/
Автор: Харди Г.
Теги: метафизика математика теория чисел задачи по математике естественные науки точные науки
ISBN: 5-93972-123-0
Год: 2002
Текст
RAMANUJAN
TWELVE LECTURES ON
SUBJECTS SUGGESTED BY HIS LIFE AND WORK
BY
G.H. HARDY
Sadleirian Professor of Pure Mathematics in the
University of Cambridge
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1940
Г. Харди
ДВЕНАДЦАТЬ ЛЕКЦИЙ
О РАМАНУДЖАНЕ
Перевод с английского
А. Г. Арзамасцева
Москва
2002
УДК 119
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• техника
Харди Г.
Двенадцать лекций о Рамануджане. — Москва: Институт компьютер-
ных исследований, 2002, 336 стр.
Книга известного математика Г. Харди посвящена жизни и научным ра-
ботам Рамануджана — феноменального индийского математика, прославив-
шегося замечательными достижениями в теории чисел. Перевод выполнен с
английского издания 1940 г.
Книга написана с присущим Харди мастерством изложения, которое
сделает понятными и доступными самые глубокие и запутанные вопросы
теории чисел.
Для широкого круга читателей — от профессиональных математиков до
любителей нестандартных математических задач.
ISBN 5-93972-123-0
© Перевод на русский язык,
Институт компьютерных исследований, 2002
http: //rcd.ru
Оглавление
Предисловие....................................... 6
Лекция I. Индийский математик Рамануджан.......... 8
Лекция II. Рамануджан и теория простых чисел..... 36
Лекция III. Круглые числа........................ 72
Лекция IV. Некоторые другие задачи аналитической тео-
рии чисел...................................... 86
Лекция V. Задачи о точках решетки............... 98
Лекция VI. Работы Рамануджана о разбиениях....121
Лекция VII. Гипергеометрические ряды........146
Лекция VIII. Асимптотическая теория разбиений....162
Лекция IX. Представление чисел в виде сумм квадратов 188
Лекция X. Функция Рамануджана т(п) ..............228
Лекция XI. Определенные интегралы................264
Лекция XII. Эллиптические и модулярные функции . . 301
Литература.......................................327
Предисловие
Эта книга начиналась с двух выступлений на Научной Конферен-
ции, посвященной трехсотлетию Гарварда, осенью 1936 года. Первое из
них было опубликовано в 44-м томе Американского математического
ежемесячника. Оно перепечатано здесь без изменений, как лекция I.
Второе выступление было значительно расширено и заполнило остаток
книги.
Я прочел много лекций по трудам Рамануджана, начиная с 1936
года. Отдельные лекции - во многих университетах и научных обще-
ствах в Америке и в Англии и целые курсы в Принстоне и Кембридже.
Лекции со II no XII в основном состоят из материала этих курсов, с
перестановками и дополнениями, потребовавшимися при подготовке к
публикации. В этом смысле они являются настоящими лекциями, и на
протяжении всей книги сохраняется стиль лектора.
Содержимое книги достаточно точно описывается ее названием.
Книга не является систематическим изложением трудов Рамануджа-
на (хотя большинство из его наиболее значительных открытий так или
иначе упоминается). Скорее это набор эссе, написанных по мотивам его
работ. В каждом из эссе я брал некоторую часть его работ и рассказы-
вал о том, что приходило мне в голову о связи этой работы с трудами
и более поздних исследователей. Но даже когда я совсем отклоняюсь
от темы, когда я пишу, к примеру, о работах Радемахера в XI лекции,
тема «Рамануджана» остается нитью, связующей все в единое целое.
Доктор Р. А. Ранкин (R. A. Rankin) прочел всю книгу как в виде
рукописи, так и в предпечатпом варианте и сделал очень много важ-
ных указаний и поправок. Я также должен поблагодарить доктора
В. Н. Бейли (W. N. Baily), который помог мне переработать VII лекцию;
Ф.М.Гудспида (F.М. Goodspeed), который прочел и сделал критиче-
ские замечания о нескольких лекциях и особенно IX лекции, и профес-
сора Г. Н. Ватсона (G. N. Watson), без помощи которого мне бы вряд
ли удалось написать XII лекцию. Фотографию Рамануджана я полу-
чил от доктора С. Чандрасехара (S. Chandrasekhar), который раньше
был членом колледжа св. Троицы. К сожалению, я не смог установить
Предисловие
имя фотографа. Значительная часть библиографии была составлена
для меня доктором В. Левиным (V. Levin). Я особенно благодарен Гар-
вардскому университету, поскольку их приглашение на конференцию
привело к созданию этой книги.
Июль 1940 Г. Г. Харди
Лекция I
Индийский математик Рамануджан
В этих лекциях я поставил перед собой задачу, которая по-насто-
ящему трудна и которую я мог бы представить как почти невыполни-
мую, если бы я собирался начать с извинений за неудачу. Я должен
сформулировать для себя, мне никогда не удавалось сделать это рань-
ше по-настоящему, и помочь вам сформулировать, в некотором смысле
обоснованную, оценку самой романтичной фигуры в современной исто-
рии математики, человека, чья карьера, казалось бы, полна парадоксов
и противоречий, который бросает вызов почти всем канонам, по кото-
рым мы привыкли судить о человеке, и о котором все мы, возможно,
согласимся лишь с одним суждением, что он, в некотором смысле, был
выдающимся математиком.
Сложности в оценке Рамануджана очевидны и довольно значи-
тельны. Рамануджан был индусом, и я полагаю, что взаимопонимание
между индусом и англичанином всегда является несколько затрудни-
тельным. Он был, в лучшем случае, наполовину образованным инду-
сом, у него никогда не было преимуществ, каковы бы они ни были, тра-
диционного индийского образования, он никогда не мог сдать «первого
экзамена по гуманитарным наукам» (First Arts Examination) индийско-
го университета и никогда не мог подняться даже до провалившегося
на экзамене на степень Бакалавра (Failed В. А.). Большую часть своей
жизни он работал, оставаясь в полном неведении относительно откры-
тий современных европейских математиков, и умер, когда он был чуть
старше тридцати и когда его математическое образование, в некотором
смысле, едва началось. У него много опубликованных работ, вместе
они образуют книгу из почти 400 страниц, но он также оставил мас-
су неопубликованных работ, которые даже не были должным образом
проанализированы до последних лет. Эти работы включают множество
новых открытий, но намного больше переоткрытий, и часто несовер-
шенных переоткрытий, и иногда невозможно отделить то, что он пе-
реоткрыл, от того, что он изучил тем или иным способом. Я не могу
представить, чтобы кто-нибудь мог с хоть какой-нибудь уверенностью
сказать, даже сейчас, о том, насколько великим математиком он был,
и еще менее определенно, насколько великим математиком он мог бы
стать.
Это настоящие сложности, но я думаю, мы обнаружим, что неко-
торые из них менее значительны, чем они выглядят, и для меня самая
большая сложность не имеет ничего общего с очевидными парадоксами
карьеры Рамануджана. Настоящую трудность для меня представляет
то, что Рамануджан был в каком-то смысле моим открытием. Я не
изобретал его, как и другие великие люди, он создал себя сам, но я
был первым по-настоящему компетентным человеком, который имел
возможность увидеть некоторые из его работ, и я до сих пор вспоми-
наю с чувством удовлетворения, что я сразу понял, какое сокровище
мне удалось обнаружить. И я полагаю, что я по-прежнему знаю больше
о Рамануджане, чем кто-либо другой, и до сих пор являюсь главным
экспертом по этому особенному вопросу. В Англии есть другие ученые,
в частности профессор Ватсон и профессор Морделл, которые знают
некоторые части его работ намного лучше меня, но ни Ватсон, ни Мор-
делл не знали Рамануджана лично так, как я. Я видел его и беседовал
с ним почти каждый день в течение нескольких лет, и, помимо этого,
я действительно работал совместно с ним. Я обязан ему больше, чем
кому бы то другому в мире за одним исключением, и мое сотрудниче-
ство с ним было единственным романтическим событием в моей жизни.
Сложностью для меня является не то, что я недостаточно знаю о нем,
а то, что я знаю и чувствую слишком много, и я просто не смогу быть
беспристрастным.
Относительно фактов из жизни Рамануджана я полагаюсь на Се-
шу Айара и Рамачандра Рао, чей мемуар о Рамануджане напечатан
вместе с моим собственным в сборнике его трудов. Он родился в 1887
году в семье брахманов в городе Ерод, вблизи Кумбаконама, в довольно
большом городе в округе Танжер штата Мадрас. Его отец был клер-
ком в офисе торговца одеждой в Кумбаконаме, и все его родственники
были очень бедны, несмотря на принадлежность к высокой касте.
В семь лет он начал учиться в высшей школе Кумбаконама и оста-
вался там девять лет. Его исключительные способности проявились
еще до того, как ему исполнилось десять лет, и к тому времени, когда
ему исполнилось двенадцать или тринадцать, стало ясно, что он очень
одаренный мальчик. Его биографы рассказывают несколько курьезных
историй о его ранних годах. Они рассказывают, к примеру, что вско-
ре после того, как он начал изучать тригонометрию, он открыл для
себя «теоремы Эйлера о синусе и косинусе» (под которыми я пони-
маю связь между круговыми и экспоненциальными функциями) и был
очень разочарован, когда обнаружил позже, очевидно, из второго тома
Тригонометрии Лоуни, что они уже были известны. До шестнадцати
лет он ни разу не видел математических книг более высокого уровня.
Современный анализ Уиттекера к тому времени еще не был так широко
распространен, и Бесконечные ряды Бромвича еще не были написаны,
и нет никаких сомнений в том, что любая из этих книг привела бы к
огромным переменам в нем, если бы он смог с ними ознакомиться.
Конспект Кара, впервые вызвавший на свет всю математическую
силу Рамануджана, являлся книгой совершенно другого типа.
Книгу Кара (Конспект элементарных результатов по чистой и
прикладной математике Джорджа Шубриджа Кара, ранее обучавше-
гося в колледже Гонвиля и Кейса, Кембридж, опубликованный в двух
томах в 1880 и 1886 годах) сейчас практически невозможно достать. Су-
ществует экземпляр в Университетской библиотеке Кембриджа и один
экземпляр оказался в библиотеке Государственного колледжа Кумба-
конама. Друг Рамануджана взял эту книгу из библиотеки и принес ему.
Эта книга ни в коем смысле не является великой, но Рамануджан сде-
лал ее знаменитой, и нет никаких сомнений, что она оказала на него
глубокое влияние и знакомство с ней знаменует настоящее начало его
карьеры. Такая книга должна иметь свои достоинства, и книга Кара,
хотя и не имеет никаких высоких качеств, не является обычным третье-
разрядным учебником. Это книга, написанная с настоящей эрудицией
и энтузиазмом, книга, имеющая свой собственный стиль и индивиду-
альность. Саш Кар был частным репетитором в Лондоне. Он поступил
в Кембридж, когда ему было почти сорок лет, и был среди выпускни-
ков на математическом Треножнике1 в 1880 году (в том же году он
опубликовал первый том своей книги). Сейчас он совершенно забыт,
даже в своем собственном колледже, за исключением того, что его имя
вспоминают в связи с Рамануджаном, но он, должно быть, был, в неко-
тором смысле, весьма выдающимся человеком.
Я полагаю, что эта книга является, в сущности, конспектом ре-
петиторских записей Кара. Если бы вы были учеником Кара, ваши
1 Математические соревнования, являвшиеся выпускным экзаменом в Кембри-
дже.
занятия проходили бы по соответствующим разделам конспекта. Кон-
спект содержит примерно тот же набор тем, который входит в список
А на экзамене «математический Треножник» (как эти темы понима-
лись в Кембридже в 1880 году), и эта книга действительно является
конспектом, в чем и заключается ее истинное предназначение. Она со-
держит формулировки 6165 теорем, расположенных систематически и
вполне научным образом, доказательства которых лишь немного по-
дробнее, чем перекрестные ссылки, и, бесспорно, являются наименее
интересной частью книги. Все это можно найти в преувеличенном виде
в знаменитых книжках Рамануджана (которые практически вообще не
содержат доказательств), и любой, изучающий эти записные книжки,
может видеть, что понятия Рамануджана о представлении результатов
скопированы из Кара.
У Кара имеются разделы, посвященные очевидным областям мате-
матики: алгебре, тригонометрии, математическому анализу и аналити-
ческой геометрии, но некоторые из этих разделов развиты непропорци-
онально, и в особенности формальная часть интегрального исчисления.
Видимо, это любимая тема Кара, и она изложена очень подробно и, в
своем роде, очень хорошо. В книге отсутствует теория функций, и я
очень сильно сомневаюсь, что Рамануджан к концу своей жизни пони-
мал с достаточной ясностью, что такое аналитическая функция. Что
еще более удивительно, ввиду собственных интересов Кара и дальней-
ших работ Рамануджана в книге не содержится ничего об эллиптиче-
ских функциях. Каким бы образом Рамануджан не получил свои соб-
ственные знания об этой теории, они происходили не из книги Кара.
В целом, рассматриваемая, как источник вдохновения юноши с
такими исключительными талантами, книга Кара не является столь
уж плохой, а реакция на нее Рамануджана является изумительной.
По открывшемуся ему новому миру (говорят его индийские биографы)1
Рамануджан отправился в странствие с восхищением. Эта книга разбудила
его гений. Он решил, что самостоятельно выведет формулы, приведенные
в ней. Так как он не мог воспользоваться другими книгами, каждое реше-
ние являлось исследованием настолько, насколько он в этом участвовал...
Рамануджан говорил, что богиня Намаккал внушала ему формулы во снах.
Примечательно, что часто, встав с кровати, он мог записать результаты и
быстро проверить их, хотя и не всегда мог дать строгое доказательство. . .
1 Цитаты (за исключением взятых из моего собственного мемуара о Раману-
джане) принадлежат Сети Айяру и Рамачандру Рао.
Я нарочно процитировал последние предложения не потому, что
я придаю им какое-либо значение - я не больше заинтересован в бо-
гине Намаккал, чем вы, — но потому, что мы сейчас приближаемся к
сложному и трагическому периоду его карьеры, и мы должны попы-
таться понять, насколько это возможно, его психологию и атмосферу,
окружавшую Рамануджана в его ранние годы.
Я уверен, что Рамануджан не был мистиком и что религия, за
исключением строго материальных аспектов, не являлась важной ча-
стью его жизни. Он был ортодоксальным индусом из высокой касты
и всегда придерживался (в действительности, с суровостью, не свой-
ственной индийцам, проживающим в Англии) всех предписаний своей
касты. Он пообещал своим родителям поступать таким образом и точ-
но выполнял свои обещания. Он был вегетарианцем в самом строгом
смысле, что привело к ужасным затруднениям, когда он заболел, — и
все то время, что он находился в Кембридже, он готовил всю свою еду
самостоятельно и никогда не готовил, не переодевшись предварительно
в пижаму.
Два мемуара о Рамануджане, опубликованные в сборнике его тру-
дов (и оба написаны людьми, которые, хотя и по-разному, знали его
очень хорошо), прямо противоречат друг другу в вопросе о религии
Рамануджана. Сешу Айар и Рамачандра Рао говорят,
Рамануджан имел определившиеся религиозные взгляды. Он особенно
почитал богиню Намаккал. . . Он верил в существование Высшего Существа
и в достижение божественности людьми... Он имел установившиеся убе-
ждения по проблеме жизни и после... ;
в то время как я говорю, что
... его религиозность заключалась в соблюдении обрядов, а не в интел-
лектуальной убежденности, и я хорошо помню его слова ко мне (к моему
огромному удивлению), что все религии кажутся ему более или менее оди-
наково истинными. . .
Кто из нас прав? С моей стороны, у меня нет никаких сомнений,
я вполне убежден, что именно я прав.
Я полагаю, что ученые с давних пор при критическом изуче-
нии текста использовали общий принцип: difficilior lectio potior — бо-
лее сложное толкование заслуживает предпочтения. Если архиепископ
Кембриджский сказал одному человеку, что он1 верит в Бога, а друго-
1 Архиепископ.
му, что он не верит, тогда, вероятно, истинным является второе утвер-
ждение, поскольку иначе очень сложно понять, почему он высказался
именно так, и, в то же время, существует много превосходных причин
для того, чтобы он высказал первое утверждение, независимо от того,
является ли оно истинным или ложным. Аналогично, если истинный
брахман, такой как Рамануджан, сказал мне, а он, несомненно, сделал
это, что у него нет определенных религиозных убеждений, тогда 100
к 1, что он имел в виду то, что он сказал.
Не существовало достаточных причин, из-за которых Рамануджан
должен был оскорбить чувства его родителей или его индийских дру-
зей. Он не был убежденным атеистом, а был «агностиком» в строгом
смысле этого слова, который не видит ни особого блага, ни особого вре-
да в индуизме или в любой другой религии. Индуизм является религией
намного более чем, к примеру, христианство, требующей соблюдения
обрядов, в которой вера, в любом случае, имеет ничтожное значение,
и если друзья Рамануджана полагали, что он принимает традицион-
ные доктрины такой религии, то он не разочаровывал их, он применял
весьма безобидную и, вероятно, необходимую экономию правды.
Этот вопрос о религиозных убеждениях Рамануджана не являет-
ся важным сам по себе, но, в то же время, он не является полностью
отвлеченным, потому что существует одно убеждение, которое я дей-
ствительно собираюсь отстаивать изо всех сил. Вокруг Рамануджана
существует довольно много того, что'сложно понять, и нам нет необхо-
димости идти по пути создания загадок и тайн. Что касается меня, то
я любил его и восхищался им достаточно, чтобы пожелать себе оста-
ваться рационалистом в том, что касается его, и я хочу, чтобы для
вас стало ясно, что Рамануджан, когда он жил в Кембридже в добром
здравии и комфортном окружении, был, несмотря на его странности,
столь же разумным, здравомыслящим и, на его собственный манер,
столь же проницательным человек, как и любой другой. И я меньше
всего хочу, чтобы вы вскидывали руки вверх и восклицали: «Здесь
есть что-то необъяснимое, какое-то таинственное проявление древней
мудрости Востока!». Я не верю в древнюю мудрость Востока и хочу
представить вам портрет человека, который имел свои особенности,
как и другие выдающиеся люди, но, в то же время, оставался челове-
ком, в чьем обществе можно было приятно провести время, с которым
можно было пить чай и обсуждать политику или математику; короче
говоря, портрет не восточного чуда, или вдохновленного идиота, или
психологического уродца, а рационального человека, который оказался
великим математиком.
До тех пор, пока ему не исполнилось семнадцать, у Рамануджана
все было в порядке.
В декабре 1903 года он сдал вступительные экзамены в Университет
Мадраса, и в январе следующего года он начал обучение по гуманитарным
дисциплинам на первом курсе Государственного колледжа в Кумбаконаме и
получил стипендию Субрахманяма, которую обычно присуждали за отлич-
ные знания по математике и английскому языку . ..,
но после этого произошла череда трагических событий.
К этому времени он был настолько поглощен изучением математики,
что во время всех лекций, посвященных ли английскому языку, истории или
физиологии, он занимался каким-нибудь математическим исследованием, не
обращая внимание на то, что происходило в классе. Чрезмерное увлечение
математикой и последовательное пренебрежение другими предметами при-
вели к провалу при переходе на выпускной курс, и, вследствие этого, была
прекращена выплата стипендии. Частично из-за разочарования, а частично
под влиянием друга он уехал на север, в округ Телугу, но вернулся в Кумба-
конам после некоторого периода странствий и продолжил учебу в колледже.
Ввиду своей отлучки, он не смог обеспечить достаточную посещаемость; что-
бы получить свой выпускной диплом в 1905 году. Он поступил в Пачайяппа
Колледж в Мадрасе в 1906 году, но, заболев, вернулся в Кумбаконам. Он
снова появляется как частный студент на первом экзамене по гуманитарным
наукам в 1907 году и терпит неудачу. ..
Рамануджан, по-видимому, не имел никакого определенного заня-
тия, кроме математики, до 1912 года. В 1909 году он женился, и у
него возникла необходимость найти какую-нибудь постоянную работу,
но он испытывал большие трудности при поиске работы из-за своей
неудачной учебы в колледже. К 1910-му году он начал находить более
влиятельных индийских друзей, Рамасвами Айяра и двух своих био-
графов, но все их усилия по поиску удовлетворительной должности
для него успеха не имели, и в 1912 году он становится клерком в канце-
лярии управления порта Мадрас, с заработком, примерно, 30 фунтов
стерлингов в год. Ему было почти двадцать пять лет. Годы между во-
семнадцатью и двадцатью пятью являются критическим периодом в
карьере математика, и урон был нанесен. Гений Рамануджана никогда
больше не имел шанса полностью развиться.
О дальнейшей жизни Рамануджана можно сказать не слишком
много. Его первая значительная работа была опубликована в 1911 году,
и к 1912 году его исключительная математическая мощь стала нахо-
дить признание. Важно заметить, что хотя индийцы по-дружески от-
носились к нему, лишь англичане смогли Сделать что-то эффективное.
Сэр Френсис Спринг и сэр Гилдерт Уокер организовали специальную
стипендию для него, 60 фунтов стерлингов в год, достаточную для того,
чтобы женатый индиец мог жить в достаточно комфортных условиях.
В начале 1913 года он написал мне, и мы совместно с профессором
Невилом, после многих сложностей, доставили его в Англию в 1914 го-
ду. Здесь у него было, три года непрерывной активной деятельности,
результаты которой вы можете прочитать в сборнике его трудов. Он за-
болел летом 1917 года и так больше и не выздоровел, хотя и продолжал
работать. Периоды подъема перемежались с периодами упадка, но не
проявлялось никаких реальных признаков ухудшения вплоть до самой
его смерти в 1920 году. Он становится членом Королевского общества
в начале 1918-го года и членом колледжа Святой Троицы в Кембри-
дже несколько позже, в том же году (и он был первым индийцем, из-
бранным в каждое из этих обществ). Его последнее математическое
письмо о лже-тета-функциях, которые являются темой президентского
доклада профессора Ватсона на Лондонском математическом обществе
в прошлом году, было написано за два месяца до его смерти.
Подлинная трагедия Рамануджана не в его ранней смерти. Разу-
меется, это большое несчастье, когда любой великий человек умирает
молодым, но математик часто сравнительно стар в тридцать лет и его
смерть, возможно, является меньшей катастрофой, чем кажется. Абель
умер в двадцать шесть лет, и, хотя он, без сомнения, мог бы добавить
многое к математике, он вряд ли стал бы более великим человеком.
Трагедия Рамануджана заключается не в том, что он умер молодым,
а в том, что во время пяти неудачных лет его гений был направлен
в неверном направлении, отодвинут на запасные пути и до некоторой
степени искажен.
Я снова просматривал то, что я написал о Рамануджане шестна-
дцать лет назад, и, хотя сейчас я знаю его работы намного лучше, чем
тогда, и могу думать о нем более бесстрастно, я нашел не слишком
много того, что мне хотелось бы изменить. Но есть одно предложение,
которое сейчас кажется мне непростительным. Тогда я написал:
Возможны различные мнения о значимости работ Рамануджана, о стан-
дарте, по которому о них следует судить, и о влиянии, которое они, возможно,
будут иметь на математику в будущем. В них нет простоты и неизбежности,
свойственных величайшим работам, они были бы более великими, если бы
были менее странными. Он, вероятно, стал бы более великим математиком,
если бы был пойман и немного приручен в юности, он смог бы открыть на-
много больше новых и, без сомнения, более великих результатов. С другой
стороны, в нем было бы меньше от Рамануджана и больше от европейского
профессора, и потеря, возможно, была бы больше, чем выигрыш ...
и я согласен со всем, за исключением последнего предложения, в кото-
ром заключается весьма нелепый сентиментализм. Не было никакого
выигрыша, когда колледж Кумбаконама отверг единственного велико-
го человека, которого они смогли заполучить, а потеря была неиспра-
вима. Из того, что я знаю, это наихудший пример ущерба, который
может быть нанесен неэффективной и неэластичной системой образо-
вания. Так мало требовалось, 60 фунтов стерлингов в год в течение
пяти лет, изредка встречи с практически любым, кто имеет настоя-
щие знания и немного воображения, и мир получил бы еще одного из
величайших математиков.
Письма Рамануджана ко мне, полностью напечатанные в сборнике
его трудов, содержат формулировки примерно 120 теорем, в основном
формальные тождества, взятые из его записных книжек. Я процити-
рую пятнадцать из них, которые дают достаточно полное представле-
ние. Я включил две теоремы (1.14) и (1.15), которые столь же инте-
ресны, как и все остальное, но одна из них неправильная, а другая
в том виде, в котором она сформулирована, вводит в заблуждение.
Все остальные с тех пор были кем-нибудь проверены. В частности, Ро-
джер и Ватсон обнаружили доказательства исключительно сложных
теорем (1.10) (1.12).
1 “ (1! 2 !)3'Г + (2 ! 4 !)зТ ' =
= (1+(Пу + ^ + -0(1-Щ7 + ^--)- ('-ч
1 + 9(0‘ + 17О‘ + 25(гзгп)4 + • = fL гг (1Л)
1_5аУ+9^У-1зГ13-5У+ =___2-_ (14)
Ы + V2-47 V2-4-67 +'-' '
(a+i)r(b+l)r(b-a+ Л
ТГ^З----Ц---------------2±. (1.5)
Г(а)г(ь+1)г(Ь-а +
______________dx______________ _ ______________7Г_____________
(1 + .г2)(1 + г2х2)(1 + г4х2)... 2(1 + г + г3 + Г6 + г10 + ...)
о
(1-6)
Если а/3 — 7г2, тогда
«-/•(l + = /Г1/4(1 + 4/3 f <b). (1.7)
о о
dx = У1'3
е-“2 12 3 4
2а--1- а 4- 2а4- &4- 2а 4- . • •
4 f хе
J ch я
о
dx =
1 I2 I2 22 22 З2 З2
1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1 + ...’
Т7 . XX Х~ Х~ _ Ж1/5 X х2 х3
Если и - 1+ 1+ 1+ 1 + . , 1+ 1+1+1+ ,
5 1 - 2и + 4и2 - Зи3 + и4
V = и--------------
1 + Зи + 4w2 + 2u3 + и4
х х5 х10 х15
1 е~27Г е^47Г
1+ 1+ 1 + ...
(1-8)
(1-9)
(1.10)
(1.11)
। е~2тгУ5 е~4тгУ5
14" 14~ 1 4~ •
v/5+ 1
2
е2тг/У5
е
(1-12)
Если F(k) = 1 + f|')2fc+ + и F(1 - k) = y/(210)F(k),
тогда
к = (^2-1)4(2-ч/3)2(ч/7- ч/б)4 (8 - 3v/7)2('/10 - 3)4 x
x (4-У15)4(\/15-У14)2(6-У35)2. (1.13)
Коэффициент при хп в (1 — 2х + 2а:4 — 2х9 + • • -)-1 является целым
числом, ближайшим к
1 / , ЗП7Г\/П\
— (сЬтгл/п-----—— (1-14)
4n\ v —)
Количество чисел между А и х, которые являются либо квадрата-
ми, либо суммами двух квадратов, равно
к1~^= + д(х), (1.15)
А
где К = 0,764... и 0(х) очень мало по сравнению с предыдущим инте-
гралом.
Я хотел бы, чтобы вы начали с попытки восстановить непосред-
ственную реакцию обычного профессионального математика, получив-
шего подобное письмо от неизвестного клерка-индуса.
Первый возникший у меня вопрос был: известны ли мне какие-ни-
будь из этих формул. Я сам доказывал выражения, подобные (1.7),
а (1.8) казалось мне в общем знакомым. В действительности (1.8) явля-
ется классическим тождеством, это формула Лапласа, впервые строго
доказанная Якоби, а (1.9) возникло в работе, опубликованной Роджер-
сом в 1907 году. Я подумал, что, будучи специалистом по определен-
ным интегралам, вероятно, я смог бы доказать (1.5) и (1.6), и сделал
это, хотя и с немного большими затруднениями, чем ожидал. В целом
интегральные формулы кажутся мне наименее впечатляющими.
Формулы рядов (1.1)-(1.4) оказались намного более интригующи-
ми, и вскоре стало ясно, что Рамануджан должен знать намного бо-
лее общие теоремы и многое придерживал в рукаве. Второе тождество
является формулой Бауэра, хорошо известной в теории рядов Лежан-
дра, но остальные намного сложнее, чем они выглядят. Все теоремы,
необходимые для доказательства, сейчас можно найти в книге Бейли
Кембриджский трактат о гипергеометрических функциях.
Формулы (1.10)-(1.13) находятся на другом уровне и, очевидно,
являются и сложными, и глубокими. Специалист по эллиптическим
функциям может сразу определить, что (1-13) каким-то образом по-
лучена из теории «комплексного умножения», но с (1.10) — (1.12) я был
вынужден признать себя побежденным. Я никогда раньше не видел ни-
чего подобного. Одного взгляда на них достаточно, чтобы понять, что
они могут быть получены только первоклассным математиком. Они
должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными,
то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их И, на-
конец (вам следует помнить, что я ничего не знал о Рамануджане и
должен был учесть все возможные варианты), автор должен быть пол-
ностью искренним, поскольку великие математики встречаются чаще,
чем воры или обманщики с таким невероятным умением.
Две последние формулы стоят особняком, поскольку они не явля-
ются верными и показывают пределы математической силы Раману-
джана, но это не мешает им быть дополнительными свидетельствами
его исключительной силы. Функция в (1-14) является настоящей ап-
проксимацией коэффициента, хотя и не настолько близкой, как думал
Рамануджан, и неправильное утверждение Рамануджана было одним
из самых плодотворных, какие он когда-либо делал, поскольку, в конце
концов, оно привело нас ко всем нашим совместным работам о разбие-
ниях. И, наконец, (1.15), хотя в буквальном смысле «верно», определен-
но вводит в заблуждение (и Рамануджан действительно заблуждался).
Интеграл, как аппроксимация, не имеет преимуществ над более про-
стой функцией
обнаруженной в 1908 году Ландау. Рамануджан был обманут ложной
аналогией с задачей распределения простых чисел. Я должен отложить
на время то, что я собираюсь рассказать о работе Рамануджана над
этой стороной теории чисел.
Неизбежно, что очень большая часть работ Рамануджана при изу-
чении оказывается переоткрытиями. Он находился в совершенно нерав-
ных условиях, бедный и одинокий индус, использующий свои мозги
против собранной воедино мудрости Европы. У него не было никакого
настоящего обучения, во всей Индии не было ни одного человека, от ко-
торого он мог бы чему-то научиться. Он, возможно, видел три-четыре
книги не индийских авторов, хорошего качества, все из них английские.
В его жизни были периоды, когда он имел доступ к библиотеке в Мад-
расе. Но эта библиотека является не очень хорошей, в ней содержится
очень мало французских или немецких книг. И, в любом случае, Рама-
нуджан совершенно не знал этих языков. По моим оценкам, примерно
две трети лучших работ Рамануджана, написанных в Индии, были пе-
реоткрытиями и сравнительно немногие из них были опубликованы
при его жизни, хотя Ватсон, систематически изучивший его записные
книжки, обнаружил с тех пор много нового.
Основная часть опубликованных работ Рамануджана была напи-
сана в Англии. Его ум к тому времени уже несколько потерял эла-
стичность, и он так и не стал «ортодоксальным» математиком, но он
по-прежнему мог узнавать новое и делал это исключительно хорошо.
Было невозможно обучать его систематически, но постепенно он вби-
рал в себя новые точки зрения. В частности, он узнал, что означает
доказательство, и его поздние работы, хотя и оставались, в некотором
смысле, столь же странными и индивидуальными, как всегда, читались
как работы хорошо информированного математика. Однако его методы
и способы исследования остались, в сущности, теми же. Казалось бы,
что такой формалист, как Рамануджан, стал бы наслаждаться теоремой
Коши, но он практически никогда не использовал ее1, и самым изу-
мительным свидетельством его гениальной способности производить
формальные преобразования служит то, что он, похоже, никогда не
испытывал в ней нужды.
Легко составить впечатляющий список теорем, переоткрытых Ра-
мануджаном. Подобный список, разумеется, не может быть совершен-
но точным, поскольку иногда он обнаруживал лишь часть теоремы и
иногда он получал формулу, но не мог найти доказательство, которое
является необходимым для правильного понимания теоремы. К при-
меру, в аналитической теории чисел Рамануджан, в некотором смысле,
открыл очень многое, но он был далек от понимания настоящих слож-
ностей этого раздела математики. Также существуют некоторые его
работы, в основном по теории эллиптических функций, относительно
которых по-прежнему остаются неопределенность, по-прежнему невоз-
можно, даже после всех исследований Ватсона и Морделла, отделить
то, что он изучил каким-нибудь образом, от того, что он открыл са-
мостоятельно. Я буду выбирать лишь те случаи, которые кажутся мне
достаточно ясными.
’Возможно, никогда. Существует ссылка на теорию вычетов на стр. 129 Сбор-
ника трудов, но я полагаю, что я сам добавил ее.
Здесь я должен признаться, что именно меня следует во всем этом
винить, поскольку многое из того, что нам хотелось бы узнать сейчас, я
мог бы выяснить довольно легко. Я встречался с Рамануджаном почти
каждый день и мог бы прояснить многие неясные моменты небольшим
перекрестным допросом. Рамануджан был вполне способен и полон же-
лания дать точный ответ на вопрос и ни в коей мере не стремился
сделать загадку из своих достижений. Вряд ли я задавал ему вопросы
такого рода. Я даже никогда не спрашивал, видел ли он Эллиптиче-
ские функции Кейли или Гринхилла (я полагаю, что он, по-видимому,
имел такую возможность).
Сейчас я сожалею об этом, но это не так уж важно, а тогда мое по-
ведение было совершенно естественным. Во-первых, я не знал, что Ра-
мануджан скоро умрет. Он был не особенно заинтересован в своей соб-
ственной истории или-психологии. Он был математиком, стремящимся
заняться своей работой. И, кроме того, я тоже был математиком, и ма-
тематик при встрече с Рамануджаном мог размышлять о более интерес-
ных вещах, чем исторические исследования. Казалось нелепым беспо-
коить его по поводу того, как он обнаружил ту или иную из известных
теорем, когда он показывал мне полдюжины новых почти каждый день.
Я не считаю, что Рамануджан сделал много открытий в класси-
ческой теории чисел, или, в действительности, не думаю, что он вооб-
ще знал многое из нее. Он никогда не имел никаких знаний об общей
теории арифметических форм. Я сомневаюсь, что он знал закон квад-
ратичной взаимности до того, как он приехал в Англию. Диофантовы
уравнения должны были являться удобным для него объектом, но с ни-
ми он достиг сравнительно немногого, и то, что он открыл, не относит-
ся к числу его лучших результатов. Так, он нашел решения уравнения
Эйлера
x3 + y3 + z3 = w3, (1.17)
такие как
[ х = За2 + 5ab — 5Ь2, у = 4а2 — 4а6 + 662,
z = 5а2 — 5аЬ — 3b2, w = 6а2 — 4а6 + 462
и
{х = т7 — Зт4(1 + р) + т(2 + 6р + Зр2),
у = 2т6-Зт3(1 + 2р) + 1 + Зр+Зр2, (1.19)
z = m6 — 1 — Зр — Зр2, w = т7 — Зт4р + т(3р2 — 1);
но ни одно из них не является общим решением.
Он переоткрыл знаменитую теорему фон Штауда о числах Бер-
нулли:
(-1)”В„ = Gn + | + i + i + ... + 1 (1.20)
где р, q, ... — такие нечетные числа, что р— 1, q — 1, ... являются дели-
телями числа 2п и Gn — целое число. Сложно сказать, в каком смысле
он доказал ее, поскольку он обнаружил ее в тот период своей жизни, ко-
гда у него вряд ли сформировалась какая-нибудь определенная концеп-
ция доказательства. По словам Литтлвуда, «ясная определенная идея
о том, что понимать под доказательством, столь привычная в наши
дни, что считается очевидной, возможно, вообще была ему неизвест-
на. Если где-то возникало значительное количество подтверждающих
аргументов и общее объединение свидетельств и интуиции убеждали
его, он обрывал на этом рассуждения». Мне следует сказать кое-что
по поводу этого вопроса о доказательстве, но я отложу это до дру-
гой ситуации, в которой этот вопрос является намного более важным.
В этом случае в доказательстве нет ничего, что было бы непосильным
для Рамануджана.
В теории чисел существует значительный раздел, а именно теория
представления целых чисел в виде сумм квадратов, которая тесно свя-
зана с теорией эллиптических функций. Так, количество представлений
числа п в виде суммы двух квадратов равно
г(п) = 4{ф(и) — <Д(п)}, (1.21)
где di(n) — количество делителей п вида 4к + 1 и d$(n) --- количество
делителей вида 4/г + 3. Якоби получил похожие формулы для 4, 6 и
8 квадратов. Рамануджан обнаружил все эти формулы и много других
подобных формул.
Он также переоткрыл теорему Лежандра о том, что п является
суммой трех квадратов, за исключением тех случаев, когда п имеет
вид
4“(8fc + 7), (1.22)
но я не считаю это очень значительным достижением. Эту теорему до-
вольно легко угадать и сложно доказать. Все известные доказательства
используют общую теорию тернарных форм, о которой Рамануджан
ничего не знал, и я согласен с профессором Диксоном в суждении о
том, что Рамануджан, по-видимому, не имел доказательства этой тео-
ремы. В любом случае, он ничего не знал о числе представлений.
До приезда в Англию Рамануджан внес сравнительно малый вклад
в теорию чисел, но Рамануджана нельзя понять, не поняв его страсти
к самим числам. Ранее я писал:
Его способность помнить характерные особенности чисел была почти
сверхъестественной. Литтлвуд сказал, что каждое положительное число бы-
ло одним из личных друзей Рамануджана. Я помню, как однажды собирался
навестить его, когда он лежал больной в Путни. Я ехал на такси с номером
1729 и упомянул, что это число кажется мне довольно тупым и что я надеюсь,
что оно не окажется неблагоприятным предзнаменованием. «Нет» — ответил
он, — «это очень интересное число, это наименьшее число, которое выража-
ется как сумма двух кубов двумя различными способами»1. Естественно, я
спросил его, не может ли он сказать мне решение соответствующей задачи
для четвертых степеней, и он ответил, на мгновение задумавшись, что он
не знает никакого подходящего примера и полагает, что первое такое число
должно быть очень большим.
В алгебре основные исследования Рамануджана были связаны с
гипергеометрическими рядами и непрерывными дробями (разумеется,
я использую слово алгебра в его старомодном смысле). Эти направления
в точности подходили ему, и в них он, бесспорно, был одним из великих
мастеров. Существуют три ныне знаменитых тождества — «тождество
Доугалла- Рамануджана»
тт х(п)
^ + s+ !)(п)
Г(з + 1)Г(х + y + ^ + w + s + l)X
ПГ(д + s + 1)Г(у -b^ + u + s-i-l)
----------------г(. + ц + зТТ)--------------
X , у, Z , и 4 ’
где
= а{а + 1)... {а + п — 1),
а(п) = а(а - 1)... (а - п + 1),
1
1729 = 123 + I3 = 103 + 93.
и «тождества Роджерса-Рамануджана»
(1 — g)(l — g2) (1 — q)(l — q2)(l — g3)
= ________________1________________
(1 - q)(l - Q6) . . . (1 - q4)(l - q9)
g2 . g6 , ____________________g12________ ,
!-g (1 - q)(l - Q2) (1 — q)(l — q2)(l — q3)
= ________________1________________
(l-92)(l-g7)...(l-g3)(l_(78)...’
в которых он был предвосхищен британскими математиками. Об этих
тождествах я буду рассказывать в следующих лекциях1. Что касается
гипергеометрических рядов, то можно примерно сказать, что он пере-
открыл формальную теорию, описанную в трактате Бейли, в той мере,
в какой она была изучена к 1920-му году. Об этой теории немного на-
писано в книге Кара и в Алгебре Кристала, и нет никаких сомнений в
том, что он начал свое построение с исходной точки. Четыре форму-
лы (1.1) — (1.4) являются высокоспециализированными примерами этой
деятельности.
Его шедевром в теории непрерывных дробей являлась работа над
1т х2
1+1+1 + ...’
(1.25)
которая включает теоремы (1.10) - (1.12). Теория этих дробей зависит
от тождеств Роджерса-Рамануджана, в которых он был предвосхищен
Роджерсом, но он опередил Роджерса в других отношениях и процити-
рованные мной теоремы являются его собственными. Он получил мно-
жество других очень общих и очень красивых формул, для которых
формулы, подобные формуле Лагера
(х+ 1)п - (х - 1)п
(х + 1)п + (х - 1)п
П п2 - 1 п2 _ 22
Х+ Зх+ 5х + ... ’
(1-26)
являются очень частными случаями. Доказательство наиболее впечат-
ляющих формул недавно опубликовано Ватсоном.
1См. лекции VI и VII.
Возможно, что в работах по этим разделам математики талант
Рамануджана проявился лучше всего. Я писал:
Наиболее изумительной являлась его интуиция в алгебраических фор-
мулах преобразования бесконечных рядов. Я совершенно уверен, что никогда
не встречал равного ему в этом, и я могу сравнивать его лишь только с Эйле-
ром или Якоби. Он намного чаще, чем большинство современных математи-
ков, действовал индукцией от численных примеров; все свойства разбиений,
связанные со сравнениями, были открыты им таким способом. Свою память,
терпение, вычислительное искусство он соединил с умением обобщать, чув-
ством формы и способностью быстрого изменения своих гипотез, которые
часто оказывались изумительными, и это привело его к тому, что он стал
самым лучшим в своей области исследований.
Сейчас я думаю, что эти чрезвычайно сильные выражения явля-
ются экстравагантными. Возможно, что великие дни формул прошли и
Рамануджану следовало родиться на 100 лет раньше, но он был самым
великим формалистом своего времени. Существовало много важных, и
полагаю, кто-то скажет, более великих математиков, чем Рамануджан
в последние пятьдесят лет, но никто не мог сравнится с ним на его соб-
ственной территории. В игре, в которой он знал правила, Рамануджан
мог дать фору любому математику в мире.
В анализе собственные работы Рамануджана неизбежно оказыва-
ются менее впечатляющими, поскольку он не знал теории функций,
и невозможно выполнить настоящий анализ, не владея этой теорией.
Формальная сторона интегрального исчисления, т. е. все, что он мог
узнать об анализе из книги Кара или любой другой, была изучена мно-
гократно и интенсивно. Тем не менее, Рамануджан переоткрыл впечат-
ляющее количество наиболее красивых аналитических тождеств. Так,
функциональное уравнение для римановой дзета-функции
П = 1
а именно
С(1 - з) = 2(2тг)-‘ cos |зтгГ«(з), (1.27)
сформулировано (в почти неузнаваемых обозначениях) в его записных
книжках. Также там можно найти формулу суммирования Пуассона
о1/2{|^(0) + ф(а) + ф(2а) + ...} =
= /31/2{|-0(О) + 0(/3) + V>(2/3) + •••}, (1-28)
где
ф(х) = yjУ cos xt dt
о
и a/3 — 2тг, и также функциональное уравнение Абеля
Цх) + Цу) + L(xy) + = 3L^ (L29)
для
1 .„2 ™3
вд=^+^+^+--
Он знал большую часть формальных идей, которые лежат в основе
моей недавней работы совместно с Ватсоном и Титчмаршем о «ядрах
Фурье» и «обратных функциях», и, разумеется, он мог вычислить лю-
бой вычислимый определенный интеграл. Существует одна особенно
интересная формула, а именно
Jт5”1 {ф(0) + хф(1) + х2ф(2) - ...} dx = (1.30)
о
которая особенно ему нравилась и которую он постоянно использовал.
Это, в действительности, «интерполяционная формула», которая поз-
воляет нам сказать, к примеру, что при определенных условиях функ-
ция, которая обращается в нуль при всех положительных целых значе-
ниях ее аргумента, должна тождественно равняться нулю. Я никогда
не видел эту формулу, выраженной явно у кого-либо другого, хотя она
тесно связана с работами Меллина и других.
Я оставил напоследок две наиболее загадочных стороны ранних
работ Рамануджана: его работы по эллиптическим функциям и по ана-
литической теории чисел. Первая, вероятно, является слишком специа-
лизированной и сложной для понимания любого, кроме специалистов,
и сейчас я ничего о ней не скажу1. Вторая тема является еще более
сложной (как знает любой, кто прочел книгу Ландау о простых числах
или трактат Ингама), но любой может приближенно понять суть за-
дач, стоящих в этой области, и любой квалифицированный математик
1См. лекцию XII.
представляет, почему Рамануджан не мог с ними справиться. Это было
единственное настоящее поражение Рамануджана. Как обычно, он по-
казал поразительную силу воображения, но почти ничего не доказал,
и многое из того, что он вообразил, было ложным.
Здесь я обязан сделать несколько замечаний по очень сложному
вопросу: доказательство и его важность в математике. Все физики
и большое количество весьма уважаемых математиков презрительно
относятся к доказательству. Я слышал, как профессор Эддингтон, к
примеру, утверждал, что доказательство в том смысле, как его пони-
мает чистый математик, является, в сущности, весьма не интересным
и не важным и что тот, кто не уверен, что он действительно открыл
что-то важное, не должен тратить время в поисках доказательства.
Истиной является то, что Эддингтон является не последовательным и
иногда даже сам опускается до доказательств. Для него, к примеру,
недостаточно просто знать, что существует в точности
136 • 2256
протонов во Вселенной; он не может преодолеть искушения доказать
это, и я не могу не думать о том, что это доказательство, чего бы оно не
стоило, дало ему определенное интеллектуальное удовлетворение. Его
аргументация, несомненно, состоит в том, что для него «доказатель-
ство» означает нечто совершенно отличное от того, что оно означает
для чистого математика, и, в любом случае, нам не следует понимать
его слишком буквально. Но'мнение, которое я приписывал ему и с ко-
торым, я уверен, согласны все физики в глубине своих сердец, является
таким, на которое математик обязан что-то ответить.
Я не собираюсь ввязываться в анализ этой весьма деликатной кон-
цепции, но я думаю, что существует ряд положений о доказательстве,
с которыми согласятся все математики. Во-первых, даже если мы не
понимаем в точности, что такое доказательство, мы можем, по-крайней
мере в обычном анализе, распознать доказательство, когда мы его уви-
дим. Во-вторых, существует два различных мотива в любом представ-
лении доказательства. Первый из них является просто закреплением
убеждения. Второй состоит в том, чтобы представить заключение как
кульминационную точку подходящего набора предложений, последо-
вательности предположений, чья истинность признана и которые рас-
положены в соответствии с правилами. Существует два идеала, и опыт
показывает, что, за исключением простейшей математики, мы вряд ли
можем удовлетворить первому идеалу, не удовлетворив в то же время
второму. Мы в состоянии сразу распознать, что 5 или даже 17 являются
простыми числами, но никто не может убедить себя, что
2127 - 1
является простым числом, если не изучить доказательство. Никто не
имеет столь живого и всеобъемлющего воображения.
Математик обычно получает теорему с помощью интуиции; он об-
наруживает правдоподобное заключение и начинает работать над со-
зданием доказательства. Иногда это является рутинным действием, и
любой хорошо обученный профессионал может представить требуемый
результат, но более часто воображение является очень ненадежным
проводником. В частности, так происходит в аналитической теории чи-
сел, где даже воображение Рамануджана вело его по неправильному
пути.
Существует поразительный пример, который я часто цитировал,
ложной гипотезы, которая, кажется, была одобрена даже Гауссом и
для опровержения которой потребовалось около 100 лет. Центральной
задачей аналитической теории чисел является задача распределения
простых чисел. Количество тг(а;) простых чисел меньших, чем большое
число х, приближенно равно
Это «теорема о простых числах», которая была гипотезой очень дол-
гий период, но никогда не была полностью обоснована, пока Адамар и
де ла Валле-Пуссен не доказали ее в 1896 году. Аппроксимация явля-
ется не очень хорошей, и гораздо лучшей аппроксимацией является
X
о
В некоторых смыслах, еще лучшей аппроксимацией является
liT - 1 li Л/2 - 1 liz1/3 - I li a-1/5 + 1 li Л/е - 1 lis1/7 + ... (1.33)
Л и О О i
1 Интеграл является «основным значением». См. §2.2.
(нам сейчас не нужно задумываться о законе формирования ряда). Аб-
солютно естественно предположить, что
тг(х) < li.r (1-34)
при всех больших х; и Гаусс, и другие математики высказывались о вы-
сокой вероятности этой гипотезы. Гипотеза не только является прав-
доподобной, но и подтверждается всеми имеющимися фактами. Из-
вестно, что значения 10 000 000 простых чисел лежат в интервале до
1000000 000 и (1.34) является истиной для каждого значения х, для
которого существуют данные.
В 1912 году Литтлвуд доказал, что эта гипотеза ложна и что суще-
ствует бесконечное множество значений х, для которых знак неравен-
ства (1.34) должен быть заменен на обратный. В частности, существует
число X такое, что (1-34) является ложным для некоторых х, меньших
чем X. Литтдвуд доказал существование X, но его метод не давал ни-
каких явных значений, и лишь совсем недавно допустимое значение, а
именно
щ34
X = ю10 ,
было получено Скьюсом. Я думаю, что это самое большое число, кото-
рое когда-либо использовалось в математике для какой-нибудь опреде-
ленной цели.
Количество протонов во Вселенной примерно равно
Ю80.
Количество возможных шахматных партий намного больше, возможно
1О1°50
(в любом случае, с показателем второго порядка). Если бы Вселен-
ная была шахматной доской, протоны были шахматными фигурами и
любая перестановка положений двух протонов являлось ходом, тогда
количество возможных партий было бы подобно числу Скьюса. На-
сколько бы не уменьшалось это число при улучшении доказательства
Скьюса, по-видимому, мы никогда не узнаем ни одного примера, под-
тверждающего правоту Литтлвуда.
В этом примере цетина не только опровергает свидетельства фак-
тов и здравого смысла, но и математическое воображение даже столь
сильное и глубокое, как у Гаусса, но, разумеется, этот пример из наибо-
лее сложных частей теории. Никакая из частей теории простых чисел
не является действительно простой, но до некоторого момента простые
аргументы, хотя они доказывают очень мало, в действительности не
вводят нас в заблуждение. К примеру, существуют простые аргументы,
которые могут привести любого хорошего математика к заключению
теоремы о простых числах1, или, что то же самое, к заключению, что
pn~nlogn, (1.36)
где рп - это n-е простое число.
Во-первых, мы можем начать с тождества Эйлера
Yl-P”5 (l-2-s)(l-3-)(l-5~*)...
= F + F + ;t+"' = E)M
n
Оно является верным при s > 1, но и ряд, и произведение становят-
ся равными бесконечности при s = 1. Естественно предположить, что
при s = l ряд и произведение должны расходиться одинаковым обра-
зом. Также
>-ПгД = Е^щМ = ^Д^УУ +
(1.38)
и последний ряд остается конечным при s = 1. Естественно предполо-
жить, что
у 1
/М р
расходится как
ME л).
или более точно, что
ЕI ~ ME i) ~ 1о«1о«а’ t1-39)
'/(ж) ~ означает, что отношение f/g стремится к единице.
при больших х. Поскольку также
Е-г— ~ log log .т,
nlogn
п^х
формула (1.39) означает, что рп приближенно равен nlogn.
Существует несколько более искушенный аргумент, который, в
сущности, даже проще. Легко увидеть, что наибольшая степень про-
стого числа р, которая делит х!, равна
где [у] обозначает целую часть у. Следовательно,
logz! = + |Д] + • logp. (1-40)
р<х Р
Левая часть (1.40) практически равна zlogz по теореме Стирлинга.
Что касается правой стороны, можно аргументировать, что квадраты,
кубы, ... простых чисел сравнительно редки и слагаемые, включаю-
щие их, должны быть несущественны, и также различие будет сравни-
тельно малым, если мы заменим [х/р] на х/р. Тем самым, мы приходим
к заключению, что
V" log? . v~" logp
-у—~ arioga:, ? , —p~ ~logx,
P^x
и это снова в точности соответствует тому, что рп приближенно ра-
вен nlogn.
Это, в сущности, изложение аргументов, использованных Чебы-
шевым, естественно, в менее наивной форме, который первым добился
существенного прогресса в теории простых чисел, и я представляю се-
бе, что Рамануджан начал с аргументов такого рода, хотя в записных
книжках нет ничего пригодного для демонстрации. Очевидно лишь то,
что Рамануджан самостоятельно обнаружил формулу теоремы о про-
стых числах. Это было значительным достижением; те люди, которые
обнаружили формулу теоремы до него, такие как Лежандр, Гаусс и
Дирихле, все они были очень великие математики, а Рамануджан об-
наружил другие формулы, лежащие еще дальше от поверхности. Воз-
можно, наилучшим примером служит (1.15). Интеграл лучше заменить
более простой функцией (1.16), но формула Рамануджана является ис-
тинной в том виде, в котором она сформулирована, и это было доказано
Ландау в 1909 году, и в ней нет нечего очевидного, что позволило бы
предположить ее истинность.
Фактом остается то, что вряд ли какие-либо работы Рамануджа-
на в этой области имеют какое-либо непреходящее значение. Аналити-
ческая теория чисел является одной из тех исключительных областей
математики, в которых доказательство является всем и ничего, лишен-
ное абсолютной строгости, не принимается. Достижение тех математи-
ков, которые обнаружили теорему о простых числах, довольно мало по
сравнению с достижением тех, кто получил доказательство. Это связа-
но не только с тем, что в этой теории (как показывает теорема Литтл-
вуда) вы не можете быть уверены в фактах без доказательства, хотя и
это достаточно важно. Вся история теоремы о простых числах и других
больших теорем в этой области показывает, что вы не можете достиг-
нуть никакого настоящего понимания структуры и смысла теории или
получить какой-либо здравый инстинкт, ведущий вас в дальнейших ис-
следованиях, пока вы не изучите доказательства. Сравнительно просто
делать остроумные догадки, действительно, существуют теоремы, по-
добные «теореме Гольдбаха»1, которые никогда не были доказаны и
которые любой дурак может угадать.
Теория простых чисел зависит от свойств функции Римана £(s),
рассматриваемой как аналитическая функция комплексной перемен-
ной s, и, в частности, от распределения ее нулей, и Рамануджан вообще
ничего не знал о теории аналитических функций. Прежде я писал:
Теория простых чисел Рамануджана была испорчена его незнанием те-
ории функций комплексного переменного. Это было то (так сказать), чем
могла бы быть эта теория, если бы дзета-функция не имела бы комплекс-
ных нулей. Его метод полностью зависел от использования расходящихся
рядов... То, что его доказательства являются неправильными — это един-
ственное, чего следовало ожидать. Но ошибки идут глубже этого, и многие
из действительных результатов были ложными. Он получил доминирующие
члены в классических формулах, хотя и неправильными методами, но ни
одна из них не являлась столь близкой аппроксимацией, как он предполагал.
*.Любое четное число, большее двух, является суммой двух простых.
Можно сказать, что это было единственной большой неудачей Раману-
джана .. .
и если бы я остановился в этом месте, то сейчас мне бы было нечего
добавить, но я позволил сентиментализму снова увести меня в сторону.
Я продолжил аргументом, что «его неудача была более чудесна, чем
любой из его триумфов», и это является абсурдным преувеличением.
Нет никакой пользы в попытке притвориться, что неудача является
чем-то иным. Возможно, также мы можем сказать, что его неудача яв-
ляется такой, которая, наоборот, должна увеличить, а не уменьшить
наше восхищение его талантами, поскольку она дает нам дополнитель-
ные и удивительные свидетельства его воображения и многосторонно-
сти.
Но репутация математика не может основываться на неудачах или
переоткрытиях, она должна основываться, в основном и правильно, на
действительных и оригинальных достижениях. Я должен оправдать
Рамануджана на этой почве, и это я надеюсь сделать в моих следующих
лекциях.
Комментарии к лекции I
Стр. 8. Эта лекция является перепечаткой той, что была прочитана
на научной конференции, посвященной трехсотлетней годовщине Гарварда,
31 августа 1936 года и была опубликована в American Math. Monthly, 44
(1937), 137-155.
Стр. 16-18. Для доказательства (1.1) см. Прис (2) (Preece); для (1.2)
и (1.3) см. Харди (4, 8); для (1.4) см. Харди (4), Випль (1) (Whipple) и
Ватсон (7). Все эти формулы являются частными случаями намного более
общих формул, обсуждаемых в Кембриджском трактате Бейли Обобщенные
гипергеометрические ряды (№32, 1935). См. также лекцию VII.
(1.5) и (1.6) см. в №11 Сборника трудов и в Харди (5, 6).
Формулы такого же типа, как (1.7), можно найти в статье Харди в
Quarterly Journal of Math, 35 (1904), 193-207. Сама формула (1.7) доказа-
на Присом (2). См. также №11 Сборника трудов.
(1.8) см. в Ватсон (2), (1.9) см. в Прис (4), (1.10) - (1.12) в Ватсон (4, 6);
(1.13) см. в Ватсон (8).
Что касается (1.15) см. Ландау, Archiv der Math, und Physik (3), 13
(1908), 305-315, и Стенли (1). Мисс Стенли просто показывает, как утвер-
ждение Рамануджана вводит в заблуждение. См. также лекцию IV(B).
Стр. 20. Библиотекарь университета Мадраса прислал мне копию ка-
талога, опубликованную в 1914-м году, из которой становится ясным, что
библиотечный фонд был богаче, чем я предполагал. К примеру, в ней содер-
жались два стандартных французских трактата об эллиптических функциях
(Appel and Lacour, Tannory and Molk), а также книги Кэйли и Гринхилла.
Из других источников становится ясно, что Рамануджан знал что-то из ан-
глийских книг, но ничего из французских.
Стр. 21. Эйлер получил общее рациональное решение для (1.17) и его ре-
шение было в дальнейшем упрощено Винетом и другими исследователями.
См., к примеру, Харди и Райт, 198-202. Множество решений, подобных (1.18),
находятся в Истории Диксона, ii, 500 et seq. Решение (1.19), в сущности, сов-
падает с решением, обнаруженным Юнгом (J.R. Young) (Диксон, История,
й, 554).
Простейшее известное решение
х +у = z 4-1
принадлежит Эйлеру:
1584 + 594 = 1344 + 1334 = 635318657.
См. Диксона, Введение, 60-62 и История, ii, 644-647. Эйлер получил ре-
шение, зависящее от двух параметров, но никакого «общего» решения не
известно.
Доказательство теоремы фон Штауда (Staudt), принадлежащее Р. Радо
(R. Rado), можно найти в Харди и Райт (Wright), 89-92.
Цитата из Литтлвуда взята из его обзора Сборника трудов.
Стр. 22. Общая теория представления чисел в виде суммы четного числа
квадратов обсуждается в лекции IX. Теорему Лежандра о «трех квадратах»
см. в Ландау, Varies ungen, i, 114-122.
Стр. 24. Формула Лагера (1.26) совпадает с формулой (18) гл. XII «вто-
рого издания» записных книжек Рамануджана, см. Ватсон (10), 146.
По поводу «наиболее впечатляющей» формулы см. Ватсон (14).
Стр. 26. Уравнение (1.29) было переоткрыто Роджерсом, Proc. London
Math. Soc., (2), 4 (1907), 169-189, и приписано ему в Сборнике трудов, 337, но
оно также было обнаружено в посмертных записках Абеля (Euvres, ii, 193).
Стр. 26. По поводу (1.30) см. лекцию XI.
Стр. 29. Скыос, (Skewes) Journal London Math. Soc., 8 (1933), 277-283.
Скьюс подразумевал истинность гипотезы Римана, но с тех пор он обнару-
жил намного большее значение для X независимо от гипотезы. Эта работа
еще не опубликована.
Стр. 31. По поводу (1.40) см., к примеру, Харди и Райт, 342; Ингам, 20;
Ландау, Handbuch, 75-76.
Лекция II
Рамануджан и теория простых чисел
2.1. Я начну с обсуждения работ Рамануджана в «аналитической
теории чисел» и, в частности, с самой знаменитой задачи в этой тео-
рии — задачи распределения простых чисел. Я говорил вам, что его
работа в этой области математики не имеет большого непреходяще-
го значения, но не думаю, что из-за этого то, что я собираюсь сказать,
покажется вам менее интересным. Эта задача является одной из наибо-
лее увлекательных во всей математике, и Рамануджан применил очень
интересный подход к ее решению. У меня имеются неопубликованные
рукописи, опираясь на которые я впервые могу объяснить вам в точ-
ности, где и в чем заключалась его ошибка.
Рамануджан писал об этой задаче в обоих своих первых письмах.
Он не писал подробно, и я могу полностью процитировать все, что он
говорил.
16 января 1913
На странице 361 2 утверждается, что «количество простых чисел,
меньших х, равно
X
где точный порядок р(х) не был определен».
I. Я обнаружил функцию, которая в точности представляет собой
количество простых чисел, меньших .г, «в точности» — в том смысле,
что разность между функцией и фактическим количеством простых
чисел в общем случае равна 0 или некоторому маленькому конечному
1 Моего Кембриджского трактата Порядки бесконечности (№12, второе издание,
1924).
2 Я изменил знак у второго слагаемого для согласования с утверждениями Ра-
мануджана.
значению, даже когда х становится бесконечно большим. Я получил
функцию в виде бесконечного ряда и выразил ее двумя способами.
(1) В терминах чисел Бернулли. Из этого выражения мы мо-
жем вычислить количество простых чисел вплоть до 100 миллионов,
в основном безошибочно и в некоторых случаях с ошибкой, равной 1
или 2.
(2) В виде определенного интеграла, из которого мы можем вы-
числять при всех значениях.
Я заметил, что p(e2,Ta:) имеет такую природу, что ее значение очень
мало, когда х лежит между 0 и 3 (ее значение меньше нескольких сотен,
когда х = 3), и быстро возрастает, когда х больше 3.
II. Я также получил выражения, позволяющие найти фактическое
количество простых чисел вида Ап + В.
Разность между количеством простых чисел вида 4п — 1, мень-
ших х, и количеством простых чисел вида 4п+1, меньших х, становится
бесконечной при х, стремящемся к бесконечности.
29 февраля 1913
1. Количество простых чисел, меньших х, равно
[ —------------- dt. (2.1.1)
J t<(t+i)r(t + i) V 7
о
W
CG+ 1) = рфТ + ^фТ + --- (2.1.2)
и у = logx.
2. Количество простых чисел, меньших х. равно
2Г_2_(]^ + + 1 (213)
к\ в2 \ 2л М ЗВ4\ 2л ) 5В6\ 2л ) 1 ;
где В2 = |, Вд = ... — числа Бернулли.
3. Количество простых чисел, меньших х, равно
X у/х \fx yfx у/х
[ _ 1 [ dt _ 1 Г dt _ 1 Г dt . 1 f dt _ fo 1 дч
J logi 2 J logf 3J logf 5 J logt 6 J logt
где приближенно с — 1,45136380 .. J
Я также получил выражения для количества простых чисел в за-
данном виде (скажем, вида 24п+17), меньших любого заданного числа.
