Специальные функции - Аски Р., Рой Р., Эндрюс Дж.

Автор: Аски Р. Рой Р. Эндрюс Дж.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 978-5-4439-0210-4
Год: 2013
Похожие
Введение в асимптотические методы и специальные функции
Методы математической физики и специальные функции
Специальные функции и теория представлений групп
Специальные функции. Производные, интегралы, ряды и другие формулы. Справочник
Текст
                    Леонарду Карлитцу,
Ому Прокату Джунеджа
и Ирвину Кра

ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS
Special Functions
GEORGE E. ANDREWS RICHARD ASKEY RANJAN ROY
CAMBRIDGE
UNIVERSITY PRESS

Р.АСКИ, Р. РОЙ, ДЖ. ЭНДРЮС
Специальные функции
Перевод с английского
под редакцией Ю. А. Неретина
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
Москва, 2013

УДК 517.58, 519.11/14, 511.33
ББК 22.16
А90
А90 Аски Р., Рой Р., Эндрюс Дж.
Специальные функции / Перевод с англ. под ред.
Ю. А. Неретина.-М.: МЦНМО, 2013.-652 с.
ISBN 978-5-4439-0210-4
Книга является учебником по теории специальных функций,
отражающим существенный прогресс в этой области, достигнутый во
второй половине XX в. Значительную часть изложенного материала
нельзя найти в стандартных монографиях и справочниках. Основной
предмет книги — одномерные гипергеометрические функции в
широком смысле слова (в том числе функции Гаусса, Куммера, Бесселя,
старшие pFq, а также q-ряды). Подробно обсуждаются Г-функция,
разнообразные аспекты теории ортогональных многочленов (в том числе
неоклассические ортогональные системы типа Вильсона),
многомерные интегралы Сельберга, анализ на сфере. Много места уделяется
приложениям, в том числе теоретико-числовым и комбинаторным
(например, анализ разбиений Макмагона). Для специалистов по
математике, теоретической и математической физике, прикладной
математике, а также для студентов и аспирантов этих специальностей.
ББК 22.16
Translated from the Englkh language edition:
Special Functions by George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy
Cambridge University Press, 2000.
ISBN 0-521-62321-9 (hardback), 0-521-78988-5 (paperback).
ISBN 978-5-4439-0210-4
9»785443»902104">
© Cambridge Univ. Press, 2000.
© Издательство МЦНМО, 2013.

Оглавление
Предисловие редактора перевода 11
Предисловие 15
Глава ι. Гамма- и бета-функции 19
§ 1.1. Гамма- и бета-интегралы; гамма- и бета-функции 19
§ 1.2. Формула отражения Эйлера 26
§ 1.3. Дзета-функции Гурвица и Римана 32
§ 1.4. Асимптотическая формула Стирлинга 34
§ 1.5. Формула умножения Гаусса для Г(гпх) 37
§ 1.6. Интегральные представления 1η Γ (х) и гр (х) 40
§ 1.7. Формула Куммера для разложения Фурье 1η Γ (χ) 43
§ 1.8. Интегралы Дирихле и объемы эллипсоидов 46
§ 1.9. Теорема Бора—Моллерапа 48
§ 1.10. Суммы Гаусса и Якоби 50
§ 1.11. Вероятностное вычисление бета-функции 57
§ 1.12. р-адическая гамма-функция 58
Упражнения 60
Глава 2. Гипергеометрические функции 73
§ 2.1. Гипергеометрические ряды 73
§ 2.2. Интегральное представление Эйлера 77
§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение 83
§ 2.4. Интеграл Барнса и гипергеометрическая функция 94
§ 2.5. Соотношения смежности 103
§ 2.6. Дилогарифмы ПО
§ 2.7. Биномиальные суммы 114
§ 2.8. Двусторонний ряд Дуголла 117
§ 2.9. Интегрирование по частям дробного порядка
и гипергеометрические интегралы 118
Упражнения 121
Глава з. Гипергеометрические преобразования и тождества 129
§ 3.1. Квадратичные преобразования 130
§ 3.2. Арифметико-геометрическое среднее и эллиптические
интегралы 136
§ 3.3. Преобразования уравновешенных рядов 143
§ 3.4. Преобразование Уиппла 146
§ 3.5. Формула Дуголла и гипергеометрические тождества 149
§ 3.6. Интегральные аналоги гипергеометрических сумм 152
§ 3.7. Соотношения смежности 155
§ 3.8. Многочлены Вильсона 158
§ 3.9. Квадратичные преобразования — подход Римана 160

6 Оглавление
§ 3.10. Неопределенное гипергеометрическое суммирование 162
§ 3.11. W-Z-метод 166
§ 3.12. Соотношения смежности и методы суммирования 172
Упражнения 174
Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные
гипергеометрические функции 183
§ 4.1. Вырожденное гипергеометрическое уравнение 184
§ 4.2. Интеграл Барнса для aFa 187
§ 4.3. Функции Уиттекера 190
§ 4.4. Примеры функций aFa и функций Уиттекера 191
§ 4.5. Уравнение Бесселя и функции Бесселя 194
§ 4.6. Рекуррентные соотношения 196
§ 4.7. Интегральные представления функций Бесселя 197
§ 4.8. Асимптотические разложения 202
§ 4.9. Преобразования Фурье и функции Бесселя 203
§ 4.10. Теоремы сложения 206
§ 4.11. Интегралы от функций Бесселя 208
§ 4.12. Модифицированные функции Бесселя 214
§ 4.13. Интеграл Николсона 215
§ 4.14. Нули функций Бесселя 217
§ 4.15. Более тонкие свойства нулей функций Бесселя 220
§ 4.16. Области, свободные от нулей функций jFj 222
Упражнения 225
Глава 5. Ортогональные многочлены 231
§ 5.1. Многочлены Чебышёва 231
§ 5.2. Рекуррентные соотношения 235
§ 5.3. Гауссовы квадратуры 238
§ 5.4. Нули ортогональных многочленов 242
§ 5.5. Непрерывные дроби 245
§ 5.6. Полиномиальные воспроизводящие ядра 248
§ 5.7. Формула Парсеваля 251
§ 5.8. Производящая функция моментов 254
Упражнения 256
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены 263
§ 6.1. Многочлены Эрмита 264
§ 6.2. Многочлены Лагерра 268
§ 6.3. Многочлены Якоби и определители Грама 277
§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби 280
§ 6.5. Полнота систем ортогональных многочленов 288
§ 6.6. Асимптотическое поведение Р„α'β\χ) при больших η 291
§ 6.7. Интегральные представления многочленов Якоби 294
§ 6.8. Линеаризация произведения ортогональных многочленов .... 297
§ 6.9. Паросочетательные многочлены 302
§ 6.10. Гипергеометрические ортогональные многочлены 309

Оглавление
7
§ 6.11. Обобщенные ультрасферические многочлены 311
Упражнения 315
Глава η. Еще об ортогональных многочленах 329
§ 7.1. Коэффициенты перехода 329
§ 7.2. Рациональные функции с положительными
коэффициентами разложения 336
§ 7.3. Положительность коэффициентов квадратурных формул
и неравенства Вьеториса . 343
§ 7.4. Положительные суммы многочленов и гипотеза Бибербаха . . . 351
§ 7.5. Теорема Тирана 354
§ 7.6. Положительность сумм ультрасферических многочленов 357
§ 7.7. Иррациональность ζ(3) 360
Упражнения 363
Глава 8. Интеграл Сельберга и его приложения 369
§ 8.1. Интегралы Сельберга и Аомото 369
§ 8.2. Доказательство формулы Сельберга, данное Аомото 370
§ 8.3. Обобщения интегральной формулы Аомото 374
§ 8.4. Доказательство формулы Сельберга, данное Андерсоном 378
§ 8.5. Проблема Стилтьеса и определитель многочленов Якоби .... 382
§ 8.6. Неравенство Зигеля 385
§ 8.7. Задача Стилтьеса на единичном круге 390
§ 8.8. Тождества для свободного члена 392
§ 8.9. Тождества для почти уравновешенного ряда 3F2 393
§ 8.10. Соотношение Хассе—Давенпорта 395
§ 8.11. Аналог интеграла Сельберга для конечного поля 399
Упражнения 403
Глава 9· Сферические гармоники 409
§ 9.1. Гармонические многочлены 409
§ 9.2. Трехмерное уравнение Лапласа 411
§ 9.3. Размерность пространства гармонических многочленов
степени к 413
§ 9.4. Ортогональность гармонических многочленов 414
§ 9.5. Действие ортогональной матрицы 415
§ 9.6. Теорема сложения 416
§ 9.7. Формула Функа-—Гекке 420
§ 9.8. Теорема сложения для ультрасферических многочленов 421
§ 9.9. Ядро Пуассона и задача Дирихле 425
§ 9.10. Преобразования Фурье 425
§ 9.11. Конечномерные представления компактных групп 427
§ 9.12. Группа SU(2) 430
§ 9.13. Представления группы SU(2) 431
§ 9.14. Многочлены Якоби как матричные элементы 433
§ 9.15. Еще одна теорема сложения 434
§ 9.16. Связь группы SU(2) с группой вращений SO(3) 436

8 Оглавление
Упражнения 437
Глава ю. Введение в теорию q-рядов 441
§ 10.1. q-интеграл 444
§ 10.2. q-биномиальная теорема 446
§ 10.3. q-гамма-функция 450
§ 10.4. Тождество тройного произведения 454
§ 10.5. Формула суммирования Рамануджана 458
§ 10.6. Представление чисел суммами квадратов 461
§ 10.7. Эллиптические и тэта-функции 464
§ 10.8. q-бета-интегралы 467
§ 10.9. Базисные гипергеометрические ряды 473
§ 10.10. Базисные гипергеометрические тождества 475
§ 10.11. q-ультрасферические многочлены 478
§ 10.12. Преобразования Меллина 482
Упражнения 491
Глава и. Разбиения 501
§ 11.1. Первоначальные сведения о разбиениях 501
§ 11.2. Анализ разбиений 503
§ 11.3. Библиотека алгоритмов анализа разбиений 505
§ 11.4. Производящие функции 505
§ 11.5. Некоторые результаты о разбиениях 509
§ 11.6. Графические методы 511
§ 11.7. Сравнения, связанные с разбиениями 514
Упражнения 517
Глава 12. Цепи Бейли 521
§ 12.1. Второе доказательство тождеств Роджерса—Рамануджана,
полученное Роджерсом 521
§ 12.2. Лемма Бейли 525
§ 12.3. Формула преобразования Ватсона 528
§ 12.4. Другие применения цепей Бейли 531
Упражнения 532
Добавление А. Бесконечные произведения 537
§ А.1. Бесконечные произведения 537
Упражнения 539
Добавление Б. Суммируемость и дробное интегрирование 541
§ Б.1. Средние Абеля и Чезаро 541
§ Б.2. Средние Чезаро (С, а) 544
§ Б.З. Дробные интегралы 545
§ Б.4. Исторические замечания 546
Упражнения 548
Добавление В. Асимптотические разложения 551

Оглавление 9
§ В.1. Асимптотическое разложение 551
§ В.2. Свойства асимптотических разложений 552
§ В.З. Лемма Ватсона 553
§ В.4. Отношение двух гамма-функций 554
Упражнения 555
Добавление Г. Формула суммирования Эйлера—Маклорена 557
§ Г.1. Введение 557
§ Г.2. Формула Эйлера—Маклорена 558
§ Г.З. Применения 560
§ Г.4. Формула суммирования Пуассона 562
Упражнения 565
Добавление Д. Формула обращения Лагранжа 567
§ Д.1. Обращение рядов 567
§ Д.2. Основная лемма 567
§ Д.З. Тождество Ламберта 569
§ Д.4. Преобразование Уиппла 570
Упражнения 571
Добавление Е. Ряды как решения дифференциальных уравнений 573
§ Е.1. Обыкновенные точки 573
§ Е.2. Особые точки 574
§ Е.З. Регулярные особые точки 575
Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические
функции (В.П.Спиридонов) 577
§ Ж.1. Введение 577
§ Ж.2. Обобщенные гамма-функции 578
§ Ж.З. Эллиптический бета-интеграл 581
§ Ж.4. Общие эллиптические гипергеометрические функции 584
§ Ж.5. Эллиптический аналог гипергеометрической функции
Эйлера—Гаусса 587
§ Ж.6. Биортогональные функции гипергеометрического типа 590
§ Ж.7. Эллиптические бета-интегралы на корневых системах 592
§ Ж.8. Эллиптическое преобразование Фурье и лемма Бейли 597
§ Ж.9. Связь с теорией представлений 599
§ Ж.10. Приложения в математической физике 601
§ Ж.11. Заключение 604
Добавление 3. Индексное гипергеометрическое
преобразование (Ю. А. Неретин) 607
§ 3.1. Индексное гипергеометрическое преобразование 607
§ 3.2. Приложения к специальным функциям 610
§ 3.3. Вывод формулы обращения. Скачок резольвенты 616
§ 3.4. Приложения к гармоническому анализу 620

10 Оглавление
Литература 625
Предметный указатель 649

Предисловие редактора перевода
Многие математики и люди, сталкивающиеся с теорией спецфункций и с ее
приложениями, воспринимают эту теорию как нечто законченное и
классическое, сверкающее или замшелое, в зависимости от личных пристрастий и
степени знакомства с предметом. Уровень общематематического интереса к
спецфункциям менялся со временем. В XIX в. спецфункции были важнейшей
частью математики. На протяжении XX в. интерес к ним уменьшался, чтобы
потом возродиться в последние два-три десятилетия.
Надо сказать, что и во времена снижения интереса теория спецфункций
продолжала успешно развиваться. Параллельно в самых разных областях
математики «для внутреннего пользования» возникали свои собственные спец-
функциональные сюжеты (например, в теории представлений, комбинаторике,
статистике, алгебраической геометрии, теории вероятностей, теории чисел,
теории интегрируемых систем или, скажем, в теории конечных абелевых
р-групп). С другой стороны, в вычислительных средствах (которые не сводились
к арифмометру 100 лет назад и не сводятся к нажатию клавиш компьютера
сейчас) нуждались не только математики. Скажем, реальными физическими
задачами интересовались такие авторы как Дж. Рака [293], Ф.Дж.Дайсон [111],
Л.Биденхарн [59], А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров [460].
Установочным текстом по спецфункциям многие годы оставался
замечательный трехтомник «Higher transcedental functions» [119], изданный в 1953 — 55 гг.
(и переведенный на русский язык Н.Я. Виленкиным в 1964 — 67 гг.). Сейчас,
50 лет спустя, даже такая классическая область, как теория ортогональных
многочленов, выглядит совсем иначе. Теория q-гипергеометрических рядов, о
которой большинство математиков в течение 100 лет после Гейне слышали
нечасто, в конце 80-х гг. XX в., после появления слов «квантовая группа», вдруг
стала чрезвычайно модна и обширна. Сейчас над ней уже «возведена» вполне
новая теория эллиптических гипергеометрических функций (см. добавление Ж
к настоящей книге). Теория представлений и некоммутативный
гармонический анализ дали внешний импульс для изучения многомерных спецфункций1.
За последние 30 лет этот предмет превратился в серьезную содержательную
область. Еще в конце 50-х гг. XX в. в работах [190] и [477] появились первые
спецфункции матричного аргумента. В 80-х гг. XX в. в теории бесконечномерных
групп и матфизике начали появляться спецфункции от бесконечного числа
переменных (например, сферические функции на группе диффеоморфизмов
окружности (см. [454]). В 80 —90 гг. XX в. рос интерес к уравнениям Пенлеве
(см. [204, 283, 143]).
Наконец, за время, прошедшее с издания книги «Higher transcedental
functions», по многим классическим вопросам удалось достичь более высокого
ι Основную роль сыграла деятельность, связанная со сферическими функциями и сферическим
преобразованием (интегральным «преобразованием Хариш-Чандры»). Ранний период — это работы
И. M. Гельфанда, M. А. Наймарка, Р.Годемана, Ф. А. Березина, Хариш-Чандры, И. M. Гиндикина,
Ф. И. Карпелевича 1950 — 62 гг. Переход сюжета непосредственно в теорию спецфункций
произошел благодаря книге [257] по сферическим функциям на ансамблях Брюа—Титса и работе [185]
об интерполяции преобразования Хариш-Чандры по параметрам.

12
Предисловие редактора перевода
уровня понимания и более высокого уровня ясности. Но, как и вообще в
математике, понять из читабельных текстов, что именно сделано и что именно
происходит, довольно трудно. Более того, последовательное изложение теории
спецфункций — задача объективно непростая. Сама теория выглядит как
необозримый и плотно переплетенный клубок формул, появляющихся как птицы из
шляпы фокусника.
Авторам удалось написать интересную книгу, которую в самом деле
можно читать и по которой можно учиться. Я не комментирую нетривиальный
стиль книги (лучше ознакомиться с ней самой), отмечу лишь, что изложение
ориентировано не столько на эти самые «формулы», сколько на способы их
получения и на прояснение этих способов (во многом с этим связан и большой
объем данной работы). По своему опыту должен отметить, что при чтении
книги бывает полезно иметь под рукой какой-либо старый более формально
написанный текст, например [119, 423, 346, 345] и т. п.
Авторы должны были столкнуться и с проблемой подбора материала. Книга
посвящена прежде всего теории гипергеометрических функций одной
переменной (гипергеометрических в широком смысле слова). Однако с этой «точки
обзора» авторы зацепляют ряд других сюжетов, например интегралы Сельберга,
общие свойства ортогональных многочленов, анализ на сфере, теорию
разбиений и комбинаторный анализ П. Макмагона. Приложения предмета вроде бы и
не являются самоцелью, но часто возникают по ходу дела, в том числе и вполне
неожиданно. Вообще, содержание книги очень разнообразно.
Так или иначе, книга является достойным памятником мысли и,
по-видимому, на ближайшие годы займет место трехтомника «Higher transcedental
functions» в качестве «установочного» текста по данному предмету.
Книга является одним из самых значительных собраний формул, причем
собранием современным. Но по жанру это не справочник, и вполне может
оказаться, что нужной читателю в данный момент формулы в книге не
окажется (или же она окажется, но не будет найдена). В связи с этим отмечу
несколько источников. Прежде всего, таблицы интегралов и рядов [463]. Это
нетривиальная оригинальная работа \ принципиально мажорирующая таблицы
И. С. Градштейна—И. М. Рыжика. Очень много самого разнообразного
материала (частью компилятивного, частью оригинального) содержится в [402].
Отметим в качестве собраний формул книги [155, 258, 414, 423, 40, 345, 460, 461, 226].
В книге теория спецфункций развивается на основе самой себя. В
принципе возможно изложение на основе каких-либо внешних организующих идей,
например теории представлений, спектральной теории или интегральных
преобразований. Опишу вкратце, что мы имеем на сегодняшни день.
1. Теория представлений. Данный подход берет начало с книги [441], которая,
конечно, устарела. Более поздние книги (которые, однако, не закрывают
имеющуюся «брешь» в литературе) — цитированная выше работа [402] и книга [378].
Отчасти, на сходной точки зрения основана недавняя книга [84], только в
качестве организующего начала в ней присутствуют не представления групп, а
представления «двойных аффинных алгебр Гекке».
ι Наиболее интересна глава 8 третьего тома, посвященная барнсовским интегралам, на ней
основана упоминаемая ниже «технология Маричева».

Предисловие редактора перевода
13
2. Задачи Штурма—Лиувилпя и спектральная теория. Известно, что
большинство классических спецфункций являются собственными функциями для
некоторых дифференциальных операторов. Наряду с дифференциальными
операторами бывают еще разностные. Например, рассмотрим пространство
последовательностей u(n) (где η может пробегать натуральные числа, целые числа
или конечный сегмент) и оператор вида
Du{n) = А(п)и(п + 1) + В(п)и(п) + С(п)и(п -1).
Известно, что классические системы ортогональных многочленов дискретного
переменного (т.е. системы Шарлье, Кравчука, Мейкснера, Чебышёва—Хана,
Хана—Эберлейна, Рак£) являются собственными функциями задач Штурма—Ли-
увилля.
Понятие разностных операторов допускает ряд нетривиальных обобщений.
Например, бывают разностные операторы вида
<£ /(χ) = AW fix + 0 + В(х)/(х) + СМ/(х - 0
в L2 на прямой (здесь i —мнимая единица). Скажем, многочлены Вильсона
являются собственными функциями задачи Штурма—Лиувилля для некоторого
оператора 5£ такого типа1.
Бывают разностные операторы с отражением — операторы типа Данкла
(скажем, в правой части вышеприведенных формул может появляться слагаемое
с /(—*); см. [ПО, 185]), есть и другие возможности.
В итоге есть много явно решаемых (но далеко не всегда решенных) задач
Штурма—Лиувилля; все гипергеометрические системы ортогональных
многочленов возникают как решения такого рода задач с чисто дискретным спектром.
Разумеется, бывают и неполиномиальные системы, и непрерывные спектры.
Для многих задач можно явно писать спектральное разложение в духе Г. Вей-
ля—Э. Ч. Титчмарша (см. [109]), далее каждое такое преобразование может
использоваться как спецфункциональный инструмент.
На разностных задачах Штурма—Лиувилля основана книга [461], более
широкому классу задач Штурма—Лиувилля посвящен обзор [229].
3. Интегральные преобразования. Как известно, система Вильсона, которая
находится наверху иерархии классических ортогональных многочленов, была
открыта примерно в 1980 г. Индексное гипергеометрическое интегральное
преобразование было обнаружено Г. Вейлем в 1910 г. Любой человек,
попытавшийся применить это преобразование к обычной ортогональной системе
Якоби, получил бы систему Вильсона немедленно и достаточно тривиальным
образом. Дальнейшая история теории спецфункций была бы иной.
Интегральные преобразования — мощный и несколько недооцененный
большинством специалистов инструмент для исследования специальных функций.
Мне не известно сколько-либо обстоятельного спецфункционально-ориентиро-
ванного текста об интегральных преобразованиях. Отмечу, что в книге [449]
излагается несколько очень простых (и даже скучноватых) приемов,
использующих преобразование Меллина и барнсовские интегралы; эти рецепты, однако,
оказываются поразительно эффективными. Насколько я могу судить, это одна
ι Пример с непрерывным спектром есть в добавлении 3.

14
Предисловие редактора перевода
из основных «high technologies», с помощью которых были получены таблицы
А. П. Прудникова, Ю. А. Брычкова, О. И. Маричева (есть также комментарии к
ним в работе [464]).
Чтение современных математических книг — дело, к сожалению,
непростое. Читатель данной книги, безусловно, столкнется с разными проблемами —
отдельными формулами, трудными для восприятия, замысловатыми
доказательствами, поясняющими вставками, которые сами иногда превращаются в
наиболее непонятные места, и т.д. и т.п.—книга длинная, в ней есть все.
Ко всему этому следует относиться спокойно. Обычно читатель современной
математической книги, не поняв ни слова, скажем, на странице 27, рискует
понять примерно столько же и в дальнейшем. Данная книга этим свойством
не обладает. Во-первых, изучаемые объекты сами по себе определяются
элементарно на уровне учебника Фихтенгольца — это значения явно выписанных
интегралов, рядов, произведений; никакой каббалистики (вроде необходимости
понимать язык высокого уровня, для понимания которого надо выучить язык
предыдущего уровня, для понимания которого...) в книге нет. Во-вторых, авторы
предпринимают всевозможные усилия для «демократизации» изложения, и, в
целом, это у них получается. Замечу, что вторая половина данной книги ничуть
не менее читабельна, чем первая (а тем самым и более интересна).
Ключевым местом для понимания книги является глава 2, при
определенном уровне ее восприятия любую другую главу, в общем, можно, временами
спотыкаясь, читать саму по себе.
К русскому изданию прилагаются два добавления. В добавлении Ж,
написанном В. П. Спиридоновым, обсуждается важный новый сюжет — эллиптические
гипергеометрические ряды. Добавление 3, написанное мною, содержит
введение в индексное гипергеометрическое преобразование Г. Ф. Мелера—В. А.
Фока—Г. Вейля—М. Н. Олевского—Э. Ч. Титчмарша; обсуждаются также его
возможности в качестве спецфункционального инструмента.
Кроме того, добавлен небольшой список полезных спецфункциональных
книг и важных статей, которые могли бы быть полезными человеку,
пытающемуся «найти концы» в «клубке» наличной литературы, а также несколько
ссылок на общепринятые у нас учебники.
Ю. А Неретин,
ИТЭФ, University of Vienna, МГУ

Предисловие
Пауль ТУран как-то заметил, что правильнее было бы говорить не «специальные
функции», а «полезные функции». Благодаря своим замечательным свойствам
специальные функции были предметом изучения на протяжении многих
столетий. Например, история тригонометрических функций насчитывает, благодаря
их многочисленным применениям к астрономии, более тысячи лет. Даже
разложения в ряды для синуса и косинуса (а может быть, и для арктангенса) были
известны Мадхаве еще в XIV веке. В XVII веке эти ряды были переоткрыты
Ньютоном и Лейбницем, и с тех пор теория специальных функций постоянно
развивалась; вклад в нее внесли множество математиков, включая таких, как
Эйлер, Лежандр, Лаплас, Гаусс, Куммер, Эйзенштейн, Риман и Рамануджан.
В течение последних тридцати летх, когда были открыты новые специальные
функции и увеличился список разделов математики, в которых специальные
функции применяются, интерес к этому предмету снова вырос. Новые
открытия, о которых идет речь, включают комбинаторные исследования, начатые
Шютценберже и Фоатой. Более того, в последние годы у некоторых частных
случаев давно знакомых специальных функций появились четкие определения
и приложения в качестве ортогональных полиномов.
В результате того, что специальные функции являются предметом нынешней
активной деятельности, но при этом имеют и долгую историю, авторы книги
по этому предмету ощущают импульсы, идущие в совершенно разных
направлениях. С одной стороны, имеются важные классические результаты, которые
необходимо включить в книгу, поскольку они чрезвычайно полезны. С другой
стороны, имеются и недавние результаты, с которыми необходимо ознакомить
тех, кто мог бы их применять. Хотелось бы также, чтобы новое поколение
математиков получило образование, позволяющее им и дальше развивать и
применять теорию специальных функций. Мы старались делать и то, и другое,
и третье, включив некоторые старые результаты, которые, на наш взгляд, были
незаслуженно забыты. Однако же мы не стали вдаваться в некоторые важные
современные исследования: чтобы трактовать их должным образом, пришлось
бы значительно увеличить объем книги. К счастью, недавно вышли монографии,
посвященные этим исследованиям: Петкошек, Уилф и Зайльбергер [286] (1996),
Макдональд [258] (1995), Хекман и Шилькткрулль [186] (1994), Виленкин и
Климык [403] (1992). Кроме того, Макдональд пишет новую книгу о носящих
его имя многочленах от нескольких переменных, а А. Н. Кириллов — о теории
Д-матриц.
О специальных функциях известно так много, что, разумеется, лишь малая
часть этого может поместиться в одну книгу. Мы решили сосредоточиться
в первую очередь на наиболее изученном классе функций —
гипергеометрических функциях —и на связанных с ними гипергеометрических рядах.
Гипергеометрический ряд — это ряд вида J] ап, в котором ап+1/ап является рациональной
функцией от п. К сожалению, гипергеометрические функции изучены намного
ι Оригинал вышел в 1999 г.—Ярим. пер.

16
Предисловие
хуже, чем следовало бы, если принять во внимание их важность и полезность.
Большинство степенных рядов, изучающихся в курсе анализа, являются
гипергеометрическими, так что некоторые свойства этих рядов хорошо известны.
Однако же многие математики и другие ученые, встречающиеся в своей работе
с гипергеометрическими рядами, не знакомы с общим случаем, знание свойств
которого могло бы облегчить им жизнь. Для них и функция Бесселя, и функция
параболического цилиндра суть совсем не те функции, что возникают в теории
квантового углового момента. А на самом деле все они — гипергеометрические
функции, и именно при таком взгляде на них многие их элементарные свойства
оказываются наиболее понятны.
Рад важных свойств гипергеометрических функций был впервые найден
Эйлером, одно полезное тождество — Пфаффом, одним из учителей Гаусса. Но
только сам Гаусс в полной мере осознал важность этих функций и предпринял
систематическое изложение их свойств в двух статьях, одна из которых была
опубликована посмертно. Интерес к гипергеометрическим функциям
объясняется, в частности, тем, что элементарные функции, так же как и ряд других
функций, важных в математике, выражаются через гипергеометрические. Через
полвека после Гаусса Риман развил теорию гипергеометрических функций на
основе другого подхода, в результате чего удалось получить основные формулы
при минимуме вычислений. Еще один подход к гипергеометрическим
функциям—с помощью контурных интегралов —был развит английским математиком
Э. Барнсом в первом десятилетии XX века. У каждого из этих подходов есть свои
преимущества.
У гипергеометрических функций есть два очень полезных свойства: их
специальные значения удовлетворяют некоторым тождествам, а для самих
функций существуют формулы преобразования. Мы рассказываем о многих
приложениях этих свойств. Например, в комбинаторном анализе
гипергеометрические тождества классифицируют суммы произведений биномиальных
коэффициентов. Далее, квадратичные преобразования гипергеометрических
функций позволяют понять известные еще Гауссу взаимосвязи между
эллиптическими интегралами и арифметико-геометрическим средним. Недавно ариф-
метико-геометрическое среднее было использовано для нахождения нескольких
миллионов знаков числа π, а ранее оно сыграло ключевую роль в гауссовской
теории эллиптических функций.
Гамма-функция и бета-интегралы, о которых идет речь в первой главе,
необходимы для понимания гипергеометрических функций. Гамма-функция
была введена в обиход Эйлером, когда он решал задачу продолжения функции
«факториал» на все действительные или комплексные числа, но предвидеть,
до какой степени эта функция окажется важной, Эйлер не мог. У гамма- и
бета-функций имеются также важные обобщения. В этой книге мы вкратце
излагаем теорию гауссовых сумм и сумм Якоби, являющихся аналогами гамма-
и бета-функций для конечных полей. Гауссовы суммы появились у Гаусса в
его работе о построении правильных многоугольйиков: там они возникли в
виде «резольвент Лагранжа», использовавшихся Лагранжем для исследования
алгебраических уравнений. Гаусс понял огромное значение сумм, названных
его именем, для теории чисел. Мы расскажем, как теорема Ферма о простых
числах вида 4п +1 может быть выведена из формулы, связывающей гауссовы

Предисловие
17
и якобиевы суммы и являющейся аналогом формулы Эйлера, связывающей
бета-интегралы с гамма-функцией.
У гамма- и бета-интегралов есть и многомерные аналоги. Первый из этих
аналогов был введен Дирихле, но он получался всего лишь итерацией
одномерных интегралов. Подлинно многомерные гамма- и бета-функции были введены
в 1930-х гг. специалистами по статистике и по теории чисел. В начале 1940-х гг.
Атле Сельберг нашел очень важный многомерный бета-интеграл в ходе своих
исследований целых функций, но из-за трудностей, связанных с войной, а
также из-за того, что формулировка и доказательство результата Сельберга
были опубликованы в малоизвестных журналах, до 1980-х гг. очень немногие
были знакомы с интегралом Сельберга. Мы излагаем два разных вычисления
интеграла Сельберга и приводим некоторые его приложения.
В дополнение к упомянутым выше обобщениям на конечные поля, у
гамма-функции и бета-интегралов есть также q -аналоги, играющие чрезвычайно
важную роль, так как эти аналоги приводят к базисным гипергеометрическим
функциям и рядам. Речь идет о рядах вида Σ°η> гДе сп+1/сп— рациональная
функция от qn (q — фиксированный параметр). Суммирование может
распространяться и на целые неотрицательные числа, и на все целые числа. Важный
пример такого ряда — тэта-функция
— 00
Этот и подобные ему ряды использовались Гауссом и Якоби в исследованиях по
эллиптическим функциям и эллиптическим модулярным функциям. Ряды такого
типа очень полезны во многих разделах комбинаторного анализа (впервые на
это обратили внимание Эйлер и Лежандр), и они также возникают в некоторых
разделах физики. Например, работы физика Бакстера по так называемым
уравнениям Янга—Бакстера вдохновили группу петербургских математиков на
введение понятия квантовой группы, и независимо связанную с этим структуру
определил японский математик Джимбо — также в результате изучения работ
Бакстера.
Многие базисные гипергеометрические и q -гипергеометрические ряды, как
конечные, так и бесконечные, поддаются исследованию с помощью алгебр
Хопфа (квантовые группы — не что иное, как алгебры Хопфа специального
вида). К сожалению, этот новый и чрезвычайно важный подход осветить в
книге мы не могли. Не включены также недавние результаты о многомерных
U (п) -обобщениях теорем о базисных рядах. Частично с ними можно
ознакомиться по работам [267] и [268]. Мы вкратце обсуждаем q -гамма-функцию и
некоторые важные q-бета-интегралы; мы показываем, что ряды и произведения,
возникающие в этой теории, имеют приложения в теории чисел, комбинаторике
и теории разбиений. Мы описываем метод анализа разбиений. П. А. Макмагон,
разработавший эту мощную технику, посвятил ей несколько глав в своем
монументальном труде «Combinatorial Analysis», но ее значение было осознано
лишь недавно.
Теория специальных функций с ее многочисленными красивыми формулами
прекрасно вписывается в алгоритмический подход к математике. В XIX в.
идеалом Эйзенштейна и Кронекера было выражать новые математические

18
Предисловие
результаты с помощью формул. До них такой подход к математике был также
весьма распространен, как показывают, например, работы Эйлера, Якоби и
отчасти Гаусса. В XX в. в математике стал брать верх более абстрактный подход,
ориентированный на доказательства существования. Соглашаясь с Харди в том,
что Рамануджан опоздал родиться на 100 лет, Литтлвуд однажды написал, что
«времена формул, по-видимому, прошли» (Дж. Литтлвуд. Математическая смесь.
М.: «Наука», 1990, с. 88). Однако в наши дни, с появлением компьютеров
и возрождением вычислительной математики, роль формул возросла снова.
Наша книга соответствует этой новой тенденции: мы показываем, что
красивые, интересные и важные формулы появлялись и после Рамануджана. Эти
формулы оказались весьма плодотворными; мы верим, что «времена формул»
еще вернутся. Мы надеемся, что читатель, изучая эти формулы, получит не
меньше удовольствия, чем получили его мы, излагая их выводы.
Мы благодарим Б. Берндта, Дж. Гаспера, У. Джонсона, М. Рахмана, Д. и Г. Чуд-
новского, высказавших замечания по различным главам этой книги в процессе
ее написания. Отдельная благодарность — М. Исмаилу за поддержку и за
множество подробных замечаний, способствовавших улучшению этой книги. Мы
благодарны также Ди Фране и Диане Репперт за подготовку рукописи, которую
они провели аккуратно, с юмором и терпением.

ГЛАВА I
Гамма- и бета-функции
Эйлер ввел гамма-функцию Г(х), желая расширить область определения
функции факториал. В итоге получилась мероморфная функция, равная (х — 1)!
при положительных целых х. Гамма-функция имеет несколько представлений,
но два наиболее важные, найденные Эйлером, задают ее в виде интеграла
с бесконечным пределом и в виде предела конечного произведения. Мы примем
второе из них в качестве определения.
Вместо того чтобы рассматривать бета-функцию как функцию, более
поучительно рассматривать ее как класс интегралов — интегралов, которые могут
быть вычислены через гамма-функции. Часто мы будем называть бета-функции
бета-интегралами.
В этой главе мы рассмотрим некоторые элементарные свойства бета- и
гамма-функций. Некоторые утверждения мы доказываем двумя или несколькими
способами. Обычно одно из доказательств имеет обобщения, а остальные нет.
Мы коротко обсуждаем аналоги гамма- и бета-функций для случая конечных
полей. Они называются суммами Гаусса и Якоби и важны в теории чисел. Мы
используем их для доказательства теоремы Ферма о том, что простое число
вида Ап + 1 может быть представлено как сумма двух квадратов. Мы также
рассматриваем предложенное Дирихле простое многомерное обобщение бета-
интеграла, из которого может быть выведен объем п-мерного эллипсоида.
Мы приводим элементарный вывод асимптотической формулы Стерлинга
для п! и даем комплексно-аналитическое доказательство красивой формулы
отражения Эйлера. Два других доказательства (Дедекинда и Герглоца) в
терминах вещественных аналитических функций включены в упражнения. Формула
отражения связывает гамма-функцию с тригонометрическими функциями.
Гамма-функция имеет простые полюсы в нуле и в отрицательных целых точках,
в то время как cosec nx имеет полюсы во всех целых точках. Разложение на
элементарные дроби логарифмических производных функции Г(х) приводит
нас к рассмотрению дзета-функций Гурвица и Римана, последняя из которых
имеет фундаментальное значение в теории распределения простых чисел. Мы
включили в изложение краткое обсуждение функционального уравнения на
дзета-функцию Римана, поскольку оно включает в себя гамма-функцию.
В этой главе мы также приводим доказательство Куммера собственного
результата о Фурье-разложении функции 1ηΓ(χ). Соответствующая формула
полезна в теории чисел. Приведенное доказательство использует интегральное
представление Дирихле функции 1η Γ(χ) и ее производной. Поэтому, мы
включили в изложение эти результаты Дирихле и соответствующие теоремы Гаусса.
§ I.I. ГАММА- И БЕТА-ИНТЕГРАЛЫ; ГАММА- И БЕТА-ФУНКЦИИ
Задача нахождения такой функции непрерывной переменной х, равной п! при
х = п, была исследована Эйлером в конце 1720-х годов. Можно предположить,

20
Глава I Гамма- и бета-функции
что эта задача была предложена Даниилом Бернулли и Гольдбахом. Ее решение
содержится в письме Эйлера к Гольдбаху от 13 октября 1729 года (см. [150,
с. 1 — 18]). Чтобы получить обобщение факториала, предложенное Эйлером,
предположим, что х>0ип>0 — целые числа. Запишем
|=Сх±п)!
где (α)η обозначает символ Похгаммера1, определенный равенством
(α)η = α(α + 1)...(α + η-1) дляп>0; (α)0 = 1, (1.1.2)
а—любое действительное или комплексное число. Перепишем равенство (1.1.1)
как
п!(п + 1)у_ п\пх (п + 1)х
Сх + 1)п Сх + 1)„
Поскольку
мы заключаем, что
П-400 Π
xl = Urn 7^5-. (1.1.3)
Заметим, что, пока χ является комплексным числом, не равным отрицательному
целому, предел в формуле (1.1.3) существует, поскольку
-1/
с^=Ш*ПИГИ)
и
Следовательно, бесконечное произведение
пигиг
сходится и предел (1.1.3) существует. (Читатели, плохо знакомые с бесконечными
произведениями, могут обратиться к добавлению А.) Таким образом, мы имеем
функцию
nw=tec??b αι·4)
определенную для всех комплексных хф—1, —2, —3, ..., причем П(п) = п!.
Определение 1.1.1. Для всех комплексных чисел хфО, —1, —2, ... гамма-
функция определяется равенством
ΓΟΟ = lim *£-. (1.1.5)
ι Β оригинале shifted factorial (здесь и ниже подстрочные примечания редактора перевода).

§11 Гамма- и бета-интегралы; гамма- и бета-функции
21
Непосредственным следствием определения 1.1.1 является следующее
утверждение:
Γ(χ + 1)=χΓ(χ). (1.1.6)
Также равенство
Г(п + 1) = п! (1.1.7)
немедленно следует из вышеизложенного рассуждения. Тот же результат можно
получить последовательным применением соотношения (1.1.6) с
использованием равенства
Г(1) = 1 (1.1.8)
Из равенства (1.1.5) следует, что гамма-функция имеет полюсы в нуле и
отрицательных целых точках, а 1/Г(х) является целой функцией с нулями в этих
точках. Каждая целая функция имеет представление в виде произведения1; это
представление для функции 1/Г(х) особенно изящно.
Теорема 1.1.2. Справедливо равенство
Г^=-ГХП{(1 + Ю<Г*/П}' (1.1.9)
где γ —постоянная Эйлера:
Γ="5ΐ(Σϊ-Ιη4 (1110)
Доказательство. Имеем цепочку равенств
Jfe-ja*+".£+''"-'a*+fX'4H'+fr-'"-
- а »<»»«-н») li{(i+!>"""}=«* ПК»+;У""1
k=l j=l
Бесконечное произведение в формуле (1.1.9) существует, поскольку
(»!>"Ч>+;Х>-;+&-)->-£+°(;?).
и множитель е~*/п был введен, чтобы сделать его существование возможным2.
Предел в равенстве (1.1.10) существует, поскольку существуют другие пределы,
но его существование можно доказать и непосредственно. Один из способов
сделать это состоит в том, чтобы показать, что разница между соседними
выражениями под знаком предела стремится к нулю как 1/п2. D
В принципе можно рассматривать формулу (1.1.9) как определение Г(х),
как делал Вейерштрасс (сама эта формула была получена ранее Шлёмильхом
и Ньюманом, см. [282, с. 12]).
ι См., например, [450, 60].
2 Так как 1/Γ(χ) = 0 при χ = —η, естественно попробовать поделить 1/Г(х) на J~[(l + χ/ή). Но это
произведение всюду расходится. Множитель е~х^п «гасит» эту расходимость. A priori
предсказуемо, что частное имеет вид Схе**, см. предыдущую сноску.

22
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Более чем за семьдесят лет до этого Эйлер и Валлис [405] предприняли
попытку вычислить интеграл
1 - +1
5 VT^3^dx=i $(l-x)1/2(l + x)1/2dx.
0 -1
Поскольку этот интеграл выражает площадь четверти круга, цель Валлиса
была получить выражение для π. Но он смог вычислить только интеграл
1
§ хр(1 — x)qdx при целых ρ и q или при q = 0 и рациональных р. Используя
о
значение этого интеграла и некоторые смелые догадки, он предположил, что
Конечно, он не представлял это выражение в виде предела и не использовал
гамма-функции. Однако этот результат мог привести Эйлера к рассмотрению
ι
соотношения между гамма-функцией и интегралами вида § хр(1 — x)q dx, где ρ
о
и q не обязательно целые.
Определение 1.1.3. Бета-интеграл определяется для Rex>0, Re у >0
соотношением
ι
В(х, у) = 5 t*"1 (I - ty-1 dt (1.1.12)
о
Можно также говорить о бета-функции В(х,у), которая получается из
интеграла аналитическим продолжением.
Интеграл (1.1.12) симметричен относительно перемены местами χ и у, что
можно увидеть с помощью замены переменной и = 1 — t.
Теорема 1.1.4. Справедливо равенство
Замечание 1.1.1. Основная идея представленного ниже доказательства
принадлежит Эйлеру [122,123] и состоит в установлении функционального соотношения для бета-
функции и последующего итерирования этого соотношения. Интегральное
представление для Г (χ) получается в качестве побочного результата. Техника функциональных
уравнений полезна для вычисления некоторых интегралов и бесконечных рядов; мы
увидим ее силу в последующих главах.
Доказательство. Сначала мы хотим вывести функциональное
соотношение ν+ ν
В(х, у) = -у^Ж*, У + 1). (11.14)
Заметим, во первых, что для Rex>0HRey>0 выполняется равенство
ι
B(x,y + l) = 5^"1(1-0(l-0y"1dt = B(x,y)-B(x+l,y). (1.1.15)
о
С другой стороны интегрирование по частям дает
BU,y + l) = [i^(l-Oy]VjStJC(l-Oy-1cit=jBU + l,y). (1.1.16)

§11 Гамма- и бета-интегралы; гамма- и бета-функции
23
Комбинируя равенства (1.1.15) и (1.1.16), получаем функциональное
соотношение (1.1.14). Другие доказательства тождества (1.1.14) даны в качестве задач
в конце этой главы. Теперь итерированием формулы (1.1.14) получаем
(* + у)(* + У + 1) т^ Лч (х + У)Пп,
в{х>у) = —WT\)—-в&>у+2) = - = м7^в(х^+Г1)·
Перепишем это соотношение в следующем виде:
(* + у)„ п\ eft Υ"1 f. t V+n-1 at
"*■*'*&&№ (>-:)
п|„х+у-1 (y)n Jr \ι η) αι·
При п—»» интеграл стремится к § i-^-1e—f dt. В этом можно удостовериться
о
с помощью теоремы Лебега о мажорированной сходимости1. Таким образом,
Г(у)_"
Положив у = 1 в соотношениях (1.1.12) и (1.1.17), получим
в(*^) = гЩо^"1<г^· (т7)
1 00
1 = С t^"1 dt = В(х, 1) = =f^rr Ϊ f^e"* dt.
χ J Г(х + 1) J
Тогда из формул (1.1.6) и (1.1.8) следует, что
00
\tx-1e-tdt = nx)
о
для Re χ > 0. Теперь используем это соотношение в равенстве (1.1.17) для
доказательства теоремы для Re χ > О и Re у > 0. Так как Г-функция мероморфна во всей
плоскости, формула (1.1.7) задаёт аналитическое продолжение В-функций2. D
Замечание 1.1.2. Аргумент Эйлера в работе [123] в пользу соотношения (1.1.13)
использовал рекуррентное соотношение по х, а не по у. Оно приводит к расходящимся
бесконечным произведениям и равному нулю интегралу. Эйлер рассмотрел два таких
интеграла, с у и у = гл, разделил один из них на другой и показал, что полученные
обращающиеся в нуль интегралы совпадают. Они сокращали друг друга, когда он брал
отношение двух интегралов с у и у = гл. В качестве результата получается бесконечное
произведение, которое сходится и дает правильный ответ. Выдающаяся интуиция Эйлера
приводила его к правильным результатам, даже когда его рассуждения были такими
смелыми, как в этом случае.
Эта теорема — основное средство для обоснования предельных переходов в книге. Напомним
ее. Пусть последовательность функций fn(x) сходится к f(x) для почти всех х. Пусть существует
функция g(x) такая, что 1Д001 <g(x) и {j gOO <ίμ(χ) сходится. Тогда § /η(χ)άμ(χ) сходится
м м
к ξ / άμ(χ). От меры μ требуется, чтобы она была конечной или σ-конечной, а все упомянутые
м
функции должны быть измеримы (т. е. в обоих случаях ничего не требуется), см. [447, 308].
См. добавление Б.

24
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Ранее, в 1730 г., Эйлер вычислил функцию (1.1.13) другим способом. Он разложил
(1 — t)y~l в ряд и проинтегрировал почленно. Для у = η +1 он представил значение этой
суммы в виде произведения.
Приведем важное следствие из этого доказательства.
Следствие 1.1.5. Для Rex>0 выполняется равенство
00
r(x)=\tx-1e-tdt. (1.1.18)
о
Этот интеграл для гамма-функции иногда называется интегралом Эйлера
второго рода. Он часто рассматривается в качестве определения Г(х) для
Rex>0. Интегралом Эйлера первого рода называется интеграл (1.1.12). Это
обозначение ввел Лежандр. Предложенная Лежандром функция Г(х)
предпочтительнее введенной Гауссом функции П(х), заданной выражением (1.1.4),
поскольку теорема 1.1.4 не имеет такого изящного вида, будучи сформулирована
в терминах функции П(х). Другая причина будет рассмотрена в § 1.10.
Гамма-функция имеет полюсы при значениях аргумента равных нулю и
целым отрицательным числам. Используя интегральное представление (1.1.18)
легко найти полюсы и аналитическое продолжение функции Г(х) явно:
ГСх)= \?-*β-4ί+1?-^άί = Σ -fcgLj + Jt-ie-'A. (1.1.19)
0 1 п=0 1
Вторая функция в правой части равенства целая, а первая показывает, что
полюсы такие, как требовалось, с вычетом (—1)п/п! в точке χ = —η, η = 0, 1, ...
Бета-интеграл можно представить несколькими удобными способами,
которые могут быть получены заменой переменных. Например, положив t = s/(s +1)
в формуле (1.1.12), получим бета-интеграл по полупрямой:
" *_?»?&> (1.1.20)
} (1 +
0 (1 + 5)*+* ~" Г(х + у) ·
Затем, положив t = sin2 θ, будем иметь
о
Возьмем χ = у = 1/2. Получим
или
π/2
{ sin2'-1 θ cos2*"1 θ άθ = Γ^)Γ!ων (1.1.21)
И1)Г «
2Г(1) 2'
Г(1/2) = Jn. (1.1.22)
Поскольку из этого следует, что
М§)Г-«/«.

§11 Гамма- и бета-интегралы; гамма- и бета-функции
25
мы получили доказательство формулы Валлиса (1.1.11) Мы также нашли
значения интеграла Пуассона1:
I е~х2 dx = 2 I е~х2 dx=\ Г1/2е"г dt = Г(1/2) = </π. (1.1.23)
-оо 0 0
Наконец, подстановка t=(u — a)/Q) — a) в выражение (1.1.12) дает
1(Ъ-иу-\и-ау-1аи=(Ъ-аУ+У-1В(х,у) = (Ь - а)^"1 ^00. (1.1.24)
Следует отметить частный случай α=—1, Ь = 1, поскольку он часто используется:
$ (1 + 0х"г(1 - О*"1 dt = 2х+у-* Щ£^. (1-1.25)
Ещё одно полезное представление аналитически продолженной
бета-функции:
ВСг,у) = §^4 = ^П ,(1+лТЯл. (11.26)
Оно следует непосредственно из теоремы 1.1.2. Заметим, что функция В(х,у)
имеет полюсы при значениях χ и у, равных 0 или целым отрицательным
значениям, и является аналитической при всех других значениях аргументов.
Как упоминалось ранее, интегральная формула для Г(х) часто
рассматривается в качестве определения гамма-функции. Одна из причин этого заключается
в том, что гамма-функция очень часто возникает в этой форме. Более того,
основные свойства функции могут быть легко получены из интегрального
представления. Мы имеем мощную технику интегрирования по частям и замены
переменных, которую можно применять к интегралам. В качестве примера мы
дадим другое доказательство теоремы 1.1.4. Это доказательство важно и потому,
что оно может быть использовано для получения аналога теоремы 1.1.4 для
случая конечного поля. В этой ситуации вместо интегралов работают с конечными
суммами.
Пуассон в работе [290] и, независимо от него, Якоби в работе [212] в
качестве отправной точки рассмотрения брали подходящий двойной интеграл
и вычисляли его двумя различными способами. Соответственно поскольку
рассмотренные интегралы сходятся абсолютно, выполняется равенство
00 00 00 00
$ $ г*"V-xe-(s+t) dsdt=\ ?-1е~* dt $ s^e"5 ds = Г(х)Г(у).
0 0 0 0
Применим замену переменных s = uu и t = u(l —1>) к двойному интегралу
и заметим, что 0 < и < <», 0 < ι>< 1 при 0 < s, t < оо. К такой замене переменных
приводит подстановка s + t = u. Вычисления якобиана приводят к соотношению
ds dt = u du di>, и двойной интеграл переходит в
00 1
$ e~uux+y-1 du $ υ*'1 (Ι -иУ~1 dv = Г(х + у)В(х,у).
ι Β оригинале normal integral (в связи с гауссовым нормальным распределением).

26
Глава I Гамма- и бета-функции
Сравнение двух выражений для двойного интеграла дает требуемый результат.
Это доказательство Якоби. Доказательство Пуассона похоже, с тем исключением,
что он использовал в двойном интеграле замену переменных t = r и s = ur.
В этом случае полученный бета-интеграл берется по интервалу (0, <»), как
в формуле (1.1.20) (см. упражнение 1).
В завершение этого параграфа, мы покажем, как представление Г(х) в
виде предела может быть выведено из интегрального представления для Г(х).
Сначала докажем, что когда η целое неотрицательное и Re χ > 0, то
5^-βΛ*=χ(χ+1)η.'(χ + η)· (LL27)
На самом деле это частный случай теоремы 1.1.4, но мы приведем
непосредственное доказательство по индукции для того чтобы избежать повторения
в рассуждениях. Очевидно, равенство (1.1.27) верно для η = 0 и
St-i(i-t)»«dc=St-4i-0(i-c)-dt = ^-7j^- = M121.
g g W„+l U+IJn+l UJ„+2
Это завершает доказательство равенства (1.1.27) по индукции. Теперь положим
t — u/n и перейдем к пределу при η -* оо. Из теоремы Лебега о мажорированной
сходимости следует, что
00 ,
\ ?-1е~1 dt = lim ^— для Rex > 0.
Таким образом, если мы начнем с определения гамма-функции Г(х) в виде
интеграла, то приведенную выше формулу можно использовать для
расширения области определения на все возможные значения аргумента χ (т.е. для
значений, не равных 0, —1, —2, ...).
Замечание 1.1.3. Интеграл (1.1.12) традиционно называют бета-функцией.
Возможно, с терминологической точки зрения было бы лучше называть его первым
бета-интегралом Эйлера, а (1.1.20) называть вторым бета-интегралом. Интеграл из упражнения 3
мы назовем бета-интегралом Коши. В последующих главах мы изучим и другие бета-
интегралы, но эти три имеют общий вид
SUiWlhWdt,
с
где Ζχ(0 и l2(t) —линейные функции переменной t, а С — подходящая кривая. Для
первого бета-интеграла Эйлера кривая состоит из отрезка, соединяющего два нуля,
для второго бета-интеграла это луч, соединяющий нуль с бесконечностью так, что
другой нуль не находится на этом луче, а для бета-интеграла Коши контур проходит
между двух нулей. Уиттекер и Ватсон в работе [423, § 12.43] описали примеры бета-
интегралов, интегрирование в которых происходит по кривым, отличным от описанных
выше. Важный пример такого рода дан в упражнении 54.
§ 1.2. ФОРМУЛА ОТРАЖЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Среди многих красивых формул, в которые входит гамма-функция, формула
отражения Эйлера особенно важна, поскольку она связывает гамма-функцию

§12. Формула отражения Эйлера
27
с функцией sin*. В этом параграфе мы выведем эту формулу и кратко опишем,
как из нее может быть получено представление тригонометрических функций
в виде произведения и суммы элементарных дробей. Формула Эйлера,
представленная в теореме 1.2.1, показывает, что в некотором смысле функция 1/Γ(χ)
является «половинкой» функции синус.
Теорема 1.2.1. Верна формула отражения Эйлера:
Г(х)Г(1-х) = -г£-. (1.2.1)
smnx
Замечание 1.2.1. Предлагаемое ниже доказательство использует интегрирование
по контуру. Поскольку гамма-функция — функция действительного переменного в том
смысле, что многие ее важные характеристики происходят из соответствующей теории,
три доказательства в терминах действительной переменной описаны в упражнениях.
(См. упражнения 15,16 и 26 — 27.)
Мы покажем (теорема 1.2.1), как некоторые факты из теории тригонометрических
функций можно вывести из формулы (1.2.1). Напомним, что функцию sin* можно
определить рядом е*-е-* х* xs
sin x = ——— = * — ■—- + — — ...
2ι 3! 5!
Функция косинус определена аналогичным образом. Из этого определения можно
показать, что синус и косинус имеют период 2π и что ет =—1. (См. [326, с. 182 — 182].)
Доказательство. Положив у = 1 — х, 0<х<1, в выражении (1.1.20),
получим, таким образом,
00 ,
Г(х)Г(1-х)= ξ γ^άί. (1.2.2)
о
Чтобы вычислить интеграл в формуле (1.2.2), рассмотрим интеграл
Jl-2
где С состоит из двух окружностей вокруг начала координат радиусов R и ε
соответственно, которые соединены вдоль действительной отрицательной оси
между точками —R и —е. По внешней окружности интегрирование происходит
против часовой стрелки, а по внутренней — по часовой стрелке. По теореме
о вычетах
$f^d* = -2πί, (1.2.3)
с
когда ζχ~ι принимает свое главное значение. Таким образом
? /ρΧρΰτθ Ζ tx-l ixn ~π ;Ρχριχθ £ tx-l -ixn
J„ 1-Re'e i 1 + t J 1-ee'9 ■> 1 + t
—π R π ε
Пусть R —> oo и ε -* 0 так, что первый и третий интегралы стремятся к нулю, а
второй и четвертый в сумме дают выражение (1.2.1) для 0 < χ < 1. Окончательный
результат получается с помощью аналитического продолжения. Аналитическое
продолжение можно провести следующим образом. Из равенства (1.2.1) для
0<х<1 равенство для 0<Rex<l следует по аналитичности; для Rex = 0,
хф0 — по непрерывности; и затем для х, сдвинутого на целое число, —из
тождеств Г(х +1) = хГ(х) и sin(x + π) = — sin(x). D
Следующая теорема является непосредственным следствием теоремы 1.2.1.

28
Глава I Гамма- и бета-функции
Теорема 1.2.2. Справедливы равенства
00
sin πχ = πχ J~](l - 4)> f1·2·4)
00 П
π ctg πχ = - + Vi-τ- + —) =limV -Ц-, (1.2.5)
6 Χ Ζ-Λχ + Π ДС-ПУ n-»oo Z-J X-k
n=l /e=—η
_д_ = I + 2x V _W = lim V £*£,· (1.2.6)
suitix χ Ζ-ΐχ2-π2 n-»oo Z-j x-fc'
n=l fc=-n
η
7rtg7rx = lim V --^—, (1.2.7)
k=-n 2
ЯБесях= lim V (~Χ) Ί, (1.2.8)
k=-n 2
sin27ix Z-j (χ + π)2
n=—00
Доказательство. Формула (1.2.4) следует из формулы произведения
тЬ=хеГхи(1+хпУх,п'
п—\
доказанной в предыдущем параграфе, и из теоремы 1.2.1 в форме
Г(х)Г(1 -х) = -хГ(х)Г(-х) = π/ sin πχ.
Формула (1.2.5) получается взятием логарифмической производной от
формулы (1.2.4), а формула (1.2.6) следует из (1.2.5) поскольку cosec χ = ctg χ/2—ctg x.
Формулы (1.2.7) и (1.2.8) являются просто вариантами формул (1.2.5) и (1.2.6).
Формула (1.2.9) получается дифференцированием формулы (1.2.5). D
Стоит отметить, что формула (1.2.6) следует непосредственно из (1.2.1).
Имеем
00 ι Ι ι 00 ι
,.χ-1 * л.х—1 ρ л.х—1
TT7dt=$TT7dt+ST+7dt =
0 0 1
О О Ц=0 J fc=_n
где
1
j.n+x . +п—х+1>
|Я„|< К (tn+* + tn~*+1)dt
Ό
n + x+1 n-x + 2*
Итак, формула (1.2.6) выведена из (1.2.1).
Перед тем как вернуться к изучению гамма-функции, мы отметим важное
следствие из формулы (1.2.5).

§12. Формула отражения Эйлера
29
Определение 1.2.3. Числа Бернулли Вп определяются как коэффициенты
разложения ряда
00 00
п=0 к=1
Легко проверить, что функция
X , £
ех-1 2
четная. Вот несколько первых чисел Бернулли: Вг =—1/2, В2 = 1/6, В4 = —1/30,
Вб = 1/42.
Теорема 1.2.4. Для любого натурального числа к выполняется равенство
fc+lo2fc-l
ΣΙ _ (-1Г-'2-"-' n 9fc n9rn
Доказательство. Согласно соотношению (1.2.10) мы имеем
формула (1.2.5) дает разложение
00 00 00
^=1+2Σώ=1-2ΣΣέ·
η=1 η=1 Ас=Х
Для завершения доказательства осталось приравнять коэффициенты при х2к
в двух рядах для χ ctg χ. Π
Эйзенштейн в работе [114] показал, что теория тригонометрических
функций может быть систематически развита из разложения на элементарные дроби
функции ctgx, если рассматривать формулу (1.2.5) в качестве отправной точки.
Согласно А. Вейлю [418, с. 6], этот метод приводит к простейшим
доказательствам ряда основных фактов для тригонометрических функций, полученных
Эйлером. Целью Эйзенштейна было сформулировать теорию эллиптических
функций подобным образом. Очень доступное изложение этой работы и связь ее
с современной теорией чисел имеется в книге Вейля. Вейль называет операцию
взятия предела в выражении lim J] <*к суммированием по Эйзенштейну.
П->°о_п
Теорема 1.2.2 показывает, что ряды вида
00
*-» ix + n)k'
— 00
где к целое, связаны с тригонометрическими функциями. Как мы увидим
в дальнейшем, «полуряд»
00
V *
имеет сходное отношение к гамма-функции. На самом деле, можно было бы
начинать изучение гамма-функции с этих «полурядов».

30
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Теорема 1.2.5. Справедливы равенства
Г'(1) = -Г, (12.12)
№_m=_yY_i L·.) Q213)
гоо г(1) ZAx + k k + i)> ^.δλο)
/e=0
*JjrM=V_i α2.14)
dx2 Z_j(x + fc)2
/e=0
Доказательство. Рассмотрим логарифмическую производную формулы
произведения для ζψ-τ в виде произведения. Это даст
до
= Y + 2J<x + k-l~kJ·
-γόο
Г(х)
Случай х = 1 дает формулу (1.2.12). Две другие формулы очевидны. D
Следствие 1.2.6. Функция 1пГ(х) является выпуклой вниз функцией
относительно χ при х> 0.
Доказательство. Очевидно, правая часть формулы (1.2.14) положительна.
D
Замечай и ε 1.2.2. Функциональное уравнение (1.1.6) и выпуклость логарифма могут
быть использованы для вывода основных результатов о гамма-функции. (См. § 1.9.)
Обозначим отношение Г'ОО/Пх) через гр(х). Она часто называется
дигамма-функцией. Гаусс доказал, что значения функции гр(х) в рациональных точках
могут быть представлены в элементарных функциях. Этот результат содержится
в следующей теореме.
Теорема 1.2.7. Справедливы равенства
гр(х + п) = - + -4т + ... + -Γ-Γ + ΨΜ, η = 1,2,3,..., (1.2.15)
Lq/2J
^(f) = ^-fctgf-lnq + 22co.^42«m2i), (1.2.16)
где 0 < ρ < q; ^ означает, что, когда q четное, слагаемое с индексом n = q/2
делится на 2. Здесь [q/2\ обозначает наибольшее целое число, не
превосходящее q/2.
Доказательство. Первая формула получается логарифмическим
дифференцированием из
Г(х + п) = (х + п-1)(х+п-2)...хГ(х).
Мы выведем формулу Гаусса (1.2.16) с помощью аргумента Йенсена [214],
используя корни из единицы. Начнем разложение Симпсона1 [344].
00
Если/(х) = £апхп, то
оо Ас—X
Σ <wm*fcn+m=IΣ «'"•''"w*).
η=0 j=0
ι В оригинале Simpson dissection.

§12. Формула отражения Эйлера
31
где w = e2nifk — примитивный ic-й корень из единицы. Это следует из равенства
]Г ш;т = 0 (mod ic), тфО. Далее, из соотношения (1.2.13) следует, что
j=0 оо оо
ν>(ρ/ί)-^(1) = Τ!ί-Γ7 τ—)= Ит Υί-ζτ г— У+п,=: Ит s(t)
Yr/V ^ ^JVn + 1 p + nqJ t-»i-o^-ivn + l p + nqJ t-»i-o
n=0 n=0
по теореме Абеля о непрерывности рядов*. Тогда в силу тождества — 1п(1 — О =
00
= Σ tn/n и разбиения Симпсона с ω = β2πί/ς получим
n=1 q-l
s(t) = -t1^ ln(l - tq) + J] ω"ηρ ln(l - ωη0 =
= -^^1η^^-α^-1)1η(1-0+Χ]ω-ηρ1η(1-ωη0.
Перейдя к пределу при t —* 1 — 0, получим
q-l
^(ρ/ς) = ^~1ης + 2]ω"ηρ1η(1-ωη).
Заменив ρ на q — ρ и сложив два выражения, получим
4|)+4£ϊ£)=-^-21η^2Σ4Ητ£)1η(1-ωη)·
Выражение в левой части является действительным, значит, оно равно
действительной части выражения в правой части. Таким образом
4f) + ^(ii£) = -2r-2lnq + £cosHTE42-2coST1)· (L217)
η=1
Но d
Ψ Μ -V>(1 -χ) = ^- 1η Γ(χ)Γ(1 -χ) = -π ctg π*.
ТогДа , , πρ
V'Cp/q) — VC1 — (p/q)) = -π ctg -f. (1.2.18)
Сложив это тождество с тождеством (1.2.17), получим
4?)=-r-f«gf-ln<i+i£cos?fE42-2cosT1)· α219)
η=1
тт 2π(ς-η) 2πη *
Ho cos —- = cos , так что сумма может быть разделена пополам, с
суммированием от 1 до [q/2\. Таким образом,
π=1
L4/2J,
= -Г-|«gf-1ης + 2Σ cos^ln(2sin^l). D
n=l
ι См. добавление A.

32
Глава 1 Гамма- и бета-функции
§ 1.3- ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ГУРВИЦА И РИМАНА
Очень интересен «полуряд»
00
?(*>*)=Σ cdby *** х>0' α3·1)
называемый дзета-функцией Гурвица. Мы видели его связь с гамма-функцией
для положительных целых значений s в предыдущем параграфе. Здесь мы
рассмотрим этот ряд как функцию переменной s и представим очень краткое
изложение того, как в этом случае возникает гамма-функция.
При х = 1 ряд называется дзета-функцией Римана и обозначается £(s). Она
играет очень важную роль в теории распределения простых чисел. Ряд сходится
при Re s > 1 и определяет в этой области аналитическую функцию. Как мы
увидим, эта функция имеет продолжение на всю комплексную плоскость с
простым полюсом в точке 5 = 1. Несложно получить аналитическое продолжение
ζ(5) вплоть до Re5>0. Запишем ряд для ζ (5) в виде интеграла Стилтьеса1,
использующего [х\. Тогда для Res> 1
jL-ATI* J Xs Xs ι J JCS+1 5 — 1 J JCS+1
n=l 1+0 1 1
Последний интеграл сходится абсолютно для Re 5 > 0, и мы имеем требуемое
продолжение. Полюс при 5 = 1 имеет вычет, равный 1, и, более того,
= "а(1+51^*г)=йь(Ей-1пп)=г· α3·2)
1 m=l
Лучший способ построить аналитическое продолжение на оставшуюся часть
плоскости получается из функционального уравнения для дзета-функции. Мы
сформулируем это утверждение здесь, поскольку оно касается гамма-функции.
Есть несколько доказательств этого результата, и мы изложим изящное
доказательство Харди [180], наряду с некоторыми другими в упражнениях. В гл. 10
мы дадим еще одно доказательство.
Теорема 1.3.1. Для всех комплексных s
π"5/2Γ(5/2)ζ(5) = π-(α-5)/2)Γ((1-5)/2)ζ(1-5). (1.3.3)
Если 5 < 0, тогда 1 — 5 > 1 и правая часть равенства дает значение ζ (5). Это
соотношение было обнаружено Эйлером для целых значений 5 и для 5 = 1/2
и 5 = 3/2. Он доказал соотношения для целых 5, используя абелевы средние.
Интересное обсуждение истории вопроса можно найти в книге Харди [183,
с. 23 — 26]. Значение ζ (5) как функции комплексного переменного в изучении
распределения простых чисел было впервые осознано Риманом [310].
ι См. [447, § VI.6]. Появление 1 + 0 в следующей формуле связано с тем, что в точке х = 1
сосредоточена ненулевая мера.

§13. Дзета-функции Гурвица и Римана
33
Последний параграф содержит следующий результат:
Теперь несложно доказать нижесформулированные следствия.
Следствие 1.3.2. Справедливы равенства
£(1-2*) = =^, ССО) = —| и C(-2fc) = 0 для к = 1,2,3,... (1.3.4)
Следствие 1.3.3. Справедливо равенство
ζ'(0)=-|ΐη2π. (1.3.5)
Доказательство. Из функционального уравнения и равенства
следует равенство
4(1-*) = *-^Г(£-Ю/2)(5-1Ж5)· α3·6)
Далее, из соотношения (1.3.2) следует тот факт, что (s~l)^(s) = H-y(s~l) +
+A(s — 1)2 +... Тогда, взяв логарифмическую производную соотношения (1.3.6),
получим
C'(l-s) , Ι,ι,ΠΛ 1/,ГЗ-5Л г + 2А(5-1) + ...
Положим s = 1 и воспользуемся результатом Гаусса из теоремы 1.2.7 для ρ = 1
и q = 2. Это завершает доказательство следствия. D
Существует обобщение последнего следствия на дзета-функцию Гурвица
£(x,s). Имеется функциональное уравнение для этой функции, из которого
можно было бы определить ее для всех комплексных s, но нам нужно
продолжение только до некоторой точки влево от оси Res = 0. Это можно сделать
используя функцию £(s). Начнем с тождества
00
ζ(χ,5)~(ζ(5)-5Χζ(5 + 1)) = χ-5 + 2]π-5[(1+χΜΓ5-(1-5χ/π)].
п=1
Сумма в правой части равенства сходится при Re s > —1, и, поскольку функция
£(s) определена для всех s, мы имеем продолжение ζ(χ, s) до Re s > —1. Лерчем
была сформулирована следующая теорема.
Теорема 1.3.4. Справедливо равенство
(*ЙЬ£>) =]пЩ. (1.3.7)
Доказательство. Дифференцируя тождество £(x+l,s) = £(:x:,s) — x~s no
переменной s при s = О, получаем
(tfCx+Lf)) -(&&&) =Ых. (1.3.8)
V dS Λ=0 V ds Js=0
Для Res> 1 имеем
a2C(x,s)
= s(s + l)J]·
n=0

34
Глава I Гамма- и бета-функции
таким образом,
άχΛ ds Λ=ο Ζ-*{χ + η)2' U У)
n=0
Поэтому из равенств (1.3.8) и (1.3.9) и тождества (1.2.14) из теоремы 1.2.5 следует,
что
(S^L-c+brw.
Чтобы определить постоянную С = — ·= In 2 π, положим х = 1и используем
следствие 1.3.3. Это завершает доказательство теоремы Лерча. D
Ссылку на работу Лерча и также на несколько отличное от этого
доказательство теоремы 1.3.4 можно найти в работе [418, с. 60].
§ 1.4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
Де Муавр [99] обнаружил, что п\ ведет себя при больших η как Спп+1/2е~п,
где С — некоторая константа. Стирлинг [364] определил, что константа С равна
ι/2π; де Муавр использовал этот результат Стерлинга для доказательства своего
утверждения (см. [386, с. 9 — 19]). Эта формула очень полезна, и весьма
вероятно, что читатель встречался с её приложениями. В этом параграфе мы
представим асимптотическую формулу для Г(х) при больших значениях Rex, когда
η
значение Imχ фиксировано. Отметим сначала, что In Г (χ + η +1) = J] ln(ic+χ) +
+ 1ηΓ(χ + 1). Затем мы воспользуемся тем фактом, что интеграл часто дает
старшую часть суммы ряда, т. е., если вычесть интеграл из ряда, получившаяся
величина имеет более низкий порядок, чем первоначальный ряд. (Мы уже
использовали эту идею в уравнении (1.3.2) в предыдущем параграфе.) В
добавлении Г доказывается формула суммирования Эйлера—Маклорена, которая
демонстрирует точную форму этой идеи для случая, когда интегрируемая функция
гладкая. Более полное изложение формулы суммирования Эйлера—Маклорена
дано Харди [183, с. 318 — 348] и Олвером [284, с. 279 — 289].
Теорема 1.4.1. Справедливо соотношение
Г(х) ~ у/2пхх~1/2е~х при Re χ -* ».
Доказательство. Обозначим правую часть уравнения
In Г(х + л) = J] ln(fc + χ) + In Г(х +1)
символом сп, тогда
Cn+i-cn = ln(x + n).
По аналогии между производной и конечной разностью учтем, что функция сп
приблизительно равна интегралу от 1п(х + п), и положим
сп = (η + χ)1η(η + χ) — (η+ *) + £!„.
Подставив это соотношение в предыдущее уравнение, получим
ln(x + n) = (n + l + jc)ln(n + l + jc)-(n + jc)ln(n + jc) + dll+1-dll-l.

§14. Асимптотическая формула Стирлинга
35
Таким образом,
dn+1-dn = l-(n + x+l)ln(l + ^) =
= 1 - (η + χ + 1)Г—τ п, 1 ч9 + 0, Х чо + ...1 = -п, \ , + „, Х ч9 + ...
'Ln + χ 2(n + x)2 3(n + x)3 J 2(п + х) 6(п+х)2
Действуя, как раньше, рассмотрим
ап = еп-^Ып^х)
и, подставив эти значения в предыдущее уравнение, получим
вп+1 ~вп=2 Ч1 + ΪΓΠJ " 2(п + х) + 6(п + х)2 + - = ~12(n + x)2 + °V(n+x)3J-
Далее,
п-1 п-1
е„ - е0=Σ(β,+1 - efc)=Σί-щ^+°(»τ^)]; α41)
/е=0 /е=0
следовательно lim(en~e0)=lC1(jc) существует. Положим
е" = *<*> + 15^30 +0(опЫ·
где ^(χ)=^!(Λ:) + β0. Член (n + χ)-1 получается из дополнения суммы в
формуле (1.4.1) до бесконечности и приближения добавочной суммы интегралом.
Таким образом, можно записать
cn = (n + x)ln(n + x)-(n + x)-|ln(n + x) + lnC(x) + 12(n1+x)+o( * ),
где JC(x) =1пС(х). Отсюда следует, что
Г(х + л) = С(х)(п + х)п+х4 ехр[-(п + х) + 12(πΧ+χ) + о(^^)]. (1.4.2)
Предположим, что С(х) не зависит от х. По определению гамма-функции
к™, г(п + х)^у-х _ Г(х) ь. (х)п „у-х _ Г(х) Г(у) _
п->ооГ(Г1 + у) Г(у) п-,00 (у)„ Г(у) Г(х)
Далее, из соотношений (1.4.2) и (1.4.3) можно заключить, что
! = Μ η-Γ^ = g£ limil + 2) V = gg.
П-»оо Г(П) С(0) n-»ooV Π У С(0)
Таким образом, С(х) является константой, и
Г(х) ~ Схх~1/2е~х при Rex -♦ оо.
Для того чтобы найти С, используем формулу Валлиса:
г- v 22п(п!)2 1 ,. 22nC2n2B+1e-2n4°(i) 1 С
уТГ = ИШ ,η Λ, — = 1Ш1 ■ 777~7= = ~~7=--
n-»oo (2nj! у^г η-»·» С(2п)2п+2е"2п+0^^ ν" ν2
Отсюда получаем С = \/2π, что завершает доказательство теоремы. Отметим,
что доказательство дает первый член оценки ошибки. D
Сейчас мы сформулируем более общий результат и выведем несколько
интересных следствий. Доказательство дано в приложении Г. Для формулировки

36
Глава 1 Гамма- и бета-функции
утверждения нам необходимо следующее определение: многочлены Бернулли
Вп(х) задаются равенством
п=0
Числа Бернулли имеют вид Вп = ВП(0) для η > 1.
Теорема 1.4.2. Для комплексного числа х, неравного нулю или
отрицательному действительному числу выполняется равенство
j=l О
(1.4.5)
Ветвь функции \пх выбирается такой, что In x принимает действительные
значения, когда χ действительное положительное число.
Разложение функции 1ηΓ(χ) в формуле (1.4.5) является асимптотическим
рядом1, поскольку интеграл, как легко видеть, ведет себя как 0(х~2т+1) для
|argx|<7r-6, δ>0.
Из этой теоремы немедленно получаются такие следствия.
Следствие 1.4.3. Для δ>0 и |argx|<7r —δ верно соотношение
Г Μ ~ V2nxx~l/2e~x при \х\ -* ».
Следствие 1.4.4. Если x = a + ib, al<a<ta2 и \Ъ\ -* оо, то
|Г(а + £Ь)| = У^я|Ь|а-1/2е-я|ь|/2[1 + 0(1/|Ь|)],
где константа, связанная с О, зависит только от аг и а2.
Доказательство. Выберем |Ь|>1, а>0. Легко проверить, что В2—В20) =
= t-t2. Таким образом, ||B2-B2(t)|<||t(l-t)|<| при 0<t<l. Поэтому
равенство (1.4.5) при т = 1 имеет вид
1ηΓ(α + ί5) = (α + ί5-|)ΐη(α + ί5)-(α + ι5) + |ΐη2π + Κ(Λ:),
где
Теперь заметим, что равенство
Re[(a + ib-|)ln(a + ib)] = (a-|)ln(a2 + b2)1/2~barctg^,
а также
ln(a2 + b2)1/2 = |lnb2 + iln(l + ^) = ln|b| + 0(^).
Более того,
Ь a if· еслиЬ>0;
arctg- + arctg5 = |^ ^^
ι См. добавление В.

§15. Формула умножения Гаусса для Г(тдс)
37
Так как arctgx~x при х-*0, мы приходим к равенству
-barctg|=-b[±f-f + 0(l)] = -f|b| + a + 0(l), Ь-=Ъ».
Собирая все вместе, имеем
1п|Г(а + £Ь)| = (а-|)1п|Ь|-||Ь| + |1п2я + 0(|^).
Условие а>0 устраняется процедурой из конечного числа шагов с
использованием функционального уравнения (1.1.6) и нижеприведенного следствия.
Заметим, что доказательство использует только условие а = о{Ъ), а не
ограниченность a. D
Следствие 1.4.5. Для |argx|<7r — δ, δ>0,
Следствие 1.4.4 показывает, что функция Πα + ib) экспоненциально убывает
при возрастании |Ь|. Этого можно было ожидать, основываясь на формуле
отражения
или
или
Аналогично
При Ъ -* ±оо,
гевдгс—ад = π 2π
-ib sin π5ί Ъ(епЪ — e~nb)'
\T(ib)\ ~ 1/2я|ЬГ1/2е"я|ь|/2 при b -► ±oo.
Итак, Г (х) быстро возрастает на положительной полуоси и быстро убывает
в мнимом направлении. Поведение Г(х) на некоторых «промежуточных»
кривых в С обсуждается в упражнении 18.
§ 1.5. формула умножения гаусса для Г(гпх)
Факторизация
<*.=*чат
вместе с определением гамма-функции приводит непосредственно к формуле
удвоения Лежандра, которая содержится в следующей теореме.
Теорема 1.5.1. Справедливо равенство
Г(2а)г(±) = 22а-хГ(а)г(а + ±). (1.5.1)
Наше доказательство заставляет предположить, что можно рассмотреть
более общий случай: факторизацию (a)mn при натуральных гл. Это рассмотрение
приводит к формуле Гаусса.

38
Глава I Гамма- и бета-функции
Теорема 1.5.2. Справедливо равенство
Г(гпа)(2я)(т-1)/2 = тта"1/2Г(а)г(а + ^)...г(а + 2^). (1.5.2)
Доказательство. То же самое рассуждение с факторизацией (а)тп
почти приводит к доказательству равенства (1.5.2). Точнее, оно дает
соотношение (1.5.2), но с заменой
(2я)¥т4 на г(£)...г(2£±)=:Р. (1.5.3)
Чтобы показать, что соотношение (1.5.2) верно, мы покажем, что
р2 = (2кг-1
т
По формуле отражения
т
Таким образом, достаточно доказать, что
om_i . π . 2π . (m —1)π
2m L sin — sin —... sin — = m.
τη τη τη
Начнем с разложения
m-l
Τ=τ = П(*~ехР(2Ьг*/т))·
Перейдя к пределу при χ -* 1, получим
т-1
т = [~[(1 -ехр(2ВДт)) = г"1"1 sin ^ sin ^... sin (ΓΠ~1)π.
fc=l
Это завершает доказательство равенства (1.5.2). D
Замечай и ε 1.5.1. Возможно другое доказательство равенства (1.5.1) или (1.5.2),
которое использует асимптотическую формулу для Г(дс) и элементарное свойство Г(дс+1) =
=хГ(х). В самом деле легко проверяется, что функция
-Γ„λ = 22*-ιΠ*)Γ(χ+1/2)
*К } Г(1/2)Г(2х)
удовлетворяет соотношению g{x +1) =g(x). Из формулы Стирлинга следует, что g(x) ~ 1
при χ —> оо, так что lim g(x + η) = 1, когда η целое. Поскольку g(x + η) = g(x), мы можем
П-*оо
заключить, что g(jc) = l. Аналогичное доказательство может быть представлено для
формулы Гаусса. Мы оставляем его читателю.
Элегантное доказательство формулы умножения, использующее
интегральное определение гамма-функции, принадлежит Лиувиллю [250]. Мы
воспроизводим его здесь.
Произведение гамма-функций в правой части равенства (1.5.2) представимо
в виде
I е-***"-1 ахг ] e-x*xa2Hl/m)-1 dx2... I е-*тха+т-1)/т)-1 dXm =
0 0 0
= 11 - I e-^^^-^^?-1^^1^-1...^^-1)/'"-1 άχλ dx2...dxm.
0 0 О

§15. Формула умножения Гаусса для Г(тдс)
39
Произведем замену переменных
1 *2-
Легко ввдеть, что якобиан равен
- *т _ -
х2~-хт
mzm-
х2хЗ'"Хт
и интеграл может быть переписан в виде
00 00
х (^в>(1Жиу+(М)Ж
Vx2...xm; 2 m *2*3~*m m
Для краткости обозначим t = х2 + *з + — + *т + *т/ (*2*з — *т)> и перепишем
интеграл в виде:
ГП ξ ξ ... ξ е-'*™-1^17"0-1^27mbl ...x((m-l)/m)-l ά% άχ^Λχ^ (L5.4)
0 0 О
Сначала вычислим:
оо оо т—1
1 = S~ $*"' Π^Γ3"1 dx2 dx3...dxm.
о о ;·=ι
Очевидно,
оо оо m—1
az J J 1 1 J+1 χ2—χτη
оо ]=ϊ
Теперь проведем замену переменных
Х2 =Zm/(XiX3... Хт),*з = *3> — >*m = *m
и
tl=x3 + x4 + ... + xm + x1 + zm/(x1x3...xmxi).
Якобиан имеет вид
*l*3—*m-l
а -т- задается выражением
оо оо т—1
О 0 ;=2
Следовательно,
/ = Ce~mz.

40
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Чтобы найти С, положим ζ = 0 в интеграле для J, а также в последнем уравнении,
и, приравняв, получим
Из формулы (1.5.3) следует, что
С = (2я)(т-1)/2ггГ1/2
и
/ = (2я)(т-1)/2т-1/2е-т2.
Подстановка этого выражения в интеграл (1.5.4) дает
00
Г(а)Г(а + 1/т)...Г(а + (гп-1)/т) = гп1/2(2я)(т-1)/2 $ β"™*™"1 ds =
о
= т1/2-та(2я)£г1Г(та),
а это и есть формула Гаусса.
Замечание 1.5.2. Ранее мы отмечали, что 1/Г(х) — это «половинка» от функции
sin(nx). В этом смысле формула удвоения является аналогом формулы двойного угла
sin 2πχ = 2 sin πχ sin π(χ + - J.
Обычно это выражение переписывается как sin 2πχ = 2 sin πχ cos πχ, и эту формулу
можно рассматривать как частный случай формулы суммирования для sin(jc + y). Для
гамма-функции формулы суммирования не существует.
§ 1.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ In Г(х) И ψ(χ)
В формуле из представления функции 1/Г(х) в виде произведения (1.2.13) мы
получили
00 00
Мы начнем этот параграф с повторного вывода этой формулы из бета-интеграла.
Заметим, что для х> 0 выполняется равенство
О Ле=0
что получается из разложения 1п(1 —х) в ряд и почленного интегрирования,
которое возможно из-за равномерной сходимости на отрезке [0,1-е]. Теперь
перейдем к пределу ε —> 0. По теореме Абеля о непрерывности для степенных
рядов выполняются равенства
-сх-1) S t*-2ina-t)dt=£ Cfc+V+fc)· α·6·0*

§16. Интегральные представления In Г (χ) и гр(х)
41
Мы можем ввести функцию 1п(1 — t) в бета-интеграл § tx~2{l — t)y dt, дифферен-
о
цируя по у. В этом случае
ог-и^а-о'л-АП^. ав.«
ИЛИ
Сг-1) S Р"2(1 - ty in(i -t)dt= гыгь+угм-гыгь+пгос+у»^
Подстановка у = 0 дает необходимый результат. Дифференцирование возможно,
поскольку оба интеграла (1.6.0), (1.6.00 непрерывны. С осторожностью надо
отнестись к тому факту, что рассматриваемые интегралы несобственные.
Детали достаточно просты и остаются на рассмотрение читателю. Следующая
теорема дает интегральное представление функции гр(х), полученное Дирихле
и Гауссом.
Теорема 1.6.1. Для Rex>0 выполняются равенства
00
ω (Дирихле) vw=S Ке_г_ ahr)dz>
00 _ _
(ii) (Гаусс) V>(x) = $ (Si - £L.) dz.
0
00 S
Доказательство, (i) Вычислим интеграл § § e~tz dtdz двумя различными
ο ι
способами изменяя порядок интегрирования, что приведет к формуле
00 _ _
\ е '~е "dz = lns. (1.6.1)
о 2
Аналогично двойной интеграл
$$*χ_1-—г—dsdz>
о о
будучи проинтегрирован сначала по ζ, даст (по формуле (1.6.1))
5 e-V"1 Insds = ^ $ e'V"1 ds = Г'(х).
о о
Если мы проинтегрируем двойной интеграл по s, то получим
r^lj{e-z-ahr)dz-
Приравнивая два последних выражения, получим формулу Дирихле.

42
Глава 1 Гамма- и бета-функции
(ii) Формула Гаусса получается из формулы Дирихле заменой переменных:
\1>Ю = lim (I г— dz-ϊ *l Л = lim [\ — dz- Ι τ^dt] =
{1η(1+δ) „ °° _#. #^ λ °° „ ν»
5 2 InflV' 1_e ;J 0 Z 1"e ^
1η(1+δ)
поскольку
,1η(1+δ) _ζ , δ
^ — d* < ^ - ds = In . ,* ~. -» 0 при δ-»0.
^ ζ , , J в.ч г 1η(1 + δ) r
δ ' ΐη(ΐ+δ)
Это доказывает равенство (ii). D
Интегральная форма последней теоремы дана в следующем утверждении.
Теорема 1.6.2. Для Rex>0 выполняются равенства:
(ϋ) 1ηΓ(χ) = ξ((χ-1)β-ϋ-^5^)^.
О
Доказательство. Интегралы в теореме 1.6.1 сходятся равномерно при
Rex>5>0, так что мы можем проинтегрировать от 1 до л: под знаком
интеграла. Интегралы в теореме 1.6.2 являются соответствующими интегральными
формами.
Замена переменных и = е~1 в формуле (ii) дает
Есть два других интересных интегральных представления для функции 1η Γ (χ),
полученные Бине. Доказательство одного из них кратко рассматривается ниже,
а другое оставлено в качестве упражнения. См. упражнение 43. D
Теорема 1.6.3. При Rex>0 выполняются равенства:
00
(i)tar(x) = (x-!)ln*-X+ita2n+$(i-i + ^)^dt,
О
~ arctg(t/x)
о
Доказательство. Формула Гаусса из теоремы 1.6.1 вместе с
уравнением (1.6.1) дают
^(x + l) = ^lnrU + l) = -L + lnx-5(i-i + ;rlT)e-"dt.
Интегрируя от 1 до χ и изменяя порядок интегрирования, получаем
m^rW = (x-l)\nX-X+lln2n + 2la^fdt.

§17. Формула Куммера для разложения Фурье 1пГ(дс)
43
Используя соотношение 1пГ(л:+1) = 1пГ(:х:) + 1пл: переписываем предыдущую
формулу так:
lnrCr) = (x-i)lnx-x + l+S(i-i + ?lI)^dt-J,
где
М(И+гУт*· о*»
Используя формулу Стирлинга, получаем / = 1 — (1/2) 1η 2π.
Вторая формула Бине может быть использована для вывода
асимптотического разложения для In Г (л:), содержащегося в следствии 1.4.5.
Разлагая функцию l/(e2nt — 1) в геометрическую прогрессию и интегрируя
ее почленно, увидим, что
\**Zldt- (2π)^ -(_1) 4*· α6·4)
Последнее тождество следует из теоремы 1.2.4. Далее, разложение
_J_ = 1_22 + z4_... + (_1)n-l22„-2 + (_1)n_|l_
дает после интегрирования
ww , t It* It* , (-Ι)"'1 t2n~l , (-1)" с z2ndz
arctg(t/x) = o~4+F"T + —+ "n 7"~^TT + 9n ι \ "5 ?·
Подставив это равенство в формулу Бине (2) и используя (1.6.4), мы приходим
к соотношению
Л д
ΐηΓω=(*4)ΐη*-*41η2π+Σ
+ χ2η~1 oU x2 + z2dZ)e2m-l'
Для |argx| < ? —е, ε > 0 можно увидеть, что -^—н ^ cosec ζε для всех ζ > 0. Из
этого следует, что последний член, содержащий интеграл, есть θ(. |2п+1). Мы
снова получаем асимптотический ряд, но только при |argx| <|-e, ане при
|argx| < π —ε. Уиттекер и Ватсон [423, § 13.6] показали, как расширить область
применимости. Возможно также вывести асимптотическую формулу для 1η Γ(χ)
из первой формулы Бине (см. [406, § 3.12]). Ссылки на работы Гаусса, Дирихле,
Бине и других приведены в работе [423, с. 235 — 259]. D
§ 1.7- ФОРМУЛА КУММЕРА ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУРЬЕ In Г(х)
Куммер [243] сформулировал следующую теорему.

44
Глава I Гамма- и бета-функции
-]n(.2smnx) = Ytc^f^- (1.7.1)
Теорема 1.7.1. При О < χ < 1 выполняется равенство
00
In ^Ш = -iln(2sin7rx) + кГ + 1η2π)(1-2χ) + - V Ц± sm2nkx,
V П k=l
где γ —константа Эйлера.
Доказательство. Начнем с тождества
~1η(1~β2πιχ) = β2πιχ + ^ + ^3- + ..., 0<х<1.
Действительная и мнимая части равны соответственно
1 cos 2knx
k=l
и
^α-2χ) = Σ^ψ^. (1.7.2)
k=l
Поскольку In Г (х)—дифференцируемая функция при 0<х<1, она имеет
разложение Фурье вида
00 00
In ГО) = С0 + 2 J] Ck cos 2кпх + 2 J] D*. sin 2&πχ, (1.7.20
где
ι ι
Ск = ξ In Г(х) cos 2ϋπχ dx и Dfc = § In Γ(χ) sin 2ϋπχ dx. (1.7.3)
о о
Для вычисления Ск и Dfc мы используем метод Куммера. Константы Ск легко
вычислить. Логарифмируя формулу отражения Эйлера (1.2.1), получаем:
In Г(х) + In Г(1 - х) = In 2π - ln(2 sin πχ) = In 2π + cos 2πχ +1 cos 4πχ + ...
Ряд Фурье функции In Г (χ) приводит к равенству
In Г(х) + In Г(1 - х) = 2С0 + 4СХ cos 2πχ + 4С2 cos 4πχ + ...
Сравнивая два последних равенства, получаем
С0 = |1п2я и Q = -£ для к<1.
Подставляя интеграл (1.6.2) для 1η Γ (х) в соотношение (1.7.3), получим в
результате
" *_1 Λ sin Iknxdu dx
*-SS(43F-*+i)!
Λ Λ - . - lnu
о о
Но
1 1
§ sin 2кпх dx = 0, § χ sin 2&πχ dx = — ττ—
о о
и((1пи)2 + 4к2я2)'

§17. Формула Куммера для разложения Фурье 1пГ(х)
45
Первые два интеграла легко вычислить, а третий является мнимой частью от
выражения г
I С е*(1пи+2кя0 fa = I . и~1
и J и \nu + 2kni'
Следовательно, г
* J V u((ln u)2 + 4k2n2) 2^JlnuJ
или, подставляя и = e"2;c7rt,
D.= J^Cf_l e-2knt)dt
Uk 2fcwHi + t2 Jt'
Рассмотрев ic = 1 получим
1 2πΗΐ + ί2 -/t'
Подставляя х = 1в формулу Дирихле (теорема 1.6.1), получаем
2π In He l + tJ t >
о
где у — константа Эйлера. Следовательно,
Из формулы (1.6.1) следует, что первый интеграл равен 1η2π, а с помощью
замены переменной t на Ι/t можно показать, что второй интеграл равен 0.
Тогда имеем ν Ί
Чтобы найти Dfc, заметим, что
1 ? β"2Λ-β-ΛΛ ^_ 1
о
где интеграл снова вычислен с помощью соотношения (1.6.1). Итак,
Dk = Ш{г + ln2kn^ k = 1>2> 3> -
Разложение Фурье таким образом имеет вид
00 00 00
ι w ч 1 ι о , V1 cos2;rfoc , 1, , ι 0 ч V^ sinlknx , 1 V"1 lnfc . OJ
lnr(x)=2ln2^ + L—2Γ~+π^ + 1η2π)Σ"^^ + πΣΊΓδΐη2,:πΧ·
fc=l k=l k=l
Применяя равенства (1.7.1) и (1.7.2), получим требуемый результат. D
Разложение Куммера для 1η(Γ(χ)/ι/2π) и теорема 1.3.4 имеют приложения
в теории чисел. Обычно они дают различные способы вывода одного результата.
Теорема 1.3.4 заставляет предположить, что дзета-функция Гурвица может быть
явно разложена в ряд Фурье. Такой результат существует,
№.0 - ag£?{-i« Σ ^ +«*»Σ *£*}· 0JA>
m=l m=l
Ί r p-2nt __ -2knt Ί

46
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Отсюда, в свою очередь, дифференцированием можно получить формулу Кумме-
ра, а функциональное уравнение на дзета функцию Римана является частным
случаем уравнения (1.7.4) при х = 1. Доказательство формулы (1.7.4) и другой
вывод формулы Куммера см. в упражнениях 24 и 25.
§ 1.8. ИНТЕГРАЛЫ ДИРИХЛЕ И ОБЪЕМЫ ЭЛЛИПСОИДОВ
Дирихле нашел многомерное обобщение бета-интеграла, которое полезно при
вычислении объемов. Мы будем следовать изложению работы Дирихле,
данному Лиувиллем [249], который был вдохновлен вычислением Якоби и Пуассоном
бета-функции как двойного интеграла.
Теорема 1.8.1. Если V — область, определенная условиями *|> О, i = 1, 2,..., η,
и Σ xi ^ l· тогда при Re а{ > О выполняется равенство
Π гад
}.~}хг х2 ...хп οχΎ...αχη Γ(1 + Σαί)·
Доказательство. Доказательство проводится по индукции. Очевидно,
формула верна для η = 1. Предположим, что она верна для п = к. Тогда для (к
+1)-мерного объема V имеем
S...Sxr1^1-*S?"1^i-^*+i =
ν
1 1—Χι Ι—χλ—χ2—...—χ*
0 0 0
= -Γ- \ - Xl S Xkl^1~1-4k~1 X d-^l-...-^)at+1 dXbdXb.^.dX!.
ш о о
Теперь положим
Xfc = d-Xl-...-Xfc-l)t
и получим
1 1-Х! \-Xi-...-xk_2 l
£S S ·- S К"-К-1*
*+1 о о о о
х (l-x1-...-xfc_1)a»+a»+1ta»_1(l-t)a»+1 d£djrfe_1...dx1 =
- + «*« + « J J '" J
χ χ?1"1... χ*?"1 (1 - χχ -... - У^· ахк.г ...dXl.
Сравним это выражение с интегралом, κ которому была применена замена
переменных, и по индукции получим
гк-1
Г(ак)Г{ам
+1} Cak + ак+1)Ш Π<*ί) jr(at + ak+1)
α*+ιΓ(α* + α*+1 + 1) / *+}
(ι+Ιβ<)

§18. Интегралы Дирихле и объемы эллипсоидов
47
Это сводится к выражению в утверждении теоремы. D
Следствие 1.8.2. Если V — область, заданнаяусловиямих^Ои^^/а^1 <
<1, то
J ν J ' п Φ + Σ(«ι/Λ))
Доказательство. Проведем замену переменных У{ = {xj a{)?i, ί = 1, ..., п.
Тогда
дУг Pi Уг'
а якобиан равен
1 # Xj^-"^
ΡΐΡ2···Ρπ 'УьУг-Уп'
Интеграл приобретает вид
αΐπα2 Π«π
α/α
1 "2
г1 S - W01^"1···^-1^^...^,
PlP2-Pn
где область У определена условиями у{ > О и J] yf < 1. Теперь следствие выведено
из теоремы. D
Πα,τα + 1/Ρι)
Следствие 1.8.3. Объем области Σ(*ί/αί)ρ' < l· ** >0 равен ^—= г-.
r(l + £l/PiJ
В частности, объем n-мерного эллипсоида Σ(*ί/αί)2 ^ 1 Раве«
Г(1 + п/2) '
Доказательство. Для доказательства первой части следствия возьмем
af = l. Для доказательства частного случая возьмем pt = 2 и используем
равенство г( « ) = ό ^· ^
Следствие 1.8.4. Если область V интегрирования задается условиями xt >
>0, u^l-1)1 <λ в интеграле Дирихле, то его значение равно:
Ay.(a./D.on«7Pt)r(at/pt0
r(i+I(«f/Pf)) "
Лиувиль предложил также следующее обобщение результата Дирихле,
которое может быть доказано тем же способом.
Теорема 1.8.5. Если область V задается условиями х( > 0, ίλ < Σ(*ί/αί)Ρί ^ h
и f — непрерывная функция от (ti,t2)> mo:
J ... $ ^..J^^f «^
V
= Щ^!Щ*1 Uica,/P,)-V(u)du.
гСЕ(«|/й)) ζ
Похожий интеграл дается следующей теоремой.

48
Глава I Гамма- и бета-функции
Теорема 1.8.6. Если область V задана условиями xt > О, J] х( = 1, то
5->;г,^'^'а-жй
i=l
(Σ«.·)'
Это поверхностный, а не объемный интеграл, но он может быть
вычислен непосредственно по индукции или из следствия 1.8.2. Он также является
частным случаем теоремы 1.8.5, если в качестве функции /(и) выбрана дельта-
функция, сосредоточенная в точке и = 1. Эта функция не является непрерывной,
но она может быть аппроксимирована непрерывными функциями1.
§ 1.9- ТЕОРЕМА БОРА—МОЛЛЕРАПА
Одна из задач, сформулированных Эйлером, заключалась в том, чтобы найти
непрерывную функцию от х>0, равную п! в целых точках х = п. Очевидно,
гамма-функция является не единственным решением этой задачи. Условие
выпуклости вниз (определенное ниже) не является достаточным, но тот факт,
что гамма-функция возникает столь часто, указывает на то, что она должна
быть в некотором смысле единственной. Правильные условия для
единственности были обнаружены Бором и Моллерапом [64]. Строго говоря, понятие
логарифмической выпуклости было извлечено из их работы Артином [19]
(оригинальное немецкое издание вышло в 1931 г.), изложения которого мы
и будем придерживаться.
Определение 1.9.1. Действительнозначная функция / на интервале (а,Ъ)
называется выпуклой вниз, если
/(Ях + (1-Я)у) < Я/(х) + (1-Я)/(у)
для х, у € (а, Ь) и а < Я < 1.
Определение 1.9.2. Положительная функция / на интервале (а, Ь)
называется логарифмически выпуклой, если функция In/ выпукла на интервале (а,Ъ).
Легко проверить2, что если / — функция, выпуклая на интервале (а,Ъ),
и a<x<y<z<b, то
/(г)-я*) < /ω-/ω ^ я«)-/(г) (191)
у—χ ^ ζ—χ ^ z—y
Воспользовавшись приведенными определениями, мы можем сформулировать
теорему Бора—Моллерапа.
Теорема 1.9.3. Если /— положительная функция при х>0 и, к тому же,
1) /(1) = 1 2) f(x + l)=xf(x) и 3) f —логарифмически выпуклая функция, то
/(х) = Г(х) при х>0.
Доказательство. Пусть η — натуральное, а 0 <χ < 1. Согласно условиям 1)
и 2) достаточно доказать теорему для таких х. Рассмотрим последовательные
интервалы [п, п + 1], [п +1, п +1 + х] и [η + 1, π+ 2]. Воспользуемся
неравенством (1.9.1) для того, чтобы увидеть, что отношение конечных разностей3
ι См. [447, § IV.4] и [444].
2 Нарисуйте картинку.
3 В оригинале difference quotient.

