr]g oo^erpiag ngenei
va enexraQei. H oworr| yevixeooT] Sev eivai oi nivaxeg noo tooovrai це rov
avaorgocpo rovg, aXXa oi nivaxeg nov loovvrai де rov ov^vyt/ avaorgotpo rovg.
Aoroi eivai oi Eg^navoi nivaxeg xai eva romxo падабе1уца eivai то
Г 2
|_3 + 3г
A =
(7)
^гщекЬоте on та diaywvia aroiyeia лдёлы va eivai лдауцаина, Sion npenei
va паоацЕАош' ацетббкгца хата тг| oo^oyia. Ka0e oroixeio ехтод rrjg Siaywvioo
ratgia^ei це то xaronTgixo too wg ngog rr|v xogta Siaywvto, onwg то 3 — 3г nov
eivai to оо^оуёд rov 3 + Зг. Ее каве ледслтшат] layvei aij = To падабе1уца
аотб 0a e^T]yr)oei ng rgeig Saoixeg iSiorr]Teg nov E^inavwv nivaxwv.
Кбдюд отбуод цад eivai va апобе^ооце аотёд rig rgeig iSiorqreg, yia rig
onoieg пдёпе1 naXi va птоооце on loyooov xai yia ооццетд1хобд nivaxeg. Evag
лдауцапход av^etgixog лмахад eivai aiyovga Eg/riTiavog. Tia пдауцапхобд
nivaxeg Sev ondgxei Siaipoga цета^б too At xai AH. Anotpaotorixo eivai to av
t] avaoTQoq)r| a<pr|vei tov nivaxa ацетабХт]то. Eav loydet аото, тбте oi ьбюпцёд
too -onwg 0a бе^ооце a^owg- eivai прауцапхёд.
ISiorqra 1 Eav A = AH, тбте yia oka та myaSixa бюуооцата x, о
ар10цбд xH Ax eivai прауцапхбд.
Kd0e oroixeio too A ovveioq^pei ото xH Ax:
xHAx -[u v][3 ^3. 3 53Z]
= 2йи + 5vv + (3 - Зг)гго + (3 + Зг)гго.
Oi “Siaywviot oqoi” eivai прауцапхоц Sion 2йи = 2|гг|2 xai 5vv = 5|v|2. Ta
ехтод Siaywviov oroixeia eivai ov^vyr) то ёva too akkov, xai ёто1 owSva^ovrai
xai Sivovv to Stnkaoio too прауцапхоо цёроод too (3 - Зг)йо. Eno^vwg
oX6xXt]qt] t] napdoraor] xH Ax eivai прауцапхт).
Tia тт] yevixr] anoSei^, цпорооце va опоХоу1оооце то (хнАх)н. Прёпе1
va падооце tov оо^оут) too 1 eni 1 nivaxa xHAx, yia tov onoio, прауцап,
^avaSoioxovne tov iSio ар10цб: (xHAx)H = xHAHxHH = хнAx. Ара о
ад10цбд аотбд eivai пдауцапхбд.

[о]=[адН 9
[о] рй] [?£-£
[°] = М [
[о] ИЯ [?£-£
,£Е+Ер(/ж)
?£91Е] = *(78-К)
‘5ют1 »riAi39»dni£ 0x3 -q= ft нх
по nriovdairriao ою pXliqo аок ‘?у / iy Lioagoim лкх юдотх sriaoioKoriiokdx
= ftHx^\ толр loiigido ютодхю io ‘юх1хюг1Людк толр ?y юх Ugiairg
(6)	'(fizX)Hx = fivHx = dH(xV) = ftH(xi\)
HV = V
tox fizy = fly ‘a;iy = xy ‘toisqiq аок oidocbodkyK лкх окю юл1хз§ 11§13§9кю ц
•5аох а^юхзт! гилсоЛоддо
толр ‘Ssrinoigi 5зх1Хздо<Ью19 зо лаоХюхоилю аок ‘юхюлш аолюшт1да 5олз
к юхюл1К aoxidxsriiiao аох1хют!Людк 5олз юхют1оалю19О191 »х £ »xUxoig[
•kooixKidsK Iwowiida
IxxiQioAiTi lixo о = fijX tox kooixKidsK kxidxsrlrlao кх1хют1Людк лкхо о = f'lHx
.Ю130рх толтз vivrioadDigo-igi юх ‘обзхоотдзк кНохю ‘юхорюру -юх1хют1Людк
толр х ох тох у ох тох iXp lodaoAio зхоюг1р юл зт1аодокг1 ^у = у люх9 лол9ру
•рх?рюХю7 толр юл isdoirri х mioaAmgoiyi oj^ тодпЛюк ютокюх пзХдюка юл
1зхсзб1£ 5отлзг1окз ‘у юхюл11£ л9Х1хют1Люд1£ здюх Ю1Л ‘9x0010 тохзлтосЬ Л9ктоу 9хау
•59Х1хюг1Люд1г толр	= у юбю ‘Х^ХХ = ХУ^Х 13л19 ХХ = XV
:у л9Х1хют)Любк хпА. кдзх9уохаз люхк юд к^зддкю к 1x9 тохзлтоф Uo<oi3iilix
(8)
‘(I + Y)(8 - Y) = 8 - XL - ZX =
J?£-£|-Ol + Y£-ZY= |?V£I| ^| = l/Y-Kl
:y- = ykg=y ‘5юг1 orlAispodriK 0x3 тохпютЫюбк: толр юл ззкздк у ох 5ожзла^
‘О / х 1x919 ‘kxix30 тох кх1хют1Людк толр г||ж|| = хнх	91^39 к тох кх1хют1
-Людк ‘х юхкх9191 лкх юхюх ‘толр юдазухг кдзхокЭю н 'хцхХ ~ XVнх ; нх
3ti 3tinoo»io»(imwoic юл. юмз зхрх »т/о»лХзх ох жу = ху :ют1оалю19
-0191 оХюхоилю юлз толр х тох kiiixoi9i толр у к 1x9 зхоздокх kl’sppify
кх1хют1Людк толр юхюлш аолюштЮд 59ЛЗ kiiixo^i здю^ % oxkxoipj
vivjNZANVivoivi [vn sawuoivi

liomd>dori»d»ir Uxnliriimv "H’1’3
*\(коот^9у„ тох зпхзлзЛ 5ззолд0азхпх 5зууп 5зх т»х-
5ог1тх'/згЬз к коззикао кдпдпх ззХдпют лотзомо лтх Soxkii пхпх ‘5ззола0азхпх
5ззбдх 5зх лаолзд пхптЬалпздоздз ni ‘кхзлпХкр^ кх^ ('йззскззууз Ззхпхопзд-и
зт! Ззхплзн 5aoxiSi3Tirho ззздлао 2'9 5осЬп<ЭЛпдпц Н) тохплзи аоХзохозхлп aoi
П1пз1оалпз9оздз ni пхпх зпхлоладазхпх тох Saoi а^пхзз1 ioi30px толзз зохап
5зло§п iq -5к41ззууз Sniri лотло^п лотх кЛоушз кхосто lix 13919 тох лтлр^у
ландау лтх тШдтзд ох толзз oxan кхзлпХкр\[ I110 Ц пздхзкотзд кх^
V лохо 5зт1з1оз§з 5зх зпх
ф лохо пхптктлпздоздз пхзлолпхо0до пх ззг1— = У кЛдот! кхо 330
-кзокохлоЛпдтг пл зздозгг! 5пхплзхг 5охздхзз1з1ао 5охзхпз1Лпдк 5плд, OS
:5пддзЛуп ЗкхзтМпдА 5кх пхпт1кдотз0
пдзхдзпдаоко пх охгп плз (о зг1попхф ’^уф = 1-&V& = V V= &Vi-&
зпхзлзЛ зпх зпхзазхздзз^з у= SVi-S кокзозгозлсоЛпзд 5к0клао ц = ,/,Ь
к j = £)/£) лкх зт1 кг!пладооз кхк0лао зплзз лотукхо лотх пхк19хзлолпхо0до ц
•£) 5юхпл11£ 5о1л«>Ло0до 13мЛ юл isdouri g 5»х»лш лююхстлюЛтд о
‘jV = V
тохплзк аозлотЛо0до 5<элз 5зукхо пхап лркзоу зпхлолу
’X зо лао0кзох:охзлолпх пл лрхплар зплзз 5аох kxkii пх зпх (г аозпупгЬз^ аох
одотХолздкт! лохо 5отзго ‘о = ж(/у — у) ох лаолау aotbn) пхзхпткпди 5козкз
зплзз пхап пхпз1оалпз9оз9з nj^ •£ пхкхозрз лкх зз1 плот4п1ао пзлстЛо0до зплзз
аох пхпз1оалпз9оз93 пх зпх пхкхозрз лкх зз1 пл(о4>з1ао ‘5зхзхпг1Лпдк зплзз аох
5зз1зхозрз зо *59хздхзг111ао зпх 59хзхпз1Лпдк зплзз у о аок коотхзгздззг лкх^
5зхЦю 5зх1лол»ио0до 1зХз 5»х»лш лтюиоышЛтд о
•у= gyx_g зз1аоХз (5зукхо зо зплзз пхп^оалпзрозрз пх ЛП19 ‘зхохлпк ззлзпд11ао
Sroirg) 3191 ‘g пхплзш аох 5зукхо лпо лаоЛзузкз лпд -рюлолюходдо пдотх
зплзз ‘пзлотЛо0до к§к лпхк доску -плз 5ох1п1 лаоХз пл зхоот зз0кзо1гохзлолпх
лаоХз пхпзЪалпздоздз пх зпх пхп^оалпзд пзпздплот! зплзз fj/tl зпх ю/х пх
зхдзго ‘||сг|| = £/ зпх ||ж|| = то зз1аолдзпхг 319 зхоз0О1гх ’g//^	пзопух:
-nyyoir зхозгкдпзоко зпх лпхк П0 пхпт1оалпз9оз93 пупх аооз ‘пхзоаф
:пзлотЛо0до зплзз пхпзЪалпздоздз пхап 099 nj,
Nf5NVHIWd3 V1VN lONId.I.HWWAI :Z3NVNIU IOMIVVJIW S S

346
IAIOTIMES KAI lAIOAIANYEMATA
£та Ма0тщат1ха, о топод A = QAQT eivai yvcooTog ojg Фаоиат1х6 08-
a)Qi]fia. Eav ло/Ааллаоишооце отг|Хед це удаццёд, о nivaxag A yiveoai oov-
боаоцбд цс^обсаатата^ npo6oX.ibv —пои eivai eidixoi nivaxeg та^еоод eva, тт]д
цодсрт]д ххт:
A = QAQT =
— A^X^X^ + Л2^2*^2 + * ' ’ + AnXnXn .
To 2 eni 2 парабе1уца цад exei 1бют1цёд 3 xai 1:
парадигма а = [Д -1] =3[J, 7] + [| ?]
Ta idiodiavoopaTa, xavovixonoitmeva це цг]ход eva, eivai
'Etol ol nivaxeg ott] Se^ta nkeopa eivai XjX^ xai -отт]кед eni удаццёд -
xat nagioravouv пдобокёд ott]v eoOeia dia tod X\ xai ttjv eoOeia 6ia tod x2.
Тоу^ооце oti odtt] eivai navTOTe t] i&ia бюуатопо^от] це tt]v A = SAS~'
xai to цдvo noD yiveTai eivai va e^et6ixeo0ei yia S = Q xai S-1 = QT xai va
6iaonao0ei oe хоццатю, eva yia xa0e tdiodiavoopa. To апотёХеоца eivai oti
oXoi oi ODЦцeтQlxoi nivaxeg avaTuovTai oe цоуоёнаотатед пдобокёд noD eivai
xi аотёд ODццeтQlxoi nivaxeg та^еюд ёva.
Па(мт](Н1(Л] Eav ёvag nivaxag eivai пдауцат1хбд xai oi 1бют1цёд tod ооцбел, va
eivai xi аотёд пдауцат1хёд, тбте та tbiodiavoo^jiTa tod eivai enior]g пдауцатта,
Sioti eivai oi kooeig too (A — ХГ)х = 0 xai eivai SovaTov va onokoyioOGov це
anaXoiq)T|. Лота бцюд 6ev 0а eivai og0oyd)via, пара ц6vov otov о A eivai
ооццетр1хбд: A = QAQT o6r)yei ottjv At = A.
Eav о nivaxag eivai прауцаиход aXXa xanoieg 1бют1цёд eivai щуа51хёд,
тбте oi 1бют1цёд аотёд e^<pavi'C,ovTai ava 't,eoyr]. Eav r] a + ib eivai ьдюхщг]
jiQayfiarixov nivaxa, тбте то idio mifiUaivei xai fie ttjv a — ib. H opit,oooa tod
A - XI eivai по/.оо'^оцо це прауцат1хоод ооутеХеотёд xai yia тётою по?,оо^оца
oi щуа&1хёд pi^eg nave ava £еоут|. Stt]v пер1птсоот] 2 eni 2 о топод tcov qi^cov
nep^/ei ттр ±(62 — 4ac)’/2

5.5 М1ГАА1КО1 niNAKES: SYMMETPIKOI KATA EPMITIANQN
347
Па va е1цаоте axpi6eig, то фаоцат1хб Оесортща A = QA.QT то ало-
5е1^аце |rovo ott|v лерилтшстц лов oi 1&ют1цёд тов A eivai 51а<рорет1хёд цета^в
товд. Тбте влар/OBV осуовра п ave^apTrjTa i6io6iavBO|raTa xai о A Siaywvio-
noieiTai aveTa. Ev tobtoi; eivai akf|0eia (6е1те ttjv Параурасро 5.6) oti ахоит]
xai yia EnavaXap.6av6fiEVEg idion/zeg, evag ovimetoixoq nivaxag s^axokovOei
va e%£i Eva TikrjQEZ ovorrjua ogdoxavovixatv tdiodiavvafWTWv. H axpaia nepi-
лтсоот] eivai автг] тов tobtotixob nivaxa, лов eyei A = 1 enavaAap.6av6p.evr] n
срорёд, ywpig va [xeabveTai то nXr|0og twv i&io&iavBo^iaTwv.
Tia va TeXetwvoBfie це тт] myaSixi) nepinTwoi] уресаддцаоте то avaXoyo
evog лрауцат1хов opOoywvioB nivaxa —xai цлоре1те va цаутёгрете tl OB^eaivei
це ttjv ала1тт]от] QTQ =1.0 avaoTpocpog 0a avTixaTaoTaOei це tov ov^vyij
avaaTQocpo xai r) OBv0r|xr] 0a yivei UHU = I. To урацца 17 avTavaxXa to vёo
дvoцa:* Evag fiiyadixdg nivaxag fie opOoxavovixeg crnjAeg Aeyerai OQeofiovadiaiog
nivaxag.
OpOopovadiaioi nivaxeg
Na лротеЬовце ц1а avakoyia; Evag Egfiitiavog nivaxag finoQEi va avyxQiOEi
p’ evav nQay/iarixd а(нвцо xai evag ogOonovaHtaiog nivaxag finoQsi va (ivyxQiOei
fie evav affiOfio tov povadtaiov xvx/.ov -evav myadixo ар10цб алд/.втцд Т1цг|д
1. Tia Tig 1бют1цёд т] авухрюг] автт| eivai xaTi лерюобтеро ало avaXoyia: Та
A eivai лрауцат1ха oxav Ан = A xai nepieyovTai otov ^ivadtaio хвхко otov
UHU = I. Ta idiodiavt^aTa eivai opOoywvia xai eivai ^bvotov va entAeyoBv
ёто1 (Ьоте va ё/OBv цova6la^o цтрсод xai va yivoBv opOoxavovixa.**
Oi i5idTT]Teg автёд e^aoipa/.ioTTjxav yia Ep^TiavoBg nivaxeg (овцлерйац-
Savo^vwv twv овццетр1х<1™), aXXa Sev ё/OBv ахбцт] anodei/Oei yia opOoiiova-
SiaioBg nivaxeg (oвцлeplXaцбavoцёvwv twv opOoywviwv). 'Etch npoywpc^e хат’
eB0eiav oTtg Tpetg ibioT-qTeg тов 17 лов ovtiotoi/obv oTig лрог|уовцеуед icHOTqTeg
1 ёwg 3 тов А. 0вцг]0е1те oti о U eiye opOoxavovu^g отт|Хед:
UHU=I, г] UUH =1, r] UH =U~}.
Авто obr]yei хат’ eB0eiav ottjv 1б1отг]та 1', oti о лоХХалХаоюоцбд це 17 5ev
ё/ei ел15раог] ота eowTepixa yivo^va г| Tig ywvieg 1) та цт|хт]. Н алббе^г] eivai
ц1а ураццт), onwg axpiSwg rjTav xai yia tov Q:
* 2.T.E.: Xxa ayykixd opOonovadiaiog eivai unitary (=|xova5iaiog).
** Лу/отгоа m'yx.oi voiyu: “avTi-EoLUTiavOTiq” nivaxeg |ie xaOaoa cpavTaaTixorig aoi()|ioik xai
‘xavovixotjg” nivaxeg це iiiyadixoiig aoi()|_ioc>g a+ib. 'Evag nivaxag /(iioig oo()o-/6>via i6iodiavva|iaTa,
6ev avrjxei ae xaii|iia an' аотёд tig хатту/ooieg xai eivai evxeXd>g eEcu ал’ аитг| tt|v avaXoyia.

348
1ДЮТ1МЕ2 KAI IAIOAIANYSMATA
IdioTqTa 1' (Ux)H(Uy) = xHUHUy = xHy xai (diaksyovTag у = x) та
piqxq SiavqpovvTai:
IF< = II<-	(ii)
H sndpvq ьбьбтфа EVToni^si xq 0soq tcov idioxqicov too U Xai dei/vEi oti xa0E
Л KEoiE/ETai otov piovadialo xvxko.
IdioTTpa 2' Ka0E idoTip.q too U еуы andXvxq Tiyir| |A| =1.
Avto snExai ацвашд ano xqv Ux = Xx, ovyxpivovxag та yiqxq tcov dvo nXsvpcbv:
||{7ж|| = ||ж|| хата tt|v IdioTqxa 1', evco navxoxE ||Аж|| = |A| ||ж||. Ара |Л| = 1.
Idioxqxa 3' ISiodiavvoyiaxa nov avTiOTOi/ovv os diacpopETixsg idioxiyieg
Eivai op0oycbvia.
H anodsi^q vno0ETEi oti Ux = X\x, Uy = X2y xai naipvEt socoxspixd yivoyisva
scpapyio^ovxag xqv IdtoTqxa 1':
xHy = (Ux)H(Uy) =(Xix)H(X2y) = XxX2xHy.
Svyxpivovxag ttjv apiOTspq vq ds^td nXsvpd, е/ооце A1A2 =1 q xHy = 0.
'Оцсод, хата xqv IdioTqxa 2', Ai A, =1 xai etoi dsv pnopsi va ioxvei A1A2 = 1.
Ара xHy = 0 xai та idiodiavvoyiaxa sivai op0oycbvia.
ПАРААЕ1ГМА 1 f7=[C0SJ “Sm?
|_ sin t cos t
Oi tdioxiyiEg avTcbv tcov oxpocpcbv sivai eu xai e~lt nov exovv anoXvTiy Tip)
sva. Ta idiodiavvoyiaTa fiivai x = (1,-г) xai у = (1,г) nov sivai op0oycbvia.
(0vpy0£iTE va napsTE xovg ov^vysig ото xHy = 1 + z2 =0!) AtatpcovTag та це v^
yivovTai op0oxavovixa, xai r] dtaycovionoirior] tov U Eivai
Г cost	— sintl	_ 1 Г 1	1 "I Г elt 1 1 Г1	zl
[sint	cost ]	y/2 [-г	z] [	е-г4_| ,/2 [1	-г_|
ХфЕиоотЕ oti та проотща tcov г xai -z dAXa^av хата rqv avaoTpocpr). Прауцатц
q ds^ia nksvpa sivai yivoyisvo xpicbv yiovadiaicov nivaxcov nov napayEi svag
qovadiaiog nivaxag ота арютвра. Avayisoa o’ oXovg xovg pyadixovg nivaxsg,
to sndyiEvo napadEiyyia divsi tov nio EvdiacpepovTa op0oyiova5iaio nivaxa.

0 0 0 1'
10 0 0
0 10 0
.0 0 10.
£ vwiiavvdvn
•jaijnoj giionmiUXo
-niapv аХпд лох зг! ndoAUdA isgoiAoyoira пл isdoirrl xfi ox no siiao^iiia©
•плз 5oxlni SUoiirs 1зХз	‘x ‘x) = x,q oi inx SnxUxgAXao
поотхомао здпх таи 5здо<Ьшзлао 5зо1 isXsidsir (о ‘0 Ч) = х 01 Sonrg niioaAnig
плд_ •(1лгох1лот15п„ лсолзг1тлог!зг1 лотх niioiodgn ох плодХдхапх inx z|fx| лап
niioiodgn oi шл13 msXdsAS н giionniiUXonxsii лох nxsii шзЛдзлз л1п 3ii inxaooi
лотзопхопхпх odoiX лохо maAdsAS н 'Xfl aox 5oxliii ox 3ii oigi ox тл1з x Soxniio
-алтд aox 5oxUii ox ‘лотхплпг AmimgnAOiiogdo лотх д nxUxgigj лкх пхпд
fl о тл13 fi аох SorbodxouAn q -(m зо m
ox lajnyyn aoir) nisXioxo UAa^ao SnxAoXdmir inx (sxoirix is^n’f/n лзд aoir) лох
ЗпхлосЬ^хоплп sxUgsdg aox SgcbodxoiXAn о ‘Soimgmoiiogdo лпхк jq о Ugiairg
•(хдзлао aoir oxan ndgn зт1ао510солЛплу '(n =	= г_т ox girn шхпхо1дпхплп
ai ox no ox oirn 5дххз ‘Udbdoii Smgidxn nigi лкх 1зХз aoir ‘aox дсЬодхоплп лох mx
3iin<HndAnxnx msiiaoAUodir nx^ -Зпхплш Somigmoiiogdo шл13 лдктоу qq q
‘0 = (l - Ж)/(1 - UM) niioiodgn r/nir
лаод1д д.| aox 51зт1плад iq ‘f г 5дпгзлао mx fiHfl aox аомотАтд SUx 5дххз
niaXioxo 3iiao^nx3^3 ixoig Д aox Uxusdodmig ‘Зодплох! SUx n^id v/nir шл1з mx
г_дп 3ii inxaooi Uxay'm aox Uiimag nni тл1з 3^ ox Uoroxiridsir Udsxasg Ux;^
тхз^1лздит< j - um ox mx
(l - ai)/(l - um} толзз niioiodgn ox ‘nxidgsX^y ’лэдкН тлр - j aox Sa^id Ssxo-xt
10 5зуо тл13 aoir- m aox лотз11плад и лотх niioiodgn ox ng is^iyncbon^a СЫолпхпх
U Uxay 'оухах лохо ЗзлзШ^злпхпх ndidoiigioiio тл13 51зх1плад 10 aoioiro aox
3ii inxaooi mx ‘u/ir^ = q птстЛ 3ii о^хах О1тдплот1 лохо mxsXsidsir Д
aox n^id Uxoo-ir nni reais m Sgiigidn SgxignAni о Uooniridair Uxgidir лих^
’0 = (j-utH + • • • + гД1 + Д1 + l) — ШЛ13 fi aox C UyUxo iirs Hfi aox г UiiiindA.
g = Q-t/n + • • • + ^cn + m + j)— тлр fi aox 2 UyUxo iirs Hfi aox j UiiiindA
:<;•£ aodrodAndnn 5Ux oniiUo дх^хлзх ox 3iiao^iiiagA3ira mx launog
aoiionniiUXonxsii аолзг1о^з1гз1г aox nxUxgigi SUgcoiyaiisg U тлр f = fl Hfi ng
ЗдлоЛзЛ од ('u/^ SoxUii 13X3 f[ aoxiXdn aox UyUxo здпх ndn Д Uiiix Uxaygirn 13X3
013X10x0 здпд) •nxniioaAmg nmignAoii 30 SsvUxo Six i3^3iiriiao u/^ AoiAndnir о
= fi isunoj SnxnAiir q 4 VKJI3VVdVn
NONVLLIJNda V1VH lOMIdlHWWAZ :S3>IVNILI lONIVVJIlM S’S

350
1ДЮТ1МЕ2 KAI IAIOAIANYSMATA
Аттод eivai evag op0oycbviog nivaxag xai xaxd Tqv Ibidxqxa 3' 6a npenei va
exei opOoYibvia idiodiaviJOjiaTa. Avxa eivai oxqXeg тот nivaxa Fourier! Oi
idioxqieg тот npenei va t'XOTV anoXTxq xqrq 1 xai eivai oi ар10цо1 1, w, ...,wn~}
(q 1, i,i2,i3 yia xq ovyxexp^evq 4 eni 4 nepinxcooq). О nivaxag аттод eivai
прауцат1хдд, a/Ad oi i5ioxi|ieg тот xai xa idioSiavTonaxd тот eivai piyadixd.
Kai цю xekixq oq^ieiwoq. Oi avxi-Epmxiavoi nivaxeg ixavonoioijv xqv
KH = -K. oncog axpi6cbg oi avxiOTpqiexQixoi ixavonoioijv xqv KT = -K. Oi
ididxqxeg тотд npoxTnxoTV ацёосод and xq oxevq a/eaq тотд це тотд EppnavoTg
nivaxeg:
Eav о A eivai Egniriavog, тоте о К = iA eivai avTi-EfffiiTiavdg.
По/АапЛата^отце це i, dpa oi idioxqxeg тот К eivai xaOapa cpavxaoxixeg
avxi yia хабара прауцат1хёд. Ta ibtodiavxo^ixa dev aXXa^OTv. To Ep^navo
параёе1уца tcdv npoqyoT^vcov oekidcov 0a odqyoToe oxo
K=iA=\ 3 + 3г]=-Ая
[ -3 + Зг 5г J
Ta dtaycbvia oxoixeia eivai nokkankaoia тот i ^qdevixa enixpenovxai). Oi
idtoxqieg edcb eivai 8i xai — i. Ta i6iodiavvo|iaTa eivai ndki opOoycbvia xai
ёхотце nd/а К = UAUH, це evav цova5la^o U avxi yia прауцапхоу opOoycbvio
Q, xai це та 8г xai -i oxq dtaycbvio тот A.
H napaypacpog аттт] OTvoipi^exat oe eva nivaxa avaXoyabv цета^т npay-
цапхоА xai myadixcbv.
nffayfiatixoi evavri Miyadixtov
Rn=x<j)OCK diavwp.d-uuv fieri Cn= X<«pog diavuafidrojv це n
лрауцапхёд owiorcbaeg	Ц1уа&1хёд owioxcboeg
цг)ход: ||ж||2 = x2 + • •  + x2n цг)ход: ||ir||2 = |ж1|2 +  • • + |zn|2
avaoToocpog:	= Aji <-> Eppixiavog avaorpocpog: A.^ = Aji
(AB)T = BTAT (AB)H = BHAH
eocorep. yivo^vo: хту = x\y\ + • •  + xnyn «-> eowrep. yivo^vo: хну =x\y\ + • • • + xnyn
(Ax)Ty =xT(ATy) (Ax)Hy =xH(AHy)
OQSoycDvidxqxa: xTy = 0 <-> OQ0oy<DVi6xqTa: xHy = 0

•р 1=/т тох RP
L?fr + ?J	L?tz —zJ
aoti oattIoaiA ох1бзютоз 01 тох tixLiii oi siisdg 9’g’S
•J43 зо о ош» toisadSod ? 01 5<O0ox ‘одзхшз 0x190X11!
010 loiod§ni2 lii 3100193X3 '0 = ? I зт! 1010001 ,(?+[_)Э 5oiiQiSo 50x190X11! о (9
‘.x = {_x лаоХз ooic lorigiSo 10x190X11! io toiaoxo
-169 аоц :5злзт!Хо131лоо Ssxiyoir зо x тох ‘^x 01 toais oioir = x лра (n S'S’S
5oiidi о toais aoimdK aoi Sogax о тох ‘Sodsiasg о toais aoiaidir aoi
олотХрд131 oi 110 oiioiXoyoim 5oi30O3 зт! sioasgliyoxa 'c06'о09'o,0£ = в 5з]лотХ
SsxivoK зт! ‘ovxgx 0TO190AO1I лою qi + v л<от!()1до aotx^oXit! aoti q тох v 01 змздд f‘S‘S
>|
X зт! loiaooi |ж/х| Мп liiayoxo U 110 тох |Л| шз |ж| зт! 1010001 |/Z.-r| loin liiayoiro
li no 3ioa30lqoira ‘ft/x iox x/i ‘fix ‘xx ‘x 01 311369 ‘l£ + X = ft IOX 1 + 1= X лра ££•$
loyxox оппдолот! лою лгот!01до 009 от!отод0р oi (9
:оухах oioigoAoii лою A<prl0ido 009 oastIoaiX 01 (X
toyxax oioigoAori лою aoii0ido 5олз liXaAao aoi (9
iaoi SaoXa^ao aoi tox aoi!0ido 00x190X11! 5олз orloioogp 01 (о
OlX 31131Г da зпздоит! iq Z'S'S
iaoyxax ooidi9daot! aoi Soixs li 5о1лз toiaoXtiosxj
5aoi 5зт!и 5зюуо1го 5ii tox SisXa^ao 5aoi 311309 (X
5aoi oastIoaiX 01 тох от!оюд0р oi 311369 (9
0931ГШЗ 0x190X11! ою Saoi 5i3O30 5u 311369 (ю
г — x юх гр + £ 5aori0i6o 500x190X11! Saoi oij i‘S‘S
zmshmzv
'X = |y| здпх inx
рхтлолпходдо толр /] inx aoti пютЪалтдспдт ni inx ЗзтНпдЛ io ‘Ssyliin iq
ll^ll = Ik-flllTOZ йд-ж=	1И1 = ||*&||	= (^b)j(xb)
[-Z2 = Hfl Ц / = ЛНП тото19олот1о0бо «-»	li 1 = b f b "aim ioiao>Xo06o
jf— = :5зхолш 1оло1пт!ба-11ло <-> %— = :5зхолш loxidisiiiiaoiiAD
(V 5охиот!Хоб1г) нп\П = Х-П\П = V (V SoxnoiiXodif) jb\b = \-b\b = V
у = ну :5зхолш lOADiiTridq у = ^у :5зхолш loxidisrliiao
NONVUIWda V1V4 lONIdiaWWAX :sa>IVNIU IONIVVJI1N s s

352
1ДЮТ1МЕ2 KAI IAIOAIANY2MATA
5.5.7 Госпрте tov nivaxa AH xai onokoyioxe xov C = AH A, oxav
4! S ?]•
Floia eivai r] охеот, цета^о xov C xai xov C^; Мх|ло>д aoxx] in/iiei oxav о C
xaxaoxeod^exai ало xanoiov A;
5.5.8 а) Хдх]О1цоло1Т)ахе anakoicpi) yia va kdoexe to Ax = 0, це xov пдох]уооцеуо A.
6) Aeitxe oxi о |xr]6ev6xcoQog noo цок1д олокоу1аате, eivai ogOoyibviog axov
H(AH) xai d/i otov ovvrjfh] %o>qo удащшж TZ(AT). Oi xeooegig Оецеккобек
onoxcogoi отт] myadixx] neginxcoax] eivai jX(A) xai 11(A), блик; xai ngiv, akka
oi akkoi eivai Tioga ,X/(AH) xai 1^(AH).
5.5.9 a) Ilcbg axexi^exai x| ogi^oooa too Ah це aoxx| xov A;
6) Aeiijxe oxi r] ogi'^oooa evog Egmxiavoo nivaxa eivai лдауцатсхх].
5.5.10 а) Пбооод баОцобд ekeo0egiac exei evag лдауцатсход ооццетдсход nivaxag,
evag лдауцат1ход Siayibviog nivaxag xai evag пдауцат1ход ogQoycoviog niva-
xag;
(H лдсотх] anavxxjox) eivai то абдокхца tcov 66o akkiov, 6i6xi A = QAQT.)
6)	Aei^xe oxi oi Egmxiavoi nivaxeg 3 eni 3 exoov 9 6а0цо6д ekeo0eglag xai oi og-
0оцоуаб1а1о1 exoov 6. (Tioga oi axx|keg too U цлодохгу va nokkankaoia^ovxai
це адсОцобд егв.)
5.5.11 Гдбсфте xovg епбцеуоод nivaxeg отх] цодсрт| Х]Х\х^ + \2Х2Х^ тоо сраацат1хо6
0есодх)цаход:
dUb инь
5.5.12 Дсооте xr]v е^х|ух]ох] oxav eivai осоотб xai сп/тсладабесуца oxav eivai ka0og:
a)	'Oxav о A eivai Egmxiavog, тоте о A + ii eivai avrioxgexp^og.
6)	'Oxav о Q eivai ogOoycoviog, тоте о Q + (1/2)7 eivai avxioxgeip^og.
y) 'Oxav о A eivai лдауцат1ход, тоте о A + ii eivai avriaxgeip^og.
5.5.13 Yno0eoxe oxi о A eivai аиццетдсхбд nivaxag 3 eni 3 це idioxqieg 0, 1, 2.
a)	lloieg i6i6xT)Teg ioxoovv oiyooga yia та iSiodiavt^axa u, v, w,
6)	Ilegiygdi|n:e xov цx]6ev6xcogo, agioxego Ц1^6ev6xcogo, xwgo удаццоА xai x^go
oxx]kcbv too А, це тх] 6ox|0eia xiov u, v xai w.
y) Bgeixe eva бкэ^ооца x yia to onoio Ax = v + w. Eivai to x цova6lx6;
6) Yno noieg oov0x|xeg yia to 6 exei x] Ax = b koax];
e) Eav та и, v xai w eivai oxi]keg too S-1, noioi eivai oi S-1 xai S-1 AS;
5.5.14 lloieg xaxx|yogieg nivaxcov, otov елоцеуо xaxakoyo, negiexoov xov A xai noieg
negiexoov xov B;

5.5 М1ГАД1КО1 niNAKES: SYMMETPIKOI KATA EPMITIANQN
353
OpOoycovioi, avnorpeipiiioi, npo6okiq, jienWeoiq, EpgiTiavog, та^есод 1, diayorvio-
noir|0i|j.og, Markov. Bpeire ng idionprg тот A xai тот В.
5.5.15 Пою eivai iq SiaOTaoiq тот /сорот S okcov tcov npaypanxcbv OT|t|ieTpixcbv nivaxcov n
eni n; To сраоцапхо 0есоргща keei oti xa0e отццетргход nivaxag eivai OTvdTaopiog
n nivdxa)v-npo6okcbv. Псод e^iqyeiTai to yeyovog oti аттт| rq didaTaaiq ^eneovd то n;
5.5.16 Катаурсгфте ano pia oiqqiavnxr| ididrr|Ta yia Tig idionpig
a)	Evog прауцапхот отццетргхот nivaxa
6)	Evog етотаОотд nivaxa, dTqkadiq evog nivaxa A, yia tov onoiov okeg oi /.Toeig
Tiqg du/dt = Au Teivow ото piqdbv
y) Evog op0oycbvioT nivaxa
6) Evog nivaxa Markov
e) Evog екаттсорапхот nivaxa (ptq diaycovionouqoiqioT)
g) Evog ididpopcpoT nivaxa
5.5.17 Aeigre oti av oi U xai V eivai op0opovadialoi, тоте то idio io/tei xai yia tov UV.
Xpiqaipononqare то zoiTiqpio UHU = I.
5.5.18 Aei'^re oti iq opi'goToa evog opOopovadiaioT nivaxa ixavonoiei Tiqv | det f7| =1, akka
iq opi^oTaa dev laodrai anapainqra p.e 1. nepiypatpre окотд тотд op0opovadiaioTg
nivaxeg 2 eni 2.
5.5.19 Bgeire ttjv тсптг] anqkr), etoi слоте о
Г 1/^3 i/V2
и = 1/л/З о
|_i/V3 1/V2
va eivai opOopovadiaiog. П6от| екет0ер1а Tnap/Ei onqv enikoytq;
5.5.20 AiaycoviononqaTe tov avn-Eppinavo 2 eni 2 nivaxa К, тот onoioT oka та otoi-
%eia eivai i. Ynokoyiore тотд eKt = SextS~x xai enakiq0eTOTe oti о eKt eivai
op0opova&iaiog. Пою eivai iq napaycoyog тот yia t = 0;
5.5.21 Педнурацгте окотд тотд nivaxeg 3 eni 3 пот eivai raind/gova Eppinavoi, op0opo-
vadiaioi xai diaycbvioi. П0001 to nkiq0og tetoioi nivaxeg Tncip/OTv;
5.5.22 Ka0e nivaxag Z diaonciTai oe evav Eppunavo xai evav avTi-EppiTiavo Z = A + K,
oncog axpiScbg evag juya&ixog асяОцод z SiaonaTai oe a + ib. To прауцапхо цёрод
тот z eivai то (z + z)/2 xai то “прауцапхо цёрод” тот Z eivai (Z + Z^)/2. Bpeire
avakoyo ттпо yia to “cpavTaoTixo цёрод” К xai бюопаоте тотд enopevoTg nivaxeg
oe A + K:
Ч3;* T] - 4*.
5.5.23 Aei^Te on 01 onqkeg тот 4 eni 4 nivaxa Fourier F eivai i&io6iavTop.aTa тот nivaxa
цета0ёоесод P тот Пара6е1уцатод 3.
5.5.24 Fia tov idio nivaxa цета0ёоесод ypatpre tov XTxkixo nivaxa C = cqI + c\P + C2F2 +
C3F3. (O nivaxag idion|i<bv тот eivai naki ёуад nivaxag Fourier.) Гратрте enioiqg Tig

1ДЮТ1МЕ2 KAI lAIOAIANYSMATA
Teaaeoig ovviOTiboeg tov yivo^vov nivaxa eni 6iavva|ia Cx, nov eivai T] ovve/.i^
tov c = (eg, ci, C2, сз) це то x = (жо, xj, хз, хз).
5.5.25 Tiani yia evav xvxkixd C = FAF [ eivai nio ypriyogog о поккапкаоюоцбд це tov
F , цета це tov A xai цета це tov F (o xavovag avveX.i§T]g) пара о an’ evSeiag
поккапкаоюоцод це tov C;

то1лоАзупгз ninrioaAmgoigi ni ‘coinxndnir То1лздпхз aoir ‘AcprioiimiliXonisTi
xcoxiririndA лгох noocoyA lii^ -mlndn^SAn тохлооот/з^з Sisonioninx Ззукп
iO ’ЭтлотАтд толр SVi-S=V ° 11919 ‘тохзздлаооют nrilnoao oi ‘g = jy
aoir lioroiiridsir lixigis aLuj	° тол13 liomoi^s aIiid SnxnAiir Зозл о
= I+u‘7 I/- ‘ uajyy = l+u<1 JV toisaiA uny = i+un
w .	?p	,	ip
toisaiA
U 3101
•a Inliygnisri пзл mri isAnois ajy = n ^Sliiliygnisri UAnyyn,, mri no зюздока ‘n
оюголАп aoi тЛ Acodocbmg liomoi^s li Luxdoi^s lixidocbmg mri pgog Ay ‘JW i-JV
lorionagAao 10 loian iniAaoAdaonilig 5<nir siomtoriag па oirgx aoi is^i^V
•отоупсЬзх
oi 1злоизуз1 nioiro aIii зг1 uepjof luhdoii lii oirn inisgig lioliiAnirn Lixiysi ц
ijy oyliyyninx зг1ао^зупгз
лпз ‘/vyj JV aoi mA sriaoXaisir пл sriaodoirri licbdori lixiqis тоц (3)
•JWi-JV 10 ')oian юуо лаоХз 1013X1010 плюх ij, (l)
ininrilncods
ligqnysrisg oag AaoXdnira inx ‘y aoi 10101I9 юуо ‘JWj-JV Slubdori Slii Ззхплш
pirn тзлзАохю lidliyxgyo mri isXdnira пл 3iiaoA3riid3ir ‘пхтлолпд (’j aoi 3ii
т^зд ni giro inx 1X9 nyyn ‘T_j aoi зт< ndsioidn ni 91m у aoi s^nionyirnyyoir
lidnoynirn ц) -q = xy л1п зг! лтопг^пАдз лтр Sldiioynirn ninrilig ni inx
Anili nxiAoyoioad) Scogidxn Sonrg- Ssrliioigi U nxnAiir 5длз SisrinAag ‘5i3O(nm§3
Saxidothmg sri sionrig^nAds ЛП19 toisaiA aoir ‘nriU.9 gxiAoyoioach плз toais Sgian
SgrlonnrHiXonisrl о Soiliipiorio SoiionniiliXoinaii 5плз toais oyyn лою лплз
aoi girn liongnisri Ц loiorip то1лоАзу loian Ззхплш iq 'PVVi-IV тох V ЛГО1
a^nisri LiosXo lii 3Tiao<HndAid3ir пл mA Sodg Зозл Зплз aogi SnXdn
птз^тздХ Smi Ini пл тох pdoirri
U ЭдютлА толр Altri пл pdoirri 1л (liomiiridsir lixiinrimimys li) isXdnira Aliri пл
pdoirri AmiprioaAmgoigi SnxnAiir q -vdaioidv fio aoi od)odioiian aoi mx
mo jy orii(fi3dioiiao aioirU^aoioieo sri nyyn ‘oirgdi oigi aoi зг! iniAO^iinrlliXo
aoir "jyy^-jy SaorionagAao Saoyyn sriao^nis^s ‘ocbndAndnir ттазуз! aIii liian
fi ‘ndcpi AOTimioaAmgoigi nxnAiir aoi mA lynir inx /] srindindA ‘SgAninridg Anili
у о aoirg ‘Uomiiridsir LixignAiri I113 -nxiAOAnxogdo лаоАзупгз пл лдюлад толр
nimioaAmgoigi ni 119 sriao^irlagAsira пл mA g mA плп srintbndA ‘Sgxidisririao
Anili у о лшо, "(у 3ii srin^iyogriao aoir) SnxnAiir SoiAcoAmg Зплз Anili gy{_g
SgrionagAao о тох g aoi Ssylno 5no oiAaoisgoirois у aoi ninrioaAmgoigi nj,
'SVi-S 9г1опадлао 01 sXpidsirris аотоупсЬзх aoi aoian nrilig здпх ‘nxiiomoag
3V1HXOIOKO lOLAXIlVLAIHXXVXaLV  9'S
SVIHLOIOWO lOWZLLVWHXZVlHW 9 S

О юх X 53rinoigi то 1101g lr/охаз толу Uian lioaniricbir ц -Ssiinoigi 5п 5зхап 1зХз
пхплш З1о1г1лдлото1го 3TiaooLiAdaoii1Ug пл srlaoSoirrl liooniridsir птохазузх л1и£
X 53riiioigi 3ii Зпхплш sioirligooTOiro = JVyl_JV = 3 3ioi
•q тох
’] = 7V Л9Я
О тох х Ssrinoigi ari Uyogodir : [ | | ] =
О тох х Ssiinoigi зт! SgxwoAidi : Р ®
жу t - = а зх9х [ { \ ] = JV л”3
=	= а зх9х [J °] = ж лп3
•Q тох X Ssrinoigi зг! 5о1лд)Лтд ‘	= у VKJIHVVdVII
у лох loiorlo толу аок Ззхплш Заолзткпдо sriaoxoidg mlAisgndnir олзт1о1гз
oij -53191 то тол-13 -д тох у лап Ssiinoigi 10- 5aoi 5з^1б то тзкзлао ninx*
•5зо1 тол13 -д тох у лап тХалсоауок nxnoidlnxndnX т- Ззоао^до оад iq
'(IX ~ У>Р = IV W(IX ~ У>Р t-IV1ЭР =
(IV(IX ~ y)[-JV>P = (IX - IVVX-IV>V = (IX - S>P
nniAo^iiani ix — а тах IX ~V лгох Saoao^iQo io 110 зг1аоодпоштд
пл 51шшз sriaodoirri ‘Ssoao^iQo mA аолзтк>л1Л плолпх лог SniAgnoirorholiox
' v-IV лох зт^ 3xluonionyirnyyoir nTioaAnigoigi oj, д aoi liitnoigi тох толу у ц
•(Ж1-7У)У = (X\-W)a ^х\= xx_^gi^7 Х\ = ху
'\~IVaiV = У 1Х919 ‘^озтЬэ толу li^isgoirn н
д aoi x{_jy nrioaAnigoigi плз (о уХтохоплп у aoi х nrioaAnigoigi
плд, -Ssiinoigi 53191 5п лаоХз Q тох у то 3191 ‘jyy t_jtf = д лпд jg
•Ssrfuojgi 53igi 5ii ллоХз
5зх»лш ЮЮ1Л0 :ппг1Лпдк тох ‘длтох ппх лаоХз пл гзкздхс ng ioian Ззхплш то
1013,	= п 51и1т/дп1зт1 ЗЦЛп'/уп 5U1 аюзт! ‘лотдосЬтд 5i3oaioi^3 1л ЗззоаюУз
Ssxidocbnig 5по 1здо1лп(Ьг1з пл ySoKii Ззхплш 5aoi 5aoian ^п siokIiqooiokq
•пхплш oxnoiam лох jy хпо ЗпхлоЛзушз ‘у лох oigi лох тох 1злпдт1пу13зи:
аок ‘jyy^jy ла)хплш лап шзлзЛохто л1п зоаодосЬп liolnaids Likook ц
у ЛО1
oigi лох oirn InolidXas ош толу aoir jyy^jy лох шЛ Ucbdori mri srlaoxangnra
•53TiiolidX 51ю11гз толу 5зто1го то ‘Sisoltioiro^irn Ззхпопдд одзхоЛу Ззууп тох
лаоХорка пууп ‘lioltioiroyirn 1иплад LuoiAsri li толу птодзд Uiay -liong лпо
VIVHKANVIVOIVI IVN SaWLLOIVI
9££

:зг!аоуз0 аок пт1опдзкг1ао ox 1зл1§ аолзг1оллЛ аох
Зплрлпх о -у^ nw a пх ркп ‘liong U is^nyyn лпхо ‘pTioixnrikXonxsri pxixoxanx
лох Зкошз 1злпхо1дпк Зпхплш ЗосЬодхоплп о -а лтх рт!опарлао лпо
пг!озузхокп ox srincfindZ. тх (пхкудпхзт!п д пх 13лксЬп аок) orimxnriliXonxsrl
pxixoxanx лох зг1порг1дпсЬз 97 аосЬпбЛпдпц SUx Ззлрлпх 5аох Зпхлотдао^оху
•(j) prioiinriUXonisri omioiam лох nxkxpxixnrlAndK лкхо 1злпхо1дпк /р Зпхплш
о зхрх Skong kAnvyn к тл13 1злтдг1ао аок пт!Лпбк олог1 ох лпхо, '-л-ш	= 91
:лотхпг!оалп1р лотхюпд лотшупк лотх 5рг1опарлао тх 1ПЛ13 пл ззкздк Scorip д
39PN 1=,*3 = 'Л ЛГО1 5рг1опарлао = 9ц; :окрдх oipi лох зН тхз^пазхо
-пхпх (д- отхоз) Зпхплш Зозл о зхрх ‘иД‘”’‘1Л пзл зт!аодрк лпд
• илгив +----h = га ЛТО1 5отктадлао =
: fa охо д лох
5пхло5рг1дпсЬз 1зхкаходк у аох UyUxo С н ,иа ‘	‘ ia liong inx (kcbodxo li Зоткр)
£ pTioixnrlliXonxsri зг1аоХз ixo зхоздокх ‘оукп ауок шлзз 5одзг1 рхзддзЛуп од
•5i3O»0 ЗзхиздоЛхид 5одк 5т
‘oiioiimiliXoviati oiqi aoi лаолюю^дтс Ззхплгк loioiio
Sliong kAnyyn li
пхплзк лохо пзХз копдрткз ix 3iiaoonx3^3 пл lioag зо зхоптИз пдотх mx 5пхплш
о mx is^nyyn ‘liong lix srlao^nyyn лпд Sliong 5lii UiLoyiira aIii 01m minidn^a
5пхплш о :oxgox mx лпх1х 97 aodmdAnQnjj 5lix nrioiSoK лозук iks плд, ’»x»aik
апаз 3ti ini3A»ioid»i£ 5qiioii»iiliXo»i3ii SomiirtodJ. здю^ :1р1зух-пзр1 лкх зхрд
-Uria@ -клэхо пхпздго^з гохэлпЛ	= 3 wz V л.отхпл1к лотх Snxkxpioiio
козХо к ‘лотт1о1хпг1кХопхзг1 лотхтг1т1пдЛ лотх оюгоук охо зт1ао(кздхо1кз лпд
Snxkipiorio SprioixnriUZonxsjvi = Skong кЛюууу
•ЛОТХПЛШ
ог1отопукпууок зо 1зкздхпхзт1 лох ixpig ‘ззлауохаззр 5отт1р пбдзЛуу kxirlrindg
Н тддзЛ^у kxiTirindj кх кхЛплп 1зХз лзд 5prloixnrlkXonx3ii о ’одотХ oxnxopig-w
лохо 1зл1пдт1ао аок тзЛбзлз niri лпо— 5зтоллз 5зх1бхзт1отзЛ зт! куододк mri
к копухплп niri к kcbodxo mri зг1пазлкг1дз аокр ‘97 осЬпдЛпдпц лкхо otoik
тзАкро 5пт1 рхау -Ззхплш 5аох 4кп otoik шхлодабх аок лотт!о1Хпт1кХопхзг1 лотх
-1т1т1пдЛ лотх копхз^з- pxixkdmsg oik mx олзт!отлог1зт1 тл13 5одзт1 охоток од
лох зт! шхло^пюпукпууок пхпг1оалп1ро1р1 пх ixpig) у лох зг! лотхпт!оалтдо1д1
лотхкхдп^злп Зодкук oigi ох 1зХз J/yy^jy о ixo тл13 ‘sxonrip^idaXoi аок рхап
‘пдотх— Л(охпг1оалп1ро1р1 лсох Зкотххпуз 5клзг1оХзрлз тх лотгкхо!^! лотлзт!олпд
-т1пуплпкз коотхк1дзк лкх 1зоктокоххпх пд irepxof UcbOori ц SsxixsSodmig шл13
Li£
SVI.H±OIOl\O lOHSHVJNHXXViaiN 9 S

j SorioiinriliXoniSTi о аоко ‘£4/ 01 U) 54 01 той ‘лп^ЛоупАП дт))[ 'liyliio Iq aIiio
Ззюзузхлао Saoi sriaoiagoKOi tox q up za + q soo in orionagAao add 14 01 sriao^
-ndchxs Priaodg aoi пл mj -jy Srosong SUAnyyn Зпхплш о толр misg oyyn 04
oiaotAoiq liyogodir-nznAiic лох 1зл»х аок 5Uo»9 UAnyyy "Xj
толр 24 tox 14 oi noig ‘ЗоплотЛтр toais Soxoaik о ‘Leong Lii Lnao 5одк Sy
(npgas aIiio oi30px toais £4 01 aodro) 0 = inx (7 npgas aIiio то1зХз1дзк
14 01 aodro) 1д = 147 nnriAndp ’7 aoi mA (ллзоЛзупгз nxigis liong mri toais
liyyn li tox (x ‘0) = za ‘(o‘x) = la Uopg SligliAao li toais nip^ 'ЗзАоучкз oag
13А(пдзло(Ь Xj 01 tox ‘Uopg mri nmiAndK siomio^msQX ‘oxnAiir аоаз зт1
5отг1о sriaooluondoif лох пл mj '5Uong ni30liog 111 SidcnX Scodliyir misdrodAidsir
tox SoTioiinrHiXonisrl 5рхтНт1пдЛ толр oiay '0 Зотзорх 7 кнэдаз aIiio U^ogodu
U толр 7 ng anoa, -nTiAisgndnr 01 толр SlioliAli^p 5oirodi 5одзхаупх о тох
mdlnoari Зоткпх толр (аолзт1ол1Л aoi плрлпх лою тохз^бкю аок) U^isggKO н
JV V	= Я
а 5О03Г Л[/]а 5одк	л 5одк а[/] = Л
:ioiotig толр а тох a 5i3ong ЗзхпздосЬтр оар 5одк Зот ‘7 grionnri
-UXonisri pxirtrindA oigi aoi лаолпхтдпк аок q тох у Ззхплпк iq J)S
VJ.VWSANVIVOIVI IVJl SHWUOIVI
8SE

ng Uoroxiridsir UxixnriAndir лкхо) 5з1лотЛо0до толп пл inxnxmirn /] = JY ao1
Ззукхо iq oiioidoidsir лох лохап tira ‘JY^i-JV ЛО1 lybdoii Uyirn пхзхдп nni
siiaodg пл толп ло1гтоу niikygodir oj, -Зотздюлот/оддо тлзз пл зг/ао^здоздзи
лох тох ПХ301ХЛП siinir ‘jy обзхохплзЛ лплз 3iiaoolxdOT30 пл плу :UAd3id3ir
oAiy толп ‘S' = JY UoOTXiridair коклао Ux oirn ndsir ‘UoUaix Snri Uxmdir ц
JV oimgnAoiiogdo 3ii ЗзЪдог! SsxiAwAidj,
oxan
tirn зт!аоокххплп лкх пл лпгохпх inx от!алотауо1г охо nidodrodkyir лкх кхап
куо зт1аооотлха1Г11ао пл лохпладп nxixkri0idn толп ‘пхплто оупЛзк лплз mj
Эзткхокм то толп Ss^id то aoioiro аох (/у — у)1эр от!алотауо1г ox srlaooiAoyoira
пл 3iiao0mroodir пл ox oirn ‘одзхаупх ayoir толп охау (чохпхпдтг кокхоп
Urioggs лкхо тохпЛк^з 5Ux mikg плз тх £ отоупсЬз-я охо тохз<ЬпдЛлдз1г nigaoyoxn
птохзх nij^) -oiAcpAnig nidax лкхо ninnigng тохло^лпсМз Ssriuoigi то тох
licbdori UxwoAidx зо ninniong тохзЛплп Зпхплш о ‘Ззхап tjy 'Acoxlixoiorio лтуют
nigaoyoxn лтг1 зг1 TOXAO^iAoyoira Ззхап Ssiiixoigi то U^ndir лкхо тох Ззхкудпхзтк)
Ssrinoigi Six лаолксЬп Snxkxoioiio ioTioixnrikXonx3Ti то ‘пхз01хлу ’Ssrlixoigi зг!
козХо niiiiinx зХп лзд тох у аох лотгЫпдЛ одотХ лох тох одотХолздЫ лох
зоаодкхтд 5от1о1хпт1кХопхзт1Зотохзх Зплд, ’кууп лтт1 oirn ЗктМпдЛ oionyirnyyoir
пдтосЬп aoir пхплш лплз зт! (jndsxoidn пх oirn олот!) у лох sriao^nionyirnvyoir
пл лпхк U^ndir кхтопд к ‘коото^з лкх кхап -q = ху ох зт1аолау лпхо
тохло^1лп(Ьт1з лзд JYKt-JV ° Sroiro тотк>падлао то ixo iynir inx siiao^iAOjL
5о1лотЛтд лпхк aoir лохо зокЛкдо kong кхоото ц
•Soyirn лпхк лзд aoir ‘у лохо зокЛкдо a kong SUgluao ц -nxnriogAnigoigi oirn
тохпузхоют aoir kong nni зт1аоЛзупгз ‘nxnAiir опотЛтд зт! j oTioixnrikXonxsri
лох 3TiaooUxondnir пл sriaoXaxsir пл mj :AOTTioixnriUXonx3ii лотхпМпдЛ лотх
пооотуЛ Uxo nxnriAndir nigi пх тззу SUxoidgsAyn q ф5о1лотЛп1д толп JYKi-JV
о тох (g к) jy аох Ззукхо тохлол]/ пхау аох nxnrloaAmgoigi пх siiaodg
пл толп -5кокто1го1лотЛп1д nxUxgxixntiAndir лкхо- аох SUokioiroyirn Soirodx
Оуо Sroirg SnxnAiir inxsgig ixo отход, -пт!опдз1гт1ао oidgx ox sriao^irkoAa^
[7s sol
1э гЭ\ = ^а^=у
:ду осЬпдЛпдпц лкхо ‘5отлзг1аоЛкод1г зткхкпдЛпхпх
aoir ‘Skyogodir пхплш лох пл1д jy inx q Saox зт! Золздо^падлао тох ‘д охо
а ox oirn 13П1Г (ЗосЬодхоплп о толп отдз aoir) ]_JY Зпхплш ЗосЬодхоплп Q
[;_ -чи-лг
:Uylxxo U3 лкх пЛпдтг inx ^soaZa + $urs ia- толп (Soxixoxanx о толп
6S£
SV1HXOIOWO IOW3I.LVWHXZV.LHW 9 S

ag oio SUcbdori SlmmroXidi 5U1 UiUid»§3AD толп ns oio uepiof Utbdori [ [
tox if} aoi пзлотЛ kio ТО113130О1ГО1
aoi пдззо Ui зг! aoir ‘£jy oimgnAoriogdo лплз зо ‘ЗпзлотЛ пз^зр minx Ski ‘3
з1гз 1 пхплш aoi пг1оалпз§оз§з плз iniyiagoiroi ‘nrikg озтазуз! 010 ‘5оузу
O'
W 0
0
 0	0 0 1.
31O£ 'jY ПХПЛ11 £ 113
£ Золз liyliio kicnSir лкю лаод1из0О1го1 пл лршлар зплзз aoir zx пг1оалпз§оз§з
плз тох krinoigi mri ззХз 5oian Зпхплш q тозлюА ni§3g minx л1п iSAngriny
-ninx aoir £ 11ГЗ £ пхплш Л01 sri ndmi sionrig^nAos oignio odsiasg 013
*	* * 0
*	* * 0
*	*	*	0
.* * * iv,
ln = lnv

110 ззлзпг!ко lx iY = ircy :kdbdori kioroo Liio aoi liyliio liimdir л1и
‘лоюзХпуао! ч/]у, J/] олзг!олзЛ oi ззХз пл oj^ (-шкююлар lii kian зз^зупсЬоп^з
1р1шцэ§-шв1£) nionxignig j-j) ’iy] зг! sriao^iyogriao aoir Зпхплш 5озт§плог1о0до
5плз isifiaxoQir пл зюго зшз ‘oirodi oioirnx зт! пхплш ло1 зг1аол<рдку1гг1ао тох
^aogoidoigoodir пл лошлацп зплзз 5зу1ио 51зд1 Ззууп ю ‘mgnio 01 oian
пхплш aoi liyliio liimdir лкю sriaooliiagoiroi 01 пл тох х пг1оалпзд ото1§плог1
плз (о зг1аоо1по1гох1лолпх пл sriaodoirri aoir l'x пт!оалп1§о1§1 плз у Зпхплш о
Зошзлао 13X3, -ЗздосЬ Зздзооз! AniOAngrinynAnirs ng liocoiiridsir UdsipdisX liio
aoir ‘ iy liriiioigi лоюзХпуао! niri ззХз ‘p шз p ’Хш ‘Зпхплш 3gn^ li^iagoicy
aoi о1лгоЛт§ тдах лкю miAO^untbris тох j; aoi Saian (rl 53igi ю толзз у
aoi Sarhioigi iq -ЗрхзлтЛзд! отлп толзз пл j; =	о зюго зо1з ‘у] = jy
Зпхплш Soimgmoiiogdo ззХдхша ‘у пхплш рхзлсоЛзд! 3gnx mj
*-пздспз0 kio лоюзХпуао! ‘kcbdori кт!зокдХ ayoir mri ззЛрдтг ltiraps
aoi nririky,, 01 5отг1о, ’V озлозЛтр sriaoXaisir пл лотларп зплзз ‘пзлотЛо0до
зплзз П1пг1оалт§оз§з ni aoir Зсозосоигздзк 5ki 5р1хз тох (ф = jy srintbndA
VlVlNSANVIVOIVI IVN ZHWI.I.OIVI
09Е

5.6 META2XHMATISMOI OMOIOTHTAS
361
To yivopevo U = UxU^Ut, eivai enioqg oQ0o(iova6ialog nivaxag — avrd dia-
nioxcbGqxe orqv Aoxqoq 5.5.17 —xai exoi еуоице rov anatTOTJ|ievo xgiycovixo
U-'AU =T.
Eneidq avxo то Ххщца ефадцб^етас oe oXovg xovg nivaxeg, ou/va цад
emxgenei va апофгуоице xqv vnoOeoq oxi о A diaycovionoieixai. 'Exoi, 9a
цподобоаце va xo XQqoi|ionoir]oou|ie yia va 5ei^oi>|ie oxi oi dwapEig Ak rsivovv
ото ptjdEV, orav dAeg oi | Xi | < 1 xai oi ехйепхед [lOQtpig eAt teivovv ото jiqdev,
orav дла та Re Хг < 0 —xai цаХюта xaiQig va xgeiaoGovqe xo nXqgeg oiroxqp.a
ibiodiavoonaxwv, nov опобёоаце oxq Georgia evoxaGeiag, xwv Падаудафсоу 5.3
xai 5.4.
ПАРАДЕ1ГМА A = j exei xqv idioxipq A = 1 (dvo фодёд).
Mia evGeia idiodiavvonaxcov (oxqv nQaynaxixoxqxa q p,ovadixq) negva ano xo
(1, 1). Aiaigcbvxag xqv це то i/2 exov^ie xqv ngcbxq oxqXq xov 17 xai q dXAq oxqXq
eivai ogGoycbvia o’ avxqv:
Г7-1ЛГГ [1/^2 1/^2 1 Г2 -1П1Л/2 1/V2 1 Г1 21
u AU~[\/Vi -1/V2J [1	0 ] [1/У2 -1/V2J ’ [0 1J-
Avxdg eivai о xgiycovixog T це xig idioxqieg oxq diaycbvio. Tia цеуаАбтедо
nivaxa, xo ngebro бхща Ga edtde xov U\ xai Ga axoXovGovoav 01J72, t73,..., xai
xo ytvo^vo oXcov avxcbv divei xov 17. О опоАоуюцбд xov T dev eivai xai xooo
evxdgioxog.
Aiaywvionoiwvxag огццетдехобд xai eggixiavovg nivaxeg
Ефадцо^оухад xqv nio navw xgiycovixq цодфг|, Ga dei^ov^. oxi xaGe ov^
цетд1ход q Eg^xiavdg nivaxag —eixe exei dlaфO(эeтlxeg idiox^eg eixe oxi— exei
eva nXqgeg ovvoXo ogGoxavovixcbv idiodiaxaxqxaxwv. Хдею^бцаоте evav ogGo-
цovadla^o nivaxa, xov onoio цбХлд цад е^аофаХюе то Хт]цца xov Schur 5R, exoi
chore о U~} AU va eivai diayarviog. Tia va паце ano xgiycovixovg oe diaycbviovg,
Xgeia^ovxai dvo бтщата:
1. Eav о A eivai Eg^xiavog, xo idio ovцбa^vel xai це xov U~} AU:
(U-}AU)H = UHAH(U~')H = U~XAU.
2. Eav ovццeтglx6g q Egmxiavog nivaxag eivai enioqg xgiycovixog, тбте
eivai diaycbviog.
Eneidq о T = U~'AU eivai xai Едцтаубд xai xgiycovixog, eivai ахггоцатсод
diaycbviog. Tovro ovцnXqg(bvel xqv anodei^q evog Ge^Xicbdovg бесодгщатод xqg
Гдацц1ХГ|д АХуебдад:

шхзлзЛ ^£>у£) = I-£)V& = V TOZ & nxnAiir аопАотЛоддо 5олз 5зу1но toai3 5зхлу
U тлзз A(Dinrk)aAni§oi§i
1лЛормз mjv ’I- = eY ‘l = ZX = lY :53iinoigi 5злзт1олп9г1пупАП1гз 1зХз лом
Гт ° °1
О О I = V
Lo I oj
о 5miro
‘пхплш oxidisriiiao тЛ ndcoi 139X01 nrilidmg pxunriond) од VKJISVVdVLI
• О 4 пхплтм aoiiioliioir
Lt oj
-о1лотЛт§ Ini aoi nrioaAniQoiQi oaotI ox шл13 лом ‘охотдм oi зз^ЛЛзоодм пт!олл
-9190191 06310,39 oi ‘о <— 0 Soigne (() uis ‘0 soo) mx (о ‘x) пхтТоллтдопдт ллоХз
и*
5зхпл1М
loxidxsTtrho lol io ‘охлп (ii Lio30iiAn з^ -5лох o^nxari тз0пх ллолзг1пдпм пхт1олл
-0190191 ni ‘oido 01 тхз^ЛЛзоодм 5от0пх ‘тх 5311110191 5зх11здо<Ьт9 зт1 лотхпмм
Атх1дхзгМло 0169 лпо у лох зг1лоо11дтз0 пл зг1лодомр^ -лопптТоллп^о^т дома
-етЛо0до оуолло 5зд1лум плз 1зХдпмл но ох ох1юлпхпх пдлоЛто голу ‘5311110191
5злзт1олп9г1пуплпмз зт1 mx luioxn ‘5зхпл1м олохтохзгМло mj z liohdUindnu
£) лох тЛоу пууп 3ii ‘/j О1Ш9плот1о0до лрхптТЛпдм
лплз 1зЛпдпм 9хлу -nxiinrlAndM тлр П1ПГ10ЛЛП19О191 пх тх 5311110191 ю
‘Ху лох от11л9 30пх зо ‘UootxmiSsm tixidxsrlrho UxiiniiAndM aLiij j Uolidliindn/j
лотхп11оллп190191
л<рх1лолпхо09о оуолло 5зд1лум плз ллоХз1дзм (/j лох U) лох 5зу1но iq
у= /2Ут_/2 (lioiniMidsM IxxignXnl) у= £)ут_£) (1юсохм1дзм Lixiinri/mdM)
тхплш ЛО1Ш9ПЛ
-от1о0до 5олз П13011О9 lix зт11301помо1л<оЛп19 пл 1здомт1 5пхплш 5олппп1да
30пх тх пхпл1м ло1лспЛо0до 5олз тздкод lix зт1 1301помо1лсоЛп19 пл 1зд
-омт15пхпл1м 59xidi3Tirho 59хппт1Лпдм 30п^ (nriUdmsQ оиитог1от>ф) SS
V1VWZANVIVOIVI IVM ZHWLLOIVI
Z9£

JLj[iL [Ш	fjfl
HNhNi-Л = nHNNx-D = ЛнинЛЛМх-Л = HJLJL
’ЛАЦ-Л = <L лох 3r^1DX 1злтодт!ао 0191 oi ‘5дх1лолпх толр д/ о лпд (i)
:пхпл1к дхтлолпх зхоккдлотоко
лплз mA. тох тзуаод Ux лаолпх ninrilig пхап 0191 пд -у= J, 119 ‘nxmikg 09.9 зо
‘зтЬэ^рдокп 51зоотхк1дзк 53x1913 099 5и 5зхап тохиохопх Л01 зт! 099 то тох
тохло^тхопх ЛнЛ тох нЛЛ :1ох1лолпх 5koiK3 толр 5зхплтк ютотдплотк^до
IO 'zy лох зт! 099 то тох тохло^тхапх у ну тох цУУ зх?х ‘ hV = V :!ох
-1лолпх ndaoAio толр 5зхпл1к (loxidisririao к) толтпт!да ю 119 siomisrik^
AwimioaMoigotgi лтхмолпхоодо оуолао Ssdliyit плз лаоХз ютоко
io ‘5oigidxn толрхз толр 5зхплтк тохтлолп^ -у 5о1ла>Лт9 о толр
= х SgxwoAidx о ‘5зхпл1к 5аох 5901ПП siA 0Л911 тох 590100 ij 'МНЫ
= нММ ’ н-М ЛО1 зт* ТО130]1И131^ Л.П19 5рх1лолпх толр j; 5пхплш о JLS
“1ОХ1ЛОЛПХ,, тохло^пт!оло юхап 5зхплтк iq -лотт!01дп
лотхтдпЛп! лотх оуолдо охо рХтохоилп аок ‘nidoAliinx лкх kdkyxgyo пдотх зт)пх
-ку -аоух9х аототдплот! аох тох пло^п дохиопхлпЛ аох ‘пло§п аохппт!Лп6к
аох 59ori0iSn зо л9оХто1оилп inx nidoAliinx лкх кхап .о лаохклп 5зхпл1к
тоттдплот! тох 1олп1пт!да-11лп ‘толпшт!да !у 01лотЛп19 лплз зт! g 59xu(oAidx
о 1зхк1кт!ао 5зхпл1К 5аоток nij :1злзт!окп аок 01I9S9 лох згктофл'/пх пл 31)906
-окт! тох 5кокхотдз SlixiAoyoiood) 5пп! кокхлпкп лкхо пхлох 9^ок зхоптйд
•0 = rj :Цх1лз9кт! кх тзЛпдпк пл
тзкздк кууп лкх 9КП клзт<9О0аоуохп куододк птт! к ‘тотл(оЛо0до толтз 10601X9191
то I1913K3 то^ тохиохапх лох пт!отод0п лаоХз SsyogodK 10 ‘лаппт!оалп19О191
о^ол9о 5здк^к плз тзХдпка (мрзкд -?у 5 Ui odmXpiyi лою Ltvogodit U п>т
\-[ aoirp + •  • + ijOy = у -mioiodffo зо ^1юл/пл» lixnniiond),, aoi lixip
hi чзХз 53rinoipi 53xu3dodmig ц зг/ 5охолю 5рлпио1д71 здтру[ -олзтйпдо
пхлптИхоолот! толр -093KIK3 ох одкух9уо 4о куододк к толр аок- 5аох
пткпод0п ох ОЛ911 тох пхздто0ап 5откпх 5коткз толр jx^x тох ^х^х плзг!отлот!зт!
пх тох 1013, 'пхздто0ап 5ашпх лпхк зт)п§зуп19 аок ^-х тох ^х пх тох j
= у лкхо л9оХтохо11лп аок ло>1пт1оалп190191 О9зк1кз одкух9уо плз пХдпкд
Го	О	О I	Гт	°	°]	Гт	0	о1
’	0	f	f-	(Т-)+	0	f	f	(l+)=£tf£Y+Id-,Y=	О	О	I
1.0	f-	f J	Lo	f	fJ	Lo	I	oJ
тохзсЬрдЛ у о 319KO ‘099 5o)3^nx \-{ куододк тт! лаол]9 тох
тохло^парлао (плз 5отз§пх тт! 30пх) 5зуододк 5зха)дк 099 10	= iy кдтзкд
£9£
3VXHJ.OIOWO IOWZHVWHX3V1HW 9 S

TOrioaAOigoigi олог! юлз тох
?Y Urhxoigi Цхгдюлог! mri зг! 5юхюл1К 5ох1лсоЛ1дх 5юлз толп ?у хоукг! здюд
= JVrt-JV = r
:хоукг1 s зг! юхюлш ЛОХ
5одк Soiorlo толп зхох ‘nxmiooAmgoigi юхкхдю^злю s пХз у о люд QS
у лохо
опХтохо ао1лотЛю12 5дххз юлз ([лаоокхтокю л1п1 юл тох к) лаоокхтокю юл ndoirri
aoir 5злпхз толп у Ззлз^рлю^юуюлюкз то лолддо -лаодХаз^ю^ юл зхохлюк
лаодокг! Sarhxoigi ЗзхпхздосЬглд то тох ЗохглсоЛгдх толп у о 1x019 ‘тлспЛтд 0191
лкхо тохло51лю4>г1з 53111x0191 iq •ао1лспЛю19 Sraidax 5Ux юпХтохо юх окю солюк
Srogidxn у пХз юд ‘irepxof UcbSori U пкпу аок raiioaAipigoigi здюх тЛ ‘тох юхюлш
ох1хют1тххюуз люлз тЛ лохюлддю толп дхау -у тлотЛтд лох зт1 nxKiKiiao
irepxof ticbdori li аоко ‘у= SV\-S = £ лкхо зг1аолюх<Ь тох g = jy зг!аолдток
‘летхюг1оалю19О191 лотх1ххдю§злю оуолао 5здЦук пХз у о люд -у uppiof Ucbdori
li толп 51ю11токо1лтЛю19 5юпдюкоодк SlixoiAaii 5lix 51ххаю юткпузхокю од
'7Ю23Л7/1 О7Лд>Хю7д
одзкэооюзи лотлад 01 00g jyyx_jy лох 311аолюх юл толп 5ют< 5оХохо тох
5зхюл1к зхоккдтотоко тохлокздхшд 'jy лох mA orioidoidsK лох лохаю зйгобто
юдетд -j; lubdorl UxnmAidx зо JVFi-JV ЛО1 зт1юдз<Ь ‘/j 5юхюлш 5ото19юлот1одбо
толп юл jy о Ligrtyltg 5юхлотхтоку -SsxlixoioTio SsimgiMoriogdo зт) зт1юоаодокг1
аок охюлад одзхдуюх ох ‘осЬюдЛюдюк лкх кхаю со ‘юбстх idXsri зт)юлюд
uBpjof Utbdori н
•Ьаохюлад 5аодзходпХ 5аохо 5зхюл1К Заохюлад 5аодзхауюх
5аох окю- 1юотхк1дзк 1хх1лзЛ Uxo юдтх sxomigdndxo тох 1юо)хк1дзк 1гуюх U толп
Uxay -5зх1лолюходдо толп аок аох Ssylixo то толп аох oxmioaAmgoigi
»L ’V 0 толп юл пкздк лох зт1 Ssriixoigi 53191 Six пХз 5охаю Цдпкд -5о1л
-а>Лю19 толп юл пкздк	5oxmmAidx о ‘5ох1лолюх толп ду о люхо ‘тохд,
•(ог - 6Г9 £ Snolixoy)
5о1ла»Лю19 толп юл пкздк 5ох1лолюх толп аок д SgxwoAidx 5юлд, (и)
VJ.VWZANVIVOIVI IVM ZHWII.OIVI
^9£

олзрзх Sroidax 010 юЛидодюц oi oirn £ aoi Uaaxoninx aUi 1здзЗтолтгз пл inx 5nri lioncboirn
л1п 1з413дшлп пл pdoirri лодзХо aoir Uvirn 0091 toaijj Ud3iay»x U толр Aoddijij aoi U^ngoirn
U 110 соазюш inx 5згздзг1о11гзу гоЛоу лз 511 5з1пд пзлпх пл pgniroodir 5пз<ЗтодААао з()пу[ *
[: О ?Ш Шо ?]=
JAIh-JV
тохплш озлотЛпзд лплз зт1 зпхзлзЛ
охаох тох [ зо £ ох рдкудпхзз! пл толр олзз1аохк^ 01 ‘у лою j; лох giry
•5пззлзЛохзо 5Ui Skxan irepxof kcbdori It толр £ о зпх—
пззлзЛохзо пздз лкхо юуо лаохклп— loiorio толзз зохап 5зхплз1г зо 3x9 sriaoigpg
п© озлотЛпзд lixo зпхло^злпгЬз1з 5зг)зхоздз зо ‘зохзлтЛздх зплр aoir £ зпх д ‘у
5аох^ y = 1 + 1 зпх I = I  I 5зх лаозоколпхз 5зг1зхоздз зо 1»лр (аозлотЛпзд
5пздах 5кх лотрХзохо лотх пхпткэзоддп пх) клХз пх зпх у зт! 5зоз 5зуд зплр
Ззоао^здо зо :зг1аоаз0купзгз о^ xoyuri oapri -олз girn зпхр-pxoirn £ о зохз зпх-
гп/оалпзрозрз олрг! юлз зг! у зпх у 5зз1зхоздз 5зх лаоХз 5зхплз1г зохап 5здзоозх iq
[ I ] = Г ЛОХ° 5l3^X 10
зпх лаоЛкдо [j j] = д зпх [ Д *] = у зпх |j j] = д I VKJI3VVdVU
•nxnriApgndmr пхокдХаз
зпх пхздзз пхздзз1 ззопхз^з пл зплр irepiof lubdori Lix 5рлпх ззоклзхз^ пл пзЛ
Soiradx 5одзхаупх о зпх ^nrikxdndnir плз зплр 5ззздзт1ох1гзу лаодо^ пл пзА, 5одзт<
9XDOTD ох пзззгзлао пхп^ (’5з9плог1 аозлотЛпзд 5дххз 5зх Sayo ззозлпЛто^з пл зпх
лаозгру aoir nxniioaAniQOiQi пх пу9 зздзсЬплтгз пл pdoirri ‘у лохо кЛпууп
lidxiri mj\) -Slignxon пхзхздзп^з тох клХзхздзхг тох толр 5аох казхопхпх U aoir
пзхзп к толр 5отдздхп Srorig кхау -коотхкздзк кхзлзЛ опт к толр irepiof kcbdori
к 1x9 тох 5зхплз1г зо зоу9 зпхлаозокозлотЛпзд лзд 1x9 пзздкуп зплзз пдаоА.13
•5о0пу зплзз дхап 1x9 гоазхопг плздхзузд 'ЗпддзЛуу 5kxiririndj 5кх 5аох Sgxnri
-kgnri аох kcbadox лкхо пг1кдотзд ох дхап лаохздокох 5р<ЬпдЛ.Лао зоууоц
loiorig толр £
irepxof kdbdori пздз лкх лаоХз aoir Ззхплзиг оау -пхпгкрлпздоздз пхкхдп^злп
пдзхдооздзш зо ззХзохозхлп лпхд ‘xoyirri пдзхдооздзк зо зздозлп(Ьг1з пл
pdoirri kriixoigi пздз н озлотЛпзд кх ^п отлп1г 5здплот< [ - ш AaoXdnira
зпх Ssdocb ш зпхзлпдт<пуплп1гз кзЪхоздз к ‘у < ш к§пх ззХз xoyirrl ох лпхо,
SV1HXOIOWO IOWZLLVWHX3V1HW 9S

366
1ДЮТ1МЕ2 KAI IAIOAIANY2MATA
And tov A otov J то ^т]тот>цеуо eivai va yivei о nivaxag Tpiyaivixog xai xaroniv
v’ akka^et to 2 oe 1:
j7-’Ai7=[j j] =T xaixaroniv M~'TM = [J j]=J.
О U~x AU f|Tav то ларабег/ца tod кгщцатод tod Schur (ото 5R лрот]уооцёуа>д)
xai о U ел1 tov М odrjyei otov J.
Ало tov В otov J то t,T]TOD|ievo eivai avaaTQOipr] xai todto eniTDyxdverai
це evav nivaxa цетаОёоесод:
P~'BP =
ii; «I [i "Ш к

Го	1	21	Го	0	11
ПАРАДЕ1ГМА 2 A =	0	0	1	xai В = 0	0	0 .
[o	o	oj	[o	0	oj
Елетдг] то |ir]6ev eivai цю тршкг] i5ioTip.f| xai oroog 6do nivaxeg, аотб 0a
e|i<pavi^eTai oe xaOe цлкох Jordan. 'Etoi r| onapyei eva p.ova6ixo цлкох 3 eni 3,
г] DnaQxei eva цлкох 2 eni 2 xai eva 1 eni 1, r| onapxoov тр1а цлкох 1 ел I 1.
Suvencbg oi dovareg цорфёд Jordan eivai
[°	1	°1
A =	0	0	1	,
|_0	0	oj
Го 1 01
J2 = о о 0
[о 0 oj
Го 0 01
xai J3 = 0 0 0 .
|_0 0 OJ
Stt]v лер1лтсоот] tod A, to ц6vo iSioSiavoqia eivai то (1, 0, 0). Aga r]
цорфт) Jordan ё/ei ёva цоуо цлкох xai хата то хорю Оесоргща 5U, о A 0a лрёле1
va eivai дцоюд це tov Jt. О nivaxag В ё%е1 то eni лkёov i6io6iavDO|ia (0, 1,
0), ODvenibg r| цорфт) tod Jordan eivai J2 xai 0a лрёле1 va onapxoov 6do цлкох
хата цг|ход тт|д Siaycovioo. 'Ооо yia tov J3, аотбд eivai ало цдvog tod цга
окбхкт]рг] хатг]уор1а, афоо о цдvog nivaxag бцоюд tod p]6evixoD nivaxa eivai
о M‘0M = 0.
Tia va лрообюр1аооце tov J o’ aura та ларабетуцата, архооое ща
цётрцоц i6io6iavD<^iaTci)v —xi аотб eivai navTOTe bovaro, orav 6ev onapxet
хал лю локолкохо ало ща тршкт] 1бют1цт|. Sav yevixog xavovag бцшд, ц
Texvixr] аотт) тт]д цётрт]ат]д обт]уе1та1 oe expr]XTixi] хатаотаоц це т-qv текеота1а
аохт]стг].
Е<ра(>цоу£$ оид E^iomocig dioupoQtav xai arig diaipoQixEg E^iaibaeig (dvvap.Eig xai
exdETixeg /подсед). Eav о A biayaivionoielTai, тбте oi боуаце1д tod A = SAS-1
6pioxovTat eoxoka: Ak = SAfcS-1. Eav 6ev SiayiDvionoteiTai, ёхооце nakt

•irepjof Uthdori li ттзлрХЛлпиз 5cou тзлХтзр тох Uomiuidsu кНтоктоиотлсоЛптр
Uri kio тзсЬздютиз g nrikidndn]j oj, 'VS tox s'S SUi 5лоил1 5aoi sri лло1итит1ло
толлп (Uoroiuidsu к^токтоиотлотЛтр U) у тох g тплтз p тох jy 10 ЛП1О,
'°ni-W^f3F\[ - °ntV3 = П 3101 ny = ip/np ЛПЗ
°n[ ^V7r/V = °nLVy =‘Yn 319x 4ny='+itn лпз
.£ ПХПЛШ
оюкдХлз otu ло1 зт! у oxiXQn ло1 тззрлло лои jy о толтз 5одзт1 оууп о^ -5колу
5U1 лоил,1 ло1 5одзт1 толтз р aoi 5зсЬдог1 Ssxusgxs то тох 5з1лп 5тзг1рллр iq
5здосЬ \ — ш ттз^тлп(Ьт1з 7 лотЛпдпи
лозуи тиз о — птктллтротрт олот! плз зт! ш 5nikioyunyyou UriuoiQi mil oirn—
ш 5лодзЛзт1 xoyuri плз т/(?уэг?) толтз 5Ui колу U inx zn + iny = yp/Vnp
толтз ксЬлдох лкю коатот^з н ’?y3? тол13 51х1 ^°9Х Iх тох £п + ZnX = Tp/Znp
тплтз гп лк1 тЛ коотот^з н ’?уэ = £п 13Л/]2 котот^з пттлзуз! н '(5охтл(пЛтд1
тплтз 5пхплт1с о т1от§) копюпшхилп кхттШдплп зг1 тшзллу nrikioao о^
m	Г£п1	Гу	о	о]	F?p/wl
• 0	= on 01 oirn 5п1лголтхз5	Pn	I	Y	0	=	ip/znp
LoJ	Ы	Lo	I	Yj	[?Р/Огр]
:n?f = yp/np 5Ui колу kio тзХз13тМло ??/.э aoi Uyliio Uiidi н VMUiaVVdVII
•5Ui отлпи «pun Srogidxn ,^97 01 тпх отлотЛптд kio ?уэ = • • • + 7^ + x 01
тзЛпдтг лои •  + i^/z(??/’) + ??r + / 5пдтзо 5Ui nrioTOQgn 01 pun тзиилходи р1лу
:5коотот^з SUxiSocbmp
5кХтоют1лп 5U1 колу кю 5котиз тзЛкро пг1оллптрот9т олот! плз тох Urhioipi
Uyuidi тзХдпил лто ‘лгодосЬтр SUootot^s 5mri колу кю ттзХдзотзил пд 5о1лу
Г иХ 0	0 1 Г Y О о!
T-uYu иХ 0	= I Y 0 = иГ
Lz-«Y(T-m)“ 1~иХи nYj uL О I yJ
:пютд(пХз5
ттло^тЛоуоил xoyuri лоп 5тзг1плл9 то тох xoyuri оип 5отлотЛптр тплтз р Q
= (t-JVTJV) ' ’ ’	= =/У
:р ло1
5тзт1пллр 5и зюпт1о^птзОХ ndroi тох .лоозт! ою trepiof UtbSoii Ui зг!	РIV = V
SVUFLLOIOWO IOW3LLVWHXZVLHW 9 S

368
1ДЮТ1МЕХ KAI lAlOAIANYSMATA
Ekni^w о enopevog nivaxag va Slvei pia ег>хрт}отт] avvoipT].
nivaxag МетаахццатициЬг Ofioionftag
1.	О A eivai diaywvionottjat^og: Oi orf|Xeg tov S eivai iSioSiavvopaxa
xai о S~]AS =A eivai diayawioc;.
2.	О A eivai av9aiQ£to$ Oi отт|Хед tov M eivai iSiodiavvopaxa xai
yevtxevpeva iSioftiavvopaxa tov A xai r, po(xpr| Jordan M-1AM = J
eivai diaycbviot; це цлАох.
3.	О A eivai avBaiQerog xai о U OQ0opova6ialog: о U pnogei va emAeyel
erai споте о U~x AU =T va eivai TQiywvixoQ.
4.	О A eivai xavovixog, AAH = AH A : о U pjtogel va emkeyei exoi
сооте U~XAU =A. Etdixeg negmTcboeig tov 4, 6Xeg pe opOoxavovixa
iSioSiavvopaxa:
a)	Eav о A eivai EgptTiavog, тоте о Л eivai npaypaTixog.
a')	Eav о A eivai ngaypanixog опрретдсхбд, тоте о A eivai ngaypaxi-
xog xai о U = Q og0oycbviog.
6)	Eav eivai avTi-EgpiTiavdg, тоте о A eivai cpavraoTixog.
у)	Eav о A eivai ogOoycbviog T] OQ0opova6iaiog, тоте 6X,eg oi |Aj| =1.
AEKHEEE
5.6.1 Eav о В eivai opoiog noog tov A xai о C eivai opoiog ngog tov B, Sellite oti о C
eivai opoiog npog tov A. ('Eotw oti В = M~x AM xai C = N~XBN.) П0101 nivaxeg
eivai opoioi pe tov tovtotixo;
Пео1урсп|>те pe koyia okovg Tovg nivaxeg nov eivai opoioi tov	j xai ggeire
5.6.2
6vo an’ avrovg.
5.6.3 Е'§т]ут|оте yiari о A Sev eivai поте opoiog pe tov A +1.
5.6.4 Bpeire evav &iaywvio M, nov anoTeXeirai ano +1 xai —1 xai Sei^re oti о
2 1
1 2 1
1 2 1
1 2.
eivai opoiog tov В =
2	-1
-1	2	-1
-1	2	-1
-1	2
5.6.5 AeitjTe oti (orav о В eivai avTiaTQEipipog) о BA eivai opoiog tov AB.
5.6.6 a) Eav CD = —DC (xai о D eivai avTioTgeipipog) Sei^re oti о C eivai opoiog tov

•лтЛтЛвбви niagliog кх зт! вг!озузхоив ох зхоазлЫдз тох q aoi зхотЛоуоиу (9
тзаХот отоко лох втЛ <j вхвлти £ тиз £ лох зхтквдЛвхв^ (в
ZXQ + хэ£ + q толтз zxt> + xq + v aoi 5оЛтЛвдви н П'9'S
(]5вхвлти Зохпохавх о толтз лзу) (у ‘0) =	‘(o‘l) = lm т»л.тз ковд кдзхазд
k tox (y ‘£) = Za ‘(^ ‘y) = la толтз ковд кхтди li лвхо ‘вхвлти оХтохотхлв лох зхтздд
х = х£ :аох охавз лохо втТоалвтд здпх тзлузхо borioiinriLc/.onisri Soxnoiani о n’9’S
тотоИд толтз
тохав 5зхвлти то тхо зх^тзу ’(j— ‘у) = гЛ ‘(Т ‘l) = 1Л nl 5одк 5m тох 5котиз Scdqbx
(Х‘о) = Za ‘(О‘Т) = 1(1 ковд кдклао кх Зоди 5го аох вхвлти лох зхтздд ‘аодзитиз
аох ogy Зтзотух втздаз Зоди 5m ковухвлв втт! толтз j; 5от1отхвг1кХовхзт1 о лвд П’9’£
•р= W
„Зтзовд ЗкАвууп 5оиах„ о толтз 5охау 'тохлоЗтхавх ZaZp + laip тох гуЗэ + 1д1э
вхвт1оалвтд вх зхох ‘Зр = ЗэЗЗш + 1э13ш тох ip = 3э31ш + 1эПш ‘ЗаЗЗш + 1а31ш
= Зд ‘3а13ш + laiirn = 1д лвд :вхтддзЛуп кокхоп втвхазузх лкх зхоттпдздтид ОТ'9'S
р= эуу
:р ох зг1 э ох тзздлао jy 0 но вхтхктТдтдв зхоаздкувид -ЗаЗр + uip лво тох 5котиз
5тдвх Зд 3.7 + 1у 1э отктоадлао лво (б ‘£) вгкэалвтд ох зховдсЬхз ‘5тзов§ Ззтдт 5тх btj б"9'£
•а лспх
5аот1ова§лао лво 24 тох 1д вх Звхло^вдсЬхз лаохиаходи /у аох Ззукхо то l(f? ‘l) = гл
‘(S‘Z) = lrt ^DP9 I*10	= ZA = 1Л ковд кх тз^вуув jy Звхвлти 5отоц g"9*s
•лохвладв тхвх soo ox лаоЗтдо
аои ‘Зз^тд 5зхтлгоЛвдхзх юхтхотзухоив ЗвхлттоиогйокдХ (у у — y)iap аог1алтауои аох
Зз^тд 5тх зт<вхотд9 bq ‘аох Ззткхотдт 5тх sriaog вл тох у лох зг1аооктоиотлтЛвтд вл
зт1воаодоиг1 лв ‘вхтхздоЛтоту оиодх охтхздоЛвтд зт! лгот+иотдт лсох от1отЛоуоиа лох
зт1аоотдкухоуо вл тох втдах лкх оив тхвх втлтЛвтд втт1 sriaookdro ,л тзиздц -втлтЛ
кхо охтлздкг) озл ох лаоткздховхвх bq у аох тох р аох козд кхо лздкт! лаоЛпдви
аои ЗзЛодхо то тхотд ‘вуохаз твхз^тХзлао лзд и5от!отлздкт1„ о Soxay homisiihs
'WV\-IA
вхвлти аох (х‘у) козд кхо отзХтохо ох зхзотлздкт! вл зхого тохз ‘р втлтЛ кх зх^зувту
ГТ О О I	Г? V Я
' О 0SO3 0UIS = /у ‘	/ э р = у
Lo 0uis- 0«ooJ	[э 9 ® J
:jy “kcbodxo кдзитиз,, втоХах втт) тох у зхоикдлотоио зхокдгоз@ £'9‘£
(xG)X~ = (Х3)Э 3101 ху = Х0 мз тхо Звтздаз 4ив зх^тзу (Л
лсптТдтдв лспх
-30ТХЛВ кЛаз^ влв тохлоЗрлвгЫз вл тзизди о аох ЬзтТтхотдт то тхо зхвлвдзитТа^ (9
69£
3VLH1OIOWO IOW3LI.VWHX3V.I.4W 9S

370
1ДЮТ1МЕ2 KAI IAIOAIANYSMATA
у) noieg eivai oi iSiotqxeg xai та i6io6iavwp.axa tov D;
5.6.14 Aei^xe oti о цетаохтщатюцбд Tf(x') = f(t)dt Sev ё/ei idioxi^g, evcb о Tf(x) =
df /dx exei xa0e схрсОцб oav idiox^T]. Oi ovvapTT)oeig 0ecopo6vxai oti opi'govxai yia
xa0e x.
5.6.15 2tov %cbpo tcov nivaxcov 2 eni 2, ёотсо T о цетаохтщатюцбд nov avaoxgeipei xa0e
nivaxa. Bpeixe Tig 1&ют1цёд xai xovg “idionivaxeg” tov T (xovg nivaxeg nov
ixavonoiovv AT = AA).
5.6.16 a) Bpeixe evav op0oycovio Q exoi (bore Q~JAQ =A, oxav
[1	1	iq	го	0	01
111 xai A = 0 0 0 .
1	1	1J	Lo	0	3J
Bpeixe xaxoniv eva devxepo ^evyog ooOoxavovixolv ldlodlavvaцaтcov a?i, x.2
TT15 Л = °-	т T
6)	EnakT]0evoxe oxi т] ёхсрраот] P = xjx/ +X2X? eivai t] idia xai ую та dvo ^ебутц
5.6.17 Aeiijxe, oe dvo бтщата, oxi xa0e OQ0op.ova6ia.ioi; nivaxag A eivai diaycovionoiTjO^og:
a) Eav 01 A xai U eivai ор0оцоуабю1о1, то idio loxvei xai yia xov T = U~x AU.
6) 'Evag avco xpiycovixog T nov eivai ор0оцоуабю1од eivai diaycoviog.
'Enexai oxi о xpiycovixog T eivai A xai oxi xa0e ор0оцоуа6ю1од nivaxag
(це diacpopexix6g т) ЦТ] 1Йют1цёд) ёхе1 6va п>,т|оед avvoko idtodiavva^xxcov:
U~] AU =A. 'Okeg 01 1&ют1цёд ixavonoiovv ttjv |A| = 1.
5.6.18 Bpeixe 6va xavovixo nivaxa nov dev eivai Epmxiavog, avxi-Epmxiavog, op0oцova-
diaiog T| diaycoviog. Aei^xe oxi okoi 01 nivaxeg цеха0ёоесод eivai xavovixoi.
5.6.19 'Eoxco oxi T eivai 6vag avco xpiycovixog nivaxag 3 eni 3, це oxoixeia tjj. Svyxpivaxe
xa oxoixeia tcov TT11 xai THT xai deluxe oxi eav eivai ioa, тоте о T прёпе1 va
eivai diaycoviog.
5.6.20 Eav о N eivai xavovixog, deluxe oxi ||2Vxr|j = 11NHx11 yia xa0e батхтца x.
ЕоцперсАате oxi T) i ураццт] xov N ёхи то idio цт)ход це ttjv i отт|Ат). 2т]це1шог]: Eav
о N eivai enicxqg (avco) xpiycovixog, avro odTjyei naki ото оуцпёраоца oxi прёпе1 va
eivai diaycoviog.
5.6.21 Aei^xe oxi, oncog loxvpigexai xai то 5T, ёvag nivaxag це op0oxavovixa idio-
diavvo^xxa, прёпе1 va eivai xavovixog: Eav U~^NU =A r] N = UAUH, тоте
NNH = NHN.
5.6.22 Bpeixe ёvav op0oцovadlaio U xai ёvav xpiycovixo T, ёто1 cbaxe U~} AU = T, yia
л,[’ Z|] xOl о о].
5.6.23 Eav о А ёхе1 idioxqjig 0, 1, 2 noieg eivai 01 idioxqxeg too A(A — I)(A — 21);
5.6.24 a) Aei^xe це хат’ ev0eiav поклапкааюоцб, oxi ёvag xpiycovixog nivaxag, A./, ёvag

5.6 METAXXHMATI2MOI ОМОЮТНТА2
371
3 ejtL 3, ixavonoiei тг] %oiQaxTr]Qicn:ixr| tov e^iocooq: (T — Ai/)(T — ^2I)(T —
АзП =0.
6) AvTixaQiOTibvTag tov T це U 1 AU, ооцлерауате то вещицла twv Cayley-
Hamilton: Каве nivaxag ixavonoiei тг] %а(>ахт1](>1<тт1хг] rov Egiawaq: (A —
А1/)(А-А2/)(А-А3Г)=0.
5.6.25 To xHpaxTr]piOTixd лолио'т>цо tov A =	eivai A2 — (a + d)A + (ad — be).
ЕлаХт]0епоте це an’ ev0eiag аут1хатаотаог] то 0есорг]ца tcov Cayley-Hamilton: A2 —
(a + d)A + (ad - bc)I = 0.
5.6.26 Sto Паоадег/ца 2, ото тёХод tov xecpaXaiov, боел те tov M nov ixavonoiei tt] o/ear]
m~'bm = J.
5.6.27 Eav = 1 nekveo ano tt]v xvpia Siaycbvio xai a,.j - 0 navTov aXXov, бреете тг)
цорерг) Jordan (X.x< 4 eni 4) npoadiopi'CovTag та idtodiavvopara.
5.6.28 AeigTe, doxiiid'CovTaq evav M xai anoTvyxdvovTag, oti oi цорсрёд Jordan tov 3
eni 3 лара6е!уцатод 6ev eivai 6ц01ед: J\ M ] J2M xai J\ M * J2M xai
5.6.29 Avore ttjv лрсотг] eticnooi] це avadpopixr] avTixaTaoTaor] xai тг] бептерг] це avaycoyr]
отт) цорерг) А = MJM [:
5][:]• «-[!] ”	и;
5.6.30 YnoXoyicrre Tovg J10, A10 xai eAt, OTav A = MJM h
Ч-“ Л»Н-4 ?][« ib
5.6.31 Графте dXeg Tig dvvareg цорсрёд Jordan evog nivaxa 4 eni 4 nov ёх.ес то цт)6ёv
oav тетралХт] 18ют1цт|. (Алб oiconr]pr| ларадох.1], та цлХох yivovrai щхрбтера
хабсод лрохсораце лрод та хатсо otov nivaxa J.) Eav vnapxovv dvo ave^apTT]Ta
idiodiavvc^ara, deigre oti vnapxovv 5vo бюсрорепхёд SvvaTOTr]Teg yia tov J.

372
IAIOTIMES KAI IAIOAIANYSMATA
AEKHEEE ПА EIJANAAHTH: KeipaAaio 5
5.1	BQeixe rig i&iox^eg xai xa idio&iavwp.axa xaOwg xai xov biayamonoiovvxa nivaxa
S tov
ЧИ] » 4-15 ib
5.2	Beeixe xig oet^ovoeg xa>v A xai A~\ oxav
5.3	Eav о A e%ei iSioxijieg 0 xai 1 це avxiaxoi%a idiodiavvop-axa
Ш [Л].
yiaxi fxnoeetxe va леобкёгрете oxi о A eivai av|ijiexeix6g; Пою eivai то ixvog xai t]
oei^ovoa; Roiog eivai о A;
5.4	noieg eivai oi i5ioxip,eg xai xa iSio&iavvapiaxa xov A2, xrjg neor]yoi4ievT]g doxx]ox]g;
Пою eivai т] axeor] tov А2 це xov A;
5.5	Yitaexei evag nivaxag A, exoi (bare о/юхл-цел Л oixoyeveia A + cl va eivai avxi-
0TQEipi|iT), yia xaOe piyadixo ае10цо c; Beetle evav леауцаихо nivaxa A + rl
avxiaxeeipqio yia xaOe леауцаихо r.
5.6	Avaxe xai yia xig 6vo aex^es x^eg xai xaxoniv 6eeixe xov avxioxoixo eAt:
“^ = [1 3] u °Tav “o = [J] *ai oxav «0 = [j] •
5.7	0a леоицобоахе va avaxoxi^exe ava грсцт^с це 40% xov xqovo rj ava exog це 50%;
5.8	Ak.T]0eg x) ipev&eg (це ауплаеабелуца yia xo ipev&eg):
a)	Eav о В axrmaxi^exai ano xov A evakkaoaovxag 6vo уеаццёд, тоте о В eivai
6цolog xov A.
6)	Eav evag xeiyovixog nivaxag eivai бцоюд evog Siaycbviov, хоте eivai г)5т]
Siaycbviog.
y)	KaOe £evyog neoxaaeiov avvenayexai ttjv xeixx]: о A eivai Eenixiavog, о A eivai
цova6la^og, A2 = I.
6)	Eav oi A xai В diayojvionoiovvxai, xo ISio a^6aivei xai це xov AB.
5.9	Ti oevSaivei це xiqv axokovOia Fibonacci, oxav xe0^"^ лаце avxiaxeocpa, xai n<bg
owSeexai of_j. це xov Ff.; О xavovag f\+2 =	e^axokovOel va iaxA’ei ZHL
dga F-i =1.
5.10	Beetle xi] yevixr] Avar] xr]g du/dt = Au oxav
Г0 -1 0 1
A= 1

AEKHSEIS Г1А ЕПАЫАЛНФН: Ке<р.5
373
Mnopeixe va dpeixe evav xpdvo T otov onoio q kvoq u(T) e^aoipaki^exai oti 0a
eniorpeipei orqv apxixq пцг| «о;
5.11	Eav P eivai о nivaxag nov npodakkei xov Rn o’ evav vndx«po S', e^qyqoxe yiaxi
xaOe diavvopa xov S eivai i6iodidvvap.a xai xo idio ovpdaivei xai це xov SL\ Iloieg
eivai oi idioxifieg; (2qpeid)oxe xqv о/ёстт] це xqv P2 = P, nov cnmaivei Л2 = Л.)
5.12	Aeitje oxi xaOe nivaxag xa^ecug > 1 eivai то аОроюца dvo idu^dpcfxnv mvaxiov.
5.13	a) Aeiigre oxi q diaipopixq e^iocooq nivdxcov dX/dt = AX + XB exei xq kvoq
X(t) = eAtX(0)eBt. 6) Anodei^xe oxi oi kvoeig xqg dX/dt = AX — XA exovv oe
xaOe xeovixq oxiypq xig idieg idioxqieg.
5.14	Eav oi idioxqieg xov A eivai 1 xai 3 це idiodtavvc^axa (5, 2) xai (2, 1), dpeixe xig
kvoeig xov du/dt = Au xai xov и^+\ = Auf~ igexivcbvxag and то и = (9,4).
5.15	Bpeixe xig idionpeg xai xa tdiodiavi^axa xov
-I: и
Пою ididxqxa ava^vexe yia xa tdiodiavx^axa; AkqOevei ярауцап;
5.16	RpoonaOcbvrag va kvoexe xqv
[: ж 2Ho
deiigxe oxi о A dev exei xeTpaywvixq pi^a. Akka^xe xa diaydivia oroixeia xov A oe 4
xai 6peixe xqv xerpaycovixq pi'^a xov.
5.17 a) Bpeixe rig idioxqieg xai xa idiodiavvo^axa xov A = [ ?	.
6) Avaxe xqv du/dt = Au ^exivwvxag ano xo uq = (100,100).
y) Eav v(t) = eooda xwv xpqцaтloтd)v xai w(t) = eooda xwv nekaxwv, xai oi dvo
akkqko6oq0ovvxai це rig du/dt = 4w xai dw/dt = v/4, nov xeivei xo nqkixov
v/w xaOibg xo t —> oo;
5.18	AkqOeg q ipevdeg, це aixiokoyia yia xo akqOeg xai аутшарабауца yia xo ipevbeg:
a)	Eia xaOe nivaxa A, vnapxei kvoq xqg du/dt = Au nov ^exiva and xo uq =
a,...,1).
6)	KaOe avriorpeip^og nivaxag biaycovionoieixai.
y) KaOe biaytovionoiqaqiog nivaxag avTioxpecpexai.
d)	Evakkaooovxag rig ураццв; evog nivaxa 2 eni 2 avriaxpecpovrai xa npdoqцa
xwv idioxqxibv xov.
e)	Eav xa idiodiavw^axa x xai у avxioxoixovv oe diagpopexixeg idioxqieg, хоте
xHy =0.
5.19	Eav о К eivai avriav^expixdg nivaxag, deluxe oxi Q = (I — K)(I + eivai
opOoyibviog nivaxag.* Bpeixe xov Q oxav К = [ q] 
* S.T.E.: E^vnaxoverai on о К eivai xai прауцапход nivaxag (nov e^aaqpaki^ei xai xqv
avTioTQeipipoTqTa tov I + K).