Количество простых — количеству простых
чисел вида 4n + 1 чисел вида 6п + 1,
...........4п — 1 = ......................... 6п — 1,
.....................................8п + 1 = .12n + 1.
Количества простых чисел вида 8п + 3, 8п + 5, 8п + 7, 12??. + 5, 12??. + 7
и 12гг. + 11 совпадают друг с другом.
Но
(Количество простых — (Количество простых
чисел вида 4п — 1) чисел вида 4п + 1) —> ос,
(.................... 6п — 1) — (................ бтг+1) —г оо,
(.................... 8п + 3) — (.............. 8гг+1)—> ос,
(................. 12гг. Ч-5) — (................ 12гг+1)—>оо.
Я не просто показал, что разница стремится к бесконечности, а по-
лучил все решения (как и для количества простых чисел) для разности
для любого заданного числа...
Мы должны читать второе письмо в свете первого; формулы
(2.1.1), (2.1.3) и (2.1.4), естественно, не совпадают2. Рамануджан опре-
деляет три функции, интеграл (2.1.1), который я буду называть J(x),
и два ряда (2.1.3) и (2.1.4), которые я буду называть G(rr) и 7?(л) со-
ответственно, и утверждает, что их отличие от тг(а;) ограничено, если
F(x-) — какая-либо из этих трех функций, тогда
7г(.т) = F(x) + 0(1). (2.1.6)
1 Рамануджан продолжает объяснять закон формирования ряда. Это, разумеет-
ся,
т1-7”*
J bi?’ (2Хо)
где р(ш) является функцией Мёбиуса, которая равна (—1)₽, когда т не содержит
«квадратов» (является произведением р различных простых чисел), и 0 в против-
ном случае. Затем он приводит инструкции, связанные с вычислениями по ряду
(см. Сборник работ, 351).
^Поскольку т(а:) не является непрерывной.
Ряд R(x) является знаменитым рядом, который возникает в работе
Римана, а ряд, очень похожий на G(x), был получен Грамом. Инте-
грал J(x), насколько мне известно, никогда не появлялся раньше и, в
любом случае, я уверен (по причинам, которые я объясню позже), что
Рамануджан обнаружил все три функции самостоятельно.
Ряды и интеграл Рамануджана
2.2. Ряд, использованный Грамом, не равен (7(ж), он имеет вид
(2-2л)
a G(x) равен дважды сумме его нечетных слагаемых1. Можно показать,
что этот ряд тождественно равен ряду Л(.т) (Рамануджан, несомненно,
знал это).
Нам потребуются некоторые предварительные-замечания о Л(т),
который я запишу в виде (2.1.5)2. Известно, что
^2=0 (2.2.2)
И
^Vlogm = -1, (2.2.3)
хотя даже первое из этих уравнений столь же «глубоко», как и те-
орема о простых числах. Из (2.2.2) следует, что значение с в (2.1.4)
несущественно (до тех пор, пока оно не равно 1). В частности, если мы
определим логарифмический интеграл lix при х > 1 выражением
X 1 —е X
1 Поскольку
o2k - 1 -r2k
C(2fc) =
(Я следую обозначениям Рамануджана для чисел Бернулли, записывая Вгк, хотя
чаще употребляется В^.)
-См. предыдущую сноску.
(«главное значение» по Коши), тогда мы можем записать (2.1.5) в более
привычном виде:
ад = Е^НаД/т (2-2-4)
Известно, что
(logrr)”
li x = 7 + log log x + > -------r,
n • n !
где д является константой Эйлера. Следовательно,
(log 71
li .rl/m = 7 + log log ж - log rn 4- 7 ---—-
n • n'.m
i
= -logm + 7 + loglog x + o(Ty
(2.2.5)
(2.2.6)
когда m —> oo и сходимость (2.2.4) зависит от сходимости (2.2.2)
и (2.2.3).
Если мы подставим выражение (2.2.6) в R(x) и воспользуемся фор-
мулами (2.2.2) и (2.2.3), то получим
Еи,(т) v—» 1х(т}
~7п ~ Е 1о§ т+
у- /Ата) V- (logа-')'1 = у. (logx)n у^ ц(т) =
2—/ т 2^п-п\тп п-п\ TOn+i
7П П П ТП
(logx)n .
= 1 + ----------------- = о(ж).1
пС(п + 1)Г(п+ 1) V Л
поэтому суммы рядов Римана и Грама совпадают. Также, если мы за-
пишем log ж = у и
д(х) = h,(logx) = h(y) = 1 + Е-----.zr.TV’
у7 п - п ! Цп + 1)
тогда
G(x) = Л.(т/) - Л.(-у),
'Все суммы от 1 до оо.
и несложно показать, что
h(-y)
когда у оо.1 Следовательно,
G(x) = Щх) + о(1)
и ряд Рамануджана эквивалентен ряду Грама.
Мы также можем доказать, что
J(x) = G(x) + о(1);
(2.2.7)
(2.2.8)
но доказательство, которое зависит от формулы
az+1 dx = ea - [ е axdx
Г(х + 1) J ж{тг2 + (logs:)2} ’
является несколько более сложным. Если мы считаем это доказанным,
то приходим к заключению, что три аппроксимации Рамануджана эк-
вивалентны. Поэтому, в дальнейшем, я ограничусь наиболее знакомой
функцией R(x).
Ряд R(x)
2.3. Утверждение Рамануджана по этой задаче заключается в
том, что
7г(ж) — R(x) = 0(1), (2.3.1)
т. е. что 7г(ж) — R(x) ограничена. В этом случае
7г(;г) — R(x) = O(xs) (2.3.2)
при всех положительных <5, так что ошибка менее значительна, чем
любое слагаемое в R(x). Из этого легко вывести, что
тг(х) = li х + О(т1/2+‘5), (2.3.3)
7г(ж) = lix — - Иж1/2 + О(ж1/2+‘5) (2.3.4)
хСм. комментарии в конце лекции.
и так далее при всех положительных <5. В частности, из этого будет
следовать, что
тг(ж) — Пж —> — оо (2.3.5)
при х —» оо. Я могу сразу заявить, что из этих утверждений (2.3.1),
(2.3.2), (2.3.4) и (2.3.5) являются ложными, а ложность или истин-
ность (2.3.3) зависит от того, верна ли гипотеза Римана.
Основное утверждение Рамануджана является ложным, но изуми-
тельно, насколько хорошо оно соответствует фактам. Таблицы простых
чисел включают в себя до 10 000 000 значений, а значения тг(ж) вычис-
лены для множества гораздо больших значений х. Следующая таблица
показывает некоторые значения тг(ж) и ошибки аппроксимации функ-
циями Нж и R(x).
X 7г(ж) П х Я(ж)
100000 9 592 . + 38 — 5
1000 000 78498 + 130 + 30
2 000 000 148933 + 122 - 9
3000 000 216 816 + 155 0
4000 000 283146 + 206 + 33
5 000 000 348 513 + 125 - 64
6 000 000 412 849 + 228 + 24
7 000 000 476 648 + 179 - 38
8000 000 539 777 + 223 - 6
9000 000 602 489 + 187 - 53
10 000 000 664 579 + 339 + 88
100 000 000 5 761455 + 755 + 97
1000 000 000 50 847 478 + 1758 - 23
Наибольшая величина ошибки, известная для R(x), равна +228
при х = 90 000 000. Совпадение очень впечатляющее, и (хотя Рама-
нуджан не имел фактов в этом масштабе, что могло бы ввести его в
заблуждение1) нет ничего удивительного в том, что он оказался вве-
денным в заблуждение.
'Он цитирует лишь результаты для довольно маленьких х, ошибки -0,1, -0,1,
+0,2 при х — 50, 300, 1000. {Сборник трудов, 351.)
Ранняя история теории простых чисел
2.4. Рамануджан, разумеется, не просто «угадал» свои теоремы,
никакой полет фантазии не может завести человека так далеко. У него
было «доказательство», точная и очень нетривиальная цепочка рассу-
ждений. Их я собираюсь объяснить, но необходимо сначала сделать
быстрый набросок истории и структуры «классической» теории.
Теорема о простых числах
тг(ж) ~ — (2.4.1)
log а: 7
была сформулирована в виде гипотезы Лежандром и Гауссом незави-
симо друг от друга. Гаусс получил аппроксимацию Нж, которая, как
стало известно в наши дни, является более точной, но ни один из ав-
торов не получил явных данных о степени точности, о которой они
утверждали в своих формулах. Как я говорил в моей первой лекции,
(2.4.1) эквивалентно рп ~ log/г.
Первый определенный прогресс был сделан Чебышевым. Чебышев
доказал, что
СЧ . < 7Г log X ы < 1 logs:’ (2.4.2)
или (что то же самое) что
CnAogn < рп < CnAogn. (2.4.3)
Он также ввел функции
<•£) = 52 logP> logp-2 (2.4.4)
р^.т рт^.х
Эти функции, в некотором смысле, более естественные, чем тг(ж). Так,
$(ж) = log(jjp)
р^х
’Я использую С для обозначения «абсолютной константы» (числа такого как 7
или тг). Различные С, естественно, не равны между собой.
2Вычислим logp для каждого р, р2, ...дох. Тогда
0(10) = log 2 + log 3 + log 2 + log 5 + log 7 + log 2 + log 3 =
= 3 log 2 + 2 log 3 + log 5 + log 7
(log 2, к примеру, возникает из 2, 22 = 4, 23 = 8).
(а наиболее естественная операция, которую можно проделать с множе-
ством простых чисел, это перемножить их); a равна логарифму
наименьшего общего кратного чисел, не превосходящих х. Как мы уви-
дим в дальнейшем, более сложная функция Дх) наиболее естествен-
но представляется в аналитической теории. Количество квадратов, ку-
бов, ... простых чисел меньше, либо равных х не превосходит
я1/2 + я1/3 + ж1/4 + ... = О^1/2 log я),1
что является незначительным по сравнению с функциями, чей порядок
приближенно равен х. Следовательно, степени простых чисел сравни-
тельно не важны в теории и мы можем думать о Щх) и ф(х) для наших
текущих целей как, в сущности, об одном и том же.
Естественно ожидать, что
logz • 7г(;г) ~ ~ ^(я), (2.4.5)
поскольку (i) д{х) и i[>(x), в основном, «одно и то же» и (ii) fPx) со-
держит тг(а:) слагаемых, в большинстве из которых logp близко к log я.
Чебышев получил точное доказательство (2.4.5) и пришел к заключе-
нию, что
, logz • тг(;г) , {Кх}
lim -—--г-—- = lim —— = lim , (2.4.6)
если хоть один из этих трех пределов существует, и что теорема о
простых числах эквивалентна любому из следующих соотношений:
$(:г) ~ х, ф(х) ~ х. (2.4.7)
Наконец, он доказал, что единственным возможным значением преде-
лов является 1; но он не смог преодолеть основную трудность — дока-
зательство существования пределов.
Доказательство теоремы о простых, числах
2.5. Теорема о простых числах окончательно была доказана Ада-
маром и де ла Валле-Пуссеном в 1896 году. Аналитический подход к
1 Поскольку рт > х, если т > log х/ log 2, нам следует взять лишь O(logx) ела-
гаемых ряда.
задаче основан на тождестве Эйлера
CW = ^»- = nTZLJ. (2-31)
п Р
где > 1. Из (2.5.1) следует, что
logC(s) = £10g —1— = £ -±_,
‘ J — Т) ' * /1 ьр
Р г Р,ТП
сумма берется по всем простым числам р и всем положительным целым
числам т. Следовательно,
-77Д = £$# = Е Р32)
’ ' / р, т
где
ап = logp (п = рт),
ап = 0 (иначе).
Здесь ап — арифметическая функция, обычно обозначаемая Л(п), и
«функция суммы»
И(т) = ^2 а"'
ап равна -ф(х).
Теперь нам потребуется общая теорема из теории рядов Дирихле.
Предположим, что s = а + it и что
/(s) = 23а’1П-4
является абсолютно сходящимся при а > 1. Тогда
с-Ьгоо
равно
0.1,1
в трех случаях: 0 < у < 1, у = 1, у > I;1 и легко доказать, что
Л*(а;),
52'
где А* (а;) отличается от Л (ж) лишь тем, что,
последнее слагаемое а,, в Л(ж) умножается на
когда х — целое число,
В частности,
с-Ьгоо
Г(а?) = 2^ / f^ds’ (2-5-3)
с—гос
где с > 1 и
Эта формула содержит «аналитическую» постановку задачи о простых
числах. В дальнейшем я приведу две аппроксимации к решению. Пер-
вая настолько грубая, что при наших сегодняшних знаниях она не мо-
жет быть использована в доказательстве.
Известно, что £(s) является аналитической функцией s, которая
имеет простой полюс типа
при s = 1, но является регулярной при всех других значениях. Она
удовлетворяет уравнению Римана
((1 - s) = 2(2tt)"-s cos iS7T Г(з)((з).
Она имеет простые нули («тривиальные» нули) при
s = -2, —4, -6,...
и бесконечное множество комплексных нулей р. для которых 0 < о < 1.
«Гипотезой Римана» называется гипотеза, что вещественная часть
всех р равна
1 Интеграл равен главному значению на бесконечности (т. е. предельному значе-
нию интеграла от с — гТ до с + гТ), когда х = 1.
Функция (2.5.2) также имеет полюс
при s = 1 и полюса
1 , 1 ,
8 — 2п 8 — р
в нулях Да). Давайте предположим, что гипотеза Римана верна и что
У(з) при а > | и |i| —> оо ведет себя «не слишком плохо». Тогда есте-
ственно предположить, что мы можем провести контур интегрирования
в (2.5.3) через полюс при s = 1 и вывести
'уЧ-гос
д —гос
где | < 7 < 1. Слагаемое х возникает как вычет для полюса при s = 1.
Далее, поскольку каждый элемент подынтегрального выражения имеет
порядок х'1 по х, естественно предположить, что интеграл как минимум
того же порядка и что
-ф*(х) =х + О(х/3) (2.5.5)
для всех (3 > Поскольку разность между i[)*(x) и -ф(х) не превосхо-
дит log(2?), это доказывает теорему о простых числах (и намного боль-
ше). Доказательство не может быть точно сформулировано в несколь-
ких довольно простых строках, которые я набросал, но (2.5.5) действи-
тельно является правильным выводом из гипотезы Римана.
Из (2.5.5) легко вывести, что
тг(ж) = + Otx13) (2.5.6)
снова при всех (3 > i. (2.5.5) эквивалентно
'D(x) = х + О(х^). (2.5.7)
Также
и поэтому
2
2
2
J logt V 7
2
log X
log 2 — 2
log 2
/^4л+0(1) =
J ((lost)2 '
= О
J (logt)2
что является (2.5.6).
Функция
П(ж) = 7г(.т) + ^(х1/2) + W?1/3) + ... (2.5.8)
относится к ф(х') во многом так же как тг(ж) к д(х). Поскольку
|тг(ж1/2) + |тг(ж1/3) + ... ^ .т1/2 + ж1/3 + ... = О(ж1/2 log,т),
£1 о
мы также получаем
П(ж) = liz + O(^). (2.5.9)
Вторая аппроксимация к доказательству
2.6. Это «первая аппроксимация» к доказательству теоремы о
простых числах, но, в сущности, нам нужно подобраться немного бли-
же к истине, если мы хотим понять попытку Рамануджана. В моей
второй аппроксимации я не буду использовать недоказанную гипотезу
Римана, но это будет не самым важным улучшением.
1 Удобно использовать терминологию из теории интеграла Стильтьеса: i9(x) -
ступенчатая функция с прыжками logp в точках т = р.
Основная трудность в моем первом «доказательстве» состоит не в
предположении гипотезы Римана, а в наивных аргументах о «порядке»
интеграла в (2.5.4). Фундаментальная трудность заключается в том,
что интеграл не является абсолютно сходящимся, и мы не можем быть
уверены, что его порядок не будет намного больше, чем порядок любого
из его элементов. Мы сможем избежать этой трудности, рассматривая
не саму -ф*{х), а среднее значение -ф*(.-г) или -ф(х'), и получить асимпто-
тическую формулу для этого среднего. Затем нам нужно перейти от
среднего к самой функции, и это введет новый, «тауберов»1 элемент в
доказательство.
Удобнее всего сформулировать доказательство в терминах общих
рядов Дирихле, и для этого я докажу следующую общую теорему.
Предположим,
(i) что
/(.ф-=^ал)Г'5 (2.6.1)
является абсолютно сходящейся при а > 1;
(ii) что /(ж) является регулярной на прямой а = 1, за исключением
простого полюса с вычетом 1 при s = 1;
(iii) что
/(C7 + it) = O(|t|“), (2.6.2)
где а < 1 при ст > 1 и больших |t|;
(iv) что
ап > -К, (2.6.3)
где К — константа. Тогда
А(х) ~ х. (2.6.4)
Запишем
X X
At(x) = у* A(y)dy = / А*(у) dy.2 (2.6.5)
о о
Из
с+гос
/ f^ds (С>1)
1См. комментарий в конце лекции.
2 4(г/) и А* (у) различаются лишь в изолированных точках.
при помощи интегрирования следует, что
сЧ-гос
/ «s>^S)ds- <* 2'6-6’
с—гос
Также имеем
С-Ноо
J- У ф)^ = а; + О(1),1
с—гос
сЧ-гос
2Й / «s>^TI)d»=k + 0W (2-6.7)
с—гос
Вычитая (2.6.7) из (2.6.6), получим
сЧ-гос
Л,(.г) - + ОМ = jL У (2.6.S)
с—гос
где
g(s) = f(s) - ф); (2.6.9)
и использование свойства непрерывности позволяет нам выбрать с — 1.
Таким образом,
14-гос
AM-p+OM = J- / (2.6.10)
1 —гос
Теперь легко доказать, что
Ф) = о(1Г),3
*А именно целая часть [ж], если х — не целое число, х - — в противном случае.
2Мы должны вычесть (2.6.7) из (2.6.6) до того, как примем с = 1, поскольку /(з)
и £(s) обе имеют полюс при s = 1.
3Фактически <(s) = O(log |t|): см. Ингам, 27 или Ландау, Handbuch, 169.
где 0 < а < 1, т. е. что £(s), и, следовательно, p(s) удовлетворяют
условию (iii) теоремы. Следовательно, интеграл в (2.6.10) имеет вид
9
произведение х на интеграл вида
У #(t)eifloga:dt = У
где J | Н (t) | dt < оо. Такой интеграл стремится к 0, когда £ = log х оо,1
и поэтому
А1(х) - |х2 = о(х2)
или
ЛДх) ~ |х2. (2.6.11)
2.7. Сейчас нам нужно перейти от (2.6.11) к (2.6.4). Для этого
требуется «тауберово» доказательство, в данном случае, очень простого
вида. Если
bn = ап - 1, (2-7.1)
тогда
В(ж) = У^(«га - 1) = А(х) - х + 0(1),
X
В1(х) = У B(y)dy - - |х2 + <Э(х),
о
и поэтому
В1(х) = о(х2); (2.7.2)
и
Ъп > -К - 1 = -L, (2.7.3)
1По «теореме Римана-Лебега» о тригонометрических интегралах: см., к приме-
ру, Титчмарш, Fourier integrals, II (теорема I).
скажем, ввиду (2.6.3) и (2.7.1). Нам нужно доказать, что
' В(х) = о(х). (2.7.4)
Предположим, что (2.7.4) ложно. Тогда существует положитель-
ное S такое, что одно из неравенств
В(х) = 8х, В(х) < —8х (2.7.5)
верно для произвольно больших значений х.
Возьмем, к примеру, первую гипотезу и предположим, что
Ж) > <56 Тогда
ад-в(е)= 52 ьп>—Цх — %)
^<п^х
И
В(х) >6£- Цх - 6 >
ДЛЯ
e<z<6= (i + А)б
\ 2L/
Следовательно,
е
Но это противоречит (2.7.2), поскольку каждое слагаемое в левой части
равно о(£2).
Мы можем получить противоречие подобным образом1 для второй
гипотезы (2.7.5), и эти два противоречия докажут (2.7.4).
Чтобы получить теорему о простых числах, нам необходимо до-
казать, что функция (2.5.2) удовлетворяет условиям (ii), (iii) и (iv)
из § 2.6. Последнее условие выполнено, поскольку Л(п) 0. Условие (ii)
эквивалентно
<(1 + й)^0, (2.7.6)
и (iii) утверждает гораздо больше. Проверка этих условий является
наиболее сложной частью доказательства.
'Но с использованием интервала (£', слева от £.
Дальнейшее развитие
2.8. В этом доказательстве (и во всех других доказательствах
о простых числах) существует две части. Первая часть доказатель-
ства — полностью функционально-теоретическая. Мы показываем, что
£(.?) обладает определенными свойствами, и выводим асимптотическую
формулу для
= 1 Дт*
о
или для какого-нибудь другого усреднения Дх). Вторая часть —
«тауберова». В различных доказательствах сложность распределяет-
ся по-разному между частями доказательства. В «классическом» дока-
зательстве, набросок которого я привел выше, первая часть является
трудной, а вторая — легкой; необходимо доказать лишь одну, очень
простую «тауберову» теорему. Дальнейшие доказательства упрощали
первую часть за счет второй.
Наиболее важное из современных исследований сделано, несомнен-
но, Винером. Винер и его последователи показали, что мы можем вы-
черкнуть условие (iii) в общей теореме § 2.6. Нам по-прежнему потре-
буется (ii), в частности, в приложении к простым числам, по-прежнему
нужно доказать (2.7.6), но нам не нужно вообще ничего знать о поведе-
нии <(s) в бесконечности. Давно говорилось, несколько неопределенно,
что «теорема о простых числах эквивалентна утверждению, что £(s)
не имеет нулей при а = 1». Исследования Винера позволяют нам сей-
час интерпретировать это утверждение буквально, и, разумеется, это
является очень важным вкладом в понимание логики теории простых
чисел.
Однако сейчас нам потребуется не обобщение Винера, «истинное»
обобщение теоремы, а частичное обобщение, полученное мной и Лит-
тлвудом в 1915 году. Эта частная теорема потеряла свое значение из-за
ее замены теоремой Винера, но она — это то, что нам нужно для пони-
мания работы Рамануджана.
Литтлвуд и я доказали сильную тауберову теорему: если
(2.8.1)
когда у 0, и
ап О,
(2.8.2)
тогда
А(х) ~ х.
Она имеет немедленное приложение к теореме о простых числах, по-
скольку, если мы можем доказать, что
£л(п)е"^
2
(2.8.3)
из этого будет следовать, что ~ х- Поскольку
(1 - е~у) £ апе~пу = (1 - е^)2 £(а0 + в1 + ... + ап)е~пУ =
- Л(°) + AWe~y + + А(п)е-пУ + ..,
_ х + 2е-:у + _ + + +
и 1 — е у ~ у, мы можем рассматривать
У^пе~пУ
как некоторое усреднение А(п)/п. Следовательно, функционально-те-
оретическое доказательство выражения (2.8.3) приведет к доказатель-
ству теоремы о простых числах, подтверждая мое общее описание.
Затем Литтлвуд и я продолжали следующим образом. Во-первых,
мы доказали обобщение общей теоремы; мы показали, что условие (iii)
может быть заменено на
/(<7 + it) = O(eAlfl)
(2.8.4)
для любой положительной константы А. Сейчас это, разумеется, не
важно (поскольку в действительности никакого условия такого типа
не требуется). Во-вторых, мы вывели (2.8.3), и, наконец, мы применим
нашу тауберову теорему. Я хочу привлечь ваше внимание к (2.8.3),
поскольку это также было первой целью Рамануджана.
Доказательство Рамануджана
2.9. Теперь я могу перейти к самому «доказательству» Раману-
джана, которое он показал мне через некоторое время после своего при-
бытия в Англию. Я смогу сделать его более понятным, если позволю
себе на время неправильно интерпретировать его цель.
Рамануджан пытался доказать не просто теорему о простых чис-
лах, не просто результат, подобный (2.5.6), который является истинным
по гипотезе Римана, а намного более точный результат, о котором мы
знаем, что он неверен. Он совершил определенную и очень любопыт-
ную ошибку: его доказательство является не просто «нестрогим», но,
и в более сильном смысле, «необоснованным», и я хочу ясно показать,
в чем заключается его ошибка. Я могу сделать это легче и не совершу
ни малейшей неточности, если буду рассказывать, как будто его цель
была ограничена доказательством теоремы о простых числах.
Рамануджан записал
ФД) = 52logp 52 e~pm'J ~ log2 52 2тое~2”‘у = ф1(у) - фДу) (2.9.1)
Р 772=1 777=1
и собирался сначала доказать, что
ФДу) ~ (2-9.2)
Он не использовал обозначений Л(п), но в действительности
фДу) = ^ДДе~п\ (2.9.3)
2
поэтому теорема о простых числах действительно будет следовать
из (2.9.2).
Затем он записал
Ф(у) = ФД) - ФДу) + Ф(ДФ) - ... = ФД?/) - Ф2(?/), (2.9.4)
где Ф1 и Ф2 -• функции, относящиеся к фг и ф2 как Ф относится к ф.
Тогда
ОО гп ОО
(2.9.5)
р т=1 1 + 6 2 Г е
и
фа(») = l°g2 £ 2 е = 21og2?f-(2.9.6)
тп=1 1 + 6 1 К
ввиду простого тождества + ... = .
е у -Ь 1 е у 4- 1 е у -f-1 е у — 1
2.10. Теперь Рамануджан производит преобразование Ф)(у). Име-
Ф1(2/) = Ф1(2/)-2Ф2(2?/)) (2.10.1)
где
X---------------------------Ч г>~ ПУ
Ф1(у) = 52A(n)—(2.10.2)
Но
Ф1Ы = f>(n) £ е-™^ = 5>е~^, (2.10.3)
n=2 m=l 2
где
cfc = ]TA(n.). (2.10.4)
n|fc
Также, если к = Пр°,
52 л(”) = 52 a logp = logp“ = log к.1
п\к р\к р\к
Следовательно,
Ф1(у) = 52 ^°ёке~ку
2
И
Ф^З/) = 521ogA;e-^ - 2 Jlog/ге-2^ =
2 2
= log ке~ку - 2 52 log 2ке-2ку + 2 log 2 е.-2ку =
2 2 2
= е~у log 1 - e-2w log2 + е"3у log3 - - ... + 21og2—-—(2.10.5)
1-е у
1 Поскольку мы должны считать logp для каждого из делителей р, р2, ... , ра.
Объединяя (2.9.6) и (2.10.5), мы получим
Ф(у) = е у log 1 - е 2i4og2 + e 3ylog3-... (2.10.6)
Теперь Рамануджан заключает, что
Ф(?/)^/,' (2.10.7)
или
Ф(У) - ф(2у) + ф(3у) -...^1, (2.10.8)
для некоторого I. Он не приводит доказательств, но заключение верно
и легко доказывается* 2. Вплоть до этого момента его доказательство,
хотя и записано в менее удобных обозначениях, чем использованные
мною, является вполне обоснованным.
Затем Рамануджан выводит из (2.10.8), что
Ф(у) ->•1-
(2.10.9)
Если бы его целью было доказательство теоремы о простых числах, то
все, что ему бы потребовалось — лишь более слабое заключение, что
ф(у) = °Q)’
(2.10.10)
и мы можем продолжить его доказательство, как если бы он утверждал
не больше чем это. Затем он утверждает, что
ф2(у) = \оё2^2те~2ту (2.10.11)
1
и из (2.10.10) и (2.10.11) он выводит, что
Ф1(у) = Ф(У) + Фч(у) ~ Yp (2.10.12)
’Я использую I для обозначения предела (не обязательно одного и того же в
различных контекстах).
2 К примеру, ряд
log 1 - log 2 + log 3 - ...
является суммируемым в (С, 1). Сумма равна — log
что является (2.8.3). Что он в действительности заявляет и претендует
на вывод этого утверждения из (2.10.9), это то, что
| + 0(1) (2.10.13)
или, по крайней мере,
<Ы?/) = + О(?Г5) (2.10.14)
для любого положительного <5.
Теперь (2.8.3) — истинно, как я сказал, это промежуточная ста-
дия в доказательстве «Харди-Литтлвуда», и из (2.8.3) мы можем вы-
вести теорему о простых числах «элементарными» средствами, т. е.
аргументами, которые не используют понятие аналитической функ-
ции комплексной переменной. Если Рамануджан действительно дока-
зал (2.10.12), то из этого следует, что он получил элементарное дока-
зательство теоремы о простых числах, доказательство, совсем не ис-
пользующее теорию функций. В частности, ему совсем не понадоби-
лось (2.7.6). Разумеется, этого достаточно для того, чтобы убедить лю-
бого читателя, знающего эту тематику, что доказательство не может
быть верным. И, действительно, Рамануджан получил верное заклю-
чение из двух ложных предпосылок, предпосылки (2.10.11). и предпо-
сылки, что (2.10.8) влечет (2.10.10).
2.11. Я собираюсь показать ложность этих двух предложений
одновременно. Во-первых, (2.10.8) не влечет (2.10.10) и также не вле-
чет (2.10.9). Предположим, к примеру, что
x(y) = y-1~at.
Тогда
Х(у) - х№) + у(3у) - ... = -г,'( 1 - 2^' + 3-'-'" -...)-
-(l-~2-“iX(l+ai)?/-1-“i,
которое равно 0, если
но ух(у) осциллирует, что противоречит утверждению Рамануджана.
Верно, что х(у) не является степенным рядом по е~у, как фъ(у) у Ра-
мануджана, но мы можем найти такие ряды, которые имитируют по-
ведение х(у) так близко, насколько нам это нужно, и утверждение не
может быть реабилитировано оговорками такого рода.
Совершенно естественно, что доказательство Рамануджана долж-
но содержать изъяны такого рода там, где его инстинкты вводят его
в заблуждение о правильности трудных общих теорем. Существуют
истинные тауберовы теоремы, которые имеют некоторое поверхност-
ное сходство с той, которую я только что опроверг, надо знать много
тонкостей и иметь большой опыт для того, чтобы отличить истинное
от ложного. Его вторая ошибка гораздо более удивительна, поскольку
ожидалось, что он окажется прав о поведении специальной функции,
подобной ф^у).
Похоже, что его ввела в заблуждение «интегральная аналогия».
Интегральный аналог ряда (2.10.11) равен
log2 У 2xe~2*ydx, (2.11.1)
О
и
[ 2xe~2Xydx = -J— [ e~~yzdz = ~ ,
J log2j ylog2 ylog2
о I
поэтому поведение (2.11.1) именно такое, какое он приписывает
(2.10.11). Но (2.10.11) ведет себя по-другому и имеет «волны» поряд-
ка 1/т/.
Мы можем опровергнуть утверждение Рамануджана многими спо-
собами. Во-первых, если бы (2.10.11) было верно, то из этого бы следо-
вало (по тауберовой теореме Харди-Литтлвуда), что
Е2п х
~ log 2'
2"^а: 13
Это просто не верно, поскольку ряд практически удваивается, когда х
переходит через значение 2т.
Следующее доказательство является более прямым..Функция фъ(у)
удовлетворяет уравнению
^(y)-2^(2y) = 2e-2Mog2.
Можно также сразу проверить, что
W») = -los2gt^^l
о ‘ z
удовлетворяет
-02 (г/) — 2^2 (2?/) = 2е'-2у log 2,
и поэтому
Чу) = Фг{у) - ФЧу)
удовлетворяет
Чу) - 2/1(2,/) = о.
Также уЧу) не является константой1.
Теперь, если мы запишем
уЧу) = Я(log?/),
тогда
H(log?/) = H(logj/ + log2),
поэтому Н является периодической и не константой. Следовательно,
уЧу) не стремится к пределу, также как и уФЧу).
Наконец, мы можем при желании проявить «волны» в формуле.
Мы можем доказать, что
fc(9). 1 - if
О —оо
(2.11.2)
где штрих у знака суммы означает исключение значения к = 0 и по-
следний ряд явно показывает волны порядка 1/у. Ряд быстро сходится,
и волны малы по сравнению с доминирующим слагаемым.
Происхождение ряда Римана
2.12. К этому моменту должно быть ясно, что доказательство
Рамануджана теоремы о простых числах было совершенно неверным.
1’/'г(у) — мероморфная функция, тогда как </>г(у) имеет барьер вдоль мнимой
оси. Этот момент также может быть обоснован с помощью вычислений.
Его ошибки были фундаментальными, он был не прав, не просто пото-
му что не мог предоставить необходимую «строгость», но потому что
путь, по которому он пошел, не подтверждался фактами. Я хотел бы
сказать, что, «за исключением строгости», он обнаружил доказатель-
ство Харди-Литтлвуда, но я не могу этого сделать.
Рамануджан не мог доказать истинную теорему о простых числах,
и, естественно, он не мог доказать ложные (2.3.1) или (2.3.2). Позд-
нее я расскажу кое-что о способе, который он использовал для того,
чтобы вывести их из (2.10.13), но сначала я должен сделать несколько
замечаний о статусе ряда R(x) в ортодоксальной теории.
В теории существуют две цели. Одна из них заключается в том,
чтобы доказать теорему о простых числах или некоторое ее обобщение.
Вторая цель — найти точное аналитическое выражение для тг(ж) или
для одной из связанных с ней функций, выражение, которое может
случайно дать аппроксимацию тг(ж), но которое ищется само по себе.
Риман (который никогда даже не упоминал теорему о простых числах)
пытался решить вторую задачу.
Легко увидеть, как такие тождества могут быть выведены из ин-
теграла (2.5.4). Естественно предположить, что интеграл равен сумме
вычетов во всех полюсах слева от линии интегрирования. Они легко
вычисляются, и мы получаем формулу
-СИ» —E^-^-ll»s(l-i). (2-12.1)
Здесь первое слагаемое возникает из s = 1, как и в (2.5.4), и последнее
слагаемое — из «тривиальных» нулей. Довольно просто вывести фор-
мулу для функции П(.т), определенной выражением (2.5.8). Если П*(.т)
относится к П(т) как V’*(a:) к тогда
П*(т) = lire - VW + [ . 2 1----log2. (2.12.2)
z—' J (u — l)ulogw
р X
Определение li z должно быть, соответственно, расширено, чтобы
включать в себя комплексные z.
Перейдем от П(ж) к тт(ж) по одной из «формул обращения», свя-
занной с функцией Мёбиуса. Если
»(«=£/©
П=1
тогда (подлежит определенным оговоркам по вопросу сходимости)
71=1
Из этого и из (2.5.8)1 следует, что
-ФО = Е фп(т'/’'). (2.12.3)
1
и если мы проигнорируем разницу между П и П* и заменим П(хг/”)
в каждом слагаемом в (2.12.3) на Их1/”, мы получим R(x). При этом
отбрасываются все слагаемые в (2.12.2), за исключением ведущего сла-
гаемого, то есть, в сущности, игнорируются нули £(s).
Точное доказательство (2.12.1) и (2.12.2) дано в учебниках. Риман
(чье доказательство не является точным) доказывал совершенно дру-
гим способом. Во-первых, он заметил, что
JП^х-Фх = | Jх~8с/П(х) = 1 £ (2-12.4)
О О р’т
при о > 1. Из этого следует, по «формуле обращения Мелина», что
с+гоо
ПИ=2Ь / ^^dx, (2.12.5)
с—гео
если с > I.2 * * *
Если
s = ^+iz, (2.12.6)
ТО
Ф) = |s(s - 1 К (|з)Ф) (2-12.7)
‘Возьмем /(5) = £тг(е£), = ^П(е«).
2Риман принял s = c-}-it и выразил (2.12.4) в виде интеграла Фурье с множителем
£-it log х
затем сослался на формулы Фурье. Эти два доказательство формально эквивалент-
ны.
является целой функцией z. Ее нули даются соотношением
s = р, z = — i(p — = т. (2.12.8)
Они лежат симметрично относительно начала координат и являются
вещественными, если верна гипотеза Римана и
£(*) = е(О)П(1 - (2.12.9)
Из (2.12.7) и (2.12.9) мы получим
logC(s) = — log(s - 1) - logics + 1) + |slog7r+
/ _ 1\2 (2.12.10)
Г \ 2/1
+ log £(0) + log11 H----^2---} ’
Риман подставляет (2.12.10) в (2.12.5) и по отдельности оценивает сла-
гаемые получившегося ряда. Доминирующее слагаемое в (2.12.2) полу-
чается из слагаемого — log(s — 1).
В доказательстве есть пробелы, самым важным из них является
отсутствие любого удовлетворительного доказательства (2.12.9). Это
стало возможным лишь намного позже, в связи с работами Адамара
по целым функциям. Но я хочу обратить ваше внимание, в частности,
на то, что нигде нет явного использования теоремы Коши. Формаль-
ная машинерия Римана, его почленное интегрирование рядов, 'его ис-
пользование теоремы Фурье в доказательстве (2.12.5) и его вычисление
конкретных определенных интегралов — все это было понятно и очень
симпатично Рамануджану.
2.13. Я вернусь к доказательству Рамануджана. Мы можем за-
писать (2.8.3) или (2.9.2) как
(2.13.1)
(хотя Рамануджан не использовал этих обозначений), и из этих пред-
ложений мы можем вывести теорему о простых числах. Рамануджан
думал, что он может доказать намного больше, а именно (2.10.13) или
(2.10.14), которые могут быть представлены в виде
У = |+О(1) (2.13.2)
О
или
f e~^d^Z) = ±+O(y-s). (2.13.3)
о
Из них он выводил
'ф(х') - х = 0(1) (илиО(?)), (2.13.4)
и переход к
тг(х) - 7?(.т) = 0(1) (или О(х5)) (2.13.5)
был легким. Но его доказательство здесь является необоснован-
ным, и его невозможно исправить. Можно продемонстрировать, что
все (2.13.2) - (2.13.5) неправильны и переход от (2.13.2) или (2.13.3)
к (2.13.4) также неверный. Не существует теорем, которые позволяли
бы нам делать заключения такого рода. И я не думаю, что стоит вда-
ваться более подробно в детали рассуждений Рамануджана. Но один
упрек ни в коей мере не может быть высказан по поводу доказатель-
ства Рамануджана. При всей своей необоснованности, оно не являет-
ся «тупым». Рамануджан никогда не был тупым. Оно содержит очень
интересную идею, которая после отбрасывания лишнего заняла свое
место в теории.
Вопрос об оригинальности работ Рамануджана
2.14. Что бы вы ни думали о доказательстве Рамануджана, вы
согласитесь, что его формальные идеи были прекрасны, и, разумеется,
вас интересует, все ли они принадлежат ему. В частности, действитель-
но ли он самостоятельно открыл ряд Римана?
Мое собственное мнение состоит в том, что он это сделал. Суще-
ствует, однако, всего одна книга, в которой он имел возможность уви-
деть этот ряд. В библиотеке Мадраса имелась копия Теории чисел Ма-
тыоза, и эта книга содержит (недостаточно критическое) изложение
анализа Римана. Похоже, стоит рассмотреть, какие книги важные для
него и доступные в Мадрасе, возможно, изучил Рамануджан.
Там имелись пять книг, которые были бы особенно важны для
Рамануджана. Современный анализ Уиттекера (опубликованный в
1902 году), Бесконечные ряды Бромвича (1908), трактаты по эллип-
тическим функциям Мэтьюза, Кейли и Гринхилла. По моему мнению,
он видел, по крайней мере, одну, возможно, обе из последних двух книг,
но ни одной из первых трех. У меня нет сейчас соображений, как такое
могло случиться, и мое мнение базируется лишь на внутреннем убе-
ждении, но кажется, что никакая другая гипотеза не подходит.
Во-первых, Рамануджан не мог видеть книги Уиттекера, посколь-
ку он не знал теоремы Коши. По той же причине, разумеется, он не
мог видеть Теории функций Форсита. Это важно, поскольку показыва-
ет, что имелись «очевидные» книги, которые Рамануджан никогда не
видел, хотя они, определенно, были доступны в Мадрасе.
Свидетельство о книге Бромвича является не столь убедительным,
но я не могу поверить в то, что Рамануджан видел эту книгу. Его силь-
но интересовали расходящиеся ряды, и он составил о них свою соб-
ственную «теорию». В книге Бромвича этой теме посвящена длинная
и интересная глава, которая бы очаровала Рамануджана. Но Раману-
джан никогда не показывал знания суммируемости по Чезаро, или по
Борелю, или других стандартных методов. Из пассажей в его письмах
становится ясно, что у него не было представления о том, что суще-
ствует какая-либо теория расходящихся рядов.
Таким образом, я не думаю, что Рамануджан был знаком с
книгами Уиттекера или Бромвича, но очевидно, что он прочел ка-
кую-то книгу по эллиптическим функциям. Я согласен с Литтлву-
дом, что, вероятно, это была книга Гринхилла. Он никогда не ссы-
лался на книги, но он никогда не говорил про какую-либо из стан-
дартных теорем, что она принадлежит ему. Он утверждает, что
расширил теорию в различных направлениях, что он и сделал, но
не утверждает, что изобрел эллиптические интегралы, тета-функ-
ции или модулярные уравнения. Все эти понятия он рассматрива-
ет как части общего знания. Его собственные знания были при-
мечательны как по глубине, так и по ограниченности, и как глу-
бина, так и ограниченность превосходно подходят к гипотезе, что
они основаны на стимулирующей, но эксцентричной книге Гринхил-
ла1.
*В которой мы впервые узнаем на стр. 258 о том, что эллиптические функции
являются двоякопернодическими.
С другой стороны, про теоремы о простых числах Рамануджан
вполне определенно утверждает, что они принадлежат ему (хотя, разу-
меется, позднее он признал свои ошибки и изучил основы установлен-
ной теории). Для любого, кто хорошо знал Рамануджана, этого доста-
точно для того, чтобы сделать выводы, но гипотеза о полной независи-
мости результатов Рамануджана — это единственная гипотеза, которая,
по моему мнению, не противоречит фактам.
Во-первых, если Рамануджан когда-либо видел книгу Мэтьюза, то
как он мог быть столь невежественным относительно классической тео-
рии квадратичных форм, которую Мэтьюз столь тщательно обсуждает
и которая составляет почти половину его книги? Ряды для числа клас-
сов, в частности, очаровали бы Рамануджана, и с уверенностью можно
сказать, что он тщательно изучил бы ее.
Но наиболее убедительным свидетельством является сама глава
книги Мэтьюза, посвященная простым числам. Она, несмотря на де-
фекты, содержит вполне адекватное описание мемуара Римана. Она
надлежащим образом выделяет великое открытие Римана о том, что
теория простых чисел зависит от «комплексных» свойств Дз) и, в част-
ности, от расположения нулей. Комплексные нули Де) доминируют в
анализе, как и должно быть в любом изложении работы Римана. У Ра-
мануджана не было точного представления об аналитических функци-
ях, но он достаточно хорошо знал, что уравнение может иметь беско-
нечное множество комплексных корней, и он мог следить за доказатель-
ством без проблем. Невероятно то, что, увидев эту главу, он продолжил
бы строить теорию, в которой «все нули Де) были вещественными».
Следовательно, мое заключение состоит в том, что вся эта работа
Рамануджана с ее вспышками вдохновения и грубыми ошибками бы-
ла индивидуальным и самостоятельным достижением. Никакая другая
гипотеза не кажется мне верной или имеющей какой-либо математиче-
ский или психологический смысл.
В заключение я хочу сказать следующее. До Римана никто, на-
сколько мне известно, не получал выражения для R(x), и если Рама-
нуджан обнаружил этот ряд самостоятельно, то это может показаться
выдающимся достижением. Далее Гаусс остановился на Пт.
Однако в этом есть некоторая опасность преувеличения. Если мы
увидим, что
П(т) = тг(т) + ^тг(т1/2) + |тг(х1/3) + . . .
Z о
играет более «естественную» роль в теории, чем сама тг(х), также как
играет более естественную роль, чем 'д(х), если мы осознаем, что
П(х) «естественно соответствует» lire и если нам известна формула об-
ращения Мёбиуса, тогда, когда мы перейдем обратно от П(х) к тг(х) по
этой формуле, ряд Щх) неизбежно проявит себя. Все эти идеи были
известны Чебышеву, и не было причины, по которой он не мог запи-
сать /?(х), хотя он, похоже, никогда не сделал этого. Рамануджан также
знал все эти вещи, что представленное мной доказательство достаточ-
но ясно показывает, и все, что он делал, как бы мы не судили об этом,
вполне разумно.
Комментарии к лекции II
. Эта лекция является переработанным и дополненным изданием лекции,
прочитанной в Лондонском Математическом обществе 18 февраля 1937.
§2.1 . Письма полностью напечатаны в Сборнике трудов, xxiii-xxix и
349-352. В то время, когда были написаны письма, Айяр (Narauana Aiyar) (1)
опубликовал основные утверждения Рамануджана в журнале Индийского
математического общества.
Я изменил обозначения Рамануджана для удобства ссылок: он исполь-
зовал е“ вместо тиа вместо у в (2.1.1), п вместо х в (2.1.3) и (2.1.4) и ц
вместо св (2.1.4). Он также писал St+i вместо £(t + 1).
Рамануджан полагал, что р(х) —> сю, когда х -> оо, что не верно, как
доказал Литтлвуд в 1914 году. Доказательство Литтлвуда является сложным,
его можно найти в книге Ингама гл. 5 или в Ландау Vorlesungen, ii, Кар. 11.
Аналогичные утверждения о простых числах в арифметических прогрессиях
в конце отрывка, цитируемого из второго письма, также неверны.
§2.2 . О ряде (2.2.1) см. Грам (Gram), Shifter d. К. Danske Videnskabernes
Selskab (6), 2 (1884), 185-308 (212, 295).
Об истории (2.2.2) и (2.2.3) см. Ландау Handbuch, 567- 574. То, что тео-
рема о распределении простых чисел может быть выведена из (2.2.2) с помо-
щью «элементарных» рассуждений (т. ё. с помощью рассуждений, не завися-
щих от теории функции комплексного переменного), было впервые доказа-
но Ландау, Wiener Sitzungsberichte, 120 (1911), 973 988; Handbuch содержит
лишь вывод из (2.2.3).
Согласно Солднеру (Soldner) liar = 0 при х = 1,4513692346 ..., и, веро-
ятно, это настоящее значение константы Рамануджана с.
О (2.2.5) см. Бромвич, Бесконечные ряды, 2-е издание, 334.
Чтобы доказать (2.2.7), заметим, что
К У) 1 + Еп.пщп + 1) 1 + Е т 2^п,п\{т)
\ у т п
у / га у/га
д(т) Г 1-е-", —/7(777)/ /’1-е”", \
J ---й----du - - Е ~rn~ J -------й---du + \ogmj-
О о
скажем, с помощью (2.2.3). Теперь
р/т
х(У, т) - х(.У, т + 1) = - J 1 ~д du - log =
р/(т+1)
р/т
= У du = ш(у, т).
р/(т+1)
Если мы запишем
V' М(^) , .
Е —= *(™)
1
и частично просуммируем последний ряд в (1), то получим
=Е^м?/,т)-
Известно, нто
д(т) = о{
1
(log m)2
(2)
И
п _ / \ У Ш4“1 —у/(тп+1) 1
О < CV 7/, т) < —----е т-
т{т +1) У 111
Следовательно, ряд мажорируется величиной, кратной
У—1—-
m(logm)2
и равномерно сходится при всех у. Наконец, все слагаемые стремятся к 0.
О (2) и более сильных результатах см. Ландау Handbuch, 594-597.
Доказательство (2.2.8) см. в Харди (3).
§2.3 . О (2.3.3), которая следует из гипотезы Римана, см. Ингам, 83 (тео-
рема 30) или Ландау Handbuch, 378-388. О ложности (2.3.4), которую гораздо
легче доказать, чем для (2.3.5) или для других ложных утверждений §2.3,
см. Ингам, 90 (теорема 32) или Ландау Handbuch, 711-719.
Чтобы вывести (2.3.4) из (2.3.2), заметим, что
^т — 3 р=1 " " '
** тп—3 1 р—0 '
Таблица взята из намного более полной таблицы в книге Д. Н. Лемера
(D.N.Lehmer) Список простых чисел от 1 до 10 006 721 (Вашингтон, 1914)
за исключением значений li 10s и li 10°, которые я взял из книги Ингама.
Значения тг(гг) на 1 меньше, чем в книге Лемера, поскольку он считает 1
простым числом. Значения за пределами таблицы множителей были найдены
Мейсселем (Meissel) в серии статей в Math. Annalen, последняя из которых
появилась в 25-м томе (1885), 251-257 и в дальнейшем была подтверждена
Бертельсеном (Bertelsen). Метод Мейсселя является переработкой «решета»
Эратосфена: см. Мэтьюз гл. 10. Изложение работы Бертельсена находится в
статье Грама Acta math. 17 (1893), 301-314.
Длинное и интересное эссе по этим темам находится во введении в кни-
ге Дж. Глаймера (J. Glaisher) Таблица множителей для шестого миллиона
(Лондон 1883). Монография Торелли (Torelli) Sulla totalitd dei numeri primi
fine ad un limite assegnato (Неаполь 1901) также содержит много интересной
информации.
§ 2.4. Доказательства теорем Чебышева находятся в Ингаме, в обоих
книгах Ландау и в Харди и Райте, гл. 22.
§2.5 - 2.7. В этой книге нет доказательства теоремы о распределении
простых чисел, хотя § 2.6 - 2.7 содержат набросок доказательства Ландау, ко-
торое является более простым, чем оригинальное доказательство Адамара и
де ла Валле-Пуссена. Чтобы завершить его, мы должны доказать, что
I Ф + й) I k U [ J
при а меньших 1. Это, естественно, предполагает истинность (2.7.6), что до-
казано двумя способами в лекции IV(A). Более сильное предложение (1) мо-
жет быть доказано с помощью развития первого доказательства (Адамара)
выражения (2.7.6).
И трактат Ингама и Handbuch Ландау содержат (а) простейшие доказа-
тельства теоремы о распределении простых чисел (за исключением доказа-
тельства Винера, ссылка на которое находится в § 2.8) и (Ь) более прорабо-
танные доказательства намного более сильных теорем.
«Тауберова» теорема может быть определена как исправленная форма
ложного обращения абелевой теоремы. «Абелева» теорема утверждает, что
если последовательность функций ведет себя регулярно, то некоторое сред-
нее от нее ведет себя регулярно. Так,
А(аг) ~ х
влечет
X
Ai(rr) = У A(t) dt ~ ^а;2.
о
Эта абелева теорема верна для любого А(х) и, в частности, для А(х) в тексте.
Обратное неверно, но становится верным, когда мы накладываем на A(t)
подходящее дополнительное условие, здесь полученное из (2.6.3).
Первой тауберовой теоремой было обращение Таубером (Tauber) теоре-
мы Абеля о непрерывности степенного ряда: см., к примеру, Бромвич, Бес-
конечные ряды, 2-е издание, 256. Поскольку
2 ао + (ciq аАх (ао 4- ui 4- аг)х 4- • • •
ао 4- aix 4- а2х 4-... = ----------------------------------.
1 4- х 4- х + ...
Предел ряда равен пределу некоторого среднего из ао, ао 4-си, ао 4-<И 4- аг, ...
§2.8. То, что здесь названо доказательством Винера (Wiener) теоремы
о распределении простых чисел, является доказательством «Винера - Икеха-
ра» (Ikehara), содержащимся в § 19 et seq. книги Винера The Fourier integral
(Кембридж, 1933). Совершенно другое доказательство находится в § 17-18.
Доказательство было сильно упрощено Бохнером (Bochner) Math.
Zeitschrft, 37 (1933), 1-9 и Ландау, Berliner Sitzungberichte (1932), 514-521.
Версия Ландау представляет собой самое короткое из существующих до-
казательств теоремы о распределении простых чисел, но оно пока еще не
появилось ни в одной книге. Версия в моих литографированных лекциях
о «работах Рамануджана» (Institute for advanced study, 1936), в сущности,
совпадает с бохнеровской.
О доказательстве Харди - Литтлвуда см. Quarterly Journal of math 46
(1915), 215-219 или Acta Math. 41 (1918), 119-196 (127-134). Простейшее
доказательство нашей тауберовой теоремы дано Карамата (Karamata) в
Math.Zeitschrift, 32 (1930), 319-320.
§2.10. Доказательство суммируемости log 2 — log 3 + ... см. Бромвич Бес-
конечные ряды, издание 1, 351.
§2.11. Доказательство в конце параграфа было предложено мне много
лет назад профессором Маклаганом Веддервурном (Maclagan Wedderburn),
см. Харди Quarterly Journal of math 38 (1907), 269-288 (277).
Формула (2.11.2) может быть выведена с помощью дифференцирова-
ния из последней формулы на стр. 283 этой статьи (в которой должен быть
изменен знак последнего слагаемого).
Рамануджан, когда я подверг сомнению истинность его утверждения,
привел поразительную формулу
2 3
ф2(.у) +log2^1 - g—j-j + - 15 3 | + •• •) = у + F(j/),
где
yFly) = 0,0000098844 cos ( 10^.У + 0,872811
у \ log 2
верно с точностью до 10 знаков после запятой. При этом явно приняты во
внимание слагаемые, в которых k = ±1.
§2.12. Доказательства «явных формул» приведены в Ингаме, гл. 4 и
Ландау Handbuch, Кар. 19. Собственное доказательство Римана воспроизве-
дено в Мэтьюзе гл. 10.
Формулу обращения Мёбиуса см. в Харди и Райт, 234-237, или Ландау,
Handbuch, 577-580.
§2.14. Рамануджан, похоже, начал свою теорию расходящихся рядов с
рядов с положительными членами, таких как
1” + 2“s +3“s + ... (s < 1),
и «определил» сумму такого ряда как константу формулы суммирования Эй-
лера- Маклорена. Но у него не было привычки давать строгие определения.
Лекция III
Круглые числа
3.1. Число описывается в популярной литературе как круглое,
если оно является произведением значительного числа сравнительно
малых сомножителей. Таким образом, 1200 = 24-3-52, разумеется, будет
называться круглым. Число 2187 = З7 еще круглее, но это спрятано за
десятичными обозначениями.
Общие наблюдения показывают, что круглые числа встречаются
очень редко. Этот факт может быть проверен любым, у кого есть при-
вычка разлагать на множители числа, такие как номера автомобилей
или трамваев, которые возникают перед ним случайным образом. Оба,
Рамануджан и я, наблюдали это явление, которое поначалу кажется
несколько парадоксальным1, и нам захотелось получить его математи-
ческое объяснение.
Мы тем самым поставили перед собой задачу определения «нор-
мальной степени сложности» числа п. Сколько простых множителей
может оказаться в случайном большом числе п?
3.2. Измерение «сложности» числа количеством его простых со-
множителей является весьма естественным, и мы можем подсчитать
эту сложность двумя способами, в зависимости от того, учитываем мы
кратность множителей или нет. Предположим, что
п = р^р^ ...р^ =П^Г’ (3-2.1)
1
где
Pi < Р2 < • • < pv
1 «Половина чисел делится на 2, третья часть чисел делится на 3, одна шестая
часть чисел делится и на 2, и на 3 и т. д. Разумеется, тогда нам следует ожидать,
что большинство чисел будут иметь большое количество множителей? Но факты,
похоже, показывают противоположное.»
— стандартное разложение числа п в виде произведения простых чисел.
Тогда
/(п) = п (3.2.2)
- - число различных простых сомножителей п и
F(n)=^ar (3.2.3)
1
— общее число простых сомножителей, посчитанных с учетом кратно-
сти, и любая из этих функций может быть приспособлена для измере-
ния сложности п. Мы обнаружим, что выбор функции для измерения
не приводит ни к каким важным различиям, и на данном этапе я буду
рассматривать функцию /(п).
3.3. Очевидно, что f(n) не может быть «очень большой». В наи-
худшем случае или для самых круглых чисел, для которых /(п) при-
нимает наибольшие значения, по сравнению с другими п, это числа
п = 2 • 3 5 • ...j9p,
которые являются произведением первых v простых чисел. Для этих
чисел
у(п) = и = тг(рр)
И
logn = £10gp,. = 1?^).
Теперь
4nlogn <ру < BiAogv (3.3.1)
для констант А и В, и поэтому
log ру ~ log и.
Следовательно,
,, \ 1 7Г(^) logn logn
V = /(n) = logn —--г ~ ч----- ~ ч---- (3.3.2)
&(.Ру) logpp logn
и
logn
log log n
Таким образом, большое число п не может иметь больше этого числа
простых множителей. Число порядка 107, последнее число в таблице,
не может иметь больше 6 или 7, а число порядка 1О80, т. е. имеющее
порядок числа Эддингтона, не может иметь более 30 простых сомно-
жителей.
Общее число простых сомножителей может быть намного боль-
шим, так 1О80 имеет 160, а п = 2к имеет
logn
log 2
простых сомножителей. Здесь между f(n) и F(n) возникает большое
различие, но мы увидим в дальнейшем, что это исключительный слу-
чай.
3.4. Теорема, которую мы только что доказали для /(п), это те-
орема о всех числах, а нас интересуют (в некотором смысле) «почти
все». Функция
logn
log log п
возрастает медленно, но ни в коем случае не настолько медленно, что-
бы объяснить факты. Мы обнаружим, что если будем выбирать чис-
ла случайным образом из конца таблиц разложения на множители, то
/(п) обычно не 7 или 8, а 3 или 4; и мы обнаружим, что если таблицы
могли бы быть продолжены до пределов числа Эддингтона, то в этом
случае функция будет обычно равна не 30, а примерно 5 или 6. Чис-
ло, подобное числу Скьюса1, будет в общем случае иметь примерное
число множителей, равное числу Эддингтона (это может помочь нам
сформировать некоторое представление о его размере).
Нам нужно определение термина «почти все». Предположим, что
Р — это свойство числа п, выраженное предложением Р(п), что N(x) —
это количество чисел меньших х, для которых Р(п) ложно и что
N(x) = о(х).
Тогда мы будем говорить, что «почти все числа обладают свой-
ством Р». Грубо говоря, пропорция исключительных чисел п беско-
нечно мала.
‘См. лекцию I, стр. 29.
Ответ на нашу задачу заключается в том, что почти все чис-
ла п имеют примерно log log п простых множителей. Более точ-
но, пусть дано £, тогда почти все числа имеют от (1 — s) log log п
до (1 + г) log log п простых множителей. Эта теорема верна для лю-
бого способа измерения числа множителей, и мы увидим, что ее можно
сформулировать еще более точно.
3.5. Функция log log п возникает из других соображений. Имеем
Ел») = Е£1= Е 1.1
п^.х р\п рт^.х
суммирование происходит по всем простым числам р и положительным
целым числам т, удовлетворяющим неравенству, и при суммировании
по т мы получаем
Ел») = ЕИ t3-5-1)
Р^х
ИЛИ
52/(7г) = Ж£1+О(Ж), (3.5.2)
Р^х
поскольку при отбрасывании квадратных скобок может возникнуть
ошибка, равная 1 в наихудшем случае. Но
= loglog а; + 0(1), (3.5.3)
Р^Х
и поэтому
У2 f(n) — ж log log ж + О(х). (3.5.4)
п^.х
Также
£f(„) = EEi= Е 1
п^хр^п р^т^х
^In означает, что «р делит п», поэтому Е 1 означает, что мы прибавляем 1 для
р|п
каждого простого делителя п. Аналогично, Е 1 соответствует прибавлению I для
рМ |п
каждого простого числа или степени простого числа, которые делят п.
(суммирование происходит по простым числам р и положительным це-
лым р и т), и поэтому
Е *(") = ЕЩ=ШНЯ?1+ -) (“'5)
П^Х р^-^-Х Р^х “ “
И
Е([?]+ [?]+ ) < *Е(Х^+-)=*? х?Ь) =
(3.5.6)
Следовательно, мы также имеем
F(n) = xloglogx + О(х). (3.5.7)
П^Х
В частности,
f(n) ~ xloglogx, F(n) ~ zloglogx. (3.5.8)
п^х п^.х
Далее, если ф(п) — некоторая простая возрастающая функция и
Р(2) + р(3) + ... + д(п) ~ ф(2) + ф>(3) + ... + ф(п),1
тогда естественно говорить, что «средний порядок р(п) равен ф(п)».
И поскольку
log log 2 + ... + log log n ~ n log log n,
средний порядок и fin), и Fin) равен loglogn.
3.6. Это интересная теорема, но она весьма отличается от той,
которую мы хотели бы доказать. Мы хотим доказать, что /(п) и F(n)
обычно примерно равны log logn. Если gin) равна, log р log log р, когда п
является простым числом р, и 0 в противном случае, тогда
525 и = 52log р log log р ~х log log х>2
П^Х р^-Х
1 Или д(1) +. .. + д(п) ~ ф(1) + . .. +ф(п). Мы начали в этом случае с 2, поскольку
log log п не определен при п = 1.
и средний порядок д(п) по-прежнему равен loglogn; но <?(п) обычно
равна 0 (поскольку «почти все» числа являются составными), поэтому
нормальный порядок д(п) равен 0. В нашей задаче средний и нормаль-
ный порядки оказались одинаковыми, но это является особенностью
задачи.
3.7. Существует два доказательства нашей теоремы, наше исход-
ное доказательство и еще одно, полученное много позже Тюраном. До-
казательство Тюрана является очень простым и элегантным, и я приве-
ду его позже, но сначала я вставлю набросок исходного доказательства,
которое в некотором смысле больше наводит на размышления.
Нам нужно рассматривать лишь одну из двух функций, скажем,
У(п), поскольку F(n) /(п) и по (3.5.6)
для некоторых С. Если ДГ(®) — количество чисел, меньших х, для ко-
торых
F(n)-/(n)>G, (3.7.1)
тогда
N(x) С
х < G’
эта величина мала, когда G велико, и количество чисел, для кото-
рых Е(п) — /(п) > где zy(n) — произвольная функция перемен-
ной п, которая возрастает до бесконечности, равно о(®). В этом смысле
«Е(п) — /(п) почти всегда ограничена».
Далее мы ограничимся изучением f(n). Предположим, что шг(х) ~
количество чисел, не превосходящих х, для которых /(п) = г. Тогда
оч(®) ~ тг(®) ~
7 7 log®
Более обще, известно, что
~ (3.7.2)
v 7 log® (г -1)! v 7
2 Поскольку
logp ~ х
р^х
и множитель log log р добавляет еще один log log х.
Далее
[х] = Wi(s) + 1<;2(ж) + . . . + шг(х) + ... (3.7.3)
и
/ <2 er—1 х
x=-^elo^x = ДЦ1 + е+А + ... + ?^- + ... , (3.7.4)
logx logxv 2! (г — 1)! /
где
£ = log log х
(3.7.5)
и формула (3.7.2) указывает на определенную аналогию между соот-
ветствующими слагаемыми двух рядов. Эта аналогия, разумеется, не
может быть слишком близкой, поскольку первый ряд конечен, но соот-
ветствующие слагаемые заданной степени асимптотически эквивалент-
ны при х —> сю.
Наибольшим слагаемым в ряде
а2 00 лг—1
1 + £ + ^! + • • • = 12 (г-1)|
будет слагаемое с г = [£] + I.1 Запишем (3.7.4) в виде
х £г-1 х АЙ+м-1
Х = (г-1)! = НД ([£] + д-1)!’ (37'6)
7 /.I
где (J, принимает как положительные, так и отрицательные значения.