§19. Теорема Бора—Моллерапа
49
функции 1η/(χ) на этих интервалах возрастает. Иными словами,
, /(п + 1) . 1 , /(n + 1 + x) ., fin + 2)
fM X /(n + 1) /(n + 1)
Упростив это согласно условиям 1) и 2), получим
xlnn<ln[ j J <xln(n + l).
Преобразуем неравенства следующим образом:
0<ln*(x + g,-Cx + a)+ln/(x)<xln(l + l).
Следовательно,
и теорема доказана. D
Наконец1, напомним, что Г(х) сама является логарифмически выпуклой
(следствие 1.2.6).
Эта теорема может служить основой для изложения теории гамма- и
бета-функций. Так как обозначение Г(х) уже занято, обозначим через Г* 00
функцию, удовлетворяющую условиям теоремы. Представим себе, что мы еще
не знаем, существует она или нет. Покажем, как вывести формулы
00
Г* (χ) = \ е-*?-1 at, χ > 0, (1.9.10
о
\tx-4l-ty-4t=™Tl(£, х>0иу>0. (1.9.2)
Нам потребуется неравенство Гёльдера, доказательство которого кратко
рассматривается в упражнении 6. Если / и g —такие измеримые неотрицательные
функции на интервале (а, Ь), что интегралы в правой части выражения (1.9.3)
конечны, а р и q — такие положительные действительные числа, что 1/р + Ι/q = 1,
ТО Ъ ,Ъ \1/Р/Ь xl/q
S/gdx<(^/'dxj [Sgqdxj . (1.9.3)
Очевидно, что нам необходимо проверить только условие 3) для функции 1η Γ
(здесь Г —обычная гамма-функция, т.е. правая часть равенства (1.9.10). Это
условие может быть представлено в виде
Пах + βγ) < Γ(χ)αΠγ)β, а>0,]3>Оиа + ]3 = 1. (1.9.4)
Заметим теперь, что
00
Пах + βγ) = $ (e-ttJC-1)a(e~t^-1)^ dt,
о
и, воспользовавшись неравенством Гёльдера с a = 1/р и β = 1/q, получим
неравенство (1.9.4). Итак, правая часть (1.9.10 логарифмически выпукла, а поэтому
равна Г*(х). В частности, Г* 00 существует.
ι С этого места и до теоремы 1.9.4 текст при переводе сильно отредактирован. Смысл оригинала
не изменен.

50
Глава I Гамма- и бета-функции
Для доказательства формулы (1.9.2) рассмотрим функцию
Г*{х + уЖх,у) Г{х + уЖх,у)
JW Г*(у) Г(у)
где В(х, у) — интеграл в правой части (1.9.2). Мы знаем, что для него выполнено
функциональное соотношение (1.1.14). Это необходимо для доказательства того,
что /(* +1) = xf (χ). Очевидно, что /(1) = 1, и нам осталось проверить только
выпуклость вниз функции 1η /(χ). Доказательство снова использует неравенство
Гёльдера точно таким же образом, как и в случае с гамма-функцией.
Мы сформулируем еще одну теорему единственности, доказательство
которой предоставляется читателю.
Теорема 1.9.4. Если функция /(*) определена для х>0 и удовлетворяет
условиям 1) /(1) = 1, 2) /(x + l)=xf(x) и 3) lim /(x + n)/[nx/(n)] = 1, то
П-»оо
/Μ = Γ(χ).
Другие теоремы единственности читатель может найти в книгах [19] и [7].
См. также упражнения 26 — 30 в конце главы. Наконец, мы отметим, что
Атерн и Рудин [4] показали, что In |Г(лг-Ь iy)| является выпуклой функцией
переменной χ в области Re χ > 1/2, (см. упражнение 55).
§ Ι.ΙΟ. СУММЫ ГАУССА И ЯКОБИ
Интегральное представление гамма-функции может быть записано в виде
с* ι t
Здесь dt/t нужно рассматривать в качестве инвариантной меры1 на
мультипликативной группе (0, оо), поскольку
d(ct) = dt
ct t *
Для того чтобы найти аналог для конечного поля, рассмотрим подынтегральное
выражение e~cttx. Функции e~ct и tx можно рассматривать в качестве решений
определенных функциональных уравнений. Эта точка зрения подсказывает
дальнейшие аналогии.
Теорема 1.10.1. Предположим, что f является гомоморфизмом из
аддитивной группы действительных чисел в мультипликативную группу ненулевых
комплексных чисел С*, т. е.
/:R->C*
и
/(х + у)=/(х)/(у). (1.10.1)
Если функция f дифференцируемая и /\0)=сф0, то f(x) = ecx.
Замечание 1.10.1. Мы предположили, что /00/0 для всех х, но на самом деле
из соотношения g(x + y)=g(x)g(y), где g: R—>С, подразумевает, что если функция g
равна нулю в одной точке, то она везде обращается в нуль2.
ι Термин означает, что мера инвариантна относительно преобразования t*-^ct.
2 Эта теорема является «лирическим отступлением» для данной книги. Тем не менее отметим, что
доказано больше, чем сказано:

§ 110. Суммы Гаусса и Якоби
51
Доказательство. Во-первых, заметим, что /(0 + 0)=/(О)2 согласно
соотношению (1.10.1). Тогда /(0) = 1, поскольку значение функции /(0) не может
быть равно 0. Далее, по определению производной
J t-»0 t t-»0 t
= fix) lim f{0 /(0) = /W/'(0) = c/(x).
Тогда/(x) = ecx. D
Замечание 1.10.2. В вышеприведенной теореме достаточно предположить, что
функция / непрерывна или просто интегрируема. Чтобы увидеть это, рассмотрим
У У У х+У
такое число у е R, что § /(t) at Φ 0. Тогда /(χ) ^f{t)dt=^f(x + t)dt= § /(t) dt. Таким
0 0 0 χ
образом, χ+y
S /Wdt
/W = -f ·
Sftodt
0
Наша / интегрируема, поэтому интегралы в правой части непрерывны, а поэтому
непрерывна и / в левой части. Но тогда интегралы дифференцируемы, а поэтому
дифференцируема и /.
Следствие 1.10.2. Предположим, что g является гомоморфизмом из
мультипликативной группы положительных действительных чисел R+ в С*, гл. е.
gQ90 = g(x)g(y). (1.10.2)
Тогда g(x)=xc для некоторого с.
Доказательство. Рассмотрим отображение/=gоexp: R-*C, гдеехр(л:) =
= ех. Тогда / удовлетворяет условию (1.10.1) и g(e*)=ec*. Из этого следует
необходимое утверждение. D
Конечное поле имеет рп элементов, где ρ — простое число и π — натуральное
число. Для простоты мы рассмотрим η = 1, так что поле изоморфно Ζ(ρ), группе
целых чисел по модулю р. Аналогом соотношения (1.10.1) является гомоморфизм
^:Z(p)-*C*.
Поскольку Z(p) — циклическая группа порядка р, порождаемая единицей, мы
должны определить только i/j(1). Кроме того, гр(1)р = гр(0) = 1, и в качестве
значения функции гр(1) мы можем выбрать любой р-й корень из единицы.
Следовательно, мы имеем ρ различных гомоморфизмов:
xpjM = e2nijx/Pi ;=o,l,...,p-l. (1.10.3)
Они называются аддитивными характерами поля. Аналогично
мультипликативными характерами являются ρ — 1 характеров, определенных гомоморфизмами
из Ζ(ρ)* в С*. Здесь Ζ(ρ)* = Ζ(ρ) \ {0}. Поскольку группа1 Ζ(ρ)* — циклическая
а) использована лишь дифференцируемость в нуле.
б) если с = 0, то /' = 0, а / = 1.
в) если / измерима и |/| = 1, то (1.10.1) доказано в замечании 1.10.2.
г) случай, когда / измерима, /(x)el, сводится к предыдущему, если положить / = ехр (а/(*)).
д) произвольный гомоморфизм /: R —► С* есть произведение гомоморфизмов, описанных
в б), в). Итак, теорема 110.1 верна для измеримых гомоморфизмов.
ι Здесь Z(p)* обозначает группу ненулевых элементов поля по умножению.

52
Глава 1 Гамма- и бета-функции
порядка р —1, мы имеем изоморфизм Ζ(ρ)* = Ζ(ρ —Ι), ρ —1 характеров на
группе Ζ(ρ)* могут быть определены с помощью этого изоморфизма и
соотношения (1.10.3). По умолчанию мы будем обозначать мультипликативные характеры
χ или η.
Теперь очевидно, как определить «гамма-функцию» для конечного поля.
Определение 1.10.3. Для аддитивного характера xpj и мультипликативного
характера χ мы определим гауссовы суммы g;(#), j =0, 1, ..., —1 формулой:
р-1
*(*«)=Σ *c*w*)> αιο·4)
где область определения функции χ{ расширена с помощью равенства #(0) = 0.
Пусть j ф0. Тогда можно ограничиться рассмотрением сумм g(#) :=giQi).
В самом деле,
а(*) = Σ*(χ)^'(χ) = Σ* Μβ2Λ<ί*/ρ= *(/)*(/) Σ* Me2ni)x/P =
= K0 Σ Ζ 0*)е2"^/р = *Ш*)· (1-10.5)
X
00
Эта формула соответствует равенству § e~;jcxs-1dx = r(s)/;s, где ;—ненулевое
о
комплексное число с положительной действительной частью. Если в
равенстве (1.10.4) j = 0, сумма равна J] Χ 00 и> как утверждает следующая теорема,
X
обращается в нуль, если χ{χ)φ\ хотя бы для одного значения х.
Теорема 1.10.4. Для мультипликативного характера χ верно равенство
если χ φ id,
Σ*«=ί°' ,
χ (Ρ-1'
(1.10.6)
— 1, если χ = id.
Замечание 1.10.3. Единичный характер id —это такой характер, который
принимает значение 1 в каждой точке из Z(p)*.
Доказательство. Для χ =id результат очевиден. Если χ /id, то существует
такой у €Z(p)*, что χ (у) Φ1. Тогда
χ№ΣχΜ = Σχ№ = ΣχΜ,
XX X
из чего следует утверждение теоремы. D
Существует утверждение, двойственное к соотношению (1.10.6), которое
дается следующей теоремой.
Теорема 1.10.5. Для суммы по всем характерам верно соотношение
если χφ\,
Л (1.10.7)
— 1, если χ = 1.
Доказательство. Достаточно заметить, что если хф1, то существует
характер χ{χ) φ 1. Теперь теорема может быть доказана так же, как и
предыдущая.
Теперь мы определим аналог бета-функции.
Σ*«={°' ,

§ 110. Суммы Гаусса и Якоби
53
Определение 1.10.6. Для двух мультипликативных характеров χ и η сумма
Якоби определена равенством
Л*,Ч) = Σ zM4(y). (1.Ю.8)
Следующая теорема задает некоторые элементарные свойства суммы
Якоби. (Мы обозначим тривиальный или единичный характер буквой е.
Читателю стоит отметить, что последний результат аналогичен формуле В(х,у) =
= Г(х)Г(у)/[Г(х + у)].)
Теорема 1.10.7. Для нетривиальных характеров χ и η выполняются
следующие свойства
Де,*) = 0; (1.10.9)
J(e,e)=p-2; (1.10.10)
Л*, ζ"1) = -*(-«; αιο.ιΐ)
если Хг)фе, то 3{χ,η) = ^^ 0-10.12)
Замечание 1.10.4. Из определения характеров ясно, что произведение двух
характеров само является характером и, таким образом, набор характеров образует группу.
Аддитивные характеры образуют циклическую группу порядка р, а мультипликативные
характеры — циклическую группу порядка р — 1. Кроме того, χ~1{χ) = χ{χ~1) = 1/χΜ,
и, поскольку \χΜ\ = 1, справедливо равенство χ'1 Μ = #"(*)·
Доказательство. Первая часть теоремы является переформулировкой
теоремы 1.10.5, а вторая часть очевидна. Для того чтобы доказать равенство (1.10.11),
начнем с определения:
х хфО, 1
Теперь заметим, что, когда χ пробегает значения 2, ..., р —1, выражение
дс/(1—х) пробегает значения 1, ..., р —2. Значение у = р —1 = —1 (modp) не
рассматривается, поскольку χ = у (1 + у)-1. Следовательно,
Д*,*-1)^ Σ * (У) = -*(-!)
по теореме 1.10.4. Таким образом третья часть теоремы доказана.
Доказательство четвертой части очень похоже на доказательство Пуассона или Якоби
аналогичной формулы для бета-функции. Здесь перемножаются две суммы
Гаусса и с помощью замены переменных получается сумма Якоби или сумма
Гаусса. Тогда для хцфе имеем
*(*)*(ч)=Σ χ ме2п(х/р Σ ν№2πίγ/ρ=
χ у
= ΣχΜηωε2πίίχ+γ)/ρ= Σ *МЧ(У)+ Σ *Мч(У)е2яЛ/р.
х,У х+у=0 х+уф0
Первая сумма равна
Σ *(*Ж-*) = Ч(-1) Σ *ч W = °'

54
Глава 1 Гамма- и бета-функции
поскольку #7]/id. Во второй сумме делаем замену переменных t = x + y, х = х,
а потом новую замену x = st, t = t. Получаем
ίφΟ х ίφΟ s
Этим завершается доказательство четвертой части теоремы. D
Мы получили элегантные выражения для значений функции T(s) при
положительных целых и полуцелых значениях s. Вычисление гауссовых сумм
в некоторых частных случаях также возможно и является важной задачей, но
в любом случае абсолютная величина Гауссовой суммы может быть всегда
найдена.
Теорема 1.10.8. Для нетривиальных мультипликативных и аддитивных
характеров χ и гр верно следующее:
Ϊ^ΧΜ'ΦΜ
= VP.
Доказательство. Согласно соотношению (1.10.5) достаточно доказать, что
l*iCir)l2 = l*(*)l2=p:
χ У χφΟ,γφΟ
Положим x = ty. Тогда
ρ-1
ΐγφΟ 1 ίφΟ,Ι уфО
Первая сумма равна ρ — 1, а внутренняя сумма во втором члене равна —1. Итак,
|£(*)Ι2 = ρ-ι-Σ*(0 = ρ-ι + ι = ρ,
ίφΟ,Ι
и утверждение доказано. D
Следствие 1.10.9. Если χ, η и χη являются нетривиальными характерами,
то
1Л*,Ч)1 = 1/Р- (1.Ю.13)
Доказательство. Это утверждение следует из теорем 1.10.7 и 1.10.8. D
Мы получаем интересное утверждение.
Следствие 1.10.10. Если число р = 4п + 1 простое, то существуют такие
целые числа аиЪ, что р = а2 + Ъ2.
Доказательство. Группа Ζ(ρ)* имеет порядок р —1 = 4п, т.е. изоморфна
также группе мультипликативных характеров на Ζ(ρ)*. Поскольку последняя
группа является циклической, существует характер χ порядка 4, который
принимает значения ±1, ±ί. Следовательно, 3{χ,χ) = α + Η, где а и Ь —целые.
Поскольку #2/id, в силу следствиея 1.10.9 мы имеем р = а2 + Ъ2, что влечет
требуемый результат. D
Следствие 1.10.10 называется теоремой Ферма, хотя первым опубликовал
доказательство Эйлер (см. [419, с. 66 —69]). Позже мы докажем более изящный
результат, который дает число представлений положительного целого числа

§ 110. Суммы Гаусса и Якоби
55
в виде суммы двух квадратов. Этот результат будет следовать из формулы,
которая содержит еще один аналог бета-интеграла.
Мы видели, что характеры могут быть определены для циклических групп.
Поскольку любая абелева группа является прямым произведением циклических
групп, несложно найти все характеры абелевой группы и их структуру. Здесь
достаточно следующего наблюдения.
Если χι — характер абелевой группы Glf a χ2 — группы G^ то можно
определить характер χ: Ga x G2 -* С* формулой χ (χ, у) = χλ ОО^гСу)·
Таким образом, мы получили η аддитивных характеров группы Ζ(π) и ψ(η)
мультипликативных характеров1 группы Ζ(π)*. Для этих более общих
характеров суммы Гаусса и Якоби могут быть определены так же, как раньше.
Гаусс [157] нашел вывод закона квадратичной взаимности, оценивая сумму
Гаусса для квадратичного характера. (Характер χ /id является квадратичным2,
если #2 = id.) Подробности, касающиеся закона квадратичной взаимности,
содержатся в упражнении 37 в конце главы. Одна из проблем, которая здесь возни-
JV-1
кает и с которой имел дело Гаусс, состоит в вычислении суммы G = J] e2nvc /JV.
х=0
Так же как в теореме 1.10.8, можно показать, что G2 = ±N в зависимости от
того, верно ли равенство N = 1 (mod 4) или 3 (mod 4). Задача заключается
в нахождении подходящего квадратного корня для вычисления G. По словам
Гаусса, ему потребовалось четыре года, для того чтобы решить этот вопрос.
JV-1
Вычисление суммы J] e2mx /JV, проведенное Дирихле с помощью рядов Фурье,
дано в упражнении 323.
Якоби и Эйзенштейн рассматривали также более общую сумму Якоби:
Д*ъ *2·.., Χι) = Σ XittiMbUXittO- С1Л0.14)
Она является аналогом общего бета-интеграла в теореме 1.8.6. Далее следует
результат Эйзенштейна, соответствующий формуле в теореме 1.8.6.
Теорема 1.10.11. Если χλ, %ъ ..., %\ — нетривиальные характеры и
произведение Х1Х2—Х1 нетривиально, то
1( . g(Xi)g(X2)-gjXl) лптсл
ЛХг,Х,.,Х0= g(,iM) · (1.10.15)
ι Функция Мёбиуса φ (ή) — количество чисел, меньших η и взаимно простых с ним, у>(п) =
= η П(1 ~ 1/Р;)> где pj — простые делители п.
2 Он же называется символом Лежандра.
3 Есть еще такой способ. Вычисление этой суммы тривиально сводится к вычислению гауссовой
суммы для квадратичного характера (задача 37), далее встает упомянутая выше проблема
знака. Матрица преобразования Фурье в базисе из дельта-функций имеет вид {-ν/ρξ^}, где ζ —
первообразнаый корень степени ρ из единицы. Далее рассмотрим базис из невырожденных
мультипликативных характеров Ζ(ρ), константы и дельта-функции в нуле. Матрица преобразования
Фурье в этом базисе блочно-диагональна, с блоками вида ( ° g^ * J и одиноким (1 χ 1)-блоком
g(rj), где η — квадратичный характер. Далее приравниваем определители. В первом случае
получаем определитель Вандермонда, и его знак легко выписывается. Во втором случае получаем
const-g(Tj) f] |g(#)|, и, тем самым, знак #(η) находится.
хФ-п

56
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.10.7 и читателю стоит
детально разобрать его.
В § 1.8 объем п-мерной фигуры вида агх^1 + a2xS2 +... + α&*£* < Ь был найден
с помощью гамма-функции. Аналогичным образом для конечных полей число
точек, удовлетворяющих условию агх\1 + a2xs2 +... + <*&*£* = Ь, может быть
вычислено через суммы Гаусса. Сам Гаусс сначала нашел число точек на подобных
(но более простых) поверхностях и использовал это для вычисления
некоторых определенных сумм Гаусса. Вейль [415] обнаружил, что проще обратить
процесс и получать число точек через суммы Гаусса. Описание этого читатель
найдет у Вейля в работе [417]. Можно упомянуть, что знаменитые гипотезы
Вейля, касающиеся дзета-функций алгебраических многообразий над полями
конечных характеристик содержатся в его работе 1949 г. Она содержит также
ссылки на работы Гаусса. Также можно обратиться к работе [200] за
дополнительной информацией о суммах Якоби и Гаусса и за ссылками на статьи Якоби
и Эйзенштейна.
Вид сумм Гаусса также подсказывает, что они связаны с преобразованиями
Фурье. Обозначим за & векторное пространство всех комплекснозначных
функций на множестве Ζ(Λ0 целых чисел по модулю N. Пусть F — преобразование
Фурье на пространстве ^, определенное следующим образом:
JV-1
(FfKn) = 4= Σ / Me2nUuc'N. (1.10.16)
Можно показать, что след этого преобразования Фурье по отношению к базису
{δ0, δ1?..., δΝ}, где f
Mr)-!* ХФУ'
JV-1
является квадратичной суммой Гаусса J] e2mx /JV. Шур [336] дал другой способ
вычисления этой суммы из того же факта1. Детали представлены в
упражнении 47. Сначала доказывается, что четвертая степень F является единицей,
так что собственные значения равны ±1, ±i и задача по существу состоит
в нахождении кратностей этих собственных значений.
Дискретный, или конечный, Фурье-анализ не применялся широко до 1965 г.
из-за сложности численных расчетов. Ситуация изменилась, когда Кулей и Тур-
Алгоритм таков. Пусть для простоты имеется группа Z(JV) = Ζ(2Π), ξ = β2πι/Ν. На первый взгляд
для вычисления преобразования Фурье нужно Ν2 умножений. Но мы перепишем
в виде
2/(2т)С2^ + С*2/(2т + 1)С2ЫС.
Каждое слагаемое — преобразование Фурье на Ζ(2Π_1); легко видеть, что теперь нам нужно
вдвое меньше умножений, чем мы ожидали. Но к Ζ(2Π_1) применим тот же трюк и т. д. В итоге
мы можем обойтись 2JVlog2N умножениями, т.е. время вычисления преобразования Фурье
сравнимо с временем умножения функции на константу. В литературе по численным методам
встречается утверждение, что алгоритм был известен во времена ручных вычислений и что даже
Гаусс им пользовался. Я соответствующих литературных раскопок не проводил.

§ 111 Вероятностное вычисление бета-функции
57
кей в работе [87] ввели алгоритм, который они назвали «быстрое
преобразование Фурье» (БПФ), для того чтобы на несколько порядков упростить вычисления.
Читатель может обратиться к работе [33] для ознакомления с методом БПФ, где
подчеркивается его связь с теорией групп. Здесь также упоминаются
некоторые более ранние примеры БПФ. Вычислительные аспекты также интересны
(см. [93] и [398, § 1.4]).
§ I.II. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ БЕТА-ФУНКЦИИ
Если α и β — натуральные числа, то
Iх U Х) аХ (α + 0-Ι)! '
Можно было бы захотеть получить этот результат с помощью комбинаторных
рассуждений. Но, работая с конечным числом объектов, нельзя получить
интеграл. Здесь мы приводим комбинаторно-вероятностные рассуждения, которые
позволяют вычислить приведенный выше интеграл. Будем выбирать случайно
точки из отрезка [0,1]. Пусть вероятность попадания точки в интервал (а,Ъ)
равна Ь — а. Зафиксируем целое число η и обозначим1 через P(xk<t)
вероятность того, что из η случайно выбранных точек в точности к имеют значения
меньше t. Плотность вероятности величины Р(хк < t) равна
(t)=lim Ρ&4^£+Δ0-Ρ&4<0.
Н Δϋ-0 At
Теперь
P(xk<t + At) -P(xk<t) =
= вероятности того, что одна точка лежит в интервале (t, t + ΔΟ,
к — 1 точка лежит левее точки t и п — к точек — правее точки (t + At), +
+ вероятность того, что две точки лежат в интервале (t, t + At),
к —2 точки лежат левее точки t и п — к точек —правее точки (t + ΔΟ, + ...
Поскольку всего есть η точек, число случаев, когда одна точка лежит в интервале
{t,t + At)> к — 1 точка имеет координату меньше чем t и п — к точек имеет
координату больше чем t + At, равно
(;Χϊ:})-<ϊ:}>
Вероятность каждого такого события равна Δ£*-1(1 — t—At)n~k, и, поскольку
события являются взаимоисключающими, мы получаем
Р(хк < t + At) -P(xk < О = п(£~|)дг· tk~Hl-t-At)n~k+
+ ^^(nkZiy^)2tk-2a-t-Atr-k+...=
= n(£2})tfc-1(l-t-At)"-fcAt + 0((At)2).
ι Имеется в виду, что хк — к-л по счету слева точка.

58
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Следовательно,
Поскольку
P(t) = n(fc-i)tW(1"t)n'
1
$p(t)dt = l,
!-fc
О
мы получаем
1 (fc-l)l(n-fc)! r(fc)r(n-fc + l)
5tfc-1(l-On"4cdt = -
η! Γ(η + 1)
ο
Мы использовали здесь теорию вероятностей, для того чтобы показать ее связь
с бета-функцией. Хотя мы не будем больше пользоваться этой связью, теорию
вероятностей можно использовать для вывода формул, содержащих некоторые
обобщения бета-функций.
§ Ι.Ι2. р-АДИЧЕСКАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ
В теории чисел существуют замыкания множества рациональных чисел,
отличные от действительных чисел, которые представляют большой интерес1. Это
р-адические пополнения рациональных чисел. Существует полезный аналог
гамма-функции определенный на р-адических числах. Дальнейшее изложение
является кратким описанием р-адической гамма-функции. Интересующийся
читатель должен обратиться к приведенным ниже ссылкам.
Предположим, что а — целое число и ρ — простое число. Обозначим через
ordp а наибольшую степень числа р, которая является делителем а. Пусть Q —
это множество рациональных чисел. Для χ = а/Ъ € Q, где а и Ъ — целые числа,
определим ordp χ = ordp α — ordp b. Далее, р-адическая норма на множестве Q
определяется соотношением
О, χ = 0.
Таким образом, р-адическая норма числа рп становится меньше, когда η
становится больше. Наоборот, для отрицательных значений η норма рп становится
большой. Таким образом, обоснована запись числа в виде сумм по степеням р.
Целое число имеет разложение вида
а0 + агр + а2р2 +... + апрп,
где ^-€{0,1,2, ...,р —1}. Для записи рациональных чисел также потребуются
отрицательные степени числа р. Отметим, что р-адическая норма неархимедова,
II* + У lip < max(IM|p, ||у||р). (1.12.0)
Расстояние между точками χ и у определяется как ||х —у||р в силу (1.12.0),
неравенство треугольника выполнено.
ι Материал этого параграфа в дальнейшем не используется.

§ 112. р-адическая гамма-функция
59
Мы можем построить замыкание1 множества Q с этой метрикой так же,
как R получается пополнением2 Q. Построение включает в себя рассмотрение
последовательности Коши рациональных чисел. Полученное таким образом
пополнение пространства Q обозначается Qp. р-адические числа могут быть
представлены рядом
b^ + b-^ + ...+ bf + b0 + blP + b2p> + ...
Подмножество множества Qp, содержащее все числа с положительными
степенями числа р, образует кольцо, обозначаемое Zp. Это кольцо р-адических
чисел. Натуральные числа Z+ образуют плотное подмножество в Zp. Это так,
поскольку элемент множества Zp может быть представлен в виде бесконечного
ряда
а0 + агр + a2pz +..., at е {0,1,..., ρ -1},
и частичные суммы являются целыми числами, которые сходятся к р-адиче-
скому числу. Тогда если есть функция /, определенная на натуральных числах,
и значения этой функции близки для двух целых чисел, которые р-адически
близки, то / имеет единственное непрерывное продолжение на Ζρ3.
Определим функцию / на натуральных числах формулой4
η
/(n) = (-l)nI~[k.
pk
Несложно показать, что
/(n + pm/)=/(n) (modpm),
где π, т и I — натуральные числа. Числа п + рп1 и η близки друг к другу
в р-адическом смысле и значения функции / в этих точках также р-адически
близки. Следовательно, / обладает непрерывным продолжением в Ζρ. Это
расширение дает, согласно Морита [271], обобщение гамма-функции, р-адическая
гамма-функция определена соотношением Гр(х) :=— /(* —1). Эта функция
также обладает функциональным соотношением и другими полезными свойствами.
Существует формула Гросса и Коблица [175], которая задает сумму Гаусса в виде
произведения значений р-адической гамма-функции.
Интересная трактовка р-адических чисел и функций дана Коблицом [224].
Описание р-адической гамма-функции и формулы Гросса—Коблица можно
найти в книге [244], содержащей ссылку на статью [67]. Существуют также
р-адические аналоги бета-функции и преобразования Меллина5.
ι См. [442]
2 См. [447, § П.З].
3 См. [447, § Н.2].
4 Здесь ρ | к (соответственно ρ к) обозначает то, что к делится на ρ (или к не делится на р).
5 Существует также С-значная р-адическая гамма-функция. Пусть π(χ) — мультипликативный
характер Qp. Его преобразование Фурье имеет вид Γ(π)π(χ)|χ|_1, где Γ(π) — некоторая константа,
она и называется гамма-функцией, см. [442]. В формулах гармонического анализа она проявляет
себя так же, как обычная Г, см., например, [257].

60
Глава 1 Гамма- и бета-функции
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Пуассон) Используя замену переменных s = ut, покажите, что
00 00
Г(х)Г(у) = $ $ t'-V-V^0 at as
о о
равно Г{х + у)В{х,у).
2. Пусть / = § е ах. Заметим, что I2 = § § е~(х^+у } cbcdy. Вычислите этот двойной
О 0 0
интеграл с помощью перехода к полярным координатам и покажите, что / = Утг/2.
3. Ниже кратко описано доказательство формулы Валлиса.
а) Покажите, что
С их _ η
\ х2 + а ~~ 2у/а'
б) Возьмите производную от обеих частей равенства η раз по параметру α и
убедитесь, что
άχ 1·3·5...2π-1π Ι
с ад
0 {χ2 + α)Π+1 2 · 4 · 6...2п 2 ап+№ *
в) Положите х = у/-/п, а = 1, перейдите к пределу η —> оо и, используя упражнение 2,
получите формулу Валлиса.
ι
4. Вычислите интеграл ξ (1 — t2)*"1 dt двумя различными способами для доказатель-
-1
ства формулы удвоения, данной в теореме 1.5.1. Получите другое доказательство,
вычислив π/2
о
двумя разными способами.
5. Предположим, что функция / дважды дифференцируемая. Покажите, что условие
/" > О эквивалентно условию f(ax + β у) < af(x) + β/iy) для таких неотрицательных
чисел а и β, что а + β = 1.
6. Понятие выпуклости может быть использовано для доказательства некоторых
важных неравенств, например неравенства Гёльдера:
1/Р ( Ь Л Vq
.0 . г D ч 1/р г О ч 1/q
где / и g — интегрируемые функции и - + - = 1. Здесь мы приводим набросок
доказательства.
а) Заметим, что функция ех выпуклая вниз; используя это и результат упражнения
5, покажите, что если ииу- неотрицательные целые числа, то
uv < 1 .
р q
Равенство достигается если и только если ир = uq.
б) Получите неравенство Гёльдера из а).
Возможно, более правильно называть это неравенством Роджерса—Гёльдера,
поскольку Роджерс [311] получил этот результат раньше Гёльдера [195]. Другие важные
результаты Л.Дж. Роджерса обсуждаются в книге ниже.

Упражнения
61
7. Здесь представлено другое доказательство функционального соотношения
В(х,у) = ^В(х,у + 1).
У
Запишите х
B(x,y + l) = $^-1(i^)ydt
О
и с помощью интегрирование по частям покажите, что
B(x,y + 1) = -JL-B(x,y).
8. Покажите, что
Возьмите производную по параметру с и выведите функциональное соотношение
В(х,у) = ^В(х,у + 1).
Проведите подобные рассуждения, используя интеграл
l^Hc-tYdt
о
9. Перепишите формулу Гаусса (1.5.2) в виде
Пг((х + В/п)
гм = _*Ξ2
(2n)(n-lV2nW-x
Покажите, что правая часть удовлетворяет всем условиям теоремы Бора—Моллерапа.
ыведите отсюда доказательство формулы Гаусса.
10. Дайте доказательства формулы Гаусса, используя определение функции1 Г(х).
11. Докажите формулу Гаусса с помощью метода, данного в замечании после
теоремы 1.5.2.
12. Из равенства Г(х +1) = хГ(х) очевидно, что
ξ In Г(0 dt = χ In х-х + С.
χ
Покажите, что С = - 1η 2π. Сработает формула Стирлинга, но существует более
элегантное рассуждение, использующее вначале формулу умножения Гаусса.
13. Существует другой бета-интеграл, впервые полученный Коши. Он определяется
формулой
т ϊ С dt я-22-*-Уг(х + у-1) D , ^ . ^ л
C{x>y)=lil + it)41-ity= FWTOO ' Re(x + y)>l.
а) Для того чтобы это доказать, покажите, что
1) интегрирование по частям дает равенство
CQt,y + l) = --CQt + l,y);
2) запишите
ι Видимо, предлагается восстановить начало доказательства теоремы 1.5.2.

62
Глава I Гамма- и бета-функции
это вместе с п. 1) дает
C(x,y) = 7^z^ax,y + iy,
3) итерационная процедура дает
С(х,у) = ^*)n(f,)nC(x + n,y + n);
С(х + п,у + п)= ^ (1 + адх+п(1 __аду+п = J^ (i + f2)n(i + адх(1 _ аду.
Замените t на t/^/n во втором интеграле и перейдите к пределу при π —»оо.
б) Подстановка t = tg θ приводит к важному интегралу. Найдите его.
14. Используя метод получения формулы Стирлинга, покажите, что
где
Тг + Т2 + - + Тп=2^+С + &п+0Ш'
С = Ч1 + ^(1-^ + ^-£ + ...).
Просуммируйте
η η
c„ = ^(cfc~cfc-i)' где °«=Σ^Γ~2ν^·
Jt=l Jt=l VK
Используя алгебраические преобразования преобразуйте выражение οη — €η_λ к
выражению, которое стремится к нулю как п~3/2, и покажите, что
Σ1 =f/2 ι цУНГ
Дальнейшие результаты такого типа см. у Рамануджана [305, статьи 9 и 13].
15. Здесь представлен набросок доказательства равенства (1.2.1) в терминах
действительной переменной. Пусть
σ(χ) = — Hm V1 .
*1 - -Ν
Тогда справедливы следующие утверждения:
а) g'M = -π2/ sin2 πχ + Σ 1/(π+χ)2;
—00
б) функция g'OO непрерывна при 0 < χ < 1, если g'(0) = g'(l) = 0;
в) g'Qt/2) +g'«x+1)/2) = 4g'(*);
г) если Μ = max lg'001, το Μ < Μ/2, т. е. Μ = 0;
0<χ<1 »
ύ8ίχ/2)-ξαχ + 1)/2) = 2π/{8ίηπχ)-2Σί-ΙΤ/ίη + χ);
e)g(x + l)=g(x);
ж) g(x) = const;
00 00 00 00
з) 5^-1/(1 + 0^=Σ(-1)π/(π + χ) + Σ(-1)π/(π + 1-χ)=Σ(-1)π/(π + χ), так что
О п=0 п=0 —в»
условие (1.2.1) выполняется. Это доказательство, предложенное Герглоцем, было
опубликовано Каратеодори [77, с. 269 — 270]. Обзор [63] работ Герглоца также
содержит это доказательство.
16. Ниже приведено доказательство формулы Г(х)Г(1— x) = n/sinnx, предложенное
Дедекиндом [100]. Положим

Упражнения
63
а) Покажите, что
\£^dt=tfiMs~x' \ΐΓ$<1ί=φΜ'χ~1·
б) Выведите равенство
ψΚΧ} S-l J (5t+l)(t + 5)"C·
в) Используя вторую формулу в п. а), получите равенство
^2=\MWsdt)ds->
0^0
изменив порядок интегрирования, получите, что
[ΨΜΫ = \ ^dt.
о
г) Покажите, что v „
$ Mx)]2dx=y ; dt.
l-y 0 l L
д) Проинтегрируйте равенство из п. б) по s по интервалу (0, <») и, используя п. г),
выведите равенство
1-х 0
е) Покажите, что из равенства φ(χ) = φ(1 — χ) следует, что ^'(^J3^ и
I [</>(t)]2dt = 2 $[</>(t)]2dt.
1-х 1/2
ж) Выведите равенство
φω \mt)]2dt = 4>'{x).
1/2
з) Покажите, что функция φ удовлетворяет дифференциальному уравнению
и) Решите это дифференциальное уравнение с начальными условиями ψ{^) = π
и ¥>'(«) = 0, получив в результате равенство φ(χ) = Trcosec πχ.
<2
17. Покажите, что
t*-4l-ty-l)dt _ Г(х)Г(у)
S,.;m;°S· ^>0,Β^>0,α>0.
18. Покажите, что
19. Докажите, что для α > 0
sin αχ , _ 1 ь-ι cosec(7rb/2)
\s^dx=±na^coseZ, > 0<Reb<2,
J γ" 2 Γιο)
0
xb 2 Г(Ь)
г cos αχ , 1 ь-i secinb/2) Л ^ _ , -
5__<1χ=_πα6ΐ___) 0<Reb<l.

64
Глава I Гамма- и бета-функции
20. Для λ>0,х>О и —π/2< а< π/2 докажите, что
00
$ ?-1е-**«*а cos(At sin a) dt = λ~χΓ(χ) cos αχ,
о
00
$ t*-^-**30»" sin(At sin α) dt = λ"χΓ(χ) sin ax.
о
21. (Харди) Докажите, что ^s/2r(s/2)C(s) = ^(1~s)/2r((l-s)/2)£(l-s), следующим
образом.
а) Заметьте, что:
п=1
для ттг<х<(т + 1)7Г, т = 0, 1, ....
б) Умножив уравнение на Xs'1 (0 < s < 1) и проинтегрировав по интервалу (0, <»),
покажите, что левая часть равна T(s) sin(s7r/2)(l — 2~s_1)£(s +1) и что правая часть
является аналитической функцией при Re s < 1 и равна 2(1—ss+1)£(l — s) при Re s < 0.
в) Выведите функциональное уравнение, которому удовлетворяет дзета-функция.
22. Пусть С — это контур, который начитается в бесконечности на отрицательной
действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении
и возвращается обратно в — оо. Докажите, что
T(s) 2πι J
Эта формула выполняется для всех комплексных s.
а) Заметьте, что интегральное представление является аналитической функцией s.
б) Контур С может быть выбран таким: линия из оо до —δ, затем окружность радиуса
δ в положительном направлении и, наконец, линия от — δ до — оо. Покажите, что:
00
§ е'Г$ dt = 2i sin ns § e~uu~s du + /,
с δ
где / — это интеграл по окружности \t\ = δ.
Это представление гамма-функции получено Хенкелем (см. [423, с. 244]).
23. Докажите, что
Г( , е-''™ ГЦ-s) с t'-V* .
C(*'S)= 2πί $T^dt'
где контур С начинается в бесконечности на положительном луче действительной
оси, обходит начало координат в положительном направлении, исключая точки
±2ηπί, где η — натуральное число, и возвращается в +оо.
Указание. Сначала докажите, что
а затем воспользуйтесь идеями из предыдущего упражнения. (Заметьте, что функция
ζίχ,ε) определена теперь как мероморфная функция с простым полюсом в
точке s = l.)
24. Докажите, что выполняется функциональное уравнение
rf Λ 2Г(1—s) I . f /ηΛ \^ cos2m7rx , f /ηΛ V^ sin2m7rx 1
ζ{Χίs) = Тад^isin(7rs/2) 2-· m^ + cos(™/2) Zj mi-s r·
* m=l m=l '

Упражнения
65
Указание. Пусть контур Сп состоит из линии вдоль положительной действительной
оси из оо в (2η + 1)π, затем квадрата с углами (2η + 1)π(±1±ί), а затем линии из
(2η + 1)π в оо. Покажите, что
Sts~^e~xt с ts~^e~xt
_,. dt= } _t dt —сумма вычетов в точках ± 2тш, т = 1,..., п,
с сп
где С — это кривая из предыдущего упражнения.
Обратите внимание на то, что сумма вычетов в точках ±2mni равна
-2(2mny-leins sm{2mnx + nsll).
Перейдите теперь к пределу при η —»оо и покажите, что § —* 0.
Οι
25. Покажите, что из функционального уравнения для ζ{χ, s) несложно следуют
а) функциональное уравнение на £(s)
б) куммеровское разложение Фурье для 1ηΓ(χ)/^2π.
Следующие пять упражнений взяты из книги [19].
26. Пусть φ (χ) при 0 < χ < оо — положительная и дважды непрерывно дифференцируемая
функция, удовлетворяющая условиям: а) </?(*+1) = </?(*), б) φ(^)ψ(^—)Ζ=άφ(χ)9
где d — константа. Докажите, что φ — константа.
d2
Указание. Пусть g(x) = —j In φ (χ). Заметим, что g(x +1) = g(x) и
JMIMH1))-·»·
27. Покажите, что φ (χ) = Г(х)Г(1 — дс) sin гас удовлетворяет условиям предыдущей
задачи. Выведите формулу отражения Эйлера.
28. Докажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция /, которая
положительна при 0 < χ < оо и удовлетворяет условиям а) /(* +1) = xf (дс) и б) l2*"1 fix) x
*/(*+ -J = <ν/π/(2*), тождественно равна Г(х).
29. В предыдущей задаче достаточно предположить, что / непрерывно
дифференцируема. Это видно из следующего: если функция g непрерывно дифференцируема,
g(x + l)=g(x) Hg(|)+g(^2-)=g00, Tog = 0.
Указание. Заметим, что
2"-1
Jk=0
1
Левая часть стремится к § g'OO d* = g(l) — g(0) = 0 при п -> оо.
о
30. Убедитесь, что пример функции g(x) = Σ — sin (2П гас) показывает, что в предыдущей
п=1 2
задаче просто непрерывности недостаточно.
3L Предположим, что / и g —такие дифференцируемые функции, что
/(x + y)=/(x)/(y)-g(x)g(y) и g(x + y)=/(x)g(y)+gQt)/(y).
Докажите, что /(*) = е" cos Ьх и g(x) = e" sin Ьлг или /(*) = g(x) = 0.
JV-1 , , —Ν
32. (Дирихле) Докажите, что £ e2nix^/N = ———ι/?7, где ί = v^1!.
JV-1
а) Положите /(t) = Σ e2,ri(x+i) /N,0<t<l. Заметьте, что Д0)=/(1) и продолжите
/(t) периодически на всю действительную ось.

66
Глава 1 Гамма- и бета-функции
б) Заметьте, что f(t) = Σ απβ2πιηί, где αΠ = § /(Oe 2mnt dt. Из этого можно заключить,
-оо О
4το/(0)=Σ1ε2π^/Ν = Σαη.
JC=0 -оо
Ν(1-π/2)
в) Покажите, что ап = e~2niNn2/4 $ е2п*2'" аУ·
-т/2
г) Покажите, что
оо г Ν-ηΝ/2 Ν-ηΝ/2\ οο
Σα"= Σ S +Γ" Σ S e2"^dy = (l + r~)Se2^wdy.
-οο νπ четно -Νη/2 π нечетно -Νη/2 </ -°°
д) Используя упражнение 19, вычислите интеграл в последней формуле. Другой
способ заключается в том, чтобы положить N = 1 в п. г).
33. Если р —нечетное простое, то существует ровно один нетривиальный характер χ2,
который отображает Ζ(ρ)* на {±1}. Напомним, что Ζ(ρ)* —это множество целых
чисел по модулю ρ без 0. Докажите, что ^2(α) = 1 тогда и только тогда, когда
уравнение х2 = а (mod ρ) имеет решения, т.е. а —точный квадрат в Ζ(ρ)*. (Обычно
пишут #2(α) = (~)ί такое обозначение называется символом Лежандра.)
34. Докажите, что если α — натуральное взаимно простое с ρ число, то ар~1/2 = ί - J
(mod ρ). Здесь ρ — простое нечетное число. (Используйте тот факт, что группа Ζ(ρ)*
циклическая.)
35. Для нечетного простого р, используя предыдущую задачу, докажите, что ί — J =
= (-l)(p-i)/2 и ^^(-цСр2-!)^. (Используйте равенство
2Р/2 = (вЖ/4 + е-Ш/4у Ξ βρπί/4 + g-pm/4 (mod p)
Отдельно рассмотрите два случая: р = ±1 (mod 8) и р = ±3 (mod 8).)
36. (Гаусс) Докажите квадратичный закон взаимности: для нечетных простых ρ и q,
выполняется равенство Г -д -J = (—1) 2 2 .
р-1
а) Для S= Σ(~)ε2π"Γ/ρ покажите, что S2 = f—Jp. (Доказательство аналогично
дг=1 Ρ Ρ
доказательству теоремы 1.10.8.)
б) Используя а) и упражнение 34, докажите, что Sq~l = (—1) 2 2 Г ?- J (mod q).
в) Покажите, что S4 = Σί£ Vfri,x/p =(-)s (mod q).
г) Выведите теорему взаимности из пп. б) и в).
37. (Гаусс) Для целых чисел α и N таких, что N > 0, определим G(a,N) = Σ е
а) Для простого числа ρ покажите, что G(l, ρ) = Σ (-е2пис/р J.
б) Для простого числа ρ покажите, что G(a,p) = i-jG(l,p).
в) Докажите, что G(q,p)G(p,q) = G(l,pq), если ρ и q —нечетные простые.
г) Теперь воспользуйтесь результатом упражнения 32 для вывода закона взаимности.
Обсуждение упражнений 32 — 37 и соответствующие ссылки содержатся в книге [332,
гл. 6 и 8].
38. Докажите теоремы 1.8.5 и 1.8.6.
N-1

Упражнения
67
39. Докажите теорему 1.9.4.
40. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса. Предположим, что / — непрерывная
функция на замкнутом ограниченном интервале, в качестве которого можно выбрать
[0,1] без потери общности. Следующее упражнение показывает, что функция /
может быть равномерно аппроксимирована многочленами на отрезке [0,1].
а) Покажите, что достаточно доказать результат для случая /(0) =/(1) =0. Теперь
продолжим / непрерывно на всю действительную прямую, взяв /ξ0 при х<0
и х>1.
б) Заметим, что
0.(0 = ^^(1-^)"
— это такой многочлен, что
1
-1
1
Покажите, что Рп(х) = § /(* + 0 On (О dt —многочлен по χ при хе [О,1].
-1
в) Используя формулу Стерлинга, покажите, что для 5>0и5<|г|<1 выполняется
условие Qn{t) ->0 равномерно при η->».
г) Заметим, что для 0 < χ < 1 выполняется условие
1
Р„Сх)-/Сх)= $(/(* + t)-/Qt))Qn(t)dt.
-ι
Для того чтобы показать, что Рп(х)-*/(*) равномерно на отрезке [0,1], разбейте
-δ δ ι
интеграл на три части, § + §+§> и воспользуйтесь утверждением п. в).
-ι -δ δ
41. Докажите формулу Плана (ссылки на Плана см. в [423, с. 145]): для натуральных m
и η выполняется условие
V φΠΛ - ¥>("*) +У (Ό + С гхл άχ_{ Г y(n + (y)-y(m + iy)-y(n-jy) + y(m-y) ,
*=m mO в -
где φ(χ+iy) — ограниченная аналитическая функция, заданная при т<х<п.
Указание, а) Рассмотрите интеграл
$у(Й/(е-2я*-1)&,
с
где С подходящий вытянутый прямоугольник с вершинами fc, k +1, к +1 -I- Li и fc -I- Li.
Затем перейдите к пределу при L —»».
б) Замените теперь i на —i в определении контура С и повторите процедуру из п. а).
в) Сложите результаты из п. а) и б) и просуммируйте по к.
42. а) В формуле Плана положив m = 0, η —»» и предположив, что φ (π) —»0, φ (η ± iy) —> <»,
получите следующий результат:
б) Выведите формулу Эрмита (ссылки см. в книге [423,13.2])
rrv ^-*"s . *1-s . о С (x2 + t2r*/2sin(5aictgt/x) ^

68
Глава 1 Гамма- и бета-функции
в) Пользуясь вышеизложенным выведите, что
№.2)«£ + i + S 4xtdt
2х2 х % (χ2 + ί2)2(β2πί-1)*
43. а) Для гр(х) = Г'(х)/Г(х) проверьте, что ψ'(χ) = ζ(χ,2).
б) Выведите формулу
1 °°
1/>(х) = 1пх----$
2tdt
2х J (jc2 + t2)(e27rt-l)'
(Используйте часть в) предыдущего упражнения.)
в) Выведите вторую формулу Бине
torW = (x-i)bx-x+itoa*) + 2SipS^a.
arctg(t/x)
о
где χ — комплексное число и Re χ > 0.
г) Используя формулу Эрмита из предыдущей задачи, получите формулу Лерча (1.3.7)
44. Докажите следующие свойства многочленов Бернулли:
a)B,(x+l)-B,(jc) = qjc«-1;
б) Σ η« = τχτ{β,+ι(АО -В,+1 (М)};
п=м 9"
B)Bn(x) = t(J)Bfcx-fc;
г)Вп(1-х)"=(-1ГВп(х);
/-1
Α)Βη(/χ) = Ζ"-1Σβη(^+τ)
45. а) Докажите, что
00
В^Сх-М) = 2(-iy(2q-l)lX| g^ffi, « > 1,
п=1
в^х-[х]) = 2(-1)«-Чад.£^.
п=1
б) Выведите
C(2q)=(_irl(gi^ q>1,
46. Докажите, что
(р-1)|2п ^
где G2n — некоторое целое число и ρ пробегает простые числа так, что 2п делится
на р —1. (фон Штаудт (von Staudt), Клаузен)
00 00 t
Указание. Определим J] -γ хп = J] -^ хп (mod k) если fc является делителем ап — Ьп
п=о п- п=о п!
для всех η > 0. Покажите, что
*3 ·> „7
a)(e«-l)3S2(|i + |T + fi + ...)(mod4);

Упражнения
69
б) для простых ρ выполняется сравнение
f zP'1 z2(p-l) z3(p-l) λ
(' - υ'"1 = 4 cFui+ SFw+ ^F»i+ -)(mod p):
в) Для составных m > 4 выполняется сравнение (ez — l)m_1 = 0 (mod m);
,λ ж =1 e»-l ■ (ez-D2 (e'-l)3
; ez-l 2 3 4
Выведите результаты, касающиеся чисел Бернулли. (См. книгу [292, т. II, с. 339].)
47. Пусть для нечетного натурального числа η множество C(Z(n)) — это множество
всех комплексных функций на Z(n), где Z(n) — множество целых чисел по модулю
п. Определим F: C(Z(n))-*C(Z(n)) следующим образом:
п-1
СРПСх) = 4= Σ/№)ε2π**/π для χ € Ζ(η).
1 п_1
а) Покажите, что TrF = -±= Σ е2** /π·
vnfc=o
Указание. Используйте функции δχ, χ€Ζ(η), где 5х(у) = 0, χ/у, и δχ(χ) = 1, в
качестве базисных функций на Ζ(η).
б) Докажите, что (F2/)(x)=/(—х). Отсюда следует, что F4 = id и, таким образом, ±1,
±i — это собственные значения F. Пусть тъ т2, m3, m4 —это кратности значений 1,
i, —1 и —i соответственно. Тогда тх + т2 + т3 + т4 = 1.
в) Покажите, что TrF2 = l, и выведите, что т1— т2 + тъ — т4 = 1.
г) Покажите, что
п-1
Используя а), получите равенство
e2nik2/n
2
= 1.
(m1-m2)2 + (m3-m4)2 = l.
д) Докажите, что
w «/, [(тх-тз)^1-^2, n = l(mod4),
detF = i(m2~m4)+(mi~m3)~(n+1)/ = Ί
l(m2-m4)i(1-,,)/2, n = 3(mod4),
и также
detF = det(-±ze2nixy/n) = Ki(1-n)/2,
где К — положительное число.
е) Покажите, что тпх = а+1 и что m2 = m3 = m4 = α, когда π = 4α + 1, и m1 = m2 = m3 = α
и m4 = α — 1, когда п = 4α — 1.
1 П_1 · 2
ж) Найдите значение -ρ Σ β2π* /п для нечетных п. (Шур)
νΠ*=ο
Пусть m — натуральное число и пусть χ — характер на группе Z(m)*. Функция
χ может быть определена на всех целых числах, если положить χ(κ) = 0, когда
НОД№, гл)>1. Очевидно, что χ имеет период т. Мы будем называть характер χ
элементарным, если он не имеет меньшего периода. Далее, характер χ четный, если
#(—1) = 1, и нечетный, если #(—1) = —1. Также определим
&(*) = Σ*(η)β2» и &(*)=*(*).
п=0

70
Глава I Гамма- и бета-функции
AS. Пусть для α € Ζ(ρ) Ν(χη = α) обозначает число решений уравнения хп = а. Докажите
для Ν|ρ —1, что
где суммирование идет по всем нетривиальным характерам с порядками,
являющимися делителями числа п.
Пусть α — ненулевое целое число. Рассмотрим эллиптическую кривую Е,
определенную уравнением Xqx\— х\ — ах3 = 0, которая в аффинных координатах имеет
вид у2=х3 + а. Предположим, что рф2 или 3 это простое число, которое не
является делителем а. Тогда у2 = χ3 + α — это эллиптическая кривая над Ζ(ρ) с точкой
в бесконечности. Если Νρ обозначает число точек кривой из множества Ζ(ρ), тогда
Np = l+N(y2=x3 + a).
а) Покажите, что если ρ = 2 (mod 3), то Νρ = ρ +1.
б) Пусть ρ ξ 1 (mod 3), и пусть #3 и #2 обозначают кубический и квадратичный
характеры в Z(p)*. Заметим, что
N(y2 = jt3 + a)= 2 N(y2 = u)N(x3 = -i/).
Покажите, что
Np = p + 1 + Х2Хз(аШХ2> Хъ) + XiXs(а) ' Д*2> *з·
в) Покажите, что если Np = ρ +1 — αρ, то |αρ| < 2^/р.
49. С помощью метода, использованного в предыдущей задаче, покажите, что
|N(x3 + y3 = l)-p + 2|<21/p.
Упражнения 48 и 49 представлены в книге [200, гл. 8 и 18].
50. Докажите, что если χ — элементарный характер, то
_ [~x№z№> K0I*a Н°Д№> ™) = *>
|θ, когда НОДОс, гл) > 1.
Определим L-функцию Дирихле с помощью соотношения
п=1
Ряд сходится при Re s > 0, когда характер χ нетривиален, т. е. χ(η) Φ1 хотя бы для
одного neZ(m)*.
51. а) Докажите, что если характер χ нетривиален, то
m-l
L(*>»=^ Σ&(*>1η(1 -е_2я*/т)·
б) Покажите, что если характер # примитивный, то
«*.1)--**^ Σ 7ft)ina-e-**^)—гЬШй Σ J(fc)(lnsing+^i).
fceZ(m)* fc€Z(m)*
в) Покажите, что если характер χ четный, то ^Yik)k = 0, а если χ нечетный, то
Σ 7№) In sin — =0.

Упражнения
71
■-=-^- 2а XW In sin —, когда характер χ четный,
m fc€Z(m)* Ш
k<m/2
—Г" 2j #(*)*> когда характер χ нечетный.
m fc€Z(m)*
г) Докажите, что
52. Докажите, что
а) Шадхава-Лейбнац) 1 -1 +1 -1 +... = J;
б) (Ньютон) i + i-I-i + i + ±-... = -^;
-)<3iU*)l44-H-i + -" = I^
Wf,M л-1,1 1,1 1 1.1, π
Γ) (ЭиЛвр) 1 + --- + ^---- + -+...= -;
λ ι 1 1 ι 1 ι 1 1 1.1.1 2ι 1+^5
Д) 1—« — ο + τ + 7"-- — « + « + ττ — — = "7=1η —-—.
2346789 11 ^5 2
Ряд для π/4, обычно называемый формулой Лейбница, был известен еще Мадхаве
в четырнадцатом веке (см. [324]). Ньютон [281] вывел свой ряд в ответ на формулу
Лейбница, вычислив интеграл:
двумя различными способами. Ряды в) и г) Шарлау и Ополка [332] приписывают
Эйлеру.
Определим обобщенные числа Бернулли формулой
Σχ(α)χεαχ _ уч χ^_
a=l n=0
53. а) Докажите следующее функциональное уравнение для L{x,s), где χ
—примитивный характер:
L(y л-*Ю(2*У LQcAs)
U*'SJ~ 2^U;r(5)cos^'
где δ = О или 1 в зависимости от того, является ли χ четным или нечетным.
Указание. Рассмотрите интеграл
с
t5"1 Σ *(<0eal
α=1
emt-l
S g-! *·
где контур С такой же, как в задачах 23 и 24. Повторите процедуру, описанную
в этих задачах.
б) Покажите, что для любого целого η > 1 выполняется равенство
в) Докажите, что для любого η > 1 и η = δ (mod 2) (символ δ определен так же, как

72
Глава I Гамма- и бета-функции
54. Пусть Ρ — это любая точка между 0 и 1. Покажите, что
I U J Г(1-а)Г(1-0)Г(а + 0Г
Обозначения подразумевают, что интегрирование происходит по контору, который
начинается в точке Р, обходит точку 1 в положительном направлении (против
часовой стрелки), возвращается в Р, затем обходит начало координат в положительном
направлении и возвращается в Р. Символы 1—, 0— показывают, что теперь контур
интегрирования обходится по часовой стрелке, сначала вокруг 1, а потом вокруг О
(см. [423, с. 256-257]).
55. (Арен и Рубин) Пусть G{z) = ]nT{z). Покажите, что
а) если χ > 1/2, то Re G"{x + iy)>0 для всех действительных у;
б) если χ < 1/2, то Re G"(x + iy) < 0 для всех достаточно больших у;
в) если 1/2 < α < b, тогда:
ПЬ + fy)
argT(a + iy)
является возрастающей функцией от у на интервале (— оо, оо);
г) утверждение п. г) верно также, если 0<а<1/2иЬ>1 — а.
56. Покажите, что
Эта задача была предложена Армендом [6].

ГЛАВА 2
Гипергеометрические функции
Почти все основные элементарные математические функции являются или
гипергеометрическими функциями, или их отношениями. Ряд £ сп называется
гипергеометрическим, если отношение сп+1/сп — это рациональная функция
параметра п. Многие неэлементарные функции, которые используются в
математике и физике, также имеют представления в виде гипергеометрических
рядов.
В этой главе мы рассмотрим три важных подхода к гипергеометрическим
функциям. Первый — эйлеровское представление в виде интеграла дробного
порядка—легко приводит к выводу важных тождеств и преобразований
гипергеометрических функций. Второй метод—линейное дифференциальное уравнение
второго порядка, которому удовлетворяет гипергеометрическая функция. Это
уравнение также было получено Эйлером и затем изучалось Гауссом. Позже Ри-
ман заметил, что характеризация уравнения второго порядка с тремя
регулярными особыми точками приводит к мощной методике, требующую минимальных
вычислений, для получения формул для гипергеометрических функций.
Третий подход — это представление Барнса гипергеометрической функции в виде
контурного интеграла, который можно рассматривать как формулу обратного
преобразования Меллина. Некоторые из интегралов, которые здесь возникают,
являются обобщениями бета-интегралов. Они также возникают в соотношениях
ортогональности для некоторых специальных ортогональных многочленов.
Гаусс получил полный список соотношений смежности для функций 2?ъ
чувствуя их важность. Они имеют множество приложений. Мы покажем, как
они приводят к некоторым разложениям гипергеометрических функций в
цепные дроби и также содержат трехчленные рекуррентные соотношения для
гипергеометрических ортогональных многочленов. В этой главе мы обсудим
один из примеров последних, а именно многочлены Якоби.
§ 2.1. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Гипергеометрический ряд — это такой ряд J] сп, что сп+1/сп является
рациональной функцией п, т.е. cn+1/cn = P(n)/Q(n), где Ρ и Q — многочлены от п. Разлагая
многочлены Ρ и Q на множители, получим
сп+1 (η + αι)(η + α2)-(η + αρ)χ
сп (п + Ъ{Кп + Ъ2)...{п + bq)(n +1) · ^ΔΛΛ)
Множитель χ возникает потому, что многочлен может быть не нормирован1.
Множитель η +1 может возникнуть из факторизации, а может и не возникнуть.
Если он не возникает, то добавим его вместе с компенсирующим множителем
п +1 в числителе. Сейчас причиной для включения этого множителя является
ι Многочлен называется нормированным (monk), если коэффициент при старшей степени равен
единице.

74
Глава 2. Гипергеометрические функции
сп+1
введение п! в гипергеометрический ряд Σ°η- Этот множитель удобно иметь
в гипергеометрических рядах, поскольку он часто возникает естественным
образом во многих случаях, которые достаточно важны, для того чтобы дать
им названия. Позже в этой главе мы назовем и более существенную причину.
Из формулы (2.1.1) имеем
Σ.-·Σ|^?=^Λ(«.;:;«:;4 ω
Здесь bt не могут быть отрицательными целыми или нулем, поскольку это
привело бы к обращению в нуль знаменателя. По причинам типографского
характера мы будем иногда обозначать сумму в правой части равенства (2.1.2)
так: pFq(al9..., ар; Ъъ..., bq; χ) или pFq. Для определения сходимости ряда (2.1.2)
естественно применить признак Далабмера1. Таким образом,
IxIn^-Hl + lail/nJ-d + lapl/n)
|(1 + 1/п)(1 + Ь1/п)...(1 + Ь,/п)| "
Непосредственным следствием этого является такое утверждение.
Теорема 2.1.1. Ряд pFq(al9..., ар; Ъъ ..., bq; x) сходится абсолютно для всех х,
если ρ <q, и для \х\ < 1, если ρ = q +1, и расходится для всех хфО, если ρ > q +1
и ряд не обрывается.
Доказательство. Очевидно, что |сп+1/сп|-*0 при п-*<», если p<q. При
p = q + l выполняется равенство lim|cn+1/cn| = |х|, а для p>q + l мы имеем
lcn+i/cJ "~* °° ПРИ п "~* °°· Теорема доказана. D
Случай \х\ = 1, когда ρ = q +1, представляет большой интерес. Следующий
результат дает условия сходимости в этом случае.
Теорема 2.1.2. Ряд q+iFq(al9 ...,aq+1;b!,...,bq;x) при \х\ = 1 сходится
абсолютно, если
Re&-EaO>0·
Ряд сходится условно, если χ = elQ φ 1 и
0>Re(Yibi-Yiai)>-l,
и расходится, если
Re(Zb«-Ea0<-1·
Доказательство. Коэффициент n-το члена ряда q+iFq равен
(fll)n-"(gg+l)n
и, как следует из определения гамма-функции, этот член имеет порядок
. ΠΓ(α,) Σα-α,-ι
Ппь.)
ι Β оригинале ratio test.

§2.1 Гипергеометрические ряды
75
при η —> оо. Обычно для получения этого результата используют формулу
Стерлинга, но в этом нет необходимости (см. формулу (1.4.3)). Отсюда
непосредственно следуют утверждения об абсолютной сходимости и расходимости.
Утверждение теоремы, касающееся условной сходимости, может быть доказано с
помощью суммирования по частямх D
В этой главе изложение будет в основном касаться частного случая — ряда
2Fi(a,b;c;x), хотя в нескольких местах будут рассмотрены более общие ряды.
Ряд 2^1 изучался Эйлером, Пфаффом, Гауссом, Куммером и Риманом. Большая
часть этой и следующей глав посвящена обсуждению их основополагающих
идей.
Мы уже упомянули, что 2рЛа> Ь; с; х), вообще говоря, расходится для х = 1
и Re(c—a —b) <0. Следующая теорема, принадлежащая Гауссу, описывает
поведение ряда при χ -* 1 — 0. Доказательство будет дано далее в тексте в том месте,
где оно возникает естественным образом.
Теорема 2.1.3. Если Re(c — a — b) <0, тогда
2Fl{a,b;c;x) Г(с)Г(а + Ь-с).
х^о (1-*)<-*-* Г(а)Г(Ь) '
и для с = а + Ъ выполняется соотношение
2F1(a,b;a + b;x) _ Г(а + Ь)
JS!o ln(l/(l-x)) Г(а)Г(Ы
Следующий результат, касающийся частичных сумм ряда 2^ι(α, Ь; с; 1),
принадлежит Хиллу [193]. Его можно обобщить на случай p+iFp. Доказательство
предоставляется читателю в качестве упражнения.
Теорема 2.1.4. Пусть sn обозначает п-ю частичную сумму ряда 2^ι(α, Ь; с; 1).
Тогда для Re(c —a —b) <0 выполняется соотношение
Г(с)п'
а+Ь-с
п Г(а)Г(Ь)(а + Ь-с)'
и для с = а -I- Ъ — соотношение
Г(с)1пп
5„~
" Г(а)Г(Ь)"
Утверждение теоремы выглядит достаточно естественным, если заметить,
что п-й член ведет себя как
„ Г(С) д+Ь-с-1
Г(а)Г(Ь)п
Необходимый результат получится, если мы заменим сумму на интеграл.
ι То есть дискретный аналог интегрирования по частям:
М М-1
п=1 п=0
У нас в учебниках это называется преобразованием Абеля.

76
Глава 2. Гипергеометрические функции
Многие из элементарных функций имеют представления в виде
гипергеометрических рядов. Здесь мы рассмотрим несколько примеров:
ln(l + x) = x2F1(Y;-x); (2.1.3)
arctgx = x2F1(1^1;-x2); (2.1.4)
arcsin χ = χ 2Рг( 1/23·^2; х2); (2.1.5)
(l-x)-a=1F0(a;x). (2.1.6)
Последнее соотношение является просто биномиальной теоремой1. Также
имеем
sinx = xQF1(~2; -x2/4); (2.1.7)
cos x = 0Fi{^2'· _χ2/4); (2.1.8)
ex = x0F0(—;x). (2.1.9)
Следующий набор примеров использует предельные переходы:
** = ■$?.*№ 55> (2-LU)
1F1C;,)=lim2F1(a;b;f); (2.1.12)
Λ(Τϊ')=4£?.Λ(β,Γ6··έ)· (2·Ι13)
Пример ln(l — χ) = —дс 2FX (1,1; 2; jc) показывает, что, хотя ряд сходится при
\х\ < 1, он имеет продолжение как однозначная функция в комплексную
плоскость, из которой исключена линия, соединяющая точки 1 и оо. Это
соответствует общей ситуации; функция 2FX имеет продолжение в комплексную плоскость
с точками ветвления в 1 и оо2.
Определение 2.1.5. Гипергеометрическая функция 2F\ (α, Ь; с; х)
определяется
Zj (c)nnl х
п=0
при |х| < 1 и своим аналитическим продолжением вне этой области.
Обычно слова «гипергеометрическая функция» относятся к функции
2Fi (a, b; с; χ), Мы в основном будем следовать традиции, но упоминание о
гипергеометрическом ряде не обязательно означает лишь 2F\* Гипергеометрическим
рядом будет называться ряд, определенный в формуле (2.1.2).
ι Термин, у нас не принятый. Имеется в виду разложение (1 -х)~° = 1 + ах+... в тейлоровский
ряд.
2 Надо сказать аккуратнее. Выйдя из 0 и обойдя 1, мы окажемся на другой ветви, которая уже
имеет ветвление в нуле. Как ясно из рассмотрений в § 2.3, других ветвлений, кроме 0, 1, »,
быть не может.

§ 2.2. Интегральное представление Эйлера
77
§ 2.2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЙЛЕРА
В следующей теореме содержится важное интегральное представление функции
2FX, принадлежащее Эйлеру [125, т. 12, с. 221—230]. Этот интеграл также может
быть интерпретирован как интеграл дробного порядка, что обсуждается в § 2.9.
Теорема 2.2.1. Если Rec>Reb>0, то
в плоскости х, разрезанной вдоль действительной оси от 1 до °°. Здесь
подразумевается, что arg t = arg(l — t) = 0 и (1—xt)~a принимает свое главное значение.
Доказательство. Предположим сначала, что |х|<1. Разложим С1 — jet)-°
по биномиальной теореме, представленной формулой (2.1.6), тогда правая часть
формулы принимает вид
Г(с) V1 И l
L V ±«кхп С fn+b-l (1 _ 0c-b-l dt
с-Ь) Δα п\ J
Г(Ь)Г(с _ ... п
Это бета-интеграл, который, будучи выражен через гамма-функцию, равен
Г(п + Ь)Г(с-Ь)
Г(п + с)
Подставив это отношение в предыдущее выражение, получим
Г(с) У^(а),Г(п + Ь) рГа,Ь. Λ
T(b)Zj п!Г(п + с) * -2^ с >*J·
п=0
№ этого следует утверждение для |х| < 1. Поскольку интеграл аналитичен на
разрезанной плоскости, теорема верна также и в этой области. D
Интеграл в теореме 2.2.1 можно рассматривать как аналитическое
продолжение ряда 2^ь но только когда Rec>Reb>0. Функция {\ — xi)~a в
подынтегральном выражении является в общем случае многозначной, и можно
изучать многозначную структуру функции 2^ι (α> Ь;с;х), используя этот интеграл.
Для более глубокого обсуждения потребовалось бы рассмотрение некоторых
идей теории римановых поверхностей, которые выходят за рамки этой книги
(см. [222]).
Важно также отметить, что мы рассматриваем 2^Ла> Ь;с;х) как функцию
четырех комплексных переменных а, Ь, с и χ вместо одной переменной х. Легко
видеть, что ρ7-τ2^ι(α> Ь; с; х) есть целая функция от а, Ь, с, если χ фиксировано
и |дс| < 1, поскольку в этом случае ряд сходится равномерно в каждой компактной
области пространства переменных а, Ь, с. К параметрам а, Ь, с может быть
применено аналитическое продолжение. Результат может быть получен при
некоторых начальных ограничениях и потом расширен. Например, справедлив
следующий результат.
Теорема 2.2.2 (Гаусс [158]). Для Re(c —a —b)>0 выполняется равенство
Σ°° (а)п(Ь)п Г(а,Ъ.Л= Г(с)Г(с-а-Ь)
п\(с)п 2ГЧ с >L) Г(с-а)Г(с-Ь)*

78
Глава 2. Гипергеометрические функции
Доказательство. Перейдем к пределу при χ -* 1—0 в интеграле Эйлера для
2FX. Результатом, согласно теореме Абеля о непрерывности1, будет равенство
2Ч с Л)-Г(Ь)Г(с-Ь) У (1"° dt-r(c-a)r(c-by
когда Rec>Reb>0 и Re(c — a — b)>0. Условие Rec>Reb>0 может быть
устранено аналитическим продолжением. Однако поучительно рассмотреть
доказательство, которое не использует принцип аналитического продолжения.
Нашей первой целью является доказать соотношение
*(V=0-%№*(«■& ι). азл
Если
_ (а)па>)„ _ (а)„(Ь)„
Λη — _,, ν И £>„ —
п!(с)„ "» п!(с + 1)„·
то
с(с_а_ИЛ_(с_а)(с_МВ„ = ;^[с-а-Ь-£^]
^-(„ + 1М^ = ^[„-<£±^].
Таким образом, поскольку правые части в двух последних выражениях равны,
мы получаем
с(с — а — Ь)Ап = {с — а){с — Ъ)Вп + спАп — с{п +1) Ап+1
и
с(с-а-Ь)^Ап = (с-а)(с-Ь)^Вп-сда+1Мм.
о о
Теперь устремим N —> оо и заметим, что (N + 1)AN+1 ~ l/iV0"^1-b -* 0, поскольку
Re(c—a—b) > 0. Отсюда следует соотношение (2.2.1). Производя итерацию этого
соотношения η раз, получим
Г(с-а)Г(с-Ь) f Q,b. ^ _ Г(с + п-а)Г(с + п-Ь) р ( а,Ъ «\
Г(с)Г(с-а-Ь)2 Ч с '-V Г(с + п)Г(с + п-а-Ь)2 Чс + гГ Г
Легко проверить, что правая часть стремится к 1 при п—> оо. Отсюда следует
утверждение теоремы для Re(c — a — b)>0. Эта теорема называется формулой
суммирования Гаусса. D
Случай, когда один из верхних параметров является отрицательным целым
числом, делая таким образом 2F\ конечной суммой, стоит упоминания2.
Вообще-то, этот результат был известен китайскому математику тринадцатого века
Чу и был открыт заново позднее (см. [21, гл. 7]).
Следствие 2.2.3 (Чу—Вандермонд). Справедливо равенство
(с-а)п
Л("Г:>)-
(с)„
ι См. добавление Б
2 Он часто встречается ниже. В этом случае говорят, что ряд — «обрывающийся» (terminating).

§ 2.2. Интегральное представление Эйлера
79
Интеграл Эйлера для 2F\ может быть обобщен на случай pFq. Перепишем
его в виде
АС·» = ТШЬ) \ ^d-O--1 ACa;*)dt.
Таким образом, интегрирование XF0 с весом, заданным бета-распределением
tb-1(l — t)c~b~l, дает 2^ι, т.е. параметр Ъ добавляется в числитель, а с —в
знаменатель исходного ряда iF0(a;t).
В более общем случае имеем
гаъ ...,αρ,αρ+1 ч _ Г(Ь,+1) J χ
>+1'<+1l blf..., bq, bq+1 ' *J ~ Γ(αρ+1)Γ№ς+1 -αρ+1) J f
x a-t)b^-^-\Fq{lli'''iap;xt)dti (2.2.2)
когда Re bq+1 > Re ap+1 > 0. Это условие необходимо для сходимости интеграла.
С помощью замены переменных выражение в правой части равенства (2.2.2)
также можно представить в виде
Гг/У^а 1 I t^-\X-t)b,^-\Fq(l*>-'a>;t)dt. (2.2.3)
Γ(αρ+ι)Γ№ς+1-αρ+1) J ρ 4vblf...,bq У
Отметим еще, что соотношение (2.2.2) можно использовать для изменения
значения параметра в числителе или в знаменателе в выражении
pFq{al9..., αρ; Ъъ ..., bq; x).
Например, взяв ap+l=bq в формуле (2.2.2), получим
/ alf...,ap ш \ _ Г(Ь,+1)
Λ4,...Α-ιΑ+ι ^ r(bq)r(bq+1-bq)
ι
х 5^-1(l-0bq+1"bq"1pFq(^1,,,,,^;jct)dt. (2.2.4)
о ь1? ...,bq
Необходимо отметить, что когда в формулах с (2.2.2) по (2.2.4) χ — комплексная
переменная, то pFq является, вообще говоря, многозначной функцией. Таким
образом, область изменения переменной χ должна быть ограничена таким
образом, чтобы функция pFq была однозначной. Мы отметим частный случай (2.2.4).
Теорема 2.2.4. Для Re О Red >0, хф\и | arg(l —х)| < π верно равенство
Отметим одну тонкость, связанную с интегралом Эйлера для 2F\. Функция
2F1? очевидно, симметрична по верхним параметрам а и Ь, в то время как
не очевидно, что интеграл остается неизменным при перестановке а и Ь.
Эрдеи [116] нашел двойной интеграл, из которого могут быть получены оба
интегральных представления:
Г(а)Г(Ь)ГГ(с-]1)Г(с-Ь) | S t^Cl-t)-*-1 x H-s^Hl-tsx^dtds.
(2.2.5)
χ

80
Глава 2. Гипергеометрические функции
Следующая теорема дает важное приложение интеграла Эйлера к выводу
двух формул преобразований гипергеометрических функций.
Теорема 2.2.5. Справедливы равенства
2Fi(a'cb;x) = (l-x)-a2F1(a>c-b;^), (Пфафф) (2.2.6)
2F1(a^;x) = (l-Jr)c-a-Vi(C"a;C_b;4 (ЭйлеР} (227)
Доказательство. Заменим t на 1—s в интеграле Эйлера (теорема 2.2.1)
и получим
'*№*)=rd^
= (1-*ГТ(с) \r __xsjpsc-b-iQ_s)b-ids
Г(Ь)Г(с-Ь) Η1 χ-lJ s u SJ as'
Это доказывает преобразование Пфаффа [287] для Re с > Re b > 0. Полностью
результат будет доказан после аналитического продолжения по с и Ь.
Гипергеометрическая функция симметрична по параметрам а и Ь, так что
мы можем применить к ней преобразование Пфаффа:
л(^')=«-"1>-АГлГГ^)'
Это формула Эйлера [126]. Теорема доказана. D
Ряд в правой части формулы преобразования Пфаффа сходится при
\х/(х —1)1 <1. Это условие выполняется при Re χ < 1/2; тогда мы имеем
продолжение ряда 2РЛа> Ь; с; х) в эту область по формуле Пфаффа.
Следующие два примера показывают мощь формул преобразования.
Согласно преобразованию Пфаффа
В гл. 1 мы показали, как гамма-функция может использоваться для изложения
некоторых аспектов теории тригонометрических функций. Из
вышеприведенных соотношений можно вывести соотношения между тригонометрическими
функциями в прямоугольном треугольнике.
В качестве второго примера запишем преобразование Эйлера в виде
С1-х)^А(в^*) = А(е-в;с-ь;*).
Приравняем коэффициенты при хп в обеих частях и получим
Σ
{а)^Ь)^с-а-Ь)пЧ (с-а)п{с-Ъ)п
. Λ jWjin-jV. n№n
Перепишем это в следующем виде.
Теорема 2.2.6 (Пфафф—Заалыиютц). Справедливо равенство
-п,а,Ъ -λ (с-а)п(с-Ъ)п
зРАс,1 + а + Ъ-с-пЛ)- {c)n{c-a-bV (2'2·8)

§ 2.2. Интегральное представление Эйлера
81
Формула суммирования Гаусса для 2F\ (теорема 2.2.2) получается при
стремлении η -* оо. Корректность процедуры взятия предела может быть
подтверждена теоремой Таннери, которая является дискретной формой теоремы Лебега
о мажорированной сходимости1. Утверждение теоремы 2.2.6 было впервые
получено Пфаффом [288], а затем, заново, — Заалыиютцем [328]. Часто ее
называют теоремой Заалыиютца, но такое название не отдает должного Пфаффу.
Удивительно, но похоже, что частный случай теоремы был найден Чу (см. [377]).
Замечание 2.2.1. Тождество Чу—Вандермонда (следствие 2.2.3) дает сумму
обрывающегося ряда 2^1- Тождество Пфаффа—Заалыиютца касается такого частного случая 3F2,
что сумма параметров в знаменателе на единицу больше суммы параметров в числителе.
Такой ряд называется уравновешенным. Это тождество было получено путем
факторизации 2^ι, и стоит отметить, что тождество Чу—Вандермонда может быть получено из
факторизации ^0. В самом деле, можно приравнять коэффициенты при хп в левой
и правой частях равенства
(1 - х)-" (1 - х)"6 = (1 - *Г(а+Ь)
и получить эквивалентное тождество
S(g)fc(b)n.fc _ (а + Ъ)п
к\(п-к)\ п\ '
Jt=0
Правая часть формулы преобразования Пфаффа, будучи разложена в ряд, равна
S(q)fc(c-b)fc k rV^_Vy(e)*(c-b)fc gtfl + Bj |
(c)fcfcl l } U } "ZjZj (c)kk\ l X) j\ Xu
k=0 K Jt=0 j=0 JK J
Заметим, что (a)k(a + fc); = (a);+jt; тогда запишем ; -l-к = η и увидим, что сумма равна
V &к V (-»)fc(c-b)fc „ yi (a)n(b)n
где внутренняя сумма была вычислена с помощью тождества Чу—Вандермонда. Таким
образом, мы получили другое доказательство формулы для преобразования Пфаффа.
Следующее определение подсказано формулой Пфаффа—Заальшютца.
Определение 2.2.7. Ряд
f^a; »
называется уравновешенным, если χ=1, один из параметров числителя является
целым отрицательным числом и аг +... + ар+1 = Ьх +... + Ьр.
Замечание 2.2.2. Тождество Пфаффа—Заальшютца может быть переписано в виде
(c)^c + a + b)n3F2(c^:abC^c;l) = (c + a)n(c + b)n.
Это полиномиальное тождество относительно a, b, с. Дуголл [107] заметил, что обе части
равенства являются многочленами степени π по а. Следовательно, равенство верно, если
обе части равны для η +1 различных значений а. Очевидно, утверждение верно, когда
ι Пусть сп>0 и ряд £сп сходится. Пусть для любого η последовательность ап стремится к ап,
причем \ап | < \сп\ для всех j. Тогда Σ αη ~* Σ αη· Это частный случай теоремы Лебега, в качестве
η J
«пространства с мерой» рассматривается множество натуральных чисел.

82
Глава 2. Гипергеометрические функции
п = 0. Предположим, что оно верно для п = 0, 1, ..., £— 1. Теперь положим п = к. Из
симметрии между α и π следует, что равенство верно для а = 0, 1, ..., к — 1. Это дает
к значений; следовательно, если мы сможем найти еще одно значение а, для которого
тождество выполняется, то оно будет доказано. Заметим, что
(1-a-b-n.c),=C-l)'(c + a + b)_,.
Таким образом, если а = —Ь = —с, то обе части тождества равны (—а)п(—Ь)п. Таким
образом, тождество доказано. Дуголл показал, что этим методом может быть доказано
более общее тождество. А именно,
(а, 1 + L·, -b, -с, -d, -e, -п А
ι ί1 =
±a,l + a + b,l + a + c,l + a + d,l + d + e,l + a + n у
= (l + a)n(l + a + b+c)n(l + Q + b + d)n(l + a + c + d)n
a + a + b)n(l + a + c)n(l + a + d)n(l + a + b+c + d)n' l * *
где l + 2a + b + c + d + e + n = 0Hn — натуральное число. Это условие означает, что ряд
обрывается и что сумма параметров знаменателя на 2 больше суммы параметров
числителя. Такой ряд называется 2-уравновешенным (1-уравновешенный ряд уравновешен, как
в теореме Пфаффа—Заалыпютца). Отметим, что сумма параметров в столбцах в функции
7F6 дает ту же величину. Таким образом,
1 + а = 1 + ^а + ^а = 1 + а + Ь-Ь = 1 + а + с-с
и т.д. Ряды такого типа называются хорошо уравновешенными. Тождество Дуголла
дает сумму для класса хорошо уравновешенных 2-уравновешенных рядов 7F6. Такой ряд
называется очень хорошо уравновешенным, поскольку ряд содержит множитель
(1"),
(а
а + 2к
Jk
Это тождество было получено Рамануджаном примерно в то же самое время, когда
и Дуголлом (см. [182, с. 102]). Доказательство тождества (2.2.9) приведено ниже. Для
того чтобы получить другое важное тождество из тождества Дуголла, перейдем к пределу
при η —»оо и получим
^|,a + b+l,a + c + l,a;fd + l J
(2.2.10)
_ r(a + b+l)r(a + c + l)r(a + d+l)r(a + b + c + d+l)
"" r(a + l)(a + b + c+l)r(a + b + d + l)r(a + c + d+l)
если Re(a + b + c + d +1)>0. Затем возьмем d = —a/2 и получим
F( *,-Ъ,-с л г(| + 1)г(а + Ь+1)Г(а + с + 1)г(| + Ь + с + 1)
3 Ча + Ь+1,а + с + 1' J Г(а + 1)г(| + Ь+1)г(|+c + l)r(a + b + c + l)"
Это равенство дает сумму общего хорошо уравновешенного 3^2-ряда. Оно было получено
Диксоном [105]. Возможность взятия предела подтверждается теоремой Таннери. Более
общий, чем (2.2.10), результат был получен Роджерсом в работе [313]. Этот результат
будет представлен позже.
Зам ε чан и ε 2.2.3. Мы видели, что тождество Чу—Вандермонда может быть получено
из интеграла Эйлера, выписанного в теореме 2.2.1, которая является непосредственным

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
83
следствием выражения для бета-функции. Верно и в некотором смысле обратное
утверждение. Тождество Чу—Вандермонда есть дискретный аналог формулы для
бета-интеграла
J Γ(α + b)
По замечанию 2.2.1 имеем
π! γ1 (в)*(Ь)п-* _Ί
Мы коротко поясним доводы, показывающие, что предельный вид этого тождества —
формула для бета-интеграла. Перепишем тождество в виде
(п + 1)1 1 У"»
(a + Wn'n + lfJ
(аМЪ)п-к =1
и η W(n-fc)!
Jt=o
или
ιΐ-βΓ/Λ. /ыитп -l ι ΙτλΙ—Ь,
Лп + iZj (n + D^^Ca + Wn/n! U + lJ ν n + lJ
Напомним, что по определению
(a),(fc + l)1-fl_ 1
к-»» Μ Γ(α)
Если мы разобьем суммы следующим образом:
1η π π—In π π
fc=0 In π π—In π
то первая и третья суммы будут стремиться к нулю, а вторая будет стремиться к
Πα + Ь) ρ ta-i(1, t)b-idt ^
Г(а)Г(Ь) J 1 ; р
Это выражение равно единице, и таким образом, мы получили требуемый результат.
Читателю предлагается попробовать найти непрерывный бета-интеграл, который
соответствует формуле Гаусса для функции 2Fi при х = 1.
§ 2.3- ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Гипергеометрическая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
второго порядка с тремя регулярными особыми точками. Это уравнение было
введено Эйлером [125] и широко изучалось Гауссом [158] и Куммером [242].
Риман [309] разработал более абстрактный подход, который очень важен.
Наше изложение будет в основном следовать идеям Римана в более явной
форме, представленной Паперицем [285]. Читатель, не знакомый со свойствами
дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками в виде рядов,
может найти для себя полезным сначала ознакомиться с добавлением Е1.
ι Стоит формулировать логические связки более формально. Говорят, что 0 — регулярная особая
точка уравнения (2.3.1), если оно имеет вид
у" + х~1и(х)у/ + x~2v(x)y = 0,

84
Глава 2. Гипергеометрические функции
Пусть ρ (χ) и q(x) — мероморфные функции. Предположим, что уравнение
§ + P(*)^ + qWy = 0 (2.3.1)
имеет регулярные особенности лишь в конечных точках α, β, γ и что
определяющие уравнения в этих точках имеют решения аъ а2; Ъъ Ъ2 и сг; с2
соответственно. Предположим, что а1 — а2) Ьг — Ъ2 и сг — с2 — нецелые числа.
Проследим условие отсутствия особенности на <». Положим x = l/t, тогда
дифференциальное уравнение примет вид
§ + (f - ?p(1/'))3f + 7qa/t)y = °· (2·3·2)
Поскольку о© является не особой точкой, функции 2х — х2р(х) и x4q(x) ана-
литичны в оо. Более того, поскольку α, β, γ являются регулярными особыми
точками, мы имеем
р(*) = —+ -Λ*+ —+ "ι(χ)
г χ — α χ — β χ — γ L
U-a)U-/3)(x-r)qU)=^ + ^ + ^ + u2W,
где иг(х) и и2(х) являются аналитическими функциями.
Два последних соотношения и аналитичность функций 2х — х2р{х) и x4q(x)
в бесконечности влекут, что А + В + С = 2 и и1(х) = и2(х) = 0. Рассмотрим ре-
00
шение, имеющее вид J] αη(χ — α)η+λ, где характеристическая экспонента λ
удовлетворяет определяющему уравнению
А(А-1) + ЯА + т ^ г = 0.
Поскольку аг и а2 — корни этого уравнения, мы имеем
аг + а2 = 1 — А
D
а1а2~ (α-βΚα-γΥ
Следовательно,
А = 1 — а1 — а2 и D = (а — /3)(а — тОа^.
Аналогично
B = l-bx-b2 и E = (/3-a)(/3-r)b1b2
где и(х) и υ Μ аналитичны вблизи нуля. Мы ищем решения в виде ряда γ(χ) = χμ Σ cjx*-
Обозначим /ι(μ) = μ(μ — 1) + ϋ(0)μ + ν(0). Подставляя у (х) в уравнение, получаем
/ι(μ)^"2 + [θχ/ι(μ +1) - Т0с0]х^3 + [ο2/ι(μ + 2) - 7*^ - 7? с^дс^4 +... = 0,
где 7JJ —линейные выражения от тейлоровских коэффициентов функций u(x), ι;(χ)· Приравняем
коэффициенты к нулю. Во-первых, h (μ) = 0 («определяющее уравнение», его корни —
«характеристические экспоненты»). Если μ — корень, мы полагаем с0 = 1 и дальше последовательно находим
съ с2, ... Это возможно, если /ι(μ+1)^0, /ι(μ + 2), ..., т.е. если разность характеристических
экспонент не целая, см. [474].

§2.3. Гипергеометрическое уравнение
85
С = 1-сг-с2 и F = (y-a)(r-j3)ciC2.
Поскольку А + В + С = 2, характеристические экспоненты дифференциального
уравнения связаны соотношением
аг + a2 + bx + b2 + cx + с2 = 1. (2.3.3)
Мы собрали полученные результаты в следующей теореме, принадлежащей
Паперицу [285].
Теорема 2.3.1. Дифференциальное уравнение с тремя особыми точками а,
β, γ и характеристическими экспонентами аь а2; Ьъ Ъ2; и съ с2 соответственно
имеет вид
Й2
d2y fl-ai-a2 1-Ъг-Ъ2 l-cl-c2^dy |
dx2 1 χ —α χ —в χ —γ ϊdx
ι!
άχ2 Ι χ — α χ —0 χ — γ J dx {χ — ά){χ — β){χ — γ)
(α-β)(α-γ)α1α2 | QB-oQQB-г)ЬА | fr-aXr-fl)^] =0
χ —a jc — /8 χ —^ J '
и характеристические экспоненты удовлетворяют условию (2.3.3).
Общепринято брать в качестве особых следующие точки: 0, 1 и оо. Тогда
положим а = 0, β = 1 и γ-*<χ> в полученном дифференциальном уравнении
и будем иметь
х2(х-1)20 + {(1-а1-а2Мх-1)2 + (1-Ь1-Ь2)х2(х-1)}^ +
+ {αλα2(\ -х) + bib2x + сгс2х(х- 1)}у = 0. (2.3.4)
Гипергеометрическое уравнение получается из этого следующим упрощением.
Запишем это уравнение в виде (2.3.1). Если у удовлетворяет уравнению (2.3.1)
и у = χλ/, то / удовлетворяет уравнению
0*(рм+?)|+(,м+гй!)+г2?ау-а
Это уравнение по-прежнему имеет 0, 1, о° в качестве особых точек, но у него
другие характеристические экспоненты. Уравнение (2.3.4) имеет
характеристические экспоненты аг и а2 в точке 0, новое уравнение имеет в нуле
характеристические экспоненты аг — Х и α2 — λ. Характеристические экспоненты в оо,
однако, равны сг + λ и с2 + Я. С помощью этой процедуры мы можем добиться
того, чтобы одна характеристическая экспонента в точке 0 и одна экспонента
в точке 1 были равны 0. (При χ = 1 мы положим у = (1 — x)xf(x).) Тогда новое
уравнение имеет характеристические экспоненты 0, а2—аг; 0, Ъ2—Ъг; сг + аг + Ъг,
c2 + a1 + bl. Это приводит к существенному упрощению соотношения (2.3.4),
поскольку члены ага2 и bib2 обращаются в нуль. Традиционными
обозначениями являются а = сг + а1 + Ьг Ъ = с2-\-а1-\-Ьг и с = 1 + аг — а2. После упрощения
уравнение принимает вид
x(l-x)^+[c-(a + b + l)x]^-aby = 0. (2.3.5)
Это гипергеометрическое уравнение Эйлера. Его регулярные особенности
находятся в точках 0, 1 и оо с показателями степени 0, 1 —с; 0, с — а — Ъиа, Ъ

86
Глава 2. Гипергеометрические функции
соответственно. Если не утверждается обратного, то мы будем считать, что
с, а — Ъ и с —а —Ъ —нецелые.
Риман [309] обозначил набор всех решений уравнения из теоремы 2.3.1
символом1 0
ία β γ
ρ\αλ bx сг χ
[а2 b2 c2
В частности, набор решений уравнения (2.3.5) обозначается так:
ι
(2.3.6)
(0 оо 1 ч
О α 0 xl
1-е Ь с—а—Ь )
Из наших предыдущих рассуждений следует, что
ГО
χλ{\-χ)μΡ
1 \ ГО оо ι \
Ьх χ \ =Ρ < αχ + Α ^—λ — μ Ьх+μ χ \
b2 ) \α2 + λ Сч — λ — μ Ъ-ζ+μ )
αι ci b\ х}=Р <аг + Х Cx—λ — μ Ь
[а2 с2 b2 ) [α2 + λ с2 —Α —μ Ь2
Любое конформное отображение римановой сферы CU{<»} имеет вид
λχ + μ
(2.3.7)
t = -=—-, (2.3.70
δχ+ν9
где Αν — μδ = 1. Такое отображение переводит любые три различные точки
{α, β, γ} в три другие различные точки {аъ βΐ9 γλ}. В этом случае
α β Г } (<*ι βι Τι
α ρ γ \ rax px
ΐχ Ьх сг χ Ι = ρ J аг Ьх
Ц b2 c2 ) [а2 Ь2
(2.3.8)
[а2 Ь2 с2 ) \а2 Ь2 с2
Это легко проверить. Более того, существуют шесть дробно-линейных
преобразований, которые переводят три точки в перестановку этих трех точек.
Например, набор точек {0,1, со} переводится в себя отображениями
1-х, -,
' х9
1-1 = 2=1,
X X
1-х9 χ χ 9 1-1/х x-V
Мы отметим несколько частных случаев формул (2.3.7)—(2.3.9):
(Oool ч Г 0 <х> I \
О а 0 χ I = р J 0 α 0 1-х I =
1-е Ь с—а—Ь ) [с—а—Ь Ь 1-е J
-Ι-
(2.3.9)
(2.3.10)
1-е с—Ъ Ъ — а
(А)
(Б)
Опишем общий план происходящего, чтобы он не потерялся в деталях. Есть два вида
преобразований, переводящих уравнение с тремя регулярными особыми точками в уравнения
того же вида. Во-первых, это конформные преобразования сферы Римана Си». Во-вторых,
в уравнении (2.3.1) можно сделать замену у = (χ — α)μ(α — β)ν(χ — у)*уУ где μ+ ν+χ = 0. Выше
были введены координаты на пространстве интересующих нас уравнений. В этих координатах
наши преобразования выглядят вполне тривиально.
Далее, для фиксированного эйлеровского уравнения (2.3.5) существуют 24 преобразования,
переводящих его в уравнения того же вида (с другими а, Ь, с). Ниже это обстоятельство
обыгрывается. Кстати, отсюда же «умозрительно», без вычислений получается известный список
24 куммеровских рядов, см. [119].

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
87
(В)
(Г)
(Д)
(Е)
[1-е c—b a + b — c )
(О оо 1ч
О Ι + α-c О х[. (Ж)
с-1 1 + Ь-с с-а-b J
Теперь из полного набора решений Р{} уравнения (2.3.5) мы выберем два
линейно независимых решения, которые образуют базис, в окрестности точ-
00
ки х = 0. Для решения вида χλ J] anxn характеристическая экспонента должна
о
быть равна 0 или 1-е. Когда А = 0, коэффициенты ап удовлетворяют условию
_ (a)n(b)n
п (D„(c)„·
Таким образом1, одно из решений есть 2РЛа>Ь;с;х). Если с не целое, то
гипергеометрическое уравнение имеет только одно независимое решение,
аналитическое при х = 0. В частности, 2Fifa>b;c; x) является единственным
решением, аналогичным при х = 0 со значением 1 в точке х = 0. Другое
решение имеет вид W = x1~cg, где функция g аналитична при х = 0. Из
соотношения (2.3.10), (Ж) следует, что g = k2F1(a + l — c>b + l — с; 2-е; χ), где к —
константа. Следовательно, независимыми решениями являются 2*1(а,Ь;с;х)
и дс1_С2^1 (а +1 ~~ с> Ь +1—с; 2—с; х). Подобным образом из соотношений (2.3.10)
следует, что два независимых решения в точке χ = 1 имеют вид
2Fi(a,b;a + b + l-c;l-x)
и
(l-x)c^-Vi(c-a>c-b;c + l-a-b;l-x),
(-χ)-" 2FX (a, a +1 - с; а +1 - b; 1/x)
а в точке оо это
(-хГь 2FX (Ь, Ь +1 - с; Ь +1 - α; 1/х).
Степени —1 были введены для удобства записи некоторых дальнейших формул.
ι За этими словами стоит пропущенное вычисление, которое следует провести.

Глава 2. Гипергеометрические функции
Важно отметить, что некоторые формулы преобразований
гипергеометрических функций могут также быть получены из соотношений (2.3.10).
Преобразование Пфаффа
2F1(a,b;c;x) = (l-x)^,2F1(a,c-b; с; х/(х-1))
является непосредственным следствием формулы (2.3.10), (Б) и того факта,
что существует только одно решение, аналитическое и равное 1 при х = 0.
Преобразование Эйлера
2Fi (a, b; с; χ) = (1 - χΤ^^ι ic-a,c-b\c\x)
следует из соотношения (2.3.10), (Е).
Число соотношений на гипергеометрические функции возрастет, если
воспользоваться тем фактом, что гипергеометрическое уравнение имеет ровно
два независимых решения и, таким образом, любые три решения должны быть
линейно зависимыми.
Теорема 2.3.2. Справедливы равенства
Λ(.+,νι_ί!ι-«)--ΑΑ(ν=')+*^Λ(Ι+,-ϊ'ιΙ«+'-,ί«).α»«
где
Г(а + Ь + 1-с)Г(1-с) Г(с-1)Г(а + Ь + 1-с).
Г(а + 1-с)Г(Ь + 1-с) Г(а)Г(Ь)
Г(с)Г(Ь-а) Г(с)Г(а-Ь)
Г(с-а)Г(Ь) Г(с-Ь)Г(а)в
Доказательство. Когда х = 0 и Rec<l, формула суммирования Гаусса
дает
, Г(а + Ь + 1-с)Г(1-с)
Г(а + 1-с)Г(Ь + 1-с)в
Заметим, что условие Rec<l использовалось дважды. Первый раз оно
использовалось для того, чтобы обратить в нуль второе слагаемое в правой
части (2.3.11); также это условие того, что ряд в левой части сходится при
χ = 0. Тогда условие χ = 1 дает (для Re (с — а — Ъ) > 0) соотношение
1= ,Г(с)Г(с-а-Ь) „Г(2-с)Г(с-а-Ь)
Ar(c-a)r(c-b)tfl Г(1-а)Г(1-Ь) *
После несколько утомительных тригонометрических вычислений, которые
проводятся после применения формулы отражения Эйлера по второму слагаемому
в правой части, мы приходим к значению В, требуемому в теореме.
Равенство (2.3.11) доказано.
Предположим, что Re Ъ > Re α. Правая часть равенства (2.3.12) при χ -* оо
ведет себя как С{—х)~а. Для того чтобы понять, как ведет себя левая часть,
воспользуемся преобразованием Пфаффа. Тогда будем иметь
Α(ν:χ)-α-χϊ-«Λ(···-'Ά)~

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
89
Предположение, что Re Ъ > Re а > О было использовано еще раз на последнем
шаге, для того чтобы вычислить 2^ι(1) с помощью формулы Гаусса. Получается,
что
Г(с)Г(Ь-а)
Г(с-а)Г(ЬГ
Значение коэффициента Ό можно получить, используя симметрию
относительно α и b. D
Следствие 2.3.3. Справедливы равенства
**А с 'χ)~ Пс-атс-П^Аа + Ъ + г-с'1 *Г
Λ^Ψτ'Λί,^Ι--) WW*) (2.3.14)
Доказательство. В равенстве (2.3.11) заменим л: на 1—хиснаа + b + l—с.
Это дает (2.3.13). Далее, просто положим а=-пи вспомним, что ψτζ~\ = О» когда
п — неотрицательное целое число. D
Первая часть теоремы 2.1.3 также следует из формулы (2.3.13). Следует также
отметить, что, поскольку формула Пфаффа
2F1(afb;c;x) = (l-x)-4I2F1(afc-b;c;x/(x-l))
дает продолжение 2Р\ из области \х\ < 1 в область Re χ < 1/2, формула (2.3.13)
даст продолжение в область Re χ > 1/2, разрезанную вдоль действительной оси
отдс = 1дох = <». Разрез надо провести из-за наличия точек ветвления у функции
(1—x)c~a-b. (Поскольку эта функция определена на римановой поверхности,
функция 2*Ί (α> Ь; с; х) определена там же.)
Рассмотрим теперь функцию
SW=S(1 + t)i/3(jc + tr
Мы покажем, как теорема 2.3.2 может быть использована для того, чтобы найти
асимптотическое разложение этой функции. Вонг [430, с. 18] использовал эту
функцию, чтобы показать, что к асимптотическому разложению функций нужно
подходить с некоторой осторожностью. В этом примере, если воспользоваться
методом интегрирования по частям1, получается разложение2
00
Six) Σ2·Μ3η-1)Χ"° ПРИ Х~*°°' (2·3·15)
которое, очевидно, неверно, поскольку интеграл положителен, а каждый из
членов разложения отрицателен. Однако для t > 1 мы имеем
(1 + о~1/3 = Σ (1/3)п,(~1)Пг"-1/3.
п=0
ι Мы последовательно интегрируем по частям, выписываем вклады от граничных точек, а об
интегральном слагаемом (не пытаясь его оценить) забываем.
2 См. добавление В.

