Текст
                    Дж.Конвей, Н.Слоэн
шаров,
решетки и группы
II
Издательство «Мир»


Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 290 A Series of Comprehensive Studies in Mathematics J. H. Conway, N. J. A. Sloane Sphere Packings, Lattices and Groups With Additional Contributions by E. Bannai, R. Borcherds, J. Leech, S. P. Norton,. A. M. Odlyzko, R. A. Parker, L. Queen and В. В. Venkov Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg London Paris Tokyo
Дж.Конвей, Н.Слоэн Упаковки шаров, решетки и группы При участии Э. Баннаи, Р. Борчердса, Дж. Лича, С. Нортона, Э. Одлыжко, Р. Паркера, Л. Квин и Б. Б. Венкова В ДВУХ ТОМАХ Том II Перевод с английского С. Г. Влэдуца, С. Н. Лицына, М. А. Цфасмана и Н. Н. Яковлева Москва «Мир» 1990
ББК 22.174 К64 УДК 519.1 Конвей Дж., Слоэн Н. К64 Упаковки шаров, решетки и группы:-В 2-х т. Т. II. Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 376-с, ил. ISBN 5-03-002369-0 Книга американских математиков, в доступной, занимательной и систематической форме освещающая обширный круг вопросов, кото- которые находят применения не только в различных областях математики (алгебра, геометрия, теория чисел, сложность вычислений), но и в раз- разнообразных приложениях: передача и хранение информации, теория поля и суперструны в физике, кристаллы и квазикристаллы в химии. Русское издание выходит в двух томах. Для математиков разных специальностей: от алгебры, геометрии и теории чисел до кибернетики, теории кодирования и кристаллогра- кристаллографии, для аспирантов и студентов университета. * "~,зм ¦— Редакция литературы по математическим наукам ISBN 5-03-002369-0 (русск.) © 1988 by Springer-Verlag New York ISBN 5-03-001421-7 All Rights Reserved ISRN 0 487 QBRI7X (янтл\ Authorized translation from Eng- ISBN 0-387-96617-X (англ.) Hsh language edition published by Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokio © перевод иа русский язык, с автор- авторскими изменениями, С. Г. Влэдуц, С. Н. Лицын, М. А. Цфасман, Н. Н. Яковлев, 1990
Глава 12 Характеризация решетки Лича Дж. Конвей Мы приводим короткое доказательство того, что замеча- замечательная решетка Лича характеризуется рядом своих простей- простейших свойств. Главным результатом этой главы является теорема 7, ко- которая характеризует решетку Лича четырьмя различными спо- способами. Хотя мы вынуждены использовать ссылки на две тео- теоремы в начале и при завершении доказательства, читатель при желании может принять их на веру, и тогда окажется, что доказательство во всех других отношениях полиостью замкнуто в себе. Рассуждения непосредственно приводят к определению порядка группы автоморфизмов (Со0) решетки Лича и могут быть использованы для получения дополнительной информации об этой группе и об этой решетке. Мы переходим прямо к доказательству. Мы покажем, что решетка Лича — это единственная решетка размерности, мень- меньшей 32, имеющая одну точку на единицу объема, в которой квадрат любого ненулевого расстояния равен четному целому числу, большему чем 2. Решетка с одной точкой на единицу объема называется унимодулярной и, кроме того, четной, если квадрат любого расстояния или норма является четным числом (см. разд. 2.4 гл. 2). Мы используем обозначение Nm для числа векторов нормы m в четной унимодулярной решетке размер- размерности п. Тогда наша главная теорема утверждает, что решетка Лича — это единственная четная унимодулярная решетка при п < 32 с N2 = 0. Теорема 1. Если А — четная унимодулярная решетка с п< <32 и N2 = 0, то п = 2А, 7V4 = 196560, N6 = 16773120, N8 = =398034000. Доказательство. Теорема Гекке (теорема 17 и следствие 18 гл. 7) гласит, что если Л — четная унимодулярная решетка, то п кратно 8, а тэта-ряд вл (z) является модулярной формой веса п/2 относительно полной модулярной группы. Для п = 8 или п = 16 пространство таких форм имеет размерность 1, и поэтому условие No = 1 однозначно определяет N2m для всех
422 Гл. 12. Характеризация решетки Лича пг, и в каждом случае оказывается, что N2 > 0. Для п = 24 соответствующее пространство имеет размерность 2, и на этот раз значения No= l и Л^ = 0 определяют Л^т. На самом деле оказывается, что коэффициенты экстремального тэта-ряда равны „. 65520 / / ч где ап(яО—сумма 11-х степеней делителей числа пг, а т — функция Рамануджана. Приводимые в теореме значения легко вычисляются по этой формуле. С этого момента мы будем полагать, что Л — решетка, удов- удовлетворяющая предположениям теоремы 1. Мы называем два вектора решетки Л эквивалентными, если их разность равняет- равняется удвоенному вектору решетки — т. е. мы рассматриваем Л/2Л. Если {Ь\, ..., b2i} является базисом для Л, то Bb\ 2b2i} является базисом для 2Л, поэтому имеется в точности 224 клас- классов эквивалентности. Мы называем вектор х коротким, если его длина не превосходит V&, и интересуемся вопросом, какие классы эквивалентности содержат короткие векторы. Так как х и —х всегда эквивалентны, то ненулевые короткие векторы будут наблюдаться в классе эквивалентности парами (сравните с теоремой 28 гл. 10). Теорема 2. Каждый класс эквивалентности содержит корот- короткий вектор. Классы эквивалентности, содержащие более чем одну пару коротких векторов, — это_ в точности те классы, которые содержат векторы длины V& » " все эти классы содержат в точности 24 взаимно ортогональные пары векторов этой длины. Доказательство. Пусть х == ОХ и у = OY — эквивалентные короткие векторы, причем у ф ±х. Заменяя при необходимости у на —у, мы можем считать, что угол XOY меньше или равен я/2. Тогда, так как OX2 sj; 8 и О К2 ^ 8, должно выполняться неравенство XY2 ^ 16 (см. рис. 12.1). Но XY — удвоенный век- вектор решетки, и поэтому XY^ 2 д/Ч , откуда XY2 ^ 16. Теперь можно сделать вывод, что каждое из неравенств, возникавших в рассуждении, в действительности является равенством, по- поэтому два различных эквивалентных коротких вектора, не об- образующих пары, должны быть ортогональны и оба должны иметь длину V& , и, значит, может быть не более, чем 24 пары таких векторов. Поэтому число классов эквивалентности, со- содержащих короткие векторы, по меньшей мере равно ffo.Nt.Nt. N» 1 "*" 2 "Г 2 ""Г 48 -
Гл. 12. Характеризация решетки Лича 423 Но так как это число равно в точности 224, каждый класс экви- эквивалентности принят в расчет; другие неравенства, возникающие в наших рассуждениях, также должны быть равенствами, от- откуда следуют все утверждения теоремы. Теперь пусть с=1/д/8. Тогда мы можем предположить, что Л содержит все векторы вида с(±8, О23) и с((±4J,022), т. е. 24 пары попарно ортогональных векторов длины V^ и половины их разностей. Обозначение ((±4J,022) используется -у Рис. 12.1. Почему XY2 г? 16. для типичного вектора с двумя координатами, равными ±4, и 22 нулевыми координатами. Эти векторы порождают подре- шетку Ло, состоящую из всех векторов с{х\ *24), в которых каждое xt кратно 4 и их сумма кратна 8. Если х и у являются векторами из Л, то скалярное произ- произведение х-у будет обязательно целым, так как оно равняется A/2) ((х + уJ — х2 — у2). Выбирая в качестве х = с{х\, ... ..., x2i) типичный вектор из Л и рассматривая скалярные про- произведения с порождающими векторами решетки Ло, видим, что c2-8xi и c2Dxi — 4л:,) являются целочисленными для всех i, } или, другими словами, что координаты Xi являются целыми числами, имеющими одну и ту же четность. (Это объясняет наш выбор масштабирующего множителя с.) Если Л содержит не- некоторый вектор х, все координаты я,- которого нечетны,, то мы можем предположить (сменив знаки при некоторых коорди- координатных векторах), что она содержит вектор х, удовлетворяю- удовлетворяющий сравнению xt = I (mod 4) для всех i. Исследуем теперь, какие условия сравнимости по модулю 4 накладываются на хи Мы полагаем Q = {1, 2, .... 24}, и пусть Я2 — множество всех подмножеств С множества ?2, таких, что
424 Гл. 12. Характеризация решетки Лича существует точка решетки х, для которой х, = 2 или 0 (mod 4) в зависимости от того i е С или i ф С (говорят, что точка х соответствует С). В общем случае, если А и В— подмножества в ?2, мы используем обозначение А -\- В для симметрической разности (A\.6)U(B\A) и расстоянием, между ними называем мощность А + В. Мы называем два множества близкими, если расстояние между ними не превосходит 4. Если х и у соот- соответствует С и D, то х + у соответствует С + D, так что мно- множество <& замкнуто относительно симметрической разности. Теорема 3. Каждое непустое *&-множество содержит по меньшей мере 8 элементов. Число ^-множеств, содержащих в точности 8 элементов, не превосходит 759, а общее число ^-мно- ^-множеств не превосходит 212. Доказательство. Пусть С Ф 0 есть "^-множество с п элемен- элементами, а х — соответствующий вектор. Вычитая подходящий элемент подрешетки Ло, мы можем привести все xi, кроме одного, к 0 или 2, а оставшийся х, — к ±2. Но тогда х-х = — с2-4п и, так как х-х^А, мы должны иметь п ^ 8. Теперь ни одно из 5-элементных подмножеств ?2 не может содержаться в двух различных "^-множествах мощности 8, так как тогда их симметрическая разность была бы ^-множеством мощности, не превосходящей 6. Число ^-множеств мощности 8 не превосхо- Теперь предположим, что множество А близко к различным ^¦-множествам А + X и A-\-Y. Тогда X + Y является ^-мно- ^-множеством, и поэтому X и Y должны быть непересекающимися множествами с 4 элементами каждое. Отсюда следует, что если А близко к более чем одному ^-множеству, то оно близко к не более чем 6 и находится на расстоянии 4 от каждого из них. Если мы определим /(А, С) как 1, 1/6 или 0 в соответствии с тем, каково расстояние между А я С (меньше, равно или больше чем 4), то мы можем записать этот результат следую- следующим образом: Yj f(A, C)^l для каждого А, Се? откуда С другой стороны, очевидно, As Q
Гл. 12. Характеризация решетки Лича 425 и так как это число равно в точности 212, то может быть не более 224/212 = 212 "^-множеств. Мы теперь перечислим векторы х, удовлетворяющие усло- условию х-х = 4. Каждый такой х соответствует решению уравне- уравнения ^лг| = 32, в котором Xi — все целые одинаковой четности и число тех xif для которых xt = 2 (mod 4), равно нулю или не меньше 8. Поэтому возможны только векторы вида с((±2)8, О16), c(q=3, (±1J3) или с((±4J,022). В первом случае нену- ненулевые координаты должны образовывать "^-множество, и мы получаем не более 27 таких векторов на каждое ^-множество, так как в противном случае мы бы имели два вектора решетки, различающихся на вектор вида с(±4, О23), который слишком короток. Таким образом, мы имеем не более 759-27 векторов такого вида. Во втором случае нижний знак должен быть взят на ^-множестве, как мы видим, вычитая вектор, каждая коор- координата которого сравнима с 1 по модулю 4, и, так как имеется 24 позиции для исключительной координаты +3, мы имеем не более 24-212 векторов этого вида. Мы уже выяснили, что Л со- содержит все возможные векторы (их B)'^2) третьего вида. Теорема 4. Каждое Ъ-элементное подмножество из Я? содер- содержится точно в одном 8-элементном Яё-множестве. Множество Ч? является замыканием относительно симметрической разности множества 8-элементных ^-множеств. Доказательство. Предыдущее рассуждение показало, что Л содержит не более /24 \ 27 • 759 + 212 • 24 + 22 • f J векторов х с х-х=4 и, так как это число равно в точности 196560, каждое неравенство в этом рассуждении должно быть в действительности равенством. В частности, каждое из 5-эле- ментных подмножеств множества Q содержится точно в одном из 759 8-элементных "^-множеств. Если теперь С—непустое "^-множество, то мы можем найти 8-элементное ^-множество с по меньшей мере 5 общими с С элементами, и поэтому С является симметрической разностью этого 8-элементного "^-мно- "^-множества и ^-множества меньшей мощности. Повторяя рассужде- рассуждения, мы видим, что С является итерированной симметрической разностью 8-элементных ^-множеств. Теорема 5. Вектор х = c(xlt ..., x2i) содержится в А в точ- точности в тех случаях, когда
426 Гл. 12. Характеризация решетки Лича (i) xi являются целыми одной и той же четности, (н) множество тех i, для которых Xi принимает любое задан- заданное значение (mod 4), является Ч?-множеством, (iii) ?*г = 0 или 4 (mod 8), если все xt = 0 или 1 (mod 2) соответственно. Доказательство. Для каждого 8-элементного "^-множества решетка Л содержит 27 соответствующих векторов вида с ((±2)8, О16), которые либо все векторы с четным числом знаков +. либо все остальные. Но мы знаем, что Л содержит 24 вектора вида с(—3,123), и поэтому она не может содержать ни одного век- вектора вида с(—2,27, О16), так как мы получаем из него слишком короткий вектор решетки сA8, (—II6), вычитая подходящий вектор вида с(—3,123). Решетка Л поэтому должна содержать 759 векторов сB8, О16), которые соответствуют 759 8-элемент- ным "^-множествам. Пусть L—множество всех х, удовлетворяющих условиям (i) — (iii), и пусть х = с(хи ..., x2i) — любой вектор из Л или из L. Мы покажем, что х является линейной комбинацией век- векторов с(—3,123), 759 векторов сB8, О16), которые только что описаны, и образующих решетки Ло, которые все принадлежат как к Л, так и к L. Вычитая, если необходимо, с(—3,123), мы можем предположить, что все Xi четны. Вычитая ряд векторов вида сBs, О16), мы можем предположить, что все xi кратны 4. Наконец, вычитая вектор из Ло, мы можем преобразовать все, кроме одного, Xi в 0, а один оставшийся в 0 или 4. Но так как jc-x<;4, каждая координата теперь равна нулю, и наш резуль- результат доказан, а решетка Л отождествлена с L. Теорема 6. Решетка Л единственна с точностью до изо- изоморфизма. Доказательство. Первое предложение теоремы 4 утверждает, что 8-элементные "^-множества образуют систему Штейнера SE,8,24). Для завершения определения Л обратимся к тео- теореме Витта ([Wit3], [Liin 1], [Mac 6, гл. 20, § 5]), утверждаю- утверждающей, что система SE, 8, 24) единственна с точностью до пере- перестановок Q. Поэтому решетка полностью определена. Наше рассуждение дает несколько больше. Имеется ^/48 множеств из 24 взаимно ортогональных пар векторов длины V8 , и одно (любое) из этих множеств могло бы быть исполь- использовано для определения нашей координатной системы. Иными словами, группа автоморфизмов решетки Л транзитивна на jV8/48 естественных координатных ежах. С другой стороны, число автоморфизмов, оставляющих неподвижным произволь-
Гл. 12. Характеризация решетки Лича 427 ный координатный еж, в точности в 212 раз больше порядка группы Матье М24, так как любой такой автоморфизм может быть получен изменением знаков в "^-множестве координат с последующей перестановкой ?2 с помощью перестановки, оставляющей неподвижной систему SE, 8, 24), а Витт доказал, что группа Ми и есть группа всех таких перестановок. Таким образом, порядок этой группы автоморфизмов в jV8/48 раз больше величины, в 212 раз большей порядка группы М24, т. е. равен 222 • З9 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23 = 8315553613086720000. Теорема 7. Решетка Л является единственной четной уни- модулярной решеткой L при п <С 32, удовлетворяющей любому одному из следующих условий: (i) L не равна своему зеркальному отражению, (И) никакое отражение не оставляет решетку L инвариант- инвариантной, (iii) N2(L) = 0, (iv) N2m (L) = 0 для некоторого m $? 0. Доказательство. Очевидно, из (i) следует (ii), а из (iii) следует (iv).Mbi покажем, что из (ii) следует (iii). Если L содержит вектор х, удовлетворяющий условию х-х = 2, то отражение в гиперплоскости, проходящей через на- начало координат и перпендикулярной х, переводит у в т. е. в у — (х-у)-х, который является вектором решетки L не- независимо от выбора у. Таким образом, это отображение остав- оставляет L инвариантной. Для завершения доказательства теоремы нам нужно только показать, что условие (iv) определяет Л. Но N2m{L) имеет вид 65520 где, так как jV2(Z<) ^ 0, должно быть k ^ 1. Но тогда m\*-;=^- 691 для всех т > 1. После появления приведенного доказательства Нимейер [Nie 2] завершил свое перечисление четных унимодулярных решеток в размерности 24. Он обнаружил 24 такие решетки; эти решетки характеризуются конфигурациями их векторов длины V2, причем решетка Лича единственная иэ них не имеет таких векторов (см. гл. 16 и 17). Другая характеризация решетки Лича приводится в § 5 гл. 18.
Глава 13 Границы для контактных чисел Э. Одлыжко, Н. Слоэн Приводятся верхние границы для максимального числа %„ непересекающихся единичных шаров, которые могут касаться единичного шара в n-мерном евклидовом пространстве, при п ^ ^24. В частности, показано, что ts = 240 и Т24 = 196560. § 1. Общая верхняя граница Проблема контактного числа, как это уже обсуждалось в § 2 гл. 1, заключается в исследовании максимального числа t/t непересекающихся равных n-мерных шаров, которые могут касаться другого шара такого же размера. Следующая теорема приводит к верхним границам для т«. Мы считаем, что п ^ 3. Теорема. Если f(t)—вещественный многочлен, такой, что (Cl) f(t)^O для —1^/< 1/2 и (С2) коэффициенты разло- разложения f(t) no многочленам Якоби [Abr I, ch. 21] где а = (п — 3) /2, удовлетворяют соотношениям fo > 0, fi :> 0, ..., fk^O, то %п ограничивается неравенством хп Хотя это и следует из общей теории, развитой в гл. 9 (см. особенно формулы D9) и E0)), для полноты мы приведем краткое упрощенное доказательство. Сферическим кодом Я8 (см. разд. 2.3 гл. 1) называется лю- любое конечное подмножество единичной сферы в n-мерном про- пространстве. Для —1 ^ t ^ 1 пусть At = j4t X (число упорядоченных пар с, с' е 91?, для которых (с, с') = t), где 8t — дельта-функция Дирака, |^?|—мощность ф и (,) — обычное скалярное произведение. Тогда 1
§ 1. Общая верхняя граница 429 Для всех k ^ 0 мы имеем L ? РаГ((с,с'))>0, -1 так как ядро Pl'a ((х, у)) положительно определено (см. фор- формулы A0) и (И) гл. 9). Если имеется расположение т единичных шаров Si, ..., Sx, касающихся другого единичного шара So, точки касания So с Si, ..., Sx образуют сферический код W с At = 0 для 1/2 < </<1. Отсюда следует, что верхняя граница на %п дается оптимальным решением следующей задачи линейного програм- программирования: выбрать At (—1^/^1/2) так, чтобы максими- максимизировать I Atdt при условии, что At ^ 0 для —1 ^ t ^ 1/2, и 1/2 J Pla(l) для k = Теорема теперь получается переходом к двойственной за- задаче и использованием того факта, что любое допустимое ре- решение двойственной задачи является верхней границей для оптимального решения исходной задачи. § 2. Численные результаты Для п = 8 мы применяем теорему с T(!)V(b 16 200 832 1216 -fP\+ "ёз" Р2 + 3Г Рз + 1гГ 3003 ^5 + 4641 где обозначение Р,- используется для РР'2>5@, и получаем Ts ^ 240. Для п = 24 мы берем 12992 73888 "Г" 23 Гх "Г" 25" Г2 "Г" 3825 Гз ~Г 22185 ^4 "г" 2169856 р 59062016 р 4472832 р + 687735 5 "*" 25365285 s ~*~ 2753575 F? "+" , 23855104 р , 7340032 р 7340032 р .„v "*" 28956015 8 "*" 20376455 9 "^ 80848515 10> ^ '
430 Гл. 13. Границы для контактных чисел где обозначение />,- используется для P1i°-6'l0-s(t), и получаем Т24 ^ 196560. Так как каждый шар в решетчатой упаковке Е8 в размерности 8 касается 240 других (см. разд. 8.1 гл. 4), а каждый шар в решетке Лича в размерности 24 касается 196560 других (см. § 11 гл. 4), то мы точно определили х& и Т24- Для других значений п до 24 мы не смогли найти столь же простых и эффективных многочленов. Результаты собраны в табл. 1.5 гл. 1, в которой также приводятся степени используе- используемых многочленов. Лучший многочлен, который мы нашли, на- например, для п = 4, это многочлен девятой степени f(t) = Po-\- + alPi + a2P2-i-asP3+ ... + а9Р9, где «1 = 2.412237, а2 = = 3.261973, сз = 3.217960, с4 = 2.040011, а5 = 0.853848, а6 = = а7 = а8 = 0, аэ = 0.128520 (приведены 6 десятичных знаков, хотя в действительности мы использовали 17 знаков) и Pi ис- используется для обозначения Pf5-°-5(t). Отсюда следует, что т4 ^ 25.5585. Этот многочлен был найден следующим методом. Сначала заменим (С1) конечным множеством неравенств в точ- точках */ = —1+0.0015/ (Os?/==S 1000). Далее выберем значе- значение k и используем линейное программирование для нахожде- нахождения /*, .... f\ так, чтобы максимизировать при условии, что E -l @</<1000). k Пусть f*(t) обозначает многочлен 1 +?/:*P™'a@- Конечно, он не обязательно удовлетворяет (С1) для всех точек t в интер- интервале [—1, 1/2]. Пусть в качестве е выбрана величина, большая, чем максимальное значение f*(t) на интервале [—1, 1/2] (е может быть вычислена нахождением нулей производной много- многочлена f*(t). Тогда f(t) = f*(t) — е удовлетворяет (С1) и (С2), и поэтому Все верхние границы, приведенные в табл. 1.5, кроме случаев п = 3 и 17, были получены таким образом. Допускалось значе- значение степени k до 30, но во всех рассматриваемых случаях сте- степень лучшего многочлена (приведенного в третьем столбце таблицы) не превосходит 14. Для п = 8 и п = 24 вид много- многочлена, полученного таким образом, приводит нас к формулам
§ 2. Численные результаты 431 A) — B), но для других значений п столь же простых выраже- выражений не получилось. Для я =17 мы использовали дополнительные неравенства -Уз/г -V2/5 \ Atdt^l и для получения in ^ 12215. Другие неравенства этого типа, ве- вероятно, можно было бы использовать для дальнейших улучше- улучшений этих результатов. К сожалению, для п = 3 наши методы дают только тз ^ 13, в то время как истинное значение равно 12 (см. разд. 2.1 гл. 1). Для сравнения значения границ Кокстера для хп (см. {Сох 16], [Вог 2]) при п = 4, 5, 6, 7 и 8, приводимые в [Lee 10], равны 26, 48, 85, 146 и 244 соответственно. Нижние границы в табл. 1.5 получены из упаковок табл. 1.2,
Глава 14 Единственность некоторых сферических кодов Э. Баннаи, Н. Слоэн Мы показываем, что имеется по существу лишь один способ расположения 240 (соответственно 196560) непересекающихся единичных шаров в R8 (соответственно в R24) таким образом, чтобы все они касались другого единичного шара Qn, и лишь один способ расположения 56 (соответственно 4600) шаров в R8 (соответственно в !R24), такой, чтобы они касались двух других касающихся друг друга шаров. Следующие точные сфе- сферические /-схемы также единственны: 5-схема в Q7> 7-схемы в Q8 и &2з и 11-схема в Q24- § 1. Введение В предыдущей главе было показано, что максимальное ко- количество непересекающихся единичных шаров в R8 (соответ- (соответственно в R24), которые могут касаться другого единичного шара, равно 240 (соответственно 196560). Расположения шаров, достигающие этих границ, могут быть получены из решетки Е& и решетки Лича соответственно. Мы докажем, что эти распо- расположения являются единственными достигающими этих границ. В [Ban 7], [Ban 8] было показано, что не существует точных сферических /-схем для /^8, кроме точной 11-схемы в Q24 (см. разд. 3.2 гл. 3). В настоящей главе также показывается, что эта и три другие точные /-схемы единственны. (Другие ре- результаты о единственности этих решеток и связанных с ними кодов и групп содержатся в [Con 4]^ гл. 12, [СигЗ], [Dell 13], [Jon 5], [Kne 4], [Lun 1 ], [Mac 6], [Nie 2], [Pie 8], [Pie 17], [Sta 12], [Wit3].) В наших обозначениях Qn — единичная сфера в R", а ( , ) — обычное скалярное произведение. Сферический (п, М, s)-Kod (см. разд. 2.3 гл. 1) — это подмножество ^ из Qn мощности М, для которого выполняется неравенство (и, v) ^ s для всех и, ие?, и Ф v. Примеры сферических кодов могут быть получены из упаковок шаров с помощью тривиально доказываемой теоремы.
§ 1. Введение 433 Теорема 1. В упаковке единичных шаров в R" пусть Si, ... ..., Sk — множество шаров, такое, что S, касается S,- при всех i ф ]. Предположим, что имеется также множество других ша- шаров Ти ..., Тм, каждый из которых касается всех Si. Тогда центры Ти ..., Тм образуют сферический (п— k -\-\,M,\/(k-\- + \))-код с точностью до масштабного множителя. Пример 2. В решетчатой упаковке ?8 в R8 (см. разд. 8.1 гл. 4) имеется 240 шаров, касающихся каждого шара, 56 — ка- касающихся каждой пары касающихся шаров, 27— касающихся каждой тройки касающихся шаров, и так далее. По теореме 1 из центров таких шаров получаются сферические (8,240,1/2)-, G, 56, 1/3)-, F, 27, 1/4)-, E, 16, 1/5)-, D, 10, 1/6)- и C, 6, 1/7)- коды. Пример 3. Аналогично решетка Лича в R24 (см. § 11 гл. 4) дает сферические B4,196560,1/2)-, B3,4600,1/3)-, B2,891, 1/4)-, B1,336, 1/5)-, B0, 170, 1/6)-, .... коды. Если W является сферически (л, М, s) -кодом и и е"»Р, рас- распределением (или спектром) расстояний кода Я? по отношению к и называется набор чисел {Л*(и): —1 ^ t ^ 1}, где At(u) = \{vz=V:(u,v) = t}\, а распределением (спектром) расстояний кода W называется набор чисел {At: —1 ^ ^^ 1}, где 4 Е Тогда (см. гл. 13) величины At удовлетворяют соотношениям Ai = I, At = 0 для 5 < t < 1, AtPk(t)>-Pk(l) Для k=\, 2, 3, ..., где Pk(x) = P%-3»2-<n-W2(x)— многочлены Якоби [Abr 1, гл. 22]. Для заданного s, таким образом, верхняя граница для М дает- дается следующей задачей линейного программирования. (Р1) Выбрать {At: —1 ^ t ^ 5} так, чтобы максимизиро- максимизировать ? At при условии, что At>0, I AtPk(t)>-Pk(l), 6= 1,2,3 A)
434 Гл. 14. Единственность некоторых сферических кодов Тогда, как мы это уже делали в формулах D9) и E0) гл. 9 и в теореме 1 предыдущей главы, сформулируем следующим образом двойственную задачу: (Р2) Выбрать целое N и многочлен f{t) степени N так, чтобы минимизировать f(l)/fo при условии выполнения не- неравенств fo>O,fk>O для Л = 1, 2 N, B) f@<0 для -1</<«. C) Так как любое допустимое решение двойственной задачи яв- является верхней границей для оптимального решения прямой задачи, М</О)//о D) для любого многочлена, удовлетворяющего B) и C). § 2. Единственность кода мощности 240 в Q8 Теорема 4 (см. гл. 13). Если 9Р есть (8, М, 1/2)-код, то М < 240. Доказательство. Используется многочлен f @ = "^г (' + О С + № *2 V - 1/2). E) Теорема 5. Если (a) "g7 есть (8,240, 1/2)-код, то (b) ^ яв- является точной сферической 7-схемой в Q8> (с) 'ё' является носи- носителем i-классной схемы отношений1), (d) числа пересечений этой схемы отношений однозначно определены и (е) распреде- распределение расстояний кода Ч? по отношению к любому не? за- задается соотношениями А1(и) = Л_,(«)= 1, Л1/2(«) = Л_1/2(и) = 56, А0(и)= 126. F) Доказательство. Пусть {At} — распределение расстояний в св. Тогда {Л*} является оптимальным решением прямой за- задачи (Р1), а многочлен f(t) в E) является оптимальным реше- решением двойственной задачи (Р2). Двойственные переменные fi, ..., fe не равны нулю, поэтому по теореме о дополняющей нежесткости [SimO] ограничения прямой задачи A) должны выполняться с равенством для k — 1, ..., 6. ') См. [Ban 11], [Del 9], [Goe 4], [Hig 2],[Sei 3], [Slo 5].
§ 2. Единственность кода мощности 240 в Q8 435 Двойственные ограничения C) не выполняются с равен- равенством, кроме как для t = —1, ±1/2 и 0. Поэтому переменные прямой задачи должны обращаться в нуль везде, за исключе- исключением, возможно, А-и А+1/2 и Ло. В силу A) эти числа удовле- удовлетворяют уравнениям А_,Рк (-1) + A_l/2Pk (-1/2) + A0Pk @) + Al/2Pk A/2)=- Рк A), G) для k = 1, 2, ..., 6. Таким образом, 1 7 2 63 8 231 16 3003 128 9009 256 51051 1 7_ 4 9 8 33 64 429 256 1287 1024 663 1 0 9 8 143 128 1105 1 7 4 9 8 33 64 429 256 1287 1024 663 1024 204g 1024 204g А° А А\п 239 7 2 63 8 231 16 3003 128 9009 256 51051 1024 (8) Единственным решением является -4_i = l. Л_1/2 = Л1/2 = 56, Л0=126- О) Так как Л_1(и)^ 1 и Л_] = 1, то Л_](ы)= 1 для всех ие^Р, и поэтому код является антиподальным [Del 16, р. 373]. Зна- Значит, G) также выполняется для А = 7ив силу [Del 16, th. 5.5] ^ является сферической 7-схемой. Из [Del 16, def. 5.13] следует, что схема является точной, так как || || ( Щ = 21 _ I. По [Del 16, th. 7.5] схема 'ё' является носителем 4-классной схемы отношений. Поэтому At (и) = At не зависит от и для всех t. Это доказывает (Ь), (с) и (е). Числа (9) яв- являются валентностями схемы отношений и по [Del 16, th. 7.4] определяют все числа пересечений. Это доказывает (d). полняются условия (а), (с), (d) и (е). Теорема 6. Если выполняется условие (Ь) теоремы 5, то вы- /10\ Доказательство. По определению |^| = 21 „I. Из [Del 16, th. 5.12] следует, что скалярные произведения между элементами
436 Гл. 14. Единственность некоторых сферических кодов из 98 равны ±1 и нулям многочлена Поэтому все At равны нулю, кроме, возможно, А±\, A+i/2 и Ао. Из [Del 16, th. 5.5] следует, что равенство G) выполняется для k= 1, 2, ..., 7. Остальная часть доказательства такая же, как в теореме 5. В примере 2 мы видим, что минимальные векторы в решетке Е8 образуют (8, 240, 1/2)-код. Поэтому условия (а) — (е) тео- теоремы 5 могут быть применены к этому коду. Имеется и обрат- обратный результат: Теорема 7. Если "g? — точная сферическая 1-схема в Q8, то имеется ортогональное преобразование, переводящее Я? в мини- минимальные векторы решетки Е&. Доказательство. Из теоремы 6 следует, что возможные зна- значения скалярных произведений в <?? равны 0, ±1/2, ±1. Пусть Я2 = {щ, ..., U24o}, и пусть L — решетка в R8, состоящая из векторов 240 Z л/2 atuh at e= Z. Тогда L является восьмимерной целочисленной решеткой, по- порождаемой векторами нормы 2, и, следовательно, прямой сум- суммой нескольких решеток Ап (n^l), Dn (п~^А) и Еп (п = 6, 7, 8) (см. § 3 гл. 4). Единственной решеткой этого типа с по меньшей мере 240 минимальными векторами является ?8) по- поэтому L изометрична Е&, а схема W изометрична множеству минимальных векторов в Es. Объединяя теоремы 5 и 7, получим следующий результат: Теорема 8. Существует единственный (с точностью до изо- метрии) способ расположения 240 непересекающихся единич- единичных шаров в Ч8, такой, чтобы все они касались еще одного еди- единичного шара. § 3. Единственность кода мощности 56 в Q7 Теорема 9. Если <& есть G, М, 1/3) -код, то М ^ 56. Доказательство следует из D); используется многочлен Теорема 10. Если (а) ^ есть G,56, 1/3)-код, то (Ь) <& — точная сферическая Ъ-схема в Q7, (с) ff является носителем
§ 3. Единственность кода мощности 56 в 437 3-классной схемы отношений, (d) числа пересечений этой схемы отношений однозначно определены и (е) распределение рас- расстояний ^ по отношению к любому uef задается соотно- соотношениями Л1(Ц) = Л_](и)=1, Л() Л() 27 Обратно, из (Ь) следуют (а), (с), (d) и (е). Доказательство. Доказательство аналогично доказатель- доказательствам теорем 5 и 6. Например, G, 56, 1/3)-код, приводимый в примере 2, обла- обладает свойствами (а) — (е). Имеется обратный результат. Теорема 11. Если ^ — точная сферическая Ъ-схема в Q7, то имеется ортогональное преобразование, переводящее Ф в G, 56, 1/3) -код, полученный из решетки Е%. Доказательство. Пусть Я!? состоит из точек ии ..., «5б, ле- лежащих на единичной сфере в R7 с центром в Р. Выберем точ- Рис. 14.1. Конструкция, используемая в доказательстве теоремы 11: Z и{0Р = я/3 для всех i, | ОР | = + 3 cos 6)/4. | — | 0u2 и cos ф = A + ку 0 (в R8) так, чтобы угол Zu,0P равнялся я/3 для всех t, и тогда cos Z ufiUj = A + 3 cos Z ы,Р«/)/4 для всех i, j. Пусть v — единичный вектор, лежащий на ОР (см. рис. 14.1). По теореме 10 cos ZtuPu, принимает значения
438 Гл. 14. Единственность некоторых сферических кодов ±1 и ±1/3, поэтому cos ZutOuj принимает значения 0, ±1/2 и 1. Отсюда следует, что векторы л/3/2 Ощ A<л^56) порож- порождают четную целочисленную решетку, содержащую по меньшей мере 2E6+ 1) = 114 минимальных векторов (соответствующих ±&, ±у). Эта решетка должна поэтому быть либо Е8, либо Е7(ЭАи причем последний случай несовместим с A0). Объединяя теоремы 10 и 11, мы получаем такой результат: Теорема 12. Имеется единственный (с точностью до изомет- рии) способ расположения 56 непересекающихся единичных шаров в R8, такой, что все они касаются двух других касаю- касающихся друг друга единичных шаров. § 4. Единственность кода мощности 196560 в Q24 Теорема 13 (см. гл. 13). Если <& есть B4, М, 1/2) -код, то М < 196560. Доказательство следует из D); используется многочлен = (' + 1) (t + 1/2J (* + 1/4J /2 (* - 1/4J (/ - 1/2). Теорема 14. Если (а) 9" есть B4, 196560, 1/2) -код, то (Ъ)<ё> — точная сферическая 11-схема в Q24, (с) 9" является носи- носителем 6-классной схемы отношений, (d) числа пересечений этой схемы отношений однозначно определены и (е) распределение расстояний <8 по отношению к любому ие?? задается соотно- соотношениями Л, (и) = А_х {и) = 1, Л1/2 (и) = А_ш (и) = 4600, Л1/4(и) = Л_1/4(и) = 47104, А0(и) = 93150. Обратно, из (Ь) следуют (а), (с), (d) и (е). Доказательство. Доказательство аналогично доказатель- доказательствам теорем 5 и 6. В примере 3 мы видели, что при подходящем выборе мас- масштаба минимальные векторы в решетке Лича Л образуют B4, 196560, 1/2)-код. Мы будем нуждаться в явном описании этого кода и будем считать, что Л состоит из векторов, описы- описываемых формулами A35) и A36) гл. 4. Пусть Л4 обозначает множество из 196560 минимальных векторов (нормы 4) — см. § 11 гл. 4. Тогда A/2)Л4 представляет собой B4, 196560, 1/2)-код, к которому приложимы условия (а) — (е) теоремы 14. Имеется обратный результат.
§ 4. Единственность кода мощности 196 560 в Q24 439 Теорема 15. Если W — точная сферическая ll-схема в Q24, то имеется ортогональное преобразование, переводящее Ф в A/2)Л4. Доказательство. По теореме 14 распределение расстояний W по отношению к любому ие?? задается соотношением A1), и, в частности, скалярные произведения в 9? равны 0, ±1/4, ±1/2, ±1. Пусть *& = {ии и2 "i9656o}, и пусть L —решетка в R24, состоящая из векторов 196560 ? 2aiui, a,s=Z. A2) Тогда Bщ, 2М/)е{0, ±1, ±2, ±4} A3) и L есть 24-мерная четная целочисленная решетка. Мы устано- установим утверждение теоремы 15, показав, что имеется ортого- ортогональное преобразование, переводящее L в 2Л и W в A/2)Л4. Лемма 16. Минимальная норма (у, у) для oei, у ф 0, равна 4. Доказательство. Минимальная норма четна; предположим, что она равна 2, т. е. (у, v) = 2, seL Для и е 2%? | (и, у) | = | и | • | у | • | cos Z uOv | ^ 2 д/2; тогда (и, у)е {0, ±1, ±2}, так как L целочисленна. Предполо- Предположим, что (и, v) = 0 для а способов выбора и, (u,v)= 1 для Р способов выбора и (и, у) =2 для у способов выбора, причем а + 2р + 2у = 196560, Без потери общности мы можем счи- считать, что v = (-\/2~ 0, 0 0). Поскольку Ф есть 11-схема, равенство 196560 1 V4 Е/ , 1 Z 196560 Z-, ' v u ~~ <й24 имеет место для любого однородного многочлена /(|i, |2, ••• ..., |24) полной степени ^11, где со24 — площадь поверхности й24 (формула (81) гл. 3). Выберем f = fk = ^ для k = 2 и 4, так что fk(ui) = 2'kl2((ui,v))k.
440 Гл. 14. Единственность некоторых сферических кодов Правая часть A4) может быть оценена из соотношения S и<=A/2)Л< 8190 при k = 2 или 196560 945 196560 при k = Равенство A4) теперь принимает вид 2р ¦-?+ 2Y- 21=8190, 2|5. .11+ 2Y. 21 = 945, откуда следует, что р = 33600, у — —210, что невозможно. Лемма 17. Множество L4 векторов нормы 4 в L совпадает с 2<&. Доказательство. По построению L4 содержит 29\ Обратно, возьмем о, ti? L4. Тогда (и, и)фЗ или, в противном случае, (и — v, и — у)=Ф> и) —2(и, о) + (и, f)=2, что противоречит лемме 16. Аналогично (и, v) ф —3. Поэтому (и, у)е {0, ±1, ±2, ±4} и ZuOv^n/З при ифу. Из тео- теоремы 13 следует, что \L<\<. 196560= |2f|. Поэтому L4 = 2f. Для п :#= 3 векторы ?3 = л/2~ {е2 — е3) gn = д/2" (е„_! - еп), A5) относительно ортонормированного базиса {е\, ..., еп} для R" порождают решетку Dn (см. разд. 7.1 гл. 4). В Dn имеется 2п(п—1) минимальных векторов ((±-yf?J0n~2). Эти решетки вложены: ZKsZL?... . (В этой главе для всех решеток Dn выбран такой масштаб, чтобы они имели минимальную норму 4.) Лемма 18. (i) Для любой пары векторов и и увЛ4с Zu0v = = я/2 имеется 44 вектора w в Л4 с ZuOw = ZvOw —я/3. (ii) Такое же утверждение имеет место при замене Л4 на L4 = = 2%?. (In) В Dn имеется 2п — 4 минимальных векторов w, таких, что ZgiQw = Zg20w = я/3. Доказательство. Утверждения (i) и (iii) очевидны, a (ii) следует из (i), так как Л4 и 2W являются схемами отношений с одинаковыми параметрами (см. теорему 14).
§ 4. Единственность кода мощности 196 560 в Q24 441 Лемма 19. Решетка L содержит подрешетку D3. Доказательство. Для порождающих элементов g\, g2, ?з ре- решетки ZK мы можем взять любую тройку и, v, w e L4 с ZuOv = = л/2, ZuOw = ZvOw = я/3. Такая тройка существует по лемме 18(ii). Лемма 20. Решетка L содержит подрешетку Dn для п = 3, 4, .... 24. Доказательство. Применим индукцию по п. Предположим, что утверждение выполняется для п ^ 3. Выбирая подходящим образом ортонормированный базис е\, ..., еп, мы видим, что L4 содержит векторы gu ..., gn, задаваемые формулой A5) и порождающие Dn. Из леммы 18(ii) следует, что имеется 44 век- вектора w в Lit таких, что ZgiOw = Zg20w = л/3. Из лем- леммы 18 (ш) следует, что по меньшей мере один из них не яв- является минимальным вектором в Dn. Тогда этот вектор w не содержится в RDn. (Положим w = С\ех + •. • + спеп. Так как Z gfiw ==¦ Z g20w = л/3, с1 = л/2~ и с2 = 0. Для и поэтому (w, V2"(ei±e,))s{0, ±1, ±2} в силу A3). Отсюда следует с3 = С4= ... =с„ = 0, что про- противоречит (w,w) = 4.) Выберем еп+\ так, чтобы {еи ¦¦¦, еп+\) являлся ортонормированным базисом для R<Dn, w}, и пред- предположим, что w = cxex + • •. + спеп + сп+1еп+1. Приведенное рассуждение_показывает, 4toc1 = V2, с2=... ... =с„ = 0, а с„+1 = ±л/2. Поэтому <?>„, ау> = Dn+i s L. Лемма 21. Решетка L изометрична А. Доказательство. Из леммы 20 следует, что мы можем вы- выбрать ортонормированный б^зис е\, ..., 624 так, чтобы схема 291? содержала векторы (± л/2J022. Пусть и = (ии ..., M24)/V8— произвольный вектор в 29". Из A3) следует, что ска- скалярные произведения и с векторами (± V2 J О22 равняются 0, ±1, ±2, ±4. Рассматривая скалярные произведения с (л/2~, ±л/2~, 0, ..., 0), получим «2 + «2+...+w224 = 32, y(Ml±M2)e={0, ±1, ±2, ±4), и,, и2, ... е={0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5}.
442 Гл. 14. Единственность некоторых сферических кодов Положим и\ = ±5. Тогда другой щ, пусть это будет иг, равен нулю. Скалярное произведение и с (д/2, д/2, 0, .... 0) равно 5/2, и мы пришли к противоречию. Действуя таким же обра- образом, несложно показать, что единственно возможными значе- значениями компонент и являются ((±2)8016)/л/8", ((±4J022)/л/8~ и ((±^(±3)')/^ В частности, щ, ..., U24—целые числа одинаковой четности. Остается показать, что эти векторы совпадают с векторами решетки Л4. Для того чтобы увидеть это, мы определим двоич- двоичный линейный код Ж) длины 24, в качестве кодовых слов кото- которого взяты все двоичные векторы с, для которых имеется век- вектор ме/,, такой, что и = @ + 2с + 4х)/л/8~ для некоторого a'gZ4 Тогда так же, как в теореме 3 гл. 12, получаем, что wt(c)^8 для сфО и что имеется не более 759 кодовых слов веса 8. Поэтому |2)| <ЛB4, 8) = 212 по табл. 9.1. Рассуждение, следующее после теоремы 3 гл. 12, те- теперь показывает, что единственная возможность, чтобы 22) мог содержать 196560 векторов и, состоит в том, чтобы эти векторы совпадали с минимальными векторами в Л-i. Это завершает доказательство теоремы 15. Объединяя тео- теоремы 14 и 15, мы получаем: Теорема 22. Имеется единственный способ (с точностью до изометрии) расположения 196560 непересекающихся единичных шаров в R2i таким образом, чтобы все они касались другого единичного шара. Замечание. Так как решетка Лича имеет два различных зеркальных представления, изометрия в теореме 22 обяза- обязательно включает отражение. § 5. Единственность кода мощности 4600 в й2з Теорема 23. Если <& есть B3, М, 1/3) -код, то М < 4600. Доказательство следует из D); используется многочлен Теорема 24. Если {а) ^ есть B3, 4600, 1/3)-код, то (Ъ)ф яв- является точной сферической 7-схемой в Q23, (с) 9? является но- носителем 4-классной схемы отношений, (d) числа пересечений этой схемы отношений однозначно определены и (е) распреде-
§ 5. Единственность кода мощности 4600 в Й2з 443 ление расстояний кода 9? по отношению к любому uEf за- задается соотношениями Al(u) = A_l(u)=l, Alf3(u) = А_1/3(и) = 891,^ Ао (и) = 2816. Обратно, из (Ь) следуют (а), (с), (d) и (е). Например, B3, 4600, 1/3)-код, приводимый в примере 3, об- обладает свойствами (а) — (е). Имеется обратный результат. Теорема 25. Если <8 — точная сферическая 7-схема в О2з, то имеется ортогональное преобразование, переводящее 9? в B3, 4600, 1/3) -код, полученный из решетки Лича. Доказательство. Так же как и в доказательстве теоремы 11, мы погружаем ^ = {ии ..., Щеоо} в R24, выбирая 0 так, чтобы ZmOP = л/3 для всех i (см. рис. 14.1). Тогда cos Z Щ 0 и, е= {- 1/2, 0, 1/4, 1/2, 1}. Пусть L — четная целочисленная решетка в R24, порожденная векторами V3 0иг. Для удобства мы полагаем Ul = «j3 0ut. Лемма 26. Минимальная норма (v, v) для oei, v Ф- 0, равна 4. Доказательство. Положим v e L с (v, v) = 2 и запишем и= = и' + У" с v'\\0P, v" ±0Р, |1>'| = г/, \v"\ = B-y2I'2 и Ut = = U'{ + Ur; с U\\\OP, Ur; ±0P, \U'{\ = 1, \U'{'\ = №. Тогда (Ut, v) = {U't, v') + {U"l, v")e={0, ±1, ±2}, cos Z Так как 9" — точная 7-схема, множество {cos Z Uv": ^4600} расположено симметрично вокруг 0. Поэтому у <= {0, ±1/2, ±1}. Сначала предположим, что у = 0. Тогда Пусть эти значения появляются соответственно а, р, а, р, у раз. Тогда, оценивая 0-й, 2-й и 4-й моменты 'g' по отношению к v" так же, как в доказательстве леммы 16, мы получаем равен- равенства а + 2р + 2у = 4600, р/3 + 4?/3 = 200, p/8 + 8v/9 = 24, откуда следует у = —14, что невозможно. Для других значений у действуем аналогично. Лемма 27. Решетка L содержит подрешетку, изометричную О„ для п = 3, 4 24.
444 Гл. 14. Единственность некоторых сферических кодов Доказательство. Аналогично доказательству леммы 20 нач- начнем с того, что возьмем и\, и2е^ с Zmi0u2 = ji/2. Имеется 42 вектора Ui^'ff с Zu\0ui= Z.u$Ui =¦ п/Ъ. Далее, вектор v = 20Р е L удовлетворяет условию ZuiOv = Zu$v = я/3. Лемма 28. Решетка L изометрична решетке А, а схема <& изометрична B3, 4600, 1/3) -коду, получаемому из решетки Лича. Доказательство. Пусть L4 обозначает множество минималь- минимальных векторов в L. По лемме 27 мы можем считать, что L* со- содержит все векторы ((± 42022))/д/8 и что р = 2-0Р равно D40 ... 0)/8. Так же как и в лемме 21, получаем, что векторы множества U _ имеют вид ((±2)80I6)/V8~> ((±4J022)/V8 J[ ((±1J3(±3I)/V8. Далее JJt начинаются с B, 2, ...)/V8, D, 0, .. .)/V8, @, 4, .. .)/V8, C, 1, .. .)/V8 или A,3,.. .)/л/8. Код ?0 определяется, как в лемме 21, — это линейный код с минимальным расстоянием 8, содержащий не более 212 кодо- кодовых слов. Нулевое слово соответствует векторам Ui, которые начинаются с D, 0, .. .)/-у/8 или @, 4, ...)/л/8, и имеется не более 2-2*22 таких векторов. Кодовые слова веса 8, начинаю- начинающиеся с 11, „., соответствуют векторам Ui, начинающимся с B, 2, .. .)/д/8- Число таких кодовых слов не превосходит 77, так как А B2, 8, 6) = 77 [Мае 6, рис. ПА. 3, с. 662] и имеется не более 25-77 соответствующих Ut Остальные Ui получаются из кодовых слов, начинающихся с 10... или 01..., и имеется не более 2-210 таких векторов (так как Л B2, 8)^210 по табл. 9.1). Но 2-2-22+ 25-77 + 2-2ш = 4600, поэтому все неравенства в рассуждении должны быть равенствами. В частности, кодовые слова веса 8, начинающиеся с 11..., должны образовывать единственную систему Штейнера 5C,6,22) ([Lun I], [Mac6, гл. 21], [Wit 3]), и поэтому решетка L должна быть решет- решеткой Лича. Это завершает доказательство теоремы 25. Объединяя тео- теоремы 24 и 25, мы получим следующий результат. Теорема 29. Имеется единственный (с точностью до изомет- рии) способ расположения 4600 единичных шаров в R24, такой, что они касаются двух других касающихся друг друга единич- единичных шаров. (Как и ранее, понятие изометрии должно обязательно вклю- включать отражение.) Благодарности. Мы хотели бы поблагодарить С. Мэллоуса, Э. Одлыжко и Дж. Томпсона за полезные обсуждения.
Глава 15 Классификация целочисленных квадратичных форм Дж. Конвей, Н. Слоэн Эта глава посвящена классификации целочисленных квадра- квадратичных форм. Она будет особенно полезна тем читателям, кото- которые хотели бы научиться производить явные вычисления. Но- Новизна проявляется во введении элементарной системы рацио- рациональных инвариантов, которые определяются без использования символа Гильберта норменного вычета. Новыми являются так- также улучшенное обозначение для рода формы, эффективный спо- способ вычисления количества спинорных родов в роде, а также формулировка условий, при выполнении которых в роде со- содержится только один класс. Приведены таблицы бинарных форм с —100 ^ det ^ 50, неразложимых тернарных форм с jdet|^50, родов форм с |det|^ll, родов р-элементарных форм для всех р и положительно определенных форм с детер- детерминантом 2 вплоть до размерности 18 и с детерминантом 3 до размерности 17. § 1. Введение Задача классификации целочисленных квадратичных форм имеет долгую историю, на протяжении которой многие мате- математики внесли свой вклад в ее решение. Бинарные (или дву- двумерные) формы были всесторонне изучены Гауссом. Он и позд- позднейшие исследователи наметили также основные пути решения проблемы классификации тернарных форм и форм более вы- высоких размерностей. Величайшими достижениями последующего периода явились глубокое развитие теории рациональных квад- квадратичных форм (Минковский, Хассе, Витт) и проведенная Эйх- лером полная классификация неопределенных форм в размер- размерностях 3 и выше в терминах спинорных родов. Определенные формы соответствуют решеткам в евклидовом пространстве. Классификация их для малых размерностей мо- может быть проведена с использованием принадлежащего Мин- ковскому обобщения понятия приведенной формы, которое было введено Гауссом. Но такой метод становится практически не- нереализуемым, когда размерность достигает 6 или 7. Однако
446 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм Витт и Кнезер, опираясь на работы Нимейера, предложили геометрический метод, который эффективен до тех пор, пока, грубо говоря, сумма размерности и корня из детерминанта формы не превосходит 24. Создается впечатление, что за этой границей формы становятся практически неклассифицируемыми. Ситуация подытожена на рис. 15.1. Размер- Размерность 1 2 3 7 24 Определенные формы Тривиально Гаусс: приведенные формы Минковскнй: приведен- приведенные формы • • • Метод склеивания Кнезера — Нимейера • • * Нет практически реа- реализуемых Неопределенные формы Тривиально Гаусс: циклы приве- приведенных форм Эйхлер: спинорные роды 15.1. Как классифицируются квадратичные формы. Отметим новое в материале этой главы: A) Не используя символ Гильберта норменного вычета, мы вводим (в § 5) элементарную систему рациональных инвариан- инвариантов для квадратичных форм, значения которых являются вы- вычетами по модулю 8. Впервые 2-адические инварианты по мо- модулю 8 появились, как нам представляется, в топологических исследованиях (см. [Cas I], [Hir4]). Специалистам известно, что значение «формулы произведения» состоит в получении сравнений по модулю 8 для сигнатуры. Благодаря инвариан- инвариантам мы можем сразу выписать эти сравнения, а не получать их как результат утомительных вычислений (см. формулы A5) и A6)). B) Мы приводим простое описание системы р-адических инвариантов для целочисленных форм, которая дает нам удоб- удобное обозначение для рода квадратичной формы (§ 7). C) Используя это новое обозначение, мы перечисляем (в разд. 8.1 и в табл. 15.4) все роды квадратичных форм с детерминантом, не превышающим 11, и
§ 1. Введение 447 D) классифицируем роды р-элементарных форм для всех р (разд. 8.2). С позиций теории Эйхлера спинорных родов (см. теорему 14) эти результаты в действительности описывают классы це- целочисленной эквивалентности неопределенных форм в размер- размерности 15=3. E) Мы приводим простое описание спинорных родов, вклю- включая удобные обозначения для различных спинорных родов в роде данной формы и простой способ вычисления их количе- количества (§ 9). F) Мы включили в эту главу теоремы, задающие условия, при которых род содержит в точности один класс (теорема 20 и ее следствия). В частности, мы доказываем, что если /—не- /—неопределенная форма размерности п с детерминантом d, причем в роде f имеется более чем один класс, то 4W2]d делится на /Д2) A) для некоторого натурального числа k, такого, что k = 0 или k=l (mod 4) и k не является квадратом. G) Мы приводим также несколько таблиц: таблицы приведенных бинарных квадратичных форм с де- детерминантом d, таким, что |d|^50 для определенных форм и \d\ ^ 100 для неопределенных форм (табл. 15.1, 15.2); таблицы неразложимых тернарных форм с детерминантом |d|^50 для определенных форм и с |d|^100 для неопреде- неопределенных форм (табл. 15.6, 15.7); таблицу родов квадратичных форм с |d|^ll (табл. 15.4); таблицу определенных квадратичных форм с детерминан- детерминантом 2 в размерностях ^18 (табл. 15.8); таблицу определенных квадратичных форм с детерминан- детерминантом 3 в размерностях ^17 (табл. 15.9). Наше изложение адресовано читателю, который хотел бы научиться производить явные вычисления в процессе усвоения общей теории. Материал этой главы расположен следующим образом. Параграфы 2 и 4 содержат определения и другие предварительные сведения. В § 3 рассматриваются бинарные формы. В § 5, 6 приводится классификация форм над полем рациональных чисел, а в § 7 — классификация над полем р-ади- ческих чисел и связанное с ней понятие рода формы. В § 8 приведены некоторые приложения результатов § 7. Спинорному роду формы и классификации неопределенных форм посвящен § 9, а классификации определенных форм — § 10. В последнем параграфе проблема классификации обсуждается с точки зрения сложности вычислений.
448 Га 15 Классификация целочисленных квадратичных форм § 2. Определения 2.1. Квадратичные формы. Пусть х — вектор-строка (хх, дг2) и А — симметрическая матрица Г? ]. Тогда выражение f (Х) = хАхт = ах* + 26х,х2 + сх| B) называется бинарной квадратичной формой с матрицей А. Вы- Вычисления с такой формой часто приводят к ассоциированной с ней билинейной форме f (х, у) = хАут = ах1у1 + Ьхху2 + Ьх2ух + сх2у2. Заменяя А на симметрическую матрицу произвольного размера иХ«, мы приходим к понятию п-арной квадратичной формы и соответственно п-арной симметричной билинейной формы (см. разд. 2.2 гл. 2). Из чрезвычайно большого количества ли- литературы о квадратичных формах укажем лишь некоторые ис- источники: [Bor5], [Cas3], [Cas4], [Coh5], [Dav2a], [Die 2], [Dic3], lEiclJ, [Gaul], [Hsi 1] —[Hsi 9], [Jon3], [Knel] — Kne9], [Laml], [Mil 7], [MinO] — [Min 3], [O'Me 1] — [O'Me4], Orzl], [Ran3], [Ran 5], [Ran 5a], [Riel], [Rys l]-[Rys 14], SchO] —[Sch2], [Schl3], [Schl4], [Serl], [Smi5], [Smi6], Tau2], [Wae5], [Wat 3] — [Wat 22], [Witl], [Zagl]. Мы будем заниматься классификацией целочисленных квад- квадратичных форм относительно целочисленной эквивалентности. Имеются два определения целочисленности для квадратичных форм. Бинарная форма B) называется целочисленной как квад- квадратичная форма, если а, 26, с принадлежат Z, и целочисленной как симметричная билинейная форма, если все элементы а, Ь, с ее матрицы принадлежат Z. Последнее определение употреблял Гаусс [Gaul]; Касселс [Cas 3] называет такие формы клас- классически целочисленными. Хотя некоторые авторы и придержи- придерживаются строгих взглядов на то, какое именно определение це- целочисленности следует употреблять (Ватсон [Wat 3] говорит о «совершенной Гауссом ошибке, состоящей во введении бино- биномиальных коэффициентов в обозначения»), но для теории клас- классификации квадратичных форм различие между обеими опре- определениями очень мало. В действительности эти определения не противоречат друг другу — они сотрудничают. Если форма / является целочисленной в одном смысле, то форма 2/ является целочисленной в другом, и f эквивалентна g тогда и только тогда, когда 2/ эквивалентна 2g. Так как для алгебраических целей обычно наиболее удобно задавать форму элементами ее матрицы, мы предпочтем второе определение. В этой книге мы называем f целочисленной формой тогда и только тогда, когда
§ 2. Определения 449 элементы ее матрицы являются целыми (т. е. тогда и только тогда, когда она является классически целочисленной, или це- целочисленной как симметричная билинейная форма). 2.2. Формы и решетки; целочисленная эквивалентность. Вы- Выделим некоторые геометрические идеи. Мы рассматриваем ра- рациональное векторное пространство V со скалярным произве- произведением ( , ) и называем величину (х, х) нормой вектора х. Если пространство V двумерно и натянуто на векторы е\ и е2, причем (е„ е,) = а, (ех,е2) = Ь, (e2te2) = c, то норма вектора х = ххех + х2е2 есть в точности f(x), а его скалярное произведение на вектор у = у\в\-\- у2е2 равно f(x,y). Векторы х — Х\в\ + х2е2 с целыми х\ и хч образуют решетку в V, и пара е\, е2 является (целочисленным) базисом этой ре- решетки. Другие ее базисы имеют вид аех + $е2, уе\ + бег, где а, р, 7, б— целые числа, причем аб — Pv = ±l- Мы будем на- называть две бинарные формы f и g с матрицами А и В целочис- ленно эквивалентными или говорить, что они из одного класса, и писать f ~ g, если существует целочисленная матрица такая, что ее определитель равен ±1 и В = МАМТ. Геометри- Геометрически эквивалентность форм означает, что fug порождают одну и ту же решетку, но с разными базисами. Эквивалентность называется собственной, если det Л1 = -j-1, и несобственной, если detM = —1. Общий случай совершенно аналогичен (см. разд. 2.2 гл. 2). Симметрическая матрица А=(ач) с целыми элементами за- задает (классически) целочисленную форму /, значения которой представляют собой нормы элементов решетки Л (в и-мерном векторном пространстве) с базисом е\, е2, ..., еп, удовлетво- удовлетворяющим соотношениям (е,, е{) = ач. Если элементы матрицы М = (т,,) целые, то векторы e[=J^lmliel е'п=^тп{е}по- рождают некоторую подрешетку решетки Л. Эта подрешетка совпадает со всей решеткой Л в том и только том случае, когда матрица М~1 является целочисленной, что имеет место тогда и только тогда, когда detM = ±1. Мы говорим, что две я-арные формы f и g с матрицами А и В (собственно или несобственно) целочисленно эквивалентны, если для их матриц выполняется соотношение В = МАМТ, D)
450 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм где М — некоторая целочисленная матрица с определителем соответственно +1 или—1. Ясно, что число of r= det Л является инвариантом формы / относительно целочисленной эквивалентности (т. е. если / и g целочисленно эквивалентны, то det Л = det S), и мы называем число d детерминантом формы /. Читатель, возможно, обращал внимание на то, что многие авторы называют дискриминантом формы указанное число, умноженное на некоторые степени чи- чисел 2 и —1 в зависимости от размерности (и от автора). На практике при преобразовании f в эквивалентную форму матрица В получается из матрицы А применением набора эле- элементарных операций (т. е. умножений строки на обратимое це- целое и прибавлений одной строки, умноженной на целое число, к другой строке) к строкам матрицы А, а затем того же набора операций к столбцам полученной матрицы. Введенные понятия можно немедленно обобщить на случай произвольного кольца R (с 1). Форма f определена над R, если она представляется матрицей А с элементами из R. Две формы /и g эквивалентны над R, если для некоторой матрицы М с элементами из R и с определителем, равным единице кольца R (т. е. элементу из R, который имеет обратный элемент, также лежащий в R), справедливо равенство D). Например, пусть R — поле рациональных чисел Q. Тогда целочисленно неэкви- неэквивалентные формы х2 + у2 и 2г2 -j- 2t2 являются, однако, рацио- рационально эквивалентными. Это вытекает из формул х = z + t, z y = z-t, t=l/2(x-y). Если / и g — рационально эквивалентные формы, то отношение их детерминантов является квадратом ненулевого рациональ- рационального числа. § 3. Классификация бинарных квадратичных форм Почти все, что можно сказать о классификации бинарных квадратичных форм, было сказано Гауссом в его «Арифмети- «Арифметических исследованиях» [Gaul]. Полная классификация не- неопределенных бинарных форм, основанная на понятии цикла приведенных форм, совершенно непохожа на полную классифи- классификацию Эйхлера неопределенных форм в размерностях ^3. Чрезвычайно ясное описание классификации Гаусса было не- недавно дано Эдвардсом [Edw 1]. Он обсуждает также связи с теорией идеалов квадратичных числовых колец. Здесь мы даем
§ 3. Классификация бинарных квадратичных форм 451 лишь формулировки результатов, сопровождая их кратким ука- указанием на эти связи. Другие трактовки теории бинарных квад- квадратичных форм можно найти в работах [Cas 3], [Dav 1], [Jon 3], [Lev 1], [Wat 3], [Zag 1] и др. 3.1. Циклы приведенных форм Теорема 1 (взята с измененными обозначениями из [Edw 1, с. 386]). Пусть ( "° Ь° ) (сокращенно обозначаемая \аоЬ%) — V 0о а\ / бинарная целочисленная квадратичная форма с детерминантом d = аоа{ — Ь\, и пусть —d не является квадратом. Определим последовательность ,\ /a, h) \bt ( сокращенно а^оа^Оъ ... арlal+j бинарных форм с детерми- детерминантом d следующим образом: ] at и hi определяют ai+\ по формуле—j—; bi и cii+i определяют bi+\ как наибольшее решение сравнения *« + ^+1=°(тоAаг+1), F) для которого имеет место неравенство b2i+1+d<0, G) в случае, когда такое решение существует, а если такого решения нет, то ft;+i определяется как наименьшее по мо- модулю решение сравнения F), причем если имеются два рав- равных по модулю решения, то в качестве bi+i следует выби- выбирать положительное. Тогда полученная таким способом из данной формы последова- последовательность форм, начиная с некоторого места, является периоди- периодической. Формы из этого периода и называются циклом приве- приведенных форм. Кроме того, две бинарные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда они порождают один и тот же цикл приведенных форм. Из условия, что число —d не является квадратом, следует, что а,- Ф 0 и, таким образом, а,+\ и ft,-+1 определены корректно. В случае когда —d—квадрат, необходимы лишь незначитель- незначительные модификации (см. разд. 3.3).
452 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм В качестве примера приведем последовательность форм, по- порождаемую формой х2 — 67#2: + 1°—67°+18-37+65—72+97-27+92—75+67-38+18-3 ... (8) Этот цикл состоит из десяти приведенных форм. С другой сто- стороны, —х2-\-67у2 приводит к иной последовательности, отли- отличающейся от (8) знаками нижних элементов (т. е. at). Следо- Следовательно, эти две формы неэквивалентны. 3.2. Определенные бинарные формы. В случае определен- определенных (скажем, положительно определенных) бинарных форм из теоремы 1 следует, что либо цикл содержит единственную форму (а Ъ\ ( 1 с 6 = 0 или 26 = |а|, (9) либо две формы (а Ь\ ( с —Ь\ L с)' U .)¦ A0> Термин «приведенная» естественно прилагается к единственной форме (9) или к той форме из пары A0), которая удовлетво- удовлетворяет условию а<с или а —с и b > 0. Несложно показать, что положительно определенная форма Г . J является приведенной в этом смысле тогда и только тогда, когда она удовлетворяет неравенствам —а<2Ь^.а^.с, где 6^0, если а —с A1) [Die 3, th. 99], [Jon 3, th. 76]. Кроме того, всякая положительно определенная форма собственно эквивалентна только одной приведенной в этом смысле форме. Условие A1) влечет за со- собой неравенство Ъ2 ^ d/Ъ, и все приведенные формы легко пе- перечисляются: для каждого Ь, такого, что |6|^д/^/3> мы раз- разложим сумму d-\- Ь2 на множители, d + Ь2 = ас, всеми воз- возможными способами, не противоречащими A1) (см. табл. 15.1). Условие приведения A1) выражает тот факт, что а является наименьшим значением, которое принимает фор- форма (скажем, на векторе ei) и с является наименьшим значением, которое форма может принимать на векторе е2, неколлинеарном е\.
§ 3. Классификация бинарных квадратичных форм 453 Соответствующее обобщение этих условий на высшие раз- размерности приводит к понятию формы, приведенной по Минков- скому (см. разд. 10.1). Условие A1) эквивалентно также следующему утвержде- утверждению: если (х, у)— решение уравнения f(x, г/) = 0, такое, что Рис. 1.2. Фундаментальная область для PSL2 (Z). г = х/у лежит в верхней полуплоскости, то z лежит в заштри- заштрихованной на рис. 15.2 области, |z|^l, —1/2 г?Г Re.z г?Г 1/2. Если форму подвергнуть унимодулярному преобразованию = SLa(Z), т. е. такому, что числа а, р, 7, SeZ и ар — у8 = 1, то z пре- преобразуется в ~Т д . Указанная выше область верхней полу- полуплоскости является фундаментальной областью для действую- действующей на верхней полуплоскости группы SL2(Z) (см., например, [LeV I, vol. I, ch. 1]). Это понятие также обобщается на выс- высшие размерности, и важным обстоятельством при обобщении является конечность числа стенок фундаментальной области. Значит, число соответствующих неравенств для матричных эле- элементов формы тоже конечно. 3.3. Неопределенные бинарные формы. Предположим, что —d — не квадрат. Тогда в случае неопределенных форм из тео- теоремы 1 можно вывести, что приведенные формы (лежащие в
454 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм цикле) — это в точности формы, удовлетворяющие неравенствам V=^ |, b + \c\} A2) [Gau 1, § 183]. Приведенные формы мы можем отыскать так же легко, как и раньше: для каждого положительного целого числа Ъ < д/—d мы разлагаем число d-\-b2 на множители, d + b2 = ас, всеми возможными способами, удовлетворяющими неравенству A2). В случае когда число —d является квадратом, мы должны слегка видоизменить теорему 1, в частности строгое неравен- неравенство в G) должно быть заменено на нестрогое г?Г. Далее, про- процесс, описанный в теореме 1, завершается на некоторой форме \Ь о) с t)==ys/~d- Если этот процесс провести в противопо- противоположном направлении, то он завершится на некоторой форме Г. V Гаусс [Gaul, § 206—210] доказал, что две формы (а п)и(й о) собственно эквивалентны тогда и только тогда, когда а == a'(mod2&), и несобственно эквивалентны тогда и только тогда, когда ad = gcd (a, bf (mod 26 gcd (a, &)), где через gcd обозначен наибольший общий делитель. Вслед- Вследствие этого мы расширим понятие приведенной формы так» чтобы помимо форм, удовлетворяющих A2), приведенными считались и все формы вида Фа или аЬ0 (-Ь<а<6). Тогда «цикл» приведенных форм превращается в конечную по- последовательность Гаусс говорил, что таблицы бинарных квадратичных форм не следует публиковать, поскольку их чрезвычайно легко вычис- вычислять [Leh I, p. 69]. Тем не менее мы чувствуем, что, приводя табл. 15.1 и 15.2, увеличиваем полезность нашей книги. В этих таблицах с использованием обозначений теоремы 1 перечис- перечислены все приведенные бинарные квадратичные формы с —100^ г?[ d г?Г 50. В табл. 15.1 приведены положительно определенные
§ 3. Классификация бинарных квадратичных форм 455 формы с d ^ 50, а в табл. 15.2 все четыре цикла ...+ab-cd+ef~gh... ... -ab+cd-ef+gh • • • ... h+gf_ed+cb_a ш _ ... h_gf+ed_cb+a _ _ представлены в виде одного элемента В расстановке знаков следует помнить, что перед нижними символами они чередуются. Определенная осторожность требуется в восстановлении исходных циклов, так как не- некоторые из только что упомя- упомянутых четырех циклов могут совпадать, и поэтому элемент таблицы может представлять один, два или четыре цикла. Мы употребляем круглые ( ) и фигурные { } скобки для дальнейшего уменьшения раз- размеров таблицы. Символы, сто- стоящие, в круглых скобках, оз- означают период или полупериод. Так, для d = —99 элемент E87693107) представляет четыре различ- различных цикла ...58-7693-10758-7... ... __5876-93107-587 ... Таблица 15.1. Приведенные положи- положительно определенные бинарные формы .. . 78-57103- -9678-5 ... .... -7857-Ю396-785... d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3S 39 ¦ • < t 10 11 12 13 L4 15 16 47 48 49 50 Формы 1°1 l°2 l°3. 1°*. 1°5. 1°«. 1°7. l°8, 1 °9. 1°IO. 1°11. 1°I2. I°I3, 1 °14. 1°I5. I°I6, 1°17, 1°I8, l°19. l°20, 1°21, 1°22, l°23 1°24. 1°25, l°26. 1 °27, 1°28. 1°29, l°30. 1°3I. 1°32. 1°33. 1°34. 1°35, l°36. l°37, 1°38. I 9 l°40, 1°4I 1°42, 1°43. 1°44. 1°45. 1°46. 1°47, 1°48. 1°49, l°50, 2'2 2°2 2 1 3 2»3 2'4 2°4, 3°3, 2°5 2'6. 2°6, 2]7 2°7. 3°5, 2°8, 2'9, 2° 9, 21 10 2°io 3»J 2° 11 2 ' 12, 2»12, 5°5. 2° 13. 3°9. 2° 14, 2'15. 2°15. 2'l6, 2° 16. 3°ll, 2° 17. 5°7 2°18 2 ' 19 2° 19. 3° 13. 2° 20. 2 ' 21. 2°21. 2'22, 2° 22. 3°15, 2° 23, 2'24. 2° 24. 7°-. : 2° 25. з'з 21 5 3*«4 3°4. 424 3*]5 2'8 4>4 4°4. 425 3*'6 3°6 , 4±]5 , 4°5. 3*'7, 426 Д1 11, 525 . 3 *=' 8. 4*>6 3°8. 4°6. 5]5, 427 2' 13 3*]9, 5i26 21 14. 4*'7, б1б 4°7. 428 3*110, 5*'б 3°IO. 5°6 4*4 5*27 4°8, 3 *' 11, 429, 626 2' 17. 637 5*'7 21 18. 3 *' 12, 4*'9, б'6 3°12. 4°9. 6°6, 4210, 5*28 3*M3, 6*27 2' 20, 4 *' 10. 5*4, 638 4° 10, 5°8, 4211, 737 3*' 14 6*]7, 5*29 3° 14, 6° 7 4*1 11 4° 11. 3 *' 15, 5*19, 42 12. 6*28 5°9, 21 23, 727, 639 5*21O 3*1 16, 4*' 12, б*' 8, 7*38 3° 16. 4° 12. 6°S. 7 ' 7. 4213, 848 I1 25. 5*1 10 5° 10. 3*1 17, 6*29
456 Гл. 15 Классификация целочисленных квадратичных Таблица 15.2а. Приведенные неопределенные бинарные формы d -1 -2 -} -4 -5 -6 -7 -8 -9 - 0 -11 -12 -13 -14 - 5 -16 -17 -18 -19 -20 -.1 -22 -23 -24 -¦>} -26 -27 -28 -29 -30 -31 -32 -33 _->4 - 5 -'6 -j7 -38 -'9 -40 -41 —2 -43 -44 -45 -46 -47 -48 -49 -50 'формы О1) О1!) (I1) П'2) О2) 021) 022) (I2) B1) |122] A23'2) |124| B2) О3) 03П 0*2) ОЬ) (I3) B23]) A32) П33} B24) A34'32) [23) И3522) fl36l |233) О4) 041} 042), С>324), 044) |14} |234) |142| (З3) |1432532) |144| B4I U2) (|45'433) B36) 1 1462342| A4732| |148| B44) C3524) О5) O5ll О52) О534) О543) О5}) (I5) |245') |152| C36) A5344! B4624) A54352) {25| A55! B4733) A5б'54352) A5724) B48! D4) I 1 5 8 3 3 ] B 5 4 3 6 1 (I5942) (S346253) ! 1510! B551 061 061) О61) 063) 064) О6544) О6б) II6} Г5б') C54374) |162) П63} B572536) 1164) |26) E5348) D4621 A6541 B58345) |16б' {263| A67'6534952| |168253744} [264| A6934551 ( 25 10) (З6) |63) (|6104357264562) A61152| A.612| B6б| |364} D48) О7} 071| 072) О7358357О 074S670, O77j (I7) U6?1! E5)
§ 3 Классификация бинарных квадратичных форм 457 Таблица 15.2Ь. Приведенные неопределенные бинарные формы d формы -51 ||72) |3654736) -< A735944| |268264} D6| -53 (I74572I B71 -<4 |1753962) |366) -« М7( Sli) I 2 ^ 3 *¦ 10 ) -'6 A 7} B61044) D6548) -57 (|78'763| |2745836) -58 [|79264731 B611537| -5» A7Ю3572| -60 (I71I44) B6l2l C682755l U6 6! -61 ( 17|25374Ч9456) B76*1 -62 Н7В62) -6) (|7U) |277| C6936) -64 08| 081) 082| О83758О 084) 08648| О8 764 1 088) -65 [Is) |278') |4510| D7) |558374) -66 A82| |36Ю4566| -67 |18376572972) -68 |184) B8) D682| -69 A857451163) {271О36| -70 (|864955| |28377| -71 A87654ц72) -72 A88| B84) l36I2l U693748} (б6) -73 ||89'8738| B7125476583) -74 (|810275) |2857] -75 (|8П36) B7I363) | 55 10 I -76 ( I8I24568297384| B8641064) -77 |18135477| |2714] -78 (lSl463l |2876<Я -79 A81572) C857659473Ю7) -80 A81б) |288) D6П55| D8) (841 -81 О9| 09|) 092! О'З) 0947890 09569385790 О96} 099| -82 |l'| B89М C711468) -83 (|92| -84 | 1»1] |28Ю286! D612l D87S1 -85 (l'4792) |29) [55I273876I G65Ю1 -86 ( 1956Ю473П82| -87 (!96) B931 -88 |!975948) |28124684) D6K7388| |486| -89 A98758) |2947Ю385) -90 (|99) |3») |281355) F993) -91 | 1910'983714) ( 2956 11 56 77 ) -92 A9П286784! |'81464) -93 (|91?374П74'3) |29б) -94 [ I9134685_7921O8371S82) -95 |1'|455) '{2975Ю! -96 (I91564) [3'56!2] B81б) D88) (б'ИО4!) -97 ( I916738I138594) B9876512749) -98 A91782) |77) -99 И'|8} B99! C»6) E«7693107) -100 О10). О 101) 0102) 0|0381247 |0О 0104| О1О5) 01068), 01086) о">984} 01°ю!
