Г.Харди
РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
Настоящая книга представляет собой монографию, посвященную
суммированию расходящихся рядов. Она содержит обширный исторический
обзор вопроса, краткое введение в общую теорию суммирования рядов и
подробное исследование ряда конкретных методов суммирования (методов
Чезаро, Абеля, Вороного, Эйлера и др.).
Кроме того, здесь рассматриваются — приложения теории к задаче
перемножения рядов, к исследованию формулы суммирования Эйлера-
Маклорена, к аналитическому продолжению функций, к суммированию рядов
Фурье и к нахождению значений определенных интегралов.
Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и
студентов старших курсов — и требует для своего чтения знания теории функций
действительного и комплексного переменного. В некоторые своих разделах она
может быть также полезна для тех инженеров, которые встречаются с
расходящимися рядами.
Содержание
Предисловие редактора 5
Замечание об обозначениях 9
Глава I. Введение 13
1.1. Сумма ряда 13
1.2. Некоторые вычисления с расходящимися рядами 14
1.3. Первоначальные определения 18
1.4. Регулярность метода 24
1.5. Расходящиеся интегралы и обобщенные пределы функции 9 .
непрерывного переменного
1.6. Некоторые исторические замечания 27
1.7. Замечания о британских аналитиках первой половины девятнадцатого
века
Примечания к главе I 36
Глава П. Несколько исторических примеров 39
2.1. Введение 39
А. Эйлер и функциональное уравнение дзета-функции Римана
2.2. Функциональное уравнение для C,{s), r\(s) и L(s) 39
2.3. Эйлерова проверка 40
Б. Эйлер и ряд 1—1 !x+2!x2-
2.4. Суммирование ряда 1-1 !лН-2!л:2- 43

2.5. Асимптотическое поведение ряда 45
2.6. Численные расчеты 46
В. Фурье и его теорема
2.7. Теорема Фурье 47
2.8. Первая формула Фурье 48
2.9. Другие формы коэффициентов и рядов 51
2.10. Законность формул Фурье 52
Г. Показательный ряд Хэвисайда
2.11. Хэвисайд о расходящихся рядах 54
2.12. Обобщенный показательный ряд 5 5
2.13. Ряд ?УГ)(*) 56
2.14. Обобщенный биномиальный ряд 57
Примечания к главе II 58
Глава Ш. Общие теоремы 61
3.1. Линейные преобразования 61
3.2. Регулярные преобразования 62
3.3. Доказательство теорем 1 и 2 63
3.4. Доказательство теоремы 3 66
3.5. Варианты и аналоги 69
3.6. Положительные преобразования 74
3.7. Теорема Кноппа 76
3.8. Одно применение теоремы 2 79
3.9. Разбавление рядов 82
Примечания к главе III 84
Глава IV. Частные методы суммирования 88
4.1. Методы Вороного 88
4.2. Регулярность и совместность методов Вороного 89
4.3. Включение 91
4.4. Равносильность 92
4.5. Еще одна теорема о включении 93
4.6. Метод Эйлера 96
4.7. Методы Абеля 97
4.8. Теорема о включении для абелевских средних 99
4.9. Комплексные методы 103

4.10. Суммируемость ряда 1—1+1—1+... отдельными методами Абеля 104
4.11. Методы Линделёфа и Миттаг-Леффлера 104
4.12. Методы суммирования, определяемые целыми функциями 107
4.13. Моментные методы 109
4.14. Теорема совместности 112
1.15. Методы, неэффективные для ряда 1-1+1-1+... 113
4.16. Нормальные средние Рисса 114
4.17. Методы, возникшие под влиянием теории рядов Фурье 116
4.18. Общий принцип 118
Примечания к главе IV 120
Глава V. Арифметические средние A) 123
5.1. Введение 123
6.2. Методы Гёльдера 123
5.3. Элементарные теоремы относительно суммируемости по Гёльдеру 124
5.4. Методы Чезаро 125
5.5. Средние нецелого порядка 127
5.6. Теорема о свертках 128
5.7. Простейшие теоремы относительно суммируемости по Чезаро 130
5.8.Теоремаравносильности 133
5.9. Теорема Мерсера и доказательство Шура теоремы равносильности 135
5.10. Другие доказательства теоремы Мерсера 137
5.11. Бесконечные пределы 139
5.12. Суммируемость по Чезаро и по Абелю 140
5.13. Чезаровские средние как средние Вороного 141
5.14. Интегралы 142
5.15. Теоремы о суммируемых интегралах 144
5.16. Риссовские арифметические средние 145
5.17. Равномерно распределенные последовательности 148
5.18. Равномерная распределейность последовательности {п2а} 151
Примечания к главе V 152
Глава VI. Арифметические средние B) 156
6.1. Теоремы тауберова типа для методов Чезаро 156
6.2. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции 160
6.3. Другое условие тауберова типа 163

6.4. Теоремы о выпуклости 163
6.5. Множители сходимости 164
6.6. Множитель 168
(и + l)s
6.7. Другое условие суммируемости 170
6.8. Интегралы 173
6.9. Биномиальный ряд 175
6.10. Ряд ?л Vе 178
6.11. Случай р=-1 178
6.12. Ряд У ?—г- 180
п
Примечания к главе VI 185
Глава VTT. Теоремы тауберова типа для степенных рядов 189
7.1. Теоремы абелева и тауберова типов 189
7.2. Первая теорема Таубера 191
7.3. Вторая теорема Таубера 192
7.4. Применения к общим рядам Дирихле 194
7.5. Более глубокие теоремы тауберова типа 195
7.6. Доказательство теорем 96 и 96а 198
7.7. Доказательство теорем 91 и 91а 201
7.8. Дальнейшие замечания о связях между теоремами § 7.5 205
7.9. Ряд YA+ш 207
7.10. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции 208
7.11. Другое обобщение теоремы 9 8 210
7.12. Метод Харди и Литтльвуда 215
7.13. Теорема о "больших показателях" 218
Примечания к главе VII 221
Глава Vni. Методы Эйлера и Бореля A) 224
8.1. Введение 224
8.2. (Е, #)-метод 224
8.3. Простые свойства (Е, #)-метода 225
8.4. Формальные связи между методами Эйлера и Бореля 228
8.5. Методы Бореля 229

8.6. Нормальная, абсолютная и регулярная суммируемость 231
8.7. Теоремы абелева типа для метода суммирования Бореля 231
8.8. Аналитическое продолжение функции, регулярной в начале; __.
многоугольник суммируемости
8.9. Ряды, представляющие функции с особенностью в начале 237
8.10. Аналитическое продолжение другими методами 239
8.11. Суммируемость некоторых асимптотических рядов 240
Примечания к главе VIII 245
Глава IX. Методы Эйлера и Бореля B) 251
9.1. Элементарные леммы 251
9.2. Доказательство теоремы 137 253
9.3. Доказательство теоремы 139 255
9.4. Еще одна элементарная лемма 257
9.5. Теорема Островского о сверхсходимости 258
9.6. Теоремы тауберова типа для метода Бореля 260
9.7. Теоремы тауберова типа (продолжение) 263
9.8. Примеры рядов, не суммируемых (В) 266
9.9. Теорема противоположного характера 267
9.10. Метод суммирования (е, с) 268
9.11. Суммируемость (у, к) 273
9.12. Дальнейшие замечания о теоремах 150—155 275
9.13. Основная теорема тауберова типа 275
9.14. Обобщения 277
9.15. Ряд JV 278
9.16. Методы Валирона 279
Примечания к главе IX 280
Глава X. Умножение рядов 283
10.1. Формальные правила умножения рядов 283
10.2. Классические теоремы об умножении по правилу Коши 284
10.3. Умножение суммируемых рядов 285
10.4. Другие теоремы о сходимости произведения рядов 287
10.5. Дальнейшие применения теоремы 170 289
10.6. Знакочередующиеся ряды 290
10.7. Формальное перемножение рядов 291

10.8. Умножение интегралов 292
10.9. Суммируемость по Эйлеру 294
10.10. Суммируемость по Борелю 295
10.11. Правило умножения Дирихле 297
10.12. Ряды, бесконечные в обоих направлениях 298
10.13. Аналоги теорем Коши и Мертенса 300
10.14. Дальнейшие теоремы 301
10.15. Аналог теоремы Абеля 304
Примечания к главе X 304
Глава XI. Хаусдорфовские средние 307
11.1. Преобразование 8 307
11.2. Выражение преобразований (Е, q) и (С, 1) через 8 308
11.3. Общее хаусдорфовское преобразование 309
11.4. Общие гёльдеровские и чезаровские преобразования как Н- „ 11
преобразования
11.5. Условия регулярности вещественных хаусдорфовских преобразований 313
11.6. Абсолютно монотонные последовательности 314
11.7. Окончательный вид условий регулярности 316
11.8. Моменты 318
11.9. Теорема Хаусдорфа 320
11.10. Включение и равносильность Н-методов 324
11.11. Теорема Мерсера и равносильность гёльдеровских и чезаровских
средних
11.12. Некоторые частные случаи 329
11.13. Логарифмические случаи 331
11.14. Экспоненциальный случай 332
11.15. Ряд Лежандра для %(х) 335
11.16. Моменты для функций специальных классов 337
11.17. Одно неравенство для хаусдорфовских средних 338
11.18. Непрерывные преобразования 341
11.19. Квази-хаусдорфовские преобразования 343
11.20. Регулярность квази-хаусдорфовского преобразования 345
11.21. Примеры 346
Примечания к главе XI 347
Глава ХП. Тауберовы теоремы Винера 350

12.1. Введение 350
12.2. Условие Винера 352
12.3. Леммы о преобразованиях Фурье 354
12.4. Леммы относительно класса U 355
12.5. Заключительные леммы 358
12.6. Доказательство теорем 221 и 220 361
12.7. Вторая теорема Винера 363
12.8. Теоремы для интервала @,оо) 365
12.9. Некоторые специальные ядра 368
12.10. Применение общих теорем к некоторым специальным ядрам 370
12.11. Применения к теории простых чисел 373
12.12. Односторонние условия 375
12.13. Теорема Виджаярагавана 377
12.14. Доказательство теоремы 238 380
12.15. Суммируемость по Борелю 3 84
12.16. Суммируемость (R, 2) 387
Примечания к главе XII 389
Глава ХП1. Формула суммирования Эйлера-Маклорена 392
13.1. Введение 392
13.2. Числа Бернулли и многочлены Бернулли 394
13.3. Ассоциированные периодические функции 396
13.4. Знаки функций (р„(х) 397
13.5. Формула суммирования Эйлера-Маклорена 398
13.6. Пределы при п —> <х> 402
13.7. Знак и величина остаточного члена 403
13.8. Пуассоновское доказательство формулы Эйлера-Маклорена 406
13.9. Об одной формуле Фурье 407
13.10. Случай f(x) = \/xs и дзета-функция Римана 408
13.11. Случай f(x)=\og(x+c) и теорема Стирлинга 410
13.12. Обобщение формулы Эйлера-Маклорена 413
13.13. Другие формулы для С 414
13.14. Исследование формулы Эйлера-Маклорена посредством . 1 „
комплексного интегрирования
13.15. Суммируемость ряда Эйлера-Маклорена 420

13.16. Дополнительные замечания 425
13.17. R-определение суммы расходящегося ряда 426
Примечания к главе XIII 427
Приложение I. О вычислении некоторых определенных интегралов с
помощью расходящихся рядов
Приложение II. Ядра Фурье некоторых методов суммирования 442
Приложение III. О суммируемости по Риману и по Абелю 450
Приложение IV. О суммируемости по Ламберту и по Ингаму 458
Приложение V. Две теоремы Картрайт 470
С. Б. Стечкин. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. .__
Рогозинского
Указатель книг 493
Указатель журналов 496
Указатель определений 498
Указатель определений
Абелева теорема 156 Линейное преобразование Т, 62
Абсолютная суммируемость Матрица преобразования Т, |T|=(cmn)
- по Борелю 231 62
- по Чезаро, |С, к| 187 Медленное убывание, медленное
- по Эйлеру, |Е, q| 295 колебание 160, 364
Абсолютно монотонная Многоугольник Бореля
последовательность 314 (многоугольник
Асимптотический ряд 45 суммируемости) 285
Включение 91 Моменты 109, 318
Вполне регулярный метод 24, 74 Мощность метода 107
Выпуклая оболочка 77 Неограниченная сходимость 298
Звезда Миттаг-Леффлера 104 Нормальная суммируемость по
Интегральное преобразование 71 Борелю 231
Классы Нормальное положительное
- kc, lc, Lc 443 преобразование 77
- L, Ьг(см. замечание об Нормальные разрывы 319
обозначениях) Обвертывание числа рядом 404
- М 363, 367 Обратное преобразование 136
- R, D, К 268 Ограниченная сходимость 298
- Т, Тс, Тс*, Тг 62 Ограниченность (С, к) 128
- U 3 5 5 Перестановочность 136
- W 358, 366 Полусходящийся ряд 404—, 405
- W* 364, 367 Постоянная Эйлера-Маклорена, С
Конечного порядка ряд 264 403
Лимитирующая теорема 80 Преобразование d 307

- d* 343
- положительное 74, 76
- сохраняющее сходимость (см. класс
Тс)
- треугольное 75
- Фурье, R~r 352, 354
Равномерно распределенная
последовательность 148
Равносильность методов
суммирования 91
Равно-суммируемые ряды 291
Равно-сходящиеся ряды 292
Разбавление рядов 82
Разность D, Dk 127, 128
Регулярная суммируемость по
Борелю 231
Регулярность метода суммирования
24,62
Регулярный момент 318
Свертка 128
Совместность методов суммирования
89
Суммируемость интегралов 25
- (АJ5,174
-(С, 1J5
-(С, к) 143
-(НJ6
- (Н, к) 142—143
- (R2), (R, 2) 371—372
Суммируемость рядов
- арифметические средние 128
- гармонические средние W,-
п + \
142
- Е-методы Эйлера (Е, 1, 21
- (Е, q} 224, 227
-(E,q;C,kJ94
- G-метод Эйлера (G) 21
- интегральный метод Бореля (В1) 111
- квази-хаусдорфовы преобразования
(Н, ?) 344
- суммируемость по Ламберту (L) 458
- метод Валле-Пуссена (VP), 117
- - Вороного (W, рп) 88
--(g,kJ73
- - (е, с) 269
- - Ингама (I) 463
- - Ле-Руа 107
- - Линделёфа (L) 104
- - Миттаг-Леффлера (М) 106
- - (А,РЯ) 78
- логарифмические средние
- - Раманужана (К, а) 403
- - Хаттона (Ни, к) 37
- методы Абеля (А, X), (А, к) 97
- (А, X, а) 103
-(АД,а1,а2L69
- - Валирона (V, Н) 279, 280
--Гельдера(Н,кI23, 313
- - (J) 107
- - Римана (R, 2, 118
-(R2I18
--Чезаро(С, 1,20, 123
- (С, к) 125
- моментные методы, (mn) 109, ПО
- нормальные средние Рисса (R, 1, х)
114, 115
- риссовские арифметические
средние (R, п, к) 156
- обобщенные методы Бореля (В1, а)
111
- (В*) 241
- (В1, С, к) 295
- (В, к) 306
- (В2L25
- суммируемость по Абелю (А) 21, 30
-j-метод 97
- хаусдорфовские средние
(преобразования) Н, (Н, т) 309
- экспоненциальный метод Бореля
(В) 107
Сходимость 13

Тауберова теорема 156,189,190, 350, - формальное перемножение рядов
352 291
Тауберово условие 190 - F-эффективность 443
Треугольное преобразование 75 Эйлерова трансформация ряда 225
Умножение рядов Ядра
- по правилу Дирихле 283, 297 - Винера, см. классы W и W*
- по правилу Коши 283 - Кноппа 77
- по правилу Лорана 298 - Фурье 442
- по правилу Фурье 299

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Пожалуй, ни одна математическая дисциплина не нуждается так
в обзорной монографии, как теория суммирования расходящихся рядов.
Посвященная ей журнальная литература непрерывно увеличивается
и почти необозрима. Некоторые теоремы до того обросли обобще-
обобщениями, вариантами и аналогами, что во всем этом лесу трудно ориен-
ориентироваться без хорошего путеводителя. Частично эту роль и выпол-
выполняет книга Г. Харди „Расходящиеся ряды". Читатель найдет здесь
обширный исторический обзор вопроса (гл. I—II), краткое введение
в общую теорию суммирования рядов (гл. III), подробное исследова-
исследование многих конкретных методов суммирования (гл. IV—IX), изложе-
изложение теории Винера и свойств хаусдорфовских средних (гл. XI и XII),
а также некоторые приложения теории (гл. X и XIII).
Этот перечень показывает, что в книге затронуты далеко не все
вопросы теории суммирования рядов. Например, автор ограничивается
определением абсолютной суммируемости по Чезаро и не изучает это
понятие. Далее, автор совершенно не рассматривает суммирование
двойных и кратных рядов. Возникающие здесь специфические труд-
трудности не нашли никакого отражения в книге. Наконец, автор просто
прошел мимо важной общей теории суммирования ограниченных по-
• следовательностей, развитой главным образом молодым советским мате-
математиком А. Л. Брудно. Приложения теории суммирования к рядам Фурье
•развиты недостаточно подробно. Например, автор не излагает важных
исследований Д. ?. Меньшова, С. М. Никольского и С. М. Лозин-
Лозинского по этим вопросам. В основном книга посвящена исследо-
исследованию конкретных „классических" методов суммирования. Но и здесь
изложение не является исчерпывающим. В частности, автор не рас-
рассматривает соотношения между методами суммирования при непрерыв-
Иом и дискретном изменении параметра (М. П. Щеглов), а также
важнейшие методы суммирования С. Н. Бернштейна-Рогозинского, изу-
изученные С. Н. Бернштейном, В. Рогозинским, Ф. И. Харшиладзе и дру-
другими. К книге приложена моя обзорная статья „Методы суммировд-

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
ния С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского", Редакция отказалась от
мысли дать также обзорные статьи, посвященные общей теории сумми-
суммирования ограниченных последовательностей и суммирования рядов
Фурье, так как эти темы очень обширны, и их рассмотрение требует
привлечения средств функционального анализа, чуждых последователь-
последовательной теоретико-функциональной точке зрения автора.
Как известно, в 1901 г. Г. Ф. Вороной ввел в рассмотрение метод
суммирования, определяемый формулой
•¦+Рп
Однако в иностранной математической литературе этот метод сумми-
суммирования неправильно называется методом Нерлунда, хотя Нерлунд
рассмотрел его только через 18 лет, в 1919 г. В настоящем пере-
переводе этому методу присвоено исторически правильное название ме-
метода Вороного. Далее Харди связывает также с именем Нерлунда
метод суммирования, определяемый формулой
¦¦¦+Рп
Этот метод встречается уже у Бореля в его монографии, вышедшей
в 1901 г., и относится к тому типу методов, которые были впослед-
впоследствии подробно изучены М. Риссом. Поэтому для данного метода
в переводе принято обозначение (R, рп).
Сделаем теперь несколько замечаний по поводу истории возникно-
возникновения и развития теории суммирования расходящихся рядов. Осново-
Основоположником теории суммирования рядов является Леонард Эйлер.
Многие математики XVII и XVIII веков (Лейбниц, Бернулли, Далам-
бер, Лагранж и др.) долго и безуспешно спорили о том, чему равна
сумма расходящегося ряда. Эйлер первый понял, что задача поста-
поставлена неправильно и что нужно спрашивать: как определить сумму
расходящегося ряда! Он пишет: «И вот я говорю, что вся трудность
кроется в названии „сумма". Действительно, если под „суммой" ряда
понимать, как это обычно делается, результат сложения всех его чле-
членов, то нет никакого сомнения, что суммы можно получить только
для тех бесконечных рядов, которые являются сходящимися и дают
результаты, тем более близкие к некоторому определенному значению,
чем больше- членов складывается. Расходящиеся же ряды, члены кото-

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
рых не убывают ..., вообще не будут иметь никаких определенных
сумм, если только слово „сумма" понимается в смысле результата
сложения всех членов.
Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно из-
избежим, если мы припишем слову „сумма" значение, отличное от обыч-
обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного
ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает
этот ряд ... При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то
новое определение слова „сумма" совпадает с обычным, а так как
расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле
слова, то из этого нового определения не проистечет никаких не-
неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить выгоды поль-
пользования расходящимися рядами и в то же время защититься от вся-
всяческих обвинений» (Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, ГИТТЛ,
М.—Л., 1949, стр. 101).
Как видно из этой цитаты, точка зрения Эйлера на расходящиеся
ряды вполне современна: расходящиеся ряды не имеют суммы в обыч-
обычном смысле этого слова, однако возможно дать новое определение
суммы ряда (мы бы сказали: определение метода суммирования ря-
рядов), применимое как ко всем сходящимся рядам, так и к некоторым
расходящимся рядам; при этом от определения нужно потребовать,
чтобы для сходящихся рядов новая сумма совпадала с обычной (мы бы
сказали: метод должен быть регулярным). Что же касается конкрет-
конкретного определения Эйлера „сумма некоторого бесконечного ряда есть
конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд", то
оно еще недостаточно четко и легко могло привести к противоречиям.
Эти высказывания Эйлера долгое время не были правильно поняты
и способствовали некритическому допущению в анализ расходящихся
рядов и основанных на них рассуждений. Достаточно отметить, что
в большом трактате Лакруа по дифференциальному и интегральному
исчислению (начало XIX века) вовсе не фигурирует понятие сходи-
сходимости ряда и не излагаются известные к тому времени признаки
сходимости (признак Лейбница, признак Даламбера и признак, кото-
который теперь часто называют интегральным признаком Коши). После
произведенного в первой половине XIX века критического пересмотра
основ анализа расходящиеся ряды были почти полностью изгнаны из
математики. Однако они все же встречаются как у Коши, так и
в более позднее время, например у Лагерра,

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Современная теория суммирования расходящихся рядов начала
бурно развиваться в конце XIX — начале XX века. Этому значительно
способствовало то обстоятельство, что выявились связи этой теории
с другими математическими дисциплинами. Так, Чезаро A880) ввел
свои методы суммирования в связи с рассмотрением задачи о пере-
перемножении рядов; Борель A895—1901) изучал „метод Бореля" в связи
с исследованием аналитического продолжения функций; наконец,
Л. Фейер A904) показал, какую пользу может принести теория сум-
суммирования рядов теории рядов Фурье. Этот период в основном завер-
завершился выходом в свет первой обзорной монографии Бореля A901),
посвященной расходящимся рядам. После этого теория расходящихся
рядов стала доступной для широкого круга математиков, и ее разви-
развитие больше не останавливалось.
С. Б. Стечкин.

ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
Здесь приводятся некоторые условные обозначения, а также хорошо
известные результаты, не. выделенные в тексте книги.
Теорема Стирлинга.
В § 13.11 доказывается, что для больших вещественных х
logr(*+l) = (* + j)logx —* + y
и вообще
'
B/-— 1) 2г
1
Эти формулы часто применяются и в предшествующих главах. Вторая
из них в § 6.10 принимается за известную и для комплексных х (см.
Уиттекер и Ватсон, 12.33).
Биномиальные коэффициенты.
Для я = 0, 1, ....
/а\_ а(а-1) ...(-*-гс+1)
\п)~ я!
+ Р \ _ (Р + 1) (Р + 2) ¦. ¦ (Р + «)/» + р \
Р У «! ~V n У'
Из теоремы Стирлинга следует, что при $ф — 1, —2, ...
Обозначение суммирования.
2/(п) означает 2 f (п)'>
при C<<х под этим понимается нуль.
Символ 2 без указания пределов суммирования обычно озна-
со со
чает 2> или 2» если нулевой член не определен; но иногда ему
0 1

10 ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
придается и другой смысл. Соглашения об употреблении символа 2
устанавливаются на стр. 61, 126, 169, 178, 206, 257, 269, 283, 292,
298, 395, 440—441 и 458.
Разности:
Д«в = «п — «п+1. ДЧ. = ««.-
«П (Л=1, 2,...).
Соглашения, относящиеся к интегрированию,
„Интегрируема в (а, by означает; „интегрируема в смысле Лебега
в (а, Ь)".
Все рассматриваемые функции предполагаются измеримыми. Таким
образом, если, например, {а, Ь) есть конечный интервал, то „/=0A)
в (a, by влечет, что „/ интегрируема в (а, д)и,
оо X
Г означает Hm I , если этот предел существует, т. е, если инте?
J X+coJ
рал сходится.
Символ Г без указания пределов интегрирования обычно озна-
оо
чает Г, но иногда ему придается и другой смысл. Соглашения об
о
употреблении символа Г устанавливаются на стр. 26, 71, 128, 143,
148, 173, 198, 211, 269, 293, 318, 352, 366, 403, 406 и 416.
Классы L и V (r>0).
„/ принадлежит U(а, Ь)" означает: я[/ измерима и] \f\r интегри-
интегрируема в (a, b)".
„/ принадлежит L" означает: „/ принадлежит L1". Таким
со
образом, „/ принадлежит L@, со)" равносильно „ I fdx абсолютно
о
сходится".
Постоянные.
Прописные буквы, например Н, К, . ¦ ¦, употребляются для обо-
обозначения чисел, не зависящих от рассматриваемых переменных; однако
они не обязательно сохраняют в каждом случае одно и то же зна»
чение,

ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОБОЗНАЧЕНИЯХ 11
О, OL, Or, О И ~.
Если ср > О, то
„/ = О («)" означает „ | /1 < Ну",
„/=Oi(cp) [или Or (<р)] означает „/>—Яср" [или < Я<р],
„/ = о (ср)" означает „ -- -> 0",
„/ /~ ср" означает „ — -> 1" *).
Символ —- употребляется также в смысле „имеет асимптотическим
рядом", „имеет рядом Фурье" и „есть преобразование Фурье для".
Знак а;.
I \Т\ при * ^0>
sign х = \ ' '
{ 0 при х = 0.
Целая часть х.
[х] означает алгебраически наибольшее целое число, не превосходя-
превосходящее х.
*) Разумеется, здесь <? может быть и отрицательной.

Глава I
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Сумма ряда. Рид
о
называют сходящимся к сумме s, если его „частичные суммы"
стремятся к конечному пределу s, когда я -> оо; ряд не сходящийся
называют расходящимся. Так, ряды
A.1.1)
A.1.2)
A.1.3)
A.1.4)
A.1.5)
A.1.6)
расходятся. Ряды
A.1.7)
A.1.8)
1 — 1 + 1 — 1 + ...,
1 — 2 + 3 — 4 + ...,
1—2 + 4 — 8+...,
1 — 11 + 2! —3!+ ..
1 + 1 + 1 + 1+...,
1 + 2 + 4 + 8+...
1 + **" +*»»+...,
|+ cos 6+ cos 26 +
расходятся для всех вещественных 9, а ряд
A.1.9) sin 6 + sin 26 + sin 36 + ...
расходится, за исключением значений 9, кратных те, когда он сходится
к сумме 0.
Определения сходимости и расходимости относятся теперь к эле-
элементам анализа. Суть этих понятий была известна математикам и до
Ньютона и Лейбница (фактически уже Архимеду); и все выдающиеся
математики семнадцатого и восемнадцатого веков, как бы беззаботно
ни обращались они с рядами, достаточно хорошо знали, сходятся ли
употребляемые ими ряды. Но лишь с эпохи Коши определения схо-
сходимости и расходимости стали формулировать явно и в общем виде.

14 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Ньютон и Лейбниц—первые математики, систематически поль-
пользовавшиеся бесконечными рядами, — не имели достаточных побужде-
побуждений к употреблению расходящихся рядов (хотя Лейбниц изредка
касался их). Такие побуждения стали умножаться с расширением
анализа, и вскоре обнаружилось, что расходящиеся ряды полезны и
что некритически выполняемые над ними действия часто приводят
к важным результатам, справедливость которых может быть затем
проверена независимым путем. Несколько простых примеров этому
будет дано в следующем параграфе; в гл. II мы приведем другие,
весьма важные, примеры из работ классиков анализа.
1.2. Некоторые вычисления с расходящимися рядами. Как
известно,
A.2.1) 1+*4-*9+.--=_Г7
при [лг|<1. Представляется очевидным, что если мы пожелаем при-
приписать этому ряду „сумму" (в каком-либо смысле) для других значе-
значений х, то эта сумма должна быть формально той же. Действительно,
1) было бы весьма неудобно, если бы формула менялась при переходе
к другим случаям; 2) естественно ожидать, что сумма s должна удо-
удовлетворять уравнениям
s= l + *-f х*-\-х*-\-... = 1 +агA +д: + а;2+ • • •) = 1 +xs,
и 3) левая часть формулы A.2.1) есть результат выполнения деления,
указанного в правой части, так что во всяком случае имеется такой
смысл знака „ = ", который дает возможность считать формулу A.2.1)
верной для всех х.
A) Примем, что формула A.2.1) верна, в некотором смысле, для
всех х (за исключением, быть может, значения х = 1,. очевидно, пред-
представляющего специальные трудности), и позволим себе оперировать
с этой формулой в совершенно некритическом духе.
Полагая х = еш, где 0 < 0 < 2т: (так что х ф 1), получаем
A.2.2) 1+е*9
откуда
A.2.3) y
A.2.4) sin 0 + sin 26 + ... = i-ctg-|
для 0 < 6 < 2ir. Заменяя 6 на в-f те, получаем
A.2.5) ~ — cos 6 +cos 29— ... =0,
A.2.6) sinO—-sin20+..- = jtg-J

1.2] ВЫЧИСЛЕНИЯ С РАСХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ 15
для —я < 6 < т. Формула A.2.5) при 6 = 0 дает
A.2.7) 1_1 + 1__1_|-...=1.
B) Будем теперь повторно дифференцировать A.2.5) и A.2.6)
по 0. Мы получим
A.2.8) 2(—l)»-i/z2*cos/z0 = 0 (А=1,2, ...; —7с
1
A.2.9)
A.2.10)
A.2.11)
— последние три формулы для А = 0, 1, .. ., —л < 6 < я. Полагая,
в частности, 8 = 0 в A.2.8) и A.2.11) и 8 = |- в A.2.9) и прини-
1 ft
"чя во внимание, что рядом Тэйлора для •=- tg -^ служит
1
со
о
где Sft — числа Бернулли, получаем
A.2.12) l^й_2^ft-f З2*—..". =0 (ft=l, 2, ...),
A.2.13)
A.2.14) 12/t+i 32A+1 \^к+1 __ _ _. — о (k = О, 1
Аналогичным образом, исходя из формулы
е$ 1
0 0 1^1 /уif/ . /io^^i ! ло^ч ——^ _^^_ ^л/1* R
*Ы* 1 (J I С- —— (s ¦ t (; wo— ф , , j п~^(Г '—•¦• ~^Г oCL У
и принимая во внимание, что
Где Яй — числа Эйлера, получим формулы A.2.14) и
A.2.16) 12*_за*_f-52*— ... =i(—iyEk (А = 1,2, ...).

16 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Заметим попутно, что формула A.2.13) при k = 0 дает
A.2.17) 1—2-J-3 —4+... =1,
и тот же результат получается при возведении формулы A.2.7)
в квадрат по правилу Коши:
A—1-|- 1 — ...)A — Н- 1 -- . ..)=-=! • 1 —A • 1-|-1 ¦ ])-\-
•;~п • i +1 -1 + 1 • 1)—...
C) Интегрируя A.2.5) oi 0 = 0 до Ц = <и и заменяя затем ¦? снова
на б, получаем
A.2.18) sin fl — ISin20-j--i-sin30— ... = |- ( —it<O<it).
Этот ряд — сходящийся. Второе интегрирование дает
A.2.19) 1-е
Эта формула справедлива и для граничных значений 0 = — it и
8 = it*); полагая 9 = те, получаем
A.2.20) 1+з4 + ^+...=^.-
Так как
1 + 52+Я2 + • •• — i
_fl_IVi_i-I-l-i-4- ^
32 г5s ' ' ' ' "^23 ^^ З2 ' '' ' 22 43
4 Д ~Т~ 22 "T" 33
то заключаем, что
A.2.21) i+^ + i+...=?,
d-2.22) i_^. + ^_...eg,
и потому
A.2.23) со89-^ + ^б----=Й-Т (-«<<»<^).
Дальнейшие интегрирования приводят к выражению сумм рядов
V4 / 1 \« 1 cos п8 V^ / п. 1 sin;iO ,,
V(—I)"-1 2ft и V(—1) 2fc+i чеРез многочлены Бернулли.
Ибо ряд равномерно сходится для всех 6.

1.2] ВЫЧИСЛЕНИЯ С РАСХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ 17
D) С другой стороны, действуя еще более смело, можно вывести
формулу A.2.19) из формул A.2.7) и A.2.12) следующим образом:
л*
71 = 1
/ 1\Л_1Я2А:_Н (] 14-1 ¦> — —
Этот способ можно обобщить. Пусть ряд
сходится для всех 6. Тогда применение того же приема подсказывает,
что
A.2.24)
СО СО
г=о
Ясно, что эта формула не может быть верной во всех случаях; так,
например, она неверна при /(Й).= е~°2. Однако она все же верна
для весьма широких классов функций. Так, если в качестве /(9)
взять бесселеву функцию
j т~
то формула A.2.24) дает верный результат
d о 9^ / (к\ ЛB9) , /0C8) rfi 62
E) Из формулы A.2.4) получаем, что
а потому
со
cos m8 — cos то о ^ sin из
cos8-Cos?"^22^1m^cos/l6
cos

18 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
для любого натурального т. Интегрируя это равенство от 8 = 0 до
6 = it (не обращая внимания на трудности, связанные с тем, для ка-
каких значений О его можно считать справедливым*)), получим
A.2.26) f
cos6—costf sin <p
— формулу, справедливость которой можно проверить различными
путями.
F) Из формул A.2.4) и A.2.6) следует, что
sin 6 -j- sin 30 + • • • = \ cosec 9, sin 20 -J- sin 46 -f- . . . = ~ ctg 6.
Умножая эти равенства на 0, интегрируя от 0 = 0 до 6 = -»- и заме-
замечая, что
получаем
A.2.28) J 0 ctg 6^6 = ^ log 2.
о
Эти формулы можно также проверить независимым путем.
1.3. Первоначальные определения. Результаты формальных вычи-
вычислений в § 1.2 во всех случаях, где они допускают проверку, пра-
правильны; так, правильны все формулы A.2.18) — A.2.23), A.2.25)
и A.2.26)—A.2.28). Естественно предположить, что и остальные
формулы окажутся правильными, а наши преобразования — обосно-
обоснованными, если только надлежащим образом истолковать их. Мы смо-
сможем тогда рассматривать указанные преобразования как сокращенные
записи более сложных операций, обосновываемых по обычным прави-
*) Законность формулы A.2.4) при 0 = 0 или 0 = 2л сомнительна, по-
поскольку левая часть для этих значений обращается в нуль, а правая — в бес-
бесконечность; поэтому в интегрируемом равенстве внушают беспокойство зна-
значения в, для которых cos fl = cos ?. Но имеются основания предполагать, что
эти трудности снимаются умножением на cos w9 — cos ту, и результат оправ-
оправдывает наше ожидание.

1.3] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 19
лам анализа. Ясно, что первым шагом к такому истолкованию
должно быть некоторое определение (или определения) „суммы"
бесконечного ряда, применимое более широко, чем классическое опре-
определение Коши.
Это замечание сейчас тривиально: современному математику и не
придет в голову, что какое-либо соединение математических символов
может иметь „смысл" до того, как ему придан смысл с помощью
определения. Но это не было тривиальностью даже для наиболее
выдающихся математиков восемнадцатого века. Определения не были
в их обычае; для них не было естественно говорить: „под X мы
понимаем Y". С некоторыми оговорками, к которым мы вернемся
в §§ 1.6—1.7, в общем, верно будет сказать, что математики до Коши
спрашивали не „как определить 1—1 -j- 1 — ...?", а „что есть 1 — 1 -\-
-\- 1—...?"; и этот склад мышления приводил их к ненужным
затруднениям и спорам, зачастую, по существу, чисто словесного
характера.
Нетрудно усмотреть одно обстоятельство, усугублявшее эту тен-
тенденцию и затруднявшее для старых аналитиков принятие современ-
современной, более „условной" точки зрения. Вообще представляется, что
существует только одна сумма, которую „разумно" приписывать
расходящемуся ряду; так, все „естественные" вычисления с рядом
A.1.1), повидимому, приводят к заключению, что его сумма должна
быть принята равной -_•. Можно придумать рассуждения, приводящие
и к другому значению ;::), но всегда останется ощущение, что, при-
применяя их, мы как-то „нарушаем правила игры".
Причина этого довольно очевидна. Простейший довод в пользу
равенства A.2.7) таков: „s = 1—-1 -j-1 — . .. = 1—A — 1 —J— i — ...)==
= 1—4', и потому .v=y"; таким "образом, мы получ?" чначение -^
независимо от выбора определения суммы ряда, лишь бы только оно
удовлетворяло некоторым весьма естественным условиям.
Предположим, например, что нам дано какое угодно определение
суммы ряда, удовлетворяющее следующим аксиомам:
(A) если 2 ам = s, то 2 ka4 = ks;
(Б) если 2«п = * « 2/'« = '> то 2 (ап + bn) = s -\-1;
(B) если а0 -\- <г, --|- а2 -f- . .. = s, то а1 ~|-- а2 -]- а3 -{-- ... =.? — а0,
и обратно.
На самом деле все определения, которыми мы будем пользоваться,
будут удовлетворять аксиомам (А) и (Б), а большинство, хотя и не
все, — также аксиоме (В).
*) См. § 1.6 B),

20 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
Тогда, если 1 — 1 + 1 — • • ¦ = s, то
здесь мы использовали только аксиомы (А) и (В).
Аналогично, если 1 — 2 —J— 3 — 4 + . . . = s, то
s=l—2 + 3—4+... =
= 1-B —3 + 4—...) =
= 1—A — 1 + 1 —...) —A—2 + 3—...)==1 — ^ —«,
так что s = -т, в согласии с формулой A.2.17). Здесь мы исполь-
использовали все три аксиомы (А), (Б) и (В).
Из большого числа полезных определений суммы ряда, t которыми
нам придется иметь дело в дальнейшем, мы выделим пока четыре.
Мы будем систематически пользоваться следующими терминами и
обозначениями. Устанавливая, что сумма ряда 2 an в некотором новом,
скажем „пиквикском", смысле равна s, мы будем говорить, что ряд 2jan
суммируем (Р), будем называть s Y>-суммой ряда 2 ап и будем
писать
Мы будем также говорить, что s есть Р предел частичных сумм
sn, и писать
Выбор букв, ассоциируемых с различными определениями, будет
определяться большей частью произвольным соглашением, но иногда
и соображениями исторического характера.
A) Пусть sn^a0-\-a1 +...+«„• Если
A.6.1) urn —ц-j— —=i,
то мы будем называть s (С, 1)-суммой ряда 2 ап и (С, 1)-пределом
последовательности sn.
B) Если степенной ряд 2 апхП сходится для 0 < х < 1 (и тем
самым для всех х, как вещественных, так и комплексных, удовле-
удовлетворяющих неравенству |д:|<1), f (х) — сумма этого ряда и
A.3.2) lim /(*) = •>,
ж-> 1—0
то мы будем называть s А-суммой ряда 2ал-

1.3] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 21
C) Если 2 апхП сходится для малых значений х и определяет
функцию /(*) комплексного переменного х, однозначную и аналитич-
ную в некоторой связной открытой области, содержащей начало
х = 0 и точку х=1, и если /(l) = s, то мы будем называть s
©-суммой ряда 2 ап- Значение s, естественно, может зависеть от
выбора области.
D) Наше четвертое определение требует несколько большего ко-
количества слов. Предположим, что ряд 2 апх'1 сходится для малых х,
и пусть
A.3.3) X=S
1 —у' •? \-\-x '
так что значению х = 1 соответствует у = у • Тогда для малых х
и у имеем
со
xf(x) =
р--0 m = 0 р = 0 п = р
Обращая порядок суммирования, получаем, что для малых у
где
A.3.4) 6а = а0, *в==аа
Если ряд по _у сходится при ^у= -^- к сумме 5, т. е, если
A-3.5) 7*o + T*i+4
то мы будем называть s (E, 1)-суммой ряда 2ап-
Буквы @ и Е поставлены в честь Эйлера, А — Абеля и С — Чезаро (Се-
saro). Основания для этого, а также для цифр в (С, 1) и (Е, 1) выяснятся
позже.
„(С, 1)-определение" было использовано Даниилом Бернулли в 1771 г.,
однако лишь для специального случая периодического колеблющегося ряда,
т. е. когда ап+р = ап при любом п и фиксированном р, а
Оно было применено к ряду A.1.1) Лейбницем в 1713 г. (или еще раньше).
Но ни Лейбниц, пи Бернулли не говорили, что они дали определение. В со-
современный период его неявно использовали Фробениус и Гёльдер в 1880

22 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
и 1882 гг. Однако оно не было установлено как формальное определение,
повидимому, вплоть до 1890 г., когда Чезаро опубликовал работу об умно-
умножении рядов, в которой впервые была явно сформулирована „теория рас-
расходящихся рядов": „Когда sn, не стремясь к пределу, обладает определенным
конечным средним значением s [т. е. когда имеет место соотношение A.3.1)],
мы говорим, что ряд ao-f-a1 + a2 + ...— однократно неопределенный, и мы
уславливаемся говорить, что s есть сумма этого ряда". Чезаро перехо-
переходит далее к рассмотрению „л-кратно неопределенных" рядов и доказывает
общую теорему *), которая будет играть важную роль в гл. X. Работа Чезаро
приобрела широкую известность, и сейчас его замечание: .отсюда получается
классификация неопределенных рядов, несомненно, неполная и не достаточно
естественная.. ."—представляется почти абсурдно скромным. В действитель-
действительности его классификация совершенно естественна.
„А-определение" иногда называют „Р-определением", по имени Пуассона,
действительно применившего его к суммированию рядов Фурье. Следы его
можно также обнаружить у Эйлера и даже Лейбница. Букву „А" обосновы-
обосновывают теоремой Абеля о непрерывности степенного ряда, устанавливающей
„регулярность" (§ 1.4) рассматриваемого метода суммирования; эта теорема
будет доказана, как частный случай значительно более общей теоремы, в гл. IV.
Ц-метод воплощает, на современном языке, знаменитый принцип Эйлера:
„Сумма всякого ряда есть значение того конечного выражения, из разверты-
развертывания которого возникает этот ряд". Мы подробнее остановимся на нем
в §§ 1.6—1.7; сейчас заметим только, что Эйлер, очевидно, имел в виду сте-
степенные ряды и что, возможно, ни один математик его времени не мог, выска-
высказываясь на подобные темы, избежать весьма серьезных неясностей.
Наконец, „(Е, 1)-метод" выведен из „преобразования Эйлера", бывшего
первоначально средством преобразования медленно сходящихся рядов в быстро
сходящиеся, но применявшегося Эйлером и к расходящимся рядам.
Ясно, что все эти методы удовлетворяют нашим аксиоматическим
требованиям (Л) и (Б), и легко проверить, что первые три удовле-
удовлетворяют также требованию (В), в предположении, что 6-метод связан
с определенной областью продолжения функции. Действительно, обо-
обозначим частичные суммы рядов а0 -j- a1 -f- а2-\-... и а1 -\- а2 ~\- а.д -{-. ..
через sn и tn, так что tn — sn+1—а0, и положим
Л (х) = а{ -j- а^х -f а3х2 + ...,
гак что л/j (л;) = f(x) — а0.
A) Если ряд ao-\~al -f-<22-f- .. • суммируем (С, 1) к .v, то
я + 1 я + 1Ч л+2
так что ряд ах -f- а2 -(- ... суммируем (С, 1) к .s-—-а:0.
B) Если ряд ао-\-а1-\- ... суммируем (А) к s, то
0>
х
¦ s — а,
о>
и ряд ах -\- а2 ~\- ... суммируем (А) к s — ап.
C) Если f (х) однозначна и регулярна в области, содержащей
О и 1, и/A) = «, то fl(x) также однозначна и регулярна в этой
области, а /, A) = s — а0.
*) Наша теорема 41,

1.3] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 23
Таким образом, прямое утверждение аксиомы (В) верно для каж-
каждого из рассмотренных трех методов, и проведенные рассуждения,
очевидно, обратимы. Менее очевидно, что и (Е, 1)-метод удовлетворяет
требованию (В); мы это пока примем на веру, отложив доказательство
до § 8.3. Теперь становится ясным, что все четыре метода, если
они применимы к ряду A.1.1), должны дать сумму -=•. Это легко
проверить и непосредственно: для первого — принимая во внимание,
что sn есть 1 для четных и 0 для нечетных п, так что s0 -j- si -\- ... -j- sn
равно ¦_- (n-\- 2) или -~ {п-\-1); для второго и третьего — опираясь
на то, что / (х) = ут:— - и Для четвертого — в силу того, что Ьо =в 1
и Ьп = 0 при п > 0.
Позже мы увидим (а сейчас читатель может проверить это в по-
порядке упражнения), что все четыре метода доставляют также равенства
A.2.2)—A.2.6), а последние три метода—и равенства A.2.8)—A.2.17).
(С, 1)-метод теряет силу для формулы A.2.17), поскольку sn при-
принимает значения 1, —1, 2, —2, 3, —3, ... и s0 -\- $г -j- ... -j- sn
равно т,-(я-|-2) для четных и 0 для нечетных п. Заметим, что повто*
рение процесса усреднения приводит в этом случае к пределу -j-.
Методы A), B) и D) в качестве суммы ряда A.1.5) дают со,
причем, в случае последнего метода, Ьо=\, Ьх — 2, Ь% = 4, ..., так
что ряд A.3.5) есть здесь ъ ~\- ъ"\~ о ~Г • • •• Метод C) неприменим,
поскольку функция/(х) =-j не регулярна при х=1.
Методы A) и B) теряют силу для ряда A.1.3): sn принимают
значения 1, —1, 3, —5, 11, ... , а ряд 2 апхП не сходится при
x^>y- Метод C) дает сумму -^. При методе D) 6„ = A—2)" =
= ( — 1)",.и потому /
I , , 1 , ¦ 1 , , - 1 1,1 1
так что этот метод снова дает -=-. Очевидно, эта сумма — „верная",
так как удовлетворяет уравнению s = 1 — 2s.
Поучительно рассмотреть еще ряд A.1.6). Здесь метод A) дает оо.
Метод B) неприменим по той же причине, что и в предыдущем слу-
случае. Метод C) дает . _2~i — — Ь Наконец, при методе D) мы
имеем Ьц — A 4-2)» = Зп и
1 , | I . , 1 , , 1,13. , 1 /3 \»

24 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
а этот ряд расходится к со, так что рассматриваемый метод дает со.
Таким образом, в этом случае нам подсказываются две „суммы",
а именно со и —1, причем вторая на вид парадоксальна, поскольку
представляется неестественным приписывать ряду, состоящему из поло-
положительных членов, отрицательную сумму.
1.4. Регулярность метода. Легко сформулировать в общем виде
некоторые качества, которыми должен обладать пригодный метод
суммирования расходящихся рядов. Он должен быть простым, как,
например, первые два метода § 1.3; он должен быть разумно общим,
в смысле применимости к значительному множеству важных рядов.
Имеется еще одно требование, которое можно сформулировать более
точно, а именно совместность или регулярность.
Метод суммирования рядов называется регулярным, если он сум-
суммирует каждый сходящийся ряд к его обыкновенной сумме. Так, (С, 1)-
-метод и А-метод регулярны, поскольку из 2а« —s следует как
„ so 4- s{ 4-... + sn
так и / (л:) = 2 апх" ~* s ПРИ я -> 1, первое — по известной теореме
Коши, второе — по теореме Абеля о степенных рядах.
Эти методы регулярны и в расширенном смысле. Если ап веще-
вещественны и sn->co (например, если 2а«'—расходящийся ряд с поло-
положительными членами), то Sn—>¦ оо, и (С, 1)-метод дает s = oo. Для
А-метода имеются две возможности. Либо ряд 2 апхП расходится
для некоторого х = х0 < 1; в этом случае он необходимо расходится
к оо в интервале (х0, 1), и f(x) — oo в таком интервале. Либо же
2 апхп сходится для 0 ^ х < 1; в этом случае / (лг) -*¦ со при х -*¦ 1.
В обоих случаях мы можем сказать, что А-метод дает s = co. Если
регулярный метод обладает этим дополнительным свойством, мы будем
говорить, что он вполне регулярен. Мы увидим (§§ 3.6 и 4.6), что
(Е, 1)-метод также вполне регулярен. Очевидно, что (Е-метод не
вполне регулярен, ибо суммирует ряд I —|— 2 —|— 4 —|— 8 —|— .. - к — 1.
В действительности он даже не регулярен, поскольку из сходимости
ряда 2 ап не следует, что / (х) регулярна в точке лг = 1.
1.5. Расходящиеся интегралы и обобщенные пределы функций
непрерывного переменного. Естественно дать аналогичные опреде-
определения и применительно к функциям непрерывного переменного дг.
Предположим, что a (t) интегрируема на каждом конечном интер-
интервале [0, лг]; положим

1.5] РАСХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ 25
и пусть нам дано некоторое „пиквикское" определение предела s
функции s (лг) при х -> оо, или, что то же, интеграла
Г а (х) dx.
Тогда мы будем говорить, что а (х) Р-интегрируема в интервале
(О, оо) или s(x) имеет Р-предел s, и писать
со
J a (x) dx = s (Р)
о
или s (х) -+s (Р).
Так, первым трем определениям § 1.3 соответствуют здесь сле-
следующие.
A) Если
00
A.5.1) - { s(t)dt-*s
о
или, что то же, если
то
оо
A.5.2) f a(x)dx = s (С,1).
о
B) Если интеграл
оо
A.5.3) (w) = je~u>xa(x)dx
о
сходится при w > 0, и fi'w) —> s при w —> -\- 0, то мы будем считать,
что
со
A.5.4) J a(x)dx = s (A),
о
C) Если существует функция f(w) комплексного переменного w,
определенная формулой A.5.3) для больших положительных w, одно-
однозначная и регулярная в связной открытой области, содержащей на-
начало 0 и достаточно удаленную часть .положительной вещественной

26 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
полуоси, и если /@) ==s, то мы будем считать, что *)
оо
A.5.5) J а (лг) dx = s (Ш).
о
Все эти определения можно, если угодно, модифицировать, из-
изменяя нижний предел интегрирования. Полезного аналога (Е, ^-опре-
^-определения нет.
Таким образом, беря a(x) = emix, где т > О, получаем:
\ s(t)dt \ %
/ I Л ;
s(x) = — A — emi*>), - \ s(t)dt*= —
v ' m v " x J K ' m
nfix
о
так что
Ы) ОО СО
A.5.6) \emi!Odx—-—, Г cos mxdx= 0, \ sin mxdx ——
J fit ъ) а / ''?
0 0 0
— всё в смысле (С, 1); и так как
оо
1 i
w — mi m '
о
то А-метод и (S-метод приводят к тем же результатам. Далее, беря
за Р (С, 1), А или й, имеем
так что
A.5.7) emix -> 0, cos mx -> 0, sin тх-^0 (Р),
Таким образом, определен различный смысл равенств cos оо = О
и sin со = 0.
Заметим, что
X
cos2 , ,, I sill Imx 1
. _ mt at — 7г — —: > тг ,
2 ~ Amx 2 '
о
так что
cos8 mx -*¦ -y , sin2 mx -> -^ (C, 1);
и легко показать, что А- и ©-методы дают те же пределы. Таким образом,
не следует ожидать, чтобы Р-предел квадрата функции обычно был равен
квадрату ее Р-предела.
Приведем некоторые примеры формальных вычислений с интегра-
интегралами, аналогичных вычислениям § 1.2; все интеграции производятся
по интервалу @, оо). Дифференцирование последних двух из фор-
*) Это определение не в точности соответствует „й-определению" § 1.3.
поскольку f(w) обычно не регулярна в бесконечности.

1.6] ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 27
мул A.5.6) по т дает
A.5.8) Г x2pcosmxdx=:0, j x2p+'1 sin mxdx = 0,
A.5.9) Г х2р sin mxdx = {—\)p -^-,,
Полагая
<Р (*) = «о + ai*2
и производя почленное интегрирование, получаем:
A.5.10) f <p (x) cos mx dx =
— Г7О Г cos /их rfx -[- ^j I .г2 cos тл: dx -\- ', . . = 0,
A.5.11) Г ср (х) sin mxdx =
sin mx dx-\—...— — H1 H r" — ...
Как и следовало ожидать, эти формулы в некоторых случаях пра-
правильны, а в некоторых — нет. Так, при <р (лг) = 70 (х) получаем фор-
формулы
JJn (x) cos mx dx~0, \Jn (x) sin mx dx = 1- J-... = -- ¦¦
правильные при ш>1. Но эти формулы неверны при от<1, и
точно так же формула A.5.10), очевидно, неверна, если <?(х) =е~х\
1.6. Некоторые исто 1ческие замечания. В следующей главе
мы дадим важные примерь применения расходящихся рядов Эйлером
и другими ранними аналитиками. Нам будет удобно предпослать этим
примерам несколько разрозненных замечаний.
A) Наиболее ранние аналитики были, в целом, довольно строгими
„ортодоксами": их работа проводилась в арифметическом духе древ-
древних греков. Работам Кавальери, Валлиса, Броункера, Грегори (впер-
(впервые употребившего слово „сходится") и Меркатора нехватало не
строгости, а техники. В частности, им мешало отсутствие удобных
признаков сходимости. Среди аналитиков Ньютон первый был мастером
действительно мощной техники: он рассматривал бесконечные ряды
прежде всего как средство выполнения квадратур, и ему предстояло
в этой области сделать столько, что потеря ортодоксальности была до-
достаточно возмещена. Он, несомненно, знал, что многие из его формул

28 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
можно истолковывать в различных смыслах, например, что разложе-
разложение
A.6.1)
где / и g — многочлены, можно истолковывать как в арифметическом
смысле, требующем сходимости, так и в алгебраическом, согласно
которому формула A.6.1) означает, что
A.6.2) / (х) - (а0 + а,х -f . . . -f e«*«) g (*)
делится на хи+ для любого значения п.
'-' B) Итак, до Эйлера расходящиеся ряды встречаются мало, за
исключением некоторых мест в переписке между Лейбницем и братьями
Бернулли; эти места оставляют впечатление, что Лейбниц упустил
блестящую возможность. Он был на пути по крайней мере к одному
из принятых теперь определений, но уступил искушению приправить
обсуждение вопроса метафизикой. Сумма ряда 1 — 1 —|— X — ... должна
равняться -о" на основании „вероятности": „Этот способ аргументации,
хотя и кажется более метафизическим, чем математическим, всё же
надежен; впрочем, правила истинной метафизики гораздо более употре-
употребительны в точных науках, в анализе, даже в геометрии, чем обычно
считают". Такие речи столь выдающегося математика запутывали
людей более слабого интеллекта*). А Лейбницев „закон непрерыв-
непрерывности", „из которого следует, что в континуумах исключенное край-
крайнее может рассматриваться так же, как и включенное", — принцип,
к которому так часто апеллировали британские математики начал!
девятнадцатого века, „что верно до предела, верно и в пределе", —
был еще неудачней. Почти 100 лет спустя Лагранж, по поводу одного
приводимого ниже наблюдения Кайе, заметил, что „геометры должны
быть благодарны гражданину Кайе, обратившему их внимание на па-
парадокс, доставляемый рассматриваемыми рядами, и постаравшемуся
предостеречь их от применения метафизических рассуждений в вопро-
вопросах, которые, принадлежа чистому анализу, могут быть разрешены
лишь с помощью начальных принципов и основных правил исчисле-
исчисления".
Замечание Кайе относится к эйлеровскому принципу „сумма вся-
всякого ряда...", упомянутому в § 1.3 и бывшему предметом переписки
между Эйлером и Николаем Бернулли в 1743 г. Бернулли возражал,
что один и тот же ряд мог бы „возникнуть" из двух различных
„выражений", которые доставляли бы различные значения, а Эйлер
взял на себя риск утверждать, что этого не может случиться, В письме
*) Даже Эйлер апеллировал к метафизике, когда не умел придумать
ничего лучшего: „по метафизическим основаниям.,., которыми спокойно можно
пользоваться в анализе",

1.6] ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 29
к Гольдбаху в 1745 г. Эйлер говорит: „Притом он*) не привел ни-
никакого примера, я же совершенно уверен, что никогда один и тот же
ряд не может возникнуть из разложения двух действительно различ-
различных конечных выражений". Сорок или пятьдесят лет спустя Кайе за-
заметил, что ряд 1 — 1 —]— 1 — ... возникает, если положить х = 1,
не только из разложения —г-— =1 —х-\-х^ — .. ., но также из раз-
ложения
A.6.3) l±f_+---+*— « 1и?_ =!_*•»Л-хп—хпfm+A-2"-.. .
при любых т и п с от < и, тлк что принцип Эйлера можно было бы
использовать, чтобы приписать ряду 1 — 1 + 1 — ... любую сумму —.
Объяснение этого парадокса довольно очевидно (и было дано
самим Лагранжем). Ряд A.6.3), рассматриваемый как степенной ряд,
имеет пропуски; так, при т=2, п == 3 этот ряд имеет вид
1 + 0-х —1 -л;2+1 • *8 + 0- xi — 1 -*б + ....
2
Принцип Эйлера приписывает здесь сумму -^ не ряду 1 —1+1 — ...,
а ряду 1 + 0 —1 + 1 + 0 — 1 + ..., и нет априорной причины
ожидать, чтобы эти два ряда имели одинаковую сумму. И в действи-
действительности утверждение Эйлера, если его надлежащим образом истол-
истолковать, верно, ибо сходящийся степенной ряд обладает единственной
порождающей егсГфункцией..
Ошибочно считать Эйлера „нестрогим" математиком, хотя его язык
может иногда показаться нестрогим на современный слух; он даже
иногда высказывает точки зрения, далеко опережавшие общие идеи
того времени. Так, в том же месте, где Эйлер формулирует свой
принцип, он упоминает о ряде A.1.4). Принцип Эйлера, как мы его
сформулировали в § 1.3, неприменим к этому ряду, поскольку ряд
1 — 1!х + 2!ха — 3!л;3+... не сходится ни для какого х, кроме 0.
Всё же, говорит Эйлер, „я полагаю, что каждый ряд должен обладать
определенным значением. Одна^ , чтобы справиться со всеми возни-
возникающими здесь трудностями, слг- .овало бы это значение не именовать
суммой, поскольку с этим словом обычно связывают такое понятие,
как если бы сумма получалась в результате действительного суммиро-
суммирования, а эта идея для расходящихся рядов не имеет места...". Это —
почти тот язык, которым мог бы пользоваться Чезаро или Борель.
А в другом месте, касаясь более общим образом споров, возбуждав-
возбуждавшихся применением расходящихся рядов, Эйлер указывал, что эти
споры носили большей частью словесный характер: „Хотя это рас-
расхождение и представляется существенным, однако ни одна из споря-
*) То есть Н. Бернулли.

30
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. I
Щих сторон не может упрекнуть другую в какой-либо ошибке, по-
поскольку дело идет об употреблении такого рода рядов в анализе:
важно здесь то, что ни одна из сторон не впадает в ошибку, а всё
расхождение заключается в одних словах". Здесь, как и в некоторых
других случаях, Эйлер был по существу прав. Затруднения того
времени относительно расходящихся рядов возникали большей частью
не из-за какой-либо особой таинственности расходящихся рядов как
таковых, сколько из-за несклонности давать формальные определения
и недостаточности тогдашней теории функций. Принцип Эйлера не-
невозможно сжато сформулировать без ясных представлений о функциях
комплексного переменного и аналитическом продолжении.
C) Важно помнить, что Эйлер имел в виду степенные ряды; как
только мы допускаем другие типы разложений, возникают разнообраз-
разнообразные трудности. Так,
дает
1+2 + 4 + 8 + ...
1,
а A.2.1) дает в качестве суммы ряда 1 —|— 1 —|— 1"—{—
ную) оо. Но *)
2
**-l
при у = 0 дает
+ГГ7 +
+ • • •
1 +2-4-4 4-8+... =оо,
- (комплекс-
(комплексС (s)
при 5 = 0 дает
1
8
O
+
1
.
• •
..
С@)
С другой стороны, для 0 <; х < 1 имеем
и
4 — Зл;2)
а это при х = 1 дает
(s>l)
1
¦¦¦ ¦ ¦
2 '
7л;4)
..
0, 1+2 + 4
...
*) Это — следствие тождества
х
= ——-~\ г
1 х+11
0
0,
О.
1

1.6] ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 31
Кроме тогЧ), даже для степенных рядов, имеются трудности с много-
многозначными функциями. Естественно считать, что
поскольку Iog3 есть значение log(l~f-*) ПРИ естественном прибли-
приближении х к 2. Но мы могли бы рассуждать и так:
и здесь ш и —т представляются одинаково естественными значе-
значениями (хотя каждое из них парадоксально).
Следующий пример мог бы озадачить Эйлера. Ряд
сходится как для малых, так и для больших х, но к различным суммам,
а именно соответственно к
При х = 2/ мы получаем
2 9 + I )
2 9 + 2-4 I, 9 ) •'• ~ - 5 -
Какой знак следует выбрать?
D) В этой связи интересно рассмотреть предложенное Гольдбахом пре-
преобразование геометрического ряда, которое можно рассматривать как образец
„аналитического продолжения" в восемнадцатом веке. Рассуждения самого
Гольдбаха здесь упрощены и обобщены.
Идея заключается в преобразовании ряда 1—х-\-х2—... путем фор-
формального умножения на ряд типа
Ai + ... =1
в ряд по отрицательным степеням у = ах-(- Ь. Пишем Ап = апу-п и распо-
располагаем произведение так:
1 —х х* —ха
Если принять теперь ап = (Ь — а)™-1 (а—у), то Сп, сумма членов, стоящих
в я-м столбце, как можно показать*), равна a F — а)п~1у~п, и мы полу-
получаем требуемое разложение
1—х + х*— х3+ ... =ay-i + a(&— a)y-*-{-a(b — а)*у-ъ+ ....
*) По индукции/основываясь на равенстве С„ — — xCn_t — an_j_y-«+i -f-
п

32 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. Г
Первый ряд сходится для [ х | <^ 1, а второй — для | ах -\- Ъ | » Ь — а\. Если
например, &>я^>0, то вторая область содержит первую. Так как оба ряд;
сходятся, и преобразование законно для |лг|<4, то второй ряд дает про
должение первого.
E) Математика после Эйлера медленно, но непрерывно развива-
развивалась по направлению к ортодоксальности, наконец наложенной на
нее Коши, Абелем и их последователями, и расходящиеся ряды были
постепенно изгнаны из анализа и вновь появились там лишь в самый
последний период. Они всегда имели противников, как Даламбер *),
Лаплас **) и (в его последние годы) Лагранж; после Коши оппо-
оппозиция, казалось, одержала полную победу.
Аналитиками, больше всего, после Эйлера, применявшими расхо-
расходящиеся ряды, были Фурье и Пуассон (последний — почти современ-
современник Коши). Мы познакомимся с образцами их работы в гл. II и XIII.
Наиболее важен для нас здесь Пуассон, вплотную подошедший к фор-
формулировке определения B) § 1.3. Действительно, Пуассон определяет
сумму тригонометрического ряда
у а0 + ^ (а„ cos «6 -j- bn sin яб)
как предел при г —> 1 соответствующего степенного ряда
Т а° + ^ (°п cos л6 + bn sin й6) Г"'
Так, рассматривая ряд A.1.9), он говорит: „Этот ряд не является
ни сходящимся, ни расходящимся ***), и хотя мы рассматриваем его
как предел сходящегося ряда, это не означает, что он может иметь
определенное значение... Мы принимаем, следуя Эйлеру, что суммы
этих рядов, рассматриваемые сами по себе, не имеют определенных
значений; но мы добавляем, что каждая из них имеет единственное
значение, причем этими рядами можно оперировать в анализе, если рас-
рассматривать их как пределы сходящихся рядов, т. е. явно предполагать
их последовательные члены умноженными на степени дроби, беско-
бесконечно мало отличающейся от единицы". Практически это—„А-опре-
деление", но мы не должны преувеличивать ясность взглядов Пуас-
Пуассона. Его представления относительно повторных пределов часто
*) „Что касается меня, то признаюсь, что все рассуждения и вычисле-
вычисления, основанные на не сходящихся рядах... всегда кажутся мне весьма по-
подозрительными, даже тогда, когда результаты этих рассуждений согласуются
с истинами, известными из других источвиков".
**) „К иллюзиям я причисляю также применение теории вероятностей
(к суммированию таких рядов, как 1 — 1 —|— 1 — .. •), сделанное Лейбницем
и Даниилом Бернулли".
***) Пуассон, конечно, подразумевает „собственно расходящимся" к -f-°°
или — оэ.

1.7] ЗАМЕЧАНИЯ О БРИТАНСКИХ АНАЛИТИКАХ 33
далеко не отличаются ясностью; так, он записывает теорему Фурье
в виде
It К 1
хотя, конечно, он имеет в виду
1С СО It
n(t-x)}f(f)dt,
— 1С 1 —1С .
1.7. Замечания о британских аналитиках первой половины девят-
девятнадцатого века. Мы заключим эту главу несколькими замечаниями о ра-
работе над рассматриваемым кругом проблем, производившейся в Британии
в 1840 — 1850 гг. и тщательно проанализированной Буркхардтом в его статье,
упоминаемой в примечании к § 1.3 в конце главы. Это было задолго до того,
как труды выдающихся континентальных аналитиков были поняты в Англии,
и работы британских математиков, о которых мы будем сейчас говорить,
обнаруживают своеобразное и часто забавное смешение тонкости в отдель-
отдельных частностях с некомпетентностью в основных вопросах.
A) Преобладающей была школа кэмбриджских „символистов"—Вуд-
хауза, Пикока, Д. Ф. Грегори и др. Представляемое ими направление можно
было бы охарактеризовать как ,,/(?))-щколу" анализа. Они исходили из
алгебры и обладали в некоторой степени духом, хотя ни в коей мере не
точностью современных абстрактных алгебраистов. Они занимались „общими
символами", над которыми производились по некоторым правилам операции:
„Символы не ограничены ни значением, ни формой выражения; операции
над ними, какого бы они рода ни были, возможны во всех случаях..." Но
основы их символизма не отличались ни гибкостью, ни точностью. Они столь
безоговорочно настаивали на параллелизме между „арифметической" и
„общей" алгеброй, что последовательное проведение их точки зрения факти-
фактически разрушило бы общность; и они, повидимому, никогда ясно себе не
представляли, что формула, верная при одном истолковании входящих в нее
символов, вполне может оказаться неверной при другом. Кроме того, они
были слишком во власти фраз вроде: „что верно до предела...", и неуди-
неудивительно, что их вклад в основной фонд анализа ничтожно мал.
Однако изредка они приходили к формулам, заслуживающим исследо-
исследования и сейчас. Так, формулы Грегори
оо
A.7.1) 2 *(*+«) = 0,
— оо
оо
A.7.2) 2<-1)П(?(* + л)!=0'
— СО
ео
A.7.3) 2 '"" д""' Г?(*+")-*(*-я)] = ? (х)
1
верны непосредственно или при надлежащем истолковании в модифициро-
модифицированном виде для интересных классов функций.
B) Один том журнала Transactions of the Cambridge Philosophical
Society (т. 8, вышедший в 1849 г. и охватывающий период 1844—1849 гг.)
содержит чрезвычайно любопытный набор аналитических работ и дает весьма
точную картину состояния анализа в Британии того времени. Он содержит

34 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
знаменитую работу Стокса „On the critical values of the sums of periodic
series", в которой впервые появилась в печати „равномерная сходимость",
работы С. Эрншоу и Дж. Р. Юнга, недалеко ушедшие от полной бессмыс-
бессмыслицы, и длинную и интересную статью де Моргана о расходящихся рядах,
поразительное смешение тонкости и путаницы.
Как замечает Буркхардт, де Морган не был, подобно Пикоку, „чистым
алгоритмиком". Он был плодовитым и остроумным писателем, как по логике,
так и по математике; ему принадлежит открытие „логарифмической шкалы"
признаков сходимости, а его „Дифференциальное и интегральное исчисление",
являющееся лучшим из ранних английских учебников этого рода, содержит
многое, что еще и сейчас интересно прочесть и вместе с тем трудно найти
в других книгах. В указанной статье он пытается дать обоснованную фор-
формулировку своего отношения к расходящимся рядам, „единственному остав-
оставшемуся еще предмету элементарного характера, относительно признания
абсолютной правильности или неправильности результатов которого среди
математиков существует серьезный раскол". Он высказывает много замеча-
замечательно дельного, но особенности того времени слишком связывали его: хотя
и будучи логиком, он не мог или не хотел дать определения.
.Новые математики", — говорит он,— „как мне кажется, впадают в ту
же путаницу в своем отрицании расходящихся рядов, считая иногда, что
этими рядами нельзя уверенно пользоваться при существующих представле-
представлениях об их смысле и происхождении, а иногда — что уже одно только чье-
нибудь намерение применить их, при любых обстоятельствах, есть абсурд.
Приходится признать, что многими рядами действительно нельзя уверенно
пользоваться кроме как средствами для открытий, результаты которых под-
подлежат последующей проверке... Но говорить, что тем, чем мы не можем
пользоваться, никогда не сможет никто другой... представляется мне отхо-
отходом от всех правил благоразумия..." Мог ли бы вообще анализ так раз-
развиться, если бы Эйлер и другие математики отказались от употребления У— 1?
Он отказывается делать различие между разными типами расходящихся
рядов: если следует применять некоторые, то и все. ,Я спорю не с теми, кто
отвергает всё, что лежит вне сферы арифметики, но лишь с теми, кто отка-
отказывается от применения бесконечно расходящихся рядов и, однако, повиди-
мому, с доверием относится к употреблению конечно расходящихся рядов.
Такая практика, повидимому, широко распространена как у нас, так и за
границей. Вполне мирятся с тем, что 1—1+1 — ... = ¦=-, но не могут до-
допустить, что 1 -\-2 -f 4 -)- ... = — 1". Очень странно, что ему никогда не
приходила в голову возможность истолкований расходящихся рядов (напри-
(например, пуассоновского), применимых в одном случае и неприменимых в другом.
Позже, возвращаясь к этому пункту, он проявляет некоторую непосле-
непоследовательность. Существуют случаи, когда ряд 1 -f 2 + 4 + ... представляется
выражающим — 1, и случаи, когда он представляется выражающим с»*): так,
предел ряда
1 4- 2* + 4*4 + ... + 2»хп' + ...
при х-*\ есть оо (хорошо выбранный пример). Это он может допустить,
но „пусть только появится что-нибудь отличное от — 1 и со, и притом в ка-
качестве результата любого процесса, не содержащего интегрирования, про-
производимого над расходящимся рядом ... и я буду обязан признать, что
от расходящихся рядов следует отказаться" **). Его точка зрения имеет не-
*) См. § 1.6 C).
**) Особое значение, придаваемое здесь интегрированию, кажется стран-
странным, но де Морган, повидимому, рассматривал интегрирование как „суще-
„существенно арифметический" процесс, разрушающий результаты любого „сим-
„символического" рассуждения.

1.7] ЗАМЕЧАНИЯ О БРИТАНСКИХ АНАЛИТИКАХ 35
которые основания:—1 есть корень уравнения z—l-\-2z, и в некотором
смысле то же можно сказать иооо, однако во всяком случае не о 0 или 1.
В § 1.6 C) мы получили в качестве суммы рассматриваемого ряда и 0, но
де Морган, несомненно, почувствовал бы, что этот пример некорректен, и
не был бы в этом полностью неправ. Верно, что —1 и со являются единствен-
единственными „естественными" суммами рассматриваемого ряда.
Аналогично обстоит дело и с рядом 1 — 1 + 1—...: было бы губительно,
если бы его сумма получилась равной чему-нибудь отличному от |. „Все
здание периодических рядов и интегралов тотчас же рухнуло бы, если бы
оказалось возможным, чтобы ряд 1 — 1 + 1 — • • ¦ имел одну величину, как
предельную форму ряда Ло — А\ -\- Л2—..., и другую — как предельную
форму ряда Бо — Bi~\-B2—..."; и далее следует совершенно ошибочная
критика Пуассона. Де Морган считает, что определить Хап как Ига tanxn озна-
означает допустить, что „то, что верно до предела, верно и в пределе ".тогда как
именно различие между тем и другим схватывается и выражается этим опре-
определением.
Де Морган приводит любопытные примеры парадоксов, возникающих
в результате интегрирования. Здесь и еще в некоторых случаях он обнару-
обнаруживает большое формальное остроумие, однако другие парадоксы основы-
основываются лишь на путанице с многозначными функциями. Он забывает, что
интегралом для х-1, когда х отрицательно, служит log | x \, а не log*, и за-
заключает, что
I Ig х dx = 1т
о
и „tg2.* имеет своим средним значением —1", что он пытается подкрепить и
другими соображениями. Некоторое место уделено обсуждению формул
A.7.1) —A.7.3) и знакопеременных асимптотических рядов типаЭйлера-Макло-
рена. „Если знакопеременный ряд сходится и взято некоторое число его чле-
членов ..., то первый отброшенный член является верхним пределом ошибки
приближения .. .*). Было замечено, что этим весьма полезным свойством
обладают широкие классы знакопеременных рядов как конечно расходящихся,
так даже и бесконечно расходящихся; я не упомню, чтобы кто-нибудь отри-
отрицал его всеобщую применимость..." Де Морган показывает на примерах,
что последняя не имеет места, но при этом не получает никакого существен-
существенного продвижения вопроса. В действительности эти дополнительные рассмо-
рассмотрения лишь подтверждают оставленное предыдущими разделами статьи чув-
чувство удивления, что столь тонкий мыслитель, который мог бы сказать много
интересного, тем не менее прошел мимо всего существенного.
C) Ради справедливости упомянем нескольких британских математиков,
ближе подошедших к сути дела. Ф. В. Ныомзн протестовал против догмы
„что верно..." и указал, что в случае тригонометрического ряда
cos х —7г cos 3-v + -=- cos 5x — ...
о о
она явно неверна. Его анализ неудовлетворителен, но в главном он свою
позицию обосновал; его работа интересна еще и потому, что привела не-
несколько позже Вилбрагама к открытию того, что называют теперь „явлением
Гиббса". Стоке в своей уже упоминавшейся статье заметил, что, „конечно,
мы можем пользоваться расходящимся рядом лишь как сокращенным спосо-
способом выражения предела суммы сходящегося ряда", и высказал мнение, что
*) Разумеется, это не верно без оговорок,

36 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
вряд ли возможно „открыть столь быстро расходящийся ряд, чтобы нельзя было
найти сходящийся ряд, первые п членов которого "имели бы своими преде-
пределами первые п членов данного расходящегося ряда" *). Наконец, Гомершэм
Кокс, говоря об „эквивалентности" символистов, пользовался совершенно
современным по духу языком: „как уже сказано, символ „ = " означает здесь
символическую эквивалентность. Истинность этого утверждения зависит от
определения этой фразы, и, несомненно, можно было бы дать много произ-
произвольных определений, в согласии с которыми биномиальную теорему можно
было бы считать справедливой для расходящихся рядов".
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ /
§ 1.1. Многие авторы, особенно в Англии, употребляют слово „расходя-
„расходящийся" в более узком смысле. Так, Бромвич, Харди и Гобсон в своих учеб-
учебниках называют ряд San расходящимся только когда sn-> -(-соили sn->—со,
описывая другие не сходящиеся ряды, как „колеблющиеся". В первом изда-
издании своей книги Гобсон называл ряд2ап расходящимся, если |sn|->oo; так,
ряд 1—2 —|— 3—... —расходящийся в этом смысле,
Более узкое толкование термина „расходящийся" имеет свои преимуще-
преимущества в элементарном преподавании, но для наших целей более широкое
истолкование почти необходимо. „Теория расходящихся рядов" есть главным
образом теория колеблющихся рядов, поскольку теоремы о рядах, расходя-
расходящихся в „собственном смысле" к -j-со или —со, обычно имеют тот же харак-
характер, что и теоремы о сходящихся рядах. См., например, § 3.6, а также заме-
замечания в книге Hobson 2, 4.
Analyse algebrique, Cauchy (Париж, 1821)**) был первым образцовым руко-
руководством по анализу, написанным в подлинно современном духе. Многое из
его работы по основаниям анализа можно найти, иногда даже в более точ-
точной форме, в ряде мемуаров, опубликованных Больцано в Праге в 1817 г.
См. Stolz, MA, 18 A881), 255-279.
§ 1.2. Обоснование результатов, найденных в A) — C), E) и F), см.
в Приложении 1. Что же касается D), то, полагая
а
f(x)= f cos xtyJ
где 0<[а<;1, i(t)—произвольная интегрируемая функция и
имеем
тс2 в2
что равно j2-/@) + -rf" @) в согласии с формулой A.2.24). Аналогичным
образом можно доказать много других формул того же типа. Ограничения
а< 1 и | 8 |< л существенны.
По поводу чисел Бернулли и Эйлера и многочленов Бернулли см. Brom-
wich, 297 и ел., 370, а также гл. XIII настоящей книги.
*) Рассмотрите ряд ?ср (и) х9 '"¦*, где <р (п) быстро -> оо.
**) Имеется русский перевод: О, Л. Коши, Алгебраический анализ (Лей-
(Лейпциг, 1864). {Прим. ред.)

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. I 37
Ряд A.2.18), невидимому, впервые просуммировал посредством интегри-
интегрирования Эйлер, Novi Commentarll Acad. Petropolitanae, 5 A760), 203. [Opera
(I), 14, 542—584. Другой метод —в Opera (I), 15, 435-497.]
§ 1.3. Более подробные сведения о ранних работах Бернулли и дру-
других по расходящимся рядам можно найти в книге Reiff, Geschichte der unend-
lichen Reihen (Тюбинген, 1889), в работе Буркхардта в MA, 70A911), 169—206,
и в статье Буркхардта „Trigonomttrische Reihen und Integrate" в Enzykl. d.
Math. Wiss. (FIA12). Книга Рейфа полезна, но не пробуждает интереса
к предмету и не всегда точна. Сочинения Буркхардта гораздо более инте-
интересны и содержат массу любопытных сведений, которые трудно было бы
найти гд>нибудь в другом месте. Исторические рассмотрения здесь и в
§S '-б—1.7 основаны главным образом на этих источниках.
Hutton, Tracts on math, and philosophical subjects (Лондон, 1812), предло-
предложил фактически следующее определение предела расходящейся последователь-
последовательно, ти (sn). Определяем «'*' для k — l, 2, ... формулой
'(«-^ад + ^Ч*-1» <«>о).
при условиях
тик что, в частности, s^ и s)f соответственно равны
1 1,1 1,1 1 i 1
т, *о> ту sn -\ '2 5ь ~2Sl~^~~o 'Уг> "" ~2 Sn~l ~*~ *2~ S/!> '"'
и
I 1,1 1.1,1 1 .1 . 1
4 S"' т? &с  Sl> 7 kS'° ~ Sj Т Sb ''' ' ~4 s""~а ' ~2 Sn~l T S"' "''
Тогда
sn-*-s (Ни, k) означает s^-*s.
Легко проверить, что
1 — 1 -1-1 — ...= 1 (Нч, 1), 1-2-f :j—... =1(Нц,2);
и можно показать, опираясь на общие теоремы гл. III или соответствующие
георемы о средних Вороного из гл. IV, что любой ряд, суммируемый (Ни, k),
гуммируем, и притом к той же сумме, посредством соответствующего сред-
среднего Чезаро.
Примеры применения преобразования Эйлера в числовых расчетах см.
в книге Brorawich, 62—66.
§ 1.4. По поводу теоремы Коши см. Харди, 167, или Bromwich, 414.
Она является частным случаем теоремы 44. Теорема Абеля содержится, на-
например, в теоремах 27 и 55.
§ 1.5. По поводу формул A.5.10) и A.5.И) см. Приложение I, § 4, где
исправлены некоторые ошибки работы, помещенной в TCPS, 21 A908), 1—48.
§ 1.6. Первым явно сформулированным признаком сходимости был, по-
видимому, известный признак Лейбница сходимости знакопеременного ряда
До — tfi + «2—... с убывающими положительными ап.
C) Ряд A.6.4) сходится в двух областях, ограниченных окружностями
#3-f- (v± 1)а = 2, где а-\- lv = х, а именно, в веретенообразной области, за-
заключенной между ними, и неограниченной области вне ее, и расходится в
двух остающихся луночках. Точка 21 лежит в верхней из этих луночек. Этот

38 ВВЕДЕНИЕ [ГЛ. I
ЗА
ряд представляет одну двузначную функцию от z ~ у-—-, но две различные
однозначные функции от х.
D) По поводу изложения рассматриваемого преобразования самим Гольд-
Гольдбахом см. М. Cantor, Vorlesungen iiber Geschichte der Math., 3, изд. 2 (Лей-
(Лейпциг, 1901), 641. Описание в книге Reiff, 89, неточно.
§ 1.7 A). Читатель, знакомый с элементами теории рядов Фурье, легко
убедится в справедливости формул A.7.1)—A.7.3) для функций <р (х), опре-
определенных надлежащими тригонометрическими интегралами.
B) Буркхардт анализирует работы Эрншоу и Юнга более тщательно,
чем они заслуживают. Он много говорит также о второстепенных немецких
работах этого периода, но это в общем менее интересно.
C) Работы Ньюмэна, Вилбрагама и Гомершэм Кокса были опубликованы
в Cambridge and Dublin Math. Journal, 3 A848), 108 и 198, и 7 A852), 98.
Ф. В. Ньюмэн, профессор математики в лондонском университетском кол-
колледже, был братом кардинала Дж, X. Ньюмэна,

[лава II
НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ
2.1. Введение, В этой главе мы даем примеры работы Эйлера
л других математиков, обещанные в § 1.6, отправляясь каждый раз
от соответствующего отрывка из оригинальных сочинений рассматри-
рассматриваемого аналитика. Темы этих отрывков важны и сейчас, так что
последние имеют не только исторический интерес; поэтому мы довольно
подробно проанализируем их, присоединив пояснения, необходимые
для установления их связи с более современными работами.
А. ЭЙЛЕР И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
РИМАНА
2.2. Функциональные уравнения для C(s), ч\ (s) и L{s). ^-функ-
^-функция Римана С (s), определенная при 5 = о -\- it и о > 1 рядом
B.2.1)
J_
является однозначной аналитической функцией от s, регулярной на
всей плоскости комплексного переменного, за исключением простого
полюса при s = 1. Она удовлетворяет функциональному уравнению
B.2.2) C(l— s) = 2B*)-* cos™ T(s) r, (s).
В окрестности точки s = 1 имеем
B.2.3) "•(*•) = ГА i + If+•¦•-
где Y — постоянная Эйлера.
Функции т] (s) и L (s), определенные при а > 0 рядами
B.2.4) т,(я)==1!-_^4-^—..-,
B.2.5) ?(,)==1L_^ + ^_.,.)
являются целыми функциями от s; при этом t](s)=A — 2'-s)?(s),
но L{s) есть независимая трансцендентная функция. Эти функции

40 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
удовлетворяют функциональным уравнениям
B.2.6) B«-1 — 1) ,] A _. S) = _ B* _ 1) *-» cos - Г (*¦) -ц (s),
B.2.7) Ц1-- s) = 2st:~« sin s| Г (У) L (s).
Эти результаты обычно приписываются Риману, Мальмстену и
Шлёмильху. Сравнительно недавно было обнаружено, сперва Каэном,
а затем Ландау, что и уравнение B.2.6), равносильное уравнению
B.2.2), и уравнение B,2.7) содержатся в одной работе Эйлера, напи-
написанной в 1749 г., т. е. более чем за сто лет до Римана. Эйлер не
рассматривает комплексных значений s и не претендует на доказа-
доказательство этих уравнений даже для вещественных s. Он формулирует
i-ix и проверяет их справедливость в таком числе случаев, которое
„не оставляет никакого сомнения в истинности нашего предположе-
предположения". Заодно его проверки проливают много света на его взгляды на
расходящиеся ряды.
2.3. Эйлерова проверка. Эйлер записывает уравнение B.2.6)
в форме
(о ч 1 \ 1 2Ь \- .3> • .., (s— 1)! (^ I) и
I — J, ° -\- о h •— ... B* 1 — 1) и" Z
и приступает к проверке его (а) для всех целых s и (б) для s.= -к-
3 Q 1
ns = -». Заметим, 4jo .s = -^ является единственным из этих значе-
значений s, при котором оба ряда сходятся.
Эйлер опирается на формулы
1 1 22&-' — 1
\l.t>.l) I 22ft t 3aft • ¦ • — Bft)! ': °k>
B.3.3) I — 1 4- 1— 1+ ...=-!¦- (A),
B.3.4) 1—28*4-3aft—...=0 (A),
B.3.5) 1—2»*-' +38*-i-...=( —l)*-i 2^=^Bk (A),
где k—- натуральное число. Из них формула B.3.2) хорошо известна,
а остальные, без (А), суть соответственно формулы A.2.7), A.2.12)
и A.2.13).
Важно заметить, что, во всяком случае, здесь Эйлер вполне отдает
себе отчет в том, что применяемые им ряды — расходящиеся и что их
надлежит суммировать согласна А-определений § 1.3B). Легко прове-
проверить справедливость этих формул в укнзанном смысле. Действительно, из

2.3] ЭЙЛЕРОВА ПРОВЕРКА 41
следует, что
B 3 7) i
)
(IV(Y
для /и — 0, 1, 2, ... Но
1 !!
еУ+1~ 2 2 "' 2
-1 V
~ 2 2
1
так что B.3.7) имеет своим пределом
2 при от = 0, 0 при /и — 2А > О,
(_ i)*-i ?„__! Bfe при от = 2А —1 >0.
Отсюда следует, что ряды B.3.6) и B.3.7) имеют требуемые пре-
пределы при _у->0 или х = е-У-+1.
Это доказывает формулы B.3.3)—B.3.5) и показывает также,
что рассматриваемые ряды суммируемы ((?) к той же сумме; Эйлер
мог с одинаковым успехом пользоваться и этим определением. Разу-
Разумеется, таким же образом можно доказать справедливость, в тех же
смыслах, формул A.2.8) —A.2.11), A.2.14) и A.2.1G).
Во-первых, из B.3.4) следует, что
ij(l—s) = 0 (s = 3, 5, 7, ...),
а из B.3.2) и B.3.5), —что
— -1
a
Замечая, что cos— равен 0 при нечетном 5 и(—IJ при четном 5,
видим, что полученными двумя формулами устанавливается справед-
справедливость уравнения B.3.1) для s = 2, 3, 4, 5,...
C0ST"
Во-вторых, если мы возьмем s=l и истолкуем ^_х - при
s=l, как предел этого выражения при s->l, т. е. как—^-—^,
то уравнение B.3.1) примет вид
1 1 _i_ 1 1
l_i_L- — — ~21°g2'
в согласии с B..3.3).

42 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. И
л\ Bs [)
В-третьих, если мы напишем: (s — 1)! Bs— 1)= — и истол-
истолкуем это при s — Q как l-log2, то уравнение B.3.1) при ,« = 0
примет вид
~ = 21og2,
снова в согласии с B.3.3).
В-четвертых, заменяя (s — 1)! на Г (У) и пользуясь формулой
1 (S) COS -JJ- = П_о\я '
2 (i^
заключаем, что из справедливости уравнения B.3.1) для значений s> 1
следует его справедливость и для s < 0. Поэтому мы можем считать,
что это уравнение проверено для всех целых s.
В-пятых, если s =-^ и мы истолкуем (—•_-)! как rf-^-j, то
B«-i —1)яв C0S Т ~~ 71
B а-
так что уравнение B.3.1) справедливо и для s=-=-. Это завершает
о
программу Эйлера, за исключением случая s = -к-. Для этого послед-
последнего случая он дает только численную проверку. Он суммирует рас-
расходящийся ряд, стоящий в числителе левой части, с помощью фор-
формулы суммирования Эйлера-Маклорена и получает значение 0,380129....
Это дает для левой части уравнения B.3.1) значение 0,496774, что
согласуется со значением правой части до пятого знака включительно.
„Наше предположение доведено до столь высокой степени достовер-
достоверности, что не остается более никакого сомнения в его справедливо-
справедливости и для случаев, когда показатель s принимает дробные значения".
Как замечает Ландау, эйлеровское вычисление ряда 1 — j/2 + Y3 — ...
легко преобразовать в строгое определение его абелевской суммы. Нелишне
заметить, что интересующую нас сумму можно также вычислить с помощью
эйлеровского преобразования из § 1.3 D). В рассматриваемом случае
ап= (—1)пУп-\-\; вычисляя последовательные разности для Уп -\-1,
находим:
Ьо = 1, bt = — 0,4142, fe2 = — 0,0964, b3 = — 0,0465, 64 = —0,0285,
Ьъ = — 0,0197,

2.4] СУММИРОВАНИЕ РЯДА 1 1\Х-\-2\Х* ... 43
так что рядом Эйлера служит здесь
1 0,4142 0,0964 0,0465 0,0285 0,0197
2 4 8 ^ТГ" ~ 32 64
что с точностью до третьего знака равно 0,380. Конечно, наше вычисление
значительно грубее вычисления Эйлера.
Формулу B.2.7) Эйлер не рассматривает с такой же подробностью,
но из текста видно, что он выполнил аналогичные проверки. Он кон-
кончает замечанием, что „это последнее предположение относится к вы-
выражению более простому, чем предыдущее; поэтому, так как оно
равным образом верно, следует ожидать, что можно с большей на-
надеждой на успех трудиться над разысканием полного его доказатель-
доказательства, которое, несомненно, пролило бы много света на массу других
исследований этого рода".
Б. ЭЙЛЕР И РЯД 1 - 1 \х +¦ 2U2 - ...
2.4. Суммирование ряда \ — \\х-\-2\х%— Ряд
B.4.1) f{x) = \ — \\х-\-2\х^ — ЗЬс3+.. .,
приводящийся при ,с=1 к виду A.1.4), не сходится ни для какого х,
за исключением х = 0, и не суммируем ни одним из методов, ука-
указанных в § 1.3. Так, например, при х— 1 ряд A.3.5) почти так же
быстро расходится, как и исходный ряд.
Однако Эйлеру удалось просуммировать этот ряд следующим
образом. Считая х положительным и полагая, формально,
а (х) = xf(x) = x — l \х2 -f- 2!.v'! —-...,
получаем путем почленного дифференцирования
B.4.2) хV (х) + ер (.v) =
...) + * — 1!х» + 2\х3— ... = х.
Это дифференциальное уравнение имеет интегрирующий множитель
j-, и решением, обращающимся в нуль вместе с х, служит
B.4.3) <р(л:) = в* JV "* у *).
Делая подстановку t=Y~i > получаем
1 -f- xw
B.4.4)
*) Легко проверить с помощью интегрирования по частям, что ^ (л:) = О (х)
при малых х.

44 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
и это выражение тем естественнее приписать в качестве суммы
ряду B.4.1), что мы вновь вернемся к атому ряду, развертывая у—г-—t
по степеням xw и формально интегрируя почленно.
Так как х > 0, то из B.4.3) следует также, что
B.4.5) / (х) = I е* Г <Г*'-*'¦ = -1- е' [е « ~ =---U*И (
где И v— „интегральный логарифм" от v, определяемый для 0 < v < 1
формулой
V со
dt r , du
г du
Тогда
log-
V У
d П
V У
и из формулы B.4.5) вытекает, что
B.4.6) / (х) = - ^ «" log -i + S A),
где
B.4.7) 5(<y) = -
есть целая функция от у. Эти формулы дают аналитическое продолже-
продолжение функции/(х) на всю плоскость комплексного переменного» В резуль-
результате получаем многозначную функцию с бесконечным множеством ветвей,
1
отличающихся на целые кратные 2та —, причем одна ветвь стремится
к 1, когда Л-+0 по положительным значениям..
Полагая х=\, получаем формулу
B.4.8) 1_1! + 2!-3!

2.5] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЯДА 45
2.5. Асимптотическое поведение ряда. Пусть x = reiH, где
—• тс < 6 < тс. Имеем
2™2— ... -f-(— \)nx?lwn]
р-го7ц)П+ I
-\-xw
(— \)nn\xn-\-Rn{x).
Но
1 -f хда | = У1 + 2/-ш cos
имеет минимум 1, если cos 9 >- 0, и минимум |sinO|, если cos9<^0.
Поэтому \Rn(x)\ не превосходит (п -\- l)!rn+1, если | 9 | ^ ^-, или
(п-\- 1)! rn+l | cosec 9 |, если -гг-^9<тт, и потому равно О(rn + 1) равно-
равномерно в угле — ~4~<>^^<^';т — 8 для любого положительного 8.
В частности,
B.5.2) f(x) = l
для малых положительных х и заданного л.
Ряд
«0 -|- ajX -}- a2x2 -f- ...
называют асимптотическим рядом для функции/(х), вблизи х = 0,
если
B.5.3) /(x) = ao-j-a1x+ ... +аих" + 0(лг"+1)
для каждого фиксированного п и малых х. Мы интересовались здесь
главным образом положительными значениями х, но определение при-
применимо и к комплексным х. Таким образом, B.4.1) служит асимпто-
асимптотическим рядом для нашей функции / (х) в любом угле — тс -j- 8 <^
^9^тс-—о, т. е. в любом угле, исходящем из начала0 и не содержа-
содержащем отрицательную вещественную ось. Тем самым, по крайней мере,
в одном смысле рассматриваемый ряд „представляет" функцию f{x).
Определение асимптотического ряда интересно только для того случая,
когда ряд расходится. Если функция f(x) регулярна в точке дг = О, то ее ряд
Тэйлора ^ V" сходится для малых х и удовлетворяет условию B.5.3);
однако в этом случае мы не имеем ничего нового. Расходящиеся асимптоти-
асимптотические ряды встречаются в работах большинства старых аналитиков, но
первыми математиками, подвергшими эти ряды систематическому исследова-
исследованию, были Пуанкаре и Стилтьес, а первая общая теория асимптотических

46 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. 11
рядов содержится в знаменитом мемуаре Пуанкаре о дифференциальных
уравнениях.
Вообще говоря, существует бесконечное множество различных функций,
асимптотически представимых одним и тем же рядом ^ апх'1- Так, если
а
g(x) = е х , где а положительно, то и + 1 ->¦ 0 для каждого п равномерно
в любом угле -—^-"M^O^-s- — о (и, в частности, для положительных х),
и потому, например, ряд B.4.1) дает асимптотическое представление для
каждой из функций /(х) \- Cg(x). Сказать, что некоторый ряд служит
асимптотическим рядом для функции f{x), еще не значит „определить его
сумму" в смысле § 1.3. Существуют „теоремы единственности" для асимптоти-
асимптотических рядов, принадлежащие Ватсону, Ф. Неванлинна и Карлеману; но они
основываются на знании точных оценок для остаточных членов, как Rn (x)
в B.5.1), верных для всех п и всех х в надлежащей области.
Мы часто будем употреблять термин „асимптотический ряд" в немного
расширенном смысле, а именно: будем говорить, что 2ап*ге + " есть асимпто-
f (х\
тический ряд для f(x), если ^апхп есть асимптотический ряд для \ ,
причем будем иногда для выражения этого пользоваться записью
B.5.4) /(x)~ 2 <*„«»+«.
2.6. Численные расчеты. Эйлер находил численное значение суммы
ряда A.1.4) различными способами. Во-первых, можно воспользоваться
формулой B.4.8), во-вторых—формулой B.4.5), находя значение инте-
интеграла при х = 1 с помощью численной квадратуры. Эти методы дают
B.6.1) s=l — l! + 2! — 3!+ ... =0,5963....
В трактате Лакруа приведено более замечательное, хотя и менее
точное вычисление (также принадлежащее. Эйлеру). Лакруа обозна-
обозначает l—s=l! — 2!-]- ... через S и преобразует 5 как в § 1.3D),
получая ряд
o_!__Ii 3__Н д. 53_309 ,
2 4-"Т~ 8 16~+~32 64 "т" •••'
расходящийся несколько менее быстро, чем исходный ряд. Он пола-
полагает затем 5 =  г~Ъ^' и повторное применение указанного пре-
преобразования к S" дает
., _i_5,21_99,615_
24 2е ~Т~ 2» 2'0 "Г 2'2
о с
Наконец, он полагает S' = -^4 — -^-\-S" и, в третий раз применяя то
же преобразование (но к S"), получает:
<>„ _ 21 __ |5 , 159 _ 429 5241 _
15 29 212~т~ 216 2'8 ' 221
Беря восемь членов этого ряда, получаем для 5 значение 0,4008,

2.7] ' ТЕОРЕМА ФУРЬЕ 47
а для s — значение 0,5992, с двумя верными знаками. На первый
взгляд может показаться удивительным, что мы смогли получить столь
хороший результат, поскольку все использоьанные нами ряды расхо-
расходятся (причем последний — по меньшей мере столь же быстро, как
ряд для s). Позже (стр. 245—246) мы увидим, почему примененный
метод оказался столь успешным.
В. ФУРЬЕ И ЕГО ТЕОРЕМА
2.7. Теорема Фурье. Под „теоремой Фурье" мы понимаем здесь
теорему, утверждающую, что если f(x) принадлежит надлежащему
классу функций и „представима" тригонометрическим рядом
B.7.1) -^a0-
в том смысле, что этот ряд сходится к f (х) в открытом интервале
(—к, тс), то
B.7.2) ап = — I / (x) cos nx dx, bn — — j /(x)sin nxdx.
— ГС —II
Таким образом, эта теорема утверждает, что если тригонометрический
ряд сходится к f (х) для —тс<х<7г, то он необходимо служит
„рядом Фурье" для f(x).
Формулы B.7.2) старше Фурье. Так, Буркхардт в своей статье
в Enzyklopadie der mathematischen Wissenschaften возводит формулу
для ап к Клеро A757). Эти формулы были известны Эйлеру, давшему
обычный их вывод путем почленного интегрирования в 1777 г.
Следует заметить, что „теорема Фурье", как мы ее сформулиро-
сформулировали, есть теорема „единственности", верная или неверная в зависи-
зависимости от рассматриваемого класса функций и смысла „представи-
„представимости". Так, согласно дю Буа-Реймону и Валле-Пуссену она верна,
если f(x) конечна и интегрируема, а под представлением понимается
обычная сходимость. Если же мы предположим только, что ряд сум-
суммируем одним из стандартных методов теории расходящихся рядов,
то теорема может стать неверной, даже когда / (х) тождественно равна
нулю. Так, ряд
sin х -j- 2 sin 2л: -j- 3 sin Зл: -|- ...
суммируем (А) к 0 для всех х, но, очевидно, не является рядом
Фурье для 0. Во всяком случае теорема настолько тонка, что для
Фурье было совершенно невозможно строго доказать ее: простейший
ее случай, когда/(х) есть 0 и под представлением понимается сходи-
сходимость, был впервые доказан Кантором в 1870 г.
Есть замечательное место в Theorie de la chaleur Фурье, где ом
пытается доказать частный случай рассматриваемой теоремы. Пред-

48 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
положим, что f(x)— нечетная аналитическая функция, регулярная
для | х | ^ 7г, так что
B-7.3) /W
для | а; | <^ тс; и пусть
со
B.7.4) f(x) = ^
для —it < а; < я, причем ряд сходится в классическом смысле*).
Таковы фактически предположения Фурье и целью его является дока-
доказать, что Ьп задается второй из формул B.7.2).
2.8. Первая формула Фурье. „Естественным" методом доказа-
доказательства формул B.7.2) является почленное интегрирование; этот
метод, которым уже пользовался Эйлер, сразу привел бы Фурье
к доказательству, удовлетворительному с точки зрения тогдашних
требований. Фурье, повидимому, не знакомый с работой Эйлера, идет
совершенно другим и притом весьма неожиданным путем (хотя он
позже и упоминает доказательство с помощью интегрирования). Он
заменяет каждый синус в формуле B.7.4) его рядом Тэйлора и при-
приравнивает коэффициенты при степенях х соответствующим коэффи-
коэффициентам ряда B.7.3). Это дает бесконечную систему линейных урав-
уравнений
B.8.1)
(А = 0, 1, 2, ...)
с бесконечным числом неизвестных, причем все эти ряды расходятся
уже в простейших случаях; так, функция f(x) = x имеет ряд Фурье
B.8.2) 2 Гб1п л: — г^ sin 2x -\- j sin 3* — .. Л
и в этом случае уравнения B.8.1) принимают вид
1 — 1 -f-1 — ...=y> 1 —22" + 32"—...=0 (А—1, 2, ...).
Как мы знаем, эти равенства действительно справедливы при надле-
надлежащих определениях, например при А-определении. Но то обстоя-
обстоятельство, что полученные ряды расходятся и что (как мы видели
в § 2.7) малейшее вторжение расходящихся рядов делает „теорему
Фурье" неверной, дает представление о трудностях, возникающих на
*) Разумеется, его суммой для х — —тс или п служит не f{x),

2.8] ПЕРВАЯ ФОРМУЛА ФУРЬЕ • 49
избранном Фурье пути. С точки зрения современных представлений,
он поставил перед собой безнадежную задачу.
И тем не менее рассуждение Фурье имеет невольно исторический
интерес, но вполне заслуживает изучения еще и сейчас. Значительные
части его верны или нуждаются лишь в небольших перефразировках;
оно содержит идеи, важные и для других целей, а некоторые его
побочные продукты- могут еще навести на интересные задачи.
Перепишем уравнения B.8.1) в виде
B.8.3) ft1 + 2»-ift9 + 3»-»*,+ .,.a=i4fc (Л=1, 2, ...)•
Руководящая идея Фурье состоит в том, чтобы, отбросив все уравне-
уравнения, кроме г первых, и все неизвестные, кроме г первых, и получив
таким образом конечную систему
г
О о 4Л "V Я2й-1А __ л (и 10 г\
п=\
вычислить соответствующие значения bn>r неизвестных Ьп и опреде-
определить предел Ьщг при г->оо. В настоящее время эта идея является
господствующей в теории решения бесконечных систем линейных урав-
уравнений, и впервые она появилась в работе Фурье.
Однако Фурье действует не совсем так. Одновременно с иско-
искомыми Ьп он изменяет и правые части Ah, заменяя систему B.8.4)
системой
г
B.8.5) 2 «2Й*П г — А% , (А=1, 2, ..., г).
я=1 ' '
Назовем ее системой (г). Идея Фурье заключается в том, что, надле-
надлежащим образом выбирая Ah>r, можно добиться, чтобы и Ah>r-*-Ah и bn>r
стремились к пределам Ьп.
Он пытается показать *), что если выбрать Аь>т так, чтобы
B-8-6) ЛЬ1 = Л]J — ^,
B.8.7) А =А & '^, А = А Аз'3,
и вообще
B 8 81 А-,. = А^ ^ft+i.r+г /Л 19 A
то мы будем иметь
B.8.9) *i,i = *i,
B.8.10) *i,9 = *i,»(l—р),
*) Эта часть рассуждения Фурье изложена в более точной форме в при-
примечании Дарбу к стр. 191 выпущенного им издания работ Фурье.
4 Зак. 3499. Г. Харди

50 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
и вообще
B.8.11) ^,r = Vr+i(l-Gq?T)-3) (« = 1, 2, ...,/•).
Отсюда будет следовать, что если Ah>r удовлетворяют уравнениям
B.8.8), то bn>r-+bn при г->оо, где
B.8.12)
Тогда остается выразить ди1, #3J, ... через Ah (которые, по пред-
предположению, являются пределами для Ah>r).
Но, по первой из систем B.8.5), b^ = Ai,i. Выразим это сначала
согласно B.8.6) через А^ и А2,2, затем согласно B.8.7) через Аия,
^2,з и Аз,з, и т. д. Получим:
Ass'3
lli
T 32 "r 42/ т ЛМ ^3243 r 4222 I" 253^ ~~ 223242
и в пределе
B.8.13) *1д = Л1,] = Л1
где
B.8.14) Pi,i = l, РЛЛ
причем суммирования распространяются на неравные значения mv
т%,..., отличные от 1. В соединении с B.8.12) это дает выражение
для Ьх через значения А^.
Аналогично можно вычислить Ь%ъ b-iiS, ..., а тем самым и ?2, Ь&)...
А именно, мы выражаем ?м через Л1|2 и Л^.з из системы B), затем
через Л1,з, Ла,з и Л3,3 из B.8.7) и т. д. и так получаем д2; совер-
совершенно так же мы можем получить дп, отправляясь от системы (л).
В итоге приходим к следующим результатам:
B.8.15) bt (l -^3)(l —да) • • • =^,Pj.i -
B.8.16) «dn
тфп
где
B.8.17) /

2.9] ДРУГИЕ ФОРМЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ И РЯДОВ 51
и суммирования распространяются теперь на неравные т1, т%, ...,
отличные от п. Пользуясь соотношением
П/ ft \ (sin t^z ( z \"~ ^ \ 1
тфп г->и
можно эти формулы упростить, причем B.8.16) примет вид
B.8.18) (— l)"^ nbn = A1PU2~А2Рз,п-\-Л3Р3,п—
Легко найти значения Ри,п для всех h и п. Положим
\
Тогда РЙ+1=BД\)Т, и из тождества.
можно выразить коэффициенты Phin через коэффициенты Ph. Выпол-
Выполняя эти вычисления и подставляя результаты в B.8.18), получаем
B.8.19) (-l)-il«An=.^H
Этим завершается первая и наиболее сложная часть рассуждения
Фурье. В частности, если f(x) = x, то А1=1, Л2 = Л3=...=0,
и мы получаем ~^пЬп = {—I)"-1, так что
х = 2 (sinл; — -2 sin 2х -|- -=- sin Зх — . .. ).
2.9. Другие формы коэффициентов и рядов. Вспоминая, что
^1)^), так что
и располагая правую часть формулы B.8.19) по степеням -^ полу-
получаем, что
B.9.1) •*. = (-,)-i-
Подставляя эти значения коэффициентов Ьп в ряд
4*

52 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
объединяя в получающемся двойном ряде члены, содержащие соответ-
соответственно /(тс), /"(тс), ..., находим, что
B.9.2) |rc/W
Каждая из этих формул представляет самостоятельный интерес и
справедлива при довольно широких условиях.
О формуле B.9.2) мы будем подробнее говорить в гл. XIII (§ 13.9).
Здесь мы коснемся еще дальнейших преобразований формулы B.9.1),
которые проделывает Фурье. Он замечает, что функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению
общим решением которого служит
х
1 (х) = С cos nx-\- D sin nx-\-n sin пх Г /(/) cogntdt—
о
х
— п cos nx I f (t) sin nt dt.
Так как / нечетна, то и х нечетна, и С = у@) = 0. Поэтому, пола-
полагая х = п и пользуясь формулой B.9.1), получаем
~
X (*) = \ J/@ si
что совпадает со второй из формул B.7.2). Так, наконец, Фурье
приходит к обычной формуле для коэффициентов.
2.10. Законность формул Фурье. Несомненно, было бы вполне
возможно определить условия на f(x), достаточные для обоснования
всех сложных преобразований, проведенных Фурье, но для этого
потребовался бы весьма тщательный анализ его рассуждения. Здесь
мы рассмотрим лишь два вопроса: (а) действительно ли B.9.1) является
верной формулой для Ьп и (б) действительно ли Ьп удовлетворяют
уравнениям B.8.1). Второй вопрос, разумеется, предполагает предва-

2.10] ЗАКОННОСТЬ ФОРМУЛ ФУРЬЕ 53
рительный выбор некоторого определения для сумм расходящихся
рядов.
A) Прежде всего, если f(x) нечетна и регулярна на отрезке
— 1г<!л^7г вещественной оси*), то, повторно интегрируя по частям
и принимая во внимание, что /@)=/"@)= . .. = 0, получаем
Так как последний член в фигурных скобках есть О(я-2Л~2) для
больших п, то мы видим, что B.9.1) есть асимптотический ряд для Ьп,
Далее, если
|/<8ft>(i0|<CK» (A = 0, 1,...)
при некоторых С и К, то этот ряд сходится для п > К. В частности,
это будет верно, если / (х) есть целая функция порядка 1 и конеч-
конечного типа, т. е. если \f(x) |< DeL 1Ж1 при некоторых D и I. Если
?<1, а в этом случае и /С<1, то ряд сходится для я>-1. При
этих условиях формула B.9.1) верна в обычном смысле.
Можно также доказать, что при более широких условиях рас-
рассматриваемый ряд суммируем в различных смыслах, но это требует
некоторого знакомства с определениями суммы расходящегося ряда,
связанными с именем Бореля.
B) Мы докажем теперь, что уравнения B.8.1) справедливы, если
содержащиеся в них расходящиеся ряды суммируемы А-методом § 1.3
B). При этом мы снова будем предполагать лишь, что f (х) нечетна
и регулярна на отрезке —t-^jcO вещественной оси.
Так как / (х) регулярна для — тг ^ л: < тт, то
тс
К = ^ J / (*) e»*»dx = 1J / (х)
с,
где Cj — контур, идущий от — я до г. немного выше вещественной
оси. Поэтому, для любого 8 > 0,
f {x) rf^-3 dx,
С,
m,r') ^т0) контеч„но' 6afe об1«ее предположение, чем у Фурье, принимаю-
принимающего, что ряд Тэйлора функции / (х) сходится для I х | < «.