90
Глава 2. Гипергеометрические функции
Если в интеграл подставить этот ряд, то почленное интегрирование приведет
к расходящимся интегралам:
i x+t
Если их интерпретировать в смысле обобщенных функций1, то значения этих
интегралов можно положить равными
2π (-1)"
Лх"+1/г
В такой интерпретации S(x) имеет разложение (после почленного
интегрирования)
00 С1)
δ(χ)~^ΣΗι *~"~1/3 при х~*ж· (2·3·16)
Правильным результатом, однако, является сумма разложений (2.3.15) и (2.3.16).
Мы получим этот результат из теоремы 2.3.2. Прежде всего отметим, что для
Re (а + 1 — с) > 0 и Re Ъ > 0 выполняется равенство
Это следует из представления функции 2F\ в виде интеграла Эйлера, данного
в теореме 2.2.1. Для того чтобы свести этот интеграл к эйлеровому виду,
положим t = u/(l —и). Из соотношения (2.3.17) следует, что
00
Six) = | S (1 + 0~1/3(ΐ + t/χΤ1 dt =
хо
_ Г(1)Г(1/3) Ш П_3 rfM., П
~ *Г(4/3) ^Ц/З'1 x)~x2tlUirl хУ
Воспользовавшись формулой (2.3.11), ползучим
^..л-ЗГГ(4/3)Г(-2/3) Г(\Л.1\. Г(2/3)Г(4/3) 2/3 f 1/3,1/3. 1ΛΊ _
iW-xl Г(1/3)Г(1/3) 2l4s/3*xJ + Г(1)Г(1) * 2*Ч 1/3 ' χ Л -
-3/1 Γ/Ί,1.1Λ. 1 π 2/з р (1/3,1/3. 1Λ1 _
~xl 22РАъ/ГхГЪ%тп1ЪХ 2*А 1/3 'хЛ-
-_JL »ί1·1.1ΐ4.Μ± Ρ П/ЗЛ/З. 1Λ
~ 2х2'Ч5/3'х^ VSxi/s^v 1/3 'х>
что эквивалентно сумме рядов (2.3.15) и (2.3.16).
Замечание 2.3.1. Мы видели, что функция 2^Ла> Ь; с; х) является одним из решений
гипергеометрического уравнения. Этот факт был использован для того, чтобы показать,
что другим независимым решением является
x1-c2F,(a + l-c,b + l-c;2-c;x).
Здесь мы покажем, как из ряда для 2F\ могут быть формально получены другие решения.
Мы должны представить гипергеометрический ряд в виде двустороннего ряда
V^ (<0n(b)„
ία (с)„Г(п + 1)
х'1
ι См. добавление Б.

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
91
Поскольку Г(1+дс) имеет полюсы при х = — 1, —2, ..., ряд не содержит отрицательных
степеней х. Очевидно, что замена переменной η —> η + m, где m — целое число, не
изменяет двустороннего ряда. Рассмотрим преобразование η -> η + α, где α — нецелое
число. Тогда ряд примет вид
ЕЮп+а(Ъ)п+ахп+а = (a)g(b)a γ« (a + a)n(b + a)
п. . Wn+eWn+e (c)a(Da „-ft (c + a)n(l + a)/ * ™
В последнем выражении члены с отрицательными значениями η обращаются в нуль,
если мы положим с + a = 1 или 1 + a = 1. Последнее условие снова даст исходный ряд
2FV Первый случай, когда а = 1 —с, даст соотношение
.Л-сТГ (a + l-c)n(b + l-c)n _ л^ /a + i_Cjb + i-c \
Х L· (l)n(2-c)n "X 2FlV 2-е >ДС>
т.е. второе независимое решение. Решения в оо получаются подобным образом, путем
замены η на —п. В этом случае (А) принимает вид
, γα γ1 (a + a)-n(b + a)-n n
Π=—oo
где fc — константа. Поскольку
(a + a)_„ = (-1)7(1-a-a)nf
запишем последний ряд таким образом:
ι.να V (l-c-a)nx-n(-a)n
** ^(1-а-а)п(1-Ь-а)/ β
Для того чтобы опять исключить часть суммы, содержащую отрицательные значения п,
возьмем а = —а или а = —Ь. В первом случае мы получим1
aTVi (a +1 - с, a; a +1 - Ь; 1/х),
а во втором —
oc~Vi (Ь +1 - с, Ь; Ь +1 - α; 1/х).
Замечание 2.3.2. Пусть а — Ь не является целым числом. В § 2.1 мы доказали, что
ряд 2^1 (a, b; с; дс) имеет радиус сходимости, равный 1. Теперь мы изменим точку зрения,
принятую в замечании 2.3.1, на обратную и посмотрим, как можно было бы получить
область сходимости из теории дифференциальных уравнений. Поскольку особенности
уравнения находятся в точках 0, 1 и оо, радиус сходимости равен по крайней мере 1.
Если он больше единицы, то ряд — это целая функция. Более того, согласно
соотношению (2.3.12) она является линейной комбинацией функций x^f^x) и x~bf2{x)i которые
являются решениями в точке оо. Это возможно только если α или Ь — целое число. Иначе
оба решения в точке оо многозначны. Теорема Лиувилля показывает, что это целое число
должно быть отрицательным и что 2F\ является многочленом. Следовательно, если 2F\ —
это бесконечный ряд, то радиус сходимости должен быть равен 1.
ι Авторы переходят к «логарифмическому случаю», когда разность двух характеристических
экспонент—целое число (см. сноску на с. 83). Конкретно, теперь одно из чисел с, а — Ъ, с—а — Ъ
целое.

92
Глава 2. Гипергеометрические функции
Теперь мы рассмотрим случай, когда с —целое число1. Предположим, что
с—натуральное число, тогда
Рл :=
Г(а)Г(Ь)
Г(а,Ъ. ¥Л yr(a + fc)r(b + fc) fc
-1' Г(с) 2 Ч с ,л) Zj fcir(c + fc)
/е=0
„ ,_ Г(а + 1-с)Г(Ь + 1-с).Л-с ρ fa + c-l,b + c-l Λ
*2- Щ=7) Х 2FA 2-е >Х)~
_ 1-е V r(a + l-c + fc)r(b + l-c + fc) fc
* Zj fc!r(2-c + fc) *
/е=0
равны. Для того чтобы найти второе решение в этом случае, предположим, что
а и Ъ — неотрицательные целые числа. Рассмотрим предел
lim ^-—^ = l-Ci7! -^2)|С=Г1 =
с^п С — П дСк 1 "К-*
Zj fcir(n + fc)r(n + fc) X ^X ШLa fcir(2-n + fc) X "*"
/e=0 /e=0
ι_η γ^ r(Q + l-n + fc)r(b + l-n + fc)rr(g + l-n + fc) r(b + l-n + fc)-| fc_
Zj fcir(2-n + fc) Lr(a + l-n + fc) + r(b + l-n + fc)J
/e=0
00
Второй ряд равен
r(a + l-c + fc)r(b + l-c + fc) r'(2-c + fc) fc
fcir(2-c + fc) ' r(2-c + fc)* '
/e=0
r(fl)r(b)1nx Fia'b-*!
Г(п) lnx2FA n >x)
а первые л — 1 членов в третьем ряду равны нулю, поскольку ( ,. = О
для fc = 0, 1, ..., п —2. Это неверно для четвертого ряда, поскольку функция
ι Этот «сеанс черной магии» нуждается в комментариях. Двусторонний гипергеометрический ряд
Г(п + а + а)Г(п + а + Ь) п+а
ΣΓ(η + α + α)Γ(η + α + Ρ) π
Г(п + а + с)Г(п + а + 1)*
является решением дифференциального уравнения (2.3.5) при любом а. Авторы просто
перебирают такие ряды, обрывающиеся слева или справа.
Здесь же ответ на риторический вопрос из начала § 2.1: почему мы не смешиваем ряды
feLn!
п>0
(0лп!
у (Д)п(Ь)П;:;П
Дело в том, что второй ряд является оборванным в случайно выбранном месте двусторонним
рядом (по существу, частичной суммой). В стандартном гипергеометрическом ряде члены
с отрицательными номерами обращаются в 0 естественным образом.
Двусторонний ряд сходится лишь на окружности |*| = 1; если а + Ь—с —1> 0, то эта сходимость
определена лишь в смысле обобщенных функций.

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
93
Г'(2—с + к)/Г(2—с + к) не имеет полюсов в этих точках. По формуле отражения
Эйлера
Г (1-х) _ Г(х) гг .
[Г(1-х)]2 " Г(х)Г(1-х) +C0S7rxl W·
Положив χ = л — fc — 1, получим
u r'(2-c + fc) f-iyi-fc-irfn-fc-n
Четвертый ряд теперь может быть переписан как
Σ""1 г ,чм(fc-Dir(a-fc)r(b-fc) -*_ V r(a + l-n + fc)r(b + l-n + fc) fc
1 ; (n-fc-1)! Zj fc!r(n + fc)
Таким образом, когда а и b не являются отрицательными целыми числами,
второе решение имеет вид
00
2F1(\b;x)lnx + Yi^^{xP(a + k) + xP(b + k)-^a + k)-^(.n + k)}xk +
k=0
Г(о)Г(Ь) 2j(-1) (n-fc-1)! * ' (2·318)
Если a — отрицательное целое число, скажем —m, тогда \p(a + k) не
определено для некоторых значений ic. Соответственно приведенное выше решение
не работает. Для преодоления этой сложности заметим, что
hm {·φ(α +к)—ф(.а)} = гр(.1 + т-к)—ф(.1 + тп) для к < т. (2.3.19)
а-*—тп
Теперь, если вычесть функцию ψ(ά) 2^ι(α, b; с; х) из второго слагаемого в
соотношении (2.3.18), то результирующий ряд снова является решением
гипергеометрического уравнения, но теперь мы можем устремлять а к отрицательному
целому числу —т. Читатель должен проверить равенство (2.3.19), а также то,
что в этом случае второе решение есть
Л(-^ь;х)1пх-
+ ^^^{^а + т-к) + ^(Ь + к)--ф{п + к)-хра + к)}хк-
(п-1)! ХГ №-1)!Г(Ь-1к)
ΣΛ-та^·<»*>
rtw,.,
Случай, когда α и b одновременно являются отрицательными целыми, можно
рассмотреть тем же способом. Если с = О, —1, —2,..., то определяющее уравнение
показывает, что первое решение имеет вид
Второе решение в этом случае может быть получено из соотношения (2.3.18)
с помощью замены аиЬнаа — с + 1иЬ — с + 1 соответственно.

94
Глава 2. Гипергеометрические функции
Теорема 2.3.2 и ее следствие должны быть модифицированы, когда хотя бы
одно из чисел с, α — b или с—а — Ъ является целым. Читателю следует разобрать
необходимые изменения.
Интересная история гипергеометрического уравнения содержится в работе
Грея [172].
§ 2.4- ИНТЕГРАЛ БАРНСА И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
В серии работ, опубликованных в 1904 — 1910 гг., Варне разработал
альтернативный метод работы с гипергеометрической функцией 2F\- Краеугольным камнем
этой конструкции является интегральное представление функции 2^ι(α, b;c;x).
Понимание этого представления может быть достигнуто с помощью
преобразования Меллина. Мы начнем с простого и общеизвестного примера:
00
r(s)=\xs-1e-xdx.
о
Оказывается, возможно восстановить подынтегральную функцию е~х через
комплексный интеграл, включающий в себя T(s). Эта формула обращения имеет
вид
c+i оо
е_' = ^т ξ jrT(s)ds, с>0. (2.4.1)
С—1*00
Это можно доказать с помощью теоремы Коши о вычетах. Рассмотрим
прямоугольный контур с вершинами c±iR, —\N-\--^)±iR9 где Ν —натуральное
число. Полюсы функции Г(х) внутри контура находятся в точках 0, —1, ..., —Ν,
а вычеты в точках ; = 0, 1, ..., N равны (—1);V/;'!. Теорема Коши дает
2^$*-sr(s)ds = 2(-W7j!.
Теперь устремим R и N к бесконечности и воспользуемся теоремой 1.4.1 и
следствием 1.4.4, чтобы показать, что разность интегралов по контуру I и по
отрезку, соединяющему точки c — iRnc + iR, стремится к нулю. Таким образом,
соотношение (2.4.1) доказано1.
Преобразование Меллина функции /(*) определено интегралом
00
F(s) = [x5^fMdx.
о
ι Это важное место, заслуживающее аккуратного продумывания. Полезно представлять себе
график функции |Г(х)| в комплексной области (см. [450, § 7.4]). Мы имеем уходящие в
бесконечность «пики» в точках х = 0, —1, —2, ... и экспоненциальное убывание в мнимом направлении.
Высота «перевалов» между «пиками» в точках (—N) и (—N — 1) оценивается с помощью формулы
отражения и формулы Стерлинга; оказывается, эта высота сверх экспоненциально стремится к О
при N-»оо. в итоге отрезок контура Г—N iR, —Ν hiR\ проходит по «глубокой ложбине»
между двумя «пиками».

§ 2.4. Интеграл Бориса и гипергеаметрическая функция
95
Мы имели возможность видеть другие примеры преобразований Меллина в гл. 1.
Например, интеграл
ι
о
как функция от s является преобразованием от
[о, χ> ι,
является преобразованием от /(*) = 1/(1 + хУ. Опять можно доказать, что
и-*)5г1 = ш S x_sfiSods' Ret>0 и с>0' (2А2)
1 1
(ГиО^г^Ю S *~sns)r(t-s)ds, 0<c<Ret. (2.4.3)
с—ioo
Явление, наблюдаемое в примерах с (2.4.1) по (2.4.3), можно видеть для
обширного класса функций /(*). Соответственно если
00
F(5) = $x*-i/QOdx, (2.4.30
о
то равенство
c+ioo
/to = 2^ S x-sF(s)ds (2.4.3")
с—ioo
верно для целого класса функций. Мы не станем излагать эту теорию
целиком, но рассмотрим несколько интересных частных случаев1. Преобразование
Меллина обсуждается в дальнейшем в гл. 10 в связи с другими вопросами.
Вышеизложенные рассуждения показывают, что, если мы хотим найти
комплексное интегральное представление для гипергеометрической функции,
ι Заменяя переменную х = еу в (2.4.3'), мы получаем, что F(it) есть преобразование Фурье от
/(еу). Теперь любые высказывания о преобразовании Фурье (см. [308]) легко переводятся на
язык преобразования Меллина. Область абсолютной сходимости интеграла (2.4.3') (если она не
пуста) — вертикальная полоса в плоскости 5 € С, эта полоса может вырождаться в вертикальную
прямую. Если эта область действительно полоса, то формула обращения (2.4.3") верна в
буквальном смысле (с + iR — прямая внутри полосы). В противном случае надо сделать обычные
оговорки.

96
Глава 2. Гипергеаметрические функции
мы можем попробовать найти преобразование Меллина от нее. Далее,
I*'"'г?х{а'сЪ\-χ)dx = I«-* r™_b) I tb-4i-ty-b-\i+xtr°dtdx =
О 0 0
= Ш С tb-i (χ _ t)c-b-i С χ5"1 djc dt =
Г(5)Г(а-5)Г(с) ρ tb-s-in _ty-b-i Ht _ Г(5)Г(а-5)Г(с) Г(Ь-5)Г(с-Ь)
Г(а)Г(Ь)Г(с-Ь) У U Cj аГ Г(а)Г(Ь)Г(с-Ь) Пс-s)
_ Г(с) Г(5)Г(а-5)Г(Ь-5) Г94Д.
Г(а)Г(Ь) Г(с-5) · ΙΖΛΛ;
Эти формальные преобразования можно обосновать рассмотрев ограничение
min(Rea,Reb)>Res>0. После того, как интеграл вычислен, дополнительное
условие Rec>ReЪ может быть устранено аналитическим продолжением или
с помощью соотношений смежности, которые рассматриваются в § 2.5.
Отметим, что мы интегрируем 2Р\ при значении аргумента —х. Напомним, что,
вообще говоря, функция 2F\ (α, b; с; х) имеет точки ветвления χ=1 и χ = оо, а в
соотношении (2.4.4) интегрирование идет по положительной действительной оси.
Другое доказательство равенства (2.4.4) представлено в упражнении 35.
Исходя из формулы обращения, мы ожидаем, что
k+i оо
Г(а)ПЬ) (а,Ъ \_ 1 с Г(5)Г(а-5)Г(Ь-5) ,_s. ,
Г(с) 2*Ч с ·Χ)-2Ϊύ J Г(^Т) (_Jf) d$' (2A5)
/e-ioo
где min(Rea,Reb)>ic>0 и с/0, —1, —2, ... Это формула Барнса, и она дает
основания для альтернативного построения теории гипергеометрических
функций. Ниже должно стать очевидно, что мы можем представить любую функцию
pFq с помощью похожего интеграла. Точная форма теоремы Барнса [47]
представлена ниже.
Теорема 2.4.1. Справедливо равенство
Г(а)Г(Ь) „Га,ЪЛ\ 1 '? r(a + s)r(b + s)r(-s)
р(а9Ь.\_ 1 г Г(а + 5)Г(Ь + 5)Г(-5)Г у.
Г(с) 2 Ч с ,JV 2πί J r(c + s)
—too
|arg(—x)| < п. Контур интегрирования искривлен, если необходимо, для того
чтобы отделить полюсы s = —a—n,s = —b — nom полюсов s = n, гдеп — натуральное
число. (Такой контур всегда можно провести, если а и b — неотрицательные
целые числа.)
Доказательство. Сначала мы покажем, что вышеприведенный интеграл
определяет аналитическую функцию при |arg(—х)\ < π —δ, δ>0. По формуле
отражения Эйлера подынтегральное выражение можно переписать в виде
r(a + s)r(b + s)(-x)^
Γ(θ + 5)Γ(1+5)8ίΐ15π *
Согласно следствию 1.4.3 это выражение имеет асимптотику
„а+Ъ-с-1 П(-ХУ
sin sn

§ 2.4. Интеграл Бориса и гипергеометрическая функция
97
Положив s = it, получим
pit(ln \x\+i arg(-jf))
_(it)a+b-c-l2m.e____ = 0(|t|a+b_c_le_|t|5)
e~ni—e71
при |arg(—x)| <π —δ. Эта оценка показывает, что интеграл представляет
аналитическую функцию при |arg(—χ) | < π — δ для любого δ > О и, следовательно,
он аналитичен при |arg(—х)| < π.
Теперь мы покажем, что интеграл представляется в виде ряда
E^Uf^*" - μ<ι·
п=0
Общее утверждение будет следовать отсюда по принципу аналитического
продолжения. (Отметим, что интеграл Барнса даст продолжение 2Р\ (а, Ь; с; х) в
разрезанную область | arg(—х)| < π.)
Пусть I — это замкнутый контур, образованный частью кривой, упомянутой
в теореме, от — yN + « )i до yN + « )i> и полукругом радиуса Ν + -ζ, проведенным
справа, с центром в точке 0. На полукруговой части контура I подынтегральное
выражение имеет вид
0(Г+ь-с-1^
sins π
при больших N. Для s = (Ν + «Э^ и |х| < 1 выполняется равенство
(-*)' _ qT (JV^-i)(cosβln|x|-sinβaгg(-x)-π|sinβ|)1
8Η15π L J*
Поскольку —π + δ < arg(—χ) < π — δ, последнее выражение представимо в виде
0Ге(*+!)(со8 θ In |x|-5| sin 0|) 1
При 0< |0| < ^ выполняется условие cos θ > —, а при ^ < |0| < тг —условие
| sin θ\ > —=. Таким образом, поскольку In \x\ < 0, подынтегральное выражение
имеет вид
приО<|0|<| и
0^a+b-c-le^(N+l)ln|x|j
при j < |θ| < ~. Из этого следует, что интеграл по полукругу стремится к нулю
при N -* оо. Поскольку полюс s = n подынтегрального выражения имеет вычет,
равный
Г(а + п)Г(Ь + п) п
п!Г(с + п) '
теорема доказана. D
Из интеграла Барнса достаточно легко восстановить асимптотическое
разложение, содержащееся в формуле (2.3.12). Предположим, что a —b —нецелое

98
Глава 2. Гипергеометрические функции
число. Сдвинем контур интегрирования влево на т единиц и соберем вместе
вычеты в точках 5 = —α — η и 5 = —b — п. Вычет в точке s = —a — n равен
( ^ПЬ-а-гОПа + пХ-хГ"* аГ(а)Г(Ь-а) (а)п(1 + а-с)
1 1) п!Г(с-а-п) 1 Х) Г(с-а) * п!(1 + а-Ь)п
после небольшого упрощения. Тогда
Г(а)Г(Ь) Г(а,Ъ.\_ 1 ~Т°° Г(а + 5)Г(Ь + 5)Г(-5)(-х)' ^ ,
Г(с) 2*Ч с '*J~2^? V ffc+7) dS +
—m—too
-аПсОПЬ-а) V (а)н(1 + А-с). -„ ,
"^ χ; Г(с-а) Zj п!(1+а-Ь)„ * "*"
где гп(а) — это такое наибольшее целое число п, что а + π < гл. Определим гп(Ь)
аналогично. Тогда интеграл равен
ΐοο
1 "т С Г(а-т + 5)Г(Ь-т + 5)я ( у ,
2πι J r(c-m + s)r(l-m + s)sii^sl ; α*β
—ΐοο
Для I arg(—x)| < π —δ, δ > 0, последний интеграл является ограниченной
функцией от т и х. Отсюда следует, что это выражение есть 0(1/хт), так что
выражение (2.4.6) есть асимптотическое разложение функции 2Fi(a>b;c;x).
Если а — Ь — целое число, то некоторые из полюсов функции r(a + s)r(b + s)
будут двойными, что приведет к появлению логарифмических членов. Читателю
следует разобрать этот случай в качестве упражнения.
Обсудим дальнейшие результаты Барнса [48]. Предположим, что F(s) и G(s)
являются преобразованиями Меллина от функций /(*) и g(x) соответственно.
Задача заключается в том, чтобы выяснить, как преобразование Меллина от
функции f(x)g(x) связано с функциями F(s) и G(s). Если поступить формально,
то легко получить, что1
00 00 С~\~100
lxs-1f(.x)g(x)dx = ±ilxs-1g(x) 5 FVx-'dtdx^
О 0 c-i oo
C+i оо oo C+ίοο
= ά S P(t)$x**-1gMdxdt=-±.i $ F(t)G(s-t)dt. (2.4.7)
с—ίοο 0 с—ioo
Случай, представляющий для нас интерес,—это случай 5 = 1. Тогда
oo c+i оо
S/Cr)g(x)dx = ^r J F(t)G(l-t)dt. (2.4.8)
О с—ioo
ι Стоит отметить другой вариант теоремы о свертке: функции h(x) = § f(y)g(x/y)dy/y соответ-
о
ствует H(s) =F(s°)G(s). Она превращает барнсовские интегралы в мощный спецфункциональный
инструмент. См. сноску 2 на с. 211.

§ 2.4. Интеграл Барнса и гипергеометрическая функция
99
Применяя это равенство к парам функций, связанных преобразованием Мелли-
на
хъ г,, Л_ r(b + s)r(a-b-s)
/w = » F^ =
Γ(α)
„м _ xd г(сЛ T(d + s)T(c-d-s)
*Μ-π+ϊ?' G(s) —m—'
мы получим
fc+ioo
1 "г r(b + s)r(a-b-s)r(d + l-s)r(c-d--l + s) , _
2πί, J Г(а)Г(с) as
fc—ioo
r xb+d , r(b + d + l)r(a + c-b-d-l)
J (l+x)a+c Г(а + с)
для некоторого подходящего ic. Заменяя обозначения параметров, это
соотношение можно переписать в виде
1 Τ w . лт^к . лт^г лт^л л л r(a + c)r(a + d)r(b + c)r(b + d) ,0 . ηΛ
2- $ r(a + s)r(b + s)r(c-s)r(d-s)ds = r(a + b + c + d) ' (2A9)
—ioo
Эта формула была получена Барнсом, а вышеизложенное доказательство
принадлежит Тичмаршу [381]. Оно верно, когда Re (a, b, с, d) > 0. Мы дадим другое
доказательство, поскольку здесь мы не излагаем общую теорию преобразований
Меллина достаточно строгим образом. Но сначала отметим, что если мы
возьмем /(*) = х+(1—x)+~a_1 и g(x) =х+~1(1—x)+~c_1 в формуле (2.4.8), то получим
k+ioo
JL_ с r(a + s)r(c-s) , r(a + c)r(b + d-a-c-l)
2πΜ r(b + s)r(d-s)as r(b-a)r(d-c)r(b + d-ir
К—ioo
max(-a,-b) <k<min(c,d). (2.4.10)
Теорема 2.4.2. Если контур интегрирования изогнут так, чтобы
отделить полюсы функции r(a + s)r(b + s) от полюсов функции Г(с —s)T(d — s), то
г.- 1 Τ ггпмслгги^слгг, с^гм ^ -i._ r(a + c)r(a + d)r(b + c)r(b + d)
1:=2Ш 3 r(a + 5)r» + 5)r(c-5)r(d-5)ds- r(a + b + c + d) ·
—ioo
Отметим, что а + с, а + а,Ъ + с,Ъ + ане могут равняться 0 или отрицательным
целым числам.
Доказательство. Как в доказательстве предыдущей теоремы,
воспользуемся формулой отражения Эйлера, для того чтобы переписать подынтегральное
выражение в виде
r(a + s)r(b + s) π^
Г(1 — c + s)(l— d + s) sin tt(c — s) sin n{d — s)'
Пусть также I будет замкнутым контуром, образованным частью кривой из
условия теоремы и полукругом радиуса R справа от мнимой оси. По
теореме Стерлинга (следствие 1.4.3) подынтегральное выражение имеет порядок

100
Глава 2. Гипергеометрические функции
0(sa+b+c+d 2e 27u|ims|) ПрИ j^j —> 00 на1 I. Таким образом, интеграл в
теореме 2.4.2 сходится, но очевидно, что показатель Ims в § может быть сколь
L
угодно малым, когда \s\ велико. Таким образом, необходимо предположить, что
Re(a + b + c + d —1) <0, для того чтобы обеспечить стремление интеграла по
полукругу к 0 при R-* оо. По теореме Коши о вычетах
00
'-Σ
п=0
Г(а + с + п)Г(Ь + с + п)Г(с1-
-c-nK-ir ,
п!
, v«r(a + d + n)r(b + d + n)r(c-
'2j
л=0
π!
-d-
-η)(-
-1)"
= Г(а + с)Г(Ь + с)Г(й~с)2^(^Ь_^с;1) +
Функция 2^ι может быть получена суммированием по формуле Гаусса. После
некоторых упрощений с использованием формулы отражения Эйлера и
тригонометрии, получается правая часть формулы в утверждении теоремы. Мы
доказали теорему при условии Re(a + Ъ + с + d — 1) < 0. Полностью утверждение
следует из аналитического продолжения по параметрам а,Ъ, с, d. D
Теорема 2.4.2 представляет из себя интегральный аналог гауссова
суммирования для 2^ι при лс = 1. Более того, если мы положим b = e — it, d = f — it
и s = itx в теореме и перейдем к пределу при t —> оо, то получим, после некоторых
упрощений с использованием формулы Стирлинга, следующее:
}х и X) ах- rfa + c + e+n ·
Г(а + с + е + /)
Таким образом, интегральная формула Барнса является обобщением также
бета-интеграла на интервале (0,1) и поэтому называется бета-интегралом
Барнса. Она называется также первой леммой Барнса.
Теоремой 2.4.2 можно также воспользоваться для того, чтобы доказать
следующее равенство:
Г(а,Ъ Λ Г(с)Г(с-а-Ь) р( а,Ъ \
Г(с)Г(а + Ь-с)п „чс-а-ь ρ Г с-а>с-Ь . п J\
+ Г(а)Г(Ь) (1~*} аМс-а-Ь + Г1"**
с—а —Ь —нецелое число. Доказательство предлагается в качестве упражнения.
В предыдущем параграфе этот результат был выведен из гипергеометрического
дифференциального уравнения.
Следующая теорема дает интегральный аналог тождества Пфаффа—Зааль-
шютца.
ι Это очевидная неточность, так как подынтегральное выражение имеет полюсы в области Re s > 0.
Нужно, как и в доказательстве теоремы 2.4.1, «протиснуть» контур в ложбину между полюсами.

§ 2.4. Интеграл Барнса и гипергеометрическая функция 101
Теорема 2.4.3. Для надлежащей кривой интегрирования, а именно такой,
что убывающая последовательность полюсов лежит слева, а возрастающая
последовательность полюсов лежит справа от нее, верно следующее
J_ с Г(а + 5)Г(Ь + 5)Г(с + 5)Г(1 -d -s)r(-s) , _
2πί J ГГе + sl "S
= r(a)r(b)r(c)r(l-d + a)r(l-d + b)r(l-d + c)
Г(е-а)Г(е-Ь)Г(е-с)
2()ed + e = a + b + c+l.
Доказательство. Начнем со следующего частного случая теоремы 2.4.2:
Г(с-а)Г(с-Ь)Г(а + п)Г(Ьн-п)=_|, 'J r(a + s)r(b + s)r(n_s)r(c_a_b_s)d,
-ioo
Умножим обе части на (d)n/[n!(e)n] и просуммируем по п. В результате получим
Г(с-а)Г(с-Ь)Г(а)Г(Ь) р(а,М.-Л_
= 2^ S 2^r(a + s)r(b + s)r(n~s)r(c~a^b~s)ds =
-ioo n==0 ' п
ioo
= 2ii S na + s)r(b + s)r(c-a-b-s)r(-s)2F1(~se'd;l)ds =
—ioo
ioo
_ 1 г Г(е) r(a + 5)r(b + 5)r(e-d + s)r(c-a-b-s)r(-5) J. ,_
-2И i n^d) Т£Тю ds· (2A11)
-ioo
Возьмем c = d, тогда 3F2 в левой части равенства перейдет в 2F\ и мы получим
Г(а)Г(Ь)Г(е)Г(е - а - Ь)Г(с - а)Г(с - Ь) _.
Г(с)Г(е-а)Г(е-Ь)
Г(е) 1 lc r(a + s)r(b + s)r(e-c + s)r(c-a-b-s)r(-s) ,
t i FT^TTi ds·
Г(е-с)2ти* J T(e + s)
-ioo
Требуемый результат получается после переобозначения параметров. Отметим,
что некоторые из действий, которые мы производили при доказательстве,
могут производиться только при подходящих ограничениях на параметры. Эти
ограничения могут быть устранены с помощью аналитического продолжения.
Читатель может проверить детали. D
Следствием доказательства предыдущей теоремы является приведенная
ниже интересная формула.
Теорема 2.4.4. Справедливо равенство
нГаЛс.-Л, r(d)r(d-a-b) ( аХе-с \
з1Н d,e '4~r(d-a)r(d-b)3'4c,l + a + b-d'V +
r(d)r(e)r(d + e-a-b-c)r(a + b--d) (а-а,а-Ъ,а + е-а-Ъ-с λ
r(a)r(b)r(d+e-a-b)r(e-c) 3*Ά d + e-a-b,d + l-a-b ;iJ'

102
Глава 2. Гипергеометрические функции
Доказательство. В силу теоремы Коши, выражение (2.4.11) равно
Г(е) [\^Г{а + п)Г{Ъ + п)Г{е-а + п)Г{с-а-Ъ-п){-1У
r(c-b + n)r(c-a + n)r(c + e-a-b-d + n)r(a + b-c--n)(-
Г(е-с) Z-J п!Г(е + п)
Ln=0
+
^-J п!Г(с + е-а-Ь + п)
п=0
irl
Приравняем это выражение к функции 3F2 из левой части формулы (2.4.11)
и после упрощения получим утверждение теоремы. D
Следствие 2.4.5. Если d + e = a + b + c+l, то
Ρ (а,Ъ,ст Л\ r(d)r(e)r(d-a-b)r(e-a-b)
3 2V d,e 'V r(d-a)r(d~b)r(e-a)r(e-b)
, 1 r(d)r(e) p( d-a,d-b,l Λ
+ a + b-dr(a)r(b)r(d + e-a-b) 3 2Vd + e-a-b,d + l--a-b' J"
Доказательство. Если d + e = a + b + c + l, функция 3F2 в правой части
формулы из теоремы 2.4.4 переходит в 2F\- Вычислим 2F\ с помощью формулы
Гаусса и получим необходимый результат. D
Отметим, что, когда а или Ъ равны отрицательному целому числу, второе
выражение в правой части пропадает из-за множителя 1/[Г(а)Г(Ь)], и мы
приходим к формуле Пфаффа—Заалыпютца. Таким образом, этот результат
является бесконечной формой тождества Пфаффа—Заалыпютца.
Второй член в правой части формулы из теоремы 2.4.4 обращается в нуль,
если положить с = е + п —1, где п>\ целое число. Полученная формула имеет
вид
Т?(а,Ъ,е + п-\^\_Па)Т{а-а-Ъ) „ ( a,b,l-n \ η ,
FA d,e '1J-r(d-a)r(d-b)3Ma + b-d + lfe'1> (2A12)
Отсюда получается интересный результат, который касается частичной суммы
ряда 2Fi(a,b;e; 1). Положим d = a + b + n + e и, перейдя к пределу при ε—>0
(и переставив левую часть с правой), получим
2F1^a' ; 1J [первые η слагаемых] =
_ Г(а + п)Г(Ь + п) rfa,b,e + n-l λ r0A1Q4
~Г(а + Ь + п)Г(п)3М е,а + Ъ + п >Ч {2А'13)
Частный случай, когда а = Ь = -^,е = 1 был получен Рамануджаном в следующей
замечательной форме:
\2 ι гл. <ι\1
3
η \2J n + 1 \2Л) n + ;
= {"г ^п"1" 2^J l1-1-^) ^к^а) + —пеРвые п слагаемых}.
; + ...=
\2
Байли [37, 38] доказал и более общую теорему.
Теорема 2.4.6.
Г0с + т)Г(у + т)
Г(т)Г(х + У + т)3^(ХЙи++у + т1; О ПеРвШ П <****»*« =
«Г&г^ГЦ+Ю /,,зг,и + „-1 ^ первыепслагаемых.
Г(п)Г(х + у + п)0 z\ u,x + y + n ' J *

§ 2.5. Соотношения смежности
103
Существует простое доказательство, следующее из теоремы 3.3.3.
Замечание 2.4.1. Преобразование Меллина можно рассматривать как
преобразование Фурье по мультипликативной группе (0, <») с помощью экспоненциальной функции.
00
В выражении F(s) = jj xs~lfW dx, записав s = a + itnx = e2nu, получим
о
00 00
F(a + it) = 2π $ (Де27Ш) · e2n(JU)e2nitu du =: In $ g(u)e2nitu du.
Новой чертой в теории преобразований Меллина будет то, что функция F(s) аналитична
в вертикальной полосе1.
Так же как гамма-функция, частный случай преобразования Меллина, имеет аналог
для конечных полей, в более общем случае аналог тоже существует. Пусть Fq обозначает
конечное поле из q элементов, a F* — его мультипликативную часть. Пусть / — это
комплекснозначная функция на F*. Ее преобразование Меллина определено на группе
характеров F* как F(x)= J] #(α)/(α). Читатель может проверить, что существует об-
aeF*
ратное отображение /(s) = —-- Σ #"(a)F(#). Существует также аналог формулы Барнса
q 1 χ
(теорема 2.4.2), который получили Хельверсен и Пасотто [188]. Доказательство,
основанное на преобразованиях Меллина, дано у Хельверсена и Пасотто и у Соле [189].2
§ 2.5. соотношения смежности
По определению Гаусса две гипергеометрические функции называются
смежными3, если они являются функциями одной и той же переменной, по которой
производится разложение в степенной ряд, и если два параметра попарно равны,
а третья пара параметров различается на единицу. Мы используем запись F(a±)
для обозначения 2^ι(α± 1, Ь; с; х) соответственно. Функции F(b±) и F(c±)
определяются аналогично. Гаусс [158] показал, что гипергеометрическая функция
и две другие смежные с ней функции линейно зависимы. Поскольку есть шесть
функций, смежных к данной функции 2F\, мы получаем φ = 15 соотношений.
В действительности, если учесть симметрию по параметрам а и Ь, мы будем
иметь в виду лишь девять независимых условий. Соотношения могут быть
продолжены итерациями, так что любые три гипергеометрические функции,
параметры которых отличаются на целое число, будут линейно зависимыми4.
Такие соотношения называются соотношениями смежности. В этом параграфе
мы показываем, как выводятся пятнадцать соотношений Гаусса, затем мы
кратко отмечаем связь с бесконечными дробями и ортогональными многочленами.
ι Это (неудачно сформулированное) замечание переведено дословно. На уровне абстрактной
теории преобразование Фурье и преобразование Меллина одинаковы. В частности, преобразование
Фурье точно так же может оказаться определенным в горизонтальной полосе (теоремы типа
Пзли— Винера, см. [308]).
2 Списки барнсовских интегралов см. в [463, т. 3, гл. 8.4].
3 В оригинале contigous.
4 Возможность провести итерацию, кажется, не вполне очевидна. Приведём другое,
почти конструктивное, доказательство. Функция 2Fi(a + Kb + l;c + m;x) представима в виде
D-2F\{ayb\c\x), где D — некоторый дифференциальный оператор с рациональными
коэффициентами (см. (2.5.5)—(2.5.10) или [119], (2.8.20)—(2.8.27)). Так как 2F\ удовлетворяет
дифференциальному уравнению второго порядка, мы можем убрать из D все дифференцирования порядка
не меньше 2. Теперь линейная зависимость очевидна.

104
Глава 2. Гипергеометрические функции
Соотношения смежности могут быть продолжены итерациями, и мы будем
использовать слово «смежные» в более общем смысле, считая, что параметры
различаются на целое число. Легко проверить, что
Поскольку данная функция 2Fi удовлетворяет уравнению
х(1 -х)у" + [с - (а + Ъ + 1)х]у' - аЪу - 0,
мы получаем соотношение смежности
*(1 *J c(c + l) 2F4 c + 2 '*J +
+ (£Ζ^±^Λ(« + 1;6 + 1.χ)_Λ(«,5.χ) = α (252)
С помощью формул преобразования из последнего равенства могут быть
получены другие соотношения смежности.
Применим преобразование Пфаффа
*Ρ·'!>0-»-«-α(··7'Ά)
к каждому слагаемому в вышеприведенном уравнении. После небольшого
упрощения, при котором мы вводим и = х/(х — 1) и заменяем с — Ъ на Ь, получаем
в результате
Λ1 с '*J~ с" 2F4 c + 1 jlV
(а + 1)(с-Ь + 1)ц v(a + 2,b \ (0 .
Это соотношение смежности было получено Эйлером, который вывел его
несколько иным способом. Если мы применим преобразование Эйлера
Aft6,·*) = a-*)—h-2*i{e-%e-b;x)
к формуле (2.5.2), мы получим другое соотношение смежности:
■ (с-о + 1)(с-Ь + 1) р(а,Ъ \ (2Б4)
+ с(с + 1) ai4c + 2'*> t2-5-4J
Это одно из соотношений, полученных Гауссом. Метод Эйлера получения
соотношения (2.5.3) состоял в использовании интегрального представления для
2FX. Прямым интегрированием он вывел формулу, частным случаем которой
является следующая:
ι ι
а $ ta-la-ty-a-la-txybdt= (c+(a + l-b)x) $ ta(l-Oc~a_1(l-t*rbcit-
о
1
-(с-Ь + 1)х $ ta+4l-0c~a~1(l-t*)~bcit. (2.5.30
о о
1

§ 2.5. Соотношения смежности
105
Это соотношение эквивалентно формуле (2.5.3). Простое доказательство этого
соотношения см. в упражнении 23. В качестве другого примера использования
интегрального представления, заметим, что
(l-jrt)"e = (l-jrt)-e"1(l-xt) = (l-jrt)-e"1[l-x+(l-Ox].
Подставим правую часть в равенство
и получим
л№*)-о-алГ,1Ч+^л(7ДЧ·
Эти примеры показывают, как возникают соотношения смежности. Теперь
мы приведем вывод основных соотношений смежности Гаусса. Сначала мы
получим шесть соотношений, из которых пятнадцать соотношений Гаусса
получаются приравниванием ί Λ пар из них. Первые три соотношения из шести
суть
*£=a(F(a+)-F)' (2·5·5)
xg=b(F0>+)-F), (2.5.6)
xjj£ = (с- l)(F(c-) -F), (2.5.7)
где
F:=A(e'b;x) и Р(а+):=л(в+е1'Ь;х)1
и т.д. п-м слагаемым разности F{a+)—F является выражение
г (а + 1)Я(Ь)Я {а)п{Ъ)п ι _ (а 4- Р^СЬ), ,n_n (aUVn уУ|
L п!(с)п п!(с)п Г - п!(с)п 1а + П а;Х ~а п!(с)п *'
поэтому
^ - V пЫпОЯп χη
UL = V —
Это и доказывает равенство (2.5.5). Формула (2.5.6) следует из симметрии по
α и Ь. Формула (2.5.7) доказывается аналогично. Для вывода трех оставшихся
уравнений положим δ:=χ-τ- и убедимся, что гипергеометрическое уравнение
может быть записано в виде
[5(5 + с-1)-х(5 + а)(5 + Ь)]у = 0.
Поэтому
[5(5 + c-l)-x(5 + a-l)(5 + b)]F(a-) = 0.
Теперь, поскольку
5(5 + с-1) = (5 + а-1)(5 + с-а)-(а-1)(с-а),
мы получаем
[(5 + c-a)-x(5 + b)](5 + a-l)F(a-) = (c-a)(a~l)F(a-).

106
Глава 2. Гипергеометрические функции
Применим равенство (2.5.5) в виде (δ + α — l)F(a—) = (α — 1)F к предыдущему
уравнению и получим
[{5 + c-a)-x{5 + b)]F = {c-a)F{a-),
или
х(1-х)^ = {c-d)F{a-) + (a-c + bx)F. (2.5.8)
Оставшимися двумя соотношениями являются следующие:
jc(I-jc)^ = (c-b)F(b-) + (b-c + ax)F} (2.5.9)
c(l-x)^ = (c-a)(c-b)F(c+) + c(a + b-c)F. (2.5.10)
αχ
Формула (2.5.9) получается из (2.5.8) благодаря симметрии по а и Ь, а
формула (2.5.10) доказывается подобно (2.5.8). Пятнадцать соотношений смежности
dF
Гаусса выводятся приравниванием двух значений х-т- из формул (2.5.5)—(2.5.7)
и (2.5.8)—(2.5.10). К примеру, равенство
[c-2a- (b-a)x]F + a(l - jt)F(a+) - (c-a)F(a-) = 0
следует из соотношений (2.5.5) и (2.5.8), в то время как соотношения (2.5.5)
и (2.5.10) дают равенство
c[a-{c-b)xW-ac{\-x)F{a+) + {c-a){c-b)xF{c+) = 0.
Мы уже встречались с частным случаем последнего соотношения смежности.
Положим х = 1и получим
cic-a-b)F(a>cb; l) = {c-aKc-VF^^; l).
Мы использовали это соотношение в § 2.2 для вывода формулы Гаусса для
2Fl(a,b;c; 1). Читателю следует вывести несколько дополнительных
соотношений смежности в качестве упражнения. Должно быть также очевидным, что
любое соотношение смежности легко проверить, рассматривая коэффициент
при хп в каждом слагаемом. Например, равенство
верно, в силу того что
(a)n(b + l)n а{с-Ъ) (а + 1)П_1(Ь + 1)П_1 _ {а)п(Ъ)п
п!(с + 1)п с(с + 1) (п-1)!(с + 2)п_1 п\(с)п '
Гаусс использовал соотношение (2.5.11) для получения интересной
непрерывной дроби для отношения двух ассоциированных1 гипергеометрических рядов.
Перепишем равенство (2.5.11) как
2F1{a,b;c;x) а{с-Ъ) 1 игх
2F1(a,b + l;c + l;x) с(с + 1)*' 2Р1(а,Ъ + 1;с + 1;х) 1 υχΧ
2Fi (a + 1, Ъ +1; с + 2; χ) 1
и2х
1 —
υ2χ
1-—..
ι Ряды F(a + k,b + l;c + m;x) и F(a, b; с; х) с целыми k, lt m называются ассоциированными.

§ 2.5. Соотношения смежности
107
где
_ (g + n-l)(c-b + n-l) _ {b + n){c-a + Ti[
(c + 2n-2)(c + 2n-l) n (с + 2п-1)(с + 2п)'
Удивительно, но Эйлер ранее придумал другую непрерывную дробь для
2FX (α, Ь; с; χ)/2ίι (α, Ь +1; с +1; χ).
Она может быть получена из равенства (2.5.3), если в ней поменять местами а
и b и переписать его в виде
„. JMh^x) =c+(1 + b_a)x_. (b + l)(c-a + l)*_
2^(а,Ь + 1;с + 1;х) v J 2Ух(а,Ь + 1;с + 1;х) '
1 Vifo>b + 2;c + 2;x)
Теперь мы имеем бесконечную дробь
(Ь + 1)(с-а + 1)х (Ь + 2)(с-а + 2)х
с+(1 + Ь-а)х--
(с +1 + (2 + b - а)х)_ (с + 2 + (3 + b - а)х)_ ***
Очевидно, многочисленные примеры непрерывных дробей могут быть
получены таким же образом из соответствующих отношений
гипергеометрических функций. Заметим, что равенство (2.5.2), являющееся просто следствием
дифференциального уравнения для гипергеометрической функции, также дает
непрерывную дробь для 2F\ (a +1, Ь +1; с +1; х)1г£\ ia> Ь; с; х). Эта непрерывная
дробь содержит квадратичные по χ слагаемые и приведена в упражнении
26. Мы не указали условия сходимости этих непрерывных дробей. Читателю
следует обратится к работе [256], где он найдет обсуждение сходимости для
непрерывных дробей. В книге Берндта [56, с. 137] можно найти ссылки на
непрерывную дробь Эйлера и работу Рамануджана на эту тему.
Один из способов получения связи между гипергеометрическими
функциями и ортогональными многочленами (определенными ниже), является
использование формулы Якоби, которую мы сейчас выведем. Умножим
гипергеометрическое уравнение на хс~1(1 — х)а+ь~с и запишем его в виде
3J [*(1 - *)*с-1(1 - х)в+ь"У ] = abxc~l (1 - х)в+ь^у,
гдеу = 2^1(а,Ь;с;х).
Из формулы (2.5.1) следует, что производная гипергеометрической функции
снова является гипергеометрической, а потому удовлетворяет
дифференциальному уравнению с параметрами а, Ь, с, замененными на а +1, Ь +1, с+1. По
индукции из этого можно доказать, что
^[x^i-^W^^Ca+fc-Oib+fc-i^-Hi-^^W^13,
где Μ = xc~l(l — x)a+b~c. Таким образом, имеем рекуррентное соотношение
= (а + к-ЖЪ + к-Ъ-^^а-х^Му*-»] = (а)к(Ь)кМу.
Подставим
,.ал _ (а)*№)> г (а + к,Ъ + к \
У ~ м- 2FA с + к '*)
(О,
к

108
Глава 2. Гипергеометрические функции
в предыдущее уравнение и получим
£[xHl-XYM2Fl(a+^bk+k;X)] = (с)** *(«·».
Если Ъ — отрицательное целое число —п, тогда для к = п получаем формулу
Якоби
2F№a;x) = ^%f~£[*»~4l-x)~]. (2.5.12)
1 —у
Чтобы преобразовать (2.5.12) к более симметричному виду, положим х = —^-,
с = а + 1 и α = η + α + β + 1, и тогда мы придем к формуле
Л1 a + 1 ;"T"J~
Определение 2.5.1. Многочлены Якоби степени η определяются как
P(a.mrvV_(<* + l)n -(-η,η + α + β + Ι.ΐ-χΛ
^п W — п\ г^А а + 1 ' 2 Г
Одним из их фундаментальных свойств является следующее:
+1
$ ^MP^Wd-^^l + χΫ dx =
-ι
= 2«+'+1Γ(η + α + 1)Γ(η + /8 + 1)
(2η + a + β + 1)Γ(η + a + β + 1)η! °mne ^^--W
Это легко доказать с помощью (2.5.13) и интегрирования по частям.
Замечание 2.5.1. Формула (2.5.13), которая может быть записана как
(1-χ)α(1+χ)*Ρπ(α^00 = ^|Η(1~*)Π+α(1+*)Π^]' (2.5.130
часто называется формулой Родрига для многочленов Якоби. В частном случае
многочленов Лежандра, с a = 0 = 0, она была опубликована О. Родригом в журнале
Политехнической школы в 1816 г. К сожалению, к работе Родрига не было проявлено должного
внимания. Формула была заново выведена независимо Ж. Ивори в 1822 г. и Якоби
в 1827 г. Замечательно, что позднее Якоби предложил Ивори написать совместную статью,
посвященную этой важной формуле, и опубликовать ее во Франции, где она до тех пор не
была известна. Их статья была опубликована в журнале Лиувилля в 1837 г. Интересно
также, что учитель Родрига Лаплас в цикле работ по теории вероятности (1810 — 11),
вывел похожую формулу (см. (6.1.3) для многочленов Эрмита. Соответствующие ссылки
см. в [325].
Пусть р0, ръ ...—последовательность многочленов, причём рп имеет
степень п. Говорят, что система рп ортогональна, если существует такая
положительная мера άμ(χ) с конечными моментами1 всех порядков, что
$ РпМРтМ άμ(χ) = 0, тфп.
ι Напомним, что моменты меры μ — это числа § хп άμ.

§ 2.5. Соотношения смежности
109
Таким образом многочлены Якоби ортогональны по мере
f(l-x)a(l + x)0dx, -1<х<1,
άμΜ = {
10 для остальных х.
В гл. 5 мы увидим, что любая последовательность ортогональных
многочленов удовлетворяет трехчленному рекуррентному соотношению
хрп{х) = Апрп+1(х) + Впрп(х) + Спрп_х(л:), р0 00 = 1, Ρ-ιΜ = 0>
Αη, Bn, Cn+l —действительные числа, АпСп+1 > 0, η = 0,1,...
И наоборот, любая последовательность многочленов, удовлетворяющая такому
рекуррентному соотношению, является ортогональной с некоторой
положительной мерой, которая, вообще говоря, определяется неоднозначно.
Трехчленное рекуррентное соотношение для многочленов Якоби следует из
соотношения смежности
~[(1~2х)(Ь~а~1)3 + (Ь~а)(Ь + а~1)(2с~Ь~а~1)]2^(а^;х)~
-2a(b-c)(b~a + l)2F1(a + 1^b~1;x) = 0. (2.5.15)
после надлежащего выбора параметров. В частности, мы требуем, чтобы
выполнялось равенство а = —п, где η есть натуральное число. Однако
равенство (2.5.15) выполняется и в том случае, когда ряд не обрывается. Другое
соотношение смежности, которое определяет последовательность
ортогональных многочленов, имеет вид
a{l-x)2Fl(a + *>b;x)+[c-2a-(b-a)x]2Fl(a>cb;x)-
-(с-а)2У1(а"с1'Ь;х) = 0. (2.5.16)
Более подробно мы изучим ортогональные многочлены в последующих
главах. Тем самым будет подготовлено естественное обоснование для введения
некоторых соотношений смежности в смысле, подразумевавшемся в
предшествующих замечаниях.
Куммер [242] рассматривал проблему расширения соотношений смежности
на pFq, однако остановился на замечании, что для 3F2(a,b,c;d,e;x) формулы
более сложны. В частности, в линейных соотношениях смежности участвуют
четыре функции: 3F2 и три смежные с ней. Куммер также отметил, что только
лишь при χ = 1 формулы действительно упрощаются. Последний случай
является ключом к трехчленным соотношениям для некоторых старших ρ и q. Эта
тема будет обсуждаться в следующей главе.
Замечание 2.5.2. Следует заметить, что непрерывная дробь из формулы
Гаусса (2.5.11) содержит как частный случай непрерывную дробь для arctg x. Ряд Тейлора для
arctg χ при χ = 1 сходится очень медленно, в то время как сходимость непрерывной дроби
очень быстрая и потому была когда-то очень полезна для приближенного вычисления
числа π. См. упражнение 25.

no
Глава 2. Гипергеометрические функции
Замечание2.5.3. Условие ортогональности (2.5.14) есть не что иное, как обобщение
хорошо известного факта из тригонометрии:
π
^ cos τηθ cos ηθάθ = 0 для τη Φ п. (2.5.17)
о
Действительно, положим Тп(х) := cosηθ, где x=:cos0. Тогда Тп(х) есть многочлен
степени η и (2.5.17) превращается в
ι
\Tmix)TnMil-xr1/2il+xT1/2dx = 0 для шфп.
-1
Несложно показать, что СГп(х)=Рп(~1/2"1/2)(х), где С = (2п)!/[22п(п!)2]. Другой похожей
последовательностью многочленов является
гт , ПЛ sin(n + l)0
ϋ"(ε08ί,)=-^-·
Тп(х) и !/„(*) называются многочленами Чебышева первого и второго рода
соответственно. Трехчленное соотношение для Тп(х) имеет вид
Это ничто иное, как тригонометрическое тождество
2cos0cosn0 =cos(n + l)0 + cos(n —1)0.
Некоторые свойства многочленов Чебышева могут быть интерпретированы как
простейшие тригонометрические тождества. Эти многочлены служат отправной точкой
для обобщения на случай многочленов Якоби и других последовательности
ортогональных многочленов. По этой причине читателю следует помнить о них при изучении
«классических» ортогональных многочленов. Некоторые упражнения в конце этой главы
посвящены многочленам Чебышева. Мы также называем многочлены
wr m sin{(2n + 1)0/2} м/, m cos{(2n +1)0/2}
V"(C0S*)= sin0/2 И ^(C0S*)= cos0/2
многочленами Чебышева третьего и четвертого рода соответственно. Однако эти
многочлены не играют для нас принципиальной роли.
§ 2.6. дилогарифмы
Все примеры спецфункций, выражаемых через гипергеометрические функции,
приведенные в § 2.1 содержали либо 2Р\> либо функции более низкого уровня.
Дилогарифмическая функция —это пример функции 3F2- Она впервые
обсуждалась Эйлером, а впоследствии многими другими математиками, включая Абеля
и Куммера1. Однако лишь в последние два десятилетия она стала появляться
в различных математических контекстах. Ее возрастающее значение нашло
отражение в двух книгах, посвященных дилогарифму и его обобщению —
полилогарифму. См. [247, 248]. Здесь мы приводим несколько элементарных
свойств дилогарифма. У читателя, возможно, также возникнет желание изучить
работы [221] и [432]. В последней приводятся многочисленные интересные
применения в теории чисел и геометрии.
ι Стоит также упомянуть работы Лобачевского об объемах трехмерных гиперболических
многогранников, см. [438].

§ 2.6. Дилогарифмы
111
Дилогарифм определяется как ряд
00
η=1
Из разложения в ряд Тейлора функции ln(l — t) следует, что
v In(l-t)
о
Ii2(x) = -$ ^-^dt. (2.6.2)
Интеграл определяется как однозначная функция на комплексной плоскости
с разрезом С\ [1,<»); таким образом, мы имеем аналитическое продолжение
Li2(x) на эту область. Многозначность функции Li2(x) может быть также легко
изучена. Точки 1и» являются точками ветвления. Если Li2(x) продолжается
вдоль петли, обходящей вокруг х = 1 один раз, то значение Li2(x) изменяется
на —2πι"1ηχ. Это легко видеть из интегрального представления.
Получим теперь гипергеометрическое представление из интеграла
χ 1
Li2Сх) = ] 2*i( V: 0 dt = х S 2^ι( V;»)du = χ2Fi( Vj1;x)
0 0 '
при помощи формулы (2.2.2). Хотя можно изучать свойства дилогарифма, не
прибегая к теории гипергеометрических рядов, мы выделим один пример,
в котором можно применить преобразование Пфаффа.
Теорема 2.6.1. Справедливо равенство
U2(x) + Li2(x/(x-1)) = -|[ln(l-x)]2
(преобразование Ландена).
Доказательство. Из преобразования Пфаффа (теорема 2.2.5 получаем
4*)-5Λ(Υ;·)*-»!Λ(νΆ)ίΐ·
о о
Положив ii = t/(t—1) в последнем интеграле, получим
*/(*-1) г Λ Λ ч А Х/{Х~г) г Λ Λ ч X/{X-1) г Λ Λ ч
- S *№«&-- S *№· *- S Ал Υ;« *·
0 0 0
Первый интеграл равен Li2(x/(x —1)), а второй, соответственно,
что и доказывает результат. D
Мы дадим еще одно доказательство, использующее другое представление
дилогарифма как гипергеометрической функции. Это представление дается
выражением
^«-teFWiV.;»)-1}· (2·6·3)

112
Глава 2. Гипергеометрические функции
Пусть χ принадлежит области {χ: |χ|<δ<1}η{χ: |х/(х — 1)|<5<1} = S5, δ>0.
Применим преобразование Пфаффа к равенству (2.6.3) и получим
=!lmo?{(1-^(1-χ)+γ[Ш(1-^2+0И(1+eΣ^fe),,)-1}·
Далее,
2^ηΎε\7^ϊ) = Ι^ηΙΤ^) + 2ЛпТе~п)\'х::л) =
Таким образом,
U2(x) = lim^|(l-eln(l~x) + y[ln(l-x)]2 + 0(e3))x
v n=l ' '
= -i[ln(l-*)]2-Li2(^).
Операция взятия предела обосновывается тем фактом, что для xeS5 и |ε| < 1/2
соответствующие ряды являются аналитическими функциями переменных χ
и ε. Таким образом, мы снова доказали теорему. Еще одно доказательство
содержится в упражнении 38.
Теорема 2.6.2. Пусть ω — примитивный корень п-й степени из 1. Тогда
±1л2(хп) = ^1л2(<окх); (2.6.4)
fc=0
±Li2(x2) = Ii2(x) + Ii2(-x); (2.6.5)
U2(x) + Ii2(l-x)=^-lnxln(l-x). (2·6·6)
Доказательство. Для доказательства равенства (2.6.4) сначала разложим
на множители выражение 1—tn = (1—t) (1 — ωί)... (1 — ωη~ιt). Возьмем логарифм
от результата и, проинтегрировав, получим
_ С In(l-f) dt = _\ jnOza dt_ ? ha-«0 dt _ г 1η(1-ω-4) dt
О 0 0 О
С помощью замены переменных показываем, что интеграл в левой части
есть - Li2(xn). Таким образом, доказываем равенство (2.6.4), а равенство (2.6.5)
получаем, полагая η = 2.

§ 2.6. Дилогарифмы
113
Для вывода формулы (2.6.6) интегрируем по частям:
U2(x) = -$!i^dt = -ln*ln(l-*)-$^dt.
О О
Последний интеграл после замены переменных и = 1 — t принимает вид
_^1п(1ри)йи = 1.2(1_х)_1.2(1)
о
Но
ι
согласно теореме 1.2.4. Доказательство теоремы закончено. D
Вероятно единственными значениями х, при которых Li2(x) может быть
вычислено с использованием элементарных функций, являются восемь значений
v-n 4-1 I -1±^5 1-У5 3--/5
х-и, υ, 2, 2 ' 2 ' 2 '
Теорема 2.6.3. Справедливы равенства
Li2(0) = 0, (2.6.7)
Li2(l) = £, (2.6.8)
π2
Li2(-D = -^. (2.6.9)
и*Ш=ё->2]2> (2·6·10)
"2(^)=ё4М«> (2·613>
Доказательство. Соотношение (2.6.7) очевидно, а соотношение (2.6.8)
было доказано при доказательстве теоремы 2.6.2.
Для доказательства равенства (2.6.9) заметим, что
>«-»-1:*?~(1-*+?-?+-)-
1
=-[1+?+?+έ+···-2(?+?+···)]=
-_Г2£-2_ π2]_-π2
L 6 22 ' 6 J 12 '
Положим х= 2 в (2.6.6), для того, чтобы получить (2.6.10).
Тождества (2.6.11) и (2.6.12) можно вывести следующим образом:
преобразование Ландена и формула (2.6.5) вместе дают соотношение
Μτ=ϊ)+ |Li2(x2)-U2(-x) = -|[1η(1-χ)]2. (2.6.15)

114
Глава 2. Гипергеометрические функции
Положим аргументы первых двух дилогарифмических функций равными
друг другу. Тогда х/(х — 1) = х2, или х2—χ—1 = 0. Одним из решений последнего
уравнения является х=(1 — V5)/2. Подставляя это значение χ в формулу (2.6.15),
получаем
§u2(^)-u2(^) = -i[4W
Для нахождения другого уравнения, содержащего
Ii2((3-i/5)/2)
и
Li2((l-</5)/2),
подставляя х = (3 — -/5)/2 в формулу (2.6.6), получим
Теперь разрешим эти уравнения и получим искомый результат. Доказательство
формул (2.6.13) и (2.6.14) оставляется в качестве упражнения. D
Для дилогарифма имеются также уравнения относительно двух переменных.
Нижеследующий результат обычно приписывается Абелю, хотя первоначально
он был опубликован Спенсом. Необходимые ссылки см. в книге [248]. Имеется
в виду следующая формула:
^[^•T^l^ii^l+u^J^u.w^u^)^
-lnQ-x)ln(l-y). (2.6.16)
Она легко проверяется при помощи вычисления частных производных по χ или
у, что предоставляется проделать читателю.
В общем виде мы можем определить полилогарифм как ряд
00
"»πχ:=Σ£ Для |х|<1, гп = 2,3... (2.6.17)
Соотношение
£lim(x) = il^-iCx)
легко доказывается и может быть использовано для определения
аналитического продолжения LimQc). Полилогарифм может быть также представлен как
гипергеометрическая функция,
Цп(*) — Хт+г^ту 2 ' 2 iX)'
Мы не будем далее углубляться в свойства этой функции, но вместо этого
отсылаем читателя к работе [432] и книгам, упоминавшимся ранее.
§ 2.7- БИНОМИАЛЬНЫЕ СУММЫ
Одной из областей, где гипергеометрические тождества оказываются очень
полезными, является вычисление сумм произведений биномиальных
коэффициентов. Основные свойства этих сумм обнаруживаются при записи их как

§ 2.7. Биномиальные суммы
115
гипергеометрических рядов. Суммы биномиальных коэффициентов, которые
выглядят совершенно отличными друг от друга, оказываются экземплярами
одних и тех же гипергеометрических рядов. Одна из причин этого в том, что
одно и то же выражение может быть разными способами представлено как
произведение биномиальных коэффициентов. Несколько примеров, приведенных
ниже, это продемонстрируют.
Рассмотрим сумму
Чтобы записать ее как гипергеометрический ряд, взглянем на отношение
Cj+i/Cj, как мы делали, когда определяли гипергеометрические ряды. Простое
вычисление показывает, что
cJ+l Q'-fcjQ'-n)
Cj (j-fc + l)0 + 2)·
Так что
γη (-*),(-η), -Г*~М
S-bZjir-k + lUZ), И C°~V η У
i—c\ J J
J=0
Теперь, как объяснялось в § 2.1, можно записать j! = (1);· в числителе и
знаменателе, и получить
Мы научились суммировать два типа рядов для 3F2: уравновешенный и хорошо
уравновешенный (см. § 2.2). Однако данный ряд в действительности лишь
«почти» уравновешенный ряд, а такие виды рядов мы пока не рассматривали.
Тем не менее есть способ обойти эту сложность. Заметим, что в знаменателе
содержится (2);, что может быть записано как (1);+ι· Теперь
(-Ю v« (-fc-lW-n - l),+i _
r-ffc-n НО у \r-*-uJ+iKr-n-.
I n J(n + l)(k+l)Zj (l)j+1Hty+1
j=0
fk-ΙΛ (-fc) γ
^ π J(n + l)(k+l)Z-i
(-fc) ^(-fc-l)i(-n-l),
(!),(-«(
2Fx может быть вычислена с помощью формулы Чу—Вандермонда, так что после
упрощения мы получим
«-iM.:i)+t-»"l·
В качестве другого примера рассмотрим сумму
к>0 к>0

116
Глава 2. Гипергеометрические функции
Здесь
т.е.
Cfc+i _ № + n + l)(k + ±)№-m + n)
с* "(fc+f + l)(fc + ^)(fc + 2)'
«-о
3^2
—1 — n + m,n,— 7
m —1 m
2 ' 2
;i -i
3F2 уравновешена, и мы можем применить тождества Пфаффа—Заальшютца.
Получим
l~~2 "λ+Ι-πΛ^λ
MS)
-1
/п+1—m
(s=i) (a_n)
что упрощается до ( n~ J. Читатель может проверить, что сумма
ΖΛ jfc A n-fc Am + nJ
fc>0
также сводится к примеру ряда Пфаффа—Заальшютца.
В качестве последнего примера рассмотрим ряд
Е^&ХЛХЛЬ*
k=-l
где мы полагаем, что Ζ = min(Z, m, η). Последнее выражение сводится к ряду
(-1У(2т)!(2п)! „ /--2Ζ,-Γη-Ζ,-π-Ζ.
(m-Z)!(m + Z)!(n-0!(n
F (-2l,-m-l,-n-l-\
+ !)32U-! + l,n-I + r i'
Это хорошо уравновешенный ряд (см. § 2.2), который может быть
просуммирован с помощью формулы Диксона. Однако в данном случае этого нельзя
сделать прямо, поскольку возникающий при этом множитель Г(1 —Ζ)/Γ(1 —2Ζ)
не определен. Чтобы обойти эту сложность, будем использовать следующий
вариант формулы Диксона:
зЫ
—2Ζ — 2ε, — т — Ι — ε,—η — 1 — ε
■Л)-
_ r(l-Z-g)r(l + m-Z-g)r(l + m + n + Z + g)
3Ά m-Z-g + l,n-Z-g + l ,XJ~ Г(1-2*-2г)Г(1 + т)Г(1 + п)Г(1 + гл + п) '
Применим формулу отражения Эйлера к правой части и получим
sin7i(2Z + 2g)r(2Z + 2g) r(l + m-Z-g)r(l + n--Z--g)r(l + m + n + Z + g)
sin π{1 + ε) Γ{1 + ε) ' Г(1 + т)Г(1 + п)Г(1 + гл + п)
В пределе при ε ■
Таким образом,
► 0 это выражение принимает вид
4K2Z-l)!(m-Z)!(n-Z)l(m + n + Z)
2С-1)1
(Ζ-1)1
т\п\{т + п)\
(Z + m + n)!(2Z)!(2m)!(2n)!
(l + m)\{l+n)\{m + n)\l\m\n\u

§ 2.8. Двусторонний ряд Дуголла
117
Другой пример, который дает хорошо уравновешенный ряд 3^2>—ряд
Можно привести и другие примеры, однако рассмотренных выше случаев
достаточно для объяснения того, как применяются гипергеометрические тождества
при вычислении биномиальных сумм. См. упражнение 29 в гл. 3.
§ 2.8. ДВУСТОРОННИЙ РЯД ДУГОЛЛА
Предмет этого параграфа—двусторонний ряд
ΣΓ(α + η)Γ№ + η)
r(c + n)r(d + n)·
П=—оо
Вообще говоря, гипергеометрический ряд 2Яг(а> Ь; с; 1) должен рассматриваться
как частный случай двустороннего ряда с d = l, так как 1/Г(п) = 0 для
неположительных целых п. Это объясняет, зачем мы ввели 1/п! в п-е слагаемое
гипергеометрического ряда.
Предыдущее замечание указывает нам способ вычисления таких
двусторонних рядов. Для d = 1, 2, ... сумма сводится к ряду, который может быть
просуммирован с помощью гауссовского суммирования для 2Fi(a> Ь; с; 1). Следующая
теорема, принадлежащая Карлсону, позволяет вычислить двустороннюю сумму
из значений этого ряда при d = 1, 2, ...
Теорема 2.8.1. Если f (ζ) — аналитическая функция, ограниченная при Re ζ>
>0, и если /(2;) = 0 для ζ = 0, \, 2, ..., то функция f{z) тождественно равна
нулю.
Замечание. Условие ограниченности может быть ослаблено. Достаточно
полагать, что f{z) = 0(e'c'zl), где ic < π. Приведенное ниже простое доказательство
нашего частного случая было дано Сельбергом [340].
Доказательство. По теореме Коши о вычетах
ffn. _ (α-1)(α-2)...(α-η) lc /(*) ,
/W~ 2πΐ ) {ζ-αΚζ-1)...ίζ-η)αΖ
-too
для η > а > 0. Тогда для а > 1 мы имеем
ш Ή< [q]l(n-[q])l ? 1/COI dt [q]l(n-[q])l С 1/№)| ,
UWl" 2π Λ V(a2 + t2)(l + a...(n2 + t2)" 2πη! j, (a'+1») ""
Перейдем к пределу при п->» и увидим, что /(a) = 0 для всех
вещественных а>1, откуда и следует утверждение теоремы. D
Теорема2.8.2 (Дуголл). Для l+Re(a + b)<Re(c + d) выполняется равенство
V» Г(а + п)Г(Ь + п) π2 r(c + d-a-b-l)
Z-J r(c + n)r(d + n) si^asin^r(c-a)r(d-a)r(c-b)r(d-b)'
П=—оо
Доказательство. Для1 Red>Re(a + b —c) + 1 функции справа и слева
являются ограниченными аналитическими функциями переменной d. Пусть т —
ι Другое поучительное доказательство есть в [119, § 1.4].

118
Глава 2. Гипергеометрические функции
целое число на этой полуплоскости. Для d = τη ряд в левой части
ΣΓ(α + η)Γ0? + η) Г(а-т + 1)Г(Ь-т + 1) γπ (а-т + ЩЬ-т + 1),
Г(с + п)Г(т + п) Г(с-т + 1) Zj (с -т +1),(1)!.
n=-m+l /=0
может быть просуммирован с помощью формулы Гаусса для 2^χ. Таким образом,
результат Дуголла может быть проверен для d, равного целому числу на
полуплоскости. Теперь из теоремы Карлсона следует утверждение теоремы 2.8.2. D
Сумма Гаусса для 2F\ тоже может быть выведена из теоремы 2.8.1. Нам
необходимо доказать, что
к (-Ъ,а.\_ Г(с)Г(с-а + Ь)
2/Ч с >LJ Г(с-а)Г(с + ЬГ
Это соотношение верно для Ь = 1, 2, ... согласно тождеству Чу—Вандермонда.
Теперь общий случай следует из приведенных выше рассуждений.
В качестве другого примера, где можно применить теорему Карлсона,
рассмотрим формулу
1 Г(а)Г(/8)
$xa-1(l-*y*"1cis =
Г(а + 0Г
Ее легко доказать по индукции в случае, когда а — натуральное число. Мы
сталкивались с этим в гл. 1. Интеграл ограничен и аналитичен при Re а > δ > О,
что верно и для выражения в правой части. Утверждение доказано.
§ 2.9- ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 2.2.1 дает интегральное представление Эйлера для
гипергеометрической функции. Недостаток такого представления в том, что симметрия по
параметрам а и Ъ в интеграле становится неочевидной. Мы замечали, что
с помощью двойного интеграла Эрдеи (2.2.5) можно получить два различных
представления, меняя порядок интегрирования. В этом параграфе мы покажем,
как можно использовать интегрирование по частям дробного порядка, чтобы
преобразовать интеграл для 2F\ (о, Ь; с; х) в другой интеграл, в котором а и Ъ
меняются местами. Вообще говоря, интегрирование по частям дробного
порядка—довольно мощный метод, и мы также используем его для доказательства
формулы Эрдеи. Многие формулы из этой главы могут быть получены данным
методом. Метод также применяется в теории ортогональных многочленов,
которая будет обсуждаться в гл. 6.
Пусть
χ
a/)W:=S/(t)dt.
a
Переставляя порядок интегрирования, получаем
(/2/)(х) :=I2fW = I \ f(tl)dtldt=l{x-t)№dt.

§ 2.9. Интегрирование по частям дробного порядка и гипергеометрические интеграАЪ9
По индукции для натурального числа η выполняется равенство
(/„/)(*) :=Г/(х) = I J ... "f f(.tn_1)dtn_,...dt1dt = r^ lix-tr-'HOdt.
a a a 'a
Интеграл дробного порядка Ia для Re α > 0 тогда определяется как
(/«/)(*) := fL· SCx-O^/CO A. (2.9.1)
α
Условие Re α > 0 может быть снято с помощью контурных интегралов1. Теперь
очевидна интерпретация интеграла Эйлера для 2Ρι (α> Ь; с; х) как интеграла
дробного порядка.
Производные дробного порядка также могут быть определены с помощью
формального соотношения
ψξ. = -»-^ (2.9.2)
dwv Γ(μ—ν+1)
в случае, когда правая часть имеет смысл.
Для введения формулы интегрирования по частям дробного порядка
положим, что функции и и υ определяются формулами
00 00
и = 2 Аг (х - аУ+Г-\ ν = J] Bs (Ь - χ)™-1.
Г=0 5=0
Тогда
1и1^ах=^1^аУ<1х (2.9.3)
α α
при условии, что интегралы существуют. Формула может быть прямо проверена
подстановкой соответствующих рядов для и, ι/ и их производных, которые
находятся почленным применением равенства (2.9.2). После почленного
интегрирования мы находим, что левая и правая части совпадают. Заслуживает
внимания тот факт, что формула (2.9.3)) при Re v<0 эквивалентна тождеству2
Ъ ГЬ Ί Ъ Гх
$ иЩ \iy-xy-lv(y)dy \dx = $ vM\ SU-yr-^OOdy
a Lx J α La
dx,
где v = —α. Эта формула выполняется в силу того, что обе ее части равны
двойному интегралу
^uMuWiy-xy^dxdy.
Теперь покажем, как перейти от одного интегрального представления
функции 2^ι (α> Ъ;с;х) к другому. Из равенства (2.9.2) очевидно, что
Г(с)
Г(МГ(с
—гг \ tb~l (1 - t)c"b_1 (1 - xtTa dt =
-Ь) J
Г(С) {tb-Hl-xt)-*^1-*""1 dt (294)
Г(Ь)Г(с-а) У U Xt) d(l-t)b- at* ^УЛ)
ι Эта фраза содержит задачу.
2 Можно сказать, что вычисляется L2-сопряженный оператор к интегральному оператору 1а\
впрочем, в данном случае все сводится к перестановке пределов интегрирования.

120
Глава 2. Гипергеометрические функции
Интегрированием по частям формулы (2.9.3) получим
Г(С) {a-tY-*-1^'41-*^ dt (295)
Г(Ь)Г(с-а) JU t} dtb~° Utt W"*bJ
Биномиальная теорема совместно с формулой (2.9.2) дает равенство
db-qtb-l(1__xt)-q db-a ^ Г(д + Γ)^Γ-1χΓ * Г(Ь + у^+г-у r(fe)
dtb-a dt^^-i Г(а)г! Zj Г(а)г! Г(а) U j *
г=0 г=0
Подставим последний результат в формулу (2.9.5) и получим
Г(с) a
^у 5 ^(ЬО^а-Л)4*.
Г(а)Г(с _, о
Это есть не что иное, как выражение из формулы (2.9.4) с переставленными а
и Ь. Наша цель достигнута.
В качестве другого примера использования интегрирования по частям
дробного порядка мы заново выведем следующую формулу из теоремы 2.2.4:
когда Re с> Re d > 0, χ Φ1, | arg(l—χ)| < π. Применим формулу (2.9.2) и увидим,
что выражение (2.9.4) равняется
r(b)r(c-d)H U Xt) d(l-t)"
"r»)r(c-d) Г1 rj dt" '
а также
d^t^a-xtr1 _ d^ V1 r(a + r)tb+r-V
dr" Zj '
dt" dt" ^ Г(а)г!
r=0
Σ" Г(а + г)Г(Ь + г)Га+г-У __ Г(Ь) fd-i РГа,Ь, Л
T(a)r(d + r)r! "T(d)r 2 4 d ' V'
r=0
Подстановка данного результата в последний интеграл и завершает
доказательство формулы (2.9.6).
Теперь приведем и докажем формулу Эрдеи [118], упоминавшуюся ранее.
Теорема 2.9.1. Для Rec>Reμ>0, хф\, | arg(l —х)| <π имеет место
равенство
0 ^е-^-ь:»ы'*^-"··1^)*-

Упражнения
121
Доказательство. Применим преобразование Эйлера из теоремы 2.2.5
к 2^ι в подынтегральном выражении в формуле (2.9.6). В результате получим
*(*» = йшЬ) | 'Я-'0-*-Я-' О-»'^-1 Л(А-V"':»)*-
Мы можем убедиться, что согласно формуле (2.9.2) и представлению 2F\ в виде
ряда выполняется равенство
Г(Я) 2*Ч Я ' *Ч " Л*"* Ι Γ(μ) 2FA μ > Xt)l·
Подставим это соотношение в последний интеграл и используем формулу (2.9.3)
интегрирования по частям дробного порядка. Получим
*("■»-
"Γ(μ)Η 2i4 μ 'XtJd(l-t)^i Г(с-Я) (1 X° Idt'
Запишем выражение в фигурных скобках в виде
Возьмем производную порядка μ — λ от этого выражения и получим
U~*J ГСс-μ) 2Ч c-μ '~7=ГУ
С помощью преобразования Пфаффа (теорема 2.2.5) приведем последнее
выражение к виду
( ^я-А-ьа-О^-1 -(а + Ъ-λ,λ-μ. (ΙζΟχλ
Подставив результат в последний интеграл, докажем утверждение теоремы. D
УПРАЖНЕНИЯ
1. Завершите доказательство второй части теоремы 2.1.2, касающееся условной
сходимости.
2. Пусть
Σ ак и Σ \ак I стремятся к бесконечности одинаковым образом, а именно
Jt=l I Jt=l
Jt=l Jt=l
для любого п и К не зависит от п. Докажите, что
π
Σ bit ь
lim *^_ = lim \
Jt=l

122
Глава 2. Гипергеометрические функции
полагая, что предел в правой части существует.
3. Используя результат упражнения 2, докажите теорему 2.1.4.
4. а) Покажите, что i((H-x)n4-(l-x)n) = 2F1(-n/2,-(n-l)/2;l/2;x2). Найдите
подобное выражение для -((1 + х)п - (1-х)").
б) Покажите, что (l+x)n = l + nx2Fi(l-n, 1;2;-х).
5. Получите тождество Чу—Вандермонда приравнивая, коэффициенты при хп в обоих
частях тождества (1 —хГ^О -х)-6 = (1 -х)~(<н*Ь).
6. Пусть 1п(14-х) определяется рядом (2.1.3). Используя преобразование Пфаффа
(теорема 2.2.5), докажите тождество 1п(14-х) = —ln(H-x)"1.
7. Покажите, что преобразование Пфаффа эквивалентно равенству
Это один из способов избавиться от ограничения Rec>Reb>0, использованного
при доказательстве теоремы 2.2.5.
8. Докажите тождества (2.1.10)—(2.1.13).
9. Покажите, что XFX (а; с; х) = ех xFi (с — а; с; —х).
10. Пусть χ — комплексное число, не равное нулю или отрицательному целому.
Покажите, что
r(x) = Vi( x1;-l)+^^-1e^dt = V-^- + ^-1e-tdt.
χ1 Ηχ + Ι' J J Z-in!(n + x) ί
Обратите внимание на то, что выражение для ряда jFj явно содержит полюсы
и вычеты функции Г(х).
11. Покажите, что
С e-stta-i F i-α2,...,αρβ Λ Γ(α) гаъ...,аруа, χ\
когда p<q, Res>0, Иеа>0и возможно почленное интегрирование.
12. Покажите, что
cosmx
sin mx = m sin x 2F]
13. Докажите, что каждая из функций
_ ί 2a,2b,a + b A
"" 3 2\^2a + 2b,a + b+|,XJ
Уг
удовлетворяет дифференциальному уравнению
x2(x-l)y,,,-3x(a + b+±-(a + b + l)x)y,,+
+ {[2(a2 + b2 + 4ab) + 3(a + b) + l]x-(a + b)(2a + 2b + l)}y, + 4ab(a + b)y = 0

Упражнения
123
и тем самым докажите тождество Клаузена (см. [86])
i 2
{λ [α+α5+1;*J| - 3f2 [2a2+a;b2 ;a++b+1:*J ·
Докажите также, что
2*1
■Г a,b ·*ϊ ρ (*-*·*-" -Л-- F(a-b+\-b-a+i\ Λ
14. Покажите, что тождество Пфаффа—Заалыпютца (2.2.8) может быть записано в
полностью симметричной форме:
T(d)r(e) [cos πd cos ne + cos πα cos nb cos nc]
р(*,Ъ,с \_ yrT(d)r(e)[cc
з1Ч d,e 'J r(d-a)r(d-
-b)r(d-c)r(e-a)r(e-b)r(e-c)
когда ряд естественным образом обрывается Hd + e = a + b + c + l. Это наблюдение
было сделано Р. Уильямом Госпером.
15. Докажите, что
[п/2]
γ„(*) = Σ(£>"-24*2-ι)\
Jk=0
где Тп (х) — многочлен Чебышёва первого рода. Найдите аналогичное выражение
для многочлена Чебышёва второго рода ί/π(χ).
16. Докажите следующий аналог малой теоремы Ферма: если χ — натуральное число
и ρ — простое нечетное число, то Гр(х) = Гх(х) (mod p).
17. Уравнением Пелля называется уравнение х2 —Dy2 = l, где D — натуральное
число, свободное от квадратов. Пусть S —множество всех положительных решений
(*>У) уравнения Пелля, а (xi,yi) —решение из S с наименьшим х. Покажите, что
(Гп(х1),у117п_1(х1)), п>1, также является решением и, следовательно, уравнение
Пелля имеет бесконечно много решений, если оно имеет хотя бы одно.
18. Пусть Sn(x) = Un_1(x) и [/_!(х) = 0. Докажите, что HOA(SnM,SmM) = SHOAimn)M,
где χ, m и π — натуральные числа.
19. а) Покажите, что
ι
$ Pn(a'-1/2)(2x2-l)p(x)(l-x2)adx = 0,
-ι
где ρ (χ)— любой многочлен степени не выше 2п —1. Выведите также, что
p(a,a)/Vi _ Γ(2π + α+1)π1 p(g,-i/2)i?v2 1Ί
*2" W""r(n + a+l)(2n)r» Ш 1J·
б) Покажите, что
р(а,а)Гул _ Γ(2π + α + 2)π1 r(g.i/2)fnr2 «ч
в) Какой смысл а) и б) имеют дця многочленов Чебышёва первого и второго родов
соответственно?
20. Докажите, что
_ (а+1)п/-1 + дсЛ" r-η,-η-β. х-1\_ (η + α + β+1)η(χ-ΐγ ί-η,-η-α 2 \
~ л! V 2 J 2*Ч o+l 'x + lJ- π! V. 2 J 2flla-e-2ri'l-x>

124
Глава 2. Гипергеометрические функции
21. [Якоби) Пусть x = cos θ. Докажите, что
d^sin2"-^,^-!)"-1 (2п)! . д
Γ"Γ"Ί = ~п , Sin TZU.
22. Докажите, что многочлены Якоби Ρ^α,β) (χ) удовлетворяют трехчленному
рекуррентному соотношению
2(η + 1Κη + α + β + 1Κ2η + α + β)Ρ™Μ =
= {2η + α + β + №2η + α + β + 2){2η + α + β)χ + α2-β2}Ρΐ;α>β\χ)-
-2ίη + α)ίη + β)·2ίη + α + β + 2)Ρ^1β\χ) = 0,
η = 1, 2, 3, ... (Ср. с формулой (2.5.15).)
23. Докажите соотношение смежности Эйлера в интегральной форме (2.5.3'), заметив,
что
ι ,
0=^(ta(l-t)c-a(l-tx)1-b)dt, Rec>Rea>0.
о dt
24. Докажите следующие соотношения смежности:
а) (c-2a-(b-a)x)F + a(l-x)F(a+)-(c-a)F(a-) = 0;
б) (c-a-l)F + aF(a+)-(c-l)F(c-)=0;
в) (b-a)(l-x)F-(c-a)F(a-) + (c-b)F(b-) = 0;
г) с(Ь - (с - a)x)F - bc(l - x)F{b+) - (с - b)F(b-) = 0.
25. Докажите следующие разложения:
a (c-a)x
Λ _ χ \2х222х2Ъ2х2
в) arctgx = - —— — ...;
π 1 Ι2 22 32
γ) — = — — — —... (девятый порядок приближения дает верное значение для
π/4 с точностью до семи знаков после запятой);
12 3
„л ι„ *+1 __ 2 2 3 4 .
ю ^^-^ΤχΖτ^τ^:--
2х 3х 4х
χ arcsinx _ χ 1·2χ2 1·2χ2 3·4χ2 3·4χ2
VT^X2""1- 3- 5- 7- 9- '"
26. Покажите, что
2F1(a' ;x) с_(а + Ы-1)л:
/а + 1,Ь + 1 ч (а+1)(Ь+1)
Л( е + 1 ·*) «(!-«) с(с + 1)
с Л
(а + 2)(Ь+2)
с + 1-(а + Ь+3)х | *(1 *} (с + 1)(с + 2)
(с+1) с + 2-(а + Ь+5)х
(с+ 2) + ...
27. Используйте интегральное представление Барнса для 2FX и бета-интеграл Барнса
(теорема 2.4.2) для доказательства формулы (2.3.13). Рассмотрите также случай,
когда с — а — Ъ — целое число.
28. Умножив уравнение (2.3.13) на xd~l (1 — χ)*"*'1 и проинтегрировав от 0 до 1, получите
другое доказательство теоремы 2.4.4.

Упражнения
125
29. Докажите следующие формулы Рамануджана [305, статья 11]:
г1 + (*/(Ь+1))2 1 + (*/(Ь+2))2 УпГ{«+1У(Ь + 1ЙЬ-а+\)
aJ l 1 + (*/α)2 1 + (χ/(α + 1))2- 2 Γ(α)φ + 1)Г(Ь-а + 1)
при 0<а<Ь— -;
dx
, а>0, Ь>0.
бл г ах =
} \ (l + (jc/a)2)(l + (jc/(a + l))2)...(l + (jc/b)2)(l + (jc/(b+l))2)...
_ ^Г(а)г(а+|)г(Ь)г(ь+|)г(а + Ь)
"Τ φΤ^Ι)
30. Докажите, что для Re t > 0 верно тождество
00 00
^ β-(η+α)2πί =_1_Γ e-n2n/te2ninat
П=—оо V п=—оо
Указание. Обозначьте левую часть за /(a) и заметьте, что / имеет период, равный 1.
Разложите / в ряд Фурье
Σ Ле2яйм
П=—оо
и покажите, что
Ап = $ е-^е-2*** dy.
— 00
31. а) Путь χ — нетривиальный четный примитивный характер (mod Ν). Докажите, что
Σ *(п)е-2" = ^= Σ ^η)«-π2π/(Ν2°,
^ VN2t ntToo
N
П=—оо
где Re t > 0 и
Указание. Сначала заметьте, что
N
Σ *(Όβ-η2,*=Σ*ω Σ e-*t(Nn+<
α=1 п=-оо
Затем примените результат предыдущего упражнения.
б) Пусть χ — нетривиальный нечетный примитивный характер (mod N). Докажите,
что
Σ »* ω'-"2"'=38г Σ πΐ(η)β-«2^2".
Af2t3/2
32. а) Покажите, что tt"T(s)£(2s) для Res> 1 есть преобразование Меллина от
Σ>-2π'·
б) Используя результат упражнения 30, покажите, что

126
Глава 2. Гипергеометрические функции
в) Заметьте, что выражение в правой части б) не меняется при замене 5 на 1—5.
Найдите аналитическое продолжение и функциональные уравнения для
дзета-функции.
33. Получите функциональное уравнение для !(#,$), где χ —примитивный характер
(mod АО, используя упражнение 31 и идею упражнения 32. (Согласно упражнению 53
из гл. 1 функциональное уравнение имеет вид
«*.«=^т
* 1(7, i-s)
2i5 \NJ r(s)cosn(s-δ)/2*
где 5 = 0 или 1 в зависимости от того, четный или нечетный характер χ.)
34. Имея в виду функциональные уравнения для дзета-функции, примените обратное
преобразование Меллина и докажите, что
Σ^-^Σ^·
35. Найдите преобразование Меллина от 2Fx[a,b;c;—x) следующим образом:
Га.Ь \ , с j_i„ . ..-о г,(а,с — Ъ х
dx.
Положите и = х/(х+1) и почленно проинтегрируйте ряд для 2Fi-
36. Пусть Fi(s) есть преобразование Меллина от ^(х). Покажите, что
±'ХFl(s)F2(S)F3(S)dS= l ξ/ι(„)/2(„)/,(±)^«1.
k—ioo 0 0
Получите непрерывный аналог Барнса (теорема 2.4.3) тождества Пфаффа—Зааль-
шютца.
37. а) Докажите, что
00 00
^ns-ie2nina = Γ(5)(2π)^β"π/2 J] (a + n)"s> Ima > 0, Res > 1,
Π=1 Π=—οο
используя теорему Карлсона. (Эта формула была получена Липшицем.)
б) Разложите £(a + n)~s, lma>0, в ряд Фурье ^Ате2пШа. Представьте Ат как
—00
интеграл по (—»; »). Используя результат а), получите формулу Ганкеля для 1/Г($).
См. упражнение 1.22.
38. а) Проверьте справедливость теоремы 2.6.1, дифференцируя обе части уравнения.
б) Проверьте справедливость тождества Абеля—Спенса (2.6.16).
в) Докажите тождества (2.6.13) и (2.6.14).
39. а) Докажите, что
б) (Куммер) Докажите, что
См. [248].
в) (Роджерс) Докажите, что

Упражнения
127
г) Покажите, что если 0<х<1, /€С2((0,1)) и / удовлетворяет равенству (2.6.6),
и функциональному соотношению из п. в), то /(x) = Li2(x). См. [314].
40. Пусть χ — элементарный характер Дирихле (mod N). Покажите, что
«*·2) = Σ ψ = ψ Σ X№2(e-™<N),
π=1
где g(x) — гауссова сумма, определенная в упражнении 31.
41 Пусть π — натуральное число. Введем
(lnp, п = рк, (степень простого числа),
0, в остальных случаях.
а) Покажите, что C(s) = Y\{l — p~s)~l Д71* Res>l·
ρ
б) Покажите, что
ζ'Is) _ V1 Л(п)
CW
Σ^ Для R«>1.
π=1
в) Пусть ψ{χ) = Σ Л(л). Покажите, что -0и) = О(х), *->+<», и
5x-s-VW^ = ~77T^ Res>l.
0 s ^s^
г) Докажите формулу обращения
C+iоо < у/г \
ψ (х) = — —: ^ ~~ ^тт ds о 1, х — не целое число.
C-iao ^ '
д) Пусть
* о
Покажите, что
Ι^'^^—τάτΜ' Res>1·
е) Проверьте непосредственно формулу обратного преобразования Меллина для
п. д),
1 c+r°° xs i'(s)
00
ж) Покажите, что образ преобразования Меллина от J] Л(п)е~п* есть —Г(5)ζ7(5)/ζ(ί).
η=1
з) Докажите формулу обратного преобразования Меллина для п. ж), а именно
-aiT^rw|gds = f]A(n)e-( с>1 *>0.
С—I» SV 1
42. Пусть а, Ь, с, d — комплексные числа.
а) Пусть с — не целое число и Re(a + b) > —1. Докажите, что
2-1 (с +
(-D*
fc)r(a + l-fc)r(b+l + fc) sinc7rr(a + c+l)r(b-c + l)·

128
Глава 2. Гипергеометрические функции
Σ
б) Пусть Re(a + Ь + с + d) > —1. Докажите, что
1 Г(а + Ь + с + <* + 1)
r(a-fc+l)r(b-fc + l)r(c + fc+l)r(d + fc+l) Г(а + с+1)Г(Ь+с+1)Г(а + о+1)Г(Ь + о + 1)'
Jt=—00
в) Какой из непрерывных бета-интегралов соответствует п. б)?
43. Эта задача дает быстрый способ получить дифференциальное уравнение для у =
= 2^х(а, Ь; с;х). Из ряда для у и преобразования Эйлера мы имеем
а)/=72^(а + 1>Ь + 1;с + 1;х) = ^(1-х)с-а-ь'12^(с-а,с-Ь;с + 1;х);
б) ^[xe-12F1(o,b;c;x)] = (c-l)jr22F1(afb;c-l;x).
Используйте пп. а) и б), чтобы показать, что
£ [хс(1 - χ)β+*+1^/] = abxc~l 2F1{c-a,c-b; с; х) = abxc~l (1 - х)в+*^у.
Дифференциальное уравнение получено после вычисления производных в левой
части.
44. Вычислите интеграл
π/2
J (l + e2i0)a(l + e-2i0y*d0,
-π/2
используя биномиальную теорему и теорему 2.2.1, и покажите, что
T(cos 0)a+' cos(a-i3)0 d0 = "Γ(α + * + 1) .
J H 2α+^+1Γ(α + 1)Γ(/5 + 1)

ГЛАВА 3
Гипергеометрические преобразования и тождества
Работа Гаусса по гипергеометрическим функциям содержит обсуждение моно-
дромии для решений гипергеометрического уравнения. Гаусс открыл и
проанализировал квадратичные преобразования гипергеометрических функций, что,
очевидно, и привело его к задаче о монодромиях. В отличие от линейных
(дробно-линейных) преобразований этих функций, примером которых служит
формула Пфаффа в теореме 2.2.5, квадратичные преобразования существуют
только при определенных условиях на параметры. Тем не менее, они очень
важны и полезны. Мы расскажем об одном их применении после вывода
нескольких основных формул. Квадратичные преобразования интересным образом
используются в доказательстве теоремы Гаусса о представлении арифметико-
геометрического среднего через эллиптические интегралы.
Эта глава содержит также обсуждение некоторых методов суммирования
некоторых типов гипергеометрических рядов1. Мы используем квадратичные
преобразования для вывода тождества Диксона для хорошо уравновешенного
ряда 3F2 при х = 1. Затем мы применим метод Бейли для получения тождеств для
рядов p+iFp специального вида с 2 < ρ < 6, включая тождество Дуголла,
упомянутое в замечании 2.2.2 предыдущей главы. Важная формула преобразований
Уиппла будет получена тем же методом. Подобно тому как интеграл Барнса
от произведения гамма-функций был аналогом гауссовской суммы 2F\, эти
тождества также имеют интегральные аналоги, которые мы обсудим.
Гипергеометрические тождества обеспечивают систематический подход к вычислению
однократных сумм биномиальных коэффициентов.
Соотношения смежности для гипергеометрических рядов содержат
огромное количество скрытой информации. Имеются трехчленные соотношения для
уравновешенных функций 4F3, полученные Вильсоном [426] и независимо
Рейналом [307], а также для функций 3F2 при χ = 1 — факт, отмеченный Кум-
мером намного раньше. Мы опишем простую технику Вильсона для вывода
соотношений смежности, содержащих в том числе трехчленные рекуррентные
соотношения для многочленов Вильсона. Эти многочлены вида 4F3 содержат
целый спектр классических ортогональных многочленов в качестве частных или
предельных случаев. Мы посвятим отдельный параграф этой главы
доказательству ортогональности многочленов Вильсона. Они являются ортогональными
с весом, который возникает как подынтегральное выражение в интегральном
аналоге тождества для 5F4.
Госпер, Цейльбергер и Уилф проделали значительную работу по разработке
численных алгоритмов поиска и доказательства гипергеометрических тождеств.
Мы обсудим метод Уилфа—Цейльбергера и сравним его с методом Пфаффа,
поскольку оба они служат примером применения соотношений смежности.
ι Стоит иметь в виду, что старые книги [40] и [345] все еще остаются полезными текстами.