458 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм Однако элемент C54374) для d = —37 дает нам только два неэквивалентных цикла,, а именно цикл ... З5—4374—3543—7435—4 ... и его обращение. Большинство элементов в таблице содержит- содержится внутри фигурных скобок, которые указывают на отражение относительно наиболее удаленных от середины разрядов. Так, для d = —13 элемент представляет единственный цикл ... 13-4132-3143—1341-3231-4113-4, в то время как для d = —14 элемент {13522} представляет два цикла 13_5222_5313_5 Если —d — точный квадрат, то циклы превращаются в це- цепочки, оканчивающиеся нулями. Так, для d = —16 элемент 04324} представляет 0432-42340 04_з242-340. В литературе приведено множество других таблиц (см. [Bral], [Cas3], [Edw 1], [Incl], [Jonl], [Legl], JLeh 1, p. 68—72], [Som2]), но в большинстве из них некоторые клас- классы форм не приводятся (например, импримитивные формы или же те, для которых —d-—квадрат, или неопределенные формы). 3.4. Композиция бинарных форм. Для бинарных форм при подходящем ограничении имеется понятие композиции, введен- введенное Гауссом. Эта операция наделяет множество форм группо- групповой структурой ([Gaul, § 234], [Cas 3, гл. 4], [Die 2, ch. 3],
§ 3. Классификация бинарных квадратичных форм 459 {Edw 1, § 8.6], [Jon 3, § 4.4]), но не обобщается на случай раз- размерностей Г^З. Наиболее ясно это понятие можно изложить в терминах произведения классов идеалов в соответствующих квадратичных числовых кольцах. Предположим для простоты, что —d—свободное от квад- квадратов число, не сравнимое с 1 по модулю 4. Тогда множество Z [V—d] алгебраических целых чисел в Q (д/—d) есть в точ- точности множество чисел вида r-\-s^—d при г, seZ. Есте- Естественно ограничиться рассмотрением собственно примитивных квадратичных форм / (х, у) = ах2 + 2Ьху + су2 (т. е. тех форм, у которых числа а, 26, с не имеют общих множителей) с де- детерминантом ас — Ь2 = d. Произвольный идеал & в Z [д/—d] имеет базис (над Z), состоящий из двух элементов, так что и его нормой обычно считают положительное целое число \ru — st\ [Rei I, p. 293, 330]. Главный идеал имеет единствен- единственную образующую, скажем г -+-S д/—^> над ^fV—^1» в т0 время как над Z он порожден элементами r-\-s^—d и д/—d(r + + s-\/—d). Этот идеал имеет норму г2 + s2d, и мы будем его обозначать через Чтобы получить собственное соответствие между группой Гаус- Гаусса форм относительно операции композиции и группой классов идеалов мы должны ввести понятие нормированного, или ориен- ориентированного, идеала так, чтобы идеал & нормы N соответство- соответствовал двум нормированным идеалам 2fN и J-n- Главный нормиро- нормированный идеал — это (г + s ^—d а не Произведение нормированных идеалов определяется так: ™Я ' f M == %f • f NM- A3) Говорят, что два (нормированных) идеала & и f лежат в од- одном и том же (нормированном) классе идеалов тогда и только тогда, когда существуют главные (нормированные) идеалы & и Q, для которых выполняется равенство 33* = fQ. Эти клас- классы идеалов образуют группу относительно операции компози- композиции, называемую {нормированной) группой классов идеалов.
460 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм Собственные (т. е. с детерминантом +1) классы эквива- эквивалентности собственно примитивных форм детерминанта d со- соответствуют, как это будет видно ниже, классам нормирован- нормированных идеалов (напоминаем читателю, что число —d свободно от квадратов и не равно I(mod4)). Одним из решений уравне- уравнения f(x, у) = ах2 + 2Ьху + су2 = 0 является х —fr + V^T у — а и мы скажем, что нормированный идеал (а, -Ь + У=3>„ соответствует f. Теперь мы можем определить композицию следующим обра- образом. Чтобы найти результат композиции двух квадратичных форм, следует вначале перейти к соответствующим нормирован- нормированным идеалам и перемножить их согласно A3), затем, работая по модулю главных нормированных идеалов, привести произве- произведение к нормированному идеалу вида (а, -й + У=3)а, а потом методом циклов теоремы 1 привести соответствующую квадратичную форму (а, J детерминанта d. Например, квадратичная форма ( J, принадлежащая приведенному циклу 32_1231-213 соответствует нормированному идеалу Его квадрат является нормированным идеалом нормы 9, кото- который как идеал порожден числами 32 = 9, 3(-2+л/7) = -6 + Зл/7, (-2+V7J=ll-4 V7» и, как легко видеть, совпадает с идеалом (9, —5 + у7)э> с°- ответствующим форме I 5 2J. Эта форма дает последова- последовательность приведения 952!—3212—3J2!—3 .... Таким образом, композиция класса эквивалентности, содержа- / 3 2\ щего I „ _,), с ним самим дает нам класс, содержащий ( 1 —з )' ^а самом деле кажДая форма детерминанта —7 ле-
§ 4. р-адические числа 461 жит в одном из этих двух классов, и, значит, группа является циклической порядка 2. Возможно, стоит отметить, что формы, несобственно экви- эквивалентные f, принадлежат к обратному классу в группе (см. [Cas 3, гл. 14, теор. 2.1.]). Таким образом, представителем обрат- обратного класса является либо Г f V либо ( _? ~ V Форма, несобственно эквивалентная самой себе, обычно называется двусмысленной формой. Эдварде [Edw 1, гл. 7, 8] дал ясное описание групповой структуры в общем случае, сопровождаемое большим количеством примеров. Он работал, однако, с аксио- аксиоматически определенным понятием дивизора вместо наших нор- нормированных идеалов. 3.5. Род и спинорный род для бинарных форм. Теория родов (§ 7) была создана Гауссом только для бинарного случая, в котором она имеет специфические особенности и тесно свя- связана с группой форм относительно операции композиции. На самом деле две формы лежат в одном роде тогда и только тогда, когда их отношение является квадратом в этой группе. Род бинарной квадратичной формы обычно указывается через некоторые «характеры», которые можно вычислить, если изве- известны представимые формой числа. Мы не будем описывать простой переход от этого понятия к использованному в § 7. В теории спинорных родов, описанной в § 9, всегда пред- предполагается, что размерность не менее трех, а в бинарном случае имеются некоторые отличия. Наш подход далее не ра- работает, так как не определены спинорные операторы, соответ- соответствующие всем последовательностям (r_i, r2, г3, . ¦.) квадра- квадратичных классов р-адических единиц. Эстес и Пелл [Est 1] полностью исследовали спинорный род в бинарном случае и по- показали, в частности, что две формы лежат в одном и том же роде тогда и только тогда, когда их отношение является чет- четвертой степенью в этой группе. § 4. р-адические числа Вернемся теперь к рассмотрению случая квадратичной фор- формы произвольной размерности. Понятие целочисленной экви- эквивалентности (определение ее см. в § 2) является весьма тонким, однако именно с него лучше начинать изучение более слабых видов эквивалентности над большими кольцами: над полем рациональных чисел Q, над полем р-адических рациональных чисел Qp и над кольцом р-адических целых чисел Zp,
462 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм где р пробегает «простые» числа —1, 2, 3, 5 Мультиплика- Мультипликативная группа рациональных чисел, отличных от нуля, является прямым произведением своих циклических подгрупп, порожден- порожденных — 1 и положительными простыми числами 2, 3, 5... . В этой главе мы рассматриваем —1 как простое число, не- несмотря на то что оно обладает некоторыми специфическими чертами. Эти особенности обусловлены конечностью порядка порожденной им подгруппы — она циклическая и имеет поря- порядок 2, а подгруппы, порожденные другими простыми числами, имеют бесконечный порядок. Мы считаем, что оба кольца Q_i и Z_i совпадают с кольцом R вещественных чисел. В Q и Z имеется бесконечно много простых чисел, изучая же Qp или Zp, мы каждый раз концентрируем внимание только на одном про- простом числе. 4.1. р-адические числа. Мы даем краткое описание важней- важнейших свойств р-адических чисел, которые нам далее понадо- понадобятся. Дальнейшую информацию читатель может получить во многих книгах: [Bad], [Bor5], [Cas 3], [Kobl], [Mah 5], [O'Mel]. Любое вещественное число является пределом последова- последовательности Коши рациональных чисел в стандартной метрике d-Лх, у) = \х — у\. Пусть число р > О простое. Тогда мы можем снабдить рацио- рациональные числа р-адической метрикой dP(x, «/) = —, где число k равно степени р в каноническом разложении числа х— у. Например, с15B, 52) = р- = -^-, Заметим, что для хфу произведение dp(x, у) по всем про- простым р (включая ¦—1) равно +1. Множество рациональных р-адических чисел Qp состоит из предельных точек последовательностей Коши обыкновенных рациональных чисел в р-адической метрике. Целые р-адические числа Zp мы получим, если в качестве членов последователь- последовательностей будем рассматривать только обыкновенные целые числа. Например, разница между и-м и любым последующим чле- членом в последовательности 4, 34, 334, 3334, ... делится на 5"
§ 4. р-адические числа 463 (и даже на 10"), и, значит, эта последовательность 5-адически сходится к 5-адическому целому числу, которое мы обозначим через а. В этом случае а на самом деле является рациональ- рациональным числом. Действительно, число За является пределом по- последовательности 12, 102, 1002, 10002, ..., которая 5-адически сходится к 2, так как ее n-й член отличается от 2 на число, кратное 5я. Значит, а = 2/3. Подобным же образом мы получим, что любое рациональное число, знаменатель которого не делится на р, является целым р-адическим числом. 4.2. р-адические квадратичные классы. В качестве другого примера рассмотрим число 6, квадратный корень из которого является целым 5-адическим числом. Действительно, I2 = = 6(mod5), (—9Js=6(mod25), A6J=6(mod 125), (—109J= = 6(mod625), ..., последовательность 1, —9, 16, —109, ... мо- может быть продолжена бесконечно так, что ее п-й член сравним со всеми последующими по модулю 5я. Значит, эта последова- последовательность является 5-адической последовательностью Коши, предел которой равен квадратному корню из 6. Аналогично, для любого положительного нечетного простого р целое число, не делящееся на р и являющееся квадратичным вычетом по модулю р, есть р-адический квадрат [Вас 1, р. 59]. Скажем, что два р-адических числа лежат в одном р-адиче- ском квадратичном классе, если их отношение является квад- квадратом в Qp. Квадратичные классы для различных значений р могут быть описаны следующим образом (ср. [Вас 1, р. 59—60], [Cas3], [Wat3, p. 33]): +«, —и при р= —1, «,, «з, и5. Щ, 2«i, 2и3) 2и5, 2«7 при р = 2, и+, и_, ри+, ри_ при р>3, где при р = —1 число и>0^—любое действительное ((—1)- адическая единица), при р = 2 число щ представляет любую 2-адическую еди- единицу, сравнимую с t(mod8), при р ^= 3 число и+ (соответственно «_) есть р-адическая единица, являющаяся квадратичным вычетом (невыче- (невычетом) по mod p. 4.3. Обобщенный символ Якоби — Лежандра. В соответствии с нашим соглашением рассматривать —1 как простое число естественно определить наибольший общий делитель двух
464 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм целых чисел п = (-1)а2ьЗс..., v = (-l)a2p3v..., A4) где о = 0 или 1, a = 0 или 1 и b, (J, с, у, ... = О, 1, 2, ..., как /_ 1 / .-.rain (о, a)otnin(b, P)Qmin(u,v) (П, V) — t,— 1) ? о .... Заметим, что из этого определения следует, что два отрица- отрицательных числа не могут иметь (п, v)=l и потому они не могут считаться взаимно простыми. Для всех чисел п, v, у которых (п, v) = 1, мы можем определить символ Якоби — Лежандра Г—) следующим образом: Г—) = ± 1 для всех простых чисел р^З в соответствии с тем, сравнимо или не сравнимо v с квадратом по модулю р; как в этом случае v > 0) и = 1, если v = ± I (mod 8), и —1, если v =з ± 3 (mod 8). (Заметим, что ( —J так же корректно определено в случае р-адического целого v, не делящегося на р, так как всякое р-адическое целое число сравнимо с некоторым рациональным целым по модулю p. J Символ Г—J для п, заданного формулой A4), определяется так: Согласно этому определению, из квадратичного закона взаим- взаимности вытекает, что во всех случаях, кроме того, когда и п, и v сравнимы с — I(mod4), в котором 4.4. Диагонализация квадратичных форм. Хорошо известно, что любая квадратичная форма над полем характеристики Ф2 (например, над Q или Qp) может быть диагонализирована. При этом каждый вектор, на котором форма принимает отличное от нуля значение, может быть выбран в качестве первого вектора
§ 4. р-адические числа 465 базиса, в котором форма имеет диагональный вид (см., напри- например, [Jon3, th. 2]). Кроме того, для р ф 2 любая форма может быть диагона- лизирована над Zp. Случай р = —1 входит в предыдущее утверждение. В остальных случаях мы поступим так. Сначала найдем матричный элемент, делящийся на наименьшую сте- степень р. Если это диагональный элемент, скажем аи, то мы можем начать диагонализацию, вычитая кратные первой строки из остальных так, чтобы обратились в нуль остальные эле- элементы первого столбца. Затем следует выполнить соответствую- соответствующие операции со столбцами, чтобы обратились в нуль осталь- остальные элементы первой строки. Если же это был не диагональный элемент, а, скажем, а\2 делится на наименьшую степень р и все диагональные элементы делятся на большую степень р, то, прибавляя к первой строке вторую, а затем к первому столбцу второй, мы сводим этот случай к первому. Такое преобразова- преобразование заменяет оц на сумму ап + 2а12 -f- 022, которая делится на наименьшую степень р (так как р ф 2) по сравнению со всеми элементами. Тот же метод работает и при р = 2, за исключением слу- случая, когда некоторый внедиагональный элемент, скажем п\2, делится на наименьшую возможную степень q = 2k, в то время как все диагональные элементы делятся на 2fe+1. В этом слу- случае ведущая B X 2)-подматрица имеет вид fqa qb\ \qb qcj' где а и с делятся на 2, а Ъ — нет, так что d = ас—Ь2 не де- делится на 2. Отсюда следует, что любая пара целых (х, у) есть 2-адическая целочисленная линейная комбинация (а,Ь) и (Ь, с), так что (поскольку все элементы делятся на q) мы мо- можем вычесть подходящие кратные первых двух строк из осталь- остальных (а затем проделать аналогичную операцию со столбцами), так чтобы выделить матрицу Гq, J в качестве прямого слагаемого. Таким образом, мы доказали следующий результат: Теорема 2. При рф2 любая р-адически целочисленная форма может быть диагонализирована посредством р-адически целочисленного преобразования. При р = 2 имеется р-адически целочисленное преобразование, выражающее эту форму в виде прямой суммы форм с матрицами {qX)' [ qa qb qb ac
466 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм где q — степень 2, а и с делятся на 2, а х, Ъ и d — ас — Ь2 не делятся на 2. Замечание. Читатель, знакомый с другими работами по квадратичным формам, заметит, что мы называем простым числом —1 то, что в других работах обозначают оо. Над более общими кольцами алгебраических чисел может быть несколько таких «простых» чисел, соответствующих различным архиме- архимедовым нормированиям, и в исходных работах Хассе встре- встречаются такие символы, как 1', 1" Наиболее подходящее для них название «простые единицы», поскольку они возникают из свойств группы единиц основного кольца. К несчастью, возникла вредная привычка называть их вместо этого «беско- «бесконечные простые». Когда мы начали писать эту главу, то коле- колебались между обозначениями оо и —1 для архимедова простого числа в нашем случае. Однако в конечном итоге мы сочли, что непривычное обозначение —1 настолько все упрощает, что от- отказ от него был бы неоправданным. § 5. Рациональные инварианты квадратичных форм В § 5 и 6 мы изучим, при каких условиях две целочисленные квадратичные формы эквивалентны над кольцом рациональных чисел. Главные результаты установлены в теоремах 3, 4 и 5. Обычно рациональные инварианты для квадратичных форм определяются через символ норменного вычета Гильберта ([Cas3, гл. 6], [Jon3, ch. 3], [Wat3, ch. 3]). В нашем изло- изложении мы избегаем употребления этого символа и, кроме того, преобразуем стандартную «формулу произведения» в легко применимую «формулу суммы» A5) или «формулу странности» A6). Так как мы работаем над Q, то можем предполагать, что форма уже диагонализирована (см. разд. 4.4). 5.1. Инварианты и формула странности. Любое рациональ- рациональное или р-адическое целое число А может быть записано един- единственным образом в виде А = раа, где а взаимно просто с р (подразумевается, что а > 0 при р = —1, см. разд. 4.3). Тогда р(А) = ра называется р-частью числа А и р'(А) = а назы- называется р'-частью. Мы введем термин р-адический антиквадрат для обозначения числа вида /7неч-«_ при р^З и числа вида 2неч-«±3 при р = 2, поскольку как р-, так и р'-части таких чисел не являются квадратами. ((—1)-адических антиквадратов не бывает.) В терминах нашего обобщенного символа Якоби — Лежандра раа является р-адическим антиквадратом в том и
§ 5. Рациональные инварианты квадратичных форм 467 только том случае, когда ра не квадрат и Г—) =—1. Определим р-сигнатуру целочисленной квадратичной фор- формы / = diag {раа, рр6, р^с, ...} так: pa + pp + pv+...+4m (рФ2), где m — число р-адических антиквадратов среди раа, р рус Таким образом, (—1)-сигнатура формы f — это про- просто ее обыкновенная сигнатура, которая (согласно закону инерции Сильвестра, разд. 6.2) является инвариантом относи- относительно вещественной эквивалентности. При р Г> 2 форма f мо- может лишь рассматриваться как определенная по модулю 8, и мы увидим, что р-сигнатура является инвариантом относи- относительно рациональной эквивалентности. Назовем также 2-сиг- натуру, которая часто ведет себя специфическим образом, странностью /. То, что обычно называют формулой произведения, связы- связывающей различные р-адические инварианты ([Cas 3, с. 93], [Jon 3, th. 29]), становится в этих обозначениях формулой суммы') 2-сигнатура — размерность == = X р-сигнатура — размерность (mod 8) A5) неч р ИЛИ X (р-эксцесс (f)) н= 0 (mod 8), все р где мы определяем р-эксцесс как р-сигнатура — размерность, если р =? 2, и размерность — р-сигнатура, если р = 2. На практике для вычислений лучше рассматривать вклады от р = —1 и 2 отдельно, что приводит к формуле странности сигнатура (f) + ? р-эксцесс (/) = странность (f) (mod 8). A6) Пример. Для формы f = diag{l, 3, —3} находим: при р = —1 сигнатура равна 1 + 1 — 1 = 1, при р = 3 3-эксцесс равен 0 + 2 + 2 + 4 = 8 '' Суммирование по нечетным простым р включает в себя р = —1.— Прим. перев.
468 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм (так как —3 есть 3-адический антиквадрат) и при р Гзг 5 р-эксцесс равен 0 + 0 + 0 = 0, в то время как при р = 2 странность равна 1+3 — 3 = 1, так что A6) имеет вид 1-J-8 + 0 + 0+ ... == I(mod8). Тогда наша первая главная теорема, доказательство которой будет приведено в § 6, — это Теорема 3. Две несингулярные формы одинаковой размер- размерности рационально эквивалентны тогда и только тогда, когда (i) отношение их детерминантов — рациональный квадрат и (И) при всех р они имеют одинаковый р-эксцесс. Условие (и) можно заменить на эквивалентное: (ii)' они имеют одинаковую сигнатуру и странность и, кро- кроме того, при всех р ^ 3 один и тот же р-эксцесс по модулю 8. Очевидно, что если две формы рационально эквивалентны, то они должны быть эквивалентны над Qp при всех р. Так как, с другой стороны, использованные в теореме 3 инварианты р-адические, то эта теорема может быть сформулирована сле- следующим образом: Теорема 4 (слабый принцип Хассе1)). Две рациональные формы эквивалентны над Q тогда и только тогда, когда они эквивалентны над Qp при всех р. 5.2. Существование рациональных форм с заданными инва- инвариантами. Следующая теорема показывает, что формула стран- странности является по существу единственным соотношением между р-адическими инвариантами при всех р. Теорема 5 (сильный принцип Хассе). Если для каждого р задана некоторая р-адическая форма /<р> детерминанта d, та- такая, что сигнатура (f~n) + 2 р-эксцесс (/<р)) = странность (/B)) (mod8), р>з то существует рациональная форма /, которая эквивалентна /(р> над Qo для каждого р. Согласно теореме 4, если такая форма существует, то она единственна с точностью до эквивалентности. ') Зачастую называемый просто принципом Хассе. — FIvum. перев.
§ 5. Рациональные инварианты квадратичных форм 469 Набросок доказательства (детали см., например, [Cas 3, гл. 6, теор. 1.3] или [Jon 3, th. 29]). Сначала теорема сводится к случаю, когда / — бинарная форма. Затем мы хотим найти рациональную форму f = diag{A, В} заданного детерминанта d с данной сигнатурой и нетривиальными р-эксцессами для ко- конечного числа простых р. Идея заключается в том, чтобы вы- выбрать большое простое число q и взять f = diag{pip2 • • • q, РхРг ... qd), где р( выбрать из этих простых чисел и делителей числа Id. Значение р-эксцесса для каждого простого р, деля- делящего d, определяется классом вычетов q по модулю р или, в случае р = 2, классом вычетов q по модулю 8. Следовательно, можно одновременно удовлетворить все эти требования, если взять q из подходящей арифметической прогрессии по модулю Ad. Существование таких простых q гарантировано теоремой Дирихле A837 г.) о простых числах в арифметической про- прогрессии (см., например, [Apol]). Для простых p=?q, которые не делят d, р-эксцесс тривиален, в то время как для самого q значение ^/-эксцесса должно быть правильным в силу формулы странности. Замечания. A) Это доказательство по сути восходит к Ле- жандру, ко времени, когда теорема Дирихле была лишь недо- недоказанным предположением. Позднее Гаусс, нашедший доказа- доказательство, использующее понятие рода целочисленных бинарных квадратичных форм, устранил зависимость от этого предполо- предположения (см. [Cas 3, гл. 14, §5]). B) Возможные значения данных р-адических инвариантов для л-мерной формы могут быть вычислены по их возможным значениям для 1-мерных форм, которые легко выписать. На- Например, р-эксцессы всегда четны и делятся на 4 при р = see I(mod4). 5.3. Общепринятая форма инварианта Хассе — Минковского. В литературе по квадратичным формам тонкая часть р-адиче- ского инварианта для формы обычно выражается в виде числа, равного ±1, называемого инвариантом Хассе — Минковского (а не в виде р-эксцесса, как у нас). Имеется несколько раз- различных соглашений, однако принято называть [Cas 3, с. 72 инвариантом Хассе — Минковского для формы f=diag{/4i, Л2, ..., An} выражение (f)p = (Аи А2 Ап)р = П (Ah Aj)p, A7) где (х,у)р есть так называемый символ норменного вычета Гильберта. Этот инвариант может быть получен из р-эксцесса
470 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм следующим образом. (/)р равен 1 или —1 ? зависимости от того, сравним р-эксцесс (/) — р-эксцесс (f0) •с 0 или 4 (mod 8), где fo = diag{Au А2, ..., Ап, 1, 1, .... 1} — «стандартная» форма, имеющая тот же детерминант и раз- размерность, что и /. § 6. Инвариантность и полнота системы рациональных инвариантов Этот параграф посвящен доказательству теоремы 3. 6.1. р-адические инварианты для бинарных форм. Класс эквивалентности бинарной формы над полем полностью опре- определяется ее детерминантом d (по модулю квадратов) и лю- любым числом, отличным от нуля, которое он представляет. Дей- Действительно, если f(e\)= а, то мы можем взять е\ в качестве первого вектора диагонального базиса, в котором мы должны получить f — diag{a, d/а). Для целых р-адических чисел имеется лишь конечное число квадратичных классов, и мы можем перечислить все возмож- возможные формы (см. табл. 15.3) и убедиться в том, что две формы имеют одинаковый детерминант и р-адические инварианты (сигнатуру, р-эксцесс и странность) в том и только том слу- случае, когда они эквивалентны. Рассмотрим в качестве примера 2-адические формы с детерминантом 2и3. Каждая такая форма эквивалентна одной из форм diag {щ, 2«з}, diag {щ, 2щ), diag {и5, 2м7}, diag {щ, 2и5}, для которых странность соответственно равна 1 + 3 + 4 = 0, 3+1 = 4, 5 + 7 = 4, 7 + 5 + 4 = 0 (mod8). Так как х2 + 6у2 (первая форма) представляет 7, то она экви- эквивалентна четвертой форме и, аналогично, вторая и третья формы также эквивалентны. Но легко показать, что х2 + 6у2 не представляет чисел вида 4т(8& + 3), и потому эти две пары форм неэквивалентны. Итак, имеются две различные 2-адиче- ские бинарные формы детерминанта 2и3- Первая из них имеет странность 0 и представляет числа и\, Щ, 2щ и 2«5, а вторая
§ 6. Инвариантность и полнота 47t имеет странность 4 и представляет числа Ыз, щ, 2и\ и 2щ. Это объясняет появление элементов, соответствующих р = 2 и det = 2«з, в табл. 15.3. Проводя при р = 2 аналогичные рассуждения во всех рас- рассматриваемых в табл. 15.3 случаях, получаем, что странность Таблица 15.3. Соответствие между р-адическими инвариантами и числами, представленными бинарными формами р —1 р 2 det + « — и det «1 «3 «5 «7 2и, 2ы3 2ы5 2«7 Квадратичные классы представляют + и — и + и, ~ и Квадратичные классы представляют щ, иъ, 2ыь 2ы5 ы3, ы7. 2«з, 2ы7 «1. «3, «5. «7 2и,, 2и3, 2«5, 2ы7 ы,, ы5, 2ы3, 2ы7 «з, «7, 2и,, 2ы5 все ы,, «з, 2ы,, 2ы3 Ы5, «7, 2Ы5, 2Ы7 ыь ы7, 2и3, 2и5 «3. «5. 2ЫЬ 2«7 «1, Ыз, 2«5, 2и7 и5, ы7, 2ы,, 2ы3 ы,, ы7) 2и,, 2ы7 ы3) ы5, 2ы3, 2ы5 Сигнатура 2 —2 0 Странность 2 6 4 0 6 2 0 2 6 0 4 2 6 0 4
472 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм р det и+ и_ ри+ ри- Квадратичные классы представляют все ри+, ри- все и+, ы_ рит, ри_ и+, ри+ и_, ри~ и+, ри_ и_, ри+ р-эксцесс для р (mod 8) = 13 5 7 0 - 0 - — О — 0 - 4 — 4 -0-0 0 - 0 - 4 — 4 - 0 2 4 6 4 6 0 2 4 6 0 2 0 2 4 6 является 2-адическим инвариантом и, как и детерминант, пол- полностью инвариантна относительно 2-адической рациональной эквивалентности. Аналогичные рассуждения можно провести и для всех других простых чисел. Это завершает доказательство теоремы 3 для бинарных форм. Читатель заметит, что при каждом р имеется одна форма, представляющая все ненулевые числа. Это изотропная форма diagf4,—А) детерминанта —1, название которой обусловлено тем, что она также представляет 0 нетривиально. 6.2. р-адические инварианты для я-арных форм. Приведен- Приведенные выше замечания легко распространить на высшие размер- размерности и доказать, что введенные инварианты остаются инва- инвариантами и в этом случае. Доказательство здесь состоит в том, чтобы свести эквивалентность между диагональными формами к цепочке бинарных эквивалентностей (т. е. эквивалентностей, задевающих ровно два диагональных элемента). Чтобы увидеть это, заметим, что для того, чтобы формы f = diag {a, b, с, ...}, f' = diag {a', b\ с',...} были эквивалентны, нужно, чтобы а' было представимо фор- формой f. Выберем представление, содержащее наименьшее число слагаемых, скажем а' = ах2 + by2 + cz2 + dt\
§ 6. Инвариантность и полнота 473 и тогда мы имеем бинарные эквивалентности diag {а, Ь, с, d, е, ...} ~ diag {с^, Ь\ с, d, е, ...} ~ — diag{o3, b", с', d, e, ...} ~ diag {а4) Ъ\ с, (Г, е, ...}, где а2 = ах2 + by2, а3 = ах2 + by2 + cz2, а4 = ... не равны нулю. Все это показывает, что f и /' эквивалентны форме diag{a', &*, с*, ...}, и, согласно теореме о сокращении Витта (которую мы тут же докажем), формы diag{b, с, d, ...} и diag{6*, с*, d*, ...} эквивалентны. По индукции последняя эк- эквивалентность сводится к цепочке бинарных; поэтому аналогич- аналогичное сведение имеет место и для эквивалентности между / и /'. Окончание этого раздела будет посвящено доказательству того, что две формы, имеющие при всех р (включая —1) оди- одинаковые р-адические инварианты, рационально эквивалентны. Пусть / и g — две рациональные квадратичные формы с од- одним и тем же отличным от нуля детерминантом (с точностью до умножения на квадрат), имеющие одинаковую сигнатуру, странность и р-эксцесс при всех р ^ 3. Мы докажем, что в этом случае для подходящей несингулярной формы h форма /ФА эквивалентна g@h, и, снова применяя теорему о сокращении Витта, выведем, что / эквивалентна g. Теорема 6 (теорема о сокращении Витта [Wit I], [Cas 3r с. 37], [SchO, p. 22], [Sch2, ch. 1]). Если diag{a, b, c, ...} ~ ~ diag{a', b', c', ...} над любым полем характеристики, от- отличной от 2, и а Ф 0, то diag{b, с, ...} ~ diag{fr', с', ...}. Доказательство. Эта теорема эквивалентна следующему гео- геометрическому предложению. Пусть V — векторное пространство над данным полем, снабженное билинейной формой f{x,y) = = ах\у\ -f- bxiyi -\- схгуъ +• • • . Тогда если норма ненулевых векторов v и w из V совпадает и равна а, то имеется автомор- автоморфизм пространства V, сохраняющий / и переводящий v в w. Теперь для любого г с ненулевой нормой, г е V, отражение х^х-2^-г A8) является автоморфизмом V, сохраняющим /. Оба вектора г = = v ± w не могут иметь нулевую норму, и поэтому одно из соответствующих отражений существует и переводит v в ±да, причем, если необходимо, можно затем произвести автомор- автоморфизм, меняющий знак. Это завершает доказательство теоремы. Замечание. Закон инерции Сильвестра (инвариантность сигнатуры относительно вещественной эквивалентности [Jon 3,
474 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм th. 2]) непосредственно следует из теоремы 6, так как если diag{(+l)r+ft, (-l)*}~diag{(+l)r, (-l)s+k) над полем вещественных чисел, то отсюда следует, что •откуда получаем, что k = 0 (так как одна форма положи- положительно, а другая отрицательно определена). Мы будем говорить, что форма имеет тривиальные инва- инварианты, если все ее р-эксцессы делятся на 8, а ее детерми- детерминант— точный квадрат. Требуемый результат следует теперь из •следующего: Теорема 7. Если F имеет тривиальные инварианты, то она рационально эквивалентна форме вида diag{± 1, ±1 ±1}. Покажем, что результат, который мы хотим получить, яв- является следствием теоремы 7. Так как р-эксцесс всегда четен, то из совпадения инвариантов форм fug следует, что обе формы /ф/ф/ф/ и g®f®m (i9) имеют одинаковые тривиальные инварианты и по теореме 7 указанные формы будут эквивалентны формам вида diag{±l, ±1, •••, ±1}- Так как (сигнатура (/)) = (сигнатура (g)) и ко- количество положительных и отрицательных членов совпадает, то две формы A9) эквивалентны. Из теоремы о сокращении Витта (теорема 6) выводим, что f ~ g. 6.3. Доказательство теоремы 7. Мы будем везде предпола- предполагать, что F— диагональная форма со свободными от квадратов целыми коэффициентами и тривиальными инвариантами, и на ¦самом деле покажем, что для достаточно большого N формы F©diag{(+l)v, (-if), diag{±l, ±1, ...,±1} рационально эквивалентны. Мы сделаем это путем последова- последовательного исключения простых чисел, появляющихся в коэффи- коэффициентах формы F. Пусть р — наибольшее такое простое число; будем называть коэффициенты F, делящиеся на р, р-термами. Заметим, что любой р-терм имеет вид рЦ\Цч ... Цк, где —1 ^ ^ qi < р при всех i. Предположим сначала, что р ^ 3. Теорема 8 (лемма о замене). Предположим, что р ^ 3. Если —1 ^ а, Ь < р и ab сравнимо с квадратом по модулю р,
§ 6. Инвариантность и полнота 475 то мы можем, заменить любой р-терм pat на рЫ без введения каких-либо простых чисел, больших р. Примечание. Процесс замены включает в себя присоедине- присоединение дополнительных прямых слагаемых +1 Kf. Доказательство (основано на [Соп 8, р. 401]). Мы можем написать ab = х2 — ру, где \х\<р/2, и поэтому \у\<Ср. Ра- Равенство pat(bjpf-pbt(x/pf=-ybt показывает,что форма diag {pat, —pbt} представляет —ybt, и, со- согласно изложенному в начале разд. 6.1, она эквивалентна форме diag{ya/, —ybt}. Далее, х2 — у2 — diag{l, —1} представ- представляет все числа, в частности —pbt, и поэтому diag{l, — 1} ~diag{—pbt, pbt}. Теперь diag {pa/, 1, —1} ~ diag {pat, —pbt, pbt} ~ diag {yat, —ybt, pbt}, а это и доказывает возможность нужной нам замены. Это за- завершает доказательство теоремы 8. Предположим теперь, что р > 2. Мы можем заменить, ис- используя снова лемму о замене, каждый р-терм на puk, а также на р или ри, где и = г + 1 — наименьший положительный невы- невычет по модулю р. Так как форма diag{p, pr} представляет риь то она эквивалентна d\ag{pu, риг}. Следовательно, мы можем сделать замену р, р на р, рг, затем на ри, риг, затем на ри, ри B0) или vice versa, так что первый из двух или более р-термов мо- может быть выбран произвольно. Условие на детерминант говорит нам, что имеется лишь ко- конечное число р-термов. Первый мы можем заменить на —р,. а второй — на р или ри (обязательно на р в случае, если имеется более двух р-термов). Если второй терм — это р, то, используя эквивалентность diag{-p, p}~diag{-l, 1}, B1) мы можем избавиться от первых двух р-термов. Если же нет, то единственными р-термами являются —р, ри и р-эксцесс отличен на 4 от р-эксцесса формы diag{—р, р} (который равен- нулю), т. е. нетривиален в противоречие с предположением. Итак, при р > 2 мы имеем возможность уменьшить вели- величину р, применяя, если это необходимо, лемму о замене не- несколько раз. При р = 2 все р-термы имеют вид ±2 и их — чет-
476 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм ное число, поскольку детерминант является квадратом. Изба- Избавиться от них можно, используя эквивалентности diag{2,2} ~ diag{l, l},diag{2,-2}~diag{l, -l},diag{-2, -2}di{ — 1}. Это завершает доказательство теорем 7 и 3. § 7. Род и его инварианты Скажем, что две целочисленные квадратичные формы лежат в одном роде, если они эквивалентны над QP при всех про- простых р (включая —1). Как мы увидим в § 9, в размерностях п ^ 3 для неопределенных форм в роде обычно содержится только один класс эквивалентности форм. На самом деле это так, если |detf|< 128, а когда это неверно, то 41"/2! det f долж- должен но делиться на kS2} для некоторого натурального числа ?ssO или I(mod4), не являющегося квадратом. В этом параграфе мы приводим полную систему инвариан- инвариантов для целочисленной р-адической эквивалентности при всех р и показываем, каким образом, комбинируя эти инварианты, можно получить удобную характеризацию рода. Доказательства приводиться не будут. При р Ф 2 некото- некоторые легко доступны (см., например, [Cas3]), и все случаи были разобраны О'Мирой [O'Mel], который приводит инва- инварианты для форм над произвольными числовыми полями. Пра- Правильность простых систем инвариантов и правил преобразова- преобразования при р = 2, данных здесь, была подтверждена Бартельсом [Ваг 19]. Мы отметим, что большинство приложений рода — напри- например, в топологических исследованиях — возникает из того фак- факта, что необходимым и достаточным условием принадлежности двух форм / и g к одному роду является целочисленная экви- эквивалентность форм /©К о1и^®11 о!" ^то вытекает из свойств спинорного рода. 7.1. р-адические инварианты. Как отмечалось в теореме 2, любая форма над кольцом р-адических целых чисел может быть разложена в прямую сумму f = f,®pfp©P2f,,.®...®<7/,©-... B2) в которой каждая fq — это р-адическая единичная форма, т. е. р-адическая целочисленная форма, детерминант, которой взаимно прост с р (при р^2), или положительно определен- определенная форма (если р = —1). Слагаемые qfq в B2) называются жордановыми составляющими формы f, а само равенство
§ 7. Род и его инварианты 477 B2)— жордановым разложением этой формы. Число q назы- называем масштабом составляющей qfq. Заметим, что при р = —1 равенство B2) — это известный результат, т. е. любая форма может быть представлена в виде суммы определенных форм: где формы /i и /_i положительно определены. Для р Ф 2 множество значений q в разложении B2) вместе с размерностями nq = dim fq и знаками образует полное множество инвариантов для f (см. теорему 9). В случае р = 2 появляются дополнительные сложности, и он будет рассмотрен в разд. 7.3—7.6. В случае р = —1, е<7=+1 имеем положительный det/?, и n+i и п-\ являются единствен- единственными инвариантами (это закон инерции Сильвестра, разд. 6.2). По соглашению +1 и —1 обычно будут сокращаться до -f и — соответственно, и вместо n+i, n-\ мы пишем п+, п~. 7.2. р-адический символ для формы. При р = —1 тот факт, что п+ = а и п- = Ь, мы выражаем с помощью (—\)-адиче- ского символа + а Ъ Для других нечетных р мы будем использовать р-адический символ, являющийся формальным произведением «множителей» Например, при р = 3 символ 1-23+59+127~3 B3) представляет форму имеющую размерности dim/1 = 2, dim/3 = 5, dim f9 = 1, dim /27 = 3, где детерминанты форм /3, /э являются квадратич- квадратичными вычетами по модулю 3, а форм /ь /27 — невычетами. В этих обозначениях мы можем допускать некоторые оче- очевидные сокращения, так, например, B3) записать в виде 1-2359 27. Теорема 9. При р ф 2 две квадратичные формы fug эквива- эквивалентны над кольцом р-адических целых чисел в том и только том случае, когда для каждой степени q числа р они имеют
478 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм одинаковые инварианты nq, eq, или, что эквивалентно, если они имеют одинаковый р-адический символ. Мы не приводим доказательств теорем 9 и 10 (см. замеча- замечания в начале параграфа). В теореме 9 высказываются два утверждения. Во-первых, q, eq, nq образуют полное множество инвариантов для жордановых составляющих qfq, во-вторых, ин- инварианты жордановых составляющих являются инвариантами формы /. Оба этих утверждения при р — 2 должны быть моди- модифицированы. 7.3. 2-адические инварианты. Пусть 2-адическое жорданово разложение формы f имеет вид / = /i©2/2©4/4©...©?/,©.... B4) Тогда следующие величины являются инвариантами для qfq: q, масштаб qfq, Sq = l или II (см. ниже), тип fq, являющийся масштабиро- масштабированным типом qfq, nq = dim fq (размерность fq или qfq), ( det fq \ eq = I—-—I (знак fq или qfq) и tq, странность fq (см. разд. 5.1). Положим Sq = I, если qfq представляет нечетное кратное q, и II в противном случае (ср. разд. 2.4 гл. 2). Другими сло- словами, Sq = I тогда и только тогда, когда на главной диагонали матричного представления fq существует нечетный элемент, и II в противном случае. Если fq (типа I) была диагонализиро- вана, то tq является ее следом, взятым по модулю 8. Если /> имеет тип II, то tq = 0. 7.4. 2-адический символ. 2-адический символ представляет данное жорданово разложение B4) формы f в виде формаль- формального произведения множителей qet"n" или qe"n4, где первый означает составляющую qfq, для которой fq имеет тип I и { = e4' dim U = n4> странность (fq) = tq, в то время как последний означает составляющую qfq, для ко- которой fq имеет тип II и ==8»> dim/, = «,, странность (Д,) = 0.
§ 7. Род и его инварианты 479 Иногда мы будем писать д\чпч вместо q]in4 и q]fi вместо qzin". Значение tq здесь часто несущественно. Например, 1~225+34Г'8+4 (или 1Г1223+34з~'8п*) представляют форму, имеющую жорданово разложение с размерностями форм fu f2, ft, f&, равными 2, 3, 1, 4, и детер- детерминантами, сравнимыми по модулю 8 с ±3, ±1, ±3, ±1 со- соответственно. Формы fi и /8 имеют тип II, а /2 и /4 — тип I и мо- могут быть приведены к диагональному виду со следами, сравни- сравнимыми по модулю 8 с 5 и 3 соответственно. 7.5. Эквивалентности между жордановыми разложениями. До сих пор мы описывали инварианты для жордановых состав- составляющих qfq. К несчастью, форма может иметь несколько суще- существенно различных жордановых разложений, а значит, и не- несколько различных 2-адических символов. Точное правило, задающее все такие эквивалентности, состоит в следующем. Теорема 10. Две формы f и f с инвариантами, равными со- соответственно п,- S<> V ', « <' Ъ> <> С 2-адически эквивалентны, если и только если (i) nq = n'q, Sq = Sq при всех q и (ii) для каждого целого m (включая отрицательные), для которого f2m имеет тип II, справедливо сравнение g<2m f')s=4(min(a, m) + min(b, m) -f • • •) (mod 8), где 2a, 2b, ... являются значениями q, для которых zq фг\ Хотя теорема 10 полностью описывает все 2-адические эк- эквивалентности, часто бывает проще применять следующие идеи. Купе и поезда. Предположим, что / имеет жорданово раз- разложение B4). Мы называем интервалом форм все, в том числе имеющие и размерность нуль, формы qfq, для которых q\ ^ ^ q ^ q% где <7i, q% являются степенями числа 2. Купе назы- называется максимальный интервал, в котором все формы имеют масштабированный тип I. Поездом называется максимальный интервал, из каждой пары соседних форм которого по крайней
480 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм мере одна имеет масштабированный тип I. Так, в 1+2[26245+3] 8+0[16^']32+2; 64: 128~4[256з '] 512+0 B5) в квадратные скобки заключены купе, а поезда разделены двоеточиями. Заметим, что в этом примере один из поездов имеет два купе, а один не имеет их совсем. Имеются два способа изменять такие символы, чтобы они все еще представляли 2-адически эквивалентные формы. (i) Слияние странностей. Два 2-адических символа пред- представляют одну и ту же форму, если эти символы отличаются только странностями, причем общая сумма в каждом купе совпадает. Значит, мы можем заменить отдельные показатели странности в купе полным (по модулю 8), записанным как нижний индекс при всем купе. Например, мы можем заменить [26-245+3] в B5) на [2-24+3]3. (п) Проход знаков. Форма не изменится, если в поезде одновременно поменять знаки eq в любых двух членах. Это может привести к изменению на 4 некоторых странностей. Пусть мы хотим поменять знаки zqi, гЧг, где q\ < q2. Предста- Представим себе, что мы проходим вдоль поезда от члена, соответ- соответствующего <7ь к члену, соответствующему q2. Число шагов при этом —это число шагов между соседними формами fq и f2q, и на каждом таком шаге мы проходим вдоль ровно одного купе, поскольку по крайней мере одна из форм fq, f2q имеет тип I. Если же они обе имеют тип I, то находятся в одном и том же купе. Тогда правило состоит в том, что изменение суммарной странности сравнимо с 4 (mod 8) в точности в том случае, когда число шагов, которое нужно сделать вдоль этого купе, является нечетным. Предположим, например, что мы хотим изменить знаки, со- соответствующие формам f2 и /в, в поезде 12[2-243]38°[161],322. B6) Проход состоит из трех шагов: от f2 к /4, от ft к f8, затем от /8 к /|6. Первые два шага происходят вдоль первого купе, а тре- третий — вдоль второго купе. Следовательно, полученный символ имеет вид 12[2248Ь8°[16-1]5322. B7) приведет к 12[224-3]780[16']1322. B8) Напротив, проход в B6) от f2 к f4> состоящий из одного шага, Все выражения B6), B7), B8) представляют эквивалентные формы.
§ 7. Род и его инварианты 481 Результат трехшагового прохода мог бы быть достигнут и после выполнения трех одношаговых проходов, если бы не то, что на промежуточном шаге символ может содержать мно- множитель 8-°, соответствующий нереализуемой жордановой со- составляющей. Преобразования, включающие такие несуществую- несуществующие составляющие, достаточно законно обеспечивают осмыс- осмысленные конечные результаты. 7.6. Канонический 2-адический символ. Используя перечис- перечисленные правила, мы можем добиться, чтобы в поезде был са- самое большее один знак минус, который может относиться к любой форме с размерностью, отличной от нуля. Удобно по- полагать, что этот минус относится к первой форме в поезде, имеющей ненулевую размерность. Если выполняется это согла- соглашение и задаются только суммарные странности купе, то полу- получающийся символ единствен и может рассматриваться как ка- канонический символ для формы. Так, для B5) каноническим символом является 1-2 [2+2 4+3]7 8+0 [16+1L 32+2: 64~2: 128+4 [256+1]7 512+0, который может быть, далее, сокращен на практике до 1-2 [2243]7 [16], 322: 64-2: 1284 [256]7. Две формы 2-адически эквивалентны тогда и только тогда, когда их канонические символы совпадают. 7.7. Существование форм с заданными инвариантами. Важ- Важно точно определить, какие из мыслимых систем инвариантов действительно соответствуют квадратичным формам. Имеются три множества условий. Условия на детерминант для каждого р. Вычисляемые по р-адическим символам р-адические квадратичные классы де- детерминанта должны совпадать с их известными значениями. Другими словами, произведение всех знаков zq в р-адическом символе равно f — J , B9) где det(f) = раа и (а,р)= 1. Условие странности, связывающее все р. По р-адическим символам мы можем вычислить инварианты, участвующие в формуле странности. Так, для р = —1 при (—1)-адическом символе, равном +г —s, сигнатура (f) = г — s,
482 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм а для р ^ 3 р-эксцесс {f) за ? nq (<7 — 1) + 4kp (mod 8), q где я, — размерности жордановых составляющих, a kp — коли- количество антиквадратичных членов (т. е. q не является квадратом и е<, = —1) в р-адическом символе. Для р = 2 из 2-адического символа получаем странность (f) =s Y, tq + 4&2 (mod 8). ч ' Эти числа должны быть связаны формулой странности сигнатура (f) + 2 (р-эксцесс (/)) за странность (f)(mod8). C0) Условие существования для каждой жордановой составляю- составляющей. Каждый член в р-адическом символе должен соответство- соответствовать некоторой существующей форме. Для каждой жордановой составляющей qfq размерности п со знаком е при р Ф 2 мы должны иметь если п = 0 или р = —1, то е = -+-. C1) При р = 2 должно выполняться следующее: если га = 0, то тип = 11 и e = -f, C2) e + ^=±i(m0d8), если « = 1, то | e==_^^±3(mod8)( C3) если п = 2, ( e = + =i»f==O или ±2(mod8), и тип I \e = -=>t^4 или ±2(mod8), ( > а в случае произвольного п мы имеем ?s=n(mod2) и ^5a0(mod8) для типа II, так что п нечетное =ф-тип I. C5) Теорема 11. Если предполагаемая система р-адических сим- символов при каждом р удовлетворяет условию на детерминант, условию странности и р-адическим условиям существования B9) — C5), то существует целочисленная квадратичная форма с такой системой р-адических символов. При работе с 2-адическим символом, представленным в со- сокращенном виде, полезно знать, что единственное условие су- существования для купе, содержащего две или более жордановы составляющие, состоит в том, что его суммарная странность должна иметь ту же четность, что и его суммарная размерность.
§ 7. Род и его инварианты 483 7.8. Символ для рода. Комбинируя существенные детали наших р-адических символов, мы можем дать удобное обозна- обозначение для целого рода (которое удачно обобщает то обозначе- обозначение, которое использовалось в других работах [Con 13], [Con 33], [Con 34]). Это обозначение имеет вид lr>s(...) или IIr,s (...), где римскими цифрами обозначен тип формы т. е. тип ее 2-адической жордановой составляющей ft, нижние индексы ука- указывают (—1)-адический символ +r—s, а в скобках содержатся обычные символы q±mt q±mf q±mt q±m для степеней q > 1 всех простых чисел 2, 3 Индексы t, I или II можно опустить, если их значения могут быть полу- получены из странности m либо из формулы странности C0). Символы \±m, \fm (или' If"), соответствующие составляющим f\ в каждом р-адическом жор- дановом разложении, опущены. Однако знак ± может быть восстановлен по det /, число т .может быть найдено из условия dim f = г -\- s, тип I или II (при р = 2) указан и странность t (когда это уместно) может быть вычислена Jfjji по формуле странности C0). Например, Ir,sB) имеет детерминант (—1)S2, и поэтому его р-эксцесс равен 0 при р ^ 3. Из C0) получаем, что странность равна г — s и, следовательно, 2-адический символ есть где мы использовали формулу B9). Аналогично, IIr>sC) (де- (детерминант которого равен (—1)S3=±3) имеет 3-адический символ l±(r+s-iK' (с тем же знаком ±), что дает нам 3-экс- цесс для 2 и 2-адический символ lfi(r+s), поскольку detf = = ±3(mod 8). 2-адический символ для Ir, sC) должен быть i-fr+s) lr-s+2- Другой вариант этого обозначения явно указывает на сум- суммарную размерность г-\-s и рассматривает —1, как и все остальные простые числа. В этом случае символы lr>s(X) или Иг,,(*) будут записаны соответственно как W-'*) или Иг+. (-'*).
484 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм § 8. Классификация форм с малым детерминантом и р-элементарных форм 8.1. Формы с малым детерминантом. Используя обозначения, введенные в предыдущем параграфе, можно систематическим образом классифицировать различные роды форм любого за- заданного детерминанта. Сначала следует выписать все возмож- возможные р-адические символы для р = —1, 2 и всех р, делящих детерминант (для р = 2 лучше сделать это в последнюю оче- очередь). Условие на детерминант B9) и правило для работы с поездами (разд. 7.5) используются для контроля знаков. Формула странности C0) и условия существования (разд. 7.7) приводят к сравнениям (по модулю 8), связывающим сигна- сигнатуру с параметрами странности. Мы проиллюстрируем этот процесс иа примере классификации рода форм с детерминан- детерминантом ±1 и ±3. Детерминант ±1. Пусть (—1)-аднческнй символ есть +г—*, где r-\-s = n. Поскольку детерминант сравним с ±1 по мо- модулю 8, то возможные 2-адические символы суть lt{r+s) и l+(r+s), для которых соответствующие условия странности имеют вид r — ssst и г — s за 0 (mod 8). Первое определяет / и соответствует символу рода Ir, s = = Ir, s(l), который существует для всех возможных сигнатур, кроме r = s = 0. Последний случай дает ПГ, $ — Нг,*A), кото- который существует только для сигнатур, делящихся на 8. (Условия существования тривиально выполняются.) Это объясняет строки 1 и 2 табл. 15.4 ниже. Детерминант ±3. Возможные р-адические символы для — это Ir..C): Нг.ЛЗ): +r~s 1 r,sC '): H 1 3 I где из знаков ± выбирается —s и 2-адический знак есть —, по- поскольку детерминант сравним с ±3 по модулю 8. Это приво-
§ 8. Классификация форм с малым детерминантом 485 дит нас к соответствующим условиям странности первые два из которых определяют t, а оставшиеся дают усло- условия на сигнатуру. Условия существования на жордановы со- составляющие удовлетворяются автоматически всегда, кроме случаев малых п, когда наиболее удобно проверяются рассмот- рассмотрением всех таких пар (r,s), что г + s = п. Так, в случае Ir, sC) и для пар (г, s), равных (О, 0), A, 0), @, 1), B, 0), A, 1), @, 2), мы получаем соответственно 2-адические символы « -0 « -I , -1 , - 2 , -2 , -2 Ь . Ь . 11 . It . '2 . 10 , для которых условие существования выполняется только в трех случаях: X / X у/ \/ X Три случая, в которых эти условия не имеют места, классифи- классифицированы как rirs = 0, 1_ь 2_2 в табл. 15.4. Аналогичные рассуждения приводят к следующей теореме: Теорема 12. Все роды форм, у которых абсолютная вели- величина детерминанта не превышает 11, приведены в табл. 15.4. Теория спинорного рода (см. следствие 21 ниже) показы- показывает, что в неопределенных случаях в размерностях ^3 также имеются классы целочисленной эквивалентности. В табл. 15.4 предполагается, что в каждой ее строке все неясные варианты выбора знаков связаны между собой. В по- последнем столбце приведены исключения, если они есть, в виде п0, где п — размерность, а а — запрещенная сигнатура. Если все сигнатуры в размерности п недопустимы, то индекс опущен. Звездочка * ближе к концу таблицы означает, что при п = 1 этот род должен интерпретироваться как Пг, sB-' X 5-1). 8.2. р-элементарные формы. Изложенные методы неприме- неприменимы к классификации так называемых р-элементарных форм, т. е. форм, для которых L*/L является нетривиальной элемен- элементарной абелевой р-группой, где L — решетка, соответствующая форме ,a L* — двойственная к ней решетка. Такие формы были
486 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм Таблица 15.4. Все роды форм с |det| < 11 ы 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 11 11 Род I,., II,., 1г.. B) И,.. B) 1,,,C*0 и,,. C*0 1,.,D±,) 11,,, D1) 11,,,D-') 1,.,С2?) II,., B?) I,,,Bft) Hr.sBfi) II,,, BП2) Ь,.E) I,. ,E-0 II,., E) II,., E I,.. BX3*0 IIr .BX3*0 I,,>*0 И,.. G*0 ¦%,,(8±i) I,,. (81!,) II, .(8) II, ,(8-0 I,,, BX4) II, ,Bx4) I,.,B3) II,,, B3) I,. .(9*0 И, ,(9*0 I,,,C2) i,,,C-2) H,,, C2) п,.Лз-2) I,,. B.x 5*0 II, ,Bx5) II,,, Bx5-0 I,, ,01*0 И, ,A1*4) Сигнатура (mod 8) все 0 все ±1 все + 2 все ±1 ±3 все 0, ±2 все 0 4 все все 4 0 все неч. все ±2 все все ±1 ±1 все чет. все неч. все 0 все все 4 0 все dh3 ±1 все + 2 Исключения 0 нет 0,1 нет 0,1»,} 2,2 нет 0, 1,2Т2,3,:з нет нет 0,1,2 0 0, 1,2, 3±3, 4±4 0 нет 0 0, 1,20 нет 0 ОД 1±1 0, Ul 2п нет 0, 1, 2Т2, Зтз 0, 1, 20, 2*2, 3*1 нет 1 0,1,2 0 0,1,2,3 1 0,1,1 0 0, 1,20 0,1, 2±2 нет 0 0,1 нет нет"^ 0, l,i, 2,2 нет
§ 9. Спинорный род 487 частично классифицированы Рудаковым и Шафаревичем [Rudl], [Rud2], и эти результаты были использованы Нику- Никулиным в [Nik 1] — [Nik 6] (см. также [Doll]). Теорема 13. (а) При р ^ 3 различными родами р-элементар- ных форм являются I/-, s (p± k) для всех сигнатур г — s и llr,s(p±k) для г — s==±2 — 2 — (р—I)&(mod8), кроме случая, когда k = n( = r + s), в котором знак должен быть (¦ J . Если эти формы неопределенные и их размерность ^3, то в каждом роде содержится в точности один спинорный род и, согласно теореме 14, в точности один класс. Таблица 15.5. 2-элементарные формы ]r.s(^i) 0<k<n; Ir> s Bц) k четно < п и если k = n— 1, то л — s=±l (mod 8), если ft = га — 2, то г — s Ф 4 (mod 8); Ur s B*) 0 < ft = n (mod 2) и если ft=l, то r - s s + 1 (mod 8), если ft = 2, то г — s ф 4 (mod 8); Hr s B*j) /г и ft четны, г — s = 0 (mod 8); IIr s Bfj*) n я k четны, 0<ft<ra, r — s = 4 (mod 8). (b) Различные роды 2-элементарных форм приведены в табл. 15.5. Во всех случаях неопределенных форм эти роды также содержат в точности один класс. § 9. Спинорный род 9.1. Введение. Спинорный род, введенный Эйхлером ([Eic 1], см. также [Earl], [Ear 3] —[Ear 5], [Hsi2]), является утон- утончением понятия рода, и его важность ясна из следующего заме- замечательного результата. Теорема 14 (Эйхлер [Eic 1], см. также [Cas 3, гл. 11,теор. 4], [Wat 3, th. 6.3]). В размерностях 3 и выше для неопределенных
488 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм форм спинорный род содержит в точности один класс целочис- целочисленной эквивалентности форм. Мы используем этот термин в смысле, несколько отличаю- отличающемся от того, в котором его использовал Эйхлер (мы в неко- некоторых местах заменяем ортогональную группу на специальную ортогональную группу). Описание, приводимое здесь, по суще- существу принадлежит Ватсону [Wat3]. Но, поскольку у Ватсона оно достаточно сложно, в основу нашего изложения положен вариант, данный Касселсом [Cas3], работу которого мы ре- рекомендуем тем читателям, которые хотели бы ознакомиться с доказательствами. Касселс дает, однако, недостаточно ин- информации о спинорных нормах для того, чтобы можно было убедиться, что спинорный род является практически вычисли- вычислимым инвариантом. Вследствие этого мы ссылаемся на соответ- соответствующую теорему Ватсона и преодолеваем ряд трудностей для получения правила механического вычисления спинорного ядра. Инварианты, описанные нами в предыдущем параграфе, яв- являются инвариантами рода. Для двух форм, лежащих в одном роде, можно найти связывающее их рациональное преобразо- преобразование, знаменатель которого может быть сделан взаимно про- простым с любым заданным целым числом. Если такое преобразо- преобразование целочисленно (т. е. если знаменатель равен 1), то формы лежат в одном и том же классе. Концепция спинорного рода возникает при применении к этому рациональному преобразо- преобразованию локальных рассуждений для обнаружения препятствий, которые мешают сделать его целочисленным. Каждый род разбивается на несколько спинорных родов (число которых всегда является степенью 2). Имеется группа спинорных операторов, действующая транзитивно на спинорных родах, так что мы из фиксированного спинорного рода, приме- применяя подходящий спинорный оператор, можем получить любой другой спинорный род в том же роде. Так, чтобы задать раз- разбиение рода на спинорные роды, достаточно указать спинорные операторы и определить, когда спинорный оператор действует тривиально, т. е. лежит в спинорном ядре. Наши теоремы 15—17 являются операторными определениями для понятий спинорного оператора и спинорного ядра. Вычисления зависят от вычислений спинорных норм опера- операций в некоторых ортогональных группах. Лучше всего это изло- изложено в работах [КпеЗ], [Hsi I], [Ear 2]. Дополнительным до- достоинством этих статей является обсуждение рассматриваемых проблем над более общими кольцами и получение наилучших возможных условий на индексы простых делителей детерми- детерминанта, обеспечивающих наличие в точности одного класса в не- неопределенном роде.
§ 9. Спинорный род 489 9.2. Спинорный род. Если формы f и g детерминанта d ле- лежат в одном и том же роде, то они рационально эквивалентны, причем эквивалентность осуществляется преобразованием, зна- знаменатель которого взаимно прост с 2d ([Cas 3, гл. 9], [Wat 3, p. 78]). Следовательно, мы можем найти соответствующие ре- решетки L и М, для которых [L : L П М] = [М : L П М] = г, C6) где г—некоторое целое число, взаимно простое с 2d. Перефра- Перефразируя определение спинорного рода Ватсона, мы можем сказать, что f и g лежат в одном и том же спинорном роде, когда г — автоморфное число (см. определение ниже). Теорема 15 (получена из теоремы 70 из [Wat3]). (а) Спи- Спинорный род формы g (или решетки М) определяется спинор- ным родом формы f (или решетки L) и числом г. Обозначая спинорный род через SG, мы можем записать SG(g) = SG(f)*Hr), SG(M) = SG(L)*A(r) и назвать Д(г) спинорным оператором. (Ь) Кроме того, если размерность не менее 3, то SG(f)* *Д(г) определена для любого натурального числа г, взаимно простого с 2d. Чтобы завершить определение, нам необходимо знать, как находить значения /\ для которых А (г) лежит в спинорном ядре, т. е. А(г) фиксирует каждый спинорный род. Это сделано в следующем разделе. Замечания, (i) Часть (Ь) теоремы 15 неверна в размерно- размерности 2. (ii) Эта теорема обычно применяется к неопределенным формам в размерностях ^3, в которых по теореме 14 нам ие нужно различать спинорный род формы и ее саму. 9.3. Идентификация спинорного ядра. Любой элемент орто- ортогональной группы формы f над полем характеристики 2 мо- может быть записан как произведение отражений относительно некоторых векторов уь v2, ..., Vk- Спинорная норма (опреде- (определенная только с точностью до умножения на точные квадраты) этой операции равна f(v{) ... f(Vk). Эта операция собственная (т. е. с детерминантом 1) или несобственная (с детерминантом — 1) в зависимости от того, является число k четным или не- нечетным. Собственные операции образуют специальную ортого- ортогональную группу формы. Только некоторые элементы ортого-
490 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм нальной группы формы / имеют матрицы с целыми элемен- элементами— это целочисленные автоморфизмы формы f. Мы называем число reQ автоморфным, если оно является спинорной нормой собственного целочисленного автоморфизма формы /. Аналогично р-адическое число Л = раа е Qp назы- называется р-адически автоморфным, если оно является спинорной нормой собственного р-адического целочисленного автомор- автоморфизма f. Следующие теоремы восходят к Эйхлеру [Eic 1] и Ватсону [Wat3]. Мы получили их, записав в наших обозначениях ва- вариант, принадлежащий Касселсу, — см., в частности, теорему 3.1 Касселса [Cas 3, гл. 11] и ее следствия. Теорема 16. Спинорное ядро содержит те спинорные опера- операторы Л (г), для которых положительное целое число г является автоморфным числом, не делящимся ни на какой простой де- делитель 2d. Важно, что мы можем вычислять спинорное ядро «локаль- «локально», проводя на самом деле простые вычисления для каждого простого числа ив некоторого конечного множества П. В тер- терминологии следующего раздела справедлива Теорема 17. Спинорное ядро образовано спинорными опе- операторами Лр(Л), для которых реП н Л есть р-адическое ав- томорфное число. 9.4. Указание спинорных операторов для рода формы /. Пусть П — произвольное конечное множество простых чисел, содержащее —1, 2 и все простые числа, делящие d = det/, где /—некоторая форма в рассматриваемом роде. Позднее мы уви- увидим, что часто некоторые простые числа можно удалить из П без потери информации. Поскольку спинорные операторы зависят только от квадра- квадратичных классов числа г, то мы можем задать их последователь- последовательностями (..., гр, .--^еп' в КОТОРЫХ каждое гр есть р-адиче- ский единичный квадратичный класс. В таких обозначениях групповая операция — это покомпонентное умножение. Целые рациональные или целые р-адические числа можно рассматри- рассматривать как спинорные операторы следующим образом. (i) Любому целому рациональному числу г, не делящемуся ни на одно реП, соответствует спинорный оператор, р-коор- дината которого есть р-адический квадратичный класс числа г для каждого р. Мы запишем это так: А(г) = (г,г, ...) C7) (квадратичный класс подразумевается).
§ 9. Спинорный род 491 (ii) Каждому целому р-адическому числу А = раа соответ- соответствует спинорный оператор ЛР(Л), pi-координата которого (для Pi Ф р) есть ргадический квадратичный класс числа ра, р-ко- ордината которого есть р-адический квадратичный класс числа а: Ар (А) = (ра, ра, ..., ра, а, р«, ...). C8) 9.5. Вычисление спинорного ядра по р-адическим символам. Теорема 17 показывает, что спинорное ядро однозначно опре- определено, если нам известны р-адически автоморфные числа. Век- Вектор v называется р-адическим корневым вектором для / в том и только том случае, когда отражение относительно v является р-адическим целочисленным автоморфизмом формы f. Это от- отражение, конечно, имеет детерминант —1. Теорема 18 (основана на теореме 81 работы [Wat3]). р-ади- ческое число является р-адически автоморфным для f в том и только том случае, если оно является произведением четного числа норм р-адических корневых векторов для f. Замечание. Для нечетных р это следует (см. [Cas 3, С 130, след. 1]) из того, что каждый р-адически целочисленный автоморфизм есть произведение р-адически целочисленных от- отражений. Для р = 2 это обычно верно, но не всегда [О'Ме 4]. Алгоритм нахождения р-адически автоморфных чисел для данной формы В конце этого параграфа мы описываем механическое пра- правило для нахождения р-адически автоморфных чисел, справед- справедливость которого можно установить с использованием теоре- теоремы 18. Раздел 9.6 содержит некоторые примеры и упрощения. Найти этот алгоритм было достаточно сложно, однако он совершенно механический и чрезвычайно прост в применении. Если р ф 2, то мы сначала диагонализируем /, а при р = 2 представляем f как прямую сумму форм вида ( qa qb\ (qx) и ( I. \qb qc J qb qc где q есть степень числа 2, а и с делятся на 2, а числа х, b и ас—Ь2 — нет (см. теорему 2). Подготовим список, состоящий из двух частей: (I) Если р ф 2, то все диагональные элементы, или, если р = 2, диаго- диагональные элементы qx. (Эти числа еще не надо интерпретировать по модулю квадратов, и, конечно, в списке могут содержаться повторяющиеся эле- элементы.) (II) Только если р = 2: числа 2qui, 2qits, 2qus, 2qui для каждого пря- мого слагаемого ^ . у
492 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм Тогда группа р-адически автоморфных чисел порождается р-адиче- р-адическими квадратичными классами частных (или произведений) всех пар чисел из всего списка, дополненного (i) всеми р-адическими единицами, если или р > 3 и /, имеет размерность ^2 для любого q, или р = 2 и fq © f2q © ftq © fsq имеет размерность > 3 для каждого Q, и (ii) квадратичными классами 2ии 2и3, и5, Из, «7. если р = 2 и часть (I) списка содержит два элемента, отношение которых имеет вид и, и5, A или 4 или 16)инеч, B или 8) «, нли 5, B или 8)н3или7 соответственно. Пример. Для формы / = diag {3, 16} и простого числа р = 2 часть (I) списка состоит из {3 ?= «з, 16 = 16«i}, а часть (II) пуста. Так как отноше- отношение 16 к 3 имеет вид 1бн3, мы включаем в список и5 согласно (ii). Таким образом, 2-адически автоморфные числа порождаются квадратичными классами множества {16«i, us, и6}, т.е. это {ии «з, Щ, }. Правила пополнения соответствуют тому, что корневые векторы не обя- обязательно входят в базис. Таким образом, е4 + е2 нормы 2 = 2«й — это 2-ади- ческий корневой вектор для ( ~ . J, иллюстрирующий первое правило из (ii). 9.6. Послушные и несущественные простые числа. Изложенные ниже результаты могут быть использованы для упрощения вычислений. Если существует такое простое число р, что для каждой р-адической единицы и спинорный оператор Др(н)-A. 1 1, и, 1, •••)..., р.... C9) лежит в спинориом ядре, то ясно, что р-координата может быть исключена, поскольку она не содержит информации по модулю спинорного ядра. Та- Такие р называются послушными. Например, —1 всегда послушно, так же, как и число 2 в приведенном выше примере. Однако послушное простое число может также оказывать некоторое воздействие на вычисления спинориого рода, так как если само р является автоморфным, то спинорное ядро будет содержать Ар(р), который имеет нетривиальные значения в координатах, отличных от р-й. Например, если f — неопределенная форма, то —1 является (—1)-адически автоморфным, так что Д_1 (—-1) = (+1, —1, —1, ...)_!, 2, з, ... лежит в спинорном ядре. Если р-адически автоморфные числа в точности являются квадратичными классами р-адических единиц (как это имеет место при р ф —1 или 2 и р -f" det (/)), то число р является не только послушным, но и несуществен- несущественным. Несущественные простые числа никак не влияют на вычисление спи- спинорного рода. Пример. Рассмотрим форму 2 1 (Ь V 2 °) ^0 0 18^
§ 9. Спинорный род 493 (обсуждается в [Wat 3, р. 115]). Для р Ф 2 мы можем диагонализировать /, получая в результате diag[2, 3/2, 18]. Чтобы иайти спинорное ядро, мы по- поступим следующим образом: р = —1: список (I) = {2 = и, 3/2 = и, 18 = и), так что и является един- единственным (—1)-адически автоморфным числом. р ¦= 2: список (I) ¦= {18 = 2н}, список (II) = {2«i, 2и», 2и8, 2«т}, так что 2-адически автоморфными числами являются {ии и». иъ, in}, а число 2 по- послушно. р = 3: список (I) •= {2 = н_, 3/2= Зи_, 18 = 9н_}, так что 3-адически автоморфиыми числами являются {и+, Зи+}. Нам иужио сохранить только 3-координату, поскольку 3 является един- единственным непослушным простым числом и спинорное ядро порождено Д2(нь из, и5 или н7) = (и+)з, Дз (и+ или Зи+) = («+)». Таким образом, («-)» не лежит в спииориоы ядре и, следовательно, род формы f содержит два различных спинорных рода, одии из которых содер- содержит f, а другой содержит /»(и_)з. Представителем второго спинорного рода является ([Wat3, p. 115]) форма ¦6 3 О' (о а и \ 3 6 0 ]. 0 0 2/ 9.7. Когда в роде имеется только один класс? На практике обычно получается, что все простые числа являются послуш- послушными и поэтому спинорный род совпадет с родом (и, следова- следовательно, в случае неопределенных форм в размерности три и выше в роде содержится только один класс). В этом разделе приводятся некоторые условия, гарантирующие такую ситуацию. Теорема 19. Если f — неопределенная форма и ее род содер- содержит более одного класса, то для некоторого р (возможно, рав- равного — 1) f может быть р-адически диагонализирована и все диагональные элементы содержат различные степени р. Доказательство. Предположим противное. Тогда dim / ^ 3, поскольку в противном случае в (—1)-адической (действитель- (действительной) диагонализации элементы содержат различные степени — 1. Теперь мы сошлемся на теорему Эйхлера (теорема И), чтобы убедиться, что класс совпадает со спинорным родом и, следовательно, должно существовать непослушное простое число р. При р>3 мы знаем, что ни одна из р-адических жор- дановых составляющих /9 не может иметь размерность ^ 2, откуда следует требуемый результат. Итак, мы получаем, что 2 является единственным простым числом. Никакая нетривиаль- нетривиальная жорданова компонента не может иметь масштабированный тип II, поскольку в этом случае все 2-адические единицы авто- морфны. Таким образом, / 2-адически диагонализируема. Если два каких-то диагональных элемента содержат одну и ту же
494 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм степень числа 2, то из алгоритма следует, что число 5 2-адиче- ски автоморфно, и поэтому («5J лежит в спинорном ядре. Однако поскольку —1 является (—1)-адически автоморфным, то («7J также лежит в спинорном ядре, и это исчерпывает все возможности. Следовательно, диагональные элементы могут содержать только различные степени числа 2. Это завершает доказательство. При несколько более тщательном применении из тех же соображений можно получить следующий результат: Теорема 20. Предположим, что f — неопределенная форма размерности п с детерминантом d. (а) Если р ;> 3 — непослушное простое число, то d делится на /Л2 Л D0) (b) Простое число ps=3(mod4) не может быть единствен- единственным непослушным числом. (c) Если 2 — непослушное простое число, то Г—1 (М 4bJd делится на 4^2Л D1) (d) Если 2 — единственное непослушное простое число, то Г—1 С} 4L2Jd делится на 8^2Л D2) (Мы напоминаем, что простое число р является послушным, если Ар(«) лежит в спинорном ядре для каждой р-адической единицы и.) Доказательство, (а) Если нечетное простое р является не- непослушным, то из п. (i) алгоритма выводим, что все степени числа р в диагональных элементах формы / различны, и по- поэтому при размещении их в порядке возрастания мы должны получить по крайней мере р°, р1, р2, ..., что дает произведение по меньшей мере р^2 ' (b) Если р з= 3 (mod 4) является единственным непослуш- непослушным простым числом, то каждый элемент спинорного ядра имеет вид («±)Р. Но —1 является (—1)-адически автоморф- автоморфным, а также невычетом по модулю р, так что (—1)р лежит в спинорном ядре. Следовательно, спинорное ядро имеет поря- порядок 2 и р — послушное число. Противоречие. (c) Если 2 непослушно, то из части II алгоритма получаем, что слагаемые типа II отсутствуют, т. е. форма диагонализи- руема. Кроме того, никакие три степени числа 2 в диагональ-
§ 9. Спинорный род 495 ных членах не могут лежать в диапазоне от 2' до 2'+3 (вклю- (включительно) ни для какого t. Следовательно, при размещении в порядке возрастания имеются по крайней мере такие степени 2: 2°, 2°, 24, 24, 28, 28 При умножении на 1, 4, 1, 4, ... эта последовательность при- принимает вид до 41 42 43 1, 1, 1, ¦», ¦ • ¦, откуда и следует D1). (d) Если 2 — единственное непослушное простое число, то каждый элемент спинорного ядра имеет вид («iJ, («3J, (^5J или («7J, и поскольку —1 есть (—1)-адически автоморфное число, то {и7J лежит в спинорном ядре. Кроме того, если от- отношение двух степеней 2 из диагональных элементов равно 1, 4 или 16, то, согласно части (и) алгоритма, («5J лежит в спи- спинорном ядре и все возможности исчерпаны. Таким образом, четные степени 2 — это по крайней мере 2°, 26, 212 а нечетные степени — 21, 27, 213 Следовательно, наименьшие возможные значения — это 2°, 21, 26, 27, 212, 213, .... которые после умножения на 1, 4, 1, 4, ... принимают вид 8°, 8», 82, 83 откуда следует D2). Теорема 21. Если f — неопределенная форма размерности п с детерминантом d, такая, что в ее роде содержится более одного класса, то 4«-2-М делится на ^2 / D3) для некоторого натурального числа k==0 или 1 (mod 4), не яв- являющегося квадратом. Это было установлено в [Wat3, cor. I, 2 to th. 69]. Ср. [КпеЗ], [Hsi 1], [Ear 2]. He вдаваясь в подробности, сле- следует заметить, что этот результат близок к наилучшему воз- можному. Если 4[re/21d делится на k^2 ' для такого k, то имеет- имеется род форм с детерминантом, равным d или d, умноженному на небольшое число, содержащий более одного класса.