374
IAIOTIME2 KAI IAIOAIANYSMATA
5.20	Eav KH = —K (avn-Eg^navdg), tore ol i6iOTi(ieg eivai cpavraonxeg xai та
idiodiavDo^ara ogOoYwvia.
а)	ПсЬд YVOiQi^exe oti о К — I eivai avriorgeip^og;
б)	Пшд Y^wgi^ere oti К = UAUH yia evav og0o|iova6iaio nivaxa U;
Y) Eiari о eM eivai oQ0op,ova6iaiog;
6) Eiari о eKt eivai oQ0opiova6iaiog;
5.21	Eav о M eivai о diaYwviog nivaxag це oroixeia d,d2,d3, notog eivai о M~x AM
xai noieg eivai oi iSioTipieg, orav
5.22	Eav A2 - —I, noieg eivai oi iSioTipieg tod A; Aei^re oti to n ngenei va eivai agno,
orav о A eivai npaYpiauxog nivaxag n eni n xai Swore падабе^ца.
5.23	Eav Ax = Xyx xai Ату = X^y (oka npaYfiaTixa) deiigre oti xTy = 0.
5.24	Mia TiaQaXXayt] tod nivaxa Fourier eivai о “nivaxag ODvrmirdvwv’'
। Г sin# sin2# sin3#1
= —= sin 2# sin 4# sin 6# це в = —.
V- [sin3# sin 6# sin 9# J
Епакг|0еботе oti St = S 1. (Oi orr|Aeg eivai та idiodiavt^ara tod rgidiaYwviOD
nivaxa —1,2, —1.)
5.25 a) Bgeire цт] цг|&е^1хд nivaxa N це N3 = 0.
6) Eav Nx = Xx, dei^re oti to A ngenei va eivai ^dev.
Y) Aei'^re oti о N (ovogagi'^ievog “цц&е^оЬтл'ацод nivaxag”) dev цпооа va eivai
ооццетщход.
5.26 a) Bgeire tov nivaxa P = aaT/aTa non ngoriakkei xa0e 5uxvdo|mx arr]v eD0eia did
tod a = (2,1, 2).
6)	Пою eivai r] uovadixr] цт] ^devixi) idioT^n) tod P xai пою to avrioroixo
1дюда'т!оца;
Y) Anore to up ,i = Pu^ ijexivcbvrag and to uq = (9,9,0).
5.27 YnoOeore on q ngcbrr} Y0al1lI}i TO1J Xl eivai (7, 6) xai 01 15юпцёд tod eivai i, — i.
Bgeire rov A.
5.28 a) Tia noieg пцёд twv c xai d, exei о A ngaYЦaтlxёg idionjieg xai og0OY<bvia
idiodiavDt^aTa;
П 2 01
A = 2 d c
LO 5 3J
6) Tia noia c xai d цподопце va бдобце rgia ogGoxavovixa бюубоцата noD va
eivai спгубиаоцо! twv ott]Awv (^v to xavere!);

A1KH2EIZ ПА EI1ANAAH4,H: Ке<р.5
5.29 Eav та Stavwnaxa х\ xai Х2 eivai атт|\ед tod S, noieg eivai oi iSioxqieg xai та
i6io6iavwp,aTa tcov
xai
5.30 Пою eivai to oqio, xaQibg то к —> oo (г) отабеда хатаотааг] Markov) tov

6
©ETIKA OPI2MENOI
niNAKES
6.1  EAAXETA, МЕГЕТА KAI ЕАГМАТ1КА EHMEIA
Mexpi тсора, dev elxape Xoyo v’ avtjouxoijpe yia та простора tcov idioTtpcbv.
Прауратц 6a r|Tav лрбсоро va рсотгроире av to A eivai 0eTix6 r| apvrytixo,
лсну рабоире av eivai лраурат1хб. 2то KecpaXaio 5 соотбоо, ало5е1^аре oti
oi лю evdiaqepovTeg л^ахед — ouppeTptxol ott]v лрауратсхт] лер1лтсоот] xai
EppiTiavol отг] piyadixr]— exow лрауратсхёд сбюирёд. 'Exei Xoctov vorjpa, va
рсотг|ооире лоте аито1 eivai 0eTixor evag ало топд отбхоид рад eivai va броире
eva xptvripio лои рлоре1 va есраррооте1 хат’ euOelav otov ouppeTpixo л^аха
A, x<°Q^ va wroXoyiooupe Tig iSioTipeg, то оло1о 0a e^aatpaki^Ei on dAeg oi
idioripeg eivai Оепхёд. To xpiTTjpio odoxetI^el Tpetg ало Tig бао1хбтеред i5eeg
tod 6i6Xlou -odrjyoijg, opl^oooeg xai сбюирёд.
LIpiv ava^T]TT|OOD^e eva тётою xpirr|pio, 0a лергурафоире pia vea хата-
отаот] yia tt]v оло1а 01 iStoTipeg eivai o^pavTixeg. Avn] Siacpepei TeXelcog ало то
У]тг]ра тг]д еиотабесад tcov Stacpopixcov e^tocboecov, блои xpeia^etai va ёхоире
apvr]Tixeg ovtI yia бетсхёд iSioTipeg. (Aev 0a ёлреле va бю^браоте о’ аитб
то or^pelo, opcog to xavovpe: Eav о —A lxavoлolel to xpirqpio лои ipax.voupe,
тоте т] du/dt = Au exei cjp0lvouoeg Xuoeig eXtx, pe xaOe iSioTipr] A < 0 xai
T] d?u/dt2 = Au exei хабара TaXavTeuopeveg Xijoeig егш*х, pe w = V-A.) H
via хатаотаот] epcpavlgeTCii oe тбоо лоХХёд елютг]роУ1хёд есрарроуёд, блюд т]
pr]Xavixr| xai хабе лрббХт]ра беХт1атоло1г]ОТ]д, лов ebtl^oupe oti о avayvcboTT]g
5ev 0а 0eXr|oei va apq)io6-qTr|oei та xlv-ртра xai 0а лрохсорг]ое1 хат’ eu0elav ото
ра0г]рат1хб лрббХг]ра.
То лрббХрра eivai аитб тг)д ауахаЬлррд evog сАа/штог, лои е'^руоире ре
5ё>о ларабе1урата:
F(x,y) =1 + 2(х + у)2 — у sin у — я3

g = fi= х охо рхлох тзлтодкао 11 aoi юхкхор^злю 01 5o6ic zf пбоЛкдЛ
Li юЛдю is^cpdiro юд \x~ Sodp о ‘5ют1 юг1Л13§юдгш 013 ’oxoiXpys охтуо isaiA
юл лао^ок^з 01 юл тздокг! юуую ‘aoxoiXo'p аохнюх 5олз 5соз^дю1га Diikxk^
oi лао^юздккз Л39 5кх 5тз%пз Ьтодзхтлто юХтХпдтг iq р liolidliind»{j
охтоХиуз 13X3 f U лто 3101 Aoiori тох 3101 oioiXovs
13X3 j к юйю ‘окодх зсодюхю 0191 лох юхюх кХдю лкю юхлох TOiAodscbidsicriao
51зокхдюлао 09,9 iq 11191 к толзз юл кокхлюют Li isipdir юд тох j л1и
ючЛ 53191 то толр I1913K3 тох ‘кокхлюют лкх лаоХз1дз1г юЛсоЛюдюк то 5зхау
Y = ^7L iz= so° Z - UIS
з zQ	dzQ
XQflQ Hqxq	XQHQ 7]xQ
J-zQ	[z6	J zO	JzQ
:5»io»tiUo 5Uxuoio»<boxo юмз ‘5аоЛ
тХпдпи 5здз1лзд 5и 01т 1»1лоХдзоди aou ‘юдо ioxiAO)X»di3i iq f Uomistili^
•g = fl = x Skdroirs opiiLio 01 окю толзг1оладхюг!оцю
юдзт!аол1х 5содюх ‘Ю93КШЗ юх юхаю охсю голюш тохлохо19д / тох j 10 лю толр
ютИххтбз ox ~o=z аодзкигз аох клз^рхкюсЬз толр (fi lx)f = z ю13лю<Ьигз U
тох L = z ао931гшз aoiiAo^ido аох клзт1о11£Ю(Ьз толр (filx)j = z гизлюсЬигз Lt
‘pxiSi3iico3j •/ 5Ui тох ooo j 5lxx 0001 opiilio oriiopxo толр 1лХдю li 1013,
„ ftp	„ xp
q= ft^ + xp= tox g = Up + xp =
ftp	xp
0= ftms - fisoo fi - (fi + x)p=tox g = x£ - (fi + x)p = —~
JQ	dQ
:i3ATOgiiao iiDiiXipdir 5ошо ‘g = fi = x люхо тохло51лз91п1 юл 1зкздк тоАсоАюдюк
5зха»д1г iq -ортИю откоюхо зт!аоХз юл 1змзди ‘аохо1Хюуз LixixkooSk ютоюэх
тзХдюка юл Ю1Д гкхкдлао ютахЛюлю юп1 лаол]9 юдо юхттМод/. iq
7
тох j лсох юхютИхЛюдЛ юх лаолдрЫюХ 1л лаолтсНалю 5т’/х:у 'кокхлюкю лкх лао^
-юздккз ЛЗ9 д = (д‘д)/ тох д = (д‘д)^ 5тз^т 5Uxid3^Urf юдр iq 1
ig = fi = x oj3rilio 010 0101X0^3 / mx j 5n 01m moinvx 1зХ^
^и + Ихр + г2?2 = 'x)f
тох
LLZ
VIHWHX VNI I VW.IV^ IVN V1SIJHJN ‘V1XIXVV3 Г9

378
0ETIKA OP1SMENOIП IN A KEZ
'Eva тёток) svdsxdpsvo sivai adovaxo yia xqv f, q yia олснабгртотЕ akkq
“TETQaycovixr) fioQcpr]”, лои dsv ле(нехе1 dgoog avioxdgag xa^siog.
KaOe TETgaywvixy poQtpr] f = ax2 + 2bxy + cy2 e%ei otijv aoyr/ отаощо
ay ye io, onov df /dx = df /ду =0. Eav oxo x = у = 0 exei xonixd skaxioxo, xdxe
xo oqpsio aoxd eivai xai okixo skaxioxo. H Елараувю z = f(x, y) 0a oxqpaxi^si
pia хоола лои ахоорла p’ eva oqpsio xqg oxqv agxq.
Zovoipi^oope: To sgibxqpa хол1хоо skaxioxoo yia xqv F sivai looddvapo ps
xo idio sgibxqpa yia xqv f. Eav xo oxaoipo oqpsio xqg F qxav oxo x = a, у = (3
avxi xoo x = у = 0, q pdvq akkayq 0a qxav va xgqoipc^oiqooops xig dsbxsgsg
ладауиЬуоод oxo a, (3:
x2d2F
2dx2 1
52F , y2d2F
'dxdy^a,^+ 2dy2 '
(1)
Aoxq q xsxQayojvixq pogipq оорледирЁдвхси xovxa oxo (0,0) ps xov idio хдбло
лоо q F oopnsgupdgsxai xovxa oxo (a, /3).
Улархб1 pia лео1лхо^ лоо лдЁлб1 va s^aiQsooops. Avxioxoixsi oxq do-
vaxdxqxa F" = 0 xai sivai xgopsgdg лоуохесраХод, axopq xai yia oovagxqoq
piag psxadkqxqg. Ntaaivoov xdxs oxo лдобкрра xai oi xgixsg ладауюуоц didxi
oi dsbxsgsg adovaxobv va dibooov лк-qgq anavxqoq. Tia v’ алосроуоорв aoxq xq
dooxokia, anatxoops oovqOwg ало xo xsxgayiovtxd pspog va sivai pq ididpogipo.
Tia va sxoops лдауратсхо skaxioxo, q f 0a лоел81 va pqdsvi^exai povo oxo
x = у = 0. 'Oxav q f sivai yvqoiwg Osxixq as oka xa akka oqpsia, xdxs ksysxai
flsxixd OQifffiivtf.
To лgdбkqpa xibga avaysxai oxo s^qg: AoOsioqg oovagxqosiog doo psxa-
6kqxibv x xai у, лою sivai xo otooxo олохахаохахо xqg oov0qxqg F" > 0;
Tia pia povo psxadkqxq, xo лgdoqpo xqg dsdxsgqg лаоаусЬуоо anocpaoi^ei ava-
psoa oxo ska%ioxo xai xo psyioxo. Tioga s/oops xgsig dsdxsgsg ладаусоуоод,
FXX,FXV = Fyx xai Fyy. Oi xgsig aoxoi agt0poi ogi^oov xqv f xai 0a лд8Л81
va лgoodlOQitoov av q F (xa0ibg xai q f) sxsi q dsv sxsi skaxioxo. noieg eivai
oi awOfixeg fiera^v ttov a, b xai c nov E^aaqtaki^ow du ij f = ax2 + 2bxy + cy2
eivai веиха OQiafievt]-,
Edxoka бд1охоорв pia avayxaia oov0qxq:
(i) Eav у f eivai Oerixa OQiafievy, tote xqexel a > 0.
E^sxa^oops xo oqpsio x = 1, у = 0, олоо q ax2 + 2bxy + cy2 toooxai ps a. Aipoo
q f sivai 0sxixa ogtopsvq, aoxd лдЁЛЕ1 va sivai 0sxixo. ITqyaivovxag люсо oxqv
F, xooxo oqpaivsi dxi d2F/dx2 > 0. 2xa0sgonoiodps xo у = 0 xai aipqvoops va
psxa6aksxai povo xo x, iboxs yia va Ёхоорв skaxioxo лдЁлв1 F" > 0. Avakoya,
sav оха08доло1Г)аоорб xo x = 0 xai рехабакооре xo y, лaigvoop8 pia oov0qxq
yia xov oovxsksoxq c:

:кокхотдз
лкх ‘5лоузх шз ‘зз1юокхлюх:ю дхлю (ri тох (3) Зкх Зюблзук Зюз^зд Stu юхкхдхзхзд
li aoihov зюхз^зуюсЬою^з ’0 < ° юблоАло зхдх ‘о < гд < эю тох о < » люз
(n) кхкдлло Lu 5о>хюз1охлю зюхлоЛюмзлло (ш) тох (з) Ззхкдлло то по зхоотззз1к£
\q < эю гззгзбзг 3101 ‘кхизд тлр / U 4D1Q (пт)
:/ кхзхзд зз1лоХз юл юзА кокхзюкю юзюхлзузх к толзз aoi юхкхдхзхзд
li зюх o/CjQ - э») кхозузхлло лох зт1 зюхз^юзоюуютууок zfi 5обд q -Здхзхзд зюлзз
юл ззкзбк Sodp Зобзхлзд о зхдх зюх ASQlvri зюлзз юл ззбоигг! Scorig олгоЛюбхзх 03
•1хз1охю ззлХоз (т) кхкдлло юзюхЛюлю н "° Цхозузхлао дхзхзд лох зз1 зюхз^юзо
-ю'уню'у'уок олгоЛюбхзх ох зхдзд ‘Здхзхклбю зхозг зюлзз лзд юз§39 5обд Зохгобк q
v = Jia + fixqz + д-о = /
:июлгоЛюбхзх юх зт1лооотбк1(1гт1ло„ юл зюлзз кхзлХзх кбзхолоуию
Н ’5юхкхдз1зозбо Зкхзхзд кхкдлло клюхз зюх юзюхЛюлю юзз1 ззлзд лок ‘озбкхзбх
Зздздхю юлз юбгох зз1лобд ю© э i»x v ni 3ti козХо зо q aoi SogiAiti oi юл1з
3tiao%A3(3 пл 1зизд1с aou 01а» ‘tuatioido пхнзд тл13 пл f h stiaoysg лпд
'X— = х +17 — Z = (l— ‘l)/ :кхзхклбю зюлзз / li 7i— = х
Ю130П.З лкхо солюц охтХп<з лаоХз / к злао g li 3ia.Q 'олзаотдо юхизд лтк
лзд Ji + Их^ + zxi юг/Ллзрюдтг ржХдю oi ‘зохизд лтй aoi 5зюзуз1лао ю юуо
ио 5рлоАзА oi пдпц \оуод зз^зюзг лз§ q лох 031110961г ох .3X9 зюлзз 1ю1илю1гю
U зуюк зюх ‘охозХюуз юлз зз^зуюсЬою^з зюх 11X3X30 / лкх ззлюх 9хлю 5<mrlix^
тохзхз0 люхк / 5юг1 кхзХдю лкхо зюх юз1кз(99д1г ох зз^юздкцз q ох 5озлю(Ьодх1
•лз9кз1 ох (1гю юхюх зюх
солюк зюхзлззххз f к кхлох зюх- летзз0лз 5ao0lqir лолзт1оюдз1£31£ зхохгкдлозоио
Soxlrri юхюх кокхбюлло кх Зюхло^юхз^з олзз1озбо юхзхз0 ох зз1лооотдздхю^з юл
лохюллдю зюлзд '° wx ° лт1 ззлХоздзшз. ох— = q о 3x93g ‘fi = х юзз0лз лкхо
(плюш кхзхклдю зюлзз кокхбюлло ц ’5юзз0лз Зкуую 5юзз1 5охкз1 юхюх ззлз0(Ь юл
ззбо1гз1 юуую ‘fi зюх х 5ззолл0лззд 5зх юхюх ззлю^лю f к зхд лло^г/юсЬою^з о < □
зюх о < о 5зх110лло з© -клзз1оздо юхзхз0 зюлзз лзд / к кхлю ‘g- = (т‘т)/
кдзз^з з = fi = х ох зз1ло^юхз^з зхд 5зохлох лз 01x03, 'пхпз0 олд юх зюх зюлзз
X = э зюх i = v кхлю коотххсздзхг лкх^ 'zfi + /гггох - zx = / VHtJI3VV<IVII
куюЛзг! юхзхбю зюлзз лю ‘лздкт1 ох
(1гю етхюх / лкх зз^отбко юл ззбокт! fixqz Зобд 5дххззз1 о— зХд зюлзз кокхлюкю н
!кхзхз0 зюлзз / к зхд ‘д < э зюх о < п ‘Ззхкдлло зо 5зхлю зЛюбю лло^г/П'Ьою^З
0 < э ^зиздм 3101 ‘Uaxrioido пхизд тл13 / к люд (п)
VI3WITZ VNI.I.VINJVZ IVN VI’IJOW ‘V1ZIXVV3 Г9

\— = zq — :л> зт1аоХз 51зоотхк1дзк оар 5по то>[ ’пт1кордк пхзрплп лаоХз
□ тох v nx кдзхазр кх^ -q = э = v тох q ox тзХдтдах ‘коотхктдзк кхотдк лкх^
'ZH - ?x= if tox fixz = i/
51зоотхк1дзк 53x1913 oap зт1аоокдотз0 пл oriiokOX толтд ззлтрсЬ оуур
лою тех / U тзлп^ап пло^р плз лою- пхт1озузхокп пхздплп лаолтр fi тох х
лотх 5зло§п то зхрх тот1кордк пхзрилп лаоХз э inx о пх лпхо ‘q зхоккрптоко
тЛ тох 5ко1кз 1злтодт)аз '5зуур 5одк кхпклдп тох 51золадазхпх 5злзт)о1до 5одк
UX1X30 лпхк / U зхоg 'э тох о лотх заХотдзка q аох 5о0зЛзт1 ох лпхо ‘5nri
рт1Л13ррдпк охо злтодзлао рхау Ърхиклдтэ тплтз пл iidoizri zq — ov 5рг1от>адлао
О тохкхрхплар поаодзсЬтрлз ауок пп) тзлзт!окп ‘5тохаох лз ‘Sisonxonip оар
5ixj ‘о = „j лпхк П0 3X13 охшЛзт) зх13 охтХруз зХдкка П0 зхтд :130кухлп§з
отрз лпХтз П0 5зхкхрхплар 10 ‘konxopip niri зо ‘(ж)^ кокхдплао mri mj
крзкткз 5отгз'{зх 13Л1Л 1зХз пкаох li inx клзт)о1доп1к пхтхклдп inx рхиз0
плодХохапх толтз аок ‘о = э = q = о ‘аохлпк тохз^лзркт! аок кхап толтз kdidori
кхтлотЛпдхзх kdidoripipi oik kripxn ('zx = z куодпдпк mpi lx толтз kriox
птодпхЛз 30пх inx ‘roxnx inx отлпк lfi пло^р аох Soxkri пхпх тохзлтзххз kdroxo
H тодотХ oxnxonipidx лохо zx = z тзлпсЬшз лкх зх130<Ьзх^) ’kdroxo кд1зкп mri
зо тохз^П^43 южюх токлЛ ркп (fi ‘х)/ = z тзлпЛшз к ‘nxidxsrimsj то- = fi
‘q= х oisrlko охо 1злтодг1ао 5откр ‘лзркг! sri inxaooi пл пхкхохплар кх / лкхо
13лксЬп -irfU пт1з0одк о^ о > п лпхо клзг/тдоп/к пхиклд» зх1з ‘о < п лпхо
‘liAatioidoiiiU nxiiaff 3X13 f лкх 5пхлолпх тох олотЛпдхзх ох олот! 5пхлолксЬп
‘(Z) лкхо 5одр 5одзхазр о тохз^лпсЬп^з зхрх -зт1по1зухокп аок коотхк1дзк к
тол1з кхап тох о = zq - зо лпхо ‘kdbdoripipi тохзл1Л kdbdori кхмотЛпдхзх ц
j к тох тохз^п1здХ кЛпууп
mpi лкх ’о < zq - эп тох о > о лпхо ‘зхрх лолрт! тох зхрх liAstioido юхиклдп
тол13 ktbdori кхмотЛпдхзх Н :0 < г9 _ эв ^хЦ0л-(1° кдзхазр кх кх<01оууплп 1злк<Ьп
кхау то inx q‘n лотх лотт1коодк кскодхтхлп 1злтот1ко аок ‘охтХруз гзХз /-к
лпхо ‘oxoiXsri 1зХз / к ixpiq ‘пуохаз тохлохо1дд oxoiAsrl тЛ 5зхк0лао iq
	< к>
z I A zQ J L
1<"°>Я]
}zxQ
dzQ
тох тохло^лзрЫ 5кх юЛотЛрдпк
5зхотдк ю лпхо лолрт) тох лпхо о = fi = х охо охотХруз (ocbdoripiqi kri) плз
гзХз j к тох пХтохотхлу 'О < zq - эп тох о < о лпхо ‘зхрх лолрт) тох зхрх
клзткпдо ПХ1Х30 толтз г/гэ + flxqz + zxv = f kcbdori кхтлотЛпдхзх н уд
ЗЗЯУЫШ ION3WZIJO VNIX30
08Е

Six зпао'Хз fi тох x ло)х рлп лпхо, ’лтхо1Хпуз тох ла)ХО1Лзг1 SoxnrlkygodK аох
Skxspii о^одзг! Ыохлао mil pXdaonikg тох Sisonxomg и Sixo Saiosrin тохзазхмзЛ
‘xVjX = J тохзсЬрдд •аотоупсЬзх аох ао^о igisyx ох толр кхап пхкхрхапх н
(£)	’[*][<?	о]	х1=	+	+
Л01ХПЛ1К ОЛ311ОЛ1Л ПЛЗ (Ti koi nxixoxanx ТОХЗЛ1Л / ll 10x3, *а»хрх плз
тох солпк орХтохо плз to тохркотд fixqz 5оЛа»Лрдпк kxxisri li тох озлотЛтд lixo
тохло^1лпсЬт1з zfi.) inx zxv iodo iq 'у пхплш oxidxsriilao лплз зо тохлооорхшд
/ 5kx 5зхозузхлао io 5дш ох зг1аодсЬку1хлп Sppii ‘пдзхдотдзк пХахзк пл
рдокг! Santo пддзЛ^у kxirhindg и < r‘fijxxj тох о < xxj :аохо1Хпуз
Snii 5зхкдлао 5ix 1з§рдокп р тЛ зоаохдп ng 5pitoiXoy SoxixoooiaKy О
•STiaoopigsXo пх пл лохпладп лодзХо Зкоткз толтд 'ovvp ох зт1аолдток ogt7 рхпх
плз ох sriaorfpdxo лпд ’mgi пх 5сохпхпс)к толр ZH — zx тох fix^ nxmiXpo ng
•aoriodg аох Soxkri пхпх oxoVpri Sanio
толр ‘тЛпук пхо тохлолдхка аок плаод пх 5одк 5а» oxoiXp-p толр aoriodg аох
opiilio охпхголп од толаод оад зо позт<плп плдзк аок oitodg mA toxisxoQk ixo
ЬДокр лкх зхптЬходк пл рдокдо (-а)лпк пх 5одк 1зпк х пло^п аох коладазхпх
лкх пхпх тох ‘шдок пх шЛ тохз5р1здХ Sotko ‘aixnx пх 5одк 1зпк fi пло^п аох
коладазхпх лкх рхп^ ’(1’9 ’^3) (aoidnrino) 5охпт1Лпо mikXo ох 13X3 zfi - zx = z
•Х’у ‘(fi‘x)J = z тзлрсЬшз к ixoig 5а»лпд1ц) oiarilio pxu»i/X»o тохз^птйэло
отоко ох тох охшХруз зхао охтЛзт! зхао толр лзд аок oprlko oiiiopxo плз
юхз зткгоХд, 'fi тох х пх зт! пЛоуплп ‘д > / тох д < / ‘nrlkogdK оад пх
тох лаодпк пл лаодокг! ixgig 5зю1дрю толр Sstitoorl 5зхап 5зх1ла»Лпдхзх iq
аох 5зулкг1пх Saxiiignxoooi 10 mx fix^ = f miXpo 03 3-9 -/3
18E
VIHWH3 VXIXVWJVZ IVN V13IJ3W ‘V1ZIXVVS Г9

382
0ETIKA OPISMENOI FIINAKES
цетабкт]тёд xi,..., xn, Tig ооцбоХ^оице це то б1ауооца-атт]Лг) x. ria каве
avfifiETffino nivaxa A, to ytvdfievo f = xTAx eivai ща yvijota Teryayaivixy
fioffiptj:
= ^У^аИхгхг	(4)
Aev unaoyoov oirte цеуакотёдад oute щхдотёдад та^есод oqoi, лада цоуо
деотёрад та^есод. H owapTTjOT] цг]беу1^ета1 ото x = 0 xai то i6io ov|x6alvei
xai це Tig лдсотед ладаушуоод тцд. To есралтбцеуо ел!лебо eivai oqi^ovtlo, to
x = 0 eivai отаоцю огще1о xai лдёле1 va е^етааоице av eivai цёуюто, екахюто
г) оауцат1хб.
ПАРААЕ1ГМА 1 f = 2х2 + 4ху + у2 xai А =	1] ~* оау/гапхб оу икса
ПАРААЕ1ГМА 2 f = 2ху xai А =	о] ~* ааУ^аТ1}<(2
ПАРААЕ1ГМА 3 f = 2х2 - 2х\х? + 2ж| - 2жг£з + 2ж| avTioTot/ei otov
[2-101
-1	2	-1 —> еХахюто
0 -1 2 J
Аитёд eivai yvr|oieg тетдауатхёд owagTT|oeig. Qotooo олошбтртоте ouvag-
тт]оц F(x,, xn) ngooeyyi^eTai це tov idio тдбло. Ауа^тобце та отао1ца
отщеса, блоо ^Sevi^ovTat бкед oi лробтед nagaywyot. S’ ат>та та ormeia о А
eivai о “nivaxag tcdv deiregcov ладаусоуату” т| “Eooiavdg* nivaxag” це otoi-
Xeia aij = d2F/dxidxj. Аитбд eivai аитоцатшд овццетд1хбд, yia tov i&to Xoyo
now ioxue d2F/dxdy = d2F/дудх. Тбте, r| F e/ei еЛа/што orav tj yvijoia
TETgayrovixt/ yoyif y f = xTAx eivai fleTixq. Stt|v f Eyovv алоцоусо0е1 oi oqoi
беитёдад та£ешд. oi onoioi еЛёухову tt]v F ottjv ледюхл too отао1цоо ormeiov,
блюд (pavegibvet т] oeiga Taylor xovra ото x = 0:
F(x) - F(0) + a:r(grad F) + ^xTAx + ogoi 3rjg та^есод.	(5)
* X.T.E.: Алб то <>vo|ia too Герцауоб '/ешцетог! L.O. Hesse (1811-1874) лоо tov eiariyaye ота
1844.

11/ ll nnsji/ViqliTi
аоц клзгкззЭо nxiiag 3X0 nyvn ‘олсоЛпб131 oiayai плз зплзз I/ li no 315137 (9
t ЕжЗжф, — ixtxi — Ixlxl — ^X£ + |a;3 + }x = 2/
mx txixi + txix£ — Zxixi — £x + ?x + h: = if
5зю лаоХзоюилп £ 113 £ 5зхплзк ююц (n yyy
•niiAl3QpSnirllAD ll 1151390m
зюету ‘5олзт(о1до пхпзд толзз 5пхплзк о по тох „у < э» uo oian зз^зупЛоп^а
qi < о + v пзоллз л1п art ‘q aoi лаоаХоздзка о тох v 5зюзуз1лао зохизд зо зю тюд, 97'9
i£ = q лшо оюзХпуз 01 зплзз озоц (Q
•(1O1Q3K
aoi aoian 5о1лз q пзЛ ‘ft — z/(^6 +	+ г2') Sin 1лз1з1 LnoiXnvi л1и з1зздд (Л
•5т1поз!зоздо
511X3130 оздзш 01 ззХздюзд q о лшо ‘^-7(77 = V 1ш113ошо1лоЛпдшг л1и 31зздд (д
!5олзз!оздо DX3130 зплзз [6 9 ] _ у Зпхплзк о q 5(1ог,0зЗп 5аозок изд (и g-p9
•х = ft ‘х = х ою оззгИло оз!зопю зт! ‘Я soo (xi — _,х)= j (д
•0 = ft = х оззгИш ою г^9 + ft uis х^ — (х — хэ)р + f — = j (п
:5ззо1пдплао 5з1 пзЛ озззИю охз1ог1Лпо U оюзЛзз! ‘оюзХпуз ззЗаоХз ли з1зз0лп(Ьо1гу р-уу
53X3130 зплзз 51и 5з5зд зо зю зхЬззд зпх 0 = (jy — у) зэр коотоз^з 1лхзлотЛпд131 л1и
зюау ‘zq < эо ‘д < » пзд1изЗх ш ^плдзш,, i 11з i 5пхплз1£ 5охзд13гМао 5плз лпд fp9
1лзд11з! / U зплзз 5пзз0аз 5пзок 5oxlirl niiiy лздкз! зплзз (9) 1ио поао5збо jj
[7	<9) [£S г] т [/- 1Г] <9) [е <о)
ху^х = f кХзоюплп
л1и зкНпдЛ зпх 5зхплзк roinxndmr зо золзз!оздо пхз130 зХо 1л зплзз лп з1зз0лп<Ьозгу ZT9
ло)л<;>Лпд131
оад пдосЬпзд 5<о / л1и ззДьпдЛплпд 'зохз130 зплзз 51и 5зюзуз1лао зо 110 01 пдпзх
‘LiXdn лкю orsrilio охзшз1Лоо ззХз + fixp + ^х = f 1кЬдоз111хзлетЛпд131 li 310 315137 Т'Т'9
ЗЗЯЗНЯЗУ
•аозпупсЬзх aoi SoXpio 5оздах о зплзз аок nriAndit ‘5олзг1оздо
0X3130 зплзз у Ьпхплзк о зхок oi пзЛ лао^зопЛомп пюп ‘пз!пладоо1 'Uxusg
зплзз ху^х = / U З1ок oi пзЛ пздкхздх m ззХзздзк 5о<ЬпдЛпбпк 11лзз19кз н
ох - х зо зз^пууп (s) 5lii пдазук пз^зд liio х ох зпх
(ож)^г 01 зг1 плзхз§ пдззо li 3101 ‘о aoi плп ох ою зплзз озззИсо ог!зопю 01 лпд
•minx Ii голпк ni 5одк л1п ззЛЦдо ху ух Udidori 11ХЗлтЛпд131 U зпх лсохзлздЫ
пт!оалпзд зплзз {uxq/   lixq/уд) = у	01 ‘оззт!1ло от!зоп1о здпх 33
£8£
VIHINH3 VNLLVMJV3 IVN V13IJHW ‘V13IXVVH Г9

384
0ETIKA OPISMENOI IIINAKES
у) Ехсрраоте ttjv /2 аброюца Tpnov тетрауатоу xai napayovronoiqaTE tov A
отт] цор<рт| LDL.
6.1.8 Eav A =	eivai 0eTixa орюцёуод, deluxe oti о A 1 eivai OeTixa орюцёуод.
6.1.9 H тетрауамхт] цорфт| f = 3(xi + 2хг)2 + 4x| eivai 0eTixq. Bpeixe tov nivaxa xqg A,
napayovxonoiqaxe tov отт] цор<рг| LDLT xai ovvSecrxe та oroi/eia tcdv D xai L це
ttjv ap/ixq f.
6.1.10 Eav R =	урафте tov R2 xai enakqOevaxe oti eivai 0eTixa орюцёуод, ехтод
xqg перштсоаеюд onov о R eivai 15с6цор<род.
6.1.11 a) Eav A = eivai Epmxiavog (ize fuyadixo b) 6peixe тоод oSqyovg tov xai
xqv opi^ovaa tov.
6) Svp.nkT}pd)are to TeTpaywvo yia xq myaSixq f = xH Ax = a|x 112 + 2 Re 6x1x2 +
c|x2|2 =a|x] + (6/a)x2|2+ ;
у) Пою eivai та xpixqpia yia rqv f > 0 nov eJjaacpaki^ovv oti о A eivai 0eTixa
opiapievog;
, Г 1	1 +il Г 3	4 + zl Q
o) Eivai 01 nivaxeg I	I xai I 4 _ j g I 0£Tlxa opiqievoi;
6.1.12 Ano<pav0eiTe av q F = x2y2 — 2x — 2y exei еЛа/юто ото oqpieio x = у = 1 (acpov
берете oti 01 npiineg napaywyoi piq&evi^ovrai o’ avro to oqpieio).
6.1.13 Yno noieg avv0qxeg yia та a, b, c loxvei q ax2 + 2bxy + cy2 > x2 + y2 yia oka та x, y,

Г‘Л” ZEn "И	Ггги 1го1
£Zv ZZV IZp = £у ‘	= Zy ‘[lip] = ly
[tip zip lip J	L	J
^з'/лшхохп Saodaioidv тлт>
и 5aoi 5aoyp 1злр9т1пу1дз1гг!ао ng коазхрзЛ kxioatb н 'хплотЛ kdsioidn отлип
лкю ‘v пхплшоют х тхсз у лою тох пууп ‘0 < г9 ~ 30 5тлол1р ‘у лох 0191
лою олог1 iXo тшз^ртЮпсЬз 5noao^ido Ski oidkndx 01 по толр oiaiprikooi^n
оу "ktbdori клзткидо рхпклдп толр aoir = у 5п1лол1р ‘о = q тох = □ = о
л»ю Ш11зто1голпх1 lnan kokiinirn н 'кхизд пшз юл у aoi юоао^до л1п охю
зЛаоокнюхю (л 1зхдю лзд odaoAig "Ssoao^ido то лао^тош 0796 п зг!аоокютд
пл оЛоудз толр 5отлзт1о1гз тох лотоао^до лап 5п1дотзд 5ki отозт1 лтлозрлао
aoiygig aoi aoian kdsri 099 ny "kokdlnndnir kxnxdninxodir krlpxn niri mg
лотлотЛпд131 лапкхдп^злп и mioiodgn лпо imscbpdA лп лолрт! тох лп ‘клзткпдо
рхпзд толр ху^х к :кокЛк^з куют ayoir mri зт1аоХз пд плодХрхапу -лотЛкро
лап кошз^з лку iSnikipiiioido 5кхпзд oidkndx дуют ayoir плз тзгкзогшз
5mi пд ‘5зхпл11г ЗаоозхдупАзт! тЛ isgXoi пл рдаоуохп^з козХо к lnan лпд
пхплш шз	aoi	тоЛкро то 5отд1дхп толр v/tyq —	эо)	тох	v 5зюзуз1лао iq
v / v \
(т)	",Й------- + Й- + X И = -Лэ + fixq7 + -'.ГО
г	г9-эо Д 9 J г	г
:лотлотЛпб131
mioiodgn зо / 5ki коаурлп лкю лпХрхзтМао ioiay "лотЛкро лап ко1лп<Ьт1з
лк1 тох зг1аол1дхт9 пл зт1добо1гт< ‘oidkndx pxnoiAoyoira 01 пдзюхпхзоодк
5п1лаптох ‘ппт1Лпдц -aoiygig aoi кдзт! оар ni -(Sstinoipi 5n) пхплш aoi
bsikipipi 5]злзЛЛз 5no пхлох ош кууп к ‘kxnoiAoyoira ‘kosrin niri к- 5ошг1зд
aoi 5тзо1ЛЛзоод1г одр то 5з1ап лаоухплтлп рюш 0091г oia)i3rikooi§n тол1д
"О < э + v 5олХт oi толр 5aoi
prioTOdgp 0111019 5зх11зд толр пл Sairip 131гздц "Ззхпклдп оар то тох к 5зхпзд
одр то тох к толр 5зт1по1р1 то пдп ‘0 <	- эо noao^ido к толр 5aoi олзг19Л1Л
оу -53X1130 1ЮЛ13 53tiiioigi oag то тох 119 лаолтот1ко 5зхкдлао то ‘лоюгХруаох
‘3 шз 2 koaniridsir лк1^ ^mrinoipi лап mikoodir ni зт! козХо ki srigodp пл тох
и 5отз§п1 пхплш лплз зо 5зхкдлао 5п 5з1ап зт)аоодзх1лзЛ пл толр Snri SoXpi^

"О < zq - эи ‘0 < и
131Г361Г
лрз
:пхплш плз тЛ
лотхкдлао 5оЛдз^ плз 4о aoi козд ki зоотрз Aoirlnoipi лап niikik^ 01 тох kosri
кю kiroxsip kokiliqao к pyyn Pgirinoipi лап mikoodir ni тЛ 5i3^ppoira 5зто1грх
зт! srinoiXdn ‘ocbndApdoir клзт1доЛкод1г лк1^ "5аоур srigodg 5aoi пл зг1ао^шуз
тох кокхотдз лкх lnan .0 5кок1лр1гп loirpdi тохпздоЬтр Зтдзооп лаоХдриу !ж
ох1лзркг! kri здрх тЛ ‘д < ху^х nikipipi л1п лаоХз 5зхплш TOxidisririao ютоц
ЗУХНХОИНЗЫО ЗНЯ11Я0 VldH IIdM  V9
SVJLHIOWISIdO ZHNI1H0 VIdHIIdN Z"9

386
0ETIKA OPI2MENOI niNAKES
Ibov to xvgio ©есодтща xai ща Хелтоцедт|д andSei^T]:
6B Ka0£ eva ало та елбцеуа xgivrigia excpga^ei ща avayxaia xai
ixavfj ovvOrjxr], yia va eivai о лдауцапхбд ооццетд1хбд nivaxag A Oerixa
OQUrpEVO$.
(I)	xTAx > 0 yia xa0e цт] pj&evixo diavwpia x.
(II)	OXeg oi 1Й1отщёд tov A ixavonoiovv ttjv Аг > 0.
(Ill)	'OXoi oi avio адютеда vnonivaxeg A^ exow Qetixr] ogi^ovoa.
(IV)	'OXoi oi odrjyoi (x®gig evaXXayeg удацщоу) ixavonoiovv ttjv di > 0.
Anddei^t} H ovv0r]XT] I ogi^ei evav 0eTixa ogiopievo nivaxa xai то ngd)TO бтща
цад 0a eivai va бет^ооце ттщ toobwajiia тг]д це тт] ow0r]xr] II. Улобётоощ
Xoinov oti txavonoieiTai r] I xai ovjxneQaivovjxe oti xa0e iSioTip) A npenei va
eivai 0eTixr|. О ovXXoyiopidg eivai anXog. 'Eotio oti Xi eivai to avTioToixo
|iova6iaio <5iavvo|ia, тбте
Axi = Xxi, aga x? Axi = xf XiXi = Xi,
atpov xfxi = 1. Enei5r| r] ovv0t)xt] I ioxvei yia xa0e x, 0a ioxvei etSixa xai yia
to i5io5iavwjxa Xi, xai г] лообтгуга х'[Ахг = Xi лдёле1 va eivai 0ет1хт]. Etai,
evas 0ETixa OQia/iEvos nivaxas e%ei Ostixes tdion/ieg.
Tioga лаце ngog ttjv aXXiq xaTev0vvor], vnoOeTOVTag oti 6Xeg oi Xi > 0 xai
ov^inegaivovTag oti xtAx > 0. (Auto ngenet v’ ano6eix0ei yia xa0e Siavvo^ia
x, oxi ^iovo yia iSioSiavvo^aTa!) EneiSi) oi аиццетд1хо1 nivaxeg exovv nXrigeg
ovvoXo og0oxavovixcbv idiodiavvop.aT(ov (сраоцат1хб 0ешдгща), цлодоёце va
удазроице олоюбг)лоте х oav ovv5vao[xo с^х^ +    + спхп. Тбте
.А.Х — “Ь * * * Ч”	— С|А|3^] 4"    Ч C^Xj^Xfi’
Абусо тт]д og0oycovioTT]Tag xai тцд xavovixonoiT]ar]g xjxi = 1,
хтАх = (c}xf + • •  + cnXn)(ciXiXi + •  • + cnXnxn)
= с?Ai + •  • + Xn.	(2)
'Otov xa0e Xi > 0, тбте r] (2) Seixvei oti xtAx > 0. 'Etol r] ovv0t]xt] II
ovvenayeTai тт] ow0t|xt] I.
Хтдефбцаоте Tioga OTtg III xai IV, tiov onoiiov t] tooSwapiia це tt]v I 0a
ano6etx0ei oe Tgia бтщата:
Eav io%v£i у I, ia%vEi xai rj III: Кат’ agxag, T] ogi^ovoa evog nivaxa eivai to
yivo^vo tiov iSioTimbv tov. 'Otov ioxvei то I, yviogit,ov^ oti avteg oi 1бют1цёд
eivai 0eTixeg:
det A = Ai A2 ... A,

5пхлолотдку:1гг1ао ‘j кхкдлао Ui тохзЛпшлао д[ кхкдлао U 1013, 'Uxiisq :ryLx
Ux лаолпх ‘плгоЛпдхзх тзузх 5пхло5птопу1гпууо1г ‘'ioXUqo 10x1139 10 тохау
•>}|+ p -a) f +
M Г i	о	оШ 1 Гт f-	° 1
|_лДг-	i	оД	l До i	f-j	[™л 4 = xv_!x
тох I ‘3 SaoAUqo 5aox 5зхозузхлао зг! ‘лотлотЛпдхзх niioiodgn плз
зг1аолдто1г ‘;z: зг! 91^39 пх oirn тох jX зг) рдзхтдп пх 91m 5п1ло^пюп^тууоц
Г i	° °1 Г| 1 Гт !-	о 1	Г z	I-	о 1
jiai=\k- 1 о f о i f- = 1- z 1- =у
L о	f~ u L	zj Lo о	i J	L о	I—	г J
VKLII3VV<1VII
7,7(77 = у тззлт/. /2(77 = у о юду 7 aoxMmXidi тюх aoi 5о<Ьодююлю
о тл]з ,q 5рх1лтХчд1 тлю о ‘пхплпг aoxidisrMao 5рлз sshdq кЛюуюпю л kig
:u9 toais 59Л0Л3Л 5nionriko 5lixixoion<boirn 01 <093 • fi(jq = у лкх тох ssnEg
lubioynirn лкх- лотЛкдо лгох пято лкхо ariaodpdxonra ‘5аодзЛзг1 sxoirlupoTOiro
5зхпл11г Saoxidxsririao зо 9x00 плтодтко 5mir sriaoq пл mj плгоЛпдхзх пх
girn го^з imigidn то лпхк тоЛкдо iq плгоЛпдхзх пх 5пхлолотдку1Г11ао ‘3 ]КЗ Z
Uoroxiridsir лкхо тох зт<плпх дхау 0 < ХУ±Х п9 ariao^pg пл isirsdir тох тохгхзд
толр тоЛкдо то 1x9 зг!ао^1дотлЛ 0193 :j й тх чзаХо! 3101 ‘aj к isaXoi лю10^
•5зхплш
5аолзг1о1до пхтхзд тЛ лоттМпдЛ ЭзЛпууплз тохло^птздХ лз§ тох— SaoAUgo 5aox
тЛ тох 1заХт пд 0191 ох ‘5зхпзо толр Ssoao^ido то 5зу9 лдктоу лу ’l-^y jap
лкх 5odir ^у jap 5кх 50X97 о Зетсрдхп толр SgXUqo 59x0-2/ о ‘ур осЬпдЛпдпц
лкх пхпз -лгоЛкдо лотх тох ^у jap лгот<01дп лотх а^пхзг! козХо козт1п mri гзХдпка
1x919 ‘пуохлз тохзрлх139О1гп 9хау :д/ к тх 130X01 3101 ‘щ к 130X01 лю10г
•5зх1хз0 толр 5зояо^1до 5здзхо1дп голп то 5го1гзлао
тох 5аох 9лзт19Л1Л ох толр noao^ido к ‘5зх1хз0 толр пл isirsdir (;?у П191 пх толр
ЛЗ9 aoir) аох 53111x0191 iq у лох тЛ inx 3xUxo9Tidnd>3 aoir SgrioiXoyyao 50191
о Л91ЛП (о тохз^911дп(Ьз тох Чу лох тЛ isaXoi j кхкдлао к 10x3, -^х 9Х1лз9кт1
Uri 30пх тЛ о < ^х^у^х 9x1913 ЗХ9Х ‘ж 9x^39^ Uri 30пх тЛ о < ху^х лпхо,
^xilVlx= [^] [* ,*у] [0 Iх] = XV±X
:лз9кт1 толр 5зогохтлао
7 — и 5зтохазузх то лотто1го лотх пхт1оалт9 пх здаоопхз^з пл толр пгйтолХзх 07
30пх тЛ тох 1заХт 0191 ох ‘5олзг1о1до пхгхзо толр у о ЛПХ9 ‘1x9 зг1аолХр9
i3iy 5зхпл11го1га 5аох 5ао^9 тЛ тох гзаХт 0191 ох 1x9 3i1ao§p9oirn 4л mj
SVlHXOWIXldO ZHNIXa© VIdH±IdN 2 9

5зхдпиз лоз OAgti
gun vows oidlindx зд»^ •oriTolidX ош oi толтз ninrilnli^ oxnlidcosg зо ‘олзт!
-p^oiidncbs odsioyoxoag oi толтз у юхюлш олзг!одзд ютЛ аок оуо 4doK ‘019,07
'Z^ + Z=iX ‘Z=zX ‘ZA-Z='X
‘$3X1130
тюлтз Ззуо по зткто^тдотлЛ содз юуую odogoAodX our oi толтз лсот1шотдт oidlindx
01 юлдлюх Ю1ю>[ •£ = £р ‘| = zp ‘^ = ip юхту1ш юх тюлтз отдз аок ‘51кЬтоуюкю
Sin SaoXligo Saoi srlaoolidlnodoK юл odsioaoyiro тюлтз ‘юхюлш оуюЛзг! люлз ютд
р = у рр = £у jap ‘£ = Zy jap ‘г = ly тэр
:od3ioyoxa3 oi Scoot тюлтз Sooao^ido Sin oidlindx 01 ‘5ют1 ют!Лтздюдюк £ шз £ 013
•л<рг1дт6ю лсохшзд юуолао pxTisdotbmg 5сотзуз1 ogg тюлтз ‘юхюлш олзг1от6о юхшзд
охша1 люлз ютд -5зт1т1отд1 5ш зт1 тю1лозХЛао юл T3K3dK лзд ?р тоЛкдо то
•OTdliiidx олюхт тюх тюлтз юл 01 окю ауок тзХзкю ‘ютзХтою ютлсоЛютд Ю1
олдг! зт1юпох юл 01 ‘ю1юг!ЛтздтсЮюк Ю1 дкю sriao^idaW. Scorlg Scokq, '[х aoi Sliio
-з"/з1лао о Scogidxo тюлтз oiao отюшзуз! 03 -рхпзд толр юл тзкзди ??» 013X1010
о1лтЛ,шд здюх r/nliiorhoido кхпзд йхйдлао ютхХюлю юте! тюх зт!аоХз то13
xrdsioxigig тот111д здюх зо Sliyliio тюх SUririodA. ЗоЛаз^ озл юлз Зшлоаздоодк тюх
аотлсоЛютд 51п ??ю отзХтою зюкйдотоко юлз юхюлш oicodK люо SoiACodcosg ‘лсох
-юлткока лотках юдтоаую зюккдютоко ютт1 sriaooliTOKoriiolidX юл srtooaodoKrl
юд ‘iod3ioxTA3j -Ззхюлшока ют^зд отпрх Saoi siiaooliTOKorlTolidX юл srtooaodoKTi
юд юуюх аоот ’oxiisdTO^s нюх тюлтз ^у Ззхюлшока odsioido солю то ‘Ц1
11х110лао 1по ‘по Сюсокаалз л1п siiaoolidro юл 5одюу лю111 ю© HZHdHlVdVU
•iMCD/lipdisi raidi юю юозт1 тюало^тлюсЬ^з
аок (7 aoi 5зу1по 5ш Ssdltyxgyo тюх) £/z~ TOZ Z/\~ Srioiigidio Saoi ютЫтзд^юк
ою з1зкзуд розт1 тюлтз f?y Ззюютоюукюууок tq ’со^з тюлтз ?р ToAligo то
(£) -и^хх7)ир +  + 1(х^7Ур + 1(ж^7) ip = (x^qXcMTjX) = XV ±х
тюлтз
(О < XV хх п9	13л'!<? асш) A^mAradi3i rarioTodgp 01 ‘юх^дзЛуу
•1ж oi AaoXsidsK аок хуaoi 5aodo Saoi 5аоуо тзлсу^1лзхЛао олтЛх^131
oicodK 01 ‘Scoiorio 'Зтзосоот^з Ззктоуока 5ш 5зуо ,кю ix 01 тзотюгЬю ЗСкЬтоуюкю
51п ютНлд oicodK 07 TOii/rodK отдт oi ‘ютоао л1по ‘тюлтз — лтлсоЛюо131 Uocod
-liyKriao тюх (лсЬтоуюкю— 5зазхою1юх Ззхтоюд оад по 01 orndm ауок толтз
’яу = у лсохюлш
лсолютпт^н liocoiKidsK л1по отдт 01 Scogidxo лю11л юд milidcnsg 03 -Ц^тздокю л1п
3HNVNIU lONHmidO VMLLH0
88£

6.2 KPITHPIA ©ETIKHS OPI2IMOTHTAS
389
0sxixd ogiopsvoi nivaxeg xai sZd/iaxa Tergdytova
Еля i geo va цои Enixgsipsxs sva ахоцт] xgixr]gio 0sxixr]g одю1цотт]тад. Auto
sivai г|дт] noXu xovxa xai 6ivsi цю xaXuxsgr] xaxav6r]OT] tcov naXaioxsgcov
xgixrjgicov xai tcov oxsoscbv xoug це to unoXotno tou 6i6Xiou. SuvSsoa^ 0s-
Ttxa одюцвуоид nivaxsg це обцуоид (Kscpakaio 1), ogi^ouosg (KscpaXaio 4) xai
сбютщбд (Kscpakaio 5). Tcbga xig 8^8та^оиц8 ота пдобкгщата e/.a/iaxiuv xsxga-
ycbvcov xou KscpaXaiou 3, лои ngoxunxouv ало падаХХт]Х6удаццоид nivaxsg тои
Kscpakaiou 2.
О R sivai о падакХт]Х6удаццод nivaxag xai то лдббХгща fiXa/ioxcuv xsxga-
ycbvcov Eivai то Rx = b, лои exei т e^iocbostg, це т > п (оицпвдсХацбсАоутас
xai xsxgaycovixd оиотгщата). То удацца А то хргла^бцаотЕ yia xov оиццЕтд1хо
nivaxa RT R лои smpavi^Exai oxig xavovixsg s^ioojosig: r] EXiAoyr] ekayioTwv
TEToayojvojv x eivai r) Avar] tov RtRx = RTb. 'Олшд 0a де^оицЕ ацёосод, о
nivaxag RTR 6sv sivai цоуо оиццетдсход aXXa xai 0sxixa одюцвуод, s<p’ doov
oi n отг|ЛЕд xou R Eivai удацщха avs^dgxr]T8g.
6C О nivaxag A sivai оиццБтдсхбд xai 0exixa одюцвуод xdxs xai цдvo
tots, oxav
(V)	Уладх£1 svag nivaxag R це аУЕ^адтцтвд <jTX|Xsg, xsxoiog coots
A = RTR.
Вквлоицб oxi о RTR sivai 0sxixa одюцеуод, avayvcogi^ovxag oxi xo xTRTRx
sivai to xsxgdycovo тои цг|хоид ||/?a:||2, лои 6sv цподв! va sivai agvqxixo. Aev
цподе! Елюцд va sivai ^qdsv (xcogig va ioxuei x = 0), Sioxi о R sxsi avs^dgxTjxsg
OTX]ksg: Eav xo x sivai цг| p]6svixo tots xai xo Rx sivai цт| цт]^1хо. 'Etoi о
xTAx = H-R^H2 sivai 0sxix6g xai о A = RTR sivai 0sxixd ogio^vog.
Алоцеу81 va бв^оицЕ, oxi oxav о A ixavonoiei xig ouv0r|xsg I - IV, tots
ixavonoisi xai tt]v V. Ilgsnsi tote va бдоицв svav R yia xov onoio A = RTR
xai auxo oxsSov то вхоицв xavsi био фодёд:
(i) Sxo xsXsuxaio бгща xou xugiou 0Е(одг]цатод, т] алаХоарГ] Gauss ладауо-
vxonoiT]O8 xov A ott]v цодфГ| LDLT. Oi o6t]yoi sivai 0sxixoi xai av о VD sxsi
xig TExgaycovixsg gi^sg тои хата цт]ход тт]д Siaywviou, tots A = Ly/Dy/DLT.*
Мю Блйоух) xou R sivai о avro xgiywvixog nivaxag V~DLT.
(ii) Мю aXb] ngoosyyior], лои nagdyst svav Siaqjogsxixo R, sivai va
Хдх|О1-цоло1Г]Ооиц8 tt]v II avxi yia tt]v IV -0sxix8g 1бют1Ц8д avxi yia 0sxixoug
* Auw| sivai i] biaa.xaar] xov Cholesky, олои oi odi]"/oi SiacutwvTai ктоцЕсиб; |хета^г> twv
aval xai хатш ror('<j)Vix<nv |ieQibv. Пом> /.i'/o 6ia<g':ori аито ало rqv лaoa'/ovioлoiг]аг| too Gauss
A = LDLT, xai oovr|0a); лоотико v’ алосрЕоусо tov оло/.оукшб aoTibv tcov T£TO«-/<.uvrx<jjv oitwv.

»х»л]1£ аолзгкжЭо ихпклдп aiUri рипзд siliri aoi ютоллз л1и :'Я'ГХ **
•(ssaij эЗрицшвэ - лрэца/д) spimujipnjy papddy <>i иор.тролир
‘aori aor/910 aoi [ О1»уп'Ьзу[ oio гшлоХзгдзи лсохрлш лсолзтймдо вхпзд лета 5зЛот1бв<Ьд *
плз пхзузх зз1аолбзтг ‘ху= / кокхбплао кхзлгоЛпбхзх лкх пзЛ тох у пхплш
олзткнбо пхпзд плз пзЛ ‘пдсра ’аодзкззгзукуупбтг 5олз ЬохЛо о лпхк поао^збо
Н 'лшлотхлплао лзд одзхпзгз пх лпхо (плгоЛпдхзх пхозХпуз) куодобзг кхз0пх
mii зо тох лотдзкзкз kriox mri зо зокЛкдо q = ху nritixoao оа 'одз1гз1гз плз зт<
лпхлолпхозбтг когооз^з кхзз1з1пдЛ mri ‘у отоупсЬз^ 0x3 5зазхопхпх 5зхзбхзг1гозЛ
лпхлодадх лгохплзк пддзЛуп лкх oirn гост ‘озудзд ох oxan (o аохлпц
бззопхопзд и 5ixo kgnodusfo
*уа5охозбоп„
толзз = z/(jy + у) nyyn 0 < Y ЭИ ззХз = у тозпхЛплп iXq,
О < х(ну + v)Hx(zh)
= хнх(х э^) зплзз 5обзт1 дхзхпт1Лпб1г ох ‘5пхлохз0ообц 'хнх\ = хунх тох
хнх\ = хунх зхох ‘х\ = ху лу :о < у ау зткюХз пл пзЛ кхк,0лао клпхх
:пт1Лзздпбп1г ох тох к^зздоют клзз1о1гз It ззлХззд Sroiro
‘озпхЛплп 5<nrio толзз лзд ‘пхзхзд зплзз лсотйхоздз лгох lidsii пхзхпз1Лпд1г пх зхо
зткоозупсЬоп^з пл пзЛ ззхдп рхау ("z/(Hy + у) 5одзт1 олпзхзз1да ох олзз1оздо
пхзхзд зплзз пл зткоокхзтгп йл зз1гзд1г когохкздзк кхздпЛзт! Itxj) -олзт1озЗо
пхзхз0 зплзз пл зз1гзд1г z/{jy + У) 5одзз1 охзбхззУко ох зхо зплзз 5оз1оздо
5олп031г 5плд, обо лох oxan гозоцо^зокбХ лзд зхоц Ззхплзк 5аолзз1озбо
пхзхз0 5аохзбхзтМао Uri пзЛ злпхгоб зг1 плХао ‘aori пзИ10пз1 0x3 Ьокдкх»д»ц
у5зЛоз1бп(Ьз
5зхо зпхло5злп(Ьг!з aoir 5оЛру о зплзз 5дхап зпх 5зхплз1г 5аолзз1озбо пхзхз0 зо
лпокЛкдо лголотЛпбхзх лгохозХпуз пхпг11гудоб1г пх зхо зплзз охстззтИюоз^п о^
•кЛорзгз кз1охп пзз1 зплзз уЬ ° 1О1Я, V =
лкх зззоколпхз олзт19лзЛ ox ‘(g) отхоз) 5зукхо 5ззлгоЛо0бо ззХз aoir пхплзш
зхо1гкдлозо1го зт! кЛоупгз mri зхзопзоп^кпууок лпд ’зхпзЛ ох зт!аод пл 3riao6oirri
тох ЗзгМпбАдукуупбтг к ЗзхзлгоЛпбхзх ‘5зЛоуигз 5зууп 5зууо1г ооохоот лаоХбпгх
•озМюбЛаукуупбтг ц лох зт1аобп1г пл ‘зг1пХзз aoir пзбз0азуз лкх зт!пхкхопззбХ
лзу ’53ХПЛ11Г зохзлгоЛпбхзх 5зуо лпхк ц аох 5зЛоуз1гз 5зхап 5ззбх iq
у аох 1т1Л(оА»д131
liAsrioido nxii3Q lixidistiriao к ‘^gjy/^-g) = у зплзз пхкхдхплад кхзбх пцу
(fr)	У jU = (j;&V^)(V^&) = JL&V& = У
:g) пхплзш озлгоЛо0бо лплз зо лаолзп1гт1 пхпт1оалпздоздз па ’5аоЛкдо
S3NVNILI lONHWSIdO УМНЕЮ
06£

(Z/^/X- ‘Z/^/t) toa.13 Soxliri oimgmori зо плзг11по1гох1лолпх ‘ninriooAnigoigi ny
g = Jy mx x = ly Ssiinoigi 5n siiao^iAoyoira lufmyys л!п зт1аоошо1лз пл mj
lirinoigi lidsiaynAsri Ino
рХтоюилп aoir ‘пло^р oioiXnys лою Soisgnx толр ‘у aoi lirinoigi кдззодюг!
Ino рХтоюилп aoir ‘51и|пзууз 5ltx Зпло^р ioioiAiri о ioig, 'шлооЛоддо толр aoi
pinrloaAnigoigi т ‘Spxidisrlrlao толр 5пхпл11г о ligisirg у aoi AwimtoaMoigoigi
a(oi Uoiagasig hi ninx тиоллдазшх 5Мпзу(3 Siu. 5зло$п io no sriao^pg »0
‘91а» рЛ плу ’(з'9 Х^) лотлзг1Лтз1лао 5зло^р 5aoi зт1 лозук то1ло^1г1г1пдАа0аз
л1о! пл 5U1 5зло§р то згою то1з ‘114пзууз л1и лао<Ьздю пууп ‘5олзт<о1до рхпзд
толр пл пхплш ло1 лаолксЬп nidnoosi ао1л(оЛтд 5о1хз пу тодзлпсЬ 0001 толр
лзд 5111 5зло§п то пууп ‘liXdn лкю толр 5111 од1лзх оу а ‘п одзигшз ою 1и|пзууз
niri толр liiay у = yig + ang +	= ху ух тох = у VKJI3VVdVII
у aoi ао1лотЛтд 5111 5о1хз npXioio
nxnsgliri liri зт!ао1гздп1гз aoiro ‘nrilig озтазуз! ою тох пб<01 зг1аолп1ф
•5о<Ьпдз ою олзгкоХ толр 5ln 901г! 01119 зг1аооздто§з лп ‘niionxny mA Lniiois
‘ayoir-oAiy ‘толр inx nigdg то1зхзю nynirri ц (^л ‘о ‘о) 01 idXsri ззлпкЬ 5пло^п
SoioiAsri о тох ‘tx‘ix одзкшз 01 5odir 5оо TOxiyxax лаолпх oi 5зюзуз1лао 1001
оад Ю "I = гж(|) + zx + гж O1D обзюзюйую толр 5пто1азуз1 5ln nriliXo 01-
Soogidxn 5<mi9 1X9 ‘airrixXnd aoi nynirrl mil зт! is^niori piay пло^п aoioiAsri
aoi тох пло^п аотоозт! aoi ‘пло^п аодзюдхпХ aoi пдхп пууп ni толр (g— ‘о ‘о)
‘(о‘1_‘О) ‘(o‘o‘f—) »рт11ю пу ^здззофлзууз 01 1злп0(Ь nioiro лкю lioniogirn
1иплар 11дз1аупЛзт1 Ii толр aoir ‘(g‘o‘o) = х oi толр 1шла0аз1пх liiidi л1и^
г® пло^п лою ‘(o‘l‘O) = х li толр liyyn nij^ пло^п aoiaidir aoi Soxlrri ninx
‘(0‘0‘f) = x i»A-i3 nipv '5110(1001^3 5Ui Sisoay 5зхюпд 5n 3ipg пл 3ipdoirj\
•5зд1зо4пзууз
зо nSincbo 91m зг1аол1пдшзг1 (jnxii30 тох) по1лп толр npXioio ni Ugisirg
•у =	= ху^х толр Liootoi^s li х = у Л.О1 mA
1	L tJ
тохплш
омгоХшр лплз зо пхплш 9x1101am ло1 giro siinir пл толр -nrilig дхплптИю
oi- nrilig олзт191гз 01 тох 5з<Ьдот1 5зх1лотЛпд131 5зю11лЛ зг1 sionrlg^nAdg 'х-
пг!оалп1д О13011ЛП 01 зт! тох 1злтодт1ао oigi 01 ‘х = хуух л1и рто1голпх1 х
пт!оалп1д 01 лп ‘aocbn ‘liXdn лкю толр 511411зууз 5111 од1лзх оу (о‘''' ‘o‘z/l)
01 Swim npiilio girn плдзю (о‘''' ‘о‘х) 01 Sooirg nprllio шЛ плп тох х = игх^
+  + |гс|7 + \х^ лкю То1зуупдп1зг1 liomoi^s хх 'lidsigdxiri то1зл1Л ndincbo U
Уъ = у 31000 1013 ‘р О1 зт! P0omonyirnyyoir у О ЛП 1Ю 31ООТ13т111£ упдтосЬо
П1тдплог1„ 11 толр aoir ‘х = ^х +   + ^х + \х л!по inrpioiroyirn Inan ‘5пхплш
Sgxnoiani о толр у о лпд 'X = XV±х 11С)лр зт!аод(оз0 aoir кхкдлао н
•5i3onionig и 5iio
5зд1зофзз^з плз inx 5i3oniomg оад 5по /ггДгзуу.з nni толр aoir ‘nriliXo oyairrinx
16£
zviHiowizido знянав vuhimm г 9

•лтзоз0лздтг лтх 5оххз ЗаоЛйдо
Saoi зт! ‘д/г<гб + г(д/л^ + п)е зо лсолтЛюдхзх лтх UooxHqiniao Ux ои) oxixsdodroig толр oiay *
толп юл ndoirri ЦуюЛзг! оооц -5о1юг1одлю19О191 aoicndir лох Soxlirl ninx х aoi
юотоюглао li толп 1(ж^&) = 1/г- тох I = ^иХ + • •  + ^lY юдап толп котог^з н
(9)	'и^иХ + • • • +	= fiNjfi = (хх&)у(£)хх) = ху^х
:ло)лфЛюд131 юткподдю
юлз пЛюдюк х^£) = fi ою 1ююдю1зг1 U 1093 тох g аотоуюсЬз^ aoi 53391 5з1дах
511 окю юн! люхк liiay	= V 1ПХ д юхюлш озлетЛоддо люлз зо люх1шг1
у aoi ю1ют1оалю12О1§1 юх ‘pxidgsAyy -Ззло^ю 5aoi 5ю1ло(Ьздю юлохп л1и srtotfi
-ауюхокю ‘oxidisrianj 'у ло1 зп'аоо/юоагсюлтХютд юл лш/л mi кд oxiwiomboim
01 ‘юхлюх: Scoitq, -у = хуjX Ssgnodinyys оуую здюх тох oirodi 0191 лох зг! зг1аоо
-Inoiroyirn л sriaodoirri ‘(g) коотог^з л1и зг! кдзлао п зг1аоо1юлю1юх люд
аоуюЛзт! aoi Saoxliri aoi oiidi юлз oi толп 5юло^ю 5odxiri о
‘6 oi зг!аооздтолю юл Ю1Л г(у) юхлоЛюдюк люлз зюю^о^юпд'Х тох (^Л/т‘^Л/х)
onriUo 010 1 зг1 TOiaooi олгоАюд131 одзхазд о^ толо^ю аою1Лзг1 aoi So'fii
ою ‘(^Л/l-onrllio ою у зг1 TOiaooi олетЛюдхз! oimdir ох *'5о1лз
толп ю1юг<оалю19О191 юх 'лтлсоЛюдхэ! лап 5о1хз толп 6 тах I Ssrinoigi iq
(s>	ч = ^ + ^)б + ^-^) = г« + <™8 + г»<;
:кото^з nUi зг/аоск'рдА.п/т^ пл. шгзбк
‘lkfin"f(3 л1и зг1ао9 юл юпд '51яНпууз 51п 5зло^ю 5aoi зт! лаоиг11гг1ао 5aoi 5по
-ладазпд то юуую ‘п ‘тг 5зло^ю Saoi зт1 ogt? ю1ла)Л лао^пюгИГХо ‘(Z/^/l ‘Z/A/l) тох
5U1 5злодп loidax io тох у =	+ ang + luftnyya ц х’9 ’^3
sa^vNin lONiamido VNiia©

6.2 KPITHPIA 0ETIKH2 OPIXIMOTHTAS
393
aoxr]; Eivai то локо 1 / ^A? oxav oka та akka Texgaycova eivai p.r]6ev. Aga о
/zeytOTog acovac, хата цг]ход xov i6io6iavi)O|iaTog лоо avTioxoi/ei атг| цсхдбтедц
i6ioxijiT|, cpravei oe алботаоу 1/-\/Х7 олб> то xevTQO.
Oi akkoi xogioi a^oveg eivai хата цг]ход tcov akkcov iSioSiavixjjxdTcov.
Та цт|хт] тоод eivai 1 / у^Аг, • • •, 1 / y/\i- Етщеиоате oxi та A лдёле1 va eivai
0exixa — о лмахад лоелес va eivai Oenxd ooiouevoQ— Siacpogexixd 0a ёуооце
лдббктща це xig xexgaycovixeg gi^eg. H e^iocoor] y] - 9y% = 1 negiygacpei цю
оледбокт) xai oxi цю ёккеофц.
H akkayr) ало то х ото у = QTx ngo^evqoe цю отдосрт) tcov atjovcov too
Хсодоо, сооте aoxoi va лдооадцоотош oxoog a^oveg too ekkeitpoeiSoog. Sxig
цетабкг]тёд у r] eigiocoor] yivexai локо лю алкт] xai бкёлооце ацёосод oxi aoxo
eivai eva ekkeitpoeiSeg:
6D 'Eoxco oxi о A eivai 0exixa ogiop,evog: A = QAQT це Аг > 0. Тоте т]
отдосрг] у = QTx алколот tt]v xtAx - 1 oxt] цодсрт|
xTQKQTx=\ r| yTKy = \ f| Aiyf+ --- + Any2 =1.
Aott] eivai r] e^iacoar] evog ekkeupoeidoog. Oi d^oveg too exoov цт]хг]
цетдобцеуо1 ало то xevxgo, xai otov agx^o x®go tcov
oovxexay^vcov x, xaxeo06vovxai отт] 6ie60ovor] tcov сбюбшуооцатооу.
AEKHZEIE
6.2.1 Пою eivai to xeSio tcov apiO^bv a xai b, yia тоод oxoioog oi nivaxeg A xai В eivai
08Tixa OQiqievoi;
6.2.2 AnoipavQeiTe av eivai r| oxi QeTixa <)Qia|ievoi oi
6.2.3 Катаохеоаоте evav adgioro* nivaxa noo exei та цеуакотеда OTOixeia too ott]v
xooia Siaycbvio:
це |Ь| < 1 цпоре! va ё/ei det A < 0.
* S.x.E.: Дегте vnoOT]|zeia>ar| o. 390.

394
0ETIKA OPI2MENOI TTINAKES
6.2.4 Aei^re це rig idioTqieg oti oxav о A eivai 0eTixa oQio|ievog, to i&io eivai xai о A2
xai о A1.
6.2.5 Aei^re oti av oi A xai В eivai 0exixa GQiajievoi, to i&io eivai xai о A + В. Пою
ало Tig ovv0r)xeg I - IV eivai /0ЛО1ЦЛ артт) тт] фора;
6.2.6 XQ'qoip.onoiaivrag торд oSryyovg, Tig iSioxqxeg xai та iSioSiavvo^aTa top A = [	,
урафте tov A aav RTR це xovg xoeig трбпорд nop npoTeivovxai ott]v anddei^q xiqg
6C: (Ly/D)(y/DLT), (Qy/X)(VAQT) xai (QVAQT)(QVAQT).
6.2.7 Eav о A = QAQT eivai орццетр1хбд xai 0exixa орюцстод, тоте о R = Q\/AQT
eivai у етииЕтогху xai Oertxa ooioutvy TiToayojvix.y oi'Qa tov. Tiaxi аитод о R
e%ei лоауцатгхёд i&ioxqxeg; YnokoyiaTe xov R xai елакг|0ег>ате oxi R2 = A yia тоид
4? z] ““ 4“ To6] 
6.2.8 Eav о A eivai ооццетр1хбд, 0exixa opiopevog xai о C eivai цл с&сбцорфод, делите
oxi о В = Ст AC eivai ел1ат]д орццетр1хбд xai 0exixa opic^evog.
6.2.9 Eav A = Rl R Seiijxe XT) yevixei^evq aviooTrjxa tod Schwarz \xTAy|2 <
(xT Ax)(yT Ay).
6.2.10 H ёккесфл u2 + Av2 = 1 avrioroi/ei otov A =	Графте Tig 1&ют1цёд xai та
idiohiavuqiaTa xai а/едюате xr|v ёМегфт].
6.2.11 Avayayare rqv e^iowor] 3u2 — 2^2uv + 2v2 = 1 o’ eva а0роюца TeTpaywviov,
6oioxovxag xig 1&ют1цёд xov avrioxoixov A, xai оуе&юате xr]v ekkeii|>r|.
6.2.12 Oxav 6X.a та Xi > 0, тоте т] Х^х2 + Х^х2 + X^x2 = 1, napioxavei axig xpeig Siaoxaoeig
eva ekkeiipoeiSeg. Пергурафте oka та Siatpopexixa eidr] eлl<pavela)v лор еццхт-
govrai отт] 0exixa тщюрюцёуг] лер1лто>от], слои ц!а Г] лерюобтеред 1&ют1цёд eivai
ЦТ]б1^.
6.2.13 Графте Tig nevre auv0r|xeg лор e^aoipaki^opv oti evag nivaxag 3 eni 3 eivai
aQvtjTixa OQia^ievoq (—A eivai 0eTixa орюцетод) divovrag iSiaiTepr) прооохл отт]
opv0r|xr] III: nd»g (j/eTigExai л det (—А) це nqv det A;
6.2.14 Eav eva Siaywvio oroi/eio eivai ^Sev, dei^re oti о A dev цпорет va eivai apinytixa
opiqievog.
6.2.15 AnocpavOeire noiog ano тоод епдце/vopg nivaxeg eivai 0eTixa opic^ievog, apirjuxa
орюцгуод, лцюрюцёуод л абрютод:*
* S.t.E.: Aeixe рлоог)це1а>ат] о. 390.
С = -В, D=A-'.

6.2 KPITHPIA 0ETIKHZ OPI2IMOTHTA2
395
Ynap/ei noaypaxixq kvoq xqg —x2 — 5y2 — 9z2 — 4xy — 6xz — 8yz = 1;
6.2.16 'Eotw oti о A eivai aiippexgixog, Oexixa ooiopevog xai о Q ooOoywviog:
А	Ф	о	QTAQ eivai diaycoviog nivaxag
А	Ф	о	QTAQ eivai ovppexQixog, Qexixa ooiopevog
А	Ф	о	QT AQ e%ei xig iSteg idioxipeg це xov A
А	Ф	о	e eivai auppexpixog, Qexixa opiopevog
6.2.17 Eav о A eivai Oexixa ooiopevog xai avgqOei xo an, deluxe ano xovg ovpnapayovxeg
oxi av^avei xai q opigovoa. Aei^xe p’ eva napadeiypa oxi xovxo 6ev to/vei oxav о
A eivai aopioxog.*
6.2.18 Ano xqv A = RTR deigxe yia Oexixa opiopevovg nivaxeg oxi det A < ацагг • • • ann.
(Yлодыгу. To pqxog oxo xexoayoivo xqg oxqkqg j xox> R, eivai ajj. XQqoip,onoiqoxe
oxi ogi^ouoa = oyxog.)
6.2.19 (KpixqQio xou Liapunov, yia xqv ewxaSeia xov M) 'Eoxcu oxi AM + MH A = — I pe
Oexixa opiapevo A. Eav Mx - Xx Sei^xe oxi Re A < 0. {Ynodei^y: ПоХХапХасяаохе
xqv ngcbxq e^iacuoq pe xH xai x.)
S.T.E.: Aeixe vnoar|peicoor| o. 390.

396
0ETIKA OPI2MENOI EIINAKEl
6.3  HMIOPIEMENOI KAI AOPETOI HINAKEL, Ax = XMx
Тбюа, nov ёхооце anoSei^ei nXqptog та xpixqpia yia evav 0exixa opiqievo
nivaxa, о отбуод avxqg xqg naQaygacpov eivai v’ алХбооуце та Ыутиа цад Xiyo
лЕрктобтеро. Tpia лробХгщата ехооце хата vow:
(1)	xpixqpia yia evav 0exixa Tmiogiojievo nivaxa,
(2)	xq oxeoq цета^б iSioTtjicbv xai odqycbv evog <теццетр1хо1> nivaxa,
(3)	to yevixevjievo лрббХтща t6ioTi|id)v Ax = XMx.
To npibxo 0a eivai noXv oijvto|io, Sloti q SovXeia exei г|6т| yivet. Ta xpixqpia
фюралцотщад 0a x«Xapo')oow Tig yvqoieg aviooxqxeg xTAx > 0 xai Л > 0
xai d > 0 xai det > 0 emxpenovxag xqv epxpavior] p]5evixcbv. Oi aopioxoi*
nivaxeg enixpenovv enioqg apvqxixeg i6ioTip,eg xai odqyovg xai цад nave ото
xvpio ооцлёраоца avxqg xqg ларауобкрои: Та хддтща twv idiOTifubv taiQia^ovv
fi£ та KQOOtyia twv odqywv. Avxog eivai о “vd/zog adpaveiag”. ТёХод лаце oxqv
Ax = XMx, non eppavi^eTai avvexcbg oe лробХгщата p.r]xavoXoyixr)g avaXvoqg.
E<p’ doov о M eivai офцетр1ход xai Oexixa opiojievog, to yevixevpevo лрббХфа
naei napaXXqXa це то yvojaxo Ax = Xx -av e^aipeooDfie oti та idiodiavuqiaTa
eivai op0oycbvia uno pia vea evvoia. 2e лоХХёд ефарцоуёд о M eivai evag
nivaxag /ia?ag. S’ avrq xqv лараурафо цеХетаце eva xvnixo ларабег/ца xai
oxqv Параурафо 6.5 napouoidt,ov|ie тт] fieQodo tmv neneQaofievwv otoixeicdv.
Гta r]|xiopiojievoug nivaxeg, to arpavTixo eivai va отщеаЬооице Tig avaXoyieg
це тт] 0eTixa орюцёут] nepinTiooq.
6E Ka0e eva ало та елбцеуа xpiTqpia anoxeXei avayxaia xai ixavf|
ovv0r|xq yia va eivai о А, вепха tifuoQiafievog:
(Г) xTAx > 0 yia xa0e didv-иоца x (аитбд eivai о орюцбд).
(IF) 'ОХед oi 1<Чот1цёд той A ixavonoiovv ttjv Xi > 0.
(ПГ) 'OXoi oi xvpioi vnonivaxeg exow цг] apvrjTixeg opi^oweg.
(IV') Aev vnapxow apvrjTixoi odqyoi.
(V') Ynapxei nivaxag R, еу&ехоцёусод це е^артгщёуед отг|Хед, exoi iboxe
A = RTR.
Oxav о A exei xa^r| г, тбте q f = xTAx eivai аброюца r teXelcdv Texpayibvwv.
H охёат| цехами xwv xTAx > 0 xai Aj > 0 nov eivai q mo OTmavxixr], eivai
q i&ia це xqv npoqyoi^evq: H Siaycovionoiqoq A = QAQ1 odqyei oxqv
xTAx = xTQ\QTx = yTAy = X^ +  + Xny2n.	(1)
* 2.T.E.: Aeite Dnoar)|ieicoori a. 390.

:л<01дкх1дх лтлзт!о1гз лотх етЛоу ‘5олзт!о1до1т!к толу
Г Z г- т-1
т- Z т- = V
Lt- т- Z J
VlVIEIVVdVII
лтз^урот лтх
оухах лох 1злгодкухоуо aoir nriAndir ‘кх1хклдп толу пл удокт! лзр inx г||жу||
зт1 inxaooi	licbdoTi кхтлтАпдхзх ц -(лохтХпуаох) 5олзг1тдо1т!к пхпзд
толу у£у Skrhdori 5кх Зпхплш здпх ixpip ‘д лкхо ,Д лкх рт зт!ао±здхошз
Зоузд (-у аох rtyd LixMcvAvdiai Uasrioidorrili тохзАзу inx Soxidxsririao толу у о
кЛоушз kxidx лкх^) ’у j-y = у лкх 1зЛпдтг	= V 1пх kripxn
p£)Y/A)(V/A&) = V 1ЮИ (j;7GJA)(G747) = V ЗзЛоушз 5ix от sxoirkpnioiro
5тлзг1аоЛкодхс inx Зато ‘Ззазхопхпх Ssipi 5ix sri зхопг!аоЛкро у лох^
•зт!пот1зузх komxiridsir
лкх кхап fi ‘тохз тх Зрх^зркг! плодХохапх толу пл SidmX 5олзг1о1до1г!к толу
пл ydoirri лзр Srorip Зпхплш Зотохзх Зплд, чоЛкро лаоХдпка лзр зхох— ^jyj
лкхо тох тохло^упсЬ^з пхап пхтзркт! пх тох пхпзркт! зт! кхпт!зЛ толу 5о1лгоЛшр
тдах к котхюдзи кдзходпХ кх^ ф5аоЛкро Saoxixsg а зт! ‘j^jyj зхох тохзл]Л
Зпхплтх: о ‘П1дхз111!ао кх srlaookdkxnip пл зхот ‘лтукхо ЗзЛпууплз ЗзХтохоулп
тох лттЫпдЛ ЗзАпууплз sxonrio^msdX ‘koroxiridsir купх ооох тох iXo лкх^
kdnoynm лкх пхзт! 1злто9т1ао Зтдклао Зтир ‘5зх1лзркт! толу 5зг1г1пдЛ а - и
Ззтохазузх iq -лготНпдЛ ЗзЛпууплз SidmX ‘ЗаоЛкро Saoxixsg а зт!аоХз тох
-Золзткпдо nxix30 толу путЛ кхо а шз а Ьпхплшока о- 5зх1лзркт! kri толу
5зоао^1до пдзхтдп голп а 5зхтдхс 10 ‘komxiridsir кдзхаупх лкх^ -лттЫпдЛ
5зЛпууплз лаодотздХ пл ydoirrl 1x9 лаолгодзлпсЬ пхап пхтТЛурпдтг пд
5олзг1о1доп1к пхиклдп тол1з Р ® тох 5олзт1о1до111к пхпза тол1з Р ®
' L О ОJ '	' [о о]
ппхло^лзркг! Ssoao^ido
пдзхтдп тлп то 5зу9 лготоко лтх 5зхплш оар зг!аол1дхтр пл зт!поаодо1гт1
пд лзр ‘отохзх ixnx злтодзлао лзр лу -5п1лгоЛ 5пдзхтдп тлп 5кх Заохап
fi олрг! 1X9 тох Ззхплшока Saoidax 5аох Заоу9 зо mxs^iidncbs дп к 1x9
толу П1г1охолтох н (’тхло^узрЫ х аох клзкЛпхзхлао кхдпхзх тох kxmdir к
ЛПХ9 тох 1заХт пл удаоуохп^з кхап nxkx9ipi к ЗХ9Х 1х здпх тЛ о < хуjX
лпхо, :nxkx9TiioidoiTik лкх тох nidxsririao кх удкхтр 9хау 'р тох у ЗзтМпдЛ
тох Ззукхо ’Х'у— плодХ9хапх ЗзтЫпдЛ тох Ззукхо Зпхлокуупдпхс TOXsjixmikXo
Зпхплшока Зтодах Зплд,) -дц лкх зг1плпдз1о!ао ioxg, -о < Ззхап ix толу 5аох
Ззоао^до то тох Saox Ssrlixoipi то ‘толзг1тдоп!к толу 5зхплшох:а imdax то Зкошз
Soigne -кхпклдп кг! Зкошз толу тох лтх олзт!9Л1Л ох толу кхап ‘noao^ido
лкх тЛ ооо, 'плтЛпдхзх тзузх а тох bsilixoipi 5зх1лзркт1 кт! а лаоХдпша ‘а
к^пх 1зХз у о лпхо, ’юхпклдп кт! толу у пх ЛПХ9 ‘кхпклдп кт! толу кхау
= XV ‘SaNVNTO lOlSIdOV IVN lONHHSIdOIHIH £'9

•jajs9AiK<5 aoi Зтзлпддп oiip^j
aoi око 1013919 (idIhadko ц !5о1г1ола9оо1 oTionoTiliXooisri aoi nim Ssilo/gpi
-srlo лаолзт!одок oxoaik aoi 531(110191 5зуур 5зток ‘toais oriliiaids охпот!Лодк
од •Soxidisrhiao 1злзт!одок JV° 11919 ‘101139(11019 у aoi oidisririao н
(3)	ocbdoripiQi Uri лотокрх тк ЭУ±Э <— у
:5»]т1»ла§оо1
5от!опот!11Хоо1зт1 о toais ‘5scbdorl 5зх1ла)Лод131 5u тк SUpanysTisg toais аок
‘лтхрлгк oboist! Ii^oOk U, ‘5ажзла[£ '^3VjJJjfi То13л-У'- Ucbdorl IixiaoiAoSisi li
тох ‘/19 = x ‘oxoaik aocbdorioigi Uri 5олз aiosri x oi зт! tois^iisXo /г orioaAioig озл
паз, 'Acpiliv9»i3Ti LiAovvo li toais litbSor! (ixiaoiAoSisi mri зо li^pdK (1x1009 H
aUi mA 5aoi 5з1тюууюлю 10 mx 5i3^pdir ЗчздомзХюго ю тлр Ьзтоц :5sxdaik
5aoxidi3Tiriao 01Л одоп зг!аолрх UoUiords 0191 лйд (ucpiof Midori li тох) Ssrhioigi
io toais okoiov^oao 1злзт!одок аок oiay ’(JWi-JV *“ У W SV \ S V
Soilnoiorio 5orioiiDTiliXoDi3rl о aoiIi (Хдрдк (1x1009 li ‘Amrlnoipi лап LioaiiKidsK
aIii^ ’0191 01 оуо лолзт!здок ooao^ido li тох li^pi ‘лсруМо 5odmX о ‘лотгМодЛ
5одсоХ о :5оурЛзт1 pisxdo aoiIi ^лапапоу^оло,, лап SoAoypiox о ‘(гр/р он!
око oipdiodbo 5liiiriodA 5oiri оторуко-^ок олз aoiq ^паио-р/оло лаолзт!одок
oxoaik aoi 531(110191 5зюк зт!ао^1да)лЛ ол aoiIi oxhaotIIio 01 ‘(юапктдзк здрх
з£ ’одзюаоуко oxoaik лолз лаолрх аок Зтз^рдк 51390113X1010 5по liootbrls
31(00019 ‘Ssrhioipi 5п тох lidnoyoKO л1по ‘01^919 01 oiao 4о odsiiQaijsi
5»1злрд9» 5lii SorioA о inx 5nirinAagooi ioriouniiliXx)»i3j\[
•5охп(1лдо Lit! toais ол 1зкздк Soxoaik о ‘q = э oiA. 5откзлао .liriAno nioiasysi
л1п 1<ЭХзт! 5зх11зд toais од ‘э aoi SisoIiiSoaod 51зХзлао toais Ssrinoipi io тох
Ssoao^ido 10 lipiSKq 'ASpliTi oio isaisi da э 01 aikoiox siolicby + у oxoaik
oAsrioido pxiisg aoi З1здрк og зкэко ‘aoxnoiaoi aoi оюрукоууок odxirl олз
зюздоодц :от!оолХз1 олзг!окз oi зт! ‘д - 1 5зх(1длао SsxiXdo 5п око лаодХ
-1390КО ол 511О1КЗ лооаодокт! од SoilnoTiioidoirili 5зх(1длао iq hohdliind»[]
Го	о	о]	Г I	I-	01	Г г	I-	т-1
• о I о	f 0 ^1- z 1-
Lo	о	zj	L о	о	zJ	Ll-	I-	Z J
Gai)
•g = у jap тох i 1кз з толтз agio
£ ooao^iSo ‘x 1кз x толтз Л019 ‘3 ooao^ido лаоХз 5зхол1кока ioidax iq Gill)
•g = £y = гу ‘g = iy toais Ssrinoipi iq	(jx)
•g < г(£ж - i-x) + г(£ж - iz) + г(гж - 'ж) = ху^х	(j)
33NVNIU lONHWZIJO VNI1H0

OWpAlOIQ 11X1130
(? - l) + /7 5ох1лтЪд1 о тх SotMidioiiAi) тлр о 11019 ‘liiiufiadioiiA» тлр lii.iy ф лою ;/f)
Л01 oirn ‘jpiunps - шв-Ю Slii (noir! ‘рЛдо 1зл1ооо1зг1 (Д') тзлзЛохю ц 'Н(У/ -!) + £>?= (ДЭ ™л1з
лоохплпг npioiivn U тх Д(*) = g 3io£ Q <101 Sivliio 5no ipiiuip<,’ - iuei<) 0100x19019 lii artioooridocbs
ол толр £) aoi li/.ovnrs livnx О1[л| aoi п1111О1л<1>Ло()до li axUiopisdX aoir толр mpg *
:лодз<Ьтдлз oir 01 толп oian mlAngnSnK og £ VJAIJISVVdVII
•5пплпддп oiioA
лохо тупк 5пхлоаохпка ‘у о тох 5отко ‘Uiinoigi ихпклдп mri inx Uxnag nni пХз
пл пкздк ЭУЬЭ о ‘AOTiinoigi лотх олзг1ол1А 01 шлп noao^ido U Uian 1лдпкд
’О > г(СНэР)~ = ЬЯ>)(Р WXjpjap) = ЗУ^Э^Р
rnoao^ido UxuUAdn пХз jy о 3191 ‘	® ] = у лпд z VULHSVVdVII
5пплпддп от<ол лох йпхлолоттодздшз ‘Ssiinoigi 5зхпз0 и лаоХз ppg
о inx ооо ‘Soxnoxanx о ооод д UxUqaiio U10 у = □ зхдпк ,5олзг1о1до пхпзд
толп 5охап 5ПХПЛ1К о inx = jyзхох ‘j = у лпд у VKJI3VVdVII
^к^пдокп U толп Uxay '&ух£) = &у пхплш oiorlg лох зт! Ssiinoigi
Srogidxn 53igi 5и пХз аок ‘у лох mA inx Soigi о SUoiks толп Soxan Soiigidn о
’&Vj£) ЛО1	1DX 3V j^3 лох O19l 01 тол13 ‘л°х ndsxoidn Soglr/K 01 inx
Здлздкт! aoi ni^sg AOTiinoigi лотх SogUyK 01 ‘5откзла^ -(jnoiXomg 01 пл ‘зд одзх
-oooidsK ауок) азд/гг/ 01	т>л pdoirri лзд 5зюо Ssriuoigi Six giro npirimc
‘5od>doiioigi зхок шлп лзд о (лдпкд '&уj£) аох Ssriixoigi 5ixo JV±3 ao1
53Tiixoigi Six окп ‘у зо о 9кп тохзуупдпхзт! ох 5отдпх ‘ninirigng тохлоуупдпхзт!
»9 <l)3Vj<3)D аох Ssiiixoigi 10 зход = (j)^ inx j = (q)j ‘т = ? тох о = ?
nig :5ocbdoiioigi толп лзд 5аох 5плзлпх аок лотхпл1к 5ngioayn 5аоХзлао
Sniri отозт! пхплш омотЛоддо лплз зт! тохзздлао j о по зхоздокд -5пшох
-oiio 5Ux ndsioxgidxn inx 5niAoyoKox 5Ux птктолХзх плз зт1ао0оплпд п@
(’О <— э ox по 3iiaoolidOT30 пл тох
/э-у тох /э + у 5ao<bdoiioigi liri 5аох зт< 3iiaoi|v3vaog пл зт!аодокт1 pxiisdodimy)
•лаоХаоилп 5пт1 пл 53rinoigi 5зх1лздит1 лаоХдпка лзд inx 5o<bdoiioigi liri 5UoiK3
толп эуj£) о зход 'Sodbdoiioigi Uri толп у о по ‘пт^охаз mA ‘зт1аооз0ока
П0 и^пддкп лкх^ ’5п1т1пладоо1 5goTionnrlUXoni3i1 Saoi пхпх iniAaodUxmg
(53iinoigi 10 5sigi то 1X0 inx) AOTiinoigi лотх vriliogdir ni ‘niAoy пууп syj
V
лох 3ii AOTiinoigi лотхпздЫ 5о0кук oigi 01 inx Acyninoigi лотхпилдп 5о01хук
oigi 01 ‘AOTiinoigi лотхпз0 5о01гук oigi 01 пХз ОУхЗ Зпхплш о Я9
66£
Xjyx = ху ‘SHNVNIU lOXXIdOV IVM lONHWZIdOIWH £’9

•летают! лото рю 09,9 коклр лкх ‘oriAisgodoir люо
‘згкю^юхз^а ’Х^\ = ху All! О1ГЮ ТОХЮХО10ЮХ1ХЛЮ 4л ху = ху U 1ЮХ люлз »?Х
11лю 5зхюлти: оад лаохиаходк юл 5(orio рдокдо 5аох AOTiinoigi oxoiikygodir юхо
5зхюл1к Saoxidxsiiiiao лаоЛюдюк юл юпзлзЛлз лкх 5отдклао лаоХз кхпопюх^ к тох
ю1ЛоуолюХкр^ li ‘кхюаф к юуую ‘Ю1т1олох1о лкх ютЛ 5odaoAio 0001 тогЬз лзу
Aioriixoigi лотлзг1азх1лзА лотх nrikygodir од,
•£ отоуюЛзя охо зт1ао(кюдЛ1дз1£ юд аок
ф 50900311 U toais kokrinodir юоаоХздх н 'suasiQ SoqoqxtI люо кхоотлЛ толр
кхау -тохзазхоаоукю Ainiinoigi IloLixIT^ioaio li тох кдоЛкдЛ тохзлпЛ ксЬтоуюкю н
9/ег1 Ю1Л плю юхютИхд uz зо тохло*рЛоуока зхох тоЛкдо iq •SoiAioAoigidx у о
юхотдк 13Л1Л юл— коотпузд юоаодзЛтдлз юп1 тт юхзт! ‘0961 »w отддЛ зоаоХ
-doidax тох Aioilixoigi aorioiAoyoira Sogogarl кхпхюохс kxcodic li люхк кхау
TOrikg здюх зо 5юхкхотодздю orikxopig ox aoirik
ox юхюх зтТаолотххюуз ‘oiikogdir юх 5юхло^юхз§а (дЛкдо дхпклдю 1зХз / - у
о 1x019 ‘тол1з та>[) -у аох kdsxgdxiii толр krhxoigi к лю 1зд юл Ю1Л ‘/ - у лох
13^0X3^3 ютТкд олз11окз ojl -лздкт! ох дкю отхюх зг1юоюдзхюх лкх z 5юхлотдто<Ью
1x919- z ао1 кдзхрдхтН тюлтз 5з1аю (г» юю/ U тох Sarinoigi 5зхпзд 1зХз у о
‘5го1гзлаз -дЛкдо охпклдю люлз 1зХз ]Z ~ V 0 ‘SaoAkgo 5аохпзд 1зХз у q
Г9	L	(Я	Г8	L	01
‘	Z,	8	£\= IZ~V	тох	Z.	ОТ	£	= V
Lo	£	lj	Lo	£	£j
5зхюл11г 5aox зхокдотз© 'Sarhxoigi 5u лаоошохлз юл лаодокт! юдап тох- юуохаз
тохлохо1дд зоЛкдо то 1x019 толр охпхюдц •Ззп'пшр? тох 5аоАйдо :юхо1дотХ
зг1юоаохюдх 5тлзт1аоАкодк aoir aoiygig аох аохаю кдзг1 oag (5зхюл1К 5аох1дхзг1
-riao Ю1Л) 1зздлао 1x919 толр отоду -дхпхюди тох отода> тох толр дхау
у аох AOTitixoigi лтхпзд лотх Sogkyir ox sri is^pidiox
лотЛкдо лотх1хз0 лотх Soglxyir ох ‘тохд, ‘(тоЛкдо то) юрХтохо хплотАтд юх 5отд1дхю
толр (j ftox Ssriixoigi io SottIq, '(j лох зт! Aroiinoigi лотхпзд Sookyir 0191 ox 1зХз
у о :5юрлюддю 5кх отТдл ох зтТао^дтТдюсЬз лкхаю ’^7(77 = V wx 7 аох
5о<Ьодхоюлю о толр fj о ‘Sgxidxsiiriao толр у о kgisirg •(лотгМюдЛ 5зЛюууюлз
51дотХ) f[(jq = у коктокохлоЛюдюх: кдклао кх тохзХздпгз у о пд зтТаооздока ю©
•лотрХтохо
лотхиздкт! тох лотхпклдю ‘лотхпзд Зодкухг 0191 ох лаоХз ‘(j лотЛкдо лотх
5юхюл1К о тох у AOTiinoigi 5юхюл1хс о -A«>rfuoigi лстл тйюоди »х зг!
Moiiniciiao лтМщо лол ntilutodu т ‘юхюлш gxidxsiirlao здюх mj 39
sasvNiu lONamido vxiia©
OOfr

:oirodi 11д1ллао aoi ari miAO^iAoyoira ?s niDTioaAmqoigi n^
~?у~Л =	1DA13 SsiUipAXao oa§ ю отлз ‘Зэхийлдп toais Sarinoiqi oag ю inx
' л Ic- = V ^ + V9 + zYZ= I	}	Jap = ( jvY - Г>Р
V/ । c	L	\ c J
= гш тох x = lui 3ii miAnpndmr плз
aiomio^nAda^airg д = (/у - у) jap liocnoi^3 lig^ao liio aioiir nAUgo 5nri f = JV
ЬАоупгз Uxign h 0 = (JVY - V) 1ЭР Sliocooi^a SlixniaAaiayoir 5ln n^id толпз у oi
ndn ‘SnxnAiir Sothdoiimgi толп j^Y - у SprionaqAao о лпхо лолот1 Ltoay тзХдпкх
z- I
. I г-
toisaiA oian ‘г(оог) mA iiad у 5п1лосЬпдА тох х?т1э oi SniAgnoiroyiry
х?т?эу = х;т?эг(тг) jv тохзлзЛ пу = Hnjy
:хгтгэ 5поп,у 53X1130X3 sriaoolnli^nAn 5iyoii isiiraxodir
Acoiiiioipi nrlUygodir оу 'jy tl5v^pri пхплмг,, лплз зт1 ‘пу = ltnjy толп ndroj,
пу = ип nrilnoao oiynir oi лтк ng oian ‘x = гш =	‘5зо1 лшк Ьз^пт! ю лу
72П
т.7 - а = -^-2ш
mzP
7ip
т + ат— = 1ш
azP
:5з^пт1 oap ю miAo^iAndnis
aoiro ‘лстзоато^з лап пбазум Udsioidn л1п oirn тахзХдзодк опХюю рхплпШо
озл О£ -т^ - а = тох ог + aj- = \>{ Ыплар зт1 aioiir ni 5odir лаодот 5п
тдЬапуз т тох уд -X^ ою Запю ‘т тох ci nmx miAO^iiroinisrl Ss^nii iq
:Ltoniodir niri зг) nriltygpdir oxioad) oi siiaorfinSAidsir пл stiaodoirj^ lidsiasp In
mA тыш = inx n^nri Incndir aIii mA ipim = толп uojMaxQ aoi 5ог1ол q
YZ - Z_
(17)
(£)
z- I
.	2-
I0t
im
0
‘z/VY = XV
5з^пт1 5зтлр art niilnoao олзт(оаз1лпуп1 плд, ’£’9 ‘^3
(5A

xjyx = xy ‘saavNiu loisiaov ivh юыятмшмн Г9

402
©ETIKA OPISMENOI П IN AKES
(А-А2М)ж2=^	2	1^_jz2=0,	а:2 = ^1^13]-
Ta i6io5iavwp.aTa avia divovv Tig zavovtzeg xaxaoTaoeig тт]д TaXdvToiai]g.
£тг| хацг]ХбтЕрг] av/voTTiTa a>i oi 5vo ца^ед TaXavTevovTai pia'^i -ехтод ал’ то
oti т] лрсотт] ца^а xiveixai p.6vo цё-Xpi тт] цёуютг] алботаот] УЗ - 1 « 0,73.
2tt]v та/бтерт] хатаотаот] oi avviOTiboeg tov х exovv аутебета лрбогща xai
xivovvtol oe avTiSeTeg 5iev0vvoeig. Avtt) ttj фора т] Ц1хрбтерт] ца'да фбауее
лоХо лю цахрю.
Н avTiGTOixi] Oecopia nioco ало авто, e^rjyeiTai еихоХбтера av бюолаао^це
tov М oe RTR. (О М ипотЮгтш oti sivai derixa opto/zevog, блюд ото
ларабеьуца.) Тбте т] аутьхатаотаот] у = Rx цетабаХХес то
Ах = XMx = XRT Rx ото AR'y = XRTy.
2vp,6oM£ovTag це C tov R~} xai noXX.anXaoidi;ovTag це (RT)~X = Ст, avTO
yiveTai eva ovvr]0ia^vo лрббХгща lSlot^cdv yia evav xai цбvo nivaxa, tov
CTAC:
CTACy=Xy.	(5)
Oi 1бют1цёд eivai oi iSieg це тг]д apxizi]g Ax = XMx xai та idiobtavi^aTa
ovvSeovTai це tt]v yj = Rxj* Oi i5i6vr]Teg tov ovццeтplxov nivaxa CTAC
odriyovv ал’ evSeiag OTig avTtOTOixeg iSiorqTeg тт)д Ax = XMx:
1.	Oi 1бют1цёд eivai лрауцат1хёд.
2.	Ката tov уоцо aSpaveiag, exovv та idia лрбогща це Tig ovvr|0eig 1бют1цёд
tov A.
3.	Ta idtodiavi^aTa yj tov CtAC eivai dwaTOV va eraXeyovv opOoxavo-
vixa, ара та сбюёнаувоцата Xj eivai “M-opOoxavovixa”:
x?Mxj = x[RTRxj =y?yj =1 otov i =j, 0 otov i / j. (6)
4.	Кат’ avaXoyiav, arf Axj = XjX^Mxj eivai i] Xj i] 0. Oi nivaxeg A xai M
diaywvionoiovvrai TavToxQova. Eav о S exei та Xj OTig отт|кед tov, тбте
STAS =A xai STMS = I. Етщеиооте oti avTog eivai цетаохтщатюцбд
toodvvayiag, це tov St от’ арютера xai oxi цетаохт]М-а™оцбд оцо1отг]тад
це tov S~l.
Гео)цетр1ха, avTO exei eva vorma nov Sev to xaTaZ.a6aivov^ nokv xaXa.
2tt] 0eTixa opio^vr] лер1лта>от], oi enupaveieg xTAx - 1 xai xT Mx = 1 eivai
ekkeiipoetSr). Eivai фауерб oti x = Sz opi^ei цю vea eniXoyr] ovvTeTay^viov
* 'Evag T<f/i!TEO()g трблод va лаоауоищ: evav nejiovu)|iEvo nivaxa 0a T|xav va лароице ir|v
M^xAx = Xx, аХХа о M~XA dev eivai ащцетогхо;. Exai nooxipn]<ia|ie va лаооше xo |ii<>6 xoi>
XI ‘ ало хабе л/.егоа xov А, шахе va ёхо^це xov аиццехогхо CTAC.