130 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
§ 3-1. КВАДРАТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В упражнении 19 из гл. 2 читателю предлагалось доказать следующее
соотношение для многочленов Якоби:
р(«,«), . nl(a + l)2n p(g -1/2) f 2 2 _ -.ч (ΟΙ V)
^2п W (2π)!(α + 1)/η U* ij' ^•i-lj
Эта важная формула может быть записана в гипергеометрической форме:
2F1(-2n'2an++12a + 1;(l-x)/2) = 2F1(-n'na^^;l-^). (3.1.2)
Обратите внимание на то, что функция 2F\ в левой части линейна по х, а
функция 2^ι в правой части квадратична по х. Это и есть пример квадратичного
преобразования. В этом параграфе мы сформулируем основные результаты для
квадратичных преобразований с двумя свободными параметрами.
Естественно ожидать, что равенство (3.1.2) остается верным и в случае,
когда два ряда не обрываются. Последнее может быть прямо установлено
записью соотношения (3.1.2) в виде
4х(1-х)] (3.1.3)
и разложением правой части в ряд по степеням х. Коэффициент при хп есть
уравновешенный ряд 3F2, который может быть просуммирован с помощью
тождества Пфаффа—Заальшютца (теорема 2.2.6). Однако приходится отдельно
рассмотреть два случая: четного и нечетного п. В случае с аналогичным
нижеследующим тождеством (3.1.4) такая проблема отсутствует.
Применим преобразование Пфаффа (теорема 2.2.5) к левой части и
переобозначим параметры и переменную. Утверждение, которое мы хотим доказать,
принимает следующий вид.
Теорема 3.1.1. Для любого χ из области, где ряды сходятся, выполняется
равенство
<*>Ь . J\_n_~v-a τ, fQ/2,(l + a)/2-b. -Ax
(1-х)2
Доказательство. 1 Запишем ряд из правой части в виде
F( *,Ъ Λ_η .-a rfa/2,(l + a)/2-b. -Ах \ m д.
2*4a-b + l'*J-(1 х) 2i4 a-b + 1 'a-xW' C3-14)
у (Q/2)t(-b + (Q + l)/2)t k _ .(_а+2Ю _
Z-i fcICa —Ь + 1)д. l * J U J
_ V (a/2)t(-b + (a + l)/2)t k V (0 + 2*),,
~Zj fc!(a —Ь + Djk l * } Z-i jl x'
В этом параграфе обсуждаются различные способы вывода квадратичных преобразований.
Отметим еще один способ, идеологически очень простой. Функция
2Fx (a/2, (l + a)/2; a-b+1; *)=:$(*)
удовлетворяет гипергеометрическому дифференциальному уравнению. Нужно написать
уравнение, которому удовлетворяет (1 — x^gi—4x/(l — х)2), и убедиться, что оно гипергеометриче-

§3.1 Квадратичные преобразования
131
Легко заметить, что коэффициент при хп в последнем выражении есть
уп (g/2)fc(-b + (α + l)/2)fc(-4)fc(a + 2к)п_к
Zj (a-b + l)fc/c!(n-/c)!
fc=0
Теперь заметим, что
(a)n+fc (a)n(a + n)fc
(3.1.5)
(a + 2k)n_fc =
(a)* 224a/2),((a + l)/2)fc'
Поэтому ряд (3.1.5) равен
(a)n ^ (-b + (a + l)/2)fc(a + n)fc(-n),
n! Z-j
(a-b + l)fc((a + l)/2)fcfc! '
Применение тождества Пфаффа—Заальшютца показывает, что сумма данного
уравновешенного ряда 3F2 равна
п!(а-Ь + 1)п·
А это, очевидно, есть также коэффициент при хп в левой части равенства (3.1.4).
Теорема доказана. D
Следствие 3.1.2 (Куммер [242]). Справедливо равенство
а,Ъ . ^_ Г(а-Ь + 1)Г(а/2+1)
Λ(..ν+1ί-0-
Г(а + 1)Г(а/2-Ь+1)'
Доказательство. Перейдем в соотношении (3.1.4) к пределу при х —> — 1
и в силу теоремы непрерывности Абеля получим, что
А( eLb1;-i) = ^2F1fe/2^(e + 1)-b:iV
2 Ча-Ь + 1' У 2 ^ а-Ь+1 J
Теперь просуммируем 2F\ B правой части по формуле суммирования Гаусса
(теорема 2.2.2). После применения формулы удвоения Лежандра (теорема 1.5.1)
получаем искомое следствие. ϋ
Формула квадратичного преобразования в теореме 3.1.1 выполняется, когда
оба ряда сходятся. Однако этого недостаточно в случае (3.1.3). Обе части
равенства (3.1.3) сходятся для -<х<1. Взятие предела при х^1 от левой
и правой частей дает равенство
ί 2α,2Ъ \
Отсюда после применения формулы суммирования Гаусса следует, что
r(a + b+i)r(i-a-b) C0S7r(a_b)
r(b-a + i)r(a-b+l) «>5π(α + ί>)
= 1. (3.1.6)
Это тождество, вообще говоря, неверно, хотя оно и выполняется для целых а и Ъ.
Если α или Ъ — отрицательное целое число, то равенство (3.1.3) выполняется для

132 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
любого х. В противном случае оно выполняется в содержащей х = О компоненте
связности, определяемой неравенствами \х\ < 1 и |4х(1—х) | < 1. Гаусс первым
обратил внимание на это свойство, хотя его работа оставалась неопубликованной,
до тех пор пока не появилось понятия аналитического продолжения. Гаусс понял,
что гипергеометрическая функция многозначна, приводя в качестве подобного
примера sin-1 x. Таким образом, он осознал, что равенство (3.1.3) выполняется
не для любого х, даже если обе части выражения сходятся. См. упражнение 6,
где содержится правильное тождество для ~ < х < 1.
Интервал « < х < 1 в формуле (3.1.3) отображается в множество χ < —\ в
формуле (3.1.4). Функция в правой части выражения вычисляется в точке внутри
единичного круга, однако в левой части требуется аналитическое продолжение
для придания функции смысла.
Наше первое вычисление 2^ι(α, b; с; х) при х = 1 использовало интегральное
представление Эйлера:
Тождество Куммера из следствия 3.1.2 возможно вывести, полагая в интеграле
χ=—1. В этом случае с=a—b +1, откуда следует равенство степеней 1—t и 1—xt.
Другое важное квадратичное преобразование получается при взятии равными
степеней t и 1 — t, т. е. с = 2а.
Теорема 3.1.3. Для всех χ из области сходимости выполняется равенство
2^1
(^-)=0-!rV,(№a№+f2fe)!)· ««
Доказательство. Левая часть равна
Г(2а)
Г(а) Г(а) 0
$«-*>iHH)T'*·
Подставив s = 1 — 2t или t = (1 — s)/2, после упрощения получим
_ Γ(2α)(1-(χ/2)Γ» у. Μη(_χ_γ с ς„η _ς2ν,-ι ,.
l^Ua)2 Li nl \x-2J Jsu S) as-
n=0 -1
В случае, когда п нечетное, последний интеграл равен нулю. В противном случае
он равен
i ι , r(m + i)r(a)
о r^m + a + ^J

§3.1 Квадратичные преобразования
133
где η = 2т, т. е.
F(a,b \ Г(2а)(1 -Сх/2)Г» yi Wa«r(m + §)Г^Г χ γ*
ΛΙ 2α >*J Γ(α)*2- 2- (1)2тг(т + а + 1) Ь"J
Г(2а)г(1)(1-(*/2)ГЬ fb/2,(b + l)/2 , х «\
" Γ(α)Γ(α + Ι)2- Л\, аЧ 5 l^J J' (
Применение формулы удвоения Лежандра доказывает теорему. D
Замечание 3.1.1. Стоит заметить, что формула удвоения Лежандра следует из
формулы (3.1.8), если положить в ней х = 0.
Теоремы 3.1.1 и 3.1.3 содержат простейшие квадратичные преобразования.
Другие формулы могут быть выведены из этих двух при использовании дробно-
линейных преобразований или трехчленных соотношений, связывающих
различные решения гипергеометрического дифференциального уравнения.
Применим преобразование Пфаффа к правой части равенства (3.1.4) и
получим
Заменив 4х/(1 + х)2 на х, выведем аналогичную формулу
Α(^Υ+?/2ί*)-« + ^^^Λ(.-ν+ΓΪΤ^> ол.
Ю)
Комбинация формул (3.1.10) и (3.1.7) дает другое полезное преобразование,
а именно
Для доказательства этого соотношения заменим χ на 4х/(1 + х)2 в
формуле (3.1.7) и, поменяв местами а и Ь, получим
*# «а?)=<-*>»α+Λ-ν, (°'ΖΓ&) ■
Из равенства (3.1.10) следует, что правая часть последней формулы равняется
правой части равенства (3.1.11), что и доказывает последнее.
Для того, чтобы увидеть, как трехчленное соотношение может
использоваться для вывода дополнительных квадратичных преобразований, вспомним
формулу (2.3.13):
г(а,Ъ Λ Г(с)Г(с-а-Ь) р( а,Ъ \
Г(с)Г(а + Ь-с)г у_а_ь р ( с-а,с-Ъ . λ
+ Г(а)Г(Ь) (1~*} ^ilc-a-b + l'1"**

134 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Применим ее к соотношению (3.1.3) и получим
(в + Ь + з)Г(2)„Г«,Ь ,л_
2Г1
' 2а,2Ъ * + Л г(а + Ь+ЮГШ Г(а,Ъ
а + Ъ+1' 2 ) Γ(β+ΐ)φ+ΐ)^ι/2·
χ
■)■
Приведем несколько общих замечаний о квадратичных преобразованиях.
В формуле квадратичного преобразования есть две части: линейная и
квадратичная. В линейную часть переменная входит линейно или как образ
дробно-линейного преобразования х(х — 1)~1. Параметры линейной части ограничены
одним условием, которое приходит из записи 2F\ в качестве эйлерова интеграла
и приравнивания каких-либо двух из степеней функций в подынтегральном
выражении. Это дает равенства с = 2а, с = а — b +1 или а + Ъ = 1. Для получения
полного набора условий используются симметрии по параметрам α и Ь, а также
преобразование Пфаффа. Вот полный набор этих условий:
c = 2a, c = 2b, c = a-b + l, c = b-a + l, a + b = l, c = a-hb-h|. (3.1.13)
В квадратичную часть переменная входит квадратичным образом. На
параметры накладываются такие условия: либо параметры в верхней строке отличаются
на «J либо параметры в нижней строке отличаются на « от 1 (т-е- с==о
3
или с = ^), либо параметры связаны преобразованием Пфаффа. Мы имеем
следующие условия:
а = Ъ + ±, Ъ = а + \, с = а + Ъ + ±, с = а + Ъ-±, с=±, с=§. (3.1.14)
Заметим, что а, Ъ и с используются для обозначения параметров в общем случае
и поэтому обозначения могут различаться в отдельных формулах.
Формулы квадратичных преобразований разбиваются на две группы. В
первой параметры линейной части1 удовлетворяют условиям с = 2а или с = 2Ь, а в
другой—любым из оставшихся соотношений (3.1.13). Для квадратичной части
первая группа соответствует выбору с=~ или с = ^, а вторая — оставшимся
соотношениям из набора (3.1.14). Обратим внимание на то, что соотношение
(3.1.7) связывает с = 2а cb = a+-z> & соотношение (3.1.4) связывает с = а — Ъ +1
1 3
с с = a + b +1/2. Преобразования, которые относятся к группе с=« и с = ^,
возникают из трехчленных соотношений. Одним из примеров такого рода
является соотношение (3.1.12).
Отметим простой способ, которым можно отличить квадратичные
преобразования, полученные из соотношения (3.1.4), от тех, что получены из
соотношения (3.1.7) с помощью линейных преобразований. В соотношении (3.1.4)
параметры знаменателя равны друг другу, а в соотношении (3.1.7) они разные,
за исключением одного значения. Заметим, что преобразование (3.1.11) не
является квадратичным. Обе части удовлетворяют условиям из набора (3.1.13),
ι Имеется в виду, что аргумент 2Г\ линеен по х.

§3.1 Квадратичные преобразования
135
а то, что эти части равны, было доказано после замечания, что каждая из них
равняется функции с одним выполненным условием из набора (3.1.14).
Вернемся к доказательству теоремы 3.1.1 и отметим, что уравновешенный
ряд 3F2, который встречается в ее доказательстве, имеет одну особенность,
позволяющую не суммировать его. Это заставляет предположить, что есть
более общее квадратичное преобразование с одной дополнительной степенью
свободы. Хорошо, если бы это было преобразование для 2FX общего вида,
однако из обсуждения связи между квадратичным преобразованием и
эйлеровым интегралом следует, что это маловероятно. Дополнительная степень
свободы появляется лишь на уровне 3F2. Уиппл нашел следующее квадратичное
преобразование:
зЫа-ьЛаС-с + 1;*) =
-Π νϊ"α Fffl-b-c + l,a/2,(Q + l/2). -4x \ miq.
-(1-х) 3*4 а-Ь + 1,а-с + 1 ' (l-*)a> (3JJ5)
Доказательство этой формулы схоже с доказательством теоремы 3.1.1.
Коэффициент при хп в правой части равенства (3.1.15) снова есть уравновешенный ряд 3F2.
Детали мы оставляем на рассмотрение читателю. Существуют также примеры
кубических преобразований, хотя они и менее изучены, чем квадратичные. Два
примера таких преобразований приводятся в упражнении 38.
Куммер [242] вывел несколько квадратичных преобразований для 2Fr с
одним свободным параметром. Параметр был выбран так, чтобы к функции 2FX
могло применяться более чем одно преобразование. Рассмотрим следующие
два важных преобразования:
а>Ь .J\_ri_i_^-a г fa/2,(a + l)/2.
а также
Λ(..ν+ι:')-ο+«Γ·Λ(^;+Γ=*/ο+^
2Fi(2b ;Χ) = ί1~ί) 2i?i(a b +(1/2) ; (Й?) J ·
Функции 2Fi в левых частях становятся равными, если приравнять параметры
в знаменателях. Это означает, что 2Ь = а — Ь +1 или Ь = (а +1)/3. В этом случае
(л хГ" „(α/2.(α + 1)/2/ χ γ\_ /α,(α + 1)/3 \_
\}-2) *ΡΑ b + (l/2) 'l2=x"J )-2^У{2а + 2уз'Х)-
-a+jf) 2рг{ (2α+2)/3 '(ϊτι^;-
-η-^Αί·*»-^)- (3U6)
Последнее равенство было получено применением преобразования Пфаффа.
Перейдем к пределу при χ -* —1 в первом и последнем выражениях в
формуле (3.1.16) и получим
(α/2,(α + 1)/2.ΐΛ МГ" Ffa/2,(aH)/6\
2М (2a + 5)/6 '^"Ш 2/4 2(a + l)/3 ' V"
-ш
3Y» νπΓ((2α + 2)/3)
Γ((α + 4)/6)Γ((ο + 1)/2)'

136 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Теперь используем квадратичное преобразование Гаусса (3.1.3), а затем
преобразование Пфаффа (2.2.6) и найдем, что
/α,(α + 1)/3 \_ (α/2,(α + 1)/6 \_
2i42(a + l)/3'*J-2i4 2(a + l)/3 '4x^-xV~
= (l-4x + 4x2ra/2,F1fa/2,(a + 1)/2· 4χ2~4χ ) (3118)
U 4X + 4XJ 2J·^ 2(a + 1)/3 >4jc2_4jc + 1J· WJ-ВД
Вспомним, что формула Гаусса выполняется в содержащей начало координат
компоненте связности области |4х(1—х)\<1. Таким образом, у/1—4х + 4х2 =
= 1 — 2х. (Подобные рассуждения применяются и при получении последнего
равенства в формуле (3.1.16).) Используя совместно соотношения (3.1.16) и (3.1.17),
получим
П+*Га rfq/2,(a + l)/2. Αχ \_ Γα/2,(α + 1)/6 Λ
(1+*) 2Fi{ 2(a + 1)/3 'а+ху)-гРА 2(a + l)/3 ,4*(1 x)J~
-Π 2г1-° rfe/2,(a + l)/2, 4*2-4x Л m 1Q.
-d ад 2i^ 2(a+1)/3 »4x2_4x+1J· i3-L19>
Перейдем к пределу при χ —»= и получим, что
(α/2,(α + 1)/2. 8ϊ _ Г2Л"0 Р (α/2,(α + 1)/6 λ
2Ή 2(a + l)/3 '9>>~Ы 2i4 2(a + l)/3 ' ^ ~
- (3У У^Г((2а + 2)/3) „
"Ы Г((а + 4)/б)Г((а + 1)/2)· K*'LM)
Формула (2.3.13) связывает следующие три функции 2F\ '■
/·α/2,(α + 1)/2 . л (α/2,(α + 1)/2 Λ
*Ч 2fa + l)/3 ,8/9> 2i4 (2a + 5)/6 ' 1/9J
f(a + 4)/6,(a + l)/6 . \
2*Ч (7-2a)/6 '1/9J·
Таким образом, третья функция 2$\ также может быть вычислена. В
упражнении 2 мы приведем еще несколько результатов Куммера для квадратичных
преобразований с одним свободным параметром.
§ 3-2. АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Определение 3.2.1. Пусть 0 < к < 1. Следуя Лежандру, интеграл
χ ,
\ . dt при хе [-1,1] (3.2.1)
I V(l-t2)(l-fc2t2)
называется эллиптическим интегралом первого рода. Если х = 1, то этот
определенный интеграл называется полным эллиптическим интегралом и
обозначается буквой К. Таким образом,
К := К(к) := { dt = = \ , άθ (3.2.2)
I V(l-t2)(l-fc2t2) I νΊ-kWe

§ 3.2. Арифметико-геометрическое среднее и эллиптические интегралы 137
Чтобы лучше исследовать интеграл (3.2.1), необходимо изучить обратную
к нему функцию, которая является эллиптической функцией Якоби. Это ана-
х
логично изучению интеграла 5 (1 —12)~1/2 dt как обратной функции к синусу.
о
Теория эллиптических функций Якоби будет коротко рассмотрена в гл. 10.
Сейчас мы покажем, как некоторые сведения из теории гипергеометрических
функций могут быть использованы для получения интересных результатов,
касающихся интеграла (3.2.2). Сначала заметим, что разложение подынтегрального
выражения (1 — ic2 sin2 θ)-1/2 в ряд, слагаемое за слагаемым при почленном
интегрировании даст равенство
K(fc) = §2Fi(1/2i1/2;fc2)· (з.2.з)
Теперь заменим χ на (1 — Vl— x2)/(l + Vl—x2) в формуле квадратичного
преобразования (3.1.11) и получим
2i4 2b'*J-l 2 J 2i4 b + 1/2 4ΐ + ι/ϊ=ϊ" J'
Применим эту формулу к гипергеометрической функции в формуле (3.2.3).
Имеем
*»> = ш*(Ш (3·2·4)
где k'2 = l — k2. Чтобы проитерировать этот результат, введем следующие
обозначения:
ко'-=К fcm-V^1^ и ^+1:=1Ζ^·, rn = 0,1,2,... (3.2.5)
т
Из формул (3.2.4) и (3.2.5) следует, что
η
κ№) = κ(^+ι)ΠϊΤΓ·
m=0 m
Заметим, что
ι-ι/ϊ^
ikm+1 = —£—!^<i-A/i^H<i-(i-fcb = F1
m+1 -ι , /-i __ r.2 v m ч m' m3
т.е.
^m^2" и ^m""*0 ПРИ ТП-*00·
Более того, произведение
П-та = П(1—τ51)
m=0 m=0
сходится, так как сходится ряд J] (1 — \/l — fc^) < Σ k2"· Таким образом,
m=0 m=0
m=0 m m=0 m

138 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Значения к'т могут быть получены последовательно из формулы
*т+1 = ТШ- (3·2·6)
Правая часть есть отношение геометрического и арифметического средних 1
Hit'·
m
Пусть имеются две последовательности {ап} и {bn}, а0 = 1 и Ь0 = к', причем
^L = l·' и g*±l = г + кп С3 2 7)
п~1 ι+fcl
Тогда
η απ_χ ' αη_2'"α0 1 1 2
m=0
И
m=0
Более того, если к' -* 1, то
lim bn = lim αη.
П->оо n->oo
Из соотношений (3.2.6) и (3.2.7) получаем
а„+1 = ^4^ и Ьп+1 = АЛ. (3.2.8)
Наоборот, легко увидеть, что если две последовательности {ап} и {Ъп}
удовлетворяют условиям (3.2.8) с а0 = 1 и Ь0 = к', то условия (3.2.7) также выполняются.
Общий предел двух последовательностей называется их арифметико-геометри-
ческим средним и равняется
2 г dt Ί-1
g v^(i-t2)(i-fc2t2)
Этот результат был получен независимо Лагранжем и Гауссом. Смотри Кокс[90].
Мы сформулируем его как теорему после формального определения арифмети-
ко-геометрического среднего.
Определение 3.2.2. Пусть {ап} и {bn}—две последовательности, причем
а=: а0 и Ъ =: Ь0 — вещественные числа, α > Ъ > 0 и ап+1 = (αη + bn)/2, bn+1 = у/апЪп.
Тогда, как мы увидим, эти две последовательности сходятся к общему пределу
М(а9 Ь), который называется арифметпико-геометприческим средним.
Теорема 3.2.3. Справедливо равенство
π/2 de
1 =2 г άθ
М{а,Ъ) π J (α2cos2 θ +b2sin2 θ)1'2'
Доказательство. Из определения очевидно, что Μ(λα, Xb) = XM(a, b).
Поэтому М(а,Ъ)=аМ(1,Ъ/а). Утверждение следует из результата в предыдущем
абзаце, если положить к' = Ъ/а. D

§ 3.2. Арифметико-геометрическое среднее и эллиптические интегралы 139
Тот факт, что две последовательности в определении 3.2.2 имеют общий
предел, может быть прямо установлен. Легко увидеть, что
а = а0>а1> а2> ...> ап> ... > Ъп > Ьп_г > ... >Ь0 = Ь,
а также
и <-„ и - ап + ьп и — ап"ьп
G/i+1 -Ьп+1 ^ αη+1 -bn - —2 ьп - —2—'
Таким образом,
и две последовательности сходятся к одному и тому же пределу. Из равенства
αη+ι ^i-4(an+1+bn+1)
следует, что сходимость квадратичная. Гаусс заметил эту быструю сходимость,
рассматривая численный пример са = ^2иЬ = 1. Первыми несколькими
значениями а„ и Ъ„ являются
0 1,41421356237 1,00000000000
1 1,20710678118 1,18920711500
2 1,19815694809 1,19812352149
3 1,19814023479 1,19814023467
4 1,19814023473 1,19814023473
Гаусс произвел расчеты вплоть до двадцать первого знака после запятой, однако
уже приведенной таблицы достаточно для иллюстрации нашей идеи. Несколько
позднее он посчитал отношение π/ώ, где
ι
(2 = 2$(1-х4Г1/2с*х.
о
30 мая 1799 г. Гаусс записал в своем дневнике, что М(\/2,1) и π/ώ согласуются
с точностью до одиннадцати знаков после запятой, и предположил, что они
равны. Позднее он доказал более общий результат, содержащийся в теореме
3.2.3. Сделав подобное предположение, не слишком трудно, однако, и доказать
этот результат. Если обозначить интеграл в утверждении теоремы через Да, Ь),
то достаточно доказать, что
Ι(α,ν=Ι{αΜ, (3.2.9)
и затем установить, что
Да, Ь) = Да1? Ъг) = ... = Дат, Ът) = ... = Нт Дат, Ьт).
т—»<»
Для доказательства равенства (3.2.9) Гаусс ввел новую переменную вг:
. Λ 2α sin Θχ
а + Ь +(α-Ь) sin2 θχ
и заметил, что
(a2 cos2 θ + b2 sin2 θ)-1/2ίθ = (α2 cos2 0X + Ь2 sin2 θ^"1/2 d0x.

140 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Это требует небольших вычислений, но отсюда сразу получается равенство
(3.2.9).
Мы начали с эллиптического интеграла и затем ввели арифметико-геометри-
ческое среднее. Очевидно, Гаусс решал задачу в направлении, обратном к
изложенному здесь. Рассмотрим другой способ получения эллиптического интеграла
из арифметико-геометрического среднего. Гаусс также изучал функцию
/(Х) .= ι = I
iW- ма+χ,ι-χ) M(i,Vi=*y
Далее,
= м(1^м-а = (1+'2)/('г)· сз-210)
Будем считать, что / — аналитическая функция в окрестности точки t = 0. Нам
нужна аналитическая функция, которая удовлетворяет условию /(0) = 1, а также
функциональному уравнению (3.2.10). Так как функция /, очевидно, четная,
fix) =g(*2) Для некоторой функции g и
s(a^H1+t2)s(t4)·
Заменим t2 на χ и получим
*(отЫ = (1+*№2)·
Представим g в виде ряда g(x) = Σ αηχΤΙ и> используя последнее
функционально
ное уравнение, получим
I2 · З2 I2 · З2 · 52
αι = αο/4, 0.2 = 22.42 ao> аз == 22·42·62α°'
Отсюда можно догадаться, что
I«-*(1/Y/V)-5'·
Формула (3.1.11)
2^(2ЬЬ;4х/(1 + х)2) = (1 + х)2а2^
2
наводит нас на такое же тождество. Можно прямо показать, что fix) =gix2)—
аналитическая функция. См. первые страницы книги [66]. Тем не менее, легче
проводить рассуждения в другом направлении, как и было сделано выше.
Определение 3.2.4. Полный эллиптический интеграл второго рода
определяется как
π/2
E:=Eik):= j (1-Jfc2sin2 θ)1/2άθ. (3.2.11)

§ 3.2. Арифметико-геометрическое среднее и эллиптические интегралы 141
Теорема Лежандра связывает полный эллиптический первого рода с полным
эллиптическим интегралом второго рода. Перед ее доказательством
сформулируем лемму о вронскиане гипергеометрического уравнения. (Ссылки на книгу
Лежандра, где был получен этот результат, см. в работе [423, с. 520].)
Определение 3.2.5. Если уг и у2 — два решения дифференциального
уравнения второго порядка, то их вронскианом называют функцию W(yl9y2) :=
Лемма 3.2.6. Если уг и у2 —два линейно независимых решения
гипергеометрического уравнения х(1— х)у" +{с — (а + Ъ+ 1)х)у' — аЪу = 0, то
™{У\,У2) = хс(1_ху+Ъ-с+1>
где А — постоянная.
Доказательство. Умножим уравнение
xil-x)yZ+ic-{a + b+l)x)/2-aby2 = 0
на уг и вычтем из результата уравнение, полученное перестановкой уг и у2.
Получим
х(1-х)(У1У2/-У2УГ) + (с-(а + Ь+1)д:)(у1у^у2у1/) = 0
или
xil-x)W(yl9y2) + ic-ia + b+l)x)W = 0.
Теперь решим последнее уравнение и убедимся в справедливости утверждения
леммы. D
Нам понадобятся частные случаи следующих двух линейно независимых
решений общего гипергеометрического уравнения:
У1=2^(а;Ь;4 (3-2.12)
у2 = х^а-хУ-^гЦ^'Х+с-, 1-х). (3-2.13)
Заметим, что из (3.2.11) получается равенство
*(*) = §2*ιί5*~5;*2)· (3-2.14)
Теорема 3.2.7. Справедливо соотношение ЕК'+Е'К-КК' = ^ где К' :=К(к'\
Е':=Е(.к')ик'2 = 1-к2.
Доказательство. Пусть х=к2, так что 1—х=к'2. Соотношение смежности
(2.5.9) дает нам уравнение
χ (1 - х) g = \Е - \ (1 - х)К. (3.2.15)
Аналогично
-х{1 -χ">% = \Ε'- f *'· (3.2-16)
Умножим уравнение (3.2.15) на К', а уравнение (3.2.16) на 1С и сложим
результаты:
ЕК' + Е'К - КК' = 2х(1 - х) W(K', К).

142 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
При a = b = -z и с = 1 из леммы 3.2.6 следует, что W(K',K)=A/x(l—x). Поэтому
ЕК' + Е'К—КК'— постоянная. Исследование асимптотического поведения К при
χ -* 1 показывает, что эта константа должна быть равной π/2. Доказательство
последнего факта предоставляется читателю. D
Формула в теореме 3.2.7 называется соотношением Лежандра.
Точно таким же образом можно доказать следующий, более общий результат
Эллиота [115]. Доказательство оставляется в качестве упражнения.
Теорема 3.2.8. Справедливо соотношение
2 ^ а+Ъ+1 J \ Ь+с+1 J
2 Х^ α + b + l J2 \ b + c + 1 J
2 ^ a + b + 1 J2 ^ b + c + 1 J r(a + b + c + §)r(b + i)
Саламин [331] и Брент [69] независимо скомбинировали соотношение
Лежандра с арифметико-геометрическим средним для получения алгоритма
приближенного вычисления π. Мы завершим этот параграф коротким
описанием такого их применения. Детали мы оставляем читателю для продумывания.
Лемма 3.2.9. Если {ап} и {Ъп} — последовательности из определения 3.2.2,
то
где
π/2
jn~ J ia2ncos2e + b2nsin2e)V2de.
о
a In задается аналогично, но со степенью —ζβ подынтегральном выражении.
Лемма 3.2.10. Справедливо соотношение
где с2 = а2 — Ъ2
η η η
Доказательство. Из формулы (3.2.9) нам известно, что 1п=1(а,Ъ)=:1.
С помощью леммы 3.2.9 устанавливаем, что
2G/„+i" а2п+11) - (J„ - a2/) = (a A - 2а2п+1 + а2)/ = |с^7.
Переписываем это равенство в виде
2n+1 (J„« - α2+1ί) - 2»(J„ - a2/) = 2»-^/
и суммируем его по η от 0 до гл. Получим
J-2
m+l
^ n=0 '

§ 3.3. Преобразования уравновешенных рядов
143
где J :=J0- Далее,
π/2 . 2
om+lrr „2 г л _ 0m+lr2 С -Sin θ άθ
* Wm+l-^+iWlJ-^ Cm+1 J
0 Vam+lCOS20+b2+1sill20'
Поскольку с^+1 стремится к нулю квадратично, последнее слагаемое стремится
к нулю. Положим в формуле (3.2.17) т —> оо и возьмем а = 1 и Ъ = к', тогда лемма
будет доказана. D
Теорема 3.2.11. Справедливо равенство
„ М2(У2,1)
1-Z2"c2
п=0
гдес2п = а2п-Ъ2п, а0 = 1иЪ0 = -±=.
Доказательство. Возьмем fc = —. Тогда к' = — и соотношение Лежандра
принимает вид
| = (2£-КЖ, где E = E(j=) и К = <^).
откуда следует равенство
[ι-Σ2η*2=!·
п=0
Поскольку 1С = π/ί 2М( 1, — J J, из последнего соотношения немедленно следует
утверждение теоремы. D
Алгоритм, основанный на этой теореме, использовался для вычисления
миллионов разрядов числа π. Пусть
π ... 2d
ι-Σ2"^
п=0
Тогда тгт монотонно возрастает к значению тт. Заметим, что сп = ^/а^ — Ь2 =
= с^х/4ап. Числа αη и bn находятся с помощью алгоритма арифметико-гео-
метрического среднего. Дополнительную информацию о вычислении числа π
можно найти в работе [54].
§ 3-3- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНОВЕШЕННЫХ РЯДОВ
В предыдущей главе мы видели как функция 2F\ общего вида вела себя при
дробно-линейных преобразованиях и как можно вычислить сумму ряда при
х = 1. В случае квадратичных преобразований мы столкнулись с ограничениями
на параметры. Для высших функций p+iFp общего вида формул преобразования
и суммирования, вообще говоря, не существует. Однако есть два класса
гипергеометрических рядов, для которых могут быть получены некоторые результаты.

144 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Определение 3.3.1. Гипергеометрический ряд
ra0,...,ap \
p+1 "U Ъ ,Х)
называется k-уравновешенным, где ic — положительное целое число, если χ = 1,
одно из at — отрицательное целое и
Р Р
i=0 ί=1
Условие того, что ряд обрывается, может показаться искусственным, однако
без него многие следствия не выполняются1. Случай ic = 1 очень важен — в этом
случае ряд называется уравновешенным или заалыпутцевым.
Определение 3.3.2. Если параметры гипергеометрического ряда
удовлетворяют соотношениям
а0 +1 = аг + Ъг = ... = ар + Ьр
ряд называется хорошо уравновешенным. Он называется почти уравновешенным,
если все пары параметров, за исключением одной, имеют одинаковую сумму.
В § 3.4 мы укажем связь между двумя типами рядов, рассмотренными
в определениях 3.3.1 и 3.3.2. Начнем с изучения уравновешенных рядов.
Основной теоремой этого параграфа является следующий результат Уиппла, который
преобразует уравновешенный ряд 4F3 в другой уравновешенный ряд 4F3.
Теорема 3.3.3. Справедливо равенство
ρ Г-п,а,Ъ,стЛ\_ (β-α)η(/-α)η / -n,a,d-b,d-c -Λ
4/Ч d,e,f >Ч- (e)n(/)n 4^U,a + l-n-e,a + l-n-/ji>
где
Доказательство. Начнем с преобразования Эйлера
2F1(a'cb;x) = a-xy-a-b2F1(c-a>cc-b;x).
Перепишем последнее, используя новые параметры:
a-xy-d-<2F1{f-d'/-e;x) = 2F1(d>fe;x).
Предположим, что c — a — b = f — d — e. Перемножив два тождества, получим
A(V"W/"*/"'i')-A(e-v'")^(V'4
Коэффициент при хп в левой части равен
γ. iaMbMf-d)n_k(f-e)n_k
fa (с)кк\(/)п_к(п-ю\ ■
Ле=0
ι Стоит сказать, что именно происходит. Например, в ситуации теоремы 3.3.3 для нецелого η есть
тождество общего вида: сумма четырех 4^з(1) равна нулю, перед 4^з стоят гамма-множители.
При целых η два слагаемых обращаются в нуль за счет множителей Г(—п) в знаменателе. Тот
же эффект в случае тождества Пфаффа—Заалыпютца обсуждался выше (следствие 2.4.5).

§ 3.3. Преобразования уравновешенных рядов
145
Это выражение может быть переписано в виде
(/-<*)η(/-β)η / fl)b,i-/-n,-n л
Ш(/)п ^34d-/-n + l,e-/-n + l,1J'
Приравнивая это выражение к коэффициенту при хп в правой части, получим
_ / -п,а,Ь,-/-п + 1 л №п(е)п (-п,с-а,с-Ь,1-/-п \
4/4c,d-/-n + l,e-/-n + l' V (/-Юп(/-е)„4 3V c,l-d-n,l-e-n ' Vе
Это соотношение эквивалентно утверждению теоремы. Утверждение было
доказано Уипплом [421]. Другое доказательство см. в замечании 3.4.2. D
Следующий результат был получен Шеппардом [341].
Следствие 3.3.4. Справедливо равенство
„ Г—п,а,Ь ηΛ _ (d — α)η(β — α)η /—η,α,α + b —η —d —e + 1 -Λ
з/Ч d,e ;iJ~ (d)n(e)n 3/4a-n-d + l,a-n-e+i;i>
Доказательство. В теореме 3.3.3 перейдем к пределу при /-* оо, сохраняя,
однако, / — с конечным, так, чтобы имела место сходимость
Г-п,а,Ъ,с -Λ ρ f-n,a,b λ
Аналогичное изменение происходит и в правой части, поэтому мы имеем
„ (-п,а,Ъ^\_ (β-α)π / -η,α,ά-Ь \
3М d,e '^"ΊήΓ^,α + Ι-η-β'1}
Преобразование Шеппарда получается применением вышезаписанного
преобразования к самому себе. Следствие доказано. D
Формула в следствии 3.3.4 имеет некоторые интересные частные случаи.
Например, предположим, что левая часть к -уравновешена, т. е.
d Ч-е = fc — п + а + Ъ.
Тогда правая часть есть сумма к слагаемых. В частности, при к = 1 мы
восстанавливаем тождество Пфаффа—Заалыиютца.
Следствие 3.3.5. Справедливо равенство
(а,Ъ,с Λ r(e)r(d + e-a-b-c) „ (a,d-b,d-c λ
з/Ч d,e 'V~r(e-a)r(d + e-b-c)3Md,d + e-b-c'-V
когда оба ряда сходятся.
Доказательство. Перейдем κ пределу при п-*оо, полагая / + п
фиксированным. Так как число слагаемых ряда стремится к бесконечности, для
обоснования предельного перехода может быть использована теорема Таннери.
Левая часть формулы из теоремы 3.3.3 принимает вид
Чтобы найти правую часть, запишем
(e-a)n(/-a)n Γ(ε-α + η)Γ(/-α + η) Г(е) Г(/)
(е)п(/)п Г(е-а)Г(/-а) ' Г(е + п)Г(/+ п)
Г(е) Г(а-/+1)Г(-п-/ + 1) Пе-а + п)
Г(е-а)Г(а-/-п + 1)Г(-/+1) ' Г(е + п) *

146 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
где для вывода второго равенства использовалась формула отражения Эйлера.
Вспомним, что 1 —/ — n = d + e — а — Ъ—с. Поэтому
(β-α)η(/-α)η r(e)r(d + e-g-b-c) /Γ(α-/+1) Γ(β-α + η)λ
(е)п(/)„ Г(е-а)Г(с1 + е-Ь-с) Л Г(-/ +1) Г(е + л) >
Поскольку η -* оо при фиксированном η + /, мы имеем -/->оо и выражение
в скобках в пределе дает 1, откуда и вытекает следствие. D
Следствие 3.3.5 было получено Куммером [242]. Если мы применим
преобразование Куммера к самому себе, то получим следующую теорему Тома [380].
Следствие 3.3.6. Справедливо1 равенство
Г (а,Ъ,с \_ Г(ДГ(е)Г(5) (а-а,е-а,5 \
3*2V d,e 'Ч~Г(а)Г(5 + Ь)Г(5 + с)з/Ч s + b,s + c ' Ч'
где s = d + e — a — b—c.
§ 3·4· ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УИППЛА
Основным результатом этого параграфа является важная формула Уиппла [421],
которая связывает конечные хорошо уравновешенные ряды 7F6 с
уравновешенными рядами 4^з· Мы докажем ее методом Бейли, который требует знания
значения хорошо уравновешенного ряда 3F2 общего вида в точке χ = 1. В гл. 2
мы показали, что этот результат, известный как теорема Диксона, есть следствие
теоремы Дуголла. См. замечание 2.2.2 в гл. 2. Поскольку теорема Дуголла, сама
по себе есть следствие формулы преобразования Уиппла, было бы приятно
иметь прямое доказательство формулы Диксона, а именно без использования
формулы Дуголла. Известно несколько таких доказательств. Мы приведем то
из них, которое следует из квадратичного преобразования, указанного в § 3.1.
Теорема 3.4.1. Справедливо равенство
Г а,-Ъ,-с Л= Г(а/2 + 1)Г(а + Ъ + 1)Г(а + с + 1)Г(а/2 + Ъ + с+1)
3 2Vl + a + b,l + a + c' J Г{а + 1)Г{а/2 + Ъ + 1)Г{а/2 + с+1)Г{а + Ъ + с + 1)'
Доказательство. Если в квадратичном преобразовании (3.1.15) а = —п —
отрицательное целое число, то обе части равенства — многочлены по х. Возьмем
х = 1. Если а —четное отрицательное целое число, то мы имеем
3 2Vi-2n-b,l-2n-c' Ч {Ъ + п)п{с + п)пп\'
Если же а — нечетное отрицательное целое число, то
( -2п-1,Ь,с, л
зр2[_2п_ь_2п_сЛ)-0.
Таким образом, теорема 3.4.1 проверена для целых отрицательных а. Теперь
предположим, что с — натуральное число и а — произвольное число. В этом
случае обе части равенства — рациональные функции переменной а и
тождество верно для бесконечного числа значений а, т.е. мы показали, что
тождество выполняется для целого с и произвольных а и Ь. В общем случае,
ι По поводу вычислений значений 3F2 (1), а также двух- и трехчленных равенств типа £ 3^2 (D = О
см. книги [40] и [345]. Списки формул без комментариев есть в [463, т. 3, гл. 7]

§ ЗА. Преобразование Уиппла
147
для Re О Re(—а/2 — b — 1), обе части тождества — ограниченные аналитические
функции переменной с, равные при с=1, 2, 3, ... Утверждение доказано
в соответствии с теоремой Карлсона. D
Тождество Куммера, которое позволяет вычислить значение хорошо
уравновешенного ряда 2^ι в точке х = —1, есть следствие теоремы Диксона. Чтобы
это увидеть, перейдем к пределу при с-* оо.
Замечание 3.4.1. Как мы отмечали ранее, уравновешенные тождества в своей
простейшей форме получаются из факторизации
(1 - *ГЧ1 - хГь = (1 -х)-°-ь.
В том же смысле хорошо уравновешенные ряды возникают из соотношения
(1-хГ*(1+х)-* = (1-х2)"*.
Приравнивая коэффициенты при х2п в обеих частях равенства, получим
fc=0
или
Σ, .i4fc(b)fc(b)2n-fc
1 } fc!(2n-fc)!
^(b)fe(b)2n-fe_(b)n
п\ >
-2п,Ь Λ\ (b)n(2n)!
Г -2п,Ь . Л=(ЦП
2 Ч1-2п-Ь' V п!(Ь)2п '
Последнее есть тождество Куммера для функции
когда α — отрицательное четное целое число. Повторяя доводы из доказательства
теоремы 3.4.1, мы можем получить общее утверждение Куммера. Результат для 2FX оказался
таким частным, что Куммеру не удалось осознать, что подобные ряды могут быть
вычислены не только для 3F2, и для высших уровней. Это не удивительно, так как
для хорошо уравновешенных рядов результат не лежит на поверхности.
Для доказательства теоремы Уиппла нам потребуется следующая лемма. Она
доказывается методом Бейли [40], упомянутым в начале параграфа.
Лемма 3.4.2. Справедливо равенство
р( а,Ъ,с,а,-т -{] =
54\а-Ъ + 1,а-с+1,а-а + 1,а + т+У J
= (a + l)mCl)-d + l)m ( a/2,a-b-c + l,d,-m \
(a/2 + l)m(a-d + l)m4 Aa-b + l,a-c + l,d-m-a/2' У
Доказательство. Согласно тождеству Пфаффа—Заальшютца для
уравновешенных рядов 3F2 мы имеем
S(-n)r(a-b-c + l)r(a + n)r __ (Юп{с)п
л r!(a-b + l)r(a-c + l)r (a-b + l)n(a-c + l)n'

148 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Так что
ρ ( a,b,c,d,-m λ =
5 4a_b + 1)a_c+1)a_d + lja + m + 1> J
(a)n(d)n(-m)n γ (-n)r(a-b-c + l)r(a + n)r
л . -d + l)n(a + m + l)nZj
n=0 r=0
(-l)r(a)n+r(d)„(-m)„(a-b-c + l)r (положим t=n-r)
Cn-r)!r
r=0 n=r
S(a)n(d)n(-m)n γ (-n)r(a-b-c + l)r(a + n)r _
n!(a-d + l)n(a + m + l)nZj r! (a-b + l)r(a-c + l)r
n=0 r=0
= V^f (-l)r(a)n+r(d)n(-m)n(a-b-c + l)r
ZjZj (n-r)!r!(a-b + l)r(a-c + l)r(a-d + l)n(a + m + l)n
m m
m m—r
ZjZj t!r!(a-b + l)r(a-c + l)r(a-d + l)t+r(a + m + l)t+r
r=0 t=0
m—r
S(a)2r№r (-"ОДД - Ь - с + 1)Д-1)Г γι (α + 2r)t(d + r)t(-m + r)t
r! (a - b + l)r (a - с + l)r(a - d + l)r (a + m + l)r Zj t! (a - d + r + l)t (a + m + r + l)t'
r=0 t=0
Внутренняя сумма может быть подсчитана с помощью тождества Диксона
(теорема 3.4.1). Простое вычисление теперь дает требуемое соотношение. D
Лемма 3.4.2 преобразует хорошо уравновешенный конечный ряд 5F4 в
уравновешенный ряд 4^з·
Следствие 3.4.3. Справедливо равенство
Г a,a/2 + l,c,d,-m \ = (a + l)m(a-c-d + l)m
5 На/2,а-с + 1,а-^ + 1,а + т + 1' J (a-c + l)m(a-d + l)m'
Доказательство. Возьмем Ъ = а/2 + 1 в лемме 3.4.2. Ряд 4F3 сводится
к уравновешенному ряду 3F2. □
Теорема 3.4.4. Справедливо равенство
Ρ С а, а/2 +1, Ь, с, d, е, -т и \ =
7 6va/2,a-b + l,a-c+l,a-d + l,a-e + l,a + m + l' J
_ (a + l)m(a-d-e + l)m / a_b-c + l,d,e,-m \
(a-d + l)^a-e + l)m4 4a-b + l,a-c + l,d + e-a-m' J'
Доказательство. Доказательство этой теоремы в точности такое же, как
и доказательство леммы 3.4.2, за исключением того, что вместо теоремы
Диксона используется следствие 3.4.3, т. е.
а, а/2 +1, Ь, с, d, e, —m
р. ( a,a/2 + l,b,c,d,e,-m · ll =
7 6Va/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l,a + m + l' J
Σ(α)η (α/2 + l)n (d)n (e)n (-m)n γ (-n)r (a - b - с + l)r (a + n)r
n!(a/2)n(tt-d + l)B(a-e + l)B(a + m + l)B2j r!(a-b + l)r(a-c + l)r '
n=0 r=0
После вычисления, подобного проделанному, в лемме 3.4.2 сумма становится
равной
γ (a)2r(a/2 + l)r(d)r(e)r(-m)r χ
£*tr\(a-b + l)r{a-c + l)r{a-d + l)ra/2r(a-e + l)r(a + m + l)r
Σ (α + 2r)t(a/2 + r + l)t(d + r)t(e + r)t(-m + r)t
t! (a/2 + r)t(a - d + r + l)t(a - e + r + l)t(a + m + r + l)t'

§ 3.5. Формула Дуголла и гипергеометрические тождества 149
Внутренняя сумма может быть вычислена с помощью следствия 3.4.3, и
утверждение следует из непосредственного вычисления. D
В последующих главах мы дадим более естественное доказательство
теоремы Уиппла как следствия некоторых свойств многочленов Якоби. Мы будем
называть упомянутый ряд 7F6 очень хорошо уравновешенным рядом 7F6. Слово
«очень» обязано множителю
(α/2 + pfc = а + 2к
а/2к а
В следствии 3.4.3 ряд 5F4 также очень хорошо уравновешен.
Замечание 3.4.2. Теорема 3.3.2 является частным случаем теоремы 3.4.4 вследствие
симметрии по параметрам Ь, с, d и е в 7F6.
Уиппл также сформулировал теорему 3.4.4 в более общем виде.
Теорема 3.4.5. Справедливо равенство
Г a,a/2 + l,b,c,d,e,/ λ_
7 6W2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l,a-/ + l' J
_ r(a-d-H)r(a-e-H)r(a-/-H)r(a-d-e-/-H)
"~ r(a + l)r(a-e-/ + l)r(a-d-e + l)r(a-d-/ + l) X
f a-b-c + l,d,e,/ λ
4 3Уа-Ъ + 1,а-с + 1,а + е + /-а' J
при условии, что ряд в правой части обрывается, а в левой части — сходится.
Доказательство. Последнее является следствием теоремы Карлсона и
теоремы 3.4.4. Читателю следует изучить детали самостоятельно или обратиться
к книге [40, с. 40]. D
Теорема 3.4.6. Справедливо равенство
f a,a/2 + l,b,c,d,e # \ =
6 5Va/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l' J
r(a-d + l)r(a-e + l) p ( a-b-c + l,d,e Λ
"" r(a + l)r(a-d-e + l)3/<2Va-b + l,a-c + i; У
Доказательство. Перейдем к пределу при гп-*оо в теореме 3.4.4 и тем
самым докажем утверждение. D
Отметим, что теорема 3.4.6 связывает значение ряда 3F2 общего вида
в точке χ = 1 со значением очень хорошо уравновешенного ряда 6F5 в точке
х = -1.
§ 3-5- ФОРМУЛА ДУГОЛЛА И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Положим в теореме 3.4.4 2a + l = b + c + d + e —гл. Ряд 4F3 сводится к
уравновешенному ряду 3F2, который может быть просуммирован. Результатом этой
операции является формула Дуголла.
Теорема 3.5.1. Справедливо равенство
Ρ f a,a/2 + l,b,c,d,e,-m л =
7 6Va/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l,a + m + l' J
(a + l)m(a-b-c + l)m(a-b-d + l)m(a-c-d + l)m
{a-b + l)m{a-c+l)m{a-d + l)m{a-b-c-d + l)n

150 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
когда 2a + l = b + c + d + e — гл. Эта формула позволяет просуммировать 2-урав-
новешенный очень хорошо уравновешенный ряд 7F6.
В следующих тождествах будет необходимо накладывать условие
сходимости. Они не накладываются явно, так как в каждом случае очевидно, как это
сделать.
Следствие 3.5.2. 1 Справедливо равенство
Г a,a/2 + l,c,d,e λ =
5 4Va/2,a-c + l,a-d + l,a-e + l' J
= r(a-c-H)r(a-d-H)r(a-e + l)r(a-c-d-e-H)
"~ r(a + l)r(a-d-e + l)r(a-c-e + l)r(a-c-d + l)·
Доказательство. 2 Подставим b = 2a—с —d —e + rn + 1 в формулу из
теоремы 3.5.1, а затем перейдем к пределу при т —> оо. Эта процедура обосновывается
теоремой Таннери. Далее утверждение следствия получается очевидным
образом. D
Это следствие может быть также выведено из следствия 3.4.3 предыдущего
параграфа при помощи теоремы Карлсона. Формула Диксона вытекает из
следствия 3.5.2> если положить е = а/2. Другое следствие позволяет вычислить
значение очень хорошо уравновешенного ряда 4F3 в точке лс = —1.
Следствие 3.5.3. Справедливо соотношение
a,a/2 + l,c,d ..л r(a-c+l)r(a-d + l)
Г a,a/2 + l,c,d . -Λ Γ(α-
4 3Va/2fa-c + lfa-d + l' J Γ(α +
l)r(a-c-d + l)e
Доказательство. Утверждение доказывается взятием предела при е-*—оо
в следствии 3.5.2. Иначе можно взять Ь + с = а + 1в теореме 3.4.6. D
Вот еще несколько формул суммирования.
Теорема 3.5.4. (0 Справедливо соотношение
р( *.Ь ,Ί/:Λ Г(1/2)Г((а + Ь + 1)/2)
2 гУ(а + Ъ +1)/2' ' J Г((а +1)/2) Г((Ь +1)/2)'
(ii) Справедливо соотношение
F(a,l-a. /0\ Г(с/2)Г((с+1)/2)
2ГЧ с ji/Z; Г((с + а)/2)Г((с-а + 1)/2)'
ι Стоит отметить двусторонний вариант этой формулы, обнаруженный тем же Дуголлом:
а + п sin2na Γ(αλ +α2+α3 + α4-3)
ν^ α + η
j=i
2 Вот другой вывод. Разложим функцию / на отрезке [—1; 1] в ряд по многочленам Якоби J] спР* .
Это определяет унитарное преобразование из L2 на отрезке в 12 на неотрицательных целых
числах. Мы раскладываем в ряды ДОО = (1 — χ)μ и /г 00 = (1 — хУ и приравниваем скалярные
произведения в L2 и 12.
Чтобы получить преобразование Уиппла (теорема 3.4.4), мы берем функции
ЛСх) = а-хУР^+Цх), /2 W = (1 -χ)νΡΪ>β+νίχ)
(их разложение получено в теореме 7.1.2, хотя там результат сформулирован несколько иначе).
Но в этом случае вычисления требуют определенных усилий.

§ 3.5. Формула Дуголла и гипергеометрические тождества 151
Доказательство. Перейдем к пределу при χ -*—1 в преобразовании
Пфаффа (теорема 2.2.5)
2Рг{а'сс-Ь;х) = (1-Х)-а2Р1{а'сь;хПх-1)).
и получим
2F1(a'c-b;-i) = 2-Vi(a;b;i/2>
Есть два случая, в которых ряд слева становится хорошо уравновешенным,
и тогда его можно просуммировать с помощью тождества Куммера (следствие
3.1.2). а) 2с — b = a + l и б) а + с = с —Ь+1, или а + Ь = 1. После этого сразу
получаем оба утверждения теоремы. D
Теорема 3.5.5. (i) Справедливо соотношение
f( a,b,C -il= г(1/2)Г(с + (1/2))Г((а + Ь + 1)/2)Г(с-(а + Ь-1)/2)
3 2V(a + b + l)/2,2c' ) Г((а + 1)/2)Г((Ь + 1)/2)Г(с-(а-1)/2)Г(с-(Ь-1)/2)'
(ii) Справедливо соотношение
Ρ [аХс. Λ = πΓ(β) Γ(/)
3 Ч е,/ ' J 22с-1Г((а + е)/2)Г((а + Л/2)Г((Ь + е)/2)Г((Ь + Л/2)'
когда a + b = l и е + / = 2с +1.
Доказательство. Эти утверждения следуют из формулы Тома (следствие
3.3.6) при соответствующем выборе параметров.
Выберем параметры так, чтобы правая часть была хорошо уравновешена.
Надо положить d = (a + b +1)/2, е = 2с, и тогда формула Тома дает
р( a,i
а,Ъ,с ..Λ Г((а + Ь + 1)/2)Г(2с)Г(с-(а + Ь-1)/2)
1)/2,2с' -/ Г(а)Г(с-(а-Ь-1)/2)Г(2с-(а + Ь-1)/2)
г2с-а,(Ь-а + 1)/2,с-(а + Ь-1)/2 \
3 Ч 2с-(а + Ь-1)/2,с-(а-Ь-1)/2 ' У
Теперь применим тождество Диксона и получим утверждение 1. Заметим, что
нам необходимо, чтобы выполнялось равенство О (a + b —1)/2. Значение 3F2
существует также и без этого условия при с = —п, где η — отрицательное целое
число, если ряд рассматривается обрывающимся на (п + 1)-м слагаемом.
Значение этого ряда может быть найдено, однако оно будет отлично от значения,
полученного при с-*—п.
(ii) Для доказательства этого тождества выберем параметры так, чтобы
правая часть совпадала с 3F2 из п. 1, т.е. возьмем a + b = l и е + / = 2с + 1
и получим
Г(а,Ъ,с \_ Г(е)Г(ДГ(с) fe-a,f-a,c \
3 Ч е>/ 'Ч~Г(а)Г(Ь + с)Г(2с)3'Ч Ь + с,2с ' Ч'
Применив теперь утверждение 1, получим утверждение 2. D
Отметим, что теорема 3.5.4 (1 и 2) является предельным случаем теоремы
3.5.5, (1 и 2) соответственно. Чтобы это увидеть, перейдем к пределу при с-* оо.
Часть 1 последней теоремы была получена Ватсоном [411], который доказал
ее для случая а = —п — отрицательного целого. Теорема Ватсона может быть
также получена приравниванием коэффициентов при хп в обеих частях
квадратичного преобразования (3.1.11). Общий случай теперь следует из теоремы

152 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Карлсона. Еще один способ состоит в умножении уравнения (3.1.3) на Qc—х2У~1
и интегрировании по интервалу (0,1). Однако это работает лишь для конечных
рядов.
Замечание 3.5.1. Мы заканчиваем этот параграф следующим замечанием о хорошо
уравновешенных рядах. Пусть
/«=-!*,(! :ηΐ,αΤη α ·>-χ)-
4 ^ч1 — π — αχ,..., ι — π —aq J
Тогда многочлен fix) удовлетворяет соотношению
/00 = (-1Г *7(1/х).
Многочлен g(x), который удовлетворяет условию g(x)=xng(l/x), называется
возвратным многочленом степени п. Такие многочлены имеют вид
g(x) = α0 + ахх + а2х2 +... + а2хп~2 + аххп~1 + а0хп.
Заметим, что /00 — возвратный, если либо q, либо η четные. Легко проверить, что если
g — возвратный многочлен, указанный выше, то
g00 = α0(1 + х)п + alX(l + х)п~2 +... + ανχν(1 + χ)η~2ν (3.5.1)
для некоторых α0, аи ... , αν, которые могут быть определены через а0, аи ... Здесь
ν= [η/2]. Можно показать, что
0<2г<п J
a^Sc-D^f-^O^a, (3.5.3)
0<i<j J J
Заметим, что равенство (3.5.1) также может быть записано в виде
gM = a + xrJ^ak-^rk. (3.5.4)
Отметим связь равенства (3.5.4) с квадратичными преобразованиями (3.1.4) и (3.1.15).
§ 3.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ
В гл. 2 мы встречались с двумя интегралами Барнса, которые были
непрерывными аналогами тождества Гаусса для 2F\ и тождества Пфаффа—Заалыпютца для
3F2. Имеются также интегралы барнсовского типа для старших сумм pFq,
встречавшихся в данной главе. Путь интегрирования будет проходить параллельно
мнимой оси, однако иногда его надо соответствующим образом продеформиро-
вать так, чтобы возрастающая последовательность полюсов подынтегрального
выражения была отделена контуром от убывающей последовательности.
Следующая теорема Бейли является аналогом следствия 3.5.2,
суммирующего очень хорошо уравновешенный ряд 5^Ч в точке х = 1. См. [40, с. 47].
Теорема 3.6.1. Справедливо соотношение
1 с Г(а + 5) Г(а/2 +1 + s) Г(Ь + s) Г(с 4- s) T(d + s) Г(Ь - а - s) T(-s) as _
2ni J r(a/2 + s)r(a-c+l + s)r(a-d + l + s) ~
_ Г(Ь) Г(с) r(d) Г(Ь + с - а) Г(Ь + d - a)
~ 2r(a-c-d + l)r(b-l-c-l-d-a) '

§ 3.6. Интегральные аналоги гипергеометрических сумм 153
Доказательство. Доказательство сходно с доказательством теоремы 2.4.2.
Недостающие детали предоставляется восполнить читателю. Мы разлагаем
интеграл в ряд по вычетам. Вычеты в полюсах функции Г(Ь — a—s) Г(—s) справа
от контура. В итоге получаем представление интеграла в виде суммы двух
очень хорошо уравновешенных рядов 5^4- Они могут быть просуммированы
с помощью следствия 3.5.2, что и завершит доказательство теоремы. D
Другая полезная форма теоремы 3.6.1 была сформулирована Вильсоном [427].
Мы приведем ее здесь.
Теорема 3.6.2. Справедливо соотношение
J_ с Г(а-Ь5)Г(а-5)Г(Ь-Ь5)Г(Ь-5)Г(с-Ь5)Г(с-5)Г(с^-Ь5)Г(с^-5) ,
2πί J T(2s) T(-2s) aS
_ 2Γ(α + b) Γ(α + с) Γ(α + d) Г(Ь + с) Г(Ь + d) Г(с + d)
Πα + b + c + d)
Здесь контур расположен вдоль мнимой оси и соответствующим образом
деформирован (см. теорему 2.4.2). Как всегда, мы полагаем, что а, Ъ, с, d таковы,
что это возможно сделать.
Доказательство. В теореме 3.6.1 заменим а на 2a, a Ь, с и d на Ъ + а, с + а
и d + α соответственно. Заменим также s на s — α. Получим
r(a + s)r(s + l)r(b + s)r(c + s)r(d + s)r(b-s)r(a-s) ,
as =
2ni J r(s) Γ(1 - с -I- s) Г(1 - d + s)
_ Γ(α + b) Γ(α + с) Γ(α + d) Г(Ь + с) Г(Ь + d)
2r(l-c-d)r(a + b + c + d)
Используя формулу отражения Эйлера, перепишем последнее выражение в виде
r(a + s)r(b + s) r(c + s)T(d + s) Г(а-5)Г(Ь-5)Г(с-5) T(d-s)
— \
2πί J
2πί J T(2s) T(-2s)
sin (с — s) π sin(d — s) π
ds =
— sin sn cos 5π sin(c -f d^
_ 2Γ(α + b) Г(а + с) Г(а + d) Г(Ь + с) Г(Ь + d) Г(с 4- d)
Πα + b + c + d)
Тригонометрическое выражение в подынтегральном выражении есть
sin en sin dπ cos2 sn + cos οπ cos dπ sin2 $π
l-:
sin(c -f d)π sin 5π cos $π
Теперь заметим, что второе слагаемое, содержащее тригонометрические
функции, меняет знак, если s заменить на —s. Следовательно, эта часть интеграла
равна нулю, и теорема доказана. D
Если a, b^c, d — положительные числа или выполнено хотя бы одно из
равенств а = Ъ, c = d, причем вещественные части a, b, с, d положительны, то
формулу Вильсона можно переписать в виде
00
Γ(α + ix) Г(Ь + ix) Г(с + ix) Γ(ά + ix),2
dx =
(3.6.1)
Γ(2ίχ)
_ r(a + b)r(a + c)r(a + d)r(b + c)r(b + d)r(c + d)
Па + Ъ + с + а)

154 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Этот результат был ранее получен также де Бранжем [94, 95]*. Формула (3.6.1)
выполняется и в случае, когда один из параметров равен нулю. Записанное
ниже следствие есть результат взятия предела при d -* <»:
J_ r|r(a + ix)r(b + L
jjc)r(c + ijc)12
dx = Γ(α + b) Γ(α + с) Г(Ь + с). (3.6.10
Имеется также аналог формулы Дуголла для 7F6. Это следующая теорема, также
доказанная Бейли.
Теорема 3.6.3. Справедливо соотношение
— ΐ
2πι J
Γ(α + s) Γ(α/2 +1 + s) Г(Ь + s) Г(с + s) Г« + s)
2πί J r(a/2 + s)r(a-c+l + s)r(a-d + l + s)
Г(е + 5)Г(/ + 5)Г(Ь-а-5)Г(-5) ,
X r(a-e + l + s)r(a-/+l + s) dS ~
Г(Ь) Г(с) Г(с1) Г(е) Г(/) Г(Ь + с-а)
(3.6.2)
2r(a-d-e+l)r(a-c-e + l)r(a-c-d + l)
Г(Ь + 4-а)Г(Ь + е-а)Г(Ь + /-а)
Γ(a-c-/+l)Γ(a-d-/ + l)Γ(a-e-/+l),
когда 2a + l = b + c + d + e + /.
Доказательство. Здесь не получится вывести этот интеграл так же, как
и при доказательстве теоремы 3.6.1. Два ряда 7F6 могут быть просуммированы
с помощью формулы Дуголла только в случае, когда эти ряды обрываются.
Однако если они обрываются, то контур, разделяющий возрастающую и убывающую
последовательности полюсов, построить невозможно. Возможно, тем не менее,
дать доказательство, которое является интегральным аналогом доказательства
теоремы 3.4.4. Начнем с формулы из теоремы 2.4.3 в следующем виде:
r(d + s)r(e + s)r(/ + s)
r(a-d + l + s)r(a-e + l + s)r(a-/+l + s)
1
r(a-d-e + l)r(a-d-/ + l)r(a-e-/+l)
v 1 г r(d + t)r(e + t)r(/ + t)r(tt-d-e-/-H-t)r(s-t)jA rQ , Q,
Χ2ΪΪ) Γ(α + 1 + 5 + 0 dt' (3A3)
Левая часть равенства (3.6.4) есть составляющая подынтегрального выражения
в (3.6.3). Подставляя ее значение в формулу (3.6.3), получим
2ni J
r(d + t)r(e + 0r(/ + 0r(a-d-e-/+l-t)
2πί J r(a-d-e + l)r(a-d-/ + l)r(l-e-/+l)
Γ(α + s) Γ(α/2 +1 + s) Г(Ь + s) Г(с + s)
χ
— ^
2πί J
2πί J r(a/2 + s)r(a-c+l + 5)
ПЬ-a-sms-tm-s)
r(a + l + s + t)
Вычислим внутренний интеграл с помощью теоремы 3.6.1. Полученный
интеграл сведется к 1, что может быть получено из равенства (3.6.4) при 2а +1 =
= b + c + d + e + /. Теорема доказана. D
ι Есть простой вывод этой формулы, предложенный Корнвиндером, см. добавление 3.

§ 3.7. Соотношения смежности
155
Может быть получен и аналог диксоновского хорошо уравновешенного
ряда 3F2. Чтобы получить требуемый результат, возьмем в теореме 3.6.1 d = a/2:
— ς
r(a + s)r(b + s)r(c + s)r(b-a-s)r(-s)d_
2πί J r(a-c+l + s)
_ Г(Ь) Г(с) Γ(α/2) Г(Ь + с - α) Г(Ь - a/2)
(3.6.4)
2Г(а/2-с+1)Г(Ь + с-а/2)
Для получения формулы более симметричного вида, заменим а на 2а и Ь, с на
b + α, с + а соответственно, а также s на s — α и получим
r(a + s)r(b + s)r(c + s)r(b-s)r(a-s)
— Ϊ
2πί J Γ(1-c + s)
_ Γ(α) Г(Ь) Γ(α + b) Γ(α + с) Г(Ь + с)
(3.6.5)
2Г(1-с)Г(а + Ь + с)
Теперь применим формулу отражения и упростим результат (как это было
выполнено при сведении теоремы 3.6.1 к вильсоновскому интегралу), получив
2^т ξ r(a + s)r(b + s)r(c + s)r(a-s)r(b-s)r(c-s)cossnds =
Г(а) Г(Ь) Г(с) Г(а + Ь) Г(а + с) Г(Ь + с) ,Q,,.
= 2Г(а + Ь + с) (ЗА6)
Если a, b и с положительны, можно записать эту формулу в виде
00
| 5 |Г(а + ix) Г(Ь + ix) Г(с + ix)|2 ch πχ dx =
о
_ Г(а) Г(Ь) Г(с) Г(а + Ь) Г(а + с) Г(Ь + с)
Г(а + Ь + с)
§ 3-7- соотношения смежности
(3.6.7)
В предыдущей главе мы приводили трехчленные соотношения смежности Гаусса
для функций 2*1- В более общем случае имеются (q + 2) -членные соотношения
для pFq, где ρ < q + 2. При определенных условиях эти соотношения
превращаются в трехчленные соотношения. Куммер заметил, что для 3F2 такие
соотношения возможно получить при х = 1. Бейли [44] предъявил процедуру вывода
этих соотношений, использующую дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяют ряды 3F2. Более простой метод был предложен Вильсоном [427].
Он применим к функциям более общего вида — pFq. В этом параграфе мы
используем метод Вильсона, чтобы вывести его результаты применительно
к трехчленным соотношениям смежности для уравновешенных рядов 4^з· Среди
них есть трехчленные рекуррентные соотношения для ортогональных
многочленов, открытых Вильсоном, частным случаем которых являются «классические»
ортогональные многочлены1.
Перед описанием метода Вильсона отметим, что можно получить
трехчленные соотношения для 3F2 из соотношений смежности для 2Fl с помощью
интегрирования. К примеру, умножим уравнение
(Ь - a)F + aF(a+) - bF(b+) = О
ι Точнее, как предельные случаи.

156 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
на xd χ(1 — хУ d l и, проинтегрировав по интервалу (0,1), получим
В качестве другого примера применим эту процедуру к равенству
2FA с+1 'Ч'^А с >XJ- c(c+l) 2*Ч с + 2 '*J
и получим
3F4 с+1,е '^"з^ с>е > 1J - с(с+1)е з1Ч с + 2,е + 1 ЛУ
Обратимся теперь к методу Вильсона, который дает возможность
систематического вывода всех соотношений смежности для уравновешенных рядов 4F3.
Заметим, что если изменить только один параметр в уравновешенной
функции 4F3, to новая функция 4F3 уже не будет уравновешенной.
Определение 3.7.1. Пусть дан уравновешенный ряд 4F3, тогда смежный
к нему ряд 4F3 получается из него изменением двух параметров на ±1 так, что
новый ряд будет также уравновешен. Как и прежде, связь между смежными
функциями называется соотношением смежности.
Обозначим уравновешенную функцию ^F3(a, b, с, d; e, /, g; 1) через F.
Положим, что один из параметров числителя равен —п, а сумма параметров
знаменателя на единицу больше суммы параметров числителя. Имеем 2 χ φ = 42
функции 4F3, смежные к F. Рассмотрим разность F{a—,b+)—F. Поскольку
(a-l)fc(b + l)fc(c)fc(d)fc (a)fc»)fc(c)fc(d)fc _
*Ke)fc(flk<0k WMkCflfcfe)*
_(a)fc-1» + l)fc_1(c)fc(d)fc
[(a-l)(b + fc)-(a + fc-l)b] =
ν
(a-b-1).
(a)fc.1(b+l)fc.1(c)fc(d)fc
№-l)!(e)fc(flfc(tffc
мы имеем
F(a_ b+)-F= (fl~*~1)cdF+(a-), (3.7.1)
где F+ получается из F увеличением всех параметров на 1. Аналогично
Па-, e-)-F= ^^F+(a-), (3.7.2)
F(a+) e+) -F = ^М*+(е+). (3.7.3)
Учитывая симметрию по параметрам, мы получим выражения для всех
разностей между F и смежными к ней функциями. Некоторые из соотношений
смежности—немедленные следствия этих соотношений. Из формулы (3.7.1)
имеем
F(g-,cf)-F=fa-;-1)MF+(g-).

§ 3.7. Соотношения смежности
157
То есть, приравнивая два выражения для F+{a—)f мы получаем
Иа-с-1){Р{а-М)-Р) = саа-Ь-1){Р{а-9с^)-Р).
Другие соотношения смежности будут получаться очевидным образом, как
только мы найдем уравнение, связывающее F с F+(a—) и F+(e+). Тогда это
уравнение даст другие необходимые соотношения благодаря симметрии. Чтобы
вывести требуемое соотношение, возьмем а = — η и, применив, преобразование
из теоремы 3.3.3, получим
(Dn(g)n ρ р( a,b,e-c,e-d .-Л _. ρ
tf-b)„(g-b)„ ^W + Z-c-^e + g-c-d'-V ·Γ>
(f-b)nig-b)n +к 4 3Ve^-l,e^-/-c-d,e^-g-c-d, J '
и
Cf + Dn-ife + Dn-iF ГгП_ pi a + l,b + l,e-c+l,e-d + l .-Л _ S Гр . ч
Теперь связь между F, F(b+,e+) и F+(e+) дается формулой (3.7.3). Отсюда
следует соотношение для F, F+(a—) и F+(e+), которое имеет вид
#F- (/-a)fe-a)F+(a-) + ^'^'^'^' *+(«+) = 0. (3.7.5)
При выводе последней формулы мы также использовали тот факт, что а + Ъ +
+ c + d + l = e + / + g. Заметим, что для формулы (3.7.5) неважно, какой из
параметров числителя — отрицательное целое число. Это так, в силу того что
F — рациональная функция пяти свободных параметров. Таким образом, мы
также имеем
fgF- (/-b)(g-b)F+(b-) + He-al[l;?fe-d)F+(e+) = 0.
Избавимся от F+(e+) в последних двух уравнениях и получим
Ke-a)(f-aXg-a)F+(a-)-a(.e-bXf-bXg-b)F+(.b-) +
+ (a-b)efgF = 0. (3.7.6)
Последнее нужное нам соотношение аналогичным образом получается из
формулы (3.7.5). А именно,
(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)f (e+)_
Все соотношения смежности могут быть теперь получены из формул (3.7.1)—
(3.7.7). В качестве еще одного примера подставим значения F+(a—) и F+(b—) из
формулы (3.7.1) в соотношение (3.7.6) и получим
He-aW-a)(g-a)ina_M)_p)_
a(e-b)Cf-b)(g-b) (J?(a+j M _ F) + cd(a _ b)J? = 0 (3 7 8)

158 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Соотношения смежности для 3F2 находятся переходом к пределу при η -* оо
в соотношениях для 4F3. Можно также записать фундаментальные соотношения,
соответствующие формулам (3.7.1) (3.7.7) вывести из них остальные. Приведем
несколько примеров. В (3.7.1) положим а = — η и η-* <» и после переобозначения
параметров получим
F{a+)-F=feF+, (3.7.9)
где F обозначает ряд 3F2 общего вида при χ = 1. В формуле (3.7.2) выберем d = —n
и е = — п + а + Ъ + с — / — g— 1, а также положим п-*<». После переобозначения
параметров
F(a-)-F = -^F+(a-). (3.7.10)
Соотношение (3.7.10) можно также получить из формулы (3.7.1). Аналогично
имеем
'«->-'=й^з^ (3·7·ιυ
F(d+)-F=-ddrbF+(d+)· (37Л2)
Вычисляя предел в формуле (3.7.5) двумя разными способами, получим еще два
соотношения:
deF-a(d + e-a-b-c- 1)F+ - (d - α) (e - a)F+(a-) = 0 (3.7.13)
и
eF-(e-a)F+(a-) - fl(dd^)"c)F+(d+) = 0. (3.7.14)
Оставшиеся соотношения могут быть найдены подобным образом. Вообще,
все соотношения смежности для 3F2 следуют из формул (3.7.9)—(3.7.14) при
использовании симметрии по параметрам.
§ 3-8. многочлены вильсона
Рассмотрим многочлены рп степени η > 0, определяемые соотношением
^Γν2ϊ- с- f-n,n + a + b + c + d-l,a-ix,a + ix \
где а, Ъ, с, d — вещественные и положительные числа. Из соотношений
смежности (3.7.8) находим, что рп удовлетворяет трехчленному рекуррентному
соотношению
A„(p„+i(x) -РпШ + Cn(pn_!(x) -рп(х)) + (а2 + х)рп(х) = 0, (3.8.2)
где
. _ {n + a + b + c + d-l){n + a + b){n + a + c){n + a + d)
п~ (2п -ha-hb-hc-hd — 1) (2п H-a-hb-hc-hd)
и
с _ n(n + c + d-l)(n + b + d-l)(n + b + c-l)
п~ (2n + a + b + c + d-2)(2n + a + b + c + d-l)*

§ 3.8. Многочлены Вильсона
159
Как мы отмечали ранее, поскольку АпСп+1>0 для п>0, многочлены рп
ортогональны с некоторой положительной весовой функцией. Чуть ниже будет
показано, что
1 г|Г(а +
2пЦ
ix) Г(Ь -I- ix) Г(с -I- ix) T(d + ix)
2
pn{x2)pm{x2)dx =
ПИх)
= 5тгПп\ (n + a + b + c + d-l)nx
Г(а -I- b + ή) Γ(α -I- с -Ι- ή) ...Г(с -I- d + ή)
, (3.8.3)
r(a + b + c + d + 2n)
где
pn{x2) = (а + Ъ)п(а + с)п(а + а)прп(х2).
Приведенные выше соотношения выполняются и тогда, когда верно хотя бы
одно из равенств а = Ъ и c = d, если вещественные части этих параметров
положительны.
Определение 3.8.1. Многочлены Вильсона рп(х) определяются как
г 2λ ( , ил f . л г . λ\ η f-n,n + a + b + c + d-l,a-ix,a + ix -Λ
где a, b, с, d — комплексные параметры.
Из определения очевидно, что многочлены рп(х) симметричны по Ь, с
и d. Применение теоремы 3.3.3 показывает, что существует симметрия по
всем четырем параметрам a, b, с, и d. Многочлены Вильсона ортогональны
с подынтегральным выражением из теоремы 3.6.2 в качестве весовой функции.
Обозначим его /(s).
Теорема 3.8.2. Пусть контур интегрирования и параметры а, Ъ, с, d
выбраны так же, как в теореме 3.6.2. Тогда
2^S/(5)p„(-52)pm(-s2)ds = 5mjn2n!(n + a + b + c + d-l)nx
Г(а + Ь + п)Г{а + с + п)Г{а + а + п)Г{Ь + с + п)Г{Ъ + а + п)Г{с + а + п)
r(a + b + c + d + 2n)
Доказательство. Сначала заметим, что можно записать
т
Pm(-52)=2]Afc(b-s)fc(b + s)fc,
fc=0
где Ak — соответствующие константы. Вычислим
£■ Sf(s)pn(.-s2)(.b-sUb + s)kds =
v-Ц (-iOjOi + a + b + c+d-l);
= (a + b)"(a + c)"(b + c)"L (а + Ь¥а + с)ДЬ + су1 Х
х 2Н S/(5)(a-s);(a + s);(b-s)fc(b + s)fcds. (3.8.4)
с
Интеграл под знаком суммы может быть переписан в виде
J_ r r{a + j + s)r{a + j-s)r{b + k + s)r{b + k-s)r{c + s)r{c-s)r{d + s)r{d-s)
2πί J T(2s) f(-2s) dS'

160 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Интеграл может быть вычислен с помощью теоремы 3.6.2. После небольшого
упрощения, мы находим, что выражение из формулы (3.8.4) равняется
2r{a + b + k)r{a + c + n)r{a + d + n)r{b + c + k)rQ) + d + k)r{c + d){a + b)n
Πα+b+c+d+fc)
„ r-n,n + a + b + c + d-l,a + b + kt~\
*3 2V a + b,a + b + c + d + k ' У
Этот ряд 3F2 уравновешен и может быть просуммирован с помощью тождества
Пфаффа—Заалыиютца. Теперь мы имеем
ofe S /(s)pn(-s2)(b-s)fc(b + s)fcds = 2(-fc)„x
pn(-s2) = ^(n + a + b + c + d-l)n(b-s^^
2πϊ
T(a + b + k)T(a + c + n)T(a + d + n)T(b + c + k)T(b + d + k)T(c + d + n)
r(a + b + c + d + n + fc)
Множитель (—fc)n равен нулю для к < п. Из симметрии по а и Ъ следует, что
(-On,
fc=0
Тем самым доказательство теоремы завершено. D
Результат (3.8.3) следует из теоремы 3.8.2, если а, Ь, с и d положительны
либо а = Ъ, c = d и эти параметры имеют положительные вещественные части.
Много систем ортогональных многочленов являются предельными или
частными случаями многочленов Вильсона. Здесь же мы покажем, как могут быть
получены многочлены Якоби (введенные в предыдущей главе).
Положим a = b = (a + l)/2, c = d = (β + 1)/2 + ι'ω и х = сод/(1-0/2 для 4^3
в определении 3.8.1. Пусть ω -* оо. Получим, с точностью до постоянного
множителя, многочлен Якоби
Λ1 a + 1 ;"2">
§ 3.9. КВАДРАТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ—ПОДХОД РИМАНА
Риман в полной мере использовал идею о том, что функция в большой степени
определяется своими особенностями. Пример этого приводился в предыдущей
главе при обсуждении гипергеометрического дифференциального уравнения.
Здесь мы покажем, как развитые там идеи приводят к основному результату
Римана о квадратичных преобразованиях.
Гипергеометрическое уравнение имеет регулярные особенности в точках О,
1, и о© и не имеет других особенностей. Предположим, что характеристические
экспоненты в точке 0 равны 0 и 1/2. При замене переменных χ = t2 решения
становятся аналитическими в 0. Однако теперь особенности возникают при t = ±l,
и мы имеем другое гипергеометрическое уравнение. Подробнее, заметим, что
согласно соотношению (2.3.4) в гл. 2
оо 1 ^
(3.9.1)

§ 3.9. Квадратичные преобразования —подход Римана
161
есть набор решений уравнения
d2y . ί 1 . l-b,-b
L=0.
/jc(jc-1)
(3.9.2)
При замене переменных χ = t2 имеем
dy_ = ±dy d2y ir-ldy l d2yi
dx ltdt dx2 2tl2t2 dt 2t dt2 У
Подставив это соотношение в уравнение (3.9.2), получим уравнение вида
d2y , (\-Ьх-Ъ2 , \-bx-b2\dy , (2ЬХЪ2 , 2ЬХЬ2 , л_ _\ у
dP" + l t-i + t+i JdF + lT^T + T+T + 4cic2j?rT = 0· (3.9.3)
Применив теорему 2.3.1, заключим, что набором решений уравнения (3.9.3)
является
(-1 со 1 л
Ρ ·[ bj 2cj i>! 11.
[ b2 2c2 b2 J
Верна следующая теорема.
Теорема 3.9.1. Справедливо равенство
= Р
[ь2
00 1 \
2с, Ъ, t
2с2 Ъ2 1
,=р<
ГО оо 1
К 2с, Ъ,
\b2 2c2 b2
1+1
(3.9.4)
Это теорема Римана о квадратичных преобразованиях. Выведем два
основных квадратичных преобразования для 2F\> полученные в теоремах 3.1.1 и 3.1.3.
Запишем соотношение (3.9.4) в виде
\
ГО оо 1
с с 2а
Id d 2b
х+1
х-1
= Р
Положив с = 0 и заменив 2Ъ на 1 — 2Ъ + а, 2а на а и d на Ъ — а, получим
или
(О оо ι
0 0 а
Ъ-а Ъ-а а-2Ь + 1
(О оо 1
О а О
Ъ-а Ъ \-2Ъ
*\=Р
= Р
О
о
а/2
1
О -
4х
Ъ-а Ц±-Ъ 1/2
(1-х)2
О
О
а/2
1
О -
а±1-Ь 1/2
4*
а-*)2
Так как есть только одно решение, аналитическое в нуле со значением 1 в этой
точке, находим
Π rVFf a'b ·νΊ- ~(а/2,(а + 1)/2-Ь. 4х >|
Это результат теоремы 3.1.1. Аналогично имеем
(О оо ι \ го оо ι
a 0 с ± Up J 2a с с ^
Ь 1/2 d * J [2b d d

162 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
или
\2а с с х\=р\а 0 с (^J I
[2b d d J [b 1/2 d J
Меняя соответствующим образом параметры, можно записать последнее
соотношение в виде
(1-х)а/2Р
или
I ±-Ь (а + 1)/2 Ь-а
зыа2ьь-)=(-!п<л(;+Г;(^)2>
Это снова доказывает теорему 3.1.3.
Дифференциальное уравнение вида
(l~jcV/-2xy/+[v(v+l)~j^]y = 0
называется дифференциальным уравнением Лежандра. Оно имеет лишь
регулярные особенности в точках —1, 1, оо. Очевидно, что набор его решений есть
Г -1 - 1 л
Ρ μ/2 ν+1 μ/2 χ Ι (3.9.5)
(-μ/2 -ν -μ/2 J
Сравним (3.9.5) с (3.9.4). Мы видим, что гипергеометрические уравнения,
допускающие квадратичные преобразования, являются уравнениями Лежандра
(с точностью до естественной эквивалентности, см. 2.3).
§ З.Ю. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ
В этой главе мы вывели много гипергеометрических соотношений. В данном
параграфе мы рассмотрим проблему вычисления частичных сумм
гипергеометрических рядов. Госпер [170] указал алгоритм, который позволяет найти
значение такой суммы при условии, что она является факториальным выражением1.
η
Более точно, предположим, что £ ск — частичная сумма гипергеометрического
к=1
ряда. Необходимо найти такую функцию У (к), что
ск = У (к) -У (к-1), (3.10.1)
где полагается, что У(к)/У(к — 1) — рациональная функция переменной к.
Мы будем называть такую функцию У (к) факториальным выражением2. Из
ι Β оригинале hypergeometric element.
2 То есть У (к) = const· ' hk. ,
1 [(Pih

§ 3.10. Неопределенное гипергеометрическое суммирование 163
формулы (3.10.1) очевидно, что
η
к=1
Запишем
.£Le-jeW «W (3.10.2)
Cfc-i р№-1) r(fc)
где р(к), q(ic) и г(ic) —многочлены от ic, удовлетворяющие условию
HQZl(q(ic),r(ic + ;)) = l (3.10.3)
для всех целых j > 0. Важность этого условия станет очевидной позднее, а пока
покажем, что q(ic) и r(ic) могут быть выбраны так, чтобы равенство (3.10.3)
выполнялось. Из условия (3.10.3) следует, что если q(k) и r(ic) делятся
соответственно на ic + α и k + β, то α —β не может быть неотрицательным целым.
Предположим, что изначально в разложении (3.10.2) выполняется равенство
HQZl(q(ic),r(ic +j)) =gk. Тогда заменим q(ic), r(ic) и р(к) на
Легко проверить, что
Теперь ясно, что после конечного числа повторений этого процесса условие
(3.10.3) будет выполняться для любого j > 0.
В качестве следующего шага напишем
У(к) = *У^№ск. (3.10.4)
Подставляя это равенство в формулу (3.10.1) и используя равенство (3.10.2),
найдем соотношение для /(ic), единственного неизвестного в соотношении (3.10.4).
Тогда
p(fc) = q(k + l)/(fc) - r(fc)/(fc -1). (3.10.5)
С помощью условия на У (к) мы находим, что /(ic) —рациональная функция
от ic. Покажем, что она является многочленом. Пусть
/(k) = Zft)/mft),
где Z(ic) и rn(ic) — многочлены от /с, не имеющие общих множителей.
Предположим, что rn(ic) действительно зависит от ic. Пусть j — наибольшее
неотрицательное целое число, и ic + λ, и ic + λ + ; — множители rn(ic). Подставим выражение
для /(ic) в формулу (3.10.5) и получим
p(fc)m(fc)m(fc-1) = q(fc + l)Z(fc)m(fc-1) - r(Jfc)Zft- l)rn(Jfc). (3.10.6)
Поскольку ic + λ — 11 rn(ic— 1), из последнего уравнения следует, что
fc + A-l|r(fc)Z(fc-l)m(fc).

164 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Однако НОД(гп(к — l),Z(ic —1)) = 1 ик + λ — Ι не является делителем rn(ic) в силу
максимальности ;. Поэтому
Jt + A-l|r(fc). (3.10.7)
Аналогично из того факта, что ic + λ + j | q(k + l)l(k)m(k— 1), следует, что
fc + A + j|q(k+O или fc + A + j-l|q(fc). (3.10.8)
Из формул (3.10.7) и (3.10.8) находим HQZKq(ic), r(ic +j)) /1. Это противоречит
соотношению (3.10.3) и мы можем заключить, что / — многочлен степени d,
скажем, задаваемый выражением
/ft) = a0kd + α***"1 + ...ad. (3.10.9)
Подставим это выражение для /(ic) в формулу (3.10.5), чтобы получить систему
линейных уравнений для а0, аь ..., ad. Если эта система непротиворечива, мы
находим значения а0, аъ ..., adi решая уравнения. Значения У(к) находим,
подставляя /(ic) в формулу (3.10.4).
Чтобы найти возможные степени многочлена /(ic), запишем равенство
(3.10.5) в виде
P(« = C4«+i)-rM,m±fbm+(,tt+1)+rft))№2zZ№zi».
(3.10.10)
Есть два случая. Во-первых предположим, что
deg(q(fc +1) + r(fc)) < deg(q(fc +1) - г ft)) = d'.
Поскольку deg(/(ic) —/(ic —1))/2 < d, мы получаем
d = degp(Jfc)-d/.
Во-вторых предположим, что
(q(fc +1) +r(fc))/2 = bfcd/ +..., b / 0,
и
(qCJfc +1) - r(fc))/2 = ckd'-1 + ...
Подставим эти выражения в формулу (3.10.10) и получим
pflfc) = (a0c + a0bd/2)kd+d'-1 +...
Если а0с + a0bd/2 / 0, то
d = degp(fc)-d'+l.
В противном слз^чае
d = -2c/b и d>degp(fc)-d/+l.
Последнее значение d используется только в том случае, если d —целое число,
большее degp(ic) — d'+1. На этом описание алгоритма Госпера завершается.
Этот алгоритм выясняет, возможно ли представить частичную сумму
гипергеометрического ряда как гипергеометрический элемент, и если можно —
выдает значение суммы.
Цейльбергер [433] расширил область применения этого алгоритма,
рассмотрев ск как функцию двух переменных π и ic, а не только лишь одной

§ 3.10. Неопределенное гипергеометрическое суммирование 165
к. Мы обсудим метод Уилфа—Цейльбергера в этом и следующем параграфах.
Этот метод—довольно мощный инструмент для доказательства
гипергеометрических тождеств.
Предположим, что тождество, которое необходимо доказать, можно
записать в виде
2]т(пД) = Л(п),
к
где A(ji) фОип>0. Поделим обе части на А{п) и перепишем тождество в виде
JV(n,k) = l. (310.11)
к
Отсюда следует, что
J](F(n + l,fc)~F(n,fc)) = 0.
к
Ранее мы пытались выразить F(n, к) или даже Т(п, к) как разность У (к +1) —
-У (к), что, однако, не всегда возможно. В качестве примера рассмотрим сумму
к=0
при ; < п. Выполняя шаг за шагом алгоритм Госпера, можно увидеть, что эту
сумму нельзя представить в виде факториального выражения1.
В методе Цейльбергера мы пытаемся записать разность F(n +1, k) —F(n, к)
как У(к + 1) — У(к). Это улучшает ситуацию. Предположим, что есть такая
функция G(n, к), что
F(n +1, к) -F(n, к) = G{n, к +1) - G(n, к). (3.10.12)
Эта функция G может быть найдена посредством алгоритма Госпера2. Тогда
κ
^(F(n-l· 1, к) -F(n, к)) = Gin, К +1) - G(n, -L). (3.10.13)
k=-L
Если предположить, что G удовлетворяет условию
lim G(n,fc) = 0, (3.10.14)
к-*±<х>
то получим, что
У] F(n,fc) = const.
к
Теперь достаточно проверить тождество для одного значения п, скажем η = 0.
Таким образом, для доказательства соотношения (3.10.11) мы попытаемся
найти функцию G, которая удовлетворяет условиям (3.10.12) и (3.10.14). Если
такая функция G существует, то равенство (3.10.11) будет доказанным после его
ι И, в частности, мы не преуспеем в вычислении (3.10.11/) в пределах J].
2 Сказано чуть-чуть неаккуратно. Такая функция всегда существует и определена с точностью до
прибавления слагаемого вида γ(ή). Но найти ее мы сможем, лишь если она факториальна по к.

166 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
проверки для η = 0. Этот метод работает для очень широкого класса тождеств.
Примеры и дальнейшие результаты читатель найдет в работах [286] и [277].
Для иллюстрации рассмотрим тождество
уч (-l)*(-n)t = Ί
k
Здесь
и можно показать, что функция
G(n,k) =
(fc-l)!2n+1
удовлетворяет условиям (3.10.12) и (3.10.14). Справедливость тождества, таким
образом, доказана, поскольку оно верно при η = 0.
Следующий параграф содержит дальнейшее рассмотрение метода Уилфа—
Цейльбергера и сравнение с родственным ему методом Пфаффа.
§ 3·ΐι. w—z-метод
В ряде работ Цейльбергер (иногда совместно с Уилфом) разработал технику,
которую назвал creative telescoping1. Этот метод часто называется W—Z-методом,
ввиду того что значительная его часть была опубликована в статье Уилфа
и Цейльбергера (Wilf, Zeilberger). Весь метод можно удивительно легко
описать полностью, однако для простоты мы применим его лишь к некоторым
элементарным тождествам и затем сравним его с методом Пфаффа, который
также будет описан.
Предположим, что для частичной суммы мы хотим доказать линейное
однородное рекуррентное соотношение. Другими словами, положим
S(n)= Σ F(n'fc)'
k=-oo
где для каждого η величина F(n, k) равна нулю для всех, кроме конечного числа
значений к. Предположим, мы ожидаем, что для некоторых многочленов а(п),
β in)
a(n)S(n) = j3(n)S(n-l)
η
(так что на самом деле S(n) =S(0) Π(β0)/α0)))· Тогда W—Ζ метод позволяет
строить функцию Gin, k) (которая снова равна 0 для любого η для всех, кроме
конечного числа значений к), удовлетворяющую условию
a(n)F(n,fc)-j8(n)F(n-l,fc) = G(n,fc)-G(n,fc-l).
ι Перевод затруднителен. Мы используем неологизм «креативное сматывание».

§ 3.11 W-Z-метод
167
Если это удается, то желаемое рекуррентное соотношение следует
непосредственно. Действительно,
a(n)S(n)-]8(n)S(n-l) = 2](a(n)F(n,fc)-j8(n)F(n-l,fc)) =
к
= 2](G(ra)-G(rU-l)) = 0,
к
поскольку конечная сумма сворачивается. Этот пример иллюстрирует
уместность названия creative telescoping.
Лучший способ оценить этот метод — рассмотреть несколько примеров.
Рассмотрим суммирование Чу—Вандермонда. Мы хотим доказать, что
^СЮ = ^р!1, где Sv(n) = YFv(n,k)
1 )п ыо
и
F Πι Μ - (~Π)*(α)*
Другими словами, мы хотим найти такую функцию Gin, к), что
(b + n-l)Fi;(n,fc)-(b-a + n-l)Fi;(n-l,fc) = G(n,fc)-G(n,fc-l). (3.11.1)
Цейльбергер полностью реализовал алгоритм нахождения функции Gin, к) на
компьютере. Он показал, что для задач, имеющих дело с гипергеометрическими
рядами типа Svin), функция Gin, к) должна иметь вид
G(n,fc)=R(n,fc)F(n-l,fc).
Однако мы можем легко найти значение Gin, к) с помощью следующих
наблюдений. Положим /с = 0 в формуле (3.11.1). Теперь, полагая Gin, —1) = 0, мы видим,
что
G(n,0) = (b + n-l)Fi;(n,0)-(b-a + n-l)Fi;(n-l,0) =
= (b + η -1) - (b - a + η -1) = a.
Пусть в формуле (3.11.1) fc = 1. Тогда
Gin, 1) = Gin, 0) + (b + η- l)Fu(n,l)-(b-a + η- l)Fu(n-1,1) =
= a + (b + n^l)(^f)^(b^a + n^l)(^i^) =
= ("n^1)fl(a + l) = (a + l)Fi;(n-l,l).
Таким образом мы можем проверить (вручную или с помощью
компьютерных вычислений) предположение, что
Gin, k) = ia + k)Fvin -1, fc). (3.11.2)
После того, как мы высказали предположение о виде aeyrwbb Gin, к),
доказательство формулы (3.11.2) — вопрос исключительно алгебраических преобразований.

168 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Мы имеем
(b + n-l)Fv{n,k)-(b-a + n-l')Fv(.n-l,k) =
_ (b + n-l)(-nt)(a)t (.b-a + n-l)(.-n + l)k(.a)k _
k\(b)k k\(b)k
(-π + Dk-iiflh.
k\ №)»
L[(b + n-l)(-n)-(b-a + n-l)(-n + k)] =
= i~n+k^-fa)k(.-an-k(.b-a + n-l)). (3.11.3)
Однако
G(n,*)-G(n,*-1)- щ^ (fc-DKb),., ~
= fcKb^ [-an-ic(b-a + n-l)] =
= (b + n-l)F^n,fc)-(b-a + n-l)Fi;(ri-l,fc)
(согласно соотношению (3.11.3)). Следовательно, креативное складывание
показывает нам, что
(b + n-l)Sw(n) = (b-a + n-l)Sw(n-l),
и с помощью итераций получаем, что Sv = (b — a)n/(b)n, как мы и хотели.
Теперь обратимся к формуле суммирования Пфаффа—Заалыиютца,
рассмотренной в гл. 2. Теперь она может быть записана следующим образом:
SP^=tcUc-Ca-b]n' ГДе «ρ(«) = Σν«.«.
п п к=0
а г ρ (π, κ) = ,,, Λ ,., ■—-τ—ς-. (3.11.4)
ρ ' J k\(c)k(l-n + a + b-c)k
Заметим, что соотношение (3.11.4) очевидным образом эквивалентно равенству
(c + n-l)(c-a-b + n-l)Sp(n) = (c-a + n-l)(c--b + n-l)Sp(n-l).
Мы действуем, как и прежде. Положим
Gp(n,fc) = Rp(n,fc)Fp(n-l,fc).
Мы хотим построить такую рациональную функцию Rp(n, ic), что
(c + n-l)(c-a-b + n-l)Fp(n,ic)-
-(c-a + n-l)(c-b + n-l)Fp(n-l,fc) = Gp(n,fc)-Gp(n,fc-l). (3.11.5)
Соответственно при ic = 0 в формуле (3.11.5) мы получим
Gp(n,0) = (c + n-l)(c-a-b + n-l)-(c-a + ri-l)(c-b + ri-l) =
= (c + n-l)(-a) + a(c-b + n-l) = -ab.
Теперь из формулы (3.11.5) при ic = 1 следует, что
Gp(n,l) = Gp(n,0) + (c + n-l)(c-a-b + n-l)^
-(c-a + n-l)(c-b + n-l)c(3J^

§ 3.11 W-Z-метод
169
т.е., как и в формуле (3.11.2), мы можем предположить, что
Gp{n, к) = -(а + Ю(Ь + ic)Fp(n -1, к). (3.11.6)
Доказательство этого предположения — снова только лишь алгебраическое
упражнение. В каждом случае мы имеем
(c + n-l)(c-a-b + n-l)-(c-a + n-l)(c-b + n-l)Fp(n-l,fc) =
= Gp(n,fc)-Gp(n,fc-l) =
f (a + fc)(b + fc)(l-n)t(a)t(b)t (а + ^-1)(Ь + к-1)(1-п)ы(а)ы(Ь)ы>|
V fc!(c)k(2-n + a + b-c)k (fc-1)! (c)k_i (2 - η + a + b - с)к_х У
что упрощается до желаемого результата. Таким образом, равенство (3.11.4)
доказано W—Z-методом.
Исследуем теперь суммирование Бейли рядов 4F3, что несколько сложнее.
Наша цель здесь—доказать равенство
fa/2,(a + l)/2,b + n,-n.^_ (Ъ-а)п П117,
ΛΙ b/2f(b + l)/2fa + l ·4-"Ί»Γ' С ^
Отметим, что этот ряд 4F3 уравновешен. В подходящих для W—Z-метода
обозначениях мы хотим доказать, что
SB(.n) =
№)» '
где SB(n) = Σ FB (п, ic), а
fc=0
FB(n,fc)=(a)^(b + ^("^
fc!(b)2k(a + l)k *
В этот момент мы надеемся, что сможем сразу доказать равенство
(b + n-l)SB(n)-(b-a + n-l)SB(n-l) = 0.
Однако метод, использовавшийся в двух предыдущих примерах, изначально
терпит неудачу. Именно в этот момент мы осознаем, как нам полезны в таких
исследованиях вычислительные возможности компьютера. Оказывается, что
можно использовать W—Z-метод для получения трехчленного рекуррентного
соотношения, а именно
(п+1) (-п - Ъ + a)FB (π, к) + (-a2 + ba - а + 2nb + 3b + 2 + 4n + 2n2)FB (n +1, k) -
- (b + η + l)(a + η + 2)FB(n + 2, ic) = GB(n, k) -GB(n, k-1),
где
ГГяМ. (a + l + 2fc)(a + 2fc)(b + n + fc)(n + l)„ , ,.
Из последнего соотношения следует равенство
(η +1) (-η - Ъ + a)SB{n) + (-a2 + ba - a + 2nb + 3b + 2 +
+ 4n + 2n2)SB(n + l)-(b + n + l)(a + n + 2)SB(n + 2) = 0. (3.11.8)

170 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Кроме того, поскольку SB(0) = 1, SB(l) = (b —a)/b и поскольку (b — a)n/(b)n
удовлетворяет вышеуказанному рекуррентному соотношению, мы видим, что
соотношение (3.117) доказано.
Здесь следует сделать пару замечаний. Во-первых, тождества, подобные
(3.11.7), часто возникают на практике как предположения. Другими словами,
если тождество (3.11.7) верно, то мы получаем некоторый полезный результат
(см. [15]). Соответственно обычно вид желаемого тождества суммирования
известен до попытки его доказательства. Во-вторых, предположим, что мы
имеем дело с более сложным тождеством, где мы, возможно, не смогли точно
определить, как будет выглядеть формула суммирования. Для этого Марко
Петковшек разработал дополнительный алгоритм для W—Z-метода. Он находит
минимальное рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет исследуемая
сумма. Так, в нашем случае, алгоритм Петковшека, примененный к формуле
(3.11.7), даст тождество (3.11.8).
Существует несколько иной метод суммирования, придуманный Пфаффом.
Этот метод менее алгоритмичен по сравнению с W—Z-методом. Однако он
заменяет проблему алгебраических вычислений на поиск систем рекуррентных
соотношений. Соответственно он может предложить новые формулы
суммирования вдобавок к тем, которые мы хотим доказать, и, кроме того, может
позволить существенно упростить вычисления по сравнению с необходимыми
в W—Ζ методе. Метод Пфаффа напоминает W—Z-метод, однако он позволяет
играть важную роль в суммировании различным дополнительным параметрам.
Применение метода Пфаффа начинается очень просто. Мы всего лишь вычитаем
почленно сумму при п — 1 из суммы при п.
Рассмотрим еще раз формулу суммирования Чу—Вандермонда.
Сформулируем задачу несколько иначе. Пусть
.ГппМ_уН)М
Sv{n,a,b)-2^ j|(W .
Теперь заметим, что1
,ч о г , ,ч νγ(-η),·(α),· (1-η) (α) \
S^n,a,b)-Vn-l,a,b)=g(-7R^-i Щр) =
(а)Д1-п);_! ^(а);(1-п);_!
-1. am, c(-*)-c-n+j))—2^ 0._
a v^ (a + l),(l-n), a
= -ϊΣ ЖЬН-I), =-рЛп-1,а + 1,Ъ + 1). (3.11.
Обратим внимание на то, что соотношение (3.11.9) совместно с условием
Sv(0, a, b) = 1 единственным образом определяет Sv(n,a, b). Однако если
συ(η,α,ΰ) := —^—,
ι Отметим также, что п-й член S(n — 1) равен 0.