496 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм Доказательство. В размерности 2 утверждение тривиально. Действительно, безусловно, d=^=±l; в противном случае в роде имеется только один класс. Следовательно, некоторое про- простое число р ^ 2 делит d и D3) выполняется с k — 4р. В размерностях п ^ 3, как и в доказательстве теоремы 19, должно быть по меньшей мере одно непослушное простое р ^ 2. Если некоторое р = 1 (mod 4) непослушно, то из D0) следует, что D3) выполняется с k = р. Если два простых числа р и q сравнимы с 3(mod4) и непослушны, то D3) имеет место с k = = pq. Если и 2, и р = 3(mod4) непослушны, то из D0) и D1) следует, что k — 4р. Если же единственным непослушным про- простым числом является 2, то из D2) получаем, что k = 8 и, со- согласно п. (Ь) теоремы 20, все возможности рассмотрены. Следствие 22. Пусть f — неопределенная форма размерности п с детерминантом d, такая, что в ее роде содержится более од- одного класса. Тогда \d\^do, где значения do приведены в сле- следующей таблице: п 2 3 4, 6, 8, ... 5, 7, 9, ... Доказательство. Для больших п из формулы D2) следует, что det/ делится, грубо говоря, на 8V>2-', хотя если 5 — непо- непослушное простое число, то из формулы D0) следует, что до- (п)\ статочно доказать только, что 5^2^\detf. Граница проходит по п = 4, и для п ^ 4 наименьший детерминант (для неопределен- неопределенной формы, имеющей более одного класса в роде) — это детер- детерминант формы /2 3\ /23\ /2 (з 2)ф52(з 2)ф54(з где последний член при четных п опускается. Этот детерминант равен , если п четно, и 2 • 5^-2 ', если л нечетно. D4) Но при п = 3 условие D2) лучше, чем D4). Из табл. 15.2 при п = 2 мы получаем, что бинарные формы / 2 3\ /-2 3 -1
§ 10. Классификация положительно определенных форм 497 лежат в разных классах, хотя и принадлежат обе роду Hi, 1 A7). Пара тернарных форм с детерминантом —128 приве- приведена в конце этой главы. Для определенных форм вопрос об условиях, при которых в роде имеется только один класс, решается совсем иначе и яв- является предметом серии работ Ватсона [Wat 5] — [Wat 7], [Wat 14] —[Wat 22]. § 10. Классификация положительно определенных форм 10.1. Приведение по Минковскому. Мы не будем подробно обсуждать это важное понятие, поскольку нас главным обра- образом интересуют формы высших размерностей, где такое при- приведение практически неприменимо. Более подробную информа- информацию можно найти в литературе, ссылки на которую приведены в разд. 1.4 гл. 2. Пусть / — положительно определенная п-мер- ная форма. Говорят, что f приведена по Минковскому, если она (целочисленно) выражена через базис в\, .... еп так, что для каждого t, 1 <; t ;=: п, выполняются неравенства f{et)^.f(v) для всех целочисленных векторов v, для которых ^ь ..., et_b v можно продолжить до базиса. D5) Другими словами, все векторы et последовательно выбираются так, чтобы значение f (et) было настолько мало, насколько это возможно. Когда v пробегает все возможные целочисленные векторы, то из условия D5) следуют неравенства для матрич- матричных элементов ау. Оказывается [Cas 3,ч'с. 277, теор. 1.3, что необходимо лишь конечное число таких неравенств («фунда- («фундаментальная область имеет конечное число стенок»), но, к не- несчастью, их число с ростом размерности очень быстро стремится к бесконечности. Некоторые из этих неравенств можно легко выписать, (i) Из D5) непосредственно следует, что 0<а11<а22<...<а„„. D6) (П) Если положить v = et—? eses (Для некоторого множества ssS S индексов s <C t и коэффициентов es=±l), то неравенство /(^)^f(u) примет вид se S r,s <=S r<s
498 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм Случаи 5={s}, {r,s}, {q,r,s}, ... приводят соответственно к 2|as,|<ass (s<0. D7) 2\an±art±aet\<an + aaM (r<s<t), D8) 21 oaqt -f $art -f yast — a#aqr — ayaqs — $yars | < <aqq+arr + ass (q<r<s<t), D9) гдеа, p, v = ±l и т. д. Минковскому принадлежит теорема (см., например, [Cas 3, с. 278, лемма 1.2), что в размерностях не выше 4 приведенная форма может быть определена с помощью векторов v с коэф- коэффициентами, равными 0 или ±1. В действительности нера- неравенства D6) D6)-D7) D6)-D8) D6)-D9) (в которых q, r, s, t ^ п) определяют приведенную по Минков- Минковскому форму в размерностях п=1 2 3 4 соответственно. Для п = 5, 6, 7 и 8 определяющие системы неравенств для форм, приведенных по Минковскому, были даны Минковским, Рышковым, Таммелой и Новиковой — см. [Affl], [Aff2], [Grul], [Novl], [Rys2], [Rys3], [Rys8], [Rysl4], [Taml] — [Tarn 4]. Однако коэффициенты при векторах v уже не могут быть равны только 0 и ±1. Многие теоремы геометрии чисел являются следствиями не- неравенств D5) (см. ссылки, упомянутые в начале этого раз- раздела). В частности, эти неравенства могут быть использованы для доказательства конечности числа классов форм с любым заданным детерминантом [Cas 1, с. 277, теор. 1.1], а в некоторых случаях и для перечисления таких форм [Wae 5]. Однако даже в размерности три для умеренно больших детерминантов этот процесс утомителен, а для гораздо больших размерностей об этом не может быть и речи. В табл. 15.6 и 15.7 приведены все неразложимые приведен- приведенные определенные тернарные формы с детерминантом |d|^50 и неопределенные формы с |d|^100. Каждый элемент вида представляет форму с матрицей [а Ъ h -| Ъ с f , h f g\ где h опущено, если оно равно 0. В табл. 15.6 приводятся по- положительно определенные формы с d ^ 50. Эта таблица полу-
§ 10. Классификация положительно определенных форм 499 Таблица 15.6. Неразложимые положительно определенные тернарные формы i Формы 4 2,2,2 7 2,2,3 8 2,3,2 10 2,2,4 12 2,4,2,3,2,3. 13 2 ,2,5. 2,3,3 16 2,5,2, 2,2,6, 3,3, 3_, 17 3,2,4 18 2,4,4 19 2,2,7,2,4,3 20 2,424, 3,3,3,, 2,6,2 21 3,3,3 22 2 , 2 , 8, 3 , 2 , 5 23 2,3,S 24 2 , 7 , 2, 4 , 2 , 4, 3 , 3 , 4_, 24 2,2,9, 2,5,3 26 2,4,4 27 3,2,6, 2,425 28 2,8,2, 2,2,10, 2,3,6, 2 , 5 ., 4, 3,3,4, 29 3,3,4 30 3,4,3 31 2,2, II, 4,2,5, 2,6,3 32 2,9,2, 3,2,7, 3^3, 5_,, 3,424, 42«24 33 2 , 3 , 7, 2 , 4 , 5 34 2,2,12,2,5,4,2,426 35 31414-1 36 2, 10,2,2,624, 2,5,5_,, 3,3,5,, 4 , 4 , 4_2 37 2 , 2 , 13, 2 , 7 , 3, 3 , 2 , 8, 2 , 5 2 5, 3 , 3 , 5 38 2,3,8, 4,2,6 39 3,5,3.3,4,4, 40 2, 11,2, 2,2,14, 2,4,6, 5,2,5, 3 , 3 , 6_,, 4,3,4 41 2,427, 3,4,4 42 3,2,9,2,6,4- 43 2,2,15, 2,8,3, 2,3,9, 2,5,5, 3,425 44 2,12,2, 2, 724, 3,3,6,, 3,524, 4,424, 42425 4^ 4,2,7, 2,5,6_,,3,3,6 46 2 , 7 , 16, 2, 5 2 6, 3 ,4, 5_, 47 3, 2 , 10, 2, 4,7, 2,6 2 5 48 2,13,2, 2,3,10, 2 , 4 2 8, 2 , 6 -, 6, 3,6,3, 3,3,7_,, 4,5,4_2, 42524 49 2,2,17, 2,9,3, 5,2,6, 5,3, 5_2 50 2,7,4, 3,5, 4',. 4,4, 4_,
500 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм Таблица 15.7. Неразложимые неопределенные тернарные формы a +8 +28 +32 +56 +64 +68 +72 +72 +92 Формы ±2j±2] ±2j+6j ±21+21 ±2j ±14 [+2 ±2 ±6 ,+2 ±42±42+4 ±2j ±6j ±2I«1 ±2x+22 +6 |+6 ±14 1±2 чена с использованием неравенств D6) — D8). В табл. 15.7 приведены неопределенные формы с \d\^ 100, и она построена с использованием теории спинорных родов. 10.2. Метод склейки Кнезера. Целочисленные решетки, по- порожденные векторами с нормой 1 и 2, полностью классифици- классифицированы. Такие решетки могут быть представлены как прямые суммы решеток частного вида 1„ (л>1), Ап (п>1), Dn (л>4), Е,, Е7, ?,. Некоторые другие решетки можно найти путем склеивания этих (а возможно, и других) компонент. Эта техника, восходящая к Кнезеру и Витту [Кпе4], описана в § 3 гл. 4. В гл. 16 и 17 мы опишем, комбинируя метод склейки с другими методами, способ перечисления всех унимодулярных решеток в размерно- размерностях п ^ 25. Было бы неправильно, однако, утверждать, что перечисления унимодулярных решеток можно использовать, чтобы достаточно легко находить решетки с другими детерми- детерминантами. Это будет показано в следующем разделе (ср. [Kne4], [Pie 12]). 10.3. Положительно определенные формы с детерминан- детерминантами 2 и 3. В этом разделе, опираясь на результаты гл. 16 и сле- следуя методу, использованному Киезером [Кпе 4], мы классифи- классифицируем формы с детерминантом 2 вплоть до размерности 18 и с детерминантом 3 до размерности 17. Этого достаточно для того, чтобы продемонстрировать применяемую технику. После
§ 10. Классификация положительно определенных форм 50! указанных значений таблицы становятся слишком громоздкими, поэтому разумно остановиться именно на них. Результаты для случая, когда сумма детерминанта и размерности ие превосхо- превосходит 17, согласуются с результатами Кнезера. Теорема 23. Все положительно определенные формы, с опре- определителем 2 в размерностях ^18 и с определителем 3 в размер- размерностях ^17 приведены в табл. 15.8 и 15.9. Замечание. В таблицах эти решетки представлены с по- помощью унимодулярных решеток, взятых из гл. 16. Так же как и в гл. 16, унимодулярная решетка задается ее компонентами — решетками корней. Идея доказательства. Детерминант 2. Если Ln имеет де- детерминант 2, то L*JLn имеет порядок 2 и найдется такой вектор v ^L'n\Ln, что 2ueZ,n и v-v = A/2) (mod 1). В частном слу- случае L\ = A\ мы пишем w вместо и с ww= 1/2. Тогда прямая сумма Ln®A\ может быть расширена с помощью вектора склейки v + w до решетки (скажем) Ln+i с детерминантом 1. Обратно, Ln = w1 (в Ln+\) = {х ^ Ln+й x-w==0}. Таким об- образом, все n-мерные решетки Ln с детерминантом 2 можно единственным образом получить как решетки, ортогональные в (п + 1) -мерной решетке Ln+i с детерминантом 1 к вектору до, имеющему норму 2. Все такие решетки Ln+\ можно найти (для п + 1 ^ 23) в гл. 16. Предположим, что Ln+\ = Mn+i-k © Ь, где Mn+i-k имеет минимальную норму ^2. Теперь для w имеется две воз- возможности. (a) шеЬ (если k ~&*2), так что Ln = w1 = Mn+i-kФ А\ Ф Ф Ь_2. Если Ln имеет минимальную норму 2, то Ln — Мп-\ © ФЛ]. Эти решетки приведены в столбце (а) табл. 15.8. Из табл. 15.4 мы знаем, что имеются два рода с детерми- детерминантом 2, которые мы обозначаем 1ЛB) и ПлB). Решетка Ln = iWn-i Ф Ах четная (т. е. лежит в ПлB)) в точности тогда, когда Мп-1 четная. Для п= 17 имеются три решетки в столб- столбце (а), две из которых четные, хотя в таблице указывается только их число. Явный вид компонент может быть найден из гл. 16. (b) Напротив, в качестве w мы можем взять в решетке Мп+\ с детерминантом 1 и минимальной нормой 2 произвольный век- вектор, имеющий норму 2. Например, в 18-мерной решетке АпЕ6 имеются в точности две неэквивалентные возможности для вы- выбора w. Эти решетки указаны в столбце (Ь) табл. 15.8. В табл. 15.8, 15.9 символ <с> обозначает одномерную решетку uL с и-и = с.
502 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм. Таблица 15.8. Положительно определенные решетки с детерминантом 2 и минимальной нормой ^2 Dim 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (a) _ A\ — — — — _ _ — E% Ф A i _ _ _ O|2 © A, — E} © /i, /4,5 © Ax El® At ?>,6Ф /1, Dl ©/), Л,,?-6 Ф Л, (b) <2>x в _ — — — — — — E» — — Z>12 _ ?72 Z)]6, fg2, Z)| AUE6 AnA, D^EjAi a\ EiO, "l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 2 3 6 6 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 2 0 4 0 nM 0 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 6 7 II 14 24 30 В последних трех столбцах табл. 15.8 приведено число пх (соответственно пи) нечетных (соответственно четных) решеток с детерминантом 2 и минимальной нормой ^2 в каждой раз- размерности и число tit решеток с детерминантом 2 и минимальной нормой ^1. Детерминант 3. Если решетка Ln имеет детерминант 3, то найдется такой вектор v<=L"n\Ln, что 3v<=Ln и vv = = ±A/3) (mod 1). Легко видеть, что если v-v = A/3) (mod 1), то 3-адический символ для Ln — это l"-^1, а в противном слу- случае он равен l"-^-1. Сначала мы рассмотрим случай v-v = A/3) (mod 1). Мы бе- берем Л2 с аУ€=Л*\Л2, w ¦ w = 2/3 (гл. 4, формула E5)) и так расширяем Ln®А% с помощью вектора склейки v + w, чтобы получить решетку Ln+2 с детерминантом 1. Обратно, Ln= А?- в Ln+2. Если Ln+2— Mn+2-k® Ik, то имеются две возможности: (a) A2alk, так что (если Ln имеет минимальную норму ^=2)
§ 10. Классификация положительно определенных форм 503 Ln = Mn-i Ф <3>, где Mn-i имеет минимальную норму 2 и де- детерминант 1. (b) /42cr Mn+2-k- Например, А? в Е8 дает L6=E6. Рассмотрим теперь случай v-v =(— 1/3) (mod 1). Мы берем 1-мерную решетку Mi, скажем Mi = <3>, с образующим эле- элементом w с нормой 3 и расширяем Ln® Mi с помощью вектора склейки и + A/3)до для получения решетки Ln+\ с детерминан- детерминантом 1. Обратно, Ln — ортогональная к вектору w с нормой 3 Таблица 15.9. Положительно определенные решетки с детерминантом 3 и минимальной нормой ~^-2 Dim 0 1 2 3 4 5 6 7 g 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (a) < 3> _ _ _ _ _ fc', Ф < 3 > — — _ O,2® <3> _ ?2 Ф < 3 > .4,,® <3> hi Ф < 3> D,«,® <3> Dl Ф < 3 > (Л) Л,1 in _ _ _ _ E» — _ 012 — t-72 •4,s 01*. t'«, Dl ¦4,,t6 -4,7-4, -4,,D70, ¦4fD< _ -42 _ _ _ _ _ _ ?s ® -42 — — — D,2® -42 _ ?'72 Ф -l2 (</) (f) <3>LB <3>'b _ — _ — _ — _ — _ — _ — _ — i'g Ф 11 — _ — — - — 0|J 0,2 ® ll — ??2 fc'j2 Ф 1, A^ /(|S®I, 08 d\%\\ ¦4"t" АиЬь © 1| ^17^1 D)o?-iA, 0*3 -4,2 "l 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 3 4 5 12 17 «11 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 ] 2 2 2 2 3 3 4 5 7 8 10 13 19 24 36 53 решетка в (п + 1)-мерной решетке Ln+i с детерминантом L Если Ln+i — Mn+\-k Ф Ik, то следует рассмотреть три возмож- возможности, (с) w <= Is, (d) проекция w на Mn+\-k имеет норму 2, а его проекция на I* имеет норму 1,' (е) w e Мл+1_б. В случае (d) предположим, что Ln+\ = МлФ 1Ь где Мп имеет минимальную норму 2. Пусть w — v + е, где v ^ М„, v-v = 2, е<=1ь е-е= 1, и пусть Kn-i = v1 в Мп, так что det/Cn-i = 2 (это следует из первой части доказательства). Тогда Ln — wL содержит Кп-и а также вектор и = v — 2е, порождающий 1-мерную решетку <6>, ортогональную к Кп-и В действительно- действительности Ln представляет собой прямую сумму Kn-i Ф <6>, расши-
504 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм ренную вектором склейки t-\-(l/2)u, где ? —ненулевой вектор склейки для k*n.l/Kn_v В табл. 15.9 приведены решетки с минимальной нормой ^2 в пяти случаях, а также число четных (пц) и нечетных (ni) решеток с минимальной нормой 2 в каждой размерности. Имеются четыре рода форм с детерминантом 3 (см. табл. 15.4), которые мы обозначаем МЗ*1) и IInC±1). Столбцы (а) и (Ь) относятся либо к 1лC'), либо к ПлC1), а столбцы (с), (d) и (е) — либо к ^(З-1), либо к НпC-1). В последнем столбце, обо- обозначенном tint, приводится число решеток с детерминантом 3 и минимальной нормой ^1. § 11. Сложность вычислений В заключение мы кратко обсудим сложность проблемы клас- классификации. (Что касается других вопросов, связанных с ре- решетками, то они обсуждались в разд. 1.4 гл. 2.) Вот некоторые из главных вопросов, с которыми мы сталкивались. (С1) Найти число классов целочисленных квадратичных форм размерности п с детерминантом d. (C2) Предъявить по одной форме из каждого класса. (СЗ) Определить, лежат ли две данные формы в одном классе. (С4) Если да, то найти явный вид эквивалентности. (G1) Найти число родов форм размерности п с детерминантом d. (G2) Предъявить по одной форме из каждого рода. (G3) Определить, лежат ли две дан- данные формы в одном роде. (G4) Если да, то найти явный вид рациональной эквивалентности, знаменатель которой взаимно прост с заданным числом. Близкая проблема состоит в нахож- нахождении тех чисел, которые представляются формой. (S) По дан- данному целому числу k и данной форме f размерности п с детер- детерминантом d определить, имеет ли решение уравнение f(x) = k? Если да, то найти все решения. Мы не будем подробно обсуждать проблему (S). При п = 2 этот вопрос полиостью изучен Гауссом [Gau 1, § 180, 205, 212] (см. также [Вог 5, с. 174], [Coh 5, р. 1], [Edw 1 с. 376, 392], [Lag I], [Lag2], [Мог 6]). Сложность решения Гаусса, как это представляется, ограничена сложностью разложения числа k на множители, которая не превосходит ехр (с У log k log log k ) для некоторой постоянной с ([Мог8], [Poml]). (Конечно, ре- решение Гаусса более эффективно, чем О (л/k ) решений, предло- предложенных в работах [Dij 1] и [Вас 3] в случае f = х2 -\- у2.) Для произвольного п известно не слишком много. Эта проблема включает в себя задачу нахождения наименьшей отличной от нуля нормы решетки — см. разд. 1.4 гл. 2.
§ 11. Сложность вычислений 505» Для проблемы (С1) в случае п — 2 имеется явная формула для числа классов, причем вычисления по ней требуют полино- полиномиального по d числа шагов ([Cas 3, с. 395], [Die 2, ch. VI]). Для положительно определенных форм фиксированной раз- размерности п все проблемы (С1) — (С4) и (Gl) — (G4) можно решить с помощью алгоритмов, время работы которых полино- полиномиально зависит от d. (Применяя формы, приведенные по Мин- ковскому (разд. 10.1), можно показать, что все рассматривае- рассматриваемые элементы матриц и векторов могут быть ограничены про- простой функцией от d (ср. разд. 3.2).) В типичных случаях, однако, такие многочлены ведут себя как dn\ так что порядок роста сложности как функции от п, вероятно, выше, чем экс- экспоненциальный. Кроме того, масс-формула (см. гл. 16) пока- показывает, что число классов для определенных форм возрастает по крайней мере так же быстро, как и пп' [Mil 7]. По- Поскольку представляется маловероятным, что можно определить число классов для п > 2 без явного нахождения всех классов, сложность проблем (С1) и (С2) как функция от п для опреде- определенных форм, по-видимому, растет быстрее, чем экспоненциаль- экспоненциальная функция. В оставшейся части параграфа мы рассмотрим неопределен- неопределенные формы. Если детерминант задан своим разложением на множители, то проблема (С1) легко решается. Применяя ме- методы, изложенные в § 7, 8, можно показать, что число требуе- требуемых для этого шагов полиномиально зависит от числа сомно- сомножителей d. Например, если d простое, то ответ дается тео- теоремой 13. Наши инварианты для рода и спинорного рода также пред- представляют нам быстрые (и требующие полиномиально завися- зависящего времени) решения проблем (Gl), (G3) и обычно (СЗ). Мы покажем это на известном примере. Диксон и Росс в 1930 г. не смогли определить, являются ли две тернарные формы х2 — Ъу2 — 2yz — 23z2 их2 — 7у2 — byz—\\z2 эквивалентными [Die 3, р. 147]. Известно, что они эквивалентны [Ben 2], [Cas 3, с. 148, 272], ио мы покажем это сейчас, используя наши инва- инварианты. Изменяя для удобства знак перед формами, мы сводим эту задачу к задаче, являются ли матрицы '3 1 0\ /7 3 1 23 0 1 и I 3 11 .0 0 -1/ V0 0 целочисленно эквивалентными? Вычислим сначала род каждой формы. Рациональными преобразованиями со знаменателями 3 и 7 соответственно эти формы можно диагонализировать, и они
506 Гл. 15. Классификация целочисленных квадратичных форм. примут вид diag{3,-f-, -l} и diag{7,-f-, -l}. Следовательно, так как числа 3 и 7 нечетны и взаимно просты с определителем —68, мы можем записать соответствующие р-адические символы: р=17: Г217~' Г217~' р = 2: 12-V l6+247+1 и поскольку первый 2-адический символ преобразуется во вто- второй после 2-шагового прохода, то эти формы действительно лежат в одном роде. Вычислим спинорное ядро для первой формы. Очевидно, что число 2 является единственным непослушным простым числом, хотя —1 еще существенно, так как оно говорит нам, что —1 является (—1)-автоморфным и поэтому («7J лежит в спинорном ядре. Поскольку два члена в 2-адической диаго- нализации имеют отношение —3 = и5, то («5J также лежит в спинорном ядре, которое, следовательно, содержит все, и по- поэтому в роде содержится только один класс. Итак, две рас- рассматриваемые формы целочисленно эквивалентны. В действи- действительности унимодулярная матрица E0) преобразует первую форму во вторую. Как нам представляется, для оставшихся проблем (С1) — (С4), (G2) и (G4) не существует хороших алгоритмов. Логи- Логически трудностей здесь нет: доказательства теорем о роде и спинорном роде (теоремы 9, 10, 14 и т. д.) по своей сути вы- вычислительно эффективны. Например, для проблем (СЗ), (С4) и (G4) если известно, что две формы лежат в одном роде, то в принципе мы можем перебирать все рациональные матрицы со знаменателем г, взаимно простым с 2d, до тех пор, пока не найдем матрицу, дающую искомую рациональную эквивалент- эквивалентность. Тогда формы лежат в одном классе в том и только том случае, когда А (г) лежит в спинорном ядре. Если формы лежат в одном классе, то мы можем продолжать перебор до тех пор, пока не будет найдена целочисленная эквивалентность. Мат- Матрица E0) по существу находится при этой процедуре после
§ 11. Сложность вычислений 507 применения для ограничения перебора диофантовых уравнений, полученных из равенства D). Для решения проблем (С2) и (G2) мы просматриваем по очереди, применяя эти технические приемы, все целочисленные матрицы до тех пор, пока мы не найдем истинное число различных классов или родов форм с детерминантом d. Но это только логические решения, и HaMi не ясно, можно ли их вообще превратить в практические алгоритмы. Часто удобно применять некоторые искусственные преобра- преобразования. Иногда можно использовать полную теорию бинарных форм Гаусса. Мы покажем это, найдя две неэквивалентные не- неопределенные тернарные формы с детерминантом —128 в одном1 роде (см. следствие 22). Легко видеть, что род формы f = = diag{—1,64,2}, а именно Ь, iBX64), содержит два спинор- ных рода и, следовательно, два класса f и f*AC). Мы должны найти представитель для второго класса. Тем самым мы хотим; найти две решетки L и М в этом роде, пересечение которых имеет индекс 3 в каждой из них. Среди бинарных форм с де- . _ 1, сохраняющую це- лочисленность в том случае, если ее первые строку и столбец разделить на 3 и при этом ее вторые строку и столбец умно- умножить на 3, что дает нам (~1 63J. Итак, тернарные формы --9 1 Оч 7 О О 2/ и (b) I 1 7 0 | E1> О О представляют решетки L и М, образующие для которых можно- выбрать в виде еи е%, е% для L и Ъе\, ег/3, е% для М. Теперь L также обладает диагональным базисом е\, е\ + е%, е3, и это показывает, что она соответствует исходной форме f. Матрица E1Ь), следовательно, является представителем второго класса в этом роде.
Глава 16 Перечисление унимодулярных решеток Дж. Конвей, Н. Слоэн В этой главе мы даем явную формулу для масс-констант Минковского — Зигеля унимодулярных решеток. Мы приводим список Нимейера 24-мерных четных уиимодулярных решеток, используем масс-константы для проверки его правильности и затем перечисляем все унимодулярные решетки в размерно- размерностях п ^ 23. § 1. Решетки Нимейера и решетка Лича Четные унимодулярные решетки (или решетки типа II) раз- размерности 24 были перечислены Нимейером в 1968 г. [Nie2]. Существует 23 такие решетки с минимальной нормой 2 и толь- до одна, решетка Лича Лг*, с минимальной нормой 4. (Уже известно, что Л2* — единственная 24-мерная решетка типа II с минимальной нормой 4, см. гл. 12.) Решетки Нимейера приведены в табл. 16.1. Первый столбец содержит обозначение каждой решетки соответствующей гре- греческой буквой, которое будет затем использовано в гл. 17. Каж- Каждая решетка Нимейера Л получается, как это было описано в § 3 гл. 4, из ее компонент — решеток меньших размерно- размерностей— методом склейки. Во втором столбце указаны компо- компоненты решеток Нимейера, которые являются решетками из списка Ап (п^ 1), Dn (n^4), Е6, Е7 и Es. В этой главе мы обычно обозначаем решетку набором ее компонент, например AnD7Ee представляет одну из решеток Нимейера. Где-нибудь в другом месте для того, чтобы показать наличие склейки, мы, быть может, напишем (AuD7E6)+. Если решетка Л имеет ком- компоненты L\, ..., Lk, то векторы склейки для Л имеют вид у = (уи ..., yk), где каждая координата yi может рассматри- рассматриваться как представитель (или вектор склейки) смежного класса для L*t no L,. Для компонент, с детерминантом d эти представители смежных классов обозначены [0], [1], ..., [d — — 1] и приведены в гл. 4. Множество векторов склейки {уи ..., у и) для решетки Л образует аддитивную группу, называемую кодом, склейки. Тре-
§ 1. Решетки Нимейера и решетка Лича 509 Таблица 16.1. 24-мерные четные унимодулярные решетки L. Порядок кода склейки равен \G\. Порядок Aut(L) равен |G0||G,||O2|, где |G0| может быть найден из B). Число А — символ Кокстера, 24Л — количество векторов с нормой 2, V — количество точек решетки Лича вокруг соответствующей глубокой дыры (см. гл. 23) Неимен. а 0 у Ь с ч в 1 к Л i 0 X р <г г V *¦ X ф ы Компоненты Оц DnE» t> Аы Dh AnEi Afil), Di Ah A1107 H(, ?¦< A}Dt Di Ai a] AiD, Di Ai Ai A? Решетка Лича Образующие кода склейки A1 A01 1000] E1 A21.B11 C11 A101.C011 B11 [A22I [15) (Ull 11@12I B40), [301). @53) [ четн. перест. @123A [A14)] [1112]. [17211 AB16)) B@24H1, C30011, C03021, [30033] [111 1111. [0@2332I A@1441I CB001011I BA1211122212I ll@0000101001100!10101111I — loj 2 2 1 5 4 6 4 g g 13 12 9 20 16 27 32 49 72 64 125 256 729 4096 — Id 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 led 1 1 6 1 2 1 2 1 6 2 1 24 2 24 6 4 12 24 720 120 1344 |w,,l |M24| I A 46 30 10 2S 22 IS Its 16 14 П 12 12 10 10 9 & 7 6 6 5 4 1 2 0 V 25 2(, 27 25 26 2fa 27 26 27 26 27 28 27 28 27 28 28 29 3i> 30 32 ~e 43 — тий столбец табл. 16.1 указывает образующие кода склейки. Если вектор склейки содержит скобки, то это указывает на то, что все векторы, полученные путем циклического сдвига части вектора, заключенной внутри скобок, также являются векто- векторами склейки. Например, векторы склейки для решетки Ни- Нимейера Z>| в табл. 16.1 описываются выражением [A22)], ука- указывающим, что они натянуты на векторы [212] = векторы склейки для Dn были приведены в разд. 7.1 гл. 4. Пол- Полный код склейки для этого примера содержит восемь векторов [000], [122], [212], [221], [033], [303], [330], [111]. Число
510 Гл. 16. Перечисление унимодулярных решеток |Goo| векторов склейки (это обозначение объясняется в конце гл. 24) приводится в четвертом столбце. Группа автоморфизмов Aut(A) составлена из групп Go, Gi, G2 и имеет порядок \A()\ A) как указано в формуле D) гл. 4. Группа Go является прямым произведением подгрупп порядка (п+1)!, 2"-'n!, 27345, 2I0345-7, 2U35527 B> для компонент А„, Dn, Es, Е7 и Е& соответственно (эти группы представляют собой группы Вейля соответствующих решеток корней). Порядки групп G\ и G2 приведены в 5-м и 6-м столб- столбцах таблицы. В 7-м столбце приводится число Кокстера Л для каждой такой решетки (которое является также и числом Кокстера для каждой ее компоненты). Тогда решетка содержит 24Л векторов с нормой 2. Коды склейки для решеток Нимейера Е\, D\, Al22, Af яв- являются соответственно тетракодом 12?4, гексакодом ^6 и кодами Голея Wl2 и ^24 (см. п. 2.5.1, 2.5.2, 2.8.5, 2.8.2 гл. 3). Коды склейки для А\г и AUD7E6 полностью приведены в гл. 24. Для А\ группа G2(Af) изоморфна PSL2E), действующей на {оо, 0, 1, 2, 3, 4}. Для Л» группа О2(Л§) изоморфна 23.PGL2G), дей- действующей на расширенном коде Хэмминга длины 8 над Z/4Z. Коды склейки описаны также (зачастую с использованием дру- других координат) Венковым в гл. 18. Изучению решеток Нимейе- Нимейера посвящены также работы [Его 1] — [ЕгоЗ]. Решетка Нимейера А\* эквивалентна решетке, полученной в результате применения конструкции А (см. § 2 гл. 7) к коду #24", для этой решетки р = l/V^ б = 2~12, х = 48, и она, ко- конечно, является четной целочисленной решеткой. Решетки в табл. 16.1 расположены в порядке убывания Л, а при равных h — в порядке возрастания порядка группы G2. Такое упорядочение обеспечивает появление групп из каждого из семейств Ап, Dn, En в порядке убывания п. В § 3 мы проверим правильность списка Нимейера двумя различными способами (и еще один способ приведен в гл. 18). Сначала мы установим масс-формулу. § 2. Масс-фор мула для решеток Для уиимодулярных решеток, как это указывалось в разд. 2.4 гл. 2, имеется точная формула — так называемая масс-фор-
§ 2. Масс-формула для решеток 511 мула1), дающая взвешенные суммы тэта-рядов всех неэквива- неэквивалентных решеток данной размерности. Здесь мы как раз при- приводим формулу для числа неэквивалентных решеток, т. е. для масс-константы Минковского — Зигеля. Теорема 1. Пусть Q — множество всех неэквивалентных не- нечетных унимодулярных решеток размерности п. Тогда V 1 Z-» | Aut (Л) | при п = 1 равна 1/2, а в остальных случаях равна (] _9-*Wi J-91-^ 2fel ' Bk ' B*B* •' ¦ B*k-2 '• eCAU П = 2k "¦ °(mod I fl2^4 • • • B2k |, если га = 2Л + 1 ¦¦ ± 1 (mod 8), (k-\)\22k+l ' ?fc~' ' ^4 - *- B2k~2 lf еСЛ" " = 2^ ^ ± 2 (m°d 8)l J-|BaB4... Вм|, если n = 2fe+ 1 ^±3(mod8), Здесь Bk и Е/г обозначают k-e числа соответственно Бернулли и Эйлера: 50=1, В, =—1/2, В2=1/б, ..., ?0= 1, Ег = — 1, ?4 = 5, ... [Abrl]. Теорема 2. Пусть Q — множество всех четных неэквивалент- неэквивалентных унимодулярных решеток размерности п. Тогда У _JL__HlLttIM Li I Aut (Л) I Ik II 4/ ' еслм n~ 2ks=Q (mod 8), при n — 0 следует считать, что в пра- правой части стоит 1. Теорема 3. Пусть Q — множество всех нечетных неэквива- неэквивалентных унимодулярных решеток Эйзенштейна размерности п, пусть м - Y * Мп L, | Aut (Л) I ' Asa ') Немецкий оригинал «Massformel» иа самом деле означает «формула меры». Стандартный неверный перевод здесь оказался удачным. Подробнее о масс-формуле см. [Соп 42, part IV].
512 Гл. 16. Перечисление унимодулярных решеток и пусть ап = Зп~1\ВпA/3)\/п, где через Вп(х) обозначается п-й многочлен Бернулли [Abr 1, гл. 23]. Тогда Mi = 1/6, 3я/2 , (_1)/ Мп = Мп^Вп g^— —. если п четно, Замечания, (i) Эти теоремы имеют долгую историю. Ва- Варианты, приведенные здесь, почерпнуты из [Con 34], [Fei 2], [Serl], [SlolO]. Дальнейшую информацию и обобщения мож- Таблица 16.2. Точные значения масс-констаит Минковского— Зигеля для решеток типа I л Масса 1 'Л I 1 3 48 4 384 5 3840 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46080 1 645120 1 10321920 17 2786918400 1 2229534720 31 735746457600 31 5885971660800 691 765176315904000 42151 192824431607808000 29713 385648863215616000 505121 12340763622899712000
§ 2. Масс-формула для решеток 513 Таблица 16.2 (продолжение) п Масса 642332179 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 18881368343036559360000 692319119 15105094674429247488000 8003636403977 77489135679822039613440000 248112728523287 61991308543857631690752О000 593468652605200909 216969579903501710917632000000 50904295073459007001 1507367607750643465322496000000 1015740532498234470066371 1317439289174062388691861504000000 701876707956280018815862361 21079028626784998219069784064000000 84715059480304651623612272842147 ЗО465396080006318014267329085440000000 14616335635894388876188472684851927 31871491283698917307233513504768000000 1894352751772146867430486995462923265007 12429881600642577749821070266859520000000 10345060377427694043037889482223023950203227 99439052805140621998568562134876160000000 4285009823959590682115628739356169586687220752159 28837325313490780379584883019114086400000000 156429914319579070270102710292957201465725850451195039 346047903761889364555018596229369036800000000 447543572700878404232772149927275573042725639059585587715489 150184790232659984216878070763546161971200000000 416022631331982837344253774635747627157753429574979915187099394241 9611826574890238989880196528866954366156800000000 но найти в [ВгаЗ], [Вго5], [Вгоб], [Cas3], [Cos 1], [Eicl], [Hsi6a], [Ко 2], [Mag3], [Mil 7], [O'Mel], [Pall], [Pal 2], [Pfe 1] —[Pfe3], [Que3], [Sie 1] — [Sie 3]. Читателю следует иметь в виду, что многие опубликованные формулы для масс- констант содержат ошибки, (и) Числовые значения масс-кон- масс-констант, упоминаемых в теоремах 1 и 2 для размерностей п ^ 32, приведены в табл. 16.2—16.5. (Hi) Примеры, иллюстрирующие применение этих теорем, были приведены в разд. 2.4 гл. 2. Дру- Другие примеры будут указаны в § 3, 4 ниже, (iv) Аналогичные
514 Гл. 16. Перечисление унимодулярных решеток Таблица 16.3. Десятичные разложения масс-коистант для решеток типа I п 1 2 3 4 5 6 7 8 Масса 0.5 0.125 2.083 Х1(Г2 2.604X10 2.604 х 1(Г4 % 170x10 J.551 х 10 9.688 х 1(Г8 п 9 10 11 12 13 14 15 16 Масса 6.100х](Г9 4.485 Х1(Г10 4.213x10""" 5.267 хЮ2 9.031 хюч) 2 186ХЮ-" 7.705Х 10-'4 4.093 х Ю4 п 17 18 19 20 21 22 23 24 Масса 3.402хЮ~14 4.583 х Ю-14 1.033x10-" 4.002 х Ю-'1 2.735 хЮ2 3.377x10-" 7.710x10-'° З.ЗЗОхЮ"8 п 25 26 27 28 29 30 31 32 Масса 2,781x10-* 4.586 х Ю-4 1.524x10-' 1.040 хЮ2 1.486 XI О5 4.520 XI О8 2.980 хЮ12 4.328ХЮ16 Таблица 16.4. Масс-коистанты Минковского—Знгеля для решеток типа II Масса О 8 16 24 32 696729600 691 277667181515243520000 1027637932586061520960267 129477933340026851560636148613120000000 4890529010450384254108570593011950899382291953107314413193123 121325280941552041649762780685623131486814208000000000 Таблица 16.5. Десятичные разложения масс-констант для решеток типа II И 0 8 16 24 32 Масса 1 1.435X10"» 2.489x10-" 7:937xlo~15 4.031 хЮ7 теоремы для кодов можно найти в [Вго5], [Мае 4], [Мае б, гл. 19, §6], [Мае 8], [Mai 2], [Pie 7], [Pie 8], [Pie 16], [Pie 17], [Thol]. § 3. Проверка списка Нимейера В качестве одного из применений теоремы 2 мы доказы- доказываем следующий результат: Теорема 4 [Nie2]. Все четные унимодулярные решетки раз- размерности 24 приведены в табл. 16.1.
§ 3. Проверка списка Нимейера 515 Доказательство ([Con34], см. также [ЕгоЗ]). Мы прове- проверим, что 1 1027637932586061520960267 /оч |Aut(Л) | 129477933340026851560636148613120000000 • Л где сумма берется по всем решеткам Л, приведенным в табл. 16.1. Порядок |Aut(A) | для всех решеток, кроме решетки Таблица 16.6. Проверка полноты списка Нимейера -4,4 ц\, Л„/Г, Ои)Е] -4,i D, 1>1 Л\г Е\ о: A\Db Л] a]d\ Al о: A\D, Л\ Al А[2 А]' Решетка Лича Всего 24877125 63804560820 211051831050 4173685995840 67271626831500 3483146354688000 4I34535541136OOO 33307587016704000 156983146327507500 8347859571 П952ООО 313503391765504000 8082641116053504000 19144966823230243000 106690862731905252800 225800767686574080000 2700612462901377024000 3361079854908571648000 119656O426451S90500000 52278522738634063872000 180674574584719324741632 437599241673834240000000 312927932591898624000000 31522712171959008000000 15570572852330496000 1027637932586061520960267 Лича, дается равенством A), где |Gi| и | G21 можно найти в 5-м и 6-м столбцах таблицы, a |G0| является произведением соответствующих порядков |G0| для компонент решетки Л. Все эти компоненты могут быть получены из B) (для решетки Лича |Aut(A) | = \Со0\ приведен в разд. 3.3 гл. 10). Во втором столбце табл. 16.6 приведен умноженный на | Aut (Л) ]—х зна- знаменатель правой части равенства C). Так как сумма равна числителю правой части равенства C), то список полон. Более поучительное доказательство появится в гл. 18. Пока мы опишем в общих чертах другое доказательство, в процессе которого используются некоторые результаты последующих
516 Гл. 16. Перечисление унимодулярных решеток глав. Пусть G — группа всех автохронных автоморфизмов чет- четной унимодулярной гиперболической решетки П25,ь Н— под- подгруппа отражений в G. Группы G и Н приведены в гл. 27, где, в частности, показано, что Н является группой Кокстера, граф которой изоморфен решетке Лича. Из работы Винберга [Vin5] следует, что четные унимодулярные 24-мерные решетки с ми- минимальной нормой 2 в евклидовом пространстве описываются теми максимальными поддиаграммами решетки Лича, которые представляют собой объединения расширенных диаграмм Кок- Кокстера— Дынкина Ап (n^s 1), Dn (n^4), Е6, Е1 и Es. В гл. 23 показано, что имеется в точности 23 такие поддиаграммы, и это именно те поддиаграммы, которые соответствуют решет- решеткам Нимейера с минимальной нормой 2. Этот результат с уче- учетом того, что решетка Лича является единственной четной унн- модулярной решеткой с минимальной нормой ^4 (гл. 12), со- составляет еще одно доказательство результата Нимейера. Он проясняет также взаимно однозначное соответствие между глу- глубокими дырами в решетке Лича (гл. 23) и решетками Ни- Нимейера. Однако следует подчеркнуть, что этот результат ии в коем случае не является кратчайшим способом получения результата Нимейера, поскольку доказательство в гл. 23 тре- требует громоздких вычислений. § 4. Перечисление унимодулярных решеток в размерностях п ^ 23 В разд. 2.4 гл. 2 приведены ссылки на ранние работы по классификации унимодулярных решеток, и известные резуль- результаты подытожены в табл. 2.2 этой главы. Нечетные решетки в размерностях 24 и 25 обсуждаются в гл. 17. В оставшейся части этой главы мы перечислим унимодулярные решетки в размерностях п ^ 23. Теорема 5 [Con 34]. Унимодулярные решетки в размернос- стях, не превосходящих 23, не содержащие векторов единичной нормы, — это те решетки, которые содержатся в табл. 16.7. Замечание. Поскольку унимодулярные решетки с минималь- минимальной нормой 1 имеют вид Zk®L, где минимальная норма L не менее 2 (см. D)), то их легко определить. Доказательство. Мы будем называть решетки, приведенные в табл. 16.1, решетками Нимейера. Доказательство теоремы 5 основано на замечании (справедливость которого установлена ниже), что любая решетка рассматриваемого типа ассоцииро- ассоциирована с некоторой решеткой Нимейера, и состоит в нахождении
Таблица 16.7. Унимодулярные решетки в размерностях =s;23, не содержащие векторов с нормой Л. Все они, за исключением четырех, нечетные (или типа I). Четными (или типа II) являются пустая решетка, а также Es, Е\ и ?>16. Обозначения объяснены в § 4 dim 0 8 12 14 15 16 16 16 17 N D2i Dlt,E, Dr. D,0E, A,5P, El DD\" AnD,E6 w - -0 -0 -00 0- -00 0- -00 0-0 V 0 Es D» E, л,. El DDl AnEe «w> 1 1 2 1 1 3 1 3 l *,ft l l i 2 2 2 1 2 2 0 240 264 252 240 480 480 224 204 18 A17H7 0- AnAi 18 B10E7 0-0 18 Dl -000 18 A|D6 00- 1 2 4 1 2 1 6 4 308 30S 180 180 19 19 19 Ei. AnD,E6 аЫ -000 00- 00-0 ElOt Afas 4 1 2 12 2 4 216 216 152 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 D2, DItEt D\i DwE* A,,D, ¦Dl Dl A',De. a\d\ d\ AtD, A2, A-n&i AisD, Ah AlD66 As AWs At A'5D, At Al D E, El d]2 A17E7 D,0Ei DioEj AuDt Dl Ei •Д;,О,Е6 A,,D,E6 + e +0 +0 +00 0+ +00 0+0 +000 00+ 00+0 +os 04+ + +0 +0 +0 +00 +00 +00 +000 +000 +0000 +05 +07 «•0 ** ». 0" • >0 »¦ • •0 • .00 o.» •0» Di2Es D,2Da EtD6 A15D5 d\d. ASIE6A3 DlA] AlA] 'd! At А„О, АиЕ,Ог AtlD?Oi AnA,Oi D-jA-jE^Oi A,D6AsOi AgA,Ot AiDJA^O, AlA2Or AlDiAxO, A4O1 Al ?¦„?* d*oa\ AuDtOi D10Dl DsEyDgAi AiyDjAiO, dsdUI e'IaI AuD,A,Ai A9DlA,Ol 1 1 2 1 1 3 1 4 1 2 6 1 1 1 1 2 1 2 3 2 4 4 6 8 1 3 1 1 1 2 1 3 1 6 1 1 1 1 1 2 2 г 2 6 4 4 120 16 2 2 2 2 2 2 4 4 6 12 40 336 1 2 2 2 2 1 2 2 4 g 2 2 760 ¦504 376 312 280 248 216 184 184 152 120 120 420 308 276 228 212 18D 164 148 132 116 100 84 492 492 364 300 300 300 268 236 220 204 204 204
Таблица 16.7 (продолжение) dim 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 21 23 23 21 23 23 23 21 23 21 21 23 23 23 23 23 23 23 21 23 23 23 23 23 23 23 21 23 23 23 23 23 23 23 23 N AUD E6 Dl aId6 Al A\D\ A\D\ At Dl AiD, AID* A| Al A? A „ А„Е, Di0?j A17C7 i SD, 413DV A,sD, Dl Dl Afa a AliD7Eu AiiD7r6 A, D Fb \, D7tt, а1г>6 Dt a!,D<, AlDb A2,D, As A» Д ' A7D\ A Dl A7D\ A7D^ A D, A7D\ 4is At Dl AiDA A4D4 a\d. a\d. A. A4 a" A", A? Al' Ли w ..0 ••00 ••0 •0» «0 00** ••00 •0«0 ••00 »»04 •000» •*000 ••0" ..0' ».o10 ,.0" 10 5 12 60 110 211 31 80 21 42 033 122 15 32 0111 620 401 330 111 222 2222 Mil 0123 240 112 121 016 411 177 4400 4022 2011 2220 1112 1103 Mil 0124 002332 00311 02220 11110 04111 0U111 001214 0424 O32133 016l* mm V A&eDsAtO, AjDtOi AsAiD'tAiOz. AiAtOi л|а|а? oIa1o2 A^sAsAsAiOi a\a\o2 DlAi A?AjAfOi A\DtA\O2 a1a\o2 A'/o; A72 Л15С8 DuAnOi A ij?W\5 А9С7ЕЙО1 D,FIO2 А-цПъАтРх D,A2 AjaAsAjO! AnDaAaOj D*A7Oy Dt-K O} A n 4744O] AwA,A,A1Ol F,Dl<)x FcD(,\iO\ D1\1DiAlOl A,l „Л„Л О, A io ЬО>О2 A^DbD^AtOz DtO) A^A^A^O, DbDsAlO, A-iDbA^AsAtOt A»A»D,4 О AS4,A^4,O 4»4-4 O, A,44A,O A A,,AtO_ dIa'o A7D4AiO2 A7A,AAA,O2 DsAlDtAlO2 AlDtA,Oi A6D^aIAiO2 A^AjOj AkAiA4A^A2AtO2 d\a\o, а\аъа\о2 a<daa\a\o2 d,aIa\o, А!А4АзА1Оэ A.A^O, A A A2A2O a\a'o, a\a'a,o. A7A\Oi A\*O7 °" c(w) 1 6 1 2 3 1 1 4 6 15 4 6 15 28 66 276 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 3 4 4 g 1 2 2 2 2 1 2 12 4 4 4 6 6 6 1 2 4 4 4 8 8 24 45 6 8 8 24 12 60 14 112 264 759 196560 ?18: 2 4 4 2 4 g 8 2 4 144 12 8 16 96 2880 887040 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 2 12 4 2 2 2 48 4 4 2 2 2 4 4 4 16 8 4 4 4 2 6 2 96 16 12 12 4 40 8 384 48 1440 645120 84610842624000 20< 172 172 172 156 140 140 140 124 108 108 108 92 76 60 44 480 400 352 288 2KS 288 288 256 2^6 256 224 224 208 208 192 192 192 192 192 192 160 160 160 160 160 160 144 144 144 128 128 128 128 128 128 112 112 96 96 96 96 96 80 80 64 64 48 32 0
§ 4 Перечисление унимодулярных решеток в размерностях п ^ 23 519 всех решеток, которые могут быть получены из решеток Нимейера. Компоненты V\, V% ... (показанные в столбце с заголов- заголовком V) решеток из табл. 16.7 взяты из следующего списка: Оп (n^sl), пустая компонента (т. е. не содержащая векторов с нормой ^2), Z (одномерная целочисленная решетка), а так- также Ап (п ^ 1), Dn (rt^s4), E6, Е7 и Е&. Как обычно, индекс компоненты указывает на ее размерность. Иногда мы будем обозначать m-мерную целочисленную решетку Zm через Im. Замечание. Обозначения для компонент решетки, употреб- употребляемые в этой главе, немного отличаются от использованных в [Con 27]. Например, решетка Е%01 была там обозначена как -?g[3]. Последнее обозначение более информативно, но имеет меньшую общность (так как оно неприменимо в случае, когда размерность пустой компоненты больше 1) и вносит некоторую путаницу, так как [3] может быть именем вектора склейки. Поэтому мы рекомендуем применять в общем случае обозна- обозначение ... О„. Цепочки решеток. Любая унимодулярная решетка появ- появляется в однозначно определенной цепочке вида Л„, Л„®1„ Л„012 Л = Л„01т D) где начальная решетка Л„ не представляет 1. Мы называем Ап приведенным вариантом решетки Л. (Внимание: в остальных местах этой книги Лге обозначает слоистую решетку.) Слагае- Слагаемое \т является подрешеткой решетки Л, порожденной векто- векторами с нормой I, а Лге является ее ортогональным дополнением. В этой ситуации I Aut (Л„ 0 Im) | = | Aut (Л„) | • 2m ml. В ходе нашего процесса перечисления все решетки цепочки рассматриваются одновременно. Для одних целей наиболее подходящей для рассмотрения является начальная решетка Ап, однако для других такой решеткой является 23-мерная ре- решетка Лге Ф Ь Ассоциированная решетка Нимейера. Теперь мы опишем, каким образом с нечетной унимодулярной решеткой Лп в раз- размерности п ^ 23 ассоциируется однозначно определенная ре- решетка Нимейера N. Для краткости мы опустим простую про- проверку некоторых утверждений, так как в любом случае масс- формула дает возможность независимой проверки. Пусть m = = 24 — п. Как Ап, так и Im имеют подрешетки индекса 2, со- лержащие только векторы с четной нормой. Обозначим эти
520 Гл. 16. Перечисление унимодулярных решеток подрешетки через А°п и l°m соответственно. Двойственная к Л* решетка содержит А°п и три смежных класса, которые мы обо- обозначим Л],, Л^, Л^. Аналогичным же образом решетка, двой- двойственная к 1^, состоит из смежных классов \йт, \т, Цп, \т. Можно так выбрать обозначения, что Л = Л° 11 Л2 I = 1° 1112 и множество всех векторов вида Hy^eA^eli- k = 0, I, 2, 3} является четной унимодулярной 24-мерной решеткой. Послед- Последняя решетка и есть решетка Нимейера N, ассоциированная сЛ„. Построение решетки Ап по решетке N. Решетка 1^ более известна как Dm. С точки зрения решетки N только что опи- описанный процесс представляется так. Рассмотрим экземпляр ре- решетки Dm в N и отметим, что Л„ является множеством векто- векторов х в ортогональном дополнении Dm, для которых либа д: + [0], либо х + [2) лежит в N. Здесь [0], [1], [2], [3] —век- —векторы склейки для Dm в Dm, [2] является вектором склейки с нормой 1 (см. разд. 7.1 гл. 4). Решетка Л„ будет начальным членом соответствующей цепочки в том случае, когда Dm не со- содержится в Dm' в N при m' > m с тем же вектором склейки [2]. Напротив, мы можем обратиться к 23-мерному элементу цепочки, для которого соответствующая Dm является решеткой Du порожденной единственным вектором v = 2e с нормой 4 и [2] = е. Эта 23-мерная решетка является множеством таких векторов х е ех, для которых х + пе е N при некотором це- целом п. Другие элементы цепочки можно получить удалением слагаемых I*. Таким образом, мы можем рассмотреть наш процесс с лю- любого конца цепочки, содержащей Л„. С одной стороны, мы ищем максимальную подрешетку Dm (и вектор склейки [2]) в решетке Нимейера jV и фиксируем Dm в качестве начального элемента цепочки. С другой — мы находим в N все возможные векторы v = 2е с нормой 4 и фиксируем подпространство Vs- в качестве 23-мерного элемента цепочки. Решетки Нимейера с минимальной нормой 2. Пусть N — одна из 23 решеток Нимейера с минимальной нормой 2, и пусть Wi, W2, ¦ ¦ ¦ — ее компоненты. Вектор v с нормой 4, использо- использованный в приведенной выше конструкции, может быть записан
§ 4. Перечисление унимодулярньсх решеток в размерностях п ^ 23 521 в виде V = V! + V2 + . . ., где v\, и2, ... суть либо A) минимальные представители векто- векторов склейки, соответствующих вектору склейки нормы 4, либо B) минимальные векторы г, s нормы 2 в двух различных ком- компонентах Wt, W, и 0 в оставшихся компонентах, либо C) (и последующие случаи) 0 всюду, кроме одного и,-, который является вектором с нормой 4 в своей компоненте Wt. (Мы снова опускаем простое доказательство этого утверждения.) Мы упорядочили случаи так, чтобы их номера соответствовали значениям пг, указанным выше. В случае A) решетка D\, порожденная v, максимальна, и мы получаем 23-мерную решетку, не представляющую 1. Наш символ в этом случае — упомянутый выше вектор склейки. В случае B) решетка D2, порожденная г и s, максимальна, причем [2] = A/2) (г + s); поэтому приведенная решетка яв- является 22-мерной. Символ в этом случае является вектором, в котором на i-м и /-м местах стоят *, а на остальных ме- местах— нули. Рассмотрение случаев C) и далее можно подразделить так. Случай C): v = vt в компоненте W, = Ak при некотором k ^ 3 имеет вид A, 1, —1, —1, 0*~3). Максимальная решетка Dm является подрешеткой Лз в Ak в подпространстве, соответ- соответствующем четырем ненулевым координатам вектора и,. Приве- Приведенная решетка имеет размерность 21, и в символе в этом слу- случае на i-м месте стоит +> а на остальных местах нули. Случай D). Вектор v = vt в компоненте Dk имеет вид (±14, 0*~4). В этом случае максимальная решетка Dm является решеткой Dit расположенной в подпространстве, соответствую- соответствующем четырем ненулевым координатам вектора v, и приведенная решетка 20-мерна. Снова в символе на i-м месте стоит +. а на всех остальных — нули. Заметим, что случай & = 4 при наличии компоненты D^ достаточно специален, поскольку все три нетри- нетривиальных смежных класса решетки D4 в двойственной к ней решетке содержат векторы с нормой 1, которые могут играть роль вектора склейки [2]. К счастью, в обоих случаях N = D\ и N = A*Di группа Aut(iV) содержит элементы, переставляю- переставляющие все три смежных класса любой компоненты ?>4- Поэтому можно предполагать, что v = (±14, 0*~4). Случай E) и последующие: v — и, является вектором B,0*~') в решетке Dk (k^5) или произвольным вектором с нормой 4 в решетках ?6, Е7 или Е&. В перечисленных случаях максимальной решеткой Dm являются решетки Dk, D5, D6, Da
522 Гл. 16. Перечисление унимодулярных решеток соответственно, и символ на i-м месте содержит —, а на всех остальных местах нули. Неэквивалентные решетки. Замечания, сделанные выше,, дают возможность легко определить, когда две решетки, по- построенные указанным образом, эквивалентны. Всякая решетка Ап определяется решеткой Нимейера N = W{W2... Wa и символом w = dxd2 ... da, являющимся либо вектором склейки, либо перестановкой **0а~2, +0а~' или —0а~'. Две решетки эквивалентны тогда и только тогда, когда они определяются одной и той же решеткой N и их символы эквивалентны относительно Aut(iV). Компоненты V\, V2, ... решетки Л„ определяются компонентой Wi и чис- числом dt, как показано в табл. 16.8. Группа автоморфизмов решетки Л„. Чтобы вычислить по- порядок группы автоморфизмов Ап, мы можем поступить так. Пусть Лп, Л„+ь ... — решетки из цепочки с приведенной ре- решеткой А„; тогда |Aut(An+m)| = |Aut(Aj|-2mm!, так что достаточно вычислить |Aut(A23)|. Теперь 23-мерная решетка Л2з полностью определяется ассоциированной решет- решеткой Нимейера N и любым из векторов ±и нормы 4 в ЛмПо- ЛмПоследовательно, ¦ a w л ч i 2 | Aut (ЛГ) | ,cv | Aut (Л23) | = ' с (р) , E) где группа Aut(iV) описана в § 3, а с(v) — число образов v при действии Aut(AA). Это число можно вычислить как произве- произведение с (v) = с (rf,) с (d2)... с (da)c И, F) где w = d\d2 ... da — символ для Ллг, c(w) — число образов w при действии Aut(iV) и c{di) — количество способов выбрать компоненту vi вектора v, которая дает разряд du Например, с(*) — это число минимальных векторов в Wi. Числа c(di) можно найти элементарным подсчетом, они приведены в табл. 16.8. Значения c(w), которые обычно малы, были най- найдены в результате внимательного анализа действия группы и приведены в табл. 16.7. Порядки групп автоморфизмов решеток Лге в табл. 16.7 были вычислены по формулам E) и F). Затем построением прямых сумм Л„ ф Im были найдены решетки с минимальной
§ 4. Перечисление унимодулярных решеток в размерностях п ^ 23 523 Таблица 16.8. Каждая решетка Ля определяется компонентами Wi, №2,... решетки Нимейера N и некоторым символом w = did.2.... В этой таблице приведены компоненты V\, V2,... решётки Ля, соответствующие каждой компоненте W решетки N и каждому разряду символа w, так же, как н числа c(d), определенные в § 4. Шесть частей таблицы соответствуют случаям W = An, D^, Dn (я > 5), Ее, Е7 н ?8 А„ 0 Ап 1 /п+1\ 1 Л-,л... ( ,. ) d 0 I 2 3 * + д, А, ¦Лз А» Л? - 1 8 8 S 24 24 V, V2 ¦ ¦ ¦ c(d) d V, V2 ¦ ¦ ¦ c(d) Vi Vz ¦ ¦ ¦ с(d) V, V2 • ¦ • c(d) 0 2 3 - On 1 A 2" n-l A,-. 2--' O._ 1б(") " ' U/ 2л 0 1 2 - я6 A, 1 27 27 72 270 Ei Я6 De Ai 1 56 126 756 E, E-, - 1 240 2160 нормой 1. Значения масс-констант были проверены в противо- противовес формулам, приведенным в теореме 1 (это завершает фор- формальное доказательство теоремы 5). Число решеток в каждой размерности приведено в табл. 2.2. В пятом столбце табл. 16.7 приведены числа g{ (Л„) g2 (Л„) = = | Gi(An)||G2(An)|; они дают читателю другой более простой способ вычисления |Aut(An)| по следующей формуле (ср. с формулой A)): I Aut (Лп) | = ПI Go (Vt) I ¦ gl (AB) g2 (Л„). G) Здесь Vi, V2, ¦¦¦, Vk — компоненты Ап (приведенные в столбце с заголовком V), и значения |G0(Vi)| приведены в B). Напри- Например, в предпоследней строке табл. 16.7 говорится о решетке
524 Гл. 16. Перечисление унимодулярных решеток A\SO7, для которой I Aut (Ло) I == B!I6 • I7 • 645120. Значения g\g2 на самом деле были здесь «вычислены в обрат- обратную сторону» из E), F) и G) после проверки масс-формулы. Заметим, что набор (Vi, Уг, ..., У и) единственным образом определяет Л„. В последнем столбце табл. 16.7 приведено число (t2) векторов из Ап с нормой 2. ¦ Решетка Лича. Осталось рассмотреть единственную решетку Нимейера, минимальная норма которой больше 2, а именно решетку Лича. В этой решетке есть только одна орбита векто- векторов с нормой 4 (теорема 27 гл. 10). Наша конструкция дает некоторую 23-мерную решетку с минимальной нормой 3, а именно укороченную решетку Лича О2з, с которой мы уже встречались в приложении к гл. 6. Она появляется в последней строке табл. 16.7 и является единственной решеткой таблицы с минимальной нормой 3. Благодарности. Трудоемкие арифметические вычисления, необходимые для доказательства теорем 4 и 5, были выполнены с использованием систем ALTRAN [Вго 14] и MACSYMA [Mat3].
Глава 17 24-мерные нечетные унимодулярные решетки Р. Борчердс Эта глава дополняет классификацию 24-мерных унимоду- лярных решеток перечислением нечетных решеток. Они нахо- находятся во взаимно однозначном соответствии с парами соседних решеток Нимейера. § 1. Введение Четные унимодулярные решетки в размерностях вплоть до 24 были классифицированы Нимейером [Nie2]. Его результаты изложены в предыдущей главе, в которой, кроме того, пере- перечислялись четные и нечетные унимодулярные решетки в размер- размерностях, меньших 24. Всего существует двадцать четыре ре- решетки Нимейера; в этой главе мы будем ссылаться на них, либо указывая их компоненты Du, D\6Ea либо обозначая их греческими буквами а, р, ..., причем решетка Лича будет обозначаться со (см. табл. 16.1). Нечетные унимодулярные решетки в размерностях 24 и 25 были классифицированы в [Вог 1]. В этой главе приводится список нечетных 24-мерных решеток. В список включены только решетки с минимальной нормой, большей либо равной 2, т. е. те, которые строго 24-мерны, поскольку остальные легко полу- получить из решеток меньших размерностей (сводку результатов см. в табл. 2.2 гл. 2). Соседние решетки. Две решетки А и В называются соседями, если их пересечение А[\В имеет индекс 2 в каждой из них ([Kne4], [Ven2]). Предположим для простоты, что А унимодулярна. Возьмем любой вектор х, удовлетворяющий условиям х<=A/2)А\А, x-xz=Z, A) и определим множества Лл = {ае=Л: a-xe=Z], B) В = (АХ, х). C)
526 Гл. 17. 24-мерные нечетные унимодулярные решетки Далее нетрудно показать, что Ах = А[\В, решетка В унимо- дулярна, решетки Л и В — соседи, все соседи решетки А могут быть получены таким образом и векторами х и х' порождается один и тот же сосед тогда и только тогда, когда х = лг'(тос1Л). Следующая конструкция эквивалентна только что приведен- приведенной. Определим целую часть решетки L равенством [L] = LfU* = {/€=?: 1-LsZ}, D) Если х удовлетворяет A), то В = [{А,х)] E) определяет того же соседа, что и C). Например, если А = Z8 и л: = A/2)8, то мы получаем B = ES. Второй пример. Рассмотрим решетку Нимеиера Л24 в той форме, которая получается в результате применения конструк- конструкции А к решетке Я2и (см. § 1 предыдущей главы). Любой эле- элемент а^А]* можно записать в виде 8~1/2Bс + 4z), где се е |й?24, z <= Z24. Имеются два неэквивалентных выбора х. Если х = 8-1/2B24), то В — нечетная решетка Лича О24 с минималь- минимальной нормой 3 (см. приложение к гл. 6). Если лг = 8~1/2(—6, 223), то В — сама решетка Лича Л24. На самом деле Л24 является единственным четным соседом решетки Л24 (см. рис. 17.1). Равенство E) можно применять для построения новых ре- решеток даже в том случае, когда х не удовлетворяет A). Томп- Томпсон [Tho 7], например, много лет назад показал, что решетку Лича можно получить из ?>24 так: где х-(— — ?.\ G) Л 47 ' 47 ' ••• ' 47 У' V' Однако пересечение Л24 П Ам имеет индекс 47 в каждой из них, поэтому Л24 и ?>24 не являются соседями в нашем смысле. Перечисление нечетных 24-мерных решеток. На рис. 17.1 изображен граф соседства для решеток Нимеиера, каждая вер- вершина которого соответствует некоторой решетке. Если А и В — две соседние решетки Нимеиера, то имеются три целочисленные решетки, содержащие Af\B, а именно А, В и нечетная унимодулярная решетка С (ср. [Кпе4]). Две вер- вершины Л и Б на рис. 17.1 соединены ребром тогда, когда для них С оказывается строго 24-мерной нечетной унимодулярной решеткой. Итак, имеется взаимно однозначное соответствие
§ 1. Введение 527 Рис. 17.J. Граф соседства четных унимодулярных решеток в размерностях 8, 16 н 24.
Гл. 17. 24-мерные нечетные унимодулярные решетки Таблица 17.1а. Нечетные унимодулярные 24-мерные решетки 1 2 3 4 5 6 8 I 9 !» 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Компоненты 0» A?O16 A? A\6O, а1а\"ою аГ A\A\Ot а$а№$ А3А\гОк AlOg AlAiO, AJAU'O6 AUfOt AUtAtO* A}A]A,AlOb AaA3AU'O5 AUUiO6 aUIo, A\O<, AUlA'Oi А<А1АъА\А\О1 AfAU'Oz А\А\А\А}0< DUl* D4AU1O, Фх ФФ XX фт хФ X" ФФ ФФ ФФ X" фх, фт фа фа VV VV Фр VT Vff va фх vp тт та 2'-M2t 10321920-2 190080 43008 2880 • 2 П8240 384 240 384 • 2 48-2 336-2 384 16 384 48 16 8-2 16-2 24 240 16 4 32 4 576-2 48 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 '45 46 47 48 49 50 51 52 Компоненты А5(АуА,)А}А& А\ \Л-\А.уЛ.у\Л.\А\)О^ »*AU}Ot D,AtAfO4 А', AUtAiA22Af0s AUjO, АААААААО AiAtO< A\A\Oi DlA}0, AiAfaAiAtfi А\А]А\А\А\Ог AsDtAUiAUiO} DtAlA,A}0, A6A}AiO, AlAJAlOt AbA\A\O> AUlOi AlAtAjAJO, AfAiAtAiA^AiO, AlAU\O4 D}Af A\DiA\A\Oz Ау45А1А3О3 aa aa aa aa aa Ф? ил- ил- ар ар vo тт аж аж ат ах РР РР РР VV со рх рж т? "i av 8-2 4-2 12-2 16-2 12-2 384 4 16 2 24 12 32 4 8 4 4 6-2 4-2 6-2 16 4 2 4 48 8 4 между строго 24-мерными нечетными унимодулярными решет- решетками и ребрами нашего графа соседства. В табл. 17.1 приве- приведено 156 решеток. На рис. 17.1 показаны также соответствую- соответствующие графы для размерностей 8 и 16. В этой таблице для каждой решетки Л приводятся ее ком- компоненты (в обозначениях предыдущей главы) и ее четные со- соседи (записанные двумя греческими буквами). В последнем столбце выписаны произведения g\g2 порядков групп Gi(A) и G2(A). Мы можем представить Aut(A) в виде AutA = = GQ(A).N(A).T(A), где либо группа Г(Л) имеет порядок 1, либо она имеет порядок 2 и переставляет двух соседей ре- решетки Л. Тогда \N(A)T(A)\= gig2 и в последнем столбце
§ 1. Введение 529 Таблица 17.1b. Нечетные унимодуляриые 24-мериые решетки S3 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 •Компоненты AlD4AJA;Oz А6А^Ал4,АгАхОу AbDtUiAjAiOt DsAiVi^JUzAdOi A7UU$)A{Oi a}dUIo\ DsAMiAJtAyUiAdAfii PiDtAlO, AfO, AUUlOi А6А5А:Ау/ег0у At Af AlAsD>AiAlO1 AtAtAiAlO, A1A\AlO} DsA}DtA\Oy WiOi /<6D5/M 4/<20J AiAsDbAiAxAiAxOi AjAsAfAiOi AiAlAlOi Dt A-jA^A^A2^\Oi A%AlAlO2 AlA\O% av P" fl XT tit 1Г1Г irn" IT IT pi Pv a>i. <r\ TO •ho TCV ¦kv TCV 00 Tl p\ ov Oil (JK g\gl 4 2 2-2 2-2 8-2 8-2 2-2 8-2 24 4 • 2 48 4 4 4 4 16 2 2 4 4-2 48 2 2 4 4 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 9S 99 100 101 102 103 104 Компоненты DlAlA{Oi AtA6DsA,Oi AtlhO^AyAiOx DsDiA}A}Oz A7DiAsA3AtAl4i0t D6Dl4f DtA}A;Oz ¦AtUsA<)A^Oi DfAl^O, AjDMUVOi А1,А\Ог AtAtAyiiAiOz AiDlO-i аф1а]ох AnAjAiAyOi D*Ot DtPsAlOi AtAtDsAtOi A1DtAsAy4iO2 AiA,D,A34lAlOl А] О у AfDjDiO, АэАьАь.4гОг А\АгуОг AfDtAfOi * D\D\A\ ГЦ irX xX irX VV vv ,.• o\ xt OK l\ v\ r\ ot xO i'K V К VI 8 2 2 4 2 6-2 4 2-2 4 -2 4-2 4 2 8 4 2 48 4 2 2 2 U 4 2 4 4 4 пишем re-2, если порядок Г (Л) равен 2, и п, если порядок Г (Л) равен 1. Здесь п — порядок N(A). Компоненты записаны как объединение орбит относительно действия ^(Л), причем скоб- скобки объединяют две орбиты, если они перемешиваются при действии Г (Л). Первая решетка в таблице — это нечетная решетка Лича О24. Остальные решетки имеют минимальную норму 2, и фор- формула 8 (h (A) + h (В)) -16 (8) определяет количество векторов с нормой 2.Здесьh(A),h(В) — числа Кокстера четных соседей данной решетки. На протяже- протяжении этой главы мы игнорировали унимодулярные решетки,
530 Гл. 17. 24-мерные нечетные унимодулярные решетки Таблица 17.1с. Нечетные унимодулярные 24-мерные решетки 105 106 107 108 109 ПО III 112 113 114 115 П6 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 Компоненты AM А^Ог ElD5A2A7O, Е&<АьА^А,Ог A3E(,D,(A}A})O, A$A&A$O2 A^D{,A^A^O\ AlA-iOi D1A1DiAiO1 А1А\Ог D%D6ntA f AfAjD^O, A^DtAtO, A)DlAiA,A,Oi АиАгА}Ог ElDlOi A,E6D6A,OZ D1A1Ef,AiOi АHЕ6А6Ог A^DiAsAxOi Dt TV »\ XX XX XX XX \K vO vO oi Xt кк (V „J- xe X9 и кв HI \v \l Xf *,?> 8 4 4 2-2 2-2. 2-2 2-2 2 2 2 4 2 4-2 2 2 2 2 2 4-2 2 8 2 2 2 2 8 П1 112 П1 134 135 136 137 13» 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 Компоненты DtA}Oz ¦i^hAiOi .(,,0,0,0, АпОг ?,/;„». «4 <i A,F1 1,O, !)«,!)!*} o»1 Л15ОгО, DtEWi D1^DiAl A^EjAiO, D\iDf,Di EsOZ oh AvPx D t,Da iB *i Xt K< Hi or VI A 0 Of »f дг о -/? J"J 00 V7 v(i '?» <P 70 ea la Bex g><!2 4 1 -i 2 4 4 7 2 1 -2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 которые представляют 1. Результатом их включения в рассмот- рассмотрение были бы дополнительные петли в графе рис. 17.1.
Глава 18 24-мерные четные унимодулярные решетки Б. Б. Венков Упрощена классификация Нимейера 24-мерных четных уни- модулярных решеток. Применяются теория модулярных форм, алгебраическая теория кодирования и системы корней. § 1. Введение') Мы рассматриваем четные унимодулярные решетки Л в евклидовом пространстве R", или, употребляя более класси- классическую терминологию, классы целочисленных положительно ¦определенных четных квадратичных форм с детерминантом 1 от п переменных. Такие решетки существуют только в размер- размерностях п = 8k. Полная классификация этих решеток известна лишь для k = 1, 2, 3. При k — 4 имеется уже более 80 миллио- миллионов таких решеток (см. табл. 16.5). При k = 1 или k = 2 клас- классификация очень проста: существуют в точности одна 8-мерная и две 16-мерные решетки указанного выше типа. Полная классификация 24-мерных решеток была получена в 1968 г. Нимейером [Nie 2]. В соответствии с ней имеется точно 24 класса четных унимодулярных решеток. Каждая решетка Л однозначно определена своим множеством минимальных векто- векторов ЛB)= {Я,еЛ: (Х,Х)=2), которое образует систему кор- корней одного из следующих типов: 0, 24Аи 12А2, 8А3, 6Л4) 4Л6> ЗЛ8, 2Л12> Л24, 6D4, 4D6, 3D8, 2D12> D24, 4?6, 3?8, A) Es + Dw, 2E1 + Dw, E7 ') В целях единства терминологии книги терминология этой главы не- несколько изменена по сравнению с исходной статьей Б. Б. Венкова (которой мы пользовались при переводе). В частности, употребляется термин «двой- «двойственная решетка» вместо «сопряженная решетка». — Прим. перев.