По формуле Стирлинга,
если /г сравнительно мало по сравнению с £. Следовательно, правую
часть (3.7.4) можно сравнить с
х
logx
е-Д/2?
(3.7.7)
1 Когда — целое число, тогда в ряде два одинаковых наибольших слагаемых.
или с
7 e~t2^dt = X,
y/2^_J
и той частью этого интеграла, для которой порядок t выше, чем ^/£,
можно пренебречь. Таким образом, почти все значение суммы (3.7.4)
дают слагаемые, для которой д равно Р(-\/£). Естественно предполо-
жить, что то же самое должно быть верно для (3.7.3), что практически
все значение суммы дают слагаемые, для которых
|г - £| = |r - log log т|
имеет порядок
О(г/1) = O(y/log logs).
Как мы увидим чуть позже, это утверждение доказывает не только
нашу теорему, но и намного больше.
Аргумент в представленном виде является грубым и неубедитель-
ным. Нам нужно доказать, что мы можем пренебречь большей частью
слагаемых wr(x) в ряде (3.7.3), и для этого нам нужны неравенства, а
не асимптотические равенства. Но эти неравенства могут быть получе-
ны без особых затруднений, и получаем следующее заключение: если
х(т) — произвольная функция переменной х такая, что
x/log log х
тогда для почти всех чисел, не превосходящих х, количество простых
множителей лежит между числами
log log ж ± х(ж).
Поскольку log log ж и log logn практически неразличимы на большей
части интервала (1, ж),1 и это эквивалентно утверждению, что для по-
чти всех чисел п количество простых множителей лежит между
числами
loglogn ±x(n).
'Если 0 < с < 1 и хс < п < х, тогда loglogn лежит между
log(clogx) = log log ж — log(l/c)
и log log ж.
3.8. Осталось добавить одно замечание перед тем. как я перейду
к доказательству Турана. Асимптотические формулы (3.7.2) являются
следствиями теоремы о простых числах, но завершающее доказатель-
ство является «элементарным». Нам нужно доказать, что «хвостами»
ряда (3.7.3) можно пренебречь, и для этого мы воспользуемся неравен-
ством
х (log log х + Су 1
log а: (г - 1)!
(3.8.1)
где А и С не зависят ни от х, ни от г. Доказательство основано на
неравенстве Чебышева
тг(.т) < А
X
logx
и не требует применения теоремы о простых числах.
3.9. Доказательство теоремы, полученное Тураном, основано на
тождествах (3.5.1), и
Е</«2 = Е [ф]+Е[Д <3-9Л)
п^х рр'^х. р'^р Р^х
Чтобы доказать (3.9.1), заметим, что левая часть равна
Е(Е1Е1)= Е 1= Е 1+SL
п^х р\п р'|п рт-р'т'^х p^p'ipp'p^x ртп^х
Здесь р, р' — простые числа, т и р — произвольные положительные
целые числа, и диапазоны суммирования указаны в нижних индексах.
Просуммировав последнюю сумму сначала относительно р и т, мы
получаем результат.
Далее, мы видели в §3.5, что
52/(«) = = х log log.х + О(т). (3.9.2)
П^Х Р^х
Также
V Г-^1 = X V -iy + О(х);
, Lpp 1 ' рр
рр'^х^рТР рр
мы можем отбросить ограничение р / р', поскольку ряд J}p 2 сходя-
щийся. Но
рр'^Х р<х
поскольку р у/х и р' = у/х влечет рр' С х и рр' х влечет р С х
и р' х, и каждая из двух крайних величин в (3.9.3) равна
{logloga: + О(1)}2 = (loglogz)2 + OQoglogz)-
Следовательно,
V [-^7] = ^(logloga:)2 4- О(х logloga:). (3.9.4)
-X ,LPP J
pp'^x,p-=^pf
и из (3.9.1), (3.9.2) и (3.9.4) следует, что
^2{/(n)}2 = zQoglogz)2 + 0(1 log log ж). (3.9.5)
Наконец, записав £ вместо log log х. как в (3.7.5), имеем
Euw - = Е №»2 - 2< Е №»+е Е1 =
= х{е + 0(0} - 2£х{£ + 0(1)} + + 0(1)} = ОН), (3.9.6)
в соответствии с (3.9.2) и (3.9.5). Но если
1/(«) - CI > Х(х)
для более чем 6х из п меньших х, то
Evw-^2 >da:Y2’
что противоречит (3.9.6), если порядок х выше чем И, и это доказы-
вает теорему.
3.10. Существует интересное следствие для числа d(n) делителей
числа п. Известно, что
d(l) + d(2) + . . . + d(n) ~ nlogn,
поэтому средний порядок d(n) равен logn. Каков нормальный порядок
этой величины?
Если n = p“TP22 • -Pvu, т0
/(n) = z/, F(n) = ^2ar, d(n) = J~J(1 + ar). (3.10.1)
Также
2^ l + a^2“.
Следовательно,
2^ IJ(l + ar) 2^“’' (3.10.2)
ИЛИ
г-'Ч”) d(n) 2Г<П>. (з.ю.з)
Поскольку и /(п), и F(n) обычно примерно равны loglogn, то следо-
вательно величина d(n) обычно примерно равна
2loglogn = (logn)log2 = (logn)0’6 - • . (3.10.4)
Мы еще не можем сказать, что «нормальный порядок величины d(n)
примерно равен 2loglogn», поскольку неравенства, доказанные нами для
величины d(n), гораздо менее точные, чем неравенства, доказанные
для /(п),1но мы можем сказать более грубо, что нормальный порядок
величины d(n) «примерно равен 2loglogn».
В этом случае нормальный и средний порядки не совпадают,
d(n) обычно намного меньше своего среднего порядка. Объяснение про-
стое, d(n) — слишком нерегулярна. Большая часть чисел имеет при-
мерно 2loglogn делителей, но у некоторых чисел количество делителей
1 Неравенства типа
21og logn-x(n) < d(n) < 2loglog"+x^n’.
Нормальный порядок logc/(n) равен
log 2 log log n.-
очень велико, настолько велико, что эти необычные числа определя-
ют среднее значение d(n). Нерегулярности Дп) и F(n) не настолько
велики, чтобы произвести подобный эффект.
Естественно задать тот же вопрос о Дп), числе представлений п
в виде суммы двух квадратов, но в этом случае сразу получаем ответ.
Поскольку
г(1) + г(2) + . . . + г(п) ~ 7ГП,
то средний порядок г(п) равен тг. Нормальный порядок с другой сто-
роны равен 0, поскольку большая часть чисел не представима в этом
виде1.
3.11. В завершение я упомяну о предположении, которое я сделал
в 1936 году и которое с тех пор было доказано независимо Эрдёшом
(Erdos) и Пиллаи (Pillai).
Асимптотическая формула (3.7.2) верна для всех фиксирован-
ных г, и естественно предположить, что это также верно, когда г яв-
ляется функцией переменной х, которая стремится к бесконечности
достаточно медленно. Если это верно для
г = [log log ж],
тогда простое применение теоремы Стирлинга'приводит к формуле
ДД log log ж
и во всяком случае мы можем надеяться доказать, что
wr(z) > Ах - (3.11.1)
\/10g log X
для некоторого положительного А. Противоположное неравенство
юг(Д < Ах
v/loglogz
1 Только примерно
Ах
0^
из первых х чисел представимы в таком виде. См. лекцию IV(B). Средний порядок
этой величины см. в лекции V, §5.1.
(для некоторого А) является тривиальным следствием формулы (3.8.1).
Однако мне удалось доказать, когда я сделал это предположение, лишь,
что
/ ч Ах
(.Т ) > --------
(log log ж)5/2
Эрдёш и Пиллаи доказали (3.11.1), и действительно это неравен-
ство верно при
log log х — В \/log log х < г < log log x + В \/log log x;
и Пиллаи доказал намного больше, а именно, что если 0 < к < е, то
, , х (logloga: — Су-1
v logz (г-1)!
Для
г A‘(loglog.r — С),
где С зависит только от к. Истинность (3.11.1) для указанного диапа-
зона значений г является простым следствием.
Комментарии к лекции III
Главная теорема этой лекции была доказана Харди и Рамануджаном в
Quarterly Journal of Math 48 (1917), 76-92. Это работа номер 35 Сборника
трудов и номер 32, ее предварительное изложение.
Доказательство Турана, приведенное в §3.9, было опубликовано в его
работе (1). Мы включили в него упрощение, предложенное мистером Мар-
шаллом Холлом (Marshall Hall). Доказательство также воспроизведено в кни-
ге Харди и Райт, § 22.13. Туран в (2) доказал несколько обобщений теоремы.
§3.3 Неравенства (3.3.1) и асимптотическое соотношение
могут быть доказаны «элементарными» рассуждениями. См., к примеру,
Харди и Райт, гл. 22 и лекцию II.
Обсуждение (3.5.3) и более точные результаты см. в Харди и Райт, гл. 22;
Ингам, 22-24; Ландау, Handbuch, 100-102. Несколько более точный результат
£ i = log log т + А + о(1)
(для подходящих значений А) эквивалентен теореме Мертенса (Mertens)
ПО 4)
е”7
log а: ’
где 7 — константа Эйлера.
Почти также легко доказать более точные уравнения
У /(п) = х loglogi+Ai+O^-j-^—F\n) — iloglogT+BT+O^y-^—
п^х
где
В = А + У 1
р(р - 1)
Эти уравнения сформулированы в § 1.2(3) совместной работы, упомянутой в
начале этих комментариев.
§ 3.7 Обсуждение (3.7.2) см. в книге Ландау, Handbuch, 203 -213.
§3.10 Максимальный порядок величины d(n) примерно равен
log п
log log п
Это впервые было доказано Вигертом (Wigert): см. Ландау, Handbuch,
219 -222. Вигерт и Ландау использовали при доказательстве теорему о про-
стых числах, но Рамануджан (Сборник трудов, 85-86) показал, что это не
является необходимым.
§3.11 См. стр. 5 моих литографированных лекций, упоминавшихся в
комментарии к §2.8 (стр. 70).
Доказательства Эрдёша и Пиллаи еще не опубликованы.
Лекция IV
Некоторые другие задачи аналитической
теории чисел
4.1. В этой лекции я возвращаюсь к классическим задачам ана-
литической теории чисел. Содержание лекции разнообразно и довольно
несвязно, но связующей нитью служит то обстоятельство, что большая
часть задач подсказана задачами из писем Рамануджана. Я начну с
отступления на тему, о которой Рамануджан ничего не сказал, но на
которую я ссылался во второй лекции.
А
Доказательство того, что £(s) не имеет нулей на
прямой а = 1
4.2. Теорема о простых числах «эквивалентна» теореме, что
Д1+гЦ^0, (4.2.1)
в том смысле, что никаких более глубоких свойств Да) не требуется
для доказательства. Строгая эквивалентность возникает лишь тогда,
когда используется метод Винера, но (4.2.1) играет существенную роль
в любой версии доказательства. Стандартное доказательство (4.2.1) по-
лучено Адамаром, но существует альтернативное доказательство, при-
надлежащее Ингаму, которое интересно само по себе и уместно здесь,
поскольку оно основано на одной из формул Рамануджана.
Доказательство Адамара основано на простом тригонометриче-
ском неравенстве, а именно
3 + 4cos0 + cos 20 = 2(1 + cos0)2 0 (4.2.2)
(для всех вещественных в). Воспользуемся им следующим образом. По
формуле Эйлера,
log Да) = ^21og1 ; = ^P~s + /(*),
где f(s) регулярна при ст 1 (а в при действительности ст > |). Сле-
довательно,
log |<(ст 4- zt)| = «R^p-^ +5(ст, t) =
= '^2Р^П cos(Plog*) + 9(а> *)>
при ст > 1, р(ст, i) ограничена для любого фиксированного t, когда ст —> 1.
Следовательно, если мы запишем
Х(ст, i) = log |<3(ст) С4(ст + it) <(ст + 2it)|
и будем использовать д(<7, t) в том же самом смысле, то
Ж t) = а{3 + 4cos(tlogp) + cos(2tlogp)} + д(ст, t);
и таким образом (поскольку члены ряда положительны)
Х(ст, t) > -A(t), (4.2.3)
где Л(4) не зависит от ст, когда ст —> 1.
Теперь зафиксируем t. Если
C(l+it) = O,
то
£(ст + it) = С(1 + it + ст - 1) = (ст - l)fc/i(CT, t),
где к — положительное целое число, a log Л(ст, t) ограничен при ст —> 1;
и таким образом
log |<(ст + it)\ < -felogy^y + A(t)
при ст —*• 1. Также
log|<(CT + 2it)\ < A(t)
И
logKWl < logyTj + A’
где A — константа. Поэтому
Х(ст, t) < (3 - 4/c) log + A(t) —> -oo,
что противоречит (4.2.3).
4.3. Доказательство Ингама основано на формуле, опубликован-
ной Рамануджаном в 1915 году, а именно
<7а(п)<7ь(п) _ С(3К(3 ~ а)С(3 ~ - а-Ь)
2^ ns ~ Д2з -а-Ь)
где <то(п) — сумма а-х степеней делителей п, и
91s, 91(s — a), 91(s — b), 91(s — а — b)
— все больше 1. В частности,
у- d2(n) = c4(s)
ns £(2s)
при а > 1.
Чтобы доказать (4.3.1), заметим, что
Х(п) = <7а(п)<7Ь(п)
«мультипликативно», т. е. что
Х(пп') = х(«)х(«')
для взаимно простых п и п'. Следовательно,
р
где р пробегает по множеству простых чисел,
(4.3.1)
(4.3.2)
(4.3.3)
/p(s) = i + y;
Л=1
<7д(рЛ)<7ь(рЛ)
pXs
as — произвольное значение, при котором произведение абсолютно
сходится. Но
~ р(А+1)а _ ! р(А+1)Ь _ i _Л5 _
2^ - 1 ъ _ ! Р
А=0 Р 1
_______1_____ f ра+Ь_________ра
(ра - 1)(рЬ -1)11 -pa+b~s ~ 1-рс
РЬ ! 1 1
1 -pb~s 1 -p-s J
1 _ ра+Ь-2з
(1 -p“s)(l-Pa~s)(l -Pb“s)(l-ра+ь~*у
поэтому
yr________________1 - ______________
Y (i -p~s)(i -pa~s)(i -pb-s)(i -Pa+b--s)
С(з)С(з - g)C(s - b)C(s -a-b)
£(2s — a — b)
Теперь предположим, что
£(1 + ic) = О
для положительных с. Если принять а = ic и b = — ic в (4.3.1), получим
у- |g’ic(n)|2
ns
C2(s)C(s - ic)()(s + ic)
C(2s)
(4.3.4)
На первый взгляд эта формула верна при ст > 1. Но /(s) регулярна
при ст > i, поскольку двойной полюс C2(s), при s=l, уничтожается
нулями £(s — ic) и C(s + ic) и коэффициенты ряда положительны. Сле-
довательно, по известной теореме Ландау, ряд является сходящимся и
представляет f(s) при ст > | и, в частности, когда s = |+5 > Таким
образом,
/1 .Л lcric(n)l:
> 1
при 6 > 0. С другой стороны,
C(2s) = <(1 + 25) -> оо
при 5 —> 0, и все три множителя в числителе (4.3.4) ограничены, поэто-
му
/(| +5) ->С).
Получившееся противоречие показывает, что £(1 + ic) 0 для любого
положительного с.
в
Количество чисел, являющихся суммами двух
квадратов
4.4. Утверждение, приведенное под номером (1.15) в моей ввод-
ной лекции, заключалось в том, что «количество чисел между А и х,
которые являются либо квадратами, либо суммами двух квадратов,
равно
К j-^= +0(x),
J ylog t
А
где К = 0,764... и 0(х) очень мало по сравнению с интегралом». Не
имеет значения, будем ли мы включать сами квадраты или нет. Позд-
нее Рамануджан (i) привел точное значение К, а именно
{Ш(а-)Г
где г пробегает по всем простым числам вида 4ттг + 3, и указал (ii) что
0(х) имеет порядок
/ х
У log х'
Мы установим, что последнее утверждение является ложным.
4.5. Эта задача была решена Ландау в 1908. Решение очень ин-
тересно, поскольку оно основано на применении классических методов
теории простых чисел к функции с алгебраической особенностью.
Обозначим простые числа вида 4т + 1 и 4ттг + 3 как q и г соответ-
ственно. Для того, чтобы п было суммой двух квадратов, необходимо
и достаточно, чтобы
п = 2"fiv2,
где ц — произведение простых чисел q и и - произведение простых
чисел г. Если мы положим Ьп равным 1, когда п является суммой двух
квадратов, и 0 в противном случае, тогда Ьп равно 1, когда
и
/M = E^ = a^n^n^-
q г
Также
<!‘' = Н^Пг^Пг- —
1 — 2 s хх 1 — Q s хх 1 — г s
q г
£М = 1-^ + ^-... = Пг-ЧПт-Ч’
о о х х 1 — длж х 1 -1~ т *
поэтому
{/(з)}2 = ^«(*)ОД, (4.5.1)
где
*(«) = П ттЬг <4'5 2’
Очевидно, что 'ф(з') регулярно и не имеет нулей при о > Что
касается других множителей в (4.5.1), L(s) — целая функция, чье зна-
чение при з=1 равно в то время как £(з) регулярна всюду за ис-
ключением ее полюса при s = 1. Также известно, что ни £(з), ни L(s)
не обращаются в нуль в области D, растягиваясь влево от прямой о = 1
по закону
а ; 1 А
{log(|t| + 2)}Л'
Наконец, £(з) и L(s) имеют порядок
O{(log|i|)A}
для больших t в D.
Следовательно,
/(з) = (з- 1)-1/2д(з),
где g{s) регулярна в Z? и
4.6. Если
тогда В(.т) — количество представимых чисел, не превосходящих х, и
с+гоо
ВЧх) = У'ьп = ^-
V 7 t—* 2717
ds
(4.6.1)
при с > l.1 Будем рассматривать этот интеграл (или интеграл, полу-
ченный из него с помощью каких-либо преобразований) так же, как мы
рассматривали интеграл для V’*(^) в лекции II.
Я приведу грубый набросок доказательства, который можно срав-
нить с «аппроксимацией первого порядка» (§ 2.5) к доказательству те-
оремы о простых числах. Однако существуют два важных отличия.
Интеграл (4.6.1) в некотором смысле намно-
го проще, поскольку в знаменателе нет дзе-
та-функции, но подынтегральное выраже-
ние имеет алгебраическую особенность, а не
полюс. Следовательно, В*(ж) будет аппрок-
симироваться не вычетом, а интегралом по
контуру вокруг точки з=1. Мы должны
преобразовать путь интегрирования в путь
типа С (см. рис. 1), и наша аппроксимирую-
щая функция будет иметь вид
L
— ~---77Г d(s) ds =
7 (s — 1)Х/23
/ , (4-6-2)
7 (s- 1)1/2
где
h(s) = 1 + aj(s - 1) + a2(s - I)2 + ...
(4.6.3)
'Звезда и штрих имеют то же самое значение, что и в §2.5.
вблизи s = 1 и L — разрез от 1 — ту, проходящий вокруг 1, показанный
на рисунке.
Если мы примем /г(з) равным единице, то получим
1
1 —П
---i—-ds =
(1-s)1/2
л
Кх f е-и1о^х du
vAF J х/й
о
что практически равно
Кх
x/log-T
и доказательство при правильном выводе покажет, что
В(х) = Кх (1 4-
x/log.'!' <
«1 + О?2
log Ж (log г)2
(4.6.4)
ряд является асимптотическим по Пуанкаре рядом. Это, в сущности,
результат Ландау, хотя он не продолжал анализ так далеко.
4.7. Тогда
Кх Ь + /?1 + /?2
v/log х с log х (log х)2
(4-7.1)
и ряд снова является асимптотическим. Таким образом, результат Ра-
мануджана, за исключением того, что он относится к 9(х), имеет тот
же вид, что и (4.6.4), но коэффициенты двух рядов не совпадают1. Ко-
эффициенты ряда в (4.6.4) зависят достаточно сложным образом от
коэффициентов а1; <22, ... в (4.6.3). Интеграл (4.7.1), как аппроксима-
ция, не имеет преимущества перед первым слагаемым ряда (4.6.4), и
утверждение Рамануджана (15), хотя и остается истинным в том виде,
в котором оно сформулировано, определенно вводит в заблуждение.
Он был введен в заблуждение, что не является странным, аналогией с
теоремой о простых числах, в которой логарифмический интеграл Иг
имеет большое значение и является очень хорошей аппроксимацией.
Соотношение
В(т)-----^=,
v''log.T
1 Фактически
тем не менее, остается истинным, и было бы очень интересно узнать,
как именно Рамануджан получил это утверждение. Судя по виду К,
он, очевидно, воспользовался формулой (4.5.1). Заключительная часть
его доказательства, несомненно, была очень умозрительной.
4.8. Рамануджан сделал аналогичную ошибку позднее, в неопуб-
ликованной рукописи, которую изучили после его смерти мисс Стенли,
Ватсон и я сам. Функция Рамануджана1 т(п) является «почти всегда»
делящейся на 5. Более того, если tn = 0, когда т(п) делится на 5, tn = 1
иначе, и
Т{Х) = ^П-
Тогда
(j___________________________________X____
(log г)1/2
при некотором С. Здесь Рамануджан снова оказался под действием
ложного представления, что выражение
dt
(log t) V2
было намного лучшей аппроксимацией.
С
Замечание о функции Мебиуса ц(п)
4.9. Хорошо известно, что некоторые теоремы о функции Меби-
уса ц(п) «столь же глубоки», как теорема о простых числах. Они эк-
вивалентны ей в том смысле, что их можно вывести из нее и ее можно
вывести из них с помощью «элементарных» преобразований. В частно-
сти, это верно для теорем
м(п)
/ У п
и
(4.9.1)
М(т) = ц(?») = о(х);
(4.9.2)
!См. лекцию X.
и эти две теоремы, естественно, эквивалентны в том же самом смысле.
То, что (4.9.2) следует из (4.9.1), действительно тривиально, поскольку
сходимость
влечет
Ап = + 0,2 Т Т о,п = о(п),
каковы бы ни были ап. Вывод (4.9.1) из (4.9.2), хотя и остается «эле-
ментарным» с технической точки зрения, намного менее очевиден, и
основан на достаточно тонкой теореме Аксера и на специальных свой-
ствах р(п).
В первом письме Рамануджана ко мне есть также утверждения, из
которых видно его знакомство с (4.9.1) и (4.9.2). Из этого, разумеется,
не следует, что он имел настоящее доказательство этих теорем. Сразу
получается, что
и он вряд ли делал различия между этим выражением и (4.9.1).
Эти утверждения отмечены цифрой (2) на странице XXIV Сбор-
ника трудов. Если и - число, являющееся произведением нечетного
числа различных простых множителей, a Щх) — количество таких чи-
сел, не превосходящих х, тогда
За? 9 ' (4.9.3)
7TZ
X и2 9 2л2 ’ (4.9.4)
7^ X и4 = XL 2 л4' (4.9.5)
Последние две теоремы не являются сложными. Будем писать q
для числа, не содержащего квадратов, и в вышеописанном смысле и v
для числа типа q, но не и. Тогда
м(и) = -1, д(г) = 1
И
V — = i V HXLzXX.
iis 2 xis
но
у- м(п) = _1_
ns c,{s)
ф)
C(2s)'
Следовательно,
И
1 _ 1 / Ф)
^us “ 2 1<(2s)
Ф)}
при s > 1, а (4.9.4) и (4.9.5) — частные случаи.
Теорема (4.9.3) является более глубокой и основана на (4.9.2). Если
мы определим Q(x) и V(х) так же, как определили U(x), тогда
Q(x) = U(x) + V(x)
и
М(х) = V (х) - U(x).
Легко доказать, что
и тогда (4.9.3) следует из (4.9.2). Таким образом, утверждение Рама-
нуджана в этом случае столь же «глубокое», как теорема о простых
числах.
Комментарии к лекции IV
§4.2. Доказательство Адамара можно продолжить и показать, что £(з)
не имеет нулей и действительно
{log(|t| + 2)}л
в области
сг > i-------------------------------------------.
{log(|t| + 2)}л
Здесь А — подходящие положительные константы. См. Ландау, Handbuch,
167-170.
Доказательство Ингама было опубликовано в его работе (2). Его можно
применить ко всем «L-функциям» Дирихле и в частности к
L(s) = l~~s -3~s +5^ -
но оно не может быть продолжено так же, как доказательство Адамара.
§4.3. Формула (4.3.1) приведена в Сборнике трудов 135 (15). Существует
доказательство Вильсона (1).
(4.3 .3) см., к примеру, в Харди и Райт 247-248.
Теорема Ландау была опубликована в Math. Annalen 61 (1905), 527-550.
Доказательство также приведено в Handbuch, 697-698.
§4.4 . См. комментарии к стр. 20 (напечатаны на стр. 34).
Точные утверждения Рамануджана см. в Сборнике трудов, XXIV и
XXVIII. Очевидно, что если бы его утверждения о порядке 6(х) были верны,
то имело бы значение то обстоятельство, считаем мы квадраты или нет.
§ 4.5. Свойства C(s), предполагавшиеся здесь, содержатся среди доказан-
ных Ландау в той части Handbuch, на которую мы ссылались в комментарии
к § 4.2. Обобщение на L-функции, и в частности на L(s) — I s — 3~s + ...,
см. в Handbuch, 459-464.
§ 4.6. Это доказательство является несколько более изощренным, чем
доказательство из §2.5, поскольку там я предположил истинность гипотезы
Римана, в то время как здесь я не предполагал ничего о нулях <(s) и L(s). что
не было доказано (и мне пришлось из-за этого использовать криволинейный
контур). В других аспектах это доказательство столь же грубо, что и в § 2.5.
§4.8 . См. Стэнли (1). Функция т(п) имеет множество интересных
свойств сравнимости, например, т(п) = 0 (mod 691) для почти всех п. См.
их в Морделл (1), Ватсон (23) и в лекции X-
§4.9 . См. Ландау. Prac. Matematyczno-Fizicznych. 21 (1910), 97-177
(130-137) и комментарий к § 2.2.
Асимптотическую формулу для Q(a") см. в Харди и Райт, 267-268; Лан-
дау, Handbuch, 604-609. Теорема принадлежит Гегенбауэру (Gegenbauer).
Лекция V
Задачи о точках решетки
5.1. Предположим, что D — ограниченная область на плоско-
сти переменных и и v, содержащая внутри себя начало координат О.
D(x) — результат расширения D относительно О в линейном отноше-
нии г1/2 : 1 или относительно площади в отношении х : 1. Сколько
точек решетки (т. е. точек с целочисленными координатами) содержит-
ся внутри или на границе D(x), если х — велико?
Самой знаменитой из таких «задач о точках решетки» является
«задача об окружности» Гаусса. Здесь D — единичная окружность и
D(x) — окружность
2 , 2 _•
и + V X.
Легко показать, что если N(x) — количество точек решетки в D{x), то
N(x) = -кх + О(х1^2) (5.1.1)
(площадь окружности с ошибкой порядка длины окружности). Эта те-
орема почти интуитивна, но отнюдь не является истиной в последней
инстанции. Более тщательный анализ задачи показал, что 1 в (5.1.1)
можно заменить сначала |, затем различными меньшими числами.
Мы также можем сформулировать теорему в менее геометриче-
ской форме. Если г(п) — количество представлений целого числа п в
виде суммы двух квадратов (представления, которые отличаются по-
рядком или знаками чисел, из которых образованы квадраты, учитыва-
ются по отдельности), тогда г(п) равно числу точек решетки в окруж-
ности и2 + а2 = п и
N(x) = г(1) + г(2) + ... + г([я:])’= г(п);
поэтому (5.1.1) может быть записана как
У^ т(п) = ттх + О(з:1/2) (5.1.2)
и становится теоремой о «средней величине» арифметической функ-
ции т(п).
Существует много обобщений задачи на эллипсы, и на гиперсферы,
и на гиперэллипсоиды в пространствах любого количества измерений.
5.2. Другой знаменитой задачей о точках решетки является «за-
дача о делителях Дирихле». Нам удобнее будет сформулировать ее в
несколько измененном виде. Окружность в §5.1 была симметрична во
всех четырех квадрантах, и нам достаточно было бы сформулировать
задачу лишь для одного квадранта. Если D(x) теперь определяется
и 0, v 0, и2 + V2 х,
тогда
N(x) = ^"х + Ofx1/2).
Мы можем также определить D(x):
и > 0, v > 0, и2 + v2 < я,
не учитывая точки на осях и мы увидим, что это изменение существен-
но в задаче о делителях.
В задаче о делителях D(x) определено как
и > 0, v > 0, uv < х.
поэтому N (я) равно количеству точек решетки между осями и равно-
сторонней гиперболой uv = х, при этом учитываются те, которые рас-
положены на гиперболе, но не учитываются те, которые расположены
на осях. На осях расположено бесконечное количество точек решетки,
поэтому их исключение является существенным.
Дирихле доказал, что в этом случае
N(x) — х log х + (27 — 1)ж + О(з:1/2), (5.2.1)
где 7 — константа Эйлера. Эта теорема соответствует (5.1.1), хотя до-
казательство не совсем тривиально. Как и в задаче об окружности,
теорема была, обобщена современными исследователями, в сущности, с
теми же результатами. Альтернативное утверждение (i)
У d(n) = хlogх + (27 — 1)ж + О(з:1/2), (5.2.2)
d(ri) — число делителей п, и (ii)
И + М + [д] + • = zlogz + (27 - 1);г + О(х1/2). (5.2.3)
L J L о J
Последнее представление используется в доказательстве Дирихле.
5.3. Я не знаю, сколько времени Рамануджан размышлял об этих
задачах в юности. Он был знаком с доминирующими слагаемыми
X log X + (27 — 1)2:
аппроксимации Дирихле и, возможно, обнаружил их с помощью дока-
зательства подобного типа. В этом случае он должен был знать (5.2.1),
но он навряд ли мог бы внести существенный вклад в эту область, по-
скольку самое важное для всех этих задач — это оценка ошибки, о чем
его ранние идеи были несколько смутными.
Так, в своем первом письме ко мне он утверждал, что
d(l) + d(2) + ... + d(n) = nlogn + (27 - l)n + | d(n).
Нам следует заключить (если мы будем рассматривать это утвержде-
ние сколько-либо строго), что порядок ошибки в формуле Дирихле не
превосходит порядка ошибки </([2:]) и, в частности, что
N(x) — х log х + (27 — 1)2: + СфД)
для любого положительного е. Это неверно (на самом деле, при е = |),
хотя это не так легко опровергнуть. Однако намного более правдопо-
добно, что Рамануджан добавил слагаемое | d(n) просто в знак доста-
точно разумного формального принципа. Когда мы исследуем «функ-
цию суммы»
А(я) = 57 ап
п^х
арифметических функций ап, обычно не А(х), а
А*(г:) = 57
с последним слагаемым адо умноженным на |, когда х. целое число,
наиболее естественное представляется в анализе1.
Позднее в своей жизни, разумеется, Рамануджан занимался этими
задачами на более изощренном уровне, хотя его результаты здесь не
имеют большого значения.
5.4. Здесь, однако, я рассматриваю не какую-либо из этих класси-
ческих задач, а ту, которая связана с другими утверждениями Раману-
джана. Она также представлена в его первом письме ко мне и выглядит
следующим образом:
«Количество чисел вида 2U3V, меньших п, равно
log 2n log Зп
2 log 2 log 3
Формула, разумеется, носит аппроксимирующий характер, и нет ника-
ких свидетельств о том, насколько точной считал ее Рамануджан.
Будет удобно записать
г] = log п, ш — log 2, ш' = log 3.
Тогда утверждение Рамануджана заключаются в том, что количество
решений неравенств
и 0, v 0, ши + ш'и г) (5.4.1)
«приближенно» равно
Л2 .Л . П . 1
2шш' 2ш 2ш' 2'
| в конце, разумеется, не должна восприниматься слишком серьезно,
и в дальнейшем мы увидим, что если какая-нибудь константа имеет
право находиться здесь, то это не
'Как в формуле Перрона,
с-|-гоо
-4* О) = ЕГ = 2b / f(s^ds'
с —ioo
где f(s) = 22 апе~Х”а. См. Харди и Рисе Общая теория рядов Дирихле, 12. В этом
случае последнее слагаемое необходимо умножить на если х = Ап.
В этой лекции я предлагаю привести краткое изложение того очень
любопытного и интересного анализа, который можно сделать, основы-
ваясь на утверждении Рамануджана.
5.5. Предположим, что ш и о/ произвольные положительные
числа такие, что
NM = N(r), u>')
равно количеству решений (5.4.1), т. е. количеству точек решетки в
некотором прямоугольном треугольнике таком, что
о
= (5-5Л)
и что
ад = ад + ад. (5.5.2)
Задача заключается в том, чтобы найти наилучшее из возможных огра-
ничений для Она изучалась в различных видах многими иссле-
дователями и, в частности, Харди и Литтлвудом, и Островским. Харди
и Литтлвуд в двух статьях, опубликованных в 1921 и 1922 годах, рас-
сматривали ее в том виде, в котором она приведена здесь. Островский
рассматривал несколько отличную задачу, казалось бы более частную,
но, в сущности, эквивалентную и получил с помощью других методов
практически те же самые результаты.
Задача существенно не меняется, если мы отбросим точки решет-
ки, лежащие на осях. Горизонтальные и вертикальные стороны тре-
угольника равны ту/и> и Т]М , и количество точек решетки на них равно
где |j| 1. Следовательно, если мы обозначим с помощью Щу) коли-
чество точек решетки, лежащих внутри треугольника или на его гипо-
тенузе, тогда
9
2wu>/ 2u> 2о/
где г(т7) отличается от R(jf) не более чем на 1.
Сразу очевидно, что
2
NM = + ОМ
(5.5.3)
(площадь треугольника с максимальной ошибкой порядка его перимет-
ра). После этого все зависит от арифметической природы
в = ojjoj .
Поскольку
N(r], ш, ш1) = N(krj, ки>, ku>'),
то только отношение в в действительности важно в задаче.
Рациональные в
5.6. Простейшим является случай, когда О рационально. Тогда
(поскольку существенно лишь отношение ш и ш') мы можем предполо-
жить, что
w = а, al' = Ъ,
где а и b — положительные взаимно простые целые числа.
Количество решений
аи + bv = п (5.6.1)
равно
[4] + с
LaoJ
где С равно 0 или I.1
1 Смотри, к примеру, Bachman Niedere Zahlentheorie, ii, 129. Доказательство до-
статочно простое.
Предположим, что
п = mab + г (0 г < аб),
и запишем
и = Ы) + /3, v = aV + а (0 а < а, 0 < 5);
поэтому (5.6.1) будет иметь вид
mab + г = (U + V)ab + а0 + Ьа. (5.6.2)
Рассмотрим множество аЬ чисел
а/3 + Ьа (0 а < а, 0 /3 < Ъ).
Все такие числа меньше, чем 2аЬ, и не сравнимы (mod ah'). Следовательно, их мож-
но записать в виде
р, аЬ + р',
где р и р' вместе пробегают
О, 1, ..., ab — 1.
Следовательно, N(rj') имеет скачки порядка г], когда г) проходит
через значение п, поэтому уравнение
R(.V) =
неверно, /?(?;) имеет порядок тр
5.7. Мы можем явно вычислить N(jf) следующим образом. Если
Xv — последовательность чисел
аи + bv (м, v = 0, 1, 2, ...),
упорядоченных по величине, и каждая подсчитывается столько раз,
сколько оно встречается, и
тогда1
с-Ноо
= £' 1 = ±
Здесь с > 0, а смысл штриха объяснен в параграфе § 5.3. Но
f fs\ — V”1 e~(au+bv)s _ _______1__________
ft (l-e—Xl-e-bs)’
поэтому
с-|-гос
N*(rf) = [ -------—--------V- (5.7.1)
2™ J (1 - e~as)(l -e~bs) s
с—гос
Если
аЗ + ba = p.
то из (5.6.2) следует
U + V = m.
Существует одна пара а, 0, удовлетворяющих первому уравнению, и т+1 пар U, V,
удовлетворяющих второму, и каждый набор V, а, 3 дает решение (5.6.2). С дру-
гой стороны, если
а0 + ba = ab + р',
тогда из (5.6.2) получим
U + V — т - 1,
и в этом случае существует лишь т решений.
Hlo формуле Перонна, приведенной на стр. 101.
Вычислим интеграл как сумму вычетов. Подынтегральное выра-
жение имеет
(i) тройной полюс в начале координат с вычетом
РМ = JL + JL + JL+ a* 2 * * * *+^b+b2
Vl) 2ab 2a 2b 12ab
(ii) двойные полюса в точках
s = 2km,
где к — целое число с вычетами
2kri-iri / -1 -1 1 \
т—к— ( — т.—7 + 9а + о I j
2kabm \ 2km 2 2 )
(5.7.2)
(iii) простые полюса в точках
с вычетами
। e2fc7ri(7)+b/2)/a । e2fc7ri(7)+a/2)/b
4&7г sin(fcb7r/a) ’ 4/стг sin(fca7r/Ь)
соответственно. Несложно показать, что интеграл равен сумме всех
этих вычетов2. Прямое вычисление приводит к формуле
Л7* (т?) = Р^) + Qfr) + + T2(v), (5.7.3)
где P(rf) задано выражением (5.7.2),
2а+ 2Ь / 1 \ 1Г/ 1 \ 2 11
= —— (’-мЧ)+{(’-^Ч) -А}. («•’)
означает, что в <sx не является делителем у» (противоположность х | у).
2Применим теорему Коши к прямоугольнику
с — гТ, с 4- гТ, + iT, — iT,
где Т выбрано так, чтобы горизонтальные стороны прямоугольника не проходили на
расстоянии, меньшем заданного расстояния 6 от любого полюса, а затем устремим
Т и $ к бесконечности.
COS^^-b
0
(5.7.5)
к в последних двух рядах пробегает по всем целым числам, которые не
являются кратными а и b соответственно.
Очевидно, что
QW) = Ы -1) + °(1)-
ао \ & /
и ТЦт?) и Т2(77) периодические (с периодами а и b соответственно), и
поэтому ограниченны. Следовательно,
N* (*?) = Р(Л) - 4 (л - Ы - i) + 0(1) (5.7.6)
ио \
при больших г]. Второе слагаемое терпит разрыв
5-+o(i),
0,0
когда ri проходит через целые значения п в соответствии с нашими
заключениями в § 5.6.
Иррациональные О
5.8. Задача, естественно, является более сложной, если в ирраци-
ональны. Во-первых, было доказано, что
К») = о(т/) (5.8.1)
для всех иррациональных в, поэтому
2
ад = тЧ + ^ + Л (5-8-2)
2ш
является хорошей аппроксимацией N (rf) и есть еще более точные ре-
зультаты для отдельных классов 6. Они зависят от характера рацио-
нальных приближений к 6 или (что тоже самое) от поведения част-
ных ап в представлении в в виде непрерывной дроби
д .11
U — dQ -|-:------ . . .
Я1+ Я2 +
Если ап возрастает не очень быстро, то
R(rf) = О(т/а), (5.8.3)
где а между 0 и 1; и если ап ограничены, тогда
R(r)) = O(log7j). (5.8.4)
В частности, (5.8.3) верно для всех алгебраических, а (5.8.4) - для всех
квадратичных 6.
в в задаче Рамануджана является трансцендентным числом. Ир-
рациональность в тривиальна, поскольку
log 2 = а
log3 b
влечет 3“ = 2Ь. Т. е. ее трансцендентность следует из теоремы Гельфон-
да и Шнайдера (Gelfond и Schneider), что
трансцендентна, когда а и /3 алгебраические и /3 иррационально. Так
как 3 и
3е = 2
рациональны, 9 не может быть алгебраическим.
Максимум, что мы можем доказать о R(ri) в случае Рамануджа-
на, — это
ВД=»(|^). (5.8.3)
Я докажу это в § 5.15. Несколько менее точное уравнение
(5-8-б>
которое я докажу в § 5.12, в сущности, является уравнением из теоремы
Островского.
5.9. Существует «тождество» для когда 0 иррациональ-
но, которое по форме сходно с (5.7.3), но включает ряды, которые не
являются сходящимися в обычном смысле. Я не буду его использовать,
но я приведу доказательство (5.8.1) и (5.8.6), в основном принадлежа-
щие Хейлбронну. Доказательство Хейлбронна, в принципе, то же самое,
что и у Островского, но несколько проще. Оно эффективно, когда нам
нужно доказать, что R(rj') «лишь немного меньше, чем 77», как в (5.8.1)
и (5.8.6), но не приводит в своей упрощенной форме к более точным
результатам, которые как (5.8.4) истинны лишь для очень «простых» в.
Определим {ж} выражением
{х} = х - [ж] - |.
Эта функция имеет аналитическое представление
{х} = -l(sin2^+^^ +...),
но мы не будем использовать его здесь.
Ордината и = п пересекает гипотенузу треугольника в точке
п — ПО)
п, ------— >
и>
и количество точек решетки на ней равно
Следовательно,
х(^Ч)~ ХР4П
Если
О) J ' J ’
тогда первая сумма равна
Следовательно,
2
=^Ь+£+ш~S{r,}+0(1)=+0(1)’ (5-9Л)
где
s^=E{5“n0}; (5.9.2)
П^Г]/ш
и доказательство (5.8.1) сводится к доказательству, что
S(q) = o(q). (5.9.3)
Островский в своей статье, на которую я ссылался на стр. 102,
изучает сумму
ряд практически того же типа, что и (5.9.2), и его доказательство может
быть применено столь же эффективно к (5.9.2).
5.10. Если
Р = Pm
Q Qm
сходится к непрерывной дроби для в, тогда qm стремится к бесконеч-
ности вместе с m и
9 Чт ЧтЧ'т+1
где
flmii am+l4m + Qm-1
и а'п+1 — полное частное, соответствующее an+i. Предположим, что
q < q/u) и
г п 1
— = rq + s (г 1, 0 s < q).
Тогда
9(7?) = 52 { J “ n0} + O(s) = S*(-q) + O(s). (5.10.1)
Если мы запишем
п = /iq + и (р, — О, 1, ..., г — 1; v = О, 1, .... q — 1),
тогда
г-1 7-1 Г-1
s*^ = £ £{Л - (т + ^в} = £ (5.10.2)
M=0i/=0lW м=°
где
7-1
ДДф) = £{а - 1/0}, а = ам - —t - щв. (5.10.3)
о w
Мы докажем в следующем параграфе, что
S^t]) = 0(1) (5.10.4)
равномерно по а. Если мы сейчас предположим это, то из (5.10.1),
(5.10.2) и (5.10.4) получим
S(r]) = O(r) + О(э) = О + O(qm). (5.10.5)
Доказательство того, что S^rf) ограниченно
5.11.
Тогда
Давайте предположим для определенности, что т — четно.
п . д Р . 1
Также
где а — целое число и
(2 । с
“ = q +
0^<1
Поэтому
а а - vp х (о Р\
а — ив-------— = д — v \ в ~ -j
меньше, чем 1/q, и больше, чем —1/9, поэтому
а-up
а_у0----—
(5.11.1)
Если т нечетно, тогда 0 меньше чем p/q. Определим а выражением
“ = (о«г<|).
и (5.11.1) по-прежнему истинно. Следовательно, в любом случае
(5.11.2)
различаются меньше чем на 1/q. Но (р, q) = 1, и поэтому
где iy — целое число и ги пробегает в каком-то порядке значения
О, 1, 2,...,£-Zl.
’ 9’ 9’ ’ 9
Целые части чисел (5.11.2) могут различаться, только если существу-
ет целое число между числами, и это может происходить лишь тогда,
когда rv = 0, и, следовательно, лишь однажды. В этом случае разность
равна 0 или —1. Назовем эту разность е.
Следовательно,
9-1 д-1
О о
д-1 ,
Е а — г/р 1 2 9 — 1 1, .. , „.
q q ~ q ~ — ~q Ь е — а — 2 (? + 1)(9 — 1) +
о
s^q) = = 52 (q -1,0 ~ I)_ 52tQ _ =
0 0 0
= <l(a - к) - k9(9 - 1)6* - a + |(p + l)(g - 1) - e =
= qa-a- ±q(q - 1) (б* - |) - | - e,
|6M(9)| \q$\ + 2^2 ’ 2^ + + 1 < 3-
Это завершает доказательство (5.10.4) и (5.10.5).
5.12. Таким образом,
S(77) = o(^)+O(9m).
Для любого заданного положительного 5 и для любого достаточно
большого т/ мы можем выбрать т так, чтобы
1 с 77 _ .
v < qm < др, — + qm < 2др.
О Чтп
Следовательно, S(p) = о(т?) для всех иррациональных 0; и, как мы
знаем, это эквивалентно (5.8.1).
Далее предположим, что 0 принимает значение Рамануджана. То-
гда
|29 - Зр| 1 (5.12.1)
для всех р, q. Т. е.
|1 _ eplog3-c/log2| 2 '/
откуда следует, что
\q& - р| > Д2"9 (5.12.2)
для константы А и всех q.
Если р и q равны рт и qm, тогда
\qm0~pm\ < q^,
и поэтому
qm+1 < A2qm < eAqm J
Мы можем выбрать тп так, чтобы
Qm
1 < 9тп-Н
log Т]
Тогда
ел''"' > Qm+1 > Т^—, Qm < A log у,
log д
Т) л Л
q h Qm < -А-: ,
Qm log T]
и это доказывает (5.8.6).
Доказательство (5.8.5)
5.13. Осталось доказать (5.8.5). Это лишь небольшое улучшение
по сравнению с (5.8.6) и, без сомнения, не является истиной в последней
инстанции, поэтому может показаться странным, что мы настаиваем на
этом. Но доказательство зависит от очень интересной теоремы Пиллаи
(Pillai), и ради этой теоремы я включаю это доказательство.
Запишем последовательность
2, 3, 4, 8, 9, 16, 27, 32, 64, 81, ...,
образованную степенями 2 и 3 в порядке возрастания величины и на-
зовем n-й член последовательности ип. Тогда теорема Пиллаи утвер-
ждает, что wn+1 — ип, п-й скачок в ряде, стремится к бесконечности
почти так же быстро, как и ип. Более точно, для любого заданного
положительного <5
2х - Зу| > 211-<51ж
для всех целых х и у с х > ж0(5).
В частности, из этого следует, что уравнение
2х -Зу = к (5.13.1)
имеет лишь конечное число целых решений для любого данного к. Это
легче доказать. Очень широко известная теорема Тью (Thue) утвер-
ждает, что
АХ3 - BY3 = I (5.13.2)
1 А, разумеется, не одни и те же.
(с любыми целыми А, В, I) имеет лишь конечное число решений. Если
мы теперь положим
х = 3£ + р, у = Зц + сг (р, а = 0, 1, 2),
мы получим девять уравнений
2ф«)3 - Зст(Зт?)3 = к
вида (5.13.2), каждое из которых имеет лишь конечное число решений,
и, следовательно, (5.13.1) также имеет лишь конечное число решений.
5.14. Пиллаи доказал более общую теорему, что если т, п, а, Ь —
заданные положительные целые числа
атх — Ьпу О
для любых целых х и у, и S положительно, тогда
\атх —Ьпу\ > т^-5^
для всех х > xo(S). Здесь то(<5), разумеется, зависит от т, п, а и Ь так
же, как и от д. Аналогично, К, которое возникает в доказательстве,
может зависеть от т, п, а и Ь так же, как и от любого параметра,
указанного в обозначениях.
Мы используем одну глубокую теорему Зигеля: если £ — алгебра-
ическое число степени г, тогда существует А(£), зависящее только
от £>, такое, что
I, _ Ж)
Р 91 2г1'2
для всех целых р и q. Существует похожая теорема Лиувилля, в кото-
рой вместо г стоит 2г1/2. Тью показал, что г можно заменить любым
числом большим, чем + 1, но ни теорема Лиувилля, ни теорема
Тью недостаточно сильны для доказательства теоремы Пиллаи. Суще-
ственным является наличие показателя, имеющего меньший порядок
величины, чем г.
Предположим сейчас, что и и v — положительные целые числа,
что а/b не являются в точности степенью г и что
< bvr < аиГ,
если
тогда а не более чем алгебраическое число степени г и
aur— bvr=~- b(w7 — vr) > brvr~r (w—v)> К(r)ur~1 * *(w — v) = К(r)ur (a — .
Следовательно,
aur — bvT > A'(r)ar~2r ' (5.14.1)
по теореме Зигеля. Очевидно, что это также верно, если 0 < bvr ^аиг,
поэтому это верно всегда, когда aur — bvr положительно. Аналогично,
bvr — аиг > K(r')vr~2r 1 , (5.14.2)
когда оно положительно, и быстрое изучение показывает, что мы мо-
жем объединить (5.14.1) и (5.14.2) в виде
|ааг — bvr\ > K(r)zr~2r 1 , (5.14.3)
где и и v — любые положительные числа, a z может быть и или v по
нашему выбору1. К (г), разумеется, зависит от а и Ь, также как и от г.
Теперь мы можем доказать теорему Пиллаи. Выберем 6 маленьким
и положительным и
и запишем
х = sr + h (0 h < г), у = 1г + I (0 С I < г), и = ms, v = п1.
Тогда
lam1 — bny\ = lamh иг — Ьп1 пг| > К (г, h, Г)иг~2г 1
по (5.14.3), и поэтому
\атх — bny\ > К(5)иг~2г 1 ,
1 Поскольку а/b не является r-й степенью, aur — bvr не может равняться 0. Если
оно имеет меньший порядок, чем иг или vr, тогда и и v имеют один и тот же
порядок.
поскольку количество значений h и I зависит только от г, а г только
от 3. Также
ur = mx~h > К(8)тх,
ur-2r^ = > K{5}m^-S/2)X.
и поэтому
\атх - Ьпу\ > К(д)т^~5/^х.
Из этого следует, что
[атх - Ьпу1 >
для х > хо(<5), и в этом заключается теорема Пиллаи.
5.15. Теорема Пиллаи как раз достаточна для того, чтобы улуч-
шить (5.8.6) до (5.8.5). Возвращаясь к доказательству §5.12, мы можем
заменить (5.12.1) на
|29 - Зр| > 29(1_,5)
(для любых положительных 3 и достаточно больших р и q) и (5.12.2)
на
\qf) — р\ > = е^4,
где е = 3 log 2. Следовательно,
а I 1 < р£<1т
Ут-|-1 - С
для достаточно больших т. Выберем т так, чтобы
2ер
Qm < Qm-\-l‘
log 7?
Тогда
qm > | bggm+1 > | (log т/ - log log 77 + log 2c ) > log 77
для больших 77 и m и
77 4ёГ]
+ qm < log 77 ’
поэтому
S(rf) = о(у9~ Y
\l.ogT}7
Таким образом, мы заменили О из (5.8.6) на о. Это может пока-
заться разочаровывающим, что использование таких сильных средств
привело к столь малому улучшению конечного результата, но такие
разочарования являются обычными в этой области анализа.
Комментарии к лекции V
§5.1 . Два доказательства (5.1.1) находятся в Харди и Райт, 268-269.
Существенной сложностью задачи об окружности является проблема
определения 0, наименьшего значения £ такого, что
N(x) = тгх + О(х5+е)
для любого положительного е. Из (5.1.1) следует, что © ~. Серпицкий
доказал в 1906 г., что © i, ван дер Корпут (van der Corput), в 1923 г.,
1 37
что © < д, Литтлвуд и Валфиц (Walfisz), в 1924 г., что © Т12 ’ В другом
направлении Харди и Ландау независимо доказали в 1915 г., что © > у.
Тщательное изучение задачи вплоть до текущего момента можно найти в
Ландау, Vorlesungen, ii, 183-308.
С тех пор результаты были улучшены Ниландом (Nieland), Тичмар-
шем и Виноградовым. Наилучший результат принадлежит Виноградову —
53
Дальнейшие ссылки можно найти в Боре и Крамере, Enzykl. d. Math.
Wiss, II о 8 (1922), 823-824 и в двух статьях Тичмарша, Quarterly Journal of
Math. (Oxford), 2 (1931), 161-173 и Proc. London Math. Soc., (2), 38 (1935),
96-115 и 555. Статья Литтлвуда и Валфица опубликована в Proc. Royal Soc.
(А), 106 (1924), 478-488.
§5.2 . Доказательство Дирихле формулы (5.2.1) см., к примеру, в Харди
и Райт, 262-263.
История этой задачи схожа с задачей об окружности, хотя современные
исследователи в основном изучают последнюю. В этой задаче © — наимень-
шее для которого
N(x) = х log х + (27 — 1) + О(х^+е).
Из (5.2.1) следует, что © ^ А Вороной доказал в 1903 г., что © С А, Харди
1 33
и Ландау в 1916 г. — что © - и ван дер Корпут в 1922 г. — что © <
Дальнейшие ссылки см. в статье Бора и Крамера, процитированной выше,
815-822.
27
Наилучший из известных результатов это, похоже, тот, что © С
о 2
доказанный ван дер Корпутом в более поздней статье в Math., Annalen, 98
(1928), 697-717.
§ 5.3. Одним из примеров служит формула
V' Г(П) -2^у/(п+а)Ь _ у2' Г(П) -2тгх/(п+Ь)а m
□ у/п + а “ у/п + Ь
Здесь а и Ь положительные, а г(п) имеет тот же смысл, что и в § 5.1.
Формулу (1) легко доказать, записав ряды в левой части в виде
оо оо
1 / — ах — 7г2Ь/х f \ 4 / \ — nxl d,X 1 / — ах — -гг2Ь/х п2/ \ dx
о о
где
J(а;) = I + 2е~х + 2е~4™ + ...,
и воспользовавшись функциональным уравнением
=^(4)-
Существует обобщение на эллипсоид, которое я привел в Quarterly Journal
of Math., 46 (1915), 283.
Формула остается верной, пока у/a и у/b имеют положительные веще-
ственные части. Если мы положим а = хегв, где 0 < в < тг и х положительное
и нецелое, устремляя в тг и взяв мнимые части, а затем положив 5 = 0,
получим
Ег(п) .— r(n) --
——---• = 2тг\/х + —-=г зт{2тгу/пх}. (2)
„ , Jx — n Jn
0^n<x v 1 v
Эта формула так же получится, если положить а = — А в формуле для
22(а: — п)аг(п), которую я доказал (при а > 0) в статье в Proc. London Math.
Soc. (2), 15 (1916), 192-213 (205). Никакой из этих выводов, разумеется, не
является доказательством (2), и я не знаю, существует ли какое-либо дока-
зательство, представленное в литературе. Формула имеет тот же самый тип,
что и тождество
оо , .
Е' / \ Г~ Г (71) ---
Г(п) = 7ГХ + ух 7 ---- Л {2%V71X)
(впервые доказанное в моей статье в Quarterly Journal, процитированной вы-
ше).
Мне кажется, что ряд в правой части (2) является суммируемым в смыс-
ле Чезара или Рисциана (Rieszian) для любого положительного порядка, пока
х не является целым числом.
§5.4. Труды, xxiv (3).
§ 5.5. Основные статьи Харди и Литтлвуда опубликованы в Proc. London
Math. Soc. (2), 20 (1922), 15-36 и Abh. math. Semin. Hamburg, 1 (1922), 212-249
и статья Островского в Abh. math. Semin. Hamburg, 1 (1922), 77-98 и 250-251.
Изложение этих задач вместе с исчерпывающей библиографией см. в Коксма
«Diophantische Approximationen», Ergebnisse der Math. IV 4 (1936), Кар. IX.
§ 5.8. Задача доказательства трансцендентности а13 при данных усло-
виях является седьмой проблемой Гильберта в его докладе «Mathematische
Probleme» на седьмом международном конгрессе математиков в Пари-
же в 1900. Это выступление было опубликовано на немецком в Gottinger
Nachrichten (1900), 253-297 и на французском под названием «Sur les
problemes future des mathematiques» в официальных тезисах конгресса (Па-
риж, 1902). См. Коксма, l.c. supra, Кар. IV, в особенности, стр. 64-65, где
приведены ссылки на статьи Гельфонда и Шнайдера.
§ 5.9. «Тождество» см. в теореме 4, второй статье Харди и Литтлвуда,
на которую ссылались в § 5.5.
Доктор Хейлбронн (Heilbronn) сообщил свое доказательство лично мне.
§5.10. Обозначение для непрерывных дробей взято из Харди и Райт,
глава X.
§§5.13- 14. Теорема Пиллаи была доказана в Journal Indian Math. Soc.,
19 (1931), 1-11.
P61ya, Math. Zeitschrift, 1 (1918), 143-148 доказал общую теорему, из ко-
торой следует как частный случай, что (5.13.1) имеет лишь конечное число
решений. Хершфельд, Bull. Amer. Math. Soc. 42 (1936), 231-234 доказал, что
существует не более одного решения, когда к достаточно велико. Другие ре-
зультаты такого рода приведены в статье Пиллаи Journal Indian Math. Soc.,
(2), 2 (1936), 119 122 и 215.
Теоремы Тью и Зигеля см. в Ландау, Vorlesungen, III, 37-56. Теорема
Зигеля — Satz 691. Она сформулирована там в несколько ином виде и для
г 3, но она тривиальна, когда г = 2.
Лекция VI
Работы Рамануджана о разбиениях
6.1. Разбиением п называют представление п в виде произволь-
ного числа положительных целых частей. Так,
4 = 3+1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 14-1
имеет 5 разбиений. Порядок, в котором расположены части, несуще-
ственен, поэтому мы можем представлять их, если мы пожелаем это,
расположенными по убыванию. Обозначим число разбиений числа п
через р(п); так, р(1) — 1 и р(4) = 5. Удобно определить р(0) = 1.
Разбиение п можно представить графически в виде массива точек
или «узлов». Так,
представляет разбиение 6 + 3 + 3 + 1 числа 15. Мы также можем рас-
сматривать рисунок по столбцам, тогда он будет представлять собой
разбиение 5 + 4 + 3+1 + 1 + 1. Два разбиения, связанные таким обра-
зом, называются сопряженными.
Наибольшая часть в каждом из этих разбиений равна числу ча-
стей в другом. В общем случае, рисунок с т строк представляет при
горизонтальном рассмотрении разбиение на т частей, а при вертикаль-
ном — разбиение на части, наибольшая из которых равна т. Из этого
следует, что число разбиений п на т частей равно числу разбиений на
части, наибольшая из которых равна т; и что число разбиений на не
более чем т частей равно числу разбиений, отдельные части в которых
не превосходят т.
6.2. Существует множество менее очевидных теорем о разбиени-
ях, которые могут быть доказаны с помощью изучения их графических
изображений. Я выберу в качестве примера красивое доказательство
Ф. Франклина знаменитого тождества Эйлера.
Тождество Эйлера имеет вид
(1 — х)(1 — а:2)(1 — а:3)... = 1 — х — х2 + а:5 + х7 — ... (6.2.1)
Правая часть равна
J _|_ _|_ a.fc(3fc + l)/2} = (_ ^fca;fe(3fe+l)/2_
к—1 k= — ос
Ее также можно записать в виде
1 + Y.cnxn,
1
где сп равно ( —1)\ когда п = |/с(ЗА: ± 1), а иначе 0.
Давайте запишем
(1 - а:)(1 - а,2)( 1 — а:3)... = 7(n)a?”
и перемножим произведение так, чтобы получить арифметическое
представление коэффициента 7(п). Для каждого разбиения п на нерав-
ные части найдется член при хп, соответствующий этому разбиению:
так, разбиение 6 = 3 + 2+1 приводит к члену (-1)3а:6. В общем случае,
разбиение п на р неравных частей добавляет (—1)м к 7(п), поэтому
7(п) = ре(п) - ро(п),
где ре(п) и ро(п) — количество разбиений п с четным и нечетным чис-
лом неравных частей. Мы попытаемся установить, насколько сможем,
E
D
(G,)
А В
однозначное соответствие между разбиениями этих двух типов. Соот-
ветствие не может быть полным, поскольку полное соответствие пока-
жет, ЧТО Ре(п) = ро(п) И 7(п) = 0 для каждого п.
Мы возьмем граф Gi, который представляет (при горизонтальном
рассмотрении) произвольное разбиение п на любое количество нерав-
ных частей в убывающем порядке. Назовем нижнюю линию АВ базой [3
графа. С самого удаленного северо-восточного узла проведем в юго-за-
падном направлении самую длинную линию, возможную в графе (она,
разумеется, может содержать лишь один узел). Эту линию CDE мы
назовем наклоном сг графа. Будем писать (3 < сг, когда (как в гра-
фе GJ в ст больше узлов, чем в fl. и будем использовать аналогичные
обозначения в других случаях. Тогда возможны три случая.
(i) (3 < и. Перенесем (3 в позицию параллельно и вне ст, как пока-
зано на графе G2. Это приводит к новому разбиению на убывающие
неравные части и на число таких частей, чья четность противоположна
тому же числу в G\.
/А
Е
(G2)
Назовем эту операцию О и обратную операцию (убирание сг и по-
мещение его под /3) назовем Q. Очевидно, что О невозможно, когда
(ii) (3 = а. В этом случае О возможно (как в графе G3), если [3 сг
(как в графе G4), когда эта операция невозможна. Q невозможно в том
же случае.
(iii) (3 > сг. В этом случае О всегда невозможно. Q возможно (как
в графе G5), если /З^сги/З^сг+1 (как в графе Ge). О невозмож-
но в последнем случае, поскольку она приведет к разбиению с двумя
равными частями.
Подведем итог: существует (1, 1) соответствие между двумя типа-
ми разбиений, показанных в случаях на рисунках (G4) и (Ge). В первом
из этих исключительных случаев п имеет вид
к + (к + 1) + (к + 2) + ... + (2к - 1) = |(ЗА:2 - к),
и в этом случае четных или нечетных разбиений больше на единицу, в
зависимости от того, четно или нечетно к. Во втором случае п имеет
вид
(к + 1) + (к + 2) + (к + 3) + ... + 2к = i(ЗА:2 + А:),
с аналогичным преобладанием четных или нечетных разбиений. Таким
образом, 7(n) = (—l)fc, если n = i(3fc1 2 ± fc), и 7 = О иначе. T. e. 7(71) =
= cn, ив этом заключается теорема Эйлера.
6.3. Доказательство Франклина — поразительный пример того,
что можно сделать с помощью элементарных «комбинаторных» аргу-
ментов; но большая часть теории разбиений требует более аналитиче-
ских постановок.
Аналитическая теория была создана Эйлером и основана, как и
аналитическая теория простых чисел, на идее производящей функции.
Но производящие функции теории разбиений являются степенными
рядами
F(x) = ^f(n)x\
Функция F(n), называемая производящей функцией для f(n), также
называется перенумеровывающей f(n).
Легко обнаружить производящую функцию для р(п). Это функция
V 7 (1 -х)(1 — а:2)(1 -;с3)...