§ 3.11 W-Z-метод
171
то
rr ы „ м ^ г„ ι „ м - (b~a)n (b-a)n-i _
a,,(fi,a,b) —σ,,(η —l,a,b) = —щ щ =
Следовательно,
S„(n, a, b) = σ„(η, a, b) = 0>-a)n/(]b)n,
как мы того и хотели.
Вывод формулы Пфаффа—Заалыиютца по методу Пфаффа проводится
следующим образом. Пусть
SP("'a'b'C) - 2-, ЛСсШ-п + а + Ь-О/
Теперь заметим, что
Sp(n9 a, b, c) - Sp(n -1, a, b, c) =
i-rijialjiVj (1-η),(α),№);
/! ic:
__(а)ДЬ)Д1-п)Ь1
/! f(
;=0
(а)ДЬ)у(1-п)Ь1
= yi (-п);(а);(Ь), (1-п)Да)ДЬ),
2-ι j!(c),(l-n + a + b--c), j!(c),(2-n + a + b-c), ""
j=0 ' J J J
=Σ Я ^ί^α^-Ο^ ((-n)(l-n+a+b-c+J))-(n+J)(l-n+a+b-c) =
ΣΙ
4^ O'-DKcDjtt-n + a + b-c),.!
n(a + b + l-c)ab y« (l-n);(a + l);(b + l);
= n(a + b + l-c)ab yi (1-п)Да + 1)ДЬ + 1),
c(l-n + a-l-b-c)(2-n-l-a-l-b-c) Zj j! (c + l);(3-n + a + b-c);
= -ri ^ ?J"btro C)? ^i ,Sp(n-l,a + l,b + l,c+l). (3.11.10)
c(l — n + a + o — c)(2 — n+a+b— c) p
Показав, что выражение
(c-aUc-bX/KcUc-a-b)»]
удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению и равно 1 при п, равном 0,
получим желаемый результат.
Это в точности доказательство этой формулы, данное Пфаффом в 1797 г.
В завершение мы докажем формулу суммирования Бейли ряда 4F3 методом
Пфаффа.
Так же как и в случае с W—Z-методом, который не работал, как от него
ожидалось, метод Пфаффа иногда требует дополнительного трюка. Мы хотим
здесь доказать, что
SB(n,a,b) = -^=^, (3.11.11)
где
SB(n,a,b)-2^ ;!(b)2;.(a + l), '
j=0

172 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Вычитая почленно находим
SB(n,a,b)-SB(n-l,a,b) = ai\^b^nhB{n-l9a^29b^2)9 (3.11.12)
где
(a)2;(b + n-l);(-n);
vn(a)2/(b + n-l),(-n)y
ΤΒίη,α,ν=Σ 2}jHb)vial '. (З.П.13)
Таким образом, мы ввели новую сумму. Вычисление этой суммы для η = 1,2
и 3 позволяет предположить, что
^«•tt-p+fflgWr (3-1L14)
Попробуем теперь сравнить почленно Τβ(π, α,Ь) с SB(π,a,b) hSb(/i- 1,a, b). Из
второго сравнения следует, что
ΓΒ(π,α,^-5Β(π-1,α,^=-№ + ^^ + π)ΓΒ(Γΐ-1,α + 2^ + 2). (3.11.15)
Два рекуррентных соотношения (3.11.12) и (3.11.15) вместе с начальными
значениями
SB(0,a,b) = TB(0,a,b) = l
полностью определяютSB(n, a, b) и Γβ(η, a, b). Теперь убедиться, что (b—a)n/(b)n
и (b~a)n/((b + 2n~l)(b)n_1) удовлетворяют одинаковым рекуррентным
соотношениям и начальным условиям, — снова всего лишь простое
алгебраическое упражнение. Поэтому мы доказали не только соотношение (3.11.11), но
и (3.11.14).
§ 3-12. СООТНОШЕНИЯ СМЕЖНОСТИ И МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
Из формул (2.5.6) и (2.5.8) мы получаем одно из соотношений смежности Гаусса,
а именно
(c-a-b)F=(c-a)F(a-)-b(l-x)F(b+).
Полагая а = —п +1, находим
(с + π — 1) 2F\ (—n, b; с; χ) — (с — b + η — 1) 2^ι (—η +1, Ь; с; х) =
~2jI j\(c)j O-DKc);-! Г ·
Теперь положим χ = 1 и увидим, что в точном соответствии с методом
креативного складывания Цейльбергера правая часть равна 0 и мы нашли доказательство

§ 3.12. Соотношения смежности и методы суммирования 173
формулы суммирования Чу—Вандермонда W—Z-методом. Аналогично
(с + η — 1) (с — а — Ъ + η — 1) 3F2 (—π, a,b;c,l — n + a + b — c;x) —
— (с —α + η — 1)(с —b + n — 1) 3F2 (—π +1, α, b; с, 2 — η + а + b —с; χ) =
Μ v-iV (1-п),(а),+1(Ьу1х' _
"" U X;Zj;!(c),(2-n + a + b-c),
у, (l-nVi(q)jft), (1-η),(α),+ι№),+1 λ ;.
^V 0"-l)KcVi(2-n + a + b-cVi ;!(с)Д2-п + а + Ь-с);Г
= -ab (1 - x) 3F2 (1 - n, a + 1, Ь +1; c, 2 - η + a + Ь - c; x),
и если мы будем считать, что лс = 1, то получим доказательство формулы
суммирования Пфаффа—Заальшютца W—Ζ методом. Так, мы видим, что W—Z-
метод является эффективным алгоритмом для получения полезных примеров
соотношений смежности. В случае с соотношениями Бейли для 4F3 W—Z-метода
не удается найти рекуррентных соотношений первого порядка в силу того что
не существует трехчленных соотношений смежности, связывающих
(h + n-π F(a/2,(a + l)/2,b + n,-n Λ
ф + п 1UF3[ b/2>(b + 1)/2>a + 1 >*J
(h n + n Ή π ra/2,(a + l)/2,b + n-l,l-n \
-ib-a + n-l)4F3{ b/2fft + 1)/2fa + 1 .*)
с третьей функцией 4F3, умноженной на выражение, содержащее 1-х. Однако
когда мы переходим к соотношениям для четырех смежных функций, такое
соотношение появляется и доказательство суммирования Бейли W—Z-методом
получается, если взять х = 1.
Метод Пфаффа даже с большей очевидностью является методом
соотношений смежности. В этом методе χ полагается равным 1 с самого начала. Полное
доказательство соотношения Чу—Вандермонда методом Пфаффа
непосредственно получается после установления соотношения смежности
(-η,α \ (-η + 1,α λ α „ (-η + 1,α + 1 λ
2i4 b 'Ч^^А b '^""ЬЛ1 Ь + 1 ЛГ
Доказательство Пфаффа тождества Пфаффа—Заальшютца основано на
соотношении
„( -п,а,Ъ -Λ „ ( l-n,a,b λ
3*Ас,1-п + а + Ъ-с'Ч 3*2Ус,2-п + а + Ъ-с'Ч-
= n{a + b + l-c)ab Г l-n,a + l,b + l λ
"~ c(l-n + a + b-c)(2-n + a + b-c) 3 2Vc + l,3-n + a + b-c; Г
Доказательство формулы Бейли целиком основано на двух соотношениях
смежности:
(a/2,(a + l)/2,b + n,-n \ /a/2,(a + l)/2,b + n-l,l-n л =
4 3V b/2,(b + l)/2,a + l ' J 4 3V Ь/2, (Ь + 1)/2,а + 1 ' J
_ a(l-b-2n) (a/2 + l,(a + 3)/2,b + n,l--n Λ
b(b + l) 4'3ν b/2 + l,(b + 3)/2,a + 2 'J

174 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
и
(α/2,(α + 1)/2,5 + η-1,-η λ (a/2,(a + l)/2,b + n-l,l-n л =
4 3V b/2,(b + l)/2,a 'J 4 3V b/2,(b + l)/2,a + l ' V
_ (Ь + п-1)(а + п) (a/2 + l,(a + 3)/2,b + n,l--n л
b(b + l) 4/Ч (b/2) + l,(b + 3)/2,a + 2 'J
Открытия Уилфа и Цейльбергера произвели настоящую революцию в
исследованиях суммирования конечных гипергеометрических рядов. Важная ветвь
этой работы— реализация этих алгоритмов с помощью MAPLE, также
произведенная Цейльбергером. Дополнением к этим результатам послужили
философские дискуссии одного из нас [12] с Цейльбергером [434] о применении этих
открытий в создании искусственного интеллекта.
В текущий момент внутренние ограничения MAPLE не позволили доказать
с помощью W—Z-метода равенство
/-2n,x + 2n + l,x-z+^,x + n-l,z + n + l \
5 4^ (х/2) + 1,(х+1)/2,2г + 2п + 1,2х-2г ' >
(l/2)n(2s-x)n(2s-x + n + 2)n ц
(x + l)n_3{x + 2n-2)3(x-z)n(z + n + ±)n
Для доказательства равенства методом Пфаффа требуются сложнейшие
вычисления, работающие одновременно с двадцатью тождествами указанным выше
способом. Без сомнения, развитие вычислительной техники и программного
обеспечения в конечном итоге позволит доказать равенство (3.12.1) с помощью
W—Z-метода.
Мы надеемся, что это соперничество между методами послужит осознанию
того факта, что прогресс достигается применением человеческого разума при
поддержке машин к любой заданной проблеме. Не следует, однако, забывать,
что метод Пфаффа и W—Z-метод — ценнейшее применение классической теории
соотношений смежности к задачам суммирования рядов. Вряд ли такие
методы—единственное возможное применение соотношений смежности, поэтому
имеет смысл проводить дальнейшие исследования.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите следующие формулы квадратичных преобразований:
*i р( 2аЛЪ -Л-П-ТхУ* F f fl'fl+5.4*(*-l)\
*Λ(*χ)-α-^Λ(\»ρ-*=£3:}
■»A(..v+liJ.)-o+^A(f:i;|:5^}

Упражнения
175
г(а + |)Г(-Ы-1) Vl/2 1
„(2а,-2Ь + 1. 1 Г^-. 1Л. „ Г 2а,-2Ы-1. 1 Г"х-, 1Л
2*Ч α-b + l ,2VTTI + 2>' + 2F4 а-Ы-1 '~2УТП + 2>
2. Выведите следующие однопараметрические семейства преобразований Кумме-
ра [242]:
3) I 2 i 2*Ч (2α + 5)/6 'Ч + УГ^ J-(1+JC) ^l (2(α + 1))/3 ' θΤ^>
βϊ Π+ /ΤΙ"2" гГа.С4а + 1)/6. 4у^ \_( χγ° (α/2,(α + 1)/2. (_х_ЛаУ
6H1 + V*) 2^4 (4α + 1)/3 '(l + V*)2^ 2-1 zFli (2α + 5)/6 Лг^) )'
./-lWTEir2a ρ Г2а'а+4\УГ^-Л_п ■ „w Γ/-α/2,(α + 1)/2, 4χ Λ
ΒΗ 2 J 2^ α+3 '7^f7lJ-(1+X) 2^ α + 3/4 '(ΪΤΙ)5>
3. Покажите, что
Λα/2,(2-α)/6. , Λ ^/2 Λα/2,(α + 1)/6 Λ_η_/2 Γ((2α + 2)/3)Γ(1/2) ,
3j2i4 (2α + 5)/6 ' l'°J-z *eA 2(α + 1)/3 ' " Γ((α + 1)/2)Γ((α + 4)/6)'
rf2a,a+l Л_Л r(a+|)rq/4)
6bFl^ a+| 'V2 + lJ-(4 2V2) Γ((2α + 3)/4)Γ((2α + 1)/4)·
4. Получите тождество Куммера, приведенное в следствии 3.1.2, из интеграла Эйлера
Для 2F1.
5. а) Докажите, что соотношение (3.1.2) эквивалентно равенству
( -2п,2Ъ Л ( -п,Ъ Л
Здесь η — натуральное число.
б) Умножьте полученное соотношение на хс_1 (1 — jc)d-c-1 и проинтегрируйте по
интервалу (0,1), и получите
3^2
в) Получите тождество
3^2
[ ~2п'2Ь'г ;iWf Л"'''*" ;il
\-n + b+l,d J 3v-n + b+i,d/2,(d + l)/2' J
(ество
ya + b+\,d' J 4 3^a + b+|,d/2,(d + l)/2' J'
где к — натуральное число.
г) Положив d = Κε и fc—к», докажите, что п. а) выполняется без ограничений
на п.
6. Покажите, что для 0 < χ < - выполняется равенство
Va + b+l >/ r(a-b+|)r(b-a + i) Va + b+l J
Ч i—ь·
ν 2; V. 2)-x\—\\-xY2-a-bx2FA \ z ;4х(1-х)
Г(2а) Г(2Ь)
7. Докажите формулы (3.2.3) и (3.2.14) для эллиптических интегралов Ε и К.
8. Докажите результат Эллиота, содержащийся в теореме 3.2.8.
9. Докажите лемму 3.2.9.

176 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
10. Пусть 02(ς):=Σ<ϊ(π+5) , β3(ί):=Σίη . ^(tf-ZC-W Для |q|<l.
а) Докажите, что (02(q) + 02(q))/2 = 02(q2) и ^e32(q)042(q) = e42(q2).
б) Докажите, что арифметико-геометрическое среднее функций 03(q) и #4 fa) равно
l(T.e.M(02(q),02(q)) = l).
в) Докажите, что 02(q) - 02(q2) = 022(q2).
г) Получите, используя пп. в) и а), что 02(q2)- 02(q2) = 02(q) и 034(q) = 0*(q) + 024(q).
д) Пусть fc := fc(q) := 022(q)/02(q) для 0 < q < 1. Докажите, что 0 < k < 1 и M(1, fc') =
= 03~2(q), где k'2 = 1 — fc2. Докажите также, что
K(fc) = §02(q).
11. а) Используя упражнение 30 гл. 2, покажите, что
ν^03(β-π*) = 03(β-π/*) и ν^02(β"πχ) = 04(β"π/χ).
б) Для fc(q) из упражнения 10 гл. 2 покажите, что fc(e_7tJC) = £'(β~π/χ).
в) Докажите, что -щ^ = х или — = *.
г) Покажите, что единственным решением уравнения 0|(q)/0|(q) = k для 0 < fc < 1
является q = e~nK',K.
12. Докажите формулу (3.2.9), а именно /(a,b)=/((a + b)/2, \/ab).
13. Пусть а<Ь<с. Докажите, что
S
dx
; v4*-a)(x-b)(x-c) MCV^Vc^)'
dx in
S
J V(*-a)(x-b)(x-c) M(i/c=5, i/F=a)"
14. Умножьте формулу преобразования Эйлера
2F1(a'cb;X) = (l-XY-°->2F1(c-a'cC-b;x)
на jc^Hl—^)e-d~1, проинтегрируйте от 0 до 1 и получите следствие 3.3.5.
15. Докажите, что
Г -п,-а,-Ъ \= (b + c-l)n(a + c)nr an ]
3 2\с,2-п-а-Ъ-с' ' (a + b + c-l)n(c)nL (b + c-l)(a + c + n-l)-T
16. Докажите тождество Ватсона в теореме 3.5.5 (1), умножив уравнение (3.1.2),
(-2п,2Ъ Л ( -п,Ъ Л
на хс~1(1 — х)с~1 и проинтегрировав от 0 до 1. (Обратите внимание на то, что п
в вышеуказанной формуле есть неотрицательное целое число. В противном случае
формула не выполняется на интервале (0,1).)
17. а) Покажите, что
р( a,b,c,d,-n , (l + a)n(l + a-b-c)n(|-b + l)n(|-c + l)n
5 Ai + a-b.l + a-cl + a-d.l + a + n' J (1 + в_Мя(1 + в_с)я(«+1Щ_ь_с + 1)п*
если 3a + 2 = 2(b + c + d-n).
2*1

Упражнения
177
Л
б) Докажите, что
а,Ъ,с
( а,Ъ,с-п , (q + l)n(q + l-2b)2n(|)n
Vl + a-b,l + a-c,l + a + n' J (a + 1__b)n(a + 1)2n(l-b)
Г(а-2Ь + 2п + 1)г(п + |)г(а-Ь+1)Г(а + п + 1)г(|-ь)
Γ(a-2b^-l)г(i)г(a-b^-π^-l)Γ(a^-2π^-l)г(i-b^-π),
если l + 2a = 2b + 2c-2n.
в) Покажите, что
( -fc,a,b,c Л
4 ^i-a-M-b-M-c-fc'V
(2a)fc(2b)fc(a + b)fc
(a)fc(b)fc(2a + 2b)fc'
если l-2c = 2a + 2b + 2fc.
г) Получите тождество Клаузена
2*1
а + Ъ +
1'>х
Ъг2
ί 2a,2b,a + b A
^a + b+|,2a + 2b'*J'
Указание. Приравняйте коэффициент при хп в обеих частях равенства.) Обратите
внимание на то, что другое доказательство этого тождества было дано в упражнении
13 гл. 2.
18. Докажите, что
(q-d-e + l)n / a-b-c + l,d,e,-n .·Λ =
} (a-d + l)n(a-e + l)n4 3Va-b + l,a-c + l,d + e-a-n' J
a — d — e + l,b,c,— π
_ Ca~P-c + lJn r a-d-e + l,b,c,-n Λ
(a-b+l)n(a-c + l)n4 3Va-d + l,a-e + l,b + c-a-n' J
fa F( a,a/2 + l,b,c . -Λ Г(а-Ь + 1)Г(а-с + 1)
J 4 3Va/2,a-b+l,a-c + l' J Г(а + 1)Г(а-Ь-с + 1)*
19. а) Используя метод из доказательства леммы 3.4.2, докажите тождество
а,Ъ,с,-п # -Λ (d-a)n
f а,Ъ,с,-п у
«^Va-b + l.a-c + l.d'V"
W)n
l + l;1>
pf a-d + l,a/2,(a + l)/2,a-b-c + l,-n
5 4Va_b + la_c + lj(a_d_n + 1)/2,(a-d-n)/2-
Оно позволяет преобразовать почти уравновешенный ряд 4*з в уравновешенный
РЯД 5*4·
Покажите, что
-. _, fa,a/2 + l,-n И_ (d-a-n-l)(d-a)n-i
βΛι a/2,d ;1J- й; ;
( a,b,-n ^ (a-2b)n(a/2 + l-b)n(-b)n
j3 2\a-b + l,2b-n + V J (a-b + l)n(a/2-b)n(-2b)n'
. f a,a/2 + l,b,-n \= (a-2b)n(-b)n .
J4 Ha/^a-b + l^b-n + l' V (a-b + l)n(-2b)n'
(a-2b-l)n((a + l)/2-b)n(-b-l)n
ч Ff a,a/2 + l,b,-n л_ Ca-2b-]
M 4 3Va/2,a-b + l,2b + 2-n' У (a-b+l)n(a/2-b-(l/2))n(-2b-l)n'
e) (Уиппл)
( -п,Ъ,с,е \
***\1-п-Ъ91-п-с,а9Ч
И-е)„.
( e,l-n-b-c,-n/2,(l-n)/2,l-n-d Λ
5 ^-n-kl-n-c^l + e-d-rOACe-d-fO/^ + l' Г

178 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
За необходимыми ссылками на работы Уиппла читатель может обратиться к
книге [40, § 4.5, 4.7].
20. Докажите, что
[Л{ с .'JJ -2, (с)п(2с-1)пП. *[ в+1,ь+1.3_в_е Л)Х ■
Указание. Примените результат упражнения 19 е) к функции 4^з, возникающей после
возведения в квадрат 2Fi- Затем примените теорему 3.3.3.
21. Получите преобразование из упражнения 19 а) умножением квадратичного
преобразования Уиппла для 3F2, представленного формулой (3.1.15), на xd+n~l и
приравниванием коэффициентов при хп.
22. Получите формулу
f a,a/2 + l,b,c,-n \_ (d-a-n-l)(d-a)n.i
5 4Va/2,a-b + l,a-c + l,d' J (d)n
„ ( a/2 + l,(a + l)/2,a-b-c + l,a-d + l,-n # .Λ
*5 44a-d-n + 3)/2,(a-d-n + 2)/2,a-b+l,a-c + i; J
используя формулу из упражнения 19 б) вместо теоремы Диксона из доказательства
леммы 3.4.2. Вышеуказанная формула преобразует почти уравновешенный ряд 5F4
в уравновешенный ряд 5F4. См. [40, § 4.5].
23. а) Переходя к пределу при а->0в следствии 3.5.2, вычислите сумму
Σ°° (b)n(On(d)n
_к (l-b)n(l-c)n(l-d)n*
б) Докажите более общее утверждение:
E(q + b)n(a + c)n(a + d)n
_β (a-b + l)n(a-c + l)n(a-d + l)n
_ r(a-b+l)r(a-c + l)r(Q-d + l)r(l-b-c-d)r(b)r(c)r(d)
r(a + b)r(a + c)r(a + d)r(l-b-c)r(l-b-d)r(l-c-d) '
24. а) Докажите, что формула Дуголла может быть записана в виде
_, ( k,k/2 + l,k + b-a,k + c-a,k + d-a,a + n,-n . ..λ _
7 6\.k/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,k-a-n + l,k + n + l' J
_ № + 1)п№)п(с)п(Дп
(a-fc)n(a-b + l)n(a-c + l)n(a-d + l)n'
если k = 2a — Ь — с — d + 1.
б) В доказательстве леммы 3.4.2, используя а) вместо тождества Пфаффа—Заалыпют-
ца, получите
Ρ Г a,a/2 + l,b,c,d,e,f,g,-n -l) =
9 8va/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l,a-/ + l,a-g + l,a + n + l, J
= (α + 1)π№-β + 1)π№-/ + 1)π№-^ + 1)π χ
(fc + l)n(a-e + l)n(a-/ + l)n(a-g+l)n
-( k,k/2 + l,k + b-a,k + c-a,k + d-a,e,f,g,-n \
9 8U/2,a-b^-l,a-c^-l,a-d^-lД-e^-lД-/^-lД-g^-lД^-π^-l, /'
если fc = 2a-b-c-d + l и b + c + d + e + / + g-n = 3a + 2.
в) Получите из б) теорему 3.4.5. См. [40, § 4.3].

Упражнения
179
25. а) Покажите, что
Г а,а/2 + 1,Ь,с \= Г(а-Ь-И)Г(а-с + 1)Г((а + 1)/2)Г((а + 1)/2-Ь-с)
4 31а/2,а-Ь + 1,а-с + 1' J Г(а + 1)Г(а-Ь-с + 1)Г((а + 1)/2-Ь)Г((а + 1)/2-с)'
б) Из этого тождества и упражнения 18 б) получите формулу для
7*6 |
(a q-H α - Ь Ь + 1 с_ d + 1 \
2, 2 , 4"»"1,2, 2 ,2, 2 #1 J
α a^J> , л а — Ъ + 1 "\_ а—с . 1 a^£+J. ' I"
4' 2 ' 2 »2' 2 ' 2 У
26. Покажите, что
'П3 . ЛП-ЗЛ3 ,0Г1-3-5Л3 , 2
23/2
б> 1 + К?)4 + "(ИГ + 25(Т#П)4 + ··· = ^{Г(3/4)Р ·
B)1-SG)VK^)5-13(^)4...= 7F^;
г) (Рсшануджан) l-(i)4(l^)3-... = {F^^L}2.
27. Покажите, что
в «»«.) .-(,+^+ΰ+^ώ^ϊ}'-...»^.
Упражнения 26 и 27 приведены в работах [182, с. 105 — 106] или [40, с. 96].
28. (Такебе Кенко) Докажите, что
,2 _, 02п+1ГпП2
?=1+Σ
2M+Lln\y
4 Z-J (2п + 2)! '
п=1
Ссылки см. в [324].
29. Вычислите суммы
. v( n + k \(2k\(-l)k
} £Лт + 2*Л k J к + 1
к>0
«шаг;;;-').
- /5с >V Дс ^v n + r
'2к^
fc>0
2n + l VP + fc
ΛΣ(2ρ2+"Λ)(Ρί*).
'P + Jc
I L· A L·-,· A
fc>0
2n
*£сгт.+-7х:«).
"'.tmrir').
fc=0

180 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
J &>п + кУ 2к А к )к + р'
*Σ(-υ'(ί)(2"Γ)(?)-.
30. Докажите, что
Г a,l + a/2,d/2,(d + l)/2,a-d,l + 2a-d + m,-m \_ (l + a)m(l + 2a-2d)m
7 6va/2,l^-a-d/2,a^-(l-d)/2,l^-d,d-a-m,l^-a^-m, J (l + a-d)m(l + 2a-d)n
См. [40, с. 98]
31. Докажите, что
a)2F,
,ч/л λ ί α,Ι) λ „ ί <*,b-l "\ ^ f 2a,2b-l,a + b-l A
бНОрр)2^^ + ь4;х]Л^ + ь4;^ = з^^а + 2Ь_2а + ь4;,|
См. [40, с. 86]
32. Докажите теорему 3.6.1.
33. Докажите, что
Г(х + т)Г(у + т)
Г(х + т)Г(у + т) _ fx,y,v + m-l -\ г ,
w ЧТ,,—— гз*21 ; 1 = [сумма π членов]
Г(т)Г(х + у + т)3 2v у,х + у + т ' J L J J
= -Ζ7-Τ7Γ,— 7з*21 ; 11 [сумма т членов].
Г(п)Г(х + у + пу 2v y,x + y + n ' J L J
34. Докажите формулу (3.8.2).
35. Докажите, что многочлены Вильсона, заданные определением 3.8.1, симметричны
по а, Ь, с и d.
36. Покажите, что
F( a,(a + 2)/2,b,c,d,e,-n λ_
7 ^α/^α + Ι-^α + Ι-ο,α + Ι-^,α + Ι-β,α + Ι + η' J
_ (a + l)n(a-b-c)n(a-b-d)n(a-c-d)n г n(n + 2fl-b-c-d)(a-b-c-d)-|
(a + l-b)n(a + l-c)n(a + l-d)n(a-b-c-d)nL (a_b-c)(a-b-d)(a-c-d) J'
если e = 2a + n —b —с—d. Ряд 7F6 4-уравновешен и очень хорошо уравновешен.
37. Докажите формулы (3.5.2), (3.5.3) и (3.5.4), касающиеся двойственных многочленов.
38. Докажите формулы кубических преобразований Бейли:
(a,2b-a-l,a + 2-2b Л / 3, —, — -27x \,
аЬ^ b>a+|_b ,4J-a *) 3^M_b+3 '4(l-x)3j'
/" . 1 .4 f α Д + 1 a + 2 . \
6bF^ 2b,2a + 2-2b '^J-i1 J 3^ b,a+ |-b ' (4-*)»J
Комментарии по кубическим преобразованиям и ссылки на работы Бейли см. в [25].
39. Покажите, что
„(α,α + 1/2 W 2 л*
(-α,α + 1/2 Λ _ 1 f 2 Λ*
40. Пусть
n-l
φ (дс; η) = [~](α; + xb;), φ (χ; 0) = 1.

Упражнения
181
Покажите, что
fc=0 Г
если
η
/(n) = J](-l)'i(J)v(fc;n)g(ic).
fc=0
См. [Ш].
4L С помощью подходящего выбора g(k) и φ (к; п) покажите, что формула
_. Г-п,п + а,1 + а-Ъ-с -λ_ (Ь)п(с)п
3 2V 1 + a-b.l + a-c 'J (l + a-b)n(l + a-c)n
дает сумму конечного очень хорошо уравновешенного ряда 5F4·

ГЛАВА 4
Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические
функции
В этой главе мы обсудим вырожденное гипергеометрическое уравнение и
связанные с ним уравнения Бесселя и Уиттекера1. Уравнение Бесселя важно
для математической физики, поскольку возникает из уравнения Лапласа при
наличии цилиндрической симметрии. Вырожденное гипергеометрическое
уравнение получается из дифференциального уравнения второго порядка, которое
имеет только регулярные особенности в точках О, Ъ и оо и больше никаких
особенностей; мы положим Ь-> оо. Для полученного уравнения точка оо будет
нерегулярной особой точкой, получающейся при слиянии двух регулярных
особых точек. Таким образом, вырожденное уравнение можно получить из
гипергеометрического уравнения с помощью замены независимой
переменной χ на х/Ъ, перейдя к пределу при Ъ -* оо. Решениями являются функции ^ь
и некоторые свойства этих функций можно получить с помощью предельного
перехода из свойств функций 2F\. Однако часто бывает легче вывести результаты
непосредственно, чем обосновывать взятие пределов.
Уиттекер преобразовал вырожденное уравнение в уравнение с нулевым
коэффициентом перед производной первого порядка. Решения такого
уравнения называются функциями Уиттекера. Мы получим их представления в виде
интеграла и ряда, их асимптотическое поведение, а затем продемонстрируем
некоторые важные примеры, такие как функция ошибок и функция
параболического цилиндра.
Уравнение Бесселя быть получено из частного случая уравнения Уиттекера.
Решая его, мы получаем функции Бесселя, которым мы посвящаем большую
часть этой главы. Эти функции важны, например, из-за своей роли в
преобразованиях Фурье функций многих переменных. Мы дадим некоторые
интегральные представления функций Бесселя, которые были получены Пуассоном,
Гегенбауэром и другими. Далее мы обсудим некоторые интересные конечные
и бесконечные интегралы с функциями Бесселя, входящими в подынтегральное
выражение. Некоторые из них являются пределами производящих функций для
многочленов Якоби.
Функции синус и косинус являются частными случаями функций Бесселя.
Таким образом, полезно поискать обобщения формул для этих
тригонометрических функций на функции Бесселя. Николсон нашел замечательное обобщение
соотношения sin2 χ + cos2 x = 1 на функции Бесселя; он выразил это соотношение
в виде интегральной формулы. Мы приведем формулу Николсона и покажем,
как Лорх и Сегё воспользовались ей, чтобы получить результаты о нулях
функций Бесселя.
ι Напомним, что теория бесселевых функций подробно излагается в трактате [414]. По
вырожденным гипергеометрическим функциям есть хорошая книга [346].

184 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
В конце этой главы мы обсудим работу Заффа и Варга об областях,
свободных от нулей многочленов заданных последовательностей, как-то: частных
сумм экспоненты и, как более общий случай, частичных сумм функций iFx.
§ 4.1. ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Легко видеть, что гипергеометрический ряд
является формальным решением дифференциального уравнения
{5(5 + b1-l)...{5 + bq-l)-x(5 + a1)...{5 + ap)}y = 0, (4.1.2)
где
αχ
Когда ρ > 2 или q > 1, это уравнение имеет порядок тах(р, q +1) > 2, и
получающееся в результате уравнение не так удобно в применении, как
гипергеометрическое уравнение. Когда q = l и р = 0 или 1, уравнение является
уравнением второго порядка с регулярной особой точкой х = 0, но второй
особой точкой является точка х=<», и это иррегулярная особая точка. Хотя
иррегулярные особые точки вызывают серьезные трудности, можно сказать
кое-что о решениях в окрестности этих точек.
Рассмотрим случай p = q = l. Тогда гипергеометрическое уравнение имеет
вид
ИЛИ
ху" + {с-х)у'-ау = 0. (4.1.3)
Это уравнение может быть получено из гипергеометрического уравнения
x(l-x)/4{c-(a + b+l)x}/-aby = 0
с помощью следующей процедуры. Заменим χ на χ/b, тогда новое уравнение
имеет особенности в точках 0, Ъ и <». Теперь перейдем к пределу при b -* 00, тогда
в точке бесконечность происходит слияние двух особенностей. Получающееся
таким образом уравнение (4.1.3) называется вырожденным
гипергеометрическим уравнением.
Если с не целое число, гипергеометрическое уравнение имеет два
следующих линейно независимых решения в окрестности точки χ = 0:
Λ(^;χ) и ^л(а + 1-с:Ьс+1-С;х).
Заменив в этих выражениях χ на χ/b и переходя к пределу при b -* 00, получим
Aft*) и x^a + l-c.^ · (414)
Это два линейно независимых решения уравнения (4.1.3), которые явно
разлагаются в ряды в окрестности точки χ = 0. Они определены на всей комплексной

§ 4.1 Вырожденное гипергеометрическое уравнение
185
плоскости, поскольку функция iFj целая. Для того чтобы исследовать поведение
решений в окрестности бесконечности, необходимо действовать аккуратнее.
Решение гипергеометрического уравнения в окрестности бесконечности имеет
вид
^ (α,α + 1-c η
2 Ч α + 1-b ' х)
Если заменить χ на х/Ъ и перейти к пределу при Ъ -* <», это выражение почленно
перейдет в выражение
Х-А(«.««-<;-1).
Этот ряд расходится, так что непосредственно он не дает решения уравнения
(4.1.3). Однако возможно найти интегральное представление решения
уравнения (4.1.3), которое имеет этот ряд в качестве асимптотического разложения.
Чтобы найти это интегральное представление, возьмем гипергеометрический
интеграл Эйлера
2 Ч α + 1-b ' х)
_ -аПа-Ц-ЬХ-Ы1 ~£' ^^c-α-l ,г , v-b
iiFsC^r <°--(W) *■ с«и
Г(а)Г(1 _, 0
В этом интеграле можно перейти к пределу при b -*—о°, хотя левая часть (4.1.5)
при таком предельном переходе уже не имеет смысла. Правая часть равенства
(4.1.5) стремится к интегралу
Ш \ е~^1 + хГ"1 dt = гЬ I e"ta_1(1 + t)C_a_1 dt· (4L6)
Этот интеграл сходится при Re а > О и Re x> 0. Легко проверить, что выражение
(4.1.6) является решением вырожденного уравнения (4.1.3).
Замечание 4.1.1. Существует другой способ получить решение дифференциального
уравнения (4.1.6). Положим
yQt) = $e-*/(t)dt.
о
Тогда
00
ху" + (с - х)у' - ay = $ {xt2 -(c-x)t- α)β"Λ/(0 dt =
о
=$[(-^е"м>2-(1е_л>-(а+сг)е"х']^0<1г=
00
= $ e-^tttVCOr + [tf (ОГ - (а + ct)/(t)} dt = 0.
о
Последнее условие выполняется, когда
/40 = a-l-Kc-2)t = a-l c-a-1
/(t) t(t+l) t t+1
или
/(t) = ta-1(a + t)c"a-1,
и мы снова получаем интеграл (4.1.6).

186 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Предположим, что в выражении (4.16) х> 1. По теореме Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа
(i+i)fr4-i=i+g(-i)tfa,.:i-c)>4+
χ) Δ-λ k\
+ (-1)п(а + 1-с)п гп(Л , Qty-a-n-\
У1 + -) , (4.17)
n\ χη\ χ J
где 0 < θ < 1. Поэтому
0 fc=0
где
Интеграл сходится, и
ДпМ = 0(рг) при χ-^оо.
Таким образом, мы видим, что с точностью до постоянного множителя
выражение
дает асимптотическое разложение решения вырожденного
гипергеометрического уравнения при больших х> 1. На самом деле нет необходимости
ограничивать себя положительными значениями х, если вместо формулы (4.1.7)
использовать равенство
k=0 О
Это соотношение выполняется, если 1 + - не является действительным
отрицательным числом. Для того чтобы устранить ограничение Re a > 0, которое
необходимо для сходимости интеграла (4.1.6), рассмотрим интеграл
(0+)
$ e-xtta-l{\ + ty-a-ldt, (4.1.9)
или
(°+> - - чс-в-1
х"0 5 e-V^l + j)' α dt. (4.1.10)
00
Эти интегралы также являются решениями вырожденного уравнения, но без
ограничений на χ и а, необходимых в условии (4.1.6). Из соотношений (4.1.10)
и (4.1.8) можно снова получить асимптотическое разложение 2^о при больших
|х|, когда |argx|<7r —δ<π.
Соотношения между решениями гипергеометрического уравнения влекут
соответствующие соотношения между решениями вырожденного уравнения.

§ 4.2. Интеграл Барнса для jfi
187
Это утверждение может быть строго доказано. Аналогично преобразования
гипергеометрических функций приводят к преобразованиям функции гРг. Дадим
несколько примеров.
В преобразовании Пфаффа (2.2.6)
Л(^*И1-*г>Л(мГа;А)·
заменим χ на χ/b и, переходя к пределу при Ъ -* <», получим первое
преобразование Куммера
1F1(ac;x) = ex1F1(c-a;-x). (4.1.11)
Аналогичная процедура, примененная к квадратичному преобразованию (3.1.11)
приводит ко второму преобразованию Куммера
Л(2аа;4х) = е%^(а+-/2;х2). (4.1.12)
Наконец, трехчленное соотношение
, .-β (α,α + 1-c. 1\_ Г(1-с)Г(а + 1-Ь) „(а,Ь.\.
1.-х) 2Fi{ a + 1_b >х)-Г{а + 1-с)Га-Ъ)2рЛ с 'Х) +
, Г(с-1)Г(а+1-Ь), .1-е „Га + 1-е,Ы-1-е Л
+ Г(а)Г(с-Ь) (~*} Л1 2-е '*J
приводит к соотношению
Г(1-с) гГа.гЛ , Пс-1) 1-е rfa + 1-c \
r(a+l-c)lFAc>X)+ Г(а) Х Л1 2-е '*J
■*-Vo(a'a + 1_C;4). (4.1.13)
Формулы (4.1.11) и (4.1.12) могут быть доказаны непосредственно. Таким
образом, коэффициент при хп в правой части равенства (4.1.11) равен
η
SCc-aM-lr 1 p(-n,c-a -Л JaJ^
(c)jtfc!(n-fc)! n!2f4 с ' V п!(с)п
/e=0
и равен, таким образом, коэффициенту при хп в левой части соотношения.
Существует похожее доказательство преобразования (4.1.12). Мы приведем
доказательство соотношения (4.1.13) в следующем параграфе, где рассмотрим
эту тему с другой точки зрения.
§ 4-2. ИНТЕГРАЛ БАРНСА ДЛЯ ^
Представление функции ^(α,-ο;*) в виде контурного интеграла может быть
получено с помощью вычисления ее преобразования Меллина. Эта процедура
аналогична нахождению такого представления для гипергеометрической
функции. Положим
/ = ξχ-νι(;;-*)<ι*.

188 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
С помощью первого преобразования Куммера (4.1.11) получим
j = Г s-ie-x Ffc-a \ d = г у (£z£ke-^s+n-i άχ =
-r(s)2F^ c ,*)-г(а) r(c_s) ·
Из обратного преобразования Меллина мы должны иметь
гг^с-Га. i^-Пс) 'Г Г(а-д)Г(5).,_5 j. , .
—ioo
ИЛИ
too
—ioo
Конечно, поскольку мы знаем интеграл Барнса для 2F\> этот интеграл может
быть выписан по аналогии. В уравнении (4.2.2) мы имеем —х > О, но эта область
может быть расширена. Следующая теорема, полученная Барнсом, дает это
расширение.
Теорема 4.2.1. Для |arg(—х)| < π/2 и а, неравного отрицательному целому
числу, или нулю, выполняется соотношение
Г(а)А(а;с;*) = Ш J £g±i2r(-s)(-*rds,
—ioo
где контур интегрирования, если необходимо, искривлен, для того чтобы
отрицательные полюсы были отделены от положительных.
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.4.1.
Читателю предлагается самостоятельно разобраться в деталях.
Снова, как в гл. 2, это представление ^ может быть использовано для
получения асимптотического разложения с помощью сдвига контура
интегрирования влево. Вычеты получаются в полюсах функции Г (a + s), которые имеют
вид s = —a — n. Результат процедуры содержится в следующей теореме.
Теорема 4.2.2. Для Rex<0 выполняется соотношение
Λ<<-^~^<-^Α(α·α-'"';-;)·
Следствие 4.2.3. Для Rex>0 выполняется соотношение
пГл(/,,ч Г(с)е* „ fc-α,Ι-α. 1Λ
Доказательство. Это следует из теоремы 4.2.2 при применении формулы
(4.1.11) D
Заметим, что 2Fo в теореме 4.2.2 обозначает интеграл
ι ίο°
J = Ui $ r(-s)r(l-c--s)r(a + s)xsds. (4.2.3)
—ioo
Как и для предыдущей теоремы, контур интегрирования выбран надлежащим
образом. С помощью сдвига контура интегрирования влево и выбора вычетов

§ 4.2. Интеграл Барнса для ^
189
в точках s = —к — а, где к > О целое число, мы получим
(а)п(1 + а-с)п/
к=0
7 = Г(а)Г(1 + а-с)^Х;Ш1±^^(-1)П
—a—n+i оо
+ 2πϊ § r(-s)r(l-c-s)r(a + s)xsds. (4.2.4)
—a—n—ioo
Для того чтобы убедиться в правильности этой формулы, мы должны оценить
подынтегральное выражение при s = σ + ιΓ, где Τ велико и —a — η < σ < 0. По
формуле Стерлинга (см. следствие 1.4.4) имеем
|Г(-5) Г(1-С-5) T(a + S)xs| ~ (2я)3/2Т^(а-с-1/2)е-Г(аг8х+Зя/2)е-§|Im(a+c)|| Г 1<Т
Выражение в правой части равенства экспоненциально убывает, если |argx| <
<3π/2 — δ<3π/2. Мы предполагаем, что это условие выполняется, и тогда
уравнение (4.2.4) верно. Последний интеграл в формуле (4.2.4) равен
_ ί°°
*££■ ξ r(a + n-s)r(H-a-c + n-s)r(s-n)x5ds = 0(jc-a-'1),
—ioo
если значение \х\ велико. Тогда
J-r(a)r(l + a-c)x-4,2F0(a,1t.a"C;~) W·2·5)
и асимптотическое разложение верно при |argx| <3π/2.
Однако, смещая контур интегрирования вправо, можно показать, что
J = r(a)r(l~c)1F1(^x) + r(a + l~c)r(c~l)x1-V1(a^;c;x), (4.2.6)
где |argjc| < 3π/2 — δ < 3π/2. Это доказывает следующую теорему:
Теорема 4.2.4. Для |argx| <3π/2 выполняются соотношения (4.2.5) и
(4.2.6) и
r(a)r(l-c)1F1(J;x) + r(a + l-c)r(c-l)x1^1F1(a^7^x)-
-rc^rca + i-dx^^^1"0;1?)·
Отметим, что это соотношение совпадает с формулой (4.1.13).
Данная теорема дает линейную комбинацию двух независимых выражений
для xFl9 дающую рецессивное решение1 вырожденного уравнения. Это
представляет особый интерес для приближенных вычислений. Для того чтобы пояснить
это утверждение, рассмотрим простое уравнение у" —у = 0, парами линейно
независимых решений которого являются {shx,chx} наряду с {е*,е~*}. Это
уравнение имеет существенную особенность в точке оо, и е~х является
рецессивным решением в окрестности этой точки для Re χ > 0. Любое другое решение,
отличное от е~х, является доминантным решением. Таким образом, комбинация
Аех + Ве~х может быть вычислена с высокой точностью при заданных ех и е~*.
Однако комбинация A ch χ—В sh χ приводит к трудностям, особенно когда А « В
и χ имеет большую положительную действительную часть2.
ι Это решение имеет полиномиальную асимптотику, а все остальные решения —
экспоненциальную.
2 То есть в этом случае надо знать chx и shx с очень малой относительной погрешностью.

190 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
§ 4-3- ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА
Уиттекер [422] представил вырожденное уравнение в другой важной форме.
Она получается из уравнения Куммера (4.1.3) с помощью преобразования,
которое исключает из уравнения производную первого порядка. Положим
у = ех/2х~с/2а>00 в уравнении (4.1.3). Тогда уравнение, которому удовлетворяет
функция ω, имеет вид
"·+Η+(§-)Μ(ι-§)&*-*
Два независимых решения этого уравнения будут иметь более симметричный
вид, если мы положим
c = l + 2rn, | —a = ic,
или
В результате получим уравнение Уиттекера
1 _т2
W" + {— + £ + ±-^-}w = 0. (4.3.1)
Из решений (4.1.4) уравнения (4.1.3) видно, что когда 2тп не является целым
числом, два независимых решения (4.3.1) имеют вид
Mk>m(χ) = e-^x^F, ( ^"S *) (4.3.2)
И
Mfc,_m(x) = е^хНл(^;х) · (4.3.3)
Решения Mkj±m(x) называются функциями Уиттекера1. Из-за множителей Х2±тп
эти функции не являются однозначными на комплексной плоскости. Обычно
на χ накладываются ограничения |argx| < π.
Формулы для xFi очевидным образом переводятся в формулы для функций
Уиттекера. Например, первая формула Куммера принимает вид
x-l2-mMktTnW = (-χΓ^Μ,^-χ). (4.3.4)
Недостатком функций Mkj±m(x) является то, что одна из них не определена,
когда 2тп равно целому числу. Более того, из этих функций непросто получить
асимптотическое поведение решения уравнения Уиттекера. Поэтому мы
воспользуемся интегралом (4.1.10) и выведем другую функцию Уиттекера, Wkjn(x).
Она определяется равенством
Щ,тМ := -2^ф + § - т)е-х'2хк $Vt)-H+™(i + £)H+V dt, (4.3.5)
00
где arg χ принимает главное значение и контур не включает в себя точку t = —дс.
Более того, |arg(—1)| < π, и, когда t стремится к 0 вдоль контура, arg(l + t/x) -*0.
ι Сами функции ^ называются также функциями Куммера.

§ 4A. Примеры функций xFi и функций Уиттекера
191
Таким образом, подынтегральное выражение становится однозначным. Легко
проверить, что Wkm также является решением уравнения (4.3.1). Отметим,
что уравнение Уиттекера не меняется, когда χ и к меняют знак. Поэтому
функция W_km(—x) тоже является решением, и притом независимым от WkjmQc).
Это становится очевидным, если рассмотреть асимптотическое разложение
функции Wkm(x). Читатель должен проверить, что из замечаний после формулы
(4.1.10) следует, что
wfc,m(x)~e-/V2F0(^"fc+m:2"fc"m;4)' М-». W·3·6)
где |argx\ < π — δ < π. Следовательно,
W±Kmi±x) = e**/a(±x)±fc{l + og)}.
Отсюда видно, что W^ mQc) и W_km(—x) линейно независимы.
§ 4·4· примеры функций xFi и функций уиттекера
Этот параграф содержит несколько важных примеров функций гРг и функций
Уиттекера, которые возникают в математике, статистике и физике достаточно
часто, чтобы им можно было дать названия.
1. Простейший пример имеет вид
β* = Λ(α;α;χ). (4.4.1)
2. Интеграл вероятности (error function)
χ
erf χ := -= \ e~t2 dt =: 1 — erfс χ (χ — вещественное число), (4.4.2)
f* о
где
00
erfcx = -= \ е~*2 dt.
Разлагая e"t2 в ряд, получаем erf х= — 1F1(l/2; 3/2; —χ2).
Для того чтобы выразить интеграл вероятности через WktTn(x), нужно1
переписать соотношение (4.3.5) как интеграл по полуоси (0, оо). Предположим,
что Re(ic — χ — τη\<0; тогда соотношение (4.3.5) можно переписать в виде
4tm W = е~х/2хк φ + J - m) 4г S е"Г
Wfc^nW = e"x/V ΠJfc + ± _m) ^^ '- \ е-<Ск-2+та + t/xf~+m dt =
о
= ,Γ*/2*' λ 1 е-*Гк-2+т(1 + t/x)k-2+m dt. (4.4.3)
r(J-fc + m) о
Интеграл сходится при Re(ic — -ζ — τη) < 0 и Re χ > 0. Отметим связь
соотношения (4.4.3) с интегралом в формуле (4.1.6). Положим t = u2 — s2, где и—новая
ι Это, впрочем, можно фазу получить исходя из предыдущей строчки.

192 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
переменная. Тогда
г(±-к + т) i \ x J
Положив k = —1/4, m = l/4 и x = s2, получим
W-i/4,i/4(*2) = 2es2/2^Se-u2du.
S
Таким образом,
erf χ = 1 —±=e-x2/2x-1/2W_1/41/4(x2). (4.4.4)
Из этой формулы и соотношения (4.3.6) можно получить асимптотическое
разложение функции erf χ.
3. Неполная гамма-функция определена с помощью равенства
X оо
γ(α, χ) = ξ е~Ча-1 dt = Γ(α) - $ e^t0-1 dt = Γ(α) - Γ(α, χ). (4.4.5)
ο χ
После разложения e-t в ряд по t и почленного интегрирования очевидно, что
γ(α; χ) = £ ^(α; α +1; χ). (4.4.6)
Читатель может также проверить, что
Γ(α,χ) = e~x,2x'*LW*i 2(χ). (4.4.7)
2 »2
4. Интегральный логарифм определен равенством
Проверьте, что
li(x) = -(-lnx)-1/2x1/2W-1/2f0(-Inx).
Если х —комплексное число, возьмем |arg(—1пх)| < π.
Дополнительные примеры функций Уиттекера, например интегральные
синус и косинус и интегралы Френеля, представлены в упражнении 4.
5. Функции параболического цилиндра также являются частными случаями
функций Уиттекера. Для того чтобы увидеть, откуда они возникают, рассмотрим
уравнение Лапласа
ί« + Λ + Λ=α (448)
дх2 ду2 dz2
Координаты параболического цилиндра ξ, η, ζ определяются с помощью
равенств1
χ=|(ξ2-7]2), γ = ξη, z = z. (4.4.9)
ι Координатными поверхностями являются горизонтальные плоскости и два семейства
параболических цилиндров, имеющих Oz в качестве общей фокальной оси.

§ 4.4. Примеры функций tFi и функций Уиттекера
193
Произведем замену переменных (4.4.9) в уравнении Лапласа. Проведя
некоторые вычисления, в результате получим
ξ2 + η2^θξ2^ θη2)^ dz2
Это уравнение имеет частные решения вида υ(ξ)ν(η) W(z), которые могут быть
получены с помощью разделения переменных. Например, уравнение, которому
удовлетворяет £/, имеет вид
0 + (σξ2 + λ)[/ = Ο,
где σ и λ — константы. После простой замены переменных уравнение можно
переписать в виде
g + (n + |-|*2)y = 0. (4.4.10)
Уравнение (4.4.10) называется уравнением Вебера. Можно проверить, что
Оп(х) = 25+4х-2 1Ул + 1_1(х2/2) (|aigx|<3ir/4) (4.4.11)
2 4' 4
является решением уравнения (4.4.10). Постоянный множитель выбран так,
чтобы сделать коэффициент при первом члене в асимптотическом разложении
функции Dn(x) равным единице; Dn(x) называется функцией параболического
цилиндра1. Когда η принимает натуральное значение, Dn(x) имеет вид произ-
ведения е 4Л на многочлен, который с точностью до постоянного множителя
равен Нп(х/\/2), где Нп(х) многочлен Эрмита степени п. Эти многочлены
изучаются в гл. 6.
6. При изучении рассеяния заряженных частиц в сферически симметричных
потенциалах мы можем рассмотреть (см. [333, гл. V]) решение уравнения
Шрёдингера
-%-V2u + Vu = Eu
2μ
вида
00
"(γ,Θ) = Σ^Ρ^Ο8 0),
где Pi — многочлен Лежандра степени Z, a yi удовлетворяет уравнению
Л Л
С помощью замены переменных мы можем сделать так, чтобы ic равнялось 1.
Кулоновский потенциал задается равенством 1Г(г) = 2т]/г. В итоге уравнение
относительно у примет вид
ι Другой термин — функции Вебера—Эрмита.

194 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Сравнение этого уравнения с уравнением Уиттекера (4.3.1) показывает, что
>i = rz+1e-ir1FiO + l-i4;2Z + 2;2ir).
Функция
Φζ(τ?,Γ):=β"ινιΟ + 1-ί4;2Ζ + 2;2ίΓ)
называется кулоновской волновой функцией.
§ 4-5- УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Функции Бесселя важны в математической физике, поскольку они являются
решениями уравнения Бесселя, которое получается из уравнения Лапласа в
случае, когда есть цилиндрическая симметрия. Оставшаяся часть главы посвящена
изложению некоторых элементарных свойств функций Бесселя.
Положив в уравнении Уиттекера ic = 0 и т = а, мы получаем уравнение
d2W + г 1, l/4-α2
άξ
2
[-1+^]"=°·
Если положить у(х) = y/xW(2ix), то функция у должна удовлетворять
уравнению
g + j& + CI-«V*"*-0. (4.5.1)
Это уравнение называется уравнением Бесселя порядка а. Легко проверить, что
функция
является решением уравнения (4.5.1). Функция Ja(x) называется функцией
Бесселя первого рода порядка а. Из соотношения (4.1.12) получается другое
представление функции Ja{x), а именно
Уравнение (4.5.1) не меняется при замене а на —а. Это означает, что J_a(x)
также является решением уравнения (4.5.1). Можно проверить непосредственно,
что, когда а —не целое число, Ja(x) и J_a(x) являются линейно независимыми
решениями. Если а —целое число, например а = п, тогда
J_n(x) = (-l)nJn(x). (4.5.4)
Следовательно, функции J_n(x) и Jn(x) линейно зависимы. Второе линейно
независимое решение может быть найдено следующим образом. Поскольку
(—l)n = cosn7r, мы видим, что Ja(x) cos πα — J_a(x) является решением
уравнения (4.5.1), которое обращается в нуль при целых а. По определению
JaMcosna-J_aM
а sin πα
Когда α = η —целое число, функция Ya(x) определена как предел. По правилу
Лопиталя
ВД = 1*тВД = \ {&-(-Dn£&}|a=n· (4.5.6)

§ 4.5. Уравнение Бесселя и функции Бесселя
195
Заметим, что
"" \2к+а
νπ (-1)*(х/2)2*+а
JaW Zjfc!r(k + a + l)
fc=o
Отсюда видно, что функция Ja(x) является целой функцией параметра а.
Л 7 Я 7
Следовательно, функции -г2· и -г112- в выражении (4.5.6) имеют смысл.
Более того, функции Ja являются аналитическими функциями переменной χ
на разрезанной плоскости. Таким образом, мы можем проверить, что ΥηΜ
является решением уравнения Бесселя (4.5.1), когда α = п —целое число. Итак,
мы видим, что функция (4.5.5) является решением уравнения (4.5.1) во всех
случаях. Функция Ya(x) называется функцией Бесселя второго рода.
Подстановка ряда для JaM в (4.5.6) после упрощения приводит к равенству
п-1
fc=0
fc=0
к
fc=0
Здесь п является неотрицательным целым числом, |argx| <пихр(х) = ΓΌΟ/ΓΟΟ.
Отметим, что уравнение Бесселя можно переписать в виде
Предположим, что а — не целое число. Из уравнения (4.5.8) легко вывести, что
или
xU-aWJ'aW -JaW-аШ = С = COIlSt.
Для того чтобы найти С, перейдем к пределу при х-*0 и воспользуемся
равенством (4.5.2) вместе с формулой отражения Эйлера. В результате получим
С = 2 sin απ/π.
Таким образом, вронскиан W(Ja(x), J__a(x)) =JaWJ-aW "«^-aM^W задается
формулой
W(Ja(x), J_a(x)) = —2 sin απ/πχ
для нецелых α, и
W(JaW,YaW) = 2/nx
не только для нецелых а, но и для а = η по непрерывности.
Многие дифференциальные уравнения могут быть сведены к уравнению
Бесселя (4.5.1). Например, функция
u = xaJa(bxc)
удовлетворяет уравнению
и" + <Ц?2> „' + [(Ьсх*-1)2 + ^f^]u = 0. (4.5.9)

196 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
При χ = 1/2, Ъ = 2/3, с = 3/2 и а2 = 1/а это уравнение сводится к уравнению
u" + xu = 0. (4.5.10)
Это уравнение Эйри, которое в качестве точки поворота1 имеет точку χ = 0, так
что решения осциллируют при х>0 и меняются монотонно при χ<0. По
существу решения уравнения Эйри могут быть использованы как приближенные
решения многих других более сложных дифференциальных уравнений, которые
обладают точкой поворота. Например, дифференциальное уравнение (6.2.12)
имеет в качестве точки поворота χ = V2n +1. Функции Эйри можно
использовать для того, чтобы равномерно аппроксимировать многочлены Эрмита
в двусторонней окрестности точки поворота (см. [121]).
§ 4-6. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Отметим две важные формулы для функций Бесселя:
d „α τ ,„л _ γ1 (-1)42η + 2α)χ2η+2α-1 = γι (-iyx2n+2a-i
Zj Γ(η + α + 1)η!22π+α Zj
η=0 η=0
±X*J (Χ) - V ("1)Π(2Π + 2а^х2П+2а'1 - V (-ir,*»+2g-1 - -.«, ω ИбП
άχΧ JaW - ^j Γ(η + α + 1)η, 22π+α - ^J Γ(η + α)η| 22π+α-1 - Χ Ja-l W W>.lj
и аналогично
g^JeCx) = -x^Ja+i (*)· (4.6.2)
Из выражений для косинуса и синуса в виде рядов следует, что
Jl/2M = )[^smx, (4.6.3)
J-i,2M = )[^cosx. (4.6.4)
Перепишем равенства (4.6.1) и (4.6.2) соответственно в виде
aJa{x) + xfa{x) = xJa-гМ
и
-aJa{x) + xJ^(x) = -xJa+1(x).
Исключение производной Ja приведет к уравнению
Ja_x(x) + Ja+1(x) = 25ja(x). (4.6.5)
Исключение Ja(x) даст равенство
Ja_x(x) -Ja+1(x) = 2JaQc). (4.6.6)
Из соотношений (4.6.1) и (4.6.2) следует, что
(χ έ)"(χβ,/β(χ)) = xa""Ja-« ^ (4.6.7)
и
(x"3xT(x"aj<'(jf)) = (-D^"a""^+n W. (4-6.8)
ι TUrning point, точка смены знака «потенциала» х.

§ 4.7. Интегральные представления функций Бесселя
197
Воспользовавшись этими равенствами, из соотношений (4.6.3) и (4.6.4)
получим
Две следующие формулы могут быть доказаны по индукции (детали остаются
читателю):
! (2x)2k +
[(η-1)/2] . ч
г /пл V (-lr(n + 2fc + l)! I ,.,--Λ
+ сс*(*-пя/2) ^ (2fc + 1)!(n-2fc-1)i(^+1}> С4АИ)
/ [π/2] λ
v /e=0
[n/2]
— (-l)*(n + 2fc)l
-2k)\{2x)2k
[(n-l)/2] . л
w , /ол V (-l)k(n + 2fc + l)! 1 ,.,-ΟΛ
-sinC* + n*/2) 2 (2^1)|(п-2^1)!(2х)^Г(4А12)
fc=o J
§ 4.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Положим у = хаи в уравнении Бесселя
/' + £/ +(1-«2/*2)У = 0.
Тогда функция и удовлетворяет уравнению
хи" + (2а + 1)и' + хи = 0. (4.7.1)
Поскольку уравнения с линейными коэффициентами имеют в качестве решений
интегралы Лапласа, мы будем искать решение в виде
u = A$e*7(t)dt,
с
где А — константа, а С — контур, который предстоит выбрать. Подставим это
выражение в уравнение (4.7.1). Тогда
0=5/(Ο(^2 + (2α + 1)ί + χ)β^^=5/(θ[α2 + 1)^ + (2α + 1)ψ^^ =
с с
= [e^Ct2 + l)/(t)]c + S ^{-^[(t2 + l)/(t)] + (2α + l)tf(t)} dt
С
после интегрирования по частям1. Это равенство удовлетворяется, если
[е*и2 + 1)/(0]с = 0 (4.7.2)
ι []с обозначает подстановку концов контура.

198 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
| [(t2 +1)/(f)] = (2а + l)/(t). (4.7.3)
Условие (4.7.3) выполняется, если /(t) = (t2 + 1)а-1/2. Условие (4.7.2)
выполняется, когда контур С—линия, соединяющая точки —i и i, и Re α>—1/2. Заменяя
t на it, получаем, что
ι
у = Аха $ eixt(l - t2)a"1/2 dt (4.7.4)
-ι
является решением уравнения Бесселя. Допустим, что arg(l —t2) =0. Для того
чтобы увидеть, что формула (4.7.4) дает интегральное представление функции
Ja(x) при Re a > —1/2, разложим экспоненту в подынтегральном выражении
в ряд и проинтегрируем. В результате после простых вычислений с
бета-интегралами получим
у (*) = АхТСа +1/2) У £&£l£±№
yW AX Ua+1/ZJZj (2fc)ir(a + fc+l) '
fc=o
Применение формулы удвоения Лежандра (теорема 1.5.1)
22к Г(1с +1) Г(1с +1/2) = VW(2fc)!
дает равенство
у (х) =A^r(a + l/2)2aJaW.
Следовательно,
J«w = vWnbrm(x/2r I e"a "f2)a_1/2 dt (47·5)
при Re a >—1/2. Положив t = cos Θ, получим интегральное представление
Пуассона
J«W= ^r(aVl/2)№)i^C°S0Sin2aede =
= ^г(д + 1/2) (x/2)a ξ cos(x cos θ) sin2a θ d0 (4.7.6)
при Re a >—1/2. Важным следствием формулы (4.7.5) является формула Геген-
бауэра, которая представляет функцию Бесселя в виде интеграла от
ультрасферического многочлена1. Она имеет вид
при Re v>—1/2. Когда v-»0, мы получаем интеграл Бесселя (4.9.11) для функции
ι Ультрасферические многочлены, они же многочлены Гегенбауэра, вводятся и подробно
обсуждаются ниже (гл. 6, 9).

§ 4.7. Интегральные представления фрисций Бесселя
199
-1
Рис. 4.1
Для того чтобы это доказать, возьмем в формуле (4.7.5) а = ν + η и,
проинтегрировав по частям η раз, получим
Т (ХЛ = (0П(Х/2)У Г Jxt£_(1 _ f24 v+n-1/2 df
Jv+nW 2"Γ(ν + η + 1/2)Γ(1/2)_\β A»U Γ; αΓ*
По формуле Родрига (2.5.13) мы получаем
d"(l-t2)v+"-1/2 = (-2)"η!Γ(ν + η + 1/2)Γ(2ν) _ ^v-i/2rvm
dtn Γ(ν+1/2)Γ(2ν + η) U ; nWt
Используя это соотношение в предыдущем интеграле, получим формулу Геген-
бауэра (4.7.7)
Условие (4.7.2) выполняется и тогда, когда контур С является замкнутым
контуром, при обходе которого переменной t один раз функция elxt(t2 — l)a+l/2
принимает начальное значение. Мы возьмем контур С таким, как показано на
рис. 4.1, и будем записывать интеграл по контуру С следующим образом:
(1+.-1-)
J fWdt.
А
Здесь 1+ означает, что точка 1 обходится в положительном направлении, и —1—
означает, что точка —1 обходится в отрицательном направлении. Нас интересует
интеграл
(1+.-1-)
уМ = ха $ eixt(t2-l)a-l/2dt,
А
который определен для всех а, поскольку контур С не проходит через
особенности подынтегрального выражения. Когда Re a > —1/2, мы можем деформировать
контур С так, чтобы он превратился в пару отрезков от -1 до 1 и обратно.
Выберем arg(t2 — 1) = 0 в точке А; тогда
y(jc) = jce[j e^[(l-t2)e-^]a-1/2dt+ $ eixt[(l-t2)eni]a-V2 dt] =
-1 1
= xa2isin(i -α)π \ ete(l-t2)""1'2 dt = ^^-Ja(x).
ла Ганкеля
-^=-i (х/2)« ^ J W - D-V2 dt$
если a / 2пЧ"1, η = О,1, 2, ..., и arg(t2 -1) = 0 в точке А.
Из этого следует формула Ганкеля

200 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Рис. 4.2
Докажем теперь другую формулу, принадлежащую Ганкелю
J-aW =
Γ(1/2-α)βπία(χ/2)α Ι
(-1+Л+)
yft
2ni
5 e^tf-iy-^dt,
(4.7.9)
где Rex>0, —37r<arg(t2 —1) < π и α+ 1/2/1, 2, .... Контур интегрирования
в формуле (4.7.9) показан на рис. 4.2. Предполагается, что контур лежит вне
круга единичного радиуса.
Для того чтобы доказать формулу (4.7.9), нам понадобится следующая
формула, принадлежащая Ганкелю (см. упражнение 22 гл. 1):
(0+D (0+1)
—00β|β
для |θ|<π/2.
Разложение выражения (t2 —1)α-1/2 в ряд по степеням Ι/t равномерно
сходится на контуре. Мы имеем
00 ί±-αϊ
(f2 _ 1)β-1/2 = t2a-l 2 ^j-^f
k=0
■2k
"λττ τι
H-^<argt<|.Tbrfla
(-1+Д+)
xa 5 eixt{t2
-1)«"1/2 dt = J] V2fc! Λ ξ t2a-l-2fcei,t df (4 7 u)
fc=0 ' i°°
Поскольку Rex>0, мы имеем |argx| = |θ| < -π. Положим u = ein/2xt. Тогда
(-1+Л+) (0+)
5 t2a"1"2fceixtdt=(-l)fce"41frijc2fc"2fl $ euu2a-l~2k du =
ioo -оое'б
= Г ι ^Γ-απί v2fc-2a 2πί
1 ; * r(l-2a + 2fc)*
Подставим это соотношение в формулу (4.7.11) и применим формулу удвоения
Лежандра. Тогда формула (4.7.9) доказана.
Заменим теперь контуры интегрирования в формулах (4.7.7) и (4.7.8) на
показанные на рис. 4.3 и 4.4 соответственно. Положим в формулах (4.7.7) и (4.7.8)

§ 4.7. Интегральные представления функций Бесселя
201
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Rex> 0. Отодвигая горизонтальные участки этих кривых на бесконечность, мы
получаем
JaM =
г(±-а)(х/2)« г Γ(ΐ+) (-1-)
'■ гц+) (-1-) η
Ll+ioo —1+ioo J
-αω = -^—Ц + у e^-ir-учА.
Ύ Ll+ioo —1+ι<χ J
(4.7.12)
(4.7.13)
В формуле (4.7.12) arg(t2 — 1) равен 0 в точке Л и π в точке В, в то время как
в формуле (4.7.13) arg(t2 — 1) равен 0 в точке Л и —π в точке В. Для того чтобы
получить arg(t2 —1) = π в точке В в формуле (4.7.13), умножим (t2 —1)а_1/2 во
втором интеграле на е~2(а—1/2)π£. Формулу (4.7.13) теперь можно переписать
(после обращения направления контура во втором интеграле) в виде
Ux) =
г(1-«)(х/2)« Г CW
-Jnlni
S eixt(t2-l)a-1,2dt +
И" оо
(-1-) 1 "I
+ β-παί ^ eixt(t2-l)a"2dt . (4.7.14)
-l+ίοο J
Вид формул (4.7.12) и (4.7.14) подводит к следующим двум функциям, которые
называются функциями Бесселя третьего рода или функциями Ганкеля:
а v J sin απL av J aV J1
H®U):=
—i
.[e-am
:[eaitiJaW-J_aU)].
(4.7.15)
(4.7.16)
a ""' sin απ'
Наиболее просто их переписать через функции Ja(x) и Ya(x) (последние —
функции Бесселя второго рода). А именно,
И™ Μ = JaM + iYaM, (4-7.17)
Η® (х) = JaM ~ ίΥαΜ, (4.7.18)
Η™w= Kl_ /U/2)a ί eto(t2-Da_1/2dt (4.7.19)
" ΤΙ J
1+ίοο
yfnni

202 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
(-1-)
H«>(jc)= ^ Лх/2)а ϊ β^α2-!)^1/2^.
л/ππι _J.
(4.7.20)
-1+ι'οο
Интегральные формулы для функций Hfp(x) и Н£2)(х) выполняются, если
Re χ > О, a 4-1/2 /1, 2, ... Более того, arg(t2 — 1) = —π в пределе при t —> 1 + i<»
и arg(t2 — 1) = π при t-* —1 + ioo. Отметим также, что
Н%2 W = /J(cos * + * sin x) = ^е* = ffg> Μ (4.7.21)
и
Ηι(8ω = ^β"4*=Η3/2«.
(4.7.22)
Ссылки на работы Бесселя, Пуассона, Гегенбауэра и Ганкеля можно найти в [414,
гл. 2, 3, 6].
§ 4-8- АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Положим в формуле (4.7.19) t = 1-l· iu/x. Интеграл примет вид
~е^(е^/2х)-а-1/22«-1/2 Υ e-"(~u)a-1/2(i + g)a"1/2 du. (4.8.I)
00
Сравнив это выражение с соотношением (4.3.5) и (4.3.6), получим
асимптотическое разложение
Ганкель ввел обозначение
(о, fc) :=(-!)'
(1~аШ + аХ _ (4a2-l2)(4a2-32)...(4a2-(2fc-l)2)
fc! 2**1
Тогда соотношение (4.8.2) можно переписать таким образом:
-Jt-i
a V πχ L^-j (2uc)'
Lj=0
Л
+ О0Г*)
(4.8.3)
С помощью аналогичных рассуждений получим
Lj=0
+ 0(x~k)
(4.8.4)
Поскольку
Je(x) = -s 2"^ и re(jf) = -s '-%-* ,

§ 4.9. Преобразования Фурье и функции Бесселя
203
из соотношений (4.8.3) и (4.8.4) получим
ir\ /~2~Г ~J <*π π Λ V^ (-DJ'(e.2j)
J«M~V^|C0S1X~T-2JL—сад5/
ι
~НХ—2-4)1^ (2χ)^ (4·8>5)
;=ο -ι
j=o
J=0
J=0
(4.8.6)
при |argx|<7r. Отметим, что формулы (4.6.11) и (4.6.12) являются частными
случаями формулы (4.8.5).
§ 4-9- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
При изучении преобразований Фурье возникают многие специальные функции.
В гл. 6 мы изучим связь между многочленами Эрмита, о которых упоминалось
в § 4.4, и преобразованиями Фурье функций одной переменной. Здесь мы
рассмотрим связь с функциями Бесселя и в качестве побочного результата
получим производящую функцию для Jn(x). Начнем с преобразования Фурье
в двух измерениях. Имеем
Пи,и) = ±] $/(x,y)e^+^dxdy.
(4.9.1)
Введем полярные координаты в плоскостях (х, у) и (и, ι;) следующим образом:
x = rcos0, у = г sin Θ; u = Rcosy>, i/ = Rsin^.
Тогда
oo 2π
F(u,i/) = ^ $ J fir cos 0, r sin e)eirRcosie-^rde dr.
о о
Разложив функцию / в ряд Фурье по переменной Θ:
00
/(г cos θ, г sin 6»)= J]/n(r)eine,
П=—oo
получим
00 oo г 2π
F(u,i/)= J] $/n(r)r 2^ S βίπββΜ«(β-φ)ίίθ
Π=—00 0
dr.
(4.9.2)
Выражение с функциями Бесселя содержится во внутреннем интеграле.
Поскольку подинтегральное выражение периодическое (с периодом 2π), достаточно

204 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
рассмотреть интеграл
Fn(x) = i $ β*« V* d0. (4.9.3)
2*ο
Разложим экспоненту и, проинтегрировав почленно, получим
2π
F"w = h Σ ΊΓ Scosfc θ еШ άθ· (4·9·4)
k=0 0
Теперь
2* cos* θ = (e* + β"Ύ = e™ + (J)^*-^ +... + (J)^*-** + e"'™.
Таким образом, записьшая ic = η + 2m, получим
'■«■Σδ^('?")-,«* «*»
m=0
Это соотношение интересно тем, что оно дает разложение Фурье функции
Лх cos θ.
00 00
e*cos0= J] inJn{x)eine = J0(jt) + 2 J]inJn(χ)cosηθ. (4.9.6)
n=-oo n=l
Последнее равенство следует из соотношения J_n(x) = (—l)nJn(x). Приравнивая
действительную и мнимую части, получим
00
cos(x cos θ) = J0M + 2 2](-l)nj2nM cos 2n0 (4.9.7)
sin(xcos0) = 22(-l)V2n+1(x)cos(2ri + l)e. (4.9.8)
В интересном частном случае θ = π/2 из формулы (4.9.7) получается равенство
00
1 =./о(*)+ 2 J] J2n(*)· (4·9·9)
Замечание 4.9.1. Здесь стоит упомянуть алгоритм Миллера. Ряд (4.9.9) показывает,
что для любого заданного χ = х0 и достаточно большого η значение J2n (x0) мало. Тогда
положим J2n (х0) Д^ достаточно большого η равным нулю, а значение J2(n-i) (*о)= с будем
считать неизвестным. Воспользуемся рекуррентным соотношением (4.6.5) и вычислим
J2(n-2)(*o) и т· Д· Д° ^2(*о) и Л)(*о) через константу с. Поскольку равенство (4.9.9) можно
аппроксимировать с помощью соотношения
η
Jo(*o) + 2][]J2k(*o)*l·
Jt=l
мы получаем приближенное значение с и, следовательно, значения функций Бесселя
^2*(*о)· Это пример алгоритма Миллера. (См. статью [162, с. 46].)

§ 4.9. Преобразования Фурье и функции Бесселя
205
На уравнение (4.9.6) можно посмотреть с другой стороны. Положим t = iew.
Тогда
00
exp(x(t-l/t)/2)= Σ^(χ)ίη. (4.9.10)
П=—оо
Таким образом, exp(x(t—1/0/2) является производящей функцией функций
Бесселя целого порядка.
Заменим θ на -г- — θ формуле (4.9.3), затем воспользуемся равенством (4.9.5)
и периодичностью подынтегрального выражения и получим формулу Бесселя
π
jn(x) = ^- 5 ехР(~*и0 + ix sin Θ) άθ =
—π
π π
= -^ ξ expC-ίηθ + ix sin θ) άθ + -^ § exp(m0 - ix sin θ)άθ =
о о
= λ [ cos(n6 -χ sin θ) άθ. (4.9.11)
О
В § 4.7 мы получили это выражение из интегральной формулы Пуассона. Мы
можем пойти в обратном направлении и вывести формулу
jn(jc) = (*/g" С cos(jc cos θ) sin2n θ d0 (4.9.12)
(x/2)n_
1 ο
из соотношения (4.9.11), используя формулу Якоби
""У'β = ^p2"(l/2)nsinn0, у = cos θ,
данную в упражнении 21 гл. 2. В формуле (4.9.12) п— неотрицательное целое
число. Но это ограничение может быть снято. Сначала умножим обе части
равенства (4.9.12) на (2/х)пГ(п + 1). Тогда они станут аналитическими
функциями переменной η при Re η >—1/2. По теореме Карлсона мы приходим
к заключению, что равенство (4.9.12) верно для таких значений п. Эта формула
выполняется для остальных значений χ по непрерывности.
Мы закончим этот параграф доказательством следующих неравенств:
IJoMI < 1 и \Jm(x)\ < I/1/2 для т = 1, 2, 3, ... (4.9.13)
для вещественных х. Первое неравенство следует из формулы (4.9.12), но есть
другое доказательство, которое подходит сразу для всех неравенств. Произведем
замену t на —t в производящей функции (4.9.10) и получим
00
exp(-x(t-l/t)/2) = Σ (-l)nJn0c)tn. (4.9.14)
П=—00
Домножив равенство (4.9.10) на (4.9.14), получим
00 00 00 00
1= Σ JmMtm Σ (-i)4.Mf= Σ f" Σ (-DmJmWVmW·
П=—00 η=—οο Π=—οο m=—00

206 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t и, воспользовавшись
равенством J_n(x) = (—l)nJn(x), получим
00 00
J] J2n{x) = Jlix) + 2j]jn200 = 1 (4.9.15)
n=-oo n=l
и
00
J] (-l)mJm00Jn_m(x) = 0 дяя n/0. (4.9.16)
m=—oo
Неравенства (4.9.13) следуют из соотношения (4.9.15).
Замечание 4.9.2. Заметим, что в формуле Бесселя (4.9.11) η должно быть целым
числом, поскольку если η = а не целое, то интеграл в правой части формулы (4.9.11) не
является решением уравнения Бесселя (4.5.1). Однако интегральная формула Пуассона
(4.9.12) выполняется для всех п, для которых Re η >—1/2. Отметим также, что Якоби
получил непосредственное преобразование формулы (4.9.12) в (4.9.11) с помощью
рассуждения, изложенного здесь, в обратном порядке. Ссылки и детали доказательства Якоби
можно найти в работе [414, § 2.3—2.32]. Заметим также, что формула Якоби, упомянутая
после формулы (4.9.12), является на самом деле следствием формулы Родрига (2.5.130
при использовании последней для многочленов Чебышёва второго рода.
§ 4-Ю. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
В этом параграфе мы докажем полезную теорему сложения Гегенбауэра.
Сначала покажем, что
00
Jn(X + y)= Σ Jm(*V„-mOO· (4.Ю.1)
m=—oo
Это непосредственно вытекает из следующего факта:
exp((x + y)(t-l/t)/2) = exp(x(t-l/t)/2)exp(y(t-l/t)/2),
откуда следует, что
00 00 00
2 Jn(x+y)t"= J] Jm(x)tm Σ J„(x)f.
n=—oo m=—oo n=—°o
Формула (4.10.1) получается, если приравнять коэффициенты при tn. Заметим,
что соотношение (4.9.16) следует из этой формулы сложения.
Для того чтобы сформулировать вторую теорему сложения, предположим,
что а, Ъ и с являются длинами сторон треугольника и1
c2 = a2 + b2-2abcos0.
Тогда
00
■Ш = Σ Jm(a)Jm(b)eime. (4.10.2)
m=—oo
Положим
d = aew-b.
ι Ниже с понимается как функция от а, Ь, Θ.

§ 4.10. Теоремы сложения
207
Тогда с2 = dd, так что с и d имеют одинаковые модули. Следовательно,
существует такое действительное число гр, что
С помощью короткого вычисления можно показать, что из последнего
соотношения следует равенство
с sin φ = a sin(0 + гр + φ) — b sm(\p + φ).
Согласно соотношению (4.9.11) мы получаем
2π 2π
JQ(C) = _L С eicsin</> (Jpl [ et[asin(0+i/>+<,)-bsin(i/,+<,)] ^
2π ο 2π ο
Поскольку i/j не зависит от φ и подынтегральное выражение периодично,
согласно (4.9.10) имеем
2π °° ^ 2π
J0(C) = -L J ei[asin(^)-bsin^]dv= ^ Jm(a)eim0_L j e-*sin Vm^ ^ =
0 m=-oo 0
oo 2π °°
= J] Jm(a)eim^ J eibsin^e-^dv= 2 Jm(a)Jm(b)eim*.
Последнее равенство следует из соотношения (4.9.11).
Поскольку J_mQc) = (—l)mJmQc), мы можем записать формулу сложения
следующим образом:
00
Мс) = J0(a)J0(b) + 2 J] Jm(a)Jm(b) cos γπΘ. (4.10.3)
m=l
Отметим, что
-—=—-—— (4104)
cdc ab sin Θ άθ> ^-ш.ч)
подействуем этим оператором на обе части равенства (4.10.3) и,
воспользовавшись соотношением (4.6.2), получим
^-'Σ
Л(с) „V1 ^mfeMnWsinmfl
— гп
ab sin θ
m=l
Перепишем это равенство в следующем виде1:
^ = 2|](m + l)Jl^(a)Jl+-(b)C^cos0).
m=0
Подействуем оператором (4.10.4) на последнюю формулу; снова
воспользовавшись соотношением (4.6.2), получим
= 22Yi(m + 2)J-^-J-^C2Jcose).
ι Напомним, что С* — многочлен Гегенбауэра; С* — многочлен Чебышёва.

208 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеаметрические функции
Есть следующее выражение для производных ультрасферических многочленов:
^C;J(cos 0) = -2λ sin θ C^Ccos 0).
Воспользовавшись индукцией, мы получаем соотношение
^ = 2° Г(а) |> + a)J^Wb)ca(cos θ)) (410 5)
т=0
где a = 0, 1, 2, ... Из формулы (6.4.11) следует, что C£(cos 0) является
многочленом от а; отсюда и из замечаний, сделанных после формулы (4.9.12), следует,
что обе части равенства (4.10.5) являются ограниченными аналитическими
функциями в правой полуплоскости. В силу теоремы Карлсона, тождество
верно в полуплоскости Rea>0. Благодаря аналитическому продолжению
равенство (4.10.5) верно для любых α кроме а = 0, —1, —2, ... Уравнение (4.10.5)
называется формулой сложения Гегенбауэра.
Приведем также без доказательства следующий результат Графа:
00
^α(θ(^?)α 2 = Σ Ja+mWm(b)eime (4.10.6)
m=—oo
при Ъ<а. Если а, Ъ и 0 являются комплексными числами, мы требуем, чтобы
выполнялись условия \Ъе±1в /а\ <1ис->а при Ь-*0. Формула Графа включает
в себя формулы (4.10.1) и (4.10.2) в качестве частных случаев (см. книгу [414,
§ 11.3]). Упражнение 29 дает доказательство формулы (4.10.6) в случае, когда a
целое.
§ 4Л1. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Разложим функцию F(u, ι;) из формулы (4.9.2) в ряд Фурье:
оо 2π
F(u,v)= J] Fn(«)ein^= ξ ± $ giRrcosce-^) £ /n(r)eineάθrdr =
n=—oo 0 0 n=—oo
oo 2π °°
= $ L· $ еШГСОВ9 Σ fn(r)einie+*)ddrdr =
0 0 n=-oo
oo 2π °° oo
0 0 m=—oo n=—oo
= Σ m^OW/nWrdrW (4.11.1)
n=-oo L о J
Отсюда получаем
00
(-i)nFn(R) = $ /n(r)Jn(Rr)rdr. (4.11.2)
о
Обратное преобразование Фурье от преобразования (4.9.1) имеет вид
00 00
Дх,у) = ^ $ $ FfaiOe-^+^dudi/.
—оо —оо

§ 4.11 Интегралы от функций Бесселя
209
Если провести вычисление, подобное (4.11.1), то мы получим
00
/„(г) = (-0П $ FniR)Jn(Rr)RdR. (4.11.3)
о
Интеграл в формуле (4.11.2) называется преобразованием Ганкеля порядка η от
функции /п(г). Соответственно преобразование (4.11.3) называется обратным
преобразованием Ганкеля. Для функции /(*), которая является достаточно
гладкой и убывает на бесконечности достаточно быстро, мы имеем в более
общем виде пару Ганкеля1 порядка а:
00
Р(У) = $ fWJa(yx)xdx (4.11.4)
о
и
00
/00 = $ F(y)Ja(xy)y dy. (4.11.5)
о
Для того чтобы получить интересный интеграл, умножим формулу Гегенбауэ-
ра (4.10.5) на С" (cos θ) и воспользуемся соотношением ортогональности,
которое следует из формулы (2.5.14), а именно
\ Са(хКа(х)(1 χ2Ία~Ξ dx - 2ΐ"2απΓ(" + 2α>5
_J^WC«WU *J **~[Γ(α)]2(η + α)ηΓ™·
В результате получим
I ^4«(cos θ)sin2* θ d0 = ^ff^^^^Sr^, (4.11.6)
где a, b и с являются сторонами треугольника2, т.е. c2 = a2 + b2 —2abcos0.
Переобозначив χ -* ах, b —> Ъх, с —> сх и положив η = О, получим
г Jg(cx) 2a д j/i « πΓ(2α) Ja(ax)Ja(bx)
i-^-Sin ^d^-2a.lr(a) хаШа ·
Перепишем это равенство в виде
Τ №^)2-^-^f-(fl-^-iJa(a)cdc=
|а-Ь| °
г3""1 νπ Γ(α + \/2)Ja(ax)Ja(bx)№
. (4.11.7)
ι To есть преобразование Ганкеля в квадрате есть тождественное преобразование. Простейшее
доказательство такое (Миллер-Лебедева). Для функции / на полупрямой рассмотрим ее преоб-
00
разование Лапласа /(ζ) = § f(x)e~zxxa~1 dx. Легко проверить, что на уровне функций / преоб-
о
разованию Ганкеля соответствует отображение h(z) —>h(z~l)z~a. Квадрат этого отображения —
тождественное преобразование.
2 То есть с рассматривается как функция от Θ.

210 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Тогда согласно формуле обращения Ганкеля мы получаем
IJ (ax)J (bx)J (с*)*1"*dx = [c2-(a-b)2]q-h(g-bb)2-c2]q4
J JataxjJatWJatcxjx d* - 23-^Γ(α + l/2)(abc)° l4elLej
для Re a > —1/2, \a — b\ < с < a + b. Если условие не выполняется, то значение
интеграла равно 0. Если воспользоваться формулой Герона для площади
треугольника (обозначенной за Δ) через его стороны, то правую часть равенства (4.11.8)
можно переписать в виде
2а-1д2а-1
V^r(a + i)(abc)a*
Существуют важные обобщения интеграла (4.7.6), которые были получены
Сониным. Они содержатся в следующей теореме.
Теорема 4.11.1. При Ι1βμ>—1 и Re v—1 выполняются равенства
ν+1 π/2
■Wi to = 2»Γ(ν+1) S J"(*Shl θ) SinM+1 θ C°S2V+1 θ άθ> (4 JL9)
о
ν.μνντ ιγ 2 , у2л1/2| π/2
(^Ty^vi/2 = S J,Usin0)Jv(ycose)sin^10cos"+1ed6. (4.11.10)
Интегралы (4.11.9) и (4.11.10) называются интегралами Сонина первого
и второго рода соответственно.
Доказательство. Доказательство первого равенства тривиально.
Разложим функцию JM(xsin θ) в степенной ряд и проинтегрируем почленно. Тогда
»Γ(ν+1) $ ^μ(* sin 0) sin"*1 θ cos2v+1 θ άθ =
оц+у+2т (~" * „„ „ ξ Sin2^2m+1 θ C0S2V+1 θ d0.
2^+у+2тгп!Г(м + т + 1)Г(у+1) J
m=0 0
Последний интеграл является бета-интегралом и равен
Подстановка этого равенства в вышеупомянутый ряд приводит к требуемому
результату.
Докажем второе равенство. В этом случае разложим функции JM(xsin6)
и Jv(j cos θ) в степенные ряды и проинтегрируем почленно. Детали
доказательства предоставляются читателю.
Заметим, что формула (4.11.9) является частным случаем формулы (4.11.10).
Разделим обе части формулы (4.11.10) на yv и устремим у к 0. В результате
получим равенство (4.11.9). D
Следствие 4.11.2. При Re a >—1/2 выполняется равенство
JaW = г^*!/^ I cos(* cos G) sin2a θ de- (4·7.6)

§ 4.11 Интегралы от функций Бесселя
211
Доказательство. Положим μ = —1/2, ν+ 1/2 = α и вспомним что
^-ι/2 Μ = vJC0S*·
D
Первый интеграл Сонина (4.11.9) можно также переписать в виде1
■WiΜ = 2»Г(г+В S tM(1"f >+JM(xt)tdL (4'1L11)
С помощью формулы обращения Ганкеля получим
00 J (χ}
2νΓ(ν+1) J μ^χ νμ(χτ)χ<!χ = ^(1-^ (4.11.12)
ο χ
для Re μ > —1, Re ν > —1.
Перейдем теперь к вычислению преобразования Лапласа от функций
Бесселя. Ганкель выразил преобразование от ίμ~ι Ja{yt) через функцию 2fi. В частных
случаях, соответствующих частным значениям α и μ, функция 2F\ сводится
к более элементарным функциям. Далее мы рассмотрим этот класс
интегралов. Простейший интеграл такого вида был получен Липшицем. Он получил
следующий результат: при Re(x± iy) > О выполняется равенство
00
J е-*/0(уО dt = J—. (4.11.13)
Из асимптотического разложения функций Бесселя (4.8.5) очевидно, что условия
Re(x± iy) > О достаточно для сходимости интеграла. Воспользовавшись
формулой (4.9.11), заметим, что
I e-xtJ0(yt) dt=±l e~xt I t*"*B dedt=±l άθ Q = ί2 * 2.
ο π ο ο π о х~1УС0*е (х2 + у2)1/2
Более общий результат, который дает преобразование Лапласа от функции
tUr~lJaiyt)9 принадлежит Ганкелю [179].
Теорема 4.11.3. При2 Re(a + μ) > 0 и Re(x ± iy) > 0 выполняется равенство
Доказательство. Предположим сначала, что \у/х\ < 1. Подставим
функцию Jv{yt) в виде ряда в интеграл и получим
- (.1Г(у/2Г2т « +a+2m_! t γ, ί-lT(y/2r+2mna + μ + 2m)
Zj т!Г(а + т + 1) J Ζ-ι m! Г(а + т + 1)
m=0 ' ' 0 m=0
ι Здесь (1 — t2)+ = (1 — r2)v, если (1 — t2) > 0, и 0 в противном случае.
2 Вот другое доказательство, демонстрирующее силу барнсовских интегралов. Наш интеграл
сводится к вычислению мультипликативной свертки е-1^ и 7α(ί)ίμ_1. Преобразования Меллина
этих функций суть Г(—5) и —. Преобразование Меллина от свертки равно
произведению этих выражений. Далее применяем теорему 2.4.1 и получаем искомый результат. Если
μ = а +1 или а + 2, то Г-множитель в знаменателе сокращается и получается следствие 4.11.4.
Очень многие интегралы, выглядящие нетривиально, сводятся таким способом к перемножению
Г-функций. В качестве простого упражнения можно предложить теорему 4.1L7, в качестве более
сложного — интеграл Николсона, рассматриваемые немного ниже.

212 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Поскольку \у/х\ < 1, последний ряд сходится абсолютно. Поэтому его можно
почленно интегрировать. Таким образом, мы доказали соотношение (4.11.14)
при условии \у/х\ < 1. Полностью утверждение получается при аналитическом
продолжении, поскольку обе части равенства (4.11.14) являются
аналитическими функциями у при Re(x ± iy) > 0. Теорема доказана. D
Если μ = а +1 или а + 2, ряд 2^ι в формуле (4.11.14) сводится к ряду xF0i
который может быть просуммирован по биномиальной теореме при \у/х\ < 1.
Результаты представлены в нижеприведенном следствии.
Следствие 4.11.4. Для Re(x± iy) > 0 выполняются равенства
le-'%Wt°d,= W™ + V®, ^ Rea>_1/2> (4Ш5)
^J.(yOr*«.*WJ%™. ,ie Rea>-1. Ш
2y(2x)°T(a + 3/2)
0 (x2+y2)a+3/2V^ '
Следствие 4.11.5. Для Re(x± iy) > 0 выполняются равенства
? ΙΎν2 + v2W2 — νΊα
$e-'tJa(yt)r1dt=i^-^5—ii-, где Rea>0, (4.11.17)
(4.11.18)
aya
f -*, , 4j [(*2+y2)1/2-*]a Λ „
\e*Ja(yt)dt = ya(j+y2)1/2 . гае Rea>-1.
Доказательство. Примените упражнение 39. D
Формулы в двух следствиях могут быть получены с помощью предельных
переходов из некоторых формул для многочленов Якоби, введенных в гл. 2.
Напомним, что они определяются с помощью соотношения
p(^Cx) = ^aF1(-n-n^^ + 1;lfi), „ = 0,1,2,.··
Теорема 4.11.6. Для действительных а и β выполняется равенство
lim n-°P^>(cos f) = lim n^W»(l- |,) = U/2)-Ja(x).
Доказательство. Утверждение1 следует непосредственно из теоремы Тан-
нери (или из теоремы Лебега о мажорирующей сходимости). Предположим,
что α не является отрицательным целым числом. Тогда почленная сходимость
рядов легко проверяется. Более того, мажорирование сходящимся рядом видно
из того факта, что для больших η справедлива оценка
n-a(n + a + j3 + l)fc(a + l)n < (2n + a + j3)*(a + l)nn-a <
k\ (n-fc)! (α + 1)*2*η2* k\ (α + 1)*(2η)*η! k\ (a + l)*'
где С — одна и та же константа для всех fc, 0 < к < п.
Когда α = —Ζ — отрицательное целое число, для того чтобы получить
требуемый результат, воспользуемся тем фактом, что
(;K^cx)=(n;/,x^),p£f,cx) при ып.
ι Теорема красиво используется ниже (§ 4.14). Другое ее красивое применение есть в [441].
Оказывается, этот предел при α = β=η имитирует вырождение сферы в плоскость при стремлении
радиуса к ».

§ 4.11 Интегралы от функций Бесселя
213
D
Интегральные формулы (4.11.15) и (4.11.18) являются предельными случаями
формул для производящих функций для многочленов Якоби, три из которых
будут доказаны в гл. 6. Соответствующие формулы имеют вид
A(a + j3 + l)nPnCa^(*)rn
Ь (« + «,.
(α + β + 1 α + β + 2 λ
2 «+ι 2 ;7Г^| (41119)
А (2п + а + β +1) Г (η + а + 0 + 1)Рп(а^)(х)гп _
2j Г(п + 0 + 1) ""
ία+β+2 α+β+3 λ
_ Г(а + 0 + 2)(1-г) [ —г-,—т-.гга+х)] ( 2)
"Г08 + 1)(1 + г)^+аЛ^ /8 + 1 ' U+r)2J' ^•11^j
00
Σ ϊΓτ^ρπ(α,~1} Wr"= 2<ϊ(1"Γ+я)~а> (41121)
π=0
гдеЯ=(1-2лх + г2)1/2, и
00
2] P„(a'w (х)гп = г^^К"1 (1 - г + R)~a(l + г + Л)"*. (4.11.22)
п=0
Доказательство более общего, чем (4.11.21), результата кратко описывается
в упражнении 31. Другие формулы для производящих функций доказаны в гл. 6
(§ 6.4).
Следующая теорема, которая принадлежит Ганкелю, дает значения другого
интеграла с бесконечными пределами от функции Бесселя.
Теорема 4.11.7. Для Яе(д + ν) > 0 выполняется равенство
W^-^it^J>^\F^:f-,-^). (4Л1.23)
Доказательство. Условие Яе(д+ ν) >0 необходимо для сходимости
интеграла в нуле. Асимптотическое поведение функции Jv(x), заданное формулой
(4.8.5), показывает, что интеграл сходится абсолютно. Значит, интеграл можно
вычислять почленно. Это приводит к равенству
0 т=0 0
Поскольку интеграл в правой части равен
r(^ + rn)/2pWm,
мы получили требуемый результат. D

214 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Следствие 4.11.8. При Яе(д + ν) > 0 выполняется равенство
№«Of-V»'dt= l 22;Γ(ν + 1) ^ J + i ;^j. (4.11.24)
Доказательство. Применим первое преобразование Куммера (4.1.11) для
ряда XFX к формуле Ганкеля в теореме 4.11.7. D
Важным частным случаем, которым мы будем пользоваться в дальнейшем,
является следующий:
00
$ Jv(at)tv+1e^2t2 dt = -ф^е-«21Ъ\ Re v > -1. (4.11.25)
Ссылки можно найти в книге [414, гл. 12 и 13].
§ 4-12. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Дифференциальное уравнение
где х-действительная переменная, часто возникает в математической физике.
Легко видеть, что Ja{ix) является решением этого уравнения. Более того, для
действительных χ функция e~am/2Ja{xem/2) принимает действительные
значения. Определим модифицированную функцию Бесселя первого рода следующим
образом:
_ (e-a^2Ja(xe^2)9 -π < argx < π/2, _ д - (χ/2)Λ
IaW " \e**«"*Jaixe-*«"*), \n < arg* < π " (*/2)"2, *!Γ(α + * + 1)'
(4.12.2)
Если α не является целым числом, то Ia(x) и /_„(*) являются линейно
независимыми решениями уравнения (4.12.1). Если α = п —целое число, то
/п(х)=/_п(х).
Для того чтобы справиться и с этим случаем, определим модифицированную
функцию Бесселя второго рода:
К*М := 2iE^[/-«W~7«(x)L (4Λ2·3)
Легко проверить, что
ImM = )f^shx и i-.1/2(x) = yjdix. (4.12.4)
Тогда
К1/2М = у[^е~х. (4.12.5)
Мы видим, что Ja(x) соответствует функциям синус или косинус, а 1а(х)
соответствует экспоненте. Может быть, поэтому британский математик девятнадцатого
века Джордж Стоке рассматривал в качестве основной функцию 1а(х), а не
функцию Бесселя.

§ 4.13. Интеграл Николсона
215
Асимптотические разложения функций 1а(х) и Ка(х) можно получить тем
же способом, что и в случае Ja(x) и Ya(x). Мы имеем
г оо η
*«W~\^e~|1 + Ze$ (larg^l < 3π/2), (4.12.6)
!°M~J^Ij ШГ + Л^7 λ(2^ (-я/2<аг§*<Зя/2)
(4.12.7)
V2^^-| (2дс)" T V21E ^(2х)п
e* yi(-l)"(a,n) , β-4°+Ι)"ί yi (q,n) ^„„v-^^/9Λ
/вСг)~Л^1| (2x)" + -^^-LaW5- ("3^/2 <argx< π/2).
n=0 n=0
(4.12.8)
Здесь (α, л) := (-l)n(a + l/2)n(-a + l/2)n/n!.
§ 4.I3. ИНТЕГРАЛ НИКОЛСОНА
Интегральные представления модифицированных функций Бесселя могут быть
получены из представлений обычных функций Бесселя. Аналогично существуют
формулы для интегралов от модифицированных функций Бесселя. Для примера
положим y = iHRex>lB формуле (4.11.18) и получим
$e-*Ja(t)dt=£^^^. (4.13.1)
о Vx2-1
Положим x = ch/3, тогда формулу (4.13.1) можно переписать в виде
5e-tch^a(t)dt=g. (4.13.2)
Теперь, поскольку
Ka(t)~yf%e-* при t-*», (4.13.3)
из формулы (4.13.2) при замене α на —а мы видим, что
π sha0
О
Перейдя к пределу при a -* 0, получим
Se-t*"lCe(t)dt = 5^^, где Re(ch/3)>-l. (4.13.4)
О, получим
Se-tch^o(t)dt=^. (4.13.5)
Если β=ίπ/2, то
00
$Ko(t)dt=f. (4.13.6)
О
Формула Николсона
8
о
АТС*) = 4 J К0(2* sh t) ch(2at) dt = J2a{x) + Уа2(х), Re χ > 0, (4.13.7)

216 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
является обобщением тригонометрического тождества sin2 χ + cos2 χ = 1, что
можно увидеть, положив α = 1/2 и применив равенство (4.13.6). Мы изложим
процедуру проверки формулы (4.13.7), предложенную Вилкинсом [425].
Проверка состоит в том, чтобы показать, что обе части формулы (4.13.7) удовлетворяют
одному и тому же дифференциальному уравнению, и затем проанализировать
их асимптотическое поведение.
Сначала покажем, что
Ν(χ)~έ при *~"*°°> (4.13.8)
где Ν(χ) обозначает левую сторону равенства (4.13.7). Достаточно доказать, что
00
lim xN(x) = lim 4 \ хК0(2х sh t) cht dt = -. (4.13.9)
Х-юо х-юо П i П
Второе равенство в (4.13.9) следует из соотношения (4.13.6). Что касается
первого равенства, мы покажем, что
F{x, t) = хК0(2х sh t) (ch 2at - ch t)
поточечно сходится к 0. Из соотношения (4.13.3) следует, что
|F(x,t)| <A0U/sht)1/2e-2jcsht|ch2at-cht| <
<AoUA)1/2e_:brsht(2|a| + l)t(sh2|a|t + sht).
Второе неравенство получается при применении теоремы о среднем значении
к функции ch2at —chf; кроме того, использовано неравенство 1/ sh t < 1/t.
Пусть х> 1. Поскольку sht> t и функция {xt)ll2e~xt ограничена, мы имеем
|F(x,t)l<A(sh2|a|t + sht)e^sht<A(sh2|a|t + sh0e-sht.
Теперь равенство (4.13.9) вытекает из теоремы о мажорируемой сходимости.
В качестве следующего шага проверим, что произведение любых двух
решений уравнения у" + ру' + qy = 0 удовлетворяет уравнению у'" + Ъру" +
+ (2р2 + р' + 4q)y' + (4pq + 2q')y = 0. Применим это соображение к уравнению
Бесселя, чтобы увидеть, что функции {Н^ОО}2, {Н£2)(х)}2 и J200 + У200
являются независимыми решениями уравнения
/" + !/Ч(4 + ^)/-ф = 0.
Используя дифференцирование под знаком интеграла, читатель должен
проверить, что N00 удовлетворяет этому дифференциальному уравнению.
Дифференциальное уравнение
которому удовлетворяет функция К0(х), также используется при вычислении.
Таким образом, мы имеем
N00 = A{J2a{x) + У200} + Β{Η<1}(*)}2 + С{Н£2) 00 }2.
Пусть х-* оо тогда, используя соотношения (4.8.3) и (4.8.6), получим
1 = А + ея(*-5ая-^)в + e-2i(*-ia7r-Hc + о(1).
Следовательно, В = С = 1, А = 1, и формула Николсона доказана.