532 Гл. 18. 24-мерные четные унимодулярные решетки Решетка, соответствующая пустой системе корней, является решеткой Лича. Классификация Нимейера была получена мето- методом Кнезера [Кпе 4], состоящим в изучении решеток, являю- являющихся соседями данной (см. предыдущие главы). Этот метод требует большого объема вычислений и не в состоянии объяс- объяснить происхождение странного списка A) систем корней. В этой главе предлагается другой подход к классификации 24-мерных четных унимодулярных решеток, основанный на априорном до- доказательстве следующего утверждения: система корней 24-мер- 24-мерной решетки есть одна из систем A), и каждая система корней из A) может быть реализована одним и только одним спосо- способом как система корней такой решетки. В § 2 мы докажем, что система корней ЛB) четной унимодулярной решетки Л в R24 обладает следующими свойствами: (i) либо Л B) = 0, либо rank Л B) = 24; (ii) все неприводимые компоненты Л B) имеют одно и то же число Кокстера h; (Hi) | Л B) | = 24/г, где через |АB)[ обозначено число эле- элементов в Л B). Это будет доказано с применением теории модулярных. форм (используются тэта-ряды со сферическими коэффициен- коэффициентами). Легко понять, что все системы корней со свойствами (i) — (iii) входят в список A). Затем проверяется, что каждая из систем корней из списка A) может быть реализована в качестве ЛB) для единственной решетки. Это фактически задача теории алгебраического коди- кодирования (см. § 3), и существующая литература по алгебраиче- алгебраическому кодированию позволяет быстро получить окончательный ответ (§ 4). Последний параграф посвящен решетке Лича. § 2. Возможные конфигурации минимальных векторов Пусть A cz R24 — четная унимодулярная решетка, ЛBя) = = {J,eA: (k,k)=2n), Л B)—система корней решетки Л. Предложение 1. Пусть aeR24; тогда (У, аJ = ±(а,а)\АB)\. B) jeA B) Доказательство. Воспользуемся классическим результатом (см. [Нес 2] или [Ogg I, ch. VI] о том, что для четной унимо- унимодулярной решетки А в V — 4f тэта-ряд со сферическими коэф- коэффициентами ? Al))q, 7 , Im2>0, isa Bл)
§ 2. Возможные конфигурации минимальных векторов 533 является разложением Фурье для модулярной формы относи- относительно PSLB, Z) веса f/2 + v. Эта форма параболическая, если v > 0. Здесь Pv — однородный многочлен степени v, являю- являющийся Л-сферической функцией, т. е. ДлА> = 0, где Ал — опе- оператор Лапласа в системе координат в У, в которой скалярное произведение ( , ) приводится к сумме квадратов: Двумерные Л-сферические многочлены имеют очень простой вид: они яв- являются линейными комбинациями многочленов Р2,а(х) = (х, аJ- у-(а, а)(х, х), где aeF (см. [Нес2]). Таким образом, для любого aeV ?( ? ((*, aJ-|(a, a)(*, x))V C) п ueA Bл) / является параболической модулярной формой веса //2 + 2 от- относительно полной модулярной группы. В частности, для / = 24 ряд C) является параболической формой веса 14; но такая форма равна нулю, так как всякая модулярная форма веса k является многочленом от двух модулярных форм, Е2 и ?3 ве- весов 4 и 6, а параболические формы образуют в этом кольце многочленов главный идеал, порожденный единственной пара- параболической формой А веса 12 (см. [Serl]). Таким образом, (*, аJ = -^2«(а,а)|ЛBя)|, х <~ Л Bп) что при п — 1 и дает B). Следствие I. Либо ЛB)=0, либо рамг ЛB) равен 24. Действительно, пусть ранг ЛB)<24, т. е. векторное под- подпространство, порожденное ЛB), имеет размерность <24. Тогда в R24 найдется вектор v ф 0, ортогональный ко всему Л B). Полагая а = ив B), видим, что | Л B) | = 0. Следствие 2. Все неприводимые компоненты системы кор- корней Л B) имеют одинаковое число Кокстера h и Мы используем следующее свойство числа Кокстера (см. [Вой 1, гл. VI, § 1, п. 11, предл. 32]: если в неприводимой системе корней R все корни имеют одну и ту же длину, то число эле- элементов из R, не ортогональных фиксированному aeJ?, равно 4/г — 6. Возьмем обычную нормировку для инвариантного ска- скалярного произведения, когда (a, a) =2 для aei?. Теперь если a, a'ei?, то (а, а') может принимать лишь значения 0, ±1,
S34 Гл. 18. 24-мерные четные унимодулярные решетки ±2 и (а, а') =±2 только при а' = ±а. Поэтому 4/г — 6 = = 2-\-2$(R), где ($(#)— количество корней а'е^, таких, что (а', а) = 1 при фиксированном а. Это не зависит от выбора а, так как группа Вейля W{R) действует транзитивно на корнях. Итак, р (iR) = 2Л (/?) — 4. Доказательство следствия 2. Если аеЛB), то,согласно B), ? (г/, aJ = i-| Л B)|. У е Л B) Ясно, что в левую часть равенства вклад дают только эле- элементы из той неприводимой компоненты Ra, в которой лежит а, и что S (У, аJ = 2 Так как Р(/?а) = 2h(Ra)~4, то |ЛB) | = 24ft(/?«), что и тре- требовалось доказать. Итак, мы получили следующий результат. Предложение 2. Если ЛB)=т^=0, то система корней ЛB) в R24 обладает свойствами: (i) rang Л B) = 24, (и) все неприводимые компоненты Л B) имеют одинаковое число Кокете pa h, (iii) |ЛB)| = 24А. Условия (i), (ii), (iii) очень сильные, и нетрудно найти все ¦системы корней в R24, удовлетворяющие им. Предложение 3. Пусть R — система корней в R24, все корни которой имеют одинаковую длину, вообще говоря, приводимая. Пусть R удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii) предыдущего предложения. Тогда R изоморфна одной из 23 нетривиальных систем корней A). Доказательство. Компонентами R могут быть Ai, Dl или Е\ Пусть 24 24 8 Возьмем из гл. 4 значения для чисел Кокстера h(At) = l+l, h(Dt) = 2l-2, h(E6)=l2, А(?7)=18, Л(?8) = 30. Так как все компоненты R должны иметь одинаковое число Кокстера, то не более одного а, не более одного р и не более
§ 2. Возможные конфигурации минимальных векторов 535 одного у могут быть отличны от нуля. Кроме того, если в R входят компоненты из серий А и D, т. е. а,=т^=0 и Р/ =И= 0, то i = 2/— 3. Точно так же если а(-^=0 и уьфО, то i= 11 при ? = 6, j'=17 при k = 7 и / = 29 при /г = 8. Наконец, если р/ =j? 0 и 7* =т^ 0, то / = 7 при /г = 6, / = 10 при /г — 7 и /=16' при k = 8. Итак, # имеет следующий вид: либо R = a,iAi при некотором i, D> либо R = $jDj при некотором/, E)* либо # = ykEk при некотором /г, F)' либо ^ = а2/_зЛ2/_з + Р/О/при некоторых Р/^= 0, а2/1з?= 0, G) либо R = anAn + $7D7 + y6E6, Ye^O. аи или Р7 > 0, (8> либо i? = a17i417 + PioDlo + Y7^7» Y7 Ф 0. «п или р,0 > 0, (9> либо R = а29Л29 + РнА6 + Ys^s. Ys Ф 0, Pie > 0. A0> Условие (i) предложения 2 означает, что ? (*** +/Р/+ *Y*) = 24. !. /> * Это дает следующие возможности для R. В случае D) : 24 Л,, 12Л2, 8 А3, 6А4) 4А6, ЗА8, 2А12> А24. В случае E): 6D4, 4?>6> 3D8, 2Dl2, D24. В случае F): 3 В случае G) условие (i) превращается в /Р/ + B/ — 3) а2/_з = = 24, /^4, Р/ и а2/-з^1 — целые числа. Легко видеть, что неопределенное уравнение /р + B/—3)а = 24, /^4, а^ 1, Р ^ 1, имеет только следующие решения: (/, а, Р) = D, 4, 1), E, 2, 2),. F, 2, 1), (9, 1, 1). Это приводит к следующим возможностям" для R в случае G): В случае (8) условие (i) превращается в 11ац + 7р7 +буе = = 24, что дает единственную возможность для R: В случае (9) имеем 17ап + Юрю + 7у7 = 24, что дает две воз- возможности:
536 Гл. 18. 24-мерные четные унимодулярные решетки Наконец, в случае A0) получаем 16pi6 + 8ys = 24, что дает Е 8 + Ае- Предложение 3 доказано. Заметим, что в доказательстве последнего предложения мы не пользовались свойством (Hi). Так как все полученные ранее системы корней реализуются как ЛB) для четных унимоду- лярных решеток Л, что будет показано в § 4, то мы получаем, что (ш) есть следствие (i) и (П), т. е. если 24-мерная система корней обладает свойствами (i) и (И) предложения 2, то она обладает и свойством (Hi). Следствие. Пусть Л — четная унимодулярная решетка в Тогда или ЛB) = 0, или Л B) есть одна из 23 систем корней (\) Нимейера. § 3. О решетках с системами корней максимального ранга Цель настоящего параграфа — сделать несколько общих за- замечаний о четных унимодулярных решетках, имеющих систему корней максимального ранга, и о связи таких решеток с алгеб- алгебраическими кодами. В дальнейшем будут рассматриваться только такие системы корней, в которых все корни имеют оди- одинаковую длину, т. е. те системы корней, в которых неприводи- неприводимые компоненты имеют тип A, D или Е. Рассмотрим следующую конструкцию. Каждой неприводи- неприводимой системе корней R=f=E& сопоставим тройку (T(R),G(R), lR), состоящую из конечной абелевой группы T(R), конечной группы G(R), действующей на T(R), и ^-значной G(R)-инва- G(R)-инвариантной функции Ir на T(R). Определим эту тройку так. 1. Если R = Ah то 7"D,) = Z/(t+l)Z = {0, 1, ..., i} и G(Ai)=l, G(A,)=Z/2Z для j>l. Нетривиальный элемент oeG(A), i > 1, действует на Т'(At) как умножение на —1, т. е. a(k) = i+l — k. Кроме того, lA.(k) = k{i+ 1-?:)/(/+1). 2. Если R = Dh j 3== 4, то Z/2Z ф Z/2Z при / аи 0 (mod 2), Z/4Z при / из 1 (mod 2). Обозначения выбраны так, что do — нуль группы T(D,), а А = = i (mod 4) при у == 1 (mod 2). Далее, G (?L) == S3, G (Ds) = Z/2Z при /^5. Действие следующее: нетривиальный элемент ае е Z/2Z оставляет на месте d0 и d%, ad\ = йъ. При / = 4 группа G (?L) = S3 = GL B, 2) совпадает с полной группой автоморфиз-
§ 3. О решетках с системами корней максимального ранга 537 мов T(D4). Функция lDj такова: /(do) = O, I(d2)=\, /(di) = = /(d3) = //4. В случае когда j = 0 (mod 2), иногда удобно отождествить T{D,) с аддитивной группой поля F4; G(D,), j > 4, можно тогда отождествить с группой Галуа Gal(F4/F2). 3. Если R = E6, то r(?6) = Z/3Z = {0, I, 2},G(?6) = Z/2Z = = {0}, аA) = 2 и /@) = 0, /A) = /B) = 4/3. 4. Если # = ?7) то Г(?7) = 7/2/ = {0, 1}, G(?7)=l и /@) = 0, /A) — 3/2. Инвариантный смысл этой тройки следующий: T(R)= P/Q, где Q — решетка корней и Р — решетка весов для R; G(R) изо- изоморфна факторгруппе группы автоморфизмов A(R) системы корней R по группе Вейля W(R) с естественным точным дей- действием A(R)/W(R) на P/Q; I — норма микровеса, лежащего в данном классе смежности по Q. Напомним, что элемент реР называется микровесом, если (р, г) = 0, ±1 для всех г е R. В каждом классе смежности P/Q имеется в точности одна орбита относительно группы Вейля W(R), состоящая из микровесов, и / от класса смежности по Q — норма любого мик- микровеса, лежащего в этом классе смежности. Если система корней состоит из п изоморфных компонент ф Es, т. е. имеет вид nR, то для нее положим T(nR) = T(R)n, G (nR) определим как естественное полупрямое произведение (сплетение G {R) с Sn) с естественным мономиальным действием на T(nR), l определяется по аддитивности 1(хь ..., хп)= ? /(*,). Ясно, что / является G (nR) -инвариантной. Наконец, для произвольной системы корней ^?=2«г-Л/, где Ri — неприводимые компоненты, определим нашу тройку следующим образом. Выкинем компоненты Е8 и положим T(R) = (BT(ntRt), G(R) = ILG(nlRt), /д=Е'»,я„ I i i где суммирование проводится по всем типам неприводимых си- систем корней, кроме Е&. Подгруппу Ac=T(R) назовем четной и самосопряженной, если \A\2=\T(R)\ и функция l(R) прини- принимает на Л\{0} целочисленные четные значения >2. Таких подгрупп может и не быть, однако если они есть, то их множе- множество G(R)-инвариантно, так как функция l(R) является G(R)- инвариантной. Предложение 4. Пусть R — система корней ранга п. Суще- Существует естественное взаимно однозначное соответствие между
S38 Гл. 18. 24-мерные четные унимодулярные решетки классами четных унимодулярных п-мерных решеток (с точ- точностью до изоморфизма), система корней которых изоморфна R, и орбитами четных самодвойственных подгрупп AczT(R) относительно G{R). Доказательство состоит в простой проверке, и мы его опу- опустим. Соответствие состоит в том, что решетке Л сопоставляется фактор А = A/Q(AB)) по подрешетке, порожденной корнями, рассматриваемый как подгруппа в Q(AB))°/Q(AB)) = P/Q. Пример 1. Пусть R = пА\ — простейшая система корней ранга л. В этом случае группу T(R) можно отождествить с про- пространством последовательностей длины п над полем f2 и T(R) = (Z/2'Z)n. Группа G(R) изоморфна $„, функция / равна 1(а)= 1(аи ..., ап) = (l/2)wt(a), где wt(a) — вес Хэмминга (разд. 2.1 гл. 3). Четная самодвойственная подгруппа — это двоичный самодвойственный код типа II (разд. 2.2 гл. 3) с ми- минимальным расстоянием ^8. Классификация таких кодов от- относительно действия Sn — это знаменитая задача теории двоич- двоичного кодирования (см. § 6 гл. 7). Таким образом, эта же задача эквивалентна задаче классификации четных унимодулярных n-мерных решеток с системой корней пА\. Пример 2. Пусть R = nA2. В этом случае Т {R) = (Z/3Z)", G (R) = (Z/2Z)" $„, 1{а) = 1 (а„ . . ., ап)=B/3) • (число ненулевых а,) и точно так же, как и выше, задача классификации 2гс-мерных решеток с системой корней пА2 эквивалентна задаче классифи- классификации (д/2)-мерных троичных самодвойственных кодов типа III, имеющих минимальное расстояние >3 (разд.2.2 гл.З, § 9 гл.7). В общем случае, т. е. для любой системы корней R, задачу классификации четных самодвойственных подгрупп в T(R) от- относительно G(R) можно также рассматривать как задачу тео- теории кодирования. Эта задача включает в себя и незначительно ютличается от задачи классифицировать самодвойственные коды над всеми кольцами Z/nZ и полем ^4- Эквивалентная проб- проблема состоит в классификации четных унимодулярных реше- решеток, имеющих систему корней максимального ранга. В даль- дальнейшем самодвойственные подгруппы в T(R) мы будем часто называть кодами. Замечания, (i) Обычно понятие изоморфизма при рассмот- рассмотрении кодов над коммутативными кольцами задается моно- миальными матрицами (разд. 2.2 гл. 3). Предложение 4 пока- показывает, что для классификации решеток с системой корней максимального ранга типа nR (где R — неприводимая система корней) в большинстве случаев нужно классифицировать коды относительно мономиальных групп, в которых ненулевые эле-
§ 4. Построение решеток Нимейера менты равны ±1. Только решетки типа гШ4 приводят к пол- полным мономиальным группам. (п) Классификация решеток с системами корней макси- максимального ранга типа nD2k очень слабо зависит от k: в соответ- соответствующем коде только функция / зависит от k. Это позволяет иам свести задачу классификации таких решеток типа nDik к случаю небольших k. Аналогичное замечание имеет место для других случаев изоморфизмов между T(R,). Например,. T(D2lfl)=T(D5)=T(A3), T(E6)=T(A2) и Т(Е7)=Т(А1). (ш) Коды, соответствующие решеткам максимального ранга и типа nDik, не обязательно являются линейными кодами над. ip4, т. е. самодвойственные подгруппы в Т (nD2k) = T (D2k)n = = F" не обязаны быть инвариантными относительно умноже- умножения на скаляры из р4. Например, это происходит в 24-мерной- решетке с системой корней 3?>8 (см. случай XI в § 4); еслц соответствующая самодвойственная подгруппа будет линейным подпространством, то она должна иметь размерность 3/2. § 4. Построение решеток Нимейера Теперь мы в состоянии доказать основную теорему. Теорема (Нимейер [Nie2]). С точностью до изоморфизма существует ровно 24 четные унимодулярные решетки в R24- Каждая решетка однозначно определяется своей системой кор- корней. Возможные ситуации — это 24 системы корней из спи- списка A). Доказательство. Мы уже знаем из § 2, что система корней данной четной унимодулярной решетки A cz R24 есть одна из- решеток списка A). Поэтому достаточно доказать существова- существование и единственность решетки с каждой из 24 систем корней. A). Случай пустой системы корней мы рассмотрим в § 5. Все остальные системы корней имеют максимальный ранг 24, и по- поэтому к ним применима теория § 3. Таким образом, нужно для- каждой из систем корней A) вычислить тройку (T(R), G(R), lR) и проверить существование и единственность соответствую- соответствующего кода. Мы будем нумеровать системы корней в том по- порядке, в котором они выписаны в A). I. Я = 24Л,. Тогда Т(R) = (Z/2ZJ4,1 G(R) = $24, 1(а) = = (l/2)wt(ct) и A cz T (/?) — двоичный самодвойственный код типа II с минимальным расстоянием 8. Код Голея ^24 (п. 2.8.2' гл. 3) является единственным таким кодом ([Pie 8]; см. также [Ras 1] или § 7 гл. 7). Группа автоморфизмов этого кода сов- совпадает с группой Матье М2* (гл. 10, 11), которая пятикратно-
.540 Гл. 18. 24-мерные четные унимодулярные решетки транзитивна на компонентах R. Таким образом, существует единственная решетка Г] с системой корней 24ЛЬ и ее группа автоморфизмов является расширением II. #=12А2. Torflar(/?) = (Z/3ZI2,G(#) = (Z/2ZI2-S12H A должен быть троичным самодвойственным 6-мерным кодом типа III с минимальным расстоянием >3. Код Голея Wn (п. 2.8.5 гл. 3) является единственным таким кодом ([Pie 8]; см. также § 10 гл. 7). Группа автоморфизмов кода изоморфна 2-М12 и действует пятикратно транзитивно на компонентах R. III. R = 8A3. Тогда T{R) = {Z/4Z)S и G (R) = (Z/2Z)8 • S8. Если отождествить Z/4Z с числами 0, ±1, 2, то функция / имеет вид /@) = 0, Д±1) = 3/4, /B)=1. Таким образом, в про- пространстве последовательностей а = (аь ..., а8), а,- = 0, ±1, 2, нужно искать подгруппы А порядка 44, такие, чтобы /(<») = — ? l(at) s 2Z и /(а) > 2 для всех а<= А\{0}. Прямой подсчет показывает, что в качестве такого А можно взять подгруппу, натянутую на векторы х, = @, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2), *2 = @, 0, 1, 0, 2, 1, -1, 1), х3 = @, 1, 0, 0, 1, -1, 2, 1), *4 = A, 0, 0, 0, 1, 2, -1, -1), и такая подгруппа единственна (с точностью до G(R), конечно). Можно проверить, что перестановочная часть группы AutA изоморфна GAC, 2) (полной аффинной группе порядка 3 над полем \f2, имеющей порядок 1344) и что элементы порядка 2 в А образуют двоичный код Хэмминга. Группа автоморфизмов решетки действует трижды транзитивно на компонентах R. IV. Я = 6А4. Тогда Т (R) = (Z/5ZN и G (R) = (Z/2ZN • S6. Если отождествить Z/5Z с числами 0, ±1, ±2, то функция / имеет вид /@) = 0, /(±1) = 4/5, /(±2) = 6/5. В пространстве последовательностей a = (ai, ..., a6), a, = 0, ±1, ±2, тре- требуется найти трехмерные подпространства A cz T(R), такие, чтобы I (а) — ? I (ai) Для аеЛ\{0} было бы четным и >2. Элементарные вычисления показывают, что в качестве А можно взять подпространство, натянутое на х\ = @, 0, 1, 1, —2, —2), х2 = B, —2, 0, 0, 1, 1), х3 = A, 1, 2, —2, 0, 0), и что такое А единственно с точностью до действия G(R). V. /? = 4А6. Тогда T(R) = (Z/7Z)i и G (Л) = (Z/2ZL • S4. Если отождествить Z/7Z с ±1, ±2, ±3, то /@) = /(±1) = 6/7, i (±2) = 10/7 и /(±3)= 12/7. Требуется в Г(/?) искать дву-
§ 4. Построение решеток Нимейера 541 мерные подпространства, на которых I принимает четные зна- значения >2. Снова такое подпространство существует и един- единственно. В качестве представителя можно взять подпростран- подпространство, натянутое на х\ = A, 2, 3, 0) и х2 — @, 3, —2, 1). VI. Я = ЗЛ8. Тогда T(R) = {Z/9ZK и G (Я) = (Z/2ZK • S3; Ц0) = 0, *(±t) = 8/9, * (±2) =14/9, Д±3) = 2 и Ц±4)=20/9. Требуемое подпространство в 71 (Я) существует, и только одно {относительно G(R)): оно порождено хх = C, 3, 3), х2 = A, —2, -2) и *з = (-2, -2, 1), VII. # = 2Л12. Тогда r(/?) = (Z/13ZJ и G G?) = (Z/2ZJ • S2; i@) = 0, /(±l)= 12/13, J (±2) = 22/13, Z(±3) = 30/13, J(±4) = = 36/13, /(±5) = 40/13 и /(±6) = 42/13. Требуемый код: одно- одномерное подпространство, порожденное вектором A, 5). VIII. R = A24- Тогда T(R)= Z/25Z, G(R) = Z/2Z и иско- искомый код состоит из элементов, делящихся на 5. IX. R = 6Dt. Тогда Г(Я) = *4 и G (R) = (S3N • S3. Если а = )T(R) /() И t () () C) 3 = l«i, ..., aB)^T(R)t то /(a) — количество ненулевых a,-. Ис- Искомый код — это самодвойственный код типа 4 над F4 с мини- минимальным расстоянием >2. Гексакод (п. 2.5.2 гл. 3) является единственным таким кодом ([Мае 4], § 10 гл. 7). Его группа автоморфизмов есть 3-Л6. Интересно отметить, что это один из трех известных случаев (два других — коды Голея), когда группа автоморфизмов расширенного квадратично-вычетного кода над fp больше чем SLB, FP) (см. [Ras 1] и гл. 10). X. R = 4Db. Тогда T(R) = Fl и G (R) = (Z/2ZL • S4; / @) = 0, i A) = 1 и/(ш) = / ((о2) = 3/2, где (о — примитивный элемент из F4. Искомый код существует и единствен: в качестве его предста- представителя можно взять подгруппу, натянутую на A, 1, 1, 1), ((о, (о, (о, (о), @, 1, и2, (о), @, (о2, (о, 1). XI. Я = 3?>8. Тогда r(i?) = F43 и G G?) = (Z/2ZK ¦ $3; / @) = 0, 1 A) = 1 и I {(?>) = I {а»2) = 2. В качестве искомой подгруппы Т {R) можно выбрать подгруппу, порожденную A, 1, ю), A, и, 1) и {(о, 1, 1). Единственность очень проста. XII. R = 2012. Тогда Г (Л) = F2 и G (Я) = (Z/2ZJ • $2; I @) = 0, /A) = 1 и I (и) = / ((о2) = 3. Код порожден A, ю) и (ю, 1). Един- Единственность очевидна. XIII. R = D24. Тогда Г(Я) = Р4 и G{R) = Z/2Z; /@) = 0, /A) = 1 и /(х) = /(х2) = 6. Код состоит из 0 и х. Получающаяся решетка — это, конечно, Dm (разд. 7.3 гл. 4), или Г24 в обозна- обозначениях работы [Ser 1, гл. V, пример 1.4.3]. XIV. # = 4?6. Тогда 2"(#) = (Z/3ZL и G {R) = (Z/2ZL • S4; Д0) = 0 и Z(±l) = 4/3. В пространстве последовательностей а = (щ, щ, а3, а4), а,-^0, ± 1, нужно искать двумерные четные самодвойственные подпространства. Задача имеет единственное
542 Гл. 18. 24-мерные четные унимодулярные решетки решение: подпространство, натянутое на A, 1, 1, 0) и @, —1, 1, 1) (тетракод ^4, п. 2.5.1 гл. 3). XV. R = 3E8. Тогда T{R) = 0. Код тривиален. Решетка изо- изоморфна ES(BES(?)E8 (или Г8фГ8фГ8 в обозначениях Серра). XVI. Я = 4Л5 + ?4. Тогда Т {R) = (Z/6ZL X F4 и G(/?) = = (Z/2ZL • S4 X S3; / @) = 0, I (± 1) = 5/6, / (± 2) = 4/3, / C) = 3/2 и /F) = 1, JeF4, ft#0. В пространстве последовательностей а = (а!, а2, а3, а4, 6), аг = 0, ±1, ±2, 3, 6ef,, нужно найти подгруппу А порядка 72, такую, что для всех а е Л, а =5^= 0, имеем / (а) = ? / (а^) + / (ft) e 2Z и [/(а)>2. В качестве такой подгруппы можно взять подгруппу, порожденную элементами @, 1, 2, —1, со), A, 1, 1, 3, 0), C, 3, 0, 0, 1), где со е F4 - при- примитивный элемент. Единственность такой подгруппы с точ- точностью до действия G(R) легко проверяется. (Подробности см. в [Nie 2, р. 163].) XVII. R = 2Л7 + 2?>5- Тогда Г (R) = (Z/8ZJ X (Z/4ZJ и G (/?) = (Z/2ZJ • S2 X (Z/2ZJ • S2; функция / на первых двух слагаемых имеет вид /@) = 0, /(±1) = 7/8, /(±2) = 3/2, /(±3) = 15/8, /D) = 2, а на последних двух слагаемых /@) = 0, / (гЬ 1) = 5/4, /B)=1. В качестве требуемой подгруппы по- порядка 32 можно взять подгруппу, порожденную C, 1, 1,0) и B, 0, —1, 1). Единственность очень проста. XVIII. R = 2Ag + D6. Тогда 7(i?) = (Z/10ZJX ^4 и G{R) = = (Z/2ZJ • S2 X Z/2Z; функция / на первых двух слагаемых имеет вид /@) = 0, /(±1) = 9/10, /(±2) = 8/5, /(±3) = 21/10, /(±4) = 12/5, /E) = 5/2, а на F4 она имеет вид /@) = 0, /A)=1, /(и) =/(со2) = 3/2. Искомое подпространство порядка 20 суще- существует и единственно: в качестве образующих можно взять E,5, 1) и A,2,@). XIX. R = A15 + D9. Тогда T(R) = Z/16ZX Z/4Z и G (R) = = (Z/2Z) X (Z/2Z); функция I на Z/16Z имеет вид / @) = 0, /(±1)= 15/16, Ц±2) = 7/4, /(±3) = 39/16, 1{± 4) = 3, 1{± 5) = = 55/16, /(±6)= 15/4, /(±7) = 63/16, /(8) = 4, а на Z/4Z она принимает значения /@) = 0, /(±1) = 9/4, /B) = 1. Искомая подгруппа порядка 8 порождена элементом B, 1). Единствен- Единственность очевидна. XX. R = Ей-\- Dm. Так как подрешетка, порожденная Еа, унимодулярна, то вся решетка разложима и изоморфна Е& © Die. XXI. R = 2E7 + D10. Тогда Т (R) = (Z/2ZJ X F4 и G{R) = = S2 X Z/2Z; функция / на первых двух слагаемых равна /@) = 0, /A)==3/2, а на последнем слагаемом имеет вид /@) = 0, /A)==1, /(со)=/(со2) = 5/2. В качестве требуемой подгруппы порядка 4 можно взять подгруппу, порожденную A, 0, со) и @, 1, со2). Единственность очевидна.
§ 5. Характеризация решетки Лича 543 XXII. R = E7 + Al7. Тогда r(#) = Z/2ZX Z/18Z и G(R) = = Z/2Z, функция / на первом слагаемом равна /@) = 0, 1A) = = 3/2, а на втором имеет вид Ц0) = 0, 1(± 1) = 17/18,1(± 2) = = 16/9, /(±3) = 5/2, «(±4) = 28/9, /(±5) = 65/18, /(±6) = 4, /(±7) = 77/18, /(±8) = 40/9, /(9) = 2. Искомая подгруппа порядка 6 порождена элементом A, 3). Единственность оче- очевидна. XXIII. R = Es + a, + Au. To™ar(fl) = Z/3ZXZ/4ZXZ/12Z и G (R) = Z/2Z X Z/2Z X Z/2Z; функция / на первом слагаемом равна /@) = 0, /(=Ь 1) = 4/3, на втором имеет вид /@) = 0, 1(± 1) = 7/4, /B)=1, а на третьем — вид/@) = 0, /(±1)= 11/12, Д±2) = 5/3, J(±3) = 9/4, /(±4) = 8/3, /(±5) = 35/12, /F) = 3. Искомая подгруппа порядка 12 порождена элементом A, 1, 1). Существование и единственность очевидны. Итак, рассмотрены все возможные нетривиальные системы корней. В каждом случае получается только одна решетка. Это дает доказательство основной теоремы для решеток с не- непустой системой корней и полное описание этих решеток. (Альтернативное описание дано в табл. 16.1.) § 5. Характеризация решетки Лича Для завершения доказательства основной теоремы осталось рассмотреть случай пустой системы корней, т. е. мы должны рассмотреть решетки А, в которых (х, х) ф 2 при х <= Л. В этом случае также существует и только одна решетка — это знаме- знаменитая решетка Лича. Характеризация решетки Лича как един- единственной четной унимодулярной решетки в R24 с (х,х)ф2 была дана Конвеем (см. гл. 12). Доказательство Конвея очень кра- красиво, и его едва ли можно улучшить. Однако если считать (что естественно при нашем подходе), что классификация решеток с нетривиальными системами корней уже известна, то харак- теризацию решетки Лича можно провести проще следующим образом. Пусть AcR24 — четная унимодулярная решетка с ЛB) = = 0. Мы хотим доказать, что Л изоморфна решетке Лича. Из теоремы 17 гл. 7 следует, что условие ЛB) = 0 влечет за со- собой, что тэта-ряд для Л такой же, как тэта-ряд решетки Лича, и, в частности, А(Ъ)Ф0. Пусть и<=Л(8); рассмотрим ре- решетку Г = Л" = Л'U(и/2+ Л'), где Л' = {>,еЛ: (К, и) = =. 0 (mod 2)}. Решетка Г в R24 является четной и унимодуляр- унимодулярной (она — сосед для Л в смысле предыдущей главы). Решетка Г имеет непустую систему корней, так как и/2еГB). Мы до- докажем, что система корней для Г есть kA\. Для этого доста-
544 Гл. 18. 24-мерные четные унимодулярные решетки точно показать, что непропорциональные корни из Г B) орто- ортогональны. Это очень просто. Пусть х, 1/еГB), х Ф ±у; тогда х, у е и/2 + Л', и пусть (х, у) ф 0. Меняя знак у у, если нужно, можем считать, что (х,у)=—1, но тогда х — у есть корень, т. е. {х — у, х — у) = 2, но х — i/еЛ'сЛ и ЛB) = 0, что не- невозможно. Итак, ГB)=Ыь но тогда, просматривая список A), мы видим, что k = 24 и Г описана в разд. 1 § 4, т. е. в 'R24 можно выбрать базис ei, ..., 624 так, что (е,, еу) = 0 при / =5^= /, (eit еЛ=\/2 и ?"<егеГ тогда и только тогда, когда гг,е/ и {г: я, se I (mod 2)} есть кодовое слово в двоичном коде Голея. Так как свойство быть соседями симметрично, то существует veF, такое, что Л = Г\ Пусть v = J] т{е{, trii e Z; докажем, что все от,- нечетны. Действительно, если какое-нибудь та четно, то (v,2ea) = гпа = 0 (mod 2), и поэтому 2еа е Fv = Л, что невозможно, так как ЛB)=0. Итак, все mj^l(mod2). Так как v определено по mod 2Г, то можно считать, что пи = = ±l(mod2), а действие группы Вейля №(ГB)) позволяет считать, что т\ = 1, т .е. в качестве v можно выбрать ei + ... ... + 624. Для такого v решетка Tv и есть решетка Лича, что и требовалось доказать. На этом заканчивается доказательство основной теоремы.
Глава 19 Перечисление экстремальных самодвойственных решеток Дж. Конвей, Э. Одлыжко, Н. Слоэн В гл. 7 мы видели, что минимальная норма унимодулярной решетки в R" не превосходит [гс/8]+1. Если минимальная норма равна этой величине, то решетка называется экстремаль- экстремальной. В этой главе мы показываем, что имеется единственная экстремальная решетка в каждой из размерностей 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 15, 23, 24 и что других таких решеток нет. § 1. Размерности 1—16 Теорема, фигурирующая в заголовке, — это теорема 13 гл. 7. Мы продолжаем сейчас ее доказательство. Следующий резуль- результат был доказан Кнезером [Кпе4], он также может быть по- получен из табл. 16.7. Теорема 1. Единственными экстремальными унимодулярными решетками в R" при «<!16 являются Zn (l^n^.7), fs, Dm, (Е7 + Е7)+, Ахь в пространствах от R1 до R7, R8, R12, R14, R15 соответственно. Здесь Л = (L\ +... + Lk)+ указывает на то, что Л получена склейкой ее решеток-компонент Lu ..., Lk (ср. § 3, гл. 4). § 2. Размерности 17—47 Теорема 2. Единственными экстремальными унимодуляр- унимодулярными решетками в R" при 17 ^ п ^ 47 являются укороченная решетка Лича О2з в R23 и решетка Лича Л24 в R24. Доказательство. Результаты для размерностей 17—24 мож- можно получить прямо из таблиц в гл. 16 и 17, однако мы предпо- предпочитаем привести независимое доказательство. Предположим сначала, что решетка Л в R" имеет тип II (т. е. четна) и яв- является экстремальной как унимодулярная решетка. По след- следствию 21 гл. 7 минимальная норма ц, решетки Л удовлетворяет неравенству ц sg: 2 [п/24] + 2. При этом |л = [л/8]+1 и 8|я, что влечет п = 8, 16 или 24. В этих размерностях четные
546 Гл. 19. Перечисление экстремальных самодвойственных решеток унимодулярные решетки перечислены Виттом и Нимейером — см. разд. 2.4 гл. 2 и табл. 16.1. Экстремальными являются только решетки Es и Л24- С этого момента мы считаем, что Л — экстремальная нечет- нечетная унимодулярная решетка. Вследствие этого тэта-ряд ре- решетки Л является экстремальным тэта-рядом в размерности п (§ 4 гл. 7). Пусть п = 8а -+- v, 0 ^ v ^ 7. Это означает, что A) r=0 (см. равенство C6) в гл. 7), где коэффициенты а0, •¦•, аа — целые числа, выбранные так, что вл B) = 1+ Ax+i<7e+1 + Aa+2qa+2 + ... B) (не содержит степеней q между 0 и а+ 1). Пусть Ло = {« е Л: и-и е 2/} — нечетная подрешетка ре- решетки Л. Тогда detA = I, detA0 = 4 и Ло имеет тэта-ряд Для исключения почти всех оставшихся случаев мы применим соображение, принадлежащее Уорду [War 2] (он применил его к весовым энумераторам кодов). Оказывается, что условие це- лочисленности коэффициентов тэта-рядов двойственной решетки А*о влечет за собой делимость коэффициентов аг в A) на вы- высокие степени двойки. В силу равенства Якоби (гл. 4, A9)) нл*B)— млB)+^—J Следовательно, G-разложение ряда ч«/2 имеет целые коэффициенты. Тогда Г-0 n-8re4B2)8r, E) г-0
§ 2. Размерности 17—47 547 откуда следует, что 212г~п\аг при п < 12г. F) Коэффициенты аг легко вычисляются (с использованием A) и B)), и условие F) исключает все п в диапазоне 17 ^ п ^ ^47, кроме 22, 23 и 24. Например, при п = 17 ао= 1, о^ = = —34, а2 = —204 и 24 а2. Наконец, л = 22 исключается после явного вычисления вЛ» (г). Он равен 1 — 11 <7з/г + - ¦ •» и наличие отрицательного коэффи- коэффициента показывает, что Л не существует. При п = 24 экстремальный тэта-ряд совпадает с тэта-рядом решетки Лича, и единственность решетки Лича (гл. 12) пока- показывает, что Л = Л24- В размерности 23 экстремальная решетка Л должна иметь тэта-ряд 93 (гJ3 - 4693 (гI5 Д8 (г) = 1 + 4600?3 + 93150<?4 + .... G) Четная подрешетка Ло (с тэта-рядом 1 + 93150<74 +...) имеет двойственную решетку AJ с тэта-рядом (в силу D), E)) + ... + 22V3/4A +23<7г+ ...) + = 1 + 4600<?3 + 94208?15/4 + 93150^ +..... Отсюда можно получить, что четыре смежных класса по Ло в Лц содержат ненулевые векторы с нормами 4 +2m, -j- + 2m, 3 + 2m, ~ + 2m, и в качестве представителей смежных классов можно взять, скажем, у0 = 0, у\, г/г, Уз для различных целых чисел m ^ 0. Объединение смежных классов Ло и Ло + г/г совпадает с Л. Те- Теперь решетка М четных целых чисел также образует четыре смежных класса в своей двойственной решетке М*, ненулевые векторы которых имеют нормы 4 + 1т, 1/4 + 2т, 1+2/я, 1/4 + 2т, а представителями смежных классов являются 2о = 0, z\ = = 1/2, 22=1, 23 = —1/2. Отсюда следует, что имеется экстре- экстремальная 24-мерная решетка (Ло + Л4)+, полученная расшире- расширением Ло + М с помощью векторов склейки г/,- + zi {i = 0, 1, 2, 3). Эта решетка в силу своей экстремальности обязана быть решеткой Лича. Поэтому Л однозначно характеризуется как проекция на 23-мерное подпространство, ортогональное к век-
548 Гл. 19. Перечисление экстремальных самодвойственных решеток тору v, тех векторов решетки Л24, скалярное произведение ко- которых на минимальный вектор v в Л24 четно. Полученная 23-мерная решетка называется укороченной решеткой Лича О2з (см. также дополнение к гл. 6 и табл. 16.7). Это завершает до- доказательство теоремы 2. § 3. Размерности п^48 Теорема 3. В размерностях п ^ 48 в 'Rn экстремальных ре- решеток нет. Доказательство. В использованных выше обозначениях мы показываем, что = @л (г) + ? (~ 16)"гаД (z)n'8r94 Bz)8r содержит при п ^ 48 отрицательный коэффициент, что дока- доказывает эту теорему, ^-разложение правой части — это Мы покажем, что аа < 0 и aa_i < 0 для а ^ б, что делает оче- очевидным наличие отрицательного коэффициента. Применяя к A) и B) теорему Бюрманна — Лагранжа, мы получаем, в точ- точности как в [Mai I, eq. F)], что для O^s^a, где из C3) гл. 7 следует, что т-\ Теперь производная dQs/dq имеет неотрицательные коэффи- коэффициенты в g-разложении. Когда s == а или a—1, мы имеем Пусть 1 ^ k sg: 16. Тогда в силу C5) гл. 4
§ 3. Размерности « ^ 48 549 Первое произведение имеет неотрицательные коэффициенты. С другой стороны, = П (i -/у2"-1)~(8-2*) П а - <л-2г2* П A - l l l П m=l Если л ^ 48, а ^ 6, s ^ 5, то каждое произведение в правой части имеет неотрицательные коэффициенты, а первое имеет строго положительные коэффициенты. Следовательно, выраже- выражение в фигурных скобках в (8) имеет строго положительные коэффициенты, что доказывает справедливость неравенств аа < 0 и аа-\ < 0. Это завершает доказательство теоремы 3. Благодарности. Некоторые из тэта-рядов были вычислены с использованием системы MACSYMA [Mat 3].
Глава 20 Поиск ближайшей точки решетки Дж. Конвей, Н. Слоэн В этой главе описаны алгоритмы, позволяющие для данной решетки и произвольной точки пространства R" отыскать бли- ближайшие к этой точке точки решетки. Рассматриваемые решетки включают в себя решетки корней Ап, Dn, Е6, Е7, Ев и двойствен- двойственные к ним. Эти алгоритмы могут быть использованы для век- векторной квантизации или для декодирования решеточных кодов для каналов с ограниченной полосой. § 1. Введение Как указывалось в § 3 гл. 2 и в § 1 гл. 3, практическая важность решеток обусловлена их применениями в качестве векторных квантизаторов и кодов сигналов в каналах с огра- ограниченной полосой. Для применений такого рода существенно наличие быстрых «декодирующих» алгоритмов, отыскивающих для произвольной точки пространства ближайшие к ней точки решетки. В этой главе мы опишем такие алгоритмы для решеток Ап (п ^ 1), Dn (п^З), Е6, Е7, Е8 и двойственных к ним. Глава основывается на работах [Con 29] и [Con 40]. В последней ра- работе приведены алгоритмы декодирования для решетки Лича (опущенный здесь ввиду большой длины), алгоритмы отыскания ближайшего кодового слова для различных двоичных кодов, включая код Голея («мягкие» алгоритмы декодирования, см. § 4 ниже), и обширная библиография. (См. также [Ado I], [Bud I], [Che 2], [Con 26], [Con 38], [For 2], [Gor 0], [Wol 2].) Для практических применений указанных решеток необхо- необходимы также алгоритмы для пометки точек решетки. Предполо- Предположим, что наш код или квантизатор использует множество С = = {ci cm} точек решетки. Необходимы эффективные «ко- «кодирующие» алгоритмы, переводящие i (l^i^M) в с,- и об- обратно. Первая из этих проблем может быть решена с помощью описанных в этой главе алгоритмов, а вторая (см. [Con 35]) — с использованием двойственного базиса решетки. В последующих параграфах будут обсуждены такие проб- проблемы: для решетки Ав к" найти алгоритм декодирования, ко-
§ 2. Решетки Zn, Dn и А„ 551 торый по произвольной заданной точке jcgR" находит точку решетки иеЛ, лежащую на минимальном расстоянии от точки х по сравнению со всеми точками решетки Л. Мы будем использовать описание решеток и двойственных к ним, данное в гл. 4. Как обычно, удобнее работать с квадратом расстояния (нормой) N{x — и) = (х — и) (х — и), чем с самим расстоянием. § 2. Решетки Z", Dn и Ап Алгоритм поиска ближайшей к произвольной точке xeR" точки Z* особенно прост. Для вещественного числа х положим f(x)= ближайшее к х целое число. В случае полуцелого х выберем число с наименьшей абсолют- абсолютной величиной. Для х = (х\, ..., хп) е R" пусть Для дальнейшего введем также функцию g(x), которая сов- совпадает с f{x) всюду, за исключением того, что «худшая» коор- координата х, т. е. та, которая наиболее далека от целого числа, округляется неверным образом. В случае когда имеется не- несколько таких координат, неверно округляется координата с наименьшим индексом. Более формально, для jceR мы определяем f(x) и округ- округляющую неверным образом функцию w{x) так (здесь m — це- целое число): если х = 0, то f (х) = 0, w (х) = 1, если 0 <m^x^m+1/2, то f(x) = m, w(x) = m+l, если 0<m+1/2 <x<m+1, то f(x) = m-f 1. w(x) = m, A) если — m — 1/2 ^ x ^ — m < 0, то f(x) = — tn, w(x)=—m—l, если — m¦— 1 < x < — tn— 1/2, то f (x) = — m — 1, w (x) = — m (в пограничных случаях предпочтение отдается точкам с мень- меньшей нормой). Мы также пишем 6 (х), B) так что |б(х)|^ 1/2 есть расстояние от х до ближайшего це- целого числа.
552 Гл. 20. Поиск ближайшей точки решетки Пусть заданы точка х = (хи ..., in)eR" и такое число k A ^.k^.n), что I б (xk) К | б (Xi) | для всех 1 < i < п и выполнение равенства |6(xft)| = |6(x(-)| влечет за собой k =sS '• Тогда функция g{x) определяется так: g(х) = (/(*,), f(х2) w{хк), ..., f(*„)). Алгоритм 1. Поиск ближайшей к х точки в Z" Если задана точка jcgR", to f(x)—ближайшая к ней точка в Z" (если х равноудалена от двух или более точек Z", то в результате этой процедуры получим ту из них, у которой наи- наименьшая норма). Чтобы убедиться в том, что эта процедура работает, пред- предположим, что u = (ui, ..., ип)—некоторая точка решетки Z". Тогда л N (и — х) = 2j (щ — #гJ =i и эта величина минимизируется выбором и, = /(*,) для / = = 1, ..., п. В силу A) в случае неоднозначности выбора для двух и более точек в результате указанного выбора получаем точку с наименьшей нормой. Ниже мы рассматриваем решетку Ь„ (разд. 7.1 гл. 4). Алгоритм 2. Поиск ближайшей к х точки в Dn Если задана точка х е R", то ближайшей к ней точкой в Dn будет та из точек Дх) и g(x), которая имеет четную сумму координат (всего одна из них имеет четную, а другая нечетную сумму координат). Если х равноудалена от двух и более точек Dn, то в результате этой процедуры получим точку с наимень- наименьшей нормой. Так как f(x)—ближайшая к х точка в Zn, a g(x)—следую- g(x)—следующая по степени близости к ней, то процедура работает. Точки f(x) и g(x) отличаются на 1 ровно в одной координате, и по- поэтому только одна из сумм Xf(**) и Yjg{xj) четна, а другая нечетна. Пример. Найдем ближайшую к точке Л = @.6, -1.1, 1.7, 0.1)
§ 2. Решетки Z", Dn и А„ 553 точку в Di. Вычисляем f(x) = (l, —1, 2,0) и g(x) = @, —1, 2, 0), так как первая координата в х дальше всех от целого числа. Сумма координат точки f(x) четна (она равна 1 — 1+2 + 0 = = 2). В то же время сумма координат точки g(x) нечетна: 0—1 + 2 + 0= 1. Следовательно, f(x) есть ближайшая к точ- точке х точка решетки D4. Чтобы продемонстрировать рассмотре- рассмотрение случаев с неоднозначным выбором, предположим, что * = A/2, 1/2, 1/2, 1/2). На самом деле х равноудалена от восьми точек решетки Di, скажем от точки @, 0, 0, 0), точки A, 1, 0, 0), любой другой, полученной из нее перестановкой координат, и точки A, 1, 1, 1). Согласно алгоритму, f(x) = (O, 0, 0, 0), сумма = 0, четна, g(*) = (l, 0, 0, 0), сумма =1, нечетна, и мы выберем f(x). На самом деле f(x) имеет наименьшую норму среди восьми ближайших точек. Для декодирования Dn алгоритм требует около 4п шагов. Решетка Ап (разд. 6.1 гл. 4) состоит из точек ы = («0, и1г ... ...,«„) e=Zrt+1 с ?«< = 0. Алгоритм 3. Поиск ближайшей к х точки в А„ Шаг 1. Если задана jcgR^1, вычисляем s = X *i и заме- заменяем х на х =х п_^_ j A, 1, ..., 1). C) Шаг 2. Вычисляем f (xr) = (f (х'Л f (х'Л) и невязку А = ZW) Шаг 3. Сортируем координаты х\ в порядке возрастания значений б(^) (определено в B)). Мы получим некоторую перестановку чисел 0, 1 п, скажем i0, i\ in, такую, что Шаг 4. Если А = 0, то f(x')—ближайшая к х точка ре- решетки Ап. Если А > 0, то ближайшая к х точка получается вычита- вычитанием 1 из координат / (х\ V ..., / (х\ \. Если А < 0, то ближайшая к х точка получается прибавле- прибавлением 1 к координатам f (х^ V f(х'{ V ..., ffx'{ \.
554 Гл. 20. Поиск ближайшей точки решетки Замечания. Шаг 1 проектирует точку х в точку х', лежащую в гиперплоскости Yi xi = 0> содержащей Ап. Ближайшей точ- точкой решетки Zn+1 к точке х' является точка f(x'), а шаги 3, 4 производят наименьшие изменения нормы f(x'), необходимые для того, чтобы обратить ?/(х0 в нуль. Дольше всего выполняется шаг, осуществляющий операцию сортировки. Он требует O(nlogn) шагов ([Kmil], [Rei5]). Э. Одлыжко указал нам, что это можно выполнить за время, кратное п. Это можно сделать, применив алгоритм Райвеста — Тарьяна [Knu 1] для нахождения |Д| наибольших (при Д > 0) или наименьших (при А < 0) среди чисел б(^). Для п = 2 и 3 имеются лучшие алгоритмы. Гексагональная решетка А2 (рис. 1.3а) декодируется наилучшим образом с ис- использованием того факта, что эта решетка есть объединение прямоугольной решетки и ее сдвига (это предложил Гершо [Ger3, р. 165], [Con 38, р. 299]). Решетка А3 эквивалентна Z)a и декодируется наилучшим образом алгоритмом для D3. § 3. Декодирующие объединения смежных классов Процедуру Ф поиска ближайшей к заданной точке х точки решетки Л можно легко преобразовать в процедуру поиска бли- ближайшей к точке х точки смежного класса г + Л. Если Ф(х) — ближайшая к х точка из Л, то точка Ф(х — г)-\-г будет бли- ближайшей к х точкой из г + Л. Предположим далее, что L — решетка (или на самом деле произвольное множество точек), которая является объедине- объединением смежных классов по решетке Л: ?=UV« + A). D) 2 = 0 (Если L — решетка, то t = [L :Л] = (detA/det?I/2 — индекс Л в L.) Процедура Ф может служить основой для следующей процедуры поиска ближайшей точки из L. Алгоритм 4. Поиск ближайшей к заданной точке х точки из L (объединения смежных классов по некоторой решетке) Если задана точка х, то yt — O{x — rt) + rt E) для i = 0, 1, ..., t—1. Сравним каждое из чисел г/0 yt-\ и выберем ближайшее.
§ 4. «Мягкое» декодирование для двоичных кодов 555 Примеры, (а) ?6 и Е\ (в комплексных вариантах, опреде- определенных формулами A20), A26) гл. 4) обе содержат подре- шетку, эквивалентную А\, натянутую на векторы ©v(9, 0, 0),, ©v @, 9, 0), ©v @, 0, Э). Она имеет индекс 3 в ?6 и индекс 9 в ?g. В [Con 38] приведены явные выражения для представи- представителей смежных классов п. (b) Случаи Е7 и ?*, определенные в разд. 2.5 гл. 5, со- содержат подрешетку 2Z7, имеющую индексы соответственно 8 и 16. Представители смежных классов образуют [7, 3, 4]- и [7, 4, 3] -коды Хэмминга соответственно [Con 38]. (c) ?8 содержит D8 как подрешетку индекса 2. Алгоритм для Е&, приводящий к быстрому декодированию, описан в [Con 26], [Con 29]. Он декодирует Е% примерно за 104 шага. Еще более быстрый алгоритм приведен в § 6. (d) K12 содержит несколько подрешеток, но наилучшей, как нам представляется, является та, которая эквивалентна At и имеет индекс 64. Представители смежных классов по ней об- образуют гексакод [Con 38]. (e) Л24 содержит подрешетку индекса 8192, эквивалент- эквивалентную ?>24. приводящую к относительно медленному алгоритму декодирования. Более быстрые алгоритмы описаны в [Con 40], [For 2]. (f) Dn имеет индекс 4 в D'n, и Ап имеет индекс п + 1 в А*п, так что алгоритм 4 может быть применен к D* и А*п. Предста- Представители смежных классов (векторы склейки для Dn и А„) даны в гл. 4. § 4. «Мягкое» декодирование для двоичных кодов Пусть С — двоичный [п, &]-код. После замены нулей и еди- единиц в кодовых словах на действительные числа -\-\ и —1 мы можем рассматривать С как подмножество в R". «Мягкий» декодер (или «декодер по максимальному правдоподобию») — это алгоритм, который по произвольной заданной точке ^gR" находит кодовое слово с^ С, для которого евклидово расстоя- расстояние от х до с минимально. Заметим, что N (х — с) = (х — с) (х — с) = х • х — 2х ¦ с + п, F) и поскольку компоненты с равны ±1, то достаточно найти такое се С, которое максимизирует скалярное произведение х-с. Множество примеров (включая коды Голея "«Ргз и ^24) и об- обширная библиография приведены в [Con 40]. Здесь же мы приведем, для применения в § 6, только один пример. Код Рида — Маллера первого порядка (разд. 2.7 гл. 3)
556 Гл. 20. Поиск ближайшей точки решетки имеет параметры [п, k] = [2m, m + 1] и может быть декодиро- декодирован с использованием быстрого преобразования Адамара за m2m шагов (так называемая «машина Грина», описанная в [Gre2], [Gre3], [Наг 8], [Mac 6, гл. 14], [Posl]; Лицын и Шеховцов [Lit 2] недавно показали, что даже этот алгоритм может быть ускорен). § 5. Декодирование решеток, получаемых конструкцией А Если С — двоичный [п, &]-код, записанный с помощью ±1, то конструкция А (разд. 2.1 гл. 5, § 2 гл. 7) дает решетку Л (С), содержащую векторы вида с + 4г, се С, ze=Z" G) (множество точек G) является, строго говоря, не решеткой, а сдвигом решетки на вектор A, 1, ..., 1)). Следующая лемма дает возможность использовать декоди- декодирующий алгоритм для С для декодирования Л (С). Лемма. Предположим, что точка х =¦ (х\, ..., хп) лежит в кубе —1 ^ xi ^ 1 (i = 1, ..., п). Тогда никакая точка из Л (С) не ближе к х, чем ближайшее к ней кодовое слово из С. Доказательство. От противного, пусть u = (ui ип) — ближайшая к х точка решетки. По предположению некоторые из xi не равны ни +1, ни —1. Вычитая подходящий вектор 4z, мы можем изменить эти координаты на +1 или —1 (в зави- зависимости от их четности) и тем самым построить точку из Л (С), лежащую в С, которая по крайней мере столь же близка к х. как и и. Противоречие. Алгоритм 5. Поиск ближайшей к данной точке х точки А (С) (i) Если задана х = (хи ..., хп), то сначала, вычитая под- подходящий вектор 4z, приводим все Xi к промежутку —1 <: < xi < 3. (ii) Пусть 5 — множество индексов i, для которых 1 < xi < < 3. Для ie5 заменим х,- на 2 — xi. (Hi) Так как точка х теперь находится в кубе —1 ^ xi ^ I (i= 1, ..., п), то, согласно лемме, мы имеем возможность при- применить декодер для С к х, вновь получая в результате с = = (сь ..., Сп). (iv) Для i е 5 заменим с,- на 2 — с Тогда точка с + 4z яв- является ближайшей к начальному вектору точкой решетки Л (С). Общее число требуемых шагов равно, грубо говоря, Ъп плюс то, которое требуется для декодирования С.
§ 6. Декодирование решетки Eg 557 § 6. Декодирование решетки Е8 Так как Еа = А(ЖЪ) и код Хэмминга Жь (п. 2.4.2 гл. 3) является кодом Рида — Маллера первого порядка, то Es также может быть декодирована этим алгоритмом. Код 5#8 может быть декодирован быстрым преобразованием Адамара (§ 4) за 3-8 +8 = 32 шага, и поэтому решетка Е8 может быть де- декодирована за 72 шага. Стоит заметить, что это быстрее, чем более очевидный алгоритм, приведенный в примере (с) преды- предыдущего раздела.
Глава 21 Многогранники Вороного и ошибки квантизации Дж. Конвей, Н. Слоэн Чему равно среднее значение квадрата расстояния от слу- случайной точки до ближайшей точки решетки Ап (или Dn, En, А'п или D*\ в n-мерном пространстве? Если точка случайным об- образом помещается внутри регулярного симплекса, октаэдра, 600-гранника или другого многогранника, то чему равно сред- среднее значение квадрата ее расстояния от его центра тяжести? В этой главе даются ответы на эти вопросы и, кроме того, описание многогранников Вороного этих решеток. Результаты находят приложения в квантизации и при построении кодов для каналов с ограниченной полосой. Например, квантизатор на основе восьмимерной решетки Е8 имеет среднеквадратическую ошибку на символ, равную 0.0717... при равномерном рас- распределении входных данных, в то время как лучший одномерный квантизатор обеспечивает лишь 0.08333.... § 1. Введение Пусть Л есть n-мерная решетка в R". Многогранники Во- Вороного (см. разд. 1.2 гл. 2) точек решетки конгруэнтны между собой, и мы обозначаем через V@) многогранник Вороного нулевой точки. Тогда, как мы видели в формуле (87) гл. 2, нормализованный безразмерный второй момент инерции V@). определенный формулой J x-xdx, A) V@) равен среднеквадратической ошибке на символ при использо- использовании решетки в качестве квантизатора (при равномерном рас- распределении входных сигналов). Если же решетка используется в качестве кода для канала с ограниченной полосой, то инте- интеграл от ехр(—х-х/2а2) по V@) задает вероятность правильного декодирования (см. разд. 1.3 гл. 3). Кроме того, наиболее да- далекие от Л вершины из V@) являются глубокими дырами в Л, и их расстояние от Л равно радиусу покрытия R решетки
§ 1. Введение 559 (см. разд. 1.2 гл. 2). Шары радиуса R вокруг точек решетки в точности покрывают R", поэтому R определяет плотность по- покрытия решетки Л (см. разд. 1.1 гл. 2). Для всех этих приложений важно понимание структуры мно- многогранника V@). В этой главе мы приводим довольно явные описания V@) для решеток корней Ап (rarssl), Dn (га^З), Е6, Е7, ?8 (см. § 2 гл. 4) и двойственных к ним (кроме Е\ и Е*у Более того, оказывается, что для этих решеток удается точно определить значение величины A). В § 2 мы изучаем второй момент произвольного многогран- многогранника Р, не обязательно являющегося многогранником Вороного решетки. Конечно, многогранники Вороного V@) обладают особым свойством — они являются заполняющими пространство многогранниками: все пространство R" может быть заполнено непересекающимися сдвинутыми копиями V@). В размерности 3 многогранники с этим свойством называются параллелоэдрами (см. [McMl], [VenO]). Если Р — многогранник с центром тяжести х, то его объем, ненормализованный второй момент и нормализованный второй момент равны соответственно Vol (P)=\dx, U{P)=\\\x-xfdx, B) а его безразмерный второй момент равен n Vol(PJ' W Для приложений к квантизации мы хотели бы знать минималь- минимальное значение G(P) по всем многогранникам Р, таким, что про- пространство может быть заполнено сдвигами этого многогранника без пересечений (см. [Ваг 16]). Сводка результатов. В § 2 и 3 мы вычисляем G(P) для ряда важных многогранников, включая все правильные многогран- многогранники (см. теорему 4). Трех- и четырехмерные многогранники сравниваются в табл. 21.1 и 21.2. Основными используемыми инструментами являются интеграл Дирихле (теорема 1), явная формула для второго момента n-симплекса (теорема 2) и ре- рекуррентная формула, задающая второй момент многограника через его грани (теорема 3). В § 3 мы рассматриваем решетки 4«, Dn, En и двойственные к ним, определяем многогранники Вороного V@), вторые
860 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации моменты G(A) = G(V@)) и их радиусы покрытия R. Вторые моменты этих и других решеток приведены в табл. 2.3 и на Таблица 21.1. Сравнение безразмерных вторых моментов G(P) для шара и различных 3-мерных многогранников Р (* отмечает заполняющие пространство многогранники) р тетраэдр куб * октаэдр гексагональная призма * ромбический додекаэдр * усеченный октаэдр * додекаэдр икосаэдр шар О(Р) .1040042... .0833333... .0825482... .0812227... .0787451... .0785433... .0781285... .0778185... .0769670... рис. 2.9 гл. 2. Стоит обратить внимание на замечательно малое значение среднеквадратическои ошибки для решетки Е8 (см. Таблица 21.2. Сравнение безразмерных вторых моментов G(P) для шара и различных 4-мерных многогранников Р (* отмечает заполняющие пространство многогранникн) р симплекс {3, 3, 3} гиперкуб * {4, 3, 3} 16-гранник* {3,3,4} 24-гранник* {3,4,3} 120-гранник {5,3,3} 600-гранник {3, 3, 5} шар О(Р) .1092048... .0833333... .0816497.. .0766032... .0751470... .0750839... .0750264... B8) и рис. 2.9). Быстрые алгоритмы квантизации для описан- описанных решеток приводятся в предыдущей главе.
§ 2 Вторые моменты многогранников 561 § 2. Вторые моменты многогранников Многогранником в этой главе называется замкнутая ограни- ограниченная выпуклая область в R", являющаяся пересечением ко- нечнего числа полупространств (см. [Сох 20, § 7.4]). Если мы используем минимальный набор таких полупространств, то часть многогранника, лежащая в одной из ограничивающих гипер- гиперплоскостей, называется гранью. Если все длины ребер одина- одинаковы, то эта длина обычно будет обозначаться через 21. Основ- Основным источником информации о многогранниках является книга Кокстера [Сох 20], ио имеется и другая обширная литература, в основном посвященная случаю малых размерностей. (См., на- например, [Ale 1], [Coxl], [Cox 5] —[Сох 7], [Сох 10], [Сох 14], [Сох 18], [Сох 22], [Сох 23], [Сох 25], [Сох 27], [Сох 28], [Cunl], [Eltl], [Fej9], [FejlO], [Grul], [Hil 2], [Holl], [Loel], [McM.2], [Pugl], [Wenl], [Wen 2].) Вторые моменты no осям табулированы для многих простых многогранников в стандартных инженерных справочниках (см. также [Sat 1]), но в этой литературе не приводятся значения G(P). 2.А. Интеграл Дирихле. Вычисления, связанные с некото- некоторыми специальными конструкциями, могут быть проделаны с использованием интеграла Дирихле. Теорема 1 [Wht 1, § 12.5]. Пусть f непрерывна и аь ... ..., а„ > 0. Тогда где интеграл в левой части берется по области, ограниченной неравенствами х\ ^ 0, ..., хп ^ 0 и х\ + ... +хга^1. 2.В. Обобщенный октаэдр, или кросс-многогранник. Рас- Рассмотрим для примера n-мерный обобщенный октаэдр (или кросс-многогранник) p*ra [Сох 20, § 7.2] с длиной ребра 21. Вы- Выбирая в теореме 1 / = 1, cti = 1 (для получения объема) или cti = 3 (для получения второго момента) и а, = 1 для i ^ 2, мы получим Уо1 (р„) 2п12 2 B1)п п\ ' B/) G №¦> = 2 (п +"н» + 2) - 2^ - 0-0676676 ¦ ¦ ¦ при «^оо. F)
562 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации 2.С. л-шар. В качестве второго приложения выберем шар Sn радиуса р и из теоремы 1 легко получим, что Vol (Sn) я"/2 m р" Г(A/2)п+1) 1'; (откуда следуют формулы A6) и A7) гл. 1), I(Sn)= np2/(n + + 2), и G(Sn)= "?+ц„ > — = 0.0585498... при я-»оо. (8) Из определения ясно, что шар имеет наименьшее значение G(P) среди всех тел, поэтому из (8) следует нижняя граница Задора — сферическая граница (левая часть формулы (82) гл. 2). К сожалению, нельзя построить квантизаторы на основе шаровых областей (кроме случая я=1) либо обобщенных октаэдральных областей (кроме п = 1, 2 или 4) в качестве многогранников Вороного, так как оии не заполняют про- пространство. 2.D. я-мерные симплексы. Следующий результат дает воз- возможность находить второй момент произвольного тела, при условии, что оно может быть разбито на симплексы (см. [Hoh 1]). Теорема 2. Пусть Р — произвольный симплекс в R" с вер- вершинами Vi = (юн, ..., Vin) для 0 ^ i ^ п. Тогда (а) центр тя- тяжести Р совпадает с центром тяжести 1 вершин, ' ' у01 • • • Уо/х (ь) voi(P)=-^det| - ;".¦;.. I (Ю) 1 У„, ... ия и (с) нормализованный второй момент относительно начала ко- координат 0 равен ?-0 Другими словами, /0 равняется второму моменту системы из п+1 частиц, каждая массы 1/((га+ 1) (п-\- 2)), расположен- расположенных в вершинах, и одной частицы массы {п-\- 1)/(п + 2), рас- расположенной в центре тяжести.
§ 2. Вторые моменты многогранников 563 Доказательство. Утверждение (а) элементарно, (Ь) хорошо известно (см. [АН 1], [Goo 1, р. 349]), а (с) следует из [Goo 1, eq. B4), л = 2]. 2.Е. Правильный симплекс. Например, если Р — правильный симплекс с длиной ребра 21, то Уо1 (Р) _ У/г + 1 1(Р) (л/2 if п\ ' (л/2 if (п + 1) (я + 2) ' G(P) = ^-5 >е~2 = 0.135335... при я-»>оо. A2) + Для я=1, 2 и 3 значения G(P) равны 1/12, 1/(бд/з") = = 0.0962250... и 32'3/20 = 0.104004... и G(P) монотонно воз- возрастает по п. 2.F. Выражение объема и вторых моментов многогранника через его грани. Вместо разбиения тела на симплексы можно действовать по индукции, выражая объем и второй момент мно- многогранника через объем и второй момент его граней, затем через параметры (п — 2)-мерных граней и так далее. Тео- Теорема 3 является основанием для такой процедуры. Предположим, что Р является я-мерным многогранником с N\ конгруэнтными гранями Fv F'v F", ..., с N2 конгруэнтными гранями F2, F'2, F2, ... и т. д. Предположим также, что Р содержит такую точку 0, что все обобщенные пирамиды О/7,, OFj, ... конгруэнтны, все О/7^ QF'2, ...конгруэнтны Пусть at^F{ — основание перпендикуляра, опущенного из 0 в F{, пусть hi = \\0ai\\, и пусть Vn^x (i) — объем Fh a ?/„_! (i) — ненор- ненормализованный второй момент Ft относительно at. Теорема 3. Объем и ненормализованный второй момент Р относительно 0 задаются соотношениями Доказательство. Оно следует из элементарных вычислений при разделении каждой обобщенной пирамиды OFt на слои, па- параллельные грани Fu
564 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации 2.G. Усеченный октаэдр. Пусть, например, Р — усеченный октаэдр с вершинами, состоящими из всех перестановок век- вектора У 2 1@, ±1, ±2). Октаэдр Р имеет Ni = Q квадратных граней и Л?2 = 8 правильных шестиугольников с ребром длины 21. Вторые моменты этих граней могут быть вычислены непо- непосредственно или с помощью 2.1. Тогда по теореме 3 Vol (Р) = ^fi- 4P + ^fi- 6 У3> = 64 U(Р) = *^L[8P • 4/2 + ^ + 8-/5^6 [б/2 • 6 д/З I2 + Ю УЗ" /4] = 304 У2"/5, откуда G(P) = -—^7Т = —^ = 0.0785433.... A3) V ' 3 Vol(PJ/3 192-^2 К ' 2.Н. Вторые моменты правильных многогранников. Следую- Следующая теорема дает явную формулу для второго момента любого правильного многогранника. Предположим, что Р — правиль- правильный n-мерный многогранник [Сох 20]. Для 0^/^п выберем /-мерную грань Fs многогранника Р так, чтобы F0^Fi^ ... ... <=Fn=P, и пусть 0/ —центр Fj, Rj = ||0„0;-||, и для /^= 1 пусть rj — ||0j-i0,!|. Тогда г, является радиусом вписанного в Fj шара с центром с 0/ и r/ = /?2_i — R). Пусть Nj, ,-_i — число (/—1)-мерных граней в Fj. Тогда известно, что группа сим- симметрии многогранника Р имеет порядок ^==^„)„_1^„_1)„_2 ... N2ylNl<0, см. [Сох 20, § 7.6], а объем Р равен (см. [Сох 20, § 7.9]) Vol(/») = #„,„_, ... #2,!#,,„• r'r*-r» , A4) Теорема 4. Второй момент любого п-мерного правильного многогранника Р относительно его центра 0„ задается фор- формулой 2 ...+nRl-l), A5) или, эквивалентно, формулой + гг1 + Ъг1+...+ ±11+11 г*). A6)
§ 2. Вторые моменты многогранников 565 Доказательство проводится по индукции; одномерный слу- случай очевиден. Из теоремы 3 имеем где (в силу A4) и предположений индукции) У.-1 (Р) = #,-!,-2 ••¦ #2, 1^1,0 • Г1Г\п-[) Т] (р) у (р\ ? ( ,2 I I П(П~\) 2 Тогда У^— Vol (Р) — п + 2 \гп-Г п(п + 1) VI + ••• "Г 2 преобразуется в A6). Значения g, Vol(P) и /?у затабулированы для всех правиль- правильных многогранников в [Сох 20, table I, p. 292—295]. Мы уже изучили случаи симплекса и обобщенного октаэдра. Для га-мер- га-мерного куба G(f)= 1/12 при всех п (так как куб является пря- прямым произведением линейных отрезков). Перейдем теперь к рассмотрению оставшихся правильных многогранников. 2.1. Правильные многоугольники. Если Р — правильный Р-угольник с длиной ребра 21, тогда из теоремы 4 мы полу- получаем, что 1 A7) Для р = 3, 4 и 6 имеем G(P)= l/F л/г), 1/12 и 5/C6/д/з). 2.J. Икосаэдр и додекаэдр. Для икосаэдра = 0.0778185..., A8) где т = (д/5 +0/2> а Для додекаэдра Vol = 4V5" Р%\ G = 11т + 17 Г-4-У/3 = 0.0781285 ... A9) 300 V т V5 / 2.К. Исключительные 4-мерные многогранники. Есть в раз- размерности 4 три «исключительных» правильных многогран- многогранника— 24-гранник, 120-гранник и 600-гранник. Для 24-граииика = 32/4, G = —^ = 0.0766032..., B0) ! 20 д/2
566 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации =0.0751470..., B1) для 120-гранника Vol=120V5>t», 0=^+ а для 600-гранника Vol = 10WV, G = Cт+540)т'/2 = 0.0750839 .... B2) Рассмотренные трех- и четырехмерные многогранники сравни- сравниваются в табл. 21.1 и 21.2. § 3. Многогранники Вороного и среднеквадратическая ошибка решетчатых квантизаторов З.А. Многогранники Вороного решетки корней. Многогран- Многогранники Вороного решеток корней Л„ (я ^ 1), Dn (п^З), Е6, Е7 и Е8 могут быть получены единообразно. Метод основывается на нахождении фундаментального симплекса для аффинной группы Вейля решетки (см. § 2 гл. 4). Мы обозначаем (конеч- (конечную) группу Вейля решетки Л через W(A), а (бесконечную) аффинную группу Вейля через Wa(k). -Xo+xn«|- Wa(An) х0- х Рис. 21.1. Расширенная диаграмма Кокстера—Дынкина для Wa(An). Расши- Расширяющая вершина отмечена заштрихованным кружком, п + 1 вершин помечены равенствами, соответствующими гиперплоскостям — стенкам фундаментального симплекса. Обозначения на рис. 21.1—21.3 основываются на [Вой, с 302— 320] и [Con 25]. *«-»+ *яж> Рис. 21.2. Расширенная диаграмма Кокстера—Дынкина для Wa{Dn). В ней п + 1 вершин.
§ 3. Многогранники Вороного 567 X, + XQ = X, + +X (а) Wa(E7) (Ь) у (х, + ••• + »5 -х6-х7 + хв) =1 (С) Рис. 21.3. Расширенные диаграммы Кокстера—Дынкнна для (a) Wa(Et), (b) Wa(E7) и (с) Wa(Ee). Аффинная группа Вейля Wa(A) описывается расширенной диаграммой Кокстера — Дынкина, изображенной на рис. 21.1—• 21.3 (а также в последнем столбце табл. 4.1). Эту диаграмму можно понимать несколькими различными способами (см. [Boul], [Cox20], [Gro3], [Hazl]). Во-первых, она дает ко- представление для Wa{A), определяющее группу через ее об- образующие и соотношения (см. § 2 гл. 4), однако здесь мы не используем такую интерпретацию. Во-вторых, она может
568 Гл 21 Многогранники Вороного и ошибки квантизации быть использована для определения фундаментального сим- симплекса S для Wa(A). Это n-мерный замкнутый симплекс, об- образы которого под действием Wa{A) различны и заполняют R". Другими словами, мы можем записать R"= U g(S), B3) W(A) где (кроме границ множества g(S) — множества меры нуль) каждая точка xeR" принадлежит единственному образу g{S). В этой интерпретации вершины диаграммы представляют ги- гиперплоскости, являющиеся «стенками» фундаментального сим- симплекса [Сох 20, § 11.3]. Угол между двумя гиперплоскостями отмечается ребром на диаграмме, соединяющим вершины. Если угол между гиперплоскостями составляет я/3, то вершины со- соединяются одинарным ребром, если — я/4, то двойным ребром (см. рис. 21.4), если — я/р при р >- 4, то они соединены ребром, помеченным р, и наконец, если гиперплоскости перпендику- перпендикулярны, то вершины не соединены. Вершины на рис. 21.1—21.3 помечаются уравнениями, соответствующими гиперплоскостям. В третьей интерпретации вершины расширенной диаграммы Кокстера — Дынкина используются для представления вершин фундаментального симплекса, а не ограничивающих гиперпло- гиперплоскостей. Каждая вершина диаграммы представляет вершину симплекса, противолежащую соответствующей гиперплоскости (некоторые примеры показаны на рис. 21.6—21.8)—см. [Сох 20, § 11.6]. Одна из вершин диаграммы отмечается заштрихованным кружком. Это — расширяющая вершина; без нее получится (обычная) диаграмма Кокстера — Дынкина для группы Вейля W(A). Среди представляемых расширенной диаграммой гс+1 гиперплоскостей все, кроме соответствующей расширяющей вершине, проходят через начало координат. Полезно считать, что последняя гиперплоскость образует крышу фундаменталь- фундаментального симплекса. Противолежащей крыше вершиной фундамен- фундаментального симплекса является начало координат. Заметим для дальнейшего, что конечная группа Вейля W(A) также имеет фундаментальную область, состоящую из бесконеч- бесконечного конуса с вершиной в начале координат. Фундаментальный симплекс для Wa(A) получается взятием конечной части ко- конуса под крышей. Пересечение этого конуса с крышей, или, более точно, с единичной сферой с центром в начале координат, называется сферическим симплексом. Обычная диаграмма Кок- Кокстера— Дынкина для W(A) описывает сферический симплекс таким же образом, как расширенная диаграмма описывает фундаментальный симплекс для 1^а(Л). Эти сферические сим-
§ 3 Многогранники Вороного 569 (а) о- п-1 (Ь) п-1 Рис. 21.4. Диаграммы Кокстера—Дынкина для сферических симплексов (a) W(An) и (b) W(Cn) (Метки вершин приведены для удобства и не имеют геометрического смысла ) плексы и (обычные) диаграммы Кокстера — Дынкина могут ис- использоваться для определения групп Вейля для всех систем корней (а не только для решеток корней An,DniiEn). В разд. З.Е, 3.F нам потребуются сферические симплексы, соответствующие W(An) и W(Cn), показанным на рис. 21.4. Группа Вейля обычно записывается как [З"-1] и изоморфна симметрической ОТРАЖАЮЩАЯ ГИПЕРПЛОСКОСТЬ U' х 'у Рис. 21.5. Почему 0 ближе к х, чем и. группе на гс+1 буквах. Группа W(Cn) записывается как [3"~2, 4] и имеет порядок 2пп\. (См. § 2 гл. 4.) Лемма. Начало координат является ближайшей точкой ре- решетки к любой внутренней точке фундаментального симплекса. Доказательство. Пусть п — ближайшая к xeS точка ре- решетки. Предположим, что и ф 0. Тогда и ф. S и точки и и х находятся по разные стороны от отражающей гиперплоскости Wa(A.). Пусть а'еА — образ и в этой гиперплоскости, и пусть и — основание перпендикуляра, опущенного из х на прямую ии' (см. рис. 21.5). Тогда II хи' If = II ху |р + II уи' ||2 < || ху ||2 + II уи ||2 = || хи ||2 и х ближе к и', чем к м; мы пришли к противоречию. По- Поэтому и з*= 0.
670 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации Связь между фундаментальным симплексом и многогранни- многогранниками Вороного задается следующей теоремой. Теорема 5. Для любой решетки корней Л многогранник Во- Вороного начала координат является объединением образов фун- фундаментального симплекса при действии группы Вейля W(A). Доказательство. Пусть х — произвольная точка многогран- многогранника Вороного начала координат. Из B3) следует, что х е eg(S) для некоторого gefa(A). Предположим, что х яв- является внутренней точкой g(S). По лемме ближайшей к х точ- точкой решетки является g(Q). Поэтому g@) = 0, gEf(A) и х е U g (S). g <= W (А) Обсуждение случая, когда х является граничной точкой g(S), мы опускаем. Обратное утверждение, что из x^Ug^S) сле- следует, что х лежит в многограннике Вороного, получается при прослеживании шагов доказательства в обратном порядке. Из теоремы 5 следует, что многогранник Вороного является объединением |1^(Л)| экземпляров фундаментального сим- симплекса S. Кроме того, грани области Вороного являются об- образами крыши фундаментального симплекса при действии W(A). Таким образом, многогранник Вороного ограничен ги- гиперплоскостями, делящими посередине отрезки, соединяющие 0 с ближайшими соседями в решетке (будучи к ним перпенди- перпендикулярными). Следствие. Число (п — 1) -мерных граней многогранника Во- Вороного решетки корней равно контактному числу решетки. Это несправедливо, как мы увидим в разд. 3.G, для произ- произвольных решеток. Второй момент области Вороного теперь мо- может быть получен из второго момента фундаментального симплекса. З.В. Многогранник Вороного для Ап. Находим сначала вер- вершины vo, Vu ..., Vn фундаментального симплекса S. Они нахо- находятся следующим способом: каждая из гиперплоскостей рис. 21.1 по очереди опускается из рассмотрения и вычисляется точка пересечения остальных п гиперплоскостей. Результаты показаны на рис. 21.6, где каждая вершина диаграммы поме- помечена координатами вершины симплекса, противолежащей со- соответствующей гиперплоскости. Отсюда следует, что i-я вер- вершина — это
§ 3. Многогранники Вороного 571 где i + /=sn+l, для 0 ^ i ^ п, и она совпадает с вектором склейки [i] для Ап в А"п (см. формулу E5) гл. 4). Кроме того, И °* II2 = ¦?+!¦• Центр тяжести S (формула (9)) равен —п — /1 + 2 « — 2 t . 2/i + 2 • 2я + 2 ' * • •' 2ге + 2 ' 2/г + 2 и в силу A1) нормализованный второй момент относительно начала координат равен i-0 Теперь |Ц7(Л„)| = (п+ 1)! и det^n = n+l (см. разд.6.1 гл.4). Из теоремы 4 следует, что многогранник Вороного начала ко- <^(-ш).(„-5т) J Рис. 21.6. Вершины фундаментального симплекса для Ап. ординат У@) является объединением |^(Л„)| экземпляров S, поэтому GIA w1 ПУЩ _ 1 A | V "; n Vol (V (О)J/" (я + 1I/л V12T 6(/t + ~-L при п^оо B6) (что соответствует [Dav2]). Так как многогранник Вороного уже найден, мы можем также определить точки в R", находя- находящиеся на максимальном расстоянии от решетки, так как они обязательно являются вершинами многогранников Вороного. Из B4) следует, что радиус покрытия А„ равен /? =
572 Гл 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации = {ab/(n + 1)I/2 = рBай/(п+ 1)I/2, где р — радиус упаков- упаковки и а = [(п + 1)/2], й = п+1 — а- Типичными точками на таком расстоянии от Ап являются вершина va многогранника У(О) и ее образы при действии W(An). Решетка А\ состоит из расположенных на равном расстоя- расстоянии точек вещественной оси, и G(Ai)= 1/12. Решетка А2 — это гексагональная решетка, фундаментальным симплексом которой является равносторонний треугольник, а многогранником Воро- Вороного—шестигранник, и G (А2) = 5/C6 V3) (СР- Разд- 2Л)- Ре- шетка Л3 — это гранецентрированная кубическая решетка, мно- многогранником Вороного которой является ромбододекаэдр (рис. 2.2а), и G(A3) = 2-"/3 = 0.0787451 .... Для п = 1 и 2 известно, что Ап является оптимальным квантизатором, но уже для п = 3 двойственная решетка А*3 лучше (см. разд. 3.3 гл. 2). Значения G(An) для n =sC 9 пред- представлены на рис. 2.9. Величина G(An) уменьшается до своего минимального значения 0.0773907... при п = 8 и далее мед- медленно растет до 1/12 при п-*-оо. З.С. Многогранник Вороного решетки Dn (n ^ 4). Наше рассмотрение будет кратким, так как Dn (при п^4), Е6, Е7 vft=(On) Рис. 21.7. Вершины фундаментального симплекса для Dn. и Е8 обсчитываются аналогично Ап. Вершины v0, ..., vn фунда- фундаментального симплекса для Dn, п ^ 4, показаны на рис. 21.7. Их центр тяжести равен v = 2(я'+ 1} @, 2, 3 п-2, л-1, л+1), \W{Dn)\ = 2n~1 -n\ и det/)rt = 4, откуда мы получаем "—¦ B7)
§ 3. Многогранники Вороного 573 Радиус покрытия Dn (при п ^ 4) равен R = -у/п/4 = р л/п/2. Например, имеется вершина Vo = (l/2n). Для п = 4 многогран- многогранник Вороного является 24-гранником (см., например, [Сох 20, § 8.7]) и C(D4)= 13/A20V2~) = 0.0766032 ..., что согласуется с B0). Значения G(Dn) для n ^ 9 приведены на рис. 2.9. Ве- Величина G(Dn) принимает минимальное значение 0.0755905... при п = 6 и далее медленно возрастает до 1/12 при л-»-оо. 3.D. Многогранники Вороного для Es, Е7, Е8. Вершины фун- фундаментальных симплексов для Ев, Е7 и Es показаны на рис. 21.8. Для Е8 | w (?8) | = 214 • З5 • 52 • 7 = 696729600, det = 1, Ш^' 35' 55) 79' 109' 149' 209' = -fHlo = 0.0716821 ... . B8) (Это отличается от значения, приводимого Ватсоном [Wat2].) Многогранник Вороного V@) является 8-мерным многогранни- многогранником, который двойствен1) многограннику Госсета 42i, описан- описанному в [Сох 20 р. 204]. Пусть Nl обозначает число i-мерных граней К@). Тогда из [Сох 20, § 11.8] мы получаем #0 = 19440, N, = 207360, N2 = = 483840, ЛГз = 483840, ЛГ4 = 241920, ./Vs = 60480, Я6 = 6720 и Л/V = 240. Вершины (их 19440) состоят из 2160 на расстоянии 1 от 0 и 17280 на расстоянии 2д/2/3. Первые являются обра- образами вершины (О7, 1) фундаментального симплекса при дей- действии W(ES), и они находятся на максимально возможном рас- расстоянии от Е8, в то время как вторые являются образами вер- вершины (A/6O, 5/6) при действии W (Es). Поэтому Д = 1 = р -у/2 . Другие семь вершин фундаментального симплекса не являются вершинами многогранника Вороного. Для Е7 | W (Е7) | = 210 • З4 • 5 • 7 = 2903040, det = 2, 0 = —gg-(l, 5, 8, 12, 18,30,-42, 42), G (?7) = -^ ¦ 2~1/7 = 0.0732306 .... B9) Радиус покрытия Е7 равен R = д/З/2 = р д/3 , например, име- имеется вершина (О5, —1, 1/2, —1/2). ') Несложно дать прямое доказательство этого утверждения; оно также следует из приводимой ниже теоремы 8.