06£ о UoonariUooira зкзуд ig rj
L 0 £ S‘zJ T
: | aoi lidsiodxni
lirinoigi 1зХз у о мз з11здлп<Ьокп <л тЛ /| — у aoi 5aoAligo 5aoi sioUioxoTiiolidx S’£’9
5зхпл1х X- ‘Z‘l— 5ао1лгоЛшд131 5aoi зг1 зю»т11хоу
:[ aoi 5зЗз1аупЛзт1 Ssiiiioigi то толр ‘у aoi тодз1аупЛзт1 тоуо толзз loAUgo то лпд У£‘9
ТОХПЛ1Х
oxuoiani ло1 311 Q ло1 поаоздлао ngioayn lubdorioigi liri niri sriaoonasxoninx
пл лошладп толр iimj омотЛодЗо лплз зг! □ ло1 пздлао пл nioxo U “(/)□
лотхплш AOTcbdorioigi liri ngioavn niri зюпазхотпд nrHioodif mgi ni лаоХз у тох
3V jD лап Ssrhioigi io 119 зюаздкупкз ^] = у тох Oj = j 5aoi mj £'£‘9
yioioidon U 1олзт1о1до1т111 пхизд ‘толзгкидо пхпзд толр лп зрздлпсЬохп тох
'Е: ™ I:: :Ь
5зхпл11£ 5aoi окп лплз здпх зо mdlindx nidi ni siooridncbg Z‘t‘9
(l5U§ni) x lj=ff 1ПХ (г5Цп1) |^x- z i-j=y
5зхпл11г 5аолзг1о1до1т1и 5aoi niA
‘олотЛпб131 плз лпо хдoi тох лотлотЛпд1з1 oag mioiodgn лпо ХУ01 sufindj i‘£‘9
згазнязу
•xy = xy 01 5(ogidxn Зсоко То1здз4)1дзкг1ло xjyy = xy Amriiioigi miliygodir
олзг1азх1лзЛ oi ‘5олзт1о1до юхпзд толр jy о лооо t<ba :5гидотз0 5ln miondsirriao
oidgx 01 зшз^Ф-олао лсэзлоу nyoxag pdindro mri толр 5зд1зо^1зууз обзхазд og
(£)
I = “z + ’ • ’ + гг = zSn^S^ - xPljX
X =	+ • • • + ]z\y = zgy^SjZ = xVjx
толр юшу тощаю TOiAo^iririnQAagas пл [унзогЬлзууз oag ni
этого тохз — 5пхпл11г 5о1лотЛо0до толтз лзд g о noig ‘Ucbodio 1лдп0пх толр лзд—
£01?
zjvy = ху ‘zaMVNiu югшоу iv?i ion3w:zi<ioihih £ 9

404
0ETIKA OPISMENOI niNAKES
6.3.6 Mia акуебдмг) anddeify] Toy vdpov adgavelaq gexiva це op0oxavovixci Siavv-
оцата x],... ,xp tov A, nov avxioxoixovv oe 1бют1цёд A, > 0 xai ooQozavoviza
i6io6iavvo|xaTa y\,..., yq xov CT AC nov avTioxoi/ovv oe 1&ют1цёд рг < 0.
а)	Г la va берете oti та x\,..., xp, Cy\, Cyq eivai aveijapTiyta, vnoQeore oti
xdnoiog ovv5vaop,6g Sivei to p,r]6ev:
a^xi +   + apxp = b\Cy\ +  + bqCyq(= z, A.x.).
Aeiijxe oti ztAz = Ajaj + ••• + Xpa.p > 0 xaOcbg eniorqg xai oti ztAz =
+ •  • + pqb2q < 0.
6)	Svirnegavaxe oti та a xai та 6 eivai jiT)6ev (лрауца nov anoSeixvvei tt]
ураццгхг] ave|apTT|oia). Sv^nepavaTe an’ avrd oti p + q < n.
у) О ISiog аиккоуюцбд yia та n — p apvqxixcx A xai та n — q Oexixa p, Sivei
n — p + n — q < n. (Упобётооце naki цг| цт|8еУ1хёд i&ioxipeg, nov finopovv va
Sovkevxovv xwpioxa). Aeiijxe oti p + q = n, apa to nkr)0og p tcov Oetixcov A
loovxai це tov nkr)0og n — q tcov 0exixcbv p, nov eivai о v6цog aSpaveiag.
6.3.7 Eav о C eivai цт) ibicipopcpog, Sei^xe oti о A xai о CT AC ёхо1А xrqv ibia xd^T].
(Mnopeixe va хбЛ°1Нол:о1ЛоетЕ T11V Параурасро 3.6.) 'Etoi, ёxovv to idio nkx|0og
ЦГ]6е^1Х0А 1&1ОТ1Ц0А.
6.3.8 Bpeixe пе1рацат1ха то nkr|0og tcov Oexixcbv, apvrjTixcbv xai цг^лчха^ idioxipcbv xov
oxav о vnonivaxaq В (xa^ecog n/2) eivai цт] хбюцорсрод.
6.3.9 Ixavonoiovv navxoxe oi A xai CTAC xov v6цo aSpaveiag, oxav о C Sev eivai
xexpaycovixog;
6.3.10 Sxo Лоцёуо пара6е1уца xov 6i6Xiov це т.| =1 xai m2 = 2, enaAqOevQxe oxi
01 xavovixeg xaxaoxdoeig eivai M-op0oycbvieg: x^Mx^ = 0. Eav xai 01 &vo
ца^ед anoцaxpvv0ovv хата тт) цova6a anoorao-qg xai цеха acpeOovv ekevOepeg, це
vo = — 1 xai wq — 1, 6peixe xovg ovvxeAeaxeg orqv xivqor] nov 0a npoxArjOei
и = tri cosX} + аг cos<v2ta?2. Пою eivai iq цеуакотерт] ecpixxx| апоотаот) xr]g
npcbxiqg ца^ад ano тт| 0ёот) loopponiag (oxav та 8vo ovvrmixova eivai +1 xai —1);
6.3.11 Bpeixe Tig 1дют1цёд xai та iSioSiavi^axa тт)д
6.3.12 Eav 01 ооццетр1хо1 2 eni 2 nivaxeg A xai M eivai aopiaxoi,* тоте т] Ax = XMx
цпорел va цт^ ё/ei прауцапхёд 18ют1цёд. Kaxaoxevdore eva парабег/ца.
* S.T.E.: Aeixe vnoorjueiiooT] a. 390.

mAoyoig liio тох 5зт11ш>шз Ззшлтлтох 5no ‘лаорсЬаупхок» ллолзптд.ж
aoir ‘5lioUioiroioiX»y3 iotIoa Urioxn lovyn ix лпо'Хдика »л 131гзди »>() тох ‘л.а>лзт1олто<Ь ЗзззлШдз
зо 5i3olidlii»dnir он» зт1аоо1рдз1г »л nrilig 5здгог/зт1з() 01 тол.13 л<пг1<>л лсоюхзх lidirivnznAn |~[
51ю»а§ Slixm'Znvs origx лплз зо тохзтопо пл aorloixiyoir аох Цдахгилп U nigi li тох зд 5голзг1оХздлз
‘5UoUioiroxoiXny3 5зХдп зг! плаЯпТао тохлоооахютлп юисоддлп тох nxad> по 5олзг1о131гзх£ тотТтд *
’(t’9 ‘^Z) Q = XV 13л19 аоЛотЛпдшг 5kirodir 5kx 5от1отлздкг1 о тох отлпк ni 5odir
тзЛтолп kyogndnir ц -SgxTisg толтз у о лпхо лолог! ‘охотХпуз зт!аоХз ng rogg
ХР (	1 , л
'q~xv=dP тах xq ~zXV Т =
тоуохаз тпхзлтЛ oian ‘5origidn 5плз
толтз у о лрн -q = ху aoirg oisriko охо тохзлпХАлхпгз охтХруз oi Snioiro 5кх
‘cf <^X°9DdnKn лкх зг!аодд пл зг1аоуз0 тоуохаз ayoit толтз nrilig oimdir oj,
•тохтзолЛп пл тзтгздк ng лз§ пхкхохплад
кдзхазд к ‘odindAndnir lusrtoxcs лкхо тзлпсЬ ng 5coiro ‘nxnrikygodir nyyoir зо тох-
5кхтлотЛпдхзх 5кх охтХруз плз к 5котот^з SkxiririndA 51и коау mri зг1аоокхк^плп
пл тодздазуз зхопгкз коотигтдзк здпх з^ -(хэ^пд коотот^з лкх) коотот^з кхтдоЛтд
mri тзлтд лотЛотЛпдтг лотхотдхг лотх 5огкплздкг1 о aoiro ‘nrikyggdir 5зХзлао плз
,о тзлпх лотуодпхзг! SgrioiAoy о aoir 5отдтдхп рхап 5тзорхотд 5злзг1опдз1гз1г
5110 зт!аолпх п@ '.ту = ху aUi sri istinAaqooi аон кизхз тих Smgnx q = xy
ahi 3ti istioAaqooi aoic aoioiXoys liXdn aIii stiaodtf »л толтз aodrodAndmr 5kx
5kxan SoXpxo Soirodir q -SaoAmAndnir 5зхотд1г 5тх зг1аоотлздкг! лпхо ‘Зтзотот^з
SsxrririndA 5зхоотлЛ 5тхо moiir тзокЛкдо 5nri пд коктотгохтХпуз к тохд, ‘кхтт1т1пдЛ
толтз Skcbdori 5кхтлотЛпдхзх 5mri SoAmApdnit к Skoiitg Sxdwori 5злзг1о1до анизо
oirn оууп зхоктх тплтз лзд 1(5зтзЛдзлз„ то 5зхап тхо ‘5отозт1п sriaoir пл тзагздц
^•пдзхотдоЛкдЛ
тохзлтЛ ооо 5по iinri 010 тзлрхсЬ пл зхоот ‘oriodg отохзх тздаоуохп 5от<Ь ох тхдтд
‘олзгкпЛау тпхзлтпсЬ одзл idkxoir плз 4о одаХп плд, \,5отзопдд тткоокухоуо,,
тох и5злт5лпдхЛпу„ лаоХдпгга кхтоаф кх^ '5тзЛдзлз 5кхтуо 5кх kokioiroxo
-тХпуз к толтз 5кхтлпХкр\[ 5кхтг1од 5кх кХдп 5кдоттузг1зд к тох 5кх 5одпд ох отдт
ох тзлотхко aoir пухздпх kxoyirayoir mri зт) тз^птог! отдтхх плд, :пхпг1Лтздпдп1г
nxovirayoir опт тох лаоХдпгга пдаоЛтх ’5аох птзЛдзлз к тпхтзтокохтХпуз пл зхоот
тохз тохлаото1гоххп1 тдкхпуз пх ппддздх плз (о зхзлотуют^ к пухздпх mri зо
зхоздпх лпхо, ПтзЛдзлз 5аох 5кхтт1плад 5кх коктотгохотХпуз лкх tirn тзигаходк
ogag лохо тохлодпхпхпх пдЛа птдпд пх тхо 'Х-у 5длоЛзЛ oj, -лотхотХпуз 5зХ5п
5от тохло^пдЛхз Skxioad) 5кх тог1дл loyyoir 0001г ох охтххкуипхпх толтд
•аохотХпуз
кХдп moirnx oirn тпхз^тдотдоодх: ng пууп ‘жу = ху аох к q = ху аох коау
лпо тпхздтд пд лзд х 5охоотлЛп о ‘Зтзоотот^з 5зхтг1г1пдЛ 5тх oirn ndotb kxmdir mA.
sriaoAadtraSj ng ‘аотудтд аох 5оузх ох тз^птокум Smgnx ‘ocbndAndnit лкх kxan
HoraiAva aoi omivhij oi ivm Noizixvva zaxav  t> 9
SOfr
HOiaiAVH AOl ONIVHH Ol IVM NDAZIXVVH saxdv Г9

O=iq- г.77 + ix- = ^XQ/dQ
Q=\q-zx-^xz = ^xq/jq
rAsglni зт! SaoAmAndnir 5n
5п1лолото1§з toisaiA grioiAoy gxnoodnirn зг) Soinrisg aoi UoiAAsooSir 5UgliAao
H ’^x^q — Wq — |rc + tx^x — ^x = (x)d aIii sioliioiroioiXnya VIAIJI3VV<IVII
'x ою то1злпХЛа1пгз oioiXnys oi 1013 rax (x)j л1и 91г» lidsiaynAari toais
(ft)d li nisrilio пууп д nyg ’0 = x - ft ЛП19 aoa9tI Aigliri toais tox- UxuliAdn
толр пл 3101г isdoirri лз§ niliwooir li Ilian ‘5олзгклдо пхпзд toais у о 119131га
(Т)
{х - К)ух{х -	=
aVjXz/i) + xVj.ft - dyxft(z/\} =
q^x + xy^x{z/\) ~	~ ^У^(7./1) = (x)j - (fi)d
31)аоооаигплп
‘ft DTioaApi9 здпх mj -q = xy aoi lioay li toais x 119 зюздокх й^гз^оагу
'qx-Voisrilio 01 91ЛП to inx
q = xy aoira oisrilio 010 oioiXnys 13X3 qjX — xy^xizz/x) = (x)cl UoliiSpAao
li 3191 ‘5пхпл11г 5олзг1о1до пхизд inx 59xidi3ririao toais у о лпд H9
•5niUi9xii30 UxliQAao niri inx mis^nisdX oioiXnys
sriaooiyndjon^s пл nd голз ‘Soirai 50191 о isaXoi пл гздаоуохп^з j aIii niA
nyyn 539i3oyogndnir зо misyyngnisri liyogndnir It Sisonionig Зздзтоотдзк з^
'(x)d SUoliiSnAao 5lixiAmAnSi3i 5niri oioiXnya oa 'p'9 ’Xj
l^ogndDU (n)
SHNVNIU lONSHZIdO VNI1H0
лстзорютд 09g клрхзу (ф

6.4 АРХЕ2 EAAXI2TQN KAI TO ПНЛ1КО TOY RAYLEIGH
407
H удацц1хг] аХуебда diaxonibvei то idio ооцлёдаоца олб тг| цодфт] Ах = Ь,
xaoxi^ovxag л дала rqv Р це ttjv (1/2)хт [	х - хтЬ. То еХа/юто
eniToy/avexai отг] 9ёот] х - А~]Ь, блоо
Дх«х. = (l/2)(A-'b)TA(A-'b) - (A~}b)Tb = -^A^b.	(2)
Sxig ефадцоуёд то (l/2)xTAx eivai r] eoanegixr] evegyeia xai to -xTb eivai
to e'^wxegixo ёдуо. To фоо1хб оботтща naei аотоцатшд лдод то х, то огщею
looggoniag, блоо т] oXixr) evegyeia Р eivai еХахютт].
Аебтедод отбуод цад rjTav va бдобце eva лдббХтща eXaxioxonoir]OT]g юобб-
vajio це rqv Ах = Хх. Avrd dev eivai xai тбоо eoxoXo. H oovagxrioT] лоо лдёле1
va eZ.axioTonoir|0ei dev цлоде1 va eivai цю алХт] xexgaywvixri, dioxi dtacpoge-
Tixa т] ладаушуют) тцд 9а обтщобое ое удацц1хг| e^iocoor] -xai то лдббХгща
idiox^inv eivai хата 6aotv цт] удацц1хо. То тёxvaoцa eivai va е^етаоооце tov
лбу о doo xexgaycovixwv цодфал xai аотбд лоо цад e^on^gexei eivai yviooxog
oav m]Xixov tov Rayleigh:
Ilegvc^e хат’ eo9eiav ото ходю Эесодтща:
61 H affxtj tov Rayleigh: To nrjXixo R(x) eXaxiOTonoieixai ало то лдшто
idiodidvvqxa x =xj xai т] еХахютт] Т1цг| too eivai т] щхдотедт, idioTtp] Ai:
irfAxi	xTXi a?i
R(xi) =	----
Xj З-'l
Ге<1)цетд1ха, охесрбелте oti хдатаце tov ад19цг]тт| ioo це 1 xai хсАоице tov
лagovoцaoтr| doo цеуаХбтедо yiveTai. О ад19цг]Т1]д xTAx = 1 ogi^ei ёva
еХХеефое^ёд, toMo/lotov oxav о A eivai 9exixa ogio^vog. О ладоуоцаотг|д
eivai xTx = | |ж||2, aga xpaxvo^ie yia то огщею too eXXenpoetSoog лоо eivai отт]
цёуютт] алботаот] ало xr]v адхл -то бнАооца х лоо ёхе1 то цёуюто цт|ход.
Ало xr]v лдо'цуоо^^т] лед1удафГ| too eXXeixpoeiSoog уушд1С,ооце oxi о цёуютод
a^ovag too ёхе1 tt]v xaxeo9ovor] too лдютоо инобюгооцатод.
AXye6gixa, aoxo yivexai edxoXa avTiMqnTO (xoogig x^v anaixr]or| 9exixr|g
одю1цотг|тад). Дюуатолоюоце xov А це ёvav og9oycbvio nivaxa: QTAQ =A.
naigvovxag x = Qy,
и, = (Qy)TMQy) = yT^y = x}yl +    + xny^
(Qy)T(.Qy) уту у^ + --- + Уп
(3)

g y оIn>дЛ/ю>>।j
лкхо лордоз дох зхок ол opoxoag SidcoX siisookjaj ’(.r)y тох (x)j a(oi lioluoiroioiXop aUio
loia^idliio лотрХтою лтлзт1оодз1гзг лсох бододзт! li отлз ‘олзг1(гзх1фз§з oil толр от1з() oi ох.чу/ *
Ъ- г\’а ml3‘!A [v i- \Ty °
:пхплр
aozidxaririao 5длз кукхо той UririndA ninxaavax лкх sxckndAmy VhIJiaVVdVU
UxcodK лкх зг1ао^^солА пл SidmX ‘Skrhxoigi SUdsxasg
SUx Skokrinxs oirodx плз плгд inx ox mA ищшргеш UXdn„ mri толп кхау
O=ZjX z	G=zxx
(y)	• [(ж)# щш ]хрш = тох (ж)у щш <
:?Y sri тохаот у SUx охогХпуз кхкдлао ока ox охап
зхрх ‘пг1оалтдтд1 oxcodK ох толп z ох лпхо, 'ZX 01 зхок плтоддзшг лзд ‘о
= z^x grioidoidsK лотокрх зо тохпхдка лпхд ‘(ж)у SUx охтХпуз ох £9
nxnriogAmgoigi пкюудка пхо охздпх толп
 х ох глсохрлгк Acoxidxsririao лсох nxkxgigi Uxiong Uxo inxs^idkxo ignyx-nsgi ц
*-x пгкгалпсдосдс 9x00- C oxo oxmAsri U охтХпуз зг1аоХз пл Зпхлохапдшз ‘IxXdn
пюхзх mri лдктоу зг1аохк^плу аохогХпуз U ooxoiAsrl UXdn токпх толп oriioUdX
толп nxnnrlAndxc аок gxan ‘SaAorldndn Sn^ -i-uy ‘ ’ ‘ZY Awrtuoigr лсоозг1т§лз
лсох Uo3da,3 лкх Uyoxoag плох gxay -пхап (кп coxnx U солпк тохзхоюд (ж)у
U лп ox mA пздт зт1аоХз лзд 1x9 толп nniiko nxixnriAno пх зг1 туохоад ц
Ssriixoigi Six mA хвшш1ш SsZdy
По gri тохаот	аох oxi^Uk ох ‘(о‘ • • • ‘о‘у) = х
пг1оалтд ox sriaoonrhxog лп hxnriAndjj 'и\ тох iy лсох a^nxsri inxsXaid
-зк ‘it® ох Зсокд ‘опХтохо оплсоАтд здггя :тзкзлао noaodsthmgAS mpj
mailко omivriA.oo толп nxnrloiwoigoigi позг)тдлз п£ -их
охо толп аох дхтАзг! ох тох 1ж пткмлтдтдт охо толп аох дхтХпуз о^ uy ох
дкп <»л»к зюк тох Iy ох дкп «и»х зхок Uriix пХз лзд ц81Э[Аву аох оху/кк о_£
^их + ... +	+ plx) ^(ufi + ... + zfi+ 1Й)1у
lodsxaYnAsri толп oxiykK
ox onriko оууп здпх зо тох ‘iy зг! тохаоот oxi^Uk ox onrlko ох дхап "О =
= •   = г/г тох 1= аокд onriko охо ndaoAio тахзлпХАахшз у SUx охтХпуз ох
SHNVNIU юынтыо VNIia®
80Г

6.4 APXEX EAAXIXTQN KAI TO ПНЛ1КО TOY RAYLEIGH
409
Tote у dsvTEQy oe /лвуЕво^ idiOTifiy tov A vneQ6aivei ту /JiHQOTEQy idiOTifiy
tov B. (S’ аото то лараб81уца oi api0|iol аото! slvai 2 xai 1.) H ртхротерг]
i&iOTip.r| too А, лоо slvai 2 — a/2 й 0.6 slvai fJixQOTEQy трд Ц1хрот8рт]д idioTijir|g
too В. (S.t.E.: H цеуакбтерт] i5loti|xt| too A slvai 2 + y/2 xai O7t8Q6alvsi тт]
цбуакотврт] tSioTip] too В, лоо slvai 3.)
Artodei^y Otov x = (xi,X2,0), то лт)к!хо Rayleigh too В ооцл1лте1 це to
лт]к!хо Rayleigh too А. Аота slvai та 6iavoo(xaTa та хаОвта ото z = (0,0,1) xai
yi’ аота lo/osi xTAx = xTBx. To вка/юто yia ok’ аота та x slvai t] щхротерг]
ibioTijir] Ai(B) xai 6sv props! va slvai pxpoTspo ало тт] рхрдтбрт] iSioTip] too
A, Sioti аотт) slvai to skd/юто, сод лрод oka та x. Qotooo to Aj(B) 9a slvai
Pxqotsqo ало тг] беотБрг] idioTip] too A. H atTla: Калоюд oov6oao[xog tcov
boo лрсотсоу ibiobiavoop.dT(ov too A slvai хаОетод ото z. Eav бакооце aordv
tov oovboaopid ото лт]к!хо Rayleigh ла1рхооц8 svav ар10цо цсхротвро too A2(A)
xai цвуакотвро too Aj(B). Елоцгусод A2(A) > Ai(B).
H лкг|ог|д sixova slvai ц1а akXti^ortaoEfifioky idioTifubv.
Ai (A) < A^B) < A2(A) < A2(B) <  • • < A„_!(B) < An(A). (5)
TscojisTpixd, г] (5) s/et цю cpooixr] е^Г|ут]ОГ]. УлоОеотб oti sva skkEirposiSsg
TspvsTai ало 8л1ле6о bisp/oirsvo ал’ tt]v ар/т]. Tots t] тоцг] slvai лак1 sva
sAksirposiSsg, рхрбтеро хата ц!а Ьнкотаот]. О цёуютод a^ovag аотг|д тт]д
тоцт]д 6sv цлоре! va slvai цвуакбтерод ало tov цёуюто a^ova okdxkrjpoo too
skksiiposiboog: Ai(B) > Ai(A). Qotooo о цёуютод a^ovag тг]д тоцг|д slvai
TovAd%iOTov tooo fj.Eya.koc,, oao о dsvTEpog a^ovag too ap/ixoo skksuposiboog:
Ai(B) < A2(A). Кат’ avakoylav, о skd/ютод d^ovag тт]д тоцг)д slvai [xixpoTspog
Е/. 6.5. H ap/ёд maximin xai minimax: Ai < щ < A2 < ц2 < Аз-

:5гоозг1ю
зюпзкз хззшзщш кХдю н 'ZX < (X)H n9 sriao^iScoAX x oi юхздзз oian (зА тох
i re ют!оалюздоздз oicodir ою опздюх толп odmXoita лою x озокюд Zigwgpiry
(9)	< (аг)у-хвш
3202
‘иУ no1 SodmXpira. Soiviopipip SovoXai тлзз Zg ^pg '^y aoi одзпауюЛзг! толзз
юд odmXgira лою оюзАзз! oi ndcoi ‘£y aoi odsipdxiri люпк ‘g = z^x grimdoidsir
Л01 oira оюзХюуз oi ‘5тлзг1аоАкодц тоюзАзг! oi mA юпкпоозлю mri Sioiaoi
лз ззХорзгу 'олюдиг зюлр лзд озшазуз! oi .Ю1юг1оалюздоздз ззХзздз1г SodroXpira
о 5oian лю зг!ао^здтлЛ юл oirpdi юзюдзд зт!аоХз лзу -одтХрка oivioTpipiq
озздюдаю люлз fi (х)н лйг зг/аоюкоючХзг/ тох юздз л1и лрзгзоу зг1ао<ЬрдЛплу
•д = ZjX от!оздоздз1г опздзюдаю люлз ,ri зг1аоокзо1гоюзХюуз юл люпк здззух
-юздз к ‘шшзхвш кХдю л1и mA коюююпюх кХзоюрлю л1и зт!юХзз лю1О,
•юютлЛю Зопгзлао тох Sowrikygodir aoi 5одзт1
толр гх тох I® ю1ют1оалюздоздз Ю1 Scorip— ?у толр (x)}j aoi оюзАзг! oi ‘odmXgira
опюютдзд дхздзз ло1 дпаю юпюгкзалтдоздз оад mrodir Ю1 дкю то1зЛюдюк
aoir ‘ootoXoira опюютдзд люлз олдт! лаолксЬю lorimdoidsir топаю 3 - и io -д = иЧ
=  = £ft зг!аоокпю1гю юл толр ‘оюзАзг! 5m гу oi sriaodpir юл mA Sogogsri к
“« +  + zfi + [ft
^fiuX +    + [fizy + [fi^x
толр qSm[/my
oxiykir oi kgisirg -?y л1и sriaoasdaA no 5mrig зюздоагу ’sriaoxoidg lii тох
(rc)2f aoi srlaoTOiroioiAsrl ‘ iу Urhioigi lumAsri Ui srlaodg юл mj ‘sripili^ Urinoigi
ЮТО1Г oi giro толзт!т1дю5з ‘зт!аоХдшгз oi юл toitoSi loflotbmg лаоХЗюиу
•aoioiAsrl aoi goiao
lirin кпюлад liimXpys л1и STiaooiSmgooSir юл pisri тох q8p|XBy oxplur oi зг!аоо
-Uiouoioi/.sri юл mmdir srlaoolidisX'iin юл толр 5ют1 коздддц хештш йХдю mri
sriaoomiraimg юл тох mmilidrosg Ю1 юпаю зг1ао<Нздюилю юл 5ддтох толпд
•1-“у
О1гю апюх iXo юуую топзлгоиюуз юпкюлХао кдз1дуюАзг1 н 'гу ki 1злтоддзка
лзд юуую топзлю^аю юпкполХао kdsiooxiri к 3io£ 'кпклзхю picoddom юл топз^
-юхЛюлю^з ю^юг! Ю1г1 пр зюз0О1га ‘лт^юг! тох лапдкпюуз юг1кюао олзг!ао1люую1
юлз рдод лу •кх1люХк]у кю тох зг1аод юл sriaodoirri miApdir oigi oj^
у aoi кукю тох кг!т1юдЛ ютопазузп лк1 sriaoiiriddoiro зюх (д ‘д ‘д) = z
толр одзкшз лолг1з1 ою 5о1здюх н ‘юпкюозлю зг!аолзг1здз1г ‘д = £х одзкшз
онло^кЭо oi зт1 зг1аолг!з1 люю ‘ззлзА лд '(у)гу = (ff)ly зт1аоХз ‘юло^ю оюзАзг!
ох1Хдю лою опздюх толр одзтлпз лолг!з1 oi люю ‘koroiiridsir кхздгз юзг! з^
•(k)cy > (зУх > (.v)zx
:юло^ю оюзХюуз охзХою лоп окю 5одз1ауюЛзг1 зюх юло^ю оозпазд охзХдю лоп oiro
зэ'яуыш lONamido vmllh©
Olt

лкх ок» тшздтд аок q = ху nrilnoao 01 зюкботз© JV9
ЗШЗНЯЗУ
•паХиолХао
liSsiaynAsri lii тзоотипуз юд тох ‘шкюлХао LicnigvlirinX lii тзок^ап ng niiroddooi
зо Sn^nri Smri UoliindxAao li ‘nrlliioao OAsrlgasiAnyni плз 4o ‘Ss^nrl 5зоытр птЛ
inx Urigxy '(x)yxEui = u\ inx Slioiirs 5отдпх (х)угитш = iy тох лотлотЛпд131
лоттзуз! mioiodgn ттлолтЛ ЬзсЬдог! 5зхтлотЛпд131 oag io toaj ’£’9 осЬпдЛпдпц
лкхо /у tox у лотх 51ю11то1готлотЛптд SliAoSXgiani 5lti птоао li толтз liiay
(6)
У X^XX / X
i—— =	= (x)y
t.ziy XV ±x
:li<bdori liio (s)y' 01 srlaoioiroyirn ‘y^/v aoi птт1оалтдотдт
ni толтз g aoi 5зу1ио то aoirg ‘zg = x зт! 5п1лот1отдпхт1лу -xjy ±x зо x^x oirn
ц§1Э]Хву aoxiylur aoi UionrioAodnir aoi sriao^nyyn ЛП19 "xjyy = xy aottItiot^i
miliyggSir олзт1азхтлзЛ 01 тЛ тох лаоаХот 5зХдп 5з1ап 5зт§т tq z UoUdUmd»[j
(8)	•[(х)у'теш]щш= <у
:fy aIii тзЛпдтг тох 5aodroXoira SaoinionTQ-С
зо 5аодотХока SaoinioniQTQ oirn То1злтз1хз1гз хвштщш LiXfln у i hohdliindnu
•5з1оото тплтз 119 тзлот<Ьт1ао 5no lioligoTOT§ U ‘йтз^тздотгп 5тздзг1оигзу 5тдотХ тох
lotoxn ‘119 OT^Tiryg '5T3oLidliindnir oag зт! odrodXndnir aIii liian зг!аолтзу>[
zy 3ri TOiaom ‘шпгкталптдотдт
niOTdir oag ni giro ттзЛпдтг aoir ‘odmXgira 9x1913 лою тох гу aoi lidsi
-gdxiri 3ioir тплтз лзд лотуахЛп aoti 5д1лз niUigooir li ‘(9) aIii sri nAOTtbriaj
(д)	• [(ж)2/ хвш ]щш = Zy
:Zy li толтз AOTioiXsri aoti лотхап лотуд Ivrtii каотХпуз li ‘^g
SaodroXgira Saoinionigig 5aoi 5aoyg (o (x)y 01 зг1аото1гоютЛзт1 лпд M9
HOimAVX aoi onivhu 01IVN Noisixvva saxdv r 9

412
0ETIKA OPI2MENOI niNAKES
Катаохвоаотв Tqv avTiOTOixq TETpaywvixq цорф-q P(x}, x2, хт,), олоХоуюте Tig
ЦЕО1хёд napaywyoog dP/dxi xai snaXqOsooTS oti ^Ssvi^ovTai axpi6<og yia Tqv
£Л10иЦГ)ТТ| /ЛОТ].
6.4.2 2оцл/л]рб)оте то TSTpaywvo arqv P = (1/2)(жг Ax) — хтЪ = (1/2)(ж — A~xb)T A(x —
A16)+ата0ера. H oraOspa aorq loovrai це Pmjn 6ioti о брод цлроата Tqg 5sv Eivai
лоте apvqTixog. (Гют1;)
6.4.3 Bqeite to eXa/ioro, scp’ ooov олархел, Tqg Pi = (l/2)x2 + xy + y2 — 3y xai Tqg
Рг = (l/2)z2 — Зу. Поюд nivaxag A avrioToixel ott]v P2;
6.4.4 Mia di,/.q TETpaywvixq цорсрг] лот) oiyovpa exei еЛауюто otov Ax = b slvai q
Q(x) = (1/2)|\Ax - fo||2 = (l/2)xTATAx - xTATb + (l/2)bT6.
Ayvowvrag ttjv araOepa (1/2)6T6 xai ooyxplvovrag tov Q це tov P, лою отюттща
e^iawoewv латруоицЕ ото вкахюто too Q; Поюд slvai аотёд 01 s^iowosig лот)
£Цфау1^оута1 xai OTqv 0swpla skaxloTwv TSTpaycbvwv;
6.4.5 Tia Tux.dvTa аоццетр1хб nivaxa A, олоХоуютв то nqXlxo R(x) yia ttjv ei6ixq EniXoyq
x = (1,1,..., 1). Пою slvai q сг/.еот1 too а0ро1оцатод 6Xwv twv otoixeIwv a,j це Tig
Ai xai Xn;
6.4.6 BpslTs Tqv sniXoyq x лоо Sivsi sva R(x) щхротеро ало то фрауца А] <2,
npospxd^vo ало та Siaywvia OTOixeia too А =	]. Пою slvai q sXaxioTq
Т1ЦТ) too R{x)\
6АЛ Eav о В slvai 0STixa орюцёуод, SsI^ts це Tq 6oq0sia тоо лт]Х1хоо Rayleigh oti q
щхротбрг] 1&ют1цт| тоо А + В slvai ЦЕуакотерт) ало тг) щхрбтерт] iSioTqiq тоо А.
6.4.8 Eav Ai slvai т] Ц1хр6т£рт] 1&ЮТ1ЦГ| too A xai щ slvai г] щхротврт] 1810Т1ЦГ) тоо В,
dsi^TS oti т] Ц1хрот£рт] 1610Т1ЦГ) тоо А + В slvai TooXaxioTov тбоо цеуа/.т] бао то
А] + щ. (Дох1цаотб то ovtIotoixo 1бюбюуоаца х ата лтц.1ха Rayleigh.)
Ет]це1шаг] Oi боо аотёд a<jxr]<reig slvai lowg та лю тол1ха xai svhiacpspovTa
ооцлвраоцата, лоо npoxiWTOOV sdxoka ало tt|v архл Rayleigh, аХХа це цвуаХт]
боахома ало Tig 16isg Tig s^iowoEig iSiot^wv.
6.4.9 Eav о В slvai 0STixa opic^wvog, SsI^te це ttjv архл minimax (7), oti t] devregt]
Ц1хрбт£рт] 1610Т1ЦГ] ao^avsTai це ttjv лрбаЭбог) too В : Аг)/! + В) > Аг(А).
6.4.10 Eav алоррёфетЕ ббо отт]Аед тоо А, лоюд aviooTTjTsg лерщелете цетадб тг)д Ц1хрбте-
рг|д 1бют1цт|д ц тоо aлoцёvovтog nivaxa xai twv apxixwv A;
6.4.11 BpsiTS Tig skaxiOTsg тцюд twv
xr- x}x2 -
xai R(x) = —1----z----=
2x^ + x?
6.4.12 Asters ало Tqv (3), oti to R(x) 6sv slvai лотё цвуаХбтЕро ало Tq цеуаХотехп]
1610Т1ЦГ] A„.

6.4 APXEE EAAXISTQN KAI TO ПНЛ1КО TOY RAYLEIGH
6.4.13 H «Q7.T| minimax yia tt]v j-оотт) 1610Т1ЦГ] лер^ацбауел /-бшотатоод vndx<»Qovg Sjt
a)	2оцлерауате oti oxav та Xj eivai 0eTixa, тоте xd0e Sj nepie/ei 5idvwp.a x це
R(x) >0.	_
6)	2оцлерауате oti xa0e Sj negie/ei Siavwna у = C~}x це R(y) =
yTCTACy/yTy > 0.
у) Хицлерауате ало ttjv ap/r] minimax yia tov CtAC, oti t] j-oott] 1610Т1ЦГ)
топ eivai ел1от|д 0ет1хт), anodeixvvovTag ётот лак1 tov vo/io adgaveiag. (Tig
ev/aoiaTieg цот ото Пауелютгщю Tt]g Minnesota.)
6.4.14 Делите oti t] Ц1ходтеот| 1&ют1цт| А] тт]д Ax = XMx dev eivai цеуаЛдперг] ало tov
Xoyo ац/тц tcov yioviaxcbv QTOi%eicov.
6.4.15 Поюд eiSixog vnd'xwQog, ott]v aoyr] minimax (7), eivai агтод nov divei tt)v exa/iort]
Т1ЦГ| A2; Me akka koyia, yia лоюу S2 eivai то цёуюто тт]д R(x) ioo це A2;
6.4.16 Алофау0е(те, лооед 1&ют1цёд eivai 0eTixeg, лбоед apvr]Tixeg xai лбоед цт|бёу, ’/opig
va Tig imokoyioeTe, yia tov

гзоздпдтг пл тох гзоау Ui пл ‘lioiAAsoodir lindxmg mri гзопазхошпх пл oio
liioiAoyoira aoi 1п1плад lii pgasyynisrixs пл зоздокг! пздг пзл U тох ^misXioio
A(0A3iio»d3ic3ic лап 5oqo03ii толгз пг1ол9 озл oj^ ’пг1оло озл тох пздг Smrio пзл
mri sri ‘10900311 53iynir io лпдуклтга -кдзлао п з1згНз1лпг1 пл sipdoirpj
•aoi Uoanraimg luo тох пууп ‘Soinriliygodir aoiidzmg aoi
lioay liio олдг1 1X9 isoligltog пл isirsdir SlnoiAoyoira о ‘тАду пууп зр\[ •лет^дл
лотхтоасЬ лтлзгИзхока лап SlioiAAsoodir oirgdi oxnnriliioao лплз sionrig^msdX
лпгдюх тох ‘пддзпд131 U пдазукпд131 li плспЛзд! тт олзг1аоуз1О1гп ‘nriAsyir
odisririgon sionrig^msdX LiXoiSsk lidisririaon niri nij Scioi Uommimg luo »rm
лтзоточ^з лап коаушз л luo ппш/,3 лзд nr/ояоад UxuoriAodu ц -аоупсЬзхЛз
аол11г«)30лп aoi 5з11пдлХао ЗзхюасЬ то 1л олпуютдзп плз (о 5i3oni то 5апгд
‘SlixiлХз^ ninriliygodir nxiinriAndir зо 5зхоукауок niasioiirn гшлолтА 5здо<Ьтд
5злзг1опдз1гз1г то тох lirigxn 119 толгз SrodUyir pgdbliyiwo srinXp лзд aoir 91а у
•(nxMsglni nyyoir зт1 5пхпл11г
"Wi’Z) »тодю ayoir тох пупЛзг! ayoir толр aoir ‘лапптИпоао 5а)зоаупгз ларддзг!
лгодоЛидЛ Ц^аигплп л1п giro liaarilicbodSoirn 5спруз1 лшк og^l Л01 5ппзпхзд
51п Сюауплу lixnlirigidy li inx / = ny Udjdorl liio тоазлдпгагтд nriliyggdir o^
' Vz7/ ~	~ -'nZ + l~rn— sriaoXs SoinriAsyir aoi oprilio здпх зо тох лотргИю
nriAsyir плз girn inisiiraynx aorioido 01931г gxioach о а ’лспдосЬтд oxiylur плз
sri oAmAndnir 30nx пю10пхплп пл ‘да осЬпЭЛпдпц л1ио sringp л11£ nidoiroi
-mdic л1и зХр лотдосЬтд л<влзг1опдз1гз1г лап Зододзг! U ‘Uoaioi^s lixidocbmg mri
„inipioiroiidxmg,, 5gnr 5гзлпх 139 пл оуохаз лп111 Ugisirg -5зЛдп inx 53iynir
ayoir ЛП111 aoir лапогХпуз 5зХдп то лао01по1го1год1 пл лт1л nrilig oimdir 01 пууп
‘1юп1оплтгз л1и лплдзсЬз П0 aoir толгз SsioiAoyoira тохтсЫаН то 5д)лп<Ьобц
•лао0оог1дпсЬз пл лподобо1гг1 лзд пууп 5злзт<апга1тд лпХбйзга
5зХЭп 5зхппг1110пт< iq клпХЫ lidxiri mri li igayori inx iidnX лтк тзупЛдз
плдг! ni aoir mri ‘ЗгздгзоддлоХ пхпопхЛплп лтк SisoiAAsoodir то ‘lufioirn mri
giry 'Slioay SlixunrlAndir 5lii 5i3oliriiiX3 5зхкЭдлоХ лаодзод пл mA 5i3oUioiroio
-гХпуз io 5sian лтлаотоютгЬоидХ (51зо1идплаотд1 тох 53iinoigi) aorigin 5длз
5i3onionmx 51зддпузг1з0 то U 5nxnyir 5mri nrioiAay 01 толр Sanrg ‘51лхтоаф
5lii тох 511хглХза 5111 ninriliygodir пхюпух плзг1тдо з^ лозугг тох плдпп плз
giro Л101Г 5зюголЛ лтк 5з1ап 5згг1пладоо1 то птЛ ‘niynir толр nidoim н
•li^ndir лкю лаоюог1дп(Ьз
пл лдтлад толр 5зздт то 5sian 5gnr ‘sriaooliAli^s пл ndan srlaooligniroodir tdq
X jX/xy jX
= (rc)jf aoi lioliioiroimXnys зт! ргЬэладоог x'y = xy Slii коду и (n)
Y<r7'
-xy= (x)j 5lii lioliioiroioiXny3 sri ргЬэладоот q = xy 5lii коду н (i)
:aocbpdAndnir SlapriaoAliodir 5111 5зздт Ssidax то лтк оау
ЫИ1ЯХЮХЗ ЫИЫЯМЗУЛЯПЯП ЫУ1 зоуоеяш Н  S 9
Z4MVNILI ION3INZIdO VMI.L40
frit

1ш)ЛП(|П толр
Altri пл pdoirri 5ogoQ3ri li 119 opidoMj •ртЬп'юаоолз лох oian арпхпбшг aori зхоздсоХЛлз *
:зг1аолр9г1пуплп1га (л)с£ yioiroioiXnys aoir (д aoi siodiIoao) giionaQAao
9x1913 aoi SniAo^iAoyoiraтох (х)идиИ+- 	= д 5аог1опадлао 5aoi5aoyg
liASTioXsgoirn 1ид = a ‘	‘ i/[ = a 51зо1идплао Ssxuonriixog олдг! и 5тлоЛзутд
‘mlliygodir oimopig-w плз nApdnir zjiy -qSiajXBy Ami LiXdn ц -лтзорютд
AmSisiro toais 01а» nriliyggdir 01 tox 51idcooi§3 Slixidocbmg 5lii lioay ligioxn aIii 311
SortoAagooi toais SgrioiAoyoira SLigidxn q loioiXpys 01 oian srlaoxoidg 5тц
•oioiXpya плз siiao^iyndiDD^s пдр ‘Soxusg tox Slioiirs
Smgnx ‘xyf:r li 5miro ‘5oxidi3Tiriao toais z(/i)f 5одо 5ох1лтЛпд131 о Slioiirg
•a aIii зт) isATOgriao oigi 01 11919 ‘ndxp oag mo tox Asglirl toais ,aa 5oSo о
7	or	_	or
-xpz(ta) J (Z/l)=(a)d ndp ^aaj-xp^a) J =xp(lla-)a
ilidsii рюх srlaoomdliyxoyo da 1злзг1о1гп
tox aoioiXnya liXdn зо зх1игрд1тзт1 liorooi^s lixidocbmg н 'n колу h тл1з ng
олтХпуз 01 13aiq (tout 1и>1идплло U тох 5зх110Аао 5зхт<Эолао 5n AaoioiroADXi aoir
а 51зо1ибплао 5n 5зуо Sodir 5m ‘isglnoiroioiXoys пл 131гзд1г Uian Uomopdnir jj
or	or
(l) -xp(x)f(x)a у - жр((ж)„а-)(ж)а J (г/l) = q^a - ay^a^/j) = (a)j
:niDTimdliyxoyo зт! плзт1ол1Л pxidsimos Sdiaotioiqdxuad
‘liotiioiroioiXoys U TO1131U5 Snioiro 5lii lidbSorl LixiAmAodisi aIii sriaodipSAninx
пл тох пЛоурло srlaoolidroXodir da brnrlp 3rlaodoitj\ ^жр/^р- liiosysi aoi oirn
у SoXDAlir О TOX / UollldpAaO 111 O1TD 130D1OD1DX11AD 1зХз q Ol ‘“AmSODlODig
acd9131td„ toais oian Diiliygpdir 01 ‘SmASiiaoAoyorlQ 'Ssdodimg 5зАзт1опдз1гз1г
5ii зт1 5<DA3TiaoMiodir лох1101изузт1 aoir ‘0 = (y)n = (o)n 5зх110Аао 5зхо1долао
53igi 5ii тох (ж)/ = /tn- Uorooi^a UxiSodmig nigi aIii зт! зг1аоюпЛдз da sriaod
-oiryj 'AmisXioio лтлзгЬпдзкзи Ami пздт озл Ui зт1аоЛро1з Aiirpinx tox zjrjf
лт liXdn Uxionyx aIii oirn зг1рл1хз§ ‘ogo03i1 Ui siiaooliALi^s da dij
•5111 LiolidX
lii Ааоотнузд da tox AmisXioio лгоАзтктодзигзг aidi aogo03ii 5Ui loidax лаоА1Л
da 3iom ‘LiAorlnr3 тох АодзЛтдлз oisxdn лаоХз D0 5з1отлЛплп loxidsii 110
m^iirya ‘пдо^з nSmi idXsii m mA liolniiixs lixnlidliiAao mil idais nidpyyog oid
-aiiiioinxsoig плз 119 imiaogodi- 5aoi 5oiopx 01 toais oisrilio oiliXprinioxn плз
‘Soxmliyx 5lii Sliian nimiliygoQir dij ‘LixiTiDAagoSga aIiio 5lii lionixsirs aIii diA
liXpriniq liinig mri isXdpira oiygig 01 oian госЬрдЛ aoir oSroi тох лгодйюпддплп
AroxiAlidair Ami тзургЬоп aIiio лтлрукодзп от1отдзХо aoi oiro sxluoiicoiDisri
lioncbiis li *5зЛог1дп(Ьз 5u Ssian ‘53xoyirayoir 5зЛот1дпсЬз io toais 5d ix ‘Snsqi
5lixioog 5lii Diliioyirn aIii sriaoolidliiDig da toais igisyx O£ *'LixiioiAoyoira
lixiAoiiliioiirs aIiio LixiaXsi liyyp sioirligmoiro pm odsioooidsir ‘niDriosysioirn
Noiaxioxs Mf5M3wzvdau3u sovooam н s o

лпго долот! тоглолт1зг пгпккгопгд ng
лзу kri юхчхохаюх тлтз [А-А олз^длтА ох ‘тхлолг!зх лзд uDxnrikxomg pyuig,,
пг пгап лооо 4<Ьз тох ’.г 5кг ogriox лою пглох -А лкг mA. тох naXor oigi 03
аог пг§зд nrikionrg ою ц/\- тох frc аог пдзгтдп пг1кгопгд odxrri ою ц/\
зт! тогаоог £4 когух н 'V ^тгМпхп пхплгк,, аог хр-А-А$ = f?y 5зюзу
-зглао 5аог srlao^rAoyoira тзХзлао кг^ '(i) nrikg 01 лаолсодку1гг1ао may
•(99-9 -Х^) пуохаз тогз^пгдзХо 5кг nrikcbpdA 011013, -лздкг! толп А
5зууп то 5зур nprg ‘С ogrlgx лою f/i krhi лкг гзХз юл rsirsSir ng uAufi + •  - + \д)(1
5ог1опадлао здрх о ’роууп аоглтг тогз^лздкг! тох 5кг ogriox лог oirn отдаЛ
пг!кгопгд odxni плз 4о клзг1а)дглзхЛао толп ndn ‘(пдр ’Х^) 5aogriox 5аоууп
5аог 5аоур зо лздкг! тох -fx ogriox лого х зт) тогаоог aoir 1(ксЬодо-кокгдплао„ к
толп 91 Iх згод лздкт! толп пл А здпх oirn лаогтоют 5зхкдлао 5зхпгдолао то
‘X = х + их тох д = ox nnriko пг^ '5здосЬтд 5злзг)опдз1гз1г 5гго тох 5отдгдхп 5апго
‘г/u = их • • ‘?/з = zx ‘ц= ^х nnriko пго Saogriox 5пгло5рд зг1плгхзтт -дютМпдЛ
pmxTorikrix толгз опХтого олзг1аото1гог1токдХ одзгооогдзгг тох одзгоаоуют од
'уХ лтзокхдюлло лтюхоюткход 5т лтзокхдюлло лтюдалтауои
mcixviiktix кокдХ U люхк ‘лапзХюхо лтлз^оюдзизи лтх ogoQ3ri лкхо oiXaxii£3 лкх
3oid»X aoic /ртзух-изд? к тох ‘nngrdxn тох aorimAoyoira пгкгогплад ‘оад пг
тох лаодопадлао пл толп nrikygodir од 'пгокдХп толп пд пгап пгпг1кд пг
‘п коау kxunriAndir лкго пглох д лтг 5от1опадлао nXdnira лзд bkoiirs лпд
пготддогпхп ‘пгкгохггпг!Лпд1г лкго ‘толгз пд mmikg nyyn пг ‘5зукп пхггздто^з
толп 91 5покгдплао то лп гх 5ргхд (i) nrikg ог oirn тогда)гдп^з пглп1г nj,
•ыл^ + --- + 1л1^=п
Uociy /гх72П7ХХзоо51г лкх 3<fcpdA. (лг) тох д = fiy лкх зоау (in) fq ?пх f?y
5зхозузхлао 5аох зот/Lpyoira (и) 51зокхдтэлао Ззюхоштнод з5зуглд (т) толгз znxi
-ц§1Э[Хвхх лсог аододзт! 5кг локтоу пгпг1кд ng 'q = fiy 5кг коду кг зт1 ог1пладоог
nriAndir ‘q^/i - fly^(z/x) 5кг огогХпуз ог sriaodg пл пбспг птодзд sriaodoirj^
лап 5згозузглао = ®р/91 J толп ?д 5зоотгоглао то тох аог 5кгозузглао
= ХР/Л)Л f тол13 пхплш аог -у пгзХтого п£ ’пдалэхто^з зт1аоХз 5зто1го 5гг зг1
5зсЬдот1 5зхгла)Лпдгзг 5гг oirn mri лпо Smgrdxn тогз^гдетлЛплп q^fi - /гу^/г^/х)
= (X)j к згрг ‘й пт1оалпгд плз 4о кдпд пг пгап згкгоурд лпд
пг толп тогоаглЛп то тох лахЭзгодк лап хз лпокЛзузкз д то по згпдкт1а0
(Z) -xpJ(uAufi + --- + I4VO У -xp^Auft + --- + У (z/1) = (л)сГ
тагзлгЛ. labdori кхглагЛпдгзг к ‘А лкг зт1 а лкг 5пглд>гогдпхгглу
•кууп лкго nni к ‘пглох толп пд оад то 5згап пр sriao^riryg
"п 5кг плп ‘jj к толп огогХпуз ог гзлгд aoir кокгдплао к тох а лдпплад лап
лоэур а»лп9з1га плп ‘aodroXoira 5олз а>лпдз1га зг1аоокто1гогогХпуз пл толп пздг ц
saNVNiu lONamwo vsua©
9lt

‘5°У31 'uAufi +  • • + i/i = у} SliolndnAao 5noamoKOioiXnv3 ‘Sliznonrhzog Slix
Ззхозузхлао 5<ioi тзлгд аок ‘q = fly nrlliioao оглогЛт^гдх oi зг1оолоу (in) nrilig
oio ‘лгкохп^ ’ХР/СЛ]' = oprilio oi 91а» (кп aidaA / 5ln Inin liosri mri
ndon толгз ‘53dod>mg 5злзт1опбзкзк 5no 5ажо ,fx oio / 5ln Lirin liAsrionorisri
In ий плу -5зхпзбо(Ьт§ толгз поазук prSjag luo fq 5зоопоглао iq
•лао0(од1гухоуо пл тох лподзбд пл оуохаз толгз nrilnomgoKO
здпх зо 5аох 5гзогух го 5пгоко 51п отЛоу ‘ла»зо1пдплао ла»х1г1ала>ауок nxnnrilirix
лап лоплп пхЕпоукп li толгз oxnomoao oj, лотдоЛтд лтлзт1опдзкзк тох zji^
-qSiaiXi^ л(г)990зг1 лап uLniox„ л1по тохлохогдд тзХгохо плзг1опдзкзк пх зхого
‘пштКзуи пбхзгМаоп тЛ 5ni3grQxn лотдоЛтд лтзотог§з 51лазхоптх oiradi
pxnnriLnoao лплз лпо пгзХтохо плзг1опдзкзк т З1зо1лдотз0 пл зхгздокр^ -у
Ззхплги Заотодп Зйоткз лаоЛрдпк— Згзоагог^з Ssxidodmig 5зхгдзг) тЛ ‘пйаз’/к
-пдхзх U плагЛгдх зо тохло^гдо аок ‘poring аодзхаупЛзг! пгЬлсоауохс— пгзХгохо
плзт1опдзкзк пхоукауок огц A(o§o03Ti oag лап n^nisri СюзХо Ln mA Srsoliili^
-no 5з§птугХ зо soliAligo тох (j) SsSotbmg 5злзг1опдзкз1г 5n зг! rs^mori oiay
' Z
l-
z
l-
l-
z
l-
l-
z
l-
:5огла)Лт§1дх ‘nxlixoxnnTiAndi: л1по ‘толгз 5п1(Кг1пхп Ьпхплгхг о ‘5апгзла.х

юткгоадлао 5аох loxniri.ndA тох 5з(Ьодо-51зо1пдплаз '9‘9 ‘Xj
(Ф
(п)
4^=^

'Л^+-"+'л'^ = Л
Nniaxioxs NONawsvdauau nhi zovooan н s'9

‘О = (l)n = (о)п 3Ti ln\ = „п-
:od3ioaoyirn oi толп nriAisgndmr odsiaynx ox
•Ag>rhioigi SoinrIUygodir aoi Ucbdori
Uxiyognisri noisgaidsignx aodxnri oirn aUi Uian to лттзХтою ла»лзг!опбз1гз1г
лоп 53391 5ззл io Aaogooridnd)3 пл :о1хаз<Ьо1гплп inx gxiAoyoioacb 5апзуз1 лп11л
тлобХ 0£ ттазуз! ш злгАз aoir nrilig 01 ‘1013, пуохаз iniAo^iAoyoira пл 'у
SnoUidnAao 10 isirsdir П0 aoir олдт! ‘mis^orldodis nnrlAndir UXdn U .isgUisgasig
пл ndoirri nriUygodir oiidxmg 01 lynir -д Sno a 5n oirn лгозоСидплао
Agixnonriixog лап тзлзАохю aUi sriaooidoidsir лшо isgU^an П0 iy oioiXnys
UoiAAsoodir nmx 01 inx iy niUipAXao SUggnysrisg U тл]з oioiXnys aoi 0x11
-nriAndit ox -qSioiXB^ oxiyUir 01 miisioiroioiXnys ndocb Ui Uiay -AmriuoiQi
mmiUygodir nio inx ооо Зотзошошпх Sndsgmo Sisogioi^s Sun 0091 UriiolidX
ШЛ13 -а Ззюлад 5u 5зуо mA плп ‘лсозопюшд ла»лзг1опбз1гз1г ‘д лотзо111дпл
-ао 5тзлзАохю 5птИ отлпдзка UoUioiroioiXnys- ziiy-q8ia|AB^ лап пздт н
Aoniuoigi ninriltygod]j
•5U1 опзХюю ою nxnmiAndir misxoidg 5ододзт< U
Ssioiro 5по ‘SisoqiDi^a Ssxidodimg Saxidsri SUoiirs sioniioasmriAndir 13x3 ‘(9861
‘ssaij э8рпдшвд-Х9[8Э[|эд\) vwitovIUqtow тэл.зг1оог1дто<Ьз vio UAmiivoi^ 017919
aori озл 010 пхпауплп our imsgnxs inx AgixiAoXUrl лап SUoasgimrxs 5Ui Soosri
gxiiAnriUo плз isaiA 13X3 aoiisXioio лтлзт1опдз1гз1г лап пг1з0 ox 'UioiAoyoira aoi
Ssxigaix mx 5зЛот1дп(Ьз 5зх1лХз1 лаолчд niygig nyyy '(SZ.61 ‘ПВН aopuaij) xy
эЗдоэд aoi зг1 аолюх oirn клзтИпЭЛ ‘aaioZioio лголзг/ппбзкзк лап аодрозт! 5 Ui
иоау-рлп mw :пз<ЬпдЛЛао aoi 017919 010 1шздуплп plan oirn aioiir misxoidg
aoir nidai30 jq ’iSAsrindnir шлох oooir oiaiisiiUooi^n wais nyyn ‘Saogriox Saoio
SUgidxn тлтз ng лзд UoiAAsoodir U ‘nriAwgndnir oxoyirayoir our плз
•((6/0 - (£/z) Ю (6/1) - (£/l) = Zx-X=n lioa? ligidxv aUi
зг/ 5oiTori/ty(i£ aoi Soogripn 5aoio isiirwriao ‘UoaniriSsir aUi Uian ’^l(6/z)
+ b4(6/z) тома f] Uionysg U ‘Здпгзла^ ’(6/z‘6/z) = i»a]3 q= fiy aoi Uoay н
[i/i]=4 ™ [/- V]£=y
:Ud>odo aUi oirn annx лодпдНз
oi Ssdocb oag isAndnir pian ‘z = / Ugisirg / aUi iirs SUdioSo-SUoUidnAao SUi
UoaidUyxoyo nnnirn q пг!оалтд 01 inx солпкпдтг sxUionasxonmx у SnxnAiir
О ’5з(Ьобо-513ои1дплао oag mx £/l = Ц зг! ‘ninriliiomg nidi i3oUioiroriioUdX ng
UoiAAsoodir н 'zx-x = n Uoay тх о = (д)п ‘о = (q)ti зт! £ = /zn- VJVJISVVdVU
/2 5Uoay SUxnoiAAsoodir SUi
ПЛОХ13 mri зт!аоХз ‘UririodA UAsrionygsi mri зт! ffi luRa ni nian nyo Зшлоздлао
shnvniu lONamuo VNiia©
8lfr

6.5 Н МЕ0ОЛОХ TQN IIEHEPAXMENQN 2TOIXEIQN
419
To лдшто i6to6iavu(jp,d row eivai и = sin ла?, це tSioTip] A, = л2. H oovdgTT]OT]
v = sin ла? Sivei то еХа/юто ото ovtIotoixo лт]Х1хо Rayleigh
VTV	A	rl
/ v dx / v dx
Jo	Jo
Ало (jpooixr) dnoipr], аотб eivai to лг]Х1хо трд dova|iizr|g ngog ttjv xtvqTixr]
evegyeia, лоо looggonoov yia то idtodidvuopia. Kavovixa аото то idiodidvt>o|ia
0a T]Tav ayvcooTO xai yia va то лдооеуу1оооце Oa ла1дуаце pidvo onoipr|(pieg
oovagTrjoeig V = y\Vx +    + ynVn:
[ (yiV{+ - - + ynV^)2dx
7?(V) =	-------------------
[ (,yrVl + --- + ynVn')2dx
Jo
УтАу
yTMy'
Агпцетсол^ооце тшда то лдббХтща тт]д еЛахютоло1г]ог]д тоо утАу/утМу.
Eav о nivaxag М rjTav о таотот1хбд, аото 0а обт]уооое ото oovr]0io|i£vo
лдббХгща tdioTipicbv Ay = Ху. 'Оцсод о nivaxag цад М 0а eivai TgiSiaycbviog
xai аотт] axgt6cbg г] хатаотаот] eivai лоо oSrp/ei ото ysvtxEvuevo лооб'/.у/ла
idionywv. Н еХахютт] Т1цг| Ai 0а eivai г] Ц1хдбтедт] 1бют1цг| тт]д Ay = ХМ у xai
0а eivai xovto ото л2. То ovtIotoixo idio6idvoo|Ta у 0а divei цю лдооёууют]
тцд i5iooovagTT]OT]g: U = уА\ +    + ynVn.
'Олоод xai ото атат1хо лдббХгща, г] цё0обод цлоде! va oovoipto0ei oe
тёооеда бтщата: (i) SiaXe^e та Vj, (ii) олоХбуюе тоод A xai М, (iii) Абае то
Ay = ХМу, (iv) толюое то Ai xai tt)v U. Aev ^ёдсо yard аотб OTotxi^ei eva
бюехатоццбдю SoXXagia.
AEKHZEE
6.5.1 Хдт)01цоло1Г|оте Tgeig aov«oxr|aeic-ooo(peg це h = 1/4, yia va кооете ttjv — u" =2 це
u(0) = u(l) = 0 xai елаА.т]0еооте oti г] лдооёууют] TaiQiagei отоод хбцбоод це tt,v
и = x — x2.
6.5.2 Аооте tt)v —и" = х це и(0) = и(1) = 0 xai xaxoxiv /лоте tt]v лоооеууктха це боо
avvagTT]oeig-OQOcpeg xai h =1/3. Поо ооцбаьует то цеуаХотедо осракца;
6.5.3 'Еотсо oti —и” = 2 це awogiaxeg ovvQrjxeg а/Лауцехед oe и(0) = и'(1) = 0. Н
oovogiaxri ovv0r|XT] yia tt]v и' eivai “q>ooiokoyixr]” xai Sev xgeia^exai va T80ei oxig
6ох1цаот1хёд oovagTr|aeig. Tia h = 1/3 oxagxei ц1« ел! xkeov /шуг]-oQocprj Vj, nov
naei ало то 0 ото 1, цетану too х = 2/3 xai х = 1. Ynokoyiaxe то А33 = J(у^)2Ух

t(l + u)/T
= у зт1 '5з'Ьодо-5тзок1бплао и mk a?P/lvl f = -PV SnSnri Зпхплш о толтз Зотоц 6‘g'9
‘ТТ'Е’9 кокхоу лкхо xjyy = ху A<prliioi§i
mikygodxr ох зхоау тох жр^Л f = -PV Sn^nri пхплш 3 шз 3 лох зхозЛоуоиа ‘3/3
= 1/3 = x lnx Е/l = 4 = x nxD Ззлзткодхлзхшз Ед тох 1д 5зсЬобо-51зокхдплао Six nij g-g'9
Lx - у krhxoigi kAigkyn лкх окп lidsxodxiri к kdaxaynAsri тол-ja 'jy/y = у
krhx лкх 1зл1§ AWTiixoigi naikygooic [ шз x °± 'XPZA f = Vi 1nz хРг(,Л) f = V H1
sxoiAoyoim ‘3/j = x 010 клзтйпдхлзхшз ‘л к^одо-кокхдплао клзтколот1зт1 niri nij £‘g‘9
‘.j лкхо kiiix kSsxoSxni kx isaiq (j ‘у ‘x) = Л
aoi oionyrnyyoxr oioxr ‘(o‘O‘l) = Я 1ИХ I = V Л-РН Cn лкхо [} 5kx SkoiyxAao 5kx
igisyx ox толзз oxay) ">пхзл1Л odxirl ош 000 ni§3g обо охотбхг лох 1злпх oxan
noig ‘q, _у oxo ft одзюзюйуи ox толзз лоззокхбплао лгохпопгкход аобтХоша Золз
солпбзхга oxoiXnys O£ 'q,_y = ft охо тохзлпХЛахшз j 5кх oxoiXnys охауок» 0£
'9^Vj4(z/l) - (<?t_y -	- л)(г/т) = я^л - ^^(г/г) = (й)</
к толзз (5отл
-зтЪоЛкодЕ зхкдктокогкокоХ) Sscbdori ЗзхитЛюдхзх »1Л oxkxoxanx SkgmiysrisQ »ij\ 9'g'9
zyy-ifiiaifoy OQO0311 lii ari q mx у myj »x ?зл;р
uiyiaivg h ixo sx^rsgoim tox q = fly лкхо зхзоохЛ »л »1Л кдзг1 пхпх зхотдкухоуо
•хр.Гд/ у = xpfA( uAufi--------ZAZft _ \Axft_)I
Л 30»5<
зо п1лгоЛо()до 1пл1з пл / 5kx тох /;n— 5kx a^nxsri nSodroig к зхооз тохз тохлоЛзупгз
ft nx tox uAufi + • • • + lAlfl = n lynii толр koay kxixonrhxog j£ j SkxumAnSxsx
Skx 1хлп (/ = ;/n— -X y) ko«>oi§3 kxioo'bnig кх mm плпхз§ utyiaivQ iogogari ц g'g'9
^x — x = тг кл1дкуп лкх
311 лапзХтохо лсолзт1опдз1гз1г котЛЛзоодк лкх зхпл]дхЛао о = (l)n = (0)п 5зхкдлао
5зхп1дол<1о Six mj (-1д кокхоплао кх кхап sxonigsXj) 7/1 = х аох илп = х охо
5кх ogriox лох зхупд пууп ‘ксЬодо-кокхдплао олот1 тох niri зг! 3 = ;/п— лкх зхоау pg'9
+ ZAZft+ 1д1й
л(П1зХ1охо лтлзг1опбзкз1£ коау кх 5одхг 5о> ‘q = fly ох зхоау тох xpiAz f = £Я т%
зашуми юмамзыо vmiih©

-пх гзХз niilivgpdir odaiimgi oi аок lioroiiridsir л1п ,irn 5pix3 ‘SorigidpXyn
Зотзуз! 5плз толтз ssnB£> aoi SorigidpAvn О q = xy Stu Stion/Jira 5зх1лХз£ •[
:5здпг1о 5isdi зо TOiAoqidcoX
5siay -ndgn iSXari гзоопдпгз лаоХз аок 5зздт Ззхтдзг! зг1ао<НпдЛ/1дз1г пл зг!аоузд
тох аодзюдаХот аох 5liocoigiK3 5ogi3 плз тзХдпка (хоауплу lixnlnigidy л1п^
ACpxnnrilignri 5птлзЛ SUoaodnir 51п коазлктЬ тзузюкп ninrilig ni nian 4irn плз
здпх ‘Scorip nioao л1ио- x\ = xy tox q = xy Згзоотот^з io толр aoir ‘aognyx
aoi ninriliygodir ligmiysrisg our тох ndsipinynir ni тохло^пхзЬз nian -5og
-ny толгз 5mrip plan ‘плзгИпк^з^з 5roirnx лао^птог! .oian (iX СЫотлЛЛао moliili^
пл гзкздк лп отдз^ лзд тох ‘niluotfiriox л1и oirn ndmr лоуупг] шЬпртохЛплп
lixnoiAoyoira л1и oirn гтлаоХдшдах nian ninrilig ni ‘no то1злто<Ь aopj -(толад
-азтх mgi л1п 5odir ninrilig liripxn nxidsri лаолтЛ ng plan отоупгЬзх oi£
лаоузххз aoir 5птопЛдз 5lu уф = у U fqq = у
U(bn0Ai03ir 1гу11ууп1пх mri inx sionrip^msdX ‘roilnindnirn nnrlAndir толгз loian
rorigidpA^n io no aoi 5о1хз ‘тздгхлу -liong кхглолпходдо гзХз SodmXpira здпх
no aoi Цгздрют nni олог1 толгз лзд ipiuaps-ureig лоп nionxignig U, тох ‘лотгМпдЛ
аодотХ aoi Long niri Smyirn ariaodg пл oi pirn nionrilio lidsiaynAsri nixoirn ssnng
aoi lidnoynirn н -nnroxo пзл nni зо тохз^гзсЬо aoir 5йопМз 5 hi Uoii£qir)i3ri
li толгз pxnsdodroig толгз aoir piay -5зЛог1дп<Ьз 5n тЛ птохЛплп nnriApdir
толгз тдотзд Ii пр толгз 5отг1зд aoi nxnoidliixndnX пдзхаупх ni pirn плд,
•ЗзЛпууп 5зх1^гд гзХз лзд тдотзд ЦхпзХо 11 ‘5пддзЛуу 5lixnirindj 5liA3rilidlid>n
nr/gig плзг1о1д11лао ni зг! LtoidxAao з^ -5зЛог1дп(Ьз SsriiolidX лаоХз aoir лотхплпг
5тдотзд 5111 lidari ni pirn nxidari ariaooliAli^s пл ЛП111 aoiygig aoi aoian Spirox^
Hjyjvsia  vl
3H5IVN1LI HIM
lOINZIJOVOUA

\7)гйол,. ц :-д-гз
дохыт/.пдлз!
тл]з оюурсЬзх oi piarj у> 5з>тл11с iq ’[-У wx V xmi Ssiigoxo Six giro
Зюзздаз tiro лаофлхобн юд у aoi юзокдозюаз U тох 5отзоюхоюхюх Зкххззд
о тохд, 'юхюмм 5рлз *Lirlf)pio lii зхоюз^юзздХ юдотх тох зздоздо kgk
ззХз 5охют!оалю19 5oxkri оу V ао1 5одзЛзт1 01 0191 01 STiaookriixxs пл тох
уд кЛюуую лкх зт!аоокд1зт1 юл SoiroSx ззХдюют юл зз1гздц -(ю^охаз тохззл
-дзгз^ aoir) oigoirris юлз зг1аооотдзлю<Ь юл зт1аоузд ‘кокхотдз л1и кхаю 4т1
зтЬоорСдю лздц iqt у = х лкхо коюддшз к зюлзз kooir ‘q тох у юх юхкдо
-тозгзлю лао^ю'/'/ю люз :5коау 5юзт1 ^юзздюказ,, к юзокдозюаз лкх ззокбхзг!
юл зздззХигз уд 5осЬю9Людюц ц	5рлз 5<азо»юп1»х 5liixi3g q *g
юхюгИхд юхпкк^юлюнз юхо тохзззозгозЪокдХ
5oioiro о ‘юхюлзхг обзходоукю gyoir юлз зо ол<эг1 юу/ю Sarinoigi 5u 53191
5зхо ззЛкуюхюх лзу •лотхюпкд grigidn олзз1оюбз1гз1г зо тохзлотбкухо^о тох
козт!ю толзз ютохазузх к отлз 5зхшгкуюлю1гз толзз logogsri Ззхотби oag iq
oiMvAmgidi ззлюх лох aoir
юхюлзк аохздхзтМао 5олз юзоюЛдз^ззгзодк лкх зюх илетзк»лар лотх Mogo()3ii,,
лотх юззлзЛохзо лкх ‘у'ф окрздрЛу» лол :5аох 5злзг1аоАкоб1г 5и 5з'/о лддзХо
лпопбззгз^ aoir 5ззрз 5зздх-оа§ зткз^зуюзу (’NV^LLilOd 5кх куохлз здюх
зхз^Лзуз юл ззхоюзздХ лкт! юл го^зкуз) -5кх рлз^рХзздзк ох юзЛ зхокзх
зг!аодз5 юл 5i6otX ‘обхлзх oxixoiAoyoira юлз giro юлпаодока юзт! ззЪхк^
юл оладлзхпгз зюлзз ‘юзЛр^ юуую зр^ 'srinxk^ aoir лтткхоздз лотх 5ogkyir
01 зюх у аох 5зхкхо1§1 5зх ‘ЗодзЛзг! ох О1гю зюхлотхдю^з юхлю1г юх 11919
‘одзхддззХ лох 5odir одзхауюх лох О1гю ‘5отдздхю лаодХюхюзд юл лохюладю
зюлзз юхзоасЬ aoir ‘лотг1дздоЛую 5390x39 люхкдюхобц -ззоа^ ох юл Sotit здз^к
Л39 5ззлюх юхю<Ьоод1г здХзт) 5отт1о зх ‘5клюсЬоб1г зюлзз аох юхкхрзх^аохго к
‘юдюдюхз^ зюхздзу 'Зкоауюлу SkxixkrigiSy 5кх 5ззХа1игз 5зхзхлюз1ко 5зх
Giro юзт! зюлзз лотг1зхо191 ют1ку9961г оу -х\ = ху 5hi Зкоаупсз 5зх1лХз^ 7
•5злолюх 5аохз11гкуюлю1гз 5аоуую зо тох икоотдюуюХдз1га„ лкхо
кхкдлао кх кхаю sriao^oridoebs ‘уд осЬюдЛюдюц лкхо ‘лигохю^ -5кх юхкхаХюх
лкх зз^здодюх тох qT_y коау kxixorlAodir лкхо козухЛао зз^зуюсЬою^з aoir
кхкдлао кх зг1ао(ка^юхюлю юл зюлзз 5ori SoXoxo Soimdir тох ззлотззузх юл
зюхзлзюсЬ ЛЗ9 5от1о1лотЛюлао q кдоЛкбЛ опт тох кдаоЛзо опт зюлзз ‘юхзлз9кт1
юх 5кх лз4зо ,ira ззлюд^юу лоод ,сЬз ‘ktbioyoiro к юу/ю юууок зо отлз ‘ззлзЛ
юл isctoirri piao oxorikygoSir юхздзз! з^ -kcbioyoiro лкх giro юдзхаХюх ззо
-юзок’/ir лкх юл зюлзз Swrig 5кх So’Zgxo ‘кокхлюкю кдздхю лкхо зхозг ззлюдЛ
лзу 'юлю§ тох юлю§ 5ззоотддоз9 5зх Ьюхлолюд^юуюлюзгз ‘зюхзлотддоздохаю
Sogogsri кхзнгк'уюлюзгз юзр\ 'q = ху 5кх 5коау летдррзк ‘Atoostin ил» ‘махни
-Ьу»л»1гз к^аигюлю лкхо тох Зстдюх ‘лздкп зюлзз у аох юззХзохо юйзхдоозбзк
юх люхо ‘Svihipmdv 5кх юхкхоздз лкхо зздотдхлзхигз юд 5ют1 кокхк^ао н
•DTikygodir здюх зт! лодзХо ззлзюдз^ао aoir oriAodir- Ззхкадздз Ззхздзз 5ззо1г
задуши aw iowsijovoua


(X)	'VX/C19=X9 зхрх ^хэ = qg лпз
тобхтт! толтз хд тох qg пх по тзлотукрока
э летАпбпк о -lx 5охпт1оалтротрт аохотбк aoi (лоладазхпх л1по тзлтодг1ао
т+урсЬо обзхрбтзХ oi тох	лапрг1оалптротрт лттотрплоб лотХтохоплп
лап 5рт1опарлао толтз qg т1оалптр здря '“у > ''' > гу > lY > () :5зхпзд тплтз
аох 5зг1потрт то тох 5рхтбхзгМао тплтз у о пр 5пхлохздока зт1аоо11лтхз§ 5у
’j-У лох окп обзхроотбзк тпхзаХтлз аок Цоладазхпх
л1по тплтз qg 01 лто LiynAsri пбзхттрт тплтз ng lnan nxoivpri тох —5осЬбот1ртрт
лррзХо тплтз у о 3191- Lioav Ino UAnyyn LivpAari тохтзлз^обк пд зхох ‘5оурАзт1
тплтз (_у о лпд 'qg^-V = хд ЦХпбпхтр поаохкахобк л1п зг1рг1т1хз тох qg
5зХпбпхтр 5п 5зур зт1аобтз0 'Сюапктбзк 1гукп пбзхтотрт mri тплтз Ixxay
qg = (хд)у 5пхл(обто<Ьп пбп ‘qg + q = (хд + х)у
.хд + х зо х окп тохзуупдпхзт! 1юау н Smi аоХАзуз аох 5оххз
тплтз аох (холадазхпх U пууп ‘рбхтг! тплтз qg 01 по зткооздока пл зг1аобоку!
УоазуаААобхо окп li плзг1орзр пхпптЬэбтзк окп тохзХбзобк пл тзбокг! охап
miyncbo оу ‘qg + q зо q окп ‘Зпбазук 5п?^зд 5йг ZiXnyyn mri sri зг1плтхз5
‘.х lioay Ln mA тзхкахобк аок liyognxsri U тплтз
LiynAsri ооок ‘у о U q 01 оАту тздкудпхзт! лпд ilionxopinx lixnx Li Lrynx зо тплтз
5пхплтк о лп зг1ао^топг])окп 5аш тох копхоплп lnan LixToacb In зг1рбхзг15соц
•511оазуаЛАобхо miyncbo 010 Цопхоплп lixroad)
U тпхзазларлтхтр лзр зхох ‘pAUpo обзхаупАзт1 лох mA 5апрг1охап тз^рхтох
51птАоуока о зхоко ‘51аЬтоупкп от<дтбрАуп лохо тохзлаппгкполз ulioliAlipo
1лхтбзт1„ U лпхо, ’/У ао1 ЬзгМпбА 5п 5пхлооорууплз ‘1хЛоуткз lioaoAio отк
тох 11бзхаупЛзг1 mri зо зт1аолтзг1ткз пл тзкзбк тох ‘pAliqo охотбк 5ат ХООО'О О1
зт!аодХз§ пл mlyndro обхлоХ тплтд ’511дпказ 5а)тзуз1 тпхзлтЛ 5пхплтк о зхоко
‘окддх отдтуЦ лплз tri тзхоот1дп<Ьз ssnirr) Ыпоупки U лпз 5рххз— 1ю1иокоуаЛЛодхо
зо Зохкдотоаз пбзхттрт тХо тох lioniopinx liynx зо тплтз ;у о по srinxlumdaXoi
5зхплтк
5аох зт! х отоургЬза охо зотХбр аок liolnli^ao mri зг<ао^тХзлао птоао л1п^
•|хдру рбхлоХ тпхлоАазсЬокп ,л зхоот тохз ‘лапрг1уп(Ьо лап 1юпбрткз л1п
зт1аооа^плп 4л тплтз осЬпбЛрдпк л1п lnan (о 5mi SoXox^ '5ogpv рбхлоХ плз тзлпх
тзХз Зотокрх пдаоЛто лорзХо зхрх ‘аох lioay In Заттзузх тз^рууп пл (лоазжАЛобхо
li зхот ‘охкдотоаз pxnxmiodx оорх толтз пгИг/дрбк плз Scorip лпхо ‘miypcbo плз
тплтз oian ‘oTchluti рхтрпхзр оорАр охо prigrdn лплз тзазуаААодхо 51птАоуока о
лпхо, 'лохотХруаох 5аодзАзг1 li^P1 »п! пхпх ‘обзхаупАзг! тох обзхобпроо ауок
толтз Sogpy рбхлоХ плд, •1потАоуока отзузх лплз li pxnnrllignri отзузх лплз
окп тох liripxn 1пхаз<Ьркплп Зтлпдтк ‘11о1покпбпк йбхтт! mri толтз nriyncbo
оу -nimlApeK пхпзбо<Ьтр ауок тплтз 5одпу рбхлоХ плз тох miyncbo плд,
VNVNIII ЗОЫЯ ЗУЯЗ¥13У1¥Я ЗН1ЖЯУ О 1¥Я НК©¥13 Н  Z'L
VNVNIU ZON3 Zf5H5V13VlV>I ZH1MI3V О IVS HWOV.I.Z Н ZL

424
YnOAOriSMOI ME FIINAKEX
Го цёуевод tov (npafyiatog ||<5b|| evioxveTai хата 1/Ai, nov eivai q fiEyakvTEQi]
idioTtfiq tov A H evioxooq eivai ^yioxq, oxav to Ai eivai xovxa oxo p]6ev,
xai exoi oi mo evaioOrjToi eivai oi o%edov idiofjioQipoi nivaxeg.
Aoxq q цётсорц eoaio0qoiag exei eva piovo pieiovexxrma, пои бцюд eivai
ообаоб. 'Eoxw oxi поХХапХаою^ооце та oxotxeia too А це то 1000. Тбте xai то
Ai 0а noAXanAaaia^exai це то 1000 xai о nivaxag 0а tpaivexai noX.6 Xtyoxego
икбцодфод. Тобто цад 7tQoo6aXXei xqv aioOqoq тои т£цюо naixvi&ioo. Aev
enixpenexai цю anXq a/Aayq х/ацаход va цетатдёлес rqv xaxq xaxaoxaoq evog
nivaxa oe xaXq. Eivai aXqOeia oxi xo 6x 0a eivai щхдбтедо хата xov naQayovxa
1000, aAXa xo i6io 0a o^6aivei xai це xq Xooq x = A-1b. To oxexixo офаХца
||ба:||/||ж|| 0a eivai xo i5io. О nagaywv ||ж|| otov падоуоцаотх] xavovixonotei
то пдббЪща xai xo diaoipaAi^ei ano xexp^eveg аХХауёд хМцахад. H iSia
xavovixonoiqoq цлодес va yivei xaoxoxQova xai yia xo 6b, опбте то пдбб^ца
цад eivai va ооухд^ооце xq о/епхц fiETafiokij ||66||/||6|| це xo o/erixd aipafyia
IIM/IK
H xeiQOTepq neginxwoq eivai oxav то ||<5x|| eivai цеуаХо -oi бютадахёд
eyoov xqv xaxeoOovaq too idiodiavi^axog x\- xai oxav о падкууоцаотг|д ||ж||
eivai Ц1хдбд. S’ aoxq xqv neginxwoq q цт) Staxagay^vq Xooq x 0a enpene va
eivai ooov xo Sovaxov mxooxeQq, oe ooyxgioq це то цт) dtaxagay^vo b. Аотб
oqцaivel oxi to aoyixo пдббХтща Ax = b 0a enpene va eivai ото 6AXo dxQo,
хата xqv xaxeoOovoq too xekeoxaioo ^юбюуооцатод xn:
eav b = xn, тбте x = A 1b = b/Xn.	(2)
Аотбд о aov5oaaцбg, b = xn xai 6b = ex^, Sivei то цеуаХбтеро Sovaxo oxexixo
офбАца. Аотёд eivai oi axgaieg nepinxcboeig xwv eno^vwv aviooxqxwv:
7A Tia evav Oexixa орюцёуо nivaxa, T| Xooq x = A 1b xai то ОфаХца
6x = A~l6b ixavonoiovv navxoxe xig aviooxxixeg
IM>H xol IIM<«
An	Al
Sovenwg xo oxexixo Офакца фраооета1 ano то
IIM < An IRI
1И1 - Ai H&ll ’
(3)
(4)
Аотб то nqXixo c = A„/Ai = Amax/Amin ovoцd^eтal deixrqg хатаатааешд too
A.

‘лопоетлЛп лап ЗодЦук 01 Зшлолп^ап = un~ ariao^iAAsoodK ndaiaynx
ooo, ’«ioIaaA толр и li^p1 лкх ок» lioludpip Iх »dod) lii liian тох z/zu = °
ктЛЛзообк ninx толр aoi 5a>3onioninx 5lnxpq о ‘Згокзла^ ’^/г^ = lY
oio собаЛ толр Udswdxirl li тох p = u\ толр aoi Lninoigi 1юз1аупЛзО н
лотбосЬтд ло)лзг1опбзкзк пхплш и тагз и ло1 зю11дтз@ % VKJIdVVdVII
lionioninx ктлад Uvnx
ош л1п ззХз Зпхплтк а5о<Ьдот1о1§1 лддзХо,, о Soian ‘nilngxiinriAndK л1и£ '„-ОТ
толр у aoi поао^бо U 3191 ‘oi/z = у люд 'и li^ni л111 91с» тох nyyn nxnrlpx
л1и дкп олдт! 1X9 TOinidn^g ' котзютрпох й mai3 кхюх oooil aoi UoUriiixi
vioivim тг(зюиг) voao^ido й ‘лдгап 4ri йтбхЛао 33 g = шшу/хвшу _ 3 толзз
Saisopioninx bluxpg о ‘oi/z = у lirtoxn U j = у лпд тохюлр aoi ЗодзЛзт!
oi 91г» nosrip То1зрэзд1шз лзд э 5а>зоп1отпх 5luxp§ о 119 зюалзтШ^
•1юау Uid liAnyyn Udsriodi mri ксрлао Qjl  р = э
SniliwuMag 5»тодхю Slii тох ^()1 • Z аО1 a§ni3ri 3 тлоЛпдтг aoi иДпзу'р л1и зг1
TOi3A(pvltq аок »riAndir ‘Зпоотилдзк SsdswdisX 5п зт! ЗзртЛ Aao^iimiUXo qg
01 тех 5mi х oi) 51лХюдю1тд 51и кЛоушз lixigis moirpx гзлпх зг!аоХз пл ЭтХзу
•Лот.г
11^1 Г01 г
зг1 TOiaom аок
<z_= П(о‘г)11 1И|
гл |1(1‘т-)Н 11^11
5отз§р1 5Ln
miyocbo 9x113X0 плз толр giay "[=a=n3OQ=ai^=n 01т То1лоуурдп1311
Эгзоау ю ‘плодХдшпд '^oi = ||9<?ll Pinz олдт! то1лоуур9П1зг1 5здаз"/к 5з1§зд iq
’1000 ‘г + «юООЧ+’г
Z = а +п
‘г + ^ЮООЧ+’г
Z = а +п
:tq = txy тох q = ху 5i3orooi§3 5и зг1пл1дхЛао
X отоургЬз'х oij •ЛОТЛЗГ10939 ЗзЛпууп Ззлзгкпдйлао ауок тЛ тох lirigxn ЗОоау
5U1 иЛпууп liinig зг!аолзгйдзк пл пзкзбк пд тох voi • t7 = 3 0X0 охЭлА толр aoi
Зтзопютпх 5liixpg о 5откзла^ 7 = тох г/^_0Т = lY ктЛЛзоодк тпх толр
aoi Ssrinoigi iq I VKJI3VVdVII
VNVNIU SONH 3E5HZV±SV1V>T SHINIHV О IVN HKHV I x H ZY

ssnBQ U(bioy»r» л1ш> ЗкоазуаЛЛодю Ugny »i 01г» 51зозо 5зх1§»хз2 э йо| 1злп'Х
Shioiloyoiai о по толр 'nxur>ri»oi3K тох тохзазртпз aoir ‘5»лол»х ioxionirris :UqU,vu> q *
»4 jadoitri ||ar||/||ary11 <101 oioikarl oi no толр ‘Soxidisiiiiao толр лзр у о
лпю is^nyyn аок oiay (’“у Smgidxn лшй х oi 5одк ary aoi 5оЛоу о аоко
‘их mioaAnipoipi oi тк злтодзлао 11оапк1дзк nindxn р) -оупАзг! ary = q 01
тох odxni х 01 зНаолпх юл 3iinoao0nKoodK рхд "(с) Ltocooi^s л1п зг1аорплп|
пл 1зкздк ‘Saisonioninx Inxpq aoi piioido oioaio плз siiaodg пл nij
•у о 1злп|ап 5<П0пх 1злтодх1г1 пл зкздкз П0 (_у
о по ‘lirtilr/плп lixnli0OTOi9 Ln зт) и.оз0плп зо— j_y лою O13X1O1D ovnAsii aooi
^з плз iSAinriUo ‘у лою ао1летЛт§ 5о1хз орХтою оурЛзг! плз по толр 5зхпл1к
Saoi Saoian (ii прохоар р ’ООО'ОТ лоюзХруао! толр пл 1зкздк П0 ‘51юла0зЛзт1
5ln Slnan nriAnSd) солп плз 1зазкотоодкплп э 01 liqnKg z00[ 51юла0зЛзт!
111озуз1лао зт1 ‘ж aoi liAnyyn пюпукшлошхз зоклз^одк q aoi %\ Liyogmayj
tq лто
q лпю
Sisoay 5п з1пл]дхЛа£ -у =	О1 тол.,3 5а>зопюп1пх
51пхр§ Soylr/vpinx о '9 ао1 Uyogmsri LixnsXo In ркп misoondd) х aoi nrlyncbo
охпзХо oi no тз01луп толр лз§ ndaoAio nyyn ‘1 оар ю тох толр Ssiinoipi iq
(S)
.001-
inx
5зхпл1К Заою пуохаз птзлтосЬ oiay 'liAnvyn UdsiaynAsii mri зт!аолпх
пл 1зкздк ‘о1Ыа01кз ndaoAio толр aoir ппх ‘Snidisiiiiao 51п 1юз0ока л1п тох
Sanio зг1аоЛа<Ьокп 4л nij -| ?у| щш /|?у| хрш = э лпюлзЛ П0 Saisonioninx 51пхрд
о зюко ‘5зг1п 5з1ауокп siiaoolnoKoiiiolidX пл тох 5nilnoxii30 51п 1юз0ока
л1п з^аогНрупдпк пл зг!поаодокг1 П0 пуохад ‘Ssiinoipi 5зхпз0 зт! 5зхпл1к
5aoxidi3iiiiao зо пхптзухокп пддп idXsrl лшо^от1дп(Ьз 5mi (лоауплп р
oi Зоткр ззлп^ап Зетзопюшпх
Slnxpp о птоко л1п mA ‘(а:)/ = ^хр/п^р U Зюко ‘5тз^п1 5пдз1аупЛзт1 лтзо(оо1§з
лсодосЬтр лсолзтктобзкзк ЗпзопЛЛзоодк зг) U ЗаоюсолЛп ооо’ох зт< miliygodK Sanio
1зХЗпка п© -Uolidisrl и.лзт1о1011лао зюкй^токо <экп Ssgidxn oik толр рпк тох
аок— s_qj aoi Sms^ni Sin ‘ауок oi ‘толр пл зюа> то1заХтлз 5о0пу 010131
плз 3101 ‘ooos = э зюко ‘ЗаоюотлЛп оох pioKorholiOX ктЛЛзоодк li лпд 6 01
aoi Sms^ni Slii ЗЦоазуаЛЛодю ninrlyndio 1злпх пл pdoKii ‘nuyidxn 1г/кп зг1
5п1лоазуао§ ‘SlnoiAoyoKa SpxiKai Зплд, ‘Lynx nisxSn U§li толр msgidxn li
аок рхз inisxoidg opiilio oriioidx 01 oian ‘oxnnXlui Л01 mA 5a>Xaiag
•пг1озузюкп оОзюдХзлзк плз зо rsoliAltqo П0 ‘nilnoxnnii/тодк
л1по ‘a aoi lioli^an nni ‘пдзк тох opiilio oriioidx плз оку ’ЗйоазуаЛАодю
miyntbo 01 окп одзюоо1дзк ппз^пздккз тох пууп ‘олрдХ одзкэотдзк рх
-дтр олог! iXq; -ЗЦтЛЛзоодк 51п ЗргкиЛоуока о то1зл1Л Зодзюуохоар 0001
zaNVNiu aw iowsijovoua


5отзопхопхпх 5111X139 5о19? ° 1Х9 oimyiikooi^n толгд -qg здпх тох q здпх тоЛ
13П.ХО1 тох (g) лкхо лстхкхотолп ociq лотх олзт!ол1Л oi толу (g) пхкхоо1лп ц
(ОТ)
.jlylLn< Нж9 + а:11
11у<?11 НМ
зт1аоХз ‘q 5пдазух 5»i^3Q 5кх iun у пхплш лох зткю^пдпхт^ лпд
(6)
 IHII 1И1
НМ нм
лкх 13Ю1ЮЛПХ1 nriyncbo
9x113X0 01 тох 11 т_у|| ||у|| = э ТОЛ13 у аох 5стзо»хо»х»х Sluxp? о 34
•5(173ошххохпх Илклтзд о тл]з аок
‘||[-у|| ||у|| олзг/рлтА. 01 толгз {х/иХ aoi отюпткока рюто о± '1х/\ лкх
зг! 0191 к тол13 ||j_y|| к тох их лкх зт1 0191 к толу ||у|| к косоххгдзх кхпохзгМао
ki£ -Soxidisririao толу ЛЗ9 у о лпхо (g) 5кх охпхопхпхока ох толу охау
(8)
’ИМ Щ-У11 > НМ 1И1 11у11 > IMI
5соозг1п 1ЗЛ19 пхплш Skrignxo 5кх (/_) 5orioido о ‘qg{_у = хд тох ху = q
(1913x3 '5(озопхоп1пх ЛОТ1Х139 тох лет^дпхо а^пхзг! козХо кх зт!аооотдкухг1ао пл
зт1аоуз0 пхетдхс трууто ‘5отс)1дхп sriaooiXoyoxa Six ng oAiy з^ ggy аох inx ggj аох
a^nxsri aoirpx 5зг1дпхо лаоХз ng (g) коото^з лкхо {_у тох у 5зхплш iq
х ох1лз9кт! kri лохогХруаох плз тЛ 139X01 пхкхот н
(/,)	'х пг)оалп19 здпх тЛ ||ж|) ||у|| > ||жу||
тохплш аох й<кт1пла9 кхиаХтлз,, лкх isoondcb ||у|| о ‘ткр\ пууп зум
лкх дхп inis^ido aoir Sorigidn о толр у аох UtiQnio ц я£
•||у| | sri TOis^iyogriao тох
пхплш аох Urignio тохзЛзу ‘у аох 5аодзЛзт1 аох odxsii охпздто^з плз тупх толу
oian oxoiAsri оу •nrZoaanipoip? тл1з лзд аок х тог1оалтд плз <о пизлпдгкуу
LZV
VNVNIU ZON3 ZOaSVIXVIVM 7H.LMI4V О IVM HPI0VXX н г д

428
УПОЛОП2МО1 ME niNAKES
e^pavigerat xai отт] (10), oxav diarapdooExai о idiog о nivaxag: Eav Ax = b
xai (A + 8A)(x + 8x) = b, tote acpaipcbvrag ехооце
A6x + 8A(x + 8x) =0 t] 8x = - A-1 (6A)(x + 6x).
О поХХапХаоюоцод це то 8A evloxvel to dtavuopia o/t перюобтеро ano тг|
отабцг] ||6A|| xai цета noHankaoia^ovTag це tov A-1 auto evioxvexai oxi
перюобтеро ano )|A—11|. Svvencbg
< ||A '|| ||<5A|I IM4
			 	
JIMI
MH •
Oi aviooTTjxeg avxeg ormaivow oti to осраХца OTpoyyv7,evo-qg npoepxexai
and dvo nrjyeg. H ц1а sivai 14 tpvaixr) evaioOrjota той пробЛгщатод, nov
цетре1та1 це то с. Н аЛЛц sivai то прауцапхо осраХца 8Ь г| 8А. Аил) rjTav т]
баси] тг]д avaXvoTjg офаХцатод той Wilkinson. Eneidr] о аХубр10цод апаХ.О1фГ)д,
ott|v лрауцат1хбтг]та, napayei npooeyytaeig L' xai U', auro nov xavei eivai va
kuvei tt]v e^iocooT] це tov еофаХц^о nivaxa A + 8A = L'U', avxi xov oojotov
nivaxa A = LU. О Wilkinson Xoinov anedei'^e oxi г] церьхт] обцуцац eivai
хатсЛХг]Хг| yia va xpaxi)oet to 8A vno eXeyxo -deixe то арбро xov “Rounding
Errors in Algebraic Processes”- etoi о deixn/g xaraardaEtog c (ptoEt око to
6o.qo<; tov otpafyiaTot; QTQoyyvXEVOTj^.
Evag xvnog yia tqv araOpt]
H отаОцт] xov А цетра xt] цёуютг] посютцта це tt]v onoia evioxvexai
опоюбгртоте diavvc^a (iSiodiavv^a t| 6x0 лоХкапкаота^оцЕУО це xov nivaxa:
||A|| = max(|IAx||/||x||). H отаОцт] xov xavxoxixov nivaxa eivai 1. Tia va
гпоХоушооце avxov xov “ovvxekeoxr| evioxvcrqg”, троАопце xai xig dvo n/.evpeg
oxo TETpdyoovo:
2 МЖН2 xTATAx
11 A| |2 = max	= max
(И)
Avto цад odriyei otov ооццетр1х6 ATA xai то хата Rayleigh nrjXixo xov.

юбзхохзлзЛ. к 5охздхзг1т1ао толзз у о лихо ззлзюдз1ао локзоу котхкздзк козхауюх
Н тохзлолюходдо толзз — g аох 5зукхо то толзз аок— юхюткзалюздоздз юх лохо
ззлзюдз1ао охау -у юхюлзк аох куодюхзх! Ux око кдзхауюЛзз1 зюлзз лзд
5зт1зхоздз 5зхо у — rl 1хуодюхзз1 U зюх [ = (ф)э :коюхоюхюх кхоздю зо зюлзз
лткзхоздз юг1кудодк ox ‘ф 5юхюлзк 5озлтЛоддо зюлзз g о аок котхкздзк лкх^
(зт)	•|Ы1(5')э= 1Ы1 Ills’ll llsll > Iy-^I
зюлзз у аох Ызхоздз юзокюх окю аох коюхоокю
U зхдх + у аох Ызхоздз юзз1 зюлзз т1 люд -g юхюлзк 5о2лдо7око7лтХю?д
aoi Зтзопюююх Зкиазд о ndiiri amri-iioiyi лт тойдоюаз л hi ‘лдхаю 4зЛ
зхлу у аох 5тзоюхоюхюх 5кххззд о 5оздз о зюлзз лзд 5охау 'клзт^оюдлюх зюлзз
кокхлюкю 51ллю<Ьодк н i „AcpTi-ixoiQi ЗохютИхудодк аох 5гозоюхоюхюх 5кххззд„
о зюлзз 5озоц :юз1кхгодз озл юлз зздззЛз охау -х\ = ху лкхо зюх юуую
q = ху лкхо олдт! зХо зюхлоХдзоззка 5коазуаЛЛодхо юхюг1ую<кз р liomisiilig
'D охозЛзз1 ох зюлзз 5юхлоЛюдюк
5охзхаХозлз 5одзхауюЛзт1 о зохз зюх	= ||жу|| лкхо юхкудюхзкю Uxkri
юх лаолк(Ью зюх зозлтЛоддо зо хвш.о = ||у|| зюлзз кз1дюхо йх юзЛ 5оках
5оу’/ю 5юлз ‘5ткзла^ -у±у aoi SsrtiioiQi ю гомз Saoi трлтАх>д131 ш зюх у аох
5зпкх ЗзЛдог/тодз зо зюлзз юхюлзк аозлсоЛюзд аох ?ю юззХзохо юд f liocoisrilix
‘	= V лФт111
A<ochdo3io3g3 коюкоюзд Ux U зртшцэд-шшо юзоюхздюзд Ux U зг1аоокзокоз1зокбХ
юл ззхоюззбХ юл зздокт! зюх 5злздою юлз 4о юз1кудодк 5ззЛа юлз зз<кздхюхзз1
юл зздокз1 ‘у^у п.ох 5оз1озхюз1иХо о '(v)° ao1 олтАтрд1з1 ох зюлзз (у
5а>зоюхоюхюх 5кххззд о 'лтлсоЛюдхзх лтхозХюуз лспхюз^кудодк лтх q £у = ху ±у
5ззогооз^з 5зхзлолюх 5зхо зюхз^огЮюЛз 5тзоюхоюхюх 5кххззд о Z Uomistilix
(УтУ)тешУ л^х 5°б1£ 5т лтзкхоздз юз1кудодк юлз зздау юл 5олобХ
ззХдюка лзд зхдзд ‘козЛЛзоодк юхюх олдз1 юуую ‘юхзхюз1Людк зюхло^зЛоуока лзд
5созоюхоюхюх 5кххззд о зюх кз1дюхо к ‘юхюзИхудодк юхзххюдк з^ j UomistiU^
X тх	X тХ
 ll-rrll _ ХВШу- = _=
г F V (хтШу<)хх	xvjy
:у j.y аох юг!оалюздоздз оХзохозхлю
ох зюлзз обзхоооздзк зюхзаХозлз аок юз1оалюзд ох ‘котхкздзк здюх 3j
•ру| хеш = ||у|| :Ызхоздз (5гохауокю ra'X’s) кдзхдуюЛзз1 к зюлзз кз1дюхо к зюх
гу = уху ‘у аохздхззМао котхкздзк лкхх ,(У1£У)™ШУ = llvll :Vj,V !>01
5кз1зхоздз 5кдзхауюЛзз1 5кх ю^зд кхзлтЛюдхзх к зюлзз у аох Urlgoxo н пд
6Zt
VNVNIU ZON3 SOHSVXZVIVH 3H1NIHV О IVM HJN0VJLS H 27.

•I"17	f]=y люз —°°||y||
L z	тJ r '	°°|Ы|	"И|
асохпато krigpio kXioioiiAD aIii sioiAoyoirx
(Z = °°||(l‘Z—‘l)|| :»tiAi3Q»d»n) |’.г|хвш= °°||a;|| ^kTignio °°7„ U „aoioiAsii
lirigoio,, кю г/[(^ж+-  •+ja:) 5oxUii 0139137x113 01 own ‘||x|| 01 тз^юуую 110 зюздохх 01'2'4
•5зг10пю 5зхп1иохолюх1
toais Л39 ‘|у|хвш li rax ki+охю U ‘хвшу U no 315139 ‘(а)тешу(у)х,!шу > (ffy)xl;luY
тох (д)ХЕШу + (у)ХЕШу > Iff + y)XKluY лап z !K3 Z ю1»г1Л132»дп1тл.» 5ю1лохо1дд 6’2’4
(?/)->(7у)э = (у)э ftorbn ‘1зазбзюд1зХ Л39 коююююх
H лготМюдЛ 5зЛюууюлз TOis^pisdX Л39 ssnefj aoi Soiifjido/c/w о 'ихвлш OA3iioido
BX113Q тЛ ‘но 1Ш31ГЗ oiao ,ху -у aoi 5а»зоююю1юх I11X139 aoi n^id lixiAioAnoiai li
toais у aoi 5<пзоююю1юх 5lnxi3§ о no a/. 01 011» люрдаз inx 315137 ' jlG/'* = H
aoiro 'aLa = jlGl = V i»Ai3 ‘y oastIoiSo юхпзд люлз mk Хэрэрцэ ItonnoniQ ц g^’Z,
•|Ly|| = IMI
110 ‘jVV tox VjV лоп Sai+iioigi 5n SoiAOAidxXao ‘g'9'S liolixov aIii oirn 315137 L'Z'L
(g) aIiio лтхплт лап 5зт1дю1о 5i3gioxn 5n 31136g 9’Z’4
•| |y 11 > |y| isaXoi ‘xy = xy ‘y aoi у 111+110191 здюх mA no 315137 S’Z'L
•||<?||/||<?<?||э = ||^||/||^?|| ‘91плл2 одз1одтзХ 01 толр юл юг+гюгЬо
01 зюа> ioi3 lqq 11Хюдю1Ю19 ютг! тох q юдазуи 01539 nni зрздд -ly/Zy = (у)э aoi tox
Zy = ||y|| 1 iy/x = ||[_y|| 5n	= у oAsrioiSo ЮХП30 aoi diA sioiAoyoirx P'Z'L
'(s^v)3 > (av)° л1и- 1Ю1зЛю1£Злао oian no 315137 -||д|| ||y|| > |\gy11
isaXoi no (9) aUi окю З1юлюбзит1ао тох ||ж|| ||g|| ||y|| > ||«ffy|| iimA 3ioliXli5a ££•£
•llffll + ||y|| > ||ff + y|| ^9 ТО13КЗ (9) aUi
оию nniA tox	+ |\xy11 >	+ y)|| aIii iSAig Ю11поо1лю „InilicbiSsir,, пюц jx’Z.
•511ою1ою1юх 5liynx юхпздто5з
5зхюл11£ ioaotI io толп (£)« 5aoi юююукюууок Ю1 тох) 5зхюл11г ioiaotAo0So iq
•; = (ф)э тох 5<п0юх х = ||£>|| но 315139 5юхюл1и 5о1лотЛо0до toais у о люд yz'L
СПЯЗЮКУ
о+пэдЛпдшс liAsiipira лкю LioltioKoiAoAndnir li 1злпх ng 5ашо
‘DTilig здюх зо 5зхюл11£ SaoiAroXogdo зт+аоХз юл SrogliAao 5ю1лолзт1шз— Sodsiodxni
Л91ЮЛС19 01 Л009 £ 5юхюл11г о i30ltwdx юл toais юз§1 li ‘oiigidoAyra оуюх здюх 33
•5Uiiiioi§i 5lti 51луодю1зт< 5U1 коЫпхз кхиотуюзд юп1 толр 01 к^юдк л1п^
(£{)	’г|la’ll Зсоз^юх 1089 +	= ^у - 4rt
3191 \S ao1 ктМюдЛ 1по-:у
к 1ЮЛ13 1юх g aoi kykio кю-^ к toais люд :kiinoigi клзт+оолот+зт! здюх mA
5кХюдю1Ю1§ oirai лою 31139 пл siisdoini g aoi ююаодюм лкд коююююх куюх
юхпздто^з зо 1ЮЛ13 aoi Ssrinoigi 10 тох (9-5 5осЬюдЛюдюц) SgxiAOAOXogSo
toais g ла>юмо1лотЛю19 о ‘5юхюл11£ SgxiAOAox 5юлз толпз у о 3191, ' ±уу = V^V
SSMVNIII aw 1OWXIJOVOUA
OEf

7.2	Н STA0MH KAI О AEIKTHS KATASTASEQS ENOS IIINAKA
7.2.11 ДеГ^те oti oi i6ioTi|ieg tov В =	j eivai ioy, oi ididpioocpeg Tipieg tov A.
Ynodeify]: Дохщаоте tov B2.
7.2.12 a) 'E/ovv oi A xai A-1 tov 16io deixri] хатаотаоелод;
6)	Avakoya це то avco (роауца (9) yia то асралца, алобеДте то хата) сррауца:
IHI 1||йб||	,	,	,
——г?- > -	. (0еа)дт)ате то A b = х avTi tov Ах = 6).
1И1 с П&П

432
УПОЛОГ12МО1 ME niNAKES
7.3	 О УПОЛОГ1ЕМОЕ TQN IAIOTIMS2N
Aev vnap/et evac; бёХтютод трбпод опоХоуюцос tojv i5ioTi|xcbv evog nivaxa.
Yndpxovv дцсод oiyovpa цер1хо1 anaioioi Tponoi, nov dev 9a ёпрепе va do-
xi^ao9ovv поте, xa0cbg xai цер1хёд iSeeg nov a^i^ovv цю novip] avayvibpior].
Eexiva^ie, nepiypacpovTag jua noXv anXr| xai xovdpoeidr) прооёууюгц тг| цёбобо
nov Swa^ecov, тт]д onolag oi сбютцтед ovyxXior]g eivai evxoXovdrjTeg. Катб-
niv xivov|xe9a ovvex/bg npog evav noXv перюобтеро nepiTe%vo аХубр10цо, nov
^exiva цетабаХХоутад evav оуццетр1хб nivaxa oe rpidiaycbvio xai xaTaXrjyei
xavovTag tov, orrjv ovoia, diayibvio. To TeXevraio бтща тт]д yiveTai це тт]
dtadixaoia Gram-Schmidt, yi’ avro т] цёбобод eivai yvwoTT] wg QR.
H gvvt]9io(j6vt] цё9обод twv 6wdp.eiov Xeirovpyei це tt]v idia ap/r] dniog
xai цю e^iowor] diacpopwv. Sexivd and цю apxixr] ехт1цт]от] tiq xai охтщат1^е1
diadoxixa та ti, = Auo, = Ащ xai yevixorepa uk+\ = Auk. Kd9e бтща
eivai ёуад поХХапХаоюоцбд nivaxa eni бюуооца xai цета ano к бтщата
npoxvnrei то uk = Aku0, av xai о nivaxag Ak dev ецфау1£ета1 xa9dXov. Ett|v
прауцат1хбтт]та, то ovoicbdeg eivai т] апХбтфа tov поХХапХаоюоцоо це tov
A -eav о nivaxag eivai цеуаХод, Oa rftav хаХбтера va eivai apaiog- dioTi y]
ovyxXioT] npog to ldlodldvvoцa eivai ovxva noXv apyr). Упо9ётоутад oti о A
ёхе1 eva nXrjpeg ovvoXo idiodiavva^iTcov a?b ..., xn, то дюуооца uk 9a diveTai
ano tov 0vvr|9i0^.vo rvno цюд e^iowarjg diacpopcbv:
uk =ciA^i + --- + cnXkxn.
УпоЭёоте oti oi 1бют1цёд eivai ар10цтщёуед хат’ av^ovoa та^т] xai oti t] цёуютт]
1ЙЮТ1ЦГ] A„ eivai цоуахл тт]д, xwpig va епауаХацбауета1 xai xwpi$ va vnapxovv
aXXeg 1бют1цёд tov iSiov цеуёЭоуд. 'Etoi |Aj| < ••• < |An~i| < |An|. Тоте, eip’
ooov г] apxixr) ехт1цт]от] uQ nepieixe яалоса ovviOTiboa tov ^юбюубоцатод xn,
ётт сооте cn / 9, i] ovviOTiboa avrr| 9a yivei oiya-oiya Seond^ovoa:
(x9 Ж1+ " + Сп-1(^г) ^n-l+CnXn. (1)
Ta diavvopaia uk KarevOvvovtai це okosva fiEyaXvTEQt] axQi6£ia xqo<; ttjv яа-
TEvOvvar] tov xn яа1 о ovvTEXEGTijg аоуяЛсоЕол; Eivai то лт]Х1яо г = |An-i |/|ХпI•
Avto цою^е1 це тт] ovyxXior] отт] отаЭерт] хатаотаот], nov цеХетг|оаце OTig ave-
Xi^eig Markov, це e^aipeor] то oti г] 1бют1ЦГ| Xn цпоре1 тшра va diaijYpei and
то 1. Прауцатц dev yvwpi^ov^ tov napayovTa Xk oty]v (1), evcb 9a ёпрепе
va еюауауоуце xanoio noXXanXaoiaoTixd ovvTeXeoTt], diori SiacpopeTixa та
uk 9a r|Tav SvvaTov va av^dvovrai пара noXv r] va ^iibvovTai пара noXv,
OTig nepinTiboeig dnov |Ara| > 1 rj |An| < 1. Svvr)0iog, npiv проха)рт]оооце ото
епбцеуо бтща, цпоробце va dia^oov^ xd9e uk це tt]v прсотт] ovvioTinoa tov
ak. Me avrr] ttjv anXf] aXXayr) хХ1цаход, т] цёЭобод tcdv dvvc^ecov yiveTai
Ufe+i = Auk/ak xai ovyxXivei o’ eva noXXanXaoio tov xn*
* Oi owTekeoTeg avtoi ak (n-.'y.'/.ivm'v eniarjg лоо; т-qv Xn.

 ч(*> - UX) + ... + ч(*> - гУ) +	- 1У) =
иХиЭ	^Х^Э	1Х1Э
ОХ
оив тохгзгоколпхг лотдосЬтр коотог^з к кхап тох = 1+Чт(/ю — у) nrikxoao oi
гзлау aoppgsri 51x1 5kxan nrikg здрд pxnxni'iodi тохзлаХпхпгз пд когухЛао к тох
pdxrri ayoir толзз пд lux oi ‘iy аох когЛЛзоодк kynx mri толгз пл гзЛзупгз о 01
лпз ‘5от1гзлаз • | ю - г у | /1 о - i у | = 1Нх зо тохзуупдпхзт) opogsri ксЬодхоплп лкх тЛ
5когухЛао лгоЛпОтг о тох ю nxkxpooir mpr лкх пхпх тохло^тоохпхзт! ?у 5зг1погрг
го 5зур зхру -/ю - у лох зг! у лох зг1аохогдпхплп пр отход, -5зур tirn кдзх
-аупх к толгз хтзйпллд люЛодюил» MMSiioncoinisti лоп Sogogsri уу (д)
monxrpmp кхшгкуплшгз кЛодхоплп к Scninrloian тохзАзупгз зхрко
‘krinorpr kdsxpdxrri к толгз 5зЛог1дп(Ьз 5по тохгзхгшгп aoir дхап ‘плХа^ '5орплог1
5кх 5одзхрбхп1 толгз |гу|/|1у| = „л SkmyxAao Зкхозузхлао о лоор .dbs ‘Urhioiqi
кдзходюг) кхо когухЛао гз^гупсЬоп^з пОоп пгботзд уу тох 7 ЗзхлоЛпОтг
5аох sripindx inx) -Лг = l+2iny mikioao pxrrlrindA 01 зг!аолау пр гзлтог1ко aoi
i3,x{_y = |+:уа толгз лотдосЬшр Ькоотог^з 5кх nrlkg олзг1отлог1зт1 плд, -у лох
зг! плп \_у лох зг! гзазуаор ло1зг/»лад лохЬодюил» лоп Sogogsii н (3)
5аох
лотхпгЪалтдогдг лотх тох лотт!по1рг лотхпздосЬтд d 5гзогЛЛзоод1 5злодХрхапх
sriaodni пд ‘лозугг rig ’|uy|/|d-uy| = Н зо 5котухЛао oxryki 01 зг1аоогдогдзк
пл толгз пд пг1озузхо1гп ох зхох —aogpgsri 5кх nrikg олзт!отлот1зт1 плз толгз
охаох— rynir зг1аооклоюглотЛоддо пх пл пгЛ гртшцэд-шш9 nionxipmp srlaoo
-pridncbs тох у лох sri пур sriaoonronyinyyoir пх ‘пхпг1оалтд пхглолпходдо
d pirn зткгооклгхз^ лпд -^п олзг1отлог1зг1 плз тЛ гхлп ‘плодХрхапх пхпкоал
-тд пдзхроогдзк зг! гзазуаор xoyirrf хп»х м»31Л»лад smi 5oqoQ3ni н (l)
:5аохап 4irn 5гздх sriaotHnSAidsir ng тох priordordsir
лох лрхап sriaoAacboirn пл mA. loirpdx royyoir лаоХдпигх 'ктухЛао aoypgnx
sriaoXs лзр тох |uy| = |l-uy| гзлтот1ко у = х ‘пхтоаф (-кЛдп rynir лпхк ктухЛао
к тох /,‘д = х зг1пХгз nriArspnSnir 012) ’ду аох кг1пла§ nrri пхпх ч(1у/гу) ох
зг1аоогдогбз1г пл тЛ 5гз(ккуплп1гз дд pirn 5здзхроогдз1г тохло^пгздХ пр гзлтот1ко
aoir б ‘о < х 5зЛог1дп<Ьз Ssyyoir 33 -кЛдп ayoir толгз когухАло к зхох ‘у охо пхлох
толгз х ох лпд :5рт1огдогдз1г 5одзхрдпдоо о тохзлотбзлпЛ nriArspndmr 01 pian
'«^ol = m J6iz;ol = £n (рго1 = гп jrol Xn Jol = On
/к о] [те/ oj Les o] [6‘oJ Lu
‘лотг1оадку1г Ькоклгхпхзг! 5пхплг1г о лпхк
Vo Го]
Z‘O 6‘oJ v
пкоал
-nrporpr 01 5oSir лаолгзх un ni aoirp (тлбрсбгуоу л Ui pun) VLVJIHVVdVII
NniNUOIVI Ni51 3OWZIJOVOUA О £'L

•6-0I 30 €-01 зо
. о I 91г» 5»1лол,1пЛ1ш ‘nrilig 3qdx зо одах лою тхзлшфа оып r>ii'/nf>i> 01 по гзлгпгПш йогухЛло
lixiga^i () = 5Ui Uoay In тЛ /yx)f— = ^х — l+sfj; иоглгэ^ ogogsri Ino raAingriao 5miro
‘nrilig здпх зо ппзтглтЛпдхз! nrivniio 01 no i3,\inrilu> UoivzAao UxiAioAnSisj, ’I > x пхлоЛрдпи
одздпю лплз ,ri nriyncbo 01 гз^пгопуют^уоп nrilig здпх no гзлгпгИю LioryxAao lixrririndj **
'коладазгр li liiiin толгз rridooiAovoKa пл зг1<г,одпцооди
aoir олог! 01 ‘nrioaAnrgoigr толгз 5о1пг1оалпгдог§г ouinvirnvvoic здпх 39 ligrsirg '5oinrio<woigorgi
aoi коладазхпх л1по ггпзлаюхлзхгиз nrtyndro 01 barrio SinXaiag ‘гпхзлгЛ bocbdorlorgr od noooidiir
000 толгз jto — у о aodrn ‘lionioninx lixnx пхпздточз зо толгз no гзлпЛ пл iroorrri oiay *
•лотсЬпдЛпдпх: лотлзт1окз лотх
0X9x0 лпо sriao^ng 9хап mx ‘nx'iAsqkri sriaoAndnir пл Soirgdx 5971m Soioimx
ззХдпма лп лдктоу зхот^иотдплу '5о()пу тлр aoqggsri 5кх 5кхап кЛоушз к
ЗХ9Х ‘пхглздкт! kri тлгз пззХюхо пх tim пууок лпхо, ’5зхпл11£ Saomdn а’/он
тх ЗаоупЛзг! шЛ олдт1 kxixnriosysxoirn тлр лотзтЬрлад лотх Soqogari jg
Sjaquassafj Midori inx Midori niAfoAmqidg
iy лкх 5odir ^то лотх /«преХао Unigax к тлр ‘ц§1Э(Лву nxpkir
sri лотзошохпхзт! лотх лотхап nriosyaxoim 9хрзх од ‘Aaqkri охо гзлгзх Н1л ox oiqi
ox nxkx9xixnriA.ndi£ лкхо тх ‘nrikg 30пх зо лао^пууп piо — гу|/|^ю — 1у| = „у
5кот/хЛао 5зхозузлао iq •SoxnrioaAmqoiqr аох Soxnrivptbo аох олотЛпдхзх ох
пх1ддлоХ 1ПЛ13 Skriixoiqi 5кх Что - у nriyntbo ох 5откзлах ‘5куодпдпк 5mri
5odsri отхрх ох зг! is^niori nrikcbndA ох тх лздкт! тл]з у аох loAmAndnir то-
nrioaAniqoiqi Sayidxn охо охтХпуз плз пзХз дхап oxiykir ох 1x9 kqk sriao^idaiAj
Чсп Чт
-—= (Чт)и=
ЧспуЧт
aoi oxiyluc ox 1ПЛ13 пл тохзлтосЬ кЛоушз kxunriosysxoim our к ‘^y = V
косоххпдзк kxidxsririao kx^ '5зЛоушз 5здзхаупх 5зууп mx 5отг1д лаоХдпх:^
•5о0зЛз11 gxiAo^ плз to Чт здпх лаолдзсЬ aoir 5ко1т10пхоплп ЗзхлоЛпдпк зт!
sriaoasyaog пл гол13 пхкхдхплад kdsxoaoyim jg -Чп = l+4m,(q4n - у) лкхо
mxs^iAndbris аок ч& ох 1зЛзушз пл isirsdir П0 ‘sriaoriagnrs ох лпз nrikg здпх
зо konrqxnxsri кх sriao^jpvvn (л ariaodoirri aocbn ‘к то аох кАорхсз 5кх kxiq
лкх rsokAdaoirikq пл isirsdir лотзг1пла9 лотл^ошохпхзт! лотх 5о§о0зт1 к ЗХ9Х
‘ori0id9Xyn охкхдп§злп лоюкпх 91m 130О1ЛЛзоод1г kqk 13X3 ЛЗ9 iy ох лпд
копхопхпхплп kxiriodqnAn зт! ^(g ‘j ‘x) = lxjq ox ariaooay пл mx *qq
зо /о - у лох sriaookioiroxAoAndnxc пл шлр nionxigmg клзт1о10клао н ’Y ao1
kriix LiAarioiAovoifci лкх о лпо sriaoAdroir 3101 ‘(JZ& 0 5cniro) orlgidoAyn лоууп
ЛОЮ1ГПХ зт! isgoiAoyoira kqk 13X3 iy 01 лпз ‘nxiqig ‘oXdnidax обо oxcodxc лох
Зотдкухс лаолпх пл mA ллохдп nxnrikg oaq lx плз зхоот ‘лздкН охо пхлох ооох
тлр 5зхопт1олодп1£ 5aox 5аохап tirn Soxcodir о ‘ iy охо пхлох голу то ох лоор ,сЬд
3HNVNIU 3W IOWZIJOVOUA


nxiArpUii юх nimoir зхзЛюдюк юл тахз^югздХ li^pdir лкю inorioiAoyoira mA олодо
orifpoolvn лою люпздлз ,i»x 3ipir юл тох niomiiouoox л1и Ukuo зхзсЩэхюдтг юл 3ii3doirj/\j *
I = xnnxnnp + хпщ, - j = (jTinz - l)(jnnz - l)= HjH
гЗтлотЛоддо
тох SgxidisriTiao тох толзз jj о 5i3og>iKid3K oag Зпо то-fl '^пп^, - [ гшзлтЛ /у о
зюко ‘||а|\/а = п пт)оалп1д оттдплот) гшзлгЛ тох торзюкохтлолпх а oi плХа^
'^г“1=я
Slubdori Slii Зпхплтк Зплз толр Зпд/шэпухплп SliggnsXioio
li jap/oqasnofj SoriounriliXoniari 5плд, *'H& ogogsri lii шЛ nionriioisodK
л1п гзлпх aoi пздт н ш1Лпдк Smgidxn 0191 01 тзлпх пл окдд1 озл плз
тох sxlidg iop|oqsnop о •дхипткгзузюкп срок толр piay пдзкгкз пюгоо
пю лотЛодю ndiso mri зг) лаодсЫр пл pdoirri 5з<Ьдог1 Ssian одд 10 rnfl
SowpAnigidi
толр пд Зпхплш о Зог^г о тох 5одзт1 gxiAOiXidi аппх 01 гзсЬпдЛплп пд Зодзг)
охзлотАлд! отлпк ох зхох ‘Sgxidisririao толгз Зпхплтк о лпд Sjaquassafi Utbdoii
li толр liiay омт/.тд тддх л hi ржо minx оытА.тр йхызрйг/ Uri mri лдкюу
зт!аокзд11кд lubdori ЦхтлотЛтд! окп одзюЛр ппх 3iiaoxroigiK3 пл гзкздк ‘лаодХ
-пдпк Зрдг) sriaooliinrinio пл тох пхглздЫ ni nian sriaoolidliinig пл nij
•ОТ1ПХ О1К пууп
iniAaoAdaoirilig лпю ттлосЬздюшпх ‘ninrilig пкодк пю тохлаоЛдаопИхд аок
пхглздЦг) ш 11919 ‘лапптИхд SogliyK олзт!опдзкзк зо у ло1 13о1поко1ла>Лп1д пл
13Л1пХа1зк ЛЗ9 Santo птоко li riqoaof aoi aoQpgiri 51п пздт1лх1д1лзх li толр liiay
дхтлздЫ плз 1зЛпдпк аок lidtodio nni nriLig здпх зо ЗшлоЛзутд ‘оглтЛтд lii
9КП aiinx прХтою ni 0^9 ndiso liio зт!аоюпЛдз5зкз пл зт!поаодокт1 ng 1013, 7
шз 1 хоукт! плз зо q up inx 0 soo ni piOKoriiolidX аок ‘ашрхпдпк (/_) lioaroi^ li
13ла>дзлпсЬ Sanro ‘lidbodio I193KIK3 mri 3TiaoolnoKoriiolidX пл pxdn toxiA39liTi олзг!
-О)лог1зг1 плз nij плодХ91ап1 liyliio lidliyxgyo niri sri зг1ао4гзуао9 пл sip (ssm?p
LirbioynKn Li тох 1злпх Запю) nrilig здпх зо дхглздШ плз зг1аоЛпдпк пл З113
:5з11и9тла9 099 ‘Saiidax ‘лаоХдпка ду q лою у ло1 дкп зг)пк пл nij
пладлгхгкз гзоагупЛзт!
пл рдокг! лзд орХюю плзлпх ‘плодХдшт ‘тох	aoi зг) тох 1злтодг1ао
0191 oi ‘Sgxidisririao толр у о лпд lixliri ni inx nidisririao I11 лаодкюгд аок
‘AantoiinTiliXonisri (лаплотЛоддо U) лаптдплог! liolidX li толгз ng mliiaXm л1ио
Snrl SgrioidoidsK Золдг) о ndsiaXni лдтлад oi 009 тох nxiAsgliri пдзюоогдзк
лдюлад oi 009 лаодХпдпк пл толр nrilig оагодк ох ( лаип^оалтдогдт лап 1шзд
-аз л!11 тЛ ‘5оуз1 010 inisjnisdX ла»зг1пла9 лакЬддюплп ла)лзт)о1ко1П1зг1 лап
Зододзг) р) SorlgidgAyn о толр пл гтзлтосЬ 5з1ап йкп lidsiaynx li тох ЗзЛпу
-упдпк ЗзлХзрдзк oik ауок лаоХдпкх ла)зт)пла9 лап ogogsri liio sriaodisdioiKS
пл sriaoasKoxo лзд ‘у о п‘д (кп nxiAsgliri пдзюотдзк зт)	пхплгк
aoiorig aoi grioiAoyoKa aoi nisrl ‘119 liXdn л1п дкп зг!аок пл гзкздк п©

Nf5WUOIVI Nf51 SOINZIJOVOUA О £'L

лотлзт1А»хзхлао »г1оал»т§ ототрплог! ох толтз z ‘ЗЬтукхо Sltdsxasg SUx птзХтохо
3 — и птохазузх »х oirn тохтзузхоют х ox :oiorioSnir толтз nrilxg одзхаз^ од
Uylxxo Uxrodir 11лзг1аохто1гп лкх тзХз
lfjy Х^Л о тох тздгодкухо'уо тзХз nrilig oxrodir ox тохд, ’(g) лкхо тохлоЗтлпсЬттз
aoir пхтлзркг! nx тз^»0тз1г лз§ ‘одзхохтхлпОко oi ‘тох о<Ьтгзл» Зоттзузх ио
отзХтохо ог тзлкгЬп iy] 5»х»лт1г о ‘птлгоЛ пдзхотдп гол» лкхо [ аог отЛоу
	‘ *	*	*	*	Q	" *	*	*	*	о *	*	*	*	0 . *	*	*	*	Ир_	= lHVx-fl	\-Л =	О' 0 Н	0 0 -0 0 0 0 1-	= 'л
:i/7 пхплш ‘Зетзопхоптр Saodliyir ‘Золз птлгоЛ пт^зр гохпх лкхо тохзоопхлз oxan jA тпх [ — и Згоз^пх тплтз // xapjoqasnojj Эпхплтк о юдотх тбХзр^				
 0 ' 0 _j0-_	Г( = ХН ‘ (	)1 = Z ‘ ) и	- iuv- Т£О . [го.	= X
.отлт/.тд hi giro mirm viaXioio \ — uvi смог!
лаоХзхзтМао ng Зотизла^ ’(Siaquassapj тзлзЛ лз к) koroxirrdsir Uxidisririao кхо
ЗотлгоЛптдтдх толтз пл тзкзОк flVi-fl 5рхтузх о тхо axonrioriag тпх у аох кукхо
kxrodir лкх зт1 зОплтхз^ -ЗотозОп ngkroirorliokOX пл тздохсг! кхап пхкхохапх н
(г)
(г» = х^х 1x919) (zo + х) — х =
(ZD + х) t(zd + х)	,||а||
--------------------~(Z£> + х)~ Х =	----Х= хи
Xj-(zx> + x)z	х^аа^
U$i3goity
(О ‘ • • • ‘о ‘х>-) = zo- = хи 3XOJ, -zd + х = а
тох ||ж|| = £> ‘(о‘ '' 1О‘т) и^ихо-юткталпк? ох толтз z зхо гоход, ад
тохкхохапх 1слзт1окз л1хх pirn тпхпхдп^з
аох птХахттгз U тпх Ззхплтк 5аох 5аоха» 5пхлгото1гог1то1(.дХ пхтлзрЫ тзЛпопк
пл лпхк 1эр[оцэ8по]-[ аох Зокох^ '5ототрплот1о0до тпх SpAnuTridg тпх тплтз
Hnni~i 5юх»лт1г 5оХтохотхлп о ‘иогоххгтдзк ихтрпАтт! lix^ \-Н = хН = Н 1DXH,
ZHNVNim НМ lOMSIJOVOUA
9£t7

7.3 О YITOAOriSMOS TQN IAIOTIMQN
437
idicov diaoraoecov xai о H2 eivai n - 2 eni n - 2. 'Oxav rono0exr]0ei oe evav U2,
napayei xovg
0
0
0
.0
0
1
0
0
0
0 0 0-
0 0 0
H
= U^, U^(U~xAUx)U2 =
0
0
.0
0
0
TeXog, о U2 xaxxonoiei xt,v xpixt] охг]Хт] xai yia evav nivaxa 5 eni 5 ёхосце
enixvxei xi) цорсрт) Hessenberg. Ev yevei, о U eivai xo yivo^vo tojv mvdxoov
U\U2 -  - Un-2, xai о apiOjidg xoov npa^eoov, nov anaixovvxai yia xov ипокоуюцд
xov, eivai xrjg xa^ecog xov n\
ПАРААЕ1ГМА
TonoOexcbvxag xov H цёоа oxov U ё/оице xo xpidiayoovio апохёХеоца:
Г1 ° ° 1
(7= 0 0 -1 ,
[О -1 oj
U~XAU = [-1 01 1].
О U~XAU eivai evag nivaxag exoipiog v’ anoxakvipei xig ibioxt|ieg xov —о akyd-
р10цод QR eivai exoijiog va i;exivr|oei- nagexxkivovfie оцсод, npog oxiyp/qv, yia
va enioT)|idvov|xe dvo aXXeg есрарцоуёд avxcov xcov p.exaoxr])iaxiopi(bv Householder.
I. H jtaoayovTo^oiriari A = QR. Avxr] rjxav ovvxo^oypaipia xr]g diadixaoiag
Gram-Schmidt xov KeipaXaiov 3- xo'jpa цпоре! va exxeXeoOei anXovoxepa xai
це цеуакбхерт] evoxaOeia. 0vp]0eixe oxi о R npenei va eivai avco xgiyiovixog.
Ttopa nia, dev xeetd^exai va exovp,e eni nXeov цт] pj&evixr] diaycbvio xaxco
and xr]v xvpia, aipov dev 0a vnaQxovv U т| H va nokXanXaoid^ovv
and xa de^ia (dncog oxov f7-1A{7) xai va x«^ovv xa pjdevixa nov r|dr]
exovv dr)p.iovQYT]0ei. 'Exoi xo npcoxo бгща oxt]v xaxaoxevr) xov Q eivai va
dovA.ETpov|ie це oZoxXt)qt] xt]v прсохт] охт]Хт) xov A:
 an
a2i
 O-nl
Г
0
.0.
no TT т ~VVT
v =x + 1И1*> я1=/-2^р-

’ЮХТЛЗдЫ
лаоАюдюк japjoqasnojj lOTioiimHiXoniari то ютоко л1п зт! nilnaXm л1п туюк
тзлтдзлюсЬ Sogoggri li отлз ‘srioogmli^ aoir labdori ютлотЛютдтд It толтз Inay
Г*	*	0	ol	Г*	*	0	ol
0	*	*	0	= (z)H(yHVlHzH	*	*	*	0	=
LO	0	*	Lo	0	*	*J
:iap[oqasnoi4 5a.OTioiwriliXom.3Ti 5аотшазуз1 oag зт1 зг1аолд)д11ухоуо
[*	*	*	01	Г*	*	*	ol
*	*	*	0 =	(оЯУ’Я	*	*	*	0	= VlH - V
o	o	*	L*	*	*	*1
:5li§3 5ar ‘SliririndA SlnipdK 5ln 5oxliri nwx юхтлздЫ тзЛюдюк юд
aoir (l)y люлз зт! ют^зд m pirn зг)аооютоюукюууок юл тюлтз nrilig олзгкэкз
oj^ -gAligo лох дкю minx лзд1п1 тюлтз х'д li тюх у aoi liyliio 1пд>дк It тюлтз
x oi :а>люкюдюк уф aoi oiao tri отдт oi 5срдтдхю тюлтз nrilig oimdir оу
•Sligmoas юхпЫдтдю тюлтз (паю ютоюЛдзодк Lt ‘тотлотЛоддо тюлтз jj 5зхюлтк
то кдтзкз 'отлсрЛютд (паю 91ГЮ а)лю1г 5аюзт1ю л1п тюх ютдах л1п дкю 5о1хз
‘ао1лю1г юхтлзд1п1 зг! ‘юхюамг оглгаХшргр люлз лаоАюдюк ‘таю йтЛ плу
ло1 лаоАюдюк юл 5ао1аю (кю зг!аолзг1тдзк юл sriaodoirri лзд ‘лаолау oi юл
5тдтХ ‘лсртОютдт SowriliygodK aoi lioay Ln олдг! dao^pitioiaodir japjoqsnojy
ToriorwriliXomsri то aocby 'yjy nm лдуНпотдт лап Ss^rd 5зхтлатЛюд131
то тюлтз (5зт1и SsdrOoTigrgr) 5aoi ютзХтою m тюх ‘лотзоююютд у ло1 зт<
лготдт ‘5юхюлт1г 5отл<оЛютд тюлтз х о л.отлотЛюд131 лотютХюуз Sowrlliygodir
sioirligaoToiro х lioay liionysg lii тзлтд liomromg li liiao oirodi oroir sri
sriaog юд югИидюбюц 013 -3= z&yj£) itmrin лтсЬдрг/очу! UoToicomp ц "jj
•jpTuiqag-iuBio
ютоюхтдютд lii тзлсрОйухоуо oiay ’олзОолтЛ oi юхпауюлю тздотЛоуока юл
3ioir SrdmX ‘licbdori 11лзт111ТО1го1лоЛю0ю1г л1и 1иаю (о тзЛюОЛтюх юл rsdoirri
aoir ^~иН ‘ ’ ' СН[Н = & олзОолтЛ юлз тюлтз 5отю1азуз1 о ‘таю tiA. плу -q
59хтлотЛтО1 (nwx 5юлз тюлтз юл nwrilig Ю1 тзсЬюдЛтюх aoir Ьюхюлш о Srorig
SidcoX ‘j£ ЗдхтлсоЛтд! солю 5юлз тюлтз лапютИлд у — и лап юОозузюкю о^
(•5lu 11Люууюдю1г 1лЛ0ю опт оЛту mri тюлтз mlngxTwriAnSir л1по тюх ssnng
(иЬтоушгю л1п зт! ayoir тз^ютоО SorigrogAyrj 5оуд q) юЛОдо лт лд1аю ,мю
апюх лэдЫ тюлтз aoir у[НгН ЛО1 5ю1лоЛюОю1г ‘апюх тюх дЛкдо лт 91ГЮ
‘У1Я ао1 Hliio Одзкгзд In зг) тзазуаод milig одзшзд о^ у aoi liyliio
Lnipdir U тюлтз тюх отлсрЛютд ютдах л1п дкю апюх юхтлздЫ тзХз ‘г||ж||-
зт) токаоот :зт1аоузд In 5<рдтдхю 5ажд тюлтз yiy aoi liyliio 1пдтдк н
Za^VNIU HlN lOWZIJOVOUA
8£t

•Оу = fly fl aoirai aoi гоозг! у пу.плуи oxiXd» Зсоухлз лох
зг! тохзздлао "у о 3101 ‘Udxtori »1лтЛпт§1д1 зо лпокЛй^о aoir jap|oipsn<>[_[ 5зхюл11г sri »io»Tiioi3odir
ЮЮ1ГИХ sSolura лра yg) Sorioido/.vn о рлг/.зэ oioiro лох зт1 пхплш лох is^iyogriao °у О *
э О О'
* * О
X >> э зтг1
= V
* * * *
лох зт! тз^птот! Чу 5пхплтк о ‘аот!дтбрЛуп
аолзт!откохпхзт! лох nxnriUg пбзоозх-птбх окп пхзр\ итйхотдт ибзхрбхтт! lii 5обк
Uoryxlao Uxigax ‘иогохктбзк (ххтбхзтМао liio ‘пхотурт! inx UmyxAao ихтлгоЛпбхзх
тзхкахобк пл толтз 51лЛоуткз 5Ux 51ххап птзкзлао U ‘Sroglua^ Ооткохпхзт!
Ux тЛ иЛоуткз SUyirboriUg отк тох ибзходоукп It толтз отзХтохо ох лрктоу
рхау •1лг!тхотрт niri тз^тЛЛзообк аок охтбк ох тплтз —5тлтЛ 5рт^зд тхпх Slix
рхап- Чу аох отзХтохо (и ‘и) ох тхр тплтз и^рбк лйхо тзлтодт!ао аок рхау
•i+v =	+
:Чу аох 5отог!о тплтз 1+^у о тхр ох окп тпхтзЛоуотпхтд рхау
(9)	-рю +	= 1+чу лткрхпх ТОХ ЧцЧ£) = 1Чк> ~ '1V
охо тздиудпхзт! пл 5тозт!п тзкзбк ng (g) nrilig ох зхрх ‘Ытхотдт mri
зо пхлох тплтз ч& 5рт!дтбп о лпд Зот/ртбдХуп Soairio'iiunniirl q (п
•U6oXU6A ауок ‘nrilig здпх зо ‘тплтз пд
ЦоктокохлоЛпОпк U тхр зттаоотупсЬоп^з пл тзкзбк (д тох 5liXdn 5Ux 5тзоткохпхзг1
зг!ао<Нздхткз пл тзкзбц (п :5тзо1покотзузх одд тпхло^птзбХ рхтхзбто^з зтктолрх
лох пл mj -Spynx ауок тХр пууп 5рупх толтз 5от!дтбрЛуп о ксЬбот! Ux Uxan
yOy пхплтк аохтХбп аох 5зт!тхотдт 5тх зт! тох лаохкткт!ао аок
‘аох 5зт!тхотдт 5тх 5обк лаолтзх аох птзХтохо птлотЛтд пх 5откзлао тох пхплтк
рхтлотЛтбх лплз зо тзлтзх ^у о Ьзхкдлао ЗзхтлзЛ пхзхбп окп тхпх тзлтухЛао
аок ‘у£> от/р?дрХуп odyrioruoiToisri Uri лох тзсЬрбЛтбзк Uxan птопхтдптд н
(р)	-ч&Чц = 1+Чу лткрхпх тох чич^)=чу
:лтт!тхотдт лтх 1гуодпхзт! 5тбтХ тпхз^тХзлао птопхтдптд U тох ‘ >у =	°£))
= °^)°у,2^) ‘аохтХбп аох 5отот!р ‘5пхплтк 5озл 5плз тплтз 5рхау '02?°у^ = 1у
:5зхлоЛпбпк 5аох тзоопхптдплп тох °у°£) зо тзтокохлоЛпбпк отоко лох ‘<>у
пхплтк лох окп плтхзе -5рукп 5птзЛпт! ртд 5m лрдзХо толтз 5от!дтбрЛуп Q
5ori0i5oXyv о
6£t
NC5JNI1OIVI NOl 3OWZIJOVOUA О i'L

440
YnOAOflSMOI ME niNAKES
To Aj nov олоХоу!оаце, то беубцаоте oav цю noXv хаХт] лрооёууюг] tov
лрауцапхоё А]. Па va 6pei tt]v елоцеат] 1бют1цг], о аХубрсбцод QR ovvEyi^si
це tov цсхрбтеро nivaxa (3 ел1 3, ото ларабво/ца), oTrjv avco арютера ycovia.
Та vno tt]v 6iaycbvio oroiyeia tov 0a eyovv |xlxqvvei xancog, Xoyco tcov npcoTcov
бгщатоА tov QR xai 6vo-Tpia ахбцт] бгщата enagxovv yia va 6pe0ei r] X2. Avro
6ivei цю оооттщатсхт) цёОобо evpeor]g oXcov tcov iSlotijicov. Прауцатс, tj ревобод
QR £%ei ijdq negiypacjpei nXrJpcog. Avto nov ano^evet eivai va EnavaxTY]oov|ie
та idiodiavvcj|4aTa -nov eivai eva xai jiovaSixo бтща avriorpocprig dvva|cr]g-
xai va урцо1цоло1Г]ОоицЕ та jrqSevixa nov бгщюоруг]ое о Householder.
б) О охолбд tcov лролараохеоаот1хсоу цвтаоугщатюцсЬу Householder, nov
cpEQVow tov Aq oe цорсрг) Tpibiaycbvia r| Hessenberg, r|Tav va xavovv xaOe бтща
tov QR no'Kv урт]уоро. Kavovixa, r] 6ia6cxaoia Gram-Schmidt (nov eivai о QR)
0a anaiTovoe O(n3) npa^Eig, evcb yia evav nivaxa Hessenberg avro yiverai
O(n2) xai yia evav Tpibiaycbvio O(n). Xcopig avrr| тг] беХт1соот|, о аХубр10цод 0а
r|Tav аларабехта арубд xai ecp’ ooov xa0e veog nivaxag Ak dev eivai naXi oe
цорсрг] Hessenberg r] rpibiaycovia, т] 6еХт1соот] 0a есрарцо^бтау piovo ото лрсото
бтща.
EvTvycbg avro 6ev ovpi6aivei. Tia va берете oti о Ai eyei vr)v i6ia цорсрг] це
tov Ao 6eire tt]v оуёоц
Qo = A0Rq 1 =
0
.0
* * *'
* * *
* * *
0 * *.
0 * * *
о 0 * *
.0 0 0 *.
MnopeiTe evxoXa va бюлютсооете oti avrog о лоХХалХаоюоцбд acpr|vei tov Qo
це та i6ia Tpia цт]беУ1ха, oncog xai otov Ao. О 1бюд о Qo eyei цорсрт] Hessenberg.
Karoniv о Ai xaTaoxeva^eTai ava6iaTaooovTag Tovg napayovreg, олбте
Ai = RoQo =
0 *
0 0
.0 0
0 * * *
.0 0**.
0
Ta i6ia Tpia ^6evixa E^pavi^ovrai xai о’ аотб to yivo^vo. 'Orav о Ao
eivai nivanac, Hessenberg, tote to idio ov)i6aivEi xai fee tov A,. H аоццетр1ХГ|
nepinTioor] eivai ахбцг] хаХотерт], 6iotl о A] = A0Qo ларацёуе1 опццетр1хбд:
- Qi(Qo 1 )т - Qo 1 A)<?o - Ai.
Ano tov ооХХоуюцб nov цбХ1д оХохХт|рсооаце npoxvnrei oti о A, eivai enioT]g
Hessenberg. Елегбг) оцсод eivai ravroypova ооццетр1хбд xai Hessenberg, о A,
eivai TQidiaywvioi;. О i6iog опХХоуюцбд есрарцб^ета1 xai yia xa0e evav ano
Tovg nivaxeg A2, A3,..., олбте хаве 6г]ца tov QR ^exiva fie evav TQidiaywvio
nivaxa.