§ 4.14. Нули функций Бесселя
217
§ 4.14- нули функций бесселя
Легко видеть, что все нетривиальные решения уравнения Бесселя (4.5.1) имеют
лишь простые нули кроме как, может быть, точки1 х = 0. Первые производные
таких решений также имеют простые нули кроме как, может быть, в точке О
и в точках ±а и 0.
Из формулы (4.8.5) можно сделать вывод, что для действительных а функция
Ja(x) меняет знак бесконечно часто при х-* ». Отсюда следует, что функции
Ja(x) и J'a{x) имеют бесконечно много положительных нулей. (Утверждение
для J'a(x) следует из теоремы Ролля2.)
Предположим, что последовательность )ау\>)а,г>— образована
положительными нулями функции Ja{x) в порядке их возрастания. Тогда для а>—1
выполняется цепочка неравенств
0 < ja,l < Ja+1,1 < ;'a,2 < Ja+1,2 < Ja,3 < - (4.14.1)
Из формулы (4.6.1) и теоремы Ролля следует, что между двумя нулями функции
xa+1Ja+\M находится нуль функции xa+lJa(x). Аналогично из формулы (4.6.2)
следует, что между двумя нулями функции x~aJa(x) существует нуль функции
x~aJa+iM- Таким образом, соотношение (4.14.1) доказано.
Когда а<—1, нули функций Ja(x) и Ja+\ — также чередуются по тем же
причинам, но наименьший нуль функции Ja+1 (x) ближе к 0, чем наименьший
нуль функции Ja(x). Также можно доказать, что при —2s<a<— (2s+ 1), где
5 — положительное целое число, Ja(x) имеет 4s комплексных нулей, которые
обладают ненулевыми действительными частями, а при — (2s +1) < a < — 2(s +1),
где s — неотрицательное целое, Ja(x) имеет 4s+ 2 комплексных нулей, два из
которых чисто мнимые. Доказательство см. в книге [414, с. 483].
Из теорем 4.11.6 и 5.4.1 следует следующая теорема о функциях Бесселя.
Теорема 4.14.1. Пусть Χιη>Χ2η> — нули функции Ρηα'β Μ на отрезке
[-1,1], и пусть xkn = cos вкш 0<вкп< π. Тогда для фиксированного к
выполняется равенство
\imnekn = jaik.
П—»оо
В частности, Ja(x) имеет бесконечно много положительных нулей.
В следующей главе мы докажем, что при α,β>—\ все нули функции Р„ (х)
лежат на интервале (—1,1). Это утверждение вместе с теоремой Гурвица
показывает, что функция при а>— 1 x~aJa(x) имеет только действительные
нули. Теорему Гурвица можно найти в книге [194, с. 180].
Другой способ убедиться в вещественности нулей функции Ja(x) при а>— 1
основывается на формуле
χ
(Ь2-а2) ξ tJa{at)Ja№ dt = x[Ja{bx)J,a{ax)-Ja{ax)fa{bx)]. (4.14.2)
о
ι Следует из теоремы существования и единственности для решения дифференциального
уравнения с данными начальными условиями; в точке 0 условия теоремы не выполнены.
2 В оригинале mean value theorem.

218 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Для того чтобы ее доказать, заметим, что функция Ja(ax) удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению:
Умножим это уравнение на Ja{bx) и умножим соответствующее уравнение для
Ja(bx) на Ja(ax)\ вычитая одно из другого, получим
Jaibx)±{xt^)-Jaiax)±(x^^) = (b2-a2)xJa{ax)Jaibx),
ИЛИ
^[хЗа{Ъх)Га{ах)-хЗа{ах)Га{Ъх)] = {b2-a2)xJa{ax)Ja{bx).
Формула (4.14.2) получается из данной интегрированием. Далее, если а — это
комплексный нуль функции Ja{x), то а тоже ее нуль. Положим х = 1,Ь = а
в формуле (4.14.2) и отметим, что подынтегральное выражение tJa(at)Ja(at)
положительно. Отсюда видим, что левая часть равенства (4.14.2) не равна
нулю, а правая равна. Из этого противоречия следует, что у функции Ja(x)
нет комплексных нулей.
Способом, связанным с использованием дифференциальных уравнений
также можно воспользоваться для того, чтобы показать, что функция Ja(x) имеет
бесконечно много положительных действительных корней для действительного
а. Этот метод восходит к Штурму. Вариант теоремы сравнения Штурма,
приведенный ниже, принадлежит Ватсону [414, с. 518].
Теорема 4.14.2. Пусть их{х) и и2(х) — такие решения уравнений
d2u* , ч Л d2u2
-jgr + ViMmi = 0, -jjp- + ч>2Ми2 = 0,
что
иг(а) = и2{а), и[(а) = и'2{а).
Пусть функции φλ{χ) и φ2(χ) непрерывны на отрезке а^х^Ъ и и[{х) и и2[х)
непрерывны на том же отрезке. Тогда если ч>г(х) > ψ2Μ на всем отрезке, то
\и2(х)\ превосходит \иг(х)\, если χ лежит между а и первым нулем функции
иг(х) на интервале. Таким образом, первый нуль функции иг(х) на отрезке
находится слева от первого нуля функции и2(х).
Доказательство. Без потери общности предположим, что иг(х) и и2(х)
являются положительными непосредственно справа от х = а. Вычтем первое
уравнение, умноженное на функцию и2, из второго уравнения, умноженного
на иъ и получим
и11^'~и2~аФ' = (¥>ι(*)"¥>2(*))ηιΗ2 > °·
Интегрирование приводит к неравенству
г du2 dux γ. _
Поскольку выражение в скобках обращается в нуль в точке а, мы имеем
du2 dux . _

§ 4.14. Нули функций Бесселя
219
Следовательно,
d(u2/u0 ^ „
—ώ^>0>
или
1и11а
откуда следует, что и2{х) > iix(x). Теорема доказана. D
Предположим, что \а\ > -ζ, α—действительное число, и положим
Vl(jc) = l-(a2-l/4)/x2
и
¥>2(х) = 1-(а2-1/4)/с2.
Тогда при х>с выполняется неравенство ψλ{χ)>φ2(χ). Отметим, что функция
иг=xl,2Ja 00 является решением уравнения и" + φΎ 00иг = 0. Обозначим общее
решение этого уравнения х1,2Са{х). Очевидно, что и2 = Л cos ωχ + В sin ωχ, где
ω2 = 1 —(a2 —l/4)/c2. Из теоремы 4.14.2 следует, что если с —любой нуль
функции Ca(x), то следующий по возрастанию нуль —это по крайней мере
c + π/ω. Если |а|<1/2, то положим φ200 = ω2<1. Таким образом, для
действительных α функция Ja00 имеет бесконечно много действительных нулей.
По существу, теорема Штурма утверждает, что чем больше значение φ, тем
быстрее осциллируют решения уравнения при росте х.
Теорема 4.14.2 может быть также использована для доказательства
того факта, что правые разности1 положительных корней функции Ja00
убывают при \а\ > 1/2 и возрастает при \а\ < 1/2. Предположим, что \а\ > 1/2,
и пусть jatn-i <ja,n <Ja,n+i — три последовательных положительных корня
функции Ja(x). Тогда положим φλ{χ) = 1 — (a2 —1/4)/χ2 и φ200 = φ^χ — k), где
Ь=}а,п~~]а,п-\- Далее, φτ (χ) — возрастающая функция, так что φτ (χ) > φ2(χ).
Рассмотрим интервал [jan>;α,η+ι]. Если x = jaгП, то иг = Ja00 = 0 и и2 = Ja(x—fc) =0.
По теореме Штурма функция иг осциллирует чаще и, следовательно, ;an+1 —
—)а,п < Ja,n~Λχ,η-ι· Подобное рассуждение применимо и к случаю |а|<1/2.
Должно быть очевидно, что аналогичное рассуждение работает для общего
решения уравнения Бесселя.
Напоследок мы обсудим формулу для бесконечного произведения функций
Ja00 при действительном а. Для больших χ из асимптотической формулы
(4.8.5) следует, что асимптотическое поведение нулей функции Ja00
определяется соотношением
χ ~ Ы + (2а + 1)/4)π. (4.14.3)
Поскольку нули функции Ja00 простые и действительные, следует ожидать, что
число нулей функции x~aJa (χ) между мнимой осью и линией Re χ = ί τη + ^-τ— J π
при больших χ равно т. Это верно (см. книгу [414, § 15.4]). Оказывается2, целая
2 Такие разложения — факт абстрактной теории целых функций, см. [450, § 7.2] или [60]. Кстати,
формула очевидным образом упрощается в Y[0- — ^/j%n)·

220 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
функция χ aJa(x) раскладывается в произведение
r(a + l)(x/2)-eJe(x) =
00 00
= Π{(1 -χΙ)«,η) expU/;'a,n)} Π{(1 +χ/ί«,η) exp(-x/;a,n)}. (4.14.4)
Это верно и при комплексных α (см. книгу [414, § 15.41]).
§ 4.15- БОЛЕЕ ТОНКИЕ СВОЙСТВА НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Теорема Штурма о сравнении для дифференциальных уравнений,
сформулированная в предыдущем параграфе, дает информацию, касающуюся нулей
решений дифференциального уравнения
g+(l_^> = „. (4л,и
Штурм использовал свою теорему также для того, чтобы доказать, что все
вторые правые разности положительных нулей любого нетривиального решения
приведенного выше уравнения положительны, если | v| < 1/2, и отрицательны,
если |ν|>1/2. Лорх и Сегё [254] существенно обобщили этот результат на
разности старших порядков1. В этом параграфе мы сформулируем одну из их
теорем. Дальнейшие обобщения и другие связанные с этим результаты можно
найти, воспользовавшись ссылками на литературу.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
у" + /(*)У = 0, (4.15.2)
где χ el, / — открытый интервал. Пусть Я>—1 и функция у(х) является
произвольным решением уравнения (4.15.2), нули которого в порядке возрастания
образуют последовательность хъ х2, ... Положим
*Jt+l
Мк=МкШ= $ \yM\Xdx, k = 1,2,... (4.15.3)
Хк
Заметим, что если λ = 0, то Мк равно Ахк — разности последовательных нулей
функции у(х). Если Я = 1, то Мк задает площадь под дугой, образованной
функцией у(х) от хк до хк+г.
Мы приводим следующую теорему Лорха и Сегё без доказательства.
Читатель может найти доказательство, которое слишком длинно, чтобы приводить
его здесь, в статье-оригинале. При формулировке теоремы обозначение Δημ*
используется для п-й правой разности последовательности {μ^}. Тогда
Δ"μ* = Δ"-4+ι-Δ"-4 и Δ°μ* = μ*. (4.15.30
Теорема 4.15.1. Пусть уг и у2 — два линейно независимых решения
дифференциального уравнения (4.15.2) на отрезке I. Предположим, что
(-l)n£^{[ji (*)]2 + [у2(*)]2> > 0 для η = 0,1,..., N
ι См. (4.15.37).

§ 4.15. Более тонкие свойства нулей функций Бесселя
221
где N-я производная существует в открытом интервале I, и младшие
производные непрерывны на L Тогда
(-1)ηΔηΜ*>0 для η = О,...,N; fc = l,2,...
В частности,
(-1)п~1Апхк > О для n = l,...,N + l;fc = l,2,....
Более того, если у(х) обозначает другое решение уравнения (4.15.2) с нулями
хъх2> ··· и если χι >Хъ то
(-1)ηΔη(χ*-ϊ*)>0 для π = 0,...,Ν; к = 1,2,...
Эта теорема, если использовать ее применительно κ уравнению (4.15.1), дает
результаты, касающиеся функций Бесселя. Два независимых решения
уравнения—это функции </xJv(x) и </xYv(x). Обозначим </xCv(x) общее решение. Для
того чтобы использовать теорему 4.15.1, мы должны исследовать выражение
Ρ 00 = x[JvM]2 + x[YvM]2, (4.15.4)
которое может быть представлено с помощью интеграла Николсона (4.13.7).
В дальнейшем нам понадобится следующая формула:
00
K0(x)=\e-xchtdt. (4.15.5)
о
Доказательство содержится в упражнении 11. Теперь согласно формуле (4.13.7)
имеем
00
р'М = 4-[xU2vM + Υ2ΜΏ = Λ $ [*o(2*sht) + 2χshtK'0(2xsht)] ch2vtdt.
αχ π 0
Проинтегрировав по частям второй член, получим
Ах) = А Кo(2xshi)thtch2vi]r-h4^o(2xshi)ich2vi-^:(thich2vt)>)di.
π* Ιο π q v dt J
Первый член в правой части равенства равен нулю, поскольку из определения
(4.12.3) следует, что функция К0(х) ведет себя как 1п(дг) при х—>0, в то время
как уравнение (4.12.6) описывает поведение функции К0(х) при х—► ». Тогда
р'(*) = 4S^o(2^sht)thtch2vi[tht-2vth2vi]di.
Легко проверить, что выражение в скобках отрицательно при | v| > 1/2, а
остальная часть подынтегрального выражения положительна. Таким образом p'Qc) < 0.
Аналогично можно показать, что
pWQc) = A 5^n"1)(2jcshO(2sht)n-1thtch2vt[tht-2vth2vt] dt.
Из равенства (4.15.5) очевидно, что (—1)п^п) > 0 при х>0, п = 0, 1, 2, ...
Таким образом, условия теоремы 4.15.1 выполняются для уравнения (4.15.1)
при | v| > 1/2. Итак, мы приходим к следствию.

222 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Следствие 4.15.2. Пусть cvk,cvk обозначают k-е в порядке возрастания
положительные нули любой пары нетривиальных решений уравнения Бесселя
(4.15.1), причем |ν|>1/2. Предположим, что Я>— 1, и положим
cv,k+l
Mk= 5 xx/2\CvM\xdx.
Тогда для к = 1,2, ... выполняются неравенства
(-1)"Δ"Μ* >0, π = 0,1,...,
(-1)η-χΔη^ > 0, π = 1,2,...,
(-l)nAn(cv,m+Jt -cvk) > Ο, η = 0,1,...
где т —фиксированное неотрицательное целое число, при условии cvm+1 >cvl.
В частности,
(r-l)n-lbnjvk > 0, (-D^A^vit > О, η = 1,2,...
и
(-1)ПА"0\*-Уг*)>0, π = 0,1,...
где jvk u yvk обозначает fc-e положительные нули функций Jv(jc) и Yv(x)
соответственно.
Замечание 4.15.1. Лорх, Мулдон и Сегё [252] обобщили теорему 4.15.1 для изучения
свойств высшей монотонности интегралов
Мк= $ W{x)\y(x)\xdx,
Хк
где W(x) — функция, на которую наложены некоторые ограничения. В качестве примера
можно рассмотреть W(x) =χ~1/2, когда у является решением уравнения (4.15.1). Отсюда
следует монотонность функции
cv,jk+l
(-1)"Δ" ^ KM\dx,
Cv,k
где интеграл — это площадь под дугой общей функции Бесселя, а не произведения х112
на функцию Бесселя. Дальнейшие обобщения этого результата можно найти в [253].
§ 4·ΐ6. ОБЛАСТИ, СВОБОДНЫЕ ОТ НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ XFX
Мы заканчиваем эту главу результатами Заффа и Варги [329], касающимися
областей, не содержащих нулей последовательности многочленов,
удовлетворяющих трехчленным рекуррентным соотношениям. Эти многочлены могут
быть частичными суммами функций ^ъ так что мы можем использовать
теорему Гурвица о нулях аналитической функции1, которая является пределом
последовательности аналитических функций, для того чтобы найти области,
свободные от нулей функций λ¥λ.
Основной теоремой Заффа и Варги является следующая теорема.
ι Пусть /п равномерно сходится к / в некоторой области. Пусть /(а) = 0. Тогда в любой окрестности
точки а все функции /п с достаточно большими номерами обращаются в нуль.

§ 4.16. Области, свободные от нулей функций XFX
223
Теорема 4.16.1. Пусть {pk(z)}[J —это конечная последовательность
многочленов, удовлетворяющих условиям
р№=(^+1b-i(z) - tPjt-2(z)' fc=г> 2i"" п> (4·16·υ
где ρ_ι(ζ) :=0, р0(з) = РоФ®> abku ck —положительные действительные числа.
Пусть
а := тш{Ьк(1 - bk_Jck): k = 1,2,..., п}, Ь0 = 0. (4.16.2)
Тогда если а > 0, то следующая параболическая область с проколом на границе
Pa = {z = x + iy:y2 < 4а(х + а), х > -а} (4.16.3)
не содержит нулей функций pk(z), k = 1,2,..., п.
Доказательство. Предположим, что ζ€Ра —фиксированное комплексное
число, которое не является нулем никакой из функций pk(z), fc = l, ..., п.
Положим
Vk:=Vk(z)-=zPk-i(z)/bkPk(z) Для fc = l,...,n.
Доказательство основывается на следующих двух утверждениях:
1. многочлены рк (ζ) и р^_х (ζ) не имеют общих нулей для любого к, к = 1,..., п;
2. ΙΙεμ^ <1 при fc = l, ..., п.
Предположим, что эти условия выполняются и что для некоторого к
многочлен Pk(z) обращается в нуль в точке ζ0€Ρα. Заметим, что кф\, поскольку
функция Pi(z) = p0(z + b1)/b1 имеет ноль в точке — Ъъ которая, согласно
соотношению (4.16.2), имеет координату, не превосходящую —а, и, следовательно, не
может содержаться в Ра. Поскольку ρ^(ζ0) = 0, из условия (4.16.1) следует, что
{zjbk + 1)ρ*-ι(ζο) = (*о/с*)Р*-2(*о)·
Утверждение 1 подразумевает, что рк-\(%о)Ф®> поскольку рк и p^-iHe имеют
общих нулей. Таким образом, мы можем поделить на ρ&_ι(ζ0) и получим
b\^o + h-) = bZ°Pk;2iZ(°\ = μ*-ι(%>· (4-16.4)
°к-\°к Dfc-lPfc-lW
Из второго утверждения и из непрерывности μ следует, что Re μ^_χ (ζ0) < 1. Тогда
согласно соотношению (4.16.4) получаем
Rez0 < -Ък{\ -bk_Jck) < -α,
что противоречит предположению, что ζ0 €Ρα. Это означает, что функции pk{z)
(ic = 1, ..., η) не имеют нулей в области Ра.
Остается только доказать два использованных утверждения. Из формулы
(4.16.1) очевидно, что ни один из многочленов pk{z), fc = 0,1, ...,η не
обращается в нуль в точке 0. Предположим, что ρ&(ζ0)=ρ&_ι(ζ0) = 0, где ζοΦ®> Для
некоторого к> 1. С помощью последовательного применения формулы (4.16.1)
мы получим Ро(з0) = 0, что противоречит предположению, что р0ф0. Таким
образом, многочлены pk{z) и pk-\{z) не имеют общих нулей.
Докажем теперь по индукции, что Κεμ^(ζ) < 1. Очевидно, что
ζ

224 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Поскольку ?€Ра, мы получаем Rez>— а>— Ьх. Таким образом, Κεμχ < 1. Теперь
из формулы (4.16.1) с очевидностью следует, что
k z + bfc-bfcC^bfc-iMfc-i'
или
μ* = Γ*(μ*-ι)>
где Tk(w) является дробно-линейным преобразованием, определенным
соотношением
k "z+h-hc^b^w'
Функция Tk{w) имеет полюс в точке wk = (z + bk)l{bkc^lbk_{) действительная
часть которой больше 1 согласно соотношениям (4.16.2) и (4.16.3). Таким
образом, Тк отображает область Re w < 1 в замкнутый диск с центром в точке
ξ^ = Тк(2—~шк), где 2 — wk — это точка, симметричная полюсу wk по отношению
к линии Re w = 1. По определению функции Тк имеем
2ЪеЪ+2Ък(1-Ък_гСъ1)
Кроме того, точка 0 = Г^(оо) лежит на границе этого диска, поэтому его радиус
равен |ξ^|. Таким образом, действительная часть числа, изображаемого любой
точкой диска, не превышает
Rez + |z| Rez + |z|
2ЪеЪ+2Ък(1-Ък_гСъ1) ^ 2(Rez + a)
где первое неравенство следует из формулы (4.16.2), а второе — из
формулы (4.16.3). Далее, по предположению индукции ReμJt_1<l; таким образом,
Re μ^ = Re Γ^(μ^_χ) < 1. Теорема доказана. D
Следствие 4.16.2. Пусть для бесконечной последовательности многочленов
{р* (*)}£, удовлетворяющей трехчленному соотношению (4.16.1),
a = inf{bfc(l-bfc_1c-1)}>0.
Тогда область Рш определенная в теореме, не содержит нулей многочленов pk(z).
Более того, если pk(z)—>/(z)^0 равномерно на компактных подмножествах
области Рш то функция f(z) не содержит нулей в области Ра.
Доказательство. Первая часть утверждения очевидна. Для
доказательства второй части следует воспользоваться теоремой Гурвица. D
Приведенное ниже следствие применимо к последовательности
многочленов, полученных как частичные суммы степенных рядов.
к
Следствие 4.16.3. Предположим, что многочлены 5*0&):=Σ a/*J" имеют
;=о
строго положительные коэффициенты и
а := min if— - —)} > 0, где а_г/а0 = 0.
Тогда многочлены sk(z\ k = 1,2,..., η, не имеют нулей в области Ра.

Упражнения
225
Доказательство. Заметим вначале, что
**(*) = (^ +1 k-i(z) - ^wW, fc = 1,2,..., η,
где 5_х = 0. Затем применим теорему 4.16.1 и получим требуемое утверждение.
D
Заметим, что следствием вышеприведенных результатов является то, что
η
для частичных сумм sn{z)=^zn/n\ экспоненты область у2<4(х — 1),х>—
Ιο
область, свободная от нулей. На границе этой области есть нуль функции
sx(z) = 1 + z, кроме того, сколь угодно близко к этой границе «подходят» нули
сумм sn{z). Нижеприведенное следствие касается более общей вырожденной
гипергеометрической функции jFj. Доказательство предоставляется читателю.
Следствие 4.16.4. Предположим, что sn(z) является п-й частичной суммой
ряда iF2 (с; d; z). Тогда многочлены sn(z), п = 0, 1, 2,..., не имеют нулей в области
1 Pd/c если 0 < d < с,
2. Рх, если 1 < с < d,
3. Pa, a = (2c-d + cd)l(c2 + c), если 0<с<1 u c<d <2с/(1-с).
Более того, функция iFx(c; d; z) не имеет нулей в соответствующей внутренней
области.
Другие применения теоремы 4.16.1 можно найти в [98].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что
при Re c> Re a > 0.
2. Пусть lF1(a—) = 1F1(a — l;c;x), и функции !^(α+) и т.д. определим аналогичным
образом. Докажите соотношения смежности
а) (с -α) Λ (а-) + (2а- с + х) Λ~αΛ(α+) = 0,
б) с(с -1) Λ (с-) - с(с -1 + х) гРг + (с - а)х гРг (с+) = 0,
в) (а-с +1)lFl-alFl(a+) + (с-1)Л(с-) = 0,
г) с^-с гРг (а-) - χ гРг (с+) = 0,
д) с(а + χ) Λ - (с - а)х ^ (с+) - ас гРг (а+) = 0,
е) (a-l + Jc)1F1 + (c-a)1F1(a-)-(c-l)1F1(c-) = 0.
3. Докажите формулы:
а) £zlFl(a;c;x) = ^lFl(a + n;c + n;x),
б) |^[e-Vi(a; с;дс)] = (-1)"^=^e"Vi(a; с + п;х).
4. Выразите следующие функции через функции Уиттекера:
JC
а) интегральный синус Si(x) = § f"1 sin t dt;
о
00
б) интегральный косинус Ci(x) = — § t"1 cos t dt;
χ
в) интегралы Френеля
JC JC
CQc) = ξ Г1/2 cos t dt/</2π, SQc) = ξ Г1/2 sin t dt/y/ϊπ;

226 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
г) интегральную экспоненту
5. Воспользовавшись формулами (4.3.6) и (4.4.4), получите асимптотическое
разложение функции erf χ.
6. Докажите, что
00
$ e-5*xc-Vi(a; с; дс)Л(а!; с; Ях) dx =
о
= r(c)(5-l)-a(5-A)^5a+a^2F1(a,a1;c;A/[(5-l)(5-A)]).
7. Покажите, что для функции параболического цилиндра Dn(x), задаваемой формулой
(4.4.11), выполняются следующие свойства:
а) Dn (χ) = Jn 2n/2e-x2'2lFl (-π/2; 1/2; χ2/2)/Γ((1 - π)/2) -
-v^2(n+1)/2xe-Jf2/41F1((l-n)/2;3/2;x2/2)/r(-n/2);
6)ϋη(χ) = (-1)"β^4|^(β-^2).
8. Докажите формулы (4.6.11) и (4.6.12) для функций J„+i/2(x) и J_n_1/2(x).
9. Покажите, что при Re a>—1/2
9 π/2
r(a + l/2)Ja(x) = -y=(x/2)a ξ cos(xsin0)(cos0)2ad0,
уЩУ
о
1
Γ(α + 1/2)/α(χ) = -^=(x/2)a \ e^d-t2)*"1'2*.
Выведите отсюда, что
|Ja(x)|<|x/2|aeM/r(a + l), где x = u + iv.
10. Используя формулу (4.9.11), получите формулы Неймана (см. [414, с. 32])
ι π ι π
J2(x) = - ξ J2n(2x sin 0) d0 = - $ J0(2x sin 0) cos 2n0 d0.
π ο π о
11. Покажите, что при |argx| < π/2 выполняется равенство
= Γ(1/2-α)β2^(*/2)« (1%-1+) 2_ 1/2
'-«^ 2πίΓ(1/2) 2
Выведите отсюда, что при Re a > —1/2 выполняется равенство
Γ(1/2-α)β2π*α(χ/2)α
/-*(*) =
2πίΓ(1/2)
(Ι-β"4™) ξ e-xt(t2-l)a-1/2dt +
ι
1
+ i(e~nia + e~3nia) $ e"*(1 - t2)a"1/2 at
-1
Следовательно,
^(*/2)а Г Л. 2 _ )a_1/2 d ^(*/2)а С -*ch0 h2a g aQ
*aW T(a + l/2)Je U iJ at r(a + l/2)J6 5П У£Ш'
12. Докажите, что при х > О и a > —1/2 выполняется равенство
2αΓ(α + 1/2) г cosxt
КаМ~ χ«^Έ J(l + t^V2dt·

Упражнения
227
13. Покажите, что при α > —1 и с > 0 выполняется равенство
C+ioo ^ 2
С—ioo
я результат Сонина и Шафайтлина:
г >/a-^CaOJr-i(bO ^^ = fer-1 Γ(α) ^M.b^
J tr-o-^ 2Γ-α-0αα+0Γ(ν)Γ(1-β)2 aV r ' a2'
14. Докажите следующий результат Сонина и Шафайтлина:
Ja-β (aOJr-i (bf) j. _ Ы~1 Γ(α) „fa,fieb2*
0 t. ■ 2r-a~fiaa+P Г(г) Г(1-|8) :
ддя 0<Ь<а и
2r-a-^b2«-r+ir(r-a)r(a-)8 + l)2 aV a-0 + 1 ' b2'
ддя О < a < b при условии, что интеграл сходится.
Рассмотрите следующие частные случаи: а) /3=0, у — а — \\ б) у= 3/2, a+ /3 = 1/2;
в) г = 1/2, a + j8=-l/2; г) г = 3/2, a + jS = 3/2; д) г = 1/2, a + jB = l/2.
См. [414, § 13.4].
15. Покажите, что в упражнении 14 при a = b получается равенство
Лив (аО^-ι (аО dt = (а/!)*-*-?-1 Г(Г - a - )8) Γ(α)
о tr-a-* " 2Г(1-0)Г(Г-а)Г(Г-)8)
S
при условии, что Rea>0 и Re(/ — α — β)>0.
16. Покажите, что
г г„и г п.^ - (ах/2)ЧЬх/2^ ν (-l)Vi(-я,-α-η;β + 1;Ь2/a2) (ax/2)2"
Ja(ax)J„(bx) - rQ5 + 1)r(a + 1) Zj ηΙ(α + 1)„ '
η=0
Выведите отсюда равенство
(s/2)tt+* yi (-1)η(α + )8 + 1)2η(*/2)2
n=0
17. Покажите, что при α, Ь>0и— l<Rea<2Rej8 + 3/2 выполняется равенство
xa+1Ja(bx)
τ (УЛ1 Μ = 1*№α+Ρ V ("1)Π(α + £ + 1)2η(*/2)2π
Ι ΖΪΤαψ* dX = 2«Па + 1)К«-?Ш'
(Отметим, что \ e-(x2+fl2 V at = ^t1* при Re β > -1.)
J (jc2 + a2)^+1 Y
18. Покажите, что
*«(*) = ^ψ- \ e-^/4tr«-i dtj |argJC| < π/4.
о
19. Докажите, что при а>0,Ь>0,у>0иПе/3>— 1 выполняется равенство
Рассмотрите случай α = 1/2, /3 = 0.
20. Докажите следующую формулу ддя интеграла Эйри:
AiW^Wt'+xOd^f^iff).
(См. [414, § 6.4]).

228 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
21. (Сонин) Пусть φ(χ) это положительная монотонная функция из С1(а,Ъ), и пусть
у (х) — решение дифференциального уравнения
у" + Ч>Му = 0.
Покажите, что относительные максимумы функции |у| при возрастании χ от а до Ь
образуют возрастающую или убывающую последовательности, если функция ψ(χ)
соответственно возрастает или убывает.
Указание. При f(x) = {y(x)}2 + {y'(x)}2l4>(x) покажите, что sgn/'(*) = — sgn (//(*)·
22. (Бутлевскии) Предположим, что функции к(х) и φ(χ) положительны и принадлежат
Cl(a,b). Покажите, что если у(х) является решением уравнения
№(*)/]'+ У>(*)У = О,
то относительные максимумы функции \у\ образуют возрастающую или убывающую
последовательность в зависимости от того, является ли функция κ(χ)φ(χ)
соответственно убывающей или возрастающей.
23. Покажите, что функция и=xaJa(bxc) удовлетворяет дифференциальному уравнению
и-+!=**„!+r(bC3t-i)2+η1ζ|!ξ! ]ц = о.
X L χ* Λ
1/4— а2
24. Положим φ (χ) = 1 + ——^—· Воспользовавшись формулой (4.8.5) и упражнением 21,
докажите, что
( л/2/π, если -1/2 < α < 1/2,
supy/x\JaW\ = \
χ>ο ^конечно и больше у 2/π, если α > 1/2.
Упражнения 21, 22 и 24 и ссылки на работы Сонина и Бутлевского можно найти
в книге [375, с. 166 — 167].
25. Пусть а = λ —1/2, 0<λ<1. Обозначим положительные нули функции Ja(x) через
h < h < h < — и нули ультрасферического многочлена C*(cos 0) через θ1 < θ2 <... < 0η.
Воспользовавшись теоремой 4.14.2, покажите, что
θ*<Α/(η + Α), Jc = l,2,...,n.
Заметьте, что функция а = (sin0)AC*(cos 0) удовлетворяет уравнению
^ + {(π + λ)2+*^}α = 0
άθ2 lv sin2 θ J
и сравните это уравнение с уравнением, которому удовлетворяет функция
У£/а{(п + Я)0}.
26. Предположим, что —1/2<а<1/2 и Γηπ<χ< (гп + 1/2)я,гп = 0, 1, 2, ... Покажите,
что функция Jv(x) положительна для четных т и отрицательна для нечетных т.
Заметьте, что если χ = (т + 0/2) π, где 0 < 0 < 1, то
/ М = 2(π/4)« 2mr+* С05(тш/2)
aW r(a + l/2)v^(2m + 6>)« ] [(2m + 0)2-u2]1/2-a '
и покажите, что
sgn Ja(rrm + 0π/2) = sgn[(-l)m{i/ + (vm -ι;^) + (vm.2-vm_3) +...}] = sgn(-l)m,
где
г л\г Г cos(nu/2) j
2r-2
{(гт + ^-и2}1/2"01

Упражнения
229
и
f-r)mv' =2Y cos(ttu/2) du
λ {&т + в)2-и2}1'2-а'
27. Покажите, что
$ tJ2a(.t)dt=j[x{J'a(x)}2-Ja(x)j-{xJ'a(x)}].
0
Выведите отсюда, что ненулевая функция вида f(x)=AJa(x) + BxJ'a(x) не имеет
кратных нулей, кроме χ = 0. (Этот результат принадлежит Диксону. См. [414, с. 480].)
28. Пусть f{x)=AJa{x) + BxJ'a{x) и g(x) = CJa(x) + DxJ'aW, причем AD-ВСфО.
Докажите, что положительные нули функции fix) чередуются с нулями функции g(x).
(Покажите, что функция v?(x) = /00/g(x) монотонна.)
29. Докажите формулу Графа (4.10.6), когда α целое, используя тождество
ea(t-l/t)/2e-Hte-w-l/(te'w))/2 _ ес(ш-1/(Ш))/2
где u = (a — be~w)/c.

ГЛАВА 5
Ортогональные многочлены
Хотя ортогональные функции впервые были введены Мерфи в 1835 г., основная
заслуга в осознании их важности принадлежит Чебышёву. В своих работах
начиная с 1885 г. он отталкивался от аналогии с рядами Фурье, теории
непрерывных дробей и теории аппроксимации. В начале этой главы мы рассмотрим
многочлены Чебышёва первого и второго рода. Некоторые из их элементарных
свойств в общем случае представляют интересные области для исследования.
Остаток главы посвящен изучению свойств общих ортогональных многочленов.
Ортогональные многочлены удовлетворяют трехчленным рекуррентным
соотношениям. Это указывает на их связь с непрерывными дробями. Мы обсудим
некоторые следствия этих соотношений, например формулу
Кристоффеля—Дарбу и ее следствия для нулей ортогональных многочленов. Кроме того, мы
дадим интегральное представление Стилтьеса для непрерывных дробей, также
возникающее из ортогональных многочленов.
В своей теории аппроксимирующих квадратур Гаусс использовал
многочлены, возникающие из разложения lnf у^Ч в непрерывную дробь. Позже
Якоби [209] заметил, что эти многочлены являются многочленами Лежандра
и их ортогональность — важное и фундаментальное свойство. Один из
параграфов этой главы мы посвятили гауссовой формуле квадратур и некоторым
ее следствиям. Доказаны также неравенства Маркова—Стилтьеса для констант
в формуле Гаусса.
Наконец, с помощью элементарной теории графов мы находим разложение
производящей функции моментов в непрерывную дробь. В последние двадцать
лет заметные успехи в изучении ортогональных многочленов принесли
комбинаторные методы.
§ 5-1. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА
Как мы уже отметили, многочлены Чебышёва являются фундаментальным
примером ортогональных многочленов, поэтому их следует постоянно иметь
в виду при рассмотрении ортогональных многочленов. Многочлены Чебышёва
первого и второго рода, обозначаемые Тп(дс) и Un(x) соответственно,
определяются формулами
р(-1/2,-1/2) ( л = (2П)1 J г, (2п)1 Q (
rn w 22п(п!)2 " 22п(п!)2 еиьгш ip.±.±j
р(1/2,1/2) м = (2п + 2)! (2n + 2)! sin(n + l)fl
W 22"+1[(п + 1)!]2 nW 22n+1[(n + l)!]2 sin θ > ^'λ^
где jc = cos0.
Соотношение ортогональности для Тп(дс) выглядит следующим образом:
+1
$ rnQc)TmQc)(l - χ2)"1/2 dx = 0, где тпфп.
-1

232
Глава 5. Ортогональные многочлены
Действительно, подставив х = cos 0, мы приходим к тривиальному равенству
π
§ cos τηθ cos ηθ άθ = О, где τη Φ η.
о
Аналогично ортогональность для многочленов (5.1.2)
1
$ Um{x)Un{x){\-x2Y'2 dx = 0,
-1
где тфп, сводится к соотношению
π
$sin(n + l)0sin(m + l)0d0 = O, где тфп.
о
Для дальнейшего изучения ортогональных многочленов нам будет полезно
рассмотреть некоторые свойства многочленов Чебышёва. В частности, интересно
изучить трехчленное рекуррентное соотношение
2хТтМ = Тт+1(х) + Тт_гЫ, (5.1.3)
эквивалентное соотношению
2 cos 0 cos τηθ = cos(m + 1)0 + cos(m-1)0. (5.1.4)
Последнее соотношение является частным случаем формулы линеаризации
2 cos τηθ cos ηθ = cos(m + ή)θ + cos(m — ή)θ (5.1.5)
или, что то же самое
ТтЫТпЫ = |(Тт+п(х) + Гт_п(х)). (5.1.6)
Иногда возникает вопрос нахождения коэффициентов а(к,тп,п) в выражении
гп+п
PmMPnW = ^ a(fc, m, η)ρ^(χ), (5.1.7)
fc=0
где {PnQc)} —данная последовательность многочленов, причем р„(дс) имеет
степень п. Простейшим, но тем не менее важным случаем является равенство
γΤΤΙγΐΙ γ,Τη+fl
В общем случае, о коэффициентах а(к, τη, ή) удается выяснить не так много.
Позже мы рассмотрим важный пример, обобщающий формулу (5.1.5) и следующее
выражение для произведения многочленов Чебышёва второго рода:
тЛп
sin(m + l)0 sin(n + l)0 _ V^ sin(rn-t-n + l-2fc)0 ,- - ~
sin0 sin0 ~L· sin0 lb,LBJ
k=o
Здесь mAn = min(m,n). Данная формула легко доказывается с помощью
соотношения sin(m + η +1 — 2fc)0 sin 0 = - [cos(m + η — 2fc)0 — cos(m + n — 2fc + 2)0].
Двойственное к формуле (5.1.8) выражение имеет вид
θ+φ
sinOi + DesinOi + l)^^ $ sin(n + 1)гр dip, (5.1.9)

§5.1 Многочлены Чебышёва
233
Соотношение, дуальное к формуле (5.1.5) выглядит аналогично:
COSn0COSn</? = -(cOSn(0 + </?) + COS п(0 — </?))·
В гармоническом анализе периодическая функция /Qc) представляется в
виде ряда синусов и косинусов. Это приводит к рассмотрению частичных сумм
вида
2ао + ]Г] (ат cos τηθ + bm sin m0),
m=l
где
2π
5
О
If If
am = - ) f ίφ) cos τηφάφ и bm = - } /(</?) sin τηφάφ.
о
Следовательно,
η
2αο + ]T](am cos m0 + bm sin m0) =
m=l
2πΓ η
= - J 7 + 2j (cos ™θ cos m</? + sin τηθ sin m</?)
m=l
/((/?) d(/? =
m=l
/(φ)<ίφ.
Используя тригонометрическое тождество
2sin(0/2) cos πιθ = sin(m +1/2)0 -sin(m- 1/2)0,
легко проверить, что
! + 2cosm0 = -A-^=:Dn(0).
m=l
(5.1.10)
В этих обозначениях сумма в последнем подынтегральном выражении равна
Όη{θ — φ). Функцию Dn(0) называют ядром Дирихле. Определим многочлены
Чебышёва третьего рода соотношением
Vn(χ) = 2Dn(0), где χ = cos 0.
(5.1.11)
Несложно проверить, что последовательность У„(дс) ортогональна с весом
(1—χ)"(1 + χ)" на интервале (—1,1). Многочлены, эквивалентные Vn(jc),
изучались еще Виетом (см. [113, с. 8]).
Следующее тождество обобщает формулу (5.1.10):
1 + 2_. 2 cos τηθ cos τηφ =
m=l
cos(n 4-1)0 cos ηφ — cos ηθ cos(n 4- 1)φ
cos 0 —cos φ
(5.1.12)
Это частный случай формулы Кристоффеля—Дарбу, которая существует для
всех ортогональных многочленов (см. ниже). Заметим, что из трехчленного

234
Глава 5. Ортогональные многочлены
рекуррентного соотношения (5.1.4) следует равенство
2 cos τηθ cos τηψ (cos θ — cos ψ) =
= [cos(m +1)0 + cos(m —1)0] cos τηψ — [cos(m + ί)ψ + cos(m — ί)ψ] cos τηθ.
(5.1.13)
Сложив эти уравнения, при различных значениях т мы получим равенство
(5.1.12). Чтобы выяснить смысл множителя 2 в формуле (5.1.12), заметим, что
ji if длят^О,
\ cos2 m0d0 = < Z (5.1.14)
для т = 0.
Таким образом, нормированной функцией является J — cos τηθ при τη Φ 0 и —
при m = 0.
Ядро Пуассона1 для многочленов Чебышёва, определенных через cosnx,
задается суммой
00
1 + ]Г(2 cos τηθ cos m</?)rm =: Pr(cos 0, cos φ). (5.1.15)
m=l
При </? = О имеем
00
1-r2
^cosmc; r = -—;
1 — j.
m=l
1 + V 2 cos τηθ rm = Λ * r'—r. (5.1.16)
^ l-2rcos0 + r2
Отсюда следует положительность сумм Pr(cos 0,1) при \r\ < 1, из чего, в свою
очередь, ввиду тождества
2 cos τηθ cos τηψ = cos m(0 + φ) + cos m(0 — </?)
следует положительность функции Pr(cos 0, sin 0) при \r\ < 1.
В конце этого параграфа мы приведем некоторые результаты о нулях
многочлена Гт(х). Легко вычислить их точные значения. Так как cosm0=O
при 0 = (2n + l)7i/2m, многочлен Гт(х) имеет т простых нулей на интервале
(—1,1), соответствующих cos(2n + l)7i/2m, где п = 0, 1, 2, ..., т — 1. Отметим,
что нули многочленов Гт(х) и Гт+1(х) не могут совпадать. Также следует
заметить, что между соседними нулями многочлена Гт(дг) — cos[(2k + l)7i/2m]
и cos[(2k + 3)7i/2m] —найдется при п>т нуль многочлена Гп(дг). Это можно
объяснить тем, что мы всегда можем найти такое неотрицательное целое число
Z<n — 1, что
2fc + l 2Z + 1 2fc + 3
2гп 2п 2m *
Подобные свойства нулей многочлена Гп(х) имеют место и вообще для
ортогональных многочленов.
ι Ядра Пуассона введены ниже.

§ 5.2. Рекуррентные соотношения
235
§ 5-2. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть α(χ) — неубывающая функция с бесконечным числом точек возрастания
на промежутке [а,Ь], возможно бесконечном. Предположим, что существуют
ь
моменты всех порядков, т. е. определены интегралы § xnda(x) для п = 0,1,2,...
α
Определение 5.2.1. Будем говорить, что набор {pnQc)}o, где р„(х) —
многочлен степени п, является ортогональным относительно меры da(x), если
выполняется условие
ь
(5.2.1)
a
Можно показать, что такой набор {рпМУо всегда удовлетворяет некоторому
трехчленному рекуррентному соотношению.
Теорема 5.2.2. Если положить ρ_ι(χ) = 0, то последовательность
ортогональных многочленов {pnW>o удовлетворяет соотношению
Pn+iW = (AnX + Bn)PnW-CnPn-iW для п>0. (5.2.2)
В данном выражении при η = О,1,2,... коэффициенты Ап,Вп,Сп —
вещественные константы, причем при η = 1,2,... выполняется неравенство Ап_гСпАп > 0.
Если обозначить через кп коэффициент при старшей степени многочлена рпМ,
то
К-п+1 — Άη-n *п
А — η+1 Γ —
п~ l· ' n+l ~ м π
где hn задается формулой (5.2.1).
Доказательство. Сначала определим Ап, потребовав, чтобы pn+iCxO —
-Апхрп(х) являлось многочленом степени не выше п. Тогда
η
Ρη+ιΜ -ΑηχρηΜ = J] bkpkM (5.2.3)
k=0
для некоторых констант bk. Заметим, что если QQc) — многочлен степени т<п,
то из соотношения (5.2.1) следует, что
ь
$pnQc)QQc)daQc) = 0.
a
Из чего вытекает, что bk = 0 при к<п — 1. Для доказательства следует
проинтегрировать обе части выражения (5.2.3), умножив их на рк. Формула (5.2.2)
доказана. Очевидно также, что Ап = -^-. Чтобы окончательно доказать теорему,
умножим равенство (5.2.2) на pn_iCxO и проинтегрируем. В результате получим
ь ь
0 = Ап $ рп Wxpn-iΜ da(x) - Сп $ ρ*_! 00 da{x).
а а
Отсюда ввиду соотношения
к п~1
xPn-iM = -^PnM +Y^dkpkW
п к=о

236
Глава 5. Ортогональные многочлены
следует, что
•jJL-hn-Cnhn_l=0.
/in_l
Теорема доказана. D
Следствие 5.2.3. Справедливо равенство hn = CA0/An)C1C2...Cnh0.
Данное утверждение легко выводится итерациями выражения
Из следствия 5.2.3 видно, что !2-норма многочлена рпМ может быть
вычислена из рекуррентных соотношений. Обращение теоремы 5.2.2 также верно.
Если последовательность {рпМУ удовлетворяет условию (5.2.2), то многочлены
{рпМУ ортогональны относительно некоторой положительной меры. Данный
результат носит название теоремы Фавара (см. [375, § 3.2] и [85, с. 21]).
Замечание 5.2.1. Данная в соотношении (5.2.2) форма рекуррентного
соотношения наиболее удобна при нахождении ρ„+ι(χ) по известным рп(х) и ρη_ι(χ). Однако
в приложениях к другим вопросам иногда удобнее рассматривать другие формы записи
трехчленного рекуррентного соотношения. В частности, полезной бывает форма
апРп+1 M+KPnM+CnPn-lM,
где ап,Ъп и сп вещественны. Подобные вычисления приводят к равенству
Из этого следует, что ап_гсп > О для η = 1,2,... Тогда квадратный корень из 12 — нормы
многочлена р„0Ю, т.е. hn, имеет вид
сгс2...сп
Важным следствием рекуррентных соотношений из теоремы 5.2.2 является
следующий результат, носящий название формулы Кристоффеля—Дарбу.
Теорема 5.2.4. Пусть многочлены рп(х) отнормированы так, что
ь
K=\p2nWdaW = l
а
и кп —коэффициент при старшей степени многочлена рп(х). Тогда
Μρη (У)" Ρη+ι WPn Μ
Рт УУ)Рт Μ = τ —Ζ · (5·2·4)
m=0
Доказательство. Из рекуррентного соотношения (5.2.2) следует, что
Pn(y)Pn+i(*) = i\x + BJPnWPnW-CnPn-iWPnW
и
Рп WPn+i(y) = W„y + Вп)рп(у)рпМ - Cnpn_!(y)pn(x).
Вычитая одно равенство из другого и деля на Ап(х — у), получаем
1 Рп (y)Pn+i 00 ~ Рп MPn+i (У) _
х-у
/ιη-ι х У

§ 5.2. Рекуррентные соотношения
237
Здесь мы воспользовались тем, что Сп = Ап/Ап_г, так как hn = l. Складывая
теперь выражения (5.2.5), соответствующие различным п, мы, пользуясь тем,
что Ап = fcn+i/fcn, получаем требуемый в формулировке результат. D
Замечание 5.2.2. В случае, если hn Φ1, формула (5.2.4) принимает вид
ΣΡτη (у)Рт Μ _ К Ρη+ι МРп Су) - Рп+1 Су)Рп Μ
п К К+1 (x-y)h
Следующее утверждение получается из формулы (5.2.4) при слиянии точек,
т.е. при х = у.
Теорема 5.2.5. Пусть h„ = l. Тогда
Σρ'Μ = JT-CPn+iWPnM-Pn+iWP^M)· (5.2.6)
feo n+1
Доказательство. Перепишем правую часть равенства (5.2.4) в виде
К (Ρη+ι (*) - Pn+i iy))pn (У) - ίρη (*) - ΡηϋΟ)ρ„+ι (У)
и перейдем к пределу при у —> дг. Теорема доказана. D
Следствие 5.2.6. Пусть fc; > 0. Яри всех дг выполняется
P'n+iMPnM-Pn+iMPnW > 0.
Теперь, в конце этого параграфа, мы покажем, как можно найти
рекуррентное трехчленное соотношение для многочленов Якоби. Ранее это соотношение
было выведено нами из граничных условий, однако данный способ нельзя
признать достаточно удобным и практичным. Предлагаемый же метод применим
и к другим гипергеометрическим ортогональным многочленам.
Рассмотрим многочлены
лм=т&глФ°оо=α(-,·π^+1; Ψ)- (5·27)
η = 0, 1, 2, ..., и запишем рекуррентное соотношение в виде
(1 - х)рпМ = Апрп+1М + ВпрпМ + Cnpn_x(x), η = 0,1,...,
полагая р_х(дг) = 0. Найдем Ап, приравняв коэффициенты при (1 —x)n+1.
Остается вычислить Вп и Сп. Подставляя х = 1, получаем
0 = Лп + Вп + Сп,
или же
Bn = -(An + Cn).
Из замечания 5.2.1 видим, что
Οι = An-ihn/hn-i,
где h* — норма многочлена рпМ в 12. Ее значение для многочленов Якоби
вычислено нами в (2.5.14). Итак, рекуррентное соотношение найдено.
Следующий метод одновременно не только позволяет получить
рекуррентное соотношение, но и показывает ортогональность многочленов Якоби.
Очевидно, что
(^)Рп Μ = An+lPn+1W + АпРпМ + A^p^W + ... + Λ0Ρ0Μ. (5.2.8)

238
Глава 5. Ортогональные многочлены
Подставляя х = 1, получаем
Αι = -GVx + Λη_χ + Ап_2 +... + Α0). (5.2.9)
Отсюда следует, что
(^у^)рп(*) = Αι+ι(Ρη+ιΜ -PnW) -A„_i(p„W -p„-iW) + другие слагаемые.
Несложное вычисление показывает, что
Pn+1W-pnW = -^^(^)2F1(-n'"::^ + 2;^). (5.2.10)
Следовательно,
l^2"JP«W" 2 ί+Ί Α«+ιΛ1 a + 2 '~2~J +
l-x2n + a + j8. /_n + i,n + a + j8 + l 1 —χΛ ,
+ ^ 5+1 A"-i2FiV a + 2 ; ~2"J + другие слагаемые.
1—jc
Приравнивая старшие степени —«—, получаем
_ (n + a + l)(n + a + j3 + l)
n+1 ~ (2n + a + j8 + l)(2n + a + j8 + 2)'
Следующая степень дает равенство
А = n(n + j8)
"-1 (2n + a + j8)(2n + a + j8 + l)·
Мы видим, что при вычисленных значениях Ап и Ап_г сумма первых двух
слагаемых в правой части в точности равна многочлену в левой части.
Следовательно, Ап_2 = Ап_3 = ... = А0 = 0, и трехчленное рекуррентное соотношение
получено. Более того, доказана и ортогональность многочленов Якоби, так
как по теореме Фавара подобному соотношению могут удовлетворять лишь
многочлены, ортогональные по некоторой положительной мере1.
§ 5-3. гауссовы квадратуры
С момента возникновения интегрального исчисления существовала
потребность в вычислении интегралов, которые не могут быть взяты точно. Ньютон
для этого брал интерполяцию функции по η точкам и интегрировал
получившееся приближение. Для интерполяции Ньютон использовал многочлены.
Мы будем в этих целях использовать многочлены Лагранжа. Пусть нам даны
упорядоченный по возрастанию набор η чисел хг < х2 <... <хп и произвольный
набор чисел уъ у2,..., уп.
ι Строго говоря, доказано, что многочлены Якоби ортогональны по некоторой мере (не
установлено, какой именно).
Полезно еще иметь в виду такой прием. Пусть D — симметричный дифференциальный
оператор, пусть Df = Xbf, Dg = μgb. Тогда
ь ъ ь
(λ - μ) $ fg dx = $ (D/)g dx- $ f{Dg) dx.
a a a
В правой части после интегрирования по частям остаются лишь выражения от значений /,
/'> ···> g> g'> ··· в точках а, Ь. Читатель может «довести» это рассуждение до соотношений
ортогональности для многочленов Якоби.

§ 5.3. Гауссовы квадратуры
239
Определение 5.3.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа — это
многочлен степени п — 1, принимающий в точках xt значения yt. Такой многочлен
имеет вид
w=Zp^.)(/V (5·31)
где
Ρ(χ) = (χ-χι)...(χ-χη).
Введем обозначение
№= rJ$-Xiy J = 1.2.....n. (5.3.2)
Очевидно, что
Следовательно, если fix) — непрерывная на отрезке [а,Ь] функция с
известными в точках xt на этом отрезке (i = 1,2,..., п) значениями, то
η
— многочлен степени не выше л —1, приближающий fix) на отрезке [а,Ь].
Формула (5.3.3) может быть использована для приближенного
интегрирования. Имеем
Ъ η Ъ η
$ fix) daix) « J] /Ц) $ h W daW = Σ V(*P> ί5·3·4)
где
b
Я;. :=$Z;-00da(x). (5.3.5)
a
Очевидно, что в случае, когда fix) — многочлен степени не выше п—1, в
формуле (5.3.4) имеет место точное равенство. В этом случае Lnix)=/Qc). Существуют
различные способы оценки качества приближения интеграла квадратурами.
Самый простой — через разность между интегралом и его интерполяцией. С
другой стороны, есть весьма эффективный способ повысить точность метода —
максимально возможно расширить класс функций, для которых квадратурный
метод дает точный результат.
В приближенной формуле (2.3.4) для вычисления интеграла используется
2п параметров, Хк и хк. В случае, когда хк заданы, легко найти Xki
обеспечивающие выполнение точного равенства (5.3.4) для полиномиальных функций
fix) степени не выше п — 1. Для этого достаточно потребовать, чтобы значения
аппроксимирующего многочлена совпадали со значениями / в η точках —из
этого будет следовать, что он совпадает с /, если deg/<n — 1. Это максимум,
чего мы можем достичь интерполяционным методом Лагранжа с
фиксированными хк. Если же не фиксировать xki то возможность варьировать каждый из
параметров хк добавляет единицу к степени аппроксимируемого многочлена.

240
Глава 5. Ортогональные многочлены
Таким образом, максимальная степень, которой можно достичь, варьируя все хк,
равна 2п — 1.
Подобная процедура кажется сложной нелинейной задачей, так как нам
требуется решить 2п уравнений, линейных по Xki но нелинейных относительно хк:
η ь
2 А**;* = ξ xjdaW, j = 0,1, ...,2n-l.
Jk=l α
Ответ на этот вопрос дается гауссовой квадратурной формулой, содержащейся
в следующей теореме. Прежде чем ее сформулировать, уточним некоторые
обозначения. Итак, {Рп(х)У — последовательность многочленов, ортогональных
относительно меры daQc):
ь
$PnQc)PmQc)daQc) = 0 для тфп. (5.3.6)
a
Обозначим через х; = х;п = х; п, где j = 1,2,..., η, нули многочлена PnQc). В
следующем параграфе мы покажем, что эти нули простые и лежат на отрезке [а, Ь].
В качестве примера можно рассмотреть многочлены Чебышёва первого рода
Гп(х), имеющие на отрезке [—1,1] по η нулей.
Теорема 5.3.2. Существуют такие положительные числа Ax,...,An, что
для многочлена /(дг) степени не выше 2п — 1 выполняется равенство
ь η
5 /Qc) da(x) = J] A;/(jc;), (5.3.7)
где χ ρ j = l, ...,η определены в тексте перед теоремой, а А; = А;п = А;п
вычисляются по jc;· с помощью формулы (5.3.5).
Доказательство. Пусть /(х) — произвольный многочлен, тогда с
помощью деления с остатком мы получим
/Qc)=PnQc)QQc)+RQc).
Здесь многочлен Рп(х) определен выше, в формуле (5.3.6), а degR<n — 1.
Так как дг; — нули многочлена PnQc), мы получаем
f0Cj) = R0Cj) для j = 1,2,..., π
и, следовательно,
Ь Ь η
5 fix) da(x) = ξ PnWQQOd«W +Σ Я;Я*Р> (5·3·8)
a a ;=1
где Xj определены с помощью равенства (5.3.5). Тогда формула (5.3.7) будет
точна, если будет выполняться равенство
ь
5Pn(Jc)Q(x)da(jc) = 0. (5.3.9)
a
Так как равенство (5.3.9) всегда выполняется при degQQc) <п — 1, формула
(5.3.7) верна для всех многочленов fix) степени не выше 2п—1. Осталось только

§ 5.3. Гауссовы квадратуры
241
доказать положительность параметров Я;. С этой целью заметим, что tf — lj —
многочлен степени 2п — 2, обращающийся в ноль в точках xk, fc = l, 2, ...,η.
Следовательно,
q-ij = pnMQM,
причем deg Q < η — 2. Отсюда следует, что
ь ь
$ (Ζ;2 - lj) daW = $ P„Qc)QQc) daW = О,
а а
и, таким образом,
ь ь
Я; = $ *,(*) da(x) = $ Z;2Qt) da(x) > 0.
a a
Теорема доказана. D
В случае, если /(х) не является многочленом степени не выше 2п — 1, хотя
теорема и не выполняется, правую часть равенства (5.3.7) можно использовать
как аппроксимацию левой. При этом очень важен вопрос о погрешности
приближения. Мы не будем в него углубляться, только докажем, что если /(х) —
непрерывная функция, то правая часть равенства (5.3.7) стремится к левой при
Теорема 5.3.3. Если функция /(дг) непрерывна на конечном отрезке [а, Ь],
то
η Ъ
lim ^Г Xjnf{xjn) = ξ /W da(x),
где А; и Xj определяются так же, как в теореме 5.3.2.
Доказательство. Сначала заметим, что по теореме Вейерштрасса об
аппроксимации (см. упражнение 40 гл. 1) для любого ε>0 существует такой
многочлен pQc), что
|/(х) — рМ\ < e/(2S) для любого χ € [a, b],
где
Положим также, для согласованности обозначений,
Ь η
Kg) = § «(*) da(x) и Jn(g) = J] A;ng(x;n),
где g —произвольная непрерывная на [a,b] функция. Тогда
ь
|ДЯ-ДР)1< $ |/Qc)-pQc)|daQc)<*/2
a
И
η
IW) -UP)I < Σ A;n|/(jc;n) -ρ(*;„)| < e/2,

242
Глава 5. Ортогональные многочлены
следовательно,
|/„CfW(fll < Un σ) - /п (р) I + |/п Ср) - /(ρ) Ι + |/(р) - /(Л I.
Теперь выберем такое п, что 2п — l>degp(x), чтобы выполнялось условие
/п(р)=/(р), а следовательно, и
IWfW(f)l<*.
Из последнего неравенства немедленно следует утверждение теоремы. D
Замечание 5.3.1. Гаусс получил утверждение теоремы 5.3.2 для случая da(x) =dx.
Возникающие при этом многочлены — многочлены Лежандра, имеющие для отрезка
[-1,1] вид
Замечание 5.3.2. В случае da(x)=dx/>/l —χ2 мы получаем многочлены Чебышёва
первого рода. Можно проверить, что
λλ = λ2 =... = λπ,
и равенство (5.3.7) принимает вид
ХюъЬ-ЯК-Ф")
для полиномиальных функций / степени не выше 2п — 1. См. также [453] и упражнения
3-10.
§ 5-4- НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
Как мы видели, многочлены Чебышёва первого рода Гп(х) имеют по η простых
нулей на отрезке [—1,1]. Можно показать, что этим свойством обладают
и многочлены Якоби. Это можно увидеть, если использовать индукцию, теорему
Ролля и представление многочленов в виде
С(1-х)-в(1+хГр^г{(1-х)п+в(1+х),|+р}.
Следующий результат показывает, что данное утверждение верно и для
произвольных ортогональных многочленов.
Теорема 5.4.1. Пусть {Рп(х)} — последовательность многочленов,
ортогональных относительно меры da(x) на отрезке [а,Ь]. Тогда Рп(х) имеет на
отрезке [а, Ъ] ровно η простых нулей.
Доказательство. Предположим, что на отрезке [а,Ь] многочлен РпМ
имеет в точности m нулей нечетного порядка хх, x2,...,хт. В этом случае
Q(jc) = Pn(jc)(jc-x1)(jc-jc2)...(jc-jcm)>0 (5.4.1)
для любого χ из отрезка [а,Ь]. Если т<п, то из ортогональности
многочленов Рп(х) следует равенство
ь ь
$ Q(х) dx = ξ Р(х) · (х - хх) (х - х2)... (х - xm) dx = 0. (5.4.2)

§ 5.4. Нули ортогональных многочленов
243
Однако из неравенства (5.4.1) следует, что интеграл (5.4.2) является строго
положительным. Из полученного противоречия следует, что т = п, и также
отсюда следует простота всех нулей. D
В следующей теореме мы будем обозначать нули многочлена РпМ в
возрастающем порядке хы < х2п <... < хпп.
Теорема 5.4.2. Между каждыми двумя нулями многочлена Рп+\М
находится нуль многочлена Рп(дг). Иными словами, нули данных многочленов разделяют
друг друга1.
Доказательство. По следствию 5.2.6 получаем
Pn+1WP^x)-PnMPUiM < 0.
Так как χ^>η+ι является нулем многочлена Ρη+ιΜ, мы имеем
^Κη+ΐ)Ρή+1^η+ΐ)>°·
Так как все нули простые, значения Ρ„+1(^η+1) Ρ„+1(^+ι,η+ι) имеют различные
знаки. Следовательно, Ρη0χ*,η+ι) и PnCxjt+i,n+i) также имеют разные знаки. Из
непрерывности многочлена Рп следует наличие между Xk,n+iи xk+i,n+i> fc = 1,.», π,
хотя бы одного нуля этого многочлена. Теорема доказана. D
Используя гауссову формулу квадратуры, мы можем усилить утверждение
теоремы 5.4.2.
Теорема 5.4.3. Пусть т<п, тогда между любыми двумя нулями
многочлена РтМ найдется хотя бы один нуль многочлена Рп0с).
Доказательство. Предположим, что между хкт и Xk+i,m нет ни одного
нуля многочлена PnQc). Рассмотрим многочлен
gW =
С* ~" хкт ) С* ~ хк+1,т )
Очевидно, что g{x)Pm{x)>0 для χ Φ (хкт> xk+i,m) - β соответствии с гауссовой
формулой квадратур
Ь η
5 gMPmW daW = J] A;g(x;n)Pm(x;n).
Так как g(x;n)PmQc,m) > 0 и это выражение не может быть равным нулю для всех
j = 1,..., η, ввиду условия Я; > 0 сумма в последнем выражении положительна.
Однако по причине ортогональности многочленов, интеграл должен быть равен
нулю. Полученное противоречие доказывает теорему. D
В завершение этого параграфа мы приведем неравенства Маркова—Стил-
j
тьеса для сумм J] Хк, где j < п. Снова обозначим через х;, j = 1, j2,..., η, нули
Jk=l
многочлена PnQc), упорядоченные по возрастанию.
Теорема 5.4.4. Следующее неравенство Маркова—Стилтьеса верно для j = 1,
2, ..., η:
k=l a fc=l

244
Глава 5. Ортогональные многочлены
Доказательство. По формуле квадратур
Ь η
$ /Qc) da(x) = J] Afc/(xfc), (5.4.3)
a Jk=l
где / — многочлен степени не выше 2п — 1. Как мы уже видели, при /Qc) = l
это дает равенство
JTAfc = SdaCx).
Jk=l a
Если бы равенство (5.4.3) выполнялось для ступенчатой функции
fl, *<*,,
мы могли бы представить J] Afc как § da(jt). Однако /,(.*) не является МНОГОЧЛе-
И^г а
ном (ф тем более степени, не превышающей 2п — 1), поэтому мы воспользуемся
следующим методом. Потребуем от многочленов φη(χ, j) и Фп(х, j) (см. рис. 5.1)
степени не выше 2п — 2, чтобы выполнялись условия
4>nOCk,J) = \n , . (5-4.4)
fl, k = l,...,j,
#-^я = {о, k^n.,» (5Λ5)
И
VnbJXfjM < Ф„(х, J). (5.4.6)
Сначала для доказательства неравенств Маркова—Стилтьеса, мы предположим
существование таких многочленов, а позже и обоснуем его. Подставив
многочлен φη(χ,]) степени меньше чем 2п — 1 в квадратурную формулу (5.4.3), мы
получим
J-1 Ь Ь Xj
Σ Я, = $ ¥>„(*, J) da(x) < ξ /;Wd«W = $ <*α(χ).
ι Стоит отметить аналогию с осцилляционной теоремой Штурма из курса обыкновенных
дифференциальных уравнений.

§ 5.5. Непрерывные дроби
245
Подстановка Фп(дг, j) приводит к неравенству
£*k>$'da(x).
Jk=l a
Вместе эти неравенства дают неравенство
][]Afc<SdaCx)<][]Afc,
Jk=l a Jk=l
т.е., неравенство Маркова—Стилтьеса.
Чтобы доказать существование многочлена φη{χ,)), заметим, что условия
(5.4.4) вместе с условиями
Vn(*b# = 0, k*h (5А7)
определяют многочлен степени не выше 2п — 2. Достаточно теперь показать,
что φη(χ, j) касается, но не пересекает прямую у = 1, пересекает прямую у = О
в точке Xj и нигде не пересекает ее правее χ у Заметим, что если φη(χ,))
пересекает прямую у = 1 в νχ точках и прямую у = 0 в ν2 + 1 точке, то по
условиям (5.4.4) и (5.4.7) многочлен φη{χ,)) — \ имеет не менее 2(j — l) + v1
нулей при Jt<Jtj, а φη{χ,)) имеет как минимум 2(п — ;) + ν2 + 1 нулей, при
*>*,·, с учетом кратности. Из этого следует, что φ'η(χ,]) имеет не менее
2(j —1) + V\ — l + 2(n — j) + v2 = 2n — 3+ vx + v2 нулей. Так как степень
многочлена φ'η равна 2п — 3, и уъ и ν2 должны быть равны нулю. Это доказывает
первое из неравенств (5.4.6), второе доказывается аналогично. Кроме того, оно
является следствием первого неравенства: достаточно заменить хк на Ь—хк и φ
на1 — φ. Ώ
§ 5-5- НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ
Есть связь между ортогональными многочленами и непрерывными дробями
определенного вида. Связь эта активно изучалась и достаточно хорошо описана.
В данном параграфе мы коснемся некоторых ее аспектов и дадим
доказательство интересного утверждения, принадлежащего Стилтьесу.
Пусть {an}J° и {bn}J° — две последовательности комплексных чисел. Мы
будем обозначать непрерывную дробь через
aa a2 a3 re с-η
^ + Μζ+ξ+··· (5·5·υ
Через Сп мы будем обозначать п-ю подходящую дробь, т. е.
г - и -. Ло г - и _l ai - bobi + fli _. Λι
_ _£i_£2_b . Qi _b0Q>1b2 + a2) + <iib2 _mA2
^2-D0l-bi+b2 °0^bi+a2/b2 Ъ^ + Оъ ' Β2·
Определение 5.5.1. Непрерывная дробь (5.5.1) сходится, если существует
предел lim Сп и не определено не более чем конечное число дробей С„. (В дан-
ном выше примере С2 не определена, если B2 = bxb2 + a2 = 0.)

246
Глава 5. Ортогональные многочлены
Определенные нами последовательности {Ап} и {Вп} удовлетворяют
трехчленному рекуррентному соотношению, данному в следующей лемме.
Лемма 5.5.2. При п>\ числа Ап и Вп определяются соотношениями
К = К Λη_χ + αηΛη_2, Α_ι = 1 (5.5.2)
и
Вп = b„B„-i + апВп_2, В_х = 0. (5.5.3)
Доказательство. Заметим, что, так как
Г -h м fll fl2 fl"
С„ — On + 7—Г 7—Г —
ΤΗ
»°^ъг+ъ2+-ъп
cn+i-&o + i—τι—г.
b1+b2+-"bn+bn+1'
мы можем получить Сп+1 из Сп, подставив anbn+1 вместо ап и ЬпЪп+1 +αη+1 вместо
Ьп. Далее, утверждение леммы, очевидно, верно при п = 1. Предположим, что
утверждение верно для чисел до η включительно. Для η +1 имеем
Αι+1 = (ЬпК+l +αη+ΐΜη-1 + αη&η+ΐΑι-2 =
= Ьп+1(ЬпЛп-1 + αηΑη_2) + αη+ιΛι-ι = &η+ιΑι + αη+ιΑι-ι·
Таким образом для Ап результат доказан по индукции. Доказательство для Вп
проходит аналогично. Лемма доказана. D
Для доказательства следующей леммы мы воспользуемся методом,
использованным при доказательстве тождества Кристоффеля—Дарбу.
Лемма 5.5.3. Справедливо равенство
АпВп^-ВпАп^ = (-1)η+1αχα2...αη, η > 1.
Доказательство. Умножим равенство (5.5.2) на Вп_х, а (5.5.3) —на Ап_г
и вычтем одно из другого. Получим
АА-1 - Β,Λι-ι = -αη GViBn-2 - Β„-ι Αη_2) -
Результат теперь можно получить, применив данную процедуру нужное число
раз. D
При сравнении рекуррентного соотношения (5.2.2), которому
удовлетворяет последовательность ортогональных многочленов {PnGc)}, с соотношением
(5.5.3) хочется написать непрерывную дробь
d° 9l £2 (554)
A0x + B0-Alx + B1-A2x + B2-'" к ' J
Для этого случая п-я подходящая дробь является рациональной функцией со
знаменателем PnGc). Обозначим последовательность числителей через {P*Gc)}.
Последовательность {P*Qc)} удовлетворяет тому же соотношению
Pn*+1(jc) = (Anjc + Bn)Pn*(jc)-CnPn*_1(x), п>1, (5.5.5)
однако с иными начальными условиями
Р0*(*) = 0, Р1*(х)=А0.
Предположим, что последовательность {Р„(х)} ортогональна относительно
меры da{x) на отрезке [а,Ь]. Следующий результат показывает связь между
{РпМУ и {Рп*(х)}.

§ 5.5. Непрерывные дроби
2А7
Теорема 5.5.4. Пусть РпМ и Р*(дс) — определенные выше многочлены. Тогда
выполняется соотношение
Р:М = 5уЛХ11™ааЮ, п>0, (5.5.6)
а
с некоторой константой δ.
Доказательство. Если n = 0, to P0(jc) = const и утверждение верно. При
п = 1 имеем Рх (х) = кгх + const и утверждение опять верно при подходящем
выборе δ.
Пусть теперь п>2. Обозначим правую часть равенства (5.5.6) через Rn(x)
и заметим, что
RnM - GVj* + Bn_i)Rn_i Μ + Cn_!Rn_2(x) =
= 5ξ Pn(x)-Pn(t)-(An.1x + Bn.1)(Pn.1(x)-Pn.1(Q) Сп_г{Рп_2Ю-Рп_2Ю)
J x — t x—t ^'
a
= δ I -^-^B^P^iA^x^^P^t) da(f) = δΑηΐ ξ pni(t) da(t) = 0
a a
Таким образом, RnQc) удовлетворяет тем же рекуррентным соотношениям
и начальным условиям что и Р*(х). Теорема доказана. D
Пусть xki fc = l, 2, ..., η нули многочлена Рп(х). Следующий результат
получается при использовании формулы квадратур.
Теорема 5.5.5. В обозначениях теорем 5.3.2 и 5.3.3 выполняется
соотношение
где δ — константа, стоящая в формуле (5.5.6).
Доказательство. Запишем рациональную функцию Р*(дг)/Рп(дг) в виде
дроби
W=v_W_
РЯМ ^Рп'(**)(*-**)'
(Заметим, что степень многочлена Р*(дг) ниже степени многочлена Рп(х).) По
теореме 5.5.4 имеем
wHw^"'0^· (5·5β)
Последнее равенство следует из гауссовой формулы квадратур (теорема 5.3.2).
Теорема доказана. D
Теорема 5.5.5 доказана Стилтьесом [363, статья LXXXI]. Следующий результат
принадлежит А. А. Маркову.
Теорема 5.5.6. Пусть [а, Ь] — конечный отрезок. Тогда для любого χ € [а, Ь]
выполняется равенство

248
Глава 5. Ортогональные многочлены
Доказательство. При всех χ φ [α, Ь] функция —— является непрерывной
на [а,Ь] функцией от t. Из этого наблюдения и теорем 5.3.3, 5.5.5 следует
утверждение теоремы. D
Замечание 5.5.1. Так как Хк>0, вследствие соотношения (5.5.8) нули
многочленов Р*(х) и Рп(х) чередуются.
Замечание 5.5.2. В теореме 5.5.6 мы можем взять также и комплексное х, не
лежащее на [а,Ь]. Обозначив через F(x) правую часть равенства (5.5.9), мы получим
следующее обращение формулы Стилтьеса:
1 г
a(c)-a(d)=-- lim \ lmiF(u + w)}du.
71 v->+0 J
с
Таким образом, мера может быть найдена по F.
§ 5-6. полиномиальные воспроизводящие ядра
В § 5.1 мы заметили, что частичная сумма ряда Фурье в интегральном
представлении дает многочлены Чебышёва третьего рода: Уп(дс) = sin(n +1/2)0/ sin(0/2),
jc = cos0. Более общим образом, можно сказать, что при изучении частичных
сумм с использованием ортогональных многочленов мы получаем
полиномиальные воспроизводящие ядра1.
Пусть {рпМУ — последовательность многочленов ортогональных
относительно меры da(x) на отрезке [а,Ь]. Как и ранее — a><cz<b<oo. Пусть / —
ь
такая функция, что интеграл § f(t)pn(f) da{t) определен при любом п.
a
Ряд, соответствующий ряду Фурье, имеет вид
а0р0 Μ + агрг (х) +... + апрп{х) +..., (5.6.1)
где
ь 1ь
ап = $ ДОРп(0 da{f) / ${pn(t)}2 da{t). (5.6.2)
a /a
знаменатель ап мы будем полагать равным единице, т.е. набор {рпМ} —
ортонормированным. Частичная сумма Sn(x) имеет вид
η Ь Ь
SnW = J] pkW $ ДОр*(0 da{t) = $ f{f)Kn{t9 χ) da{t), (5.6.3)
Здесь
η
Kn{t,x) = ^pk{t)pk(x). (5.6.4)
k=0
Определение 5.6.1. Пусть {pn(x)} — ортонормированная
последовательность многочленов. Тогда последовательность {Кп(х0,х)}> где
η
Кп(х0, х) = J] pk(Xo)PkW,
к=0
будем называть последовательностью полиномиальных воспроизводящих ядер.
ι Β оригинале polynomial kerneh.

§ 5.6. Полиномиальные воспроизводящие ядра
249
Лемма 5.6.2. Пусть QM— многочлен степени не больше п. Тогда1
ь
а
Доказательство. Очевидно, QQc) можно представить в виде
η
QM = Y^akpkM
Jk=0
с некоторыми постоянными коэффициентами ак. Умножая обе части на рДх)
и интегрируя, из ортогональности получаем
ъ
^QWPjWdadt^aj.
а
Лемма доказана. Π
Теорема 5.6.3. Пусть х0<а и оба эти числа конечны. Тогда
последовательность {Кп(х0,х)У является ортогональной относительно (знаконеопреде-
ленной) меры (t — x0)da(t).
Доказательство. Применим лемму 5.6.2 к QiO^it—x^Q^it), где
Qn-i(0 — произвольный многочлен степени п — 1. Теорема доказана. D
Замечание 5.6.1. Подобное утверждение верно и при конечных х0 > Ь.
Замечание 5.6.2. В случае многочленов Чебышёва Тп(х), если х0 = а = — 1, для
jc = cos0 имеем
^^-l,cos0) = i-cos0+cos20-... + (-ircosn0 = (-l)"i5ggi^.
Многочлены
cos(n + ±)e
W„(*)= в > * = cos0,
cos I
называются многочленами Чебышёва четвертого рода. По теореме 5.6.3 многочлены
/1 + jc
{Wn(x)} ортогональны, весовая функция— утз~· Если же взять х0 = Ь = 1, мы
получим многочлены Чебышёва третьего рода Vn(x), ортогональные по весовой функции
[(Ι-χνα + χ)]1'2.
Замечание 5.6.3. Другим следствием теоремы 5.6.3 является то, что если
многочлены {рп(х)У ортогональны, то многочлены qnM, определяемые из
ΡηΜ Ρη+ιΜ _ . п rvVv *
Ш-Ша)-К<1ЛхКХ-а)·
ортогональны относительно (t — a)da(x). Действительно, имеем
v (п ^ _ V PkMPkW _ ΑηΡη(α)Ρη+ι№[Ρη+ιΜ PnMl _„ п ΓνΛ
с некоторой постоянной μη. Из последнего уравнения также следует, что
Vn<lnW-V>n-i<ln-iW = ζ ·
Данный результат потребуется в дальнейшем нам в гл. 6, § 6.4.
ι То есть лемма дает формулу для проектора из пространства I2 на подпространство многочленов
степени не выше п.

250
Глава 5. Ортогональные многочлены
Формула Кристоффеля—Дарбу позволяет дать компактное выражение для
полиномиальных ядер:
KniXo,x) = ^^WP"(*o)-P,,+1(*o)P,,W (565)
Νι+ι χ хо
Если мы выберем х0 = хк, где хк — корень многочлена pnQc), то
Kntxbx) = -^Pn+f^nM. (5.6.6)
Νι+Ι х хк
Вид Кп наводит на связь с формулой квадратур. Ее описывает следующая
теорема.
Теорема 5.6.4. Числа Хк (или Хкп) в формуле квадратур Гаусса имеют вид
Ak = ~tfp^№); (5·67)
а обратные им величины имеют вид
η
1/Xk = Кп(хь хк) = Σ(ρ; (х*))2. (5·6·8)
Доказательство. В формуле Гаусса Хк выражаются как
b pn(t)da(t)
Xk~^vi
Р'пШЬ-ХкУ
Из леммы 5.6.2 и формулы (5.6.6) имеем
1с Ъ 1с
К = "If · jwiCx*W) S *"(*ь°da(t) = ""TjWiCxipiCx*)·
Формула (5.6.7) доказана. Для вывода формулы (5.6.8) в соотношении (5.6.6)
перейдем к пределу при χ —> хк и получим
К(хк,хк) =-Tr^Pn+itek)Pn(xk)·
Νι+ι
Отсюда следует соотношение (5.6.8). D
Как показано в следующей теореме, для полиномиальных воспроизводящих
ядер выполняется свойство максимума, описанное в сформулированной ниже
теореме.
Теорема 5.6.5. Пусть х0 —вещественное число, QM— многочлен степени
не выше η и выполняется условие
ь
$(Q(t))2da(t) = l
a
т.е. многочлен Q(jc) нормирован. Тогда максимальное значение выражения
(QQco))2 достигается при
QM = ±Кп(х0,*)/лДп(хо,*о)
и равно Кп(х0,х0).

§ 5.7. Формула Парсеваля
251
Доказательство. Так как многочлены QQc) имеют степень не больше п,
мы имеем
Q(x) = а0Ро (*) + а\Р\ Μ +... + fliiPiiC*)·
Условие нормировки приводит к равенству
ag + a5 + ... + a; = l.
По неравенству Коши—Буняковского—Шварца
η
[Q(*o)l2 < Σ ^ Σ Ρ* (*ο) = Σ rf(xo) = *n(*o, *o)·
fc=0
Равенство достигается при ак = APfc(x0), где Λ находится из условия
Α2Σρϊίχ0) = 1.
fc=0
Теорема доказана. Π
§ 5·7· ФОРМУЛА ПАРСЕВАЛЯ
Обозначим через Lpa(a, Ь) класс таких функций /, что
ъ
$|/|'da(x)<oo.
a
b
Как всегда, мы предполагаем, что § jcnda(jc) < », для η>0. В этом параграфе нас
a
будет интересовать случай L2a(a, b). Из неравенства
Коши—Буняковского—Шварца следует существование интегралов
ь
5/(x)x"da(x)
a
при всех π > 0.
Теорема 5.7.1. Пусть /€ΐ£(α, b), a QQc)—многочлен степени п,
η
QM = YtakPkW>
fc=0
где {рп(х)У — последовательность многочленов, ортонормальных по мере da(x).
Тогда интеграл
ь
$[/(*)-QQc)]2 da(x) (5.7.1)
а
достигает минимума при
ь
ak = \fMpkMdaM. (5.7.2)
a

252
Глава 5. Ортогональные многочлены
Более того, при таких ак выполняется неравенство
η Ь
2a'<$[/(*)]2daQc). (5.7.3)
к=0 а
Доказательство. Положим
ь
<* = §/(*)?*(*) da(x).
a
Из ортогональности многочленов {рп00} получаем
0< $[/Qc)-QQc)]2da(x) = $[/(χ)-Σα*Λ(χ)] da(x) =
α α fc=0
b η η b η η
= 5[/W]2da(x)-22^c, + 2^= St/Ml'daM-S^ + ^i^-c,)2.
a k=0 fc=0 а k=0 k=0
Последнее выражение минимально при ак = ск. Оба утверждения теоремы
доказаны. D
Следствие 5.7.2. При / €ί,2(α, Ъ) и определенных в теореме ак выполняется
неравенство
00 Ь
2a2<$[/Qc)]2da(x). (5.7.4)
η=0 α
η
Доказательство. Последовательность частичных сумм sn = J] a£ является
Jk=0
ограниченной и возрастающей. D
Неравенство (5.7.4) называется неравенством Бесселя. Исследуем когда
может достигаться равенство. Предположим, что отрезок [а, Ь] конечен.
Воспользуемся следующим результатом из теории меры и интеграла.
Лемма 5.7.3. Для любой функции /€l£(a,b) u всякого ε>0 существует
такая непрерывная функция g(x), что
ь
$[/Q0-g(x)]2daQc)<*.
a
Теорема 5.7.4. Пусть отрезок [а,Ь] конечен. В обозначениях теоремы 5.7.1
верна формула Парсеваля
* ь
2a2=$[/Qc)]2da(x). (5.7.5)
k=0 a
Доказательство. Возьмем функцию gQc), указанную в лемме 5.7.3. По
теореме Вейерштрасса об аппроксимации для всякого ε > 0 существует такой
многочлен QnQc), что
ь
$teQ0-Qn(*)]2daQc)<*.

§ 5,7, Формула Парсеваля
253
Отсюда следует неравенство
ь
$ [fM - QnM]2 daM < 4ε, (5.7.6)
α
η
По теореме 5.7.1 мы можем выбрать QQc) = Σ акрк Μ с коэффициентами afc
Jk=0
заданными формулой (5.7.2). Как и в доказательстве теоремы 5.7.1, получаем
из неравенства (5.7.6), что
Ь η
\иМ]2ааМ-^а2к<4е.
a k=0
Так как ε может быть сколь угодно мало, теорема доказана. D
Следствие 5.7.5. Пусть [а, Ь] — конечный отрезок, /€l£(a,b) и для всех
η > О выполняется равенство
ь
$/Qc)xnda(x) = 0. (5.7.7)
а
Тогда /(*) = 0 почти везде.
Доказательство. Поскольку ак = 0 для любого fc, из формулы
Парсеваля (5.7.5) следует, что
$[/Qc)]2daQc) = 0.
ь
Следствие доказано. D
В упражнениях 24—28 этот же результат дается для бесконечных интервалов.
Доказательства даны в книге Стоуна [365].
Замечание 5.7.1. Можно дать другое доказательство. Пусть QM удовлетворяет
условию (5.7.6), тогда из формулы (5.7.7) и неравенства Коши—Буняковского—Шварца
следует
ν2 гь \2
($[/Qt)]2 daM] = U f MUM-QnM] daM]
ь
$[/(х)]2daM $UM-QnM]2daM.
ь
Отсюда получаем
ь
\UM]2daM<4e,
а
и следствие доказано.
Следствие 5.7.6. Пусть /€ΐ£(α,ϊ>) (как и в следствии 5,7,5),
η
snM = Y^akpkM,
Jk=0
причем, коэффициенты ak взяты в соответствии с формулой (5.7.2). Тогда
ь
WsnM-fM\\22=\[snM-fM]2daM^0 при n->«.

254
Глава 5. Ортогональные многочлены
Доказательство. Данный результат показывается в процессе
доказательства теоремы 5.7.4. D
Если отрезок [а,Ь] не является конечным, то, вообще говоря, теорема
5.7.4 и ее следствия неверны. В качестве примера можно рассмотреть (см.
упражнение 20 гл. 1)
da{x) = ехр(—χμ cos μπ) dx, /Qc) = 8ίη(χμ sin μπ), 0 < μ < 1/2.
Тем не менее существуют важные примеры многочленов, ортогональных на
бесконечных промежутках, в частности многочлены Лагерра на (0, оо) и
многочлены Эрмита на (—оо, оо). в следующей главе мы покажем, что в их случае
утверждение теоремы 5.7.4 верно.
§ 5-8. производящая функция моментов
В этом параграфе мы получим представление в виде непрерывной дроби для
производящей функции моментов ][] μηχη, где
Ь
Mn = (l,t")=$tnda(t). (5.8.1)
a
Подход, изложенный здесь, принадлежит Годсилу [166], в его книге
содержится более подробная информация об алгебраических комбинаторных методах
в теории ортогональных многочленов. В данном параграфе мы предполагаем
у читателя минимальное знакомство с терминологией теории графов.
Пусть G — граф с η вершинами. Определим матрицу смежности A = A{G)
следующим образом: Λί; = 1, если i-я и j-я вершины являются соседними, т. е.
соединены ребром, иначе Ai; =0. Ребро {i,j} мы считаем состоящим из двух дуг,
(i,j) и 0, i). Путем на графе называется перемежающаяся последовательность
вершин и дуг, где каждая дуга соединяет соседние с ней в последовательности
вершины. Если первая и последняя вершина в последовательности совпадают,
путь называется замкнутым. Длиной пути называют число дуг в нем. По
индукции несложно установить следующий результат: число путей из точки i в точку;
длины т равно (Am)i;·, т. е. элементу матрицы Ат, стоящему на пересечении i-й
строки и j-ro столбца.
Нам потребуется рассматривать направленные ребра с весом *, элемент СА)у
будет равняться весу дуги (i,j). Для этой матрицы мы сохраним обозначение
A = A(G). Положим
</>(G,jc) = detQcJ-A(G))
и
^(G,x)=J(An)/.
Тогда W;;(G,jc) — производящая функция для числа путей в G из i в j. Пусть
W(G,x)— матрица с элементами W^(G,jc). Очевидно,
W(G,x) = ^AV.
ή>0
ι Под «весом» подразумевается кратность; ниже она не обязательно является целой.

§ 5.8. Производящая функция моментов
255
Из того факта, что A adjCA) = det(A) J, где adj(A) — матрица присоединенная к А,
имеем
W{G,x) = χ-ιφ{Ω,χ-ιΥι adj(x_1/-A). (5.8.2)
Отсюда получаем
Щ&х) = x-l<p{G\i,x-lV<ptG9x-l)9 (5.8.3)
где G\i — граф, получающийся из G удалением вершины i.
Проделанные рассуждения имеют связь с ортогональными многочленами,
которую мы сейчас раскроем. Пусть {рпМУ — последовательность
ортогональных многочленов, удовлетворяющая рекуррентному соотношению
Рп+ιΜ = (x-an)pn(x) -bnpn_x(x), n > 1. (5.8.4)
Все многочлены предполагаются имеющими старший коэффициент единица.
Рассмотрим матрицу
I 1 ах Ь2
А=\ 1 а2 Ь3
ν ·· '··;
Занумеруем ее столбцы и строки неотрицательными целыми числами.
Обозначим через Ап матрицу состоящую, из η первых строк и столбцов матрицы Л.
Отметим, что, раскладывая det(jc/ — An) по последней строке, мы получаем
det(x/-An) = 0с-ап_1)рп_1М-Ъп_1рп-2М=РпМ-
Следовательно, рпМ является характеристическим многочленом матрицы Ап.
Заметим, что матрица А является матрицей смежности для некоторого
взвешенного графа G с множеством вершин, занумерованных неотрицательными
целыми числами. Если взять только первые η вершин графа G, то матрицей
смежности получившегося подграфа Gn будет Ап.
Производящую функцию моментов ][] (1, tn)jcn мы будем понимать как
некоторый формальный ряд. Чтобы найти ее представление в виде непрерывной
дроби, нам потребуется следующая лемма. Предположим, что μ0 = (1,1) = 1.
Лемма 5.8.1. Для неотрицательных η выполняется равенство
μη = (1,χπ) = (Λη)οο.
Доказательство. Заметим, что WC)00 = (A^)00 для k<2n + l, так как
замкнутый путь длины не больше 2п + 1, начинающийся в точке 0 не может
содержать вершины с номером больше п. Следовательно, (рп(А))00 = (рп(Лп))оо.
Мы уже видели, что при п> 1 многочлен рп(х) является характеристическим
многочленом для Ап. По теореме Гамильтона—Кэли рп (Ап) = 0, и, следовательно,
аРп) = (Рп(А))оо
при п>1. При п = 0 равенство выполняется по определению. Утверждение
теоремы следует теперь из того, что хп является линейной комбинацией
многочленов Ро,ръ...,рп. □

256
Глава 5. Ортогональные многочлены
Теорема 5.8.2. Для определенных в формуле (5.8.4) коэффициентов ап и Ъп
выполняется равенство
х% х2Ъ2
Ун t»)xn = —ϊ xbl xb2
Zju,c jx ΐ-χα.-1-χα,-Ι-χαο'"
n>0
Доказательство. Обозначим через Ank матрицу, получающуюся из Ап
отбрасыванием к первых строк и столбцов. Положим
qn-kW = detU-xAntk).
Заметим, что
<р&п9 χ) = det(xJ-An) = xn detQ-x-lAn>0) = jc^QT1)
и
4>(Gn\0,x) = det(xJ-Antl) = x^detd-jrXi) =xtlr'lqn^x'1).
Из равенства (5.8.3) и двух последних равенств следует, что
х Woo(Gn,x )- y(GwX) -x -^дргу. (5.8.5)
Разложение det(jc/ — An) по первой строке приводит к равенству
qnM = (1 -xa0)qn_l (χ) - x\qn-2 W>
или
gn-lW _
qnM 1-хао-х2ЬгЧп-2М/Чп-1М'
По лемме 5.8.1 мы получаем
]Г(1, t")*n = ΣWn)oo^n = ^oo(G,x) = Ит ^^.
Этот факт вместе с соотношением (5.8.6) доказывает теорему.
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) Доказав, что
(5.8.6)
l + V2cosmflrm= * \—J
^Н l-2rcos0 + r2
выведите положительность ядра Пуассона для Тп(х) на интервале —1 < г < 1.
б) Вычислите ядро Пуассона
sin(m + l)fl sin(m + l)v> m
si)
sin 0 sin y>
ffl— V
для ί/η(χ). Обратите внимание на его положительность при —1 < г < 1.
в) Покажите, что ядром Пуассона для многочленов sin(n +1/2)0 является функция
00
£] гп sin(n +1/2)0 sin(n +1/2) φ =
_ (l-r)sin(0/2)sin(y/2)[(l-r)2 + 4r(l-cos(0 + y))/2cos(0-y)/2]
~ [l-2rcos(0 + <^)/2 + r2][l-2rcos(0-¥>)/2 + r2]

Упражнения
257
2. Пусть функция / имеет на [а,Ь] непрерывные производные до порядка η
включительно и хг < х2 <... < хп — точки на этом же отрезке. Докажите следующую
интерполяционную формулу Лагранжа с остаточным членом:
/(дс)=1п(х) + ^Р(х-дс1)(дс-дс2)...(х-дсп).
Здесь а < min(x,хг,х2,...,хп) < ξ < max(x,xl9 x2,..., хп) < b, a Ln(x) —
интерполяционные многочлены Лагранжа (определенные с помощью формулы (5.3.1)) со
значениями f(Xi) в точках xif i = 1,2,..., п.
Обзор результатов упражнений 3—10 содержится в книге [453]. Также в ней есть
ссылки на упоминаемые ниже работы Эрмита и Фейера.
3. В обозначениях упражнения 2 положим
η
Ln(x) = ^Ak(x-x1)(x-x2)...(x-xk).
fc=0
Покажите, что
* =y w
1 4f (^-^ι)···(^-^-ι)(^·-^+ι)···(^-^)
Теперь пусть х}г = а + (j — l)h, j = 1,2,..., п. Докажите, что
где
Δ/(χ;.)=/(χ;+1)-/(χ;.)
и
Az/(jc;) = A(Ai-1/(jc;·)).
4. Возьмем Z;(x), определенное в формуле (5.3.2), где Р(х) положим равным
(х-хг)(х-х2)..Хх-хп).
Проверьте, что Vj(Xj)=P//(xj)/P/(Xj). Покажите, что функция Я(х), определенная
формулой
(где уг, у2,..., уп> у[, у2,..., у'п заданный набор 2п вещественных чисел), удовлетворяет
условиям H(Xj)=yj и H'(Xj)=y' (Через Я' обозначена производная функции Я.)
Докажите, что если / имеет производные порядков до 2п, то
/Qc) = HQc) + ^^P2Qc),
где в определении функции Я полагаем у; =/(х;) и y' = f'(Xj), ξ лежит в том же
интервале, что и раньше.
5. В предыдущей задаче примените к /(*) гауссову формулу квадратур и покажите,
что
Ь п г (2п) f л &
$ fix) da(x) = Σ Afc/(xfc) + J—ψ $ P2(x) da(jc), a < r? < b.
Здесь {Рп(х)У — последовательность ортогональных на [a,b] относительно меры
άα{χ) многочленов со старшим коэффициентом единица.

258
Глава 5. Ортогональные многочлены
6. а) Покажите, что для многочленов Лежандра
nW 2пп\ άχΛ }
выполняется равенство
б) Воспользуйтесь формулой Кристоффеля—Дарбу и покажите, что
г Pn(OPn-iM-PnMPn-i(t) ,2
\ t-x η'
Pnit)Pn-iM-PnMPn-i(t) ^2
-1
в) Выведите из п. б), что если хк> к = 1,..., п —нули многочлена Рп(х), то
1
ρ„ω
nPn-iW'
г) Используя упражнение 5 и уже доказанные части данного упражнения, получите
формулу
у max Ljnpn_liXk)p>iXk)+ [(2п)1]з 2n + l'
где -1 < ξ < 1.
7. (Эрл€агп) Используйте многочлены Чебышёва ддя доказательства следующей
формулы, аналогичной г):
С /М dx = - Ϋ ffcos (2fc-D*n π (2η)
где —1 < ξ < 1. Заметьте, что в этом случае все Хк равны —.
кп
8. а) Докажите, что корнями многочленов Чебышёва Un(x) являются cos—-, Jc = l,
2кп
2, ..., п, а корнями многочленов Vn(χ) — соответственно cos- -, к = \, 2, ..., л.
(Напомним, что Tn(cos0) = cosn0 и i/n(cos0) = sinn0/sin0.)
б) Докажите квадратурные формулы
~l fc=l
где — 1 < ξ < 1. Конечно же, различным функциям / отвечают разные ξ.
9. (Фейер) Докажите, что при хк = cos — выполняется неравенство
\ T»Mdx >о
Указание. Перепишите интеграл в виде
(-l)b-i^^t ™ηθ ο sinedfl,
Π J COS θ — COS0fc

Упражнения
259
где 9к = -—~ , примените формулу Кристоффеля—Дарбу и проинтегрируйте
почленно.
10. (Фейер) Докажите, что если Un(xk) = 0f то
Ц.М
_\ U'n(xkKx-xk)
dx>0.
11. Пусть {РпМУ — ортогональная последовательность многочленов, хк, к = 1,2, ...,п,—
нули многочлена Рп(х). Рассмотрим разложение Рп_1(х)/Рп(х) в сумму простых
дробей
Рп-гМ
*nM
fc=l
*-*fc
Докажите, что ак > 0.
12. В обозначениях леммы 5.5.2 покажите, что
£=*+!<-»
fc=l
fc+lala2-afc
при условии b( φ0, ΒΐφΟ (1 < i < π).
13. Докажите, что если последовательность многочленов {Рп(х)У удовлетворяет
соотношениям
РпМ = (A^x + B^Pn-iM-Cn-iPn-iM при π > 1
и Ρ_α(λ:) = 0, то
ад =
Д0* + Яо 10 0
Са Агх + Вг 1 0
0 С2 А2х + В2 1
0,-2 A,-2* + Sn-2 1
Cn_! A^X-bB^
14. В условиях упражнения 13 предположим, что А„ = 1 при всех п, a Cn = |dn|2 = dndn.
Тогда нули многочлена Рп(х) являются собственными значениями матрицы
f-B0 dx 0 ... 0 0 0 "\
5ι -Βι d2 ... 0 0 0
do —В2 do
*.0 0
dn_2 —Bn_2 dn_j
0 dn_! -В,
n-lj
15. Докажите следующие рекуррентные соотношения для многочленов Лагерра и Эрми-
та соответственно:
а) (n + l)L«+1(jc) = (-Jc + 2n + a + l)L«(jc)-(n + a)L«_1(jc), п = 0, 1, 2, 3, ...;
б) Яп+1(х) = 2дсЯп(х)-2пЯп_1(х), п = 0, 1, 2, ..., H0Qt) = l, Н.1(х) = 0.
16. Пусть {pn(jc)>Q — ортонормированная по мере da(x) последовательность
многочленов. Положим
ь
μη = \χηάα(χ), π = 0,1,2,...

260
Глава 5. Ортогональные многочлены
Докажите, что
рпМ = сп
мо μι Μ2
μι Μ2 мз
Мп+1
Μη-1 Μη Μη+1 ··· М2л-1
1 jc jc2 ... jc"
где константа Сп находится по формуле Сп = (Dn_iDn) 1/2, a Dn является
детерминантом [Mfc+rnlfc.m^.l η·
17. Докажите, что в обозначениях упражнения 16 выполняется равенство
рпМ = сп
μ0χ-μι μ\Χ-μ2
μλχ-μ2 М2*~Мз
Μη-ι^-Μη
Mn^-Mn+i
|μ„_ΐ*-μ„ μηχ-μη+1 ... μ2„-2*-μ2η-ΐ |
18. {Гейне) Докажите, что в обозначениях упражнения 16 выполняются равенства
с ъ ъ n-i
P„W = ~ $ ... $ Π(χ"^ Π (Xi-xj?da(x0)da(xl)...da(xn_1)
α ί=ο
b b
0<i</<n-l
D"=(^TTiS--S Π (^-^)2da^o)daUi)...daUn).
α α 0<i<j<n
(Ссылки на Гейне см. в [375, с. 27].)
19. (Стилтъес) Пусть 1> Xj (α, β)>χ2(α,β) >...>*„ (α, j8)>—1 — корни многочлена Яко-
би Рп(а^Ч*)· Покажите, что при а> — 1 и β > — 1 выполняются неравенства
S<0' !f>0· *=1.2...·.π.
Действовать предлагается следующим образом.
а) Подставьте в квадратурную формулу Гаусса (теорема 5.3.2) α=—1, Ь = 1 и da(x) =
= (1—χ)α0.+χγ dx. Взяв производную по α, получите
1 η η
ξ /Qc)(l - х)а(1 + χΫ 1η(1 - jc) dx = Σ A;/'Qc;)*;(a) + J] AJ/(x,).
j=i
J=l
б) Положите /(x) = {Pn(a,^)W}2/(^ — **) и покажите, что
S{ln(l-x)-ln(l-^}(l-s)°(l+x)^"y_^ dx = Xk{a.y-^{^—(.xk)) ·
—1 *
Теперь следует заметить, что выражение в фигурных скобках и [х-хк) имеют
различные знаки. Утверждение —£ > 0 доказывается аналогично.
др
20. (Марков) Обобщим результат упражнения 19. Пусть ω(χ, τ) — весовая функция,
зависящая от параметра τ, положительно определенная и непрерывная при а<х<Ь,
Tj < τ < τ2. Предположим, что частные производные — существуют и равномерно
непрерывны при а<х<Ъ, τχ <τ <τ2, а интегралы
θτ
θτ
$*fc^£^d*, k = 0,l,...,2n-l,

Упражнения
261
сходятся равномерно на любом отрезке τ' < τ < τ", лежащем в (τα, τ2). Если хг(т) >
> *2(τ)> — > *η (τ)— нули многочленов Ρη (χ) = Ρη (χ> Ό (ортогональных
относительно ω (χ, τ)), то к-й нуль .χ* (τ) является возрастающей функцией переменной τ,
а —-/ω — возрастающей функцией переменной χ, α <χ < b.
σΤ
21. Пусть ω (χ) и W(x) — две непрерывные положительные весовые функции на [а,Ь],
W(x)
и пусть функция —рг является возрастающей. Докажите, что если {хк} и {Хк} —
нули соответствующих ортогональных многочленов, упорядоченные по возрастанию,
то
хк <Хк, к = 1,..., п.
Указание. Примените результат упражнения 20 к функции ω(χ, τ) = (1 — τ)ω(χ) +
+ tW(x).
Доказательства утверждений упражнений 19—21 и соответствующие ссылки можно
найти в [375, § 6.12 и § 6.21].
22. Используя результат упражнения 20, покажите, что для нулей многочленов Якоби
ρ(α>β\χ) при α, β € [—1/2,1/2] верно неравенство
2fc-l ^ ^ 2k ь ι о
23. Пусть {рп(х)}q —последовательность многочленов, ортонормированная
относительно меры da(x), и пусть
η Ь
sn(x,/) = sn(x) = 2cfcpfc(x), где cfc = ξ /(x)pfc(x) da(x).
Докажите, что
ь
/(x0)-sn(x0) = $[/(*o)-/(*)]Kn(x,x0)da(x).
a
24. Предположим, что функция /: [0, <») —>R непрерывна и lim /(χ) = 0. Покажите, что
Jf—»0О
функция /(χ) может быть равномерно приближена функциями вида e~ajfp(x), где
ρ (χ) — многочлен, а a — фиксированная положительная константа.
25. Докажите, что если /€LP(0, <»), р> 1 (или / — ограниченная измеримая функция)
и (для некоторого заданного а) выполняется условие
§ /(х)е~аххп ах = 0 для π = 0,1,2,...,
то /(х) = 0 почти всюду.
26. Предположим, что функция /: (—оо, oo)->R непрерывна и lim /(x)=0. Покажите,
что /(х) может быть равномерно приближена функциями вида е~а р(х), где р(х) —
многочлен.
27. Докажите, что если /€LP(—оо, оо), р> 1, и
$ /(x)e-aVxn dx = 0, π = 0,1,2,...,
— 00
то /(х) = 0 почти всюду.