(функция фундаментальная в теории эллиптических функций). Дей-
ствительно, раскладывая каждый множитель F(x) по правилу бинома,
получим
F(x) = (1+х+х2+х3 + .. .)(14-я;2 Н-or4 + ог6 + .. .)(1 + а:3 + 2:6 + а:9-|-...)...,
и быстрое изучение показывает, что каждое разбиение п добавляет в
точности единицу к хп. Следовательно,
F(x) = ^Р{п)хП-
Легко найти производящие функции, которые нумеруют разбие-
ние п на части с различного рода ограничениями. Так,
1___________
(1 — х)(1 — Ж3)(1 — х5) . . .
нумерует разбиение на нечетные части;
(1 + х)(1 + а:2)(1 + а:3)...
— разбиение на неравные части; и
(1 + т)(1 + £3)(1 + т5).. •
разбиение на нечетные и неравные части. Произведение Эйлера
(1 — т)(1 — х2)(1 — ж3)
нумерует функцию 7(71) из параграфа §6.2., преобладания количества
разбиений на четное число неравных частей над количеством разбие-
ний на нечетное число неравных частей.
Аналогично, (я выбираю примеры, на которые буду ссылаться в
дальнейшем)
___________1 __________
(1 - ,т)(1 - т2)... (1 - хт)
нумерует разбиение на части, не превосходящие т или (что эквива-
лентно, как мы видели раньше) на не более чем т частей;
xN
(1-.т)(1-.т2)...(1-.т”1)
нумерует количество разбиений п — N на не больше чем т частей и
___________xN______
(1 - х2)(1 - ж4)... (1 - ж2’")
— число разбиений п - N на не более чем т четных частей, или число
разбиений i(n — N) на не более чем т частей любого типа. Наконец,
___________ 1________________
(1 — ж)(1 — Ж4)(1 — Ж6)(1 — Ж9) • • •
где степени х - числа 5т + 1 и 5т + 4, нумерует разбиение п на части
этих двух видов.
Сравнения Рамануджана
6.4. Об арифметических свойствах р(п) известно очень мало; к
примеру, мы не знаем, когда р(п) нечетное или четное. Рамануджан
был первым и, вплоть до последнего времени, единственным математи-
ком, который обнаружил какие-либо подобные свойства, и его теоремы
были открыты, на первый взгляд, с помощью наблюдения. МакМа-
хон (MacMahon) вычислил для других целей, на которые я сошлюсь
позже, таблицу р(п) для первых 200 значений п, и Рамануджан обна-
ружил, что таблица показывает определенные простые свойства срав-
нимости р(п). В частности, количества разбиений чисел 5т + 4, 7 т + 5
и 11m + 6 делятся соответственно на 5, 7 и 11, т. е.
р(5т + 4) = 0 (mod 5), (6.4.1)
р(7т + 5) = 0 (mod 7), (6.4.2)
p(llm-|-6) = 0 (mod 11). (6.4.3)
Так, р(4) = 5 и р(5) — 7.
6.5. Рамануджан обнаружил сравнительно простые доказатель-
ства (6.4.1) и (6.4.2). Они зависят от двух формул, принадлежащих
теории эллиптических функций, формулы Эйлера (6.2.1) и формулы
Якоби
{(1 — х)(1 — а:2)(1 — х3).. .}3 = 1 — За: + 5а:3 — 7х6 (6.5.1)
где степени в правой части являются треугольными числами А/ф/с +1).
Мы доказали (6.2.1), но столь же простого доказательства (6.5.1) не
существует. Мы можем также записать (6.5.1) как
{(1 - х)(1 - а:2)(1 - а:3).. .}3 = | J 2(-l)fc(2k + 1)хк(-к+^2.
Рамануджан дальше доказывает следующим образом. Имеем
а?{(1 — а:)(1 — а:2).. .}4 = а:{(1 — а:)(1 — а:2)...} • {(1 — а:)(1 — а:2).. ,}3 =
= а:(1 — х — х2 + а:5 + ...)(! — За: + 5а:3 — 7х6 + ••),
по формулам (6.2.1) и (6.5.1). Запишем это выражение как
4(1 - х)(1 - 4).. ,}4 = 1 ^2 52(“l)^(2^ + l)4+^3'i+1>/2+^v+1>/2,
(6.5.2)
как /а, так и v пробегают от —ос до +оо, и рассмотрим, при каких
условиях показатель степени х делится на 5. Для этого необходимо,
чтобы
2(М + I)2 + (2г/ + I)2 = 8{1 + |ц(3ц + 1) + |м(м + 1)},- Юц2 - 5
также было кратно 5. Теперь
2(ц + I)2 = 0,2,3 (mod 5)
И
(2м + I)2 = 0, 1, 4 (mod 5),
что мы можем увидеть, пронумеровав возможные случаи; сумма одно-
го остатка из каждого множества может равняться 0 или 5, только если
все они равны 0. Следовательно, если показатель степени в (6.5.2) яв-
ляется кратным 5, коэффициент 2м +1 также кратен 5, таким образом,
коэффициент хЪт+ъ в
а:{(1 -х)(1 — х2).. .}4
кратен 5.
Далее, в биномиальном разложении
1
(1-а:)5
все коэффициенты делятся на 5 за исключением коэффициентов при
1, а:5, х10, ..., которые имеют остаток 1 (mod 5). Таким образом,
--- —- = —3^-z- (mod 5)1
(1 - а:)5 1 — х5 V '
или
——= 1 (mo с
(1-хГ k
Следовательно, коэффициент при хэт+5 в
(1 — аг5)(1 — аг10)...
(1 - х)(1 — х2)...
х{(1 — х)(1 — х2).. .}4
(1 - х5)(1 - х10)...
{(1-х)(1 -х2)...}5
1 Соответствующие коэффициенты сравнимы (mod 5).
кратен 5, и поэтому то же верно и для
___________х___________.
(1 — х)(1 — х2)(1 — X3)...'
и этот коэффициент равен р(Ьт + 4).
Аналогичным способом можем доказать (6.4.2). В этом случае за-
пишем
х2{(1 - х)(1 - х2).. .}6 = х2(1 - Зх + 5х3 - 7х6 + .. ,)2 =
1)м+72ц + 1)(2/х + 1)х2+м(м+1)/2+^(^+1)/2
и заметим, что
(2М + I)2 + (2i/ + I)2 = 8^2 + 1ц(ц + 1) + l^i/ + 1)} - 14
делится на 7, только если и 2ц + 1, и 2г/+ 1 одновременно делятся на 7.
Доказательство можно завершить тем же способом, что и раньше. По-
хоже, не существует никакого столь же простого доказательства (6.4.3).
6.6. Рамануджан пошел намного дальше. Он доказал сравнение
по модулям 52, 72 и II2, сравнение для 52 имеет вид
р(2Ьт + 24) = 0 (mod 52),
и сделал общее предположение: если
6 = Ьа7ь11с
и
24А = 1 (mod 5),
то
р(т<5 + А) = 0 (mod <5)
для каждого т. Достаточно будет доказать сравнение для частных слу-
чаев модулей 5П, 7Ь и 11е. Общее сравнение будет их следствием.
Это предположение интенсивно исследовалось, и было обнаруже-
но, что Рамануджан слишком сильно обобщил. Гупта (Gupta), продол-
жив вычисления МакМахона функции р(п) до п = 300, обнаружил,
что
р(243) = 133 978 259 344 888
— число, не делящееся на 73, и С.Чоула (S.Chowla) обнаружил, что
24 243 = 1 (mod 72),
что противоречит гипотезе Рамануджана. С другой стороны, Кречмар
(Krecmar) доказал сравнение
р(125т + 99) = 0 (mod 53),
а Ватсон — сравнение для общего случая 5га, Д. X. Лемер (D. Н. Lehmer)
проверил гипотезу в некоторых частных случаях для II3 и II4. Ра-
бота Лемера потребовала вычисления некоторых конкретных очень
больших значений р(п) с помощью метода, который я объясню в лек-
ции VIII: наибольшее из них равно
р(14031) = 92 85303 047590993169434 85156 67127 75089
29160 56358 46500 54568 28164 5808150403
(6.6.1)
46756 75123 95895 59113 47418 88383 22063
43272915999134500745
— число, делящееся на II4.
6.7. Существует другое доказательство (6.4.1), которое намного
сложнее приведенного мной, но которое более информативно и позво-
лило Рамануджану намного глубже вникнуть в теорию эллиптических
модулярных функций. В той же самой статье, в которой он доказал
(6.4.1) и (6.4.2), Рамануджан сформулировал без доказательства два
замечательных тождества
9 {(1 — от5)(1 — от10)(1 — ХЕ15) ...}5
”(4) + + + = 5 <6’7Л)
И
р(5) + р(12)х + р(17)а:2 + ... = 7
{(1 — а:7)(1 — а:14)(1 — а:21).. .}3
{(1 — х)(1 — а:2)(1 - ж3) • -}4
{(1-*7)(1-^4)(1-*21)---}7
{(1 — а:)(1 — а:2)(1 — а:3).. .}8
(6.7.2)
Из них (6.4.1) и (6.4.2) становятся интуитивно ясными, а также эти
тождества служат доказательством сравнений по модулям 52 и 72. Та-
ким образом, если мы предполагаем (6.7.1), то получим
р(4)х + р(9)х2 + ... х (1 — х5)(1 — х10)...
5{(1 - т5)(1 - х10).. ,}4 (1 - х)(1 - х2)... {(1 - т)(1 - х2).. .}5
=------------------ (mod 5).
(1 - х)(1 — х2)...
Следовательно (после того, что мы уже доказали), коэффициент при
х5т+5 в левой части кратен 5, и из этого следует, что
р(2Ът + 24) = 0 (mod52).
Аналогично из (6.7.2) получаем
р(49тп + 47) = 0 (mod 72).
Рамануджан никогда не публиковал полного доказательства (6.7.1)
или (6.7.2), но доказательства были получены Дарлингом и Морделлом
(Darling и Mordell).
Тождество Роджерса-Рамануджана
6.8. Теперь я перейду к двум формулам, «тождествам Роджер-
са-Рамануджана», в которых Рамануджан был предвосхищен намного
менее известным математиком, но которые, разумеется, столь же при-
мечательны, как и все, что он когда-либо написал.
Тождества Роджерса-Рамануджана имеют вид
... ~4 т2
]_ I--±----1---------±-----------L _ _ _ -L -----------------------------L .
1 — X (1 — х)(1 — X2) (1 — х)(1 — X2) ... (1 — хт)
(1 — х)(1 — X6) ... (1 — Х4)(1 — X9) ... (
...2 6 „т(т+1)
1 ।---х----,---------------------L _ _ . _।------------------------------L . . .
1-Х (1 _ х)(1 _ X2) (1 _ х)(1 _ ж2) . . . (1 _ хт']
(1 — Х2)(1 — X7) ... (1 — Х3)(1 — Xs) ... (
Показатели в знаменателях правой части в обоих случаях являются
арифметическими прогрессиями с разностью 5. В этих формулах уди-
вительно то, что «основные ряды» в левой части имеют сравнительно
знакомый тип.
Формулы имеют очень любопытную историю. Впервые они были
обнаружены в 1894 году Роджерсом, талантливым, но сравнительно
малоизвестным математиком, которого сейчас вспоминают в основном
благодаря переоткрытию Рамануджаном его работ. Роджерс был пре-
красным аналитиком, чей талант, в меньшей степени, был подобен та-
ланту Рамануджана, но никто не обращал большого внимания на то,
что он сделал, и та работа, в которой он доказал формулы, прошла
йикем незамеченной.
Рамануджан переоткрыл эти формулы когда-то до 1913 года. То-
гда у него не было их доказательства (и он знал, что у него его нет), и
никто из математиков, которым я показывал формулы, не мог найти
доказательства. Поэтому они приведены без доказательства во втором
томе Комбинаторного анализа МакМахона.
Загадка была разрешена трижды в 1917 году. В этом году Раману-
джан, просматривая старые тома Записок Лондонского математиче-
ского общества, неожиданно обнаружил работу Роджерса. Я хорошо
помню его удивление и его восхищение работой Роджерса. В последо-
вавшей переписке Роджерсу удалось, благодаря Рамануджану, сделать
значительные упрощения его исходного доказательства. Примерно в
тоже самое время И. Шур (I. Schur), который в то время был отрезан
от Англии из-за войны, вновь переоткрыл тождества. Шур опублико-
вал два доказательства, одно из которых является «комбинаторным» и
совершенно непохоже ни на какое другое из известных доказательств.
Сейчас опубликовано семь доказательств, на четыре из которых я уже
сослался, два намного более простых доказательства были обнаружены
позже Роджерсом и Рамануджаном и опубликованы в Сборнике работ,
и намного позже Ватсон получил доказательство, основанное на совер-
шенно других идеях. Ни одно из доказательств нельзя назвать «про-
стым» и «прямым», поскольку простейшим доказательством, в сущно-
сти, является проверка, и нет сомнения, что вряд ли следует ожидать
очень простого доказательства.
6.9. МакМахон и Шур показали, что теоремы имеют простую
комбинаторную интерпретацию. Возьмем,первое тождество. Мы можем
о
представить квадрат тг как
1 + 3 + 5 + ... + (2m — 1),
• ••••••оооо
• ••••ООО
(G7)
• ••ООО
• о
или так, как показано черными точками на графе (G7). Если теперь
мы возьмем любое разбиение числа п — т2 на не более чем т частей, с
расположением частей в порядке убывания, и добавим их к графу, как
показано с помощью кружочков на (G7), где т = 4 и п = 42 + 11 = 27,
мы получим разбиение п (здесь
27 = 11 + 8 + 6 + 2)
на части без повторений, или последовательностей1, или частей, ми-
нимальная разность между которыми равна 2. Разбиения п такого
типа, связанные с некоторыми т, можно перенумеровать с помощью
(1 — х)(1 — х2)... (1 — хт) ’
общего слагаемого ряда в левой части (6.8.1), и весь ряд нумерует все
такие разбиения п.
С другой стороны, правая часть нумерует разбиения на числа 5т+
+ 1 и 5т + 4. Следовательно, (6.8.1) можно переформулировать как
«комбинаторную» теорему: количество разбиений п с минимальной
разницей 2 равно количеству разбиений на части 5т + 1 и 5т + 4.
Таким образом, когда п = 9, существует 5 разбиений каждого типа:
9, 8 + 1, 7 + 2, 6 + 3, 5 + 3+1
1 Частей, отличающихся на 1.
первого типа и
9, 6 4- 1 ~Ь 1 -Ь 1, 4 + 4 + 1, 4+1 + 1-J-1 + 1 + 1,
l + 1-j-l + l + l-f-l + l + l-f-l
второго. Существует аналогичная комбинаторная интерпретация (6.8.2).
Формулировки этих теорем принадлежат МакМахону (или Шуру);
ни Роджерс, ни Рамануджан никогда не рассматривали их комбинатор-
ный аспект. Естественно спросить, а существует ли доказательство этих
теорем с помощью «комбинаторных» аргументов, прямое соответствие
между двумя множествами разбиений, но до сих пор ни одного тако-
го доказательства неизвестно. «Комбинаторное» доказательство Шура
базируется не на (6.8.1), а на преобразовании этой формулы, о котором
я вскоре расскажу1. Оно схоже с доказательством Франклина форму-
лы (6.2.1), но значительно сложнее.
6.10. Доказательства, приведенные Роджерсом и Рамануджаном,
очень похожи, но доказательство Роджерса несколько более понятно.
Мы можем записать правую часть (6.8.1) в виде
1 П{(! - ^5m)(! - ж5т+2)(1 - х5т+3)}.
П{(1 -х5т+1)(1 -а:5т+4)} ~ (1 -х)(1 -х2)(1 -z3)... ’
числитель правой части можно преобразовать по стандартной формуле
из теории тета-функций в
1 - х2 - х3 + хд + х11 - ...,
где показатели являются числами
|(5п2±п) (п = 0, 1, 2, ...).
Поэтому нам нужно доказать, что
х т4 1 — X2 — X3 Ч- хд X11 —
1 + т-^- +-------------тг + • • = ----+ ...6.10.1)
1 — X (1 — х)(1 — х2) (1 — х)(1 — х2)(1 — X3) . . .
1 (6.10.1), в которой обе части умножены на (1 — х)(1 — х2)...
Аналогично, (6.8.2) эквивалентно
~»2 .-,.6 1 _ .у _ ,-,Л । । Г > _
1 j—±---1------±-------l = 1±х -м 1 .
1-^(1- х)(1 - х2) (1 - х)(1 - х2)(1 - х3)... ’ ’
и показатели в числителе в правой части являются числами |(5п2±3п).
6.11. Воспользуемся вспомогательной функцией
Gk = Gk(a, х) = ^(_1)па2П:Е„(5п+1)/2-ы(1 _ акх2кп^ (611 j)
п—О
где к принимает значения 0, 1 или 2 и
Г - 1 г (1-а)(1-аа:).--(1-аа:га~1)
° ’ " (1-х)(1-т2)...(1-х")
Поэтому
Gk = (1 - ак)С0 - а2х3~к{\ - акх2к)Сх + Л11’2^! - akxik)C2 - ...
(6.11.2)
Если а / 0, тогда Go = 0 для всех х. Также
Gx (rr, х) = 1 - х - х4 + х7 + х13 - ... (6.11.3)
G2(x, х) = 1 — х2 — х3 + х9 + х11 — ... (6.11.4)
— ряды, которые возникают в (6.10.2) и (6.10.1).
Если оператор г) определен по формуле
rjf{a, х) = f(ax, х),
тогда
„ (1 — ах)... (1 — ахп) 1 — пХп
т)Сп = = V^-Gn С6-11-5)
(1 - х)... (1 - хп) 1 - а
и
(1 — ах)... (1 — ахп~1) 1 _ хп
vCn-x = ——2 = т-тгС- (6-11-6)
(1 — х)... (1 — хп х) 1 — а
Следовательно,
(1-хп)С„ = (1-а)т?Сп_1, (1 - атп)Сп = (1 - a)VCn, (6.11.7)
и, в частности,
rjCo = Со = 1.
Если к равно 1 или 2, то
Gk-Gk-t = ^(-1)па2пжп(5п+1)/2-кп{1-а'=ж2'гп-ж'=(1-а'г"1ж2(^1)т1)}Сп =
п=0
оо
k —1/1 \ , X '/ 1\п 2п п(5п-[-1)/2 — kn г/1 । к — l (2fc— l)n /» ЛЛ.п\1/~» _
= a (1—а)+> (—1) a x v {(1—x )+a xy (I —ax )}Cn =
n = l
= ак-1(1-а)??С0+(1-а)^(-1)па2т1Жп(5п+1)/2“'=Т1{??Сп_1+а'=-1Ж(2'г-1)п??Сп},
n=l
ввиду (6.11.7). Когда мы перепишем этот ряд в терминах т]Со, г/Сг, ,
коэффициент при т]Сп примет вид
l)n(l — a)|a2n+fc-l;J.n(5n+l)/2+(A:-l)n _ a2n+2;J.(n+l)(5n+6)/2-fc(n+l) J _
_ _ а)а2п+к~1 xn(5n+1)/2+(fc-1)n(1 — а3~к;E(3~fc)(2n+1)}.
Следовательно,
Gk - Gk_,= (l-a)afc^ £(-1)
7?. = 0
Ho
G3_fc = аз-кх(з-к)2п^Сп^
n—0
и поэтому
jyGs-fc = ^(-1)Па2"ж«(5'» + 1)/2+(Ь-1)п{1 _ a3-fca:(3-fc)(2't+1)}G„;
n=0
следовательно,
Gk-G^ = a-a)ok-li1Go-k (к = 1,2). (6.11.8)
6.12. Если теперь
и и t \ Gfe(a, ж)
Нк = Нк(а, х) = ------—-------—------—----
(1 — а)(1 — ах)(1 — ах )...
(так чтобы Но = 0), тогда (6.11.8) принимает вид
Нк -Hk_v =ак^т1Н3_к.
В частности,
Hi = т/И), Н% — Hi = ат)Н1, (6.12.1)
и поэтому
Н2 = r]H2 + ат]2Н2. (6.12.2)
Предположим теперь, что
Н2 = 1 + с±а + с/>а + ...,
где коэффициенты зависят только от х. Подставляя в (6.12.2), получим
1 + с^а + с2а2 + ... = 14- сгах + с2а2х2 + ... + а(1 + ciax2 + с2а2х4 + ...).
Следовательно, приравнивая коэффициенты,
и
1)
(1 — х)(1 — X2) ... (1 — ж") ’
поэтому
G2(a, х)
(1 — а)(1 — ах)...
= Н2(а, х) = 1 +
а___________а2 ж2______
1 — х (1 _ х)(1 — х2)
Uy |
(1 — х)(1 — х2)(1 — X3)
Также
Gi(a, х)
(1 — а)(1 — ах)...
— Hr(a, х) = т]Н2(а, х) = 1 + - +
U, U/ | U, Лг .
(1 — х)(1 — X2) (1 — х)(1 — т2)(1 — X3)
Наконец, полагая а = х в этих формулах и используя (6.11.4) и (6.11.3),
мы получим (6.10.1) и (6.10.2).
Это доказательство является элементарным и сравнительно про-
стым, но, разумеется, достаточно искусственным. Оно представляет со-
бой «проверку»; мы проверяем, что ряд (6.11.1) удовлетворяет функци-
ональным уравнениям, и доказательство не дает никаких объяснений
о нашем выборе этого частного ряда.
6.13. Существует еще одно доказательство Роджерса, в котором
предполагается меньше, но которое в действительности является более
ясным1.
Сократим запись наших формул с помощью следующих обозначе-
ний:
Хп = 1-ХП, Хп\ = XfX2 .. ,хп,
и начнем с разложения функции
оо
Да) = П(1 + ах")
1
по степеням а. Функция удовлетворяет соотношению
/(а) = (1 + ax')f(ax').
Подставляя в /(а) степенной ряд по степеням а и приравнивая коэф-
фициенты, мы сразу получаем, что
... „3 _п(п+1)/2
/а) = 1 + ^-а + -^—а2 + ... + -----:—ап + ...
Xi ! х2! хп!
Заменяя а на аегв и ае~гв и перемножая получившиеся ряды, по-
лучаем, что
Ф(х, 9, а) = Р[(1 + 2ахп cos 9 + а2х2") =
1
= (1 + ^-aeie + + .. .W1 + + ^-a2e~2i9 + ...) =
\ ГЕ 1 1 Х2 ’ 7 \ Xi ! Х2 ! /
+ (влз.!)
1 -
1 Доказательство в § 10 12 формулы (6.10.1) ничего не предполагает, хотя тре-
буются некоторые знания из теории тета-функций, для того чтобы отождествить
(6.8.1) и (6.10.1). В доказательстве в текущем параграфе мы воспользуемся форму-
лой из теории тета-функций.
где
В2»(0)
х2п!
,rn(n + l j /
---------(1 +
*^n *^-n '
~-2x cos 29 +
^n^n—1
^-n4~l^-n4~2
2a:4 cos 49 + ... +
3\-)3\-)„i . . . 371 2
n n * 1 1 2xn
3?n4~l^n4~2 • • • *^*2n
cos 2n9
(6.13.2)
+
Д2п + 1(0)
x2n+l I
~(n4-l) / Tn
—j-------- ( 2 cos 9 + ~2—2x2 cos 30+
xn !rrn+1! \ xn+2
+ 2a:6 cos 59 +... + x ..2xn(n+i> cos(2n +1)01
xn+2xn+3 xn+2xn+3 • -x2n+l 1 > )
(6.13.3)
Наконец, заменяя а в (6.13.1) на x и используя стандартную фор-
мулу из теории тета-функций, а именно
Ф(а:, 0, х }/2) = fj(l + 2а:” cos0 + х2п ') =
_ 1 + 2а:1/2 cos 0 + 2xi/2 cos 20 + 2а:9/2 cos 30 + ...
(1 — a:)(l — a:2)(l — a:3)...
мы тем самым получаем
1 + 2а:1/2 cos 0 + 2а:4/2 cos 20 + 2а:9/2 cos 20 + ... _ j, V-' х-п/2
(1 - а:)(1 - а:2)(1 - а:3)... “ хп !
(6.13.4)
6.14. Если мы заменим в (6.13.4) его явным выражени-
ем (6.13.2) или (6.13.3) и переставим слагаемые в правой части, что-
бы получился тригонометрический ряд, мы получим равенство двух
сходящихся тригонометрических рядов. Такое равенство должно быть
тождеством, коэффициенты при cos п9 в двух рядах должны быть оди-
наковыми. Следовательно, мы можем заменить
1, 2 cos 0, 2 cos 20, 2 cos 30, ...
любыми числами, при которых ряды останутся сходящимися.
Если мы заменим
1, 2 cos 20, 2 cos 40, ..., 2 cos 2п9, ...
на
1, -(1 + х), х(1 + X2), ..., (-l)n;rn(n-1)/2(l + хп), ...
и все нечетные косинусы на 0, тогда В2„(0) принимают вид
&
ж„(п+1) f t _ _^ж(1 + х} + Х5(1 + X2) - ... +
п !хп ' I J-n+l J-n+l^n+2
+ (~l)\^V::-^nl3n~ll,2(1+»“)}. (614.1)
^п4~1^п4~2 • • • ^2n J
и мы получим
1 — X2 — X3 + X9 + X11 — , , .
(1 -х)(1 -х2)(1 -х3)... ’
(6.14.2)
где правая часть совпадает с правой частью (6.10.1). С другой стороны,
если мы заменим
2 cos 0. 2 cos 30, ..., 2 cos(2n + 1)0, ...
на
(1 - х), -(1 - х3), ..., (~-1)пхп(п-1^2(1 - х2п+1)
и все четные косинусы на 0, тогда B2«+i(0) принимают вид
/?2п+1 =
Ж2га+1 ! ;г(га+1)2
(Гн -(+.4-1 !
-7.2/1 Зх ,
Хп+2 ^Хп+2Хп+3
..................,хп(Зп+1}/2{1 _ а.2п+1)1 (6.1.4.3)
^'п4~2^'п4~3 • • • ^'2п4~1 ' J
Умножая на х 1^2, получим
1 — а; — а;4 + а;7 + а;13 — ...
(.1 - х)(1 - х2)(1 - х3)... ’
(6.14.4)
где правая часть совпадает с правой частью (6.10.2). Остается доказать,
что ряды в левой части (6.14.2) и (6.14.4) совпадают с рядами в левых
частях (6.10.1) и (6.10.2).
6.15. Мы можем сделать это, вычислив (Зп элементарным спосо-
бом. Но перед тем, как мы займемся этим, отметим, что подстановки
в §6.14 соответствуют линейнйм аналитическим преобразованиям. Та-
ким образом, если х = e~s, тогда
У е“202/'5 cos#-2 eos2n9-d9 = j e-202/<5{cos(2n— l)#+cos(2n+l)#} d9 =
= yp5{e-(2«-1)2‘5/2+e-(2«+1)2<’/2} = V/^72x1/'5-Xn("-1)/2(l + xra).
Следовательно, первая подстановка §6.14 соответствует результату (i)
при замене 9 на в + |тг и (ii) при работе с
J e-2^cos0...^.
Аналогично можно проверить, что вторая подстановка является ре-
зультатом (i) при замене 9 на в + |тг и (ii) при работе с
J sin 29... М.
6.16. Теперь запишем
/?2„ = ^Ц^П("+1)72п, /?2п+1 = -^р±1У^(П+1)272п+1 (6.16.1)
и докажем, что
72п = хп !, 72п+1 = хп+1!. (6.16.2)
Тогда получим
02п — X '' )Хп^_-[Хп^-2 • • X2ni 02п+1 Х^ ^п-Ь1 ^'п4-2 - • - ^2п4-1»
(6.16.3)
и можно сразу проверить, что ряды в левых частях (6.14.2) и (6.14.4)
сводятся к рядам Роджерса-Рамануджана.
Для доказательства (6.16.2) достаточно показать, что
72П+1 = Zn+172n, 72п+2=72п+1- (6.16.4)
Теперь
7 Ж„Хга-.1 _ 5ч _ _ 72п-Ц
3^п4-1 *^п4-2*^п4-3 '
72n+l = (1 - ^2(1 - Ж3) +
ХПХП^.\ ~ Е
-———- X (1 - X )
*^71*^71—1 *^п —2
п-|-2 п-|-3 п-|-4
х15(1 — х7) + ... = 1 — х(1 + X JCn +
' ' \ ^714-2/
Я (а 9^п—1\ 19 ХпХп^. 1
4“ ----- ( 1 4“ "г ZT / т г^Т о
£п_|_2 \ З'тг+З / ^7г-|-2^7г-|-3
(1 + х3
Хп—2
3,71-|-4
= 1_^±1х(1+х)+тЖ-^ ^(1 + х2)- ж12(1+жЗ) + _
^71-1-2 V ^71-1-2^71-1-3 V 7 ^71-1-2^71 -1-3^71-1-4 v 7
— ?2n+2-
Это необходимые соотношения.
Уравнения (6.16.2) представляют собой
И
+ ... =
1 -
1 - хп
1 - xn+i
х(1 + х) +
(1 -х")(1 -т
(1 — ж”+1)(1 — :
х5(1 +х2) - ... =
= (1 - Ж)(1 - х2)... (1 - Iя) (6.16.5)
И
(1-х) -
1 - хп
1 - хп+2
х2(1 — ж3) +
(1 -хп)(1 -ж”"1)
(1 - хп+2)(1 - хп+3)
х7(1 — х5) — ... =
= (1 - х)(1 - х2)... (1 - х”+1). (6.16.6)
Каждое из них сводится при п —» оо к
1 — х — х2 + х5 + х7 — ... = (1 — х)(1 — х2)(1 — х3)...
-- тождество Эйлера; и аргументы этого параграфа представляют со-
бой особенно простое доказательство этого тождества. Позже мы по-
лучим формулы (6.16.5) и (6.16.6) несколько другим способом1.
6.17. Из (6.12.2) следует (или можно непосредственно проверить),
что
2 4
гп/ ч тт , х . ах , а х
F(a) = Н^а, х) = 1 + .---- 4- ----—-------- 4- ...
1 — X (1 — х)(1 — х2)
удовлетворяет функциональному уравнению
F(a) = F(ax) 4- axF(ax2).
Следовательно,
^(Q) _ , F^ax2) _________________ax______ _ ax a.f;2 ax'i
F(ax) X F(ax) F(ax3) 1+ 1 + • •
1 4- ax2 >..
В частности,
J ± ? X3 = £0) = (1 -ж2)(1-x7),..(l-x3)(l-X8),.,
+ 1+1+1 + ... F(x) (1 - x)(l - x6)... (1 - x4)(l - x9)...
_ 1 — x2 — ,r:3 + x9 + x11 — ...
1 — x — x4 4- x7 4- x13 — ...
является частным эллиптических тета-функций, которые можно вы-
числить при определенных особых значениях х. Эта формула служит
ключом к вычислению Рамануджаном непрерывной дроби для особых
значений х, которые я процитировал в моей первой лекции.
Комментарии к лекции VI
Эта лекция содержит значительную часть материала главы 19 книги
Харди и Райт, и неизбежно здесь присутствует определенное количество
повторений, но изложение этой лекции, естественно, является менее систе-
матичным. В книге Харди и Райт не содержится ничего соответствующего
§6.13-16.
:См. лекцию VII, §7.8.
§ 6.2. См. Харди и Райт, § 19.11, или МакМахон, Комбинаторный анализ,
с. 2123. Доказательство Франклина впервые было опубликовано в Comptes
rendus, 92 (1881), 448 450.
И Харди и Райт, и МакМахон приводят другие примеры «графических»
доказательств.
§ 6.3. Для более строгого доказательства того, что F(t) перечисляет
р(п), см. Харди и Райт, § 19.3.
§ 6.4 5. Сравни с Харди и Райт, § 19.12, где, однако, отсутствует доказа-
тельство (6.4.2). Существуют альтернативные доказательства (6.4.1) и (6.4.2)
и доказательство (6.4.3) в статье. №30 из Сборника работ Рамануджана. Дар-
линг (3) привел еще одно доказательство (6.4.1) и (6.4.2).
В статье МакМахона (2) содержится несколько интересных замечаний
о четности р(п). МакМахон не доказал ни одной общей теоремы, но привел
рекуррентные сравнения (mod 2), из которых можно очень быстро вычис-
лить четность р(п) для достаточно больших п. Так, он доказал в «примерно
пятиминутных вычислениях», что р(1000) нечетно.
Одно из стандартных доказательств (6.5.1) воспроизводится в Харди и
Райт, § 19.9.
§ 6.6- 7. Доказательство Рамануджана сравнений по модулям 52, 72 и II2
содержится в неопубликованной рукописи, которая сейчас находится у про-
фессора Ватсона. Дарлинг (2) приводит доказательство (6.7.1), а Морделл
(Mordell) (1) - намного более короткие доказательства (6.7.1) и (6.7.2).
Ссылки на работу Чоула (Chowla), Гупта (Gupta), Кречмара (Кгебтаг),
Лемера (Lehmer) и Ватсона соответственно С. Чоула (1); Гупта (1, 2, 3);
Кречмар (1); Д. Г. Лемер (1, 3) и Ватсон (24).
§ 6.8. Роджерс (1): тождества являются формулами (1) и (2) § 5. Роджерс
также предвосхитил «неравенство Гельдера» (и цитируется Гельдером), но
он не записал его в стандартном виде и не осознал его фундаментального
значения. См. Харди, Литтлвуд и Пойя, Неравенства, 25 и 311.
Два более поздних доказательства Роджерса содержатся в его статьях
(2) и (4): в последней из них содержится доказательство, приведенное в
§6.10-6.12, а в первой - приведенное в §6.13-6.16.
Само доказательство Рамануджана см. в №26 Сборника работ. Два до-
казательства Шура были опубликованы в Berliner Sitzungsberichte (1917),
301-321, а доказательство Ватсона — в Ватсон (3).
Кажется, Рамануджан не приводил формул в явном виде в своих пись-
мах ко мне, но формулы IX, (4)- (7) его первого письма зависят от них. См.
лекцию I, формулы (1.10)—(1.12); Сборник работ, xxvii и Ватсон (4). Рама-
нуджан предложил эти формулы в качестве задачи в Журнал Индийского
математического общества, 6 (1914), 199; см. Сборник работ, 330.
§6.9. См. Харди и Райт, §19.13, и МакМахон, Комбинаторный анализ,
ii, 33-36.
§6.10-6 .12. См. Харди и Райт, § 19.4. Формулы из теории тета-функций,
необходимые в начале доказательства, доказаны в § 19.8-19.9 (теоремы 355 и
356).
§6.13. Разложение /(а) по степеням а восходит к Эйлеру. Формула из
теории тета-функций доказана в Харди и Райт, § 19.8, или в любом из стан-
дартных учебников по эллиптическим функциям.
§6.17. См. лекцию I, формулы (1.10)—(1.12). Доказательства приведены
в Ватсон (4).
Лекция VII
Гипергеометрические ряды
7.1. Результаты Рамануджана о гипергеометрических рядах со-
держатся в двух главах его записной книжки, которую я проанализи-
ровал и отредактировал после его смерти. В результате этого анализа
произошло небольшое наводнение публикаций Лондонского математи-
ческого общества работами Бейли, Ватсона, Випла и др. Превосходное
изложение результатов всех этих исследований см. в трактате Бейли.
Задача, которая является основной в 10-й главе записной книж-
ки, — это суммирование ряда
а2’ аз\ _ । , сцс^аз а1 (о=1 + 1)0=2(02 + 1)а:з(аз + 1)
V А, /32 / П/З1/З2 i^-ftift + i^G^ + i) +’"’
(7-1.1)
и глава содержит практически все, что и было известно об этом ряде
до 1922 года. Когда /З2 =03, ряд сводится к обычному гипергеометри-
ческому ряду и его сумма определяется формулой Гаусса
Oi, 0:2 \
/31 /
0:10:2 ОЦОЦ + 1)а2(О2 + 1)
ГХ+ 1-2-/ЗЦ/?!+1)
Г(/3!)Г(/3! - О! -02) J
Нам потребуется использование гипергеометрических рядов более
высокого порядка, и я начну с объяснения стандартных обозначений.
Запишем
= а(а 4- 1)... (а 4- п — 1), а(п) = а(а — 1)... (а — п 4- 1)
'Здесь и далее я игнорирую вопросы сходимости. Читатель должен уметь по-
лучать условия, при которых цитируемые или доказываемые мною формулы кор-
ректны.
и
/ <-*2) • • • , с«-р \ \ t-*! et2 • ' '-tp
Ift, ft, ..., ft : ft ~ п \{3^(3^ .. . /3^
Этот ряд обычно сходится для всех х, если р q, и для |х| < 1, когда
р — q + 1. Когда р > q + 1, ряд расходится для всех х, за исключением
тех случаев, когда а = 0 или отрицательное целое число. Мы будем
обычно опускать первый аргумент, когда х = 1. Таким образом,
\ _ Г? f 1 * ’ 1 _ 77* / '-Л1> ^^5 4
Л, k >~Л\ 13,. h Л,ц2
7.2. Ключевой формулой главы является
уУ1Пз + 2п/П)(* + У + г + Ц + 25 + 1)(П) П -------------------- =
(S n!(z+j/ + z + u + s)(n) и ft + s + l)(n)
_ s ТТ Г(;г + s + 1)Г(т/+ z + и + s + 1)
Г(й + 1)Г(а: + у + z + и + s + 1) | ц Г(а + и + s + 1)
(7-2.1)
где один из пяти аргументов
ж, у, z, и, —х — у — z — и — 2s — 1 (7.2.2)
является положительным целым числом. Если это условие (которые яв-
ляется существенным) удовлетворяется, тогда ряд обрывается и фор-
мула представляет собой алгебраическое тождество. Вся глава, в дей-
ствительности, по сути своей является главой об элементарной фор-
мальной алгебре. Мы изучаем сначала тождества между полиномами.
Из них мы выводим тождества между бесконечными рядами, при этом
потребуются переходы к пределу, и хотя некоторые из них интересны с
некоторой точки зрения, они не представляют никакой серьезной труд-
ности для компетентного специалиста по математическому анализу.
Похоже, что Рамануджан получил эти формулы в 1910 или в 1911
году, но его опередил Доу галл (Dougall). Формула выглядит достаточно
сложно, но доказательство Доу галла является очень простым. Я по-
лагаю, что Рамануджан доказал формулу аналогичным образом1, но
доказательство не приводится в его записных книжках.
1 Проверка частных случаев, которые собраны вместе подходящим образом, при-
водит к строгому доказательству.
Если мы заметим, что
а(п) = (-1)"(-а)И
и
/ 1 \
I 1 4- -s I
к 2 / = s + 2n
/1 \(") 5 ’
\2S;
мы можем записать (7.2.1) в виде
(s, 1 + ^s, —х, —у, —z, —и, x + y + z + u + 2s + l \
1 ; 11 =
±3, X + з + 1, у + 3 + 1, Z + 3 + 1, и + з + 1, —х — у—Z — и — 3 ]
__ 1 уг Г(х + з + 1)Г(у + z + w + s + l)
Г(з + 1)Г(а: + т/ + z + и + з + 1) ц Г(г + и + s + 1)
(7.2.3)
Если мы запишем — v вместо x + y + z + u + 2s+l так, что
x + y + z + u+v = -2s- 1, (7.2.4)
тогда формула принимает вид
(3, 1 + ~s, —х, —у, — Z, —и, —V \
2 ; 1 =
-S, X + S + 1, 1/ + S + 1, Z + S + 1, U + S + 1, V + s + 1 J
__ 1 т—г Г(х + з + 1 )Г(т/ + z + и + з + 1)
Г(з + 1)Г(а: + у + z + и + s + 1) | ц Г(г + и + s + 1)
(7.2.5)
Очевидно, что левая часть равенства симметрична по переменным
х, у, z, и, у. Правая часть равенства симметрична по четырем аргу-
ментам х, у, z, и, и поскольку пять аргументов связаны симметричным
соотношением (7.2.4), то оно симметрично по пяти аргументам.
Один из аргументов должен быть положительным целым числом.
Если, скажем,
х = т,
тогда ряд обрывается и правая часть принимает вид
(з + 1)W(Z + ц + s + l)(^)(u + y + s + !)("% + z + з + l)(m) 2
(у + з + !)("% + s + l)(m)(M + s + 1)("% + z + и + з + 1)(т>'
И если мы умножим обе части на
(т/ + з+!)<"% +z + u + s+l/™’,
тогда формула представляет собой утверждение о тождестве двух по-
линомов от у, каждый из них имеет степень 2т.
Предположим, что формула истинна при
х = 0, 1, 2, ..., т — 1,
и докажем ее при х = т. Достаточно, после нашего последнего заме-
чания, доказать, что она истинна при 2т + 1 различных значениях у.
Итак, формула истинна для
у = 0, 1, 2, ..., т — 1
по предположению индукции и по симметрии относительно х и у, и для
v = 0, 1, 2, ..., т — 1,
т. е. при
у = —2s — z — и — т — 1, —2s — z — и — т — 2, ... , —2s — z — и — 2т
по предположению индукции и по симметрии относительно х и v. Сле-
довательно, она истинна для 2т значений у различных в общем случае,
и достаточно проверить ее истинность для еще одного значения. Мы
выберем значение
у = — з — т.
Это значение у является полюсом лишь для последнего слагаемого ря-
да (7.2.5), и достаточно доказать, что вычет этого слагаемого равен
вычету произведения (7.2.6). Легко проверяется, что каждый из выче-
тов равен
! (s + 1)(т) (з + Z + и + l)M(z - т + 1)("% -т+ 1)(т>
(т-1)! (s + z+l)(m)(s + u+l)(m)(z + u-m+l)(m) ’
и тем самым доказательство завершено1.
1Я приведу несколько более подробное доказательство в § 7.7, где я докажу более
общую формулу, которая содержит (7.2.3) как частный случай.
7.3. Имеется огромное количество замечательных частных слу-
чаев. Если мы предположим, что х, у или z — положительные целые
числа, разделим на s, запишем t — и вместо s, азатем устремим и —+ оо,
то получим
-х, -у, -z
t + 1, X — у — z — t /
_ r(t + 1)Г(з/ + z + t+ l)r(z + х + t + 1)Г(х + у + t + 1)
Г(х + t + 1)Г(у + t + 1)Г(г + t + 1)Г(х + 2/ + z + t + l)’
(7.3.1)
что дает значение (7.1.1), когда
О1 + 0:2 + «3 = 01 + /?2 — 1
и одно из а является отрицательным целым числом. Этот результат
был получен Заалыпютцем (Saalschiitz) в 1890 году.
Если, с другой стороны, мы предположим, что и — положитель-
ное целое число, разделим на з, положим z = — |s, а затем устре-
мим и —> оо, то получим
f( ~х' ~У’s А =
\x + s+l, j/ + s+ l/
Г(Ъ + l)r(x + s + l)r(7/+s+l)rfx + 7/+ is+ f)
= —------7----i---7Д—5-------V--------------- (73 2>
T(s + 1)Г(ж + |s + 1)Г(з/ + |s + ljr(x + у + s+ 1)
Эта формула, полученная А. К. Диксоном (А. С. Dixon), определяет
значение (7.1.1), когда
ОЦ + 01 = «2 + 02 = а3 + 1.
Она включает в себя формулу Ф. Морли (F. Morley)
1 -Ц (т\3 . 1
1 + к 1 / + к 1-2 f z - A13cos2m7r
для суммы кубов коэффициентов биномиального ряда для (1 - т)-т.
Формулы (7.3.1) и (7.3.2) — это две из трех наиболее важных в
теории ряда (7.1.1). Третья формула - это
Г(ж + у + з+1) /— а, — Ь, х + у + s + 1\
Г(а: + s + 1)Г(у + s + 1) \ i + s + l, ji + s + 1 /
Г(а + &+з + 1) р/~х, —у, а + b + s + 1\
Г(<2 Т s Н- 1)Г(& + s + 1) V а + s + l, b + s-f-l /
(7.3.3)
Эта формула Тома (Thomae) так же была переоткрыта Рамануджа-
ном. Она не является следствием тождества Доугалла Рамануджана,
которое является моей основной темой, но я приведу доказательство
Рамануджана1. По формуле Гаусса,
Г(ж + y + s + n+l) _ / -х, —у \ _
Г(а: + 8 + п + 1)Г(у + 8 + п + 1) Г(з + п. + 1) \s + n+l/
1 Г(—х + т)Г(—у + т)
Г(—ж)Г(—у) “(j т !Г(з + т + п + 1)
Следовательно,
Г(ж + у + s+ 1) /-а, — b, z + 3/-|-s+l\ _
Г(х + з + 1)Г(т/ + s + 1) V z + s + 1, y + s+l '
। у-, Г(—а -|- тт)Г(—b -|- Ti)r(z -J- у 4- s -|- п -|- 1)
Г(—а)Г(—Ь) “ п !Г(х + s + п + 1)Г(у + s + п + 1)
1 ул Г(—х + пг)Г(—у + пг)Г(—а + п)Г(—b + п)
Г(—а)Г(—Ь)Г(—х)Г(—у) гг~_0 тп \п !Г(в + т + п + 1)
и заключение следует из симметрии.
7.4. Вернемся к тождеству Доугалла-Рамануджана. Записная
книжка содержит множество элегантных сумм, большая часть из кото-
рых, хотя и не все, может быть выведена из (7.2.1)2. Я не могу привести
ЧЭдин из немногих случаев, в котором Рамануджан приводит явное доказатель-
ство в записной книжке. Доказательство, в сущности, совпадает с доказательством
Тома.
2 В моей статье (8) и на стр. 96 трактата Бейлн приводится большое количество
примеров.
здесь эти суммы в большом количестве, но я расскажу кое-что о фор-
мулах (1.2), (1.3) и (1.4) моей первой лекции.
Если мы положим и в (7-2.1) положительным целым числом и
устремим и —> сю, мы получим
*£(п)
(х + S +
5Г(т + у + z + s + 1) у»- Г(т + s + 1)
’ Г^ + 1) Г(Г+г + 5 + 1) •
Частные случаи
х = у = —s, z = оо
и
приводят к
X = у = Z = — S
-0 + 2)(Й’ + <»И^)3
sin S7T
7Г ’
(7.4.2)
что сводится к (1.2) при 3 = и
s + (s + 2)(|)4+(s + 4)(^t^)4+ ...
sin2 37г {Г(5)}2
27Г2С08 37Г Г(2з) ’
что сводится к (1.3) при з =
Формула (1.4) является более сложной, и ее невозможно вывести
из (7.2.1). Доказательства были получены мною и Виплем. Первое за-
висит от теории полиномов Лежандра, а второе — от обобщения фор-
мулы (7.2.1), полученного самим Виплем. Каждое из доказательств по-
казывает, что ряд Рамануджана равен
а затем суммирует этот ряд с помощью (7.3.2). Было бы очень инте-
ресно знать доказательство самого Рамануджана.
Другой интересной суммой является
г Г(9/8) ->2
i Г(5/4)Г(7/8) J
(7.4.4)
Она тоже не является следствием (7.2.1), но может быть получена с
помощью двух формул
( ( о. В \ а + В. 2/3
Wa+ZS + VOl =3До + /5 + 1 2о + 2/Т
И
(7.4.5)
2^1
а, (3
1 + а - (3'
Г(1 + а — /3)г(1 +
Г(1 + а)Г^1 +
(7.4.6)
полученных, соответственно, Клаузеном и Куммером (Clausen и Kum-
mer). Обе эти формулы также содержатся в записной книжке. И если
мы положим
« = /5= j
в (7.4.5) и (7.4.6) и х = — 1 в (7.4.5), мы получим
„ ч /111 \ ( /к к \)2
*-(1) +(Н)
г Г(9/8) V
X Г(5/4)Г(7/8)J
7.5. Другая интересная формула, привлекшая большое внима-
ние, — это
2 1
Ti -|- 2
1
п + 1
... до п слагаемых >.
(7.5.1)
Я докажу ее как частный случай более общей формулы, полученной
Бейли, а именно
(7.5.2)
Мы можем записать ее как уравнение между двумя конечными
рядами типа 4F3. Для
1 11А2 1 /1•ЗА2 1
™ + о ~.г + д—г -........7-7 + ... до п слагаемых =
т \2/ т + 1 \2-4/ т + 2
f 1 3 . . . (2п — 3) -j 2 । , (2п — 2)2(m + п — 1) ,
~ I 2 • 4... (2п — 2) / т + п-1 t1 + (2п - 3)2(т + д - 2)+
(2п — 2)2(2п — 4)2(m + п — 1)(т + п — 2) >
(2п — З)3(2п — 5)2(m + п — 2)(т + п — 3) i
{р (__ 1 А х 2 /
1 \п 2 7 1 /1? — п + 1, — п + 1, — т — п + 1
Г(тг) J \ —п + |, —п + |, —т -п + 2
Следовательно, (7.5.2) сводится к
(“4Р
1, —п + 1, — п + 1, — т — п + 1
—п + |, -п + |, —т - п + 2
1, — т + 1, —т + 1, — т — п + 1
—т + |, — т + |, — т — п + 2
(7.5.3)
Теперь
„ /а, Ь \ , /с — а, с — b \
’ ;х) = 1-х ;А
\ с / \ с J
1 Используя обозначения §7.1.
и тогда
/ —m + 1, —m 4-1 \ _f-n+|,-n+|
= 2П ; х 2Fi 2 2; х
\ —т -п + 2 ) I —т - n + 1
Если мы приравняем коэффициенты при хт+п 1 в двух частях этого
уравнения, то обнаружим, что получили (7.5.3).
7.6. Большая часть предыдущих формул, и в частности (7.2.1),
может быть обобщена для «элементарных» рядов. Я докажу обобще-
ние (7.2.1), поскольку оно интересно само по себе и имеет любопытную
связь с тождествами Роджерса - Рамануджана.
«Элементарное» обобщение гипергеометрических рядов впервые
было систематически изучено Хайне (Heine). Предположим, что в ги-
пергеометрическом ряде
1 + а/3 + +
1-7 1 • 2 • 7(7 + 1)
(7.6.1)
мы запишем
где 0 < q < 1, для
1 - qx+n
1 - q^+n’
А 4- n
Д + п
(ее предел при q —» 1), а затем запишем I, т вместо qx и qp и также
внесем множитель qn в п-е слагаемое ряда. Мы тем самым получим
Ряд
1 , , (1 -«)(! ~«g)(i -fe)(i -feg) 2 , .
(1 — g)(l — с) (1 -g)(l -g2)(l -c)(l -cq)
который сводится к (7.6.1) при q —» 1. Это «элементарный ряд», соот-
ветствующий (7.6.1).
Более обще, мы можем записать
(а)£ = (1 — а)(1 — ад)... (1 — ад”-1)
И
/ат а-> а \ (а1)п(а2)п • - • (аг)п
/а1, а2, , аг\ = ул у 2)д________/7 6 3)
Если ai = qai= q3‘, ... и q —> 1, тогда (7.6.3) сводится к
^/«1, «2, • • •,
\ /31, /32, • • •, (3s /'
Соотношение в виде суммы между а и /3, такое как щ + /31 = 1, бу-
дет соответствовать соотношению для произведения а и Ь, например,
Я1&! = q.
Аналогом ряда (7.2.5) служит
ф/а, q^a, -q^a, 1/b, 1/с, 1/d, 1/е, 1//\
\ л/а, — л/а, abq, acq, adq, aeq, afq /
Здесь мы заменили s, х, у, z, и, v на
qs = a, qx = b, qy = C, qz = d, qu = e, qv = f.
Действие четырех параметров
q^a, —qy/~a, >/a, —y/a
заключается в множителе
1 - ag2ra
1 — a
в общем слагаемом ряда так же, как действие двух параметров 1 + |s и
|s в (7.2.5) заключалось в множителе (s + 2n)/s. Соотношение (7.2.4)
заменяется соотношением
a2bcdefq = 1, (7.6.5)
и один из параметров, скажем, Ь, должен иметь вид qm.
Мы можем преобразовать произведение гамма-функций в правой
части (7.2.1) и конечное произведение (7.2.6) аналогичным образом.
Имеем
Г(ц1 + а)Г(цг + 1) _ тт (Aj + п)(Л2 + п)
Г(А1 + 1)Г(Л2 + 1) (Mi+”•)(№ +«)’
когда Ai + А2 = /я + М2, и это заменяется на
_ЖЖ)_
/(mi)/(m2)’
где
ло = П(1-^")-
1
Следовательно, произведение гамма-функций становится
f(a)f(abcde) JJ д? (7-6-6)
b,e,d,e f(ab)f(abcd)
и конечное произведение принимает вид
(«?)7 (aqde)™(aqec)™ (aged)™
(aqc)™(aqd)™(aqe)™(aqcde)™’
и мы приходим к предположению, что если (7.6.5) удовлетворяется и
одно из Ь, с, d, е, f, скажем, Ь, равно qm, тогда (7.6.4) равно либо (7.6.6),
либо (7.6.7). Очевидно, что (7.6.4) симметрично по b, с, d, е, f (по-
скольку ограничение может быть наложено на любой из этих парамет-
ров^ в то время как (7.6.6) симметрична относительно четырех из пяти
симметрично связанных параметров и, следовательно, симметрична по
всем из них.
7.7. Мы можем доказать тождество, впервые полученное
Ф. X. Джексоном с помощью аргумента, который строго параллелен ар-
гументу § 7.2. Мы предположим, что тождество истинно при
b = 1, q, q2, . . ., qm~~\
и докажем его для b = qm. Пусть Ь = qm и мы умножили обе части на
(agc)™(aqcde)™,
тогда оно станет тождеством между двумя полиномами от с степе-
ни 2т, и будет достаточно проверить его для 2т + 1 различных значе-
ний с. Во-первых, тождество истинно при
ч 2 т-1
с = 1, q, q , .... q
по предположению индукции и благодаря симметрии между Ь и с, а
также для т значений с, соответствующих тому же значению f. Следо-
вательно, достаточно проверить тождество еще для одного значения с.
Мы выберем значение
с = аЛ1!/'"',
которое является полюсом лишь последнего слагаемого ряда (7.6.4).
Достаточно доказать, что вычет в этом полюсе равен вычету (7.6.7).
Вычеты равны, за исключением множителя — a^1q~m, значениям ко-
эффициентов
1 =_______1 1
1 — acqm aqmc-a^q-m'
где с — a~1q~m, и нам нужно доказать, что эти коэффициенты равны
для данного значения с.
Чтобы вычислить первый коэффициент, заметим, что
b=qm, С=Ц-, ^=adeq,
а(Г f
и мы получим
1 - ад2т « (<г”Х (lM)-(l/e)7Weg)7 m
(CHm+1)”(g-m+1)r1 («dC(«e<(i/de)7?
Поскольку
04) 04) • • • 0~4~) =(-Wl4m{m+^d-m{dq~m+X^
\€L / q \ а/ \ a/ \ a /
слагаемые в 1/e и 1/de могут быть преобразованы аналогичным обра-
зом и
(< = (1 - 5)(1 - q2) . . . (1 - </") = (-l)“g-(-+1)/2(?-m }m
(7.7.1) равен
1 _ gg^rn (a)™(aq™)™ (adeq^(dq-m+1^(eq-m+1)f
1-a (сщт+1)™ (g-m+1)^-1(adq)^(aeq)^(deq-m+1)^'
Также
1-Ут
l-“ (agm+1)7
1 a(? (, \/-t /, m—Is 1 a(? / sm
1 — a 1 — aq
Следовательно, в конечном итоге (7-7.1) сводится к
(ag)^(adeg)^(dg-m+1)^(eg-m+1)^
(g-m+1)^1(adg)^(aeg)^(deg-m+1)^’
которое также является коэффициентом, встречающимся в (7.6.7).
Тем самым завершается доказательство неравенства Джексона, ко-
торое включает тождество Доугалла-Рамануджана в качестве пре-
дельного случая.
7.8. Давайте предположим, в частности, что
а = 1, Ь = дт, с~ d= е = е, f = a 2д т *£ 3,
и устремим £ к нулю. Тогда
(1 - с-х)(1 - c~lq) ...(I- с-у-1) ~ „(„-1)/2£-„
(1 — асд)(1 - асд2)... (1 - асдп)
и аналогично для множителей в d и е, и
(l-/-1)^-/-1?)...^-/-1^-1) ~ 1Г „(„_1)/2+т„£зга
(1 - «/?)(1 - afg2)... (1 - afgn)
После небольших упрощений получим
т
£(-1)Д1 + Л
п=0
(1 - у )(1 - у1)... (1 - gm~ra+1) (зп-п/2 =
(1 - 9т+1)(1 - дт+2)... (1 - дт+п)4
= (1-?)(1-?2)...(1-У),
которое является одной из двух формул Роджерса, непосредственно
доказанных в §6.16. Если положить а — д вместо а = 1, мы полу-
чим вторую формулу. Эти формулы приводят, как мы видели в §6.16,
к доказательству тождества Роджерса -- Рамануджана. Доказательство,
полученное таким образом, представляет собой компромисс между до-
казательством Роджерса, приведенным в §6.13-16 и доказательством,
позднее полученным Ватсоном. Ватсон использовал тождество, кото-
рое является более сложным по виду, чем тождество § 7.6-7, но кото-
рое приводит к тождествам Роджерса-Рамануджана с помощью пря-
мых предельных переходов. Мы использовали более простое тождество,
непосредственное обобщение тождества Доугалла - Рамануджана, для
того чтобы избежать достаточно изощренной алгебры §6.16, но сохра-
нить более простую часть доказательства Роджерса.
Комментарии к лекции VII
§7.1 . Мой анализ этих двух глав содержится в книге Харди (8). Здесь
я называю главу, в которой я в основном заинтересован гл. xii, но она же
является гл. х в ватсоновском варианте «второго издания». См. Ватсон, (10),
139.
Почти все формулы, обсуждавшиеся в лекции, доказаны в трактате Бей-
ли Обобщенные гипергеометрические ряды (Кембридж, 1935). Этот трактат
содержит полную библиографию, и я не стану повторять ссылки на статьи,
опубликованные до 1914 года.
Обозначения для обобщенных гипергеометрических рядов, которые ста-
ли стандартными, были введены Барнсом (Barnes) в Proc. London Math. Soc.
(2), 5 (1907), 59-116.
§ 7.2. Тождество Доугалла-Рамануджана - - это первая формула в гл. х
записной книжки. Формулы (1.2) и (1.3) лекции I являются ее частными
случаями, но Рамануджан, похоже, даже не опубликовал общую формулу,
которую я обнаружил в записной книжке лишь после его смерти.
§7.3 . Частный случай формулы Морли, в котором т является отрица-
тельным целым числом, был обнаружен Диксоном уже в 1891 году (и через
некоторое время доказан Ричмондом в 1892 году). Морли опубликовал свою
формулу в 1902 году, и этот результат помог Диксону получить в том же году
формулу (7.3.2). Исходное доказательство Диксона является очень сложным.
Соответствующую сумму разложения (1 + х)™ через 3F2 с аргумен-
том — 1 нельзя просуммировать в конечное произведение гамма-функций.
Формула (7.3.3) эквивалентна формуле (1) §3.2 трактата Бейли. Содер-
жание теоремы заключается в том, что
_______________1_______________р 7 «1 «2, «3 \
Г(Д )Г(/Д)Г(/?1 + 02 — «1 — 0/2 — аз) \ 01. /?2 '
является симметричной функцией пяти аргументов
/31 , 02, 01 + 02 — 0/2 — О/з, 01 + 02 — «3 — «1 , 01 + 02 ~ Щ ~ 0/2-
§7.4 . Предельный переход, использованный при выводе (7.4.1), требу-
ет некоторого изучения. См. стр. 27 трактата Бейли и работу Доуголла, на
которую он ссылается.
Относительно формулы (1.4) см. Харди (4) и Виппл (1).
Виппл приводит два обобщения формулы (7.4.4) в работе (3). Эти обоб-
щения дают суммы рядов
р । 2’ 2 +1’ 2 Х ii
3^2 I z z ; — 1 I
\ 1 + X, 1 — X J
f f 2’ 2+а:’ Л
3F2 I 2 2 2 ; — 1 ,
у 1 + х, 1 + 2х J
которые сводятся к ряду Рамануджана при х = 0. Вторая формула может
быть доказана методом, изложенным в лекции.
§ 7.5. Первые доказательства (7.5.1) были получены Дарлингом (1) и
Ватсоном (5), а обобщение — Бейли (2, 4), Ходгкинсоном (1) и Випплом (2).
Формула имеет интересные приложения к константам «Лебега» и «Ландау»:
см. Ватсон, Quarterly Journal of Math. (Оксфорд), 1 (1930), 310-318.
Бейли (4) доказал (7.5.2) и еще более общую формулу
Г(т + т)Г(у + т) г /х, у, v + т - 1\1
---------------- I 3 * 2 ( ) I —
Г(т)Г(х + у + т) L \ v, х + у + п Лп
- + Г > У, v + п - 1 \I
Г(п)Г(т + у + n) I' К V, х + у+п Jim
Здесь [.. ,]п и [.. ,]т означают, что берутся лишь первые п или т слагаемых
ряда. Формула сводится к (7.5.2), когда х = у = i, v = 1.
Формула (7.5.3) является частным случаем формулы (1) §7.2 трактата
Бейли. Замените обозначения х, у, г, и, v, ш, п на
3 3
—п+1, —п + 1, 1, — т — п — 2, -п+-^, —n+g, т + п—1.
Дальнейшие сведения можно узнать в § 10.4 трактата.
§7.6 . См. Хайне, Theorie der Kugelfuntionen, i (1878), 97-125.
§7.7 . Джексон, Messenger of Math., 50 (1921), 101-112. Cm. §8.3 тракта-
та Бейли. Доказательство Ватсона тождества Роджерса - Рамануджана дано
в §8.5 6.
Лекция VIII
Асимптотическая теория разбиений
8.1. В этой лекции я стану рассматривать следующую задачу: на-
сколько велика величина р(п) для больших п? Примечательно, если мы
примем во внимание, сколько было написано об аппроксимациях или об
асимптотических значениях арифметических функций, что этот вопрос
ни разу не задавался до 1917 года, когда мы вместе с Рамануджаном
опубликовали мемуар, который входит под №36 в Сборник трудов. Нам
повезло найти задачу, которая оказалась столь замечательной и кото-
рая позволяла настолько полное и настолько удивительное решение.
8.2. Существует один очевидный метод, с помощью которого
можно пытаться решить любую такую задачу (если не найдется ка-
кого-нибудь вполне элементарного метода). Если ап положительно и
степенной ряд
F(x) = У^а.пхп
имеет радиус сходимости 1, тогда существует общее соответствие меж-
ду порядком величины ап для больших п и порядком величины F(x)
при х, близких к 1. Таким образом, сначала необходимо определить
порядок величины функции Эйлера
F(x) =---------------------г--- (8.2.1)
(1 — х)(1 — х2)(1 — х3). . .
при 0 < а: < 1 и з: -> I.1 Все это достаточно просто, если нас удовле-
творяет грубая аппроксимация. Для
n т, п ' '
И
mxm-1(l - х) < 1 — хт < т(1 - х),
1Я записываю х вместо <?, поскольку g потребуется для других целей.