(ti) 5oi
-юткжлюзрозрз ooyyn aoi оюпукпууок плз ndcoi imp °°n nrioaAniq oxmSo од
•On Jn/0nyJ?7l
= o 3ii ‘0n[_(/o — y) = in aorigidoAyn аолзг1озко1шзг1 aoi Soinrilig 5олз (и)
4n\z 1	= 4n
лстзИрлад лохЬобюзхлп aopogari SUi Awiprilig mdioi (i)
nimiosysioxn ni зшлздхАао [] = On Itolirliixa lixiXdn л1и тох у oiqi ло1 mj Z'i'L
‘.°°n пНоалпзр охпздо 01
зплзз 010ц £ = ZX тох I = iy Sariiioipi зт1 ‘	~ j = у пхплш ло1 mA [	= n
UoUiiiixs lixiXdn лкю ‘Чпу = l+2/n лотзт)пла§ лом. ogogsri lii SsSod» 5тзд1 siooridntbq Г£‘£
zrasHxzv
тозсЬюдАозудзд Uio зтзсЬюдАздзк tox
•  ‘хгу ‘xy ‘x ‘лорСгд юздаоуохю лкх зззокозлотЛоддо Uiay -5зхюлзк Заозюдю
5аоуюАзг1 mA -sozaueq aoi ogogati Ui- oqogari Urioxn niri зг1аодзсЬюлу
•aoriocAoy аохзлог1кюзкз aoi 5oorigrdoAyn Suoiconrlkooi^»
озк 5aoi окю люлз mA —SndgaAyy SUxiririndj SUxuUrigiSn 5Ui юзудзд зо юдзх
-оооздзк ayoir Urioxn лаоХдюка— srlaoir юл зг<юоаодокг) юд юоо толчз piay
(8)
•°У KdZ£d ’ ’ • l-uud = °¥
:0j£ 5ю1лоАюдю1г 5ozwoAidi солю о толзз
юг1озузю1сю охтузх oi ‘5зсЬод1о ЬззрспззХтою 5зто131 £ — и 91ГЮ юхзр^ '°yl^dZid
aoi l£) 013X1010 oi тохз^злзркг! юл зюсо ‘oirodi oioTipdmr зт! тохзАзушз
U ЛИГ91ЮХ -тохз^злзрЫ юл 5ог1оюарлао о 5охаю зюот ‘5отд1дхю тохз д юзлотЛ Ui
зткоАзутр тох ^soo izn + puis и» толзз олзт1олзЛ 01 охаю (о (д ‘^) оззХзою од
(А)
’* * О О'
* * * g
*	*	*	IZp
. * * * I In.
I
I
p SOO p U1S
P UTS — p SOO.
= °yIZcf
U зюлзз Uicndir
H ’“SUcboSio SUpsirws,, 5юзз1 отозз1 озлотЛюзр Ui тгю otwx юззХзою Ю1 юлз-юлз
зткоозлздкз'! юл одзюаоукю зюлзз юуую ‘jopjoqosnoH лох зуюзг зг1аоо11зо1гоз1зоидХ
юл siiaodoirpq — ^у лох oiro ‘юхкюхзхю^Аюдг лкю ‘к ‘^у здюх О1гю
зюх 5aoi зюх 5отдюх) Оу охзХдю лох окю Оу зюх Saoi ззАюбюк аок ‘кокзок
-о1лоЛюдюк U юзрз U зюлзз ‘STiaookAk^a юл ззлзт! аок ‘0331IU0 озююзуз! од
NC5WUOIVI NC51 ZOWZIJOVOLIA О £ 4

442
YFIOAOFIXMOI ME niNAKEZ
7.3.3 Aei^xe oxi yia 6vo Siacpogerixa Siavuopara tov iSlov цг|хоод, ||ж|| = ||y||, r) enikoyr]
v = x — у odryyei o’ evav цЕтаохтщатюцб Householder, yia xov onoio Hx = у xai
Hy = x.
7.3.4 Ynokoyioxe xa a = ||ж||, v = x + az xai xov nivaxa Housholder H, yia xa
xai z= [J],
EnakT]0evoxe oxi Hx = —az.
7.3.5 Xor)cigonoicovxag ttjv Aozrjar] 7.3.4, 6geixe xov TQiSiaycbvio nivaxa	nov
nQoxvnxei an’ xov
i!q
L4 0 oj
7.3.6 Eexivcbvxag an’ xov Д) = [	2 ] > &e^TE 6™ 0 ИЛ цетатолюц^од акубдШцод
Г 14 -31
QR naoayei тт] щхдх] jiovo 6ekxia>or) Aj = (1/5) I	.
7.3.7 Exxekeore sva |iovadixo бгща xov QR otov
_ Г cos в sin в 1
A " [ sin 8	0 J ’
це тт] цетатбтаг) a = <122 —nov 0’ avxr| xr)v neginxwar] cnpaivei /.ojoig детатотсп],
atpov «22 = 0- Aeiijxe oxi та ехтод diaywviov oroixeia p.eTa6d/,kovxai ano sin в oe
— sin3 в, nov sivai цю neQinxcoor] xv6ixr)<; avyxharjt;.
7.3.8 Aei^xe oxi о xgiSiaywviog A =	] (level ацетабк.т]тод oe xa0s 6r||ia xov aXyooiO-
p.ov QR xai ovvencog апотеке! eva ano xa (onavia) avTinaoadeiygaxa ovyxAiarjg.
Avxo 6iog0ujvexai eioayayovxag (iia av0aigexr| [летатбпют].
7.3.9 Aei^xe це £паусоух|, oxi цетатотот], (QoQl  • • Qfc)(-Rfc   • l?i-Ro) eivai ахдпбсод
T] naoayovxonoir|ar| QR xov Ak+l. Avxr| r] xavriaq avvdeei xr]v QR це тт] цё0о6о xwv
Svvo^eajv xai oSriyei oe ща е^г)ут]от] тт]д ovyxkioqg xr|g. Eav | Ai | > | Аг| >  •  > |АП|,
тбте oi гбюпцёд avxeg 0а e^pavi^ovxai aiya-oiya, oe <p0ivovoa diaxa^r], хата цх|ход
тт]д xvoiag Siaycuviov xov A^.


(£)
aoi »лих» Uxnntionib лпо кюотлЛ толр aoir ‘|у| luunAsri ki oirn minidn^s
5ki ЗкорхЛао Sorigad о I > |у| лкх рто1голх>Х1 J,x^.g ао1 V krinmgi здрх
лшо ‘3191 олот! тох 3101 1злщхЛао (x) Sogogari кхшгк^плтгз и dL
’О <— Ъ лшо ‘Smgidxn 3101 x <— 'ix :5тздп1оаз
5ki nrikygodir 01 зт! 5g>gidxn oigi 01 толр SkoivxAao 5ki nrikyggdir од
°9j/(l£1_S') = nrfyncbo озл 01 гзЛпдтг nimikg 01г» niari тох <P пНоалтд
oxiXdn 01 зт! пл1хз§ aoir ‘лотдосЬтд koaioi^s mri Smcjidxn толр Uiay
(г)	•ъ1£=1+Ъ5-
Ax - x= -7э
ninriyntbo ni олог! тзлпдгЬэтрдзк aoir Soirai 5плз толгз nriosysioirn 01 ‘q + xj^
= xg komoi§3 kxnnriAndir л1п oirn (x) nrikg охшгкуплтгз 01 sriaoosdmdin
лпд ~x Uoay kxnnriAndir лкю тзлрхЛао пл isirsdir ng ^x nigaoyoxn ц 4
•5ох1лотЛ1д1 к 5о1ла>Лтд
толр пл ’Х’^ pdoirj^ '5пхпл11г ([5ог1ккзб1оплп тох) 5o'/irn толгз пл isirsdir
g о Здпгзла^ тоуохаз гшз^/Хоуогга пл isirsdir 1+^т т1оалтд озл од д
:51зоздо1гдод1г ЗзхпздосЬтд оад рюколпхт пл nirsdir пд komronig 5кХап1гз nni
5(01лпц -купх толр пд 5ододзг1 к kian по кокаЛЛз niririnx зг!аоХз лзд ‘пхюаф
(X)	-д + Чх£= wxg
nrikg дхшгкуплтгз 01 sriaookdisXnrs пл sriaodoirri 5от1гзла^ -q + xj^= xg
лк1 зт! кт<пладот толгз q = ху косоо^з к 3101 ‘j; - g = у лпд -у nxnaiir
лох 5»1лю1£отд Sgiyirn ‘ододзг! moiei mil зт1аооколпгз пл оуохаз толтз
•кокуаод mnx inis^iinriQsi пл aoir nionxigmg nni ^х ктЛЛзообк клзг)аоЛкоб1г
лк1 oirn ‘\+:ix ктЛЛзоодк клз^отпузд mri лаоЛпбтг тох ох кокИпхз kxiXSn mri
oirn лаолгхз^ aoir Saogogsri sriaodindAidsir пл толгз логгюу 5nrl SoXoi^ -sioirn
зо гзазткокдХ лзд ‘sriaookinrinio пл лпготх тох ЗксЬтоупют 5ki олог1 Sodiri
плз зг!аолпх пл 01 <плз- ndsiaXni гшз^пазхоптх aoir ‘rr aoi ктЛЛзообш
nni зт!аоок1к^плп пл тзютздХ пл pdoirri ‘опопбз! толр с/£п 01 лпз ‘nidsri
кууп лк1 oiry -х коа^ кю isokinrinio ng ssn^g ktbioynirn к ‘mdo nxiAoy
зо толр Sgian Sorigidn о лооо (сЬз тох ‘лапп^кд origidn олзт1опдз1гз1г oirn
П1здо -ogogsri кхшгкуплтгз mri Sankiindnirn sionrio^msdX лзд ‘q = xy 01
sriaooay пл тЛ ‘кЛоупгз kyyn srinXp лзд aoiro Ssrinmgi 5n 3ri коздплп з^
q = ху Ol VIJ IOVO0 4L\I S3SLLIIHVVNVna  P‘L
q = xy Ol VIJ IOVO03W 3HNLLUHVVNVLIH Г7.

п<Ьюб1ою1юх юл пбокт! oi тех ‘юооптлао 5одк юооптлао ^x aoi lung lii
плдток oi 1013, -Slii orimAoyoKa Л01 niarl 5соозг1ю ‘1+^ж 5о1юг1оалт§ аозл
aoi юоотюплао здюх arlamoKorliolidX юл sriaaoiXdo юл толп ‘Sliriluri SlusriaoA
-1юдк 5ln ooiri 01ппюкю аок ‘юз§т lixioacb oik ауок тдо aoi SpiioiAoyoica
о isffmdlifxoxo aoip SidXsti 'ix aoi 5зоюю1лао 5u 5зур siiaoindx юл 1зню1сю
Uiay -iqooBf aoi 1иН1г/юлюкз л1п зт! oiyoxoaq Цхпхюдк ауок mri arlaojjKoi
-зт1плю ‘у юхюлш одзку/юАзп люлз зг!ао0ою1лю(Ь юл зт1аоо11дюкоодк люз
•LidoAlidA толп LimyxAao 11 ‘охпазксооодкплю
толп юл mA odxiri ауок толп аок ‘ютШздюсЭюк 01 О1аю -(оюаю то1зл-]А
oicbluU 0x19009 liriqxo юлз) ooiri 010 То1злаюзт1 miyocbo 01 ЮТИ19 здюх зо по
плтатИю аок ‘z/щ Ssrinmqi пХз J,i-g 5юхюлш 5ю1оют11ю 511хпотою(Ьокю о
.\г/^]+ "Ы [о fl = l+"M u tz9 + ^=l+W
толп q + *х£ = Mxg iqooBf ЮГН19 01 lm тох а толп x aoi 5зоаптлао то люз
'[? i]’-1'-5 '[? P z] = s ‘[t- 7H
(niO )Vf) I VWJIHVVJVn
Ъоауюлю UxnlirlgidD л1п mA
lirhoidx толп aoi LiAoyiKS li тох Здхиоюазхоюдюиоди 51ю]кз то1зЛзу g 5юхюлш о
(ЯО$ 11отдюуюХдзка UxiXoqoig) тох у лап 5ог1оюа§лао = g •£
(pppg-ssnro лап SoqogsTi) у aoi 5одзт1 oxwoAidi = g '4
(iqooBf aoi Soqogsri) у aoi 5одзг1 owoAtoq = g 3
:5з11п91юла9
5i3di sriao^ois^s tox g aoi ЬЛоркз Цукю юп! толп юл пдокг! 511Хапкз ооок
oi oiatnriLtooi^x) толщ '5Цоюкою19 5ln odilavix охпХдю 01 ЛЮ111 аок ют)Людк
‘юуохоа§ то13(Ьзд1оплю юл пдокт) у = g о юууу 5од1зкю толп (d 8oj — люо
тотз^пдо 5а>01ллао аок) 51ютухЛао Sorigad о тох лз§1о1 толп юлпхю йхпюг1оюсЬ
li тох aoi 5зт1по1§1 то ‘лз§1п1 толп x^g 5о1юг1ую<Ьо Ьюхюлш о UoanKidsK
л1п 1паю "q = 1ху лю11л юд ЗкаНСг/юлюкз 5ln milig ох1§юлот< тох окодк 01
аоко ‘д = j; тох у = g зг1 (штухЛао 1юзт1ю sriaoXaisK юл зт1юоаодокт< юд одхю
юлз oij -то1лоаодхЛао юл пдокт! 1иН1суюлюкз л1п mA 5по1птокю oaq iq
•лз§1Ы ою пл-iyxAao 01 отоко ло1 зт! origad
Л01 попдодюх юд тох nolundxiKS юд юхтуз! ру| лап UiDiAsri U ‘5етлюсЬодц
(р)	-их^хиэ +   • + 1х^э = Ъ
толп il9i£l_g =	51п lioay LixiKai mri по 3ingliria@
sa^vNiu hw iomsijovoua

7.4 EIIANAAHnTIKES ME0OAOI ПА TO Ax = Ъ
445
xavxoxpova це xi] drmiovpyia xov ж&+1. H npibxr] ovvioxuboa naga^evei r] idia це
XT]V ЛрОТ]уОХ1ЦеУТ],
«11 (Zl)k+1 = (-012^2 - 013^3-----------a\nXn)k + &1-
To eixo^evo бтща dovkevei ацёоюд це avxi] xi] vea Х1Ц1] xou Ху,
а22(хг)к+1 = -a2i(;ri)k+i + (-агз^з - • • • - а2пхп)к + &2-
Kai т] xeXevxaia e^ioiooi] oxo ejravakrpxixd бтща 0a уртрсцолосе! anoxkeioxixa
xig veeg xqieg,
flnn(2'n)fc+l = ( Onl^l — O‘n2X2 —   • — Ипп — 1Хп — 1Ук+А + Ьп.
Avxi] ovo(ia^exai рёводод to>v Gauss-Seidel, av xai xaxa xa cpaivojieva r|xav
ayviooxi] oxov Gauss evuo о Seidel dev ipaivexai va xi] ovvioxovoe. Eivai ща
nepiepyi] loxopia, dioxi г] цёбобод dev eivai хахг]. Simeiiboxe dxi oxav dXoi oi
ogot oxo xk+l p.exaxivr]0ouv oxrjv apioxepi] ntXevpd, о nivaxat; S yiverai то хата)
TotywvLxo fieooq tov A. 2хт] depict nkevpa, о akkog nivaxag T xi]g 5idoTtaor]g,
eivai yvYjoiog aval xpiycovixog.
ПАРАДЕ1ГМА 2 (GAUSS-SEIDEL)
H-1
4-1 °]’ r = [o i]’ S"r = [o i]-
To бтща xrjg цеВббои Gauss-Seidel |iexa6aXXei xig owioxiboeg v^ xai oxig
2vfe+1 =wk + bx
2wk+\ =vk+\ + b2,
’i [-1 2] = [0 JK-1-6-
Oi idtoxijieg xov S~lT, nov eivai | xai 0, ё/ow naXi anoqiaoioxtxr] orjpiaoia. To
Офакца dtatpeixai oe xa0e бтща це xo 4, dpa xo eva 6r)p.a Gauss-Seidel
oao dvo бгщата Jacobi* EneiSr] xai 01 6vo цёОобо! anaixovv xov idio ар10цо
npa^ewv —хрг}О1цолоюице axpi6cbg хт] vea Х1цг| avxi xrjg nakaiag xai oxt]v
лрауцах1хохт]ха e^olxovoцovцe цугщт]- т] цёбобод Gauss-Seidel eivai xaXvxepT],
О xavovag airrog ur/i)!4 oe лоЛЛЁд ЕсраоцоуЕ^, av xai Eivai Svvaxov va xaTaoxsvaoSovv
Gauss-Seidel ovyxXivEi av xai ^idvo av о A sivai 0ETixa ogionsvog.

+ у z/G” - iW = Г (^ - i)z о 1 [г т~] = т
[ z/^	J [ m (rr’-i)^JI_Lo z J 1
о толр ‘SlimyxAao
piigad aoi лао^рдодпх Sarinoiqi io аопоко aoi G\-S Sdxdaik SoiiioiQx о img,
q + 'Gg = i+4xg UcbSoTi liio 13<Ьздю1кз СиКкурлокз li срлз ‘ j, - g = у 5liooKopig
5lti j[ inx g io toiaoaiA 5зхолш loian oaq io lm oi зт1 sriaoosdimg лра
, ° , ] = ^х[г Н
L m (n- I)j] [о г J
licboori lii 1зХз hOS
5111 DTilig здрх ‘	j = у DXDAIIT Olpl aoi nij (jfOS) £ VKJI3VVd VU
•ADW^IASgllTi
ng SayaxAn 5iio lioniopdnir li inx mqi li злзт1здпм ng l+^x lioliTiiixs пзл li 3101
‘a? Ltoay lixuoTiAndir aIii зт! 1зозкт1ао da злтодзлао 'ix liolniiixs dt/dk li лра
•[?q+^(“x“?D-----гхгг»-)+1'4(1	-----ix i?»-)]a?+ *(?x)	= 1+^(?ж)??о
oi толр DilAisgpflnir oxntai плд 5111 piioiAoyoKa aoi pisri
Scoosrin ‘*x aoi прок aIii isoIuodidxuad da pdoKii 1'<t aoi nomioiAao пзл li
ррк тох 5(ркзла^ -SoxiacoAiOi сплр толр pi^sg did Soian inx 5oxiaotAiSi minx
толр pdsioidn mo Sdxdaik о ‘<n oi ркп 5anip П1111др§злу lapias-ssneg aIiio
otoik зт1ао±зд1ошз inx колаХрикз пзХдрка лзд ‘у = m mA up siolidlundon
(S)	-дт+Щ/уп-a(m-i)]= i^xfrm + cf]
aIii srigoioKoriiolidX ‘limyxAao lii зт1аолаХппкз da
mA ‘ndcoj^ '/]— = f inx g + Q = g toais ppias-ssnpr) SliomtopiQ 5U1 кАоупгз li
срлз ‘pi^sp liio fl~ rI~ = У ™x pdasyir lidsioido aIiio q = g 1зХз iqooEf Sopogsri
H ('H + G + 7 = V inz43 n^(oi isaXoi аок oian ‘DilupxiiDriAndir aIiio ‘idx
511<±»юупкп 5lii = у aIii 3ii плрх пл зюкп 1зХз лзр Ilian tiomropiq ц) у
aoi 5одзт< pxiAtnAidi <олр dioIiaA oi idx pxiAwAidi minx dioIiaA oi ‘oiatoAdiq oi
idai3 /2 1DX 7 ‘G n9 («юз ‘pxiiaynAD oik opogsri Ui 3riaodipdAid3K da dij
•fpX aoi UXoidsK mil зо imsxoidg рлХао отлз ‘з
oi рлдзкз^ лзр зюк nyyn ‘niiliygodK oi ркп inipido^p m aoi liAoywa Uiouysg
H (HOS) 1мм»д»у»Хдз1й1 UxiXogaig dtIoao oi зт! IiiootaA idais Sopogsri li у < m
mA срлз ‘ppias-sstiBC) aIii зг1аолд1пкплп^ у = m mj lioay liio ndsiaiAOx зт1рк
пл 3io(o ‘m НимодпупХдзкл li2.D3Y33.Aao лплз 3iiaoApAnoi3 da oxioath локтоу
iDAig -x Slioay 511хиот1Апдк 5lii pidsrl mpi aIii okd лаолзт!пдпк %x 5пзо1ААзоодк
io inx 5тло1олот1 iSAiyxAao Sogogsti liAprioigliAao Ii ‘pdluoan Uri SniAcnyiy^
^x — ,+^х jgpias-ssnpo liocogdoip lii ркп пдзк зг1аоо11дотХодк лрз ‘UdsiaXni
толр UoiyxAao li up (nioXai лоуурт!) sxligtbgynxDAD ‘iSsX oi 3ii AipiioiAoyoKa
acoi тлрдХ ni^ lidsiaynx Inipxn 3iiaoApx aIii da 5окрд1 DiDiypri пзХдркх
SHNVNIU aw iowxijovoua


to oi зг! modZoiaoi 1злр§ап
(/.)	'гг1гтУ= z(T-^ + Y)
11оюо1§з л-lii sri mis^ndcbxs lnan козрлао ц •(/] — J—),-<7
iqooBf пхплш aoxiXdn aoi rl Sarinoiqi 5n зг! mrj пхплш aoi у Ssrinoipi io
лаодзрлао пл лтк 1р1зух-пз§1 н 01 И1^ oirai oyirn лплз- Itoay lii sXisidsir
0S6T 01 ‘§unox aoi gxidoixnpip 01 inx bltDardnynXdsira 5ln 5ородзт! li pgnixsirs
пл тох рдХаигплп пл лтк milivggdir oiaidir 07 -коауплу kxiikrigidy л-^1°
пизпоохзз niri шз Snikwidkiondp 5пшордз1 5mri nidkisdro It s^dlnra ‘nxiAnri
лорзХо ‘пуохаз oooi тзлтА пл isdoirri коатузу nioisi mri 110 ЬДаупхплп ц
7,0‘0« z(fr/l)
SlioiyxAao origad Л01 pnir sonionyiap ‘nriAispndnir 01 oian (o ‘m aoi кАоушз
liioaio н I = m >/l = Y ispps-ssnug krin л!и зт) isgidxAao лп ’коатузд
кхпзото^з pysioirn aoir 7g ‘g = 1 - m ‘koiAAsoodir ninx ‘толгз bsrinoipi 5зо1
oap 10 Запгзла^ ’Z,0‘l « (S/1 - Z)^ = 'iy39ai гзлгр коаюг^з lnan kxuaiAndisi ц
(9)	- г = (T - '173M + (1 -	= zx + lY
1100)01^3 л1и oirn TOlS^ldoiQDOdir
co bodisrindnir lnan kionysg li wig, -(m7 aoi 5олХ1 oi) лагрХюю лаплагАтр
ло)1 mioiodgn 01 sri з1О1лп1г isiiriirriao ло)г11101§1 лои mioiodgn 01 11919 ‘пуохаз
ims^iAoyoira m aoi lnan Lirin н уюоао^тдо лй1 зг/ 1з^ю1дт1 юл Saoi длзг/длтА.
01 310m ioi3 7 — co тлр юл 131сзд1с oag лт mx lir/n li 3101 mx 33 oi тл1з
Ззг/iioigi oag ю ‘co оюиузд 01 mj -5aoi a^nisri лао^пюкуи 5sian bsrinoipi
io ‘m 01 1злп^ап Saignx тох тох g тол13 ppias-ssnEQ 5зг1по1§1 10 j = m
nij :511^з U ТОЛ13 aoir ^qiriiioipi лап ndodndsirriao л1п mA iioligoin niri Slioiirs
зг1аолотоц (-зл1ухзлао ng лз§ кгКкуплтгз It 3191ГО	> |?у| л1п г ni nyo mA
SniAoirsdnirs liri ‘оупАзг! ayoir лтк ng лтгИюгф лап олзг1ол1Л oj, y= я 01 pirn
ndsir 3ioir srinir лз§ iimA 1зЛ11^з liqli oiay) -„(т - l) = ^Jiap тол1з ng Saoi
олзт19л1Л 01 ‘Uooniridsir и шз и лкю ‘1013, -оглотЛтр Ln 9100 а)лп1г imsxoidg
о 119 ою 1П1зу1з<Ьо (j(co - х)гэр л1п isdstboiSAao 5пхплш Sodsiasg о 119 01 inx
‘о1лотЛт§ In 91ГП annx misxoidg 7 о 119 010 inisyistbo ,_(71эр л1п isdscboisAao
j_(7^) + (7) 5пхплш 5oia)dir о 119 07 :5пл9лпх 59Х1лзА 5плз толр 59iay
•г(<Т- l)= т71Эр= гу!у
5ашзла^
•г(т — noao^ido 1зХз 5od3ia3§ о rax (licbodioiiAn л1п nisri) p/j noao^ido
13X3 Soirodir о ‘т7 ло1 1зл19 олзг<9Л1Л 01 лтхшо лап ‘Ss^oAndnir 5аох1лтАю1
оар Saoi sriaoq лп тох— noao^ido л1п зт! iniaooi лотг1по191 лап олзИдлтА
07 'со оюиузд oi озаю 13(/1дуюхюлю юл тл1з ЗйотдюуюХдззса Ski оузгШо
ох1д1лзх о± •Iid3i9dxiri Л91плар 01 009 (aoi плпхп lixiimiontb Ln iipnylip) ^7
aoi lirinoipi lidsiaynAsri In 1злпх aoir клрхз толр m aoi liAoynrs Inonysg p
q = xy 01 vij iovoghw 33NI1lihvvnvlih vl

к тох 66 ‘О = V-i^soo ‘33/х = У 3ipx ‘oidisri nisxdn 5одзЛзг1 ‘\z 5отз^р1 toais
у о no roiog, nriAisgndmr олзгИйхзхЛао зг1 олрг! isgkrinxs пл ndoirri oiay
. V^uis + l =	4^ zS0J = _ Ул zS03 = ХЕШ
r/xruis-x z(?/jz.uis - x) (?/j£Uis-x)z
:(g) лкю
5п1лотю10пхплп imsxoidg ^OS 5ki lirinoigi kioiAsri к тох ци 3soa = “™rl toais
ng ppps-ssnrg 5ki lirinoigi kioiAsrl li пду -г/л son = ™ur7 толгз ng iqoouf aoi
lirinoigi kioiAsri li ‘gy/, kokxoy лк1 ninx ’(x + u)/x = у Amgriox AioxiXognig
koniopirn зт! koidgrimg зо гзХтодопло пл зхоот ‘юхз и шз и toais ng одотх
зюзролх Т 1КЗ Z л.»111 5pian 5пхплш о nmriAisgnSnu ni£ ‘лотпотЛтд
лотках AOTidx лотх Soxkri пхпх i-‘z‘l~ юрХюю зг1 ‘у лотбосЬтд пхплш лох
ItoOTiiridsK лкю ‘т 111здзсЬшз аок когопузд 1лх sriaociAoyoira пл sriaodoirpy
•SkorodnynXdsira кюзузьгао охопузд лох тЛ Sunox ао1 Soirai о толр Spiay
(8)	-X- -^= “шу тох
:'^э9т кЛоушз кдзхдупх
лкх тох 1з^1до0пх аок ЬоАлз^ отодхп ох толр plan ‘odsipdxiri лртлад ох ооо
у ох ззлолпх пл лпхк 5пг1 5оХрю о aocbn ‘Здшзлах д - т = у лох тох т лох
ктйх кдзхлупЛзг! кх тох Зкошз Згодпх ‘ХЕШг7 ‘iqoonf пхпх lirinoigi кдзхлупЛзг!
кх i3Aig кЛлз^ пх nian txrn обзхлупЛзг! ох 'т ох1дплог1 тох плз зг1ло§зушз
пл 131гздг стлз лотЛаз^ лотхпзбосЬтд Soglqxr плз тЛ тохзлпдг1п^плп1£з П0
ognori ох дхлп ‘пхплш оупЛзг! лплз тЛ ‘пр ою топзхЛз ndodroig kxignAori ц
/7
'(г?у_ТУ -х)г = Г7 ‘zV + ^-z=(T-^) + (T-^)
лкю пЛкдо oian ‘р/х = лохгр ‘(9)
лкю 5rogidxn 5otkq д — т зг) 5зо1 toais пл у Ss^iS оад 5п тох злпхз aoir ол1зхз
лтк т одз1аупх 01 тох пгШздпдтг z 1КЗ Z 01 komoi§3 kxnoidkixndnX
к ndmr toais лзд (д) Sunox ao1 korooi^s ц чздау кдк 13X3 oian nrikygpdir
01 SroXaiag -то1131О1гою1Хпуз пл у lirinoigi к этого ioi3 т 01 srlao^synig пл
зт1аоуз0 -одо0зг1 ki зг!аооаздз1аупх пл toais nrikygpdir лодзсЬтдлз ох
•SkoiyxAao
prigad aoi sriao^nionyxcig ‘ж aoi SisoiAAsoodxr 5зто1азуз1 5n 5п1лотюхгот11окдх
г?7 тох д толп у 5зХюю11лп то пр 1элХ1зд (/,) к тох лотхпзд-лотхпклдп кЛаз^
ninx TOiAO^iAndnis aoir ri 53rinoigi лаоХз Sunox ао1 Skonyx 5ki Ьзхплш то тоуо,
qapias-ssnBO) тох iqooBf лотдрдзг! лап a^nisri ЗотзозХо 5ki pxnoidkixndnX pxnrai
‘•р/х = у ‘о = у тох z/yp = ri aoirp ‘3 тох х пюгШздпдпц ni pirn то1злоттодздшз
oiay -zrl = у inx о = у 5от1гзлаз -гт7у = гу 13Л1д (ppias-ssnBg) 1= т 3riaodnir
лп тох лотдоЛтд лголзг!опдз1гз1г лотхплш nidoAkinx пгзйаз niri тЛ тзаХот kiay
33NVNIU 3W IOJNZIJOVOIIA
8К

7.4 EFIANAAHITTIKES ME0OAOI ПА TO Ax = b
449
цёОобод Jacobi eivai agyrj. H cos2 ~h = 0,98 ormaivei oti ахоцт] xai r] Gauss-
Seidel 9a ajraixei naga лоХХёд enavaXriipeig. Acpoo оцсод sinvr/i = уТ), 02 = 0,14,
t) бёХтютт] цёОобод оледхаХадсоот]д 9a ё/et axxiva aDyxXiorjg
Атах = рЦ =0,75, xai йШт. = 1 + Атах =1,75.
2е ха0е бтща, то ОфаХца negiogi^exai хата 25% xai iva цецоушцеуо fJ^ua ri/S
SOR loodvvafiei це 30 Рццата тцд цеОоЬоо Jacobi: (0,99)30 = 0,75.
Авто eivai то лоХо алдоаб6хт]то алотёХеоца цюд тооо алХт|д сбёад. Oi
лоауцатсхёд rqg есрадцоуёд bev eivai ота piovobidoxaTa лдобХтщата (oDvr|0eig
Ьюфодсхёд e^tocboeig), pua xai X.x- ёva Tgidtaycbvio оооттща Ax = b Xdvctoi
ebxoXa. H вледхаХадсоат] yiveTai ev^)ЮфёgoDoa oxig ледюоотедед diaoTaoeig,
ae бюфодсхёд e^ioolaeig це цедсхёд ладаусоуосд. Eav avTixaTaoTT|ooopie то
piovadtaio бюоттща 0 < x < 1 це то цоуабюю тетдауалю 0 < х,у < 1, xai
аХХа^ооце vqv e^iocoor] ало -ихх = f oe -ихх - иуу = f, тоте то фгхлхб
avaXoyo tod nivaxa лeлegaoцёvcov бюфодсоу eivai то “ахтща nxvre ormeicov”.
Та OTOixeia -1,2, -1 хата тг| 5ieD0DvoT] х ODvdoa^ovTai це та -1,2, -1 хата
тг] diecOuvor] у yia va ScbooDV цю хвдю diaycbvio anoTeXoi^evr] ало то +4
xai тёооеда ехтод diaycovioD OTOixeia —1. Qotooo о nivaxag A dev s%si evqoq
Awgidot; 5. Aev оладхе1 тдблод ад!9цт]ОГ]д tojv N2 ormeiwv tod diXTOOU o’ eva
TeTQaywvo, ёто1 сооте xa0e огщею va eivai xovxa xai ота тёооеда yeixovixa tod.
Adtt] eivai г] “иатада twv лоААсох diaordoewv” xai oi ладаХХг]Хо1 олоХоуютёд
0a tt] OeganeDOODv цед1хсод.
Eav т] бшта^т] yivet удаццт) лдод удаццт], тоте xaOe огщею лдёле1 va
лeQlцёvel цю оХохХтцэт] удаццт] ую va фтаое1 ото yeixovixo ало хатсо tod -xai
о “nivaxag tcov лёvтe ormeicov” ё/ei eogog xaiviag N:
О nivaxag аотод тдабг^е ледюобтедо tt]v лоооо/т] xai лоХюохт]9г|хе це
лоХг> ледюобтедоод 5юфодет1хоод тдблоод ал’ олоюбг]Лоте аХХт] удацщхг]
e^iocoor] Ах = Ь. Моц1^со oti т] таот] отщеда eivai т] елютдофт] OTig ал’ eD0eiag
цеОоёоод, лоо OTrjgi^ovTai ое цю 1&ёа tcov Golub xai Hockney. Дюцед1£о-
vxag oe Ц1хдотедоод nivaxeg це tov ocooto тдоло, хатаХтууооце oe одюцёуоод

\/^э|оцэ
»Sxni ni‘y о то11зю1Ю1лоЛ»д»и лто ‘аоко ‘°/]°7 = g li толзз 11Л<г/шз СшоЛоодк »ij\ *
Lriuoiqi UXioioiiad л1п зхтздд пл nl/'- V ло1 3li ix 01 зююююукюууоц тогЬолюрор!
толгз (ynqums ‘ • • • ‘yiiy^uis ‘уну ins) = Чх югЬллюр 01 ио 31Рзд ‘у oiqi aoi »ij £V£
•Q + u)/x soo
= 1/1Z.SOO = ly UrlnOlQl 3li £ (IO1 nrloaAOlQOlQI 1ЮЛ13 (yiiUUIS1 • • • ‘l/HIS‘ l/Jl UIS)
= lx югкхглрр oi 110 3i§i3y (/2 — 7—)]_(7 = f iqoosf пхплш ло1 зкНпдЛздзк
пхплш и ШЗ и ЛО1 »1J j-уд
m7 юхюлзи лох siaoiAoyoim юл 1Ю13^Ю1здХ лзу HQS 51п “шу тох Ч39т 5aorigidx)
Saoi тох 5ф0юх aoi Ssrinoigi 5и тох (р—)t_(y + (7) ppps-sstreo юхюлто ло1 ‘aoi
Sarhioiqi 5и тох (/2 — 7—)t_(7 iqooof юхюлш ло1 3113S9 ‘Z/A + Z ‘z '"Z/^~Z 53iiiioigi зг!
ЮХЮЛ1Ш ЛО1 Ю1J
31ЯЗНМЗУ
•$y‘g 010 66‘0 01 9Kn Iw»9»i3ri li здз<Ьз
q = xy aoi lioay luo иоюююликз UxnnriAndir л1п no srlaoic пл omzig Srorio
то1злтоф ./igiAAiDir 01 isoigdsx пл inx nsgi пзл Soopysi mri inx 1здо1лп(Ьг1з
пл isdoirri по зт)лоо1ло1 пл nxioad) ims^nisdX лзу ’liosri luo isoUinrinio пл
‘lidnoynirn л1п sri тздплп ‘5отт1о isdoirri ‘1лхшг1г/плп1гз ndnir ‘Uosrin лоуупг!
толгз inx ayoir з(Нзлп1лсп5 пхгл(Ьп§ пууп lusringsir лтолгпсЬ aoir лтзюгух
люАа^ао лап ogogsri luo П1злг1 зт<аолпх пл 5idaiX sriaooisyx пл 3riaodoirrl лзу
•аолотЛ^хз! 5олз л1пап oirn
SsdsioxmsA SsidisrimsA mx / = мп - xxn— л1п oirn SsdsioxmsA 51300)01^3 зо
SUAoridnoodir 5з11по1плад 5ln Ssxig 5n 1зХз Saogggsri 5n 5sian tirn niri здпх inx
‘ninriliycjodir nxnnriAndir зо nysiAori-ninriliygodir ni oirn liongnisri luo топзхЛз
niyoxoag li ‘Uooniridsir здпх з^ •’1хз9то SliooodnynXdsira 51позуз1лао о тох толр
5oigi 5апго ‘Itonionig niri luo inx Sonrg ‘nigi U толгз r/ir soo = ™mr1 iqoonf lirinoigi
li noig ‘liomdnynXdsira It soaoXdmdax lnan <irn Л1д1г in^ -ft (лоладазтх л1п
птх лолрхз oirn x коладазтх л1п ninx пхплш onorAmgidi лох s^idorXmg
Uomronig nopgdsthmnodir li 53ioiro 5n ninx Чтзоллдлзтх 51«Х»уу»лз loqogsri
ЗзхшгЬуплшгз io AnxLigUAliodn (raunoj orionnriliXonisri aXni лох sri pgidxA
-ao пл soaodoirri ng oiay) -5зхпл11г 5aoxigi3 5aoi a^nisri и5аолзг1здздлаоо1гп„
zaMVNiii aw ioinxi.iovoiia	ost

.ХЕШ^у _ xnuiy Лр3 зю-рпсЬоют
тох ?у aoi Ssrhioigi 5n (7 + (j)— ppias-ssnijg пхплш ло1 5кошз зрздд W
aoi 53iinoigi 5ii rax (/) + 7)t_<7— = 71_S’ tqooef 51кккуплпкз пхплш Л01 3113Q9
’ I'
£ ШЗ 3 ПХПЛШ ОХ1ЛзА ЛОЛЗ Ml J £•{?•£
x 010 5<j>gidxn лодзХо ‘pAkgo Snii nrilig oian ooxiri 07 ooxiri
пхпздто^з толр 7 oi nnrA зюкЛЦз тох q + ОЖ7 = \xg komronrg зо nriorysioirn
oi зккпдЛ ‘/J7 л.01 3ii ft + Ож = lx 01 зюптопуютууоц тоИкудодц -Ож ою Л lioay
кХтоюплп лк1 зюздоодк тох х = ftfqq 01 зюау ‘Ожу — q = х пНоалпгд 01 олог!
з101Лоуо1га nisgidxn kyirig зру '.колаисз^хз кхпикуолпиз к толгз 5oirodi 5одз1аХш
тох 5одзшупх 5плз пууп ‘nisgidxn Lying зт) тлгпг ш лаолр пл толр ткююлад
тру ’ЗкоазуаЛЛодю Soinriyncbo aoi тЛоу ‘лздкг! толр лзд qq — У О 'Ч = ОхП7
51мЬтоутгп 5U1 Uoqy ki oirn kxnsdodinig oAiy толр q = xy aoi lioay LixunrlAndir ц yy£
пзлзухЛао iqoovf кДкуплпкз li по тох [ > lx
л1и лаотохолпхг 5aoi 5злпхп io по 3i§py q Л01 mA ииоЗцхзэр aoi 5аоухах 51зд1
5aoi зрздд тох 7 tqooof пхплш ло1 знЧпдЛ у тлоЗокозд 5<г>1л<оЛтд ло1 лошп (rj £-yq
5o<bdorioigi
Ini толр у о по З1плпдз1гг1ао inx Saoyxax 5aoi oirn лотохпх зо то1зХз1дз1г пл
pdoirri лзд лздкг! 01 по 3i^pv ’?i < |??о| здпх noig ‘лт^оиозд 5тттАтд 1П1зЛзу
I::
5пхпл11г о ffr'Z.
> \™v — у| :oyxax лою тохзХзгдзк у oi тох j > толр
nxrylur nian птохазузх ni 3191 ‘?ж li толр x aoi потюглао lidsiaynAsri li лпд
I г I	f
~irilf?pl7^>l??p-vl 7K = ?rc(??p_v)
г x\
лкю pAligo x\ = xy н h^rsgoiry
ikrirlud/. SliirioYpxa. 5lii
лтзКюю лт iimriu лтгауозгп лт Torloiodgv 01 зг/ Uoi | f'»|	тлзз aoi
плихп к mx i?v оззХюю отлтЛтд 01 aoi од1лзх ззХз о aoirp ‘uq) ‘	‘ i<)
iaoyxax Saoi pun лоючХпуао! лплз tn зтзХзздзи у aoi krhioiqi sgpyj
:uuo8qsjar> aoi й1лотухах лап nriUdgiSQ,, 01 гтло^пгздХ Srsolixon 5злзт1о1гз iq
•lyirsoo толр хвшу li тох лтг1п
лотхпзд-лотхп11лдп кЛаз^ pxnx TOiAO^pndbris у ni niay -^irysoo = 3/^ю — у =
толр z/y — i = z/(fl — 7—) = f iqooBf пхплш aoi Ssrinoigi iq :komj3Titi^
+ z ‘г ‘г/ - г
io толр Ssian 53iinoigi то £ шз £ aoi lioomridsir лкю по зюаздкупхд -Чю
q = ху OJ. VIJ IOVO0HW SHNHUHVVNVUH VL

8
ГРАММ1КО2
ПРОГРАММАТЕМО2
KAI 0EQPIA nAIfNIQN
8.1  ГРАММ1КЕЕ ANILQLEIL
SuvT]9cog, T] diacpoga цехами Акуебдад xai AvakwT]g eivai kiyo cog локи ташо-
от]цт] це tt] бсафода цехами e^tocboeocv xai avioobaecov. nakaioxega, t] dtaxcogi-
otlxt] удаццт] цехами tcov duo cpaivoxav va eivai оасрт]д. Tekixa оцсод хатакаба
oti о удацщхбд лдоудаццатюцбд алотеке! eva аутсладабег/ца: Acpoga avioo-
тт]тед, akka eivai с^ацф1абт]тт]та цёдод тт]д Гдацщхт]д Акуебдад xai цакюта
e^aigexixa хдт|О1цо -oi anoqxxoeig oxig e7rixeigr)oeig cpaivexai oti XQeid^ovxai
ледюобтедо xov удаццсхо лдоудаццатюцб, лада xig ogi^oweg T] xig 1&ют1цёд.
Me xgeig тоблоид цлодоице va лдоаеуу1аоице та Ма0т]цат1ха ел! tcov oiroicov
OTTjgi^exai о удацщхбд лдоудаццатюцбд: елолт1ха, цёосо тт]д уесоцетд!ад, ило-
koyioxixd, цёосо тт]д цеОббои simplex xai akye6gixa, цёосо тцд ©ecogiag биюцои.
Аито! 01 тдбло1 лдооёууют]д avanxTJOoovxai ое тоитт] tt]v ладаудасро, xa0cbg
xai oxig 8.2 xai 8.3. Kaxoniv, ottjv Падаудасро 8.4 аохокоицеба це лдобкгщата,
блюд аитб tcov уацсж tcov оло!соу т] киот] eivai ахёдаса. 2tt]v Падаудасро 8.5
оидтцаце то лбхед, xa0cbg xai akka лаг^бю л^ахсоу xai ото тёкод е^т]уоице
то 0есЬдтща minimax, то оло!о хдибетас л1осо ал’ avxci, xaOcbg xai тт] охёот] тои
це то 0есодт]ца бисоцои тои удаццсхои лдоудаццатюцои.
2’ аитт] tt]v тд1тт] ёхбоот], т] Падаудасрод 8.2 лед1ёхе1 xaxi vёo. Н цё0обод
simplex avxaycovi^exai локи ёvтova ёva xekeicog Siacpogexixo тдбло ехтёкеот]д
tcov TOTokoytopcbv, оуоца^бцеуо цЁОодо tov Karmarkar. Н veu аитг] 1бёа лт|де
цеуакт] бтщоо1отт]та, ev цёде1 6iotl oi адх1хёд ауасродёд loxvgi^ovxav oxi eivai
50 фодёд тахитедт] ало тт] цёОобо simplex. О юхидюцбд toxuei ахоцт] akka oxi
yia оло1обт|лоте лдббктща. Н уео. цёОобод poia^ei va eivai алотекеоцат1хт] yia
цеуака agaia лдобкт]цата —oxav бт]кабт] о л^ахад А ёхе1 tt]v avakoyT] боцт)—

•g = fi лох рют солпдг SodcoXiriU о толр о < fi U i»x 0 = x лох »1§39
npriUo nx n’yo ТОХЗХ3901ГП о < x U :лсолзт!Лпхзхлао 5зло^п 5aoxo тохлоХзсдзк
пдолао nx лсотошо лсох ‘5aodcoXir!U Ltrioxn 00.9 зт!аоХз 5со1гзла^ 'Q<fi тох q < х
‘лсозосотлп 5оЛаз^ плз /г! тохз^пдсЬхз Uxan UoUxinirn р пхпклд» farf толр пл
inxpximrn fi тох х пр :огкп1пг1г1пдЛо5к gxirlrlndA лох тк Sligcppsrlsg толр aoir
‘5от1о1до1дз1г 5оууп тох isXdnira ‘5яо§р аох аохап Ьзхкхртлп pirn 5оххд
•t(og3irii£3„ одолао охпхоп1§-(х - и)
ох зг!ао^пт!оло пл зт!аодаоуохп^з 51зопхот§ и 5ix^ 'р < 2- + fiz + х SodcoXiriU
о толр аох отлпк oirn солз ‘р = z + fiz + х ох Scnirg ‘otpiriirs плз тохзл1Л одолао
ох ‘51зопхот§ Sisdx 5ixo тех 0191 ох ло9зХо толр miUXo op -TOXs^nigndnir
пхкхотлп U aoiro ‘SodmXoira 5охзд1хлп о толр отхпх ‘pg -Х^ аох SodcnXgira
5олзг!отхо о толр прдаз л1гх Uxan tirn солпц тохтдо isaXm пхкхотлп U aoiro
‘t? = fiz + х прдаз U толр лспдспХ1г1и 09.9 лсох а^пхзт! одолао op -р < fiz + х U
толр пт)Л139пдп1г охпгар тохртоколпх! ЛЗ9 лотоко лохо лплз тох Uocoopn U
тохрю1голпхт лою1го лохо лплз "SaodmXirih 009 зо одтХ oxnxoni9-u лох рдтор
Uocoopn л(9зо(19О1лю лотхиМпдЛ лсох прлиг1дз UxidxsricosA Ux 3iiao9 пл
толр аотоупсЬзх аох аохап ^пух плз ‘ппт1Лпдц •Sisocooi^a ЬзхиМпдЛ толр пл
пхлпш пх 5corio 5idcoX ‘5зхпл11г lorirind/^YU-z^ndnir лаоХдпиа п@ 7 ото^псЬз^
ох пхзт1 ‘opiiUo sxoirlMjoioiro зо pqUxsqoitox пл pdoirri отоупЛзх ox охау
7‘8
осЬпдЛпдпц лихо хв^хвсиге^ 0099931! 5Ux 5зХдп 5rx 3riaooUAU§3 пл sriaodoirri тохз
тох pgUioiroiooTiU9 лаоХз 5339г Ssxrong го ‘ScoXaxag (•prioiAoyoira oxuorlUxonrs
mA Uonxonxnx UxmgliAaon mri толр Uxan- momiUo UynAsri rsoUxxoirn лаоХз пл
аох 5зЛот!дп<Ьз 5зх1до1гт!з ю зхосо ‘5олзт!о939т9 тох лсодз<Ьт9лз ооох толр 5ог!о
-umirindAodir SoxrririndA о) -SoxUddpirn толгз тох [[эд р ту ру mdUxonAds пхо
5Цах1гплп 0199x0 зо тохзхопдд 5nxi9cox о 1x019 ‘5з<Ьпо пхзхдп толр ЛЗ9 sxoirip
•nxnriUygodir пууп ny^oir зо 13^9^039 пл рдаоуохп^з xo[diins 509093г! U солз
Ззхихотлп inx 5i3o<poi§q 'pg 'Xj
xiaznziNV zuMiwiwaj г«

-рооздззг зо зз1р1г aoio 1одз1гз1гз di к) 5аоюрх кок1дрлао ki лаолзд aoir Зззздаз
io зюзд ‘oidrariaiaA lii pirn зтз^зуосЬоо^з piay аоурлоо лоткЬз aoi (Udiadox)
имюЛ »irf зо inisxoidg orioaAoig oion/зд oi up 31139 da siisdoirpv
•охоздзюо зт! STiao^iyogiiao di og oioiiogADig 01011/39
Djj •SoioriripdXodir aoi loin li толзз 9 5oiopx 0101X0/3 ojl ’Saoiogx кок1дрлао
Ui isioiroioiXoys 11019 оюи^зд толзз тох оуолао pixicbs 010 талзХзздзк npig
О1ХМЬз 1О1зЛз/ (з ‘о) DrioaADip OJ, -9 =	+ „XZ ТОЛЗЗ 5oiopx OlOlXp/З тох
‘Z = Л тох 0 = *х noirp ‘g oisrlko 010 5дзло<Ьод1г iSAiogiiao ‘kiao kiioi ц
•оуолао pixitbs 011злт1з1 aoir озздаз kigidir aIii ‘oiAgy oyyp 31I *5oiopx oioiXp/з
01 sriaodp da зкаоузд idx лаззздаз лазукууодозг отзлзЛохто mri is^ioo fig + xz
5aoiopx отзлзЛохкз ц '/'8 ’^Z aox oidisrianA. lii pirD iDis^inocb orikyppdir о a
Soioox 01 i3ioi£oioiX»y3 i»x О/ОЛЯО oixitbs oio i»i3X3id3ic aoir ft ‘x oisriko
01 siiaodg da золзз aorionoririodAodir aoxiririodZ. aoi orikygpdir gxiioriXodir
о a	+ XZ (hoUidpaao кюлзг^зхплто к) Saoiopx кокхдрлао lii sriaoisgoodir
‘0 < ‘0 < x ‘P < f^Z + x oiiXisgodoir 013 “Заопюх UoludoAiu),, lu.xrio'ido
mri пюиоипЫ U yiouoioiXrr/з aoir aoi onrilio рюдчз олз »//» ‘ampriho
лапжмЬз лап оуолао oi оуд 1Хр зздз<Ьоздлз 5ор^ :pxiiDioao Зздтзоао oyyp олз
тох то1зХдзо131га pTioiioiliiodAodir pxiririodA лою ‘oopio/j -(лаг/рлао лаихкЬз
лап к) лаззоазозло лдзхтзМодЛ лот1 одрзЛур li толзз 5ori 5к1зузг1 Slii 5одзт1 ола,
•рлзх ЗОЛЗЗ оуолао
pixidbs oi 3101	> fiz + х Li Scoirp ‘рг1оздоздз1г px3iDd)3iAD лолз sriaoosgooQir
лра 'р = fiz + x A.U1O dx31ddxXdad лаоЛйро зоз^озбозбзк зо1здз1ла оар зо тозздаз
D33i зо 301з5здозбз1г о/олао 01 ‘р > fiz + х зох р < fiz + х Зззоотозло оар 5з1 зох
5о1ло5рарла£ QV0 олсоЛзд! 01 зз1аолдто1г ‘о < fi зох о < х 5з1 5о1л(П1одх
"р > ^Z + х ^1*1 зз1аоо1лбтз0 зох 5от1 рг1Лззррдо1г 01 зз1ао§ру/о лра ’рлзх зох
liripxo 1л олзз1Лод(Ь золзз ол о/олао р1хз<Ьз 01 pgriao ол зздо1гз1 оуохаа
•о/олао о1хзсЬз 01 зо1злзЛ одзюдхзг!
oopi ‘зз1ао/ур931гз 5аог1оздоздз1г 5аодз1рооздз1г ooq, -ЗаодотХззИл Sogliyir 01 и
5ао//р ззоз0оод1г og piao ‘(о < х (лоотозло 1лхз1оз10алозд озз1 зз1 301353/093100
озо1го oi) 1лхз111лбо Ini золзз ол х aoi ооотюзлао здрх лоз/1гз1гз зг1аоо1изо1го
лра •лоздтХззИл ш lirioi л1и зз<ЬрдЛздз1г q < ху лаззоазозло ш озИлюао олз
‘лозЛоуоло (1о>[ ('9j_y = х 01 золзз aoir ‘oisrilio олз (о зо1лолт1з1 ‘oiliidp^aAD
золзз орз1гз1гз oi зох и = ш ло1О,) ’йотоз^з здрх озЛ олз— лгодззгзкз ш Irrioi
л1и зз(ЬрбЛздз1г ‘5ао1оа>лЛо и зох 5ззоазоз5з ш зг) ‘q = ху озИлюао оа
•лаззоазозло
лазхзз1з1одЛ ЗоззлзЛохзо 5озз1 5ззоа/ 5з1 giro зо11зуз101го оуолао р1ХЗ(Ьз олз
‘озздздхо 1лбз1р00здз1г ззг1 5oiAm/3j\ о/олло pixidis зз5рг!оло 5рт1031оз111одЛод1г
5рхзз1з1одЛ о aoir aoiao OTiXisppdoir pxiirai р/уо ЗодстХзтИл лоз/ir золзз лзд piay
•лотдотХззШ лотзд1 лаз1 Urioi л1и 313оздотлЛоло ол 31зздо1гз1 aoirp ‘^-g -Xj aoi
оздазХ олзз10озх0 01 лаолзд ‘5злзз1р5оадла0 ‘5з1ау -д < fi зох д < х ‘р <
fiz + х лаззоазозло лдззд1 лап. зох иоаздкуолао к золзз озИлд лобзскоздлз oj,
Saoiooz коклдрлао к тох оуолло oixidis oj
NHINJIVU УЫПЗ© IVN SOWZUVWWVdJOdU 3ONIWWVJJ


•mikygpdir рхтлХзх
U рхтИолохто отоклЛ плз mk Ззтлпко ayoir толтз пл з1гзд1гз ng оар Ssxrodir iq
•оуолао рххтсЬз ою (охотЛзг! к) оюпХпуз плз тзХз 5охорх ox (£)
оуолао рххтсЬз ою ЬлзтМтэдсЬ Uri тплтз Заохорх кокхдплао н (z)
рлзх толтз оуолао оххтЬз ох (т)
:5зтдоЛкхпх Ззхплар 5тздх 5тх pirn niri зо
тохзоопхлз aoTioTimirindAoSir аохтгМпдЛ mikygpdir здп'д 'коау тзХдпка лзр iynir
тох ‘£'8 ’Х^ ою 5от1гр оо— толтз охтХпуз oi зхрд "ЗкоктокохотХпуз nxnrikygodir
зо 5пхлолзг1пдп1г ‘/?£ — х— зо Soxopx oi зт1ао41здют1лп пл тплтз Зпхкхрхплар Зкх
Зкхап Зкопхз^з Soirpdx ЗрхтхздогЬптр 5плд, одтзтгп тплтз Эоюрх охотЛзг) от тох
оупЛзк зхоккрооо тзлтЛ пл pdoirri Soxopx ох ‘оуолао Smi рххтсЬз oxg [коау тзХз
лзр SkokioiroxoiAari mikygpdir 01 ‘птдзт1 кууп лкх (iry кокхлпкп кхлпг!коолот1
mri iynir тзХз ЗкоктохгохотХпуз nrikygpdir 01 Зопгзлао тох (пхпкоалптр пютхузд
пх пур птЛ ‘р sri тпхаоот + *х ох) кхтрплот1 зхохлпш толтз lirirx ц '(£’8 ’^2)
5lxrixn 5Ux 5lixan Soxkri пхпх л(охпг1оалптр летхотхузр птдтзют mri зХдкма ng тох
‘оуолао рххтсЬз ох оур плодХрхапх злт1зхз ng тох у лотх а^пхзг) ‘krixn к
кдкухруо зхрх ‘/13 + х толтз пл Soxopx ох злтпдзлао лпд :отзг)ко олзксолокзк плз
тплтз лкН пл rsdoirri kriox к ‘Saoxopx кокхдплао кхтхздосЬтр mri mj tiomiariliz
аоурлао аоххтсЬз аох ождзкооз ox pirn коау
кхотхузд кх тз^тЛЛзоодк .гедгештсд аох Зородзг! к пхздтхлу -5охорх одзхрбхпт ох
зт1 kcbadox лкх тзбд аохр SrdXsri ‘кууп лкхо аоурлао аоххтсЬз аох lubadox mri кх
pirn Зпхлолтпдпхзг) ‘одолао ох рхап (о тзлзг1пдтг xajduns Sopogpri ц [аодрлао
аох Soxkri пхпх тздг1ао пл isirsdir лр1гтоу ксЬтгз kxrodir н ’оуолао рххтсЬз
ох лаооЫх пл тдХзг! отлпм пх SoSir 5отхдтр тпхлаолтхпхзк (Ззхкурпхзг! Зздзх
Й£ + xz Заохорх кокхдплао к тпх оуолао оххтсЬз од х’8 ’^3

(путе Ю'О = юбшйу I) лтугх плп 5зО1ОТг/ 1здз<Ь»лп 5»зй>»дЛЛао о :';Г1'Х
‘511Л131отб1г пдплот! niri isaiq aodaiaogoznoarb ^орх здп^ 'odaiaogozuoacb
тох oisyitb 'Х'у ‘5Uai3iro6ir 5зЛ1иг 099 зт! ‘дтктптМпдЛодтг gxniilndA лою
“SLutoiq 5oi»TiliY9odir„ aoi пт!Л139пб»1г толр piay 'mAgy зт! 3iiaooOTirai»i9 01
5» тох ‘/rg + xz Soiogx sri ‘»г1Л139пд»1г 5nrl 9x1X6» 010 зт!ао(1тз6ю11гз 5y
aoi 90x109 aoi inx Soinriliygoflir aoi прлЫдз mpv
•0391 пзл 5отуз1лз mil тшз^тздХ тох ssnB£) lidnoynirn л!и зт!
лаод91шзу11уу» 5з1а» 51зоото1л» iq 'аодотХ aoinioni9-u aoi протЛ Uxuliad» Ini
liio «lili^gpdir 01 тздзсЬшзт! о < x ихкдлао н 'Sdiliygniaii 5зб»упХ зюк^сзюко
511 тох 5отд»х 5з111^9»1зт! 5зх1Хб» 5п 1зХз1бз1г х 5оюотлЛ» о '[££] = □ aoiro
5»т1 »г1Л139»д»1г ою Smirg ‘5оюдх здпх 01 тзХзтдзк э 11т!т!»бЛ-»т1оалп19 03
•д < х 1»х q = ху 5aorioidoid3M Saoi pira ‘хэ 5Ui UohiouoioiXnyyj
:i»i3AiX aorioiinrirlndAodir aoxiiirindA
aoi nrilivggdir 9x1009 oj^ 'SnilugxiitiAdn liri Saorioidoidsir Saoyir» inx 5130(001^3
олдт! зт!аоХз »л пхт/олао зюот 1013 ‘1юото1лп здпх »1Л liiltvgoisri lixiiligliog mri
SniAOTioiroriiolidX ‘xafdmis 090931! lii зт!аоо11Л1хз§ »g 01x961 aoi 5ot916x» agian
3JN g < a ‘g < X 5aoTioi6oi63ir Saoirioygira 5aoi зт! niaygirn 13^»i6toi aoir ‘g < m
лою то131гзб1П1зт! p < fit + x 591101601631г 5олзт)аоЛ1юб1г о !5»т! liomoi^s li толр
liian ‘п»т!Лпбц -p - fit + x = m Liiliygni3ri /rdnynZ lii 5п1лоЛпо1з ‘liomoi^s
зо аот!о1бо1бз1с aoxuooian aoi 5lnro6ini3rl 501x961 Sgyirn 5плз isXdnir^
5з11рд»1зг1 5зй»^»Х
oo— толр fi^ — x— 5lii oioiXnp oj^ -fiz + x
л1и лаою1го1О1Х»уз q 01 5соз у oi окп П1зт!1от ni nyo, :5i3O(piirid3ir 53x1913 ’£'8
= 5O1OOM
ою1Х»уз
оуолао
NfTINJIVH VIdf5H0 IVX XOmilVniNVdJOdLI ZOMIWWVdJ

oi 1013x0169 Ssioiro Sn 4irn raoii ‘Sisooiooiox Ssznzndir Ззлзгкпбо sTiaorfiodA
-tosir юл LniAno Ir/lr^niox li толю odgn Здпгзла^ -goTionoTiTiodAodir gozni
-riodA AOTipiilr^godir лап колу (no 1зда)б1лзхпгз юд SodnodAodmr ItAsrigirs н
ЬзАоНдюЪз Ззхпхах
oioiXad oi 3ti miaooi
oioiXof3 oi rgoitoiag Soimilidoisg aoi ютИюл oi тох толп oiay ’liAisiaidir
(лхпздлао lii tox Uxioadi lii mA oigi oi i3A(pdliyK юл isALr/ninx SlnoodoAo о
sigiro ‘SoioTiliygodir goziZdo aoi 5oiogx 01 tox Sltoiirs лю11л 0160709 i^g,
$9 = dp толр к^юдиопз
UioiAaii U ioig, $ OS‘T толр SliAinaidir 51лхпздлао Sin Urlii InmAsii U tox £ > dz
о noiiAodir толр Sgrkndoidsir Sgxiiondg 5олог1 о -gxiXdo 01 giro 070x93 опт
тохзлау тох оюотлЛю лолдт) юлз гзХз gxiag 01 oioiro 010 oiiAisgpdoir юлз толп
9iay -g < d 1»х £ > dz ‘z > d Saorioidoidait Saoi oua ‘dp 01 ijghiouoioiAari
vtf :oiaoi Sgigidxo толп milryggdir gxiag 01 тох dp толр юд odoirris aoi
li^odirois U ‘5liAi3ia>dir 5здюлот1 Sidsoosi isnoiro onoig U aocby то^аок юд
ЛЗ9 Sodoinis о юхпздосЬшд ‘кхиклбо Ini толпз юл isirsdir Lirin li ‘oAodXgiaog
(Эздюлог! ogg юлю $ £ лю111 aoir) aoisyirh aoi тох (юдюлог! юлю $ z a.oiIi aoir)
aodaiaogoxnoad) aoi liAisicodir л1и 91ГЮ odsigomdsir n^noox юл isirsdir лзд
Uai3imdi£ ихнздлао н ’Sgorioidoidsir SgoxiriiiodA зо ransxgira Santo oioiro Li
‘d Inin л1п isoLnoiroimAsTi юл 1373g Sgiay rSoioTiriodAodir goxirlriodA goxnrai
Здлз юхиююао ogg oi Saiosrio зг)ю1люла^ -odaigogoxnoadi 01 tox oigyidi
01 то13^1лтАюлао тох ItAisiatoir кхпздлао oyaoir Soioiro о ‘odoirrls aoi giro
TOi3^iiraii3TiiiAO orilivggSir gxiag 01 ‘5оюдх охтХюуз зт! liAiaimdir 13091г юл зюд>
‘aoisyicb тох aodaiaogoxiioadi a^oisri 13X37019 aoir ‘UiodSoAd aoi mA плу
aoi gxiag 01 siiaooliAli^s юл 3iiaogoiroodir
tox Soiling Sin OTilivggdir oio siomto^tootosir отдд -£’8 осЬюдАюдюц л1по
i3gliAli§3 юд тох aoTiouoririodAoSir аохи-МюдА aoi 5гида>зд 5ln mtooQsirrlao
gxtoiASx oi oilngxiioiiAoSir л1по toais giay -aoi aoxiag aoi oioiAsri 01
3ri iDiaooi юл i3iT3dir „Soioiiliygodir aoxiXdo,, aoi 0101X073 01 ‘nmiAodir tox
ao77p aoi (1097 Ino люндаз дюх pAligo 5длз aoi (1097 ц -SlioliioiroioiAsTi
milryggdir тали aoi gxiag 01 3191 ‘SliotiioiroioiXo73 mili79gdir толп gxiXdo 01
люд омад юлз 13X3 ‘OASiigoAliodir 01 Saurg ‘miitodAgdir gxiririodA здюд
'Z = ^fi tox g = *rc :0137Kb олдт1
toais onoig (11011739 li ‘SgiXaiag -fi£ + xz толп Soiling Sin 5оюдх дх^олао
oi 3191	£ 13^1X1010 aoisyicb 971X юлз тох $ z la^iXioio aodaigogoxnoath 97m
юлз люд Soiogx 01 зт1аоодпзт1 юл толр тКгудддхс oi тох 070Л90 gixicbs 01
толп giay (-odaigogoxnoadi Ii oi37idi дхпклдю зг(аоХз юл isdoirri лзу) -g < ft
тох g < x 5n тох Зотдюх Qp < dz + x л(п giro TOis^iQoidsir aoi37id) 07™ ft tox
aodaigogoxnoacb oyix x isXsidsir aoir onoig mri Здпгзла3 -Зздюлог) AoioiXp7aoi
5id3DO3i То1лаопю1гю onoig Ln mA отлз ‘Зздюлот) ogg i3Aig 001371!) 97m здюх

SIH3f53INV T4NIWIWJJ Г8

458
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТ12МО2 KAI 0EQPIA nAIfNIQN
цаОццапхо едсотгща: va еХауютолосувес у va уеуютолоьуОес yia yoayuixy
ovvaoryoy xoarovQ, олд ooioysvov^ yoauyLxovi; лгосоосауо'йс,.
1. Eyebiaapog лаоауыууд. УлоОёоте on r] General Motors xegdi^ei 100 $ yia
xaOe Chevrolet, 200 $ yia xaOe Buick xai 400 $ yia xaOe Cadillac. Ta avxoxivqxa
avra biavvovv avxioxoixa 20, 17 xai 14 ц1Хю ava Xixgo* dev^ivrjg, evw to
KovyxQEOo exqrevei oti r] цёот] axodoor] xpexei va eivai 18. To egyooxdoio
цлоде! va owapjioXoyei ilia Chevrolet ava Хелто, цш Buick ava dvo Хелта xai
цю Cadillac ava xgia Хелта. Пою eivai то цёуюто хёддод oe цю ццёда 8
egyaoijKOV wgwv;
IlQ66i,t]fia Екауютолоьуате то 100ж + 200y + 400г ило тоод ледюдсауогх;
2О.т + 17у + 14г > 18(ж + у + z), х + 2у + 3z < 480, x,y,z > 0.
2. KaTuvofiy ЕЛЕУдйаеыу. Eoxw oti btaxiOevTai цетоуёд xgiwv tvxwv: хдатсхёд,
це тдхо 5% xanqyogiag А, дгщопхёд, це тдхо 6% xaxrjyogiag В, xai цюд
exaigeiag ovgaviov це тдхо 9%, хатт]уод1ад Г. Млододце v’ ауодаооице лооа
х,у xai z лоп dev Jgexepvovv то ovvoXo twv 100.000 $ . То лдобХгща eivai г]
цеуютоло!г]аг] twv toxwv, ило тоод ледюдюцоод
(i) yia ovgavio dev елстдёлета1 va exevdvOovv ледюобтеда ало 20.000 $
(ii) т] цёог| xaTTjyogia тцд хатауоцг|д xgexei va eivai TOuXa/iorov В.
Пудбкура ЕХа^ютолосуоте xyv 5х + 6у + 9z олд xovg ЛЕОюснаиоос;
х + у + z < 100.000, z < 20.000, z < х, x,y,z>Q.
ALKHLEIL
8.1.1 S%ediaoTe то едххтб owoXo, oxav oi ледюрктцо! eivai x + 2y > 6, 2x + у > 6, x > 0,
у > 0. Пою отще!а Opioxovrai oxig xgeig “zogoipeg” avxov xov avvoXov;
8.1.2 (Lwioxaxai) Пою eivai xo еХа%юхо хцд owdpxr]or)g xooxovg x + у, oxo лдоцуоё-
|ievo eqxxxo ovvoXo; Syedidoxe xiqv лрапт] evOeia x + у = oxaOepa, xov eqxxxxexai
oxo eqnxxo ovvoXo. Пою от)це1а eXayiaxoKoiovv xig ovvaoxr]oeig xooxovg Зх + у xai
x - y;
8.1.3 Aei^xe oxi xo ecpixxd ovvoXo xov xepiopi^exai axo xig x > 0, у > 0, 2x + 5y < 3,
—3x + 8y < —5 eivai xevo.
* S.T.E.: О ovYYgatpeag avacpegei Y<A^6via avri Xitoojv (1 y«?3-ovi (U.S.) ~ 3, 78 /.iioa).

8.1 ГРАММ1КЕ2 ANIXQEEIS
459
8.1.4 Aeigre oti to елоцеуо ngdSkqqa exei ecpixTO anvoko qq (poayqevo, enoqevoig dev
E/£i бёктютт) киот): Меуютоло1Г]оте rqv x + y, vito TODg ледюок^отк x > 0, у > 0,
—3x + 2y < — 1, x — у < 2.
8.1.5 ПоооОёатк otic x > 0, у > 0 qia aviacooq, £ig toohov wots to ecpixTO odvoko лот;
лоохрлтес va negiexei eva qovo oqqEio.
8.1.6 Пою sivai то oxqqa tod ecpixTOD oDvokoD x>0, у >0, z > 0, x+y+z=l xai лою
Eivai то qeyiaro Tqg x + 2y + 3z;
8.1.7 Adote to jrodekqqa Tqg xaravoqqg tcdv e^evSdoewv kod &iaTDrtw0qxs Ttoiv Tig
Aoxqaeig.
8.1.8 Oi ODvOqxeg qq agvqrixoTqTag x, y, z > 0 acpqvoDV yia to ecpixTO oiivoko Tqg General
Motors eva dydoo tod тдсдюотатои xwqod (to Oetixo oydoqqoQio). ncbg Teqverai
аото ало та 5do ел1леба лои ogigonv TODg negioQiaqong xai лою eivai то oxqqa
TOD ECpiXTOD ODVOkoD) Hlbg |ГЛООЕ1 Va бюЛШТОЭбеС ало Tig XOQDCpEg TOD, OTI q’ aDTODg
TODg 5do negiooioqoDg xai qovo, orq 6ekTioTq knoq 0a Eqipavi^ovrai qovo Sdo ttotoi
aDTOxivqTiov;
8.1.9 Пд662.г1у.а ynayoodiv. Улобёате oti oe xa0E qia ал’ Tig локггеСед tod Ts^ag,
Tqg Kakicpogviag xai Tqg Akaoxag лаоауоута1 ало Eva ExaroqqDQio баоёкю. летое-
kaioD. Sto Sixayo, noD 6р1охета1 oe anooraaq 1000, 2000 xai 3000 qikicov, avTioToi-
X<og, ало TODg TOEig толот^ ладауо>ут]д, xpeia^ovTai 800.000 бадёкю xai orq Nea
Ayykia, лoD алёхе! 1500, 3000 xai 3700 qikia, avTiOToixwg, xQEidi^ovTai 2.200.000
6apekia. Eav to xoarog qETatqoodg eivai qia qovada ava 6aQeki/xtki6qeTQO, лою
yoaqqixd nodyoaqqa qe nevre neoiooioqoug-iaoTqTEg лоелё1 va kuOei yia va ekaxi-
отоло^Ое! то xoarog qeTacpogag;

aoir Uaisxs 31О1ГО ‘5mri здпх 5U1 5oioox oi Sniao^iAoyoira тох аоуолао aoixicbs
aoi ЗзсЬадох Sn 5зуо Зшлохогдд (л1лХдп дпх) зг1аолпх oi пл srinoaodoirrl
n© ',x oi sriaooiAoyoira пл тлгз odmdAndnir л1и Uian to Snri SoXoio о
•оюгХпуз ШЛ13 *xo aoi 5оюох oi mx gixidbs гплгз tx пг1оалпгд oj^
оуолао pixitba oi лао^ЛАю pdotb Uimdn: mA aoicp огзгИло 010 тазлюХАашхз
tx mioaap-ip оюиузд oi тох одотХ oinionig-u aoi odUyxoyo лаолотдпо nian
ngsiriirs ni ‘Soioox oi ппзуупдтзг! 5отдп^ Saoioox Sarin Ззшлад Ззууп Sn Ззуо
лаолгд ‘пдздпю = хо ngairiira mrioyoira п^ \Saoioox aoxmsgUri,, nrioaanig
1ПЛ13 ‘Uootdi^s aUi Uian гзюколпхг x 01 лто, ‘0 = xo ogsiriirs oi тлгз ‘UXdn aUi
oirn misXdsig aoir олог! oi ‘ЗтзлзЛохю SUi Soysri плд, 'лсодзггпгз Aroyliyyndnir
тзлзЛохю UdUyxoyo niri nriUygodir ою гзЛпотз xo Saoioox UoUidpAao ц
’олзх mx Urtoxn U олзг1Лпд<Ъ Uri U (;5здазу1г
5здз1Г11гз зт<) oasriAndd) тлгз пл isdoirri mx ArodgiXiriU и + ш Urioi U тлгз оуолао
pixid>3 01 ‘тЛоу пууп 3j\ -q < xy aUi лаотоютлпхг плодХоааш inx 0 < x oidori
010 miAOXoiog aotbn ‘Saorioidoidsir u + ш 5aoi Saoyo лаоюколпхп тпг1оалтд
nixicbs ni inx SaodmXiriU Saoisgoodir ш лао^до iorioidoid3ir ш loirioyoira iq
•рхпилдп Uri тлгз пл SsiUiOAngnr uy Sno niri 13X3 (аодотХ aoinionig-u aoi)
nrioaAnig omXai плд, ’аодотХ aoi оодЛо плз Sisdi Sno тх аодзкпгз aoi oidnisi
плз тлгз ‘SisonioniQ oa§ 5no ‘giay -g < ^x ACodroXiriU лап лотуо UXoidsir Uaiox
U тлр aoir- аодотХ aoimonig-u aoi oidori охпзд ою тЪалпк? 01 is^idoidsir
‘0 < x ‘UxUgAao Uirodir н ’Uyoxa.3 тлгз иопюпдтгплп UxidisrimsA н
q < xy ‘0 < x Заогкпдочдзк Saoi pica
‘xo лUi 3ioLnouoioi7.T>yyj SlioliioitoioiXnya nrihygodj]
uxuo + • •  + Ixk) = XO ШЛ13
Soiopx 01 aoiro ‘Saoioox aoioiXnys nrioaAnig oixichs 01 тлгз Uoay ^Uionysg,, н
q < xy mx 0 < x Sn гзтоколпхт пл isirsdir ‘ ltoixid>3,, х пг1оалп1§ oi тлгз пл mj
Ззоаптлао и sri 0 UririndA-nrioaAnig плз (g)
Ззоотюглао ш зг! q UyUio-nrioaAniq плз (g)
и 11гз ш у 5пхпл11г 5плз (у)
ло1гюу roiAogiv
•5зхпл11г sri nriUygodir 01 sriaooancaimg пл тлгз Soirodi Sodsiaynx q
•гздау пл оуохаз ayoir тх Santo тлгз лзд
‘isgUXU^s пл оуохоад ayoir тлгз лзд Uoaniridsir идзтхглзЛ н 'р < ^3 + х Sorioid
-oidsir Здхгдплот! 5плз тх SnUygnisri Ззхпилдп Uri оад UgnyUg лпХдСша ‘у = ш
тх у = и 3rinXi3 odmdAndnir UAsriaoAUodir aUi^ -Saorioidoidsir ш mx SsiUyg
-nisri и тЛ orionnririndAodir oxnirindA. Л01 sri iniisyoXon Uian SodmdAndnir н
HVMavHiavN zwvoo hai h ivm xj ulaiis xovoosm h  rs
NniNJIVU Vldfia© IVM SOWZHVWWVdJOdU XONONIWd.I
oat

•piorioio 0100x19019 It inx
orioaApip 01011739 01 toais Lnao licbadox aLh^ -laglnoiroiDiZnya 13X3 5oiopx
oj^ :5oiopx 063107(1401 зо лаоАкро 5зт1хо ю 5зуо oioko л(п ркп ‘Ivhadox lixipis
mri зо sriaoApirh пхт/з^ -овзюбклокор зюккрп'о зо 5lubo6ioiK3 oilnpiOAap
SmXip ‘5aoiopx aodsipdxni licbaflox пзл mii зо isAlipo lirixo li Uiay '5oioox
01 3AC0i3ii 01111910939 3ri аок Slirixo 5oiri Soxliri piox aoi птзбок aIii 3^37019
8izjueq о Alnao 5обк oinirigop лаоАкро 53770 етлз ‘ксЬабох кюсолАр p'f/o
(11011739 lii око лаол(1бхот1око 53A3iioido acoioko лоп хз юх ‘aottIxo 5зАо7ШЗ
и siiaoXs ксЬабох kxiKai здрх оку лоуолло aoixibs aoi люг/х» лоп Soxhri
токах ‘libadox зо hbadox ок» isaitoAIik аок ‘5ln kopcb кбзшзр liio 1013Х3163К
aoppgsri 5ki kXatfi li ‘aikoio^ -130106117x070 1зХз по зткгокздока аок tj корф,,
li toais Lnay -ао7олао aoixicbs aoi libadox oiri 5<р7ко is^ikoias 01II19 окобк
oj^ -оззлШбз kxidisrimsA li toais 0900311 In is^noxb аок piao пр тазющ
Aiorixo Aioi Soxltri piox koliAix :ni6i3ri<03j
•лорвшге}!
aoi око зх(10рюбк аок opogsrl озл oiri зт1ао(НрбЛ1бзк од aikoio^ -sriooidiOA
-ао од 06319Л60 аок ‘xoidiuis aoppgsri 5ln nioTilip 01 siiaooliAli^3 ил юмрдк
зт1аоо11докоо6к о© -511Хапкз рхпхЦкоюх толгз ‘1юазлкг1з 11а<Ьо7оЛзт1 зо 3ii3
‘UXai л(по то13713(Ьо 3113 тох лапртМобЛобк лспхпМобЛ (1097 In oiA ‘Sizjueq
aoi око окрб1 pxnoTilnoao 3ii зхкдХакколо (nay -Acoxuoiiligori л<рхпо1Ло7ока
лап 5ззр1 5злзг1опИиЬ oik 5п око oiri isiooiox 13X3 аок ‘хэ/dturs ogoQ3ri (по
з1оот1ргЬзб1о АОКЮ7 piao jA плу -5370 зг1аоо1Ао7ока 5п ол зт1ао6окг1 лзр
тох 5зсЬабох oieariiioioxsoip лаоХбрку •1зд1поко7а ол лоюларо toais (юздрбк
ОЮ131 oni 5coTip (1§рбк л1п£ -(11011739 li aoiIi од 5oiopx обз1рбх1г1 01 1зХз
•аоурлао aoixuba aoi 5зт1хп io тох 5з<Ьадох iq -p-g -Хз
XVNHVraVM ZOVOO3W Н 1VN XSldWIS ZOVO03W Н 2'8

U§»Sv лкю огхгЬзл» Зсоузхлз
лгосЬадох moi лог/о prioiAoyoim лог 1зл»х ‘и тох ш »у»Лзг1 тЛ ‘aorigidn aoi aoian 5одзЛзг1 ох *
sri тохзсЬпбЛ ‘q = т - ху U lq - ху = сп Uootoi^s U зго£ -у лох UririndA 30ох mi,
UxUy9nxsri UXIXU9U09 mri зг) о < шсп ‘   • ‘о < [сп 5аохо тахло^пбсЬпхзг! q < ху
lortoidoidsir iq -q - ху = сп 5з1й(дю1зг1 5здпуюХ ю лао^ток 0796 ох охау о
< их ‘ • • • ‘о < 'х лссЫогдогдзгг лсоуют и лотх аолухз оЛоуплп Smyysx oirodx пхпх
q < ху лкх зг1с1О(НпдЛплп^ пл isirsdir ‘lionrb Ux Uxan srlaocbndAidsir пл nij
П иопф U is^roncboirn ox aoir nriAndir ‘Ssrixn ЗзхиздосЬтд и зо позг1плп
SUAoynrs nxUxpxmaQ Ux оорхоот sriaoXg, (Soxoox ox тохзлопзг! nioiro лих пхпх
Uxan) Uxx3§oirn толу иоладазхпх олот! niri aocbn ‘SUrixn 5Ux iirs 5отзоладазхпх
SUAoynrs пхихохпла§ 501X19 ‘оуолао охххЬз охо зг1аолуг)пдтг пл 13лотздХо1га 5nri
5ог1о1хптЫпдЛод1г 5охп1т1пдЛ о iynir in^j -лохукпгз \ - и Uriox лпо inxscbndAidsir
Uxan Urixn U ‘nxidxsrimsj Ucbadox отЛоу лз лЬх 91ГП плбзк aoir ‘Urixn niri
лаоузхоют 5i3ootdi§3 у - и 5ix 5зхап лаоюколпх! aoir nyriUo ny 'Snidsgaays
Sorlgng 5плз 5опгзлао inx Sisorooi^a I — и лаолзг!о1гп ЗХ91ГО ‘П931Г11ГЗ плзт<олт1зх
и пх oirn плз srlaoiryyndnir ixo зхоздоху :Urixn лихо ndocbn Л009 ‘пботу
•Ucbadox пю1хлЛ niri 139369 isXs 1x9
5пхлохздо1га 5отт1о з^ао^Хзла^ -олзх толгз оуолао охххЬз ох 1x9 13513901m пл
U Ucbadox то1хлЛ niri 1369 пл U Smgidxn толу [ 5иопф 5Ux олзгИзхилу Ucbadox
то11лЛ толу пд лз§ 5зг1ох 5ix 5зхап tirn niririnx зхох ‘олзх толу оуолао охххЬз
ох лпд *’лот1(Ьи4ю1га ш + и оуолао плз 91т Л01931ГПГЗ и лотЛоупгз лотхпла9 лотх
5ori0idn о толу 5рхап 1x919 ‘Ssriox 5зхпла9 \ш\и/\(ш + и) лаоХдпха ‘пхглзу
•SsyUxnirn толу ‘UXdn U тох лапоют лотх
а^пхзг! ‘5зсЬа6ох Sisdx 5зууп iq (00— толу 5охо9х охтХпуз ox aoir Uooixiridsir
лЬх tirn 59ХХЗ) пхап 4irn плз толу пл isirsdir пг1оалп19 0x01x739 оу (о‘9)
тох (з‘з) ‘(9‘о) nxnriooAniQ пх лао^бо inx U 31^ тохлолотпЛо ‘аоу9лао
aoxxicbs аох 5scbadox ixnriXndir толу 5зхап 91т 5isdy yg nriUX^ охо тохлолтосЬ
aoir SstIoq 5зхпла9 i^s лао/dnira inx 5aoiioidoidsir = ul tox SsxUygnxsri = и
sXy yyg UoUxoy лЬхо nriAisgndmr оу оуолао 9xxicbs oxo 1зх1ллп П0 лпх зхао
aodbn ‘UyUxnirn 5отуузх толу П0 nxixsdocbniy -^aorioidoidsic: ш 5аоууп Scioi тх
131О1£олг)Х1 aoi£ Uomii:u)3iL nUio onori ‘InAadox rnolidk тлтз vg 5kri01 огзсПю
oi oian ‘5зЛоупгз 5зхпла9 5syyn 5ix 5зу9 sri inx Santo Sotitq -лотл9^п лотх UXdn
лихо 1зл6з<Ь 5nri nioiro U 0 = ux ‘ • • • ‘q = ix толу лотзоотт^з и лотх 1лЛоупгз
U.X1913 niyj -лотдзкпгз лотхап и лотх 5Uriox 5Ux 9^016019006^ inx ‘Sisootoi^s зо
‘ш + и Six 91ГП ‘лотзоото1лп и Uirodxnxsri 91т isxiraxodir аоу9лао аох аохап
Ucbadox 30пд ()<.+ 51зоото1лп и inx q < ху 51зооттлп ш 91т тохз^бо оуолао
9ХХ1<Ьз ox torioixnririndAodir 9xiririndX лохо ‘1x9 3Xi30Uria0 51309x0019 Sisdx 5ixo
Ucbadox niri лаоЛ6аоп1и9 (SoXiox 59Л1хоо61гт1 о inx 59xida3yir о ‘nriroxnir ox -X-y)
П931Г11ГЗ nidx 591916x0 Sotito- Uootdi^s nni 91m тохзсЬпбЬбзк nioiro nx 91m
плз0пх ‘ЛОТ931ГПГЗ лотх1хз6осЬп19 и 5Uriox oyriUo ox толу Ucbadog 'Sisonxon^
и 5ixo Urixn inx Ucbadox 5тз^зу Six з^аооазлЫбз пл isirsdir пхотбц тобдзЛуп
UxiririndA so П391 U Uxan у0оп6сЬпхзт1 пл толу nriUy99dir 9xixnriAndir oy
NOINJIVU VIdf5a0 IVN ZOWZIXVWWVdJOdU ZOXIWWVdJ


8.2 Н МЕ0ОДО2 SIMPLEX KAI H МЕ0ОЛО2 KARMARKAR
463
nivaxeg отг] родфт]
и
То ecpixTo oovoXo xa0ogi^exai ano rig m аотёд elgioiooeig xaOo'jg xai ng n + m
ankeg aviooxiyreg x > 0, w > 0 xai Tioga ёхооре negioyiapovg pe toori/reg xai
цт] agvr)Tix6TT]Ta.
Tia va окохкцдсооооре Tig akkayeg, бёХооре va e^aXeiipoope Tig onoieg
Staipogeg рета^о tod agxixoo x xai tod veoaipixSevTog w. H цёбобод simplex
Sev 6kenei Siacpoga xai 0a r|Tav aoxono va ODve/iooDpe pe тоод оорбокюроод
[Л-Л	[*]•
'Etoi ovu6o2i'C,ovyi: rov угуакшедо nivaxa na2i fie A xai to yaxQVTEQO
diavvoya na2i ys x, onoxe oi negiogiopoi ygaipovTai отг] родфт] Ax = b xai
oi n + m апХё.д avio6rr]Teg ygwpovTai x > 0.* To ag/ixo Siavoopa xooxoog c
Xgeia^exai епёхтаот] pe m entnXeov ODVtoTiboeg, noo Tig naigvoDpe oXeg pr]8ev.
Тоте то хоотод ex eivai, yia та vea x xai c, to iSio pe to naXio. Ta pova ixvr]
noo aipr]vei t, 6ot]0t]tixt] ретабХт]тт] w eivai oi SiaoTaoeig m eni m + n tod veoo
nivaxa A xai oi n + m oovxexaypeveg tod veoo x. Ano tov agyixo оорбоХюро
хдатаре аота та oxoixeia povo xai афтрооре та m xai n аретабХг]та, yia
va pag 0opi^oov аотб noo ooveSx]. 'Etoi to пдббХт]ра ретатдёпетш ото:
EkaxurtonoitioTE to ex, vno tovg negiogiapovg x > 0, Ax = b. 2т]рекооте oti o
A eivai nagakkr)koygappog.
ПАРААЕ1ГМА 2то пробора pe тоод negiogiopoog x + 2y > 6, 2x + у > 6 xai
то хоотод x + y, noo e^Tyyeixai pe to Sx- 8.4, to veo ооотцра exei
л = [? i "o1 -1]’ b= [б] ’ xaL c = [1 1 ° 0]-
'Exovxag ypchpei exoi тоод negiogiopoog ono родфтр looxrixiov, pnogoope va
^exivr|OODpe xr] pe0oSo simplex. 0орт]0е1те oxi т] Фаог) I exei t|8t] ngooSiogioei
pia ходофт] too еф1хтоо oovoXoo, onoo xepvovxai n enineSa: n ano Tig agxixeg
avio6xr]Teg x > 0 xai Ax > b (x\ akkiibg w > 0) peTaxgenovxai oe e^ioiboeig.
Me a/.ka Xoyia, xoQvtpti eivai eva orjfieio, ото onoio n avviatibaeg tov veov
diavvafiatog x (to naXio x pa'gi pe to w) eivai fiijdev. Srqv Ax = b oi n
аотёд ретабХт]тёд nai^oov то доЛо eAevOeQaiv уетабХутшг evib oi anopevoooeg
m ретабЛт|тёд eivai oi 6aaixeg уетабЛутёд. 'Exoi, e^ioibvovxag xig n e.XeoOegeg
ретаблг]тёд pe pi]Sev, ngooSiogi^oope xig xipeg xwv m 6aoix<bv pexa6Xr|TO)v ano
* H Oixovopia xai r] Tr/vrzT| |.inooi-i va цад 6i6ow леиооюцоид це июттугед EV06g гД ao/jig,
олоте г| цгОобод simplex tixiva хат' EU0Eiav ало Tip Ах = b, X"QiS avayxr) xakapdiv Ц£та6/.т|т6^.

nyyn ‘Ш1лаото1голпх1 lorioidoidsir iq ’о = £х =	= ix тох (SnUygnisri
5зхю»9 то толр 5з1а») 6 = гж тох 8 = lx локо Ucbadox л1и ок» зг1пл1хзе
‘6 = Sx£ + £х + ?х
g = $х£ + t’xg + £х + 'х
Saorfcndoidav 5aoi ока $х£ - *х - £х[_ alii 31oUiokoioiXdys
Shilvigniari 511лзНдХдзк» 5»irf inx 5клзНрХдзо1з 5»ni пгШздюдюц
'X aoi 5злзт1Л»131лао Ssirioyoira 5n
SniAO^pagUri тох q = xy aUi 5тлолау 5aoi Wil aUi sriao^iAoyoira ‘Ucbadox пзл
Uio 5зхто»9 толр SsiUygnisri 5зто1г зйтодпт! 5iyoj\ ’p03ioodir пл moir тох Uong
Ui ,irn 130здто(Ь» р nipdir UiUygnisri moir oi ndocbn Uoncboitn Uxnomoao р
•5зх1130 Sanio 5»1лолзг1»6»1г ‘тоалоуупдшзг!5зогою1лао 5зхто»д \ -ш Sainoyoira
то голз лздЫ oi tirn (ол»1г 1злтодзл» 5lxi Ixriu lx :Uxiong toisaiA ибзддзуз лп11л
aoir ScnUygnisii 5u oirn mri ‘nAodXoianj, -(AsgUri) йдздазуз илзлтА о лог!
oiri тлз Ъзюотод лаолзг/пдок j - ш то ‘SnUygmsri 5зхюпд ш 5п oirn ‘по
iSAimiUo 5зх1лопзА толр Sscbadox оад то по 5длоАзА oj, -Ucbadox UxiaousA
mri зо 5Urlxn 5mri 5oxUri nmx siiaoolidmXodir пл зг1аоуз0 тох ‘AsgUri Sairioyoira
то тох 5зхпз0 толр х aoi 5зогою1лао i = ш aoiro ‘Ucbadox mri siinxUdg
isiiaooUSmXodir пл Ucbadox nioir 33 :Uoncboirn Uriioidx U p0cbUy пл тзлзр\
•о1Х1сЬз тох охто»9 тох толр х 011013, '1§з зг1 5зо1 толр aoi 5зоот1тлао
оад тох лздкт! толр х aoi 5зодпо1лао оад :д = 9 - fi + х-^ 5U1 тох q = х 5U1
Urioi aUio TOi3xoid9 yg -X^ ^oi 5Ucbadox 5Ui j opriUo 03 VKJISVVdVLI
Uoay Uionysg Ui 5odir
nriUg-nriUg pdaiXodir ц иопф U inx Uoay Uixidbs Uxiong mri 13x0169 xqduiis
aogo03ti 5Ui j 1хо»ф н 0 < x рюколпхт лшд Uixicbs тох лздЫ толр
5U1 5зодпо1лао ш + и 5п oirn и лто Uxwng толр Uoay mpv -q = ху cioi
Si3oay 5зхю»д 10 Srogidxn толр лоуолло аозхкЬз лоз 5з<Ьлдох iq V8
•оуолао oixicbs 010 1зх1лл» sioiro ‘5зхпз0 толр 5U1 5зодпо1лао
5зх1лздит1 Uri ш то лшд ‘Ucbadox птоилЛ рузюкю тох yz аосЬпбЛюбпц 5U1
Uoay Uxigi3 aUi зг! isiiriirriao Uiay 'SnUygnisrl 5зт1алсог1о 5n oirn 5U1 UoUidn^s
U 130О1ЛО1 пл mA ‘/txiong тоазЛзу x Ixian Uoay ц -q = xy 5i3og>oi§3 ш 5n
NC5INJIVU VIdf530 IVN 3OWZI±VWWVdJOdU ZONIWUIVdJ