54 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
Дифференцируя 2А-]-1 раз по 8 и затем заменяя производную под
знаком интеграла соответствующей производной по х, получаем
С,
При 8 -> О правая часть стремится к
J '
/d\2ft + l gto (_l)ft /• ./d\2ft + I
\j 1 l 2 ' v 'V
\dxj 1 —elx 2m j ' v ''Vdx/ s 2
x
-z dx.
2
Так как / (х) — нечетная функция, то это равно половине того же
интеграла, взятого по контуру, делающему полный оборот вокруг
начала в отрицательном направлении; применяя же к последнему ин-
интегралу повторно интегрирование по частям, получаем
i -i ctg ~ dx = (—1)Л/Bй+1) @),
что и служит тем самым А-суммой для ряда 2и2й+1^п- ^ действи-
действительности рассматриваемые ряды суммируемы и методами Чезаро,
а именно 2я2й+1^п суммируем (С, 2h-{-!)*); но А-метод является
простейшим, суммирующим все эти ряды одновременно.
Г. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ РЯД ХЭВИСАИДА
2.11. Хэвисайд о расходящихся рядах. Последний наш пример
имеет другой характер, так как относится к вполне современному
периоду и взят из работы человека, не бывшего профессиональным
математиком.
Хэвисайд поместил во втором томе своей Electromagnetic theory
(Лондон, 1899) большую главу о расходящихся рядах. Он явно не
знал, что ко времени опубликования этого тома уже существовала
научная теория расходящихся рядов **), и его работа совершенно
несистематична и часто ошибочна. Он не стремится построить нечто
заслуживающее наименования „теории" расходящихся рядов; его отно-
отношение к ним было, по существу, такое же, как у Эйлера за 150 лет
до него: в действительности у Эйлера были даже более ясные пред-
представления. Но Хэвисайд, как бы ни оценивать его достоинства как
математика, был человеком большого таланта и оригинальности, и то,
что он говорил (хотя зачастую и раздражало математика), было все-
всегда интересно.
*) См. § 5.4.
**) Работы Бореля о расходящихся рядах были опубликованы в течение
1895—1899 гг., а его книга — в 1901 г. Теория асимптотических рядов Пуан-
Пуанкаре датируется 1886 годом.

2.12] ОБОБЩЕННЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬНЫЙ РЯД 55
Нелишне подтвердить эти утверждения цитатами из сочинений Хэви-
сайда.
„Я должен сказать несколько слов по поводу обобщенного дифферен-
дифференцирования и расходящихся рядов... Нелегко возбудить какой-либо энтузиазм
к ним после того, как он был искусственно погашен хд одным душем риго-
ригористов... Как мне говорили, я послужил средством стимулирования неко-
некоторого интереса к этому предмету. Пожалуй, вряд ли стоит оговаривать, что
никоим образом не в Англии, но действительно в Париже недавно была
предложена большая премия по поводу роли, которую расходящиеся ряды
играют в анализе.,. Надеюсь, что лауреату этой премии будет что ска-
сказать. ..
„В ОРМ*) я изложил развитие моих взглядов о расходящихся рядах
вплоть до времени написания этих работ... Я уклонился от определения
смысла эквивалентности. Определения в свое время появятся сами собой...
Первоначальная моя точка зрения на ряд состояла в том, что для того, чтобы
иметь конечное значение, он должен сходиться... расходящийся же ряд,
разумеется, имеет бесконечное значение. Решения физических проблем всегда
должны даваться в конечных терминах сходящихся рядов, так как в против-
противном случае ничего, кроме бессмыслицы, не получится...
„Затем пришло частичное освобождение от невежественной слепоты.
Расходящиеся ряды на самом деле испмьзуются при решении некоторых
физических проблем, особенно Стоксом, опирающимся на расходящуюся фор-
формулу для колеблющейся функции Jn (х). Он показал, что ошибка меньше
последнего сохраняемого члена. Но здесь члены ряда попеременно положи-
положительны и отрицательны. Это, повидимому, дает ключ...
„Несомненно, имеются три рода эквивалентности...**) Эквивалентность
не означает тождества... Но числовой смысл расходящихся рядов остается
еще неясным... Следовало бы появиться теории расходящихся рядов или,
скажем, более широкой, чем нынешняя, теории функций, которая бы объ-
объединила сходящиеся и расходящиеся ряды в одно гармоничное целое..."
(Electromagnetic theory, 2, 434—450.)
„Ригористы", к которым Хэвисайд питал такую нелюбовь, создали то,
что он требовал, уже к тому времени, когда он писал цитированные строки.
2.12. Обобщенный показательный ряд. Хэвисайд особенно часто
пользуется одним рядом и, повидимому, первый ввел его в рассмо-
рассмотрение, хотя этот ряд является частным случаем ряда, задолго до
того рассмотренного Риманом. Речь идет о ряде
B.12.1) S = S{x, c)= У
*) „On Operators in Physical Mathematics": три работы, представленные
Королевскому обществу в 1892—1ь94 гг., но никогда полностью не опубли-
опубликованные.
**i Численная, аналитическая, алгебраическая. Хэвисайд, конечно, имеет
в виду, что
может означать: (а) что 1 -{-х-\-х^-\- ... сходится к -. ; (б) что это есть
1 -~~ X
„представление" функции ; (в) что это есть результат алгебраического
i X
процесса „бесконечного деления" 1 на 1—х. Эйлер сказал бы то же самое.

56 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
где х > 0, с вещественно и коэффициенты считаются равными нулю,
если с есть целое п и г > и; в этом случае S сводится к обыкно-
обыкновенному показательному ряду. В остальных случаях ряд 5 расходится
для всех х; но поскольку он при формальном дифференцировании
воспроизводится, естественно принять, что он должен иметь, в неко-
некотором смысле, сумму ех для всех с.
Пусть с — нецелое, R — целое и ij>c. Тогда, как легко прове-
проверить интегрированием по частям или дифференцированием результата,
,, —*/c—й—1л/— 1 p-x V л
Г(с
со п=0
Поэтому
в
x, с) =
Знак Qe совпадает со знаком —Г (с — R), и
со
-ldt
^ю\ 5
Члены ряда S при г > с имеют чередующиеся знаки. Если, на-
например, ив, последний член в SB, положителен, то Г (с — R) <0,
О < QR < ив и е* < SB < ex -J- мд. Если же ий отрицателен, то
е* -j- ид < SR < e*. Таким образом, ряд 5 асимптотически предста-
представляет функцию ех в смысле, аналогичном указанному в § 2.5; его
члены, начиная с некоторого места, имеют чередующиеся знаки;
а ошибка, получающаяся, если оборвать ряд на каком-либо члене,
имеет тот же знак и численно меньше, чем последний сохраненный
член.
2ЛЗ. Ряд 2?^C*)- Рад Хэвисайда является частным случаем ряда
оо
/ О 1 О 1 \ С С / v \ ^^ гг (г) ( v\
\/i»lo*i) о — о ух) — f j у v > ух)}
— оо
где »W (л), r-я обобщенная производная функции ®(х), определяется
для г = — s < 0 формулой
X X
B.13.2) 9(~s) (*) = ?s (x) = (jdi)8(? (О = ts—\)i f (x ~ ^S~^ W d/>
о 6

2.14] ОБОБЩЕННЫЙ БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД 57
а для г = —s-\-N как N-я производная от <?8 (¦*:). Если <р(х)
кратна хс, где с > — 1, то ряд B.13.1) сводится к B.12Л).
Полагая
B.13.3) S = (
имеем
B.13.4) SW^
s>o
для любой интегрируемой функции ер.
Примем для простоты, что ср (f) неограниченно дифференцируема
на любом конечном интервале положительных значений t и что инте-
интеграл
j
о
сходится для г = 0, 1, ..., откуда следует, что е~*ср(г)(^) -> 0 при
t->cc для г —О, 1, .... Тогда, интегрируя по частям, получаем
сю со R
а» а; Г=0
откуда
й со со
5g) = ^ <РМ М = И J в-'<р (^ Л— J e-
Соединяя это с BЛ3.4), получаем, что
R °°
B.13.5) 5в= 2 «рС)(ж) = вя» fe-'e(O«—еж f r
г= —со •* J
О х
Если теперь |ф(к+')(х) | <X^+i (x)> где X^+i (x) ^° ПРИ ^->оо для
каждого R, то B.13.5) дает
со
и в этом смысле S служит асимптотическим рядом для Аех.
2.14. Обобщенный биномиальный ряд. У Хэвисайда встречается
также „обобщенный биномиальный ряд", а именно
n~m+s
r

58 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
где тип обычно не целые. Этот ряд, в отличие от показатель-
показательного, явно содержится в более ранней работе Римана.
Если тип целые и п положительно, то B,14.1) сводится
к элементарной биномиальной теореме; если только т целое,—
к обычному бесконечному ряду.
Г(«+Г)
= 2и
сходящемуся к хп\\ -\—) — A-{-х)п при |х|>1. Вообще же
\ X J
ряд бесконечен в обе стороны, причем сходится в одну сторону и
расходится в другую, сообразно со значением х.
Отделяя положительные и отрицательные значения s и записывая
получающиеся два ряда с помощью обозначений, принятых для ги-
гипергеометрических рядов, получаем
= F(\, —т, п — т-\-\, —х)-\-
Если, например, 0<л:<1, то первый ряд справа сходится, а вто-
второй расходится, но суммируем различными способами и представляет
аналитическое продолжение функции, определяемой им там, где он
сходится. Формула B.14.2) может быть доказана непосредственно,
либо выведена из известных теорем о связях между различными
гипергеометрическими функциями.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ //
§ 2.2. Euler, „Reraarques sur un beau rapport entre les seres des puissan-
puissances tant directes que reciproques", Histoire de l'Acadtmie des Sciences et
Belles-lettres (Memolres de VAcadimie), 17 (Берлин, 1768), 83—106 [Opera
(I), 15, 70—91] Том относится к 1761 г., работа же была прочитана в 1749 г.
Cahen, AEN C), 11 A894), 75-161 G5—76) повидимому, был первым
современным автором, привлекшим внимание к работе Эйлера. Landau, Bib-
liotheca Math. C), 7 A906), 69—79, подробно излагает ее, с надлежащими
ссылками на других авторов. Повидимому, никто до Римана A859) не дал
удовлетворительного доказательства функционального уравнения B.2.2),
однако уравнение B.2.7) было найдено Шлёмильхом в 1849 г. и доказано
в 1858 г. Об чное доказательство уравнения B.2.2) можно найти у Landau,
Handbuch, 281—298; см. также Ингам, 55—64, Уиттекер и Ватсон, II, 49. Раз-
Различными авторами предложено много других доказательств.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. II 59
§ 2.3. По поводу формулы B.3.2) см., например, Brorawich, 298. »
§ 2.4. Эйлеровские исследования относительно ряда B.4.1), повидимому,
начались в его переписке с Н. Бернулли: см., в частности, Opera (I), 14, 585.
Другие указания на литературу можно найти в книге Рейфа, упомянутой
в примечании к § 1.3. Суммируемость этого ряда различными методами иссле-
исследовал Hardy, PCPS, 37 A941), 1—8; см. § 8.11.
Систематическое изложение теории функции \\е~х имеется в к"ниге
Nielsen, Theorie des Integral-logarilhmus und verwandter Transzendenten
(Лейпциг, 1906).
§ 2.5. Мемуар Пуанкаре был опубликован в AM, 8 A886), 295—344.
Теория асимптотических рядов излагается в книгах Bore!, гл. I; Bromwich,
гл. 12; Кпорр, гл. 14 и Ford, Studies.
По поводу теорем Ватсона и Карлемана см. Watson, PTRS (А), 211
A912), 279—313; Carleman, Les fonctions quasi-analytiques (Париж, 1926); a
также § 8.11.
§ 2.6. Lacroix, Traite du calcul, 3, изд. 2 (Париж, 1819), 346—348; Brom-
Bromwich, 336.
§ 2.7. Краткие изложения соответствующих разделов теории рядов Фурье
содержатся в книге Hardy and Rogosinski и других указанных там книгах,
весьма полное — в книге Зигмунда.
Наиболее полное изложение ранней истории формул B.7.2) содержится
в указанной в примечании к § 1.3 статье Буркхардта из Enzyklopadie.
§ 2.8. Fourier, Theorie analytique de la chaleur, изд. 2 (Париж, 1822), 187 и след.
(воспроизведено в т. 1 его Oeuvres). Краткие изложения рассуждений Фурье
см. в F. Riesz, Les systemes d'equations lineaires a une infinite d'inconnues
(Париж, 1913), гл. 1, и Hardy, Annals, 36 A935), 167—181; но эти изложе-
изложения— слишком сжатые и оба автора совершенно не отдают должного
Фурье.
Замечания Бозанкэ (Bosanquet): A) во всяком случае сомнительно,
всегда ли возможно, при условиях, принятых Фурье, выбрать А^г так,
чтобы удовлетворить требованиям B.8.8) и Ahr^-Ah; B) из B.8.5) уожно
непосредственно вывести, что
h — 1
где штрих указывает на исключение значения т — п, EAht. = Ah+lr. я
p'r) _ 1 р(г) _ V1 I /, \ п
причем суммирование распространено на неравные mh тъ ... от 1 до г,
отличные от п. Беря тогда г-»-со и предполагая, что ЛЙГ->ЛЛ, мы получим
B.8.16), не опираясь на соотношения B.8.6) — B.8.12).
§ 2.10B). Проведенное здесь рассуждение можно обобщить: см. указан-
указанную в примечании :: § 2.8 работу Харди, 172. Весьма общие георемы о сум-
суммируемости по Чезаро рядов, полученных путем дифференцирования рядов
Фурье (и охватывающих, как частные случаи, рассмотренчые здесь ряды),
доказал W. H. Young, PLMS B), 17 A918), 195—236. Еще более общие
результаты, а также подробные литературные указания можно найти у Зиг-
Зигмунда, 254 и ел., и Bosanquet, PLMS B), 45 A940), 270—289.
§ 2.12. И показательный ряд Хэвисайда и обобщенный биномиальный
ряд § 2.14 являются частными случаями обобщенного ряда Г^йлора, приве-
приведенного на стр. 268 посмертного римановского фрагмента „Versuch einer

60 НЕСКОЛЬКО ИСТОРИЧЕСКИХ ПРИМЕРОВ [ГЛ. II
allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation" (Сочинения, 262—
275). Риманово разложение таково:
где г фиксировано и, вообще говоря, не целое, т изменяется от — оо до оо,
a DmJrr есть символ обобщенного дифференцирования. Риман не выписывает
явно показательного ряда и не делает никаких попыток строгого исследо-
исследования. По поводу последнего см. Hardy, JLMS, 20A945), 48—57.
Указанный фрагмент взят из рукописи, датированной 14 января 1847 г.,
когда Риман был студентом. Как отмечают редакторы немецкого издания
„Сочинений" Римана Дедекинд и Вебер, он никогда не предназначался для
опубликования; но он впервые содержит определение „интегралов Римана-
Лиувилля" и, несомненно, знаменует начало работ Римана по гипергеоме-
гипергеометрическим рядам.
Асимптотичность ряда B.12.1) доказал Barnes, TCPS, 20 A908), 253—279.
Доказательство Барнеса справедливо для комплексных х с \axgx\<^K.
§ 2.13. Полна доказал, что если ряд B.13.1) сходится хотя бы для
одного х, для которого tp (x) регулярна, то tp (x) есть целая функция, а ряд
равномерно сходится в любой ограниченной области изменения х (так что
его сумма необходимо кратна ех). См. Полна и Сеге, 1, 161 и 365.
Харди, в работе, указанной в примечании к § 2.8, исследует суммируе-
суммируемость ряда B.13.1) методами борелевского типа.
§ 2.14. Биномиальный ряд содержится, в виде формулы C), на стр. 266
указанного выше римановского фрагмента. Риман объясняет его непригод-
непригодность для отрицательных целых п.
Формула B.14.2) содержится, например, в Barnes, PLMS B), 6 A908),
141—177 A46, формула I). Ее можно доказать непосредственно путем вы-
вычисления интеграла
A — и)" du
J?
1+XU
по надлежаще выбранному контуру.

Глава III
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
3.1. Линейные преобразования. Теория расходящихся рядов
имеет своим предметом обобщения понятия предела последователь-
последовательности (sn). Эти обобщения осуществляются обычно с помощью неко-
некоторой вспомогательной последовательности линейных средних, обра-
образованных из членов последовательности (sn). Так, в § 1.3 мы определили
(С, 1)-предел последовательности (sn), или (С, 1)-сумму ряда 2Й»>
как предел последовательности
C 11) t — iiL+ili-U-iltf»»
при т-> оо, и А-предел последовательности (sn), или А-сумму
ряда 2 ап> — как предел выражения
когда х—> 1, оставаясь меньше 1. В обоих случаях вспомогательные
средние имеют вид
C.1.3) tm = 2 cm,nsn (m = 0,1, 2, .. .)
или
C.1.4) t(x)='2iCn(x)sn,
где х — непрерывный параметр *). Так, в C.1.1)
I—:—г при 0 <; п <Г т,
О при я > т,
а в C.1.2)
г ( y\ —— v*^ A v\
*) Все суммирования, если не оговорено противное, распространяются
на значения 0,1,2, Индекс, по которому производится суммирование,
не указывается явно, если только это не требуется для избежания путаницы;
так, например, очевидно, что в C.1.3) и C.1.4) суммирование должно про-
просо
изводиться по индексу п, так что, например, S ст nsn означает Е ст s

62 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. III
В одном случае средние зависят от целочисленного параметра т,
в другом — от непрерывного параметра х\ но, как мы увидим, это
различие не очень существенно. Рассмотрим сейчас средние типа C.1.3).
Систему равенств C.1.3), которую можно короче записать в виде
C.1.5) t = l(s),
мы будем называть линейным преобразованием Т, а матрицу
IТ | = (ст,„),
где ст,п есть элемент, стоящий на пересечении /я-й строки и и-го
столбца, — матрицей преобразования Т.
3.2. Регулярные преобразования. Наиболее важными являются
регулярные преобразования. Мы говорим, что преобразование Т
регулярно, если из
C.2.1) sm-+<; (/л-к»)
всегда следует
C.2.2) tn->s (ге-юо).
При этом подразумевается, что второе утверждение включает суще-
существование tm для всех т, т. е. сходимость всех рядов C.1.3). Так,
по теореме Коши, упомянутой в § 1.4, преобразование C.1.1) регу-
регулярно.
Необходимые и достаточные условия регулярности преобразова-
преобразования Т устанавливаются важной теоремой, принадлежащей Теплицу
и Шуру. Это предложение (теорема 2) будет доказано в § 3.3; ее
удобно связать с двумя другими теоремами аналогичного характера,
относящимися к другим классам преобразований. Класс линейных
преобразований будем обозначать через %, класс регулярных преобразова-
преобразований— через Хг. Через Хе мы будем обозначать класс преобразований,
переводящих все сходящиеся последовательности снова в сходящиеся,
т. е. обладающих тем свойством, что из сходимости sn к s следует
сходимость tm к некоторому пределу t. Таким образом, %г есть
подкласс класса %в, характеризуемый тем, что в нем t всегда совпа-
совпадает с s. Наконец, через %с мы будем обозначать класс преобразо-
преобразований, переводящих все ограниченные последовательности в сходя-
сходящиеся, т. е. обладающих тем свойством, что из sn = 0A)
следует tm -> t. Ясно, что %с также есть подкласс класса %с; но
классы %а и %г, как мы увидим, не пересекаются. Мы докажем сле-
следующие три теоремы,
Теорема 1. Для того чтобы преобразование Т принадле-
принадлежало к классу %е, необходимо и достаточно, (I) чтобы
C.2.3) Тм = 2|с«.»|<Я,

3.3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 1 И 2 63
где Н не зависит от т; (II) чтобы
C.2.4) ст%п^Ьп
при т-^-оо для каждого п, и (III) чтобы
C.2.5) с,в = 2*,«.я-*8
при т -*оо. При этих условиях ряд 2 §» абсолютно сходится,
и если sn —> s, то при т —>-оо
C.2.6) tm -* * = 8s + 2 8„ (*„ - *) = s (8 — 2 У + 2 V«-
Разумеется, пределы 8„ и 8 предполагаются здесь конечными.
Теорема 2. Для того чтобы преобразование Т принадлежало
к классу %г (т. е. чтобы Т было регулярно), необходимо и доста-
достаточно, чтобы были выполнены условия теоремы 1, чтобы 8п = 0
для всех п и чтобы 8 = 1.
Теорема 3. Для того чтобы преобразование Т принадлежало
к классу %"с, необходимо и достаточно, чтобы ст<п->Ьп для каж-
каждого п, т. е. было выполнено второе условие теоремы 1, и чтобы
ряд 2 I ст,п [ равномерно сходился относительно т. При этих
обстоятельствах первое и третье условия теоремы 1 необходимо
выполняются, 2 ^» == §, и
tm -»t = 2 Ksn
для всех ограниченных последовательностей (sn).
3.3. Доказательство теорем 1 и 2. A) Докажем сперва доста-
достаточность условий теоремы 1. Так как sn^s, то последовательность
(sn) ограничена и из C.2.3) следует, что все ряды C.1.3) абсолютно
сходятся.
Далее, ряды C.2.5) абсолютно сходятся. Кроме того, в силу C.2.4)
N N
2 |8Я|= lim 2lc»«,n|< H
О -т->со О
для каждого Л', так что
C.3.1) 2|8„|<//.
Таким образом, ряды 2^w> 2 ^nsn и третий ряд, входящий в C.2.6),
абсолютно сходятся.
Пусть сначала s = 0. Тогда мы можем выбрать N=N(e) так,
чтобы
C.3.2) Kl<i7/ (n>W-

64 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. Ш
Но
2j °п5я — 2j icm,n — "я) sn ~
N со
= 2 (««,»—8«) *» + S («*,„—К) *» =
О Wt1
О
В силу C.3.2), C.2.3) и C.3.1) здесь
JV+1
а в силу C.2.4) ?/->0 при фиксированном N и т->оо, так что
|t/|<-|- для /и>/И(е, Л/)=Ж(е). Поэтому, для
и 4»-*-2Snsn. Тем самым при s = 0 достаточно уже условий C.2.3)
и C.2.4), без C.2.5).
В общем случае полагаем
Sn — sn 5> *т == 2j ст,п sn-
Тогда sn->0 и по доказанному
tm ~* 2 Ks'n-
Поэтому, используя теперь условие C.2.5), имеем
tm = 2 Cm,n(s'n + S) = 4 + SCm -> 2 S»4 + 8^ =
Таким образом, условия теоремы достаточны в любом случае.
B) Переходим к доказательству необходимости условий теоремы.
Будем предполагать, что Т принадлежит к классу Zc.
(а) Возьмем
{ 1 при n = k,
Sn~\ 0 при п:
так что sn-»-0. Тогда tm — cm>k, и потому ст>1с при т-^-оо стре-
стремится к некоторому пределу. Тем самым условие C.2.4) необходимо,
(б) Возьмем sn — l для всех п, так что sn-+\. Тогда
У г _
и потому ст стремится к некоторому пределу 8. Тем самым и усло-
условие C.2.5) необходимо.
(в) Остается доказать необходимость условия C.2.3). Это—цен-
Это—центральный пункт теоремы.

3.3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 1 И 2 65
Прежде всего, fm конечно для каждого т. В самом деле, при
f т = оо мы могли бы выбрать (е„) так, чтобы *)
sn>0, en^0, 2en
««,nl=°°-
Взяв затем sn— ensign cm>n, мы имели бы s,->0 и
в противоречие с нашим предположением.
Итак, Тот конечно для каждого т, и нам нужно только доказать,
что Ym ограничены в совокупности. Пусть это неверно. Тогда для
каждого заданного G можно найти такое т, что fm > G. Положим
п
(з.з.з) ъ»п = 2кт,|,
' v=0 '
п
C.3.4) <*n = 2l8v|.
Как мы уже знаем, ~\т>п-^-~\т при я->-оо и cmjV-»8v (так что
Ъи,я-><*«) при т->оо. '
Зададим произвольно пг и построим индуктивно две возрастающие
последовательности tnv m2, от3, ... и пх, п2, л3, . .. . А именно,
предполагая, что OTj, m2, ..., wi,._j, /г1( я2, ..., я,, уже определены,
выберем /иг>отГ_1 так, чтобы
C.3.5) Тт>. = 21 с»г>„ I > 2г^П). + г2 + 2г + 2.
Это возможно, ибо, каково бы ни было G, всегда существует
такое т, что fm > О. Так как
"г
1
0
ст,п
пг
"V1 I
0
при от -»¦ оо, то мы можем также предполагать, что
(з-з.б) н,,,г=21^1<^+1-
о
Принимая во внимание, что Т»пг,п~*'Тя»/- ПРИ "->¦ оо. выберем теперь
«r+i > «,- так, чтобы
оо
C.3.7) Т™,-Т™,,«,-+1= 2
*) Например, можно, следуя Абелю, взять еп = — , где ст N —
первое cm,v. отличное от нуля.
5 Зак. 2499. Г. Харди

66 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. Ш
Тогда из C.3.5) — C^3.7) следует, что
C.3.8) ^2 JcWr,«|>rrfnr + r9+2r.
Возьмем теперь
( 0 при я ^ пъ
sn==\ 1
V,« при яг < я < «,+1 (г=1,2, ...).
Тогда | sn |< 1, sn -> 0 и
Поэтому tm—> оо, когда т—юо, пробегая последовательность (mr),
и Т не является преобразованием класса %с. Полученное противоре-
противоречие завершает доказательство теоремы 1.
Единственным пунктом, представляющим трудность, является доказа-
доказательство необходимости условия C.2.3). Следующее замечание сделает более
понятным смысл этого доказательства. Предположим, что мы хотели бы
доказать необходимость условия C.2.3) для того, чтобы из [sB|<Af следовало
\tm | <; ИК, т. е. вместо теоремы о сходимости доказывали бы теорему
о равномерной ограниченности. Мы бы зафиксировали т и положили
sn = /Csign cm,n. Тогда
откуда и следовало бы C.2.3). Доказательство теоремы 1 и опирается
(в решающем пункте) на комбинацию этого приема с применением „быстро
возрастающих" последовательностей. Такого рода доказательства обычны,
например, в теории „дефектов сходимости" рядов Фурье.
Теперь легко доказать теорему 2. Прежде всего, ее условия
достаточны, поскольку они включают условия теоремы 1, и потому
Доказательство же необходимости этих условий остается тем же
самым, причем для условия C.2.3) оно даже немного упрощается,
в силу того, что все 8га = 0 и тем самым все й?и=0.
3.4. Доказательство теоремы 3. Если условия теоремы 3 удо-
удовлетворены и sn ограничены, то ряды 2cm,», 2cm,nsn равномерно
сходятся (относительно т). Поэтому при т—>оо
lim tm — Hm2 cm,nsn == 2 0im cm,n) sn = '2i %nsn>

3.4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3 67
и достаточность условий теоремы установлена. В частности, пола-
полагая sn — 1, имеем
о = nm 2j с„кп = 2л Ом-
Условия C.2.4) и C.2.5), будучи необходимыми в теореме 1,
тем более необходимы здесь. Остается доказать, что ряд
(равномерная ограниченность которого обеспечена) равномерно схо-
сходится, если Т принадлежит к классу %"с.
Покажем сначала, что это достаточно установить в том частном
предположении, что 8„=0 для всех п, Если преобразование Т при-
принадлежит к классу %е> то оно принадлежит и к классу Хр, так что
2 | 8га | < оо- Формулы
^т —' 2л \Стлп ®п) ^п — 2л ^ш,п^п
определяют преобразование Т , для которого ст<п ->• 0 при т -> оо.
Если Т принадлежит к классу 2С и sn—O(\), то tm^>-t и
tm -+ t — 2л Ksn>
гак чго Т также принадлежит к классу %"с. Если поэтому равномер-
равномерная сходимость ряда C.4.1) установлена в указанном частном слу-
случае, то ряд 21 ст,п I равномерно сходится, а тогда то же верно и
ДЛЯ ряда 2 I cm.n | = 2l ст,п + К I-
Заметим далее, что, опираясь на условие C.2.4), можно предста-
представить условие равномерной сходимости в другом виде. Именно, если
ряд C.4.1) равномерно сходится, то
C.4.2) -г =2 Стп\->2л\Ъ I"
а по известной теореме Дини верно и обратное, ибо | ст>п | ^- 0 *).
Тем самым условие равномерной сходимости можно заменить усло-
*) Во всяком случае суть той теоремы, на которую мы опираемся, — та
же, что и у Дини; но сам Дини установил свою теорему в другой форме (для рав-
равномерной сходимости на интервале значений непрерывного переменного). По-
Поэтому небесполезно привести непосредственное доказательство того, чтб нам
фактически требуется, а именно, что если и,га>и>0, anhn-*Un при т-*<х>,
ряды 2 ит п и 2 ^п сх°дятся и
при т-+ со, то ряд 2 ит,п сходится равномерно относительно т.
Действительно, имеем
оо оо оо со N
2 «»,»= Bн»,п-2 ип) + 2 ип- 1и(итп—и) --
5*

68 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. Ш
вием C.4.2); в том же частном случае, который, как показано, нам
достаточно рассмотреть, это условие приводится к виду
C.4.3) Т» = 2|**.»|-»0.
Надо, следовательно, доказать необходимость условия C.4.3) для
того, чтобы преобразование Т, с Ьп = 0, принадлежало к классу ?* ¦
Но если условие C.4.3) не выполнено, то существуют число f > О
и последовательность (mW) такие, что
C.4.4) Ъ» = 2 I «я,п I-> T»
когда т -> оо, принимая значения mW. Покажем, что в этом случае
можно построить ограниченную последовательность (sn) такую, что
tm не будет стремиться к пределу, когда т ->¦ оо, пробегая после-
последовательность (mW).
Зададим произвольно пх и построим индуктивно две возрастающие
последовательности (тг) и (пг), причем первую выбираем из после-
последовательности (/«(*')). А именно, предполагая, что ти т2, ..., тг_х
и пх, я2, ..., пг уже определены, и принимая во внимание, что
Ym^T и с»и,» ~* 0 при /я->оо, выбираем тг~> тг_х из (/ге№) так,
чтобы
C.4.5) |Тя,г — ТК-5Г.
C.4.6)
О
2 I
Принимая, далее, во внимание сходимость ряда 2 I стгп |, выбираем
затем иг+1>иг так, чтобы
C.4.7)
так что
оо
0< 2 "т,«< 1^1 + 101 + 1^1-
Мы можем выбрать N=N(i) так, чтобы |QiO; зафиксировав затем N {г),
мы можем выбрать М(е, N) = М(е) так, чтобы |Р|<е и |/?|<епри
от > Ж (г). В итоге будем иметь
(а)
для т!>УИ(г) и N = N(t), а потому (так как ит>п!>0)—и для яг>.уи(е),
N^N(s). Но при фиксированном М (е) мы можем выбрать Nx (s)^N(e)
так, чтобы (а) выполнялось также для 0<!т <;М(г) и N^-Ni(e); тем са-
самым (а) будет верно для /V>Ni(e) и всех /и.

3.5]
ВАРИАНТЫ И АНАЛОГИ
69
Тогда из C.4.4J—C.4.7) следует, что
'V4-1
C.4.8)
f 1
С»1,„П I
Определим теперь ап так:
C.4.9) sn =
При П ^ «j,
( — I)'' sign cmr> и при пг<п4 яг+, (г = 1, 2, .
Тогда |sn|<l, и в силу C.4.6) и C.4.7)
C.4.10)
С другой стороны, согласно C.4.9)
.).
'V+1
"г+\
п +1
Поэтому в силу C.4.8)
'V+1
C.4.11)
Наконец, в силу C.4.10) и C.4.11) имеем
и потому tmr не стремится ни к какому пределу. Этим завершается
доказательство теоремы 3.
3.5. Варианты и аналоги. Теоремы § 3.2 допускают много ва-
вариантов, систематическое перечисление которых не входит в наши
цели. Мы упомянем только немногие, которые позже нам понадобятся.
A) Первый относится к последовательностям, стремящимся к нулю.
Теорема 4. Для того чтобы из sn->¦ 0 следовало tm-> 0,
необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие C.2.3)
теоремы 1 и чтобы ст<п стремились к нулю при т -> оо для
каждого фиксированного п.
Достаточность этих условий следует из рассуждений, приведенных
в § 3.3A), если принять там §„ = 0 и s = 0. Как уже указывалось
в § 3.3A), стремления ст к пределу в этом случае не требуется.
Рассуждения из § 3.3 B), (а) и (в) устанавливают также необходи-

70 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. III
мость обоих сохраненных условий; рассуждение же из (б) здесь непри-
неприменимо.
B) Теоремы § 3.2 допускают аналоги, в которых т заменено
непрерывным параметром х. Так, аналогом теоремы 2 служит
Теорема 5. Пусть х — непрерывный параметр, стремящийся
к бесконечности, и
C.5.1) *(*)«= 2 «»(*)*»•
Тогда, для того чтобы t{x) существовало при х>0 й стремилось
к s прих—> со, когда sn—>s, необходимо и достаточно, (I) чтобы
ряд 2 I сп (х) | сходился при х^-0 и
C.5.2) 21 ««(*)!< Я
для х ^ х0, где Н не зависит от х; (II) чтобы.
C.5.3) сп (х) ->0
при х ->¦ оо для каждого п, и (III) чтобы
C.5.4) 2 с» (*)->!
при х->- оо.
При выполнении этих условий преобразование Т, определенное
формулой C.5.1), мы также будем называть регулярным.
Теорему 5 можно доказать с помощью рассуждения, аналогичного
проведенному в § 3.3. Однако она представляет собой следствие тео-
теоремы 2. В самом деле, во-первых, условия теоремы 5 гарантируют,
что t(x)—>s, когда Х-+СО, пробегая любую последовательность (хт),
стремящуюся к оо, а потому и вообще при х -> оо. Во-вторых, если
условия (I) не выполнены, то либо ряд 2 сп (хт) расходится для
некоторых хт !> 0, либо
llm2lcm,»| — lim 2 I сп (Хт) I = °°>
когда х —> оо, пробегая некоторую последовательность (х„), стремя-
стремящуюся к оо. Но тогда, по теореме 2, существуют последователь-
последовательности (sn), для которых sn стремится к s и, однако,
' \хт) = Zicm, n sn
либо не определено для некоторых хт, либо не стремится к s. Этим
доказана необходимость условия C.5.2); необходимость же условий
C.5.3) и C.5.4) очевидна.
Аналогичные теоремы, очевидно, имеются и для случая, когда х
стремится к конечному пределу а (или а~\-0, или а — 0). Они полу-
получаются из теоремы 5 с помощью тривиальных преобразований, и мы
будем считать, что они содержатся в этой теореме. Теорема 4 также

3.5] ВАРИАНТЫ И АНАЛОГИ 71
допускает аналог с непрерывным параметром х, но мы его формули-
формулировать не будем.
C) Существуют аналогичные теоремы относительно интегральных
преобразований
C.5.5)
но они несколько менее симметричны, поскольку ядро с(х, у) на
конечных участках изменения х и у может вести себя сложнее, чем
функция целочисленных переменных. Поэтому мы удовольствуемся
здесь установлением достаточных условий (которые нам только и
нужны) и предположим s(y) ограниченной для всех у.
Теорема 6. Для того чтобы для каждой ограниченной s(y)
из
C.5.6) s (у) -> s (у~> оо)
следовало
C.5.7) t(x)-+s (jc-^-oo),
достаточно, чтобы
C.5.8) j\c(x,y)\dy<H,
где Н не зависит от х, чтобы
Y
C.5.9) j\c(x,y)\dy^0
о
при х ->• со для каждого конечного Y, и чтобы
C.5.10) j c(x,
при х ->• оо.
Доказательство аналогично доказательству достаточности в § 3.3.
Предполагаем сперва, что s = 0. Тогда
Y оо
t(x) = fc(x,y)s(y)dy+!jc(x,y)s(y)dy=*U+V.
*) Если не указано противное, интеграции распространяются на интер-
интервал @, со). Интеграл C.5.5J определен, вообще говоря, как
Y
lim Г с (х, у) s (у) йу;
X -> СО "
О
но в теореме 6 интеграл — абсолютно сходящийся.

72 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. Ill
Выбираем У так, чтобы | s (у) | < htj ПРИ У <^ У и> следовательно,
С другой стороны, U-+0 при фиксированном У и х->оо. Поэтому
/ (л:) -*¦ 0. Затем переходим к общему случаю, заменяя s (у) на
si (У) = s(y) — s.
Преобразование C.5.5) охватывает ранее рассмотренные преобразования
как частные случаи. Так, если s (у) = sn, с (х, у) = сп(х) при я<!.у < л + 1,
то t(х) — 2 сп (х) sn> т- е- мы имеем преобразование, рассмотренное в тео-
теореме 5. Если затем ограничить х целыми значениями т, то получим преобра-
преобразование из теоремы 2.
Условие C.5.9) по форме не совсем параллельно условию C.2.4) с 8П = 0.
Параллелизм был бы восстановлен, если бы мы записали последнее условие
в форме
п
(что можно сделать).
D) Мы можем также формулировать теоремы рассматриваемого
типа в терминах рядов, а не последовательностей. Две такие теоремы,
относящиеся к преобразованиям классов 2е и %е, хорошо известны
в элементарном анализе *).
Теорема 7. Для того чтобы из сходимости ряда 2 я» сле-
следовала сходимость ряда 2 Х»а«> необходимо и достаточно, чтобы
C.5.П) 2|Дх„1=2|хп—x»+il<°°-
Теорема 8. Для того чтобы из ограниченности сумм sn =
= ао-\-а1-\- ... -\-ап следовала сходимость ряда 2хпап> необхо-
необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие C.5.11) и
чтобы Хд стремились к нулю.
Действительно, пусть tm — частичные суммы ряда 2 "Lnan- Тогда
так что
m—1
= 2 <
0
j *x»
{ Xm
о
ft."
при
при
при
In
0
и
и
и)
<
>
п < /и,
/и,
т
*) В части достаточности их условий.

3.5] ВАРИАНТЫ И АНАЛОГИ 73
и
C.5.12) Тш= S
о
Остается показать, что для этих 4» условия теорем 7 и 8 сводятся
соответственно к условиям теорем 1 и 3.
Из формулы C.5.12) ясно, что C.2.3) влечет C.5.11). Обратно,
если условие C.5.11) выполнено, то ряд 2(Х«— X»+i) сходится, так
что -?п стремятся к некоторому конечному пределу ¦%. В таком слу-
случае они тем более ограничены, а тогда C.2.3) следует из C.5.11)
в силу формулы C.5.12). Итак, условие C.5.11) равносильно усло-
условию C.2.3).
Далее, ст,п = \уп для т > я, так что ст>п -*¦ Д^я = 6П при
/и->оо; с другой стороны,
я»—1
ст= 2 (Xn —Xn+i)+ ** = й = 8-
о
Таким образом, условия C.2.4) и C.2.5) выполнены без каких бы то
ни было ограничений на уп. Тем самым теорема 7 доказана.
Дополнительное условие для теоремы 8 состоит, по теореме 3,
в равномерной сходимости ряда 2 I cm,n | (относительно т). Как мы
видели в § 3.4, это равносильно условию
ст,п
• 2 I К !
или, в данном случае, условию
та— 1
т. е. одновременному выполнению соотношений 2 I ^Xn I < °° и Хп ~* О-
Тем самым доказана и теорема 8.
Разумеется, теоремы 7 и 8 можно доказать непосредственно, не
ссылаясь на более трудные теоремы, из которых мы их здесь вывели.
E) В заключение этого параграфа заметим, что классы Jr и ^,
являющиеся оба подклассами класса %0, не пересекаются. Действи-
Действительно, если Т принадлежит к классу Zl, то ряд 2 I cm,n \ и тем более
ряд 2ся»,» равномерно сходится, так что
2 К — 2 lim ст,п = Нт 2 ст,п = Ит ст = 8.
Но это невозможно для регулярного преобразования Т, ибо в случае
такого преобразования 8га = 0 для всех и, а 8 = 1.

74 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. III
3.6. Положительные преобразования. В этом параграфе мы будем
рассматривать только регулярные преобразования. Особенно важное
значение имеют те из них, для которых
C.6.1) ст,п>0
для всех тип или, по крайней мере, для п'^>п0. Мы будем назы-
называть такие преобразования положительными (регулярными) преобра-
преобразованиями.
Если Т регулярно, то ст>п -> 0 при т—юо для каждого п, так
что значения ст<п с и < п0 не влияют на поведение tm при больших т.
Поэтому несущественно, предполагаем ли мы, что ст<п ;> 0 для всех
т и п или только для я >- я0.
Теорема 9. Если Т регулярно и положительно, то
C.6.2) lim sn < lim tm <; lim tm < lim sn
Г5~
для любой вещественной последовательности (sn). В частности,
из sn-> s следует tm -> s как в случае конечного, так и в случае
бесконечного s.
Действительно, если limsn = o конечен, то sn^>a — е для
n^-N = N(e). При этом мы можем предполагать, что N^n0, а тогда
в силу условия C.6.1) либо tm = co, либо
N со N со
% === JZ* ст,п sn ~Т~ 2j cm,nsn ^ 2j cm,nsn \ (° г) 2* cm,ri'
О N + 1 О N + 1
Первый член в правой части при т —> оо стремится к нулю, а вто-
второй— к о — s, так что tm > о — 2г для достаточно больших т. По-
Поэтому
lim 4, > о = lim 5„.
Доказательство последнего из неравенств C.6.2), в случае конечного
lim sn, аналогично.
Если limsn = oo (так что sn->oo), то sn > G для любого G и
n^N=N(G)^-п0; тогда либо tm = oo, либо ^т > у G для доста-
достаточно больших /и, так что ^т —> оо. Аналогично рассуждаем в случае
limsn = — оо.
Последний пункт теоремы 9 подсказывает еще одну интересную
задачу, относящуюся к вещественным преобразованиям. Мы можем
говорить, как в § 1.4, что вещественное преобразование Т вполне
регулярно, если из sn-> s следует 4,->¦ s для всякого конечного или
бесконечного s. Условия теоремы 2 должны тогда выполняться, и есте-
естественно задаться вопросом о дополнительных условиях, необходимых
и достаточных для полной регулярности. В общем случае эти уело-

3.6]
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
75
вия довольно сложны, и мы ограничимся рассмотрением „треугольных"
преобразований
C.6.3)
tm =
т. е. преобразований, для которых ст<п = 0 при я > т.
Теорема 10. Для того чтобы вещественное преобразование
вида C.6.3) было вполне регулярным, необходимо и достаточно,
чтобы оно было регулярным и положительным.
После теоремы 9 остается только доказать, что если Т вполне
регулярно, то стл >- 0 для п ;> я0.
Пусть это условие не выполнено. Тогда существуют отрицатель-
отрицательные cm_n с произвольно большими п и, так как ст>п = 0 при я > т,
также с произвольно большими т. Поэтому существует такая после-
последовательность (т{) значений т, что A) cm,tU < 0 для некоторых я
и B) если пт, — номер последнего такого ст.<п, то nnli^.mi и лт<
стремится к бесконечности вместе с mt.
В дальнейшем мы рассматриваем лишь значения т из последова-
последовательности (т{), и вместо тг пишем просто т. Зададим произвольно mi
и построим индуктивно последовательности (тг) *) и (sn). А именно,
пусть тг, т2, ..., тг, а также соответствующие значения пт и зна-
значения sn для п^тг уже определены. Выбираем тг+1 так, чтобы
* •
Это возможно, поскольку пт ^ /«, пт стремится к бесконечности
вместе с /га исИ|В->0 при т—усо для каждого я. Далее, значения sn
при mr<C n -^.тг+1 определяем так:
п при mr < я </иг+1, пфптг+1,
при п =
mr
и
0
), но
^
Тогда sn->oo (ибо
< i+mr+i Si
и потому ^m ->• — oo при m~ mr и г -> оо. Тем самым Т не является
вполне регулярным.
*) (тг), конечно, — подпоследовательность последовательности, обозна-
обозначенной нами раньше через (.щ).

76
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
[ГЛ. III
Следующие примеры познакомят читателя с различными возможностями,
представляющимися при нарушении условий теоремы.
(I) Преобразование, при котором
, — 2, ст, ,n+i 1 и
— О
в остальных случаях, регулярно, но не вполне регулярно. Так, если sn = 2№,
то tm = 0 для всех т; если sn — 3n, то sn-*~co, тогда как tm-> — со.
(II) Преобразование
м» —
(S0 + S.1+ ••• +Sm-i) —
1
m I
имеющее вид C.6.3), регулярно, но не вполне регулярно; действительно
если sn = п + 1, то sn->co, тогда как tm = 1 для всех т.
(Ш) Преобразование, определенное матрицей
1
1
0
0
0
1
2
1
0
0
1
23
1
~22
1
0
1
23 ¦ •
1
23 • •
1
23 ¦ •
1
вполне регулярно. Действительно, условия теоремы 2 выполнены. Кроме
того, так как
то при sn->co имеются две возможности. Либо ряд ^]д^ расходится, и
тогда tm — со для всех т. Либо этот ряд сходится; тогда
о A) и
3.7. Теорема Кноппа. Кноппу принадлежит интересное обобщение
теоремы 9 на комплексные последовательности. Следуя Кноппу, мы
установим его для общего интегрального преобразования C.5.5).
Такое преобразование мы будем называть положительным, если
с (л:> У)~>® Ддя всех х, у *). Условия теоремы 6 сводятся тогда
к требованиям, чтобы интеграл
(а)
00 = J с (х, у) dy
был ограниченным и стремился к 1 при х ~> оо, а
Y
(б) J с (х, ,у) rfy _> О
*) Условием, строго параллельным принятому в § 3.6, было бы „с (х, у) > 0
для _у>К\ Мы принимаем К=0 во избежание малосущественных услож-

3.7] ТЕОРЕМА КНОППА 77
при х —у оо для каждого конечного Y. Мы будем дальше предпола-
предполагать всюду, что эти требования выполнены, и будем называть такое
преобразование нормальным.
Рассмотрим комплексную плоскость w = и -\- iv с единственной
бесконечно удаленной точкой w = со. Для любого множества S то-
точек w (w ф оо) определим замкнутую выпуклую оболочку К мно-
множества S следующим образом. Если S не содержится ни в какой
замкнутой полуплоскости, то К. есть вся плоскость, включая оо. Если
такие полуплоскости существуют, то К есть их общая часть. При
этом мы включаем оо в К, когда S неограниченно, и не включаем,
когда S ограниченно; и в том, и в другом случае К замкнуто. Таким
образом, например, если 5 состоит из одной точки, то К есть эта
точка; если S состоит из двух точек, то К есть соединяющий их прямо-
прямолинейный отрезок; если 5 — вещественная ось, то К — вещественная
ось с присоединенной точкой со; если 5 состоит из вещественной и
мнимой осей, то К есть вся плоскость.
Пусть теперь s (у) — и-\- iv есть комплексная функция веще-
вещественного переменного у, определенная для _у>0 и ограниченная на
любом конечном интервале (О, Y). Обозначим через K(s, y0) замкну-
замкнутую выпуклую оболочку К множества всех значений s(y) для у^-у0,
так что К (s, _ya) содержится в K(s, ух) при y<^yv Наконец, на-
назовем ядром функции s (у) и обозначим через К (s) пересечение всех
K(s, у); аналогично определим ядро К(t) функции t(x), получаю-
получающейся из 5 (у) посредством преобразования C.5.5).
Если s (у) при у -> оо стремится к конечному пределу а, то К (s)
есть точка а. Если s (у) вещественно, то K(s) есть отрезок веществен-
вещественной оси с концами lim s (у) и \ims(y), притом содержащий точку оо,
если lim s (у) — — оо или lim s (у) = оо. Какова бы ни была функ-
функция s(y), K(s), во всяком случае, не пусто, как предел убывающей
последовательности непустых замкнутых множеств1); но оно может,
состоять и из одной только точки оо.
Если К (s) сводится к одной точке оо, то мы говорим, что s (у)
расходится к оо. Если s (у) вещественно, то это означает, что либо
s (у)—>-\- оо, либо s (у) -> — оо. Таким образом, наше определение
дает целесообразное обобщение понятия „собственной расходимости"
на комплексные функции.
Теперь мы можем сформулировать теорему Кноппа.
Теорема 11. Если преобразование C.5.5) нормально и t{x)
существует для х>-0, то K{t) содержится в K(s).
В частности, это верно, с очевидными изменениями определений,
для регулярных и положительных преобразований C.1.3).
J) Комплексная плоскость с присоединенной бесконечно удаленной точ-
точкой— компакт. (Прим. перев.)

78 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. Ш
Мы можем принять, что К (s) не есть вся плоскость, — иначе
нечего было бы доказывать. Тогда нужно доказать, что каждая
точка w, лежащая вне K{s), лежит и вне K{t). Но если точка w
лежит вне K{s), то она лежит и вне K(s, у0) для некоторого у0.
Поэтому дело сводится к доказательству того, что если точка w
лежит вне K(s, y0), то она лежит и вне K{t, xQ) для некото-
некоторого х0. Здесь следует различать два случая.
A) Пусть wzfzoo. Тогда мы можем считать (произведя, если
нужно, параллельный перенос), что w = Q. Так как К(s, y0) замкнуто,
то оно содержит точку w0, наименее удаленную от w = 0 *). При
этом мы можем предполагать (произведя, если нужно, поворот), что
w0 = w0 — w = Ы > 0.
Тогда, в силу выпуклости множества K{s, _y0), у всех его точек, а тем
более у всех точек множеств K{s, у) с у >,у0, абсциссы не меньше Ы.
Следовательно, 9ts(y)~^>3d при у^у0.
Так как, по предположению, s (у) ограничена на каждом конечном
интервале изменения у, то существует такое М, что | s (у) \ < М при
^0. Так как, далее,
г/о со
J с (х, y)dy-+0, J с (х, y)dy-+l
при х ->-оо, то мы можем выбрать х0 так, чтобы
г/о
^ (v u\ rlu *** I г С v \\\ Им ^
J c{x, y)dy < -^-, j c(x, y)dy>'
о г/о
при л:>-х0. Тогда при л:>>л:0 будем иметь
г/о ет
{ J c{x, y)s(y)dy\-\-9t<[jc(x, y)s(y)dy)j
о
>
Но это показывает, что точка w = 0 лежит вне K{t, x0),
B) Пусть теперь w = со. В этом случае K(s, y0) ограничено,
так что s (у) ограничена для у^у0, а потому и для всех у. Таким
образом, | s (у) \ <; N для некоторого iV и, следовательно,
с(х, y)dy,
*) Из выпуклости множества K(s, уй) следует даже, что такая точка
единственная; но это не используется в дальнейших рассуждениях.

3.8] ОДНО ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ 2 79
так что и t(x) ограничена. Тем самым w — оо лежит вне K(t, x0)
при любом х0.
Теорема 11 полностью доказана. В частности, заключаем, что
если t (х) расходится к оо, то и s (у) расходится к оо.
3.8. Одно применение теоремы 2. Любое преобразование C.1.3)
может быть положено в основу определения метода суммирования
рядов: если
tm определено формулой C.1.3) и tm —> s, то мы можем говорить, что
ряд 2 ап суммируем (Т) к сумме s, и писать
*»-**(т), 2>и = * (т).
Если преобразование Т регулярно, то и соответствующий метод сум-
суммирования мы будем называть регулярным; таким образом, регуляр-
регулярный метод — это метод, суммирующий любой сходящийся ряд к его
обыкновенной сумме.
В следующей главе теорема 2 будет использована для доказатель-
доказательства регулярности наиболее употребительных в анализе методов сум-
суммирования. Здесь мы используем ее для доказательства теоремы,
которая нам позже понадобится, но относится к не столь распростра-
распространенным методам.
Если
C.8.1) рп>0, ро>О, 2/>п=со
(так что A»=Po + Pi+ ••• +Р»-^°°) и
/oom t _ Wo4-PlSl+ ¦¦¦+PnSn . „
O.O.Z I,, = 1 ; ; У S
при п —>¦ со, то мы будем писать, что
C.8,3) sn^s (R, pn) *).
Докажем сперва следующую теорему:
Теорема 12. Метод (R, рп) регулярен.
Действительно, здесь
j |? при п < т,
Ст,п = \ Ит
[ 0 при п > т,
2т I cm,n I == JL ст,п = 1
*) Этот метод является незначительным видоизменением метода „нор-
„нормальных средних Рисса", рассматриваемого в § 4.16. {Прим. ред.)

80 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. ИГ
и cm,n->0 для каждого п. Тем самым условия теоремы 2 выпол-
выполнены.
В частности, отсюда вытекает регулярность (С, 1)-метода, соот-
соответствующего случаю рп = 1.
В дальнейшем, во избежание малосущественных усложнений, мы
будем предполагать, что. рп > 0 для всех п.
Теорема 13. Если рп>0 и sn-^-s (R, рп), то
Действительно
В частности, из sn->-s (С, 1) следует sn — s = o(n), а потому
и sn = o(n), an — o(n). Теорема 13 принадлежит к важному классу
теорем, которые мы будем называть „лимитирующими". С каждым
„приличным" методом суммирования связана своя лимитирующая тео-
теорема, утверждающая, что он не может суммировать слишком быстро
расходящиеся ряды *).
Следующая теорема, являющаяся основной теоремой этого пара-
параграфа, устанавливает связь между методами, соответствующими двум
различным последовательностям (рп) и (дп).
Теорема 14. Если рп> 0, qn > 0, 2Ря = °°> 2<7я = °° и
либо (а)
C 8 41 Чп+1 < Рп + 1
v " " ' Чп ^ Рп '
либо (б)
го о с^ Рп+1 / Чп + 1
(ооо) ——<——
Рп Чп
U
C.8.6) ^-<Я-^,
Рп Чп
то из 2 а„ = s (R, рп) следует 2 "п = s (Я Чп)-
Пусть
Тогда
*) Имеются методы суммирования, для которых не существует лимити-
лимитирующей теоремы. {Прим. ред.)

3.8] ОДНО ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ 2 81
так что
\ ' III ' "~/~\ — * Су"Л ~| ' \***^ 1 ^1 *~ (гО' * ' *
Vtn \ Ро Pi.
А-ЛИЦР t р / \\
Рт )
Следовательно, и,м = 2С»".«^»> где
C.8.8)
п_ <
Рп Рп\\) Qm
¦^j— при п — т,
О при п > т.
Так как Qm -> со, то с,п_п->-0 при т->со и фиксированном л.
Беря 5П=1 для всех я, имеем /„, = 1 и «т = 1, так что
C.8.9) Цс,и,„=1
для каждого /и. Таким образом, преобразование C.8.7) удовлетворяет
условиям C.2.4) и C.2.5) теоремы 1 с 8м = 0 и 8=1.
Остается проверить, что оно удовлетворяет также условию C.2.3).
Но в случае (а) имеем <:,„_„>• 0, 2 I ст, п I — 2 ст, п и C.2.3) сле-
следует из C.8.9). В случае же (б) c/HiK-^0 при пфт, но с,И),„ > 0.
Поэтому
т- 1
— У с —
о
; —1
pmQ
о о
так что, принимая во внимание C.8.6), имеем
и условие C.2.3) снова выполнено (с заменой Н на 1Н—1). Таким
образом, преобразование C.8.7) в обоих случаях регулярно, а отсюда
и следует утверждение теоремы.
Грубо говоря, в случае (а) ряд 2<7п расходится медленнее,
чем 2/?»> в слУчае же (б) — быстрее, но не слишком. Если /?и —я">
qn = nV, то первое условие выполняется при а > [3 > — 1, а вто-
рое — при ,3 > а > — 1 .(так как —5- и -^- асимптотически кратны п,
Рп Чп
то условие C.8.6) здесь выполнено). Если рп — 1, qn = 2n, то
Р О
-JL г^ Л) чц -+2, и теорема теряет силу.
О Зак. 2499. Г. Харда

82 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. III
Если ряд 2^п расходится слишком быстро, то метод (R, qn)
становится тривиальным, в том смысле, что суммирует только сходя-
сходящиеся ряды. Более точно это устанавливается следующей теоремой.
Теорема 15. Если ^Д+1 >-1 +¦ 8 > 1, то ряд 2 ип су мм и-
_ Чп
руется (R, qn) только если он сходится.
Действительно, Qmum = qoso-Ir . . . -\-qmsIH> так что
(.3.8. IV) S , — — Jj cm,nun<
Чт -¦"¦
где
yo.o.iij cm,m-lп 1 сш,т п >
а остальные ст>п равны нулю. Очевидно, стп—>0 при т—>со, и
Кроме того, qm^-bQm-i, так что
. | Qm-l ~Ь Qm о Qui-1
Поэтому преобразование C.8.10), переводящее ип в sm, регулярно,
и, следовательно, sm —>¦ s, когда и„ -> 4-.
Таким образом, ряд 1 — 1 —J— 1 — . . ., суммируемый (R, 1), т. е.
(С, 1), не суммируем (R, 2"). Это предложение является хорошей
иллюстрацией к теореме 14. Вот еще один аналогичный пример.
Средние
m ^ Pm \ ° "+" 2' "T • • • "Г т +
для которых /?„ =—XT' эффективнее (С, 1)-средних. Они сумми-
суммируют любой ряд, суммируемый (С, 1), а также такие ряды, как
V 1+ei , для которых (С, 1)-метод теряет силу. Мы вернемся
к этим („логарифмическим") средним в § 4.16.
3.9. Разбавление рядов. Теорема 14 допускает простое применение
к вопросу, названному Чэпменом „разбавлением" рядов. Сходимость или
расходимость ряда не нарушается от вставки между его членами нулей:
если один из рядов а0 + а± + а2 + ... и 0 + 0 + ... + а0 + 0 + ... + а^ +
+ 0+ ... сходится, то и другой также сходится, притом к той же сумме.
Однако такое изменение может нарушить суммируемость расходящегося
ряда или изменить его сумму. Так, ряды
1 — 1 + 1—..., 1 — 1+0+1 — 1+0+1—...
суммируемы (С, 1) соответственно к суммам -=- и -=-.

3.9] РАЗБАВЛЕНИЕ РЯДОВ 83
Рассмотрим, например, связь между (С, 1)-суммируемостью ряз,<« у а„
и рядов
С) 2 *»=»о + яН-О + Ч + аг+О + О + О -} 0 + я3+ ...,
(II) 2 с» = 0 + «о+ «I + 0 + «а I- 0 + 0 -f 0 + tfs + 0 + ...,
в которых ат стоят соответственно на местах с номерами т'г и 2"'.
(Г) Если и8-< « <; (m + IJ) то
Поэтому при УИ2<: /V<(AT -|- 1J имеем
(csyi)
/V
т /v+Г 6ж-
Левая часть равенства C.9.1) стремится к s тогда и только тогда, когда
2 Ьп — s (С, I). Далее, Л^ \- 1 -~ М", так чго первый член правой част
стремится к s тогда и только тогда, когда
2",,-=* (R, 2/1 + 1)
или, что, по теореме 14, равносильно этому, когда 2 я„ = л1 (С, 1). Нако-
Наконец, при выполнении любого из этих предположений относительно рядов
S й'( и 2^»' SM = ° ^^ п0 те0Реме '3- так" что второй член правой части
равенства C.9.1) есть о( М- М ¦ -цЛ = о(\). Отсюда следует, что ряд 2 Ьи
суммируем (С, I) « .s' то2да_ и только тогда, когда ряд 2 "« сумми-
суммируем (С, 1) л: s.
(II) В этом случае аналогичное рассуждение показывает, что из сумми-
суммируемости ряда 2 сп следует суммируемость ряда 2 "га- ^° обратное —
неверно. Предположим, например, что ап — (—¦ 1)", так что ряд 2йпсУммп"
руем к -у. Тогда, как легко проверить,
при 25"'-1<; п <22"' — 1, так что (С, 1)-среднее ряда 2С« ПРИ возраста-
возрастании л вдоль этого отрезка изменяется приблизительно в пределах от ~^-
2
до т.
Естественно задаться вопросом, что можно сказать о соответствующих
абелевских пределах. Мы докажем в § 4.10, что при ап = ( — 1)" ряд (I)
суммируем (А) к -=-. Мы докажем также, что х — ха-\-ха'— ...,гдеа>1,
не стремится к пределу при х->\, так что, в частности, ряд (II) не сумми-
суммируем (А).

84 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. III
Легко непосредственно доказать, что
из ~^anxn'->s следует ~^апхп ->¦ $,
когда ряд ^ апхП сходится при | х | <[ 1; и мы докажем более общие тео-
теоремы этого рода, принадлежащие Картрайту, в Приложении V.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ Ш
§3.2. Автором наиболее важной теоремы — теоремы 2 — по существу
является Toeplitz, PMF, 22 A911), 113—119. Теплиц рассматривал только
„треугольные" преобразования, т. е. преобразования, для которых ст,п = 0
при я> т. Распространение на общие преобразования, не содержащее
никаких принципиальных трудностей, было произведено Штейнгаузом, там
же, 121-134.
Теорему 1 доказал для треугольных преобразований Kojima, TMJ, 12
A917), 291—326, и независимо от него, притом для общих преобразований,
Schur, JM, 151 A921), 79—111. В той же работе Шур доказал также тео-
теорему 3.
Ряд других общих теорем можно найти в книге Dienes, гл. 12.
§ 3.4. По поводу теоремы Дини, в ее обычной форме, и связанных с нею
теорем о равномерной сходимости см. Dini, Grundlagen fur eine Theorie der
Funktionen einer veranderlichen reellen GrOsse, 148—150; Bromwifh, 138—141;
Hardy, PCPS, 19 A918), 148—156.
Мы предполагали в тексте, что ряды для tm сходятся для всех т. При
желании мы могли бы допустить их расходимость для конечного числа зна-
значений т, т. е. предполагать их сходящимися только для т ]> т\. Здесь ми
может быть на первый взгляд mn(s), т. е. зависеть or последовательности (sn);
но из теоремы Agnew, BAMS, 45 A939), 689—730, следует, что если рас-
рассматриваемый ряд при стремлении sn к пределу сходится для т^> mo(s),
то ^ I cm nl^co для m^>mi> 'raK что ?«o(s) можно заменить числом mit
не зависящим от (sn). См. также Rogers, JLMS, 21 A946), 123—128, и приме-
примечание к § 3.6.
§ 3.5 C). Быть может нелишне добавить замечание о необходимых и
достаточных условиях регулярности преобразования C.5.5), хотя рассма-
рассматриваемые далее вопросы, относящиеся, по существу, к поведению функ-
функций с (х, у), s(y) и t (x) на конечных участках изменения х ну, принадле-
принадлежат скорее к теории функций действительного переменного, чем к теории
расходящихся рядов и интегралов. Гораздо более полное рассмотрение их
см. у Agnew в указанной выше работе. Аппарат, используемый в этих рас-
рассмотрениях, можно найти в Hobson 2, гл. 7, и принадлежит отчасти Лебегу,
отчасти самому Гобсону.
В тексте мы предполагаем, что s (v) ограничена для всех у, и доказы-
доказываем достаточность условий
(А) т (дг) =*f\c(x,y)\ dy < Я, (Б) J с. (х, у) dy-*l,
г
(В) Г | с (х, у) | dy -> 0 для каждого конечного У.
о
Так как существование t (x) необходимо только для больших х, то ясно
что условие (А) можно заменить условием
(A') f (х) < Н для достаточно больших х.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. III 85
Можно доказать, что условия (А'), (В) и
у
(В') \c(x,y)dy->0 для каждого конечного У
6
являются необходимыми условиями. Доказательство весьма схоже с про-
проведенным в § 3.3 (в случае о,„ = 0, 6 = 1), но, как указал мне Бозанкэ, тре-
требуется дополнительная лемма, а именно: если
Y
<р(дг, K)= f c(x,y)s(y)dy
о
существует для каждого конечного У и каждой ограниченной функции
s(y), и 'f (х, У) -*¦ 0 рри х->со, то
Y
f\c(x,y)\dy<K(V),
где К(У), для достаточно больших х, зависит только от У. Этот резуль-
результат, сохраняющий силу и при ограничении непрерывными s (у), является
следствием из доказываемого в книге Hobson, 2, 432 и 441—443.
Это, однако, оставляет пробел между условием (В') и более сильным
условием (В)- Этот пробел исчезает при с(лг, _у)!>0; в общем же случае
можно заполнить его следующим образом. Если мы для произвольного
ограниченного измеримого множества Е положительных у положим s(y) = 1
на Е и .s (у) = 0 вне Е, то s(y) ->0; поэтому, если преобразование регу-
регулярно, то
(В") I с (х, у) dy -> 0 для каждого ограниченного измеримого Е.
Е
Это необходимое условие сильнее, чем (В7), но слабее, чем (В), и можно
показать, что в соединении с условиями (А') и (Б) оно также достаточно.
Действительно, по другой теореме Гобсона и Лебега, из условий (А') и (В")
следует, что
Y
(") fc(x,y)s(y)dy-+O
для каждого конечного У и каждой ограниченной s(y), а эго — всё, что
нужно для завершения доказательства достаточности. Упомянутую теорему,
являющуюся одним из частных случаев гобсоновской „общей теоремы схо-
сходимости", см. в книге Hobson, 2, 431.
Таким образом, условия (А'), (Б) и (В") являются необходимыми и
достаточными условиями регулярности преобразования C.5.5), если рас-
рассматривать, как в тексте, только ограниченные s(y). Это доказал Hill, BAMS,
42 A936), 225—228. Поскольку нас интересует в первую очередь поведение
s (у) при у->оо, это ограничение не стеснительно.
Накладывая на s (у) немного более сильные ограничения, мы можем
заменить условие (В") более слабым условием (В'). Предположим, например,
что единственные разрывы функции s (у) — это скачки. Тогда согласно
другому частному случаю гобсоновской теоремы сходимости (Hobson, 2, 432)
из (А') и (В') следует (а), так что условия (А'), (Б) и (В') необходимы и
Достаточны при указанном ограничении, наложенном на s (у).

86 ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ [ГЛ. III
Мы можем также сделать условие (В') одним из системы необходимых
и достаточных условий, накладывая ограничения не на s(y), а на с (х, у).
Если, например, с (х, у) ограничено, то, по еще одной гобсоновской теореме
сходимости (Hobson, 2, 423), из одного (В7) следует (а), и (АО, (Б) и (В')
снова необходимы и достаточны для регулярности. В этом случае s (у) не
обязана быть ограниченной.
Наконец, как также указал мне Бозанкэ, можно освободиться от всех
этих ограничений на s (у) или с (х, у), всё еще используя одну из теорем
Гобсона и Лебега (Hobson, 2, 422—423 и 438—441), присоединяя при этом
к условиям (А'), (Б) и (В') еще четвертое условие, а именно:
(Г) С (х, Y)<^L(Y) для каждого конечного Y и достаточно боль-
больших х, где С (х, У) — существенная верхняя грань \ с (х, у) \ на интер-
интервале (О, Y), т.е. верхняя грань при пренебрежении множествами меры. нуль.
В действительности (А'), (Б), (В') и (Г) являются необходимыми и до-
достаточными условиями того, чтобы t(x)-*-s для любой функции s (у), инте-
интегрируемой на каждом конечном интервале и стремящейся к s при у -> со.
Этот вопрос рассмотрели впервые Silvermann, TAMS, 17 A916), 284—294,
и Kojima, TMJ, 14 A918), 64-79 и 18 A920), 37-45. Кожима доказывает
аналог более общей теоремы 1. И Сильверман и Кожима предполагают s(y)
ограниченной и накладывают на с (х, у) более сильные ограничения, пред-
предполагая ее непрерывной, равномерно относительно х, на любом конечном
интервале @, Y). Это предположение позволяет им заменить условие (В')
значительно более грубым условием
{&"') с {х, у)-> 0 равномерно в каждом конечном интервале @, У),
которое даже сильнее условия (В).
D) Теоремы 7 и 8 в части достаточности их условий являются класси-
классическими и содержатся во всех руководствах: см., например, Bromwich,
58—60; Харди, 381. Необходимость условий этих теорем впервые доказал
Hadamard, AM, 27 A903), 177—183. Разумеется, имеют место соответствующие
теоремы и для интегралов.
Аналогичные теоремы для двойных рядов доказали Hardy, PCPS, 19
A917), 86—95, и Kojima, TMJ, 17 A920), 213—220. Все эти теоремы широко
обобщались в различных направлениях: см. Moore, Convergence factors,
и гл. VI.
§ 3.6. Теорему 10 доказал W. A. Hurwitz, PLMS B), 26 A926), 231—248.
Более сложные условия полной регулярности общего преобразования C.1.3)
нашел Н. Hurwitz, BAMS, 46 A940), 833-837.
Определение полной регулярности следует понимать в смысле, анало-
аналогичном разъясненному для А-метода в § 1.4. Если, например, sn->oo, то ряд
t-ni = 2е»*'»»s» должен, для каждого /и>ото> где m = m§(s) может зависеть
от рассматриваемой последовательности (sn), либо сходиться, либо расхо-
расходиться к оо, и при этом значения tm, если ряд сходится, должны стремиться
к оо при т->со. X. Гурвиц показывает, что тогда сТО)И>0 лля т~>т\ и
n^>N(m), т. е. что в каждой достаточно удаленной строке матрицы пре-
преобразования Т может содержаться не более конечного числа отрицательных
коэффициентов; но это условие (как дополнительное к условиям теоремы 2)
лишь необходимо, но не достаточно. Между прочим, из него следует, что
mo(s) можно заменить числом тъ не зависящим от (sn).
§ 3.7. Knopp, MZ, 31 A930), 97—127 и 276—305.
§ 3.8. Теорема 14 принадлежит Cesaro, Atti d. R. Accad. d. Lincei [Rendi-
conti D), 4 A888), 452—457]. Она была переоткрыта Hardy, QJM, 38A907),
269—288 B71), и приписана Харди в книге Бореля (стр. 115). См. также
Bromwich, 427.
Условие 2^» = со не используется явно в доказательстве и в действи-
действительности вытекает из других условий. В самом деле, если выполнено

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. III 87
условие (а), то ряд 2/V очевидно, расходится по меньшей мере столь же
быстро, как ^ q/t. Пели же выполнены условия (б), то из расходимости
ряда 21п> по известной теореме Абеля *), следует расходимость ряда
7, -Д-- , а это в силу условия C.8.6) влечет расходимость ряда V ^г-
и, значит, ряда ^рп-
§ 3.9. Пусть ряд 2 апхЧ сходится для | х \ ¦< 1 и
тогда из формулы
следует, что
откуда легко вытекает высказанная теорема. Ср. доказательства теорем
и 30 {§ 4.8).
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. II, стр. 338 (Гостехиздат, 1948).

Глава IV
ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
4.1. Методы Вороного. Главной целью этой главы является
перечисление некоторых наиболее зарекомендовавших себя в ана-
анализе методов суммирования и установление их регулярности
с помощью теоремы 2; однако к этому добавлено довольно много
дополнительного материала. Некоторые из важнейших методов,
например методы Чезаро, будут значительно подробнее рассмотрены
в следующих главах, и их мы коснемся здесь лишь вкратце.
(С, 1)-метод § 1.3 является простейшим из класса методов, впер-
впервые рассмотренного Г. Ф. Вороным.
Предполагая, что
D.1.1) />„>(), Ро>0*), Pn^Po + Pi+.-.+Pn,
положим
PmSp -f- Pin-lsl + ¦ ¦ • + /Vm
D.1.2) tm =
Если tm-+s при т->оо и sn = aQ~\-ax-\-.. . ~\-aiv то мы будем
писать
D.1.3) sn^s, 2an = s (W, pn).
Если pre—1 для всех «, то ^m есть (С, 1)-среднее для sn; если
п _(n + k-\^_ г(я-
где k > 0, то tm есть (С, &)-среднее **). Обычно, как в только что
указанных случаях, ряд 2/*» будет расходящимся; однако это
несущественно. Так, если ро=р1=]) а все остальные рп равны
нулю, то
т ==
и мы получаем средние s™, рассмотренные на стр. 37.
*) Последнее условие удобно, хотя и несущественно. Если, например,
Po = 0»Pi>0>to можно положить pn = qn-\, tm==ttm-i, и ит б
(W, дп)-срецккм для sre с ?>0
••) См. § 5.5.

4.2] РЕГУЛЯРНОСТЬ И СОВМЕСТНОСТЬ МЕТОДОВ ВОРОНОГО 89
4.2. Регулярность и совместность методов Вороного. Начнем
с определения условий регулярности средних D.1.2).
Теорема 16. Условие
D.2.1) 7г--*0
"/I
необходимо и достаточно для регулярности (W, рп)-метода.
Действительно, полагая tm='^icminsn, имеем
(Pmzn. При Я</И,
Ст, п — { т
{ 0 при п > т,
так что с,Н)„, >-0 и 2 I с»»,л i=== 2с»»,и—~ *• Таким образом, первое
и третье условия теоремы 2 всегда выполнены. Второе требует,
чтобы cwlj/l->0 при фиксированном /г и /и—>оо. Полагая, в частно-
частности, и = 0, получаем ~- -* 0, так что условие D.2.1) необходимо;
а так как ст п^СРр"~" , то оно также достаточно.
Мы будем говорить, что методы Р и Q совместны, если из
sn-+s (Р) и $а-+s' (Q) следует a' = s, т. е. если они не могут
суммировать один и тот же ряд к различным суммам *).
Теорема 17. Всякие два регулярных метода Вороного
(W, рп) и (W, qn) совместны: если slt-> s (W, рп) и sn-+s' (W, qn),
mo s' = s.
Действительно, положим rn = poqn-\-p1qn_1 -\- .. . -\-p,tq0. Тогда
__ Pn (<losm + ... + qmso) + • • • + Pm-i (gpSi 4- qjSy) +pmqosn __
(+ ¦¦¦ +qm)+ ¦¦¦ +( + )+
P0Qm № Jg}
где
Pm—nQn
Ti»,n= 2>p»i-Q>
при n <; m.
при я > от.
*) Это — значительно более слабое утверждение, чем требование равно-
равносильности (§ 4,3),

90 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
Здесь' чт<п > 0, 2 I Ъ», п I = 2 Ъп, ,ь = ! и
„ /Pm — nQn __ Рт — п vti > q
при т—>-оо, так что средние с коэффициентами fm.n регулярны.
Поэтому из sn-> s' (W, qn) следует sra->s' (W, rn). Аналогично,
из sn -*• s (W, р„) следует sn -> s (W, rra). А это и показывает,
что при выполнении обоих предположений s и sr должны совпадать.
Приведем еще одно интересное доказательство той же теоремы, вклю-
включающее важный принцип. Оно основывается на следующем предложении.
Теорема 18. Если метод (W, рп) регулярен и 2 ап = s (W. рп), то
ряд 2 о.пхп имеет положительный радиус сходимости и определяет
аналитическую функцию а (х), регулярную при 0<!л:<Ч и стремящуюся
к s, когда х->\ по вещественным значениям, меньшим чем 1.
Положим
/>(*) = 2/>••*". *>(*) = 2 л»*». 71(*) = 2/Vn*w.
где tn определено формулой D.1.2) с sn = ай-\-at-\-...-{-ап. Так как
^-->0, т. е. —^~>\, то ряд Р (х) сходится для |л:|<1, так что ряд р (х)
также сходится и притом к A — х)Р(х). Далее, так как tn ограничены,
то Т{х) также сходится для |лг|<1. Наконец, так какро>О hjjb>0, to
/>(*)>() и Я(л:)>0 при 0<л:<1.
Функция ' ' регулярна в начале и потому разлагается в степенной ряд
°> (х) = 2 фпхП> сходящийся для малых х. Так как Т (х) = р (х) ш (х), то
для всех п. Но, с другой стороны,
Pntn = PoSn + PlSn _! + . . . + pnS0
для всех п. Следовательно, <оп = sn. Поэтому 2 snxn и 2 апхП регулярны
в начале. При этом
Т(х)
n~ — Ki ' p (x) P(X)'
и так как Т(х) и р(х) регулярны для |л:|<1, то а(х) регулярна для
\х\<^\, за исключением возможных полюсов, ни один из которых, однако,
не лежит на отрезке @, 1).
Наконец,
Р(х)
Р хп
где сп (х) — " . . Это — преобразование, переводящее tn в а (х) и, очевидно,
удовлетворяющее условиям теоремы 5*). Поэтому из tm->s следует a (x)->s,
что и завершает доказательство теоремы 18.
*) Применительно к случаю 0<д:<1, лг-> 1: см. замечание на стр. 70
после доказательства теоремы 5. В дальнейшем такого рода вариации этой
теоремы мы будем принимать без оговорок.

4.3]
ВКЛЮЧЕНИЕ
91
Теорема 17 является ее следствием, поскольку сумма ряда 2 ап
она существует, не зависит от частного выбора значений р)ь.
Теорему 18 можно рассматривать как .теорему Абеля" для регулярного
метода Вороного. Мы не можем сказать, что из 2 ап = s (W, рп) следует
sn->s (А), поскольку ряд ~^а1ьх'1' обычно не сходится для 0 <^х <^1; однако
абелевский предел существует в обобщенном смысле. Мы можем также рас-
рассматривать теорему 18 как „лимитирующую теорему", поскольку из нее сле-
следует, что ап = О (ееа) для некоторого с.
4.3. Включение. Рассмотрим теперь вопросы о включении и равно-
равносильности. Мы говорим, что метод Q включает метод Р, если из
sn->s (P) следует sn-*s (Q), и что эти методы равносильны, если
каждый из них включает другой. Если метод Q включает метод Р,
но не равносилен ему, то мы будем говорить, что Q сильнее чем Р.
Здесь мы займемся тем случаем, когда Р есть (W, pn), a Q есть (W, qn).
Если методы (W, рп) и (W, qn) регулярны, то ряды
D.3.1)
/>(*) = 2/>»*», />(*) = 2 Л
q(x) = 2 Я**», Q (*) = 2 Qn
• (*)
p(x) Pi
сходятся для I a: I < 1. Тогда ряды
D.3.2) k(x) =
D.3.3) l(x) =
сходятся для малых х, и
D.3.4) ftoP»+---+*«Po = ?».
D.3.5) loqn + . . . + /n^0 = pn, l0Qn
Теорема 19. Если методы (W, pn) и (W, q^) регулярны, то
для того, чтобы (W, qn) включал (W, pn), необходимо и доста-
достаточно, чтобы
nQo =
D.3.6) \k
где Н не зависит от п, и чтобы
D.3.7) ^_>0.
Если Рп—> со, то последнее условие можно опустить.
Действительно, положим s (х) = 2 Sn*"- Тогда

92 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
для малых х, и аналогично "^PnW,^ (s) = p(x)s(x). Поэтому
Sn WA® fo\ ^ Ь v" ^У1 Р \Yj(P} fc\ vn
Qnw'nq) (s) = knPaW(op)(s) + kn_xPx^(s) + ... -f k0PnW%] (s).
Таким образом,
где
kn ~rP'r
Cn.r-
V»
ПрИ
О при г > га.
Следовательно, первое условие теоремы 2 принимает здесь вид D.3.6).
Третье автоматически выполнено в силу второго из соотношений D.3.4).
Наконец, в силу теоремы 16 Qn-r'—Qn ПРИ п ~у °° Для каждого
k
фиксированного г, и второе условие сводится к ^—-»0, что совпа-
Qn-r
дает с D.3.7).
Если Рн—> оо, то при любом заданном О мы можем выбрать г
так, чтобы /-V > О. Если выполнено также D.3.6), то
O\kn_r\<HQn, uSl?^<.gHrn 0-="
vn-r W Чп-r u
и D.3.7) следует из D.3.6). Таким образом, условие D.3.7) при
2/?и==со можно отбросить.
Если рп = 1, Яя = п + I, то
и условие D.3.6) принимает вид
(« + 1) ?о + я I Л — ?о I + ¦ • • + I Чп— Чп-i I < HQn,
что, очевидно, выполняется, если qn возрастает вместе с п. Тем самым имеет
место
Теорема 20. Если (W, <?"„,) — регулярный метод Вороного с возра-
возрастающими qn, то из sn->s (С, I) следует sn->s (W, qn).
4.4. Равносильность. Докажем теперь следующее предложение:
Теорема 21. Для того чтобы два регулярных метода Воро-
Вороного (W, рп) и (W, qn) были равносильны, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
D.4.1) 2!?и!
A) Условия необходимы. Так как р0 > 0 и q0 > 0, то k0 > 0
и /0 > 0. Так как метод {W, <^) включает метод (W, />н), то из тео*

4.5] ЕЩЕ ОДНА 'ГЦОРЕМА О ВКЛЮЧЕНИИ 93
р
ремы 19 следует, что кцРп < HQn. Тем самым у~ ограничено, и
Qn
аналогично ~" ограничено.
По теореме 19,
oI +1 > I % Ь +1 ,! % < #
"и "я "и
для г^Сп. Фиксируя г и беря я —>¦ со, получаем, что
Следовательно, 2 I ^п I ^ °°> и аналогично 2 К»
B)
Далее,
B) Условия достаточны. Если 2 I ^и I < °°> т0 ^п ~» 0 и -^ -»¦ 0.
Таким образом, из условий D.4.1) следуют условия теоремы 19
с Н = 2 I kn I 2 ! '»!> и метод (W, ^„) включает метод (W, />,„). Ана-
Аналогично, (W, рп) включает (W, qn).
Ясно, что условия D.4.1) не могуг выполняться, егли функции р (х) и q (х)
рациональны и одна из них имеет внутри или на границе единичного круга
нуль, не являющийся нулем другой. Если, например, рн — 'In + 1, qn =n {- I,
ю
таи что 2 I *н I — со- Далее.
I А'О | р„ + ... + ; *„ | Л, - я0 + ... + ра
есть величина порядка пя, так что условие D.3.6) теоремы 19 не выполнено,
и (W, (/„) не включает (W, рп). Мы вернемся к этому примеру в § 5.1G.
4.5. Еще одна теорема о включении. Применим теперь теорему 19
к доказательству более специального признака включения. Нас будут
здесь прежде всего интересовать случаи, когда Рп медленно стремится
к бесконечности, а рп есть убывающая функция от п.
Мы воспользуемся следующим вспомогательным предложением,
представляющим и самостоятельной интерес.
Теорема 22. Если ряд р (х) = ^рпхп сходится для \ х \ < 1, и
D.5.1) />0=1, р„>0, ?ti±>-?L_ (я>0),
Рп Pn~i

94 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
то
D.5.2)
где сп^0, 2СИ^1- При этом если 2 Рге = °°, по ^сп=\.
Из условий теоремы следует, что "+1- с возрастанием п воз-
Рп
растает и стремится к пределу, который не может превышать 1.
Поэтому рп с возрастанием п убывает. Пусть, для малых х,
Тогда fo=l, и нужно только доказать, чтосге = —Тп^*0 для
остальные утверждения теоремы будут следовать отсюда, поскольку,
р(х) >0 при 0<дг< 1.
При п > 0 имеем
D.5.3) Wre+---+Y»/>o = O,
Отсюда вытекает, что
так что
где
_ Ря41 Рп-т Рп~т+1 Рп-т (Рп+\ Pn^-m+l
"•я~ р« >о " ро" "~ >о 1т; р^~
Ксли, таким образом, ^и Тэ> • ••> Ти имеют одинаковые знаки, то и
Хм+1 имеет тот же знак. Но fi = — ^^ ==—/?,< О, следовательно,
Ч»<° Ддя я= 1, 2, ...
В качестве побочного результата получаем, что ряд 2 ЧпхП в дей"
ствительности абсолютно сходится для | х \ -^ 1.
Теперь может быть доказана
Теорема 23. Если (I) (W, рп) и (W, qn)—регулярные методы
Вороного; (II) числа рп удовлетворяют условиям D.5.1); (III) qn > О
) Jn^)t mo (W, ?я) 6,^«w/« (W, рп).
Fп1 Уи—1
Предположим сначала, что «0 = 0, т. е. что неравенство (IV) вы-
выполнено для всех п > 0. Так как
то ko =

4.5] ЕЩЕ ОДНА ТЕОРЕМА О ВКЛЮЧЕНИИ 95
для всех п > 0. Поэтому
кп __ 1 „ Чп-1 , Чи ^ \ __ г Рп-1 ¦ „ Рй _0
Чп Х Чп пЧп^ 1 Рп Рп
и /г„^0 для всех п. Теперь сразу проверяется выполнение условий
теоремы 19. Выполнение первого условия явствует из равенства
I ^> I Рп +••• + ! КI ро = КРп Л- .--Л ь,гР0 - Qn,
а второго — из неравенства
КРо < koPn Л- ¦ • • + knPo ^ '/п.
откуда kn= О (qn) = о (Qn), no теореме 16. Это показывает нашу
георему в частном случае и,, = 0.
В общем случае имеем
"~"о г1» "oi ^.•••)-
/' /j - 1 Чп -1
[ 1оложим
и увеличим pi^—i, если нужно, аи такого значения /*»„_ ь чтобы
:>,:ne.\i /^(|._.а —-/ш чакого значения Гцл.->, чтобы
и т. п. но /ju и r0. Toi ла будем .иметь
rji ^ Jj>_+±, '_'п_ ^ Чп
лля всех а > 0, и рв = -^ будет удовлетворять условиям
р = 1 р > о, ^У- > -i ? J
п ' Pn-i Рп-1 ^Чп-i
Мз ранее доказанного следует, что (W, qn) включает (W, рп) или,
что то же, что (W, qn) включает (W, гп).
Поэтому достаточно доказать, что (W, /¦„) включает (W, рп).
Положим
Гп^Рп + Ьп (Я = 0, 1,..., «0 —1),
так что

96 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ - [ГЛ. IV
По теореме 22,
где 2 I Т» I -^ 1 + S ся <С 2. Таким образом, полагая
k (х) = ^Щ = Y knx»,
v ' р (х) «*4 ™ '
имеем
со п^ — 1 со
о
и тем самым
Поэтому, во-первых, kn = о A) = о (/?„), а во-вторых,
Это — не что иное, как условия теоремы 19 с заменой г на q. Сле-
Следовательно, (W, г„) включает (W, рп).
4.6. Метод Эйлера. В § 1.3D) мы условились под записью
2 an = i' (Е, 1) понимать утверждение, что V " 1 = s, где
Здесь
то
V
11 = 0
и мы можем выразить /ш через sn следующим образом. Обозначая через Е
оператор, определенный формулой Еип = ии+1) имеем bn == A -|- Е)па0, и
2
« = о
Но
1 A+1)
m + l.
2т
m+I 1 у /да + 1 \ 1-х" _
= 2^+Т Zd\ n ) 1-х ~~

4.7] МЕТОДЫ АБЕЛЯ 97
и так как это — тождественное соотношение между многочленами,
то оно остается верным и по замене х на Е. Таким образом,
то + 1
п
те + 1
п = 1
Тем самым tm = 2 cTO>nsn, где
(^ 0 при и > от,
1
^j , ^j 2+1 '
(т. Л- l)n+1
и Cjn.n"^ —ИГ\ у® ПРИ т~>со- Таким образом, условия тео-
теоремы 2 выполнены, и, следовательно, справедлива
Теорема 24. (Е, \)-метод регулярен,
4.7. Методы Абеля. Если
D.7.1) О <Х0<Х1<Х2 <..., Хп-> со,
ряд 2аие~ пХ сходится для всех положительных х и
D.7.2) /W = Sv"^-*«
при х->-0, то мы говорим, что ряд 2ап суммируем (А, Х„), или
(А, X), к сумме s, и пишем
D.7.3) 2«« = s (A, X).
В том частном случае, когда \п — п, (А, X.)-метод совпадает
с А-методом § 1.3 B). Вместо (А, пк) мы будем иногда писать (A, k).
Для удобства будем рассматривать более общий метод суммиро-
суммирования. Пусть (<рп (л:)) — последовательность функций, определенных
на интервале 0 < х ^ X и таких, что
D.7.4) ?„(х)-+1
при х -»¦ 0 для каждого и. Если ряд
D.7.5) ?(*)= 2 *„?«(*)
сходится на некотором интервале 0 <_ х ^.Х1^.Х, и ср (#) -* s при
х -> 0, то мы будем говорить, что ряд 2 ап суммируем (<р) к сумме s.
7 Зшс. 2499. Г. Харди.

98 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
Теорема 25, Для регулярности <э-метода необходимо и
достаточно, чтобы на некотором интервале О < х ^ \
D-7.6) 2l?«(*) —?n+i(*)|<W,
где Н не зависит от х. В частности, это условие выполнено,
если
D-7.7) 0 <<рп+1 (*)<?«(*).
A) Условие достаточно. Из соотношения D.7.4) следует, что
ToWK^i на некотором интервале @, ?], а из условия D.7.6)—что
I ?«(*) КI % (?) I +21 ?v+i (*) - тд*) I < я+^
о
на некотором интервале (О, S,]. Таким образом, система (<р„) равно-
равномерно ограничена на интервале указанного вида.
Предположим сначала, что sn —*¦ 0. Тогда
D.7.8) | вя?я =*±\п (?я - ?п
о о
Последний член стремится к нулю, так что
D.7.9) ? W = 2*„{?„ W —?n+i(*)} = 2 *»(*)*«¦
Из условия D.7.4) следует, что сп (х) -> О при х -> 0 для каждого й,
а из условия D.7.6) — что 2 I сп (х) 1 < Н- Поэтому <р(д:)->0*).
При sn -> s полагаем ао == а0 — s и «4 = а„ для и > 0. Тогда
<,^0и
<|* (х) = 2 а^ср„ (л;) = ср (л:) — s<p0 W -»• О
при х -> 0. Поэтому в силу соотношения D.7.4) <р (л:) -> s.
B) Условие необходимо. Достаточно доказать, что оно выпол-
выполнено, если из sM->0 всегда следует <р (л:) -*¦ 0. Рассмотрим сначала
фиксированное малое значение л:. Так как ряд 2 ^пТи ПРИ sn ~+s
сходится, то из теоремы 7 следует, что 2 I Чп—Tn+i I < °° Для ка"
ждого такого х. Поэтому последовательность (<рп (х)) для указанного х
ограничена и мы можем вывести равенство D.7.9) как в случае A).
Тогда из теоремы 5 следует, что 2 I сп (•*•) I < Н дЛЯ малых х, а это
есть условие D.7.6).
*) Мы опираемся здесь на аналог теоремы 4, упомянутый на стр. 70, но
явно не сформулированный. Мы не можем опираться на теорему 5, поскольку
^сп{х) не обязательно стремится к 1,

4.8] ТЕОРЕМА О ВКЛЮЧЕНИИ ДЛЯ АБЕЛЕВСКИХ СРЕДНИХ 99
Наконец, если функции оп удовлетворяют условию D.7.7), то
2 I <Рп — <Рп+1 I = 2 (<Рп — <?n + l) = 4>о — »m <Р» < ?0 < Н1>
поскольку ср0 ограничена на некотором интервале (О, ?].
Можно, очевидно, сформулировать вариант этой теоремы, заме.
нив х целочисленным параметром т, стремящимся к бесконечности
Добавим замечание о том частном случае, когда <р» есть положительная
убывающая функция от п. Для этого случая имеет место простая, но полез-
полезная теорема, которая нам позже понадобится; доказать ее удобно здесь.
Теорема 26. Если Ьп неограниченно возрастает вместе спи ряд S ип
сходится, то
D.7.10) Vn = f0 + f! + ...+vn = bouo + Ъхщ + • • • + bnun = о (&„).
В самом деле, положим wn = ип-\- ип+х-\- ... , так что wn-*Q. Имеем
п п
Vn = ^bm (Wm — Wm+1) = b0W0 + 2 (*»« ~ bm-l) w.m ~ bnWn+l,
0 1
т. e. Vn— Tnbn + o(bn), где, по теореме 12,
™ bn i bi — bn . . bn -— bn — i
Из теоремы 26 следует, что разложение D.7.9) имеет место, когда <р„
убывая, стремится при я-»-ос к нулю, а ряд 2 Дп'-Рп сходится. Действи-
Действительно, полагая в теореме 26
Ьп = — ип — апуп, vn = ап = Ьпип,
видим, что sn<pn->-0, так что D.7.9) следует из D.7.8).
Условия теоремы 25, очевидно, выполнены для функций <рп(#) =
= е~1пх. Отсюда
Теорема 27. (А, К)-метод регулярен. В частности, А-метод
регулярен.
Для абелевских средних не существует общей теоремы, соответ-
соответствующей теореме 17: различные методы вполне могут суммировать
один и тот же ряд к различным суммам. Так, ряд 1 — 1 -\-1 —
— 1 -|- .. . суммируем (А) к сумме -н-, и вместе с тем сумми-
суммируем (А, X), где (Хп) — последовательность О, 1, 3, 4, 6, 7, ...,
к сумме -7г ; см. § 3.9.
О
4.8. Теорема о включении для абелевских средних. В этом
параграфе мы докажем теорему о включении для двух систем абе-
абелевских средних. Другие теоремы включения для этих средних будут
доказаны в Приложении V. Как и следует ожидать после заключитель-
заключительного замечания § 4.7, все эти теоремы имеют весьма частный характер.
7*

100 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
Теорема 28. Если
(I) AO>1, (i.M = logXn,
(II) 2«« = * (А, X),
(III) ряд 2 <*пе~ V = 2 ane~ylog>-n = 2 а»х« * сходится при ,у>0,
/ио 2fln = s (А> нО-
Нам потребуются две предварительные теоремы (первая из кото-
которых важна и сама по себе).
Теорема 29. Пусть fo(x),f1(x),f2(x),...—последователь-
fo(x),f1(x),f2(x),...—последовательность функций, определенных на некотором интерва'ле измене-
изменения х; пусть
D.8.1)
D.8.2) 21/»(*)—/«+iM К*.
где Н и К не зависят от х; и пусть ряд 2^п сходится. Тогда
ряд 2 t>nfn (x) равномерно сходится.
В частности, теорема применима, когда fn (х) монотонно изме-
изменяются вместе сии равномерно ограничены, так как тогда
Из доказательства будет видно, что в формулировке теоремы
интервал можно заменить любым множеством вещественных или ком-
комплексных X.
Заметим сперва, что в силу условия D.8.2) ряд 2 (fn—/w+i)
сходится для каждого рассматриваемого х, так что /п (л:) стремится
к некоторой функции / (х) при и -> оо. Кроме того,
га—1
D.8.3) |/«|<|/о| + 2|Л—Л+ih
о
Пусть 2 Ьп = В. Положим
и условимся считать, что ?f—1 = 0, C_1 = — В. Тогда Ри->-0, и мы
можем выбрать No так, чтобы |{3„|<е для n^N0—1. Далее,
N' N'
D.8.4) 2бп/п = 2(Р„-р„~1)/» =
«= - PAf-l/» + 2 Р» (fn -/•+!) + Р»'/»/

4.8] ТЕОРЕМА О ВКЛЮЧЕНИИ ДЛЯ АБЕЛЕВСКИХ СРЕДНИХ 101
(A/'>iV>0). Из D.8.2) —D.8.4) следует, что
| 2 KfnI < 2s (Я + К) + гК = BЯ+ ЗЯ) в
w
для N'^ N^NQ и каждого л; это и доказывает теорему.
Беря в формуле D.8.4) N=0 и Л/'-*оо, получаем
D.8.5) 2 *«/» = Д/о + S Р» (/» -Л+i) =
= Д/о + 2 (Вп - В) (fn-fn+1).
Так как /0 =/+ 2 (/»~~/n+i)> T0 имеет место также более простая
формула
D.8.6) 26n/»2
Но ряд, стоящий в правой ее части, обычно — не равномерно сходящийся,
Пусть, например,
/„=1, /„ = .*» (я>0, 0<дг<1),
так что/ = 0 для х<^\ и/=1 длялг=1; пусть, далее, Ьй = 1 и 6„ = 0
для я]>0. Тогда Ви = 1, рп = 0 для п>0и D.8.6) принимает вид
Последний ряд не сходится равномерно и не имеет непрерывной суммы, по-
поскольку сумма его равна 1 для лг<1 (когда /=0) и 0 для х = \ (когда
/=1).
Очевидно, условия теоремы выполнены, когда
/„ (*) = е~1пх (х>0) или е-^"-
Если ряд 2 Ьп сходится, то ряд 2 &пе~ пХ равномерно сходится для
X ^ 0; если же последний ряд сходится для х > 0, то он равно-
равномерно сходится на любом бесконечном интервале х ^ х0 > 0.
Наша вторая предварительная теорема такова:
Теорема 30. Пусть Хо>1, »(w) = 2апе~1пго и ряд ^а„к^у
сходится для у > 0. Тогда
D.8.7) ф ДО
В самом деле, Х^е x»w при фиксированных w и _у, начиная с не-
некоторого я, убывает, Так что ряд

102 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
сходится для w > 0. Поэтому он равномерно сходится на любом
интервале 0<со^да^№г<со, и
w w
D.8.8) J wv~\ (w) dw = '?an§ wv~le~xnw dw.
Мы хотим заменить здесь со и IF на 0 и со. Для этого достаточно
доказать, что ряды
I" СО
D.8.9) 2 «„ J* vf~le~xnndw, 2 а»
о
сходящиеся и их суммы стремятся к нулю, когда со —¦> 0 и W ->• оо.
Первый из рядов D.8.9) можно представить в виде
V V
? f V V " rf« = ? ^ Х„ (со)
Здесь ряд 2^п сходится по предположению, а функции х„ (со) поло-
положительны, возрастают вместе с п и равномерно ограничены для всех и
и со. Из теоремы 29 следует, что ряд 2^пЪ»(ш) сходится равномерно
относительно со, и потому сумма его стремится к нулю, когда со ->• 0.
Доказательство того, что сумма второго из рядов D.8.9) при W-+ оо
стремится к нулю, — аналогично.
Теперь уже легко доказать теорему 28. Мы можем считать, что
s = 0, так что <р (w) -» 0 при w -*¦ 0. Имеем
Ь оо
Так как cs (w) -> 0, то мы можем выбрать 8 "так, чтобы | <р (да) | < s
при О <С ад -^ 8, и тогда
8
~1
\Р\< —— Г wv~1 dw— sbV <Г 2e
1 ^rty)Jffl У?{У)<
о
для достаточно малых у. Далее, ряд ^апе~{Хп~хй)ю равномерно схо-
сходится для w > S, так что | <р («>) |< He~Kw, где Н не зависит от w.
Поэтому
при _у -> 0, и | ф (у) |< Зе для достаточно малых у.

4,9]
КОМПЛЕКСНЫЕ МЕТОДЫ
103
Легко указать примеры рядов, суммируемых (A, log л), но не
суммируемых (А); так, мы увидим, что V г+с{ , где с > О, есть
такой ряд *).
4.9. Комплексные методы. Часто в приложениях важно рассма-
рассматривать предел ряда 2 ane~x>i!>, когда z —> 0 вдоль некоторого пути
, где
2 nу
в комплексной плоскости, обычно вдоль луча, образующего острый
угол с положительной вещественной полуосью.
Если z = x-\-iy, ряд 2ane~XreS сходится для л:>0 и
D.9.1) /(*) = 2«ne-V_*s
при г—>0 вдоль любого пути, заключенного в угле \у |
О < а < у тс, то мы будем писать
D.9.2) 2arc = s (A, X, а),
Этот метод также регулярен.
Теорема 31. Если, ряд 2ам сходится к s, то
мри г-> 0 равномерно в угле \y\-<Cxtga.
Мы можем считать, что s — 0. Если х > 0, то
/(*) = 2 «»е"V = 2*» (e
или f{z)=^cn{z)sn, где
Далее,
с„ (г) == е~ V—
V
ij
i
—XfC
Поэтому, выбирая N= N(s) так, чтобы | sn | < е для
sec
, имеем
2 с„
s sec
2
при N' >> Л/, так что ряд 2 сп B) sn равномерно сходится. Так как
сп {г) ->¦ 0 при z -> 0, то / (z) -у 0 равномерно в указанном угле.
Мы дали здесь прямое доказательство теоремы; ее можно было бы
также вывести из соответствующих вариаций теоремы 5 или теоремы 29.
*) См. § 7.9. Говоря о суммируемости (A, log и), мы предполагаем, что
наш ряд начинается с члена с коэффициентом а^, так что Хо заменяется
на Xt.

104 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
4.10. Суммируемость ряда 1 —1 + 1 — 1+ ••• отдельными мето-
методами Абеля. Ряд 1 —1 + 1 — 1+ ... суммируем (А) и-^ . Поучительно
рассмотреть его суммируемость другими методами Абеля.
Из теории эллиптических функций известно, что
D.10.1) 1 — 1q + 2q* + 2?» + ... = Ц{A — q2n+1J(l — ?г"+2)}
для \q\<^l, причем произведение в правой части, очевидно, стремится
к нулю, когда д->1 по вещественным значениям. Отсюда (записывая q
в виде е~х) заключаем, что
1 — е-х + е-^ — e-to+ ... -* — ,
так что ряд 1 —1 + 1 — 1+ ... суммируем (А, л2) к -~-. Он также сумми-
суммируем (А, лй) для любого положительного k (ср. Приложение V),
С другой стороны, если а >• 1, то
D.10.2) F (х) = х — ха + ха' — ха" + ...
при х-+\ не стремится ни к какому пределу. Чтобы убедиться в этом
заметим, что F(x) удовлетворяет функциональному уравнению
другим решением которого служит
Поэтому \f (х) = F(*)— Ф (х) удовлетворяет уравнению \f (х) = — W (ха)
и, следовательно, является периодической функцией от log log— с перио-
периодом 2bloga. Будучи, очевидно, не постоянной, она колеблется между конеч-
конечными границами, когда дг-*1, log >0, log log *¦ — со. Но при этом
X X
Ф(д;)->-д . Поэтому колеблется F{x).
Отсюда следует, что ряд 1 —1 + 1 — 1+ ••• не суммируем (А, V) при
4.11. Методы Линделёфа и Миттаг-Леффлера. Один из (А, X)-ме-
X)-методов особенно важен в теории аналитического продолжения, а именно
метод, для которого
D.11.1) Х0 = 0. \n = n\ogn (л>1).
Если при этом 2 апе~ХпХ -+ s> то мы будем писать 2 ап — s (L).
Степенной ряд 2 anz1l> сходящийся для малых z, определяет ана-
аналитическую функцию f(z), с ветвью, регулярной в начале. В даль-
дальнейшем через f(z) мы будем обозначать эту ветвь функции, унифор-
мизированную посредством надлежащей системы разрезов в плоскости z.
„Звездой Миттаг-Леффлера" функции f (z) называется область, полу-
получающаяся из комплексной плоскости следующим образом: из начала

4.11] МЕТОДЫ ЛИНДЕЛЁФА И МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА 105
проводятся лучи ко всем особым точкам функции f(z) и по части
каждого луча, расположенной за особой точкой, делается разрез. Так,
звездой функции V гп •= 1 _ служит плоскость г, разрезанная
вдоль луча [1, со). Важность L-метода определяется тем обстоятель-
обстоятельством, что он суммирует ряд ^anzn в0 всей звезде функции f(z).
Позже (в § 8.10) мы увидим, как эта общая теорема сводится к тому
ее частному случаю, когда / (z) = -т-— ; здесь же мы рассмотрим
1 —— 2
только этот частный случай. Нам будет удобнее вместо х писать 8.
Теорема 32. Если Хп определены формулами D.11.1), то
D.11.2) 2e-«W_>_J_
при 8 -*¦ 0, равномерно на каждой замкнутой ограниченной об-
области D, не пересекающейся с лучом [1, оо).
Обозначим через Д (yj, R) область в плоскости z = rew, опреде-
определенную условиями
D.11.3) 0<т]<6<2тг— -л, г<Я.
Так как соотношение D.11.2), очевидно, справедливо в любом круге
г<С1—С<1, то достаточно показать, что
D.11.4) at^
равномерно в области Л.
Пусть С—контур на плоскости u=peb<f, составленный из дуги
окружности p = -7j-' М^®о<2~ и паРы лУчей Р>~2> \91=^0'
Будем предполагать, на что мы, очевидно, имеем право, <?о и ^о вы"
бранными так, что
D.11.5) sin?0>i, tg<Po>i^, 80?0<Л>
и рассмотрим интеграл
D.11.6) /, (z)
взятый по контуру С, причем
г« _ gttlog«j lOg z — |0g r _j_ jO; log u — log p -|- Щ
и С проходится так, что начало остается справа. Так как
_ |ехр{ —8
— ехр (—8р log p cos ср -|- Spcp sin ср),

106 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
то из теоремы Коши следует, что /8 (г) = gb B) для 8 > 0 и всех г
из Д *). Докажем теперь, что h(z) равномерно сходится для О;88
и всех г из Д.
На верхнем луче контура С имеем
= exp (— 815 log p cos <p0 -j- 8p<p0 sin tp0),
12U | = | exp {p (cos <p0 -\-i sin <a0) flog r-\- Щ) \ =
= exp (p log r cos ф0 — p9 sin cp0) <[ exp (p log R cos o0 — prj sin cp0),
1 . 1
*• J e—2itpsiH90 ^ _jc '
1-е a
Из этих неравенств и условий D.11.5) следует, что подинтегральная
функция в D.11.6) мажорируется постоянным кратным выражения
ехр (р log R cos «ft, j P7! s'n'
и эта часть интеграла равномерно сходится.
Доказательство для нижнего луча аналогично **).
Так как подинтегральное выражение равномерно непрерывно отно-
относительно 8 и 2 на любом конечном отрезке контура, а /5 {г) регуля-
регулярен в Д для 8 > 0, то заключаем, что
с
равномерно в Д и что интеграл в правой части есть аналитическая
функция от z, регулярная в Д. Но он равен g (г), когда — 1 < z < 0.
Следовательно, он совпадает с g B) во всей области Д, и теорема
доказана.
Имеются другие методы суммирования, не принадлежащие к числу
(А, X)-методов, но по типу аналогичные L-методу, которые обладают
тем же свойством. Наиболее важным из них является метод Миттаг-
Леффлера, обозначаемый нами буквой М, в котором сумма ряда 2ап
определяется как
Легко установить, используя примененный выше прием доказательства
к выражению, в котором «s«'°s« заменено на Г A-)-8и), что ряд 2 гп сум-
суммируем (М) к •= равномерно в области Д. Детали доказательства,
*) Подинтегральная функция мажорируется в бесконечности выражением
ехр (— Вр Jog p cos <p).
**) \е2ти\ = e2itpsm<p0 велико для больших р; в аргументе 6 заменяется на
2* — в, а 2тс — 8 > t\.