поэтому
(8-2-2)
Каждый из рядов (8.2.2) имеет предельное значение |тг2 при х —> 1, и
поэтому
10gF^) ~ ) (8-2.3)
6(1 — X) -
или
ч (7’’2/6 + о(1) )
F(x) = ехр| } (8.2.4)
Следовательно, порядок величины F(x) в первой аппроксимации равен
Мы хотим знать порядок а„, соответствующий этому порядку для
F(z) =
Если ап = па, когда а > —1, и х = е~у при у -» 0, тогда
СЮ
Г(х) = У"пахп = V пае~пу ~ [ tae~~ty dt = ~ .
J уа+1 (1-х)“+1
С другой стороны, если бы ап были столь же большими, как eSn, для
некоторого положительного 5, тогда ряд начнет расходиться до того,
как х достигнет 1. Очевидно, что в этом случае ап должны быть мень-
ше такой величины, но больше любой степени п. Естественно предпо-
ложить, что правильный порядок величины — приближенно
еВпь
для & от 0 до 1 и некоторого В.
Порядок
G(x) = У еВпЬхп
еВпь-пу
= Е
можно приблизительно вычислить по порядку его максимального сла-
гаемого. Это происходит при В&пь-1 = у приближенно; тогда макси-
мальное слагаемое приближенно имеет порядок
ехр{С(1 — х) ь)},
где
с = в^/^ь)ъь/^-ь\]. - Ъ).
Это согласуется с (8.2.5), если b = | и В2 = |тг2; и мы приходим к
заключению, что порядок р(п) должен быть приближенно равным
eK”1/2
где
К = (8.2.6)
8.3. В действительности истиной будет то, что
logp(n) ~ Ли1/2 (8.3.1)
или
р(п) = е{К+о(1)}п1/2 (8.3.2)
но мы не можем доказать это очень простым способом. Однако доста-
точно легко доказать, что
еАп1'2 < р(п) < еВп1'2 (8.3.3)
при п > 0 и некоторых положительных А и В.
Если х — е~у, тогда у 0 при ж —> 1 и
1 — х ~ у. (8.3.4)
Запишем
F(x) = ^p(n)e-^ = G(y) (8.3.5)
и предположим, что
О < Е < С = |тг2 < D. (8.3.6)
(i) Из (8.2.3), (8.3.4) и (8.3.6) следует, что
р(п)е~пу < G(y) <
для всех п и для малых у. Следовательно, принимая у = п-1/2, полу-
чим
р(п) < ехр(пу + у} = еВп1/
при В = D + 1, поэтому В может быть любым числом, большим, чем
С+1.
(ii) С другой стороны,
G(y) > exp
для малых у; поэтому
Gi (у) + G2(y) = £р(п)е-^ + £ р(п)е~пу > exp f
О т+1
для всех т. Но р(п) возрастает вместе с п, и поэтому
(m+ l)p(m) > Gi(y) > expy - G2(y).
Также
G2(y) = У р(п)е~пу < У ехр(Вп1/2 - пу)
т4-1 тп4-1
после того, что мы доказали в пункте (i); поэтому
Р(™) > ~ У ехр(Вп1/2 - пу)}.
Выберем Н таким, что Н > 2В, и возьмем у = Ят-1/2. Тогда
У ехр(Вп2/2 — пу) + ехрДп1/2 — 2Впт~1^) < У2е~Вп ?
т-Ь1 т+1 О
exp Am1''2
скажем. Следовательно,
I / \ I / гр
',(т> > (“р у - Ч = S7+T (ехр нт
для больших т, А — произвольное число, меньшее, чем Е/Н. Посколь-
ку Е может быть любым числом, меньшим, чем С, а Н — произвольное
число, большее, чем 2В = 2(1 + D), т. е. произвольное число, боль-
шее, чем 2(1 +С), А может быть произвольным числом, меньшим, чем
1^/(1+С).
8.4. Чтобы доказать (8.3.1) или (8.3.2), нам потребуется общая
теорема так называемого «тауберова» типа. В действительности верно,
когда an > О для всех п, что
lo§E
влечет
log An = log(a0 + ai + ... + an) ~ 2(Cn)1/2.
Когда, как в данном случае, ап возрастает вместе с п, мы можем заме-
нить последнее уравнение на
logап ~ 2(Сп)1/2,
тем самым получим (8.3.1).
Тем самым мы получили асимптотическую формулу для логариф-
ма р(п). Но асимптотическая формула для логарифма арифметической
функции представляет собой очень грубый результат; при этом не раз-
личаются, например, порядки величин
п±1000еКп1''2 _
Нам хотелось бы, по крайней мере, получить асимптотическую форму-
лу для самой р(п). В действительности
р(п) ~ (8.4.1)
4пуЗ
но мы не можем доказать такую формулу при помощи аргументов
столь элементарных и столь общего вида. Необходимо использовать бо-
лее сильные методы, которые будут достаточно учитывать особенности
самой Fix').
8.5. Нашим естественным источником является теорема Коши.
Она говорит нам, что
р(п)
2тгг J хп+1
С
(8.5.1)
где С — это контур вокруг начала координат. Нам нужно передвинуть
С в наиболее выгодное положение, а затем непосредственно изучить
интегралы. Разумеется, в этой идее нет абсолютно ничего нового. Это
то, что доминирует во всей аналитической теории чисел и, особенно, в
теории простых чисел; но данная постановка является весьма отличной
и будет поучительным сравнение двух задач.
В теории простых чисел нашими производящими функциями были
ряды Дирихле J2ann-S, и доказательство теоремы о простых числах
зависело от интеграла
c-f-гоо
(Х) ~ 2т J ф) * ds’
с—too
где с > 1. Мы передвинули контур интегрирования влево до полюса
в s = 1 и показали, что V’*(a:) и V’(z) отличаются от вычета х в полюсе
на величину ошибки порядка, меньше, чем х.1
Это заключение было правильным, но доказательство было очень
сложно проверить, поскольку £(з) ведет себя на бесконечности очень
сложным образом. В частности, положение ее нулей до сих пор крайне
загадочно. С другой стороны, здесь нет никакой сложности насчет
особенности, которая приводит к доминирующему слагаемому, полю-
су при s = l наиболее простого из возможных типов.
8.6. Особенности F(x) нашей текущей задачи намного более
сложные. Они покрывают единичную окружность |х| = 1. Окружность
является «барьером» для функции, которая не выходит за ее пределы
и, здесь не может быть вопросов о «перемещении С через сингулярно-
сти». Все что мы можем сделать —• это перенести С ближе к особым
точкам и подробно изучить каждую его часть.
Для всего этого, однако, есть сильное утешение. Функция F(x)
принадлежит к хорошо известному классу эллиптических модулярных
хСм. лекцию II.
функций, чьи свойства тщательно изучались и очень хорошо известны.
Все эти функции имеют те же самые особые свойства, как и Fix'), и су-
ществуют лишь внутри окружности, но они удовлетворяют замечатель-
ному функциональному уравнению, которое позволяет нам очень точно
определить их поведение вблизи любой точки окружности. В частно-
сти, F(x) удовлетворяет уравнению
F(I) = ^(|08Ю1/2Чв15т^(А (МЛ)
где
logjlog^ =4тг2, х'=ехр/- 4Д z...(8.6.2)
х I log(l/a;)J
Если, к примеру, х положительно и находится вблизи 1, тогда х' чрез-
вычайно мало и F(x') практически равна 1. Поэтому (8.6.1) выража-
ет F(x) фактически в терминах элементарных функций. Существуют
подобные формулы, связанные с другими точками окружности, такими
как
— 1 р2тг1/3 —2тгг/3 • • -2тгг/5
J. , С • v« 4-. С- ....
(в общем случае со всеми простыми корнями из 1); но (8.6.1) самой по
себе достаточно, чтобы позволить нам добиться большого продвиже-
ния.
В частности, если мы выберем в качестве С окружность с ради-
усом лишь чуть меньшим, чем 1, мы можем сделать подстановку из
(8.6.1) в (8.5.1) и заменить Е(.т') единицей, с ошибкой, порядок кото-
рой оказывается равным
ея"1/2
где
Тогда в интеграле остаются лишь элементарные функции, и мы можем
вычислить его очень точно.
Результатом служит формула
р(п) = ± + О(е^"1/2), (8.6.3)
где
An = ^/n- H < K. (8.6.4)
Она включает (8.4.1) и является намного более точной. Вид доминиру-
ющего слагаемого, на первый взгляд, является достаточно загадочным,
но, естественно, возникает из анализа. В частности, « — в Ап, есте-
’ ’ 24 ’
ственно, возникает из показателя в (8.6.1).
8.7. Однако это ни в коей мере не означает конца исследования.
Формула (8.6.1) подходит лишь для изучения Р(х) вблизи х = 1. Как
я отмечал, существуют аналогичные формулы, связанные с другими
«рациональными точками»
xP,q = e^ilq (8.7.1)
на единичной окружности. Можно сказать (разумеется, очень грубо),
что эти «рациональные особые точки» являются наиболее тяжелыми
особыми точками Р(х), что F(x) вблизи них больше, чем вблизи лю-
бой другой точки на окружности, и что их вклад в интеграл (8.5.1),
возможно, перевесит вклад всех других точек.
Далее, вес этих рациональных особых точек уменьшается при воз-
растании q. При ж —» 1 вдоль радиуса F(x~) ведет себя приближенно,
как
ехр|—-},
Р16(1 — х) f’
в то время как при х хр, q она ведет себя приближенно, как
( 7Г2 "I
ехр< ————— г-
с 6q2(1 — |х|) J
Следует ожидать, что
p(n) = РДп) + Рз(п) + ... + Pq(n) + R(n), (8.7.2)
где Pi (п) является доминирующим слагаемым в (8.6.3), Рг(п), • • • ,Рр(п)
имеют аналогичную форму, но с меньшими числами К?, . •, Kq вме-
сто К и порядок ошибки Л(п) меньше, чем eKQn /2.
Доказательство всего этого может быть получено без больших до-
полнительных сложностей. Pq(n) имеет вид
где
Pq(n) = Ьд(п)фд(п),
фд(п) =
<71/2 d (eKX"lq
2тг\/2 dn '
L^n) = ^p,qe~2"^,
р
(8.7.3)
(8.7.4)
(8.7.5)
р пробегает целые числа, меньшие, чем <?, и взаимно простые с ним1, и
wPig является некоторым 24-м корнем из единицы. Таким образом,
Li(n) = l, </>i(n) = Fi(n), Кд =
И
Щп) = O(e-f/'?nV2), (8.7.6)
где
Hq < Kq
(поэтому Hq —» 0, когда Q —» оо). Таким образом, мы можем получить
значение р(п) с величиной ошибки <9(ег" 7 ) и произвольно маленьким
положительным числом 6.
8.8. На этом мы могли бы остановиться, если бы не любовь к
вычислениям майора МакМахона. МакМахон был умелым и увлекаю-
щимся вычислителем и сделал для нас таблицу значений р(п) вплоть
до п = 200. В частности, он обнаружил, что
р(200) = 3972 999 029 388,
(8.8.1)
и мы, естественно, выберем это значение для проверки нашей асимпто-
тической формулы. Следует ожидать хорошего результата с ошибкой,
возможно, в одном или двух знаках, но мы никогда и не мечтали наде-
яться, что мы нашли столь хороший результат. В действительности, во-
семь слагаемых нашей формулы дают значение р(200) с ошибкой 0,004.
1 Когда q = 1, р = 0.
Неизбежно был задан вопрос: не может ли использоваться наша фор-
мула для вычисления точных значений р(п) для любого большого п.
Очевидно, что если бы это было возможно, то было бы необходи-
мо использовать «большое» количество слагаемых ряда, т. е., скажем,
сделать Q функцией числа п. Мы получили следующий конечный ре-,
зультат. Существуют константы а, М такие, что
р(п) = 5П Pq(n) + R(n), (8.8.2)
<7<ап1/2
где
|7?(п)| < МгГ^, (8.8.3)
и поскольку р(п) является целым числом, (8.8.2) дает его точное значе-
ние для достаточно больших п. Формула является одной из тех редких
формул, которые являются одновременно и асимптотическими, и точ-
ными. Она позволяет нам узнать все, что мы хотим о порядке и прибли-
женном виде р(п), и она также выглядит подходящей для точных вы-
числений. Фактически, именно с помощью этой формулы Д. X. Лемер
(D.H. Lehmer) впервые вычислил значение р(721).
8.9. Однако, вплоть до недавнего времени, необходимо было де-
лать любопытное отступление в этом случае. Значения р(200) и р(243)
были известны, поскольку они были непосредственно вычислены Мак-
Махоном и Гуптой, но вычисления, основанные на (8.8.2), не являлись
решающими. Мы не можем использовать эту формулу для того, чтобы
доказать, что р(721) имеет конкретное значение, пока мы не найдем
численных значений а и М. Рамануджан и я лишь доказали их су-
ществование. Необходимо было повторить весь наш анализ, задавая
численные значения все нашим «константам» и заменяя все наши сла-
гаемые типа «О» слагаемыми с численными границами. До того, как
это было сделано, вычисления Лемера, который использовал 21 слага-
емое ряда и получил значение
161 061 755 750 279 477 635 534 762,0041,
давали очень сильное предположение, что это число является значени-
ем р(721), но не были доказательными.
Промежуток к настоящему времени заполнен Радемахером, кото-
рый (пытаясь, в первую очередь, всего лишь упростить наш анализ)
смог сделать очень удачную формальную замену. Рамануджан и я ра-
ботали не с самой функцией
27гх/2^п^ /
а с «почти эквивалентной» функцией
1 d f chKXn - 1\
(впоследствии отбрасывая менее важные части функции). Радемахер
работал с
Id (shKXn\
ф(п) = —— — I —г---- ,
7Гх/2«п^ Хп )
которая также «почти эквивалентна», и, по-видимому, это небольшое
изменение имеет очень важное значение, поскольку оно привело к
тождеству для р(п).
Имеем
d ( 1 „iKXnX d (К , ^3(n-l/24) \ =
dn\Xn 1 ) dn \ (1 6<j3 / \ q3)
для фиксированных n и больших q. Следовательно, функция
<8А1>
тг^апЛ Я J
ведет себя при больших q как произведение q1/2 q~3 = q~5/2 и
1МЯ1 = |Ewp^e“2np7ri/9| <?, (8-9-2)
р
поэтому
Lg(n)V;g(n) (8.9.3)
р
сходится. Ряд 52 Ьч(п)фч(п) не является сходящимся; я и Рамануджан
не решили до конца этот вопрос, но затем он был разрешен Лемером.
Радемахер доказал, что
?(п) = J2-MnM(n)
<7=1
(8.9.4)
и что остаток после Q слагаемых меньше, чем
CQ-^ + D(^sh^
\'U Q
где С и D — константы, для которых он получил определенное значе-
ние. Остаток имеет порядок п-1/2, когда Q имеет порядок п1/2, как и
в нашей предыдущей работе.
Доказательство тождества Радемахера
8.10. Остаток этой лекции будет посвящен доказательству (8.9.4).
Ряд Фарея порядка N представляет собой множество несокра-
тимых дробей p/q между 0 и 1, чьи знаменатели не превосходят N. Мы
включаем 0 и 1 в виде у и таким образом, &5 представляет собой
01112132341
Г 5’ 4’ 3’ 5’ 2’ 5’ 3’ 4’ 5’ Г
Если
х = те2™0
и 0 пробегает значения 'Sn (так что и первое, и последнее значения х
равны г), мы определяем множество «точек Фарея» re2pm/q на окруж-
ности |ж| = г.
Предположим, что q > 1 и
р" Р р/_
q"' 9’ q'
— три последовательных дроби из 'Sn- Будем связывать с p/q интер-
вал /р q или
р _ х" р + у'
q Лр, 7’ q ' лр, <?’
где
" ___ 1 > _ 1
Xp'q "9(9 + 9")’ Хр’9"(9 + 9')’
Эти интервалы полностью заполняют интервал (0, 1), и длина каждой
из частей, на которые £Р1 q делится величиной p/q, лежит между
1 1
2Nq Nq
Определение, естественно, потребует изменения, когда q = 1. Тогда p/q
является у или | и разбиение интервала состоит всего лишь из одной
части.
Мы также будем использовать обозначение £Pi<7 для дуги |ж| = г,
определенной теми же значениями в. Две экстремальных дуги, которые
получаются при х = г, соединяются в одну. Мы будем называть это
разбиение окружности разбиением Фарея порядка N.
Применим (8.5.1) к окружности С, определенной
|ж| = г = е-2тг/№.
Запишем
р(п) = ^/|М^ = Е^ / |^^ = Е^ (8-10Л)
Р> <7 с Р, <7
sp, q
и изучим каждый интеграл по отдельности. Пределы суммирования
определяются выражениями
О < р < q, (p,q) = l, l^q^N (8.10.2)
(за исключением того, что р принимает при q = 1 единственное значе-
ние 0).
8.11. Для £Pj q запишем
т _ 2тггб> _ -2тг/№
«Л/ ---- / С- . / С- .
е = Рд+Ф,
(8.11.1)
поэтому
(2рт ( 1 \-i (2рт
Ж = ехр|— -2%^— =ехр(^ —
2тгг\
9 /’
(8.11.2)
где
Таким образом, ф = 0 дает фареевскую точку £Pi<7
~Х" = -Xp,q Ф ^Xp,q = х'
1 х' 1
2<jjV х" QN ’
< gN-
(8.11.3)
(8.11.4)
(8.11.5)
И
Мы также приведем здесь некоторые простые неравенства, кото-
рые потребуются в дальнейшем. Поскольку \дф\ < 1/N и q N, имеем
|z| = q(N—4 + ^Э1/2 (<?2jV“4 + TV-2)1/2 г1/2?/-1 (8.11.6)
(поэтому величина |z| мала равномерно для больших N). Также
lexp(-§)l=exI’(-^)<1
(8.11.7)
и
1„ 1 = IV-2 1У~2 > 1
Q z q^^N~i+ф2) q2N~4 + N-2
(8.11.8)
8.12. Теперь воспользуемся формулой типа (8.6.1), но связанной
с вместо 1. Формула имеет вид
/.’(х) =^,9.г1/2ехр(1^-^)т(х'), (8.12.1)
где
(Zpiti 2тг.г
х = ехр^—----------—
, /2Р1т 2тг\
х q----q^)^
(8.12.2)
wPi q — 24-й корень из единицы, на который мы ссылались в § 8.7, z4/2 —
его главное значение и рр\ = — 1 (mod q). Формула сводится к (8.6.1)
при q = 1.
Если мы подставим значение из (8.12.1) в интеграл jp,g из (8.10.1),
запишем
*W = *1W = ?/2exp(^L_2LL) (8.12.3)
и заметим, что
= 2ттг < х~п = ехр(^ - - 2птгф^ ,
мы получим
х'
e-2nn/N2 jp q = Шр де-^^/9 у ф(2)Р(х')е~2ттр dф. (8.12.4)
-х"
Удобно также иметь формулу для jp, Q, в которой переменной ин-
тегрирования будет z. Такая формула, которая является тривиальным
преобразованием (8.12.4), имеет вид
jP< я = Т^р. qe~2npnilo I ^{z)F{x')e2n^^ dz- (8.12.5)
путь интегрирования —- это прямая линия, соединяющая точки
ПЛОСКОСТИ Z.
8.13. Когда z мало и положительно (т. е. когда х вблизи е2р7Г1/<7
на радиусе к этой точке),
|Ж'| =: e-*F4z
чрезвычайно мало и F(x') практически равно 1. Мы можем надеяться
заменить Р(ж') на 1 без внесения больших ошибок на всем Ср, <?• Таким
образом, запишем
jp,q = Jp,q + Jp,q (8.13.1)
и
P(n) = 12 ч = 12 JP’ Я + У? J'p, q = р(п) + (8.13.2)
скажем, JPt4 и .J'p q — интегралы, полученные из jPi q, когда мы заме-
няем F(x') на
1, F(x')-1
соответственно. Разумеется, Р(п) и Р'(п) зависят от N так же, как и
от п, и нам нужно изучить их пределы при N —> сю.
8.14. Докажем сначала, что
Р'(п) -> 0. (8.14.1)
Имеем
Ф(г){Д(Д) - 1} = ^1/2exp{-^(.z-
у г
Теперь
|е-^/129| j
по (8.11.7). Также
I тт/12^ _ I Г _7Г_ I f2Pl^ _ 2тгП I _
1 х I - гхр1129г + Л q qz)f\~
= exp{-^(\/- X WR e-^-Whr
no (8.11.8), поэтому
|e^/1292 ^p^e-^-y24)V = B,
1 1
где В — константа. Наконец,
|2|i/2 21/4^1/2
no (8.11.6), и промежуток интегрирования в (8.12.4) меньше, чем 2/qN
по (8.11.5). Следовательно,
|J' ч| < e2nixfN2 21/4N-P2B = e^/N22!!iB
P’4' qN qN5/2
\P'(n)\ = о(дг-5/2 I) = o(lV“5/2 52 1) = O(1V_1/2).
P.<7
Объединяя (8.14.1) и (8.13.2) и учитывая, что р(п) не зависит от N,
получаем, что
p(n) = Jim Р(п). (8.14.2)
Рис. 2
8.15. Обсуждая Р(п), мы использовали формулу (8.12.5), в кото-
рой Fix') заменили на 1. Положив
г = qZ,
мы получим
Jp, д = Шр^е-^Р^/чПр^, (8.15.1)
где
rp.4 = ^ + (8-15.2)
Путем интегрирования теперь служит линия L рисунка 2. Таким обра-
зом,
N N
р(п) = N^oo = 12 12 4RP’ qe~2npvi^ = hm° ^2 Tv>
9=1 P 9=1
(8.15.3)
где
= Е^9ДР.9е"2и/,яг/7- (8.15.4)
p
Теперь нам нужно преобразовать RPtq. Применим теорему Коши
к контуру, отмеченному на рисунке. Здесь Z1/2 положительно в точ-
ке N~2, равно —i(—Z)1/2, где (—Z)1/2 положительно на линии (1) и
равно i(-Z)1/2 на (6). Также
е < N~2
и устремим е к нулю, перед тем как N будет стремиться к оо.
По теореме Коши, получаем
(о+)
-оо (1) (2) (3) (4) (5) (6)
= 2qU2Uq + iq1//2(Zi + I2 + I3 + /4 + I5 + Iq), (8.15.5)
скажем, где Uq — интеграл от — оо до — оо, включая начало координат
в положительном направлении, и не зависит от р.1
Очевидно, что
А + I6 -> -2iVq, (8.15.6)
где
Vq = У ^1/2 ехр{^^ -2тг(п- (8.15.7)
о
(поэтому Vq также не зависит от р), когда е —> 0. Если мы предположим
временно, что другими интегралами I2, 1з, Ц и 1$ можно пренебречь,
тогда получим
N N
р(п) = lim V Та — lim lim Т„ =
9=1 <7=1
N
= \im^m^{2qy2Uq + iqy2(I1+Ie)}^Ptqe-2n^<1 =
<7=1 p
N
= + И7) =
<7=1 p
N 00
= 2 £ q^Lq(Uq + Vq) = 2 £ q'/2Lq(Uq + Vq).
00 <7=1 <7=1
Здесь Lq = Lq(n), определенная формулой (8.7.5). Если мы затем мо-
жем доказать, что
Uq + Vq =
__1___<L /_1_sh КХп\
2тку/2^‘п\Хп Ч J
(8.15.8)
доказательство тождества Радемахера будет завершено.
1 Rr, ,, зависит от р, а также и от q, поскольку х’ и х" зависят от них; поэтому
то же самое верно для I2, 1з, Ц, h- Но U4, V4 и верхние грани, полученные для
1г, • •, /5 в § 8.16, не зависят от р.
8.16. Нам нужно проверить временное предположение, сделанное
в §8.15. Достаточно доказать, что
N
lim V q1/2 V lim|/2 + Д + Ц + h\ = О
N^<x £' г^О
<7=1 Р
ИЛИ ЧТО
N
lim У' g3//2lim max |/2 + Д + Ц + Д1 = 0. (8.16.1)
N^>oo^—‘ е^О р
<7=1
В 12
Z —-s - iY (0<У</),
ад<о, и(|) = --ф5<о
и
Очевидно, что I5 удовлетворяет тому же неравенству и
lim|/2 + I5\ 2(qN)~3/2
(8.16.2)
(для каждого р).
В 13
Z = X-ix (-е < X < N~2), |Z|1/2 <21/2q~1/2N^1/2
по (8.11.6);
|е2тг(п-1/24)И| < е2птг/№.
±911 =__________________< All < 4
q2 Z q2(X2 + x'2) q2x'2
no (8.11.5) и для каждого p
|I3| < 2№2 •21/2g-1/2W“1/2 • e2n*/N2 • ew/3 < ,
(8.16.3)
где В снова является константой (в частности не зависит от р). Очевид-
но, что Д также удовлетворяет тому же самому неравенству, и поэтому
М/3 + /4| < 2/Т\?~5/Лг1/2е2^/А'2. (8.16.4)
£ —*0
Таким образом, достаточно доказать, что
f>3/2(q]V)-3/2->0
<7=1
И N
^q3/2N-5/2q-l/2 _ 0;
<7=1
и каждое из них имеет порядок О(Л;~1;2),
8.17. Осталось лишь вычислить интегралы Uq и Vq и тем самым
доказать (8.15.8). Интеграл Uq является стандартным и может быть
вычислен по формуле, приведенной в книге Ватсона Функции Бесселя.
Имеем
(0+)
и« = £ / z',2cA^+4n~ii)z}dZ =
(°+)
=/ Z“1/2exp(-^- +2Trfn- ±}z\dZ.
4т dn J ll2q2Z V 24/ J
Если мы положим
________t______ t
2тг(п-1/24) 2тгЛ2’
то получим
(0+ ^mdn 1дпг/2^ J при 2 2тг2/\2 M 3q2 ’ ) 2 Г1/2 exp (t - dt] [2, "г7ГузТ
и это равно
1 d [ 1
2idn t (2тг)3/2Дп
• 2тгг
_1__— ( J_ ch А
2^dn\Xn Q J’
поэтому
Uq =
_1 f J_ ch A-»
2.vWa„ q J
Для Vq имеем
J 1,/2“р{"1^"2’("“ м)‘}Л =
0
= Z^’/2exp(--- 2it(n- ±}t\dt.
2tt dn J 1272t \ 24? /
о
Поскольку
когда а и b положительны, получаем
1 d /е-кх^/ч\
2тт^2dn'- J
и
Uq + Vq =
2тту/2 dn\Xn q /
что соответствует (8.15.8).
8.18. Легко установить ошибку, связанную с использованием
лишь N слагаемых ряда. Значение N, которое мы выбираем, будет за-
висеть от п, и мы должны использовать аппроксимации, равнозначные
относительно п. Во-первых,
|L9(n)| q
по (8.9.2). Также
d (1 аКХп} - d (к \ ^(rc-V24) , \
dn\Xn Q J dnAQ^ 6q3 J V?’
если
n < Aq2,
для фиксированного А, и q велико (и равномерно в любом подобном
интервале значений п). Ошибка будет связана со всеми значениями q,
превышающими N, поэтому N должно иметь, по крайней мере, поря-
док п1/2.
При этом мы имеем
^д(тг) = О(7-5/2)
для q > N и
52 Lq(nA'An) = °(52 ?~5/2) = O(N~1/2).
N+l W+1
В частности, если мы возьмем N порядка n1/Z2, мы получим р(п) для
больших п с ошибкой O(n-1/2).
Достаточно тщательный анализ необходим для численных вычис-
лений, но здесь нет принципиальных сложностей. Таким образом, Ра-
демахер, используя лишь грубую оценку (8.9.2), получил, что ошибка,
с использованием N слагаемых меньше, чем
B1N^2 + B2^)1/2Sh^
(с определенными значениями Bi и В^). Если мы пожелаем использо-
вать фч{п) вместо как в формуле Харди- Рамануджана (а это
более удобно), тогда здесь возникает небольшая дополнительная ошиб-
ка, которую легко оценить. Таким образом, Радемахер смог показать,
что если п = 721 и N — 21, ошибка меньше, чем 0,38. Поскольку р(п)
принимает целые значения, любая оценка с погрешностью меньше i
достаточно хороша для вычисления р{п).
q Рч(721)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 161061755750279601828302117,84821 -124192062781,96844 -706763,61926 2169,16829 ОфОООО1 14,20724 6,07837 0,18926 0,04914 ОфОООО1 0,08814 -0,03525 0,03247 -0,00687 ОфОООО1 -0,01133 ОфОООО1 -0,00553 0,00859 ОфОООО1 -0,00524 161061755750279477635534762,0041
Грубой оценки будет достаточно для конкретных целей. Эти вы-
числения, к примеру, были предприняты для того, чтобы узнать, будет
ли
р(721) = О (mod II3)
в соответствии с одной из гипотез Рамануджана. Поскольку Раману-
джан доказал, что р(721) кратно II2, любая оценка с ошибкой, меньше,
чем 60,5, достаточна для этих целей.
Я представил в таблице значения первых 21 слагаемых форму-
лы Харди- Рамануджана2. Скорость сходимости впечатляет, и факти-
ческая ошибка намного меньше той, которая получается из анализа
Радемахера. Наибольшее значение р(п), полученное таким способом,
^Эти слагаемые тождественно равны нулю.
2 Соответствующая таблица для п = 14031 слишком велика, чтобы ее. можно было
напечатать.
недавно вычислено Лемером и равно
р(14031) = 92 85303 04759 099316943485156 6712775089
29160 56358 46500 54568 28164 58081 50403
46756 75123 95895 59113 47418 88383 22063
43272 91599 91345 00745.
Для этого потребовалось 62 слагаемых ряда и более тонкая оцен-
ка Lq(n)-, грубое неравенство (8.9.2) оказалось недостаточным. Лемер,
однако, показал, что
|ДДп)| < 2?8, (8.18.1)
и этого было достаточно для его целей. Оказалось, что
р(14031) = 0 (mod II4),
как и предсказывал Рамануджан.
Комментарии к лекции VIII
§ 8.1. Большая часть материала этой лекции содержится в статье Харди
и Рамануджана Proc. London Math. Soc. (2), 17 (1918), 75-115 (№36 сборника
трудов), и в Радемахер (2).
§ 8.3. Харди и Рамануджан (см. выше, 285-287) доказали более точное
неравенство
Нп^'1* <р{п)<Кп1е^'2
элементарными методами.
§ 8.4. Тауберова теорема доказана в более общем виде Харди и Рама-
нуджаном, Proc. London Math. Soc. (2), 16 (1917), 112-132 (№34 сборника
трудов). В конце этой работы приведены ссылки на аналогичные теоремы
Валирона и других исследователей.
«Тауберовы» методы являются эффективными, поскольку они приме-
няются для широкого круга задач. Так, мы можем доказать, что число раз-
биений числа п на простые равно
с той же степенью точности, что и в (8.3.1) или (8.3.2).
§8.6. Функциональные уравнения для F(t), потребовавшиеся здесь и в
дальнейшем (в частности, в §8.12), являются формулами линейных преоб-
разований функции Л(т) Таннери и Молка (Tannery и Molk). См. Таннери и
Молк, Fonctions elliptiques, ii, 264-267 (таблицы XLV-XLVI).
Формула (8.6.3) была независимо получена Успенским, Bull, de I’acad.
des sciences de I’URSS (Доклады Академии наук СССР) (6), 14 (1920),
199-218. Статья Успенского была опубликована немного позже нашей, и мы
рассмотрели решение намного глубже, поэтому его доказательство (8.6.3),
которое проще нашего, не было отмечено по заслугам.
§8.7. Аннотация №36, которая появилась в 1917 году в Gomptes rendus
(№31 Сборника трудов), не выходит за пределы этого исследования. Идея
аппроксимации арифметической функции «сингулярным рядом», в котором
каждое слагаемое соответствует «рациональной точке» на окружности схо-
димости производящего ряда, является одной из доминирующих в работе
Харди и Литтлвуда о задаче Варинга.
Различные выражения для wP1 q были получены Хермитом (Hermite),
Таннери и Молком, Харди и Рамануджаном и Радемахером (1). Выражение,
полученное Радемахером, имеет вид
где
q— I
о 1V (FP ГМР1 1\
Ц=1
Д. X. Лемер (4) доказал, что Lq(n) обладает «мультипликативным»
свойством, которое позволяет нам свести его вычисление к случаям, в ко-
торых q является простым числом или степенью простого числа, и что в
этих случаях оно представляет собой произведение q1/2, степени 2, значе-
ния квадратичного вычета и косинуса от рационального числа, умноженного
на 7Г.
§ 8.8- 9. МакМахон исследовал рекуррентную формулу
р(п) — р(п — 2) — р(п - 3) + р(п — 5) + ... =0,
полученную приравниванием коэффициентов в тождестве
(1 - X2 - X3 + X6 + ... ) У^РпТП = 1-
Гупта (1, 2) использовал дополнительные методы.
Лемер вычислил р(721) по формуле Харди - Рамануджана в своей ста-
тье (1), но результат впервые был доказан Радемахером (2). Оба, Лемер
и Радемахер, также вычислили р(599) для проверки гипотезы Рамануджа-
на (§ 6.6) для сравнений по модулю 54 (результат снова оказался положитель-
ным). В то же время, Гупта (2) проверил значение р(599) непосредственным
вычислением.
В своей статье (3) Лемер получил значение р(п) для
п = 1224, 2052, 2474, 14031
и проверил их делимость на
54, 113, 5s, II4
соответственно.
Радемахер и Цукерманн (Zuckermann) (1) и Цукерманн (3) получили
тождества для коэффициентов других модулярных функций. Некоторые из
этих функций имеют тот же тип, что и F(x), в то время как другие являются
функциями другого типа, также рассмотренными Харди и Рамануджаном
[Proc. Royal Soc, (А), 95 (1919), 144-155 (№37 Сборника трудов)].
Сходимость рядов Харди - Рамануджана рассмотрел Лемер (2,4,5).
В первой из этих работ рассматривается вопрос о расходимости, а в двух
последующих он доказывает более точные результаты.
§ 8.10. Для соответствующих свойств рядов Фарея см., к примеру, Харди
и Райт, гл. III или Ландау, Vorlesungen, i, 98-100.
§8.17 . См. Ватсон, Функции Веселея, гл. VI, в особенности стр. 176.
§8.18 . О (8.18.1) см. Лемер (4), 292.
Лекция IX
Представление чисел в виде сумм квадратов
9.1. Задача представления целого числа п в виде суммы заданного
числа к квадратов целых чисел одна из самых знаменитых в теории
чисел. Ее историю можно проследить еще к Диофанту, но эта задача, в
сущности, началась с теоремы Жирара (Girard) (или теоремы Ферма)
о том, что простое число вида 4т + 1 представимо в виде суммы двух
квадратов. Почти все известные математики, работающие в области
теоретической арифметики, внесли вклад в решение этой задачи, но в
ней до сих пор остались нерешенные вопросы.
Обозначим число представлений п в виде суммы к квадратов, т. е.
число целых решений уравнения
т2 + т| + • • + х^ = п,
через rk(n). Нам нужно уделить внимание знакам и порядку перемен-
ных Xi, а?2, • • •, Xk- Таким образом,
1 = (±1)2 + О2 = О2 + (±1)2, 5 = (±2)2 + (±1)2 = (±1)2 + (±2)2
И
г2(1) = 4, г2(5) = 8.
Задача заключается в том, чтобы определить rk(n) в терминах более
простой арифметической функции переменной п, такой как количество
или сумма его делителей. Задача намного проще, если к является чет-
ным числом 2s, и я буду предполагать это в данной лекции.
Якоби решил задачу для 2s = 2, 4, 6 и 8. Таким образом он доказал,
что
г2(п) = 4 £ (_1)(^П/2 = 4{d1(n) -d3(n)} (9.1.1)
d нечетно, d|n
И ЧТО
г4(п) = 8^2 d = 8сг(тг) (9.1.2)
d|n
или
г4(«) = 24 d = 24а°(п), (9.1.3)
d нечетно,d|n
в зависимости от того, является ли п нечетным или четным. Здесь
суммирование происходит по всем делителям d числа п или по всем
нечетным делителям; di(n) и с/з(п), соответственно, — число делите-
лей п вида 4m + 1 и 4m + 3; <т(п) — сумма делителей п и <т°(п) — сум-
ма нечетных делителей. Формула для rg(n) является несколько более
сложной, но имеет тот же самый общий тип, и то же самое происходит
и для г8(п).
9.2. Якоби получил свои формулы из теории эллиптических те-
та-функций. Если
= 1 + 2ж + 2д4 + ... = ^хп\ (9.2.1)
ТО
(О Е 7 .
-------+ (9.2.2)
1 - X 1 - ж3 ! _ ХЬ J _ х7 ) V >
и
tf4(z) = l + 8(T^ + ^^ + -5^ + -^-+ ...Y (9.2.3)
V1 - х ц-ж2 ! _ хз 1+х4 J
и (9.1.1), (9.1.2) и (9.1.3) получаются в результате приравнивания коэф-
фициентов при равных степенях. Таким образом, правая часть (9.2.2)
равна (игнорируя слагаемое 1)
J О°
4 £ (-l)''7-1’/'2-^- = 4 £ £(_1)(^-1)/2^
d нечетно Х d нечетно г=1
и коэффициент при хп равен
4 (-l)(d-1)/2-
d нечетно, п
Таким образом, формула для Г2(п) и г^{п) возникает как следствие
аналитической теории.
Можно обратить эту процедуру, непосредственно доказать ариф-
метические формулы и вывести из них аналитические тождества; и
здесь возникают некоторые различия между rzfn) и г 4(11). Легко вы-
вести (9.1.1) из теории гауссовых комплексных целых чисел, но вы-
вод (9.1.2) и (9.1.3) связан со значительными сложностями. По этой
причине возникает интересная задача поиска элементарной процеду-
ры вывода (9.2.3) из (9.2.2), и Рамануджан нашел ее. Я повторяю ее
здесь, поскольку, хотя она имеет очень малое отношение к теме мо-
ей лекции, она представляет собой очень характерный образец работы
Рамануджана.
Легко проверяется, что
х , 2 а?2 , За?3 , 4а?4
1-х 1+а?2 1 — а?3 1 + а?4
где
и штрих обозначает пропуск слагаемых, кратных 4. Таким образом,
нам нужно доказать, что
f т + Ы1 ~~ из + its — • • ) — -А? + л тпит. (9.2.4)
Рамануджан доказывает более общую формулу, что
S2=Ti+T2, (9.2.5)
где
S = i ctg + mi sin в + м2 sin 20 + ...,
T) — Q ctg — 0^ T mi(1 T mi) cos0 T u2(l T m2) cos 20 4- ...,
T2 = |{ui(l - cos#) + 2u2(1 - cos 20) + 3u3(l - cos30) + ...}.
Она сводится к (9.2.4), когда 0 = В этом случае
S — i + mi — м3 + М5 — ...,
°° °° 2т
Тг = Тб + + U2m) = ^ + _fz2m)2 =
ОС ОС ОС
= i + £(-1Г5>!“ = i - V=
16 16 1 4- r2n
1 1 1
= Tb4(rS-rS) = s---3«»-5— •
И
7г = |(W1 + 3«з + 5u5 + ...) + 2u2 + 6«6 + lOuio + • •,
£1
поэтому
Ti + T2 = | ^2 mUm-
Чтобы доказать (9.2.5), запишем
(1 1 ly ' \
ctg ±0 + Yj Um sin mO) =
i
n ОС oc o
(1 T \ “ 1 1 v" / V" \ “
i ctg-(9J + ctg ^0 у umsinm6 + (y ,umsmm9) =
1 4 1
/1 1 \2
= ctg 2^y + Si + S2-
Выразим Si и S2 в виде
ОО
Si = + cos + cos20 4- • - + cos(m — 1)0 4- cosm0^um,
i
oo oo oo oo
S2 = um sin тв un sin nO = | y~^{cos(m — n)0 — cos(m + n)0}umun
i i ii
и представим слагаемое в Si + S2 следующим образом:
Si + S2 = Cfc cos кв.
fc=O
(i) Вклад в Co равен | 52 ит, а вклад S2 равен | У) ит- Следо-
вательно,
С„ = 1£М1 + »™) = |£?Г£;¥ =
11 1 д
(ii) Если к > 0, тогда вклад Si в Ск равен
2^А: "Е ' Ч-гп — ' ^к+1-
к+1 1=1
Вклад S2 равен
оо fc-1
2 2 > lkmUn — ' UjUk+i — , UjUk—t.
гп—п—к п—тп=к тп4-п=/с 1—1 1=1
Следовательно,
оо ос к-1
Ск = ^ик + у; uk+i + у^ uiuk+i - | У2 uiuk-i-
1=1 1=1 1=
Легко проверить, что
Ufc+z(l + щ) = uk(ui - Uk+i), щик-1 = Ufc(l + щ + Uk-l),
поэтому
k-l
ск = Ufc{| ~ Uk+i^ — 5 +^ + =
(=1 (=1
= Uk
2 +U1 +^2+ • • • +Ш ~^(Л — 1) — (141 +112+ • • +l4fc- 1
)} — life ^14-life — 2^)
И в результате
2 CXJ CXJ
S2 = ctg i nun + У^ uk ^1 + uk —
n=l k=l
cos kO =
— Ctg 2^ 4“ y*' UTn(14-WTn) COS777^+“
m= 1 Tn—1
mum(l— cosmO) = Ti+Tz-
Тождество эквивалентно
_ rhuY2 f 2тт\2 Г L . V' _92т „по тжи 1
) ОД J ) (wi) ( 24 (1 — гу2''1)2 С wi J
в общепринятых обозначениях теории эллиптических функций.
9.3. Якоби не предпринимал попыток вычисления r2S(n), когда
2s > 8, и первые результаты в этом направлении для 2s = 10 и 2s = 12
были получены Лиувиллем и Эйзенштейном. В этих случаях r2S(n)
обычно не выражается как простая «функция делителей» числа п.
К примеру, в обозначениях Глейшера (Glaisher)
гю(тг) = |{Б’4(тг) + 16^4(n) + 8х4(тг)},
где
E4(n) = (-l)(d-1)/2d4, E'4(n) = ^2 (-l)(ri'“1)/2d4
d нечетно, d\n d' нечетно,d\n
(d! равно n/d, делитель n, «сопряженный» d), и
MiW = | 22 (a + bi^
a.2~\~b2=n
(суммирование происходит по гауссовым комплексным делителям тг).
Существуют аналогичные формулы для 2s = 12, 14, ...; r2S(ri) в каж-
дом из этих случаев формула представляет собой сумму «функции де-
лителей» и одной или нескольких вспомогательных функций. Слож-
ность вспомогательных функций возрастает с увеличением з, и лишь
простейшие из них, такие как Х4(п), можно определить арифметиче-
ски ясным способом. Большую часть из них можно выделить лишь как
коэффициенты в разложении модулярных функций.
Мы обнаружим, однако, что всегда существует функция делите-
лей, которая «доминирует» в значении r2s(n). Во всех случаях
r2s(n) = <W'«) + e2s(n),
где 52s(ri) функция делителей и егДтг) намного меньше, чем d2s(тг) для
больших п, поэтому
г2.,(п) ~ d2s(n),
когда п стремится к бесконечности.
9.4. Я предлагаю подробно изучить здесь два частных случая
2з = 8 и 2з = 24. Анализ несколько проще, чем обычно, когда 2з крат-
но 8, но эти два случая являются достаточно типичными для общей
теории. Для первого случая я собираюсь получить классическую фор-
мулу Якоби, а во втором случае — наиболее характерные из новых тео-
рем, полученных Рамануджаном. Я не думаю, что ранее публиковалось
какое-либо завершенное доказательство этих формул.
Я не собираюсь использовать методов Якоби и Рамануджана, а вос-
пользуюсь более поздним «функционально-теоретическим» методом,
полученным Морделлом и мною, в котором основы теории показаны
намного четче. Однако я должен начать с нескольких общих замеча-
ний о вкладе Рамануджана в решение этой задачи, которое изложено
в двух больших работах в Transactions of the Cambridge Philosophical
Society1.
Всегда сложно сказать, сколько Рамануджан позаимствовал от
других исследователей, и наиболее сложно сделать это, когда он про-
должил работы, начатые им до приезда в Англию, и когда он занима-
ется, как в данном случае, каким-либо аспектом теории эллиптических
функций. Нет никакой книги по эллиптическим функциям из тех, ко-
торые он мог бы увидеть в Индии, в которой бы что-либо говорилось
об арифметических приложениях этой теории. Поэтому я полагаю, что
Рамануджан переоткрыл формулу Якоби, что вполне согласуется с его
дарованием.
В то время, когда он публиковал эти работы, Рамануджан уже
изучил намного больше и знал все о работах Якоби и более поздних
исследованиях. В частности, он прочел статьи Глейшера и рассмат-
ривал их содержимое как общеизвестные факты; и читатель, который
прочитает его благодарности в начале статей, возможно, будет недооце-
нивать его оригинальный вклад. Эти статьи во многом оригинальны,
какого бы мнения мы не придерживались: они характеризуют творче-
ство Рамануджана в его наивысшем расцвете. Статьи содержат множе-
ство замечательных теорем, которые неоспоримо являются новыми, и
их следствия еще более замечательны, что позднее было подтверждено
Морделлом, и общий уровень анализа поразительно высок. В частно-
сти, вторая статья содержит всю формальную теорию «сумм Раману-
джана», которая является фундаментальной для моих текущих целей.
ГУЧ 8 и 21 Сборника трудов.
Я должен начать с формул Рамануджана, хотя я и развиваю теорию
способом, совершенно отличным от его собственного.
Суммы Рамануджана cg(n)
9.5. Суммой Рамануджана называется
с,(п) =
р(<?)
где обозначение означает, что суммирование происходит по всем зна-
чениям р, меньшим и взаимно простым с q.1 Ее также можно записать
в виде
Е2пртг
COS~T
р(<?)
(форма, которая показывает, что сумма является вещественной) или
же как
где pq является простым g-м корнем из 1.
Легко вычислить cg(n) в терминах функции Мебиуса р(п). Эта
функция определяется соотношениями
М(1) = 1, (О
р(п) = (-If, (ii)
если п = Р1Р2 - Pv является произведением и различных простых мно-
жителей, и
р(п) = 0, (iii)
если п содержит повторяющийся множитель2. Главными свойства-
ми р(п) являются (а) что
<i\q
'Или любая полная система вычетов, простых с q.
2Мы уже рассматривали ц(п) в лекциях II и IV. См. сноску на стр. 38.
для всех q > 1, и (b) что тождество
д(д) = £/И (9.5.1)
Ф
и
№ = (9.5.2)
d\<i
эквивалентны между собой. Последняя теорема обычно называется
«формула обращения Мебиуса».
Рамануджан доказал, что
с„(п) = V' (9.5.3)
d\q, <i|n
(суммирование происходит по всем общим делителям q и п). Чтобы
доказать это, он отмечает, что
9-1
%(п) = ^е-2п^/<?
равно <?, если q | п, и 0 в противном случае. Но очевидно, что
%(п) = ^cd(n),
й|<?
и отсюда, по формуле Мебиуса,
с<?И =
d\q
что и составляет (9.5.3).
Существует другое доказательство, которое несколько длиннее, но
основывается на принципах, которые будут полезны в дальнейшем. Бу-
дем говорить, что /(g) мультипликативная, если
f(qq') = f(q)f(q'), (9.5.4)
когда (g, д') = 1. В частности, это означает, что /(1) = 1. Очевидно,
что если мы хотим доказать, что
№) = F(q),
(9.5.5)
и зная, что обе f(q) и F(q) являются мультипликативными, тогда до-
статочно доказать результат для случая, когда q является степенью
простого числа.
Теперь, если (q, q') = 1, имеем
Cq(n)Cq'(n) = ^2e~2np,ri/9 е-2"Р'"/9' = е~^Р^/чч\
р(ч) Р'(ч'') Р(<1),Р'(.9')
где
P = pq' + p'q
и Р пробегает по диапазону P(qq'), когда р и р' пробегают р(д) и p'{q!).
Следовательно,
^2 е-2пР^/и' = = Сте,(п)
Р(ЧЧ')
и сумма Рамануджана является мультипликативной.
И вновь, если мы обозначим правую часть (9.5.3) через Сд(тг), то
получим
С, (71)6^(77) = = (9.5.6)
Здесь d | q, d | n, d! | q', d' | n, и эти соотношения эквивалентны
dd'\qq', dd'\n
(поскольку q и q' взаимно простые). Следовательно, правая часть
(9.5.6) равна Cqq>(n) и Cq(n'} также является мультипликативной.
Таким образом, нам остается лишь доказать, что
(77) (тт.),
когда w является простым числом. Значения р в р(гоА') имеют вид
р = +pi,
где z = 0, 1, 2, ..., w - 1 и pi пробегает р^ш^-1). Следовательно,
ст— 1
Сгок(тг)= е-1пр^г/^к ^2 e-2nz«/w
pi(ro'f-1) г=0
и внутренняя сумма равна ш, когда w | п, и 0 в противном случае.
Следовательно,
Cwk(n)=W е-2п1р1тгг/ет'е = o7Crok-l (nJ, (9.5.7)
pi(rot-1)
если w | п и п = ШП1, и сгоь(п) = 0в противном случае.
Теперь
сго(п) = е~2п^^,
1
поэтому
сго(п) = —1 (wfn), сго(п) = ш—1 (w|n); (9.5.8)
и мы теперь можем вычислить crot(n) с помощью (9.5.7) для любого к.
Получаем, что
croa(n)=0 (ш|п), —w (tu|n, w2 {п), 07(07—1) (о72|п), (9.5.9)
и в общем случае
Cwk (п) = 0 (O7fc-1 { n), — Wk~X (O7fc-1 |n, wk -f n), O7fc“1(o7—1) (O7fc|n);
(9.5.10)
и мы можем проверить еще раз, что это также значение Cwk(ri). Таким
образом c9(n) — Cq{n), когда q = wk, и, таким образом, для всех q.
Ряд scg(n)
9.6. Рамануджан просуммировал большое количество рядов вида
)T)aqc9(n). Простейшие из них имеют вид
П(п) = £
9=1
qs
(9.6.1)
Существует множество интересных способов вычисления суммы это-
го ряда. Он является абсолютно сходящимся при s > 1, поскольку
|c9(n)| d(n) для всех q.
(i) Самый быстрый способ был найден Эстерманном. Запишем
cq(n) в виде
cg(n) = ^3
/тп—q, m|n
так, чтобы
= Е /-('г-™-.
Im—q, m|n
Когда мы просуммируем относительно q, мы снимем ограничение на I,
которое будет принимать все положительные целые значения, и поэто-
му
иМ = £ = ^5^.
,1 I 1 4s) s(.s;
Z, m|n m[n Z=1
(9.6.2)
где является суммой z/-x степеней делителей n.
(ii) Доказательство Рамануджана было следующим. Предположим,
что F(x, у) — произвольная функция двух переменных х и у и что
oi")=Ep(d' Д
d\n
и определим уДтг), как в §9.5, так, чтобы ур(п) принимало значение и
или 0 в зависимости от того, является ли и делителем п. Тогда
п/ \
= у)
для любого значения i, не меньше, чем п, и поэтому
ад = ЁДМЕ^
^=1 d\v
Теперь сДп) встречается в этом ряде, когда j\v или и = jp, в этом
случае // и поэтому
Дп) = С1(п)^1г(щ g) +
]
i/2 t/3
+ ч(")Е;цф. §)+<=»(») ЕзИ3". $) + - Р-6-3)
Предположим, в частности, что F(x, у) — х1 ®. Тогда
-О(п) = d1~s — ai-s(n)
d\n
И
z Ч t z ч V2 z 4 t/3
Z 4 cl(n) _s . c2\n) -s . C3(n) _s
<?i-s(n) = -_p-~ 7 jx + 2s / , Д + -gg....... / , M +•••
1 1 1
Наконец, если s > 1 и мы устремим t —> оо, то мы получим (9.6.2).
(in) Третье доказательство по структуре схоже со вторым доказа-
тельством §9.5. Мы начинаем с тождества
ТТ/т a. i 1 — ГТ
q —1 ст ст
где /(з) — произвольная мультипликативная функция и w пробегает
по всем простым числам. Это тождество сводится к «произведению
Эйлера», когда /(g) = 1.
В этом случае
Хот 1 Т
сго(п)
ws
с^(п)
„2.S
CV
и мы можем процитировать формулу (9.5.10). Предположим, что wa —
наибольшая степень w, которая делит п. Тогда
Хш = 1 - к?-’,
если а = 0, и в общем случае
= 1 а- ГО~ 1 а- 4. 4- ГО°~1(ГО~ _ Wa =
Ws + + w(°-+\)s
Следовательно,
т-т,, .«rrl-^+W-’) ^i-s(n)
Q & СТ|П
по обычной формуле для суммы степеней делителей п.
В частности, при s = 2 мы получим формулу
/ 1 \ тг " СОо 77 ' £ СОо ~ /ь /I Л [ CUo _ tt /I “т* СОо ~ tt /I j
фп) = vji+tiU—.1.5.—... у
v ' 6 I 22 З2 42 52 ->
для суммы делителей п. Эта формула очень ярко показывает колеба-
ние <т(п) относительно своего «среднего значения» |тг2п.
Мы предположили, что s > 1, в этом случае наш ряд абсолютно
сходящийся. Мы можем записать (9.6.2) в виде
(9.6.4)
Тогда первый множитель справа является конечным и, следовательно,
абсолютно сходящимся, ряд Дирихле и второй ряд Дирихле сходятся
при s > 1; и, следовательно, по знаменитой теореме о перемножении
рядов Дирихле, ряд в левой части является сходящимся и (9.6.2) вы-
полняется при s > 1. Полагая s = 1, мы получим
сДп) +
с2(п)
2
3
+ ... =0
(эта теорема имеет такую же глубину, как теорема о простых числах).
Рамануджан вычислил множество подобных сумм, среди которых
с2(п) ся(п)
щ(п) log 1-1-^-log2+ —x-^log3+ ... = —c/(n)
Z о
Ci(n)
c5(n)
5
} = r2(n)
3
являются наиболее яркими примерами.
Ряд£едд scg(n)
9.7. Однако рядом, важным для нашей текущей цели, является
не (9.6.1), а
ОО { \
< —\ Сп (П)
<7=1 4
где
^ = 1 (7=1,3), 0 (7 = 2), 2s (7 = 0),
сравнение производится по модулю 4. Этот ряд можно просуммировать
любым из методов § 9.6. Я выбираю первый, поскольку он будет короче.
Определим <т*(п) в виде
<т*(п) = а„(п) (п нечетно),
<т*(п) = <т®(п) — <т°(п) (п четно),
<т®(п) и (т°(п) являются суммами р-х степеней четных и нечетных де-
лителей п, и докажем, что
V(n) =
(9.7.2)
Имеем, к примеру,
V(n) = 7 scq(n) 4- 2s У2 Ч sсд(п) = Vi(n) + Vzln)
g=l,3, ... 9=4,8, ...
Здесь сначала
Vi(n) = У2 ц(Г)т =
g=l,3, . . . lm=q, m\n
= £ rtirw-= <,;_>) £ =
3, . . . , mjn / = 1,3,...
_ О ( \ ГТ (л 1 \ — °~l-s(n)
wS) - (1_2-S)C(S)-
Далее,
V2(«) = 2s У2 Q~s У7 = 2s У2 .
g=4,8, . . . lm—q, m|n /m=4,8, . . .
1B этом случае мы не имеем двух альтернативных форм как в (9.6.2), поскольку
когда п — четное число.
Если 4|Z, тогда ц(Г) = 0. Следовательно, мы можем предположить, что
либо (i) I является нечетным и 4|т, либо (ii) I = 2Ц, где 1Г - нечетно
и 2\т. Слагаемые типа (i) дают
2- £
/ = 1,3, . . .
Is Е т
4|т, т|п
2^Г-»
(1-2~8)ф)’
где двойной индекс означает суммирование по дважды четным дели-
телям, и слагаемые типа (ii) дают
- £
/1 = 1,3,
Е ml s
2|m, m|n
O-l-s»
(1 - 2~8)ф)-
Собирая наши результаты, мы получаем
(1 - 2-*)ф)У(п) = <т^(п) - <r?_s(n) + 2s<TfLs(n),
и нам осталось лишь проверить, что
^_s(n) - af_s(n) + 2s<T®Ls(n) = п^Х-Лп). (9.7.3)
Это очевидно, когда п нечетное число. Если п = 2N, где N нечетное
число и 6 пробегает делители N, тогда левая часть (9.7.3) равна
Е51-8-Е(2<5)1-8 = (1-21-s)E<51”S = (! - 21-s)^1-s Е ^"1 =
= (28-1 —l)n1-8 = п1-8{£(2<5Г1-£<58-1} = n^X-iW-
Наконец, если п = 2aN, где а > 1, тогда это выражение равно
52<51-s - {21-s + 41-8 2“(1“s)} E<51”8 +
+ 2®{41-s + 81-8 + ... + 2“(1“8>} E^’s =
= {i + 21’® + 41-s + ... + - 2q(1-8)} E^1-5 =
= ЛГ1-8{1 + 21-s + 41-8 + ... + - 2“(1-8)} E^1 =
= n1-8{2Q(8-1) +2(q“1)(s-1) + ... + 28-1 - 1} E^’1 =
= = n1~sa*_1(n).
Что и завершает доказательство (9.7.2).
Сингулярный ряд в задаче 2 s квадратов
9.8. Теперь я должен рассказать об идеях, которые не были по-
лучены (по крайней мере в явном виде) в работе Рамануджана1. Осно-
вываясь на этих идеях, Литтлвуд и я начали нашу работу над задачей
Варинга.
Легко получить асимптотическую формулу для поведения функ-
ции
/(s) = ti2s(x) = (1 + 2х + 2а:4 + . .. )2s,
где х радиально стремится к «рациональной точке» е2ртг-/'7 на единич-
ной окружности. Мы можем предположить, что q = 1, р = 0 или что
q > 1, 0 < р < q и (р, q) = 1. Если
и г —> 1, тогда 1?(аг) = 1 + 2^гп2е2п2р7Г^ = 1 + 1 Если г = e~s, так что 8 —> 0, тогда у^г(^+Л2 — у^е-^(^+Л2 ~ /е- 1=0 1=0 { и, следовательно, где ^р, ч = 3 = 2 r(^+D2 e2(^+j)2p^*/9 = j=l1=0 — 1 4. 2 (Л32Р~:Ф! '^~\(.lq+rf . 7=1 /=0 ~/e-vdl = 0 4(logl)"/2, (9.8.1) е2^?™/’ (9.8.2) 1
'За исключением нашей совместной работы о разбиениях.
Фртфч
— одна из «сумм Гаусса». Если SPj9 = 0, что происходит при q = 2
(mod 4), тогда (9.8.1) следует интерпретировать как
tf(ar) = o((log|) 1 }•
Следовательно,
/(x)~7r-s(^)2S(logl)'S. (9.8.3)
Теперь мы построим вспомогательные функции, которые имити-
руют поведение /(а:), когда х приближается к единичной окружности
подобным образом. Известно, что если
Fs(x) = Y\is~1xn,
1
тогда
Fs(x) -Г(з) (log j)
является регулярной при х = 1. Тогда, если
« / Q х 2s
= Fs{xe-^^\
ТО
при х, стремящемся к е2р~'/'Л Таким образом, fp,q(x) «имитирует» f(x)
вблизи этой точки, и если мы запишем
©2s(a^) = 1 + fp. q(^),
р, 1
то мы можем ожидать, что ©2s (х) будет имитировать /(а:) вблизи всех
рациональных точек e2p~l/«. Это высказывание равносильно тому, что
©2s (^) имитирует f(x) очень последовательно, настолько последова-
тельно, что должно быть очень близкое соотношение между коэффи-
циентами этих двух функций. Если это так, то появится способ с любой
степенью точности приближенного определения тдДп).
Теперь
о 2 00 00
&2s(x) = 1 + гБ 52 (Hr) S Е ns~re~2np7ti/qxn = 1 + £ p2s(n)^n,
' p,q n=l n=l
где
л f7}\ __ ~s~l \ ' ( ^р, 9 A -~2rip~\Jq
Р }~тТ^ МТ} '
' ' p,q
Мы можем записать это в виде
ОС
P2s{n) = ^~ns 1^2Л9(п), (9.8.4)
('5-’ 9=1
где Л1 (я) = 1 и
Лд(п) = q-2s S2°qe~2np^q, (9.8.5)
p(q)
когда q > 1. Нам следует ожидать довольно близкого соотношения
между r2s(n) и p2s(n')- Это всего лишь ожидание, поскольку наш анализ
является совершенно «эвристическим»; но очевидно, что это ожидание
стоит исследования.
Назовем (9.8.4) сингулярным рядом. Наша конструкция является
типичным примером «сингулярных рядов» в общей задаче Баринга.
Суммирование сингулярных рядов, когда 2s = О
(mod 8)
9.9. Сингулярный ряд можно просуммировать при всех з. Анализ
является наиболее простым при 2з = О (mod 8), и в дальнейшем я буду
это предполагать.
Гауссова сумма Sp-q (или просто Sq, если мы не производим явную
ссылку на р) может быть вычислена для всех р, q по формуле
Sp,qqr Spq^qSpqq', Si = 1, S2 = О,
Зф,. = 2М(1 + ip), S^+i = 2p+1ep7ri/2,
= ^p+i = wp’Sw.
Здесь q и q' — взаимно простые и w является нечетным простым чис-
лом. Формула для 8-й степени имеет намного более простой вид, и мы
получаем, что
когда 2з = 0 (mod 8), eq — символ из §9.7. Следовательно,
Aq = eqq-s^e~2npni/4 =
p(q)
и в обозначениях §9.7
p2s(n) = ^^(п). (9.9.1)
Г(з)
Таким образом, этот ряд является (за исключением внешнего модуля)
рядом Рамануджана (9.7.1), и поэтому
В частности, если 2s = 8, тогда
(1-Г»4
ps(n) = 16<Тз(п). (9.9.3)
Если 2s = 24, тогда
(1 - 2-12)С(12) = (1 - 2-12)2птг12^, В6 =
Р24 (n) = ^gcr^n). (9.9.4)
Модулярные функции
9.10. У нас имеется довольно сильное основание, чтобы ожидать
обнаружения достаточно близкого сходства между Г2«(п) и р2в(п), и в
дальнейшем анализе получаем даже больше, чем нужно, для подтвер-
ждения наших ожиданий, сходство оказывается чрезвычайно близким.
Действительно, когда 2s 8, две функции являются тождественными,
в частности,
гз(п) = р8(п).
Доказательство этого зависит от аргументов несколько отличающегося
характера, впервые примененных к этой задаче Морделлом.
9.11. Нам потребуются элементы теории модулярных групп и
функции, связанные с ними. Модулярная группа Г имеет два вида.
В однородном виде она определена как группа подстановок
= auji + Ьш2, ш'2 = cwi + daj2, (9.11.1)
где a, b, c, d — целые числа и
ad—bc=l. (9.11.2)
В неоднородном виде запишем
и группа определяется подстановками
/ с + dr
г = ------—.