отопузр толр aoir ‘|б— ч»лр 5оторх озл, oi rax g = $x ‘g/g = *x
1q = £x =	= ix oprilio oio 1013x0169 Ucbadox озл ц ’liiliygDisTl клз^рХбзю li
толр ix li 119 лаолХрр Ч’х 5lii liyliio lii sri лголзт1збто19 ‘лтбозук лоо^з^ лап ‘g/g
IDX 9/3 DXiyllir DX ’11110(901311 ЦлЗ^рХбзтЗ ll ТОЛ13 ОЛ 131Г361Г I'X 01 119 13ЛТОГН1О
5oiopx 010 511юзуз1лао 59xhUa6d 5рх19олот1 о ’оуохаз тол]з 01II19 ОЛЗ11913 ох
•g=Sx+ £4£/l) + M£/l)
z =	^9 + Ие/i) + Me/z) - lx
Snoiioidoidax:
5aoi gira ‘6 - *x - £x$ + zx = (£x - zx - g) - *x - £х^ 5Za UoU'iouoioi'X.o^
:idai3 ‘lubaSox озл I11 91m
5о1лотл1хз5 ‘отИзуррбк озл ox - zx - 6 = Ssg :lioa>oi§3 liiaioir л(и rax Saoiopx
1ю1пбрлао liio отЬзузюю 01 5о1лтто1дохпло idx $x 5o6i 5m liomoi^s I1631939
Ui 5о1лолау “ЗЙгоЛЬро,, оЛру oi 9100 jj •Sisorooi^i SixiXdo 5no txlix 5n зт1
злтадзлао Smiro ‘pioidmXs^ Spiliypoisil 53x1009 5n зт1— 11(Ьбот1 lixiyop лаоХз ол
лао^Хзлао 5i3oa)oi§3 10 ло ЛОЛ911 ‘оуохаз толр од ‘Smrto TO1II19 олзЬрмз ох
•g = £х ‘о = *х = £х = zx = ix ксЬабох озл liio isAliyoiox orilig mApy лз ox
•g = $x 13Л19 оло6Х91ао1 тох 1зАлсЬ тол тзкзди: Uilc/goiiri
кдзхазд U но тзлтдзлотЬ g/б oxiyliir одзхазд ох ‘011X13906011 01 Smiip 9iao
’oo- 01 1бХзт1 501D9X 01 3Tiao§i6 ол юх oypXsrl 3101I19000 $x 01 зт1аолрх
ол STiooaodoiol о© :liorowi63i£ клзтМтодсЬ liri Ui siloXp од ‘тохиклбо ло111 $x
aoi 5зюзуз1лао 10 юу9 лрд лзрЫ 01 этой злодсЬз од Л39 zx 01 5тлзг1о1з
‘(6g = z-x ЗЛ193 од liomoi^s (16310,39 ‘ОТ = Sx Ю1у9 Zx 01 тох оло6Х91ао1
злто^ато од $х 01 5о1лолр§ао 3191 ‘g+ oiX ило g— ло111 $x aoi 511тозуз1лао
о ло 11919 ‘oxiyliir рхпзд 0Л911 зт(ао6тз0 ’1О1зХ6з1£о liiliygoisil oioir 1ЗЛХ139
oxiylnr 063196x111 ox g/б i»x g/g ‘Sliiliygoisil 5(1лзг19Х6зо13 5ln 5зюзуз1лао
5aoi 5o6ir лтбазук лт^з9 лго1 oxiyliir oi 5aoTioi6oi63ir 5аою З1брц hoioisrili^
(>- 010 Ю1злт1311 50109X 01 idx Zx к толчз hiliygnisri 11лзт1рХ.дз1т ц "£ = ix
зг(аолб101£ liomoi^s (игобк л(и 9110 idx д = £x ‘g = $x oisiIIid oio Iicba6ox озл
Ui 1з^11го1лз 9iay ухпклбо 1О1зл1л zx 01 обзкобом зт1аоо11бтХоб1£ лу -д = zx
319ЮТ ‘g 011бХзт1 ол9т( isgli^aD ол 0193 1збо1гт( £х oi тох 6 = sa?g + ^х oi 9бздою
зт1р1обх liomoi^a (1631939 L113 Л39(п1 ою тзозк од ix 01 у 01 i3opid) £х oi ло1©,
’8 = ixZ + 1ж 5о1лго6111О19 ix 01 зт1аолго11оуз тох $х 01 зт1аолр§ао ‘tiomoi§3
liim6i: л(11х 'гх It li ix li 1зЛа(Ь ол 1зшз61£ ‘I1009 liio $х U 1здузо13 ол oij
•s® U тл]з Uihygvisri Ud3rioX,d3Oi3 U 1013,
•59хп11л6о 9111 о толр g- Slii 5(1юзуз1лао о 11919 ^х л(и зт1аоЛзуо19 тох $х
11 ^х ю то1лолто<Ь SsxiXoy ’5oiO9x 01 sriaooliioiroioiXoys ол зт1аодо1£Оо61г тох
д+ толр aoi 5111озуз1лао о лото ‘9x113g £х 01 зт1аолрх ол оЛоурбок ло111 о©
•liopg liio i3gXooi3 ол тзнзбн 5з1(гу9О1311 5збздазуз 5п рю oioir 13^160190061:
Saoiopx (1о(116рлао li ‘пот(Лр6ц ’TOipioioioiXoys л(п1 ол 136011I 5оторх 01

avNxvmvM zovoqhw h ivn xaidwis ^ovoqhw н z s

о
гЗюхюлш SodsxgyoAsri 5юлз ‘Зоэумю ‘толтз Зкоклтххз
румткп 01 31О1ГО ‘э Злохорх юг!оллю1д oi ‘q pdasyM Ю1^зд It ‘у Зюхюлш Зюлз
тохзд1у ‘(утомолюх! коау кхопузд Lt олрт! лом ‘poiiouorldsi oidlindx 01 тк
тох Scogrix) Soxopx oi тпЛ оках люлз у ЗюхлоЛкуюхюх ла1хюл1м лап ooogiyA
Ino oxgidM зг1лоузххз 5п ‘Sia^odM 5п з^лоокЛк^з юл. nij ovurini к юхюлш
оуюЛзг! люлз зо юлзг1одзд юх srloo^oimg юл толп Soiniikg лох ЗкосолюЛдо
SoMpdx Золу, -ллоЛд юд тох лломт1 юд oioiro лох зт! SoMpdx о тох Soignx
Ззхкудгпзг! 53A3TioXd3iro тох 53A3TipXd3Oi3 10 ллоЛзушз юл i3i£3dir— AioririodA
SaorioidisZ 1юх 51зоюсЬомю isAogrioyidsM xajduns лодрдзг! Ski mikg здру
pyriiiiy oi
пурм тохзлапхюуз Soxopx 01 зхрко ‘loixo kyox oni isdg xajdiuis Sogogsri li Aidir
‘Ssdocb Ssisxdo тохзлрдт1юуюлюмз no 31139 юд ‘xajduns Ski orikg здюх рмю pxrri
Soxopx 01 зхзлтмлх люз- SsAoridodis Sno ЗрлХло юхпзото^з толп Sprioiyodixs о
Smdo ЗфХлхолу 'ллоолЛю л1п oidoixiis 010 Aaododroyxax лом Ssxigmx 10 зхоа>
‘О1ЛЮ1ХО ооох толп rnoiyppy 010131 прх 1злтодт1ло лзд k^pdM лкхо ‘ЗфХлхлд
•корд oigi лкхо odisirp ,мз згкго^лЛюлю^ юл
srtooaodoini юд ‘pxukdai3@ ‘kdiadox зкло^руую юл 5idaiX pgkygoxsri юл isdoird
корд li тох рхглздкг! AaoXsidsix юд Ззхкудюхзг! SsAsripXdsMD Sn ллод^одюх лом
nxiykM оу -ла1зоа1О1§з лап pdasyir Ю1§зд Ino aoxiAsglni Здлз 1ю1люсЬг1з лкх дкю
‘lioliAligo л1п юхзт1 ‘откуплю тохзл1Л охлу •тохло^лздкт! юл 1злтодг1ло Ззхкуд
-юхзг) Ззхююд Six омю Ssxidsrl тох юдзмшз и pirn ndsxgooidsix зхох SAOAdsir
kdndox лкх 1плю 4ixy 'х лох Ззхкудюхзт! и Ззздклло Sn oini Ssdsxoooidsir тохл
-о^длздкН люхд илхИотускЬиз 1юхзЛзу kdndox ютр^ лог1ог(Я(Ьхз aoi it£3 oi^oX^
•Ззхкудюхзт! SsAsrigXdsini 5п Ю1Л люоююЛомю nxiykir юу (-STioiorbiio
‘10x113g toais люхо, ‘anoxodoix TOis^ido лом ют1оллю19 oriioidx 01 ‘з охо ллол
-тамг! 1охлю lorigidn iq) ‘Ззхкудюхзт! SsAsrioXdsois 5п Ю1Л люоююсЬомю kdndox
kdsKisg кхо	тох kcktdox kxaidM лкхо £— ‘у—‘Z, lorlgido iq lufioAaz
•охопузд ox TOisxoidg ююмо лкх 3ii
юхкхлХюх к толп oxaiisrikooi^o толп лом дхлу ‘(TOisoooddi лзд Soxoox 01 люхо
оо- охо к) kcbodox кхопузд кхо гзЛкуюхюх 0100x19019 к юхз тох ktbodox oni
зхоют<о1мзхо1мзюлю5 лзд зхоц -SsAsriaoAkodM 5п зт! Ssigi толгз юл Ззхкудюхзт!
Ззхтоюд ш то тох 1здг1ло юл isdoMri лзд эхом — Sai3ogiiMid3M 5клзт1отул(Ьхз
Зкх Зоххз— ЗтХзлло тохзлаттзт! Зоходх 01 Sanio 5gigo^ ‘корд кхо ndsxpAdn
гзфлохогмз юл кхк"/дюхз11 клз^рХозмю oni isdoMii ‘orikygpdM ovoAsri юлз
NOINJIVU VIdna© IVN ZOWZLLVlNWVdJOdLI SOMIWJNVdJ
99t

(I)
‘<?l_g= NxMl_g + ax
зоотдз inx x_g лох зг! 3xU0omonyirnyyoir q = xy
Uomoi^p н -q = xy inx о < x 5зх1л0лао Six 91га хэ ox ariaooUTOiroxoiXnys пл
лпх1л Snri priUyggdir o£ -npAUrids Uxdoto Ux 130019 Soil пл отйохз толр gyirrinx ox
:отхпх 01 kirn Sodsri
отлп1г oi Ssdocb Яэ sriaodincbn PriaooOTisysx пл nij (-minx oirn mx ооо галок
oirn 0001 nx^sqUri inx ‘owotoig liio 5з§плот1 sriaodnir пл зхоот SaoAUgo Saoi 3ii
ariaodiDiq godin ‘irepiof-ssnng ло^рдзт! 5Ux miUg плз зткоузххз niUigxiinriAndir
л1и£) 'лох 3ii griomonyirnyyoir зо тохлоЛплп пл isirsdir Uyyn nni oirn
SLrririndA 5mri Sisoadindin ю Ззуд Зопгэло^ t g о толр пл isirgdir j лохо g лох
is^iinriliXonxsTi aoir 5пхпл11г о ‘nxiinriAndir inxs^pncbris лзд 3101г aoir oyg 4dnjj
0	No	Яэ'
<h-S	Ni-S	I
ПХПЛ11Г
лохо зг1аоор0(Ь пл зхоот (^OTriiindA лотх a^nxsii Sis^ndir) SUcbioynirn nxnriUg
плзг1о10илао 1зл1пт1ио Smyirn дхау д аох Uo30 Uio пхплш gxixoxanx лох
sriaoopnrbris пл srlaooadoirri лп ‘Saoi Ззлдг! лаолрг1о1гп П0 SaxUygnisri Ззхюпд iq
0	Mj	So'
4	Ы	a
:5зу1ххо 5зх1ОП9
Six Ssimdir зг! ‘олзткпдзНтд зхоп^охсЬзхо ох ‘gyirrinx 010 Sis^pdir зт!аолрх пл
mj -ах SsiUygniari Ззхюпд 5п is^idoigoodir aoir q = axg л1лхо тохзкздхпхзг!
q = xy Lidotdi§3 li ‘Saxlr/gnisii Ззбзразуз отЛду лз 5п oirn йлзтИпуутгу -q = Nx
139X01 Udbadox лкх mgi л1и^	лохо x ЗохоотлЛр о mx [jVo &э] охо
mxniromg э 5aoxoox пт1оалр1§ ох ‘лп1Лоуплп ,103 -_у пхплш и шз ш лплз
лао^пптИхХо 5зу1лхо и Ззгохазузх io inx (5lxcbaSox SLix SUian пхплш oxiong
01) д пхплш 9Х1лотЛпдхзх лплз лао^хпЛХо у аох Ssylixo ш Ssxrodir то 319^
•(лз9ит<) пдздазуз шл13 х nirioygira и пх 119 mx Ucbadox noaodnir лих mA.
SsiUygnisii 53x1009 то тол13 шх ‘	‘ ix 119 siiaoosgoira So ‘UoUrigidn ‘ихЛрлп
лз ‘Ьпхло^рууу туохаз 1пхлолр9т1пу Sisopcboirn то дхап ,irn пхзр^ ’UTiiindA
здпх зо UxUygnxsri Uxiong их1дплот< mri зт!аоо1лтхЬг1з пл толр Snri nriUg oxoidir
01 тох 5зууп 5п зт! ЗзлзтйпЫплп толр пл SsxUygnisii Ззхтопд 10 pdoirri ‘UXdn
лих^ -UyUio inx UririndA лозу1гпгз niri зт! у + и + ш iirs j + ш толр gyirrinx oj.
L9V
XVNXVWXVN ZOVO04W H IVU XaidHIS ZOVO03W H 2'8

AwiUYgniari лом. UoUriiioicn тохзЛзу л аох SorioUoyoira о
•Saxnag Scorip лпл1зт1з ‘oirpdi oioirnx sri AnxUpUypmari l3x aoi SsiUygmari 5зууп
iq ’AspUri oi 5от 3x1x0(01311 aoir ‘Зх aoi поотюглао Uio-.y aUi пю10пхилп ‘ю oio
зо»0(Ьз AspUri oi pirn aoir ‘^x aoi постюглао Uio-г н '5зоотю1лао SsxiAspUri
и iynir зг!аоХз 11019 oxio»9 тох о < х Urioxn зт!аоХз 11019 oixitbg 10x1009
тох 9ixid)3 тох толгз aoir х озл плз fi 13ОП0(Ь зг1аоХз 0191010 01 plan
Ucbadox UxwonsA, mri зо чзопдтЬ зг1аоХз
‘лэрМ 7.337/ Qx aoi потюыао mri лшд -Ud30a3y3 зо Uxiong oirn inisirsdinisri
тох- tutiygnisrf ЬлзНрХдззгп U гтзлгЛ AppUri ою 13лп0<Ь тох То1зл(р1зг) aoir
Чх поотюглао Uirodir н -(q = ху U inindUimp пл зюот Ю1з) То1лолот1зт1 пл
isdoirri х aoi 5зоотю1лао 5зууп то ‘?ж поотюглао UAsripXdsois U 1злп§ап 5от0п^
•5Urixn 5Ui odxn оууп 01 oirn mi35ido0nx liiay ‘.to 5Ui Uriu U толгз пюц
to Uriu U.X1130 mri зо лзрЫ 01 oirn гзлп^ап aoir ‘hiliygnisri
liAsripXdsois U толгз Uiay ’Uxii30 гзлгЛ П0 ^x aoi поотюглао Uio-г U 3103 -Az
01 толтз Soioox олзтиклп pxnUadn 071г 01110 raiog ^’UiUypmsii Udsgasya aUi
Uian sriaoonriixop пл 13515» 3101 ‘(AOTiUypnisri лгахюпд aoti UolidX UdsipAiy зо
misyntbo aoir) OA3riaorioAOXio§3 01 pirn odsipdxirl толгз (^o 010) Soiopx 5пгз0аз
tirn 01 лпд -1зг1олохю^з aoi: oian aoisri SUiUypmsii SUdapaays 5mri UolidX U
13^1X1010 11 1ЗЛХ139- Soioox OA3iiAliAn 01 toais л aoi поотютлао 30nx н
•л aoi ооотю1лао UxhUaQo orir U то1зЛзуигз пл толр UxiAUindio 5и01ллао
H То1злотгзг1 5оюрх oi Snroiro 5Ui 5oxliri ninx ‘lirixn niri зо гзХтоюилп
л aoi поотюглао UxnUAdn 30nx 3101 ‘гзлпХЛаюют oian oidlindx 01 лто,
О < л толгз 5Uiroxni9 oidlindx 01101g, ’qx-ffao толр 5оюрх oioiXnys 01
inx Uioir/39 U9I1 toais Udbadox ц -5aoiopx aoi Uoroiiysp 1ЗЛ1Л пл isdoirri
лзр 3101 ‘рхпйлдп Liri толгз bIx-QBo —	= л nrioaAnip oi лпд gg
,5lu)ll1Ol£OlOir(3g hxllQACW U SUltOXTOIQ
oidlindx 01 толгз piay Udbadox Udsiaynx aUi isdp зг1аоХз ‘о < л лпз ‘nidsri
Uyyn aUi (iry ’о > ^хл oi зг!аолпх пл 3riaodoirri (2) Uootoi^s aU1£ ’ayoir our
Urioxn isioidoidsir пл isdoirri 5oiopx 01 ‘nxnUAdn толгз л aoi пгзХюю nioirnx
лпд 'SUiirindA minx 5Ui лоозт! 010 Ы\~9в° ~ N° = d 01 SniAO^nis^s Uionyag
toais Udbadox U лп 01 mA sriaooiondboirn пл sriaodoirri up толгз AodsdbmpAS
our 03 ’oriUopdir pxnUAdn зт! тлотЛ minx aUio inisXsidsir aoir "q^Q^o
= xo толгз Soiopx AoXpdi 03 -(o = Mx Smpidxn толгз bsiUypmsrl 5sd30a3y3
io) qx^g = 3x SsiUypmsri 5зхюп9 10 miAO^iAndbris nidsri т^зр ndxn aUi^
•pyirrlm 010 miAO^iAndbris и0зЛзг1 niAodstbnipAS ni nyo up толгз pxiiAnriUo 03
(Z)	ql-3a^ + Nx(jyl_S3o- No)= xo
30 3xU0Uy9ni3Ti ^x^o + 3x3o = xo 5oiopx 01 tox
NSINJIVII VIdOHO IV^ SOWZUVWWVdJOdU ZOMUNlWdJ
89t

8.2 Н МЕ0ОАО2 SIMPLEX KAI H ME0OAO2 KARMARKAR
469
Avrq nov eyive pqdev eivai exeivq nov divei to eXaxioxo nqXixo orqv (3). 0a
vnoOeoovpe oti о apiOpog avxdg eivai k.
8C 'Eoxw oti и eivai q г-arq oxqkq tov N, dnov хг eivai q etoepxopevq
peTa6Xqvq -nov enikeyovpe va pexaxpeipovpe ano eXevOepq oe 6aoixq. Тбте
q owioxiboa Tqg oe pia vea xopvipq eivai то екахюто nqXixo
©empovpe avro то ekaxioxo xaOiog diaxpexovpe povo Tig Oextxeg owioxcboeg
tov B~yu. Eav Sev vnapxow Oexixeg owioxcboeg, q endpevq xopvcpq
eivai aneipiog paxpia, то хоотод pnopei va peubvexai en’ aneipov xai to
eXdxiOTO хоотод eivai -oo. Sxig aXXeg nepmxcbaeig q fc-oxq naXaia axqkq
tov В anepxexai an’ xqv 6aoq xai etoepxexai q vea oxqlq u.
Sxo xeXixd xapnXd nepiexovxai oi oxqXeg B xb xai B~yu (q B‘u eivai pia oxqkq
xov B~] N nov 6pioxexai navai and to mo apvqxixd oxoixeio xqg xekevxaiag
ypappqg r). To 6qpa avxd xqg simplex ovvoipi^exai цеха and eva napadetypa
xai xaxdmv q diadixaoia ^avapxi^ei °e pia vea xopvcpq.
ПАРААЕ1ГМА Me xq ovvapxqoq xdoxovg x + у xai xovg nepiOQiapovg x + 2y —
w = 6 xai 2x + y — v =6, nov eixape nQoqyovpevaig, to nproxo xapnXo eivai
12-1	0	6
2	1	0	-16-
11	0	0	0
Eav ^exivqoovpe and xqv idia xopvipq P xov Sx- 8.4, dnov q x = 0 xepvet xqv
2x + у = 6 (nov oqpaivet v = 0), тбте oi daotxeg pexa6Xqxeg eivai oi akkeg dvo, у
xai w. Tia va eipaoxe ovoxqpaxixoi, evaXX.dooovpe xig oxqXeg 1 xai 3, exoi iboxe
oi 6aoixeg pexadkqxeg va xonoOexqOovv npiv xig ekevOepeg pexa6Xqxeg:
0
-1
0
6
6
0

:5aorodi
Saoxnsdocbraig Sisdi зг1 130голюЛдо юл isdoirl тох xajdims aogggsri 5Ui UXadi li толзз
lnay '5aoi grioiAoyoira лою юиют1 mri livvn sriao^id юл rriaovpg тох то 5оЛоу
о тох .7 югкэалтд oi гзХз niomiko кхпотоюЛошю по юдоп sriaodsw  1(ла)зоау
лопхкЬз лтхгоюд,, лоп Спаю (о илт<Ьадох„ лап юооаг/Л Си оггю— юддзЛую
лСпо xajduns aoQ903ri 5U1 ю1д1зг1отзЛ Ln дкю lurogpisri Ln arinogigdoin^j
xa[diui$ SUi Soinrikg 5олз косолюЛдо ц
•01011^39 1ЮЛ13 p+ Sin 50109X Ol TOX 1 = ft = X ТОЛ13
Ucbadox н •тогпюколюхг SLnroxmg oidlnidx 01 тох 9x1139 толгз [g/x g/x] = a ox
t>-	£/l	E/l	0	0
Z	£/l	Z/Z-	I	0
z	t/z-	e/t	0	I
13Л19
1кЬюую1гю зт! IwliAliQO li тох g тох x Ssylno 5ii 1зоою’/'/юлз 9укг1ю1 озл ox
•(gyirrioi aoi UvLno Uiaidir тох) hicodir
li 1ЮЛ13 liop9 Ln ‘irio 130узкю Ю0 aoir InkygoiSTi Li ‘odsigdxiri 01 толгз лохг/Сп:
oiaidir 01 li^isiTH 7/9 тох g/9 тол1з Irylno ютоиазуз! л1п зг! Saoi oxiylnr Ю1 тох
j. [2 g] = n{_q 1ЮЛ13 013X1010 9хп11лдю oi 91ГЮ а>лю1г liyLno н 110109 Lno 130узо1з
Ю0 UiU^nisri lnidi Li 3191:0 ‘g liylno Lno тол1з юостютао ихпклдю ц ююпузд
1ЮЛ13 лзд 9+ 50109Х лддюк 01 тох 9 = П= cn Udbadox юоаодюк U 31910 ‘013X1010
дхпСхлдю юлз 1зХз giay 1и1т1юдЛ апюх лкю [х х~] = d 01 mfffSic
9-1	I- О О
• 9 t-	Z I	= „1
9 Z~	£	0 I
lUyliio кдзктзд Uio
юх1лз§кг1 1зЛюдю1г юл Ю1Л кгМюдЛ Udsiasg Ui isioioriioUSX тох gAUgo ото1дюлог1
погод юл Ю1Л *х_ зт^ ктМюдЛ Uirodir л1п тз^ююю^кюу'/ои: ксЬтоуюггю к ЛИ91Ю5
NflINJIVU VIdflH© IVN ZOWSnvmWVdJOdU XOMIWWVd.I
0/.Г

I охо зф-здюша = ах коау 1ч тох (x_q к) q лох зосодзт1кла (s)
•i30Y3icn юд q 5о1лоХзд1 aoi kylno kio-y к 3101
‘КОфиШО 1110-2/ лк1О ТО13Л»9Г|юу OXiykX O031OdX1li Ol Л»а 'OO— 1ЮЛ13 Soioox
0101X073 oi ‘5зоа>1О1лао 5зхпзд лаоХ0»1га лзд л»д 'n\~q ЛО1 5зо<р1О1лао
53X1130 5и олот! 5п1лоЗ»1з§з ‘nT_£j 5o0ir 5m qx_q aoi nxiykic ni зогЛоуокд (t>)
nT_g = a 01 soiAoyoirx (e)
n 3ii »1»1азуз1 лк1 SDiyogiia^ kong kio
клзг!оХ0зо13 5<o g aoi kylno kio-г лк1 3^37019 ‘nomionao кхпклдп our li toais
лю ‘nxusdodroiv -111011739 1ВЛ13 lioa^ ooaoSnir к :3okiniioio о < л люд (г)
•д/у — Л7э = л Saoioox
аолзтШхлю aoi юг1оалю1д oi тох x_qЗэ = у liriiindX-jorioaABig 01 301Л070КД	(l)
xafduns aogogsii Siu «(flip пл& j -g 5»хвлщ
:лтз§пд1г оухах ogaoygxn лог гзгшт 91а» nrilig 01 ‘q^g = ах
lioay поаоХздг л1и inx д пхплш gxiong пглоХздг лох от Зпглетлгхз^ тз^зушз
пл 5зукго 5зто1г (ю ог тх л ог от) isoiontbom ,л isirsdir тх д аог кукго
nni 3ii аог кукго nni гзоопууплз mikg здп^ -тогпхЛплп nxnmiAndir тлгз
loiioiAoyoira 10101г siiaog пл mx xajdiuis ододзг! кг зг!ао§пгтох пл дут ош nxr/зг
mx одоЛкбЛ ош голщ -gyirrirn ог зг1аоф,1зупгпхЛз пл тоткогз згоптйд
•тггзЛоуотхгд лзд 5(ог1д k^ndir лкго ‘пгдотзд кг гз^готсЬ пл
isSoirii пгкгодкук пюгзг 3ii 5kdnoynm 5кг козузгхз ц ’kong кго лаокг! пл 5аог
пдгзо кг зг! 5пглолзг11дзк ‘плп^ тх плп^ ‘лгоукго 5здпглогпхз лпгло^гЛоуока
пд ‘mikygodK одзгаупЛзг! плз to тх аолодХ купгпио тлгз 5аог SorioiAoyoira
о юга, •iSQkioKoriiokSX пл тпзходгг лзд л лкг от етлпи 5зукго 5зууп 5п
4т nninx ‘kong кго isirri пд aoir кукго кг гз^гздоша 5кгозузглао Зохпклбп
ош о тх л ог pgoiXoyoira aocbn по зггздЫад ‘ггтЛ ог згрд пл nij
•лпотгзузг —niygig nxnxngig зо mmikygodir ndxni пг
коздт^з зг1- оутЬэг аог 5здзг1 io ‘5aoiroxo 5aoxnoiAoyoira тЛ ‘ооогоу -([лотх
-плш летг лсоуд к(ЬпдЛпгпх кхпауплп лкг пгкгд^здшз зг! 5пглсотокогкокдХ)
лотхплш giioiyogriao лог ‘5амзузг лддзХо ‘пЛазгкот пл злотдддгпх ngig 5midax
‘аогдкгоат! пдап nni зг1 giiounriiindAodir gxnirindA. лог зуупдзгдзк 5пт1з 9m
Заодзгдоогдзп 5аог mj -тлддХ nyyoir тЛ одпух лого зокХдпгдах aoir -дрггйэг
ог— оготд1г ог лпгк огдпго дхпоахуз опт ог ‘О1гддг oioirnx пгп>[ xajdtuis
аодддзг! 5кг пгбогт Ыоглао nni nxnnriAndir тлгз 5дгап 5оЛоупгпх q
{_д аог плп
5зглоЛпдп1г 5аог 5аогап 5пглолотзлплп тх 1 дд = д лог 5пгло^-1Лоуо1гх (£)
д аог кукго кго-r/ лкг пгогдпхплп д/-
аог п кукго кго-г к лпгд ‘лог 5пглолотзлплп тх {_д лог 5пгло^'|Аоуо1гуд (3)
•ду1гт1пг плз (j)

avsavwwx zovoqhw н ivn xaadwis sovoeaw н г»

472
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТ12МО2 KAI 0EQPIA ItAIFNIQN
Kappid фода, yia va yivei p diaxgiop and Tig nga^eig oe тарпХо, тобтр
ovopagexai avafltojgppevp рЁОодод simplex. 2 Tpv пдауратсхбтрта eivai p idia
p цёбо&од simplex, oopnvxvwpevT].
H ov^pTpop рад 0a oXoxXpgco0el poXig anoipaoioo-upe ncbg va vnoXoyioovpe
та бррата 1, 3 xai 5:
A=cBB v = В xu, xai xB=B }b.
(4)
О nio брроф^рд тдбпод eivai va egyao0ovpe an’ ev0eiag pe tov B-1, vnoXoyi-
£ovTag tov avaXvTixa OTpv пдсотр ходгхрг|. Kaxontv, oxig enopeveg ходуфёд, p
odpypop eivai anXp. 'Oxav p отркр к тои tovtotixov nivaxa avTixaTaoTa0el pe
Tpv и, тоте p отрХр к тои В-1 avTixaOioTaTat ano Tpv v = B~]u. H апако1фр,
yia va enioTQeipei otov tovtotixo nivaxa, 0a nokkankaoiaoei tov naXaid B1
pe tov
1 -Vi/vk
E~' =
l/vk
(5)
~vn/vk 1
П0ХХ01 anXoi xcbdixeg XQPOtponoiovv Tpv “лоМмлкааимгихц pofMpTj tov
avTiorpotpov”, nov anopvppovevei xovg anXovg avrovg nivaxeg B-1, avri va
avavecbvei an’ ev0eiag tov B-1. 'Otov xgeiao0ei, avxoi epjagpd^ovxai xai ота b
xai cB. Se xavovixa diaoxppaxa (evde/opeviog xa0e 40 бррата трд simplex) о
В-’ ^avavnoXoyi^eTai xai oi B-1 diaygdcpovTai. H e^iocoop (5) enaXpdeveTai
OTpv Aoxpop 8.2.9.
Mia пю пдоофатр ngooeyyiop eivai va /gpoiponoipOotiv oi owp0iopeveg
pe0odoi трд agi0ppTixpg Tgappixpg АХуебоад, Oewgo'jvxag Tig (4) oav xgetg
e^iocboeig nov exovv xoivo tov nivaxa ovvtekeoTcbv B:
AB=cb, Bv=u, BxB =b.
(6)
KaTomv, p ovvp0iopevp nagayovTonoipop В = LU (p PB = LU, pe evaXXayeg
ygappibv yia педюобтедр evoTa0eia) odpyel OTig Tgetg Xvoetg. Oi L xai U
avavewvovTat ovtI va vnokoyi^ovTai '§ava.
Kat xciti axopp: Пбоа бтцлата simplex xgeia^erai va xavovpe; Avto eivai
advvaTov va anavTp0ei ex tcov ngowgcov. H neiga deixvet oti p pe0odog ayyi^ei
neginov m p 3m/2 6юфодет1хёд ходофёд, nov oppaivei eva nkp0og nga^ewv
yvgco ото m2n. Avto eivai ovyxgioipo pe тр 0vvp0lopёvp anaXoupp yia to
Ax = b xai eivai p aiTia трд entTvxiag трд pe0ddov simplex. Ta pa0ppaTixa
соотбоо Seixvovv oti to ррход трд diadgoppg dev pnogei ndvTOTe va фдаооета1
and xanoio ота0едо nokXankdoio p dvvapp tov m. Та хесдотеда еф1хта ovvoXa
(o Klee xai о Minty eфevgav ёvav тётою xoppёvo xv6o) pnogovv va avayxaoovv
тр pё0odo simplex va doxipaoei okeg Tig ходофёд. Мёхд1 пдоофата dev rpav

'ioiifpdoAv» 5<>znh,MihivoK mXctoim пл pdoirri
<uq nimilr/oodir »Ю131 »U 110 sriao^pqoir» ,л 010 1»1зЛ»л» (lCfy £ niilr/oodir orilicbidsir 01-
Uocouridsir UdaiodisX lno ЗлолоОХ Заохпэдхэ toiaoP>ii6'/. lorigidoXyn юшголА то юуо '5з1лоЛ»дтг
5aoimdir зо 1лоау»л» л1п тох orionnririndAodir отодзх» aoi »ij зргшцэ^ - швгд niooxiqmq In
тох рууп gxioacb ох толп дхау тодспХдлздкт! лою солок э- ох зи'лоуурдогтк
‘коладазхпх кдзхаупх л1ио кбзхозтокук толп аок коладазхпх кххздокп лкх
зт!аодд пл mA ‘тохд, -у лоз. одыХолздкг! лою зюззХзздззс юл ззхздк ху югНзд
°Х ’0 = XW Л^1 ]зтоколпх1 пл пкздк ож — {х = жу 3101 ‘q = {ху inx q = ожу
лпд -q = ху лкх isdkxmg лзд коладазхпх лкх кхап 5обк коклпх к aodro
‘оуолао дхххЬз ox (кп n^jpAg 5пг! дхап 5годклаз -э- ох пхпх толп коладазхпх
кдзхаупх к ‘жэ толп 5оходх ox кдпкд Snoioox лоз Skomjari йоладаззюх mri
зо зт!аоокдотХодк пл тох -(у ‘ • • • ‘Ух) = ох 01 толу дхап ixo зт!аооздока пд-
оуолло озхкЬз ою юозН onriko плз окп зкаоокл1хз§ пл толп nagi кхсодк ц
уолддХ дхтНалсоауок зо koiyxAao кх пуздокп ,л шуршл?-)} лохо
лпгкздхзкз aoir 53100x19019 53x1913 Six гогНрлаоткз ng лткдхпх тох SUoirigvxovATD
origido^v лох зт! гооклтхз^ П0 ’5ао<ЬрдАпдпк SsAiy зо тохлаоАк^з пл зхого
‘5пддзАуу Skxiririndj 5клзт1оот!дпгЪз 5кх ототоук охо ауок 009Х лао^хидтох тох
SsxiAoyoioadi 0D9X толп 53391 то оодхоу тз^уз^з лз mxsxoidg kXnTimg к тох
miioidx aooi §з толп nxigrox аох 5зпдзт!охкзу то inx 5охпт!кудодк аох лдктоу
кЛоупгз н пхпт!ку9од1£ пууп зг! ‘nxntindnir пууп зо кдзлао лзд Scorig oiorigdnK
ixn^ -xajdmis аодддзт! 5kx soaXoidsira ‘aox nxnripdnir nxo ‘oioiro к ‘5ззд1
5зукп oag зо клзткпопд ододзт! nni злпхддк лзувихге->[ q •ao'rioixniirindA.oSir
аох Snidoxoi SkxntbogSir 5кх 5длоЛзЛ дхпютокахлз our охо ndcox sxonrigXdg
хецхешхв)! аох Sogogari ц
•кдзХах
толп xajdmis 5ододзт! к тох тлпмо толп оуолао nxxidn пхпх пх ‘лотбдзауок
лсохюхохлдауок лгох П1дхзт!отзЛ кхо олзтМадх ‘оЛду oioirpx mj SpxiriaAroayoK
толп 1x9 (аодддзг! 5клзт!о1дклао 5кх kAnyyndnir nni mA) обсох зхкд'Хпдокп аок
‘олддХ оозг! плз (о- ппуаод кх злпхз xa|dtuis 5ододзт1 к ‘mikxonig ох дхап оуд
‘оодхоу к^рдк лкхо тох рууп тдотзд кхо олдт! i'Zg кх1хо1лсоАпхлп зхкхХпдокп
‘отхпхпдпк inx3(bndAid3K аок ‘зецзешзе^ лоз Sogogsri U лшдхп^ -лгодпогН
-пууз лголзт!аолх1ддао Soigaoyoxn Son! спозт! koay кх злпдг1рууао тох оуолао
gxxidn охо поэт! злзт!здпц толддХ дх1г!алгоауок зо пдау пл пдокт! 5дт!о1хпт!
-rlnSAodK 5дхп!т!пдА о ixg з§пдз аок клпхз лпхк иещзец^ лоз Sogogsrl jy
•(коспхк1бзк кдзхддпХ кхо 1упк тох) лаоо1хпт!дзх пл idXsri SniAdaoxny
олддХ дхпздхз лаоХз lorigidgAyn loxixoidoigoodK то тоуд ixg ‘пдХпдокп пХз пл
SidroX ‘тохзазхтк пхотИлудобк jпх mj -кхкусок ао1ддлпук аох пг!кудддк ох
5гокд ‘jjy nidoAkxnx кдздосЬ кхо к -олддХ дхп!алотауок зо лгокюаутоз лсох-
j nidoAkxnx птодго лкхо пхклп SgrionmiiindAodK SgxnirindA о лпз дхосолА

XVNHVraVN ZOVOOHW Н IVN XHTdWIS ZOVO03W Н 3'8

lu>iri0»lD»A»
ari 9 ою [Ж ‘UyogoSir ari ^x 010 (y :5ио1г10рюплп aorigidoAyn aoi nrilig •£•£
aoi поотюглао mri aoioiro aoi гшз одолдо ою ‘-ooari ш 5odx: оку/ yrm ‘пхлох
толгз пл ус, oi 3100) ioi3 тохзЛзунгз э^- aoi oionyirnyyoir oj^ оуолао gixitba oi
oirn зг1аолтоЛ9 пл Santo 5torn/- 5oiogx oi mis^idoidsir одзюоогдзк 0091 ‘nrilig
01 толгз odsigynAsri ooq, ’oJ- Sliyogodir Slii oionyirnyyoir толгз .ту nrilig og
(8)
Л11ГО1ПХ TOX
эу = fijyv
•/i^y - э = 3J
:лоттМпдЛ одотХ ою 1П1зХз1дз1г aoir aoi поотюглао
л1и (11у111о-пг1оалп1§ лпо пдоп зг1аодотзд aoir) э 01 oirn sriaodmdro тох nriliioao
gxnirindA плз зг1аолау ‘oian jA плу ’inis^iAoyoira лзд Sodtodioiwo о ч_(^уу)
лох nxnnriAndir Згзлпх isdnir пл тохз^пгздХ лзд но зхз^гдотлЛплу -о = ху noig
‘ж = xj 3101 ‘одотХолздЫ лою ligli толгз х 01 лпд -Q = у [-(11УУ)(и£УУ) - У
= jy 1191g ‘одотХдлздиг! лою пт1оалп1д здпх is^yoxisirn 5gian 5ото1азуз1 о
(Д)	•y[-(liyy)j;y-/= d
толу bliyogodir Зпхплш q
"OZ’E’E Uolixoy л1но зх11д111зузг1 у aoi одотХдлздиг! лою отлп1г Uyogodir у
•JTOflBUUF^
аодддзт! SUi nrilig (л/Н SniAdaonsy Saoiogx Udioirn girn rgi-j) ддклтгпд
№1NJIVU VIdE5H0 IVN 30WZllVWWVdJOdU ZOMIWWVdJ

8.2 Н МЕООДО1 SIMPLEX KAI H МЕ0ОДО2 KARMARKAR
475
ПАРААЕ1ГМА 'Eotio oti to хботод стх = 8®i + 2x2 + 7ж3 xai о педюдюцбд
Ax = 2a?i + 2x2 + x? = 5 = b. 2,’ avvi] tt]v neginTiooT] то есщхтб ovvoko eivai to
Tgiycovo PQR tod S/. 8.5. Avto eivai цёдод emnedov tov TgidiaoTaTov x®gov,
nov алотёцуета1 ano Tovg педюдюцоод x-[ > О, X2 > 0, z3 > 0. H бёктютт] kvoT]
пдёпе1 va eivai цю ano Tig ходофёд:
F:	x = (5/2,0,0)
Q:	ж = (0,5/2,0)
R: x =(0,0,5)
це хботод
це хботод
це хботод
стх = 20
стх = 5
стх = 35
'Etoi то х = (0,5/2,0) eivai бёктюто xai ект^ооце oti то бтща Ах xaTevOvveTai
npog то отщею Q.
О vnokoyюцбg ngo6akket то с = (8,2,7) navco ото enineSo 2х\ +2х2+х^ = 5:
Л = [2 2 1] ада ААту = Ас yiveTai 9у = 27
—
То даптоца avro, nov deiyvei tt]v xaTevOvvai] tov бтщатод Ax, 0a ёпдепе
va eivai otov цт]беубхо)до tov A = [2 2 1], пдауца nov ovTOjg ovцбaivel.
Kivot^evoi ano то отщею exxivrjorig xQ = (1,1,1) ngog ovttjv ttjv xaTev0vvoT]
ёуовце
[1 -2sl
1 + 4s .
1 -4s J
Tia цт|ход бтщатод s = 1/4 т] тд1тт] ovviOTivoa eivai цт]&ёv xai це tt]v enikoyi)
avTT] фОсгуооце ото отщею В tov о/тщатод, це ovvTeTay^veg (1/2,2,0). Avto
eivai пкт]О1ёотедо ото бёктюто Q, akka e^avTkcbvTag tov бдбцо цё/gi то ovvogo,
^vei nokv kiyog y/ngog yia to eno^vo бтща. Mnogei va ооцбе1 (nag’ oko nov
e5d) dev ovцбaivel) т] цт^А1хт] ovviOTiboa ото В va цт]У eivai цт]дёv отт] бёктютт]
ходтхрт]. IV avTo отацатаце kiyo mo ngiv ano то B, ekarrcbvovTag to s ano 0,25
oe 0,24. О nokkankaoiaoTixog avrog ovvTekeoTi)g a = 0,24/0,25 = 0,96 eivai
уадахтт]дют1хбд xai т] Ц1хдт| Т1цт| a = 0,25 nov 6тщоо1еб0т]хе yia пдсотт] tpogd
an’ tov Karmarkar, еткёх0т]хе yia v’ ano&ei^ei tt, avyxkiOT] oe nokvcovv^xo
Xgovo xai oxi yia va бот]9т)ое1 tov avayviboTT] va neTvxei tt] ovyxkioT] oe
пдауцат1хб XQO'VO- Otov s = (0,96)/4 = 0,24, то бтща хатакт)уе1 ото
ГО,521	ГО,51
= 1,96 avm ую В = 2,0 .
|_0,04j	|_0,0j

476
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТ12МО2 KAI 0EQPIA nAIfNIQN
Avrd okoxkrjpcbvei rqv лрсотт] idea, тг)д лробокт]д, лор &ivei rr]v mo апотоиу
etpixTT) utiojor/. Афор r] opvExior) тт]д лоре1ад лрод tt]v idia xotepOpvot] eivai
бохолф то eftojievo бтща anairei цю vea idea.
H лрбтаот] top Karmarkar r]Tav va juerao/ij/ianffov/iE to x1 xai va то nafie
nimo otijv xevTQixrf Oeot] e = (1,1,1). H akkayr| артт) twv цетабкт]тоА 0a
akkaijet xai то лрббктща, xai тоте то бертеро бтща лробакке1 то veo с otov
p]6ev6x<opo top veop A. H akkayr) цетабкг|то')у лор exave о Karmarkar (лор 0а
бсооорце арубтера) f|Tav цт] урацц1хт]. Qotooo о алкоротерод цетаохгщатюцбд
eivai, алксод, цю avaoraOfiim] tojv a^ovcov.
Па va цетафёрорце то ж1 = (0,52, 1,96,0,04) ото xevTpixo огщею е,
dtaipop|ie Tig avrioToixeg opvreray^veg xaOe 6iavpo(iarog це торд Tpetg арторд
ар10цорд. Me dkka koyia, ба^орце аоторд торд арсОцорд oe evav diayoiivio
xivaxa D xai avaoraOfii^ovfie oka та biavvofiaTa fie tov D~} :
Г°,52	I	Г11
D =	1,96	xai D ’ж1 = 1 = e.
L	°’04J	Ld
Елютрёфорце kotnov люсо ото xevrpo, блор ёхорце x<opo va xivqOop^e. Qotooo
то еф1хтб opvoko (to rpiycuvo PQR), xaOobg xai to diavpo|ia хботорд c eyopv
akkd^ei (Sx- 8.56). H ауаотаОцют] ало то x ото X - Dxx ёхе1 5po opvёлeleg:
о лерюрюцбд Ax = b yiveTai ADX = b,
то хботод cTx yiverai cTDX.
'Etoi ту в t oy tov nivaxa A naiQvei о nivaxag AD xai ту Bear] tov diavvafiaTog
cT naigvEi to diavvafia cT D. Sto ларабе1уца цад avro 5ivei
AD =[2 2 1]Г> = [1,04 3,92 0,04]
cTD =[8 2 7]D = [4,16 3,92 0,28].
To vdo лрббктща eivai тира г] еках.ютоло1г|ог) top ctDX рло торд лерюрюцорд
ADX = b xai X > 0 (лор eivai tooSpvap] це vqv x > 0). S’ ёva цеуакртеро
ларабе1уца, о A 0a eixe m ураццёд avri yia ц!а. To Sevrepo бтща лробакке1 то
vdo баАроца хботорд л aval otov цт]6еубх(оро top AD. H e^iocoor] (8) yiveTai
AD2ATy = AD2c xai тоте PDc = De - DATy. (9)
Ехорце koinov 6vav okoxkrjpo акубрЮцо, ехтод ал’ tt]v еххАрот] xai to
отацаттща top. 0a цлоробое va ^exiva ало 6va олою6г]лоте eoarrepixo огщею
ж0 top еф1хтор opvokop. Se xaOe бтща, т] трёхороа ехт1цт]от] хк avaoTaO^^eTai
ото огщею е = (1,1,..., 1) xai тоте т] лробокг| (9) Sivei tt]v xaTepOpvor] top
бтщатод cog лрод ttjv avaoraO^o^vr] цетабкгугг]. To е^аубцеуо top бгщатод
eivai то ж/с+1:

Зздзхлзр 5n тЛ og ою тох 'Здагюк з.-шрок 5п пъ’.
JsXndmr кото^з кюлолтс kdirioirig-oio j~[ -^ц ari miaom /Цд/И олзг!олгЛ oi
inx (J = /И толгз лсодпд Зпхплш о ‘9’g аосЬпдЛпдпц 5lii noomyA I113 -liyogodir
liAariorrlgnio mri толгз aoir ‘aorigidoAyn aoi 3 oio злгЛз nrayaoq li lr/Q,
•ф kcbaoox liiocoo
lii лаоогдодпх пл лпозддхгг! aorigidoAyn aoi nimikg oaq inx 27 ‘(^9 ‘<7 Ssdradox
5n oirn mri толгз oisriko оюпузд oi 119 лаодз^ юуо, лкшп (o ariao^U^hu юл
i»x кдзлауюх ъолтз htbadox moic sriaoq юл- лгцзвиив^ aoi aogggari 5ki nrilig
orniaspi 010 п1лох пгзхдп зюпткз ndaoAi^ ’(o‘$‘z‘o) 1ЮЛ13 Ззооптлао io
bnioiro 5ki ‘2) kcbaSox лкю п1лох ayoir толгз 119 тох g = H)'O + 26 7 + 1zO ‘0
= £2: + z-x-z + :оуолао gixrcbs 010 гшзХзгдзи oi 119 sriaoAmimirmv
[fr0‘01	Ггсб‘о1
9fr‘2 \=zx	тох	£SZ‘l	=	j-(££‘0) - э = zx
2o‘oJ	Lofro‘oJ
ni толгз zxa = Zx озл 01 wx zX озл 01 319± '££ ‘0 = 16 ‘2/96 ‘0 = s
01 толгз nrilig gxukdkiAao 011г плд, -Asgliri потюглао liicooir л1п злпхз ng
‘16 ‘z/l = s Soimilig 5oxUri 01 ‘(l ‘т ‘j) = э 01 oirn oqjs 01 srinoaodrncbn лпд
Г £Z‘O I ГИ)‘О1	Г82‘Ol
’ 8Z,‘0- = 26 ‘£ Z‘I - 26 ‘£ = э(7</
L 16‘2 J Lw‘d l_9T ‘izj
Z‘l=^ к 2‘6l = ^‘9l 1П13Л1А oz(jv =
:zx 010 xx 01 girn srinir пл тЛ ‘miArsgndnir oio 5aoriorAoyoira Saoi Saoian
зйголпх 5y 'O(jj(js - цх oio ^x 01 girn гзлтоЛ1иг ‘5з11гудп1зг1 ЗзхгХдп
'oqjs - э ою э oi giro гзлтоЛ1иг ху nrilig 01 ‘Liilr/gnisri 11лзг1тг1дпюплп л1пз
3(Idas - чх = 1+чх толгз пг1оалпгд озл од (д)
’(96 ‘О = п Ху) ю кюз^зглао лплз tri s 01 gian зогдогбзц (7)
поашялао UxiAsgliri niri 13X3 пл oqjs — э 01 зихо гшз ‘s origrdn зтдогдоодц (f)
•(б) 5ko(ooi§3 5ln 0(7(7 Iqogodir л1и зтЛоуока ‘(j лог лохап (г)
•э=	цхт_а
3iow inis ‘^х aoi 5зого1О1лао 5ii 01т q пхплш о1л<рЛт§ 01 зопазхотп^ (х)
5йоп/0»ю»лу 5о1/0гдрЛуу
LLV	XVMXVmVN SOVO0SH Н IVN XSldHIS 3OVO0HW Н 2’8

Тиопузр тюлтз j Utbadox к Зоткзлао
тюх 0 < •' n? 31§1эу '(о‘£1Т‘О) = э тюхзлтЛ 5аохоох юткталютр oi Ззхкудюхзт! 5тх
Зюхлоооюхютрюлу й + х£ тюлтз Soxoox ox но зхозрока ‘jg ох юхзт! юг1Лтзрюоюк oxj £'£'8
ox зхозузххз tox nrilig озл oi зхоюг!тохз ‘xa[duns nriUg олзйаоЛкодк ox юхз^у Z‘Z‘8
•UdraSox юзл luo Soioox ox
зхтздд тох лотхкудюхзт! лотхтоюд л<»х ЗоЛаз^ озл ох зхотЛоуокх ^лаорузкю юл тзкздк
$х‘Ъх 5и окю Ззток тох коюд luo лаорузотз юл тзкздк tx‘tx‘ix 5u окю Эзтоц
•£ = ?Ж + Еж + Zx£ + 1Х£
f? = Ъ; + £ж + 2ж|7 — 1ж£
Ззхкрлао Зн ока £х — Еж + 1ж л1и зхоктокохотХюуз 1'2'8
згагшязу
•отхюхюдюк
тюхз^юхз^з аок 5от!отар о толтз ‘ютзузрт!з кдзхауюЛзт! Ux зт! 1лхаю ‘Зззрт 5п Ззур
.ку ‘оЛоурт^ю юхтхздтю^з толзз юл зздаоуохю^з -ЗюдрзЛуу SUxiririndj 5Ux 5ззрт
5тзроттузт!з0 5тхо оорхоот тюхз^тдкхо ‘q = ху Зтзоотот^з 5зхтт!т1юдЛ 5тх юхзт! Ззлотто
зхкрЛтауюхюлю аок- аот!отхюг!т1юдЛодк аохтгМюдЛ аох ют!з0 оур ох тох Здорюх
xajdiuis Зорорзт! ц тзХахокю Ю0 юуую зо тох тзХахткз Ю0 юхютИхуродк юхтдзт!
зо ‘aorioiAoy аохтлот!кхоткз аох 5ззрт 5зуую зт! тох тзлтюрт!ао Sotkq, ’тзокЗркз
Ю0 тох кхтхоахуз ‘Uxioach толтз хтюртзихге^ аох Зорорзт! It тхр OT^TTiofq ’коктокохо
-тхузр 1лхтт!т!юдЛ Uri зо тюхзлтзххзкз тюх тюхтзтококодх ‘тюхз^ютйхор ЗотТртдоЛую
о oriopx лох лоур (о ‘ЫЛтхо Ux lixay •Зйотт/ршохм» 5U.1 йойд7. люхрлтХ 5mriо
li^pdit лк1^ -олрдХ лох 5одк 5<о 5котухЛао 51ххтг1ала)ауок 5Ux и^тзрркю лкхо
люхр^ютздХ рхау xt_(j^э/x^q охо х аох и5рт!отхюг1иХоюхзт! Зрхтуородк,,
5юлз люхрлтЛ ‘охаю €тЛ тхлу -рхтгМюдЛ Зохорх ох зоаохюдх аок lx{ q lioiri
-0юхоюлю лкх окю юдзк зоаодотХодк хрухвиик^ аох 5от!0тдрЛую ЗрхтХдю q
•(ssajj-aSpuqureQ-KaisanoM)
»xu»ri!i0»jv юл.зг1ооНд»<Ьз пю UAmAnnrj аот! отуртр охо тохзсЬюдЛтдзк ‘UXax
-ткз тзлюх лкх аок и51ххоюазхоюдюкодк„ о тюх ‘лтзотух лтЛа^ао лотх юзрт ц
(•ЗксЬтоуюкю 5кх лоозг! охо зхзокхют!юхо юл 5отг!р зхтздокт! лзу) 'Эютоюхтрютр
5кх козг! Uxo тзокхюг1юхо юл тздокт! юуую ‘ксЬтоуюкю лкх .кю юдзхрЛдю кокхл
-юкю кртдхю лкх тзлтр тюх- козт!ю лррзХо тюлтз аок лотзотух люАл^лп лотх
5oqo03ti к тюлтз юхютИхуродк юдзхауюЛзт! ютЛ тдорюсЬ oj. ауок тз^тхоох юл
тздокт! ‘рт!отЛоуока октоурка лох тзтокоукю тюх лю аок ‘^У(7 аох лотукхо лотх
1хоктокотлотЛо0до U тюлтз jpiunps-urejr) лотх коау кхтххюууюлз н тотодю лаолзт!
-юдюк Ззхюлтк то тоур люхо ‘оуюЛзт! зо тюх U ют1куррдк рдхтт! юлз .о ютХахткз
тзХз аок ют!Людк ЧкЬтоуюкю U тюлтз ft аох аот!отЛоуока Зокрдх Зрхтлолюх q
(от)	3zav = ^(jyzav)
:5юдрзЛую
51ххтт!т!юдЛ 51ххтхкг!0тдю 5кх ют!куррдк 5зроттузт!з0 юлз тюлтз 5Ux Uoay U тюх Й oi
NK5INJIVLI VIdnae IVN SOPiSLLVWHVdJOdLI SONIHWVdJ
8Z.t>

зшзлетппуз 5оюрх oi toz UxuIiaSd
зплзз Uyognisri li Зткзлао тох ‘г||эсу||»— зг1 зшаооз plan no З1^ззу
= xy j? зплзз лц.геш-ге}{ aoi aogogsri SUi nrilig oicook oio ‘Saoiopx aoi UXnyyn ц ZT’Z'g
UyogodK
л1п Sook 5ot 5оютзоууплп 1злзг1»опк 5od<o'XpA3pliri о UgnyUyz ж = xg 3101 ‘y aoi
odcoXoAsgUri oio толзз x лпю пр З1§тзд ‘у [-(^yy)^ ~ I = d юхплзк л.01 mj ПТ8
CoisriUo
01 pia» fi x 01 толзз озоц 43gUii ззлзЛ пл t’x oi U 01 лаоопхЛплп fi Зззотоз^з
зо зюсп зо1з ‘лаодЦ^ап fi лаооокз-i ауок оорц ‘(ц ‘9 ‘о ‘о) = х 01 ркп зт!поаолзхз§
лп ‘5aoi Uriii ЬхзлзрЫ noaoXsdi л1п ркп ‘sriaooli^an fi зкзокз пд ^х 01 U \х oj,
_	^1= i^x + гХЦ + 1Х£
(о < ?Ж ш пуо зпх)
9 = Еж + Zxfr - 1ж£
5зх1лдлао 5з1 ока Еж — 1ж 01 зг1аоо11зокоюзХпуз пл зз1аоузд зю «под, 0ГГ8
\-Э Л01 31^ тоз-злзЛ юхплзк аохзопд aoi коотзлплп Uiocoo U зпх aoi 5р<Ьодюз1лп
о зплзз [-3- о ‘SomriUg аолззЪкз aoi Зпхплзк Зрхзопд Spiowo о зплзз дд о
зо1з, aoi Uyliio lno-г/ л1по тг = пд ззХз дд о 310 з1§ззд зпх (g) л1п зюаздиупкд 6Т8
'О < х ‘0 < гж - !ж
‘ZT < Zx£ + 1ж ‘у < Еж + 1ж 5аоз1оздоздзк Saoi ока ^х + 'ж£ л1п зю11зокоюзХпуд gx’8
ЧО < х
зпх q = ху зг1) Ьоюрх 01 зг1аоо11зокоюзХпуз пл плп зг1аоо113окоюзЛзг1 пл зг!пузд
лп ‘Udsgasys ззлзЛ пл пзЛ д aoi Uyliio пзз1 зпх кхзопд ззлзЛ пл пзЛ /у aoi Uyliio пзт!
зоаодаоуох» пд 5злрлпх Ьаозок зпх ./ 01 пзЛ 511кохпзд oidUndz 01 л»11л пд озоц £Х'8
аоурлао aoi
aoian плрхзз »зт1 зюпздзХо зпх д < гж < Еж ‘g = ЕЖ - >ж аоурлао ашхзсЬз aoi
Ucbadox лк1 з1зздд [g] = д зпх [у - у] = у лшо ‘пз1оалпз§ 01031739 01 зпх у
aoi 5Uo»<b 5U1 q = ai ‘g = ж пз1оалпзд 01 ‘nriUygodK px3iUgUo9 01 3ictindXmn>{ (9)
•SoinriliygodK аохзХоп aoi Ucbadox UA33iaoiUS U зплзз *ж oi 3101
‘g = л»з \cn\x ЗаоЛаз^ аоюзгузд aoi Uosdas aUio 33oUd<nXodK пл isdoKri
xsjdmts 5ородзз1 U зпх 33ga>dUyxoyo ззХз j Uoncb aoi Uxig h 3013, ЧпхзсЬз зпх
11хзо»9 зпх зплзз q = ai ‘g = ж Ucbadox U ln3iUy9pdK озл 01 pian jX 310 з1§ззу (n)
•g = зг1 ‘лзриН зплзз ng
n3)Uy9pdK 01 pian fi Soiopx оюзХпуз 01 ‘Uoay UxзlUлdn Uri пзз1 ззХз q = xy U лшо,
q = m + xy ‘g < m ‘g < ж 5зх11длао 5з1 рка шт + • • • + Ear + I пг SUi зиоизокоюзХпуз
nriUygpdK px3iUgUog 01 siolidcosg ‘g < q ззлзЛ пл зю<р ‘nriUopdK ni ЗшлоЗпууу
q = xy aoi SUoay SUixspoKn SUx3ong 5пзз1 Uosdas л1п oXpio ззХз / Uoncb ц 9T8
•Uio3iy3g зплзз g Ucbadox U 310 зпх g 010 ‘^) 010 g 01 ркп пхзХодпзд ззЛЬдо xs|dmts
Sopogsri U 310 зюаздиупкд -ft£ + ж зо 5оюрх 01 З13пууп ‘nriA33gndnK оздз 013 g-j-g
ос - oio ззлзз! ft — x 01 зпх yg Xj aoi fi пло^п лою зз1аолюупЬопхо
3ip зплзз ззлзпдз1ао аок piay Ucbadox Uyyn 31зо1илплао пд лзд зюк 3ip aoi
priUopdK 01 33d з1§ззд зпх п{_д 01 зюзЛоуока лзкрюх Uong Uio ззкз) пл зкзокз
пд п Uyliio пзок зюзопсЬокп зпх л 01 зюзЛоуока ‘(О‘т‘1— ‘О) = э зтЬоХзз пд д
Ucbadox лЬю и^пирздплп лЬ1 зг! зюко ‘fi-ж лш11 Saoiopx UoUidmao Ux3Xdn U лпд y^’g
aVNHVWnVN ZOVO0HW H IVN XHldWIS 3OVO04W H 28

480
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТ12МО2 KAI 0EQPIA IIAirNIQN
8.2.13 (а) EkaxioTonoiqaTe то хоотод стх = 5xt + 4a?j + 82:3 ото eninedo .t, + ;c2 + жз =
3, бохгца'Соутад Tig хорофёд P.Q, R too TQiywvoo лоо алохдлтетои коуш twv
леоюоюцсоу х > 0.
(6) Пробакате то с = (5,4,8) navw otov pjSevoxwQO too A = [1 1 1] xai 6peiTE
то цёуюто бг]ца s лоо SiaTqpei to e — sPc цт] apvqTixo.
8.2.14 Meiwote to s Tqg nQoqyoo|ievr]g aaxqaqg це to a = 0,98 отацатсоутад то бгща npiv
то oovopo, хатаурафоутад tov diaydmo nivaxa D. SxeSidore то еф1хто Tpiywvo
лоо 6pioxeTai ото eninedo ADX = 3, цета то лрсото бт)ца Karmarkar.
8.2.15 Ехтекёоте о’ аотб то ларабе1уца то бебтеоо бт)ца Tqg цебббоо Karmarkar xai
ooyxQivaTE то х2 це то бкхуооца Tqg 6e/aioTqg хорофг|д too TQiywvoo PQR.

•ogo03ri »igi aUi sri 5<олодХо1а»1 тохлолау nxmilr/ооок oag
»i tox ‘гзоотипдзк Uonu лз— lioliiOKOioiAaTi Uio той ovnz aooi gr тох.лотйп-Ьз xs|diuis 5ogo03rl U
Santo ‘UoUioixoioiXnys oir» зПпо1хл™з£ aoxiag tox aoxiXSn agnxxxi ntoiaririao SUdlr/ц r-f/.опцд *
SsAirinxig 5зтохАплп ш лаолрхтбпк loriotootosK ш iq их‘-"Чх SsxUjnooK
(5зх1х1хлбп liri) зо ‘коотуплпхпх 5обк ‘5з<Ьобх и лаолрхтбпк аок SooxocoaAo и
1зХз SlxolxioKoxoiXnya птИхуррбк -n6od) Lntoxn niri mA зхзокдооуохпдпк ox
пл аок ‘StiiiniQ 5lxx птИхуррбк ox окп тохзХбзобк IxoliAlx^s lx inx SIxdIxiok
-охтАзт! inx 5lxoliiOKoxoiXn73 о^пхзт) pdoiAcoAnxAn лох лоохкодхок^ -5з(Ьобхо
-1хлп Six 5зхап 5зур mA IxolxAli^s токрх (00009 5по пл coyiscbo ‘5отлпсЬобц
*’Slxo
-1иокохо1Хоуз огИхудрбк 9x1X60 ox зурк толр SoxniilxygodK aox aoian 9x109 ox
э > yd mx о < d Ззхйдлао 5ii pua ‘qd aUi зюйтоиоют^з^ O5IIAV
iSltoliioiroxoiAsri nriliy99c)ir
плз ШЛ13 SIxoltioKoxoiXnya 5охпт11худо6к 59ЛЗ 9x109 ox ‘01X9^ nAiy зр^ 'Q < d
лкх 13Ю1ГОЛПХ1 пл ззкзбк inx 5злзг1Лпхзхлоо ш 1зХз d охоотлАр ox ‘Snxlixpxixsg
IxolxxiOKn li зплзз oxlxyppxsrin 1злзг1пбпк аок пт1Ар6к олрт! ox lioliioiroxDiXnp
mA 1хлп UoluoiroxoiAsrl toxsaiA ‘5оуз£ 'q < xy 5Ux плп э > yd л(хх рюколпхт
одолао 9xxid)3 ox inx 1гНг1пдА-пг1оалп19 толр d UxliYgnxsri пзл U Мз^пууп
51хо(оо1лп Slix OTiluradir ox ‘SUoiirg тохлооопууплз л(охпт1оалп19 лсох лотхап 10796
ю 9x199 0x3 •59'rioiQoiS3K о лпхк q ox mx 5аохо9х UolixSnAaD U лпхк э ох ‘9x1X60
ох^ ’пхапк ni 1з<Ьзд1оилп тх э тх q ‘у viqj vi ouv vaix3$ пгШудрдк pxiap oj
пгИг/99дк 9x1x360^019 Запзузх плз isAdaoiTilMj 59110109 о ‘лотзооотлп лотх Ixdsq
Uxo 5130(001^3 зг1 пт11лу99бк ог1пла9оо1 плз i3oliA6aoirlli9 пл плп ‘Scorto пдотх
q < ху тх о < х 5зх1лдлао 5и риа ‘хэ aUi знойюноюМпуз OXIXdV
:niiliy99dir 9Х1ках ох 91СП пл1хзтт
•sriaodoiol пдзхаупх 009 srlaooliAli^ лкх пд тох 0391 ‘5зАог1дпгЬз Six mA
‘119оттузг1з0 плодХ9хапх inx Ixrfiriox niri mA 10x13x9611 -Л9хап 9m otoik 1зХ6пка
аок 5ni6(O30 5Ux обхлзх oxo пх1хпт)Апбк шлр 59110109 о Santo ‘огМп6А9бк
9xnirin6A ox isoay ng xojduns 0099031! 5lix 59iioiAnXliTi q ^rloixniirindAodK
9xiTiiin6A ox mA inx isaXoi Saigtoxn 0191 ojl ’11хола9 SLioiks толр Soxnrisg aox
коЬюлпхпх 11бзха0П9 inx Ixxix36od>ni9 mri ‘9 = xy 5lxx ктААзообк niri 1ЗЛ19
SIxtbioYOKO Slix IxxiaXsx lx аок 079 t6oK ‘1x9 5пхлоАзу srinoliAixs^ z oinypcbs^j 0x3
AOHI3IAV УЫУЯ0  £’8
18Г
AOWZIAV VUK5H0 £8

куюхюкг! лох aoi 5з<Ьодх Sn Ззур зо тохз^глотАюхлю no тохюаААз 5ртокохюг1дю(Ь
о лю тох Inipxn ‘lubodx югА плю Ззл^юпр ют!подк юл оАру ззХз лзр Зкхетуюлюхюх
о пр толп лаолтот1ко aoir рхау 'Эзххток oaq 5aoi mA тох охккурдзг1ю толп
юхюлш лох зт) грглХток oi пр к юхтогр кхопузд ютИ pgidxo плотдкук лзр
Зкхетуюлюхюх о пр лаолтотШо лзр юхаю xnmikdang юу -лаплАтоц ючдетз® Ino
зг!аоокхлюлао юд юшоддоот ютог1рдюк юю1 тох 1(хвш1щш ют<кдетзд„ отог1рдюк
юлу, ’юууюкоо? зхохлюк томз птюзузюзт оу :аотокохюг1дюгЬ аох тох куюхюкг!
аох а^юхзг! рг1тлтАюхлю лох птокоххюх охаю ‘1аКокю Ixxnmikgmi pry
qji = *ax> лозукжз тох ‘„ft тох ,x юхют1оалтр
юхопузр лаоХдюка зхох ‘юхют!оалю1р юххкЬз лаоХз юхютИхуродк оар юх тох люз
(оо- толп охогХюуз ох к оо+ толп oxoiAsri ох) олзг)Аюд<Ь Uri толп
mikygpdK оуую ох тох рлзх толп юлз ох к юлзх толп юуолао юххкЬз оар юх
тох н, :5зхкхрхюлар io толп оар зхох ‘юхют1оалтр юхопузд лаоХдюка лзр
лю ‘тАру юуую зу[ -qH Siu, oioiAsri ох 3ii miaooi xo Siu oioiXoy? -Ssipi
толп 5aox 5зг)п то tox оуую ox зг! тох плторг1ао oipi ox ‘югкгалтр охопузр
юлз пХз pxiap ox U mikygpdK рх)Хдю ox люз aorioiay nriUdnsg Д8
:ютктодзкт1ао 5зрет1узг1зд oxo
люпдаз уюх зхоюг1рХдз тох 5аох козрлаотр кхо тохз^дкхо aorionmirtodAodK
aoxnirtodA аох югдотзд кур н '□ тох р‘у юлзгкгрзр трт юх лаолюдг1юу)дзк
юхюгИхуродк оар юх ‘Saoioox Зпокхдюлао Sn sriaogpyidsKiiao лю ‘оорхоу э
ют!оалтр оуую ох тох у аох осЬодхоюлю лох окю тохз^додюх aoir ‘шц аох
оуолаоока толп одзхазр оу 'q т1оалтр рхптдогдзк ох тох у юхюлш лох окю
тохз^додюх аок ‘иц аох оуолаоока толп охотдк оу юхпздоЛюгр Зетпузх толп
лотхюг1кудодк оар лап юуолао юхххЬз юх пр зхз^здетлАюлю юл пкздк ю©
поктокохтАзг!
юл пузд лок ‘qfi = wq'IJlfi + • • • + iqifi юрооз pxiyo пХз юл тох kAirtoxig здюх
окю юхкхооок покуаш юл пдокг! ‘5аот1о1до1дзк Saoi Заохаю tri Зюхлоазуаоу
'о > у ft лкхо 5рг1о1до1дзк Зрхоо-Г о толп Зрхау '-о куюхюкт! аох Inin лкх
поюдзкз^ юл пдокт! лзр 5зл1т1ю119 зо юхкхроок Ыюлароот mA аотокохют1дю<Ь
аох Inin к ‘ Ззхкхроок зо Ззл^юпд пзХзпдзк kdrodx kxoo- f k aotby '5куюхюкт1
о п‘р ркю одзхротдзк поапдХ кх юл пдокт! лзр ‘labodx здюх лкх ‘пр ох толп
оорхоа) ipnyx-SpTioidoidsK о "5зхпклдю kri Заплюк ‘5зг1торг1дюоодк толп аох
Sarin iq -kdbodx mA плю 5кл1г1юх19 ткюХ юуаок 5рюкохюг1дю(Ь о ‘pxiap 013
•ют1ку9рдк рхгХдю ох толп рхау -пдкюкохтХюуз
юл пкздк охаю Soxopx 03 -Зюхтогр 5kx Soxopx 01 толп хо = ихио +    + <х'о
‘Skcbodx 5kxoo-f 5кх Soxopx 01 толп h м> ‘Зоузу ^q лохогХюуаох юхкхроок
зо кл1г1юх19 кх кхаю плюр^юугдзк юл юпюгр кх п^юхАюлю q < ху аох InirtodA
кхоо-г к тох ‘ксЬодх кхоо-Г лкхо Зклгткшр Зкхоо-г Зкх юхкхроок к толп <го опХ
-тою оу -Зклпхагдк Экхзхдю primdoidsK олзг!аоАкодк люлз лаохтдюхплю аок
NClINJIVU Vldoa© IVX XOWZIXVWWVdJOdU ZO-XIWWVdJ
Z8t>

oprilio oi oian тоюп^зд толр ол isipdir ‘жэ = qfi ‘oilnpoi л1и лаотоиголпхг
oinrioaAmg nop ‘no толгз шзкзлао поаодзЛтдлз aooi §з тох lidsiasp mpv
•fi 9ixid)3 isXdpira пл pdoirri лзр
9x199 oi mA 3191 -00- 01 5<o гздзтх пл pdoirri xo 01 lipnylip лпз- luariAndrh
Ini толр LioUioiroioiXmp It лпз ‘лтЛоуплп png -xo > qfi 1юп<Ьплп л1п srioXp
ng nxii3dod>m§ aodro ‘ж pixicbs isXdnira лзр 3191 ‘oynAsri nisdingao толгз qfi 01
лпд TOASTiAndd) liri толр пл omriliygodir 099 ni тох шСпршлар Ln ispyxoirn
nyp 4irn тотбц -5з131гзлао Ззуггп SsAsrioido гзХз nilnponn lidasyirpAori p
жо > qfi prioiap клздоп Л01 sriaoAdinir ‘53191 толр Ssdas^ir Ssdsioidn 10 119131га
(X)	'xo > xyfi inx qfi < xyfi
:5з11п9О1лп 5n ariaoopynX пл SidmX плзг1рл1Л рхздзютоз sriaodpir пл
sriaodoirri ‘0 < fi inx 0 < x 5u inx злп9г1пуз1дз1гг1ао UXopoirn U. Ugisirs ‘лозуггигд
э > yfi inx q < xy
5n лаою1голпх1 ‘nixid>3 толр тпг1оалтд ni 119131га Мрздоиу
•xo > qfi 3191 ‘5<т>Х1О1оплп SlioliioiroioiAari inx 5lioUioiroioiXn^3 Acoipri
-liygodir лоп oiorioaAmg pixidbs aioirligoioiro толр fi inx x ni лпд Я8
:aoi 9x199 01
inx nririndApdir pxiririndA здпх mA пуохаз гтзалхгздоют тох Soriouig Иллздо»
тогзАзу ‘5и.9<ррзт1з0 5<от19 толр aoir ‘aodpuris aoi loiii^aoioiroxoridocb aoi kriii
‘niltiponn lidasyirpAOri mri толр Uiay 'SpioiroxDridnd) о злотых ng nioiro л1п
3ii Lirin здпх inx 009 Sagidxn 0091 лоюгХпуао! толр пл isirsdir Ззппгр Зпплад
io 5зур ‘5aoiopx aoi liobSpn 5idmX ‘SsAirinng зо 5ln grim^ooi 01 зг1 pgnioni
-ПХ11ЛП пл pdoirri licbodi здпх aocby :5od3ri oioidir 01 nmx олдг! толгз лоуупу^
•толр ЛЗ9 nyyn ‘odoirria ло1 isonid) пл зют aoi Ssriu 5n гзопдзлп пл pdoirri
Sgioiroxnridncb о 119 01 SsAndiodir i3^nioj\ -11^13991:0 л1п зг1аоо1лл1хз^ 5у
•xajduns О9одзг1 Ui sri лаодтЛоуока пл Scorto ims^nisdX ‘011119191
5aoi lixiiAorilio oiir л1п 1зла^злп± 5nri aorioia9 nrilidoisg од -лаодсЫгу пл sirsdirs
ng aoir Sisondboiro 5n лаолпю^тг pian oinrioaAmp ni ‘П1г1олохю lixunrUndir
л1п пухолтлп 5nri оуз1лот1 pxiririodA 01 лоор t<bg П1г1олох1о li pAdaons^ пл
siradirs од 5з1О1го 5n 3ii Sarin Sisgtoixo,, li) 5зг1и SpxiAoyoioacb 5n is^idognx tfi
01 ‘9x199 oi£ пзлпх пл lairsdit 11 иютуплптх лою 13зу ,ж oi ‘miliygpdir pxiXdn
013 -п1П11оалп19 пюпузд ni лаоХз1дз1г nidodjodliyir Iniioidx лкд -СютлАргго
зо 313О31Г лЫ пл со^ргуз тох 090^3190 Ssdliyir 3ii is^piori пл pdoirri piay
npnirooi (толр 5(П1Л9 тох) толр пл pdoirri т1озуз1О1гп 01 3191Г0 ‘011019
Цюиузд In 91т от^з лаод!шгёх пл pdoirri Sstbodi Ssgidxn 10 пр sriao^pg t>q
•Sarin Ssdsipdxiri sri pyaoir ‘odaiaogoxnoad) 01 Smirp ‘Sscbodi Sagidxn mA inx—
£81?
Aornixv vidna® rs

SoxuoodrsKy ° n9 sriaooUAoyorlo пл rsKsdjj Ucbadox U Uian толтз ток згкоото
-псЬокп (л толтз aoTiounririndAodK aoxrrirlndA aoi nriUygodK oxunriAndK og
•5зогоютлао ЗзхтлздЬг! liri ш олот! ‘UgnyUg ‘тзХд, :ояюпд толтз аок х оюиузд
плз тзХдпка ‘xa|duns aogogsrl 5U1 поосоуА U13 аоуолао аоххтсЬз aoi Ucbadox
mri зо зю1лпк тпгзлпХАапкз oiorAarl 01 5corio тупк ‘лсозопютд лсг^з1ооот9зк
оуолао о1хтсЬз плз tri тошютопхплп miUiomg 01 тох SsiUygmarl SsdsioomdsK
AaoXdnirx iorioTinririndAodir oxrririndA лою Uonioninx U тох тплтз Smgrdxn
Uiay •5oimiUiom§ aoi odxn 010 ndaoAro ттзлпХАапкз оютАзг! 01 тох ‘ngUog
лзд 5oxTioodT3irn о ‘зюк ттз^тлздиг! лзд aoi 5gAmAndoK н ‘юлок ni 5odK Uoiyx
зт! nrilirii oririndAagas плз тплтз nriArsgndnK odsiaynx од ’AmrimdordsK moaodmr
ли1 зг! 5ттзуз1 тз^пууп Uian UxligAao U 110 лаолХз^ тоуо mdsri Uyyn ли1 (ку
лзд Uii толтз тоХатХпдпк 5з1тдк iq гоютХпуз U оютАзг! пт А ихидлао Ui лао^
-отлА тоуо аоко ‘orlorAoy pxTioodnirn ло1 зг! тз^птог! miAndir од niUipor ттзлтА
хэ > qfi. mUiooun U аок UriAno Ui тзлтодт1ао nxunriAndK ti srlaodg пл mA nnmi
UxTixsoodK mri sriao^rd пл 5rorio тз^т^у ’оукп пхтуодОзка тшзлтпсЬ piay
•пюпузд тплтз пл T3K3dK nian тпт1оалтд
пд ’£ = Z^L + ^9 И11 »тдт л!*1 лаолтд Q = zft тох з/у = 1/1 ni nriUygodK
охтад oi£ •£ =	+ icc 5оюох зг! ‘1ихтсЬз тплтз д = тох £ = 1х иАоуткз ц
у> г/1£ + т
Т> г/1£ + ifiz
‘0< ZU ‘О < 5аот1отдотбзк 5aoi ока
гЛ’/_+1/19 лЬ1 з1£>итокоютАзр\[ ONIAV
•£< СЖ£ + larg
9< zx +
‘0< гх ‘о < О: 5аог1отдотдз1с 5aoi ока
Zxfr+ix лЬ1 зтоитокоютХпуа ONIXdV
5зу1ио mA 7э > тзлтог1ио 5зг1г1пс1А-п1пг1оалтд
mA э > yfi аосЬп ‘охтад 01 sriaocfindA лто ‘^.у 01 ттз^тлпсЬНз отоко ло1 зт1
OKodi ло1 siomnriU^ -5злтт1пп9 oag тох 53<bodi oag зг1 miATsgndnK зг1аолту
•оют1уз9 тплтз пл
T3K3dK оютХпуз 01 gian тзлпХАапкз х З1ок1лдотоко ‘5откзлао тох qfi origin ло1
дкп minx хэ oi T3d3<b пл ydoKii лзд х о1хтсЬз плзлпх ‘moripdnu -оюпузд тплтз
‘Urhi aUi Uian тзлпХАапкз ft охтдтз (OAnKndnK 01 Ьдтзкд -хэ окп odsiaynAsri
qfi 01 тзлпх пл ndoKrl лзд ft р1хт<Ьз плзлпх ‘gg 01 зг! плт<Ьг1а^ й^тздрку
•пюпузд толтз ft
тох х ni 3101 ‘qfi = хэ тох тхтсЬз тплтз ft тох х пюткталтд т лпд jg
:тз§зутд пл зюкт1 тзХз лзд 51игоуплп1пх
о по oi окп тшло^тлАплп ‘лголттЬопд 5зг1и 5з1опузд то тох 5тдпх ‘ппптд
Uimiysg U тох aoTOKOxmidncb aoi Ltrin aUi зг! тшаоот UynxnKri aoi Uriu U
№INJIVU VIdna© IVX XOlAKI I VlAllWa.IOdll 7OMIWIWd.I
t?81z

(г) '0 = -х ЗХ9Х > Г(У^) лп 1ИХ ‘О =	319х ?9 < ?(ЖУ) ЛР3
rSnilngdnynX 5зх11длао 5зхппг1агд1гу1п1ао 5злзг1дкз 5п лаотоколпхг
ft тох х ninrioaAnig nixicbs юг 119 onog, Sniuoddooi nrilidwaf) gg
:дот!оппт1т1пдЛобк aoxiririndA liri
aoi “Лэуэп^-ицпу 5зхйдлао,, го тох goTionniirinSAodir aoxiririndA aoi a53xUgaao
5зхтдтд1дз1с Ssxiinrimdlmniao,, го толгз Snay '(niinig I11 4irn liosdindro)
0 = f-x зо лаоХююплп ng (Sscbodi Ssgidxn) 5з11пдо1лп 5зю11лЛ го 5зуо no
зт1аолзг1гдз1£ тох э 01 зг1 у ft 01 згкголгдхЛао плодХдаапу -g = толгз ng SLn Lirin
li ndn ‘liAirinirg iiAsrlaoAlidoXQsira зо гзХгоюплп giay гзлпХЛаюют niLngomn
li 5зго1го Sn mA Ззоаптлао mA зг1аолХп<Н тох (q < ху гзптгп oizicfn толгз пл
oi 119 siisgliriag) q пгкгалтд oi зг! ху nrioaAnig 01 зг1аолгдхЛа^ -лаод1юлп1пх
пл оуохаз толгз аоюиузд Ззхкдлгю го 5з1ап ‘лтхплпг лап поотуА 1п^
5зх1лдлао ogg ю тох гтлаоюголпхг
лпто лол9г1 sriaoXs ЗоАаз^ оюпузд bgrioiag о зхйдгодиухоуо Здпг 31139 пл-
зггздокрд -д = гй sriaoxoidg 1013 тох = г-Т£ + lxS здзсЬзоодк nnnig li тлз
‘SliAirinng SliQsiasg 51п Зздплог! ппгз зоаоптгп nriAngndnir 01 -топтИю
SidarX толгз 119 гзлтогИю аок ‘^ллдздтд плзХздюх,, lignylig ‘lioliAlidoXdsira зо
толгз Lmriniig Lnoo-г li ЛП19 g = ?/i ‘morigdnn у > g + z/l toiIiwdiao
токлЛ толгз t? > z/i£ + 1/1 Li 11919 ‘aoioKoxnridnd) aoi Lirin л1п гзлтоддзка Sin
Lirin н "UgiSxn ауок толгз litbodi lidsiasg Li 11919 g = гх ‘nriXisgndnir 013
ППП19 Ino inii3ALidoX
-дзка LiAirinng sioirlignioico Inin tixiAsgUri 3ii 1злтздХ Sgioiroxnridndb о (ll)
•5зл1г1пп9 зо 5Ln grinAagooi 01 91m odswooidsir
ininrin Lnan ЛП19 ‘5Ucbodi niluoooK lixiAsglni пуаш 51п(пхпкт1 о (О
avio 5з1оиузд тл]з ft amairiong ami Ssrfii io mx x
vimig н :5аод9 5аохп1олох1о 3ii аюпдсЬхз 5n пл niroSir Serrig отуз@ -(j) Lioaioi^s
л1по Заосю SgoxnnrilignTi 3ii лаодткаютд ng Saorioidoidsir 91га oioiAsri inx
оюгХпуз тЛ ЗзхЦдлао iq •aorioiinririndAodir aoxiririndA Ini aoi igisyx 01 тох тол
-is giay -хэ SLn SLioLiioKoioiXnys ЗоюгИгудоок aoi aSuviSvq Ьзютото^ио^ои
m imgidxn тлп ft 5э11г(дг)1зг1 5зхтд 10 niLngxiiniiAndir л1по тох аоюгЛзг!
inx aoioiXnys nisiilio nio лагАтЛпдпк лап giionsglni лою 1здзсЬплпкз Snrl
аэ§ив1§вд aoi лдпоптопукпууок,, лап SgrionnXLirl о 11919 ‘О1здплп Здглплз 01
1злтодг1а^ 'пгИгудддк 01 gian (о nioodioi 5ог1пладп Sarisysi тол13 лзд SgrioiAoy

AOW3IAV VldOH© £'8

(fr)	-0<[^]	‘9=[™][I- y]
kcbdori
lii 911a goixicbs aoi кхкдлао lii 5тлосЬпдЛю뻧 тох q - xy = m 5з1кудтзг1
5зхпкдкод 5n 5тлоАпо13 ‘51зоотт^з зо q < xy 53ikigomn ш 5n SnXdn дпх
srln^nyyy •зг1юо11ллхз5 5mir nimdir sriao^iriagASirx (gxiXdn 01 1злау пл mA
зхкюпазхопюх aoir oyg tdnir) nrlkyggdit gxiag 01 mA nindir aoir рхз ninrinio
Sogogsri к 119 sriao^ng пл тох fi оюпузд oi nAodXgiam sriaooiooigoodir
пл толр 5nri nrikyggdir од -x 01011739 01 kgk srinoiAoyoira nioiro л1и зт!
‘xajdiuis ододзг! liio зг1аосЬзд1опгз ‘шптйэдлтд moisi sriaoAndnir пл mj
'5аогк>1д1зХ
Saoyirn 5amoirnx зт) isaiA пл pdoirri лзд gian тох ‘лаодХпдтг пл nmiAndir
лдтлад толр п1птк>алтд топузд 119 srlao^pgoirn Aidir рдотдкухоуо ззХз пд
лзд aorioiag nrikdrosg од ктлад nmiAndir толр хэ = qfi mkigoi It 119 aoi
k^nggirn U лтк зл1Аз лзд aoir nriAndir олдг1 од 'SkowdnynX лотхкдлао лголпх!
тох лоттохАплп оуолао плз тох зоотдз Siygri тох (niliigm зо лао1гзд1тзг1 lii)
тпт1одлтд топузд mA oidkndx odoAkdA плз зоотдз ‘куохаз лтк 5ki k^isggirn
Н ’srinirp aoir nian 4o sriaoiosxdn 5n ‘хэ > qfi nikigouD кдазуггдлог! lii mj
5mkioxiag 5ki k^ngoirn ц
топузд толгз fi тох x ni 119 01 (girn mis^iyncbon^a
тох) i3^iyn<bon^3 Uian niliigm U mx ‘(g) гдгзух-коото^з лкю хэ = qfi лк1
гзлгд 5nri отоиазуз! oj^ 'д - -x зг1 SniAO^nionyirnyyoir pgkiroddom^s пл isirsdir
kian ‘fo > -(Uy) kokriiidsira nXdnira лпд laoidrogidsir кхкдлао kdsiasg к
mipioiroAnxi лтд лолдт! зт1аолдто1г nikigoj ~хэ > xyfi inx ndn ‘э > yfi
тох g < x 1злтог1ко gixicbg :коото]§з kyyn лк1 mA тох isgXm oigi og
inis^OTomg nikigm к тох плзг!дл1А
пхздзютоз mo 1здз<Ьтзлао лзд kian ndocbmg к 319g -лзд Uri тл.1э пл чзизди
Ззотюмао Зи Ззгаю 7з5п7опу1гпууоаг aoir f-fi лтЛтрдтон о ‘?(rcy) > vdodmig
тойлА, зг)лоХ.з aoir трдо<Ь з@тру[ :nikigm к 1здХт пл mA boirgdi олдг! 5плз
isXdnira ‘5koiirg '{xy)fi > qfi ид тох ndn q < xy тох g < fi ng lodaoAio sionrip
коото1^з kigidir лк1 mj lodaoAio sionrip korooi^s ninosri ki mA олдг1 ‘пхплолп^
(g)	-хэ = x(yfi) = (xy)fi = qfi
io толр П1д1зух-51зоото15з iq Моздоку
•(г) 5ii латой
-олпх1 тт1оалтд пюпузд ‘ndbodioiiAy -топузд толр fi тох х ni 3igg
NOINJIVU VIdna© IV5 SOWZHVWWVdJOdLI ZONIWWVdJ

пл. зкзокз ng ‘пюою nrlUiU^ oi ariaookiavsri пл mg -Sailr/gnisrl Ззоздазуз
5ио Ssxiong 5и oirn isolu^kirnisri ng Uikygnisri U ‘gorioiinriTindAodir
aoxiririndA aoi nooapA Liij -011019 lii oirn лаодтлпскп^з ng aoiro opriko
плз is^dnira ng ‘лотЛап лап. Uriu U тзлр^ап 5mgng ’oirodi кХзлаоп a^oir sri
misdstbidsirrlao Uoay U 3191 ‘o 010 It q ою ЗзЛоууп ЗзупЛзг! зг1ао4гздп1гз лпд
•ЗзоаодзЛтдлз опт ю толр Soiopx pxmdmgidsu: 01 giro тдаЛ 51зо1иотдз ю
5з1ап ‘111ладаз19 лплз к оЛоуог1олохто лплз nig -лалдоЛодкум ла)лзг1оХз1дз1гг1з
лаиздоодк SogUyir xajduas ogogsri Ui oirn sriaoonirooiro пл 131гзб1шз 5nrl aoir
SnwhQomna $1шауюлю 5Ui nrlUicods плз толгз piay io Заоюдх пг1оалгп9 01 U
q ndasyir 01^39 Ui sriao^nyvn лп 5oioox оюГХпуз 01 misvvngnisri 5m ц
Ssriu 5139011x3
• tx 01 3ii плодХдаат „fi, 01011739 01 xajdiuis OQogsri Ui
sri sriaoAndnir ‘oriopadixs ло1 isoasdoAnirn sriaoXs лооо .сЬз 5odidorioi9i liri толгз
aoir ‘g пхплш ш iirs ш orhoidx ло1 5шло5д1го1лд -pgXisQoicn isXs gorioiag
nrikdaisg 01 тох oixicbs толр /г 01 101g, jioiisioiroAnxi 119 зг!ао^]дтлА aoir
д < a 5Uiroxni9 кхкдлао U толр Uiay > y^gr^o oikigoiAO U толр goiri
0631939 01 inx mUigoi ТО1ЗЛ1Л poiri oiaiSir 01 \-gao - fi 5nri кАоушз лк1 sj\
(£)	•[№ Но] > [jv q]fi
5aoi 5п1лолпх (9) SaorioiSoidsir
5aoi inx 1зооп1п19плп ‘Uosg Uiaidir лкю шпг1оалп19 nxiong ni Зшло^пд
йпг1оалп19 oi тох пхплш adxnri ло1 1зооп1т9плп xajdmis 5о9одзт1 U лшд,
(9)	’[О о] > [I- У]^
лк1 3riao^p9 пл isirsdir ‘пхтуолаз
•д < fi тох о > yfi 5aorioidoid3ir 5aoxia9 5aoi ртоколпхт fi 01 119 3riao^p9
пл Л91ЛОУ гзкздц 'пот толр пд oioiAsri 01 тох оюгХпуз од -хэ = qfi srinoXs
ПО юдаоЛю зхох \_qao = fi зНло^зушз юл ^шзизднкз oxiag 01 тЛ лю&
(S)	-ЗоюдхоюгХпузо!	[л?э аэ]=хо
лтк 3191 50109Х од -лшоюиолюх! nxv/si ‘д < а кхкдлао
U Uian 119 зг!ао5]дтлА ‘олзт!опдз1гз1г толр лотсЬадох лап Sogliyir 01 lujisirg
О < N\-Sa° ~	= а лтк ‘xajduip О9одзг1 Ui Sndsir зо злдзсЬз aoir ‘5Uiroxni9
кхкдлао н ’[^ Яэ] 30 Ьзоашилао 5п зоошз19плп ‘[до] 5аою9х пт)оалп19
олзг!адзЛзг1 ою Uoiirgmisri кХтоюилп U тох [у д] пхплш ло1 зЛпЛкдтг Uiay
•UXdn лкю (nxioacb тох 1X9 лп ‘пхикбтзд AOioiXnyaoi) здзсЬз1зт1 5п тох 5зхюпд
лпо [/ - у] пхпл]1г aoynAsri aoi 5з-у1ио ш зЛз-узкз 0100x19019 к ‘лпгою^
Z.8V
AOWSIAV УМУЯ0 £ 8

•onoip Ino isirri лоХр ng pxnsdodiDip 11919 ‘pxnliAdo толр da pdoirri ЛЗ9
лотАао лап 5оюрх oastIAIiad oi no lipnylig ‘oriApdir 0191 01 газу 5prl DirioAOXio
р 'Slnroxoip oidlindx 01 adiIi oian 11019 ‘() < J- 119 sriao^idoiAj •юлок xn Sodir
То1лп,ол1х (SoilnpxnliAdD liri iorioidoid3ir io) x aoi ninriApdch anpx pxiA39liri di
5ai0ox Saoiopx aoxiyo aoi 5зАоууо 5n— Amtbodi лотхтоор liri летуур лоп люур
тох Soiopx pxnoTiAodir 01 1ЗЛ19 л 01 ‘Dioripdop U толр Soiopx pxnoTiAodir
01 SmirsAa^ -pU didx Soiopx 01 i3oli§ao D0 ‘9 nwx ^x aoi 5ооапо1лао
Slnaidir Sin liolppo li З191 ‘liiliygDiari lid30(i3V3 Uirodir li толр pAao di лрз
'q{ _даз> + ^xx= q{_gaJ +	- Ato) = Soiopx
:Z’8
aodipdAodop 5ln (2) liomoiSs л1по ariaodpdionra aoi prioiAoyoira aoi dij ‘litbodi
lid3ipAli0<b InioAapooi oiA siiaoAOidliyir aoir lirin л1п лотзт! Saoi lirin л1п- лсоАап
лап (iSO!OOX OA3lMlA»„ Ol piTD 1О13^О0ОХ DlltWXIlDTiADdir л1по Uoll^aD H
501D9X 01 5aixid3ri 3riaoolnroddooi^3 da tox Sstbodi 5зуур sriaooidoidsir da
sriaodoirri 11919 ‘9»Ла»э oilnpooir U lidliyxpyo толр da pdoirri ЛЗ9 lioli^ao p
•npx is^noox D0 9 oilnpooir aIii sriaoppyidsirriao da 01 ‘011019 Iх10 AtnpXsidsir
ЛЗ9 Santo лрз 'лозуипгз sioirn тз^поох asq тох loipioiroADXi I19I1 liolniDiro
озл U— liAnyyn isXdpira ЛЗ9 ‘011019 Lnonysg Ino AoiAoXsidsir pAao di лрз
iSoiopx oio piao pdpnrs 5отр ‘9 < У^х лою p0liioiroirodi D0 ‘о < РЛ(т;г
SoilnpxnliAdD liri Sprioidoidsir о ’лотАао oilnpooir LnoiXpys oiri isXsidsir da
011019 Lt sriaoAsrinrs np 01103, TOrilnaids pxnadodioip олз p odan 3iDDii9Xd3
•oilnpooir didxAdad aIii oitd lidsipooidsir I19I1 sXpidsir 011019 li- Sisoanirnrs
isXs ЛЗ9 Sin Slioliili^ Sin liyogoisri lidxiri tox uApiodit od30asys„ толр ig liAiriDiig
li ‘Aspliri толр J/i 01 aoir lioaniridsir aIiij 'V*^ didx p0li^ao D0 (aoioiroxoridDcb
aoi li liypxDirri aoi) 51111019 Soiopx 01 3191 ‘liypxoirri aoi Sodir SpxnoiAaiAoiAD
5aidliyir толр Spiao iox ‘J/? толр aoioiroxoridod) aoi lirin li ‘y piox p0li^ao ig
liAiriong diA LixAdad li лрз тотИюл Saoi рг1олр 01 sri 5з<Ьолао лаоХз тох Ssiin
5i3^(inxo 10 толр aoi 5злзг1Ао1Э1лао iq ~q aoi Ssyogoisri 5n Sodir 5ai (aoi
pAaiApdoir л1п) iaoiopx aoioiXvya aoi	prigad aoi гзлгр lioay lixiap
H юхюх Soiopx оюгХруз 01 гз^рууо q\ oilnpooir didx lionrpiDisri oip\[
qji = qt_gao = 5оюрх оюгХруз
119 isaXoi licbadox л1п л1пао g dxdaiit
9x1009 aoi AaoysioitD у aoi 5зу1по ш SsXioioiiad io ‘Aanliygoisri лгахюод
лап liAoynrs liioaio li IiiooiaA толр лото ‘xajdiuis ao9p03ri 5ln Soysi oi^
•licbadox (liAsrioiiroiDisri Smddinys) 0191 aIiio pdocb
liimdir oiA isATOpriao lidroirs li 3191 ‘Ssdxiri толр 5зАоууо 10 ‘oopioai ‘лрз •(□ oi
5о1ло^рууп) лаолг!з1 01 aoir лагрзкпгз лап оплзАохю л!п Saiddmys siiaoopiAoyir
da Ii оуолао р1хкЬз 01 (q 01 SniAo^pyyn) oAiy sriaooiiroioisri da adiIi зг1олрх
aoir piao ‘pxidi3riai3j '1019110 AaoAsriodoir jy iox g io ‘oiApy оуур зру пз^рууо
ЛЗ9 лап11у9О1зг1 AaixiDD9 лап liAoynrs li тох Inonysg юлзНпдюх йыпцзд A»ih
note Utbadox h 3102 ‘pxioatb опт толр aoir oriApdir ‘Ssdxrri толр 5зАоууо io
Sairip лрз -SprionDTiriodAodir Spxidisriodnir То1з^рг1оло aoir piao зт1аоАрАоо13
NOINJIVU VIdf530 IVN ZOWZHVWWVdJOdLI ZONIWWVdJ
88t

л<;г/1ш> обтХ
лохо з-/.11лп ng q oi nxnaSotbn-iq (ихЛХол.^Ы odaioidn лою (lizwiyliri Uri) ооошилпо 1зХз q oi no
толр зтотююлЛ aoir олог! oj, ilixnonasxoninx толр лз§ liian ligispoirw U no т§з зхзкз'/ц *
ОХПХОП19-Ш лохо 5зукхо и зткзХзз юд и шз ш пхплззг лплз mj -g-g ‘Х^ аО1к1Л»
5от1го kXoidsir кхзлотх mri Aao^iriaX ‘pian jA зхлу -odcnXgira лох одкухоуо лозухс
лаоухлп^з лзд q пх зохз тох Заотктоадлао Saoxuliddn Uri слот! зтомздхпгз
пдотд 'лсрукхо аодотХ аох nrioaAnig зхоккдозоко ззлзЛ пл loaodoirri q ох ‘т
охо kiiix sxoirkgnioiro зткигздхпгз лпхо ‘3 озпупсЬз^ ох^ -у аох лотукхо лотх
5аоз-к>пас>лао 5аох r/nir зз1ао^пхз§з пккхотдз ох дхап зо зг1аоокхлтгп ;л mj
;<элзх loi зплзз
лотхкхооз 5aorioidoid3ir зт! Soxnrikygodir аох оуолао дххкЬз ох 3x91с ‘niAgy пууп
зу\[ ‘tway кхпклд» hti nni nyyn ‘q = ху аох Uoay mil 3X9 ‘ззХдпма 3x9ц '() < х
grioidoidsir oxsgogdir лох зт! Srorig i^nri ‘q = ху nrikxogo 0191 ох зплзз 5коклзххз
0333II10 9Х0ОТ0 од ’5ззоотозлп пзЛ nrikdrosg oioiigdmr плз srlgodg пл sriaoys©
yfi олзз1аохк5 ох
зплзз кхап поотхозлао н 'V ао1 5одотХдлз9кт1 5ддзхоздп о зплзз aoir ‘odmXgira
охздпх лохо поотхозлао кхзлздкг! 1лз1 ззХз пхзхздоЛпзд к у аох лотукхо одотХ лохо
зпхзХзздзи q ox к ‘лотдотХо1га лотх пооотуА kxj -g = ;rg = xyfi лкхо ззхопсЬзхлп
aoir о £ qfi = xyfi 3101 ‘q = xy лпд слохпладп зплзз {fi зпх ж) оад пх зпх
лаоХдпка пл ох 3x939 Smhxoxnaa^ 5йхих»уу»лз 5tu nrfkda»# ох зплзз 9хау
О / qfi тох о = yfi зхоот зохз ‘fi ззХдпша lx коау ззХз к q = ху н Н8
coirodx
9хзхздосЬпз9 5отззузх лплз /Н ПТЕ кокхоу лкхо кокхлпкп здкхг 5пхкх9з1зоауз1гз
пз1кхотдз ox 9хап ‘SaodroXoira Зздзоозх 5аох зпх ксЬзоупют лкх пхзр^ ’У ^ох
лотукхо одотХ охо позз1 q ох зз1аод§ пл П3Л9У пууп зз1 ‘q = ху лкх sriaooay
пл лпхк z озпупсЬзд охо пт1ку99д1г од -ЗпддзЛуу 5kx3ririndj 5кх пт!кдотз©
5з9отзузг1з© охо зхкдопзоаодшг ао990зт1 5кх 5кхап кокЛк^з кдзхаупх н
•5ззздзт1ох1гзу
5зхздзз1 3r1aoji33yndnir лпз (5здзхозсЬпо зпх 5отлзз1оХз9лз) ЗззсЬпо аооз лаолзЛ
пд П3933УХ-53393 зо 3x9 от^згкзм -пздхз11отзЛ кх nosrin 031г зз^пхз^з зпх xsjduns aori
-дздоЛуп аох 9т1озлпХкз1 лох 5кх отозш ззлксЬп aoir ‘козЛЛзоодк кхзхздосЬпзд nni
зо nixnri кг1охлао mri пдотх зг1аолХзд k^ndir лкхо лпхкхозЛоуока tfi inx tx пх
aocbn ‘U^i3Qoim йинопазкопти mri зг1пХзз ‘пхзоаф ‘OQogsri кх зз^ахютлп к9к
зкпХтз 1x919 kxiyog лпхк —пхкх9оз лкх srlaodnir пл пзЛ xaiduiis 0900311 кх sriaoo
-kioiroriiokdX пл лпюхпх тох хэ > qfi 1x9 sriao^^oirn 4л— srinokgaoyoxn aoir
козЛЛзоодк н -9110109 лох зт1аоокхзузз1 пл пзЛ Soiradx 5плз ОЛ911 ззХдпиа лзу?
лотзоотозлп лотх пздотзд ц
68fr
AOWZIAV VIdE530 £8

490
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТ12МО2 KAI 0EQPIA nAIfNIQN
Е/. 8.6 О xcbvog tov цт] aovr]Tixwv avvduaancjv tcov ott|/.wv: b = Ax, це x > 0.
Xcbpo xai о xcbvog 0a yivoxav [xia лорац1ба ycopig баот]. Sxo о/гща, о A eivai 2
era 4 xai олар/oov хёооерсд axi]keg arov SiSiaoxaxo xcbpo. Eav xo b Kepie/exai
o’ aoxdv xov xcbvo, xdxe олархес цт] apvqxixr] koor, xou Ax = b, dtacpopexixa dev
олархес.
To лрббктща цад eivai v’ ауахакбтрооце xi ооцба^ес oxt]v evakkaxxixr|
лерСлхсоат]: ti avfi6aivEi orav to b бдьаяетш Еитдд tov movov; H dovaxoxryra
aoxr] itapioxavexai oxo Sx- 8.7, олои, це цю цахю, бкёлехе хт] уесоцехрсхт]
е^г]ут]ог]. Улархес eva “Siaxcopioxixd ел1лебо” лоо nepva ало xt]v apxr| xai exei
xo b ало хт, цю лХеора хоо xai okdxkrjpo xov xcbvo ало xt]v аккт]. (То лрббеца
олёр- хо ба^ооце* цоуо ую va хоуюооце dxi о арсбцбд xcov Siaoxaoecov цлорес
va eivai цеуакод. То елюебо, блюд лауха, алохеХе1ха1 ало ока ха бюубоцаха
лоо eivai xdOexa о’ iva охаберб дюуооца у.) То eocoxepixo угубцеуо цеха^б
хоо b xai хоо у eivai apvrjxixo, dioxi oximaxi^oov ycovia цеуакбхерт] xcov 90°,
evcb xo eocoxepixo yivo^vo цеха^б хоо у xai олоюобт|лохе охт|А.г]д хоо A eivai
Oexixd. Sxt] ykcbooa xcov л^ахсоу, aoxd ormaivei oxi yb < 0 xai у A > 0, лрауца
лоо лaplOxdveL xt]v evakkaxxixr] лерюхсоот] лоо avaVnxoooa^'..
81 H Ax = b r| ё/ei цт] apvr|xixr| koorj r| олар/ei у хёхою cbaxe у A > 0
xai yb < 0.
S.T.E.: 'Oncog атт] XegdvTa too S/. 8.7.

DiDTioawig ^nxiisgnili,, ni oaotI AaoXsidsir aioiro lfi aoti 5пло§п о Tg oi inx
x aoti 5пло^п о toais da isdoirri g 03 ninrioaAniQ пхнзд AaoXsidsit па isirsdir
Ti9 oi li g oi 119 odaoAio 0001 tox toais ЛЗ9 ‘nidsri lr/vn aUi piry 'олзг^лгЛ
oxidsiroos oxiASQlcti лаоХз ninrioaAni9 отлотЛоддо отлз ‘9x1139 лтк ng oastIoaiA
Saoi 9xidsiOTO3 03 :тпт1оалт9 пхпзд AaoXsidsir пл 099 io тох Л9шла9 toais
Л39 T(9 aoi nriOTdlvYirriao oiAroAogdo 01 tox g 5oda)X9ira 5плз ‘nriAngndmr nij
•isasglr/n пл isirsdir AoioiXn^aoi niri ‘5isoroiirid3ir 5злзт<91зухо1гпо'у1л'ууп oa§
91ГП ‘119 5isa»x is(|isioiir пл isAltyninx ‘iimiAndjj '(3IP9 aoio 31139) 5i3OOTiirid3ir
5зхихпууплз Ssioitodnir 91г» ndiso lidlrfzgYO mil зо isAlipo 9100 nrilidtpsg 03
•oid9riliidni3i 9x1139 01 91ГП q 01 is^idaiXn^ (fi ою 5oi3gnx) x 5пло^п о 0193
•£— = qfi 5ott<9 ‘0 < yfi isai9 [x 0] = fi 01 3191 ‘ j = Ч ЛР3
:UoOTiiridsir ихпхпууплз U isaXoi пл isirsdir ‘oid9iiU.idnisi 01 91m от^з q здпх mj
'И£+Йг = ’ m?1 ‘ [г] =’
:aot^Liio aoti 59т(опа9лао
59xnliAdn liri толр oid9iiliidni3i 01 9ian 4o q здп^ o^riludnisi 9x113g 01
1ПЛ13 aoi 5олотх о 3191 ‘SnxnAiir 59x1101am о toais у о лпд VIAIJISVVdVII
•лотуз1лог1 aotxiiIoaoxto AOTXiririndA aoti nidrosg liio отлпк эр?д aoi or/919
oindm 010 3Tiaoirri3irndnir aoi 11^13991™ niri тЛ inx nirloAOXiQ UxnniiUgnii Ui
niA 5з9оттузт1зд toais аодз1£И£з(дзи:а) aomioidmXmg aoi пгИлдтзо 01 oiaog
fi 010 oisgnx OQSiriirsdaxa зг! лот» 4xn mis^idoiX ‘аолотх aoi Soixs q oj^ -£'8 ’x3
AomiAV vidoa© Г8

ilomllAd» 1ПЛ13
q aoi поонтлао ккоок U лшо тох гх m толр тоц topi тл13 Sarin oag io no
зюаздкуюкз mx 5UokioiroimA.3ii Soxnrikygooir aoi tfi oi 311369 ‘SkokioiroimXnya
miliygoSit 01 тЛ оюпузу толр q = yx птЛ 3ioU/Ji§g юхпклбю Uri тлр э тх
q тпкоалтд ni inx (и = ш sioiro) 5пхпл1к Soxnoiani о толгз у no 01103, £'£‘8
nriliygoeir aoi oxiag 01 mx Srognx 01 зюау ‘£ > ЭД+ lR- ‘0 <	‘0 < Saoiimdoidsir
Saoi она ЭД 01 зюкюкоюзЛзх^ :Soinriky9o6ir аолзкокз aoi oxiag 01 тлр отоц ^'£'8
oioiAsri
зг1 iniaom oimXnys 01 no зюаздкутгз mx aoi aoxiag aoi mx Soiniilr/godi: aoi
aoian Uoay In 31136g !ц < %x£ + к ‘f < ‘о < гт ‘о < >т ЗаоНтбтбзк 5aoi
ока Чх + >т 01 зюкюкоюгХюуд :5отг1ку9об1г аолзткшз aoi oxiag 01 тлр тоц J'f'S
ЗИЗНМЗУ
козХоогга лк1 лкхаю згкнюйх тох 5з1здзг1ох1гзу
ЗзхгйдзЛую 5юхло1груюдю1г ‘ю1д1зг1отзЛ кхо sriaoiotootosir юл Sanig зг1юхкдзХоо1гх
aorioiag 5охюг1кдтзд аох ик^1здд1гю кхпоюазхоююх kri,, mri зо рЛкдо aoir толгз
mioodsirriao ох охау -fg 5кх кхнхюууюлз к толгз юхкхдхюлад к Sgigtoxn кхау
’О > 9^ ‘[0 0] < [/- У]Я
3100) 010131
ft 1зХдю1га юд ‘is 01 тюх ‘3101 ‘о < ог тох о < х зг! коау пзХз лзд кюю люд
•9= [™] [I- У]
:коото]§з зо коаюплю лк1 лао1гзд1Ю1зг1 aoir q - ху = ai
Ssikygnisri Ззхпкдкод 5п 5ю1лтто1гог11окдХ ‘jg лк1 О1гю юуохаз То131гз fg н
‘О > Я ‘0 > 9й ‘0 < уЯ
З1оа> ОЮ131 ft юг1оалю1§ isXdpira 1л о < х Uoay 13X3 1л q < ху н Г8
:51зо(ро1§з тЛ плю 51зоото1лю толр imiotootosir 10 люю toiioumirtodA.
-odir охтгМюдЛ лою ппло^глюсккэ Sisotniiridsir Ззхихюууюлз ЗзоаодзсЬтдлд
•51зоююю1§ 5збз1ооо16з1г
зо юдюдюх ayoir coirsyg 01 лзд 5anto may -otogrikiQmsi oiatoir ою то1лоХдзтз
юл 131гзд1г куую к к Ю1г1 к но sriaog юл оуохаз толр 3101 ‘аодзкигз aoi 5зрдаз
5з1ла)Лоддо толр тд тох g 10 лтд '/г юг1оалтд oxnsgirik 1зХз1Йз1г rg о к
х юг<оалю1д дхизд 1зХз1Йз1г g о ц, азазуаод Занло Uomiiridsir кхихюууюлз
1наю кйзюзлзоою к но 01 толр oiroprlUooi^» толр aoir may -[у д] тох [д х]
NfUNJIVU VldOH© IVN ZOmLLVINWVdJOdll ZONIWWVdJ
Z6t

:коотхктазк
кхшхюууюлз лкх сзюколюх! ng ft orioaAOiq oioir '([ ‘g) = q Xy ‘Зоххз толр q ox
люд ‘(Z Ч) = 9 ^’Y ‘°aotx лохо тохзХзсдзхс q ox люхо ‘оуолло оххкЬз ох толр оюц
лотукхо лсох лоттктолдлло лотхшклдю liri лспх олотх лох зхсНюдЛ^дзм ‘	® ] = у люд Н’Е’8
•лодлхлодохполсЬ лох Soxoox олзт1Лклю ох тох Зклрхотдхс Sixx
Ззткх Sisgcnixo Six зхтздд ‘(51дзоозх тохллохтокю отлз) Зклрхотдк юдюлог! гит! тох олд
юХюхоплю Эюхлолсд *$£ = гэ одлхлодохшолсЬ ох тох $£ = ’а 1з51хоох охзухЬ ох люд £Г£‘8
•колу кхошузд 1злзт1юдю1г ,х ох пюсЛ зхокЛкдз
‘э ох юдЛюуз sriaoyognxsri тох *х колу кхопузд kxigoAoii Ю1т1 ззХз oxiXdo ох люд ГГ£‘8
'.ft лох колу к толр ююк тох nrikygodw охрд ох толр оюц (Л)
1лоуолло лоххкЬз лох orikXo ох toais оюц (9)
xofduns ододзт! кх SidcnX ‘о < £х ‘д < ‘д < lx
‘у < £х+?х+ ix Злогкэюоюзк 5лох оил ^х^+^х£+ ixg Soxoox ох зхокюиохосХюуд (ю) п’£’8
•от1о1лд кдкук зо рдотдкухоуо юл pSoini Soriomg
5охлю Зклздою q !<пдз 1X0 юуую ([) лкхо ютохЛюлю люхк д < ft к ixoig лзлХот юл
сздлоуохю^з хо > qfl юхкхоочлю кдлзуколот! к ixo зх^сзу _э > у ft Saorioidoidsic
Saoi pica qfl 01 siokioicoioiЛз]у :тохз1груюдю1£ g < ft кокхтошю к ‘ozmq oxo
‘зхох — g < x тох q = xy Saorioidoidsic Saoi pica xo л hi siolnoicoioiXovs-
51зо<по1лю oiA 1хлю 5i3ocooi§3 толр Soxorikygodxc лохсХдю лох югкпдоюзк ю люд ОТТ‘8
(хо = qfl лкх тох Зспдюх) ЗюхкхоЭюуюХ 5зхкдлло 5зх1хют1<поку1гт1ло Six зхолздкуюкз
тох ft тох х юхоиузд юх зхрбд •	] = э тох [	] = q ‘	® ] = у ixo спход, б'£’8
orikygodxc охрд ох тох охсХдю ох Ю1А
ЗюхкходюуюХ кхкдлло кх1хоо1лю юп1 зхрдд тох (г) ЗюхкходюуюХ Эзхкдлло 5зх1хют1<пд
-кушало Six ЛЛОЮИОЛЮХ1 Зкокхою 5клзт1лоЛкодхс Зкх юхют!оллю1§ юх ixo зхолздкуюид g‘£‘8
юхопузд толр 1ХЮ1Л зхокЛк^з 'qft тох хэ юх зхзосЛо'/окл лосЬю ‘лткохюд
3ii wikygoSxc
ох1лд охо тох oxiXSo охо юххкЬз толр (; ‘д Ч Ч) = 1пх (О Ч Ч Ч) = х m 1;L9 зх^ру д-pg
юуолло юххкЬз юлзх kri ллоХз охслд ох
тох ооо ‘oxiXSo ох ооох ixo зх^рд ‘юхизд толр э тох q ‘у лотх юрХюхо юх юуо люд 9*£’8
юлзх толр юл д < ft ‘о > у fl тох д < х 'q < ху юуолло юххкЬз олд юх тох
зхоот юхз э тох q юх зх^зутд ‘®] = у юхюлш z шз z лох окю Эюхлотлжзд §-£-8
олзт1А,юд(Ь kri толр orikygodir охълд ох тох оуолао оххгЬз
олзх 1зХз д < х ‘q < ху ох оюко ох 101Л х шз j юг1/лздюоюхс юлз зхоюлзхоюхюд р£*8
AOW3IAV VIdf5H0 £ 8

494
ГРАММ1КО2 IlPOrPAMMATISMOS KAI ©EQPIA nAIfNIQN
8.3.15 Млооате va 6peixe crrig xpeig biaoxaoeig avvoko biavi>opdx<ov xcov onoicov о
xcbvog xcov pq apvqxixcbv acivbuaopcbv yepi^ei okoxkqpo xov xcbpo; Ti кете yia
xeoaepa biavuapaxa;
8.3.16 Xpqaiponoiqaxe то 8H yia va bei^exe oxi bev uncip/ei kvaq (bioxi icr/iki q evakka-
xxixq nepinxcoaq) тои npo6kqpaxog
8.3.17 Xpqaiponoiqaxe xo 81 yia va bei^exe oxi bev uncip/ei pq apvqxixq kt>aq (bioxi lo/dei
q evakkaxxixq nepinxcoaq) tod npo6kqp.axog
8.3.18 Aei^xe oxi oi evakkaxxixeg nepinxcboeig oxqv 8J (Ax > b, x > 0, yA > 0, yb < 0,
у < 0) bev eivai bvvaxov va lax^ovv xamcxpova. Ynodei^y: у Ax.