4.12] методы суммирования, определяемые целыми функциями 107
естественно, опираются на асимптотические свойства гамма-функции
комплексного переменного; другое доказательство будет дано позже*).
Еще одним методом, обладающим аналогичными свойствами, является
метод Леруа, в котором сумма ряда 2 ап определяется как
4.12. Методы суммирования, определяемые целыми функциями.
Рассмотрим теперь важный класс методов, наиболее известным пред-
представителем которого является метод Бореля. Пусть •/(x) = 2/Vr"
есть целая функция с неотрицательными коэффициентами рп, не сво-
сводящаяся к многочлену. Если
D.12.1) ^_
J(x) 2Рпхп
при х —>¦ оо, то будем писать
D.12.2) 2"n = s (J)-
Простейшим ив определений этого типа является борелевское, в ко-
котором рп = —,-, J (х) = ех: если
D.12.3)
при х —» оо, то мы будем писать
D.12.4) 2*„ = «(В).
Борель предложил и другое определение; мы рассмотрим его в §4.13
и в гл. VIII.
Для J-метода
7 \ Рпх
и условия теоремы 5 очевидным образом выполнены. Отсюда
Теорема 33. J-метод регулярен.
J-метод доставляет удобный случай подробнее развить общий
принцип, который найдет дальше много применений. Метод можно
назвать „мощным", если он в состоянии суммировать быстро расхо-
расходящиеся ряды. Так, метод Бореля более мощен, чем (С, 1)- или А-
методы, которые не в состоянии суммировать ряд 2 zn вне его круга
*) См. стр. 247 (примечание к § 8.10).

108 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
сходимости. А метод Бореля суммирует его в полуплоскости SRz < 1.
1 zn+l
Действительно, для указанного ряда sn = —г—— и
У (JC) ^J 1 — Z Л! 1—2 1—2 1—2
при одном лишь предположении, что $Rz < 1. В частности, метод
Бореля суммирует рассматриваемый ряд для всех отрицательных зна-
значений z.
В этом смысле J-метод тем мощнее, чем быстрее рп стремится
к нулю. Так, метод Бореля суммирует ряд 1 — а-\~а2 — as-f-...
для всех положительных а, но он не суммирует ряд, для кото-
которого sn = (— \)пп\ап, ибо 2 (—1)™(ал:)п не сходится при ад:>1.
Но если, при этих sn, мы возьмем рп — ——, то будем иметь
Однако мы увидим, что обычно острота метода убывает при
возрастании его мощности и что весьма мощные методы, приспо-
приспособленные к суммированию быстро расходящихся рядов, могут пассо-
вать перед расходящимися рядами более слабого типа (с какими мы,
например, сталкиваемся в теории рядов Фурье). Так, мы увидим
в § 4.15, что J-метод с pn = e~cn* непригоден для суммирования
ряда 1 — 1 + 1 — 1 + .. .
В формуле D.12.1) предполагалось, что J(x) — целая функция их->со.
Метод допускает видоизменение, при котором радиус сходимости рядов,
входящих в формулу D.12.1), конечен. В этом случае мы можем принять его
равным 1 и должны предполагать ряд 2-Рп расходящимся. Определение
суммируемости попрежнему выражается формулой D.12.1), но теперь х-> 1
и метод похож на методы Абеля §§ 4.7—4.10. Более того, при рп = 1
имеем У(х)=у——-, и определение принимает вид A — х) ^snxn->s или
y^lanxn->s, т. е. прямо совпадает с А-определением.
При Р™ = —т-~г определение принимает вид
1
Г"
или
D.12.5) fWLdt^s iog
1-х
*) ^оМ — цилиндрическая функция мнимого аргумента.

4.13] МОМЕНТНЫЕ МЕТОДЫ 109
где f(x) = 2 апх». Ясно, что пз/(х)->я следует D.12.5), так что рассма-
рассматриваемый метод суммирования включает А-метод.
4.13. Моментные методы. Моментами \>.п называются числа, пред-
ставимые в виде
D.13J) nn
где х — "Х.(х) — ограниченная возрастающая функция от х, обладаю-
обладающая тем свойством, что интеграл Стилтьеса D.13.1) сходится для
всех п. Обозначая через ? нижнюю грань совокупности чисел х, для
которых
имеем
со оо
//¦
dx (и) = О, I dy (и) > 0 (х < ?)
5 + о ' ж
и, если 5 конечно,
с» Е—о
jxn = Г х" fify = j хи rfX -4- {Х (J -)- 0) — Х ($ — 0)} $".
о о
Однако обычно | = оо; в случае конечного % мы будем предполагать,
что у непрерывна в точке $ *).
Пусть
D.13.2) а{х) =
Формальное почленное интегрирование дает
и это наводит на мысль положить интеграл, стоящий слева, в основу
суммирования ряда 2 ап-
Мы пишем
D.13.3) (a(x)dx = s,
если либо (I) $ = оо, ряд D.13.2) сходится для всех х и
х
Hm J a (x) d/ =s,
*) См. примечание к § 4.13 в конце главы.

110 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
либо (II) $<оо, ^(&-}-0)-—х(&—-0) = 0, ряд D.13.2) сходится
для 0 < х < X и
б—о х
Г а (х) d-л = Mm fa (x) dt = s.
x+io
В обоих случаях пишем
D.13.4) 2e» = *(l*J-
Теорема 34. Метод (;хи) регулярен.
Действительно, пусть ряд 2 ап сходится. Предполагая 0 < X <
<^ Xt < ? ^ с», имеем
оо оо
D.13.5) Р» = J *" rf5C > ^i f ^X > О
О X,
и ряд D.13.2) равномерно сходится на отрезке 0 ^.х ^.Х. Далее,
для X<iXv а потому и для всех X < |,
I {-?
<¦
D.13.6)
при я-*оо. Беря, в частности, sn = l, получаем
х
D.13.7) ±-
о
Из равномерной сходимости ряда D.13.2) следует, что
или в силу соотношения D.13.6)
D.13.8) ^(j

4.13] МОМЕНТНЫЕ МЕТОДЫ 111
Очевидно, сп(Х)->-0 при Х-> ?. Далее,
со X X со
Г хп+х dx j x»d%— ( xn+1d^¦( xnd%~
0
x
dj Г x» dx— Г xn+1d% J л:» dy >
0 OX
CO X X CO
( Г л* fify J *n <*"/. —- Г x" dl f
и потому сга (X) ^ 0. Следовательно, принимая еще во внимание соот-
соотношение D.13.7), имеем
х хх
так что 2 сп (-^0 ~* 1 ПРИ ^ ~* ^ Тем самым условия теоремы 5
выполнены, и рассматриваемый метод регулярен.
Самым важным является случай
Тогда
1 Г ~~а ~а—* С -г*
м — I p—Xir уП Ау — I p —Unfit пи -ч— V (flu —\— 1 )
У'п —¦ Л,|Е' л л **л "~~ I с ** "** ^^ *¦ у11^ | -i/j
и определение суммы ряда принимает вид
В этом случае мы пишем
D.13.10) 2fl№ = s (В', а),
и, в частности, при а = 1
D.13.11) 2«» = * (В')-
В гл. VIII мы увидим, что определения D.13.11) и D.12.4) тесно связаны
друг с другом л „почти" равносильны. Пришли мы к ним совершенно раз-
различными путями, и тесная связь их основана на особых свойствах показа-
показательной функции.
При о=1 и а„ = г» имеем, для Шг < 1,
*) При ?<со верхний предел со можно всюду заменить на % — 0.

112 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
Таким образом, В'-метод, как и В-метод суммирует ряд 2 г" в указан-
указанной полуплоскости.
„Мощность" моментного метода возрастает с увеличением скорости роста
моментов [л„. Но такое увеличение мощности влечет и невыгоды. Так, если
D.13.12) dx^e-4^sx^dx ik>Q)i
то
со со п3
D.13.13) ц„= fe-kV°sx>*xn-1dx= f e-ku*+nudu = y ^еШ,
О —со
и определение суммы ряда принимает вид
D.13.14) /1 /«-•"B J*~*'n)*« = 8.
Как мы увидим в §4.15, этот метод не будет суммировать ряд 1—1+1—1+...
Если 5 = 1 и
х при
при
хо [лге = —~г~Т' и 0ПРеДеление суммы ряда принимает вид
1-Е
Ит
-I *
"\1
Очевидно, оно равносильно А-определению.
4.14. Теорема совместности. Для моментных методов не существует
общей теоремы совместности: различные методы могут суммировать один и
тот же ряд к различным суммам. Но иногда оказывается полезной одна тео-
теорема совместности частного типа; принимается, что S = со и
X
D.14.1) X (*)=/*(')«¦
о
Теорема 35. Предположим, (I) что <?(х) положительна и уби-
убивает; A1) что интеграл
f (x)dx
т (ГХ)
сходится для п > 0 и (III) что , . для каждого фиксированного С >1
есть убывающая функция от х; или, по крайней мере, — что условия (I)
и (III) выполнены для х > хй. Предположим, далее, (IV) что ряд 2 «nz"
сходится для малых z и (V)
D.14.2)
что />яд 2 йи суммируем (рп) к s. Тогда ряд 2 a»zW равномерно
суммируем для 0<г<1 ц теж самым представляет аналитическую

4.15] МЕТОДЫ, НЕЭФФЕКТИВНЫЕ ДЛЯ РЯДА 1 1 —|— 1 I-)---- 113
функцию f (г), регулярную на отрезке [О, 1] и стремящуюся к s, когда
г"->1, пробегая вещественные значения, меньшие чем 1.
Это — теорема совместности, поскольку она показывает, что сумма s
задается функцией / {г) независимо от выбора функции о (х) и, значит,
моментов |jtn, входящих в определение *).
Очевидно, достаточно доказать равномерную суммируемость ряда на
любом отрезке 0<о<2<;1. Ряд g(x)= \ — хи сходится для всех х и
согласно формуле D.14.2)
Ц g (x) t (x) dx = s.
Суммой ряда 2 апгП служит
D.14.3) J g {zx) <р (*) А* = 1 J g (х) т (-J) dx,
если этот интеграл сходится. Но при Х^>х0 в силу условия (III) имеем
X' X' \^\ ( \ X"
где Х<^Х" <С_Х'. Множитель при интеграле справа не превосходит 1, сам
же интеграл по абсолютной величине меньше е при X^-X0(t). Поэтому
интеграл D.14.3) равномерно сходится на отрезке 0<;o<;z<;i, и теорема
доказана.
Условия теоремы выполнены, например, в случае, когда
<?(х)=;е-Аа>*ха~1, где Л>0, а>0, а>0.
В качестве применения рассмотрим ряд
¦ = 1 — az -+- ¦
2! * (l+*)e
для малых г. Беря, как в методе Бореля, ср (х) = й-33, получим сумму в виде
интеграла
Г _xfl а а (а + 1) 2г3_ .'
конечное выражение для которого трудно усмотреть. Значительно удобнее
взять <р (х) = ха~хе~х; тогда ц.п = Г (я -\- а), и мы получаем
1
__ . ldx=
() . 1! + 2! •••/ja-*: r(
предполагая лишь, что Шг^> — 1.
4.15. Методы, неэффективные для ряда 1 — 1 + 1 — 1 + В этом
параграфе мы проиллюстрируем общий принцип, сформулированный в § 4.12
на примере двух „сильных" методов, — одного, ¦ определяемого целой функ-
функцией, и другого моментного, — недостаточных для суммирования ряда
1 — 1 + 1 - 1 +...**)
*) Ср. второе доказательство теоремы 17 в § 4.2.
**) См. также § 4.10, содержащий пример сильного метода абелевского
типа, также пассующего перед рядом 1 — 1-|-1 — l-f~...
8 Зак. 2499. Г. Хардн.

114 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
A) Возьмем в определении D.12.1) рп — е~еп*, где с>0, и заменим,
кроме того, х на е". Тогда, так как s2m = 1 и s2m+\ = 0, нам нужно опреде-
определить, будет ли отношение
стремиться к пределу при и ~> оо. Очевидно, это отношение можно заменить
отношением *, где Ft и F%— те же суммы, только взятые от —оо
гъ (и)
до оо. Но
iu
отсюда следует, что „ ' ¦: имеет период 4с. Таким образом, будучи, оче-
Гъ (U)
видно, непостоянным, это отношение не стремится ни к какому пределу.
B) Пусть х и [*и определены как в D.13.12) и D.13.13). Тогда сумма ряда
1 — 1 + 1 — 1 + ••• определяется как
D.15.1)
если этот интеграл сходится; при этом очевидно, что сходимость его не нару-
нарушится при замене нижнего предела суммирования на —оо. Но
q (iu
Akn
и легко проверить, что
п
2к"
?+•
е~киУ(и) du = (- \)п Г е~шР (и) du
п
3ft
для любого а. Это показывает, что интеграл D.15.1) не сходится и, значит,
ряд 1 — 1 + 1 — 1+ •¦• не суммируем рассматриваемым методом.
4.16. Нормальные средние Рисса. „Нормальные средние" М. Рисса
представляют собой обобщение некоторых средних, рассматриваемых
в § 5.16. Подробное рассмотрение нормальных средних Рисса более
уместно в книге, специально посвященной рядам Дирихле. Поэтому
здесь мы коснемся их лишь очень бегло.
Если Хп удовлетворяют условиям D.7.1),
f o + iT \n = sn при К<К

4.16] НОРМАЛЬНЫЕ СРЕДНИЕ РИССА 115
х>0 и
и)
D.16.1) л?х)(ш) ==?¦ J л WO» — *)* <**->»
о
при <о -> оо, то мы говорим, что ряд 2 я« суммируем (R, X, х) к s.
Интегрируя по частям, видим, что
О А „ <<л
Выражение D.16.1) можно записать в виде
где
г х(ш — х)*~1
<р = | «,« при
I 0 при
Здесь »^-0, <р = Of—) Для больших (о, равномерно на каждом ко-
конечном интервале изменения х, и
О О
Поэтому в силу теоремы 6 имеет место
Теорема 36. Нормальные средние Рисса регулярны.
Легко проверить, что (R, л, 1)-метод равносилен (С, 1)-методу.
В § 5.16 мы докажем более общее предложение.
Другой интересный случай имеем при Лга = log (я -J- 1), х=1. Для
него справедливо следующее предложение.
Теорема 37. Для того чтобы ряд 2 ап был суммируем (R, X, 1)
с \п = log (я -j- 1) к s, необходимо и достаточно, чтобы
Другими словами, рассматриваемые средние равносильны логариф-
логарифмическим средним § 3.8.
Положим ш = log(^-j-1), n=[q]. Тогда определение D.16.1)
сведется к
D.16.3)
О
и нужно доказать, что это равносильно соотношению D.16.2).
8*

116 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
Пусть выполняется соотношение D.16.2). Положим
Тогда Un^~'S\ogn, так что un = o{\ogn) и sn = o(nlogя). Поэтому
последний член в левой части соотношения D.16.3) стремится к нулю.
Далее,
+ 2 1 1 , _/1
m + \ 2(ffl+l)«r
так что сумма, входящая в D.16.3), может быть представлена в виде
га—1 и—1 га—1
р ®
0 0 0
Здесь
п—1 га—2
и+1 А4(т+1)(т + 2) * п ~
о о
ибо Un = O(\ogn); а /?п, очевидно, есть 0A). Поэтому D.16.3) сво-
сводится к соотношению Pn~s\og{q-\-\), очевидно, равносильному
соотношению D.16.2).
Доказательство обратного утверждения аналогично, но проще, так
как можно взять ш = \og{n-\-1).
4.17. Методы, возникшие под влиянием теории рядов Фурье.
Ряд
D.17.1) 1 + cos 9 -f cos 26 -\- ... = ^ cos яб *)
имеет фундаментальное значение в теории рядов Фурье. Его частичными
суммами служат
п / 1 \
2 81п(л + Т)в
cosv6 = V l> =Впф),
2sinie
а их средние, определенные формулами C.1.3) и C.1.4), соответственно
равны
D-17.3) U0)=2<WDnF),
и
DЛ7.4) t(x, e)-2*n(*)A,(8).
*) Штрих при знаке суммы указывает, что при члене с п = 0 нужно брать
множитель -д-.

4.17] МЕТОДЫ, ВОЗНИКШИЕ ПОД ВЛИЯНИЕМ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 117
В частности, (С, 1)- и А-средними являются, соответственно,
D.17.5)
sin-g-(m+ 1I
sin—8
tm(ft), определенное формулой D.17.5), обладает следующими свой-
свойствами:
ствами:
и tm (9) -* 0 при /и —> оо равномерно на каждом отрезке, лежащем
на [ — it, к] и не содержащем начала; аналогичными свойствами обла-
обладает и t{r, 9) формулы D.17.6). Именно на этих свойствах основаны
применения указанных выше методов к рядам Фурье; другие способы
выбора средних tm (9), обладающих теми же свойствами, тоже при-
приводят к ценным методам суммирования. Так,
обладает требуемыми свойствами. Принимая во внимание, что
приходим к валле-пуссеновскому определению (VP)
С помощью sn это определение выражается так:
f __ 1 „ I Зт | 5т (т — 1) .
™ т + 1 ° "~(т + 1)(т + 2) li~(/n + l)(w + 2)(w+3M2~t"#"'
и легко видеть, что рассматриваемый метод регулярен.
В перечисленных методах коэффициенты при sn неотрицательны.
Существуют методы, не обладающие этим свойством и имеющие
*) Вместо х здесь принято писать г, а в „римановских" определениях ft.

118 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
важное значение в теории общих тригонометрических рядов. Наибо-
Наиболее важным из них является метод Римана, в котором сумма ряда 2 ап
определяется как
lim t(h)= lira У,ап(—-г-) ,
i->0 ft -> 0 ^ \ Ml I
ft -> 0
причем коэффициент при а0 здесь считается равным 1. Известно, что
этот метод, обычно называемый (R, 2)-методом, регулярен. В данном
случае
In Bh — I в |) ... ...
¦ v '—— при в <Г 2й,
О при 2Л<9<тг,
и t(h, 8) обладает свойствами, аналогичными отмеченным для D.17.5)
и D.17.6).
Более общий метод суммирования (R, k), где k — положительное
целое число, определяется условием
Этот метод регулярен для k > 1, но не для k = 1.
С (R, 2)-методом тесно связан (но не равносилен ему) (R2)-метод,
определяемый преобразованием
... 2 ут sin2nh
tW — ^Zi tflh Sn'
где коэффициент при sQ считается равным h. Этот метод также регу-
регулярен.
4.18 Общий принцип. Большинство определений, приведенных
в предыдущих параграфах, можно рассматривать как иллюстрации
одного общего принципа.
Пусть F = F(a, C, •(, ...) — функция нескольких параметров
а> Р> Ч, '•¦, стремящихся соответственно к пределам а0, j30, f0, ...;
пусть А, В, С, ... обозначают соответственно операции предельного
перехода а -> а0, р -> р0, "f ~^ То' • • • > и
¦ = А8С. ..F= lim { lim (lim ...))F,
a QF = ^/S'C/.../7, где Л', Б', С1',... суть операции А, В, С, ...,
взятые в другом порядке. Возникает вопрос, будет ли
D.18.1) PF = QF;
и теоремы, утверждающие справедливость этого равенства при над-
надлежащих условиях, включают многие из важнейших теорем анализа.

4.18] общий принцип 119
Уравнение D.18.1) можно рассматривать также с другой точки
зрения. Пусть, например,
п
о
а = а, р = х и А, В — операции я->оо, х-+1. Тогда
я п
BF= lim 2 Vm=2flm>
?В ->¦ 1 О О
И
П со
||->со О О
тогда и только тогда, когда ряд 2 ат сходится. С другой стороны,
П со
П -> со О О
если последний ряд сходится для х< 1, и
есть абелевский предел для ряда 2а™- Если PF существует, то QF
также существует и равно PF; но QF существует и во многих слу-
случаях, когда PF не существует. При этих обстоятельствах мы можем
принять QF за определение символа PF, и условиться писать PF,
понимая под этим QF. О пользе такой фикции, разумеется, следует
судить по ее результатам.
Точно так же, для J-определения § 4.12, с /)п>0 для всех п,
А есть я->оо, В есть х -> оо; BF = sn, ABF = s тогда и только
тогда, когда sra ->¦ s; a ?MF есть то, что мы принимаем за предел
по определению. Для моментного определения § 4.13 (с ?=<х>)
0 0 0 0
А есть и->оо, 5 есть
о о

120 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ . [ГЛ. IV
так что ABF = s тогда и только тогда, когда ряд 2 ап сходится
к s, a
X
BAF= lim a(x)dy = a(x)dy.
Л"* 0 0
Иногда можно связать операции А, В, ... с помощью каких-
либо соотношений между а, C, .. . Пусть, например,
Тогда
р->со 0 га->со р-Уоо О
ОТ
если ряд сходится; с другой стороны, легко доказать, что F -> 2 е р ^ш»
если последний ряд сходится, так что
т
lim lim F = lim 2 e p am,
р-Ь-со M->co p->со
а это выражение, если оно существует, есть не что иное, как абе-
левский предел. Таким образом, обычная сумма ряда и абелевский
предел соответствуют двум повторным пределам для F. Однако мы
можем стремить п и р к бесконечности совместно. Так, например,
если принять, что п-\-\—р, то будем иметь
п
1 ~n~+\)am~ й+1 ~'
о
и мы получим (С, 1)-определение. Если же принять, что n-\~l =kp,
то получится нечто весьма близкое к (С, ^-определению гл. V*).
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV
§ 4.1. Общее определение (W, />и)-метода ввел впервые Вороной, Днев-
Дневник одиннадцатого съезда русских естествоиспытателей и врачей (Петер-
(Петербург, 1902), 60—61. Имеется аннотированный английский перевод Тамаркина,
Annals B), 33 A932), 422—428. Статья Вороного представляла собой краткую
заметку в редком издании и оставалась незамеченной до тех пор, пока
Тамаркин не привлек к ней внимания. Ряд частных случаев этого определе-
определения, как, например, чезаровский, разумеется, был уже известен.
Нёрлунд предложил это определение независимо в Lunds Universitets
Arsskrift B), 16 A919), n° 3. Он (явно) и Вороной (неявно) принимали, что
^->0, так что метод регулярен,
*] См., в частности, § 5,16,

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. IV 121
§ 4.2. Из двух приведенных доказательств теоремы 17 первое принадле-
принадлежит Нёрлунду. Второе, основывающееся на теореме 18, предложили незави-
независимо Zygmiind, Mathesis Polska, 1 A926), 75—85 и 119-129, и Silverman
and Tamarkin, MZ, 29 A928), 161 — 170. Вороной формулирует эту теорему,
и из его кратких указаний видно, что его доказательство шло по линии,
которой придерживались авторы второго доказательства.
§§ 4.3-4.4. Автором теорем 19 и 21 является М. Riesz, PLMS B), 22
A923), 412-419.
Условие D.3.7) не нужно и в том случае, когда оба ряда 2-Рн и 2 ^п
сходятся; но вопрос остается открытым, если ~^ipn<C(x>, а 2 Чп — оэ-
§ 4.5. Теорему 22 доказал, для другой цели, Szegtf, MZ, 25 A926),
172—187 A77). Cere приписывает результат Калуза. Теорема 23, повидимому,
нова. Первоначально я включал дополнительное условие рп — о (qv), однако
Бозанкэ указал мне, что это условие излишне.
§§ 4./—4.8. Теорему 26, как и ее обобщение на комплексные Ъп, доказал
Kronecker, CR, 103 A886), 980 и 10S A888), 835. См. Pringsheim, Vorlesungen
fiber Zahlen- und Funktionenthcorie, 1 (Лейпциг, 1916), 308—310 и 938.
Теоремы типа теорем 25 и 29 хорошо известны и обобщались многими
авторами во многих направлениях. Специально по поводу теорем 25 и 29
см. Dienes, 394—397; Hardy, PLMS B), 4 A906), 247—265, и Perron, MZ, 6
A920), 286—310. Можно доказать несколько более общее предложение,
а именно, что условия D.7.4) и D.7.6) необходимы и достаточны для того,
чтобы из ^ ап — s следовало с? (х) -» s.
Теоремы 28 и 30 доказал Hardy в ММ, 39 A910), 136-139 и PLMS B),
8 A910), 301-320 C18).
§ 4.9. Для Xn = /z: Stolz, Zeitschrift fur Math., 29 A884), 127—128;
см. Stolz und Gmeiner, Einleitung in die Funktioncntheorie, 2 (Лейпциг, 1905),
287-288, или Bromwich, 252—255. Для общих Х„: Cahen, AEN C), 11 A894),
75—164 (86-87); см. Landau, Handbuch, 737—738, или Hardy and Riesz, 3—4.
§ 4.10. По поводу формулы D.10.1) см. Tannery ct Molk, 2, 10—13, или
Hardy and Wright, 280—282.
Hardy, QJM, 38 A907), 269—288, подробно рассматривает ряд D.10.2) и
доказывает формулу
явно обнаруживающую колебания рассматриваемой функции при _у-> 0. При-
Приведенное доказательство принадлежит Маклагану и Веддерберну.
§ 4.11. Надлежащие ссылки на работы Леруа, Линделёфа и Миттаг-
Леффлера даны в примечании к § 8.10. Доказательство теоремы 32 принадле-
принадлежит Линделёфу.
§ 4.12. Борель дал общее определение D.12.1) в самой ранней своей
работе, посвященной рассматриваемой теме; см. Borel, 95. Регулярность
В-определения впервые доказал Hardy, TCPS, 19 A902), 297—321 B98—300).
§ 4.13. Теорему 34 доказал Good, JLMS, 19 A944), 141—143, предпола-
предполагавший, однако, у. абсолютно непрерывной. Мы не рассматривали случая
приводящего в действительности к „тривиальному" методу, т. е. методу,
суммирующему лишь сходящиеся ряды. В JLMS, 21 A946), 110—118, Гуд
доказывает дальнейшие теоремы того же типа.
§ 4.14. Теорема 35 представляет собой исправленный вариант одной тео-
теоремы, которую предложил Bromwich A), 301—302. Указанные им условия
отчасти излишне стеснительны, а отчасти недостаточны. Пример, приведен-;
!Шй в конце параграфа, принадлежит Бромвичу.

122 ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ [ГЛ. IV
Эгглестон заметил, что если интеграл в (V) абсолютно сходится, то можно
отбросить условие (III).
§ 4.15. Формулы, использованные для преобразования тэта-функций,
см. в Tannery et Molk, 2, 263 (Таблица XLIII).
§ 4.16. По поводу общей теории риссовских нормальных средних
см. Hardy and Riesz.
§ 4.17. Изложение общей теории суммирования рядов Фурье дают Hardy
and Rogosinski, гл. 5, и Зигмунд, гл. 3.
Метод Валле-Пуссена (VP) был введен им в Bulletin de CAcad. Sc. de
Belglque A908), 193—254, и применен к суммированию рядов, получающихся
при последовательном дифференцировании ряда Фурье Gronwall, JM, 147
A917), 16—35, доказал, что любой ряд, суммируемый (С, k), суммируем (VP).
Он также доказал, что ряд ~?гп суммируем (VP) к -=—— внутри внешней
петли улитки
A) 11+212=4121,
откуда следует, что VP-метод сильнее всей совокупности (С, &)-методов.
VP-метод весьма тесно связан с (А, 2)-методом. Так, Харди (I. с. в приме-
примечании к § 2.8) доказал, что эти методы равносильны для рядов Фурье;
a Hyslop, PLMS B), 40 A936), 449—467, распространил эту равносильность
на все ряды, для которых ап= О (пк). Он также заметил, что ряд 2гП
суммируем (А, 2) внутри области, ограничиваемой кривою
B) r = elfll (|в|<«)
и содержащей кривую A), за исключением точки 2=1, внутри, так что
существуют ряды, суммируемые (А, 2), но не суммируемые (VP). Позже
Kuttner, PLMS B), 44 A938), 92—99, доказал, что (VP)->(A, 2) во всех
случаях.
Другой метод с весьма похожими свойствами ввел Obrechkoff, CR, 182
A926), 307—309.
Методы Римана имеют фундаментальное значение в теории тригонометри-
тригонометрических рядов. Так, регулярность (R, 2)-метода есть „первая лемма Римана",
а регулярность (R2)-MeToaa — вторая. В последние десятилетия много работ
посвящалось связям между (R, К)- и (С, /)-методами. Так, Verblunsky, PCPS,
26 A930), 34—42, доказал включение
(С, k — b)-*(
a Kuttner, PLMS B), 38 A935), 273—283, — включения (R, 1)->(C, 1 + 8)
и (R, 2)-> (С, 2-f 8), где В — любое положительное число. Куттнер дает
ссылки и на другие результаты.
Marcinkiewicz, JLMS, 10 A935), 268—272, доказал „несравнимость" мето-
методов (R, 2) и (R2). См. также Kuttner, PLMS B), 40 A936), 524—540; Hardy
and Rogosinski, PCPS, 43 A947), 10—25 (где показывается, что упомянутые
методы несравнимы даже для рядов Фурье).
§ 4.18. По поводу всего этого см. Hardy and Chapman, QJtyl, 42 A911),
181-215. .....:..

Глава V
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ (I)
5.1. Введение. Простейшим методом суммирования расходящегося
ряда является первый метед § 1.3. Этот метод допускает много важ-
важных обобщений; в настоящей главе мы подвергнем некоторые из них
более систематическому исследованию. Нам будет удобно несколько
изменить обозначения и вместо sn писать Ап, а вместо суммы ряда 5
писать А. Так, запись ~^ап = А (С, 1) будет означать, что
n +1
При этом мы иногда будем пользоваться буквой А для обозначения
не только суммы ряда, но и самого ряда, и, например, говорить,
что „А суммируем (С, 1)" (разумеется, к сумме А).
5.2. Методы Гёльдера. Наиболее очевидное обобщение (С, ^-ме-
^-метода впервые было предложено Гёльдером, введшим последователь-
последовательность методов, которые мы будем называть (Н, &)-методами.
(Н, 1)-метод совпадает с (С, 1)-методом; таким образом,
1 — 1 + 1 — ...=! (Н, 1).
Этот метод недостаточен для суммирования ряда 1—2 + 3—4+...,
так как здесь частичные суммы Ап равны 1, —1, 2, —2, 3, —3,... и
п + 2
равно 2 ' . при п четном и 0 при п нечетном. Однако мы можем
прийти к пределу, повторяя процесс усреднения; в самом деле, пер-
первое из найденных значений есть -^—J— о A) и потому
7Г+1 * 4 •
*) Мы пишем Н^, Н„,... вместо Н%\ Н^\ ... для упрощения типограф-
типографского набора; верхние индексы не должны пониматься как показатели
степеней.

124 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
Аналогично, три усреднения дадут для ряда 1—3-J-6 —10-}-...
сумму -g .
Мы приходим таким образом к следующему определению сумми-
суммимости (Н, k) для любого натурального
= 0, 1, 2, ... , условиями Н°п — Ап и
Г5 2П +1 _ HI+HI+...+HJ
E.2.1) Нп — - ^ .
Если Нп -> Л при п —>- оо, то мы говорим, что ряд 2 ап суммируем
(Н, 6) л; сул-ме Л, и пишем
у
руемости (Н, k) для любого натурального k. Мы определяем Нп, для
°
E.2,2) ао + а1 + ал+...=*А(Н>к).
Под суммируемостью (Н, 0) мы понимаем обыкновенную сходимость.
5.3. Элементарные теоремы относительно суммируемости по
Гёльдеру. Мы увидим, что гёльдеровские определения, хотя они
и являются наиболее очевидными обобщениями (С, 1)-определения,
для большинства целей — не самые удобные. Однако они имеют и
некоторые преимущества. В частности, если мы будем обозначать
средние Н„, образованные, исходя из частичных сумм Ап, через
#я(Л), а последовательность (Нп(А))—через Нк(А), то, как это
явствует из определений, мы будем иметь
н1{н1(А)}=Н1п{Нк(А)}=Нкп+1(Л);
а это сделает доказательства некоторых теорем особенно простыми.
Теорема 38. Если ^ап = А (Н, k), где k^-О, то %ап = А
(Н, k') для всех k' > k.
Это сразу следует из определений и теоремы Коши § 1.4.
Теорема 39. Если ^ап = А (Н, k), то Ап — о (пк) и ап=о (пк).
В самом деле, Я* = Л-)-оA), и потому
Нкп~2 = (л + 1) til — nHlz\ = о (п2),
Ап = Н°п = (л -1- 1) Н\ — л/^_! == о (пк),
Зто—-„лимитирующая теорема" для (Н, &)-метода. Из нее, на-
например, следует, что (как мы в этом непосредственно убедились
в § 5.2) ряд 1—2-j-3-^4-]-.,. не может быть суммируем (Н, \)

5.4] МЕТОДЫ ЧЕЗАРО 125
Следующая теорема обнаруживает некоторые'неудобства методов
Гель дера.
Теорема 40. (Н, k)-метод обладает свойствами
(а) 2<Х=с2а„,
(Р)
(Т)
(8) а
Здесь каждое равенство надо понимать следующим образом: „Ecjiw
правая часть имеет значение в смысле (Н, k), то и левая часть имеет
значение в этом же смысле, и оба значения равны". Так, равенство (8)
означает: „Если ряд а0 -\-а1 -4- а.2 -(- . .. суммируем к Л, то ряд
а\ ~V а2 ~Ь • • • суммируем к Л — а0".
Свойства (а) и (,3) тривиальны (и справедливы для любого линей-
линейного метода). Далее, полагая bn = an,rV имеем Вп=зАп+1—а0, .и
откуда следуют свойства (f) и (о) при k = 1. Но связи между сред-
средними для ап и Ьп при высших значениях k не просты, и мы откла-
откладываем окончание доказательства до § 5.8.
5.4. Методы Чезаро. Гёльдеровские средние определялись про-
процессом типа 8 2§^8 ]^.. ., где ^ — суммирование от 0 до п,
а 8 — деление на л + 1. примененным к Ао, Аи ... Чезаровские же
средние определяются k суммированиями, за которыми следует только
одно деление.
Положим
E.4.1) Л°=А. = аО + в1+ ¦¦•+ап, ...,
An —A-o ~\-Ai -\-...-\-An ,
И через f» обозначим Ап в том частном случае, когда ао=1 и
ап = 0 при п > 0, т. е. когда Лге = 1 для всех п. Если
E.4.2) ^
при й->оо, то мы будем говорить, что ряд 2ага суммируем (С,
/с сумме А, и писать
E.4.3) ао + а1 + а2+...=Л (С, А).

126 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
А„ легко выразить явно через Ап или ап. Имеем
А»х ~T^xZin ~(i—xpZi n
Таким образом,
Аналогично,
Если ао=1, а остальные ап равны нулю, то а\ обращается
в \ k )' так чт0
E.4.6) Еп -
Далее,
(п + k\ _ (я + l)(n + 2)...(n-f-&) ?^
V А У ~ Al ~ А! '
и потому суммируемость (С, й), к сумме А, можно также опреде-
определить соотношением
E.4.7) Аа%->А.
Более обще, имеем
откуда
E.4.8)
*) Сумма 2а'Ря—' ^ез указания пределов суммирования распростра-
распространяется на те v, для которых чип — v одновременно неотрицательны, т. е. на
значения 0 < v < п.

5.5] СРЕДНИЕ НЕЦЕЛОГО ПОРЯДКА 127
Эти формулы, по существу, тождественны, поскольку
Г 7') -с-»- с V-?.-1).
так что E.4.9) есть E.4.8) с переставленными k и k'\ но выписан-
выписанные формы наиболее удобны при k' > k. Так как коэффициент в фор-
формуле E.4.9) равен нулю, когда {kf и k целые и) v > k' — k > 0, то
она допускает также запись
к' — Те
E.4.10) >?=. 2 (—^(^Т*)»-*'
Формулу E.4.10) можно использовать для определения сред-
средних А\ при отрицательных k. Так, при А = —р и k' — Q она при-
принимает вид
А-п — А-1%
В частности,
этой условной записью часто удобно пользоваться.
5.5. Средние нецелого порядка. До сих пор (за исключением
конца последнего параграфа) мы предполагали, что k — натуральное
число. Однако формулы E.4.4) — E.4.7) сохраняют смысл и для
нецелых k и дают возможность ввести более общие определения.
Если k — отрицательное целое число и мы определим Е„ либо фор-
формулой E.4.6), либо как коэффициент при хп в ряде для A—х)~к-1,
то получим, что Е\ = 0 для я> — k—1, и определение E.4.2)
теряет смысл. Поэтому мы должны исключить эти значения k, и ока-
оказывается, что лучше всего предполагать k > — 1. Тогда Л„ опреде-
определяем формулой E.4.4) или E.4.5), Еп — формулой E.4.6) и сумми-
суммируемость (С, k) — соотношением E.4.2). Асимптотическая формула
Для Еп остается еще в силе, если под k\ понимать V{k-\-l), и мы
можем пользоваться соотношением E.4.7) в таком его истолковании.
Чтобы убедиться в желательности ограничения k^>—1,предположим, что
1
где р — положительное нецелое число. Тогда

128 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
так что 2а« есть расходящийся ряд с положительными членами. Но
Akxtl = и, в частности, V^^V^l. Поэтому А~р~г =0
A— х) + +р ** \
для и>0, так что (если не накладывать ограничения на к) ряд 2 \п СУМ"
мируем (С, —р — 1) к сумме 0. Но в большинстве случаев было бы весьма
неудобно приписывать конечную сумму расходящемуся ряду, составленному
из положительных членов *).
Поэтому мы вообще будем предполагать, что &>¦—'1. Однако иногда
будет удобно пользоваться и специальным определением суммируемости
(С, — 1). Мы будем говорить, что ряд 2 ап суммируем (С, — 1) к сумме А,
если (I) он сходится к А и (II) ап — о(—J.
Если Ак1 = О(пк), то мы будем говорить, что Ап ограничены (С, к), и
писать
Ап=О(\) (С, к).
Более обще, под
Ап = о(п*) (С, к), Ап=О{п1) (С, к)
мы будем понимать, что
Аналогичными обозначениями мы будем пользоваться и в случае других
методов суммирования, так, 2 ап = С A) (А) будет означать, что 2(V"==
= О A), когда л: -> 1—0.
В дальнейшем мы иногда будем оперировать общим k, иногда же огра-
ограничимся только его целыми значениями. Дело в том, что, хотя большинство
теорем, с которыми мы будем иметь дело, справедливы для всех к^> — 1,
доказательства их часто гораздо проще для целых к. Так, нам часто при-
придется пользоваться разностью
k \ , I k
Если k — целое, то это — конечная сумма; но обобщение ее на нецелое k
есть бесконечный ряд, и это часто приводит к серьезным усложнениям.
В подобных случаях мы обычно будем предполагать к целым.
5.6. Теорема о свертках. Сумму
E.6.1) с„= 2 аА = 2 «А—> = 2 я»-А
H+v=n
и интеграл
E.6.2) с (*) = J* a (t) b (x — *) dt= J a(x — t)b (t) dt**)
называют свертками коэффициентов ап и bn, соответственно функ»
ций а(х) и Ь(х). Нам неоднократно, особенно в гл. X, придется
пользоваться двумя теоремами, относящимися к такого рода сверткам.
*) Хотя некоторые определения и делают это: так, 1 -f 2-\- 4 -)-...= —1
согласно ©-определению § 1.3. См. также §§ 13.10 и 13.17.
**) Здесь мы пользуемся соглашением, аналогичным принятому в § 5.4:
интегрирование производится в пределах от 0 до х.

5.6] ТЕОРЕМА О СВЕРТКАХ 129
Теорема 41. Если г > — 1, s>— \ и
E.6.3) *-(¦ + >- гф^., »„
то
( T
E.6.4) сп~( T
Теорема 42. Если r> —I, s> — 1, а(х) и д(х) интегри-
интегрируемы на любом конечном интервале положительных значений х и
E.6.5) а (х) ~ axr, b (х) ~ (Зх*
при х -» сю, то
E 6 6) с(х)-Г(г+1)Г(* + 1)
В этих теоремах соотношения ап~-(Л^~ j а, ..., а (х)
в случае, когда а и р равны нулю, следует понимать в том смысле,
что ап = о{пг), ..., а (х) = о (хг), ...; необходимые модификации
доказательств предоставляем читателю. Справедливы также аналогич-
аналогичные теоремы, в предположениях и утверждениях которых О заменено
на о.
Теорему 41 можно вывести из теоремы 42, положив а (х) = ап
и Ь{х) = Ьп для п ^ х < я -\- 1, причем тогда с (я -j- 1) приво-
приводятся к сп.
При доказательстве теоремы 42 мы можем предполагать, что
а = C = 1. Выбираем 8 = 8 (s) так, чтобы
E.6.7) 0<8<i, 8'+i<(r+l)e, §8+1<(*+1Н
и
1 1—5
E-6.8) T = X^±II?|±I).==Jar(i_a)8rfB< J ur(l-u)°du+*,
о г
и разбиваем с (х) на три слагаемых:
ОХ A—0H! X
E.6.9) c(x) = J+ J + J =с1(л)-Ьса(*) + <?8(*).
О Ьх A—8H!
При фиксированном 8 мы можем выбрать xo = xo(S, г) = хо(г) так,
чтобы
A—8H! A—6H;
A-е) J ur(x — u)sdu<c2(x')<(l-}-e) j
5o! bx
1 — 5- 1 — 5
A —e)*r+8+1J «r(l—«)erf«<ca(A:)<(l-be)jcr+e*1J u\\-u)sdu
5 о
9 Зак. 2499. Г. Харди

130 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
для х^х0. В силу E.6.8) отсюда следует, что
1—8
1 — 8
С другой стороны, существуют такие числа Н и К, что для ^
выполняются неравенства | а (х) \ < Кхг и | Ь (х) | < Кх8. Поэтому
если, как мы вправе предполагать, 8х0 > Н и A—8)л;0>/7, то
8а; Н Ьх
о
я
<Ajts [\a(u)\du-\-K2^-rr-
о
Отсюда и из неравенств E.6.7) следует, что
г+1
и, очевидно, аналогичное неравенство имеет место и для | с3 (л;) |.
Соединяя наши результаты, мы видим, что
> A —а) Т — A 4- 2АГ2) е,
и, следовательно, с(х) ~ixr+s+1.
Можно, конечно, аналогичным путем доказать теорему 41 непосредственно!
причем роль формулы
j и
.xr+s+l
будет играть следующее тождество, связывающее биномиальные коэффи-
коэффициенты:
E.6.10) 2d{ r ){ s ) = { r + s+l
5.7. Простейшие теоремы относительно суммируемости по
Чезаро. Начнем с доказательства теорем для чезаровских средних,
соответствующих теоремам 38—40.

5.7] ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ 131
Теорема 43. Если k' >k> — 1 и^ап — 'А (С, k), то
%ап = А (С, АО-
Действительно, пусть k' = k-\-b\ тогда в силу формулы E.4.8)
Ап — 2а { 8-1 ) л«-* •
С другой стороны, Ап~( ^ \а. Поэтому из теоремы 4i следует,
что
В частности, беря k — 0 и заменяя k' на k> получаем такое пред-
предложение:
Теорема 44. (С, к)-метод При k > 0 регулярен.
Так как коэффициенты в С„(А) при ?>0 неотрицательны, то из
теоремы 9 следует, что (С, &)-метод при k > 0 вполне регулярен
в смысле § 3.6.
Поучительно вывести теорему 43 из теоремы 2. Выражая С*'(Л)
через С* (А) с помощью формулы E.4.8) с k' = k -f- S и переставленными v
ил — v, находим, что
(" s-i !)(Vt*)
где
О при v ~^> n.
Таким образом, cn>, >0, сп>, =О(я~й~1) при фиксированном v и л->со,
и 2 ся,ч = 1 в СИЛУ формулы E.6.10), так что условия теоремы 2 выпол-
выполнены. Кроме того, так как cw>v >0, то из С\(А) ->со следует С?'(/4) -* со.
Теорема 43 сохраняет силу для k — —l, если пользоваться
определением суммируемости (С, —1), данным в § 5.5, но нуждается
в другом доказательстве. В действительности можно утверждать даже
больше.
Теорема 45. Если ряд 2 «и сходится к А и ап = О 0-\, то
ап — л I1-1» —* "Г °)
для любого положительного 8.

132 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
Мы можем считать, что Л = 0 и 8 < 1. Имеем
E.7.1) л„-1+5= i rtATV-^''i
v = 0 4 J * / ON
где N= [<an], 0 < <n < 1. Тогда
равномерно относительно ш. Поэтому <п можно выбрать так, чтобы
E.7.2) |SJ<e*«-i.
/-у -)_ 8 — 1 \ /v -I- S — 2\
Далее, полагая и, = 1 g__j ), имеем ич— M.,_a = ( ^_2 ) —
OE2)
2) и
E.7.3) 52 = HuaM_jf
—N—1
Наконец, из формул E.7.1)—E.7.3) следует, что пх~йА^1 + 0 ->0,
т. е. что ряд 2 аи суммируем (С, — 1 -(- 8) к сумме 0.
Теорема 46. Если ^ап = А (С, k), где ?> — 1, то Аи. =
ь= о («й) для k' < As.
Это — „лимитирующая теорема", Здесь нет необходимости пред-
предполагать, что к' > — 1; в частности, результат верен при k' — —1,
При доказательстве можно считать А = 0, так что Ап = о (я ).
Полагаем k' — k-~- 8, так что 8 > 0. Тогда; в силу формул E.4.8)
и E.4.9),
Если 8 — целое, то согласно E.4.10) Ап' есть линейная комбинация
S —j— 1 значений Ап с коэффициентами, меньшими по модулю, чем
A -f l)s = 2В; тем самым А„ = о (гай).
Если же 8 — нецелое, то Г( — 8) dn~ п~ъ~1 и ~2i\dn\<^oo.
Пишем тогда

5.8] ТЕОРЕМА РАВНОСИЛЬНОСТИ 133
Здесь
И й
|5j|< 2 |rfv||4L,| = 2 [ rf, 11 о (л*) | =o <л*3 | rf, 1) = о (я*),
о о
поскольку ft > — 1 и о > О, а отсюда снова следует утверждение
теоремы.
Теорема 47. (С, Щ-метод обладает свойствами (а) — (8) из
теоремы 40.
Требуют доказательства только свойства (•у) и (8). Для этого
следует показать, что при Ьп = ап + 1 любое из соотношений 2ага =
= А (С, k) и 2 ьп — А — ао (с> k) влечет другое. Но
2 а*х»=A_1^
Поэтому Л^ = Е»а0 ~\- В»_ i для я > 0, откуда требуемое и следует.
Теорема 48. Если ряд 2ая суммируем (С, k), где ?> — 1,
то
ат = (аш — «m+i) + (fl«»+i — «т+з)+ ••• (С, к).
В силу теоремы 47 достаточно доказать это соотношение для т = 0.
Полагая Ьп = ап — ап+и имеем Вп = а0 — ап+1 = а0 — ип, и
k
Но, по теореме 47, ряд 2 ап суммируем (С, k), а по теореме 46
Ul = о (пк). Поэтому В1 ~(^и + )а0, и ряд 2 *га суммируем (С, А)
к сумме а0.
Теореме 48 можно придать также следующую форму: если ряд
2«и суммируем (С, А), /ко ctn^>-Q (С, А); это также верно (при-
(причем тривиально) для k = — 1 •
5.8. Теорема равносильности. Следующая теорема заметно
труднее.
Теорема 49. (С, &)- и (Н, Щ-метод равносильны: если ряд 2 аи
суммируем (С, ft), mo ои суммируем и (Н, ft) л; /яой же сумме,
И обратно.

J34 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
Разумеется, здесь k предполагается целым, поскольку гёльдеров-
ские средние определены пока только для целых k. Мы начнем с до-
доказательства следующего предложения.
Теорема 50. Если
¦•• +Sn
то предположения
E.8.2) sn->s (C,k) и mn->s (С, k — 1)
равносильны.
Пусть
E.8.3) 4 = ("|*)C*(S)
(так что Sn определено как Ап в § 5.4) и пусть т\, С* (т) имеют
аналогичный смысл. Суммирование по частям дает
2 0»+/»К= («+/»)«?— S «i
0 0
для любых pan. Поэтому, принимая во внимание, что s1n = (n-\-l) mn,
получаем последовательно
п
4 = 2^ + 1)/и, = (й + 2)/я^ — т\, 4 = (я + 3)/я^ — 2ml, ••• ,
о
E.8.4) ^«(я + А)/^-1 — (A — l)mj;
из соотношений же E.8.3) и E.8.4) следует, что
E.8.5) <* {S) == у^С^-1 (и) — (k — 1) С^ (те).
Так как С* (w) -> 5 влечет С* (/») -> s, то из формулы E.8.5)
следует, что с\~х (т) -»• s влечет С^[ (s) -> s.
Обратно, пусть С« (s) -> s. Так как mfl~1 = Wn — т*_ь то E.8.4)
можно записать в виде
4=(«+1)»*?--(« + *)ot?-i
или
E.8.6) q* (s) = (и + 1) С\(/«) — ndJ_! (яг).
Отсюда следует, что
E.8.7) (п+1)С* (т) = Со" (*) + С? (s) + • • • + Cj (*),
и значит, что Сп (т) —>¦ s. А тогда формула E.8.5) показывает, что
С* (я)-* л

5.9] ТЕОРЕМА МЕРСЕРА 135
Тем самым теорема 50 доказана. А из нее уже легко вывести
теорему 49. Действительно, применяя теорему 50 последовательно k
раз, видим, что предположения
С%(А)-+А, С^ {Я1 к
— все равносильны.
Теорема 40 (§ 5.3), доказательство которой мы отложили, оче-
очевидно, непосредственно следует теперь из теорем 47 и 49.
5.9. Теорема Мерсера и доказательство Шура теоремы равно-
равносильности. Доказательство теоремы 49, предложенное Шуром, в прин-
принципе аналогично, однако лучше выявляет соотношения между раз-
различными матрицами, связанными с рассматриваемыми методами. Оно
опирается на важную теорему Мерсера.
Теорема 51. Если а>0 и
E.9.1) /п = «я + A—а) «„->*,
то sn -> s.
Положим, по определению, т_, = 0. Тогда?и=(я+- 1) тп—и/я„_1
для я = 0, 1, 2, ... , и
E.9.2) tn=(an^-\)mn — апт,,~1 (я = 0, 1, 2, ... ).
Выберем <70, qv q2, ... так, чтобы удовлетворялись условия
90 = Ь %—«<7i = 0, (a+l)q1-2aq2 = 0, Bо+1) <72
Тогда
_ 1 ^+1 2а+' (я —!)«+! _ Г (и + Э
1 ^1
^™ ~~ а' 2а За
где р = — , и
E.9.3)
Умножая равенства E.9.2) соответственно на q0, qv q2, . . ., склады-
складывая и принимая во внимание соотношение E.9.3) и теорему 12,
получаем
(к о 4^ »i — ffofr + Ч\к + • • ¦ + Qnfn . _
Тогда из E.9.1) и E.9.4) следует, что sn-> s, и теорема 51 до-
доказана.
Напомним теперь некоторые общепринятые обозначения и термины.
Если преобразования Т и U совпадают, т. е. имеют совпадающие
матрицы, то пишут Т = U. Если Т и U имеют соответственно коэф-
коэффициенты ст,п 'и dm,n, то через аТ-[-[Ш обозначают преобразова-

136 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
ние с коэффициентами аст>п -\-$dm,n. Если, как в § 3.1, t = T(s),
а и = U (t), то пишут.
Если UT = TU, то говорят, что Т и U перестановочны. Вместо ТТ
пишут Т2, вместо ТТ2 пишут Т3 и т. д.
Если Т допускает обратное преобразование, т. е. такое преобра-
преобразование S, что из t=T(s) следует s = S(t) и обратно, то это пре-
преобразование S обозначают через Т. Имеем Т-1Т = ТТ~1 = Е,
где Е — тождественное преобразование, т. е. преобразование tm = sm.
Треугольное преобразование, в котором ст,т ф 0 для всех т, обла-
обладает обратным.
Преобразования (Н, k) и (С, k) мы будем обозначать через Н^)
и С^; при этом вместо Н^1-1 и С^ будем писать просто Н и С.
Таким образом, Н = С и Н^ = №. Если (т -\- 1) tm = so-\-... +s,«,
то sm = (/га 4- 1) tm — mtm_,. Поэтому матрицы преобразований Н
H-i
1000...\ /1000...
— 1 2 0 0 ...
3"   " " • • / 0-2 30..
\
1Н|И \- \ j |,цн-Ч1 =
°
Так как А*'1 = Агп — Агп-, и ( "+ Г)с; (Л) = Л'„, то
г СГ1 (А) = (я + г) Сгп (А) — пСгп^ (А) =
= {(я+ 1) Сгп (А) — яс;_! (Л)} + (г- 1) Сгп (Л),
так что
E.9.5) НС^-^—рС^' +A— P)HCW =S(r)C(r\
где р = — и
Поэтому H/c-'-+1C(''-I) = Hft-'-S()")Cw для 0<г<й. Но Нк~г пере-
перестановочно с Н и Е, а потому и с Sw. Следовательно,
E.9.6) Hft-r+1C(') = SWHft(
Положим
E.9.7) ТияН*-гС(г)

5.10] ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ЫЕРСЕРА 137
так что Т№) = СМ и Т(°) = №. Тогда E.9.6) можно представить
в виде T()'-1) = S()')T(r), и потому
где 4'»' — результат применения операции Ап к Тм. В силу теоремы 51
это показывает, что предположения $-* А и %~^-+А равносильны.
Иными словами, Т^ и Т'*" равносильны, и, следовательно, Т^
и Т(о) равносильны.
Заметим, что здесь мы пользуемся преобразованиями С^к\ ,
H2C(fc~2), ..., Нй, тогда как в § 5.8 мы пользовались преобразованиями С^,
С(*-1)Н> с(*)Н2,..., Н*. В действительности \\Р и С^ 'перестановочны
для любыхр и q, так что Н'''С№~'') = С^^Н*", и указанные две совокуп-
совокупности преобразований совпадают. Это нетрудно доказать непосредственно,
но по-настоящему это станет понятно лишь в §§ 11.3—11.4.
5.10. Другие доказательства теоремы Мерсера. Из множества других
доказательств теоремы 51 мы выберем два.
(А) Доказательство Кноппа. Одно доказательство, принадлежащее
Кноппу, обладает тем достоинством, что свободно от каких бы то ни было
алгебраических выкладок. Без ограничения общности можно считать, что sn
вещественны, и достаточно показать, что sn стремится к пределу.
Будем для каждого заданного л>0 различать два случая: (a) sn<^mn и
(б) sn>/n,,. Так как sn = (п + 1) тп—пт11_1, то из sn<^mn следует тп^С>тп
(и из sA > /л,,, sn = га„ следует соответственно тп_у<^тп и тп^1 = тп).
(I) Допустим, что
E.10.1) lim mn = со.
Тогда для любого заданного О существует такое р, что тр ^> О. Если при
п—р имеет место случай (а), то тр_1^>mp^>G. Если, далее, при р—1
имеет место случай (а), то /пр_2>м^-1> G, и т. д. Но тогда если для всех
чисел р, р —1,...,2 имеет место случай (а), то itti^> G, что для больших О
невозможно. Поэтому для одного из указанных чисел должен иметь место
случай (б), так что существует q, для которого s(J^mA^>G. Но тогда
tq — asq + A — «) niq = тц -(- a [sq — mq) > G,
что для больших G противоречиво, поскольку tn ограничены. Следова-
Следовательно, llm mn конечен; и аналогично lim mn конечен, так что тп ограничены.
(II) Допустим теперь, что (тп ограничены, но)
E.10.2) / = 1\тт„ < Пш тп — L.
Тогда существуют такие числа h и Н, что h<^H и каждое из неравенств
mn<^h, mn~y- H выполняется для бесконечного множества значений я. Пусть,
например,
E.10.3) /и;,<Л, mq>H, q>p.
Если для q имеет место случай (а), то, как и раньше, mq-t> mq^>H. По-
Поэтому если для всех чисел q, q—h---,pJrl имеет место случай (а), то
mpS-H^> h, в противоречие с первым из неравенств E.10.3). Следовательно,
существует г, большее чем р, для которого s,. >т,.>Я и
E.10.4) tr = asr +(!—«) mr = Щ + а (sr —

138 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
А так как р может быть сколь угодно большим, то заключаем, что неравен-
неравенство E.10.4) выполняется для бесконечного множества значений г.
Аналогично и tr<^h для бесконечного множества значений г. Но это
в соединении с предыдущим противоречит предположению, что tr стремится
к пределу. Следовательно, допущение E.10.2) неверно и тп стремится к пре-
пределу. А тогда в силу E.9.1) и sn стремится к пределу.
(Б) Доказательство Харди. Другое доказательство, предложенное
Харди, дает несколько больше, в частности — распространение теоремы на
комплексные а. Нам будет удобно .начать с тривиального преобразования
теоремы.
Полагаем
¦¦¦+sn), а = ^—.
Тогда соотношение E.9.1), с заменой п на п — I, принимает вид
E.10.5) Un-.Un_l-E^^s>
и положительным значениям а соответствуют значения а, меньшие чем 1.
Теорема Мерсера утверждает, что и„—ип-х и — стремятся тогда к
Мы докажем более общее предложение.
//
у——.
Теорема 52. Если а = \+ i$ и 1ф1, то из соотношения E.10.5)
следует, что
„ Г(я + 1) I sn , , .
Если Х<1, то С = 0.
При доказательстве можно считать, что s — 0. Положим
"»= Г(я + 1-а) 4»=fn4n.
Тогда fn~na и fn — fn-i= -^ ¦ Поэтому
/n-l ('in — fn-l) = fnfn—fn-ltn-l — (fn —fn-i) 'in
= «и — «я-1 -j^ = 0A),
так что уп — (рп_! = о(п~1). Если Х<1, то
п
1 1
и ип = О (пх) о (п1-1) = о (п). Если Х> 1, то ряд 2 (Чт — Ъп-i) сходится,
сря стремится к некоторому пределу С,
со со
Чп = С -2 (Ьп+1 - Чт) = С + 2 о (от-») = С + о (ni-i),
и un = Cfn + ()
Теоремы такого же типа существуют и для „асимптотических дифферен-
дифференциальных уравнений". Одной, особенно простой из них мы в дальнейшем
воспользуемся:
Теорема 53. Если f(x) -f-/' (x) -> 0 при х -> со, то f(x) -> 0.

6.11] БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ 139
Это можно доказать непосредственно следующим образом. Если/', начи-
начиная с некоторого х, сохраняет постоянный знак, то / монотонна. Следова-
Следовательно, / стремится к некоторому (возможно бесконечному) пределу /,
а /'-> — /. Но это возможно лишь при / = 0. Если же /' принимает положи-
положительные и отрицательные значения для сколь угодно больших х, то /->0,
когда д:->со, пробегая значения, в которых /достигает максимума или
минимума, а потому и когда х-*со произвольным образом.
5.11. Бесконечные пределы. Естественно возникает вопрос, распро-
распространяется ли теорема равносильности на случай бесконечных пределов.
Ответ оказывается отрицательным.
Теорема 54. Если sn-*co (C,k), то sn->-co (H, k). Но обратное
при k^> 1 неверно.
Здесь k — снова целое. Из E.9.5) следует, что
№=i-HC(s)-f 4-№>CB) = 1 cC)+4-HCC) + 1 №0C),
2 2. О /• о
и вообще
E.11.1) H*=2«*
р = 0
где ак „>0. Отсюда
S-1
E.11.2) Н\ (s) = 2 аъ,Р
р = 0
В свою очередь,
E.11.3) HP {С Щз)} = 2 Kv,Pf («).
где йя 2>0; а из формул E.11.2) и E.11.3) следует, что
EЛ1.4) Н*(*) = 2 W^
2=о
где
ft-i
6*,n,3= 2 aJc,phn,p,<t>°-
р=0
Рассматривая случай, когда sn = 1 для всех /г, убеждаемся в том
что 26а,»,2 = 1-
Теорема равносильности показывает, что преобразование E.11.4) регу-
регулярно, и так как ЬкпA^>0, то оно удовлетворяет условиям теоремы 9. Поэтому
E.11.5) lim C%\s) < От Я* (s) <"Пт Я* (s) < lim C
так что из *п->со (С, k) следует sn-*oo (H,k). Тем самым положительная
половина теоремы доказана.
Для доказательства отрицательной половины допустим, что k > 1
и С|^ (^) = 2т, Cf^+1(s)=O. Эти условия определяют последовательность (sn),
Для которой
lim C№ (s) = 0, lim

140 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
и Нп {dk\s)} -к». В силу равенства E.11.2) тогда H%(s)>aktlHn {Cm(s)}^>oo,
к, значит, sn->-!X> (H,?). Однако соотношение sra->co(C, k) не имеет места.
5.12. Суммируемость по Чезаро и по Абелю. Из теоремы 43
видно, что сила (С, k) -методов возрастает вместе с k. Нижеследую-
Нижеследующие теоремы показывают, что А-метод сильней их всех.
Теорема 55. Если ^ап = А (С, k) для некоторого k,
то 2ап —^ (АО-
Теорема 56. Существуют ряды, суммируемые (А), но не
суммируемые (С, k) ни для какого k.
Нам потребуется вспомогательное предложение, представляющее
и самостоятельный интерес.
Теорема 57. Если dn>0, 2й?п = со1 2й?«х'г сходится для
0 <! х < 1 и сп — Adn, где АфО, то
при х -> 1.
Мы можем считать сп вещественными и Л = 1. Тогда ^- заклю-
ап
чено между 1—е и 1 -j- s для п^> N= N(e). Поэтому, с одной
стороны,
N со N '
2
+ я(+)()+2
0 W+1 0
а с другой,
С (*) > A-е) D (дг) - 2 d«^' — 2 ! си | х«.
о о
Так как
lim D (х) >- lim 2 dnxn = D^
о
для каждого N, и тем самым D(x)~*co, то заключаем, что
тт— С (х) - , • .. С (д.) - ,
и, следовательно, С(х) — D(x).
Теорема 55 получается отсюда как следствие. Мы можем считать,
что А ф 0. Тогда, как в § 5.4,
и так как а\-~^ АЕп, то /(х)->Л.

5.13] ЧЕЗАРОВСКИЕ СРЕДНИЕ КАК СРЕДНИЕ ВОРОНОГО 141 ^
Для доказательства теоремы 56 определим ап как коэффициенты
степенного ряда
1
E.12.1) f(x) = e1+* = '2ianxn.
Так как f{x) регулярна всюду, кроме точки х —— 1, то этот ряд
1
сходится для |х|<1; при этом f(x)->ez, когда х->1. С другой
стороны, ап не есть О (пк) ни для какого k. Действительно, от-
отсюда следовало бы, что
равномерно в круге |л;|<1, тогда как/(х) стремится к бесконеч-
ности как е1—1Ж1, когда х—> —1 по вещественным значениям. В силу
теоремы 46 это показывает, что ряд 2 й» не суммируем (С, k) ни
для какого k.
Еще более изящным примером ряда, обладающего требуемыми свой-
свойствами, служит 2(— 1)п<? ", где с>0. Коэффициенты ряда E.12.1)— при-
примерно такого же типа, но доказывается это довольно сложно *).
5.13. Чезаровские средние как средние Вороного. (С, ^-сред-
^-средние являются (W, рп)-средними для случая
— 1\ ,. , \}(n-\-k —1
1\ „ 1
)Х =(Г=
(Н, А)-средние не являются средними Вороного (за исключением слу-
случая k=l). Интересно найти примеры методов Вороного, которые
были бы (а) сильнее любого чезаровского среднего или (б) слабее
любого чезаровского среднего положительного порядка,
(а) Пусть k — целое. Положим
+ k—1
1
откуда Рп = О (пк), Qn — 2YneVn, и определим жп формулой
*) Приведенные примеры могут навести на мысль, что А-метод равно-
равносилен (С, &)-методу, если s,4 = o(nu) для некоторого к, однако это неверно.
(Прим. ред.)
**) Мы пользуемся буквой г. вместо k, принятого в § 4.3, поскольку k
уже занято.

142 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
так что
„Уп
для n^-k. Нам нужно показать, что суммируемость (W, рп) влечет
суммируемость (W, qn). Для этого мы воспользуемся теоремой 19.
Второе условие этой теоремы, очевидно, выполнено, и достаточно
доказать, что
(п-тJ
где суммирование распространено на значения 0 < т < п. Но члены
с т > -к- дают в сумме О (еьУ п) с с < 1. А так как
У п — Vn — m > —~, еУп-т<еУпе 2Vn,
то остающиеся члены дают
к т
o(eVnn
== О
(б) Средние, для которых рп = , , были названы М. Риссом
„гармоническими" средними. Положим теперь qn = (n~^ ~ ),где
А!<1, так что (W, ?„) совпадает с (С, k). Тогда р« < pn_i
?«<^» если (/г_[_1)(л_^_^_1-)->я2) т# е> если
и <^;
Рп—Х Яп—1 .
Таким образом, условия теоремы 23 выполнены, и из суммируе-
суммируемости (W, р„) следует суммируемость (С, k) для любого положи-
положительного к.
5.14. Интегралы. Для интегралов определения, соответствующие
данным в §§ 5.2—5.5, таковы. За нижний предел интегрирования мы
принимаем 0 и, во избежание малосущественных усложнений, считаем,
что а (х) ограничена на каждом конечном интервале @, <?) *).
Полагаем
(х) = А (х) = J а @ dt, № (х) = 1J №-i (/) rf/.
о о
*) См. примечания к § 5.14 в конце главы.

5.14] интегралы 143
Если Нк (х) ~> А при л:->оо, то мы пишем
А(х)->А (Н, ft), f a(x)dx = A (И, ft)*)
и говорим, что рассматриваемый интеграл суммируем (Н, k) к А.
Если
X
Ао (х) = А (х), Ак (х) = J Ак_, @ dt,
то мы пишем
А(х)-+А (С, k), ja(x)dx = A (С, к)
и говорим, что рассматриваемый интеграл суммируем (С, ft} к А.
Таковы определения для целых k. Но при целом k, интегрируя
по частям, получаем
E.14.1) Ак(х) = $ At(_1(t)dt=f(x — t)Ak_2{t)dt=...
о о
се х
А эти формулы подсказывают распространение наших определений и
на нецелые ft. Мы говорим, что интеграл Га (л:) dx суммируем (С, k)f
где k > 0, к сумме Л, если
E.14.2) ™ Ак (х) = A J (*_ *)*-
Вторая форма этого определения, с a(t), пригодна для всех й> — 1.
*) Интегралы с неуказанными пределами берутся, как обычно, от 0
До со.

144 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
Если А1с(х) определено формулой E.14.2) и &>—1, />0, то
х
о о
X X
о
X
Таким образом,
E.14.3) Ak+l(x
о
Это — аналог формулы E.4.8).
5.15. Теоремы о суммируемых интегралах. Для интегралов имеют
место теоремы, соответствующие большей части теорем §§ 5.3—5.11,
причем доказываются они обычно несколько проще, чем соответствую-,
щие теоремы для рядов. Однако имеется одно существенное различие,
а именно: если ряд 2 ап сходится, то ап -» 0, между тем как соот-
соответствующей теоремы для интегралов не существует. Поэтому не су-
существует и никакой лимитирующей теоремы, подобной теореме 46, и
это нарушает в некоторых отношениях аналогию.
Мы приведем здесь основные результаты, предоставляя доказа-
доказательство большей частью читателю и подчеркивая только пункты
различия.
Если интеграл Г a{x)dx суммируем (С, к), где &>—1, то он
суммируем и (С, к!) для k'^>k. Доказательство опирается на соотно-
соотношение E.14.3) и в остальном аналогично доказательству теоремы 43.
Определенные выше методы суммирования для интегралов обладают
свойствами, аналогичными указанным в теореме 40. В частности,
оо е оо
E.15.1) Г а (х) dx = Г а (х) dx -j- Г а (х) dx (С, ft),
о о ' с
если любая из частей этой формулы имеет смысл, причем последний
интеграл определен как Г а (с -\-у) dy.
(Н, К)- и (С, k)-определения равносильны. Проще всего доказать
это путем модификации доказательства, проведенного в § 5.8. Нам

5.16] РИССОВСКИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ 145
нужно показать, что если sk(x) определено подобно Ак{х) в § 5.14, а
х
& (х, s) = JI sk (х), т (х) = I [ s @ dt,
6
то утверждения
E.15.2) Ck(x,s)-+s, С*-1 (л:, т) -» s
равносильны. Но sx (х) = х/ге (х), ,?2 (х) = x/raj (х) — /га2 (х), . . ., где
mj (х) = Г т (t) dt, т2 (х) = Г mJ (f) dt, .. .,
о о
И Вообще посредством повторного интегрирования по частям полу-
получаем
E.15.3) sk(x) = xmlt_1(x) — (k—\)mk(x),
а это равносильно соотношению
E.15.4) Ск(х, s) = kCk-1(x, m) — (k — l)Ck(x, m).
Отсюда следует, что второе из соотношений E.15.2) влечет первое.
С другой стороны, формула E.15.3) показывает, что
х
Sfc(x) _ й (тк (х)\ тк{х) _ Л sk(t)
~Ж Щ\Т^'; ~ ) ' fk al
(х)\ тк{х) _ Л
о
так что
X
СЦх, m) = ±$C*V, s)dt.
о
Поэтому из Ск (х, s) -> s следует Ск (х, т) -> s, и, значит, в силу
E.15.4)
Ck-l(x, m)->s.
Тем самым доказана равносильность обоих соотношений E.15.2);
доказательство основной теоремы проводится затем, как в § 5.8.
5.16. Риссовские арифметические средние. Формулы E.14.2)
подсказывают модификацию определений, данных в §§ 5.4—5.5. Если
к — целое, то в обозначениях § 5.4
10 Зк. 2499. Г. Хардя

146 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
Заменив здесь все знаменатели п -\-1, п -\- 2, ..., п -\- k на п, мы
получим новое среднее
E.16.1) fl*04)
по виду более близкое к интегральному среднему E.14.2). Это при-
привело М. Рисса к мысли попробовать принять соотношение
E.16.2) Rl(A)-+A
в качестве нового определения суммируемости. Очевидно, здесь пара-
параметр k мог бы принимать любые положительные значения, отрицатель-
отрицательные же значения для него недопустимы.
Однако Рисе обнаружил, что это определение не дает удовлетво-
удовлетворительных результатов: свойства средних Rn(A) для больших зна-
значений k совершенно непохожи на свойства соответствующих чезаров-
ских средних. Это побудило его видоизменить определение путем
введения непрерывного параметра со. Получаемые таким образом сред-
средние являются нормальными средними § 4.16 с Ля=я.
Полагаем
E.16.3) R* („) = R* (со, А)
где k > 0. Если Rk (а>) -> А при ш -*¦ оо, то мы говорим, что ряд 2 ап
суммируем (R, n, k) к сумме А. Оказывается, что суммируемость
(R, я, k) равносильна суммируемости (С, k). Мы ограничимся рас-
рассмотрением целых k; доказательство для произвольных k довольно
сложно.
Теорема 58. Если ряд 2ап суммируем (С, k), где k — целое,
то он суммируем (R, n, k) к той, же сумме, и обратно.
При доказательстве мы можем предполагать, что сумма ряда равна
нулю. Тогда следует доказать равносильность соотношений
E.16.4) Д*в0(я*)
и
E.16.5) П(<а) = о(о>ь).
Запишем ш в виде со = я -j- 6, где я — целое и 0 ^ 6 < 1.
(I) Пусть выполнено соотношение E.16.4). Так как Тк (cu) a
= 2(Й — v-j-6)fta,, то
2 7* (ш) хп = 2 (п + 0)**» 2 а»*» - * (х, 9) 2

5.16] РИССОВСКИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ 147
где
g(x, в) = 'A —jc)*+i 2(л
причем коэффициенты Cj (в) — многочлены &-й степени по 6. Поэтому
со к со 1с
2 v («) *»=2 ^ F) х* ^ л»х"' г* С) =5]с- F)л»-»
я = 0 J = 0 я = 0 v = 0
откуда и следует E.16.5), притом равномерно относительно 6.
(II) Пусть теперь выполнено E.16.5). Предполагая, что 0<60<
< 6j <... < Ьк < 1, мы можем определить ^0, qv ..., qk так, чтобы
имело место тождество
г=0
В самом деле, приравнивая здесь коэффициенты при различных сте-
степенях п, получаем систему уравнений относительно qr вида
-с; (/ = о, 1, ..., к),
определитель которой
№\ = Д (e,-eM)^o.
Тогда имеем
откуда и следует E.16.4).
Сделаем еще несколько замечаний, обнаруживающих неудовлетворитель-
неудовлетворительность определения E.16.2). При k = 1 имеем
I]( +! ~v) й^ = *» (л)
так что указанное определение равносильно чезаровскому; но равносильность
уже не сохраняется для больших значений к. Пусть, например, k = 2. Тогда
у (я+1)ал?+1и)*»=2<в+1>1|*
Определим а„ как коэффициенты разложения
10*

148 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
Тогда ап будут порядка гР, так что ряд 2 й» не суммируем (С, 2); однако
При ? = 3 соотношение E.16.2) не влечет суммируемости (С, К) ни для
какого k, и даже не влечет суммируемости (А). Действительно, функция
имеет нуль в точке х ——2-f- Y~3 = а. лежащей внутри единичного круга.
Если мы определим ап как коэффициенты разложения
то будем иметь /?^(Л) = оA), однако ряд 2 апхП будет сходиться лишь
ДЛЯ |х|<а<1.
Поучительно рассмотреть этот вопрос в свете §§ 4.3—4.4. (С, 2)-средние
являются (W, <7и)-средними с q(X) — V qnxn = - а
**i \V X)
есть коэффициент при хп в произведении
где
2 («+1J*ге 2 а»хП = S рпхп 2
-х)*'
так что R^+i(A) есть (W,j3M)-cpeflHee с этими рп. В обозначениях § 4.3 мы
1
имеем k (х) = 1 ¦ = 1 — х + х*— ..., так что 2 I fen I =* °°. Равносиль-
Равносильность нарушается из-за нуля функции /> (*) при * = —1, и она, естественно,
еще основательнее расстраивается, когда j? (*) имеет нуль внутри единичного
круга.
5.17. Равномерно распределенные последовательности. Мы
закончим эту главу кратким экскурсом в другую область.
Пусть 0 <; sn <; 1 для всех п. Обозначим через / отрезок
0<^я<^*^?<^1 и через ях — количество тех чисел из последова-
последовательности s0, Sj, .. ., sn, которые попадут в /. Если п.^п/*) при
п -> оо для каждого /, то говорят, что последовательность (sn) равно-
равномерно распределена на отрезке [0, 1].
*)
*) Мы обозначаем и интервал и его длину одним и тем же символом
В дальнейшем тексте этого параграфа интегралы с неуказанными пределами
берутся от 0 до 1.

5.17] РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 149
Обозначим через 1(х) характеристическую функцию интервала /,
т. е. функцию, равную 1 в / и 0 вне /. При /(х) = /(х) имеем
+ /(«i)+••¦+/(«») "i
п -}~ 1 п -f- 1 '
Таким образом, утверждение о равномерном распределении равно-
равносильно утверждению, что
E.17.1) /(**)-»> ff(x)dx (С, 1)
для каждой функции f(x) = I(x), Мы докажем теперь следующее
предложение.
Теорема 59. Если последовательность (sn) равномерно рас-
распределена, то соотношение E.17.1) имеет место для каждой
функции f(x), интегрируемой по Риману.
Очевидно, при доказательстве можно предполагать, что / веще-
вещественна. Если последовательность (sn) равномерно распределена, то
соотношение E.17.1) справедливо для всех функций вида/(х) = /(х).
Отсюда путем умножения и сложения следует, что оно справедливо
и для любой ступенчатой функции, принимающей конечное число зна-
значений. Но для любой интегрируемой по Риману функции / существуют
две такие ступенчатые функции /j и /2, удовлетворяющие условиям
И так как
то
п
S Л (Sm^ S fidx' 7ГТТ 2 ^ ^ ~* ff*dx'
о
п
>11т7ГТт2/1(*»)="/ hdx> J/W
b
о о
В силу произвольности а отсюда следует, что
и_ теорема доказана.

150 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
К другому признаку равномерного распределения можно прийти
следующим образом. Для функции
где k — целое положительное число, имеем Г / (х) dx = 0. В силу
теоремы 59 отсюда следует, что для равномерно распределенной по-
последовательности (sn) имеет место соотношение
я
5.17.2) 2 е (ks ) = о (п) (k = 1 2 3 . ..)
о
или, что равносильно этому, соотношение
п
E.17.3) 2 ПО = о (га)
о
для любого тригонометрического многочлена Т (х) без постоянного
члена. Таким образом, соотношение E.17.2) или E.17.3) представляет
собой необходимое условие равномерной распределенности последова-
последовательности (sn). Покажем, что это условие также достаточно.
Теорема 60. Если соотношение E.17.2) справедливо для лю-
любого натурального k, то последовательность (sn) равномерно рас-
распределена.
Действительно, прежде всего E.17.3) выполняется для любого Т(х).
Тогда для любого тригонометрического многочлена
к
х (х) = Щ- + Т (х) = Q 4- V (аг cos 2Ых 4- Ъг sin 2Ых),
очевидно,
п
1 у , , яо , Гт( ¦)d ^ fxOcW*
П -\- 1 1шшА 2 J J
m = 0
так что соотношение E.17.1) выполняется для f(x) =т(х). Далее,
для любой вещественной непрерывной функции /(х) существует три-
тригонометрический многочлен х такой, что |/—x[<s на всем отрезке
[0, 1]. Полагая т1 = т — е, i2 = x-\-e, имеем Х!</<хаи Г i2dx —
— Г Tjrfx<2a. Отсюда вытекает, так же как в доказательстве тео-
теоремы 59, что E.17.1) выполнено для /. Наконец, если f{x) = 1{х),
то существуют непрерывные функции /t и /а такие, что /1^/^/2,
а интегралы Г f^dx и Г /2 dx отличаются друг от друга меньше чем
на з, и повторное применение того же рассуждения показывает, что

5.18] РАВНОМЕРНАЯ РАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ { П2О, } 151
E.17.1) верно и для этой функции /. А это и означает, что после-
последовательность (sn) равномерно распределена.
Пожалуй, наиболее интересен тот случай, когда
sn = not — [па] = {да},
где а — иррациональное число, Если а — рациональное число —, то sn
1 2
периодически пробегает в некотором порядке значения 0, —,— ,...,
-—. Поэтому естественно ожидать, что последовательность (sn) при
иррациональном а равномерно распределена. И действительно, в этом
случае
?Г-=о о)=о (п)
о о
для k = l, 2, 3,..., так что (sn) равномерно распределена, и имеет
место
Теорема 61. Последовательность ({па}), где а иррационально,
равномерно распределена на отрезке [0, 1].
5.18. Равномерная распределенность последовательности {я2а).
Теорема 61 допускает важные обобщения. В частности, Вейль пока-
показал, что если Р (я) есть многочлен
имеющий, по крайней мере, один иррациональный коэффициент, то
последовательность ({Р (п)\) равномерно распределена. Доказательство
этой теоремы довольно сложно, и мы ограничимся здесь рассмотре-
рассмотрением одного частного случая, достаточно хорошо иллюстрирующего
основную идею Вейля.
Теорема 62. Последовательность ({п*а}), где а иррационально,
равномерно распределена на отрезке [0, 1].
Нам нужно доказать соотношение E.17.2) для sm = {/ra2a}; так
как ka иррационально одновременно с а, то достаточно доказать, что
Sn= 2 е™™( = о(п).
Умножая Sn на комплексно сопряженную величину и заменяя за-
затем q на p-\-j, имеем

152 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
Обращая порядок суммирования, получаем
2 2 2 2
Здесь
п п—j
i
причем t^- удовлетворяют одновременно неравенствам
О <; ^ <; я—у -J- 1 <; я -f- I, Wj < | cosec
Но | sin 2jna | ^- 2^-, где \j— расстояние от 2ja до ближайшего
целого, т. е. расстояние от {2/а) до ближайшего из чисел 0 и 1.
Так как числа {2jo.} равномерно распределены, то число тех из них
с j -^ я, для которых Xj < yj, т. е. которые лежат в одном из интер-
интервалов [0, г]) или A—т), 1], для достаточно больших п меньше
чем Зч\п. А тогда со^ ^ -=— для более чем п -\- 1 — Зщ номеров j,
тогда как для остальных j во всяком случае ш;^я-|-1. Поэтому
lim -Д < hm
и Г] = о(яа). Аналогично Г8==о(я2). Следовательно, 5„ = о(я), и
теорема доказана.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ V
§§ 5.2—5.3. См'. § 1.3. Работы Фробениуса и Гёльдера были опублико-
опубликованы в JM, 89 A880), 262—261, и МА, 20 A882), 535—549, а работа Че-
заро — в BSM B), 14 A890), 114—120. Чезаро первый исследовал вопрос
об умножении рядов; см. гл. X.
§ 5.5. Определения для общего k дали независимо Knopp, Sitzungsbe-
richte d. Berliner Math. Ges., 7 A907), 1—12 [напечатано в Archiv d. Math.
C), 12 A907)] и Chapman, PLMS B), 9 A911), 369—409.
Общие изложения рассматриваемой теории имеются в руководствах
Borel, Dienes, Hobson B, гл. 1) и Knopp, а также в монографиях Andersen,
Bohr и Kogbetliantz. Очень ясное изложение основных теорем содержится
в лекции Андерсена (Cesaro's Sutnmabilitetsmetode, Копенгаген, 1919). Моно-
Монография Когбетлианца наиболее полна, однако представляет собой лишь сводку
результатов без доказательств.
Иногда бывает трудно указать авторов отдельных теорем, поскольку
большая часть последних была найдена в процессе постепенного обобще-
обобщения; и мы не будем стремиться систематически делать это, хотя и даем
ссылки в наиболее ясных случаях.
§ 5.6. Теоремы этого параграфа принадлежат в основных чертах Чезаро.
Более общие теоремы того же типа можно найти в работе Knopp, RP, 32
(.1911), 95—1Щ

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. V 153
§ 5.7. Теоремы 43 и 46, в их общем виде, принадлежат Чэпмену и
Кноппу. Теорему 45 доказали Hardy и Littlewood, PLMS B), 11 A912),
411—478 D62, теорема 37).
§ 5.8. Knopp, Grenzwerte von Relhen bei der Annaherung an die Kon-
vergenzgrenze (Диссертация, Берлин, 1907), доказал включение (Н, k)-*(C,k),
a Schnee, MA, 67 A909), 110—125, — обратное включение. Приведенное
здесь доказательство предложил Andersen, MZ, 28 A928), 356—359; оно
является упрощением доказательства, ранее предложенного Кноппом, там
же, 19 A924), 97—113. См. также Кпорр, 481.
Теорема 49 является частным случаем теоремы, утверждающей, что
соотношения
(а) (%) {С® (А)} -> А, (б) Cf {СW (А)} ->Д (в) C«J + »(А) -> А
равносильны. Последняя теорека была разными способами доказана Андер-
Андерсеном, Фабером, Хаусдорфом и Когбетлианцем; ссылки можно найти в ука-
указанной выше работе Андерсена. Следует заметить, что равносильность
соотношения (в) с (а) и (б) лежит глубже, чем равносильность соотноше-
соотношений (а) и (б), поскольку преобразования С^С^ и С^С^ совпадают друг
с другом, но не с ?'<" + ?'•
Совпадение преобразований С^С^ и С^С^ вытекает как следствие
из работы Хаусдорфа (гл. XI) и может быть также доказано непосредственно,
Легко проверить, что
где спр равно нулю при р^>п и равно
Г(я-Ы)Г(а+1) Грз-f- 1)Г(Р + 1)Г(и— р + а) р /^ р + 1, — л+р, р
при р<!я, причем аргументом гипергеометрического ряда служит 1; а из
фгрмулы A) на стр. 21 книги Bailey следует, что это выражение симметрично
относительно аир.
§ 5.9. Mercer, PLMS B), 5 A906), 206—224; Schur, MA, 74 A913),
447—458. Доказательство Шура приведено также в книге Landau. Ergeb-
nisse, 42—51.
§ 5.10. Кпорр, MA, 74A913), 459—461; Hardy, QJM, 43 A912), 143—150.
Харди доказывает ряд обобщений теорем 52 и 53. Приведенное здесь простое
доказательство теоремы 53 принадлежит Гобсону.
Pitt [PCPS, 34 A938), 510—520] и Rogosinski [там же, 38 A942),
166—192 и 344—363], пользуясь более глубокими методами, доказали зна-
значительно более общие теоремы.
§ 5.11. Теорема 54 принадлежит Шуру, 1. г. в примечании к § 5.9.
Из проведенного здесь анализа и теоремы 11 следует, что (Н, &)-ядро
последовательности (sn) содержится в ее (С, &)-ядре. Кнопп, 1. с. в примеча-
примечании к § 3.7, дает простой пример вещественной последовательности (sn),
Г 1 о "|
(Н, 2)- и (С, 2)-ядрами которой служат соответственно отрезки -j , -г и [0, 1].
Bosanquet, JLMS, 21 A946), 11—15, показал, что *я->со (Н, 2) не вле-
влечет ни sra->-co (С, k) для какого бы то ни было k, ни sn-*co (А), даже
когда ряд 2 апхП сходится для |jc|<1.
Basu, PLMS B), 50 A948), 447—462. доказал, что теорема 54 сохраняет
Силу для произвольных &>1и —1<&<0, тогда как для 0<?<1 логи-
логическая зависимость рассматриваемых соотношений обращается.

154 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ A) [ГЛ. V
§ 5.12. Автором теоремы 57 является Appell, Archiv d. Math., 64 A879),
387—392. Пример, использованный для доказательства теоремы 56, при-
принадлежит Ландау A. с. в примечании к § 5.9, стр. 51).
§ 5.13. По поводу .гармонических" средних см. М. Riesz, 1. с. в примеча-
примечании к § 4.3.
§§ 5.14 — 5.15. Теоремы, относящиеся к суммируемым интегралам, трудно
снабдить удобными ссылками, поскольку эти теоремы часто просто утвер-
утверждаются как „очевидные аналоги" соответствующих теорем для рядов. Тео-
Теорему равносильности доказал впервые Landau, Leipzlger Berichte, 65 A913),
131—138. Доказательство Ландау построено по образцу доказательства
Шура, приведенного в § 5.9.
М. Е. Grimshaw, JLMS, 9 A934), 94—102, доказал аналог теоремы 45.
Некоторые дальнейшие ссылки будут даны в примечаниях к главам VI и X.
В тексте мы для простоты предполагаем, что а(х) ограничена на каж-
каждом конечном интервале [0, А']. Рассмотрения, приведенные для гёльдеров-
ских средних, сохраняют силу для всех интегрируемых а (х). То же верно
и для чезаровских средних с k^>0, в случае же k<^0 рассматриваемые
интегралы могут иногда расходиться. Так, интеграл (х— t)^a(t)dt pacxo-
1 2
дится при х = ягс, если а (х) = . ¦ и —1<&<; . Здесь это не-
V sin х ' 3
важно, поскольку средние отрицательного порядка сами интересны, лишь
когда а (х) стремится к пределу.
Полное исследование формулы E.14.3) для функций а(х), интегрируемых
в более общем смысле Данжуа-Перрона, проведено в работе Bosanquet,
PLMS B), 31 A930), 144—164.
Рассматриваемая в тексте функция А (х), будучи интегралом от а (х), абсо-
абсолютно непрерывна. Но, очевидно, мы можем определить соотношение
А(х)-+А (С, k) формулой E.14.2) и когда А(х) лишь интегрируема, пред-
предполагая, что ?>0 и соотношение E.14.2) берется в его первой форме.
С другой стороны, интегрируемость функции А (х), начиная от 0, не влечет
с необходимостью интегрируемости функции Н1(х); так, Н'(л:) = г—,
xlogi
когда А (х) = г—y . Поэтому приходится накладывать некоторые до-
полнительные ограничения на поведение А (х) при малых х. Поскольку мы
интересуемся главным образом большими значениями х, это — не столь
серьезный недостаток.
§ 5.16. Равносильность (R, п, к)- и (С, Лг)-средних впервые доказал
М. Riesz, CR, 152 A911), 1651—1654; ход доказательства лишь вкратце на-
намечен. Полное доказательство дает Hobson, 2, 90—98. Ингам предложил
более короткое доказательство (не опубликовано); при целом k оно сводится
к доказательству, изложенному в тексте.
§ 5.17, Теорему 59 доказали независимо и примерно одновременно Боль,
Серпинский и Вейль; ссылки можно найти в книге Koksma. Мы следуем
Вейлю, МА, 77 A916), 313—352.
„Элементарное" доказательство теоремы 61, опирающееся на простые
свойства непрерывных дробей, приведено в книге Hardy and Wright,
378-380.
Вейль доказывает значительно больше и, в частности, равномерную
распределенность в r-мерном пространстве точек

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. V 155
где Pi (я), ••• —многочлены, линейно независимые в том смысле, что ни-
никакая комбинация hPi ~\-\Ръ ~\- ¦•• -\-\Рг с целыми \ не сравнима с по-
постоянной по модулю 1.
Ряд частных случаев теоремы Вейля был ранее установлен Харди и
Литтльвудом. Так, они установили [Proc. fifth international congress of mathe-
mathematicians, 1 (Кэмбридж, 1912), 223—229 B26); AM, 37 A914), 155-191
A64)], что
(a) 2 e {mPa) = о (я)
о
для р = 1, 2,... и иррациональных а и что точки {А} равномерно рас-
распределены. Во второй работе в AM (там же, 193—239) они доказали соотно-
соотношение (а) для р = 2 специальным методом и установили более точные
результаты для отдельных типов иррациональных чисел. Третья работа, ко-
которая должна была содержать доказательства их более общих утверждений,
не была закончена вследствие появления более компактной и мощной вей-
вейлевской теории.
В их первой работе в AM Харди и Литтльвуд доказали, более эле-
элементарным путем, что точки {яра} плотно расположены в [0, 1]; разумеется,
это слабее, чем равномерная распределенность. Их рассуждение упростил
и обобщил Kakeya, Science reports Tdhoku Univ., 4 A915), 105—109.

Глава VI
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B)
6.1. Теоремы тауберова типа для методов Чезаро. В § 3.8
было отмечено, что для каждого метода суммирования должна суще-
существовать своя „лимитирующая теорема", поскольку ни один из при-
применимых методов не суммирует слишком быстро расходящихся ря-
рядов *). Так, для методов Чезаро лимитирующей теоремой служит
теорема 46 с k'= — 1.
Эффективность этих, как и других зарекомендовавших себя ме-
методов имеет и другую, менее очевидную границу. Никакой метод не
в силах суммировать слишком быстро расходящиеся ряды. Но он не
в силах суммировать и слишком медленно расходящиеся ряды. Тео-
Теоремы, в которых осуществляется этот принцип, называют (по причи-
причинам, которые выяснятся позже) „теоремами тауберова типа". Они
утверждают, что если ряд суммируем (Р) и удовлетворяет некото-
некоторому дополнительному условию Кр (меняющемуся с методом Р, но
всегда ограничивающему быстроту возможной расходимости), то он
сходится. Для методов Чезаро наиболее типичной формой условия КР
(допускающей разнообразные обобщения) является ап = О(—J.
Мы докажем следующие две теоремы.
Теорема 63. Если ~S?an = A (С, k) для некоторого k и
F.1.1) а„ =
то ряд V ап сходится и даже суммируем (С, — 1 -f- 8) для лю-
любого положительного 8.
Теорема 64. Если ап вещественны, Van = /1 (С, А) для не-
некоторого k и
F.1.2) ««„> — И,
то ряд V ап сходится.
Для упрощения последующих рассуждений сделаем несколько пред-
предварительных замечаний. Прежде всего в силу теоремы 43 мы можем
*) См, сноску на стр. 80. (Прим. ред.)

6.1] ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ МЕТОДОВ ЧЕЗАРО 157
считать k целым, заменяя в противном случае k на k' = [k] -J-1.
Далее, доказательства требует только сходимость ряда, поскольку
сходящийся ряд, удовлетворяющий условию F.1.1), по теореме 45
суммируем (С, — 1 -j- 8). Наконец, мы можем считать ап вещественными,
рассматривая в противном случае вещественную и мнимую части
порознь. Таким образом, достаточно доказать теорему 64 с целым k.
Доказательство будет основано на двух предварительных теоре-
теоремах, представляющих и самостоятельный интерес. Положим Ьп = па-п
и будем обозначать через Вп, В„, ... суммы, образованные из дп,
как Ап, Ап, . . . из ап.
Теорема 65. Если ряд 2 ап суммируем (С, г -f-1), где г > — 1,
то для его суммируемости (С, г) необходимо и достаточно, чтобы
+1
Теорема 66. Для того чтобы ряд 2я» °~ыл суммируем
(С, г-{-1), где г-\-\ > — 1, необходимо и достаточно, чтобы схо-
сходился ряд
fn + r + 1) n
r + \ J
^т- •
Как легко проверить,
откуда (сравнивая коэффициенты при а„_v в E.4.5))
F.1.4)
F.1.5) й;( +
Из F.1.4) и F.1.5) следует, что
я + г\ •" /л+г+1\"" /я + г+1\г
r+i
.r+1

158 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Полагая в последнем равенстве я—1, 2, ..., N и складывая, полу-
получаем
г+1
Теорема 65 есть следствие формулы F.1.6), а теорема 66 — фор-
формулы F.1.7). Обе формы теоремы 66 равносильны по теореме
Стирлинга. При целом г ряд F.1.3) может быть записан в другой
форме:
(г+ 1I у
Теперь мы в состоянии доказать теорему 64; при этом мы
можем считать k целым, k = r-\-\, и Н=\. Если Вгпф.о(г? ),
то существует такое положительное С, что одно из неравенств
F.1.8) Brn>Cnr+1
или
F.1.9) Brn<-Cnr+1
выполняется для бесконечного множества значений п. Пусть, на-
например, F.1.8) имеет место для бесконечного множества значений N
номера п.
Если т]>1 и N4^.n4^.v[N, то
i
l
Так как все коэффициенты положительны и ?,> —1, то отсюда
следует, что
Выражение, стоящее здесь в правой части, получается из правой
части равенства F.1.10), когда Ь0 = 0 и ?v = — 1 для всех v>0.
Но в этом случае
и потому
Так как

6Л] ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ МЕТОДОВ ЧЕЗАРО 159
то заключаем, что
для любого положительного г, всякого щ>1, N^.n^.i\N и доста-
достаточно больших N.
е и Г) можно выбрать так, чтобы Вгп—?&>—-к CNr+1. Тогда,
принимая во внимание F.1.8) с я = N, получаем, что Д^>-н
для N-^. n -^ t\N, и, следовательно,
-CNr+1
гг+-г - 2
Л Л"
для достаточно больших N. Но если это имеет место для беско-
бесконечного множества значений N, то ряд F.1.3) расходится и, следо-
следовательно, ряд ^ ап не суммируем (С, г -j- 1).
Таким образом, неравенство F.1.8) не может выполняться для
бесконечного множества значений п, и аналогичное рассуждение *)
показывает, что то же верно и для неравенства F.1.9). По-
Поэтому B^ = o(nr+1), и в силу теоремы 65 ряд ^ап суммируем (С, г).
Повторяя это рассуждение г-{-1 раз, видим, что ряд ^ап сходится.
Заметим, что теорема 63 идет несколько дальше теоремы 64, утверждая
суммируемость ряда для отрицательных к. Аналогичное распространение
теоремы 64 невозможно, поскольку ее условия выполнены для любого ряда
с положительными членами, а такой ряд S ап в силу теоремы 46 не может
быть суммируем (С,— /), если не выполнено условие ап — о(—\.
Рассмотренные теоремы допускают обобщения на риссовские сред-
средние § 4.16. Из этих обобщений мы рассмотрим здесь только одно,
которое нам позже понадобится, а именно, обобщение случая k => 1
теоремы 63.
Теорема 67. Если 0< 10< Хх < ..., Хп-> со,
F.1.11) ав=0(^й=Ь=1) (я>0)
F.1.12)
по ряд 2а« сходится к s.
о хп<и
*¦) С рассмотрением интервала (LN, N) значений я, где
**) Здесь Л(«) эквивалентно функции Лх(и) § 4.16.

160 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Мы можем считать, что s = 0 и |ап |< ¦" . п~1 для п > 0. Если
*>* и ^
F.1.13)
^^т 1 _1_
г • • • л
Если А (х) не стремится к нулю, то существует такое С > 0, что
для последовательности значений X аргумента х, стремящейся к бес-
бесконечности, выполняется одно из неравенств А (х) > С или А (х)<—С.
Если, например, Л (X) > С и Хя < ^ < Хя+15 так что А (X) = Л (Ajr),
то в силу неравенства F.1.13)
для Аж < t< П -{- у С\ \ж, и
J Л
потому
что, однако, противоречит условию F.1.12). Аналогично ведет к про-
противоречию и предположение, что А (X) < — С для неограниченно
возрастающей последовательности значений X. Следовательно, А(х)->0.
Условие F.1.11) нельзя заменить на а„ > — Н " ~ n-1 без не-
которых дальнейших ограничений на Х„ либо на ап *).
6.2. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции.
Функция f (х), определенная для х > 0, называется медленно колеб-
колеблющейся, если
F.2.1) /до _/(*)_» о
при
F.2.2) х-*сю, ?
и медленно убывающей, если она вещественна и
F.2.3) ljm{/00—/(*)}> 0
при тех же условиях F.2.2).
*) См. примечание к этому параграфу в конце главы, а также примеча-
примечание к § 7.7.

6.2] МЕДЛЕННО КОЛЕБЛЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО УБЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ 161
Если f (х) дифференцируема и /'(*) = О (—), то
при условиях F.2.2), так что f (х)— медленно колеблющаяся. Так,
например, медленно колеблющейся будет функция xai = eai ios x. Ана-
т_т
логично, если / (х) вещественна и f (х) > , то/(х) — медленно
убывающая. Так, например, медленно убывающей будет функция
х -\- cos х -j- cos (a log x).
Мы будем говорить, что последовательность sn — медленно колеб-
колеблющаяся или медленно убывающая, если медленно колеблющейся или
медленно убывающей является функция s (х) = S[X]- Если sn = а0 -{-
-\-а1-\- . .. -\-ап, то нетрудно проверить, что sn — медленно колеб-
лющаяся при ап — О\ — \ и медленно убывающая при а„> .
Если f (х) — медленно колеблющаяся, то |/(_у)—/(л:)|<е при
у >х ~^> X (е) и ~ ^ х. (г); если / (л:) — медленно убывающая, то
/Су)—/W^—s ПРИ аналогичных условиях.
Из определения медленно убывающей функции вытекает одно
простое следствие, которое нам понадобится в гл. VII: если f(x) —
медленно убывающая функция, то для любых фиксированных <7>0,
существуют такие Н и X, что
F.2.4)
при х^>X. Действительно, существуют такие U и ¦/, что
/(О —/(
Пусть г —целое число, удовлетворяющее условиям хг~1< —
тогда мы можем взять t=xs+i, и — х3 для s = 0, 1, ..., г—1;
складывая соответствующие неравенства f(f)—/(м)>—1, получим
f(px) ~f{qx) =Г2 {/(*8+1) -/(*„)} > -г.
о
Таким образом, неравенство F.2.4) выполнено при X— —, Н = г.
Если f{x), кроме того, ограничена на каждом конечном интервале (О, X),
то неравенство F.2.4) выполняется при надлежащем //для всехлг^О.
Теоремы 63 и 64 допускают важные обобщения, в которых усло-
условия на ап заменяются более общим условием, что sn медленно колеб-
Ц Зак. 2499. Г. Хараи

162 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
лется или медленно убывает. Эти обобщения будут содержаться
в более трудных теоремах, доказываемых в гл. VII, но чтобы дать
понятие о них, мы докажем здесь простейшую теорему этого рода.
Теорема 68. Если ряд 2 ап суммируем (С, 1) и sn медленно
убывает, то ряд 2 ап сходится.
Нам дано, что sn—>s (С, 1) и что
при я->• со, р>1 и /? —> 1. В силу теоремы 65 достаточно доказать,
что
F.2.5) и„ = at + 2а2 -f- \- пап = о (я).
Пусть это не верно, так что, например,
F.2.6) ип>Сп
для некоторого положительного С и бесконечного множества значе-
значений я. Так как, по условию, sn медленно убывает, то для каждого
положительного tj можно выбрать N и р^>1 так, чтобы sv—sn^>—ч\
для л^-Л/'и /z^v-^рл; при этом можно считать, что р^<-о С.
Тогда
... +(S\, — Sv_i)> —
для любого n^N, удовлетворяющего условиям F.2.6) и
Тем самым
^ 1 Сл V
1) -^ 2 ii v (у + 1)
Это показывает, что ряд V —u" n не сходится и, следовательно,
согласно теореме 66 с г = 0 ряд 2 ап не суммируем (С, 1).
Аналогично можно показать, что ведет к противоречию и пред-
предположение о выполнении неравенства ип < — Сп для бесконечного
множества значений л. Тем самым ип = о (я), и теорема доказана.

6.4] ТЕОРЕМЫ О ВЫПУКЛОСТИ 163
Соответствующая теорема для функций непрерывного аргумента
формулируется так:
если f{t)-+l (С, 1) и f(t) медленно убывает, то f(f)->l*);
доказательство предоставляем читателю.
6.3. Другое условие тауберова типа. Существуют и условия других
типов, позволяющие из суммируемости заключить о сходимости. В качестве
примера докажем следующее предложение:
Теорема 69. Если ряд 2 ап суммируем (С, /) для некоторого I
и ^пР~1\ап\Р<^оэ, где />>1, то ряд 2 й" сходится и, более того,
суммируем (С, к) для й> —
При р — 1 результат тривиален. Пусть поэтому р > 1. В силу теоремы 65
достаточно доказать, что
Но
B« = 0{2>-*+i)^i«vi} = 0B+ 2 )=
Здесь в силу неравенства Гельдера
п У-1 1
Второй множитель есть О (п9), где
а первый меньше ? для N^>N0(t). Поэтому для N^N0(z) имеем |S2K
^СФ+1, где С не зависит от п, а при фиксированном /V, очевидно, S\ есть
). Этим доказано соотношение F.3.1), а с ним и теорема.
6.4. Теоремы о выпуклости. Если ряд 2 а» суммируем (С, k),
то, по теореме 43, он суммируем (С, k') для любого k' > k; точно
так же, если он ограничен (С, k), то ограничен и (С, k'). Но из
ограниченности (С, k) не следует суммируемости (С, k') ни для
какого k'. Однако верна несколько более тонкая
Теорема 70. Если, ряд 2 ап ограничен (С, /е:) и сумми-
суммируем (С, &2)> г^е ^2 > ^1 >—1> ото он суммируем (С, А) й^я
*) Это — то, чтов соответствии с соглашением, устанавливаемым в гл. VII,
будет называться теоремой 68а.
Ц*

164 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Здесь мы докажем это предложение лишь для целых klf k2, k.
Пусть, таким образом, А2 = kx -f-1, k = k1-\-m, I и т — целые
и 0</ге</. Достаточно доказать теорему для случая /=2, /я = 1.
Действительно, предположим, что она уже доказана для этого слу-
случая, а также для / = 3, ..., L—1, и рассмотрим случай l = L.
Тогда ряд 2 <*п, будучи ограничен (С, kx), ограничен (С, kx-\-L— 2)
и потому (в силу предположения) суммируем (С, kx-\-L—1); а от-
отсюда (снова в силу предположения) он суммируем (С, kx -\- т) для
О < т < L.
Мы можем также предполагать, что (С, &2)-сумма ряда равна
нулю. ,Поэтому нужно доказать, что из А\ = О (пк) и А„+2 = о (д +3)
следует А„+1 = о (п^1); или, обозначая А„ через Вп, что из Вп
= O(nfc) и В1 = о(пк+2) следует в\ = о{
Пусть N—[tin], где 0 < &< 1. Тогда
==(»—A^Mi—
= (« — iV) 5i —{%+,-{-2б^+3+... + (я — N—l)Bn),
Rl Д«~Ду , %+2 + 2%+3+--- +(n-N-l)Bn
равномерно относительно д и, при фиксированном
Отсюда (поскольку & можно взять сколь угодно близким к 1) и за-
заключаем, что В\ = о (пк+1).
При k%= — l, &2 = 0 теорема 70 обращается в теорему 45. В
этом частном случае мы доказали ее и для нецелых k.
6.5. Множители сходимости. Известная теорема Абеля и Ди-
Дирихле, содержащаяся в теореме 8 (§ 3.5), устанавливает, что если
(I) ряд 2ап сходится или ограничен, (II) /„ монотонно убывает
и стремится к нулю, или, более обще, /„ -» 0 и 2 1 A/nl < °° > т0
ряд 2 anfn сходится. Эта теорема допускает много важных обобще-
обобщений на суммируемые ряды.
Эти обобщения бывают двух типов. В обобщениях первого типа
на /„ накладываются лишь естественные модификации условия (II) и из
суммируемости (С, k) ряда 2а» выводится такая же суммируемость

6.5] МНОЖИТЕЛИ СХОДИМОСТИ 165
ряда 2 а"/п- В обобщениях же второго типа на /п накладываются
более сильные условия, и отсюда выводится, что ряд 2 anfn сумми-
суммируем (С, k — s) для некоторого положительного s; типичным здесь
может служить случай, когда /п = ^ . Теоремы обоих типов
представляют значительные трудности, если на параметры не нало-
наложено дополнительных ограничений. Мы удовольствуемся здесь рас-
рассмотрением целых k и s, для которых доказательства главных теорем
сравнительно просты.
Основная теорема первого типа —
Теорема 71. Если (I) ряд ^?.а„ суммируем, или ограничен,
(С, k), где k —целое; (II) /п -* О, и (III)
F.5.1) 2(«-И
то ряд 2я?/п суммируем (С, k) и
F.5.2) 2e«/n = SM
где последний ряд абсолютно сходится.
Нам потребуются два вспомогательных предложения.
Теорема 72. Если последовательность /„ удовлетворяет усло-
условиям теоремы 71, то
F.5.3) (я-НУД'Д.-уО (/==0, 1, ..., К),
F.5.4) 2(«+1)г|Дг+1Л1<оо (/=0, 1, ..., К).
Соотношения Сб.5.3) и F.5.4) можно записать соответственно
следующей равносильной форме:
F.5.5) '" +') Дг/„ -у 0 (/ = 0, 1, . .., k),
^00 (/==0> 1; •••' *°-
Заданные в теореме условия — это условия F.5.5) для 1=0 и F.5.6)
для l = k.
Так как /п -»¦ 0, то Д*/п -> 0, так что
(я+1)* | д*/„ К («
в силу F.5.1). Это — соотношение F.5.3), или F.5.5), для/=&,

166
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B)
[ГЛ. VI
Далее,
Это показывает, что F.5.6) верно для l—k—1. А тогда, как в пре-
предыдущем параграфе, заключаем, что F.5.5) верно также для l — k— 1.
Повторяя то же рассуждение, заключаем, что оба соотношения спра-
справедливы для всех указанных в них значений /.
Теорема 73. Если bn = anfn, то
п к
F.5.7) ?»=2j Аз 2j\ i ){ k-l JA h+{>
с условием, что все fm с т>п, входящие в Afc+1"i/J+i, заменяются
нулями.
Полагая Uj = uo-\-ut-{-...-\-и^, обычным образом определяя
Uj, Uj, . .. и считая Vj при j > я равным нулю, имеем
0 0 0
fc+1
поэтому
Но
Так как здесь
a Afc+1Cj = O, то мы и приходим к формуле F.5.7).
Переходим теперь к доказательству теоремы 71. Разделим F.5.7)
на ( Т ), и пусть я —> оо. Прежде всего, условие, принятое в тео-
теореме 73, можно отбросить. Действительно, оно относится только
к членам с j~^>n — k; число таких членов ограничено; каждый из них
есть произведение некоторого Л*, т. е. О (пк), некоторого fm, т. е. о A),
и ограниченного числового множителя; тем самым в своей совокуп-

6.5] множители сходимости 167
ности они составляют о (пк). Таким образом, дело сводится к нахо-
нахождению предела выражения
J
где в Sn>i объединены все члены, соответствующие заданному L
Если />0, то
П-Г')'4t+1 -'/«• I} - °(S -w
где
причем И не зависит от п. Далее, по теореме 72,
со
S С/ + О*-'! Д*+1-*/^.* 1 < оо.
Таким образом, 2jan.j мажорируется сходящимся рядом, члены кото-
которого не зависят от п, а для любого фиксированного ], ип^ -> О
при л-»-со. Отсюда следует, что SnA=o(l) для /=1, 2, ..'., /fe.
Остается найти предел, к которому стремится
Это выражение мажорируется рядом
и так как
при л ->• оо для каждого j, то
что и завершает доказательство теоремы 71.