а + Ьт
Мы будем использовать любой из символов
$ fa Ь\ /с + dr\
’ ус dj ’ \а + Ьт /
для обозначения подстановок (9.11.1) или (9.11.3). Г порождается по-
вторным применением двух подстановок
/1 0\ (0 -1\
Vi/’ V о /
или
т' = т+1, т' = -^. (9.11.4)
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что
3(т) > О,
(9.11.5)
поэтому
Если т = и + iv, т' = и' + iv', тогда
(9.11.6)
„ = > о,
(а + Ьир + b^v
поэтому одна точка в верхней полуплоскости переходит в другую, и
лишь такие точки будут относиться к делу.
Мы назовем область D, определенную
через
|<v<|, и2+п2>1,
фундаментальной областью Г. Каждая
подстановка из Г переводит D в криво-
линейный треугольник, стороны которого
являются дугами окружностей с углами
(|тг, |тг, б). Эти треугольники покрыва-
ют верхнюю полуплоскость без перекры-
ваний.
Фундаментальной функцией, связан-
ной с модулярной группой, является «аб-
Рис. 3
солютный инвариант» Клейна Дт), который определяется следующим
образом. Запишем
52-Р2И,^2)- {1 +240(pfh+ ri* +
{1“ 504(~5 + ~^+ •••)}
(это обычные инварианты теории Вейерштрасса),
Д = Д(сщ, w2) = fl3 - 27gj = (2012ж2{(1 - х2)(1 - х4)... }24
4 использую х вместо обычного д, как в лекции VIII, поскольку q потребуется
для других целей.
Тогда J(r) является функцией одной переменной т, инвариантной от-
носительно перестановок из Г. Она принимает любое значение всего
лишь один раз в D (когда на границу D наложены соответствующие
условия) и конформно отображает D на всю комплексную плоскость
(считаем, что она ограничена точками 0, 1 и сю).
Мы назовем функцию, которая, подобно J(r), инвариантна отно-
сительно Г, модулярным инвариантом: чаще используется фраза «мо-
дулярная функция». Функция
J = J(T)
играет для модулярных инвариантов роль переменной z в обычной те-
ории однозначных функций f(z). Тем самым модулярный инвариант
с соответствующим образом ограниченными особенностями является
однозначной функцией J. В частности, если модулярный инвариант
является регулярным и ограниченным в D, тогда он является одно-
значной функцией переменной J, ограниченной во всей плоскости J, и,
соответственно, он является константой.
Функции, связанные с подгруппой Г3
9.12. Сейчас мы рассмотрим функции, которые не являются мо-
дулярными инвариантами в полном смысле, который мы только что
определили, но которые являются инвариантными или «почти» инва-
риантными для подстановок из определенных подгрупп Г.
Легко проверить, что подстановки Г, удовлетворяющие условиям
сравнимости1
a b\ f1 О
с dj ’ \0 1
или
т о) (mod 2),
образуют группу, являющуюся подгруппой Г, которую мы назовем Гз.
Гз порождается с помощью
т' = т+2, т' = -|.
(9.12.1)
1Либо and нечетны, а b и с четны, либо наоборот.
Она имеет «фундаментальную область» D3, определенную неравен-
ствами
— 1 < и < 1, и2 + и2 > 1,
и подстановки из Г3 переводят D3 в систему треугольников, все углы
которых равны 0, которые полностью заполняют полуплоскость1.
Существует главный инвариант J3(t) подгруппы Г3, который свя-
зан с Г3, как J(t) с Г (но его выражение нам не потребуется). Однознач-
ная функция, инвариантная относительно Г3, является однозначной
функцией J3 и трехзначной функцией J. Наконец, функция, инвари-
антная относительно Г3, регулярная и ограниченная в D3, является
константой.
Доказательство того, что rs(n) =
9.13. Функции
Vs = i98(.t) = т98(0, т) = (1 + 2х + 2х4 + . .. )8
1 £)з можно приближенно описать как область, образованную объединением трех
областей, конгруэнтных D (т. е. преобразований D подстановками из Г). Более точ-
но, она образована из D и половин каждой из. четырех областей
О(т + 1), 1>(т-1), d(-I-i)
(преобразование D подстановкой т' = т + 1, и т. д.), на рис. 4 £>з отмечено более
толстыми линиями.
где х — е"гг, являются однозначными функциями т. Если мы можем
доказать, что
(A) tP808 инвариантна относительно Г3,
(В) 1Г8е8 регулярна и ограничена в D3,
тогда из общей теоремы §9.12 будет следовать, что i9~8G>8 является
константой, которая, очевидно, равна 1, и отсюда будет следовать, что
г8(п) = р8(п) = 16<7з(п).
Доказательство (А)
9.14. Достаточно доказать, что i9~8O8 инвариантна относительно
двух подстановок
S!(t + 2), S2(-|),
которые порождают Г3. Мы можем показать, в достаточно общем слу-
чае, что i?“2s©2s является инвариантной1.
В первую очередь,
t?2s(0, т + 2) = t?2s(0, т), (9.14.1)
t?2s(о, = t2 *i92s(0, т), (9.14.2)
используя известные формулы для линейного преобразования ^-функ-
ций2. Остается определить поведение ©2s. Очевидно, что 02б- инва-
риантно относительно Si, поскольку х инвариантен относительно Si
'Мы предполагаем, что 2s = 0 (mod 8), но доказательство является практически
таким же и в остальных случаях.
2Нам потребуется полная таблица для функций
1?2 (0, т) = 2т1/4 + 2т9/4 + 2т25/4 + . .. ,
1?з(0, т) = 1 + 2х + 2т4 + 2т9 + . . .,
1?4(0, т) = 1 - 2х + 2т4 - 2т9 + ...,
(и поэтому lF2s&2s будет инвариантным). Мы также получим это в
качестве побочного результата из дальнейшего анализа.
Функция Fs(x) из §9.8 является элементарной. В действительно-
сти, если х = е~у так, что у = -тт,
xe-2piri/q = Fl!'T~!FpFY)
Также
и поэтому
Fs(xe-2p^ = ^^
1_______
{2п-т+(2р/д)}3’
f (х\ — ...Zl- (^P,4\2SF (xe '2p~1'4') = 71-5 — F (xe^2pvi^4'} =
x) - r(s)k Q ) Л } T(s)<f 4 ’
= £ y-—_________—______
4 {2(nq + p) - qr}s
Следовательно,
&2S(x) = 1 + ^2 fP,q(x) = 1 + ------, (9.14.3)
z—' z—' 2ne + p-<?r
p, q p, q, n k v 7 7 7
которые равны
J?2(0, т + 1) = x/ii32(O, r), 03(0, т + 1) = tf3(0, r), 04(O, r + 1) =04(O, t),
02^O, -|) = ^04(O, t), 0з(о, -|) = ^0з(О, t), 04(o, -|) = ^02(O, t).
Здесь y/i = е"г^2, и у числа Ft вещественная и мнимая части положительны. Обо-
значение предложены Таннери и Молком, и 0з(О, т) = 0(0, т).
где диапазон суммирования определяется как
q = 1, 2, 3, ...; 0 < р < q, (р, q) = 1; —оо < п < оо
(за исключением того, что р = 0, когда q = 1).
Мы можем записать (9.14.3) в виде
Q2.s = 1 + V £~ч~...- , (9.14.4)
(2р - qr)s
где q = 1, 2, ... и р пробегает все значения (положительные или отри-
цательные), взаимно простые с q, и получаем
Е~1 »2®
, (2р - qr)s + q=^ (2р- ЧтУ ~
= 1 . V 1 + V 1 = 1 + V 1
з (2Р - qrY (р - qr)s рЛР- ’
(9.14.5)
где теперь q — 1, 2, ... и р пробегает все значения, взаимно простые с q
и имеющие противоположную q четность.
Теперь нам нужно убрать ограничения, что р взаимно просто с q.
Мы можем добиться этого, умножив обе части (9.14.5) на
7)(S) = (1 - 2-*К(з) = 1 + 3-s + 5~s + ...
Тем самым мы получим1
где q = 1, 2, 3,... и р пробегает все значения противоположной четности
с q. Мы также можем записать это выражение в любой из следующих
форм:
= Ж) + V ;........~ (<? = 1,2, ...; p + q=l), (9.14.7)
(р - q^y
(P + 9=1). (9.14.8)
'Пара (р, q) противоположной четности — это одна из форм (Р, <Q), (ЗР, 3Q), ...,
где Р и Q взаимно простые и имеют противоположную четность.
Здесь сравнение выполняется по модулю 2, и q в (9.14.8) пробегает по
всем целым числам.
Если мы запишем
7?(s)02s = лД),
тогда сразу из любой из форм (9.14.5)-(9.14.8) следует, что
Х(т + 2) = Х(т).
Как я указывал раньше, это очевидно с самого начала (но является
полезной проверкой нашего анализа).
Воспользуемся (9.14.8) для исследования действия подстановки S^.
Она дает
х= У V ________________5— = У5 У __________= tsy(t),
\ т/ 2 2—(рт + q)s 2 2—(р — qr}s
pH-q=l 4 1
при замене р, q на — д, р.
Таким образом, у(т) изменяется под действием Si и S% точно так
же, как i92s; и iT~2s©2S инвариантно относительно Si и S? и,' следова-
тельно, относительно Гз.
Тем самым мы доказали (А). Более обще мы доказали инвариант-
ность i9“2s©2s, когда 2s = О (mod 8).
Доказательство (В)
9.15. Функции ds и ©8 определены степенными рядами по пере-
менной х = етт, сходящимися в окружности |ж| < 1 или в полуплоско-
сти х > 0. Также
д(х) = f[{(l - х2п)(1 + .г2'-1)2}
1
не имеет нулей в окружности. Следовательно, i9“8©8 регулярно при
|т| < 1 или v > 0. Она ограничена в любой замкнутой области D3, из
которой исключены две точки, в которых Ds граничит с вещественной
осью; поэтому она ограничена в Д, если ограничена в окрестности
двух точек г = ±1. Очевидно, что нам нужно рассмотреть лишь точку
т = 1.
Пусть
T=l-i T=FZ7- (9.15.1)
и предположим, что т -» 1 вне £>з, поэтому 0 < и < 1 и и2 + v2 > 1.
Если Т = U + iV, тогда
U =______1_______ у =------------У.------
(1 — и)2 + V2 ’ (1 — и)2 + V2 ’
поэтому 0 < U < 1 к V х. Следовательно, Т —> оо внутри D3 и
X = е7Г,т -> 0.
Теперь
tf8Gr) = i9f(o, г) = $1 (о, 1 - = т4^(о, Т) = т4(2Х1-/4|2Х9-/4|... )8,
поэтому
i98 ~ 256Т4Х2, (9.15.2)
когда Т —> оо и X —> 0. Нам потребуется подобная формула для ©8.
Из (9.14.8) получаем
н_©8 = - y(i - — = -т4 5^--------------
96^8 Х(Т) т) {q + (р + ?)Т}4
(р + q = 1)
= V-----------------7, (9.15.3)
2 ^(Q + PT)4’ k ’
где Q пробегает все целые числа и Р пробегает все нечетные целые
числа. Если
\Р\Т = £, £ = =Х|Р|,
тогда
1 _ \ 1 _ 1 / d \2 \ 1 _
о (Q + Рту ~ (Q + с)4 - 6\d<;J \q + Q2 -
_ 1(d \2 2 2Л_ 1(d \2
“ б(с/С/ с “ AdC.)
47T2e27ri<
(1 -- e27ri<)2
-7Г2 ( —')2f₽27r^
з \dd {
+ 2e4?riC + Зе6™с +
= |7T4(e27ri<;+23e47ri<+33e67r’4 • • •) = |тг4(Х2\р\ +23Х4|р| +З3Х6'р1 + ... )•
О О
Нам нужно просуммировать это выражение относительно Р, но нам
нужны лишь наименьшие степени X, и X2 возникает лишь при Р =
= ±1. Следовательно, из (9.15.3) получаем
Л4 q 1 Q 8 4т4 т^2
96°8 ~ 2 ' 2 ' 3 Т Х
ИЛИ
08 ~ 256Т4Х2. (9.15.4)
Наконец, (9.15.2) и (9.15.4) показывают, что i9~8©8 ограничено при т —>1
и, следовательно, ограничено в D-$.
Следовательно, tC 8©s является константой, которая должна рав-
няться 1, и, соответственно, rs(n) = ps(n).
24 квадрата
9.16. Мы доказали в § 9.14, что i9~2s©2s инвариантна относитель-
но Г3, когда 2s = 0 (mod 8), и это верно, в частности, когда 2s = 24.
Если 1?-24©24 будет ограничена в £>з, то из этого будет следовать, что
t?24 = ©24 и Г24(п) = />24(п), но это не верно. Правильная формула,
которая впервые была получена Рамануджаном и к доказательству ко-
торой я далее перейду, имеет вид
tf24(z) = ®24М - - ^Цг^2), (9.16.1)
X V«y X
где
д(х) = з:{(1 — ж)(1 — z2)(l — z3). .. }24, (9.16.2)
поэтому
р(х2) = rr2{(1 - rr2)(l - гг4)(1 - х6)... }24 = Л24(т)
в обозначениях Таннери и Молка. Последняя функция является, за ис-
ключением коэффициента однородности, дискриминантом A(wi, и>г).
Нам потребуются формулы линейного преобразования Л(т). Они
имеют вид
h(r + 1) = е^2к{т\ (9.16.3)
Ц-i) = e-^y^/i^).
(9.16.4)
Мы также воспользуемся еще одной формулой, а именно
= е^/12/г(т)^з(0, г). (9.16.5)
Она принадлежит теории квадратичных преобразований, но является
простым следствием формул произведения для Л(т) и г?з(0, г).
Три функции
1Г24©24, г?-24.<7(—ж), (T^glx2) (9.16.6)
-- все инвариантны относительно Г3. Мы уже доказали инвариантность
первой. Инвариантность третьей следует из формул
5(гг2) = Л24(т), Л24(т + 2) = Л24(т), Л24(-1) = т12Л24(т).
Наконец,
5(-;г)=/124(^±1)=-/112(тХ(0, г),
по формуле (9.16.5), и инвариантность второй функции из (9.16.6) сле-
дует из формул (9.14.2) и (9.16.4).
Следовательно,
1Г24©£4 = 19-24{©24 + ag(—x) + /Зр(х2)}
будет инвариантным для любых а и (3. Докажем, что можно выбрать
такие а и (3, чтобы i?~24©24 была ограниченной в D3. Для этого мы
воспользуемся подстановкой (9.15.1) из §9.15 и изучим поведение всех
рассматриваемых функций при Т —> оо.
(i) Во-первых, по формуле (9.15.2),
Ф24 (О, 1 - ~ 224Т12Х6. (9.16.7)
(ii) Во-вторых,
g(-x) = —/i12(r)i?12(0, г) = - Л12 (1 - 1 - ^) =
= л12(-^)С(о, ~4) = (?)12л12(тХ(о, Т) =
= ТпХ{(1 - Х2)(1 - X4)... }12(2XV4 + 2Х9/4 + ... )12.
Следовательно,
д(-х) = 212Т12{Х4 + О(Х6)}.
(9.16.8)
(iii) В-третьих,
5(^2) = л24(т) - л24(1 -1) = л24(-1) = ^12л24(Т) =
= Т12Х2{(1 - Х2)(1 - X4)... }24,
д(х1') = Т12{Х2 - 24Х4 + О(Х6)}. (9.16.9)
(iv) Наконец, нам нужно определить поведение 024, что можно
проделать с помощью вычислений, подобных вычислениям §9.15. Име-
ем
7/(12)024 -
1 ml2 у^ у^ 1
2 Vp^ + PT)12’
4s г
у^ 1 = 1 _ 1 / d \10 у" 1 _
^(Q + РГ)12 -^(Q + ()12 И! W ^(Q + C)2
= + 2ие4«с +,.,) = М^(Х2'Р| + 2uX4lp| +...).
И снова лишь слагаемые с Р = ±1 имеют значение, поскольку Р = ±3
соответствует О(Х6). Следовательно, получаем
024 - -^^Т12{Х2 + 211Х4 + О(Х6)} = ^T12{X2 + 211Xi+O(X6)}
11177(12)
(9.16.10)
при подстановке значения ту (12).
Нам нужно выбрать а и (3 так, чтобы
^у{Х2+211Х4+О(Х°)}+<1212{Х4+О(Х6)}+/?{Х2—24Х4+О(Х6)} = О(Х6).
Затем из формул (9.16.7), (9.16.8), (9.16.9) и (9.16.10) будет следовать,
что 24©24 ограничена. Приравнивая коэффициенты, мы находим
значение
- 33152 65536
а 691 ’ Р 691 ’
и отсюда следует (9.16.1).
Функция т(п)
9.17. Определим1 т(п) как коэффициент при хп в
д(х) = £{(1 — х)(1 — х2). .. }24 = т(п)хп.
1
Затем, с учетом §9.9,
©24 = 1 + ' P24(n)^n = 1 + ' <Tj2 (п)хП.
1 1
Также
5(--0 = ЕмП(пК
1
и
5(z2) = £г(|п)хП’
i
если мы условимся, что т(у) равна 0, когда у не равен целому числу.
Следовательно, мы, наконец, получим формулу Рамануджана
?’24(n) = ^j-On(n) + е24(п), (9.17.1)
где
е24(п) = |§{(- 1)"-1259т(п) - 512т(|п) }. (9.17.2)
9.18. Мы определили функцию т(п) лишь в виде коэффициен-
та, и, естественно, возникает вопрос, существует ли какое-нибудь срав-
нительно простое «арифметическое» определение, но ни одного такого
определения не удалось обнаружить. В следующей лекции я собираюсь
обсудить некоторые из наиболее примечательных свойств этой функ-
ции. Однако я должен доказать здесь некоторое утверждение о поряд-
ке т(п), поскольку мне нужно доказать мое утверждение в § 9.3, что
г24(п) «мажорируется» функцией
гЯ сохраняю обозначения Рамануджана. Совпадения т в т(п) и т в е’ггт несколь-
ко неудачно, но вряд ли послужит причиной недоразумения.
Из формулы Якоби, которую я приводил несколько раз ранее, сра-
зу следует, что
^2 т{п)хп = ж{(1 — ж)(1 — х* 2)... }24 — ^(1 — Зж + 5.Д3 — 7х6 + . . . )8,
и показатели степеней в ряде являются треугольными числами. Далее,
(1 — Зх + .. ,)8 мажорируется рядом
оо о
{^2(2п +1).тп(п+1)/2} ,
п—О
который имеет порядок (1 — х)~8, когда х —> I.1 Следовательно,
|т(п)|;гп < ^2 |т(п)|;гп < 21(1 — ж)-8,
где А является константой при всех п и х. Примем х = 1 — п”1, когда
хп имеет порядок е-1, мы получаем, что
т(п) = О(п8). (9.18.1)
С другой стороны,
16 тг12^11 с?(п)
ggj<7n(n) -р24(п) - ....
<f=l 4
и этот ряд больше, чем2
1 3 212 • 4 5____7 212 8 1
З12 412 512 712 812 " 2’
Следовательно, о'п(п) больше, чем константа, кратная п11, и
Г24(п) = ^1(п){1 + 0(-1)}
в основном зависит от своего первого слагаемого.
2 / 2 \ ®
’Т. е. порядка (пх’г /'2)S или (fte-vty2dt) , где е у = х. Эти величины
'о '
имеют порядок y~~s или (1 — х) -8.
2Используя грубое неравенство |cg(n)| п.
Порядок т(п) в действительности намного меньше, чем величина,
показанная формулой (9.18.1). Рамануджан показал более изощренным
методом, что
т(п) = О(п7), (9.18.2)
и я показал позднее теоретико-числовым методом, что
т(п) = О(п6). (9.18.3)
Я докажу еще лучший результат, принадлежащий Ренкину, в лекции X.
Весьма вероятно предположение (которое Рамануджан выдвинул в ка-
честве гипотезы)
т(п) = С*(п11'/2+£)
для любого положительного £. Но эти вопросы мы обсудим в более
позднее время.
9.19. В заключение я повторю, что результаты, которые мы до-
казали, типичны для общей задачи 2s квадратов. Мы всегда можем
выразить 62s (п) в виде суммы чисел, определенных Рамануджаном и
Морделлом, в виде слагаемых, определенных как модулярные коэффи-
циенты, и каждый из этих коэффициентов приводит к возникновению
ряда задач, подобных тем, которые возникли из коэффициента т(п).
В некоторых случаях удается сравнительно просто определить их в
арифметических терминах. Во всех случаях число представлений ма-
жорируется функцией делителей P2s(n).
Комментарии к лекции IX
§9.1. Подробное изложение истории классических теорем, связанных с
представлением чисел двумя или четырьмя квадратами, см. в Диксон, Ис-
тория, ii, гл. vi и viii.
Результаты Якоби, связанные с 2, 4, 6 и 8 квадратами приведены Сми-
том на стр.307 в его Обзоре теории чисел (Собрание сочинений, i, 38 304).
Они неявно содержатся в § 40-42 и 65-66 книги Fundamenta nova, Лиувилль
приводит формулу для 10 и 12 квадратов в Journal de math, (2), 11 (1866),
1-8 и 9 (1864), 296-298.
Гаусс в своей Disquisitiones arithmeticae, § 182, приводит теорему, экви-
валентную (9.1.1).
Глэйшер, Proc. London Math Soc. (2), 5 (1907), 479-490 (480), приводит
систематическую таблицу формул для ггДп), вплоть до 2s = 18. Он получил
эти формулы в нескольких работах, опубликованных в томах 36-39 жур-
нала Quarterly Journal of Math. Формулы для 14 и 18 квадратов содержат
функции, определенные лишь как коэффициенты в некоторых модулярных
функциях, а не «арифметические». Рамануджан в 18-й работе своего Сборни-
ка трудов продолжил таблицу Глэйшера вплоть до 2з = 24, и привел общее
тождество для t92s(i), которое затем было доказано Морделлом (в первой
работе, упомянутой в комментарии к § 9.4).
Болайгуин (Boulyguine) привел общую формулу для г^Дп), в которой
каждая из встречающихся функций имеет, в некотором смысле, арифмети-
ческое определение. Таким образом формула для ггДд) содержит функции
типа
i2, • •, ®t),
где ф представляет собой полином, t принимает одно из значений 2з — 8,
2s — 16, ..., и суммирование происходит по всем решениям уравнения х2 +
+ х% + + х? = п. Ссылки на работу Болайгуина приводятся в Истории
Диксона, ii, 317, и в работах Успенского, отмеченных ниже.
Успенский разработал элементарные методы, которые, похоже, были ис-
пользованы Лиувиллем в ряде работ, опубликованных в Докладах Академии
Наук СССР и других русских периодических изданиях. Ссылки можно найти
в его более поздней работе в Trans Amer. Math. Soc., 30 (1928), 385-404. Он
рассмотрел в своем анализе случаи вплоть до 12 квадратов и утверждает, что
его методы позволяют ему доказать общую формулу Болайгуина. Их также
можно применить ко многим другим задачам, связанным с представлениями
квадратичными формами.
X. Бессель {Диссертация, Кенигсберг, 1929) независимо разработал ли-
увиллевы методы и привел формулу вплоть до 2s = 16.
Я не рассматривал в этой лекции нечетные значения к, но, возможно,
полезно будет добавить краткое замечание об этом случае. Функции гДп),
гДп) и г-(п) могут быть выражены в виде конечных сумм, содержащих сим-
волы квадратичной взаимности. Таким образом, г3{п) было представлено й
этом виде Дирихле, а выражения для гь(п) и г-(п) были получены Эйзен-
штейном, Смитом и Минковским. При к = 3, как давно было показано Гаус-
сом, задача почти совпадает с задачей нахождения числа классов бинарных
квадратичных форм с определителем — п. Похоже, что эти результаты не
разрабатывались столь же систематическим образом, как для четного к, и
невозможно привести для них общего утверждения, хотя многие формулы
можно найти в главах VII и IX второго тома Истории Диксона и в главе X
книги Бахмана Die Arithmetik von quadratischen Formen (I Abtheilung).
Имеется два совершенно различных решения для зада 5 и 7 квадратов,
«арифметическое» решение Минковского и Смита и «функционально-теоре-
тическое» решение Харди и Морделла. Бахман приводит изложение первого,
а Диксон в Studies in the theory of numbers, гл. XIII — второго. Ссылки на
работу Харди и Морделла приведены в комментарии к § 9.4.
Формулы приведены в общем виде при нечетном к в терминах при-
митивных представлений (в которых Xj, Х2, ..., Xk не имеет общего мно-
жителя). Простейшая формула получена Дирихле и Эйзенштейном: число
примитивных представлений нечетного числа п тремя квадратами равно
24Е(Ю 8Е(Ю (^з)-
Здесь — обобщение Якоби символа Лежандра, и сравнение берется по
модулю 4. Формулы Эйзенштейна для 5 и 7 квадратов доказаны Бахманом.
Ссылки см. Диксон История, ii, 263 и 305.
§9.2. Формулы (9.2.2) и (9.2.3) встречаются в посмертной работе Гаусса.
Ссылки см. в Диксон История, ii, 283.
Доказательство (9.1.1) с помощью гауссовых целых чисел приведено в
Харди и Райт, 240-242, а доказательство (9.1.2) и (9.1.3) с помощью инте-
гральных кватернионов — в Диксон Algebren und ihre Zahlentheorie, гл. IX
(см., в частности, 181-182, satz 22). Ландау в Vorlesungen, i, 110-113, приво-
дит элементарный вывод формул (9.1.2) и (9.1.3) из (9.1.1).
Доказательство Рамануджана формулы (9.2.3) приведено в 18 статье
Сборника трудов, это формула (17) на стр. 139. Доказательство воспроизве-
дено в Харди и Райт, 311-314. Похоже, что Рамануджан часто пользовался
подобными аргументами, Ватсон (10) указывает, что известные формулы
сп и + sn и = 1, ап и + к sn u=l
приводятся в записных книжках в виде тождеств между q-рядами для даль-
нейшего доказательства элементарными вычислениями. Формула (18) на стр.
139 Сборника трудов может быть представлена в знакомом виде
p'(u) = 6р2(и) - |р2.
Таким образом, Рамануджан вывел дифференциальное уравнение для р(м)
с помощью прямых алгебраических методов из ее выражения в виде триго-
нометрического ряда.
§ 9.3. Формула для ги(п) получена Лиувиллем: см. комментарий к § 9.1.
Может случиться для особых п, что ег3(п) = 0. Таким образом,
ещ(п) = ^Х4(п) = 0,
если п не является суммой двух квадратов, и ei2(n) = 0, если п четно. Эти
результаты, принадлежащие Лиувиллю, были переоткрыты Глейшером.
Для того, чтобы 62s (п) = 0 для всех п, необходимо и достаточно, что-
бы 2s 8. В этих случаях лишь r2s(n) является «функцией делителей»,
представленной в виде «сингулярного ряда» из § 9.8. «Причины» такого по-
ведения были показаны в новом свете в недавней работе Зигеля, Annals of
Math., (2), 36 (1935), 527-606.
Теория представлений п в специальном виде
Х1 + х2 + • • • + xk (1)
может быть обобщена на общие определенные квадратичные формы к пере-
менных. Существует некоторое количество общих форм с заданным опреде-
лителем, каждое содержит некоторое количество классов. Если мы выберем
по одному представителю каждого класса заданного типа и определим N(n)
как общее количество представлений п в виде либо тех, либо других пред-
ставителей, тогда N(n) является суммой сингулярного ряда подобно рядам
из § 9.8.
Если дискриминант равен 1, тогда (1) является представителем класса
главного типа; для того чтобы существовал только один такой класс необхо-
димо и достаточно, чтобы к 8. В этом случае суммой сингулярного ряда
является лишь т^(п).
Я следую обозначениям Рамануджана, за исключением множителей 2.
Он пишет
i?2s = l+2£r2s(n)x",
поэтому его Г2з, '$2., и e2s равны половине моих.
§9.4 . Работы Морделла и моя содержатся в
Морделл, Quaterlly Journal of Math., 48 (1917), 93-104 и Trans. Camb.
Phill. Soc., 22 (1919), 361-373;
Харди, Proc. Nat. Acad, of Sciences, 4 (1918), 189-193; Trans. Amer.
Math. Soc., 21 (1920), 255-284.
§9.5 . «Сумма Рамануджана» встречается в ранних работах, и (9.5.3),
похоже, принадлежит Клуйверу (Kluyver), см. Сборник трудов, 343; но Ра-
мануджан был первым, кто понял важность этой суммы и систематически
ее использовал. Доказательство (9.5.3), приведенное в этом параграфе, взято
из Сборника трудов, 180 и из Харди (7).
Формулу обращения Мебиуса см., к примеру, в Харди и Райт, 234-237
или Ландау, Handbuch, 577-582.
§9.6 . Три способа суммирования (9.6.1) принадлежат Истерману Proc.
London Math. Soc. (2), 34 (1932), 194-195; Рамануджан, Сборник трудов,
180-185 и Харди (7). Рамануджан и Харди доказали множество других фор-
мул такого же типа.
Формулу для cri_s(n) см., к примеру, в Харди и Райт, 238.
Теорема о перемножении рядов Дирихле, на которую я ссылаюсь почти
в конце параграфа, доказана в Ландау, Handbuch, 671-673 и на стр. 63-64
трактата Харди и Рисса.
§9.8 . Рамануджан строит «сингулярный ряд»: таким образом ряды
(11.11)—(11.41) работы 21 Сборника трудов — это сингулярные ряды, связан-
ные с этой задачей. Но его подход к ним значительно отличается, он опреде-
ляет «функцию делителей» 52s(n) в виде аппроксимации к r2s(n) независи-
мо, а затем вычисляет ее в виде сингулярного ряда. Здесь сначала возникает
сингулярный ряд, и <52, (п) является его суммой.
Фраза «сингулярные ряды» по-разному использовалась разными авто-
рами. Так, Литтлвуд и я иногда называли суммы Aq(n) без внешнего мно-
жителя сингулярными рядами.
§9.9 . Формула для SPt4 приведена в Бахмане, Analytische Zahlenteorie,
гл. vii.
Если к (здесь 2s) является нечетным числом, тогда в S? q входит сим-
вол Лежандра или Якоби, который исчезает при четных к. Это является
причиной появления символов Лежандра или Якоби в формулах для гз(п),
гв(п), ...
§9.11 . Стандартным трактатом по эллиптическим модулярным функ-
циям является книга Клейна-Фрике (Klein-Fricke), Teorie der elliptischen
Modulfunktionen, 2 тома, Лейбциг, 1890-1892. Это очень большая и подроб-
ная книга. Книга Виванти Fonctions polyedriques et modulaires (перевод на
французский А.Кахеном (A. Cahen), Париж, 1910) - это более элементар-
ная книга, предназначена для того, чтобы «permettre an lecteur d’aborder
sans difficultes les leccons classiques de MM. Klein et Fricke».
Гурвиц привел отдельное изложение теории в двух работах в Math.
Annalen, 18 (1881), 528-592 и 58 (1904), 343-360. Они содержат доказатель-
ство теорем, приведенных в этой главе.
Ясное изложение элементарной геометрии модулярных групп приведено
в книге Копсена Theory of functions of a complex variable, гл. xv.
Доктор Хейлбронн показал мне следующее простое и прямое доказа-
тельство теоремы, процитированной в конце этого параграфа. Предположим,
что Дт) — регулярна и ограничена для З'(т) > 0 и что
Дт + 1) = Дт), /(-!)= f(T).
Тогда g(x) = д (<”"') = Дт) не может иметь существенной особенности в на-
чале координат (поскольку тогда она будет принимать произвольно большие
значения вблизи начала координат) и не может иметь полюса (поскольку то-
гда она будет стремиться к бесконечности), поэтому она регулярна в начале
координат. Следовательно, мы можем предположить (вычитая при необхо-
димости константу), что f(r) —» 0, когда $(т) —> оо.
Далее, |/(т)| достигает верхней границы М в D в точке на границе D
(а не на бесконечности), поэтому существует конечное то на границе D, для
которого |/(то)| = М. Если /(т) не является константой, тогда должна су-
ществовать п вблизи то, для которой |/(ti)| > |/(то)| = М. Но существует
тг в D, для которой /(тг) = /(п), и поэтому |/(тг)| > М. Противоречие.
§ 9.149.15. Доказательство следует второй работе Харди, процитирован-
ной в комментарии к §9.4.
§9.17 . (9.17.2) — это формула (148) на стр. 159 Сборника трудов, в зна-
ке формулы (7) таблицы VI имеется ошибка: похоже, что Рамануджан на
мгновение забыл, что д(—х) начинается с — х, а не с х. В любом случае, как
я отмечал в комментарии к §9.3, его ггДп) и егДгс) равны половине моих.
§ 9.18. Доказательство Рамануджана формулы (9.18.2) можно найти (как
и частный случай более общей теоремы) в Сборнике трудов, 146-148 и 153
или 160, а доказательство Харди формулы (9.18.3), которое будет воспроиз-
ведено в несколько измененном виде в следующей лекции (§ 10.8), взято из
Харди (9).
Лекция X
Функция Рамануджана т(п)
10.1. Я доказал в лекции IX, что
г24(п) = + 128{(-1)"-1259т(п) - 512т(|п)}, (10.1.1)
где <71! (п) является простой «функцией делителей» числа п и т(п) опре-
деляется формулой
сх>
д(х) = z{(l - *)(1 ~ z2)... }24 = ^т(п)хп. (10.1.2)
1
Я посвящаю эту лекцию более тщательному исследованию некоторых
свойств т(п), которые чрезвычайно интересны и по-прежнему недоста-
точно хорошо поняты. Может показаться, что мы блуждаем в одном
из математических захолустий, но происхождение т(п) как коэффици-
ента настолько фундаментальной функции заставляет нас относиться
к нему с уважением.
Мультипликативное свойство т(п)
10.2. Коэффициенты многих модулярных разложений имеют
простой арифметический смысл, так, rs(n) является коэффициентом
в
ds(x) = (1 + 2х + 2.т4 + ...)®.
Но т(п) не имеет столь очевидного объяснения1, и ее арифметические
свойства по-прежнему малопонятны.
Тождество Якоби показывает, что
Рамануджан предположил, что
т(пп') = т(п)т(п'), (10.2.1)
если (п, п') = 1, т. е. что т(п) является мультипликативной, и Мор-
делл (Mordell) доказал это утверждение несколько позже. Доказатель-
ство Морделла очень поучительно и достаточно просто, чтобы привести
его здесь. Оно основано на тождестве
т(рп)хп = т(р) У^ т(п)хп — р11 У^ т(п)хрп, (10.2.2)
1 ii
где р — простое число.
Запишем, как обычно,
A(w1; w2) = С^у2а:2{(1 - ж2)(1 - ж4). .. }24, (10.2.3)
где х = ё!Г1Т, т = Тогда A(wi, w2) является инвариантом при
подстановках
1 0\ о /0 -1\
11/’ 62 \1 0 ) ’
в которых ид, Ш2 заменяется, соответственно, на ид, ид 4-ид и на —ид. .
Сначала докажем, что
р—1 р—1
Д(ри?1, ки?! + и?2) = и0 + У (10.2.4)
инвариантно относительно S\ и S2 и поэтому относительно всех под-
становок из модулярной группы Г.
Во-первых, Si оставляет неизменным uq и переставляет vK, поэто-
му Р является инвариантом относительно Sp
Следовательно,
т(п) = ' +П8(2п1 +1)(2п2 + 1) . . . (2п8 + 1),
суммирование происходит по всем представлениям числа п — 1 в виде суммы
8 8
У + 1) = У tj
г—1 г=1
восьми треугольных чисел Д, но эта интерпретация не проясняет ситуацию.
Затем, S2 превращает Р в
р-1
Д(-ш2, pwi) + Д(—рш2, wj) + Д(—рш2, wi - кш2) =
К=1
р-1
= Д(ро>1, Ш2) + Д(о>1, рш2) + Д(~Р^2, W1 - КШ2),
К=1
и, чтобы доказать, что Р является инвариантом, достаточно показать,
что
Д(— рш2, <^1 — кш2) = Д(рш1; к'шх + ш2), (10.2.5)
где к! пробегает по значениям 1,2, ..., р — 1 вместе с к или по остаткам
по модулю р.
Примем
а = —к, b — р
и определим с и d так, чтобы
ad — be = —nd — pc = 1.
Тогда к' = d пробегает по нужному набору остатков. Также
—арш2 + 5(wj — fcw2) = род, —ерш 2 + d(wj — кш2) = к'сщ + w2,
и поэтому
Д(—рш2, Wj — кш2) = Д(рш1, k'wj +w2),
т.е. (10.2.5).
Следовательно, P является инвариантом относительно Г, и поэто-
му
Q = ЛГ Р , (10.2.6)
Д(Ш], ш2)
также является инвариантом
Теперь
£r(n)s2n, Д(шьрш2) = (^) £т(п>2^
1 1
(10.2.7)
и
р-1 12 °° р-1
5П A(Pwb «^1 + W2) = (р£^) У? т(п);Г2п/р е2пктгг/р _
к,—0 п=1 к=0
п=1
поскольку сумма относительно к дает р, если р\п, и 0 в противном
случае. Следовательно, разложение Р по степеням х начинается с
/ _х 12
(ejt) р~ 1т(р)х2’
а разложение A(wi, шг) начинается с
Следовательно, Q — Р/ Д ограничено в D и поэтому является констан-
той, отсюда
Р = р~^т{р)^. (10.2.9)
Наконец, подставляя (10.2.7)-(10.2.9) в (10.2.4), получаем (10.2.2), с х2
вместо х.
Теперь мы можем доказать (10.2.1). Достаточно доказать, что
т(рХп) = т(рх}т(п) (10.2.10)
для всех простых А, р и (п, р) = 1. Это очевидно при А = 0, Если
приравнять коэффициенты при хп в (10.2.2), то получим
т(рп) = т(р)т(п),
т. е. (10.2.10) при А = 1. Если приравнять коэффициенты при хрХ 'п,
где А > 1, мы получим
т(рАп) = т(р)т(рА-1п) - рпт(рА~2п) (10.2.11)
и, в частности,
т(рА) = т(р)т(рА-1) -рпт(рА-2). (10.2.12)
Следовательно, если
их = т(прх) - т(п)т(рх),
то имеем
их = т(р)иХ-1 -рПих^2-
Но их = 0, когда А = 0 и А = 1, и поэтому их = 0 для всех А.
Функция F(s) = £
10.3. Из (10.2.1) мы можем вывести замечательную формулу для
ряда Дирихле:
^) = Е^- (ю-зд
1
Я доказал в §9.18, что
т(п) = О(п8),
поэтому ряд (10.3.1) абсолютно сходящийся при ст = fR(s) > 9. В даль-
нейшем мы увидим, что верно намного более сильное утверждение, но
этого несовершенного результата достаточно, чтобы показать, что по-
следующие преобразования верны при достаточно больших ст.
Поскольку т(п) мультипликативна, имеем
^) = ПХР, (10-3.2)
р
где
Мы можем вычислить т(рх) в терминах т(р) по формуле (10.2.11) и,
тем самым, определить \р.
Запишем
cosOp = |р-11/2т(р), (10.3.4)
аА=р 11А/2т(рА).
(10.3.5)
Тогда из (10.2.11) получим
ах - 2 cos 0paX-i + аА_2 = 0.
Но
sin 0.„
а0 = 1 = —
smflp
sm 20р
а! = 2 COS 0v = —:—— ,
Л sm 0р
и по индукции получаем
а а =
sin(A + l)0p
sin0p
и
T/pA\ = 11A/2 Sln(A + Фр
sin0p
(10.3.6)
Следовательно,
Xp = -Ду 52Д11/2 s)A sin(A + l)0p =
smL и
p A=0
=--------------1------------=_____________1_________ fl 0.3.7)
1 — 2pn/2-s cos 0p + p11~2's 1 — r(p)p~s + pn~2s
и
F(s) = = П )------z\ -L 11-2S- (Ю-3-8)
p p 1 “ r(p)p s +plL
Это аналог формулы произведения Эйлера для £(s). Ряды и произве-
дения абсолютно сходящиеся при достаточно больших а.
Из (10.2.1) и (10.3.6) следует, что
т(п) =пп/2ГТ Sin(A+1)gp, (10.3.9)
sinflp
если п = П •
Функция F(s) также удовлетворяет функциональному уравнению
того же типа, что и £(s). Удобнее отложить доказательство этого утвер-
ждения до § 10.9.
Свойства сравнимости т(п)
10.4. Результаты § 10.2 позволяют нам доказать несколько лю-
бопытных арифметических свойств т(п). Они несколько напоминают
свойства р(п), о которых я говорил в предыдущей лекции, но они, есте-
ственно, более многочисленны, поскольку т(п) — мультипликативная
функция.
Предположим, что р — простое число и что
т(р) = 0 (mod р). (10.4.1)
Тогда из (10.2.12) и (10.2.10) следует
т(рп) = 0 (mod р) (10.4.2)
для всех п. Рамануджан составил таблицу значений т(п) до п = 30, и
его таблица показывает, что (10.4.1) истинна для
р = 2, 3, 5, 7, 23, (10.4.3)
поэтому эти простые числа обладают свойством (10.4.2).
Два последних простых числа из этого ряда открывают дальней-
шие свойства т(п), которые не зависят от свойства мультипликативно-
сти. Мы можем записать д(х) в виде
д{х) =Y>№n = *№ - *п)21 № - *”)3-
Теперь
(1 - хп)7 = 1 - х7п (mod 7),
(1 - хп)21 = 1 - Зх7п + Зж14п - x2ln (mod 7)
П(1-^)21 = £^м,
см делится на 7 всякий раз, когда р не делится. Также
JJ(1 - хп)3 = + l)^^1)/2
по тождеству Якоби. Следовательно,
Е^к = ЕЕ(
и
V / ~ 7 Л *) f
суммирование происходит по всем /1 и z/, для которых
п = 1) + д+ 1.
Теперь
^z/(z/ + 1) = 0, 1, 3 или 6 (mod 7),
поэтому
п = ц, fj, + 1, ц + 2 или ц + 4 (mod 7).
Если п = 3, 5 или 6, то ц не кратно 7, и поэтому см кратно 7.
(mod 7)
т(7т + к) = 7
при к = 3, 5, 6, а также при к = 0.
Аналогично мы можем доказать
вместо тождества Якоби), что
т(23т + к) = 0
(используя тождество Эйлера
(mod 23),
когда к - произвольный квадратичный невычет числа 23.
10.5. Сравнения § 10.4 выполняются при всех п из определенных
арифметических прогрессий. Также существуют сравнения, выполня-
ющиеся при «почти всех» п. Например,
т(п) = 0 (mod 5)
при почти всех п (в смысле § 3.4).
Докажем сначала, что
(10.5.1)
т(п) = ncr(n) (mod 5),
(10.5.2)
где сг(п) равна сумме всех делителей числа п при всех п. Доказа-
тельство основано на двух тождествах теории модулярных функций, а
именно
"3 - R2 = 17285(;г)
(10.5.3)
и
Q - Р2 = 288 V п2хП
(10.5.4)
где
Р=1-24(т^ + -^- + -^^+ (10.5.5)
к 1 - х 1 _ х2 1 - х3 /
/ р3 2 оЗ 3 \
Q= 1 + 240(—+ + ... ), 10.5.6)
к 1 - ж 1 - ж2 1 - х3 )
/ _ 95т2 Ч5т3 \
R = 1 - 504( +...). (10.5.7)
к 1 - х 1 - ж2 1 - х3 /
Тождество (10.5.3) известно, но я не видел тождества (10.5.4) нигде, за
исключением работы Рамануджана.
Мы можем вывести (10.5.4) из (9.2.5). Имеем
ictgi0 = J__
4 й 2 20 24 1440
/1 1 \ 2 1 1 /)2
(4^2^) = - 24+ 960 +
ui sin 0 + и? sin 20 + ... = - ^*24 10 - О3 + ...,
Ul(l + U] ) COS 0 + U2(l + U2) cos 20 + ... =
_ х 1 X2 _1_ _ 1 / X . 22Х2 , 1 /,2
_ х)2 (1 - х2)2 ' 21(1 -х)2 (1-Z2)2 /
^{«1(1 — cos#) + 2u2(l — cos20) + • } = .О2 + ...,
1 Рп Q пз к2 = _L_____________1 , х х2
20 24Р 1440 ) 402 24 ' (1 _ х)2 (1 - х2)2 ' ’ ’
Г Q _ 1 Г х 22х2
i960 2 1(1—j;)2 (1-z2)2
+ ...}] 02 + ...;
и (10.5.4) получается после приравнивания коэффициентов при 02.1
1 Приравнивание свободных членов приводит к формуле
Р = 1 - 24-[-----+
I(1 - т)2
т2
-
которая легко проверяется непосредственно.
Теперь легко доказать (10.5.2). При n5 = п (mod 5) при всех п, и
поэтому
R = 21Р = Р (mod 5),
в то время как
Q = 1 (mod 5).
Следовательно,
1728 т(п)ж” = Q3 - д2 = Q - р2 (mod 5)-
Но
Q - Р2 = 288 £ (/2S2 = 288 £ = 288 f>a(nX
Р=1 ' ' м=1"=1 1
поэтому
т(п) = 6т(п) = ncr(n) (mod 5).
Чтобы доказать (10.5.1), достаточно доказать, что
ст(п) = 0 (mod 5) (10.5.8)
при почти всех п.
10.6. Сравнение (10.5.8) представляет собой частный случай бо-
лее общей теоремы
а(п) = 0 (mod к) (10.6.1)
при всех к и почти всех п.1 Мы можем просто предположить, что к —
простое число.
Обозначим простое число общего вида через р, а простое число
вида кт — 1 через ш и запишем
п=ПР“ПоА
zu
Тогда
a(n)=n^^n^^V-
v > 11 р—1 11 w — 1
zu
*И еще более обще, <zs(n) г 0 (mod к) для всех нечетных з, всех к и почти всех п.
Если а — нечетное число, то
7тга + 1 -- 1 гпа + 1 — 1
1 = (^ + 1Г 2 .— О (mod fc),
W - L ст - 1
поскольку ст + 1 = 0 (mod fc), а второй множитель является целым
числом. Следовательно, сравнение (10.6.1) истинно, за исключением
случаев, когда все простые числа особого вида w входят в п с нечетным
показателем а. Следовательно, достаточно доказать, что а нечетное
число, хотя бы для одного значения w при почти всех значениях п.
Определим Ьп по правилу
bn = 1 (если все а четные),
Ьп = 0 (иначе);
и нам нужно доказать, что
В(п) = Ьп = о(ж). (10.6.2)
П^Х
Фактически мы можем доказать больше, а именно, что
В{х) ~ -....(10.6.3)
(log ж) к
где к = l/(fc — 1) и С зависит только от k. Доказательство очень похоже
на доказательство Ландау, процитированное в §4.5-4.6.
Пусть
Тогда
ГМ = п (1 + 4 + Д+ ПО + -L + 4; + ) =
' \ ps 21±\ -- /
P^LZU Г W
= ГТ —ГТ--------------1-------= —
11 1 -p-s 11 (1 - CT“S)(1 + W~s) П(1 + ^-5)
при ст = fR(s) > 1. Следовательно,
logF(s) = logC(s) - G(s),
где
G(s) = log(l + w~s) = w~s + R(s)
и R(s) регулярна при <т >
Я должен принять без доказательства некоторые факты из стан-
дартной теории простых чисел в арифметической прогрессии. Функция
'^,p~s ведет себя в обычной теории простых чисел «достаточно похо-
же» на logQs), и w~s ведет себя в теории простых чисел в арифме-
тической прогрессии достаточно похоже на к log фа). Следовательно,
logjF(s) ведет себя достаточно похоже на (1 — к) log фз) и F(s) доста-
точно похоже на {фз)}1“к. Фактически
F{s) =
где Н(s) — регулярная функция в s = 1 и ведет себя не слишком плохо
при больших s, вещественная часть которых близка к I.1
Если принять все это без доказательства, то дорога к (10.6.3) бу-
дет расчищена, поскольку нам нужно лишь повторить доказательство
Ландау со сравнительно незначительными изменениями, и мы виде-
ли, что (10.6.1) является следствием. Здесь к произвольно, но переход
к (10.5.1) зависит от частных свойств числа 5.
Существуют похожие сравнения для других модулей, из которых
наиболее примечательным является 691. Рамануджан доказал
т(п) = <тц(n) (mod 691), (10.6.4)
и Ватсон вывел2, что (в соответствии с предположением Рамануджана)
т(п) делится на 691 при почти всех п.
*В действительности, когда к = 5,
< x>4(s) J
где h(s) — регулярная функция при <т > ~ и L,2(s), Ьз(з), Ln{s) — три L-функции
Дирихле, связанные с характерами
(1, г, -г, -1), (1,-г, г,-1), (1, -1, -1, 1).
2Используя теорему, на которую я ссылался в ссылке 1 на стр. 237.
Заметим, что (10.6.4) при нечетных п следует из (10.1.1). В этом
случае
16т(п) = — 128 259т(п) = 16стц(п) — 691г24(п) = 16стц(п) (mod 691).
Порядок т(п)
10.7. Вернемся к задаче определения порядка г(п), на которую я
сослался в конце лекции IX. Это наиболее фундаментальная из нере-
шенных задач, связанных с этой функцией.
Рамануджан предположил, что
т(р) 2р^/2 (10.7.1)
для всех простых чисел р, или, что то же самое, что все углы 0р из § 10.3
являются вещественными. Я назову это утверждение «гипотезой Рама-
нуджана». Если гипотеза истинна, то
|т(п)| = п11/2 Sm(*n+g1)gp| пп/2П(А + 1) = nn'2d(n), (10.7.2)
р|п р|п
и поэтому
т(п) = О(п11/2+£) (10.7.3)
для всех положительных е. Легко доказать в другом направлении, что
(i)
т(п) > п11/2 (10.7.4)
для бесконечного количества чисел п, поэтому из (10.7.3) не может
быть заменено никаким меньшим числом, и (ii) истинность (10.7.3) для
всех положительных п влечет истинность гипотезы Рамануджана* 1.
Мы видели в §9.18, что
*В случае (i) возьмем п = и заметим, что
I sin(A 4* 1)0р I > 1
I sin#p I
для бесконечного количества чисел А. В случае (ii) возьмем то же п и предположим,
что др комплексное число. Тогда 0р = ктг ± irjp, где т}р — положительное число
Рамануджан приводит более сложное доказательство оценки
т(п) = О(п7), (10.7.6)
и это максимум того, что можно доказать «элементарными» методами.
Я доказал в 1918 с помощью метода, использованного Литтлвудом и
мной при работе над задачей Варинга, что
т(п) = О(п6). (10.7.7)
Клустерман доказал в 1927, что при всех положительных е
т(п) = О(п47/8+£), (10.7.8)
Давенпорт (Davenport) и Салье (Salie) доказали независимо друг от
друга в 1933, что
т(п) = О(п35^в+е), (10.7.9)
и наконец Ранкин доказал в 1939, что
т(п) = О(п29/5), (10.7.10)
— наилучший результат, известный в настоящее время. Показатели
здесь (не учитывая е) меньше 6 на |, i | соответственно.
ООО
Доказательство оценки т(п) = О(п6)
10.8. Я докажу (10.7.7), показав, что
Ф) = г{(1 - г)(1 - 22)... }24 = Д (10.8.1)
I (1 — r)° J
(поскольку cos др имеет вещественное значение) и
I sin(A + 1)0Р I sh(A + 1)г/р
I sin др I sh г/р
больше константы, кратной или ns, где
<5= Л-
logp
равномерно по 0. Здесь z = гегв и 0 < г < 1. На время предположим,
что это верно, и получим
/ s 1 [ эИ,
г(п) = / —гт dz,
к 7 2тгг J
с
где С -- окружность г = е~4/п. На этой окружности |z“~n| = е, и поэто-
му
т(п) = max |<?(гег0)|| = О(тг6),
поэтому (10.7.7) является следствием (10.8.1).
Разделим С рассечением Фарея1 (Farey) порядка
и = Ы™] + 1
на дуге £р> д. Достаточно доказать, что (10.8.1) верно на q равномерно
по р и q.
Если z = х2 = е2тт, то
f(z) = h2\r)
в обозначениях Таннери и Молка, и
h2\T) = (а + br)12h24(r), (10.8.2)
если
j, __ с+ dr
а + Ьт
- произвольная подстановка модулярной группы Г. Положим
, 1 + рр' , ,
а = р, b=-q, с=—q~^ d=-p,
где р' определяется сравнением
1 +рр's 0 (mod q).
З'апишем
е = ^ + ф> т = р + *
q qq
'См. §8.10.
Тогда
г = ^=вч.(-^ + ^) (Ю.8.3)
И 2тг( 2pm 1 —q~ + — ~ ~п+г3’
поэтому
Также
c + dr = d _ 1 =?L + 1 = ?L + _L
a + Ьт b b(a + for) ? q(p — qr) ? qC,
Z-e^^exp(^ + ^Y
V q( Q J
(10.8.5)
Наконец, (10.8.2), сформулированная в терминах g(z) и g(Z), имеет вид
5(Z) = C12q(^).
(10.8.6)
Теперь
|Z| = = exp{-27rfR(i) J = exp{
4тг2тг 1
q2(n“2 + <^>2)
(10.8.7)
Также
\# <
2 12 , 4тг2 , 4тг2
4* —
и q2n 2 < v^n 2 < 2n г. Следовательно, существуют константы
А > 0 и 5 < 1 такие, что
\Z\ <е~А = 5
на ^Р1 q и
|5(Z)| < \z\ ^H^nzr1 <B\Z\,
i
(10.8.8)
где В — другая константа.
Из (10.8.4), (10.8.6), (10.8.7) и (10.8.8) следует, что
iP(z)i = ir12m < жг12т <
< ----Д—= Вп6^е-4^,
{q* 2(n 2 + ф2)}6 I д2(п 2 + ф2)->
где
— п~'‘
~ q^n~2 + ф2)'
Поскольку /76е~47Г'2''' ограничено при положительных д, то, следователь-
но,
5(^)=:O(726) = O{(l-r)-6}
равномерно по р и q. Тем самым истинность (10.8.1) доказана сначала
на окружности г = e~x/n, а затем, по принципу максимального модуля,
в общем случае1.
Тем самым мы доказали (10.7.7), а в действительности немного
больше. Имеем
2тг
^т\т)г2т = i I \g(reie)\2 df) = О{(1 - г)-12}
О
и a fortiori2
^т2(т)г2т = О{(1 - г)”12} = О(тг12).
1
Также
r2m _ e-2m/n g-2
если тп < п, поэтому
]Гт2(т) = О(тг12). (10.8.9)
1
Это утверждение включает в себя (10.7.7) и показывает, что т(п) имеет
порядок (^(тг11/2) «в среднем квадратичном».
'Достаточно, чтобы формула (10.8.1) была верна на г = е-1/п.
2Лат. -- тем более.
Дальнейшие свойства F(s) = Е
10.9. Доказательство Ранкина формулы (10.7.10) основано на
функциональном уравнении, которому удовлетворяет функция
= (10-9.1)
Более простая функция F(s) из § 10.3 также удовлетворяет функцио-
нальному уравнению, и нам удобно исследовать это свойство здесь.
Мы видели в § 10.3, что
F(s) = V = П----------------——— (10.9.2)
п Hl — т(р)р s+p11 2s
при достаточно больших а. Из формулы (10.8.9) и неравенства Коши
следует, что
п
£Ж1 = О(«11/2)
1
1 ч
и что ряд и произведение абсолютно сходятся при а > —. Абсцисса
неабсолютной сходимости зависит от порядка функции суммы
Г(Ж) = 52 т(п). (10.9.3)
Теперь
Г(5)Д(з) = I y^g^dy,
О
где д(х) — это функция (10.1.2), при а > ip.1 Но2
P(e^)=(v) 5(е“47ГД
1 Когда
ОО
Е k(n)| J y°-le~^dy = V(a)Y,.^
О
2Это частный случай q = 1, р = 0 формулы (10.8.6).
экспоненциально стремится к нулю как при у —+ 0, так и при у оо,
поэтому интеграл является сходящимся при всех s, и F(s) — целая
функция переменной s. Также
r(s)F(S) - (27г)12/ ys~13g(e-^/y)dy =
О
= (2tf)2s~12 у zn-sg(e^z) dz = (2тг)28~12Г(12 - s)F(12 - s),
О
поэтому F(s) удовлетворяет
(27r)-sr(s)F(s) = (2тгр12Г(12 - s)F(12 - s). (io’9.4)
Поведение F(s) «тривиально» в полуплоскости абсолютной схо-
димости, в частности, она не имеет нулей с вещественной частью
13
больше -%. Функциональное уравнение тогда определяет ее поведение
при с < Л. Она имеет «тривиальные» нули при s = 0, —1, —2, ..., но
- 11
не имеет других нулей, чья вещественная часть меньше
«Критическая полоса», соответствующая полосе 0 1,
для £(s) имеет вид И 51 <т С и существуют задачи, связанные с
ее поведением на этой полосе, соответствующие всем известным про-
блемам с £(s). Было показано, к примеру, что на прямых а = И и
13
а = — эта функция не имеет нулей, и она имеет бесконечное количе-
ство нулей на прямой а — 6. «Гипотеза Римана» для F(s) заключается
в том, что все нули, за исключением «тривиальных» нулей, лежат на
прямой <т = 6.
Существует другая производящая функция, которая может ока-
заться полезной при изучении т(п), а именно
3(з) = (10.9.5)
1
Легко доказать, что
Ж> = (2тг)23/2г(^ )s£—(10.9.6)
\ 2 / (s2 _|_ 4п7Г2)23/2
но свойства $(s) не так интересны, как свойства F(s).
Свойства f(s) =
10.10. Теперь нам нужно изучить соответствующие свойства
функции f(s), определенной формулой (10.9.1), и мы начнем с нахо-
ждения интегрального представления функции f(s), верного при <т > 12,
а именно
2(47r)~sr(s)C(s - 22)/(s) = УУ у*"11Д(т)|2£(s, х, у) dxdy. (10.10.1)
D
Здесь
r = x + iy, у>0, Д(т) = e27rir{(l - e27rir)(l — e47rir). .. }24,1
№W(W) = £E', (10.10.2)
I IIL I -I L |
где штрих имеет обычный смысл, и D — фундаментальная область
|ж + iy\ 1
модулярной группы.
Из (10.8.9) следует, что ряд для /(s) является абсолютно сходя-
щимся при <7 > 12. Из
Д(т) = J T^e2nnix-2nny
1
следует, по теореме Парсеваля, что
V2
/ |Д(т)|2 dx = r2(n)e-4n7ry.
-1/2. 1
’Поэтому Д(т) = з(е2’ггт) в обозначениях § 10.1.
Далее, если мы предположим, что <т > 12, то получим
(4тг)-8Г(з)/(з) = (тг) У y^e-^dy =
1 о
оо 00 1/2
ys~x т2(п)с-4"''гу^ dy = / t/s-1 dy |Д(т)|2с6г =
О 1 О -1/2
= jf y^l^rtfdxdy, (10.10.3)
s
где S — это полоса
У > 0.
Поскольку
Д(т) = О(е^у)
при больших у и
Д(т) = О(у-6)
при малых у,1 равномерно по.ж, интеграл
уа-1|Дт(т)|2 dx dy
s
сходится при ст > 12, и это подтверждает справедливость преобразова-
ния.
10.11. Назовем модулярную подстановку
т = Т(т') = (10.11.1)
d — от
или Т, подстановкой Ts, если она переводит точки т' фундаментальной
области D в точки т треугольника Dr, лежащего в S. Поскольку «, Ь,
с, d и — а, —Ь, —с, -d задают одну и ту же подстановку, мы можем
предположить, что
6^0, d > 0 если 6 = 0, (6, d) = 1. (10.11.2)
Любая подстановка Т преобразует D в треугольник, лежащий на
'Согласно (10.8:1).
и тогда
= Т(т') - п
является постановкой Ts, поэтому существует Ts, соответствующая
любой паре (6, d), которая удовлетворяет (10.11.1). Далее, если (6, d) —
такая пара и (а0, со) — пара, которая совместно с (b, d) порождает Ts,
то общее решение уравнения
ad — be = 1
имеет вид
и тогда
а — ад + nb, с = Cq + nd,
d — Ьт
задает Dt вне S, за исключением случая, когда п = 0. Следовательно,
существует только одна Ts, соответствующая произвольной паре (b, d),
удовлетворяющей (10.11.2).
Теперь
(4тгрГ(.5)/(з) = ^2 ll^-^Ttfdxdy. (10.11.3)
Ts Dr
Если (10.11.1) . подстановка Ts, которая переводит D в Dt, то эле-
ментарные вычисления показывают, что
У =
у'
\d-bT'\2'
I dr I _ 1
Idr'l \d - 6т'|2’
dr dy = I —1 dx' dy' =
I dr I
dx' dy'
\d-br'\4'
Также
Д(т) = (cJ — Ьт')12Д(т').
Следовательно, подставляя (10.11.1) в (10.11.3), записывая тп вместо —Ь
и п вместо d и опуская штрихи, мы получим
WWW = £ II =
Ts D
= I/-ЧД(т)|2Д(з, r)dxdy, (10.11.4)
где
Г) = E 1----J 123-22 (10-П-5)
t—* \тт + тгр® J
и суммирование определяется условиями
О т < оо, —оо < п < оо, {т, п) = 1, п = 1, если т = 0.
(10.11.6)
Наконец, мы умножаем обе части (10.11.4) на
2C(2s - 22) = 2 ^2 ^2з-22 ~ Е |^|2з-22 ’
где штрих означает исключение значения к = 0. Очевидно, что
2<(2з - 22)F(s, т) = £ £' ....;1,2s_22 = СИ,
|шт + тгр®
где штрих означает исключение пары т = 0, п = 0, и тем самым мы
получаем (10.10.1).
10.12. Теперь нам потребуются некоторые свойства функции
K(w) = ехр(—™\тт + тг|2^ , (10.12.1)
где w > 0. Наиболее существенным является функциональное уравне-
ние
1 + K(w) = i{l + F(i)}. (10.12.2)
Это простое следствие формулы суммирования Пуассона для функций
двух переменных, а именно
ЕЕ^(т, = ф£, 7])e2ni{mi+nrj} dr/, (10.12.3)
где все суммирования и интегрирования происходят от —с» до с». В
этом случае
1 + K(w) = ЕЕ ф(т, п),
где
ф(£, ц) =ехр|-™|£(т + гу) +ц|2}.
Если мы подставим это значение ф в (10.12.3) и воспользуемся форму-
лой
е^а€2-2/?€’7—ГП2 +2тгг(т£+ш7) _
= 1 — ехр{.........- [ап2 — 2впт + 7П2)},
у/ау-/32 1 ау — фг )
где а, 7 и агу — /З2 положительные, то мы получим (10.12.2).
Нам также понадобится верхняя оценка для К (w) при больших w.
Она имеет вид
K[w) = 0(7/6-^/^) (10.12.4)
и выполняется равномерно при w>1ht — x + iybD.