262
Глава 5. Ортогональные многочлены
28. Покажите, что
fc=0
2-*-f> Г(п + 2) Г(п + а + β + 2) P„(ff}ООР^Ск) -Р^Cx)P„(ff V)
2η + α + 0 + 2 ' Γ(η + α + 1)Γ(η + 0 + 1) дг-у
29. а) Докажите что многочлены Лежандра Р„(х) являются решениями уравнения
(1 -χ2)/'- 2ху' + п(п + 1)у = 0.
б) Покажите, что многочлены QnW = « 5 -!з~ dt, χ ^ [—1,1], также являются
решениями уравнения из п. а).
в) Покажите, что QnW=PnWQ0W — УУп_г(х), где Wn_x —многочлен степени п — 1,
задаваемый соотношением
При —1<х<1 доопределим Qn(x) соотношением Qn(x)=Pn(x)Q0(x) — Wn_l(x)J по-
лагая Qo(x) = - In γ—^.
г) Докажите следующие рекуррентные соотношения:
(2п + 1)хРп(х) = (п + 1)Рп+1(х) + πΡη_!(χ), η = 0,1,...,
(2η + l)*Qn(χ) = (η + l)Qn+1M + nQn-iW, π = 1,2,...
д) Докажите, что
£(2fc + DQ*(*)Q*(y) = M^QoW + (n + 1)[Qn+iWQnO0-QnMQn+i(y)]
и
η
-^+]T](2k + l)[Q*Qc)]2 = fa
е) Покажите что 0„(χ) имеет η +1 нуль при — 1 <χ < 1 (см. [148]).

ГЛАВА 6
Специальные ортогональные многочлены
Специальные ортогональные многочлены начали появляться в математических
исследованиях раньше, чем была осознана польза соответствующего общего
понятия. Так, Лаплас использовал многочлены Эрмита в своих исследованиях
по теории вероятности, а Лежандр и тот же Лаплас пользовались в работах
по небесной механике многочленами Лежандра. Большая часть этой главы
посвящена многочленам Эрмита, Лагерра и Якоби. Эти многочлены наиболее
активно изучались и имеют наиболее долгую историю.
Мы воспроизведем принадлежащий Вильсону вывод гипергеометрического
представления многочленов Якоби из определителя Грамма. Также мы покажем
два различных способа получить производящую функцию для многочленов
Якоби. Один из них, принадлежащий Якоби, использует обратное преобразование
Лагранжа. В другом используется замечательное рассуждение Эрмита о виде
интеграла от произведения многочлена и производящей функции. Затем мы
используем эту производящую функцию для описания поведения многочленов
Якоби Рп Μ при больших п. С помощью теоремы Невэ из асимптотического
поведения Pn(a,/3)Gc) мы найдем их весовую функцию.
Важным является и тот факт, что классические ортогональные многочлены
являются гипергеометрическими. Для нахождения интегральной формы
многочленов Якоби мы воспользуемся формулой дробного интеграла Бейтмена для
гипергеометрических функций, выведенной в гл. 2. Данный результат будет
полезным при доказательстве утверждений о положительности сумм многочленов
Якоби. Следуя Бейли, мы с помощью преобразования Уиппла находим формулу
линеаризации произведения двух ультрасферических многочленов. Один из
простейших примеров линеаризации —формула
cos τηθ cos ηθ = «[cos(m + ή) θ + cos(m — ή) θ].
Мы увидим, что формула линеаризации для некоторых ортогональных
многочленов эквивалентна формуле интеграла для произведения трех таких
многочленов.
Также мы кратко обсудим связь между ортогональными многочленами
и комбинаторикой. В последние годы она активно изучалась Вьенно, Годсилом
и многими другими. Мы проведем два комбинаторных вычисления интеграла
от произведения трех многочленов Эрмита.
Завершается глава кратким введением в теорию q-ультрасферических
многочленов. Мы мотивируем это обсуждение следующей проблемой,
сформулированной и решенной Фельдхеймом и Ланцевицким. Предположим, что f(z)
аналитическая функция и |/(ге1в)|2 является производящей функцией
последовательности многочленов pn(cos0). Могут ли многочлены pn(cos0)
образовывать какую-либо иную последовательность ортогональных многочленов,
кроме ультрасферических многочленов? Ответ дается интересным нелинейным
разностным уравнением, которое удается точно решить.

264
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
§ 6.1. МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА
00
Как известно, интеграл § е~*2 dx играет важную роль в теории вероятности
—00
и многих других разделах математики. Его значение было вычислено в гл. 1.
Подынтегральное выражение обладает различными интересными свойствами.
В частности, оно является своим собственным образом Фурье. Действительно,
е~х2 = ± I e~t2e2ixtdt. (6.1.1)
Существуют разные способы доказательства этого равенства (см. упражнение
1). Интеграл сходится равномерно в любом круге |дг| < г и мажорируется в нем
сходящимся интегралом
-4= I e-^e^i dt.
▼ —00
Следовательно, интеграл можно дифференцировать по х. Получаем
dxn fR j{
$ e-t2tne2ixtdt. (6.1.2)
сГе-*2 (2i)n
\ e ι e αι. ^ο.
—00
Многочлены, ортогональные относительно нормального распределения е"*2,
называются многочленами Эрмита. Они могут быть заданы формулой
HnW = (-l)V2^. (6.1.3)
Несложно проверить, что HnQc) является многочленом степени п.
Из равенства (6.1.2) следует, что
НпМ = ("2l^e I e-t2tne2ixt dt. (6.1.4)
Докажем ортогональность многочленов HnQc), т.е. равенство
00
5 е-*гНп{х)Нт{х) dx = 2"п! л/π 5тп. (6.1.5)
—00
В соответствии с определением (6.1.3) интеграл можно переписать в виде
Пусть п>т. Проинтегрируем η раз по частям и получим, что интеграл равен
нулю. Случай тп = п будет рассмотрен позже.
Многочлены Эрмита имеют простую производящую функцию.
Действительно, из вида подынтегрального выражения, содержащего tn, следует равенство
у Д.00 гп = efl г е-,*е2*С*-г) dt. (6.1.6)

§6.1 Многочлены Эрмита
265
Вычисляя интеграл с помощью формулы (6.1.1), мы получаем производящую
функцию для HnQc):
£MOrn = ew (617)
п=0
Производящей функцией можно воспользоваться для вывода некоторых свойств
многочленов Эрмита. В частности, существует следующее представление этих
многочленов:
1п/2\ к
«"W = Era^2· с6·1·8)
к\(п-2к)\
к=0
Его можно получить, положив
а2хг-г> _ V &*УГР V С"1^2*
2 = У . ,
Z-j p! L·^ q\
р=0 r q=0
и сравнив коэффициенты при гп в левой и правой частях равенства.
Из формулы (6.1.8) следует, что
^f^ = 2"n!. (6.1.9)
Теперь мы можем завершить доказательство формулы (6.1.5). Интегрирование
по частям при т = п приводит к соотношению
— 00 —00
где последнее равенство получается с помощью формулы (6.1.9).
В предыдущей главе мы видели, что ортогональные многочлены
удовлетворяют некоторому трехчленному рекуррентному соотношению. Чтобы найти
соответствующее соотношение для многочленов Эрмита, заметим, что функция
F(jc,r) = e2xr"r2
удовлетворяет условию
g-(2x-2r)F = 0.
Подставляя вместо F ряд из формулы (6.1.7), получаем рекуррентное
соотношение для многочленов Эрмита:
Нп+1(х)-2хНпМ +2пНп^х) = О, η = 1,2,... (6.1.10)
Другое соотношение можно вывести из условия
^-2rF = 0.
дХ
Отсюда следует, что
Н'пМ = 2пНп_1М, π = 1,2,... (6.1.11)
Исключая Нп_гМ из соотношений (6.1.10) и (6.1.11), получаем
Яп+1 (х) - 2хНп(х) + Н'пМ = 0.

266
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Продифференцировав последнее равенство и снова воспользовавшись
формулой (6.1.11), получим
Н'^х) - 2хН'пМ + 2пНпМ = О, η = 0,1,2,...
Итак, многочлены Эрмита Яп(х) удовлетворяют линейному
дифференциальному уравнению второго порядка
и" - 2хи! + 2пи = 0. (6.1.12)
Это эквивалентно утверждению о том, что функция
VM = e-x2/2Hn(x)
удовлетворяет уравнению
V" + (2n + l-x2)V = 0.
Интегральное представление (6.1.4) многочленов Эрмита можно также
применить для получения в конечной форме ядра Пуассона для многочленов
Эрмита1
00
у #nOO#n(y)rn = (! _ r2yl/2e[2xyr-(x2+y2)r2]/(l-r2) (6.1.13)
п=0
В соответствии с формулой (6.1.4) мы получаем
* —00
Следовательно, при \г\ < 1 левая часть равенства (6.1.13) принимает вид
!—^ $ $ e-^-ti+2**+2to-attrdsdt.
— 00 —00
Теперь соотношение (6.1.13) будет получено, если мы дважды воспользуемся
формулой
С e-a2x2-2bxdx=Vneb2/a2
J α
в записанном выше двойном интеграле. Корректность проделанных переходов
следует из абсолютной сходимости задействованных интегралов.
Другой способ получить равенство (6.1.13) состоит в использовании
трехчленного рекуррентного соотношения. Обозначим через К (г, х,у) ряд в левой
части равенства (6.1.13). Из соотношений (6.1.10) и (6.1.11) получаем
дК γ Нп_г(х)Нп(у) γ HnMHn+ljy)
дх Ljl 2η~ι(η-1)\ £-* 2пп\
η=1 η=0
_ „„, V Нп(дг)Нп(у) γι Н.МН^ОО
-ΔΤ* 2-ι 2"π! Γ rZj Σ-Ηη-Ι)!
η=0 η=1
ι Это формула Мелера.

§6.1 Многочлены Эрмита
267
Следовательно,
к-2гук-г^
и, благодаря симметрии относительно замены χ на у и наоборот,
— = 2гхК — г—.
Из последних двух уравнений получаем
1 дК 2гу-2г2х
К дх 1-г2 '
и, следовательно,
2гху — г2х2
\пК = —frp— +*(У>г),
или
X = h(y,r)e(2r^-r2jf2)/(1-r2).
Вновь использовав симметрию по дг и у, получаем
Подставляя дг = у = 0, находим с(г):
~ , Я2(0)г"
!
η=0
В соответствии с формулой (6.1.8) мы получаем
Я2п(0) = (-1)п^ и Я2п+1(0) = 0. (6.1.14)
Следовательно,
с(г)=ν %§¥-=έ^=α- ν>τν\
η=0 η=0
Таким образом, мы дали еще одно доказательство равенства (6.1.13).
Замечание 6.1.1. Из формулы (6.1.13) можно формально вывести интересное
свойство преобразования Фурье. Умножив обе части равенства (6.1.13) на Нп{у)е~у2 и
проинтегрировав по у по (—оо, оо), получаем
-7= $ £ -?== Hniy)dy = HnMr».
V π _оо VI—Г2
Ясно, что формула верна при |г| < 1. Переходя к пределу при г —> ί получаем, по крайней
мере формально, что
_1= ξ е^е-^/2Яп(у) dy = ine~*l2Hn(x). (6.1.15)
Данное соотношение показывает самовзаимность (self-reciprocity) многочленов Эрмита.
Также из него видно, что е~*,2Нп{х) является собственной функцией преобразования
Фурье с собственным значением ίη. Существуют различные способы доказательства

268
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
соотношения (6.1.15), один из них описан в упражнении И1. Также можно обратиться
к упражнению 12, в котором воспроизводится доказательство Де Брюйна неравенства
Гейзенберга с помощью соотношения (6.1.15).
§ 6.2. МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА
Многочлены Лагерра являются ортогональными относительно распределения
e~xxadx, где а>— 1. Определение многочленов Эрмита и доказательство их
ортогональности, демонстрируемой формулой (6.1.5), наводит на мысль об
изучении многочленов вида
х~аех£;(е-ххп+а).
Из правила Лейбница следует, что данное выражение является многочленом
степени п. Многочлены Лагерра определяются формулой
LnM := ir£(e"V+a) для π > 0. (6.2.1)
Легко проверить, что
к=0 К
Ортогональность многочленов Лагерра описывается соотношением
I LamML«Mxae-x dx = Г(а+п" + 1)5тп, a > -1. (6.2.3)
о
Интеграл из левой части равенства (6.2.3) можно записать как
о
Положив п>т и проинтегрировав η раз по частям, получим, что интеграл
равен нулю. Для случая т = п следует сначала заметить, что равенства (6.2.2)
мы имеем
£ι;« = (-υπ,
и, таким образом, интегрирование η раз по частям с последующим вычислением
интеграла гамма-функции дает соотношение (6.2.3).
Производящая функция для 1£(х) имеет вид
Στ«(γΛΓη = V Г"(а+1)" V (-n)fc** = V (-*}* V (а+1)"Г" =
Ьп^г Zj п! Zj(a + l)fcfc! Zj (a + l)fck! Zj (n-fc)!
V (-s)*r* γι (a + k + l\rn _гл-а-1 V (-*r)fc _
Zj fc! Zj π! u r; Zjfc!(i-r)fc
fc=0 n=0 fc=0
= (1 - гГа~1 exp(-jcr/(l - r)). (6.2.4)
ι Вот еще одно упражнение по функциональному анализу. Обозначим через V(r) интегральный
оператор в L2(R), ядро которого есть выражение (6.1.13), умноженное на е~(д^+-)Г"2. Тогда этот
оператор ограничен при |г| < 1, унитарен при |г| = 1, а V(i) — преобразование Фурье.

§ 6.2. Многочлены Лагерра
269
Обозначим производящую функцию за FQc,r). Легко видеть, что
(l-r)2f£ + [x-(l + a)(l-r)]F = a
Отсюда получаем трехчленное рекуррентное соотношение
(п + l)L°+1Qc) + (х- а - 2п - 1)Ι«(χ) + (η + α)Ι«_χ(χ) = 0 (6.2.5)
для π = 1,2,3,...
Для вывода дифференциального уравнения, которому удовлетворяет 1£(х)
получим сначала соотношение для производной L"Qc). А именно,
Х^1ЕГ = nLn М ~(п + α)Ιπ-ι ПРИ п > L (6·2·6>
Эта формула получается из соотношения
a_r)g+rF = o,
которое влечет равенство
—^ fa— + !„_! (х) = 0 для η > 1. (6.2.7)
Исключая liJLxQO из соотношений (6.2.5) и (6.2.7), получаем
dLa Ос) dLa (x)
(y-n-D-j^ + Cn + l) % +(2π + 2 + α-χ)ί°(χ)-(π + 1)ί°+1(χ) = 0
для π > 0. Заменяя в этом уравнении π на π — 1 и подставляя вместо (d/djOljj^Oc)
соответствующее выражение из формулы (6.2.7) получаем уравнение (6.2.6).
Продифференцировав уравнение (6.2.6) и применив к полученному
результату соотношения (6.2.6) и (6.2.7), получим
d2La (x) dLa(x)
χ £ +(α + 1-χ)-^ + πΙ°(χ) = 0 дляп>0. (6.2.8)
Следовательно, функция и = !£(*) является решением линейного
дифференциального уравнения второго порядка
хи" + (а +1 - х)и' + пи = 0. (6.2.9)
Так как нормальное распределение является частным случаем
гамма-распределения1, должна существовать возможность выразить эрмитовы многочлены
через многочлены Лагерра. Такое выражение имеет вид
Н2тМ = (-Dm22mm!i;1/2(jc2) (6.2.10)
и
H2m+i(*) = (-Om22m+1m!xL;f (χ2). (6.2.11)
Для доказательства того, что H2m(x) = CLm Qc2) для некоторой константы
С = С(т), достаточно показать, что для всякого многочлена q(x) степени не
выше 2т — 1 выполняется равенство
1 .2
~*хае~х dr. Если в нопмальном пастгоелелении —e~*t
ι Гамма-распределение — это Г(а) lxae xdx. Если в нормальном распределении —е * dy сде-
лать замену у = У*, то мы получим частный случай гамма-распределения.

270
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Всякий многочлен можно разложить на сумму четного и нечетного. Для
нечетных многочленов q соотношение очевидно. Если же многочлен q четный, то
его можно представить в виде q = rQc2), где г— многочлен степени, не большей
т — 1. Теперь для у = х2 получаем
00
SC/2(y)r(y)y"1/2e^dy = 0.
о
Интеграл равен нулю благодаря ортогональности многочленов 1^ 00.
Величину С можно найти подстановкой х = 0. Соотношение (6.2.11) доказывается
аналогично или дифференцированием равенства (6.2.10).
Существуют и другие связи между интегралами по нормальному и по
гамма-распределениям. Интеграл Пуассона получается из гамма-интеграла
предельным переходом. Это дает еще одну связь между многочленами Лагерра
и Эрмита.
По формуле Стирлинга
\{$Ie~ix~a)jh^^=ie~x2dx пРиа^°°-
Замена χ = а + u/V2a дает соотношение
00 -__ 00
$ (l + y|u)ae-VE"du—► § e~x*dx приа-оо. (6.2.12)
Соотношение ортогональности для L"(x) приводит к соотношению
jj(L°(*))Ve-'d*=r(n+n? + 1).
О
Полагая х = а+ V2au, получаем по формуле Стирлинга
5 (f)n[Ln(«+v^u)]2(l+y|u)V^udu-
-V«/2
г-2пд + п/аГ+а+1/2е-п ,, 0 10,
~ у/п — при а -> оо. (6.2.13)
Сравнивая соотношения (6.2.12) и (6.2.13), можно предположить, что
lim(J )П\(а+ ν^χ) = (-1)"^. (6.2.14)
α->οο\α-/ π Π!
Данное соотношение можно доказать, используя производящие функции
многочленов Эрмита и Лагерра. Детали мы оставляем читателю. Также можно
воспользоваться рекуррентными соотношениями или определениями (6.2.1)
и (6.1.3).
При изучении многочленов Эрмита мы пользовались интегральным
представлением функции е"х . Подобный прием полезен и при изучении
многочленов Лагерра. Из формулы (4.11.25) следует равенство
00
е-ххп+а _ ^ (A/3rt)n+ae-tJn+a(2A/Jrt) dt.

§ 6,2, Многочлены Лагерра
271
Применяя формулу (4.6.1), мы получаем интегральное представление для I" (х)
при а>— 1:
ΙζΜ = ^^ 11п+а^а(2у/*)е-<dt. (6.2.15)
о
Читателю предлагается проверить, что из формулы (6.2.15) легко можно
найти производящую функцию многочленов Лагерра. Кроме того, из равенств
Ji/2W = visinx и J-i/2M = vJC0SX
L-V*W = "77= I е-***2*1 cos(2VH) dt
oo
iy2(x) = -=$= ^ e-f2t2n+1 sin(2^H) dt.
следует, что
о
Сравнивая полученные равенства с формулой (6.2.4), получаем альтернативное
доказательство соотношений (6.2.10) и (6.2.11).
Отметим еще несколько полезных элементарных соотношений:
£W = -!£}(*), (6.2.16)
£ [xaLan (χ)] = (η + α)*"-1!""1 (χ), (6.2.17)
£ [e-'I^(jc)] = -e-'I«+1 (x), (6.2.18)
£ [xae"'I«(jc)] = (η + l)*-1^!^ (x). (6.2.19)
Мы докажем формулу (6.2.19), прочие соотношения получаются подобным
образом. С помощью формулы (6.2.2) и преобразования Куммера (4.1.11) получаем
£[xV*I«(x)] = £±&£[х«е*А(-п; а+ 1;х)] =
= τέ[ϊ°ιίι("+α+1;α+1;-ϊ)]=
(α+1)η γι (η + α+1)>(-1)*(* + α)***'-1 «(α + 1)η α-1 γ. (n + q+l)t(-x)»
π! Zj (a+l)Jt! η! * Zj (a^fc!
fc=o * fc=o *
= ^px^e-ViC-n-1; a; jc) = (n + Dx-^I^JW.
Формулы (6.2.17) и (6.2.18) допускают следующее обобщение в виде
интегралов дробного порядка. Чтобы обобщить соотношение (6.2.17), мы используем
формулу
^"-Vafab + M;*) = ffjrff) SU-O^t'-VjCajbjOdt (6.2.20)
при Ι1βμ> 1. (См. формулу (2.2.4).) Перепишем это равенство в виде
«^М = r(j9-a)+rfn++a+l) ^У^^СО* (6.2.21)

272
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
при β > α. Формула (6.2.18) принимает несколько другой вид:
е-хКМ = ψφ-j S(r-x)'—differ)Л
(6.2.22)
для β>α. Ниже мы дадим доказательство, использующее формулу (6.2.21),
ортогональность и полноту системы 1"(х). Доказательство полноты дано в § 6.5.
Заметим, что
00
$x*Ijf(x)l£Cx)e-*dx =
о
= l^Sil) Sl£Cr)e-dxS(r-t)^-^iyt)dr =
= Щ^ЩтГ, 5wf[5 Ijl Cx)Cx-t)'-1e-dx]dt. (6.2.23)
Применяя соотношение ортогональности (6.2.3) к равенству (6.2.23), получаем
о Lt
I^W(JC-t)^_a-1e-JCdx
dt =
Γ(/3-α)Γ(η + α+1)
Γ(η + 1)
Из формул (6.2.3), (6.2.23) и (6.2.24) следует соотношение
(6.2.24)
оо Г оо
iiWix-t^-'e-1 dx-VL (Ое-4
dt = 0
при n = 0,1,.... Теперь в силу полноты системы L"(x) имеем (6.2.22).
Формула ядра Пуассона для многочленов Лагерра имеет вид
n\LanMLan(y)r"
Σ "-ШШ- = O-D-e—™-'W4(^)
(6.2.25)
n=0
для |г|<1 и а>—1, где /а — модифицированная функция Бесселя порядка а.
Формула (6.2.25) доказывается с использованием производящей функции (6.2.4)
и формулы (6.2.19). Перепишем левую часть равенства (6.2.25) в виде
ϊχ^ΓΪ) Σ LnaWr" Σ (a+l£]fc! " Σ Г(к + £+1)1к! Σ(π + υ^π^Wr"·
(6.2.26)
Чтобы найти выражение для внутренней суммы, применим формулу
производящей функции
]Г If kMrn = е-^/(1-г)/(1 - г)а+к+\
п=0

§ 6.2. Многочлены Лагерра
273
Умножим обе части на хк+ае х, возьмем fc-e производные и используем
формулу (6.2.19). В результате мы получим
Л- Х> + l)kL°n+k Mr" = а^)а+м£к[х^е-*^] =
dk
П + Wn+k W'" = П-гу**+1
n=0
(l_r)a+fc+i Zj (l-r)nn! (i-r)«+w Zj (l-r)"n!
n=0 n=0
= (i^^i iFi№ + a + l;a + l;-x/(l-r)). (6.2.27)
С помощью преобразования Куммера (4.1.11), примененного к функции jFj,
можно увидеть, что выражение (6.2.27) равно
(1 -г)-*+1 (" + 1)к lFl (~fc; " + 1; У/(1 ~ Г»е~*/С1~Г) =
= а_^^цгсх/а-г))е^о^.
Применяя полученный результат к внутренней сумме в формуле (6.2.26),
получаем
Zj Γ(η + α + 1) (i-r)a+1Zj Г(к + а + 1) Vl-rJ ' lo.z.zoj
n=0 Jc=0
Сумма в последнем выражении может быть переписана следующим образом:
Z-iZj r(/ + a + l)/!k!Vl-rJ VI —гУ
fc=0 j=0 v ^
^ i-x/g-rW γ. (-уг/(1-г))^(-гС-Л,·
j=0 Jk=0
=Σ ШШ Σ !=2ΖΤ£ίί - *-""-" №Tw*»* -r».
Последнее уравнение получено разложением в ряд модифицированной функции
Бесселя /а(дг). Это заканчивает доказательство формулы (6.2.25) *.
Из формулы (6.2.25) мы можем вывести формулы преобразования Ганкеля
и обратного преобразования. Приведенные здесь рассуждения можно проделать
с достаточной строгостью. Подробности можно найти в [424, с. 64 — 70], где
ι Стоит отметить оригинальный вывод этой формулы (Вера Миллер-Лебедева, 1907). Рассмотрим
оператор
D = jc-^ + (a+l-Jc)-f.
dx2 dx
Мы хотим явно записать его как экспоненту в виде
exp(rD)/(jc) = $ К (χ, у; r)/(y)e^ya dy.
Для этого мы делаем преобразование Лапласа по х. Получается дифференциальный оператор
первого порядка. Его экспонента легко считается, после чего делается обратное преобразование
Лапласа.

274
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
формула обратного преобразования Фурье получена из ядра Пуассона для
многочленов Эрмита.
Итак, пусть
Тогда равенство (6.2.25) можно переписать в виде
*ЪуЛ~**™~°~Г%>™*-«>-±+.ЬЖЬ*. (6.2.29)
п=0
Пусть f{x) — достаточно гладкая функция с конечным носителем. В таком
случае fix) имеет разложение Фурье—Лагерра
00 /00
/Μ = Σ(5 /Су Wn(y) dy V W.
η=(Λθ /
Умножая равенство (6.2.29) на /(у) и интегрируя, получаем
00 °° 00
S /(у)Я(х, у, 0 dy = Σ г/>п(*) $ /(у W„(y) dy f.
0 n=0 0
Переходя к пределу при t —»е~Я1, получаем
00 °° 00
$ /(y)e^/2/a(^2) dy = Σί-1)η $ /(у)^„(у) dy xpnix) =: g(x). (6.2.30)
О n=0 0
Следовательно,
00
g(x) = $ /CyVaCv^) dy. (6.2.31)
о
Как мы увидели, g(x) имеет разложение Фурье—Лагерра, что, по определению
функции gix), дает равенство
00 00
$ gix)xpnix) dx = (-1)" $ fix)xl>nix) dx.
о о
С помощью аналогичных рассуждений, проделанных при выводе формулы
(6.2.31), можно получить, что
00 00
$ gMJAVW) dx = ]Г(-1)П $ g(y)i/>n(y) dy Ψ„Μ =
η=0
= SS/(y)^n(y)4y^nW=/W· (6.2.32)
π=0 Ο
Формулы (6.2.31) и (6.2.32) можно переписать в виде пары Ганкеля
00 00
4fiy2)Ja(.xy)ydy = g{x2), $g(jc2)j„0«y)*djc = /(y2). (6.2.33)

§ 6.2. Многочлены Лагерра
275
В этом месте стоит отметить, что в пределе соотношение (6.2.21) дает первый
интеграл Сонина (4.11.11). Данный факт следует из того, что
lim n-aL"(x/n) = x-a/2Ja(2jx). (6.2.34)
П->оо п
Если в образе обратного преобразования Ганкеля первого интеграла Сонина
(4.11.12) мы заменим χ на x/t и в полученной формуле заменим t на 1/5, мы
получим
J J,Cx) Jx(xs)x^x dx = —±—r*tf -1)*-""1,
при λ>μ>— 1. Обратное преобразование Ганкеля приводит к равенству
^μΜ = Γ(Α-μ)2^-ι \ S_A(s2 " V^hW»ds
при μ < Я < 2μ 4- 3/2. Перепишем это соотношение в виде
*-%(*> = щ^) 5 ^^ωα2-*2)*-"-1 л,
где —1 < μ < Я < 2μ + 3/2. Это выражение является аналогом формулы (6.2.22).
Второму интегралу Сонина соответствуют соотношения
η
L (α+0+1) (д, + у ) = ^ Ι«(χ)Ι ^(у) (6.2.35)
Jk=0
и
^оо = Γ(α-нцгуц ξ ^(1_0^Ц^^а-о]
Lm+„(°) Γ(α-£) g ι£α» ьГ^Чо)
Формула (6.2.36) получена Фельдхеймом [135]. Формула (6.2.35) выводится
с помощью производящей функции (6.2.4). Формула (6.2.36) доказывается
с помощью представления многочленов Лагерра в виде рядов, вычисления
бета-интегралов и сумм Чу—Вандермонда. При у = 0 соотношение (6.2.35)
эквивалентно равенству
к=0
Данное соотношение является следствием формулы (6.2.4). Детальное
рассуждение приведено в § 7.1. Последняя формула эквивалентна соотношению
С r0rvV«rvW«p-* Λν - r(n-fc + /3-q)r(fc + g + l)
Формулой (6.2.38) можно воспользоваться для того, чтобы показать, что
разложение Фурье—Лагерра для xa~^L^{x) дается в терминах 1„ (дг) формулой
Хае-Ча(х) = у Г(п-»с + 0-а)Г№ + а + 1)Г(п + 1) £gf ^ -, (6239)
* е LkW Zjr(n-lk + l)r(/3-a)r№ + l)r(n + /3 + l)L"WJC е * №·*·-»'

276
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
где α>(β —1)/2. В теореме 6.5.3 и замечании после нее показано, что это
условие на а и β необходимо для сходимости. Заметим, что формула (6.2.39)
является обращением формулы (6.2.37). Так же как интеграл Сонина и его
обращение могут быть использованы для решения двойственных интегральных
уравнений, формулы (6.2.37) и (6.2.39) могут быть применены для решения
двойственных последовательностей уравнений, содержащих многочлены Лагер-
ра.
Теорема 6.2.1. Пусть заданы α, λ,с, причем с> (Я — 2а — 1)/2,а, Я>— 1.
Тогда если существуют такие достаточно малые ап и Ьп, что
00
ап = ξ хс/(хЩМхае~х dx, η = 0,1,...,Ν,
о
00
Ьп = $ /Qc)L*Qc)xV* dx, η = Ν +1, Ν + 2,...,
ο
и выполняется равенство β = а + с, mo
гМ_\ГТГ Пп-к + β-α) Г(п + 1) д
JW"ZjZjr(n-fc + l)r(j8-a)a'cr(n + i8 + l)-«W
n=0 fc=0
Ег№-П + 1)Г(я4)Г(^а-И)Ь^^· С6·2·4*»
n=JV+l Jk=n
Доказательство. Из формулы (6.2.37) получаем
Σ г(п-^^(7Л)°> -1 №«*<- *·
Далее, из формулы (6.2.39) следует, что
Zjr(fc-n + l)r(A-/3)r(n + l)r№ + A + l)°fc J/WLnWxe a*·
fc=n 0
Используя теперь разложение Фурье—Лагерра для fix), получаем формулу
(6.2.40). В случае достаточно малых а и β проделанные рассуждения и
полученные равенства перестают быть чисто формальными. Теорема доказана. D
Аналогично для решения двойственных уравнений на ряды с
использованием многочленов Лагерра можно применить формулы (6.2.21) и (6.2.22).
Теорема6.2.2. Пусть a>5>—lua<min(5 +1,2δ +1). Предположим, что
п=0
U
00
п=0

§ 6.3. Многочлены Якоби и определители Грама
277
Тогда
+ 5 π^δ) [ 5 ζωβ-'α-*)"-5-1 λ]ι« οο*δ dx}.
§ 6.3. МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ГРАМА
Пусть заданы моменты
ь
cn=\xndaW
а
относительно некоторого распределения da{x). Тогда многочлены
РпМ = \ ] (6.3.1)
являются ортогональными относительно того же распределения daQc). На
первый взгляд кажется маловероятной возможность получения какого-либо
более полезного представления многочленов с помощью определителя. Однако
Вильсон [427, 428] показал, что в некоторых интересных случаях с помощью
определителей можно получить гипергеометрическое представление для pnGc).
В данном параграфе мы найдем гипергеометрическое представление для
многочленов Якоби.
Сначала мы обобщим результат (6.3.1) следующей леммой.
Лемма 6.3.1. Пусть {φη}% — последовательность независимых функций.
Тогда последовательность функций {р„(дс)}, определенных формулой
с0
Cl
c„-i
1
Cl
с2
с„
X
с2 .
с3 ·
Сп+1 ·
X2 .
·· сп
·· сп+1
·· С2п-1
.. Хп
Рп(*) = С„
Μο,ο Μο,ι
Μι,ο Μι,ι
Μο,η
Μΐ,η
Μη-1,0 Μη-1,1
Υ>0 Vl
Mn-l,n
(6.3.2)
где
^U = S ViWV;Wd«W,
a Cn постоянны удовлетворяет условию
ь
5 PnWVmW da(x) = 0 для т<п
a
(a(x) не обязана быть положительной мерой, но мы предполагаем, что все
интегралы определены.)

278
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Доказательство. Разложим определитель (6.3.2):
Jk=0
Тогда
$ ΡηΜψτηΜ da{x) = Сп J] А^щк.
(6.3.3)
fc=0
При т < π — 1 правая часть равенства (6.3.3) представляет собой определитель
матрицы с двумя совпадающими строками и, следовательно, равна нулю. Лемма
доказана. D
Замечание 6.3.1. Пусть заданы две последовательности: {φη}% и {ι/>η}ο. Определим
рп (х) аналогично формуле (6.3.2) с помощью формулы
Тогда
/4j = S^Mdaijc)·
5 рп(х)\рт(х)da(x) = О для m<n-l.
Обратимся теперь к конкретному случаю интервала (—1,1) и весовой
функции da(x) = (l— х)а(1 + х)Р dx. Найдем соответствующие многочлены pnQc).
Для этого положим (/^00 = (1—х)к и г/^ОО = (1 + х)к. Можно выбрать и другие
многочлены степени fc, но данный выбор упрощает вычисления. Тогда
μ,,; μι XJ U+Xj ax ζ Γ(α + 0 + 2 + ί + ;)
_ο«+^+,Γ(α + 1)Γ(£ + 1 + 0 24α + 1),
Γ(α + 0 + 2 + ί) '(a + j8 + 2 + i)/ l ;
Теорема 6.З.2. Многочлены вида (6.3.2) с коэффициентами μί>;,
определенными формулой (6.3.4) пропорциональны многочленам Якоби
pC^W=i£L±lil2Fl(-"." + «;^1;l^). (6.3.5)
Доказательство. Вынесем из каждой строки (номера строк ί = 0,..., η —1)
первый множитель и внесем его в константу Сп. За полученной константой
сохраним старое обозначение Сп. Затем вынесем из каждого столбца 2;(а + 1);,
j = 0,..., п. Получившийся определитель будет иметь вид
Μο,ο
Μι,ο
Мод
Ρι,ι
Μο,η
Дм
Μη-1,0 Μη-1,1
Mn-l,,
Ψη
где
Λ J =
(a + j8+2 + i), И V'W 2>(1 + а)/

§ 6.3. Многочлены Якоби и определители Грама
279
Раскладывая по последней строке, получаем
Сп Σ Τ^Τττί^ΐ det№,P o<i<n-i · (6.3.6)
Положим A = a + β + 2. Остается вычислить определитель
Δ(Α, π, fc) = detiTj^-) ο<κη-ι , ΔΜ, 0,0) = 1.
Заметим, что при fc φ 0 первый столбец определителя состоит из единиц.
Рассмотрим подробнее этот случай. Вычтем из л-й строки (л — 1)-ю, из (л — 1)-й
(п —2)-ю, и т.д. В первом столбце останется единственный ненулевой элемент,
стоящий в первой строке и равный единице. Раскладывая по первому столбцу,
получаем
А(Л, л, fc) = detk f 1 ο<κη-ι ·
Но ввиду того что
(лТгЬ^-Ш^=(лТо^[(А+°-(А+г+;' + 1)] =
_ -O' + i) _ -Ο' + υ
Δ(Α,η,fc) - det[(A + 0(A + i + 1)(A+i + 2).]0 ™*»J*·
CA + Oi+2 (A + i)(A + i + l)(A + i + 2)/
имеем1
-O + i)
Теперь —(j +1) является общим множителем в j'-м столбце, а 1/[(А+1)(Α+ί +1)]
в i-й строке. Вынесем их из определителя:
п-1 / п-2
|Д(А + 2,п-1Д-2) =
[п-1 / п-2
(-ί)""1 Πθ, + ΐ)/Π(Λ+ί)(Λ+ί+1)
(-1)""^!
А(Л + 2,л-1Д-1).
kWn-M+Vn-l
Повторяя указанную процедуру fc раз, получаем
А(А,пД) = {1 Π (a^^Ta+^+L-, }*A + *>»-k'V- (6.3.7)
v s=0 '
Напомним, что мы считаем, что fc φ 0. В случае fc = 0 уравнение является
тривиальным, если считать произведение в скобках равным единице. В определителе
A(A + 2fc, л — fc, 0) индекс j, соответствующий столбцам, пробегает от 1 до л —fc,
не принимая значения 0. Следовательно,
АСА + 2fc, л - fc, 0) = det( } )0<1<n-fc-i =
V С А + ZK + l)j+l O^n-Jk-l
_Λχ( 1 ^ _ A(A + 2fc + l,n-fc,n-fc)
-de4(A + 2fc + 0(A + 2fc + i41);J§<j<«4l11 ~ (A + 2fc)n_fc
ι По поводу таких вычислений см. [241].

280
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Вместе с (6.3.7) это дает, после переупорядочения,
п-1
1 ' ' ; к!(п-к)! 1 1 (Л + 25)^.!(Л + 2s + !)„.,_!
Произведение зависит только от η и, следовательно, может быть внесено в Сп.
Подставляя это значение определителя в (6.3.6), получаем
уч (-1)* ία + β + η + 1)Η(ΐ-χγ _Сп r-η,η + α + β + Ι 1-хЛ
c"Zj(a + l)fc fc!(n-fc)! V 2 J π! 2/<1V α + 1 ' 2 У
к=0
Осталось проследить, что Сп = (а + 1)п. В итоге мы получаем
гипергеометрическое представление многочлена P(a»W(*). Теорема доказана. D
Немедленным следствием гипергеометрического представления (6.3.5)
многочленов Якоби является формула для производной:
£{Рп(вЛ(*)} = i(n + a + )8 + l)Pn(!^+1)W. (6.3.8)
В гл. 3 было показано, что 2FAa> Ь; с; дг) является решением уравнения
х(1-х)0 + {с-(а + Ы-1М^-аЬу = О.
Следовательно, и = Р„ ^ является решением уравнения
{1-χ2)ά' + {β-α-{α + β + 2)χ}ά + η(η + α + β + \^ = 0. (6.3.9)
Другим следствием соотношения (6.3.5) является явный вид коэффициента
(α + β + η + 1)η
при хп в Р„ , а именно
2пп!
§ 6.4- ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
(6.3.10)
Производящие функции играют исключительно важную роль при изучении
ортогональных многочленов. Мы уже нашли производящие функции
многочленов Эрмита и Лагерра. В данном параграфе мы двумя различными
способами найдем производящую функцию многочленов Якоби. Один из способов
принадлежит самому Якоби и использует обратное преобразование Лагранжа.
Другим способом функцию нашел Эрмит. Кроме того, в этом параграфе мы
выведем другую производящую функцию, часто используемую при изучении
ультрасферических многочленов.
Как мы уже сказали, производящую функцию многочленов Якоби
можно найти с помощью обратного преобразования Лагранжа. Нам понадобится
следующая лемма. Ее доказательство и некоторые приложения содержатся
в добавлении Д.
Лемма 6.4.1. Пусть φ (у) и f (у) —функции, аналитические в окрестности
точки у = х, и
00
г=Ш = 2а"^-*)П' гд^г^0. (6.4.1)
п=1

§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби
281
Тогда функция /(у) допускает следующее разложение по степеням г:
00
/(У) = /Μ + Σ £|£т(//(*)(¥>(*))',)| · (6.4.2)
Теорема 6.4.2. Производящая функция многочленов Якоби Ρ£αβ\χ) имеет
вид
00
FQc, г) = 2a+PR7l (1 - г + Я)~а(1 + г + R)~* = J] ~Ρηα^ (χ), (6.4.3)
rt=0
где
R=(l-2jtr + r2)1/2.
Доказательство. Выберем функцию ψ (у) = (у2 —1)/2, подставим ее в
формулу (6.4.1) и выразим у. Получим
_ 1 (1-2хг + г2)1/2 _ 1 R
У — г г г г'
Дифференцирование по χ обеих частей равенства (6.4.2) приводит к уравнению
00
В случае /'(х) = (1 — х)а(1 +х)'5 это уравнение принимает вид
в °°
а-уга+у) =(1_x)a(1+x)g+^^g.((1_x)«(1+x)/i(x2_1)n/2n)>
Используем формулу Родрига (2.5.130
(1-χ)α(1 + ^Ρη(α^(χ) = ^£τ{(1-χ)η+α(1 + χ)η^}
и получим
Несложным вычислением проверяется, что
1-У __ 2 1 + у _ 2
1-х l-r + Я 1 + х 1 + г + Я*
Это завершает доказательство теоремы. (См. [213].) D
Если теперь взять за определение многочленов Р,[ (дс) соотношение
00
FQc, г) = 2α+0/Γχ (1 - г + R)~a(1 + г + R)~* = J] Pn(a'^ Qc)rn, (6.4.4)
о
то возникает вопрос об их ортогональности. Случай α = β = 0 дает нам
многочлены Лежандра PnQc). Для них, как установил Лежандр, выполняется соотношение
1 inl+^I \ dx =\ Vpn(jc)Pm(jc)r"smdjc,

282
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
из чего следует ортогональность1. П. Л. Чебышёв [81] применил подобный метод
к многочленам Якоби общего вида. Доказательство было довольно сложным
и свидетельствовало о мастерстве Чебышёва. Более простое доказательство
было дано Эрмитом [191]. Он рассматривал случай многочленов Лежандра, но
его рассуждения очевидно обобщаются для общих многочленов Якоби.
Теорема 6.4.3. Последовательность {Рп (х)} задается условием (6.4.4)
тогда и только тогда, когда она является ортогональной с весовой функцией
(1-х)а(1 + х)0.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
ι °° ι
1т= ξ xmF(x,r)(l-x)a(l+xy*dx = J]rn $ xmPn(a'^x)(l-x)a(l+x)^d*.
-ι η=ο -ι
Положим
(l-2jtr + r2)1/2 = l-ry,
при этом
Тогда
х = у+§(1-у2).
im= ^[y+'-^^Ya-yra+y^dy.
Очевидно, 1т является многочленом от г степени т. В таком случае должно
выполняться соотношение
1
$ xmPn(a^)W(l-x)ad+^dx = 0, n = m + l,m + 2,...
-ι
Это равносильно условию
1
$ p^w^wa -*)aa+χ)β dx=о,
-ι
Докажем теперь обратное утверждение. Снова рассмотрим 1т. Та же самая
замена переменных дает равенство
1т=\[у+Г^ТпХ,г)[^^]а*
-1
x^^'^^fa-rym-yra+y^dy.
Данное выражение является многочленом степени m от г, если выполняется
соотношение
F(jc,r) = C(l-r + l-ryra(H-r+l-ry)^(l-ryr1,
где С —некоторая константа. Чтобы ее найти подставим х = 1 и получим
00 00
F(l, г) = J] Ρη(α'0} (l)rn = J] (a + 1}"rn = (1 - гТ"'1 = С · 2-a^ (l - г)-""1.
Таким образом, С = 2a+/5. D
ι В левой части присутствуют лишь слагаемые с (2s)k.

§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби
283
Замечание 6.4.1. Последняя теорема дает еще один способ находить многочлены,
ортогональные относительно бета-распределения (1—χ)α(1 + χ)β dx. Такие многочлены
должны иметь производящую функцию вида (6.4.4). В этом случае, применив обратное
преобразование Лагранжа, можно установить, что такие многочлены должны иметь вид
Важным подклассом многочленов Якоби ?„*(*) с α = β являются
ультрасферические многочлены. Они отличаются от многочленов Pn(a'a)Qc) другой
нормировкой, что позволяет в случае α = β получить более простую
производящую функцию чем (6.4.4). Эта новая производящая функция полезна при
изучении некоторых свойств ультрасферических многочленов. Чтобы найти ее,
рассмотрим ядро Пуассона
00
^P^W^OOrVb* (a,/3>-D, (6.4.5)
где
пк ^1Ук WJ U X) U + xj ax (2fc + a + /3 + l)r(it + a + /3 + l)r(k + l)·
Полагая в формуле (6.4.5) у = 1, получаем
Γ(α + /3 + 1) γ. (2fc + a + β +1) (a + β + l)k ,αβ) k
2β+"+1Γ(α + 1)Γ(/3 +1) £j (.β + Dk k W *
Заметим, что этот ряд, с точностью до множителя, получается
дифференцированием из ряда
Перепишем эти ряды с помощью гипергеометрического разложения Р,[ (дс)
по степеням (1+ х)/2:
γι γι (1 + a + fi)n+kgx + 1)/2)Ч-1)яг" = γι (l + a + fi)n+2k(x + !)*(-!)nrn+k =
L·L· (n-k)\k\a + fi)k £-* n\k\(l + fi)k2k
п=0к=0 к,п
00 00
2-iL· n\ Jt!(H-j8)fc2fc ^ it!24l + r)a+^+1+2*
k=0n=0 ^ * fc=0
1 ^((1 + а + /3)/2^((2 + а + /3)/2^2*(х + 1)*г*
(l + r)«^Zj Jcl(l + 0)fc(l + r)*
В вычислениях мы воспользовались биномиальной теоремой и тем фактом, что
(a)2fc = 22fc(a/2)fc((a + l)/2)fc.

284
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Окончательно мы получаем
п=0
-о7ЙД5Л(в,+''+а?+Г'+ад!*а+х)/(1+г),> (6А7)
Это и есть производящая функция, которую мы искали. Подстановка α = β
приводит к равенству
(2α + 1)πΡη(α'α)(*)Γη
п=0
Таким образом, можно определить многочлены
Σ (aVl). =OT^(1-f?|;:) --(l-^ + ^-i. (6.4.8)
Γλ(γΛ — (2λ)η pA-q/2).A-tl/2) <-„->
t,»w,~(A + (l/2))/» w
(6.4.9)
с производящей функцией
oo
(1 - 2xr + г2)-я = J] C;J(x)rn. (6.4.10)
При А = 0 полагаем C*(jc) = 0. Таким образом, в дальнейших формулах этот
случай следует понимать как1 А->0. Многочлены C*(jc) называют
ультрасферическими многочленами или многочленами Гегенбауэра. Они являются
ортогональными с весовой функцией (1 — χ2)λ"1^2, где Я>—1/2.
С помощью производящей функции (6.4.10) можно получить важное
выражение для C*(jc). Полагая jc = cos0, разложим левую часть (6.4.10), пользуясь
тем, что
l-2rcose + r2 = (l-reie)(l-re*"ie).
Раскладывая по биномиальной теореме и сравнивая коэффициенты при гп,
получаем
Ф» « - Σ $£&«·*"· - Σ $Г=Ж «0. -«)·. С6-4.Ю
Лс=0 Лс=0
Второе равенство объясняется тем, что С* (cos 0) вещественно, а вещественной
частью функции ei{jl~2k)e является cos(n—2k)θ. В случае Я > 0 из формулы (6.4.11)
следует, что
|Спя(со8 0)|<Спя(1) = ^.
ι Что имеется в виду, неясно. Чтобы получить производящую функцию ln(l — 2xr+r2) для
многочленов Чебышёва Тп{х), нужно продифференцировать обе части равенства (6.4.10) по λ и
подставить λ = 0, см. (6.4.12).

§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби
285
Другое гипергеометрическое представление функции СяСх·) можно получить
при иной факторизации левой части:
α-^+Α-*-α+^ι-^Γ-Σ^α^-
fc=0
= Σ ^^^(.-1Г(.2х)кгк+2" = J] i^(2xr)4-l)nr2'1 =
n,k n,k
n=0
Таким образом,
i^Ht!:?'2·^)·
cnA Or) = ^θχ)·Λ(^:?/2; £)· (6Λ12)
Несмотря на то что ультрасферические многочлены являются всего лишь
частным случаем многочленов Якоби, их исключительная важность побуждает
нас отметить и обсудить некоторые их свойства. При Я —>0 получаем как их
предельный случай многочлены Чебышёва первого рода:
^п+Асхм=) (6413)
-о Я [2Γη0Ο, η = 1,2,...,
lim
я
U^u = T-w· (6Л13'}
При Я —> oo получаем
λ-» Спя(1)
Формула Родрига (2.5.13') принимает вид
(1_х2)я-1/2ся(х) = НЩ^ц.^а+п-^ (6.4.14)
Формулы дифференцирования и трехчленной рекуррентной зависимости
имеют вид
^Ся(х) = 2ХС^\ (х) (6.4.15)
и
пСпяОс) = 2(п + Я - DxC^Cx) - (η + 2Я - 2)Ся_2(х) (6.4.16)
при η > 2; Ся(х) = 1, Ся(х) = 2Ях.
Следует также заметить, что функция u(0) = (sin 0)яСя(соб 0) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
SH<»+»!+wb=°· (6·4·17)
Докажем формулу (6.4.15) с помощью производящей функции для Ся(дг).
Дифференцирование соотношения (6.4.10) по χ приводит к равенству
00 00
Σ Έί€η (*)г" = 2Яг(1 ~ 2xr + r2Ta+1) = 2Xr J] C*+1 (х)г".
п=0 п=0

286
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Отсюда немедленно следует соотношение (6.4.15). Для получения формулы
(6.4.16) следует продифференцировать соотношение (6.4.10) по г. Получаем
00
2А(х-г)(1-2дсг+г2Гя = (l-2xr + r2)2nCnWr"~1·
п=0
00
Левая часть равна 2λ{χ — г) J] C*Gc)rn. Соотношение (6.4.16) можно теперь
п=0
получить, приравняв коэффициенты при соответствующих степенях в обеих
частях последнего равенства.
Установим для ультрасферических многочленов свойство относительного
экстремума. Обозначим через yjf%,k = l, ...,n — 1 нули производной функции
Pn(a'a)Qc). Упорядочим их так, чтобы выполнялось неравенство yjf% < yj^ п,
и положим Уо,п(а) = 1> Уп,п(°0 =—1. Определим
М*,п(«) = 1^}(>^(а))1/^(1М1)а). * = 0,1,..., п. (6.4.18)
Данные числа удовлетворяют неравенствам
μΜ(α) < μΜ_ι(α), α > -1/2, к = 1,2,..., π-1, π = 1,2,... (6.4.19)
При —1 < α < —1/2 неравенства обращаются, а при а = —1/2 имеем μ^,η(«) = 1.
Для а = 0 соотношение (6.4.19) было замечено Тоддом [383] при изучении
графиков многочленов Лежандра. Его предположение было доказано Сегё [374].
Мы докажем формулу (6.4.19) при а = 0 способом, который можно обобщить на
общий случай. Само доказательство общего случая мы предоставляем читателю.
Для начала приведем некоторые необходимые замечания о многочленах
Якоби. Приведенные ниже два тождества следуют из замечания 5.6.3:
(π + α + DP^Kx) - (η + ΐ)Ρ™ω = ^2η + α + β + 2^1-^ρία+ι,β) W> (6.4.20)
(2η + α + β + 1)Ρη(β·Α (χ) = (η + α + β + 1)Ρ^+1-^ (χ) - (η + β)Ρ^ 1β\χ). (6.4.21)
Кроме того, заметим еще раз, что
£j**>Cx) = " + а^ + Ч-^+1)(*) (6.4.22)
и
ρΐα,βϊ (_*) _ (_1)»р ».«) (χ) (6.4.23)
Как и ранее, через Рп(х) будем обозначать многочлены Лежандра Р^0,0)(*). Из
формул (6.4.20), (6.4.23), а затем (6.4.21) получаем
[P„(*)]2-[Pn+iOO]2 = [P»(x)-Pb+i(jO][P„(x) + Wx)] =
= (1-χ)Ρη(1·0)(*)(1 + х)Р„(0'1)(*) =
= (1-*2)
2 (n + 2)P„aiJC>f) - (и + DP^i'Cx) (n + 2)P«-»(x) + (π + 1)Ρη(ΐΊυω
2(п + 1) 2(п + 1)
ί2
Последнее равенство получено из формулы (6.4.22).

§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби
287
Следовательно,
/м == [р„ м]2 + (^[έρ" (Х)Г = [p"+iW]2 + (ϊτ^[έρ"+ι(Χ)Γ·
Среди нулей многочлена /'(х) есть как нули многочлена P^W =Ρ^Μ/29 так
и нули многочлена Р^+1(х) =РП(1,1) Qc)/2. Так как /(х) имеет степень 2п, должно
выполняться
/4χ) = ληΡη(1·1)(χ)Ρη(Ιί)(χ).
Сравнивая коэффициенты при старшей степени, получаем
Ап = 1/(4п + 4).
Ввиду чередования нулей для Pn(1,1)(^) и Р^Ч*) они имеют различные знаки
при укп <х< у^п+1. Следовательно, на этом интервале / (дг) убывает, и для α=О
формула (6.4.19) доказана.
Несложно показать, что
ММ < μ*-ι,η. * = 1.2,..., [η/2], (6.4.24)
где Mjt,n = Mfc,n(0)· Рассмотрим определенную в упражнении 40 функцию /(дг)
при а = )8 = 0. Имеем
/Сх) = [Р«Сх)12 + (17(пЙГ12· (6А25)
Найдя /'(*) можно увидеть, что /Qc) возрастает при 0 < χ < 1. Отсюда следует
неравенство (6.4.24).
Жаж [369] доказал неравенство (6.4.19) способом который работает и при
-К а < —1/2, но не заметил этого. Позже им был получен аналогичный
результат для эрмитовых функций (см. [370]). Упражнение 10 содержит формулировку
этого результата.
В завершение этого параграфа заметим, что многочлены Эрмита и Лагерра
являются пределами многочленов Якоби. Эти пределы можно получать разными
способами, в частности с помощью производящих функций. Заметим, что
lim(l-2f + ^rA = e2-r2,
Я—>оо^· A A J
следовательно,
lim A-"/2C*Qc/A) = Нп(х)/п\. (6.4.26)
λ->οο
Другой способ основан на гипергеометрическом представлении
£l**(l-*/W. Ш uiit g '-"^^"V = ЧИ. (6.4.27,
Из такого предельного представления следует, что свойства многочленов
Лагерра и Эрмита можно можно вывести из соответствующих свойств
многочленов Якоби, однако обычно легче доказывать их напрямую, как мы это делали
в § 6.1 и 6.2.

288
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
§ 6.5- ПОЛНОТА СИСТЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
В предыдущей главе мы уже кратко касались вопроса о представлении
произвольной функции в виде разложения по ортогональным многочленам. В данном
параграфе мы рассмотрим разложения по многочленам Якоби, Лагерра и Эр-
мита. Последние два случая особенно интересны, так как в них мы используем
интегрирование по бесконечным промежуткам. Как и в случае преобразования
Фурье, несложно получить интересующий нас результат для функций из L2(a, b),
т.е. из гильбертова пространства функций, интегрируемых с квадратом. Мы
приведем доказательство полноты многочленов Эрмита и Лагранжа,
принадлежащее Хьюитту [192]. В доказательстве используется теорема единственности
преобразования Фурье для интегрируемых функций, и для полноты изложения
мы, следуя [45, с. 228], приведем комплексно-аналитическое доказательство
данного факта.
Теорема 6.5.1. Если функция f интегрируема на (—<», °°) и
00
—00
то f = 0 почти всюду
Доказательство. Очевидно, что
] /(Ое*(м)Л = 0,
—00
и, следовательно, если а вещественно, то
α oo
I /(t)elx(M)dt = -\/(t)eix(t-a)dt. (6.5.1)
—oo a
Определим следующие две функции комплексной переменной z = x + iy:
а оо
ΙΟ) = ξ /(t)ei2(t_a) dt; R(z) = - $ /(t)ei2(t_a) dt.
—oo a
Видно, что при lmz<0 функция Ι (ζ) определена и при lmz<0 является
аналитической. Аналогично при Im ζ > 0 определена аналитическая при Im ζ > 0
функция R(z). Кроме того, по теореме о мажорированной сходимости и в силу
соотношения (6.5.1) имеем
a
HmLQc + iy)= \ f{t)eix{t-Q4t= limRQc + iy).
Таким образом, функция
(L(>), Imz<0,
RO), lmz>0,
является ограниченной целой функцией1 и, следовательно, по теореме Ли-
увилля является константой. Также из теоремы о мажорированной сходимости
ι По построению F{z) может иметь особенность на оси z€R. Поэтому здесь нужно использовать
какой-либо вариант леммы о стирании особенности.

§ 6.5. Полнота систем ортогональных многочленов 289
имеем
00
lim F(iy) = lim {- \ /(t)e_J'(t-a) dt) = 0.
V—>00 V—>00V J J
J J a
Следовательно, F(z) = 0, в частности F(0) = 0. Отсюда для всех вещественных a
получаем
J /(t)dt = 0,
— 00
что влечет равенство / = 0 почти всюду. Теорема доказана. D
Пусть ρ (О —некоторая интегрируемая с квадратом функция,
экспоненциально убывающая на бесконечности:
pit) = 0(e~a,t|) для некоторого a > О при \t\ -> оо. (6.5.2)
Теорема 6.5.2. Пусть —оо < а < Ъ < оо и p(t)eL2(a, Ъ), причем функция p{t)
удовлетворяет (6.5.2) в случае а = — оо или Ь = оо и не равно нулю для почти
всех L Тогда если f €1?{а,Ъ) и
ь
$f7(t)p(t)dt = 0 для π = 0,1,2,...,
a
то / = 0 почти всюду1.
Доказательство. Определим для z = x + iy функцию
ь
F(z)=5eiztp(t)/(t)dt.
a
Если —oo<a<b<oo F{z) является целой функцией, иначе F — аналитическая
при —а<у<а. Следовательно,
ь
F{n\z) = in\eizttnp{t)f{t)dt.
а
По условию имеем F(n)(0) = 0 для п = 0,1,2,... Следовательно, F(z) = 0 при
—a < у < а, в частности
ь
F(x)=5eixtp(t)/(t)dt = 0.
a
Так как произведение pit)fit) интегрируемо на ia,b), из единственности
преобразования Фурье следует равенство ρ it) fit) = 0. Так как pit) φ 0 почти всюду,
fit) = 0 для почти всех t. Ώ
В следующей теореме под da(x) можно понимать хае~х dx или е-*2 dx. В
первом случае полагаем (а, Ь) = (0, оо), во втором (а, Ь) = (—оо, оо). Соответственно
под ψη будут подразумеваться многочлены Лагерра или Эрмита, нормированные
так, чтобы выполнялись равенства
\ψ2ηάαΜ = 1.
ι Лучше сказать «почти всюду по мере ρ (t) dt».

290
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Для всякой такой функции /, что
ь
$|/Qc)|2daQc)<«>,
a
определим
ь
сп= §/00</?n(x)da(x).
Теорема 6.5.3. Пусть sn= ]Г cktpk. Тогда
к=0
5l/(x)|2da(x) = 2k„l
a n=0
b
lim$[/Qc)-snQc)]2daQc) = 0.
a
Доказательство. Ясно, что для п>т выполняется соотношение
Ъ. η 2 η
S Ес*Ч <*«(*)=Σ|с*'2· (6·5·3)
α m+l m+1
Таким образом, из неравенства
ь
\lfM-snM]2daM>0
а
следует, что
η Ь
ΣΜ2< $|/Qc)|2 da(x). (6.5.4)
Jk=0 a
Из соотношений (6.5.3) и (6.5.4) видим, что {snGc)} является
последовательностью Коши в 1?а{а,Ъ). (Под 1?а(а,Ъ) мы понимаем множество функций,
интегрируемых с квадратом по мере da.) Следовательно, существует такая функция
g€l2, что
ь
lim \ [g(x) -snQc)]2 da(x) = 0. (6.5.5)
П-»оо ^
a
Теперь для n>fc из неравенства Коши—Буняковского—Шварца и того факта,
что норма функции ipk равна единице, имеем
ь ь ь
§ «(*)¥>*(*) da(x) -с*. = ξ [g(*) -sn(x)]</?*(*) da(x) < ξ Ш"5пМ]2 da{x).
a a a
Перейдя к пределу при η —> », получаем
ь
<* = §g(x)</?k(x)da(x).
a

§ 6.6. Асимптотическое поведение Ρ^α'β)(χ) при больших п. 291
И в соответствии с теоремой 6.5.2 почти всюду выполняется равенство / = g.
Из соотношения (6.5.5) следует, что
ь ь
lim $|snQc)|2daQc) = $|/Qc)|2daQc)
a a
и поэтому
2lcn|2 = $(/Qc))2da(*).
n=0 a
Теорема доказана *. D
00
Замечание 6.5.1. В доказанной теореме ряд ][]сп¥?п сходился к / в I2. Поточеч-
о
ную сходимость можно получить, потребовав от / гладкости или кусочной гладкости.
В последнем случае для χ не являющихся точками непрерывности ряд будет сходиться
к1/2[/(х + 0) + /(х-0)].
С помощью теоремы 6.5.2 можно доказать следующее утверждение: пусть
{рпМУ последовательность многочленов ортогональных относительно весовой
функции wQc) = 0(e~cv^) на (0, <»), тогда последовательность {рпМУ является
полной.
Данное утверждение можно доказать с помощью другой последовательности
{qn(x)}, ортогональной относительно xwM на (0, °о). Построим из ρ и q
последовательность {rnQc)} следующим образом:
Ъп Μ = P„U2), r2n+lM = xqn(x2).
Эта последовательность будет ортогональной относительно |дг|ш(х2) на (—«>, <»).
Данное распределение удовлетворяет условиям теоремы 6.5.2.
Следовательно, последовательность {rnQc)} является полной, что влечет полноту системы
ihnW} B пространстве многочленов четной степени, а следовательно, и
доказательство нашего предположения.
Сравните этот результат с комментарием после следствия 5.7.6.
§ 6.6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ Р„ 00 ПРИ БОЛЬШИХ П.
с»
Пусть /(г) = J] апгп аналитическая в окрестности нуля функция с конечным
п=0
числом особенностей на границе круга сходимости. Для определенности
положим радиус сходимости равным единице. Хотелось бы получить оценку ап
при больших п. Рассмотрим, как можно, зная особенности /, приблизительно
найти an. Предположим для простоты, что все особые точки являются полюсами
первого порядка. Пусть сингулярная часть функции / на единичной окружности
имеет вид
l-ftr 1-ftr - 1-ftr·
Данные функции можно разложить по биномиальной теореме. Коэффициенты
этого разложения при г" обозначим Ьп. Функция / — S = ][](an — bn)rn имеет
ι В случае многочленов Лагерра IJJ полнота доказана при а > —1/2.

292
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
больший радиус сходимости, чем был у /. Следовательно,
(ап-Ьп)гп = о(1)
для некоторого г > 1, или
an-bn = o(r-n).
Таким образом, зная Ьп, мы можем оценить αη. Описанная идея составляет
основу метода Дарбу оценки асимптотического поведения ап.
Ввиду того что рассмотренные выше производящие функции имеют п-й
ортогональный многочлен коэффициентом при г", возникает возможность
применения описанного метода к описанию ортогональных многочленов. В этом
случае следует рассмотреть и алгебраические особые точки. Возьмем,
например, производящую функцию многочленов Лежандра, равную (1 — 2jcr + r2)~1/2.
Подставляя jc = cos 0, получаем
/(г) = (1-2хг + г2Г1/2 = (1-гешГ1/2(1-ге-ш)-1/2.
Особыми являются точки r = ew и r = e~w. В окрестности точки r = ew функция
/(г) ведет себя как
g=a-e2Wr1/2a-re-wyv2.
Таким образом, /(г)—g(r) = h(r)(l —ге~1/2)1/2 где функция h(r) непрерывна
в точках ew. Мы видим, что f — g все еще имеет алгебраическую особенность,
хотя уже и является непрерывной. Следовательно, возможно оценить ап — Ъп.
Точная формулировка для общего случая содержится в записанной ниже
теореме. Прежде чем ее сформулировать, рассмотрим случай
/(г) = (1 -rewTx{\ -re~wTx.
Если А> 1, то вычитание слагаемого вида g уже не позволит получить
непрерывную разность f — g. Необходимо вычесть дополнительные слагаемые. Их
можно найти разложив (1 — ге1в)~х по степеням (1 — re~w). При r = ew имеем
/(г) = (1 - re-wyx[l - -β^α - re~w)]~\l -β2ίθΓλ =
Wkf e2W γ,Λ ^-1влк
= (\-re-i9Tx{\-e2ieTXi
'-Jk=0
Если для целого η выполняется неравенство η — Я > 0, то можно взять
ΣΨ(^ϋ»-«-"ϊ
" Wtf "2W
g = (l-re-ierA(l-e2ierAX;^f(^T)(l-re-e)k.
Лс=0
00
Теорема 6.6.1. Пусть1 f{ζ) =^αηζη — функция, аналитическая в \z\<r,
о
r<oo u имеющая при \z\=r конечное число особых точек. Предположим g =
00
= Σ bnzn также является аналитической при \z\ < г и разность f—g непрерывна
о
на \z\ = г. Тогда ап — Ъп = о{г~п) при η —> ».
ι Здесь сказано буквально следующее. Если /ι(г) = J] cnzn голоморфна в круге \z\ < 1 и непрерывна
вплоть до границы, то сп -* 0.

§ 6.6. Асимптотическое поведение Ρη(α,^(*) при больших п. 293
Доказательство. По теореме Коши из условий на f — g следует, что
а«-Ь« = Ш S fJ^^dZ = ^^rei6)-gire^e-^de.
\z\=r О
Применяя лемму Римана—Лебега для рядов Фурье, получаем, что последний
интеграл стремится к нулю при η —> ». Теорема доказана. D
На самом деле требование непрерывности функции /—g на окружности \z\ =
= г в предыдущей теореме является излишним. Достаточно чтобы функция f—g
имела на окружности \z\ = r конечное число особых точек z; и в каждой из них
выполнялось бы равенство
/(*) -g(z) = ΟΚζ-ζρ^-1), ζ -+ zj9
с некоторым постоянным положительным показателем σ;. Об этом см. в
работе [375, § 8.4] и [284, §8.9]1.
Производящей функцией для P^ Q0 является функция
2a+^(l-r+Vl-2rx + r2)~a(l + r+Vl-2rx + r2)~^(l-2rx + r2r1/2.
После замены jc = cos θ указанная функция имеет особенности в точке г = е±1в.
В окрестности точки г = е1в производящая функция ведет себя как
2«+0(ΐ _е'в)-«(1 + ewyP(l -e2i0)"1/2(l -ге"^Г1/2 =
00
= 2α^(1-6ιθ)-α4(1+6ιθ)-Η J] С^^-^п
о
Следовательно,
P^icose) ~ [2a+^(l-eI0)-a-i(H-eI0r^-ie-in0 +
+ сопряженное слагаемое] —ρ2·, π -> оо.
Положим
А = (1 - ешГа4 (1 + eI0)^-i = \А\е~1*,
где
|Л| = г , χ = cos 0.
2(а+0+1)/2^/(1 _^α+Ι ц + χ)^+1
Следовательно,
Pn(a^(cos θ) - ^^2α+^+1|Λ| cosine + ψ).
Заметим, что, с точностью до множителя 2а+^+1(1—дг2)1/2, знаменателем
дроби \А\2 является (1—χ)α(1+χ)^, т.е. весовая функция многочленов Якоби. Это
не случайно. Чтобы сформулировать теорему в форме Невэ [279, с. 141 — 143],
положим
?η+ι Μ = (Апх + Вп)РпМ - СпРп_г(χ), η = О,1,...,
Р_!=0,Р0 = 1 и Ап_гАпСп>0 дляп = 1,2,...
ι Лемма Римана—Лебега верна для любой интегрируемой функции, см. [447, § VII.1].

294
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Теорема 6.6.2. Если ряд
п=0
сходится, то άψ можно выразить соотношением
dipW = грМ dx + d^jumpU).
Здесь функция гр(х) непрерывна и положительна на suppi/>CxO = (—δ, δ), α
ψ^итр00 — ступенчатая функция, постоянная на (—δ, δ). При этом почти на
всем множестве supp(di/>) выполняется предельное соотношение
lim sup{i/>(*)у/δ2 -x2P^x)/hn} = ±.
Особые точки производящей функции многочленов Лагерра устроены
сложнее. Это затрудняет применение к их изучению метода Дарбу, тем не менее
Фейер показал, что это все-таки возможно (см. [375, § 8.2 — 8.3]).
§ 6.7- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
Интегральные представления гипергеометрических функций, в частности, дают
и интегральные представления для многочленов Якоби. В этом параграфе мы
дадим несколько полезных интегральных представлений.
Для начала напомним формулу Бейтмена[49] с интегралами дробного
порядка
где Κ6ο>0,Κεμ>0 и |дг| < 1, если ряд бесконечен. Данная формула является
частным случаем формулы (2.2.4). Мы ею воспользуемся при доказательстве
следующей теоремы (формулы Дирихле—Мелера).
Теорема 6.7.1. При 0<θ<π многочлены Лежандра можно представить
в виде
2 £ cos(n + |)y? 2 г sin(n + !)y?
P"(C0S6)= π \ (2cos^-2cos0)V2^ = ;? \ (2cos0-2cos^/2 ^
Доказательство. Подставим в формулу Бейтмена а = —п, Ь = п + 1, ο = μ =
= 1/2, χ = sin2 (0/2) и t = sin2((/?/2). Получаем
1 с
Pn(cos0) = ±$
2Fi(-n, n +1; 1/2; sin2 (φ/2)) cos(y/2) άφ
{ϊ\η2(θΐ2)-ϊ\η2(φΐ2)γΙ2
Функция 2^ι в подынтегральном выражении — это гипергеометрическая форма
многочлена Чебышёва четвертого рода. Она равна
cos(n+ -^)φ
cos(</?/2)

§ 6.7. Интегральные представления многочленов Якоби
295
Для получения второй формы интеграла следует заменить 0 и </? на π — θ ип — ψ
соответственно и воспользоваться тем, что Рп(—х) = (—1)пРп(дс). D
Воспользовавшись этой теоремой можно, как это сделал Фейер, показать, что сумма
η
многочленов Лежандра ][] Р*(х) не меньше нуля при 0<х< 1. Действительно,
к=0
γι Pfc(1/2>~1/2)(cosfl) _ ^Ц Sjn(fc + 1/2)9 _ fsin(n + l/2)fly* >
Zj p(-i/2,i/2)m ~Zj sin(0/2) ~V sin(0/2) J "
к=0 к v J k=0
Дальнейшие результаты и ссылки см. в [21, лекция 3].
Теорема 6.7.2. При μ > 0, — 1 < χ < 1 выполняются соотношения
Ρη(α+μ·ρ-μ)(1) Γ(α + 1)Γ(μ) JU 7 ρη<α·«(ΐ)1У ; У'
а>-\;
OMltJ Ρη(ί+μ·α-μ)(1) П)8 + 1)Г(м)Ди + У; pf^Q)
/3 > —1;
(l-x)«^ Р.(ач^М 2»Τ(α + μ + 1) £ (l-y)° P^W _ г
Bj (l+x)n+a+1pn(a+">«(i) Γ(α + 1)Γ(μ) J (l+y)«+a+M+1 рЗДц)1-7 J ^
a>-l;
(1 + »)'*' P^fr) 2TQ8 + μ +1) ? (1 + jrV P^OO, ,
(1-χ)η+^+1ρη(Ρ+"·α)(1) Γ(/3 + 1)Γ(μ) Д (1-у)«+^+м+1 p^d)1- yj 7'
/3>-l.
Доказательство. Формула а) получается применением формулы Бейтме-
на и соответствующей заменой переменных в гипергеометрическом
представлении многочленов Якоби.
Формула б) следует из а). Следует воспользоваться тем, что Рп (—*) =
= (-l)nP„tf,a)(x).
Формулы в) и г) можно получить из а) и б) с помощью преобразования
Пфаффа:
2F1(a>cb>;x) = a-x)-a2F1(a>cc-b;x/<ix-l)).
Заметим, что, применяя преобразование к формуле Бейтмена, получаем
Теорема доказана. Заметим, что и формула Бейтмена, и все результаты
теоремы являются частными случаями теоремы 2.9.1. D
Важные интегралы Виленкина [440] и Фельдхейма [136] могут быть
получены из п. в) квадратичным преобразованием
Р%а\х) _P^-ll2\2x2-Y)
Р£^(1) " Ρπ(α·-1/2)(1)

296
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
р£$Ы =хР?Л/2Ч2х2-1)
*&?(« Р^'Ч!) '
если положить β = ±1/2. В результате получим
C„v(cos0) sin2"-1 Θ 2Γ(ν+1/2) г . 2Я [cos2 у -cos2 θ]^'1 C*(cos ψ)
q(l) cosn+2A+10~r(A + l/2)r(v-A) JSU1 ψ cosn+2l> CnA(l) V'
O<0<§, ν>λ>-\.
Заменой переменных из последней формулы можно получить следующий
результат.
Следствие 6.7.3. Для ν>λ>—1/2, 0<θ<π выполняется равенство
C"(COS0) - 2Г(г+1/2) X sin2A cos21-2A-1 п _ sin2 ρ CQS2 -,η/2 χ
c:a) πλ+ι/2)Γ(ν-λ) j sin vcos φ11 sin ycos φ]
C„*(cos θ (1 - sin2 θ cos2 ¥>Γ1/2) ,
X С*Ш άψ·
причем
Cn°(cos0) C*(cos0)
-^- = i1-?o-^ar=cosne·
В последней теореме данного параграфа дается представление
ультрасферических многочленов в виде интеграла Лапласа. Данный результат принадлежит
Гегенбауэру [163].
Теорема 6.7.4. При А>0 выполняется равенство
к
С"(C0Sθ) = г^пКГЩ)2 S[C0Sθ + ί8[ηθcos Vl"«η2*'1 VdV.
Доказательство. Вспомним, что
Jc=0
Перепишем данную формулу с помощью бета-интеграла. Получаем
С"(C0S θ) = Sf^ Σ \ у^-\1-у)^-к-ЦУ«-™ dy =
k=o о
= g^ I у*-Ч1-у)*-Чуе-» + (1 -у)е»]« dy.
Положим у = sin2 г/>. Это приводит к равенству
π/2
C*(cos θ) = ^"nffi S [cos ^ + i sin θ (cos21/> - sin2 г/ΟΓ sin2*"1 i/> cos2*"1 xp dxp
Теперь после замены φ = 2ι/> получим утверждение теоремы. D

§ 6.8. Линеаризация произведения ортогональных многочленов 297
§ 6.8. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
Из формулы для суммы косинусов следует, что
cos m0 cosn0 = -cos(n + m)0 + -z cos(n — m)0.
В предыдущей главе мы видели, что это утверждение связано с многочленами
Чебышёва первого рода P(~1/2,~1/2)Qc), где jc = cos0. Формула, позволяющая
представить произведение двух многочленов в виде линейной комбинации
других многочленов, называется формулой линеаризации. В общем случае,
когда задана последовательность многочленов {рп0с)}, можно поставить вопрос
о виде коэффициентов а(к, т, п), где
т+п
РтМРпМ = ]Г] а{к, т, п)рк (х). (6.8.1)
к=0
Если многочлены рп(х) ортогональны относительно da(x), то выполняется
равенство
a(fc,τη,ή) = γ\ РтМРпМРкМda(x). (6.8.2)
Таким образом, вопрос о вычислении интеграла от произведения трех
ортогональных многочленов одного вида эквивалентен проблеме линеаризации.
Другим примером формулы линеаризации может служить тождество
min(m,n)
sin(n +1)0 sin(m 4-1)0 _ V^ sin(n-t-m + l-2fc)0
sin0 sin0 ~~ L·* sin0
fc=o
Одним из способов нахождения формул линеаризации является
рассмотрение многочленов, для которых интеграл (6.8.2) может быть достаточно легко
вычислен. Интегралы, в которые входят два многочлена, позволяют получать
лишь соотношения ортогональности. Как мы уже видели, получать соотношения
ортогональности иногда удобно с помощью производящей функции.
Простейшую производящую функцию имеют многочлены Эрмита, так как в нее входит
экспонента, которую легко умножать на себя, получая достаточно простой вид
ответа. Например, для соотношений ортогональности имеем
SZHmSWrm5VJf2d;c= I е2ХГ~r2+2xs~s2-x2dx= I e-(m)2e2r5dx=v^e2r5.
-°° m,n ' — °° —°°
Разлагая правую часть в ряд, получаем
00
$ Hm(jc)Hn(jc)e-x2dJC = 2mv^m!5mn.
—00
В случае произведения трех многочленов Эрмита аналогичным образом имеем
г yi H/(jc)Hm(jc)Hrt(jc)^^m^n^_JC2 ρ e2xr-r2+2xs-s2+2xt-t2-x2 dx =
J zLj l\m\n\ J
— 00
> l,m,n
= I e-c*-'-*-o2 djc.e2(rs+rt+s0v^2
na+b+c -a+b *.b+c ~a+c
alblcl
a,b,c

298
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Отсюда следует, что
^Hz(x)Hm(x)Hn(x)e dx= f ,fJvw^ (6.8.3)
в случае, когда 1 + т + п четно и сумма любых двух из этих чисел не меньше
третьего. Во всех прочих случаях интеграл равен нулю.
Теорема 6.8.1. Справедливо соотношение
min(m,n)
Hm(x)Hn(x)= J] (^)(j)2fcfc!Hm+n_2,(x).
fc=0
Доказательство. Данный результат следует из формулы (6.8.3) и
соотношения ортогональности для многочленов Эрмита. D
Замечание 6.8.1. Важным свойством коэффициентов в формуле линеаризации
является их положительность, то же свойство имеет и интеграл (6.8.3).
Итак, мы знаем формулы линеаризации для рг[1/2'1/2) (<х-)> р^-1/2,-1/2) ^ и мн0
гочленов Эрмита. Многочлены Якоби Ρπ(α,α) называются ультрасферическими
многочленами или многочленами Гегенбауэра и имеют предельным случаем
многочлены Эрмита, так как
^=ИтЯ-"/2Ся(х/УЯ).
π! α-» η '
Это дает повод предположить, что и для многочленов Гегенбауэра тоже
существует формула линеаризации. Кроме того, с помощью квадратичных
преобразований рп(1/2'1/2) (χ) и р^-1/2,-1/2) Q^ можно получить формулы линеаризации для
многочленов Чебышёва третьего и четвертого рода Рп(1/2,-1/2) (х) и Рп(-1/2,1/2)(х).
Идея использовать для получения формулы линеаризации многочленов
Гегенбауэра производящую функцию (1 — 2хг + г2)я не кажется перспективной,
так как произведение трех таких выражений не имеет сколько-нибудь удобный
для работы вид. Более удобным способом [39] кажется представить C^Qc) в виде
гипергеометрического ряда и применить преобразование Уиппла к очень
хорошо уравновешенному ряду 7F6, с тем чтобы найти вид C*Qc)C*Gc). Полученная
таким образом формула линеаризации принадлежит Дуголлу [108]. Интересно,
что более общий результат был известен еще Роджерсу [313], см. (10.11.10).
Теорема 6.8.2. Справедливо равенство
min(m,n)
Σ
fc=0
(m + η + λ - 2k) (A)fc(A)m_k Щп_к (2A)m+n_k (m + η - 2fc)!
Оп + п + Х-к)к\(.т-кЖп-кШ)т+п-к (2A)m+n_2ik *
Доказательство. Напомним, что
Cj (си θ) = ** J] ^fgf e~™ = ^V» Vx( α ~_";\; e~2W). (6.8.5)
fc=0
CiWC„AW= J] a(fc,m,n)Cm+n_2,(x), (6.8.4)
где
a(k, m, n) =

§ 6.8. Линеаризация произведения ортогональных многочленов 299
Применяя к последней формуле преобразование Эйлера (теорема 2.2.5),
получаем:
C*(cos0) = ^eu"eCl-e-2fe)1-2*2F1(1-^-f^-m; е"яв). (6.8.6)
Перемножая два предыдущих уравнения, имеем
C>os 0)CnA(cos 0) = (A^)V(m+n)e (1 - е"2*)1-2* *
Ж2-1(1-Я-п№е 2j j!(l-A-m), 6 * (6-a7)
В случае s = j + к суммы можно переписать как
(l-A).(l-2A-m),._2,t0 v (.-n)kWk(.m + X-s)k
(l-A-m)s Zjfc!(l-A-n)k(A-s)k(2A + m-s)fc
s>0 Jc>0
_ yi (1-Я)5(1-2Я-гп)5 / -nfXf-SfTn + x-s \ 28ίθ ffiocn
-L· (Ι-λ-m). ^U-A-^A-s^A + m-s'1^ ' (6A8)
Полученный ряд 4F3 является уравновешенным. Применим формулу Уиппла
(теорема 3.4.5), переводящую уравновешенный ряд 4F3 в очень хорошо
уравновешенный ряд 7F6:
„( a + l-b-c,d,e,-s л (a + l-d)5(a + l-e)5
4 3Va + l-b,a + l-c,d + e-a-s' J (a + l)s(a + l-d-e)s
χ F ( a,l + a/2,b,c,d,e,-s л
7 ^a/^a + l-bja + l-^a + l-dja + l-eja + l + s' у
при 5 = 0,1,2,... Положим α = —λ — τη — η, b = —m, c = l — 2λ — τη — n + s, ά = λ
и е = —п. В этом случае соотношение (6.8.8) примет вид
S(l-A)<(l-2A-m-n)<e"2rie γι (-A-m-n)fc(l-(A + m + n)/2)fc(-m)fc
s!(l-A-m-n)s Zj fc!(-(A + m + n)/2)fc(l-A-n)fc X
s к
(l-2X-m-n + s)k(X)k(-n)k(-s)k
(A — s)fc (1 — 2A — m — n)k(l — A — m)k (1 — A — m — π 4- s)fc'
Изменим порядок суммирования, положим 5 = к +1 и упростим полученное
выражение. Результат подставим в формулу (6.8.7) и применим к внутренней сумме
из формулы (6.8.6) полученная формула будет тождеством Дуголла (6.8.4). D
Из данного результата предельным переходом А—>0 можно получить
рассмотренное выше равенство для cosm0cosn0. Подстановка А = 1 дает
тождество для sin(m +1) θ sin (η +1) θ. В случае же λ —> οο тождество Дуголла принимает
вид
Следующий результат, вытекающий из теоремы, был получен Ферре [137]
и Адамсом [2].

300
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Следствие 6.8.3. Для многочленов Лежандра РпМ имеет место следующее
соотношение:
min(m,n)
Р (xW (χ) - V 2m + 2n + 1-4fc x
rmWrnW- Zj 2m + 2n + l-2fc
fc=o
(l/2),(l/2)m_fc(l/2)n_fc(m + n-fc)! - ,, ,,RQ.
X кКт-пЖп-кЖ1/2)т+п_к P«+-2fcCx). (6.8.9)
Доказательство. Утверждение следствия получается подстановкой в
тождество Доугала Я = 1/2. D
Замечание 6.8.2. Коэффициенты а(к, гп, п) в формуле (6.8.4) являются
положительными при λ > 0. Более того, из теоремы 6.8.2 следует обрывающаяся форма формулы
Клаузена, точный вид которой можно найти в упражнении 17 (г) гл. 3.
Следствие 6.8.4. При Я>—1/2 и λφΟ выполняется равенство
ι
$ CzA(x)C^(x)CnA(x)(l-x2)A-1/2dx =
-ι
(A)5_,(A)5_m(A)5_ns! 21-2ЯяГ(5 + 2Я) ,
(s-0!(s-m)!(s-n)! [r(A)]2s!(s-^y ^ΟΛυ)
в случае, когда I + m + η = 2s четно и сумма любых двух чисел из 1,т,п больше
или равна третьему Во всех других случаях интеграл равен нулю.
Данное утверждение напрямую следует из тождества Дуголла и содержит
формулу (6.8.3) как предельный случай.
Интегралам, содержащим произведение нескольких ортогональных
многочленов, можно дать и комбинаторную интерпретацию. В параграфе 6.9 мы
покажем, как можно получить формулу (6.8.3) комбинаторными вычислениями.
Коэффициенты a(k,m,ri) в формуле (6.8.1) можно для рп=Рп 00
вычислить в терминах гамма-функции если а и β различаются на единицу, в частности
в случае многочленов Чебышёва третьего и четвертого рода.
Ксю [197] показал, что из формулы (6.8.10) можно получить
соответствующий результат для интегралов от функций Бесселя:
ljaiaOJaQ>OJa(cOtl-adt =
если а,Ь,с — стороны треугольника площади Δ.
{0, если а, Ь, с не являются сторонами треугольника,
2α-1Δ2α-1
урк Г{а +1/2) (аЪсУ
Данный интеграл был вычислен другим способом в § 4.11.
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют ультрасферические
многочлены, имеет и решение, сходящееся к Υα00 — второму решению
уравнения Бесселя. Подобное утверждение имеет место и для общих ортогональных
многочленов {рп(дг)>. Для простоты предположим, что мера da(x),
относительно которой многочлены являются ортогональными, имеет носителем конечный
отрезок [a, b] и на нем выполняется равенство
da(0 = coO)dt,

§ 6.8. Линеаризация произведения ортогональных многочленов 301
где функция o>(t) непрерывно дифференцируема и интегрируема с квадратом.
Определим вне [а, Ь] функцию qn следующим образом:
ь (.
9nW = S ?=t ω(0 dt, ζ € С, ζ φ [α, Ь], (6.8.11)
α
а на интервале (α, b) так:
b p„(0
«IWnlX-riKJ-rWnlX — LYJJ— Ύ
y-H-0
qn(x) = lim 5(q„(JC + iy) + q„(JC-iy))= t^^COdt, (6.8.12)
v-*+0 ^ J JC — Г
a<x<b. Заметим, что на этом интервале qn является образом ωρη при
преобразовании Гильберта с конечными пределами. Ультрасферические многочлены
второго рода D^(jc) определяются соотношением
(l-xV-1/2Dn4x) = ^qnW = ij^(l-t2)A-1/2dt. (6.8.13)
Можно показать, что
lim n1-2^1" έ) = -i#21/2-V/4-A/2lA-i/2(Vy)· (6-8.14)
Аски, Корнвиндер и Рахман [29] рассмотрели интеграл вида
ι
$ ^W^MCfWd-Jf2)2^1 dx. (6.8.15)
-ι
Интеграл равен нулю, если 1 + т + п четно и если существует треугольник со
сторонами Z, m, п. В остальных случаях его значение равно
[Г(Я + 1/2)]2(2Я)п(2Я),(2Я)т_
[Г(Я + 1)]2п!Пт!
= (Я)(п+т+,+1)/2 ((п + гп -1 -1)/2)! (-Я)(п.тЧ+1)/2 ((п - т -1 + 1)/2),
(2Я)(п+т+г+1)/2(Я + l)(n+m-i-l)/2 W(n-m+i+l)/2
Также они вычислили и более общий интеграл, в который вместо D*Qc) входит
функция другого порядка D„ Qc). В доказательстве было использовано
преобразование Уиппла для 7F6. Также были вычислены и соответствующие интегралы
с функциями Бесселя. Ссылки и точные формулировки результатов читатель
найдет в их работе. Следует заметить, что их труд основывается на более
ранней работе Дина [104], в которой был изучен некоторый частный случай.
Для общих многочленов Якоби Рп Μ коэффициенты линеаризации не
представляется возможным найти в виде произведений. Хиллераас [198] нашел
для них трехчленное рекуррентное соотношение, изучив дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяет произведение Рп МРт (*)· Помимо
изучения случая α = β, Хиллераас показал, что коэффициенты линеаризации
можно найти в виде произведения, если α = β +1. Во многих задачах достаточно
знать, что коэффициенты неотрицательны. Гаспер использовал рекуррентное
соотношение Хиллерааса, чтобы найти пары (α, β), при которых все
коэффициенты линеаризации неотрицательны. Многие годы лучшим известным видом

302
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
□ X ISI
<? G *4
Рис. 6.1
коэффициентов оставалось представление в виде двойного ряда. Рахман [296]
показал, что коэффициенты линеаризации можно записать как очень хорошо
уравновешенный 2-уравновешенный ряд 9^8- Эти ряды удовлетворяют
трехчленным соотношениям смежности и представляют собой наиболее обыщи
класс гипергеометрических рядов, удовлетворяющих трехчленным
рекуррентным соотношениям. Хотя открытие Рахмана было неожиданным, теперь, в
ретроспективе, кажется, что довольно естественным было бы ожидать подобного
результата.
Если нормализовать многочлены Якоби так, чтобы они были
положительными при χ = 1, какими они, например, являются при а > —1, то коэффициенты
линеаризации будут положительными при α>β>—\/2, при α + β>0, — \<β< 1/2
и при некоторых а < —β, если — 1 < β < —1/2. Для первых двух областей
неотрицательность следует из общего принципа максимума для гиперболических
дифференциальных уравнений. Подробности можно найти в работе [376].
§ 6.9- ПАРОСОЧЕТАТЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Ортогональные многочлены естественным образом связаны с различными
комбинаторными объектами. В последние годы эта связь интенсивно изучалась.
В данном параграфе мы введем паросочетательные многочлены для графов
и покажем их связь с многочленами Эрмита. В дальнейшем мы используем
эту связь при вычислении интегралов от произведения многочленов Эрмита,
в частности мы еще раз докажем их ортогональность. Для начала напомним
некоторые определения из теории графов.
Пусть нам дан граф G. Мы можем рассматривать его как упорядоченную
пару (V,E), где V —множество вершин графа, а Е — множество его ребер,
соединяющих пары вершин. Обозначим число вершин \υ\. Граф G является
полным, если каждые его две вершины соединены ребром. Полный граф с τη = \υ \
вершинами мы будем обозначать Кт. Дополнением G графа G называется граф
с тем же множеством вершин, что и G, но содержащий те ребра графа Κ\ν\,
которых нет в G. Иллюстрации этих понятий даны на рис. 6.1. Будем называть
fc-паросочетанием графа G набор из к несмежных ребер, т.е. ребер, никакие
два из которых не встречаются в одной вершине.
Пример 1. Набор ребер {{1,2}, {3,4}} на графе, изображенном на рис. 6.2, является
2-паросочетанием. В данном примере ни одного 3-паросочетания не существует.
Пусть p(G,fc)— число fc-паросочетаний графа G. Положим p(G,0) = l и
p{G, —1) = 0. Заметим, что p{G, 1) — это число ребер графа G и что p{G, к) = О
при fc> [т/2] = [И/2]. Если в fc-паросочетание входят все вершины графа G,
то оно называется полным и обозначается pm(G).

§ 6.9. Паросочетательные многочлены
303
Для графа G определим паросочетательный многочлен a(G) формулой
[т/2]
a(G) = a(C, χ) = j] (-D*p(G, fc)xm"2fc (6.9.1)
Jk=0
где m = |i;|.
Теорема 6.9.1. Справедливо равенство а(Хт,х) = 2~т/2Ят(х/У2).
Доказательство. Ранее нами было доказано, что
[т/2]
Лс=0
Следовательно, достаточно показать, что
1 т\
Р(Кт,Ю =
2kk\(m-2k)V
Итак, нам следует найти число fc-паросочетаний в полном графе с т вершинами.
Число способов, которыми можно выбрать 2fc вершин из т данных, равно
V2k)· ВеРшинУ из выбранных 2fc можно для получения пары соединить с 2fc — 1
вершиной. Из оставшихся 2к — 2 вершин каждую можно теперь соединить
с 2fc — 3, и т. д. Таким образом, получаем
Р(хтД) = (2т^(2^-1)(2к-з)...за = ^^^^.
Теорема доказана. D
Дадим еще одно доказательство.
Доказательство. Более интересный и продуктивный подход состоит в
доказательстве того, что a(JCm, fc) удовлетворяет тем же рекуррентным
соотношениям и начальным условиям, что и Нет(х) :=2~т/2Ят(дг/У2). Из рекуррентного
соотношения (6.1.10) для Нт(х) получаем
Нет+г Μ = хНетМ - тНет_гМ, Не0(х) = 1, Нег Μ = χ.
Докажем сначала, что
P(Km+i> Ю = р(Кт, к) + гпр{Кт_ь к -1).
Возьмем вершину veKm+1. Эта вершина может входить в fc-паросочетание т
способами, а число способов, которыми каждое из этих паросочетаний можно

304
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
дополнить до полного, равно р(Кт_г, к — 1). Если же υ не входит в к-паросоче-
тание в Кт+1, то число таких fc-паросочетаний равно р{Кт, к). Рекуррентное
соотношение для ρ доказано. Далее
[&п+1)/2]
affm+i,*)= Σ (-l)fcPWm+i,Wxm+1-2fc =
fc=0
[&n+l)/2] t(m+l)/2]
= J] (-l)kp(iKm,k)xm+1-2k+ J] (-l)fcFnp»m-l.k-l)'m+1"2fc.
fc=0 fc=0
Если в первой сумме [(m +1)/2] > [m/2], то p(Km, [(m +1)/2]) = 0. Таким
образом, первая сумма равна
[т/2]
х J] (-1)*р(Кт, к)*"1"2* = ха(Кт, к).
к=0
Во второй сумме заменим к на к +1. Получим
Km-l)/2]
Σ (-l)'+1mp(Km-i, Wx"1"1"2* = -maCIT^!, к).
Jk=0
Теорема доказана. D
Следующей нашей целью будет комбинаторное вычисление интеграла1
00
1{пъп2,...,пк)= J Hni(x)Hn2(x)...Hnt(x)e-x2dx.
—00
В случае к = 2 мы должны получить ортогональность многочленов Эрмита.
С исходным интегралом связан интеграл
00
J(nl9 n2,..., пк) = 5 НеП1МНеП2М...НеПкМе~х2/2 dx,
—00
где Нет(х) = 2~m/2Hm(x/V2). Замена переменной приводит κ тождеству
Ппи п2,..., пк) = 2^'"^-^2J{nl9 п2,..., пк).
Нам будет удобно сократить обозначения и положить π = (пх, п2,..., nfc). Введем
также обозначение
J~ = J(nl9..., щ_ъ щ — 1, ηί+1,..., nfc).
Аналогичным образом jil,;) будет означать, что i-й и j-й параметры уменьшены
на единицу. В следующей лемме дается рекуррентное соотношение для Jn.
к
Лемма 6.9.2. Справедливо соотношение »/я = Σ ni
i=2
ι Стоит заметить, что способ, которым была выведена формула (6.8.3), действует и в этом случае.
Мы получаем
£(n!)-VHtH = v^exp(£tfctz).
k<l
Это дает теорему 6.9.4.

§ 6,9, Паросочетательные многочлены
305
Доказательство. Заметим, что из формулы (6.1.3) для многочленов Эрми-
та, аналогичной формуле Родрига, следует равенство
Яет(*) = (-1)те*2/2£ге-*2/2.
Из формулы (6.1.11) получаем
Не'т = ±НетМ = тНет_1Ы.
Интегрирование по частям приводит к равенству
Jn=l{(-ir^e-^2}Hen2W...HemkWdx =
—оо
-°° 4=2 j=2 1
к оо к к
Для Jg имеем
i=2 -°° j=2 i=2
S e-2/2djc = V^F.
Лемма доказана. П
Комбинаторный объект со свойствами, описанными в лемме 6.9.2, можно
получить следующим образом. Пусть Vlt У2>..., Vk — непересекающиеся множе-
к
ства верпшн, V = V1UV2U,„\JVk, Пусть |V;|=nf и, таким образом, Μ = Σπί·
1=1
Построим из графа V граф G, взяв те же вершины и соединив ребрами все пары,
которые не лежат в одном и том же множестве V{, Граф G называют полным
k-дольным графом на Уг U V2 U... U Vj^. Обозначим через P(nl9 п2,..., пк) =РП число
полных паросочетаний графа G, т. е. число паросочетаний, в которые входят все
вершины графа G, В соответствии с предыдущими договоренностями полагаем
к
Р$ = 1. Очевидно что если J] щ — нечетное число, то Рц = 0. Определим также
i=l
Рй ; аналогично тому, как это было сделано для ji1' .
к
Лемма 6.9.3. Справедливо соотношение Рд = Σ ni^fi1,0' *о = 1·
i=2
Доказательство. Выберем какую-либо вершину из Уг, Ее можно
соединить с щ вершинами из Vif где ίφΐ. После этого у нас остается Рй(1,1) способов
достроить паросочетание до полного. Поэтому мы получаем
i=2
Утверждение доказано. D

306
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Так как Jn и Рп удовлетворяют одним и тем же рекуррентным соотношениям,
имеем следующую связь между ними.
Теорема 6.9.4. Справедливы равенства Jn = </2пРп, Ιη = (2η*+η*+~+η><π)1/2Ρη.
Теорема 6.9.5. Справедливо равенство Р(т, ή) = т\5тп.
Доказательство. В этом случае У = УгиУ2, |Vil = m и |У21 = и. При тфп
ребер между вершинами из множеств Vx и V2 не существует, и, следовательно,
Р(т, п) = 0. В случае же m = η число полных паросочетаний, очевидно, равно т!.
Теорема доказана. D
Из доказанной теоремы следует ортогональность многочленов Эрмита:
00
$ Нт(х)Яп0с)е-*2 dx = 2mm\ft 5mn.
— 00
Положим теперь V = Vi + V2 + V3i где V\,V2iV3 состоят из i,m и η элементов
соответственно. Если 1 + т + п нечетно или если 1>т + п, легко увидеть, что
P(l, m, п) = 0. В следующей теореме мы рассмотрим иную ситуацию.
Теорема 6.9.6. Предположим, что 1 + т + п четно и s = (I + m + π)/2. Пусть
также сумма любых двух чисел из 1,т,п больше или равна третьему Тогда
όπ ~, „л — 1\т\п\
PQ>m>П) " (s-Z)!(s-m)!(s-n)!·
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что т>п.
После того как все вершины из множества Ух соединены с некоторыми вершинами
из множеств V2 и V3, в V2 и V3 должно остаться равное число вершин, чтобы
существовала возможность достроить полное паросочетание. Следовательно,
в данном полном паросочетаний ребер из Ух в V2 на m — η больше чем из Уг
в V3· Следовательно, если обозначить за χ число пар V\—V2, а за у —число пар
Vi—V3, TOJC+y = Z, ax—y = m — п. Отсюда следует, что x=s — nay=s — m. Таким
образом, число пар V2—V3 равно s — l. Существует ( __ J способов соединить
χ элементов из Уг с элементами V2, Оставшиеся вершины следует соединить
с элементами из V3. Заметим, что для любых данных 2(5 — п) элементов, где s—n
вершин принадлежат Уъ а остальные s — n принадлежат V2, существует (5 — п)!
способов соединить их ребрами. Из всего вышеизложенного следует, что
'«.".■0-(,1.Х,;,Х..">-<№-0№-«)1->_0Д,(.-Ю,·
Теорема доказана. D
Из теоремы следует, что
I H,(xW (xW fjr)e-x2dx = 2(/+m+n)/2 Z!m!n!^
в случае, когда 1 + т + п четно и любое из этих чисел не превосходит суммы
двух других. В остальных случаях интеграл равен нулю. Также можно вычислить
и Ρ(k, I, m, п), но ответ в этом случае будет иметь вид суммы, а не произведения.
Этот и прочие результаты можно найти в [34]. Дальнейшее исследование
паросочетательных многочленов содержится в [165].
Мы дадим еще одно доказательство равенства Jn = V2nPn. Для этого сначала
заметим, что паросочетательный многочлен графа G может быть представлен

§ 6.9. Паросочетательные многочлены
307
в виде
С?2 Gj U G2
Рис. 6.3
a(G) = a{G, x) = ]T(-l)|a|xm-2|a|,
где α пробегает все паросочетания графа G, а \а\ равно числу ребер в паросоче-
тании а. Обозначим через Gx UG2 несвязную сумму графов Gx и G2, см. рис. 6.3.
Лемма 6.9.7. Справедливо равенство
a{GlUG2) = a{Gl)a{G2).
Доказательство. Пусть Gx и G2 имеют тип вершин соответственно.
Тогда
а&г)а&2) = r2(-WW^^e|)(Z("1)Wxm"21'1) = Z(-1)lrljcm+n_2lrl·
Равенство следует из того, что всякое паросочетание γ раскладывается на
паросочетания α и β в Gx и G2. Лемма доказана. D
Пусть φ — линейный функционал, определенный на многочленах
следующим образом:
00
φ{χη) = -±= \ xne-x2/2dx.
Если η нечетно, то </?Qcn) = 0. Если же η = 2т четно, то
</?(*") = (2т-1) (2т-3)...5-3-1.
Заметим, что это число совпадает с числом совершенных паросочетаний на Кт,
которое мы будем обозначать рт(Кп).
Под совершенным паросочетанием мы понимаем следующее. Пусть графы VJ
содержат по щ вершин и V = Vi U V2 U... Vj^ — их несвязное объединение. Возьмем
полный граф Kv на V. Будем называть ребра KVi соединяющие вершины
одного и того же графа V^· однородными, а прочие ребра — неоднородными.
Тогда Рц является числом совершенных паросочетаний на Кп, не содержащих
однородных ребер.
Лемма 6.9.8. Справедливо равенство
-±=Jn =: Ln = 2(-D|a|pm(lCn_2|a|),
k
где а пробегает все паросочетания G = KVi U Ky2 U... U KVk и η = J] щ.
ί=1

308
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Доказательство. По предыдущей лемме в соответствии с приведенными
выше рассуждениями имеем
Ln = (^(ЯеП1(х)ЯеП2(х)...ЯеПк(х)) = φ(α(Χηι)α(Χη2)...α(^)) =
= </>(a(G,x)) = φ^ί-Ι^χ^Α = 2(-D|a|pm(lCn_2|a|).
V a J a
Лемма доказана. D
Выражение ^(—1)аргп{Кп_2\а\) можно переписать в виде
а
Σ (-l)|ail+~+|a'lP'n(Kn_2W),
где at являются паросочета^^дми в KVr Окончательно получаем
У (_ΐ)|βιΙ+.»+|β*Ι^
alt...,ak,Y
где γ пробегает полные паросочетания Кп_2\а\ для lal^aJ + .-. + lajJ. Взятые
вместе паросочетания al9 α2,..., ак, γ дают полное паросочетание на Κν.
В качестве последнего шага нам потребуется лемма о раскрашенных полных
паросочетаниях на Κν. Для всех паросочетаний ах, а2,..., ак, γ раскрасим ребра,
входящие в аь красным, а в γ — голубым. Все красные ребра будут однородными,
в то время как голубые могут быть как однородными, так и неоднородными.
Таким образом, паросочетания ax,a2, ...,afc, по которым происходит
суммирование, образуют множество паросочетаний X, в котором все однородные ребра
являются красными. Пусть У с χ — множество всех паросочетаний, состоящих
только из неоднородных ребер (синего цвета). Такие спаривания являются
полными паросочетаниями к -дольного подграфа в Κν. Если обозначить число
красных ребер в а через г{а), то по лемме 6.9.8 получим
1й = 2(-1)Ка)·
а€Х
Следовательно, по определению имеем
Ρη=Σ1·
α€Υ
Следующая лемма завершает доказательство равенства Рй = 1й.
Лемма 6.9.9. Справедливо равенство
J] (-l)r(a) = 0.
cx=X\Y
Доказательство. Определим на Χ \ Υ инволюцию Θ. Занумеруем как-либо
ребра графа Κν. Для любого aeX\Y рассмотрим множество всех однородных
ребер из а. Такое множество непусто. Возьмем в этом множестве ребро с
минимальным номером и изменим его цвет с красного на синий или наоборот.
Таким образом мы получим новое паросочетание а! — θ (α) на Χ \ Υ. Очевидным
образом имеем 0(0 (а)) = а. Кроме того, очевидно, что (—1)г(а) + (—1)Γ(θ(α)) =0.
Лемма и теорема доказаны. D
Приведенное доказательство следует изложению [103]. См. также [399].