168 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Теорему 71 можно видоизменить, введя предположения (Г) что
ряд 2ап суммируем (С, k) и AГ) что /„ ограничены. Последнее
условие, в соединении с условием (III), обеспечивает стремление /„
к какому-то пределу /, не обязательно равному нулю. Утверждение
следует тогда из теоремы 71 заменой /„ на gn-\-f.
Теорему 71, как и указанное сейчас ее видоизменение, можно также
вывести из теорем 1 и 3; при этом можно показать, что условия
теоремы 71 и ее видоизменения также необходимы, в том смысле,
что при невыполнении их существуют ряды 2 ап> ограниченные (С, к),
или суммируемые (С, k), для которых ряд 2 ап/п не суммируем (С, k).
где с>0, s>0, то
а если
F.5.8) /.e
то 6fi+1fn = Of й+2). В обоих этих случаях условие (III) теоремы 71
выполнено, и имеют место такие предложения:
Теорема 74. Если ряд 2й» суммируем (С, к), то и ряд
(п?с)8 суммируем (С, k).
Теорема 75. Если ряд 2 ап суммируем (С, k), то и ряд 2 «?/«,
где fn имеют вид F.5.8), суммируем (С, к).
В частности,
F.5.9) f __ (rt + а0 (" + "а) • ¦ • (" + аг)
где аир положительны, допускает представление в виде F.5.8), и
то же верно для ^~. Тем самым суммируемость (С, k) любого из
Jn
рядов
(" + «i)...(« + аг)' ^— (и + Pi)"-(« + Рг)
при любом ft влечет суммируемость другого. Этот частный случай
теоремы 75 будет использован в следующем параграфе.
6.6. Множитель t . Основная теорема второго типа —
Теорема 76. Если ряд 2 ая суммируем (С, ft) «

6.6] множитель (/г —j— 1) s 169
то ряды
("ГУ
суммируемы (С, k — s).
Мы будем предполагать ft. и s целыми; для нецелых значений k
и s все доказательства становятся гораздо сложнее. Сделаем не-
несколько предварительных замечаний.
A) Если один из рядов а0 -\- ах -f- а2 -\- ... и 0 -\- а0 -f- а, -f- . . .
(т.е. 0 + 6, + 62-(-..., где ?„и = вп) суммируем (С, ft), то
в силу теоремы 47 то же верно и для другого. Поэтому безраз-
безразлично, установим ли мы теорему 76 для ряда а0 -\~ ах -\- ... и
рядов F.6.1) или для ряда ах -\- а2 -{-¦•• и рядов
где суммирование производится от 1 до сю. Но при таком измене-
изменении формулировки мы, очевидно, можем считать любое из чисел а
или р частного случая теоремы 75, указанного в конце предыдущего
параграфа, равным нулю.
B) Далее,
/Is V S J S\ «S-1
допускает представление в виде F.5.9), с заменой п на п—1 и
с / = s—1. Тем самым суммируемость (С, г) любого из рядов F.6.2)
при целом г влечет суммируемость (С, г) другого.
Рассмотрим теперь второй из рядов F.6.2) с s = l, Если ряд
Van суммируем (С, k), то, по теореме 71, и ряд V— суммируем
(С, К). Чтобы он был суммируемым (С, k—1), необходимо и
достаточно согласно теореме 65, чтобы Qk—l^=o{n}:), где Q7^1
образовано исходя из ?„ = «• —= й„, т. е. чтобы Л^ = о (я*).
Но последнее действительно справедливо, поскольку A^~~l => Л*—Л*_!
и -? стремится к пределу.
Таким образом, ряд V— суммируем (С, к — 1). В силу тео-
теоремы 75 отсюда следует, что и ряд V а" , где a ^- 0, суммируем
(С, ft — 1). Повторяя это рассуждение еще s—1 раз, заключаем,
что ряды F.6.2) или F.6.1) суммируемы (С, ft — s).

к
170 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Из теорем 71 и 76 следует, что если ряд 2 ап суммируем
(С, к), то
(б.б.з) ^тг+т^2иАп ;г+т==!
= (*+1)!
где первый ряд суммируем (С, k — 1), а последний абсолютно
сходится; аналогичная формула имеет место и для суммы первого
из рядов F.6.1).
6.7. Другое условие суммируемости. Как мы видели в § 6.6
(теорема 76), суммируемость (С, k) ряда 2 ап влечет суммируемость
(С, к—1) ряда 2j ¦ _Z i • Обратное неверно. Действительно, послед-
последний ряд (абсолютно) сходится, если ап = О (—), а в этом случае
согласно теореме 63 ряд 2 ап не может быть суммируем (С, k)
ни для какого k, если только он не сходится. Однако существует
более тонкая связь между обоими рядами.
Теорема 77. Для того чтобы ряд 2 яи был суммируем (С, k),
где k — целое, необходимо и достаточно, чтобы уравнения
F.7.1) а„ = («+1)Fя — bn+i) (и = 0, 1, 2,...)
допускали решение Ьп, для которого ряд 2 *« суммируем (С, k—1).
При этом
F-7.2) ^-^-i + i^_+... (С. А—1)
и оба ряда, 2 ап и 2 ^ш имеют одну и ту же сумму.
Прежде всего, ясно, что уравнения F.7.1) могзт быть решены
рекуррентным способом; что если Ьп — некоторое решение, то общим
решением будет Ьп = Ьп — k, где k — произвольная постоянная, и
что условия теоремы могут быть удовлетворены, самое большее,
одним решением.
(I) Мы начнем с доказательства того, что если Ьп — некоторое
решение, то
F.7.3)
чем
Прежде всего при k = 0 имеем
причем здесь В^ означает Ьп.
k

6.7] ДРУГОЕ УСЛОВИЕ СУММИРУЕМОСТИ 171
что совпадает с F.7.3). Далее, допуская, что формула F.7.3) верна
для некоторого заданного ft, имеем
(я+l)?
4'1 = (ft + 2) B*+1 - (и
а это — формула F.7.3) с заменой ft на k~\-l.
(II) Во-вторых, докажем, что если ряд # = 2<^п суммируем
(С, &—1), иго ряд А = 2а« суммируем (С, fe), u^ = B.
Прежде всего, если & = 0, то Вп-+В и (п-\-1) дп+1-+0, так
что Л„ -»¦ 5. Далее, если ft > 0, то
и, суммируя,
В' = (
Поэтому, принимая во внимание формулу F.7.3), имеем
и ряд Л суммируем (С, k) к сумме В.
(III) В-третьих, докажем, что если ряд 2 ап суммируем (С, ft), то
F.7.4) 5^-
F.7.5)
где h — некоторая постоянная.
Без ограничения общности, можно считать, что А = 0 *). На
основании формулы F 7.3) и нашего предположена имеем тогда
F.7.6) (« +
*) Если Ьп— решение уравнений F.7.1), а'0 = а0 — А и й^ = ап для w>0,
то 6И, определенное условиями Ьо = &0 — Д b'n = bn для и>0, есть реше-
решение системы уравнений а'п = (n + l)(b'n — b'n + 1). Уменьшение а0 и 60 на Л
вызывает уменьшение Л* и ^—1 на (П ^ ~ }А.
V к — 1 /

172
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B)
[ГЛ. VI
Положим
F.7.7) (
тогда F.7.6) дает
так что 9„ — cpn+i = ° (тI Это показывает, что уп стремится
к некоторому пределу ф, и
F.7.8) ?П = <Н
F.7.9) 5* = (
Наконец, из F.7.6) и F.7.9) следует, что
а это есть соотношение F.7.4) с Л = 0, A = (&-j-l)'? и заменой п
на я-j-l. Проведенное сейчас доказательство сохраняет силу и при
k = 0, приводя в этом случае к формуле F.7.5).
(IV) Теперь легко завершить доказательство теоремы. Прежде
всего согласно пункту (И) условие теоремы достаточно. Далее, если
ряд 2а« суммируем (С, k), bn — некоторое решение уравнений
F.7.1) и Ъп = Ьп — h, где к — то же, что и в формуле F.7.4), то
Ъп также есть решение; при этом в силу F.7.4) или F.7.5)
так что ряд 2bra суммируем (С, k — 1) к сумме А, причем этот
результат сохраняет силу и для k = 0, поскольку h, очевидно, не
зависит от k. Следовательно, условие также необходимо.
Наконец, так как ряд 2^» суммируем (С, k — 1), то, по
теореме 48,
Но для случая Ь„, h и <в, указанные в пункте (III), равны нулю,
а формулы F.7.7) и F.7.8) дают

6.8] ИНТЕГРАЛЫ 173
Следовательно,
an ¦*->, A
U я+1 —
к
т. е. мы получили формулу F.6.3), причем данный здесь ее вывод не
зависит от теорем 71 и 76.
Из теоремы 77 вытекает как следствие
Теорема 78. Для того чтобы ряд 2 ап был суммируем (С, k),
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая система
чисел an>s, s = 0, \,..., k-\-\, что
"п,о = ап, «„,„_! = (л+1)(а„,в — an+hs) (я>0)
суммируем (С, — 1). Яри зтил: условиях
an,s-l , ап+1,е-1 .
=l,2,...,A-}-l, и ряйьг Л8 = 2ап,8 суммируемы (С, &—s),
притом к одной и той же сумме.
Для доказательства нужно только k-\-\ раз последовательно при-
применить теорему 77. Теоремы 77 и 78 можно использовать для полу-
получения поучительных доказательств теоремы равносильности (§ 5.8)
и других стандартных теорем того же рода.
6.8. Интегралы. Для интегралов имеют место тауберовы теоремы, ана-
аналогичные теоремам § 6.1. Если
F.8.1) t[a(x)dx = A (С, ft)*)
для некоторого k и й(х) = 0( —) для больших х, то соотношение F.8.1)
V х j
сохраняет силу для всех k^>—1; в частности, интеграл сходится. Если соот-
соотношение F.8.1) выполняется для некоторого k, а а (х) вещественна и
ха (х) >• — Н, то интеграл сходится. Аналогами предварительных теорем 65
и 66 служат следующие предложения: (I) если интеграл I а (л) их сумми-
суммируем (С, г-\-1), то для его суммируемости (С, г) необходимо и достаточно,
чтобы Вг(х) = о (jf+1), где Вг(х) так же образовано из Ь (х) = ха (х), как
Аг(х) из а (х), и (II) для того чтобы интеграл I а (х) их был суммируем
JB (х)
——^ их сходился.
*) Как и в § 5.14, интегралы с неуказанными пределами интегрирования
берутся от 0 до со.

174 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Теорема 71 также имеет аналог: если справедливо соотношение F.8.1),
f(x)-*-0, k-я производная от f{x) абсолютно непрерывна и
то
Г
F.8.2) J a (*)/(*) rf* = (-l)*+i f Ak(x)fV<+V(x)dx (С, ft),
причем последний интеграл абсолютно сходится. В частности, это имеет
место для
где s^>0. С другой стороны, для теоремы 76 нет аналога; введение множи-
множителя сходимости, подобного -;— ', необязательно понижает порядок сум-
суммируемости. Так, если а (х) = е^ cos ex, то
X
Ах (х) = — Нх -\- cos 1 — cos ex + I cos e* dt~ — Их,
о
где Н— cos I -\- sin 1, так что
F.8.3) Г е*х cos ex dx — — cos I — sin 1 (С, 1).
Однако интеграл
""' cos ex .
-dx
х+1
не сходится и даже не суммируем (С, к) ни для какого й<1.
Если интеграл
F.8.4) 7(8)= (e-tea(x)dx
сходится для 8>0 и стремится к А при 8-*•0, то мы будем писать
F.8.5) 7 = Г a{x)dx = A (A)
и говорить, что J суммируем (А) к А. После § 5.12 было бы естественно
ожидать, что из суммируемости (С, к) следует суммируемость (А), однако
здесь мы сталкиваемся с одним из пунктов, где аналогия между рядами и
интегралами прекращается. Суммируемость (С, к) интеграла J не влечет
даже сходимости интеграла /(8). Так, например, интеграл F.8.3) суммируем
(С, 1), но интеграл I е^2~ь)х cos ex dx не сходится при 8<;1.
Однако если J суммируем (С, к) и 7(8) сходится для любого положи-
положительного Ь, то 7 суммируем (А). Действительно, тогда для любого положи-
положительного В
X
АЦх)= J е-«а(<)Л = ОA),
и
X X
А (х) = J в** ^—^ dt = <**>А* (х) — 8 Г е«Л8 (t) dt=O (ete).

6.9] БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД 175
Отсюда следует, что Л& (х) = О (еЬх) для каждого к, и к -\- 1 раз интегрируя
по частям, получаем
со со
F.8.6) </E)= Г е-&в a(x)dx = bb+i Г e~lx Alt{x)dx.
о о
Но k\ k k -> А, поэтому
оо
( ) ~ й! J в ХХ Х = #
о
Можно получить и лучшую теорему. А именно, интеграл I х^е~Ьх dx
сходится для каждого к, так что на основании F.8.2) суммируемость (С, к)
интеграла J влечет суммируемость (С, к) интеграла J(Ь) и справедливость
соотношения F.8.6), где первый интеграл суммируем (С, к), а второй абсо-
абсолютно сходится. Отсюда тогда следует, что J(b), рассматриваемый как инте-
интеграл в смысле (С, k), стремится к А.
Интеграл I eaix+b^x dx, где а>0, &>0, суммируем (А) и не сумми-
суммируем (С, к) ни для какого к.
6.9. Биномиальный ряд. В остающейся части этой главы мы иссле-
исследуем суммируемость некоторых наиболее важных специальных рядов.
Начнем с ряда
где
Как известно, этот ряд A) абсолютно сходится при р < —1, B) схо-
сходится, но не абсолютно*), при —1 ^ {3 < 0 и ЬфО, C) расходится
при р!>0, а также при —1<;р<0 и 6 = 0*); суммой же ряда,
в случае его сходимости, служит
A_g)g+t = ехр { — (а + 1) log A — z)},
где взята главная ветвь логарифма, для которой |2П°1?A —z) I K-o™.
Мы найдем условия, при которых этот ряд суммируем (С, к) для
некоторого k > — 1,
Пусть сперва
*) За исключением тривиального случая S = —1, f = 0, а + 1 = 0, когда
ряд сводится к своему первому члену 1.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B)^ [ГЛ. VI
Тогда
" 2r.i J (l—u
dJL
A—H)ft+t(l—zH)a+1a"+1 '
G
где и = ре*?, С есть окружность р = р0 < 1 и взяты главные ветви
степеней 1—и и 1—га. Поэтому на основании теоремы Коши
" = ~ы U
U
с,
где Cj и С2 — контуры, окружающие точки и = 1 и « = — = С и ухо-
уходящие в бесконечность в направлениях ф = 0 и ф = — б соответ-
соответственно. Мы можем считать, что С1 и С2 составлены из окружностей
с центрами и=1ии = Си лучей под углами 0 и — 8, проходимых
дважды в противоположных направлениях.
Запишем Jl в форме Jx = /^ -\- jf\ где
1 2ы (\—zy+1J
к
y(-'
1
-') = _L f f 1 1 \
2w J ((l-uzY + i (l_z)a+1 i A—
du
(l_z)«+i j A—и)й+1нп+1#
Предположим, что п > ¦ ¦. , и возьмем радиус окружности,
входящей в состав контура Cv равным —. Тогда на ней —^ = 0A);
с другой стороны,
и
1 1 , , ,ч г dw
равно О(| и—1 |) на всем контуре Сх и О (—j на окружности.
Поэтому часть интеграла jf\ соответствующая окружности, равна
О [— ' — • пк+1)=: О (л*-1), а соответствующая остальной части кон-
*) Интеграл вычислен посредством деформации контура С] обратно в С

6.9] БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД 177
тура Сх равна
со СО
п
Следовательно,
Аналогично, пишем J^ = Ji -\~У^\ где
/1) _1 1 Г da /п-\- а\ zn
_ /я + o\ e"'9
V a j(i_e-«)*+i'
i2) = ^ f/ I 1 \__^
2w J 1A—a)ft+1 A —g"+1 /A— г«)"+1иге+1 '
и рассуждение, подобное, примененному к f?\ показывает, что
Соединяя наши результаты, находим, что
+ ()
Первый член правой части является главным при k > j3, третий — при
&<^[3; оба они — одинакового порядка при k = р. Таким образом,
получаем следующее предложение:
Теорема 79, Если a = ^-j-q, [3^— 1, ft >—1, |8|^тс и
|, то ряд 2и\ jenii суммируем (С, ft) для ft > C к
- ¦ g -¦. Он ограниченно колеблется (С, ft) для ft = J3 «
ограниченно — для ft < p.
Очевидно, проведенное рассуждение доказывает равномерную сум-
суммируемость в любом замкнутом интервале изменения 8, не содержа-
содержащем 8 = 0.
При 8 = 0 имеем г = 1, ап =
\ w /
12 Зак. 2499 Г. Харди

178 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
/n + k\ Г(« + * + 2)" •
\ к J
Отсюда следует
Теорема 80. Ряд У,[ ) не суммируем (С, k) ни для
какого k, за исключением случая [3 <— 1, когда он абсолютно
сходится к нулю, и случая J3 = — 1, f = 0, когда он сводится
к своему первому члену 1.
6.10. Ряд ^п"епЙ. Из теорем 79 и 80 можно вывести соответ-
соответствующие результаты для ряда ^п"епа *). В этом параграфе мы
будем предполагать, что C > — 1, откладывая случай [3= — 1 до
следующего параграфа.
Если f = 0 и р целое (так что и а целое), то
F.10.1) «-=
где р0, pv ... не зависят от п. Если а —нецелое, то
где А произвольно, v = 0, 1, ..., Аи сь,,ф0. Комбинируя эти равен-
равенства, мы можем представить п" в виде
F.10.2) n>=
Сопоставляя теорему 79 с соотношениями F.10.1) или F.10.2), при-
приходим к следующей теореме:
Теорема 81. Если <x = j3-j-/-y> Р> — *» k> — !> I й К ^ «
Ьф. О, то ряд '^1паеп{Н суммируем (С, k) для k > [3, ограниченно
колеблется (С, fe) для А = р и 'неограниченно колеблется (С, /г)
для /|3
6.11. Случай J3 = — 1. Тот случай, когда [3 = —-1, представляем
в некоторых отношениях особый интерес. Ряды
*) При р<!0 ряд начинается с л = 1.

6.11] случай р = —1 179
где f=?0, сходятся, если 6фО (тос!2тс), Если же 8== 0 (тоA2тс),
то они ограниченно колеблются, так как
- 1 + «Т / ~~ "Г (*т) Г (л + 1) ~ Г (/Т)
я—1 . га—1 п
/in
1
п—1
J
J
а общий член последней суммы есть 0(—^\*). Так как ряды F.11.1) —
не сходящиеся и общие их члены равны Of — J, то из теоремы 63
следует, что они не суммируемы (С, k) ни для какого k.
Интересно исследовать некоторые другие свойства этих рядов и,
в частности, доказать, что их частичные суммы ограничены равномерно
относительно 6. Более обще мы докажем следующее:
Теорема 82. Если
F.11.2) Лп = о0 + «1+ ...
то
F.П.З) К (*) |
о
для | г | -^ 1, где Н не зависит от z и п. В частности, это имеет
место, когда ап = (п_ _7~-Т) или я~+*'т {причем во втором слу-
случае а^ = 0).
Заметим, между прочим, что из предположений F.11.2) вытекает,
что ап= О(—). В дальнейшем мы будем рассматривать функции от п
и z, и все О будут равномерны для |г|^ 1. В силу принципа макси-
максимума модуля, достаточно доказать F.11.3) для г = ей и 0<|6|^и.
Рассмотрим случай 6>0. Положим р— у , так что р^ 1. Если
то
п и—1
о о
п—1
о
*) Можно также воспользоваться тождеством 'S\(m _7"'Ч = ( • ^
12*

180 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Если р < п, то
sn (z) =2 Vm*e + 2 ате^ = S, + 5а.
о р + 1
Так же, как и только что, убеждаемся в том, что S1 = О A). С дру-
другой стороны, так как ап = О{ —), то
л
Р+а
так что и S2 = О A).
Из теоремы 82 следует, например, что ряд
<6ЛЫ) S "'loin гП (« = 2, 3, ...,
равномерно, хотя и не абсолютно, сходится на единичном круге.
Доказательство следующей теоремы предоставляем читателю.
Теорема 83. Ясли —1 <^<0, ап = оA), ка„ = О(п?~1), то
F-11.5) i^HK^^
я;4 = 0A), Д2дй = О (^, то F.11.5) ее/7ио и
oAina
6.12. Ряд
где
Л>0,
особенно интересен и может служить для иллюстрации многих пунктов
теории суммируемых рядов. При C > 1 он абсолютно сходится, и мы
всюду в дальнейшем будем предполагать, что C-^1.
Дифференцирование повышает порядок малости члена ап множи-
множителем п"-1, так что к рассматриваемому ряду применима формула
Эйлера-Маклорена; однако исследование суммируемости ряда на этом
пути довольно громоздко, и мы воспользуемся другим методом, опи-
опирающимся на прямое применение теоремы Коши.

6.12]
Ряд Ъп-ьеМпа
181
Теорема 84. Ряд F.12.1) суммируем (С, k), где
и только в том случае, когда
F.12.2) (
Положим
—1, в том
где взяты главные ветви функций —^ и га в полуплоскости ffiz > 0, и
F.12.3) 5 = Г(&+!)?/« =
Г(л —/и
и»,-
Нам нужно показать, что —^ стремится к пределу тогда' и только
тогда, когда k удовлетворяет условию F.12.2).
п-?У
Фиг. 1
Пусть С— прямоугольник ^-g- — гТ, п — IY, n -f- гТ, -^Ч- 'М >
изо-
изображенный на фиг. 1, а С1 и С2 — прямоугольники L1L2LaLi и
Если
то в силу теоремы Коши
F.12,4) S' -5- 2
G

182
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B)
[ГЛ. VI
где интеграл вдоль отрезка (я — iY, n-\~iY) берется в смысле глав-
главного значения *). С другой стороны,
F.12.5)
JL
= О, 2S-J (-*!
Комбинируя формулы F.12.4) и F.12.5), получаем
где
я (ctg Tt^- rt i)
соответственно тому, положительно ¦ или отрицательно у = %z; при
этом интеграл вдоль Lb -\- Lx понимается в смысле главного значения.
Но
= о
для фиксированного и, -н-
я и больших |_у|. Поэтому инте-
интегралы вдоль L2 и L8 при К—> оо стремятся к нулю, и формула
F.12.6) дает
F.12.7) 5' =
где последний интеграл понимается в смысле главного значения.
Интеграл
и*
*) Мы применяем теорему Коши к контуру С, вдавленному полукругом
у точки г = га, а затем стремим радиус вмятины к нулю.

6.12]
ряд 21п-ЪеМпа
183
мажорируется интегралом, подинтегральная функция которого не за-
зависит от п, а выражение в фигурных скобках при п -» оо стремится
к 1 для каждого у. Поэтому
У -dy = il.
Зч и I i 1 *
Что же касается J2, то имеем
при
-П7^11ри у< '
так что
ГA— iy)
причем последний интеграл абсолютно сходится. Отсюда следует,
что
J2= О («-*>)*),
а тогда из F.12.7) и F.12.8) —что
F.12.10) S' = — m
*) Разбиваем область интегрирования на части @,5) и F, оо), где 0 < 8 <1.
На основании „мажорированной сходимости" ясно, что часть рассматривае-
рассматриваемого интеграла, распространенная на (8, со), есть О(пГ^). На интервале же
@, 8) мы можем разложить функции
в равномерно сходящиеся ряды Р (—\ Q (у), R (у), а тогда очевидно, что

184 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Далее,
имеем z = re®, где 0<6<-^тти6->А-и, а | еА*г° | = e--*r°siBo9.
M
2
где yWj и УИ9 — отрезки, проходящие соответственно через точки -к
и п параллельно положительному направлению мнимой оси. На Mt
имеем z = re®, ^А
Следовательно *),
F.12.12) Д^/я* 4l Гь-rf^ =/л*/* •
Зафиксируем теперь (малое) 8 и положим
со Ьп со
F.12.13) /^ТГ
В /4 имеем _у>8л и ,? = w-j-/y = rei?, где 0<со<6<-ктс и со
зависит только от 8. Поэтому
I eAiza .— e—Ar° sin об <-- e—Bra
F.12.14) U=
где В, С, D к Е—положительные функции от 8. Так как при 0<j><8w
где f — положительная функция от 8, то, принимая во внимание,
что (fe-{-l)(l—л)>0, имеем
1
F.12.15) 1Ь= 0\п-9^
о
*) Снова с помощью простого рассуждения5 основанного на мажори-
рованнц.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. VI 185
Наконец, S и S' отличаются на у/ («) = О(га-р). Поэтому, со-
соединяя наши результаты F.12.10) — F.12.15) и снова принимая во
внимание, что (k-\-l)(\—а)>0, получаем
5 = /л* (/* — /) -|- о (я*) + 0{я-Р+ (*+») t1 -°)}.
Если теперь k удовлетворяет условию F.12.2), то
и -^-»¦/(/*— /), так что ряд F,12.1) суммируем (С, ft), к сумме
/(/* — /).
Для доказательства отрицательного утверждения теоремы нам
нужно оценить /а более точно. Заменяя . . . .ь на-^-и Л/(л-{-(уH
на Лш° — Аапа~1у, получаем
еМп° rr(k+l-iy) -WW
l~^J ГA —/у) е Й-У'
л0-1 мало при большом л, так что в интеграле преобладает часть,
соответствующая большим у; поэтому отношение гамма-функций
можно заменить на (— iy)k. Это приводит к заключению, что
Строгое обоснование этого заключения не представляет никаких спе-
специальных трудностей и мы его опускаем. Полученное соотношение
показывает, что при (ft-|-l)a-f-P-^l в S входит колеблющийся
член порядка не ниже nk, так что рассматриваемый ряд не суммируем.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VI
§ 6.1. Теорему 63 доказал Hardy, PLMS B), 8 A910), 301—320, за исклю-
исключением пункта относительно суммируемости средними отрицательного
порядка, добавленного Харди и Литтльвудом A. с. в примечании к § 5.7);
а теорему 64 доказал Landau, PMF, 21 A910), 97—177 A03 — 113). Приня-
Принятый здесь метод доказательства, основанный на теоремах 65 и 66, принад-
принадлежит Харди. Было предложено также значительное число других доказа-
доказательств, особенно для частного случая k = 1, важного в теории рядов Фурье.
См., например, Bromwich, 423 — 426; Валле-Пуссен, Курс анализа беско-
бесконечно малых (М.-Л., 1933, т. II, стр. 145—146); Kloosterman, JLMS, 15.
A940), 91—96; Mordell, JLMS, 3 A928), 86 — 89, 119—121, 170 — 172.
Теорема 67 была найдена Hardy, PLMS B), 12 A913), 174—180, в более
общей форме, предполагающей, что ряд 2а« суммируем риссовскими
средними какого-то порядка. Доказательство Харди содержало пробел,
который восполнил Ananda Rau, PLMS B), 17 A918), 334—336. Принята
Здесь форма доказательства для случая k == 1 принадлежит Бозанкэ.

186 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Харди ошибочно утверждал достаточность условия а,4> —Н -2—г—^—^;
эту ошибку исправил Ananda Rau, PLMS B), 30 A930), 367 — 372. С другой
стороны, одновременное выполнение условий
A) ап>-нЪ1=±п=11 B) Нтвя>0
уже достаточно: в этом случае А (х) медленно колеблется в смысле § 6.2.
Эта теорема содержится в одной теореме, которую доказал Szasz, Mtlnchener
Sttzungsberichte A929), 325 — 340; см. примечание к § 7.7. Если -|±i -> 1, то
условие A) влечет условие B), так что достаточно одного условия A).
§ 6.2. Определения медленно колеблющихся и медленно убывающих
функций ввел R. Schmidt, MZ, 22 A924), 89 — 152 A27—142). Мы пользуемся
двумя формами этих определений: одной, относящейся к интервалу @,оо),
и другой — к ( — оо, оо): см. § 12.2; здесь рассматривается первая форма.
§ 6.3. Hardy and Littlewood, MM, 43 A914), 13,4 — 147. В действитель-
действительности сходимость ряда ^пР-11 ап\Р является достаточным условием и для
соответствующей теоремы относительно суммируемости (А).
§ 6.4. Теорему 70, для целых значений параметров, доказали (хотя и не
вполне явно) Hardy and Littlewood, PL MS B), 11 A913), 411—478 D37). Эта
теорема представляет собой случай р = 0 их теоремы 19 с „ограниченным
(С, г — k), суммируемым (С, г)" в ее условиях Харди и Литтльвуд сформу-
сформулировали свой результат только для р > 0, но доказательство сохраняет
силу и для р = 0.
По поводу теоремы с общими значениями параметра k и ее обобщений,
важных для теории рядов Дирихле, имеется обширная литература. См., на-
например. Ananda Rau, PLMS B), 34 A932). 414 — 440; Andersen, Studier, 55 и
след.; Bosanquet, JLMS, 18 A943), 239 — 248. M. RIesz, MTE, 29 A911),
283—301, и AUH, 1 A923), 104—113; Zygmund, MZ, 25 A926), 291 — 296.
Дальнейшие литературные указания см. в работе Бозанкэ.
§§ 6.5 — 6.6. Теорему 71 независимо друг от друга доказали Bohr [CR,
148 A909), 75 — 80; Bidrag, 61—69J и Hardy, [PLMS B), 6 A908), 255 — 264;
и 8 A910), 277 — 294 B78 — 281), где исправлена ошибка, допущенная в пер-
первой работе]. Ряд частных случаев этой теоремы доказали ранее различные
авторы, в частности, Bromwich, MA, 65 A908), 350 — 369, и Hardy {PLMS
B), 4 A906), 247 — 265, и MA, 64 A907), 77 — 94].
На общие значения k теорему распространил Andersen, Studier, 44 — 55.
Упрощенные доказательства теоремы для общих значений /г, а также даль-
дальнейшие ее обобщения дали Andersen, PLMS B), 27 A928), 39 — 71, и Bosan-
Bosanquet, JLMS, 17 A942), 166—173.
Необходимость условий (в смысле, разъясненном на стр. 168) доказал
для целых k Fekete, MTE, 35 A917), 309 — 324, а для общих k — Bosanquet
в только что указанной работе.
Имеется ряд теорем, содержащих обе теоремы 71 и 76, особенно для
целых параметров. Так, Bosanquet, PLMS B), 50 A948), 295 — 304, доказал,
что если k и I целые, —1 </<;? up— любое вещественное число, то для
того, чтобы ряд 2яп/и был суммируем (С, [), когда А\ — О (п^+р), не-
необходимо и достаточно, чтобы
Если, например, р = 0, то получаем необходимые и достаточные условия для
того, чтобы ряд 2ап/и был суммируем (С, /), когда ряд 2ап суммируем
или ограничен (С, Щ, Этот случай теоремы сформулировал без доказатель-

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. VI 187
ства Schur, JM, 151 A921), 79—111 A06), и доказал Bosanquet, JLMS, 20
A945), 39—48. При l=k он сводится к теореме 71; имеется также вариант,
когда ряд 2 ап суммируем (С, К), а /„= О (п1"к).
Частный случай 1 = 0, р =0 значительно старше. Необходимость усло-
условий теоремы в этом случае доказал Bromwich в указанной выше работе для
целого k и Chapman, 1. с. в примечании к § 5.5, для общего k, а достаточ-
достаточность— Kojima, TMJ, 12 A917), 291—326, См. Moore, Convergence factors,
45—46.
Позже Bosanquet, PLMS B), 50 A949), 482—496, распространил свою
теорему с немного более узкими условиями 0<;/<;?,/>!>0, на нецелые
k и /.
Теорему 76 сформулировал (во всяком случае для целых k) М. Riesz, CR,
148 A909), 1658—1660, и доказал, для общих k и целых s, Chapman, 1. с.
в примечании к § 5.5, 388—389. Доказательство для общих k и s дал Zyg-
mund, BAP A927), 309—331; доказательство Ananda Rau в его работе, ука-
указанной в примечании к § 6.4, содержало пробел, который восполнил Minak-
shisundaram, JIMS B), 2 A936), 147—155.
Имеются аналоги этих теорем для „абсолютной суммируемости". Ряд 2 ап
называют абсолютно суммируемым (С, к), или суммируемым | С, к |, если
21 С* (Л)--С*.^ (Л) К оз.
В частности, суммируемость | С, 0 | есть абсолютная сходимость. Определе-
Определение абсолютной суммируемости принадлежит Фекете. В этой книге абсолют-
абсолютная суммируемость не будет рассматриваться; укажем лишь, что теоремы
о ней, соответствующие теореме 71, а также другим теоремам этих пара-
параграфов, доказали Бозанкэ, Фекете и Когбетлианц. Литературные ссылки
можно найти в книге Kogbetliantz, а также в указанных выше работах
Бозанкэ.
Сделаем еще следующее замечание. Мы выводили теорему 76 (для целых
ft и 5) из теорем 47, 71 и 65. Но можно было бы вывести ее и из теорем 47
и 66. Действительно, для k = 0 это тривиально. Если же k > 0, то для того,
чтобы ряд 2_i ~ б'>1Л суммируем (С, к — 1), необходимо и достаточно, чтобы
XT Ап
ряд V g— сходился, а это легко доказывается суммированием по частям.
Доказательство сохраняет силу и для нецелых k.
Можно также видоизменить доказательство так, чтобы избежать обра-
обращения к теореме 47.
§ 6.7. Теоремы 77 и 78 доказали Hardy and Littlewood, MZ, 19 A924),
67—96; они тесно связаны с другими теоремами, которые независимо доказал
Коорр, там же, 97—113. Позже Andersen, PLMS B), 27 A928), 39—71, и
Hardy and Littlewood, там же, 327—348, видоизменили и обобщили их в раз-
различных направлениях. См. Kogbetliantz, 33.
§ 6.8. Как обычно, трудно дать точные литературные указания относи-
относительно интегральных теорем. По поводу теоремы равносильности см. Landau,
Letpziger Sitzungsberichte, 65 A913), 131—138; по поводу аналога тео-
теоремы 71—Hardy, MM, 40 A910), 108—112; по поводу вопросов, затронутых
в конце параграфа, —М. Е. Grimshaw, JLMS, 9 A934), 94—102.
§§ 6.9—6.10. Излагаемые здесь результаты принадлежат в основном
Чэпмену и Кноппу, 1. с. в примечании к § 5.5.
§ 6.11. Ограниченную сходимость ряда F.11.1) и равномерную сходимость
ряда F.11.4) доказал, не столь прямым путем, Hardy, QJM, 44 A913), 147—160.
См, также Landau, Ergebnisse, 68—69,

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ B) [ГЛ. VI
Наиболее интересный случай теоремы 83, когда V^ra«™= f+Г >
равносилен одной теореме, которую доказал М. Riesz, AUH, I A923),
114—126. В более явном виде ее сформулировал Fejer, MZ, 24 A925),
267—284 B69). Szego, MZ, 25 A926), 172—187, дает другое доказательство,
основанное на теореме 22 Калузы, а также обобщение на случай Р>0.
Доказательство теоремы 83 при р = О несколько сложнее, чем при Р<СО.
Для случая ап = л** его подробно провели Hardy and Rogosinski, OQJ, 16
A945), 49-58.
§ 6.12. Основной результат принадлежит Hardy, PLMS B), 9 A911),
126—144; но принятое там изложение не вполне удовлетворительно для
наших теперешних целей, поскольку оно основано на оперировании риссов-
скими средними § 5.16, в которых ш принимает только целые значения.
Нетрудно видоизменить рассуждение так, чтобы были приняты во внимание
и нецелые <о, и доказать, что ряд суммируем (R, n, k) при (&-f-1) а + ^> 1;
но тогда для установления суммируемости (С, k) нам потребуется сложно
доказываемая теорема 58 (установленная в § 5.16 лишь для целых k).

Глава VII
ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
7.1. Теоремы абелева и тауберова типов. В этой главе мы зай-
займемся классом теорем, обычно именуемых теоремами „тауберова"
типа, или „тауберовами" теоремами. В § 6.1 мы уже. пользовались
этим термином и вкратце разъяснили характер тауберовых теоргм.
Но доказываемые здесь теоремы более трудны, а их изложение более
систематично, так что будет лучше начать с более точного опреде-
определения смысла термина „тауберовы", равно как и противополагаемого
ему термина „абелевы". Нам будет удобно пользоваться обозначе-
обозначениями, несколько отличными от применявшихся до сих пор.
Мы будем обозначать ряд и интеграл
G.1.1) 2а„, Jo (О
dt
через S и J, л их значения в случае сходимости через s и j (так
что, например, S — s будет означать, что ряд 2а« сходится'к s).
Мы будем писать
t
«» = ao + °i+ •••+««. j(t) = j a{u)du,
о
а также
S О») =» 2 аяе-«?/, J QO = J a (t) e~v* dt,
когда ряд и интеграл сходятся для у > 0. Запись S — s (А) или
У = у (А) будет означать, что S (у)-* s или J(y)—>j при_у-*0,
а запись S = s (С) или J — j (С) — что ряд или интеграл G.1.1)
суммируем (С, 1) к s или ;'; суммируемость по Чезаро какого-либо
другого порядка нам не встретится. Предположения
S = s, J = j, S = s (A), J=j (A), S = s (С), J=j (С)
будут кратко обозначаться символами
К, К, КА, К'А, Кс, К'с
соответственно.
Теорема „абелева" типа есть, грубо говоря, теорема, утверждающая,
что из правильного поведения последовательности функций вытекает
правильное поведение некоторых средних от членов этой последова-

190 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
тельности. Так, теоремами абелева типа являются предложения: „если
sn ->• s, то
или „К влечет KG", равно как и их интегральный аналог „К' вле-
влечет Кс". Теорема Абеля о непрерывности степенного ряда есть также
теорема абелева типа (отсюда и пошло это наименование). В самом
деле,
если 0<х<1 и ряды сходятся; правая часть представляет собой
определенное среднее от sn; и теорема Абеля утверждает, что если sn
стремится к s, то и это среднее стремится к s, когда jt-> 1. Более
обще, всякая теорема, устанавливающая регулярность (§ 3.2) некото-
некоторого метода суммирования, есть теорема абелева типа.
Прямое обращение теоремы абелева типа обычно оказывается не-
неверным. Так, например, ясно, что если теорема регулярности для
какого-либо метода суммирования обратима, то этот метод тривиален,
в том смысле, что он суммирует лишь сходящиеся ряды. Однако
существует много важных теорем, которые можно было бы назвать
исправленными обращениями теорем абелева типа. Так, мы видели
в § 6.1, что неверная теорема „<зп—>s влечет sn—>s" или „Ка вле-
влечет К" становится верной, если подчинить sn надлежащему дополни-
дополнительному условию, как, например, ап = О (—). Такие теоремы назы-
называют теоремами „тауберова" типа, или „тауберовыми", по имени
А. Таубера, впервые доказавшего одну из простейших таких теорем;
а дополнительное условие называют „тауберовым условием".
Наиболее важными из тауберовых условий, с которыми мы будем
иметь дело, являются
(о) в„ = о(|), (О) «» = ОD) (°) Й>
(Ов) в„<?
и их интегральные аналоги
' \ A\ ' ^ 1 \ ' Н
(ОВ) «(/)<f
Здесь Н—положительная постоянная, а условия, наложенные на a(t).
предполагаются выполненными для достаточно больших значений t.
Поведение функции a (t) для малых t несущественно; мы будем обычно

7.2] ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ТАУБЕРА 191
предполагать только, что она интегрируема на конечных интер-
интервалах (О, Т).
Мы будем также пользоваться двумя обобщениями условий (о)
и (о'), а именно
(со) а, + 2аа + ...+««« = о(я)
и
(о/) J иа (к) rfw = о (Q-
о
7.2. Первая теорема Таубера. Первой теоремой Таубера была
Теорема 85. Если . 2Я« = s (А) н а„=о(—V то ряд 2 я«
сходится к s,
или ,,/Сд и (о) влекут /С". Интегральный аналог есть „Ка и (о') вле-
влекут /С'". Мы будем именовать это теоремой 85а и таким же образом
будем обозначать интегральный аналог любой другой теоремы таубе-
рова типа о рядах приписыванием к ее номеру буквы „а".
Мы начнем с доказательства теоремы 85а, теорему же 85 выведем
как ее следствие; впрочем, можно было бы также доказать теорему 85
непосредственно, путем рассуждения, параллельного применяемому
в доказательстве теоремы 85а.
Очевидно, (о') влечет абсолютную сходимость интеграла J (у)
для ^/>0. Далее,
У «)
i (— J ~ J(y) = J a (t) dt— Г e~yfa (t) dt ==
о
i
у
о
Так как 0<1—e-»f4Lyt, то
J (l —e-yt)a (t)dt— J e-vfa {I) d(=P
p= С O(yt)o(\)dt=y f o(l)rf/=o(l).
i о
С другой стороны,
00 CO С»
= 0 С [e-udu) = o A).
У
Поэтому j{~j = J(y) -\- о A)->/ при_у->-0, т. е. У (t)-*j при / -» оо#

192 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
Чтобы вывести отсюда теорему 85, положим a (t) = an для
4-1. Тогда
так что S (у) -*¦ s влечет У (у) -*¦ s. Но ап = о (— J влечет я (/) = о f—J;
тем самым теорема 85 есть следствие теоремы 85а.
7.3. Вторая теорема Таубера. Во второй теореме Таубера пред-
предположение (о) заменено на (ш). Это изменяет характер теоремы, по-
поскольку из сходимости ряда S в силу теоремы 26 следует (<о), так
что (ш) есть необходимое условие для К-
Теорема 86. Если ряд 2ап суммируем (А) к s, то (ш)
является необходимым и достаточным условием сходимости его к s.
Интегральный аналог гласит: „Если верно К а, то (<о') необходимо
и достаточно для К'". Здесь, как и в дальнейшем, будет удобно
доказывать основную теорему и ее интегральный аналог одновременно,
как частные случаи соответствующей теоремы об интегралах Стилтьеса.
Мы будем считать известными определения и элементарные свойства
„интеграла Римана-Стилтьеса"
ff(t)da(t)
с конечным интервалом интегрирования (а, Т). В частности, мы будем
опираться на то, что этот интеграл существует, когда одна из функ-
функций f{t) или a (f) непрерывна, а другая имеет ограниченное измене-
изменение, и что
т т
G.3.1) f f(t)da(t) = f(T)a(T)-f(a)a(a) — ja(t)df(t).
а а
Всюду далее будет предполагаться, что а (/) — функция с ограничен-
ограниченным изменением, причем а @) = 0. Мы будем также пользоваться
равенством
т т
G.3.2) J7@<M0 = J
а а
t
где ?!(/) = Г g(u)da(u), fug непрерывны и g>0.

7.3] ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ТАУБЕРА 193
Интеграл Стилтьеса от я до оо определяется формулой
со Т
ff(t)da(t)=\im ff(t)d«(f).
а а
Мы будем иметь дело с интегралами вида
G.3.3) 1(у) =
Всюду будет предполагаться, что 1{у) сходится для всех положи-
тельных у; в этом случае a{f) — o(eyt) для всякого ,у>0. Если a (t)
абсолютно непрерывна и а' (/)= a(t), то I (у) приводится к J(y).
Если а (9 — ступенчатая функция со скачками ап в точках t — n*),
то I (у) приводится к S(y). Следовательно, каждая теорема абелева
или тауберова типа, относящаяся к 1(у), будет содержать соответ-
соответствующие теоремы для J(y) и S (у).
Теорема 87. Если a(t)-^-l при t -> оо, то I(у) сходится
для у > 0 и I (у) -> / при у->0.
Действительно,
/(v)=lim I f e-»'rfa@i=> 11m [е~уТа (Т)+у Г е~У* а @*1 =
так что
со
/О0-> l'm (У ( e-ytdt=l.
Докажем теперь теорему, содержащую теоремы 86 и 86а.
Теорема 88. Если /(у) сходится для _у>0 и J(y)^-l при
у ->• 0, то для того, чтобы Г da (t) = /, т. е. чтобы a(t) -> /
при / —v оо, необходимо и достаточно, чтобы
t
G.3.4)
*) И а(+0)-а@)
14 Ч«г, M0Q. Г. Кяпли.

194 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
Прежде всего, условие необходимо, поскольку
t
и потому
когда a (f) -*¦ I.
С другой стороны, если условие G.3.4) выполнено, то, принимая
во внимание формулу G.3.2), имеем
так что
о
Далее,
.. С К W л — yt Л4-Л— Г Tf
и так как первый член справа есть о(у Г e~yt dt\ = o A), то
A \ г
-т) и потому в силу теоремы 85а I b(f)dt сходится к /.
Наконец,
Тем самым условие G.3.4) не только необходимо, но и достаточно.
Специализируя а (/), как указано выше, получаем теоремы 86 и 86а.
7.4. Применения к общим рядам Дирихле. A) Если Хо^>0,
Хп+1 > Х„, Хте ->• сю и a @ — ступенчатая функция со скачками ап
в точках Хя, то
G.4.1) /00 = 2^4

7.5] БОЛЕЕ ГЛУБОКИЕ ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА 195
Тем самым такая специализация функции a (t) в любой из наших тео-
теорем приводит к соответствующей теореме о рядах Дирихле. Так,
теорема 87 приводит к теореме регулярности для (А, Х)-метода сумми-
суммирования. Не рассматривая сколько-нибудь подробно свойства общего
ряда G.4.1), мы ограничимся иллюстрацией наших замечаний доказа-
доказательством теоремы тауберова типа для рядов Дирихле, соответствую-
соответствующей теореме 85.
Теорема 89. Если S(у) — 2ane~lnV сходится для у > О,
S (у) -> s при у—у 0 и
то ряд 2 ап сходится к s.
Применим теорему 88, взяв в ней
<*(/) = 2
2
Тогда 1{у) = S (у) -*¦ s. Далее, если X, — последнее Кп, меньшее
чем t, то
t
^ KO ,) ()
1
Тем самым условия теоремы 88 выполнены, иа(/)-> s, т. е. 2 ап — s-
B) Условие G.4.2), грубо говоря, тем сильнее, чем медленнее
Хи стремится к бесконечности; так, оно принимает вид ап = о(—\
если Х„ = я, и ara = °LlogJ> если ^п = log«. Расходящийся ряд,
удовлетворяющий первому условию, в силу теоремы 85 не может быть
суммируемым (А); но он вполне может быть суммируемым (A, log я).
Последний метод не так „мощен" (пользуясь языком §§ 3.8 и 4.12),
как А-метод, ибо он применим только к таким рядам 2 а«> Для кото-
которых V -^- сходится при всех положительных у. Так, он не при-
меним к ряду 1 — 2 -[- 3 — ...; однако, как показывает теорема 28
(§ 4.8), в границах своей применимости он, по меньшей мере, столь же
эффективен; а пример ряда V -j^ic показывает, что в некоторых слу-
случаях он даже эффективней (см. § 7.9).
7.5. Более глубокие теоремы тауберова типа. Мы переходим
теперь к ряду более трудных теорем, из которых наиболее известной
м в некоторых отношениях наиболее типичной является

196 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
Теорема 90. Если ряд 2аи суммируем (А) к сумме s
и ап = о( — \, то 2а» сходится к s.
Иными словами, „Ка и (О) влекут К"- Эта теорема представляет
собой непосредственное обобщение теоремы Таубера 85: условие (о)
этой теоремы заменено на (О). Сделаем несколько замечаний ввод-
вводного характера.
A) Если ряд 2 я» суммируем (С, Щ для какого-либо k, то, по
теореме 55, он суммируем (А). Поэтому теорема 90 содержит тео-
теорему 63 гл. VI. Вообще, любая теорема тауберова типа для суммируе-
суммируемости (А) содержит теорему для суммируемости (С, k); впрочем, не-
независимое доказательство последних теорем обычно легче.
B) Теоремы §§ 7.2—7.4 можно естественным образом варьировать,
заменив „о" на „О" и в предположениях и в заключениях, причем
доказательство каждой полученной так „О"-теоремы будет представлять
собой тривиальную вариацию доказательства соответствующей „о"-
теоремы. Так, теорема 85 имеет своим вариантом следующую теорему:
„Если sn—O(l) (А), т. е. если S(у) ограничено при у-+0,
и а„ = 0A), то sn = O{iy;
доказательство ее представляет собой слегка упрощенный вариант
доказательства теоремы 85. Иногда мы будем пользоваться такими
теоремами, не считая их требующими особого доказательства; для
обозначения их мы будем приписывать к номеру соответствующей
„о"-теоремы [О]; например, только что сформулированная теорема
будет называться теоремой 85 [О]. Заметим, что из теорем, излагае-
излагаемых в следующих параграфах, действительно важными будут те,
в которых, как в теореме 90, в одном из предположений стоит О,
а в заключении — о.
Аналогично и интегральный аналог, теорема Ха, будет иметь свою
„О"-форму, теорему Ха[О].
C) Иногда мы будем пользоваться односторонними условиями
типа ап> — Ну(п) или ап<.Щ(п), где ап вещественны, а Н и <р(я)
положительны. аМы будем употреблять для них символическую запись
г г
ап — Ol {» («)} или соответственно ап = Or {<о (п)}. Так, ап~> •
ап — Ol (—) есть условие Ol из §7.1. Фактически наши тео-
теоремы будут содержать только условия типа Ol, поскольку каждую
теорему с Or можно получить из соответствующей теоремы с Oi
простым обращением знака.
Сформулируем теперь ряд теорем, которые мы будем рассматри-
рассматривать одновременно с теоремой 90.
Теорема 91. Если ^an = s (А), ап вещественны и ап — Ol{~ ),
то V.ul. = s.
или

7.5] БОЛЕЕ ГЛУБОКИЕ ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА 197
Теорема 92. Если 2йп = 5 (А) и sn = O{\), то ^ап~s (С, !)•
Теорема 93. Если ^an = s (А) и sn>0, то ^an = s (С, 1).
Теорема 94. Если S?an = s (А), ап вещественны и sn — Oz(l),
Теорема 95. Если при х->1
G.5.1) /W = 2V"^P1'
а яп=0A), то sw~CVz.
Теорема 96. Если имеет место соотношение G.5.1) и ап~^>0)
то sn~Cn.
Теорема 97. Если имеет место соотношение G.5.1), ап ве-
вещественны и an = Oi(l), то sn — Сп.
В последних трех теоремах соотношения G.5.1) и sn — Сп при
С = 0 следует понимать в том смысле, что A—x)f(x)—>0, соот-
соответственно sn = o(n). Так как 1—е~У~у при у-*-О, то G.5.1)
Q
равносильно соотношению S(y)~ —.
Все эти теоремы — одинакового уровня трудности и каждую из
них сравнительно нетрудно вывести из любой другой; наиболее инте-
интересные из этих дедукций будут даны в §§ 7.7 и 7.8. В некоторых
случаях такие дедукции совершенно тривиальны. Так, теорема 93 есть,
очевидно, частный случай теоремы 94, а теорема 96 — теоремы 97.
Теоремы 90, 92 и 95 при вещественных ап являются соответственно
частными случаями теорем 91, 94 и 97, а при произвольных ап могут
быть сведены к частным случаям этих теорем путем отделения веще-
вещественных и мнимых частей. Таким образом, в доказательстве нуждаются
только теоремы 91, 94 и 97.
Но теорема 94 есть следствие теоремы 97. Действительно, если
условия теоремы 94 выполнены, то
1
' 1 — х aU п 1 — х
и sn= OL{\). Поэтому, принимая, что теорема 97 справедлива, и
применяя ее к ряду ^snxn, получаем
или 2а« = s (С, 1).
Наконец, хотя теорема 96 является частным случаем теоремы 97,
последняя есть следствие первой. Действительно, если условия тео-
теоремы 97 выполнены и ап > — Н, то Ьп = ап-\-Н~> 0, и

198 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
Отсюда (допуская справедливость теоремы 96) заключаем, что
и, следовательно, sn ^ Сп.
Итак, достаточно доказать теоремы 91 и 96. Интегральные ана-
аналоги рассматриваемых теорем таким же образом сводятся к теоре-
теоремам 91а и 96а. Теоремы 96 и 96а мы докажем непосредственно,
а теоремы 91 и 91а выведем из них.
7.6. Доказательство теорем 96 и 96а, Мы докажем теоремы 96
и 96а как частные случаи соответствующей теоремы о стилтьесовских
интегралах.
Теорема 98. Если a(t) — возрастающая функция,
/00 = je-yfda(t)
Q
сходится для у > 0 и I (у) при у -> 0, где С>- 0, то a (t) — Ct.
Нам понадобятся две вспомогательные теоремы.
Теорема 99. Для каждой вещественной функции g(x), ин-
интегрируемой по Риману на интервале @, 1), существуют много-
многочлены р(х) и Р(х) такие, что р (х) < g {х) < Р (х) и
1 со
—р(х)\ dx= J е-* {Р(е-*)—р (е-*)} dt < e.
(I) Пусть сначала g равна 1 на интервале (a, J3), где 0 < а < р < 1,
и 0 вне его. Очевидно, можно найти непрерывную функцию h *) такую,
что
По теореме Вейерштрасса, существует многочлен Q такой, что
h — Q | < е. Полагая Р = Q -j- e, имеем тогда g^.h<^P и
J (P — g)dx < J (Я — Q) dx^r J | Q — h\ dx + J {h — g) dx < 3e.
Аналогично убеждаемся в существовании многочлена р такого, что
Р < g и Г (g—/?)rfx<3s. Многочлены р и Р удовлетворяют тре-
требованиям теоремы (с заменой бе на е). Тем самым теорема справед-
справедлива для рассмотренной функции g.
Которая на (а, р) может совпадать с g. Всюду'в дальнейшем интегралы
: неуказанными пределами интеграции берутся от 0 до 1, а интегралы
от 0 до со.
*)
ПО t—ОТ О ДО СО.

7.6) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 96 И 9бА 199
(II) Умножением на постоянные и сложением получаем, что тео-
теорема справедлива для любой ступенчатой функции с конечным числом
скачков.
(III) Пусть теперь g — любая интегрируемая по Риману функция.
Тогда существуют ступенчатые функции g1 и g2 с конечным числом
скачков такие, что
Для этих функций, по доказанному, существуют соответственно мно-
многочлены ри Рх и ра, Р2> обладающие описанными в теореме свой-
свойствами. Тогда р1 < g < Р2,
J~Pi)dx< 8
i — Pi)}dx<3i.
Тем самым теорема доказана.
Наша вторая вспомогательная теорема требует несколько ббльших
сведений об интеграле Стилтьеса, чем до сих пор предполагалось.
Мы будем считать известным, что если / и g — функции с ограни-
ограниченным изменением, заданные на конечном интервале, не имеющие
общих точек разрыва, то каждая из них интегрируема относительно
другой. Формула интегрирования по частям сохраняет и здесь силу,
но она нам не понадобится. Интегралы с верхним пределом интегри-
интегрирования оо определяются так же, как в §. 7.3.
Теорема 100. Пусть a(t) — возрастающая функция от t,
Q
1{у) сходится для .у > 0, I (у) ~— и g (х) — функция с ограни-
ограниченным изменением на отрезке [0, 1]. Тогда
существует для всех положительных значений у, за исключением
значений —, где со — точки разрыва для а, а т — для g(e-f), и
G.6.1) X(y)~jje-*g{e-*)dt,
когда у —>• 0 по любой последовательности положительных чисел,
не содержащей указанных исключительных значений.
Исключительные значения у — это общие точки разрыва функ-
функций g(e-yf) и a(t): для них х 00 не определена. Поскольку точек со
и х, самое большее, — счетное множество, то мы исключили не более
счетного множества значений у% аргумента у.

200 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
Так как функции с ограниченным изменением интегрируемы по
Риману, то в силу теоремы 99 мы можем выбрать многочлены р и Р
так, чтобы
P<g<P, fe-t{P(e-*)—p(e-t)}dt<S.
Тогда
J e'tp (е-*) dt< J е-^(е-*) dt < J e-*P(e-*) dt;
так как a (t) — возрастающая функция, то также
J е-У*р {e-vt)d<x (f) < J e-ytgie-y*) da (t) < J е-У* Р (е-У*) da (t)
для у фук. Но
I" е-У*е-»УЫа({)= |V("+')^rf« (f)~,nfX) = ~ J e~f e~«* dt,
и, следовательно,
J e-v* P (e-yt) da (t) ~ — J е-*Р(е~*) dt.
Поэтому, когда у —> 0 по любой последовательности, не содержащей
значений ук, имеем
G.6.2) lim у Г e-ytg(e-yt)da(t)*C lim у Г е-ytР (e~yt) da. (t) =
у ->o J y-*o J
= cfe-tp(e-t)dt<CJe-tg(e-t) dt-\-Ce.
Аналогично, беря р вместо Р, получаем
G.6.3) lim у f e~ytg(e-yt)d*(t)> С j e-tg(e-t)dt—Cs.
Из G.6.2) и G.6.3) и следует утверждаемое соотношение G.6.1).
Мы можем теперь доказать теорему 98. Как обычно, мы прини-
принимаем, что а @) = 0. Положим
— при — -^ х <; 1,
0 при 0 < х < i ,
так что
, ,ч ( е* при 0<г?<1,
g(e-f) = {
\ 0 при ?> 1.
Тогда
оо V
у СУ) = e-yt g (e-yt\ da (t) = da =a( —).
о

7.7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 91 И 91а 201
Далее,
1
J
о
е-* g(e-t)dt= j dt=l.
/ 1 \ С
Поэтому в силу теоремы 100 <х(—j—— при _у->0, т.е. a{t)~Ct
при t-+co, причем в обоих случаях пропускается некоторое не более
чем счетное множество значений аргумента. В рассматриваемом слу-
случае имеется точно одно х, а именно 1, и исключенными значениями
аргумента t являются точки разрыва функции a (t). Таким образом,
a (t) — Ct, когда t->co, пробегая точки непрерывности функции a (t).
Наконец, в силу возрастания a (t) это соотношение справедливо без
всяких ограничений.
Теорема 98 содержит как теорему 96, так и ее интегральный
аналог — теорему 96а. Действительно, если ct(t) — ступенчатая функ-
функция со скачками ая^0 в точках t = n, то
'00 = SO) = 2 «»*-
"».
Q
и S(j/)~— влечет sn~~>Cn. Это — теорема 96. Аналогично, если
а (?) абсолютно непрерывна, и a'(t) = a(t), то получаем теорему 96а.
7.7. Доказательство теорем 91 и 91а. Мы можем теперь до-
доказать теорему, содержащую теоремы 91 и 91а. Для этого нам по-
потребуются еще две вспомогательные теоремы.
Теорема 101. Если f (у) дважды дифференцируема для поло-
положительных значений у и
G.7.1) /OW>
G-7.2) /"(_>,)>_-?
при у -> 0, то yf (у) -> 0.
Это — теорема важного типа, и будет поучительно дать два ее
доказательства.
A) Если у и у-\-ч\ положительны, то
G.7.3) / (у + т]) -/ о) = rf> о) +1 пу (у + Ы
где 0 < 9 < 1; отсюда
G.7.4) Г(у)
Выберем 8 так, чтобы 0 < 8 < 1 и
и применим формулу G.7.4) к yj = by и yj = — by.

202 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
Возьмем сначала ?] = 8у. Тогда соотношения G.7.1), G.7.2),
G.7.4) и G.7.5) дают
и, значит,
С другой стороны, при vi = —8_у они дают
Kb
так что
^.У/'О^ —е-
Следовательно, yf(y) -*¦ 0.
B) Заметим сперва, что если y(y)—f'(y) ¦, то
Таким образом, «р есть возрастающая функция, имеющая конечную
производную ^' Для каждого _у, и потому «р есть интеграл от ^' *)•
А в таком случае /' есть интеграл от /".
Если yf'(y) не стремится к нулю, то для некоторого положи-
положительного Н и последовательности значений у, стремящейся к нулю,
выполняется одно из неравенств
G.7.6) /'Ы>у или/О0<-у.
Пусть, например, выполняется первое из этих неравенств для значе-
значений у = Y. Если тогда
то
У У
f у
откуда
> у
Y+bY
F
du
yz
н
Y
до
Y
И
2Y'
См., например, Титчмарш, Теория функций, стр. 411,

7.7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 91 И 9lA 203
в противоречие с соотношением G.7.1). Аналогично, взяв интервал
Y— 8
получим противоречие, отправляясь от второго из неравенств G.7.6).
Следовательно, /' (у) = о(—).
Теперь мы можем доказать следующее предложение.
Теорема 102. Пусть (I) 1{у) сходится для _у>0 и 1(у)-+1
при _у->0; (II) существует такая функция $(t), что |3@) = 0,
р@
G.7.7) f«
для некоторого положительного L есть возрастающая функция
от t. Тогда a (t) -> /.
Из определения функции 8 (/) следует, что она представляет собой
разность двух ограниченных возрастающих функций и потому имеет
ограниченное изменение на каждом конечном интервале @, Т).
Заметим сначала, что
G.7.8) J е-У*й${{)=у J e-y'$(t)dt~y J te-v*dt^-,
G.7.9) J е~У{ d$ (t) = J *-* (yt— 1) p (/) dt ~
/ (у) = — J &-»* dz @, /" (y) = J ^-^* rfa @.
Отсюда, прежде всего,
/" (у) = J &-»* rff @ — L J fe-»* d$(f» — Lf te-yt dp (t)
для некоторого Ж. В силу теоремы 101 отсюда следует, что
~
Но
/' (у) = - J e-v*di® -\-L J e-
поэтому в силу соотношения G.7.8)
G.7.10)

204 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
Так как f (t) возрастает, то из соотношения G.7.10) и теоремы 98
следует, что f @ ~ Lt, и, значит,
G.7.11) J uda («)=f (О —I? @ = о @.
о
Наконец, из соотношения G.7.11) в силу теоремы 88 заключаем, что
Теорема 102 доказана. Если a{t) — ступенчатая функция, опре-
определенная в- § 7.4 A), с \п = п и пап >—Н, то мы можем взять
Тогда
есть возрастающая функция при L > Н, и мы получаем теорему 91.
Если а (}) абсолютно непрерывна, а? (() = a (t) и ta{f)~>—И, то мы
можем взять $(f) = t и аналогично получим теорему 91а.
Рассмотрим еще одну специализацию теоремы 102. Пусть ^n<C^»+i>
Хи—> оо и
G.7.12) Х,(+1~ХИ;
пусть, далее, a(t) — ступенчатая функция, определенная в § 7.4A),
причем
G.7.13) an>__tfk
1-1
Возьмем
Р@= 2 (*«-*»
(с X_i = 0) и L>H. Тогда
/и da {и)— 2 {LQ-n — Хп-1
о n<f
будет возрастающей функцией от t. С другой стороны, [ ()
где Л^—наибольший номер п, для которого \n<Ct\ а тогда соо;но-
соо;ношение G.7.12) показывает, что [5 (^) <—'^. Тем самым условия теоремы 102
выполнены, и мы получаем следующую теорему:
Теорема ЮЗ. Если Хп неограниченно возрастают, причем
выполняется соотношение G.7.12), далее, ап удовлетворяют усло-
условию G.7.13) и S(y) = 2 апе~хпу -+s при у -> 0, то ряд ^ап схо-
сходится к s.

7.8] ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СВЯЗЯХ МЕЖДУ ТЕОРЕМАМИ § 7.5 205
Эта теорема соответствует теореме 91 таким же образом, как теорема 89
соответствует теореме 85; но при этом на А.п наложено дополнительное условие,
а именно G.7.12). Это ограничение существенно; без него доказательство
теряет силу, поскольку тогда уже неверно, что р (/) -~ t; да и сама теорема
становится неверной. Пусть, например,
Х
и ап — (—\)п. Тогда «и>0 для четных п. Далее,
так что
Тем самым условие G.7.13) выполнено с Я =4. При этом
и, однако, ряд ^ ап не сходится.
В этом отношении имеется различие между теоремой 103 и следующим,
более непосредственным обобщением теоремы 90.
Теорема 104. Если S(y)=y.a,,e~xn^ ->s и ап = О fХ" ~ 1п-=
/по ряд 2j an сходится к s.
Здесь уже нет надобности накладывать условие G.7.12) *).
7.8. Дальнейшие замечания о связях между теоремами § 7.5.
Существуют различные методы доказательства теорем § 7.5; про-
простейший из них — метод Карамата, которому мы здесь следовали.
Первоначальный метод Харди и Литтльвуда опирается на технику
кратного дифференцирования, о которой мы скажем в § 7.12. Имеется
также метод Винера, наиболее мощный и общий, но вместе с тем
и наиболее трудный, поскольку он опирается на глубокие теоремы
из теории преобразований Фурье. Рассмотрение его мы отложим
до гл. XII.
Каждый метод содержит некоторую главную идею, приводящую
к одной из теорем, из которой ос ильные получаются уже более
элементарными средствами. Так, идея Карамата воплощена в теореме 100,
а теоремой тауберова типа, к которой она естественно приводит,
является теорема 96. Метод Харди и Литтльвуда приводит к Teopeve 90
или теореме 96, смотря по способу его применения; метод же Винера
наиболее естественно приводит к теореме 92.
*) См. примечание к этому параграфу в конце главы.

206 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
Поэтому интересно ближе исследовать связи между рассматри-
рассматриваемыми теоремами. Мы покажем здесь, (I) как вывести теорему 92
из теоремы 90 и (II) как вывести теорему 96 из теоремы 92.
(I) Вывод теоремы 92 из теоремы 90. Пусть выполнены условия
теоремы 92 и пусть, кроме того, а0 = 0 и s = 0 (что можно принять
без ограничения общности). Положим
™о = о> я»» = в1 + 2вв+ ••• +пап (>0) ^
так что
«п = (я + 1) sn — s0 ~ st — ... — sn = О (я), vn = О G) •
Пусть, далее,
/ (*) = 2 вя^», i? (х) = 2 «„
Тогда
Отсюда
и интегрирование дает
Так как §• (х) = 2 f»-vn+1 = о A) и г»„ = o(j), то из теоремы 90
следует, что ряд ^vn сходится к нулю. Но
N N , N
- О . г ~^ ' « w . л -| —I '
N+l
Поэтому 50 + Sl+ ... +5к = о(Л0, т. е. 2]ап = 0 (С, 1).
(II) Вывод теоремы 96 из теоремы 92. Пусть выполнены усло-
условия теоремы 96. Тогда при п > 1 имеем
*) Суммирование производится в пределах от 1 до со.

7.9] ряд v«-i-*e 207
Пусть tn — —цту, так что /„=0A). Тогда, полагая
sn+1
—
имеем
G.8.1)
и
для некоторого //. С другой стороны.
о
х
I-/J 1-Х
о о '
так что
G.8.3)
Из G.8.3), G.8.1) и теоремы 92 следует, что 2*и= С— *0 (С, 1), т.е.
G.8.4) '»='b + S*»->C1 (С, 1).
о
Наконец, из G.8.4), G.8.2) и теоремы 64 следует, что tn—>C, т. е.
что sn ~ Ся.
7.9. Ряд 2,1 1+гс- В § 6>11 мы виДели> что РЯД ^] 1+<е, где с
вещественно и отлично от нуля, не сходится, и что, точнее,
90
где / не зависит от я*). Так как ап — О (—), то из теоремы
следует, что ряд 2а« не суммируем (А); то, что он не суммируем (С),
следовало из теоремы '63. Однако этот ряд суммируем (A, log я),
поскольку
*) В гл. XIII мы увидим, что это / равно С A -j- lc).

208 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ, VII
Теоремы 63 и 90, равно как и другие теоремы § 7.5, имеют
много применений в теории рядов Фурье. Так, например, известно,
что ряд Фурье любой интегрируемой функции f (f) суммируем (А),
или (С, 1), в любой точке непрерывности или скачка этой функции.
Если f (t) есть функция с ограниченным изменением, то ее коэффи-
коэффициенты Фурье равны О (—у, а тогда из теоремы 90 или 63 следует,
что ряд сходится для всех L
7.10. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функ-
функции. Используя идеи, развитые в § 6.2, можно еще дальше обобщить
теорему 91.
Теорема 105. Пусть (I) 1{у) — Г e~yt da (f) сходится для у > 0
и Пу)-*! пРи у->®'> 00 а 00—медленно колеблющаяся функция.
Тогда а (t) -» / при t-* oo.
Теорема 106. Если 2а« — s (A) u sn—медленно колеблющаяся
последовательность, то ^ап = s.
Очевидно, мы вправе предполагать, что a (f) = 0 на некотором
интервале @, т). Нам потребуется следующее вспомогательное пред-
предложение:
Теорема 107. Пусть <x(t) равна нулю на некотором интер-
интервале @, т) и имеет ограниченное изменение на любом интервале
@, Т), и пусть 1(у) сходится для _у>0. Тогда при р>^>0
имеет место равенство
Ж.
7a(pt)-a(qt) -yt rf. Г I {и)
.It J и
du.
Интеграл, представляющий / (и), равномерно сходится на любом
интервале 0 < f <]«<]{/, a a(t) = о (ег*) для любого положитель-
положительного s. При 0 < v < U имеем
V
со
0
oo
Г.
о
у (f
г lA
ГА,
и
V
V
•1+ Г Р-К/1
со
0
со
и,— Ce~vt
и
V
IV (Г
dt.

7.10] МЕДЛЕННО КОЛЕБЛЮЩИЕСЯ И МЕДЛЕННО УБЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ 209
Наконец, беря •»=—, ?/==—, получаем
j lj- a(t)dt— J ——a.{t)dt=*
J ^
Переходим к доказательству теоремы 105. Мы можем принять,
что /=0. Так как a (t) — медленно колеблющаяся функция, ограни-
ограниченная на каждом конечном интервале положительных значений t, то
G.10.1) a(pt)-a{qJ1>___H
для любых фиксированных р и q с 0<<7<р и некоторого //*).
Так как / (у) -> 0, то
G.10.2)
0 ?
для любых фиксированных р и q с 0<^<р. В силу теоремы 91а
из G.10.1) и G.10.2) следует, что
Г °-
Поэтому
G.10.3)
при Г->оо.
Если a (t) не стремится к нулю, то существует такое положи-
положительное М, что для последовательности значений t—T, стремящейся
к со, выполняется одно из неравенств а (Г) > М или «(Г)< Af.
Пусть, например, выполняется первое неравенство. Возьмем q = 1 и
выберем /? > 1 так, чтобы а (к) — а (v) > — -^- /И для г» > г»0,
v <; м < рг». Тогда, для достаточно больших t = Г, будем иметь
а(а)>а(Г) — у/И>|м
*) См.- § 6.2.
14 Зак. 2499. Г. Харди.

210 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
откуда
рТ
С « (и
в противоречие с соотношением G.10.3).
Аналогично (рассматривая интервал влево от Г) придем к про-
противоречию, предполагая, что а(Г)<— М. Тем самым теорема дока-
доказана. Наконец, мы получим теорему 106, принимая за а(^) надле-
надлежащим образом выбранную ступенчатую функцию.
7.11. Другое обобщение теоремы 98. До сих пор мы доказы-
доказывали наши теоремы в их простейшей форме, игнорируя многие обоб-
обобщения, содержащие дополнительные функции или параметры. Теперь
мы проиллюстрируем их на примере одного важного обобщения тео-
теоремы 98. Мы будем предполагать в этом параграфе, что ср (х) поло-
положительна и возрастает при х ~^- х0 и стремится к бесконечности вместе
с х, причем
G.11.1) <?(x) = x°L(x),
где о>>0, и
G.11.2) L(cx)~L(x)
для каждого положительного с. Этим условиям удовлетворяет, напри-
например, функция х" (log ху при х > 2, если о > 0, т вещественно, или
о=0, х>0.
Теорема 108. Если <x(t) — возрастающая функция,
сходится для у > 0 и
G.11.3)
при у -» 0, то
G-11.4) f(?TT)
при t -> оо.
Пусть сперва о > 0. В этом случае доказательство теоремы 108
является простым обобщением доказательства теоремы 98. Полагаем
и устанавливаем следующие два вспомогательных предложения.

7.11] ДРУГОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ 98 211
Теорема 109. Если g удовлетворяет условиям теоремы 99
и о > 0, то существуют многочлены р и Р такие, что p<g<iP и
G.11.5) j{P(x)~p(x)}P(x)dx^
= J е-* р-1 { Р {e-f)—p (е-*) } dt < еГ (о) *).
Теорема ПО. Если a if) и 1(у) удовлетворяют условиям
теоремы 108, a g{x)-—функция с ограниченным изменением на
интервале @,1), то
G.11.6) y.(y)
существует для всех положительных значений у, кроме оговорен-
оговоренных в теореме 100, и
G.11.7) ./(у)^^^ f e-tt,-ig{e-t)dt>
когда у —> 0 по любой последовательности, не содержащей указан'
ных исключительных значений.
Доказательство теоремы 109 представляет собой прямое обобще-
обобщение доказательства теоремы 99; изменения, вызываемые наличием
веса р(х), почти тривиальны. Если g равна 1 на интервале (а, |3)
и 0 вне его, то существуют непрерывная функция h такая, что
и многочлен Q такой, что \Q — Л | < е. Полагая p = Q-\-e, имеем
<Л<Р и
Аналогично можно найти многочлен р такой, что р < g и
Тем самым неравенство G.11.5) (с заменой а на 6s) доказано для
функций g рассмотренного вида, а следовательно, и для любой сту-
ступенчатой функции с конечным числом скачков.
Заключительный этап доказательства требует несколько больше
выкладок. Положим M=tmx\g\ и определим 5 и $' так, чтобы
*) Как и в § 7.6, интегралы по х с неуказанными пределами интеграции
берутся от 0 до 1, а интегралы по /—от 0 до со.
14*

212 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
О < S < V < 1 И
5 1
G.11.8) 2М jpdx < еГ(о), 2/И J p dx < еГ (о).
о
Тогда можно найти такие ступенчатые функции gx и g% с конечным
числом скачков, что
на интервале
>2 m;-n max {p E), p E')}'
i
откуда
G.11.9)
Полагая на интервалах (О, ?) и (?', 1) gj равным — М, а ?2 равным М,
будем иметь g-j ^ g <; ^2 на всем интервале @, 1), g% — g1 <!
и в силу неравенств G.11.8) и G.11.9)
G.11.10)
Наконец, так как gx и g2 — ступенчатые функции с конечным
числом скачков, то существуют такие многочлены р и Р, что
P<gl<g<g2<P И
P~-g2)?dx<sY(o), j (gl—p)pdx <еГ(о).
Тогда из G.11.10) следует, что
f(P— p)pdx<5eT(?),
что и завершает доказательство теоремы 109.
Переходим к теореме 110. При _у~->0 имеем
J Г
е у е a (t) = J e
(и ¦
J
1
*) p монотонна на интервале @,1) и стремится к бесконечности при при-
приближении к одному из его концов, кроме случая о= 1.

7.11] ДРУГОЕ ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ 98 213
для каждого фиксированного я. Отсюда следует, что
G.11.11)
для каждого многочлена Q.
Но в силу теоремы 109 существуют многочлены р и Р такие,
что
p<g<P, f e-4>-HP(e-*)—p(e-*)}dt<»T(?),
и тем более
J" e-t ft-« { Р (е~0 — g (е-*)} dt< e Г (а).
11оэтому когда у —> сю с соблюдением условия, оговоренного в тео-
теоремах 100 и 110, то
Ш—L_ Ге-tff gr(е-!/<j flfa^Xlim-—- Г е~У1Р(е-Уь) da.(t) =
Ч?
Аналогично
lira—1,-r fe-v*g(e-y')da(t)> г~ Г е-'/-1^-') Л— в.
у
Оба эти неравенства в совокупности и доказывают соотношение
G.11.7).
Мы можем теперь доказать теорему 108 (для о > 0). Выбирая g",
как в доказательстве теоремы 98, получаем
1
( е-У*g
Г p-t fa-\ n (p-t)rff Г^-1///^ 1
je t- g\e jar —r(j)j г ЙС~Г(з+1)'
о
и принимая во внимание, что я (г)—возрастающая функция, мы
видим, что теорема 108 следует из теоремы ПО,
Проведенное рассуждение теряет силу, когда з = 0 и <р f — ) —
= L( — J—» со. В этом случае теорему 110 заменяет
Теорема 111. ?сл« а (г) — возрастающая функция,

214 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
и g(x) непрерывна на отрезке [0, 1], то
Здесь
Г е~ У* e-n>J'da(t)~ L
и значит
для каждого многочлена Q. Так как g непрерывна, то существуют
такие многочлены р и Р, что p^g^P^P-^r5 Для 0^л;^1.
Тогда
е-у*g (е-У1) da (t) <^ е~У* P(e-vl) da (t),
Пт —тут- Г е-У* g (е-У*) da (/)<
< lim —— J e-y*P(c-v') da (t)=P(\)<g(\) + s,
и аналогично
lim
1
f e-2/< g- fe-?/«) ^a @ > g A j — г,
Это доказывает теорему 111. Переходим к доказательству тео-
теоремы 108 для случая о = 0. Мы не можем теперь выбрать g, как
в доказательстве теоремы 98, ибо для применимости теоремы 111
g должна быть непрерывной. Возьмем
— 1 — юр' — при — <^ х 4L 1 ,
О при 0-^jc^C—
так что е-г g(e~*) есть 1—t для 0 <;/<". 1 и 0 для ^>1. Эта
функция g непрерывна, так что в силу теоремы 111
1 J
у у
yfa(t)dt=f(l~-yt)da(t)~L
G.11.12) a(t)dt~xL(x).
о
о

7.12] метод хлрди и литтльвудл 215
Из G.11.12) следует, что при 8 > О
х-{-Ьх
J a (t) dt~(X-\- Ьх) L(x-\- Ьх) ~ (л: -j- 8jc) L (х),
о
а-' + hx х + Ъх
j a(t)dt~bxL{x), [ a(t)dt=bxL(x)-\-o{xL(x)}.
О X
Так как a (t) возрастает вместе с /, то
8*а (х) <8л:?, (л;) -\-o\xL (х) \,
G.11.13) itai?^<l.
Аналогично
х-\-Ъх
J a{t)dt~bxL{x-\-bx),
X
Ьх а(х -f 8л:) > 8
Соотношения G.11.13) и G.11.14) в совокупности показывают, что
a(x)~L(x).
7.12. Метод Харди и Литтльвуда. Добавим еще краткий очерк.
метода, которым Харди и Литтльвуд впервые доказали теорему 96.
Этот метод менее прост, чем метод Карамата, которому мы следо-
следовали в § 7.6; однако идеи, на которых он основывается, представ-
представляют самостоятельный интерес. Мы начнем с доказательства сле-
следующего предложения:
Теорема 112. Если g (х) дифференцируема для 0 <; х < 1,
g (x)~ .-j г-л при х-+ 1, где С>0, а > 0, и g' (x) возрастает
вместе с х, то
/ , \ Са
g (X) ~_?-г
Положим х= 1—у, g(x) — O(y); тогда О {у) — — и —О'[у)
возрастает при убывании у. Выберем 8 > 0 так, чтобы
Тогда
G(y)-G{y+by)~C-

216 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
и потому для достаточно малых у
(l-0(l-(jqn
Но так как — G' (у) возрастает при убывании у, то
у+Ъу
— 8yG' (у)> J { — G'(t))dt=^G(y) —
V
Поэтому для достаточно малых у
lim { —y+iG' (y)\ > Co. A — гJ,
Аналогично верхний предел не превосходит Ca(l-j-sJ, и теорема
доказана.
Из нее, в качестве простого следствия, вытекает
Теорема 113. Если сп>0 и
•кл С
ь \ ) ^^ / j п '— ~п S— ^ ^ * *** ) >
то
^х)~с-('+ц ¦¦¦<•+'-¦
каждого натурального р.
Действительно, g' (x), очевидно, возрастает вместе с х, так что
в силу теоремы 112 g' (x)~j, __ *¦,я+1-, и это рассуждение можно
повторить применительно к g' (x) и т. д.
Начиная с этого места, мы дадим лишь описание общего хода
доказательства. Следующее предварительное замечание сделает его
более понятным. Из соотношения G.5.1) простым приемом, применен-
примененным в начале § 7.8 (II), получается, что sn = О (я); однако этот
прием окажется бессильным, если мы захотим получить более точный
результат. Главная причина этого — та, что последовательность (хп)
или (е~пУ) не имеет такого „пика", наличие которого давало бы воз-
возможность утверждать, что преобладающую роль в рассматриваемом
ряде играют члены, близкие к максимальному. Однако мы можем
создать такой пик искусственно, р-кратным дифференцированием по у.
В результате этой операции е~пУ превратится (с точностью до знака)
в пре~пу, что достигает максимума при п, приближенно равном

7.12] МЕТОД ХАРДИ И ЛИТТЛЬВУДА 217
N = —. Этот максимум приближенно равен (—) и быстро растет
при возрастании р, так что при большом р имеется резко выражен-
выраженный пик. Таким образом, основной идеей нашего доказательства будет
идея многократного дифференцирования.
Переходя к более подробному описанию, примем С =], так -что
1 1
„хп-
A— лгJ у2 '
В силу теоремы 113 это соотношение можно дифференцировать по у
любое число раз, Таким образом,
G.12.1)
для каждого р. Но
G.12.2) V«^-»i'-. P-
уР + х '
Члены этого ряда имеют пик около я = N, а в обе стороны от него
достаточно быстро убывают. Поэтому естественно предположить
(и легко проверить), что можно выбрать сперва большое р, а затем Ж,
зависящее от р и у, так, чтобы М — о (Л/) и
G.12,3)
n<N-M n>N+H J
для малых у. Так как, с другой стороны, sn = О (я), то наличие
множителей sn не может существенно изменить картину, и потому
естественно предположить, что аналогичным образом можно поступить
и с рядом G.12.1).
В таком случае можно выбрать сначала р==р(в), а затем
Уо = Уо(Р> е)=.Уо(е) так> чтобы
N+Ш N+M
N-31 У N-M
для у^.уо(г). Так как sra возрастает вместе с п, то мы тем более
будем иметь
N+M N+Ш
Тогда из G.12.2) и G.12.3) следует, что

218 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВЛ ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
для достаточно больших р и достаточно малых у. Наконец, так как
то заключаем, что sN ~ N.
Мы здесь опустили много деталей, впрочем, большей частью
шаблонных; и хотя доказательство Карамата общепризнанно считается
более простым, описанное сейчас доказательство не покажется труд-
трудным тому, кто усвоил лежащие в его основе идеи.
7.13. Теорема о „больших показателях". Если —.~—> 1 или,
что то же самое,
G.13.1) v,n^ln^±^0,
и если
G.13.2) я„==О(М
и 5 (у) = 2а»е~>п'/~> s> т0 2ам~ s- Это — частный случай тео-
теоремы 103, причем мы установили в теореме 104, что результат сохра-
сохраняет силу и без ограничения G.13.1).
Особенно интересен случай, когда кп возрастают столь быстро
и правильно, что
G.13.3) K+i>cXn,
где с > 1 (что имеет место, например, когда Хм = 2'*). Тогда цге
с j
заключено между и 1, так что условие G.13.2) сводится
к ап=О{\). Таким образом, в этом случае теорема утверждает, что
ряд сходится, когда его члены ограничены. Однако это утверждение
не исчерпывает всей истины, состоящей в том, что если \п удовле-
удовлетворяют условию G.13.3), то на ап не требуется накладывать никаких
ограничений.
Теорема 114. Если кп удовлетворяют условию G.13.3) и
S (у) —> s, то ряд 2 ап сходится к s.
Мы можем принять, что Х0>0. Ядро доказательства заключено
в следующем вспомогательном предложении:
Теорема 115. Если 1п удовлетворяют условию G.13.3), л0 > О,
Ny
« I/WK И для у > 0, то
где С—С {с) зависит только от с.

7.13]
ТЕОРЕМА О „БОЛЬШИХ ПОКАЗАТЕЛЯХ
219
Пусть
где vr положительны и возрастают вместе с г. Тогда
N
и = 0
и потому
G.13.4) \1
Возьмем, в частности,
в
Г = 0
Р(у)-[р(у)}*-{*?
Здесь /? (_у) равно нулю при у = О, возрастает до достижения макси-
максимума, равного единице, при у = 1, а затем убывает и стремится
к нулю. /? (у) равно О (у) для малых и Of — J для больших у, так
что ряды
5' =
(с)
сходятся. Далее,
д
G.13.5) 2 [Pr'i^ {4A4-1)}й = 8й.
Пусть теперь ат — наибольшее по модулю ап (или одно из таких ап,
если их несколько). Тогда, принимая во внимание, что -т^^- сир(у)
убывает при удалении от у = 1 в обе стороны, имеем
G.13.6)
N

220 ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VH
Далее,
причем оба выражения в правых частях убывают при возрастании R
и стремятся к нулю, когда R -»¦ оо. Мы можем поэтому выбрать R = R(c)
так, чтобы V {/?(с~*)} <т> УЛ/7^*)} <т> и тогДа
;7 1Ч 7\ F ( I ~> I /7 11 1 - 1 1/7 I
^ / . X О. / ^ 1 ^ у | ^ | Um | ^ 1 ^ ^у Тр '" I'
Из G,13,4). G.13.5) и G.13.7) следует, что
I ат |< 2 • 8й Я.
Тем самым теорема 115 доказана. Остается распространить ее на бес-
бесконечные ряды,
Теорема 116. Утверждение теоремы 115 сохраняет силу
для бесконечного ряда f (у) = 2 апе~~1п11, сходящегося для всех
положительных у.
Возьмем какое-нибудь значение п, скажем п —mtn, и какое-нибудь
положительное е. Ряд для f(y-\-e) равномерно сходится для всех
у^>0, и мы можем выбрать N= N{т, г)^>т так, чтобы
N
| 2 апе~упг е-^пи \ < \f(y -\- в) \ + s < H -f e
п =>
для всех _у]>0. Поэтому \ате~хтг | ^ С(Н-\-е), и, беря s->0, мы
приходим к требуемому результату.
Теперь легко доказать теорему 114. Так как S(y)-^-s при _у-»0,
то существует о = 8 (е) такое, что | S (у) — 5 (у') j < e, когда учу'
лежат на интервале @, 28). Так как S(y) непрерывна при _у>8
и 5(_у)->0 при у -* оо, то существует такое 7) = т)(е, 8) = tj (s),
что 0<'»i<8 и
G.13.8)
для „y!j>8; это же неравенство верно также при 0<ру<8, поскольку
тогда у и _у -j- г) лежат на интервале @, 28). Таким образом, нера-
неравенство G.13.8) справедливо для всех ,у>0. Так как
S (у) S (у + т]) = 2 ««A - *-V') е"Ч
то из теоремы 116 следует, что
К 1A— e-x»T')<Cs
для всех «, так что \ап\^2Сг для больших п. Тем самым аге=оA).
Но тогда в силу условия G.13.3) an = o(\in), и утверждение теоре-
теоремы 114 следует из теоремы 89.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VII 22 1
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VII
§ 7.1. В течение последних тридцати с лишним лет о теоремах таубе-
рова типа было очень много написано; в этой литературе легко заблудиться,
поскольку почти каждая теорема обросла рядом вариантов, аналогов и обоб-
обобщений, так что часто трудно найти доказательство или даже точную форму-
формулировку той или иной нужной теоремы. Мы ограничились здесь теоремами
„типа сгепенных рядов", т. е. связанными с показательным ядром е~ху, при-
притом простейшими и наиболее важными из них.
Принятый в этой главе способ изложения основан главным образом на
работах Харди и Литтльвуда и Карамата. В гл. XII мы вернемся к рассматри-
рассматриваемой теме, став на более общую точку зрения Винера. Ясное изложение
фундаментальных теорем можно найти в монографии Widder, гл. 5. Можно
рекомендовать также следующий список работ:
Ananda Rau [1] JLMS, 3 A928), 200—205; [2] PLMS B), 30 A930),
367-372; [3] ЯР, 54 A929), 455-461;
Bosanquet [4] JLMS, 19 A944), 161—168;
Doetsch [5] MA, 82 A921), 68-82;
Hardy and Littlewood [6] PLMS B), U A912), 411—478; [7] там же, 13
A913), 174—191; [8] там же, 25 A926), 219—236; [9] там же, 30 A930), 23—37;
[10] ММ, 43 A914), 134—147;
Ingham [11] OQJ, 8 A937), 1—7;
Karamata [12] MZ, 32 A930), 319-320; [13] там же, 33 A931), 294—300;
[14] JM, 164 A931), 27—40;
Landau [15] Monatshefte fur Math., 18 A907), 8—28; [16] RP, 35 A913),
265-276;
Littlewood [17] PLMS B), 9 A910), 434-448;
Rajagopal [18] Math. Gazette, 30 A946), 272—276;
R. Schmidt [19] MZ, 22 A925), 89-152;
Szesz [20] Munchener Sitzungsberlchte A929), 325—340; [21] TAMS, 39
A936), 117-130;
Tauber [22] Monatshefte fur Math., 8 A897), 273—277;
Titchmarsh [23] PLMS B), 26 A927), 182—200;
Vijayaraghavan [24] JLMS, 1 A926), 113-120; [25] там же, 2 A927),
215-222.
Этот список не полон и притом вовсе не включает работ, основанных
на идеях Винера.
§ 7.2. Tauber [22]. Интегральный аналог для более общего интеграла
Г ? {yt) a (t) dt, где у' (t) ограничена, <р @) = 1 и I \<$(t)\dt сходится, дока-
доказал Hardy, TCPS, 21 A910), 427—451 D32).
§ 7.3. Tauber [22]. Теорему 88 в изложенной здесь форме, с интегралами
Стилтьеса, доказал Widder, 187, теорема Zb.
§ 7.4. Теорему 89 доказал Landau [15].
§ 7.5. Теорему 90 доказал, а теорему 92 сформулировал Littlewood [17].
Авторы остальных теорем — Hardy and Littlewood [7]; все эти теоремы дока-
доказаны здесь в более общем виде. В [10] даны их обобщения на ряды Дирихле
2 «»«"*"*•
§ 7.6. Теорему 98 доказал Szdsz [20]; она представляет собой случай
f = 1 виддеровской теоремы 4.3 A92). Изложенное здесь доказательство,
основанное на теоремах 99 и 100, в существенных чертах совпадает с дан-
данным Карамата [14]. Теорему 96а в явной форме впервые доказал (с другим
независимым переменным) Doetsch [5]; см. также Hardy and Littlewood [9]
и Titchmarsh [23]. Детч доказал также теоремы, равносильные теоремам 91а
и 94а.
§ 7.7. Первое доказательство теоремы 101, в той же, что и здесь, форме,
дал, повидимому, Landau, Ergebnisse, 58. Теорему сформулировали и приме-

222 ТЕОРЕМЫ ТЛУБЕРОВЛ ТИПА ДЛЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ [ГЛ. VII
нили Hardy and Littlewood, [7] и [10]. Менее общая форма этой теоремы
с f"{у) — О(—Л содержится в теореме 2 работы [6] D20).
Теорема 102 представляет собой небольшое обобщение виддеровской
теоремы 4.5 A95): у него $(t) = t.
Теорему 103 доказали Hardy and Littlewood [10]. Пример, показывающий
необходимость условия G.7.12), принадлежит Ananda Rau [2].
Теорема 104 с 1п, удовлетворяющими условию G.7.12), есть основная
теорема работы [17]. Литтльвуд указывает там, что она справедлива и без
ограничения G.7.12), однако доказательство этого опубликовал впервые
Ananda Rau [1]. Теорему 104 можно доказать следующим образом.
Мы можем считать, что а^ = 0. Если
A) ап =
то
B) 2 Xm«« = O
Далее, по теореме 88 [О] и из соотношений B) и S (у) -*¦ s следует, что
Но, принимая во внимание, что А @) = 0, имеем
S {у) = 2 ane-lnv _ С e-yfdA(t)=y J A (t) ё~У* dt,
откуда
для каждого Н. Выбирая Н так, чтобы A (t) -f- H~> 0, и применяя теорему 96а,
получаем, что
J {A(u) + H}du~(s + H)t, jA(u)du~st.
о о
Утверждаемый результат вытекает теперь из теоремы 67. Эта форма дока-
доказательства принадлежит Бозанкэ.
Szasz [20, 21] доказал, что если S(y)^-s и ап удовлетворяют условиям
G.7.13) и (a) lim ап > 0, то ряд 2 ап сходится к s. Эта теорема содержит
теорему 103, поскольку G.7.13) влечет (а), когда Хге удовлетворяют условию
G.7.12), а также теорему, упомянутую в примечании к § 6.1.
Как указал мне (следуя идее Ингама) Бозанкэ, из G.7.13) и 5 (y)->s
вытекает, что
2 ап = s (R, К -а)
для каждого положительного *; Rajagopal "[18] доказал это в явном виде
для ¦х.= 1. Как Бозанкэ, так и Раджагопал опираются на один результат,
который получил Szasz [20], причем Бозанкэ пользуется также соответствую-
соответствующей теореме 70 теоремой Рисса для суммируемости (R, X, %).
Szasz [20] и Ananda Rau [3] доказали, что если \ апе ХпУ ——, где
и «ге;>0, то Х„ необходимо удовлетворяют условию G.7.12).

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VII 223
§ 7.10. Теорему 105 доказал Szasz [21J; она содержит его теорему, упомя-
упомянутую в предыдущем замечании. В этом параграфе принят метод, указанный
в конце работы Харди и Литтльвуда [9].
§ 7.11. Доказательство в основном принадлежит Karamata [14].
§ 7.12. Техника кратного дифференцирования была впервые применена
Литтльвудом в [17].
§ 7.13. Теорема 114 была высказана в качестве предположения Литтль-
Литтльвудом в [17] и доказана Харди и Литтльвудом в [8]. Изложенное здесь зна-
значительно более короткое доказательство предложил Ingham [11]. Ингам дока-
доказывает гораздо больше, в частности, что если -^—->оо, то пределы коле-
колени
бания sn при я->со те же, что и у S(y) при _у->0.
Bosanquet [4] доказал теорему, содержащую одновременно теоремы 104
и 114, а именно, что из S(y)^>-s и
lim lim Max | ап+1 + ... -\- am\ = Q
следует *5^ап = s. Szasz [21] доказал соответствующую теорему для сумми-
суммируемости (R, X, 1).

Глава VIII
МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A)
8.1. Введение. В этой и следующей главах мы подвергнем более
систематическому изучению группу методов, важнейшими из которых
являются Е- и В-методы, определенные в §§ 1.3, 4.6 и 4.12—4.13.
Рассматриваемые нами определения значительно различаются по форме,
и на первый взгляд могло бы показаться, что вряд ли они могут
иметь много общего; однако связи между ними окажутся значительно
более тесными, чем можно было бы ожидать. В частности, связанные
с ними теоремы тауберова типа, по существу, совпадают.
8.2. (Е, <7)-метод. Мы начнем с обобщения определения, данного
в §§ 1.3 и 4.6. Пусть ряд 2ап*™+1 сходится для малых х к f (х),
<7>0 и
(8.2.1) 1
\-qy' ' l+gx1
так что у =s . , при х = 1. Тогда для малых х а у
(8.2.2)
¦т=0
где
Если
(8.2.4) 2^=Л,
то мы будем говорить, что ряд 2 ап суммируем (Е, q) к сумме А.
При q = 1 это определение сводится к эйлеровскому определению,
данному в §§ 1.3 и 4.6, а при ^ = 0 — к определению обычной схо-
сходимости.

8.3] простые свойства (Е, <7)-метода 225
Если ап = zn, то
flf» = ¦
тогда и только тогда, когда | q -f- z | -< ^ -j- I. Таким образом, ряд 2jl zn
суммируем (Е, д) в круге с центром —q и радиусом q-\-l. При
возрастании q этот круг увеличивается и при q —> оо стремится к полу-
полуплоскости W.Z < 1. Как мы видели в §§ 4.12—4.13, это есть область
В- или В'-суммируемости рассматриваемого ряда.
Равенство (8.2.3) можно записать в форме
(8.2.5)
где Е определено как в § 4.6. Далее,
J| д + х , , {д + х)т
1\ ш+1_я
Поэтому, заменяя х на ? и замечая, что
A
получаем
то
П =0
Некоторый недостаток симметрии в этой формуле, представляющий
неудобство, побудит нас преобразовать ее в § 8.3.
Мы будем называть ряд А^ = 2 <$ Ч~й эйлеровой трансфор-
трансформацией ряда А — 2 ап- Формальная связь между обоими рядами
устанавливается формулами
8.3. Простые свойства (Е, 9)-метода. Мы должны сперва дока-
доказать, что имеет место
Теорема 117. (Е, q)-метод регулярен.
15 Зак. 2499. Г. Харда

226 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРЛ И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
Действительно, в обозначениях § 3.2,
\ 0 при п > т,
Ст,п-+0 И 2, Ст,п = 1 — (g 4-1I11 + 1 -> 1 при /И -> ОО.
Теорема 117 содержится как частный случай / = О в следующей
теореме:
Теорема 118. Если ряд суммируем (Е, ^'), то он сумми-
суммируем (Е, q) к той же сумме для каждого ^ > q',
А эта теорема, очевидно, вытекает из теоремы 117 и следующего
предложения:
Теорема 119. r-я эйлерова трансформация q-й эйлеровой
трансформации заданного ряда есть (q-\- r-\-qr)-я эйлерова транс-
трансформация этого ряда.
Действительно, если х = Т-. , а ,? = — , то
ГДе 8 =
Из теоремы 118 следует, что (Е, ^)-методы с увеличивающимся q
образуют шкалу возрастающей мощности *).
Теорема 120. (E,q)-Memod обладает свойствами (а) — (8),
указанными в теореме 40.
Рассмотрения требуют только свойства (^) и (8). Нужно доказать
равносильность утверждений
(8.3.1) 2<3) = Л
(8.3.2) 2^> = Л-а0,
где Ь„ = ап+1. Мы можем считать ао = О, так что Ви = Ап+1. Тогда
в силу формулы (8.2.6)
*) Пример ряда 2 гП показывает, что никакие два (Е, </)-метода не
равносильны.

8.3] простые свойства (Е, q)-метода 227
откуда
(8.3.3) ^-^ = ^
(I) Если справедливо (8.3.1), то ^)+1->0, и (8.3.2) следует
из (8.3.3).
(II) Равенство (8.3.3) можно записать в форме
откуда, принимая во внимание, что Л@* = 0, следует, что
Это — преобразование
| <7»>-»(<7-f-
-1 при й<от,
при я>/и,
и выполнение условий теоремы 2 здесь сразу проверяется. По-
Поэтому (8.3.2) и (8.3.3) влекут А1$+1-+А, т. е. (8.3.1).
Из теоремы 120 следует, что соотношение Лге->Л (Е, ^) равно-
равносильно соотношению Ап+1->А (Е, #) и тем самым соотношению
Поэтому, подставляя здесь т вместо т -j- 1, мы можем заменить Am-*-A
на
Обычно удобнее всего и определять „эйлеровы средние" для Ап
таким способом, т. е. мы можем говорить, что Л„->Л (Е, q), если
Подставляя тогда sn и ^п вместо Ап и А^, получаем
(8.3.5) Д'% = 2 (_1)-
»= 0
Я+1
15*

228 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VHI
Значение этого равенства в полной мере выявится в гл. XI.
Теорема 121. Если ряд^ап суммируем (Е, q), то ап —
{G + П
Из (8.2.4) следует, что (q -\- 1)а<?> = оA); таким образом,
в силу (8.2.5)
(«? + ?)% = о {(? + 1)м}.
Но ап = EnaQ = {Е-\- q — q)na0. Следовательно,
Пример ряда >?гп, суммируемого (Е, q) для —2q—1<г<1,
показывает, что 2q-\-l нельзя заменить никаким меньшим числом,
8.4. Формальные связи между методами Эйлера и Бореля.
В § 8.2 мы видели, что область (Е, ^-суммируемости ряда V гП
при q-±oo стремится к области его суммируемости по Борелю. Это
наводит на мысль, что метод Бореля можно рассматривать как,
в некотором смысле, предельный случай методов Эйлера. Мы при-
придадим этой связи более точную форму позже (теорема 128); но
нелишне уже здесь показать, как она гармонирует с формальными
идеями §§ 4.18 и 8.3.
Подставляя в (8.3.4) — вместо q, получаем
А(а)
т—2
т
Отсюда
lim lim ер (т, х) = lim Am,
as-yoo m->oo
lim
Первый способ перехода к пределу приводит к обычной сходимости,
а второй — к экспоненциальному методу суммирования Бореля (§ 4.12).
Различные же методы Эйлера соответствуют предельному переходу
in =*qx-+ oo.

8.5] методы бореля 229
8.5. Методы Бореля. Экспоненциальный и интегральный методы
Бореля были определены в §§ 4.12—4.13. Если
то мы пишем Ап -> А (В), если же
со со X со
О 0 Х-»оо0 о
то мы пишем Ап -> А (В'). Эти методы принадлежат к совершенно
различным типам: первый есть J-метод § 4.12 с J(x) = ex, а вто-
второй— „моментный метод" в смысле § 4.13 с у.п*=п\, ^(х)=1—е~х.
Однако специальные свойства показательной функции делают их
почти равносильными. Заметим, однако, сперва, что имеет место
Теорема 122. В- и В'-методы регулярны.
Это — следствие теоремы 33 (для В) и теоремы 34 (для В').
Рассмотрим теперь связи между обоими методами; мы найдем, что
эти методы хотя и не полностью, но все же почти равносильны.
Положим
(8.5.1) «(*)
Если один из этих рядов сходится для всех х, то то же верно и для
другого. Далее,
(8.5.2) a'W = 2«»+iiJ. А' (х) =
X
(8.5.3) J e-*a' if) dt = е—а (х) — а0 + J е-*а {{) dt,
о о
X X
(8.5.4) е-*А(х)-ао= $ ±{e-tA(t)}dt= f e-t{A'(f)-A(f))dt =
X
а?
^ f e-t%(An+1-An)?dt= $ е-*^ап+1^= $ е-*а' (f)dt.
0 0 0 0 0
Сравнивая (8.5.3) и (8.5.4), получаем
X
(8.5.5) е-">А (х) = е-*а(х) -{- J e-fa (f) dt.
о
Из последнего равенства следует
Теорема 123. В- и В'-методы равносильны тогда и только
тогда, когда е~а!а(х)->0,

230 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
Можно, однако, пойти дальше. Из равенства (8.5.5), полагая
имеем е~хА (х) = ср (лг) +.?' (х)- Но если ? ~t~ ?' ~* А> то> п0 теореме 53,
«/ -> 0 и <р —> Л. Отсюда следует
Теорема 124. Ряд, суммируемый (В), суммируем (В') к
лее сумме.
Обратное утверждение неверно. Если
¦1I
то
( \ — V
а Vх) — 2и' _
оо оо оо
Г е~ха (х) dx = Г sin ex dx = Г ——- du,
О 0 1
но е-®а{х) не стремится к нулю, так что ряд 2ап не суммируем (В).
Таким образом, имеет место
Теорема 125. Существуют ряды, суммируемые (В'), но не
суммируемые (В).
Отметим, далее, следующие предложения:
Теорема 126. Утверждения
равносильны.
Теорема 127. В- и В'-методы обладают свойствами (а), ф)
и (if), указанными в теореме 40, но не обладают свойством (8).
Теорема 126 вытекает из (8.5.4), а теорема 127 — из теорем 124,
125 и 126.
В заключение этого параграфа докажем теорему, о которой мы
упоминали в § 8.4.
Теорема 128. Если ряд 2ап суммируем (Е, q), то он сумми-
суммируем (В) и (В') к той же сумме.
Действительно,
А„±-г =
nn\~jU n\ jU "лл1~Л"»л1
где
п\~ п\ "т" (я —1I11 "г (п_2I21

8.7] ТЕОРЕМЫ АБЕЛЕВА ТИПА ДЛЯ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ БОРЕЛЯ 231
так что, пользуясь обозначением, принятым в формуле (8.3.4), имеем
)яА^. Отсюда
Если ряд 2ап суммируем (Е, а) к А, то Р$-* А, так что, по тео-
теореме 122, е~хА(х)—> А. Таким образом, рассматриваемый ряд сумми-
суммируем (В) и тем более суммируем (В').
8.6. Нормальная, абсолютная и регулярная суммируемость.
Еста рят.
суммируем (В) для каждого р, то, по теореме 124, он также сумми
руем (В') для каждого р; в силу теоремы 126 верно также обратное
В этом случае мы будем говорить, что ряд 2 ап нормально сумми
руем. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ряд 2 ап
суммируемым и
Если интеграл Бореля абсолютно сходится, то мы будем
говорить, что ряд 2 ап абсолютно суммируем. Наконец, если ряд
Лр-\-ар+1-\- ••• абсолютно суммируем для каждого р, т. е. если
Г е~~х\ а^ (х) | их < оо для каждого р, то мы будем говорить, что
ряд 2 ап регулярно суммируем. Наша терминология отличается от
терминологии Бореля, который называл абсолютной суммируемостью
то, что мы назвали регулярной. Впрочем, приведенные определения
не будут играть существенной роли.
Ряд
л + 1
суммируем нормально, но не абсолютно. Суммой его служит
8.7, Теоремы абелева типа для метода суммирования Бореля.
Наши ближайшие теоремы будут теоремами абелева типа, олицетво-
олицетворяемого теоремой Абеля о непрерывности степенного ряда. Здесь и
до конца главы мы будем рассматривать главным образом суммируе-
суммируемость (В'); переход к суммируемости (В) при желании легко осуще-
осуществить с помощью теоремы 126.

232 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
Теорема 129. Если степенной ряд ^anzn суммируем (В')
в точке Р, то он суммируем и в каждой точке отрезка ОР,
соединяющего начало О с Р. При этом для каждой точки Q
отрезка ОР, лежащей между О и Р, ряд равномерно суммируем
на отрезке QP.
Сходимость ряда где-нибудь кроме точки О не предполагается.
Мы можем считать (произведя, если нужно, тривиальное преобразо-
преобразование), что точкой Р служит г=\. Тогда интеграл
(8.7.1) J(z) = § e-*a(zt)dt
сходится для г = 1, и нужно доказать, что он сходится для 0 < z ^ 1,
притом равномерно для 0 < й^г1^ 1.
Но при 0 < z^ 1 имеем
(8.7.2)
где
(8.7.3) K(z)
Последний интеграл равномерно сходится для s ^> 0, т. е. для 0 < z ^ 1;
тем самым сходится и J (г), и теорема доказана.
Теорема 129 не дает полной истины. На самом деле J (г)
равномерно сходится для О^г^ 1. Проведенное рассуждение непри-
. 1
годно для доказательства этого факта из-за наличия множителя —
в формуле (8.7.2).
Теорема 130. Если ряд 2 апгП суммируем (В') в точке Р,
то он равномерно суммируем на отрезке ОР.
Мы снова можем предполагать, что точкой Р служит 2=1. Удобно
также, на что мы, очевидно, имеем право, считать коэффициенты ап
вещественными. Нужно доказать, что
Я'
(8.7.4) \/\ = \j(z, Н, Н')\= J e-*a{zt)dt <a
я
для #'> #>-/io(s) и 0O<;i. Поскольку теоремой 129 устано-
установлена равномерная сходимость на отрезке у, 1 , мы можем считать,
что 0 < z <J -л . Далее приходится рассматривать отдельно три слу-
случая, соответственно тому, будет ли (a) H'z^\, (б) Hz < 1 < Н'г
или (в) Hz~^-l. Мы проведем доказательство только для случая (б),
поскольку доказательства для остальных двух случаев являются про-
простыми его вариантами. Мы можем считать, что Н > 2.