SUod 51шу1Лзг1 niikygodir :lirioimg тох SsiliioxiiliScn'X ‘UoSSoirn ‘UXliir зт! оуз1лох\ "g'g 'X^
-rindA 5клзт!т!охзхтд Зкх Soxkri пхпх тзгЬзохопгз no sriaoir пл sriaoSoirri aoir код
Li— i9x Ц толтз Saoiopx йойхдплао U. тох (кузд пх зт! тохлоаздо1гт!ао) Ззхтхклдп
kri толтз Ззод tq <?э > Clx тплтз ЗпхкхохтхкдтХ lorioidoidsir tq Г ogriox
лохо г ogriox лох око Сгх Ззод то толтз тохосолЛр то nrikygodx ох дхап
1пт§зд пх Sodir пдзхтдп пх oirn код hioifari li тплтз тоц
•Зптдтзд kokdX кх 5idmX тздаупгз пл ndoirri охап оузхлот) oj, лаосЬпдхоплп
пл тпхзкздхткз лзд лгоузд лтх Зтзоладазхпх то тох ЗзхкхохтхкдтХ Зтх лаоддзка
ол тздоит! лзд Ззод tq -лтгЬс-о лтх SailnoxulidmX то тплтз тот!отдотдз1г tq
•(9 Sogriox) koddoitn лкхо (д 5одт!ох) kXkir лкх oirn ‘код к тздктомохотАзт!
пл толтз тзхз nrlkyggdir oj, ‘аоаххтд оузхлот! плз тохзлтпгЬ g’g "Х^ ох;^
•лтаххтд 5от!отхпт!т!пдЛод1г о тзлау aoir nrikygodir Smrig тплтз ‘mikyggdir
oxnnriAndir ox тплтз лкг! пл oxan rsdoirj^ -Зкоклдп пткотпхтд лаоХз ЗзсЬал то
лпхд ‘лгот!пЛ Sorigrdn о тздктотгохотЛзт! пл Sroir- amrinX .\т vtih^godic ох Зко
-Т1гз тзлау кокттгохотхузд кх ЗтдгоХ ‘пхтхкдотптд лпхло^птдзХо пд aoir плтзхз
oirn пдзхолкдгЬ mdnyyog птдагМохпхз пхпх толтз aoir аодзл тох аотоуздхзм
‘аотдзп лгоЛтЛп nxmikxoao зЛпЛкдтг лтаххтд 5ог!отхпт!г!пдЛо51г q тохклтхохап
тпхлосЬздхопхпх зхао тохлаоЛдаотт!кд лзд Saogriox Заохо yjoqqoii^ аох 5охпт!дзд
от!ол лох тзтоколпхт лтхклтхохап к лапгтддлп к лтхлдтодп код ц ‘лтЛот!
-дпсЬз лтх кдтз пх п’/о to тпхлоХдзотзка паххтд 'komxirriao кХахаз пхп^
Згодклао тх‘о (irn nxnrilr/godir пдзхаупЛзт! avoir лаодау пл
лаодонг! 5зхплт1г Заотохзх mj -ЗтзоздтосЬп тох Зтзоздооди олот! лаолпдтЬоутдзк
SkokAkgo nxnrikg пх тох лздкт! (пдзхдотдзк пх) к х+ к j— толтз аох птзХтохо пх
‘5(озош11£0одк SnxnAiic 5плз тплтз у о пхап лтахжд юхюгНг^оди: лпо кхоголЛ
‘лтхрт!кудод1г птдоЛкхпх кхтдтз тт! пт Л зхопт!одзгЪтдлз ‘ЗотНпдЛдукуупдтг
тплтз у Зпхплтк о oioiro лохо ‘дт!отхпт!т!пдЛод1г охттМпдЛ 0x3 'пуохаз лпхолау
q = ху к зхох ‘отлгоЛтд кхо пхлох плзт!тдхлзхЛао лпхк птзХтохо пхтлздкт! кт!
пх лпхо, ‘5зхплт1г Этздтзотлтох тЛ Зтзотот^з ЗзхттМпдЛ Зтхо заХот оЛоуплп тхп^
•коаутш кдоЛкдЛ ayoir тзкздхпгз aoir krlog лаоХз пхпт!т1пдЛод1г пхтт!т!пдЛ пхтдзр^
MJAIMIV VVHINOHI  Г8
56^
NK5AJ.MIV VV31NOW fr’8

SUrioimp SUimXnys SUi niUipxnUdioX Ui sri iniaom oaixip
плз (o Uod UioiAsri ц "Slitioimq SUioiXn^a-Shod SluoiXsti vrilidwsQ ^8
•Uod Uixidis mri
sri isgUioiromriAndir пл 'pdoirri (Urioimp /шиХпр U) niUipxnUdcoX Udsipdxiri It
no isasdoAnira Sprioiap SUdUyir о тох SUod SUxiyo SUi nriAnodi плз 1зл1р Urioimg
здпх up isasdoAnira Sprioiap 511лз0оп q -isondsir пл isdoirri лзр odsipooidsir
sioirii тох— 9 = । + g + 3 niUipxiri^ap Uxiyo лаоХз Sodini ni Sodir Urioimp
lii лао^1Хотр aoir Ssrixn Sisdi iq ’Saoirioypira Saoi ,irn 9 tox p Saogripx Saoi
is^idcoX Urioimp н "isgUywo^s лаоХз 5з11иохп1плад io 5зур Snioiro 5Ui Soxliri
ninx ‘aoaixip aoi Urioimg mri sriaoonasxonmx пл тол]з ipisyx oj, :niUiUgo
-irbrimqn толр nxunriUgnri ni nyyn ‘Uxuoisir толр SUriixop 5lu Sopogsri j~j
loimAsri 01 3rinon0(b no sriao^ppoirn 4л sriaodoirri 5отц • Uod UdaiayoAsri Uiodap
тмз лзр тох 9 тол1з одолао О£ ’X-9’S'£'T Uriodpmp Udsiioinx л1и isoligaoyoxn
(л isdoirri 5орплот1 g Uod Uisgopdir mg\ ‘g-g-t-g-g лк1 isoligaoyoxn 4л isdoirri
лсорплог! g Uod mj\ 'yg-p-^-l Uriodpmp Ui noUgaoyoxn <л isdoirri летрплот) g
Uod mg\ ipixitbs oiaoi ТОЛ13 7, = g + 9 01 isondsirs^ пл isdoirri лзр Uod U up
зг1ао1гзу9 ‘Uoddoirn лию iniAoXdsois aoir SsiUipxuUdmX 5n 5п1ло^п1з§з
•SsiUipxuUdmX 5u Aa^dsirs^ лзр aoir Sisoa^ SpxuUAdn Uri sriniUz
•Sisoa^ ndaoAio 13X3 aoir g шз 9 nriUioao плз тол13 о = xy jjoqipii^ aoi 5от1рл о
^X 9Sx 9tX ^X KX S^X ^X ^X ^X
ilirixn 30nx mA. U7I11D niri inx ogripx 30nx mA UririndA
niri sri— лтг1итэ-лтдг1ои Зтзотгхоодм 5тоюэлп£ 5плз 7П4?з у aoiro ‘о = ху
Utbdori Uio isdrodA пл isdoirri (у) 5Udcodi§3 5Ui UoUirpddom^s н Saogripx
Saoi Saoyp Sodir То1лола0азшх тох ^x тол13 Ssod 5злзripXdз5з iq 7 Saogripx
Saoi Saoyp .itn iniAoXdsodir inx f’rr толи C ogripx лою Ssod 5злзripXdзmз iq
Ц	г
(x)	’9‘•  •‘z‘x = <	0 = Ч-x - ^x
гцоццодгя aoi Soinriasj плрлп^х Л01 mA innsxpdxi 'илзг/о/.дз^з
aUi зг/ mia.001 ‘ogripx зо Uod UdsripXdsois U up 1337 aoir ‘l(SUoUdUimp 5от1рл„ о
толр 5piay UiUpira sriaogny пл isirsdir aoir Sprimdoidsir Soyyn inx isXdnirx
Uoddoirn лию
Uod Uxiyo ли1 тох sriaoioiroioiAsri ‘ ^x SUcbodimirs Uod Ui 5п1лтю1гою1Азр^ -SUri
NE5INJIVU VI<K530 IVN ZOWZI.I.VWWVJJOJII ZONIWWVdJ
96t

pirn ogripx лох зг1 g aoi ogripx здпх isdrodAnrs Soroiro о ‘S/ictodXnra origidoXyv
лох зт! тохзлотлпЛдо nronxrpnrp Uyo ц 'Liod Uxsgopdir rnisirsdinrs лп U LiXUir лкх
oirn ТО1311ГОХО1ГП Uoddoirn It лп rs^rontboirn inx SaxUipxnUdroX 5зоаолзг<о1гп Six
n'p/.oyoica nrilig здп^ 'l(5liriodgnig Зпоаолп^атгз,, Ski SUian Soxkri ninx Liod
зхоздооок mx nikipxriUdOTX UiUioiroriioUdXn зг! Uriodgnrg rsXopira лп зхопхз^д
:5Uod 5кхогЛзг1 Ski Sliasxonxnx oirodx лплз гзалхгзрогга отохазузх ох giay
гздХазхпгз гзХз пхкхрог к тох Slirloi Ski nikioxnUdroX
Ux тзухлп^з Liod к 1013, j; охо ogripx лплз Sodir (ход Udsipoordsir гздзХопдшг
пл soaodoirri пд nxrxsdodrorg ‘тохгзухлп^з пл rsirsdir lirioxnrg Ux гз^гХотр
aoir krixn здпя -(jliod Udsipoordsir гздХзр пл soaodoirri пд nxnsdotbnrp) j;
npnrio кууп лкхо тохзХзгдзн пл nirsoir Uoddoirn н 'S opnrio a.Uxo rniAoXsrdsir
‘LiAUir U тох Эстдпх ‘roxan rogripx iq -Skrixn Snrrinx mUioxiiUdroX Ux mdsirs^
пл SrdmX ‘Uod Uxsgoodir зт! UXUir лкх oirn 5гзлпх гзопхсЬ пл rsdoirri Saoroiro
Saoxo Saogripx Saoi Saoyg зх^пхто^ UxorAgri толгз Liod U 119 зхоздмгх
•тздХазхпгз пл pdoirri nxUxoor U 110 srlao^pg пл толгз ‘griorag лох odUyxovo
fi тох пууп mgs ‘nrlUygodir odsioyoxoag ox '5клзт1олп9т1пу^з1п1ао SUrioxnig
SUiorXnys Ski ‘Slirloi sxoirligonroiro niUioxnUdinX Ux oirn UdsiaynAsri толгз пл
pdoirri лзр liod U ndaoAr^ 'Utioini^ liioiXnva = Uod UioiAsti no aoi U^iigouy
010 g 01 pirn злп1г aoir
лотт<хп лап aiDilnoxiiUdioX лотх лотур nriorodgn 01 толгз 5Ux piUipxnUdOTX н 'JL
лкхо Uoddoirn лкх тох g лкхо LiXUir лкх зг! ‘j; тох g Sspnrlo оар зо amgripx лотх
SpriordOTXnrg 5плз толгз Urioinry •nikipxiiUdOTX mgr лкх лаоХз пл ла^о1гг1 5зг!ох
Ssdochnrp aodro— ulirioinrg кхогХпуз niri,, зг1з^ пл sirsdirs пд ‘ndkxoan 5пхлотугр^
л(ог1пЛ лотх nrikygodir 01 тЛ oaxxip ‘6'8 ‘Хз
NOA1MIV VV3.I.NOIN Г8

sriaoonxcb пл Soirpdx Smrip ззХдпка лзд ‘(лотг!пЛ пуолао пууп nxsxdn тох Smgnx)
зохплад толзз р-р ‘£-£ ‘T'l loripA 1Q ’£ лпх1л nriAisgndnir ою Uod UxoiAsri н
•лохпладп толзз nrionidinx SsdUyir ох лпхо Smgidxn 3191 ‘р pirn Udsxpdxiri
зплзз Uod UxoiAsrl н Т a-»iU пд hod Uxiyo U ‘Soxnrionidinx 5Urlxn здпх Soxliri
пхпх Uod пзпздплоз! srin^jng зпх Uoddoirn лих inx UAUir лих зг1поаохздо1гохплп5
лпд -Saogripx баолзох SidmX- 5зг1хп Sidsoosx зхрх зг1пХзз пд ‘nriUcbndA 0x3 у
аох пззХзохо пхзлзрит! Uri пхо позт<плп SUosgnxsri пхплш 5рлз UoUxUOmn лих зт!
зз^рзот! рхау ’SsTirindA Ssxixsdocbnig Sidsoosx inx SsyUxo Ssxixsdocbnig Sidsoosx
oirn тоxлoXdзodlr ng ‘inxsaadoAmrn nirinAig U aocby тохплш лохо лтдплот!
лгодпоозх оуолао плз зплзз (лрхплад зплзз лооо ,<Ьз) nrionidinx SsdUyir плд,
’О = Нр пхплш лохо inx пбдлр aoxdnxsx аох тох ЗпхзплаЛ SUxmdir SUx а^пхзз!
Urixn isXdnira лзу -пхплмг aoi Sagnaorf Зио лпоХюшшв Saoi a^oiaii ЗзтЬт
Ю ’Р^зд SidsoDsx inx ndsxoidn logripx 5id3DO3x pxan ,o лп/dUira ‘Uoddoirn
лих inx UAUir лих ЗпхлтолЛу g-g Xj oxo inxsXsrdsir nrlUcbpdA оХзохозхлп од
'T	О	О	О"
. Т	0	0	0	_
О	I	I	I	~V
Lo	о	о	tJ
о зплзз nriAisgndnir плд, Г nd^n
лохо ззХзохозхлп С UyUxo U тох г ЗпхзплаЛ 5Ux ЗзЛоупгз Six ззлзд г UririndA U зохд,
•AaooUgmroodir пл лаоузд лпз у = inx roxongigriaon зплзз С SndxAp о тох г
пхзплаА U лпхо д = f’» :5здрлоз1 тох пхзлздиз! isXsidsir Зпхплш q -nxmlUchndA
зз! U Ззхплзгг зт!- nriUygpdir ox isxonioaodmr пл loirpdx оар лaoXdnlrx
•лспз1пЛ лтх niiUygpdir OAsrlrlidxsx ох зг! тох ззхоппгпхпх пл
isdoirri поаоЛзо ‘5aodmX Saoxnxonip-дз зо ззгНзуаод пл isdoirri подзЛуп UxiririndA.
U aocby ^лaoxaзdxлnlr пл зоур зхот ‘nrionidinx SsdUyir плз sriaodg пл лрхплад
зплзз зхрц -iXp SmXaxoap пууп тлз ‘nxongigiiao зплзз mdnXas^ з^зпхзд пх
pirn nxidsjAj -ЗзхзплаЛ Sidsoosx inx SsdgAn Sidsoosx sriaoXs 1x0 mxog,
лтНпА лотх nriUygpdir од
•Ssrixn SisdUyir £ ззлз1зх aoir Urioxnig UxoiXnys U inx
ззхотрзХо ззХз nriUXo ox pxan -UxoiAsri зплзз aoir ‘£ зпхзлзЛ ихзуолао U ‘Uod
U Uxan isgsxoodir лпхо, ’(96’8 ’^Z) Uoddoirn лихо пхзузх ззлпхсЬ Uxan лоор .сЬз—
Uod noaoXdnxra niri ззожЗзплп пл зохз inx SUrixn Sniri Soxliri nxnx mow 01 Зоди
1зп1г пл isdoirri Uod лозуггпгз н jisasgUyn лзд Smrip pxan- Uod Udsxpooidsir pirn
Aaogonysiroodir пл Aaodoirri logripx mxnx oag 10 inx logripx отлпк oag 10 олрг1 ixo
зпхзлзпсЬ пл pdoirpi g 3ri 5зоз зплзз (пз^зд Sodir ndsxoidn pirn) SsxUxpxixUdmX
10 5зуо, ’Uod Uxxicbs niri inx oaxxig odsxasg плз ззлХззд ng-g -X^ og
•SUod лозукпгз SUx
SUrlodgnig 5Ux Uosdc^n Uxiriodg^n лих isirsdxiirs inx- Uod sgyUodir oioiro лох
NfSINJIVU VI<R5H0 IVN ZOWZIXVWWVdJOdU ZOHIWWVdJ
86V

•5U1 рлтЛрдхзх то
ллоХюхоил» пл aoi D13X1010 di ari пдзтепхо зо isXioioiwo 5dxdaim о но тохроллд rg'i’j *
pdoirri ooao^ido It 3191 ‘oyoAsrl gyoir толр лзд лотхтлздиг! xoyirri юлзлюх люхд но
зг1ао^рд ю@ ’осЬодгоплю ox sriao^pgoiro ,л толр DriUyggdir gxixDriUgnri од
охюладю толр oriooidiox SsdUyic юлз 3191
(и < b + d зт! лтх1лз§11г1 xoyirri юлз зт! oigi 01 толр aoir) b - и < d тох 5зддлю
Ъ — и олдт! лаохазд1лю1г юл лаодокг! ЗзхтолаЛ d люд ’5зддлю 5зхлолзг1о1гю
оад 5аох олдт! лаохаздхлюк юл люоаодокт! юд ЗзхтолаЛ Siadx то ‘лотг!юЛ лтх
oriUvggdir 013 ^sgUri толр юл ooao^ido л1н з^юхЛюлю aoir ‘д = и зг1 лотхплздиг!
xo^irri £ iirs £ юлз зХр g-£‘fr UoUxoy н ‘и < b + d л.ооо <(Ьз ‘nriomdini 01
is^iqouris люжлздШ xoyicti b lira d плз 119 oi толр и зкз и юхюлш юлз oiA
Зюлдлюх 5дх1лзЛ о тох1лзд11г1 giro олдт! тохрузхокю -£ iirs £ Эюхюлшмга
5юлз- £ ‘£ ‘у лго'уЬпо лап тох р ‘£ лдп1г1юдЛ лап 5юхюл11го1га о тохмздЫ
giro xoyirri юлз a^iggirria 01 ‘oriAisgpdoir 01 дхаю со ‘orlooidTOX SsdUyir од
•лзд1п1 толр ooao^ido U Здпгзлао тох лзд1п1 толр iodg yz
то тох ‘у аох лотх1лзд1п1 лап отЛду 'Sa^Uxo тох 5зт1т1юдЛ 51дзоозх pioiroriioUdX
5odg здю^ -лахЭд g-z = jp юткподдю юлз толр ooao^ido U пд sipglnia©
•лзд1п1 толр аох poao^ido ц ’Socbdorigigi
толр -юрХтохо зхохйдютоко лаоо1ххоюхюхплю (л лаодокг! 5здюлот1 5п-
у аох 5апгд ‘oxnagUri oigi юх зт! 5юхюлш здю^ (юддзХую июгМтодЛ Ui^) (£)
•лотг1юЛ лотх дт101дю охочАзт! лох зт! тахаото 5дхаю тох 5тздх толр (лотхздюх 1л
лотпло^чдо) лотгМюбЛ лотоаохкауюх 5дт101дю 5охозХюуз q '5зг1г)юдЛ 51дзоозх
giro 5здзхдЛр giro тохлолюдт!юу юхюл]1г лохо 5здюлог1 iq (qriomq лог?) (z)
yoAdair оуую люлзлюх npiraxx лЫ юл SoAdgic 5юлзлюх зхоот тохз ‘5здюлот1
зт) юлотЛюдхзх зо ЗаоЛддк Ьпдзоозх зхзурд юл лохюладю толпд (гхюхо 02^)	(j)
:5aoirgdx SaoxnsSodroig Saoyvoir зт! рдоюбсЬхз юл pdoirri orioodsirriao од
•5ао0зЛзт1 sxoirligaoTOiro Ззхюлто юзЛ oidlxxidx gxixoioocboiro ох толр дхаю ixg
зт1ао§рд 5у niiomdim Sadfiyir плз оюлацп шл13 3102 ‘5зддлп ц gicn юдзлоАту
лаооздп пюуолао 5зюио 5ио ‘люжпллЛ ц о^оллооил плз isXdnua AniQt
"I тох х 53r1riodA 5по олдг! 5зх1лзд1п1 Uri толр £ ‘£ ‘х Ззукхо iq (z)
р Uylxxo Uxo олдт! ЗзхплздЫ Uri толр р тох £ bsririodA iq (х)
aoirg ‘юхюл11г
лохо Udogox опт толр юлдх1з н ’(Ssxrodir оад 5п) ЗзхтолаЛ олд-ri оад лаоХз
5зdgлю 5pdx iq pxdoirs лзд aoir- х^длю лолдт! люлз лао^зрлд юл 1злзт1о1гю
5зхтолаЛ оад 5п^ ’ю^зд отлюм SsdgAZ) 5isdx 5аох giro pdsxoido отхюх ЗзхтолаЛ
оад 5п is^idmX Uxay ’Urioxoig UxoiXpys U люх1л oriUyggdir ox ‘oriUdmdA 0x3
:X ‘0 sri юхюлзк зхо1г1лдлото1го to
UAoridocbs 1зХз aoir oirgdx люлз (ri дхаю jA юпто aUx зг!аооюхз§з 5y 'Sidsoosx 5aox
66P
NCJAINIV VVHXNOW

5зд§лп тох ЬзхтоллЛ 'п'/.юхоилп ‘тохлаоолсша 99 1DX Л1	»i >IN r-g-rj
•nTiomdinx оиоллд oxoiAari
oi 13x0169 D9 kooniridsir здпх з;^ nTiomdinx Ssdkyir плз inx —oaxxi9 0x1913
01 oian to— плодХохап! 13x0169 ю0 ‘Uod UxoiAsii кх 13x0169 аок ЗкЛпбЛпгз
SoTigiSoA^n о зхох ‘139X01 ивН аох кхкдлао к лпхо, "139X01 ЛЗ9 jpH ао1 кхкдлао
к 119 лаолХр9 <плп1гпдп1£ пх ‘и аох 1хдзходхп1 толр код кхотЛзт! к лпхо,
•а < d лпхо и аох кдзхрдхп!
толр з + d-u nxliioxiiUdcoX к SmiiQ, ^зддлтр з о лог! лаооздю 5зхтлаА. d 5ii£
•5зд9лп 5зхлолзт1о1гп 5аою ‘ • • • ‘ 134 5п oirn ‘Uiioxn^ Ux1301X01119 пл isdoirii
Л39 Lrrixn niiiiinx ‘и аох lidsiodxiri толр 5lnioini9 5Ux nxluoxiiliScoX li lujisirg
•Uoddoirn лкх Sodir 5аохап Зз09лп 5аох (irn з inx ЗзхтолаЛ 5зоаолзт1о1гп 5п 5odir
IxXUir лкх oirn d — и толр 5lxiioxni9 Ski 5oxlxii ninx nikioxiikdoiX p *’5UAUir Ski
g оуолао охо толр ‘01^39 nxo dj/\[1   1 tox ndsxoidn nxo 1    ‘ 144 logiiox
io по 31О30О1ГХ ’u aox Udsxodxiii nikioxiikdoiX 13X3 ng Uiioini9 U kiay
•liTioini9
nioirnx толр пл isirsdir 91ЛП tiX кладазка inx и 9100 U03i90xiTi тол]з Uod кхтЛзг!
к 3191 ‘niionidinx Ssdkyir плз охпла^п толр лпхо, ‘5аот1пЛ и i3^idognx aoir
miAndir ‘оууп охо odxn плз ох 91га плбзк Uod к inx- 5i3dkyir толр Uoddoirn
лкхо 5злзт19Х6зшз mx UAUir лкх (irn SsASiigXds^p io 5зг1хп то ‘и толр Uod
UxoiA,3Ti к лпд ’(ОТ'8 ‘^2) I i»a,13 Uoddoirn лкхо тохлоХбзтз aoir 5зхап
тох х тлр ndsxoidn IxXkir лкх 91т тохлоХбз^з aoir лотг1хп лап 53iUi9xixUda»X
IQ I D1''- 11л1° и 1ЮЛ-]3 пхплш аох у 0X0 лаоХтохоплп aoir 5з1к19хпк6отХ то
‘лоозт1 охо То1лохо109 aoir ‘5зт1хп 5по ЛП19 Udsxoaoyirn толр U§i399irn н
•аох Uod Uxoi/pri кх тох aoaxxi9 niiky99dir оХтохоплп ох зткоопхз^з
пл srinriuodir 5prlg •niionidinx 01 iinriAndir п^пазхопхпх пл 5idcoX ‘и Sodir Sai
кЛотЛтгз Uxiinrikgnii pioiroriioUdZ UoiAAsoodir luvsiioido nipj ПВН 1X01 кхкдлао
It isaXoi ЛП19 -плз isXdnira 119 pgXi39oirn 4л U- nrlomdinx плз pgsdg пл толр
nriky99dir о6зх9уохоа9 од Зз^лп d 91m тобзхдЛр лаоозбп ЗзхтолаЛ d зо ЛП19
‘01ПЛ99П толр nrlomdinx плд, тотохЛплп толр дин аох кхкдлао к ndaoXi^
УРН аох кхкдлао к тохртоютлпхт
лпх9 ‘3191 лол9т! тох 3191 ‘91ПЛЛ9 толр nrionidini Ssdltyir плд, 38
и = d aoir idXsii ‘Зк^з (дпх апао тох 5з09лп лохоЛпуаох 099 лаоозоп
4л isirsdir ЗзхтолаЛ 099 здпх зо ‘Зп09лп лохо1Хпуаох 5плз isosdn (л isirsdir
пхтолаЛ здпх зо :5аодзЛзт1 sxoirlapoioiro пуол9о зо inxs^gridndis тох //»// ао1
UxUQdao к толр кхау nrionidini Зздкухг юлз лошллд тлр 3101 ‘5зддлю d
лоииХюуао! ллооздю лшшюллХ d оуолао з^юх зо лю^ и.х1лз9кт1 Uri толр пл
N15INJIVU VIdf530 IVЯ ZOmi LVWIWdJOdLI ZO^IHINVdJ
00s

охюладю зюлзз rjrioMiSim Зздкук ox ’и aoi USaiodxni 5lnioi»i§ юхкхохзхкдсох '01'8
•5оузх охо ззлксЬю oi 5оз1дздоЛую Зодзхазд о отлз
‘Ьздсол ауок д 5аохкз1 nrilirli ox з^юхкдХзу !охозХюуз 5(oiio толзз- ££ толзз 5oxkri
охзуо ox 'oyxgx лох ззлззух аок ‘g 5аохкт1 1гг1хю лкх юдккдзка nrikg озюхазузх
°1 '9 ‘£ ‘t7 ‘L ‘Z ‘I »9i3o Ux зт1 люхло^злюсЬт1з юд лтз1хю лап. LixLiri юх п’8 ОХ1
ogripx озл,
плз (т/ одрлзр лоХзд1 oi гззрлао аох Urixn Udaiprioiaao Ui з юз goodц
:nriUg SU%3 oi заздп^плпхз mx s ogripx зюхйрлоюхо окю зюйлгхз^ (х)
:5оз1дздоЛую Золюдзк 5юлз aoqj охюлад охозХюуз oi зз1юхк^ тах
‘Saoyxax ii^iinriliXo пл SidmX Saogripx Saoi тззрлао одрлэр лозрлап пл^, ’лоуую
зхоккдлозоко зо одз1ох зхоккдлозоко окю зг1аолзюдю1зт1 юл 5окодх Зозокюх
зюлзз зз1ю11л5 ао1С олоз1 О1— охкхзюдюкю зюлзз лзд аоухах 5олз 5о1юз1зоззух
5о1одх oi зхозд ‘зоухах лаоХдюка лзу ’лсод'Нох лета лсоуо 51юздлао 5охоох
ох зг1аооотххюуз юл юдотх зз1аоузд ‘л<п9з1ох оад а^юхзг1 юз111хоюзд ох юдоЛйбЛ
зт!аоалюзд юл зхлу аоаххзд аох Saogripx Saoi Saoyp ззХзздзк аок лотз1хю [ - и
оуолао юлз зюлзз- оддлзд лоздлао оюгХпуз ох юхк^юлю рхау SIxoddoKO 5Ux
зюх SUALik Slix 5ззоллз 5зх ЬздазХ ‘югИхудддк 5злзЛЛао ауок юлз ззХбюкх
•юзюздюхю лодзХо юхозуюз1 зюх 51хз1о0дюзд 5кхозХюуз юзИхудодк
ох 5тхдюзд ззлау аок ‘xaNVcTHV 01 5азкд ‘лозхозЛоуока оаххзд юлз зз1аоХз
‘5зхозЛоуока зюлзз зодтЬх зо люд -юз111лот(Ьзу11Х юлз юзЛ IrrfriioSA lidsxgiioxAao Ux
зг1аолХю(Н ‘SUoUdsxoagrax золодХ зюлзз Uxlnl юх зюх 5зз1т1юдЛ 5зхзлго<Ьзуих зюлзз
5зз1хю зо люд коддокю лкх 5одк UAUk лкх окю Ыоддюзд кдзхот1охлао кх
зз1юхк^ зюх ‘Uxkri лаоХз ‘ЗзхкхохзхкдотХ юзЛ зхлю 5зз1хю зо озоко охо ‘ЗЫоддюзд
5кхозХюуз 5охюз1кудодк аох рхаю зюлзз аоаххзд оузхлоз1 ЬздсозузтЬд юлд,
Зюзхокукю boiigidoXyn о зюх юддлзд юхлоздла^
IOS
NC5A1NIV VV4.I.NCHN Г8

502
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТ12МО2 KAI 0EQPIA IIAIFNIQN
2/. 8.11. Aizruo xai OTivSeov devdgo цг|хоод 23.
(2) ПаотЕ ахцЁд fie av^avdfiEva цт)хг), anoggimovTag ax[i£<; nov xXeivovv
xvxXovq.
Tibga oi ахцёд e^pavi^ovxai це тг] oeiga 1, 2, 3, 4, 6 (anogginxovxag naki
to 5) xai 7. Аотёд eivai oi idteg це xig ^Qoriyo^eveg -лад’ око лог avro
dev oqidaivet navxore. To owokixd цг|ход eivai xo idio -xai avro ovp.6aivEi
navroxe. To лдббктща xov owdeovxog devdpou, iron kwexai це Ц1а xivrjor], eivai
e^aigeor],
Stt] ykibooa гои удаццгхоо лдоудаццатюцоо, бд1ахоице лдо'зта тг| бёктютт]
ходххрт]! То цоутёко тт]д цёуютт^д gorjg r|xav алкооотедо ало та ледюобтеда
удацщха лдоудаццата. Kai о’ avrd оцсод ^ех1УТ)оаце ало ц!а дот], xrjv onoia
ба0цю1а бектибоаце. Н цёбобод simplex keixougyoijoe, akka dev x|xav avayxr]
va xr]v елаггщсп'оице -о A x]xav о nivaxag лдоолтсооеюд xai боикеоаце ал’
euQeiag ц’ avrdv. Tioga ndki то лдббкгща tod owdeovxog devdgo-u koverai
це xaxi лои цоих^е1 це avadgomxr] avTixaxdoxaoT], /wgig doxipaaxixd бгщата.
Sxeddv xa0e цёбобод, лов eivai бёктютт] oe хабе бтща, цад odriyei o’ eva
алотёкеоца. H елбцеуг] yevixr] diadixaoia кёуета1 aXyogiOpoq anXijmiag:
(3) КатаохЕоаотЕ dsvdga nov va nsgiexovv xai тоод n xdfi6ov^ snavaXa/л-
6avovrag to e^c 6i]fia: ЛюХе^те onoiodr/noTE dsvdoo xai пооовЁотЕ тг/v
axfir] EXaxiorov prjxovt; nov e^eqxetoi an’ avro to dsvdoo.
Та бгщата e^agxcbvxai ало тг] oeiga enikoyr|g xiov dёvdga)v. To va naga^vot^e
oxo idio dёvdgo, divet xov акуод10цо (1). To va naigvoi^xe au^ovxa цх|хг] eivai
о акубд10цод (2). To va е^ета^оице oka xa dёvdga отт] oeiga eivai ёуад уёод
акубдШцод (4). Axow/exat euxoko, akka oe ёva цеуако лдобкгща т] do^ xiov
dedo^vcov yivexai хд!о1цт]. Me yikioug хбцбоид, цлоде£ va ondg/et oxeddv
ёva ехатоццбдю ахцоА xai dev 0a 0ёкате va dlaтgёxeтe ёva тётою xardkoyo
цед1хёд xikiadeg фодёд.
Avrd ot^nkiqgiovow xr]v еюаушуг] цад oe цоутёка dixxocov. Ynagxow
e^ ioou ебхока xai evdiaipegovxa лдобктщата лоо oxeri^ovrai це лдобктщата
та1д1аоцатод:

:oaixig олзт)охз oi mk Urioinig UioiXnys aUi тох Uod UioiAsri Ui 3ii3dg jyg
UrioiniQ Uioi/пуз aUi tox
Uod UioiAsri Ui ‘nnnri niri ari ‘3ii3dg g-g X^ aoi mUioxnUdoX здпх зо £ siosgoodu jyg
SI33HM3V
mndo 0091 tox myo »№» 0091 толлз aoir
‘naixig m oirn codaA nimiAndir ndsigooidsir mA SodcoX sXdUira пл idnxnpj
•ившпад
aoi aorionnririndAodir aoxirinAag SUomoi^ SUi Ucbdori Uvirn our U toais Uiay
-(jdfi SUoniooirn + ft‘x SUoniooicn) 5Ui fi лоп тлпозкп oioiXnva = 7 lx Uomooirn
:Uoniogirn ninynir mri лао SUoniogirn
5пзл 5nni oimXnys 01 толр Uoddoirn лкх oirn Uomogirn U ‘oignio здпх 33
лсозопсЬокп AcnxiXogmg monxigmg niri зг! ‘nxniodgmn тохз^пазхотпх Uoay
H ’Uoddoirn лих Sodir Uriodgmg Uio тлпи ogrigx лплз oirn ‘odsiaynx nnx
isXdnira пл pdoirri лзу ’оюпузд толзз ng SUriodgmg 5Ui nriUrii здпх inx 3101
‘Uionvsg толр Uoddoirn aUio UAUir aUi oirn Uriodgmg mri лпд :nsgi Uvirn niri зо
ima^idUio aoir aorioiiviiriodAodu aoxiri»Aag aoi UxnXai U SUoiirs isXdnirx
•Aoraixig
nimiUygodir ni тох толр nxigis 11919 10x1913 толр loian lorigidgAyn iq (Utbadox
и,Х1лопзЛ niri зо srinir) Uod пзл niri sriaoisgoodir inx (Ucbadox mri) Uod Uixrbs
nni pirn зт<пл1хз§ Smgnx ‘xa[dmis ogogsri Ui зг1 is^niori 9iay ’Uod UdsigAUgd)
Ui U UoiXioioiw3 Uionysg Ui sriaodg пл mA Sogpg 30 o-rii^-pcfi дюХдп U
zoinvx зо omS-gdi gxiXdn arlaoioiroriioUdX ‘aorloiap U^iaggirn UxnUdmag mA плу
^(origidoAvn и^апгплп U тол]з Soimisg aoi aoian ndasyir UxnasiUoA mj/^
tSniUigxnUdoiX Saorioidoidsir oira ‘Uod UdswAUgcb U тол13 тоц 'л.тд
-ocbnisrl лет nriU'Yggdir 01 sri SUod 5UioiA3ii 5Ui nriU^ggdir 01 Зтло^падлао
‘Soiogx inx niUigxnUdmX лаоХз lorigog io ndmg -.Saoioox aoioiXm/з Uoj •£
(•тзуаод
здпх зо orioin плз Зтлолузю ‘ЗиоГХгоюплп SUionyag nriUyggdir 01 зг1
isiiriirriao gian ‘у толр SisoUiU^ io inx SaAmAndnir то Ззуд лпд)
Soiogx 9x170 01 лао1О1го1тХпуз aoir Ззютуплшпх зо SaoAcnAndnir 91m
Ззуоюоют 3i^37my ’SadoAn и зо SisoUiU^ 10 inx niariUo и зо SsAcoAndnir
10 ‘Ssrlxn Sno Soiogx здпх 01 iniAogiy Amdo<hni3ri acti mihygodx oj, 'i
(•лсгфрА лоп
nriU’Yggdir 01 3ii isiiriirriao gian ‘y U g толгз f?o ni пуд лпд) ’SsionAds 5n
Ззуд fi лоп mioiodgn 01 UgnyUg ‘Uooggirn Uxiyo aUi 3i3oUioiroimA3Ti
пл этот 1013 53ionAd3 sioiXiowiuy Г nionAds aUio 1 aorbluRoira aoi
Uooggirn aUi ndiari f?o 119 onog, -3UoiXioioiia» Sliiouvsg Shi orilwgodx oj^ g
EOS
NOA1NIV VV31NOW fr’S

олр-ri isXsidair UririndA Uirodir к лпд пвН ЛО1 кхкдлао U Ш11зю1голпх1 лпю тох
Urioxn ‘miomdini SsdUyir плз лршлар толгз лкт) пл isdoirri ‘пуолао псЪзкп mj HVS
•SaorinA лохогХпуао! £ гзкздпкз 119 3i§i3p ‘Ззрплот! гзХз [_ шз д Зпхплш Зплз лпд 01Т‘8
miomdini SsdUyir плз ршлар толгз Ззгоко Six niA
‘UyUio inx UririndA здпх зо Ззрплог! Зздзхротдзхг U oag sri miAispndnir зхтздд (9
(SsririndA и oirn SsdsipAiy зг1 лаодсЬаупх пл
лошларп толгз Ззрплог! то по зх^гзу/) 'miomdini SsdUyir плз лршлар толгз по
31§13\7 Зэрплот) оар Smgidxn isXsidsir UyUxo здпх inx UririndA здпх no onog, (n 6‘P8
SsririndA q лохо1Хпуао1 тохло^тзоХ
‘Ззрплог! ю Ззур лаодсЬаупх пл mA 3101 ‘iorinA з/ тоюлар толгз лпд тохплш здпх
mA 1заздкуп Sprioiap Зклздоп о nniA 3ioUAU§g ‘.у аолзг1аоАио31г aoi 5зрплог1
ю Ззуо лаодсЬаупх пл mA тохло^тзоХ (5з1здпх тох ЗзплоЗтоо) SsririndA Ззооц g’pg
‘.и < b + d
13X3 л<рх1лзриг1 Зпхплштга b шз d Зотоц !5зрплог1 ЗзАг/ лаоХзтозхс по аох <оАру
‘у пхплш олзг1аоАко31г лою ‘цен ао1 кхкдлао Ui лаоЗтдпотг SsririndA 5зюц
•Soinrionidini aoi Ssrixn Sn mA SsririndA 5з31лоХ ош зт! д aoi oaixip 01 sionipsXj
Saoi mA (nriomdini SsoUyir плз ‘лошлар is) л<ог1пА оуолао oxoiAari 01 siisdg 9'fg
•SUrioimp SUioiXnys SUod SUimAsri miUdrosg 01 зт) oi зюпзХоа^ 7 01 oirn
s 01 тззрлаоокп Uosdindro U лоттоко лап ‘ла>г1хп origidn оютХпуз Л01 sri TOiaooi ‘7
010 s 01 oirn Ssrixn Ззлюх SidaiX лтг1оЗршр Sorigidn SoioiAari о ‘miUcbndA плз SV8
t? ogripx лою у ogripx Л01 pirn Uod клплар UioiAsri Ui sindg Г aogripx
aoi tox 1 aogripx aoi a^nisri | Г — г| niUipxnUdmX sri лсодт!рх g oaixip плз sionipsXj ppg
toaixip олзг1аоАиоо1г ою ‘aoAaiAn здпх niUipxnUdcoX Ui sisyngnisri пл
sinoaodoitri лп ‘SUod SUioiAsri SUi UoU^an UdsiaynAsri Ui 3D<^3§odit ng UAnyyn шоц fpg
Z
NHINJIVU VldOHO IVN ZOWZUVWWVdJOdU ZONIWWVdJ

•j Uod
5прдаз ,и» isonicb Uglt 1зХз oioiro лою ogiiox лою inx Urioxn— Uod kdaioomdsir
laopicb пл pdoirri 6'g X3 aoi Urioimg Lu oirn minx ogriox здпх зо 5mir зюкАк^д £ГК8
aoTionnriTindAodir aoxirirlndA nrlkygodir
лпо g g X3 aoi nrlkygodir 01 siomirainiy ’5Uod тох 5nikioxnkdmX a^niari ndocbmg
Ui mA -гх — -э = c'xn SaiUygmari SaxuUgUog 13X3 5Uod SkimAsri nrlkygodir og 9X't’8
5здплот1 5ii 5зуо лаоигаупх aoir SsrliindA Sidsoosi (g
g < b + d тох nxnsgUri 3ii b iirs d nxmiiroita лплз (Л
SaririndA SsdsioAiy зо 5здрлог113X3 aoir лтукю оуолао плз (д
5зукю SadaioAiy зо 5здплог11зХз aoir лготМпдА оуолао плз (п
3ipdg ‘оптАтд
mdax лк1 oirn minx тох тлпгг 5rogidxn 5здплог1 зг! ‘g lira g толр у Зпхплш о лпд ST‘t‘8
•7 ою s
oi oirn Skriodgmg SUdsioriowio 5Ui Uosdas^a лкю sriaoXaioirn пл arinoaodoirri
ng ‘Urixn kdaiorlowio Ui oirn 5шлтл1хз§ ‘no niiAisgndnir плз ,ri 3i5py (g
!aodgA3§
5о1лоздлао aoi nriUygodit 01 mA тох 5nnoUyitn SorigidoAyn о пазуаод nnij (n fl’t'S
УУ8 SUokxoy 5Ui aoaixig aoi odgAsg
лоздлао odaiorioiAao 01 3ipdg пл mA (3) inx (x) SaorigidoAyn Saoi siooridntbq £I'fr'8
53iUioxnUdroX mA плп Uxloi isXpoair 8’8	01 л?3 ‘°одлзд
лоздлао oioiXnya 01 тох Smgnx ‘7 010 s 01 oirn Uriodgnig Udsioriowio ki sipdg ZIT’8
nrionidini Sadkyir isXdnira лзд 5ioiaoi лз— 5зукю d AoimXnyaoi зо
5здплог1 лаоХз SsrlrindA d 3ioirkgo3ioiro no 3i§pg ‘x = лпготх inx 5здплог1
NC5A1HIV VV31NOW Г8

506
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТ12МО2 KAI ©EQPIA IIAirNIQN
8.5  0ES2PIA IIAirNIQN KAI TO 8EQPHMA MINIMAX
О xaZvxepog xponog e^X]yr]OX]g evog naiyviSiov nivaxa eivai va Swoovp eva
пара6е1уца. Auto e%ei Svo naixxeg xai oi xavoveg eivai, oe xa0e yvpo, oi iSiot:
О naixxx]g X ox]xwvei eva x| xai xa Svo xov xepia xai ave^dpxx]xa ait’ avxov,
xo ISio xavei xai о Y. Eav aitocpaoioovv xo ISio, о Y xepSi^ei 10 $. Eav
anotpaaiaow avxiOexa xepSi^ei о X, 10 $ av ox^xwoei xo eva /epi xai 20 $
av oxjxwoei xai xa Svo. To xaOapo xepSog xov X пер1урафета1 evxoXa це
xov nivaxa
A-H° A~ [ 10	20 1 -10J
eva x^Q1	Svo xepia
xov X	xov X
eva /epi xov Y
Svo xepia xov Y
Apxei Xiyx] oxexpx] yia va 6peixe xx]v xaX.vxepx| oxpaxxiyixx], Eivai itpocpaveg
oxi о X Sev pjiopei va xavei xo iSto прауца xaOe фора, Sioxi 81афорет1ха о Y
0a xov аут1урафе1 xai 0a xepSi^ei navxoxe. Парбцою о Y Sev propei va ne-
piopioxei oe pia oxpaxxiyixx), Sioxi о X 0a xavei xo avxiOexo. Kat oi Svo naixxeg
npenei va ypriaipionoirioovv pa ухттг) атратууixy, xai eni nkeov r] eniXoyr] oe
xaOe yvpo npenei va eivai xekeiwg ave^dpxr]Tr] ano xovg npor]yov|ievovg yvpovg.
Аюфоретта, eav о avxinakog avxiX.T^0ei evav [laxpo/povto o/eSiaopio, pinopei
va xov expiexaXXevOei. Axop) xai pia oxpaxT]yixr| onwg “xave ovveyeia xr]v iSta
enikoyr), еф’ ooov xepSi^eig xai akXa^e pioXig xaoeig” eivai npoфavwg pioipaia.
Mexd ano apxexa naiyvidia, о avxinakog oag 0a yvwpi^ei xi axpi6wg npenei va
neppevei.
Avxo avayxa^ei xovg Svo naixxeg va xavow xov enopievo vnoX.oyio|i6: о
X pinopei v’ апофао^е1 va orjxwoei xo eva xepi це ovxv6xr]Ta x} xai xa Svo
Xepia це ovxvoT-qxa 1 - x.-,. 2e xa0e yvpo r] emkoyr) avxx] eivai xvxaia. Kax’
avaXoyiav, о Y propei va exxpa xig Stxeg tov ni0av6xx]xeg це y\ xai 1 - y\
avxiaxoixa. Kaplia an’ avxeg Sev emxpenexai va eivai 0 r| 1, 6юфорет1ха о
avxinaXog SiopOwvei xo naiyviSi xov xai xepSit,ei. Tavxoxpova, Sev eivai оафед
oxi 0a npenei va ioeg це 1 /2, Sioxi &юфорет1ха о Y 0a xdvei 20 $ noXv ovxva.
(0a exave 20 $ xo eva тётарто xov XQOvov, 10 $ eva dXXo xexapxo xai 0a
xepSi^e 10 $ ото цюб xov xpovov -exovxag pa цёох] xpx| anwXeiag 2.50 $, nov
eivai nepioooxepo an’ 6,xi xpeia^exai.) 'Ooo перюобтеро бцмд о Y xeivei oe pa
xaOapx] oxpaxT]yixT| xwv Svo xepiwv, xooo перюобтеро о X 0a xtveixai npog xo
eva xepi.
To OepXiwSeg прббХхща eivai va SoeQeI y,ia KJOQQonia. Ynapxei pa pixxx|

8.5 0EQPIA TlAIfNIQN KAI TO 0EQPHMA MINIMAX
507
OTgaTqyixq y\ xai уг лоп, av xgqoiyonoiqOei це aweireia ano tov Y, va yqv
nape/ei eidixa ngovdma otov X; Mnogei о X va Siake^ei Tig mOavoTqTeg too
x\ xai x? etoi сооте о Y va yqv exei xaveva kdyo v’ avanru^ei Tqv dixq too
OTgaTqyixq; S’ eva тётою огрето tooggoniag, av onagxei, то цёоо xegdog too X
0a exei (pTaoei o’ eva aay/iarixd <n]peio: 0a eivai цёушто doov acpoga tov X
xai eXaxiOTO doov acpoga tov Y. To va 6ge0ei eva тётою orpeto eivai ioo6ovap.o
це то va “koOei” to naiyvidi.
'Evag тдблод avaXooqg twv оло/юуюцоА too X eivai о e^qg: Аотбд oov-
doa^ei Tig doo crtqXeg це та 6agq Xi xai 1 — X\ xai nagdyet цю vs.a OTqkq. 'Eotw
oti хело1цопо1е1 та 6agq 3/5 xai 2/5, олбте nagayei Tq OTq/.q
^Н1*Ш
'O,u xai va xavei о Y evavriov aurqg rqg orpanjyixqg, 0a %aaei 2 $. Её хабе
цeцovwцёvo yogo, то хёдбод eivai 10 $ q 20 $. Eav бцюд о Y oqxwvei цоУ1ца то
eva x^gi, тоте 3/5 too xqovoo xegdi^ei 10 $ xai 2/5 too xgovoo xdvet 20 $, це
peaq anwkeia 2 $. Eav о Y лдотцла та doo yegia q avayetyvijei Tig OTgaTqy^g
oe onoiadqnoTe avakoyia, то алотёХеоца naga^vei отаОедб ота 2 $.
Аотб dev oqцaivel oti 6Xeg oi OTgaTqy^g eivai бёХтютед yia tov Y! Eav
eivai тецлёЬ% xai отёхета1 це то eva хёд1 отЦшцёуо, о X 0а aXXa^et xai 0а
agyioei va xegdi^et 20 $. Тоте 0a akXa^ei о Y xai xaToniv 0’ aXXd^ei xai о X.
TeXtxa, av олоОёоооце oti xai oi doo eivai ё^олуоц тбоо о Y doo xai о X 0a
xaTaXq^oov oe цю бё/moTq avcqiei^q. Аотб oqцaivel oti о Y 0a oovdoa^ei Tig
удаццёд too це 6agq yi xai 1 — yi лдоолаОоАтад va oxqцaтioel цю vёa удаццт]
лоо eivai doov то dovaTdv yixgoTegq:
yi[-10 20] + (1 - yi)[10 -10] =[10 -20yi -10 + 30У1].
To owoto це!уца xavei Tig doo oovioTwoeg ioeg: 10 - 20yi = -10 + 30yi, лоо
oqцaivel y\ =2/5. M’ аотт] Tqv entXoyq xai oi doo oovioTwoeg iooovtoi це 2
xai q vea удаццт] yiveTai [2 2]. Aga /Г aurq rq orparqyixq о Y dev futogei va
Xaaei ледиюбтеда ало 2 $. О Y ekaxioTonoiqoe Tq цёуютт] too алсЬХею xai to
minimax too аоцльлте1 це то maximin лоо 6gqxe ave^agTqTa ал’ aoTOV о X. H
Tiuy rov xatyvidiov eivai minimax = maximin = 2 $.
'Eva тётою оауцатохб oq^io eivai aijiooq^iwTO diOTi oqцaivel oti о
X nait,ei Tq deoTegq OTgaTqyixq too 2/5 too ygdvoo цdvo, лад’ око лоо q
OTgaTqyixq аотт] too divei eoxatgia yia 20 $. Таотб/gova о Y avayxaoOqxe
va anode/Oei цю OTgaTqyixq лоо yavei -av xai 0a qOeXe va eivai юблаХод
це tov X, xgqoqionoiei Tig avTiOeTeg niOavoTqTeg 2/5 xai 3/5. Млоде1те va
e^axgt6woeTe oti о X xegdi^ei 10 $ це ooyvoTqTa (3/5)(3/5) = 9/25, xegdi^ei 20
$ це ooyvoTqTa (2/5)(2/5) = 4/25 xai yavei 10 $ це Tqv алоцёуоооа ooyvoTqTa
12/25. 'Олюд ava^veTat, аотб ало<рёде1 o’ aordv ёva цёоо хёдбод 2 $.

(nidi... 4fp) _ ют1оал.»1§ пАзуту :5i3ond>oitn 5зАоуплп 13^11готхзг1илп xo -x
пхкхолХао sri тохзАпдтгплп (л kxiAkxndxo кхоо-г к зхоот тохз олзтктоазхопхпх
‘ЗкАоупгз SninXax orloiAnXkii лплз зт1 Ззхап tirn mri mA is^ioncboirn ng х °
aoigiAAinir аох odaA здпх зо тох SsxiAkxndxo Ssxixsdocbmg и 5ix mA ЭзхкхолХао
Six лаол]д 5зхап Ззоотхтлао iq -у mioiodgn лаоХз тох пхпклдп liri толр -х пх
aoiro ‘Зпхкхолпдпг пг1оалтд толр охап nriApri ox -(их1    Чх) = х kxiAkxndxo
kxxisri sxoirkgmoiro 13§зупгз пл Эодздазуз толр х о ‘miAisgndmr охо Scoitq,
51хлп<Ьодхг oirodx
плзлпх зг! толр лзд Sniiroddom aoprilio aoxixmiAno 5олз k^dnira к ‘оодхоу
oyyp лох oirn mxs^igdsx kxxinir плз лох pirn тохзлпХ 3xoirkgix‘Q лотххпш
oag ioimioiodgv aoxiAaglui i^ixAmu плз lynx толр miosysxoirn ox x лох
Sogdsx кдпукд ‘Sogdsx рхпклсЭп Smyirn 1злтот1ко орХтохо oxukAdn плд, -аох
kxig кхоо-г лкх 1зАзупгз х о тох аох kxiAkxndxo кхоо-Г лкх 1зАзупгз 5охап
лпхо ‘х лох Sogdsx ох 1злпхтдтг орХюю ох Ззукхо и inx SsririndA ш
1зХз ‘ат§1лАто1г аох odaA здпх зо Soigi о i3A3iindnir aoir ‘у Заодозх Зпхплю
О ~ш 1зХз х ° 1ЮХ ЗзАоупгз и 1зХз х О mdocbmg поао9з<Ьтдлз mri зг1
‘5mi nriAisgndmr ox sri Smgidxn is^mori „пхплш igpAimr,, охмзА our ox
хвшщдо nrikdmsg ox
•aoriounririndAodir aoxnirindA aox 5зхкдлао Ssxmdrogidsir
SsxixnriOTdkyirriao Suo Srodkyir рХюхоилп 5gxan 5плрлпх о 'isAascboirn Six a
о inx odsxoooidsir ипх лаол1§ SsririndA 5зууп ю- x лох kxiAkxndxo кхопузд
кхо лаоХзхзгМао aoir SsririndA Six Эзлрхз ,o mxs^pncbris kriix mgi к x лох
лотукхо nriApri охтхузд охо ‘лтАюуплп рпх х ° ixmiAndir pioiroriiokdX aoir
Эзукхо Sixo олог< ($ дд пх тох $ 3 пх Sotito) mxs^pnchris ао1д1лЛто1г аох kriix
к ‘х лох кЛоупгз кхопузд кхо :толр пл тохзлтосЬ Зплрлпх Зохоото о
•тлотЛ кхо отлп1г толр
opriko oxixmiAno ох пууп ‘хвапщш = щипхвш iynir зг!ао'Хз ndy •$ дд толр аох
П1зуот1гп kxoiAsri к тох kririndA kxrodir лкх зхохлпхг тзЛзуту 'odsxodxiri лдхплад
ох ооо толр aoir AonririndA, лотх nriApri mA плХпф. х о ‘nAodXgxanx $ дд Sogdsx
охтХпуз 5пхлолтоХахз1г тх (ninXax aoyognx) f = £х тох д = гх ‘д = 1ж kdng
пх зг! Ззукхо Six SnxAO^ixdotb ‘kxiAkxndxo пзл кх ndodb здпх 1зАзутд пд х О
. Г08 01- ОТ 1 =
[09 0Z ОТ-J V
ТОХЗЛ1А Saogdsx Зпхплш
О ’оад 1злотхко х ° Л1019 $ 08 1DZ юл? 1злотхко х ° л-531? $ 09 is^igdsx пл
тох mdsX nidx 1злотхко пл nioiro лкхо kxiAkxndxo kxidx mri х лохо inxsirsdxnrs
ixo зхоздокх »рХюхо noi зг1 kriiindA mri толр nriApri охтхузд ox ixo зхохлпк
1заздкуп лзу -пуохаз toxsaiA aoir nriyncbo плз srlaoDmisriko пл isiradjj
N55INJIVU VIdC530 1УЯ SOJNSUVINJMVdJOdU XOMIWlWdJ
805

SUAacbmp Ssidmxas 5здз1ооо1дзк пХз а о ‘u oi 1злп^ап 5фбюХ
лкх pirn гаи тохзлстторзрпгз
5<mrp ‘и/1 U г(к/х) ох 5з0осЬ и толр aoipnAmir aoi Lvriix Uxpo н ’X ао1 Sopdsx
олзг1рлзт1плп ох толр лотгктоарлао лотх лотхап лтур mioiodgn 01 тох г(и/у) толр
г UxiAUxndxo кх оар то тох лао^зупсз пл пхкхолпдпг ц '(и/\ ‘ •  • lu/i) = Ji
5зхкхрлпдпг 5п Зкошз тзХз aoi UxiAUxndxo кхопузр U ndn ‘х о тзхггаупхплп лох
пл 5idmX UxiAUxndxo moirnx ndsximpi is^pox пл pdoirri лзр а ° лпгЛоуплп дпд
(xt/X ‘ • • • ‘xi/x ‘tz/x) = *x толр nriApri охопузр ox ndn ‘пдзхрлХао isAascbmp пл
pdoirri a ° зхох ‘5зууп 5n pirn ndaxpx'Zao aox UxiAUxndxo niri 1зАзутр x 0 лпд
q = f?v толр Sopdsx ox тох C kririndA Uxnsdocbnip mri 1зАзупгз A ° 7 кукхо Ux
гзАзупгз x ° лпхо, 'Taorodkyir пл mxs^nudX пд лзр sxoiro ‘x лох isAadboirn (л
nxk^ a 0 nAodXpxanjL ’$X = --v is^ipdsx sxoiro ‘a лох лкхап tri кАоупгз mpi
лкх isXaxsir пл is^iirp x О :ло1р1лАто1г аох nionriko Ux sriaooUAk^a пл оуохоар
толр лзр тох ufiux +  + Мх = xjft тохзлгА Sopdsx олзг!олзг1плп ох зхра
I = у ‘5пхпл11г и 11гз и 5рхпохапх о толр у о пр отход, у VHIJISVVdVLI
•гзокюгсохтХпуз
пл гзузд а ° тох isokioiroxoiAsri пл гзузд х ° ао1£ ХУ& 5opdsx ох толр рхау
+ . . . + l/jIa;IlO =
гшв 1шо-
Zx
lx
“In
Zin Un
[mfi    1/1 ] = xyfi
лотхплпг aorlonTOnYirnvvoir аох соЛру 'xyfi зг! Scopidxn inxaom nrimodgn pyirip
оg :лтхплпг priopopriao зо ndsxpyoxas mxscbndA Sopdsx олзг!рлзг1плп од
• f?n прХтохо пх толр ippAroir
ox is^ipdsx 5oioir гз^топсЬоют aoir pxan тох a тах X 5ao1 '1O191 10 толр
5злрлпх iq nxnUAdn толр пл pdoirri f?n прХтохо nx pirn sxoirUpmoiro no pnir
sriao^pog -!йсх%23 помз ng aoigidArou acngi aoi 5npiidnir здпх 5оддзх
оазт^олзг/пап oxiyo ox tox ?/jfxf?n толр ng рг!опарлао pxipis лох лрхап (irn x
aox 5opdsx олзг!рлзг1плп ox ‘5<о1гзлад -<?n толр ng 5opdax ox ‘pxan 1злто9г1ао
лпхо, 'лгохихолпдпг летлзтколо^зг) оар лсох олзг!рл1Л ox- lfifx пхкхрлпдпг sri тох
-з^1лп(Ьт1злп1гз пд а ао1 5UxiXUxndxo 5Uxoo-z 5Ux mx x aO1 SUxiXUxndxo 5Uxoo- f
5Ux 5рт1опарлао о ‘odp лоозг! пхпх ‘5mrio, ’aodaX аолзг1<олог1зт1 5рлз nriosysxoirn
ox mA nxnomAAodir AaoXdnira пл Aaodoirri лзр тох отоХах толр ippAmir од
5UxiAUxndxo 5Uxxi3ri
aox 5Uxip 5Ux 5зхкхрлХао 5n гзлгр oioiro ox ‘1 = -fi1^ mx g < lfi зг! SUoiirs
60S
XVININIW VWHdO30 Ol IVM NDINJIVU VIdf530 S'8

тзтокоютЛзг! аок пт!оалптд oi тзсНаупхплп ng х ° 1ХР 1злзт1тдзк пл тзкздк 7i aoi
5зхтЛк1пдю 5з1хтзт1 5ti oirn mri здрх mj охздплп oi тзлрх x SUixtok q
тзлзгИдзк пл тздокт! лзр ‘одзхооотдзу
ft х	fi
(х)	*жу/?шшхвш=
лроок oi лоютХруао! тзотддзх
ng по 5одаоЛто толтз х ° кЛюушз л1п Uian охотХпуз оз озл» ззюмозткзз!
аок (рхтдплот! толтз л1сг1 пл тздокт!) „х птйэалртд плз тз^зуткз ng х SUixtok
5олка^з 5плд, 'xyfi йщш 5оддзх тзХз пд х о то1з :xyfi 5оддзх ох тзтокоютХпуз
аок ft 01 тзЛзуткз тпх кхтЛкшдю In liian пхтузх ттзлрдт1пут1лп х ° 319±
•(“гс‘•  •‘I®) = х кхтЛкюдю InxTsri In тзЛзуткз Soian по miog, ’X ао1 Ьюзд
lno 5mi 5аохапз 5aoi 5тлдпздоко1 ‘птдсозд кхтлзЛ lno ndroi зг1ао<Ьзд1отка
• „fi aoi тпх „х aoi ЗкЛпууп 5оЛру
тзХдпка лзд рууп ‘ю pinx тзлп^ап аотдтлЛтпк aoi Uriii н ю ооок окздордк
плз одаЛ здпх зо тз^тддзх х ° 1Х9 ^дтукп тзлтптИю ‘rjo + у ♦— у‘у Заоддзх
пхплтк лою g aoi аотопукпууок 5олз lixligoodu х зг! по1 -э ао1 ютзХтою
ni пур тзХз аок g Ьпхплтк о пууп 5пхплтк Soxnoiani о тплтз лзд 5зкотоууплп
5тзоп(Ьокп 5п 5зуо тзл1л<Ьп аок Зпхплтк о пр зт1аоооттзт111о пл тз^т^у
•д = <<п = „xy„fi толтз Lirin U тох
oi pdocb здпх лаоЛзуптд 5з1хток оад то тпх- 5зюпузд тплтз (д‘д‘х) = „ft. = „х
5зхтЛишдю 5тзЛтт1п то ‘5ткзла^ minx отк тздзшх пд аок оууп лох (кп тзопХ
пл 5тдотХ ‘£ oi U 1 oi тзлрдг1п'/тдзкг1ао пл аок lixTAUmdio тз^зркз пл тздокт!
лзд 5Uixtok 5тзлпх 5отлп(Ьодц (-5тзлпх тз^тддзх лзд тпх отлотЛптд птдах лкю
зюпт1тз ‘рт1дтдп отдт лох лао^зуптд лпд = zxp тплтз 5оддзх oi ‘£ 01 х °
тпх j oi тз^зуптд х ° Л-РЯ) $ I тз^тддзх одзюдхтт) лох тзХз аок 5олтзхз тпх £
aoi тпх х fioi a^nisri от1дтдп лплз оад то тпх лаоАзуптд х тпх х 10 ‘ютЛо^ зр^
Z VHIJUVVdVU
тздздд пл турк тзкздк Scorlp ихтЛкшдю
Н 'лэдМ толтз ‘у- = ъу лпю ‘аотдтлЛток aoi Uriii н д = „xy„fi толтз пл
тзкздк 5оддзх олзт1рлзт1плп 01 тпх 5зтдт то тплтз пл тзкздк „ft тпх „х ЗзхтЛкшдю
5з1опузд tq '(f’n— = ?fp Scognx) \ лою 5оддзх отдт 01 тздзсЬокп х ЛО1 9кп ?
5U1 тпх х ЛО1 ркп Г 5U111Лоуткз U тпх ‘х лою 9р 5оддзх тздз<Ьокп х лох 9нп
г 5U1 тпх х Л°1 9кп f SUxiAUindio 5U1 ЦЛоуткз U aocbn ‘5тзоргЬокп 5зтот1рдпк
зг! 5з1хток oag 5aoi тз^ткт1зт1т1лп 5пхплтк 5ото131 5плд, тр/лХтпк oiuhyodarlv
Зтуззлз юлз тшпаХХз аок 5озаю тплтз у- = ^у 5пхплтк 5рхтд1зт7т7апт1лп q
:о1здт1лп 5етуз1лз 01 тзлтпдт1ао mUipxTinriAndK лкю ‘5<о1ло, аотдтлЛток aoi
oiKUyodsrin 01 ттпаЛЛз лзд j = у пхплтк aoi птд1зтМао U тю 01 sioonarlU^
NniNJIVII VIdt530 IVN ZOWZLLVWWVdJOdLI SONIWWVdJ
OlS

толка^з толп
531XW1C то по 1зоз0оют юл кпгэок л<01лЛток oiSmsg н '(I ) топраЛЛз »оо pro »бз1ооо1бзк зрррозк
1)0 X 0 эпох ‘UxiAlurodio Ц-/зб1 »ni зоаспэдокг л ° лрн 01 тол13 »л isdoirri лзд oiay |
х Я	х _	_	Я	Я х
(S) -жу/1хвшщш= xy^fixsui > ^xy^fi > ycyfiuiui = жуйщшхвш
:ffi aoi (^) aorioido aoi inx ,x aoi
([) aorioido aoi Soriooag^ao 5плз ndnx толгз лзр liiay 'хвшш1ш>щш1хвш :niki
-901л» kdasyicpAori lii sri sriao^iXdn ‘aorioiap nidmsg liio mx Scogidxn SmirQ,
чзопХ пл soaodoirri tdq odsipooidsir олог! \fi 01 5п1ло1грутпхАз
‘Skixinir Sodsiasp о ‘5mioriodnu -(ycy^fi > ху*И aodro) x ovvn sioirkpoioiro
3ri pynx aooi §3 oioiXnyaoi толгз ,x 01 ‘opriko pxiiniiAno 01 91a»
(t)	‘ft tox x здпх niA *xyfi > *xyjl > xy„ft
:i3QliAixoi3Ti пл lays© лзр 5рлпх oioiro 01
9100 ‘opriko pxunTiAno oi ллокпдтои; тох Ззюпузд толр 5sian SsxiAkindio
10 3191 \fi ою iniSAngriny ni^sp DXO оюгХпуз 01 тох „ж 010 miSAngriny
ndsioidn nio oioiApri 01 лпд -aoipiAAmir aoi kriii li толр kian nikipooir н
x Я	Я x
(£)	-ХуП ХВШ ЩШ = ХуП ЩШ ХЕШ
:щш!хвш oi зт) TOiaooi aioxiAIai
-»dio лап лоту9 OTA»d3ira хгапщш oi ‘у пхплш и щз ш 30пх nij
:хшщщш miUdmag лпо кюсолА толр
тох шгешпэ^ иол ло1 910 sxliiXppoioo aoprilio aoxunriAno aoi aoian кнопка
H pdoirri гзопХ пл ол9г1 01 91m р0кл1хтзг( лпз ‘х о тох 5от0пх ‘гзопХ пл
pdoirri ОЛ911 3191 \х oi 91ГП р0кл1хтзг1 х ° л»3 :130аХ 13^? D9 ippbnir 01
тох Sniiroddooi opriko 9xnnriAno 01 AaoAndnir П0 ,/г тох *х nmriAprl ni 319g
X о гзопХ пл 5олзг1кто1голпх1 толр П0 aoir (3) nikwooir лк1 sri isiiriirriao пл
‘X ло1 91ГП p0k§dsx n© 119 олзг<о11(П(Ьоп§з толр aoir (д) nikwooir к зт1аоуз@
толщкуп толр лпз ‘19131(х-пт(озуз1О1гп 01 толр П0 oioir sisireyg пл
odsia^nx ипх i3A3iiid3ir пл pdoirri лз§ х О
(г)
X ft	X
а:у/1хгшщш= ху ^fiveui
91ГП odswooidsir гзопХ П0 лзр 119 minaAAs тех
оммАзг! 02. шло 131О1£О2хмХ»/з aoir nriApri 01 гз^зупщ П0 х о ndy [-xyfi 01
XVWINIW VWHd^H© OI IVN NC5INJIVU VMdH0 S'8

512
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТ12МО2 KAI 0EQPIA IIAirNIQN
To |iovo лор Xeei q (5) eivai oti av о X exei eyyuqpvo хёдбод Toukd/ioTov a,
xai о Y eyywmevq eka/iorq arobXeia то лоХр (3, тбте a < /3. To ел!теруца той
von Neumann qrav q anoSei^q top oti a = /3. Auto eivai то бесодтцла minimax’
OTinaivei oti tj tooTqTa лдёле1 va toxuei orqv (5) xai q iStoTqTa оауцат1хор
aqpiou (4) opvayerat ал’ aprqv orqv Aoxqoq 8.5.10.
To лю алдоод6хг]то лдауца o’ auxq Tqv and6ei^r] eivai то oti ygyai/ioxotEi
та idia ахтибш;; раОуцаиха. ут n; fAmoia tov yoayyixov nooyoayuaTiouov.
AiaioOqrixa, auro eivai o/eSov KQoqjaveg. Oi X xai Y itai^ouv “Sp'ixopg” gokoug
xai SiaXeyouv xai oi Spo OTgarqyixeg ало то “алодехто ouvoXo” diavucj|idTcov
Л10ауотг|тюу: Xi > 0, ^Xi = 1, yi > 0, ^Уг = 1- Eivai exnkqxTixo то oti
ахоцт] xai о von Neumann Sev avayvwgioe ацёосод oti oi Spo 0ewgieg eivai
to iSio лдауца. (Аитбд алёбе^е то бесодтща minimax то 1928, о удацрхбд
лдоудаццатюцбд ^exivqoe то 1947 xai oi Gale, Kuhn xai Tucker Srpooieuoav
Tqv лдютт] алобе^г] биёоцор то 1951 -6aoit,6|ievoi ev Touroig oe or]|ieid)oeig
top Von Neumann!) H anoSei^q тоид 6r]p.ooieu0r|xe цакюта otov iSio тбцо
олор о Dantzig алёде^е Tqv tooSpvapa twv ygap.jxixd)v ngoygapipiaTcov це та
лагуу1б1а nivaxwv. 'Etoi, oppOTegaivovTag to Oecbgr]p,a minimax ало tov бшоцб,
аутютдёфорце ttjv lorogia.
To 0е<Ьдт]ца minimax progei, ev opvTopiia, v’ алобе1х0е1 wg e^qg: 'Eotw b
to 6iavpo[ia-OTr]X.T] ало m |iovd5eg xai с to 6шуроца-удаццг| ало n piovdSeg.
©ewgqoTe та Suixa удаццсха лдоудаццата
(P) Екахютоло1Г|оте rqv ex	(£>) Меуютоло1Г|оте Tqv yb
рлб Tig opv0qxeg Ax > b, x > 0	рло Tig opv0qxeg у A < с, у > 0.
Tia va ефадцбоорце биёоцб, лдёле1 va ераоте oiyopgoi oti xai та Spo лдобХг]-
цата eivai ecpixTa, ёто1 eav eivai avayxq лдообёторце tov iSio цеуако agi0p.d
a oe oka та OTOixeia top A. H akkayf] артт) Sev елг]деа^е1 Tig бёктютед отдатт]-
у1хёд top naiyviSion, Slotl xa0e хёдбод ap^avet хата a, xai to ISio opp.6aivei
xai ота minimax xai maximin. Tia tov лдохйлтоута лЬаха, лор орцбоЩорце
лак1 це А, то у = 0 eivai eqxxTO ото Splxo xai олоюбт|лоте цеуако х eivai
едлхтб ото agxixd.
То бетдгща Spiogou тор удащпхой лдоудаццатюцор eyypdrai тсода oti
pndgx.opv x* xai у* це Tqv tSiOTqTa ex* = y*b. Aoyw twv цovdбwv ота b
xai с, арто oqцaivel oti 52®^ =^У*- Eav та а0до1оцата арта loopvtol
це в, тбте Siaigwvrag це то в, то абдоюца yiverai 1 xai oi ngoxvitTovae^
fieixTEQ отоатууixeq x*/0, xai y*/0 Eivai 6eXtiote<;. Tia оло1еобг|лоте dkkeg
отдатт]у1хёд x xai у 0a ic/pei
Ax* > b ouvexayETai у Ax* > yb = 1 xai у* Ax < c ouvendyexai y*Ax < ex = 1.
To evSiaq^gov 6gioxeTai ото oti y*Ax < 1 < yAx*. Aiaigwvrag це 6, epavegw-
verai oti о naixrqg X Sev ptogei va xegSioei ледюобтедо ало 1/6 evavn тт]д
OTgaTqyixrjg у*/0 xai о лaixтqg Y Sev цлоде! va xdoei кубтедо ало 1/0 ёvavтl

5олзт1«пзхто§з Jmvnhrm ‘тол13 лзр 51ио<члЛпл» SmU'fAi о спсшо 01 зт!
‘[[Bqaseq aoi oSmX oi омп 'охэдлао от toais вз<Ь»бЛЛао aoi »т1Л1здпд»и окплз()ап <> [ I'a'i'S *
плз пплпз piay 'лпХзхлп лох пд ‘о-ууп лою 5плз о ллодопопд пл лполобокт!
пд лп ‘тоуут> ЗоупЛзт! луохс толпз 5рг1опбпзпг о ^ллолпх пл nj, -(плздпх лох
тЛ тлрбХ £) nrikyxAs обзхлбЛюуз плз толпз ппхзллхпзропгп лок олрг! ох зхох
‘Зпзлпх nsokAoyorio лзр лпд ’тлрбХ 9 зо ппхз^пхпрпхпх Зплз здпх зхох ‘олр по
ппх ллоокЛоуог1о лпз -(кхпулсЬ тлрбХ д[ зо ппхз^пхпрпхпх ЗоХолзлло о зхох)
Зрхлп tnx пзокЛоуог!о пд лзр лоо ЗоХолзлло о пхо обо лох опт ‘Зобздлзуз ппопз
ппх sokApyoriQ iSpriongngrho Зплз ппхзлпзх пхопботХз^ плз здпх лох^ -поЛбзлло
олр ппхлолпр-Ип^ло лпхо аолзгйихпулф aoi miriliyiv ох Экоппгз пзХбюкд
• „ж кхпЛкхпбхо 1пххпзг1 ппх зхло пбп ‘ЗкХлх опзХпохо зХбкпгл лзу
пздоплпсМз крк лпХпз лопг лотхбпх лотх к<ЬпбЛпхпх лкх pirn Зотбкупг охпхбп^з
лох кулод^ло к — хв8эд set охо лопрплЛппхс лох лотлолпх лотх kAnyyn mri зо
Зпхло^пхЛплп^з— пз^прбзх лош кхпЛкхпбхо mri золзпоотИпр ппх зхкбд dnoqx рз
лот! 5oynd) о лпхо, 'Ззлрлпх Злобздпхо пздлоуохп олп^пх ох пхопр (олп^пх охо
лохопХпулох) ПХП472Г iqmAivk тол]з лзр урпЬрпщ oi ‘ппбзт) кууп лкх опту
пздлуплп пл ппх пздотлог1окп пл пуппг золодохЫ пд лопдплЛптг лох 5обзт1 pdxnri
плз, *'ЛОУХ9 <гох 5плз о Эппбзт! 5кх кЛоуппгз лкх лло4гзхлпг1 пл ллодппгообпг
5пхп^лгЬохпп1бзх о ппх Зкхозузххз о локо ‘лхуплзк ох зг! ппх пзлппдг!ло опрп 03
•кхпЛкхпбхо кхопхузд кх Зобпг 5от ллодлуплп пл лполобомт! лопрплЛпппг лох кбзт<
плзг1отлот)зт1 токпх Sotoj, пурЛзт) плпдшп пплпз и ппх ш пх Smrip ‘пхплш
пдплЛптг лпо пздкботзд пл пзбокдо •кЛпууплло nnri зо 5пзопсЬопгп по пг1Лпзр
-пдпк тЛ- кокхппгп^з токрх пзХзпдзк эЗриц ох ‘пхпхо ох зг< пхздпхлу
•пзокдо
пл злпзхз пд 5ог1отолодлз о пууп ‘п^тупбх к 5отко ‘ппхз^птг пл лпхо^пХзлло
пд прплЛпппг ох пхполф -пхпхо охо 5оузх плз з^пдз пд охлп -ndsriko пдХзт!
пзлпЛ пзХз лзр лопг nrlAndir— Зппупкооп кхпЛкхпдхо mri пздд пл золодопгг! 5одлпт1
о лпз к пз^прдзх лопг кхпЛкхпдхо mri пздр пл зоаобомг! 5охлзу о лпз ’кХлх
лкх тЛ о-^рб опопгпх отпгз^р лзр ‘лохлп Зоххз -пупЛзг) пхлзхоппгп пплпз и ппх
ш пх Ьоткзллз -лох руттлп лох тЛ ппх пзлХоп опрп ох ппх ‘лотхпЛкхпбхо
лотЛпг!п тблгМохпхзопр лох коздппр лкхо пзХз пл 5рхлп зхоот ‘х лох тЛ Зпзозд
Ззхпххпууплз Зз’р^опс оорх ллоХбппт nrikg здпх з^ -лопдплЛппк лох Зоузх ох
пбХзг! morip6ni£ ппх ‘кбзхлзд к пздкхлтсп пд Зотпп лпкрхпх ‘лоблпг! лох коклпх
кхотбк к пздкхлпкп пд 5отк ох тЛ копсЬркп пзлпдпЬупбзпг пл пзпгзбпг кхлу -олдт!
ппх пг!Лполп ox pirn ппхпзузхопгп лзд пхлзу пх mA. кхпЛкхпбхо к лкХбп ,хпх
•ЗлоЛоу олр ппЛ ‘пупх луопг ППХЗООПХЛЗ лзр ПХПХО ОХ ПХО ППХЗЛТО(Ь лор\[
:иившпэу иол 5»1дотз0 5U1 оипюум
ою дзхрк oi тх aSpuq 01 ‘мирно 01 inisooniAg ^лотхплппг трплЛппш,, зг1
пгЬэллрооп пхтМпбпг пплпз трплЛптг плзг!опдклло пх (пгп тоц :5зур ,irn кокхотбз
кхпЛоуополсЬ оппг лкх кхкхлпкплп пзлксЬп nyyn ппботзд кх пзлотбкухо^о рхлу
q!\ = ХВШШТШ = ЩШ1ХВШ
зхох ппх ллоЛзрпгз пл пзпгзбпг лопг ЗзхпЛкхпбхо по пплпз лрхгпоу 5зхлу Зкх
XVWINIIN VWHdna© Ol IVM NO1NJ1VU VIdOH© S'8

514
ГРАММ1КО2 ПРОГРАММАТЕМО2 KAI 0EQPIA FIAIFNIQN
jraiyviSt цт] |iT]5evizoij а0ро1оцатод. Kai ol ббо propel va xaooov.
To тёкею ларабе1уца odvt]0io|X8vou naiyviSioij лоо eivai ел1от]д лацтбс
л^аха eivai то лдхед. Н цлкбсра eivai oooiaoTixr] xai yia va eivai алотеке-
оцат1хт| лрёле1 va p]v eivai лробкёфрт]. Eav бёуеоте тт] бецекаббт] ол60еот] тг]д
0ea>plag naiyvlcov, oti о аут1ла/.бд oag eivai ёigoлvog, т] албсраот] тт]д цл/.бсрад
лрёле1 va X.T|cp0el evrekcng Tu^ala. (Eav о avrlna/.og avTikr|cp0el халою ела-
vakipTixT] 6ia6ixaola 0a xep6laei.) Oi Лl0avбтт]тeg олёр r| хата тт]д цллбсрад
0а e'^apTOJVTai ало та /артю лоо eivai avoixTa xai та отоадцата. Stt]v
лрауцат1хбтт]та, то лХ.т]0од tcov evakkaxTixcbv 6ovaTOTT|Tcov, ха0юта avecptxTT]
ttjv еореат] цюд алокбтсод бёктютт]д отратг]у1хт|д х*. Пар’ бла аота ёуад хаЛод
ла1хтт]д тоо лбхер лрёле1 va qxtdoei ло/.б xovra ото х*, xai тобто цлоробце va
то Лоуарюоооце axpi6<og, eq;’ doov бе/Ообце tt]v елбц^т] тераотю алколо1т]от]
тоо лагрлбюб:
О ла1хтт]д X бюлрауцатебета1 ёvav бакё г] ёуа prjya, це loeg Л10аубтт]тед, evcb
о Y ла1рУ81 лсАтоте vTapx. Асроб о X xoiTa^et та хартю ота хёрю тоо, е1те
лае1 лаоо xai xavei то лоутарюца тоо лоо eivai 1 $ е1те елао^ауе1 це 2 $.
Eav о X елао^оец тоте о Y е1те лае1 лаоо xai xavei то 6ixd too лоутарюца
1 $, е1те алосрао1^е1 va цле1 ота 2 $ xai va 6el av о X цлХосрареь 2’ аоттр tt]v
лер1лтсоот] то хакбтеро харт1 xep6l£ei та 3 $ лоо лдvтape о аут1лаХод.
Ахбцт] xai о’ аото то алко natyvl6i, oi “ха0арёд отратт]у1хёд” 6ev eivai
хаббкоо npocpavelg xai eivai 6i6axTtxd va Tig хатаурафооце. О Y ёхе1 ббо
боуатбтт]тед, асроб аотбд то цдvo лоо xavei eivai v’ алаута otov X:
(1) Eav о X novrapei, о Y лаег лаоо.
(2) Eav о X novTapei, о Y та 6кёле1 xai лае1 yia та 3 $.
О X ёхе1 ёхе1 тёооер1д отратт]у1хёд, цер1хёд koyix6g xai цер1хёд ларакоуед:
(1)	Елао^ауе1 хата 2 $ yia 6vav рт|уа xai лае1 лаоо ую 6vav бакё.
(2)	Млкосраре! xai OTig ббо лероттсбоегд.
(3)	ndet лаоо xai OTig ббо лер1лтсоое1д xai xavei 1 $.
(4)	ndei лаоо otov pr|ya xai enao^avet otov бакё.
Xpeid^erai klyi] олоцоуг] ую tov олокоуюцб too лЬаха хёрбоод:
ап = 0, 6iotl о X xavei 1 $ tov цюб xpovo це бакё xai xep6l£ei це prjya (о Y
лае1 лаоо).
d2i = 1, 6i6ti о X xavei 1 $ tov цюб XQOvo xai xep6l^ei 3 $ tov akko цюб (о Y
лрох<оре1, лар’ okov лоо о X ёхе1 prjya).
ап = 1, 6ioti о X лрохюре1 xai о Y лае1 лаоо (т] цлкбсра летоха^е1).
d22 = 0, бют1 о X xep6l^ei 3 $ це tov pr|ya xai xavei 3 $ це tov бакё (т] цлкбсра
aлoтoyxdvel).


(^-OZ + ^E
:(liririn6A 11лзг1г1охзхпр) Sojia хвшштш oi толр оток тох *fi oi толр оюц oioVpri
oi 91л» isotnoiroioiXnys пл isipdir x о тох (LiririndA liSanri) погою1лао LtdaiaynAsii
I110 рдохНлзхЛао ng x О лотоошилоо лопдх лсох тох nriluhndA 01 Зтлолпх тох
у aoi ЗзтМпдЛ Sno ft — [ тох ft Liong Зтлсрпд ‘х LixiAliindio Lnonysg Ln згрод yg-g
13Хз лЫ ПЛ 1Т.О1Г у ЛПЛЗ ЗЮПаЗХОШПХ пдзЮЛ ТОХ ‘OpXlOlO 010131 плз зХр
liolixon LiAsriaoAliodir li по зрру !(пхпл11г окюуока лох oirn шСпдпрлп) 1 InirindA
Ln ЗЮ1ЛП1Г пЛзутд пд х 0 ln'z f liyliio In з1О1лп1г зз/.зутд пд х 0	‘<101
liyliio Lno oSsiodxiii 01 тох aoi LiririnSA Ino opXioio oioiAsri 01 толр f’i9 01 лпд £'S’8
:tfi тох tx SaxiAlnnSio Ззюпузд ю толр 5зюц •	^] = у Заодозх пхплр лох
тЛ ‘х aoi oirn xbiuiuiui aoi тох х ЛО1 oirn шшгхвш aoi orioiAoyoira лох sioLiAlisq j-g-g
:ао1§1лЛто1г
aoian аозл aoi (х aoi Зодозх ooari 01) Inin li толр moir тох $ gy зо лаодкрап $
02 ni лпз ‘ао1§1лЛто1г aoxiXdn aoi 5зх1Л1пп<Э1о Эзюпузд ю лаодопз91пга пд Зетц pg'g
31ЯЗНЯЗУ
зоиЛтЛюХаф. 5по пл ор/919 01 aqiiryg
51п 5зЛот1дп(Ьз 5п тох пддзЛуу lixniiindj Luo aoi козд Ln 1зХз дзхок oi тох
Ltrioxn по Scorio тзшщ ’дзхок пдпдтг tiAsriliioirndnir mri зхз^ток пл 5<pic Sno
5п1лолто9пг1 ‘oiycpg 01 гзлапзуз! oioiro лох зт1 Spian Soirodi о ЗоЛдзгдзц
•51лзо OS толр аокрлАток aoi Uriii
Н ’(z/т ‘z/t) = 1зЛзупгз пл 131гзд1г у SliXain о тох ‘(0‘0‘z/l lZ/l) = *х ‘олодХ
оотН лох isSncboyirri пл толр г^рЛток 01 pian <о х л.01 шЛ lixiALnndio кюпузд н
[V :: ?
:511Ха1пгзлп iynir толр liidnin U тох $ [ зюхлпк тзлпХ lixiAlnndio lnidi р
XVWIMIW vwildfsno Ol IVH NC5INJIVU VIdOTO S’S

516
TPAMMIKOS ПРОГРАММАТ12МО2 KAI 0EQPIA IIAirNIQN
8.5.5 Bgeixe тт] бёктютт] отеатт)у1хт] top X, ую tov iSio A, xai делите oti х0ЛаЧХОЛО1е>-
]iovo Tig Spo OTTjkeg (ttjv kqiott) xai tqitt]) лот) opvavrcbvrai ото отщею minimax top
удафтщатод.
8.5.6 Вое1те Tig &po бёктютед отратт]у1хёд xai ttjv тщт] top naiyvidtop, otov
2
8.5.7 Улобёоте oti A =	Пою бает] x} xai (1 - xi) 0a Swoopv отт] ott]Xt] tt]
цоеФП [w u]r xai лою бадт] yi xai 1 — y, OTig Spo удаццёд, 0a ftiboopv тт] уёа
уоаццт] [p p] ; Aei^re oti u = v.
8.5.8 BgeiTe та x* xai y* xai ttjv Tip] v yia tov
Г1 0 01
A = 0 2 0 .
Lo 0 3j
8.5.9 YnokoyiaTe to
min max (®1У1 + ^гУг)-
yi>o Xi>0
V1+V2'1 ®1+®2=1
8.5.10 Е^т]ут)оте xa0e цю ало Tig aviaorrjTeg ott]v (5). KaToniv, асрор то ОеоЬдтща minimax
Tig цетатдётрет oe ю6тт]тед, apynegavaTe (лам це koyia) Tig e^iocboeig (4) top
оауцат1хор отщеюр.
8.5.11 YKokoyigovTag та у Ax* xai у* Ax xai enakr]0epovTag Tig opv0T]xeg (4) evog аауца-
tixop отщеюр, Sei'gjTe oti oi x* = (1/2,1/2,0,0) xai y* = (1/2,1/2) eivai 6ek,Tuneg
атдатт]у1хёд ото лбхео.*
8.5.12 'Exei алодегхОет oti &ev цлодет va рлархет отратт]у1хт| twv jxapQiov лор xeQ&i^ei
лаллоте ото oxaxi; Пютерю oti арто eivai yvaroTo yovov otov oi naixTeg ёxopv био
xivqoeig oe xa0e ypgo. Eav о p,apQog eixe халою OTQaTT]yixT] лор xep&i^ei, о kepxdg
0a цлодорое va xivr|aei znon 1лло jinoog xai лю<» xai xaToniv va axokop0T]oei xi
aPTog артт] тт] отоатт]у1хт|, лдауца лор 0a обт]уорое ото алада&ехто орцлёдаоца
oti 0а хёрён^хл/ xai oi Spo.
8.5.13 Eav о X 6юкёуе1 ёvav лоо'хго адпбцд xai TaPTOXQova о Y gavTepei av aprog eivai
nepiTTOg t) aoTiog (xavovrag q xegSi^ovrag 1 $), noiog ёхьт лЛeovёxтт]цa;
2.T.E.: Avatpepexai ото лаоибиуца TT]g Oetuoiaq.

8.5 0EQPIA nAITNIQN KAI TO OEQPHMA MINIMAX
517
8.5.14 Дебета! oxi о X eivai олшбоерткахад лот exei enikoyr] va xpe'^ei rj va лераоец*
xai о Y eivai о apyrp/og rgg ogiTvag лот ap.Tvexai evavxiov тот xpe^ipiaxog r| тот
леоаацатод. 'Еатсо oti о nivaxag хёрботд (ae yiapdeg) eivai
_ Г 2	8 1	apiTva evavxi трематод
[ 6	-6 J	ap.Tva evavxi лераоцатод
трё^цло лёрааца
lloieg eivai oi бёктютед отратг|у1хёд xai то цёоо хёрбод хабе naiyvi6ioT;
S.T.E.: Avagepexai ато aufoizavizo nodoogatoo.

ПАРАРТНМА А
Д1А2ПА2Н
1ДЮМОРФ£Ж TIMQN
KAI ФЕУДОАМТ12ТРОФО2
Tqv xoixq цеуаХг] nagayovxonoiqoq, noo ooqn?^qQibvei rqv LU xqg anaXoiqjqg
xai xqv QR xqg og6oxavovixonoiqoqg (diadtxaoieg Gauss xai Gram - Schmidt),
xqv афТ|оаце yi’ ашо то 7taQaQTq|ia. Aev (pegei to 6vo|ia xavevog xai eivai
yvcooxq oav “Д1Т”* q diaonaot] idiofioQtpaiv тцш. 0a пдоопабг]аооце va xqv
ледсуда'фооце, va xqv апобе^ооце xai va оо^хг|оооце xig ефаоцоуёд xqg -лог
eivai поХХёд xai ao^avovxai oove/ibg.
H Д1Т eivai oxeva orvSeSejtevq це xqv nagayovxonoiqoq iSioxqxcbv - ibiobia-
vooqaxcov evog ооццехр1хоб nivaxa: A = QAQT. Exei oi i6ioxi|ieg jieoie/ovrai
otov Siaycbvio nivaxa A xai о nivaxag xcov i&io&iavoondxcov Q eivai ooQoydj-
viog-. QTQ = I, bion xa idiodiav-иоцата evog ооццехдсхоб nivaxa jxnogei va
eniXeyovv ogOoyojvia. Tia тоод педюобхедоод nivaxeg аотб Sev akqSeoei xai
yia падаХЬ]Х6удаццоод nivaxeg eivai yeXoio. Eav бцозд етхдёгрооце о Q oxa
aoioxega xai о QT oxa de'^ia va eivai avOaigeroi oQOoymvioi nivaxeg -xai 6%i
avaoxQoipog о ёvag too aX.X.00— тбте q nagayovxonoiqoq yivexai naXi Sovaxq.
Eni nXёov о diaycbviog (aXXd падаЛ/^Хбудаццод) nivaxag oxo pi6oov qnogei
va yivei piq agvqxixog, 6a oop.6oXi^erai це 2 xai xa 6exixd oroixeia too, noo
ovoцaC,ovтal idid/iop^eg пцёд too A, 0a ооцбоН^оута1 це <Ti,...,crr. Аота
xaxaAa^iavoov ng r ngcoxeg 06oeig oxqv xogta Siaycbvio too 2 onoo r eivai q
rdijq too A.
To xdeidi oxq Sookeia це падаХ^Хбуоаццоод nivaxeg eivai, o/edov ndvxa,
q e^xaoq xwv AAT xai ATA.
*	Ало to Aiaonaor] ISio^opcpaiv Tqicov.

ПАРАРТНМА А Д1А2ПА2Н IAIOMOP<fcQN TIMQN KAI ФЕУДОАКТ12ТРОФО2
519
Aiaanaat] idiopoQqxov тциаг. Ka0e m eni n nivaxag A napaYovxonoieixai
ОТТ] ЦО(ХрГ|
A = Q1ZQ2 = (oQ0OY<bviog)(6iaYcbviog)(oQ0OY<bviog).
Oi oxf|keg tov Qi (rn eni m) eivai idiodiavik^axa* xov AAT, xai 01 oxr|A,eg
xov Q2 (n eni n) eivai iSioSiavva^axa* xov AT A. Oi r t6i6(xoQ<peg тщёд
отт) 6iaY<ovio xov S (m eni n) eivai 01 TexpaYcovixeg pi^eg tcov цт] pirjdevixcbv
t6ioTi|icbv xooo xov AAT 600 xai xov ATA.
Падатщщац 1 Tia 0exixa ogtqievovg nivaxeg r] napaYovxonoirjoT] avxr] xavxi^e-
xat це tt]v QAQT. Tia adpioxovg nivaxeg, xa0e apvr)Tixr| iSioxip] xov A Yivexai
oxov 2 0exixr| xai о Qi eivai biacpopexixdg and xov Q2. Tia myadixovg nivaxeg,
о S napa|xevei прауцстход, aXXa 01 Q, xai Q2 Yivovxai OQ0o]iovadiaioi (xo
myadixd avakoyo tcov oq0oycovIcov) xai layvet A =	
na{fatt]0t]at] 2 Oi отт|Хед tcov Qi xai Q2 divovv op0OYtovieg 6doetg xai yia tovg
reaaepig de/aAicodeig vno/cwpovg:
01 прсотед r отгред xov Q\ :
01 xekevxaieg m - r отцХед xov Qi :
01 прсотед r отт|Хед xov Q2 :
01 xeXevxaieg n-r отт|Хед xov Q2 :
yibpog oxr]X.<bv xov A
apioxepog (irjdevoxojQog xov A
Xcbpog YQamio'iv xov A
jrqdevoxaiQog xov A
Па(>ат1](Н]<и] 3 H AIT ешк&ус1 avxeg xig 6aoeig це evav e^aipeTixa etdixd xpono,
iboxe va eivai xaxt nepioaoxego and op0oxavovixeg. 'Orav о A jtoXXanXaoia^si
fiia on]At] rov Q2, tote JtQoxvmei ]iia OTtjAt] tov Qj. Avto npoxvnxei ацёосод
and tt]v AQ2 = Qi2, av xrjv е^ехаооуце отг]Хг| npog отг|Хг].
naQaTtjQtfot] 4 Ecp’ doov о xvnog	eivai oiooxog, 0a npenei va loyvovv
xai 01 ооохетюцо! цета^ё) xiov AAT xai AT A. Avxo cpaivexat evxoXa:
AAT =(Q}ZQj)(Q2ZTQT) =Q^tQ{ xai оцосюд ATA = Q2^T^Ql. (1)
2г>цфа)¥а це ттр прсотт], о Q\ jtqexel va sivai о nivaxag tdioTi]id)v tov AAT.
О nivaxag idiox^cbv, ото цёооу, eivai diaoxdoeoiv m eni m це <jj,...,
отг| diaY<ovio. £г>цфа)¥а це тт] devxepT), о Q2 noinEi va eivai о nivaxag
idiodiavvafiaTiov tov AtA. О SiaYibviog nivaxag exsi xa idia af,... ,a^.,
eivai оцсод n eni n.
S.T.E.: Е^олакооетац zavovrzonoiiqui'vu.

'О '[ '£	у yy aoi barinoiQi iq I'a'i'^
о ‘г||ж|| = х±£)±х = г||ж£>|| крззкд -ЬохтТоалпзр Soxliri ох зхок лао^пууп
лзр inx Эзхплш ютотЛоддо толзз ££> inx io зхозр толзз SoAoy Soxmdir о
•SaorioiAo'YOira 5зз0пхоаз pxiilirigidn пзЛ кхзхздзп^з толзз jjy Н ’ipis^x-nriso плз
зг!аоозлох Scnrio aotbn ‘ЗзАогкЭпсЬз ЗзоаодзсЬпзрлз Ззхздзг) sri sriaoxonnminx п©
1IV 3HJ ЗЯЯОМЛУФЯ
Ге/Vt £А/т
гл/i гл/о
1.9Л/Т 9Л/2-
ЕЛ/Т
2А/Т-
9Л/Т
от о 1 Гза/т зЛ/т 1 Гт
.о о £А\ Lz^/t гл/т-J [о

(Т‘£
] = ^уу ScosocnxirooSir Зпхплш зплзз у о) р VJAIJHVVdVII
7=2 Scnrio пдаоЛзо ‘	= у nrioxn к ф// = у зхзз jj£) = у зхзд
(ЗозлотЛоодо крк толзз у о) £ VJMJraVVdVII
озлотЛо0до пхплш лох лргап ззлпх Snri кЛоупгз ц aoi у тох
лтукю лсох П1пз1оалп1§о1§1 пю пздз0лзуз пзокпх лаолксЬп ±уу aoi Ssriiioigi
ЗзхзлздЫ оар iq -(2 аох у ох зплзз п^зд 1лхзла)Лпбхз1 1х 5пзоко Slix) 6 Ixriixoipi
лкх лаоХз оар то зп^ у зкз у толзз jyy о отлз ‘у шз у зплзз у±у о отрд
Го] Ге/т- e/z Е/г ] Гг]
[т] о Е/г е/т- e/z = г =у
[е] [ Е/г	£/г е/т-J Lt-J
(li^Uio олог! niri ззХз у о) £ VTVJMVVdVTI
j ?][? si psuq
• J Lo г] Lo о tj L о г]
(5озл(рЛп1р у о) у VKJMVVdVU
•ЗзЛотЮпсЬз Six тох
пхпзМззрпдпк пх пхзг1 ззо1х0аоуохп пл isdoirri тох куохоар зплзз лзр к^ззропп
Н ‘UV Scnrio лаоалхззроют лзр ‘Ззуохаз зплзз Ззхап Зззоетхопгпзр iq
SOOOdlXLLNVOVASih IVN NE5HLL NO<MOWO1VI HSVU3VIV V VVfflldVdVU

толтз »Q ToALigo оад то т»х g ''зХз 5пхплтк Зоподк о ‘gAligo одзктзд лплз
п11пдлп0тк попк ninx тзЛпдпк по ЗкоазуаЛЛодю nrlyndro oi аок оуо .опц
[Т ;] ™ [? 5] ™	']
5aoi 3ioUd<r>30 ио1плпкп Iiiooto li тплтз лзд SaoAligo Заодхтт)
Saoi 5а)т)д зт)аокзудпдпк пл oi— зт)ао011лпукпбпк пл тздокт) 5(orio lixTiliri0TSn
Цхттт)Лпдк л1п^ -511хт11гг)отдп Заодтдхп 51п Ьюапктбзк лкю омою oi тплтз oian
тох SaoXligo 5aoi зт)пб1зт) пл лтк 5одо0зт) 5пт) йхтХбп н |5аот)отЛот(ока зт) тз0о
-топЛокп пл оуоходд тплтз пл тзбокт) giay "лагуСпо лапкхдп^злп лап 5ог10тдп
о ‘пт)пладоот ‘11 латтМпбЛ ла)1111бп§злп лап 5ori0idn о лт)1 аок ‘пхплтк Здлз
li^ni л1п sriaooido пл зт)попютд лзд 3 отоупг)>зд 013 li^vi lixuntioavaioirn fj •£
•пхлпк ni
Зтз^тбатлЛплп пхтлЛтп^ тох зюкп Зтзкзуд лзд 11Хбп л1п£ -Ззхихйукхз т1пт)Лпбк
тплтз 5злдхтз то ‘5зт1т1 Sscbdoripigi Эзбзюоотбзк тох 079 тшлздпообк Зтдпд
отбат)т)о1пхз плз
пт А плп 5аот10тдп 0003 ЗзбосЬ 09 зт)аолузю 3191 ‘Заобд 99 олдг! зг)аоо)11пбх лпд
•плз Затз^пх латхплтк а пт)отоб0п тплтз Эпхплтк 30П}[ ’(Jfi) аох LwirindX Спотбк It
тплтз Jo. О1) г£) а01 Зз'уСпо то тплтз a ni тох i£) aoi ЗзуЦю то тплтз п m дтдд
(Z)	• Ja-'zrHi + • • • +	+ Jain in = J£)Zl&
: UrMnd/. lira hvliio licbdori U10 лтхюлпг
priomovYirTOWGir лог зг/аолюх пл aiiaodoirri ‘т1пт)Лпбц 'зт)доолЛп птоко ni ‘п
пбхтт) зт) J£)Z'£) лою тшло^птопукп'р/ок 5зу111о о^б Ззууп tq ’г£) тох 1£) лап
5зу1по 09 5зХтоюплп 5п олдг) зг1аолуз1о 3191 ‘0f6 зт)ао^п1зк тох 09 sriaooliindz
лпд -Зздхтт) пхпздтп^з тплтз 5зууп тох ЗзхплптИю тплтз Ззхтдзт) ‘Затокла^ ’(z
лою) ЗзтТп SsdbdorlgTgT то тплтз тдтзух ojl "JLIV л^1 зг1ао5тда>лЛ Tig зюз0ока
•олдг)
тох Ilian зт)аоутзю пл тох пхплтк ooqx ткз ooqx aoi птбоЛодиук Uxnomoao
л1п зт)аодд пл тплтз 5атт)д ndsiayn^ -5аот)0тдп OOQ OOO’X Ki Ью зг)аоутзю пл
тох ‘аодкоп тох аодапт) а^шзт) отдзк плз ,0 ‘ninriardX ni зт)аоо1лтокохтдатх
пл зг)аодокр\[ -пгкрдХ олзг)отбо0пх зг) тхпла>Лпб131 пбхтт)- иптзХтоюолохтз,,
000Х ткз ооох тзХзтбзк пл тздокт) плдхтз н ’Ki ^1D итсЬпдЛототсЬ Ln тзутзю пл
тзуз0 тох TS^'idbndA.oiardb SodgdbaSog 5плз пд «под, 5»лрх»з »то»Лдз§зкд т
ЪЛогЙпсЬз lidsiasg Ino пт)з0 01 gian 4о зт)аосЬздюткд JJV 5ln Snilngxuorilig
Sin ЗоЛду 5ооз1азд о тплтз птдосЬобСгук л1п 1пап (о копдоддк lr/охаз It тох
ддхтт) тплтз п тох оупЛзт) тплтз п птздтдхп зт) тз1каупхоку -тплзлтХ Зодзгаупх
оор толр о Scorig тупк тп^ •ЦютЛо'уока aoi птбд ш зт)аоопдзкз§ пл тох о
дбхтт) плз (т) зт)аоозбтптд пл (плХао отк) 11 о о’упЛзт) плз (т) зт)аооптопукпууок
пл тздокр^ тлоЛпдпк оу^п ло1 птЛ отдт 01 зт)ао©отдаХот пл зт)аобокт)
лзу ’ЗаоозЛзт) li^ni л1п зюк тзсЬздюпшх лзд ло1 зт) 5дг1оптоп"/кпу-уок
IZS
ZO<DOdlZIlNVOVAa<f> ТУЯ NOWI.L МОФ<ЮТ\О1У1 H3VLI3VIV V УГОНЫVdVII

sb = v 3H3vnsviv 3HMIVOH vimjiavvdvn
g aoi 311 тпх тзлтодт1ао 0191 01 idx 5олзт1о1до толп з о Цоопктдзк йгМздюпл»
л1и£ -5о1л.гоЛо0до mA плп SoiDi^DAoriogdo тшзлтА ф о тох SoxidiarMoo mA
плп SpAmnrlda ТО13Л1А g о (лоопктдзк lixignAni I113 •(/ =	= £)j£)
11019) 5dxdaii£ SoiaotAoqSo толтз	ла)Ардпк Q ‘(толтз x ° 1ПХ
11019) 5олзг1о1до pxii30 тох Soxidisririao Зпхплтк толтз	= S л.а)Арбпк q

(0
:jjV Sin Л.ООЗТ1 oio j = z£) aoi зт1аоуур9т1здп1г Зсоукп ‘к^тздокп aIii mj
•Золзткидо pxii30 толп g о 3101 ‘тшзсЬздютплп у о лра -Soxatioidoiiili
юхизд тх 5pxidi3tiiino толтз g тпх ЗоыюАоддо тплтз & аоко lg£) = у
lubdori lno то11зюко1лоАпдпк Эпхплш 5охтлсоАпд131 SoxnnriAndK з©р^
5ло0зАзг1
зюккдаотоко 5зхплтк зо 1ю1иоко1лоАпдпк л1и 1пап 1зл131хзкз jjV Н
•аосЬоЭюплп aoi UAa^ao
oxipnAni ло1 зт1(т,одтз0 ur\ aoi оНопптШХо aoi птj I = fl Hfl :waw х ткз [
OmiQTDAOriOQdo МЗЛ.З 13У31ОКП ‘X = Э л1и тзтоколпхт тпх SgxignAni ТПЛТЗ в}Э
о кдтзкз ‘пдзюздтдху -охплпг омтАоддо мзкз зо тзХтоюплп 0?э 01 тпх тюлут
OAsrloidorriU. vxu3Q лплз зо тзХтоют1ло d 01 3101 ‘Ззхплтк х 1кз I л.по 5аот10тдп
Saoi 5aoian зг1аобтз0 лра ‘и5злзт1Ап131лао 5зхг/ок„ зо z aoi lioniopSnir It
толтз oiay 'ei9d = z :аоухах аототрплот! aoi 0?э аот10тдп 5длз тпх d аог1дтдп
аохпЬлдп Ini 5олз олзт1ол1А толтз 5от10тдп SoxTpnAiri 30п^ Uomcom^ Uxr/оц •(
•оХАзуз лплзлпх тзкздпкз
пл 5тдсоХ ою 51лХзлаоп тплтз aoir- prknSo рхтддзА'уп олзтйпоклао ло1
окп ItxTinriliygodir одзюАту Scorip тплтз ‘9-01 01 тзопдзкз^ Uriii lididoiioigi It
лшо ‘5ЦХзлаоп толтз Uian птодзд -одхтт1 тплтз э 01 лшо ‘х зю1лрт£ тплтз Ilian
тп^Атзрпдптг nAsriaoAliodir mj 'li^pi lixnmiosvsioirn л1и siiao^iAo^ora 1013—
лаолдзкз^ oi аок 5зг1п 5ti олот1 srlao^iAoyoKaDodK тох 9_ох oi Зоткр отда>01дзк
плз mA srlao^ioncboKn ‘лтлзт^орзр лап тздтдхп л1п liopg зрм Ззхп^лпукпдпк
тплтз лзр -лап1т1 Amdidpiioigi лоп плотАрд131 ni- 5aoi Ssrinoigi tq -у ло1 зт!
li^ni птрт л1п лаоХз рууп loxidisiiriao тплтз аок ‘ jfyy (1 у^у aoi liolidX li
тплтз milig окадк ox ‘Scos^pi 5ln odisii 5з0тоаз отк плз to пдап зт1плдзхх
‘X тплтз пл зкздкз
П0 Sanio aoi „li^ni 11хппг1озуз1окп,, li тплтз aoi li^ni It тпх SaoAligo 09.9 тзХз
SoitQi о 'UiADTilion толтз aoi liririndA U по зт)ао0отдаХо1 пл Sairlp зг1аодокт<
Л39 ‘9AU.90 odxiri плз тзХз 5одз1аз9 о !зг1аоо1юлАп пл локтоу 5аооок ‘ioQxttI
SO<I>Od±3IlNVOVAaA IV5T №WI1 №<I><IOHOIVI HZVII3V1V V VIAHJ.dV<1 VII

sriaodoirp^ -x ою pgsxoodir юл soaodoirri юд ооот'Хдлздкг! лою юг!оалю1д здюх—
pgoidoigoodir юл soaodoirri юд лзд х oi тох 5oriidi3dionAO liri люхк юд у±у
о ‘юхпздосЬюзу 'и толр юл зкзокз аох к^юх к .Ззхкхдю^злю толр юл зкзокз
аох 5зукхо iq -у лох тк orioidoidsir odaXoi люлз ;ri ‘q^y = ху^у 51зо<до1§з
5зх1лолюх Six giro зфлхзодк aoir ‘q = ху 5охюг1кхоао aorlrloSAoyUy^odoir 5длз
лтлтЛюдхзх лотхоГХюуз lioay lii srioxkdg g отоуюсЬз^ 013 юлткюдззз nioiXvyj -р
'хуу (хох ю^1д 1лх1лотЛюдхз1 kxidxsririao к толр ,g 5юхюл11г о
‘b,S = V l^pngig ксЬодюплю лкх^ (’Ззукхо 5зхкхдю§злю 1зХз у о люхд кдюукд
‘5отхдю1§ зг1юхлюлао aoir komiiridsir к тол1д) Sodxrfoido юхпзд злзтЬдюх угу
о лооо td>3 ‘ЗозМюдкруиурэдюи люхк у о aoir kocoxiridsir лкхо тох люа'Хог юд
Ю1§1 юх ‘юхк19Х1хюг1Люд1г лкх^ \-gy ° толр b о тох уху аох rpjd кхмотЛюдхзх
клзт!о1до юхпзд kxidxsririao к толр g Q 'ЗогШздхоплю толр у о люхо ‘5олзт1о1бо
юхпзд тох Soxidisririao толр aoir ‘уТу sri TOiaooi gg 0 п9 зг1аолю1зг!кз
•хпзЛдзлз кхпоюуз 1зазхкдо1гю
тох oxiya охо аоЛбз kAoridorhs лкх isjidogrix aoir 5охаю толр g Q 5зло£»
loidax тохлоЛзу ‘3-9 аосЬюдЛюдюц 5кх 51зЛ,рууз 5ио тох Smirg ‘aoir- лотлд^ю лотх
кЛоупгз kxiAoyoioad) кх 1зл1д Ssrlnoigi 5п 5зхаю ззлотдзлюсЬ aoir коктокомотЛтд
Н ’(Skosiirriao к) aorioaxyscbs Ззхозузхлао io толр aoir 'о‘ • •• ‘ip bsrinoigi
Six пзХз g 5юхюл11г Soxidisririao о ’kosiir тохюхогсЬа лзд oxiya 01 5зто1го 5п
giro 5зЛюуую ‘коюухюлю oiro клзг)аодаоуохю 5отлзг)оХздлз ‘kdbodxo oiri толр
5юхюл11г 5о1лотЛоддо q 'gfy коктокохлоЛюдюк к 1злтоХахз1г 5отд1дхю охаю тох
кДздхо кх О1гю огк>ахуз(Ьз лох з^аоогботХз^ юл дхилюкко толр коот<Ьдот1юдю1г
здюх 33 ’(kxixoirriod кхо юхюсЬоддк опт тох) лотозг! лотХзлао лотх кх1люХкг! кхо
1Ю13Л1Л 5кою1гою1д 5kxiyoir 5кх 1лЛог1дюсЬз кхилюг1ко oij\ '-g^) = у 5lu
•5кдот1узг1зд our толр лотткх лотсЬдот1о1д1 kooirorng к по отдзхопг brorig отЛз-
кхплюг1ко опт толр пд охрботздз kooiropig kxiyoir к ‘oxidoxoj -jjv толр
= sb = V
тох ‘aorioiyogriao кЛюуую злтЛз aoir олог1 ‘ TbNb лотхюг1оалю1до1д1
-лотг1по1д! коктокохлоЛюдюк клзг)огдклао к толр кхаю— jjb^b 31^ TOiaooi
5gxidi3ririao толр g о kgisirg JJV лкх зг1додд юл otoiit юх Sodir 5юхл
-олтоЛкк тох g£) = у лкх дкю зг!аоокл1хз5 юл sriooaodoirri ю@ tiotinsriliz
•5огк(к^хоплю толр у о ngig ‘1олзт1о^о
юхпзд тох loxidxsririao одд то тох толр tg тох g iq -Soigi о 1злзт1х^ю1г
о юуую кз^юуую g о к^юхютд kcbodioiiAX) лкхо Здпг лаолд^злюсЬ 51зокхою iq
[°-
b<S = V 3HSVU3VIV ЗНЯ1УОЦ ЗНФ()Л13Н\\ VWJISVVdVn
EZS
ZCXHOdJXIJLNVOVAHih IV» NE5WLL 51С5Ф<ЮРЮ1У1 HSVU3VIV V VWHldVdVU

009 £ 01 зт!аолюх юл dij ^зхздтодлю 5<пруз1 толр тох ix 5зотю1лао 5зуую
io руую ‘?ю/гр тох lx>/lq толр Ьзогомнлао Ssimdir ogp iq ухгрюлог) толр лзр
х oi тох 5злзгИи.дю^з толр 5зукю iq roiyoxoap kdsigsp кю odon aioorioXdg
Го О О О I
о о г-° о
Lo О 0 l-oJ
ззлтатИю d = ху
:лзркг1 толр юд Зтзосро^з Saimdir одр 5uo Smrio Dioriypdio юг ‘odsioooidsir
pgoidoidsir юл pdoirri лзр когоог^з л1и 1паю to oriypdio oj -iq = о толр komoi§3
lnidi li aodro ‘Sisocpoi^s Ssimdir ogp 5n sriaoogy юл толр q = xy oi зт1 зг1аолюх
юл srlgodoirri aoir odsigyox oj -Ьзукю 5n 5зур (o охздюх толр (iq ‘о ‘о) oriypdio
oi тох kyogodir U толр Inay -(о ‘гр чр) = d oi толр (iq 4q ‘lq) = q ою юг1оалргр
одзюзтокуи oi ‘лгрукю odroX ло1£ -лзрЫ 3ri лаолтгзуз! 5зу1по то 5зуо.
Го 0 0 0 1
’ 0 0	0 = V
Lo 0 0
:5згМюОЛ
ЬзлзгИшЗю^з тох 5зукю ЬзлзтИпОю^з зг! 5о1лотЛю1р толр у о I VKJI3VVdVII
•oriAisppdoir юлз (ri siigoAixs^
тох +х oi sriaooidoipoodit юл толр Spiroxo о (5зууо1г зХр aoir) d = ху aoi тох
5lioiir3 5д>0юх ‘(коду зХр лзр aoir) q = ху aoi коду kdsigyox 5m ‘srigorinodir
aoir кЛоупгз li толр Ю0 ‘+x зт1 sriao^iyogriao Ю0 коау кюпузд In kiay
•Soxkri oioiZpya oi 1зХз aoic клгзхз пзмз d = xy aoi lioay hion^ Ц
:юлолюх олзОокз ло1 3ii юл(о<Ьг1ао то1зл1Л ЦЛоупгз li тох d = xy
aoi lioay lixipis rmi зОао^зугир юл isirsdjj ’lixipioAOTi толр Ю0 лзр x lioay li 3101
‘5зу1по 5злзгИп0ю§з 1зХз у о лрз -oippirris oxnsdodroip юлз is^pioaodnir (z)
liomiiridsir н -лтукю odroX лою толр d oi lipisirs лрюлар толр aoir ‘d = xy
oi зт!аолау ‘q = xy oi mk плу -лту1по odmX oio q aoi liyogodjj :opirod30
In ispip g отоую(Ьз^ oi тох у aoi лгоукю aodroX aoi 5р1хз толр q oi lipisirs
1злтодт1ао oiay "коду лаоХз лкг! юл pdoirri Sisomoi^s io ‘komiiridsir kimdir лк1^
•5злзг1к^ю§з толр юл pdoirri у aoi 5зукю io (Z)
•5злзг1к^ю^з толр юл pdoirri у aoi SsrlrhodA iq (I)
:q = xy aoi коду кю 5згуохоар 5злю0пг одр лaoXdюlr;p
•q = xy orikiogo pxiririodA
30юх югЛ x “Odsigyox,, oi 5ю1лоЛзуюгр ‘g отоуюсЬз^ oi sriaoomdkyirriao юл odroi
SCXbOdlXLlNVOVAaA IVH NE5JNU №<MOWOIVI H2VU3VIV V VWHldV.IVLI

(тшзЛздюплп у о аок (хоапктдзк л1по ‘иолу 1ххтрплог1 It толзз) q = ху oi тЛ
Saoxliri аохотХпуз txoay lx толр x oi тох (q oi sri tokiooi) q ою одзхаЛЛз лршлар
oi 009 толтз xy 01:5зх110лао oag 5n srlaoasgliynKa 'ocbodioiidv Л02 sri 5oiqi о
тлр Sotbodioiidvogaatfi о 3202 ‘Эот^здюилю юмз у о лло2О/ '+у туз t_y о
тпх +ж ох зи17020007 х 02 йотисздзи: dUi Uiav ’qT_y = х олрг! oiri тзХз
q = ху костот^з н ’Зотй^хздюплп толтз у о аоко ‘(хоапктдзк (хуохаз л1и ркп
зг1аоо1хлтхз^ 5п ‘Ззхплтк ЗаотлгоЛптр Saoi ркп пдзк зг1аоо!хда)Ходк пл mj
• зт< лох рЛодюплпоразтН ло1 тпх зг! пхплтк отлатЛтр
ло1 sriao^ryogriao ng пдзхрЛду -отлпкпдпк ттзлтр аок +х oi толр d = ху aoi
Saoxliri aodsipdxrri Ixoay н ’(о ‘ ’ ‘0 ‘‘ ‘ ‘ ‘1(?) Ззоотютлао тзХз d (хуододк lx
3191 ‘(“q ‘	‘ iq) Ззогаютлао тзХз q 01 лпд -тшзЛздюплп лзр у о ndcni nyyn
‘у = v_((_y) лй1 зг! тз^птот! piay -у о тупк толр +(+у) о пр зюоттзтИх^
•пхтлзр1хг1 лаолпютдпк
5тзоз0 5злзх то 5зуо, прХтою пхтлзрЫ Ixrl 2 зт! ‘ш ткз и толр +у aoi
ЗрсЬодюилпораз^х q ’?о птзХтою пхтлзр1хт1 Ixri 2 гзХз у Зпхплтк и ткз ш Q
= V Л»Н
•пхплтк аотлотЛптр зюккраотоко +у осЬодюплпоразтН ло1 тох +х
Ixoay Ixiouysg In sriaodg пл зт1аодокг1 ‘птШзрпдпк 01 pian со толзг1р^топд
~q+y = +х зг!аоХз тшз тох +у sri rnis^Tyogriao ‘у aoi 5o(bodioiiM3oga3(h
тшзЛзу 5pian Зпхплтк о -q 02 ркп +х 02 ?зХр5пк аок пхпаук лог 51хоткз
тзлХрр тох +х oi тз^тботроодц тооаодзсЬтрлз толр 1пап (хотот^з ц
(to
1’1
00	о
0	0	о
О	г-о/1	О
о	о	Wi
О 
о
го/гр
Ю/iq.
:+х тмз d = ху noi 5лохМ аоимХпуз Uoay
ff лзр1хт1 Ixrin л1п Ззоапотлао 5п Ззхап (тЛ зг1аоЛзуптр ‘odsipdxrri лршлар 01
3O<fcOdlXII.NVOVAa<h IVN NC5JNLL N75<I>dOWOIVI HSVUSVIV V VWHldVdVLI

526
ПАРАРТНМА А Д1А2ПА2Н IAIOMOP<DQN TIMQN KAI ФЕУДОАМТЕТРОФО^
E/- A.l. H бреют] tov ipevdoavTioTpocpov A+.
Bgloxovpe Tioga to x+ xai отт] yevixr| neglnTioor]. Eivai T] Xvor] eXaxlorov
prjxovg yia to Ax = p xai ioxvgit,6paoTe oti to x+ eivai navrore arov xioqo
^Qappiov tov A. 0vpr]0elTe oti xa0E btdvvopa x SiaonaTai oe pia ovvioTcboa
хата tov x°bgo ygappcbv xai pia хата tov prjSevoxcogo: x = xr + xn. Tgeig eivai
oi ev&iacpegovoeg idioTT|Teg avTT|g тг]д <5idonaoT]g:
1.	H ovvioTcboa tov x°bgov ygappcbv Xvvei enlox]g то Axr = p, 5l6tl
Axn = 0.
2.	Oi avviOTcboeg eivai og0oyobvieg xai ixavonoiovv to Ilv0aydgeio 0ecb-
gripa:
||z||2 = ||2?r||2 + ||t„.||2, aga to x eivai еХа/юто* otov xn =0.
3.	OXeg oi Xvoeig tov Ax = p exovv ttjv I6ia ovviOTiboa xojgov ygappcbv
xr. To diavvapa avro eivai to x+.
To oxrjpa nov ngenei va 0vpdpaoTe eivai to Sx- 3.4, nov nagloTave to 0epe-
XicbSeg 0ecbgr]pa тт]д Tgappixrig АХуебдад, Selxvovrag nebg о A OTeXvei xd0e x
ото x<bgo orqXcbv tov. To oxrjpa eSeixve enlor]g nebg xd0e p otov x<bgo OTT]X<bv
лдоедхетш ano eva xai povov eva Siavvopa tov x<bgov ygappcbv. (Eav Axr = p
xai enloiyg Ax'r = p, тоте A(xr — x'r) = 0. H btacpogd negiexeTai otov ppdevoxcogo
xa0cbg xai tov x.cbgo ygappcbv btoi то xr - x'r eivai og0oycbvio otov eavro tov
xai ngenei va eivai pr|5ev). To povo nov xavovpe eivai va dtahe^ovpe avro
to diavvapa x+ = xr oav ttjv xaXvreQp Xvop tov Ax - b. Avtt| eivai t] Xvot]
eXaxloTov prjxovg тг]д пХт]О1еотедг]д (ott]v agxixf]) е^1оюот|д Ax = p.
* S.t.E.: Ynovoei xo ||ic||.