574 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации (а) (Ь) Рис. 21.8. Вершины фундаментальных симплексов для (a) Eg, (b) ?7 и (с) Ев- Для Е6 = 51840, det = 3, = ±@, 3,5, 8, 14, -14, -14, 14), 42 C0) Многогранники Вороного для Е7 и Е6 двойственны многогран- многогранникам Госсета 2з1 и I22, описанным в [Сох 20, § 11.8]. Радиус
§ 3. Многогранники Вороного 575 покрытия Ев равен ^? = 2/д/3 = рд/8/3, например, имеются вершины (О5, —2/3, —2/3, 2/3) и (О4, 1, —1/3, —1/3, 1/3). По поводу решеток ?* и ?* см. [Con 38], [Wor 1], [Wor2]'). З.Е. Многогранник Вороного для D*n. Для того чтобы опреде- определить многогранники Вороного для двойственных решеток А*п и ?>*, мы будем использовать конструкцию Витхоффа, как это описано в [Сох 5] и [Сох 20, § 11.6]. Идея заключается в том, (Ь)@—о (g)(^=@ ° (П@—@ о / (i) а=&—@ (П)@ © © (е) Рис. 21.9. Примеры многогранников, полученных из конструкции Витхоффа: (а) отрезок, (Ь) треугольник, (с) шестиугольник, (d) квадрат, (е) восьми- восьмиугольник, (f) куб, (g) усеченный куб, (h) кубооктаэдр, (i) усеченный окта- октаэдр, (j) октаэдр, (к) тетраэдр, A) усеченный тетраэдр, (т) октаэдр (снова), (п) усеченный октаэдр (снова). чтобы конструировать новые многогранники из сферических симплексов, описанных в разд. З.А, причем вершины нового многогранника отмечаются кружками, нарисованными вокруг некоторых вершин обычной диаграммы Кокстера — Дынкина. Более точно, пусть v\, ..., vn — вершины сферического сим- симплекса для группы Вейля W(A). Если единственная вершина диаграммы, скажем соответствующая vi, отмечена кружком, то вершины нового многогранника являются образами vi при дей- действии этой группы Вейля. Если две или более вершин отмечены кружками, скажем это вершины, соответствующие vi, v/, ..., то этот символ представляет многогранник, вершины которого являются образами при действии W(A) некоторой внутренней точки сферического подсимплекса с вершинами vi, и,-, .... Мы можем регулировать метрические свойства многогранника (на- (например, сделать длины его ребер равными, выбирая подходя- подходящим образом эту внутреннюю точку). Некоторые 1-, 2- и 3-мер- 3-мерные примеры показаны на рис. 21.9; другие можно найти в [Сох 5], [Сох 20]. ') Уорлн (Wor I], [Wor 2] приводит следующие точные значения: G (?') = 12619 • 31/8/204120 = 0.0742437, G (Е*7) = 21361 • 21/7/322560 = 0.0731165.
576 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации Мы теперь используем зту конструкцию для нахождения многогранников Вороного для решеток Ь"п, п~^2>. Мы поме- поменяем масштаб так, чтобы D"n стала объединением BZ)" и A") + B/)п. Ближайшими к началу координат в первом мно- множестве являются 2п точек вида (±2,0"), а ближайшими во втором множестве 2" точек вида (±1"). Многогранник Воро- Вороного У@) является пересечением многогранников Вороного, определяемых этими двумя множествами. Первый из них, ска- скажем Р, является кубом с центром в нуле и с вершинами (±1"). Второй, скажем Q, является обобщенным октаэдром с верши- вершинами (±п/2,0"-1). Кроме того, Q может быть получен как двойственный к Р относительно сферы радиуса p = -\Jnj2 с центром в начале координат. Таким образом, многогранник Вороного V@) является пе- пересечением Р с двойственным многогранником Q = Р*. Дру- Другими словами, 1/@) получается усечением Р по типу [Сох 20, р. 147] и определяется поэтому «окружением» одной или двух вершин диаграммы Кокстера — Дынкина (см. рис. 21.4Ь) для сферического симплекса многогранника Р (см. [Сох 5], [Сох 20, §8.1, 11.7]). Радиусы R, (определенные в разд. 2.Н) для куба Р за- задаются соотношением Rj = -\Jn — j [Cox 20, table I, p. 295]. Если п четно, то радиус р сферы, задающей двойственность, равен Rn/2, и мы должны отметить кружком вершину, помечен- помеченную п/2 на рис. 21.4Ь. Если п нечетно, то р лежит между R(n-i)/2 и R(n+i)/2, и обе вершины (п— 1)/2 и (п+ 1)/2 должны быть отмечены кружком. Таким образом, мы доказали следую- следующую теорему. Теорема 6. Многогранник Вороного начала координат ре- решетки D*n — это многогранник, задаваемый диаграммами рис. 21.10. Приведенные ниже координаты для (Цп, k) и б(п, k) пока- показывают, что длины ребер многогранников Вороного равны. В обозначениях Кокстера [Сох 20, § 8.1] многогранник Воро- Вороного для Dt — это ГЗ 3 ... 3 Л \3 3 ... 3 4J с t— 1 цифрами 3 в каждой строке, а для Dt+l —это Г 3 3 ... 3 ") I3 3 3 ... 3 4J с / — 1 цифрами 3 в каждой строке.
§ 3. Многогранники Вороного 577 Мы определим вторые моменты этих многогранников Воро- Вороного рекурсивно, используя теорему 3. Для того чтобы это сде- сделать, необходимо найти вторые моменты всех многогранников Dgo=^ © © о Om7a=x с @—@ о о • • • Рис. 21.10. Многогранники Вороного для решеток!),,. a(n,k), $(n,k), y(n,k) и 8(n,k), определенных, как на рис. 21.11. В этих обозначениях многогранник Вороного для Z)* совпадает (с точностью до масштабного множителя) с Р(п, га/2), если п четно, и с б(п, (п—1)/2), если п нечетно. Пусть а F.2) о /3F,2) Рис, 21.11. Многогранники а(п, k), P(re, k), y(n,k) и 6(n,k). В общем случае a(n,k) имеет п вершин с обведенной кружком й-й справа вершиной, а y(n,k) имеет /г вершин с обведенными кружком й-й и (й+1)-й вершинами (кроме y(".0) — a(rt> 1) и yC"'1™) == a(fl>n))- Многогранники Р(п.,й) и 6(п, k)—это то же самое, что соответственно a(n,k) и y(n,k), за исключе- исключением того, что левая ветвь у них двойная. По соглашению a @,0) и y @,0) представляют точку. Ra(n,k), Va(n,k) и Ua(n,k) обозначают соответственно радиус описанной сферы, объем и ненормализованный второй момент относительно центра a(n,k) и обозначения для р(гс, k), y(n,k) и б(п,k) аналогичны. В качестве вершин многогранника a(n, k) можно взять точки в R"+1, координаты которых равны всем перестановкам @re-ft+I, 1*) [Сох 20, § 8.7]. Центром тяжести a(n,k) является 37 Дж. Конвей, Н Слоэн
578 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации точка ( и поэтому радиус описанной сферы равен + Аналогично P(n, k) имеет вершины @n~fe+1, ±lk), R^(n, k) = -\/k~, V(«, k) имеет вершины {0n'k, 1, 2ft),/?Y(n, fe) = д/4* ^"^+ n, t>(n, k) имеет вершины @n~\ ±1, ±2fe), /?e(n, fe) == У4/г + 1 . (Эти многогранники под другим названием появляются в [Сох 22].) Каждый из этих многогранников имеет два типа граней, получаемых стиранием либо левой, либо правой вер- вершины его диаграммы [Сох 20, § 7.6, 11.6, 11.7]. Например, стирание левой вершины диаграммы a(n,k) приводит к а(п—1, k—1), в то время как стирание правой вершины приводит к а(п—\,k). Таким образом, в общем случае a(n,k) имеет грани типа а(п—1, k—1) и а(п—1, k). (Если k = 0, то от- отсутствует первый тип, а если k = п, то отсутствует второй тип.) Число граней каждого типа определяется отношением поряд- порядков соответствующих групп Вейля (полученных без учета круж- кружков на диаграмме). Таким образом, число многогранников типа а(п— \,k— 1) в а(п, k) равно |[з"-']| _ (а+1I , |[з«-2]|- «! -*+'• Это число также равно числу граней типа а(п—l,k). Мы представляем процесс нахождения граней графом, изображен- изображенным на рис. 21.12. Теперь мы можем применить к a(n,k) теорему 3, получая (П** п~1' k) + Ua(n-l, k)), где = Ra(n, ky-Ra(n-l, kf = ir^
§ 3. Многогранники Вороного 579 нижние индексы при h означают «левое» (L) и «правое» (R). Если мы запишем Va(n, k) = va(n, k)^nntX-< Ua{n, k) = Ua(n, k) Vn+l C2) то va и иа являются целыми числами, удовлетворяющими ре- рекуррентным соотношениям »а(л, k) = (n — k+l)va(tl- I, k-l)+kva(n—l, k), C3) для п>2 и 1 </г</г с va{n, 0) = va(n, n + 1) = 0 для «о (Я. Й) = (Л-Й+ 1)»Оа(я— 1, А- 1) + ^Ч(«- 1, + (л-Л+ 1)Иа(л- 1, k-\)+ kua{n- 1, C4) для п ^2 и 1 ^ «(п,ю с ыа (о, 0) = «а (п, п + 1)=0 для «^ 1, гп/ a(n-i,k-D й(п-|,к) уЗ(п-|,к-|) г" а(п-1, к) Рис. 21.12. Многогранник a(n,k) Рис. 21.13. Многогранник р(п,/г) имеет л+1 граней, являющихся имеет 2п граней, являющихся р(«—1> а(а—1, k— 1), и rt-fl граней /г—1), и 2" граней а(а— 1, К). (Мы а (а— 1, k). используем здесь прерывистые линии для большей наглядности структур рис. 21.14, 21.15.) ЫоA, 1)=1. Несколько первых значений va и иа приведены в табл. 21.3. Можно, воспользовавшись [Slo2], отождествить иа с эйлеровыми числами [Rio 1], задаваемыми выражением k / I 1 \ = ? (-1)'( "Т" ){k- j)\ /=о ' Более сложную формулу для иа(п, k) мы опускаем. Аналогично, для многогранника р(«, k) имеется граф, при- приведенный на рис. 21.13, и, записывая У„(я, А) = ор(п, ft)-^-. C6) f/p(n, fe) = «p(«, feI^^!^, C7) va(n,k) C5)
680 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации получаем рекуррентные соотношения оа(л, Л) = яор(я—1, ft—1) + йов(я—1, ft) C8) для /г>2 и 1<&<л с ир(я, 0) = 0 для /г>1, орA, 1)=1 и ир(л, ft) = fts(/i+l)o0(/i-l, ft) + ftue(n-l, ?) + + л2(л+1)Ор(л-1, й-1) + /Шр(я-1, ft-1), C9) для rc^s2 и 1^/г^/г с ыр(гс,О) = О для л > 1, ырA, 1) = 2 (см. табл. 21.3). Кроме того, можно по индукции доказать, что ft о„(я, Л)=?о„(я, 0, D0) откуда следует ир(л, «) = «!. Так как иа(/г, ft) удовлетворяет va(n, k) = va(n, п — ft+1), то («)! D1) Для y(">6) и 8(n,k) имеется пара графов, аналогичных представленным на рис. 21.12, 21.13 (с заменой а на у и р на б). Как и раньше, полагаем Vy(n, k) = vy(n, k)^±^-, Uy(n, k) = uy(n, k)^^. V6 (П, ft) = V6 (Я, ft) %- , t/e (rt, ft) = Ыв (rt, ft) 7-J; откуда и получаем рекуррентные соотношения vv(n, ft) = B/i-2ft+l)oY(n-l, ft-l) + Bft+l)ov(n-l, ft) D2) для n^ 1 и O^^^n с vy(n, —1) = Vy (n, n + l) = 0 для n^O, fY@, 0)=l; uv (я, ft) == Bn - 2/г + lKyY(n-l, ft_l) + Bft+ 1Kуу(л—1, fe) + + Bn-2ft + l)«Y(n—1, ft_l) + Bft + l)uY(ff —1, ft) D3) для n^l и 0^^/tcuy(n, —l) = «Y(n, n + 1) = 0 для га^О, «y@, 0) = 0; v6(n, k) = 2nvt{n-l, ft-l) + Bfc + l)oY(re-l, k) D4) для n> 1 и 0</г<п с v6(n, —1) = 0 для га>0, t»e@, 0)= 1; «в(я, fe) = Bfe+lK(ra+l)t>v(n-l, ft) + Bft+l)uY(«-l, ?) + (n-l, ft— 1) D5)
§ 3. Многогранники Вороного 581 Таблица 21.3. Первые несколько значений »,(«, ft), Ua(n,k), vAn>k) и ы« (п, k). Главная диагональ и диагонали, параллельные ей, соответствуют k = 1,2,... В. б 5 Ц 3 2 1 1 57 302 1 26 1 11 1 1 66 1 302 57 1 26 1 11 1 1 1 6 5 il 3 2 1 6 1158 8916 8916 5 100 1290 400 1 116 116 з гч 2 2 1 1158 б 5 li 3 ив(п,Ю 6 1 5В 360 6S2 719 720 5 1 27 93 119 120 Ч 1 12 23 21 3 15 6 2 12 1 1 б 12 2558 28818 69621 80388 8о6Ю 5 Ю 950 5190 8250 8100 4 8 312 880 960 3 6 84 120 2 Ч 16 для /г^1 и О^/г^/г с ий(п, —1) = 0 для /г^0, щ@, {см. табл. 21.4). Кроме того, vy(n, k) = Yl(-W(n. )Bk + l-2j)n, vu(n, ?) = ) l,0 = 22'B*+l)!. D6)
582 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации Для любого / соответствующие /-мерные грани a(n,k), ..., 8(п, k) можно иайти исходя из рис. 21.14 и 21.15. Таблица 21.4. Значения vy(n,k), uy(n,k), v&(n,k) и Ug(n,fe). Главная диагональ и параллельные ей диагонали соответствуют k — 0, 1,... n 5 it 3 2 1 0 1 237 1682 1 76 230 1 23 1 6 1 1 1682 23 1 237 1 76 1 1 1 Г1 5 5 10065 124330 124 330 10065 5 4 4 2416 10520 2416 4 3 3 477 177 3 2 2 60 2 V"'k) 1 X 1 о о 5 1 238 1920 3602 3839 3840 4 1 77 307 383 384 3 1 24 47 48 1 1 2 0 1 5 10 20840 369740 954120 1074490 1075200 4 8 5224 41240 61048 61440 3 6 1140 3654 3840 2 4 188 256 ujtn.k) 1 2 16 О О Мы особенно интересуемся частными случаями $Bt,t) и ^+1, ^—многогранниками Вороного для соответственно
§ 3. Многогранники Вороного 583 0D 1) 3D,1) аD,2) 3D,2) 0D,3) 0D,3) 0D,4) I X ,*N. I «^ ^'^v I / аC 1) /3t3.lT аC,2) 0C,2) аC,3) " - " I аB,1) 0B,1) аB,2) I I I ad.i) Рис. 21.14. Взаимосвязи между а(п, k) и р(л,/г). у(З.О) 8C,0) уC,1) ^ 8C.1) уC,2) ^8C.2) уC,3) уB,0) 8B,0^ уB,П 8B, П yj2.2) i i уA,0) 8A,0) yil.l у@,0) Рис. 21.15. Взаимосвязи между у{п, k) и f>(n,k). D\t и D\t+X. Для D\t мы получаем ^та-22-ЙГA'/;2)|. Р-1. D7) и радиус покрытия Для этого варианта Z)* (который отличается масштабным множителем от определений, даваемых в разд. 7.4 гл. 4) по- получаем GfZ)- у «,(« + 1.0 D8) V 2< + l'1 Bt+ l)(
584 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибка квантизации где Г д/З , если f = 1, р "B, если t>\, У 5/3, если t = 1, P V^+ 1/4, если f > 1. Например, D*3 = А\ — объемноцентрированная кубическая ре- решетка, многогранник Вороного представляет собой усеченный октаэдр (см. рис. 2.2Ь) и G (?)*)= 19/A92 дУ2~) (что согласует- согласуется с A3)). _ G(?»:)= 13/A20 V2) = G(D4), --' D9) - E0) Значения G(D"A показаны на рис. 2.9. Минимальное значение равно 0.0746931 ... при п = 9. 3.F. Многогранник Вороного для Л* Теорема 7. Многогранник Вороного для решетки А'п— это многогранник Рп, определенный на рис. 21.16. Если мы изме- © © © © © Рп Рис. 21.16. Многогранник Вороного Рп = V @) для Ап. Имеется п вершин, все обведены окружностями. ним масштаб Л* умножением на п-\- 1, то вершины многогран- многогранника Вороного будут состоять из (п-|-1)! точек, полученных перестановкой координат —п —п + 2 —п + 4 п — 2 0 =¦ • 2J- 2 ' 2 ' 2 ' • • •' 2 Иногда Рп называют пермутоэдром') (см. [Bowl], [Сох 18, р. 72—73], [Сох 23, р. 574]), а сам а является вектором Вейля для Ап [Сох 25]. ') От английского permute — переставлять. — Прим. перев.
§ 3. Многогранники Вороного 585 Доказательство. Легко проверить, что а находится на рав- равном расстоянии от стенок фундаментального симплекса S для Ап, т. е. что а — центр 5. Пусть Р — выпуклая оболочка обра- образов а при действии W(An). Так как стенки 5 являются отра- отражающими гиперплоскостями для Wa{An), P вместе с образами при действии Wa(An) заполняет Чп. Таким образом, Р яв- является многогранником Вороного для некоторой решетки Л s А*п. Но Л должна содержать все векторы склейки [/] для Ап в Л* (см. разд. 6.1 гл. 4), так как они являются образами О на стенках Р. Поскольку эти точки порождают Л*, получаем равенство Л = Л*. Второй момент Рп может быть найден следующим образом. Во-первых, радиус покрытия R{n) решетки Л* совпадает с ра- радиусом описанной сферы для Рп, равным (скажем) = E1) так как теперь p=V«(«+ 1)/4, и объем Рп равен 7„=(/г+1)'г~1/2. Пусть 1п = 1(Рп)—нормализованный второй момент. Типичная грань Рп получается стиранием, скажем, r-й вершины слева на po) (о) V 151 15V20 Рис. 21.17. Три типа граней Р$ рис. 21.16 и представляет собой призму Pr~X.Ps с г + s = п—1 (см. рис. 21.17). Число таких граней равно \W(An)\ | W (АГ) 11 W\(AS) | Кроме того, / (Рг X Ps) = /г + I*
586 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации ЦЕНТР Рп Рис. 21.18. Вычисление высоты hrs перпендикуляра, опущенного из центра Рп на грань Рг X Ps- Пусть hrs — высота перпендикуляра, опущенного из центра Рп на типичную грань Ргу(Р3. Тогда (см. рис. 21.18) (г+ 1) (я (используем E1)). Теперь применим теорему 3, получая равенство л-1 I V = —!— V (п^~ \h V V (И? 4-1 4- I \ т r=Q\r-\- \J (с г + s = п—1), которое, если мы запишем Jn = In-\/n, пре- превращается в /„ = ¦ где r-\-s = n — 2. Используя тождество Абеля [Rio 2, § 1.5] для упрощения первого члена, получим /„=- ft=0 ft" *! E3)
§ 3. Многогранники Вороного 587 для п ^ 2 с /i = 0. Несколько первых значений: о: 1 2 3 4 5 6 7 . . n J_ _5_ 19_ Ш_ 1045 78077 " ' 12 18 32 375 648 33614 Наконец, безразмерный второй момент многогранника Воро- Вороного равен Значения для п ^ 9 показаны на рис. 2.9. Кривая очень полога, минимальное значение 0.0754913... наблюдается при п = 16. 3.G. Стенки многогранника Вороного. Как было объяснено в разд. 1.2 гл. 2, стенки многогранника Вороного V@) для решетки Л определяются релевантными векторами решетки Л. Для решеток корней мы видели в следствии к теореме 5, что релевантные векторы в решетке корней являются в точности минимальными векторами. В этом случае имеется простое опи- описание V@). Теорема 8. Если релевантные векторы являются в точности минимальными векторами, то V@) является двойственным к конфигурации А в начале координат. Эквивалентно, V@) (в подходящем масштабе) двойствен многограннику, вершинами которого являются минимальные векторы А. Доказательство. Это следует непосредственно из определе- определений конфигурации и двойственного многогранника — см. [Сох 20]. Следующее условие является полезным достаточным усло- условием для того, чтобы решетка имела такое свойство Пусть Л = ЛоU Ai U • • ¦, где i-й слой Л,- состоит из всех сёЛ с v • v = h (скажем), и 0 = ко < Xi < ... . Теорема 9. Предположим, что (i) Лг с: Л, + Л, + ... + Ai (г раз) и (и) г\\ ^ Хг для всех г— 1, 2, .... Тогда релевант- релевантные векторы в точности являются минимальными векторами. Условие (i) означает, что Ai порождает Л и, более того, делает это экономно в том смысле, что любой вектор в Лг яв- является суммой не более чем г векторов из Л[. Практически это условие очень легко проверяется по индукции. Важным классом решеток, удовлетворяющих (i), являются решетки, по- получаемые применением конструкции А к линейному двоичному коду с минимальным расстоянием ^4, порождаемому кодо- кодовыми словами минимального веса, и если d < 4, то имеется
588 Гл. 21. Многогранники Вороного и ошибки квантизации дополнительное условие, что никакая из координат кода не равна тождественно нулю. Доказательство теоремы 9. Предположим противное, т. е. что существуют точка «е Лг с г > 1 и точка х е R", такая, что х-и>A/2)Хг, но x-v <(l/2)A,i для всех неЛь Из (i) следует, что «= Е nfyf с !)(еА,, «j>0 и En^r. Тогда х • и = Е Щ (х • vt) < A/2) ki Е Щ <A/2) гХх < A/2) Аг, и мы при- пришли к противоречию. Вороной дал простую характеризацию релевантных векто- векторов в любой решетке (см. [Vor I, Vol. 134 A908), p. 277] и [Ven5]). Теорема 10. Ненулевой вектор оеЛ релевантен тогда и только тогда, когда ±v — единственные кратчайшие векторы в классе v + 2Л. Доказательство. Заметим, что каждый ненулевой вектор »еЛ определяет полупространство Hv={x^Rn: x-v^ ^A/2)уу}, a V@) является пересечением этих полупро- полупространств. (Только тогда) Предположим, что v и w удовлетво- удовлетворяют у = ay(mod 2Л), v ф ±ш, N(w)^N(v). Тогда t = = A/2) (v-\-w) и « = A/2) (у — w)—ненулевые векторы в Л. Если xg//( П//„, то x-t ^(l/2)t-t, х-и ^A/2) и-и, откуда x-v ^L(l/2)vv, и поэтому Hv не является необходимым для определения V@), т. е. v не является релевантным. (Тогда) Предположим, что у — нерелевантный вектор. В частности, точка A/2)у должна лежать на или вне некоторого Hw для w ф 0, w Ф v, т. е. {i/2)v-w ^ (l/2)w-w. Поэтому N{v — 2ш)^ ^N(v). Кроме того, точка v — 2w Ф ±v также содержится в смежном классе v + 2Л. Например, для решетки Лича мы видим (в силу теоремы 2 гл. 12), что многогранник Вороного ограничен 196560 + + 16773120 = 16969680 гиперплоскостями, соответствующими векторам с нормой 4 и 6. Благодарности. На начальных этапах этой работы нам очень помогли некоторые обсуждения с Алленом Гершо. Ряд вычис- вычислений был выполнен с помощью системы MACSYMA (см. [Mat3]). Мы хотели бы также поблагодарить Е. Барнса и Г. Кокстера за их замечания.
Глава 22 Оценка радиуса покрытия решетки Лича С. Нортон В этой главе описывается метод оценки радиуса покрытия решетки. При его применении к решетке Лича получается весьма близкое к истинному значение. Проблема определения радиуса покрытия решетки Лича ре- решается в следующей главе, написанной Конвеем, Паркером и Слоэном. До того как был открыт подход, используемый ими, было получено описанное в этой главе хорошее приближение к истинному значению. Оно заслуживает описания не только по историческим причинам и потому, что доказательство яв- является очень коротким; важно, что используемый метод не за- зависит от свойств решетки Лича и, следовательно, может быть применен к другим решеткам. Единственное свойство 24-х мерной решетки Лича, которое мы используем, заключается в том, что середина отрезка, со- соединяющего любую пару точек решетки, удовлетворяет одному из следующих условий: a) она также принадлежит решетке; b) она лежит на середине отрезка, соединяющего соответ- соответствующие друг другу точки решетки типа 2 или 3 (т. е. на расстоянии 2 или ^/б , если предполагать решетку унимодуляр- ной, что мы и делаем далее), причем все другие точки решетки находятся дальше концов отрезка; c) она является серединой любого из 24 попарно ортого- ортогональных отрезков, соединяющих пары точек решетки типа 4 (расстояние 2V2), так что можно выбрать декартову систему координат с началом в этой точке, такую, что любая точка с координатами, получаемыми перестановкой из (± V2, О23) принадлежит решетке. Из этого свойства (теорема 28 гл. 10) мы получим следую- следующий результат. Теорема. Любая точка 24-мерного пространства лежит на расстоянии не более Bk)l/2 = 1.4518442... от_ некоторой точки решетки, где k = {37— V73)/27=48/C7 + д/73)=1.0539258 Поскольку сферы радиуса BkI/2 с центрами в точках ре- решетки покрывают все пространство, радиус покрытия решетки ограничен этой величиной. (В следующей главе доказано, что
590 Гл. 22. Оценка радиуса покрытия решетки Лича настоящее значение радиуса покрытия равно д/2-) Радиус упа- упаковки этой решетки равен 1. Доказательство. Мы начнем с введения нормы на нашем 24-мерном пространстве с нулевой точкой в одной из точек ре- решетки, причем норма вектора равна расстоянию от конца век- вектора до нулевой точки. Лемма. Если теорема имеет место для точки 2t», то она имеет место также и для v. Доказательство. По условию имеется вектор и, такой, что 2и принадлежит решетке и ||2t»— 2и|| ^ 2k, так что ||у —м|| ^ ^ k/2. Поскольку и является серединой отрезка, соединяющего 0 с 2и, имеет место одна из описанных выше возможностей а)—с). В случае а) и — точка решетки и v лежит на нужном расстоянии от нее. В случае Ь) пусть х и у суть две ближайшие к и точки решетки, так что 2и = х + У- Из последнего равен- равенства с учетом условия \\и — х\\ = A/4)||х— у\\ = 1 или 3/2 вы- вытекает, что \\v — x\\ + \\v — y\\ = 2(\\v — u\\ + \\u — x\\)s^.k + + 3 ¦< 4k, откуда следует нужный результат, поскольку одна из величин ||t» — х||, lit» — y\\ меньше 2k. В случае с) мы сдви- сдвигаем и в начало координат системы, фигурирующей в этом условии (и v переходит в v' = t» — и). Пусть х' — одна из 48 точек решетки, указанных в условии, имеющая максимальное скалярное произведение с t»', и пусть это произведение равно а. Тогда ||t/|| < 12а2 и ||t»' —х'|| = ||у'|| + 2 —2а, поскольку v'-x' = a и Цх'11 = 2. Отсюда при помощи прямого подсчета вытекает, что из ||у'|| ^ k/2 следует \\v' — x'\\^.2k, так что v находится на нужном расстоянии от точки, принадлежащей решетке. Это доказывает лемму. Оказывается, что странная на вид величина k является наименьшей, позволяющей сделать последний вывод в доказательстве леммы. Для завершения доказательства теоремы заметим, что из леммы вытекает, что любая двоично-рациональная точка удов- удовлетворяет заключению теоремы, которое автоматически выпол- выполняется для точек решетки. Однако очевидно, что расстояние до ближайшей точки решетки представляет собой непрерывную функцию на 24-мерном пространстве, так что прообраз отрезка [0,2k] относительно этой функции, являющийся множеством точек, удовлетворяющих теореме, одновременно замкнут и всю- всюду плотен (поскольку двоично-рациональные точки плотны в К). Это доказывает теорему. Постскриптум. Описанный метод оказался еще более эффек- эффективным при применении к другим решеткам. Примеры можно найти в § 5 гл. 6 и в [Con 36], [Con 37], [Con 43].
Глава 23 Радиус покрытия решетки Лича Дж. Конвей, Р. Паркер и Н. Слоэн Мы исследуем точки в 24-мерном пространстве, которые находятся на максимальном расстоянии от решетки Лича, т. е. «глубокие дыры» в этой решетке. Расстояние от такой точки до решетки Лича равно минимальному расстоянию между точ- точками решетки, деленному на -sji. Имеется 23 неэквивалентных типа глубоких дыр, по одному для каждой из 23 четных уни- модулярных 24-мерных решеток, найденных Нимейером. § 1. Введение Главным результатом этой главы является следующая тео- теорема, подтверждающая гипотезу, выдвинутую Личем вскоре после открытия решетки. Теорема 1. Радиус покрытия решетки Лича равен ее радиусу упаковки, умноженному на л/2. Радиус покрытия R определяется равенством C) гл. 2. Нор- Нортоном [Nor 4] (^предыдущая глава) была получена верхняя оценка R ^ 1.452 ... р (где р — радиус упаковки). В процессе доказательства теоремы 1 мы расклассифицируем все «глубокие дыры» (их определение см. в разд. 1.2 гл. 2) в решетке Лича. Имеется замечательная связь между этими дырами и решет- решетками Нимейера. Решетка Лича представляет собой единствен- единственную 24-мерную четную унимодулярную решетку с минимальной нормой 4 (гл. 12); Нимейер ([Nie2]; § 1 гл. 16) показал, что имеется еще 23 другие 24-мерные четные унимодулярные ре- решетки, минимальная норма которых равна 2. Теорема 2. В решетке Лича существуют 23 неэквивалентные относительно сдвигов на элементы решетки глубокие дыры. Эти дыры находятся во взаимно однозначном соответствии с 23 ре- решетками Нимейера {см. табл. 23.1). План оставшейся части главы следующий. В § 2 с каждой дырой в решетке Лича связывается диаграмма Кокстера — Дын- кина (§ 2 гл. 4). Таким образом возникают два типа диаграмм:
692 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича для одного типа все компоненты представляют собой обычные диаграммы Кокстера — Дынкина, а диаграммы другого типа содержат расширенную диаграмму в качестве подграфа. Дыры первого типа имеют радиус меньше -\]i p, и здесь мы их игно- игнорируем (однако! см. гл. 25), а дыры второго типа имеют радиус не меньше -\J2 p. В § 3—5 мы найдем все дыры второго типа, не налагая никаких ограничений на радиус дыры. Это делается Таблица 23.1. 23 типа «глубоких дыр» в решетке Лича. Здесь h — число Кокстера, а V—число вершин дыры. Отметим, что дыра однозначно определяется компонентой наибольшей размерности КОМПОНЕНТЫ 024 DuEt El А 24 Dh AVE1 AI5D9 />J Ah AuD-,Eb Et h 46 30 30 25 ' 22 18 18 16 14 13 12 12 V 25 26 27 25 26 26 27 26 27 26 27 28 РИС 23.22 23.29 23.30 23.11 23.28 23.19 23.27 23.18 23.26 23.17 23 16 23 31 КОМПОНЕНТЫ a\ d6 Dt Al AtDl At A\D, D% At a! A\l A? h 10 10 9 8 7 6 6 5 4 3 2 V 27 28 27 28 28 29 30 30 32 36 . 48 РИС 23.15 23.25 23.14 23.13 23.12 23 24 23.23 23.7 Th. 11 Th. 10 Th. 8 при помощи систематической классификации всех дыр, диа- диаграммы которых содержат подграфы типа А\, А2, ..., Л24, Dit D5 ?>24, ?б> Е7, ЕЙ. В результате классификации мы полу- получим, что все эти дыры имеют радиус, равный -\J2 p, и доказа- доказательство теоремы 1 будет закончено. Далее, существуют в точности 23 неэквивалентные дыры второго типа, причем их диаграммы Кокстера — Дынкина опи- описывают в точности компоненты Витта 23 решеток Нимейера, что дает доказательство теоремы 2. В работе Кзртиса [Cur 2] дана классификация некоторых подрешеток в решетке Лича (^-решеток, см. § 3). В процессе доказательства теорем 1 и 2 будут найдены все подрешетки решетки Лича, содержащие множество точек с расстояниями, соответствующими расширенным диаграммам Кокстера — Дын- Дынкина. Подрешетки, соответствующие А$, А6, ..., имеют особенно простую структуру, которая описывается Л„-деревом (рис. 23.9); решетки, соответствующие D5, D6, ¦. ¦, описываются Д„-деревом
§ 2. Диаграмма Кокстера—Дынкина дыры 593 (рис. 23.20). Дальнейшие сведения об этих решетках содер- содержатся в § 3—5. Мы стремились сделать изложение в данной главе как можно более сжатым. Однако с учетом дальнейших применений мы даем явные координаты для вершин и центра дыры каж- каждого типа. § 2. Диаграмма Кокстера — Дынкина дыры Решетка Лича будет обозначаться через Л. Норма N{x) = = х-х вектора х равна квадрату его длины, а его тип равен A/2) I\f(x). Мы выбираем масштаб таким образом, что первые четыре оболочки в Л, так называемые короткие векторы (см. гл. 12), состоят из 1 вектора типа 0, 196560 векторов типа 2, 16773120 векторов типа 3 и 398034000 векторов типа 4. Векторы типа 2 могут быть заданы в виде б((±4J, О22), б((±2)8, О16), где ±2 стоят на местах, которые образуют октаду, и их произведение положительно; 6((ZF3)(±1J3), где элементы, сравнимые с 1 по модулю 4, _ занимают места, образующие ^-множество, причем 6= l/V^ ; векторы типа 3 суть б(±4, (±2)8, О15), где ±2 стоят на местах, образующих окта- октаду, и их произведение отрицательно; б((±2I2, О12), где ±2 стоят на местах, образующих до- декаду, и имеют положительное произведе- произведение; б(±5, (itlJ3), где элементы, сравнимые с 1 по модулю 4, стоят на местах, образующих ^-множество; 6((-F3K, (±1J1, где элементы, сравнимые с 1 по модулю 4, стоят на местах, образующих ^-множе- ^-множество. Радиус упаковки Л равен 1. Как и в предыдущей главе, центральную роль играет теорема 28 гл. 10. Мы переформули- переформулируем ее следующим образом. Теорема 3. Каждый вектор из Л сравним по модулю 2Л с коротким вектором. Кроме того, единственными сравнениями по модулю 2Л между короткими векторами являются следую- следующие: любой вектор типа 2 или 3 сравним со своим противопо- противоположным, а векторы типа 4 распадаются на классы мощности
594 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича 48, каждый из которых образован координатным ежом (т. е. множеством из 24 попарно ортогональных пар). Пусть (с, Р)— дыра в Л радиуса R, и пусть vt, ..., vv, ... — вершины Р. Векторы Vi лежат в Л, так что N(vi — »/)=4, 8, 16, ... при 1ф]. С другой стороны, N(v,— Vj) sg: 8, поскольку если N(vt— Vj)~^z 10, то из теоремы 3 вытекает, что средняя точка (vi — v,)/2 является также средней точкой для пары х, ^бЛ, где х — х' — короткий вектор, так что одна из точек х, х' лежит ближе к с, чем vi и Vj. Следовательно, N(vt— »/) = = 4, б или 8. Диаграмма этой дыры строится следующим образом. Каж- Каждому вектору vt соответствует единственная вершина (помечен- (помеченная также Vi). Две вершины vc, Vj (i) не соединены {разъединены), если N(vi — Vj) = 4, (ii) соединены одним ребром, если N(vi — и/)=6, (Ш) соединены двумя ребрами, если N{vi —1»/)=8. Получающийся граф называется диаграммой дыры. В конце главы мы докажем, что эта диаграмма является диаграммой Кокстера — Дынкина или, точнее, что имеет место следующая теорема: Теорема 4. Диаграмма дыры в решетке Лича представляет собой граф, связные компоненты которого принадлежат сле- следующему списку: ап(п>\), dn (rc>4), е6, е7, е8, Л„(«>1)> Dn (rc>4), Е6, Е7, Е8 (см. рис. 23.1). Компоненты, обозначаемые строчными буквами, называются обыкновенными диаграммами Кокстера — Дынкина, все дру- другие — расширенными. (В этой главе термины «обыкновенная диаграмма» и «расширенная диаграмма» относятся всегда к связным графам рис. 23.1.) При изучении дыры (с, Р) полезна следующая конструкция. Мы вкладываем пространство, в котором лежит Л, в R25 так, чтобы Л содержалась в гиперплоскости Н, и выбираем следую- следующим образом точку с' на перпендикуляре к Н, проходящим через точку с. Если R^-^/2, то полагаем с'= с; при R < -д/2 точка с' выбирается так, чтобы ее расстояние до множества вершин Р было равно д/2 (рис. 23.2). Если R < д/2 . то вершины Vi, Vj в диаграмме дыры не со- соединены, соединены одним ребром или двумя ребрами в зави- зависимости от значения скалярного произведения (vi — с', v, — с'), которое может быть равно 0, —1 или —2 соответственно (см. рис. 23.3).
§ 2. Диаграмма Кокстера—Дынкина дыры 595 4), 4) Рис. 23.1. Обычные диаграммы Кокстера—Дынкина ап (п~^ 1), dn (n ее, е7, е8 и расширенные диаграммы Кокстера—Дынкина Ап (n^l), Dn ( Ее, Ei, Es. Последние размечены целыми числами а. Сначала необходимо рассмотреть случай, когда диаграмма не имеет в качестве подграфа расширенной диаграммы. Теорема 5. Все компоненты диаграммы дыры, не допускаю- допускающей вложения в нее расширенной диаграммы, представляют собой обыкновенные диаграммы. Доказательство. Это доказывается при помощи элегантного элементартного комбинаторного рассуждения (данного на с. 195 работы [Сох 20, § 11.5]). Теорема 6. Радиус R дыры, диаграмма которой содержит только обыкновенные компоненты, меньше -\]2 . Доказательство. Такая диаграмма задает систему корней, в которой все корни имеют одинаковую длину [Boul], [Huml]. Выберем фундаментальное множество (базис)
596 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича системы корней, т. е. множество линейно независимых векторов Vi Vv в подходящем евклидовом пространстве S нужной Рис. 23.2. Построение точки с'. длины и имеющих то же распределение расстояний, что и мно- множество {vi}. Значит, множество точек {V,} изометрично {i} V < i О с' Л Q Vi с' J2 »;/ JVj ¦Л- V/ (а) (Ь) (с) Рис. 23.3. Условия на пару вершин диаграммы дыры радиуса R < л/2 , чтобы они (а) не были соединены ребром, (Ь) были соединены одним ребром, (с) были соединены двумя ребрами. Поскольку начало координат в S не представляется в виде ли- линейной комбинации векторов Vi, соответствующая точка с' не лежит в гиперплоскости, содержащей vi. В силу определения с' имеем R < -д/2 » что и завершает доказательство.
§ 2. Диаграмма Кокстера—Дынкина дыры 597 С другой стороны, если Vi, ..., V^—множество фундамен- фундаментальных корней, соответствующее расширенной диаграмме, то YiCtVi = 0 для некоторых положительных целых чисел а, ... .... сц ([Boul], [Cox20, р. 194], [Hum I, p. 194]). Эти числа представлены на рис. 23.1. Если эта диаграмма представляет собой подграф в диаграмме дыры, vi, ..., vu — соответствую- соответствующие вершины и с — центр дыры, то 2 сг (г>г — с) = 0. Таким образом, центр можно найти по формуле /,. A) Предположим, что в решетке Лича Л можно найти точки v^p, ..., vW, для которых взаимные расстояния определяют расширенную диаграмму Ai, причем их центр тяжести с нахо- находится на расстоянии у2 от каждой из них. Следующая тео- теорема, играющая ключевую роль в дальнейшем, позволяет за- заключить, что при определенных условиях с является центром единственной дыры в Л радиуса -^2 . Теорема 7. Предположим, что с е R24 лежит на расстоянии -у/Т от векторов Лича v{P, ..., i^'j; vf> v{fy . ¦ ¦', v\s), ... ..., z>(s), таких, что v(p—c порождают R24 и для любого i=\,.. .,s взаимные расстояния между у\1\ . . ., v^] определяют расширен- расширенную диаграмму Л,. Тогда в А найдется единственная дыра с центром с и радиусом д/2 . вершинами которой служат в точ- точности точки vi{) и компоненты диаграммы которой совпадают с Аи ..., As. В этом случае мы говорим, что дыра имеет тип А, ... Д.. Доказательство. Покажем сначала, что имеется дыра с цент- центром в с и точки v(p совпадают с ее вершинами. Предположим, что геЛ отлично от v(p и N (г — с) ^ 2. Для любого v{p имеем 4-^.N (г — ?<*>) (поскольку оба вектора лежат в Л) = = N(z-c- (vp - с)) < 2 - 2 (г - с) (vp - с) + 2, так что (г - с) -{vf- с) <0. B) Пусть 2{ — проекция г на подпространство в R24, порож- порожденное \vp — с '. j = 1, ..., ц*}. Поскольку vp — с порождают
S98 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича R24, можно записать z— с = (zu ..., z8) и, согласно B), • г (yip — с) = (г — с) (v{p — с) <; 0. Как указано выше, найдутся положительные с{р, для которых 2 СТ (VT — с) = 0. Отсюда *i = 0 для всех /, г = с, что противоречит условию с ф. Л. Аналогичное рассуждение показывает, что любая точка ieR24, лежащая на расстоянии д/2 от всех г/Д совпадает с с. Следовательно, центр дыры и сама дыра единственны. § 3. Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа Ап В этом параграфе мы, не пользуясь никакими условиями на радиус дыры, классифицируем при помощи теоремы 7 все дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Ап- Теорема 8. Любая дыра, диаграмма которой содержит под- подграф А\, имеет тип Л24. Существует единственная дыра этого типа. Мы выражаем эти два утверждения в виде формулы Доказательство. Поскольку группа Со„, автоморфизмов ре- решетки Л транзитивна на парах векторов и, неЛ, для которых N (и — v) = 8, имеется по существу единственный способ вы- выбора вершин первой диаграммы А\. Выбирая начало координат в центре диаграммы, можно считать, что эти вершины суть « = (^2", 0, ..., 0), о = (—У2". 0, ..., 0). Начало координат лежит в центре 23 других диаграмм типа А\ с вершинами (О, .. ., 0, ± л1~2', 0, . . ., 0)> Поскольку эти 48 векторов по- порождают R24, из теоремы 7 вытекает нужный результат. При представлении в обычной системе координат центр дыры этого типа имеет вид с = б D, 0, ..., 0), где б = 1/д/8 . Следуя Кэртису [Сиг 2], определим Э'-решетку как подре- шетку в Л, для которой каждый вектор из Л сравним по мо- модулю 2Л с вектором из L типа 0, 2 или 3. ^-решетка типа 2'3' содержит 2/ векторов типа 2 и 2/ векторов типа 3. Теорема 9 ([Сиг 2]). Имеется 12 типов 9*-решеток, и каж- каждый из них входит в Л единственным (с точностью до изомор- изоморфизма) образом. Теорема 10. А2=>А[2. Доказательство. Рассмотрим диаграмму дыры, содержащую подграф Л2 с вершинами и, v, w. Тогда векторы v — и, w — и
§ 3. Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа Ап 599 порождают ^-решетку типа З3. По предыдущей теореме можно взять и = 0, г; = 6E, I23), w = 6E, I11, —I12) с центром с = = 6A0/3, B/3)п, О12). Тогда с является центром 11 других диаграмм типа А2, имеющих вершины вида и' = 6 D, 4, О10, О6, О6), V' = бC, -1, I10, 16, -I6) и,'= 6C, -1, I10, -I6, 16) и т. д. Они переставляются элементом порядка 11, оставляющим на месте и, v, w. Теорема 7 завершает доказательство. Теорема 11. Л3=^Л». Доказательство. Мы выберем одну из вершин А% в качестве начала координат, обозначим остальные через и, v, w и вы- вычислим следующие скалярные произведения: и V W U+ V — W и 6 2 4 4 V 2 4 2 4 w 4 2 6 0 и + v — w 4 4 0 8 Поскольку вектор и-j-v — и> имеет тип 4, по теореме 3 он принадлежит координатному ежу, и мы можем предполагать, что u-\-v—w = 6(8, О23) и « = бD, ...). Из списка векторов типа 3, данного в начале § 2, получаем, что и = 8D, (±2)8, О15), где 2 находятся на местах, образующих октаду, причем число знаков «минус» нечетно. Далее будет удобно записывать век- векторы из R24 в MOG (см. гл. 11) и опускать множитель б. Можно предполагать без потери общности, что —2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Стабилизатор начала координат в группе Сох — группа Со0, а наибольшая подгруппа в Соо, оставляющая на месте и, есть 24А7 (А„ обозначает знакопеременную группу, a Sn — симмет- симметрическую группу). Для того чтобы найти v, воспользуемся тем, что v — вектор типа 2, его скалярное произведение с и равно 2
«00 Гл 23. Радиус покрытия решетки Лича и что группа 24-А7 действует на последних 15 координатах транзитивно, так что 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 и тогда 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 Мы получаем, что имеется по существу единственная диа- диаграмма типа А3, и можем предполагать, что ее вершины суть О, и, v, w, описанные выше. Центром является с = J 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 Для второй части доказательства заметим, что с является центром семи других Л3, как показано на рис. 23.4, которые 0 2 2 2 -2 О О О 2 О О О О 2 г г 2 0 0 О г о о о 2 0 О 0 2 О 0 0 2 0 О О 2 О О О 2 О О О -2 О О О -2 0 О О А3 0 г 2 2 0 2 2 2 2 0 О 0 2 0 О О 2 О О О 2 О О 0 2 О О О -? О О О -2 О О О г о о о -2 О О О Рис. 23.4. Одна из семи друшх диаграмм Лз, использованных в доказатель- доказательстве теоремы 11 основаны на октадах, имеющих с левой октадой MOG четыре общие позиции. (Другие А3 представляют собой образы пред- представленной на рис. 23.4 относительно степеней перестановки а, заданной ниже на рис. 23.8.) Теорема 7 завершает доказа- доказательство.
§ 3. Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа А„ 601 (а) oooo oooo oooo oooo 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 «ooo wooo 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 0 2 0 OOON OOON 1 1 -3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (Ь) 0 0 2 2 0 0 0 0 NN ON О О N О г г 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 0 г о OOON OOON OOON OOON 2 0 г о 0 2 0 2 NNOO OONN 0 0 0 0 0 0 0 0 23.5. Некоторые вершины дыры типа А\. Теорема 12. A4=>A\. Доказательство. Обозначим вершины 0, и, v, w, x. Изучение скалярных произведений (как в предыдущем доказательстве) позволяет заключить, что и, v, w, x порождают ^-решетку типа 25310, которая единственна по теореме 9. Следовательно, можно предполагать, что вершины задаются, как на рис. 23.5а, а центр имеет вид с ==A/5) 4 4 8 4 4 4 4 4 2 6 2 2 6 2 6 2 6 6 2 2 2 2 2 2
602 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича Он является также центром для пяти других Л4, а именно диаграммы, представленной на рис. 23.5Ь, и ее образов отно- относительно следующего элемента пятого порядка в Coq\ «3 a2 . во a4 a, *o с* C\ Co do йъ d2 C% C3 64 6i <^4 62 63 rf, (Этот элемент имеет четыре неподвижные точки, обозначен- обозначенные точками, и четыре цикла (а0, . .., а4), (Ьо, .. ., bt), с0, . .. ..., a), (d0, ... , di).) Остальные Ап можно рассмотреть при помощи единого ме- метода. Рассмотрим диаграмму дыры, содержащую Ап, где п Рис. 23.6. Разметка для вершин диаграммы Ап. велико, причем пусть вершины Л„ обозначены, как на рис. 23.6, 1»о = 0. Аналогично теореме 11 изучение скалярного произве- произведения дает, что г>1+г>2 — г>4 имеет тип 4 и может быть выбран в виде б(8, О23). Действуя, как выше, находим, что v\, ..., v5 можно выбрать, как представлено на рис. 23.7. Подгруппа в Соо, оставляющая неподвижными vu ..., va, совпадает с PSL2G), порожденной перестановками a, (J, у, представленными на рис. 23.8. Отсюда следует, что любое vm на рис. 23.6 при m Г> 6 имеет вид 3 (I4, -I3) —1 (I12, -I3) - ИМ, где i, j, k — позиции, занятые разметкой: -1 в левой октаде со следующей оо 0 3 2 5 1 6 4
§ 3. Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа А„ 60S Далее, N(v5— [ijk]) = 6 тогда и только тогда, когда [ijk] сов- совпадает с одной из троек [124], [235], [346], [450], [561], [602], О О 0 0 0 О О О О О О О О О О О О О О О О О О О 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 О О О О О О О -4 О О О О О О О О О О О О О О О 4 О О О О О О О О О О О О О О О 4 О О О О О О О 1 1 1 1 1 1 1 1 -3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рис, 23.7. Начало Л„-дерева. [013] (соответствующих прямым на проективной плоскости порядка 2 с обычной разметкой). Кроме того, N {[ijk] — [rst]) = = 6 тогда и только тогда, когда {i,j,k}f\{r,s,t}==0. ИНН )! 1Ж л fi У Рис. 23.8. Образующие для PSL2 G). Эти замечания позволяют легко найти последующие vm. Без потери общности можно взять 3 1 1 1 1 —1 —1 —1 1 1 1 1 -1 1 1 1 —1 1 1 1 1 1 1 1 v7 = [356] = 3 —1 1 I 1 1 1 1 —1 — 1 —1 — 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
604 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича °11 »12 »13 U,4 5 »<6 "G 8 »» 0 1 »22 3 4 [125] С [046] [135] [246] [0,5] [236]^ [145]< [O23]< [146] < [025] < [136]( [245]< [124] [356] [012] [345] HU<; \,* г"^ ^[256] L 4 [134] [236]< >j>p23] i[025][l45]- l^"elll[245]I I[023] [,46), ^ \>[234] .6 4[145][O25]' **=#«* [28€j[i34l i [015] [256], b [234]CT <5[24б] [ОЗ4]' L {[<35] [125] Ь >3[i34J i^»46] [046]i \ 0 [123] [123] "m vi\ ¦we9 [234] r^ [015]X 1 ^^j } } } I O'Z2 =U*B) ( 15 D»]f < |36] 2< ( /> [136] Cf ( ( '[135] < АП-ДЕРЕВО ?[246] [°25]JL [135][134]<^ ^-< f.[046] [256]<J < i [125] [034] 6 J 5[O34][125]6 »,?C1'O<,< [256] [046]^ J[|34][135]6>D[123] . i [025] [246] A i [146] [015] A > S [огз] [236] j [1»]еГ. f [145] [145] i Ь=г4 w?,(slO=^t)[023| ' J>[146] [023] }[1453 }[236] \m i[246] }[135] i[046] 4[B5] i[034] 0Г256] Рис. 23.9. Л„-дерево. х>8 = [012] и г>9 = [345]. Единственный элемент из Со0, остав- оставляющий на месте V\, ..., v9, — единица, и оставшиеся vm не являются единственными (см. рис. 23.9). Суммируем эти ре- результаты в виде теоремы: Теорема 13. Все возможности для вершин v0, ..., ^л-i диа- диаграммы Ап представлены на Ап-дереве на рис. 23.9. До сих пор мы имели дело лишь с п из п + 1 вершин диа- диаграммы типа Ап. Теперь необходимо обратиться к рассмотрению последней вершины v*n. Для Л5, ..., А9 имеется единственный
§ 3. Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа Ап 605 выбор »*, а именно 5 1 1 1 —1 — 1 — 1 1 —1 — 1 — 1 — 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 0 0 0 0 0 0 0 -2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 —2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 9 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 Vg = 4 0 0 0 0 0 0 0 —2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 Для Л„ (л ^ 10) имеются два возможных выбора для v'n: 4 0 0 0 0 0 0 0 —2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 -2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 которые также представлены на рис. 23.9. Рассмотрение этого дерева показывает, что доказана следующая теорема (утверж- (утверждение относительно дыр в Аи ..., Л4 доказано выше).
606 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича Теорема 14. Для п — 1, ..., 9, 11, 12 имеется единственная диаграмма типа Ап в Л. Имеется не более двух диаграмм типа A is, не более трех — типа Ап и не более пяти — типа Л24. Диа- Диаграмм типа Ап при п= 10, 13, 14, 16, 18 23 не суще- существует. Остается рассмотреть дыры, содержащие эти диаграммы. Мы откладываем рассмотрение Л5 до теоремы 18. Теорема 15. Дз^Аз (Рыс- 23-10). А^АЩ (рис. 23.11), А&=>А\ (рис. 23.12), Ag=>A\Db (рис. 23.13), Ли =>- AnD7E6 (рис. 23.14) А12^А\2 (рис. 23.15). Доказательство (Л|2=^Л^2). Единственная диаграмма типа Л12, полученная выше, представлена на рис. 23.15а; ее центр; с=A/13) Для того чтобы найти А\2, не пересекающуюся с этой диа- диаграммой, необходимо рассмотреть векторы [ijk], которые не являются прямыми и пересекают тройки [i'j'k'], фигурирующие в первой диаграмме, в одной или двух позициях. Результат представлен на рис. 23.15Ь. Теорема 7 завершает доказатель- доказательство. Аналогичные рассуждения применимы к другим случаям теоремы, в которых получаются следующие центры диаграмм; AU A/7) 39 3 1 3 3 1 1 1 -13 5 7 7 5 9 9 7 13 7 И 7 5 9 7 9 21 1 1 1 1 1 1 1 —7 5 5 5 5 5 5 5 7 3 3 3 3 3 3 3 A/4) 12 1 1 1 1 0 0 0 —4 3 2 2 2 3 2 2 4 3 2 2 2 3 2 2
§ 3. Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа Ап А* (Ь) L[oi2] — [З4б] — [01б]— [234]— [О5б] — [123] — [45б]- L [014 ] — [23б] — [i 45] — [О3б] — [ 125] — [034] — [25б]-I L [025] — [ 13б] — [024] — [ 135] — [24б] — [035] — [ 14б]-J Рис. 23.10. Вершины дыры типа А§. (a) L vQ — «, _ v2 - v3 - «4 _ i-6 -[124]- »? -J (b) L[012]—[45б]-[|2з]-[04б]-[|25]—[034]-[12б]-[з45]-1 [он] [234] [24 5] [134] [23б]-[01б] [13б]—[02б] [145] [24б] [024] [Нб] Рис. 23.11. Дыра типа (а1Г о0 о, к2 — ю3 — и4 — в5 — [124]-[35б] — о„ F) L[OI5] [236] [L5] [О23] [45б] [123] [046] [l35] [24б]-' L[0F] [245] [136] [025] [134] [256] [034] [12б] [345]-' Рис. 23.12. Дыра типа А\.
608 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича (а) L v0 _ Ul _ vz — и, — V4 — u5 —[124]—[356]—[012]— «I (b)L[015] [234] [016] [245] [13б] [025] [14б] [023] [145] [236]-" [126] [123] [034]—[125]—[046] [256] [135] Рис. 23.13. Дыра типа A\D§, единственная дыра, содержащая Z>6. L «0 и, v2 |>з u4 v5 [124] [356] [012] [345] [12б] *\ -» (Ы [023] Ы Е6 [245]-[13б]-[025]-[134]-[25б] [234]^ [123] [015]-[24б]-[135]-[04б] - [236] [125] Рис. 23.14. Дыра типа AnD7Ee (a) '-»o "i  »i "a »5 [124] [356] [012] [345] [016] [245] z2 J M L[015] [236] [145] [023] [146] [025] [i34] [256] [034] [125] [046] [i35] [246] J Рис. 23.15. Дыра типа А212.
§ 3. Дыры с диаграммами, содержащими подграф типа Ап 609 (а) 0 I I ~[145]-[23б]-[015]-[234]-[01б]-[з45]-[012] [135] 5D9 [1З6] [046]-[i25]-[034J-[256]-[i34]-[025] [123] V[146] Рис. 23.16. Дыра типа AkD9. — »2 -  - " (*) 3 -  -  ~ [124]-[35б]-[О12] t 35]-[24б]-[015]-[234]-[01б]-[345} [136] А^ Е7 ]-?>2з]-[14б]-[о 25J-[134]-[г-5б]- [034] Рис. 23.17. Дыра типа АпЕ7. J3. All {1/9) 27 1 1 1 3 1 1 1 -9 5 5 5 3 5 5 5 9 7 7 7 3 5 5 5 A/5) 15 1 1 1 1 0 0 1 —- о 3 2 2 2 3 4 3 5 3 3 3 2 3 3 4 18 1 1 1 2 0 0 1 —6 3 3 3 2 4 4 3 6 3 4 4 3 5 4 3 AnD7E6: A/6) Теорема 16. Любая диаграмма типа А\Ь не пересекается с единственной D9, а любая диаграмма типа Аи — с единствен- единственной Ei (примеры представлены на рис. 23.16 и 23.17).
610 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича Доказательство. Утверждение было проверено для обеих диаграмм типа Ai5 и трех диаграмм типа Ai7, фигурирующих в Лп-дереве. (Ниже мы увидим, что имеется единственная дыра каждого из этих типов.) Центры диаграмм, представленных на рисунках, суть A/8) 24 1 1 2 2 1 0 1 —8 4 4 4 3 7 6 4 8 4 5 5 3 5 5 5 27 1 2 2 2 1 0 1 -9 4 5 4 3 7 6 6 9 4 7 6 4 6 5 5 AltE,: A/9) § 4. Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Dn Диаграммы, содержащие подграф типа Dn, можно рассмот- рассмотреть по аналогии с Ап. Для этого разметим позиции в MOG, со 0 1 4 2 3 Т п ш со 0 1 3 2 4 со 0 1 2 3 4 00 0 со 4 0 3 1 2 со 1 0 2 3 4 со 2 0 4 1 3 со 3 0 -1 2 4 со 2 0 1 3 4 со 3 0 4 1 2 со 4 0 2 1 3 со 1 0 3 2 4 со 3 0 2 1 4 СО 2 0 3 1 4 1 4 со \г 0 4 2 3 со 4 0 1 2 3 3 2 Рис. 23.18. Разметка позиций в M0G, основанная на овале на плоскости порядка 4. как представлено на рис. 23.18. Имеются три выделенные по- позиции I, II, III, а оставшиеся позиции (их 21) отождествляются с проективной плоскостью порядка 4, как в § 11 гл. 11. Выбе- Выберем в этой плоскости овал С, состоящий из точек {оо, О, 1, 2, 3, 4}, и обозначим оставшиеся пятнадцать точек при помощи синтем (используя термин Сильвестра [Syll]) типа ooO.14.23.
§ 4. Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Dn 611 Среди 21 прямой на плоскости 15 пересекают овал в двух точ- точках, и любая такая прямая отмечается дуадой этих двух точек. Например, дуада 0 оо пересекает овал в оо и 0 и содержит также следующие точки: оо 0.12.34, оо 0.13.24, оо 0.14.23. Остальные шесть прямых суть оси С и не пересекаются с овалом (см. рис. 23.19). Они помечаются тоталами, причем тотал a\bcdef является сокращенным обозначением для множества из пяти синтем ad.ce.bf, ae.bc.df, af.be.cd, ab.cf.de, ac.bd.ef, соот- со|01234 ю|01324 со|О1423 ~ • 1 • 1 • • • со|О1243 • 3-1 : • * • • • '•I • • со]О1342 • • • • I С0|01432 t Рис. 23.19. Шесть осей овала С. ветствующих точкам на оси. Вершины диаграммы типа Dn включают следующие векторы: 0, нулевой вектор; [Р], где Р — точка на плоскости или символ I, II, III; [P] имеет —3 в позиции Р и 1 во всех других позициях; [Р] имеет 5 в позиции Р и 1 во всех остальных позициях; где L — прямая на плоскости, имеет 2 в позициях, со- соответствующих пяти точкам этой прямой, и в позициях I, II, III; во всех остальных позициях стоят нули. ш, 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0
612 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 , a 0 0 2 2 «и 0 0 2 2 0 0 2 2 Ребра в диаграммах легко находятся при помощи отноше- отношений инцидентности на плоскости. Например, N ([Р], [L]) = 6 тогда и только тогда, когда Р лежит на L, N([P], [L]) = 6 тогда и только тогда, когда Р не лежит на L, N([P], [С]) = 6 тогда и только тогда, когда Р лежит на С, N ([L], [С]) = 6 тогда и только тогда, когда L — ось С. Рассуждения, аналогичные рассуждениям, использованным в предыдущем параграфе, позволяют доказать следующие теоремы. Теорема 17. Все возможности для диаграммы типа ?)„ пред- представлены на Dn-дереве на рис. 23.20. Имеется не более двух различных диаграмм типа DA и ?>б, диаграммы типа D5, D7, D&, Ds, Dl0, D12, Dl6 и D2i единственны, а диаграмм типа Dn при n = 11, 13, 14, 15, 17, ..., 23 не существует. Теорема 18. (рис. 23.21) или Л<?>4 (рыс. 23.22), Д6^А 07** А D9=> А\ Э =>¦?) 1 (рис. 1 (рис sA>, [0?| (рис. 12 (pUC. 16?8 (Р«с. 23.23) или 23.24), 23.25), 23.26), 23.27), Нет необходимости изображать диаграммы дыр типа л^, Л|О6, AUD7E6 и ^15D9, поскольку они уже были изучены в § 3. Диаграмма типа Ъ2\ представляет собой основной ствол Dn-дерева на рис. 23.20.
§ 4. Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Dn 613 Dn-AEPEBO [e1.04.23] [«0304.12] (D24> Рис. 23.20. Л,-дерево. Центры дыр суть \: A/3) 2 2 4 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A/6) 5 3 9 3 9 3 9 3 5 3 5 3 3 5 3 5 3 3 3 3 5 5 5 5
A/5) 3 3 7 3 7 3 7 3 со со со со со со со со 3 3 3 3 5 5 5 5 D%. A/7) 4 10 10 10 6 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 6 4 4 6 6 D,0E27: A/9) 5 7 13 7 13 5 13 9 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 7 9 7 D]2: A/11) 6 16 16 16 8 8 6 12 6 6 6 6 6 6 6 6 8 6 10 10 6 6 10 8 DltEs: A/15) 8 22 22 22 12 10 8 16 10 8 8 8 8 8 8 8 10 8 14 14 8 8 12 22 A/23) 12 34 34 34 18 16 12 24 14 12 12 12 12 12 12 12 16 12 20 22 12 14 20 18
(a) [Щ 01 ? о i о о- [fi] И [002 04.13] [в 0.12 34]|^ш0 [со 013.24] [со 0.14 23] | [со 104 23] [001.02.3 [со 103 24] И 9[4] соЗ.04.12] [[«4.03.12] [e 2.0134] [со 2.03.14] [со 3.02.14] [со 4.02.13] Рис. 23.21. Дыра типа D\, единственная дыра, содержащая D°. 5 4 (а) "-о 0 Й (ь) [со 10123 4] м [24] [со2.О4.1з] [соО13.24] [соЗ 01.24] [со 101324] [со 2 И [< и 01.34] [со1 el] [соЗ [34] 04 .02 [12] [со012.34] [соЗО412] 23] [со4 01.23] [23] [.4] 14] [со2 03.14] [02] [14] [03] Рис. 23.22. Дыра типа D^D4, единственная дыра, содержащая D§.
616 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича & [Й [ft] [со] <Ь) [со104.23] [<Е2 0314] 5] [003.02.14] 13] [сО1.О3.24] [ооЗ 0412] [с01.02.34] г\ [oo0.12.34] / , [12Г> ^ " о J <Т34] [С04 02.13] [соЗО124] [002 01 34J Рис. 23.23. Дыра типа О?, единственная дыра, содержащая D". (а) 0] / [Ж] [to2.O1.34J D [с] [24] fcoo.14.23] -/«О] [«0.12.34] [ffl2.03.14] [«4.03.12] [«1.02.34] [«3 02 14] [«1 04.2з1 [13] Рис. 23.24. Дыра типа D\. [«3.04.12]
§ 4. Дыры., диаграммы которых содержат подграф типа Dn 617 M D10E? [со 2.03.14] [сОО.14.23] [с] [.о] [ft] [14] [сОЗ.02.14] 1[о04.01.2з] [сог.01.34] [@1.02 34] 4 щ ¦ j^j ° [ц ° 1[оо1 04.23] [с02.04.1з] [oo4.02.13J " м ' м ° И ° Рис. 23.25. Дыра типа DlQEj. [«1.03.241 [«2.01.34] [со1.О2.34] [<04.02.13] [<Ю2.О4.13] [соз.01.24] [m3.04.12] Рис. 23.26. Дыра типа D^
618 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича (а) [<о1.04.23] [а>1.02.34] _ [а>4,02.1з] _ [а>2.04.13] | [»3.04.12] [02] [13] [04] [12] Рис. 23.27. Дыра типа DieEs. (a) ?>i6 (из Д,-дерева). (b) Es. Теорема 19. Существует единственная диаграмма А\Ъ и един- единственная дыра типа Ai5Dg. Доказательство. Dg единственна (теорема 17) и не пересе- пересекается с Л is (теорема 18), следовательно, по теореме 7 дыра единственна. По теореме 16 любая А15 не пересекается с D9, так что Л is единственна. § 5. Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Еп Теорема 20. В Л имеются не более двух диаграмм типа Е8. Доказательство. Из Л„-дерева видно, что можно предпола- предполагать, что вершины, лежащие на горизонтальном участке Es, суть v0, v\, ..., V5, [124], [356]. Оставшаяся вершина имеет вид [ijk], и она должна быть прямой, поскольку соединена с v5. Подгруппа в Соо, оставляющая на месте v0, ..., [356], изо- изоморфна S3 и порождена элементами р и у (см. рис. 23.8), она имеет три орбиты на множестве прямых, представителями кото- которых служат [045], [346] и [124]. Поскольку [124] уже фигу- фигурирует в диаграмме, остаются только две возможности. Следующая теорема, доказательство которой следует стан- стандартной схеме, показывает, что обе эти возможности реали- реализуются.
§ 5. Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Еп 619 "о   "з   [124] [356] [134] [25б][034] [126] [345] [о1б] [245] [13б] [146] [246] [135] [04б] [123] [45б] [O23][i45] [23б]' Рис. 23.28. Дыра типа Е\. •В (а) 3  [126] [345][012] [346][125] [24б][135] [024] [156] [234] [145] [23б] [014] [235][14б] Рис. 23.29. Дыра типа Е*.
620 Гл. 23. Радиус покрытия решетки Лича Теорема 21. ?8 =>- Е\ {рис. 23.28) Di6?8. 45 1 4 1 6 2 2 -1 -15 8 8 8 6 7 10 10 15 10 10 10 6 7 10 10 Последняя дыра уже рассматривалась в § 4. Центр дыры типа Е\ — это С = A/15) Сходные рассуждения дают теоремы 22 и 24. Теорема 22. Для диаграммы типа Е7 в Л имеются две воз- возможности: E7^DWE27 или А17ЕГ Теорема 23. В Л имеются единственная диаграмма типа А1Т и единственная дыра типа АпЕ7. Доказательство. Каждая Аи не пересекается с Е7 (теоре- (теорема 16), и любая Dio не пересекается с двумя Е7 (теорема 18). По теореме 22 других возможностей для ?7 нет, поэтому диа- диаграмма типа А\7 единственна. Теорема 24. Для диаграммы типа Е6 в А имеются две воз- возможности: Ев=>Е* (рис. 23.29) или AnD7E6. Вектор 2з и центр дыры типа Е\ имеют следующий вид: 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 18 1 1 1 3 0 0 0 —6 5 5 5 4 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 с =A/6) Теперь остались нерассмотренными только дыры типа Л24- Теорема 25. Имеется единственная дыра типа Ац.
§ 5. Дыры, диаграммы которых содержат подграф типа Еп 621 Доказательство. По теореме 14 Л содержит ие более пяти неэквивалентных диаграмм типа А2\. Мы проверим, что все эти диаграммы соответствуют единственному типу дыры. Пусть /о = %, /,=», /21=1146], f22 = [023], f» = [145], f2* = = Z\ — вершины четвертой диаграммы типа Л24 в Л„-дереве на рис. 23.9; положим 24 = 0, 1, .... 24, 75 3 5 5 7 1 1 3 —25 13 13 11 9 17 15 15 25 13 23 15 11 17 13 15 где индексы понимаются как вычеты по модулю 25 (до конца доказательства). Центр этой диаграммы: с = A/25) Нетрудно проверить, что gr е Л — с для г — 0, 5, 10, 15, 20, но не для остальных г. (В действительности Л порождена век- векторами {f, — fo,gsr — fo}. Это одна из 23 «дырявых конструк- конструкций» решетки Лича — см. следующую главу.) Таким образом, ни один элемент из Сооо не может переводить f0 в ft, fi в ft+i, ... ..., /24 в /24+* для t=\, 2, 3, 4, так что существует пять не- неэквивалентных относительно Сох диаграмм типа Л24- Таким образом, все диаграммы рассмотрены, что и завершает дока- доказательство. Для каждой из решеток Нимейера (см. табл. 23.1) мы на- нашли единственную дыру, что доказывает теоремы 2 и 4. По- Поскольку раднус этих дыр равен ^2, доказательство теоремы также завершено.
Глава 24 Двадцать три конструкции решетки Лича Дж. Конвей, Дж. Слоэн В предыдущей главе была дана классификация точек на максимальном расстоянии от решетки Лича («глубоких дыр» в этой решетке) и было показано, что имеется 23 класса таких дыр, причем множество этих классов находится во взаимно однозначном соответствии с 23 решетками Нимейера в размер- размерности 24. Здесь мы приводим 23 конструкции решетки Лича, по одной для каждого класса дыр или решеток Нимейера. Две из этих конструкций совпадают с обычными конструкциями решетки Лича при помощи кода Голея над F2 или F3. § 1. «Дырявая конструкция» Для каждой из 23 решеток Нимейера или классов глубоких дыр имеется «дырявая конструкция» решетки Лича. В каждом случае будет определено множество фундаментальных векто- векторов (ft) и множество векторов склейки (gw)- При этом решетка Нимейера представляет собой множество комбинаций с целыми коэффициентами вида + T,nwgw при ?«ш = 0> A) а множество комбинаций с целыми коэффициентами вида ? mtfг + Z nwgw при ?т* + Е«ш = 0 B) представляет собой экземпляр решетки Лича. Начнем с определения фундаментальных векторов ft и век- векторов склейки gx для всех решеток корней, как представлено на рис. 24.1. Векторы fi образуют расширенное множество фундаменталь- фундаментальных корней (базис) решетки (ср. рис. 4.5—4.9 гл. 4) и задаются следующими требованиями: (fit fj)= — (число отрезков, соединяющих /,- и ft в диаграмме Кокстера — Дынкина) для i Ф /.
§ 1. «Дырявая конструкция» 623 Каждый вектор склейки gx связан с одним из векторов /,¦ и удовлетворяет следующим условиям: (gx, f l) = X ~~ ДЛЯ ЭТ0Г0 (gx, f/) = -jT Для Других fjy где h — число Кокстера (§ 2 гл. 4). Теперь мы проиллюстри- проиллюстрируем на примерах способ построения множества фундаменталь- фундаментальных векторов и векторов склейки для соответствующей дыря- дырявой конструкции. Пример 1. Для случая Л?2 фундаментальные векторы суть (f \ fA fA fA fB fB fB \l i) '0' '1' •••» '12' '0> '1» •••' '12 (множества фундаментальных корней двух решеток типа в ортогональных 12-мерных пространствах Л и В), а векторы склейки суть (ff«) ?оД + ёо> 8* + в!. Si +Sw ffw + Si- Множество индексов {@, 0), A, 5), B, 10), C, 2), D, 7), E, 12), F, 4), G, 9), (8, 1), (9, 6), A0, 11), A1,3), A2, 8)} образует подгруппу в С13ХС13 (прямое произведение двух цик- циклических групп), называемую кодом склейки. Для каждого слова w = ху из кода склейки имеется вектор склейки ?ш = = аА -4- дв Мы утверждаем, что решетка Нимейера типа Л?2 состоит из всех целочисленных комбинаций фундаментальных векторов и векторов склейки, для которых сумма коэффициентов при векторах склейки равна нулю; а комбинации, для которых сумма всех коэффициентов равна нулю, образуют решетку Лича. Это конструкция описывается диаграммой дыры на рис. 24.2а (определение которой будет дано ниже). Пример 2. Для случая AnD7E6 имеются компоненты трех различных типов и фундаментальные векторы суть (f \ fA tA tA (В fB fB fC fC fC \li) 10' /p •¦•> /12> /0' M> •••» /7' /0> M» *••> »6' где верхний индекс указывает, что фундаментальные векторы выбираются из попарно ортогональных пространств А, В, С.