8.7] ТЕОРЕМЫ АБЕЛЕВА ТИПА ДЛЯ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ БОРЕЛЯ 233
Положим
М= Max \a(t)\,
0<*l
Тогда
Т
Г e-*a(f)
dt
Л'
(8.7.5) 1= f в-*а(zt)dt-f Г е~*а {zt) dt=Ix-{-/2,
л
(8.7.6)
и
я
Л';
/а = 1J e za(f)dt==L j e-ste-4 (t) dt=e-^- J e-*a
где s = ~—\ и \<.T<H'z. Так как 0<г<у, 2<Я<-^
и ае - убывает при а > 2, то
(8,7.7) l/al1^ — expfl —
Из (8.7.5) — (8.7.7) и следует, что
2 < в
для tf>tfo(s).
В качестве применения теоремы 130 докажем следующее предложение.
Теорема 131. ?с./ш ряд 2 аи суммируем (В') и
i
(8.7.8) сп =
о
где у (х) —ограниченная возрастающая функция, то ряд 2 спап сум-
суммируем (В').
Действительно, полагая Ьп = спап, имеем
1 1
о
1 оо
J e-*b {t)dt= J rfx J e-*
0 0 0
поскольку внутренний интеграл справа равномерно сходится для

234 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VHI
Теорема 132. Если ряд ^anzn суммируем (В') в точке Р,
то его сумма на ОР есть аналитическая функция от z, регуляр-
регулярная внутри окружности С с диаметром ОР.
Мы снова можем предполагать, что точкой Р служит z=l. Рас-
Рассматриваемый ряд суммируем на отрезке ОР, причем его сумма,
для 0<.г-<1, выражается формулой (8.7.2). Достаточно доказать,
что K(z) равномерно сходится в области D, ограниченной любыми,
двумя круговыми дугами, соединяющими О и Я и образующими с ОР
острые углы т]. Положим
г = геш, s = 1 = pe*f
и воспользуемся формулой (8.7.3). Так как интеграл k (s) сходится
для s = О, то он равномерно сходится в угле | <р | <С f\. Стороны этого
угла соответствуют круговым дугам, ограничивающим D, а его вну-
внутренность— внутренности области D. Следовательно, K(z) равномерно
сходится в D.
Следует заметить, что преобразование интеграла (8.7.1) в (8.7.2) пред-
предполагает вещественность г. Таким образом, хотя мы и доказали, что функ-
функция J(z) регулярна внутри С, мы не доказали суммируемости ряда вне от-
отрезка ОР. Позже (в § 8.9) мы увидим, что он может и не быть суммируемым
ни в каких других точках внутри С.
8,8. Аналитическое продолжение функции, регулярной в на-
начале; многоугольник суммируемости. Если ряд 2 anzn имеет круг
сходимости, то он определяет функцию, регулярную в начале, и ин-
интегралы J (г) и K{z) § 8.7 можно использовать для нахождения
представлений этой функции, сохраняющих силу и вне указанного
круга.
Оказывается, что область сходимости интеграла J(z) вполне, опре-
определяется особенностями рассматриваемой функции.
Функция
f( Л 1 _ V гП
J \z) с z ^j cn+l
регулярна всюду, кроме точки z = с, которую мы примем за Р,
а кругом сходимости представляющего ее ряда служит | z \ < | с |.
В этом случае
'-!/¦
' dt
сходится в том и только в том случае, когда Ж —< 1, т. е. когда О
и z лежат по одну и ту же сторону от прямой Lp, проведенной
через Р перпендикулярно к ОР.

8.8] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 235
Если
(8.8.1) /(j?)
m — Z
и z = ст принять за Рт, то О и г должны лежать по одну и ту же
сторону от всех прямых Lp . Определяемая этим область есть внутрен-
внутренность выпуклого многоугольника, который может быть замкнутым
или открытым или даже сводиться к углу, полосе или полуплоскости.
Ряд суммируем „внутри" этого многоугольника. Интегральная фор-
формула Коши, являющаяся обобщением формулы (8.8.1), наводит на
мысль, что соответствующий результат должен иметь место для
произвольной аналитической функции, регулярной в начале.
Пусть функция f(z)= 2 апгП регулярна в О и S — совокуп-
совокупность всех ее особых точек Р. Обозначим через П или П (/) сово-
совокупность всех точек Q, лежащих с О по одну и ту же сторону от
каждой прямой Lp, через Г — совокупность граничных точек множе-
множества П и через IP—часть плоскости, дополнительную к П-)-Г.
Будем называть Г многоугольником Бореля функции /, П — его
внутренней и Д*—внешней областями. Мы докажем, что П есть
область суммируемости ряда 2 апгП-> в том смысле, что этот ряд
суммируем во всех точках области П и не суммируем ни в какой
точке области II*.
Если f(z) = -. 5> т0 Г образована парой прямых х = rt 1 и П есть
полоса, заключенная между ними. Если окружность круга сходимости есть
естественная граница функции, то Г совпадает с этой окружностью. Если
естественной границей функции /(г) служит прямая x = d^>0, причем/(г)
регулярна слева от этой прямой, то Г есть парабола с фокусом О, касаю-
касающаяся этой прямой в точке й.
Из теоремы 132 сразу следует, что ряд ^anzn не суммируем
ни в какой точке Q из П*. Действительно, если Q принадлежит
области П*, то существует прямая Lp, проходящая между О и Q,
и Р лежит внутри окружности С с диаметром OQ. Остается дока-
доказать суммируемость рассматриваемого ряда в точках области П.
Предположим, что /(и) регулярна на замкнутом контуре К, окру-
окружающем нулевую точку и-плоскости, и внутри него, и пусть
(8.8.2) SR^-<1—8<1
для всех точек и этого контура К (так что г необходимо лежит
внутри К)- Тогда
к к

236 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
Повторный интеграл в правой части мажорируется интегралом
я)Ц
|а |
1 Г |/(я)Ц<*«1 С e.U
Поэтому мы можем обратить порядок интегрирования и получаем
(8.8.4) f(g) = fe-tdt-±jfXlp-eudu~fe-*I(t, z)dt.
к
и
Так как / (и) регулярна внутри К, а еи регулярна всюду, кроме
точки м = 0, то мы можем при вычислении I(t, z) стянуть К в кон-
контур К', лежащий внутри круга сходимости степенного ряда для /(и)
и окружающий точку и = 0. Так как этот ряд и степенной ряд для
и
е и равномерно сходятся на К', то получаем
К'
Следовательно,
т. е. ряд 2апгП суммируем к /(г).
Остается показать, что для каждой точки г, -принадлежащей
области П, существует контур К, удовлетворяющий указанным усло-
вийм. Если Q — точка из П, то f(z) регулярна внутри окружности С
с диаметром OQ; действительно, если бы внутри С имелась особая
точка Р, то соответствующая прямая Lp проходила бы между О и Q.
Далее, так как в П существуют точки Q', лежащие на луче OQ за
точкой Q, a f (z) регулярна в О, то она регулярна и внутри неко-
некоторой чуть большей окружности С", концентрической с С; пусть С'
пересекает прямую OQ в точках О' и Q'. Если z находится в Q,
аи — в какой-либо точке А окружности С, то SR —<^1, когда Q
и О лежат по одну и ту же сторону от перпендикуляра, проведен-
проведенного в точке А к О А. Когда А обегает окружность С, эти перпен-
перпендикуляры огибают эллипс с фокусами О и Q и большой осью O'Q'.
Этот эллипс тем более вытянут, чем ближе О' к О, но всегда со-
содержит OQ внутри. Для всех и на С мы имеем SR — < 1, и так как
5R— непрерывно, то при некотором 8 неравенство (8.8.2) выполнено
для всех й, лежащих на С. Это показываем что если z лежит в Q,
то в качестве контура К можно взять С, и, следовательно, рассма-
рассматриваемый ряд суммируем в Q, Тем самым он суммируем в любой
точке области Ц.

8.9] РЯДЫ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ ФУНКЦИИ С ОСОБЕННОСТЬЮ В НАЧАЛЕ 237
Фактически мы доказали даже больше. Так как повторный инте-
интеграл (8.8.3) абсолютно сходится, то абсолютно сходится и интеграл
(8.8.4), так что рассматриваемый ряд абсолютно суммируем в Q.
А поскольку все функции /р (г) — ap2P-\-ap+1zP+1-\- ... удовле-
удовлетворяют тем же условиям регулярности, что и /(¦?), то все ряды
upZP-{-'.-• абсолютно суммируемы. Тем самым ряд,^апгп регулярно
суммируем в Q.
Ясно также, что полученные результаты равномерны относительно z
в любой замкнутой области, содержащейся внутри П, так что ряд
равномерно суммируем в каждой такой области.
В итоге, нами доказана
Теорема 133. Степенной ряд, представляющий функцию,
регулярную в начале, суммируем (В') внутри многоугольника
Бореля этой функции, притом регулярно, а в каждой замкнутой
области, содержащейся внутри указанного многоугольника, и равно-
равномерно; ни в одной же точке, лежащей вне многоугольника Бореля,
ряд не суммируем (В').
В частности, верна
Теорема 134. Степенной ряд суммируем (В') в каждой ре'
гулярной точке границы его круга сходимости и притом
равномерно суммируем в некоторой окрестности всякой такой
точки.
Очевидно, в этих теоремах можно заменить (В7) на (В).
8.9. Ряды, представляющие функции с особенностью в начале. Рас-
Рассмотрения § 8.8 основываются всюду на предположении, что ряд ^ апгп
сходится для малых г. Если это неверно, то ряд все же может быть сумми-
суммируемым для определенных значений г, доставляя полное или частичное
представление некоторой аналитической функции; однако область или области
его суммируемости могут иметь весьма различный характер, а сумма ряда
в разных областях может представлять разные функции. Но в силу теоремы 130
область суммируемости, содержащая точку Р, во всяком случае должна
содержать и весь отрезок ОР.
Рассмотрим два интересных примера.
A) Если рассматриваемый ряд есть
1 +0—j}-
то a(zt) = e~!?i*, и суммой служит
'(8.9.1) J(z) = J
Полошим 2 = re*9; тогда интеграл (8.9.1) сходится в квадранте — -^ я

238 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
и квадранте, симметричном с ним относительно начала. Если г=х= т->0, то
2
1 с.
что есть целая функция от ?. Таким образом, J(z) = f(—J для |argz| <-j-к.
Так как, далее, J (z) есть четная функция, то в противоположном квадранте
1
J(z) = F[ —-). Но эти две функции разнятся на У к -—. Тем самым
\ *• / z
рассматриваемый ряд представляет в двух своих областях суммируемости
различные аналитические функции.
B) Пусть теперь
где с > 0. Тогда
у (- i)pgp у (pztf _ у (- \)рср j,* _ -с
^ Pi Zi n\ Ll pi e ~e
J(z)= С e-t-ceStdt= С e-t
dt.
Если х<!0, то J(z) сходится для всех у; но если х^>0, то этот интеграл
сходится только для у — 0. Таким образом, рассматриваемый ряд сумми-
суммируем A) в полуплоскости л:<;0 и B) на положительной вещественной полу-
полуоси.
Предположим сначала, что z вещественно. Тогда
/(*) =
и2*
О 1
Полагая г/г = v и Z = — —, получаем, что J(z) равно P{Z) или Q (Z), где
1
vz-xdv, Q(Z) = Z f e~cvvz-ldv,
смотря по тому, будет ли г>0 или г<0. Здесь P(Z) есть целая функция
от Z, а
при SR2T>0, так что Q(Z) мероморфна. Эти функции P(Z) и Q (Z), пред-
представляемые рассматриваемым рядом, разнятся на Y(Z-\-l)c~z.

8.10] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ДРУГИМИ МЕТОДАМИ 239
Этот пример особенно интересен как иллюстрация к теоремам 130 и !32.
Если Р — точка положительной вещественной полуоси, то наш ряд равно-
равномерно суммируем на ОР и представляет там функцию, регулярную внутри
круга, ограничиваемого окружностью С теоремы 132; однако он не суммируем
ни в какой точке этого круга, кроме точек отрезка ОР. В этом смысле
теорема 130 является наилучшей из возможных.
8.10. Аналитическое продолжение другими методами. Принципы,
лежащие в основе наших рассмотрений в § 8.8, применимы и к дру-
другим методам суммирования. Наиболее интересны в этом отношении
те методы, которые, подобно методам Линделёфа и Миттаг-Леффлера,
изложенным в § 4.11, суммируют ряд ~^гп в его звезде Миттаг-Леф-
Миттаг-Леффлера. Более обще, мы рассмотрим метод Р суммирования, определяю-
определяющий 2 ап как
(8.10.1) Нт 2л„(8)ата,
а-»о
где Ап (8) -> 1 при 8 -> 0 для каждого п. Так, для метода Линделёфа
Ло(8) = 1, Л„(8)=е
а для метода Миттаг-Леффлера
Л(8)
Теорема 135. Пусть (I) ^Ап{Ь)гп для каждого положи-
тельного 8 есть целая функция от г; (II) при 8 -> О
равномерно в каждой замкнутой ограниченной области, не содер-
содержащей точек луча [1, со); (III) f (г) есть главная ветвь аналити-
аналитической функции, регулярной в О и представляемой рядом 2<V"
для малых г. Тогда
равномерно в любой замкнутой ограниченной области Д, содержа-
содержащейся внутри звезды Миттаг-Леффлера функции f(z).
Мы можем предполагать, что область А звездообразна, т. е. вместе
с каждой своей точкой Р содержит и весь отрезок ОР. Д можно
расширить во все стороны от О в некотором отношении р > 1 до
области Д', всё еще содержащейся в звезде функции f(z). Пусть
К—граница области Д'. Для каждой точки г, внутренней к Д, — не
принадлежит лучу [1, оо) ни для какого и из К, и
i — z

240 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
равномерно на К. Поэтому
1 г f(u) 1 Г ( / z
f (z) — -n—r du — -n~^ I yini^sl —
Стягивая (как в § 8.8) К в контур, лежащий внутри круга сходи-
сходимости степенного ряда для /(и), подставляя вместо /(а) этот степен-
степенной ряд и интегрируя почленно, получаем
5-э-О
Ясно, что это будет иметь место равномерно для всех z из Д. Методы,
удовлетворяющие условиям (I) и (II) теоремы 135, приводят к луч-
лучшим результатам, чем метод Бореля, однако последний значительно
удобнее, благодаря простым формальным свойствам показательной
функции и показательного ряда.
8.11. Суммируемость некоторых асимптотических рядов. Бо-
рель и Карлеман доказали, что произвольному асимптотическому ряду
соответствуют аналитические функции (§ 2.5). Более точно, для лю-
любой последовательности (ап) и любого положительного а существуют
функции/(г) =/(re*9) такие, что
при г—>сю, равномерно в угле |8|<оиг. Если ?>0 и 2?а<1, то
гпе— Вгк _+ о равномерно в указанном угле для каждого п. Тем самым
все функции f{z)-\-Ae~Вг имеют в этом угле одно и то же асимп-
асимптотическое разложение.
Положение меняется, если предъявить более точные требования
к остаточному члену рассматриваемого разложения. Тогда при не-
некоторых условиях может оказаться, что поставленным условиям удо-
удовлетворяет, самое большее, одна функция f(z) и что f (z) есть в не-
некотором, например борелевском, смысле сумма данного ряда. Как раз
так будет обстоять дело в доказываемой ниже теореме Ватсона.
Обозначим область
>0 г <O<l + X
где 0 < X < -g-ic, 0 < [i < -g-it, через D (X, \i, k), а ее границу че-
через С(Х, [д., k); последняя образована дугою окружности с центром
в О и концами в отрицательной полуплоскости и исходящими из них

8.11] СУММИРУЕМОСТЬ НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ 241
лучами, направленными от О в бесконечность. X и р. будут обычно
совпадать.
Теорема 136. Пусть /(г) регулярна в заданной области
D(X, X, k), o>0 и
(8.11.1) /(*) = ао + т+"-+Й + Я»Ф'
где
(8.11.2) ая=»О(я!о»), #„ = О {(л + 1)! (-^)" + 1}
равномерно для веек п и всех z из D (X, X, k). Тогда
(I) ряд
(8.11.3) Sa«S = a^>
где t = ре*>, сходится для р < —;
(II) функция a (t) регулярна в любом угле | со ] ^ 8 < X;
г^е I — контур С (v, v, /) с 0 < v < X и / > —, описываемый против
часовой стрелки, и
(IV) /(*)
для r>k, |9|<8.
Последнее утверждение этой теоремы означает, что ряд /1-J^
суммируем к /(г) следующим методом, обобщающим метод Бореля
и часто полезным. Если (а) ряд (8.11.3) сходится для малых t,
(б) функция a{t), определенная этим рядом, регулярна на луче @, оо)
и (в) \ е-*a(t)dt = s, то мы будем говорить, что ряд 2й» сумми-
суммируем (В*) к s. Таким образом, в рассматриваемом сейчас случае
ряд S5 сУммиРУем (в*) к/00-
Приведем еще пример. Если ап = ( — 1)» n\zn, где z не является отри-
отрицательным вещественным числом, то a (t) = -г—,—- и
1 ~р zt
(В*).
Эта сумма была найдена эвристическим путем в § 2.4.
Если оценки (8.11.2) справедливы для каждого положительного о, то a (t)
есть целая функция, и В* приводится к В'.
16 Зак. 2499. Г. Хардй

242 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
Переходим к доказательству теоремы 136. Утверждение (I) оче-
очевидным образом следует из условий (8.11.2). Далее, пусть t=pef't,
р <С —. Тогда, заменяя /(-г) ее асимптотическим разложением, имеем,
формально,
/()/
L L
и нужно только обосновать законность почленного интегрирования.
Когда и описывает контур L, то -— описывает контур
который лежит внутри ?)(Х, л, к), если
(8.11.5) l>±>kp, |T|<X_v.
Тогда f(-f) ограничена на L, и интегралы, входящие в формулу
(8.11.4), сходятся.
Запишем теперь интеграл (8.11.4) в форме
п п
(8.П.6)
и оценим | Рп сверху для больших п. Мы можем считать, что л> />• —.
Так как Rn{z) регулярно внутри D (к, к, k), то радиус круговой
части контура L можно увеличить от / до п. Тогда доля этой кру-
круговой части в рассматриваемом интеграле будет
_
О {(й+ 1)!(ар)»+VV*-»-1} = О {п
а доля прямолинейных частей контура L будет
Таким образом Рп-+0, и (8.11.6) дает (8.11.4) при условиях (8.11.5).
Пусть теперь t изменяется в любой области Т вида | <р | <18 < X,
О < Pi ^ р -^ ?2- Тогда v и / можно выбрать так, чтобы условия (8.11.5)
выполнялись для всех t из Т, и интеграл (8.11.4) будет равномерно
сходиться в Т, определяя регулярную там функцию a(J). Тем самым
утверждения (II) и (III) доказаны.

8.11]- СУММИРУЕМОСТЬ НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ 243
Если w положительно, z = reif>, г > &, |0|<;8 и / = — = ре*<р,
то | <р | ^ 8, так что
Когда и описывает L, то v = — описывает Сf v-|- 6, v — 6, —J
или Z/, и
L>
Выберем rx так, чтобы k < rx < л Так как — > — > k, то L' можно
заменить на
Тогда получаем
е-г()а ( — )dw= e-wdw7r-. f{v)-—dv =
в предположении, что обращение порядка интегрирования законно;
а это во всяком случае так, если двойной интеграл абсолютно схо-
сходится. Рассмотрим круговую и прямолинейные части контура Lt порознь.
На круговой части
V г j ^ г ^ '
так что ее доля мажорируется, с точностью до постоянного множи-
множителя, интегралом j V^r, который меньше 2it. На верхней прямо-
линейной части
am — = am и =yjt -|-v, 9г(— J = — w
7 sInv>
так что ее доля мажорируется, с точностью до постоянного множи-
множителя, интегралом
|e,| -J |t,||z|+ |t,|sin
аналогичное верно и для нижней прямолинейной части контура Lv
Тем самым двойной интеграл абсолютно сходится, чем и завершается
доказательство теоремы.
Теорема 136, между прочим, показывает, что условиям (8.11.1) и
(8.11.2) может удовлетворять не более одной функции f(z). Но
16*

244 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
если нас интересует только единственность функции /(г), то можно
доказать большее и притом не пользуясь теорией суммируемости.
Достаточно предположить, что f(z) удовлетворяет условиям (8.11.1)
и (8.11.2) в угле | 81^ -н-тс, а не более широкой области, рассма-
рассматриваемой в теореме 136. Если/х (г) и/2(г) одновременно удовлетво-
удовлетворяют условиям (8.11.1) и (8.11.2) для ISI^-h-tv, то, полагая g(z) =
=/i (*) — /2 (г)> имеем
равномерно относительно п и 9. Беря п=\ — , мы простым при-
применением теоремы Стерлинга убеждаемся в том, что^ \g{z)\=i
A-8) г j
= О {е ' } для каждого положительного 8 и | 6 | ^ -=- тг. Из извест-
известных теорем фрагмен-линделёфова типа следует теперь, что g (г) == О.
Карлеман_ пошел значительно дальше и нашел необходимое и до-
достаточное условие для того, чтобы из неравенств
следовало, что g (z) = 0. Для достаточно правильно изменяющихся <хп
этим условием является расходимость ряда V — • В нашем случае
¦*¦ ап
это, фактически, гармонический ряд V —.
Заметим, что мы доказали суммируемость рассматриваемого ряда в угле,
меньшем (на п) того угла, в котором мы предположили / (г) асимптотически
представимой этим рядом. Пример § 8.9 A), с заменой г на —, показывает,
что это ограничение диктуется самой природой вопроса, В этом примере
a(t) =е~г\ и интеграл
1 13
сходится при [ в К — я, но не при -j- п < | 6 | < — я. Если z положи-
положительно, то
- ж / е-—«da =

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VIII 245
где Ех{г) — функция Миттаг-Леффлера. Как известно,/(г) имеет тогда для
Т
g
|6 | <; — л асимптотическое разложение
1_2!±+4!_1__
1! 22-г 2\ г*
так что этот ряд является асимптотическим в угле, превосходящем на я угол,
в котором он суммируем. Угол, в котором справедливо интегральное пред-
представление функции/(г), можно было бы увеличить, взяв интеграл по пря-
прямой, наклоненной к вещественной оси,
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VIII
§§ 8.2—8.4. Первое систематическое изложение теории (Е, </)-методов дал
Кпорр, MZ, 15 A922), 226—253, и 18 A923), 125-156; многие рассуждения
в этих параграфах заимствованы оттуда. В частности, теоремы 117—121 при-
принадлежат Кноппу.
(Е, 1)-метод и методы, получающиеся путем повторного его применения,
использовались часто и раньше, особенно при числовых расчетах. По поводу
примеров см. Bromwich, 62—66 и 196—198.
Отдельные места в первом издании книги Бромвича (стр. 302—310) могут
на первый взгляд показаться противоречащими некоторым утверждениям, со-
содержащимся здесь и в § 8.5. Это объясняется тем, что, применяя метод Эйлера
к степенным рядам, Бромвич не пользуется правильным определением. Со-
Согласно нашему определению 2 anzn определяется как
а + (a + Йг) +
Бромвич же, на самом деле, пользуется тождеством
а^+... = а0 j-^j + (д0 + ах)
+ 2а, + а2)
справедливым для малых г, а затем определяет первую сумму посредством
второй. Это — определение совершенно другого типа, например, уже тем,
что оно не линейно относительно ас, aLz, аъг2, ... ; а странные результаты,
к которым оно приводит, показывают, что его нельзя считать удачным. Так,
Бромвич показывает, что ряд ~^3'1гп суммируем внутри круга с диаметром
так
—1» -~- > однако ряд \ — суммируем вне круга с диаметром -у, 21,
что область суммируемости не содержит всего круга сходимости.
Сделаем еще замечание о вычислениях Эйлера и Лакруа, упомянутых
в § 2.6. Ни один из рядов, в которые Эйлер преобразует ряд 1 —1!-(-2! —
— 31 + ..., не сходится, и может показаться замечательным, что этот метод
удалось успешно применить к таким рядам. Однако успех Эйлера можно
объяснить следующим образом. Если положить яге = (—1)»л! = (—\)пАп и
*п,р=- / е? dt

246 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
то легко проверить, что ряд ^(—^)п"п,р суммируем (Е, 2Р + 1— 1) к
J
соответственно для р = 0 и/)>0; складывая же результаты, мы получим
е-*
Je~t
в согласии с В*-суммой, найденной в § 8.11.
(N-\- 1)-е остаточные члены в надлежащих преобразованных рядах
Эйлера равны
dt-
T+t
т. e. соответственно О ( y+1 ) и О ( w+i)' a 9йлеРовы суммы этих рядов
суть 0(~—\. Таким образом, ошибка, получающаяся при отбрасывании
в первых Р рядах всех членов, следующих за (N-\- 1)-м, равна
Если, например, взять Л^= 10, Р = 2, то, как легко доказать, ошибка будет
меньше 0,001.
Это, разумеется, не совсем то, что Эйлер делает, и не было бы удобным
способом; но эйлеровский способ повторного преобразования примерно
равносилен.
§ 8.5. Ранние работы Бореля о расходящихся рядах: „Memoire sur les
series divergentes" [AEN C), 16 A899), 9—136] и первое издание его книги, со-
содержат ряд недосмотров, исправленных позже Харди [TCPS,\9 A903),297—321,
и QJM, 35 A903), 22—66J. Здесь Харди доказывает теоремы 122—127, кото-
которые затем переоткрыл, с более короткими доказательствами, Perron, MZ,
6A920), 158—160 и 286—310. Sannia, RP, 42A917), 303-322, распространил
эти теоремы в различных направлениях.
Кнопп, 1. с. в примечании к § 3.7, замечает, что, поскольку
X
В-ядро ряда 0 + я0+я1+--- содержится в В-ядре ряда ao + at-{- ...
Дальнейшее обобщение дается им в RP, 54 A930), 331—334.
Теорема 128 принадлежит Кноппу, 1. с. в примечании к §§ 8.2—8.4.
§ 8.6. Харди, 1. с. в примечании к § 8.5, дает пример сходящегося, но
не абсолютно суммируемого ряда,

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VIII 247
§§ 8.7—8.8. Содержание этих параграфов, за исключением теоремы 130
и являющейся ее следствием теоремы 131, принадлежит в основном Борелю.
Теорема 130 была доказана Hardy, ММ, 40 A911), 161 — 165; приведенное
здесь доказательство принадлежит Landau, AM, 42 A920), 95—98.
Область (Е, ^-суммируемости функции f(z) — 2я»гге можно определить
аналогичным образом. Она представляет собой совокупность точек, внутрен-
внутренних ко всем кругам Q, где С— первая особая точка функции /(г) на
радиусе, исходящем из О, a Q — круг
При 9->-со эта область стремится к многоугольнику Бореля П. В частности,
A) ряд ^anzn суммируем (Е, q), для некоторого q, в каждой внутренней
точке многоугольника П, и B) он суммируем (Е, q), для всех q^>0, в любой
регулярной точке границы круга сходимости. По поводу всего этого
см. Кнопп, 1. с, и Rademacher, Sitzungsberichte d. Berliner Math. Ges., 21
A922), 16-24.
Perron, MZ, 18 A923), 157—172, следующим образом обобщил метод
Эйлера. Если
2#m2"J+1 есть разложение для 2Я«{F(z)}n+1 по степеням z и 2 ьт
сходится к А, то будем говорить, что ряд 2a« суммируем (F) к А. Этот
метод регулярен и применим во всех регулярных точках границы круга
рходимости. (Е, <7)-метод соответствует выбору
§ 8.9. Hardy, MM, 43 A913), 22—24.
§ 8.10. Наиболее изящны следующие три представления для функции -у—^
3 ее звезде Миттаг-Леффлера;
Все они, по теореме 135, приводят к представлениям для общей аналити-
аналитической функции/(г). Первое предложил Le Roy, AT B), 2 A900), 317—430
C23), второе— Lindeldf, /. de M. E), 9 A903), 213—221. Третье упоминает
Миттаг-Леффлер в своей речи на четвертом международном математическом
съезде (Рим, 1908; см. Atti del IV. Congresso Internaz., 1, 67—85). В ряде
работ, опубликованных в AM между 1899 и 1904 гг., он пользуется предста-
представлением
справедливым в открытой области, содержащей начало и ограниченной
кривою

248 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
где —-q осте < 6 < уая, если 0<С«<2, и —n^Q^.r., если а>2. Доказа-
Доказательство опирается на асимптотические свойства функции Еа (г). Эта область
при а -> 0 стремится к звезде функции , но Миттаг-Леффлер в указан-
1 — z
ных работах не дает какой-либо простой формулы, справедливой Ъо всей
этой звезде.
Поведение функции Миттаг-Леффлера
для больших z = re , где — я < 6 <; т., можно определить следующим обра-
образом. Имеем
1
Г (ал + 1)
1 Г
где и — рег?, и m = e "ni°sui причем взята главная ветвь логарифма,
и контур С, огибая нулевую точку справа, уходит своими концами
в бесконечность в левую полуплоскость. Рассмотрим два таких контура:
первый, Со, образованный из круговой дуги р = 1, | <р | <С ~™ +5 E>0)
и лучей |<р| =-?j-+ 8, р> 1, и второй, Сь все точки которого удалены от
1
начала больше чем на Bг)" , так что все нули функции и" — г лежат влево
от этого контура. Тогда
и, следовательно, по теореме Коши
где Rjc — вычеты подинтегрального выражения в его полюсах, лежащих
между Со и Ci (если таковые имеются). Если 8 выбрано так, что ни один
полюс не лежит на Со, и достаточно мало, то эти полюсы определяются
J_ Ь+2кк
формулой и — г " е а , где к пробегает целые значения, удовлетворяющие
неравенствам
A) _1от^в + 2Ап<1ая,
и
o/?ft = ехр {г а е

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VIII 249
1
есть одно из значений е . Но
Y(l-ma)
m = \
где
для больших г. Тем самым /(г) обладает асимптотическим разложением
B> ^^W
Мы должны теперь рассмотреть отдельно случаи а <; 2 и а > 2. Если
а = 2, то /(г) = сп Уг и стремится к бесконечности в любом направлении,
отличном от направления отрицательной вещественной оси.
A) Если 0<«<2 и -р-а*< | 9 I < тс, то неравенствам A) не удовлетво-
удовлетворяет ни одно k. В этом случае ?я (г) обладает асимптотическим разложе-
разложением B). Если, с другой стороны, | 6 | ^ -^ак, то мы должны принять в рас-
расчет экспоненциальный член Ro, и
C) аЕф)~еа" ,
когда 2->со, оставаясь в угле | 6 [ <; —ая.
B) Если <*>2, то всегда приходится принимать в расчет, по крайней
мере, один экспоненциальный член. Модуль такого члена равен
г а cos -
что при k = 0 больше, чем при любом другом из допустимых значений k,
за исключением случая 9 = п. Таким образом, соотношение C) справедливо
для всех 8, кроме 6 = я. При Й = я имеется пара одинаковых наибольших
членов. В соединении они дают
\ /
D) — ¦! expf гх е а ) + exp Ir'e а)\ = — ехр (га cos —Jcosf r* sin —j,
и ?« (г) ведет себя приближенно как эта функция.
Wiman, AM, 29 A905), 217—234, показал, что функция Еа (z) может иметь,
только конечное число невещественных нулей, причем если а ;>2, то все ее
нули вещественны.

250 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ A) [ГЛ. VIII
Интегральное представление функции Еа (г) можно также использовать
для доказательства установленного в §4.11 факта, что ряд ^ гп сумми-
руем (М) к функции -. во всей ее звезде Миттаг-Леффлера. В самом
деле, если 0< | 6 |<! я и а достаточно мало, то | 6-f-2?в | > -=-ая для всех
целых k. Поэтому
„ . . 1 I Г еи/ и* 1 N. 1 г Г еи1 — и* ,
Е„ (г) — -л = 7Г-. I — ( \du = du,
где интегралы взяты вдоль Со. Но последнее выражение стремится к нулю
вместе с « для всех точек г указанной звезды, и притом равномерно в любой
содержащейся в ней замкнутой ограниченной области.
§ 8.11. Watson, P77?S(A),211 A912), 279—313. См. также F. Nevanlinna,
ASF, 12 A916), п°3, и Carleman, Les fonctions quasi-analytiques (Париж, 1926),
гл. 5. Требуемые теоремы „фрагмен-линделёфова" типа можно найти в книге
Титчмарш, Теория функций, 203 и ел.

Глава IX
МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B)
9.1. Элементарные леммы. В этой главе будут рассматриваться
главным образом теоремы тауберова типа для методов суммирования
Эйлера и Бореля. Мы начнем с трех элементарных теорем, относя-
относящихся к показательному и биномиальному рядам; на эти теоремы,
содержание которых хорошо известно, будет опираться значительная
часть наших последующих рассмотрений.
Теорема 137. Пусть х>0 а
(9.1.1) ит = ит(х) = е-*^ (« = 0,1,2,...),
так что 2иот = 1. Тогда:
A) наибольшим из ит является и^, где
(9.1.2) М = [х];
при целом х имеется два наибольших члена, ищ—i и им',
B) если
(9.1.3)
и 0<8<1, то
(9.1.4)
где 1 = i-82;
C) если
(9.1.5)
то
(9.1.6)
от =М-\- h
1 Л | > Ьх
"о" ^ ^* \ Т у
^ 0
2 ит = О(е-
1 ft 1 > а-7'
где t[ — любое число, меньшее чем 2С — 1;
D) если X > 0, то
(9-1.7) ^ ><^
для

252 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) , [ГЛ. IX
E) если | А | <; х'-, то
где
(9.1.9) с=1;
F) оценки (9.1.4) и (9.1.6) остаются в силе при умножении ит
на любую фиксированную степень т.
Теорема 138. Пусть # > 0 и
(9.1.10) um = am(n) = j
так что ? ит = -^L^ ? (^ )^"m = L Тогда:
A) наибольшим из ит является им, где
когда —~ целое, имеется два наибольших члена, им_г и ит\
B) верны утверждения B) — F) теоремы 137, с некоторым
положительным ^ = f (^> 8) з B) *), с
(9.1.12) ^Т
s E) и с заменой всюду х на п.
Теорема 139. Пусть 0 < k < 1 я
(9.1.13) йи, = «я.(я)=:
<Ш0
A) наибольшим из ит является иш, где
(9.1.14) М = [!];
лгог<9<г -^- — целое, имеется два наибольших члена, иы_% и им;
*) В этом случае мы не приписываем y какого-либо фиксированного зна»
чения.

9.2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 137 253
B) верны утверждения B)—F) теоремы 137, с некоторым
положительным f = f(fe, 8) в B), с
(9.1.15) С-Щ^1)
E) и с заменой всюду х на п.
Мы докажем теоремы 137 и 139, наиболее важные для наших
теперешних целей. Теорема 138 доказывается подобно теореме 139,
но несколько проще.
9.2. Доказательство теоремы 137. Первое утверждение теоремы
очевидно, поскольку Um = —.
Предполагая, далее, х столь большим, что хг- < Ьх, разобьем
на следующие пять частей:
(9.2.1) ^ + S ,+ 2+2+2 =
ЛГ1—1 i(fa—I M,
2 42 + 2+2
1 i(fa—I M, i
4-2 + 2+2
Тогда
(9 2 2)
Очевидно,
(9.2.3) 51=0(jf«ifi)> S2 = O(xaM), S^
Далее, Mi -f- 2 > д; -)- 8д:, так что
(9.2.4)
Поэтому для доказательства утверждения B) теоремы достаточно
установить, что
(9.2.5) %i = O(e-^), uMi=O(e-<x).
Но
8л:—1 </Wt = [х] — [8д:] <лг — 8л:+1.

254 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
Поэтому
(9.2.6) им = {(^) }
где
(9.2.7) Д = 8
Аналогично
(9.2.8) им< = О[е** {~^}^X) = О («-*
где
(9.2.9) A' = - ДДЙ?
Из (9.2.6)—(9.2.9) следует справедливость оценки (9.2.5) с f = -o-S2.
Тем самым доказано и (9.1.4).
Аналогично можно было бы доказать и оценку (9.1.6), но проще
вывести ее из формулы (9.1.8), которую нам все равно нужно дока-
доказать. Для этого положим
logT(Af + A+ 1),
и аппроксимируем \ogT (M-\-h-\-I) по формуле
Простой подсчет дает тогда:
Так как | h \ = о (х) и | й |3 = о (д:9), то это равносильно оценке (9.1.8).
Далее, так как
У7Й
Vx ~ KxVx )'
то в (9.1.8) при желании можно заменить М на х.
*) Чтобы охватить и случай h = 0, мы должны в первом из остаточных
членов вместо |h| писать | h|+ 1.

9.3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 139 255
Из (9.1.8) явствует, что и «де2 и им3 есть 0{е—хП), где yj может
быть любым числом, меньшим чем 2С—1. Отсюда следует, что н52
и 54 есть О (е~ж7)), чем доказано и утверждение C) теоремы.
Что касается утверждения D), то рассматриваемая там сумма есть
где первый член есть
XYx r л \Vx
Каждый из последних двух интегралов есть О(—р=], а первый
\у х/
°и
е ' dw),
х
что для больших А мало.
Остается еще доказать утверждение F). Ясно, что при замене ит
на ткит в наших оценках для Slt 52 и 54 изменится только сте-
степень х, так что требуемые порядки этих сумм еще сохранятся. То
же верно и для «ж,- А
uMi+1
Тем самым S& также есть величина требуемого порядка, чем и завер-
завершается доказательство.
9.3. Доказательство теоремы 139. Первое утверждение теоремы
следует из равенства
«tn-i т —п .
Остальная часть доказательства проводится по тому же плану,
что и соответствующая часть доказательства теоремы 137, хотя и тре-
требует несколько более сложных выкладок.
Мы снова разбиваем 2 ит на пять частей, причем Mv ... теперь
таковы:

256 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
(мы можем предполагать, что 8 < -г — 1). Как и в § 9.2,
S1 — O (nuMl), S2=O (ним,), Si =
Далее, Mi-j- 2 > п \~r -\- 8 J, так что при т > Mi -\- 1 имеем
Таким образом, как и в § 9.2, остается доказать, что каждое из и-
и им^ есть О(е-т»), а каждое из «л и и^. есть О (е-™71).
Для каждого / между 0 и 1 имеем
так что
Если т — М±[Ьп], то эта величина равна ОF«), где
Но 6 (/) равно 1 при l = k, стремится к бесконечности при /—>¦()
или / —> 1 и обладает единственным минимумом, достигаемым при
/=ПЕХ5- Далее'
Отсюда следует, что 6 (/) принимает значения, меньшие чем 1, для
значений /, лежащих по одну из сторон от / = k (по какую именно —
зависит от того, какой из знаков ± имеет место). Поэтому мы во
всяком случае можем выбрать / так, чтобы 6 < 1, и тем самым
каждое из им, и им4 есть O(e-v<),
Это решает вопрос об S1 и Sv Допустим теперь, что | А | ^ я',
положим
log um = (я + 1) log k 4- (га — я) log A — k) -f log Г (/я 4- 1) —

9.4] ЕЩЕ ОДНА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛЕММА 257
и, снова применяя теорему Стирлинга, получим, что
1 1 ftaft2
log um = — j log 2ъп -f log k — j log A — к) — -щу-гь^
Но это равносильно оценке (9.1.8), с с и М, определяемыми соот-
соответственно по формулам (9.1.15) и (9.1.14). Остальная часть доказа-
доказательства ничем существенно не отличается от соответствующей части
доказательства теоремы 137.
9.4. Еще одна элементарная лемма. Нам понадобится еще одна
элементарная лемма. Суммы с неуказанными пределами суммирования
будут браться по h от —со до -j-co.
Теорема 140. При я—э-оо
равномерно на каждом конечном интервале положительных зна-
значений с.
Действительно, рассматриваемый ряд равен 1 -\- 25, где
со et' со h+1 _C2?_ cP
<P n — e n
о
Последний интеграл здесь меньше 1. Далее,
n n 2c Г n < ~ 4c ,, , ч п
e n —e =— \ tie du<~(t—l)e
h
для 2^.h<C,t<^h-\-l, что всегда меньше 1; следовательно,
Применяя формулу
мы могли бы получить значительно более точный результат.
17 Зак. 2499. Г. Харди.

258 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
9.5. Теорема Островского о сверхсходимости. Известная теорема
Адамара утверждает, что если i^»n* —степенной ряд с целыми
показателями, имеющий конечный радиус сходимости, и если при
этом ср (т-\- 1)>сср(т), где с> 1, то каждая граничная точка круга
сходимости есть особая точка функции, представляемой этим рядом.
Условия, наложенные на <р (m)> широко обобщались; так, Фабри по-
казал, что достаточно предположения ——- —> оо. Однако здесь мы
займемся принадлежащим Островскому обобщением теоремы Адамара
в другом направлении. Как показал Зигмунд, оно может быть выве-
выведено из теорем, относящихся к суммируемости по Борелю.
Мы будем говорить, что степенной ряд 2 апгП имеет пропуск
(пк, п'и), если аге = 0 для пк<п<п'к.
Теорема 141. Пусть Х>0. Тогда существует такое число
8 = 8 (X) > 0, что если
(I) ряд ^anzn имеет бесконечное множество пропусков (яь п'у),
для которых
(9.5.1) ^>
(II) 4. = «o + «i+•¦•+«»«= О {A+8)»},
и
2^=л (в),
то
ЛПк^Л.
При заданном X можно выбрать ?>0 так, чтобы
(9.5.2) i_e>_^_f 1+е</г+т,
а затем 8 так, чтобы
(9.5.3) 0<8<S, 8-ii^<0.
Представим еA+5)а! в виде
A + 5) х
A-Е)а> {1—1) х
где Р — Р (S, 8), ... Полагая
Ш<1, A-у)) A+8) = 1-5

9.5] ТЕОРЕМА ОСТРОВСКОГО О СВЕРХСХОДИМОСТИ 259
и применяя оценку (9.1.4) из теоремы 137, имеем
Аналогичная оценка, с заменой 5 + 8 на % — 8, имеет место и для
R (?, 8). Если поэтому 5 и 8 удовлетворяют условиям (9.5.3), то Р
и i? стремятся к нулю. В частности, это верно при 8 = 0; а так как
O) + Q(E, 0) + Я(&, 0) = 1,
то заключаем, что
(9.5.4) QF, 0)->l.
Зафиксируем теперь 5 и 8 > 0, удовлетворяющие условиям (9.5.2)
и (9.5.3), так что ? = &(*.), 8 = 8 (X), возьмем
(9.5.5) х =
представим е~хА (х) = е~х УЛЯ^- в виде
A +5) ж
е-Л 2 + S + 2 } = p'+q/+/?/
я<A—5) а; A—6) аг »> A + 5) ж 1
и допустим, что условие (II) выполнено при нашем выборе 8. Тогда Р'
и R' будут мажорироваться, с точностью до постоянных множителей,
выражениями Р и R, так что Р' -* 0, R'-±Q, а потому в силу усло-
условия (III)
(9.5.6) Q'->lime-*A(x)=A.
Но в силу (9.5.1), (9.5.2) и (9.5.5)
-1)х>у ^
так что все Лп из Q' равны Л„й> Таким образом, (9.5.6) приводится
к AnkQ ($, 0) -> Л, и, следовательно, в силу (9.5.4) А -+ А.
Отсюда легко вытекают теоремы Островского и Адамара.
Теорема 142. Если ряд ^ап2» имеет бесконечное множество
пропусков, удовлетворяющих условию (9.5.1), а его сумма регу-
регулярна в некоторой граничной мочке г0 круга сходимости, то
частичные суммы sn/c(z) сходятся в точке г = г0 и притом равно*
мерно в некоторой окрестности этой точки.
17*

260 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
Мы можем считать, что zQ—l. Тогда Л„= О {A-j-§)"} для лю-
любого положительного 8. Далее, по теореме 134, ряд ~^апгп сумми-
суммируем (В) в точке г=1 и равномерно суммируем в некоторой окрест-
окрестности этой точки, так что соотношение (9.5,6) выполняется равномерно
в этой окрестности. А тогда утверждение теоремы следует из тео-
теоремы 141.
Теорема Адамара есть следствие теоремы Островского. Мы можем
считать радиус сходимости равным 1, и достаточно доказать, что
z = 1 есть особая точка. Запишем рассматриваемый ряд в виде 'S а„гп.
Тогда ап = 0 для всех я, кроме номеров п = о (т), и каждый член
с ненулевым коэффициентом есть начало и конец пропуска, удовлетво-
удовлетворяющего условию (9.5.1). Если бы точка z=\ была регулярной, то
в силу теоремы 142 ряд сходился бы в точках, лежащих вне круга
сходимости. Следовательно, z = 1 есть особая точка.
9.6. Теоремы тауберова типа для метода Бореля. Переходим
к основной теме настоящей главы. Главной целью этого и следующего
параграфов является доказательство следующей тауберовой теоремы
для метода Бореля, соответствующей теореме 85.
Теорема 143. Если "%ап = А (В) и
к
то ряд 2 ап сходится к А>
Фактически мы докажем значительно больше, Позже (в § 9.13)
мы покажем, что о в (9.6.1) можно заменить на О; но эта теорема
(теорема 156) — значительно труднее. В силу теоремы 128 все наши
заключения будут тем более справедливы, если ряд 2ап суммируем
(Е, q). Нам потребуется три леммы.
Теорема 144. Пусть
(9.6.2) а>— 1, 0<р<1, р> —1, 0<//<1,
Ап определены как в §§ 5.4—5.5 *), и
(9.6.3) Ап = о(п9).
Тогда
(9.6.4) А'п+?-==о
и
(9.6.5) А«+9 — А°п+? = о (| т — п f л")
равномерно для 0<A — //)я<[?й<;A-)-Я)и.
) Причем Ап — ап, как в § 5.4.

9.6] ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА ДЛЯ МЕТОДА БОРЕЛЯ 261
(9.6.4) было уже доказано в § 5.7 *). Для доказательства со-
соотношения (9.6.5) воспользуемся формулой
~р
Возможны два случая, соответственно тому, будет ли т > я или т<С п,
но между доказательствами для них имеются только тривиальные раз-
различия. Мы разберем случай т > п. Тогда
¦ yi fr(,w —р + р) Г(я-/> +
**" L \ Т(т-р+1) ~~ Г(я-/» +
р = 0
Прежде всего, здесь
.да
Sj = о { яр 2 (т—Р + l)^1! = о Um — nfn?}.
При р = 1 имеем 52 = 0. Если Р< 1, то коэффициенты при Ар в Sa
отрицательны, и
Г (/г-/
р = 0
где суммы S3 и 54 распространяются соответственно на интервалы
"и и ¦§-« <
В 54 можно заменить р? на п? и затем суммировать по всему
интервалу 0<^р<^я. Таким образом,
п
)T(q+\)
g=0 q=rn—n
юг—n m—n
т-ге—1 т
*) Строго говоря, для р = а; однако доказательство для произвольного р,
по существу, то же.
**) (9.6.6) есть E.4.8), распространенное, как в § 5.5, на любые веществен-
вещественные k и k'.
***) Поскольку 00— /г<Ял<тг.

262 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
Наконец, в Sa
= о {{т — п) я?-2} + О («р) = О {(т — п)
Поэтому
рр>==о{(/« — я)
= о {(т — nfn?).
Теорема 145. Если k > 0, то е-х \ х -» 1 яри лг^-оо.
Действительно, этот ряд равен
е~х
о
Теорема 146. Ясли & > 0 к /?яд V аге— сходится для всех t,
то
Заменим ^ на л:—м и умножим результат на еж; тогда утверждае-
утверждаемое тождество примет вид
Левая его часть равна
П
у Г (и— р + к) , _
Г (п + к + 1) Ll Г (к) Г (л - р + 1) Л-Р
со со
Г (л 4-*+!) I1 (я—р4-1) ^

9.7] ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 263
коэффициентом же при Ар в правой части служит
OO X
2=0 0
г (ft) =о
СО
Т(п-)
Хп.
Это тождество можно рассматривать с другой точки зрения, значение
которой в полном объеме выяснится в гл. XI. Так как, вообще,
то рассматриваемое тождество можно представить в виде
где
Г(п+1) С*
¦"iM ' -п / .. I i I *_\ ¦*•*»
ге Г (я + 1 + *) » Г (ft 4-1)'
а С^ являются ft-ми чезаровскими средними для ряда 2 я»' или же в виде
у Г(я + * + 1) ж« + > у
L{ 1) Г(п + 1)
Тем самым рассматриваемое тождество равносильно тождеству
(9 6<» Д»С* - Г(*+1)Г(я + Р „
9.7. Теоремы тауберова типа (продолжение). Теперь может
быть доказана
Теорема 147. Если
(9.7.1) ап = о(п?),
где р>- s" > и Z7-^^ 2a» суммируем (В) л; Л, /ио он также сумми-
суммируем (С, 2р+1) к Л.

264 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
Эта теорема показывает, что ряд конечного порядка (т. е. такой,
что ап — О(п ) для некоторого К), суммируемый (В), необходимо
суммируем (С, k) для достаточно больших k. Теорема 143 есть част-
частный случай теоремы 147, соответствующий р = — -~~-
Мы допустим, прежде всего, что
(9.7.2) 4~Р = о(я'),
где
*>о, o<p<i, р> —1, р+Р>°;
при /г = 0, Р=1 это сводится к условию (9.7.1). По теореме 144,
и (() при
(9.7.3) Ahm={ p+
(o(nv^?) при
и
(9.7.4) Аш — Al = o{\m — nfn*) при \т — п\<Нп.
Мы можем принять Л = 0. Тогда, по теореме 146, с х = п и
и вместо /и,
Положим
(9.7.6) 5 = ,
(9.7.7) 5„ = в-»(
1 2
где -j <?<-§¦• Тогда (9.7.5) принимает вид
п + п-
(9.7.8)
Во-первых, по теореме 145, здесь
Во-вторых, в силу (9.7.3) и теоремы 137 C),

9.7] ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 265
где r) = Yj(C)>0. В-третьих, в силу (9.7.3) и теоремы 137C) и F),
Теперь из (9.7.8) следует, что
(9.7.9) i4(l +
Остается рассмотреть Sf\ Здесь мы применим (9.7.4) и тео-
теорему 137E), которые дают
п
п—ту*
2
Тем самым, наконец, (9.7.9) превращается в
(9.7.10) -^-Л*{1-f-o(l)} + o (яР~ т?) = оA),
т. е.
(9.7.11) A*=o(n*)+o(nf ^).
Беря в (9.7.2) и (9.7.11) k = 0, 0 = 1, так что ап = о(пр), полу-
получаем
(9.7.12) Ап=-/лх ' - /--р + ^
Пусть теперь vj3 = 2p -f-1, где v — целое и р ^ 1. Докажем, что
(9.7.13) Ага9 = о (лР + "з"+Т г?)

266 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
для 0<><>. Прежде всего, в силу (9.7.12) утверждаемое соотно-
соотношение (9.7.13) верно для г = 0. Допустим, что оно верно для r = s<^v,
и воспользуемся соотношениями (9.7.2) и (9.7.11) с & = (s-f-l)|3 и
заменой р на р -4- ——}— -^-st3. Тогда (9.7.11) дает
поскольку
а это есть (9.7.13) с r = s-|-l.
Тем самым (9.7.13) верно для всех указанных значений г. Нако-
Наконец, беря г = v, получаем, что
т. е. что ряд 2а« суммируем (С, 2р —j— 1) к нулю.
Мы установили эту теорему для суммируемости (В); но она рав-
равным образом справедлива и при несколько более слабом предполо-
предположении суммируемости (В'). В самом деле, если ряд 2а« сумми-
суммируем (В'), то, по теореме 126, ряд 0 -j- a0 -j- al -\- ... суммируем (В).
Но члены этого ряда — того же порядка, что и члены исходного
ряда. Поэтому второй ряд суммируем (С, 2p-f-l), а тогда, по тео-
теореме 47, и исходный ряд суммируем (С, 2р-|-1).
Попутно нами доказана
Теорема 148. Если ап = о(\) и ряд 2аи суммируем (В), то
Ап = о(\/п).
Эта теорема нам позже понадобится.
9.8. Примеры рядов, не суммируемых (В). Теорема 147 показывает,
что никакой ряд конечного порядка не может быть суммируемым (В), если
он не суммируем (С). С другой стороны, существуют примеры рядов, сумми-
суммируемых (С) (и тем самым являющихся рядами конечного порядка), но не сум-
суммируемых (В).
„ eAin
(I) Ряд V , где 0 < а < 1, А > 0, по теореме 84 суммируем (С, k)
^* гг "
для каждого положительного /г, но не сходится. Если а <^ -^ t то общий член
ряда равен о[——Л и потому в силу теоремы 143 рядне суммируем (В). По
чуй/
теореме 128, он тем более не суммируем (Е, q) ни для какого q.
(II) Если а = -jr-, то общий член равен не о(—=), а О[——г-) Заклю-
1 \уп> V у и /
чения предыдущего пункта сохраняют еще силу, но (не имея возможности
вдаваться в непосредственное исследование) мы должны опереться на более
трудную теорему 156, которую нам еще предстоит доказать.

9.9] ТЕОРЕМА ПРОТИВОПОЛОЖНОГО ХАРАКТЕРА 267
(III) Пусть А„ = (—\)тт, если п = т~, и Ап=0, если и —не квадрат;
в этом случае наш ряд можно получить из ряда
расположив его по степеням х и подставив затем х = 1. Если jV2<ln<; (./V-j-1J
то
так что рассматриваемый ряд суммируем (С, I) к нулю. Но он не суммируем
(В). Действительно, если в
взять х = /V2 и т = N-\- у-, то с псмощью оценок теоремы 137 легко пока-
показать, что преобладающую роль в S (iV2) играют члены с | [* I <| JV°, где 0<^р<^-~-,
и что
=-b^?- V (-1)^-^+0A)
при N->co принимает попеременно положительные и отрицательные значе-
значения, превосходящие -j по абсолютной величине.
9.9. Теорема противоположного характера. Примеры, приведен-
приведенные в предыдущем параграфе, показывают, что из суммируемости (С),
вообще говоря, не следует суммируемость (В) и тем более суммируе-
суммируемость (Е, q) для какого бы то ни было д.- Естественно задаться во-
вопросом, как нужно усилить предположения, чтобы такого рода заклю-
заключение все же оказалось справедливым. Простейшей теоремой в этом
направлении является
Теорема 149. Если
(9.9.1) cUA)=
то ряд 2а« суммируем (Е, q) к А для любого положительного
q и, значит, тем более суммируем (В).
Мы можем принять, что А = 0. Тогда согласно (8.3.4) нужно
показать, что
влечет
п
2 ^Л» ^

268 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
здесь vm — vm(n). Наибольшим из vm является vM, номер которого М
определяется формулой (9.1.11), и, по теореме 138B),
(9-9.2) г,^
где И не зависит от л и те. Выберем у- так, чтобы
(9.9.3) |Л Л7
для г ^- р ]> [ц и предположим, что я столь велико, что М > ^. Тогда
мы можем написать
Так как vm убывает в обе стороны от т = М, то в силу (9.9.2) и
(9.9.3) _ _
Ve, [S31 < г;ж • в У^< Нг.
При фиксированном же (j. и я -> оо имеем 5j -»• 0. Поэтому | А^
для достаточно больших п.
В соотношении (9.9.1) нельзя заменить о на О. Это показывает
пример ряда § 9.8 (III): мы видели, что для него
и, однако, он не суммируем (В).
9.10. Метод суммирования (е, с). Главной целью остающейся
части этой главы является -доказательство теоремы 156, обобщающей
теорему 143 заменой о на О. Довольно трудное доказательство этой
теоремы будет значительно облегчено предварительным исследованием
некоторых других методов суммирования. Эти методы, появляющиеся
здесь как вспомогательные средства, представляют и некоторый само-
самостоятельный интерес.
Мы будем рассматривать главным образом слабо расходящиеся
ряды, среди которых выделим три класса: класс ф, для которого
(9.10.1) *„ = оA),
класс D, для которого
(9.10.2) au = o(V7),
и класс ffi, для которого
(9-10.3) я-=

9.10] метод суммирования (е, с) 269
Очевидно, ф включает $., Q, же не включает Ш (и тем более не вклю-
включает ф). Однако мы увидим, что все ряды класса *Р, суммируемые
каким-нибудь из рассматриваемых нами методов, принадлежат
классу D. Мы уже видели *), что это верно для рядов, суммируе-
суммируемых (В).
В наших рассмотрениях .часто будет фигурировать число С, за-
1 2
ключенное, как в §§ 9.1—9.3, между "о" и ~з" ^ак и таМ) мы ^"
дем иметь дело с суммами по h или интегралами по t, в которых
доля частей, распространенных на | h | > гС- или 11 | > хс, равна О (е-1)
или О (е-хП) с т) = 1)(С)>0. Эти „хвосты" рассматриваемых сумм
или интегралов будут поэтому несущественны, и мы будем считать
себя вправе отбрасывать либо сохранять их, смотря по тому, что
удобней.
Первоначальное определение суммируемости (е, с) таково:
(9.10.4) 2 «« = Л (е, с)
означает, что при п -» оо
(9.10.5)
Здесь с > 0, индекс суммирования h изменяется от —оо до -(-оо,
причем Ат для т < 0 считается равным нулю. Однако обычно ока-
оказывается удобным видоизменить это определение, введя непрерывный
параметр х. А именно, мы говорим, что ряд 2 ап суммируем (е, с)
к А, если при х, непрерывно стремящемся к бесконечности,
(9.10.6)
где A (t) равно Ап при п <; t < n -f-1 •
Начнем с доказательства следующего предложения:
Теорема 150. Если ап—оA) и ряд 2 ап суммируем (В),
(Е, q) или (е, с) в любом из смыслов (9.10.5) или (9.10.6), то
Для суммируемости В это было доказано в § 9.7 ***). В силу
теоремы 128 это тем более верно для суммируемости (Е, q). Таким
образом, остается только доказать утверждение теоремы для рядов,
суммируемых (е, с). При этом мы будем придерживаться первой
*) См. конец § 9.7.
**) Интеграл берется от —со до -f-oa
***) Теорема 148.

270 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
формы определения суммируемости (е, с); доказательство для второй
формы аналогично.
В силу теоремы 140
Поэтому при выполнении условия (9.10.5) имеем
г~~ cW
(9.10.7) у ±-^(An+h~An)e « = А + о {
Так как Ап = о(п), An+h = o(n-\r\h\), то мы можем пренебречь
членами, для которых |А|>я'; для остающихся же членов Лп+Й—Л»=
= о(|А|). Поэтому левая часть формулы (9.10.7) равна
ей» , „ ct
и, следовательно, Ап = о (У п).
Докажем теперь, что верна
Теорема 151. Если Ап — о{Уп), то суммируемость (В)
равносильна суммируемости (е, -к-J в любом из смыслов (9.10.5)
или (9.10.6).
Мы проведем доказательство только для утверждения, что В вле-
влечет fe, -K-j; наши рассуждения будут очевидным образом обратимы.
Мы можем считать, что А = 0.
A) Докажем сперва, что из
(9Л0.8)
следует
(9.10.9) Se~W+
(при п ->¦ со по целым значениям).
Мы можем в этих суммах пренебречь их „хвостами", для которых
т = п -J- h, | А | > я?, а к остальным членам первой суммы применить
оценку (9.1.8). Тогда формула (9.10.8) примет вид
(9.10.10)

9.10] метод суммирования (е, с) 271
Так как, кроме того (для сохраненных членов), An+h = о{У1г), то
О-члены в (9.10.10) дадут соответственно
Поскольку и то и другое равно о(]^п), мы и получаем соотноше-
соотношение (9.10.9).
B) Покажем далее, что (9.10.9) можно заменить на
р
(9.10.11) § в"*» A(n-\-f)dt=o(y~n).
Разность левых частей равна
(9.10.12) ^ J {e~Wl —e~*")A(n-\-t)dt,
ft
где снова можно пренебречь „хвостами" и считать, что A{n-\-t) =
= о(У п). Так как каждая часть суммы (9.10.12) с ограниченными h,
очевидно, равна о (]/~п), то мы можем предполагать h и t большими.
Тогда
_*- -JL /|/| ^Лч
g ЗП е 2n—=Ql±lLp Зп]
\ П )'
и (9.10.12) дает
Тем самым (9.10.11) доказано.
C) Наконец, покажем, что в (9.10.11) можно целые п заменить
непрерывным х. Если х = п -\-f, где 0 </ < 1, то интеграл в (9.10.6),
с с == — равен
j* в Я(»
(«—Л»
так что нужно показать, что
(t-f)' *»_
' Л(л + 0* = '
Мы снова можем пренебречь „хвостами", заменить A (n-\-f) на
и предположить /" большим. Имеем
) ^ ав х а \ —

272 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
где 0<да<1; но последнее выражение равно
\ n + w
Поэтому ошибка при замене п на х равна
чем и завершается доказательство.
Если я„=оA) и ряд суммируем, то, по теореме 150, An = o{Yи),
и, значит, утверждения теоремы 151 справедливы. На протяжении
оставшейся части этой главы мы будем предполагать, что аге = оA),
не беспокоясь о том, существенно ли это предположение; но в одном
месте гл. XII (§ 12.15) будет существенно, что теорема 151 доказана
без него.
Теорема 152. Если ап = о{\) а ряд 2ап суммируем (Е, q),
р
то он суммируем (е, с), где с=-%—> к т°й же сумме, и
обратно.
Положим
Тогда эйлеровы средние для Ап можно заменить на
In— @+1)» 2а \M + )q
| ft |<
В силу теоремы 138 здесь
J_ / п \ п-м-п —
n \M+hJ4
откуда, как при доказательстве теоремы 151, следует, что
равносильно соотношению
1
гкгг'п
Но это есть (9.10.5) с с = ^-~— и заменой л на М.
Теорема 151, с ап = о(\), соответствует случаю q = cc.

9.11] суммируемость (f, k) 27'3
Если с = -3-——, то при возрастании q от 0 до сю с убывает
от со до -я-. Предполагая ап = о{1) и сопоставляя теоремы 152 и
118, мы видим, что если ап = о{\) к ^-<с'<с> т0 суммируе-
суммируемость (е, с) влечет суммируемость (е, с'). Однако в § 9.11 мы
увидим, что эта теорема неполна, поскольку на самом деле утвер-
утверждение ее верно и для 0 < с' < с.
9.11. Суммируемость (у, к). Мы будем говорить, что
(9.11.1) 2«п==^ (Т.*),
где 0<&<1, если (I) ряд ^апхп сходится для |х|<1 и (II) ряд
Тэйлора для /A — k-\-ky), т. е.
(9.11.2)
сходится при у = 1.
Вт = д0 4~ Ьг -}- ... -f- bm есть коэффициент при ут в разложе-
разложении функции —— У ¦, где |_у|<1, по степеням у. Если х =
= 1—k-\-ky, то 1—x = k{\—у), так что
а У
Так как ут входит в k A — A-f~^)re лишь при п^-т, и тогда
n)km+l{\k)n~m
с коэффициентом ( \km (I—А) , то заключаем, что
(9.11.3) Bm — km*
Сразу проверяется, что рассматриваемый метод регулярен и что Ьп
и ап связаны соотношением
(9.11.4) bm = A'» [am -J- (т + 1) A — k) am+1 +
Эти формулы были получены в предположении, что радиус схо-
сходимости ряда 2 апх" равен 1; но мы можем откинуть это предполо-
предположение и говорить просто, что ряд 2ап суммируем (ч, k), к сумме At
18 Зак. 2499. Г. Харан

274 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX'
если Вт, определенное формулой (9.11.3), существует для всех т
и стремится к А. Однако для нашей теперешней цели удобнее будет
сохранить указанное ограничение; последующие теоремы будут на него
опираться.
Теорема 153. Если ряд 2ап суммируем (f, k), то он сум-
суммируем (if, /) к той же сумме для всех положительных I < k.
Полагаем
/(*) = 2 w = 2 bnf = 2 v»
и обозначаем ряды 2ав> 2^» и 2С« соответственно через А, В
и С. Если Л суммируем (^, k), то 5 сходится и потому сумми-
суммируем п, -г) ¦ Но это означает, что С сходится, т. е. что А сум-
суммируем (if, /).
Для (f, k) -метода имеют место теоремы, соответствующие тео-
теоремам 151 и 152.
Теорема 154. Если ап = о{\) и ряд 2аге суммируем (f, k),
то он суммируем и (е, с), где
(9.11.5) k
2A-*)'
к той же самой сумме, и обратно.
("i> &)-среднее с номером я равно
где
. — k)p~n при p^j> п,
О при р < п,
и/и= -?- . В силу теоремы 139 мы можем пренебречь членами
с | h | > tfi, а остающиеся члены представить в виде
сю
где с определяется формулой (9.11.5). Утверждение теоремы полу-
получается тогда, как в доказательствах теорем 151 и 152.

9.13] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТАУБЕРОВА ТИПА 275
Когда k возрастает от 0 до 1, то с возрастает от 0 до сю. По-
Поэтому из теорем 153 и 154 следует
Теорема 155. Если ап — оA) и ряд 2йи суммируем (е, с),
то он суммируем (е, с'), к той же сумме, для всех положитель-
положительных с'< с.
Эта теорема будет играть существенную роль в доказательстве
теоремы 156.
9.12. Дальнейшие замечания о теоремах 150—155. На протяже-
протяжении §§ 9.10—9.11 (кроме теорем 151 и 153) мы предполагали, что 2Й« есть
ряд класса ф; но доказательства теорем 152, 154 и 155, подобно доказатель-
доказательству теоремы 151, требовали лишь, чтобы он принадлежал классу -Q (как
показывает теорема 150, для интересующих, нас целей ф есть подкласс
класса ?}).
Теоремы 151, 152, 154 и 155 в действительности справедливы для значи-
значительно более широких классов рядов. Нам они нужны только как средство
для доказательства теоремы 156, для чего нет необходимости рассматривать,
как далеко эти теоремы можно обобщить; но доказанное в них еще весьма
далеко от окончательной истины. Так, Хислоп доказал, что методы В и
Ге, -~ ) равносильны, когда ап—О {пк) для какого-то К, и аналогично можно
распространить содержание теорем 152 и 154. Отсюда вытекает, что и
теорема 155 верна для всех рядов конечного порядка.
Привлекая на помощь другие методы, можно было бы еще дальше рас-
расширить область применимости этой теоремы. Рассмотрим, для удобства, ее
континуальный аналог. Мы будем говорить, что f(x)->( (e, с), если
_с?
(9.12.1) /с(*) = у ~^е xf(x + t)dt->l,
где интеграл понимается в лебеговском смысле. Можно доказать, что
ах
(9.12.2) fb(x)=y ^J -i= -^y e*P i - ^ _bt \fa @ <fc
0 (ax — bt)T
когда 0<6<а и интеграл (9.12.1) сходится для с = й, и вывести, что, уже
при одном только последнем условии,
f(x)->l (e, а) влечет f(x)->l (e, 6).
Это — еще одна иллюстрация принципа, сформулированного в § 4.12.
9.13. Основная теорема тауберова типа. Теперь мы в состоянии
доказать нашу основную теорему.
Теорема 156. Если ^ап — А (В) и
(9.13.1) ип =
то ряд 2а« сходится к А.
IS*

276 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
Докажем сначала, что Ап = 0A). Из теорем 150 и 151 Следует, что
(9.13.2) /"^2]~
для с = у Так как, по теореме 140,
TO
(9.13.3) An{l+o(l)} = /±An]
eft1
/
Сумму мы можем считать распространенной только на члены с \h\<^rf.
Тогда Лп+Й — Л„ = О (-W), и наша сумма равна
\у л/
Поэтому Л„ {1 + оA)} = 0A), и, значит, Л„ = 0A).
Следующий (и притом решающий) шаг доказательства основывается
на „теореме Витали". Пусть D — открытая связная область на пло-
плоскости z, <pw (г) для каждого п есть аналитическая функция от z,
регулярная в D, (р„ (г) равномерно ограничены в D и <р„ (zk) стре-
стремится к пределу ? (¦з'а) Для каждой из точек zk некоторого множества,
обладающего, по крайней мере, одной предельной точкой в D. Тогда
существует аналитическая функция <р (z) такая, что «л (г) -> <р (^) равно-
равномерно в каждой ограниченной замкнутой области R, содержащейся в D.
Мы применим эту теорему при следующих условиях.
Пусть с — комплексное, c = ~{-\-ib; выберем 80, -у0, ft так, чтобы
20 > 0, 0 < -fa < j < Ti". ПУСТЬ D бУДет областью То < Т < Ti. 181 < 8о
fa j 8о
и положим
Мы можем предполагать, что [ ап | < -j=. для больших п.
Уп
Так как (как уже доказано) Л„ = ОA), то ср„(с) есть для
каждого п аналитическая функция от с, регулярная в ?>. Далее,

9.14]
обобщения
277
равномерно для с из О и всех п. В силу теорем 151 и 155 (р„(с)-»-Л
для каждой точки с отрезка rfo> у вещественной оси. Из теоремы
Витали следует тогда, что <ри (с) -> А для всех с из D. Так как f 0 > О
и fj произвольны, то, в частности, ^ап = А (е, с) для всех поло-
положительных с.
Таким образом, (9.13.2) верно для всех положительных с. При этом
мы можем сохранить в сумме только члены с | h | < пг-, а тогда
для больших «. Поэтому
V
Тогда из (9.13.3) следует, что
откуда, ввиду произвольности с, Ап-уА. Теорема доказана.
Очевидно, нами доказана также
Теорема 157. Если ряд 2 ап суммируем к А каким-либо
из методов (Е, q), (е, с) или (f, k), и alt = O(——\, то 2а« схо~
\уп/
дится к А.
9.14. Обобщения. Все эти теоремы могут быть распространены
на обобщения методов Бореля, подобные встретившемуся нам в § 4.13.
Там мы определили суммируемость (В', а) формулой
J e Zl T(m
и мы можем определить суммируемость (В, а) формулой
Так, при целом а = k эти формулы равносильны утверждениям, что ряд
*) е " 111 имеет максимум у ^- при t ^ + у ~,

278 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
где между каждыми двумя членами ап и ап+1 стоит k — 1 нулей,
суммируем (В') или соответственно (В).
Предоставляем читателю доказать, что справедливы такие предло-
предложения:
Теорема 158. Если ап — оA), то методы (В, а), (В', а) и
е, -кь) равносильны.
Теорема 159. Если параметры с, a, q, k связаны соотноше-
соотношениями
2 2A ) 1q
{где q рассматривается только при с>-»-) и ап — о(\), то сум-
суммируемость ряда 2 й» каким-либо из методов (е, с), (В, а), (В7, а),
(Е, q), (•(, k) влечет, его суммируемость к той оке сумме любым
другим из этих методов. При этом суммируемость для какого-
либо частного значения с, a, k или q влечет суммируемость для
всех меньших положительных с, а или k или всех больших q.
После сказанного в § 9.12 следует ожидать, что последнее утвер-
утверждение теоремы 159, с ограничением ап—о(\), далеко не исчерпы-
исчерпывает истины ни для одного из рассматриваемых методов. Так, в силу
теорем 118 и 153, то, что (Е, q) влечет (Е, q') для q'~>q и (f, k)
влечет (j, k') для 0<6'<&, верно без всяких оговорок; и можно дока-
зать, что (В', а) влечет (В', р) для 0<р<а, если ряд Уа
а„п,а
1 (рП -f- I)
сходится для всех t.
9.15. Ряд 2 2й. Много света на связи между этими методами
проливает их применение к геометрическому ряду. Приведем краткий
перечень получающихся здесь результатов.
A) Метод (Е, q). Ряд 22" суммируем внутри окружности
или
r = V\-\-2q-\- ?2cosa Ь — q cos 6 ( — тс<6<и).
См. § 8.2.
B) Методы (В, а) и (В', а). Применимость этих методов опи-
опирается на формулу (г) стр. 247*). Границей области суммируемости
служит линия г = I sec —) . Эта область при а > 0 ограничена, а при
О <С« -^ 2 простирается в бесконечность и при а —> 0 стремится
к звезде Миттаг-Леффлера функции . . При а = 2 она совпадает
с внутренностью параболы у^ = 4 A —л:),
*) См. примечание к § 8.10,

9.16] МЕТОДЫ ВАЛИРОНА 279
C) Метод (е, с). Этот метод применим, когда
1 — 2 1—г
(где я]>— я); вопрос об области, где это имеет место, легко ре-
решается с помощью формул для линейного преобразования тэта-функ-
тэта-функций. Оказывается, что областью суммируемости служит
D) Метод (у, k). Собираясь применить этот метод к ряду 22"
при |г|>1, мы должны отбросить ограничение, принятое в опреде-
определении этого метода в § 9.11. Это лишает силы доказательство тео-
теоремы 153, справедливость которой вообще нарушается. Область сум-
суммируемости определяется двумя неравенствами
и уменьшается до внутренности единичного круга, когда k стремится
к нулю' либо к единице.
Оказывается, что между всеми этими областями, вблизи 2=1,
имеется теснейшая связь, если параметры связаны, как в теореме 159.
9.16. Методы Валирона. Валирон ввел и использовал более широ-
широкое обобщение метода Бореля. Общее определение суммирования (J),
введенное в § 4.12, было таково: Ап—> A (J), если
1
(9.16.1) ±
где J (x) есть целая функция с неотрицательными коэффициентами сп,
не сводящаяся к многочлену. Предположим теперь, что сп = e~G(n\
где
G (я) -*• оо, О' (п) -> оо, О" (я) -»• О
с большой правильностью. Типичными случаями являются
(9.16.2) О(я) = Сп* (С>0, 1</е<2)
и Q (n) = n log n — я; в последнем случае метод практически совпа-
совпадает с борелевским. Будем обозначать О" (я) через Н(п), так что
в указанных двух типичных случаях соответственно
H(n) = Ck(k — 1)л*-а, \.
Обобщая рассуждения, примененные Харди и Литтльвудом к методу
Бореля, Валирон доказал, что при некоторых требованиях правиль-

280 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
ности, наложенных на О(п), Ап-уА (J) равносильно соотношению
при
(9.16.4)
Н(п))
и что это, в частности, верно при ап — о(\).
Мы будем выражать (9.16.3) записью АП—*А (V, Н). Главный
интерес метода заключается в связанных с ним теоремах тауберова
типа. Если ряд 2а» суммируем (V, И) и
(9.16.5) <хп = О (У Н (я)),
то 2 ап сходится. При G (п) — Спк условие (9.16.5) сводится к
(9.16.6) ап = О(п*к~\
Мы ограничимся здесь (легким) доказательством того, что из
соотношения (9.16.3) с Н(п) = спк-2 (l</fe<2) и
1
(9.16.7) an = o(nJ -1)
следует сходимость ряда. Очевидно, для этого достаточно доказать,
что
д_*_! ^ ^-Yeh2nk-\An+n__An)_+0j
где С теперь уже число, заключенное между 1—-s-^и 1; нолевая
часть равна
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IX
§§ 9.1—9.3. Содержание теорем 137—139 можно найти во многих книгах,
особенно по теории вероятностей.
§ 9.5. Доказательство теоремы Адамара было впервые опубликовано
в /. de M. D), 8 A892), 101—186 A18), а обобщение Фабри —в AEN C),
13 A896), 367—399. Сравнительно простые доказательства имеются в книге
Landau, Ergebnisse, 76—86. Теорема Островского была доказана в BS A921),
557—565; см. также JLMS, 1 A926), 251—263, где даны более полные лите-
литературные указания. Особенно простое доказательство теоремы Адамара дал
Mordell, JLMS, 2 A927), 146—148; a Estermann, там же, 7 A932), 19—20,
видоизменив метод Морделя, доказал теорему Островского. Автором изло-
изложенного здесь доказательства является Zygmund, JLMS, 6 A931), 162—163,
См. также Djenes, гл. 11,

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. IX 281
§§ 9.6-9.7. Hardy and Littlewood, PLMS B), 11 A913), 1—16. Прямое
доказательство теоремы для суммируемости по Эйлеру, соответствующей
теореме 143, предложил Кпорр, MZ, 18 A923), 125—156 A36—139).
Харди и Литтльвуд формулируют теорему 147, но дают полное доказа-
доказательство лишь для того случая, когда 2р —f— 1 — целое. См. также Lord, PLMS
B), 38 A935), 241—256.
§ 9.8. Харди и Литтльвуд в работе, указанной в предыдущем примечании,
показывают, что ряд
суммируем (В) для всех s, если ~к-<С о- <С 1, и суммируем лишь при его схо-
сходимости, если 0<^а<:^. У них А — 1, а доказательство местами только
намечено.
Другим примером обыкновенного ряда Дирихле, суммируемого (В) лишь
в случае его сходимости и вместе с тем суммируемого (С, К) для некото-
некоторого k на всей плоскости s, служит ряд
См. Hardy, PLMS B), 8 A909), 277—294 B86—289).
Ряды типа (III) рассматривал Hardy, QJM, 35 A904), 22—63. В частности,
Харди показал, что сходящийся ряд 2 ат в котором
( \\т
— при п — т2,
{
т
0 при п 4= nfi,
не абсолютно суммируем.
§ 9.9. Аналог теоремы 149 для В-суммируемости доказал Харди (см.
указанную только что работу, 37—42), а теорему 149-—Кнопп A. с. в при-
примечании к § 9.6, 150—151). Hardy and Littlewood [RP, 41 A916), 36—53
D6—47)] и Кпорр A. с, 151—152) обобщили эти теоремы.
§§ 9.10. 9.11. Методы (е, с) и ft, k) ввели Харди и Литтльвуд в их
работе в RP; содержание большинства доказываемых здесь теорем можно
найти там или в позднейшей их работе в JLMS, 18 A943), 194—200. Кнопп
рассматривает связи между суммируемостью по Эйлеру и суммируемостью
(е, с), но не формулирует теорему 152 явно.
§ 9.12. Работу Хислопа см. в PLMS B), 41 A936), 243—256.
§ 9.13. Метод доказательства заимствован из работы Харди и Литтль-
вуда от 1943 г. По поводу теоремы Витали см. Littlewood, 117, или Титчмарш,
Теория функций, 194.
Теорему 156 впервые доказали Харди и Литтльвуд в их работе в RP.
Условие (9.13.1) впоследствии обобщили дальше Valiron [RP, 42 A917),
267—284] и R. Schmidt [Schriften d. KOnigsberger gelehrten Ges., 1 A925),
205—256]. Наиболее общая форма рассматриваемого условия (предложенная
Р. Шмидтом) такова:
И(Л
при от-*со, п^>т, ———*0; это условие, в частности, выполняется при
дга> =, Доказательство упростил Vijayaraghavan, PLMS B), 27 A927),
316-326.

282 МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ B) [ГЛ. IX
Имеется и другой метод доказательства, посредством „общих тауберовых
теорем" Винера; см. гл. XII, в частности, § 12.15.
§ 9.14. Теорему, упомянутую в конце параграфа, можно найти в рабо-
работах Hardy, JLMS, 9 A934), 153—157, и Good, PCPS, 38 A942), 144—165.
Харди доказывает утверждение теоремы лишь для (И = -=-а, а Гуд — для об-
общего случая. Таким образом, Харди доказывает, что если
... =s (В', а)
и ряд
(а) й^ ^
сходится для всех t, то
aQ + a1 + ai+ ... =s (В', а).
Фактически доказывается несколько больше, а именно, что если ряд (а) схо-
сходится для малых t и a,t (t) регулярна для всех положительных t, то
J е-*a,, (t) dt = s.
Это — обобщение метода (В', а), аналогичное обобщению метода В', изло-
изложенному в § 8.11.
Если q = 1, то а = 2. Таким образом, (В', а)-методом, наиболее тесно
связанным с обычным эйлеровым методом, является (В', 2).
§ 9.15. Основной результат пункта B) принадлежит Миттаг-Леффлеру,
1. с. в примечании к § 8.10.
Область для метода (е, с) определил Хислоп, I.e. в примечании к § 9.12;
у него с = -п .
§ 9.16. По поводу всего этого см. работу Валирона, указанную в приме-
примечании к § 9.13. При k — 2
G" (п) = Н(п) = Ск{к—\)ф 0,
а (9.16.6) приводится к ап = О A). В этом случае метод Валирона не в силах
суммировать ряд 1—1 + 1—1 + ... (§ 4.15),

Глава X
УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ
10.1. Формальные правила умножения рядов. На протяжении
этой главы нам будет удобно пользоваться одной и той же буквой
для обозначения и ряда и его суммы (понимаемой в обычном либо
каком-нибудь обобщенном смысле).
Если ряды 2 ат — А и 2 ^и == -^ абсолютно сходятся, то двой-
двойной ряд 22a»As абсолютно сходится и имеет сумму АВ, как бы
ни располагать его члены. Если же хоть один из рядов А, В— не
абсолютно сходящийся, то сходимость, или суммируемость, двойного
ряда зависит от выбора правила расположения его членов, так что
различные правила приводят к различным определениям „произведе-
„произведения" рядов А и В. Наибольшей известностью пользуется правило
умножения Коши, согласно которому двойной ряд суммируется „по
диагоналям", путем объединения членов с одним и тем же значением
т-\- п. Мы тогда пишем
A0.1.1) ср = 2 ^^
и определяем произведение С рядов А и В как
A0.1.2) С=Цс,.
Это правило умножения подсказывается формулой
перемножения двух степенных рядов.
Другое правило умножения рядов имеет важное значение в теории
„обыкновенных" рядов Дирихле. Мы полагаем ао = О, Ьо = 0 и
объединяем члены, у которых тп имеет фиксированное значение р,
так что
A0.1.3) ср = 2 ambn*= 2 4bv = 2 ар ьф
тп—р а\р -— а 1 р -^
где суммирование в последних двух суммах распространяется на все
делители числа р. Это правило умножения подсказывается формулой
*) Здесь, как большей частью и в дальнейшем, мы пользуемся соглаше-
соглашением, принятым в § 5.4,

284 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
перемножения двух обыкновенных рядов Дирихле. Рассмотрение рядов
Дирихле 2ame~'raS более общих типов приводит и к другим прави-
правилам умножения.
В этой главе наше внимание будет сосредоточено главным обра-
образом на правиле умножения Коши, которое мы подвергнем весьма
тщательному рассмотрению; различных же способов умножения по
Дирихле мы коснемся лишь в самых общих чертах. Мы также оста-
остановимся немного на соответствующих вопросах, относящихся к рядам,
бесконечным в обоих направлениях.
10.2. Классические теоремы об умножении по правилу Коши.
Для умножения рядов по правилу Коши известны три классические
теоремы, принадлежащие соответственно Коши, Мертенсу и Абелю.
Теорема 160. Если А и В абсолютно сходятся, то С также
абсолютно сходится и С=АВ.
Это предложение является следствием абсолютной сходимости
двойного ряда 2 2 атЬп-
Теорема 161. Если А абсолютно сходится и В сходится,
то С сходится и АВ = С.
Действительно, полагая, как обычно, Ат = а0 -\- at -}-... -\- ат
и аналогично для других букв, имеем
A0.2.1) Ср= 2 2 ambn= 2 атдп = ^атВр_т.
Это можно записать в виде 2 ап$т,р> гДе
( Вр-т при /»</>,
?т,р— |
Так как §т>р равномерно ограничены, а А абсолютно сходится, то
ряд 2 ат$т,р сходится равномерно относительно р. Но тогда
lim 2 ajm>p = 2 ат Нт $т>р = В 2 <*т = АВ.
р -> оо р -> со
Заметим, что если А сходится не абсолютно, то существуют
сходящиеся В, для которых С расходится. Действительно, если бы
Ср = а0Вр -4- • • • + арВ0 стремилось к пределу всякий раз, когда Вп
стремится к пределу, то, по теореме 1, мы имели бы ^\ап\<С Н.
Теорема 162. Если все три ряда А, В и С сходятся, то
Действительно, степенные ряды а (х) = 2 апхП-> • • • абсолютно
сходятся для 0<д;<1, и, по теореме 160, а (х) b (x) == с (х).
, заключаем тогда из теоремы 55, что АВ===С,

10.3] УМНОЖЕНИЕ СУММИРУЕМЫХ РЯДОВ 285
10.3. Умножение суммируемых рядов. Предыдущие теоремы
допускают важные обобщения на ряды, суммируемые (С, k). Основ-
Основной здесь является теорема 164, принадлежащая Чезаро; но мы при-
приведем сначала следующее предложение:
Теорема 163. Если все три ряда А, В и С суммируемы (С, k)
для некоторого k, то С = АВ.
Действительно, из доказательства теоремы 162 видно, чго С= АВ,
даже если все три ряда суммируемы (А).
Теорема 164. Если А суммируем (С, г) и В суммируем
(С, s), где г > — 1м s > — 1, то С суммируем (С, г -j- s 4- 1)
и С=АВ.
Имеем для | х | < 1
с(х) а(х) Ь(х)
A— *)г+<нг~A — х)'+1 'A
откуда в обозначениях § 5.4
2 с;+з+v = 2 лгтхт 2 в°гХп.
Приравнивая коэффициенты, получаем
A0.3.1)
Так как
то из равенства A0.3.1) и теоремы 41 следует, что
Ср —Atf^ r + S+l
т. е. что С суммируем (С, r-f-5-j-l) к АВ.
Разумеется, равенство A0.3.1) можно доказать и без помощи степен-
степенных рядов. Так как
и р—Тс
то коэффициент при ambn в правой части равенства A0.3.1) в силу фор-
формулы E.6.10) равен
р—п р — m — п
, + \f — n— vf ^ {
{k + r\fp— m — n — k + s\
__!p — m — /z-f-r-fs +
~\ r+s+1
а последнее выражение есть как раз соответствующий коэффициент
++1
в с;+а+1.

286 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
В частности, при r = s = 0 равенство A0.3.1) принимает вид
С\ = А0Вр + AXBV^ + ... + АрВ0.
Легко проверить справедливость последнего равенства непосредственно и
вывести из него, не опираясь на теорему 41 в ее общем виде, что Ат->А
и Вп->В влекут С* ~АВр. Это показывает, что когда А и В сходятся,
то С суммируем (С, 1), к сумме С = АВ, и, значит, если С также сходится,
его сумма необходимо равна АВ. Таким образом, мы получаем простое
доказательство теоремы 162, не зависящее от теории степенных рядов.
Приведем еще две теоремы отрицательного характера, показывающие,
что теорему 164 в известном смысле нельзя дальше усилить.
Теорема 165. Предположения теоремы 164 не влекут суммируе-
суммируемости {С, k) ряда С ни для какого fc<r + s+ 1.
Действительно, положим
«.= (- 1)"(« + 1)р. К = (- 1)п(я + IK,
где р = г — 6, а = 5 — о и 8 — малое положительное число. В силу теоремы 81
А и В соответственно суммируемы (С, г) и (С, s). Но, по теореме 41,
следовательно, в силу теоремы 46 С не суммируем (С, p+o-f-l), т. е.
(С, r + s + \ — 25).
Теорема 166. Утверждение теоремы 164 неверно при г — — 1,
s> — 1.
Действительно, пусть
я (-1)" h
ufii — "———————— о —
(я+ 2) {log (/и+ 2)}»' и
где а>0, р>0, а + Р<1- Тогда Л суммируем (С,—1), а В суммируем
(С, s). Но при больших р
(-Yfe =
2) <l0S
для некоторых постоянных М к N. Тем самым срфо(р8) и, значит, С не
суммируем (С, s).
Следующая наша теорема является обобщением теоремы Мер»
тенса 161 и сводится к ней при г =0.
Теорема 167. Если А абсолютно сходится, а В суммируем
(С, г), где г>0, то С суммируем (С, г).
Имеем здесь а (х) W__ — . , , так что
¦ (l-jcf+1 A-д:)г+1

10.4] ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ РЯДОВ 287
Это можно представить в виде
?р y о
/р -\- Г \ j/j ат?т,р>
где
Ym,p —
(Р+г
\ г .
О при т > р.
Так как для т^.р
I Г)? I
IP.,,к ' -"'
т0 $т,р равнЬмерно ограничены, так что ряд 2 ат$т,р сходится
равномерно относительно р. Принимая во внимание, что
(р — т-\-г\ (р + г\
{ г )~\ г )
при р -> оо для каждого т, заключаем, что
Теорема 168. Утверждение теоремы 167 неверно для г<0.
Действительно, пусть
гДе ат и $п положительны и 2 ат <^ с0- Тогда
и при Ср — о(рг) мы имели бы а^, = о (рг), что, однако, не следует из схо-
сходимости ряда 2 ар ни Для какого отрицательного г.
10.4. Другие теоремы о сходимости произведения рядов. Мы
рассмотрим теперь группу теорем, простейшим представителем кото-
которой является
Теорема 169. Если А и В сходятся и
(Ю.4.1) «.=,0A),*,,-0A),
то С сходится (« С — АВ).
Действительно, по теореме 45, Л и В суммируемы (С, — 1 -f- S)
для любого положительного 8; поэтому в силу теоремы 164 ряд С
суммируем (С, — 1 -j- 28) и, значит, тем более сходится.

288
УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ
[ГЛ. X
Теорема 170. Если А и В сходятся и
A0.4.2)
для каких-нибудь положительных функций ч\(х) и С(х), стремя-
стремящихся к бесконечности вместе с х и образующих в сумме х,
то С сходится (и С = АВ)*).
Пусть 0<_у<т], 0 < .г < ?. Разобьем треугольник Г плоскости
(иг, п), определяемый условием т-\-п^.х, на области Г,, Г2, Г3,
То Т6, как указано на фиг. 2. Мы можем считать х, ч\, С, у и z не-
нецелыми, так что на линиях, раз-
разделяющих эти области, нет целых
точек. Обозначая через А (х), ...
сумматорные функции для ря-
рядов А, . .. и через ?1; ... суммы
членов ряда 22йт^*' попаДаю"
щих в области Tv ..., имеем
Далее,
IV IV IV
"Т ^3 ~Г  "Г Ч-
«»< т) я < ;
О гп
Фиг. 2
Поэтому достаточно доказать, что при надлежащем выборе у и г
Выберем z так, чтобы
Тогда в силу первого из условий A0.4.2)
х—z х—m х—г х—m се
I 2в 1 = | 2 а-т 2 Ьп | < 2 \ат\ I 2 *ге I < s 2 I am I
для некоторого постоянного К. А
2*
и =0 m =
m =: 11
*) Если Y) или С не стремится к бесконечности, то один из рассматри-
рассматриваемых рядов абсолютно сходится, и утверждение теоремы содержится в тео-
теореме 161.

10.5] ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ 170 289
при фиксированном г и стремящихся к бесконечности х и rj. Следо-
Следовательно, ?2-[-?8 —> 0. Аналогично докажем, что и S4-j-I!6—> 0.
При выполнении условий теоремы 169 можно взять г| = ? = — х,
поскольку тогда
_ 2 ki-o( 2 i)-
— ж < m < ж -?- ж < m < <"
Можно указать и другие интересные частные случаи.
Теорема 171. Если А и В сходятся и
A0.4.3) ат = О (JL) (, > 0)., *ге = О
то С сходится.
Очевидно, мы можем считать 8<Ч. Положим i\=x — дг8, 1 —
Тогда
*•. i=о B -щ&д=°(log log * ~log log xb)=°A)-
10.5. Дальнейшие применения теоремы 170. A) Теорема 170 позво-
позволяет доказать „одностороннее" обобщение теоремы 169.
Теорема 172. Если ат и Ьп вещественны, А и В сходятся и
К L
ат^>— , &и> с постоянными К и L, то С сходится.
Пусть я+ и а~п обозначают соответственно положительные и отрица-
отрицательные ат, и
2 2 2
и» < х т < х т < х
Тогда
А(х)=*А+(х) + А-(х),
2 |ая J = -4+ (дг) - А-(х) = И (дг) - 2Л- (х),
— Ж < 1» < X
19 Зак. 2499. Г. Харди

290 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
Но А (х) = 0A) и
— ж < m < х — - х < то < о»
что ограничено; следовательно, ат удовлетворяют условию A0.4.2). То же
рассуждение применимо и к Ьп. Тем самым теорема доказана.
B) В качестве другого приложения теоремы 170, докажем следующую
теорему.
Теорема 173. Если А и В сходятся, р >¦ 1, </>• I и
^, %пй~ЦЬп\<1< со,
то С сходится.
Действительно, полагая р' = —^—- и применяя неравенство Гёльдера,
получаем
где все суммирования распространяются на интервал [-^х, х ). Аналогично
найдем, что и 2 1&»1 =0A).
10.6. Знакочередующиеся ряды. В этом параграфе мы докажем
одну более элементарную теорему, относящуюся к знакочередую-
знакочередующимся рядам.
Теорема 174. Пусть Л = 2(—1)"*а»и> ^ = 2(—1)геР»> г^е
ат и ?» положительны и монотонно стремятся к нулю. Тогда
для сходимости ряда С
(I) необходимо и достаточно, чтобы
A0.6.1) -с = «0P»>4~aiP»-i + ••• -\-ар%->®)
(II) необходимо и достаточно, чтобы
A0.6.2) («0 + <*1+ ••¦ + ai>) Рр -> °» (Po + Pi+ ••• +Рр)^-*О;,
(III) достаточно, чтобы 2а^^<°°;
(IV) необходимо, чтобы. 2 (арРРI+5<°° <^я каждого положи-
положительного 8.
(I) Положим
Тогда 0 < Рт < «т> 0 < оп < ря. Далее,
Ся = 2 в„5,'_w = ВАр + (- 1 )р 2 аиар_т = ЯЛ, + /?,,
где |/?р|-< 2 amPp-»n = Tj- Поэтому условие A0,6.1) достаточно;
необходимость же его очевидна.

10,7] ФОРМАЛЬНОЕ ПЕРЕМНОЖЕНИЕ РЯДОВ 291
(II) Имеем
Т*>(«о + ¦•• +<*Р) РР, Тр>(Ро + • • • + ft») «Р.
так что условия A0.6.2) необходимы. А так как
Г1 1
где ? = -« р i то они также достаточны.
(III) При 0 < q < р имеем
+ ••• +РрХ«р(Ро+ •••
Если 2 a.j»Pi><°°> т0 мы можем выбрать q так, чтобы S2<e для
всех p~>q\ но Sl —> 0 при фиксированном q и р -> оо. Поэтому
°7> (Ро4~ • • • 4- Рр) ~* 0 и аналогично рр (a0 -f- ... 4" ар) ~> 0. Тем
самым условие достаточно. Что оно не необходимо, показывает при-
мер ап — $п ==—==== (й^>2): в этом случае "(¦„-> О, так что С
сходится.
(IV) Наконец,
(«о+ai 4- • • • + s) Pi»
Если С сходится, то, согласно доказанному утверждению (II), левая
часть стремится к нулю и, значит, ар$р = о(—\ откуда V (а^^I+8< оо.
Пример ап = р„ = — , показывает, что условие не является доста-
достаточным.
10.7. Формальное перемножение рядов. Во всех предыдущих
теоремах предполагалось, что оба ряда А и В сходятся или сумми-
суммируемы. Существуют теоремы другого типа, особенно • важные в теории
тригонометрических рядов. В этих теоремах один из рядов, скажем А,
почти произволен, но зато другой подчинен строгому ограничению;
утверждение же состоит в том, что поведение Ср „весьма похоже"
на поведение ВАр.
Если
A0.7.1) Ср — ВАр->0
при /?~*оо, то мы будем говорить, что ряд С—¦ равносходящийся
с В (А). В этом случае из сходимости или суммируемости ряда А
следует то же для С (с суммой АВ).
Теорема 175. Если ат = оA) и ^п\Ьп\<со, то ряд С—
равносходящийся с В (А),
19*

292 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
Мы воспользуемся следующей леммой:
Теорема 176. Если ат = о{\) и 2|рга|<сх>, то
°р = аорр -+- «iPp—1 + • • • + Vo = ° С1)-
Это тривиально. Действительно, мы можем выбрать Р так, чтобы
вж|<е для
и, значит,
|aj< Мах \ат\ ilPnl+ Мах
-1 1 1
для /? >- А
Переходя к доказательству теоремы 175, положим В = Bn-\-fin,
так что
где
Тогда в силу теоремы 176
%% + «tP*-1 + • • • + «А -> о. ^—вар -> о-
Ясно, что если ат и ^и являются функциями от переменного х,
а,т равномерно стремится к нулю и ряд 2й|^п1 равномерно схо-
сходится, то Ср — ВАр равномерно стремится к нулю.
Теорема 175 допускает (несколько более сложные по виду) обобщения-
на случай суммируемости (С, к). Одно из них предоставим доказать читателю:
Теорема 177. Если ат — о (т) и 2 п* |*«Ксо> т0
где fi*=2n^«- Если также Ат = о(т) и, в частности, если ат — о(\),
то С* — ВА1 = о (р), т. е. С и В (А) равносуммируемы (С, 1).
10.8. Умножение интегралов. Сформулируем теперь теоремы для
интегралов, соответствующие наиболее важным из теорем 160—170.
Доказательства их следуют тому же плану, так что мы, не входя
в подробности, отметим только пункты существенного различия. По-
Последние возникают из-за отсутствия „лимитирующей теоремы", кото-
которая бы соответствовала теореме 46. В частности, сходимость интеграла
А== I a{x)dx не влечет сходимости интеграла I е -Ъх | а (х) | dx ни
для какого положительного 8.

10.8] УМНОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 293
Мы определим С как С= Г с (х) dx, где
A0.8.1) с(х)= { a{t)b{x — t)dt = Г а {х~ t) b{f) dt
(с соглашением о пределах интеграции, принятым в § 5.6).
Теорема 178. Если А и В абсолютно сходятся, то С также
абсолютно сходится и С=АВ.
Теорема 179. Если А абсолютно сходится и В сходится,
то С сходится и С = АВ.
Теорема 180. Если все три интеграла А, В и С сходятся,
то С=АВ.
Теорема 181. Если А суммируем (С, г) и В суммируем (С, s),
где г > — 1 и s > — 1, то С суммируем (С, г -{- s -f-1) и С = АВ.
Теорема 182. Если А абсолютно сходится и В суммируем
(С, г), где г > 0, то С суммируем (С, г) и С=АВ.
Теорема 183. Если А и В сходятся и
A0.8.2)
где Y) и С удовлетворяют условиям теоремы 170, то С сходится
и С=АВ.
Нужно сделать лишь следующие замечания.
(I) Теорему 180 следует вывести из теоремы 181 с г = s = 0, а не
пытаться копировать рассуждение, проведенное в § 10.2.
(II) Доказательство теоремы 181 опирается на тождество
A0.8.3) C,h>h(.v) = j Ar(t)Bb(x-/)dt,
где, например,
а доказательство теоремы 182 — на тождество
A0.8.4) Сг(х) =-- Jя @ Вг (х — t) dt.
Для доказательства тождества A0.8.3) заметим, что
о
X t X—t
¦ J dt j a (a) (t ~ u)r du I* b (v) (x — / - - v)
dv,

294 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
где 0¦<и<;t<;х, 0^,v^.x — t^x. При фиксированных и и v, t изме-
изменяется от и до х — v; при фиксированном и, v изменяется от 0 до х — и.
Поэтому тройной интеграл справа равен
.1
j a(u)du Г &(»)efo J (t — u)r{x — t-~vfdt =
0 0 !4
о; ж—?«
о о
Р23 J а (и) rf« J
J О — да)^^1 rfffii Ja (м) * (да - и) du = Сг
Г (г + s + 2),
о о
При r>0, s>0 этот вывод в силу теоремы Фубини имеет силу для всех
интегрируемых функций а (х) и Ь(х). Если а (х) и Ь(х) ограничены на каж-
каждом конечном интервале (О, X), то он сохраняет силу и для г >¦ — 1, s > — 1;
в остальных случаях требуются некоторые оговорки *).
Доказательство тождества A0.8.4) аналогично, но несколько проще.
10.9. Суммируемость по Эйлеру. Переходим к рассмотрению
вопроса об умножении рядов, суммируемых методами Эйлера или
Бореля. Напомним определение суммируемости (Е, q): если, для малых
хну,
и 2 й» — ^> то Ряд 2 ап суммируем (Е, q) к сумме А. Мы теперь при-
¦V (ч)
соединим к этому еще следующее определение: если ряд^а,, сумми-
суммируем (С, k), то мы будем говорить, что ряд 2 я» суммируем
(Е, q; С, k).
Теорема 184. Если 2в«* =-4 (Е, Я) и ^Ьп = В (Е,"^), то
^ср^АВ (Е, q; С, 1).
Ряды
абсолютно сходятся для малых л: и _у, и / (х) g" (x) = x/s (x). Поэтому
*) Ср. примечание к §§ 5.14—5.15,

10.10] СУММИРУЕМОСТЬ ПО БОРЕЛЮ 295
где Y = (q -\- 1) у. Отсюда
) 2 аЖ-д 2
l 4
(с G_i=-=0). Так как 2а^ = Л, 2^ = 5, то из теоремы 164
следует, что 2 ^> ==! АВ (С, 1), а из теоремы 47, — что
2Ог).1 = 0 + О0+...=Л5 (С, 1).
Поэтому
^f—q)AB=AB (С, 1).
Ясно, что если вместо теоремы Чезаро применить теорему Мер-
тенса, то получится
Теорема 185. Если 2 ат — А (I E, q \), '«• е. ря^ 2 ат аб-
абсолютно сходится к А, и "%дп = В (Е, q), то ^ер = АВ (Е, q).
С другой стороны, если предположить, что все три ряда А, В, С
суммируемы (Е, q), и взять в A0.9.1) F-> 1, то получим, что
Таким образом, имеет место
Теорема 186. Если все три ряда А, В и С суммируемы (Е, q),
то С—АВ.
10.10. Суммируемость по Борелю. Для суммируемости по Борелю
дело обстоит несколько сложнее; объясняется это тем, что, во-пер-
во-первых, для этой суммируемости имеются два определения и, во-вторых,
поведение рядов ao-\-al -j- . .. и al -j- а2-{- ... не обязательно оди-
одинаково. Мы сформулируем наши результаты в терминах интегрального
определения, предоставляя их варианты для „экспоненциального"
определения читателю.
Если интеграл Бореля суммируем (С, k) в смысле § 5.14, то мы
будем говорить, что ряд2аге суммируем (В'; С, k). Докажем прежде
всего, что из
A0.10.1) ao + a,-f аа-(-... =Л (В'; С, k)
следует
A0.10.2) at-|-a3 + as-|-... =А-~а0 (В'; С, k-\-1),

296 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
Действительно, полагая a (t) — 2 an~v имеем
(ю.10.3)
о
о
Но из A0.10.1) следует, что
во4-а, + ва+...=Л (В';С, fefl).
Поэтому последний член в правой части формулы A0.10.3) стреми-ся
к А, тогда как средний равен Of— J; тем самым A0.10.2) доказано.
Теперь может быть доказана
Теорема 187. Если ряды-^а^ и ^Ьп суммируемы (В') соот-
соответственно к А и В, то
A0.10.4) O + ^+q + Ca-}-... =ЛВ (В'; С, 1)
и
A0.10.5) с0 + с,+ с2-]-... =АВ (В'; С, 2).
По теореме 181, с г — s — О,
со X
Г е-*dx Г a (t) b(x — t)dt=>
X
= АВ (С, 1).
со ж
о о
Но внутренний интеграл в левой части равен
т п о
Поэтому
что совпадает с утверждением A0.10.4); а A0.10.5) является его
следствием в силу теоремы 186.

10.11] ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ ДИРИХЛЕ 297
Ясно, что если вместо теоремы 181 применить соответственно
теоремы 179 и 180, то получатся следующие предложения:
Теорема 188. Если (в дополнение к предположениям тео-
теоремы 187) \е-* | a (t) | Л<оо (т.е. А абсолютно суммируем), то
+...=i4S (В'),
Теорема 189. Если все три ряда 2a»«>2^» u 2 СР сумми-
суммируемы (В'), то С—АВ.
10.11. Правило умножения Дирихле. Пусть Х0^>0, t<.0^>0 и
последовательности (Хот) и (\in) строго возрастают до со; пусть, да-
далее, (v^) есть последовательность (Хт-|-(А„), расположенная в возра-
возрастающем порядке, причем все равные суммы Ьт-{-\ьп считаются за
одно чр, и
ср= B_ а„рп-
Тогда мы будем называть ряд С— 2 с/> произведением рядов Л и В.
по общему правилу Дирихле. При лш = т, \).ч = п это приводит к опре-
определению Коши, а при >-,m = logw, ;An = !og«—к правилу умножения,
определяемому формулой A0.1.3) и имеющему многочисленные приме-
применения в теории чисел. Общая теория умножения по правилу Дирихле
требует подробного изучения риссовских средних, определенных
в § 4.16. Мы ограничимся здесь обобщением теоремы Мертенса.
Теорема 190. Если А абсолютно сходится и В сходится,
то произведение С рядов А и В по правилу Дирихле сходится
и С=АВ.
Действительно,
~ Zi Лж^Дт>
} in <*p — Vo
где N = N(m, p)—^наибольшее п, для которого |iw^vp — \т, т. е.
A0.11.1) • Ср == 2 а„$т,Р,
где
_| ^п<2__х ьт гФи.хшор,
I 0 при >-m>V
В таком случае р,„,р равномерно ограничены, A0.11.1) равномерно
сходится и

298 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
10.12. Ряды, бесконечные в обоих направлениях. Мы заключим
эту главу кратким рассмотрением проблемы умножения для рядов,
бесконечных в обоих направлениях. Для них эта проблема значи-
значительно труднее, чем для обыкновенных рядов, поскольку общий член
ряда-произведения обычно сам является бесконечным рядом. Нам
придется рассматривать два различных определения для суммы ряда,
простирающегося от — оо до -f- со, и два различных правила умно-
умножения. При этом окажется удобным изменить наши прежние соглаше-
соглашения о суммах с неуказанными пределами суммирования. Теперь 2йм
будет распространяться на все целые и, суммы же отдельно по поло-
положительным и отрицательным значениям п мы будем обозначать соответ-
соответственно через 2+й» и 2 ап> так чт0
если эти ряды сходятся.
Если
A0.12.1) AKiN, = 2 «„-»¦/»,
когда N и N' независимо друг от друга стремятся к оо, то мы бу-
будем говорить, что А неограниченно сходится. В этом случае каждый
из рядов 2 ап и 2 ап в отдельности сходится, и ап->0 при
п | —> оо.
Если
A0.12.2) Ax = Ax,N-*A
при /V—> оо, то мы будем говорить, что А ограниченно сходится,
В этом случае 2 (ап~\~а-п) сходится, и ап-\- а_п-> 0; однако по-
порядки членов а„ и а_п в отдельности ничем не ограничены.
Мы определим произведение двух рядов А и В одним из следую-
следующих двух способов.
A) Умножение Лорана. Формальное произведение двух рядов
Лорана
А (х) = 2 V", В (х) = 2 Ьпх»,
расположенное по степеням х, равно
где
A0.12.3) Ср= 2 вщ*» = 2 emV« = 2 "»-»>*»*)•
Правило Лорана умножения рядов А и В получаем, полагая здесь
лг=1, так что C=2cj>-
*) Все эти суммы берутся от —со до -f-oo: мы больше не пользуемся
соглашением, принятым в § 5.4-

10.12] РЯДЫ, БЕСКОНЕЧНЫЕ В ОБОИХ НАПРАВЛЕНИЯХ 299
B) Умножение Фурье. Другое правило умножения особенно при-
пригодно для ограниченно сходящихся рядов (и только для таких рядов
и будет нами применяться). Полагая
]
) = У\ ат cos 7/г9 = о" "о
(Ю.12.4) {
где
A0.12.5) «« = «» + «-,», ?»==*»+*-»
(так что ао=2ао, [30=2/!>0 и ат, $п—четные функции от я), фор-
формально перемножая Л F) и В (Ь) и пользуясь формулами сложения
для косинусов, получаем
A0.12.6)
где
m ±n=p
A0.12.7) Yo=2co= 2 а„А, Т,=с,+с_,= -5-
m±»=0 m±n±p=0
Таким образом, fo есть ^Умм^ произведений атЬп по паре прямых
т±п = 0, а ^ Для Р>0 есть половина суммы таких произведений
по четверке прямых т± п± р = 0, считая точки пересечения этих
прямых всегда дважды.
Правило умножения Фурье получаем, полагая в А F), В(Ь) и СF)
9 = 0. Таким образом,
A0.12.8) A = Iao
где
A0.12.9) Тр = 1 «орр 4-^2' «,»(?«-р + Р»,fР) =
^
и, в частности,
A0.12.10) ?o=Ya^°+2]+a»A»-
До сих пор. мы действовали чисто формально. Какое бы из этих
определений перемножения рядов ни принять, ср или чР будут опре-
*) Было бы одинаково естественно определить ср как сумму с /я+я= —р\
впрочем, Ср и с_„ будут всюду группироваться вместе,

300 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
деляться с помощью бесконечного ряда, который может и не схо-
сходиться. Так, например, если
а0 = bo = O, am = bm = (^~L, (m ф 0),
то определение A0.12.3) дает
Y\m\ V\p'—m\
(где штрих при знаке суммы указывает, что члены с т = 0 и т = р
должны быть опущены), а этот ряд расходится для каждого р.
10.13. Аналоги теорем Коши и Мертенса. Очевидно, теорема
Коти о произведении абсолютно сходящихся рядов остается в силе
при любом законе умножения, так что в рассмотрений нуждается
только аналог теоремы Мертенса. Здесь нам придется различать два
случая, в зависимости от характера сходимости второго ряда и при-
принятого в связи с этим закона умножения.
Теорема 191. Если А абсолютно, а В неограниченно схо-
сходится, то произведение Лорана С неограниченно сходится и
С=АВ.
Прежде всего, поскольку А абсолютно сходится, а Ьп ограни-
ограничены, ясно, что ряд для каждого ср (абсолютно) сходится/ Далее,
р р
Ср р, = 2 ср = 2j ^j ambn =
р = — V р = —Р' ш+п—р
оо Р — VI
= 2 <*» 2 *»=2в,Л.р,р"
1М = —со 7! = —Р'—«I
Так как $т>р,гг равномерно ограничены, то этот ряд равномерно
сходится, и
сг,р> -+ 2 «„,lim l,^P' = в 2 аш = АВ-
Теорема становится, неверной, если заменить в ее предположении и
утверждении „неограниченно" на „ограниченно": предположений не будет
достаточно даже для существования ср. Так, если
аш=
О при т <; О,
—.j при m > О,
= 0, *„=-*_„ = 2'*
.
то А абсолютно сходится к -р-п2 и В ограниченно сходится к 0, но

10.14] ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ 301
Соответствующей теоремой для ограниченно сходящихся рядов
будет
Теорема 192. Если А абсолютно, а В — ограниченно схо-
сходится, то их произведение Фурье С сходится и С=АВ.
В этом случае
р р
A0.13.1) Ср = 2ср= -g То+ 2Ь = 2
— Р 1
где D — бесконечный крест, определяемый неравенством \т±п\
причем произведения, соответствующие точкам квадрата | т \ -\- | п \ ^ Р,
считаются дважды. Положим
Тогда U абсолютно, а V неограниченно сходится, так что, по тео-
теореме 191, их произведение Лорана W = J^wp (неограниченно) схо-
сходится и W=UV. Но
р
A0.13.2) Wp=y\wp = ^^ ¦¦ - 1
— Р |!В + П|<Р |»В+П|<Р
и простое рассмотрение показывает, что Ср — Wp. Поэтому
Cp-+UV=*AB.
10.14. Дальнейшие теоремы. Для умножения Лорана имеется тео-
теорема, соответствующая теореме 175, а именно:
Теорема 193. Если ап = о{\) при | я |-> оо, а 2 I nbn | < со,
то Срр, —ВАрр, -> 0. В частности, если А неограниченно (огра-
(ограниченно) сходится, то С неограниченно {ограниченно) сходится
к АВ.
Верна также аналогичная теорема для умножения Фурье ограни-
ограниченно сходящихся рядов; мы предоставляем ее читателю.
Аналог теоремы 169 требует более тщательного рассмотрения.
Он получает наиболее удовлетворительную формулировку в терминах
умножения Фурье.
Теорема 194. Если ат — о(—\ -)п— о(р-), а А и В огра-
ограниченно сходятся, то произведение Фурье этих рядов сходится
к АВ.