Имеем
K(w) = 5252 схр[~^{(тх + п)2 + m2y2})-
Случай т = 0, п — 0 исключается. Также у Tj'/S, поскольку т лежит
в D.
(i) Слагаемые т = 0, п ф 0 определяют
°О _ ,
2 Х-4 e-n2™!v = 2(е~7™/!/ + е-47™/^ . .) < L_
' j _ е-т/у ’
т. е. O[y/w) при малых w/y и О[е~~и:/у} ПрИ больших w/y, и поэтому
°{ С1 + ^)е-7ГШ/У} = О(</е"™/(ЗД)
в любом случае.
(ii) Остаются слагаемые, для которых т 0. Если мы зафиксиру-
ем т, то существует не более одного п, для которого
\тх + п| < |.
Эти тип определяют оценку O[e~m2^vw), и суммирование относи-
тельно т затем определяет оценку
О(е-^) = О(уе™/(2у)).1
у > | и у > iy-1.
Другие п порождают две последовательности, численные значения ко-
торых превышают |, |, |, .... и поэтому (для фиксированных т) мы
получим
(9{(e-’r“’/(2y) e-9jrw/(4j/) )e-m27rwy^
которая, как и в (i), равна
Наконец, суммируя относительно т, мы получим
• е~™у} =
Это завершает доказательство (10.12.4).
Если у — фиксированное значение, то
K(w) = O(e~Aw) (10.12.5)
при больших w и положительных А.
10.13. Теперь мы можем определить основные аналитические
свойства £(з). Она определена формулой (10.10.2), когда <т > 12. Также
СЮ
(?) I.....~~ |^~22 = / Ы)Д~12 еХр(~ ДД1ТОТ + П!2) dw
V / \тт + п\ * J \ У /
О
при <7 > 11, и поэтому
сю
(|) r(s - nx(s) = у 12 52 52 ехр(~дЛтет+гг12)dw =
о
сю
= У ws~12K(w) dw, (10.13.1)
о
если допустимо суммирование под знаком интеграла. Это так при усло-
вии
СЮ
У wa~12K(w) dw < оо.
о
Этот интеграл является сходящимся в бесконечности при любых а бла-
годаря (10.12.5). Вблизи начала координат
ведет себя подобно w-1 и интеграл является сходящимся при <т > 12.
Таким образом, (10.13.1) верно при всех таких а. Также
оо 1
(|y-1Ir(S-lW) = I ws-12K(w)dw+yws-I2{-l + l + l(l)}dw =
1 о
оо оо
= У ws~~12 K(w) dw — $ 11 з ^12 / w11 SK(w)dw =
i i
оо
= 7---ГТТ7---+ /1™"12 + dw- (10-13.2)
(з — 11)(з — 12) J
1
Интеграл здесь является целой функцией переменной в, согласно
(10.12.5), для любого т из D, и правая часть не меняется при подста-
новке 23- з вместо в. Таким образом, £(з) регулярна во всей плоскости
за исключением простого полюса в з = 12, и
(qi \ s—11 /'ll \ 12 — s
|) Г(з-11)£(з)= (£) Г(12 — в)£(23 — в). (10.13.3)
10.14. Мы выведем свойства /(в) из свойств £(з). Из (10.10.1)
и (10.13.2) следует, что
2(4тг)-Т(з)Г(з - 11)С(2з - 22)/(з) =
= л'’-'” У! у10|Д(т)|2|г(з - П)(|) £(s)} dxdy =
D
= ( 191 // dx dy +
(в - 11)(з - 12) J J
D
+ 7Г'’~П УУ у10|Д(т)|2 dxdy У ('Ш'^12 +wu~s)K(w)dw. (10.14.1)
D 1
Теперь для любого вещественного с и т из D интеграл
У wcK{w) dw
i
мажорируется, согласно (10.12.4), величиной, кратной
у У wce~™/^ dw.
i
Если с 0, мы заменим нижний предел 1 на 0, если с < 0, мы опу-
стим wc и произведем то же изменение пределов интегрирования. В лю-
бом случае интеграл меньше
Ау\
где Л и 7 зависят только от с.1 Следовательно, тройной интеграл
в (10.14.1) мажорируется величиной
Дтг<т-12уу у'5|Д(т)|2 dxdy,
D
где А и 3 зависят только от <т, и этот интеграл является сходящимся
при всех а, поскольку
Д(т) = O(e~27ry)
при больших у.
Следовательно, тройной интеграл является абсолютно и равномер-
но сходящимся на любой ограниченной области значений s и представ-
ляет собой целую функцию переменной s, и что
2(4тг)~*Т(«)Г($ — ll)£(2s — 22)f (s)
регулярна при всех s, за исключением простых полюсов в точках s = 11
и s = 12. Следовательно, /($) — мероморфная функция переменной s,
регулярная, за исключением
1 7 = с + 2, если с О, 7 = 2, если с < 0.
(i) простого полюса в точке s = 12 с вычетом
а = 12 [[y10^)\2dxdy^
D
(10.14.2)
(ii) полюсов, соответствующих комплексным нулям £(2s — 22), ко-
торые все лежат слева от а = 12.1
Наконец, из (10.14.1) следует, что
(2тг)-25Г«(5 - ll)C(2s - 22)/(s) =
= (2тг)25~46Г(23 - «)Г(12 - s)<(24 - 2s)/(23 - s), (10.14.3)
т. е. что
ф(з) = ф(23 - $), (10.14.4)
где
ф(з) = (27г)~2яГ(в)Г(5 - ll)C(2s - 22)/(s). (10.14.5)
Также из этих свойств /(s) и широко известной теоремы Икехары
(Ikehara) следует, что
т1 2(1) + т2(2) + ... + т2(п) ~ ^а?112. (10.14.6)
Это новая теорема, но Ранкин показал, что можно получить намного
больше, используя теорему Ландау.
10.15. Теорема Ландау2 имеет следующий вид. Предположим,
что
(1) с„ > 0,
абсолютно сходящийся при о > 1,
(3) Z(s) регулярна на всей плоскости за исключением простого
полюса в s = 1 с вычетом /3,
(4) Z(s) = О(е71‘1)
при больших \t\ и некоторых-у = 7(fi, од) на любой полосе oi о < о%,
1 «Тривиальные» нули дзета-функции взаимно сокращаются с полюса-
ми Г(я — 11).
2Приводится частный случай, достаточный для наших целей.
(5) Г($)Г($ + ll)Z(s) = Г(1 - з)Г(12 - s) ^2 en(An)s
— последний ряд, абсолютно сходящийся при а < О,
£п|еп| = О(х).
Тогда
С(х) = У? сп = /Зх + О(а?/5). (10.15.1)
е„^а:
Покажем, что
Z(S) = C(2S)/(S+ll) = y2^ (10.15.2)
удовлетворяет этим условиям.
(i) Поскольку
z(s) = E^E~St’ <10-15-3)
имеем
сп = У2 ^-11r2(p) > 0. (10.15.4)
ЦЬ'2=П
(ii) Оба ряда в (10.15.3) являются абсолютно сходящимися при ст>1,1
и поэтому тем же свойством обладает произведение рядов.
(iii) Мы доказали, что Z(s) удовлетворяет условию (3) § 10.14. Зна-
чение /3 —
а 12
р = -хтг а.
6
(iv) Из (10.14.1) очевидно, что Z(s) удовлетворяет (4).
(v) Функциональное уравнение (10.14.3) может быть записано в
виде
Г(«)Г($ + ll)Z(s) = (2тг)4®“2Г(1 - $)Г(12 - s)Z(l - s) =
= Г(1 - «)Г(12 - s) У2 e„(167r4n)s,
где
р — Сп
Сп ~ , о
4тНп
Ряд является абсолютно сходящимся при сг < 0.
'Второй согласно (10.8.9).
(vi) Осталось проверить условие (6), т. е. что
C*(z) = У с„ = О(х).
п^х
Теперь
5УПт2(ц) = О(х),
Ц^.Х
согласно (10.8.9) и частичному суммированию, и, в соответствии с
(10.15.4),
с’(ж) = 52 ^11т2(^)=
= 52^~11т2^) + 52 ^”11т2н+ 52 м-117-2(м) + • • • =
ц^х ц^х/4 ц^.х/9
= О(х) + О(х/4) + О(ж/9) + ... = О(х).
Следовательно, Z(s) удовлетворяет условиям (1)-(6) и формула
(10.15.1) истинна.
Однако в действительности мы воспользуемся не формулой (10.15.1),
а формулой
D(x) = V ппс„ = -Mz12 + О(:г12’3/5). (10.15.5)
Она следует из (10,15.1) после частичного суммирования. Фактически,
если [ж] = £, то имеем
С
D(x) = 111С'(1) 5>* W) - c(v ~ 1)} =
2
e-i
= enc(e) - £{w i)11 - ^W) =
1
e-i
= {х11 + O(xw)}{l3x + О(х3/5)} - 52{11^10 + O{vg)}{pv т O(i//5)} =
1
= ^12 (1 _ 11) + 0(2-12-3/5) _ ±^12 + О(Ж12-3/5).
10.16. Теперь легко доказать, что
т2(1) + т2(2) + ... + т2(п) = ^ап12 + О(тг12“3/5), (10.16.1)
и получить теорему Ранкина (10.7.10).
Из (10.15.3) следует, что
Ет2(п) Z(s — 11) \ п^сп Т?2цЧп)
ns £(2s — 22) ns n2s ’
т2(п) = knckl22fi(l),
kl2=n
У2т2(п)= Z? kllcki22i41') = У2 /2MZ) Z? fcllcfc =
n^x kl2^x l^x1/2 k^x/l2
= E '2M>^)= E !22'‘<,>{#(Ю‘2+О(Ю,2’3/5}
l^X1/2 l^x1/2
согласно (10.15.5). Здесь основное слагаемое определяет оценку
у?*12 Е дг = + 0<1“/2)} = тгах'г + 0(aJ2~,/2)
г<я;1/2 >
и слагаемое погрешности определяет оценку
o(z12-3/5) ^2 г<?/5 = о(^12-3/5).
/^0:1/2
Следовательно, мы получаем (10.16.1).
Наконец, заменяя п на п — 1 в (10.16.1) и вычитая, мы получим,
что
т2(п) = О(пп) + О(п12"3/5) = О(п12~3/5), т(п) = О(тг6”1/5),
т.е. (10.7.10)
Функция суммы Т(п)
10.17. Существует другой набор задач, связанный с «функцией
суммы»
Т(п) = у'т(п) (10.17.1)
значений т(п). Штрих над означает, как обычно, что когда х — целое
число, то последнее слагаемое т(х) нужно заменить на |т(х).
Я могу объяснить эти задачи наилучшим способом, сформулиро-
вав их аналоги для более знакомой арифметической функции. Если
г(п) = Г2(п) — количество представлений числа п в виде суммы двух
квадратов, тогда функция суммы
/?(х) = г(п) (10.17.2)
п^.х
определяет количество точек решетки внутри окружности
2 2
U + V X
с условием, что мы считаем | вместо 1 для точки решетки на периметре
окружности. Известно, что
R(x) = тгх + Р(х), (10.17.3)
где
Р(х) = Оу/2),
но истинный порядок Р(х) по-прежнему не определен. Серпинский до-
казал в 1906, что
Р(х) = Оу/2),
и этот результат был улучшен ван дер Корпутом и дальнейшими ис-
следователями. В другом направлении Ландау и я доказали, что
Р(х) £ Оу/2).
Другая задача заключается в определении «формулы тождества»
для Р{х). В 1905 Вороной сформулировал, что
F(z) = z1/2 У {27г(тга;)1/2}, (10.17.4)
^1/2
где Ji — функция Бесселя порядка 1. Я доказал это утверждение
в 1915, и с тех пор были опубликованы многие другие доказательства.
Существуют аналогичные задачи «порядка» и «тождества» для
Т(х). Естественно, они менее важны, и любой результат о порядке
функции суммы будет неточным, поскольку мы не знаем истинного
порядка самой т(п). Лучшее, что мы можем доказать в настоящее вре-
мя, это
Т(х) = O(z59/10). (10.17.5)
Если гипотеза Рамануджана истинна, то
Т\х) = O(z35/6+£). (10.17.6)
Разумеется, неверно, что
Т(х) = o(z25/4). (10.17.7)
В этом случае задача тождества, возможно, более интересна. Тож-
дество имеет вид
T(z) = х6 V J12{47r(nz)1/2}. (10.17.8)
Вильтон (Wilton) доказал, что
= *6+Q/2 £
1 (а + 1) “ пь+а/2
(10.17.9)
при а > 0, и я доказал недавно, что этот результат по-прежнему спра-
ведлив при а = 0.
Комментарии к лекции X
§ 10.1- 3. Рамануджан в статье 18 Сборника трудов рассматривает функ-
цию определенную формулой
ж{(1 - х24/а)(1 - х48/о) ...}“ = У~'у>а(п)хп,
где а|24. ipa(n) = т(п), когда а = 24.
Когда а равно 1 или 3, V’a(n) определяется тождествами Эйлера и Яко-
би. Когда а = 12, V’a(n) кратно ei2(n) из §9.3. Она равна 0 при четных п и
может быть определена при нечетных п как сумма по представлениям чис-
ла п в виде суммы 4 квадратов. Формулу можно найти в статье Глэйшера,
на которую я сослался в § 9.1.
Рамануджан предположил, что фа(п) мультипликативна во всех слу-
чаях, поэтому 52 n“sT/>Q(n) имеет представление в виде произведения, ана-
логичное (10.3.8), и он вывел формулы для фа(п) при а, равном 2, 4, 6 и 8.
Все эти предположения были подтверждены в статье Морделла (2). Морделл
утверждает, что мультипликативность была доказана ранее Глэйше-
ром, но, похоже, что это неверно, см. Глэйшер Quarterly Journal of Math 37
(1906), 36-38.
Ранкин в неопубликованной работе получил элементарные доказатель-
ства мультипликативности fiizln) и ф1в(п). Эти функции, в сущности, сов-
падают с функциями Глэйшера П(п) и 0(п).
§ 10.4. Все свойства, обсуждаемые в § 10.4-6, были сформулированы Ра-
мануджаном в рукописи «Свойства р(п) и т(п)», которой теперь владеет
профессор Ватсон, (см. также статью 28 Сборника трудов). Эта рукопись
никогда не публиковалась в полном виде, но статья 30 Сборника трудов, в
сущности, представляет собой выдержку из этой рукописи, и Ватсон в.рабо-
тах (23, 24) описал и доказал намного больше свойств этих функций.
Доказательства в § 10.4 были получены Морделлом в (1), но также име-
ются в рукописи Рамануджана, разумеется, Рамануджан подразумевал муль-
типликативность г(п).
§ 10.5- 6. Доказательства здесь частично взяты из моих старых заметок
по рукописи Рамануджана и частично из статьи Ватсона (23). Ватсон де-
тально разработал доказательство, набросок которого приведен в § 10.6.
Если мы заменим х на q2, то Р, Q, R имеют вид
12Ц1<лЦ 12^2^1 216^2^1
в обычных обозначениях теории эллиптических функций, и (10.5.3) эквива-
лентно
А = <72 - 27Si
См. §9.11
§10.7-8 . См. Харди (9), Хеке (Hecke), Hamburg math. Abhandlungen, 5,
(1927), 199-224, Клустерман (Kloosterman), ibid. 337-352, Салье (Salie) Math.
Zeitschrift 36 (1932), 263-278, Давенпорт (Davenport) Journal fur Math. 169
(1933), 158-176, Ранкин (2). Давенпорт явно не упоминает о т(п), но (10.7.9),
после работы Клустермана, является непосредственным следствием доказан-
ного им.
Все, что он доказал о порядке т(п), имеет аналог для коэффициентов с„
разложения
E2niir/W
спе
1
произвольной модулярной формы «уровня» N и размерности —к, которая
обнуляется во всех рациональных точках, соответствующих точкам перегиба
на вещественной оси на модулярной фигуре. Здесь «обнуление» означает
«имеет предел, равный 0, при приближении вдоль перпендикуляра к оси».
Специальная функция д(е2пгт) уровня 1 и веса —12. Общие идеи теории таких
модулярных функций были заложены Хеке, который доказал результат для
общих модулярных форм, который соответствует (10.7.7).
Доказательство (10.7.7) в Харди (9) организованно другим образом, и
рассечение Фарея явно не упоминается.
Я показал, что существуют константы А и В такие, что
Ап12 < т2(1) + т2(2) + ... + т2(п) < Вп12.
Этот результат теперь превзойден теоремами Ранкина (10.14.6) и (10.16.1).
§ 10.9. Функциональное уравнение (10.9.4) должно быть известно Рама-
нуджану, но я не могу найти явной формулировки ни в Сборнике трудов, ни
в записных книжках. Впервые оно было сформулировано в печати в работе
Вильтона (1), который доказал его как частный случай функционального
уравнения для
F(s, ?’ ’) = Е
ть
Вильтон в (1) доказал, что F(s) имеет бесконечное количество нулей
13 11
на а = 6, и Ранкин в (1) — что она не имеет нулей на а = — или а = -у.
§10.10 16. Это доказательство приводится Ранкиным в (2), в которое
внесены некоторые небольшие упрощения. Его доказательство соответству-
ющих теорем для функций уровня N является более сложным.
§ 10.12. Формулу Пуассона см., к примеру, в Бохнер (Bochner), Vorlesun-
деп uber Fouriersche Integrate, 33-38 и 203-208, или Титчмарш (Titchmarsh)
Fourier integrals, 60-68. Здесь, рассматривается простейший случай.
§ 10.14. Теорема Икехары в виде, подходящем для наших приложе-
ний, формулируется следующим образом: если а„ 0 ann~s сходится
при а > 1 и представляет собой функцию, регулярную при а 1, за исклю-
чением простого полюса с вычетом С в точке s = 1, тогда
У а„ ~ Сх.
Теорема (на которую мы уже ссылались в § 2.8) полностью базируется на иде-
ях Винера. Существует простое доказательство теоремы в достаточно общей
форме в работе Бохнера в Math. Zeitschrift, 37 (1933), 1-9.
§10.15. См. Ландау Gottinger Nachrichten (1915), 209-243.
§ 10.17. На задачу об «окружности» мы уже ссылались в лекции V (§ 5.1
и комментарий к этому параграфу).
Мое первое тождество (10.17.4) находится в работе в Quarterly Journal of
Math., 48 (1915), 263-283. С тех пор было получено множество доказательств,
ссылки см. в Харди и Ландау, Proc. Royal Soc. (А), 105 (1923), 244-258. Воз-
можно, наилучшее доказательство опубликовано в Vorlesungen, ii, 221-232.
Из теорем о Т(х), сформулированных в конце параграфа, (10.17.5) при-
надлежит Ранкину, теоремы (10.17.6), (10.17.7) и (10.17.8) — мои собствен-
ные. Теорему (10.17.5) см. в Ранкин (3), теорему (10.17.9) см. в Вильтон (1) и
(10.17.8) — в Харди (10). Доказательства теорем (10.17.6) и (10.17.7) не были
опубликованы. Мое собственное доказательство формулы (10.17.7) основано
на тождестве (10.9.6).
Лекция XI
Определенные интегралы
11.1. в этой лекции я предлагаю обсудить некоторые теоремы
Рамануджана, которые не привлекали большого внимания, которые,
как я говорил в моей первой лекции, «неизбежно менее впечатляющи»,
чем большая часть его работ, но которые по-прежнему очень интересны
и заслуживают тщательного анализа.
Рамануджан занимался в течение большей части последнего года
перед приездом в Англию общими формулами из теории определенных
интегралов. Затем он получил исследовательскую стипендию в Мадра-
се и представил три квартальных отчета о прогрессе своих исследо-
ваний в университет. Из этих отчетов взята большая часть формул,
приводимых мной в этой лекции. Я обязан знанием содержания этих
отчетов профессору Ватсону, который включил их в свою копию за-
писных книжек Рамануджана, но большую часть формул, процитиро-
ванных мной, мне показал сам Рамануджан.
11.2. Моя лекция основана на следующих формулах:
(А) У— хф(фф + х2ф(2) — .. .}dx = g^;~............-ф(—в).
о
(в) У ^{ЛСО) - А(1) + ^А(2) - ... } dx = P(s)A(-s).
о
(С) г г <£(0) — хф(1) + х2ф(2) — ...
</>(() +</>1) + </> 2) + . . . = / ф(х) dx + / ........ > } -------dx.
J J х{тг2 + (log я:)2}
О о
(D1)
У {А(О)-^А(1) + ^А(2)- . .. } cosya; <£r=A( —1) —А(—З)у2+А(—5)у4
о
(D2)
I{л(0)-^А(1)+^А(2)- ... }sinya?dT=A(—2)y—A(—4)y3+A(—6)y5— ...
0
(E)
I{A(0) - ^A(l) + ... }{M(0) - ^M(l) + ... }dx =
= A(—1)д(0) — A(—2)д(1) + ...
(F) Если
(Fl)
И
1
(F2)
0
j G(x)xs~l dx,
0
тогда
(F3)
И если
(F4)
ЛФ(1-5) = -Л-.
sm S7r
j A(x)^{F(yxi) + F(-yxi)}dx = B(y),
0
TO
(F5)
B(x)^{G(yxi) 4- G(-yxi)} dx = ±тгА(у).
о
Я собираюсь сказать кое-что поочередно о каждой из этих формул,
но я должен начать с некоторых общих замечаний о подходе Раману-
джана к ним. У него не было настоящих доказательств ни одной из этих
формул, и здесь я использую фразу «действительное доказательство»
в не вполне обычном смысле, в смысле, который я должен объяснить.
Вполне разумно считать, что мы теперь приближенно знаем усло-
вия истинности большинства аналитических формул. Мы можем ска-
зать, к примеру, что формула, подобная (А), истинна при определен-
ных ф и определенных s и что условия, которые мы накладываем на ф
и s, являются «естественными» условиями, они возникают не из-за сла-
бости нашего анализа, а представляют собой общие ограничения, в об-
щем соответствующие фактическому положению дел. Наши теоремы
не покрывают все случаи, в которых формула является истинной, и,
возможно, будет интересным и полезным приложение усилий для их
обобщения, но условия, при которых мы доказали их, станут недоста-
точными при обобщении каким-либо достаточно радикальным спосо-
бом.
Математик может привести формулу и рассуждения для обосно-
вания ее истинности, которые могут оказаться недостаточными в изна-
чальном виде, в данном случае он не может сказать, что он «доказал»
ее. Но часто происходит, что его метод, после переформулировки и раз-
вития современным математиком, приводит к доказательству, верному
при «естественных» условиях, и в этом случае мы можем справедли-
во заявлять, что он «действительно» доказал теорему. Таким образом,
Эйлер «действительно» доказал большие части современного анализа,
и существует огромное множество теорем, которые Рамануджан «дей-
ствительно» доказал, но он не доказал «действительно» ни одной из
процитированных мной формул. Для него невозможно было сделать
это, поскольку «естественные» условия включают идеи, о которых он
ничего не знал в 1914 и которые он вряд ли усвоил до своей смерти. Он
так же не имел, как говорил Литтлвуд, никакой строго определенной
концепции доказательства: «Если возникало значительное количество
подтверждающих аргументов и общее объединение свидетельств и ин-
туиции убеждали его, он обрывал на этом рассуждения». В этом случае
любое «действительное» доказательство неизбежно оказывалось вне
его понимания и «значительные количества подтверждающих аргумен-
тов», приводимые в его записных книжках и отчетах, являются недо-
статочными в этом случае, хотя мы находим их весьма любопытными
и интересными.
Формулы (А) и (В)
11.3. Первые две формулы наиболее важны, и я собираюсь об-
судить их более подробно, чем остальные. Рамануджану они особенно
нравились, и он использовал их в качестве одного из своих наиболее
часто встречающихся инструментов исследований. Они являются ва-
риантами друг друга, (А) переходит в (В), если положить
<Ки) = го? Г
Г(1 + и)
и мы можем считать (А) стандартной формой формулы, хотя в неко-
торых случаях (В) окажется более удобной.
Легко привести примеры истинности и ложности (А). Так,
«“) = !, =
порождает формулы
, 7 e~xxs-1dx=--------------- = Г(в),
J 1 + X smsTT J 31П57гГ(1-в)
о о
истинные при 0<s<1hs>0 соответственно. С другой стороны,
формула, очевидно, ложна при
ф(и) = sin пи,
интеграл в этом случае тождественно равен нулю. Эта формула явля-
ется «интерполяционной формулой», которая определяет ф(—s) в тер-
минах ф(&), </>(1), • - Если она доказана для всех ф(и) из некоторого
класса, тогда любая ф(и) из этого класса тождественно равна нулю,
если она обращается в нуль во всех неотрицательных целых значени-
ях и. Существует широко известная теорема Карлсона, которая гласит,
что если (i) ф(и) регулярная функция и
|<х«)| < СеА|“1,
где А < тг, в правой полуплоскости комплексных значений и, и (ii)
</>(0) = </>(1) = ... = 0, то ф(и) тождественно равна нулю, и естествен-
но предположить, что (А) должна быть истинной для всех таких ф(и)
и подходящих s. Мы можем также ожидать, что лучшими методами
для обсуждения этой формулы будут те, с которыми нас познакоми-
ли Карлсон (Carlson) и другие и чей источник мы находим у Меллина
(Mellin).
Доказательство (А)
11.4. В дальнейшем положим
и = v + iw.
Обозначим полуплоскость v — 6, где 3 > 0, через Н(8). На время
положим
О < 8 < 1.
Если ф(и) регулярная функция и
\ф(и)\ < CePv+A^ (11.4.1)
на всей Н(З'),. то будем говорить, что ф(и) принадлежит классу
5?(А, Р, 6) или просто 91.. По большей части мы будем изучать функ-
ции, для которых
А < тг. (11.4.2)
Предположим теперь, что ф(и) принадлежит 9(А, Р, 8) при А < тг,
О < 8 < 1, что 0 < с < 8 и что.
0<х<е~р. (11.4.3)
Тогда простым применением теоремы Коши получим
c-f-ioo
Ф(х) = ф(0) - ^(1) + х2ф& -= — I -^^-u^x~U du-
c—ioo
(11.4.4)
Ряд обычно расходится при х > е~р, но подынтегральное выражение
мажорируется для всех положительных х величиной, кратной
е-(тг ~A)\w\e-Pcx-c
и интеграл равномерно сходится на любом интервале 0 < х0 .т2002 X.
и, следовательно, Ф(х) — регулярная функция, и представляется инте-
гралом при всех положительных я;.1
Мы можем теперь вывести (А) с помощью широко известной фор-
мулы обращения Меллина. Она выражается уравнениями
оо с+гоо
f(u) = У Р(х)хи~} dx, F(x) = у f(u)x~udu,
О с—гос
и формула (А) получается, если взять
Ли) = = ф(х)-
Мы можем проверить справедливость использования формулы Мел-
лина различными способами, обращаясь при желании к какой-нибудь
известной общей теореме, но гораздо интереснее дать прямое доказа-
тельство, следуя по пути, по которому изначально шел сам Меллин.
Предположим, что з = сг + it и
О < а < 5,
и выберем щ и сг так, чтобы
О < С1 < с < С2 < 5.
Тогда формула (11.4.4) верна и при с — ci, и при с = с^.
Теперь
1 ci-f-ioo
dx = —Ц / х5-1 dx I —. <j)(—u)x~udu =
2т J J sinmi 4 7
О С1—2СЮ
'Если х = гегв, то \х с ’w| = г и Ф(ж) регулярна при |0| < тг — А, но мы
не будем использовать это.
поскольку 91(s — u) = ст — щ >0. При обращении не возникает никаких
трудностей, поскольку двойной интеграл является абсолютно сходя-
щимся. Аналогично,
ОО С2 4-2ОО ОО
[ Ф(х)х3~1 dx =[ -т-—ф(—и) du [ х3~и~г dx =
J ’ 2т J sin ли 7 J
1 С2—ioo 1
C24-SOO
= -ф f Л
2тгг J эттги s — и
C2—i<X>
поскольку теперь 5Н(з — и) = ст — < 0. Объединяя эти уравнения,
получаем
7Г
sin 7VU
по теореме Коши.
11.5. Тем самым мы доказали (А) для ф(и) из 5? и для 0 < ст < 5,
в частности 0 < s < 3. Очевидно, что если ф(и) = О(е‘41“1), то ф(и) при-
надлежит 91. с Р = А, поэтому наш класс функций ф(и) включает класс
Карлсона. Следовательно, доказательство (А) является дополнительно
доказательством теоремы Карлсона.
Мы можем также свести вторую часть доказательства к примене-
нию теоремы Фурье. Если мы положим х = е~^, и= с+ iw в (11.4.4),
то она принимает вид
ф(е-е) = Ъ [ --------JL----- ис _ iW)ei(c+«') dw,
2л J зтл(с + гте) '
и, по теореме Фурье, получаем
л<^>(—с — iw)
sin л(с + iw)
e“4‘(c+’w)$(e-i)^
:c+iw-4(z) dx.
о
Такая редукция преобразования «Меллина» к преобразованию «Фу-
рье», разумеется, всегда возможна, поскольку преобразования являют-
ся формальными вариантами друг друга.
Я добавлю замечание, которое применимо не только здесь, но и
зачастую в остальной части лекции. Я предположил, что А < тг, бла-
годаря чему все встречающиеся интегралы являются абсолютно сходя-
щимися, с довольно большим запасом прочности. Во многих наиболее
интересных примерах А будет равно тг и последний интеграл может
не быть абсолютно сходящимся, в этом случае потребуется более изо-
щренное доказательство, не сводящееся к простому мажорированию.
Гипотеза А < тг здесь и далее является грубой гипотезой, но в лю-
бом случае она является «естественной», поскольку формулы обычно
неверны при А > тг, и я не стану уделять время более тщательному
анализу.
Эвристический вывод (А) и (В)
11.6. Формулы (А) и (В) связаны очень интересным способом с
«интерполяционной формулой Ньютона».
Широко известно, что
где
Дао — ~ ах, Д2ао — O.Q — 2ai + 0,2,
Следовательно, если з > 0 и ряд
, ч А(1) А(2) .
A(z) - А(0)----j-j-z + “2]“^ - • •
является сходящимся при всех х, имеем
и почленное интегрирование дает
[е-^,+п-1^=Г(з){А(0) + ^ДА(0) + ^^Д2А(0)+...}.
0 П' о
Наконец, формула Ньютона имеет вид
A(-s) = А(0) + ^ДА(О) + 5(;+21)Д2А(0) + ... (11.6.1)
Справедливость почленного интегрирования всегда может быть
подтверждена, когда результирующий ряд сходится. Следовательно,
мы можем доказать (В) при предположениях, что (i) s положитель-
но, (ii) A(z) — целая функция и (iii) формула Ньютона выполняется
для А(—s). Если выполнены условия (i) и (ii), то (В) эквивалентна фор-
муле Ньютона.
Существует соответствующее преобразование (А), основанное на
преобразовании Эйлера
Удобно предполагать, что ф(0) = 0. Тогда, записывая Ьп вместо ф(п),
имеем формальное равенство
byx — Ь^х2 + Ьзх3 — ... = bi у + Д&1 • у2 + Д26] у3 + ...,
= _д_ R + (s + 1)ДЬ1 + (L+.1.ffi.+ 2)A2b + 1
sms7r I ' 2! J
Таким образом, (А) также может быть сведена к формуле Ньютона1.
Доказательство Рамануджана
11.7. Рамануджан фактически предполагает, что
А(а) =х(е-““), (11.7.1)
1(11.6.1) с ф(и + 1) вместо А(и) и s + 1 вместо з.
где а — положительное число и %(г) регулярна в начале координат.
Тогда
~ Л-i)" ~ (-1)" ~
= Е = Е Чг1” Е
п=0 п=0 г=0
-Х7О) -(-!)»
2—' r\ Z—j П1
г=0 п=0
И
ХГ(°)с-агп
г=0
= Г(з) Е = r(s)x(eas) = r(s)A(-s)
r=0
при s > 0. Инверсия справедлива, если (i) x(z) регулярна при |z| 1 и
(ii) з достаточно мало. Тогда
Е^^
является сходящимся при некотором Z > 1,
V- |ХГ(0)| V" _l_„n -arn _ 'е' (°) ]
2_> г\ 2^ п\ 2^ ri
является сходящимся и
Е ет J *=и»» £ кйе-
о
является сходящимся для достаточно малых положительных з. При
этих условиях анализ Рамануджана является верным. Но условие
на А(и), которое требует, чтобы А(п) имела вид
со + с1е~ап + с2е^2ап + ...
при больших п, является чрезвычайно жестким, и хотя его можно
немного обобщить, оно исключает практически все примеры Раману-
джана.
Поучительно изучение случая, в котором аргумент, подобный аргу-
менту Рамануджана, приводит к очевидно ложному результату. Пред-
положим, что в (11.7.1) а = —Ь~ отрицательное число. Тогда, повторив
вычисления Рамануджана, мы получим
(п-7-2)
г=0
и, предположительно, можем завершить доказательство так же, как и
раньше. Но (11.7.2) обычно ложно, поскольку Л(аг) регулярна в начале
координат, а ряд в правой части представляет собой функцию от х,
которая регулярна в правой полуплоскости, и мнимая ось является ее
особой прямой. Таким образом, предположения
Х(а) = е~си (с >0), Ь = log 2, А(«) = е~с2'"
приводят к равенству
E(-ir5^2"-£(-i)r5e^’
о о
которое, очевидно, является ложным.
Примеры и приложения
11.8. Я приведу несколько частных случаев, полученных Рама-
нуджаном.
(i) Если 0 < s < min(a, /3), то
У xs-}F(a, /3, у,
о
Г(7) Г(з)Г(а — з)Г(/3 — з)
I dx —-----------------------------
1 Г(о)Г(/3) Г(7 - з)
Здесь F(a, (3, 7, х) — гипергеометрическая функция, определенная при
0 < х < 1 обычным степенным рядом и при х > 1 с помощью аналити-
ческого продолжения.
(ii) Если 0 < s < 1, то
^-1(1-“ _2~ах +3~ах2— ...)dx = -Д— (1-зГ“.
Sin 37Г v
0
(iii) Если 0 < q < 1, з>1и0<а<д® 1, то
Гх>-i (1 +aqa:)(l +aq2ar). = pr (1 - qm s)(l - aqm)
J (1 +z)(l +фг)(1 + q2x). . . X sinsiT И (1 -q™)(l - aqm~s)'
(iv) Если 0 < s < ^, то
J ^n!<(2n + 2)
0 u
Г(з)
C(2-2s)’
Разумеется, (i) и (ii) — прямые следствия уже доказанного. Чтобы
доказать (iii), воспользуемся разложением
ф/ , = (l + oyr)(l + a<?M = у. (l-aq)(l-aq2)...(l-aqn)^n
(1 + х)(1 + <?х)(1 + <72а:) . . . V (1 “ <?)(1 - <?2) С1 “ <?")
которое легко выводится из функционального уравнения
(1 + aqx)$(qx) = (1 + 2г)Ф(т),
которому удовлетворяет функция Ф(.г). Здесь
_ п (i^«r )(i-r+u
Ф{и} Д (1 - Г )(1 - ^т+и.
Наконец, формула (iv) была независимо получена М. Рисом (M.Riesz)
и использовалась им для определения очень любопытного необходимо-
го и достаточного условия для истинности гипотезы Рамануджана. По
этой гипотезе, формула истинна при 0 < з < |. Альтернативная форма
функции Ф(т) имеет вид
Ф(т) =
1
ц(т)
т е
х/т2
где //(т) — функция Мёбиуса.
11.9. Мы можем пользоваться формулами Рамануджана для по-
лучения многих разложений, обычно выводимых из рядов Лагранжа и
Бурмана (Burmann). Возьмем два примера, приводимых самим Рама-
нуджаном.
(i) Известная в учебниках задача разложения по степе-
ням хеЬх. Рамануджан рассуждает следующим образом. Если у = хеЬх
и
е~ах =
о
то, согласно (В)
Г(з)А(—з) = у у3-1 е~ах dy — у +
О о
поэтому
Х(п) = а(а + пЬ~)п~1.
В доказательстве, разумеется, требуется, чтобы а и Ь были положи-
тельными1 .
(ii) Хорошо известно, что корни трехчленных уравнений можно
представить в виде разложений в гипергеометрические ряды. Раману-
джан получает разложение для любой степени хг корня уравнения
aqxp + хч = 1
следующим образом. Если
о
то, согласно (В),
г/ \ f s-l г , f rfl fl-x4\
Г(з)А(-з) = / a x da — x —- d — .
J J \ qxp J \ qxp J
0 0
1 Когда функция
a(a + bu)“-1
Г(1 + u)
не вполне удовлетворяет условиям §11.4 («А» равно тг).
Вычисляя интеграл, он получает разложение
г г , r(r + 2p-q) 2 r(r +3р- q)(r +3p-2q) 3
х = 1 - -а +----------а------------------------а + . ..
Я не знаю, является ли эта формула новой, и не пытался определить
условия, при которых этот анализ является верным.
Формула (С)
11.10. Формулу (С) можно считать формулой остаточного члена
в «формуле суммирования Эйлера Маклорена». Поскольку
f______dx______ _ f dy _ i
J ДтГ2 + (logz)2} J 7Г2 + y2
0 —oo
мы можем умножить ф(0) в двух местах, где она встречается, на любой
постоянный множитель. Удобнее записывать эту формулу в виде
°? °?10(О)-^(1)+хМ2)- ...
|</>(0)+</>(1)+</>(2)+ ф(х) dx = I ---------- 2 ..-------------dx
2 J J х{тГ + (logzW
о о
или, заменяя ф(и) на уиф(и), в виде
7 (и.ю.1)
J ^{тГ + (10g Ж)2}
где теперь
$1(z) = |^(O)+^0(nX,1 (11.10.2)
1
и
я(у) = Ф1(У) - У Ухф^х. (11.10.3)
о
= Ф(—х) - в обозначениях §11.4.
Наиболее известные формулы для R{y) — это формула Пуассона, а
именно
Щу ) = 2 У ухф(х) cos 2п~х dx (11.10.4)
1 о
и формула Планы (Plana), а именно
Я(У) = г j --------------------dw- (11.10.5)
о
Формула Рамануджана по-видимому является новой.
Удобнее начать с доказательства частного случая формулы. Пред-
положим, что
</>(и) =----—-
' ’ Г(1 + н)
и
J(y) = f УХФИ dx — f щДдЛ dx.
о о
Тогда
dy = JJ'-V dy = J
0 0 0 0
если s > 1. Из формулы обращения Лапласа следует, что
с+гоо
2т J s log s
с—гео
где с > 1. Если мы деформируем контур в серпантин вокруг мнимой
оси и допустим вычет в полюсе s = 1, то получим
J(y) = еу
е~ух
ДтГ2 + (logx)2}
dx.
о
11.11. Рамануджан приводит очень нетривиальное доказатель-
ство этой формулы. Он доказывает более обще, что
[ ---г dx + [ х^~1е~ух (costt£ — log л') --- = еу,
J Г(1+х) J К ^2 * * + (1оёл)2
(11.11.1)
если 1/ 0 и ( 0. Если мы обозначим левую часть (11.11.1) через
р(у, £) и продифференцируем по £, то получим
g = -JC—= ----Эд”2ф = о.
r(i-e) 71 J Щ1-0 77 j
о
Следовательно, р(у, £) — это функция Р(у) только переменной у. Но
если мы продифференцируем по у, то получим
dP ( Ух~Х , f t sinirf \ ах
= I —— dx — I x^e у I cos 7г£-=— log х ) — ------ =
dy J Г(л) J V ? " 6 7^ +(log л)2
= 7 .. УХ .. dx _ 7xie~v- (cos - sirl^ 10gяЛ___dx___=
J Г(л+1) J К ? * 10g X2 + (log.r)2
-4-1 o
= p(y, £ + 1) = P(y).
Следовательно, P(y) — Cev, и мы можем найти значение С, положив
у = о и е = О.1
Мы можем теперь заменить ф(и) на
«“>-пГГ5
1 (1 + и)
в общей формуле, поэтому мы можем предположить ^(0) = 0. Мы мо-
жем также предположить, что ф{и) вещественная для вещественных и.
Эти упрощения не носят существенного характера, но они позволят нам
упростить наш формальный анализ2.
'Мы также можем доказать (11.11.1) с помощью «преобразования Лапласа».
2Мы можем начать с проверки формулы для любой конкретной ф(и), для ко-
торой ф(0) 0, но я не знаю ни одной такой функции, для которой (С) стала бы
достаточно тривиальной.
11.12. Мы можем вывести формулу Рамануджана из формулы
Планы следующим образом. Мы снова предположим, что ф(и) принад-
лежит классу Й?(Л, Р, 6). Тогда
ОО ^ОС
Ф1(~ж) = \'(-1)пф(п)хп = —Ц [ ---Х~иф(-и)Фи =
’ / -гх / 2?гг / sinTTit
1 -ioo
= — [ -----. х~гги ф(-4и)) dw, (11.12.1)
2тг J smzrzw
теперь мы можем взять с = 0, поскольку ф(0) = 0. Следовательно,
ОО ОО ОО
/ Ф1{—ух) 1 f тг • х , f х~™ ,
7 гг{тг2 Ч- (log ге)2} 2тг J зштгг-ш J а;{тг2 4-(logа:)2}
Ио
7______С27_________ dx = 7 e~iWt dt = е-*М
J x^ + ^gx)2} J +
0 — oo
и поэтому
7 Фх(-т/ж) 1 7 е-я-И _ .
J ж{тг2 + (logrr)2} 2 J зттггмГ v
которая сводится к интегралу Планы (11.10.5) тривиальными преобра-
зованиями.
Полное обсуждение формулы Планы можно найти в книге Лин-
делёфа (Lindelof) Calcul des residus. Линделёф доказывает (11.10.5) при
следующих условиях
e-2*lw|yv+lw4>(v + ?w)0, (i)
когда |w| оо, равномерно в любой конечной полосе -5 v V, и
(ii)
е-2я-|»||1у,4-™| |ф(г, + гш)| dw 0;
когда v —> оо. Очевидно, что эти условия выполнены, если ф(и) при-
надлежит классу 1%(А, Р, д') при А < 2тг и
О < У < е~р,
и, в частности, при таких у, этим условиям удовлетворяют функ-
ции ф(и), которые рассматривались здесь. Таким образом, формула
Рамануджана (С) верна в виде (11.10.1), и для этих у, для тех же са-
мых ф(и), для которых мы доказали (А).
11.13. Я добавлю замечание о «формуле Планы». Ее можно до-
казать непосредственно, как следствие теоремы Коши, но следует рас-
смотреть, как ее можно вывести из формулы Пуассона, которая явля-
ясь формулой для «вещественной переменной», вероятно, более извест-
на. Давайте запишем формулу Пуассона (11.10.4) в виде
R{y) = 2^Jn-,
1
запишем е~@ с 0 > Р вместо у и v вместо х. Тогда
ф^е~(?-2п^',! dv}
о о
снова по теореме Коши, для доказательства здесь требуется только
чтобы А < 27г.1 Просуммировав, получаем формулу Планы.
11.14. Предположим, к примеру, что
Г(г + и
Г(г)Г(1 + и) ’
где г > 0. Тогда ф(и) принадлежит классу при 0 < 3 < т, для любого
положительного А и любого Р, и, согласно (11.10.1), получаем
ОС оо
п х-г Г Г(т + т) Г (0+ух)~Г .
(! - У) - .,—;У dx = / —- 2 -...-yr dx.
J Г(г)Г(1 + ж) J ж{тг2 + (logж)2}
о о
Интеграл слева является элементарным, когда г целое число, и тогда
интеграл справа можно вычислить в элементарных функциях.
(г / ф(1ы)е~-0™-2п™
вместо А
7Г.
Преобразования Фурье
11.15. Формулы (D) представляют собой эвристическую теорию
преобразований Фурье, которая, естественно, справедлива только при
очень ограничительных условиях.
Предположим, к примеру, что А(и) — целая функция и что
Л(1) = А(3) = А(5) = ... = 0, (11.15.1)
поэтому
~ (-l)"A(n) „ А(2т) „
ли = Е( (ид5-2>
О' о
четная, и пусть
Aj(u) = У|г(1 + и)соз|и7тА(-и-1). (11.15.3)
Тогда Ai(u) — тоже целая функция, поскольку полюса Г(1 + и) в точках
— 1, —3, ... взаимно сокращаются с нулями cos а полюса —2, —4,
... с нулями А(—и - 1), и
Aj(l) = Aj(3) = Ai(5) = ... = 0. (11.15.4)
Также
Ai (2m) = (-1)”1У|2т!А(-2т- 1)
И
Ai(-2m-l) = А(2т) lim{r(-2m+£)cos |(2т+1-£)тг} = (-1)тА/^^^р-.
у z >0 -w у £ £Т1'~Ъ.
Следовательно, если мы запишем
1 оо
M(x)=J^(-l)mA(-2rn-l)x2m
’ о
и обозначим через Л1, Л'Д функции, образованные из Аь также как
Л, М образованы из А, тогда
Л! (ж) = М(х), М1(т) = Л(ж);
и (D1), и соответствующая формула с Ai принимают вид
cos ух dx =
У ttJ Л(ж)созужс?ж = М(у), у- j
о о
Это обычные формулы косинус-преобразования Фурье. Если мы
предположим, вместо (11.15.1), что
А(0) = А(2) = А(4) = ... = О,
и определим А! (и) формулой
А1(и) = у jr(l + u) sin |и7гА(-и - 1),
то аналогично придем к синус-преобразованию.
Таким образом,
' Г(1/2 —и/2) Г(-и)
удовлетворяет условиям (11.15.1). В этом случае
Г(1 + и) COS iuTT •
Г(1 + и)
Г(1/2—и/2)
771
= е-2/2
' J v ml
о
Формулы выражают свойство «самодвойственности» е~х2/2.
С другой стороны, существуют многие известные взаимодействия,
которые не выражаются таким образом. Так,
/е у cos ух dx = —,
1 + У
о
^dx = ^M
1 4- х1 2
(11.15.5)
о
Первая из формул является (когда |у| < 1) вариантом формулы (D1),
с A(u) = 1, но тогда
•Ы'и) = у ir(l +u)cos|utt
и
т
не является целой функцией, поэтому мы не можем получить такое
же выражение для второй формулы (что очевидно, поскольку не
раскладывается в степенной ряд по у).
11.16. Я разработал теорию формул (D) в моей работе (11).
Я сформулирую ее здесь в несколько более общей форме, принад-
лежащей Ф.М. Гудспиду (Mr. F. М. Goodspeed), получение формулы
(11.15.5) связано с его теорией.
Предположим, что х(и) — целая функция и что
_______*(ц)________I < c^PH + Alwl
2H/2r(|v|/2 + ?w/2)l
(11.16.1)
где А < 7Г при всех и. Тогда из теоремы Коши следует, что
с+гос
ЛЫ== V (-1П(п) .„ ж„ = __1_ [ ______хих(и)_______du
V 2п-/2Г(п/2+1/2) 2тгг J shttu 2“/2Г(д/2 +1/2) ’
с—гос
(11.16.2)
когда
—-1 < с < 0, 0 < ж < е~р
и ряд сходится. Интеграл равномерно сходится в любом интервале
0<5^ж^Д< оо, поэтому Л(ж) регулярна при всех положитель-
ных х.
Если теперь у > 0, то
с+гос
, 1 Г 7Г XUX(U)
cos ух ах -—г / —----------------------аи =
2тп J sm7TU2“/2r(u/2 +1/2)
с—гос
.— - с+гос ос
= -----тт— -----------du [ хи cos ух dx. (11.16.3)
V 2ттг J 81П7ги2“/2Г(и/2+ 1/2) J
с.—гос О
Проверка справедливости инверсии не вполне тривиальна, но следует
по тому же пути, что и обсуждение того же вопроса в (11).
Теперь
J хи cos ух dx = Г(и + 1) cos i(u + 1)тгг/
о
Если мы подставим это значение в (11.16.3) и упростим с помощью
формулы удвоения для гамма-функции, то получим
Л(ж) cos ух dx
С-Моо
_±_ [ к 2и/2+1/2У U lx^ du =
2тгг J siiiTru Г(—и/2)
с—гое
А, [ -----
2тп J sm7TU2“/2r(l/2 + u/2)
с—гос
(с другим с, но по-прежнему с — 1 < с < 0). Этот интеграл вновь может
быть вычислен по теореме Коши, с результатом
у* Л.(х) cosyx dx — М(у), (11.16.4)
о
где
ОО
W) = 12
о
(—!)”%(—п — 1) х
2”/2Г(п/2 + 1/2)Ж
(11.16.5)
Этот ряд также является сходящимся при 0 < х < е р, и М(ж) регу-
лярна при всех положительных ж. И из симметрии рассуждений оче-
видно, что
-- оо
fil
M(x)cosyxdx = Л(у).
(11.16.6)
о
11.17. Собственные формулы Рамануджана для косинус-преоб-
разований являются несколько менее общими. Если мы запишем
х(ц) = Мц)
2“/2Г(и/2+1/2) Г(и + 1)
или
х(») = 2-",ayVw
М ' Г(и/2 + 1) к 7
и предположим, что А (и) удовлетворяет условиям (11.15.1), тогда мы
получаем, что формулы §11.16 сводятся к формулам §11.15. «Поряд-
ки» условий эквивалентны. В анализе §11.16 используется преимуще-
ство симметрии, и он является более общим в двух отношениях. В пер-
вую очередь, предположение, что х(и) является целой функцией, яв-
ляется менее ограничивающим, чем предположение, что А(и) — целая
функция, поскольку оно позволяет функции А (и) иметь полюса при
и = —2, —4, ... Более важно, что в § 11.15 и Л(ж), и М(ж) являются
четными и аналитическими функциями, регулярными в начале коор-
динат, а в § 11.16 они определены в виде степенных рядов только для
положительных х, а затем продолжены на отрицательные значения х
с помощью четности1.
Таким образом, если мы положим
х 2“/2Г(и/2 + 1/2)
= Г(« + 1) •
то
Л(ж) = е , М(ж) = j _|_ ж2
при х > 0. Условия §11.16 выполнены, и если мы определим Л(ж) и
М(х) при х < 0 с помощью четности, то получим формулу (11.15.5).
Если мы положим
= 1,
то получим
00 /__1 АП
Л(ж) = М(х) — —--------------хп
О 2”/2Г(п/2 + 1/2)
гВ (D1) мы оказываемся в промежуточной ситуации. Если мы запишем формулу
в виде
.________________________ оо
у~ У h.(x)cosyxdx = М(у),
о
то Л(х) определяется как Л(а?) из §11.16, но М(у) регулярна в начале координат.
В § 11.15 мы делаем соотношение симметричным с помощью конкретизации.
при х > 0, и применимы те же самые замечания. Эта Л(ж), которую
также можно представить в виде
1-жеж2/2 j e-t2^dt = j e^w2^-xwwdw,
x О
является одним из примеров «самодвойственных» функций, получен-
ных Харди и Титчмаршем.
Наконец, выбор
Г(1/2 - и/2)Г(1 + и/2)
приводит к
Л(ж) = М(ж) = е~х2/2.
Этот случай рассматривался в § 11.15.
11.18. Я сказал в моей вводной лекции, что Рамануджан был зна-
ком с большинством формальных идей, которые лежат в основе недав-
ней работы Ватсона, Титчмарша и моей по «ядрам Фурье» и «само-
двойственным функциям». Здесь мы сталкиваемся с таким случаем.
Очевидно, что необходимые и достаточные условия для того, что-
бы Л(ж) из § 11.16 была самодвойственной, имеют вид
XW = XH-1). (11.18.1)
Если мы запишем
ф(и) = TT-^d + |u)r(l - ju)x(-u), (11.18.2)
то (11.18.1) принимает вид
=V>(l-u). (11.18.3)
Интегральное выражение для Л(ж) имеет вид
c-bioo
л/ ч 1 [ тг
\.(х\ — ———; I —;---------------------- dll.
2т J sm7TU2«/2r(u/2-|-l/2)
Если мы заменим и на —и, подставим вместо х(—и) выражение из
(11.18.2) и произведем некоторые простые упрощения, то получим
Л(ж) =
(11.18.4)
т. е. (за исключением числового множителя) формулу для самодвой-
ственных функций, полученную Титчмаршем и мной.
Все это имеет аналоги в теории «общих преобразований», но я от-
ложу их обсуждение на конец лекции.
Формула (Е)
11.19. Мы можем записать (Е) в виде
Л(ж)Л/(ж) dx = У^( —1)гаА(—n — l)/z(n), (11.19.1)
о
где Л(аг) и М(х) - два бесконечных ряда в подынтегральном выраже-
нии для (Е). Мы можем также рассмотреть более общую формулу
ОО
/* Л(ж)Л/(.'г).'г5-1 dx = у^(—1)п^ +—-А(—п — s)ju(n) =
о 0
= Г(з){а(-з)м(О) - |А(-з - 1)М(1) + ^±Да(-з - 2)М(2)
(11.19.2)
Мы можем формально вывести (11.19.2) из (В), записав
оо ос
У A(z)M{x)xs~x dx, = -—y-ju(n) У Л(ж)ж'“+®-1 dx =
о 0 о
О
и существуют несколько случаев, в которых справедливость этой про-
цедуры можно подтвердить. Однако все они имеют чрезвычайно осо-
бый характер, и Рамануджан, похоже, использовал другие рассужде-
ния даже когда М(х) равна cosi/ж, когда этот способ доказательства
вряд ли применим. В этом случае
M(2m) = (-1)"1?/2”1, м(2т+1) = 0,
и (11.19.1) сводится к (D1).
Формула принимает более простой вид, если ее записать в обозна-
чениях § 11.4. Тогда
Л.! X АИ К А МИ
Ф(и) = го17?
1 (1 + и) 1 (1 + и)
и Ф(т) определена так же, как в §11.4, и аналогично Ф(ж), и (11.19.2)
принимает вид
оо
/'ф(ж)Ф(ж)ж5“1с?ж = ^ф(-п-(11.19.3)
о 0
Эта формула имеет более простой вид, но может ввести в заблужде-
ния, и (11.19.2) действительно лучше в качестве стандартной формы.
Можно понять это, рассмотрев наиболее очевидные частные случаи.
Если мы возьмем
А(и) = аи, = (3й,
где 0 < (3 < а, в (11.19.2), мы получим формулу
Je-^V1 dx = Г(з){а~3-|a-s~1/3+^|±X--s-2/32+ .. • } =
о
верную при всех положительных з. Но если мы положим ф(и) = а11,
ф(и) = (3й в (11.19.3), то получим формулу
I Xs-1 dx 7Г / -S . -s-lo . ,-s-2,j2 . \ 7Г Cp~S
/ ------------- = —:---(а -4-а р 4- а р + ...)=—---------------
J (1+аж)(1+/Зж) sms7rv зшзтга-/?
о
которая всегда неверна.
Правильная формула имеет вид
/* xS 1 dx _ тг q1 3 ~ Z?1 8
J (1 + аж)(1 + fix) sinsw a - fi ’
о
которая верна при 0 < s < 2. Мы можем записать правую часть в виде
7Г / — s . — s — 1 jQ . — s — 2 . — Ixjl — s — 2 /л 2 — s >
—----(a + a 0 + a 0 + ... ~ a 0 — a 0 — =
sms7r
= -уд-={^(-5)^(0)+</>(-5-1)^(1) + - • —<^(—1)ф(1—s)—</>(—2)^>(2—s)—... }.
Здесь мы имеем два ряда вместо одного, и фактически, как мы сей-
час увидим, «правильная» формула для общего интеграла — это не
(11.19.3), а
°? оо оо
/ Ф(ж)Ф(ж)ж5~Чж=^^;{52<?!>(-п-з)^(п)-^2<?!>(-п-1)^(п+1--з)}.
о 0 0
(11.19.4)
Она сводится к (11.19.3), когда ф(и) обращается в нуль в точках и = —1,
—2, ..., как, например,
ф(и) = —.
7 Г(1 + и)
Следовательно, лучше работать с формулой (11.19.2). Я лишь отмечу
связь этой формулы со стандартными формулами иЗ теории преобра-
зований Меллина. Существует строгое исследование этого вопроса в
неопубликованной работе Гудспида.
11.20. Мы можем рассматривать (11.19.2) как форму теоремы
«Парсеваля» для преобразований Меллина. Эта теорема утверждает,
что если
/(ж) = у>Р(ж)ж®”1 dx, g(s') = У G(x)xs-1 dx, (11.20.1)
о b
то, при определенных условиях,
ОО fc + lOO
У F(x)G(x)xs~1 dx = 2^7 У f(u)g(s - и) du. (11.20.2)
0 к — гоо
Теперь при определенных условиях, которые мы подробно рассмат-
ривали в § 11.4, мы имеем
У A(x)xs 1 dx = T(s)A(—s), У M(x)xs 1 dx = Г(з)у(—s), (11.20.3)
о о
c-f-ioc c-Moo
Л(т) = уЦ [ Г(и)Х(—и)х~~и du, M(x) = -i-т [ r(u)fi(—u)x~u du.
ZiTi I I ZiTtls J
c—ioo c—ioo
(11.20.4)
Фактически, формулы (11.20.3) — это варианты формулы (В), и если
мы запишем
\ A(U) ,/ х M(w)
^(ц) = 7 v = —v
Г(1 + и) Г(1 + и)
то формулы (11.20.4) становятся вариантами формулы (11.4.4).
Выбирая F(x) — Л(ж), G(x) — М(х) в (11.20.1), получаем из
(11.20.2)
оо k+ioc
j F(x)G(x)xs~~Y dx =Г(и)Г(з — и)\(—и)р,(и — s) du.
О /с —ioo
Если это верно при к между 0 и <т, то последний интеграл, вычисляемый
с помощью вычетов в правой части, равен
—-j—Г(з + n)A(—s — n)g(n),
о п'
и мы получаем (11.19.2). Разумеется, необходимо тщательно проверить
все рассуждения.
Если мы рассматриваем ф и ф вместо А и р, то имеем
[ ФЬфх^1 dx = —ф(—з), [ Ф(ж)ж3~1 dx = ..-M—s),
J sm зтг J sm эд v
о о
oc k-Hoc
I Ф(х)Ф(х)х8~Х dx = ~: [ ......——ф(—u)^ф(u — s)du,
J 2тгг J Sin U7T Sin(s - u)7r
О /с —ioo
и когда мы вычисляем этот интеграл с помощью вычетов, то приходим
к (11.19.4). И только когда ф(и) обращается в нуль в отрицательных
целых значениях и, только тогда наша предыдущая формула (11.19.3)
верна.
11.21. Формула (11.19.2) представляет собой очень сильный ин-
струмент для вычисления определенных интегралов. Если, к примеру,
•« / j \ 2и -1 / -j \2и
Л(ц) = Г; , ' (?<*) . м(ц) = , 7 г х -
i (а И- 1 И- и) \/ Г(Ь И- 1 И- и)\2 /
то
Л(я) = 2аа-ат~а/2Л(а^), М(х) = 2Ь/Г Vb/2 Л(^).
Формула сводится после нескольких тривиальных преобразований1 к
формуле
[ J dx — 2s-1a-s-bi3b —_Г(э/2 + а/2 + fr/2)
J Ja(ax)Jb{px)x dx — 2 a r(fc + 1)r(1 _ s/2 _ a/2 _ fr/2) *
0
xF(|S+|a+26, + 5)’
которая верна, когда 0 < (3 < а и интеграл сходится2.
Формулы (F)
11.22. Последняя группа формул содержит дальнейшее подтвер-
ждение моего утверждения, приведенного в начале § 11.18. Я буду рас-
сматривать их, как и Рамануджан, просто как формулы и ничего не
скажу здесь об условиях, при которых они верны. Предположим, что
в наших предыдущих обозначениях
А(и) = аир(и), p(u) = (3uq(u).
где 0 < (3 < а и
p(u)q(-u - 1) = 1.
2Т. е. если -а - b < s < 2.
Тогда
Л(х) = F(ax), М(х) = G(J3x),
где
°° / 1\п °° /_1\П
F(x') = ^2~Гр(п')хП^ G(x) = ^^Г-Я(п)хП^
о' о'
и из (11.19.2) получаем
ОО
I Г(«х)С(^)<71 = £(-1)"^т = ^. (11.22.1)
О 0
Например, решением интегрального уравнения будет
F(z) = -—р— cos(cy/n)xn
Теперь
ОО ОО оо оо
/“*" do J F^C^ do = /с^) * do =
0 0 0 0
оо
= /(з) j x~sG(J3x) dx = ^f^gfl - s),
о
где /(s) и g(s") определены согласно (F2). Поскольку первый интеграл
здесь равен
ОО
[ da = —/Г-1,
J а + р Sin 87Г
о
мы получаем (F3).
Теперь я напомню некоторые фундаментальные формулы теории
«ядер Фурье». Если К(х) — ядро Фурье, те. если из
ОО
У А(х) К (xy)dx = В(у) (11.22.2)
о
следует
У В(т')К(ту) dx = А(у) (11.22.3)
о
для «произвольной» А(ж) и
k(s') = j K(x)xs~~1 dx,
о
тогда
/c(s)A:(l - s) = 1. (11.22.4)
Более обще, если из (11.22.2) следует
У В(х)Н(ху) dx = А(у) (11.22.5)
о
и /i(s) определено подобно k(s'), то
k(s)h(l - s) = 1. (11.22.6)
Я думаю, Рамануджан никогда не записывал именно этих уравне-
ний, но (F4) и (F5) формально почти то же самое. Так, если
К(х) = -l={F(xid) + F(-xi')}, Н(х) = ~j={G(xi) + G(-xi)},
\Г2я \Г2я
то
о
1 dx + j
о
3 — 1
1
/2тг
COS is7r/(s)
и, аналогично,
h(s) = у Icos|s7r5'(s),
поэтому (11.22.6) превращается в (F3).
Все это было, естественно, простым формализмом в руках Рама-
нуджана. Переход к правильному анализу требует идей, выходящих за
пределы его кругозора, теории Планшереля (Plancherel) и обобщений
Ватсона. Но формальный базис необходим в качестве основания для
всех этих теорий, и им Рамануджан овладел.
11.23. Я завершу лекцию некоторыми замечаниями по теме, о
которой я упомянул в §11.18, об обобщении формул (D) на теорию
«общих преобразований».
Предположим, что
= (i1-23-1)
KA 1 — Si
т. e. (11.22.4) обращается в тождество. Тогда
с+гоо
с—гоо
является ядром Фурье с преобразованием Меллина fc(s).
Если мы начнем с формулы
с+гоо
— х~и du
и)
с—гоо
k V «(п+1)
1 / 7Г
2тгг J sinwr к(1—
и продолжим рассуждения по схеме из § 11.16, то получим
ОО
О
с+гоо оо
-i- [ ----rt~U>) du [ K(xy)x-Udx =
2ттг J sinu7r«(l—u) J 7
с—гоо О
1
2ттг
с+гоо
Г 7Г Г(~Ц)
J sinu7T к(1 - и)
fc(l — и)уи 1 du =
с—гоо
1
2ттг
7Г Г( Ц) и-1
sin итг к(и)
с—гоо
поэтому
ад=£<->)"ад=Ёад"5^“ ад2з.2)
являются парой «/f-преобразований», удовлетворяющих
ОО оо
/ R(x)K(xy) dx = S(y), J S(x)K(xy)dx = R(y). (11.23.3)
о о
Условие «самодвойственности» R(x) имеет следующий вид:
г (и) = г(—и — 1).