624 Гл. 24. Двадцать три конструкции решетки Лича Векторы склейки в этом случае суть ( п \ еА -4_ gB -i- gc аА 4- ав 4- ас аА + ев + рс ра-\- р соответствующие словам w = (x, y, z) кода склейки {(О, 0, 0), A, 1, 1), B, 2, 2), C, 3, 0), D, 0, 1), E, 1, 2), F, 2, 0), G, 3, 1), (8, 0, 2), (9, 1, 0), A0, 2, 1), A1, 3, 2)}. Код склейки снова является группой, причем сложение по координатам х, у, z и производится по модулям 12, 4 и 3 соот- соответственно. Диаграмма дыры для этой конструкции представ- представлена на рис. 24.2Ь. Остальные конструкции полностью аналогичны описанным. В каждом случае множество фундаментальных векторов /,- по- получается объединением расширенных множеств фундаменталь- фундаментальных корней fA, ff, ... для соответствующих решеток корней в ортогональных пространствах, а векторы склейки суть век- векторы вида для которых слова w = xyz... лежат в подходящем коде склейки. Во всех случаях код склейки представляет собой аддитивную группу, образующие которой представлены в табл. 16.1. Символы кода склейки, соответствующего компо- компоненте типа Ап, рассматриваются по модулю п-\-\, символы для D2n+\, E6, Е7 или Е8 должны рассматриваться по модулям 4, 3, 2 и 1 соответственно, а для D2n они принимают значения в группе из четырех элементов {0, 1, 2, 3}, для которых 1 + 1 = = 2 + 2 = 3 + 3 = 0, 1+2 = 3, 2 + 3=1, 3+1 = 2. Для доказательства корректности описанных конструкций заметим, что конструкция A) типичной решетки Нимейера сов- совпадает с данной в гл. 16. Тот факт, что B) всегда дает решетку Лича, поражает нас до сих пор, и единственное известное нам доказательство состоит в переборе возможных случаев. Для каждой из 23 решеток Нимейера в предыдущей главе дается явное описание множества векторов решетки Лича с тем же набором попарных расстояний, что у /;. Для каждой компо- компоненты легко находится набор векторов склейки. Вектор hg0 — вектор Вейля (р в обозначениях Бурбаки [Boul]), являю- являющийся полусуммой положительных корней. При помощи пря- прямых вычислений удается показать, что при подходящей раз- разметке векторы, соответствующие нашим gw, действительно ле- лежат в решетке Лича; это дает необходимый результат. Было
A,,, h = п + 1 +0... 0-+0... 00- + 0 0- + 0 ...00- + /. /2 /3 /„-, /„ с Е6, Л= 12 o='ГЧ?.- -000000 + ¦ 00-+0000 0000 - + 00 ) - * 00000 000 - + 000 00000- +0 D,,, Л = 2n -2 -!), -('(-2),..., -1,0) «2 = ft @,1,2 и-2,-(и-1 0- + 0... 000- + 0 0 — 00-+0... /з - + + 00... ...00 /о /„ j=A-'(-(n -1), ~(« -2) -1,0) go= й"!@,1,2,...,« -2, + (л -I))' E7, ft = 18 -+000000 00-+0000 0000-+00 000000- + О —о —О о о о О 0 - + 0000Q 000 — + 000 00000 - + 0 Е8,А = 30 -) О - + 00000 000 - + 000 | 00000 - + 0 ( -+000000 00-+ 0000 0000—+00 000000 -н ^.go = h-'(S, 6,7,8,9, 10, 11, 12) Рис. 24.1. Фундаментальные векторы /,-, векторы склейки gx и числа Кокстера Л для решеток корней А„ (и ^ 4), Dn Ее, ?7 и Z?s (знаки + и — означают +1 и —1 соответственно).
626 Гл. 24. Двадцать три конструкции решетки Лица бы весьма желательно иметь более концептуальное доказа- доказательство '). Для каждой четной унимодулярной решетки A), полученной склейкой решеток корней, имеется «дырявая конструкция», ана- аналогичная B), однако она дает четную унимодулярную решетку только в том случае, когда все решетки корней, являющиеся компонентами A), имеют одно и то же число Кокстера h и 24/г делит (h-\-l)(n — 24). Замечательно, что решетки Нимейера описываются именно этим требованием (гл. 18). Число Кокстера h обладает следующим свойством. Для каж- каждой решетки корней найдутся положительные целые с,, такие, что Y*cifi = ® (см- Рис- 23.1). На рис. 24.1 каждый вектор gx связан с вектором /,-, для которого с,- = 1 (специальная вер- вершина— см. § 2 гл. 4). Сумма всех с,- для данной компоненты равна h. Далее, для любого целого k множество векторов 2 nifi c 2 ni— & совпадает с множеством векторов ? пг/(- с J] пг = k (mod h). Это замечание показывает, что равенства A) и B) можно заменить сравнениями по модулю h. Следова- Следовательно, пересечение решетки Нимейера с решеткой Лича, за- задаваемое A) и B), имеет индекс h в каждой из них. § 2. Окрестности глубокой дыры Результаты этой и предыдущей главы позволяют дать опре- определение окрестности глубокой дыры в решетке Лича. Если начало координат выбрано в центре дыры, то решетка Лича состоит из векторов вида ? m{f i + Е nwgw с Е»г< + Е«ш = 1, (или, что эквивалентно, Хотг + 2]"ш=1 по модулю К), и f,- суть в точности ближайшие к дыре точки решетки. Радиус дыры равен (f?, fi)ll2=-\j2. Векторы^ лежат чуть дальше, (ga,.ga)) = = 2 + 2/г-1. При помощи нашего описания легко проверить, что f,- нахо- находится на расстоянии V4 или Уб от ft в соответствии с усло- условиями (fitfi) = O или —1, т. е. в соответствии с тем, соединены или нет fi и f/ в диаграмме. Вектор gxyz... находится на расстоя- расстоянии Уб от f*, fy, f^, ... и на расстоянии aJa от всех дру- других fi. Таким образом, мы можем указать, что расстояние между ft и f,- или между fi и gw равно Уб, соединяя их в диаграмме ') Недавно Р. Е. Борчердс нашел такое доказательство [Вог 2].
§ 2. Окрестности глубокой дыры 42 Рис. 24.2. Диаграммы дыры для Л12 и
628 Гл. 24. Двадцать три конструкции решетки Лича дыры, вершинами которой служат f, и gw. На рис. 24.2 приве- приведены два примера таких диаграмм. (Расстояния между раз- разными gw на диаграмме не отражены). Случай Л24 несколько отклоняется от описанного образца. Диаграмма для А\ представлена на рис. 24.3а, на котором пара fooo... W-,+) Рис. 24.3. (а) Фундаментальные векторы и векторы склейки для Ai. (b) Диа- Диаграмма дыры для Л2 . Для каждого слова двоичного кода Голея имеется вектор склейки gXyz~. ¦ дуг, соединяющих /0 и /ь указывает на значение скалярного произведения (/0, /0_= —2, откуда f\ — —f0 и расстояние меж- ДУ /о и /i равно V^- Для описания дырявой конструкции заме- заменим систему координат и изменим масштаб так, чтобы # = (-4, О23), /0В=@, -4, О22), ..., ff=D, О23), ff = @,4, О22) и для каждого слова xyz... в двоичном [24, 12]-коде Голея ^24 (п. 2.8.2 гл. 3) имеется вектор склейки После вычитания мы получаем первоначальную конструкцию Лича (см. разд. 4.4 гл. 5). Диаграмма дыры представлена на рис. 24.3Ь. Для АХг лучше использовать комплексные координаты, вы- выбирая /j* = (-Зш*, 0"), ff = @, -Зш*, 0'°), . .. для k = 0, 1, 2, где ю = е233. Для каждого слова xyz... из троичного [12, 6]-кода Голея W\2 (п. 2.8.5 гл. 3) имеется вектор
§ 2. Окрестности глубокой дыры 62$ склейки Получается комплексный вариант решетки Лича (пример 12 гл. 7, разд. 3.6 гл. 10). Вероятно, некоторые другие описанные выше конструкции соответствуют различным кватернионным решеткам Лича. Группа симметрии глубокой дыры. Для каждой из решеток, представленных в табл. 16.1, группа автоморфизмов решетки Лича, оставляющих на месте соответствующую глубокую дыру, обладает структурой G<x>.Gi.G2, где G<x> изоморфна коду (группе) склейки. Типичный элемент я(е Gx переводит gw в gw+i. В таб- таблице даны порядки групп Goo, G\ и G2.
Глава 25 Клеточная структура решетки Лича Р. Борчердс, Дж. Конвей, Л. Квин Мы показываем, что в решетке Лича имеется в точности 84 типа мелких дыр, что завершает классификацию дыр и со- соответствующих областей Делоне. § 1. Введение В гл. 23 было показано, что в решетке Лича Лг4 имеется 23 типа глубоких дыр, находящихся во взаимно однозначном соответствии с решетками Нимейера. Наличие этого соответ- соответствия и недавно открытого соответствия между классами со- лряженности в группе-Монстре и некоторыми модулярными •функциями [Con 17] позволяет предположить, что будет поле- полезен список мелких дыр в решетке Лича, а также классификация ее областей Делоне при условии, что будет найдена некоторая «глубокая структура». Несмотря на то что такая структура пока не появилась, полный список глубоких и мелких дыр уже на- нашел несколько дрименений и представляется целесообразным его обнародовать. Главным является следующий результат. Теорема 1. Имеется 307 типов дыр в решетке Лина; из них .23 типа являются глубокими дырами и 284 типа мелкими ды- дырами. Все эти типы перечислены в табл. 25.1. § 2. Наименования дыр Мы используем обозначения гл. 23 и описание множества точек решетки Лича при помощи графа, вершины которого ¦соответствуют рассматриваемым точкам решетки и две вер- вершины х и у не соединены, если N (х — у) = 4, соединены одним ребром, если N (х — #) = 6, соединены двумя ребрами, если N (х — у) = 8. Большие числа ребер здесь не возникают.
§ 2. Наименования дыр 631 Как было показано в гл. 23, вершины глубокой дыры в Л24 описываются графом, представляющим собой несвязное объ- объединение расширенных диаграмм Кокстера — Дынкина с по- постоянным числом Кокстера к, сумма индексов (размерность) которых равна 24. Имеются в точности 23 возможные комби- Таблица 25.1. Список всех 307 дыр в решетке Лича. Первые 23—это глубокие дыры. Указаны наименование дыры Pi, порядок g(Pi) ее группы автоморфизмов, ее масштабированный объем vol (pt). 4!/| Со0 |, норма s(P,) ее вектора Вейля и детерминант d(P,) матрицы Картаиа. Фор- Формула объема приобретает вид ? svol (Pi)lg (Pi) = 241/1 Coo | = 74613. i Наименование дыры указывает орбиты группы автоморфизмов на компонен- компонентах соответствующей диаграммы. Таким образом, дыра а%а^а3а\ имеет две компоненты типа пь которые эквивалентны относительно группы автоморфиз- автоморфизмов, а также две эквивалентные компоненты типа ai и три компоненты типа аз, только две из которых эквивалентны НАИМЕНОВАНИЕ 1>и Аи A ,7i-7 В )Фг А\фч Dh Ah DmF'7 AlDt /. ' "» At AiDl Et Dt At %Т At A\ A? A? Таблица 25 g 1 10 12 2 16 8 52 24 8 80 6 48 324 256 432 384 1176 3456 138240 30000 688128 138568320 «02795171840 la svol 92 125 1944 1800 2048 1936 2197 20736 23328 20000 27000 21952 19683 131072 186624 160000 117649 559872 2985984 1953125 16777216 387420489 68719476736 s _ — — — — — — — — — _ — — — — — — — — — — — — d 4 25 36 4 64 16 169 144 16 400 1 64 729 1024 81" 256 2401 5184 4096 15625 4s 312 22* Таблица 25 Ib 'НАИМЕНОВАНИЕ g dis 1 O2S 1 O24<Il 2 3 2 d2lat 1 aua,at 1 d^As' 1 a 20a 5 1 f/)9?? 1 a19d6 1 at9aAaf 2 d\%€-j 1 anei 1 ai8a6o, 1 dne» 1 "neg 2 ara, 2 a17e7a, 2 „!,(/,„! 1 a\id-iu\ 2 a\-)d(flz ^ ava,,tii 2 anasaj 2 11,7040301 2 d\t,d$ 1 d\t,a$ 1 d\^p«u\ 1 svol 140 195 186 255 288 282 240 396 200 315 162 240 520 126 171 399 92 141 297 297 222 288 288 342 441 468 600 152 230 122 9800/2 2925/2 8649/2 2601/2 2304/2 6627/2 5760/2 1782/2 5000/2 1575/2 4374/2 1440/2 1352/2 3969/2 1539/2 1197/2 4232/2 2209/2 1089/2 1089/2 1369/2 1152/2 1152/2 1083/2 1029/2 1014/2 1000/2 2888/2 2645/2 3721/2 d A 26 & 50 72 24 20 176 16 126 12 80 400 g 38 266 4 18 162 162 72 144 144 216 378 432 720- 16 40 $.
Таблица НАИМЕНОВАНИЕ g dxte1a2 dlteta3 d\ffltfl2ci\ dxtfltfli dltmat a ltd? 1 a\t,eia\ 1 oisrfio 2 q | sdyu j 2 fl.iCga? 2 0,5^703 2 a,«/,n;a| 2 0! 5^0*4 2 a | sdbB* 2 a nd id ^ 2 dudioti rf|4o|0e, d,4e8fl2fl. dHp(,a4a, (/{40@40! 01409О2 ^ 0,41/70202 вLвбОзО2 anata2a\ '* 25 1c svol 306 186 252 462 320 390 204 187 200 264 248 264 408 288 360 320 188 286 380 186 256 576 330 490 408 405 28S 4S0 630 825 s 2601/2 2883/2 2646/2 2541/2 2560/2 2535/2 1224/2 2057/2 1250/2 1089/2 1922/2 1089/2 867/2 864/2 810/2 800/2 2209/2 1859/2 1805/2 2883/2 2048/2 1728/2 1815/2 1715/2 1734/2 729/2 1805/2 750/2 630/2 605/2 d 72 24 48 168 80 120 68 34 64 128 64 128 384 192 320 256 32 88 160 24 64 384 120 280 192 450 90 540 1260 2250 Таблиц! 25 Id НАИМЕНОВАНИЕ g svol dndn 1 O"|3O|2 1 "ЛзЯцО1 1 rfjjOga^i 1 it;jesa, 1 rfija8a4 1 d^t-iai duaidf, oi»a12 fl,3rf,O<J2 1 «130903 Ol3fgO4 ai3e8a20|ai ai3e7a4ai «131/705 01307040, a^eidiOi ап"ь"(. rf,2rf|^2a, di2d9at 1 l/l^grfs dl2dtdi dueid(, di1d1ei a?2O| ' a ^fgrfs 2С8Я4О1 116 208 276 420 160 160 204 104 252 273 294 4^0 245 178 150 116 560 116 441 180 276 240 116 208 156 180 1 351 20S 325 273 2312/2 1664/2 1587/2 1470/2 2560/2 1440/2 1734/2 1444/2 1512/2 819/2 1029/2 610/2 1715/2 1701/2 875/2 672/2 560/2 672/2 567/2 2025/2 1587/2 1440/2 2112/2 1152/2 1521/2 1150/2 /29/2 1664/2 1625/2 819/2 d 16 52 96 240 20 180 48 128 84 182 168 560 70 168 280 116 1120 116 6% 12 96 SO 16 64 12 48 318 52 130 182 Таб гид НАИМЕНОВАНИЕ g andie6 1 dne%e6 1 du'1 2 andlauja{ 1 audioal 2 aud,as 2 ana^j4ai 1 »,,;,(, 1 ai\egd5ai 1 а»ега\а1 2 audse6 2 aile1d1 1 anC7O5af 2 a ud1eta, 2 aiirf7a6ai 1 and1aia2 2 0111/70302' 2 01,1/70302 2 a, \a-]d$a \O\ 1 a\\ef-et^l\ 2 au4d,a, 2 aneeaV^ai 2 a,,f,((,o( 2 Onrftma, 2 0,1061/402 2 a,irfsasa,a! 2 a iid^a^a^ai 2 auOiuid, 2 dioa^ai 2 (/,oajoa5 1 25 le svol 234 114 112 408 432 324 480 174 276 57o 228 204 456 300 420 468 648 648 576 360 384 468 420 504 756 672 900 576 384 330 s 702/2 2166/2 1568/2 867/2 864/2 729/2 480/2 1682/2 1587/2 1536/2 722/2 867/2 722/2 625/2 525/2 507/2 486/2 486/2 432/2 600/2 512/2 507/2 490/2 441/2 378/2 392/2 375/2 384/2 1152/2 825/2 d 156 12 16 384 412 288 960 36 96 432 144 96 576 288 672 864 1728 1728 1536 432 576 864 720 1152 3024 2304 4120 1728 256 264
НАИМЕНОВАНИЕ d]od9asal dia")d6 </10^90312"i </loi/8i/6a, dtoaaei l/|0«?Ol dto^ldi") d)oejdta2 dio«la6 d^c^bO} 1/10^7040301 dittd-id^ai dioaiofof rflo^»o3 d\vdf,&$ai dloata:.a}al d^tfll a io09rf« 0<1г6 dio«8^40201 Olo«7a701 а,о^7в6< <tf«7 a19a 90@! «1 Таблица 2о ? 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 svol 312 260 600 94 248 198 486 148 192 228 294 312 400 384 832 320 420 52S 672 540 330 143 231 495 352 462 240 420 76 176 If 1014/2 845/2 750/2 2209/2 961/2 1089/2 729/2 1369/2 1152/2 1083/2 1029/2 1014/2 1000/2 768/2 676/2 800/2 735/2 726/2 672/2 675/2 495/2 1859/2 1617/2 1485/2 704/2 462/2 900/2 630/2 2888/2 968/2 d 192 160 960 8 128 72 648 32 64 96 168 192 320 384 2048 256 480 768 1344 864 440 22 66 330 352 924 128 560 4 64 НАИМЕНОВАНИЕ d#l rfjOjOf a9a9C7 ald1 Qqdffi i * dyd$Q\ а$щаг а}аАаг а$е{ a,c,(/sa;O| a,dteia^ O9e7a6e3 a9e7a|ai a »a 1dsa1al a*ibalai<n a,a}a} eiata i e8«7 C8«6°J 2 е%а^еф2о\ e%aadsti4 Таблица 25.1g « 2 4 2 4 4 4 4 4 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 6 2 2 2 2 2 2 1 1 svol 324 544 270 320 420 560 660 600 600 115 190 420 425 260 405 300 420 550 640 900 875 61 153 93 126 231 160 195 351 360 648/2 578/2 729/2 512/2 441/2 392/2 363/2 360/2 360/2 2645/2 1805/2 1470У2 1445/2 845/2 405/2 750/2 630/2 605/2 320/2 270/2 245/2 3721/2 2601/2 2883/2 2646/2 2541/2 2560/2 2535/2 1521/2 1440/2 d 324 1024 200 400 800 1600 2400 2000 2000 10 40 240 250 160 810 240 560 1000 2560 6000 6250 2 18 6 12 42 20 30 162 180 НАИМЕНОВАНИЕ ege2ai etc1a1a2al ege7<-6a4 e^c-jd^Q^ e^ci^etfl^ e%a1d} elieba<ldi dlat dle1alai dhifli d}d-,d< dld-ftt d%e}a-iax di€id(flya[ d$eiuiQ2Q\ d^etfsQifli d»a-idl dtdlaia\ did(,d$aya i og'ai ata1d} ate\a\ax Таблица 25.1 h g 2 1 1 1 1 2 2 1 6 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 12 2 2 1 svol 128 288 165 245 204 300 304 207 252 232 248 264 360 288 320 228 320 384 420 528 360 352 468 368 512 432 513 432 567 540 s 2048/2 1728/2 1815/2 1715/2 1734/2 1500/2 1444/2 1587/2 1512/2 841/2 961/2 726/2 675/2 648/2 640/2 1083/2 800/2 768/2 735/2 726/2 540/2 484/2 507/2 529/2 512/2 4S6/2 36f/2 324/2 441/2 360/2 d 16 96 30 70 48 120 128 54 84 128 128 192 384 256 320 96 256 384 480 768 480 512 864 512 1024 768 1458 1152 1458 1620
НАИМЕНОВАНИЕ «7</4 eididi ehbd% ejdbd^ e d d6a e1d1aiai «7070301 ?707060401 «70705040!») «7«3 e j! ета\а\ 0*7070301 0*707060302 (/707030302 (/7(/л </73 (/7O? otV П7!«6(/5 O72(/6fll5 "ids"! aidscnai 0^50302"! O72G 5a3O?Ol 07^0501 ,2 2 Таблиц; j; 6 2 2 2 1 1 1 2 1 1 6 3 3 6 4 1 2 .6 3 24 24 2 4 8 4 4 4 8 2 4 i 25 li .svol 140 200 156 176 416 264 336 544 560 720 153 216 441 936 608 672 960 256 490 1408 1024 384 416 544 800 864 1152 1280 432 576 s 1225/2 1000/2 1014/2 968/2 676/2 726/2 672/2 578/2 560/2 540/2 867/2 729/2 567/2 507/2 361/2 336/2 300/2 512/2 350/2 242/2 256/2 384/2 338/2 289/2 250/2 243/2 216/2 200/2 432/2 324/2 d 32 80 48 64 512 192 336 1024 1120 1920 54 128 686 3456 2048 2688 6144 256 1372 16384 8192 768 1024 2048 5120 6144 12288 16384 864 2048 НАИМЕНОВАНИЕ a a2 a1at <?бП(,Я| <"бПз Сбя'пз tfn5a4ijj el«A etd,alal ebald, did. d\dta1ai dlatay dldta,! d\a<,di.a^a\ dld}a^a\ dbaldt d,,dial Об«1 atflld. dsa' d^al a'aja. 5 «502° Таблица 25 1 j e 3 6 24 48 6 12 12 8 4 8 4 12 24 6 6 6 6 2 4 6 24 24 6 16 120 20 48 48 20 720 svol 588 1152 1536 225 315 351 486 504 675 891 7.4 612 336 448 528 480 608 672 768 648 960 735 756 720 640 1000 936 1512 1125 3645 .r 252/2 192/2 144/2 625/2 525/2 507/2 486/2 392/2 375/2 363/2 294/2 289/2 441/2 392/2 363/2 360/2 361/2 294/2 288/2 243/2 225/2 225/2 189/2 200/2 200/2 160/2 169/2 147/2 135/2 75/2 d 2744 13824 32768 162 378 486 972 1296 2430 4374 3888 2592 512 1024 1536 1280 2048 3072 4096 3456 8192 4802 6048 5184 4096 12500 10368 31104 18750 354294 НАИМЕНОВАНИЕ dU, d\aia\ d'ayaf dial dfi] (/40?' a,a] a la, ajoj1 a^V O;!G| G2a23 o?4"i Таблица 25.1 к g 2160 360 144 432 336 120960 240 168 2688 7920 887040 190080 10200960 244823040 svol 832 1344 2048 2816 1792 14336 1375 1920 2304 4374 16384 5103 18432 20480 s 169/2 147/2 128/1 121/2 98/2 49/2 121/2 90/2 81/2 54/2 32/2 49/2 27/2 25/2 d 8192 24576 65536 131072 65536 8388608 31250 81920 131072 708588 16777216 1062882 25165824 33554432
§ 3. Формула объема 635 нации, представленные в первых 23 строках табл. 25.1. Исполь- Используя те же обозначения, докажем следующий результат. Лемма 2. Множество вершин мелкой дыры в решетке Лича состоит из 25 точек из Л24, для которых соответствующий граф является объединением обыкновенных диаграмм Кокстера — Дынкина. Доказательство. Теоремы 5 и 6 гл. 23 показывают, что диа- диаграмма дыры представляет собой объединение обыкновенных диаграмм Кокстера — Дынкина; из рассмотрения размерностей следует, что дыра не может иметь меньше 25 вершин. Фунда- Фундаментальные корни, соответствующие такой диаграмме (вне за- зависимости от ее связности), линейно независимы в объемлющем: векторном пространстве и поэтому аффинно независимы. Это показывает что граф не может иметь более 25 вершин. Не- Нетрудно проверить, что любое такое множество из 25 точек представляет собой множество вершин некоторой мелкой дыры.. Это доказывается при помощи рассуждений, аналогичных до- доказательству теоремы 7 гл. 23, устанавливающей соответствую- соответствующий результат для глубоких дыр. Таким образом, все мелкие дыры в решетке Лича представляют собой симплексы. § 3. Формула объема Пусть Р\, Р2, ..., Рц — множество представителей всех дыр' в Л24 относительно полной группы автоморфизмов Сооо ре- решетки Л24. Пусть vol(P,)— объем Р, и g(Pt) — порядок группы автоморфизмов (т. е. стабилизатора Р, в Сооо). Тогда имеется формула объема: 1 = объем фундаментальной области Л24 = N = V vol (Р() X число образов Р,- относительно Со0 = N где | Со01 — порядок Со0. Объем дыры Р выражается через обычные величины из тео- теории Ли (ср. [Вой 1]). Для глубокой дыры
636 Гл. 25. Клеточная структура решетки Лича а для мелкой дыры где h — число Кокстера, d — детерминант матрицы Картана обыкновенной диаграммы Кокстера — Дынкина, a s — норма вектора Вейля. Для связных компонент эти величины представ- представлены в табл. 25.2 (заметим, что s = h(h + l)n/12). Для не- несвязного графа h и d равны произведениям этих величин для Таблица 25.2. Параметры h, d, s для связных диаграмм ап (Или An) dn (ИЛИ Dn) fi6 (или Яв) в7 (ИЛИ El) e8 (ИЛИ ?в) А: я-Ы 2/г —2 12 18 30 d: n+l 4 3 2 1 /г(/г+1)(/г + 2) (га-1)гаBга-1) 399_ s. ^ 78 — 620 компонент, as — их сумме. Можно показать, что радиус мел- мелкой дыры равен B— l/sI/2. § 4. Перечисление мелких дыр Мы дадим лишь краткое описание способа перечисления мелких дыр и доказательства теоремы 1. Можно использовать два метода классификации. Метод 1. Этот метод используется для поиска всех мелких дыр, содержащих данную обыкновенную диаграмму X Кок- Кокстера— Дынкина в качестве компоненты. Он состоит в поиске всех случаев вхождения X в Л24- Этот метод был использован только для тех X, которые содержат не менее семи точек, по- поскольку в противном случае классификация становится слишком трудоемкой. При этом изображается граф всех точек в Л24, не соединенных ни с одной точкой X, и при помощи выбрасывания части его точек ищутся случаи, когда граф, полученный после такого выбрасывания, имеет при объединении с X нужный вид. Обычно группы таких дыр, которые находятся прямым подсче- подсчетом, имеют порядок 1 или 2. В качестве примера рассмотрим диаграмму X = а,\ъ. Из рис. 23.9 мы получаем, что в решетке Лича имеются в точности девять типов упорядоченных диаграмм а15- После отождествле- отождествления зеркально-симметричных получается пять различных типов, изображенных на рис. 25.1а—е жирными линиями. (Основанием
§ 4. Перечисление мелких дыр 637 d6a4 5 Рис. 25.1. Перечисление мелких дыр, диаграммы которых содержат компо- компоненту ai5 (указаииую жирными линиями). Для типов а — d множество точек, не соединенных с ац (указанное темными кружками и прерывистыми ли- линиями), не имеет десятиточечных подграфов взаимно не пересекающихся обыкновенных диаграмм, так что к дырам приводит только случай е. этих рисунков служит рис. 27.3, содержащий все ребра, соеди- соединяющие 35 точек, ближайших к центру глубокой дыры типа Лг4- Это удобный для рассмотрения кусок решетки Лича, кото- который, в частности, содержит все точки из Л24, не соединенные с диаграммами ais.)
638 Гл. 25. Клеточная структура решетки Лича Для четырех из диаграмм а—е в подграфах, не соединен- соединенных с Й15 (показанных темными вершинами и прерывистыми линиями), отсутствуют объединения непересекающихся обыкно- обыкновенных диаграмм Кокстера — Дынкина с общим числом вер- вершин, равным 10 (=25—15) и соответствующий тип диаграм- диаграммы Й15 не может быть частью мелкой дыры. Для пятого типа (рисунок е) соответствующий подграф содержит 11 точек, и, выбрасывая их по очереди, мы разбиваем его на диаграммы Кокстера— Дынкина, как показано на рисунке. Три из этих одиннадцати возможностей (помеченные крестиком) не подхо- подходят, поскольку дают граф, содержащий расширенную диаграм- диаграмму. Оставшиеся восемь удовлетворяют всем условиям. Таким образом, имеется восемь типов мелких дыр, имею- имеющих компоненту типа а15: ахье%а\, а15е7а3, a15e6dit albd\, a15d6air al5d7a2au ai5dsau ai5dlQ. Метод 2. Фиксируется глубокая дыра и ищутся все имею- имеющие с ней общую грань мелкие дыры. В предыдущей главе достаточно подробно были описаны окрестности глубокой дыры, что позволяет легко произвести требуемую операцию. Порядки групп этих дыр можно найти при помощи рассмотрения ста- стабилизаторов данной грани в группе автоморфизмов глубокой дыры и учета того обстоятельства, что мелкая дыра может примыкать к нескольким глубоким дырам одним и тем же способом. Полное перечисление мелких дыр было произведено при по- помощи комбинации описанных методов; формула объема исполь- использовалась для проверки ответа. Второй способ проверки ответа опирается на тот факт, что величина sd для любой дыры яв- является точным квадратом (поскольку объем дыры — рацио- рациональное число). Большая часть работы по перечислению была проделана дважды: сначала Л. Куином и Д1Ж. Конвеем, а за- затем Р. Борчердсом, дополнившим полученный список. Порядки групп также были вычислены дважды. Замечания, (i) Диаграмма мелкой дыры (в отличие от глу- глубокой дыры) не определяет ее однозначно. Имеются по две дыры каждого из типов al7a8, a17d7ap and7a3a\ и а^а4а3. (ii) Имеется единственная дыра типа d^av Она имеет вид правильного симплекса с 25 вершинами; при этом ее группа нетранзитивна на множестве вершин. Эта группа совпадает с группой Матье М24 и имеет две орбиты длины 24 и 1. Радиус этой дыры минимален и равен B — 2/25I/2; мелкая дыра й%ь
§ 4. Перечисление мелких дыр 639 имеет наибольший радиус, равный B—1/4900I/2. Глубокая дыра имеет радиус «J~2. (iii) Если удалить из R24 замкнутые многогранники, соот- соответствующие глубоким дырам типа D% оставшееся множество будет несвязным. Благодарность. Мы хотели бы поблагодарить Р. Паркера за полезные обсуждения.
Глава 26 Гиперболические формы решетки Лича Дж. Конвей, Н. Слоэн «Дырявые конструкции» гл. 24 приводят к некоторым очень простым определениям решетки Лича, использующим гипербо- гиперболические координаты. § 1. Унимодулярные гиперболические решетки Начнем с определения решеток 1„, i и Н„, \. Через Rn-' обо- обозначим вещественное (п+1)-мерное векторное пространство, состоящее из векторов х = (хо, ..., хп-\\хп) со скалярным про- произведением и нормой, задаваемыми следующими формулами: Иногда координаты xq, ..., хп-\ называют пространственно-по- пространственно-подобными, а координату хп — времени-подобной. Если xeR"'1, то через х1 обозначается подпространство, состоящее из век- векторов у е i-\"'', таких, что х-у = 0. Как и в случае евклидовых решеток (т. е. решеток в R", см. разд. 2.4 гл. 2), решетка Л из Rn>1 называется целочислен- целочисленной, если х-у е Z для всех х, г/е Л, и унимодулярной, если она обладает таким базисом vi°\ ..., v(n), что детерминант мат- матрицы Грама (и<'Ьу(/)) равен ±1. Целочисленная решетка Л называется четной решеткой или решеткой типа II, если Л(х)е е 2Z для любого х е Л, и нечетной решеткой, или решеткой типа I в противном случае. В отличие от евклидова случая классификация целочислен- целочисленных унимодулярных решеток в R"'1 совсем проста: для всех п в Rn-' имеется единственная нечетная унимодулярная решетка; если rt=l(mod8), то имеется еще единственная четная уни- унимодулярная решетка (см. [Mil 7], [Neu5], [Ser I] и гл. 15). Эти решетки обозначаются соответственно 1„, i и Ия, ь (В гл. 15 мы использовали символы \п, i и IIn, i для обозначения родов форм, но использование тех же символов для единственных форм в этих родах не приводит к недоразумениям.) В качестве \п, i можно взять множество векторов х = (хо, ... ..., хп-\\х„), таких, что х;е/. При ns= I(mod8) в качестве
§ 2. Гиперболические конструкции для решетки Лича 641 П«, 1 можно взять множество векторов х, таких, что все xt ле- лежат в Z или же все xi лежат в Z -J- 1/2 и выполнено условие Как мы увидим в этой и последующих главах, решетка II2s,i представляет особый интерес. Основы теории гиперболических пространств (называемых также лоренцевыми пространствами или пространствами Лоба- Лобачевского) см. в [Сох 21а], [Mil 6], [Neu5]. Если Л — целочисленная унимодулярная решетка в Rn<l и вектор (еЛ имеет норму —1, то txf]A является л-мер ной целочисленной унимодулярной евклидовой решеткой. (Она ев- евклидова по закону инерции Сильвестра (см. разд. 6.2 гл. 16), так как в Rn> l не может быть двух взаимно ортогональных не- ненулевых векторов х и у с Х'Х ^ 0 и у-у ^,0.) Например, давно известно (см. [Сох 10, р. 419], [Neu3], [Neu5]), что для век- вектора / = A, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1|3) в решетке 18> ь норма которого равна —1, решетка t1 [)la, i — это экземпляр решетки ?8. Аналогично, пусть вектор «еА изотропен, т. е. его норма равна 0. Тогда «еЛ1 и решетку (и1ПЛ)/<и>, которую мы сокращенно обозначаем (ы1Г)Л)/ы, можно считать (п—1)-мер- (п—1)-мерной целочисленной унимодулярной евклидовой решеткой. (По- (Поскольку (х + Яи) • (у -\-ци) = х-у для х, у е и1 и Я, fxsZ, скалярное произведение корректно определено на и1/и.) На- Например, для изотропного вектора и=A, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 13) решетки I9, i решетка (и1 f) I9, i)/« снова является экземпля- экземпляром решетки Е& (см. [Сох 10], [Neu3], [Neu5]). Двести сорок минимальных векторов решетки Еъ суть в этом представлении 9-8 векторов вида A,—1,07|0) и 2Г „ } векторов вида ±A3,0в|1). § 2. Гиперболические конструкции для решетки Лича Несколько лет назад Дж. Конвей и Р. Кёртис обнаружили следующую конструкцию для решетки Лича Л24. Их доказа- доказательство было длинным (и не было опубликовано). Мы дадим более короткое доказательство, используя одну из «дырявых конструкций» гл. 24.
642 Гл. 26. Гиперболические формы решетки Лича Теорема 1. Пусть t = C, 5, 7 45, 47, 511145)— вектор нормы —1 в решетке 124, г, тогда t1 fl I24, i является экземпляром решетки Лича. Доказательство. Выше было замечено, что t1 [) I24>i — это целочисленная унимодулярная решетка. Чтобы показать, что это Л24, мы работаем в аффинной гиперплоскости Я = {иеР24Д: о-/=-2}. Мы покажем, что #f)l24,i является сдвигом решетки Лг4- Точ- Точнее говоря, если точки из ЯПЬм произвольным образом обо- обозначены Ро, Р\, ..., то мы покажем, что {Л — Ро: Р, е#П П I24,i} является экземпляром решетки Л24- Прямые вычисления показывают, что Hf] I24,1 содержат все точки, указанные на рис. 26.1, состоящие из 25 «фундаменталь- «фундаментальных векторов» f0, ..., /24 (в обозначениях гл. 24), образующих = A.2,3,...,23.241 70) 9|=-A,2,3....,21,22,22,25) 70) ,3.4,5,-..,23,21,271 75) @.I.-I.O2I |0) -- .-.-.-. (!.-!.0гг| О))) —О— о О -О .—<{(Ого,1,-|,0г |0) (Ог,1,-|,О20!0) -D,5,7,9,....45,47,51 1 145) Рис. 26.1. Диаграмма дыры типа Du для решетки Лича. диаграмму ?>24, плюс два «вектора склейки» go и g\. Две точки на этом рисунке соединены ребром (или направленным реб- ребром), если расстояние между соответствующими векторами равно д/б'> расстояние между остальными парами векторов равно д/4 • Поскольку на рис. 26.1 изображена диаграмма дыры типа D24 (см. гл. 24), отсюда следует, что множество {Pi — Ро} со- содержит Л24. Поскольку Л24 унимодулярна, то эта решетка и есть искомая решетка Лича. Похожее рассуждение позволяет установить следующий ре- результат. Теорема 2. Пусть и = A, 3, 5, .... 45, 47, 511145)— «зо- тропный вектор решетки 125, и тогда («х f| bs, О/и является эк- экземпляром решетки Лича.
§ 2. Гиперболические конструкции для решетки Лича 643 Доказательство. Добавьте перед первой координатой всех точек на рис. 26.1 начальный нуль. Еще более элегантные координаты для Л24 получаются так. Хорошо известно, что единственными решениями уравнения 02+ 12 в положительных целых числах являются пары (пг, «) = A, 1) и B4,70) (см. [Ljul], [Мог 6, р. 256], [Wat 23]). В частности, а> = @, 1,2,3 23,24|70) является изотропным вектором в Нил* Определим корни Лича как векторы г <= П^ь удовлетворяющие условиям г-г = 2, г-а; = —1. A) (Причины такого наименования выяснятся в следующей главе.) Наш основной результат таков. Теорема 3. (а) Корни Лича находятся во взаимно однознач- однозначном соответствии с точками решетки Лича. Это соответствие является изометрией в метрике, определяемой формулой d(r,sf = N(r-s). B) (b) Решетка (w1 f) П25, i)/w также является экземпляром решетки Лича. Доказательство. В § 1 было замечено, что (w1 Г) П25) \)lw— целочисленная унимодулярная решетка. Гиперплоскость # = {seR25>1: s-w = -l) C) — это сдвиг wx, и (s + Xw) • (s+ Xw) = s ¦ s — 2Я для s^H. Если 5еЯA1Ь'л1 то s-s четно и имеется единственное ^eZ, для которого х + Яш — корень Лича. Итак, корни Лича обра- образуют множество представителей смежных классов для (w1 (] nil25,i)M Множество корней Лича, которые мы таким образом предъ- предъявили, можно вложить в множество корней Лича, содержащее диаграмму дыры типа Л24 (см. рис. 27.3), и по результатам гл. 24 решетка (w1 f\\l251)/w — это экземпляр решетки Лича. Замечания. Расстояние в Я можно вычислять, используя соотношение d(x,y)= N(x — уI/2, однако читатель должен помнить, что нормы и скалярные произведения отдельных век- векторов из Н не инвариантны относительно прибавления w. Если г и s — различные корни Лича, то г-s^O, поскольку N(r — s)>4.
644 Гл. 26. Гиперболические формы решетки Лича Можно также работать с изотропными представителями то- точек из Н. Теорема 4. Если и— изотропный вектор в Н[)П25: ь то (м1 П II25,i)/« — экземпляр решетки Лича. Доказательство. Поскольку г = и — w — корень Лича и от- отражение относительно г Rr: х—>х — (х • г)г является симметрией в lbs, ь переводящей и в w, решетка «х niI23,i)/M из°морфна решетке (wL[)U25^/w. Теорема 5. Отождествим решетку Лича с множеством кор- корней Лича в гиперплоскости Н (см. C)), и пусть и — это изо- изотропный представитель центра глубокой дыры в Н. Тогда ре- решетка (и1 fl Il25i i)/u является экземпляром решетки Нимейера, соответствующей этой дыре. Доказательство. Мы уже знаем, что (и1 f) II25ii)/« — четная унимодулярная 24-мерная решетка, и, следовательно, либо это — решетка Лича, либо одна из решеток Нимейера. Рассмот- Рассмотрим один из этих случаев, и пусть U — центр глубокой дыры типа AiiD7E6. Ближайшие к U векторы решетки Лича —это фундаментальные векторы (t \ fA tA tA (В (В fB tC ГС ГС Vt) '0' 'l> •••' '12' '0' M» •••» /7' /o> /p •••> /e> где верхние индексы указывают на выбор фундаментальных множеств корней для Ли, D7, ?6 во взаимно ортогональных пространствах А, В, С (см. пример 2 гл. 24). Из формулы A) гл. 23 получаем т] — — Vc^fx^iy cBfB_J_ V rctc /А\ U— h L°i]i h L°lJl~ h ZjClli' W i i где h — число Кокстера дыры, а с,- определены _на рис. 23.1. Поскольку радиус покрытия решетки Л24 равен V2 , так что ff-U = (l/2) N(U). E) Но вследствие D) = 1?l cAtft ¦ U = A/2) N (U) Е с? = A/2) hN (U). Поэтому JV(?/) = O, и можно положить u=U, а из E) выте- вытекает, что ff е h-l. Таким образом, все ft лежат в и± ft II25I
§ 2. Гиперболические конструкции для решетки Лича 645 и наша решетка является решеткой Нимейера, компоненты ко- которой согласованы с компонентами диаграммы дыры. Сумма векторов 25-угольника, который можно разглядеть на рис. 27.3, равна вектору (A/2J5| E/2)); этот вектор изотро- изотропен и пропорционален центру соответствующей дыры типа Л24 в решетке Лича в Н. Таким образом, для м==A25|5) решетка (и1 Г) II25,i)/« — эт0 Решетка Нимейера типа Л24. Аналогично, для векторов «, = A8, З9, 58|17), «2 = A13, 312|11), «3 = A8, 37|9), «4==A15, З9, 5111) решетки (uj- П П25 \)/ui СУТЬ решетки Нимейера типов соответ- соответственно Al, A2i2, A\jEj, А]5Оэ. Можно при желании привести и другие примеры. Заключительная лемма показывает, что для этих примеров неважно, работаем ли мы в \п, \ или IIn,i. Лемма 6. Если вектор и~A/2)(ио, и\, ..., un-i\un)& Пя, i изотропен и все щ нечетны, то и1Шя,1 = и1ПП„,1- F) Доказательство. Если х — (х0, ..., хп_х \хп) s и1 (] Irti u то Х0Щ + . . . + *„_!«„_] — XnUn == О, х0 + ... + *„-1 — хп^0 (mod 2) и хеНщ. Следовательно, левая часть формулы F) содер- содержится в правой. Но det 1Я( 1 = det Ня, 1 (и равен 1), поэтому имеет место равенство
Глава 27 Группа автоморфизмов 26-мерной четной унимодулярной гиперболической решетки Дж. Конвей Мы показываем, что группа автоморфизмов решетки II25, i — это некоторая бесконечно порожденная группа Кокстера, рас- расширенная с помощью антитождественного оператора и группы всех автоморфизмов решетки Лича. § 1. Введение Группы автоморфизмов унимодулярных гиперболических ре- решеток 1„, 1 и Пп, 1 (определенных в предыдущей главе) пред- представляют значительный интерес. В этой главе мы изучаем ре- решетку lbs, ь нечетные решетки 1Л) i будут рассмотрены в сле- следующей главе. Изучение этих групп автоморфизмов, по-видимому, нача- началось с работы Кокстера и Витроу [Сох 30] (см. также [Сох 28]), которые отождествили группу решетки I3, i с гипер- гиперболической группой отражений. Затем Винберг [Vin 1] — [Vin 4], [Vin 7], Мейер [Меу2], Винберг и Каплинская [Vin 15] показали, что подгруппа, порожденная отражениями, имеет конечный индекс в группе Aut AЛ> i) только при я =?^ 19, и указали диаграммы Кокстера для подгрупп отражений в этих случаях. В работе [Vin 7] Винберг также показал, что под- подгруппы отражений в Aut AI9, i) и в Aut (II17,1) имеют конечный индекс и описываются диаграммами Кокстера, изображенными на рис. 27.1 и 27.2. Векторы с положительной координатой времени и отрица- отрицательной (или нулевой) нормой в гиперболическом простран- пространстве, рассматриваемые с точностью до положительного скаляр- скалярного множителя, становятся обычными (или соответственно идеальными) точками ассоциированного гиперболического про- проективного пространства. Группа симметрии гиперболического проективного пространства может быть отождествлена с груп- группой автохронных симметрии гиперболического пространства (тех симметрии, которые не меняют местами положительный и отрицательный временные конусы). Полная группа симметрии гиперболического пространства — это прямое произведение ав-
§ 2. Основная теорема 647 тохронной подгруппы и группы второго порядка, порожденной антитождественным оператором. Если L — евклидова или гиперболическая решетка, то отра- отражающие гиперплоскости, соответствующие корням решетки L, разбивают пространство (евклидово или гиперболическое) на фундаментальные области (см. § 2 гл. 4). Корни, соответствую- соответствующие стенкам любой данной фундаментальной области, обра- образуют множество фундаментальных корней, для которого соот- соответствующие отражения порождают наименьшую группу, со- содержащую все отражения в L. Последнюю группу мы называем группой отражений решетки L. Поскольку решетка П„, i уни- модулярна, все корни имеют норму 2. Мы будем описывать группы отражений с помощью диа- диаграмм Кокстера, используя при этом соглашения Винберга [Vin 7, р. 325]. Каждой вершине такой диаграммы соответ- соответствует фундаментальный корень Rh а группа отражений по- порождается соотношениями (RiRlJ=\, если вершины с номерами i и / не соединены, (#,#/K=1, если вершины с номерами i и / соединены. При этом никаких других определяющих соотношений нет. Эти соотношения соответствуют пересекающимся отражающим ги- гиперплоскостям. Две вершины, соответствующие непересекаю- непересекающимся гиперплоскостям, соединены двойным ребром, если от- отражающие плоскости параллельны, и пунктирным ребром, если они расходящиеся. § 2. Основная теорема Теорема 1. При п = 9, 17, 25 имеется соответственно 10, 19, оо фундаментальных корней для решетки П„, ь в качестве кото- которых можно взять векторы г е IIn, i с г-г = 2 и r-wn=-l, A) где векторы Вейля ') wn определяются формулами wg =@, 1, ..., 8 |38), N(w9) = —1240, w,7 = @, 1, .... 16|46), tf(a;17) = ш25 = @, 1, ..., 24|70), W(w25) = ') По-видимому, более принято называть вектором Вейля вектор — w (ср. с [Вой 1]), ио наше определение удобнее для гиперболического простран- пространства.
648 Гл. 27. Группа автоморфизмов Рис. 27.1. Диаграмма Кокстера для II»,i- Ее точки суть I: (О', +1, —1, 07-'H) при 0 «g f «S 7; 8: (A/2)9 | 1/2); 9: (-1», 0?| 0). 16 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12 13 14 15 Рис. 27.2. Диаграмма Кокстера для Iln.i. Ее точки суть й (О1, +1, -1,018-'|0) пря 0<ts?l5; 16: (—1/2, A/2I6 | 3/2); 17: (—1«, О16 | 0); 18: A014, 13| 1). Группа всех автохронных автоморфизмов решетки IIn, i — это расщепляющееся расширение группы Кокстера, образующие которой суть соответствующие отражения, при помощи следую- следующей группы: для п — 9 тривиальной группы, для п— 17 группы второго порядка, для п — 25 бесконечной группы, абстрактно изоморфной группе Coco всех автоморфизмов решетки Лича {включая переносы). Соответствующая диаграмма Кокстера для п = 9 изображена на рис. 27.1, а для п= 17 — на рис. 27.2. Для п = 25 часть диаграммы изображена на рис. 27.3. Полная диаграмма имеет по одной вершине для каждого вектора решетки Лича и (если использовать соглашение Винберга) две вершины г и s не соединены, если N(r — s)= 4, соединены обычным ребром, если N(r — s) = 6, соединены жирным ребром, если N(r — s) = 8, соединены пунктирным ребром, если N(r — s) ^ 10. Доказательство. Легко проверить, что для /г = 9 и /г =17 все корни г, удовлетворяющие условиям A), изображены на рис. 27.1 и 27.2. Поскольку диаграммы, изображенные на этих рисунках, согласованы с диаграммами, приводимыми Винбер- гом [Vin 7, р. 347], утверждение теоремы выполняется при п = 9 или п = 17. Если п = 25, то теорема 3 гл. 26 показывает, что имеется взаимно однозначное соответствие между точками решетки Лича и векторами г, удовлетворяющими соотношению A), т. е.
§ 2. Основная теорема 649 корнями Лича. Это соответствие является изометрией в мет- метрике, задаваемой равенством d(r, sJ = N(r*— s). Теорема бу- будет доказана, если мы покажем, что корни Лича — это в точ- точности фундаментальные корни для решетки Пае, ь так как кор- корни Лича обладают всеми свойствами (типами соединений и симметриями), указанными в утверждении теоремы. Мы покажем это, используя описанный Винбергом алго- алгоритм поиска фундаментальных корней для любых дискретных гиперболических групп отражений (см. [Vin 7] и § 4 гл. 28). ю 12 13 24 23 Рис. 27.3. Удобное множество из 35 корней Лича, представляющих точки решетки Лича, ближайшие к глубокой дыре типа Аи. Координаты точек та- таковы: «: (О1, +1, —1, О18"' | 0) при 0 < « < 23; 24: (—1/2, A/2)», 3/2 | 5/2); 25: (—I2, (РЧЭ); 26: (О7, I18 | 4); 27: (A/2I2, C/2I3 | 9/2); 28: (A/2I7, C/2)8|9/2), 29: (О22, 14 1); 30: (О6, I14, 2» | 6); 31: (О10, I14, 2|4); 32: (О4, 1», 210 | 7); 33: (A/2)9, C/2)", E/2M | 15/2); 34: (О14, I11 | 3). В качестве вектора Винберга х0 мы возьмем w2s (который удов- удовлетворяет всем необходимым условиям, кроме, естественно, тех, которые обеспечивают завершение алгоритма через конечное число шагов) и определим высоту вектора г формулой h(r) — =—r-Шчь- Алгоритм действует следующим образом. Векторы из И25,1 с нормами 1 и 2 (в нашем случае только с нормой 2) и с положительной высотой перенумеровываются по возраста- возрастанию произведения «высота-(норма)~1/2» (в нашем случае про- просто по возрастанию высоты). Норма вектора нулевой высоты по результатам предыдущей главы не менее 4, так что в нашем случае их можно не рассматривать. (В более общем случае такие векторы требуют специального рассмотрения в начале алгоритма.) Вектор отвергается алгоритмом, если его скаляр-
650 Гл. 27. Группа автоморфизмов ное произведение хотя бы с одним из ранее отобранных век- векторов строго положительно; в противном случае он отби- отбирается в качестве одного из фундаментальных корней. Не обязательно проверять условие неположительности произведе- произведения векторов равной высоты. Ясно, что в нашем случае все векторы высоты 1 с нормой 2 отбираются. Покажем, что все остальные векторы с нормой 2 отвергаются. Пусть h{x)=h\ положим v = x/h. Вектор v лежит в аф- аффинной гиперплоскости, состоящей из векторов высоты 1, и по результатам предыдущей главы определяет точку в рациональ- рациональном 24-мерном пространстве решетки Лича. По результатам гл. 23 в решетке Лича имеется вектор г, который мы можем считать корнем Лича, так что N(v — г) ^ 2. Таким образом, что и показывает, что вектор х отвергается. Замечания, (i) Абстрактно подгруппа отражений в группе Aut(II25,i) — это группа Кокстера с образующими Rr, соответ- соответствующими всем векторам решетки Лича г, и соотношениями (RrRsJ=U если N(r-s) = 4, (RrRs?=l, если Af(r-s) = 6 (без других соотношений). Группа всех автохронных автомор- автоморфизмов решетки II2s, i — это расширение этой группы Кокстера с помощью группы Со» автоморфизмов ее диаграммы. (и) Известно несколько других доказательств, однако все они зависят от основной теоремы гл. 23. Хотелось бы найти более прямое доказательство. (ш) Мы можем показать, что для п = 33, 41, ... ни один из векторов wn не имеет постоянного скалярного произведения со всеми фундаментальными корнямя решетки IIr, i. (iv) Группа Сож автоморфизмов диаграммы действует на фундаментальных корнях транзитивно! Ср. это со случаем Пэ, 1, когда диаграмма не имеет нетривиальных автоморфизмов, и со случаем Hi7, ь когда порядок группы автоморфизмов равен 2. (См. также [Vin 8] — [Vin 12], [ВогЗЬ].) (v) Имеется ли здесь связь с Монстром Грисса — Фишера? (Ср. с гл. 30.)
Глава 28 Корни Лича и группы Винберга Дж. Конвей, Н. Слоэн В этой главе изучаются замечательные свойства корней Лича, которые являются фундаментальными корнями для чет- четной унимодулярной решетки в гиперболическом пространстве R25>: и взаимно однозначно соответствуют точкам решетки Лича. Мы приводим обширную таблицу корней Лича как в евклидовых, так и в гиперболических координатах. Мы также приводим первое из, надеемся, очень многих приложений, по- показывая, что корни Лича упрощают и объясняют замечатель- замечательные результаты Винберга, Каплинской и Мейера по группам отражений унимодулярных гиперболических решеток в размер- размерностях до 20. Они также приводят нас к определенным продви- продвижениям в изучении этих групп в нескольких следующих раз- размерностях. § 1. Корни Лича Корнями Лича называются векторы г в четной унимодуляр- унимодулярной решетке П25, ь удовлетворяющие условиям r-r~2, r-w — — 1, где w — это вектор Вейля w = @, 1, 2, ...,23,24|70). Через 7i обозначим аффинную гиперплоскость В гл. 26 мы видели, что по модулю до можно считать, что Т\ — это 24-мерное евклидово пространство, в котором корни Лича образуют (нелинейное) множество, изометричное решетке Лича. Основной результат гл. 27 утверждает, что подгруппа отраже- отражений в группе Aut(II25,1) порождена отражениями в корнях Лича. В этой главе мы перечислим некоторые корни Лича: см. табл. 28.1 и 28.2. В § 3—5 мы покажем, как фундаментальные корни для 1Л, 1 (при п^ 19) легко получаются из корней Лича
652 Гл. 28. Корни Лина и группы Винберга (см. в особенности теоремы 1 и 2 § 6). Описание в терминах корней Лича дает естественное объяснение поразительных сим- симметрии в фундаментальных областях групп Aut(Ii4, i), ••• ..., Aut(Ii9, i), замеченных Винбергом [Vin 1] — [Vin 4], [Vin7], Мейером [Меу2] и Винбергом и Каплинской [Vin 15]. Мы также приводим частичное описание фундаментальных корней для Ьо, 1, • •., 1г4, i и их связей с корнями Лича (см. табл. 28.3). На рис. 28.1 а—h показана часть диаграмм Кокстера — Винберга для групп Aut(In, i), при 13 ^ п =s^ 20. § 2. Перечисление корней Лича Связь между группами Aut(In, i) и решеткой Лича мы обна- обнаружили, изучая обширный список корней Лича. Поскольку эти корни многообещающи также в смысле других приложений (см., например, последнюю главу), мы сочли полезным при- привести обширные таблицы. В табл. 28.1 корни обозначены (в ле- левом столбце) неотрицательными или же отрицательными чис- числами в соответствии с целочисленностью или дробностью их координат. В остальном порядок лексикографический: сначала по значению временной координаты t = х2ь, затем по \хц\, || На самом деле f^-О для каждого корня Лича; поскольку это не вполне очевидно, мы приведем доказательство. Пусть z = ± (О2511), где имеется в виду, что первые 25 координат равны нулю. По- Поскольку z-w =—1 (т. е. зеГ,), вектор z можно считать точ- точкой вещественного 24-мерного пространства, содержащего ре- решетку Лича. Если х = (х0, ..., x2i\t) — другая точка простран- пространства Tlt имеющая норму 2, то N(x — 2) = 2 + -зд- — -4900"' так что t растет линейно с ростом квадрата расстояния от х до 2. Если х — один из специальных корней Лича г0, ..., ги (см. табл. 28.1), то t = 0; поэтому Координаты корней г0, .... г24 показывают, что они не лежат ни в каком 23-мерном подпространстве и поэтому образуют симплекс с центром в точке z. На языке гл. 23 эти точки обра- образуют обыкновенную диаграмму Дынкина c^s, причем все они суть вершины вокруг мелкой дыры радиуса B—1/4900I/2
Таблица 28.1. Корни Лича г/ в гиперболических координатах (х0, Х\, ..., Хм \ х^ь). (В 27 столбцах таблицы даны: индекс i и координаты хо, . •., х®. Корни с t < О дробные, и приведены их удвоенные координаты. Например, г_, = (—1/2,1/2, ... ...,1/2, 3/2j5/2). Таблица содержит все корни с х2ь < 25.) I, X, »„ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ?4 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 о 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо -1ОООО 1-1 О О О О 1-1 0 0 О 0 1-1 О 0 0 0 1-1 0 0 0 0 1 ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо 0 0 111 ооооо 11111 0 0 0 11 11111 0 1111 11111 11111 11111 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 1 I 0 0 0 0 0 0 A 0 0 о 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 A 0 0 0 0 0 11 {) 0 0 1) 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 ч 0 0 О 0 0 {: 0 0 0 1> 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 ОГ 0 0 0 1 0 0 ОС 0 0 ) 0 ( } 0 С 0 0 ОС 0 0 ОС 0 0 I) ( 0 0 0 0 0 -1 1 — 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 С) 1 1 1 1 1 1 2 2 1 0 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 1 0 ( 1 0 ( -1 С 1 1-1 1 (! ) 0 С 0 0 0 0 0 0 0 0 -I 0 1 -1 j о о о 1 i \i < 0 0 1 0 1) 0 0 J 0 I J 0 С ) A ( 1 0 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 2 I 1 2 2 2 2 2 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 Cl 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (J (I 0 0 A 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j 1 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 I 1 1 2 2 4 2 .1 :i ;i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (I _ I 1 1 1 2 - 4 ,i 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 :t 4 4 6 6 7 7 4 9 9
Таблица 28.1 (продолжение) 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 66 57 58 59 60 51 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 A 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 I 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : 1 t L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 > 2 I 1 2 I 1 I 2 2 1 I 2 2 1 I 1 2 2 2 1 I 1 2 2 2 I 1 2 1 1 1 1 2 1 2 > 2 1 2 1 г г 1 2 2 2 2 » n ?. L 2 2 2 2 1 2 2 2 , t > 2 ь е. 2 2 2 2 2 2 2 i 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 > t. 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 to to is to to 2 2 2 2 to to 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 г 2 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 г 2 2 3 2 2 to CO С. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 2 со со с со со 3 3 3 3 3 3 3 3 » 3 3 3 4 3 3 4 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 3 п ю ее ее 3 3 3 3 3 3 СО СО СО 4 3 3 3 4 4 4 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ЧИП съ со 3 4 3 3 3 4 4 4 3 4 4 4 4 2 2 3 о 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 5 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 4 5 5 К 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 б 5 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 С 5 5 5 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Г> 5 5 5 6 6 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 г 5 б S 5 5 С 5 5 сл сл сл 5 я 6 6 6 в в в в 9 10 10 10 II 11 12 12 12 1 2 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 15 IS IS 15 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17
•л r-i-i-xxxxxrcxr-C ¦'ддяг. ггагаэо ZrOoOOOOOO— —1 -ч ^ __i — — -, — — — — — __— _ —, —, — — — — — _ — ~t <ц :i -i -i -i -i ¦:) :< ?i ;i ?i :i о H tO -,O cC ¦?> '?> CO '?> "-O ¦?> CO S '¦? ce "-? X> О О I- 1^ 1~ I- 1- f- !~ [• t- I- f h t» t»h t» i~ i^ r- H cc CO "^ X> "^ "^ ш О "-О "О "^i "Л 'С *— С С « О С С » — "«О — "-О СО I— I- ("• t"* I~* I" I— 1" 1-- 1-* Н 1Л ^Т ^ »О СО tC с?г <С СО ^О ^О "— ^ СО "^ ^О ^ СО СО О СО ^О О ^ to СО w ^О СО ^ СО ^ tO CO ".О tO" t^ ь^ ii*" i^1 i^ i^1 i^ j^ i^^ i^* i^ i^ "О »»ч "^ -^ сО СО ^С сО *Q f^ **^ е^ "^ г^ to сО "^ СО to CO ¦© СО to *^ СО1 о Н iniomK!iou;ioiCiru:t:ic w « о « о « и иное © ;о;ооо:оосо;о;о;о;сс& ^ iO О О Ю *О О Ю *О *О Ю 1^ 10 ^ 1С *С 'О »О **^ '-'З О О it '.С 'О СО СО >0 ^ О *С *С 1С ^ '•? "СО ^^ ¦я к я о | «=„„„„.„„„„,„„ с^„^М„.М^ ^.^„^.^, s C4 N П П ^ COM NM f) ПЙ «мия.яммянммя ^ООООООФООООО ООООООФООООО ООО OSCSOdftOOOOOOOO
Таблица 28.1 (продолжение) 108 109 110 111 112 US LL4 Ш 116 117 118 119 120 121 123 128 129 130 131 J32 133 134 13.") 13(! 137 138 139 НО 141 142 143 0-0 о 1 о о о о "а. 21 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 g » 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 g g g 8 g 8 g 8 8 g g g g g 8 g 8 8 g 8 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23
Таблица 28.1 (продолжение) 144 145 14S 147 US 149 150 151 152 15S 154 155 158 1.37 158 159 SCO 151 102 1G3 Ki4 iCj )(.>". 107 -1 -2 о — 4 — 5 -8 -7 -8 -9 — 10 -П -12 о 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 0 D 0 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 __ 1 -1 I 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 I 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 I 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 1 I 1 1 2 2 2 1 2 2 2 о 2 1 2 n 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 2 2 л 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 3 я ¦2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 s 2 3 3 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 3 1 1 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 i 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 S 5 4 4 5 4 5 S 4 4 4 5 4 4 4 5 4 4 4 1 1 3 3 3 3 3 3 s 3 5 5 5 5 4 4 n 5 5 5 5 S 5 5 5 5 5 5 S 5 5 S 5 4 5 5 1 1 3 3 3 3 3 s 5 3 5 5 S 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 S 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 3 3 3 3 5 5 5 5 5 6 5 S 5 Я 6 s 5 0 6 6 5 5 5 6 6 0 6 5 S 5 5 6 5 5 1 1 3 3 3 5 s 6 6 5 5 S ;. 5 6 G в С 6 6 6 в 0 6 в 6 в 6 6 6 6 в 6 6 в 6 1 3 3 3 3 5 5 s 5 5 5 5 в 0 0 С e G 0 0 6 6 6 e 6 e e e 6 e 6 e 6 e e 6 1 3 3 3 3 5 5 5 5 6 0 e 6 6 e 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 в 7 1 3 3 3 s s 5 5 5 g 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1 3 3 5 5 5 5 S 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 7 1 3 3 5 5 5 S 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 g 8 8 8 8 g g g g 7 1 3 3 5 5 5 5 7 7 g g 3 g 8 8 8 8 S g g g 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 g 1 3 3 5 5 5 7 7 7 8 g g g g g 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 g 9 3 3 3 5 5 5 7 7 7 9 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 5 9 11 15 15 17 19 21 21 2i 23 23
Таблица 28.1 (продолжение) -13 1 -14 -1 -IS 1 -16 -1 -17 -1 -IX -1 -)!> 1 -20-1 -21 1 -22 1 -23 1 -24 1 -25 -1 -26-1 -27 1 -28 -1 -29 -1 -30 -1 -31 1 -32 -1 -33 1 -34-1 -35 1 -36 1 -37 1 -38-1 -39 1 -40-1 -41 1 -42 -1 -43 -1 -44 -1 -45 1 -46-1 J -47 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t 1 1 f I 1 1 1 1 1 1 I 1 [ 1 1 1 1 1 1 -48 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 J 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 • 3 3 3 1 1 3 1 1 ,'( 1 3 1 3 3 3 1 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 s 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 .4 3 3 3 3 3 :t з 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ,4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 3 3 3 3 3 5 3 3 3 3 3 3 ,'j 3 3 3 3 3 3 3 3 s 3 5. 3 3 3 3 5 5 5 3 3 5 5 s 5 3 5 3 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 3 s 3 s 5 5 3 5 5 3 5 5 5 5 S S 5 Я 5 5 5 5 S 5 5 3 3 5 3 5 3 3 5 5 <> S 5 5 5 5 5 5 5 S 5 5 S 5 5 5 S 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 5 3 5 S S 3 5 5 S 5 s 5 5 5 S S 5 5 S 5 S s 5 5 5 5 7 5 S 7 S 5 .5 7 7 7 s 5 5 5 S 5 5 5 5 5 s s s 5 5 7 5 S S S 5 7 5 5 5 7 7 7 7 7 S 7 7 7 7 S 5 5 5 S 5 5 S 5 5 5 5 5 S 7 7 5 7 7 S 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 S 5 5 5 S 5 7 5 ^ 7 7 7 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 >? 9 7 7 S 5 5 7 5 s 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 7 7 9 7 7 9 9 9 5 5 7 7 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 7 9 9 9 9 9 9 U 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 0 7 7 9 9 fl 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 0 7 7 9 U a a » 9 9 a 9 9 Э 9 9 9 9 9 9 9 9 (» 11 i) 9 7 7 7 7 7 9 9 9 H 9 9 9 9 9 g у 9 9 9 9 9 11 11 9 9 9 11 11 11 11 11 7 7 7 7 7 У 9 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 1 1 11 9 9 1 1 1 1 11 11 11 11 U 11 1 1 It 11 7 Э 9 У 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 11 И 1 t H 1 L 11 11 и и 11 ii и n и 11 u и 7 9 9 9 !) 1) 9 9 9 9 9 9 <) 11 It 11 II 11 11 U 11 11 11 11 1 t 1 1 11 11 11 It a и и 13 13 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 11 11 11 11 11 11 11 11 11 It 11 11 J1 11 1 I 11 11 13 13 13 13 13 13 13 13 9 9 9 9 <) У У 9 9 J 1 11 It U 11 11 11 11 11 1 1 I l 11 11 11 l'i 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 2.> 25 21 T, 27 21 27 24 29 2!1 31 31 31 31 33 33 33 XI 33 33 a:i «5 :M :!5 .45 37 37 37 37 37 37 37 39 39 39
Таблица 28.1 (продолжение) 1 X -49 - -50 -51 - -52 - -53 -54 -55 -56 - -57 -58 -59 — 60 -61 -62 - -63 - -64 -65 -66 - -67 - -68 -69 - -70 - -71 - -72 - -73 -74 -75 1 -76 - -77 - -78 1 -79 -1 -80 - -81 -82 - -83 1 -84 -J 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 3 3 3 3 3 3 .") 3 3 3 5 5 3 3 5 3 3 3 3 5 5 3 ь 3 ъ 3 3 5 3 5 5 5 3 5 3 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 3 5 5 5 5 S 5 5 5 б 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5 5 а 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 S 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Я 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 5 5 7 5 S 5 5 5 5 5 5 5 7 5 5 5 5 5 7 7 5 7 7 7 7 5 7 7 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 7 7 5 7 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 7 7 7 9 7 7 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 7 9 7 9 7 9 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 9 7 7 7 7 9 9 9 Я 9 9 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 Q У 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 11 9 9 9 11 9 9 9 аг1Я 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 11 11 9 9 И 9 9 9 9 9 11 11 И 11 11 11 11 9 9 11 х17 9 9 9 9 9 9 9 И И 9 11 9 9 9 11 11 11 11 11 И 11 9 11 И 11 11 1 1 И 11 11 11 И 11 11 11 11 х„ 9 9 11 1 1 11 1 1 9 11 1 1 1 1 11 1 1 11 11 11 11 11 1 1 11 11 11 11 11 И 11 11 1 ( 11 1 1 13 и 11 11 И 11 И *1. 11 и 11 1 1 11 11 11 11 11 11 11 1 1 11 и 11 11 11 11 13 11 11 11 11 11 11 11 13 13 13 13 11 11 11 13 13 13 X И 11 11 11 11 11 11 11 11 13 11 1 1 11 11 11 13 13 13 13 11 11 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 **1 11 11 11 1 1 и 11 13 13 13 13 11 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 х„ 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 1 3 13 13 13 15 15 15 15 15 15 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 |.г> IS 15 15 15 15 15 1 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 15 1 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 «as 39 39 39 3? 39 39 39 41 41 41 41 41 41 41 41 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 43 45 45 45 45 45 45 48 45 4о 45
Таблица 28.1 (продолжение) -85 1 1 1 1 3 -86 1 1 1 1 3 -87 1 1 1 3 3 -88-1 / 1 1 i -89-1 1 1 3 3 -90 1 1 1 1 3 -91 1113 3 -92 - 1 1 1 1 3 -93 1 1 1 1 3 -94 1 1 1 3 3 — 95 1 1 1 3 3 -96 -1 I 1 1 3 -97 1 1 1 3 3 - 98 - 1 1 1 1 3 -99-1 1 1 1 3 -100-1 1 1 3 3 -101 1113 3 -102-1 1 1 1 3 -103 1 1 1 3 3 -104—1 1 1 1 3 -105-1 1 1 3 3 -106-1 1 1 3 3 -107 f 1 1 1 Я -108 1 1 1 3 3 -109-1 1 1 1 3 -110-1 1 1 3 3 -111 -11 13 3 -1 12 1 1 1 1 3 -113 -I 1 1 3 3 -114 11113 -115 -1113 3 -116 l i i i a -117 1113 3 3 3 5 5 7 3 5 5 5 5 3 3 3 5 5 3 3 5 5 5 3 5 5 5 7 3 5 5 5 7 3 3 5 5 7 3 3 5 5 5 3 5 5 5 7 3 3 5 5 7 3 S 5 5 5 3 3 5 5 7 3 5 5 5 5 3 3 5 5 7 3 5 5 5 5 3 3 5 5 5 3 5 5 5 7 3 5 5 5 7 3 5 5 7 7 3 5 5 5 7 3 3 5 5 7 3 5 5 5 5 3 3 5 5 7 5 5 5 5 7 3 5 5 7 7 3 3 5 S 7 3 5 5 5 5 3 3 5 5 7 3 5 5 5 7 3 5 5 5 5 3 5 5 5 7 3 5 5 5 7 3 3 5 5 $ 7 7 7 7 Э 5 7 7 9 Э 7 7 7 9 9 7 7 7 9 9 7 7 9 9 9 7 7 9 9 9 7 7 7 0 9 7 7 9 9 0 7 7 9 9 9 7 7 9 9 9 7 7 7 9 9 7 7 7 9 9 7 7 9 9 9 7 7 9 9 9 7 7 7 9 9 7 7 7 9 9 7 9 9 9 9 7 7 9 9 11 7 7 9 9 9 7 9 9 9 9 7 7 9 9 11 7 7 9 9 9 7 7 9 9 9 7 7 9 9 9 7 7 9 9 9 7 9 9 9 9 7 7 9 » 11 7 7 9 9 11 7 7 7 9 9 7 7 9 9 9 7 7 9 9 9 7 7 7 9 9 7 7 9 9 9 9 11 11 11 13 9 11 11 U 13 9 11 11 11 13 9 11 11 11 13 11 It 11 11 13 9 11 11 13 13 11 11 11 13 13 11 11 11 13 13 11 11 11 11 13 9 11 11 13 13 It 11 11 13 13 It It 11 13 13 9 11 If 11 13 9 11 11 11 13 11 11 11 11 13 9 11 11 13 13 11 tt 13 13 13 A 11 13 13 13 11 11 11 13 13 11 11 11 13 13 11 11 11 13 13 It 11 13 13 13 11 11 13 13 13 11 11 11 13 13 11 11 11 13 13 11 И 11 13 13 11 11 11 13 13 11 11 11 13 13 И 11 13 13 13 11 11 13 13 13 9 11 11 13 13 11 11 11 13 13 11 11 11 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 15 15 15 15 15 13 13 13 13 13 13 13 15 15 15 13 13 13 13 15 15 15 15 13 13 13 13 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 1E> 15 15 1Я 15 15 15 15 15 15 15 15 15 IS 15 IS 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 15 15 15 15 15 15 15 15 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 45 45 45 45 47 47 47 47 47 47 47 47 47 47 47 47 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49 49
§ 2. Перечисление корней Лича 661 с центром в z. Следовательно, другие корни Лича должны иметь строго большие значения N(x — z), т. е. строго положи- положительные значения /. Корни Лича (ги) из табл. 28.1 включают все корни с t ^ 25 и были обнаружены программой обратного поиска. Мы будем называть элементы этой таблицы гиперболическими координа- Таблица 28.2. Евклидовы координаты (г/о г/гз) тех же корней Лича п, что и в табл. 28.1. (В столбцах даны: I, Уо, • ¦ ¦, Угъ- Корни г-/ не удвоены. Используются сокращения: + = +1, — = — 1, Ь = —2, d = —4.) 0 4000 0000 0000 0 0 00 0000 0000 1 0000 d 0 0 0 0000 00 0 0 0000 0 0 0 1' 3 0000 0000 4000 0 00 0 0000 00 ПО 5 0 0 0 0 0000 000 0 0000 4000 0 0./ О 6 + 4 + + +_ + _ + + Т+ -+-+ + + -,-> 7 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О I > 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0@'/ 11 0 0 0 0 0000 0000 0 0 00 О О СО ¦) ' I 1" 0000 004 0 0000 0000 0000 О о о 'I li J-- г - -+--I- +- + - -т-+ J- + H1 -, - - J- !5 0 000 0000 0000 004 0 О О О О 0 , О и XJ + _ + т + + + _+ +Т-|- + + Т-1--, '7 00 0 0 0000 0000 0000 0000 005 0 18 + + - + + — +-+— +1- + -Г + + + + - -I - V !9 0000 000 4 0 000 0000 0000 0 000 20 +--+ -I- + - +--+ - + -Г- + + ++ + + + + 21 0000 0000 0 000 0004 0000 0000 22 -1 —_ -L + + +4- — -4-4-— 44--I 4-4.4- — 23 0000 0000 0000 00 0 0 0004 0000 24 + - Н + + 4- -4-4-4- 4- -4-4-4- 25 0000 0000 0000 0000 0000 000 i 2в OOdO 0000 0000 0000 0000 0000 28 0000 0000 0000 0000 0 4 00 0000 30 OiiOO 0000 0000 0000 0000 0000 31 +4-_+ _ + 4-4- 4 4-4--+ +- + + 4-4-4-- 32 0000 0000 0000 0000 0040 0000 33 +-: - + - + + - - + + + -Ч- - + - - 1-4-4-4- 36 OOOd 0000 0000 0000 0000 0000 39 0000 0000 0000 0000 0000 4000 40 4- - + + 41 .+ + - + 42 + 4- - + 43 + - + + 44 + + - 4- 45 ¦+
662 Гл. 28. Корни Лича и группы Винберга Таблица 28.2 (продолжение) 46 0000 0000 0004 0000 0000 0000 49 0000 0000 0000 4000 0000 0000 50 + h - + + - - + + - + + + + + + +++ + 51 +--+ - + -+ -- + + + + + + + + + + ++ 53 + - - + -- + + - + -+ + + + + +- + - + + + + 56 +- + + - + + + +- + + - + ++ + + -+ + 57 + + -+ + +- + + - + + + +- + + - + + + 58 0000 0000 OdOO 0000 0000 0000 59 +- + - -- + + + + + + - + + - +--+ + + + + 60 + + + + + + - +- + + + + - + 62 + + + - - + + + + + + - -+ + + +- + + + - 64 + __ + _ --+- - + + + +- + + + + + - 65 + + -- -- + + --+¦+ + + + + + + + + + + 66 +- + - -- + + - + + - + + + + + + + + + - - + 67 0000 0000 0040 0000 0000 0000 71 + + -- -- + + + + + + + + + + + + -- -- + + 72 +- + + -- + - + + + - - + + + + + + - - + + + 73 + + -- - + + - ++ + + - + - + +- + - + + + + 74 + __ + _ + + + -+ + + + - +- + + 75 + + -+ -+ + + + + -+ - + + + ++ + - - + - - 76 + + + - - + -- + + -+ - + + + + + -+ -+ + + 77 +- + + - + + + + + -+ + +- + + -++ + 79 + +- + + + + -+ - + + + + + -+ -+ + + 80 0000 000'о OOdO 0000 0000 0000 81 + + + - + + + + + -+ +- + + 82 +--+ -- + + - + -+ + + + + - + - + 83 + __ + _ -+-- + + + - + + -+ - + + + 84 j __|.-|.-|. — -1 —-1 j _(__(_ i _(__(_ 85 2000 6202 2000 0020 0002 0200 86 + + - - - + -+ - + + - + + + + - + + - 87 + - + + + - + -- +- + + +- + + - + 88 + + + + + - - + + + ++-+ - + -- 89 +- + - -+-+ - + -+ +- + - + + + + + + + + 93 0000 0000 0400 0000 0000 0000 96 +- + - -++- ++ + + -- + + + + ++ + + 97 + + -+ - + -- + + +- - + + + - + + + + + + - 98 ++ + - - + + + +- + + -- + - + + + - -+ + + 99 +- + - - + -+ + + + + + + + + +- + - - + - + 100 + + +- - + ++ + + + - - + + + - + -- + + - + 102 - + - - + + -+ + + + - - + + + + + + - -++ + ЮЗ + + -_ + _ +- + + +++- - + + + 104 + - + -- - + -- - + + + ++ + - + + - + 105 2000 6220 2000 0002 0200 0020 Юв 'J-- + + - + + + +-++ - + + + __ + _ ++ + -
§ 2. Перечисление корней Лича 663 Таблица 28.2 (продолжение) 107 • 108 109 110 111 112 113 114 115 116 +-- + 117 0000 0000 0000 1@00 0000 0000 1 I Q i _ i i!_j i i + 4- -I к + 119 0600 0222 2000 0200 0002 0020 120 + -+ + + + + + + - + ++ + - 121 + - + ++ + + -+ -- + - + + -+ --+- 122 + - + + + H h+ --i H h+ —H 123 + - + + + + + + - + + + + + - 124 +- + + -+ + + + + + -+ - + + + +- + + 125 0000 00OO 0004 0000 0000 0000 126 127 128 129 130 131 132 ++- + 133 +- + - 134 +- + + 135 + + - - 136 + + - + 137 + 138 +- + + - + + + + + -+ + + + - - + 139 2000 И22 2000 0200 0020 0002 140 + + -+ - + + + +- + + + + + - + + + - + 141 0060 0222 2000 0020 0200 0002 142 + - + ++ + + + + - + + + - + 143 +- + + - + + + + + + - + + -+ + +- + + 145 + - + + -( - + -- +- + + - + -- +-+ + 147 + - + + + ++ + - + + + + - + 148 + + + + - -i - + +_ + _ + + + + + + - + + - 149 2000 6 0 00 2000 0222 2000 2000 lr>0 0600 0200 2000 0222 0200 0200 151 I) 060 0020 2000 0222 0020 0020 152 + + -- + + - ++ + + - + + - - + + - 153 + -|- - +-++ - + + + + + + - + - 154 + + + + -- + + + + + + + + + + - + - + 155 0006 000." 2000 0222 0002 0002 156 +- + - - + --( 157 - + -+ + -r+ + 158 + + + + 159 0000 0000 0000 0000 0000 liOOO 160 + + - - - + -+ +- + - -- + + - + -+ - - + + 161 + — + - + + - + + + + + — + + — + 162 + + - + + -+ - + + + +- + + + 163 +--+ - + +- + + -- -- + + - + -+ - + - + 164 + _ + __ +-++ - + + + + + + - + 165 H + _ + + - +_ + _ _ + _+ + + + + F6 H _ + + + + + + _ + + + _ + + 167 H + - + + - + + + + + + + + - + + - H +
684 Гл. 28. Корни Лича и группы Винберга -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 —12 -13 -14 -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 -2в -27 -28 -29 -30 -31 -32 -33 -34 -35 -36 -37 -38 -39 -40 -41 -42 -43 -44 -45 -46 -47 -48 -44 -50 — 51 -52 eg -54 -55 -5в -57 -58 -59 -60 + + + 4- , l_ , +— + — - + + - н— 4 н— + + н— + + + + - + + - 4 + — + — + + + - 4 _ + + - _ + + _ 4- + + - -г _ 0 0 X — т J- t- - j 2 0 — + _». _ 4- + — — - _ + — + 4 - + - + - + 4-4- + - - + — + - + + - + ~ _ + + + + - + _ - + - + 0 0 + + + + _ + Ь A —+ — + 4- 4- Таблица + + + + — + + + —+ + + — + + + + + + — + + + + — + + + h + + + Н h -| |- + 4. 4 (. - + + + Н h + h + + + + + + + + + + + -Ь + + — — -г + + + + + |_ 4 - + + + — + + + h + — + + + - + + + + _ -| |- + + + + + + + + + + — + — Н h + + + + _ -| |- + + + + — Н h -+ + + - + - + + + — -Н - + + — + + + — + + + + + + + + + + + + — + + - + + 1- + Ь A 2 0 + + + - + - + - — + + — + - + + + + + + - + + f — + + - 0 0 2 2 — - + + \- + И- 28.2 + + + + + — + + + + + — + — + + + — + + + + + — н— + + + — + _ + + + + + + + + + + + + + — + - + - + — + + + + + — + - + ~ + — + _ + - + _ + - + - + — + _ + - (I 0 + - + _ + - + — + — + - A 0 + _ + + + - (продолжение) + + + — + - + + —+ + + + - _ + + + 4- 4- — + 4 4- — _4- __ _4- _4- _ 4- - + + + — 4- - + + + — 4- 4- 4- - 4- — + - + - 4- - - + 0 0 -- _ + - + + + — 4- -1 0 0 — + + + + + h + + —+ + + Н h + — + + + h + + + - + + + + — + + + — + н ь —t- + + , , , , - + + + — + + + — + + + — Н h — + н— _ 4- Н — + + — 4- 4- 4- -t- — + —+ 4- н н 4 1-4- + + + + + - + + — 4 у 4-4-4-4- 1- 4- 4- 4-4- + — 4-4-4- '+ + 4 |- — _ 4- Н + + + + + + + + + + + - + - + - 4 , 4- + + + + + + — + + + + + + + + + 4 (. + + + + И- + + + + 0 2 0 2 + + - + 4.4.4- + + + + + — + + + -+ - + h + + 0 2 2 0 + + + - + + + + + + + + + Н + 4- + + + + + 4- + 4- 4- 1 + + — + + + 4_ + + _ 4- — + + + _ 4- — - + 4- _ 4- 4- — 4- 2 + + _ 4- + + 2 + 4- 4- + + + + "* + '(" + - + + - + + - + + + + — + + Н h — + + (. 4- 4- -4- -4- Т^ ^ ^ + + — 4-4- + + + + + + + 1_ 4. + + + 4 f- + + + + 4- -f- + + + 4-н 4- 4 4- — 4-4- + — + + + + '+ 4 |- h h + + + + + + + + + + + + + — + — + + — 4 h — 4-4 + 0 О 2 + - + + + - + - + + V + - + + 0 0 2 4 \. h + + + + + + + + + — + — — — — — + + — — — + — _ 4- + + + + + + + + + — + + i 4. 4. 4- — + + + 4- A - + — + + + + 0 — + + + + + + + — + + + + — + + + И + + + + + + + + + + + + 4-4—, 1 | | + + + — + + H h + + + + + — 4.4 — 4-4- + + + + + + + + + + + + + — + + — + 4-v_ 4. + + + + + + 4 + + - + - + 4-4-4. , -i_ _ 4 + 4 4-4-4. -+ + + + + + + + + + + — + — 0 2 2 + + + + + + - + + - + + + + + - + + + + + 0 0 0 4-t-.^. h + + +
§ 2. Перечисление корней Лича 666 Таблица 28.2 (продолжение) -61 4- -J- ¦ - -1 г J- и _ ++_+ н ц- -62 + ¦ . — + - + 4 +¦ + -- + -•!-,¦- — + + + + — + + -64 -4-4-- - -1-4 т + J{-+ 4-4-4-4- 4-4- — 65 - + - + К — 4- -i - + 4- + + 4-4-4-4- — + + — -В(> 4-4- 4 4- J-- + - r4J- f 4-4-4-+ + - + - - f 7 + 4- -г - i - Н-т Н - + -г 4-4-J4- 4-4- — 1>Ъ 0 0 0 0 6 0 0 2 ч I) 3 0 0 2 2 0 2 2 0 0 0 2 0 2 -',1 -г f - + +-|-г | 4-4- i- - т+J-- --4-4- - ', О н I- - 4- 4 -г-!- T'tH 4- Т4-4-4- -71 -(---- + + 4 -, 4-4-- Ч + + -I - + - т + -"" 0 0 0 0 Л 2 Ч 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 2 0 0 2 2 0 -71" 1 И- 4-4--Г- 4 - + + + + т + _ +4-4-- -77 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 -79 4-4-4-- +4--+ 4- + - + + + - + + - +-г + -ЬО + 4- 4- - +-4--I- - - + - -4-4-4- 4- + - + - + + + -S1 -4- 4- 4- f-t--4- + + - + -4-4-4- -82 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 3 0 2 0 2 -НЧ 4-— 4-- 4- - + 4-4- + + - + + + - + -84 + + -+ 4-4-4-- -+- -4-4-4- +-++ -4-4- + _8-> + +- +¦ +-4-4- +-4-4- - + + + -80 -н -. + -- +--,- - + + + +-++ +-+ + -87 + - + -- __+_ - + + 4- +4--4- -+ + + -89 2006 0220 U0OO 00 0 0 2002 02.2.Q -90 (-- _4- + 4- -I +- +- + + 4-4-+- -91 О Ъ Ь 0 60 0 2 Q0 0 0 0000 2002 08 20 г— 94 — — 4-4* г*— ++ —— + + — — ++ ++ + + + + Н ^ — 96 4 \- 4 .+ + + 4 h + + + + + + + + -97 — + + — - + +- -4-+— —+ + - ++++ ++ + + -98 +—4-- +-+.- +-+- +- + - + + + + ++ + + —1)9 4-И +4 +4 +4 + + + + +++ + -100 4- h 4 + —+ + — — <- + — 4-4- + + + + + + - 101 00 0 0 !>22 2 0000 0000 2222 0 000 -102 4-+ + + + + +--+ +- + - ++++ + + -Ю", 4- +- + + -+++ +-++ + + -+ + + + - -100 ++-- + + ++ -+ + - - + -+ + + + + + + -- _ 107 -- + + +- + - +--+ J- + + + + + - 108 0000 6222 0000 '0000 0000 2222 -1A9 4 S-— + + + + 4 h +4 4 h— +++ + - ПО 2600 0022 000 0 0000 220 0 0022 -Ш +4- ++ + + - + -+ -4- + - +-I 4- + + + -112 Н+ 4- h +- + - + + 4- + + + -113 2060 0202 0000 0 0 00 2020 0202 -115 +- + - + + + + -+ + - + + +- + - + + + + _ав - + -+ + + -- 4- — + +- + - + + + + _ jj7 ——„— — ц-4- —+4 — + - h + + ~- — + + + + тами корней. В табл. 28.2 мы приводим евклидовы координаты этих же корней. (Группа из четырех чисел соответствует столб- столбцам MOG-координат, см. гл. 11.)