302 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
Прежде всего в силу формулы A0.12.9) ^р есть сумма двух ря-
рядов типа
у о(—1 1- )
Z4 \\m\-\-\ \m-p\ + lJ-
Они абсолютно сходятся и их суммы при р^-со стремятся к нулю.
Далее, в силу формул A0.13.1) и A0.13.2)
где 7\, Т2 и Ть распространяются на области Du D2, D3, опреде-
определяемые соответственно условиями
т. -f n |< Р, т — п< — Р.
Но
_1_
4
где Di" есть положительная четверть квадрата D1; причем члены,
лежащие на осях, умножаются на -^ , а член ао(Зо — на -j-. Эта сумма
есть частичная сумма произведения Коши рядов "o"ao~{~~^j a"» и
-2-ро-|-\ Р„, и, значит, в силу теоремы 169 -^ Тх -> Л5. Поэтому
достаточно доказать, что 7 и Г3 стремятся к нулю.
Рассмотрим Г2. Имеем
т
Здесь
р
р
го=1
ЬР
m—P—1
. 2
Р + И1
г»
Р»Ч
Р
СО
со
- 2 ат
m=P+l ¦
у
P — m
2
!= — Р— 1
н = т —Р
Р» =
1-1
где 0 < 8 < -^- и 7) взято столь большим, что
щ

10.14] ДАЛЬНЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ 303
для п2 > п1 ;> т(; мы предположим также, что ЬР и -ц нецелые, причем
ЪР<Р — Y]. Тогда
6Р Р+т ЬР
ЬР
равномерно относительно Р, a
Надлежащим выбором чисел 8, ? и ч\ можно сделать И/' и Vf сколь
угодно малыми; а при фиксированных 8, С и т], И^-» 0. Следова-
Следовательно, 1/1.-*0.
С 14 поступаем аналогичным образом. Пишем
( ДР оо\ т+Р
Zj -Г Zl ~Г Zl am Zi ?п = ^ -f" Va -f"
P+l P+r, ДР/ п=т—Р
где Д >-2. Здесь
ДР
равномерно относительно Р, а для Va и v4 верно полученное выше
соответственно, для v[ и VT. Следовательно, К2—>0, чем доказа-
доказательство и завершается.
После § 10.12 ясно, что и для произведений Лорана имеется соответ-
соответствующая, теорема; а именно: если ат = О(.—А, Ьп = о(-.—А а А и В
неограниченно сходятся, то произведение Лорана С этих рядов огра-
ограниченно сходится к АВ. Это утверждение станет неверным, если „неогра-
„неограниченно" или „ограниченно" поместить одновременно и в предположении и
в заключении. Так, если
1 .. = I
а>« ~ (т + 2)i-«о {log (от + 2)}Р ' " B - л)!+»е {log B — п)}?'
где с > 0, 0 < р < -^ > при /и>0 и п<0, и ат = Ьп = 0 при m < 0 и и>0,
то предположения выполняются с „неограниченно", но | Ср 01 > H(\og PI-2?,
так что С не будет неограниченно сходящимся. Если же а0 = й0 = 0 и ат =
— Ьт — — для т ф 0, то предположения выполнены для „ограниченно"

304 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
1 2
и А — В — 0; однако с„ = — -^тс2 и ср = ?_р = ^ для р zp. 0, так что С
сходится (абсолютно) к —п-фАВ.
Имеется также теорема, аналогичная теореме 173; а именно
Теорема 195. Если А и В ограниченно сходятся и
то произведение Фурье С сходится к АВ.
Доказательство предоставляем читателю.
10.15. Аналог теоремы Абеля. Естественно задаться вопросом,
имеется ли аналог абелевой теоремы 162, т. е.
A) будет ли из неограниченной сходимости рядов А, В и их
произведения Лорана С необходимо следовать, что С = АВ *);
B) будет ли из ограниченной сходимости рядов А, В и сходи-
сходимости их произведения Фурье С следовать, что С = АВ.
Однако С. М. Эдмондс построила пример, показывающий, что оба
вопроса решаются отрицательно **). В этом примере
при т > 0,
3 ^ -7 ^
m* bn = a_n,
О при т <; 0,
так что Л = 5 = 2+ з— > произведение Лорана сходится к
тТ
А2-\-2, а произведение Фурье — к 48-f-l.
Никаких действительно простых аналогов теоремы Чезаро, даже
для г = s = 0, не существует.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ X
§ 10.2. Теорему 160 впервые явно сформулировал и удовлетворительно
доказал Коши, 1. с. в примечании к § 1.1, 147.
Теорему 161 доказал Мертенс, JM, 73 A875), 182—184. Замечание отри-
отрицательного характера, следующее за доказательством, принадлежит Шуру
A. с. в примечании к § 3.2).- Я провел доказательство способом, подсказан-
подсказанным мне С. М. Эдмондс, и по аналогичному плану построил доказательства
теорем 167, ISO и 191.
Теорема 162 содержится в мемуаре Абеля о биномиальном ряде, JM, 1
A826), 311—339 C17-318) [{fleuvres A), изд. 2 A881), 219-250 B26)].
*) Второй пример § 10.14 показывает, что когда А и В только ограни-
ограниченно сходятся, то их произведение Лорана С может сходиться, и даже
абсолютно, к сумме, отличной от АВ.
**) Она рассматривала только произведения Лорана; однако утверждение
относительно произведений Фурье вытекает отсюда как простое следствие.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. X 305
§ 10.3. Cesaro, BSM B), 14 A890), 114—120, доказал теорему 164 для
целых г и s. На остальные значения г п s эту теорему распространили не-
независимо друг от друга Кнопп и Чэпмен A. с. в примечании к § 5.5).
Теорему 167 доказали, для целых г, Hardy and Littlewood, PLMS B), 11
A912), 411—478 (теорема 35), и для общих г Hardy and Riesz, 65 (где она
распространена на умножение Дирихле). Теорема для целых г содержится
в более общей теореме, несколько раньше опубликованной Fekete, МТЕ, 29
A911), 719—726, и утверждающей, что если г тл s целые, А абсолютно сумми-
суммируем (С, г) и В суммируем (С, s), то С суммируем (С, г + s). В свою очередь,
эту теорему распространил на общие г и s Kogbetliantz, BSM B), 49 A925),
234—256; см. также Winn, PEMS B), 3 A933), 173—178. По поводу понятия
абсолютной суммируемости см. примечание к §§ 6.5—6.6.
§ 10.4. Теорема 169 была впервые доказана Hardy, PLMS B), 6 A908),
410—423; с тех пор она обобщалась и ее доказательство упрощалось рядом
авторов.
Автором теоремы 170 является Neder, там же, 23 A923), 172—184
(только у ' Недера было ч\ — С = irx)- Изложенное здесь доказательство
следует Hardy, PCPS, 40 A944), 251—252. Вспомогательные теоремы, а также
обобщения в различных направлениях можно найти в следующих работах:
Hardy, PLMS B), 10 A912), 396—405, и JLMS, 2 A927), 169—171;
Rosenblatt, BAP A913), 603—631, и DMV, 23 A914), 80—84;
Landau, DMV, 29 A920), 238;
Broderick, PLMS B), 19 A921), 57—74, и 22 A923), 468—482.
Некоторые из обобщений, содержащихся в этих работах, относятся
к умножению Дирихле (§ 10.11).
В первой из указанных двух работ Розенблат доказывает, что если А
суммируем „(С, г) и В суммируем (С, s), где г > 0, s > 0, и
Л;-1 = О (т—1), В3-1 = О (п*~\
то С суммируем (С, r-\-s). Это утверждение при r = s = Q приводится
к утверждению теоремы 169, причем А~1 и В~1 нужно истолковывать как
ат и Ьп. Однако это (как подсказывается доказательством теоремы 169
в нашем тексте) не есть еще наилучший результат. Действительно, А, будучи
ограниченным (С, г—1) и суммируемым (С, г), по теореме 70 суммируем
(С, г—1+8), и аналогично В суммируем (С, s —1 + 8). Следовательно,
в силу теоремы 164 С суммируем (С, r + s— 1 +28), т. е. во всяком случае
чезаровскими средними любого порядка, большего чем r+s—1.
Харди и Литтльвуд, 1. с. в примечании к § 10.3 D64—466), показали, что
для любых чисел аир, меньших чем 1, существуют сходящиеся ряды А к В
с ат= О (-—) и Ьп = О (—7г), произведение которых расходится.
\та/ \np/
§ 10.5. Теорему 173 (с обобщением на умножение Дирихле) доказали
Hardy and Littlewood, MM, 43 A914), 134—147 A37).
§ 10.6. Pringsheim, MA, 21 A883), 327—378 C60—371). Изложенное Здесь
доказательство, более простое, чем прингсгеймовское, предложил Харди
в первой из работ, упомянутых в примечании к § 10.4. См. также Bromwich,
94—95.
§ 10.7. Теоремы этого рода впервые рассматривал Rajchmann, Comptes
rendus Soc. Sc. de Varsovie, 11 A918), 115—152; см. Zygmund, MZ, 24 A926),
47—104 (особенно 48—65). Мы усилили условия. Райхман и Зигмунд рас-
рассматривают ряды, бесконечные в обоих направлениях; см. § 10.14.
§ 10.8. Bohr, Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs
Forhandlinger A908), 213—232, доказал теоремы 178, 179 и 180, а также
случай r — s — Q теоремы 181. Чэпмен, !. с. в примечании к § 5.5, доказал
теорему 181 в общем виде.
20 За*. 2199. Г. Харда

306 УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ [ГЛ. X
§ 10.9. Knopp, MZ, 18 A923), 125—156 A30—131), доказывает теорему,
которая в соединении с его теоремами, приведенными в § 8.3, дает содер-
содержание рассматриваемых здесь теорем.
§ 10.10. Borel, 131—135, доказывает, что произведение двух рядов, абсо-
абсолютно суммируемых в его смысле (т. е. регулярно суммируемых по терми-
терминологии, принятой нами в § 8.6), абсолютно суммируемо. Hardy, QJM, 35
A903), 22—66, доказывает теорему 189 и часть теоремы 188, а именно, что С
суммируем, если А абсолютно суммируем в смысле Бореля.
Автором теоремы 187, по существу, является Doetsch, Dissertation, Гёт-
тинген, 1920. Дэтш работает в терминах „экспоненциального" определения,
говоря, что А суммируем (В, k), если е~хА (х)-+А (С, k), и доказывает, что
из 2 ат = А (В, г) и 2 ьп = в (в- s) следует ^ср = АВ (В, г+ s+ 1).
В частности, суммируемость (В) рядов А и В влечет суммируемость (В, 1)
произведения С. Легко доказать, что утверждения
ао + а1+ ...=А (В, 1) и а1 + а2+...=А—а0 (В'; С, 1)
равносильны, и вывести отсюда, что теорема 187 равносильна случаю
r = s = 0 Дэтша.
Sannia, RP, 42 A917), 303—322, обобщает эти определения в различных
направлениях; но его заключения об умножении рядов не верны.
§ 10.11. Автором теоремы 190 является Stieltjes, NA C), 6 A887),
210—215. Много примеров применения этой теоремы можно найти у Landau,
Handbuch, 673 и след.; см! также Ramanujan, TCPS, 22 A918), 259—276
(Collected papers, no. 21).
Более полные сведения об умножении Дирихле можно найти в книге
Hardy and Riesz, гл. 8; Landau, RP, 24 A907), 81—160, и Handbuch, 750—767;
а также в работах, указанных в примечании к § 10.4.
Особенно замечательна теорема, что если Xm = log m,\>.n — logn.v^, = \ogp,
то сходимость рядов А и В влечет сходимость ряда 2 —7= • Ее формули-
Yp ¦
ровал без доказательства Стилтьес и доказал Ландау, 1. с. выше. Landau,
RP, 26 A908), 169—302 B65—266) доказал, что ряд 2  не обязан схо-
сходиться для всех положительных s, a Bohr, WS, 119 A910), 1391—1397, — что
показатель s = -=- нельзя заменить никаким меньшим числом.
§§ 10.12—10.13. Вопрос об умножении рядов, бесконечных в обоих на-
направлениях, впервые рассматривал Chapman, QJM, 44 A913), 219—233 (для
умножения Лорана). Он доказывает теорему 191.
§ 10.14. Первыми теоремами типа теоремы 193 были теоремы Райхмана
и Зигмунда: см. примечание к § 10.7. Остальные теоремы этого параграфа
упоминаются у С. М. Эдмондс, 1. с. ниже, но до этого нигде не публикова-
публиковались.
§ 10.15. S. M. Edmonds, JLMS, 17 A942), 65—70.

Глава XI
ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ
11.1. Преобразование 3. В этой главе мы будем рассматривать
класс преобразований, охватывающий ряд преобразований, изученных
в прежних главах, и, в частности, преобразования Чезаро, Гёльдера
и Эйлера. Теория этих преобразований будет опираться на свойства
'специального преобразования
= д'%= 2 (-1)»
и=0
(ила)
или, в символической записи,
A1.1.2) t=bs.
Матрицу этого преобразования
A1.1.3)
мы будем обозначать через | 81.
Теорема 196. 8 обратно самому себе: если t=bs, то s = o/.
Таким образом, 58 = 1, где I — тождественное преобразование
Действительно, если tm определено формулой A1.1.1), то, при-
принимая во внимание, что
имеем
я = о
т т
n—p
in m—p
20*

308 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
поскольку внутренняя сумма в последней строке равна 1 при р =т
и 0 при р фт*).
Из формул § 1.3 D)**) вытекает, что если
У х i \ — 'V 11 \ X1
то
Как показывает теорема 196, отсюда следует, что (как можно прове-
проверить и непосредственно) A—x)t(x) — s(y). Мы видели в § 9.6
также, что если
ш = уМ! Т(х)^- У tnXn
^W — 2а п\ ' i Ух>— 2а п[ >
то е-00 s (х) = Т( — л:); а тогда теорема 196 показывает, что это
равносильно тождеству е-х Т(х) = 5 (— х) (которое снова можно
непосредственно проверить).
11.2. Выражение преобразований (Е, q) и (С, 1) через 5.
(Е, q)-средние от sn были определены формулой
а согласно формуле (8.3.5)
Поэтому, полагая A.ns0 = ип, Д% = vn и обозначая диагональное пре-
преобразование t'm = \>.msm через (а, будем иметь /=5г», v = \j.u, u — bs
и, следовательно,
A1.2.1) t==ls,
где
A1.2.2) Х = 5[а8,
Пусть теперь ^т есть (С, 1)-среднее от sn, так что
•) Символически: /„ = A-Я)%, Д% = {1 — A - ?)}»% = ?'% = ««,¦
'*) Если в них переменить знак у х и заменить а№ и Ьп соответственно
на (— l)nsn н tn.

11.3] ОБЩЕЕ ХАУСДОРФОВСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 309
Тогда
fc=0 1=0 1=0
где
Но эта сумма, расположенная от / = л в обратном порядке, равна
л + 1 г W л тдгУя —1 •••; —
где ряд справа обрывается на (я—/—[— 1)-м члене. Поэтому
Таким образом,
и мы снова видим, что рассматриваемое преобразование может быть
представлено в виде A1.2.2), где, однако, теперь
A1.2.4) Рл !
11.3. Общее хаусдорфовское преобразование. Мы будем назы-
называть преобразование
A1.3.1) / = (8[A8)s = Xs,
где (i. — произвольное диагональное преобразование, хаусдорфовским
или §-преобразованием, а его матрицу — ^-матрицей. Таким образом,
преобразования (Е, q) и (С, 1) являются ^-преобразованиями. § или
0Ь> V-) будет в дальнейшем обозначать преобразование, а | ф | или
1 ф, [л ] — его матрицу.
Если § = 8[i8 и Ф/ = 8!а'8, то
•) Сумма первых р коэффициентов в разложении для A—х)п~^1 равна
р-му коэффициенту в разложении для A —х)п.

310 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Итак:
Теорема 197. Любые два $-преобразования перестановочны.
Обратно, пусть у = 8^.8—какое-нибудь заданное ^-преобразование,
у которого все числа \in различны, и к— любое преобразование,
перестановочное с f- Если со = 8ЛЗ, то Х = 8со8. Точно так же и
[л = S-fS. Поэтому
«в|л == 8XS S^S = 8Xf8, jxco = 8f 8 8X8 =
и так как, по предположению ку = ук, то
A1.3.2) сор. = [|,(о.
Пусть теперь преобразование ш имеет вид
'ю == Zi ст,п Sw
Тогда из A1.3.2) следует, что
Zl cm,nV-nsn — IV Zi cm,nsn
при любом выборе чисел sn; а так как у.тф.у.п при тф.п, то это
означает, что cm>n = 0 при тфп. Таким образом, со есть диаго-
диагональное преобразование, и, значит, Х = 8(о8 есть ^-преобразование.
Преобразование (С, 1) удовлетворяет условиям, наложенным на -?•
Отсюда
Теорема 198. Класс ^-преобразований совпадает с классом всех
преобразований, перестановочных с преобразованием (С, 1) {или
любым другим ^-преобразованием, у которого все [>.„ различны).
Коэффициенты любого ^-преобразования легко выражаются через
его числа \in. Действительно, полагая, как в § 11.2, Ans0 = un,
A'40 — vn, имеем t=bv, т. е.
т т
га=0 р=0 р=0
где
Kn-p)rn-
т—р
ft=O

11.4] ОБЩИЕ ГЁЛЬДЕРОВСКИЕ И ЧЕЗАРОВСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 311
Таким образом, заменяя л на —р, получаем
Итак:
Теорема 199. Общее ^-преобразование есть преобразование
вида
(П.3.3) /,„ = 2*m,nSfi,
где
\m-»jj,n нрн П ^т,
A1.3.4)
О яри я > пи
Мы будем пользоваться дальше обозначением
A1.3.5) jin,p == Лр(хл;
таким образом,
@<и<т)
11.4. Общие гёльдеровские и чезаровские преобразования, как
^-преобразования. Будем обозначать преобразования (Н, k) и (С, k),
как в § 5.9, через Hte) и С(А:), причем вместо НA) и СA) будем писать
Н и С; пока что Hto определено только для k = 0, 1, 2, ..., причем
Н(;с) = №, т. е. Н(;с) есть результат ^-кратного применения преобра-
преобразования Н.
Если X = Sjj-S и Х' = 8^Я то
это показывает, что Н«) есть ^-преобразование, для которого
_ 1
*» — (я + 1)**
С другой стороны, вовсе не очевидно, что С1-^ есть ф-преобразование
даже для целого k. Покажем, что это, тем не менеее, так, и найдем
соответствующие ji.n.
Действительно, в этом случае
т+ ¦ =о
k__l Jsn

312 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
где
n
(n-g)(n
(n — g) (/г— g — 1) (/t -j-
^ — 1) \_
—2) "•)
Поэтому
/n+*\
n+k\
к )
v I n + fc\
\ k )(
т. е, рассматриваемое преобразование есть ф-преобразование с
Итак:
Теорема 200. Преобразования Н№ и С№) являются ^-пре-
^-преобразованиями соответственно с
I )
*) В силу формулы Гаусса для суммы гипергеометрического ряда
F(a, p; y; 1) и тождества Г (Зг) Г A—х) = я cosec nx. При этих вычислениях
удобно предполагать k нецелым.
**) Это — формула (9.6.9); но данное там доказательство было не столь
непосредственным.

11.5] УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 313
Теорема 200 доказана для всех k, для которых были определены
гёльдеровские и чезаровские средние, т. е. для ft = 0, 1, 2, ... в пер-
первом случае и ft > — 1 во втором. Она естественно подсказывает опре-
определение H(fc) для нецелых k, как ^-преобразования с jin = a .
Мы увидим позже (§ 11.11), что рассматриваемые две системы сред-
средних будут тогда равносильны для всех &> — 1.
11.6. Условия регулярности вещественных хаусдорфовских пре-
преобразований. Для регулярности преобразования
A1.5.1) 4» = 2ст,А
согласно теореме 2 необходимо и достаточно, A) чтобы
\il.O.J.) -[т— _?, | CmiH | <^ А,
п
где К не зависит от т; B) чтобы
A1.5.3) ст>п-+0
при т -* оо для каждого п и C) чтобы
A1.5.4) ст = ^ст>п->\
п
при т -> оо. Нам нужно теперь перевести эти условия для ?>-пре-
образования на язык чисел рп. Мы будем предполагать \in веще-
вещественными.
Если sn=l для всех п, то и^^А^о и vn = ^nun равны соот-
соответственно 1 и |л0 для п = 0 и 0 для п > 0, так что tn = Апо0 =» Ро
для всех п. Поэтому
п=0
(что, конечно, можно проверить и непосредственно)*), и A1.5.4)
приводится к
A1.5.6) jio=l.
*) Например:
) Дт~^ 2 (

314 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Таким образом, условия A1.5.2), A1.5.3) и A1.5.4) сводятся к сле-
следующим:
т
A1.5.8) (")l4»-»-^° («-0,1,...),
A1.5.9) jio=l.
Перейдем теперь к выяснению смысла условия A1.5.7). Мы покажем,
что при его выполнении условию A1.5.8) можно придать более про-
простой вид.
11.6. Абсолютно монотонные последовательности. В этом и
последующих параграфах мы будем рассматривать только веществен-
вещественные последовательности. Последовательность (срга) будем называть абсо-
абсолютно монотонной*), если
для я = 0, 1,... и р = 0, 1,... Так,
А? 1 El
и, значит, числа рп, соответствующие преобразованию (С, 1), образуют
абсолютно монотонную последовательность. Если \in — абсолютно мо-
монотонная последовательность, то ^„,т_га = Д™""™^»^-0, и "в силу
равенства A1.5.5)
(п.6.2) Mm =
так что условие A1.5.7) заведомо выполнено. Аналогия с теорией
функций или последовательностей с ограниченным изменением (кото-
(которая окажется более тесной, чем представляется на первый взгляд)
подсказывает тогда, что должна быть справедлива
Теорема 201. Для того чтобы вещественная последователь-
последовательность \ьп удовлетворяла условию A1.5.7), необходимо и доста-
достаточно, чтобы
A1.6.3) Ий = «„-Р»,
где ап и р„— абсолютно монотонные последовательности.
Из сказанного выше очевидно, что условие достаточно. Таким
образом, остается доказать его необходимость.
*) Быть может, точнее было бы говорить „абсолютно убывающей".
Последовательность же вроде (<р„) = (еп), для которой &Руп имеет знак (—\)Р,
можно было бы назвать .абсолютно возрастающей".

11.6] АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 315
Будем писать (Еип = ип+1) и
Тогда
и
/1"J f% Ci\ | |f <-f ii 1 - (i -¦ - I p i i n.\ !_?. I
\ *¦ *\J*xj i | [*j yj ~<^. | [""«4-1 fl | [ rW-tjO + 1 I ' ' ' \ 1 1 2/ I ifttf) I*
Полагая
TO TO
/-11 ft r\ V/'w\ * _ V^M.i i
(ll.D.DJ [*И)«,щ = 7,1 r ) ^и+с.р+ш-)-» V"n,ptm — 7j I r ) rn-ir,p+m -r\
и принимая во внимание A1.6.4) и A1.6.5), имеем
Далее, в силу условия A1.5.7)
(П.6.9)
Но в силу A1.6.5)
так что [i* возрастает вместе с от. Далее,
n+p
y=0
в силу условия A1.5.7). Следовательно, v*npm при от->оо стремится
к предел
(П.6.10)
vnpm
к пределу

316 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Но согласно A1.6.7) и A1.6.8) | ^ | = | Крт |< ^^ следо-
следовательно,
AL6-») ?n,f<V-:,P
В частности,
A1.6.12) l^i = l^.oi<^,o=V
Далее, согласно A1.6.8)
и, значит,
¦¦ft -ft ^
^я,р + ],т ^n.p.w+l ^n + l.p.m'
Отсюда в пределе при т -*¦ оо
и, значит, {1* =ДР1х*0 =Д^]х*. Таким образом,
Окончательно, полагая
а» = \ К + Р„). Я, = j (^ — I*»).
имеем
и теорема доказана.
11.7. Окончательный вид условий регулярности. Примем те-
теперь, что условие A1.5.7) выполнено, и используем его для упрощения
условия A1.5.8). Мы докажем, что при п. > 0 A1.5.7) влечет A1.5.8),
Если же я = 0, то A1.5.8) принимает вид
A1.7.1)
и это соотношение, не вытекающее из A1.5.7), следует сохранить
в качестве отдельного условия.
Как мы видели, последовательность, удовлетворяющая условию
A1.5.7), есть разность двух абсолютно монотонных последователь-
последовательностей. Поэтому достаточно доказать, что
(П.7.2) Хт(й
когда я>0 и ((iw) абсолютно монотонна (так что Xm,n:^0). Из
A1.3.5) и A1.3.6) следует, что
Рп,т—п =\>1>,т—п + 1 Ч

11.7] ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ВИД УСЛОВИЙ РЕГУЛЯРНОСТИ 317
или
(от + 1) (\т>п — Xm+i>n) = (я -f I) Am+i,n+i — nkm+hn.
Суммируя по я и полагая
получаем
A1.7,3) (ОТ -f 1) (Ат,п — A» + i,n ) = (Я+ 1) Ът + 1,п + 1 > 0.
Следовательно, Amitl при возрастании от убывает и при т -> оо стре-
стремится к пределу. Поэтому и Am,n==Am,n — Лт,„_1 стремится к неко-
некоторому пределу 1п. В частности, Хт,0 = Ает,0 -> /0. Далее, в силу
A1.7.3) при «^0 и от->оо имеем
Pm === Am>« Am_j-l,n'~--' ^ | 'n+i,
и.так как ряд 2pm сходится, то /га+1 = 0. Итак, мы показали, что
A1.7.4) Хт,0^/0,
(И.7.5)
Таким образом, соотношение A1.7.5), совпадающее с A1.5.8) для
«>0, есть следствие условия A1.5.7). Однако из A1.5.7) не выте-
вытекает еще, что /0 = 0, и это условие, т. е. условие A1.7.1), необхо-
необходимо сохранить. Например, последовательность 1, 0, 0, ... абсо-
абсолютно монотонна, но у нее Дт!л0 = 1 для всех от.
В итоге, нами доказана
Теорема 202. Для регулярности преобразования (§, jj.) не-
необходимо и достаточно, чтобы (\in) была разностью двух абсо-
абсолютно монотонных последовательностей, чтобы
A1.7.6) А«|*о-».0
и чтобы
A1.-7.7) ^ = 1.
Важно выделить, что здесь вытекает из одного главного условия
A1.5.7), без двух дополнительных „нормирующих" условий. Мы
имеем тогда
и 2 ст,п — Y-q Для всех т- Таким образом, выполнены условия тео-
теоремы 1 с
Преобразование сохраняет сходимость (принадлежит классу Jc), и
tm-
когда sn-+s.

318 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Условие 10 = О исключает, например, последовательность 1, 0, 0, ...,
тогда как условие ja0 = 1 исключает последовательность 2, 2, 2, ... Оба
исключают последовательность 2, 1, 1, ... Преобразование, определенное
второю из этих последовательностей, становится регулярным (а именно
тождественным), если все р.я поделить на 2. Для третьей Дт[±0 равно 2 при
т = 0 и 1 при mj>0; преобразование становится регулярным, если ц0 умень-
уменьшить на 1. Значение указанных дополнительных условий станет яснее после
теоремы Хаусдорфа об интегральном представлении для \хн.
11.8. Моменты. Мы называем
1
A1.8.1) Ш,=
где у — х (х) есть вещественная функция с ограниченным изменением
на отрезке 0<^x<;i, моментом, порядка я, функции у. Без огра-
ограничения общности можно предполагать, что
A1.8.2) -/_@)==0.
Если также
A1.8.3) Z(l) = l
и
A1.8.4)
так что х (х) непрерывна в начале, то мы будет называть р„ регу-
регулярным моментом.
Если у (х) — возрастающая функция, то
= A*Vn = J X"A —xf dx>0 **),
так что [ая образуют абсолютно монотонную последовательность.
Вообще, обозначая через Р (х) и N(x) положительное и отрицательное
изменения функции ^ @ на отрезке [0, х], имеем у (х) = Р (х) — iV(x) и
— [xndN=an —-pn,
где (ай) и (Р„) абсолютно монотонны.
Функция у (х) может обладать счетным множеством точек разрыва.
Но значение интеграла A1.8.1) не меняется ни при каком изменении
*) Для сохранения непрерывности функция л° при х = 0 считается
1
равной 1. Таким образом, [10 = Г dy.
о
**) Здесь интегралы с неуказанными пределами берутся от 0 до 1.

11.8] моменты 319
значения х (х) в любой точке разрыва, лежащей внутри интервала @, 1).
Поэтому можно, в частности, предполагать, что
A1.8.5) г (х) = i \t (x -0) + Х (х + 0)}
для 0 <:х < 1; в этом случае мы будем говорить, что функция х (x)
имеет только нормальные разрывы. Тогда выражение чисел [лга в виде
моментов, если оно возможно, будет единственным. Это вытекает из
следующего предложения:
Теорема 203. Если
где уЛ и у2 — функции с ограниченным изменением, обращаю-
обращающиеся в начале в нуль и имеющие лишь нормальные разрывы, то
у j = Ха. для всех х.
Достаточно показать, что если
A1.8.6) Jx^x=° (« = 0,1,2,...),
^@) = 0 и у (х) удовлетворяет условию A1.8.5), то ^(х) = 0 для
всех х. Из A1.8.6) при я = 0 следует, что уA) = 0. Поэтому,
интегрируя по частям, получаем
я [ x»-i/ (х) dx = 0 («=1,2,...),
так что Г хпу_(х)dx = 0 для всех п^О. А положив
*(*) =
о
и проинтегрировав по частям, мы получим, что
A1.8.7) jx^{x)dx = 0 (я = 0, 1, 2, ...)•¦
Так как ty(x) непрерывна, то существует такой многочлен Q(x), что
I Ф — Q|<s Для 0<х<1. Тогда в силу A1.8.7)
для
J f^x = j^Qdx-t- J ^ й — Q) dx = J ф(ф — Q) rfx < s J | ф| <
и, значит, ввиду произвольности e, I t|/2dx = 0. Отсюда <{< = 0
веек х и, следовательно, )С = 0 во всех своих точках непрерывности.
Так как эти точки плотны на интервале @, 1), a i(x — 0) и х (* + 0)
существуют для каждого х, то заключаем, что у (х — 0) = X (х -J- 0) = 0.
А тогда в силу A1.8.5) и i(x) = 0.

320 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. X
Переведем теперь условия A1.8.3) и A1.8.4) на язык чисел рп.
Прежде всего ясно, что A1.8.3) равносильно условию цо=1, т. е.
A1.7.7). Далее,
Ди>а0 = ( A — x)mdP, Д™р0 = Г A — xY dN
неотрицательны и при возрастании от убывают, так что
Д»»<х0-> а > 0, Д™р0->?>0, Д»>0-*а — Ь.
Выберем t\ так, чтобы 0 < ч\ < 1 и Р (fi)< P(-{- 0) -\~г. Тогда
— t\)
для достаточно больших т, так что a
Так как, с другой стороны,
А%
>A — in)* J dP = A —
для т)<т)(е, от), то Д™ао>/)(-1-0), и, следовательно, a!>.P(-j-O).
Таким образом, а = Р(-\-0), и аналогично 6 = ^V(-f-0). Отсюда
следует, что
в частности, условие A1.8.4) равносильно условию A1.7.6).
В итоге мы доказали следующее:
Теорема 204. Каждая последовательность моментов \хп
является разностью двух абсолютно монотонных последователь-
последовательностей. При этом моменты, возрастающей функции •% абсолютно
монотонны.
Теорема 205. Для того чтобы моменты [хга удовлетворяли
условиям теоремы 202 и тем самым определяли регулярное ^-пре-
^-преобразование (§, [х), необходимо и достаточно, чтобы они были
регулярны.
11.9. Теорема Хаусдорфа. Мы докажем теперь фундаментальную
теорему Хаусдорфа, показывающую, что утверждения теоремы 204
обратимы.
Теорема 206. Если (jxn) есть разность двух абсолютно моно-
монотонных последовательностей («„) и (|3„), то |д.й есть момент.

11.9] ТЕОРЕМА ХАУСДОРФА 321
После сказанного в § 11.8, очевидно, достаточно доказать сле-
следующее предложение:
Теорема 207. Если (ц„) абсолютно монотонна, торп~ I xn d^,
где у (х) — возрастающая ограниченная функция от х.
Доказательство опирается на следующую важную общую теорему
Хелли: если %q (x) есть последовательность возрастающих функций
от х, равномерно ограниченная на отрезке 0-^x^1, то существуют
ограниченная возрастающая функция у (*) и подпоследовательность (qt)
значений q такие, что Хд (х) -*¦ X (х)> когда #-> оо, пробегая (д{).
Определим функцию у3 (х) так:
Хв@) = 0, Х,(х)= V Х3K=
Тогда Xg W возрастает вместе с х, и так как формула A1.5.5)
показывает, что /^ A) = fi0, то х3 (•*) равномерно ограничены.
Имеем
Р-о = Х3 A) ~Х3 @) = lim {7gi A) — 7gf @)} = х A) — х @) = J* rfX.
Далее, при п > 0
2—«
для всех q^ п. Последнее выражение можно представить в виде
k\{q-n — k)\ q~\
k\q\
__ y (q—n)\s\/' q
(s—l)... (s — n
8=0
(все добавочные члены равны нулю).
21 За*. 2499. Г. Харда

322 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Разобьем отрезок [0, 1] точками хо — О, xv ..., xr_v xr=-\,
будем считать q столь большим, что qxt > n, и положим
Sl =
так что
Так как
TO
=\) .. . (q _ я + 1) 1Ы*1 + 1> I
l
Следовательно, прежде всего,
г —1 г—1
Отсюда, беря q-+co по надлежащим образом выбранной последо-
последовательности (#j), получаем
Нижнюю границу для рп даст аналогичным образом первое из нера-
неравенств A1.9.1); таким образом,
Г—1 Г—1
Но при стремлении г к бесконечности и длины наибольшего из интер-
интервалов (л"г, x!+1) к нулю обе суммы, входящие в A1.9.2), имеют своим
пределом интеграл Стильтьеса I xndy. Следовательно, [>-„= I xnd/.
*) При />0 это очевидно. Если же / = 0, то первое выражение в A1.9.1)
равно нулю, тогда как члены, образующие второе выражение, при s<n—1
равны нулю, а при s^> п— 1 неотрицательны и не превосходят соответствую-
соответствующих членов третьего выражения, остальные члены которого также неотрица-
неотрицательны.

11.9] ТЕОРЕМА ХАУСДОРФА 323
Этот интеграл не меняется ни при каком изменении значений функ-
функции ^ в ее точках разрыва, лежащих внутри интервала (О, 1). Поэтому
мы можем предполагать их выбранными так; чтобы все эти разрывы
были нормальными.
Наши результаты можно теперь резюмировать следующим образом:
Теорема 208. (I) Для того чтобы преобразование (§, ft) было
регулярным ^-преобразованием, необходимо и достаточно, чтобы \ьп
были регулярными моментами. (II) Для того чтобы преобразо-
преобразование ($, (х) сохраняло сходимость, необходимо и достаточно,
чтобы \>.п были моментами.
В общем случае изменение функции iq (t) на отрезке [0, х] выра-
выражается так:
а изменением функции у (t) = lim yq (t) на отрезке [0, х] служит
V(jc)=lim Vq (х). В самом деле, легко показать, что при 0 -^ а < b ^ 1
ь ь
а
С Другой же стороны,
1 9
)(|
8=0 8=0 0
1 3 1
{}
Функции Vq и V образованы из ||i.8,g_B| так же, как yq и у^ обра-
образованы из рв g. Таким образом, V соответствует числам [л* из
§11.6, а х — числам р..Л, и
Любое выражение функции •/ в виде разности у = Ь — © двух воз-
возрастающих функций соответствует выражению чисел [хя в виде раз-
разностей !*в = р„ — ои чисел, образующих две абсолютно монотонные
последовательности. Разложение у —Р — -/V есть „наименьшее" в том
смысле, что в=Р-|-а>, <р = Л^-|-а>, где ш — возрастающая функция.
Разложение же {*„ = ап— рп есть также „наименьшее" — в том смысле,
что компоненты рн и ои любого другого разложения представимы
в виде ри = а„ + С„, <з№ = р„+!;и, где С„ — абсолютно монотонная
последовательность.
21*

324 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Поучительно рассмотреть, как строятся функции х> на нескольких простых
примерах.
(I) Если |АП= 1 для всех п, то 1рв =0 для s<p и 1 для s=p; тогда
Х? = 0 для 0 ¦< х < 1 и 1 при х = 1 для каждого q; значит, и х есть та же
функция.
(II) Если (^п=
X _, Р\ AP-s 1 =. Р^ (p—S)\s\_ 1
Р>* sl(p — s)l s+1 s\(p — s)\ (p + 1)! ~p +
для 0<s<p, и
Предельная функция у равна *.
(Ill) Если
1
k J
где й>0, то прямое вычисление дает;
(IV) Если (xn = я», где 0 < я < 1, то v
(
О < в < ga>
Из моремы 138 следует, что х — 0 для 0<je<e и 1 для <<
Иногда оказывается удобным *) чуть изменить определение функций х? (•*)•
Мы определяли ха(х) как ступенчатую функцию, имеющую скачок Л? г
й точке х = —. Исключим теперь разрывы, соединяя вершины графика прямо-
прямолинейными отрезками. Это даст функцию Xq (x), непрерывную всюду, кроме,
возможно, точки х = 0, где оиа имеет скачок \q0, и обладающую для
Г 'Li 1 Л*
*-<*<— производной q\f Очевидно, и Х3 (л) ^>-/(•*)•
11.10. Включение и равносильность ф-методов. Общий вопрос
о включении или „относительной мощности" двух ф-методов труден;
его решение, выполненное почти всецело Рогозинским и Фуксом, опи-
опирается на исследование связанного с рассматриваемыми методами
•) См., например, § 11.16.

10.10J ВКЛЮЧЕНИЕ И РАВНОСИЛЬНОСТЬ ф-МЕТОДОВ 325
„преобразования Меллина" М(г)= Г &d%(f) для комплексных г.
Вопрос значительно упрощается, если моменты рп и [% для рассматри-
рассматриваемых методов не обращаются в нуль ни для какого я. Мы и огра-
ограничимся этим случаем, в котором решение может быть очень просто
сформулировано в терминах самих \>.п и |% *).
Итак, во всем дальнейшем мы будем предполагать, что
A1.10.1) цп^:0, ^0 (« = 0, 1, 2, ...)•
Пусть X = 8}i8, )/ = 8[а'8 — наши преобразования. Тогда
81 § . X = 8 - 8 . 8и.8 = 8 i aS = 88 = I.
Таким образом,
X = 8 —8, A' = Su/S, X'X-1 = 8a'8-S-8 = 8-8,
r
так что Х'Х есть ^-преобразование, с числами —. Но для того,
чтобы (§, ]х) включало (ф, [i), необходимо и достаточно, чтобы
из \s-+l следовало X's — X'X (ks) ->/, т. е. чтобы метод АО." был
регулярен. А это имеет место тогда и только тогда, когда — есть
V-n
регулярный момент. Итак:
Теорема 209. Пусть (?>, р) и (ф, р,') — два регулярных
^-метода, удовлетворяющих условию A1.10.1). Тогда для того,
чтобы {$, fj/) включал (ф, [л), необходимо и достаточно, чтобы —
регулярным моментом. Для того же, чтобы эти методы
была равносильны, необходимо и достаточно, чтобы — и -?
регулярными моментами. В частности, для того чтобы ме-
метод (|>, fi.) был равносилен тоэюдественному, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ]хга и — одновременно были регулярными моментами.
*) Если регулярные методы (§, ц) и (ф, fj/) оба суммируют данный ряд,
то суммы необходимо совпадают. В самом деле, если tm = $sn, t'm = §'sn
являются средними для sn, соответствующими рассматриваемым двум мето-
методам, и fm->s, tm->s , то, по теореме 197, &'tm = !gt'm- Но вследствие
регулярности этих методов © i*m -> s и §^ -> s'. Следовательно, s = s'.
Таким образом, любые два регулярных ф-метода „совместны" в смысле

326 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
В следующем параграфе мы применим теорему 209 к некоторым
важным частным случаям. При этом мы неоднократно будем опи-
опираться на следующую простую теорему:
Теорема 210. Суммы, разности и произведения моментов
снова являются моментами. Произведение двух регулярных мо-
моментов есть регулярный момент.
Утверждение относительно сумм и разностей очевидно, так что
нужно рассмотреть только произведения. Прежде всего
¦ А О А) = С„ Дрп + V» • V-'n+v
так что из Др[х„^0 и Ар\>.п^-0 вытекает ДР (pn\in) !> 0. Следова-
Следовательно, произведение двух абсолютно монотонных цп абсолютно моно-
монотонно.
Но если [ая и [iw — моменты, то
где ап, ... абсолютно монотонны. Следовательно, произведение двух
моментов есть момент.
Далее, если р.0=1 и jjo=1, to jj,o[ao=1-
Наконец, нам нужно еще показать, что из Д"У0 -> 0 и Дт]х0 —> О
следует Д (;iopo)-> 0, причем, очевидно, достаточно доказать "это
для абсолютно монотонных \хп и цп. Но
т Вт
Мы можем выбрать R так, чтобы для г > /? было Дгр0 < е, и, значит,
согласно A1.5.5)
т
f\ \«v—r ' '
а при фиксированном R, и т~> оо имеем Sj —> 0. Следовательно,
-¦• 0, чем и завершается доказательство теоремы *).
11.11. Теорема Мерсера и равносильность гёльдеровских и
чезаровских средних. \ = к' будет обозначать, что X и X' — равно-
равносильные .^-методы (ф, fi) и (ф, ft'). В частности, Х = 1 будет обо-
*) Можно было бы также воспользоваться теоремой 208,

11.11] ТЕОРЕМА МЕРСЕРА И РАВНОСИЛЬНОСТЬ СРЕДНИХ- 327
значать, что метод Я равносилен тождественному.-Очевидно, если X == I
для S=l, 2, .... г, то и ХA)Х(а) ... Х(г) = 1.
Если
<»•"•» <•.-#!-т+'тгртт
где а и J3 положительны, то либо ап, либо -g-— \in образуют абсо-
абсолютно монотонную последовательность, ц0 = 1 и Дт<х0 —> 0, так что
|х„ — регулярный момент. Так как то же верно и для —, то X = I.
Но преобразование
mas +A)
§ 5.9 есть ф-преобразование, для которого
так что \in и — являются регулярными моментами. Тем самым мы
получили новое доказательство теоремы Мерсера 51.
Если [1И ф О для всех п, а {% есть конечное произведение
(*» = Рп ТТ r6" T1 = V-n ТТ ^«S)'
1 '" л—Я- p,./Z -f~ i -^* *-
где а и р все положительны, так что X ^==1, то и — и ~ есть
регулярный момент, и X' = X. В частности, если
1 > 1 k\
/я + *
¦(л+
где & — положительное целое число, то
р'п 2п + 2 Зп + 3 kn + k
Й7,== я + 2 ' п + 3 ' ' " Т+Т '
и так как каждый множитель имеет вид A1.11.1), то Х'гзХ. Это
дает новое доказательство теоремы равносильности (теоремы 49).
В §§ 11.4 мы определили гёльдеровские средние нецелого по-
порядка; естественно возникает вопрос, можно ли соответственно рас-
распространить и теорему равносильности.
Теорема 211. Средние (С, k) и (Н, Щ для к > — 1 равно-
равносильны.

328 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Нам нужно доказать, что
ft)__ (я + 1)к и eft)_=_L==l_*_J
{ k ) Р"
являются регулярными моментами. Так как
р{*>
то достаточно доказать это для некоторого интервала s < k ^ s -f-1
значений &, где s^>—1; и так как для целых значений k утвержде-
утверждение теоремы уже доказано, то можно считать, что.0<&<1. Но
A1.11.2) P^(«
где
^k(k-l) f xn{x(l-x)k-*-(log±)k-2}dx,
так что чп есть момент. Так как (я-)- l)*—1 также есть момент, то
из A1.11.2) и теоремы 210 следует, что и р(^> является моментом.
Далее, pW = 1. Наконец, и„ есть момент абсолютно непрерывной
функции у, так что y(-f-O) = O и Дт#0->0; и то же верно для
(п-^-l)^-1. Поэтому Дтр№>->0, и pW есть регулярный момент. Дока-
Доказательство для oW аналогично.
Аналогичным образом можно доказать, что методы (С, к) и (Н, к) равно-
равносильны ф-методам соответственно с
а \*
)
для любых положительных k и а. Можно доказать также, что
( - +
и обратные к ним величины являются регулярными моментами, и тем самым
завершить доказательство теоремы, приведенной в примечании к § 5.8.
Небезинтересно также вычислить явные выражения для р^ и о^ как
моментов. Пусть, например, k—целое. Тогда формальным решением урав-
уравнения
1 оо
(« + 1)* _ Г xndy= С c-»t й
_ Г xndy= С

11.12] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 329
служит интеграл
с-И'оо
~2« J
С—«CO
который можно вычислить как сумму вычетов. В итоге получаем
A1.11.4) т@) = 0,
правильрость чего можно непосредственно проверить.
Аналогично найдем, что о^ представимо таким же интегралом с
При надлежащем истолковании операции дифференцирования эти фор-
формулы сохраняют силу и для нецелых k. Так, формула A1.11.4) верна и для
0<&<;1, если заменить k\ на Г (А + 1) и понимать производные в смысле
Римана-Л иувилля.
Наконец, заметим, что мы доказали равносильность гёльдеровских и
чезаровских средних в области —1 <?<0, где ни те, ни другие не регу-
регулярны.
11.12. Некоторые частные случаи. A) Для метода (Н, k),
с k>0,
h $ (log тГ1 dx=S*"*{х) dx-
Здесь -/, как интеграл от », есть абсолютно непрерывная функция.
B) Для метода (С, k) с k > О
и у.(х) = 1—A—хO1 снова абсолютно непрерывна.
C) Эти примеры наводят на предположение, что „мощность"
ф-метода зависит от „малости" чисел \in, возрастая при их уменьше-
уменьшении. Однако, хотя этот принцип до сих пор и оправдывался, его не
следует понимать буквально, поскольку связи между моментами, опре-
определяющие их сравнительную мощность, имеют более тонкий харак-
характер *).
Так, ри = ап, где 0 < а < 1, соответствует методу (Е, q)
I — a , 1
с q — и стремится к нулю быстрее всякого -.— ^,,; и, однако,
(Е, q) не включает (С, к) даже при больших q и малых к. Эти два
метода в действительности „несравнимы". Пусть, например, k=\.
Легко проверить, что для рп = , . и \у'п = ап ни р„ = -Щ
ни
*) См. начало § 11.10 и примечания в конце главы.

330 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
о^ = —- не является моментом. Для рп это очевидно, поскольку
рп —> со, так что проверка требуется только для оп.
Но если бы <зп = {п-\-\)ап было моментом, то (поскольку а"
есть момент) мы для п > 0 имели бы
пап = J xndx = х A) -п J хй-1х (х) rfx = я J>"» {x A)-Z (*)} *е.'
Деля на я и заменяя затем п на п -\-1, мы получили бы
а" = Т J ^{7^A) — *(xttdx = $ хПаУл («> 0),
где /j абсолютно непрерывна. Однако а" = Г дг™ dy2, где ^2 = О
в @, а) и 1 в (а, 1), а двоякое представление для ап противоречит
теореме 203. Мы видим, таким образом, что (как это было непо-
непосредственно доказано в § 9.8 указанием примера) должны существо-
существовать ряды, суммируемые (С, 1), но не суммируемые (Е, q) ни для
какого q. Проведенное рассуждение легко переделать так, чтобы оно
годилось для любого положительного k.
D) Если [*¦„->¦ 0 слишком быстро, то [лга не может быть регуляр-
регулярным моментом. Это показывает
Теорема 212. Не существует регулярных моментов ]х„
таких, что сп\>.п -> 0 для каждого с.
Если [а„ — момент, то
A1.12.1) |*^e
J xnydx,
где
A1.12.2) <p(*) = xi(*) —
о
так что <р (х) абсолютно непрерывна. Рассмотрим функцию
комплексного переменного w = и -J- го. Для больших да имеем

11.13] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ 331
и так как в силу предположения теоремы этот ряд сходится для
всех w ф О, то / (w) есть целая функция от —. В частности, / (w)
регулярна для 0 < w < 1. Но если 0 < и < 1, то
A1.12.3) ^{/(a_fr)_/(a + fc)} =
при v —> -f~ 0. Отсюда следует, что <р (и) = 0 и [ап = 0 для п ^ 2.
Так как и <?' (х) = 0 для 0<д:<1, то в силу A1.12.2)
почти для всех х, так что
1i1 = j xdx^xi1) —
Таким образом, последовательность ({«,„) имеет вид [а0, 0, 0, .. .;
но последняя не регулярна ни при ц0 = 0, ни при ц0 ф 0, поскольку
нарушается либо условие A1.7.7), либо условие A1.7.6).
Из теоремы 212 вытекает, что \>-п — —-. не является моментом. Легко
проверить, что
О! ~ р\ { 1! ^ 2!
где Lp{x)—многочлен Лагерра. Но, как известно,
для больших р, так что Д-^о действительно не сохраняет постоянного знака.
Проще доказывается, что абсолютно монотонное [*„, удовлетворяющее
условию теоремы 212, должно обращаться в нуль для л>1. Действительно,
если (*•„= I xn d\ и у—возрастающая функция, не постоянная на интер-
интер^0
вале 0<^дг<;1, то в @, 1) содержится интервал (а, Ь) такой, что а^>0 и
"/. (*) — X (а) = «>•> 0; а тогда \s.n > та".
11.13. Логарифмические случаи. Рассмотрим теперь ф-метод,
который содержится во всех методах (С, k) положительного порядка
и слабее каждого из них. Пусть а> 1, />0; тогда
оо оо
Г (/) J Г(/) J
о о
оо 1
)и Ь (и) du = J х"ч> (х) dx,

332 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
где
Обращения порядка интегрирования законны, поскольку все рассматри-
рассматриваемые функции положительны. Мы видим отсюда, что
<11Л8Л> ^
есть регулярный момент.
Нетрудно доказать, что соответствующие методы слабее метода (С, k)
или (Н, k) для каждого положительного k, но подробное проведе-
проведение доказательства было бы довольно утомительно. Мы предположим
для простоты, что /== 1, и примем за известное, что, как утвержда-
утверждалось в начале текста, напечатанного мелким шрифтом в § 11.11,
метод (Н, k) равносилен ф-методу с
Тогда нам нужно показать, что если ря и fi/ определены соответ-
ственно формулами A1.13.1) с /==1 и A1.13.2), то — является
регулярным моментом, а -^? — нет. Второе утверждение очевидно,
по кольку ^-т-—»-со. С другой стороны,
со
d ( 1 \ . 1 с
е t
и, полагая в этой формуле N — п-\-а, мы видим, что -°. " ^
является моментом. Таким образом, -— есть момент, и притом, оче-
видно, регулярный.
Так как рп—>0, то — не является моментом. Это показывает,
что рассматриваемый метод суммирует и некоторые расходящиеся
ряды.
11.14. Экспоненциальный случай. Интересно также определить
регулярный метод (ф, \i), который был бы сильнее любого метода (С, k).
В таком случае |х„ должны стремиться к нулю быстрее любой сте-
степени л; но, с другой стороны, мы видели в § 11.12, что они не

11.14] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ 333
должны стремиться к нулю слишком быстро. После примеров § 11.12
естественно рассмотреть случай [л„ = е~Лп , где Л > О, 0<<х<1.
Теорема 213. \in = ё~ п при Л > О и 0 < а < 1 есть регу-
регулярный момент, соответствующий возрастающей функции у.
Пусть [л (у) = е~Ау" = е~"{у). Тогда v' > 0, у"<0^ v'">0,.. ., и,
следовательно,
I*'" == - *-* (v'3 — 3vV -f vw) < 0/ .. .,
так что последовательные производные от jx попеременно положи-
положительны и отрицательны. Отсюда следует, что рп образуют абсолютно
монотонную последовательность, и
A1.14.1) IS, =
где у — возрастающая функция от t. Далее, ^A) = j/,0= 1. Поэтому
для завершения доказательства теоремы остается показать, что Д"*а0^-0
или, что равносильно этому, что х(~Ь 0) =х@)-
Так как последовательность \tf.1)(n) = <j.Ayn) также абсолютно
монотонна, то
с некоторой возрастающей хA\ так что
A1.14.2) V-(n)
1 3
для я = 0,. -^ , 1, у, 2, ... Функции ^ и уA) можно считать норми-
нормированными, а тогда, сравнивая A1.14.1) и A1.14.2) и вспоминая
теорему 203, мы видим, что у}^ (Vt) = X @- Следовательно, фор-
формула A1.14.1) с [ап = [>.(«) может служить и для кратных ^-- По-
Повторно применяя это рассуждение, мы видим, что
A1.14.3) V-(y)
когда у есть целое кратное от -=-, от -j , от -^ ,... По непрерыв-
непрерывности заключаем отсюда, что формула A1.14.3) верна для всех
положительных у. Наконец,
5 1

334 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
для 0<^8<1, и, беря здесь 8-» 0, получаем, что
х (+°) - х (°) 0@) —1*00-
Так как fj. (у) непрерывна, то, беря у -> 0, заключаем, что
чем и завершается доказательство нашей теоремы.
Функция х@ абсолютно непрерывна; таким образом,
1 со
I* (У) = / ty '¦? (О dt = [ в"»" ф (н) Ли,
о о
и нахождение явных аналитических выражений для ф (к) и «р (I) не пред-
представляет труда. Так, при а — -^ имеем
е
При а=з—, опираясь на формулу Лиувилля
о
J J I I уз"
0 0 u 3 „ 3
можно показать, что
где Кч есть вещественная цилиндрическая функция третьего рода. Вообще,
применяя формулу обращения для преобразования Лапласа, получаем, что
p\ T{—ap)
где W— целая функция.
Мы заключим этот параграф следующим предложением.
Теорема 214. Метод (?), (а) теоремы 213 включает все методы (С, &).
Для упрощения формул примем, что А = 1, а = -^; на существенных мо-
моментах доказательства это не отразится. Докажем сначала, что

11.15] ряд лежандра для у (х) 335
для каждого целого k и достаточно больших а = a (k) есть регулярный
момент. Положим
{y-^t=e-^)i ,(,)= vi-k log i
Тогда
где под 1-3...B/?—3) при /> = 1 следует понимать 1. Правая часть б;дет
положительна для р = 1, 2, .. . и всех положительных /, если
p [ « Л
Выражение в левой части, как функции от /, имеет минимум — 2 t > 2/>а
2
тогда как правая часть для больших р ведет себя как А№кр. Следовательно,
если а достаточно велико, то (—\)p~x^p\t) > 0 для^=1, 2,... ивсех/>0.
Отсюда, рассуждая совершенно так же, как при доказательстве теоремы 213,
выводим, что р„ абсолютно монотонна. Далее,, ро=1, и можно, как и там,
доказать, чтоДшр0->-0. Следовательно, метод (ф. р) при достаточно боль-
большом а есть регулярный ?)-метод.
Наконец, как в § 11.11,
определяет метод (Jp, с), равносильный тождественному. Поэтому
есть момент некоторого регулярного .^-метода. А это показывает, что
метод (.§, (*)'с (ли = е—* " включает все методы (С, А).
11.15. Ряд Лежандра для хС*)- Возвратимся к §11.9, в кото-
котором у (х) строится как предел некоторой последовательности ступен-
ступенчатых функций yq (x). Желательно иметь другие аналитические выра-
выражения для функции 1 (лг), и одним из наиболее естественных является
ее разложение в ряд по многочленам Лежандра. Мы будем предпола-
предполагать, что Aте есть регулярный момент, так что )г @) = ^ (-\- 0) = О
и-/A) = 1. Положим
так что — 1 ^ л' ^ 1 и
Тогда 0 есть функция с ограниченным изменением, непрерывная в точ-
точке л: = — 1; ее разложение в ряд Лежандра 2 стРт{х) сходится

336 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
к ~{Ь(х — 0)-\-Ь(х + 0)} япя — 1 < х< 1, к нулю для х— — 1
и к 6A — 0) для x = U
Коэффициенты ст задаются формулой
)
где
Таким образом,
1
A1.15.1) со=1-1
—1 о
и
A1.15.2) ст=-(т+±) /шя,(*)Л=-(|Я+У/шжB^-1),
-1 о
для т > 0. Но
П—1 t
A1.15.3) штB^-1)== J
и
-Г— l)m/l И+1и^ I («+Д)('Я+2)/и(|Я-1) а _ \
4 ¦* \ 11 ' 1-2 Ь2 - 4 ')'
Подставляя в A1.15.1) — A1.15.3), получаем
где tfo = ц0 — jij и
4- mijn—Y) ^__ \
"Т" 1-2 1-2 3 "• " |
для /и > 0.

11.16] МОМЕНТЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССОВ 337
Если х абсолютно непрерывна, yj = <? и ф(лО = <р{о-A-{-л:)>,
то рядом Лежандра для <|i (х) служит 2 атРт (*)> гДе
т
_i)k(m+k)(m\u _
от
Л , «ч.. (/Я -+• Л)! (ifc
(от —
11.16. Моменты для функций специальных классов. Естественно
поставить вопрос, при каких условиях j будет функцией какого-
либо заданного класса; например, когда она будет абсолютно непре-
непрерывна, когда она будет интегралом от функции лебеговского класса Lr
и т. д. Мы ограничимся здесь одной просто доказываемой теоремой.
Теорема 215. Для того Чтобы
где функция у (х) принадлежит классу Lr с г > 1 на отрезке
[О, 1], необходимо и достаточно, чтобы
(п.16.2) (p-Mr-'il^.K/f,
8=0
где Xp>s определятся формулой A1.3.4), а Н не зависит от р.
Заметим, что в силу неравенства Гёльдера из A1.16.2) следует
так что ;гй, удовлетворяющее условию A1.16.2), во всяком случае
является моментом.
(а) Условие необходимо. Действительно,
A - X)PS <p (X) dx=f 9p>a(x) <p (X) dX,
-^-e> так что
J p*
22 Зак. 2499. Г. Хардн

338 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Следовательно, снова в силу неравенства Гёльдера,
р, „ (х) | <р (х) ['• rfx,
J pAe
S=0 •> 8 = 0
(б) Условие достаточно. Определим y^p(x), как в § 11.9, но
с изменением, указанным в конце этого параграфа*). Тогда
* (=1, 2, .... р;
и в силу A1.16.2)
Отсюда следует существование последовательности • значений р и
функции (о из IX таких, чго по этой последовательности у' слабо
стремится к ср и
х со
J ? (t) dt = lira J 7; (О Л = Hm { lp (x) - %p (+ 0) } = x (x\— lim Xp> 0.
о о
о
Но (р + 1)г~1|ЛАо1г<#. так как
Изложенное доказательство действительно, с надлежащими видоизмене-
видоизменениями, и для предельного случая г = со и дает (р + 1) | Xps | <^/i в качестве
необходимого и достаточного условия того, чтобы х была интегралом огра-
ограниченной функции. Никакого столь же простого результата для случая
г = 1 не существует.
11.17. Одно неравенство для хаусдорфовских средних. В этом
параграфе мы докажем одно неравенство, содержащее большое
число частных неравенств, играющих важную роль в теории функ-
функций классов Lr. Мы будем предполагать, что / возрастает, у A) = 1
и у @) =)((-f- 0) = 0, так что последовательность (рп) абсолютно
*) Однако пользуясь, по-старому, буквой у_, а не X.

11.17] ОДНО НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ХАУСДОРФОВСКИХ СРЕДНИХ 339
монотонна и метод (¦?, р) регулярен, а также, что
A1.17.1) tm
есть хаусдорфовское среднее положительной последовательности (sn),
ч
Теорема 216. Если «и^2> О и г > 1, то
A1.17.2)
за исключением того случая, когда sn = О для всех п, или же
тождественности рассматриваемого преобразования.
г_
Здесь, естественно, предполагается, что 2 sn и Г х~ r d-% конечны.
1
Последний интеграл не есть интеграл Римана-Стилтьеса, поскольку а; г
не ограничена; таким образом, здесь требуется некоторое обобщение
определения интеграла. Мы можем определить рассматриваемый
интеграл либо как интеграл в общем смысле „Лебега-Стилтьеса",
либо как предел интегралов Римана-Стилтьеса по интервалам (е, 1).
Вторая точка зрения более элементарна; однако для достижения
большей краткости мы предпочтем первую. Постоянная И (г), стоя-
стоящая в формуле A1.17.2), является наилучшей, но мы не будем
здесь доказывать этого. Положим
A1.17.3) em^ ^i^)
где 0<;д:<1 и у—1—х. Тогда в силу неравенства Гёльдера
A1.17.4) ^
и, значит,
A1.17.5)
n
для 0 < л:< 1. Но
A1.17.6) tm =
22*
т т п < т

340 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Следовательно, в силу формул A1.17.5) — A1.17.6) и надлежащей
формы неравенства Минковского
(п.17.7) BC)^
Это — неравенства A1.17.2), но с ^ вместо <.
В первом из неравенств A1.17.7) равенство достигается лишь
если
ет (х) = Кт<? (x)
для всех х, кроме принадлежащих множеству S, на котором изме-
изменение функции / равно 0. Здесь следует различать два случая,
в зависимости от того, будет ли дополнительное множество S'
(а) бесконечным или (б) только конечным точечным множеством.
В случае (а) ет (х) = Кт<р (х) для всех т и бесконечного множества
значений х; в случае (б) у_ есть ступенчатая функция,
(а) В этом случае записываем ет (х) в виде
Пусть s{—первое sn, отличное от нуля; тогда ет(х) = 0 для
т < /, и
Но на S' имеем ег (д:) = Kf? (х), е1+1 (х) = АГг+1<р{л:), так что Кгф0>
Ki+1^0; и так как многочлены /Сг+1вг(д;) и /С^г+1 (л:) равны для
бесконечного множества значений х, то отсюда следует, что ср (х)
кратно х1, и Дт50 = 0 для т > /. Следовательно, s,, есть многочлен
относительно п. В силу же предполагаемой сходимости ряда 2sn
он должен быть равен нулю.
(б) Если у_ — ступенчатая функция со скачками ак в точках х = хк,
то хкф0 (поскольку метод регулярен) и tm = 2 апет (Хк)- Далее,
в силу A1.17.7) и A1.17.5)
(l 1.17.8) B QT < 2 «Л 2 4
Но в A1.17.4) достигается равенство лишь когда все sn имеют
одно и то же значение с, либо когда х есть 0 или 1. Так как фХ

11.18]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
341
и 2S« сходится, то заключаем, что в A1.17.8) будет достигаться
равенство лишь когда все sn ==¦ О, либо когда все хк = 1. Но во
втором случае % (х) = 0 для 0 ^ х < 1 и 1 для х=\, и преобразо-
преобразование сводится к тождественному..
Примеры. A) Если у= 0 для 0<]л;<а<1 и 1 для а^ дг^ 1,
то tm — em(a), т. е. tm есть эйлеровское среднее от sn порядка
q — —^—. Таким образом, если tm есть (Е, #)-среднее от sn и не
все sn равны нулю, то
Это равносильно формуле A1.17.5) со строгим неравенством.
B) Взяв % = t, получим
Более обще, если мы возьмем у =
будет (С, k) -средним от sn, и
гДе
> 0, то
11.18. Непрерывные преобразования. Преобразования, аналогич-
аналогичные ^-преобразованиям, рассмотренным в предыдущих параграфах,
имеются и для функций непрерывного переменного. К ним естественно
прийти следующим образом. Наше регулярное ф-преобразование было
определено формулой
A1.18.1) Д% = |х„Д»5о,
где (лге—регулярный момент. Предположим теперь, что f(x) есть
функция от х, регулярная на неотрицательной вещественной оси и,
значит, представимая в виде
для малых х. Тогда естественным аналогом формулы A1.18.1)
служит
A1.18.2) ^)(о)==Aп/(»)(о),
где теперь
S (х) = 2 №п*п = / 2 ап {xty dt =¦ J f(xt) dL,
во всяком случае для малых х.

342 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Мы приходим таким образом к рассмотрению преобразования
A1.18.3) g(x)
и можем теперь забыть о соображениях, приведших нас к этой
формуле. Мы будем предполагать, что f(x) непрерывна для всякого
л:>-0; но интересовать нас будет только поведение f(x) и g(x)
при х -> со.
Если у @ = 1 — A — /)*, где k > О, то
1 X
g(x) = k Г / (xt) A — f)*-i dt — \ Г (х — а)*-1/ (а) й?и
о о
есть (С, А)-среднее функции/(л:) в смысле § 5.14. Если Х @ = 0 для
0-<*<а<1 и 1 для а< ^< 1, то g (x) =f(ax). Это — аналог
эйлеровского преобразования; но в отличие от соответствующего пре-
преобразования для sn оно тривиально, поскольку соотношения /(х)->/
и g (х) —>• / равносильны.
Мы докажем лишь одну теорему. . При этом мы будем предпо-
предполагать (без ущерба для общности), что у_ @) = 0.
Теорема" 217. Для того чтобы преобразование A1.18.3)
было регулярным, т. е. чтобы из /(д;)->/ следовало g(x)—*l,
необходимо а достаточно, чтобы % A) = 1 и у; (-j- 0) = у @) = 0.
Если f(x) = 1 для всех х, то g (х) = \ dy =./ A). Следовательно,
условие Х(Л) = 1 необходимо.
Если f(x) — \ для 0 < х < 8, где 8 > 0, и /(х) == 0 для х > 6,
то / (л:) ->• 0. Далее,
Но если наше преобразование регулярно, то g(x) -> 0; поэтому
(^) т. е.
Остается доказать достаточность условий теоремы. Так как /==/
дает g = I, то достаточно доказать, что из /->0 следует g'->0.
Далее, так как х есть разность двух ограниченных возрастающих
функций, непрерывных в точке х = 0, то достаточно доказать по-
последнее утверждение для случая возрастающей функции у. Но дей-
действительно, выбирая X так, чтобы |/|<в для х^-Х, и обозначая

11.19] КВАЗИ-ХАУСДОРФОВСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 343
через М (X) верхнюю грань | / [ для х -^ X, имеем для достаточно
больших х
х
1 X 1
\g(x) |< / \f{xt)\dX< / \f{xt) I rfx-f. J rfx<
0 0 X
x
В случае монотонной / и/>0 для ?(.*•) имеется неравенство, анало-
аналогичное A1.17.2), а именно
со 1 1 от
A1.18.4) J gr (x)dx<( J д~7rf/.)rJ/>¦ (x)dx.
о oo
Доказательство аналогично проведенному в § 11.17, но несколько проще,
благодаря тривиальности эйлеровского преобразования. В частном случае
^ = t это неравенство превращается в
A1.18.5)
11.19. Квази-хаусдорфовские преобразования. Теория §-пре-
образований опирается на свойства преобразования 8 § 11.1. Имеется
другое очень похожее преобразование, также порождающее интерес-
интересные преобразования. Мы имеем в виду преобразование S* с матрицей
получаемой из матрицы | 8 | перестановкой строк и столбцов.
Теорема 218. 8* обратно самому себе: если t==b*s, то
Здесь следует сделать одно предварительное замечание. Теорема
утверждает, что если
то Spj аналогичным образом выражается через tn. По ряды, входящие
в формулу A1.19.1) и обратную ей, бесконечны и не обязаны схо?

344 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
диться. Однако можно избежать рассмотрений, связанных со схо-
сходимостью, предположив, что sn — О для п > ./V; в этом случае и
tm = 0 для m^>N. Будем понимать теорему 218 в этом смысле.
Доказательство ее аналогично доказательству теоремы 196. Имеем
п*=т п=т р — п
со р
р — т п =т
р — т п=т
и так как внутренняя сумма в последней строке равна 1 при р = т
и 0 при рфт, то ит = sm.
Сходимость ряда A1.19.1) не обязательно влечет сходимость
обратного ряда. Так, при sn — an, где 0<а<1, получаем tm =
= -г~——s^pf, и обратный ряд сходится лишь если а ¦<-=-. Двойной
ряд в A1.19.2) сходится, если
что, например, имеет место, когда sn—O{an), где ^
Определим теперь преобразование (ф*, jj.) формулой X*=8*ji.o*,
где [1, как и в § 11.3,—-диагональное преобразование. Тогда, фор-
формально, будем иметь
со р
п — т
р
Таким образом, заменяя р на п, получаем, что наше преобразование
определяется формулой
(И-19.3) /9!

11.20] РЕГУЛЯРНОСТЬ КВАЗИ-ХАУСДОРФОВСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
345
где
A1.19.4)
К„,п
О при п ¦< т,
\n-m[i.m при п~^- т.
11.20. Регулярность квази-хаусдорфовского преобразования.
Выясним теперь, когда преобразование (ф*, т) будет регулярным.
При этом мы будем считать, что рп есть момент.
Предположим сначала, что последовательность ([>.„) абсолютно
монотонна, так что ^ — возрастающая функция от L Тогда Хтп^>0 и
га я>«
Условия A1.5.2) и^ A1.5.4) будут выполнены тогда и только тогда,
когда этот интеграл сходится и имеет значение 1.. Условие A1.5.3)
выполнено автоматически, поскольку \т,п = 0 при т > п. Таким
образом, необходимым и достаточным условием регулярности будет
выполнение равенства
A1.20.1) ^
В общем случае ясно, что
С другой стороны, всякий раз, когда
ограничены, функция
(надлежащим образом исправленная в ее точках разрыва) может быть
получена как предел функций
х (о = 2 ч,п
при стремлении ^ к бесконечности по надлежащим образом выбран-
выбранной подпоследовательности qi} a
dy.{u)\
получается тогда из [ Ат>„ |, как Х(^) из Ят>п. Таким образом, нами
получена

346 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
Теорема 219. Если \in—регулярный момент, соответствую-
соответствующий функции у, то условия
A1.20.2)
необходимы и достаточны для регулярности метода (ф*, fi).
11.21. Примеры. A) Если хСО^0 Для °<Х<#<1 и а для
a^f-^1, то условие A1.20.1), очевидно, выполнено, и
рп = ап+1, Ln-m\im = am+1(l—а)"-».
В этом случае
Тем самым мы приходим к методу (f, а) § 9.11.
B) Если х=Ц так что рп = -^р[, то
=
,/и) ^п-тРт = {т)(т+1)(от + 2)...(я + 1) = я+Т'
Таким образом, наше преобразование будет
j. Sm I ^m + l I ^w + 2 I
Im~ m-t-l'T' m -\-2~*~ m +3' '"'
очевидно, оно не регулярно. Интеграл A1.20.1) расходится.
C) Если х == j+i , где / > 0, то
Условий A1.20.1) выполнено, и преобразование регулярно. В этом
случае
СП 21 1) t =/l Sm I- (m + l)sm+i I
В частности, при /= 1 получаем преобразование
A1.21.2) ^(. + 1)^^^
Можно показать, что преобразования, соответствующие различным
значениям /, все равносильны (друг другу и) преобразованию (С, 1).
Для каждого k > 0 имеются преобразования, аналогичным образом
связанные с (С, k).

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. XI 347
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ XI
§§ 11.1—11.3. Класс преобразований X = ЬцЬ впервые исследовали Ниг-
witz and Silverman, TAMS, 18 A917), 1—20, как класс преобразований, пере-
перестановочных с Н. Они рассматривали главным образом преобразования
где I — тождественное преобразование и /(•z) = 2a»2rn—аналитическая
функция, регулярная в начале, и доказали, что такое преобразование регу-
регулярно, если /(г) регулярна для [г —-^ <тг и/A) = 1. В частности, они
I |
доказали, что преобразования (Н, k) и (С, k) являются регулярными преоб-
преобразованиями типа X.
Hausdotff [(A),MZ, 9 A921), 74—109] переоткрыл класс X и развил изло-
изложенную здесь более общую теорию, связывающую этот класс с „проблемой
моментов для конечного интервала". В частности, он доказал фундаменталь-
фундаментальную теорему 206. Доказательства, изложенные в этой главе, преимуще-
преимущественно извлечены либо из этой, либо из более поздней его работы [Haus-
dorff (В)] в MZ, 16 A923), 220—248. Промежуточная работа Хаусдорфа, в MZ,
9 A921), 280—299, посвящена различным обобщениям. Краткое изложение
этой теории можно найти в книге Widder, гл. 3.
§ 11.4. Теорему 200 доказали Гурвиц и Сильверман, 1. с. выше.
§§ 11.6—11.7. Hausdorff (А). Хаусдорф приписывает определение вполне
монотонной последовательности Шуру. Доказательство теоремы 201 я строил,
следуя советам Бозанке.
§ 11.8. Теорема 203 представляет собой обобщение известной теоремы,
гласящей, что система 1, х, х2,... „полна в Z.@,l)°.
§ 11.9. Hausdorff (А, В) дал несколько доказательств теоремы 206. Изло-
Изложенное здесь доказательство в основном совпадает с первым из доказа-
доказательств в (В), которое предложил также, но немного в другой форме, Widder,
101—104. Принятый здесь спссоб подсказан Аронсайном и Бозанкэ.
По поводу доказательства теоремы Хелли см. Widder, 28—29*).
Работа Хаусдорфа тесно связана с работами С. Бернштейна и Виддера
об абсолютно монотонных функциях. Говорят, что f(x) абсолютно монотонна
на интервале @, оо), если (— 1 )pf(p) (jr)>0 для всех лг^>0; так, е~х абсо-
абсолютно монотонна. С. Бернштейн доказал, что для абсолютной монотонности
функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы
где x(t) — возрастающая ограниченная функция. Это легко выводится из тео-
теоремы Хаусдорфа, однако работа Бернштейна была выполнена независимо и
другим методом. Можно также (хотя и не столь же просто) вывести теорему
Хаусдорфа из теоремы Бернштейна. Более подробные сведения и литера-
литературные ссылки по этому вопросу см. Widder, гл. 4.
§ 11.10. Основной результат Рогозинского и Фукса можно найти в рабо-
работах Rogosinski, PCPS, 38 A942), 166—192, и Fuchs, OQJ, 16 A945), 64—77. Если Т
и ТУ —регулярные ф-методы, то для того, чтобы Т' включал Т, необходимо и до-
достаточно, чтобы Т'= GT, где G — регулярный |)-метод. Если Т' и Т — любые
^-методы, Т/ включает Т и \xnzfi§, за исключением последовательности ()
*) См. также И. П. Натансон, Теория функций вещественной перемен-
переменной, 1950, стр. 195-196, Г '

348 ХАУСДОРФОВСКИЕ СРЕДНИЕ [ГЛ. XI
значений п, для которой N. —<оо, то Т' = вТ, где в —регулярный §-ме-
тод. Является ли условие, наложенное здесь на последовательность («ft), наи-
наилучшим из возможных, — неизвестно, однако Fuchs, PCPS, 40A944), 189—196,
показал, что сформулированная выше теорема о регулярных методах ста-
становится неверной, если отбросить предположение о-регулярности, ничем его
не заменяя.
Hille and Tatnarkin, PNAS, 19 A933), 573—577, устанавливают большое
число теорем более специального характера, относящихся к включению
ф-методов.
§ 11.11. Равносильность методов (Н, k) и (С, k) для общего &> — 1 впер-
впервые доказал Hausdorff (A), 89—90.
Аккуратное рассмотрение формул обращения, упомянутых в конце пара-
параграфа, проводит Burkill, PLMS B), 25 A926), 513—524; см. также Widdcr,
гл. 2. Для наших целей достаточно вычислить р{^ и JJp формально, а затем
независимым путем проверить полученные результаты. Для целых k это
легко, но для общего k гораздо затруднительней.
§ 11.12. По поводу формулы A1.12.3) см. Е. Титчмарш, Введение в теорию
интегралов Фурье, 43, или Widder, 338—341.
Полное изложение теории многочленов Лагерра можно найти в книге
SzegO, Orthogonal polynomials (Нью-Йорк, 1939), гл. 5 и 8.
§§ 11.13—11.14. Более полное рассмотрение этих логарифмических и
экспоненциальных форм для ц„ можно найти в работе Hausdorff (A).
§ 11.15. См. Hausdorff (В), 227—231. У Хаусдорфа несколько другая
точка зрения.
По поводу разложения для Рп Bw — 1) по степеням w („формула Мэрфи")
см. Hobson, Spherical and ellipsoidal harmonics (Кэмбридж, 1931), 22, или
Уиттекер и Ватсон, 2, 102—103.
Обратной к последней формуле этого параграфа служит формула
_ <?о _, mai . т(т~\)а.,
'""' да + 1 (« + 1) (т + 2) (т + 1) (m -f 2) (т + 3) "^ " '
§ 11.16. Более полное рассмотрение теоремы 215 и связанных с нею
теорем см. в работе Hausdorff (В), 233—240, и книге Widder, 109—113. По
поводу „слабой сходимости" (идея применения которой принадлежит Ф. Риссу)
см. Littlewood, 45—49.
§ 11.17. Hardy, JLMS, 18 A943), 46—50. Харди доказывает, что Н{г)
есть наилучшая из возможных постоянных.
Полное изложение теории интеграла Лебега-Стилтьеса можно найти
в книге С. Сакс, Теория интеграла (М.—Л., ГИИЛ, 1949), гл. 3. Свойства,
использованные в этом параграфе, сформулированы в книге Г. Харди,
Д. Литтльвуд и Г. Полна, Неравенства (М.—Л., ГИИЛ, 1948), 184—189. Требуе-
Требуемая форма неравенства Минковского есть теорема 201 „Неравенств", пере-
переформулированная для интегралов Стилтьеса в согласии со сказанным там
на стр. 187—188.
§ 11.18. По поводу общей теории непрерывных хаусдорфовских преоб-
преобразований см. Rogosinski, PCPS, 38 A942), 344-363, и Fuchs and Rogo-
sitiski, OQJ, U A943), 27—48.
Для доказательства неравенства A1.18.4) следует применить теорему 202
„Неравенств" (снова переформулированную для интегралов Стилтьеса).
§ 11.20. Интеграл | ~ снова нужно рассматривать либо как интеграл
Лебега-Стилтьеса, либо как предел интеграла, взятого от е до 1. Мы
опираемся на ту теорему, что

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. XI 349
если х—возрастающая функция, ап(х)^0 и одна из частей равенства
конечна. Это — весьма частный случай одной теоремы, доказанной у Сакса
A. с. в примечании к § 11.17, 50—51). Здесь ап{х) непрерывна для каждого п,
а ряд ^ ап(х) равномерно сходится на любом интервале (г, 1), так что при-
приведенное выше равенство легко доказать и на основе более элементарного
определения.
§ 11.21. Hardy, PCPS, 20 A921), 304—307, доказывает, что преобразова-
преобразование A1.21.2) равносильно (С, 1), но эта теорема фактически представляет
собой частный случай одной теоремы, ранее доказанной Кноппом. По поводу
обобщений см. работы Харди и Литтльвуда и Кноппа, указанные в приме-
примечании к § 6.7.

Глава XII
ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА
12.1. Введение. В этой главе мы возвращаемся к теоремам „тау-
берова" типа, общий характер которых был разъяснен в § 7.1. Мы
уже доказали большое число таких теорем, например, в §§ 6.1—6.3
гл. VII (почти заполненной ими), в §§ 9.6 — 9.7 и в § 9.13. Но
методы доказательства менялись от теоремы к теореме, и на первый
взгляд могло бы показаться, что между ними очень мало общего.
Теперь мы изложим общую теорию, принадлежащую главным обра-
образом Винеру, которая даст нам возможность представить большинство
этих частных теорем как части стройного целого.
Мы начнем с теоремы 92, а именно:
(Л) если sn->s (А) и sn = O(l), то sn-+s (С, 1).
Это — типичная „тауберова" теорема, вполне пригодная в качестве
отправного пункта наших вступительных замечаний. Но нам будет
удобнее воспользоваться ее интегральным аналогом. Первое из пред-
предположений теоремы (Л) можно представить в любой из следующих
равносильных форм:
где /"-*¦!, у-^-0, х—>-оо; ее утверждением является
Интегральным аналогом служит
(Б) если
A2.1.1)
и F(t) = O(l), то
X
A2.1.2) 1 f/=¦(/)
Л
эту теорему мы и изберем предметом нашего рассмотрения.
Будет небесполезно сделать здесь два замечания, содержание которых
почти очевидно после гл. VII; см., в частности, § 7.1.
A) Теорема (Б) является „исправленным обращением" теоремы „абелева
типа"

12.1] ВВЕДЕНИЕ 351
„(?') A2.1.2) влечет A2.1.1)",
причем здесь уже не требуется дополнительных ограничений на F(t). Эта
последняя теорема' доказывается просто. Примем, что мы вправе сделать,
/ = 0; тогда имеем
t
= J
о
а отсюда
t t
je х F{t)dt=~ J e x F1(t)dt= о (~ J e x
(II) Теорема (А) представляет' собой тривиальное следствие теоремы (Б).
Действительно, считая теорему (Б) доказанной и беря F(t)=snp,m n<^<
< п -)- 1, получаем
откуда явствует, что первые предположения теорем (Л) и (Б) равносильны.
А так как вторые предположения, а также утверждения очевидно равно-
равносильны, то (А) следует из (Б), Это рассуждение в основном совпадает с про-
проведенным в § 7.2.
И первое предположение и заключение теоремы (Б) имеют вид
A2.1.3) PB(F): L
При этом в предположении
Otf) = 0,@ = «г*, J*Oi(Q<ft=l,
а в заключении
f 1 при 0<*<1
Таким образом, теорема (Б) может быть сформулирована в виде
A2.1.4) из PGi(F) и F@ = O(l) следует P^(F);
и представляется вероятным, что любая теорема этого вида будет
иметь важные следствия тауберова типа.
Производя преобразования
t = e\ x = e\ F(F)=f(r), e-G {е-) = g (— х),
получаем
со оо оо
J О (/) dt= j g(—t)'dx=jg (х) dx.

352 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
Таким образом, по замене S и т на х и t, условие A2.1.3) превра-
превращается в
A2.1.5) Pg(f): J g(x-t)f(t)dt~+lf g{t)dt,
где интегралы берутся теперь от -уоо до -f- со ; а A2.1.4) пре-
превращается в
A2.1.6) из Pgi(f) и /@ = 0A) следует />ft(/),
с соответствующими g1 и g*)- Мы приходим таким образом к во-
вопросу об общих условиях, которым должны подчиняться gt и g2,
чтобы была справедлива теорема A2.1.6) или аналогичная теорема
с каким-нибудь другим условием, наложенным на /. Фундаментальное
открытие Винера состояло в нахождении такого условия W{g1) на gx
(приводимого в следующем параграфе), которое позволило обойтись
почти без всяких условий на g2. Его „ключевая теорема", в любой
из ее форм, есть теорема типа
A2.1.7) из W(gl), Pgi(f) и R{f) следует Pgt(f),
где R(f) есть „тауберово" условие на/, а заключение справедливо
не для какой-либо специальной функции g2 или функций, подчинен-
подчиненных тому же условию, что и gl, а для „всех разумных" g2. При
этом, вообще говоря, не требуется, чтобы
Pe,(f) влекло Pgi(f),
так что предложения A2.1.7) при различном выборе функций glt g2
не всегда будут исправленными обращениями теорем абелева типа,
хотя они и остаются еще „тауберовыми" в более широком смысле.
Мы уже встретились с результатом такого типа в теореме 147.
12.2. Условие Винера. Форма условия W(gl) подсказывается тео-
теорией преобразований Фурье функций класса L(—со, со)**). Ясно,
что Pgif) влечет Ph(f) для всех функций h вида
Это наводит на мысль, что то же заключение должно распростра-
распространяться, с надлежащими предосторожностями, и на функции h (t) вида
A2.2.1) h @ = ^= J* r (a) g (/— и) da ***).
~* при ^>0,
*) А именно с ft(/)«e-'e-e \ ft(*) = \ 0 при/<0.
**) А не более симметричной планшерелевскои теорией для функций
класса L2(—оо, оо).
***) Здесь и до § 12.7 включительно интегралы с неуказанными преде-
пределами берутся от — со до -j- оо.

12.2] УСЛОВИЕ ВИНЕРА 353
г ~~ ' ~~ " ~ ' ~~
Мы приходим, таким образом, к вопросу, можно ли при заданной
функции g из L выразить произвольную функцию А из I в виде
A2.2.1), где ядро г также принадлежит классу L,
Преобразование Фурье функции г (t) из L (— сю, оо) определяется
формулой
A2.2.2) Я (О = ^J #¦(«)*«»</«
(и аналогично для других букв взамен г и R). Хорошо известно*),
что если g и г принадлежат классу L, то и h, определенная форму-
формулой A2.2.1), принадлежит классу L, причем H(f)~ R{t) G(t). Таким
образом, если g и h заданы и мы хотим выразить h в форме A2.2.1),
то нам подсказывается следующий путь; сначала найти R(t) по фор-
формуле
A2.2.3) ц@ = Щ,
а затем r(t) — по определенной в каком-то смысле обратной формуле
Фурье
A2.2.4) г {f) =* —L j* R (t) e-itu da.
Представляется существенным, что для успешности этого решения
нужно, чтобы
A2.2.5) G (f) = —L Г g (и) е«« du ф О,
у 2п J
т. е. чтобы преобразование Фурье функции g (t) не обращалось
в нуль.
Мы обозначим через W класс функций, которые (I) принадлежат
классу ?(—оо, оо) и (II) имеют преобразование Фурье, не обращаю-
обращающееся в нуль ни для какого t, и предположим, что g1 принадлежит
этому классу W. Мы получим тогда, (а) что всякая функция h из L
может быть представлена в виде A2.2.1) с ядром /-из L1) и
(б) что Pg (/) влечет Ръ (/) для любой ограниченной /. Появление
здесь класса W, как* мы видели, совершенно естественно. Но порази-
поразительно то, что столь простого предположения, как „g принадлежит
классу W, оказывается достаточным для такого общего заключения:
ведь естественно было бы ожидать, что любая теорема этого рода
должна обременяться более сложными ограничениями на g, особенно
относительно поведения G в бесконечности.
*) Нужные нам теоремы о преобразованиях Фурье будут более точно
сформулированы в § 12.3.
1) На самом деле автор доказывает представимость в виде A2.2.1)
с ядром г из L только для тех функций h из L, преобразование Фурье
которых обращается в нуль вне "некоторого интервала. В столь же общей
форме, как в тексте, утверждение автора неверно. {Прим. перев.)
23 Зах. 2499. Г. Харди

354 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
Нашей главной задачей теперь будет доказать „ключевую теорему"
Винера, в следующей ее форме:
Теорема 220. Если (I) g принадлежит классу W, (II) h при-
принадлежит классу ^L и (III) / ограничена, то Pg (/) влечет Ph (/),
т. е.
A2.2.6)
влечет
A2.2.7) fh(x — t)f(t)dt-+ljk(t)dt.
Теорему 220 мы выведем из следующей теоремы Питта:
Теорема 221. Если (I) g принадлежит классу W, (II) / огра-
ограничена и медленно колеблется, или вещественна, ограничена и
медленно убывает, и (III) выполняется условие Pg (/), т. е. A2.2.6),
то f{x)-+l при х->оо.
Здесь термины „медленно колеблется" и „медленно убывает" упо-
употребляются не как в § 6.2, а в упомянутом в примечании к § 6.2
смысле, соответствующем интервалу (— сю, оо); связь между обоими
смыслами выяснится в § 12.8. А именно, теперь мы будем говорить,
что f(x) „медленно колеблется", если
A2.2.8) /00—/(*)-» 0,
когда
A2.2.9) у>х, *-»оо, у — х-+0,
и „медленно убывает", если она вещественна и
A2.2.10) и™ {/00—/(*)}> О
при тех же условиях. Так, f(x) при /' (х) = О A) медленно колеблется,
а при /' (х) >—Н медленно убывает. Очевидно, достаточно будет
доказать теорему 221 для вещественных и медленно убывающих /.
12.3. Леммы о преобразованиях Фурье. Мы будем опираться
на следующие теоремы о преобразованиях Фурье функций из L;
доказательства первых трех из них можно найти в любой книге,
посвященной интегралам Фурье. Символическая запись G~g будет
выражать, что „G есть преобразование Фурье для g".
Теорема 222. Если g принадлежит классу L и G~g, то G
непрерывна и ограничена.
Теорема 223. Если g принадлежит классу L и G — g, то
(С, 1),

12.4] ЛЕММЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА U 355
т. е.
для почти всех t. В частности, если О — тождественный нуль,
то и g равно нулю.
Эта формула обращения будет фактически нужна нам только ради
ее следствия, сформулированного в последней фразе.
Теорема 224. Если gar принадлежат классу L, то
также принадлежит классу L, и
H(t) = R
Теорема 225. Если Р.— р и Q~q, то
A2.3.1) P(t — c)~e-ictp(t),
A2.3.2) P(t— c)Q{t)^^T=^ Гp(t—u)q{u)ei<**du
и
A2.3.3) Р A-е) {Q(t)-Q (c)}~-^= J {р {t-u)-p (t)}q{u) e^-^du.
и
Из последних трех формул формула A2.3.1) очевидна, а A2.3.2)
следует из A2.3.1) и теоремы 224. Что касается формулы A2.3.3),
то в силу A2.3.1)
Р (t- с) Q (с) = P(^ZC) J q (и) е** du~^=f p{t)q (и) e^(u-t) du,
и A2.3.3) следует отсюда и из A2.3.2).
12.4. Леммы относительно класса U. Класс преобразований
Фурье функций из L мы будем обозначать через U. Если
где g принадлежит классу L, то мы будем писать
Очевидно, | G(<)|<;?/(G) для всех вещественных t.
23*

356
ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА
[ГЛ. XII
Теорема 226. Если G1 и О2 принадлежат классу U, то
также Q1-\-G2 и GiG2 принадлежат классу U, причем
Для Gj -\- G2 это очевидно. Что же касается произведения
то, по теореме 224, оно служит преобразованием Фурье для
так что
Теорема 227. Если Ог и О2 принадлежат классу U и
= d<l, то Я= 1 ' принадлежит классу U, и
Так как | О21< C/(G2) == d < 1, то
Н = 2 (- l^G? == 2 (- 1)п^«,
где Нп в силу теоремы 226 принадлежат классу U. Если Яга есть
преобразование Фурье для hn, то
N
^
N
Но так как в силу теоремы 226
то
N
N
N
когда М и N стремятся к бесконечности. Отсюда следует (по теории
„сильной сходимости" функций из L) существование функции А из I
такой, что
N

12.4]
ЛЕММЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КЛАССА U
357
а тогда
N
= Г heitlldu = lim —L= Г У (— I)" hne»><-du =
2it J w^co У^т J ^Jv ; "
Таким образом, Н принадлежит классу U. Наконец,
N
Последняя наша лемма будет относиться к функциям специального
вида, которые будут играть важную роль в доказательстве теоремы 221.
Положим
{
0 при
Тогда
V^2ic J ' тс * гЛ2п \ J. /
-1 \ 2
p (f) ч Р (t) принадлежат классу L, и каждая из них служит преобра-
преобразованием Фурье для другой, так что принадлежит классу U. Положим
еще
A2.4.1)
для каждого положительного X. Тогда К\ и kx будут служить друг
для друга преобразованиями Фурье и, значит, обе будут принадле-
принадлежать классу U.
Теорема 228. Преобразованием Фурье функции
1 при 111 <^ s,
A2.4.2)
служит
A2.4.3)
2 — LLL при s<U|<2e,
О при
—COS2s/

358 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
При этом
(так что дг принадлежит U), а
при фиксированном у и е —> 0.
Здесь qt(t) есть „трапецеидальная" функция, график которой
дан на фиг. 3, и q%(f) — 2kz(f) — ki_ (t), откуда непосредственно
2 S
следует A2.4.3). Далее,
-±= Г|Qe(t)\dt< JL(f 1=?«* dt+ ciz^liL dt) =
Y 2л J ' 'it \J st* J Ф )
_ _3_ Г 1 - cos и ,
~ к J Ifi au — *-
Наконец, полагая
f~2 cos ^— cos 2/
имеем Q,(t) — sC(st), С принадлежит классу L, и
f\Q,(t— y)—QtW\dt=*f\C(et— ay) —
что при s -+ 0 стремится к нулю.
12.5. Заключительные леммы. Наши последние две леммы
(первая из которых является теоремой, представляющей и самостоя-
самостоятельный интерес) составляют ядро доказательства теорем 221 и 220.
Теорема 229. Если g принадлежит классу W, h — классу L
и H(t) = 0 для 111 > 2Х, то -q—- принадлежит классу U. В част-
частности, это верно для H(t) = kx(t).
Иными словами, если О и Я являются преобразованиями Фурье
функций из L, причем G не обращается в нуль ни для одного t,
а Н равно нулю для всех t вне некоторого конечного интервала,
то тяг есть преобразование Фурье некоторой функции из L.
Разобьем отрезок [ — 2Х, 2^] на ./V равных частей точками

12.5]
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ
359
где в выбрано так, что ЗЛ/s = 4Х. Тогда (как видно из фиг. 4,
в которой вертикали проведены на одинаковых расстояниях а)
для 111 <! 2Х имеет место равенство
Поэтому, для 11| ¦< 2Х,
A2.5.1)
на)
N
N
л— О
G(t)
Так как й(()фО, a H(t) — 0 для |?|>2Х, то это равенство
справедливо для всех t, и в силу теоремы 226 достаточно доказать,
-2S-SO 6 2?
Фиг. 3
-2Л.-2Л+36
Фиг. 4
что каждая из функций у^п принадлежит классу U. Покажем, что
это действительно имеет место для достаточно малых а.
При |*-.*я|<2в
О (/) = О {Q + {Q{t)-0 (/„)} qu(t- g,
поскольку тогда 9„8(^ — ^,)=1; а при |/—/м|>2г
Поэтому
где
В силу теорем 226 и 228 Gx, G2 и Gs принадлежат классу i/,
н потому на основании теоремы 227 достаточно доказать, что при
малых е
A2.5.2)

360
ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА
(ГЛ. XII
Но
по теореме 225 A2.3.3), есть преобразование Фурье для
^ J {Q2e(/-«)-Q
Поэтому
~
dt
= i J
Q2t(t-a)-Qie(i)\\g(a)\du =
du J |
Внутренний интеграл в последней строке ограничен и для каждого
фиксированного и стремится к нулю при е -> 0; а §• принадлежит
классу L. Отсюда следует, что U(f)~*0 при s->0. С другой сто-
стороны, так как O(t) непрерывна и не обращается в нуль, то |G(rf)|
имеет на отрезке [— 2Х, 2Х] положительную нижнюю грань [а. Поэтому
^— -* 0- Отсюда следует, что для достаточно малых е
выполнено неравенство A2.5.2), чем и завершается доказательство
теоремы.
Теорема 230. Если, при дс->оо,
02.5.3)-^
все* положительных I, или некоторых произвольно больших X,
я /(?) ограничена и медленно колеблется, или вещественна, огра-
ограничена и медленно убывает, то f(x) -> /.
Мы можем считать /(/) вещественной и медленно убывающей,
а / = 0. Если f (х) не стремится к нулю, то существует такое поло-
положительное 8, что для произвольно больших значений х выполняется
одно из неравенств /(л;)>8 или /(¦*)<—8, пусть, например, пер-
первое. Так как Шп {/(у) —/(х)} >- 0, когда л:->оо, у>хиу — л:->0,
то тогда существуют сколь угодно большое хо=>хо(Ь) и некоторое
т| = т) (8) такие, что

12.6] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ 221 И 220 361
Полагая $. — x-\-f\ и обозначая через Ж верхнюю грань для |/|,
получаем тогда
1\ CO
Ь г sin2 Хы , 2М Г sin'Xa ,
= — —, „ ¦ аи —г-5-йи.
те J Хгг2 it J Хи2
При X —> оо первый из интегралов в правой части стремится к -к те,
а второй — к, нулю. Поэтому для достаточно больших X и произ-
произвольно больших \ выполняется неравенство
в противоречие с условием A2.5.3). Аналогично устанавливается, что
к противоречию приводит и предположение /(.*)< — 8. Тем самым
теорема доказана.
Требование, чтобы условие A2.5.3) выполнялось, для произвольно боль-
больших X, существенно. Так, преобразование Фурье ?*(*) функции K\(t) равно
нулю для 111 > 2Х, так что
для с>2Х. Тем самым условие A2.5.3) выполнено (с / = 0), когда f(t) = е*"*
и с >• 2Х; при этом / медленно колеблется. И, однако, / не стремится к нулю.
12.6. Доказательство теорем 221 и 220. Теперь уже легко до-
доказать теорему 221. Мы можем считать при этом f{f) вещественной
и медленно убывающей, а /=0.
В силу теоремы 229 -—- принадлежит U, т. е.
где гх принадлежит L. Поэтому согласно теореме 224
= f gii-u)rx(u)dU,

362 . ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
так что согласно теореме 223
Кх(х) = —= J g{x — u) rx{u) da
для почти всех х. Отсюда
= -y^ $ f(t)dt $ g(x — t— a)rx(u)du =
{u)du J g(x — t — u)f(()dt,
где обращение порядка интегрирования законно в силу теоремы
Фубини. Но внутренний интеграл справа ограничен (поскольку g
принадлежит классу L, а / ограничена) и, по предположению, при
каждом фиксированном и стремится к нулю, когда х -> оо. А гх при-
принадлежит классу L. Отсюда следует, что р (х) -> 0 для каждого X,
и, значит, в силу теоремы 230 f(x)->0.
Теперь легко доказать теорему 220; при этом мы снова можем
предполагать, что / = 0. Нам дано, что g принадлежит классу W,
h — классу L и / ограничена. Положим
m(x)= h(x-t)f{t)dt.
J
Очевидно, т ограничена. Далее,
m(y)—m(x)= Uh(y — t) — h{x — t)}f{t)dt,
т(у) — т{х)\*СМ j\h(y — t) — h(x~- t)\dt
где М снова означает верхнюю грань для |/|. Отсюда следует, что
т(у) — т {х) -> 0, когда х ->¦ оо и у — х ->¦ 0, т. е, что т (х) мед-
медленно колеблется.
Далее,
Jg(x — t)m (t) dt= J g{x — t)dt^ h(t— u)f(u)da =
= jf(a)dujg(x — t)h(t— u)dt =
= (f(u)du Г g(x — a — w)h(w)dw =
s= Гh(w)dwJ f(u)g(x — и — w)du

12.7] ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВИНЕРА 363
(где обращения порядка интегрирования снова законны на основании
теоремы Фубини). Но последний внутренний интеграл ограничен
(поскольку g принадлежит классу L, а / ограничена) и, согласно
предположению, для каждого фиксированного w стремится к нулю
при х -> оо. Так как, с другой стороны, h принадлежит классу L,
то заключаем, что
: — t)m(t)dt->0.
Но т(х) — ограниченная медленно колеблющаяся функция; следова-
следовательно, по теореме 221, т(х)-уО, а это и есть утверждение A2.2.7)
теоремы 220.
Мы вывели теорему 220 из теоремы 221. Легко также, обратно, вывести
теорему 221 из теоремы 220; но нам будет удобнее доказать это в § 12.8,
после преобразования этих теорем к виду, приспособленному к интервалу
@, оо).
Условие G(t)^O является в некотором смысле необходимым условием
в обеих теоремах. Если G(c) — 0, Н(с)ф0 и f{t) = e-ict, то
/ g(x-t)f(t)dt=f
для каждого х и, однако,
' h{x-t)f(t)dt = e-
!¦
не стремится к нулю. Таким образом, это условие в теореме 220 необходимо.
А так как e~ict вместе с тем медленно колеблется, то тот же выбор функций g
и / показывает, что условие О{()ф0 необходимо и в теореме 221.
12.7. Вторая теорема Винера. Винеру принадлежит и другая
теорема, об интегралах Стилтьеса, также вытекающая из тео-
теоремы 221. Мы будем пользоваться ею меньше, чем теоремой 220,
однако она имеет важное теоретическое значение, будучи непосред-
непосредственно применимой к бесконечным рядам. Мы должны начать с опре-
определения нового класса функций, содержащегося в классе L, но более
узкого.
Мы будем говорить, что функция g(t) принадлежит классу М,
если она непрерывна и
A2.7.1) ^ тах
(где сумма берется от —со до -j-co). Очевидно, что каждая функ-
функция g из М принадлежит классу L и что условие A2.7.1) равно-
равносильно условию
A2.7.2) ^ тах
для любых фиксированных а (ф. 0) и Ь. Если О принадлежит классу М,
9 ее преобразование Фурье О не обращается в нуль ни для какого t,

364 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. ХП
то мы будем говорить, что g принадлежит W*; таким образом, W* есть
подкласс класса W.
Наконец, мы будем рассматривать интегралы Стилтьеса вида
Г у {t) da (t), где a (f) имеет ограниченное изменение на каждом ко-
конечном интервале значений t, причем
#4-1
A2.7.3) J \da(u)\<H.
t
Теорема 231. Если (I) g принадлежит классу W*, (II) h при-
принадлежит классу М, (III) а удовлетворяет условию A2.7.3) и
A2.7.4) [g(x — f)da(f)-+lfg @ dt,
то
A2.7.5) J h(x—t)da(t) -> / Г h (t) dt.
Мы снова предполагаем, что / = 0, и полагаем теперь
т(х) = j k(x — t)da(f).
Так как
n+l n+l
= 2 Г I h («) 11 da (x — u) |< У. max | h (u) \ Г | da (x — u) |
max \h{u)\,
»+1
то т {х) ограничена. Далее,
= J lh(y — x + t) —
«(Jf—OK
Но последний ряд равномерно сходится для \у — аг|^1 в силу
равномерной сходимости ряда
шах

12.8] ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ИНТЕРВАЛА @, оо) 365
для |т|^1; вследствие же непрерывности функции h{t), каждый его
член стремится к нулю при х -» со, у>х и у— л: -> оо. Следо-
Следовательно, при указанных сейчас условиях т. (у) — т(х) -* 0, так что
т {х) медленно колеблется. Наконец,
S(x~ t) m(t)dt= § g(x — f)dt $ h(t — и) dot (и) =
= J At (a) J g(x — t)h{t—u) dt,
где обращение порядка интегрирования законно вследствие сходимости
интеграла
$ \g(x — t)\dt §\h{t—u)\\d*{u)\.
Но последнее равенство можно представить в виде
Г da(u) Г g(x — и — w) h (w) dw = Г h(w)dw \ g(x—u — w)da.{u).
Так как внутренний интеграл ограничен и при х -> оо стремится
к нулю для каждого w, a h принадлежит классу М и, значит, тем
более классу L, то заключаем, что
J g{x — t)m{t)dt ->¦ 0.
А тогда из теоремы 221 (так же, как при доказательстве теоремы 220)
следует, что т. (х) -»¦ 0.
Хотя теорема 231 и обладает преимуществом, указанным в начале
этого параграфа, мы будем пользоваться ею сравнительно редко.
Обычно удобнее будет с помощью предварительных преобразований
приводить интересующие нас вопросы к виду, приспособленному для
применения теоремы 220 или 221.
12.8. Теоремы для интервала @, оо). Произведем теперь в дока-
доказанных нами фундаментальных теоремах экспоненциальное преобразо-
преобразование. В результате они превратятся в теоремы о функциях, опреде-
определенных на интервале @, оо); именно в этой форме они обычно наи-
наиболее удобны для приложения.
Положим сначала *)
F(e*) = F(?), g (—/) =
так что интегралы
— t)f(t)dt,
*) Отказываясь от использования прописных букв только для преобразо-
преобразовании Фурье.