'9ZS ° Ino SUoamriUooim 5Ui толлз лкх здо : g i j
'±yy aoi SUrinoigi 5lii n^id 1лх1лстЛпд131 U UgnyUq ‘£ wli lirin Udidorigigi li
inx [x] = SUoiirs зХ1з тУлзрпдпц oj, -(и шз и) j = z£) о той (ш шз ш)
I = 1& ° ‘Z A.niU У ° лпю ‘Uooniridsir тлотЛтр Ui зХгзгдзи х ит1А.13§пдпц ох
•у = ++у толгз +у aoi 5о<Ьод1опл»о§аз41 о (ш шз
u) +х aoi О1л<рЛ»19 Ino то1лоХз1дз1г <о/х ‘ ’ ч-о/х 5aoi ЗзсЬодюплп то тох
(и 113 ш) j aoi О1лотЛт§ Ino то1лоХз1дз1г •*£> ‘ • • • ‘ i0 5зг1п 5зсЬдог1ог§г iq
(9)	’	= +У
толгз у aoi ЗосЬодюгхлпоразф.
о зхох	= У толдз у aoi лотг)п Aiocbdorioigi Uonironig li ио отход,
:+y лох юй oirai
лплз sriaoAig пдоп тод у aoi лотгМпдЛ 5одотХ о толгз +у aoi AioyUio 5одотХ о
Г И	Гб/z]
(9)	’ Н = [81]+К тох б/Z = [Z Z 1-] = +У
Ь-J	[б/1-J
X шз £ толгз +у 5пхплп1г о ‘£ шз
X лтк у о тола \у босЬодюплпораз^ о толгз ‘[gx] nrioriAnig odxrri ayoir oi
лп11л aoir ‘q ndasyir ni§3g In oirn +x oi ззЛпдшг aoir Зпхплш о (‘одотХолзрЬЫ
ою Ззооптлао 5зх1лз§1п1 Uri лаоХз 5зуо,) \х 5U1 ^5збз1Д'/пЛзг1 5отт1о толгз
aoir ‘(£‘£‘9—) U (x‘/,‘Z—) Г1 ) 10 Sotito 5гзоау Ззууп тох лаоХдпкх
"(fr ‘t lZ~) = +х тол]3 иоотог^з лк1 пзтоиголпхт aoir 5UririndA 5Ui 5Uian отопуютууок
°± '[Z Z T-] = У ао1 лотгМпдА одотХ ою то1зХз1дз1г пл isirsdir Saoxliri аоюпХпуз
Uoay U ‘5nrl П1дотз0 Ui зт! плакМа^ -лотзоау o§3iriir3 odUyxoyo плз гзХз Uootoi^3 Н
’8Т = ixz + ^xz + Хх~ h тол-1з <? = xv z VKjravvjvii
+y рхглзЛ oi siiaodg Aidir ‘nriArsgndnir Urioxn плз sriaog 5y ufj aoi
+x ою moiir aoi q 01 пзлузю noig ‘ш iit3 и толгз ng 5<пау дзХдпют Smrio
‘+x 01 ЗЮ1ЛП1Г 13Л12 aoir +y 5пхпл11г 5плз isXdnira no Urioxn srin^ng лзу
+x Mio лх oi 5п1лоЛзутр одотХрлзрит! лох
1390x01m тох лз§ит1 ою лох 5п1лолуз1о одотХрлзриг! одзюпдп лох 1злотлот1о1т
5о(Ьодюплпо§аз41 q ‘лотуию аодотХ aoi тох лотгМпдЛ аодотХ aoi a^nisrl—
5orii(fi3diouAV 1ЮЛ13 у о аомрхз у aoi ^зсЬздюилу +х ою 13<Ьздюпгз тох q 01
91m пл1ХЗ£ -SoinriUXo aoi иоладазшх aUi гзсЬздюплп ЗогЬодюплподаз^ q
LZ4
3O<J>OdlSIlNVOVAa/h IVM NOJNLL №Ф<Ю1ЛО1У1 HZVUSV1V V VWHldVdVLI

(8)
x = Jl'wll u -x£x-x= -xVjy&
:q < ni nyg no зт1аопгаупхплп ‘fx oi зт! OASTipAiX gxidsimos oi 5dm
-олдтоц ( нх зо j.ж oi mx ну зо j.y aoi sriao^pyyn Uoooiiridsir UxignAiri Ui^)
(L)
г mA ‘o = cxjx inx x= 31^ гжгу= f-xy^y
aoi Ssyliio 5no AaoAinirii aoir ‘.far ACOiprioaAmQO'igi aodxiaoa
-пходЗо оуолао 53dltyir олз 1зХз уху о 5ашо ‘Sdxdaim Spxidisrhiao 5плз,
•ф 5зхол11г SaoiAcniogdo mx s oiAtnAmg
зт! ‘ jjg)Sld = у oastIoaiA зо iniisioiroiAoAndnir 5dxdaim здрх no sriao^isp пл
1зкздц niAnir ni AnxU0XidUio nioiro aUid ‘aottIii Acodxtorioipi Uomropig Uio
oooiir sriaodtadioiirs ‘5зЛог1дп<Ьз 5n зт! 1зоот1зуз1 5тлоХз, jjy Stu liasxoDinyf
d = +xy aUi 13Ю1ГОЛПХ1 119 inx AOorlrlndA odaiX
лою 1П1зХз1дз1г +x 01 9ian 119 лп130аз tinx sriaoDooiDiirnig пл sTinoaodoirii n@
q}b+^b = №)=+x
1ПЛ13 +x Uoay Uionysg U ndn ‘q^b+Z. =	01 toais
oiouysg 119 зт!ао51д(олЛ inx 5о1лотАтд тлр 5пхпл11г о л1иап ts ~ ^Zll
aoi UoUioiroiDiXnys aUi зт) UriUogiani toais ||q-^y|| aoi UoUioiroioiXnys U ‘3193
x 01 3ii Soxliti 0191 0113X3 aoir 1х^Ь = x^ = ft 01 оютлЛп озл лпо зюидтз©
•||9 ib - xJ;bxll = ||<? - zj;bxlbU = \\q- xv\I
ndn ‘тттоууплп
Uxliii ni 13л1кЬп nxnAiir oiAooAo0do aoi зт! SgriDnionyirnvvoir q U^iagpicy
'Q^b+Szb = 4+V = +x 1™?3 g = xy 01 mA
лтлтАх>д131 лтю^Хтэуз boinriU'/godu aoi 5aoxUri aoioiXo^ Uoa^ //
g = xy aoi Uoay кюпузд
Uio isAUqo +y SnxnAiir о 119 sriaoDcpioiirnig пл ‘лп130аз tmx ‘siiaodoirj^
Г 6/Z 1 Г 0 1 Гc/l- £/Z e/z 1
б/г = [1] 0 e/z e/i-	e/z	= Jz z i-]
L6/l-J Lc/tJ L £/Z Е/z E/l-J
Г E/т— е/z е/z 1
Е/z £/l- е/z [0 0 E][l]= [z Z 1-]
L e/z e/z e/i-J
:±IV 5злзт191гз 5iid +s 3 5noi ‘ooynxndnir ‘sioansilUs
Z(J<t>Od±3I±NVOVAnrh IVS	NE5®dOWOIVI HSVUZVIV V VWHldVdVIJ

[О °]=О 1ЮХ [° ° *] = S тох [i I I I] = V
лотх ocbodi£nwoo§(i3<U лох тих л<пт1тх лот(Ьдот1отдт иопкортд Ux зхтздд j-y
и in ш птлт
goHi лзд liri aoi +о осЬодхотхлподазтН лох тох лотйп лсо<Ьдот1отдт котгортд lix зхтздд у у
31ЯЗНЯЗ¥
•j о тплтз Зотдтдхп Soiay
•5отлотЛтд толтз пд 5тзорд 5п 5sian 5odir 5от Эпхплш о ‘шу aoi Long mri 5п1л
-OTTOiroriTolidX ттз^пдсЬхз пг1озузюют oi тох иу aoi liopg mri зо то1з^рт1дп<Ьз
у о Заотошо Saoi ршх ‘пхплш 5олз Sliasxoninx 5злрлпх Saoi зг) плотсЬг1аз
5злзт1Лзут1гз рюото тплтз Snopg то лпю ‘шпг1оалптд пхтопд зо тпт1оалптд
пхтопд тзлузю Зпхплш q -f&fo = сху Tip тплтз Ь тох х m птЛ рхпздто^з оу
|Зг1ао^тд<<)лА оу -олз^рдшг ‘пхтоаЛ ‘тплтз лзр лаоХдрка 5заап Зтзопд то Tip оу
•аодотХрлзд11т1 аодзютдп aoi ‘liopg Цхтлолпходдо лаоузюют пттазузх а - ш т
тох лотукю аодотХ aoi liopg кхтлолпходдо лаоузюют b nirodir л пу (() = fxy
aoiro) аодотХрлздЫ aoi liopg Цхтлолпходдо лаоузюют пттазуза л - и т тох
лотгМпдЛ аодотХ aoi liopg лаоузюют х nimdir л пу у aoi 5аодотХо1га Зтздотту
-зг1з9 5тдзооз1 5aoio лао^птдтт b тох х ni nian по тупи зг1ао^тт1адлз1гх
•тттзппют Sroiro	= V 311аоХз = j£)
Цдтзхгд •1о‘ •  • ‘'о толтз aoir ‘птзХтою тлотЛшд л nimdir ni тплтз 1&у	= Z
олзт1рлтЛ ою птзХтою рхтлзрЫ liri ni пду / = г лпю Зрахз ‘о = Jb оорюу
= ?ху пртр) л>С лпю СЬС£>-Ь = Сху-Ь
(О = fxy тютр) л < С лпю о = -XVjJ3
:зт1аодз§ ni nian птзХтою ni тох (liyliio шз пхплш шз
UririndA) толтз z£)y]£) аолзткэлтЛ aoi (Г ‘г) отзХтою оу -ig) aoi Ssyliio
то толтз Ззаау	liopg (ахтлолпходдо lidliyir mri зо лаодтхзюз пл
лаодо1гт1 b nian рхтлолпходдо л m ‘тртшцэд - шшд птопхтдптд In зг) плот<Ьг!аз
Сг тЛ о =
с  , = съ гТь
l-ху^у^х х
тотлотЛоддо 5aoi а^шзт) тплтз (у) л1п ршх тох
ао1 шпг1оалптд птотдплот1 тплтз ni ‘(g) л1п ршх ‘по зюоттзтИг^ (•£ aoi
отлотЛптд 1по 5зт1т1 5з<Ьдог1ртдт 5п лаоозузюют пд ‘	‘ io ‘тоаап тог1дтдп tq)
• / ?ху = тох	зг1ао^тдо ‘5зхпзд 5п ту -лзд11т1 тплтз <у тох ^ху
Sogliyir 01 л - и niTToypita ni тох Ззхпзд тплтз 1   1 iy 5зг1тютдт то пр отюд,
ЗОФОЛЗПЫУОУАЯА IVH NOWU №<I><IOWOIVI HSVUZVIV V VWHldVdVU

Чаоуупдодк SaodcnXoira Siaqror/ariag Saoioir зо омц (loxidisrhlao
Зопгзлао inx) люуодоои Ззхплш шлпз у _у тох _уу Ззхплш то nniA зю11Л1йа OI'V
‘косоо'рз (лхтлолвх л1п
ртоколпх! q^y 01 юд» тох ‘QjV = q+VVjV laaXoi imiA тох леттЫпдЛ odmX
лою з1О1л»1Г тол]з q+y 01 ‘nioodirri толр aoir ^./7 ao1 (0^9’< ii»ij :
'	+V
oral охпауплп aoi sioasgliynira -(9'£ 5о<ЬпдЛпдпц) лттМпдЛ
одгоХ ло1 лаоЛпдпи /7 ао1 5зт1т1юдЛ л то тох у aoi лту1по одгоХ aoi лаоЛпдтг
7 aoi 5зу1по л то aoiro ‘/J7 = у олзг1ол1Л зо mipioiroiAoAndnir Зпхплш зд»5{ б’У
отазюш oi лзу -+V+ff = +(ffV) Л19 SaodiodioiiAnoQaadi mA зю1лп1£ isaXoj g-y
тох to
ТОЛ13 ТОТО1Г (LlOniTOBIg llXiyOlC 1кЬод1О11ЛВ) fib 3D 130D»1£O»1Q t J&21& = V 0 Л»Я 4"V
q^v = +xVjV 1»’<
лтгМюдЛ odmX 010 толпз q+y = +x no зюаздТг/юиз Sisooniriosir оар Sno то^
•5осЬодюплпораз<Н о толр
х_(^уу)jV 5о<Ьодю11л» 5о1^зр о 3101 ‘ЗзгМюдЛ 5з11пдп§злю 1зХз у о лпд (9
•5о(Ьодюпл»о§аз(|1 о толр
jX^ ЭосЬодтопл» Эодзюпд» о 3101 ‘Ззукю 5з11пдю§злю 1зХз у о л»а (п 9’у
'1= z = f стЛ з = q тох ‘opiilio oigi ою z = Ч
‘О = г = ? »1Л о = q 010 ZS + ?d + Э og3Kii£3 01 oitodi оюпузд »i»x 1зуу»911зд»1г
oian nriliygodii 07 -у aoi лтт1г1»дЛ odmX лою то1зХз1дзк aoir lioay In sisSaymg пл
тох q£y = %yjV SUi Uoay 1лх1лзЛ In 3ipdg пл U +y Л01 згзотЛоуока пл sipdoirj^
ИГ#!	ГТ	I	ll
=	(7	0	0	T	= XV
LoJ	Lo	0	d
aoi q+y = +x лотл<пЛпд131 лошпХпуз lioay Saoxliri aoioiXnys li толр птоц g"y
&,S = V lionironig lM.3TiAni3inig ntbodioiiAn
л1п 311369 ‘fy Л01 Зшло^дсола sb = V lionironig lixiyoir л1п sioiAoyoKjp (9
лпю ‘s ao1 UxumAndisi Lnsrioid
-o nxii30 In mx ‘aoi niniioaAnigoigi ni inx Ssrinoigi 5n ‘у^у Л01 sioiAoyoirx (» f'V
i+g> Sod)
-одю11лпо§аз<К о толр Soioir ‘5зу1по Ззхмолпходдо 13X3 Зпхплш и шз ш о лпд £‘у
XO4>OdX3IlNVOVAaA 1УЯ №INLL №<I>dOHOIVI HSVUSVIV V VWILLdVdVU
OK

:ютк>ллп'1§о1§1 олог1 плз тох
?Y Uriuoipi lixipnAori mri зт! Ьпхплш SoxiAioAidi 5плз толр ?/• xoyirri здр^
= JVrl-JV = r
юплтЛтд lixo
xoyitrl рх1ла>Лпдхз1 s 3ri uepjof Uibdoti зо пхплш 5odir Soiorio толр зхох
‘nxnrioaAmpoipi пхкхдр^злп SoixiririndA s 1зХз 5пхпл11г 5плз лра flS
isriao^ppoirn пл зт!аоузд aoir nrilidcosg 01 sriaoApgiinynAnira
•5пт1 пт!зд oidax 01 пдотх толр
Uian lioroxiridsir ц йхпларп толр lybdori шлфЛшр U тох nxnrloaAnip плзт!о1до
лаомру ‘lioroxiridsir Uyoxoag опт тох 1хдз1ох1лзЛ lii^ 'Scodliyir тохзлпХЛагшз
nxnAiir ао1лсрЛт§ aoi SoXpio о тох ?у = Y xoyirrl [ lies [ pirn аодкухоуо
тохз^пазхоптх ‘у = JVVi-JV = Г UBPJ0f UdxJori н 'S лпо тох аохоголЛ-
лох 5зу1ио тохлолпЛ 5з1О1го то лтхрНоалтро^ оуолао Ssdliyir плз 1зХз у
о ‘liocnxiriSsir lidsxoaoyirn aLixj 'toxsaiA 5о1лотЛт§ одзхоооздзк ооо толр пл
° 31D(P 1D1? /V oxoaiit sriaodg пл siiaoypg ‘у nxnAiir олз^орзр mj
Nvanof нфнои н
g vrxH.i.dvdvii

532
ПАРАРТНМА В Н МОРФН JORDAN
Ilapdder^a evog тётоюп nivaxa Jordan eivai о
.7 = 0	0	0	1	0	=	[01]	= J2
0	0	0	0	0	L° °J
.0 0 0 0 oJ L	[0]J L	J3
H dinkr] i&LOTi|ir) Л = 8 exei eva p.dvo i6io6iavuop.a хата ttjv xaTenOwur] Tiqg
npd)TT|g oirvTeTayp.evT]g ej = (1,0,0,0) xai exai то Л = 8 ep.q)avi^eTai jxovo oe
eva цпкох J\. H тршкт) iSiotijit) A = 0 exei doo i6io6iaviJO|xaTa e3 xai e§, non
avTiuToixow ота dno цпкох Jordan J2 xai Л- Eav о A eixe 5 сбюдсаииацата,
oka та опцлкоха 0a r]Tav 1 eni 1 xai о J 0a r|Tav diaycoviog.
H ерсотг]от] xkeidi eivai r] e^r]g: Yno noieg ovvf)r]xeg rj иоосуг] Jordan evog
ctkAou 5 eni 5 nivaxa А 9a eivai о idiog nivaxag J; Поте vnaoyet evag M,
erai ware M~lAM = J; Кат’ apxag xaOe оцоюд nivaxag A 0a exei Tig idieg
1<пот1цёд 8, 8, 0, 0, 0. Auto дцсод anexei апо to va eivai архето -о diaycoviog
nivaxag ц’ аитёд Tig idioxi^g dev eivai оцоюд tod J- xai т] ерсЬтг]О1] цад acpopd
xupicog та idiodiavx^aTa.
Tia va tt]v апаутг|ооице, ^ауаурасроице tov M~A AM = J ott]v алкооотерт]
цорсрт) AM = MJ:
A Xi X2 Хз X4 X5
8 1
0 8
ExxekcovTag tov локкалкаоюоцо, отт)кг] npog отг|кт], ёуопце
Axi = 8xi xai Ax2 = 8x2 + xi	(1)
Ахз = Охз xai Ла?4=0х4 + хз xai Ax5=0x3.	(2)
Avayviopi^ot^e тсора Tig ouvOrjxeg yia tov А: Прёле1 va ёхе1 xpia yvrjoia
idiodiavno^iTa, oncog axpi6cbg о J. To eva це A = 8 0a цла1уе1 orr]v лрсотг]
отт|кт] топ M, oncog axpi6cbg 0a ёцла^е xai ottjv лрсЬтг] отт|кг] tod S: Axi = 8x\.
Ta akka dtio, лоо 0a ооцбок^ооце це x3 xai x$, 0a цлооу ott]v тр1тт] xai лёцлтт]
OTT|kq tod M: Ахз = Ax$ = 0. Тёкод, 0a лрёле1 va Dnapxouv doo ахоцт] eidixa
diavno^rta, та “yevixevfieva idiodiavva/iaTa” x2 xai х^. ©еюро'йце oti to x2
avrjxei o’ ёvav оццаОо 6iavvafiat<av noD ^exivoov це то xi xai nepiypaqjovTai
ano tt]v e^ioioo-q (1). 2tt]v лрауцат1хотт]та, то цovadlxд dkko dldvDOцa odtod
tod орца0ог> eivai to x2 xai to avrioroixo цпкох Ji eivai та^есод doo. H
e^iocooT] (2) nepiypacpei dvo diatpogeTixovg opfiadovg, o’ evav ал’ тоод onoioDg

ПАРАРТНМА В Н МОРФН JORDAN
533
то a?4 ёпета1 tod хз evcb otov аХХо пер1ёхета1 pdvo то х$. Та avrioToixa рпХох
J2 xai J3 eivai 2 eni 2 xai 1 eni 1.
H ava'QpTpop трд родсррд Jordan tov A avayerai oryv avaty)Tpop av-
twv twv OQpaOwv diavvopaTwv, xaOevag ало Tovg олоиюд faivd ало eva
idiodtavvopa: Па xaOe i,
eiTe Axi = \{Xi eiTe Axi = XiXi + Xi~\.
(3)
Ta diavDopara x, pnaivonv otic; отг]Хед tod M xai xa0e oppa0og napayei eva
povadixo pnXox otov J. ODaiaoTixa npenei va doope ncbg xaTaoxeDa^ovTai
aDToi oi oppa0oi, yia xa0e nivaxa A. KaToniv, eav oi oppa0oi auroi Taipia^oDv
OTig eibixeg e^iocboeig (1) xai (2), т] popcpr] Jordan tod A 0a eivai о J.
Mod cpaiveTat ncog p idea tod Filippov, noD 6r|pooieD0T]xe otov торо 26 tod
Moskow University Vestnik, xavei tt]v хатаохехя] pe tov nio oa<pr| xai anXd тоопо
non yiveTai. Прохоре! pe pa0T]paTixr) enaycoyr], ^exivcbvrag ano to yeyovog oti
evag nivaxag 1 eni 1 eivai t]dr] oe popcpr] Jordan. Упо0ётооре oti t] хатаохеот]
exei t|6t] anodeiyOei yia dXoDg топд nivaxeg та^есод pixporep-qg tod n -aDTf] eivai
г] “enayoyixr) Dnd0eor]”- xai e^yoope xaToniv та бората noD xeeia^ovTai yia
evav nivaxa та^есод n. Xpeia^ovTai Tpia бората, noD рета and pia yevixr|
nepiypacpf], та ecpappo^onpe oe eva eidtxd napadeiypa.
Bppa 1 Eav Dno0eooDpe oti о A eivai ididpopcpog, тоте о xopog OTiqXcbv
tod exei SiaoTaor] r < n. Hepiopi^opevoi o’ anrov tov pixpoTepo x^po,
e^aocpaXi^onpe tt]v avaycoyf) отг] popcpr] Jordan ano tt]v enaycoyixf] Dnd0eor]
-npenei va DnapxoDv r ave^apTT]Ta diavDopara Wi ото xjbpo OTiqAa'iv, dtoi сЬоте
е!те Awi = XiWi eire = A,uy + uy_i.
(4)
Btfaa 2 Eotcd oti о pr]&ev6xa)pog xai о xoQ°S ott]X<jjv tod А ёхоиу pia торт]
diaoTaorjg p. <I>DOixd, xa0e diavDOpa tod prjSevoxcDpOD eivai xai idiodiavDopa
noD avTioToixei ottjv A = 0. Sovencbg, 0a прёпе1 va DnapxoDv p oppa0oi ото
бт]ра 1, noD apxi^oDV an’ avri] ttjv i&ioTipr], xai evSiacpepopaoTe yia та Wi
noD eivai ото тёХод odtov tcov oppa0cbv. Ka0e ёva an’ аота та p SiavDopaTa
av-qxei ото X°>po OTr]Xcbv, apa eivai oovdoaopog tcov ott]Xcov tod A: Wi = Ayi,
yia xanoio yi.
Bijfia 3 О pr]5ev6xcopog ёхе1 паутоте бихотаот] n — r. Apa, ave^apTr]Ta and
ttjv р-б1аотатг] торт] tod pe tov x<bpo orqXcbv, прёпе1 va пер1ёхе1 n — r — p eni
nXёov 6aoixa diavDopara Zi, eopioxopeva ехтод аотт]д тт]д торг|д.
Tcbpa, yia va anodei^oope to 0ecbpT]pa tod Jordan, ODvdod'^ODpe та Tpia
апта бг|рата:

im юг1оал»19 og '0 = Y 5Ux 5oXioxoixa» (g) Uocooi^a aIiio 59gnrido лолог! 5юлз
гзХдюка ‘тохзлз11юлю Smiro ‘rax ; = d 5сокзла^ -Zg 01 9100 тохзЛюдюк лот^хо
одотХ лох зг! aox Uriox It »д» ‘£g тох ?э »i гзХзгдзк у aox 50601X9Asqliri О Z »»Фя
(S)
•£mg = imy ‘ im + Zmg = imy ‘ tog = imy
:0 = у югЛ 90»т1до aoi лаолгхз^
tox g = у 99»rido aoi лаолотди^кт<ао ‘AcoyUxo одотХ oxo гюхлоХзгдзк -т юд
°1	ГТ1	ГО'
ООО
9 = £т ‘ 9 = гт ‘9
8	I	О
0-1	L9J	1-8.
= im
»1»т1оал»1§ юх 91г» гзхкаходк аок irepjof Ucbdori тох 9 ‘8 ‘8 Ssiiuoigi
5n 13X3 13азг1ок» аок 5юхюл1к q -у aoi UyUxo тох UririndA. Uxdnxax тох Uxidx
aUx зг1аоолАю ‘одотХ лох А9ха» (о зг1аохо1до1дзк па mj -Sg ‘Eg ‘ig лотАзт1Л»хзхлао
юхюг1оал»1§ юх 9кю тохзАюдюк тох £ = л lionxonig гзХз лотукхо 5одотХ о Г »dltg
'8 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
8 8 0 0
 8 8 0 0
:0 ‘0 ‘0 ‘8 ‘8 i»Ai3 юл 53111x0191 5ix зг1аолдток ‘5391^30 5злзг1аоАиодк
5ix tK» зт1ао9ладхют1окю aUiI юл mA тох nriAi39»d»K плз юдотх sriao^jnriixoy
’ [О] = ?Г хоукт! у шз у юх 1здз<Ьо1злао £
ют11х9 ох отлз ‘з ют11х9 охо Uyliio niri тох UririndA niri юхюх лаолотуюЛзг) 53111x0191
53xiA39Uri зт1 хоукт! юх ‘у Ю1И19 охо 1зоот1зузх U9I1 лаоХз Uriixo^i UxiA39Uri Uri зт!
хоукг) юу odroX9A39Uri лохо 1»хлоХз1дзк г юх aodro a^UtI туюк толгз Uriixo^i
U тох ‘аох 99»rido лохо юлз здюх ‘5оузх охо лаолтокт! г ю^ 9 = ?y oioko
лох югЛ 99»т1до люлз iSArodUyKriao юд тох ‘зсНахзодк отоко ох 9КЮ ?т ох юхзт1
5отозт1ю isgUxsgoKox юл гзкздк здпх ЗХ9Х ‘(g) 5i3ootoi^3 Six зг! зг!ао^ю1дтох
юх юл тох их ‘	‘ 5от юхют1оалю19 юх юхаю sriaooUrigidnADKS юл STiao^sg люд
’ JWt-JV = Г ueP-10! Ucbdori U гзхкаходк
аогоко аох отозг! jy аох Ssylixo 5гхо лаолтокг! гюх юхихдю^злю 5отх1г1т1юдЛ
толгз юхаю юхюг1оалю19 юд у юхюлгк аох irepxof 5aog»rido Aao^ixnriUXo
юхюг1оалюг9 d— л - и юх гюх ifi, юхюг1оалюг9 d пх ‘?т юхют1оалюг9 л юд
Nvaaor нфзои н a viNHidvavu

О = Ъ nAndnir ?т лотх шокхдп^злп тох 0 = ‘‘П1э 2К
‘nxiysg •тохз^'1лздкг1 пл тзиздхс lfi здпх ‘одотХ лох лохап (irn пхкхдп^злп толп
z пх kgnirg лотукхо одотХ лохо тохзХз1дз1г ndas^ir кдзхтдп li тох
= ?т?э 2К 13Л1§ pxan ‘(9) лкхо 5пхло<Ьздхопга 'т1з‘у)лзр1лт1 тол тзизди: ‘р здпх ixo
зт1аолтодз1гт1ао ‘пхкхдп^злп толп kosgoira kxiAmAmrs лкх зт1 плот<Ьт1ао aoir ‘кп
лотх ЗотЬпарлао толп (/,) lx kgnirg ('гт.гу пхо лздкг! зт1 тохло^пюпуяп’у^оц)
•mioiodgn oxrodir охо тохло^1лп(Ьт1з пл ndoini лзд пдп ‘о = лкхо лаоХтохоплп
аок лотдпт1до лотх 5оузх охо тохло^1ЛП<Ьг1з aoir ?ai nxign пх толп -fly ng
(D
0= wip2I+
зт!аолдто1г ‘0 = ?zy лкх тох 5mgnx
‘?m пх mA (у 5поотт§з 5ix 5пхлотю1гог1юкдХ тох у лох зк 5пхло^п1опу1гпу^оц
(9)	’0= ?г?^2К ++ Ап'э
:лзркк ох пл1р лстхап Зокопадлао
5ою1гпх 1x9 лршо'у зт)аооз0О1га 5у -?г тох лотх аоуолао аох Ьптокхдп^злп
5кх koroxoiirnig к толп Aoddijij аох казхопхпх лкхо onriko рхмХзх олдг! од
'JVVi-JV OTiomonxirnxxoir лох зкаоозузххз лкк пл зхоот
(5здкуз1гт1зх пхзхдп зхопткз к) nxixmikgmi пхо клаоохопгкз кхзхдп зкаоХд,
0	0	0 1	О’	
0	1	0 0	0	
1	0	0 0	0	= IV
0	0	8 1	0	
-0	1-	0 0	8-	
Г = IVVi-IV Г И = IV V зт1аоХз пл
nirsdir аох 5зукхо 5ixo пхпт)оалп1§ зхлзк пх 5пхлотхз0О1гоа -5отлзт1аоЛкод1г
зг1п<КпдЛ aoir f о Smgidxn толп ng 5nrl SoxmiAngndnir aox unpiof kcbdori
k- niionidinx опузх плз siiaoXs ‘(3) inx (j) Snooioi^s 5ix 3ii 5пхлол1дхЛа^
•ZQ=zy l£m + fio=fiy ‘£(по=£спу Ч(п + Щ=^шу ‘iaig=iaiy
:толп ng logmido 5ndkyir 10 ‘пхпткэалтд зхлзк пх тох зт!аооотдхлзхЛао лпд
f аох
xoyirTi j шз х ох пЛпдшг aoir z ох толп ng охау лотукхо аодотХ аох 5рххз толп
£э = z т1оалтд ох тох \ = \	= d - л - и ngig miAngndnir og f rnttiff
id - to = fi пду ’(ig - ^э)у = £ai
inx aogmido aox aoxan (кХдп лкхо inx 5koiirs 5стдпх) 5оузх охо тохз^лпскгГз
Nvaaor h<mow н a vHHiavavu

Го о о!
Т= I О О = JVKi-JV тох
Lo i oj
Гт о ol
О I 0 = JV
Lo г xj
юхюлто лою 1злто1гт! Л^щЧп Sogmido о ‘юхтуз^
толр koay к Srnoiro 5кх
= zm= Ну
коото^з лкх О1гю isiiraxodir ft ют!оалю1д oi тох у = d ‘z ют!кд ою ‘5от1гзла^ • 'пг oi
oiro тохзЛюдюк тох лотукхо одотХ лою аодкухоуо ^з тохзХз1дз1г ЗодотХрлздкг! q
• lai + ^oiq = liny тох о = kny
к
'РНК™
:5зукю Ззтохазузх оад 5п зт!
isxiriiriiao юл 1злтодт!ао aoir zm1 <т 5одют!до 5ох1дюлог1 тох 5юлз isXdoira лотукхо
одотХ лою юозр! -mioaAoigoigi олот! юлз тох у = а к§юх 1зХз 5охаю 5юхюл11г о
Го 0 ol
0‘0‘0 = V 3Ti I 0 0 = V
L? т о]
VIALHJVVdVII
Зоузх ою зтТаолюкЬ ЗзпзлзЛохю зо кокг1ол1^юх
лк1 кхаю -юплотЛюпд лрдзХо толр aoir 5зхюл11г то лаооздю Зюо лооо 4(Ьз-
Socbdorio опт о толр £ о тзлзЛохю здюх з^ -loiorip гомз лзд аттзлзЛоюо
лтюхздоЬтд оад Ьзиолт таз ‘(f aoi 5оди ти) Saoi а^тохзг! loiorig юуо
1VAJ3 ?юх uvpiof Lubdori mgi a Hi лаоХз 5тзлзЛоюо 5mgi 5U1 ^зюзми: io loyQ
TOikxgigi клзгЬхз лкх зт! ‘лапзлзЛохто Sogkyir юлз 4о тохюиотод лотхюлиг лотх
лотуо оуолао ох юхд, 'у аох irepiof kcbdori кх1дюлог! юн! nXdpirjg £ оюдюлоН
юлз 5оди Soiotfp 1ЮЛ13 Spia» ‘xoyirri лотх к^юхюздюлю oioirox oiro Зоххд р
irepxof юхюлш люлз зт! 5оют!о толр у здюх 119 к^пздркю лкх пзлотдкуюТао охау
Т = I3 + /Г =	= PVVi-W
:jy oigi лох тох 5аодют!до
Saoigi 5аох pioiroriiokdX jy aox irepiof lubdori к лпгохю^ -?z тох Wtcri юх ркю ?x
лотх 5аодюг1до 5аох 5юхлоЛюдю1г 1 ,£ = /][1у1^]Д[ аохаю irepiof Ltcbdori кю ,у лох
13лдз<Ь SoiigidoXyo Q ( у аох kiiuoigi зю1гкдюто1го толр юл локтоу pdoirri ‘5ocb
-dorioigi толр юл ;у о зхоот юхз тохзЛзуигз э юдздюю к aoirQ,) уэ - у = ty лою
люхло^ог1дюсЬз юд юхюгИхд Ю1дх юх ‘Socbdorlpigi люхк лзд у 5ох1Хдю о люд
NVCIHOf НФ<ЮИ Н a VWHldVdVLI
9ES

ПАРАРТНМА В Н МОРФН JORDAN
537
EtpaQ^oyti otjjv du/dt = Au 'Oncog navxci, алХолоюбце то лрббХтща diaxcopi-
^ovrag тоод ayvcboTOog. О бсахсорюцбд аттод eivai лХт]рт]д цоуо ottjv лер!лтсоот]
лоо олар/ес лХт|ред oovoXo iSioSiavoopaTcov xai и = Sv. Н хаХбтерт] аХХаут]
oovTeTay^evcov ott]v ларобоа лерсотаог] eivai va ларооце и = Mv. Аото ла-
payei тт] vea e^iocoor] Mdv/dt = AMv т| dv/dt = Jv, лоо eivai т] алХоботерт]
SovaTT] ол’ аотёд Tig oov0i]xeg. Ynap/ei oovSeaq (iovo Xoyco tcov piovaScov ехтод
тт]д Siaycovioo oe хабе цлХох Jordan. 2то лроцуобцеуо лара6е1уца, лоо eixe
eva цлХох, т] du/dt = Au yiveTai
Го 1 01	da/dt=b
= 0 0 1 v i] db/dt = c г]
L° 0 0]	dc/dt=V
a =a0 + bot + CQt2/2
b = bo +
c=	Cq.
To оботтща Xoverai ало хатсо лрод та лето xai ое хабе бтща epupavi^eTai
цю vea Sovajir] too t. ('Eva цлХох к ел1 к exei 5ovd|reig цёхр1 xai tk~}.) Oi
exOetixoi nivaxeg too J, о’ аотт] tt]v лер1лтсоот] xaOcbg xai to npor|yo6p.evo 5
eni 5 napdSeiyp.a, eivai
-e&t test 0 0 O'
Г1	t	ё2/21	0	e8t	0	0	0
eJt =01 t I xai eJt =0	0	1 t 0
[0	0	1 J	0	0	0	1	0
L о oooi.
MnopeiTe va deire лсод e|icpavit,ovTai oi ооутеХеотёд a, b xai c otov лреото
exOerixo nivaxa, xai ото бебтеро лара&есуца цлоре!те va Scire xai Tig n6vre
“ei6ix6g Xooeig” тт]д du/dt = Au. Tpeig ало аотёд eivai хаОарёд ех0ет1хёд
щ = еых\, и3 = ешх3 xai щ = e0tx5 лоо охт]цат1£оута1, cog oovr|0cog, ало та rpia
i6io6iavoo[iaTa too A. Oi ббо aXXeg nepi6xoov та yevixeopxva iSioSiavoojiaTa
x2 xai xc
u2 = e8t(tx-[ + x2) xai щ = e0t(tx3 + x4).	(8)
H лю yevixr] Хбот] rr]g du/dt = Au eivai 6vag oovSoaojiog с^щ +  • • + c3u3 xai о
oov5oaop.6g лоо Taipid^et це то uq yia t = 0 eivai лаХ1
Uo = Ci^i +  •  + C5X5 1] Uq = MС T| С = M XUo-
Аото orjjiaivei oti и = MeJtM~}uo xai oti 01 S xai A otov лаХю тбло це tov
SeAtS~}uo avTixaTaoTdOrpcav ало тоод M xai J.
ASKHEEIE
B.l Bpeixe Tig цорсрёд Jordan (oe xpia ббната9 Tcov

ЬоислтЛюбхзх тохзаохтса^з "g’l’j
n5id клзг)ол»9г1»уюлпкз ari косоог^з mri—
О = гУ лкх олот! юуую ‘о = у лкх гХо ртоколюхг	= у Эюхюлги Sodiokioir
-оглсоЛтд Uri о (о = / — у тох [ = d) SoriiokioiroiAcoXoig iynir толр noir ‘Эюхюлш
Sgxixoxaox о толр оохю оуую oj, л.з§1хт1 ох зхохлюхс зг1аолдгюи IX — V ЗзхлоЛюдюх:
Saoxixsdocbnig и зг! гхо 1ззу ££'9'£ кокхоу лкхо иощшвц - Хэ[Хвз лсох mikda>30 о£
•Sariixoigi 5зхгхздо<Ьт§ зг) юхюлш лох клрхз толр kocoiKidair ютоохю тр\[ -лзд kri
тлгз \ лт1 5i3ifiU-(r)dm£3 чзлюдг/юрдзи лзд aoic (jdx — у)"' (jzX — V)(llX — У)
олзг/длт/. oi люз лолог] юх люз ‘тцзюшмлт&гпд у 5юиюлпс q loiygig ох зг1аол
-отгзузх огоко ох зг1 5oxmilid(03Q аох kocoxiridair кхшах mri гюлгз охау Uomsrilig
•лгохглздкг) гюх лсодюлт) юхюлш тлсоЛтр люлз 5odir
Sororio гюлгз у о ЗсолзНокд ’[l] = Y Ц [о] = ?Г xoyirri у шз у юлз гюлгз юл юдюхс
pdoirri лз§ ?/• 01 n9 orimAoyoira Эюгздаз ,1гю зт) зх^ру •?/• =	139X01 ‘xoyirri 30юх
тЛ ‘гхо 1зл1ют)1т охаю ‘юлзг1тдсоХ лаолзг1юоюхс xoyirri тлотЛтд юх kgisirg у = zf
лкх 13Ю1ГОЛЮХ1 ‘jyyl_ix = г ‘аохаю иврюр kcbdori к 1x9 зх^гзу -у = zy 1x0 coxog, £‘g
!?^э о толгз 5ою1г тох пу = ip/nP 5кх коау к толгз ютоц
SarhxoiQi гзХз q о) q тох у 5аох тЛ jy юхюлш лох тох trepiof kcbSori кх зхрдд 9‘д
] = д тох
Г9 О 0]
S Р 0 = V
Le г d
лсох irepiop 5з(ЬЭот< Six ‘nixori mri зг1 ‘зх]здд g-g
•аох оЛодхоюлю лох Sodir Soiorio толр *5юхюлш
30юх ixo зхюлюдз1гг1(1з • (91339 солю1г юх Sodir pdsxmdo оохюх 01гю) аомсоЛтд
ЗтооюхЛз Зкх Soxkri юхюх Зздюлог) зг) j 5<озоз0юхзг1 юхюлш лох Зюхлсотокогкоко’Х
ао1 о^одхоюлю ox Sodir 0101)9 1ПЛ-13 Y иврхо/ xoyirri З0юх 1x9 зх§1зу рд
’• • • + iz/zGff) + ?ff +1
pdisooriiMaQ кх зт) лох зхюл^хЛао тох э юхюлш 9хпз0хз лох зхзогЛоутга
юл mA | _JVjy.3JV kcbdori кх sxokioiroriiokoX ‘q юхюлш oлзriaoЛkodlr лох mj £-д
• lx +	= Zxy ‘ lacg = ixy ao0mido аох С0Л9У
ScogidxD ‘пу = tp/np лкх 1зю1голюх1 (g) kocooi§3 лкхо Zn коау kxi§i3 к 1x9 зх^ру j*g
NVQMOf НФЛОИ H a VWHldVdVU
8£S

ЛтЛЗтМюЭАоуЮХ Л(Ш Ю1^Ю Alli ЛОЗу1Г ЗТко^дотлЛ MDVdSIJ ао1 отЛоу 'ACOrhlO'IQl
miliyggdir 01 mA MDVdSIJ ао1 »iXainr3 U s^SUira Amxigmx лап лапаю к^ангюлю
aIii mA Lirioorhy ^зхтаздто^з toais UiolidX aoi mA SsiALigo io тох 1гел\э)$ тох
J3I°IN ‘ЧэипЯ ‘BireSuoQ 5aoi oirn злзАз oiooAds^sirs ц 'gyirn тох дхпюг1озуз1
-oirn ‘SliAoXlni О11пдю^злю toais юл sioro 1013 sxligomgsXo MDVdNIIl °1
•niAoyyngiSsir nxnoiAoyoira nyixioir
зо SsASTiliASaonilig ‘1X9 5зуую ‘5зуюх лтк 5зуую 5sioiro 5и girn ‘лголпаодока 5зд
-niyiX зокюзшхилю aoir ‘XDVdNIl ох 1ЮЛ13 Amxigmx оуолао 9x1009 юлд,
•nimindisir тлодзЛтдлз mA юзл згогЬюдА aori люз лтгколАаз
ayoit лаоНк 5юо ю@ 'лаодод юл isdoirii лзд к ‘Sisoay iniAogig лзд ид тоазаох
-nira^g 'кокалюют isomg юд aoir Зогтди о toais юл isdoirri 5kiknod> о nioiro
oi- nimikygodir юзл sriaoAisiodir юл sriaogoiroodir ‘лоузвр\[ лгохюлпг к лтлтЛ
-юд131 лго1О1Хюуз Aminrikygodir к лгозото^з лтхпМюдА nimlAi^gndnir pxnrai
3TiaooUASaoiiilig юл плу -Ssxigrox 5aoi 5аошю (т1 лаодозузахз юл люоаодокт!
юд aoir Ю1ют1юд131г pxoiSoiroimSir siiao^isgoira юл тол13 niilig odsiasg о_£
SoSgsAyy SUxntrtodj OTiligpri юлз so AaogUioiroriioUdX юл лдаюлад toais
nioiro Ю1 ‘Ю13ХЮ1Г OASiiasxigis so aoisriodgaXoi goxmodixsyli mosri юдздазуз
5аолзг1з0пю1д 5sxigmx 5ms AminnrinOAodir Ssxligoiygig 5зуюАзт1 giro- AmiUioi
-юлад orlopd) юлз srlao^iagoita юд тох aoxirloiAoy goxiAOTiliionrs Ssxigmx so
isgooddroisrl isXs oidmsg ц -aIii SoiAroioiroTiiolidX 5юддзАуу 5lixTiirinoj 5Ui nid
-isirris 51злюх isoliixoiro 4л toais SpQasyir 5lixnxndir 5lii 5oSsj^ ‘oirgdi оАоуюлю
рюх TOiSAingmi тох— oioSm inx gxnxndir тох toais 119 toais лтхиютИсдюдо лап
orilirii 01 giao trl oimdoXas og 'SodgsAyy 5lixiTirloSj 5lixnlirigidn 5ln лстютМюбА
-odir лгоуюх SsAliir sriao^iagoira юл toais юлз од -oTiiolidX oiygig юлз кютлАюлю
лою siiaoorog юл лтк aoir ‘Sori 0X910 01 5odir oinrilig Lnigxn oag зг1аолюх ю@
vdanjvv HNiwiwdj hi via
NtyiZIJOVOUA
J VWHldVdVH

•UririndA niii ЗпхлстбзпЛп U 5пхлохздоод1г ‘isgUygniJi! у
о лпхо ‘Xqsajoqo лотхлоАпдшг лотх откндоздоодютлтгз тои иоотзлплп mA lufisyg
-odir SUoiirs ззХдпзг^ дозт! охо лодзХо зпхз^здоздзк Зохоох здпх ох ‘Snidxsririao
SUx отАоу ‘но зг!ао^зг!а@ щ тох is лотхплнг лсох SsidoAUxnx Six mA лсолнаодока
лотх лотлзг!оАп§з лотх Зодзт! толзз охап тох лотАидо лотх nrlUogdir пхо лао^пздзюх
(£ 9 ЭосЬпдАпдпц) 5пззлпдду oriojg лох зт! плот<Ьт!ао ‘Acoriixoigi лотх nriUoodv пх
5зхплз1г 5аолпзхп!да U Saoxidxsrirlao mj -у±у о толзз UAoyiirs Ыхдйлао ц ‘лотздх
лотх UdsxaXnx U зплзз aoir лотзоотоз^з лотхзлолпх лотх тох у Ly aox UolidX Ux inx
ЗдохзхопуоХо ayoir Saox mA UyUyynxnx зплзз aoir jjv л-^1 ‘SUgnxoas nxixUrlgidn
зплзз aoir лохо позз!плп UAoyiirs U isXdnira ixo sriao^iiiag плотАпдхзх nxoiX
-пуз nx nij (j/^7 о Smgidxn зплзз о inx 5олзт)оздо пхзхзд inx ЗохзлотАпдхзх
зплзз 5пхплз1г о Xysa|oqo лих mj	= V лотз+зх лотсЬдр^оздз Uomronig
Ux зпх = V 1Р!ШЧЭ8 - швдг) Uomronig ихзлотАздх-пзлотАоддо лих = V
Xqs9[oq3 Uomronig Ux лао^зАоутга aoir Ззхздотх лозук шз Ззздх лаоХдпкх
5аозлотАпздздх 5аолзг!оздо пхзхзд jg
5аозлотАпздздх ЗаохзлзА но
ЗаохзлстАзбх ун
Ьаохоздоп 5аолпзхп!дд щ
5аохоздоп 5аохздхзз1г1ао is
Ззздззозлзпх 5аолзг!оздо пхзхзд дд
5аолзг!оздо пхзхзд qj
Ззздззозлзпх ЗаохзлзА до
ЗаохзлзА до
:у лотхплнг SsidoAUxnx пзллз 5злзт191гз Six mA ‘осЬодхозхлп лох
U ‘поао^здо лих лао^зАоуозга U ‘q = ху ох лаолау U ‘у лох лаозо1гохлоЛпдп1г
Ззхзротх iq ’Uyirn зплзз Srorfo аох Loiog U ‘(ЗззЫпдЛ ()()0'д8 31^ оз1пла§ооз) оупЛзз1
пхзхзХо охзхтг ох лаолпх 5ззуохаз зо 5зхау -ихзхит1дздп ихздпЛзз") U ихзхпз-iAndir
зо позз1плп зпх пзздзбхп Uyirip зпх Uyirn зо позт1плп зз^зупзр пл ззбо1гз1
SUxoUdX о •л(олзхаодо1га лотх оЛоупхпх oxixniiomrooirn лплз зт1аолз\7
у.плзхаойозга олоз1 тох пзз1 зг1 SoxnriUxoao аолзг1отлоз1зг1 5олз Uoay Ux пзЛ плз1здзг!
UgcbUys лзд зхоот ‘UxiXAnriUo ооох зплзз аолодХ пзз1олох1о U тох плХао ооох
зпхз^злп<Ьз1з Uonxonxnx U Uxan,, зхо ззлотззз1ио UxolidX лох mA 5oAUgo q лотхо
-зузхлао пхплш оздз лох зт! лотлзз!озхзХоао лотдазук лотз^зд пздаоуохп isXdoira
aoir 5ззоот11гздз1г Ззхо олодХ дхзхозЛоуока ззз!олохзо§з охап ‘g-y осЬпдЛпдпц
лихо зхидозлох 5otitq, ndasyir пз^зд (ххздзз moirnx зо лаоопдд пл пзЛ пзз!
зпх лотхозузхлао пхплззг лох лаооизокохлоЛпдтг пл пзЛ пзз! *5злзхаодо1га оад
Aaoioiro3iioUdX пхпзИлудодзг пх пуо лодзХ^ SsgniyiX Ззхздзз! зплзз U^nx U лотзозго
лотх 5зхплз1г 5зздззозлзпх тох Зздпхлохпхз Ззхздзз! зо зпхзХдзлп U§px U лотзоко
лотх лотхплпг лотдиухоуо UolidX ззкздхпгз дхап 5злпХит! Ssyyoir 33 -UxoiAoyoira
аох итИхлт! Uxo лпзздаз ,хпх тохлоазхидокп Ззхплзк зо зоуо ПЭУНЫП OXZ
•лотхпт!1!пдЛод1г лотхзхпЛдпт!
vaaajvv HNiwwvdJ нх vij ndizijovolia	j viNH.idvavu


SlionioninxiiAn Slixiriodgnan 5ln
nrilig олзг)о1гз oi »iA oriiois ‘x — и Sms^ni nriliioao толгз iSAirioirn аок oiay -ux
oi шз ft aoi liyliio nimasysi It miisdincbo э л1п oirn лпгоюх tox Пип/иэ = ux
толгз э = xft nriliioao oxiaotAiQi oio ЗоюсолАп 5ото1азуз1 q -liyliiD 5odir liyliio
lionioninxriAO lixrriodgnAn лаолпх - ‘1SOJS ‘1S99S ‘1SHOS зйоаушз Ssxigmx
io лпгЛоуплп (in>{ -(5зу1по sri U ЗзтНпдА зг! ху orionionyirnyyoir aoi mA
liolixoy aIii зг1 зшлгдхЛао) лотгЫпбА iXo тох лоту1по a^nisri Sis^ndir 1зуз1хз пл
зюот 1013 то13^пазхопшх (и ‘  • • ‘х + ц = г) ЗоХобд 5ох1Эзютоз о ioigz 'аолодХ
nirioAoxio lixiiAorilio 1збз(Ьо1гп tA isdoirri oian ‘5ngiyso nriliXo зо iniAoasxlig
-oirn aoir Ззхплш SaoynAsri mj -SliriliAri liongogdir ulixm9i3o„ ariaoAoaoirilig
‘minx ni Sodir 5зу1по Sno ЗшлгодсоХодк ‘1013 inx liyliio 5odit livliio Ззхплш
lansxligoim ubjjjoj li ио толгз SoApy о ’Ssiomonyirnyyoir Saoi Saoian 5dm
-(oioiroriiolidX ‘liyliio Sodir liyliio isdroXodir лшошх тох ??ш Amionionyirnyyoir
лоп liyliio lii lidliyxoyo is^iAoyoira Snxiggix о ‘oian jA плу jSsririndA зг! 5is§ndir
1злпх лзд ‘mAoy пууп зрм -5зг1г1пдА оппх pirn 5п oirn SlioliAligo SliririndA Slii
monyirnyyoir лтздаз (inx isdinchn лзд SorigidpAyn о '5i3§liyirx3 isiiraynxoirn
niinri lixnxsoodir our nni Smrip ‘Soisxio toais ‘SsririndA 5зх1лзА зо ‘SorigidpAyn q
q oi n?Z аоухах аохиийуплпиз aoi 5оуз±
C oi nrX aoyxax aoxnirliynanirs aoi 5оуз£
и1 • • • ‘I + Sf = i oa
.(V TOX -^v ni з§пуурлз
u‘---‘t + !Y = C oa
.(Ч-V 11D3Q lllD Ol 3yng)
+ = i oa
.^o TOX ni з^пууплз
.ц oi mA aoyxax aoxnirliynAmrs aoi Soysi oio ngliir о = an
,{i{)l.adi oio i oi mndx
J2/?©] ?>^хвш = | W| зюот ОЮ131 ] 5з9д
i - • • • ‘x = ц oa
:5lio
-LiioiroiAoAndnir aorigiQoAyn aoi InfiOAao niri iSAig InolidX aoi mA 5oAligo q
•тздпюаз lixnlnigiSn 13л(одзлпсЬ ft Socbdoripigi лодзХо 5плз отлз ‘5oinririndAodir
aoi 5o0py зо 5здосЬ 5здз1оот<Эз1г 5n misyiscbo лзд1п1 зг! liosdimg ‘li^ndir л1п£
•Asgliri зг! liosdimg srinXis ng lionioninxiiAn lixniodgnAn aIiio inx 5ocbdorloigi
toais ft o no iSAinrilio oiay -(ft лою nosri ft aoi 13^1Аоуо1галао MDVdNH
li inx лотлад sioiAnir toais ftq = у ft no 3 отоупЛз^ 01 oirn sriao^idaiAA)
toisaiA лзд lioliioiroiAoAndnir li no iSAinrilio лзд aoAligo 1юзд зо oxiA3glij\
•blioliAligo liririndA In isasxligoirn (м)±ЛсП Ьотобзхп q '5liyliio ц 5ln oiAioAnig
In oirn annx li шз 013X1010 odsiaynAsri 01 oAUgo лпо 1зАзупгз 5lubioynirn
5ln milig 2/ oio inx UoliAligo lixidsri isioiroiiiolidx 'msgidxn liyirn зо пхплш
ох1лзА лплз 13ю1го1лоАпдтг aoir ‘VJHOS Iх тлп плпаооока lixiong mj^
IK
VdaaJVV HMIWlWdl Hl VIJ №13IJOVOnA ZHMIVn» J VWHldVdVH

542
ПАРАРТНМА Г KQAIKES YnOAOflSTQN Г1А TH ГРАММ1КН АЛГЕБРА
Н аХХаух] ainij xcov лра^ешт це oxf|X.eg ocpeiAerai oxov Moler xai xa
лроураццаха 6eXxicb0r]xav 6a0ptaia cboxe va xavow ехх1цт]от] xai xou deixtr)
xaraardosmg (лоб opio0T]xe oxiqv Параурафо 7.2). Прауцахс, т] onvf]0r]g
exiXoyf] охо UNPACK dev eivai т] SGEFA aXXa r] SGECO, лоо ОБЦлерсХацбауе!
auxr] xt]v exxiprjoT] xai ел1хрёле1 oxov xpi)oxr] va алофао1ое1 av eivai ф(^1цо
va noo/ojorioei oxr)v avaSpopixf] avxixaxdoxaor] це xov xcbSixa SGESL. Ta
лроураццаха auxa e'Ejaoxojvxat ало eva обохтща плолроураццахоот Baoixf|g
Грацц1хг|д АХуебрад (BLAS) лоб xavow лра'^есд, блсод т] лрот]уоё’цетг] охт]
обуолх1хт| лер1урафг] хоб аХуорЮцоБ, лрооОёхоухад лоХкалкаою xrjg цюд
oxf)Xr]g oxt]v аХХт]. То xekixo алохёХеоца eivai цю ОБккоут] xcoSixcov лов
Б/.олосес Оасцаоса хт] Oecopia хт]д Грацц1хт|д АХуебрад. О обтуубд хоб хрё|ахг]
SiaxiOexat охт] 5iev0wor):
Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)
117 South 17th Street
Philadelphia PA 19103; (215) 564-2929
Tovigoupe ел!от]д хт] отщао1а хоб EISPACK yia xo лрббХгща i&ioxipcbv.
Oi xcbSixeg aoxoi eivai бтщооюь Hepiexovxai oe лоХХёд 6i6kio0r]xeg бло-
pouxivo'jv xai 'gexivape це 6бо OT]pavxixeg лтууёд лроураццахсоБ yia eлloxт]цovlxд
коующхб:
1.	International Mathematical and Statistical Libraries (IMSL)
750 Bellaire Boulevard
Houston TX 77036; (800)222-4675
2.	Numerical Algorithms Group (NAG)
1101 31st Street
Downers Grove IL 60515; (312) 971-2337.
Sxr, oovexeia ефюхобце xrjv лрооохл oe цю vea xai e.XeoOepr|g лрбобаот^д
лцуг) лоо Xeyexai “netlib”. Aoxf| eivai цю vea Блт]рео1а лоб SiaOexei eiSixeg
БлороБх^ед, oxi 6i6Xio0f|xeg, xai ketxoopyei e^ oXoxX.f]poo це Tjkexxpovixd
xaxobpopeio цёосо xcov Sixxocov ARPANET, CSNET, Telenet f] Phone Net. KaOcbg
6ev цеоолабе! avOpcoxog, eivai dovaxov (xai Л10аусод лю ypf|yopo) va XaOet
xaveig xa лроураццаха, ахоцг] xai хт] voxia. To pf|vopa цюд ураццё]д “send
index” еуеруолою! ооохтща е^Блт]рёхт]ОТ]д лоб охёл-vei evav хахаХоуо це xo
r]Z.exxpovtx6 xaxobpopeio. Aev олархес Блг]рео1а evi]pep<oor]g xai eyyvqor], oe
avxdkkaypa оцсод т] албхрют] eivai ацеот|, xo хбоход еХахюхо, xai т] лю
vёa ёхбоот] ndvxoxe SiaOeoiprp Oi SieoOwoeig 5ev avayvcopi^ovxai ало xo
хахБброцею:
3.	netlib@anl-mcs (ARPANET/CSNET) f] research!netlib (UNIX network)
EISPACK, ITPACK, LINPACK, MINPACK, QUADPACK,
TOEPLITZ, TOMS, FFTPACK, BLAS, FISHPACK, ...
H елбцеуг) лт]уг] eivai iocog г] хакбхерт]. Hpoxeixai yia eva &iakoyix6
лрбурацца лоб ovopdgexai MATLAB ypappevo eidixd ую Бло/.оуюцосд це

ПАРАРТНМА Г KQAIKES YHOAOTISTQN ПА TH ГРАММ1КН АЛГЕБРА
543
nivaxeg. AiaxiOerai yia IBM PC, Macintosh, SUN, APOLLO xai VAX. О xcb&i-
xag amoc xaxeXq^e va eivai xaOiegcDpevo exnaiSevrixo egyaXeio, xaOcbg enioqg
xai to 6aoixo ngdygappa yia rqv egeova oe agiOpqxixq Fgappixq АХуебда.
Tovi troupe xqv та/вт^та, та ygacpixd, xov тахт» pexaoxqpaxiopo Fourier, xov
“xivqpaxoygaq)o” tcdv nga^ecov це nivaxeg, хата xq Siagxeta xqg exxeXeoqg xoug,
xai xq SteoOuvoq:
4.	Math Works
20 North Main Street
Sherbom MA 01770; (617)653-1415.
Sxq owexeia egxovxai e^i exnaiSeuxixoi xcbSixeg yia PC. ITgoxeixai yia
evav anoonaoparixo xaxaXoyo, pia xai xaXd ngoygappaxa 0a e^axoXouOqoow
va epcpavi^ovxai, opcog yia xa enopeva е/оице axoboei xaXa oxoXia:
5.	Matrix Algebra Calculator (Herman and Jepson), бюхёта xai 6i6Xidgio pe
wgaieg ефадроуёд: Brooks-Cole, 555 Abrego Street, Monterey CA 93940.
6.	MATRIXPAD (Orzech), ovp6axixq eioo&og nivaxcov xai gqxq agiOpq-
xixq, exbibopevo ano xov D.C. Heath, 125 Spring Street, Lexington MA
02173. HXqgoipogieg ano xo Mathematics Department, Quenn’s University,
Kingston K7L3N6 Canada.
7.	Lintek (Fraleigh), це avxioxoixo xeipevo: 0-201-15456-0, Addison-Wesley,
Reading MA 01867.
8.	Linear-Kit (Anton) це avxioxoixo xeipevo: 0-471-83086-0, John Wiley, 605
Third Avenue, New York NY 10158.
9.	Matrix Calculator (Hogben and Hentzel), батхёд etpagpoyeg oe gqxq
agiOpqxixq axgiSeiag, Conduit, University of Iowa, City IA 52242.
10.	MINITAB, oxaxiOTixq xai 6aoixq ygappixq аХуебда, 3081 Enterprise
Drive, State College PA 16801.
Oi xcbSixeg yia Apple xai Macintosh avanxbxOqxav diaipogexixa xai nio
agya. Megixa ngoygappaxa ^avaygacpovxai, akka eva nXqgeg ipdopa ngo-
ygappaxcov Tgappixqg АХуебдад tpaivexai va eivai negioooxego pia peXXovxixq
6e6ai6xqTa naga pia nagocoa dcvaxoTqxa.
Mvqpovexioupe ото xeXog pia ngooconixq ngoxipqoq yia xq bidaoxaXia xqg
peOoboi! simplex otov ygappixo ngoygappaxiopo. Avxog eivai evag aXyogiO-
pog pe anocpaoeig oe xaOe 6qpa: pia eioegxopevq pexa6Xqxq avxixaOioxd pia
e^egxopevq. Oi ngd'^eig oxig ygappeg nor axoXouOobv xqv anoipaoq 6ev eivai
evdiaipegouoeg (ngdxeixai yia eva peyaXo ng66Xqpa oxqv enidei^q xqg Tgap-
pixqg АХуебдад). HqScbvxag oxq vea xogtxpq -non pnogei va eivai xaXiixegq
q xetQOxegq q 6eXxioxq- о xcbSixag “MacSimplex” emxgenei otov xoqotq va
xavei XaOq xai va emoxgerpei niooj. 'Exei ygacpxei ano xov Dr. Andrew Philpott
(Engineering School, University of Auckland, New Zealand) yia va Xeixougyei oe
Macintosh 512K xai Macintosh Plus.

544
ПАРАРТНМА Г KQAIKEX YHOAOriSTQN Г1А TH ГРАММ1КН АЛГЕБРА
nPOTEINOMENA ПЕ1РАМАТА ME TON YHOAOI ILTH
Sxo/og poo о’ аохёд xig ладаудафоод eivai va ngoxeivw pia xaxeoOovox] nei-
gapaxwv це олокоуюхёд, лог anocperyorv xig лю orvr]0iopeveg xai ообадёд
Sooxokieg xoog. Агхо лоо oovx]0wg oopdaivei eivai oxi о <poixr|xr|g eioayei evav
nivaxa, лаха eva xoopni xai 6ia6a^ei xx]v andvxxjox]. Поккх] yvwor| Sev eni-
xoyxavexai. Tlgoxeixai ледюобхедо yia pia алкх] doxiqox] лада yia eva akxjOivd
neigapa. To StaoxeSaoxixo pe xa pa0x]paxixa eivai x] eogeox] vecov ngaypaxwv
xai люхегю oxi о глоХоуюхт]д xaOioxd Sovaxd xaxi хёхою.
Mia iSea-xXei&i eivai va xgr]oiponoiT]9ei yevvr|xgia xoxaiwv agiOpwv yia
xx]v ладаусоух) xoxaiwv ntvaxwv. H Oewgia o’ arxov xov хорёа eivai oe vqniaxr]
xjkixia xai ar^avexai ygrjyoga (nagaxivoopevx] o’ aoxd ev pegei ало xa ©arpaota
лдобкх^раха лоо ngoxonxoov oxig cpooixeg entoxrjpeg). Oi iSioxipeg, r] xa реуёОх)
xwv odqywv xai xwv nokkankaoiaoxwv, f) oi ogi^oooeg, rj axopx] xai xj pxp
avxioxgeipipoxxixa evavxi xx]g avxioxgexpipoxx]xag oxx|v 0-1 neginxwor] -oka
aoxd o5x]yoov oe axgwg evSiaipegoooeg egwxx|oeig. YnoSeixvooope pegixeg лоо
0a pnogoooav va xeOoov xai oeig oiyooga 0a oxeipOeixe xi akkeg. Toxaiot
agiOpoi oo^xoovxat oxx] oekiSa 553.
Mia Seoxegr] idea eivai va xaxaoxeoa^oope nivaxeg evog ooyxexgipevoo
холоо, noo va ел1хдёлех xx]v ao^xjox] xoo реуёОоод xoog evw x] xaxaoxeox] xoog
nagapevei eoxokx]. 'Evag 6aoixdg холод ngoegxexai ал’ xig nenegaopeveg Sia-
фодёд, oxav ngooeyyi^oov 6юфод1хёд e^ioptoeig. Mixgaivovxag xo 6x|pa h,
ao^avexat x] xa^xj xoo nivaxa, evw о nivaxag ладарёуЕ1 agaiog xai eoxgx]-
oxog. Покка лдобкх|раха enioxx]povixoo koyiopixoo ледюхдёфоуха1 yogw ало
хёхоюод nivaxeg: xig 1бюхх]хёд xoog, xr] оорледарода xoog yia peioopevo h xai
1&ёед yia anoxekeopaxixoog олокоуюроод.
Ogюpёva лахёха ал’ aoxa лоо avaфёgape лgox]yoopёvwg neg^yoov ei5i-
xoog nivaxeg noo pnogei va xkx]0oov ал’ eoOeiag. Aoxo е'^акехфи xo лдббкх|ра
xx]g etodSoo, рёдод dpwg xwv pa0x|paxixo')v лед1ёхеха1 xai oxx] Siaxonwox] xoo
лдобкх|раход. Ta neigapaxa nagaxaxw oopnkrjgwvoov аохёд xig aoxx|oeig.
Tvxaioi 0-1 nivaxeg (n eni n)
1.1	Пою xpx]pa xoog eivai 1бюродфо; Roieg eivai oi ooxvdxx]xeg xwv бюфб-
gwv ogi^ooowv; Пою eivai x] peyakxxxegx] dovaxx] ogi^oooa; Поюд eivai
о peyakoxegog Sovaxdg odiy/dg (pe pegixx) o5x]yx]ox]) xai nwg ao^avei x]
рёох] xtpx] xoo pe xo n;
1.2	Bgeixe xig idtoxipeg (negiogi^ovxag xov A va eivai ooppexgixdg, eav
xo anaixei о xwSixag xai o%E<5id£ovxdg rig еф’ doov xo етхдёле1 о
xwSixag). Пою eivai x) peyakoxegx] i6ioxipr| xoo deiypaxog xai лою
eivai x] рёох] xipx( xwv peyakoxёgwv iSioxipwv;
1.3	nwg akka^oov oi anavxx^oetg oxav x] niOavoxxyra xwv 1 anopaxgovexai
ало xo

•тохлоздлао лзд лпз о = f?o тох тохлоздлао С тох г
logripx го лпз [ = -о зг1 51юздлао 5пхплш и шз и о толгз £) 'и liyliio Ux Scorio
SidmX ‘у лох зг) Soigi о толгз аок ‘Зотзпдшгоодк Зпхплш 5олзг1/Млт> о толгз д
Urixn U гзздлао аок Saogripx oag Saoxo лаоХюхтхлп пгоко ni ‘аох Ssylixo Згхо
Х+ тох х- гзХзгдзхх (р7 ЭосЬпдЛпдпц) 5зг1хп ш 5гх окп niri здпх mA. UririndA
mri зг1 5(озо<пхкоодк 5пхплш о толгз у	й зг) зд лшрхпх ‘nriUdrodA
SsdUyK плз ‘х = d зт! sxoUaixs^) d пхихрлпдгк зг1 Urixn здпх зхо1лхздокох
‘Заох а^пхзт) 5зт)хп z/(u - zu) зг! ауок ох тохлолотлз аок лотдт)рх и лотхлздоу
(и шз ш) 5тзотисоодш Ззхплзи mx naixig nrnZaj,
SoAsrimdoiriU пхизд тох
Spxidxsririao плзтИшЛЛз толгз аок- у ±у аох Sprhxmgi тох Ssoao^ido
‘SaoAUgo 5аох зхопхз^з тох и шз ш 5зхплш SaoinXax зхопазхопхп^
t(yo + Оууччу 51п1олпхпх SUx Uriix Uopri U толгз пюц ( oryxaxrriU
плз гзлХтхсЬ лоттЬхогдг лотх пхихолхак U тох итг1дпхоплп окп nxsri
‘z/i(z? - X) SUx nrirodUyxoyo ox sri is^niori g ц азоихлплао лаоХз
ioAiy аок 1(aoiyxaxiriU Зплрлпх,, Зплз isXdnKjg) ’nxnrindi3K пууок окп
пхзг! гзлпсЬ пл зоаодокг! пд j 5Ux miUdrodA 07 ‘.и ох зг) pxan гз^пууп
5отц ;хсшу лотх иг1олпхпх U толгз пюц 7 аох лотдзхрдхгт) xmriixoigi
5одиук=(7)^ лих SUdiks sxisdg -aoi Sstfno'iQi Six sxisdg тох ‘тзХюхо
птоХах пхихдп^злп з/(и + гп) 1зХз зхоко ‘у аох nidx3iiriao зхоихтоку
fix - х Soxnriyndio
аох inx Srognx (ср + Од) t_(yo + Oy) = x aox Soxliri оозт! ox толгз оюк
‘Opj-Py = °x ox зг! ЗпхлолгдхЛа^ ‘q^y = x aox Uriix Uosri U толгз пюц z’Z
•лодзсЬтдлз oynAsri
лаоХз пхап nyo, ’5зхоптопукпууок 5aox inx SaoAUqo 5aox inx 5отдпх
‘лотхплшока пдзхтдп отлп лотх Ssoao^ido 5ix sxisdg пл SUdiks зхгзйокг)
‘UoUAUgo SidmX UdnoynKn Зпхлолп^ ‘.у гэр лотх 1п1олпхпх U толу пюц yz
(UoasyaAAodxo
окп inxAoXdsodK q ох тох у о аокр) ssnpi) 51кЬюупкп 5Ux Uxixoixnxo Ux окп
rodaA ‘удихлпкп Urioxn лаоХз лзд аок nxnriUxfods пхиоп^плао лaoXdnкx
•до + од ox inx Зотдпх уэ + Оу лох
sri зхзазуаод тох о SUmrignxo ndsgnxo Ux зхзХЛзуз- SsXndnxmg лпо д
ох тох у лох sriaodrosg пл тох од тох оу ndsgnxo окп sriaooUAixs^ пл (п)
д тох у пх зг) лтздаз (хпх sriaojipyaog пл (i)
:nxnrindi3K пх пур тЛ Ззхихрхплад
oag AaoXdnKX wsgUri толгз пл (Uriix илзг)рлзг1плп U) Uriu Uopri U зхоот юхз
‘ихЛплп лз ‘пх sxoUioKOKodj^ 7 — д ох олрг! iXp тох лотт11Х О1дзк олзгЬ^о плз
окп лотг1д^п лоттоХах nidxiMAsA nni 3ii тохлоЛзушз д тох у лотх пуХюхо njL
(l шз и тох и шз ш ‘и шз и) oimioaA»iq тх 5зхюлт ютХа±
St’S
vdaajvv HMiwwvjj нх vu mxsiJovoiJA	x vwH Ldvavii

546
ПАРАРТНМА Г KQAIKE2 YHOAOFISTQN ПА TH ГРАММ1КН АЛГЕБРА
3.1	Пена eivai q ni0avdxqxa evdg avvexnxov dixrvov; S’ avxq Tqv nepi-
nxcooq о A exei xci'^q n — 1. Псод e^apxaxai avxq q niOavoxqxa ало xo
p;
3.2	Пош dvvapq Ck eivai q eka/ioxq pe oka xa oxoixeia xqg Oexixa, /copig
pqdevixa, xai лою eivai xo voqpa хот к ae ox&oq He TL5 diadpopeg
pexa^v xdpdcov; Пшд peyakcbvei xo к ovvapxqoei xov n;
3.3	H opi^ovoa хот ВтВ pexpa xo nk?)0og tojv awdeovTcuv cFvXqojv. Псод
e^apxaxai xovxo ало xa p xai n; Тилcboxe yia pixpoxepa ypacpqpaxa
(n =3,4,5):
a)	pia 6aoq xou pqdevdxwpov xov A
6)	pia 6aoq xov pqdevdxcopov xov AT
y) xa m,n xai xqv xa^q r
6)	xov BTB xai xqv opi'^ovoa xov (xo nkqOog xcov ovvdeovxcov devdpcov).
Taipiaoxe xa anoxekeopaxa pe xo ypacpqpa, eiSixa xo pepog (6) pe xovg
6poxovg.
3.4	Bpeixe xig idioxipeg xov Вт В xai xov C —eidixa xqv xaxavopq xcov
Amax xai tqv xaxavopq xcov deixxcov иатаотааесос; c = Amax/Amin.
3.5	Поюд eivai о ВтВ xai oi idioxipeg xov, oxqv nepinxeooq xov nkqpovg
ypacpqpaxog, dnov vnapxovv dkeg oi (n2 — n)/2 azpeg; Tvncboxe xovg
nivaxeg 3 eni 3 xai 4 eni 4, pe n = 4 xai n = 5 oxq diaycbvio xai
-1 akkov. Bpeixe xqv napayovxonoiqoq LU xai xaxomv xqv LDLT
-бкёлехе xo poxi6o xcov nokkankaoiaoxcbv oxov L;
П£ЛЕ(>а0ЦЕГЕ$ diacpoQEg: -u" + cu' = f yia 0 < x < 1.
4.1	Tia c = 0, xaxaoxevaoxe xov xpidiaycbvio nivaxa devxepag diacpopac,
An pe -1,2, -1 oxig diaycoviovg. EnakqOevoxe oxi det An = n + 1 xai
vnokoyioxe xov A”1. Ta oxoixeia xov (i,j) 0a npenei va ё/ovv xq
popepq aj(l - ay) navco and xq diaycbvio. Bpeixe xov api9pd a xai tpa^xe
yia poxi6o xaxco ano xq diaycbvio.
4.2	EnakqOevoxe oxi oi idioxipeg xov An eivai Xj = 4sin2 jtt/i/2 xai oxi xa
idiodiavvopaxa poia^ow pe qpixova -oncog oxqv Aoxqoq 7.4.3.
4.3	Kaxaoxevaoxe xpeig dvvaxovg nivaxeg npcbxcov biacpoQcbv: xov F+ nov
exei —1 oxqv xvpia diaycbvio xai +1 and navco, xov F nov exei +1
oxqv xvpia diaycbvio xai —1 and xaxco xai xov Fq = (F+ + F_)/2 nov
exei +1/2 navco and xq diaycbvio xai -1/2 xaxco and avxqv. Eva
ообаро npo6kqpa xcov pqxavixcbv eivai noiov F va xpqoiponorqoovpe.
Sqpeicboxe oxi q -u" + cu' npooeyyi^exai and xov M = h~2A + h~xcF,
dnov h eivai xo 6qpa.
Avoxe xqv -u" + cu' = 1 pe и = 0 oxa ovvopiaxa oqpeia x = 0 xai
x = 1. (npoona0qoxe pe xqv ecx xai xqv ax + b.) Oxia^xe, ei dvvaxov,
xo ypacpqpa xqg axpidovg kvoecog yia c = 0,1,10 xai akkeg xipeg. Avoxe
xaxomv xig M+u = e xai M_u = e xai Mou = e, dnov e = (1,1,..., 1)
xai oi M npoepxovxai and xovg xpeig F. Tia peyaka c, q npcbxq

•5по1потдз 5зюото 5ii лпх зшо от51дотлЛ лзд тох oigsir озл 5отпуз1 толп 5отг1о
oiaox nisXioio ninXai зт! 5о1лотЛтд толп a aoirp ‘^э + у Slioniondnir 51п отозт!
лотбосЬтд Ззхплш 5aoi тох 5зхплш SaoinXai 5aoi аюпадлао пл пуздк п@
•HOS
лкю Udsigynx li nximriodnir толп т птоц -5п(Н11уплп1гз ц oirn тэт!
||Ча;-ж|| 5oiDTfypd)D aoi lungooirn л!и зшлздхЛао тох MOS тах 1ЭР1Э8
-ssnnr) ‘tqooBf— д аотоупсЬзх aoi Saogogsrl 5зхшг11уплп1гз 5n лтоюх
зю11то1гот!то11дх (-Z/T осЬпдЛпопц л1и oirn oiaoi inisirsygodir 5отц qu
oi Sodir пЛоурлп плп^ап лотз^пбк лета Soplr/ir oi пхплш Ugnowni
ло1 лоюп jj) -lioay ligidxn mri sindg пл пй lubioynirn nirodir
sioliioiroriiolidx 'zu 5oxUri пХз (у ‘ • • •1 j ‘у) = э aoiro ‘э = xq oi зюау £'S
aoi ninriooAmgoigi
ni 3id у aoi Ssrinoigi 5n з1зоздлао пл 3indoirj\ (-ninrioTOdgn zu
AaoXdnira ndn ‘5солзт1аоЛ11од1£ лпхкддзеЬплп aoir Ssrinoigi и пХз 5oiay)
•у Awdorbnig лсодз1аз§ и шз и пхплш SaogliAao aoi AOTrinoigi лета
Чу + fy mnrloiodgn ni зт! зшлздхЛао тох q aoi Ssrlnoigi 5п sindg I'S
‘.и oi
плп^ап 5отдпх ‘ngnorl moirnx sing пл sindoirj^ ' A + H~1 ланзгИю
зглзх лтдосЬтд пхплш aoi осЬодюшлп ло1 inx noao^ido л1и sindg x*S
•(плзх зт1 511ошз) 5ао1лотЛп1д 5зю-и
5шо то1ло51лп(Ьп5р j— ш тох fl Сюладазшх л1п пшх 5здо<Ьтд 5п плдпш
О 'ЗзтМпдЛ то лаотт1п1о aoir пхз плзх лаоХз оплотЛтд lii giro етапх тох тлпк
Х~ ni Soorip— 5о1лгоЛтд1Э1 толп пд тох ‘лоттМпдЛ лета 5oxltri ninx ‘колаоаэтх
х л1п пшх 5здо<Ьтд 5и плбток н О \и 5тз^п1	31^ (»1здпх
тох пшло^до) д тох лрдоЛтд лстдтаазд 5зхплш 5aoi зюпазхотпх
•5тХтоюилп zu тох и ‘у т зт!
То1лаот1019п пплсоЛ пп^зд (олпк тох ni^sg стапх ‘пдзюедп стапх лкю тоюотлЛп
iq 'liririndA тлп1г л1и ‘5оуз1 ‘тох солпк ni 5odir lidsiasg л1и лпгошх ЧлтМпдЛ
стапх л1и oirn 5тло^1Хдп 5aoi siolirigidy -олсоЛпд131 ою nosri тоюотлЛп zu
лаоХдп1га 3ioi ‘fi тох х Зполадазюх 5ш пшх (х + и)/\ = ц толп nrilig oi лшд
•олотЛпд131 ото1дплог! плз <о о =	- ххп- :aje]deq aoi Uowoi^
‘W 5зхплш 5aoi
oirn лплз здпх тЛ лою li jyiap л1ио ogiiori плзлпх nXdnirx P'P
'П
noaoXdnira Ugli л1и зг1 зшл1дхЛах ndxiri пй йЛоушз Udsiaynx li толп
птоц 5з1пю1лао j aoi СсЛоушз птоц :Iixiwot1Ud толп ,пэ 5оЛотЛпдтг
its
vaaajvv HNiwwvdJ hi vij noizijovoha	a vwH.i.avdvu

548
ПАРАРТНМА Г KQAIKES YnOAOriSTQN Г1А TH TPAMMIKH АЛГЕБРА
KQAIKEL ПА THN A = LU KAI THN ANAAPOMIKH ANTIKATAETAEH
Tia evxoXia tov Х0ЛОТТ1 divovpe Нота evxoXcbv FORTRAN, xwQig noXXeg Xe-
nxoXoyieg, aXXa хатаХХт]Хт} yia va diaoxeda^ei xaveig netgapaxddpevog це to
Ax = b. H pexacpgaor] oe BASIC r| PL/1 eivai evxoXrp H eioodog negiXapdavei
vr]v та^т] N tov nivaxa, xaOcbg xai тт] diaoTaor] NDIM tov diavvopaxog, nov
eivai eva avco cpgaypa yia to N. О vnoXoyioxr|g xaxavepei xcbgo ovpcpcova pe tt]v
NDIM, evcb to N pnogei va ретабаХХетас avaXoya pe та diacpoga ovoxxipaxa
tcov onoicov yivexai r] ene^egyaoia. О xcbdixag avTixaOioxd 6r|pa npog брра
tov nivaxa A pe tov U ото avco xgiycovixo pepog xai pe tov I - L ото yvrjoia
xaxco xgiycovixo pepog tov. 'Etoi avxi va anoOpxsvovpe та pt]devixd nov epcpa-
vi^ovxai хата tt]v anaXoicpr), ano0r]xevovpe xovg noXXanXaoiaoxeg (r| paXXov
та aQvt]TiKa tcdv noXXonXctaiaorcbv, Xoyco xov I — L). Eivai agxexa orjpavxixd
to dxi T] anaXoicpr] dev xgeia^exai eni nXeov /cbpo yia xovg xeipiopovg. Eav
eivai anagaivqxeg dtdcpopeg evaXXayeg ygappcbv, тоте oi oxr]Xeg xov I - L Oa
vcpioxavxai pexaSeoeig nov povo о nio vnopovexixog avayvcbovqg 0a r|0eXe va
^epnegdeipei. Avto nov exei oppaoia eivai va egp-qvevOovv ocooxa ano xov xcb-
dixa avadgopixr|g avxixaxdoxaor)g. (O L negiygacpexai oav “ipvxoXoyixa” xdxco
xpiycovixog. Sxr]v neginxcoor] nov r] diaycoviog xov A eivai enapxcbg <5eonot,ovoa,
dev 0a yivei о6т]ут]ог] xai 0a ioxvei A = LU.) To xeXevxaio pegog xr]g IPVT
nepiexei ±1, avaXoya pe to av to nXr)0og xcov svaXXaycbv eivai agxio rj negixxo,
xai T) ogi^ovoa 6gioxexai ano xov xvno IPVT(N)*A(1, 1)*...*A(N, N). Eav avxr]
eivai prjdev, diaxdnxovpe xov vnokoyiopo.
Aivovpe xcbga xov xcbdixa xcov vnogovrivcbv DECOMP xai SOLVE, nov
nagayovxonoiovv xov A xai 6gioxovv xo x. Aivovpe enior]g eva deiypa xvgiov
ngoygappaxog nov 5ia6d^ei dedopeva, xaXei xig vnogovxiveg xai xvncbvet xa
апотеХеората.
С ДЕ1ГМА KYPIOY ПРОГРАММАТОР Г1А N ESIPQEEIE ME N ArNOETOYE
C
INTEGER IPVT (10)
REAL A(10, 10), B(10)
NDIM=10
C
C NDIM EINAI TO ANO ФРАГМА THE TAEHE N
C
N=3
A(l, l)=2.0
A(2, l)=4.0
A(3, 1)=—2.0

ПАРАРТНМА Г KQAIKES YnOAOflXTQN Г1А TH ГРАММ1КН АЛГЕБРА
549
А(1, 2)=1.0
А(2, 2)=1.0
А(3, 2)=2.0
А(1, 3)=1.0
А(2, 3)=0.0
А(3, 3)=1.0
С
WRITE (6, 5) NDIM, N
5 FORMAT (X, 'NDIM=', 12,	12, ' — А:')
DO 10 1=1, N
10 WRITE (6, 20) (A(I, J), J=l, N)
20 FORMAT (X, 10F7.3)
WRITE (6, 30)
30 FORMAT (X)
C
CALL DECOMP (NDIM, N, A, IPVT, DET)
C
WRITE (6, 35)
35 FORMAT (X, 'META THN Д1АЕ: ПАРАГОИТЕЕ THE A:')
DO 40 1=1, N
40 WRITE (6, 20) (A(I, J), J=l, N)
WRITE (6, 45) DET
45 FORMAT (X, 'OPIZOYEA =', Ell.5)
WRITE (6, 30)
IF (DET. EQ. 0.0) STOP
C
B(l)=1.0
B(2)=—2.0
B(3)=7.0
DO 50 1=1, N
50 WRITE (6, 60) I, B(I)
60 FORMAT (X, 'B(', 12, ')=', F7.3)
CALL SOLVE (NDIM, N, A, IPVT, B)
DO 70 1=1, N
70 WRITE (6, 80) I, B(I)

550
ПАРАРТНМА Г KQAIKES YnOAOFIXTQN Г1А TH ГРАММ1КН АЛГЕБРА
80 FORMAT (X, 'Х(', 12,	F7.3)
С
STOP
END
С
SUBROUTINE DECOMP (NDIM, N, A, IPVT, DET)
INTEGER NDIM, N, IPVT (N)
REAL A (NDIM, N), DET
REAL P, T
INTEGER NM1, I, J, К, KPI, M
C
С Е1Е0Д0Е A = IIINAKAE EYNTEAEETON ПРОЕ TPITONOHOIHEH
С ЕЕОДОЕ А ПЕР1ЕХЕ1 TON AND TPIFQNIKO U KAI MIA META0EEH
C	TOY TNHEIOY KATO TPITQNIKOY I-L
C	A=LU ЕЕ ПЕР1ПТ0ЕН MH YIIAPEHE ENAAAAFQN FPAMMON
C
C	IPVT (К) = ДЕ1КТНЕ THE К ГРАММНЕ ОДНГНЕНЕ, EKTOE THE
C	IPVT (N) = ( —1)**(ПЛН0ОЕ ENAAAAFQN TPAMMON)
C DET=IPVT (N)*A(1, 1)*...*A(N, N)
DET=1.0
IPVT(N)=1
IF (N. EQ. 1) GO TO 70
NM1=N—1
C
DO 60 K=l, NM1
KP1=K+1
С BPEE TON ОДНГО P
C
M=K
DO 10 I=KP1, N
10 IF (ABS(A(I, K)). GT. ABS (A(M, K))) M=I
IPVT (K)=M
IF (M. NE. K) IPVT(N)=—IPVT(N)

ПАРАРТНМА Г KQAIKES YHOAOriSTQN ПА TH ГРАММ1КН АЛГЕБРА
551
Р=А(М, К)
А(М, К)=А(К, К)
А(К, К)=Р
DET=DET*P
IF (Р. EQ. 0.0) GO ТО 60
С	УПОЛОПЕЕ TOYE П0ЛЛАПЛАЕ1АЕТЕЕ
20	DO 30 I=KP1, N
30	А(1, К)=—А(1, К)/Р
С
С	ЕЫАЛЛАГН KAI АПАЛ01ФН	КАТА	ЕТНЛЕЕ
С
DO 50 J=KP1, N
Т=А(М, J)
А(М, J)=A(K, J)
A(K, J)=T
IF (T. EQ. 0.0) GO TO 50
DO 40 I=KP1, N
A(I, J)=A(I, J)+A(I, K)*T
40 CONTINUE
50 CONTINUE
60 CONTINUE
70 DET=DET*A(N, N)*FLOAT(IPVT(N))
C
RETURN
END
SUBROUTINE SOLVE (NDIM, N, A, IPVT, B)
INTEGER NDIM, N, IPVT(N)
REAL A (NDIM, N), B(N)
NDIM EINAI TO AND ФРАГМА THE TAEEQE N

552
ПАРАРТНМА Г KQAIKEX YnOAOriSTQN Г1А TH ГРАММ1КН АЛГЕБРА
С А ПЕР1ЕХЕ1 ПАРАГОИТЕЕ ПОУ УПОЛОПЕЕ Н DECOMP
С В EINAI ТО AIANYEMA THE AEEIAE ПЛЕУРАЕ
С IPVT EINAI ТО AIANYEMA ОДНГНЕНЕ ПОУ ВРНКЕ Н DECOMP
С	ETHN ЕЕОАО О В ПЕР1ЕХЕ1 TH ЛУЕН X
INTEGER NM1, К, КВ, KPI, КМ1, М, I
REAL S
С
С AIAAOXIKH АПАЛО1ФН
IF (N. EQ. 1) GO ТО 30
NM1=N—1
DO 10 K=l, NM1
KP1=K+1
M=IPVT(K)
S=B(M)
B(M)=B(K)
B(K)=S
DO 10 I=KP1, N
10 B(I)=B(I)+A(I, K)*S
C
C	ANAAPOMIKH ANTIKATAETAEH
C
DO 20 KB=1, NM1
KM1=N—KB
K=KM1+1
B(K)=B(K)/A(K, K)
S=-B(K)
DO 20 1=1, KM1
20 B(I)=B(I)+A(I, K)*S
30 B(1)=B(1)/A(1, 1)
RETURN
END

d aoi одзходхтг! тюлтз x oi
люхо о 3id»ir тох ‘Зотлзт1аоЛкод1£ Зотко 'x кхкудюхзг! клзг1кг!злюхюх ndbSoTioiorio
лкх зхотЛо^ока ld - \ tox d Ззхкхдлюдтк з-ri у тох о а^юхзт! кЛоуткз лкх ют j
SunuwvjSojd Jdjndwoj fa уу
341 4Jnu>I PIBuoa aox 5ndi3o 5kx 5orl<3i Зобзхазд о толп кк^окюдютг куюх
•колюг1ахют§ ютотдюлог! тох обо оозг! охтлздкг! зт! ‘Ыолюхюх кхтлолюх лаоХз
( ( S \	( S \
‘	—------- г = л тох —------------------- аг = тг
лотх отозт! а тох тг юх зхох, ’гг + fai = s ох зхопюг1кХо ютзХзлао kxj х - fiz = z
тюх у — xz = аг зх'уюд :у Зотз j— окю ютИноютд охо кг!олюхюх ксЬбог1отот1о лкх
зт1аоотоо1Ю1зг1 юл толп юг!кд охотбк ох (5олотдотх orikXo зт) ‘ssnB£> kyaurtox лкх
окю тохлокзтд аок) а тох тг лот^дтдю лоттоХах лотлзг1кг1злюхюх юхтлоаюх тбюЛаз^
юлз ,о (/г тох х -Х-у) лотг10тбю лоттоХах ‘лотлзг1кг1злюхюх ю<Ьбот1отог1о ‘лоттохзх
тбюЛаз^ юлз окю зг1юк юл ютЛ Зотгдбх Зоутгю Зюлз тох Зкоткз тзХбюкх
•5поз0 9Х юхюх тохплтхюхзт! onriko охтдюад ох- j тох о а^юхзт! юткто'/х
юлз толп fx ох зхох ‘9lz ох зг! тохпдтотд fm ох люхо, 'ог10тбю лох лдхаю 4г1
(6t8£l + l-ftw££/,SZ) аох коздтотд кх юхзт! ошто'уока ох толп гш ох но плтот!ко
u9£SS9 Рош,, коюдсЬхз н ’(РЧ Zi клю^кт! ютг! зо кхюг1охаю толп юл зкзбггз Ю0 аок)
5юпдтдхю кхпкг10тдю зт! тохлолтЛ юхют1кд юх юуо тюх 91з ох толп 9£gg9 Эдг^тдю о
•9£SS9/f^ = -х ‘(9CSS9 Рош)(бР8£1 + l“f^££Z.SZ) =-ш ‘0 = °ш
:кт1т1юдЛ кхтдюлог! ютг! тзхдю ‘лотт1отЛоуока
5ютздтдхю 5к^тгю 5от<0тдоЛую 5охтхктоколюхт 5юлз тзсЬюбЛюхюх юл ютд тот!
-0тдю тотоХах люо тюхлобз(Ьтдзкг1ао 5отг1о к^юдтг лкхо ‘о^тддА-ую охтхотлтгЮзхзхл
Зотдкук люлз дкю лаопсахобк аок тот<0тдю тотоХаходаз<Д тюлтз юхаю юхкхохтх
-юг1Людк лкхх -(х 5отз о окю юг1кхоютд охо кт1олюхюх Lubdodoioiio зг1аоуз0 аок
коотхктдзи лкхо лохотХюуаох) кокдХ 5одк 5аог1тохз кдк лаоХз 5аох ЗзхотЛо^ока
тохзхду Saoi ЗкЛотЛюдюк окодх лох ютЛ ют Лех/ юЛту зг!аохз0оодк ‘5аог10тбю
ЗаотюХах лаохтюхею 5отлзт1аоЛкод1г зг1юлпходх: аом юхюг1юбтз1£ юх кдтзкд
лотНдтб» лоттюХах ютбхкллзд

VdaaJVV HNIWWVdJ Hl VIJ НОХтОУОЦЛ ZaSIVOM J VJNHldVdVLI

В1ВЛЮГРАФ1А
AtfijQtjfiivi] Гращит] АЛуеДра
F.R Gantmacher, “Theory of Matrices”. Chelsea, 1959.
P.R. Halmos, “Finite-Dimensional Vector Spaces”. Van Nostrand-Reinhold, 1958.
K. Hoffman and R. Kunze, “Linear Algebra”. Prentice-Hall, 1971.
T. Muir, “Determinants”. Dover, 1960.
EtpaQfioo/iivtj Грацщхг] AAye/Jpa
D. Arganbright, “Mathematical Applications of Electronic Spreadsheets”. MacGraw-Hill, 1958.
R. Bellman, “Introduction to Matrix Analysis”. McGraw-Hill, 1960.
A. Ben-Israel and T.N.E. Greville, “Generalized Inverses: Theory and Applications”. Wiley,
1974.
A. Berman and R.J. Plemmons, “Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences”. Academic
Press, 1979.
V. Chvatal, “Linear Programming”. Freeman, 1983.
D. Gale, “The Theory of Linear Economic Models”. MacGraw-Hill, 1960.
D.G. Luenberger, “Introduction to Linear and Nonlinear Programming”. Addison-Wesley, 1973.
B. Noble and J. Daniel, “Applied Linear Algebra”. Prentice-Hall, 1977.
G. Strang, “Introduction to Applied Mathematics”. Wellesley-Cambridge Press, 1986.
Aptegrjrixtj Г(jafifiixti AXyefiga
G. Forsythe and C. Moler, “Computer Solution of Linear Algebraic Systems”. Prentice-Hall,
1967.
A. George and J. Liu, “Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems”.
Prentice-Hall, 1981.
G. Colub and C. Van Loan, “Matrix Computations”. Johns Hopkins Press, 1983.
C.L. Lawson and R.J. Hanson, “Solving Least Squares Problems”. Prentice-Hall, 1974.
B.N. Parlett, “The Symmetric Eigenvalue Problem”. Prentice-Hall, 1981.
G.W. Stewart, “Introduction to Matrix Computations”. Academic Press, 1973.
R.S. Varga, “Matrix Iterative Analysis”. Prentice-Hall, 1962.
J.M. Wilkinson, “Rounding Errors in Algebraic Processes”. Prentice-Hall, 1963.
J.M. Wilkinson, “The Algebraic Eigenvalue Problem”. Oxford University Press, 1965.
J.M. Wilkinson and C. Reinsch, Eds., “Handbook for Automatic Computation II, Linear
Albebra”. Springer, 1971.
D.M. Young, “Iterative Solution of Large Linear Systems”. Academic Press, 1971.

AYSEIS
EIHAEFMENQN
ASKH2EQN
КЕФАЛАЮ 1
1.2.2 и = bi — b2, v = bz — Ьз, w = 63.
1.2.4 'O%r 3 evOeieg 6ia TT]g apxrjg- 3,0,1.	1.2.6 (—2,1, 3).
1.2.8 1 x e^.(l) -1 x e§.(2) + l x e^.(3) = 1 => 0 = 1- -Г (3, -1,0) eivai pia ano rig kvoeig.
1.2.10 yi-y2= 1,3/1 - уз = 2.	1.2.12 (1,1,1).
{и + v + w = 2
2v + 2w = —2, и = 3, v = —2, w = 1.
2w = 2
1.3.4 О owrekeotrig +1 0a ретётреле то оеотгцла oe ididpopcpo.
1.3.6 H a = 0 anaixei evakkayrj ypappwv, aXka 6ev eivai i6idpop<pr|. H a = 2 eivai
i6idpopgpr] (evag обт]убд, aneioia kvaewv). H a = — 2 eivai idtopopipr] (evag обрубд,
zappia копт]).
1.3.8 n3/3 = 72 ехаторрорш npa^eig, 9000 беитербкелта ото PC, 900 беитербкелта ото
VAX xai 6 беотербкелта o’ eva CRAY.
1.3.10 О 6evTepog opog be + ad eivai (a + 6)(c + d) — ac — bd (^ovo evag лp6o0eтog
лоХлал/.аасаор^).
1.3.12 0,9u + 0,2v = 200.000.000- 0, lu + 0,8i> = 30.000.000.

о
о
Г т	°	° 1
Jy ‘ I- I I- = ,Jy 9’9’1
Lo	о	i J
 0 SOO Q UTS —
. 0 UTS 0 SOO
Fb'Mf
пхплш odidorimQi зо pAligo £ = э Lt .лттМпбЛ кЛпууплз зо ззЛкдо о = э U
.пхплш ocbdorioigi зо isXltgo gt? = °()l + <?£ U .лтгМпдЛ кЛпууплз зо isAUqo p = v ц 6T’S’T
I 0 Z~\
О I I £1’5’1
.0 0 iJ
iXo, (Uyluo liimdir
лкх 5отлзт1оХз9лз U) IniiindA niniasysi л1а oirn пл1хз§ aoir ssrreQ aoi lutnoyniry jy’S’T
'Z/-7U ~ ZK\ + u)u = u +    + Z+ I :Si3§ndir Ззхтуолаз xox
5i3§nflir oag 13ПП1ГП Zo о ‘u^ndir niri oirn nisri inisxoidg 1э ЗототлЛп о ‘q = oq лСп^ OI’S’I
(ni) Зплрлпя (g) у лох oirn 1X0 mx /5 лох
oirn TOis^iiniiliXo Uian ‘ктЫпдЛ SoAUqo mri rniisioirorlroUSX aoir UriAiio Ui ‘11917 (n) g’g'j
'zuZ = ^(osv) ‘u = -(SV) OZ fl
qjy aoi
Uyliio UimOir U ШЛ13 ar(gry) 01 mx g aoi Uyliio Uimdir U толгз xg 01 ‘x 01 oian pj givi
Uyliio Sodir Uyliio 5п1ло^1Лоуо1га ‘у aoi лтукю
ла>1 огкгоадлао лпо ху oi 13x0169 06310.39 оу 'niri 5odir niri у aoi 5згМпдЛ 5n
5п1лгою1гог11оибХ ‘п1т6(пХз§ ху aoi Ззоотюглао 5п 13x0169 пгМпбЛодм oimdir оу 6Т'1
и-	I ]	Г5	П
	I I	х—	= Я ‘	t7	£ I	= У 9'fr’T -1ог1отопу1гпууо1г dum тох иш ypq
Ll-	I J	Lf	zJ
maxHMzv NONHWjaviLia sihsav
9se

AYSEI2 EDIAErMENQN A2KH2EQN
557
Г \/3/2	1/2 Г Г-д/З/2 1/2 Г ГО 11
‘ ‘ [1/2	—\/3/2_| [ 1/2	\/3/2_| 11 О] '
1.6.9 УпоОёоте oti т) tqitt| ураццт) тог) А 1 eivai (a, b, с, d), А 1А = 1 => 2а = 0, а+ЗЬ = О,
4а + 8b = 1 => dev vncip/Ei Алия].
1.6.12 (1), (2), (5).
1.6.16 (а) п(п + 1)/2. (6) (п - 1)п/2.
1.6.18 (а) О avrioTpocpog evog хатсо (avco) Tpiycovixov nivaxa eivai naki evag хатсо (avco)
Tpiycovixog nivaxag. ПоХХапХао1аацод 6vo хатсо (avco) Tpiycovixcbv nivaxcov 8i6ei
паЛл хатсо (avco) Tpiycovixo nivaxa. (6) Oi xvpieg Siaycbvioi tcov L L2D2 xai
D]U-\U^X, eivai oi idieg р.’ агггёд tcov Z>2 xai D\ avriaroi/a. L^LiD = DiU^U^',
apa D\ = D^. SuyxpivovTag та ехтод Siaycoviou GTor/eia tcov L^X L2D2 = DiU^U^
ovprepaivovne oti xai 01 660 eivai Siaycbvioi nivaxeg. L2D2 = D2, D\U\U^X =
D\, о D\ eivai avTiorpeipipog => L^' L2 = I, UiU^ = I => L\ = L2, U\ = U2-
Г1	0	01	Г1	0	01	Г1	3	5'
1.6.21	3	1	0	0	3	0	0	1	1
1.5	1	1J	LO	0	2j	Lo	0	1.
Г	33	—16	0	1 Гги]	Ш
1.7.2	-16	33 -16 иг = Ц
L 0 -16 33j L«3J Ш
[ 1 °na °, ] L1 b/a]
[b/a 1J [0 d-(62/a)J [О 1 J
1.7.4 (ui, U2, uj) = (tt2/8, 0, —n2/8) avn tcov npayjiaTixcbv Tipxbv (1,0, —1).
КЕФАЛАЮ 2
2.1.2 (a), (6), (e), (□.
2.1.4 О х<ор°д okcov tcov nivaxcov 3 eni 3, Sioti xaOe nivaxag pnopei va ypacpei oav
dOpoiapa evog оиццетрсхоб xai evog хатсо Tpiycovixov. О /город oXcov tcov Siaycovicov
nivaxcov.