666 Гл. 28. Корни Лича и группы Винберга § 3. Решетки 1„, i для л ^ 19 Изучение координат, приводимых Винбергом [Vin4], по- показывает, что фундаментальные корни v = (v0, ..., vn-i\vn) для решетки Ц), л< 17, можно организовать в следующие две группы: (а) векторы v (нормы 2), для которых векторы v+ = @ О, 0, v0, ..., о„_! | vn) являются корнями Лича, и (Ь) векторы v (нормы 1), для кото- которых векторы и+ = @ О, 1, v0, ..., ViW являются корнями Лича. Аналогично, частичные списки коор- координат, данные Виибергом и Каплинской [Vinl5], заставляют предположить, что для 118, i фундаментальные корни суть век- векторы типов (а) и (Ь), а также (с) векторы v (нормы 1), для которых векторы V++=(±\, 1, 1, 1, 1, 1, 1, V0, ..., О17|»18) получаются удвоением корней Лича с дробными координатами; а для 119,1 фундаментальные корни суть (а) и (Ь), а также (с') векторы v (нормы 2), для которых векторы v + +=(±l, 1, 1, 1, 1, 1, v0, .... о,8|о1в) получаются удвоением корней Лича с дробными координатами. Эти наблюдения, доказываемые ниже, позволяют немедленно отвечать на вопрос, является данный вектор v фундаменталь- фундаментальным корнем для In, I (n ^ 19) или нет: достаточно проверить, удовлетворяет ли дополненный вектор о+ или V++/2 условиям г-г = 2 и r-w = —1. § 4. Алгоритм Винберга и первые группы фундаментальных корней Винберг [Vin 7] описывает алгоритм поиска множества фундаментальных корней для подгруппы отражений любой дискретной гиперболической группы. Для Aut(In, i) этот алго- алгоритм действует следующим образом. Для подходящего вектора Хо (который можно назвать вектором контроля) сначала вы- вычисляется подгруппа Я, порожденная отражениями, оставляю- оставляющими х0 неподвижным. Для Я выбирается множество фунда- фундаментальных корней vi, ..., vn- Остальные векторы Vn+i, vn+2, ... ..., Vk, ••• определяются индуктивно условиями (i) о* «=!„,,, N{vk)=\ или 2,
§ 4. Алгоритм Винберга 667 (ii) Vk занумерованы в порядке возрастания значения —vk-x0/N{vk)l/i, (iii) Vk'V/ ^ 0 для всех 1 ^ / ^ k. Мы будем считать, что \п,\ A ^ п ^ 25) вложено в I25, i путем добавления к вектору начальной последовательности из 25— п нулей. Наше наблюдение исходит из того факта, что вектор w является удачным претендентом на роль Хо. Это экви- эквивалентно использованию проекции в»„ = B5-л, ...,23, 24|70) вектора w на 1„, i и не влияет на скалярные произведения с эле- элементами In, ь Легко проверить, что вектор wn удовлетворяет условиям на х0, приводимым Винбергом [Vin7]. Удобно организовать векторы-кандидаты г; е 1Л, i, рассмат- рассматриваемые алгоритмом, в группы в соответствии с их нормой и высотой h(v) = —vw. Мы используем символ пь,н для обо- обозначения множества всех v e In, i с высотой h и нормой 2 (т. е. длинных корней) и символ ns.h для обозначения корней высоты h с нормой 1 (коротких корней). Вектор-кандидат v принимается алгоритмом (с вектором контроля w) в том и только том случае, когда v имеет непо- неположительное скалярное произведение с векторами всех строго предшествующих групп, взятых в порядке Hl.u ns,i, пь,г, ns,2, fiL,з, Ul,4, ns,z, •••, задаваемом условием (ii). Теоремы 1 и 2 определяют первые непустые группы длинных и коротких кор- корней соответственно. Теорема 1. Для п ^ 2 первая группа длинных корней — это пь,\\ она состоит из векторов v = (v0, ¦¦•, vn-i\vn), для кото- которых v+ = @, ..., 0, Vo, ..., vn-i|vn) является корнем Лича. Все векторы-кандидаты из этой группы принимаются алгоритмом. Доказательство. Наименьшее возможное значение h равно 1, и легко проверить, что все векторы из nL<x являются кор- корнями Лича (после расширения нулями). Поскольку щ, i — пер- первая возможная группа, ни один кандидат не отвергается. Ко- Корень Лича ^24 лежит в 1„, i при п ^ 2; следовательно, эта груп- группа непуста. Доказательство окончено. Винберг в качестве вектора контроля х0 берет вектор г = = @"|1). Легко видеть, что алгоритм с его вектором контроля и начальными векторами принимает достаточно векторов из нашей первой группы, чтобы породить ими пространство Rn-'. Следовательно, эти две формы алгоритма определяют одну и ту же фундаментальную область.
668 Гл. 28. Корни Лича и группы Винберга Теорема 2. Для 1 ^ п ^ 24 первая непустая группа корот- коротких корней — это ns,25-n- Она состоит из векторов v =(vo, ... ..., yn_i|yn), для которых t)-*- = @ О, 1, v0, ..., vn-\\vn) является корнем Лича. Опять же все кандидаты из этой группы принимаются алгоритмом. Доказательство. Если v e ns, h и 1 ^ h ^ 25 — п, то вектор имеет норму 2 и высоту 1 и, следовательно, является корнем Лича. Отсюда вытекает, что h = 25 — п, так как в противном случае скалярное произведение v+ и корня Лича (С1, 1, —1, Q24—/г j о) было бы положительно. Следовательно, v имеет тре- требуемый вид. Группа ns, 25—« непуста, поскольку она содержит вектор (—1, 0, ..., 0|0) решетки \п,\- Мы не сумели найти универ- универсальное доказательство того, что все элементы этой группы принимаются. Для п^ 19 это следует из результатов Винберга и Каплинской. Для 20 ^ n ^ 24 заметим, что соответствующее множество векторов у+ образует одну орбиту относительно дей- действия стабилизатора решетки Ц i в группе автоморфизмов решетки Лича. Поэтому если принимается хотя бы один вектор из этой группы, то принимаются и все ее векторы. Но вектор (—1,0, ..., 010) принимается алгоритмом в форме Винберга, следовательно, он принимается и нашим алгоритмом. Это за- завершает доказательство. Мощности \tiL,\\ и \ns,2b-h\ первых непустых групп длин- длинных и коротких векторов можно вычислить, зная стабилизатор решетки I«, i в группе автоморфизмов решетки Лича; эти зна- значения приведены в табл. 28.3. Первые группы длинных корней можно описать так. Для п = 18 и 19 nL, 1 является подмножеством множества всех кор- корней, обозначаемым Винбергом и Каплинской через 2*. В част- частности, диаграмма Кокстера корней в 19z., i — это граф инци- инцидентности графа Петерсена. Подмножество 20l, i состоит из 30 корней, образующих 8-клеточный граф Тутте (см. [Наг 2, р. 174] и приводимые ниже рис. 28.1g и 28.1h). Сорок два корня в 21д1 соответствуют точкам и прямым проективной пло- плоскости порядка 4 и соединены по инцидентности, а 100 точек в 22t, 1 образуют граф Хигмана — Симса (см. разд. 3.5 гл. 10). Последняя конечная диаграмма в этом ряду — это 23/., ь ее 4600 точек можно рассматривать как точки решетки Лича, расположенные на минимальном расстоянии от двух точек, ко- которые сами расположены на минимальном расстоянии друг от
§ 5. Остальные группы фундаментальных корней Таблица 28.3. Первые две группы корней Размер- Размерность п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 K.il 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 17 18 20 22 25 30 42 100 4600 оо | nS, 25 -п | 1 2 i ' ! 2 1 2 2 3 5 12 56 1100 953856 оо Известные значения Л, для которых "L. ft ¦* 0 нет только только только только только только только только только только только только только только только только только только 1 . 17 1, 17,... 1, 9, 17,... 1, 5, 9,... 1, 3, 5,... 1. 4, 5, 6,... «S. А "»*¦ 0 только 24 только 23 только 22 только 21 только 20 только 19 только 18 только 17 только 16 только 15 только 14 только 13 только 12 только 11 только 10 только 9 только 8 только 7, 23 только 6 5, 13,... 4, 8,... 3,5, 7,... 2, 3, 4,... 1,2, 3,... друга. Следовательно, они инвариантны относительно группы Со2 (см. гл. 10). Первые непустые группы коротких корней описываются аналогично. § 5. Остальные группы фундаментальных корней Дальнейшие группы фундаментальных корней мы знаем гораздо хуже. В фирме «Белл Лэборатори» была создана компьютерная программа для компьютера Крэй-1 (с вектором контроля xo — z, а не w). Для п = 18 и 19 программа закон- закончила работу и подтвердила результаты Винберга и Каплин- ской [Vin 16] (полученные частично вычислениями, а частично анализом ситуации). Для п = 10 имеются еще 12 фундамен- фундаментальных корней, принадлежащих группе 18s, 23, как описано в § 4. Для п= 19 имеется еще 20 корней, они принадлежат 19/., 17. Поскольку алгоритм очень времяемкий и поскольку Вин- берг и Каплинская не выписывают все корни для п= 18 и 19,
670 Гл. 28. Корни Лича и группы Винберга мы составили табл. 28.1 и 28.2 так, чтобы включить также со- соответствующие корни Лича у++. Для п ^ 20 Винберг [Vin 7] показал, что подгруппа отра- отражений в группе Aut(Ira,'] имеет бесконечный индекс1, так что число фундаментальных корней бесконечно. Наши обшир- обширные, но все же неполные вычисления показывают, что по край- крайней мере некоторые векторы из групп, указанных в табл. 28.3, принимаются. Создается впечатление, что, например, в группах 20/., 17 и 20s, 13 алгоритм принимает векторыv = (vq, ..., |) для которых векторы (± 1, 1, 1, 1, 2, о0, ..., о19|о20) выражаются в виде 2r + s, где г и s — корни Лича. Мы также установили, что фундаментальная область ре- решетки Н2о, 1 обладает симметриями, не сохраняющими вектор w. Одна из них переводит w2o в вектор ш^ = A3, 14, 15 30,31,48|110) и переводит исходные группы 20 l, i и 20s, ь в другие группы 20?л и 20^ 5. Два 8-клеточных графа 20/., i и 20^ j пересекают- пересекаются по 24 корням, и похоже, что множество всех длинных фун- фундаментальных корней является объединением таким образом пересекающихся 8-клеточных графов, а множество всех корот- коротких фундаментальных корней является объединением бесконеч- бесконечного числа непересекающихся образов 20s, 5- Хотелось бы знать больше!2) Сто фундаментальных корней в 22l, i получаются из корней Лича, начинающихся с 000 .... Последние таковы: 42 начинаются с 0000 ... (и дают 21^,), 56 начинаются с 0001 ... (и дают 21Sj4), 2 начинаются с 0002 .... Все они, кроме пятнадцати, содержатся в табл. 28.1. Последние пятнадцать появляются при нашем упорядочивании корней Лича гораздо позже и приводятся отдельно в табл. 28.4. На рис. 28.1а—h приводятся диаграммы Кокстера — Вин- Винберга для фундаментальных корней 1п, и 13 ^ п ^ 20. Фунда- Фундаментальные корни в tiL, 1 изображаются простыми кружочками, а в tis, 25-n — двойными. Остальные корни (для п = 18, 19, 20) ') Более подробная информация об унимодулярных решетках в евкли- евклидовом пространстве R", которую использует эта теорема, содержится в гл. 16. 2) Р Е. Борчердс (частное сообщение) знает больше, в частности, он подтвердил нашу догадку про случай п = 20.
Таблица 28.4. Другие корни Лича в гиперболических координатах. (Эта таблица вместе с табл. 28.1 включает 100 корней Лича, начинающихся с 000 ..., и, следовательно, включает первые две группы .фундаментальных корней для решетки I2i,i и первую группу для I22,i.) Хл •*¦() 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X Л1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 1) 0 0 0 J 0 2 0 2 X, л f 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 .7 . 2 о 2 2 2 2 2 2 о 2 3 о 2 2 2 2 2 2 2 о 3 3 3 3 3 3 я:- 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 :i 4 .тй 3 3 3 3 3 3 3 3 ¦л 3 4 3 4 4 4 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4 5 5 5 5 е 4 4 4 S 4 S 5 5 5 5 5 5 fi fi fi х13 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 fi 7 5 5 5 5 fi .-, <; и c« <> г, fi 7 7 S 5 6 s fi fi <; r, i; G fi 7 7 7 8 6 6 fi fi 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 6 (i >\ й (> 7 6 7 7 7 7 8 8 8 9 fi fi 7 7 7 7 7 7 8 7 8 К 8 11 9 7 ¦7 7 7 7 7 7 S 8 8 Я 8 :> 9 10 7 7 8 7 7 8 ? 8 8 8 9 0 9 10 l!) 7 8 8 8 8 8 8 il <) !! 9 9 10 10 11 8 8 8 8 8 8 9 0 9 9 9 Г) 10 ! 1 11 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 12 9 9 9 9 9 » 9 10 10 10 10 11 11 12 12 x85 25 25 26 215 26 27 4, / 28 29 29 30 31 32 34 36
672 Гл. 28. Корни Лича и группы Винберга Рис. 28.1. Диаграммы Кокстера — Винберга для Aut(Iis.i)—Aut(ho,i). Числа при вершинах обозначают соответствующие кории Лича. не показаны. Числа при корнях из nL, i и tis, 25-л суть индексы i соответствующих корней Лича v+ = n, которые проектируются на Rn-', как объяснено в § 5. Например, вершина 9 в диа- диаграмме для I is, 1 (рис. 28.1) соответствует корню Лича г9 = @8, +1, -1, О1510). Поскольку эта вершина обозначена двойным кружком, это — короткий корень, так что г9 должен проектироваться на (—1, О1510), который и является фундаментальным корнем для lie, 1, соответствующим вершине 9. На следующем рисунке вершина 9 обозначена обычным кружком, поэтому мы проектируем гд на (+1, —1, 015|0) — фундаментальный корень для Ii7,1.
§ 5. Остальные группы фундаментальных корней 673 И) ««17 Рис. 28.1 (продолжение). Каждая пара корней, обозначенных двойными кружками, должна быть соединена двойной линией, но для простоты эти линии на рисунках не изображаются. Рисунки даны в виде под- подграфов 8-клеточного графа, который (за исключением 10 опу- опущенных ребер) изображен полностью на рис. 28.lh. Опущенные ребра соединяют диаметрально противоположные пары вершин 36 и 6, ..., 29 и 28, и показаны только их концы. Читатель должен обратить внимание на то, что для каждой размерности, большей 13, у диаграммы имеется нетривиальная симметрия.
674 Гл. 28 Корни Лича и группы Винберга В центре рис. 28.lh имеется окружность из 10 коротких кор- корней, содержащая в середине еще два корня. Десять вершин этой окружности должны быть обозначены 34, 39, 40, 46, 48, 49, 58, 60, 74 и 80, а две внутренние — 5 и 31. Двойные линии от 40 к 9, 17, 23, 26, 36 и от 5 к 6, 29, 33, 38, 45 обозначены длинными двойными стрелками. Вершина 31 должна быть со- соединена с 15, 18, 25, 28, 36 двойными линиями, а оставшиеся соединения для вершин 34» 39, ... получаются поворотами рисунка.
Глава 29 Монстр и его 196884-мерное пространство Дж. Конвей Простая группа, называемая Монстром, была впервые по- построена Р. Гриссом в 1981 г. как группа автоморфизмов неко- некоторой алгебры в евклидовом пространстве размерности 196884. В этой главе описывается упрощенная конструкция, приведен- приведенная в работе [Con 15]. Эта конструкция основана на двоичном коде Голея, решетке Лича и замечательной неассоциативной лупе (тесно связанной с кодом Голея), открытой Р. Паркером. § 1. Введение Простая группа, называемая Монстром (или дружественным гигантом, или группой Грисса — Фишера), порядка 808017424794512875886459904961710757005754368000000000 = = 246-320-59-76- И2- 133- 17- 19-23-29-31 -41 -47-59-71 была впервые построена Р. Гриссом [Gri 4], [Gri 5]. Эта груп- группа М также изучалась в работах [Con 16] — [Con 18], [Con 24a , [Fre 1] — [Fre5], [Gri 2], [Gri 6] —[Gri 8], [Gri 10], [Gri 10a t [Nor 5], [Nor 6], [Smil3], [Soi2], [Tho 4] —[Tho 6], [Tit 8 , [Tit 9]. Основная цель этой главы — кратко описать упрощен- упрощенную конструкцию из [Con 15]. Проверка правильности этой конструкции сводится к элементарным, но утомительным вы- вычислениям. Часто повторяемые слова «явные вычисления» — это неявная ссылка на приложение к работе [Con 15], где эти вы- вычисления проведены во всех деталях. На рис. 29.1 показаны различные подгруппы Монстра, по- появляющиеся в нашей конструкции, плюс некоторая информация об их структуре. Группа N — это нормализатор четверной груп- группы в Монстре, нетривиальные элементы которой суть х.-иУ-\,г-и Поскольку N переставляет эти элементы, у нее имеется есте- естественный гомоморфизм на Эз, и подгруппы Nх, Ny, Nz суть прообразы трех подгрупп S^ в Эз — иными словами, они со- состоят из элементов группы N, коммутирующих соответственно с х-и у-и z-u Пересечение этих трех групп, которое также
676 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство структуры: МОНСТР г1+2«.со, 22.211.г2г.М24 22.E11.222.S3 г 1+24 Рис. 29.1. Некоторые подгруппы Монстра. является пересечением любых двух из них, — это_ группа_ NxyZ, централизующая группу х-и у-и г-\. Группы Q, Qx, Qy, Qz, Qxyz — эт0_ нормальные 2-подгруппы указанных выше групп, а группы Ох, Оу, Ог — это полные централизаторы в Монстре соответствующих инволюций х~\, у~и z-u Пришло время объяснить смысл черты над обозначениями всех этих групп и быстро описать конструкцию. Основная идея состоит в том, что мы даем явную конструкцию некоторой группы N порядка 2 01889334420601569280 = 248 - З4 • 5 • 7 • 11 -23 как группы перестановок троек элементов в неассоциативной лупе ^, открытой Р. Паркером [Par 2]. Эта группа N оказы- оказывается четырехкратным накрытием описанной выше группы N. Определение группы N позволяет легко определить ^екоторы_е представления подгрупп Nx, Ny, Nz (прообразов Nx, Ny, N2 в N) в некоторых евклидовых пространствах довольно большой размерности, и мы можем соединить эти представления так, чтобы получить представление N в 196884-мерном простран- пространстве, на котором мы определим некоторую алгебраическую структуру, инвариантную относительно N.
§ 3. Группа Матье M2i 677 На самом деле мы даем три разных определения этой ал- алгебры, которые ясно показывают, что в действительности она инвариантна относительно каждой из трех довольно больших групп Gx, Qy, Gz, которые не являются подгруппами N, и мы можем определить Монстр как порожденную ими группу. Мы дадим удивительно простое доказательство конечности группы G, но вычисление ее порядка и отождествление этой группы с абстрактной группой, уже известной под именем Монстра, за- зависит от одной теоремы Стефена Д. Смита. § 2. Код Голея W и лупа Паркера ^ Как обычно, через <& обозначается двоичный код Голея, со- состоящий из 212 двоичных слов длины 24, со спектром весов О1 87М 1215Г6 1675-' V41 (см. п. 2.8.2 гл. 3). В этой главе мы используем мультиплика- мультипликативные, а не аддитивные обозначения для кода Голея W, про- продолжая, как и в предыдущих главах, отождествлять его эле- элементы с соответствующими множествами (^-множествами). Лупа Паркера У — это (неассоциативная) система с центром {1,—1} порядка 2, по модулю которого она превращается в экземпляр кода И?. Мы пишем а, Ъ, с, d, e, f, ... для типичных элементов 5s и d-*-d для гомоморфизма на <<Р. Таким образом, й и —d— это два прообраза ^-множества d. В частности, Q и —Q — это два прообраза универсального ^-множества Q. Итак, мы уже знаем, как перемножать элементы из ZP с точностью до знака. Точные правила для знаков довольно тонкие (см. приложение 1), но для обзора нашей конструкции они нам не понадобятся. § 3. Группа Матье Мцш, стандартные автоморфизмы лупы 3* Автоморфизмы кода Голея ?? образуют группу Матье M2i перестановок Q. (Рассматриваемый как абстрактная группа, код W, конечно, имеет и другие автоморфизмы.) Группа Ми 5-транзит::вна на Q. се порядок равен 24 • 23 • 22 • 21 • 93 ¦ 16 ¦ 3 = 244823040. Стандартные автоморфизмы лупы ^ — это такие автомор- автоморфизмы, которые превращаются в элементы из М2*, если мы забызаем про знаки элементов лупы Паркера. Они образуют группу, которую мы обозначим 9". (Как абстрактная лупа ЗР
678 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство имеет и некоторые другие автоморфизмы.) Стандартный авто- автоморфизм называется четным, если он оставляет неподвижными как Q, так и —Q, и нечетным, если он их переставляет. Типичный стандартный автоморфизм лупы & мы будем обо- обозначать символом я, а соответствующий элемент M-ц — симво- символом я. Гомоморфизм я->я 212 листен (см. приложение 1), и группа 9> имеет структуру 212-М2ц. § 4. Кокод Голея Ч?" и диагональные автоморфизмы Элементы я, для которых я тривиален, называются диаго- диагональными автоморфизмами, такие автоморфизмы только пере- переставляют знаки некоторых элементов из {Р. Диагональные ав- автоморфизмы взаимно однозначно соответствуют элементам ко- кода Голея W*, весовой спектр которого равен qi j24 2276 З2024 41771 мы будем обозначать их теми же символами б, е, t,, ..., что и элементы кокода. Как обычно, в качестве элементов &* мы берем подмножества из Q по модулю прибавления "^-мно- "^-множеств. Правило таково: автоморфизм б меняет знак у прооб- прообразов тех 'й'-множеств, которые он пересекает «нечетно», иными словами, б: d-*d» = (—l Как стандартный автоморфизм б четен или нечетен в зависи- зависимости от четности или нечетности |б|. Диагональные автоморфизмы образуют элементарную абе- леву нормальную подгруппу порядка 212 в группе 9* всех стан- стандартных автоморфизмов лупы 0*. На самом деле группа S" не имеет подгрупп, изоморфных Ми, — она является нерасщепи- мым расширением 212-М2ц подгруппы диагональных автомор- автоморфизмов При ПОМОЩИ Мг4- § 5. Группа N перестановок троек Определим N как группу перестановок троек элементов из ^, порожденную следующими отображениями (которые мы задаем, указывая образ типичной тройки (а, Ь,с)): xd: (dad, db, cd) хя: (ая, 6я, ся) или ((а11)'1, (ся)~\ (ft51) уа: (ad, dbd, dc) Уп: (а", Ъп, с") или ((с*)"', (**)"', («Т')> zd: (da, bd, dcd) г„: (а", Ъп, сп) или ((&")"', (сР)~\ (с51)"')
§ 7. Структура различных подгрупп группы N 679 (в зависимости от того, является ли п четным или нечетным), где d пробегает лупу Паркера 9, а п пробегает ее группу стан- стандартных автоморфизмов 5. Имеется очевидный «тройственный» автоморфизм, цикличе- циклически переставляющий х, у, г в этих и в последующих обозна- обозначениях. Далее мы зачастую приводим только одну из форму- формулировок или определений, связанных тройственностью, и пи- пишем «(&с)», предлагая читателю вывести остальные само- самостоятельно. § 6. Ядро К и гомоморфизм g-*- g Для нашей конструкции жизненно важен тот факт, что по модулю некоторого ядра К порядка 4 группа N является нор- нормализатором некоторой четверной группы в Монстре. Ядро К со- состоит из единицы и трех элементов и — .. ~ и —z х k = г и Мы пишем g^-g для канонического гомоморфизма N-+N/K и Г = Г/(/СП Г) Для образа_ подгруппы Г группы N при этом гомоморфизме, в частности N — это N/K. При первом чтении полезно забыть про элементы ядра, т. е. отождествлять каждый элемент g с соответствующим ему g, хотя, строго говоря, это некорректно. § 7. Структура различных подгрупп группы N Приводимые здесь утверждения о структуре подгрупп можно проверить с помощью явных вычислений, однако большая часть этих утверждений становится очевидной в терминах представ- представлений, определяемых в следующих далее параграфах. Сама группа N имеет структуру B2 X 22) • 2» • 222 • (S3 X Ми) U Y Y Y Y Y Кх л—1 Л8 ЛЙ Л6 ЛЯ ky У-у Уь yd У& У я F четно) '(б нечетно) (Под элементами разложения мы записываем их образующие по модулю ранее встретившихся сомножителей. Заметим, что хб ^= l/б === 2б (если б четно) и xayaZd = 1.) Естественно, что
680 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство структура группы N получается выбрасыванием первого сомно- сомножителя 22. Гомоморфизм на S3 виден сразу: любое из отображений троек переводит типичную тройку (а,Ь, с) в другую тройку (А, В, С), в которой каждый элемент А, В, С зависит только от одного из элементов а, Ь, с. Элементы, для которых А зави- зависит только от а, образуют подгруппу Nx(&c), а пересечение Nx, Ny, Nz (совпадающее с пересечением любых двух из них) обозначается Nxyz- Группа Nx имеет нормальный делитель Qx = ixd,x&y {&c), и пересечение всех (или любых двух) из Qx, Qy, Qz обозначается Qxyz- § 8. Решетка Лича Л24 и группа Qx Читатель уже хорошо знаком с решеткой Лича Лг4- Для наших целей удобно заметить, что она порождается следую- следующими векторами (где подразумевается обычный множитель 8-!/2): d V. на 3' в остальных позициях/' "i == WHa i> "в остальных позициях), где d пробегает лупу 9>, a i пробегает множество Q (конечно, ha зависит только от 3). Если i, j, k, ... — элементы Q, то мы пишем k... = Яг + Kj + Яй -j- ... . Можно проверить, что если множество {i, /, k, ...} является 'б'-множеством, то Яг/*.... е 2Лг4- Поэтому, когда мы работаем по модулю 2Л24, можно считать, что "кцн... определено даже и тогда, когда б = {i, j, k, ...} задано лишь с точностью до прибавления 'б'-множеств; мы обозначаем его Яв (для бе?*). Имеется замечательный гомоморфизм с ядром {лгь x_i} из Qx = (ха, х6} на Л24/2Л24. Он определяется посредством Хд—*-%а, х6—*-\^, где Хг — образ К в Л24/2Л24. Заметим, что каждый элемент Л24/2Л24 может быть выражен в виде ld + X6 (rfE^,8 и это выражение единственно с точностью до тождества
§ 10. Основные представления группы Nx 681 § 9. Короткие элементы Мы будем писать ХфЬ = Ха + Хь, Хф&==Хах& (&с) и исполь- использовать символ г для типичного индекса d-8. Вектор Я или Хг, являющийся минимальным вектором в решетке Лича, назы- называется коротким; тот же термин используется для соответ- соответствующих ему объектов X, Хг, хг, хГ, Хг (& с). Приведем список всех коротких векторов с точностью до знака, занумерованных соответствующими элементами из Л24/2Л24: Xij '. DНа {, 4на /, 0в остальных позициях), Aq.?/ • DНа'?, 4на ,/, Ов остальных позициях)) di ' \ на г> 1на J' в остальных позициях; 7 • / о 2 0 "\ (Q)d-6 ' У. иа 6' иа остальной части Я' в остальных позициях/' где в последней строке 3 — октада, б — четное подмножество в й, а сомножитель Q наличествует в точности, когда A/2) |б| нечетно. (Настоящие векторы Л24, указанные выше, суть Я,,-—X/ для Xij, Ха — Xq.ij для Хаа-ц и Хд — Xq.ij — X®.ki для Xdijki.) Итак, индекс г, если он встречается в указанном выше списке понятий, обозначает краткость. § 10. Основные представления группы Nx Группа Л^дг обладает следующими представлениями (дока- (доказательства см. в приложении 4). Представление в 24-мерном пространстве 24Х, порожденном векторами ix (ieQ). При этом Ха и х6 действуют тривиально, уа и za действуют переменой знака при тех ix, для которых гей, и х-х действует как перестановка п. Представление в 4096-мерном пространстве 4096*, порож- порожденном векторами {d)~ и (d)*, удовлетворяющими следующим соотношениям, в которых а обозначает знак — или +: Действие образующих на 4096* приводятся в табл. 29.1. Представление на 98280-мерном пространстве 98280*, по- порожденном векторами Хг, которые переставляются в точности как короткие элементы хг группы Qx под действием сопряже- сопряжения и удовлетворяют соотношениям Х-г = —Хг.
682 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство Таблица 29.1. Действие образующих группы N иа базисных векторах. Обозначения: D = d~ \ Ь' = d (]ё, и = |{/}Пё1. m = |6f|g|, и = |6'|/2 + g Xe Уе *e = 2/e = Уе 2Е --г„ 6 (чети.) X(-l)nd.b XQ.ndM> (е четн.) (е неч.) (я четн.) Действие g иа векторах xd.b F иеч.) X{-l)mede.6 XQmde.6 ix ix ix iy (ede)J (de)J (ede)+ Элементы табл. 29.1 легко проверяются с использованием точных определений приложения 4 и показывают, в частности, что элементы kx, ky, kz, #-i — все действуют в этих представ- представлениях тождественно или антитождественно в соответствии с таблицей *» fe, 24* 4096* 98280* Теперь мы можем построить желаемое представление 196884X группы Nx как 300* + 98304* + 98280*,
§ 12. Алгебра 683 где 300* — симметрический тензорный квадрат 24*, а 98304* — тензорное произведение 4096*® 24*. Приведенная выше таб- таблица показывает, что kx, ky, kz действуют тривиально на 196884*, которое поэтому является представлением фактор- факторгруппы Nx = NJK. § 11. Словарь Приведем словарь, отождествляющий три пространства 196884*, 196884^, 196884*: (»)* = Ш)у = («% = («'). (Ч)х= Y4 + Ya.ti =Z,i-Za.ti (Ac), Хф1= d+®yi =d~®zj (&c)j (& c). Здесь: в первой строке (ii)x означает (i)x ® (i)*, во второй строке (ij)x означает @л ® 0')* + О'Ь ® @*> в третьей строке dCT <8>xi означает (dfx8>(i)x и в четвертой строке | d | = 8, б и е пробегают 64 ^'-мно- ^'-множества, представимые четными подмножествами d, и _ —( П1 ве |/2+| е |/2 На этих пространствах имеются довольно очевидные ска- скалярные произведения, относительно которых базисные векторы взаимно ортогональны (кроме тех случаев, когда они равны или противоположны) и имеют норму 1, за исключением век- векторов (i/)* = @*®(/)* + (/)*®@*i имеющих норму 2 (&с). Отождествления, даваемые приведенным словарем, сохра- сохраняют скалярные произведения. Явные вычисления позволяют также проверить, что эти отождествления сохраняют действия элементов N (приведенные в табл. 29.1). § 12. Алгебра Далее мы считаем, что определили одно 196884-мерное про- пространство, одно скалярное произведение и корректно опреде- определенное действие группы N на этом пространстве. В том же стиле мы теперь определим умножение * на этом простран- пространстве, превращающее его в алгебру, задавая три определения * на 196884*, на 196884,, и на 1968842, которые оказываются экви-
684 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство валентными (что следует из явных вычислений). Вот опреде- определения для 196884д;: (где xr-s короткий), (в противном случае), ~ tr M.da ®х Я, [Я — 2(Я, Яг)Яг], где выполнено ($) <f ®,Я*ет®,ц = 1[(Я, (х)-2(Я, Яг)(щ ХГ)]ХГ± ± [(Я, ц) /v + 4Я ®д; ц + 4ц ®х Я] (возможно), где последний член присутствует, если [d)ax = ± (е)хх. Здесь Яиц обозначают векторы из 24*, и если М — сим- симметрическая 24 X 24-матрица, то Мх — это соответствующий элемент 300*. Векторы (d)°x и (е)хх — типичные базисные эле- элементы 4096л:, и {$) — условие того, что х, — короткий элемент, переводящий (d)ax в {е)хх. Мы приводим только одно из двух равных произведений и * v и v * и. § 13. Определение Монстра G и его коиечиость Группа Nx имеет структуру 21+2i-2uM2t, где факторгруппу 2пМ24 можно рассматривать как группу мономиальных авто- автоморфизмов Л24 по модулю 2Лг4. Ее можно увеличить до группы Gx, имеющей структуру 21+24-Соь заменяя группу мономиаль- мономиальных автоморфизмов Л24 на группу Coi всех автоморфизмов Л24 по модулю 2Л24- После того как это сделано (см. приложение 5), очевидно, что группа Gx также обладает представлением в пространстве 196884л; и что наше определение алгебры на 196884л: в действи- действительности инвариантно относительно действия Gx. (Основная разница заключается в том, что Nx представляет векторы Хг в трех орбитах согласно типу (±42022), (±28016), (н=3±123) соответствующих векторов решетки Лича, в то время как Gx смешивает эти три типа.)
§ 14. Отождествление с Монстром 685 Конечно, наша алгебра также инвариантна относительно действия аналогичных групп Gy, Gz. Мы определим Монстр М как группу G, порожденную Gx, Ga, Gz (на самом деле доста- достаточно любых двух из них). Эта группа G, конечно, сохраняет умножение в алгебре и скалярное произведение на нашем 196884-мерном пространстве. Тот факт, что эта группа конечна, почти тривиален. Яв- Явные вычисления показывают, что если t — вектор -& К*0 + 07) - (ч)х - (ч)у - W)«], то отображение v -*¦ v * t диагонализуемо и ровно одно его соб- собственное значение равно 1 (в /), а остальные собственные зна- значения не превышают 1/4 и соответствуют собственным векто- векторам, ортогональным /. Отсюда следует, что у t имеется лишь конечное число обра- образов относительно действия G. Чтобы это увидеть, заметим, что если бы t имел бесконечное число образов, то один из них, скажем t', был бы очень близок к t и имел бы ту же норму. Итак, мы можем написать t' = t + 9w + 0(&), B) где w — ненулевой вектор, ортогональный к t, а 0 — маленькое вещественное число. Но тогда t'*t' = t*t + 2Qw*t-{-O(e2), C) и, поскольку ||ш *f|l^llMI/4, формулы B) и C) противо- противоречат необходимому условию t'*t' = t'. Так как образы v по- порождают все пространство, группа G изоморфна группе пере- перестановок, которую она индуцирует на этих векторах, поэтому эта группа конечна. § 14. Отождествление с Монстром Чтобы отождествить G с Монстром, прежде всего заметим, что централизатор x-i в G заведомо содержит Gx, для которой неприводимые компоненты имеют размерность 1, 299, 98280 и 98304. На самом деле эти пространства инвариантны относи- относительно полного централизатора х-i в G. Это так, поскольку 98304-мерное пространство определяется как подпространство, на котором x-i имеет собственное значение —1, и явные вы- вычисления показывают, что на этом пространстве среднеквадра-
686 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство тичиое значение отображения v-*-v*u равно соответственно у (",«), -g-j-(«. ")» "бТ ("•")• где и — вектор в одной из компонент размерностей соответ- соответственно 1, 299, 98280. Теперь 2X98280 векторов Хг опреде- определяются как единичные векторы, собственные относительно всех отображений у->у*М, где М лежит в 300*. Единственный не- нетривиальный элемент, оставляющий неподвижными все Хг, — это сам х~\. Следовательно, централизатор х~\ в группе G в точности равен указанной группе 21+24-Coj. Стефен Д. Смит [Smi 12] показал, что конечная группа, обладающая инволю- инволюцией с этим централизатором, имеет порядок, равный числу A), и имеет другую инволюцию, централизатор которой ра- равен 2./?2, где F% — бэби-Монстр; иными словами, G — это группа, обычно известная как Монстр Грисса — Фишера. Приложение 1. Вычисления в 3> В & имеются соотношения (правила знаков): ba=(-l)wBu2.ab, а(Ьс)=(-1)]йпШ1-(аЬ)с, причем ясно, что на самом деле эти правила задают абстракт- абстрактное определение лупы ZP (если она существует). Это действи- действительно так. Предположим, что еи ..., ei2— прообразы двена- двенадцати элементов некоторого базиса кода &, так что любой эле- элемент из 0* может быть записан как ±F(e\, ..., 612), где функ- функция F — некоторое скобочное произведение какой-то последова- последовательности ее элементов, возможно с повторениями и про- пропусками. Тогда имеется очевидное условие, что равенство между двумя такими произведениями должно выполняться в &, если оно выполнено в (&. С другой стороны, ^ — элементарная абе- лева 2-группа, а категория таких групп определяется соотно- соотношениями а2=1, Ъа = ab, a(bc) — {ab)c. Это означает, что если два произведения равны в Ф\ то этот факт можно прове- проверить, многократно применяя эти соотношения. Используя при- приведенные выше правила знаков, мы, таким образом, можем проверить, имеют ли эти два произведения равные или же про- противоположные знаки в 3*.
Приложение 2. Конструкция &> 687 Это рассуждение также показывает, что любой элемент я группы М24 поднимается до 212 различных стандартных авто- автоморфизмов. Действительно, если я переводит ёи ..., ё\2 в J\, ... ¦ ¦., f 12, то можно выбрать (любым из 212 способов) прообразы hi • • • 1 /12 элементов fi, ..., fi2. Как бы мы это ни сделали, элементы fu ..., fi2 будут удовлетворять тем же соотноше- соотношениям, что ив] en, так что имеется гомоморфизм я: е»->-/,•. Приложение 2. Конструкция & Вот самая короткая из известных нам конструкций лупы &. Элементы из & суть просто элементы из Я$, снабженные фор- формальными знаками. Умножение А-В определяется в терминах сложения А + В в <$? по формуле где Э — некоторая функция из Я8 в <ё*. Правила знаков для 9* теперь сводятся к следующим требованиям на Э (все сравнения по модулю 2): р(А): q(A, В): г(А, В, С): Эти сравнения удовлетворяются так. Потребуем сначала, чтобы 8 обладала свойством (сложение в 'g'*), т. е. чтобы она была квадратичной функцией из W в <§*, такой, что ассоциированная с ней симметрическая билинейная функция — это А (") В. В характеристике 2 это тре- требование оставляет нам свободный выбор значений 0 на базис- базисных векторах Е\, Е2, ..., Е\2 кода <&, так что мы можем по- потребовать для всех п = 1, 2, ..., 12, чтобы 1*И 0/4I ?„1 («• = «), I 0 (i > п). (Напомним, что "<Р*-множеств о определяется в точности зада- заданием четностей своих пересечений с Et, поскольку ft и V* — двойственные группы.)
688 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство Эти формулы обеспечивают выполнение требований р(А) и q(A,B), если А и В — какие-то из ?;. Но теперь, используя квадратичность и хорошо известные формулы мы обнаруживаем, что г(А,В,С) универсально выполняется и что г(А,В,С) позволяет вывести q(A, В -\-С) из q(А, В) и q(А, С), а также, что q(А, В) позволяет вывести р(А-\-В) из р(А) и р{В). Из этого (по индукции) следует, что все р(А), q(A, В) и г {А, В, С) универсально выполняются. Приложение 3. Некоторые соотношения в Qx Прямые вычисления с тройками позволяют проверить, что элементы ха и х6 удовлетворяют соотношениям ?а = *6е> XdXe = «Н"'  ' *de ' Хй<\ё> где в последнем соотношении п{]ё рассматривается как ^"-мно- ^"-множество. Мы рассмотрим последнее (и наиболее трудное) из этих соотношений в качестве примера. Имеем xdxe: (а, Ъ, с) -> ("*, е. db, cd.e), xde:(a,b,c)^r,de.b,cde), E) где символы *** обозначают некоторые более сложные выра- выражения, точные значения которых нам не понадобятся. По- Поскольку г_х: {а, Ь, с)-*-(—а, —Ь, с) и [d, e] = (-l)Un<n/2, по- получаем г\Ш\1\х^. (а, Ь, с)-*(••', ed.b, c.de), что после некоторой перегруппировки можно превратить в D). Диагональный автоморфизм д.(]ё в действительности перегруп- перегруппировывает любое трехчленное произведение, два члена кото- которого суть due. Например, поскольку |йГ|ё| четно, из опре- определений приложения 1 получаем (c.de)an~e = c^~e.de = (-\fcudue[ x.de = cd.e.
Приложение 3. Некоторые соотношения в Qx 689 Соответственно что согласуется с D). (Проверять первую координату нет не- необходимости, так как нетрудно проверить, что тройка с усло- условием abc = 1 переводится в другую тройку с тем же условием.) Это соотношение показывает, что z~\ и kx = xaZ-i принад- принадлежат Qx, и из указанных выше соотношений мы видим, что по модулю z-\ и kx группа Qx становится абелевой, после чего легко проверить, что ее порядок не превышает 226, а порядок 0~х не превышает 225. Эти соотношения, однако, дают много _болыие; на самом деле имеется двулистный гомоморфизм из Qx на Л24/2Л24, пе- переводящий хг в Яг. Чтобы это увидеть, достаточно проверить образы этих соотношений. Опять рассмотрим только послед- последнее. Имеем <* V, на й> в остальных позициях)' Ле === (^на ёг "в остальных позициях), так что d ~Т Ле ^ на de' на due' в остальных позициях/' Теперь й[\ё—четное подмножество в Q, поэтому оно может быть выражено как объединение m штук 2-элементных мно- множеств ij, где m = \ё[\ё\/2. По определению DHa ij, Ов остальных позициях) = AQ -f- Aij, (^на ЗПё' в остальных позициях) == т^й > ^ЗПё' из которого следует требуемое соотношение К + К = lde + mlQ + Я<2ПГ (Заметим, что z-\ сравнимо с xq по модулю К, поскольку z-iXq = kx, так что последнее из группы соотношений, с кото- которой начинается это приложение, в Qx выглядит так: Xd' *e — *Qm-de ' Следовательно, приведенные соотношения показывают, что группа Qx не более чем двукратно накрывает Л24/2Л24, в силу чего ее структура не превышает 21+24. Но поскольку, как легко видеть, ни один нетривиальный элемент этого двойного накры- накрытия не оставляет на месте все тройки (а,Ь,с), ее структура в точности такова. В приложении 4 мы увидим, что Qx яв- является ядром представления 24* группы Nx, образом которого
690 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство является группа со структурой 212: Мц. Отсюда мы получаем утверждение о структуре группы Nx, а остальные утверждения о структурах из § 7 легко выводятся из этого. Приложение 4. Конструкция представлений Nx Представление 24*. Расширим 9>, присоединяя формальный нуль, удовлетворяющий условиям dO = Ы = 00 = 0 (d e= ?>). Конечно, мы можем считать, что группа N действует на боль- большей системе &>о = &>[){О}- Определим формальные объекты ix и —ix: ix = {(d, 0, 0): i ф d}, - ix = {(d, 0, 0): i s d) (& c). Легко видеть, что группа Nx действует на них так: Уч. zd: ix-+(-l)i3n-ilix, хЛ: /,-(»*)дс. Откуда следует, что факторгруппа структуры 212: М24 дей- действует точно и что ядро равно Qx. Формальные объекты ±ix переставляются в точности так же, как координатные векторы (i 1на it "В остальных позициях) в пространстве, содержащем решетку Лича, и мы можем аб- абстрактно отождествить их с этими векторами, определяя тем самым 24-мерное представление 24* группы Nx. Представление 4096*. Для всех de^1 положим dZ = {@, d, 0), @, - Ш, 0)}, dt = {@, 0, d), @, 0, ud)} (& с). Тогда имеется 2-4096 различных объектов dx, переставляемых группой Nx, и инвариантное спаривание на них, задаваемой переменой знака у d. Поэтому мы можем отождествить эти объекты с 2-4096 векторами dx, порождающими 4096-мерное пространство 4096*, добавляя соотношения (— dfx = —(d)*. Определения организованы таким образом, что элемент^ (пере- (переводящий тройку (а, Ь, с) в (а, —Qb,—Qc)) действует три- тривиально и что на самом деле ядро этого представления совпа- совпадает с четверной группой{1, ув, г_а, ^.(Элементы ky и кг дей- действуют как —1.) Представление 98280*. Группа Qx содержит 2-98280 корот- коротких элементов хг, соответствующих 98280 коротким элементам
Приложение 5. Конструкция группы Gx 691 Кг в Л24/2Л24. С помощью сопряжения группа Nx переставляет эти элементы, сохраняя спаривание между хг и х~г. Мы можем считать, что это действие является действием группы Nx на 98280-мерном пространстве 98280,;, натянутом на векторы Хг, которые переставляются как хГ и удовлетворяют условиям Х-г = —Хг. Мы обычно предпочитаем рассматривать его как представление группы Nx, при котором подгруппа К действует тривиально. Можно проверить, что полное ядро этого представления имеет порядок 8 и порождено К и x_i. Приложение 5. Конструкция группы Gx Увеличим теперь во всех конструкциях группу 212: M2i мо- номиальных автоморфизмов решетки Л24 до группы 2-Со\ всех автоморфизмов Л24, получая таким образом группу Gx, строго большую чем Nx. Действительно, Gx практически определяется проверкой того, что эта процедура проходит для 24* и 4096*; мы увидим, что 98280x заботится о себе само. Хорошо известно, что экстраспециальная 2-группа 21+2" имеет, с точностью до эквивалентности,_единственное 2"-мерное представление. В частности, группа Qx имеет единственное 4096-мерное представление. Из этого следует, что если р — автоморфизм группы Qx, то существует матрица М (по лемме Шура она единственна с точ- точностью до скалярного множителя), такая, что ^4096 (g) = М~* для всех g в Qx, где mmeig)—матрица, представляющая g в 4096*. Можно сделать М единственной с точностью до знака, потребовав, чтобы ее элементы были вещественны и опреде- определитель равнялся 1. Две такие матрицы мы назовем представи- представителями автоморфизма р. Каждый автоморфизм группы 2'+24 при факторизации по х-1 задает автоморфизм факторгруппы 224 (изоморфной Л24/2Л24). Этим способом получаются те и только те автомор- автоморфизмы группы 224, которые сохраняют квадратичную форму (по модулю 2), определенную на Л24/2Л24. В частности, такой автоморфизм а* имеется для каждого автоморфизма а веще- вещественной решетки Лича Л24- Определим Gx как группу упорядоченных пар матриц вида B4Х24-матрица автоморфизма а, 4096 X 4096-матрица пред- представителя автоморфизма а*). Ограничиваясь мономиальными автоморфизмами а, получаем подгруппу, почти совпадающую с Nx. Точнее говоря, она изоморфна Nx/(kx}, поскольку kx ле- лежит в ядре представлений 24* и 4096л:.
692 Гл. 29. Монстр и его 196884-мерное пространство Группа Gx, очевидно, обладает 24- и 4096-мерными пред- представлениями, продолжающими представления Nx/(kxy. Однако она также обладает и 98280-мерным представлением, поскольку она переставляет короткие элементы хг. (Чтобы это увидеть, заметим, что Gx = Gx/(kyy нормализует Qx и, следовательно, действует как сопряжение на 2-98280 коротких элементах хг. Как обычно, рассмотрим это действие как действие Gx, при котором ky действует тривиально. Итак, группа Gx обладает представлением степени 98280, продолжающим представле- представление Nk.) Заметим, что в группе Gx имеются элементы, которые пе- перемешивают Хг, соответствующие векторам "к, решетки Лича трех разных типов (±42, О22), (±28, О16), (±3, ±123).
Глава 30 Алгебра Ли Монстра? Р. Борчердс, Дж. Конвей, Л. Квин, Н. Слоэн Мы определяем замечательную бесконечномерную алгебру Ли и высказываем предположение, что она может быть связана с Монстром (группой Грисса— Фишера). В Чудовищной чепухе1) [Con 17] была высказана мысль о том, что может существовать бесконечномерная алгебра Ли (или супералгебра) L, в каком-то смысле «объясняющая» группу Грисса — Фишера М. В этой главе мы предложим не- несколько кандидатов на роль L, основываясь на описанных в предыдущих главах свойствах решетки Лича. Эти кандидаты описываются в терминах некоторой алгебры Ли Loo бесконеч- бесконечного ранга. Начнем с обзора наших сегодняшних знаний об этом пред- предмете. В работе [Соп 17, р. 317] с помощью вычислений с харак- характеристиками было доказано, что централизатор С инволюции класса 2А в Монстре обладает естественной последователь- последовательностью модулей, допускающих главные характеры (ограничен- (ограниченные на С). Кац [Кае4] явно построил эти С-модули. Аткин, Фонг и Смит ([Atkl], [Fonl], [Smil3]) проверили соответ- соответствующие численные гипотезы для М из [Con 17], и мы теперь знаем, что эти модули обладают структурой Л1-модулей. Не- Недавно Френкель, Леповский и Мойерман [Frel] — [Fre 5] пред- предложили простую конструкцию Монстра, лежащую в русле этих идей, но это не особенно проясняет смысл гипотез. Некоторые гипотезы из [Con 17] обладают аналогами, в ко- которых М заменяется на компактную простую групппу Ли, в- частности на группу Ли Е&. Большинство получающихся утверж- утверждений сейчас доказано Кацем и др. Однако создается представ- представление, что эта аналогия с группами Ли не столь хороша, как бы хотелось, поскольку два из четырех классов сопряженности элементов порядка 3b?s дают, как было показано в [Que 7] — [Que9], примеры модулярных функций, ни одна из которых не является ведущим модулем ни для какой модулярной группы. Это опровергает гипотезу на с. 267 работы [КасЗ], что выглядит ') См. примечание на с. 23. — Прим. перев.
€94 Гл. 30. Алгебра Ли Монстра? ¦особенно обескураживающе в свете того, что именно свой- свойство быть ведущим модулем и подсказало гипотезы из [Con 17] и именно этому свойству эти гипотезы обязаны почти всей своей предсказательной силой. (Другие ссылки на последние работы по гипотезам типа Чудовищной чепухи содержатся в разд. 1.4 гл. 1.) Используемые нами свойства решетки Лича в основном проистекают из фактов о глубоких дырах этой решетки, изло- изложенных в гл. 23. Пусть w = @, 1, 2, 3, ..., 24170). Основной результат гл. 26 состоит в том, что подмножество векторов г в решетке П25, ь Для которых г-г = 2, r-w = —1 («векторы Лича»), изометрично решетке Лича в метрике, определяемой соотношением d(r, sJ = N(r — s). Основной результат гл. 27 состоит в том, что группа Aut(Il25, i) получается расширением подгруппы Кокстера, порожденной отражениями относительно корней Лича, с помощью группы автоморфизмов графа и цент- центральной инверсии —1. Примечательно, что стенки фундамен- фундаментальной области для этой группы Кокстера (которые взаимно •однозначно соответствуют корням Лича) транзитивно перестав- переставляются автоморфизмами графа, образующими бесконечную группу, абстрактно изоморфную группе Со*, всех автоморфиз- автоморфизмов решетки Лича, включая переносы. Винберг [Vin 7] показал, что предшествующие аналоги II9, i .и Пи, 1 решетки II25, i имеют фундаментальные области для групп отражений с соответственно 10 и 19 стенками, а порядки групп автоморфизмов их графов суть 1 и 2. Последующие же аналоги Пзз, ь ••• не обладают «вектором Вейля», подобным w, так что решетка II25, i представляется довольно-таки уникаль- уникальным объектом. Можно использовать вектор w для определения системы корней в 1125,1- Для v е ^25,1 определим его высоту как —v-w и назовем v положительным (отрицательным), если такова его высота. Определим теперь бесконечномерную алгебру Каца — .Муди бесконечного ранга следующим образом: для каждого корня Лича г алгебра L^ имеет три образующие e{r), f(r), ¦h(r) и следующий набор определяющих соотношений: Иг), h(s)] = r-se(r), [f(r), h(s)] = -r-sf(r), [e(r),f(r)] = h(r), [e(r),f(s)} = 0, [h(r), h(r)] = O = [h{r), h(s)),
Гл. 30. Алгебра Ли Монстра? 69& где г и s — различные корни Лича. (Эти соотношения почерп- почерпнуты из замечательного обзора Муди [Моо2]. Муди предпо- предполагает, что число фундаментальных корней конечно, но это,, очевидно, неважно, поскольку ни одно рассуждение не ис- использует бесконечного числа корней. См. также [Кае 5].) Теперь мы выскажем предположение, что алгебра Loo— это> естественный объект, связанный с Монстром, точнее говоря, что Монстр может рассматриваться как подфактор группы авто- автоморфизмов некоторой естественно определяемой подфакторал- гебры в Loo. Основная задача — «обрезать Lx до нужных размеров». Предложим ряд мер. Довольно очевидное замечание состоит в том, что мы можем заменить алгебру Картана Я алгебры Lx на ее гомоморфный образ, получаемый добавлением соотно- соотношений cih{r1)-\-c2h{r2) + ...=0 для корней Лича г\, г2, ¦¦-, где с* — целые числа, для которых с2г2 + ... = 0. Более значительная идея состоит в замене Loo на некоторого* рода пополнение, позволяющее рассматривать бесконечные ли- линейные комбинации образующих с последующим переходом1 к подалгебре, неподвижной относительно автоморфизмов гра- графа. Если такое возможно, то получающаяся алгебра почти наверняка не будет обладать системой корней. Другие подалгебры в Leo ассоциированы с дырами в ре- решетке Лича, глубокими или мелкими (см. гл. 23). (i) По результатам гл. 23 любая глубокая дыра соответ- соответствует решетке Нимейера N, часть Витта которой является прямой суммой корневых решеток из списка Ап (п = 1, 2, ...)„ Dn (п = 4, 5, ...), Е6, Е7, Е8. Возникает лишь 23 комбинации, и мы рассмотрим AnD7E6 в качестве стандартного примера. Граф корней Лича содержит конечный подграф, являющийся несвязным объединением расширенных диаграмм Дынкина, со- соответствующих компонентам Витта W решетки N, поэтому наша алгебра обладает подалгеброй L [N], являющейся прямой суммой евклидовых алгебр Ли E(W), соответствующих этим компонентам (см. [Kacl], [Kac5], [Mool]). Так, например,, алгебра Leo имеет подалгебру Каждую такую подалгебру в Loo можно продолжить до боль- большей подалгебры L* [Щ, имеющей еще один фундаментальный, корень, соответствующий вектору склейки подходящей дыры?.
'696 Гл. 30. Алгебра Ли Монстра? (см. гл. 25). В соответствующем графе новая вершина соеди- соединена с единственной специальной вершиной (см. § 2 гл. 4) в каждой компоненте. Граф для L* [AnD7E6] изображен на рис. 30.1. С этими гиперболическими алгебрами L* [N], имею- имеющими конечный ранг, конечно же, легче работать, чем с самой Рис. 30.1. Диаграмма фундаментальных корней для L* [AnDrEe]. Lao. Поскольку 23 решетки Нимейера дают 23 конструкции ре- решетки Лича (см. гл. 25), естественно спросить, можем ли мы получить 23 различные конструкции Монстра, используя ал- алгебры Ли L[N] или L*[N]. (ii) Каждая мелкая дыра в решетке Лича (см. гл. 24) со- соответствует максимальной подалгебре в Lx конечного ранга. Мы произвели ряд вычислений, относящихся к L^ (поиск кратностей некоторых корней с помощью формулы Вейля — Макдональда— Каца и т. д.). Стоит заметить, что эти вычис- вычисления облегчаются благодаря недавнему замечательному от- открытию, что группа Матье Mi2 порождается двумя переста- перестановками /-4 2*1, t-> 11 - t (mod 23), множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}, где \х\ обозна- обозначает единственное у из этого множества, для которого у = = ±x(mod23) (см. гл. 11, где описан этот результат и его ис- история). Простейшее преобразование (см. гл. 28) обычных евклидовых координат решетки Лича в ее гиперболические ко- координаты использует это описание группы М\2- Более поздние работы о Монстре и связанных с ним алгеб- алгебрах Ли: [ВогЗа], [ВогЗЬ], [ВогЗс], [Fre5].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Для основных тем, обсуждаемых в книге, мы попытались дать соответ- соответствующую библиографию. Числа в квадратных скобках после выходных дан- данных соответствуют номеру главы, в которой она приводится, и, таким обра- образом, библиография также является авторским указателем. [В] означает, что на эту работу имеется ссылка где-либо еще в этой библиографии. Ряд работ, не упомянутых в книге, включен для полноты. В списке около 1550 работ. Подробную библиографию по теории чисел и многим связанным с ией темам можно найти в [LeV 2] и [Guy I], a [Mac 6] содержит расширенную библио- библиографию по теории кодирования до 1977 г. Книги [Gru la], [Lek 1] и обзорные статьи в [Т61 1] и [Gur 2] также содержат полезные списки литературы. Сокращения AJM = American Journal of Mathematics АМАН = Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae AMM = American Mathematical Monthly ASUH = Abhandlungen Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg BAMS = Bulletin of the American Mathematical Society BLMS = Bulletin of the London Mathematical Society BSTJ = AT&T Technical Journal (ранее Bell System Technical Journal) CJM = Canadian Journal of Mathematics CMB = Canadian Mathematical Bulletin COMM = Institute of Electrical and Electronics Engineers, Transactions on Communications (ранее Transactions on Communication Tech- Technology) CR = Comptes Rendus Hebdomadaires des Seances de l'Academie de& Sciences, Paris, Serie A Discr. Math. = Discrete Mathematics DMJ = Duke Mathematical Journal 1С = Information and Control IJM = Illinois Journal of Mathematics J. Alg. = Journal of Algebra JAMS = Journal of the Australian Mathematical Society JCT = Journal of Combinatorial Theory JLMS = Journal of the London Mathematical Society JNT = Journal of Number Theory JRAM = Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik JSM = Journal of Soviet Mathematics KNAW = Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Weten- schappen ') При ссылке на работу, переведенную на русский язык, страницы ука- указываются по русскому изданию.
698 Список литературы LNM = Lecture Notes in Mathematics (Springer-Verlag) MTAC = Mathematics of Computation (ранее Mathematical Tables and Aids to Computation) PCPS = Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (ранее Proceedings of the Cambridge Philosophical Society) PGIT = Institute of Electrical and Electronics Engineers, Transactions on Information Theory PIEEE = Proceedings of the Institute of Electrical and Electronics Engi- Engineers PJM = Pacific Journal of Mathematics PLMS = Proceedings of the London Mathematical Society PNAS = Proceedings of the National Academy of Sciences of the U. S. A. PRS = Proceedings of the Royal Society, London PSPM = Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathema- Mathematical Society, Providence, RI SIAD = SIAM Journal on Algebraic and Discrete Methods SIAJ = SIAM Journal on Applied Mathematics Springer-Verlag = Springer-Verlag: New York, Berlin, Heidelberg, London, Pa- Paris and Tokyo TAMS = Transactions of the Americal Mathematical Society Aaltonen M. J. Linear programming bounds for tree codes, PGIT, 25 A979), 85—90 [9]. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Func- Functions, National Bureau of Standards Appl. Math. Series, 55, U. S. Dept. Commerce, Washington DC, 1972 [3, 9, 13, 14, 16]. [Имеется перевод: Справочник по специальным функциям (под ред. М. Аб- рамовица и И. Стигана. — М.-. Наука, 1979.] Adoul J.-P. La quantification vectorielle des signaux: approche al- gebrique, Ann. Telecommun, 41 A986), 158—177 [2, 20]. Afflerbach L. Minkowskische Reduktionsbedingungen fur positiv de- definite quadratische Formen in 5 Variablen, Monatsh. Math., 94 A982), 1—8 [2, 15]. Afflerbach L., Grothe H. Calculation of Minkowski-reduced lattice bases, Computing, 35 A985), 269—276 [2, 15]. Ahmed F. R., Huml K., Sedlacek В., editors. Crystallographic Com- Computing Techniques, Munksgaard, Copenhagen, 1976 [2]. Aird T. J., Rice J. R. Systematic search in high dimensional sets, SIAM J. Num. Anal., 14 A977), 296—312 [1]. Акимова И. Я. Задача оптимального размещения н обобщения од- одной теоремы Фейеша Тота. — Техн. киберн., 1982, т. 20, № 2, с. 149 [2]. (Aki 2] Акимова И. Я. Применение диаграмм Вороного в комбинаторных задачах: Обзор.— Техн. кнберн., 1984, т. 22, № 2, с. 102—109 [2]. Alexander J. M. см. Saaty T. L. [Ale 1] Александров А. Д. Выпуклые многогранники. — М. — Л.: Гостех- издат, 1950 [21]. [All I] Allgower E. L., Schmidt P. H. Computing volumes of polyhedra, MTAC, 46 A986), 171—174 [21]. [And 1] Anderson J. В., de Buda R. Better phase-modulation performance using trellis phase codes, Elect. Lett, 12 A976), 587—588 [3]. [And 2] Andrilli S. Existence and uniqueness of O'Nan's simple group, Ph. D. Dissertation, Rutgers University, 1979 [10]. [Apo 1] Apostol Т. М. Introduction to Analytic Number Theory, Springer- Verlag, 1976 [15]. [Aal lAbr {Ado [Aff lAff [Ahn [Air [Aki 1] 1] 1] 1] 2] i 1] 1] 1]
Список литературы 699> [Агп 1] Арнольд В. И., Крылов А. И. Равномерное распределение точек на сфере и некоторые эргодические свойства решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной обла- области.—ДАН СССР, 1963, т. 148, с. 9—12 [1]. [Art I] Artin Е. The orders of the classical simple groups, Comm. Pure- Appl. Math., 8 A955), 455—472 = Coll. Papers pp. 398—415 [10]. Aschbacher M. см. Griess R. L., Jr., Mason G. Ash A. Eutactic Forms, CJM, 29 A977), 1040—1054. Ash A. On the existence of eutactic forms, BLMS, 12 A980), 192—196. Ash P. F., Bolker E. D. Recognizing Dirichlet tessellation, Geonu Dedic, 19 A985), 176—206 [2]. Ashida Т. см. Hall S. R. Asimov D. The grand tour — a tool for viewing multidimensional data, SIAM J. Sci. Stat. Comput, 6 A985), 128—143. Askey R. Orthogonal polynomials and positivity, Studies in App- Applied Math., 6, Special Functions and Wave Propagation, Soc. In- dust. Appl. Math., Phil. PA, 1970, pp. 64—85 [9]. Askey R. Orthogonal polynomials and special functions, Soc. In- dust. Appl. Math., Phil. PA, 1975 [9]. Askey R., editor. Theory and Application of Special Functions, Ac. Press, NY, 1975 [B]. Askey R. Orthogonal polynomials old and new, and some combina- combinatorial connections, in Jjac 1], 1984, pp. 67—84. Askey R., Wilson J. A set of orthogonal polynomials that genera- generalize the Racah coefficients or 6 — / symbols, SIAM J. Math. Anal., 10 A979), 1008—1016 [9]. Assmann S. F., Sloane N. J. А. Готовится к печати [9]. Assmus E. F., Jr., Mattson H. F., Jr. Perfect codes and the Ma- thieu groups, Archiv. Math., 17 A966), 121—135 [3, 11]. Assmus E. F. Jr., Mattson H. F., Jr. New 5-designs, JCT, 6 A969), 122—151 [3, 7]. Assmus E. F., Jr., Mattson H. F., Jr. Coding and combinatorics, SIAM Rev., 16 A974), 349—388 [3]. Astola J. T. The Tietavainen bound for spherical codes, Discr. Appl. Math., 7 A984), 17—21 [1, 9]. Atal B. S. см. также Flanagan J. L., Schroeder M. R. Atal B. S. Predictive coding of speech at low bit rates, COMM, 30 A982), 600—614 [2]. Atal B. S., Shroeder M. R. Predictive coding of speech signals and: subjective error criteria, IEEE Trans. Acousl. Speech, Signal Proc, 27 A979), 247—254 [2]. [Ata 3] Atal B. S., Schroeder M. R. Stochastic coding of speech signals at very low bit rates, in Links for the Future, ed. P. Dewilde and С A. May, IEEE Press, NY, 1984, pp. 1610—1613 [2]. Atkin A. O. L. см. также Larmouth J. [Atk 1] Atkin A. O. L, Fong P., Smith S. D. Частное сообщение [30]. [Atk 2] Atkinson M. D., editor. Computational Group Theory, Ac. Press, NY, 1984 [B]. [Aus 1] Auslander L. An account of the theory of crystalloeraphic groups, PAMS, 16 A965), 1230—1236 [4]. [Avi 1] Avis D., Bhattacharya В. К. Algorithms for computing d-dimen- sional Voronoi diagrams and their duals, in [Prela], 1983, pp. 159— 180. [Ash [Ash [Ash [Asi [Ask [Ask [Ask [Ask [Ask [Ass [Ass [Ass [Ass [Ast [Ata [Ata Я 3] i] i] 2] 2a] 3] 4] 5] 3] 4] 1] 1] 2]
700 Список литературы [Bab 1] Babai L. On Lovasz' lattice reduction and the nearest lattice point problem, Combinatorica, 6 A986), 1—13 [2]. [Bab 2] Бабенко В. Ф. Об оптимальной границе ошибок для кубатурных формул на некоторых классах непрерывных функций. — Матем. анализ, 1977, вып. 3, с. 3—9 [1]. [Вас 1] Bachman G. Introduction to p-Adic Numbers and Valuation Theory, Ac. Press, NY, 1964 [15]. [Вас 2] Bachmann P. Zahlentheorie IV, Die Arithmetik der Quadratische Formen, 2, Teubner, Leipzig, 1923 [2]. [Вас 3] Backhouse R. Writing a number as a sum of two squares: a new solution, Info. Proc. Lett., 14 A982), 15—17 [15]. Bajcsy R. см. Mohr R. [Bal 1] Ball W. W. R., Coxeter H. S. M. Mathematical Recreations and Es- Essays, Univ. Toronto Press, Toronto, 12th ed., 1974 [4]. [Имеется перевод: Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлече- развлечения. — М.: Мир, 1986.] [Ват 1] Bambah R. P. On lattice coverings by spheres, Proc. Nat. Inst. Sci. India, 20 A954), 25—52 [2, 4]. [Bam 2] Bambah R. P. Lattice coverings with four-dimensional spheres, PCPS, 50 A954), 203—208 [2, 4]. [Bam 3] Bambah R. P., Sloane N. J. A. On a problem of Ryskov concerning1 lattice coverings, Acta Arith., 42 A982), 107—109 [2, 4]. [Ban 11 Bannai E. On some spherical /-designs, JCT, A26 A979), 157 [3]. [Ban 2] Bannai E. Orthogonal polynomials, algebraic combinatorics and spherical /-designs, PSPM, 37 A980), 465—468 [3]. [Ban 3] Bannai E. On the weight distribution of spherical /-designs, Europ. J. Comb., 1 A980), 19—26 [3]. [Ban 4] Bannai E. Spherical /-designs which are orbits of finite groups, J. Math. Soc. Japan, 36 A984), 341—354 [3]. [Ban 5] Bannai E. Spherical designs and group representations, Contemp. Math., 34 A984), 95—107 [3]. [Ban 6] Bannai E., Blokhuis A., Seidel J. J., Delsarte P. An addition for- formula for hyperbolic space, JCT, A36. A984), 332—341 [3]. [Ban 7] Bannai E., Damerell R. M. Tight spherical designs I, J. Math. Soc. Japan, 31 A979), 199—207 [3, 14]. [Ban 8] Bannai E., Damerell R. M., Tight spherical designs II, JLMS, 21 A980), 13—30 [3, 14]. [Ban 9] Bannai E., Hoggar S. G. On tight /-designs in compact symmetric spaces of rank one, Proc. Jap. Acad., A61 A985), 78—82 [3]. [Ban 10] Bannai E., Hoggar S. G. Tight t-designs and squarefree integers, Europ. J. Combin, в печати [З]. [Ban 11] Bannai E., Ito T. Algebraic Combinatorics I: Association Schemes, Benjamin, Menlo Park CA, 1984 [3, 9, 14]. [Имеется перевод: Бан- нан Э., Ито Т. Алгебраическая комбинаторика I: Схемы отноше- отношений.—М.: Мир, 1987.] [Ban 12] Bannai E., Ito T. Current research on algebraic combinatorics, Graphs Combin., 2 A984), 287—308 [3, 9]. [Ban 13] Bannai E., Sloane N. J. A. Uniqueness of certain spherical codes, CJM, 33 A981), 437—449 si Chap. 14 of this book [1, 3, 14]. Baranovskii E. P. (Барановский Е. П.) см. также Ryskov S. S. (Рышков С. С.) [Bar 1] Барановский Е. П. Упаковки, покрытия, разбиения н некоторые другие расположения в пространствах постоянной кривизны — В кн.: Итоги науки. Сер. Математика (Алгебра. Топология. Гео- Геометрия), 1969, с. 185—225 [1].