366 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
перейдут в
а затем заменим 5, х, F и О на х, (, f и g. В результате класс
L (— оо, оо) превратится в класс L @, оо). Класс W превратится
в подкласс функций из L (О, оо), для которых
A2.8.1)
для всех вещественных х; мы будем обозначать его попрежнему через W.
Класс медленно колеблющихся (убывающих) функций / превратится
в класс функций, медленно колеблющихся (убывающих) в смысле § 6.2,
т. е. в класс функций /, для которых
Нт{/О0—/(*)} = 0 [Ит {/(»—/(*)} >0]
при
х -> оо, у>х, ~ -> 1.
Таким образом, теоремы 220 и 221 преобразуются в следующие:
Теорема 232. Если g принадлежит классу W, h — классу L,
f ограничена и
A2.8.2) -j J g (^J/ @ dt -* / J g (f) dt,
mo
A2.8.3) — Г h (—)f (f)dt -> / Г h (t) dt.
Теорема 233. Если g принадлежит классу W, f ограничена
и медленно колеблется, либо вещественна, ограничена и медленно
убывает, в смысле § 6.2, и выполняется соотношение A2.8.2),
то f(x) -»• /.
Интегралы берутся здесь от 0 до оо. Вообще интегралы с неука-
неуказанными пределами будут браться от — оо до -f- оо, если в них
входит х — t или в*®*, и от 0 до оо, если в них входит — или t-ix.
Для получения аналога теоремы 231 полагаем

12.8] ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ИНТЕРВАЛА @, Оо) 367
и заменяем затем А снова на а, так что условие B.7.3) превра-
превращается в
A2.8.4)
t
Класс М превращается в класс непрерывных функций G, для которых
2 max | Ю @ | < оо.
Понимая М в этом и W* в соответствующем смысле, получаем сле-
следующее предложение:
Теорема 234. Если (I) g принадлежит классу W*, (И) h
принадлежит классу М, (III) а удовлетворяет условию A2.8.4), и
A2.8.5)
то
A2.8.6)
Наконец, заметим, что если
то
I J *(i
а классы функций, участвующие в рассмотренных теоремах, не изме-
изменяются. Отсюда
Теорема 235. Теоремы 232 и 233 сохраняют силу, если и
в предположениях и в заключении х стремится не к оо, а к 0.
В § 12.6 утверждалось, что теорему 221 можно вывести Из тео-
теоремы 220. Теперь мы можем показать, как это делается. Требуемый
вывод равносилен выводу теоремы 233 из теоремы 232. Если f(t)
ограничена и мы положим
A при <)<,<!,
1 0 при t>\,
то из теоремы 232 будет следовать, что
A2.8.7)
Если, кроме того, f(f) медленно убывает, то из интегрального ана-
аналога теоремы 68 (§ 6.2) будет тогда следовать, что /(#)-»•/.

368 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
12.9. Некоторые специальные ядра. Особенно важную роль
играют следующие функции g(f)— первая для (—со, со), остальные
для @, со):
г ГЦ -- '
A) g{t) = e~GP (c>0): J g{t)e^tdt=y ^e ic фО.
B) g(f) = e-*: $ g(t)t-i*dt = T(l— 1х)фО.
И при 0<*<1,
D) fW {
I 0 при
1
J g (о м- dt = k J (i - о*-11-** <и= rr(f+ir—/
E) ^@=(^J: °
J g (/) /-'» Л = й<* Г (— 1 — ix) sh iirx ^z 0 *).
F) ,@=!(^)°:
J g @ ^-ia!^ = /* 2!+** Г (— 2 — /*) ch i-itA; ф 0 *).
G) Если
TO
== (ix — 8) Г A — fc: -j- 8) С A — ix + S)
для S > 0, x ф 0, откуда, беря 8 -> 0, получаем
J g @1-**dt=*ixГA — ix) СA — ix)
для a; ^to. При л: = 0 левая часть принимает значение —1. Таким
образом, утверждение, что g{t) принадлежит классу W, равносильно
теореме, что С A — ix) ф 0.
(8) Наконец, полагаем g-0(^) = |— 1 и
S @ = 2^о @ - Я|Го (at) — dg0 (df),
*) В случаях E) и F) при х = 0 следует брать соответственно предель-
предельные значения -^ v и —1.

12.9] НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЯДРА 369
где а и b положительны и ^-^ иррационален. Так как tg0 (t) -» 1 при
f->0, то ядро go(t) не принадлежит классу L. Но
для малых t и g (f) = 0 для больших t, так что g (t) уже принад-
принадлежит L. Если JRs > 0, то
_ 1 if
~4l\V
" _u\_i_ \ CA
,<„_;,
Последнее равенство доказано для 9?s > 0; но поскольку обе его части
регулярны для 9ts > — 1, оно сохраняет силу для всех таких s, и,
в частности, для s = — ix, где х вещественно. Наконец, так как отно-
отношение .-^^ иррационально и СA—ix) ф0, то f @)=loga-\-logЬфО,
и
т (_ ix) = B — eix i0«a — etoo log b) LlLz^
1 iX
для x ф 0. Таким образом, ? G) принадлежит классу W.
Мы видим, что в последних двух примерах утверждение о при-
принадлежности функции g (t) классу W равносильно теореме, что С (s)
не имеет нулей на прямой o = *Rs=l. Это естественно наводит на
мысль, что наши теоремы с этими функциями g(t) должны играть
важную роль в теории распределения простых чисел.
Функции A) — G), очевидно, принадлежат классу L, и, значит,
функции A)—(8) все принадлежат классу W. Ясно также, что функ-
функция A) принадлежит классу М. Наконец, если g непрерывна и для
больших t есть О (щ^), где 8 > 0, то
2 max
2 max
n<«<en+1
о en<«<e
Следовательно, функции A), B) и E) — G) принадлежат классу М,
а D) принадлежит ему при &> 1 и не принадлежит при Д-^1, по-
поскольку в последнем случае она разрывна.
24 Зак. 2499. Г. Хардн

370 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
12.1.0 Применение общих теорем к некоторым специальным
ядрам. Применим теперь наши теоремы к некоторым из ядер, рас-
рассмотренных в § 12.9.
A) Если
Ш1— О* при 0<*< 1,
0 при /> 1
и k > 0, то теорема 232 дает:
если
ТО J
т. е.
если /(*)->/ (А) и / @ = О A), то / @ -> / (С, Л).
Частный случай ft = 1 совпадает с теоремой 92а. В гл. VII мы видели,
как из теоремы 92 можно вывести все теоремы § 7.5, частью являю-
являющиеся ее прямыми обобщениями. Это приводит нас к вопросу, допу-
допускают ли и общие теоремы Винера соответствующее распространение.
В частности, возможно ли (несомненно, ценою дальнейших ограниче-
ограничений на g) заменить условие ограниченности функции f(t) односто-
односторонним условием / (t) > —Я? К этому вопросу мы вернемся в § 12.12.
Беря g = k(\—t)k-1 и h = v.(\—t)'-1, гдеО</<й, для^< 1,
и g = h = 0 для ^>1, получаем:
если / @ -> / (С, k) и / @ = О A), то / @ -> / (С, х).
Если у. > k, то это заключение имеет абелевский характер и никакого
дополнительного условия на / не нужно. Легко показать, что если
— 1 < kt < k < ft9> то
/(*) = ОA) (С, ft,) и /(*)->/ (С, ?2) Елекут/(*)-+/ (С, А);
это — вид, принимаемый теоремой 70 для функций непрерывного пе-
переменного.
B) Беря в теореме 233 g (t) = e-f, получаем, что ecAuf(t) -> / (А)
и /—ограниченная медленно убывающая функция, то f->l. Это—
несовершенная (хотя и никоим образом не тривиальная) теорема, по-
поскольку согласно теореме 105 условие ограниченности функции /
ненужно. Это приводит нас к вопросу, нельзя ли (возможно, снова
ценою некоторых ограничений на g) отказаться в теореме 233 от
условия ограниченности.
В этой связи небезинтересно рассмотреть, почему в теореме 106а
не нужно условие ограниченности. Эта теорема увенчивала в гл. VII
довольно сложную цепь рассуждений; здесь мы рассмотрим только
простейший ее случай, когда /'(/) = О (-А. В этом случае простое

12.10] ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩИХ ТЕОРЕМ К НЕКОТОРЫМ ЯДРАМ 371
рассуждение, аналогичное проведенному в § 7.2, показывает, что
если/=ОA) (А) и /' = о(у), то /=0A),
и этим сразу обнаруживается, что условие „/ ограничена" есть до-
довольно тривиальное следствие других предположений.
Мы не можем надеяться столь же легко решить поставленный
выше вопрос при общем g и менее сильных ограничениях на /;
однако в § 12.13 мы докажем теорему, дающую ответ на него при
весьма общих условиях.
C) Беря в теореме 234
{k A —t)*-1 при /< 1,
О при*>1,
где k > 1, получаем:
е? ее
если ~ J е~"~* da (t) ->/ и J L^_MJ < Н> т0 ]L J (x—t)k-xdct (/)-»/.
t о
Мы не могли взять k = 1, поскольку тогда h, будучи разрывной, не
принадлежала бы классу М. Если теперь a (t) = st -j- s2 -f- ...-{- sn
для я<^<я-}-1) то получаем:
et
если sn-> / (А) и V '—^ < Н, то sn~> l (С, k)
t
для k > 1. В частности, второе предположение выполняется для
ограниченных sn. Таким образом, мы пришли к теореме о рядах,
в одном отношении несколько более общей, чем теорема 92, но зато
более слабой в том отношении, что в ней утверждается суммируе-
суммируемость только для k > 1, а не для k = 1. Комбинируя эту теорему
с теоремой 70 и предполагая sn ограниченными, мы можем доказать
суммируемость (С, 1) и даже суммируемость (С, k) для любых поло-
положительных k. В этом случае применение теоремы 234 вместо тео-
теоремы 232 не представляет никакого особого преимущества; однако
для других g переход от интегралов к рядам может оказаться не
столь прямым.
D) По примеру § 4.17 (где мы имеем дело с аналогичными опре-
определениями для рядов) естественно принять для предположений, что
при у —> О
A2.10.1)
или
A2.10.2)
21*

372 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА ' [ГЛ. XII
соответственно символическую запись
l (R, 2).
ff(t)>
Выбирая g(t) как в § 12.9 E), получаем:
если /(*)->/ (Rj) и /(/) = ОA), то /(*)->/ (С, к)
для любого й > 0. Обратное заключение, получающееся путем пере-
перестановки R2 и (С, k), также справедливо: методы R2 и (С, k) для
ограниченных / равносильны. В § 12.12 мы увидим, что при k = \
условие ограниченности можно заменить односторонним условием
/>-Я.
Теорема 233 дает:
„Если f-+l (R2) и f ограничена и медленно колеблется, то /-W;
то же получается и путем комбинации только что доказанного с тео-
теоремой 68а (§ 6.2). В § 12.14 мы увидим, что условие ограниченности
может быть отброшено.
Теорема 234 дает:
A2.10.3) если sn->s (R8) и sn=O(l), то sn-+s (С, k)
для &> 1. С помощью теоремы 70 можно, как и в случае C), осво-
освободиться от ограничения k > 1.
Заметим, что ни в одном из этих случаев непосредственное при-
применение одной из „ключевых теорем" не позволяет еще исчерпать
всей истины: всегда требуется дополнительное рассуждение, опираю-
опирающееся на существенно более простые теоремы. Притом все эти резуль-
результаты могут быть получены и другими методами. Так, Сас, опираясь
на теорему 94, но без помощи какой бы то ни было из винеровских
теорем, доказал, что
если lim —7г V -*±- sin2 — яб = / и я?и>—Н, то lim — 2^пЬп — I,
а затем Харди и Рогозинский доказали это, а также обратное заключе-
заключение, еще более простым способом. Заменяя 8 на 2_у и пдп на sn, по-
получаем A2.10.3) с обобщением на одностороннюю ограниченность.
Далее, в Приложении III мы увидим, что суммируемость (R2) вле-
влечет суммируемость (А), без каких бы то ни было дополнительных
ограничений на рассматриваемую последовательность или функцию.
Тогда мы будем в состоянии вывести любую из этих теорем таубе-
рова типа для R2 из ее аналога для А.
E) Предположение A2.10.2) в своей непосредственной форме не
есть предположение винеровского типа. Если, однако,

lV2.ll] ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 373
для больших t, то интегрирование по частям дает
где g(t) есть, с точностью до знака, функция из § 12.9 F), В При-
„. Vi sin2nv
ложении III мы увидим, что сходимость ряда V -—^-
малых у влечет сходимость ряда У-уи тем более оценку sn — о (я2).
Если принять это и соответствующую теорему для интегралов за из-
известное, то теорема 232 дает:
если /-*./ (R, 2) и/=ОA), то /->/(С, А),
и возникают аналогичные вопросы о возможных обобщениях. Как мы
увидим в § 12.16, для этой функции g (t) они менее просты благо-
благодаря непостоянству ее знака. Однако в Приложении III мы докажем,
что суммируемость (R, 2) всегда влечет суммируемость (А), так что
теоремы тауберова типа для (R, 2), подобнсг аналогичным теоремам
для R2> можно вывести из соответствующих теорем для А.
В заключение этого параграфа сделаем два замечания общего
характера.
(а) Часто случается, что результат, доставляемый винеровскими
теоремами, может быть проще получен другими методами: это верно,
например, для всех теорем гл. VII, а также для теорем, приведен-
приведенных выше в пункте D). Достоинства винеровского метода заклю-
заключаются в его большой мощности и общности, равно как и в том
свете, который он проливает на весь предмет в целом, но отнюдь
не в простоте.
(б) С каждым отдельным ядром g (t) связан комплекс теорем
тауберова типа, находящихся во взаимных отношениях разной сте-
степени трудности. Одна из винеровских теорем для g „выпадает на
карту" в некотором пункте, но не всегда именно в том, который
нам нужен. Обычно из одного пункта карты возможен переход в дру-
другой с помощью сравнительно простых рассуждений; и обычно легче-
сделать это, чем тратить энергию на видоизменение общих теорем,
хотя подобные видоизменения часто и представляют значительный
самостоятельный интерес.
12.11. Применения к теории простых чисел. Одним из наибо-
наиболее выдающихся применений винеровских теорем является применение
их к теории простых чисел. Уже давно было известно, что „асимпто-
„асимптотический закон распределения простых чисел"
A2.11.1) п(х)~*-
v ' log*

374 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
„примерно равносилен" теореме (впервые доказанной Адамаром и
Валле-Пуссеном), что
A2.11.2) СA + й):?О
для всех вещественных т. Винеровские теоремы позволяют придать
этому утверждению значительно более точную форму, чем это было
раньше возможно. Все предшествующие доказательства асимптоти-
асимптотического закона распределения простых чисел заимствовали из теории
функции C(s) не просто свойство A2.11.2), но и какое-либо более
сильное утверждение, например, что
(log I - \f
для больших |т |.
Известно, что асимптотический закон распределения простых чисел
равносилен соотношению
ПО 11 Q\ ,Ь ( v\ ^С Л /,Л _ , v
или также (хотя доказательство этого менее известно) соотношению
A2.11.4) Ж(*) = 2 U- («) = о (х) *).
Мы сейчас выведем соотношение A2.11.4) из теоремы 233 и условия
A2.11.2). Выберем g(t), как в § 12.9(8), и положим
A2.11.5) p
Как мы видели в § 12.9, g принадлежит классу W. Ограниченность
функции / очевидна. Поэтому если мы сможем доказать, (I) что /
медленно колеблется и (II) что fag удовлетворяют условию A2.8.2)
с / = 0, то A2.11,4) будет следовать из теоремы 233. Но
4
*) По поводу определения функций Л (п) и jj. (n) см. Hardy and Wright,
гл. 16—17, или Ингам, Распределение простых чисел, гл. 1. Вывод соотно-
соотношения A2.И.З) из A2.11.4) будет дан в Приложении IV.

ОДНОСТОРОННИЕ УСЛОВИЯ 375
когда л:-»-со и >\. Таким образом, / медленно колеблется. На-
;конец,
1 X
nn<ai
поскольку последняя внутренняя сумма равна 0 для всех q, кроме
q = 1, для которого она равна 1. Следовательно,
= 2 J go(-j)f(f)dt—a J go(~)f(t)dt
что есть A2.8.2) с /=0. Тем самым мы доказали соотношение
A2.11.4), а с ним и асимптотический закон распределения простых
чисел.
12.12. Односторонние условия. В этом параграфе мы покажем,
каким образом оказывается возможным заменить условие ограни-
ограниченности функции f(t) теоремы 232 более общим условием
A2.12.1) f(t)>—H.
Для простоты мы ограничимся тем наиболее важным частным слу-
случаем, когда h{f) есть функция g{f) § 12.9 C); на нашу же тепе-
теперешнюю функцию g(t) придется наложить дополнительные условия.
Теорема 236. Если (I) g принадлежит классу W, (II) g ^> О
для всех t, (III) существуют такие положительные числа с и К,
что
A2.12.2) g(t)>K
для 0<^.<с, (IV) /удовлетворяет условию A2.12.1) и (V) для f
и g выполнено условие A2.8.2), то
f{x)-±l (С, 1).
Мы можем предполагать (добавив Н к /), что/^-0, а также,
что Г g (t) dt = 1. Положим
A2.12.3) °(*)=

376 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
так что
A2.12.4) з'(х)
для почти всех х. Тогда
Левая часть стремится к пределу при х -> со и потому ограничена
для больших х. Таким образом, о (х) ограничена для больших х,
а потому и для х^-1.
Пусть о(лг)^[1 для лг^-1. Тогда в силу A2.12.4)
для почти всех дг>-1. Следовательно, <з(х) есть медленно убываю-
убывающая функция. Далее,
f g (и) f (xu) du-+1
и, значит,
о
Но левая часть равна
X
= f g(u)o(xu)du = ± f
Следовательно, последний интеграл стремится к /. Применяя тео-
теорему 233, с о вместо/, заключаем, что о(лг)-»/, т. е. f(x)-*l (С, 1).
Условия теоремы выполнены, например, для g{t), равной е-*
2
или (—г—) • В первом случае получается теорема 94а, тогда как во
втором —
Теорема 237. Если/(?)^1 (R2) uf(t)>—H, то f (t) -> / (С, 1).
Это в соединении с результатом, получающимся, если переставить
здесь R2 и (С, 1), есть теорема Винера, упомянутая в § 12.10D) и
доказанная другим способом Харди и Рогозинским. Условия тео-
теоремы 236 не удовлетворяются, когда g(t) есть ядро § 12.9F), свя-
связанное с суммируемостью (R, 2), поскольку это g{t) не сохраняет
постоянного знака.
Теорема 236, в отличие от теоремы 232 или 233, есть теорема
со специализированной функцией h; но это не является серьезным

42.13] ТЕОРЕМА ВИДЖАЯРАГАВАНА 377
недостатком, поскольку обычно из существования (С, 1)-предела
можно вывести A2.8.3) для любой требуемой h. Эта теорема не
может быть верной для всех g из W без исключения: какое-то
дополнительное условие на g должно налагаться. Пусть, например,
( 1 —21ogj при 0<г<1,
[ 0 при f^- 1.
Очевидно, g принадлежит классу L, и так как
J
то g принадлежит классу W. Но если f {t)=t, то / ^- 0 и
о
и, однако, /(х)->оо (С, 1).
12.13. Теорема Виджаярагавана. Следующая наша теорема при-
принадлежит к другому типу и не опирается на теорию преобразова-
преобразований Фурье.
К ней приводит замечание о применениях теорем 232 и 233, сде-
сделанное нами в § 12.10 B). Эти теоремы основываются на предполо-
предположении, что f(f) ограничена; но в приложениях оно часто стеснительно.
Поэтому важно получить другие теоремы, в которых ограниченность
функции f(t) выступала бы как утверждение, а не предположение.
Такая теорема должна была бы иметь вид: „Если g(t) принадлежит1
классу L и удовлетворяет, скажем, условиям (a), a f{t), или sn,
удовлетворяет условиям (р), и
$s(^)f®<tt*l$g{t)dt [или
или, по крайней мере, указанные интеграл или сумма ограничены, то
f(t), или sn, ограничена". При этом условия (|J) не должны сами
влечь ограниченности, а условия (ос) не должны включать винеров-
ских. Этот и следующий параграфы будут посвящены доказательству
теоремы этого типа, принадлежащей в основном Виджаярагавану. Нам
будет удобно, следуя самому Виджаярагавану, оперировать не с инте-
интегралами, а с рядами, и притом немного обобщить его условия.
Итак, мы будем теперь иметь дело с некоторым методом сумми-
суммирования, определяемым формулой
A2.13.1) x(x) = 2cn(x)

378 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
При этом мы будем предполагать, что
A2.13.2) сп(*)>0, сп(х)->0 (х-юо), 2ся(х) = 1,
так что наш метод будет вполне регулярен.
Теорема 238. Пусть выполнены следующие условия:
(I) ср (и) положительна и дифференцируема для и^-1, причем
A2.13.3) ш->оо, 0<<?'<К,
где К не зависит от и, и
A2.13.4) ф^ =
1
так что Ф -*¦ оо вместе с и).
(И) Коэффициенты сп в дополнение к уже сформулированным
свойствам обладают еще следующими:
A2.13.5)
при М -у
A2.13.6)
и
A2.13.7)
ОО, X —> ОО U
со
2-
ж
2с«(*)->о
Я = 0
Ф(х) — Ф(Ж)->оо;
со
2 с (х)^-0
с (х) (Ф(«) — Ф(Л/I
N -> оо, лг -> оо и Ф (ЛГ) — Ф (х) -> оо *).
(III) Функция s(^) = sw с?ля «<^^<«-|-1 такова, что
A2.13.8) lim{s(*) — s(m
оо, ^>м, ~7 . ->• 0.
<Р(и)
(IV) х (д:) = 2 си (•*¦) sn ограничено.
Тогда sn ограничены.
Нам потребуется следующая лемма.
*) То-есть
ж
% 2
о г?
когда д:, М, N, Ф (jc) — Ф (М) и Ф (Л^) — Ф (х) все превосходят некоторые
числа, зависящие от в. В приложениях х, М и N будут функциями пара-
параметра Н, стремящегося к оо. Мы не используем в полной мере условий,
наложенных нами на tp (к) и с„, довольствуясь установлением теоремы в форме,
достаточно общей для приложений.

12.13] ТЕОРЕМА ВИДЖАЯРАГАВАНА 379
Теорема 239. Если s (t) удовлетворяет условию (III), a <f (и) —¦
условию (I) теоремы 238, то существуют такие положительные
числа а и Ь, что
'A2.13.9) s(q)-S(p)> -a J-^L _д= -а {Ф(д) -Ф (р)} -Ь
v
для q^p^l.
Из условия (III) следует существование таких U и 8, что
A2.13.10) s(t)— s(u)> — I,
когда
A2.13.11) *>«></, ^у<5-
С другой стороны, при условиях м<?/ и ^^ U-\- 89 ({/), s(/) — «(и)
имеет нижнюю грань, зависящую только от U. Отсюда следует суще-
существование таких чисел f и 8, что
A2.13.12) S(*)_S(«)>_T
для всех t и и, удовлетворяющих неравенствам
A2.13.13)
Положим
A2.13.14) ро = р, Pi=
и пусть pr<Ci <Pr+v Тогда в силу A2.13.12)
v A2.13.15) 5(?)-5(р)=|{«(йи)-5(
+ s(?) — s(P,) > — (/¦+От»
и
г —1
A2.13.16)
Но
A2.13.17)

380 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
Из неравенств A2.13.15) и A2.13.17) следует тогда, что
р
а это и есть A2.13.9).
12.14. Доказательство теоремы 238. Нам нужно доказать, что sn
ограничены. Если бы sn стремилось к -(-оо или — со, то (поскольку
наше преобразование вполне регулярно) то же имело бы место и для т (х),
Поэтому достаточно доказать, что предположения
(а) ф) = ОA),
(б) lim | sn | = со и
(в) sn не стремится ни к -\- оо, ни к — оо,
приводят к противоречию.
Положим
A2.14.1) Oi@
Ясно, что Oj (^)"и о2 (/)""являются возрастающими функциями от t, что,
по крайней мере, одна из них стремится к оо и что имеются две
возможности: либо (a) Oj(«)^a2(/z) для бесконечного множества зна-
значений я, либо (|3) Oj (я) < а2 (л) для всех достаточно больших п. Мы
рассмотрим каждую из этих двух возможностей и покажем, что и та
и другая ведет к противоречию.
Случай (а). Ясно, что в этом случае at (t) -> оо и что для каж-
каждого заданного Н существует такое М, что
A2.14.2) sm=31(M)>2H, ax(M)>a2(M).
Возьмем наименьшее М = М (Н), удовлетворяющее этим условиям,
а затем наименьшее N= N(Н) > М такое, что
A2.14.3) sN<Jsu>
такие N наверняка имеются для больших И, поскольку в противном
случае sn стремилось бы к -\- оо.
Так как
то
jSM — d>H- Ь.
и, значит,
Ф (Л/) — Ф (М) -> оо,
когда #-»оо. Поэтому, если х таково, что
A2.14.4) Ф(х) = -,

12.14] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 238 381
то
A2.14.5) Ф(х) — Ф(М)-+оо, Ф(Л/) — Ф(*)~>«э.
Представим х (х) в виде
A2.14.6) т (*)==( S'+S+S )cn(x)sn = r1(X) + 4(x) + ,a(x)
n=0 n=M n=N
и оценим по порядку ij, х2 и т3, обозначая вообще через 8 (Я) функ-
функцию от Я, стремящуюся к нулю при Я -> оо. Во-первых, в силу
A2.14.1), A2.14.2) и A2.13.5) имеем
ш—х ж
A2.14.7) т1(х)> — 2 2
Во-вторых, так как N есть первое «, большее чем М и удовлетво-
удовлетворяющее неравенству A2.14.3), то в силу A2.14.2), A2.13.5/и A2.13.6)
N — 1 Ш оо
A2.14.8) y*)>iei(AfJcn = iOl(Af)(l-2*« —2
Ж+1 О N
В третьих, если n^N, то в силу A2.13.9)
A2.14.9) sn — sN~i >—а{Ф(п) — Ф (Л/— 1)} — Ь.
Далее, s п _у^>-^ s ж^> Н ~^> b-\-\ для больших Н, и
ф(Л/)-Ф (JV-1)= /да-0,
N—1
так что аф (Л/) < аФ (Л/'— 1) -\~ 1 для больших Я. Поэтому из
A2.14.9) следует, что для больших Н
sn>— а{Ф(л) —
и в силу A2.13.7)
A2.14.10) тв(*)>—
Соединяя теперь A2.14.7), A2.14.8) и A2.14.10), получаем
Но правая часть стремится к бесконечности вместе с Я, а это про-
противоречит предположенной ограниченности функции х (я). Таким обра-
образом, случай (а) приводит к противоречию.

382 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
Случай ф). В этом случае а2 («) > а1 (п) для всех достаточно
больших ге, и а2(я)-»оо. Выбираем наименьшее Л/=Л/(#) такое,
что
A2.14.11) Оа(я)>о1(я) (я>Л/), %=_Оя(Л0< —2Я,
а затем наименьшее М = М(#)<Л/, для которого «ж>--^-5„==
= — -g- °з (АО; такое Ж при большом Н наверняка имеется, так как
в противном случае sn стремилось бы к — со. Таким образом,
A2.14.12) sM> —1а 1
Тогда в силу A2.13.9)
A2.14.13) 8к — 5
и так как sN — sM < -^ % < —Н, то
а{Ф(Л/) — Ф(Щ >Н—Ь,
так что Ф (Л/) — Ф(Л1)->оо, когда #->со. Следовательно, для лг,
определенного формулой A2.14.4), еще имеют место соотношения-
A2.14.5).
Представим теперь т (х) в виде
Ж N оо
A2.14.14) *(*) = ( 2+ 2 + 2
и оценим Tj, х2 и т3. Во-первых, в силу A2.14.1), A2.14.11) и
A2.13.5)
м м
A2.14.15) ^(х)<
о
<2(ra<(
о
Во-вторых, в силу A2.14.12), A2.13.5) и A2.13.6)
A2.14.16) т,(*)= 2 c»s» < —-Je»W
Л/Ч-1 Ж + 1
Ж с»

12.14] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 238 383
В третьих,
00 СО -СО
A2.14.17) тв(*)= 2 сЛ< 2 Vl(«)< 2 V2(«) =
N + 1 N + 1 N + 1
JV+1
Но в силу A2.13.9)
A2.14.18) _5в_вв(Л0 = -*п
для «>Л/, и потому
A2.14.19)' о2(л) —а2(Л/)<
Следовательно, в силу A-2.14.17), A2.13.6) и A2.13.7)
A2.14.20) т3(х)<Оа(Л/) 2 сп + а 2 с„ {Ф (я) —Ф (Л/)} +
ЛГ+1 N + 1
N + 1
Теперь из A2.14.15), A2.14.16) и A2.14.20) следует, что
*(*)<--{¦§—8 («)} "а (ЛО,
и, значит, т(л:)->- — оо, когда Я->оо. Но это снова противо-
противоречит предположению. Тем самым отпадает и случай ф), и теорема
доказана.
Пусть, в частности,
1 п
В таком случае
о о
когда > 0, т. е. log х — log M -> оо; и
2
*) а2(и) = max(— s4) — max{oa.(/V), — %+1, ..., — «„}. Если бы этот
максимум равнялся <s%{N), то неравенство A2.14 19) было бы тривиально.
Если же он равен одному из — sN + 1, ..., —sn, то A2.14.19) следует из
A2.14.18).

384 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
N
когда >• со, т. е. log ^V—log л:-> со. Наконец,
и = 0
—
— — 1 у —
что стремится к нулю, когда лг->со n.logN—logx->со.
Таким образом, условия (I) и (II) теоремы 238 выполнены, тогда как
условие (III) утверждает, что sn медленно убывает в смысле § 6.2. Поэтому
заключаем, что если sn = O(l) (А) и sn медленно убывает, то sn = O{l).
Теперь из теоремы 233 можно вывести, что если sn-*s (А) к sn медленно
убывает, то sn-+s, т. е. теорему 106. Таким образом, теорема 106 есть
следствие теорем 233 и 238, не будучи, однако, как мы видели в § 12.10 B),
следствием одной только теоремы 233.
В качестве второго примера возьмем
(с теми же tp и Ф). Тогда A2.13.1) равносильно соотношению sn-+s (R2).
В этом случае
Ш 4in2-5L Ж
(
N N
gin2 -—
(
J
N
х N
когда тг -> со и *¦ со, так что условия теоремы 238 выполнены. Таким
образом, комбинируя ее с теоремами 234, 70 и 68*), получаем:
Теорема 240. Если *re->s (R2) и sn вещественны и медленно убы-
убывают, то sn~*-s,
12.15. Суммируемость по Борелю. В § 9.13 мы доказали, что
если sn-*s (В) а а„ = О(~7=\ > т0 sn-+s- Теперь нашей целью
будет доказательство следующего предложения:
*) См. § 12.10 D).

12.15]
СУММИРУЕМОСТЬ ПО БОРЕЛЮ
385
Теорема 241. Если sn^-s (В) и
A2.15.1) lim(sra — O
когда
A2.15.2)
от
оо, п>т,
у яг
n
Эта теорема, впервые доказанная Р. Шмидтом и Виджаярагаваном,
является наиболее общей теоремой тауберова типа, относящейся
к суммируемости (В).
Имеются различные методы доказательства этой теоремы» Можно
комбинировать теорему 238 с идеями, использованными Харди и Литтль-
вудом в их первоначальном доказательстве теоремы 156: это-^
м_етод, которому следовал Виджаярагаван. С другой стороны, можно
комбинировать ее с теоремами, примененными в §§ 9.10—9.13*). Но
наиболее естественным здесь будет комбинировать теорему 238 с одной
теоремой винеровского типа.
Заметим сперва, что здесь нет необходимости делать различие
между суммируемостями (В) и (В'). В самом деле, согласно тео-
теореме 126 sn^>-s (В') равносильно sn_1^-s (В), но условие A2.15.1),
очевидно, не изменится от замены /иияна/ге—1 ил—1.
Проверим, далее, что метод (В) удовлетворяет условиям тео-
теоремы 238, с у(и) = 2У~п, Ф (и) = Yu—!• Нам нужно показать,
что
ш
A2.15.3)
A2.15.4)
A2.15.5)
когда
A2.15.6)
Но если
и если О
N
N
—УМ->оо, Yn—Yx->
oo.
= р, то М = У~М(Ух — |i)<jc- {i У^х,
= v, то Af> x -\- 2v j/x > x -j- v Ух. Поэтому
*) При этом некоторые места рассуждений §§ 9.10—9.13, в которых
в полном объеме использовано предположение ап ¦.
изменить, но требуемые изменения не трудны.
25 Зак. 2499. Г. Харди.
§
\\ п)
придется видо-

386 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
соотношения A2.15.3) и A2.15.4) будут следовать из
х— [>.Vx
последние же верны в силу теоремы 137D). Что же касается со-
соотношения A2.15.5), то имеем
^•ух ^уУ v я! Y~>
где 5 = М- Но из теоремы 137*) следует, что
СО ^2 ОО р СО
01 —. » fti 0 2с \ ~— /~) ( ___ I /л 2Е /-//¦ 1 -._- /^) ( 1 11а — W sf // \ '¦ /-ч /" 1 \
I ~~* Т FiLC I ¦ L/ I —*¦ I it; * itL I "' (_y I UC ItU. J ' " ¦ (J I 1 I,
Таким образом, условия (I) и (II) теоремы 238 выполнены. Следо-
Следовательно (при выполнении условий теоремы 241), sn ограничены.
Для того чтобы использовать винеровские. теоремы, мы должны
представить суммируемость (В) в виде интегрального соотношения
винеровского типа. После всего предшествующего мы можем пред-
предполагать, что sn ограничены, и, кроме того, можем принять ,у = 0,
так что sn->0 (В). Но мы доказали в § 9.10 (теорема 151), что
в таком случае
-~ Г е 2я> s(f)dt-+Q,
когда дг-^-оо **), т. е. что
с»
A2.15.7) Jexp{-!5^} ?,(«¦)*«-> 0,
о
когда у —> со. Мы заменим теперь это более простой формулой
A2.15.8)
*) Применяя (9.1.8) на интервале (yY%>&) и (9.1.6) на интервале (S-, оо)
См. сделанное в § 9.10 замечание о тривиальности „хвостов" таких сумм.
•*) Фактически мы предполагали только, что sn = o(yr~n).

12.16] суммируемость (R, 2) 387
Очевидно, A2.15.8) будет следовать из A2.15.7), когда s (t)
ограничена, если
A2.15.9)
т. е. если
du->0.
A2.15.10) J= j\<o(w,y)\dw-yQ,
где
, у) = «— - *±* ехр { -
Разобьем J на две части J1 и J2, взятые соответственно для
и I^K^8, где 0<За< 1. В Jlt для больших у,
w
у l
и <р =.0(| w | е а J, так что 7j->0..B У2 имеем г« = <
ехр| — 2te»2(-
так что
72 = О (_у3«-1) J e-Wdw -> 0.
Этим доказано A2.15.9), а тем самым и A2.15.8).
Возьмем теперь
У W 1 0
Тогда g принадлежит к классу W (§12.9A)). Далее, если t >«,
м->-со, t—и->0, т = t2, о = и2, то
так что
Таким образом, /(^)—медленно убывающая функция (§ 12.2). И так.
как мы уже доказали ее ограниченность, то из теоремы 221 следует,
что f{t)-+ 0, т. е. что 5и->0.
12.16. Суммируемость (R, 2). Мы заключим эту главу доказа-
доказательством следующей теоремы для суммируемости (R, 2), соответ-
соответствующей теоремам 106 и 240.
25*

388 ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА [ГЛ. XII
Теорема 242. Если sn->s (R, 2), т. е. если
при 6 -> 0, и если sn медленно убывает, то 2 ап = s-
Эта теорема, и ее аналог для f{t), представляет дополнительные
трудности, поскольку, как мы видели в §§ 12.10 E) и 12.12, функ-
функция g{t), с которой мы теперь имеем дело, не положительна. Если бы
мы знали, что sn ограничены, то мы могли бы доказать эту теорему
по плану, намеченному в § 12.10, выведя сначала из наших общих
теорем суммируемость (С, k), а затем перейдя1 с помощью теорем 70
и 68 к сходимости. Но так как мы не можем ссылаться на после-
последующие теоремы, то проще всего будет применить другие методы.
Положим
ап при ап> 0, _ Г ап при ап< 0,
0 при ап < 0; " } 0 при ап > 0,
так что ап = ап -\- ап, \ ап | = ап — ап. Нам дано, что lim (sn—sm)^O
при «>ти, яг->оо и >0. Полагая т = п — 1, получаем
отсюда, что ап -> 0, и ряд V — (абсолютно) сходится.
Далее, ряд V ^| sin2 «О (по предположению) сходится для малых 0.
Отсюда следует тогда, что и ряд V — sin2 nH сходится для малых 8
и, значит, по теореме Егорова, равномерно сходится на некотором
множестве Е положительной меры тЕ. Следовательно,
Е
Но при я -> оо
J sin2 йб й?0 = у J A — cos 2лО) rf6 -> j тЕ.
Е Е
Поэтому ряд V -^- сходится, и, значит, ряд V Щ абсолютно схо-
сходится.
Мы вправе предполагать, что s = 0. Тогда ряд для 62^ (б) схо-
сходится абсолютно и равномерно для всех положительных 0, и у @) = о A)
при 0 -> 0. Тогда при 8 > 0

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. ХН 389
где почленное интегрирование законно, поскольку
Дифференцируя дважды по 8, получаем
Но так как у@) = оA), то этот интеграл равен
52 — 3621
U
при 8->0. Таким образом, 2 а»е~2 ~> 0, т. е. sn->s (А). Утвер-
Утверждение теоремы вытекает теперь из теоремы 106.
Мы доказали, что если sn^-s (R, 2) и sn медленно убывает *),
то sn-+s (А); и для наших целей это достаточно. Однако это — не-
несовершенная теорема, поскольку, как мы указывали в § 12.10E) и
докажем в Приложении III, из sn -> s (R, 2) следует sn —>• s (А) без
всяких ограничений на sn. Если бы это было уже установлено, то
теорема 242, разумеется, была бы непосредственным следствием тео-
теоремы 106.
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ XII
§ 12.1. Оригинальные исследования Винера изложены в его книге The
Fourier integral и работе „Tauberian theorems", Annals B), 33 A932), 1—100;
последняя содержит подробную библиографию более ранних работ. С тех
пор другие авторы, особенно Pitt, PLMS B), 44 A938), 243—288, предло-
предложили много обобщений и упрощений. Важное значение имеет также сле-
следующая промежуточная работа: Bochner, BS A933), 126—144; Бохнер по-
показывает, что рассуждения Винера можно значительно упростить, если про-
проявить готовность наложить довольно сильные ограничения на ядра g.
Очень ясное изложение винеровской теории дает Widder, гл. 5; как и
изложение, принятое в §§ 12.1—12.8, оно в значительной мере основано на
работах Питта.
§ 12.3. Теоремы, принятые без доказательства в этом параграфе, можно
найти в книге: Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье.
§ 12.4. По поводу „сильной сходимости" см. Титчмарш, Теория функций,
430 и ел.; Littlewood, 45 и ел.!).
§ 12.9. Все эти ядра, кроме ядра (8), которое ввел Ingham, JLMS, 20
A945), 171—180, встречаются в работе Винера.
§ 12.10. Теоремы, приводимые в этом параграфе, были доказаны с раз-
различной степенью общности различными авторами, и мы не будем давать здесь
подробных ссылок. В основном результаты, указанные в пунктах A) — C),
были известны и до Винера, так что его вклад состоял лишь во включении
*) Фактически мы использовали гораздо меньше, а именно, только что
lim an^>0.
!) См. также И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной,
гл, VII. (Прим. перев.)

390 ТАУБЕРОВЫ TEQPEMU ВИНЕРА [ГЛ. XII
их в его общую теорию; результаты же пунктов D) и E) принадлежат глав-
главным образом ему.
Упомянутые результаты Саса и Харди— Рагозинского содержатся в их
работах в AM, 61 A933), 185—201, и JLMS, 18 A943), 50—57.
§ 12.11. Мы изложили ингамовское доказательство асимптотического за-
закона распределения простых чисел, 1. с. в примечании к § 12.9. Винеровское
доказательство использует ядро G) § 12.9. См. Widder, 224—233. Доказатель-
Доказательство того, что С A + h) ф 0, а также все нужные арифметические теоремы1)
содержатся в этой же книге Виддера. Винер и Виддер доказывают не-
непосредственно A2.11.3). Если, как в нашем тексте, предпочесть работать
с ja (я), то удобно в качестве непосредственной цели поставить доказатель-
доказательство того, что
- сходится к нулю;
A2.11.4) будет следовать отсюда в силу теоремы 26 (§ 4.7). Функция
как сумматорная функция ряда, общий член которого есть О ( — J, мед-
медленно колеблется. Далее, при t^\
2^«)[i]=SKra) 2 1= 2 1А(и) = 2 2!А(л)г=1-
я < « и < ? t «гая < f 3 < * « I 2
Поэтому для / > 1
так что f(t) (при /< 1 равная нулю) ограничена. Таким образом, f(t) удовле-
удовлетворяет условиям теоремы 233, и достаточно доказать A2.8.2) с этой функ-
функцией fug, определенной в § 12.9 G).
Положим
Тогда, с одной стороны,
п т g nig
при у -* 0, а, с другой стороны,
, (я) пуе~пУ _
И+1
J) См. также А. Е. Ингам, Распределение простых чисел, гл. I и II.
(Прим. перев,)

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. XII 391
Таким образом, последний интеграл есть of—j, чем A2.8.2) и доказано.
На*винеровских идеях, развитых Икеара, основано еще одно, совер-
совершенно отличное от изложенных, доказательство асимптотического закона
распределения простых чисел. По этому поводу см. Widder, 233 и ел. Это
доказательство привел к простейшему виду Landau, BS A932), 514—521 *).
См. также Bochner, MZ, 37 A933), 1—9; Heilbronn and Landau, там-же,
10—16, 17 и 18—21; Karamata, MZ, 38 A934), 701—708.
§ 12.12. Теорема 236, повидимому, нова. Взамен ее мы могли бы исполь-
использовать одну теорему Питта [DMJ, 4 A938), 437—440], доказанную в Widder,
215—221. Она накладывает меньшие ограничения на g, но доказательство ее
более трудно, а для наших теперешних целей достаточно теоремы 236.
§§ 12.13—12.14. Vijayaraghavan, JLMS, 1 A926), 113-120, и PLMS B),
27 A928), 316—326, доказал два случая теоремы 238, нужные для А-и В-сум-
мируемости. Рассуждения, проводимые им для этих случаев, содержат все
существенные моменты доказательства общей теоремы. См.' также Karamata,
MZ, 34 A932), 737—740, и 37 A933), 582-588.
§ 12.15. Теорему 241 в этом виде впервые доказал R. Schmidt, Schriften
d. KOnigsberger gelehrten Gesellschaft, 1 A925), 205—256; другие доказа-
доказательства предложили Виджаярагаван, 1. с. выше, и Винер A. с. в примечании
к § 12.1). Изложенное здесь доказательство представляет собой в основных
чертах упрощение винеровского.
§ 12.16. По поводу теоремы Егорова см. Титчмарш, Теория функций, 379,
или Littlewood, 30—31 *).
х) Изложение этой работы Ландау дано в виде приложения к книге
А. Е. Ингама „Распределение простых чисел". {Прим. перев.)
2) См. также П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Введение в теорию
функций действительного переменного (ГТТИ, 1933), 195—197, и И. П. На-
Натансон, Теория функций вещественной переменной, 90—91. (Прим. перев)

Глава XIII
ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА
13.1. Введение. „Формула Эйлера-Маклорена"
A3.1.1)
выражает конечную сумму, стоящую слева, через интеграл и произ-
производные от / (х). Строгая теория этой формулы относится больше
к теории асимптотических, чем суммируемых рядов; однако формула
Эйлера-Маклорена играет столь важную роль во многих отраслях
анализа, что мы должны подвергнуть ее здесь серьезному рассмо-
рассмотрению.
Начнем с рассмотрения двух особенно простых случаев. Ясно, что
формула A3.1.1) будет наиболее применимой, когда f(x) правильно
изменяется при больших х, а порядок &-й производной /№ (х), рас-
рассматриваемой как функция от х, при возрастании k убывает.
Примем сначала, что 0<а^1, f (х) непрерывна для х^а,
/ > 0, /' < О и/->0 при х -+ оо . Тогда при х -> оо
1
так что
J |/'(/)| dt = /(!)< со.
Пусть у = х — [х], так что у = х — /ге-{-1 для т — 1<;лг</и.
Тогда 0^^<1 и интеграл
J=jyf'{x)dx

13.1] ВВЕДЕНИЕ 393
абсолютно сходится. Далее,
т т
/».=/(«)- / f(x)dx= / {f(m)—f{x)\dx =
m — l m — \
т т
= J \f(m)-f(x)}^dx= J yf{x)dx,
m—l m—l
2 f(m)— ff(x)dx= 2 /m= f (* — [*])/'(*)<**•
Полагая
A3.1.2) F(x)
заключаем отсюда, чго
A3.1.3) 2/W—^('O -
при я —>• со. Если паши условия выполнены для каждого а > 0 и
/(х)-интегрируема от 0*), то в формулах A3.1.2) и A3.1.3) можно
брать а = 0.
Примем теперь, что /" (х) непрерывна для х ^ а, /' > 0, /" < О
и /' —*¦ 0 при х —*¦ оо. Тогда
Г |/" (о | л=- Г/"(О л=/ A) -/'(х) -> /' A)
Г 1
и |/"| интегрируема до оо. Тем самым интеграл
абсолютно сходится. Полагая
in
4 = -^{/(т—!)+/(«)}— J f(x)dx =
т — 1
= У«—j f f
» — 1 то—1
*) В этом случае л/ -> 0 при лг -> 0 и #/' также интегрируемо от О,

394 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
и принимая во внимание, что у'1—у -> 0, когда х -> т — 1 -+- О
или х -> т — 0, получаем
т — 1
т
т—1 m—1
Суммирование по т ог т = 2 до т = п дает
Следовательно,
A3.1.4)
m=l
Формулы A3.1.3) и A3.1.4) можно рассматривать как два простейших
случая формулы A3.1.1) соответственно с
Если, например, f(x) = \ogx и а = 1, то наша вторая группа условий вы-
выполнена, и мы получаем, что
или
п\~еАп+Те-п.
Это (отвлекаясь от вычисления постоянной А, которая окажется равной
у log 2тс) есть простейшая форма теоремы Стирлинга, и естественно ожидать,
что более подробное изучение формулы A3.1.1) приведет к полному асим-
асимптотическому разложению для logwl.
13.2. Числа Бернулли и многочлены Бернулли. Формула Эйлера-
Маклорена будет исследована в этой главе двумя различными мето-
методами: средствами вещественного анализа в §§ 13.5—13.7 и с помощью
теоремы Коши в §§ 13.14—13.16; разумеется, второй метод потре-
потребует значительно более сильных ограничений на f(x). Наш первый
метод будет опираться на свойства многочленов Бернулли Вп (х).

13.2] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ 395
Числа Бернулли Вп и многочлены Бернулли Вп (х) и <рп (х) опре-
определяются формулами
A3.2.1) _1_ = 1_^ ??
A3-2-2)
Здесь и до конца главы суммы с неуказанными пределами берутся
от 1 до оо. Так как левая часть формулы A3.2.3) равна нулю при
х = 0 и равна t при х = 1, то
A3.2.4) <Р„@) = 0,
A3.2.5) Ti(l) = l, ?»(!) = О («>!)•
Ряды A3.2.1)—A3.2.3) сходятся для |/| < 2ir. Первыми 5П служат
Очевидно, что
Bj (ДС) = <р, (ДС) —  = •« —  • 52 W = ?2 W + 6" '
Bs (х) = ?3 (*), 54 (ж) = <р4 (дг) — В2,
и вообще
A3.2.6) B2r(x) = ^
В частности,
A3.2.7) S2r@)=S2r(l)=
Как хорошо известно,
(так что Sre быстро возрастает для больших и).
3 1
Первыми <!>п{х) служат х, х2 — х, Xs — -^ х2 -\- -к х, ... Записы-
Записывая формулу A3.2.3) в виде

396 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. XIII
и приравнивая соответственные коэффициенты, получаем, что
A3.2.9) ?м(д0 = *» —l
где знакопеременная сумма кончается на члене, содержащем х или х2.
Тождество
JX + l)t 1 pXt 1
t j—-, 1 —i—5- = text
ef- — 1 e* — 1
показывает, что
A3.2.10) ?»(*+!)-?»(*) ==я*-1,
откуда, принимая во внимание A3.2.4), следует, что
A3.2.11) 1га-14-2"-'+ ... -t-д,"--^ Т»(^+Д (я>1).
Дифференцируя обе части формулы A3.2.2) по х, получаем
и приравнивание коэффициентов дает
A3.2.12) В[(х) = 1, Bn(x) = nBn-i(x) (й>1).
Соответствующие уравнения для функций »„(#) таковы:
и вообще
аз 2Ш
причем первое уравнение справедливо для m = 2, 3, ..., второе — для
/и = 1, 2, ....
13.3. Ассоциированные периодические функции. Определим
теперь Вп(х) и <^га(л;) как периодические функции с периодом 1, рав-
равные соответственно Вп (х) и <рп (х) для 0 ^ х < 1. Из формул
A3.2.4)—A3.2.6) следует, что Вп(х) и tyn(x) при я>1 непрерывны
для всех ж, тогда как В:(х) и фх (х) имеют скачок —1 для каждого
целого х.
Как мы знаем,

13.4] знаки функций срм (х) 397
для 0 < х < 1, причем ряд ограниченно сходится. Интегрируя почленно,
получаем
1 vi 1 — cos 2тпх 1 12 1 ,--.
и, значит,
1 cos
Следовательно,
для всех л;. Вообще,
C0S 2/И1МГ
(_!)*-!
(-
~ Bft+l)! Yaft+1 v -/~~Bft+l)!
для A = 1, 2, ... и всех х. Действительно, равенства A3.2.7) пока-
показывают, что эти формулы верны для х = 0; далее, A3.3.2) получается
формальным дифференцированием формулы A3.3.3), а A3.3.3), с заме-
заменой k на k—1 и обращением знака, — формальным дифференцирова-
дифференцированием формулы A3.3.2); наконец, формула A3.3.3) с k = 0 и заменой
<!>! (х) на <|<1 (х) — <Ь (х)—к верна для нецелых х.
13.4. Знаки функций уп(х). Согласно равенствам A3.2.4) и A3.2.5)
все ф„ после ф3 обращаются в точках ж = О и х = 1 в нуль. Дока-
Докажем теперь следующее предложение.
Теорема 243. Функции <р2, <в4, <р6, ... сохраняют на интерг
вале (О, 1) постоянные знака, а именно <р2й — знак (—1)й; функ-
функции же ф3, фб, ... обращаются в нуль также при х = -к, причем
?2*+1 имеет на интервалах (О, -^-) и (-~ , 1) соответственно знаки
(— l)*-i и (—\)К
Прежде всего,
1\(-0»_ t . , f _.

398 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. XII
так что 9ь{~о) = ?бГ9")= ••• —О- Таким образом, <ра&+1 (х) имеет
нули О, j, 1.
Далее, наше утверждение верно для
= *(.*: —I), <p3(x) = x(x —у)(х—1).
Допустим, что оно верно вплоть до <p2m-i> и покажем его справедли-
справедливость для <р2я1 и ?2Я|+1. Так как у'ш = 2m«2m_1 обращается-в нуль
только в точках 0, у и 1, то ср2т сохраняет на интервале @, 1)
постоянный знак; а формула A3.2.9) для малых х показывает, что
этим знаком служит (•— 1)т. Далее, <р2т монотонна на интервалах
(о, -н-) и (j, l), так что
) = B*
на каждом из этих интервалов может обращаться в нуль не более
одного раза. Следовательно, «р^.,.!, обращающаяся в точках О, |И 1
в нуль, сохраняет на интервалах (о, -к-J и f-н-. It постоянный знак,
которым на первом из этих интервалов, как показывает формула A3.2.9),
служит (—I)9"-1, а на втором, поскольку <^'2т+1(-^)ф.О, служит
( 1)-
Мы будем также пользоваться свойствами
A3.4.1) В2т.г{х) = -Вш.1{\—х), Вш(х) = ВшA-х)
@<х<1; и = 1, 2, ...).
Они следуют из тригонометрических разложений § 13.3 либо из
того, что
« + ,<) (?) .^-^)_<t
Г т = Г 1 , Г ; — Г
«*-1 shj; e'-l shl^
являются соответственно четными и нечетными функциями от t.
13.5. Формула суммирования Эйлера-Маклорена. В дальней-
дальнейшем мы будем предполагать, что все встречающиеся производные
от / (х) непрерывны для х > О; в точке х — 0 функция / (х) обычно
будет иметь особенность. F (х) будет определяться формулой A3.1.2),
при этом для функций f(x), интегрируемых до 0, а будет обычно
приниматься равным нулю.

13.5] ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА 399
Предположим сначала, что 0^ж^1 и что f(x) со своими про-
производными непрерывна на этом замкнутом интервале. Рассмотрим
интеграл
1
A3.5.1) Pr = pr(x)=-±fBr(x-t)f<-r)(t)dt,
о
где /¦;> 1. Нам Тфидется различать случаи г > 1 и г— 1.
Если г>1, то В,, (и) непрерывна, и в силу A3.2.12)
Ji rDr-1 Vе l)-
Далее, Br{x— 1) = Br(x) = Br(x). Поэтому
A3.5.2) Pre_^{/fr-«(i)_/«r-«
Пусть теперь г =¦ 1. Предположим сначала, что 0 < х < 1. В этом
случае В,, (и) имеет в целых точках и скачки —1, а в остальных
точках — производную, равную 1, так что
Поэтому
1
о
Далее,
J rfBl(/,~°/@ #- Bt (+ O)/(x)-Bl (x)/@) - J* Bt (ж-
о о
l l
fdBi(x-Vf{t)dt=B1(x-l)f(l)-B1(-O)f(x)-fB1(x-t)f(t)dt,
oo
и Bj (x — 1) = Bt (a:) = Вг (х)* Комбинируя последние три равенства,
получаем
i 1
A3.5.3) f(x)-jf(t)di=*B1(x){f(l)—f(O))-fB1(x-t)f'(t)dt=

400 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХП1
Мы доказали это для 0 <С х < 1; но, по непрерывности, то же верно
для 0 ^ х ^ 1.
Предполагая теперь, что />1, и комбинируя A3.5.3) с A3.5.2)
при г = 2, 3, ..., /, получаем
1 i
A3.5.4) f{x) = J/@ dt+ 2 ^ТГ3 {/r~1)(l)-/(r-1)@)} +ft
о r=i
для 0^л:<;1. При /=1 это равенство сводится к A3.5.3), так
что оно верно для /^> 1.
Заменяя теперь f(x) на f(x-\- т—1), где ш — положительное
целое число, получаем
т — 1 г= 1
где
«1 — 1
В частности, беря х=\, l—2k-\-\, замечая, что согласно A3.2.7)
и A3.4.1)
ТУ /1 ^^ f\ , О //\ .]. D\
и заменяя затем s на г, получаем
in
f(m) =
ИЛИ.
A3.5.5) \{f{m —
т —
где
к
A3.5.6) Sk(m) =
r—l
И
A3.5.7)
т — 1
т
m—i

13.5] ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА 401
последнее равенство получится интегрированием по частям, если при-
принять во внимание, что <5>2й+а @) = ф2*+2 0) = 0- При k = 0 члены 5Л (т)
и S^(tn—1) в формуле A3.5.5) отсутствуют.
Суммируя A3.5.5) для т = 2, 3, . .., я и прибавляя -^-/(^Ч--^ f(n)>
получаем
п
A3.5.8)
A3.5.9) Pjt = -F(i) + 1/A) -
2
A3.5.10)
Полагая
A3.5.11)
v ' Bk + 2)!
имеем
1
w ~fi2k+1) Q»'
Поэтому формулы A3.5.8) — A3.5.10) можно записать и так:
п
A3.5.12) 2/(m) = F (п) +1/(я) + 5S+1 (я) +
1
A3.5.13) Qft ^
A3.5.14) ^.„
Когда/(л:)—многочлен, то 5й (л) — также многочлен, и Ufc,n равно нулю
для достаточно больших k. Например, если f(x) = xl, то мы можем взять k
равным -s-' или -к (I — !)• Легко проверить, что в этом случае A3.5.8) при-
водится к A3.2.11).
26 Зак. 2499. Г. Харди

402 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. XIII
13.6. Пределы при я->оо. До сих пор никаких вопросов о схо-
сходимости не возникало. Введем теперь предположения, что
A3.6.1)
и
A3.6.2) /i»+»)(*)-> О
при лг->-оо, и запишем интегралы по интервалам A, я) как разности
интегралов по интервалам A, оо) и (п, оо). Мы получим тогда
A3.6.3) yif(m) =
1
A3.6.4) Ск =
A3.6.5) /?*,« = B
Аналогичные формулы получатся и из формул A3.5.12) — A3.5.14).
Так как 4*2ft+2 @ = ° С1)» т0 ясно> что #*,n-*° ПРИ п-^-со.
Поэтому из формулы A3.6.3) следует, что
п
A3.6.6) ^f{m) — F{n) — у/(я) — Sk(n)-+Ck.
1
Наиболее интересен тот случай, когда A3.6.1) и A3.6.2) выполняются
для всех к, начиная с некоторого К- Тогда A3.6.6), справедливо для
к^К и k = K+l, и
Отсюда следует, что Ск-(-1 = Ск-, так что Cft не зависит от k для
k^-K. Это легко проверяется и непосредственно, поскольку, дважды
интегрируя по частям, имеем
1
Bk + 2)!
X
с
- (Щ J

13.7] ЗНАК И ВЕЛИЧИНА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА 408
Итак, Ск для k^-К не зависит от (л и) k, так что С=Сй есть
число, зависящее только от fix) и F(x), т. е. от f(x) и нижнего
предела а в интегрдле A3.1.2). Мы называем С постоянной Эйлера-
Маклорена для / (и F). Мы будем также называть С (9?, а)-сум-
а)-суммой ряда 2/(я) и писать
A3.6.7) /AL-/B)+...+/(*)+...= С (Я, в).
Таким образом, мы получили еще одно определение суммы расходя-
расходящегося ряда; оно принадлежит к совершенно другому типу, чем боль-
большинство из рассматривавшихся ранее, и приспособлено главным обра-
образом к рядам с положительными членами, таким, как 1 —j— 1 —{— 1 —[— ...
или log 2 -\- log 3 -f- log 4 -j- • •
Буква dt поставлена в честь Рамануджана, который оперировал
с расходящимися рядами, основываясь главным образом на этом опре-
определении. Оно неявно содержится в большей части рассмотрений Эйлера.
Сумма, приписываемая ряду этим определением, зависит от выбран-
выбранного значения а. Однако мы увидим, что обычно в каждом частном
случае имеется только одно естественное значение а.
Мы будем называть A3.5.8), A3.6.3), либо тот или иной из их
вариантов, смотря по контексту, „формулой суммирования Эйлера-
Мак лорена".
13.7. Знак и величина остаточного члена. Мы теперь усилим
наши предположения, допустив, ч*го производные от f{x), начиная
с некоторого места, сохраняют постоянные знаки. Для определенности
примем, что выполнены условия A3.6.1) и A3.6.2) и что /Bл+2)(лг) <^0
для А>У(и а;>1 *), Если теперь k>K, то в силу теоремы 243
Rk>n имеет знак (—\)к, а /4_]п —знак (—I)*-1, так что ||
<\Rk-i,n — Я»,»!. Но
(где все интегралы берутся от п до со); значит,
что совпадает с последним членом в Sk(ri). Таким образом, мы полу-
получили следующее предложение:
*) В этом случае /B*+D (х) неотрицательна для k^-K и/(") (дг)-*-0 для
^- 2АГ-|- 1.
26*

404 ФОРМУЛА СУхММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
Теорема 244. Если f(x) удовлетворяет условиям A3.6.1) и
A3.6.2), а /Bл+2)(х) при k^>K сохраняют постоянные знаки, то
ошибка в формуле
(m) = F (л) +1/ (я) + Sk (я) + С
яри каждом увеличении к на единицу, начиная с AT-f- 1, меняет
знак и не превосходит по абсолютной величине последнего сохра-
сохраненного члена ряда; и ряд A3.6.4) для Ск = С обладает теми же
свойствами.
Ряды
A3.7.1) ^W
и 5A), получающиеся из Sk(n) и Sk(l) при к -* оо, обычно рас-
расходятся вследствие быстрого возрастания чисел Вг для больших г.
Однако эти ряды часто можно эффективно использовать для числен-
численных расчетов. Если
(I) аг вещественны,
(II) s = a1-\-ai-\- ... -\-ar-[-Rr для каждого г, и
(III) Rr знакопеременно,
то мы будем говорить, что ряд 2 аг обвертывает s; при желании
можно предполагать, что условие (III) выполнено только для г^>г0.
Ясно, что
\Rr\<\<*A
(для г > 1 или г > г0). Это определение не задает числа s однознач-
однозначным образом; если, например, /?2r_i<0, /?2r>0 и
Pl = min|^2r|, pa=min|/?ar_1|,
г г
to ряд 2 аг обвертывает также любое число интервала (s-—plt s -\- pa) *).
Важное значение имеет тот случай, когда ar, Rr и s суть функ-
функции некоторого параметра х, причем
|tfr(*)|-+0
при Х-+СО (для г > 1 или /¦>/), как, например, когда
есть расходящийся асимптотический ряд для некоторой функции g(x).
Если 2arW B только что разъясненном смысле обвертывает функ-
*) Так, все наши условия выполнены для ряда 1 — 2 -f- 2 — 2-j-... с s = 0.
Здесь Rr принимает попеременно значения —1 и I, и ряд обвертывает лю-
любое число интервала (—1, 1).

13.7] ЗНАК И ВЕЛИЧИНА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА 405
цию g(x), то мы будем говорить, что ^аг(х) есть полусходящийся
ряд для g (х): Так, при условиях теоремы 244 наши условия выпол-
выполнены с х = п для ряда A3.7.1).
При заданном г, \ Rr (х) | -» 0, когда х -> оо. При заданном х,
| Rr (х) | будет обычно стремиться к бесконечности, когда г -> оо.
Однако, вообще говоря, для заданного х, \Rr(x)\ оказывается доста-
достаточно малым для надлежащим образом выбранного г, например для г,
при котором | ar (x) | достигает своего минимума тг; и тогда рассма-
рассматриваемый ряд может быть использован для вычисления функции g (x).
При этом результат вычисления будет тем точнее, чем больше х.
При этих условиях естественно говорить, что 2сг —2 а»-A)
есть полусходящийся ряд для 5 = ^A). Мы не можем назвать s „сум-
„суммой" этого ряда, поскольку он обвертывает любое число из некото-
некоторого интервала (s — pv s-j-p2); однако s часто будет являться сум-
суммой этого ряда в каком-либо другом смысле*). Далее, если ^аг(х)
есть полусходящийся ряд для g(x) — h(x), то мы можем говорить,
что h (х) -\- 2 аг (х) есть полусходящийся ряд для g (x).
Например, возвращаясь к ряду A3.7.1), предположим, что /(л:) = log x
и а = 0, так что F (х) — х log x — х. Тогда наши условия выполнены для
>1 и мы приходим к формулам
те
A3.7.2) log и! = ^ log т = (п + i) log и — и + С +
Ь2я 3-4 л8 ^5-6 rfi
Эти ряды—полусходящиеся и могут служить для вычисления log и! и С.
Позже мы увидим, что С = -^ log 2я.
Формула A3.7.3) не дает возможности вычислить С с большой точностью,
поскольку и = 1 слишком мало. Наименьшим является последний из выпи-
выписанных членов, равный — 0,00059; обрывая на нем ряд, получаем С = 0,919...
с точностью до третьего знака. Использование этого значения для С в фор-
формуле A3.7.2) дает тогда довольно точное значение для log и! при больших п.
С другой стороны, С можно было бы вычислить со значительно большей
точностью, воспользовавшись формулой A3.7.2) с достаточно большим и
и вычислив log и! независимым путем.
На практике постоянную С для заданной функции / следует вычислять,
представляя ^f(n) в виде
2/<л) =/0) + • • • +/(Л0 + 2/(п + Л0
и применяя наши формулы к последнему ряду, для которого они будут тем
эффективнее, чем больше Л/. Разумным выбором /V можно добиться практич-
практичности и высокой точности нашего вычисления.
*) См., например, §§ 13.15—13.16.

406 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
Этот метод можно применять и к сходящимся рядам, когда их сходимость
чересчур медленна. В этом случае мы должны принять а = оо, так что
F(n)-+0, и С есть сумма нашего ряда. Так, Эйлер, взяв/(.*•) = -;
вычислил
6 - 13 "Г 22 Т ' • • "Г" д2 Т- ^ („ _|_ 9J
с точностью до 18-го десятичного знака.
13.8. Пуассоновское доказательство формулы Эйлера-Макло-
рена. В своем исследовании формулы Эйлера-Маклорена Пуассон
исходит из теории рядов Фурье.
Пусть /(х) неограниченно дифференцируема для ж>0и0<а<
< Ь < оо. Тогда согласно обычной теории рядов Фурье для а < х <С Ь
имеем
A3.8.1) /(х) = ^
где интегралы берутся от а до Ь. Для д: = я или х = Ь эта сумма
равна -н- {/(«)-\- f{b)}. Беря па> = Ь — а, подставляя значения
х — a, tf-f-<°> а~\~2ffl, • • • > а-\-{п — 1)ш
в формулу A3.8.1) и складывая результаты, получаем
A3.8.2) ¦!¦/(«)+/(« + «)+... +/(« + (я-1)»)+ !/(&) =
оо п—1
=^J/(o^+^2J/@ 2,cos \_a >dt.
Г—1 8=0
Сумма, стоящая под знаком интеграла, равна
и—1
2мг(t —a)
-
7Г)\'
сумма же, входящая в последнее выражение, отлична от нуля лишь
при г = In, где / — положительное целое, причем равна тогда п.
Поэтому формула A3.8.2) приводится к
A3.8.3) }/(«)+/(« + •)+... 4- у/(«)=>
;==i

13.9] ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ ФУРЬЕ 407
Но, повторно интегрируя по частям, имеем
Подставляя это в A3.8.3) и используя формулу A3.2.8), находим
A3.8.4) |./
где
В частности, при я = 1, ш = 1, ^ = п + 1 формула A3.8.4) при-
принимает вид
/7(«+1)/7A) + Я
П+1
)
что равносильно формуле A3.5.12) с заменой йна«-|-1 ийнай— 1.
13.9. Об одной формуле Фурье. Теперь мы в состоянии обосно-
обосновать формулу Фурье B.9.2), т. е. формулу
СО
A3.9.1) !*/(*)= 2 (-l)VW (*) ( sin x —|^ +.
где/(a:) — нечетная функция и —тс< л: < it. Если положить

408 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
так что 0<_у< 1, то эта формула примет вид
A3.9.2) g (у) = 2 ^ -g^ B2h+i (у).
Л = 0
Но формула A3.5.4) при допущении, что рг->0, дает
A3.9.3) g(y)
Так как, кроме того, f(x) — нечетная, то #A—у) = — g(y), и по-
потому
Тем самым A3.9.3) приводится к A3.9.2).
Пусть, например,/(х)—целая функция экспоненциального типа,
меньшего чем 1, так что g(y) — типа, меньшего чем 2it. Тогда
g(i)(y) = O(cl), где 0<с<2тс, равномерно на отрезке [0, 1],
а В1(у) = О |—'—\ в силу A3.3.2) и A3.3.3) снова равномерно на
том же отрезке. Следовательно, рг -> 0, и формула Фурье справед-
справедлива.
13.10. Случай f(x) =—j и дзета-функция Римана. Рассмотрим
теперь подробнее тот случай, когда f (x) ~—s и а = 1, так что
xi-s — i
—j при s ф 1,
log Ж при 5 = 1,
и F(x, s) есть целая функция от s.
Пусть сперва s вещественно и s>S, где 5<0< Тогда для
2А>—5—1 выполняются условия A3.6.1) и A3.6.2). Поэтому,
обозначая s(s-fl) ... (s-\-p) через $Ы, получаем при s ф 1 и
2iR, ^> *~— о 1
A3.10.2)

13.10] СЛУЧАЙ f (х) = X~s И ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА 409
где
A3.10.3) C(s) = I + ]?
B6 + 2)!
Но
! J
s(afc+i) S
'n = B*+ 2)! J
n
Следовательно,
A8.IO4) 2
1
nr-lsBr-9) Br
> Br)!
в смысле § 2.5 (с заменой д; на —].
Мы приняли, что s^fcl; однако наши формулы с F(n) = \ogn
сохраняют силу и для s = l. В частности,
так что СA) есть постоянная Эйлера f. Таким образом, получаем
формулы
ft оо
A3.Ю.5) T = -5
j
1 1
и
A3.10.6) т = ^ + |_^ + |_...)
где последний ряд является полусходящимся в смысле § 13.7.
Рассмотрим теперь комплексные s. В этом случае понятие полу-
полусходимости теряет смысл. Но если s = a-J-pc, то R]t,n = o( ,+
равномерно относительно т, и остальные наши заключения остаются
в силе с заменой в соответствующих местах s на а. Далее, соотно-
соотношение A3.10.2) выполняется равномерно в любой замкнутой ограни-
ограниченной области D, целиком лежащей правее прямой a = S, так что C(s)
есть аналитическая функция от s, регулярная в D, и так как 5 может

410 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
быть любым отрицательным числом, то заключаем, что C(s) есть
целая функция. Наконец, при а > 1
Таким образом, нами доказана
Теорема 245. C(s) есть аналитическая функция от s, регу-
регулярная на всей комплексной плоскости за исключением простого
полюса в точке s = 1, где она ведет себя, как . + f + ...
Одновременно нами получен ряд аналитических представлений
для С (s), как
A3.10.7) С00 = Шг
A3.10.8) C(s) = Hr
A3.10.9) C(s)= -
и т. д.; при s = 1 эти формулы требуют некоторых видоизменений;
так, в формуле A3.10.9) C(s) =- следует заменить на f.
S ~~ 1
При s = 0 и s = — 1 формулы A3.10.7) и A3.10.8) соответ-
соответственно дают
п
1 1
т. е. показывают, что
A3.10.10) с@) = —1, С(— 1)== — 1,
A3.10.11) 1 + 1+1 + ...=—! i_j_2 + 3+...
13.11. Случай f(x) = log (x + с) и теорема Стирлинга. Анало--
гичные рассмотрения можно провести и для функции /(*)==-—-•',
причем ясно, что результаты, к которым приведут эти рассмотрения.

13.11] СЛУЧАЙ f(x) = log (ЛГ—f- С) И ТЕОРЕМА СТИРЛИНГА 411
можно будет получить и путем формального дифференцирования по s
соответствующих результатов для -^. Так, например,
аз."..,
для а> — 1. Беря здесь s = 0, получаем одну из форм теоремы
Стерлинга для log л!; однако этот случай столь важен, что лучше
будет рассмотреть его независимо.
Чтобы получить общую формулу для logr(x-|- 1), не ограничен-
ограниченную целыми значениями х, берем
/О) = log О + с) (с> —1), а = -с,
и затем вместо п-\-с пишем х. В результате получаем
A3.11.2)
1
= (* + т)log х ~ х
где
A3.11.3)
A3.11.4) 5*(")
A3.11.5) Rk,n = — 2Y+2J j
n
В частности, при k = О это дает
A3.11.6)
где
A3.11.7) С==
, 1
Здесь С, на первый взгляд, есть функция С (с) от с. Однако в дей-
действительности С не зависит от с, но для доказательства этого, ра-
разумеется, требуется несколько большего знания свойств функции Г (х),
чем до сих пор предполагалось в этой главе. Так, из формулы Гаусса
Г A + с) = \тт Т1 +

412 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. XIII
следует, что
log Г (я -\- 1 + с) — log Г (л + 1) — с log п -> О
и, значит, в силу A3.11.6)
С (с)
Таким образом, С не зависит от с и определяется формулой A3.11.7)
с любым с.
Имеется много способов вычисления С в конечной форме. Наиболее
обычный из них основывается на применении „формулы Валлиса"
для it (получающейся как следствие представления sin их в виде про-
произведения). Для нас здесь естественнее применить теорию С-функции,
поскольку из A3.11.1) следует, что
A3.11.8) С = — С'@).
Беря в функциональном уравнении Римана B.2.2) s = I -f- s, развер-
развертывая обе части по степеням е и приравнивая соответственные первые
коэффициенты, находим, что С @) = — ^ (в согласии с A3.10.10))
и С @) = — -к- log 2тг. Таким образом,
A3.11.9) Cv=ylog2ir,
и мы приходим к обычной форме теоремы Стирлинга.
С можно также вычислить по формуле A3.11.7). Беря в ней,
например, с = 0, получаем
A3.11.10) С=1 + п
Но
— l + (« + -g-)log
Ifl
i
fidt

13.12] ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ ЭИЛЕРА-МАКЛОРЕНА 413
Подставляя это и производя суммирование под знаком интеграла,
получаем
1
Т
С== 1 — I (it^tg vtt i ) dt = -^r Iog2it.
о T-t
В заключение отметим формулы
A3.-11.11) Iogl + log2+ ... =-i-log2ir (SR, 0)
A3.11.12) 1^2^1-^
где последний ряд — полусходящийся.
13.12. Обобщение формулы Эилера-Маклорена. Рассмотрим
одно обобщение формулы Эйлера-Маклорена, важное для исчисления
конечных разностей. Его формальное происхождение таково: если
писать
D/ (х) =/' (х), e™f (х) =/ (*) +*/' (х) +1 А«Г {х) + ...=/ (*
а под D~rf(x) понимать F(x), то
еи-
что можно записать в виде Ф (я) — Ф A), где
Беря, в частности, дс=1, получаем
A3.12.1) /(_y+l)+/(j, + 2)+ ... +/О + Я —1) =
где
A3.12.2)
При у => 0 эти формулы согласуются с полученными в §§ 13.5—13.6.

414 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
Например, для f(x) = \ogx и а = 0 получаем
A3.12.3) \ogT(n+y) = n\ogn — n-\-(y — ^
.В9(у) 1 В3(у) 1
1-2 л 2-3 «2 "+-•••'
где
A3.12.4) С=1оёГA+.у) + 1-^+%^- -..,
и сравнение формулы A3.12.3) с теоремой Стирлинга показывает, что
независимо от у. Беря у = 0 или дифференцируя по _у и затем полагая
_у = 0, получаем соответственно формулы A3.11.12) и A3.10.6).
Все эти рассмотрения носят формальный характер. Полученные
формулы можно обосновать с помощью методов §§ 13.5—13.7 или
комплексного метода, который будет развит в § 13.14. Заметим, что
мы пришли здесь к асимптотическому разложению \ogY(n~{~y) по
степеням —, тогда как рассмотрения в § 13.11 приводят к асимпто-
асимптотическому разложению по степеням =—,-—.
п — 1 -j- у
13.13. Другие формулы для С. Существуют и другие формулы
для С, интересные сами по себе и естественно приводящие к рас-
рассмотрениям § 13.14.
Заметим сперва, что для t > О
со со
J фа(«О *-'»*=--_[{«!•! («О— \
1 О
поскольку t{i2 = 2<J)i—1, а ^ равно w — п на интервале (л, п-\-\).
Простое вычисление дает тогда
A3.13.1)
Пусть теперь
A3.13.2) f(x) = )e-*dx(f),
о

13.13] другие формулы для С 415
где интеграл абсолютно сходится для х > 0. Тогда, принимая во вни-
внимание A3.13.1), имеем
со со оо
A3.13.3) / Ь И /" («О dw = / ф2 И dw J Яе"** rfX @ =
1 10
= ]tV(t)dX(t) =-2 JV^-^-I +i)
о
Так как, далее, условия A3.6.1) и A3.6.2) выполнены для А^>0, то
можно воспользоваться формулой A3.6.4) с & = 0. В итоге получаем
A3.13.4) C==-
Так например, взяв (как в § 13.10)
получим
о
(формулу, в действительности справедливую и для о > — 1). При
s=l она дает
00
A3.13.5) -{ = ±-\-je-
о
Рассуждение, приводящее к формуле A3.13.4), сохраняет силу
и в том предположении, что
абсолютно сходится для х^>\, даже если интеграл A3.13.2) не суще-
существует. Так, если di = e-ctj, где с> — 1, то f" (х) = тх + с\2 и
F
J
*—l

416 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. XIII
Комбинируя это с формулами A3.11.7) и A3.11.9), находим
F-{1+e)t(
e
U —1 t ~*~ 2) t'
0
_ F
J
0
В частности, при с = О
A3.13.6) -J-Ioff2«=I —(
о
Далее, дифференцируя по с и заменяя затем с на с — 1, получаем
A3.13.7)
для с > О (или комплексных с с Ш > 0).
Формулы другого типа предложили Абель и Плана. Возвращаясь
к интегралу A3.13.2), замечаем, что f (г) есть аналитическая функ-
функция от г, регулярная для х = 9te > 0, а
A3.13.8) ?(?, ч) =
для $ > 0 *). Далее, на основании известной формулы
Полагая здесь 5=1 и принимая во внимание формулу A3.13.4), на-
находим
A3.13.9) С = - У
В частности, имеем
A3.13.10) С (s) = jztj +-2" fj
*) Мы возвращаемся к соглашению, что интегралы с неуказанными пре-
пределами берутся от 0 до оо.

13.14] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА 417
сначала для о > 0, а затем, путем аналитического продолжения, для
всех s; далее,
A3.13.12)
Последняя формула соответствует случаю / (х) = log х, когда / (х)
на самом деле не представляется формулой A3.13.2).
В следующем параграфе мы дадим доказательство формулы A3.13.9),
не зависящее от какого-либо специального интегрального представле-
представления для f(x). Ясно, что справедливость этой формулы должна осно-
основываться на предположениях о поведении f (х) в комплексной плос-
плоскости; это приведет нас в следующем параграфе к исследованию фор-
формулы Эйлера-Маклорена с совершенно другой точки зрения. Послед-
Последнему будет полезно предпослать одно замечание формального харак-
характера. Если написать
вставить это разложение в A3.13.9), формально проинтегрировать
почленно и заметить, что
A3-13.13)
то мы вновь придем к ряду
связав тем самым формулу A3.13.9) с нашими предыдущими рассмо-
рассмотрениями.
13.14. Исследование формулы Эйлера-Маклорена посредством
комплексного интегрирования. Будем предполагать теперь, что/{г)
есть аналитическая функция от z = х -\- iy, регулярная для х ~^> \,
где \ < 1, и
A3.14.1) e-2*l2/l|/(jc-f (У)!-* О
при | у | —> сю , равномерно на любом конечном интервале (?, X) из-
изменения х. Обозначим прямоугольник, ограниченный прямыми дг=1,
х = п к y = ±Y, с полукруглыми вмятинами радиуса р у точек 1
и п, через С(р), а совокупность обеих этих вмятин — через /(р). Опре-
Определим С как предел С(р) — /(р) при р—>0, а С\ и С2 — как части
контура С, лежащие соответственно выше и ниже вещественной оси.
27 Зак. 2499. Г. Харди

418 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
По теореме Коши,
п ,
2^ J* ctg кг/(г) dz = 2] / (от),
a m=i
где интегралы вдоль вертикальных сторон контура С понимаются как
главные значения, а штрих при знаке суммы указывает, что к ее
крайним членам следует приписать множитель -=-. Но
п п
f vif(z) dz = — т J / (х) dx, J. { — «/(г) }dz = — nijf (x) dx;
с, i о, 1
значит,
и п
A3.14.2)
1
где
1 — в в \
соответственно на Сх и С2.
Из условия A3.14.1) следует, что интегралы вдоль горизонталь-
горизонтальных сторон контура С стремятся к нулю при Y -> оо; поэтому A3.14.2)
приводится к
и п
A3.14.3) ]?/(/») — \f(x)dx~\f(n) — y/(l) = Q(n) — Q(l),
где
О— «со
причем Q(n) и Q(l) понимаются как главные значения соответственно
при г=п и 2=1. Но
1
— 1
и те же значения имеет ty (n -j- iy). Поэтому, подставляя эти значе-
значения в Q (я) и Q A) и объединяя части интеграла, соответствующие
положительным и отрицательным у, получаем
.A3.14.4)

13.14] ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА 419
где q (х, у) определено формулой A3.13.8). Здесь интегралы сходятся
уже в обычном смысле, поскольку q(x,y) есть О(|_у|) для малых
у. Если / вещественна для вещественных г, то q(x,y) есть ее мни-
мнимая часть.
Представим теперь q(n,y) по формуле Тэйлора в виде
A3.14.5) q (я, у) =yf (я) -y~f" (я) + • • •
Подставим это разложение в интеграл для Q (я) и воспользуемся фор-
формулой A3.13.13). В результате мы получим
A3.14.6)
то=1
где
Последняя сумма в левой части формулы A3.14.6) есть5л(/г) § 13.5.
Если мы сможем показать, что Ry,{n) —> 0 при п^-оо, то получим,
что
п п
/И-
4=1 1
в согласии с формулой A3.13.9), поскольку f(l) = 0, когда я=1.
Это и есть формула Абеля-Плана.
Для доказательства того, что Rk(n) -+0, мы должны, разумеется,
Наложить на /(г) значительно более сильные ограничения. Мы будем
предполагать, что для каждого г
A3.14.7) №(г) = О(\г\°-г)
С фиксированным с, когда г—>оо в полуплоскости х~^>\. Будем
Также предполагать, что Ik -\-1 > с. Тогда, пользуясь разложением
A3.14.5) и формулой
27*

420 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
для g{y) = q(n, у), находим, что
1
о
Так как \ п-\-iy \"^ n и 2&-|- 1 > с> то из условия A3.14.7) следует,
что
равномерно относительно _у и, значит, что
tfs (я) = О (я«^*-») J ^-x dy = O (»e-»-i) -> 0
при и —> оо; этим и завершается доказательство.
Указанные условия выполнены, например, для / (х) = —- или
/ (д:) = log д;, и таким образом мы вновь получаем многие результаты
§§ 13.10—13.13. Разумеется, нельзя рассчитывать, что этим способом
можно получить столь точные результаты, как в § 13.7.
13.15. Суммируемость ряда Эйлера-Маклорена. Мы будем на-
называть ряд
A3.15.1) © („) «.I./(*)+:§,/'(я) + 0-
где
A3.15.2) яо=4
„рядом Эйлера-Маклорена" для/(л). Мы видели, что при известных
условиях он служит асимптотическим рядом для
A3.15.3) Ф(л)
но остался невыясненным вопрос, суммируем ли он каким-либо из
методов, изложенных в предыдущих главах. Так как рассматриваемый
ряд обычно быстро расходится, то для этой цели требуется довольно
сильно действующий метод. Мы покажем, что в известных случаях,
охватывающих, в частности, все рассмотренные в предыдущих пара-
параграфах, этот ряд суммируем методом (В*) § 8.11.

13.15] СУММИРУЕМОСТЬ РЯДА ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА 421
Примем сначала, что 0<8<1, s>0 и
A3Л5.4) /(*) =
равномерно в полуплоскости дг^-S. Тогда
с
где С есть прямая (8-)-гоо, § — /оо), и потому
A3.15.5) a(t) = %ak^ = ±f(n)+^tf(n)-§^tY"(n)
о
_ 1 Г/(и) П, Bi < В,/ f \в, \. _
~~ 2м J Г=^\2 + 2! F=^~ 4! \?=Л) -Т"']аи —
С
_J_ г ?W_(_J. L)du-
2niJ л-Дг'»-1 w )
где та s= . Почленное интегрирование законно для малых t, по-
ТЬ ' It
скольку | w | ^ '
l !ctr
\w 1
1w I
-! -ctcr —
| w | 2 c & 2
ограничено для | да ] < тс и
с
Таким образом, формула
верна для малых ^.
Примем пока без доказательства, что функция a (f), определенная
рядом A3.15.5), равна

422 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. XIII
для всех положительных t. Тогда
в предположении законности обращения порядка интегрирования, что
мы тоже примем пока без доказательства. Внутренний интеграл
в последней строке равен
I— С с*( ш l
где
— С
— J
w \ 1 .
ш = — = = 5 г- = ре*?,
t n — и n — 6 — ty '
причем 191 < -д-гс. Применяя теорему Коши к сектору, ограниченному
вещественной осью t и лучом arg^ =— со, и принимая во внимание
формулу A3.13.7), получаем
— l /?
Г'A + /г — и)
= Г е-
= е v ' [ —s— н rf/? = log (n — и)
J \eR—l R) sv ' ( + )
где взята ветвь логарифма, вещественная при и = S. Таким образом,
A3.15.6) J е~*а @ ^ ^ f / («) {log (л -«) - ^{^
с
Мы видим, что (если отвлечься от недоказанности некоторых
наших допущений) ряд ©(я) суммируем (В*) к сумме A3.15.6),
а разность <5(п) — © A) суммируема (В*) к сумме
к~. f (и) log -, da — ;г-. / («)(я • 4- 5 h • • • Н
2ш J J к J sl—a 2tc!J у v ^^2 — a ' 3 — и ' ' n—и
Наконец,
^de = ^ ("/(«){1ое(я —в) —log A-я)} da,
Ь'

13.15]
СУММИРУЕМОСТЬ РЯДА ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА
423
где С есть разрез по отрезку [8, я], проходимый дважды в проти-
противоположных направлениях, причем особые точки и = 1 и и — п обхо-
обходятся обычным способом посредством полуокружностей, радиусы
которых стремятся к нулю. /!3{log(/z— и)—log A—и)} имеет зна-
значение 0 на (8, 1), —ы на A, п), ni на (п, 1) и 0 на A, 8), и,
значит,
п
A3.15.7) ©(я)— ©A) =/B) +/C) + ...+/(«) — [f(u)du,
A3.15.8) ®(«)
где ряд суммируем (В*), а С = /A) — ©A) есть постоянная Эйлера-
Маклорена функции f (х) для а— 1 *).
Остается обосновать допущения, принятые нами без доказатель-
доказательства. Для этого достаточно доказать (а) что интеграл
(
п-и W«-
w =
Л — M
равномерно сходится в некоторой области, содержащей отрезок
[t0, tx ] @ < t0 < ^) вещественной оси плоскости переменного t, и
(б) что двойной интеграл
ега—
— 1
<# =
= СШ*)\аи Сe-t
) \п — и\ J
с
е«> — 1
dt
сходится. Прежде всего ясно, что эти условия будут выполнены,
если соответственно
A3.15.9)
1
ew—
для всех надлежащих значений (ни. Действительно, тогда инте-
интегралы / и К мажорируются соответственно с точностью до постоян-
*) Полученные формулы согласуются с формулами A3.6.3) — A3.6.5) для
а = 1, й = оо, поскольку тогда F(\) = 0 и -=¦ /(п) + S& (п) обращается

424 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. XIII
ных множителей интегралами
A3.15.10) [Ш1ыи\, ( }fW[\du\f(l+f)e-*dt=2(^\du\.
с с с
Ясно также, что достаточно рассмотреть верхнюю половину контура С.
(а) Пусть t = re*'9, где
Первое из условий A3.15.9) заведомо выполнено, если выполнено
одно из условий
A3.15.11) |да|<Х<2тг, р = 9?да>?>0
для некоторого X или Ч и всех рассматриваемых ? и и. Но если
а = 8 -{- (у, где у = (я — 8) tg <р > 0, то 0 < <р < -=- тг и
г cos tp
п — В — г_у (п — о)A — I tg f) n — о
i , г cos tp
\w | = __B~, p =
1
Если ср^-утг — 2а, то coscp^sin2«, и
|да < —'Кг sin 2« = X.
Если 0<ср<!-^т — 2а, то cos (9-j-cp) ^> sin a, cos <p ^ sin 2я, и
Г1 . sin a sin 2а = ?.
и — в
Мы видим, что если выбрать а так, чтобы к < 2тг, то для всех над-
надлежащих t и а действительно будет выполнено одно из условий
A3.15.11).
(б) В этом случае t вещественно и положительно, и второе из
условий A3.15.9) выполнено, если выполнено одно из условий
A3.15.12) | да [< X < 2тг, SRw>|- ($ > 0)
для всех надлежащих t и и.
Но либо (I) ^^ к\ п— и |, где 0 < X < 2тс, и в этом случае |да
либо (II) t^>X\n — а [, и в этом случае
Таким обоазом. нами доказана

13.16] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 425
Теорема 246. Если / (z) регулярна и равна О(.—~\, где s > О,
в полуплоскости х — Шг^-Ъ, где 3< 1, то ряд Эйлера-Маклорена
функции f (г) суммируем (В*) к сумме A3.15.3); в частности,
С = ~ F A) -f- ^ / A) —§/' A) + 0 + ^f/'" A) + 0 — ... (В*).
13.16. Дополнительные замечания. A) Мы предположили, что функ-
функция /(г) удовлетворяет условию A3.15.4), так что интегралы A3.15.10) схо-
сходятся. Если предположить только,-что \f{z)\ — О (| z |е) для некоторого с,
то интеграл
:\du\
\п — u\
будет сходиться для г > -=-(с -f-1), и мы все еще будем в состоянии доказать
суммируемость ряда
Тогда мы сможем перейти к © («), добавляя конечное число членов, и основ-
основное содержание наших заключений останется в силе. Так, при /(«) = «-«,
где —1О<0, или f (и) = log и, мы можем взять г = 1.
B) Мы применили метод (В*), включающий понятие аналитического про-
продолжения функции a (t). Если (как фактически оказывается в большинстве
важных случаев) a (t) регулярна для Ш > 0, то многоугольник Бореля функ-
функции a (t) содержит положительную полуось t, и ряд для a(t) суммируем (В).
В этом случае можно сказать, что ряд <&(п) суммируем (В2), т. е. повторным
применением интегрального метода Бореля.
Пусть, например, /(г) удовлетворяет условию A3.15.4) равномерно
в любом секторе с вершиной о, не содержащем отрицательную полуось.
Тогда, модифицируя рассуждения § 13.15, нетрудно показать, что a(t) регу-
регулярна для 9W>0, так что ряд ©(и) суммируем (В2). Можно также комбини-
комбинировать это замечание с обобщением, указанным в пункте A). В частности,
ряды
A3.16.1) ^ + ^ ^ f
и
A3.16.2) i_*i 3| 56
суммируемы (В2) соответственно к суммам y и -„- log 2л.
Последние утверждения легко также проверить непосредственно. Так,
в случае A3.16.1) имеем
где ряд сходится для 0-<^<2гс и суммируем (В) для всех положительных t;
и I е-*а{()сИ сходится тс ¦; согласно A3.13.5).

426 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
13.17. ^-определение суммы расходящегося ряда. Формулы A3.10.11)
дают примеры ^-суммируемости расходящихся рядов с положительными чле-
членами. Подобные равенства можно, следуя Эйлеру и Рамануджану, использо-
использовать и для определения сумм рядов более обычного типа, как 1—1+1—1+- • ¦¦
Однако получающиеся таким образом определения суммы имеют узкую
область действия и требуют при своем применении большой осторожности.
Так, после формул A3.10.11) естественно писать
A3.17.1)
A3.17.2) 1+3+5+... =2 + 4+6+...-
A3.17.3)
.)=i = i,
A3.17.4) l- I i ^
Последнее из этих равенств противоречит формуле A.2.17); а суммой, кото-
которую согласно принципу Эйлера, приведенному в § 1.3, естественно приписать
ряду 1 + 2 + 3+..., является либо оо, „значение j-. ^ при лг=1",
1
либо —ys, значение ?(s) = N^ — при s = — 1.
Числа—тг и тг- в формулах A3.17.1) и A3.17.2) представляют собой
в действительности значения С для f(x) = 2х и f(x) = 2x — 1 (с а = 0).
Но ряды 1+3+... и2 + 4+... в формулах A3.17.3) и A3.17.4) не могут
истолковываться аналогичным образом. Их следует рассматривать скорее как
1+0 + 3 + 0+.-.и0 + 2 + 0 + 4+...,а тогда не существует функции f(x)
достаточно правильного типа, которая принимала бы нужные нам значения.
В действительности, если мы хотим, чтобы наши результаты были совмест-
совместными, мы должны истолковывать 1+0 + 3 + 0+... и 0 + 2 + 0 + 4+...
как значения, принимаемые рядами
1,1, _(. 1 \т. . 1 , 1 _ 1
Т7 "г з« ~"~ •'' ~ \. 2» ) ^S'' 2» ""*" 4s ~т~ ''' ~~ ^ ' '^
при s = — 1. Этими значениями служат (— 1) (— тя) = То и 2(~ То)= ~""к'!
Согласно этим принципам суммой ряда log 1—log2 + log3— ... будет
значение ряда
'~~°— ... = B1-е _ 1) ^/ (s) _ 2i-8 log 2 • С (s)
для 5 = 0, в согласии с (А, А)-суммой § 4.7 с \п = log (л +1). Таким образом,
т17?Л ino I _|r,D'2-l-IoD'3— ... =t'C01 — 1lo{r2-l(m = — ilop -in.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛ. XIII 427
Легко проверить, что это будет также (С, 1)-суммой рассматриваемого ряда.
В самом деле, здесь
s2p-i = s2p -f Iog2p = -g log/? — -y log я -f log 2 + о A),
и, значит,
^o т *i т • ¦ • т s» _ l <„„ 1 _
—ТП : > — ~0" lOg-oT*-
П -f- 1 ^ Z
ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ ХЦ1
§ 13.1. Эта глава не претендует на систематическое изучение формулы
Эйлера-Маклорена и ее приложений, подобное даваемому в книгах по
исчислению конечных разностей. Наше внимание сосредоточено на тех сто-
сторонах этой формулы, которые наиболее тесно связаны с содержанием пре-
предыдущих глав. Разумеется, мы существенно использовали основные учебные
руководства, и, в частности, книги
Jordan, Calculus of finite differences (Будапешт, 1939);
Milne-Thcmson, The calculus of finite differences (Лондон, 1933);
Norlund, Vorlesungen iiber Differenzrechnung (Берлин, 1924);
Steffensen, Interpolation (Балтимора, 1927)x);
Whittaker and Robinson, The calculus of observations (Лондон, 1924J),
а также краткие изложения в книгах Bromwich, Ford и LindelOf. Единствен-
Единственным местом этой главы, отличающимся некоторой новизной содержания,
являются §§ 13.15—13.16 о суммируемости ряда Эйлера-Маклорена.
Мы не ставили своей целью давать подробные литературные указания
по поводу содержащихся здесь специальных формул, в частности, связанных
с дзета-функцией и гамма-функцией.
§ 13.2. Обозначения, применяемые различными авторами, значительно
отличаются друг от друга. Наши Вп и ц>п (х) совпадают с В„ и tpn (¦*) Бром-
вича и Уиттекера-Робинсона, а наши Вп(х) — с нёрлундовскими. Но Нёрлунд
пишет
3 ^L
п «!'
так что его Bim+i для т>0 есть 0, а его Вгт есть наше (—1)«-1BW; и
ему следуют Жордан и Милн-Томсон. Это обозначение имеет то преиму-
преимущество, что Вп @) = Вп.
§ 13.5. Рассматриваемую формулу суммирования нашли независимо Euler,
Сотт. Petropol., 6 A732—1733, опубликовано в 1738), 68 — 97, Opera A),
14, 42 — 72, и Maclaurin, Treatise of fluxions A742), 672. См. М. Cantor,
Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, 3, 663, и Enzykl. d. Math.
Wiss., IA3 (§ 38) и IE (§ 11). Первое серьезное исследование остаточного
члена предпринял Poisson, Memoires de Vlnstitut, 6 A823), 571 — 602, первое
же совершенно строгое —Jacobi, JM, 12 A834), 263 — 272 (Werke, 6, 64 — 75).
§ 13.6. Представление о характере подхода Рамануджана к расходящимся
рядам можно составить по отдельным местам из его писем и записных
книжек.
J) Есть русский перевод: И. Ф. Стефенсен, Теория интерполяции, ОНТИ,
1935. (Прим. ред.)
2) Есть русский перевод: Э. Уиттекер и Г. Робинсон, Математическая
обработка результатов наблюдений, ГТТИ, 1933. (Прим. ред.)

428 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА [ГЛ. ХШ
§ 13.8. Пуассон, I. с. в примечании к § 13.5.
§ 13.9. Фурье, 1. с. в примечании к § 2.8.
§§ 13.10—13.11. Значительную часть формул, полученных здесь ив §13.13,
можно найти в книге Bromwich, Приложение III.
Наиболее естественный и простой метод аналитического продолжения
функции ?(s) дан в книге Landau, Hafidbuch, 270 — 272; идеи, лежащие
в основе этого рассуждения,—те же, что и у нас, но изложены в индуктив-
индуктивной форме. Методы Римана, также излагаемые Ландау, изящнее и более
известны.
По поводу последнего способа вычисления С в § 13.11 см. Bromwich,
ММ, 36 A907), 81 — 85.
§ 13.12. По поводу подробностей см. Milne-Thomson, гл. 8, или Norlund,
гл. 3.
§ 13.14. Изложение в основных чертах заимствовано из книг Форда
и Линделёфа.
§§ 13.15 —13.16. Основные результаты этих параграфов, невидимому,
новы. В работе Barnes, QJM, 35 A904), 175—188, изучается суммируемость
ряда Эйлера-Маклорена (в более общей форме § 13.12) методами борелев-
ского типа; но рассмотрения автора неубедительны.
Легко проверить, что ряд сходится, если f (х) есть целая функция по-
порядка 1 и типа, меньшего чем 2л.
§ 13.17. По поводу (С, 1)-суммы ряда log 1—log 2 -f log 3— ... см.
Bromwich (изд. 1-е), 351.

Приложение I
О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С ПОМОЩЬЮ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
1. В § 1.2 мы привели ряд примеров на применение формальных
вычислений с расходящимися рядами, главным образом к нахождению
значений определенных интегралов. Здесь мы покажем как эти и
подобные им вычисления можно обосновать.
Заметим прежде всего, что все обычные теоремы относительно
непрерывности, интегрирования или дифференцирования сумм сходя-
сходящихся рядов имеют аналоги для любого линейного метода суммирова-
суммирования Т, определенного формулой вида C.1.3) или C.1.4). Мы будем
формулировать их применительно к методу C.1.3), причем ограничимся
наиболее очевидными аналогами классических признаков, относящихся
к непрерывным функциям и равномерно сходящимся рядам. В даль-
дальнейшем мы будем предполагать, что ряд 2 ап(х) суммируем (Т) к s(x),
п
т. е. sn(x)= 2 am(x)^.s(x) (Т).
т = 0
Теорема 247. Если (I) функция ап(х) для каждого п непре~
рывна на отрезке [а, б] *),
(II) ряд ^т (*) = 2 cm,« s« С*0 для каждого от равномерно схо-
сходится на [а, б],
(III) ряд 2 ап (х) равномерно суммируем на [а, б] к сумме s (x),
^то s(x) непрерывна на [а, б].
Действительно, в силу условия (II) tm (x) непрерывна для каждого от,
а тогда утверждение теоремы следует из условия (III). Если метод —
конечно-строчный, например если Т есть (С, &), то условие (II) от-
отпадает.
Теорема 248. При тех же условиях
Ь ъ
2 f a Jx) dx = J 5 (х) dx (T).
*) С обычной оговоркой (утверждением непрерывности лишь справа или
слева) для концов интервала.

430 ПРИЛОЖЕНИЕ I
Действительно, по определению, левая часть равна
ъ ь ь
lim 2 ст,п Г sn (дг) dx =* lim Г 2 cm>n •?„(*)«?•*: =lim Г tm (x) dx,
"» а т а » а
и утверждение теоремы снова следует из условия (III).
Теорема 249. ?слм (I) функция а'п(х) для каждого п непре*
рывна на отрезке [а, Ь] *),
(II) ряд 2 ст п sn (х) для каждого т равномерно сходится на
[а, Ь],
(III) ряд 2а«(*) равномерно суммируем на [а, Ь],
(IV) ряд 2a»(*) суммируем на [а, Ь\, к s(x),
— то s' {х) существует и непрерывна на интервале а < х < #, и
Это — тривиальное следствие теорем 247 и 248. Действительно,
1{х), сумма ряда ~^ап(х), непрерывна на [а, д], и
X
s(x)~-s(a)=* 2 {М*)-~йп(я)} = 2 J а'п
где все суммы берутся в Т-смысле. А отсюда следует, что s'(at) =/(*)
на интервале а <^х <^Ь.
2. Переходим к обоснованию результатов, полученных в пунктах
A), B), C), E) и F) § 1.2**). Если пользоваться С-определениями,
то преобразования, проведенные в пунктах A) и B), подходят под
действие теорем 247 и 249, поскольку все ряды, получающиеся пу-
путем дифференцирования, равномерно суммируемы (С, /) для доста-
достаточно больших / в соответствующих интервалах. Можно было бы
также воспользоваться и А-определением. Первое интегрирование
в пункте C) подходит под действие теоремы 248.
Рассуждение, проведенное в пункте E), требует более подробного
рассмотрения. Пусть 0 < да < it. Тогда
6( fl )ду (С 1}
ч Т/ Лек п v /
COS0 — COS? JbU Sin ср
*) С такой же оговоркой, как в теореме 247.
**) По поводу пункта D) см. примечания к гл. I.

О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 431
где суммы берутся от 1 до оо и 0 < 8 < тт, 8 ф <р. Так как ряд 2 ап
равномерно суммируем на отрезках [0, <в— s] и [<p-j-e, тс], то
П=1 0 <р —е
ар \ cos то — cos m<f ,л
J / COS в — COS (f
Поскольку правая часть при s—>-0 стремится к интегралу A.2.26),
достаточно доказать, что
существует для каждого е и стремится к нулю при s—>(). Тем более
достаточно доказать, что этими свойствами обладает
Но легко проверить, что
/•с п sin ncp ( sin (т — n)s . . .
ап db = 2 —.—™ •! -1- cos (m — п)ф 4-
9-»
. sin (m 4- п)г . , . _ sin m\
-\ v _~* ' cos (от 4- л)<р — 2 cos т'й cos /гр >,
, sin (ж — й)г
где от фиксировано и под — — при п = т следует понимать е.
Поэтому достаточно показать, что ряды
оо
А =. У sin лср cos (я — т)'й sin'^?
й =
sin (п — /я)у
/га '
оо
С = — 2 cos /иср V sin n<o cos лев
sm n

432 ПРИЛОЖЕНИЕ I
сходятся (что очевидно), и их сумма при 8 -> О стремится к нулю *).
т т _
Но
А = V sin (от -}- &)<в cos Акр —
sin ke.
к=1
со
5 = V Sin (k — OT)<p COS ky т—¦ ,
оо
А + В = 2 cos от<р V sin й® cos А:<р —-. = — С,
1
так что А-\-В-{-С=0.
Переходя к пункту F) § 1.2, ограничимся рассмотрением фор-
формулы A.2.28). Так как
sin 20 + sin 40+ sin 68+ ... = i ctg 8 (С, 1)
1
равномерно на интервале (г, -к^), то
lim 2(l — Ivqri) J 9 sin 2я0 rf8 = ~-J 9ctg8rf0,
и достаточно доказать, что
lim У (l — -тА-л) f 9 sin 2"9 d% ~* °
при е -> 0; и тем более достаточно доказать, что
со «
2J 8 sin 2«6 rf8 -> 0.
1 о
Но этот ряд равен
2 ~ (sin 2/ге — 2/ге cos 2яе) = -J- 2 1Н^ + 2" 8 Iog B sin
и, очевидно, стремится к нулю.
*•»
*) Мы отбросили в А члены, соответствующие значениям л = 1, 2,... , пг,
и присоединили к В члены, соответствующие значениям п = 0, — 1, ...,
— /и-f-l. Очевидно, все они стремятся к нулю.