Таким образом, если
К(х) = y/xJl/(x),
то
+ .....+ 1Z4)
7 Г(г//2 + 3/4 - s/2)
и мы можем положить
к(з) = 2s/2 *rQs+ |г/+ 1).
Тогда
R(x) = У(-1)"—-------------------2~п/2хп
1 V Г(п/2 + !//2 + 3/4)
S(x} = у^(’-1')п___-I?—________2~п/2хп
U 4" Г(п/2 + I//2 + 3/4)
являются парой преобразований Ханкеля.
Если
1 -
то
k(s) = ctg |s7T
и мы можем положить
k(s) = cosec ^S7r-
В этом случае
R(x) = ]Г(-1)"г(2п)£2п, S(x) = ]Г(-1)пг(-2п - 1)ж27!,
о о
интегралы (11.23.3) являются главными значениями. Если r(u) = 1, то
R(x) = S(x) =
1 + аг
и можно получить другие простые рациональные функции, самодвой-
ственные для К(х), выбрав в качестве r(u) подходящий полином. Здесь
я тоже должен ограничиться лишь наброском теории, добавив только,
что весь анализ § 11.22 23 также был выполнен Гудспидом.
Комментарии к лекции XI
§ 11.2. Цитата из Литтлвуда взята из его обзора Сборника трудов.
§11.3. Теорема Карлсона доказана в книге Титчмарша Theory of
functions, 185-186.
Эту теорему обобщали различными способами. Во-первых, мы можем
ослабить условие на порядок ф(и) и также можем заменить условия
Ф(0) = 0(1) = ... =0
более общими условиями типа 0(А„) = 0 (п = 0, 1, 2, ...). Наиболее общую
теорему такого рода мне сообщил Н. Левинсон (Mr. N. Levinson), она имеет
вид если (i) 0(w) — регулярная функция и 0{еА^) при некоторых А в правой
полуплоскости
оо
/ log+ I0(iw)| - tt|w|
/ -------------— aw = — оо, (п)
J 1 + w2
0(An) = 0, (iii)
где A„ - возрастающая последовательность положительных чисел такая,
что
для некоторых В и С, то ф(и) = 0.
§ 11.4. Обсуждение формулы Меллина см. в Титчмарш Fourier integrals,
7-9 и 46-48.
Доказательство (А) дается по работе Харди Acta Math. 42 (1920),
327-339. Условия на ф(и) здесь также можно ослабить, например,
ф(и) = О(еЛ!“') (для некоторого А), ф(ги>) — О(|ш|-2е7Г'ш').
Гудспид в неопубликованной работе доказал «А„» обобщение (А). Если
и = v + iw
0 < А„ < А„+1, 0 < Ап Хп Bn, д(и) = (1 -
1
и f(u) принадлежит ?Л(С, D, 5), где С < тг/В и 5 > 0 для некоторых D, то
ряд
У' f(М хп
сходится при подходящей группировке слагаемых при достаточно малых х
и представляет собой аналитическую функцию Н(х), регулярную для всех
положительных х, и
ОО
/ S-Irr, ,, f(-s)
х H(x)dx = ——-
J 9(s)
о
при 0 < s < <5. Если также A„+i — А„ h > 0, то ряд сходится в обычном
смысле.
§11.6. Связь (В) с интерполяционной формулой Ньютона указана На-
раяном Айяром (2).
Теорию формулы Ньютона см. в книге Norlund, Vorlesungen uber
Differenzenrechnung, 222, et. scr. В книге Уиттекера и Робинсона Calculus of
observations приводится много полезной информации, но без использования
теории функций.
Доказательство возможности почленного интегрирования см. в Харди
Trans. Camb. Phil. Soc. 21 (1912), 1-48, (5-6) и в Messenger of Math. 39 (1910),
136-139. Аналогичная теорема, связанная с выводом (А), приведена в конце
параграфа.
§ 11.7. Анализ Рамануджана может быть продолжен, например, на слу-
чаи, в которых
х(г) = 52crzp’',
где рг —» оо, рг не обязательно целые числа и конечное количество этих
чисел могут быть отрицательными. Это обобщение содержит случай А (к) =
= еаи при всех вещественных а. Случай, фактически рассматривавшийся в
его анализе, формулируется следующим образом:
ЛМ = _1__ (0<а<1).
§ 11.8. Существует прямое доказательство формулы (iii) с помощью те-
оремы Коши в Харди (5).
Обсуждение формулы (iv) в М. Рис Acta Math. 40 (1916), 185-190, и в
Харди и Литтлвуд ibid 41 (1917), 119-196 (156-162).
§ 11.9. Теорию рядов Лагранжа и Бурмана см., например, в Уиттекер и
Ватсон Modern analysis, ed. 4 (1927), 128-133.
Наиболее полные результаты о разложении в ряды триномиальных
уравнений см. в Биркеланд (Birkeland), Math. Zeitschrift, 26 (1927), 566-578.
Биркеланд приводит полные ссылки на исходные работы Меллина и других
исследователей.
§ 11.10- 13. Суть доказательства взята из Харди (3), но рассуждения Ра-
мануджана из §11.11 ранее не публиковались.
Формула обращения Лапласа, использованная в §11.10, является еще
одним формальным вариантом формулы Фурье, см. Титчмарш Fourier
integrals, 6-7 и 48-49.
Прямое доказательство формулы Планы с помощью теоремы Коши см.
в Линделёф Le Calcul des residus, 55-62.
§ 11.15- 18. См. Харди (11) и Гудспид (1). Предпоследний пример § 11.17
взят из Харди и Титчмарш Quarterly Journal of Math. (Оксфорд), 1 (1930),
196-231, (210), и (11.18.4) см. на стр. 198 той же работы.
§11.19-2 0. Любопытно, что Рамануджан, похоже, никогда не получал
(11.19.2) или даже (11.19.1) в общем виде. В записных книжках и отчетах
одна из функций всегда четна.
Обсуждение формулы Парсеваля для преобразования Меллина см. в
книге Титчмарш Fourier integrals, 94-95. Здесь з = <т + it, 0 < k < <т и хк F
и xa~kG принадлежат Т2(0, оо). Интегралы (11.20.1) являются «среднеквад-
ратичными» интегралами, и (11.20.2) верна в обычном смысле для всех з с
вещественной частью, равной <т.
Гудспид, используя метод, подобный методу из §11-4, доказал, что
(11.19.4) верна, когда
(1) ф(и) целая функция и принадлежит 3?(А, В, rf), где А < тг, для
некоторых В и любого положительного ту
(2) т/>(и) принадлежит 01{С, D, <5), где С < тг, для некоторых D, и 5 не
меньше 1;
(3) 0 < в < 2;
(4) ф(-и - з)т/)(н) = o(e'E|w|),
где В < 2тг равномерно по ш, когда v —> оо.
Следует отметить, что ф(и) встречается в теореме с аргументами п,
—п — s и — п — 1, а ^(к) — с аргументами п и n+1 — s. Следовательно, условия,
что ф(и) — целая и ф(и) — регулярная при д > —1, являются естественными.
§ 11.21. См. замечания в конце § 11.5. В этом случае все А(к) и ц(и) при-
ближенно ведут себя как ег7Г'ш', и все ф(и) и ф(и) — приближенно как e"iul в
направлении мнимой оси. И последний интеграл не обязательно является аб-
солютно сходящимся. Не сложно проверить справедливость преобразований
в том или ином конкретном случае.
Интеграл впервые был вычислен Вебером и Шафхайтлином (Weber and
Schafheitlin): см. Ватсон Bessel functions, 398-410.
§ 11.22 Теорию «ядер Фурье» и «общих преобразований» см. в Харди и
Титчмарш Proc. London Math. Soc. (2), 35 (1933), 116-155, Ватсон ibid 156-199
или Титчмарш Fourier integrals, гл. VIII.
Эта тема привлекла довольно много внимания со времен опубликования
работы Ватсона. Полный список ссылок, вплоть до 1937 года, см. в книге
Титчмарш а.
§11.23. Гудспид доказал, что если к(и) вещественна на вещественной
оси и двойственна функции, регулярной при v —S, где 5 — положительное
число, г(и) — целая функция и
г(и) г(— 1 — и)
к(1 + и) ’ к(1 + и)
принадлежат классам 0?(А, В, 5) и Sl(C, D, 8) с А < тг и С < тг, то k(s)
определяет преобразование Ватсона, в котором R(x) и S(x) двойственны.
Лекция XII
Эллиптические и модулярные функции
12.1. Я собираюсь закончить книгу рассказом о работах Рама-
нуджана по теории эллиптических и модулярных функций, и это для
меня самая сложная задача. В этой области и глубина, и ограничен-
ность знаний Рамануджана проявились наиболее ярко, и очень сложно
определить, что он открыл самостоятельно, а что почерпнул из других
источников. Кроме того, я не являюсь специалистом в этой теории.
Рамануджан никогда не утверждал, что он сделал какое-либо боль-
шое открытие в общей теории эллиптических функций и, похоже, что
он где-то изучил основы теории из книг настолько, насколько он был
заинтересован в них. В этом заключается яркое различие между его
отношением к этой теории и его отношением к теории простых чисел,
где он с определенностью утверждал, что все его результаты получе-
ны им самим. Он никогда не писал, что он изобрел тета-функции или
модулярные уравнения, хотя он полностью излагает эту теорию в сво-
их собственных обозначениях. В библиотеке Мадрасского университе-
та имелись книги Кэйли и Гринхилла, и он мог многое узнать из них.
Действительно, Литтлвуд говорит, что «Рамануджан каким-то образом
приобрел, в сущности, полные знания о формальной стороне теории эл-
липтических функций» и его незнание теории функций комплексного
переменного и теоремы Коши кажется странным в сочетании с этим,
а затем добавляет, что «достаточным и, по-моему мнению, необходи-
мым объяснением будет то, что его учебником была очень странная
и специфическая книга Гринхилла Эллиптические функции». В книге
Гринхилла комплексные переменные и двоякопериодичность не упо-
минаются до 254 страницы, и двоякопериодичность каким-то образом
выводится из свойств декартовых овалов. Фактически, Гринхилл знал
лишь немногим больше «теории функций», чем Рамануджан.
Как я уже говорил, я не являюсь экспертом в этом вопросе и буду
очень сильно опираться в последующем на работы профессора Ватсона.
Во-первых, на его лекцию в Лондонском математическом обществе, ко-
торая содержит краткое изложение соответствующих глав из записных
книжек Рамануджана. Во-вторых, он передал мне рукопись, содержа-
щую доказательства почти всех формул Рамануджана, без которой моя
работа очень много бы потеряла.
12.2. Соответствующие главы имеют номера XVI-XXI, они, по
мнению Ватсона, «показывают Рамануджана с его наилучшей сторо-
ны». XVI главу он начинает с функции
П(а, Ь) = (1 + а)(1 + а6)(1 + аб* 2). ..,
и вся его последующая работа основана на этой функции. Он получает
целый ряд теорем, которые, в основном, можно найти у Эйлера, Гаус-
са, Хайне или в других книгах, хотя среди них есть такие, которые,
похоже, являются новыми1. Я не буду ссылаться на эти формулы, за
исключением тех случаев, когда это необходимо для моих текущей це-
ли, которая заключается в поиске в записных книжках доказательства
модулярных уравнений третьей степени.
Рамануджан также записал формулу
/(а, Ь) = 1 + (а + b) + ab(a2 + Ъ2) + а363(а3 + 63) + ...
(показатели степени при аЬ являются треугольными числами). Таким
образом, в классических обозначениях2
/(a, b) = i?3(v, т),
где
или еще раз
где
г = ~г~^ l°g г, т = —Ц log аб,
4тгг Ь 2тгг 6
/(а, Ь) = p(z, д'),
p{z,q) = ^qn2 zn, z = e2™ = q = е”г = (аб)1/2.
'Особенно 16.17 (в нумерации записных книжек), на которую я снова сошлюсь
в § 12.12.
2Т. е. использованных в книге Таннери и Молка.
Рамануджан приводит фундаментальную формулу Якоби для разло-
жения функции в следующем виде:
/(а, Ь) = Ща, а6)П(6, а6)Щ—аЬ, аЬ).
Наконец, он записывает1
Ф<Л) = КЪ <?) = 1 + 2q + 2q4 + . . .,
^(9) = /(9, 93) = i + q + 93 + q6 + • •,
/(-<?) = /(-9, ~92) = 1 - q - q2 + q5 + • •,
X(q) = n(q, q2) = (l+q)(l+q3)(l + q5)...
Таким образом,
<№) = ^з(0, т).
Далее, если, в соответствии с Таннери и Молком, мы определим qo, qi,
qz и 93 следующим образом:
<?о=П(1-92")’ <?1=П(1+<?2П)’ «3= ПО-д2-1),
111 1
тогда
х(<?) = 92,
/(-q)-(l-q)(l-q2)(l-q3)... =qo93,
= (1 - 92)(1 - 94)(1 - 96) • = 90
Пд) (1 — g)(l — 93)(1 — q5). .. 9з’
Последняя пара формул представляет собой знаменитые тождества Эй-
лера и Гаусса. Также имеем
^(92) = |9~1/2^(0, т)
(эта формула нам понадобится в дальнейшем).
12.3. В этих обозначениях многие формулы возникают в стран-
ном измененном виде. Так, «теорема об обращении» (существует т,
’Я заменил его х произвольным q.
соответствующее заданному к2) имеет следующий вид. Запишем с вме-
сто к2, определим К и К' как определенные интегралы или гипергео-
метрические ряды и положим
g-тгК'/К = щс),
тогда уравнение
имеет решение
Далее, теорема
<? = П(с)
ФЧо) ’
2 2
sn и + сп и — 1
принимает следующий вид: если q = е у и
sin sin ^0 cos cos
« =---------=- + —=-+, С(0,у) = —^ + —
shiy sh|y chiy сЦу
тогда
32 + С2 = \к2фЧу).
Фактически,
S(0,y) = ^sn^, С(0,у) = ^сп^
К = yi(Q, т) = |Ж(у).
Доказательства этих формул прямым возведением в квадрат рядов
находятся в книгах Якоби Fundamenta nova и Эннепера Elliptische
Funktionen.
Модулярное уравнение третьей степени
12.4. Модулярное уравнение степени п — это соотношение между
модулями к и I, которое соответствует замене q на у1/”,1 т. е.
(12.4.1)
где К, К', L, L' — полные эллиптические интегралы с модулями к и I.
’ Или на qn, когда L'/L = пК'/К. См. § 12.7.
Рамануджан вывел свои модулярные уравнения из соотношений
между своими функциями /, ф, ф, т. е. из соотношений между ^-функ-
циями.
ФЧч) - <А<?5) = ±qf(q, q9)f(q\ q7),1
v>2(q) - qiptq5) = f(q, q4)f(q2, q3)2
Первая из них в традиционных обозначениях имеет вид
т?з(0, т) — I?2(0, 5т) = 4е7ггт'$з(—2т, 5т)$з( —т, 5т).
Тождества доказаны «элементарными» методами, а весь процесс явля-
ется «алгебраическим».
Я ограничусь обсуждением уравнения третьего порядка и начну с
объяснения двух стандартных методов доказательства. Первый осно-
ван на прямом преобразовании интегралов и представляет версию Яко-
би исходного доказательства Лежандра. Второй метод получен намного
позже Шрётером (Schroter) и во многом похож на метод Рамануджана.
12.5. Доказательство Якоби изложено во многих учебниках. Мы
пытаемся найти решение уравнения
m dy
Vy
dx
y/x’
(12.5.1)
где
X = (1 — x2)(l — fc2:r2), Y = (l-j/2)(l-ZV), 0 < к < 1, 0 < Z < 1,
выбирая
У=%, (12-5.2)
где U и V - взаимно простые полиномы переменной х, чья степень не
превосходит 3, у обращается в нуль одновременно с х и положительно
при положительных х. Очевидно (поскольку у — нечетная функция
переменной ж), что
U = До- + Дг2), Р = 7 + <5т2,
где а, /3, у, 6 -- константы.
119.10(iv).
219.10(v).
Далее,
(1-у2)(1-/У)
(1 — ж2)(1 — А:2ж2)
О
для малых ж, поэтому т — положительное число, и у = 1, когда х =
= 1, поскольку иначе у будет иметь точку ветвления при х = 1. Затем,
(12.5.1) и также (12.5.2) не изменятся, когда мы заменим х и у на 1/кх
и 1/1у, поэтому значения
соответствуют
Поскольку
dy U'V - UV ,
—_ =-------------------dx
Vy Дс2 - n2)(v2 - /2п2) ’
то имеем
(у2 _ £/2)(у2 - ри2) = Т2(1 - гс2)(1 - к?х2),
где Т - уравнение четвертой степени, поэтому
dy = U'V - UV
y/Y Т^Х
dx,
U'V -UV = 1^.
Далее, поскольку никакие два из V_LU, VYIU не могут иметь об-
щего множителя, имеем
V+ U = (1+х)А2, V + IU = (1+кх)С2,
V - U = (1 - х)В2, V -IU = (l-kx)D2,
где А, В, С, D — линейные. Следовательно (поскольку у - нечетная
функция),
1 — у _ 1 — ж /1 — сж \ 2
1 + у 1 + х \ 1 + сх /
или
У =
х(2с + 1 + с2ж2)
1 + с(с + 2)ж2
при некоторых с. Уравнение должно оставаться тем же при замене х и
у на 1/кх и 1/1и, после чего оно принимает вид
кх с(с + 2) +/с2ж2
I с2 + (2с+1)к2х‘2’
и поэтому
/;2 с3(с + 2) 2... /С+2 А3
2с + 1 ’ \2с+1)
Исключая с, получим соотношение между к и I. Фактически,
(12.5.3)
к'2 = 1 - к2
(1 + с)3(1 - с)
2с + 1
/'2 = 1-/2 = (1 + с)(Х-£)3 (12.5.4)
и поэтому
y/kl + Vk'l' =
с(с + 2) (1+с)(1-с)
2с + 1 + 2с + 1
(12.5.5)
когда выбраны подходящие значения корней. Это соотношение в виде
Лежандра. Легко вывести соотношение в виде Якоби
и4 - V4 + 2ш>(1 - u2v2) = 0, (12.5.6)
где к = и4 и I = v4.
Сравнивая значения хну при малых х, получаем
1
m = -тг-----------7.
2с + 1
(12.5.7)
12.6. Уравнения (12.5.3), (12.5.5) и (12.5.6) - фактически различ-
ные виды модулярного уравнения третьей степени, но, чтобы увидеть
это, нам нужно показать, что они соответствуют (12.4.1) при п = 3, а
также 12.5.1.
Легко увидеть1, что если 0 < к2 < 1, то уравнение
к2 = с
з с + 2
2с + 1
(12.6.1)
'С помощью «графических» соображений и уравнения
/+ / 2с + 1 \ 2
с + 2
по с имеет в точности два вещественных корня: один — между 0 и 1,
а другой — между —2 и —1, и что в этих корнях I2 > к2 и I2 < к2
соответственно. Если в уравнениях (12.5.4) мы положим
1 - с__ 1-?
2с + 1 ~ 71 27 + 1
(12.6.2)
ТО
/7 + 2? 7/2
= Ч2ТТ1) ’ 1
у3
7 + 2
27 + 1’
(12.6.3)
Из анализа, приведенного в § 12.5, следует, что
dx
dy
т! ^/(1 — ж2)(1 — //2ж2) ^/(1 — у2)(1 — к'2у2)
при
т' = о—"—Г-
27+1
Следовательно, интегрируя от 0 до 1,
Д = К',
т
в то время как из (12.5.1) получаем
mL = К.
Таким образом,
L' ,К'
— = тт
Lj 1Y
и необходимо только показать, что
, 1
тт =
О
Но
и
тт' = ------Д------
(2с + 1)(27+ 1)
27 + 1 = 2?ТТ’
по формуле (12.6.2).
v2 =
1
12.7. Уравнение (12.5.5) симметрично по к и I и соответствует
U
L
(т. е. замене q на qra), а также (12.4.1). Мы можем непосредственно уста-
новить это. Если мы положим
с' + 2 , с + 2
е =-------1- е —--------1--
2^+Г 2с+1
в (12.5.3), то получим
1-2 _ у / с'-р2 \3 /2 _ с'3(с' + 2)
\2с' + 1) ’ 2с'+ 1 ’
т. е. (12.5.3) с с' вместо с и переставленными к и I. Также с' лежит
между —2 и —1, когда с лежит между 0 и 1, и наоборот, поэтому с'
является вторым корнем уравнения (12.6.1). Если 7' связано с с' так
же, как 7 с с, то
(1 + 2с)(1 + 2с') = -3, (1 + 27)(1 + 27') = -3,
и поэтому
(1 + 2с')(1 + 27') =3
и
L' _
L К'
12.8. Второй метод доказательства основан на прямых действиях
с тета-рядами. Уравнение (12.5.5) эквивалентно уравнению
1?з(0. 7-)т?з(0, Зт) = 7?4(0, т)т?4(О, Зт) = Т?2(О, т)?92(0, Зт) (12.8.1)
или уравнению
^m2+2n2 _ ^(/i+l/2)2 + 3(t'+l/2)2
где ^2 означает суммирование по всем целым числам и — по всем
целым числам противоположной четности. Если мы теперь положим
12.8.2)
т + п = и, т — п = v
так, что
2 . о 2 (u + v\2 , Q/U-V\2 2 , 2 ( 1 Л2 . о/1 V
т + in =(—-—I -|-3(—2—) = и —uv + v = [и—-vj ,
тогда левая часть (12.8.2) принимает вид
2 g(u~v/2~)2+3(v/2)2 _
и, v нечетны
Далее, если мы положим
1 11 1
u~2V = Zi+2’ 2V = !7+2
так, что
г/=/г +//+ 1, v = 2// + 1,
и пусть //и // пробегают по всем числам противоположной четности,
тогда и и v пробегают по всем нечетным числам, и поэтому
= у2'7б‘ + 1/2)2 + 3(^+1/2)2_
и, v нечетны
где штрих имеет тот же смысл, что и раньше. Наконец, если
// = —р — 1, п' = р,
то
/ 1 \ 2 / i \ 2 / i \ 2 / i \ 2
V 7 2/ + 2/ = v 2/ 3 у + 2/ ’
и / и z/'пробегают по всем числам одинаковой четности. Следователь-
но,
\ +1/2)" +3(^+1/2)2 _ 2 \ ^(11+1/2)2 +3(^+1/2)2 _ 2 \ g/п2 + 3п2
что совпадает с (12.8.2).
12.9. Это доказательство во многом подобно доказательству, по-
лученному Шрётером для уравнения этой и некоторых более высоких
степеней. Шрётер получил общее тождество
а+/3-1
т9з(ж, ar)i93(y, /Зт) = qar е2гпгх,д3{х + у + rar, (а + /3)т}х
7—1
х i93{/Зх — ау + ra/Зт, а/3(а + /3)т}, (12.9.1)
где а и /? — произвольные положительные целые числа. В книге Танне-
ри и Молка приведено сравнительно простое доказательство этой фор-
мулы, где оно применено к случаям п = 3 и п = 5. Шрётер также
рассмотрел случаи 11, 23 и 31. Так, уравнение степени 23 представлено
им в виде
(fc/)1/4 + (к'1'У/4 + Z^tklk'l')^1 2 = 1,
который также встречается в записных книжках1. Похоже, что Рама-
нуджан знал формулу (12.9.1). У него была формула2 для
/(а, Ь)/(с, d),
т. е. для i93(v, т)19з(г/, т') в виде суммы бесконечного ряда, которая бы-
ла также получена Шрётером, и в некоторых случаях этот ряд стано-
вится конечным. «Эти компактные формулы», говорит Ватсон, «не бы-
ли приведены в записных книжках, но ввиду многочисленных частных
случаев, приводимых им, он должен был знать об их существовании».
Рамануджан приводит известные формы для случаев
3, 5, 7, 11, 23
(с многими вариантами в более простых случаях) и новые формы для
случаев
13, 17, 19, 31, 47, 71.
Так, уравнение степени 13 приводится в виде3
m \к) +\к') \кк’) 4\кк’) ’
14 /А-ч1/2 АД-Л1/2 АД-Д-Л1/2 АА-Д-Л1/3
ХО __ ! гъ i I гъ \ I гъгъ \ д I гъгъ \
™~\i) +\Т) ~\W) ~ \Ти)
120.15(1).
216.36(i), (ii).
320.8(iii), (iv).
и уравнение степени 17 — в виде1 2
Ватсон теперь получил доказательства всех этих формул. Он отмечает,
что «хотя модулярные уравнения степеней 13, 17 и 19 были получены
другими авторами, они обычно приводились в более сложном виде, и,
действительно, при изучении модулярных уравнений Рамануджана в
общем виде мне всегда казалось, что знание о работах других людей
отрицательно сказывается, поскольку обычно сбивает с кратчайшего
пути».
Существует также много «смешанных» модулярных уравнений,
или уравнений составной степени. Например, если модули к, к, I, Л
Q “. I Г. О
соответствуют 7, q , qи q соответственно, то
(fcA)1/4 - (fc'A')1/4 = («/)1/4 - (к'/')1/4
и3
(fcA)1/8{(l + fc)1/4(l + А)1/4 - (1 - fe)V4(l - A)V4}+
+ (fc'A')1/8{(l + fc')1/4(l + A')1/4 - (1 - fc')1/4(l - A')1/4} = \/2.
Я больше не буду рассказывать о результатах такого рода. Я пред-
почитаю расшифровать из записных книжек собственное доказатель-
ство Рамануджана для уравнения третьей степени, которое возникает
здесь как кульминация очень сложной цепочки рассуждений. Разуме-
ется весьма вероятно, что он знал более короткое доказательство, по-
добное доказательству из § 12.8.
12.10. Рамануджан в действительности вывел (12.8.1) и (12.5.5)
из двух тождеств4, содержащих ряды типа «Ламберта», а именно
- -^2 + • • • ’ (12-10-1)
1 - q 1 - q 1 - q 4 1 - q^
2 4 5
№)<№3) = 1 +2^ ~ +...), (12.10.2)
\ 1 — <7 1 + q 1 + q 1 - q '
120.12(iii), (iv).
220.11(iii).
320.11(iv).
419.3(i), (ii)
знаки в каждом из рядов повторяются по модулю 6. Из этого следует
М-'('7* 2)^(76) = Ф(Ч')Ф(Ч3') ~ <£(—7)<Х~73)!1 (12.10.3)
и поскольку
ф(д) = i93(0, г), <^>(—q) = т94(0, тг),
Д?2) = 1/4^2(0, г),
формула (12.10.3) эквивалентна (12.8.1). Осталось проследить проис-
хождение формул (12.10.1)) и (12.10.2), я смог это сделать только с
помощью решений Ватсона.
Я называю соотношение между /, ф, ф «тривиальным», если оно
является прямым следствием их выражений в виде произведений. Та-
ким образом, соотношение
f(q, -д2) = Ф(д)
f(-q, q2) <Х73)
является «тривиальным». Если мы запишем
(12.10.4)
тогда оно принимает вид
(1)(4)(7)(10)... (2)(5)(8)(ТТ),,, _ (2)(4)(6)... (WjW ...
(1)(4)(7)(10)... (2)(5)(8)(11)... (6)(12)(18).. .(3)2(9)2(15)2 ... ’
Эту формулу можно проверить, заметив, что
(2п)
(12.10.5)
и сравнив множители.
Аналогично, соотношение
2 '—У <№6М(712) = 7^(72М(76)
/(—7 , “7 )
является «тривиальным».
12.11. Доказательства формул (12.10.1) и (12.10.2) могут быть
прослежены к более ранним формулам, а именно
/(°> Ь) 2< „г,\ -| । п ( а + , а2 + Ь2
f(-a, -b/ = 1 + ЛТ^Ь + ГДЧ5
2 (12.11.1)
^Дтой формулы нет в явном виде в записных книжках.
216.33(следствие).
и
/2(а, b) - f2(-a, -b) = а3Ь^ф(а2Ъ2)х (12.11.2)
Временно предположим правильность этих формул. Ряд в скобках
в (12.11.1) равен
Д" + Ьп = ( —l)m(a!'m+l/n/;,rtn । (fnn^m+^ny _
n—1 п=1 т~ О
= 1W am+ibm , ambm+i \
' \1 -am+1bm + 1 -атЬт+1)'
7П=0
Следовательно, (12.11.1) эквивалентно
f(a, Ь} „ / nm+1hm mLm+1 \
<-“ь)=1+2 +е^т)-
(12.11.3)
Если мы положим а = q, b = ~q2 и воспользуемся (12.10.4), тогда из
(12.11.3) следует (12.10.2).
Также из (12.11.3) следует
( ~ъ) _ ЪЪл( м = 4 V ( am+1&m__________________ambm+1 \
t/(-a,b) f(a,-b)r{a> ^Vl - a2m+2b2m 1 - a2mb2m+2 /
Если мы преобразуем левую часть с помощью (12.11.2) и «тривиально-
го» тождества
/(а, -Ь)/(-а, Ь) = /(-а2, -b2^(ab),
то получим
/2 а, -Ь) - /2 -а, Ь ,2, 4а/ -Ь/а, -а3Ь) 2/ 2к2ч
—77—....у; ...—7Т—Ф (аЬ) = 77---7777---(аЬ)-ф(а^) =
f(a, -b)f(-a, Ь) /(а, -Ь)/(-а, Ь)
4а/(-Ь/а, -а3Ь) 2 2
= !(-«>,-ь^ ф(аЬМ“ ” >'
46.30(iv).
Следовательно,
af(-b/g, —a3b) 2,2ч _ V' ( am + lbm ambm+i \
f(~a2,-b2) _ a2m+2b2m i '
Наконец, если мы заменим а и Ь на q и q5 и воспользуемся (12.10.5), то
получим
, 6т+1 6т+5 ,
Q^(Q ) — 2^ L _ 12т+2 ~ 1 _ 12т + 10 J ’
т=0 1 'J 1 7
что совпадает с (12.10.1).
Таким образом, все сводится к доказательству (12.11.1) и (12.11.2).
12.12. Первая из этих формул эквивалентна равенству
(12.12.1)
4 1 + 72” 4тг $2(0, т)$з(и + 1/2, т)
Таннери и Молк доказывают формулы такого типа с помощью теоремы
Коши. Мы можем вывести (12.11.1) из (12.12.1), положив
q = e7rlT = (ab)1/2, 2 = е2™ = (^1/2,
а затем выполнив «тривиальное» преобразование. Доказательство Ра-
мануджана имеет совершенно другую природу. Он выводит (12.12.1) из
замечательной формулы1 с многими параметрами, а именно
П(ж?/, х2)П(х/у, х2)П(—х2, ж2)П(—а/Зх2, х2)
Щаху, х2уП(/Зх/у, ж2)П( — ах2, ж2)П( —/Зх2, х2)
_ , . ( 1 — 0 . X 1 ~ \ .
Г^-Дг2 П-ах2/
г (1-о)(х2-о) /жч2 (1-Д(х2
(1 — Дг2)(1 —/?х4) \У) (1-аж2)(1
х /1 _ __ Z~v\/0^4 _ хчД X
3 1 / X / X /
(1 - Де2)(1 - Дг4)(1 - Де6)
+ ... (12.12.2)
Ч6.17.
Эта формула, похоже, является новой. Она, однако, выводится из из-
вестной формулы, которая, возможно, восходит к Эйлеру, а именно
П(Ь, х) а + Ь (а + Ь)(а'+ Ъх) j
П(—а, х) ~ + 1 - х + (1 - ж)(1 _ ж* 2)
При приложении формулы (12.12.2) для доказательства (12.11.1)
ху = а, = Ь, а =/3 =—1.
12.13. Наконец, (12.11.2) эквивалентна формуле
$2(v, т) — ^4(v, т) = 2^г(0, 2т)19г(2г;, 2т),
которая выводится Таннери и Молком из теории квадратичных преоб-
разований Ландена. Рамануджан выводит ее из
/(а, Ь)/(с, с/) - /(-а, —Ь)/(—с, -d) =2а/(|, £abcdjf(±, jabcd),2
где ab = cd. Прямое доказательство этой формулы является достаточно
простым, если мы запишем левую часть в виде
2 ^2 ат(т+1)/2^т(7п-1)/2сп(п+1)/2^п(п-1)/2
тфп четно
И ПОЛОЖИМ
т + п = 2М, т — п = 27V,
когда суммирование происходит по всем целым числам М, N.
12.14. Очевидно, что доказательство § 12.10 -12.13, рассматрива-
емое просто как доказательство уравнения Лежандра, является очень
длинным и сложным и не выдерживает сравнения с экономичными до-
казательствами §12.5 12.8. Сравнение, однако, является совершенно
не справедливым. Доказательство § 12.8 является, к примеру, специали-
зированным доказательством, упрощенным для конкретной формулы,
и кажется почти очевидным, что у Рамануджана имелись упрощенные
Иб.З. Простое доказательство этой формулы см. в Сборнике трудов, номер 11,
57-58.
216.29(ii).
доказательства подобного рода. Он, разумеется, иногда использовал
подобные методы (как показано в доказательстве, процитированном
в § 12.13), и доказательство из § 12.8 является таким, вне зависимости
от того, знал ли он его или нет, какое он, разумеется, мог составить.
Доказательство, которое я собрал вместе в § 12.10-12.13, является до-
казательством совершенно иного рода, оно содержит большие части
теории эллиптических функций, и модулярные уравнения возникают
только как одна из кульминаций в реконструкции теории Рамануджа-
ном.
Сингулярные модули
12.15. Я не стану столь подробно рассказывать о работе Рама-
нуджана в тесно связанной теории «сингулярных модулей». Большая
часть этой работы уже опубликована1, и Ватсон в своей серии работ
по сингулярным модулям доказал все результаты Рамануджана и при-
ложил большие усилия, чтобы прояснить возможный метод их получе-
ния. Я начну с очень краткого обзора основ традиционной теории.
Известно, что
р(дш, w1; w2) = -R(p), (12.15.1)
где
Р = р(и) = p(u, Wl, w2),
и R — рациональная функция, когда ц -- целое число. Может ли это
быть верным при других /х? Если это так, то 2/zwi, 2/zw2 являются
периодами р(и) и
fMjj\ = ашх + /3w2, = 7wi + ^’2,
где а, /3, 7, 8 — целые числа, удовлетворяющие условиям
/3^0, 7/0, аб-ру/в. (12.15.2)
Мы можем предположить
(3>0 (12.15.3)
(поскольку иначе мы можем поменять знак а, /3, -у, 6 и ц). Обратно,
когда выполнены эти условия, р(ци) является эллиптической функцией
1 Сборник трудов, номер 6, 23-39.
с периодами ад, и поэтому, рациональной функцией р и р'. Наконец,
поскольку она нечетная, она является рациональной функцией одного
переменного р.
Ситуация не изменится, если заменить ац и ад на Лац и Лад, по-
этому имеет значение только отношение
т = ац/ад.
В этой ситуации мы скажем, что «существует комплексное умножение
на р, для т». Для этого необходимо и достаточно, чтобы
ц = а + /3т, рт = 7 + 6т, (12.15.4)
поэтому
с целыми а, (3, у, 6, удовлетворяющими (12.15.2) и (12.15.3). Таким об-
разом, т является корнем с положительной мнимой частью уравнения
(Зт2 + (а — 6)т — 7 = 0. (12.15.6)
Легко проверить, что любое число А + Вр, где А и В — целые
числа, является множителем для т, если р, равно одному.
12.16. Запишем
Р = (~7, а - Ф /3) > 0 (12.16.1)
И —7 = ар, а — 6 = Ър, (3 = ср. (12.16.2)
Тогда а + Ьт + ст2 = 0, (12.16.3)
где а > 0, с > 0, Ь2 — 4ас = — п < 0, (12.16.4)
И Ь - гл/п Т~ 2с ’ (12.16.5)
Далее, мы запишем
а + 6 = р\.
(12.16.6)
Тогда
pi + bp = 2a = 0 (mod 2),
a=|(pi + M> = CP- 7 = ~aP, <5=|(Р1~М, (12.16.7)
и
p = a + /3т = |(pi + ipy/n). (12.16.8)
Обратно, если существуют целые числа а, Ь, с, удовлетворяющие
(12.16.4), и р, pi, удовлетворяющие
р > О, pi+bp = 0 (mod 2), (12.16.9)
а, 6 тогда определяются по формулам (12.16.7), г — по формуле
(12.16.5) и р = а+/3т, тогда существует комплексное умножение т нар.
Далее, если
е = О (Ь четно), е = 1 (Ь нечетно), (12.16.10)
М = i(-e + ?\/n), (12.16.11)
тогда М тоже является множителем для т. Для него легко проверить,
что
р=а-±(Ь-е)р + рМ, (12.16.12)
М = ^(Ь — е) + ст, Мт = —а — ^(Ь + е)т. (12.16.13)
Поскольку последние уравнения имеют вид (12.15.4), М является мно-
жителем (когда р равно одному).
С другой стороны, если М является множителем для т, из
(12.16.12) и из последнего замечания §12.15 следует, что р является
множителем.
12.17. Если т удовлетворяет (12.15.5), А, В, С, D - целые числа,
удовлетворяющие AD — ВС = 1, и
поэтому•
J(r') = J(r), (12.17.2)
тогда т' удовлетворяет уравнению
а' + Ь'т' + с'г'2 = 0 (12.17.3)
с тем же детерминантом, что и (12.16.3), поэтому Ь' имеет ту же чет-
ность, что и Ь, и е' и М', соответствующие г', совпадают с е и М. Сле-
довательно, существует умножение для т' на М, и поэтому на любое ц,
которое является множителем для т. Значения т, для которых суще-
ствует умножение, и соответствующие множители.однозначно опреде-
ляются значениями J(r).
12.18. Если заданы т и любое положительное число т, то значе-
ния
j А7 + \
\а + (Зт)
для различных а, /3, у, S, удовлетворяющих уравнению
aS — = пг,
являются корнями уравнения F(x, J) = 0, где
J = J(r)
степени т. Если т удовлетворяет (12.15.5), тогда
F(J, J) = 0. (12.18.1)
Следовательно, каждая J(r), соответствующая т, для которого суще-
ствует комплексное умножение, удовлетворяет алгебраическому урав-
нению. Мы назовем эти J(r) сингулярными инвариантами и соответ-
ствующие /с2 (г) - сингулярными модулями, сингулярные модули так-
же удовлетворяют алгебраическим уравнениям. Все эти уравнения раз-
решимы в радикалах (хотя это утверждение основано на соображениях
из теории групп, которой Рамануджан совсем не знал).
12.19. Все это связано с теорией алгебраических форм. Предпо-
ложим, что
/ = ах2 + Ъху + су2,
где
(a, b, с) = 1
эквивалентна
f' = а'х'2 + Уху’ + У у'2
при
х' = ах + /Зу, у' = ух + бу, аб — (Зу = 1,
поэтому
а = а'а2 + Уау + У у2, Ь = 2а'а[3 + Ь'{/Зу + аб) + 2с'у5,
с = а'(З2 + У (35 + У 52, (а',У,У) = 1, (12.19.1)
У2 — 4ас = У2 — 4а'У = — п.
Тогда Ъ и У имеют одинаковую четность, и если тит' являются кор-
нями уравнений
а + Ът + ст2 =0, а' + Ь'т' + с'т'2 — 0, (12.19.2)
то М из § 12.16 имеет одинаковые значения для т и т'. Таким образом,
существует комплексное умножение на М для обоих т и т'. Также т
и т' удовлетворяют
т' = -l+jl (а5 - (Зу = 1) (12.19.3)
а + рт
и поэтому
J(t') = J(t). (12.19.4)
Обратно, предположим, что (12.19.4) является истинной, что су-
ществует комплексное умножение для т и т' и что тит' удовлетворя-
ют уравнениям (12.19.2) при (а, Ь, с) = 1 и (а', У, У) = 1. Поскольку
(12.19.4) является истинной, то существуют целые числа а, /3, у, 5, удо-
влетворяющие (12.19.3). Следовательно, уравнение
а'(а + /Зт)2 + У (а + /Зт)(у + 5т) + У (у + 5т)2 = 0
имеет те же корни, что и
а + Ьт + ст2 = 0.
Отсюда легко следует, что а, Ь, с удовлетворяют (12.19.1) и что формы
f и /' эквивалентны.
Таким образом, (12.19.4) является необходимым и достаточным
условием эквивалентности, и степень (12.18.1) равна числу клас-
са h(—n) для детерминанта —п.
Похоже, что Рамануджан ничего не знал об арифметической сто-
роне теории.
12.20. Наиболее ясно теория формулируется в терминах J(r).
Другие модулярные функции более удобны для вычислений, посколь-
ку уравнения, которым удовлетворяет J(r), обычно имеют большие
коэффициенты.
Обычно записывают
ос 1/12
/м = «-1/24П(1+«2"-1) = (^) .
/1Ю = 9-,/24П(1-’2,'ТД4Я1/12.
1
/2(Т) = 21/2д1/12 Д(1 + = Mg!) 1/12.
1 7
Тогда
f = + ffih = V2.
Если
n = 4ac — b2 — 8m + 3^0 (mod 3),
то простейший инвариант имеет вид
f{'/-n} = fn = f,
а если
n = 8m —1^0 (mod 3),
то он имеет вид
2-1/2/{У=^} = Fn = F.
Рамануджан, однако, использовал инварианты
Gn = = 2-1/4/„ (n нечетные),
9n = 2-1/4/i{\/zm} (n четные).
Уравнения, связывающие f, fi и /2 с J(r), имеют вид
j(r) = 1728J(r) = 256
(1 - к2 + /г4)3
/с4(1 -А:2)2""
(У24 ~ 16)3 =
У24
(Л24 + 16)3 = (У224 + 16)3
Л24 Л24
и /24, — У24, — У24 ~ три корня уравнения
(ж — 16)3 — а?У(т) = 0.
12.21. Рамануджан получил значения простейших из своих син-
гулярных модулей прямо из модулярных уравнений. Он приводит пол-
ное доказательство только для одного случая, а именно для п = 5.
В этом случае
С5 = 2-ГЩЩ5) = (^),/И
И
Cl/5 = С*5
(из преобразования т’ = — 1/т).
Если
и = 2-1/4У(т), v = 2-1/4У(5т),
ТО
2 2
U V
V J ~ \и J
1 \
2 9/'
Это форма Шлёфли (Schlafli) модулярного уравнения степени 5, ко-
торая также встречается в записных книжках1. Если т = i/^Ь, Q =
= то
и = Gj/5, V = Gs, v = и, и4 — и 4 = 1,
и
, _ /У5.+ 1\V4
5 к 2 )
119.13(xiv).
Аналогично, если мы используем форму1
Q + ± + 7 = 23/2 (р + 1),
где
/ 1V \ 1/з
F = 21/2(fcfc7/')1/4, £=(-Ц-) ;
модулярного уравнения степени 7, то мы можем показать, что
G7 = 21/4,
Ватсон в своей работе (20) получил значения всех новых сингулярных
модулей Рамануджана, которые он, похоже, получил таким способом.
12.22. Во многих случаях Рамануджан приводит значения син-
гулярных модулей, которые он вряд ли получил строго.
Предположим, для определенности, что
п = 8m —1^0 (mod 3).
Если количество типов классов форм с детерминантом — п равно N
и число классов в каждом типе рано г, поэтому число классов равно
h = Nr, тогда j(r) и Fn удовлетворяет уравнениям степени h, раз-
решимым в радикалах. Решение уравнений зависит от решения ряда
вспомогательных уравнений, число и степень которых определяется в
терминах N и г. Так, когда п = 7, А = 1, г = 1 и F? = 1 является
рациональным и когда п = 23, .А = 1,г = 3и Р^з определяется одним
кубическим уравнением
F3 - F - 1 = 0.
В работе (13) Ватсон рассматривает случаи, в которых N = 1, а в
работе (25) также случаи, в которых N = 2 или N = 4. Когда N =
= 2, необходимы два уравнения. Так, если п = 55, N = 2, г = 2, h = 4,
то F удовлетворяет уравнению четвертой степени
F4 - 2F3 + F - 1 = 0,
119.19(ix).
которое сводится к
' 1\2 3 + 2v/5
F~2)
присоединением у/5. Если п = 455, N = 4, г = 5, h = 20, то F удо-
влетворяет уравнению степени 20, которое можно свести к уравнению
пятой степени присоединением у/5 и д/13.
Рамануджан не знал ничего из этой арифметической теории и при
изучении больших значений п, когда отсутствуют модулярные уравне-
ния, в основном должен был руководствоваться угадыванием и интуи-
цией. Ватсон в своих работах (8, 9) и (19) построил весьма вероятную
реконструкцию аргументов, которыми, по-видимому, пользовался Ра-
мануджан. Все они включают в себя предположения, что определенные
числа удовлетворяют уравнениям подходящих степеней. В этих пред-
положениях, которые всегда согласуются с арифметической теорией,
он, по-видимому, руководствовался интуицией вместе с вычислениями.
Так, в (8) Ватсон реконструирует вычисление Рамануджаном зна-
чения </210 (значение также полученное Вебером) и выводит один из
наиболее поразительных результатов Рамануджана, а именно, что
k = (^/2- 1)2(2- г/3)(\/7- г/б)2(8 - 3\/7)х
х (>/10 - 3)(4 - ч/15)2(\/15 - х/14)(6 - х/35),
когда
Этот результат Рамануджан строго доказал, получив значение </210 с
помощью очень любопытной алгебраической леммы.
Комментарии к лекции XII
§12.1 . Каталог, на который мы ссылались на стр. 20 (замечание на
стр. 10), содержит Кэйли, Гринхилла, Таннери и Молка, книгу А. К. Диксона
Элементарные свойства эллиптических функций, книгу Аппела и Лакора
(Lacour) Principles de la theorie des fonctions elliptiques и первое издание книги
Уиттекера Современный анализ. Однако очевидно, что Рамануджан не чи-
тал никакого изложения теории эллиптических функций, основанного (как в
книге Таннери и Молка или Уиттекера) на общей теории функций.
Цитата из Литтлвуда взята из его обзора Сборника трудов.
§ 12.2. Существуют доказательства тождества Якоби и вывод тождеств
Эйлера и Гаусса в Харди и Райт, § 19.8-9.
§12.3 . См. лекцию Ватсона (10), Якоби Fundamenta nova, §41 и Энне-
пера (Enneper) Elliptische Funktionen, § 13.
Последнее предложение подтверждается доказательством (из работы 18
Сборника трудов), воспроизведенным в §9.2.
§ 12.5. См. Кэйли, гл. vii и viii, (особенно стр. 188-190) Гринхилла гл. х
(особенно стр.323). Лучшее изложение см. в Эннепере гл. ix (особенно
стр. 225-237), но трактовка Якоби частного случая п = 3 сформулирована
очень кратко в приложении (стр. 518).
§ 12.9. См. Таннери и Молк, ii, 163-166, и iv, 230-231, 242-244.
§12.12 . Формулу (12.12.1) см. в Таннери и Молк, iii, 120-134 и iv, 105
(таблица CVIII). (12.12.2) сводится к формуле Якоби, приведенной в §12.2,
при а — (3 = 0.
§12.13 . См. Таннери и Молк, ii, 114-119 и 268 (таблица XLVII).
§ 12.15-19 Мой набросок традиционной теории основан на Таннери и
Молк, iv, 254-260.
§12.19 . Число классов здесь равно числу примитивных классов с де-
терминантом —п, в этих рассуждениях мы предполагаем, что (а, Ь, с) = 1.
Все доказательство основано на теории Кронекера форм ах2 + Ьху + су2, в
которой Ь не обязательно четное число и определитель равен Ь2 — 4ас, таким
образом, определитель х2 + 7у2 равен —28. В более старой теории Гаусса фор-
ма имеет вид ах2 + 2Ьху + су2 и определитель равен Ь2 — ас, таким образом,
определитель х2 + 7у2 равен —7.
У меня есть письмо к Рамануджану от профессора В. Е. X. Бервика
(W. Е. Н. Berwick), которое частично объясняет последнее предложение этого
параграфа. Профессор Бервик, подтвердив получение работы Рамануджана
«Модулярные уравнения и аппроксимации числа тг» (статья 6 Сборника тру-
дов), и приводит ряд ссылок, объясняя, что J удовлетворяет неприводимому
уравнению степени h и что к2 иногда можно, но не всегда, выразить рацио-
нально в терминах J. В частности, он указывает, что J(i\/257) и fe2(zV257)
удовлетворяют уравнениям степени 16, разрешимым с помощью цепочек из
четырех квадратных уравнений.
§12.20 . См. Ватсон (13).
§ 12.21. Доказательство для п = 5 приведено в статье 6 Сборника трудов.
§ 12.22. Все примеры взяты из работ Ватсона.
Литература
А. Книги
L. Е. Dickson. Introduction to the theory of numbers, Chicago 1929
[Dickson, Introduction].
L.E. Dickson. History of the theory of numbers, 3 vols., Washington
1919-1923 [Dickson, History].
G. H. Hardy. Ramanujan’s work (lithographed lectures at the Institute
for Advanced Study, Princeton 1936).
G.H. Hardy and E.M. Wright. An introduction to the theory of
numbers, Oxford 1938 [Hardy and Wright].
A. E. Ingham. The distribution of prime numbers, Cambridge tracts in
mathematics, no. 30, 1932 [Ingham].
E. Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 2
vols. (paged consecutively), Leipzig 1909 [Landau, Handbuch].
E. Landau. Vorlesungen uber Zahlentheorie, 3 vols., Leipzig 1927
[Landau, Vorlesungen].
Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge 1927 ]Papers].
В. Заметки, обзоры и т. д.
[В ссылках на периодические издания используются следующие аб-
бревиатуры: JLMS, Journal of the London Mathematical Society; PLMS,
Proceedings of the London Mathematical Society; PCPS, Proceedings of the
Cambridge Philosophical Society; QJM, Quarterly Journal of Mathematics;
OQJ, Quarterly Journal of Mathematics (Oxford).]
P.V. Seshu Aiyar. The late Mr Srinivasa Ramanujan, B. A., F.R. S.
Journal Indian Math. Soc., 12 (1920), 81-86.
G.H.Hardy. Mr S.Ramanujan’s mathematical work in England.
Journal Indian Math. Soc., 9 (1917), 30-48.
G.H. Hardy. S. Ramanujan, F.R. S. Nature, 105 (1920), 494. [Также
опубликовано в Journal Indian Math. Soc., 12 (1920), 90 91.]
G. H. Hardy. Srinivasa Ramanujan. PLMS (2), 19 (1921), xl-lviii. [Так-
же опубликовано в несколько измененном виде в Proc. Royal Soc. (А),
99 (1921), xiii-xxix.]
J. Е. Littlewood. Collected papers of Srinivasa Ramanujan. Math.
Gazette, 14 (1929), 425-428. [Также опубликовано в несколько изменен-
ном виде в Nature, 123 (1929), 631-633.]
R. Ramachaundra Rao. In memoriam S. Ramanujan. Journal Indian
Math. Soc., 12 (1920), 87-90.
С. Оригинальные труды
S. Narayana Aiyar
1. Mr S. Ramanujan’s theorems on prime numbers. Journal Indian
Math. Soc., 5 (1913), 60-61.
2. Some theorems in summation. Journal Indian Math. Soc., 5 (1913),
183-186.
W. N. Bailey
1. A generalization of an integral due to Ramanujan. JLMS 5 (1930),
200-202.
2. The partial sum of the coefficients of the hypergeometric series,
JLMS, 6 (1931), 40-41.
3. A note on an integral due to Ramanujan. JLMS, 6 (1931), 210-217.
4. On one of Ramanujan’s theorems. JLMS, 7 (1932), 34-30.
S. Chowla
1. Congruence properties of partitions. JLMS, 9 (1934), 247.
E. T. Copson
1. An approximation connected with e~x. Proc. Edinburgh Math. Soc.,
(2), 3 (1933), 201-206.
Н. В. C. Darling
1. On a proof of one of Ramanujan’s theorems. JLMS, 5 (1930), 8 9.
2. Proofs of certain identities and congruences enunciated by S. Rama-
nujan. PLMS (2), 19 (1921), 350-372.
3. On Mr Ramanujan’s congruence properties ofp(n). PCPS19 (1919),
217-218.'
P. Erdos
1. Note on the number of prime divisors of integers. JLMS, 12 (1937),
308-314.
T. Estermann
1. On the divisor problem in a class of residues. JLMS, 3 (1928),
247-260.
F. M. Goodspeed
1. Some generalizations of a formula of Ramanujan. OQJ, 10 (1939),
210-218.
H. Gupta
1. A table of partitions. PLMS (2), 39 (1935), 142-149.
2. A table of partitions (II). PLMS (2), 42 (1937), 546-549.
3. On a conjecture of Ramanujan. Proc. Indian Acad. Soc. (A), 4
(1936), 625-629(
G. H. Hardy
1. A formula of Ramanujan. JLMS, 3 (1928), 238-240.
2. A formula of Ramanujan in the theory of primes. JLMS, 12 (1937),
94-98.
3. Another formula of Ramanujan. JLMS, 12 (1937), 314-318.
4. Some formulae of Ramanujan. PLMS (2), 22 (1924), Records of
proceedings at meetings, xii- xiii.
5. Proof of a formula of Mr Ramanujan. Messenger of Math., 44 (1916),
18 21.
6. Note on some points of the integral calculus (LII): on some definite
integrals considered by Mellin. Messenger of Math., 49 (1920), 85-91.
7. Note on Ramanujan’s trigonometrical function c9(n), and certain
series of arithmetical functions. POPS, 20 (1921), 263-271.
8. A chapter from Ramanujan’s notebook. POPS, 21 (1923), 492-503.
9. Note on Ramanujan’s arithmetical function r(n). PCPS, 23 (1927),
675-680.
10. A further note on Ramanujan’s arithmetical function r(n), PCPS,
34 (1938), 309-316.
11. Ramanujan and the theory of Fourier transforms. OQJ, 8 (1937),
245-254.
J. Hodgkinson
1. Note on one of Ramanujan’s theorems. JLMS, 6 (1931), 42-43.
A. E. Ingham
1. Some asymptotic formulae in the theory of numbers. JLMS, 2
(1927), 202-208.
2. Note on Riemann’s ((-function and Dirichlet’s L-functions. JLMS, 6
(1930), 107-112.
W. Krecmar
1. Sur les proprietes de la divisibilite d’une fonction additive. Bull.
Acad. Sci. URSS, 7 (1933), 763-800.
D. H. Lehmer
1. On a conjecture of Ramanujan. JLMS, 11 (1936), 114-118.
2. On the Hardy-Ramanujan series for the partition function. JLMS,
12 (1937), 171-176.
3. An application of Schlafli’s modular equation to a conjecture of
Ramanujan. Bull. Amer. Math. Soc., 44 (1938), 84-90.
4. The series for tho partition function. Trans. Amer. Math. Soc., 43
(1938), 271-296.
5. On the remainders and convergence of the series for the partition
function. Trans. Amer. Math. Soc., 40 (1939), 362-373.
P. A. MacMahon
1. The parity of p(n), the number of partitions of n, when n 1000.
JLMS 1 (1926), 225-226.
2. Note on the parity of the number which enumerates the partitions
of a number. PCPS, 20 (1921), 281-283.
L. J. Mordell
1. Note on certain modular relations considered by Messrs Ramanujan,
Darling and Rogers. PLMS (2), 20 (1922), 408-416.
2. On Mr Ramanujan’s empirical expansions of modular functions.
PCPS, 19 (1917), 117-124.
3. On the representation of numbers as a sum of 2r squares. QJM, 48
(1920), 93-104.
at2+bt
4. The value of the definite integral J dt. QJM, 48 (1920),
329-342. °°
5. On the representation of a number as a sum of an odd number of
squares. Trans. Camb. Phil. Soc., 23 (1919), 361-372.
r- at2 + bt
6. The definite integral J - dt and the analytical theory of
numbers. Acta math., 61 (1933), 323-360.
A. Page
1. A statement by Ramanujan. JLMS, 7 (1932), 105-112.
E.G. Phillips
1. Note on summation of series. JLMS, 4 (1929), 114-416.
2. Note on a problem Ramanujan. JLMS, 4 (1929), 310 313.
S.S. Pillai
1. On the sum function of the number of prime factors of N. Journal
Indian Math. Soc., 20 (1933), 70-86.
С. T. Preece
1. Theorems stated by Ramanujan (I): theorems on integrals. JLMS,
3 (1928), 212-216.
2. Theorems stated by Ramanujan (III): theorems on transformation
of series and integrals. JLMS, 3 (1928), 274-282.
3. Theorems stated by Ramanujan (VI): theorems on continued
fractions. JLMS, 4 (1929), 34-39.
4. Theorems stated by Ramanujan (X). JLMS, 6 (1931), 22-32.
5. Theorems stated by Ramanujan (XIII). JLMS, 6 (1931), 95-99.
6. The product of two generalized hypergeometric series. PLMS (2),
22 (1924), 370-380.
H. Rademacher
1. Bestimmung einer gewissen Einheitswurzel in der Theorie der
Modulfunktionen. JLMS, 7 (1932), 14-19.
2. On the partition function p(n). PLMS (2), 43 (1937), 241-254.
3. A convergent series for the partition function pin). Proc. Nat. Acad.
Sci., 23 (1937), 78-84.
H. Rademacher and H. S. Zuckermann
1. On the Fourier coefficients of certain modular forms of positive
dimension. Annals of Math., 39 (1938), 433-462.
2. A new proof of two of Ramanujan’s identities. Annals of Math., 40
(1939), 473-489.
R. A. Rankin
1. Contributions to the theory of Ramanujan’s function r{n) and
similar arithmetical functions (I)- PCPS, 35 (1939), 351-356.
2. Contributions to the theory of Ramanujan’s function r(n) and
similar arithmetical functions (II). PCPS, 35 (1939), 357-372.
3. Contributions to the theory of Ramanujan’s function r(n) and
similar arithmetical functions (III). PCPS, 36 (1940), 150-151.
L. J. Rogers
1. Second memoir on the expansion of certain infinite products. PLMS
(1), 25 (1894), 318-343.
2. On two theorems of combinatory analysis and some allied identities.
PLMS (2) 16 (1917), 315-336.
3. On a type of modular relation. PLMS (2), 19 (1921), 387-397.
4. Proof of certain identities in combinatory analysis. PCPS, 19 (1919),
211-214.
G. K. Stanley
1. Two assertions made by Ramanujan. JLMS, 3 (1928), 232-237
[Corrigenda JLMS, 4 (1929), 32].
G.Szego
1. Uber einige von S. Ramanujan gestellte Aufgaben. JLMS, 3 (1928),
225-232.
P. Turan
1. On a theorem of Hardy and Ramanujan. JLMS, 9 (1934), 274-276.
2. Uber einige Verallgemeinerungen eines Satzes von Hardy und
Ramanujan. JLMS, 11 (1936), 125-133.
G. N. Watson
1. Theorems stated by Ramanujan (II)-. theorems on summation of
series. JLMS, 3 (1928), 216-225.
2. Theorems stated by Ramanujan (IV): theorems on approximate
integration and summation of series. JLMS, 3 (1928), 282-289.
3. A new proof of the Rogers-Ramanujan identities. JLMS, 4 (1929),
4-9.
4. Theorems stated by Ramanujan (VII): theorems on continued
fractions. JLMS, 4 (1929), 39-48.
5. Theorems stated by Ramanujan (VIII): theorems on divergent
series. JLMS, 4 (1929), 82-86.
6. Theorems stated by Ramanujan (IX): two continued fractions.
JLMS, 4 (1929), 231-237.
7. Theorems stated by Ramanujan (XI). JLMS, 6 (1931), 59-65.
8. Theorems stated by Ramanujan (XII): a singular modulus. JLMS,
6 (1931), 65-70.
9. Theorems stated by Ramanujan (XIV): a singular modulus. JLMS,
6 (1931), 126-132.
10. Ramanujan’s note books. JLMS, 6 (1931), 137-153.
11. The final problem: an account of the mock theta functions. JLMS,
11 (1936), 55-80.
12. Theorems stated by Ramanujan (V): approximations connected
with ex. PLMS (2), 29 (1929), 293-308.
13. Singular moduli (III). PLMS (2), 40 (1936), 83-142.
14. The mock theta functions (II). PLMS (2), 42 (1937), 274-304.
15. Singular moduli (V). PLMS (2), 42 (1937), 377-397.
16. Singular moduli (VI). PLMS (2), 42 (1937), 398-409.
17. Two tables of partitions. PLMS (2), 42 (1937), 550-556.
18. Ramanujan’s continued fraction. POPS, 31 (1935), 7-17.
19. Some singular moduli (I). OQJ, 3 (1932), 81-98.
20. Some singular moduli (II). OQJ, 3 (1932), 189-212.
21. Ramanujan’s integrals and Gauss’s sums. OQJ, 7 (1936), 175-183.
22. Proof of certain identities in combinatory analysis. Journal Indian
Math. Soc., 20 (1933), 57-69.
23. Uber Ramanujansche Kongruenzeigenschaften der Zerfallungsan-
zahlen. Math. Zeitschrift, 39 (1935), 712-731.
24. Ramanujans Vermutung uber Zerfallungsanzahlen. Journal fur
Math., 179 (1938), 97-128.
25. Singular moduli (IV). Acta arithmetica, 1 (1936), 284-323.
F. J. W. Whipple
1. A fundamental relation between generalised hypergeometric series.
JLMS, 1 (1926), 138-145.
2. The sum of the coefficients of a hypergeometric series. JLMS, 5
(1930), 192.
3. On well-poised series, generalised hypergeometric series having
parameters in pairs, each pair with the same sum. PLMS (2), 24 (1926),
247-263.
В. M. Wilson
1. Proofs of some formulae enunciated by Ramanujan. PLMS (2), 21
(1923), 235-255.
J. R. Wilton
1. A note on Ramanujan’s arithmetical function r(n). PCPS, 25
(1929), 121-129.
2. On Ramanujan’s arithmetical function Sr>s(n). PCPS, 25 (1929),
255-264.
H. S. Zuckermann
1. The computation of the smaller coefficients of J(r). Bull. Amer.
Math. Soc., 45 (1939), 917-919.
2. Identities analogous to Ramanujan’s identities involving the
partition function. Duke Math. Journal, 5 (1939), 88-110.
3. On the expansions of certain modular forms of positive dimension.
Amer. Journal of Math., 42 (1940), 127 152.
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой
или электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через
наш Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332-48-92, (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34).
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135-54-37.
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 15 этаж).
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Виблиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
С.-Пб.г «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Годфри Гарольд Харди
Двенадцать лекций о Рамануджане
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка С. В. Высоцкий
Корректор М. А. Ложкина
Подписано в печать 23.04.02. Формат 60 х 841/1в.
Усл. печ. л. 19,53. Уч. изд. л. 19,65.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага газетная.
Печать офсетная. Тираж 700 экз. Заказ № 1700.
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.