•5зх»лз1г ЗаохзлотЛзд! отл» Saoi лаоЛодтг Ззхилззг
lOKOxnriiyx 3Q [q 0 j ‘[О I ] ‘ [0 0 ] ‘ j ю лаоузюют коюд »3j\ ОТТТ
£jj ло1 лаоЛюдшг (t’-'n oi SidmX
U зт1) т nj (9) 'oSmXoira лою зтзХзздззг лзд q 01 пд» ‘зшзлау лзр q = ху jj (°) L'£'Z
(g) YH ftox одзизкз oj, (Л) £jj aoi zfi одзизкз oj, (9) yjj aoi fi Зюло^» О (°) 9‘£'Z
»11идю§зл»
зплзз £m ‘Zm ‘ lm <= q = £э = Za = la <= 0 = £a + Za ‘0 = £a + la ‘q = Za + la <;= 0
= £л(£э + Za) + Za(£a + la) + l<i(Za + la) <= q = (£a+ Za)£a + (£a + la)Za + (Za + la)la .1»^ p'£'Z
•олзтИидн^з (Л) юлзтИидп^з (9) п11идпЬзлп (n) £'£'Z
•lorigidn зюшкрююко t\r aoiro ‘
lorigid» sioirlipioioiro ^x lix aoiro ‘
= x (») оггг
z-
0
толзз q = xy aoi Uoay 1лх1лзЛ н 0 = lK — z4
л»з ою»91911ао толр q = xy oj, '(ft ‘m ‘тр — n) = x шли g = xy aoi koay
1лх1лзЛ н идздазуз a It i»x Ssiltygoisrl Ssxiong толзз fi‘m‘n то Г® ® ® у = /2 t’Z’Z
ТО13Х10Ю пхзлзрЫ зт! пхплш aoi аолзт1олидг1о-лдз1Г11ао ‘Saoirai niirg yz'Z
толр лзд j о отлз ‘£jj aoi SodmXoira толзз (|с/ о .() = z + fi^ + x 9‘jx
NZSHSHXZV NRJMHWJHVILia ZIHSAV
8SS

AYSEIX EniAEfMENQN AXKHXEQN
559
2.3.12 'E(itcd V] = (1,0,0,0),... ,14 = (0,0,0,1) та Siav-иацата awTeTayp.evwv. Eav W
eivai q evOela 81a tod (1, 2, 3, 4), xaveva ало та v Sev nepiexeTai otov W.
2.3.15 (i) Eav avri) Sev rftav 6aoq, тбте 0a цпоробоаце va ngoaOeooDjie enmkeov ave-
^артт]та SiavDO|raTa, xai 0a uneo6aiva|ie Tq SoOeioa Siaoraaq k. (ii) Eav Sev qTav
6aaq 0a цпоробоаце v’ афаюёаовце цер1ха SiavucqiaTa, aipqvovTag кгубтера ano
Tq SoOeioa Siaoraaq k.
2.3.17 Eav та iq, V2, 14 anorekoDV 6aoq tod V xai та wi,W2,W3 6aoq tod W, тбте та
e^i SiavDOfiaTa Sev цпоре! va eivai ave^apTqra xai xdnoiog aDvSDaapog rovg 0a
npenei va ^iqSevi^eTai:	= 0 q ^2 civi = ~ ^2diwi eivai SidvDOjia
xoivo twv Sdo onoxwpwv.
2.3.20 [1 °] xai [° 1]	2.3.22 (1) AkqOeg (2) VeDSeg.
2.4.2 7£(A) : r = 1, (1,2)- A/"(A) : n - r = 3, (1,0, 0,0), (0, -4,1, 0), (0,0, 0,1)- ЩАТ) :
r = 1, (0,1,4,0)- A''(.4T') : m - r = 1, (-2,1)- H(U) : (1,0)- Af(U) : (1,0,0,0),
(0,-4,1,0), (0,0,0,1)- TllUT) : (0,1,4,0)- Af(UT) : (0,1).
2.4.5 AB = 0 => A(&b ..., bn) = 0 => Abr = 0,..., Abn = 0 => 6, £ V(A),..., bn £
Af(A) => 11(B) nepiexeTai otov J\f(A).
2.4.6 Ax = b enikwifio b £ R(A) <=> Я(А) = ЩА') OTd§qA=rd^q A'.
2.4.7 (a) m = n =r (6) n > m = r. 2.4.10 [1 2 4]- [24	в].
L3 6 12J
2.4.12 Ax = 0 exei pq (xqSevixq l.Daq=> r < n => ЩАТ) eivai pixporepo ano tov
R" => ATy = f Sev kuverai yia xanoio f.
2.4.15 О A exei evav Segio avTiarpocpo |	. О M exei evav аоютедб avrioTpocpo
L-|
Г 5	5 -jl	„ ,	, .	, Г1/а -ь/а21
|_ i I 2 j  Eav a /0, о T exei apxpinAeDQO avrioTQOipo	j.
2.4.17 О AT A Sev eivai хат’ avayxqv avrioTpeipipiog.
2.4.20 (a) 0 0 (6) Aev Dnapxei тётоюд nivaxag: r + (n — r) =1 + 1 /3. (y) Aev Dnapxei
Li 2]
тётоюд nivaxag: о X<*>Qog OTq/.cbv xai о X®Q°S ypamicbv ёxoDV Tqv iSia SiaOTacrq.
2.5.2 Se xa0e OTq/.q, то аОроюца twv Sdo npwTwv OToixeiwv ictodtoi це то тр1то. Ара
xa0e ODv8Da0ц6g 0а ixavonoiei bi +62 — Ьз = 0- Ax = b => xi — x? = 61, хз — X3 = 62,
X} — хз = &з => by + &2 — &3 = 0. Adto cnmaivei oti to аОроюца twv Siaipopwv
Sdvo^xod хата цт|ход evog xdx/.od eivai цq8ёv.
2.5.3 To аОроюца twv OToixeiwv xaOe ураццт|д eivai цqSёv. Apa xa0e ODvSDac^og 0a
ёхе1 Tqv iSia iSioTqTa /1 + /2 + /3 = 0. ATy = f => yi + уз = fi, -yi + У2 = h,

560
AY2EI2 EEHAEEMENQN A2KH2EQN
—У2 — УЗ = f3 => /1 + /2 + /з =0. Auro ormaivei oti to okixd oevp.a, to eiaeo/diievo
an’ e^w eivai p}8ev.
T uj 4	’I rr ,	_ I
2.5.5 —ci C1+C2	—C2	+ j exei о6т]уои<; ci+C3 xai (C1C3 + C1C2 +
C2C3)/(C1 +c3).
(1,0,0,1, -1,0), (0,0,1, -1,0,1), (0,1,0,0, -1,1).
2.5.7 b\ + 64 — 65 = 0, 63 — 64 + b6 = 0, 62 — 65 + bf, = 0.
2.5.10 'Oxi. Мета ttjv atpaigeor) тт]д Tekevraiag урацц^д, 01 Tgeig пои anojievovv eivai
ave^dgTT]Teg xai anoTekovv баот, too x®6ov YQagfuov.
2.5.12 6- 1- 6- 6.
2.5.16 (a) -yi -1/4 - 2/3 = 0, yi - y2 = 0, y2 + уз - У5 =0 (6) UpoaOeTovTag Tig 3 e^iowoeig.
(y) 3 (6) Avtictoixouv атоид bvo ave^agTT|Toug xvxkovg у\у2уз xai узузуд.
2.6.4 'Еккегфт]. 2.6.10 е‘,е-4.	2.6.11	[ f fl
2	2	1.2 ~2-l
2.6.13 YnoQeore oti u = A~}x xai v = A~xy. Eneifif) о A eivai уращиход, A(cu + dv) =
cAu + dAv = ex + dy. Apa A-1 (car + dy) = cu + dv xai о А~г eivai урацрихдд.
Enei&r] 01 цетаах1Щат1ОН°^ ixavonoiovv ttjv A-1 A = I, о xavovag too yivop.evov
auvenayeTai oti 01 avrioToixoi nivaxeg 0a ixavonoiovv rqv	= I.
2.6.16
0 0 0'
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, 8inkr| avaoTQOipr] tov nivaxa 6i6ei tov agxixo nivaxa.
0
0
0
2.6.19 p(x), q(x) e S => J0T (cp(x) + dq(x))dx = c JjJ p(x)dx + d q(x)dx = 0 => cp(x) +
dq(x) G S => S eivai vnoxa/Qog- —j+s, —|+a?2,—|+z3 eivai баот) tov S.

AYSEIS EniAEFMENQN A2KH2EQN
561
КЕФАЛАЮ 3
3.1.2 (1,1) xai (1,2)- (1,1) xai (0,0).
3.1.3 (x2/xi)(y2/yi) = -1 => Х1У1 + Х2У2 = о => xTy = 0.
3.1.6 'Oka та локкалкаою xov (1,1,—2)- (l/-\/3,1/д/3,1/л/З), (1/л/2, ~l/\/2,0),
(1/^6, l/x/6, -2/Уб).
3.1.8 х € V, х G W => хтх = 0 => х = 0.	3.1.10 х\ + ху — ху = 0.
3.1.11 Ату = 0 => утЬ = утАх = (уТА)х = 0, лог) avricpaoxei 71505 ttjv yTb 4 0.
3.1.14 (ж - у)Т(х + у) = 0 О хтх + хТу - утх - уту =0 О хтх = уту О ||ж|| = ||у||.
3.1.18 R4. То oQ0oywvio оицлкт|(хоца nagayexai ало та (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0).
3.1.20 2qp.aivei oti xa0e Siavvojia орОоуато лрод oka та Siavvogaxa лот) eivai oQ0oyw-
via tov S, neQiexexai ото S.
3.1.22 Mia 6aoq eivai to (1,1,1,1).
3.2.1 (a) (x + y)/2 >	(6) ||rr + y||2 < (||ж|| + ||i/||)2 => (x + y)T(x + y) < ||ж||2 +
2IHI 1Ы1 + 1Ы12 => xTy < ||ж|| ||y||.
3.2.3 (10/3,10/3,10/3)-(5/9,10/9,10/9).	3.2.5 arccos(l/v^)- j [l/n---l/n],
о ааТааТ a(a^a)aT aaT
3.2.7 b = (1,... 1)* at = • • • = an. 3.2.9 P2 = ф- =	... <	= — = p.
a1 aa1 a a1 aa1 a a1 a
3.2.11 (a) [	’9° 1 [	] • (6) [ 0 1 ] [ 0	] • To a0Qoiona tcov лробоксоу
L To To j L“To To j L J L J
лаусо oe &vo хаОетед evOeieg 8i&ei to ap/ixo 8iavva|ia. H лробокт) oe p.ia evOeia
xai xaxoniv oe |iiav akkq (хаОетт] лрод rqv л quit»]) 8i8ei navxoxe to {0}.
3.2.16 (a) PT = P (Px)Ty = xTPTy = xT(Py). (6) 'Oxi- I/a/15, l/Зл/З- (y)
P2 = P => (Px)rPy = xTPTPy = xTP2y = xT\Py), 0° q 180° (navco oxqv i&ia
evOeia).
3.3.1 2- (10 - Зж)2 + (5 - 4ж)2- (4, —3)(3,4)T = 0.
3.3.5 6 + (5/2)t- (7/2, 6,17/2).	3.3.8 XWQ05 oxqkcbv S, xa^q k.

562
AY2EI2 EniAEfMENQN A2KHSEQN
3.3.10
ATA = I, ATb = 0- 0.
3.3.12 (a) (-1,1,0,0), (-1,0,0,1) (6)
(?) (0,0,0,0).
3.3.13 61/35 - (36/35)t (133/35,95/35,61/35, -11/35).
3.3.15 H2 = (/ - 2P)2 = 1-4P + 4P2 =1-4P + 4P =1.
3.3.18 (1) C + D + E = 3, С + 3E = 6, C + 2D + E = 5, C = 0 (Aev vnapxei тётою eitineSo).
] 1йН4:]
3.3.19 АТ(ААТ)~'А.

-afa2
a^ai
3.3.24 -3/10 - (12/5)t	3.3.25
2'
0
-3
-5
3.4.1 (а) —4 = С - 2D, -3 = С - D, -1 = С + D, 0 = С + 2D (6) -2 +Г 0 (у) То b
negiexeTai otov xwpo orqkibv. To ISio to b.
3.4.3 (—2/3,1/3, —2/3). To аОроюца eivai to ISio to b. 2^цекооте oti aia^, <22 4> a3aT
eivai oi лроболёд navoj oe Toeig opOoyo'jvieg SievOvvoeic;. To аОроюца тоид eivai
лробокг] o’ okoxkqpo to x®po xai loovrai це rqv tovtotixt] aneixovioq.
3.4.5 (I - 2uuT)T(I - 2uuT) =1- 4uuT + 4uuTuuT =1 Q =
3.4.7 (a:ig1+---+a;„qn)T(a:iqi+---+a;nqn) = xj + ---+x^	||b||2 = bTb =	+ • •  +x2 .
3.4.9 О,1+ОИ.	3.4.122-	[f

3.4.16	3-| = |^2/3	[J Amxn=QmxnRnxn.
3.4.17 Rx =QTb=^x =R-yQrb =(5/9,0).
3.4.18 О Q frfu tov iSio xwpo CTqkoiv це tov А, ара P = Q(QTQ)~^QT = QQT-

AY2EI2 EniAEfMENQN ASKHSEQN
563
,—s---------	f? У(х) sin xdx
3.4.20 1, У(е2 - l)/2	3.4.22 Jo ’------------ 0.
Jo sin2 xdx
3.4.24 H x3 eivai т]6г| ogOoycnvia ngog rig agxieg ovvagxrioeig 1 xai x2 — Гю va
aipaigeoov^ie tt] avviarcbaa xr|g хата xi] SievOvvar] xiqg negixxi]g avvdgxr|or|g x,
vnokoyi^ovpie (x3,x) = f^}x3xdx = | xai (x,x) = x2dx = |. To enop.evo
nokvwvvgo топ Legendre eivai x3 — ((x3,x)/(x, x))x = x3 — |x.
3.4.27 (l/y/2, -1/У2,0,0), (l/x/6,1/ч/б, 2/л/б, 0), (—1/2\/3, -1/2^3,1/2^3, — 1/ч/3).
'4 0 0 0j	Г16	0	0	0"
0004	0	16	0	0
Л5Л 0040	00	16	0
.0 4 0 о]	[	0	0	0	16.
3.5.2 1, -1/2 + (\/3/2)г, -1/2 - (у/3/2)г.
3.5.5 х = (2к + 1)тг, 9 = 2/стг + тг/2, к eivai axegaiog.
3.5.7 (1,0,1,0).	3.5.8 (0,1,0,1).
3.5.10 уо = у'о + у'ц, yi =J/q- Уо ’ УО = Уо + Уо > 2/1 = У1 + *2/", У2=Уо~ Уо, Уз =у\ ~ гу”.
3.5.13 со = (/о + /1 + /2 + Л)/4, ci = (/о - ih - /2 + г/з)/4, с2 = (Jo - ft + f2 - /3)/4,
СЗ = (/о + г/1 - /2 - г/з)/4' /о = 0, /2 = 0, /з = ~/1 => с0 = 0, с2 = 0, с3 = -ci => с
eivai eniorjg педггтт).
3.6.1 (a) 7 (6) 2 (у) 8 (6) 13.
3.6.3 О V + W negie/ei xovg 4 eni 4 nivaxeg
О V A W negiexei xovg nivaxeg
an
0
0
0
ац aj2 ai3 ai4'
a2l
0
. 0
a22
“32
0
а2з
“33
a24
“34
, dim(V + W) = 13.
ai2 0	0
a22 a23	0
0	a23	a34
0	0	a44
<143	044
, dim(V A W)
dim(V + W) + dim(V A W) = 20 = dimV + dimIV.
3.6.6 H evOeia 61a xov (1, 0, 0) (6ev eivai xax’ avdyxrjv xdOexr] oxov V).
3.6.7 x = t>i + W] = v2 + u>2, vi, v2 € V, wi, w2 E IV => nj — v2 = w2 — wi € V A W =
{0} => V] = v2, wi = w2.
. Г0 01 Г0 11 s ,	лп Г0 01 .	, ГО]
3.6.9 A = I 0 I , В = I 0 q J, ° |4T]oevox<nQOg xov AB = I Q I dev negiexei то I г J •
О xwgog axT|Z6)v xov AB 6ev negiexexai oxov x®qo ottjXwv tov B.

564
AY2EI2 EniAEfMENQN ASKH2EQN
3.6.11 та^т](АВ) < та^т](А),та^т](А) < п,п < т => та§т]( АВ) < т => АВ eivai iSiojioq-
фод.
3.6.12 та^г](А + В) = dim(7£(A) + 11(B)) < dim7£(A) + dim^(B) = та^](А) + та^(-В).
3.6.13 Л/"(В) = ЛГ(А-' АВ) Э ЛГ(АВ) D Af(B) => JV(AB) = Л/"(В). О xo'jQog ураццо'^
eivai то opOoycbvio аг)|1лХ.т)(хор,а xai т] та^т] eivai т| бкхотаот) tov, dpa aura eivai
та idia yia Tovg В xai AB.
3.6.15 A = [o 1] [J “J _J] =	[1 -10]+ [lj [01 -1].
3.6.16 dim(C7 П V) = dim(t/) + dim(V) - dim(t/ U V) => dim(B П V) > 6 + 6 - 8 = 4 > 0,
dim(B П V П 1У) = dim(B П V) + dim(TV) - dim((B П V) U W) => dim(B П V П W) >
4 + 6- 8 = 2 > 0.
3.6.18 у EV HW # у = х^щ + • • • + xy-vy. xai eniorjg у = —х^иц — • • • — ®fc+/w/(*) О
Ж1 vi + •  • + x}.+iwi = 0 О х = (жь ..., zfc+z) € JV(B). Абуо) тт|д ixovadixoTiyrag tcdv
napaaraoewv (*), то у napayei eva xai jidvo x otov JV(B).
W?bl + • • • + W2,brri
3.6.20 xw =	3.6.21 11- 5- T) evOeia did tov (1, -4).
wf + • • • + vAm
3.6.22 xw = (± *)• Axw =	b- Axw = (-^,-%), (Axw)WTW(b —
Axw)=0.
3.6.23 (a) E(e) = |(-2) + |(-1) + |(5) = 0, B(e2) = l(-2)2 + |(-1)2 + 1(52) = %
(6)	wi = W2 = 2.
3.6.24 A = В + C, dnov о В nepiexei avreg Tig p ураццёд xai ^devixa navrov akkov,
С = A - В. та^т](А) < та£г](В) + та£т](С) < p + у 5 eni 5.
КЕФАЛАЮ 4
4.2.1 2"det(A)- (-l)ndet(A)- (det(A))2.	4.2.3 20- 5.
4.2.6 (a) 0 (6) 16 (y) 16 (d) 1/16 (e) 16.
4.2.7 riokkankaoiaoTe Tt] цr]devlxr) ураццт| eni 2. Avro nokkankaoia^ei ttjv det А це 2
evd) Tavroypova о А парацёуе1 avakkoitoTog => det A = 0.
4.2.8 (1 - ml)(ad - be).
I 1 a a2 I I 1 a a2 I I 1 a	a2 I
4.2.10	1 b b2 = 0 b - a b2 - a2 = 0 b - a b2 - a2 = (b - a)(c - a)(c - b).
I 1 c c2 |	| 0 c — a c2 — a2 I | 0	0 (c — a)(c — b) |
4.2.12 (a) AaOog- det /2 det J] (6) AaOog' det J] = — 1, oi odiqyoi tov
eivai 1, 1 akka yiveTai evakkayt] урацца^. (у) Akr]0eg' det(AB) = det(A)det(B) = 0.

AYSEI2 ETIIAErMENQN ASKHSEQN
565
4.2.13 ПоооОётоутад okeg rig OTT|keg rov A <jtt]v лдсотт| ngoxtmei цш [xtjSevixt] от^Аг], dga
det A = 0. Eav to аОроюца OTOi/eicuv xa0e уоиццл; loovTai це 1, тбте xaOe уоаццт]
tov A — I e%ei аОооюца OToixeiwv 0 => det(A — /)=()•	J , det(A — I) =0,
o^wg det A = 0 1.
4.2.14 0- (1 - t2)3.	4.2.15 det(A) = 10, det(A ') = ^, A = 5, A = 2.
4.2.17 IlaiQvovTag Tig opi^ouaeg е/оице (det C)(det D) - (—l)n(detP)(detC).
4.3.1 ai2«2ia34a43' eivai agTia, det(A) = 1.
Г1 0 01
4.3.2 det(A) = (—l)1+2det 1 0 1 = (-l)det J] = (-l)(-l)1+2det[l] = 1.
4.3.3 (1) AkrjOeg (2) Феобёд (3) ’Peudeg.
4.3.6 (6) 6- Diooo = ^6x 166+4 =D4 = -1.
4.3.8 Stov тило (6) eivai бёбаю oti та a\a •   eivai |£t]Sev, yia oka та SvvaTa
(a,... ix). H, хата ttjv 3.6.24, та^т]А <2 + 2=4.
4.3.9 Me цета0хЛНат1аЦ°^5 Y6aWl«>v oroug nivaxeg 4 eni 4 цетатрёлооце Tovg A xai D
oe avco TQiycovixovg:
det[o d] = “11 «22^11^22 = det(A)det(D).
4.3.10 detA4 = -3, detA3 = 2' detA2 = -E detAn =	- 1).
4.3.11 (a) (n - l)n! (б) (1 + 1/2! +    + l/(n - l)!)n! (y) (n3 +2n- 3)/3.
Г 0 AHI 01 ГАВ Al Г1 01	.	, Г 0 Al
4.3.!3	/][в 1] " [ 0 /]’det[B l]-1=>detL-B /] “
det [AQB 1 ] = det<AB)' л-Х- A = [1 2], В = [1] , det [ ° , ] = 5 = det(AB)-
A = [2] > B = [1 2], det	] — 0 = det(AB). EneiSr) о AB eivai nivaxag це
та(;т](АВ) < та^т](А) < n < m.
4.4.2 To OTOixeio (i,j) too Aox)|i not) eivai о ооцладаусоу Ajj, eivai ^Sev otov i > j,
ара о A eivai avco TQtycovixdg.
1	ГЗ	2	П	Г 2 -1	01
4.4.3 A 1 =	-	I 2	4	2	, B-1 =	-1 2	-1	.
4	Ll	2	3J	[o-l	1J
4.4.4 О A cn^eTQixdg => о ekaaocov (i,j) eivai о avaoTgocpog too ekaaoovog (j, i)
~ Aji-
4.4.6 (a) det M = xj (6) Де1те тт] отг|кг] j тот) AM nov eivai Ax = b. 'Okeg 01 akkeg отцкес
too AM eivai 01 i&ieg ц’ avreg tov A, apa AM = Bj. (y) det A det M = diet Вj =>
xj = det Вj / det A.

566
AYSEI2 EniAEFMENQN A2KHSEQN
4.4.8 (a) To epdaddv тои параккг|коураццоо eivai det j. (6) To xpiywvo A'B'C'
ё/ei to idio ep.6a6dv. Алка exei pexaipepOei arqv apxr|.
4.4.10 AC = CA => АСА-1 = C => detAdet(D - CA^B) = det(A(D - CA^B)) =
det(AD - CB).
4.4.11 (a) Sxr|keg toD AB = A eni oxr|keg tot) B. (6) AB eivai то аброюца tcov oxr]kwv eni
tig уоаццед (nivaxeg xd^r|g eva).
4.4.15 Mia цетабеог] пои nokkankaaia^etai це nepixxr] цетаОеаг] akka^ei looxipia.* Aga
r| ст2 = ста eivai apxia. Eav t] ct-1 r)xav apxia, r) era'1 0a t)xav nepixxi]. 'Opwg r|
стст-1 = I eivai apxia.
4.4.16 Oi 6vvd|teig tod P eivai dkoi nivaxeg jiexaOeoewg, apa xekixa xdnoiog ngenei va
enavakr|<p0ei. Eav Pr = Ps тоте pr~s = I.
4A&7 Kara xov типо (6), det A < 5! = 120. H kdyw rt)g det A =dyxog(A) < (\/5)5. 'H
kdyw xov odrjywv, det A < 1 x 2 x 4 x 8 x 16.
КЕФАЛАЮ 5
5.1.2 и = C1 [ J ]	+ c2 [ J] e3t = 6 [ _} ] Л - 6 [ J] e3t.
5.1.4 и =	+4 [J] e*.
5.1.7 Ax = Аж => (A — 7I)x = (A — 7)ж, Аж = Аж => ж = АА-1ж => А-1ж = (1/А)ж.
5.1.8 Лсакёдте А = 0.
5.1.9 О ODvxekeaxrig eivai Ai + • • • + Ага. Sxt]v det(A — XI), evag dpog nor au|ineoika|j.6dvei
eva exxdg SiaywvioD axoixeio ац anoxkeiei xai то ац — A xai xo ajj — A. Apa
evag xexoiog dpog dev nepie%ei то (—A)"-1. О ODvrekearrig tod (—A)”-1 ngenei va
ngoeg/exai ano tt]v xdpia diaywvio xai eno|tevwg eivai ац +  • • + ann = A| + •  • + A„.
5.1.12 Ai = 5, A2 =-5, Ж! = [J] , ж2 = [_*] , Ai = а + Ь,А2 = а-Ь,Ж1 = [j],
^ = [-!]•
5.1.14 xd^(A) = 1, A = 0, 0, 0, 4, ж4 = (1,1,1,1), xd^(B) = 2, A = 0, 0, 2, -2,
ж3 = (1,1,1,1), ж4 = (1, -1,1, -1).
5.1.15 xa^T](A) = 1, A = 0,..., 0, n- та5г](С) = 2, A = 0,..., n/2, —n/2.
5.1.18 О |iT]6ev6xwgog napayexai and xo v<y x = co do + dj + jc2- co, «1, d2 eivai ave'(jdpxr|Ta
(diacpopexixeg iSioxipeg) => vq dev nepiexexai oxo /wpo axr]kwv noD napayexai and
xa v-[ xai d2.
S.X.E.: H “ia6xi]Ta modulo 2” (=“parity”).

AYSEI2 EniAEfMENQN ASKHSEQN
567
- is -Ж ш: _:r' to -ж» ш; л
5.2.4 'Exei Ьюфо^елхед ibioTqieg 1,2,7- A=diag (1, 2, 7).
5.2.5 Oi Aj xai Aj bev biayamoitoioiJVTai.
5.2.6 (a) A = 1 r| -1 (6) ixvog =0, OQi£owa=-l y) (8, —3).
5.2.8 (a) Au = uvTu = (yTu)u => A = vTu. (6) 'Okeg oi akkeg ibiotip.eg eivai jrqbev bion
dirruV (A) = n — 1.
5.2.9 ixvog(AB) = ixvog(BA) = aq + bs + cr + dt => ixvog(AB - BA) = 0 => AB - BA = I
eivai abuvarov.
фаа 5-^a = [! -!] [о -!]" [? 2]4-
5.2.14 detA = det(SAS 1) = detSdetAdetS 1 = detA = Ai • • • An.
«»«-[-? -2] [i -Ш-l
erai В-101 = B.
5JJ [£::] = [i
11 4][о (-/][? J][i].^=u-<-i)‘i/3-i.
5.3.5 Str] ota0eQT| xataaraar) okoi exow neOavei: doo = 1, «oo =0, Wqq = 0.

•О = x<dzX - JV - У) Ц XZX + xdX = XV LVVS
•Za;(?g uis Zq+ ?£ soo ?и) + Iar(?uis Iq + qsoo lo) = (j)n .£ = Zm ‘g = Im *g_ = Zy ‘y— = ly JjXT’S
7(гэ + zq + Zp/<)zp Ii о = V (A.) -»S30»io
толп г||°п|| = г||0п?^э|| = г||(?)п|| ‘5пх»л/ш 5ом.отЛо0до томэ )уз о liqnicq (9)
•0 = ZnZn + Zn^n + inln <4- inv — Inq = £n ‘Znv + Ino— = Z.n ‘Znq — Zno = Jn (») gXVS
X— < j mk 5li0niD» rax y— = ? mk 5110»юаз nQaisgao
‘X— > ? mk у »хи»г1Людк зт! 5110пюаз толп fy О 'S < ! Ю1^ V »xig»Aiii зт1 5110»юаз
‘S > ? > t7 i»x у oxunrlAndir sri 5li0»io(i3 ‘f? = ? mk 5110»1оаз ndaisgao ‘t? > ? mk
5110ЮЮ» толп Zy q у < i 5li0»ion ‘x > ? mA 5110»юаз ndsisgao толп iy q xi'fS
’l/Z 01n^iUsoodir 5оЛ9Ч q (Л) ?гэ00х + [*] ?£э00х = [= n (9)
•5li0»io»	= Zx ‘Z= Zy ‘	= lx ‘g= iy ‘ [*_ *] = у (») 8VS
L\]-°”>v» [J ?]-,vs №•
'^уэ»уэ = ^s^S^-SrfS = i-SrfrfS = T-S(j;+?)v^ = (j;+?)ya <и) S^'S
J8IZ/I + / « j(l-a) + /= j(--- + i?/X + X) + / =  + \llzd + d + I = d3^d= zd frTS
•o°+ <- пэ ‘oo ? 5ot0»x [Z + ПЭ~ 1 = (?)n g yS
.L 6 + n J
fit K~t 11	1 I = w3 -<l ‘l> = zx ‘(1~ ‘T> = lrr 0 = Zv ‘г“ = Iv rrs
И + к-э- I+ ?г-э Jl
[| IHlHl]6,fs
[,$"o 0]-^..........[£sSo° о] = Иг? 2H*'7"»*' £,TS
•9 0 =э‘I = 9‘81= ° SITS
•oyxax
зо сплои 1злзт1»бпи Ilian lioay li .5110»юлз ndsisgao ‘y = |y| »6n ‘(?| zp x)[_(? ± I)
шли 5эг1ио1§1 Ssiidi iq -5li0»iOft3 lioay ‘^A/y = |y| U »S» ‘t_(?± т) толп (_(y — /)
aoi 53Tinoigi iq ’5110О1О» lioay = |y| »Sn у x толп у + / aoi Sarinoigi iq £XTS
•tois^msqIitI »л пизди Zx + Zx + ix 01 x X л-РН ~{ix + Zx + la;)v
»tioiod0n лаоХз x\ aoi 5зоот1О1лао io (то1зл»Х лз§ 5плпх пд» ‘х пг1отод0п
лаоХз Sliyliio 30»х onXioio ni) Zx + Zx + la: »т1отод0» лаоХз xy aoi 5зоспю1лао iq ZV£‘S
Q(f) +1 \(f) -1 ‘z) (9) (x ‘x ‘г) W (x- ‘x- ‘г) = ix
rf о q
‘(x‘x-‘o) = Zx ‘(х‘х‘г) = lx ‘0 = £v ‘f = zx ‘x = Tv (9)	0 f f = у (») tits
NZ53ZHMZV NZ5N3WJ3VHIH ZI3ZAV
899

AY2EI2 EniAEfMENQN A2KH2EQN
569
5.4.19 Oi сбютсцед tov eivai лрауцахгхёд О (ixvog)2 — 4 det > О О —4(—a2 — b2 + c2) >
О <=> a2 + b2 > c2.
Г|е«_6ез< + ^е«
5.4.20 и =	-62t + 6e4‘
[
5.5.2 (i) Eivai лрауцатсхг]. (ii) nepiexexai otov |iova6iaio xvxko. (iii) Ilepiexexai enior]g
otov p,ova6iaio xvxko. (iv) nepiexexai oxov xvxko axxivag Svo i) oxo eocoxepixo xov.
5.5.3 x = 2 — i, xx =5, xy = — 1 + 7i, 1/x = 2/5 — (l/5)z, x/y = 1/2 — (1/2)? \xy| = v/50 =
N |j/|, |1/ж| = 1/л/5 = 1/|k|.
5.5.4 v/3/2 + (l/2)i, 1/2 + (v/3/2)i, i.
5.5.5 (a) x2 = т2ег2в, x~J = (1/г)е~гв, x = re гв, nepiexexai oxov jiovaSiaio xvxko.
5.5.8 (i) [1 q 1] ~* [о 1 1] =	= 0 e“v TO x eivai nokkankaoio xov 1].
To Siavvc^ia avxo eivai xdOexo oxig oxr|keg oxi xov Ат (ураццёд xov A) akka oxig
axrjkeg xov AH.
5.5.10 (a) n(n + l)/2, n, n(n — l)/2 (6) Ta Tpia oxoixeia отт] Siaycbvio eivai лрауцатиах.
Ta xpia oxoixeia, navco ало тт] Siaycbvio, exovv 6 лрауцатсхобд баОцоод ekev0epiag.
Ta Tpia ало хатсо eivai та I6ia, apa oi ovvokixoi лрауцат1хо1 6а0цо1 ekevQepiag
xcov Ep^iixiavcbv nivaxcov eivai 9. Tia [lovadiaiovg nivaxeg avxoi eivai naki 9 —
Reun, Irmin, Reti2i, Imii2i, Reti3i, Reui2, Irmii2> Rei«22, Reiii3. <X»aivexai oxi
о Uexei 9 + 3 =12 6а0цоод ekevSepiag, оцсод oi 3 x61'l0lR0Jt0l01jvTai, yia va
nokkankaoiao0ovv oi oxr)keg (i6io&iavvo|iaxa) це av0aipexa eiS, xai e^acpavi^ovxai
oxo xpinko yivo^vo.
SSU	Q : a, - 1. a, . -1.
—— [ш-га
5.5.13 (a) Eivai op0oycovia цета^о xovg. (6) О ^Sevoxcopog napayexai ало то и.
О арютерод p]6evox<opog eivai о iSiog це xov цт]6ev6x<opo. О x®pog ураццсот
napayexai ало та v xai w. О xo'JQ°s oxT]kcov eivai о ifiiog це xov xcopo ураццо'А. (у)
x = v + jw oxi, цлорооце va лроо0ё<хтце ото x олою6х|лоте локкалкаою xov и.
(6) bTu = 0. (е) S"1 = ST- S~]AS =diag(O, 1, 2).
5.5.14 О A eivai op0oycbviog, avxioxpet|)^og, Siaycovionoirjomog xai Mapxo6iav6g. О В
eivai nivaxag лробокг)д, Epmxiavog, xa^ecog eva, diayojvionoirioqiog. Oi iSioxqreg
xov A eivai ±1 xai ±i. Oi 1бют1цёд xov В eivai 0, 0, 0, 4.
5.5.15 H diaoxaoT] xov S eivai n(n + l)/2 xai oxi n. Ka0e ovццeтplx6g nivaxag A eivai
спАс'таоцод n npo6okcbv, оцсод oi лробокёд ^xaSakkovxai xa0cbg akkagei о A. Aev
vnapxei баот] ano n oxa0epovg nivaxeg лробокт|д.

570
AYSEI2 EniAEFMENQN ASKHXEQN
5.5.18 H ogi^ovoa eivai to yivopevo Ai ... Xn це andXvro тщг| |Ai| •••|An| = 1 (r)
| det7/12 = detUHU = det/ = 1). О 1 eni 1 U = [i] e%et det/7 = i. Ev yevei
TT Tacos# 6sin#] ,	। ।	|, ।	। ।	|,।	.	n
U =	. „	. л , олои a = Ь = c = \d = 1 xai ab + cd = 0.
L c sin в d cos 0 J .....................
5.5.19 H tqitt) ott]Xt] )inoQei va eivai yiv6p.evo TT]g (1, — 2, г)/\/б це олоюбтртоте ар10цб
(лрауцат1хо r| myadixo) an6Avrr|g Т1цг|$ eva.
СдКц + CjX^ + С2^2 + С3К3
C3KQ + CQX1 + Cl K2 + C2K3
C2X0 + C3X1 + CQX2 + Cl КЗ
Cl KO + C2K1 +C3X2 + CQX3_
5.6.1 C = N~]BN = N~rM~}AMN = (MTV)-1 A(MN')- о TavTOTixog nivaxag.
5.6.2 Autoi 01 nivaxeg exow iSiOTqieg 1 xai —1 ixvog 0 xai ogi^ovoa —1, n.x-
-?]•[? ;]
5.6.4 M =	, A=MBM~'.
1.
5.6.6 (a) CD = -DC => C = D{-C)D~X (6) Eav Ai,...,An eivai idioTqieg тот) C,
тоте —Ai,...,—An eivai ifiioTqieg tov — С. Алб to (a), 01 C xai — C exow
Tig i&ieg idioTqieg, dpa 01 Ai,..., An 0a empavi^ovrai хата ovv-nAr]v £evyr). (y)
Cx = Ak => DCx = XDx => -C(Dx) = X(Dx) => C(Dx) = -X(Dx).
5.6.7 To OTOixeio (3, 1) eivai cos# + hsin#, nov ^Sevii^eTai otov tan# = —g/h.
5.6.8 M = [_J °].
5.6.10 ci Vi + C2V2 = (пгцс1 + mi2C2)vi + (тп21С1 + m22c2)v2 = d^vj + d2v2.
5.6.11 Qg npog та vi, V2 о nivaxag tov eivai A = [ j. Qg ngog та V\, V2 eivai
B=[o -1]- Е°тю M = [1
Г0	1	01	Г0	0	01
5.6.13 (a) D	=	0	0	2	(6)	D5	=	0	0	0 .	£>3	Eivai о	Tplxog nivaxag ладаусоуатг^.
Lo	o	oj	Lo	0	oj
Oi TQiTeg napaywyoi	twv	1,k,k2	eivai цт]5ёу,	aga	D3	=0.	(y)	A	=	0	(rginAr])-	eva
ц6vov idiodidvvcna, то (1, 0, 0).

AYSEIS EniAEfMENQN ASKH2EQN
571
5.6.14 H f = e^x eivai iSio6iavDop.a tod d/dx wg ngog ttjv i6iotqit| Л. Eav f(t)dt =
Xf(x), тбте napaywyioT) xwv Sdo nkeDpwv oDvenayerai /(ж) = А/'(ж) apa f(x) =
cex/\ 'Opxog okoxkrjpwvovTag ano то то 0 ewg то x exoDjie cX(ex^ — 1) / Xf(x).
5.6.15 Oi iSioxqieg eivai 1 (то1лкг|) xai —1. Oi iSionivaxeg eivai
5.6.17 (i) TTH = U~1AUUHAH(U~1)H = I. (ii) Eav о T eivai xpiywvixog xai орбоцо-
vaSiaiog, тбте xa Siaywvia oxoi/eia tod (iSioxip-eg) npenei va e/odv anokDxri тцхт|
eva. Тбте oka xa exxog diaywvioD oxoixeia npenei va nrjSevi^ovrai, aipoD oi axr)keg
npenei va eivai povaSiaia SiavDOfxara.
5.6.20
||Лгж||2 = xH NH Nx = xH NNH x = ||Аяж||2- цех =e; aDTO ODvenayerai | oxi) At]
г|| = ||уращ1тр||.
5.6.22
h/v^
[1M
5.6.23 Oi iSioxijieg tod A(A — I)(A — 21) eivai 0, 0, 0.
5.6.24 Ano xa Siaywvia irqSevixa tod T—X\I, T—X2I, T—X3I, to yivop.evo P(T) odtwv xwv
mvaxwv eivai pijSev. Тбте A-XI = U(T—XI)U}, apa (A-XiI)(A—X2l)(A-Х3Г) =
U(T - XiI)(T - X2I)(T - A3/)f7_1 = LW1 = 0.
5.6.27 О nivaxag ё/ei eva [xovaSixo iSioSidvDop.a, ара г] цорсрт] tod Jordan ё/ei eva |xovo
pnkox:
Г0 1
01
J ~	0 1’
0.
5.6.28	= 0, apa 01 Sdo xekeuxaieg avioorqreg eivai eDXokeg. MJ\ = J2M
e^avayxa^ei xqv прсотт] отт|кг| tod M oe p.T|6eviop.6, apa xoDxog Sev pinopei v’
avriarpaipei.
5.6.31 Ji = цпкох 4 eni 4, J2 = 3 eni 3 xai 1 eni 1, J3 = 2 eni 2 xai 2 eni 2, J4 = 2 eni
2, 1 eni 1 xai 1 eni 1, Js= тёоаера цпкох 1 eni 1=0. Oi J2 xai J3 exoDv ano Sdo
iSiodiavDop.ara.
КЕФАЛАЮ 6
6.1.1 ac - b2 = 2 - 4 = -2 < 0- f = (x + 2y)2 - 2y2.
6.1.2 (a) Oxi (6) Oxi (y) Nai (S) Oxi. 2xo (6) t] f [irjSevi^exai хата p.r|xog rr]g eD0eiag
X = y.

572
AY2EIS EniAEfMENQN A2KH2EQN
6.1.3 det(A - XI) = 0 => А2 - (a + c)A + ac - b2 = 0 A! = (a + c + ^/(a - c)2 + b2)/2,
X2 = (a + c — y/(a — c)2 + 4fe2)/2, A] > 0 eivai noocpaveg, X2 > 0 8ioxi (a + c)2 >
(a — c)2 + 462 ioo8vvap.ei |ie ac > b2.
,. .	&	, Г 4 —51 , . ,	. Г—2	01 , ,	.
6.1.4 Ilivaxeg oevxepag лараусоуои I	I (екаХюто), I q (цеуюто).
6.1.5 (a) —3 < b < 3 (6) [J J] [J 9^fc2] [J J] (y) -2(9j_ fc2) (8) Aev V7taeXei
ekdXiaxo.
Г 4 21
6.1.6 'OXi' |^2 1]-
6.1.7 (a)	[-1	1	1]	xai [-1 2 -2]	(6) fa = (x\ - z2 - X3)2 = 0 orav
L-l	1	1J	L-l -2 3J
x\ - x2 - x3 = 0.	(y)	/2 = tel -X2- X3)2 -	7x2,
1	0	01
-1	1	0	,	D = diag(l, 1, -7).
6.1.8 О A eivai Oexixa ogiopevog «• A, > 0, A2 > 0, 1/A2 > 0	A-1 eivai Oexixa
ogiop.evog. Ацеоод ekeYXog: A^1 = c/(ac — 62) > 0 xai det A-1 = 1/det A > 0.
,1O л Г3 6] Г1 °1 Г3 °1 Г1 21' x 		
6.1.9 A = I 6 16 = 2 10 4	0 1	01 awTE^eoTeS TG)V teTOaytovwv eivai 01
о6т]уо1 tov D, evcb 01 avvxekeaxeg цёоа oxa xexQdywva eivai 01 oxqkeg xov L.
6.1.10 я2 = [^+Д X+t2>] eivai Oexixa ogiapievog (p2 + s2)(s2 +t2) > s2(p +t)2 <=>
(s2 — pt)2 > 0 О s2 - pt /О О Я eivai цт] i8id|io(xpog.
6.1.11 (a) Oi о8т]уо1 tov eivai a xai c — |6|2/a xai det A = <xC-|6|2.(6) f = |ж] +(b/a)x2\2 +
(c- \b\2/a)\x2\2.
6.1.12 О nivaxag Sevregag napaywYov eivai 2] > ®Qa Л ^ev EXel ekdXioxo oxo (1, 1).
6.1.13 a > 1 xai (a - l)(c - 1) > b2.
6.2.1 a > 1. Aev vndgXei b xo onoio va xavei xov В Oexixa ogiop.evo.
6.2.2 Oi В xai C eivai Oexixa opio|xevoi, evco о A 6Xi.
6.2.3 detA = -2b3 - 3b2 + 1 < 0 Yta b =.|.
6.2.4 Eav о A eXei Oexixeg i&ioxipieg Xi, тоте 01 i8ioxip.eg xov A2 eivai A2 xai 01 idioxipeg
xov A-1 eivai l/Aj enior]g okeg Oexixeg. Ката xo xgixiigio II 01 A2 xai A1 eivai
Oexixa ogiojxevoi.
6.2.5 Eav xTAx > 0 xai xTBx > 0 yia xaOe j /0, тоте xT(A + B)x > O' ovv0r|xr] (I).

•5олзг1оздозт1и юхпзд толзз g о ‘Зоюздою толзз у о Z’£’9
z(ix + ^x + lx) .z(ix - Zx)| + z(£x^ - ZxS - lx)z ГГ9
'О > Y3HZ = Y + Y <= xHx-
= XVHX(X + Y) <= XHX~ = XVH(XX) + XVHXX Ф= XHX~ = xVHJXlHx + XWVHX 6ГГ9
uuv,,, гг»н» = g aoi AinyUio лотх лотхЫ лоп
лотлд)Аюд131 лотх олзт1олзА > z(g аодззгзизуиууюдюзг aoi 5охАо)= z(g зэр) = у зэр д
aoi С SUyUio SUi Saoxliri aoi ола>Аюд1зз^(у aoi С Uyliio) (^у aoi C UrirtodA) = ffo 8l‘Z‘9
ззлю^аю
лзд узор U з»1лоуу»9»1зг1 лзд юзгзоуозга »i голз iiyiiv oi зюх ззлп^ап ‘lip oi
зз뻧ап 5<рдп>[ о < llV sioi ‘5олзг1озбо юхз130 ззэлзз у о люд ’•  • + ЧуТТр = у зэр £i'Z'9
VVV/h 9ГГ9
[— ззоотд юл зюд) зз0озг10юююлю юл зздокзЗ х oi зюх
5зг1з1 5зхз111лдю ззлдзюк UdkJori 11хзлотЛюд131 U 3iorg ‘Uoay UxunriAndic юзт1 ззХдюкх
•зоюздою зюлзз у/ зюх у зо ‘5олзг1оздо юхз111лдю зюлзз □ о ‘5олзз1оздо юхз130 зюлзз д о Sl'Z'9
•5олзт1оздо юхз1илдю зюлзз юл у о лоюладю зюлзз
юду -0 = ху^х aioi ‘?э = х mxD? ‘зтз^злздин оззХзою озлсоЛюзд оюо-г oi люд ПТ9
HjH— = V зюо) зо1з 5зу1лю 5з1и1дю§злю
33d у Зюхюлзш ззХдюзгх (л) ’0 > ?Р лаозошолюхз (лозгМюдЛ ЗзЛюууюлз 5здсоХ) roAUgo
зо зоуо, (Л1)	0 > £узэр ‘о < Zyjgp ‘0 > Ту jap (in) -Q > ?Y лаозоззолюхз
у aoi 5зг1зюздз зо 5зуо, (п) 'х югкэалюзд охзлздиг! Uri 30юх юзА д > ху^х ([) ПТ9
(юзТиХо
зю1з^збо лзд) у=д лаодзд 5зг1зюздз ЗзхзлздиН Ззздд '?уЛ/ТТ = 1Й юдззлкз оад ю1
олог) лаолМто 5зз1з1оздз ЗзхзлздиН оау толо^ю aoi3di aoi Soxliri ююх ; =
+ ^/iTy оддлзуах одззкю люлз ,о 5здззоф.ззууз oi ззлюуаХз^ Ызюздз ихзлздиг! юзэд ZVZ‘9
1=	>з»х I = у зт1	] = у ПТ9
•(Zzp ‘о) тх (о‘1=р) юю лаолзюАик 5зло§юзг1и зо ‘р = гу д = Ту ОГЕ‘9
(/1у^)(ху^х)
=	уЯ^)(ХУjyХх) = Z||%||Z||ZH'II > г|^11(а:я)| =	=	6‘Г9
(О xq юдю ‘5ог1зф,зд1оз1лю
зюлзз Д о) о < (x^y^xj) = хэу^э^х 3101 ‘о х 30ЮХ юзА о < ху^х люд g-j-Q
NnazHMZv NfjNawjHVTua ziazxv

[x Tx ZS,9®'| ‘S’ _ Г x тх г£Эх"| zs
хеш щш < —---------------------— ХЕШ щш = (д + y)ZV
J |Xff + y)j^ J
XjX XjX
хд^х ху ^х
М + 1у 3101 ‘Ixlff = х(д + у) лпд
6V9
8Т'9
ху^х aoi одэкзупЛзт!
тол13 пд х(д +	01 ‘х nrioftADig oxiAsgliri-liri здпх тЛ д < хд^х ligisirq £‘У9
•(Х ‘х) = ® зг1 ‘х = (х)д толгз lirin InoiXnys ц 9'р'9
и\и > .О» лоп лгоуо nrioiodgn) > lyu 3101
‘(и зт! 5ooi гшзлгЛ SliionrioAodnic о) цЗга[Хву aoi A.oz'iylur 010 (х ‘ • ‘х) = х з1бпц S’V‘9
'<1	= XV jV 5130(001^3 5зх1лолпх Sno isAligo 5ln lioliionoioiXnyg p'p'9
[fl X ] DXDA,'K OA3rioidoirili лото гзХююплу '(oo <— ft 3iSnif) oioiXnys
13X3 лзд ig H ’£ =	*£- = x <= 0 = £ - 4 + x = ^e/ldQ ‘0 = + x = XQ/\IQ ГГ9
5олзг1о1до pxii30 inx SoziQisririoo толгз у о noiyz ql_y^q^—=поздп1з zyy
у — Exj + lx— = £xg/gg ‘£x — £х% + lx—
= £xg/gg \ — Zx — 1x3 = Ух.д/дд ,£xp — Ixp — |x + ExZx — |x + Zxlx — ^x = g jfp
•?T= V <=0= I - ZY- = |JVY - y| 1 [° o]=JV‘[o-
 [I] = Zx ‘	] = lx ‘S/PS = ZX ‘VS = lY ПТ9
X lu>ii£Oini3Ti 5lii lixiXdn л1п плдзкз^ лзр зюи lidsioSxni li тлз 01 idXsri гзлпкЬ
n^nrl lidsiodxiTi It .2— = Zb ‘Z = ip 1 j =0ng=	+	[l I — 0ГГ9
1*0, 6V9
•Ssrinoigi 5зхп11лдп inx Ззхизд 13Хз у q g-g-^
•yli^ni = (oy /?9)li§ni
<= yli^ni = (T_OC>yJ.Ot_(J.C>))^»i < (jvxo)U^Dily\^Di >	ГГ9
ninrioriAmp
п11пдп§злп и окп пбз1ооо1бз1с лаоХЭпил пл лошллрп толгз noiq и > b + d (9) 9"£"9
•2 aoi lidsiodxiri lirinoigi 13X3
у о <= 11хп11лдп толгз lirinoigi niri пдп ‘Х8 0~ ‘б'£ ‘S'Z 1»л1з /2 _ у aoi loAligo iq s*£’9
i*O, V£ 9
•Ssrinoigi 5зхпз0 octg 13X3 5пхпл1к
Soxnoicini о тлз ‘lirinoigi lixnsg niri inx lixnliASn niri 13X3 ,9 0	® ] = g
[о” x] =	- l) + &? = WO ‘0 = ZY ‘0 < lY ллоХз OV±D 1»* V Ю
££•9
NfsasHNXv NfSNHWJHvma ziasAV
VZ.S

AYSEIS EniAEfMENQN A2KH2EQN
575
6.4.10 Ai < fi < A3.	6.4.11 j’ (3 - \/3)/4.
6.4.12 A)y] + • • • + Хпу^ < Xn{yl + • • • + y2n) =>
6.4.13 (a) Xj = minigj.[maxa.es\ Я(а')] > 0 => yia xa0e Sj, тахже§з. R(x) > 0 => Sj
nepiexei diavna|ia x це R(x) > 0.	(6) у = C~}x => x = Cy => R(y) =
PAx an
6.4.14 x = ei, Ai = min —=.- < ----.
x x1 Mx mu
6.4.15 Avrov non napayow та iSio8iavvo|TaTa xi xai a?2.
6.4.16 Mia 0etixt|, pia apvryrixr) xai n — 2 p.r|6evixeg.
6.5.3 A33 =3, b3 =|, A=3 [-1	2 -1 j , b =	, Ay = b у =	.
6.5.4 A = [^],b = [2], A2/=b^y = [|],t7 = |Vi = { ^
6.5.5 ОХохкт](хЬате хата цедг] —V"Vjdx = V^Vjdx — [Vi'VjJ^Ao = fo =i&io
6.5.6 1 /3 тот) V Sivei tt,v eAd/iarr] Т1цг| тт|$ P.
6.5.7 A =4, M = |,A = 12 eivai цеуаХитедт] ало ttjv akt]0ivr) i6ioTipr|.
6.5.8 M = I 28 , 6е1те tt]v 6.3.11 yia та vnoAoiira.
L 18 9 J
6.5.9 h/6 «роде? TOV 1, 4,1 TQi&iaywvio arivaxa.

576
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.2.4
7.2.5
7.2.6
7.2.7
7.2.8
7.2.9
7.2.10
7.2.11
7.2.12
7.3.1
AY2EI2 EniAEfMENQN ASKHSEQN
КЕФАЛАЮ 7
Eav о Q eivai ogOoycbviog, tote ||Q|| = max(||Qx||/||x||) = 1, Sioti о Q diarrjgsi та
ppxrp ||Qx|| = ||x|| yia xa0s x. Ел1аг]д о Q~J sivai ogOoyolviog xai ё/ei отаОрт] sva,
apa c(Q) = 1.
H Tgiycovixr] aviaoTTyra yia SiavDopaTa 6i6si ||Аж + Bx\ | < ||Ax|| + | |Вж| | xai OTav
SiaigsooDps pe to ||x|| xai pEyiarojioir|ooupE xa0s ogo, to алотёкеара sivai p
TQiyojvixT] aviooTiyra yia Tig отаОред nivaxcov.
Ката tov ogiapo TT|g ora0pr]g tot) A, ||АВж|| < ||A|| ||Вж|| xai xaToniv ||Bz|| <
||B|| ||ат||. AiaigcbvTag ps то ||ж|| xai psyiCTonoicovTag sxoDps ||AB|| < ||A|| ||®||.
To idio akr]0£D£i xai yia tov avTioTgocpo ||B_'A-' || < ||B-11| | |A“111. Поккалка-
oia^ovrag Tig &do aviooTT]T6g naigvoDpe c(AB) < c(A)c(B).
I И’ 11 = 1. 1И1 =3, C(A) = 3- JtaQTS b = x2 = [_j] , 8b = x} =
2tov ogiapo | |A|| = max(| |Ax\ |/1 |x| |) Siaks^TS aav x to sv kdyco sidixd SiavDopa.
Tots 11 A+| | = |A| | |x| | о лоте о koyog sivai | |A| | => о рёуютод koyog sivai TODkaxiaTov
|Л|.
ATA = [ 100 10001 ] ’ д2 “ 10002A + 1 = °’ A™< = 5001 + (50012 ~ 1)1/2- H
sivai г] T£TQaya)vixr| pi^a лог sivai iorj ps ||A-11|.
Oi ATA xai AAT sxow Tig idisg idiOTipsg (axdpr] xai av о A rpav idiopopipog,
лои sivai opiaxri л£р1лта>аг| rr]g aaxr|ar|g). Пю ovyxexQipeva, A1- Ax = Xx =>
AAT{Ax) = A(A^Ax) = A(Az), xai loorrjra tcov psyiorcov idiOTipcbv didsi ||A|| =
PT||.
Елв1бг| A = RTR xai A-1 =	sxoups ||A|| = ||fl||2 xai ||A-1|| =
| |(BT) 1112 = 11Л '||2. (Ката ttjv лрог|уо'иреуг| aoxrjor], о avdcrtpocpog sxei TT)V ^la
сггаОргр) Aga c(A) = (c(B))2.
A = [° q],B=[i	, Amax(A + B) > Amax(A) +Amax(B), (acpoii 1 > 0 + 0) xai
snior]g Amax(AB) > Amax(A)Amax(B).
Eav x = Toxe Ax ~ [ I] xaL H^l|oo/||®||oo = 7. Adti) sivai t] axgaia
Л8р1лтсоот] xai 11Аг| loo =7 =psyiaro aOgoiopa anokurcov Tipwv otoixeIcov piag
ygappr|g (to axgaio x sxei owiorwoeg ±1).
B2 =	] exei idiOTipsg a? (xai |m — n| piqdevixeg). Aga oi idiOTipsg tod
В sivai ±<Tj xai |m — n| prjdsvixsg.
«0 = [J] ,Щ = [-1] ’ U2 = [J] ’ “3 = [1з] = [J]'

Т > | ?Y| 10 5зуо юдю ‘лздкг! 01
[О f 11
. с 6
f О О — = Г S’fr’4
f ! о]
•Sodbdorigrgi тюлтз юл тздокт! лзд Зюхюлтк лотаХотдзка
отлотЛютд лкх юхюх 5юлз inx krtixorgr толтз лзд лздкт! 01 Зоткзлаз аох кдзходхтт!
толтз ’.г аох юлтххю к люхо лздкт! ох тзХзтдзк лзд ??ю ох окю отдаЛ Зоухах q уу[_
Чх(ци.з[$(уэ) = ( •  ‘i/ку ws + yiryguis ‘t/k^2UIs)2 = 4xf Ла:(1/кг/soo2 — j) = Чху £*f*4
la:(i/jiso3)
- (• • • ‘t/к uis + T/iiguis ‘j/jzguis)S = ixf аоуую аохлюк юхтлздкт! тюх ‘отлотЛютд ютдях
лкх Зодк лотхтлохтзЛ лотх лоттлотЛютд лотх Soxlxri юхюх ^/т зт1 юот ютзХтохо гзХз f о Z't'L
ТО « Z/^Z - £ = хвш¥ зт! - (7 = ,г/х ‘о ‘о 5зт!тх
Гт	Т	01	ГО \	01
-отдт	|	|	о I	= (n-)|_(7 + <7) Z/^/l=F ‘0= r/‘	f 0	f	=(Л-7-)[_<7 VVL
Lo	f	lj	Lof	oj
’ i+s/V лох n1^ »^озузхокю олзтТаохк^ ox згктолдток юдазук кдзхотдю лкхо ф юх
ЗюхлодзсЬюхзрх	' jb = °Н ''' зг1аоХз ‘коздоиа лкх ЭюхлоттокотТюкдХ
тюх (Оу • • • 1~Чу) зг1 ют^зд рию Зюхло^ютоюукюууоц j&^b ''' °bV' jb
= ^bl+i,V = Ц ^Ь^И = 1+чУ Зказхоюхюх xq q = ц люхо Зздкую ЗотуюЛою толтз
aoir ‘^у аох у& коктокохлоЛюдюк к толтз (Оу    ^~^у)(1~^Ь ''' °Ь) д19 зхоздокх 6'£'L
туюк у = bU 1ЮХ I = Н V = b юд? ‘ЗотлотЛоддо тюлтз у q g-gx

- X ТОЛТЗ fly = (ху)у ЗХО£ ft = (ft — х) — X =
(fi - X) - X = xH
тюх — = ю коткохюхзг! лкх зг!
9?
•М « И ^1 — = in
Vzl\J Id Lsz tzl sz
ZTL
(ft - X)j(fi - X)
Xj(fi - ж)г

Nt5HZHN3v NfjNawjavma siazxv

mili'Y99SK pxukgkop oj^ (9) -SsomioiAao SsxiAspkri и isdsd>oi3Aao о = x 11019 ‘9x1009
toais inx q = m + xy лк1 13ЮКОЛОХ1 ‘рхпклдо Ltri toais q = m ‘о = x SoAas^ oj^ (o) 9T8
0 < ‘H 010 ‘[| - f ] = j. oij [£ g-] = d ‘j 01s STS
00— toais Soiopx 0101X073
01 iox Soxkri odisirp 13X3 krixo It odp ‘рхпклдо toais = n\S rax [q~ ] ~ n
toais Uian Lr/liio J4 Uopg U10 TOisXdsois jy aoi livliio кдзиззр Ii одр *[; — g] = d
kiow/sg toais kdiadox к одр ‘[у j] = 1 £T8
•3— toais 5оюрх 0101X073 01 тох 1заз()11уо о < (T ‘9 ¥) = d Skiroxnip
oidlindx 01 ‘01X97 0770 spj -lubadox (11011739 I110 kpk здоотйз inx ‘q= Sx = Zx = \x
M3io 13X3 TOiSAoXAainrs 0101X073 oi ‘10x1139 ™ЛР I iox 9 > 5зюз7В1лао io
kpnirg 'Sx + Zx9 + Ta¥ + Z~ SUx IioIiiokoioiXd73 :kcbadox озл liio orik79pdir 5к§з 01
sriaoAdioir ‘prioidoidsir oimdir aoi iox Saoiopx кок1дрлао Ino piao 5о1лтю10охилу
Sx — ?xg — ixg — 3 = £x siiaoXs prioidoidsir odsiasp лою £x 01 5о1лолтлот1о1гу 3-3-8
•3— = £x — Zx + lx odmi idisaiA
Soiopx 01 tox ‘j = tx ‘% = £x Aaopip rorioidoidsir io ‘I1009 I110 tx inx £x oi sj\
’X/t- aoi одз1рдх1т! toais \/^ 01 11919 ‘Sx It toais da isirsdir 111(17901311 liAsripXdsiro
H 'Soiopx 01 i3Ami3ri aoir ‘£x к toais da isirsdir kikypoisTi kAsripXdsois ц лзркт)
toais Soiopx 01 tox kong kio лаохкло 3 = Sx mx p = fx kooiopiox noaodoir Akij yx‘8
000 09 = « ‘OOO OZ = г = x £T8
£ lirin kioiXsri
ki iSAip diaotA oioias73i ц ’(j‘0‘О)‘(О‘Т‘О)‘(0‘0‘l) = (г‘й‘х) did ЭзсЬадох зг!
[ = z+fi + x opsiriics 010 OAsripXsidsir ‘OAmXidi odas7i£poi das toais О7олао pixicbs oj 9T8
’(О ‘0) oisriko 01 OAori 1013X39 0>^ + x‘0<^‘0<x STS
•П7рЛзт1 9701г TOX DOI TOAIS DA ft 1DX X oi з1дрц tT8
0 < ft лкю
isxopdniAD aoir x— > M- 01 — 6 > (й8 + ж£—)Z + (й5 + XZ)£ lorloidoidsir iq £T8
00 <— /i‘o=xsiioo— toais ft — x Ski 0101X073 oj, -9 Soiopx sri (9
‘0) ОЮ 1011310110101X073 ft + X£ H 't? Soiopx 3-ri (3 ‘3) ОЮ ТО113Ю1Г0Ю1ХО73 ft + X H J-yg
yg -Xj 01 31139 -(0 ‘9) ‘(Z ‘Z) ‘(9 ‘О) »1зт1ко did toais SsiaoiA iq ITS
8 О1¥У¥ФЯЯ
.^=ИШу.ро/лг ‘0= v
[7/,- 2]-л,-О + (Г)-	„L
NOHZHMZV KoNHWJHVILIH 3IHZAV

pixicbs толтз oag ni тох ndy g < /г
тох э > yfi 3101 ‘о = Я лра о < x 1ПХ <? < ХУ 3ioi ‘оурЛзт! ауок толр х oi лра 9’£’8
[О Т-] = э * ‘^[1 0] = <? S’£’8
олзт<Лпд(Ь Ini толр тох ‘о > /ту — тох
О < Я тк Я oi isiokoioiAsiI oxiag оа 'oixicba толр лз§ [о] = э ‘[ц] = q ‘[j —] = у t>'£'g
.(иэ ‘ • • • ‘гэ ‘0) = */г 1юх
(uq I .  . t^q <q) зо 13=jpyyn *х oxonysg Ol 3101 ‘о > Iq лу niOliySg ТОЛ13 ПЛ 13K3dK
jg л1и оку • nriUygodK oxiag oi inx oxi'Zdn oio Soioox oi mk qo lirhi mgi л1и лаолгр
тох pixicbs толр э = fi inx q = x Зоткзлаз э < jfi зг! qЯ л1и isioKoioiAsii oxiag оа g’g’8
•g = Soioox a = Iх
‘g - Zfi ‘o = J/i j < lx ‘o < lx SaoiioidoidiK Saoi ока lag SUi UoUioKoioiXnya Z'£'8
•g = Soioox ‘| = zfi ‘£ = J/i ‘g = zx
7 = Iх I > zfi£ ‘I > zfi + 1/г2 ‘0 < zfi ‘0 < 1Я 3ii ‘^Я\\ + ifiy 5lii UdUiokoioiAsj^ pg’8
(zoo >67 ‘zoo)
= zxa = zx <= (z6 o‘zz i‘zo o) =	- э = zx oz i = zs o/86 0 = s
<= (Z,0 0‘T9 0- ‘Z8 0) = 3dd '9£'V = Ц 9Z/6T = «ZS’i? 1»1зл1Л э^ду = Я^у^у srrg
Г го ‘о	1
1 ot\J^
(Z0‘0 ‘0Z.4 ‘8Z‘l) ою 13Л(ПТ3731 milig oi 7yg = (86 ‘0)£ = s лп1О. ПТ8
'L/£ = S
‘(£/L ‘Z/S- ‘Z/Z—) = °d (9) ’(0 ‘Z ‘О) °ю mipiOKioioiXny3 xndy yg = x
‘(z ‘0 ‘0) = d oiz 71 = Ххэ ‘(0 ‘Z ‘0) = & 013 ST = x‘(0 ‘0 ‘Z) = d 013 (n) ПТ8
•z||3cT||s- = 3dj(?d)s- = ^dxdj^«- = 3d^«- <=d= jd‘d= zd errs
x= xV'-AjVV^V - x= xd 0= XV ПТ8
•milig плз эо = Z — Рх1 + ,xl oioiXp'/з oi зг1аолрХЛапка
(О ‘VI ‘Z l0) = x 1OX 0 = Px oioiro oio 7 = г,т oi 1SX31I pgli^an пл зкздкз пд г® oj, 017’8
n = ag aodro *[•  • n   ] = [. .. a . . ]# = gg g-j’S
111011^39 ШЛ13 litbadox liimdK Ii ndn ‘^3 inx g тол13 5оюох 0Х101011ЛП oj 0 = f-x
7g = ix тох g = ix ‘g = la? 1пл13 ЗзсЬаОох ю Зткзлаз -SisQi тоууп ю То1лаоюколпх1
плобХошш тлз 531111001 то1лол1Л SaorioiSoioair Saoi ркп oag ‘Ucbadox nni 33 87’8
•олзг1аоЛиоЭ1£ ло1 зт! 5oigi о тол]з Uopg Ui ркп niioaApig олзНрХдзкп 01 тк 3g
Зплрлпх о -Uopg U10 1П1зХ9зо1з у аох Uyliio UXioioiiAn U 3101 ‘USsiaynXsii U толр
nomiouao Uioo-г U тох тзХаюкп plan лра 0 > J 1»1зл1Л SliKoxmg oidlinSx oj, £7"8
3 Uoiyx 31I oisrilio 01 plan ,кп илзОрХбзлп прдаз
nni толр оуолао pixicbs 01 inx д = fx ‘g = lx oio misxoidg Ucbadox н 0 =
‘g = lx толр пт!оалп1р oionysg oa '£ = lm ‘д = гж = 1ж толр j 511ОПф SUi niioaApig
oa '£ = lai + гж — 1ж ‘д < lai ‘д < гж ‘д < 1ж 5зх11длао Зп ока lai 01 isiOKOioiXnys
NDHZHNZV MfJNntNJnVILIH ZIHZAV

Uriox UxoiXnya = Uod UxoiAsri U 3x03 '(x nxUxpxixUdroX лаоХз 5зг1х» то 5зур 11019)
Uriox UxoiXnys It толгз ? 01 рш» s 01 гззрлаоошп коздтоЛ» li лотгошо лсох лотт1х»
Sprlgidn SoxoiXnys о bod UioiAarl li толзз ? ото s 01 ршп лсотТрдр AOTXixsdodroig
5о01луш oioiAsri ох х 5зур толзз лотг!хп лотх SaxUxpxiiUdwX зо ixo зхоздошл ST'8
£ толзз р ogripx лохо х ogripx лох рш» (ход (лхплар UxoiAari ц ppg
6 зо g рш» ззлп^п»
Uod UxmAsri ц -5Uod SUxoiAsri SUx UoUgan UxoiAsri It тзхшрходш g ogripx лохо f ogripx
лох рш» U 9 ogripx лото p ogripx лох рш» лотАотЛ» лотх nxUxoxixUdmX Ixx 5»хло뻧ау £'f‘8
•9 — g Saox рш»
p — I Saogripx Saoi la^idmXnig аош л!хха» Uriox UxoiXnyi зт1 g зилзз Uod UxoiAsri ц j'pg
Эаоштоурша Saox
рш» 9 ogripx лох is^idmXnig аош л1хха» Uriox UxoiXnya зт1 gx толр Ixod UxoiAsri ц I‘fr‘8
o> qfi> xyd «gig q < xy 0 < xyfi isgig q < Vя 8ГГ8
0 > qfi ‘0 < YU 3ipi ‘[l - I] = d зхЭ»ц £p£‘8
0^ qfi ‘0 = Vfi зхрх ‘[x - z] =/i зхЭюц 9j£g
Г I-	I 0	01	ГТ—	0	0	I	0	01
• I-	0 I	0	И 0	I-	0	0	I	0	SUx Ssylxio 30 SITS
Lt-	00	xJ	Lo	0	T-	о	0	tJ
ихпхпууплз л!хх зззошолихз (x— ‘x) = fi j;(Z‘T) = x 1тоотхшздзш Uxrodir л!хх^
ft = x 5»зз0аззг11х SUx з»х x пло^п аохзхз0 aox а^пхзт! олотх лох лаоЛ»д»ш Ssvlxxo iq H"£‘8
•nxinig Uxoixysg Liao зпхзХзздзш лзр odaxaogoxixoatb
ox ndn ‘Ixxix30 зплзз аош ‘Эхлзо Qg = $0g ‘X — $Z зплзз aodaxaogoxixoacb aox Uriix
11лзг1Л1хлп н (»n»ip Ixxo3xy3g U толзз аош ‘аозхзхсЬзшзТ aox Uriix лкх зг! тохаот
Uxan) 51хл13х<гиЭш SUx Uriix SUgmixo U $g ‘х = d ч»л.зз Uoay XT 0 < d *£ > dZ ‘Z > d
5зх1х0лао 5зх рша dp ох зззошохозЛзг! pxiap ox ‘x’8 o<b»dA»d»n лихо зпх 5<ошо, £TT8
•liAsriaoXUodit лих зт! юзрз U зплзз ‘зпхлохшпсЬз пзошо лито аоурлао аоххзЛз
аох Utbadox Uxcodic U пууп ‘»лзт1рхшаупхзшз Srodcbnys зплзз »d30nxo= хэ прзшзшз »1 П’£’8
•£ = ifi у > id ‘S > id ‘о < id
5зх1х0лао 5ix рша id ох зхо1хзошохозЛзх\ (Л) тозлсэЛ U ззшохошп ззХз озошо ох рш»
odpsndxsx ох зг1 oidprlUxdnxsx oxrodir ох толзз (g) g = x^э ‘q = ^x ‘x = ^x ‘0 = ix (») IX‘£'8
хэ > qfi ‘Зпхлол^хЛаз
'0 < x aodro хэ > xyfi ззрзр э > yfi .3X0 зхзз о < d зхзз qd = xyd ззрзр q = xy op£‘g
лзрит!
зплзз td зпх *x лотх Эзоотхозлао Ssdsxasg зо ndn ‘5ззо1ллЛ зплзз э > y*d inx q < *ху
oag nx mA тох Ззхихрозл» Ssdsxasg 10	= I = q*d зг!	‘[о x] = Л ‘j;[0 Т] = *x	6T8
О	=	01 isAOTsdXoiia пхихоозлп »1о1ллЛ U тох ‘[g x T	l] = 3>[l I I l] = Vd
Scoioriodnxi •тохз^злзриг! пл isirsdir d aox поотто1лао Uxidx U ndy ’поотхтлао
Uxidx	лих	Sodir Sot nxUxpoMn »то1ллЛ зт! ^.[x X I T] =	4 < jJt £ T l] = XY	8’£‘8
38 лих sri плот<Ьг1ао ‘nxoixyag ТОЛ13 d inx	x nx ‘qd = g = хэ 1лр1зшз	£‘£‘8
NnHSHNSV NnNaWJHVIUH ZIHZAV
085 •

AYSEIS EniAEFMENQN ASKHSEQN
581
8.4.6 'Eva цёуюто ovvoko yajuov yia to A eivai 1 — 3, 2 — 1, 3 — 2, 4 — 4. 'Eva nkiqgeg
xaiQiaojia tov В eivai 1 — 2, 2 — 4, 3 — 5, 4 — 3, 5 — 1.
8.4.7 Oi ураццед 1, 4, xai 5. О vnonivaxag nov ngoxiinxei ano Tig удаццёд 1, 4 xai 5 xai
Tig axiqkeg 1, 2, 5 exei 3 + 3 > 5.
8.4.8 Xgeia^ovxai 4 удаццёд. Oi к уацо1 avxiaroixovv oe к |iova6eg nov neg^xovxai oe
SiacpopeTixeg удаццёд xai oxiqkeg. Xgeiagovxai к удаццёд yia va xakvtpOovv avreg
oi p,ova6eg. Eno|ievo>g yoeid^ovrai TovAd/iorov к удаццёд yia va xakvtpOovv dkeg
oi |iovd&eg.
8.4.9 (a) О nivaxag exei 2n piovaSeg nov Sev eivai Svvaxdv va xakvtpOovv це kiyoTsgeg
ano n удаццёд, Sioxi xaOe удаццг| xakvnxei 2 axgt6d)g povaSeg.
8.4.10 Xgeia^ovxai xovkaxioxov 3 удаццёд yia va xakvtpOovv xai oi 15 jiovaSeg.
8.4.11 Eivai ngocpaveg.
8.4.12 О awTopioTegog бдоцод ano to s ото t eivai ol — 2 — 5 — 6 r) 1 — 3 — 5 — 6. 'Eva
екахюто ovvSeov SevSqo eivai to 1 — 2 — 4 — 3 — 5 — 6.
8.4.13 1 - 3,3 - 2,2 - 5,2 - 4,4 - 6 xai 2 - 5,4 - 6,2 - 4,3 - 2,1 - 3.
8.4.14 (a) О акуод10цод ankiqaviag ^exiva це n цeцov<Jl)цёva SevSga. Se xa0e бтща Siakeyei
eva SsvSqo T xai пооа0ёте1 piav ахцт) e ekaxioxov xdoTOVg. УпоОёате oti ae xanoio
бтща та vnagxovxa SevSga (tov T avpnegikap6avopevov) eivai цёдод tov ekaxioxov
ovvSeovrog SsvSqov S, akka iq vea ахцт] e (xi^vovoa то T) 8ev eivai цёдод xov S.
Siyovpa to S neQiexei akkr] ахцг| e' nov ovvSeei evav хоцбо evxdg xov T це evav
хоцбо exxdg xov T, Siatpogexixa to S Sev 0a iqxav avvSeov. Siyovga eniaiqg iq ахцг|
avxiq e' Sev eivai аотпоцотеет, xiqg e, nov iqxav ахцг| ekaxiaxov xdoxovg x^vovaa to
T. Мподооце koinov va agpaigeoov^ xiqv e' and to S xai va xiqv avxixaxaaxiqoov^
це xiqv e, X0)(A5 va а^гроъце то okixo цг|ход. To S 0a e^axokov0ei va eivai
ekaxioxo ovvSeov SevSqo. (б) О ekaxioxog бдбцод Sev negiexei xax’ avayxiqv xiqv
ekaxioxrq ахцт)! Aeixe n.x- xiqv 8.4.2.
8.4.15 (а) Гдаццёд 1, 3, 5. (6) Sxiqkeg 1, 3, 5. (у) О vnonivaxag nov npoxvnxei and xig
ypa^eg 1, 3, 5 xai xig oxiqkeg 1, 3, 5 (S) Гдацц^ 2, 4 xai axiqkeg 2, 4.
8.4.16 MeyiaTonouqoTe to vnd xig ovv0iqxeg [	/][w]=[c]’[w]“
8.5.1 -lOz] + 70(1 - a;i) = 10xi - 10(1 - xi), iq x, = x2 =	-IOjh + 10(1 - yi) =
70y\ - 10(1 — yi), V) з/i = У2 = j' цёап xipq xёQSovg 6.
8.5.2 ЛlakёYovтag navxoxe xiqv Sevxegiq oxiqkiq, о X xegSi^ei aiyovga 2. ДlakёYOVтag xiqv
nQcoxiq удаццт| о Y xavei oiyovga, xo nokv, 2. Aga y* = [1 0] xai x* = [0 l]r.
8.5.3 ДlakёYOvтag xiqv oxiqkiq j о X xegSigei aiyovga , Sioxi avxd eivai то цтхоотеро
oxoixeio avxiqg xiqg oxiqkiqg. ДlakёYovтag xiqv удаццг] i о Y xavei xo nokv a{j Sioxi

•[; гш’ °] ti-:] г i"1
 j-g) = +fy тмэ 5о<Ьодют1люодаз(Н о £’V

° 1 °] Г° Т1 =
оо xJ Lt oJ
+v rv
ff ‘
•U1XU[q] — UXU'[()] ‘UXUjUXTUJqJUXTUj — ™X“1[q| j.y
V VWHldVdVII
^2. толтз Эоддзх oosrl oi .(2 l|) = Ji ‘(| '§) = tx pT'S'S
тдтлЛток отюхтд толпа £I’S‘8
•2 = txyji toais оозт!ютдлз 013 '2 01
тзддзка юл издоит! лзд аок tx —ix — tx£ + кс2 - xy Ji тюх [у — у — 2 £] = yji
aoi 5зхтЛ1июдю 5ri Ззуо ютЛ 2 3Ti toioooi аок *гл2 + lfi2 = *xyfi тюх ^.[2 2] = *Ху jpg'g
'„xyji = жу^/тхвш л111 О1£Ю ТЮ13КЗ
aoirili охотдк 01 тюх (t?) SUi aonili одзктзд 011ИЛ!3 oiay \хуЛ aoi оот U одз1одхтт!
толтз О1аю ft здюх ютЛ 3101 \xyji = yy/iuiui 310К0 ‘oilnooi U тзаХот (g) лкю
люз '.гу */? хеш > *ху Ji ютотЬдюц 'Ji охтдтз 01 01аю ,тЛ Uriii л1п окю одзиу/юЛзт!
толтз лзд fi лот1 лотуо отлюдзка оютХюуз 01 norg JxyJi > ууйшш ‘(g) 013 OI'S'8
•2 1то1плюкю л1п зт1аолдток
‘у = г/i + Ш 1лх!10лао Ui ока одзктуюЛзт! 01 5ю1лоттокоютХюуз ‘лпко1ю>[ оюю .о
х oi оуо зт)аолтд1лзхЛаз 'f-H тюх 1Л лап одз1ауюЛзт1 толтз оютЛзт! охтОзкооз оу 6‘S'8
•тдтлХтюк oi тзлау юткоддоот li Uiay
'X fioi 511хтЛ1пюд1о зюкИдоютоко илюлз тзлюХ х о 3101 ‘(-U ‘у ‘у) = Л люз х
aoi SlixiЛ1июдю зюккдоютоко илюлз тз^тцдзх Ю0 х ° 319х ‘(у ‘у ‘у) = -^ Л»Н 8‘S'8
лзд11т1 Uriii ‘^[2 0 2] =	>[£ |] =	9-s-8
• 2 ‘о ‘ £ ю11иолХао зт! Ssyliio 5ri тз^ток х ° п<Эю ‘2 = ((fi — l)£ + | + ((й — I)? + й£) |
толтз 5от!оюадлао о "лооок 01 01аю тюираЛЛз аок 2 Saodia 11т!т1юдЛ юило51до
ютт! тзЛюдюк юл ютЛ 5зт!т!юдЛ оад 5и 1з5юадлао у ло1 ютЛ 1лхтЛ1пюд1о Ltioiiysg н S’S’8
•2 толтз (Uriii
хвшщтш) 5оф,а оу • 2 = Ji юдю *(Л —	+ fi£ = (Л —	+ fi лю1о тэлтодНао „Л Uiioi н yg-g
•5зхтЛ1июдю
5з1хтзт! То1лао1токю тюх SsiIiioiqt 5злзг!аоЛ1юдк 5п тзХз лзд отзХтою юлзлюх ‘апюх
окю j? 01 тюх 1 oi зт!ао§юууюлз 5тт!о люз -5аодтз aoi аошю Зюткоддоот отзт11ю люШ
1 = zio lioltxoia 11лзт!аоЛ1юдк л1и£ -511т!т!юдЛ SUi 51иаю отзХтою оютЛзт! 01 толтз р1аю
NDazmizv №Nawjaviua xiasxv
Z8£;

\-(jlVdW)jy(jIVdM) = V
ь ‘t-dt-ijWyjyjIVd = i-djfd = Г = 1№\-П -jV ЛО1 Soioiip толр у о
Зоткзла^ •(?/• xoyirii здюх зо то1л(1оюко1»т1Л»дк аок аоротЛтд Зоххз 51зоз0юхзг1
511 ок» хоукт! 5одк хоукт) inis^iinrilxXo j о от§а) { d jJ'd = С (») 5одзт1 oi
юхюх тох JVV[_JV = Г irepjof юхюлш люлз 5одк 5оют1о толр у Зюхюлш 30Ю>[ уд
Г О 0 01
О = г& 11O1Q ?ff + 1= О I oj = шэ ГЯ
( iz + z.r8 + 1х?8)?8э = (ixy + 1яу?)?8э = W ‘ 1ж?8э + (га: + М ?8Э8 = ГЯ
Я VlVH WVdVII
ломМюдЛ одотХ лою тох лог/Оао одотХ лою юХююрлю
лаоууюдодк у+у тох +уу iq 'У+У лох Ю1Л тох 139X01 oigi oi ‘+уу = 2&+SSld
= j5&+ZS+ZSl& = г(+УУ) <= j&+SZl& = +VV <=	= +V <=	= V orv
•<?jV =	n)j71 n Ijljfl = 4jVV+V SUoikh v ЛО1 лоттМюдЛ
5одотХ= 77 лох лоттМюдЛ одотХ лою 1зх1ллю юдю ‘юЛэллтод оюкюх 5здо<Ь	1ПЛ-]з q+y б’у
13&2гд= ,S ‘13&1&= b \sb= 1JdSz&13&1&= ^blxb=V TV
= 4\-(jyv)jVVjV = +XVjV одотХ лог лот» fi 1зх1хлю юЛэалтд sioirligoioiro
5здо<Ь jjy iioiq ‘лоттМюдЛ одотХ лою толр 4x-{jVV)jV °1 (9) 51ллю<Ьодк толр
q^y = fityjV ud 01 °Х9 толр лоттМюдЛ 5одотХ о ‘5зу1лю 5з11идю§злю »ij (ю) 9-у
’(у ‘у Ч) = +х SaoxUri aoioiXxyp Uoav '(d l3~ ‘l *l) = £ Цхизд g’y
LT
и	jhi гш ж
Nf5HZHN3V NSNaiALiaVILia 3I33AV



EYPETHPIO
AOqoiot] (обцбоко) 24, 33, 156.
A0poia|ia SiavwpaToiv 6.
AOpoiopa (Slav,
vnoxcopcov) 233.
AOpoiopa TeTQ«Ycbvwv 177, 380,
383, 387.
AivoTaiv 24.
Axpi) 118, 462.
Акуебра Boole 252.
AkyopiOpog алкт|от1ад 502.
AkyopiOpog ел1ура<рт|д 497.
Akkayi] 6aoi]g 146, 357, 369.
Akkayi] ii£T«6Xr|Tojv 355, 399.
Акк1]коларербокг| 409.
AkuoiSa nivaxwv 282, 403.
AvaSpopi] avTixaTaaraoi] 14, 17, 548.
Ava&popixi] (avakooi)) 168.
AvaOewpTjpevi) (peOo&og) simplex 472.
Avaxkaoi] 135, 145, 190, 194, 209, 435.
AvaxvxkcDOT] 466.
AvaoraOpioi] 69, 476, 477.
AvaoTpocpog 54, 174, 255, 342.
Avaroxiopog 305.
Ave^apTiqoia 92, 94, 299.
AvT|yp.evT] ларауоутоло1т]О1] 229,
230, 242.
AvT]y|xevT] xkipaxarti] popipi] 89.
Avijypevo хботод 468, 488.
AvOpamog too peoaiwva 191.
AviooTijTa too Schwarz 168, 171,
175, 206, 303, 394.
Aviowar) 452, 453, 489.
AvrieppiTiavog 347, 350, 374.
Avxixeipevixi] owapxr|or) 454.
AvTiaxpeipipog 48, 53.
AvTioTpocpo yivopevov 49.
Avriorpocpog 36, 48.
Avriorpogpog avaoTpogpov 55.
AvTiouppexpixog 58, 258, 330, 336, 510.
Ava) Tpiywvixog 35.
Aijoveg 153, 345, 391.
Абрютт] (piopcpri) 381.
Абрютод 82.
Абрютод (nivaxag) 390.
Алакокрт] 1, 15, 36, 50, 84, 89, 275.
Алакокрт] Gauss 1, 13, 44, 275.
Алакоарт] хата абрлкоха 279.
Aneipia kvoeaiv 9.
Алетродюататод 74, 205.
Anep/dptevr] ретабкг)тг| 466, 468.
Алкёд Swapeig 307.
Албкитод Tipi] 340.
Алдотаот] 245.
Алотекеарат1Х1] та^т] 521.
АлотСрцат] 468.
Араюд 60, 414, 420, 544.
Api0|iT]Tixdg рёоод 170, 175.
ApiOpog хатаотаот]д 422, 424, 427,
429, 541, 546.
Арютербд avriorpotpog 48, 103, 111,
115, 141, 197, 530.
Арютербд pijSevd/aipog 103, 108,
120, 158.
Apvi]Tixa opiopevog 380, 394.
Артю ретаОеот] 277, 548.
Архл абебаюттрад 303.
Архл екахютоло1т]ат]д 405.
Apxixo (лрббкцра) 481.
Ao0evr|g бшоцбд 483.
Аота0г|д 67, 313, 327.
Атект]д LU.
А = LDLT 56, 229, 387.
А = LDU 41, 275.
А = LPU 44, 47.

586
EYPETHPIO
A = LU 37, 38, 46, 84, 242, 548.
A = L U 230, 530.
A = MJM~' 364, 531.
A = QAQT 345, 362, 390, 519.
A = QS 522.
A =	438, 519.
A = SAS'1 296.
A = uvT 114.
AAT 58, 518.
ATA 58, 180, 246, 518, 523.
AT c A 129.
ВаОцбд ekevOepiag 86, 98, 352.
ВаОцютб (Yiv6p.evo) 156.
Ваот] 97, 145, 357, 369, 519.
Baoixf] цетабкт)тт| 84, 88, 464.
Вектютопо1т)от] 468, 484, 485, 524.
Вбцба 331.
Bridge 240, 290.
Buniakowsky 171.
Геиоцёуод 128.
Tevizeupevo i6io6iavwp.a 323, 532.
revixevpevo лрббктща idioxipidiv 336,
400, 403, 411, 419.
revixri киот| 85, 88, 323, 537.
Гесобамяа 168.
Tivonevo 143, 236, 254, 279, 302.
Tivojievo tcov o6t]yo)v 260.
Граццт] npog ураццт| 23, 28.
Грацц1ХТ| avei;apTT]oia 92, 94, 299.
Граццсхбд цетаохтщатюцбд 137,
141, 357.
Гоаццгхбд лроураццатюцбд 452,
457, 543.
Граццсхбд оиудоаацдд 7.
Графтща 118, 124, 545.
Fojvia 454.
<Сп 300, 338, 350.
California 20, 309, 433.
Canchy 171.
Cayley-Hamilton 371, 538.
CD = -DC 32, 251, 282, 368.
Cholesky 229, 389, 540.
Cooley 222.
CRAY 19, 32.
Crout 41.
ДЕН 203.
Aeixrqc; хатаотаоесод 422, 424, 427,
429, 541, 546.
Aev&po 122.
Десцб avTiOTQOtpo 48, 103, 111, 530.
AeijiocTOotpo (абаттща) 194, 273.
Ata&oxtxf] anakonpf) 14, 17, 35.
Дшуиоца 6.
ДкАиоца-отт|кт| 6.
Дюуиоца осракцатод 180, 183.
Д|,ауозу1оло1т]от] 296, 298.
Д1аусоуюло1Т)01цод 297, 302, 361, 538.
ДюуоАюд nivaxag 41, 296, 518.
Дюуамшд rieonogcov 451.
Aiazprro 61.
Aiaxpirog цетаохтщатюцбд 213.
Дюупоцатьхбд X0JQ°S 73, 80, 231.
Дюлт|&т]ат] 325, 334.
Дюолаот] idiagonoojv тщоА 164,
229, 438, 519, 528.
Дюолаот] nivaxa 443.
Дюопора 191, 240.
Дюотаот) 86, 98, 99, 109, 234.
Дюгараут] 66.
Дютоцт) 496, 500.
Дюфооетгхёд 1Йют1цёд 297.
Дюфор1хт| e^iowoT] 60, 285, 323,
366, 537.
Дюх.аююпхб (vnep)enine5o 490.
AiSiaYcbviog 63.
Д1хтио 126, 495.
Au'ixog 456, 481.
ДтЛоцбд 482, 486, 499, 512.
ДтАацт] nivaxa 300, 366.
Дтмхщхб 119.
Дшацгхбд пооуоаццатюцбд 503.
Dantzig 461, 512.
Eidixf| кбот] 88.
Eixova tojv убаццсоу 8, 23.
Eixova tojv OTqkdjv 8, 23.
Еюерхбце^а-е^ерхбцг^а 314.
ЕюерхоЦеуП ЦЕтабкт]тт) 464, 468.
Ехатоццирюбход 273.
ExOeTixfi 321, 330, 366, 537.

EYPETHPIO
587
Exq>ukiop6g 466.
EXdooov 264.
Екаттюрапхт) 291, 297, 323.
Ела/юта rergdyoiva 125, 178, 180,
239, 412, 524, 528, 540.
Екахюто 376, 380.
'ЕЛЛеирт] 345.
EMeu|>oei6eg 205, 390, 409.
EkevOegi] ретаёктуп) 84, 88, 463.
Ep6addv 274, 279.
Evakkayt) ygappwv 27, 42, 252, 263.
EvaUaxTixn 165, 489, 491.
Evegyeia 405.
E^ag-njpevr] 92, 95.
Egiawcir] bevregoo баОрой 331.
Ерошат] diatpogcbv 61, 305, 309, 319.
Egiocoar| Оедроттрад 326.
Eijarregixd yivopevo 336.
Enavakap6avdpeveg idioripeg 298,
362, 364, 532.
EnavakqnTixdg 421, 443, 451.
Enegegyaaia eixdvag 521.
Enikvoipog 76, 115, 161, 489.
Enipegiorixri 29.
EnineSr] атоосрг] 369, 441.
EnineSo 2, 5.
Egpiriavog (nivaxag) 343, 350, 361.
Eaaiavdg (nivaxag) 382.
Eoarregixo yivopevo 22, 31, 156,
206, 239, 341.
ЕиаюОтрла 424, 487.
EuOeia ypappt] 186, 190, 194, 209.
ЕиОб aOpoiopa 241.
Etjgog xaiviag 64.
Еаата0г|д 285, 313, 327, 361, 395, 520.
Ecpixro ovvoko 454.
EISPACK 539.
Fibonacci 267, 306, 317, 372.
Filippov 365, 533.
FORTRAN 32, 541, 548.
Fredholm 165, 489.
Frobenius 316.
Gale 491, 512.
Galerkin 420.
Galois 292.
Gauss-Jordan 50, 53, 89.
Gauss-Seidel 444, 547.
Gershgorin 451.
Givens 400.
Golub 449.
Gram-Schmidt 192, 200, 204, 210,
229, 399, 438.
Zuqixt] 17.
Hkiorpomo 306.
Hpiopiopevog 380, 396, 522.
Hpixwgog 453.
Harvard 125.
Heisenberg 303.
Hessenberg 241, 436, 440.
Hogben 273.
Householder 209, 435, 442.
Hurwitz 329.
©epekicbSeg Oeibgrjpa 109, 120, 160.
©epekiibSrjg undxotgog 103, 158, 352, 519.
Oetixa opiopevog (nivaxag) 62, 229,
378, 386, 406, 522.
Oetixdg (nivaxag) 316.
Oeo'jgr|pa minimax 482.
Iaxo)6iavr| opi^ovoa 248, 278.
Idia'Qaiv, Seg Ididpogipog.
ISioSidvuapa 287, 289, 344, 368.
Ididpopipt] Tipi) 429, 431.
Ididpogipog 8, 15, 43, 254.
I&ioowdQTT]aT] 326.
Idioript) 287, 290, 301, 386, 432.
laoSuvapia 398.
loopoptpiopdg 235.
laoQponia 130, 407.
Txv°g 176, 293, 294, 304, 328.
IBM 17.
KaOaga exOerixt) (ki>ot|) 286, 289.
KaOerog 155, 179.
Ка0т1утуп)д 243.
Кахт] хатаатаот] 65, 423.
Kavovag Suvapixov 120.
Kavovag T]pixuxkiou 545.
Kavovag gevparog 121.
Kavovag rov Crammer 272, 278.
Kavovixeg eijiacbaeig 180, 524.

'588
EYPETHPIO
Kavovixf] хатаотаат] 291, 326. Kavovixog nivaxag 347, 363, 368, 370. Kapreaiog 6. Катара 449. KaTappevot] 15. KarevOvvopevo урафт]ра 118. Катсо Tptywvtxdg 30, 37. K6avTopt)xavtxf| 303. Kephog 508. KXeiarog xvxkog 120, 123, 501. Kkipaxa 83. КАлрахштбд nivaxag 89, 94. Корбод 118. Kogixpri 454, 461. Кботод 16. Kpirf|pio &iaxonf]g 468. Kvxktxog nivaxag 353. Kvparixf] e^iawat] 334. Kvptog aijovag 345, 392, 523. Kvptog vnonivaxag 396. Kwvog 490. Karmarkar 452, 455, 473. Kchachian 473. Kirchhoff 120, 127, 161, 495. Krylov 441. Kuhn-Tucker 485, 512.	MetxTfi aTpaTiqyixf] 506. Meptxf| о6т)ут]0Г] 67, 69, 544. Мест] Tipf] 473, 545. Мёаод брод 191, 199, 544. МетаОеат] 151, 262, 277. МетаОетехбд 26, 29. Метаахт]рат1ар6д 135. MeTaTiOevrai 30, 33, 302. Метатошот] 433, 439. Метрг]тг|д Geiger 188. Метро 340. Mt] apvrjTtxog 311, 314, 489. Mr] 6iaywvtonoif|aipog 362, 538. Мт| ьбсброрфод 15, 16, 44, 53, 82. Mt] opoyevf]g 86. Mr] ovp6t6aoTEg (eijtawoeig) 9, 82, 177. Mt] rerpippevog 92. MT]8evixf| i&ioTtpf] 292. Mt]6evtx6 ae Оёат] o6t]yov 15, 43, 276. Mr)8evix6g vnonivaxag 243,268. Mr)8evtx6TT]Ta 106, 233, 236. Mr]6evo6vvapog 374. MrjSevoxwpog 79, 85, 105, 158, 287. Mf|xog 154, 194, 205, 239, 338, 341. MiyaSixo enineSo 214, 339. Miya&txog apiOpog 213, 300, 339. Mtya6tx6g av^vyf|g 339, 343, 350.
Aqppa tov Schur 359.	Mova&taio 6tavvapa 192. MovaStaiog xvxkog 214, 340.
Lanczos 441. Las Vegas 513. Laplace 449, 547. Legendre 208. Leontief 314. LINPACK 539. Lyapunov 329, 395.	Movoof|pavTO 11. M-opOoywvteg 404. M-opOoxavovixa 402. Морсрт] yivopevov 472. МорфГ| Jordan 355, 364, 371, 531. Mnkox 433. Mnkox pT]8evtxwv 243, 268, 499. MnpoaTivog Toixog 157.
Мёуюто 100. Мёуютт] pof| - еХссхютг) бсаторт) 496. MeOo&og Jacobi 435, 444, 547. МёОобод QR 400, 439. MeOoSog simplex 455, 460, 471, 543. МёОобод tov Newton 434. МёОобод twv avTiaTgogpwv Svvapewv 433. МёОобод twv hwapewv 432, 442. МёОобод twv nenepaapevmv oroixeiwv 414.	Mac Simplex 543. MATLAB 542. Maximin 408, 507, 511. Minimax 410, 507, 511, 515, 516. MIT 124. Nopog тт]д aSpavetag 396, 398, 404, 413. Nopog tov Newton 331, 401. Nopog tov Ohm 126. Nettib 226, 542.

EYPETHPIO
589
'Oyxog 248, 273.
Odriyog 13, 14, 41, 83, 249, 275, 388, 521.
O6qyo6oa Sidoraor] 544.
Oixovopiia 313.
OXoxa.t]q<i>ot] 138.
OptaSa 71.
Оцекёта 167.
Opioyeveg 79, 86.
Opioiog 355, 358, 364, 368, 532, 536.
Оцотол1а 399.
OQ0oya)viog 155, 206, 350.
OQOoyamonorqoT] 199, 208, 229.
OoOoydtvia iftiobiavwpiaTa 344, 368.
OgOoywvio о1!цлкг](хо|ла 159.
OoOoycoviog itlvaxac; 193, 330, 345, 519.
OoOoywviog imoxwQog 157, 160, 352.
OoOozavovizdg 157, 192, 196, 202, 363.
OQ0op.ova6iaiog nivaxag 347, 351, 360.
Ogi^ovaa (тблод) 51, 247, 254, 260,
262, 264, 293, 499.
OgpiaOog i6io6iavw(i<XTo>v 532.
Оибётеда рл)ата0г|д 313, 327.
Ilaiyvio 506.
Падауоутоло1т]от] 2, 37, 224, 548.
Паоауоутоло1Г]аг| LDL 41, 275.
Паеауоутоло1т]ат] LDLT 56, 387.
Паеауоутоло1т)от] LU 37, 46, 84.
Па(зауоутоло1т]от] L U 230, 248.
n«Q«yovTonoirpr] QR 202, 204, 439.
Падаусо 96.
Падауыуют] 138, 140, 370.
ПараЙ.т]Х.ел1ле6о 248, 273.
Паоал.Хт]Лбудар.р.о 4, 274.
Падаккт)код 4, 18, 88.
ПаофбоМ) oe Se&opieva 184.
nagevOeaeig 26, 29.
Пе61о Ti[u.6ov 106.
Пе1даца 544.
Пеледаоцёут] hiacpoga 61, 327, 414.
Гкрюркфод 456.
neQiOQiapiog ю6тг]тад 463.
Педютрофт) 135, 194, 299.
523.
Пеогпл) цетаОеат] 277, 279, 548.
ПетаКобба 225.
Пт]Л1хо Rayleigh 407, 412, 418, 434.
nivaxag 21.
nivaxag (Мата) 350, 368.
nivaxag 0 - 1 70, 498, 544.
nivaxag azappiag 417.
nivaxag avdxkaarjg 145, 190, 435.
nivaxag avaoTgocpog 54, 174, 255.
nivaxag avTi-EQ|iiTiavdg 347, 350, 374.
nivaxag avriOTQEipqxog 53.
nivaxag avrioTpocpog 36, 48.
nivaxag avricrup.|TeTQixdg 31, 510.
nivaxag aopiOTOg 381, 393.
nivaxag 6iaywvionoir)0i|iog 296,
297, 361, 368, 538.
nivaxag Siaycbviog 40, 518.
nivaxag 6iax6piavaT]g 240.
nivaxag 6ia<poQ<l)v 425.
nivaxag exOeTixog 322, 537.
nivaxag ekaTTO)|xaTtx6g 291, 297,
323, 362.
nivaxag EQpiTiavog 343, 350, 361.
nivaxag е^ытедсхоб yivopievov 182, 197.
nivaxag OeTixa ogiapievog 62, 229,
378, 386, 405.
nivaxag OeTixog 316.
nivaxag rjinogiajievog 396.
nivaxag i6io6iavuaptdTO)v 296, 519.
nivaxag iSiopioQtpog 8, 15, 43, 247.
nivaxag idioTiptwv 296.
nivaxag xavovixog 347, 363, 367.
nivaxag xaTavdXowr|g 314.
nivaxag хаты TQiywvixog 37.
nivaxag xeg&ovg 509.
nivaxag xXipiaxwTog 83, 90, 94.
nivaxag xvxMxog 353.
nivaxag pid^ag 336, 401, 419.
nivaxag цетабаот^ 312.
nivaxag pieTaOeoecov 42, 72, 252.
nivaxag pir) aQVT|Tixdg 311, 314.
nivaxag p.r|6evod6vap.og 374.
nivaxag pirj 6iayo)vionoir|aipiog 290,
297, 323, 362, 531.
nivaxag цт] idi6p.o(xpog 14, 15,
44, 53, 82.
nivaxag OQ0oywviog 193, 330, 345, 519.
nivaxag opOopiovaSiaiog 347, 351, 360.
nivaxag opioioTT]Tag 355, 364.
nivaxag леледаоцёуагу Stacpogcbv 61,
260, 425, 450, 546.

590
EYPETHPIO
nivaxag npo6okt]g 145, 172, 182,
197, 291, 474.
nivaxag npoonxcboecog 118, 496, 545.
nivaxag oe xaxr| хатаотаот] 65, 423.
nivaxag axaxiou 151, 295.
nivaxag oroixeanSrig 25, 35, 53.
nivaxag oxpocpr|g 33, 142, 299.
nivaxag аоццетрсхбд 56, 338, 361.
nivaxag owoSog 295.
nivaxag awoxr)g 545.
nivaxag xaivioei6r|g 40, 60, 540.
nivaxag rciijecog eva 114, 304.
nivaxag xavroTixog 25.
nivaxag xpiycovixog 30, 253, 360.
nivaxag xpibiaycbviog 62, 440, 540.
nivaxag tcdv nevxe cnmeicov 449, 547.
nivaxag tcov cn^napayovxcov 270.
nivaxag xcov oovrekeaxcbv 21.
nivaxag Fourier 213.
nivaxag Hessenberg 241, 435, 440.
nivaxag Hilbert 69, 207.
nivaxag Jordan 355, 364, 371, 531.
nivaxag Markov 310, 315, 318, 331.
noSoacpatQO 124, 517.
Похер 514.
ПоЛ/.алЛасиаацбд 21, 22, 27, 32, 143.
ПоЛЛалХаошоцбд ало цлроола 29.
ПоЛЛалЛасяаоцбд хата цлХох 34, 276.
ПоЛЛалЛасяаацбд nivaxcov 22, 25,
26, 27, 33, 143, 522.
Поккалкааюитёд Lagrange 485.
ПолЛалЛасяаатг]д 13, 37, 229, 388, 548.
Поккалкбтт)та 248, 297.
Помхёд оштетауцёуед 248, 340.
ПоХлхг) didanaar] 522.
nokvcovqitxog ypovog 475.
noLvcbvvjio ИЗ.
ПортохаХ.1 126.
Проф] 17, 46, 51, 63.
ПрббХгща 6iaixr]g 456, 481.
ПрббХгща xcov ycqicov 498.
Прббл.г]ца xcov pexacpopcbv 458, 503.
ПробоМ] 136, 144, 167, 190, 291,
358, 474.
Пролараохеиасгиход 444.
npooexaipiOTixr| i&ioxqxa 26, 148.
npooexaipiOTixog 29, 33.
Прботща xcov idiortpcbv 396, 400.
npcbrqg xa^ecog 285, 324.
ПиОаубрад 154, 196, 210, 526.
Пирград 106.
P ± NP 473.
PA = LU 44, 84, 541.
PC 17, 19.
Perron 316.
Pi^eg тт]д piovafiag 214, 216, 349.
Povoxiavf] (opitovaa) 324.
Rn 73, 99.
Rayleigh-Ritz 415, 420.
Routh 329.
S'-1 AS 146, 296.
SOR 446, 547.
Sayparixo агщето 381, 507, 511.
Seipa Fourier 195, 204.
Seipel Taylor 382.
Sxaxi 513, 516.
Sxaxiepa 151, 295.
SxicbSrjg пцг] 483, 487.
2xa0epa хатаотасп] 20, 60, 311.
2та0цг] 422, 427, 429, 430.
2xa0p.iop.evog 238, 477.
SrarioTixT] 180, 191, 240, 545.
2хг|ЛТ] лрод атг|>.г| 23, 50, 541.
Sxr]Xeg eni ураццёд 33, 242, 521.
2roixeid)5T)g nivaxag 25, 35, 53.
2трёб/.соот] 147, 274.
2vivyia 339, 351.
Sv^vyrig avaoxpocpog 342.
Svtjuyr)g xXiar] 478, 480.
2иццетр1хбд nivaxag 56, 338, 362, 382.
St^inapaycov 264.
Тицларауов/ nivaxag 271.
2оцлкт]рсоца 160.
2оцлХ.т|рсоца xov Schur 279.
2ицллт]ршцат1хёд лерсОсорюхёд 485.
2оцлкг|рсоог) too xexpaycbvov 379,
384, 412.
2ovapxr]OT] хботоод 454.
Sovdpxt]cn]-opoq)ii 417.
Suvduac^og ураццо^ 25, 28.
SuvSuac^og axt]X.cbv 23, 28, 76.
2гл,ёХф) 213, 354.
Хот&ёот £^v5po 123, 501, 546.

EYPETHPIO
591
SWTJIUTOVO 168, 171, 205.
2wr)9iqievr) бсшг) 192.
SirvOeoT] 143.
SwOrjxT] rov Hall 500, 504.
SwoSog nivaxag 295.
Svvopiaxr) avv0i)xr] 60, 68.
SvvTeTayp,8vr) 6, 192.
SwxeTia|ievog nivaxag 271.
Sv/voTiTta 333.
Scpakpa 177.
Scpakpa oxpoyyvkEvons 43, 65, 426, 522.
SxeSov nspioSixt) 333.
2хет1х6тт]та 5.
TaivioEiSqg nivaxag 40, 60, 64, 540.
Taipiaapa 498, 500.
TakavTcoor] 286, 332, 376, 401.
Tapnko 466, 469.
Tavvoxixog ovp6okiopog 24.
Teip] 89, 92, 116, 150, 236, 237, 521.
Teip] ypap.pcbv = tci^t] oxr]kcbv 107.
Tain eva 114, 172, 304.
Tavxoxixog nivaxag 25.
Tavxoxpovog 402, 411.
Taxvg цетаахлиатюцбд Fourier 213,
221, 349, 353, 449, 543.
Teaaepig OepfAicbdEig vnoxcopoi 103, 519.
TExpaycuvixog 288, 377, 406.
TExpaycovixn pi^a (nivaxa) 304,
390, 394.
TEXpasSpo 175.
Ttxpippivog 92, 306.
Tip) 507.
Tpinaxixd nokvcovvpxsg ovvapxnoEig
416.
Toxog 305.
Top] (vnoxcbpcov) 232.
Tpiycovixr) aviooxnxa 175, 430.
Tpiycovixr] napayovxonoiTjoT) 37, 41, 84.
Tpiycovixog nivaxag 30, 38, 253, 360.
Tpidiaycuviog 62, 440, 540.
Tvnog avxioxpocpov (nivaxa) 270.
Tvnog yia xovg obrjyovg 274.
Tvnog xov Euler 123.
Tvxaiog apiOpog 545, 552.
Thorp 513.
Tukey 222.
Vandermonde 114, 258, 282.
von Neumann 65, 316, 511.
Wilkinson 65, 428.
Ynap^t] 111.
YnspOsor) 289.
YnepnpoaSiopiapevo (апатфа) 168.
Ynspxakdpwan 444.
YnokoyiOTiig 2, 16, 31, 544.
Ynonivaxag 237, 275, 385, 396.
Ynoxwpog 75, 81.
Ynoxwpog OepeA.id)<->T]S 103, 109, 157, 352.
Young 448.
Cbavraarixog apiOpog 213, 300.
Фаат] I xai II 464, 479.
Фаацапхг] axxiva 444.
Фаацапхо 0eojpr|pa 346, 362.
®vkaxiapevog 216, 513.
Фосяокоу1хг| ovvopiaxi) ovv0r|xr] 419.
Фиопхобоотпро 456.
Xakapsg ц£та6Х.т]ТЕд 456, 462.
Xapaxxnpioxixr) s^iocoor] 287, 371.
Xapaxxnpicmxo nokvcbvvpo 288.
Xrjpxog 176.
Xcbpog 73, 80.
Xcbpog ypappbv 103, 104, 158, 163,
352, 526.
Xcbpog Hilbert 205.
Xcbpog axTjkcbv 77, 106, 158, 163.
Xcbpog avvapxr|oeci>v 74, 206.
TEvSoavxioxpocpog 112, 164, 178,
525, 527.
ФПФ1ОС!УТ1ат0оФЛ 226.



Gilbert Strang
ГРАММ1КН Аагевра
KAI ЕФАРМ0ГЕ1
Лиа В1ВЛ1А EflHPEAZAN ТОЮ ПОЛУ ТГ| 6|баКТ1КГ]
тои avTiKEipsvou tous боо q «FpappiKq
AAysPpa» тои KaOqyqTq Gilbert Strang тои
TExvoXoyiKou Ivotitoutou Tqs Maoa\ou-
O£Tq$. Zotpd (uyiapsvo avaproa oTq Oswpia
koi ti$ Erpappoys'c; Tq$, то РфАГо too G.
Strang KaTOtpEpvEi va napouaidasi Tq
FpappiKq AAysPpa pe tov апАоиотгро xai
apsooTspo трбтто. EsxivwvTas and to «oq-
psio pq8s'v» avsysipEi paOpiaia to oiko8o-
pqpa twv paoixwv i8ewv koi psOdSwv:
FpappiKE\ e£|OWOEI$, Opi^OUOES, iSiOTipr^,
i8io8iavuupaTa, xavovixq poprpq Jordan
k.t.A. FlapdAAqAa avaAuovTai nAqpws 6Ae$
oi paaiKE$ Ecpappoyts Tqs Fpappixqs 'AAyt-
Ppa^: Gewpi'a Siktuwv koi кикАюратшу, pe-
0o6o<; cAaxfoTtov TETpaywvwv, тахи$ рета-
axqpanapds Fourier, e^iowoeis 6ia<popwv,
pE0o8os simplex к.а.
Tia ton Eaahna фопнтн twv OooiKopaOq-
paTlKWV l\o\u)V KOI TWV noXoTEXVEIWV, TO
QipXio tou Strang sivai o,ti каАйтеро 0a
ртторойоЕ va e'xei OTq 6id0soq tou o' Eva 0e-
pa пои q oqpaai'a tou povo ps EKsfvq too
AiaipopiKOu Aoyiopou pnopsf va оиукр<0Е|'.
ISBN 978-960-7309-70-9