О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 433
Аналогичным образом могут быть вычислены и многие другие
интегралы, как, например,
\ sin 8
2/z-f-lJ' J
cos «f — cos 8
о
1
Последние два интеграла понимаются в смысле главных значений,
причем во втором из них 0<^«<С^.
3. Формулы предыдущего параграфа можно вывести, в значи-
значительно более общем виде, из теории рядов, сопряженных к рядам
Фурье. Рядом, сопряженным к
1
называют ряд
Как известно, при выполнении надлежащих условий
C.1)
где интеграл понимается в смысле главного значения при t — Ь. Так,
сопряженный ряд сходится к этому значению, если интеграл C.1)
существует, a f (t) имеет ограниченное изменение в окрестности
точки af=6. Но формула C.1) получается, если написать
\ ctg ~{t — в) = sin (t - 6) + sin 2 (t— в) + ...
и, умножив всё на / (i), почленно проинтегрировать. В частности,
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСХОДЯЩИХСЯ ИНТЕГРАЛОВ
4. Рассмотрим теперь формулы § 1.5. Предложения, аналогичные
теоремам § 1, имеют место и для расходящихся интегралов; форму-
формулировать их нет необходимости. Сразу проверяется, что интегралы
A.5.8) и A.5.9) суммируемы (А) к указанным значениям, притом
равномерно на каждом интервале (т0, /их) положительных значений
28 Зак. 2499. Г. Харди

434 ПРИЛОЖЕНИЕ I
аргумента т. Они также суммируемы (С, k) для достаточно больших k,
поскольку легко доказать, что
r(*+1);ft+t (с, /)
для fe > — 1, а > О, / > й. Действительно, беря интеграл
по прямоугольнику (О, X, X—/со, -{-/со) с надлежащими проги-
прогибами у точек 0 и X, получаем
а*х
При А"->со первый член справа стремится к
9
а второй — к нулю.
Докажем теперь две теоремы относительно формул A.5.10) и
A.5.11).
Теорема 250. Если (I) F(*) = 2 Vя,
(II) /»>0, j*> — 1,
(III) ряд 2я'аил''1 имеет радиус сходимости /?>—,
(IV) интеграл [e—^+mi)'e x^F(x)dx сходится для т > 0,
— /ио
D.1)
где интеграл взят в к-смысле. Условие (III) можно заменить лю-
любым из следующих более общих условий;

О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 435
Теорема 251. Если (I) о {х) — О (ега>) для каждого s > 0, так
что
<}(Ч)= Г e-Tajcp (x)dx
сходится для т > О,
(II) функция $ (х) регулярна для | х | < от,
(III) ряд 2 п\апхп имеет радиус сходимости R > — ,
(IV) интеграл \ е-™у (х) F(x)dx сходится для т > О,
— /ио
D.2) J ? (*) F (*) rf* = 2 «»
где F(a:) = Sv"' причем все интегралы в этой формуле взяты
в к-смысле.
Если <р (*) = л:^-"^, то ^ (т) = ГAА + ')+1 , и условия (I) и (II)
выполнены. Таким образом, теорема 251 содержит основное утвер-
утверждение теоремы 250.
Доказательство теоремы 250. Равенства
D.3) у (х) = J е~™ <Р (*) F (x) dx = j e-(T+mi)xxv.F (xj dx =
заведомо справедливы, если
следовательно, во всяком случае для т > т, последний же ряд в D.3)
равномерно сходится на каждом интервале 0 ^ х <^ х0. Поэтому ^ (^)
есть аналитическая функция от х, регулярная для т > 0, и
—4-(»-
при х —> 0. Это — формула D.1), Ясно, что это доказательство так
же справедливо и при условии (ИГ)-
Что же касается условия (III"), то имеем
Sr(n + |i. + l)gra_ уГ(я+|>+1)дв ,
где
г = —i—. =-x-\-iy
% + ml ' •*
п& . -с2 t2 хда х
28*

436 ПРИЛОЖЕНИЕ I
при т->0. Таким образом, 1—х~уя, и г->1 вдоль пути, имею-
имеющего с единичной окружностью соприкосновение первого порядка.
Но известно*), что если /(г) = 2 cnz11 и 2 Vпсп сходятся, то
/(г) —> 2ст когда г—>1 вдоль такого пути. Тем самым теорема
полностью доказана.
Доказательство теоремы 251. Имеем | ср (х) | < Не*х для
каждого положительного е и надлежащего И. Следовательно,
е Л | <р {X) | 2j ап х ах ^ п 2u n 'J —
\Л n\ \ а |
если х—е>-„-. Отсюда
D.4) Г е-™<? (х) F (x) dx = 2 ^» Je-TiB ср (л:) л:» fifx =
если т > иг.
Если т > 0, то <]/ (и) регулярна внутри круга с центром а = г
и радиусом Ym2Jrx2- Тогда, по неравенству Коши,
для любого т] > 0 и соответствующего М (ч\). Таким образом,
п\\ап\
Так как т > -&, то мы можем выбрать ч\ так, чтобы неравенство
выполнялось на любом интервале 0 < t <т0 изменения т, и, значит,
ряд, стоящий в правой части формулы D.4), равномерно сходится
на этом интервале. Следовательно, функция
регулярна для 9fa > 0, и
fе-™? (*) F(x) dx -> 2 (— 1)геа^(п) (°) == 2 «» lim Ге~Т^
когда х->0. Это — формула D.2).
*) См. Hardy and Littlewood, PLMS B), 11 A912), 411-478 D75,
ЛО\

О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 437
б. Примеры, (I) Для иллюстрации теоремы 250 возьмем
() V/ lj 2-4...2ft
(так что /? = 1), и (J. = 0. Мы получим
Г Jo (х) cos /их их — 0 -j- 0 + 0... — О,
г , , ч . , 1,11,1-31, 1
Уп (х) sin /ил ах = ¦ — -}-...= ¦
J " ; /и 2 nfl ' 2 • 4 тъ Ym> — 1
для т > 1. И то и другое равенство становится неверным при т <; 1,
поскольку интегралы в левых частях принимают тогда соответственно
значения _ и 0*)
(II) Теорему 251 можно иллюстрировать интегралом
где с > 0, а> — 1. Прежде всего замечаем, что
E.1)
для ~ > 0, v > — 1 **), откуда следует, что
E.2) fxv+1+2"</v(x)fifx = 0 (A)
для т = 0, 1, 2, .... С другой стороны,
E.3) Jx'-1iv(x)rfx==2"-ir(v) (A)
для v>0***).
При с < 1 берем
Тогда /?==-> 1, и!}(т) в силу E,1) регулярна для | -с | < 1. Условия
теоремы 251 выполнены, и в силу E.2) -
/(с) = 0 + 0 + 0+... =-0.
*) Ватсон, 444,
**) Там же, 422,
3
***) Там же, 428. Интеграл сходится, если 0<С^<-к-
4

438 ПРИЛОЖЕНИЕ I
С другой стороны, при с > 1 берем
F (*) = ^ = ао + «а*2 + •
Тогда R — 1, и
регулярна для |т|<с*). Условия теоремы снова выполнены, и
в силу E.3)
= «о
J
Таким образом, /(с) = 0, если с< 1, и /(с) = -7^1, если с> 1 **).
6. В заключение этого Приложения рассмотрим некоторые инте-
интегралы, объединяющие в себе особенности интегралов, встретившихся
нам в. §§ 2 и 4.
Из разложений
tg х = 2 (sin 2x — sin Ax -|- sin 6л: — . . .),
sec х = 2 (cos л; — cos Зл: -j- cos 5л; — ...)
выводим формально
= 2 (иг — м3 -j- я8 — .. .),
где
й„ = Г ^(л:) cos «л: dx, vn= \ /(x')sinnxdx.
Интегралы, стоящие в формулах F.1) слева, обычно будут главными
1 3
значениями при -к-те, -к-я, ... (и могут требовать дополнительных
соглашений), интегралы же справа могут как сходиться, так и рас-
расходиться. Так, при К > О
//»— Ха; fry v* //v —— '
F.2) 1 .
I e-Xa;secA-^ =
*) ф"(х) есть интеграл типа E.1).
**) Ватсон, 444. Наши теоремы не дают значения, для /(с) в предель-

О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 439
в этом случае все ип и vn сходятся, а интегралы слева могут быть
определены как пределы интегралов от 0 до X, когда Х-+оэ, над-
надлежащим образом обходя полюсы подинтегральных выражений. С дру-
другой стороны,
Г cos kxtgx dx~2L~^ — -&ZT& + •¦•)'
F.3)
sin Kxtgx dx = 0,
если к ф 2я, и
Г cos Ал: sec x dx = О,
Г sin кх sec х dx — — 2 L2 .г — зг —X8 + '
если \ф2п-{-\. В этом случае йп и ¦»„ являются А-интегралами,
а интегралы слева, в дополнение к соглашениям, вызываемым нали-
наличием полюсов, требуется еще понимать в А-смысле.
Рассмотрим эти формулы немного ближе. Начнем с доказательства
следующего предложения:
Теорема 252. Если f (х) положительна и при л:->оо моно-
монотонно стремится к нулю, f'(x) непрерывна и существует несоб-
несобственный интеграл
со Лл
[f(x)ts;xdx= lim (*/(-*-) tg.vi.v-,
J N -> on J
о о
где интеграл справа понимается в смысле главного значения
1 3
при -Н-ТС, -s-tt, ..,, то
С f(x)igxdx = 2( ( /(х) sin 2x dx— f f (x) sin 4x dA; -|-
Нам потребуются два предварительных замечания,
(а) Интегрированием по частям получаем *), что
Л"* Л"«
J / {х) tg a- dx = i- J /' (at) log cos2 a- dx.
*) Несмотря на обращения подинтегрального выражения в бесконеч-
бесконечность интегрирование по частям не доставляет действительных трудностей.
См. Hardy, PLMS A), 34 A902), 17-40 B1).

440 ПРИЛОЖЕНИЕ I
Так как /' (х) -^ 0 и log cos2 х <; 0, то для существования предела
при N-+ со необходимо и достаточно, чтобы
Г /' (х) log cos2 х dx < оо.
Л/тс можно заменить любой последовательностью xN, сохраняющей
дистанцию 8 от полюсов tgx.
(б) Так как
V2n = j f (x) sin 2nxdx = — 2п Г/'(Л:)A —cos2nx)dx = o(^-)>
то ряд г>2 — vA +••• будет сходиться, если он суммируем (А), По-
Поэтому достаточно доказать, что
2 (гу2 — *4г* + . . .) -»¦ у J /' (х) log cos2 x dx
(предполагаемому конечным), когда г-^-1. Но
. 2 (<02г2 — ^ + • • •) =
= — 2, (— i)"-1 V J /' W (х —
cos
при г < 1, Поэтому
2 (<у«—v* + .. .
-f- 2r2 cos
и достаточно доказать, что
Hr) — ff (x) log ТТ^ЙЙ&Т7, "* ¦* J f M l°scos2 * **t
когда г->1. Но, как легко проверить,
для 0<;r<;i, cos2a:^i0. Отсюда следует, что J (r) равномерно
rvnriMTra ппа П S r S~ 1 и апапит /Г'^-л.А^П Чтим твгаииа

О ВЫЧИСЛЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 441
доказана. Ее условия удовлетворяются функцией f (х) — е-1х, и это
приводит к первой из формул F.2).
Доказательство второй формулы аналогично.
Для доказательства формул F.3) заметим сперва, что
Г e-sx\ogcos2x dx
сходится и представляет для 9?s>0 регулярную функцию от s. To же
верно и для
Г e-^igxdx — — к-s Г e-sa!logcos2 xdx,
где интеграл слева определен как в пункте (а). Полагая s = o-(-A
и беря о->0, мы и получаем формулы F.3). Аналогично можно
доказать и формулы F.4).

Приложение II
ЯДРА ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ
1. Как известно, суммируемость ряда Фурье
методом Т с
*т = 2 Cm,nSn [ИЛИ Т (х) = 2 с» (•«) sn] *)
зависит от свойств „ядра"
sinf n + -~\t
2 sin -i-f
sin (и + -я-
Гили г^/" /ч ^ " f'"ч
В частности, если Т есть „регулярный К-метод", в смысле Харди
и Рогозинского**), т. е, если он регулярен и
ИЛИ
для каждого т [или я], то для суммируемости, к сумме с, необ-
необходимо и достаточно, чтобы
8 .
J ?с @ Km (О Л -»• 0 [или J ^с (О К (*,
где
для любого 8 > 0 ***).
*) Вместо буквы t, которой мы пользовались в § 3.1, мы пишем теперь г;.
буква t понадобится для других целей.
**) Fourier series, гл. 5 (в дальнейшем будет кратка цитироваться
как HR).
***) HR, теорема 69.

ЯДРА ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ
443
Будем для условий
о,
A.2)
A.3)
пользоваться соответственно обозначениями kc, lc и Lc. Для регуляр-
регулярных К-методов имеют место следующие три фундаментальные теоремы,
принадлежащие в существенных чертах Лебегу *).
А. Если
A.4)
я ¦
f\Km(f)\dt<H,
где И не зависит от т, то ke является достаточным условием
суммируемости к с.
Б. Если
A.5)
я
ft\Km(t)\dt<H,
то 1С есть достаточное условие.
В. Если | Кт (t) [ < К*т (t), где К*т @ абсолютно непрерывна,
за исключением, быть может, начала, и
A.6)
§
t\K*m(t)\dt<H,
я,
то Lc есть достаточное условие.
Ясно, что kc влечет Lc, a Lc влечет /с; с другой стороны, A.5)
влечет A.6), а A.6) влечет A.4). Условие Lc и, тем более, /с
выполнено с с =/(9) для почти всех 9; значит, метод суммирова-
суммирования, удовлетворяющий условиям A.6) и, тем более, условию A.5),
„F-эффективен", т. е. суммирует любой ряд Фурье почти всюду
к порождающей его функции.
*) См. HR, теоремы 70, 71, 72. В теореме 72 первое из условий E.6.5)
есть следствие второго, в предположении, что К*т (") = 0A). Видоизменения
для непрерывного параметра трщшальны..

444 ПРИЛОЖЕНИЕ II
Если Т есть (С, 0), (С, 1), А, то Кт (f), или К (г, f) *), есть
соответственно
1 2
sin-^m-f 1)
2 sin -=^ ~
P(r' ^==2A—2rcos^+/-2)g
Последнее ядро удовлетворяет условию A.5); второе удовлетворяет
условиям A.6) и, тем более, условию A.4), но не A.5); первое же
не удовлетворяет даже условию A.4). Таким образом, методы А
и (С, 1) F-эффективны, тогда как классическая сходимость — нет**).
Мы рассмотрим здесь ядра методов (С, k), (A, 2), (VP), (В)
и (Е, q).
2. Ядро метода (С, k). Докажем следующее предложение.
Теорема 253. Ядро метода (С, k) удовлетворяет условиям
теоремы В, и тем более А, для каждого положительного k. Оно
удовлетворяет условиям теоремы Б, если k > 1, и не удовле-
удовлетворяет им, если 0<&<;i.
Отсюда как следствие вытекает, что метод (С, k) F-эффективен
для каждого положительного k.
Пишем
-2-j-
cos
и обозначаем через С* k раз итерированную я-ю частичную сумму
ряда 2 ?„***). Тогда
m-\-k
k
Очевидно, можно предполагать т > 2.
A) Оценим Km{t) для 0 < /< — и — < ^< п. Если 0 < /< ~
til fit ifl
то ст = ОA), Ст=0(т), С„г= О(т +), и Кт = 0(т), равно-
равномерно относительно t; так что для надлежаще выбранного //
B.1) \Кт\<к1г = Нт @<*<^
*) Здесь удобно вместо л: писать г.
**) Я^, 70 (теорема 79).
'¦**) Так чтоС1^ соответствует Л* гл, V(

ЯДРА ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 445
При t > — воспользуемся формулами
.„1 1 — и2
B.2) С*=^
2 1 — 2ucost-\-u*'
1 — И2 1
2а cos г1+«2A _
1 — иа йи
— 2м cos t-\- и2A — и)»+1ит+1 '
и
где С есть маленькая окружность с центром в начале. Предполагая
учтенными вычеты в полюсах и=е±и, можно деформировать С
в разрез Си образованный окружностью | и—\ \ = р, где р < | \ — еи |,
и лучом A -\- р, со), проходимым дважды в противоположных
направлениях. Вычисляя эти вычеты, находим:
B.3)
ТМЬ I П1-/ _L П Sill|( W +'fe +"о)/~ "О"*71 \
B ^ Q (т\ — г^+1)г('и+1) ^ 2 2У 2 j
B.4) U[m)- r(m
Г
w J
du
Ясно, что
B-6)
равномерно, и нужно только оценить W(m).
Берем р = н—. Тогда (принимая во внимание, что t >—) имеем,
j^/TZ Tit
для некоторого положительного Я,
1 __ ие±и | = | и — е+" | > Ht
на круговой части контура Сг и, тем более, на его прямолинейных
частях. Далее, -——^ ограничено на круговой части. Поэтому доля
круговой части составляет
\
JU\mflJ'
\
т т __ / 1 \
—U\flJ

446 ПРИЛОЖЕНИЕ II
а доли прямолинейных частей будут
0A 1_ Г du\-o\ l l
Из формул B.3) — B.6) следует теперь, что
B.7)
B.8) |Кт@
где Я можно предполагать тем же, что и в B.1). Функция К*п,
определенная формулами B.1) и B.8), абсолютно непрерывна,
к; оо = 0 0) и
}t K*'\dt- l w{i±i Г
J г Дт|аг~  Л\ /n» J
2k
Этим доказано первое утверждение теоремы 253.
B) Предполагая теперь, что &>1, оценим Km{t)- Так как К
получается из 0 — sin^ — 2sin2^—..., как Кт из -^-{-c
-j- cos 2t -j- ..., то имеем Km (t) = О (/к2) и
B.9)
При t> — имеем /Cm = Q' -j- W, где Q' и №' суть производные от 2
и \Г по ^. Таким образом, прежде всего
Далее,
™-//-отч = _ Г(й+1)Г(/н + 1) J__ Г A—«2)«sin^du
v ' T(m + k + l) 2r.t J A— 2«cos^
Отсюда, поступая с W'(m) как с W(m) в пункте A), получаем два
члена, первый из которых есть
I М
\ — о( l \

ЯДРА ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ
447
а второй
Отсюда
1_ Г du_\ _ Q f__! 1 \ _ 0 A_\
B.10)
m
m
m
поскольку А>1. В соединении с B.9) это показывает, что Кт
удовлетворяет условию A.5).
Проведенное доказательство теряет силу, когда k ^ 1, поскольку
тогда первый член в левой части формулы B.10) не есть 0A); и
метод (С, 1) действительно не удовлетворяет условию A.5) *). При k < О
метод (С, k) не регулярен и (поскольку суммируемость влечет тогда
сходимость) не F-эффективен. Kogbetliantz [AEN C), 40 A923),
259—323 B76)] доказал, что если —1<&<1, то
равномерно для 0 < t <; тс. Доказательство можно провести по плану
доказательства теоремы 253.
3. Ядра методов (А, 2) и (VP). Для метода (А, 2,
K(r, 0 = y + rcos^ + r4cos2^+r9cos3^+ ...
Если
то для 0 < t < тс
О (e
*) Cm. №?, 62.

448 ПРИЛОЖЕНИЕ II
равномерно относительно /. Для суммируемости к с необходимо и
достаточно, чтобы
о
при т) —> 0. Таким образом, ядро К имитирует ядро
, *!_
t~f — ГП. с- •
2*1/*
а его производные — производные от I. Но
1С СО ?2 СО ?2
§t\L'{t)\dt=0(±$t. ±e~&*dt) = O (i J /2е-йу<й) = 0A).
о о 'о
Таким образом, метод (А, 2) удовлетворяет условию A.5). Легко
проверить, что он удовлетворяет условию
C.2) J ^1^@ \ at =
для каждого р. Следовательно, подобно А-методу, он суммирует ряд,
получающийся путем дифференцирования ряда Фурье, в точках, где
порождающая функция имеет обыкновенную или обобщенную произ-
производную надлежащего порядка *).
В Приложении V мы докажем, что метод (A, k) F-эффективен для
каждого положительного k.
Представлялось интересным найти конечно-строчный метод, обла-
обладающий аналогичными свойствами; пример такого метода предложил
Валле-Пуссен. У него
C°S /+ cos2'+ • • ¦ =Л» (C0S 0
1 Л2'»
2 0 '
где
Bт)\
1
—Vх' 1
Так как cos х < е " для 0 < х ^ g-rc, то
о
О { /ит
о
о С
j
*) См. Я/?, 68—69, или Зигмунд, гл. 10 (где изложение гораздо полнее).

ЯДРА ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 449
Таким образом, ядро Km{t) удовлетворяет условию A.5), и можно
проверить, что оно удовлетворяет условию C.2) для всякого р.
4. Ядра методов В и Е. Поскольку ап и Ьп стремятся к нулю,
несущественно, какую форму борелевского определения выбрать.
Беря экспоненциальное определение, имеем
Л) е
К(х, t)=>e-»Y^ Х j
^ "• 2sin^ 2sin~f
что можно заменить, с тривиальной ошибкой, на
Рассматриваемое ядро не удовлетворяет условию A.4). В самом деле,
так как е~х^ ~~003 ' > Н для 0 < / < и
| sin (л:sin t) | > Н \ sinxt\ + О (xfi),
то
1 1
Ух Ух Ух
при х->оо. В действительности этот метод не является F-эффектив-
ным и не суммирует всех рядов Фурье в точках непрерывности.
Ядро метода (Е, q) ведет себя аналогичным образом. Будем пред-
предполагать, что q—l, поскольку лишь в этом случае для Km{f) полу-
получается простая формула. Тогда
1
от
1
Легко проверить, что Г | Кт (t) \ dt не ограничен.
29 Зак. 2499. Г. Харяи

Приложение III
О СУММИРУЕМОСТИ ПО РИМАНУ И ПО АБЕЛЮ
I. Мы докажем здесь три теоремы, упоминавшиеся в гл. IV и XII;
их можно коротко сформулировать следующим образом:
Теорема 254. (R,2) влечет (А).
Теорема 255. (R,l) влечет (R,2).
Теорема 256. (R2) влечет (А).
В каждой из этих теорем утверждается полное включение. Так,
теорема 254 говорит, что если ряд суммируем (R, 2), то он сумми-
суммируем (А) к той же сумме.
Эти теоремы допускают различные доказательства. Мы будем
следовать Кутнеру, впервые доказавшему теорему 254 в полной ее
общности. Метод доказательства посредством „формального перемно-
перемножения" тригонометрических рядов придумал Райхман и развил Зигмунд.
Он не похож ни на один из использованных нами до сих пор методов,
однако опирается на теоремы, доказанные в гл. X.
В гл. X мы определили „произведение Лорана" двух рядов, бес-
бесконечных в обоих направлениях. Здесь мы будем рассматривать три-
тригонометрические ряды. Пусть
Л = 2 «й.еИ!1а!; в = 2 bnenix
и
С — 2 cpePix,
где
ср = 2 aJ>n-
тЛ-п — 1
Если ат и Ьп четны и
ат + а_т = 2ат = ап, bn -f b_n = 2bn = \
то ср также четно, ср -\- с_р = 2ср = fp и
yao+aic°s^+ •••)(-2-Po+PiCOSJtr4- ...
где

О СУММИРУЕМОСТИ ПО РИМАНУ И ПО АБЕЛЮ 451
Это — формальное правило умножения рядов по косинусам *). В наших
приложениях все ряды, определяющие fp, будут абсолютно сходящи-
сходящимися. Произведение двух рядов по синусам также является рядом по
косинусам, произведение же ряда по косинусам на ряд по синусам
есть ряд по синусам. Выписывать формулы для этих произведений
нет необходимости.
Теорема 193 показывает, что если ап = оA), 2 \п\ |*nl < °° и
то
N N
V с еы<ь — В(х) S апе"**> -> О
—N —N
равномерно относительно х **)» В переводе на язык рядов по коси*
нусам получается
Теорема 257. Если
= Т 2
то
N N
В И ( ао+ 2 а« cos лл:
1
равномерно относительно X.
Разумеется, соответствующие теоремы имеются и для произведем
ния ряда по косинусам на ряд по синусам или двух рядов по сину-
синусам.
2. Нам потребуется следующая подготовительная лемма:
Теорема 258. Если ряд 2 сп A —cos пХ) сходится для всех х
из некоторого интервала (а, |3), то ряд 2 е» сходится.
Мы воспользуемся формулой
B.1) -jтс Г A — cos пх) sinTt^~° ^Л = Р — а 4~ (cosла
*) Эти формулы согласуются с формулами „умножения Фурье" в §10.12;
в частности, формула для fp согласуется с формулами A0.12.8) — A0.12.10),
если принять во внимание, что ат и рга четны.
**) См. замечание о равномерности на стр. 292.
***) Принимая во внимание, что а_т = ат, [3_п = рга,

452
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
где
B.2)
Очевидно,
B,3)
пН
И
О < Qn<~ (я2
и- ч
1
Так как сп sin2 -^-ял: —>¦ 0 на множестве положительной меры, то
-»°и
Допустим, что, в противоречие с предположением теоремы, ряд 2 сп
расходится. Тогда существует такое положительное 8, что
B.4) \1>сп\>Ъ
v-
для пар jx, v, стремящихся к бесконечности. Поэтому можно найти
такие (Xj и v1( что
Г1
\.Сп\
— а) 8 .
а тогда в силу B.1)—B.5)
т
4 |Х,
-кre Г Vc,,(l —cos«.v)simt^~
— а
Р=Т
V
1
а +(cosпа + cosn$)Qn}
Отсюда следует, что
B.6)
> sin те-
X— a
И-i
P-a
в некоторой точке интервала (a, [J), и, значит, на некотором интер-
интервале (al5 Pj), внутреннем к (а, C).
Теперь можно выбрать вторую пару [х2, v2 (|i2 > v3), для которой
выполняются неравенства B.4) и B.5), и таким же образом вывести,
что на некотором интервале («а, р2), внутреннем к (аи ^), выпол-
*) См., например, HR, 84.

О СУММИРУЕМОСТИ ПО РИМАНУ И ПО АБЕЛЮ 453
няется B.6) с заменой \iu v1( а, [3 на ji2, v2, а1г f31# Так как это
рассуждение можно неограниченно повторять, то получается такая
последовательность пар jij, vft, стремящихся к бесконечности вместе
с k, и такая последовательность вложенных друг внутрь друга интер-
интервалов (аъ рА.), что
B.7)
— COS ял:)
>4
на интервале (as, Cfc). Но существует, по крайней мере, одно х, со-
содержащееся во всех этих интервалах, и мы получаем, что наш ряд
расходится для этого х, что, однако, противоречит условию теоремы.
Тем самым теорема доказана,
3. Теперь мы докажем теорему 254. Это — важнейшая из теорем
этого приложения, и мы изложим доказательство полностью, а затем
вкратце укажем пункты различия в доказательствах теорем 255 и 256.
Нам дано, что Van = s (R, 2); при этом мы можем предполагать,
(изменяя, в случае необходимости, два члена ряда), что ао = О, s = 0.
Тогда
сходится для малых h, и F' (h) = о {№); а требуется доказать, что
Vflnr"->0, когда г->1. Доказательство распадается на две части;
сначала мы докажем, что справедливость теоремы в рассматриваемых
далее двух частных случаях влечет ее общую справедливость, а затем
докажем ее для этих двух случаев. Первая часть доказательства будет
опираться на теорему 257.
Поскольку ряд V ^ в силу теоремы 258 сходится, мы можем
записать наш ряд в виде
C.1) ya0-
где
C.2) «„ = -^ (я>0),
Ряд C.1) сходится к F (h) для малых h. Двумя частными случаями,
рассматриваемыми в доказательстве, будут случай (А), когда ряд C.1)
есть ряд Фурье, и (Б), когда ряд C.1) равномерно сходится к нулю
на некотором интервале значений k, содержащем начало.
4. Начнем с доказательства того, что если теорема 254 верна
в случаях (А) и (Б), то она верна вообще.
*) Используемые здесь обозначения отличны от принятых в § 1.

454 приложение щ
Пусть ряд C.1) сходится и его сумма ограничена для |А|<18.
Выберем положительное i\, меньшее чем -~ , и пусть А. (Л) — произ-
произвольная функция, удовлетворяющая следующим условиям: (I) к (Л) четна
и периодична и обладает тремя непрерывными производными, (II) X (А)=1
для |А|<г|, (III) Л(Л) = О для 2ij<|A|<ir. Если
D.1) X(/*)~ipo-f-V^cos/j/*,
то р„ = 0(^-) и 2я1Рп|<°°- С другой стороны, а„ = оA).
Поэтому из теоремы 257 следует, что если
D.2) -g- To -h ^ Тта cos «Л
есть формальное произведение рядов C.1) и D.1), то
D-3) -j То Ч- 2 Тп COS яА ~ Х ^ {"? а° + S a" cos яА} ~* °
1 1
равномерно относительно А. Так как ряд C.1) сходится к F (h) для
|A|^2y]<8, а X (А) = 0 для 2г] ^ | /г |<; п, то из соотношения D.3)
следует, что ряд D.2) сходится для всех А к сумме
F* (Л) =
F (Л) при | h |< Y],
\{h)F(li) при y) <|A|<2ri,
О при 2y) <; | АI < тс.
Поскольку функция F* (К) ограничена, D.2) есть ее ряд Фурье *).
Положим
тг» = -ёг» (й>0)' то з2т» =
Тогда D.2) связан с рядом V сп точно так же, как C.1) с рядом ^ап.
Так как
F* (А) = F (А) = о (А2)
для малых А, то ряд V сп суммируем (R, 2) к нулю. Отсюда и из
предположенной справедливости теоремы в случае (А) следует, что
ряд 2С« суммируем (А) к нулю.
С другой стороны, так как X (А) = 1 для |AKyj, to из соотно-
соотношения D.3) следует, что ряд
 (То — ао) + ^ (Тп — а»)cos «й
*) См., например, HR, 89.

О СУММИРУЕМОСТИ ПО РИМАНУ И ПО АБЕЛЮ 455
равномерно сходится к нулю для | h | -^ т), а ряд ~^.{сп — ап) сумми-
суммируем (R, 2) к нулю. Отсюда и из предположенной справедливости
теоремы в случае (Б) следует, что ряд V (с" — ап) суммируем (А)
к нулю. Наконец, так как ап = сп—(сп — ап), то заключаем, что
ряд V ап суммируем (А) к нулю.
5. Остается доказать нашу теорему для двух указанных выше
случаев.
(А) В этом случае C.1) есть ряд Фурье некоторой функции о (h).
Так как этот ряд для малых h сходится к F{h), то 's>(h) — F(h)
для почти всех таких h, и мы можем считать, что это имеет место
для всех таких h без исключения. Отсюда <р (/г) = о (Л2). Но для г < 1
где интегрирование производится от — я до тс. Дважды дифферен-
дифференцируя по А и полагая затем /z = 0, получаем
где
E.1) P=l— 2rcos<J-fr2, Q=(l-\-r2)cosb — 4r (l + sin26).
Но
для надлежаще выбранных Ht и Н2, а <рF) = о@2). Следовательно,
при /-->1. Это доказывает нашу теорему в случае (А).
6. Переходя к случаю (Б), будем исходить из формул
где Р и Q определены формулами E.1). Отсюда
Но, по предположению, ряд
1 \ч '
2 <мя -

456 ПРИЛОЖЕНИЕ III
равномерно сходится к'нулю для малых б, скажем, для |6J.^C, так
что доля интервала (—С, С) в интеграле I \%A—cosrt9)-^rf8
равна нулю. Таким образом, достаточно доказать, что
F-1)
для любого фиксированного положительного С (и тем более, что это
выражение ограничено). Но
очевидно, ограничено. Далее, -щ и его две первые производные рав-
равномерно ограничены на интервале (С, it), и повторное интегрирование
по частям дает
Г о 0 ^й sinn
кроме того, ап = о (я2). Поэтому
а«sin"- О
Так как ряд V -~ cos л9 равномерно сходится для | 8 | ^ С, то ряд
2j-j-s\nn^. сходится. Следовательно, F.2), а значит и F.1), огра-
ограничено, чем и завершается доказательство теоремы 254.
7. О теоремах 255 и 256 нужно сказать только несколько слов.
В обоих случаях первая часть доказательства проводится как для
теоремы 254. В теореме 255 мы имеем дело с рядом V —sinw/г и
должны пользоваться формой, принимаемой теоремой 257, когда А
есть ряд по синусам, а В — ряд по косинусам. В этом случае вто-
вторая часть доказательства тривиальна. Если
G.1) ^] ^ sin лА = F (А) = о (/г)
и этот ряд есть ряд Фурье, то
h
G.2) 2 § ^ — cos л/г) = fF W dt = °

О СУММИРУЕМОСТИ ПО РИМАНУ И ПО АБЕЛЮ 457
поскольку ряд Фурье можно почленно интегрировать. А если G.1)
равномерно сходится к нулю для малых h, то G.2) есть нуль для
малых к.
В теореме 256 нам дано (снова принимая s = 0), что ряд
G.3)
для малых h сходится к F(h) = o(h), и требуется доказать, что
^апгп ->¦(), т. е. что A—г) 2 snrn -*¦ °- Мы записываем G.3)
в виде (ЗЛ) с
и рассуждаем как в доказательстве теоремы 254. Рассуждение про-
проводится почти в точности как в §§ 4—б, с тем отличием, что <рF)
есть теперь о F), а не о (Й2), и что в результате мы получаем
а не о A).
8. Укажем в заключение, что Кутнер *) доказал более сильные
теоремы, а именно, что (R, 2) влечет (С, 2 -\- 8) и (R, 1) влечет
(С, 1 —|— в) для каждого положительного 8. Имеются также теоремы
противоположного характера. Так, Харди и Литтльвуд**) доказали,
что (С, —8) влечет (R, 1), а Бозанкэ, Палей и Верблюнский***) до-
доказали теоремы, включающие как эти, так и то, что (С, 1 — 8)
влечет (R, 2). Частные случаи: (С, 0) влечет (R, 2) и (С, —1) вле-
влечет (R, 1) — хорошо известны: первый из них (принадлежащий Ри-
ману) представляет собой теорему регулярности для суммируемости
(R, 2), а второй — одну теорему Фату, обобщенную Харди и Литтль-
вудом ****), доказавшими, что 2 а» = s (R> *)> когда 2 ап сходится
.Я
к 5 и ап> -.
*) PLMS B), 38 A935), 273-283.
**) PLMS B), 28 A928), 301-311 C05).
***) Bosanquet, PLMS B), 31 A930), 144-164; Paley, PCPS, 26 A930),
173—203; Verblunsky, там же, 34—42.
****) JLMS, 1 A926), 19—25.

Приложение IV
О СУММИРУЕМОСТИ ПО ЛАМБЕРТУ И ПО ИНГАМУ
1. Мы будем говорить, что ряд 2аи суммируем (L) к s, и
писать
если
A-1)
при у -+-\-0 *). Если ряд, стоящий в формуле A.1), сходится для
у > 0, то
~ л пуе-«У _ у Г
yte
У*
J s w g- (^o dt= ~ J ^ (I)
где
,., d I te~
rfAl — e~lJ' n<*
и мы можем записать A.1) также в форме
A.2) -
В § 12.9 G) мы видели, что g(t) принадлежит к классу W.
Поэтому в качестве следствия теоремы 233 получаем: (А) Если ряд
2а« суммируем (L) к s, a sn ограничены и медленно колеблются,
или вещественны и медленно убывают, то ряд 2 ап сходится к s.
Эта теорема с ап = ^Ш1 и используется в доказательстве асимпто-
асимптотического закона распределения простых чисел, намеченном в при-
*) Это наименование ввел Ananda Rau, PLMS B), 19 A919), 1—20
Здесь удобно начинать ряд с ait и в этом приложении 2 будет означать
со
всюду 51-

О СУММИРУЕМОСТИ ПО ЛАМБЕРТУ И ПО ИНГАМУ 459
мечании к § 12.11. Предложение (Л) оказывается достаточным для
этой цели, и уже одно это обнаруживает важность метода сумми-
суммирования Ламберта, но в приведенном выше виде оно еще несовер-
несовершенно, и мы не выделяем его в виде формальной теоремы. Как мы
скоро увидим, в действительности условие „sn ограничены" ненужно,
будучи следствием остальных предположений.
2. Имеются две теоремы включения, связывающие метод Лам-
Ламберта с более известными методами суммирования.
Теорема 259. Если ^ап = s (С, k) для некоторого k, то
Таким образом, (С, k) влечет (L). В частности, метод (L) регу-
регулярен. Доказательство не содержит тонких моментов *), и мы его
подробно проводить не будем. Оно опирается на следующую тео-
теорему о „множителях сходимости". Пусть
/п (у) непрерывна и fn @) = 1 для каждого п; далее, пусть
nkfn (у) -у 0 при у>0 и я -> оо; и пусть 2 пк | Д*+1/„ (у) \ < Н,
где Н не зависит от у. Тогда 2 anfn (у) "*s пРи У ~> 0. В част-
частности, это верно, когда
для больших t и каждого k и
J
te-t
для каждого k. В нашем случае полагаем / (t) =^.
Вторая теорема труднее.
Теорема 260. Если 2an = s (L), то 2 «n = s (A) **)• Таким
образом,
(C)&)^(L)->(A).
Ясно, что теорема 260 позволяет нам из любой теоремы таубе-
рова типа, относящейся к суммируемости (А), вывести соответствую-
соответствующую теорему тауберова типа для суммируемости (L). В частности,
из теоремы 106 следует
*) Теорема доказана Hardy, PLMS B), 13 A913), 192—198. Его дока-
доказательство можно упростить, если воспользоваться приводимой ниже тео-
теоремой, автором которой является Bromwich, MA, 65 A908), 350—369
C58-359).
**) Hardy and Littlewood, PLMS B), 19 A919), 21—29.

460 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Теорема 261. Если 2#»=:5 (L) и sn медленно колеблются,
либо вещественны и медленно убывают, то ряд 2 ап сходится к s.
Это и есть предложение (А) § 1, освобожденное от излишнего
предположения, что sn ограничены.
Хотя теорема 260 и является чисто абелевской, она лежит глубже
предложения (А), поскольку доказательство ее требует принятия
асимптотического закона распределения простых чисел и даже не-
несколько большего. Таким образом, несмотря на то, что (А) следует
из теоремы 261, а асимптотический закон распределения простых
чисел, в свою очередь, следует из (Л), мы не можем базировать
доказательство асимптотического закона распределения простых чисел
на теореме 261. Мы положим
B.1) Щх)
и примем, что
B-2)
Справедливость этого следует из того факта, что
B-3) /
Будем считать, что s = 0, и положим, для у > 0,
B-4)
Тогда
B.5) g (У) = 2 пуап 2 е-"*и =.у 2 2 nane-™»J =. — у 2 f(my),
п т т п т
*) В действительности ./V (х) = О { -у, г-г\ для всякого k; см. Landau,
\ (log х)к)
Handbuch, 570, 593-597.
Очевидно, утверждение B.3) сильнее, чем (a) N(x) = o(l), и, значит (как
мы увидим в § 6), сильнее асимптотического закона распределения простых
чисел; но несколько менее очевидно, что и B.2) влечет эти следствия. Однако
легко проверить, что (а) является следствием не только условия B.2), но
и любого из следующих двух более слабых предположений:
(б) ряд ^~~ сходится, (в)
второе из которых следует из первого в силу теоремы 26. В самом деле,
(в) означает, что N{n)->0 (С, 1), a N{n), как частичная сумма ряда с чле-
членами О\—J, медленно колеблется. Следовательно, в силу теоремы 68ЛГ(и) ->0.

О СУММИРУЕМОСТИ ПО ЛАМБЕРТУ И ПО ИНГАМУ . 461
\це обращение порядка суммирования законно вследствие абсолютной
;ходимости. Отсюда
У
my m< — my —
Vy Vy
Ho g(u) — 0A), и g(u) = o(l) для малых и. Следовательно,
)l J 1Г)=1
i ?
"l> Vy ?П> Vy
и/0)->о.
3. Теоремы 259 и 260 являются теоремами абелева типа, устанав-
устанавливающими отношения чистого включения. Естественно поставить во-
вопрос, когда суммируемость (L) может быть выведена из суммируе-
суммируемости (А); теоремы этого вида носят тауберов характер. Условием
тауберова типа будет здесь дополнительное условие на f{y).
Теорема 262**). Если 2Й» =s (А),/Су) определена форму-
формулой B.4) и
C-1) Г{У)>-"г,
то 2 ап — s (L).
Будем считать, что s = 0. Имеем
СО Ой
= — f /' (О a, g оо = —.у 2 /' («у)
•/ т= 1
*) В силу одной из формул обращения Мёбиуса; см., например, Hardy
and Wright, 237.
**) Hardy and Littlewood, PLMS B), 41 A936), 257—270 B58-260).

462 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
согласно B.5). Поэтому
C.2)
ту
Далее,
(т+1)у
= 2 / {/' {ту) -/' (t)} dt= 2 «« 00-
Г (У) =У 2 {/' («У) -/' ((« + 1).у} =
(ra+l)y
= 2 J {/'(«У)—/'((«+
my
(З.з)
= 2 j {f{{m-
my
j_r
Но так как / (у) -у 0 и /" (_у) > j, то, по теореме 101, у/' [у) -> 0.
Поэтому для доказательства того, что g (у) —> 0, достаточно дока-
доказать, что
C.4) ltaSQ/)<0,
C.5) Ит7(_у)>0.
Представляем 5(_у) в виде
М оо
() oo (+
JT
и выбираем УИ так, чтобы -^ < е. Так как при /иу < /< (m -J- 1)_у
мы имеем
/' {ту) -Г {t) = - (*— /«У)/' W,
где х заключено в тех же границах, то
и, следовательно,
C.7) 5.СУ)<
т>Ж
С другой стороны, так как yf (у) -> 0 при _у -> 0 и ит (у) =
= оГу-—)==оA) для каждого /и, то ^(^-^О при фиксирован-
фиксированном М. Соединяя это с C.7), получаем
В силу произвольности s это есть C.4).

О СУММИРУЕМОСТИ ПО ЛАМБЕРТУ И ПО ИНГАМУ- 463
Чтобы доказать C.5), проводим аналогичное рассуждение с Т(у)
и vm(y). В этом случае мы при my ^ t^C (rn-\- 1)у имеем
// ((„ + т—Г (О = {(m+l)y-t}f (т) > — §-у,
и остающаяся часть доказательства проводится как выше.
Если ап> — -, то
г оо=S я9в»«-яу > - ЯЕ пе~пу > -$ •
так что условие теоремы 262 заведомо выполнено.
Второй теоремой в этом направлении является
Теорема 263 *). Если 2 ап = s (А) и \f (y)\<y {у), где «р (у)—
положительная убывающая функция, интегрируемая вплоть до О,
то ^an — s (L).
МЕТОД ИНГАМА
4. Ингам **) ввел метод суммирования, относящийся к его дока-
доказательству асимптотического закона распределения простых чисел
(§ 12.11) примерно как метод Ламберта относится к винеровскому.
Мы будем говорить, что ряд 2 ап суммируем (I) к s, если
D.1) *(*)= 2 lll]
при х -> оо. Этот метод не регулярен, однако его связи с методами
Чезаро представляют интерес. В частности, Ингам доказал, что
(С, _S)-> A)_>(С, 8)
для каждого положительного 8. Здесь мы докажем только следую-
следующее:
Теорема 264. Если ^an = s (I), то 2Й» = * (С, 1) ***).
Теорема 265. Если 2an = s @> mo a« — °
Будем считать, что s = 0, и положим
D.2) Ьп = пап, В (х) = S *и. ^ (¦«) =
п<а:
*) Ananda Rau, 1. с. (теорема 22). Его условие (II) излишне, будучи след-
следствием условия A). Краткое доказательство, предложенное Харди и Литтль-
вудом, 1. с. 259, ошибочно.
**) L. с. в примечании к § 12.9.
***) В § 6 мы увидим, что утверждение „(С, —1) влечет (I)" есть след-
следствие «теоремы Аксера".

464 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Тогда будем иметь
т<ш
и, значит, по одной из формул Мёбиуса*),
Но
D.4)
х
где Л^(х) определено как в § 2, причем мы делаем относительно N(x)
то же предположение, что и там. Отсюда
1 * 1 Ух
что в силу условия F (х) = о (х) D.2) равно
Ух х
Ух
Ух
}{
1 Ух
Таким образом-, в силу D.4) /К1) (лг) =о (л:), т. е. 2а» = 0 (С, 1).
*) Hardy and Wright, 236.

О СУММИРУЕМОСТИ ПО ЛАМБЕРТУ И ПО ИНГАМУ 465
Это доказывает теорему 264, и мы можем теперь переносить тео-
теоремы тауберова типа для суммируемости (С) на суммируемость (I).
В частности, имеем:
Теорема 266. Если 2а« —s (О и sn медленно колеблются,
либо вещественны и медленно убывают, то ряд 2а» сходится
к $.
Для доказательства теоремы 265 представляем F(x) в виде
= 2 *»==2 2*„-2Ра.
п\с[ <
Так как F(x) = o(x), то $q = o(q). Поэтому на основании наиболее
известных из формул Мёбиуса*)
где a(q) есть сумма делителей числа q. Но a(q) = O(qlog\ogq)**);
следовательно, aq = о(loglogq).
ВЫВОД АСИМПТОТИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ИЗ СООТНОШЕНИЯ A2.11.4)
б. В § 12.11 и других местах мы считали известным, что асимпто-
асимптотический закон распределения простых чисел можно вывести из со-
соотношения A2.11.4) элементарным путем. Этот факт был доказан
Ландау в 1911 г. ***), однако доказательство не изложено ни в одной
книге. Оно опирается на важную элементарную.теорему, которую мы
будем называть „теоремой Аксера" ****).
Теорема 267. Если (а) х (х) имеет ограниченное изменение
на каждом конечном интервале 1 ^ х ^ X,
(б) S ап = о (¦*)
и выполнены два условия: либо
(в1) х(х) = ОA), (П) 2laJ = 0(*),
*) Hardy and Wright, 235.
**) Там же, 264.
***) WS, 120 A911), 973—988. По поводу обратного вывода см. Landau,
Handbuch, 588—590.
****) фактически Ахег [PMF, 21 A910), 65—95] доказал теорему 267
с у (х) = *—[*] и ап, подчиненными условиям (б) и (г 1). В нашем случае
наиболее важна вторая форма теоремы с условиями (в 2) и (г 2). Порядок
доказательства принадлежит Ингаму.
30 За*. 2499. Г. Хэряя

466 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
либо
(в 2)
/ко
Пусть 0 < 8 < 1. Имеем
E.1) 5(*)= 2 «»*(-?)= 2+ 2 =
Полагая Ло = 0, а1 -j- а2 + ... -J" ап = Лп, получаем тогда
И
S2= 2 (^-^-ОХ^)^ 2 H»-4.-i)x(-?
м=[8о;] + 1
Но в силу условия (а)
S |х®-
мажорируются функциями одного только 8. Следовательно,
E.2) |Sa|<o(*)P(8),
где Р(8) зависит только от 8.
Если выполнены условия (в 1) и (г 1), то
2 \ап
для некоторого фиксированного Н. Если выполнены условия (в 2) и
(г 2), то
»<8а!
В том и другом случае мы можем выбрать 8 (в) так, чтобы |5i|<eAr,
а затем в силу E.2) выбрать х0 == х0 (8, е) = л:0 (е) так, чтобы | S2 \<ex
для х^х0. Следовательно, S(x) = o{x).

О СУММИРУЕМОСТИ ПО ЛАМБЕРТУ И ПО ИНГАМУ 467
6. Асимптотический закон распределения простых чисел равно-
равносилен соотношению <|» (х) — х, где
F.1) ф(*)« 2 А(я)= 2 log р.
Но
2 А (я) _ C'(s)
для 5Й« > 1 *). Таким образом, полагая
имеем
я<а!
и асимптотический закон распределения простых чисел равносилем
соотношению С(х) = о (х). Далее,
H(s) =-^ { -С (S)-C2(s) + 2TC (s)} = F(s) G(s),
где
F.2) F^^^^^-Jr. «»=!*(«),
F.3) G (s) = - С (s) - С2 (s) + 2tf (s) = 2 7F •
так что bn=i\ogn — rf(«L-2f, где rf(«) есть число делителей
числа л**). Таким образом, принимая соотношение A2.11.4), имеем
F.4) А(х)%^
Первая входящая в В (х) сумма есть x\ogx—х-\- О (logx); вторая
согласно известному результату, относящемуся к „проблеме Дирихле
о делителях" ***), равна
*) См. Hardy and Wright, 252, 344 и ел,
**) Там же, 249.
***¦) Там же, 262.
30*

468 ПРИЛОЖЕНИЕ IV
третья же есть х -|-ОA). Следовательно,
F.5) В(х) = 0(Ух).
Но из равенства Н(s) = F(s) G(s), т. е. ? ^=
следует, что
*»= 2 "ь5 (¦?¦
о;
—
«I
Здесь A) В{х) имеет ограниченное изменение на каждом конечном
кнтервале A, X); B) А{х) = о{х) (в силу F.4)); C) В (х) =
= О(Ух) (в силу F.5)); наконец, D) ат = ОA). Тем самым выпол-
выполнены условия (а), (б), (в 2) и (г 2) теоремы 267, и, значит, С (л:) =
= о(лг). Таким образом, асимптотический закон распределения про-
простых чисел есть следствие соотношения F.4) и тем более — сходи-
сходимости ряда V- *).
Здесь мы воспользовались второй формой теоремы 267. В качестве при-
примера на применение теоремы Аксера в ее первоначальной форме докажем,
что из (С, — 1) следует (I). Несколько более обще мы докажем следующее:
Теорема 268. Если ряд 2 ап сходится к s и пап^> — Н, то он
суммируем (I) к s.
Действительно, тогда (принимая s = 0)
F.6) 2 пап = °(*)- 2 И1а»1= 2 пап —2 S па~ = О(х)
и, следовательно, по теореме 267,
]
я < ж м < а;
С-(и)
В качестве второго примера рассмотрим тот случаи, когда an = ——.
Тогда первое из соотношений F.6) совпадает с F.4), а второе тривиально,
*) См. сноску на стр. 460. В свою очередь, из асимптотического закона
распределения простых чисел следует, что ^ = 0; Landau, Handhuch,
591-593.

О СУММИРУЕМОСТИ ПО ЛАМБЕРТУ И ПО ИНГАМУ 469
так что на основании теоремы 267 получаем F.7). Но
п < х тп < х g < as п \ q
поскольку внутренняя сумма равна 1 при q=\ и 0 при дф1. Поэтому
из F.7) следует, что
т. е. что ряд 2j сходится к нулю. Таким образом, этот факт является
элементарным следствием соотношения F.4).

Приложение V
ДВЕ ТЕОРЕМЫ КАРТРАЙТ *)
1. Если 2a» = s (A> Р)> т- е. если
A.1) 2>ane-ynp~->s
ири_у->0, то 2a» = 5 (A, q), т. е.
A.2) 2ane-tf»a->s
для всякого положительного q < p, для которого ряд A.2) сходится
при у > 0. Здесь мы докажем это, притом в более полной форме и
в сопровождении теоремы противоположного характера.
Если у = гет и соотношение A.1) выполняется равномерно в угле
A.3) — {ir<a,<4a2<{ir,
то будем писать
A.4) 2«™=s (А, р, <*!, аа).
Мы докажем следующие предложения.
Теорема 269. Если
A.5) р>0, q = kp, 0<*<l,
выполняется соотношение A.4) и ряд 2 апе~уп<1 сходится для у > О,
/по
A.6) 2«n = s (A, 9, plf р„)
для
A.7) -^ +
*) М. L. Cartwright, PIAfS B), 31 A930), 81—96 (в этой работе принят
другой метод доказательства).

ДВЕ ТЕОРЕМЫ КАРТРАЙТ 471
Теорема 270. Если
A.8) р>0, q = kp, k>\,
A.9) «, —Я1>
и выполняется соотношение A.4), /ио при условиях A.7) выпол-
выполняется также A.6).
Сделаем несколько предварительных замечаний.
A) В теореме 269 0 < <? < р, причем она содержит как частный
случай теорему, приведенную в начале параграфа. Сходимость ряда
2 ane-vn<l для _у > 0 приходится здесь требовать. В теореме же
270 <7 > р- Сходимость ряда 2 а>пе-У"Р для _у > 0, подразумеваемая
в соотношении A.1), влечет сходимость ряда ^апе~Уп9, так что по-
последнюю не нужно требовать в виде особого предположения.
B) Очевидно, область фг, C2), предписываемая неравенствами A.7),
всегда заключена внутри (—-н-тс, -tj-tcj. При &<1 имеем
lie + «t)< 0,
так что— 2-u-|-&f-2-TC-f-ai) <<*i, и, аналогично, -дтс—^(^к—a2J> a2-
Таким образом, (Pj, p2) может простираться за пределы интервала
(а,, а2) в обе стороны: угол суммируемости в заключении теоремы
шире, чем в предположении. Если принять otj = a2> то предположение
теоремы будет требовать выполнения соотношения A.1) лишь вдоль
одного луча.
Если же k > 1, то
j u — k (у тс — a
так что (Cj, |За) лежит строго внутри {ах, а2), и угол суммируемости
в заключении теоремы меньше, чем в предположении. Условие A.9)
равносильно требованию выполнения неравенства
1 , , (\ . \ . 1 ,(\ \
~ "к + k \2 к + a V < Т К "~ ЧТ К ~~ V
и существенно для справедливости заключения. Все это находится
в согласии с общим принципом, высказанным в § 4.12. Если q<ip,
то метод (A, q) менее мощен, чем метод (А, р), и потому его „при-
„применимость" менее вероятна; но если он все же применим, то оказы-
оказывается более эффективным.
2. Нам потребуется лемма относительно преобразования Фурье
функции е~х .

472 ПРИЛОЖЕНИЕ V
Теорема 271. Пусть k>0, ^ = K x = reiH и
СО
F (х) = § е-*у cosxtdt
о
для положительных х. Тогда A) аналитическая функция, опре-
определяемая этим интегралом, регулярна для | в | < X, B) F(x) = О A)
для малых х и C) F(x) = O f-i+i) для больших х, причем и B)
и C) равномерны в любом угле | 0 | -^ X — е < X.
Если /г > 1, то F (х) есть целая функция и утверждения A) и B)
тривиальны. Если k = 1, то Z7 (х) = , „, причем интеграл сходится
для |ЗС*)| < !• Наконец, если Д; < 1, то интеграл для /'(л:) сходится
лишь при вещественных х. Однако во всех этих случаях мы имеем
F{x) = ~je \»'
cos t dt,
сперва для положительных х, а затем при cos kb > 0, т. е. для
[ в | < X. Отсюда
для |6|^Х—e, так что утверждение B) справедливо для k > 0.
Далее, для положительных х
xF(x) r=x J е~*кcos xtdt = k Г е-*ьр-г sin xtdt —
—^ f e-tkik-1e-*»tdt = xF1(x) — xF2(x)
Предполагая еще, что х положительно, имеем
-к
интеграл в правой части можно брать вдоль луча t = ре4, с малым
положительным ср. Тогда он сходится абсолютно и равномерно для д;,
заключенных в любом угле J6|^X — ср — tj<X — <р, и, следовательно,
представляет xFx {х) в угле | 61< X — <р- Отсюда
t (x)-> A.
J реЫ1 = Щ±

ДВЕ ТЕОРЕМЫ КАРТРАЙТ 473
когда х стремится к бесконечности, равномерно в каждом угле
|0|.^Х— <р— т). Аналогично, интегрируя по лучу, проходящему ниже
вещественной оси, получим, что
равномерно в тех же углах. Следовательно, справедливо и утвер-
утверждение C).
3. Переходим к доказательству теорем 269 и 270. Имеем
C.1) е-У^^! f p(f) cos (у* iff) dt~
\ J F(t)e~mdt,
и
где у > 0 и Y — ykrf. Если t = pet<f, 0<^ СъК>
то arg(—iYt) и a.rg(lYt) заключены между ^-тс и -д-и соответ-
соответственно для ()<?<?! и %<?<^°- Е9ли также
C-2) I^KX —•, |ср2'|<Х —е,
то из теоремы 271 и теоремы Коши следует, что C.1) можно заме-
заменить на
C.3) е-»пй = ± f F(t)eiTtdt+± f F(t)e-iYtdt,
где Cj и С2 обозначают соответственно лучи <р = <Pi и ?== ?2- При:
этом равенство C.3), доказанное пока лишь для у > 0, оказывается
справедливым для комплексных у = reiH и ср1( ср2, удовлетворяющих
условиям C.2), и
C.4) _|v<_^w + | + 9l<|1t> _|w<
(вместо 0 <; <р1 4^. it, — те ^ сра ^ 0). Тем более оно верно, если
C.5) a^-^ + l + ^O* «i<!*-}-4
а ?i и ?2 удовлетворяют условиям C.2).
Примем пока без доказательства, что при ^ < в < р2 можно1
выбрать cpj = ^х (в) и ?2 = ?2 СО так, чтобы выполнялись условия C.2>

474 ПРИЛОЖЕНИЕ V
и C.5). Пусть x = exp|-i-(a1 + a2L и 8 > 0. Тогда
C.6) ? *»<-**-*" = ^ J 2 ane~nPz'
с,
к J jU n
где
в предположении, что суммирование под знаками интегралов законно.
Положим z1 = bx-\- Zt. Тогда argZj заключен в (аи а2) и г1
заключено в угле Z)(8) с вершиной 8т и сторонами, образующими
с положительной вещественной полуосью углы at и <х2. Таким обра-
образом, при фиксированных 8 и у ряд 2a»e~'*1 равномерно сходится
на луче t = <flt и
f\F(f)\dt
f
сходится. Это показывает, что почленное интегрирование в ^ законно,
и так же может быть обосновано почленное интегрирование в fe.
Далее, функция /р (г) = 2 ane~"P!S> п0 предположению, равномерно
«епрерывна в D@), и потому в силу теоремы 31
fa О) =
d а,
если ряд ^йпе~уп сходится (что, как было отмечено в § 1, при-
приходится специально требовать лишь если <J<ip и &<1).
Наконец, fp(—iybt) и fp(iykt) равномерно стремятся к s, когда
у —у 0 в угле р j <; Ь ^ р2, а 111 ограничено, и равномерно ограничены
в этом угле для всех \t\; интегралы же
f\F(t)\dt, j\F(t)\dt
ограничены и равномерно сходятся для ф1 и <в2, удовлетворяющих
условиям C.2). Следовательно,
оо
г = ^-Г F(t)dt = s
о
равномерно для |3j ^ 6 ^ |32.

ДВЕ ТЕОРЕМЫ КАРТРАЙТ 475
Остается обосновать наше допущение о возможности выбрать
9i и <р2 так, чтобы выполнялись условия C.2) и C.5); при этом
можно принять s = 0. Относительно <pt = <pj @) нам нужно показать,
что его можно выбрать так, чтобы
ТС . . ТС .1
Но это заведомо возможно, если
.1 8 тс
т. е.
и, тем более, если Pi<!9<^2- Таким образом, <рй, и аналогично ф2,
действительно может быть выбрано надлежащим образом.
4. Небесполезно привести еще краткий перечень основных свойств
функции F(x); теорема 271 содержит лишь минимум, необходимый
для доказательства теорем 269 и 270. При k > 1
есть целая функция. Она обладает асимптотическим разложением
D.2) 2 ЦйТ^ («*+ 1) sta-J-mft* -да,
применимым в секторах |argx[<X и |arg( — д:) | < X. При k = 2,
4,6, ... этот ряд тождественно обращается в нуль, и F (х) для
больших х в указанных секторах экспоненциально мала, а ее нули
все вещественны. В остающихся секторах она во всех случаях экспо-
экспоненциально велика. Экспоненциальные приближения можно найти ме-
методом перевала.
При k < 1 интеграл для F(x) сходится лишь при вещественных х;
однако ряд D.2) сходится, и F(x)= -^О{—^\, где O(w) —целая
функция. В этом случае ряд D.1), теперь расходящийся, асимпто-
асимптотически представляет функцию F (х) для малых х с | arg x |< к.
Если 0 < k <; 2, то F (х) > 0 для положительных х.
Более полные сведения, а также литературные ссылки можно
найти в работах: Polya, ММ, 52 A923), 185—188; Wright, JLMS,
10 A935), 286—293, и PTRS, 238 A940), 423—451. и 239 A946),
217—232.

476 ПРИЛОЖЕНИЕ V
б. В заключение, несколько слов о применении метода (A, q}
к рядам Фурье. Основной здесь является
Теорема 272. Метод (A, q) F-эффективен для каждого q.
Доказательство основывается на следующем обобщении обычной
теоремы о суммируемости (А) или (А, 1):
Теорема 273. Если f (t) удовлетворяет условию 1е для
/=8*) и —y71 < ai < а2 < "о1' то Ря^ Фурье функции f(t)
для t=b суммируем (А, 1, av а2) к с. В частности, это верноt
с c=/(Q), для почти всех 6.
Доказательство, аналогичное обычному доказательству сумми-
суммируемости (А), мы предоставляем читателю **). Теорема 272 вытекает
отсюда как следствие. Мы можем выбрать а так, чтобы
(для чего нужно только взять а достаточно близким к -^ ¦?). Тогда
рассматриваемый ряд Фурье, по теореме 273, суммируем (А, 1, —а, а),
следовательно, по теореме 269, он суммируем (A, q, —j3, |3), где
В частности, он суммируем (A, q).
*) То есть условию A.2) Приложения II.
**) Нужно только показать, что если
то
dt
dt<H,
— я
где Н зависит лишь от хо- См. Приложение II.

ОБЗОРНАЯ СТАТЬЯ
РЕДАКТОРА

С. Б. Стечкин
МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ С. Н. БЕРНШТЕЙНА
И В. РОГОЗИНСКОГО
1. Введение.
В Приложении II рассмотрены некоторые применения теории сум-
суммирования расходящихся рядов к теории рядов Фурье. Однако для.
ряда методов суммирования исторический процесс был обратным. Эти
методы сперва были определены и изучены как методы суммирования
рядов Фурье, а затем уже были рассмотрены их свойства, как мето-
методов суммирования произвольных числовых рядов. К числу таких ме-
методов можно отнести методы Римана, Балле-Пуссена и отчасти Абе-
Абеля-Пуассона. Имеется целый ряд других методов суммирования, воз-
возникших аналогичным образом. Среди них по простоте и изяществу
выделяются методы, впервые рассмотренные В. Рогозинским и
С. Н. Бернштейном.
Пусть f(t)—суммируемая функция с периодом 2тс и
Т @ =| 2
ее ряд Фурье. Положим
так что sn(t) представляют собой частичные суммы ряда Фурье T{t).
Рассмотрим простейшие линейные комбинации сумм sn(t) с одним
и тем же номером лис различными аргументами. Именно, зададим
последовательность положительных и стремящихся к нулю чисел \ап)
и положим
A.1) pn{t, a^lf^H-««)+*»('—«»)}•
Это определение доставляет нам метод суммирования рядов Фурье,
который будем называть методом Бернштейна-Рогозинского. Свойства
такого метода суммирования всецело зависят от выбора определяю-
определяющей его последовательности {anj- Оказывается, что при надлежащем
выборе чисел {<хи}:
а) последовательность рп (t, <х„) сходится при п -*¦ со почти всюду
к / (/) для любой / ? L (иными словами, рассматриваемый метод
F-эффективен!));
См. стр. 443.

480 С. Б. .СТЕЧКИН
б) последовательность pn(t, а„) равномерно сходится к f(t), если
эта функция непрерывна.
В. Рогозинский изучал сначала методы A.1) для случая
0.2) *n=g,
где q — целое нечетное число. Затем он обобщил .некоторые свои ре-
результаты на методы A.1), для которых
С. Н. Бернштейн рассмотрел случай
<14)
а также общий случай A.3).
2. Определение методов (БР, <х„). Как нетрудно подсчитать, имеем
п
\Z.l) PnV' an) — Zi лп \l) cos Ran-
k=0
Эта формула позволяет перенести данное выше определение методов
суммирования Бернштейна-Рогозинского на произвольные числовые
ряды. Именно, будем говорить, что ряд 2ип суммируем методом
(БР, а„) к значению s, если последовательность
п
B.2) Рп(ап) == 2aicos^ara
при п—юо сходится и имеет пределом s. При выполнении этих
условий будем писать
B.3) 2«п = ^ (Бр. ««)•
Методы (БР, «„) принадлежат к общему классу методов суммирова-
суммирования, определяемых формулой
B.4) *»== 2 «*?(*««)»
2
где <р (л) — заданная функция. В тех случаях, где это представляется воз-
возможным, мы будем доказывать теоремы для общих преобразований вида
B.4) и получать отсюда результаты для методов (БР, ап) как следствия.
3. Регулярность методов (БР, «„). Прежде всего возникает
вопрос, при каких ограничениях на последовательность {ап) соответ-
соответствующий метод (БР, <хп) регулярен. Мы начнем с рассмотрения этого
вопроса для общих преобразований вида B.4).
Теорема I. Пусть функция <р (и) определена для всех и > О
и удовлетворяет условию Липшица:
C.1) l<?(«i) — ?(«a).l<flai — «a I-

МЕТОДЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА И В. РОГОЗИНСКОГО 481
Если ряд 2"га сходится и имеет сумму s,
C.2) <х„>0, а„=0D-)
и tn определяется формулой B.4), то
C.3) 4»-**?@).
Здесь и в дальнейшем мы будем обозначать через sn частичные
суммы ряда 2мп:
п
sra=Saft (« = 0,1,...).
Положим для k < я
C.4) Д, (я) = <р (?ап) - ср ((Л Н- 1) а„).
Применяя к B.4) преобразование Абеля, получаем
C.5)
В силу C.1) и C.2)
(з.б)
равномерно для k < й. Отсюда
п—1 га—1
C.7)
Кроме того, очевидно,
C.8) ]|Д*(«)+?(«0 = ?@).
Соотношения C.6), C.7) и C.8) показывают, что выполняются все
условия теоремы 1*) с 8п = 0(я = 0, 1, ...) и 8 = <р@), откуда и
следует C.3).
Итак, при выполнении условий C.1), C.2) и
C.9) ср(О)=-1
преобразование B.4) определяет регулярный метод суммирования.
Для методов (БР, ага) можно получить более полный результат.
Теорема II. Для того чтобы метод (БР, А„) был регулярным,
необходимо и достаточно, чтобы Ап имела вид
C.10) An = 2irQn + ara>
где Qn—целые числа и ап=0(— J.
*) Номера в ссылках на теоремы основного текста книги даны арабскими
цифрами.
31 Зак. 2499. Г. Харпи

482 с. в. стечкин
Достаточность этих условий сразу вытекает из теоремы I, так
как cos k Ara = cosft<xM и функция да (к) = cos к удовлетворяет усло-
условиям C.1) и C.9).
Остается обнаружить их необходимость. Для этого запишем рп (ап)
в форме, аналогичной C.5):
П—1 П
Рп («») == 2 Ч {cos k К —- cos (ft -f-1) А„ j -f sn cos n An = 2 Cn, kSb.
В силу теоремы 2 для регулярности метода необходимо прежде всего,
чтобы спо->О при п-> со, т. е.
cos An-? 1.
Отсюда вытекает, что числа Ап имеют вид (ЗЛО) и <хп—>0 при п—> со.
Далее,
« )i—1
C.11) 2|<Ч*1 =2 |cos/eA,4 — cos(ft+l)AB|-j-|cosnAn|,
к-0 t=o
Это выражение представляет собой интегральную сумму Римана для
функции |sin иа„ | на интервале @, пап). Поэтому при п—>оо
n —1
?] I sin (fe -j- Q,?) <zn 11 an | /~ Г | sin и | da.
= 0 "
' 0
Отсюда видно, что если папф.О(\), то суммы C.11) не ограничены
в совокупности, и метод (БР, ап) не регулярен. Теорема доказана.
Таким образом, в силу периодичности и четности функции cos и
представляют интерес лишь те методы (БР, an), для которых
ап >¦ 0 и ап -> 0 (и -> оо).
В дальнейшем мы всегда предполагаем эти условия выполненными.
4. Суммируемость (БР, яп) и сходимость. При каких ограниче-
ограничениях на последовательность {<хга} метод (БР, ап) эквивалентен сходи-
сходимости (т. е. суммирует те и только те ряды, которые сходятся)?
Частичный ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема III. Пусть
D.1) О«Г«„-<Г-^.
где /f<-g-. Тогда метод (БР, ап) эквивалентен сходимости.

МЕТОДЫ С. Н. ВЕРНШТЕЙНА И В. РОГОЗИНСКОГО 483
Как будет видно из доказательства, это предложение является
теоремой типа Мерсера (ср. §§ 5.9, 5.10 основного текста книги).
Установим предварительно следующее общее предложение:
Теорема IV. Пусть треугольная матрица
Цс«,*|| (* = 0, 1,...,и; я = 0, 1, 2, ...)
определяет регулярный метод суммирования (Т):
и
хп " 2j сп, kSk,
для которого выполняются условия
D.2) Scfllk=l
fc0
D.з)
всех достаточно больших п, где -у < 1.
Гог^а метод (Т) эквивалентен сходимости.
В силу D.2) достаточно показать, что из тга —> 0 (/г —> оо) сле-
следует sn -> 0 (л -> оо).
Мы разобьем доказательство на 2 этапа: 1) доказательство огра-
ограниченности чисел sn и 2) доказательство соотношения.sn-> 0 («-> оо).
1) Положим
Кп = max | sn |.
fc=0,l,...,n—1
Тогда в силу условия тп -»¦ 0 (« -»• оо)
D.4)
для всех достаточно больших п.
Имеем
п—1
откуда
D.5)
*) Заметим, что в
Sn-
силу
с
D,2)
п
1
п.
и
п—
V
„2
D.3)
31*

484 с. б. стечкин
Поэтому для всех номеров п, для которых одновременно выпол-
выполняются условия D.3) и D.4), и, в частности, для всех достаточно
больших п
п—1
Отсюда для я!>я0
т. е. последовательность {sn} ограничена.
2) Положим
Мп = sup | sk |
ft > n
и зафиксируем номер v. Тогда в силу D.5) для всех достаточно
больших я
V П—1
Ж, =
=1 Ж, = 1±
так как в силу регулярности метода (Т) с„, ь -> 0, если л -> со и
фиксировано, гп-»• 0 (я-»• сю) и | cn, n | !>-. . . Итак,
для fl!>«0(v), откуда следует, что Жя->-0(й->со), т. е. sra->-0(rt->.oo).
Теорема доказана.
Теорема III является частным случаем только что установлен-
установленного предложения. В самом деле, нуждается в проверке лишь усло-
условие D.3). Но если К < -о- , то
п—1 га—1
2К.И = 2 |cos?<xn — cos(*-f-l)aj =
п—1
= 2 {cos^ara—cos (ft-f- l)an} = 1—cos«an
kn,ra| n
Поэтому
n—1 1 COS —
\4 i 1 — COS nan ^ 1 — COS К ^ 3_
„,„ n
и, следовательно, условие D.3) выполнено»

МЕТОДЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА И В. РОГОЗИНСКОГО 485
Как показывает более обстоятельное рассмотрение, теорема III
справедлива для всех К<С~^ и уже несправедлива для К — — .
5. Суммируемость (БР, ан) и суммируемость (С, 1). Исследуем
теперь зависимости между методами (БР, аи) и суммируемостью (С, 1).
Как и в п. 3, мы начнем с доказательства общих предложений для
средних вида B.4).
Теорема V. Пусть функция о (и) определена для всех и ^> О
и имеет производную ф' (и), удовлетворяющую условию Липшица.
Если
E.1) 2«я = * (С, 1),
E-2) «„>0, «я = 0(^
и
где tn определяется с помощью B.4), то
E.4) Г„->5ср@).
В дополнение к обозначению C.4) положим
С помощью теоремы о среднем значении непосредственно убе-
убеждаемся, что
E.5) Дй(я) =
равномерно для й < я.
Дважды применяя преобразование Абеля, получаем
E-6) *„ = S (* + О °*Д* (я) + «'n-i^-i (л) + 5иср (яа„),
А = 0
где 0;?—средние арифметические частных сумм ряда ^ ип. Положим
в этой формуле и0 = 1, ий = 0 для А > 0. Тогда st == 1 и ой ^ 1,
и E.6) принимает вид
E.7) ?@) = 2^+1L(«)Н-«Д»-1(«)+ф(яап).
Из E.6) и E.7)
те —2
+ До-1 (я) (a»_i — s).

486 С. Б. СТЕЧКИН
Проверим, что для этого преобразования выполнены все условия
теоремы 4. В силу E.5) достаточно установить, что
"
И действительно, согласно E.5)
Л—2 я—2
Таким образом, Тп — s<o @) -* 0, и теорема доказана.
Теорема VI. Пусть выполнены все условия теоремы V и,
кроме того,
ила
где Хя -»• со яра я -* оо.
Тогда tn-+s.
Достаточно заметить, что при выполнении условий этой теоремы
Итак, если выполняются условия теорем V и VI, то метод B.4)
не слабее метода (С, 1).
Для всякого ряда 2 ип суммируемого (С, 1), выполняется соот-
соотношение sn = o(n) (см. теорему 46). Поэтому, в частности, спра-
справедлива
Теорема VII. Пусть выполнены все условия теоремы V и,
кроме того,
E.8) ср(яага) =
Тогда tn-+sy@), т. е. метод B.4) не слабее метода (С, 1).
Для методов (БР, ап) можно получить более полный результат.
Именно, имеет место следующая
Теорема VIII. Для того чтобы метод (БР, <хп), где ап -+ О,
был не слабее метода (С, 1), необходимо и достаточно, чтобы
ап имели вид
где qn — целые нечетные числа и qn = O(\).

МЕТОДЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА И В. РОГОЗИНСКОГО 487
Необходимость. Если метод (БР, ап) не слабее метода (С, 1),то он
и подавно регулярен, откуда в силу теоремы II и условия <х„-»-0
следует, что <хп = О (—) .
Покажем теперь, что если метод (БР, ап) не слабее метода (С, 1),
то
E.10) со8лап =
Заметим, что оценку sn = о (л) для всего класса рядов, сумми-
суммируемых (С, 1), нельзя улучшить. Иными словами, какова бы ни была
дана последовательность { Кп }, для которой \пф0(—J, найдется
ряд 2 ия' суммируемый (С, 1) и такой, что
E.11) lim | sn \п | = оо»
Допустим, Что условие EЛ0) не выполняется, и положим Ай==г
= cos «an. Тогда, согласно только что сделанному замечанию, най^
дется ряд 2 ип> суммируемый (С, 1), для которого выполняется
соотношение E.11). Покажем, что этот ряд не суммируется (БР, <х„).
Действительно, согласно теореме V,
Рп О n) = (sn — s) cos п ап + s + О A) = $п сos пап + О A) =
Здесь s—(С, 1)-сумма ряда 2«га- Но в силу E.11)
откуда и вытекает} что рассматриваемый ряд не суммируется (БР, &„).
Итак, условие E.10) необходимо.
Остается только заметить, что из необходимости условий ап=О (—J
и E.10) немедленно следует необходимость всех условий теоремы.
Именно, E.10) показывает, что <хя имеют вид
где qn — целые нечетные числа, а условие а„= о(—)влеЧет дп=(
Достаточность условий очевидна в силу теоремы VII, и наша
теорема полностью доказана.
Можно также указать условия, при которых метод (БР, ап) не
сильнее метода (С, 1). Мы ограничимся доказательством простейшей
теоремы такого рода.

488 С. Б. СТЕЧКИН
Теорема IX* Метод (ъР, ?-) эквивалентен методу (С, 1).
В силу предшествующей теоремы достаточно установить, что
суммируемость (БР, -?-) влечет суммируемость (С, 1). Для этого
запишем Рп(-гг") согласно E,6) в форме
« — 2
теперь
Убедимся, что для этого преобразования выполняются условия
Теоремы IV. Нуждается в проверке лишь условие D.3). Имеем со-
согласно E.7)
П—2
2 (ft+ 1) Д| («) = 1 — «An_!(«)=l— «sin-^ .
Отсюда, так как Д| (л) < О,
П—2
Таким образом,
2
й=о и sin
ИтаК, применима теорема IV, которая показывает, что <зи -* О,
если рп (-р—) —»¦ 0, а это и нужно было доказать.
Любопытно отметить, что малейшее изменение последовательности
{ап} нарушает эквивалентность методов (БР, ап) и (С, 1). Например,
справедлива такая
Теорема X. Метод (БР, 2 j_ i) силъиее метода (С, 1).
Для доказательства достаточно построить ряд, суммируемый
/ it \
(БР, » . . j и не суммируемый (С, 1). Как показывает несложный
со
подсчет, в качестве такого ряда может служить 2 (~* 1)" • п>

МЕТОДЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА И В. РОГОЗИНСКОГО 489
6. Применения методов (БР, ап) к рядам Фурье. Установленные
выше предложения позволяют исследовать ряд вопросов о суммиро-
суммировании рядов Фурье методами (БР, ая). Мы начнем с установления
достаточных условий F-эффективности этих методов в смысле При»
ложения II.
Теорема XI. Если
где qn — целые нечетные числа и qn = O{\), то метод (БР, ап)
?-эффективен.
Как известно, для любой суммируемой функции f(f) почти всюду
F.2) sn(t) = o(\ogn)*).
Далее, так как в силу теоремы VI для всех t, для которых выпол-
выполняется условие F.2), метод (БР, ап), удовлетворяющий условиям тео-
теоремы, не слабее метода (С, 1) и метод (G, 1) F-эффективен, то
условия теоремы достаточны для F-эффективности.
Переходим к изучению суммируемости (БР, ап) рядов Фурье от
непрерывных функций. Введем следующее определение. Будем гово-
говорить, что некоторый метод суммирования (Т) перманентен, если он
конечнострочный и преобразованные суммы ряда Фурье равномерно
сходятся к f(t) для любой непрерывной функции f(i). Стоит отме-
отметить, что понятие регулярности метода не со'впадает с понятием
перманентности. Метод суммирования может быть регулярным, но не
перманентным, и наоборот.
Теорема XII. При выполнении всех условий теоремы XI метод
(БР, ап) перманентен.
Это вытекает из того, что для непрерывной функции f(t) усло-
условие F.2) выполняется равномерно относительно t и что для такой
функции ее ряд Фурье равномерно суммируем (С, 1). В самом деле,
как нетрудно проверить, если для ряда 2 ип @ все условия тео-
теоремы VI выполняются равномерно относительно t, то этот ряд равно-
равномерно суммируется (БР, ап).
Можно показать, что условия теоремы и необходимы для перма-
перманентности метода (БР, ап).
7. Приближение функций с помощью сумм Бернштейна-Рого-
зинского. Рассмотрим вопрос о зависимости между наилучшими при-
приближениями непрерывных функций посредством тригонометрических
полиномов и их приближениями с помощью сумм Бернштейна-Рого-
зинского.
*) См., например, Зигмунд, § 2.73.

490 С. Б. СТЕЧКИН
Через En = En(f) будем обозначать наилучшее приближение
непрерывной периодической функции f(f) посредством тригонометри-
тригонометрических полиномов порядка п, а через Rn (f, <xn) — отклонение этой
функции от ее суммы Бернщтейна-Рогозинского. Иными словами, мы
полагаем
En(f)^minmax\f(f)-Tn(f)\
Tn *
Я» (Л О = max |/@—А» (', «»)!•
Кроме того, как обычно, о>2 (8, /) есть модуль гладкости функ-
функции /@, т, е,
ша(8, /) = max шах | ДЦ/@ |,
|Л|« *
где Дд/@ — вторая конечная разность функции f(t) с шагом h.
Теорема XIII. Пусть числа ап имеют вид
G.1) а^? +
где qn — целые нечетные числа и д„==ОA).
Тогда
G.2) Rn (/, aj < С,Еп (/) + ш2 (aw /).
Прежде всего заметим, что при выполнении условий теоремы
метод (БР, <х„) перманентен (теорема XII). Отсюда вытекает *), что
G.3) max \рп (/, aJ|<ATmax \f(f) |.
Чтобы подчеркнуть зависимость полинома pn(t, otn) от функ-
функции /@» мы будем далее писать /?П(А <х„; /). Очевидно,
G.4) рп (t, ая, /х +/2) = р„ (f, an, /j) -f pra (f, ага; /2).
Пусть тригонометрический полином Т„ (t) наименее уклоняется
от функции /@ среди всех полиномов порядка я:
G.5)
Имеем, используя G.4),
„; /) | = max \f(f) —pn{t, а„; 7^)
V
+Р„ V, ав; /— Т*п) | < max |/@ — ря (t, а»; Тп
n(^, an;/—7^)|.
*) См., например, Зигмунд, гл. VIJI,

МЕТОДЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА И В. РОГОЗИНСКОГО 491
Но согласно определению сумм pn(t, an)
pn(t, a\ Tl)*=±-{Tn(t-\-an)-Tn(t-an)\;
кроме того, согласно G.3) и G.4)
max | рп (t, ап; /— Т*„) |< КЕп (/).
Отсюда
n (/)< КЕп if) + max [/ (t) - fn (f) | + max | ?n (f - fn
t *
-f-max
t
и теорема доказана.
Эта теорема показывает, что суммы Бернштейна-Рогозинского
достаточно хорошо аппроксимируют непрерывные функции. В част-
частности, так как
G-6)
и, при выполнении условий теоремы XIII,
G-7)
то
ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1. Список литературы по методу Бернштейна-Рогозинского приложен
в конце примечаний. В. Рогозинский рассмотрел метод (БР, ~\ в 1924 г. [10]
и общий метод (БР, ап) в 1925 г. [11]. Первая работа С. Н. Бернштейна [1]
появилась в 1930 г.
§ 2. Ра-ссматривались также методы суммирования, для которых ф (я) =
= (cos п)« [9, 14].
§ 3. Теорема I доказана Рогозинским. См. [14].
§ 4. Теорема III принадлежит Fekete. См. [11].
Условия теоремы VI слишком ограничительны, однако эта теорема до-
достаточна для наших ближайших целей.
Относительно замечания в конце п° 4 см. [11, 12] и теорему IX.
§ 5. Теорема V принадлежит Рогозинскому [14]. Частный случай
<P(w) = cosh установлен Фейером. См. [И].
Теорема VIII (в части достаточности условий) получена Fekete. См. [11].
Теорема IX доказана Рогозинским [11].
Теорема X доказана Ф. И. Харшиладзе [17, 19]. В работе И. Карамата [5]
имеется более полный результат. Эта работа содержит ошибки.
§ 6. Теорему XI можно также вывести из теоремы XII, принадлежащей
А. Ф. Тиману [15]. Этот автор установил также необходимость условий
теоремы.

492 С. Б. СТЕЧКИН
7. Теорема XIII является обобщением более частного предложения
С. Н- Бернштейна [1].
Доказательство оценок G.6) и G.7) можно найти в работе С. Б. Стеч-
кина .О порядке наилучших приближений непрерывных функций", Изв. АН
СССР, сер. матем., 15 A951), п° 3, 219—242. .
Рассматривалось также суммирование методом (БР, -^ г- J интер-
интерполяционных полиномов с равноотстоящими узлами. См. [2] и [18].
ЛИТЕРАТУРА ПО МЕТОДАМ СУММИРОВАНИЯ
БЕРНШТЕЙНА-Р0Г03ИНСК0Г0
1. S. Bernstein, Sur tin procede de sommafion des series trigonomet-
riques. С R. Ac. Sc, 191 A930), стр. 976-979.
2. С. Н. Бернштейн, О тригонометрическом интерполировании по
способу наименьших квадратов. ДАН СССР, 4 A934), стр. 1—8.
3. В. Л. Гончаров, Теория интерполирования и приближения функ-
функций. ГТТИ. М. —Л. A934), стр. 239-244.
4. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды. ГОНТИ, М.—Л. A939),
§ 8.6.
5. И. Карамата, О суммируемости методом С. Н. Бернштейна и
некоторых процессах суммирования, связанных с этим методом. Мат. сб.
21 A947), стр. 13—24.
6. И. П. Н а т а н с о н, О суммировании рядов Фурье по методу С. Н. Берн-
Бернштейна и В. Рогозинского. Труды Ленинградского индустриального инсти-
института, № 4, раздел физ.-мат. наук, вып. 2 A9з7), стр. 39—44.
7. И. П. Натансон, К теории бернштейновского способа суммиро-
суммирования рядов Фурье. Труды Ленинградского института точной механики
и оптики, I, вып. 3 A940), стр. 197—206.
8. И. П. Натансон, Конструктивная теория функций. ГИТТЛ, М. — Л.
A949), стр. 269—273.
9. И. И. Огиевецкий, О методе суммирования С. Н. Бернштейна.
ДАН СССР, 76 A951), стр. 635—638.
10. W. Ro go sin ski, Uber die Abschnitte der Fourierreihen. Jahres-
bericht der Deutschen Math.-Vereinigung, 33, H 9—12, 2. Abt. A925),
стр. 87—88.
11. W. Rogosinski, Ober die Abschnitte trigonometrischer Reihen.
M. A, 95 A926), стр. 110—134.
12. W. Rogosinski, Reihensummierung durch Abschnittskoppelungen.
M. Z., 25 A926), стр. 132—149.
13. W. Rogosinski, Fouriersche Reihen. Samml. Goschen, Berlin —
Leipzig, 1930.
14. W. Rogosinski, Abschnittsverhalten bei trigonometrischen und
insbesondere Fourierschen Reihen. M. Z., 41 A936), стр. 75—136.
15. А. Ф. Тиман, Об одном методе приближения непрерывных функ-
функций тригонометрическими полиномами. Изв. АН СССР, сер. матем. 11 A947),
стр. 263—282.
16. О. Н. Hardy and W. W. Rogosinski, Fourier Series. (Cam-
(Cambridge Tracts In Math, and Math. Physics, n° 38, Cambr. A944), § 6.6—6.7).
17. Ф. И. Харшиладзе, О методе суммирования С. Н. Бернштейна
и В. Рогозинского. ДАН СССР, 30 A941), стр. 692 — 695.
18. Ф. И. Харшиладзе, Об одной теореме акад. С. Н. Бернштейна
из теории интерполяций. Труды института точной механики и оптики,
вып. 3 A940), стр. 207—212.
. 19. Ф. И. Харшиладзе, О методе суммирования С. Н. Бернштейна.
Мат. сб. 11 A942), стр. 121—148.

УКАЗАТЕЛЬ КНИГ
[При цитировании книг, не включенных в этот указатель,
приводится их полное название.]
Сокращенное
название
Полное название
Первая ссылка
Andersen, Studier
Bailey
Bohr, Bidrag
Borel
Bromwich
Dienes
Ford, Studies
Харди
Hardy and Riesz
Hardy and Rogo-
sinski, HR,
Hardy and Wright
A. P. Andersen, Studier over Cesaro's
Summabilitets-methode (Диссерта-
(Диссертация, Копенгаген, 1921).
W. N. Bailey, Generalized hypergeo-
melric series, Кэмбридж, 1935. (Cam-
(Cambridge tracts in mathematics, № 32).
H. Bohr, Bidrag til de Diriclet'ske Raek-
kers Theori (Диссертация, Копенга-
Копенгаген, 1921).
E. Borel, Legons sur les series diver-
gentes, изд. 2-е, Париж, 1928.
Т. J. ГА. Bromwich, An introduction
to the theory of infinite series, изд. 2-е,
КэмСридж, 1926. (При эпизодиче-
эпизодических ссылках на первое издание
19(N г. пишем: Bromwich A).)
P. Dienes, The Taylor Series, Oxford,
1931.
W. B. Ford, Studies on divergent se-
series and summability (University of
Michigan Science Series, Нью-Йорк,
1916).
Г. Х. Харди, Курс чистой математики
(перевод с английского), ГИИЛ,
Москва, 1949.
G. H. Hardy and M. Riesz, The gene-
general theory of Dirichlet's series, Кэм-
Кэмбридж, 1915 (Cambridge tracts in
mathematics, № 18).
O. H. Hardy and W. W. Rogosinski,
Fourier series, Кэмбридж, 1944 (Cam-
(Cambridge tracts in mathematics, №38).
G. H. Hardy and E. M. Wright, An
introduction to the theory of numbers,
изд. 2-е, Оксфорд, 1945.
стр. 152, § 5.5
стр^ 153, § 5.8
стр. 152, § 5.5
стр. 59, § 2.5
стр. 36, § 1.1
стр. 84, § 3.2
стр. 59, § 2.5
стр. 36, § 1.1
стр. 121, § 4.9
стр. 59, § 2.7
стр. 121, § 4.10

494
УКАЗАТЕЛЬ КНИГ
Продолжение
Сокращенное
название
Полное название
Первая ссылка
Hobson, 1 и 2
Неравенства
Ингам
Кпорр
Kogbetliantz
Koksma
Landau, Ergebnisse
Landau, Handbuch
Lindelef
Littlewood
Moore, Conver-
Convergence factors
Полна и Cere
Tannery et Molk
E. W. Hobson, The Theory of functions
of a real variable and the theory of
Fourier series, т. 1, изд. 3-е, Кэм-
бридж, 1927, и т. 2, изд. 2-е, 1926.
Г. X. Харди, Д. Е. Литтльвуд и
Г. Полна, Неравенства (перевод
с английского), ГИИЛ, Москва, 1948.
А. Е. Ингам, Распределение простых
чисел (перевод с английского),
ОНТИ, Москва, 1936.
К. Кпорр, Theorie und Anwendung
der unendlichen Reihen, изд. 2-е,
Берлин, 1924.
E. Kogbetliantz, Summation des series
et integrates divergentes par les
moyennes arithmetiques et typiques,
Париж, 1931 (Memorial des sciences
mathematiques, № 51).
J. F. Koksma, Diophantische Approxi-
mationen, Берлин, 1936 (Ergebnisse
der Mathematik 4, Heft 4).
E. Landau, Darstellung und Begriin-
dung einiger neuerer Ergebnisse
der Funktionentheorie, изд. 2-е, Бер-
Берлин, 1929.
E. Landau, Handbuch der Lehre von
der Verteilung der Primzahlen, Лейп-
Лейпциг, 1909 (два тома со сквозной
нумерацией страниц).
Е. Lindelef, Le calcul des residus et ses
applications a la theorie des fonctions,
Париж, 1905.
J. E. Littlewood, Lectures on the theo-
theory of functions, Оксфорд, 1943.
С. N. Moore, Summable series and con-
convergence factors, Нью-Йорк, 1938
(American Mathematical Society
Colloquium Publications, № 22).
Г. Полна и Г. Cere, Задачи и тео-
теоремы из анализа (перевод с немец-
немецкого), в двух частях, ОНТИ,Москва,
1937—1938.
J. Tannery et J. Molk, Elements de la
theorie des fonctions elliptiques, в че-
четырех томах, Париж, 1893—1902.
стр. 36, § 1.1
стр. 348, § 11.17
стр. 58, § 2.2
стр. 59, § 2.5
стр. 152, § 5.5
сгр. 154, § 5.17
стр. 153, § 5.9
cip. 58, § 2.2
стр. 427, § 13.1
стр. 281, § 9.13
стр. 86, § 3.5
стр. 60, § 2.13
стр. 121, § 4.10

УКАЗАТЕЛЬ КНИГ
495
Окончание
Сокращенное
название
Полное название
Первая ссылка
Титчмарш, Инте-
Интегралы Фурье
Титчмарш, Теория
функций
Ватсон
Уиттекер и Ватсон
Widder
Wiener, The Fou-
Fourier integral
Зигмунд
E. Титчмарш, Введение в теорию
интегралов Фурье (перевод с ан-
английского), Гостехиздат, Москва,
1948.
Е. Титчмарш, Теория функций (пере-
(перевод со второго английского изда-
издания), Гостехиздат, Москва, 195L
Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых
функций (перевод со второго ан-
английского издания), в двух частях,
ГИИЛ, Москва, 1949.
Е. Т. Уиттекер и Г. Н. Ватсон, Курс
современного анализа (перевод
с четвертого английского издания),
в двух частях, ГТТИ, Ленинград,
1933—1934.
D. V. Widder, The Laplace transform,
Принстон, 1941.
N. Wiener, The Fourier integral and
certain of its applicaiions, Кэмбридж,
1933.
А. Зигмунд, Тригонометрические ря-
ряды (перевод с английского), ГОНТИ,
Москва, 1939.
стр. 348, § 11.12
стр. 202, сноска
стр. 437, сноска
стр. 84, § 2.1
стр. 121, § 4.13
стр. 389, § 12.1
стр. 59, § 2.7

УКАЗАТЕЛЬ ЖУРНАЛОВ
[При цитировании журналов, не включенных в этот указатель,
приводится их полное название.]
Сокращенное
название
AEN
AM
Annals
ASF
AT
AUH
BAMS
BAP
BS
BSM
CR
DMJ
DMV
J de M.
JIMS
JLMS
JM
MA
MM
Полное название
Annales scientifiques de l'Ecole nor-
male superieure
Acta Mathematica
Annals of Mathematics
Acta Societatis sci. Fennicae
Annales de la Faculte des sciences de
Toulouse
Acta litt. ac sci. Univ. Hungadcae (Сегед)
Bulletin of the American Mathematical
Society
Bulletin international de L'Academie
polonaise (Краков)
Sitzungsberichte der K. Preussischen
Akademie der Wissenschaften (Бер-
(Берлин)
Bulletin des sciences mathematiques
Comptes rendus de l'Academie des
sciences (Париж)
Duke Mathematical Journal
Jahresbericht der Deutschen Mathe-
matiker-Vereinigung
Journal de mathematiques
Journal of the Indian Mathematical
Society
Journal of the London Mathematical
Society
Journal fiir die reine und angewandte
Mathematik
Mathematische Annalen
Messenger of Mathematics
Первая ссылка
стр. 84, § 2.2
стр. 59, § 2.5
стр. 59, § 2.8
стр. 250, § 8.11
стр. 247, § 8.10
стр. 186, § 6.4
стр. 84, § 3.4
стр. 187, §§ 6.5—6.6
стр. 280, § 9.5
стр. 152, §$ 5.2—5.3
стр. 121, §§ 4.7-4.8
стр. 391, § 12.12
стр. 305, § 10.4
стр. 247, § 8.10
стр. 187, §§ 6.5-6.6
стр. 60, § 2.12
стр. 84, § 3.2
стр. 36, § 1.1
стр. 121, §§ 4.7—4.8

УКАЗАТЕЛЬ ЖУРНАЛОВ
497
Окончание
Сокращенное
название
Полное название
Первая ссылка
МТЕ
MZ
NA
OQJ
PCPS
PEMS
PLMS
PMF
PNAS
PTRS
QJM
RP
TAMS
TCPS
TMJ
WS
Mathematikai es Termesz. Ertesfto (Бу-
(Будапешт)
Mathematische Zeitschrift
Nouvelles Annales de Mathematiques
Quarterly Journal of Mathematics (Окс-
(Оксфорд)
Proceedings of the Cambridge Philo-
Philosophical Society
Proceedings of the Edinburgh Mathe-
Mathematical Society
Proceedings of the London Mathema-
Mathematical Society
Prace matematyczno-fizyczne (Вар-
(Варшава)
Proceedings of the National Academy
of Science (Вашингтон)
Philosophical Transactions of the Royal
Society
Quarterly Journal of Mathematios
Rendiconti del Circolo matematico di
Palermo
Transactions of the American Mathe-
Mathematical Society
Transactions of the Cambridge Philo-
Philosophical Society
Tohoku Mathematical Journal
Wiener Sitzungsberichte
стр. 186, § 6.4
стр. 86, § 3.7
стр. 306, § 10.11
стр. 187, § 6.11
стр. 59, § 2.4
стр. 305, § 10.3
стр. 59, § 2.10B)
стр. 84, § 3.2
стр. 348, § 11.10
стр. 59, § 2.5
стр. 86, § 3.8
стр. 152, § 5.6
стр. 86, § 3.5C)
стр. 37, § 1.5
стр. 84, § 3.2
стр. 306, § 10.11
32 Зп, 249». Г. Хшрда.

УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Абелева теорема 156
Абсолютная суммируемость
по Борелю 231
по Чезаро, |С, Ц 187
по Эйлеру, |Е, q\ 295
Абсолютно монотонная последова-
последовательность 314
Асимптотический ряд 45
Включение 91
Вполне регулярный метод 24, 74
Выпуклая оболочка 77
Звезда Миттаг-Леффлера 104
Интегральное преобразование 71
Классы
kc, lc, Lc 443
L, Lr (см. замечание об обозна-
обозначениях)
М 363, 367
Ш, С Я 268
*. К- <. %г 62
С/355
W 353, 366
W* 364, 367
Конечного порядка ряд 264
Лимитирующая теорема 80
Линейное преобразование Т, 62
Матрица преобразования Т, |Т| =
= (<Ч») 62
Медленное убывание, медленное ко-
колебание 160, 354
Многоугольник Бореля (многоуголь-
(многоугольник суммируемости) '235
Моменты 109, 318
Мощность метода 107
Неограниченная сходимость 296
Нормальная суммируемость по Боре-
Борелю 231
Нормальное положительное преобра-
преобразование 77
Нормальные разрывы Э19
Обвертывание числа рядом 404
Обратное преобразование 136
Ограниченная сходимость 298
Ограниченность (С, k) 128
Перестановочность 136
Полусходящийся ряд 404—405
Постоянная Эйлера-Маклорена, С
403
Преобразование
S 307; S* 343'
положительное 74, 76
сохраняющее сходимость (см.
класс %с)
треугольное 75
Фурье, R~r 352, 354
Равномерно распределенная последо-
последовательность 148
Равносильность методов суммирова-
суммирования 91
Равно-суммируемые ряды 291
Равно-сходящиеся ряды 292
Разбавление рядов 82
Разность Д, Дй, 1127—128 (см. также
замечание об обозначениях)
Регулярная суммируемость по Борелю
231
Регулярность метода суммирования
24, 62
Регулярный момент 318
Свертка 128
Совместность методов суммирования
89
Суммируемость интегралов 25
(А) 25, 174
(С, 1) 25
(О, k) 143
(@) 26
(Н, к) 142—143
(R2), (R. 2) 371—372

УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
499
Суммируемость рядов
арифметические средние 123
(w,
гармонические средние
142
Е-методы Эйлера (Е, 1) 21
(Е, q) 224, 227
(Е, q; С, к) 294
©-метод Эйлера (<&) 21
интегральный метод Бореля (В')
111
квази-хаусдорфовы преобразова-
преобразования (ф, н-) 344
суммируемость по Ламберту (L)
458
метод Валле-Пуосена (VP), 117
метод Вороного (W, рп) 88
метод (у, к) 273
метод (е, с) 269
метод Ингама (I) 463
метод Ле-Руа 107
метод Линделёфа (L) 104
метод Миттаг-Леффлера (М) 106
метод (R, рп) 79
логарифмические средние
(«¦ .4т)»
метод Раманужана (9?, а) 403
метод Хаттона (Ни, к) 37
методы Абеля (А, \), (А, к) 97
(А, X, а) 103
(А, р, аи а2) 469
методы Валирона (V, Н) 279—
280
методы Гельдера (Н, k) Г2Э, 313
методы (J) 107
методы Римама (R, 2) 118
(R, к) 118
(Rs) 118
методы Чезаро (С, 1) '20, 123
(С, к) 125
моментные методы, (цп) 109—ПО
нормальные средние Рисса (R,
А,*) 114—115
риссовские арифметические сред-
средние (R, п, к) 156
обобщенные методы Бореля
(В', а) 111
(В*) 241
(В', С, k) 295
(В, к) 306
1В2) 425
суммируемость по Абелю (А)
20—21
<р-метод 97
хаусдорфовские средние (преобра-
(преобразования) С (?), (J-) 309
экспоненциальный метод Бореля
(В) 107
Сходимость 13
Тауберова теорема 156, 189—190,
350—352
Тауберово условие 190
Треугольное преобразование 76
Умножение рядов
по правилу Дирихле 283, 297
по правилу Коши 283
по правилу Лорана 29-8
по правилу Фурье 299
формальное перемножение рядов
F-эффективность 443
Эйлерова трансформация ряда 225
Ядра
Винера, см. классы W и W*
Кноппа 77
Фурье 442
32*

Оглавление
Предисловие редактора , . ,
Замечание об обозначениях 9
Глава I. Введение 13
1.1. Сумма ряда 13
1.2. Некоторые вычисления с расходящимися рядами 14
1.3. Первоначальные определения 18
1.4. Регулярность метода 24
1.5. Расходящиеся интегралы и обобщенные пределы функций
непрерывного переменного 24
1.6. Некоторые исторические замечания 27
1.7. Замечания о британских аналитиках первой половины девят-
девятнадцатого века 33
Примечания к главе I 36
Глава II. Несколько исторических примеров 39
2.1. Введение 39
A. Эйлер и функциональное уравнение дзета-функции Римана
2.2. Функциональное уравнение для С (s), т) (s) и L (s) 39
2.3. Эйлерова проверка 40
Б. Эйлер и ряд 1— Ux + 2№ —
/2.4. Суммирование ряда 1 — 1U:-|-21л:2— 43
2.5. Асимптотическое поведение ряда 45
2.6. Численные расчеты 46
B. Фурье и его теорема
2.7. Теорема Фурье 47
2.8. Первая формула Фурье 48
2.9. Другие формы коэффициентов и рядов 51
2.10. Законность формул Фурье 52
Г. Показательный ряд Хэвисайда
2.11. Хэвисайд о расходящихся рядах 54
2.12. Обобщенный показательный ряд 55
2.13. Ряд 2?М (•*) 56
2.14. Обобщенный биномиальн--й ряд 57
Примечания к главе II 58
Глава III. Общие теоремы 61
3.1. Линейные преобразования 61
3.2. Регулярные преобразования 62
3.3. Доказательство теорем 1 и 2 63
3.4. Доказательство теоремы 3 66
3.5. Варианты и аналоги 69
3.6. Положительные преобразования 74
3.7. Теорема Кноппа 76
3.8. Одно применение теоремы 2 79
3.9. Разбавление рядов 82
Примечания к главе III 84
Глава IV. Частные методы суммирования 88
4.1. Методы Вороного 88
4.2. Регулярность и совместность методов Вороного 89
4.3. Включение 91
4.4. Равносильность 92
4.5. Еще одна теорема о включении 93

ОГЛАВЛЕНИЕ 501
4.6. Метод Эйлера 96
4.7. Методы Абеля 97
4.8. Теорема о включении для абелевских средних 99
4.9. Комплексные методы 103
4.10. Суммируемость ряда 1 — 1 + 1 — 1 + ¦ • • отдельными мето-
методами Абеля • 104
4.11. Методы Линделёфа и Миттаг-Леффлера 104
4.12. Методы суммирования, определяемые целыми функциями 107
4.13. Моментные методы ....,.• 109
4.14. Теорема совместности 112
4.15. Методы, неэффективные для рр^а 1 — 1 -j— 1 — 1 -)- 113
4.16. Нормальные средние Рисса 114
4.17. Методы, возникшие под влиянием теории рядов Фурье , . 116
4.18. Общий принцип -, 118
Примечания к главе IV ' 120
Глава V. Арифметические средние A) 123
5.1. Введение 123
6.2. Методы Гёльдера 123
5.3. Элементарные теоремы относительно суммируемости по
Гёльдеру 124
5.4. Методы Чезаро 125
5.5. Средние нецелого порядка . 127
5.6. Теорема о свертках 128
5.7. Простейшие теоремы относительно суммируемости по Че-
Чезаро 130
5.8. Теорема равносильности • 133
5.9. Теорема Мерсера и доказательство Шура теоремы равно-
равносильности 135
5.10. Другие доказательства теоремы Мерсера 137
5.11. Бесконечные пределы . .' 139
6.12. Суммируемость по Чезаро и по Абелю 140
5.13. Чезаровские средние как средние Вороного 141
5.14. Интегралы 142
5.15. Теоремы о суммируемых интегралах 144
5.16. Риссовские арифметические средние 145
5.17. Равномерно распределенные последовательности 148
5.18. Равномерная распределенность последовательности {п2а} 151
Примечания к главе V 152
Глава VI. Арифметические средние B) 156
6.1. Теоремы тауберова типа для методов Чезаро 156
6.2. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции, 160
6.3. Другое условие тауберова типа , •¦ 163
6.4. Теоремы о выпуклости . 163
6.5. Множители сходимости 164
6.6. Множитель -—j—г- 168
(п -\-\)s
6.7. Другое условие суммируемости 170
6.8. Интегралы ' 173
6.9. Биномиальный ряд ¦ 175
6.10. Ряд 2 «"«"" 178
6.11. Случай р= —1 178
Примечания к главе VI

502 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VII. Теоремы тауберова типа для степенных рядов .... 189
7.1. Теоремы абелева и тауберова типов 189
7.2. Первая теорема Таубера 191
7.3. Вторая теорема Таубера 192
7.4. Применения к общим рядам Дирихле 194
7.5. Более глубокие теоремы тауберова типа 195
7.6. Доказательство теорем 96 и 96а 198
7.7. Доказательство теорем 91 и 91а , 201
7.8. Дальнейшие замечания о связях между теоремами § 7.5 . . 205
7-9- Ряд %-~ш • 207
7.10.' Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции 208
7.11. Другое обобщение теоремы 98 210
7.12. Метод Харди и Литтльвуда 215
7.13. Теорема о „больших показателях" 218
Примечания к главе VII 221
Глава VIII. Методы Эйлера и Бореля A) 224
8.1. Введение 224
8.2. (Е, 0)-метод • 224
8.3. Простые свойства (Е, #)-метода 225
8.4. Формальные связи между методами Эйлера и Бореля . . . 228
8.5. Методы Бореля 229
8.6. Нормальная, абсолютная и регулярная суммируемость . . 231
8.7. Теоремы абелева типа для метода суммирования Бореля . 231
8.8. Аналитическое продолжение функции,регулярной вначале;
многоугольник суммируемости 234
8.9. Ряды, представляющие функции с особенностью в начале 237
8.10. Аналитическое продолжение другими методами 239
8.11. Суммируемость некоторых асимптотических рядов .... 240
Примечания к главе VIII 245
Глава IX. Методы Эйлера и Бореля B) 251
9.1. Элементарные леммы 251
9.2. Доказательство теоремы 137 253
9.3. Доказательство теоремы 139 255
9.4. Еще одна элементарная лемма 257
9.5. Теорема Островского о сверхсходимости 258
9.6. Теоремы тауберова типа для метода Бореля 260
9.7. Теоремы тауберова типа (продолжение) 263
9.8. Примеры рядов, не суммируемых (В) 266
9.9. Теорема противоположного характера 267
9.10. Метод суммирования (е, с) 268
9.11. Суммируемость (у, k) 273
9.12. Дальнейшие замечания о теоремах 150—155 275
9.13. Основная теорема тауберова типа 275
9.14. Обобщения 277
9.15. Ряд 2г" 278
9.16. Методы Валирона 279
Примечания к главе IX 280
Глава X. Умножение рядов 283
10.1. Формальные правила умножения рядов 283
10.2. Классические теоремы об умножении по правилу Коши . 284
10.3. Умножение суммируемых рядов 285

ОГЛАВЛЕНИЕ 503
10.4. Другие теоремы о сходимости произведения рядов .... 287
10.5. Дальнейшие применения теоремы 170 289
10.6. Знакочередующиеся ряды 290
10.7. Формальное перемножение рядов 291
10.8. Умножение интегралов 292
10.9. Суммируемость по Эйлеру 294
10.10. Суммируемость по Борелю 295
10.11. Правило умножения Дирихле 297
10.12. Ряды, бесконечные в обоих направлениях 298
10.13. Аналоги теорем Коши и Мертенса . . 300
10.14. Дальнейшие теоремы 301
10.15. Аналог теоремы Абеля 304
Примечания к главе X 304
Глава XI. Хаусдорфовские средние 307
11.1. Преобразование В 307
11.2. Выражение преобразований (Е, q) и (С, 1) через В .... 308
11.3. Общее хаусдорфовское преобразование 309
11.4. Общие гёльдеровские и чезаровские преобразования как
^-преобразования 311
11.5. Условия регулярности вещественных хаусдорфовских пре-
преобразований • 313
11.6. Абсолютно монотонные последовательности 314
11.7. Окончательный вид условий регулярности 316
11.8. Моменты 318
11.9. Теорема Хаусдорфа 320
11.10. Включение и равносильность ^-методов 324
11.11. Теорема Мерсера и равносильность гёльдеровских и чеза-
ровских средних 326
11.12. Некоторые частные случаи 329
11.13. Логарифмические случаи .' 331
11.14. Экспоненциальный случай 332
11.15. Ряд Лежандра для \(х) 335
11.16. Моменты для функций специальных классов 337
11.17. Одно неравенство для хаусдорфовских средних 338
11.18. Непрерывные преобразования 341
11.19. Квази-хаусдорфовские преобразования 343
11.20. Регулярность квази-хаусдорфовского преобразования . . . 345
11.21. Примеры 346
Примечания к главе XI 347
Глава XII. Тауберовы теоремы Винера 350
12.1. Введение 350
12.2. Условие Винера 352
12.3. Леммы о преобразованиях Фурье 354
12.4. Леммы относительно класса U 355
12.5. Заключительные леммы 358
12.6. Доказательство теорем 221 и 220 361
12.7. Вторая теорема Винера 363
12.8. Теоремы для интервала @, со) 365
12.9. Некоторые специальные ядра 368
12.10. Применение общих теорем к некоторым специальным ядрам 370
12.11. Применения к теории простых чисел 373
12.12. Односторонние условия 375
12.13. Теорема Виджаярагавана 377
12.14. Доказательство теоремы 238 380
12.15. Суммируемость по Борелю 384

504 ОГЛАВЛЕНИЕ
12.16. Суммируемость (R, 2) 387
Примечания к главе XII 389
Глава XIII. Формула суммирования Эйлера-Маклорена 392
13.1. Введение 392
13.2. Числа Бернулли и многочлены Бернулли 394
13.3. Ассоциированные периодические функции 396
13.4. Знаки функций <?п(х) 397
13.5. Формула суммирования Эйлера-Маклорена 398
13.6. Пределы при я -> оо 402
13.7. Знак и величина остаточного члена 403
13.8. Пуассоновское доказательство формулы Эйлера-Маклорена 406
13.9. Об одной формуле Фуръе 407
13.10. Случай f(x) = — и дзета-функция Римана 408
13.11. Случай f (x) = log(jr + c) и теорема Стирлинга 410
13.12. Обобщение формулы Эйлера-Маклорена 413
13.13. Другие формулы для С . .^ 414
13.14. Исследование формулы Эйлера-Маклорена посредством
комплексного интегрирования 417
13.15. Суммируемость ряда Эйлера-Маклорена 420
13.16. Дополнительные замечания 425
13.17. ^-определение суммы расходящегося ряда 426
Примечания к главе XIII 427
Приложение I. О вычислении некоторых определенных интегралов
с помощью расходящихся рядов 429
Приложение II. Ядра Фурье некоторых методов суммирования . . . 442
Приложение III. О суммируемости по Риману и по Абелю 450
Приложение IV. О суммируемости по Ламберту и по Ингаму .... 458
Приложение V. Две теоремы Картрайт 470
С. Б. Стечкин. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рого-
зинского 479
Указатель книг 493
Указатель журналов 496
Указатель определений 498
Редактор С. Б. Стечкин Техн. редакторы А. Н. Никифорова и Е. С. Герасимова
Корректор А. Н. Окорокова
Сдано в производство 10/IV 1951 г. Подписано к печати 17/V1I 1951 г. А-06539.
Бумага 60X92Vie=15,8 бум. л.—31,6 печ. л. Уч.-издат. л. 35,7. Изд. №1/994.
Цена 29 р. 50 к. Зак. 2499.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главиолиграфнздата при Совете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОПЕЧАТКИ
Стр.
84
92
152
200
300
492
Строка
4 СВ.
16 СВ.
12 и 13 св.
1 сн.
7 сн.
3 сн.
Напечатано
Картрайту
Q
Qn-r
1
fda
предположений
вып. 3
Следует читать
Картрайт
Qn
Qn-,
1
V
| da (t)
новых предположений
1, вып. 3
Зак. 2499.