Список литературы 701 [Ваг 2] Барановский Е. П., Рышков С. С. Примитивные пятимерные па- раллелоэдры. — ДАН СССР, 1973, т. 212, с. 532—535. [Ваг 3] Барановский Е. П., Рышков С. С, Шушбаев С. С. Геометрическая оценка числа представлений вещественного числа положительно определенной квадратичной формой и оценка остатка многомер- многомерной дзета-функции. — Труды МИ АН, 1981, т. 158, с. 3—8. [Ваг 4] Barnes E. S. Note on extreme forms, CJM, 7 A955), 150—154 [2]. [Bar 5] Barnes E. S. The covering of space by spheres, CJM, 8 A956), 293—304 [2]. [Bar 6] Barnes E. S. The perfect and extreme senary forms, CJM, 9 A957), 235—242 [1, 2, 8]. [Bar 7] Barnes E. S. The complete enumeration of extreme senary forms, Phil. Trans. Royal. Soc. London, A249 A957), 461—506 [1, 2, 8]. [Bar 8] Barnes E. S. On a theorem of Voronoi, PCPS, 53 A957), 537—539 [2]. [Bar 9] Barnes E. S. The construction of perfect and extreme forms, Acta Arith., 5 A959), 57—79, 205—222 [2, 6]. Barnes E. S. Criteria for extreme forms, JAMS, 1 A959), 17—20 [2]. Barnes E. S. Minkowski's fundamental inequality for reduced posi- positive quadratic forms, JAMS, A26 A978), 46—52 [2]. Barnes E. S., Cohn M. J. On the reduction of positive quaternary quadratic forms, JAMS, A22 A976), 54—64 [2]. Barnes E. S. Cohn M. J. On Minkowski reduction of positive qua- quaternary quadratic forms, Math., 23 A976), 156—158 [2]. Barnes E. S., Dickson T. J. Extreme coverings of n-space by sphe- spheres, JAMS, 7 A967), 115—127; 8 A968), 638—640 [2]. Barnes E. S., Sloane N. J. A. New lattice packings of spheres, CJM, 35 A983), 117—130 [1, 8]. Barnes E. S., Sloane N. J. A. The optimal lattice quantizer in three dimensions, SIAD, 4 A983), 30—41 [2, 21]. Barnes E. S., Trenerry D. W. A class of extreme lattice-coverings of n-space by spheres, JAMS, 14 A972), 247—256 [2]. [Bar 18] Barnes E. S., Wall G. E. Some extreme forms defined in terms of Abelian groups, JAMS, 1 A959), 47—63 [1, 4, 5, 6, 7, 8]. [Bar 19] Bartels K. Zur Klassifikation quadratischer Gitter iiber diskreten Bewertungsringen, Ph. Dissertation, Gottingen, 1988. [Bas 1] Бассалыго Л. А. Новые верхние границы для кодов, исправляю- исправляющих ошибки. — Пробл. передачи информ., 1965, вып. 4, с. 41—44 [9]. [Bas 2] Бассалыго Л. А., Зиновьев В. А. Некоторые простые следствия из теории кодирования для комбинаторных задач упаковки и по- покрытия. — Матем. заметки, 1983, т. 34, № 2, с. 291—295 [9]. [Bat 1] Bateman P. T. On the representations of a number as the sum of three squares, TAMS, 71 A951), 70—101 [4]. [Bau 1] Baumgardner J. R., Frederickson P. O. Icosahedral discretization of the two-sphere, SIAM J. Num. Anal., 22 A985), 1107—1115 [1]. [Bay 1] Bayer-Fluckiger E. Definite unimodular lattices having an auto- automorphism of given characteristic polynomial, Comment. Math. Hel- vet, 59 A984), 509—538 [2, 4, 7, 8]. [Bee 1] Beck J. Sums of distances between points on a sphere, Math., 31 A984), 33—41 [1]. [Bee 1] Beenker G. F. M. PGIT, 30 A984), 403—406 [7]. [Bel 1] Bell Telephone Laboratories, Transmission Systems for Communi- Communications, Bell Telephone Labs, Murray Hill NJ, 1964 [3]. Bell L. К. см. Briant С. Е. [Bar [Bar [Bar [Bar [Bar [Bar [Bar [Bar 10] И] 12] 13] 14] 15] 16] 17]
702 Список литературы [Bel 2] Bellman R. A Brief Introduction to Theta-Functions, Holt, Rine- hart and Winston, NY, 1961 [4]. [Ben 0] Benard M. Characters and Schur indices of the unitary reflection O) [3 2 I]3, PJM, 58 A975), 309—321 [4]. er C. Bestimmung der grossten Anzahl gleich Kugeln, welche sich auf eine Kugel von demselben Radius, wie die iibrigen, auf- legen lassen, Archiv Math. Physik (Grunert), 56 A874), 302— 306 [1]. [Ben 2] Benham J. W., Hsia J. S. Spinor equivalence of quadratic forms, JNT, 17 A983), 337—342 [15]. [Ben 3] Bennett С. Н. Serially deposited amorphous aggregates of hard spheres, J. Appl. Phys., 43 A972), 2727—2734 [1]. [Ben 4] Bennett G. H. Pulse Code Modulation and Digital Transmission, Marconi Instruments, St. Albans, England, 1978 [3]. Benson С. Т. см. Grove L. С [Ber 1] Berger T. Rate Distortion Theory, Prentice-Hall, Englewood Cliffs NJ, 1971 [2]. [Ber 2] Berger T. Optimum quantizers and permutation codes, PGIT, 18 A972), 759—765 [2]. [Ber 3] Berger Т., Jelinek F., Wolf J. K. Permutation codes for sources, PGIT, 18 A972), 160—169 [2]. Berlekamp E. R. см. также Shannon С. Е. [Ber 4] Berlekamp E. R. Algebraic Coding Theory, McGraw-Hill, NY, 1968 [3, 5]. [Имеется перевод: Берлекэмп Э. Алгебраическая теория ко- кодирования.— М.: Мир, 1971.] [Ber 5] Berlekamp E. R. Coding theory and the Mathieu groups. 1С, 18 A971), 40—64 [5]. [Ber 6] Berlekamp E. R., editor. Key Papers in the Development of Coding Theory, IEEE Press, NY, 1974 [3]. [Ber 7] Berlekamp E. R., MacWilliams F. J., Sloane N. J. A. Gleason's theorem on selfdual codes, PGIT, 18 A972), 409—414 [7]. [Ber 8] Berlekamp E. R., McEliece R., van Tilborg H. On the inherent in- intractability of certain coding problems, PGIT.24 A978), 384—386 [2]. [Ber 9] Berman J. D., Hanes K. Volumes of polyhedra inscribed in the unit sphere in E3, Math. Ann., 188 A970), 78—84 [1]. [Ber 10] Berman J. D., Hanes K. Optimizing the arrangement of points on the unit sphere, MTAC, 31 A977), 1006—1008 [1]. [Ber 11] Bernal J. D. The structure of liquids, PRS, A280 A964), 299—322 [1]. [Bes 1] Best M. R. Binary codes with a minimum distance of four, PGIT, 26 A980), 738—742 [3, 5, 9]. [Bes 2] Best M. R., Brouwer A. E. The triply shortened binary Hamming code is optimal, Discr. Math., 17 A977), 235—245 [9]. [Bes 3] Best M. R., Brouwer A. E., MacWilliams F. J., Odlyzko A. M., Sloane N. J. A. Bounds for binary codes of length less than 25, PGIT, 24 A978), 81—93 [3, 5, 9]. [Имеется перевод: Бест М. Р., Брауер А. Е., МакВильямс Ф. Дж., Олдыжко А. М., Сло- эн Н. Дж. А. Границы для двоичных кодов длин, меньших 25.— В кн.: Кибернетический сб., вып. 17. — М.: Мир, 1980, с. 28—60.] [Bet 1] Beth Т., Fumy W., Reiss H. P. Der Wunderschone Oktaden-Gene- rator, Mitt. Math. Sem. Giessen, 163 A984), 169—179 [11]. [Bez 1] Bezdek A. Solid packing of circles in the hyperbolic plane, Studia Sci. Math. Hungar., 14 A979), 203-207 [1J.
Список литературы 703 [Bez 2] Bezdek A. Uber Ionenpackungen, Studia Sci. Math. Hungar., 18 A983), 277—285. [Bez 3] Bezdek A. Circle packings into convex domains of the Euclidean and hyperbolic plane and sphere, Geom. Dedic, 21 A986), 249— 255 [if. Bhattacharya В. К. см. Avis D. fBie 1] Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume, Math. Ann., 70 A911), 297—336; 72 A912), 400—412 [4]. [Big 1] Biggs N. L. Perfect codes in graphs, JCT, B15 A973), 289—296 [9]. [Big 2] Biggs N. L. Algebraic Graph Theory, Camb. Univ. Press, 1974 [9]. tBig 3] Biggs N. L. Designs, factors and codes in graphs, Quart. J. Math. Oxford, 26 A975), 113—119 [9J. [Big 3a [ Biggs N. L., Boshier A. G., Shawe-Taylor J. Cubic distance-regu- distance-regular graphs, JLMS, 33 A986), 385—394 [9]. [Big 4] Biggs N. L, Smith D. H. On trivalent graphs, BLMS, 3 A971), 155—158 [9]. [Big 5] Biggs N. L, White A. T. Permutation Groups and Combinatorial Structures, Camb. Univ. Press, 1979 [9]. [Bil 1] Biglieri E., Elia M. On the! existence of group codes for the Gaussian channel, PGIT, 18 A972), 399—402 [3]. [Bil 2] Biglieri E., Elia M. Optimum permutation modulation codes and iheir asymptotic performance, PGIT, 22 A976), 751—753 [3]. [Bil 3] Biglieri E., Elia M. Cyclic-group codes for the Gaussian channel, PGIT, 22 A976), 624—629 [3]. [Bin 1] Bingham N. H. Positive definite functions on spheres, PCPS, 73 A973), 145—156 [9]. Birch B. J. см. Larmouth J. [Bir 1] Birkhoff G., MacLane S. A Survey of Modern Algebra, Macmil- lan, NY, 4th ed., 1977 [2J. [Имеется перевод: Биркгоф Г., Мак- лейн С. Современная алгебра. — М.: Мир, 1976.] [В1а 1] Blachman N. М. The closest packing of equal spheres in a lar- larger sphere, AMM, 70 A963), 526—529 [1]. [Bla 2] Blahut R. E. Theory and Practice of Error Control Codes, Addi- son-Wesley, Reading MA, 1983 [3]. [Имеется перевод: Блей- хут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. — М.: Мир, 1986.] Blake I. F. см. также Gibson I. В. [Bla 3] Blake I. F. The Leech lattice as a code for the Gaussian channel, 1С, 19 A971), 66—74 [3]. [Bla 4] Blake I. F. Distance properties of group codes for the Gaussian channel, SIAJ, 23 A972), 312—324 [31. [Bla 5] Blake I. F., editor. Algebraic Coding Theory History and Deve- Development, Dowden, Stroudsburg PA, 1973 [3]. [Bla 6] Blake I. F. Configuration matrices of group codes, PGIT, 20 A974), 95—100 [3]. [Bla 7] Blake I. F. Properties of generalized Pless codes, in Proc. 12th Allerton Conf. Circ. Syst. Theory, Univ. III., Urbana, 1974, pp. 787—789 [3]. [Bla 8] Blake I. F. On a generalization of the Pless symmetry codes, 1С, 27 A975), 369—373 [3].
704 Список литературы [Bla 9] Blake I. F., Mullin R. С The Mathematical Theory of Coding, Ac. Press, NY, 1975 [3]. Blech I. см. Sbechtraan D. [Ble 1] Bleicher M. N. Lattice coverings of n-space by spheres, CJM, 14 A962), 632—650 [2]. Blichfeldt H. F. см. также Miller G. A. [Bli 1] Blichfeldt H. F. Finite Collineation Groups, Univ. Chicago Press, 1917 [7]. [Bli 2] Blichfeldt H. F. On the minimum value of positive real quadra- quadratic forms in 6 variables, BAMS, 31, A925), 386 [1]. [Bli 3] Blichfeldt H. F. The minimum value of quadratic forms, and the closest packing of spheres, Math. Ann., 101 A929), 605—608 [1]. [Bli 4] Blichfeldt H. F. The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables, Math. Zeit., 39 A935), 1—15 [1, 4, 6]. Blii "¦ [Bli 5] Blij F. van der. History of the octaves, Simon Stevin, 34 A961), 106—125 [4]. [Bli 61 Blij F. van der, Springer T. A. The arithmetics of octaves and of the group G2, KNAW, A62 A959), 406—418 [4]. Blokhuis А. см. Bannai E. [Boc 1] Bochner S. Hilbert distances and positive definite functions, Ann. Math., 42 A941), 647—656 [9]. [Вое 1] Boerdijk A. H. Some remarks concerning close-packing of equal spheres, Philips Res. Rep., 7 A952), 303—313 [1]. Bolker E. D. см. Ash P. F. Bollobas В. см. Seidel J. J. [Boo 1] Boothby W. M., Weiss G. L., editors. Symmetric Spaces, Dekker, NY, 1972 [9, B]. [Bor 1] Borcherds R. E. The Leech lattice and other lattices, Ph. D. Dis- Dissertation, Univ. of Cambridge, 1984 [2, 17]. [Bor 2] Borcherds R. E. The Leech lattice, PRS, A398 A985), 365—376 [24]. [Bor 3] Borcherds R. E. The 24-dimensional odd unimodular lattices, гл. 17 этой книги [2, 17]. [Bor За] Borcherds R. E. Vertex algebras, Kac —Moody algebras, and the Monster, PNAS, 83 A986), 3068—3071. [Bor 3b] Borcherds R. E. Automorphism groups of Lorentzian lattices, J. Alg., Ill A987), 133—153. [Bor 3c] Borcherds R. E. Vertex algebras I, preprint. [Bor 4] Borcherds R. E., Conway J. H., Queen L, Sloane N. J. A. A Mon- Monster Lie algebra? Adv. in Math., 53 A984), 75—79 s гл. 30 этой книги [30]. [Bor 5] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1964 [15]. [Bor 6] Borwein D., Borwein J. M., Taylor K. F. Convergence of lattice sums and Madelung's constant, J. Math. Phys., 26 A985), 2999— 3009 [2]. Borwein J. M. см. Borwein D. [Bor 1] Boroczky K. Packing of spheres in spaces of constant curvature (на веигерск. яз.), Mat. Lapok, 25 A974), 265—306; 26 A975), 67—90 [1]. [Bor 2] Boroczky K. Packing of spheres in spaces of constant curvature, AMAH, 32 A978), 243—261 [1, 13]. [Bor 3] Boroczky K. The problem of Tammes for n=ll, Studia Sci. Math. Hung., 18 A983), 165—171 [1].
Список литературы 705 [Вбг 4] Boroczky К. Closest packing and loosest covering, in Diskrete Geometrie, 3rd Kolloq, Inst. f. Math., Univ. Salzburg, 1985, pp. 329—334. [Bos 1] Bos A. Sphere-packings in Euclidean space, in [Sch 8], 1979, pp. 161—177. [Bos 2] Bos A. Upper bounds for sphere packings in Euclidean space, не опубликовано [1]. [Bos 3] Bos A., Conway J. H., SJoane N. J. A. Further lattice packings in high dimensions, Math, 29 A982), 171—180 [1, 8]. Boshier A. G. см. Biggs N. L. [Bot 1] Ботя Ф. В. Типы Бравэ пятимерных решеток. — Труды МИАН, 1984, т. 163 [1, 3]. [Вой 0] Bougerol P. Un Mini-Cours sur les Couples de Guelfand, Pub. du Laboratoire de Statistique et Probabilites, Univ. Paul Saba- tier, Toulouse, 1983 [9]. [Bou 1] Bourbaki N. Groupes et Algebres de Lie, Chapitres 4, 5 et 6, Hermann, Paris, 1968 [4, 18, 21, 23, 24, 25, 27]. [Имеется пере- перевод: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. 4, 5, 6. — М.: Мир, 1976.] [Вой 2] Bourdeau M., Pitre A. Tables of good lattices in four and five dimensions, Num. Math., 47 A985), 39—43 [1]. [Bow 1] Bowman V. J. Permutation polyhedra, SIAJ, 22 A972), 580—589 [21]. [Bow 2] Bowyer A. Computing Dirichlet tessellations, Сотр. J., 24 A981), 162—166 [2]. Brandstrom H. см. Zetterberg L. H. [Bra 1] Brandt H., Intrau O. Tabellen reduzierter positiver ternarer qua- dratischen Formen, Abh. Sachs. Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl., 45 (No. 4, 1958). [15]. Brauer R., Sah C.-H., editors. Theory of Finite Groups, Benjamin, NY, 1969 [B]. Braun H. Zur Theorie der hermitischen Formen, ASUH, 14 A941), 61—150 [16]. Briant С E., Theobald B. R. C, White J. W., Bell L. K., Min- gos D. M. P., Welch A. J. Synthesis and Jf-ray structural charac- characterization of the centered icosahedral gold cluster compound [Aui3(PMe2Ph)loCl2](PF6K; the realization of a theoretical pre- prediction, J. Chem. Soc, Chem. Comm. A981), 201—202 [1]. Brieskorn E. Milnor lattices and Dynkin diagrams, PSPM, 40 A983), 153—165 [2]. Brillhart J. см. Morrison M. A. Brooke P. L. H. On matrix representations and codes associated with the simple group of order 25920, J. Alg., 91 A984), 536—566 [3]. Brooke P. L. H. Tables of Codes Associated with Certain Finite Simple Groups, Ph. D. Dissertation, Univ. of Cambridge, June 1984 [3]. Brooke P. L. H. On the Steiner system 5B,4,28) and codes associated with the simple group of order 6048, J. Alg., 97 A985), 376-406 [3]. Brostow W., Dussault J.-P., Fox B. L. Construction of Voronoi polyhedra, J. Сотр. Phys., 29 A978), 81—92 [2]. Broue M. Le reseau de Leech et le groupe de Conway, These de 3e cycle, Paris, 1970 [4]. Broue M. Codes correcteurs d'erreurs auto-orthogonaux sur le corps a deux elements et formes quadratique entieres definies [Bra [Bra [Bri [Bri [Bro [Bro [Bro [Bro [Bro [Bro 2] 3] 1] 2] 0] 1] 2] 3] 4] 5]
706 Список литературы positives a discriminant +1, Discr. Math., 17 A977), 247—269 [7, 16]. Broue M., Enguehard M. Polynomes des poids de certains codes et fonctions theta de certains reseaux, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 5 A972), 157—181 [7, 16]. Broue M., Enguehard M. Une famille infinie de formes quadra- tiques entieres; leurs groupes d'automorphismes, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 6 A973), 17—52 [7]. Brouwer A. E. см. также Best M. R. Brouwer A. E. A few new constant weight codes, PGIT, 26 A980), 366 [9]. Brouwer A. E. Delsarte P., Piret P. On the B3, 14, 5) Wagner code, PGIT, 26 A980), 742—743 [9]. Brouwer A. E., Shearer J. В., Sloane N. J. A., Smith W. D. A new table of constant weight codes, PGIT, в печати. Brown H., Biilow R., Neubiiser J., Wondratschek H., Zassen- haus H. Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space, Wi- Wiley, NY, 1978 [3]. Brown H., Neubiiser J., Zassenhaus H. J. On integral groups I: the reducible case, Num. Math., 19 A972), 386—399 [3]. Brown H., Neubiiser J., Zassenhaus H. J. On integral groups II: the irreducible case, Num. Math., 20 A972), 22—31 [3]. Brown H., Neubiiser J., Zassenhaus H. J. On integral groups III: normalizers, MTAC, 27 A973), 167—182 [3]. Brown W S., ALTRAN User's Manual, Bel! Laboratories, Murray Hill, 4th ed., 1977 [16]. Brun V. On regular packing of equal circles touching each other on the surface of a sphere, Comm. Pure Appl. Math., 29 A976), 583—590 [1]. Bucklew J. А. см. также Gallagher N. C, Jr. Bucklew J. A. Compounding and random quantization in several dimensions, PGIT, 27 A981), 207—211 [2]. Bucklew J. A. Upper bounds to the asymptotic performance of block quantizers, PGIT, 27 A981), 577—581 [2]. Bucklew J. A., Wise G. L. Multidimensional asymptotic quantiza- quantization theory with г Hi power distortion measures, PGIT, 28 A982), 239-247 [2]. [Bud 1] de Buda P. Encoding and decoding algorithms for an optimal latticebased code, in Conference Record-Internat. Conf. Commun. ICC '81, IEEE Press, NY, Vol. 3, 1981, pp. 65.3.1—65.3.5 [2, 20]. de Buda R. см. также Anderson J. B. de Buda R. The upper error bound of a new near-optimal code, PGIT, 21 A975), 441—445 [3]. de Buda R., Kassem W. About lattices and the random coding theorem, in Abstracts of Papers, IEEE Inter. Symp. Info. Theory 1981, IEEE Press, NY, 1981, p. 145 [3]. Buell D. A. Binary Quadratic Forms, Springer-Verlag, 1989 Biilow R. см. также Brown H. Biilow R., Neubiiser J., Wondratschek H. On crystallography in higher dimensions, Acta Cryst., A27 A971), 517—535 [3]. Bumiller C. On rank three graphs with a large eigenvalue, Discr. Math., 23 A978), 183—187 [9]. Burzlaff H. см. также Zimmerman H. Burzlaff H., Zimmerman H. On the metrical properties of latti- lattices, Z. Krist., 170 A985), 247—262 [2]. Burzlaff H., Zimmerman H., de Wolff P. M. Crystal lattices, in [Bro [Bro [Bro [Bro [Bro [Bro [Bro [Bro [Bro [Bro ?Bru [Buc [Buc [Buc 6] 7] 8] 9] 9a] 10] 11] 12] 13] 14] 1] 1] 2] 3] [Bud [Bud [Bue [Bui [Bum [Bur [Bur 2] 3] 1] 1] 1] 1] 2]
Список литературы 707 [Hah 1], 1983, 734—744 [2]. [Bus 1] Buser P. A geometric proof of Bieberbach's theorems on crystal- lographic groups, L'Enseignement Math., 31 A985), 137—145 [4]. [Bus 2] Bussemaker F. C, Tonchev V. D. New extremal doubly-even co- codes of length 56 derived from Hadamard matrices of order 28, Discr. Math., 76 A989), 45—49. [But 1] Butler G. The maximal subgroups of the sporadic simple group of Held, J. Alg., 69 A981), 67—81 [10]. Buzo А. см. Linde Y. Cahn J. W. см. Shechtman D. [Cal 0] Calderbank A. R. Nonexistence of an extremal binary self- du [72, 36, 16] code, preprint. [Cal 1] Calderbank A. R., Kantor W. M. The geometry of two-weight co- codes, BLMS, 18 A986), 97—122 [9]. [Cal 2] Calderbank A. R., Lee T.-A., Mazo J. E. Baseband trellis codes with a spectral null at zero, PGIT, 34 A986), 425—434 [3]. [Cal 3] Calderbank A. R., Mazo J. E. A new description of trellis codes, PGIT, 30 A984), 784—792 [3]. [Cal 4] Calderbank A. R., Mazo J. E., Shapiro H. M. Upper bounds on the minimum distance of trellis codes, BSTJ, 62 A983), 2617—2646 [31. [Cal 5] Calderbank A. R., Mazo J. E., Wei V. K. Asymptotic upper bounds on the minimum distance of trellis codes, COMM, 33 A985), 305—309 [3]. [Cal 6] Calderbank A. R., Sloane N. J. A. Four-dimensional modulation with an eight-state trellis code, BSTJ, 64 A985), 1005—1018 [3]. [Cal 7] Calderbank A. R., Sloane N. J. A. An eight-dimensional trellis code. PIEEE, 74 A986), 757—759 [3]. [Cal 8] Calderbank A. R. Sloane N. J. A. New trellis codes based on lat- lattices and cosets, PGIT, 33 A987), 177—195 [3]. [Cal 9] Calderbank A. R., Wales D. B. A global code invariant under the Higman-Sims group, J. Alg., 75 A982), 233—260 [3]. Cameron P. J. см. также Sloane N. J. A. [Cam 1] Cameron P. J. Another characterization of the small Janko group, J. Math. Soc. Japan, 25 A973), 591—595 [10]. [Cam 2] Cameron P. J., van Lint J. H. Graphs, Codes and Designs, Camb. Univ. Press, 1980 [3, 9]. [Имеется перевод: Камерон П., ван Линт Дж. Теория графов, теория кодирования и блок-схемы. — М.: Наука, 1980.] [Cam 3] Cameron P. J., Thas J. A., Payne S. E. Polarities of generalized hexagons and perfect codes, Geom. Dedic, 5 A976), 525—528 [9]. Campbell С. М. см. Wilson R. A. [Cam 4] Campopiano С N., Glazer B. G. A coherent digital amplitude and phase modulation scheme, COMM, 10 A962), 90—95 [3]. [Car 1] Carmichael R. D. Introduction to the Theory of Groups of Finite Order, Ginn, Boston, 1937; Dover, NY, 1956 [11]. [Car 2 Carter R. W. Simple Groups of Lie Type, Wiley, NY, 1972 [10]. [Car 3 Carter R. W. Finite Groups of Lie Type, Wiley, NY, 1985 [10]. [Cas 1 Cassels J. W. S. Uber die Aquivalenz 2-adischer quadratischer Formen, Comment. Math. Helvet., 37 A962), 61—64 [15]. [Cas 2] Cassels J. W. S. An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer-Verlag, 1971 [1, 2, 6]. [Имеется перевод: Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. — М.: Мир, 1965.]
708 Список литературы [Cas 3] Cassels J. W. S. Rational Quadratic Forms, Ac. Press, NY, 1978 [2, 3, 4, 7, 15, 16]. [Имеется перевод: Касселс Дж. Рациональ- Рациональные квадратичные формы. — М.: Мир, 1982.] [Cas 4] Cassels J. W. S. Rational quadratic forms, in Proc. Intern. Math. Conf., ed. L. H. Y. Chen et al., North-Holland, Amsterdam, 1982, pp. 9-26 [15]. [Cas 5] Cassels J. W. S., Frohlich A., editors. Algebraic Number Theory, Ac. Press, NY, 1967 [8, В]. [Имеется перевод: Алгебраическая теория чисел, под ред. Касселса Дж. и Фрелиха А. — М.: Мир, 1969.] [Cha 1] Chalk J. H. H. Algebraic lattices, in [Gru 2], 1983, pp. 97—110 [2]. [Cha 2] Chang R. C, Lee R. С. Т. On the average length of Delaunay triangulations, BIT, 24 A984), 269—273 [2]. [Cha 3] Chapline G. Unification of gravity and elementary particle inte- interactions in 26 dimensions, Phys. Lett, B158 A985), 393—396 [1]. [Cha 4] Chaundy T. W. The arithmetic minima of positive quadratic forms. Quart. J. Math., 17 A946), 166—192, см. также обзор: Coxeter H. S. M., Math. Rev., 8 A947), 137—138 [6]. [Che 1] Chen C. L. Computer results on the minimum distance of some binary cyclic codes, PGIT, 16 A970), 359—360 [3, 5]. Chen L. H. Y. см. Cassels J. W. S. [Che 2] Cheng D.-Y., Gersho A., Ramamurthi В., Shoham Y. Fast search algorithm for vector quantization and pattern matching, in Proc. Inter. Conf. Acoust. Speech Sig. Proc ICASSP '84, IEEE Press, NY, 1984, Vol. 1, pp. 9.11.1—9.11.4 [20]. [Che 3] Cheng Y., Sloane N. J. A. Codes from symmetry groups and a [32, 17, 8] code, SIAM J. Disc. Math., 2 A989), 28—37. [Che 4] Черняков А. Г. Пример 32-мерной четной унимодулярной ре- решетки. — Записки науч. семинаров ЛОМИ, 1979, т. 86, с. 170— 179 [7]. tCho 1] Choi С. On subgroups of M2t, TAMS, 167 A972), 1—27, 29—47 [10]. ICla 1] Clare B. W., Kepert D. L. The closest packing of equal circles on a sphere, PRS, A405 A986), 329—344 [1]. [Coh 1] Cohen A. M. Finite complex reflection groups, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 9 A976), 379—436 [3, 4]. [Coh 2] Cohen A. M. Finite quaternionic reflection groups, J. Alg., 64 A980), 293—324 [3, 8]. [Coh 3] Cohen G. D.. Karpovsky M. R., Mattson H. F., Jr., Schatz J. R. Covering radius — survey and recent results, PGIT, 31 A985), 328—343 [3]. [Coh 4] Cohen G. D., Lobstein A. C, Sloane N. J. A. Further results on the covering radius of codes, PGIT, 32 A986), 680—694 [3]. {Coh 4a] Cohen J., Hickey T. Two algorithms for determining volumes of convex polyhedra, J. Assoc. Comput. Mach., 26 A979), 401— 414 [2]. {Coh 5] Cohn H. A Second Course in Number Theory, Wiley, NY, 1962 [15]. {Coh 6] Cohn H. A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Fields, Springer-Verlag, 1978 [8, B]. Cohn M. J. см. Barnes E. S. Cohn-Vossen S. см. Hilbert D. {Coi 1] Coifman R. R., Weiss G. Representations of compact groups and spherical harmonics, L'Enseignement Math., 14 A968), 121— 173 [9].
Список литературы 709 {Coi 2] Coifman R. R., Weiss G. Analyse harmonique non-commutative sur certains espaces homogenes, LNM, 242, 1971 [9]. [Col 1] Colbourn M. J. Some new upper bounds for constant weight co- codes, PGIT, 26 A980), 478 [9]. [Col 2] Collins M. J., editor. Finite Simple Groups II, Ac. Press, NY, 1980 [B]. [Con 1] Connelly R. Rigid circle and sphere packings, (I) Finite pa- packings, Tcpologie Struct, 14 A988), 43—60. Conway J. H. см. также Borcherds R. E., Bos A., Parker R. A. [Con 2] Conway J. H. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups, PNAS, 61 A968), 398—400 [31. [Con 31 Conway J. H. A group of order 8,315,553,613,086,720,000, BLMS, 1 A969), 79—88 [3, 10]. [Con 4] Gonway J. H. A characterisation of Leech's lattice, Invent. Math., 7 A969), 137— 142 ss гл. 12 этой книги [7, 12]. [Con 5] Conway J. H. Three lectures on exceptional groups, in [Pow 1], 1971, pp. 215—247 s гл. 10 этой книги [10]. [Con 6] Conway J. H. Groups, lattices, and quadratic forms, in Compu- Computers in Algebra and Number Theory, SIAM —AMS Proc IV, Amer. Math. Soc., Providence RI, 1971, pp. 135—139. [Con 7] Conway J. H. A construction for the smallest Fischer group, in [Gag 2], 1973, pp. 27—35 [10]. [Con 8] Conway J. H. Invariants for quadratic forms, JNT, 5 A973), 390—404 [15]. [Con 9] Conway J. H. The miracle octad generator, in [Cur 0], 1977, pp. 62—68. [Con 10] Conway J. H. A quaternionic construction for the Rudvalis group, in [Cur 0], 1977, pp. 69-81 [10]. [Con 11] Conway J. H. Monsters and moonshine, Math. Intelligencer, 2 (No. 4, 1980), 165—172 [1]. [Con 12] Conway J. H. The hunting of Jt, Eureka, 41 A981), 46—54 [10, 11]. [Con 13] Conway J. H. The automorphism group of the 26-dimensional even unimodular Lorentzian lattice, J. Alg., 80 A983), 159— 163 ггл. 27 этой книги [15, 27]. [Con 14] Conway J. H. Hexacode and tetracode — MOG and MINIMOG, in [Atk 2], 1984, pp. 359—365. [Con 15] Conway J. H. A simple construction for the Fischer — Griess Mon- Monster group, Invent. Math., 79 A985), 513—540 [29]. [Con 16] Conway J. H., Curtis R. Т., Norton S. P., Parker R. A., Wil- Wilson R. A. ATLAS of Finite Groups, Oxford Univ. Press, 1985 [3, 4, 8, 10, 29]. [Con 16a] Conway J. H., Knowles К. М. Quasiperiodic tiling in two and three dimensions, J. Phys., A 19 A986), 3645—3653 [1]. [Con 17] Conway J. H., Norton S. P. Monstrous moonshine, BLMS, 11 A979), 308—339 [1, 10, 25, 29, 30]; [Con 18] Conway J, H., Norton S. P., Soicher L. H. The Bimonster, the group У555, and the projective plane of order 3, Proceedings of "Computers in Algebra" Conference, Chicago, 1985, готовится к печати [29]. [Con 19] Conway J. H., Odlyzko A. M., Sloane N. J. A. Extremal self-dual lattices exist only in dimensions 1 to 8, 12, 14, 15, 23 and 24, Math., 25 A978), 36—43 s* гл. 19 этой книги [7, 19].
710 Список литературы [Con 20] Conway J. H., Parker R. A., Sloane N. J. A. The covering radius of the Leech lattice, PRS, A380 A982), 261—290 s гл. 23 этой книги [2, 6, 23]. [Con 21] Conway J. H., Pless V. On the enumeration of self-dual codes, JCT, A28 A980), 26—53 [4, 7]. [Con 22] Conway J. H., Pless V. On primes dividing the group order of a doubly-even G2, 36, 16) code, and the group order of a quater- quaternary B4, 12, 10) code, Discr. Math., 38 A982), 143—156 [7]. [Con 23] Conway J. H., Pless V. Monomials of order 7 and 11 cannot be in the group of a B4, 12, 10) self-dual quaternary code, PGIT, 29 A983), 137—140 [7]. [Con 24] Conway J. H., Pless V., Sloane N. J. A. Self-dual codes over GFC) and GFD) of length not exceeding 16, PGIT, 25 A979), 312—322 [4, 5, 7]. [Con 24'] Conway J. H., Pless V., Sloane N. J. A. Corrections to "On the enumeration of self-dual codes" and "The children of the C2, 16) doubly even codes", готовится к печати. [Con 24a] Conway J. H., Pritchard A. D. Hyperbolic reflections for the Bimonster and 3Fi2i, J. Alg., в печати [29]. [Con 25] Conway J. H., Queen L. Computing the character table of a Lie group, in [McK 3], 1982, pp. 51—87 [21]. [Con 26] Conway J. H., Sloane N. J. A. Fast 4- and 8-dimensional quanti- quantizers and decoders, in Nat. Telecomm. Conf. Record-1981, IEEE Press, NY, 1981, Vol. 3, pp. F4.2.1 to F4.2.4 [20]. [Con 27] Conway J. H., Sloane N. J. A. On the enumeration of lattices of determinant one, JNT, 15 A982), 83—94 [2, 4, 7, 16]. [Con 28] Conway J. H., Sloane N. J. A. Voronoi regions of lattices, second moments of polytopes, and quantization, PGIT, 28 A982), 211— 226 а гл. 21 этой книги [2, 4, 6, 21]. [Con 29] Conway J. H., Sloane N. J. A. Fast quantizing and decoding al- algorithms for lattice quantizers and codes, PGIT, 28 A982), 227— 232 [2, 20]. [Con 30] Conway J. H., Sloane N. J. A. Twenty-three constructions for the Leech lattice, PRS, A381 A982), 275—283 =* гл. 24 этой книги [24]. [Con 31] Conway J. H., Sloane N. J. A. Lorentzian forms for the Leech lattice, BAMS, 6 A982), 215—217^ гл. 26 этой книги [26]. [Con 32] Conway J. H., Sloane N. J. A. Laminated lattices, Ann. Math., 116 A982), 593—620 s* гл. 6 этой книги [6]. [Con 33] Conway J. H., Sloane N. J A. Leech roots and Vinberg groups, PRS, A384 A982), 233—258 =* гл. 28 этой книги [15, 28]. [Con 34] Conway J. H., Sloane N. J. A. The unimodular lattices of dimen- dimension up to 23 and the Minkowski — Siegel mass constants, Europ. J. Combinatorics, 3 A982), 219—231s гл. 16 этой книги [2, 7, 15, 16]. [Con 35] Conway J. H., Sloane N. J. A. A fast encoding method for lattice codes and quantizers, PGIT, 29 A983), 820—824 [2, 20]. [Con 36] Conway J. H., Sloane N. J. A. Complex and integral laminated lattices, TAMS, 280 A983), 463—490 [2, 6, 22]. [Con 37] Conway J. H., Sloane N. J. A. The Coxeter — Todd lattice, the Mitchell group, and related sphere packing, PCPS, 93 A983), 421—440 [2, 4, 7, 8, 22]. [Con 38] Conway J. H., Sloane N. J. A. On the Voronoi regions of certain lattices, SIAD, 5 A984), 294—305 [2, 4, 20, 21]. [Con 39] Conway J. H., Sloane N. J. A. A lower bound on the average er- error vector quantizers, PGIT, 31 A985), 106—109 [2].
Список литературы 711 [Con 40] Conway J. H., Sloane N. J. A. Soft decoding techniques for co- codes and lattices, including the Golay code and the Leech lattice, PGIT, 32 A986), 41—50 [2, 4, 20]. [Con 41] Conway J. H., Sloane N. J. A. Lexicographic codes: error-correc- error-correcting codes from game theory, PGIT, 32 A986), 337—348 [6, 9, 11]. (Con 42] Conway J. H., Sloane N. J. A. Low-dimensional lattices (I) Quadratic forms of small determinant, PRS, A 418 A988), 17—41; (II) Subgroups of GL(n, Z), PRS, A 419 A988), 29—68; (III) Periect forms, PRS, A 418 A988), 43—80; (IV) The mass formula, PRS, A 419 A988), 259—286; (V) Integral coor- coordinates for integral lattices, PRS, в печати A989). [Con 43] Conway J. H , Sloane N. J. A. Covering space with spheres, го- готовится к печати [2, 22]. [Con 43a] Conway J. H., Sloane N. J. A. A new upper bound for the mi- minimum of an integral lattice of determinant one, BAMS, в печати. [Con 43b] Conway J. H., Sloane N. J. A. A new upper bound for the mini- minimal distance of self-dual codes, PGIT, в печати. (Con 43c] Conway J. H., Sloane N. J. A. On the minimum of unimodular lattices I: Upper bounds, готовится к печати. (Con 43d] Conway J. H., Sloane N. J. A. On the minimum of unimodular lattices II: Lower bounds, готовится к печати [Con 43e] Conway J. H., Sloane N. J. A. Orbit and coset analysis of Golay and related codes, PGIT, в печати. [Con 44] Conway J. H., Wales D. B. Construction of the Rudvalis group of order 145,926,144,000, J. Alg., 27 A973), 538—548 [10]. [Con 45] Conway J. H., Wales D. B. Matrix generators for /3, J. Alg., 29 A974), 474—476 [10]. [Coo 1] Cooper G. R., Nettleton R. W. A spread-spectrum technique for high-capacity mobile communications, IEEE Trans. Veh. Tech., 27 A978), 264—275 [1]. Costello D. J., Jr. см. Lin Shu. [Cos 1] Costello P. J., Hsia J. _S. Even unimodular 12-dimensional quad- quadratic forms over Q(V5~), Adv. in Math. 64 A987), 241—278 [2, 8, 16]. Coxeter H. S. M. см. также Ball W. W. R., Chaundy T. W. Час- Частичный список публикаций Г. Кокстера дан в [Dav 3, р. 5—13]. [Сох 1] Coxeter H. S. М. The pure Archimedean polytopes in six and seven dimensions, PCPS, 24 A928), 1—9 [4, 21]. [Cox 2] Coxeter H. S. M. Groups whose fundamental regions are simple- xes, JLMS, 6 A931) 132—136 [4]. [Cox 3] Coxeter H. S. M. Discrete groups generated by reflections, Ann. Math., 35 A934), 588—621 [4]. [Cox 4] Coxeter H. S. M. The complete enumeration of finite groups of the form R\ = (fy/?/)*''' = 1, JLMS, 10 A935), 21—25 [4]. [Cox 5] Coxeter H. S. M. Wythoff's construction for uniform polytopes, PLMS, 38 A935), 327—339 = гл. З из [Сох 18] [21]. [Сох 6] Coxeter H. S. M. Regular and semi-regular polytopes, Math. Z., 46 A940), 380—407 [21]. [Cox 7] Coxeter H. S. M. The polytope 2гь whose twenty-seven vertices correspond to the lines on the general cubic surface, AJM, 62 A940), 457—486 [4, 21]. [Cox 8] Coxeter H. S. M. Quaternions and reflections, AMM, 53 A946), 136—146 [2, 4].
712 Список литературы [Сох 9] Coxeter H. S. M. Integral Cayley numbers, DMJ, 13 A946), 561—578 = гл. 2 из [Сох 18] [4]. [Сох 10] Coxeter H. S. M. Extreme forms, CJM, 3 A951), 391—441 [2, 4, 8, 21, 26]. [Сох 11] Coxeter H. S. M. The product of the generators of a finite group generated by reflections, DMJ, 18 A951), 765—782. [Cox 12] Coxeter H. S. M. Twelve points in PG E,3) with 95040 self-trans- self-transformations, PRS, A247 A958), 279—293 = гл. 7 из fCox 18J. [Cox 13] Coxeter H. S. M. Polytopes over GFB) and their relevance for the cubic surface group, CJM, 11 A959), 646—650 [4]. [Cox 14] Coxeter H. S. M. Introduction to Geometry, Wiley, NY, 1961 [1, 21]. [Имеется перевод: Кокстер Г. С. М. Введение в геомет- геометрию. — М.: Наука, 1966.] [Сох 15] Coxeter H. S. М. The problem of packing a number of equal non- overlapping circles on a sphere, Trans. N. Y. Acad. Sci., 24 (No. 3, 1962), 320—331 [1]. [Cox 16} Coxeter H. S. M. An upper bound for the number of equal non- overlapping spheres that can touch another of the same size, PSPM, 7 A963), 53—71 = гл. 9 из [Сох 18] [1, 13]. [Cox 17] Coxeter H. S. M. Geometry, in Lectures on Modern Mathematics, ed. T. L. Saaty, Wiley, NY, Vol. Ill, 1965, pp. 58—94 = гл. 12 из [Сох 18] [2, 4]. [Сох 18] Coxeter H. S. M. Twelve Geometric Essays, Southern Illinois Press, Carbondale IL, 1968 [1, 2, 4, 21, B]. [Cox 19] Coxeter H. S. M. Finite groups generated by unitary reflections, ASUH, 31 A967), 125—135. [Cox 20] Coxeter H. S. M. Regular polytopes, Dover, NY, 3rd ed., 1973 [3, 4, 5, 6, 21, 23]. [Cox 21] Coxeter H. S. M. Regular Complex Polytopes, Camb. Univ. Press, 1974 [1, 2, 3]. [Cox 21a] Coxeter H. S. M. Non-Euclidean Geometry, Univ. Toronto Press, 5th ed., 1978 [26]. [Cox 22] Coxeter H. S. M. Polytopes in the Netherlands, Nieuw Arch. Wisk., 26 A978), 116—141 [21]. [Cox 23] Coxeter H. S. M. Regular and semi-regular polytopes II, Math. Z., 188 A985), 559—591 [21]. [Cox 24] Coxeter H. S. M. A packing of 840 balls of radius 9°0'19" on the 3-sphere, in Intuitive Geometry, ed. K. Boroczky, G. Fejes Toth, North-Holland, Amsterdam, 1987, pp. 127—137 [1]. [Cox 25] Coxeter H. S. M. Regular and semi-regular polytopes III, Math. Z., в печати [21] [Сох 26] Coxeter H. S. M., Few L., Rogers С A. Covering space with equal sphere, Math., 6 A959), 147—157 [2]. [Cox 27] Coxeter H. S. M. Longuet-Higgins M. S., Miller J. C. P. Uni- Uniform polyhedra, Phil. Trans. Royal Soc, 246 A954), 401—450 [21]. [Cox 28] Coxeter H. S. M., Moser W. O. J. Generators and Relations for Discrete Groups, Springer-Verlag, 4th ed., 1980 [3, 4, 7, 9, 10, 21, 27]. [Имеется перевод: Коксетер Г. С. М., Мозер У. Порождаю- Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп.— М.: Наука, 1980.] [Сох 29] Coxeter H. S. M., Todd J. A. An extreme duodenary form, CJM, 5 A953), 384—392 [1, 4, 6]. [Cox 30] Coxeter H. S. M., Whitrow G. J. World structure and non-Eucli- non-Euclidean honeycombs, PRS, A201 A950). 417—437 [27].
Список литературы 713 [Сга 1] Cracknell A. P. Irreducible representations of point groups and space groups — the last 50 years and the next 10 years, Comm. Match in Math. Chem., 9 A980), 227—241 [3]. Craig M. A characterization of certain extreme forms, IJM, 20 A976), 706—717 [2, 3]. Craig M. Extreme forms and cyclotomy, Math., 25 A978), 44—56 [2, 8]. Craig M. A cyclotomic construction for Leech's lattice, Math., 25 A978), 236—241 [2, 8]. Craig M. Automorphisms of prime cyclotomic lattices, preprint [2, 8J. Crochiere R. E. см. Flanagan J. L. Cundy H. M , Rollett A. P. Mathematical Models, Oxford Univ. Press, 2nd ed., 1961 [2, 21]. Curran M. P. J. Topics in Group Theory and Computation, Ac. Press, NY, 1977 [B]. Curtis С W., Kantor W. M., Seitz G. M. The 2-transitive permu- permutation representations of the finite Chevalley groups, TAMS, 218 A976), 1—57 [9]. Curtis R. Т. см. также Conway J. H. Curtis R. T. On subgroups of-0, I. lattice stabilizers, J. Alg., 27 A973), 549-573 [10, 11, 23]. Curtis R. T. A new combinatorial approach to Mit, PCPS, 79 A976), 25—42 [10, 11, 14]. Curtis R. T. The maximal subgroups of AfM, PCPS, 81 A977), 185—192 [10]. Curtis R. T. On subgroups of-0, II: local structure, J. Alg., 63 A980), 413-434 [10]. Curtis R. I. Eight octads suffice, JCT, A36 A984), 116—123 [11]. Curtis R. T. The Steiner System 5E,6,12), the Mathieu group M12 and the "kitten", in [Atk 2], 1984, pp. 352—358 [11]. [Cus 1] Cusack E. L. Error control codes for QAM signalling, Elect. Lett., 20 A984), 62—63. [Dad 1] Dade E. С The maximal finite groups of 4 X 4 integral matri- matrices, IJM, 9 A965), 99—122 [3]. Damerell R. M. см. Bannai E. [Dan 1] Danzer L. Finite point-sets on S2 with minimum distance as large as possible, Discr. Math., 60 A986), 3—66 [1]. [Dav 1] Davenport H. The Higher Arithmetic, Hutchinson, London, 1952 [15]. [Dav 2] Davenport H. The covering of space by spheres, Rend. Circ. Mat. Palermo, 1 A952), 92—107 = Coll. Works, II A977), 609—624 [2, 21]. [Dav 2a] Davenport H., Watson G. L. The minimal points of a positive definite quadratic form, Math., 1 A954), 14—17 = Coll. Works, II A977), 684—688 [15]. [Dav 3] Davis C. Griinbaum В., Sherk F. A., editors. The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift, Springer-Verlag, 1981 [B]. [Dav 4] Davisson L. D., Gray R. M., editors. Data Compression, Dowden, Stroudsberg PA, 1976 [2]. [Daw 1] Dawson E. Self-dual ternary codes and Hadamard matrices, Ars Comb., A19 A985), 303—308 [7]. Dekesel M. см. Devijver P. A. Delaunay B. N. см. Delone B. N. (Делоне Б. Н.) [Сга [Сга [Сга (Сга [Сип [Сиг [Сиг [Сиг [Сиг [Сиг [Сиг [Сиг [Сиг 2] 3] 4] 5] 1] 0] и 2] 3] 4] 5] 1)
714 Список литературы [Deg 1] Deligne P. Formes modulaires et representations /-adiques, Sem. Bourbaki, 21 (No. 335, 1969), 139—172 [2]. [Имеется перевод: Де- линь П. Модулярные формы и /-адические представления. — В книге: Серр Ж--П. Абелевы Ьадические представления н эл- эллиптические кривые.—М.: Мир, 1973, с. 154—186.] [Deg 2] Deligne P. La conjecture de Weil, Inst. Hautes Etudes Sci. PubL Math., 53 A974), 273—307 [2]. [Имеется перевод: Делинь П. Гипотеза Вейля. — УМН, 1975, т. 30, № 5, с. 159—190.] [Del 0] Delone В. N. Neue Darstellung der geometrischen Kristallogra- phie, Z. Krist, 84 A933), 109—149 [2]. [Del 1] Delone B. N. Sur la sphere vide, Бюллетень АН СССР, класс. науки, мат., ест., 1934, с. 793—800 [2]. [Del 2] Делоне Б. Н., Долбилин Н. П., Рышков С. С, Штогрин М. И. Новое построение в теории решетчатых покрытий 12-мерного про- пространства равными шарами — Изв. АН СССР, сер. мат. 1970, т. 34, с. 289—298 [2]. [Del 3] Делоне Б. Н., Галиулин Р. В., Штогрин М. И. О типах Брав» решеток. — В кн.: Итоги науки. Современные проблемы матема- математики. — М.: 1973, т. 2, с. 119—257 [1]. [Del 4] Делоне Б. Н., Рышков С. С. Решение задачи о наименее плот- плотном решетчатом покрытии четырехмерного пространства рав- равными шарами.— ДАН СССР, 1963, т. 152, с. 523—524 [2, 4]. [Del 5] Делоне Б. Н., Рышков С. С. Экстремальные задачи теории по- положительных квадратичных форм. — Труды МИАН, 1971, т. 112, с. 203—223. [Del 6] Делоне Б. Н., Сандакова Н. Н., Рышков С. С. Об оптимальной кубатурной решетке для всесторонне гладких функций от двух переменных. — ДАН СССР, 1965, т. 162, с. 1230—1233 [1]. [Del 7] Делоне Б. Н., Штогрин М. И. Упрощение доказательства тео- теоремы Шенфлиса. — ДАН СССР, 1974, т. 219, с. 95—98 [4]. Delsarte P. см. также Bannai E., Brouwer A. E. [Del 8] Delsarte P. Bounds for unrestricted codes, by linear programming, Philips Res. Reports, 27 A972), 272—289 [9]. [Del 9] Delsarte P. An algebraic approach to the association schemes of coding theory, Philips Res. Reports Supplements, No. 10 A973) [9, 14]. [Имеется перевод: Дельсарт Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодироваия. — М.: Мир, 1973.] [Del 10] Delsarte P. Four fundamental parameters of a code and their combinatorial significance, 1С, 23 A973), 407—438 [9]. [Имеется перевод: Дельсарт Ф. Четыре фундаментальных параметра кода и их комбинаторное значение. — В кн.: Кибернетический сборник, вып. 14. — М. Мир, 1976.] [Del 11] Delsarte P. Hahn polynomials, discrete harmonics, and ^-designs, SIAJ, 34 A978), 157—166 [3, 9]. [Del 12] Delsarte P. Bilinear forms over a finite field, with applications to coding theory, JCT, A25 A978), 226—241 [9]. [Del 13] Delsarte P., Goethals J.-M. Unrestricted codes with the Golay pa- parameters are unique, Discr. Math., 12 A975), 211—224 [7, 14]. [Del 14] Delsarte P., Goethals J.-M. Alternating bilinear forms over GF(q)r JCT, A19 A975), 26—50 [9]. [Del 15] Delsarte P., Goethals J.-M., Seidel J. J. Bounds for systems of lines, and Jacobi polynomials, Philips Res. Reports, 30 A975), 91*—105* [3, 9]. [Del 16] Delsarte P., Goethals J.-M., Seidel J. J. Spherical codes and de- designs, Geom. Dedic, 6 A977), 363—388 [1, 3, 9, 14].
Список литературы 715 [Dem 1] Dempster A. P. The minimum of a definite ternary quadratic form, CJM, 9 A957), 232—234 [1]. fDen 1] Denniston R. H. F. Some new 5-designs, BLMS, 8 A976), 263— 267 [3]. Deo N. см. Reingold E. M. (Dev 1] Devijver P. A., Dekesel M. Insert and delete algorythms for maintaining dynamic Delaunay triangulations, Patt. Recog. Lett., 1 A982), 73—77 [2]. [Dev 2] Devijver P. A, Dekesel M. Computing multidimensional Delaunay tessellations, Patt. Recog. Lett., 1 A983), 311—316 [2]. Dewilde P. см. Atal B. S., Wilson S. G. [Dia 1] Diaconis P. Lectures on the Use of Group Representations in Probability and Statistics, Inst. Math. Statist. Lecture Note Series, to appear [9]. [Dia 2] Diaconis P., Graham R. L., Kantor W. M. The mathematics of perfect shuffles, Adv. Appl. Math., 4 A983), 175—196 [11]. [Dia 3] Diamond W. J. Practical Experiment Designs, Wadsworth, Bel- mont С A, 1981 [3]. Diaz J. С. см. Keast P. Dickson L. E. см. также Miller Q. A. [Die 1] Dickson L. E. Linear Groups with an Exposition of the Galois Field Theory, Dover, NY, 1958 [4, 10]. (Die 2] Dickson L. E. History of the Theory of Numbers, Carnegie Insti- Institution of Washington Publications, No. 256, 1919, 1920, 1923, 3 vols: Chelsea, NY, 1966 [4, 15]. [Die 3] Dickson L. E. Studies in the Theory of Numbers, Univ. of Chi- Chicago Press, 1930; Chelsea, NY (no date) [15]. Dickson T. J. см. также Barnes E. S. [Die 4] Dickson T. J. An extreme covering of 4-space by spheres, JAMS, 6 A966), 179—192 [2]. [Die 5] Dickson T. J. The extreme coverings of 4-space by spheres, JAMS, 7 A967), 490—496 [2]. [Die 6] Dickson T. J. A sufficient condition for an extreme covering of л-space by spheres, JAMS, 8 A968), 56—62 [2]. [Die 7] Dickson T. J. On Voronoi reduction of positive definite quadratic forms, JNT, 4 A973), 330—341 [2]. [Die 1] Dieter U. How to calculate shortest vectors in a lattice, MTAC, 29 A975), 827—833 [2]. [Dij 1] Dijkstra E. W. A Discipline of Programming, Prentice-Hall, En- glewood Cliffs NJ, 1976, Chap. 19 [15]. [Имеется перевод: Дейк- стра Э. Дисциплина програмирования. — М.: Мир, 1978.] [Dir 1] Dirichlet P. G. L. Uber die Reduktion der positiven quadratische Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen, JRAM, 40 A850), 216—219 [2]. [Dob 1] Dobkin D., Lipton R. J. Multidimensional searching problems, SIAM J. Comput, 5 A976), 181—186 [1]. Dolbilin N. P. (Долбилин Н. П.) см. Delone B. N. (Делоне Б. Н.) {Dol 1] Dolgachev I. Integral quadratic forms: applications to algebraic geometry, Sem. Bourbaki, 611, Asterisque, 105 A983), 251—278 [2, 15]. [Don 1] Donaldson J. L. Minkowski reduction of integral matrices, MTAC, 33 A978), 201—216 [2]. Doncker E. de см. Roose D. Downey С. Р. см. также Karlof J. K. (Dow 11 Downey С P., Karlof J. K. On the existence of [M, n] group со-
716 Список литературы des for the Gaussian channel with M and n odd, PGIT, 23 A977), 500—503 [3]. Downey С P., Karlof J. K. Optimum [M,3] group codes for thft Gaussian channel, PGIT, 24 A978), 760—761 [3]. Downey С P., Karlof J. K. Computation methods for optimal [M, 3] group codes fot the Gaussian channel, Util, Math, 18 A980), 51—70 [3]. Downey D. E., Sloane N. J. A. The covering radius of cyclic co- codes of length up to 31, PGIT, 31 A985), 446—447 [3]. Drisch Т., Sonneborn P. The optimal results from linear program- programming for kissing numbers, preprint. Du Val P. Homographies, Quaternions and Rotations, Oxford Univ. Press, 1964 [8]. Duffin R. J. Infinite programs, in Linear inequalities and related systems, ed. H. W. Kuhn, A. W. Tucker, Princeton Univ. Press, 1956, pp. 157—170 [9]. Dunkl C. F. A Krawtchouk polynomial addition theorem and wreath products of symmetric groups, Indiana Univ. Math. J., 25 A976), 335—358 [9]. Dunkl С F. Spherical functions on compact groups and applica- applications to special functions, Symposia Mathematica, 22 A977), 145—161 [9]. Dunkl C. F. An addition theorem for some ly-Hahn polynomials, Monatsh. Math., 85 A977), 5—37 [9]. Dunkl C. F. An addition theorem for Hahn polynomials: the spherical functions, SIAM J. Math. Anal., 9 A978), 627—637 [9]. Dunkl C. F. Discrete quadrature and bounds on ^-design, M'ch. Math. J., 26 A979), 81—102 [3, 9]. Dunkl C. F. Orthogonal functions on some permutation groups, PSPM, 34 A979), 129—147 [9]. Dunkl С F. Orthogonal polynomials on the sphere with octa- octahedral symmetry, TAMS, 282 A984), 555—575 [9]. Dunkl C. F. Orthogonal polynomials with symmetry of order three, CJM, 36 A984), 685—717 [9]. Dunkl С F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere, Math. Z., 197 A988), 33—60 [9]. Dunkl C. F., Ramirez D. E. Topics in Harmonic Analysis, Apple- ton-Century-Crofts, NY, 1971 [9]. Dunkl С. г., Ramirez D. E. Krawtchouk polynomials and the sym- metrization of hypergroups, SIAM J. Mach. Anal., 5 A974), 351—366 [9]. Dunkl C. F., Ramirez D. E. A linear programming problem in harmonic analysis, Linear Alg. Applic, 14 A976), 107—116 [9]. Dunn J. G. The performance of a class of «-dimensional quan- quantizers for a Gaussian sourse, in Proc. Symp. Signal Trans. Pro- Process., IEEE Press, NY, 1965, pp. 76—81 [2]. Dussault J.-P. см. Brostow W. [Dum 1] Dym H., McKean H. P. Fourier Series and Integrals, Ac. Press, NY, 1972 [3, 4, 9]. [Ear 1] Earnest A. G. Spinor genera of unimodular Z-lattices in quadra- quadratic fields, PAMS, 64 A977), 189—195 [15]. [Ear 2] Earnest A. G., Hsia J. S. Spinor norms of local integral rotati- rotations II, PJM, 61 A975), 71—86; 115 A984), 493—494 [15]. [Ear 3] Earnest A. G., Hsia J. S. Spinor genera under fields extensions I, Acta Arith., 32 A977), 115—128 [15]. [Dow [Dow [Dow [DrS [Du 1 [Duf [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun [Dun 2] 3] 4] 1] J 1] 1] 2] 31 4] 5] 6] 6a] 6b] 6c] 7] 8] 9] 10]
Список литературы 717 [Ear 4] Earnest A. G., Haia J. S. Spinor genera under field extensions II, 2 unramified in the bottom field, AJM, 100 A978), 523— 538 [15]. [Ear 5] Earnest A. G., Hsia J. S. Spinor genera under field extensions III: quadratic extensions, in Number Theory and Algebra, ed. H. Zas- senhaus, Ac. Press, NY, 1977, pp. 43—62 [15]. [Ear 6] Earnest A. G., Nipp G. On the classification of positive quater- quaternary quadratic forms by theta series, preprint. [Ede 11 Edelsbrunner H., Seidel R. Voronoi diagrams and arrangements, Discr. Comput. Geom., 1 A986), 25—44 [2]. [Edg 11 Edge W. L. The geometry of an orthogonal group in six variab- variables, PLMS, 8 A958), 416-446 [4]. [Edg 2] Edge W. L. The partitioning of an orthogonal group in six va- variables, PRS, A247 A958), 539—549 [4]. [Edg 3] Edge W. L. An orthogonal group of order 213-35-52-7, Annali di Mat., 61 A963), 1—95 [4]. [Edw 1] Edwards H. M. Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, 1977 [15]. [Име- [Имеется перевод: Эдварде Г. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. — М.: Мир, 1980.] [EGH 1] Erdos P., Gruber P. M., Hammer J. Lattice Points, Longman Scientific, 1989. Eichler M. Quadratische Formen und Orthogonal Gruppen, Sprin- Springer-Verlag, 1952 [15, 16]. Einarsson G. Performance of polyphase signals on a Gaussian channel, Ericsson Tech., 23 (No. 4, l%7), 411—438 [3]. Einarsson G. Polyphase coding for a Gaussian channel, Ericsson Tech., 24 (No. 2, 1968), 75—130 [3]. Elia M. см. Biglieri E. Elias P. Bounds and asymptotes for the performance of multi- variate quantizers, Ann. Math. Stat., 41 A970), 1249—1259 [2], Elser V. The diffraction pattern of projected structures, Acta Cryst, A42 A986), 36—43 [1]. Elser V., Sloane N. J. A. A highly symmetric four-dimensional quasicrystal, J. Phys. A., 20 A987), 6161—6168 [1]. Elte E. L. The semiregular polytopes of the hyperspaces, Doctor of Math, and Science Dissertation, State Univ. of Gronigen, 1912 [21]. [Emd 1] van Emde Boas P. Another jVP-complete partition problem and the complexity of computing short vectors in lattices, Math. Dept. Report, 81—04, Univ. Amsterdam, 1981 [2]. Enguehard M. см. Broue M. [Enr 1] Enright G. M. A description of the Fischer group F22, J- Alg., 46 A977), 334—343 [10]. [Enr 2] Enright G. M. Subgroups generated by transpositions in FM and F23) Comm. Alg., 6 A978), 823—837 [10]. [Erd 1] Erdelyi A., editor. Higher Transcendental Functions, McGraw-Hill, NY, 3 vols., 1953, especially Vol. II, Chap. XI [9]. [Erd 2] Erdos P., Rogers С A. Covering space with convex bodies, Acta Arith., 7 A962), 281-285 [2]. [Его 1] Ерохин В. А. О тэта-рядах четных уиимодулярных 24-мерных ре- решеток. — Записки научн. семинаров ЛОМИ, 1979, т. 86, с. 82— 93 [16]. [Его 2] Ерохин В. А. О тэта-рядах четных унимодулярных решеток.— Записки научн. семинаров ЛОМИ, 1981, вып. 112, с. 59—70 [16]. [Eic [Ein [Ein [Eli [Els [Els [Elt 1] 1] 2] 1] 1] 2] 1]
718 Список литературы [Его 3] Ерохин В. А. О группах автоморфизмов 24-мерных четных уни- модулярных решеток. — Записки научн. семинаров ЛОМИ, 1982, вып. 116, с. 68—73 [16]. [Est 0] Estes D., Pall G. The definite octonary quadratic forms of deter- determinant I, IJM, 14 A970), 159—163. [Est 1] Estes D., Pall G. Spinor genera of binary quadratic forms, JNT, 5 A973), 421—432 [15]. [Eva 1] Evans D. M. The 7-raodular representations of Janko's smallest simple group, J. Aig., 96 A985), 35—44 [10]. [Fal 1] Falconer D. D., Gitlin R. D., editors. Special Issue on Voiceband Telephone Data Transmission, IEEE J. Select. Areas Commun., 2 (No. 5, 1984) [3, B]. Farkas H. M. см. Rauch H. E. Feit W. On integral representations of finite groups, PLMS, 29 A974), 633—683 [3, 8]. Feit W. Some lattices over QlV1^), J. Alg., 52 A978), 248—263 [2, 4, 7, 16]. Fejes Toth G. New results in the theory of packing and covering, in [Gru 2], 1983, pp. 318—359 [1, 2]. Fejes Toth G., Fejes Toth L. Dictators on a planet, Studia Sci. Math. Hung., 15 A980), 313—316 [1]. Fejes Toth G., Gritzmann P., Wills J. M. Sausage-skin problems for finite covering, Math., 31 A984), 117—136 [1]. Fejes Toth G., Gritzmann P., Wills J. M. Finite sphere packing and sphere covering, Discrete Comput. Geom., 4 A989), 19 [1]. Fejes Toth L. см. также Fejes Toth G. Fejes Toth L. Uber einen geometrischen Satz, Math. Z., 46 A940), 79-83 [1]. Fejes Toth L. Kreisausfiillungen der hyperbolischen Ebene, AMAH, 4 A953), 103—110 [1]. Fejes Toth L. Kreisiiberdeckungen der hyperbolischen Ebene, AMAH, 4 A953), 111—114 [1]. Fejes Toth L. On close-packings of spheres in spaces of constant curvature, Publ. Math. Debrecen, 3 A953), 158—167 [1]. Fejes Toth L. Kugelunterdeckungen und Kugeliiberdeckungen in Raumen konstanter Krummung, Archiv Math., 10 A959), 307— 313 [1]. Fejes Toth L. Sur la representation d'une population infinie par une nombre fini d'elements, AMAH, 10 A959), 299—304 [2]. Fejes Toth L. What the bees know and what they do not know, BAMS, 70 A964), 468—481 [4]. Fejes Toth L. Regular Figures, Pergamon, Oxford, 1964 [1, 2, 4, 21]. Fejes Toth L. Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und in Raum, Springer-Verlag, 2nd ed., 1972 [1, 2, 3, 4, 21, В]. [Имеется перевод: Тот Л. Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. — М.: ГИФМЛ, 1958.] Fejes Toth L. Solid packing of circles in the hyperbolic plane, Studia Sci. Math. Hungar., 15 A980), 299—302 [1]. Fejes Toth L. Stable packing of circles on the sphere, Structural Topology, 11 A985), 9—14. Ferraris G., Ivaldi G. A simple method for Bravais lattice deter- determination, Acta Cryst., A39 A983), 595—596 [2]. Few L. см. также Coxeter H. S. M. [Fei [Fei [Fej [Fej [Fei [Fej [Fej [Fej [Fej [Fej [Fej [Fej [Fej [Fej [Fej [Fej [Fej [Fer 1] 2] И 2] 2a] 2b] 3] 4] 5] 6] 7] 8] 8a] 9] 10] "I 12] 1]
Список литературы 719 [Few [Fie [Fie [Fin [Fin [Fin [Fin [Fin [Fis 1] 1] 2] 1] 2] 3] 4J 5] 1] Few L. Covering space by spheres, Math., 3 A956), 136—139 [2, 4]. Fielder H., Jurkat W., Korner O. Asymptotic expansions of finite theta series, Acta Arith., 32 A977), 723—745. Fields K. L. Stable, fiagile and absolutely symmetric quadratic forms, Math., 26 A979), 76—79. Fincke U., Pohst M. Improved methods for calculating vectors of short length in a lattice, including a complexity analysis, MTAC, 44 A985), 463—471 [2]. Finkelstein L. The maximal subgroups of Conway's group C3 and McLaughlin's group, J. Alg., 25 A973), 58—89 [10]. Finkelstein L., Rudvalis A. Maximal subgroups of the Hall — Janko —Wales group, J. Alg., 24 A973), 486—493 [10]. Finkelstein L, Rudvalis A. The maximal subgroups of Janko's simple group of order 50,232,960, J. Alg., 30 A974), 122—143 [10]. Finney J. L. A procedure for the construction of Voronoi poly- hedra, J. Сотр. Phys., 32 A979), 137—143 [2]. Fischer B. Finite groups generated by 3-transpositions I, Invent. Math., 13 A971), 232—246 [10]. Fischer W. см. Koch E. [Fla 1] Flanagan J. L., Schroeder M. R., Atal B. S., Crochiere R. E., Jayant N. S., Tribolet J. M. Speech coding, COMM, 27 A979), 710—737, 932 [2]. Flatto L. Basic sets of invariants for finite reflection groups, BAMS, 74 A968), 730—734 [7]. Flatto L. Invariants of finile reflection groups and mean value problems II, AJM, 92 A970), 552—561 [7]. Flatto L. Invariants of finite reflection groups, L'Enseignement Math., 24 A978), 237—292 [7]. Flatto L., Wiener M. M. Invariants of finite reflection groups and mean value problems, AJM, 91 A969), 591—598 [7]. Flatto L., Wiener M. M. Regular polytopes and harmonic poly- polynomials, CJM, 22 A970), 7—21 [7]. Flatto L., Newman D. J. Random coverings, Acta Math., 138 A977), 241—264. Folkman J. H., Graham R. L. A packing inequality for compact convex subsets of the plane, CMB, 12 A969), 745—752 [1]. Fong P. см. также Atkin A. O. L. Fong P. Characters arising in the Monster-modular connection, PSPM, 37 A980), 557—559 [1, 30]. Forney G. D., Jr. Частное сообщение [З]. Forney G. D., Jr. Coset codes, (I) Introduction and geometrical classification, PGIT, 34 A988), 1123—1151; (II) Binary lattices and related codes, op. cit. 1152—1187; (III) Ternary codes, latti- lattices and trellis codes, в печати. Forney G. D., Jr., Callager R. G., Lang G. R., Longstaff F. M., Qureshi S. U. Efficient modulation for band-limited channels, in [Fal 1], 1984, pp. 632—646 [3]. Foschini G. J., Gitlin R. D., Weinstein S. B. Optimization of two-dimensional signal constellations in the presence of Gaussian noise, COMM, 22 A971), 28—38 [3]. Foschini G. J., Gitlin R. D., Weinstein S. B. On the selection of a two-dimensional signal constellation in the presence of phase jitter and Gaussian noise, BSTJ, 52 A973), 927—965 [3]. [Fla [Fla [Fla [Fla [Fla [Fla [Fol [Fon [For [For [For [Fos [Fos 2J 3] 4] 5] 6] 7] 1] 1] Я 3] И 2]
720 Список литературы [Fow 1] Fowler R. J., Paterson M. S., Tanimoto S. L. Optimal packing and covering in the plane are ЛФ-complete, Info. Proc. Lett., 12 A981), 133—137 [2]. Fox B. L. см. Brostow W. [Fra 1] Fraser W., Gotlieb С. С. A calculation of the number of lattice points in the circle and sphere, MTAC, 16 AЭ62), 282—290 [4]. Frederickson P. О. см. Baumgardner J. R. [Fre 1] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. A natural representation of the Fischer — Griess Monster with the modular function J as character, PNAS. 81 A984), 3256—3260 [29, 30]. [Fre 2] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A A moonschine module for the Monster, in [Lep 1], 1984, pp. 231—273 [29. 30]. [Fre 3] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. An ?8-approach to F\, in [McK 3], pp. 99—120 [29, 30]. [Fre 4] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurmaii A. An introduction to the Monster, in Unified String Theories, M. G. Green, D. Gross, eds., World Scientific, Singapore 1986, pp. 533—546 [29, 30]. [Fre 5] Frenkel I. В., Lepowsky J., Meurman A. Vertex Operator Algeb- Algebras and the Monster, Academic Press, San Diego, 1988 [29, 30]. [Fri 1] Fricker F. Einfiihrung in die Gitterpunktlehre, Birhauser, Boston, 1982 [4]. [Fri 2] Fried D., Goldman W. M. Three-dimensional affine crystallo- graphic groups, Adv. in Math., 47 A983), 1—49 [4]. Frohlich А. см. Cassels J. W. S. [Fro 1] Фролов К. К. О связи квадратурных формул и подрешеток ре- шеткн целых векторов).—ДАН СССР, 1977, т. 232, № 1 с. 40—41. Fumy W. см. Beth Т. Габидулин Э. М., Сидоренко В. Р. Общая граница для объема кода. — Пробл. передачи информ., 1976, т. 12, № 4, с. 31—35 [9]. Gagen Т. М. A characterization of Janko's simple group, PAMS, 19 A968), 1393—1395 [10]. Gagen Т. М., editor. Finite Groups '72, North-Holland, Amster- Amsterdam, 1973 [B]. Galiulin R. V. (Галиулин Р. В.) см. также Delone В. N. (Де- (Делоне Б. Н.) Галиулин Р. В. Системы Делоне. — Кристаллография, 1980, т. 25, с. 901—907. Gallager R. G. см. также Forney G. D., Jr., Shannon С. Е. Gallager R. G. Information Theory and Reliable Communication, Wiley, NY, 1968 [3]. [Имеется перевод: Галлагер Р. Теория ин- информации и надежная связь. — М.: Сов. радио, 1974.] Gallagher N. С, Jr., Bucklew J. A. Some recent developments in quantization theory, in Proc. 12th Ann. Sympos. System Theo- Theory, Virginia Beach VA, May 19—20, 1980 [2]. Гамецкий А. Ф. К теории покрытия л-мерного евклидова про- пространства равными шарами.— ДАН СССР, 1962, т. 146, с. 991— 994 [2, 4]. Гамецкий А. Ф. Оптимальность главной решетки Вороного пер- первого типа среди решеток первого типа любой размерности. — ДАН СССР, 1963, т. 151, с. 482—484 [2, 4]. Gangolli R. Spherical functions on semisimple Lie groups, in [Boo 1], 1972, pp. 41—92 [9]. Gao J., Rudolph L. D., Hartmann С R. P. Iteratively maximum likelihood decodable spherical codes and a method for their con- construction, PGIT, 34 A988), 480—485 [3]. [Gab [Gag [Gag [Ga! [Gal [Gal [Gam [Gam [Gan [Gao 1] 1] 2] 0] 1] 2] 1] ,2] 1] 1]
Список литературы 721 Gaskins R. А. см. Good I. J. GSspar Z. см. Tarnai T. (Gas 1] Gasper G. Positivity and special functions, in [Ask 2a], 1975, pp. 375—433 [9]. [Gau 1] Gauss С F. Disquisitiones Arithmeticae, Fleischer, Leipzig, 1801; English translation, Yale University Press, 1966 [15]. [Имеется перевод: Гаусс К. Ф. Арифметические исследования. — В кн.: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. — М.: Изд-во АН СССР, 1959.] {Gau 2] Gauss С. F. Besprechung des Buchs von L. A. Seeber: Untersu- chungen uber die Eigenschaften der positiven ternaren quadrati- schen Formen usw., Gottingsche Gelehrte Anzeigen A831, July 9)= Werke, II A876), 188—196 [1]. Гельфанд И. М. Сферические функции на симметрических рн- мановых пространствах. — ДАН СССР, 1950, т. 70, № 1, с. 5—8 [9]. Geller M. Comment on "New Jacobian theta functions and the evaluation of lattice sums" by I. J. Zucker, J. Math. Phys., 18 A977), 187 [2]. Gersho А. см. также Cheng D.-Y., Wang C.-S. Gersho A. Principles of quantization, IEEE Trans. Circuit Syst., 25 A978), 427—436 [2]. Gersho A. Asymptotically optimal block quantization, PGIT, 25 A979), 373—380 [2]. Gersho A. On the structure of vector quantizers, PGIT, 28 A982), 157—166 [2, 20]. Gersho A., Lawrence V. B. Multidimensional signal constellations for voiceband data transmission, in [Fal 1], 1984, pp. 687—702 [3]. Gerstein L. J. Classes of definite hermitian forms, AJM, 100 A978), 81-97 [2]. Gibson I. В., Blake I. F. Decoding the binary Golay code with miracle octad generators, PGIT, 24 A978), 261—264 [11]. Gilbert E. N. A comparison of signalling alphabets, BSTJ, 31 A952), 504—522 [3, 9]. Гинзбург В. В. Многомерные сигналы для непрерывного канала связи. — Пробл. передачи инф., 1984, т. 20, с. 28—46 [3]. Gish H., Pierse J. N. Asymptotically efficient quantizing, PGIT, 14 A968), 676—683 [2]. Gitlin R. D. см. Falconer D. D., Foschini G. J. fGla 1] Glaisher J. W. L. On the representations of a number as a sum of four squares and on some allied arithmetical functions, Quart. J. Math., 36 A905), 305—358 [4]. [Gla 2] Glaisher J. W. L. The arithmetical functions P(m), Q(m), Q{m), Quart. J. Math., 37 A906), 36—48 [4]. [Gla 3] Glaisher J. W. L. On the representations of a number as the sum of two, four, six, eight, ten, and twelve squares, Quart. J. Math., 38 A907), 1—62 [4]. [Gla 4] Glaisher J. W. L. On the representations of a number as the sum of fourteen and sixteen squares, Quart. J. Math., 38 A907), 178—236 [4]. [Gla 5] Glaisher J. W. L. On the representations of a number as the sum of eighteen squares, Quart. J. Math., 38 A907), 289—351 [4]. [Gla 6] Glaisher J. W. L. On the numbers of representations of a number as a sum of 2