§ 6.10. Гипергеометрические ортогональные многочлены 309
§ 6.10. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Гипергеометрические представления многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита,
изучению которых мы посвятили эту главу, имеют вид
(<* + !)„ Ώ (-η,η + α + β + 1, 1-χ\ (α + Ρη „ ( -η . Λ
~nJ~ 2Ч α + 1 ' ~h ~η~Γ~ l*Aa + VxJ
(2,)"2F0(-^-^-«/2;-^)
соответственно. В гл. 3 мы дали определение многочленов Вильсона. Их можно
представить в виде гипергеометрической функции 4F3 следующим образом:
Wn(x2;g,b,c,d) _ (-п,п + а + Ъ + с + <1-1,а + 1Х,а-1Х -Λ ffiin-n
(a + bUa + cUa + dX 4 3V a + b,a + c,a + d ' Ч' 1°Ла1;
Можно заметить, что, в то время как многочлены Лагерра и Эрмита являются
предельными случаями многочленов Якоби, сами многочлены Якоби могут быть
получены предельным переходом из многочленов Вильсона. Возникает вопрос,
существуют ли гипергеометрические ортогональные многочлены, которые
можно задать гипергеометрической функцией 3F2. Ответ на него оказывается
положительным, некоторые из примеров мы разберем, другие можно найти
в упражнениях к данной главе. Более глубокое изучение этого вопроса можно
найти в [227].
Заметим, что
r Wn(x2;a,b,c,d) ил Л f—n,a + ix,a — ix -Λ с г 2 и ^
fa (a + dX =(a + b)n(a + c)n3F2( a + b>a + c ; lj =: Sn{x2,a,b,c)
(6.10.2)
и
,. W„ ((χ +1)2; a-it,b- it, с + it, d + it)
йг <=w% =
.n(a + c)n(a + d)n f—n,n + a + b + c + d — l,a + ix -Λ f , ,Λ ,, 1Λ 0.
= l Si зЫ a + c,a + d ;l)=:Pnix;a,b,c,di. (6.10.3)
Многочлены рп{х\а,Ъ,с,а) и Sn(x2;a,b,с) называются непрерывными
многочленами Хана и двойственными непрерывными многочленами Хана
соответственно. Утверждение об их ортогональности и рекуррентное соотношение,
которому они удовлетворяют, можно получить из соответствующих свойств
многочленов Вильсона, которые были нами установлены в гл. 3. Напомним их
еще раз. В случае, когда Re(a, b, с, d) > 0, а мнимые части параметров попарно
сопряжены, ортогональность многочленов задается соотношением
00 I
4$
г(а+адг№+ь)ГЕ+1»)ги+ад i2^^. ^ ъ> с> т^ α> ъ> с> d) άχ =
ГСНг)
= (n + a + b + c + d-l)„n!x
Г(п + а + Ь)Г(п + а + с)Г(п + а + ЮГ(п + Ы-с)Г(п + Ы-d)f(n + с + d)
5тп. (6.10.4)
r(2n + a + b + c + d) m"·
Рекуррентное же соотношение имеет вид
-(a2 + x2)Wn(x2)=AnWn+1(x2)-(An + Cn)Wn(x2) + CnWn_1(x2), (6.10.5)

310
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
где
W (х2) = W(x2-abcd)= W"(*2;fl'b'c'd)
wn{x j ννηίχ ,a,D,c,aj (a + b)n(a + c)ri(a + d)n>
_ (n + a + b + c + d-l)(n + a + b)(n + a + c)(n + a + d)
n ~ (2n + a + b + c + d-l)(2n + a + b + c + d)
c _ n(n + b + c-l)(n + b + d-l)(n + c + d-l)
n~ (2n + a + b + c + d-2)(2n + a + b + c + d-l)'
Кроме того, многочлены удовлетворяют разностному уравнению,
двойственному к рекуррентному соотношению. Это уравнение имеет вид
n(n + a + b + c + d-l)y(x) = B(jc)<y(jc + i)-[B(jc)+D(jc)]y(jc)+
+ DQc)yQc-i), (6.10.6)
где
y(x) = WnQt2;a,b,c,d),
п( ч (a-ix)(b-ix)(c-ix)(d-ix)
1 ; 2ίχ(2ίχ-1)
пг ч (а + иг)(Ь + IX)(с + ix){d + ix)
1 ; 2ix(2ix+l)
Запишем соответствующие соотношения для непрерывных двойственных
многочленов Хана. Соотношение ортогональности:
00
Γ(α + 1х)Г(Ь + 1х)Г(с + ίχ)
0, Γ(2ΐχ)
2Sm(x2)Sn(x2)dx =
= Г(п + а + Ь)Г(п + а + с)Г(п + Ь+с)п!5тп. (6.10.7)
Здесь мы полагаем Sn(x2) = Sn(x2; a, b, с), причем a, b, с либо все положительны,
либо одно из них положительно, а два других комплексно сопряжены и имеют
положительную вещественную часть.
Рекуррентное соотношение:
-(а2 + x2)Sn(x2) = AnSn+1 (χ2) - (Αη + Cn)Sn(x2) + C^ (x2), (6.10.8)
где
Sn(x2) = Sn(x2)/[(a + b)n(a + c)n],
An = (η + a + b) (η + a + с)
Cn = n(n + b + c-l).
Разностное уравнение
ny (χ) = В(х)у (χ + 0 - [Β(χ) + D(x)]y (χ) + D(x)y (x- i), (6.10.9)
где
y(x) = Sn(x2),
оГул _ (a-ix)(b-ix)(c-ix)
DW 2ix(2ix-l)
nr ч (a + ix)(b + ix)(c + ix)
1 ; 2ix(2ix+l)

§ 6.11 Обобщенные ультрасферические многочлены
311
В случае непрерывных многочленов Хана имеем следующие формулы:
00
j- $ T(.a + ix)nb + ix)r(.c-ix)r(.d-ix)pmMpnMdx =
2π
— 00
_ r(n + g + c)r(n + g + d)r(n + b + c)r(n + b + d)g rfiinim
~ (2n + a + b + c + d-l)r(n + a + b + c + d-l) °mn 1°·ιυ·ιυ'
при Re(a, b, c, d) > 0, с = α и d = b;
(a + ix)pn(x) = Anpn+1(x) - (An + Cn)pn(x) + Οηρη_χ(χ), (6.10.11)
где
ЛW = na + cUa + d)nP^X'> a>b>c>d)'
__(n + Q + b + c + d-l)(n + a + c)(n + Q + d)
Cn =
(2n + a + b + c + d-l)(2n + a + b + c + d)'
n(n + b + c-l)(n + b + d-l)
"n (2n + a + b + c + d-2)(2n + a + b + c + d-l)'
Разностное уравнение имеет вид
n(n + a + b + c + d-l)y(x) =
= В(х)у(х + О - [BQc) + DQc)]y(x) + DQc)yQc-i), (6.10.12)
где
y(x) = pn(*;a,b,c,d),
B(*) = (c-ix)(d-ix)
D(jc) = (a + ijc)(b + ix).
Ранее мы замечали, что многочлены Якоби являются предельным случаем
многочленов Вильсона. При соответствующем предельном переходе разностные
уравнения на многочлены Вильсона, переходят в дифференциальные уравнения
для многочленов Якоби. Некоторые другие примеры гипергеометрических
ортогональных многочленов даны в упражнениях. Дальнейшие результаты о
рассмотренных здесь многочленах, их применение и развитие некоторых других
идей можно найти в [280].
§ 6.II. ОБОБЩЕННЫЕ УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Как известно, производящая функция ультрасферических многочленов является
произведением множителя вида (1 — rew)~x и сопряженного к нему. Более
общую ситуацию рассматривал Фейер [131], им изучались многочлены,
описываемые следующим образом.
00
Пусть /0s) = Σ αηζη — функция, аналитическая в окрестности точки ζ = 0,
п=0
причем коэффициенты ее ряда вещественны. Обобщенные многочлены Лежанд-

312
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
ра, или многочлены Лежандра—Фейера, определяются так:
l/(re">)|2 = 2r"2^n_fcei(n-2W =
n=0 k=0
оо η οο
=Σг" Σ α*α"-*cos(n ■2к)в := Σ ^«(cos Θ)γ"· (61L1)
η=0 Лс=0 n=0
Фельдхейм [134] и Ланцевицкий [448] независимо друг от друга поставили
вопрос о том, может ли pn(cos 0) дать какие-либо ортогональные многочлены,
отличные от многочленов Гегенбауэра. Мы знаем, что если многочлены рпМ
ортогональны относительно некоторой положительной меры, то они
удовлетворяют соотношению вида
хрпМ = AnPn+lM + BnpnW + Cnpn_!(x), η = О,1,2,..., (6.11.2)
где Ап, Вп и Сп вещественны, причем АпСп+1 > 0. Можно считать, что
последовательность отнормирована, взяв ρ_χ(χ) = 0 и р0(х) = 1. Обратное утверждение
также верно, хотя нами и не доказано. Таким образом, для доказательства
ортогональности многочленов рпМ достаточно показать, что они удовлетворяют
некоторому трехчленному рекуррентному соотношению.
Заметим, что если
η
pn(C0S 0) = 2^ akan-k COS(n — 2k) 0,
k=0
то, заменив 0 на 0 + π, мы получим
pn(-cos0) = (-l)npn(cos0).
Следовательно, если многочлены рпМ удовлетворяют соотношению (6.11.2), то
должно выполняться тождество
2хРпМ = Anpn+lM + Cnpn_x (χ).
с вещественными коэффициентами Ап, Сп, АпСп+г > О, п = 0,1,2,... Отсюда
вытекает, что
η η+1
2 cos 0 ^ а-кап-к cos(n — 2k)0 = Ап У] α^αη+ι-& cos(n +1 — 2k)0 +
Jk=0 fc=0
n-1
+ Cn ^] a^a,,.!.*. cos(n -1 - k) 0. (6.11.3)
k=0
Воспользуемся теперь тригонометрическим тождеством
2cos0cos(n-2k)0 = cos(n + l-2k)0 + cos(n-l-2k)0
и перепишем левую часть равенства (6.11.3) в виде
η η
/] dfcfln-fc cos(n +1 — 2k) 0 + 2J &кап-к cos(n — 1 — 2k) 0.
fc=0 fc=0

§ 6.11 Обобщенные ультрасферические многочлены
313
Подставляя последнее выражение в формулу (6.11.3) и приравнивая
коэффициенты при cos(n +1)0, получаем
Апа0ап+1 = а0ап>
ИЛИ
Ап = ^-.
Приравнивание коэффициентов при cos(n — 1 — 2k) θ дает равенство
n afc ап_к_г an+1 ak ап_к_г'
Подставив к=0 и 1 мы получим уравнение для а. Чтобы его упростить, перейдем
K5n = an/an_x. Получим нелинейное разностное уравнение.
51+Sn ς — 52+sn-l ς у
sn+l sn+l
или, что равносильно,
Для дальнейшего упрощения положим sn = tn + sx. Уравнение примет вид
tn+i ft„ - tn-i" t2) = -htn-ъ h = 0.
Подставив tn = t2un, получаем
"n+i ("n - "n-i -1) = -ип_ъ "i = 0.
Линейные разностные уравнения имеют полиномиальные решения вида ][] Anqn.
В нашем случае подобного решения нет, и, так как общего метода решения
нелинейных уравнений не существует, мы попробуем подобрать решение в виде
простейшего рационального выражения, пользуясь тем, что иг = 0. Положим
Ad-q"-1)
Un~ 1-Bqn '
где \q\ < 1, с тем чтобы выполнялось равенство un(q, А, В) = un(q_1, A/(Bq), β"1).
Кроме того, должно иметь место равенство
Аа-д^гАд-д^-а-Вд")-! гА(1-дп)-(1-Вдп+1)-|А(1-дп-2)
l-Bqn+1l 1-Bqn J L 1-Bgn+1 J l-Bg""1 '
из чего с необходимостью следует, что В = 1 и
(l-qn-1)(A-l-(A-q)qn-1) = (l-q"-2)(A-l-(A-q)qn).
Последнее автоматически выполняется при А— 1 = q. Таким образом,
Следовательно,
_(l + q)(l-q''-1)(s2-s1) , ,
-с
откуда видно, что при некоторых аи β выполняется равенство
_ а(1-/3д"-')

314
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Отсюда следует, что
l-qn+1
A- = ^fe с6·11·5)
и, после несложного упрощения,
С"" 1-β? ■ (6·1Ι6)
Рекуррентное соотношение для р„00, таким образом, имеет вид
2хо(1 - /3q")pn = (1 - qn+1)pn+1 + α2(1 - ру-1^,
причем
Здесь мы предположили, что |q| < 1. В случае q = 1 значение ип в формуле (6.11.4)
находится как соответствующий предел при q -> 1. В этом случае также имеется
возможность получить ортогональные многочлены, например, взяв в (6.11.5)
и (6.11.6) j8 = q\ получаем (приа = 1) An = (n + l)/(n + A), Cn = (n + 2A-l)(n+A).
Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение для
ультрасферических многочленов. Очевидно, однако, что кроме рассмотренного случая
возможны и другие ситуации, когда в формуле (6.11.5) или (6.11.6) происходит деление
на нуль. В этом случае мы не получим ортогональных многочленов всякой
степени, если только q не будет корнем из единицы. Рассмотрим ситуацию,
когда подобных проблем не возникает, и исследуем получившиеся многочлены.
Найдем выражение для ап. Имеем
<h A„-iAn_2...Ao (i_q)(i_q2)eee(1_qn) ·
Следовательно,
fire")-α У'1-^-^)-'1-^'),.^
Полагая α0 = α = 1, получаем
Pn(cose) = V (1-f •·?-^:;!;-?···5,1-/ίΓ1) cos(n-2fc)8.
n ^ (l-q)...(l-qfc)(l-q)...(l-qn-fc)
Полученное на данном этапе выражение может показаться странным. Как было
отмечено ранее, подстановка β = qA и переход к пределу при q —> 1 дают
ультрасферические многочлены. Впоследствии мы еще обратимся к этой процедуре
и в гл. 10 рассмотрим объекты подобного вида. Развитыми в ней методами
можно показать, что производящая функция в рассматриваемом нами случае
будет иметь вид
|ffreifl4|2 -Π Ц-£ге'У)(1-£ге-у)
l/ire Л "Π (i_re«Y)(l-re-iV) ·
Полученное выражение кажется более гораздо более сложным, чем
производящая функция ультрасферических многочленов, которую оно должно обобщать.

Упражнения
315
Однако в некоторых аспектах оно оказывается более простым. Вспомним,
что нули производящей функции содержат информацию об асимптотическом
поведении многочленов и весовой функции (см. теорему 6.6.2). В то время
как производящая функция ультрасферических многочленов имеет
алгебраические особенности, полученное нами выражение имеет лишь простые полюсы,
что упрощает исследование. Ближайшими к нулю полюсами являются r = ew
и r = e~w. Вблизи полюса r = ew производящая функция ведет себя как
02ίΘ„η\
n(l-j8e2iy)(l-j3q") l
n=o d-^Vxi-q"*1) i-re-"'
Следовательно,
" (l-/3e2lV)(l-/3q")._ine
n=0
Перепишем произведение как Rew. При η -»<» получим
p„(cos θ) » Π α -ffff-ffi *** + сопряженное, π·
РП(со5е)^ЦТ^г[[| α^)α_^, q} J 2οο8(ηθ-φ)
n=0 n=0
По теореме 6.6.2 весовая функция должна иметь вид
(l-e2fV)(l-e-2lV) _п (l-2cos2flqn+q2n)
ω^0δθ) = 1 l(l-^V)(l-i8e-2V)=i O^
(l-j8e2i0qn)(l-j8e-2i0qn) I 1 (l-2j8cos20qn + j82q2")·
Полученные бесконечные произведения хорошо известны в теории
эллиптических функций. В гл. 10 будет показано, что они имеют вполне естественную
трактовку и происхождение, несмотря на довольно громоздкий вид.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислите интеграл
00 00
/ = $ e-'V* dx = 2 $ е"2 cos 2xt dx
—00 О
а) интегрированием по контуру, б) разложением cos 2xt в ряд по степеням χ с
последующим почленным интегрированием, в) показав, что интеграл удовлетворяет
дифференциальному уравнению
f=-2tl.
dt
2. Показав, что
докажите, что F{x, г) ^е2*""^ = У. п , г".
п=0 п!
3. Докажите, что
a-»ooVa-/ " η!
Указание. Можно воспользоваться или рекуррентным соотношением, или
производящей функцией, или формулой Родрига.

316
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
4. Докажите, что функция ип =е ^/2Яп(х) удовлетворяют уравнению
а;Ч(2п + 1-х2)ап=0.
Покажите, что
fc(U'nUm -U'mUn) +2(П-Ш)итип = О,
и выведите ортогональность многочленов Эрмита, т. е. докажите, что
00
§ итипdx = 0 цдятфп.
—00
5. Используя производящую функцию многочленов Эрмита, данную в упражнении 2,
покажите, что
H^xcosH + ysmH) = n!]T^
fc=0
6. Пусть η — неотрицательное целое число. Покажите, что
χ2η = (2п)! V1 Н2кМ
22n Z-J (2fc)!(n-fc)!
fc=0
2n+l _ (2Π + 1)1 γ» Н^-ц(У)
22n+i Zj (2fc+l)!(n-fc)!*
fc=0
7. Определив
покажите, что
sgnx
_il, x>0,
\-l, x<0,
ι ν (-1)" tr , >
8. Воспользовавшись производящей функцией многочленов Лагерра (6.2.4), покажите,
что
V ^grn = (1 + 4г2Г3/2(1 + 2xr + 4r2)e4*V/(1+4r2).
£о Ln/2J!
9. Вычислите производящую функцию многочленов Лагерра (6.2.4) с помощью
интегрального представления (6.2.15).
10. Пусть φη (χ) = β-χ2/2Ηη (x)/V2nn\, η = 0,1,2,... Обозначим локальные максимумы
функции |φη(χ)| начиная от +оо к 0 через Mo,n>Mi,n>M2,n> — Покажите, что
Докажите, что |</?n(x)|<max|</?0Cx:)| = l. (См. [370].)
11. Докажите, что фурье-образом функции ип00 = е~**,2Нп(х) является inun{x). С этой
целью проделайте подробнее и обоснуйте следующие преобразования:
\ ип(х)е*ах= \ е-х2£^е(хУ+х2^ах = (-1ГеУ2/2 ] Г* f^e(Jf+*)2/2 dx =
—00 —00 —00 J
= ?^l2fli I е-^/2+^-^/2 dx = inV2tu„(y).
J —00

Упражнения
317
12. Пусть ψη(χ)= η 1/2—^Hn(V2nx)e πχ2. Предположим, что функция /
интегрируема с квадратом на (—», »), a g является ее фурье-образом. Будем считать, что1
п=0 п=0
00 00
п=0 п=0
а) Покажите, что an=inbn.
б) Используя рекуррентное соотношение для многочленов Эрмита, покажите, что
V4n χψη (χ) = Vn + l\pn+l(x) + Vnipn-i(x).
в) Из пп. а) и б) выведите равенства
V4n cn = Vn + lan + Vn αη_α,
V4n~dn = Г""1 [VnTTan - λ/π αη_!].
г) Покажите, что
I x2\f(x)\2dx + I x*\g(x)fdx>± I \f{x)\2dx,
причем равенство достигается, только если /(*) отличается от ехр(—πχ2) лишь
постоянным множителем.
д) Покажите, что из п. г) следует неравенство
Р2 I x2\fM\2dx + p-2 I x2\g(x)\2dx>± I \fM\2dx.
.) Выведите из п. д) неравенство Гейзенберга2:
[ I x2\f(x)\2dxf2[ I x2\g(x)\2dxf2> ^ I l/Wpdx.
—00
]e->Wn(t)dt= n[
2π _
e) (Cm. [97].) Выведите из п. д) неравенство Гейзенберга2:
Ί1/2Γ ? о. . ..о . lV2
4π _^
13. Покажите, что
Γ(η + α + 1) (5-1)"
14. Покажите, что
15. Докажите, что
16. Докажите, что
22" Z-i fc!(n-fc)!
fc=0
ΐΓ"+1^+^=Σ^ω^ω·
fc=0
ι Знак ~, видимо, стоит, чтобы читатель не задумывался о сходимости рядов. Того же эффекта мож-
V
но достичь, положив ap =o(n L) для всех I; это эквивалентно тому, что / лежит в пространстве
Шварца.
2 Имеется в виду принцип неопределенности Гейзенберга; см. его доказательство в учебниках по
квантовой механике.

318
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
17. Докажите, что для Re(a +1) > 0, Re β > О, выполняются равенства
и
ra+j8+l
Γ(α+1)Γ(α + /9 + 2) г ..а^),·, ,fll£(s(l-t)) Сп*
(X)
Й:Ш/ - о^+л-^гт^чиКс»·
о -»>- С(0) С^+1(0)'
18. Докажите следующие равенства:
a) ZAkimoy ^^ } i?(o) '
fc=0 * η
η
fc=0
19. Докажите тождество
20. Покажите, что для а>-1,г>0их>0 выполняется тождество
п=0
21. Докажите, что для многочленов Лежандра Рп(х) выполняется равенство
00
n=0
Более общая формула имеет вид
J] %^^ = 2Я"1/2Г(Я + 1/2)е^(Л^?гГя+1/2 · JA(VT^?r), λ > -1/2.
„=0 η ^ П
22. Обозначим через Рп(х) многочлен Лежандра степени п. Неравенство Турана гласит,
что
[ΡηΜ]2-Ρ*-ιΜΡη+ιΜ>0, п>1, -I < х < 1.
В данном упражнении мы дадим набросок его доказательства. Подробности даны
в [373].
а) Покажите, что если все корни многочлена
SnW = u0 + {n1)u1y + (n2)u2y2 + ... + (nn)unr
вещественны, то
"n-i-aA-2>0.
б) Из комплексного анализа известно следующее утверждение о целых функциях.
Предположим, что
00
/(y) = limSn(y/n)=2^yn
Π—»оо ^«^ Til
n=0
— целая функция, которую можно разложить на множители следующим образом:
00

Упражнения
319
причем α > О, β и βη вещественны, а ряд Σ j8* сходится. Тогда все корни многочле-
п=0
на Sniy) вещественны.
Для завершения доказательства неравенства Турана следует воспользоваться
упражнением 21 и формулой (4.14.3).
23. а) С помощью результатов упражнения 19 покажите, что в упражнении 22 а) при
ик=Рк(х)
все корни многочлена Sn(x) вещественны. Таким образом можно получить другое
доказательство неравенства Турана.
б) Распространите неравенство Турана на случай многочленов Hn(x), L"(x) и С*(х).
Докажите соответствующие неравенства двумя различными способами.
24. Докажите следующие результаты о многочленах Лежандра Рп(х):
а) \pnWe-**dx = i-nJ^Jn+1/2(.ty,
" ,,, (V2ninPnM, если-1<*<1,
б) $ t-V2Jn+1/2(.t)e«*dt={
[О, если χ > 1 или χ < —1;
в) \ Рп(х)хп+2к dx=-——-—ξ— при неотрицательном целом к.
_! 2 (К + 1/2)п+1
25. Пусть α, β > —1. Покажите, что гипергеометрическое уравнение
(l-jc2)0 + [j8-a-(a + j8 + 2)jc]£ + Ay = O
имеет нетривиальное решение в виде многочлена тогда и только тогда, когда λ имеет
вид п(п + α + β +1), где η — целое неотрицательное число. Указанное решение имеет
вид С-р(а,Р)(х), где С —константа.
26. Докажите для ультрасферических многочленов следующие равенства:
а) limjrnCAQc) = 2n^;
JC-»oo " Π!
б) Σ У£^СНх)гп = 2х-1/21СЧ1-хг + КГх+1/2, гдеЯ=(1-2хг + г3)1'2;
n=o (2AJn
B)t(HA)c>w=("+^-(";1)C^.
27. Воспользуйтесь формулой Родрига для доказательства следующих утверждений:
а) Ρ„α'β)Μ = —. ^ (9Г _ j (тз") (ι J dt при интегрировании по простой
замкнутой кривой вокруг точки t = x, не содержащей t = ±l, если х/±1;
1
б) 2п Sil-y^l + y^P^iyH^il-x)^
28. Докажите, что
aJC2m^ (1/2),/»» ^* ^ (2т)! 2*4 А+1/2 ' Х * >
°JC2m+iW (l/2)m+i ή ^* 1J (2m+l)!*2i4 А+1/2 ' l X )'
В следующих задачах мы будем изучать некоторые важные гипергеометрические
ортогональные многочлены. Пусть N целое неотрицательное число, фигурирующее
в определении дискретных ортогональных многочленов. Мы будем пользоваться
следующим обозначением:
гг и и л _V J^-^A к
pFq{alf..., ар; Ьг,..., bq; χ):- ^ fcI(bl)fc...(bq)/ *

320
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
29. Определим многочлены Рака
«„(ЯМ) := Я„(А(*); α, β, у, 5) := ДГ>" ^М Л7£+Л+ " + ''1)
для η = 0,1,2,..., Ν, полагая, что
Я(х)=х(х + г + 5 + 1)
и один из нижних параметров равен — N. Покажите, что соотношение
ортогональности имеет вид
у1(Г + Д+1)х((Г+Д + 3)/2)х(а + 1)х«8 + 5 + 1)х(г+1)Хп пмЛп ги^ЛЛ-
£ х!((г + 5 + 1)/2)х(Г + 5-а + 1)х(Г-^ + 1)х(5 + 1)х Rm^M^n^M) -
= Λη + α + β + 1)ηφ + 1)η(α-δ + 1)η(α + β-γ+1)ηη\
(a + j8 + 2)2n(a + l)n(j8 + 5 + l)n(r+l)n
где
(r + 5 + 2)N(-j8)N
если а 4-1 = —N,
л>г j (r + g + 2)N(5-a)N β„„„Λ . * . ι_ м
Μ = < -—-^ гтгтгттт"» если р + о + 1 = —Ν,
если χ +1 = —Ν.
(-5)N(a + j8 + 2)N
.(a-5 + l)NQ8 + lV
Выведите рекуррентное соотношение для многочленов Ракка
Я(х)Д„ (Я(х)) = АпЯп+1 (Я(х)) - (Лп + Cn)Rn (AW) + Сп Д^ (λ(χ)),
где
_ (n + a + j3 + l)(n + a + l)(n + j3 + 5 + l)(n + r+O
Cn =
(2η + α + β + 1)(2η + α + β + 2)
η (π + ff) (π + α + j3 - γ) (π + α - δ)
(2n + a + j8)(2n + a + j8+l) *
Покажите, что функции y(x) = Rn(X(x)) удовлетворяют разностному уравнению
n(n + a+l)y(jc) = B(jc)y(jc-Hl)-[B(jc) + D(jc)]y(jc) + D(jc)y(jc-l),
где
_, ._ Qc + a + l)(jc + j8 + 5 + l)Qc + r + lX* + r + S + l)
D(jc) =
{2χ + γ + δ + ν){2χ + γ + δ + 2)
JcQc + 6)Qc-j8 + r)(*-a + r + 5)
(2jc + r + ^)(2jc + r + 5 + l)
30. Многочлены Хана получаются предельным переходом из многочленов Рака:
Jim Rn(λ(χ); α, β, -Ν -1, δ) = Qn(χ; α, β, Ν)
5—» οο
или
lim Яп(Я(лг); a, j8, r,-j8-Ν-1) = Qn(x; a, j8,N).
Г_юо
Покажите, что
а) Qn(x;a)/3)N)=3F2(-n>n^^j;1'-X;l)) n = 0,1,...,Ν;
б) g0=(a+xl)(N^1l)W"XQm(X:a'^N)Q"(X;a'^N) =
(-Dnnl(j8 + l)n(n + a + j3 + l)N+i,
JV!(2n + a + |8+l)(-N)„(a + l)„ '

Упражнения
321
в) -xQnW = AnQn+lW-(An + Cn)QnW + CnQn_1W, где
_ (η + α + 0 + 1)(η + α + 1)(Ν-η)
n~ (2n + a + j8 + l)(2n + a + j8 + 2)
и
_ n(n + j3)(n + a + j3 + N+l) л
n~ (2η + α + 0)(2η + α + 0+1)'
г) функции Qn (χ) удовлетворяют разностному уравнению
п(п+ a + j8 + l)y(jc)=B(jc)y(jc + l)-[B(jc) + D(jc)]y(jc) + D(jc)y(jc-l),
где
BQc) = Qc-N)(jc + a+l),
Ό(χ) = χ(χ-β-Ν-1);
д) используя результаты п. б), покажите, что Qn(x; α, β, Ν) = CnQn(N—χ; β, α, Ν), где
Cn = (-1)η(α + l)„/(j8 -Ι-1)„, и выведите следствие 3.3.4.
31. Определим двойственные многочлены Хана соотношением
Rn(AQc); г, 5,N) := Jim Rn(AQc); -Ν-1, г, δ).
β—>ο°
Выведите ддя этих многочленов утверждения пп. а)—г) предыдущего упражнения.
Обратите внимание на то, что двойственные многочлены Хана получаются из
многочленов Хана перестановкой η и х.
32. Покажите, что ддя многочленов Хана Qn00, определенных в упражнении 31, верна
следующая предельная формула:
lim Qn(Nx;a, j8,N) = *п ll Z*J.
N->oo Ρη(α^41)
33. Определим многочлены Мейкснера следующим образом:
limQn(jc;b-l,^^,N)=:Mn(jc;b,c).
Покажите, что
а) Мп(х;Ь,с) = 2^1(-п,-х;Ь;1-1/с);
б) Σ ^схМт(х-,Ъ,с)Мп(х-,Ъ,с)= с""п! gmn, Ь>0и0<с<1;
в) (с — 1)хМп(х) = с(п + Ь)Мп+1(х) — [п + (п + Ь)с]Мп(х) -I- пМп_г(х) (Заметим, что с
помощью преобразования Пфаффа (теорема 2.2.5) можно показать, что многочлены
Мейкснера удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению. Из этого,
в соответствии с теоремой Фавара можно сделать вывод, что эти многочлены
являются ортогональными относительно некоторой положительной меры при с> 1.
Предоставляем читателю найти соотношение ортогональности с помощью
результата п. б).);
г) п(с- 1)Мп(х) = с(х + Ь)Мп(х +1)-[х + Qc + Ь)с\Мп(χ) + χΜη(χ-1).
Обратите внимание на то, что пп. в) и г) показывают двойственность пи х.
34. Определим многочлены Кравчука следующим образом:
Kn(x;p,N):=]imQn(x;pt,a-p)t,N).
t—»оо
Докажите следующие соотношения:
а) Κη(.χ;ρ,Ν) = 2Ρ1(-η,-χ;-Ν;1/ρ), η = 0,1, ..., Ν;
б) £0СУС1 -р)"-*Кт(.х;р,АОКпСх;р,Ю = j=^-{~lJ^;

322
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Β)-χΚηΜ=ρ(Ν-η)Κη+1(χ)-[ρ(Ν-η) + η(1-ρ)]Κη(χ) + η(1-ρ)Κη_1(χ);
r)-nKnW = p(N-x)Kn(x+l)-[p(N-x)+xa-p)]KnW+xa-pWnix-V'
Обратите внимание на двойственность п. в) и г), как и в случае многочленов
Мейкснера. Имеет место соотношение
Κη(χ;ρ,Ν) = Μη(χ;-Ν,ρ/ίρ-1».
35. Многочлены Шарлье задаются следующим образом:
Сп(х;а) := limМп(х;Ъ,а/(а + Ь))
Ь—»оо
или
С„(х; а) = lim Кп(х;α/Ν,Ν).
Ν-*<χ>
Докажите следующие соотношения:
a) Cn(x;a)=2F0(-n,-x;-;-l/ay,
00
б)^^Ст(х;а)Сп(х;а) = п\а-пеа5тп, а>0;
в) -хСп(х) = аСп+1 00 - (п + а)Сп00 + пСп_г00;
г)-пСп(х) = аСп(х+1)-(х + а)СпЮ+хСп(х-1).
Сравните, как и в предыдущих двух упражнениях, пп. в) и г).
36. Докажите, что
lim(2a)n/2Cn(V^£x + a;a) = (-1)пЯп(х).
а—» оо
37. Гипергеометрическое представление многочленов Мейкснера—Поллачека имеет вид
р>> ψ) = ^ψ л(~"'£+1х; 1-е"24
Данные многочлены могут быть получены как предельные случаи двойственных
непрерывыных (и просто непрерывных) многочленов Хана. Покажите, что
а) Р>; „) = lim S.iOc-tM + U.X-U.tw)
" ,у t-.» n!(t/smv>)„
б) ξ е(2^>*|Г(Я + ix)|2P>;<p)P*Qc;ψ)άχ = ™ln+J?.Sm, λ>0,0<ψ<π;
_οο {Zsunp) ηι
в) (n + l)PJl+1(jc)-2[jcsin^ + (n + A)cos^]Pn4x) + (n + 2A-l)PnA_1W=0;
г) eiφ(λ-ix)P^(x + i) + 2i[xcosφ-(n + λ)smφ]P^(x)-e-iφ(λ + ix)P^(x-0=0.
38. В данном упражнении следует доказать, что производящие функции некоторых
ортогональных многочленов имеют указанный ниже вид.
а) Для многочленов Вильсона:
„ (a + ix,b + ix Л (c-ix,d-ix Л _ \^ Wn(χ2; α,b,c,d)tn
2i4 а + Ъ и>Ч**А c + d il)-L· {a + bUc + d)nn\
И
η ^ι-α-b-c-d ρ /4a + b + c + d-l)/2^a + b + c + d)/2,a + ix,a-ix. -4t Λ
U"tJ 4i4 a + b,a + c,a + d ' (iT^U"
^ (a + b)n(a + 0„(a + d)nn! nV
Простым следствием этих формул является неравенство
dk (а + х,Ъ + х \ (c-x,d-x Λ>π
5?2М a + b ''Ml c + d >Ч>0
для —оо < χ < оо при a, b, с, d > 0 и 0 < t < 1.

Упражнения
323
б) Для непрерывных двойственных многочленов Хана:
" ι Sn(χ2; α, b,c)t"
»-« *FA а + ь >t)-L· (а + Ь)„
t fa + ix,a-ixt Λ = γ» Sn(x2;g,b,c)tn
2 2v a + b,a + c ' J Zj (a + b)n(a + c)nnf
Sn(jc2;a,b,c)tn
n=0
в) Для непрерывных многочленов Хана:
-fa + ix, .Л rrd-^ .Л_Х^рп{х;а,Ъ,с,<1)Г
iFAa + c>~lt)iFAb + d>lt)-L· (a + c)n(b + d)n
n=0
И
n ..г-а-ъ-c-d „ f(a + b + c + d-l)/2,(a + b + c + d)/2,a + ix._-4t Л
U"° 3*Н a + c,a + d 'O^O2'
(a + b + c + d-l)n
n=0
г) Для многочленов Мейкснера—Поллачека:
S(a + b + c + d-l)n , . j4 n
(№),(α^)/',-(Χ;α·Μ'^
(1 - е(**Гя+йг(1 - β-***)-*-* = ]Γ Рпя(лг; v)t"
п=0
И
д) Для многочленов Мейкснера:
п=0
п=0
е) Для многочленов Шарле:
п=0
Дальнейшие примеры и свойства ортогональных многочленов можно найти в [85,
гл. 6].
39. Докажите неравенство (6.4.19) для случая а>—1/2 и получите соответствующий
результат для —1/2 > a > —1.
40. Пусть α, β > — 1. Покажите, что
max |Р^>(*)| J^"^' когда , = тах(а^) >-1/2,
-к*<1 » 1 |ρπ(«.0)(Χι)| ~ 1//S, когда тах(а, 0) < -1/2.
Здесь хг — одна из двух ближайших к х0 = (β — α)/(α-Ι- β +1) точек максимума. (Ср.
с упражнением 18. Возьмите функцию /00, заданную равенством
п(п + а + β + !)/(*) = п(п + а + β + 1){Ρη(α^(*)}2 + (1-х2){£рп(а'^(х)},

324
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
и покажите, что /'00 может менять знак только в точке х0.)
41. Покажите что
,.м| 1^, если λ> О,
max |С*0с)| = < п\
"1<Jf<1 I IC^Ocj)!, если λ < 0, λ — нецелое число.
Здесь хг — один из ближайших к нулю максимумов, если η нечетно; хг = 0, если π
четно.
42. Покажите, что при фиксированном сип-><» выполняется равенство
(0-«-ι/2Ο( -1/2) если с/п< θ < π/2,
[0(па), если 0< θ <с/п.
[Воспользуйтесь данными об асимптотике Ρ^α,β)(χ) из § 6.6. Используйте также
упражнение 18 гл. 4, полагая
у Qc) = (sin(jc/2))a+1/2(cos(jc/2))^+1/2Pn(a^(cosjc)
и
у Ос) = ,lM27°f + //4"^ + (n + (a + j8 + l)/2)2.]
4surQc/2) 4 cos2 (x/2)
43. Докажите, что последовательность относительных максимумов функций |L"00|
и U£(0)| является убывающей при х<а+1/2 и возрастающей при х>а + 1/2.
(Рассмотрите функцию n{L"(x)}2 + х{— L"0c)}2.)
44. Покажите, что последовательность относительных максимумов функции |Нп(х)|
является убывающей или возрастающей в зависимости от того, отрицательно или
положительно значение х.
45. Используя теорему 6.7.2 в) и интегральное представление Гегенбауэра из теоремы
6.7.4, получите интеграл Корнвиндера лапласовского типа для многочленов Якоби:
ΡΪα'β\χ) _ 2Γ(α + 1) г ?ri + *-(l-*)u2 j——s γ
χ a2^+1(l-a2)a^-1(sin20)2^ άθdu, α>β> -1/2.
46. Заметим, что функция у(х) = е~*2/2Нп(х) является решением уравнения
у" + (2п + 1)/ = х2у.
а) Покажите, что для s = ^2п + 1 выполняется равенство
у(х) = An[cos(sx-n7r/2) +^00],
где
Д„00 = ~г I fV(0 sin(s(jc-1)) dt,
5An 0
а
in!/*:!, n = 2fc,
n~ j(n!/fc!)(2/s), n = 2k + l.
б) Используя неравенство Шварца, покажите, что
\ЯпМ\<С\х\^2п^\
где С — константа.

Упражнения
325
в) Покажите, что
НпМ ~ 2(п+1)/2п"/2е-"/2е^/2 cos(sx- If) При П —> оо.
47. Покажите, что функция у(х) = e~x,2L*(x) удовлетворяет уравнению
ху'Ч(а + 1)/ + (п + ^)у=^.
а) Докажите, что при Ν = (α + 2п +1)/2 выполняется равенство
у0с)= ПП+пГ1)у1(х) + ^ ^№)α+ν(0[^(0^2(χ)-^(^2(03^,
где
*(*)=7α(2ν^)/(νΝΪ)α, y2 = V^2v^)/(VNx)a.
б) Как и в упражнении 46, однако с помощью более сложных и длительных
вычислений, можно показать, что интеграл, деленный на Г(п + а + 1)/п!, стремится к нулю
при η —> оо. Докажите, что
W ^ Г(П +п\ +1}gy/2(^)"a/24(2УДВД при π ^ оо.
в) Воспользовавшись соотношением (4.8.5), покажите, что
п(а-1/2)/2ех/2
гаг л n^-w'e*!* f0 у— απ π Λ
L" (JC) ~ Vnx<*"№ «Ч2^"*- Τ " 4 J ПРИП-
48. Обозначим через rk число способов, которыми можно расставить к ладей по разным
min(m,n)
горизонталям и вертикалям шахматной доски размера т χ п. Пусть Rmn = j] rfcxfc.
Докажите, что если α целое, то Rnn+a = n\xnL"(—l/x).
49. Вычислите интеграл
00
■^= 5 Hea(jc)Heb(jc)Hec(jc)Hed(jc)e-^/2djc
У2тг
методом, описанным в § 6.9, и каким-либо другим методом.
50. Пусть функцию /(*) можно разложить по многочленам Якоби:
/(jc) = 2ja(n)hn-1Pn(a^U),
п=0
где константы hn = ||P„ J|2. Определим g(x) как среднее от /(*):
ι
gw = (ΐ-χΓ^α-χ)-^ $ /(οα-οβα+ο' λ.
Для простоты предположим, что α(0) = 0. Покажите, что если а(п) и Ь(п)
—коэффициенты Якоби функций / и g соответственно, то
h( *)= α(η) Γ(η + α + 1) γ^ a(fc)[2fc + a + j8 + l] r(fc+l)
W~n + a + j8 + l Γ(η + 1) ϋι fc[fc + a + j8 + l] r(fc + a + l)
Γ(η + α + 1) у a(fc)[2fc + a + j8 + l] Г(Лс+1)
fc=n+l
для п = 0,1,...
Достаточным условием для выполнения этого результата является сходимость ряда
J] |a(n)|n1+a. Аналогичный результат верен для многочленов Лагерра и Эрмита.
51. В этом упражнении дается доказательство следующей теоремы Харди [181]: Если
функция / вместе со своим фурье-образом g имеют порядок 0(|х|те /2) для

326
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
больших χ при некотором т, то каждая из них представляется в виде конечной
линейной комбинации слагаемых вида е~^,2Нп(х), где Нп(х) — многочлен Эрмита
степени п.
Заметим, что достаточно доказать теорему при / = g и / = —g. Докажите для случая
/ = g следующие утверждения:
а) при Re s = σ > — 1 функция
удовлетворяет уравнению
X(s) = \e-x2/2fMdx
о
A(s) = s-1/2A(l/s);
б) для μ(ε) = vsTTA(s) выполняется тождество
μ(5)=μ(1/5).
Функция μ(5) может иметь особенность в точке s = — 1, во всех прочих точках она
является аналитической. Следовательно,
00
λω = Σαη/(5 + 1)"+1/2;
п=0
в) вблизи s = —1 имеем A(s) = 0(|s + l|"p) при некотором р. Это можно вывести из
следующих рассуждений. Пусть σ +1 = τ. На единичном круге |s| = 1, τ = \s +1|2/2.
При |s| < 1 имеем:
00
A(s) = θ(5 e-^V dx) = OQs +1]'"1'1);
о
г) le-^e-^H^x)dx = i.ir^^J^;
00
д) 5 β~5χ2/2(/ — Φ) dx = 0, где Ф —некоторая линейная комбинация функций вида
52. Теорему Харди из предыдущего упражнения можно обобщить до следующего
утверждения (Рузенраад [317]). Положим
с« = [п!/Г(п + а + 1)]1/2
и определим обобщенные функции Лагерра:
^М = сап\хГ112е^121ап{х2\
*£+!(*) = с;+1|дс|в+1/2е-^/2л;+1(дс2), η = о, ι,2,....
Для функции /, определенной для всех вещественных х, зададим
(*«Я(0 = 5 ξ /U){M1/2Ja(|xt|) + i^Ja+1(|xt|)}djc.
Заметим, что ^а является суммой четного и нечетного преобразований Ганкеля.
Проверьте, что 5£^ являются собственными функциями Яа:
<Яа<г£ = 1тХ£, гп = 0,1,2,....
Теорема. Если f и ga = &af имеют порядок 0(xm+a+1/2e"*2/2) при больших х для
некоторого т>0, то каждая из них является конечной линейной комбинацией функций

Упражнения
327
Как и ранее, достаточно рассмотреть случаи ^а/ = ±/. Положим ^а/ = /. Покажите,
что для Re s > —1 функция
00
X(s) = \xa+l/2e-sx2/2fWdx
о
удовлетворяет уравнению
A(s) = s-a"1A(l/s).
Следовательно, для μ(δ) = (1 + s)a+1 A(s) верно тождество μ(5) = μ(1/$). Завершите
доказательство аналогично предыдущему упражнению.

ГЛАВА 7
Еще об ортогональных многочленах
Ранее мы видели, что многочлены Якоби можно изучать, рассматривая их
в качестве гипергеометрических функций. В этой главе мы обращаем логику
изложения и убеждаемся в том, что многочлены Якоби могут пролить свет
на некоторые свойства теории гипергеометрических функций. А именно, мы
обсуждаем проблему коэффициентов перехода для многочленов Якоби, а также
касаемся вопроса положительности сумм многочленов Якоби. Мы встретимся
с различными методами, однако будут ситуации, в которых важную роль играют
гипергеометрические функции. Наконец, мы приведем метод Бейкерса
доказательства иррациональности £(3) с использованием многочленов Лежандра.
Впервые этот результат был доказан Апери, но метод Бейкера представляет
самостоятельный интерес.
Очевидно, что многочлены Якоби Рп(г' } (х) могут быть представлены в виде
η
суммы J] спкР[ка'р (дс). Важен тот факт, что коэффициент перехода спк может
к=0
быть представлен как гипергеометрическая функция 3F2. Эта функция может
быть определена с помощью сдвинутого факториала (см. формулу (1.1.2)) и
наложения условий на параметры α, β, γ и δ. Удивительно, но это приводит
к наглядному доказательству формулы преобразования Уиппла для 7F6. Мы
видели, что, за исключением гауссовских рядов 2^ι, большинство суммируемых
гипергеометрических рядов либо уравновешены, либо хорошо уравновешены.
Загадка заключается в том, что для уровня 5F^ и выше ряды являются очень
хорошо уравновешенными. Упомянутое выше доказательство формулы
преобразования Уиппла проливает свет на этот факт, показывая, что очень хорошая
уравновешенность возникает благодаря соотношению ортогональности для
многочленов Якоби.
Фейер использовал положительность сумм Σ sin(fc + -)0 для
доказательно ч AJ
ства своей знаменитой теоремы о суммируемости рядов Фурье по Чезаро.
Положительность некоторых других тригонометрических рядов также сыграла
важную роль в математике. Оказывается, эти неравенства обобщаются до
неравенств для сумм многочленов Якоби. Важность такого обобщения объясняется
полезностью неравенств. Ярким примером является тождество, доказанное
Гаспером, играющее неожиданно важную роль в доказательстве де Бранжа
гипотезы Бибербаха. Описание этого интересного случая можно найти в [35]. Мы
также приводим и доказываем тригонометрическое неравенство, полученное
Вьеторисом.
§ 7.1. коэффициенты перехода
Пусть V — векторное пространство многочленов над вещественными или
комплексными числами, a Vm —подпространство многочленов степени не выше т.

330
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
Пусть Po(x),PiW,P2W,... — последовательность многочленов, причем рпМ
имеет в точности степень п. Пусть q0(χ), ςχ(χ), q2GO,... —другая такая
последовательность. Очевидно эти последовательности образуют два базиса в Vm. Часто
при работе с конечномерными векторными пространствами бывает необходимо
найти матрицу преобразования от базиса в данном пространстве к другому
базису. Это означает, что необходимо найти коэффициенты спк, удовлетворяющие
условиям
η
ЧпЫ = ^спкРкЫ. (7.1.1)
к=0
Выбор рп или qn зависит от ситуации. К примеру, предположим, что
рп(х) = хп, qn(x)=x(x-l)...(x-n + l).
В этом случае коэффициенты спк являются числами Стирлинга первого рода.
Если поменять местами рп и qn, мы получим числа Стирлинга второго рода.
Эти числа полезны при решении некоторых задач комбинаторики и были
определены Стирлингом [364].
Обычно можно лишь немного сказать о коэффициентах перехода. Однако
для некоторых случаем имеются простые формулы. Например, формула
C*(cosθ) = £ ™Гм1\ cos(n-2fc)0 (7.1.2)
Лс=0
дает разложение Pn(a'a)Qc) в ряд по Р^~1/2~1/2\х). Эта формула была выведена
в предыдущей главе из производящей функции для C*(jc). См. (6.4.11). Другим
примером является формула
к=0
Последняя формула может быть получена из производящей функции для 1„(х).
Имеем
00
J] L^OOr" = (1 - г)-"-1 ехр(-хг/(1 - г)) =
п=0
= (1 - г)-»"1 exp(-xr/U - г))(1 - гГ^ = П[] L^MrAi^ ^r^A =
n=0Vjt=0 J
Отметим, что в обоих случаях многочлены схожи — в том смысле, что они
ортогональны на одном и том же интервале, а их весовые функции взаимосвязаны.
Следующая лемма есть основной результат этого параграфа. Она позволяет
найти коэффициенты перехода спк в случае qnQc) = Pn GO и рк(х) = Pfc (дс).

§7.1 Коэффициенты перехода
331
Лемма 7.1.1. Пусть Рп(г,б)(χ) = Σ ^Ρ^β)Μ. Тогда
_ (n + Y + 5 + l)k(k + Y + l)n_k(2k + a + fi + l)r(k + a + fi + l)
°пк~ (п-к)!Г(2к + а + 0 + 2) Х
2V fc + y + 1.2fc + a + e + 2 ; A
fc + y + l,2fc + a + jB + 2
Доказательство. Из ортогональности многочленов Якоби следует, что
спк = апк/Ьк>
где
1
нк= \[р1аф)ш2а-хуа+х)р(1х =
-1
2α+β+1 г№ + g + 1} r(fc + ^ + 1}
(7.1.4)
(2к + а + 0 + 1)Г(к + а + 0 + 1)Г№ + 1)
и
ι
апк = $ Pn(r'5) (x)Pfc(e'w Qc) (1 - x)a(l+ χ)' dx =
-ι
= wS^wffI(1"x)*rt(1+xy,+t]dxe
= ¥k\ \£rtr'5)MM-xr+ka+x)e+kdx.
Мы видели ранее, что
±рЬ*>Ы = П + Г+25 + 1Р^'5+1)М. (6.3.8)
Следовательно,
Подставим это в интеграл для anJt и получим
апк = in + Y2tl+1)k \ еГ+к)Cx)a-^)a+fc(l + *)'+kdx =
ι
x 5(l-jc)a+fc+4H-jc)^dJC =
-1
_ (n + r + g + l)fc№ + r + l)n-fcr№ + a + l)r№ + j8 + l)2a^+1
~ fc!(n-k)!r(a + j8 + 2fc + 2) X
f-n + ^n + k + y + S + ljk + a + l -Λ
*3М k + r + l,2Jfc + a + jB + 2 ;1>
что эквивалентно утверждению леммы. D

332
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
В общем случае рад 3F2 из леммы просуммировать невозможно. Если мы
положим γ = α, 3F2 перейдет в конечный рад 2РЪ который может быть вычислен
по формуле Чу—Вандермонда (следствие 2.2.3). Рад 3F2 может быть также
просуммирован при δ = β, потому что в этом случае мы получаем
уравновешенный рад 3F2, значение которого дается тождеством Пфаффа—Заалыпютца
(теорема 2.2.6). Наконец, рад 3F2 может быть просуммирован с помощью
тождества Ватсона при α = β и γ = δ (теорема 3.5.5). Однако достаточно рассмотреть
в лемме 7.1.1 случай а = γ, так как другие два случая являются его следствием.
Теорема 7.1.2. Справедливо равенство
ρ(α,δ)ΓγΛ _ (<* + !)„ . χ
Уп W-(a + j8 + 2)n
γ (-l)"-fc(g-j8)n-fc(a + i8 + l)fc(a + i8+2fc + l)(a + g + n + l)fc (α>/3)
Ζ-ι (n-fc)!(a + l)fc(a + j8 + l)(a + j8+n + 2)fc * w"
Лс=0
Доказательство. Положим в лемме 7.1.1 γ = α. В этом случае 3F2
принимает вид
г-п + к,п + к + а + 5 + 1 -λ (j8-5-n + Jc + l)n_fc
oF
, Г-п + к,п + к + а + о + 1, λ
4 2fc+a+0+2 ' J~
2 Ч 2fc + a + j8+2 ' J (a + j8 + 2fc + 2)n_fc '
Используем лемму 7.1.1 и упрощая, доказываем утверждение. D
Случай δ = β получается как следствие.
Теорема 7.1.3.
γι (r-g)||^(g + jB + l)fc(a + iB + 2fc + l)0B + r + n + l)fcr(tt,Wf ,
Zj (n-fc)!(j8 + l)fc(a + j8 + l)(a + j8 + n + 2)fc * l J'
k=o
Доказательство. Используем теорему 7.1.2 и тот факт, что Р„ 00 =
= (-1)^'а)(-х). □
Теорема 7.1.4. Справедливо равенство
ρ(υ,υ)(υλ= (Г + Пт V (2а + l)m-2fc(r + l/2)m-fc(a + 3/2)m.2fc(r - a)fc (g>g)
*m W (2r + i)m Zj (a + l)m_2fc(a + 3/2)m.fc(a + l/2)m_2fcfc! rm-2fcW·
fc=0
Доказательство. Заменим х на 2х2 — 1 и возьмем β = ±1/2 в теореме 7.1.3.
Тогда
p(r,-i/2)(2jc2_1) =
(1/2),
(a + 3/2)n
л
Χ
k=0
И
χρ(Μ/»(2χ2-ΐ)= 0l2)n
S(.Y-a)n-k{a + l/2)k{2k + a + l/2)(.n + Y + l/2)k ,a>-1/2) 2
(n-fc)!(l/2)fc(a + l/2)(n + a + 3/2)fc * l } W }
(a + 5/2)„
„ V» (r-«)n-t(q + 3/2)fc(2fe + a + 3/2)(m-r + 3/2)^,n(a|1/2)^„2 ,Λ
XZj (η-«!(3/2)4(α + 3/2)(π + ο + 5/2)4 *** U* J> lA °J
fc=o

§7.1 Коэффициенты перехода
333
Теперь, используя формулу квадратичного преобразования из гл. 3 (см. (3.1.1)),
получим
η(α,α) (V) = (α+1)2ηη! ρ(α-1/2) (2χ2 _ -.л (уцл
И
Положим т = 2п и, используя совместно формулы (7.1.5) и (7.1.7), после
упрощения получим
p(r,r)M = (r + Dm ψ (Г-а)?-.(2а + 1)2.(а + 3/2)2,(г + 1/2)|+^(аа)м
Для четных т формула в утверждении теоремы следует отсюда после изменения
порядка суммирования, а именно после замены к на у — к. Случай нечетного m
получается аналогично из формул (7.1.6) и (7.1.8). D
Мы можем также переписать предыдущую теорему в терминах
ультрасферических многочленов.
Теорема 7.1.4'. Справедливо равенство
&Μ = ψ ίλ)η-Λλ-μ\{η + μ-2Κ) μ
CnW L· (μ + 1)η_^!μ Cn-2*W' U-LVJ
fc=o
Замечание 7.1.1. Соотношение (7.1.2) получается из вышеуказанной формулы
переходом к пределу при μ —> 0. Удивительно, но теорему 7.1.4' легко получить
непосредственно из формулы (7.1.2).
Доказательство теоремы 7.1.4'. Заметим, что
£сп*(*) = 2АО*).
Продифференцировав равенство (7.1.2) по θ и поделив на — sin0, получим
η
Jc=0
Если заменить fc на η —fc, то выражение под знаком суммы не изменится.
Поэтому для нечетного η слагаемые в сумме могут быть разбиты на пары,
и то же можно сделать для четного п, так как слагаемое для п = к равно нулю.
Таким образом, после замены п — 1 на η и Я на Я-1 в формуле (7.1.10), мы
получаем
гЯГул _ V (A)n-fc(A-l)fcn + i-2fcri ГуЛ
L«W"Zj (2)n_fcfc! Ϊ Ln-2fcW·
fc=0
Здесь мы использовали тот факт, что
~ι, ΛΛ sin(n + l)0
C„(cos 0) = —. fl .
Повторим эту операцию, а именно продифференцируем формулу для C*(jc) по
дг, заменим п — 1 на п, а А на А — 1и получим
Ч W - 2j (3)η_^! 2 Ln-2fc W·
Лс=0

334
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
По индукции мы имеем
к=0
длям = 1, 2, 3, ...
Из равенства (7.1.2) очевидно, что С^_2к{х) есть многочлен по μ.
Следовательно, правая часть равенства (7.1.11) есть рациональная функция
переменной μ. Поскольку равенство (7.1.11) верно для бесконечно большого количества
значений μ, оно верно тождественно. Последнее утверждение завершает
альтернативное доказательство теоремы 7.1.4'. D
Из теоремы 7.1.3 можно получить сумму Дуголла для очень хорошо
уравновешенного ряда 7F6. Такой вывод тождества Дуголла дает подход, отличный от
использовавшихся в предыдущих выводах. Для начала положим χ = 1 в теореме
7.1.3 и получим
(r + l)n(a + j3+2)n _ (γ-α\χ
0Β + 1)ηπ! π!
, ν (-n)fc(q+jB+
-I)fc(j8 + l)fc(a + j8 + l)(n + a + j8+2)fcfc!
2fc + a + j8 + l (l + (a + j8 + l)/2)fc
V^ (-n)k(a + β + l)k(2k + a + β + 1)(η + γ + β + l\(a + l)k
X 2-i (-n-r + a + 1
Заметим, что
(7.1.12)
a + j8 + l ((a + j8 + l)/2)fc '
Таким образом,
(α + β + 1,ία + β + Ώ/2,η + γ + β + 1,α + 1,-η \ = (r + l)n(a + jS+2)n
5 44a + j8 + l)/2,a-n-r + l,j8 + l,n + a + j8+2' J ίβ + 1\ίγ-α)η '
Положим a + j3 + l = a, а + 1 = Ьип + 7 + )3 + 1 = си формула примет вид
f a,a/2 + l,b,c,-n; л= (a-H)n(a + l-b-c)n
5 4να/2,α + 1-6,α + 1-ο,α + 1+π' -/ (a + l-b)n(a + l-c)n'
Это тождество дает сумму конечного очень хорошо уравновешенного ряда 5iv
Интересно, что, кроме хорошо уравновешенного ряда 2F\ при х = — 1,
суммируемого по Куммеру и хорошо уравновешенного ряда при х = \, суммируемого
по Диксону, большинство хорошо уравновешенных рядов, которые могут быть
просуммированы, имеют дополнительное свойство, заключающееся в
различии параметра в числителе и знаменателе на единицу. Это делает ряд очень
хорошо уравновешенным. В приведенных выше рядах это следует из равенства
(7.1.12), которое, в свою очередь, получается из соотношения ортогональности
для многочленов Якоби (7.1.4). Это отчасти объясняет, почему суммируемые
хорошо уравновешенные ряды уровня выше 3F2 должны быть очень хорошо
уравновешены.
Вышеуказанный ряд 5F4—nmiib частный случай ряда Дуголла 7F6. Чтобы
получить обыщи результат, отметим, что вычисление функции в точке есть
пример линейного оператора. Именно этот оператор был применен к тождеству
в теореме 7.1.3 для получения 5iv Более общим оператором является интеграл
с некоторой мерой. Для получения привлекательных формул мы
соответствующим образом выбираем меру. Многочлены Якоби могут быть представлены как

§7.1 Коэффициенты перехода
335
гипергеометрические ряды 2iv Мы знаем, что интегрирование
гипергеометрической функции с мерой, которая является бета-распределением, добавляет два
новых независимых параметра в ряд. Это показывает, как мы можем получить
обобщение формулы для 5F4. Перепишем теорему 7.1.3 в виде
■ + 1)„ Г-η,γ + β + η + Ι А_ (Р + 1)„ у
HJ~2*l\ γ + l ,UtJ~(a + j8 + 2)n2-.
fc=0
(a + j8 + 2fc + l)(y + j8 + n + l)fc(a+l)fc /-—fc,a + /?+fc + l Л m „>
(/3 + l)k(a + beta + l)(a + /3 + n + 2)kfc!2flV a + l 'У 1Л1·"'
Проинтегрируем результат с двумя независимыми бета-распределениями.
Получим
(-n,Y + fi + n + l,a,b \__φ^η\_
4i4 r + l,c,d '4-(α + β + 2)ηΧ
(α + β + 2)η(.γ + 1)„ „f-n,r + fi + n + l,g,b.4\_ «8 + D,
(P + D.n!
(r-a)n-fc(a + i8 + l)fc(« + i8 + 2fc + l)(r + i8 + n + l)fc(a + l)fc
XZj (η-«!Ο8 + 1)*(α + 0 + 1)(α + 0 + η + 2)^!
Jc=0
44":!;'"'"'l;4 c7iM)
Здесь суммы 4F3 не могут быть просуммированы без ограничений на параметры.
Заметим, что сумма 4F3 в левой части уравновешен, если a + b + j3 + l = c + d.
Это также является условием уравновешенности для ряда 4F3 в правой части.
Поэтому предположим, что параметры выбраны так, чтобы суммы 4F3 были
уравновешены. Если мы в дальнейшем положим Ь = a +1, то ряд 4^з в правой
части сводится к уравновешенному ряду 3F2, который может быть
просуммирован с помощью тождества Пфаффа—Заалыпютца. В результате мы получаем
формулу
f-n,a + j8 + l, (a + j8 + 3)/2, γ + 0 + η + 1, a + l, a + 0 -с-1-2,c-a# λ
7 6Va-r-π + l,(a + j8 + l)/2,a + i8+π + 2,j8 + l,c,a + a + i8-c + 2, J "
_ (r + l)n(a + ff + 2)n ,_п,г + 0 + п + 1,а,а + 1 ч
" QS + D.Cr-a). 4i4 r + ifCfd '4 (ZI15)
при a + j3 + a + 2 = c + d. Это есть не что иное, как формула преобразования
Уиппла, из которого, как мы видели ранее, может быть получено тождество
Дуголла.
Замечание 7.1.2. Коэффициенты в теореме 7.1.4 неотрицательны при γ>α>— 1.
Этот факт полезен при доказательстве положительности некоторых функций 3F2.
Последняя сыграла важную роль в первом доказательстве гипотезы Бибербаха. Мы докажем это
неравенство позднее. Неотрицательность коэффициентов в теореме 7.1.3 имеет место
при тех же условиях, а именно γ > а >—1. В теореме 7.1.2 неотрицательность наблюдается
при δ—β = — 1, —2,..., δ > —1. Для произвольных α, β, γ, δ проблема неотрицательности
коэффициентов сводится, согласно лемме 7.1.1, к проблеме неотрицательности для
некоторых 3F2. Один из способов изучать ее — использование трехчленных соотношений
смежности для 3F2. За деталями читатель может обратиться к [26].

336
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
§ 7-2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
РАЗЛОЖЕНИЯ
Начнем с доказательства того, что
min(m,n)
Σ ("^вХ":-ГХ'"Га)>о <™
к=0
для а>0. Лорентц и Зеллер [255] использовали последнее неравенство для
построения нового доказательства теоремы Харди и Бора. Неравенство не имеет
прямой связи с ортогональными многочленами, однако его доказательство
дает неплохое введение в метод производящих функций. Данный метод будет
снова использован в этом параграфе для доказательства неравенства с участием
многочленов Лагерра. Более того, неравенство (7.2.1) в действительности есть
неравенство для 3F2, что обсуждалось в предыдущем параграфе. Заметим, что
это неравенство может быть записано в виде
(g + l)m(g + l)n n f-mf-nf-a-i
ml n\
FJ m, π, α 1;1}>0 (7.2.2)
6 ζ\ — m-α,-π-α' J
для а>0.
Мы докажем следующий более общий результат Аски, Гаспера и Исмаи-
ла [28].
Теорема 7.2.1. Если О < а < minQS, γ), то
min(m,n)
Σ ГЛТЛТТ2)*»- -.-Μ.*- <*зд
к=0
Доказательство. Заметим, что
α-χ)-^»=Σ(*ίσ>*
А:=0
т. е., выражение из неравенства (7.2.3) должно быть коэффициентом при
некотором слагаемом в разложении, полученном из произведения трех биномиальных
разложений. В самом деле, это выражение есть коэффициент при rmsn в
произведении
Г2>*Яжшк-/У*11ж?ЛгУ*-
к=0 т=к п=к
Проверим, что это произведение можно записать в виде
оо min(m,n)
Σ Σ r^i'x-^rx'T^^w-
m,n=0 fc=0
(l-r)'+1(l-r)r« u rj V1 "J d-r)a+1(l-s)a+1'
Коэффициенты разложения в степенной ряд двух множителей (1 — r)a"^ и
(1 — s)a_r неотрицательны, если β > а и γ > а. Отсюда следует, что достаточно

§ 7,2. Рациональные функции с положительными коэффициентами разложения 337
рассмотреть случай α = β=γ. Отметим, что
(л *7м5 л =T±- + zr±--l = l + Y(rn + sn),
(1 —r)(l —s) 1 —г 1—s Z-jv "
n=l
т.е. разложение функции (1 —rs)/[(l —r)(l—s)] в ряд имеет положительные
коэффициенты и, следовательно, любая положительная целая степень этой
рациональной функции также имеет положительные коэффициенты разложения
в степенной ряд. Запишем теперь
г l-rs ia+1 r l-rs ][«]+! г l-rs γ-м
L(l-r)(l-s)J L(l-r)(l-s)J L(l-r)(l-s)J
Поскольку 0< α— [α] < 1, нам требуется рассмотреть только случай α = β = γ
при 0 < а < 1. Заметим, что функция 3F2 из формулы (7.2.2), переписанная в виде
ряда, имеет вид
-_ гпп(а + 1) , т(т — 1)п(п — 1)(а-1-1)а
(гп + а)(п + а)1! (т + а)(т + а-1)(п + а)(п + а-1)2!
т(т-1)(т-2)п(п-1)(п-2)(а + 1)а(а-1)
; + ...
(т -I- а)(т -I- а- 1)(т -I- а- 2)(п -I- а)(п -I- а- 1)(п -I- а-2)3!
В ряде есть как положительные, так и отрицательные слагаемые, поэтому знак
суммы сразу не ясен. Чтобы показать, что сумма ряда является положительной,
мы преобразуем его в ряд с положительными членами. Для этого применим
к выражению из неравенства (7.2.2) формулу Томе (следствие 3.3.4):
г (а,Ъ,с \_ Г(с!)Г(е)Г(5) (d-a,e-a,s \
3i4 d,e ' V~r(a)r(s + b)r(s + c)3i4 s + b,s + c 'Ч>
где s = d + e — a — b — c. После легкого упрощения результат принимает вид
a(a + l)
1) ηΠ-Γη,1-π,1-α,Λ
ι + α) 3 2и-т-а,1-п-а' J'
(m + α)(π·
Очевидно, что каждый член этого 3Р2-ряда положителен при 0<а<1, что
и доказывает теорему. D
Замечание 7.2.1. Теорема 7.2.1 эквивалентна следующему утверждению:
зЫ1т-£-п-?;1)>0' m'n=0'1'2'- <7·2·4>
при 0 < a < min(j8, γ). Условие 0 < a < min(j8, γ) является необходимым. Возьмем в
неравенстве (7.2.4) т = 1 и получим
Μ,-η,-α-1 \_ (α + 1)η >π
3F2Ul-ft-n-r,1J"1 (1 + Р)(п + Г)>0·
Переходя к пределу при η -* оо, убедимся, что a < j8. В силу симметрии имеем α < χ.
Следующая задача — доказать положительность коэффициентов А(к,т,ή)
в разложении в степенной ряд рациональной функции
00
a.rK1.s) + a.r]a.t) + il.sK1.t)= Σ Мк,т,п)№. (7.2.5)
fc,m,n=0
Коэффициенты А(к, т, п) удовлетворяют уравнению в конечных разностях,
которое аппроксимирует двумерное волновое уравнение. Фридрихе и Леви

338
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
хотели использовать положительность А(к, т, ή) для доказательства сходимости
решений уравнений в конечных разностях к решениям волнового уравнения.
Доказательство с использованием функций Бесселя было дано Сегё [371]. Кроме
того, он свел эту проблему к проблеме положительности интегралов от
произведений многочленов Лагерра. Далее мы будем придерживаться этого метода.
Перепишем левую часть равенства (7.2.5) в виде
I 1 г е~*/(1"г) e_Jc/(1"s) е~*/(1~°
(l-r)(l-s)(l-t)" ι , ι , Τ"= \ Т=~г Г^ Ϊ=Γdx- (Ζ2·6)
1-r 1-s^l-t °
Вспомним, как выглядит производящая функция для многочленов Лагерра
оо
р-дсг/(1-г) ^—!
κ—τΐϊ=ΣιηΜΓη· (6·2·4)
η=0
Теперь запишем
Vr=е~х·-ϊ=γ=е Σw·
n=0
Таким образом, выражение из формулы (7.2.6) равняется
_— °°
J] \LkMLmMLnMe-3x dxrksmtn
к,т,п О
И
00
А(к, ш, п) = 5 Ifc(Jc)Im(Jc)In(Jc)e-3x dx.
о
Подобным образом может быть рассмотрена и более общая ситуация. Заметим,
что если /(χ) = (дг—r)(x—s)(jc—t), то левая часть равенства (7.2.5) есть 1//'(1).
Запишем
00
^= J] Aa(fc,m,n)rW,
к,т,п=0
тогда
00
А»№, m, η) = f^ny ξ I«(x)I« (хЩШае-3х dx. (7.2.7)
Теорема 7.2.2. Для а>—1/2 выполняется неравенство Аа(к, т, п)>0. Для
α > 0 неравенство становится строгим, т. е. Аа(к, т, п) > 0.
Доказательство. В гл. 6 мы вычисляли интегралы произведений трех
многочленов Эрмита и трех ультрасферических многочленов. Там же была
доказана их неотрицательность. Интегралы были получены из соответствующих
формул линеаризации. Однако этот метод здесь не работает. Тем не менее
вспомним, что
lim Ρ^β)(1 -2x1 β) = L°Qc).
β—>°°
Поэтому разумно изучить положительность интеграла
1
5 P^a+D WP£'a+D (х)Рп(а'а+л 00 (1 - хГа + x)a+3j dx. (7.2.8)
[/'(1)]а
-ι

§ 7.2. Рациональные функции с положительными коэффициентами разложения 339
Мы уже знаем, что
ι
^Р^а\х)Р^а\х)Р^а\х){\-х2)аах>0 для а>-1/2. (7.2.9)
-1
Вопрос в следующем: можно ли увеличить второй параметр β в Р^\х),
по-прежнему сохранив положительность интеграла (7.2.8)? Оказывается, мы
имеем формулу
ί 1 + χ) Р<«.0+1> (χ) = 2(η + 1) Ρ(α^ (χ) + 2(η + /3 + 1) (α>/3)
Проверим ее, вспомнив об ортогональности многочленов Якоби, а также о том,
что правая часть равняется нулю при х = — 1. Поскольку коэффициенты в
формуле (7.2.10) положительны, мы получаем неотрицательность интеграла (7.2.8) из
соотношений (7.2.9) и (7.2.10). Это, в свою очередь, влечет неотрицательность
коэффициентов Aa(k,m,п) для а>—1/2.
Строгая положительность для а > 0 следует из соотношения
ι =Г 1 f
[/'d)]a+1 L [/'(l)](a-«/2+l J
Отсюда получаем
00
[Γ((α+1)/2)]2 ξ L?(x)L° (x)L°Qc)xae-3* dx =
о
к т η
= Γ(α +1) J] Σ Σ ^(fc - a, m - b, n - c)/(a, b, с), (7.2.11)
a=0 b=0 c=0
где
IiU h W = 5 l[a"1)/2Wi;a"1)/2 U)l[a"1)/2 Wx(a"1)/2e-3x dx.
о
При а>0 все слагаемые в формуле (7.2.11) неотрицательны. Поэтому достаточно
найти одно строго положительное слагаемое. Положительность слагаемого с
a = fc, Ъ = т, с = 0 следует из сформулированной далее леммы, которая завершает
доказательство теоремы. D
Лемма 7.2.3. При а>—\, ε>0 выполняется неравенство
00
$ e-exL°Qc)L£Qc)jcae-x dx > 0. (7.2.12)
о
Доказательство. Рассмотрим производящую функцию
п гV J ^ОДЮЛ"^ djc = J x ea_r)a+4l_s)a+1 dx =
Из последнего выражения очевидно, что при 0 < ε < 1 коэффициент при rnsm
положителен. Утверждение может быть распространено и на большие значения

340
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
ε итерациями по следующему принципу. Поскольку функция e~exL^{x) является
гладкой и интегрируемой, мы можем разложить ее по многочленам Лагерра.
Пусть
00
fc=0
Для 0<ε<\ мы имеем Ск{е)>0 согласно нашим предыдущим замечаниям.
Далее,
fc=0
Поэтому функция e~2exL"(x) может быть записана как сумма с положительными
коэффициентами. Продолжение этого процесса итерациями завершает
доказательство леммы. Другое доказательство приводится в упражнениях 6 и 7. D
Следствием леммы 7.2.3 является приведенный ниже результат,
доказательство которого предоставляется читателю.
Следствие 7.2.4. Пусть а>— 1. Предположим также, что функция /Qc)
представлена своим разложением в ряд Лагерра—Фурье. Пусть коэффициенты
разложения неотрицательны, а именно
00
ап = $ f{x)Lan{x)xae~x dx>0, η = О,1,...
о
Тогда либо
00
αη0?) = ξ fMe-£XL^x)xae-x dx>0, η = О,1,2,..., ε > 0,
ο
либо fix) = 0 при х>0.
Результат теоремы 7.2.2 кажется тем более удивительным, если
рассматривать его с другой точки зрения, как мы убедимся позднее. Рассмотрим
следующее утверждение, доказанное И. О. Сармановым [466].
Теорема 7.2.5. Если
00
/Ос,У) = ΣanLan{x)Lan{y)lLan{0) >0, 0 < х,у < со, (7.2.13)
п=0
то
ι
αη=\νηάμ{ν),
о
где άμ(τ) — положительная мера.
В действительности неравенство (7.2.13) для ап = г", 0 < г < 1, есть следствие
соотношения (6.2.28). Теперь многочлены Лагерра удовлетворяют
дифференциальному уравнению по χ и разностному уравнению по п. Часто случается,
что, меняя местами η и х, можно получить результат дуальный исходному.
К примеру, лемма 7.2.3 дуальна утверждению о положительности (7.2.13) при
ап = гп. Дуальным результатом к положительности интеграла Сегё (7.2.7) будет
неравенство
00
2 anL°(x)L°(y)L«(z) > 0, 0^x,y,z<°°,
п=0

§ 7.2. Рациональные функции с положительными коэффициентами разложения 341
для некоторой последовательности ап. Однако теорема 7.2.5 показывает, что
ι
anI«(z)I«(0) = 5rndM(r,z),
о
где άμ(τ, ζ)>0 для всех ζ, 0 < ζ < оо. Последнее возможно только в случае, когда
άμ (г, ζ) — точечная масса в точке г=0 при а0=с > 0, ап = 0, η = 1,2,..., поскольку
функция Ι" (ζ) отрицательна для некоторого ζ > 0.
Работа Сарманова содержит доказательство теоремы 7.2.5. Другое
доказательство, которое более явно использует специальные функции, можно найти
в [20].
Имеются некоторые обобщения теоремы 7.2.2 для определенных а.
Теорема 7.2.6. Если а > а0 = (-5 + </Ϊ7)/2, то
00
\xaL<tWLamWLZMe-2xdx>0, a> а0,
о
к, τη, η = 0,1,... Неравенство превращается в равенство только при к = т = п = 1
и а = а0.
Доказательство см. в [27]. Случай а = 0, 1, ... выделен в упражнение 10. Тот
факт, что теорема 7.2.6 имеет следствием теорему 7.2.2 при а>а0, вытекает из
леммы 7.2.3.
Теорема 7.2.7. Если 0<а<1, a + b = l и а>0, то
00
$ xaLak(ax)Lam(bx)L°Qc)e-*dx > О,
к, т, π = 0,1,...
Доказательство см. в [237]. Мы кратко перескажем его доказательство
для неотрицательных целых значений α после обсуждения основной теоремы
Макмагона.
Теорема Макмагона [259, с. 93 — 98], известная как основная теорема,
сделала возможным дать комбинаторную интерпретацию коэффициентов
разложения в ряд рациональных функций нескольких переменных. Теорема Макмагона
может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что
|вц-1/*1 ai2 ... вщ
а21 а22-1/х2 ... а2п
Vn = (r-irxi...xn\ : : .. :
<*ni ап2 ... апп-1/хп
к к к
Тогда коэффициент при х11х22...хпп в разложении функции 1/Vn такой же, как
и коэффициент при том же члене в разложении в ряд
(ац*! +... + а1пхп)к*... (ап1хх +... + аппхп)к*.
В качестве применения этой теоремы рассмотрим следующий пример.
Простое вычисление показывает, что
ll/2-l/r -1/2 -1/2
1 -1 (г + 5 + О + lrst = -rst
-1/2 1/2-1/s -1/2
-1/2 -1/2 1/2-1/t

342
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
Из мастер-теоремы следует, что коэффициент при rksmtn в разложении в рад
функции [1 — (г+s +1)/2 + rst/2]-1 такой же, как и коэффициент при rksmtn в
разложении функции (г—5 — t)*(—r+s — t)m(—г—s + t)n/2k+m+n. Результат имеет
следующую комбинаторную интерпретацию. Возьмем три ячейки с к, тип
различными предметами в них. Перераспределим эти предметы по ячейкам так, чтобы
число предметов в каждой ячейке оставалось тем же. Тогда коэффициенты при
rksmtn в разложении функции (г — 5 — t)k(—r + s — t)m(—r—s + t)n представляют
собой число перестановок, в которых четное число предметов было переложено
из одной ячейки в другую, минус число перестановок, в которых из одной
ячейки в другую было переложено нечетное число предметов. Из упражнения 10
(где этот коэффициент был получен как интеграл от произведения многочленов
Лагерра) следует, что этот коэффициент должен быть положительным. Таким
образом, мы убеждаемся, что в данной комбинаторной ситуации число «четных»
перестановок превосходит число «нечетных» перестановок.
В качестве другого примера применения основной теоремы мы в общих
чертах воспроизведем доказательство результата Корнвиндера из теоремы 7.2.7
методом Исмаила и Таманкара [203] для а = 0, 1, 2, ... Пусть
00
Ba(fc,m,n) = \ qWL^ai-A)x)L°(A,x)xae~xdx.
о
Простое вычисление, использующее производящую функцию для многочленов
Лагерра, показывает, что
Σ вчк, т> п) A-v=[1_(1_A)r_A<!.(^:)(1_A)rt+
к,т,п
rst]a
Поскольку а есть неотрицательное целое число, из неравенства В0(к, т,п)>0
следует, что и Ва (к, т, п) > 0. Поэтому возьмем а = 0. Чтобы применить мастер-
теорему отметим, что
l-(l-A)r-As-Art-(l-A)st + rst = -rst
(1-Я)-1/г -VA(l-A) -ι/Α
λ-1/s
-νχα-λ)
-νΊ^λ
-VT-λ
-i/t
Согласно мастер-теореме В0(к, m, η) есть коэффициент при rksmtn в разложении
в ряд функции
[(l-A)r-VA(l-A)5-v^t]4-VA(l-A)r + A5-VT^t]m[-v^r-VT=^]n.
Применяя биномиальную теорему, Исмаил и Таманкар показали, что
В°(к,ш,л) = Х2к+т~Ч1 ~ХГ-к(к + т-пУ.п\ χ
к\т\
х[2(-1)ча-я)/яУ(?)(пЛ+1)]2>0· ί7·2·14^
Последнее доказывает теорему Корнвиндера для неотрицательных целых
значений а.

§ 7.3. Положительность коэффициентов квадратурных формул 343
Обратим внимание на то, что из неравенства Корнвиндера следует, что для
0<А<1, а>0
т+п
L° (Ax)L°((l - А)х) = J] ак)ГП)П^М, (7.2.15)
fc=0
где akjnn>0. Это соотношение может быть продолжено итерациями до
результата
1«1(Я1х)...1«(Я;х)= J] afcI»(x), (7.2.16)
Jk=0
j
cak>0 при α>0, где £ Af и Af > 0, i = 1,2,..., j.
i=l
На данный момент существует несколько доказательств мастер-теоремы.
Возможно, доказательство, лучше всего объясняющее комбинаторное значение,
приводится в [142]. Оно было впоследствии упрощено Картье и Фоатой [78].
Доступное для чтения пояснение этих рассуждений дано Бруальди и Райзером [75].
Короткое доказательство, использующее интеграл от многих комплексных
переменных, было дано Гудом [168].
§ 7-3. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТОВ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
И НЕРАВЕНСТВА ВЬЕТОРИСА
Фейер использовал неравенство
Σ" -ίηΠ- ■ ι f^n - l-cos(n + l)fl _ sin2((n +1)0/2) ^ п<й<э„
sin(k +1/2)0- 2s.n0/2 -г^щ >0, 0<θ<2π,
Jc=0
для доказательства того факта, что ряд Фурье непрерывной периодической
функции сходится по Чезаро к этой функции1. Неравенство может быть переписано
как
" pa/^>(cos0) _ Г5щ((п + 1)0/2)л2 п<я<97Т п~ЛЛ
L· Pfc(-V2,i/2)(1) -[ ui^72 J >0' 0<θ<2π· (7·3·υ
В § 6.7 мы видели, что подобное неравенство выполняется и для многочленов
Лежандра, а именно
Σ>Μ = ΣϊΗϋ>0' -1<х<1, (7.3.2)
к=0 к=0 к
что было использовано Фейером для изучения суммируемости рядов
сферических функций. Фейер также выдвинул предположение о том, что
Σ 8[Ώ(£ϊ»θ > 0, 0<θ<π. (7.3.3)
ι Пусть S; — частичные суммы ряда Фурье функции /Qc). Тогда последовательность - (sj +... + sn)
η
сходится равномерно к /Qc), см. [447, § VII.2].

344
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
Эти суммы являются частичными суммами ряда Фурье
π-θ V«sin№ + 1)0
"2j fc + i ' 0<θ<π,
Jfc + 1
Jk=0
который, в свою очередь, изучался, поскольку описывает явление Гиббса.
Возможно, что графики частичных сумм подсказали это предположение Фейеру.
Мы можем записать неравенство (7.3.3) в виде
Σ pa/2.i/2)m >°> 0<θ<π. (7.3.4)
к=о Ъ w
Первые доказательства неравенства (7.3.3) были даны Джексоном [205] и Гро-
нуоллом [174]. Вспомним, что неравенство (7.3.2) было получено из (7.3.1)
при использовании интеграла Мелера в § 6.7. В этом параграфе есть и другие
интегралы, которые обобщают суммы, содержащие функции Ρη(α,/?)(*). Однако
можно получить положительные суммы, состоящие как из слагаемых вида
Ρηα'β)Μ/Ρηα'β\ΐ), так и P„(a,w(x)/Pntf,a)(l). He имея в уме возможных
примеров, трудно определить, которое из обобщений могло бы оказаться полезным.
Например, неравенство в формуле (7.3.1) позволяет предположить, что суммы
Рп М/Рп (1) могут быть важны. Здесь мы рассмотрим эту задачу в
квадратурах, что даст тому некоторые подтверждения.
Пусть {РпМУ — последовательность многочленов, ортогональных по
отношению к распределению άβ{χ) на (а,Ъ). Как и в случае гауссовых квадратур,
обсуждавшихся в гл. 5, интерполяция производится в нулях многочленов Р„(дс),
однако теперь интегрирование может производиться с другим распределением.
Пусть xVi v= 1,..., η, обозначает нули многочлена Рп(х). Пусть fix) —
непрерывная функция, а интерполяционный многочлен имеет вид
PnQt)/Qtv)
v=l v=l n
Тогда мы имеем приближенное равенство
ь
\ /Qc) djSQc) « J] Av/Qcv), (7.3.6)
v=l
где
? Ρηίχ)άβ(χ) _ЬсРп(х)Рп+Лху)-Рп(Ху)Рп+гМ,ЙСт,=
v J P'fxJfx-xJ J P^.(xJP'(xJ(x-xJ PL }
Ρή(ΧνΧ*-*ν) i Ρ„+ΐ(*ν)Ρή(*ν)(*-*ν)
71+1 1
*n ^η^ν)^η+ΐ(·^ν) fl ,
b η
S2jflk(xv)i\Wd/8(x). (7.3.7)
Здесь fcn — коэффициент при хп в PnQc), а последнее равенство следует из
формулы Кристоффеля—Дарбу (теорема 5.2.4). Запишем теперь
КМ = Σ\Ρ*Μ I P*(t) d^(t) 1 (7·3·8)

§ 7.3. Положительность коэффициентов квадратурных формул 345
Тогда
Л Nl + 1 K\Xy) ,rj « дч
Если λν положительно, то можно показать, что сумма в правой части
приближенного равенства (7.3.6) сходится к интегралу при п—>». Доказательство,
которое приводилось для гауссовой квадратуры в гл. 5, здесь также работает.
Рассмотрим случай, в котором Р„(х) = Рп М> άβ(χ) = dx и (α, b) = (—1,1).
Тогда
KM = ^\p^\x)\p^\t)dt]
где h£,/? определено в формуле (7.1.4). Записав Р„ 4θ в гипергеометрической
форме и проинтегрировав почленно, получим
hf,
~(.а)м γι_(-&-1),+ι(* + α + /8),+1
-(α)
fc+l
Ы-к-^^;1)-1\
№ + a + jB)(lW
Этот ряд 2^ι может быть вычислен с помощью тождества Пфаффа—Заалыпютца
(теорема 2.2.6). Результатом является формула
η
_ уп (2fc + a + jS + l)r(fc + a + jS)fcl
*(*) 2-1 r(fc + a + l)r(fc + j8 + l)
rr(fc + a + l) (-l)fcr(fc + j8 + l)-| (а>/з)
Lr(a)r(fc + 2K Г(0)Г№ + 2) Г* W'
к=0
ι ι ιλ.τ(χτ υ ι.— χ
-Г(а)Г№ + 2) Г(0)Г№ + 2)
Записанная в виде
Zj^p^m'
к=0 Ъ W
сумма представляется неудобоваримой. Однако она может быть переписана как
( . _ 1 V (2fc + a + j3 + l)r(fc + a + j3)
AnW" Γ(α+1)Γ(0 + 1)Ζ-ι (fc + l)!
г D^M Ρ{β'α)(-Χ)ι
x rg£LW Pt χ)ι
L p^^(i) κ ρ^4ι) J
Предположим в формуле (7.3.9) fcn > 0. Из следствия 5.2.6 вытекает, что
P^(xv)W*v)<0.
Поэтому, чтобы убедиться, что в формуле (7.3.9) Av>0, достаточно доказать,
что
Кп(х)>0, -1<х<1.
Легко проверить, что числа
_ (2fc + a + jS + l)r(fc + a + jS)
Ck~ (fc + l)!

346
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
удовлетворяют неравенству 0<с^+1<сь где 0<а + )8<1. Поэтому
неотрицательность Кп(х) в формуле (7.3.10) будет доказана для α,β>0, α + )8 < 1 после
суммирования по частям при условии, что
DW) M = J] Jl_^ > о, -ι < χ < ι. (7.3.11)
Отметим, что при нечетном η выполняется равенство D„ }(—1) = 0. Поэтому
неравенство (7.3.11) строгое в том смысле, что равенство имеет место для
некоторой точки на [—1,1] для бесконечно большого количества значений п.
Доказательство неравенства (7.3.11) для некоторых значений (α, β) приводится
в следующем параграфе.
Теперь предположим, что dj8Qc) = (l — χ)α~γ(1+χ)β~δ dx. Изучим Av при
некоторых α, β, γ, δ. При a = 1/2, β=—1/2, y = l, δ = 0 положительность Αν
при использовании выражения (7.3.9) сводится к положительности суммы
η
]Tsin(fc +1/2)0.
Jk=0
В двух случаях:
a = j8 = -l/2, г = 1/4, δ = -1/4
и
α = β = 1/2, χ = 3/4, δ = 1/4
мы получаем соответственно суммы
η η
/] Cfc cos fcx, /J Cfc sin fcx, (7.3.12)
fc=0 Jk=l
где
С2к = С2]к+1 = ^^, fc = 0,l,2,... (7.3.13)
Вьеторис [400] доказал строгую положительность сумм для 0<χ<π.
Доказательство этих неравенств приводится ниже. Неравенство
η
]>]ck sinfcx > 0, 0 < χ < π, (7.3.14)
Jk=l
обобщает неравенство (7.3.4) Джексона и Гронуолла. Чтобы это увидеть,
перейдем к пределу при θ -> π в неравенстве (7.3.4). Получаем
1-1 + 1-1 + ...+ (-1)η+1,
а это выражение обращается в нуль для четного п. Таким образом, может
случиться, что неравенство невозможно улучшить. Теперь предположим, что
все, что мы знаем о суммах в формуле (7.3.14) — цепочка неравенств
1 = сг > с2 > с3 > ...
Поделим ряд (7.3.14) на sin χ и перейдем к пределу при χ -> π. Имеем
1 - 2с2 + Зс3 - 4с4 +... + (-l)n+1ncn. (7.3.15)

§ 7.3. Положительность коэффициентов квадратурных формул 347
Для неотрицательности этой суммы для любого η мы требуем, чтобы
выполнялось неравенство с2 < 1/2. Возьмем наибольшее значение с2 = 1/2. Тогда
с3<с2 = 1/2 и наибольшее значение с3 есть с3 = 1/2. С такими значениями
сх, с2 и с3 имеем 4с4 <3/2, или с4 <3/8. Поэтому возьмем с4 = 3/8. Продолжая
действовать таким образом, мы получим последовательность ск, определенную
в формуле (7.3.13).
В качестве первого шага в доказательстве неравенства Вьеториса мы
покажем, что две суммы в формуле (7.3.12) являются частичными суммами ряда
Фурье, как это было с неравенством (7.3.3).
Предложение 7.3.1. Если ск — последовательность, определенная формулой
(7.3.13), то
00 00
/м ск sin кх = /t ck cos foe = (- ctgQr/2)) для 0<χ<π. (7.3.16)
k=l k=0
Доказательство. Для |z|<1, ζφΟ имеем
α-ζτ1/2=Σο2Ι(ζΚ
fc=0
Следовательно,
(1 + 2)(1-22)-1/2=Σ^, |*|<1, %φ±\.
к=0
Полагаем ζ = eix, 0<χ<π и берем вещественную и мнимую части. D
Предложение 7.3.2. Для т>\ справедливо неравенство
12т
τη J Jnm
Доказательство. Возьмем
V m J Jnm
_Vm(2m\
m 22"1 v m У
22"1 ν m
Легко убедиться, что для m>\ выполняется неравенство czm<czm+i. Теперь
заметим, что
Шп = ШпШ2уш= ι = 1
т_юо т-юо m\ rci/2J д/π
D
Доказательство следующего предложения взято в [73].
Предложение 7.3.3. Для коэффициентов ск, определенных формулой (7.3.13),
выполняются неравенства
η
2sm{e/2)2^ckcoske > /sin^-2cn+1, (7.3.18)
к=0
η
2 sin(e /2) ]Γ ck sin к θ > ^/Шϊθ - 2cn+1. (7.3.19)
fc=l

348
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
Доказательство. Заметим, что для т>п выполняются соотношения
т т
2sin(0/2) ]Г ckcoske= ]Г Cfc[sin(k + l/2)0-sin(k-l/2)0] =
k=n+l k=n+l
m-1
= -cn+1sin(n +1/2)0+ ]T (с*. -Cfc+1)sin(fc +1/2)0 +cmsin(m +1/2)0 <
Jk=n+1
< cn+1(l-sin(n +1/2)0)-cm(l-sin(m +1/2)0) <2cn+1.
Из предложения 7.3.1 следует, что
00
i/sin0 = 2 sin(0/2) ]Г с*, cos fc0 =
k=0
= 2 sin(0/2) (]Гск cos fc0 + ^] ckcosk6 \<t2sin(<e/2)^ckcoske+ 2сп+1.
4=0 k=n+l J k=0
Это доказывает неравенство (7.3.18), а доказательство неравенства (7.3.19)
аналогично. Предложение доказано. D
Теперь мы готовы доказать неравенства Вьеториса, которые явно
формулируются в следующей теореме.
Теорема 7.3.4. Если
с2к = с2к+1 = ^2fc V к J' к>0,
то
η
σηΜ = ]>] ск sin fcx > 0, 0 < χ < π, (7.3.20)
Jk=l
η
rn(x) = ^Γ Cjt cos kx > 0, 0 < χ < π. (7.3.21)
Jk=0
Доказательство. Сперва рассмотрим неравенство (7.3.20). Утверждение,
очевидно, верно для л = 1. Поэтому пусть п>2. Нужно отдельное
доказательство для каждого из трех промежутков: 0<χ<π/π, π/η<χ<π — π/η
и π — π/π<χ<π.
Положительность сгп(дг) для 0<дг< π/η очевидна, поскольку каждое
слагаемое в сумме неотрицательно, а первое слагаемое строго положительно. При
π — π/η < χ < π возьмем χ = π — у, так что 0<у<π/η. Предположим, что η —
четное, скажем, η = 2m. Тогда
2m m
ση (*) = Χ/-1)*_1<* Sin *У = Σ^-Ι Sin^2fc " ^ " C2* Sin 2№ =
k=l k=l
Σ"1 ro7 1Λ rsin(2fc-Dy sin2fcyi
Jk=l
Последнее слагаемое в квадратных скобках положительно, в силу того что
sin t/t убывает на (0, π] и 2ку < 2ту = пу < π. Отсюда ση(χ) > 0. При нечетных η

§ 7.3. Положительность коэффициентов квадратурных формул 349
в сумме имеется дополнительное слагаемое сп = sin ny, которое положительно
при 0 < у < π/π. Таким образом, ση(χ) > 0 как для четных, так и для нечетных п.
Заметим, что
sin и > и — и3/6, и > 0.
Для интервала (π/π, π — π/π), который не вырождается в точку для п>3, мы
получаем
sin(7i/n) > (π/η)(1-π2/6η2).
Из неравенства (7.3.19) следует, что
2sin(x/2)an(x) > [(я/п)(1-я2/6п2)]1/2-2сп+1. (7.3.22)
Простое вычисление показывает, что слагаемое в квадратных скобках убывает
для n>n/V2. To есть для п>3, как следует из определения сп, правая часть
неравенства (7.3.22) положительна для п = 2т — 1, если она положительна для
n = 2m. Для случая п = 2т из формулы (7.3.17) следует, что правая часть
неравенства (7.3.22) равна по крайней мере
-4= [π(1 - π2/24ΓΠ2)χ/2 - 2ι/2].
Простое вычисление показывает, что это выражение положительно для т > 2.
Это и доказывает неравенство (7.3.20).
Неравенство (7.3.21), очевидно, верно для п = 0 и 1. Далее,
r2Qc) = η cos2jc + cosjc+1 = cos2jc + cosjc+- = icosjc+ «) +7 >0.
Пусть η > 3. Для 0 < χ < π/π мы имеем
-р = -]>] fccfc sinfcx < 0, 0 < χ < π/π.
Jk=l
Поэтому функция гп(х) убывает для 0<χ<π/η, а ее значение в точке π/π
положительно. Заметим, что
[п/2]
гп{п/п) = ]Г (ск -cn_k) cos(fcπ/π) > 0.
fc=0
Таким образом, гп{х) > 0 для 0 <χ < π/π. Пусть теперь π — π/(π +1) <χ< π.
Выберем у = π — χ, тогда
t(n-l)/2]
rn Μ = ^ c2Jt [cos 2ky - cos(2fc + l)y ] + εη,
k=0
где εη = 0, если п = 2т — 1, и εη = c2m cos 2my, если п = 2m. Выражение под знаком
суммы положительно, так как при 0<χ<π функция cos х убывает. Отсюда
следует, что для п = 2т —1 выполняется неравенство rnQc)>0 на 0<у<п/п.

350
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
Если η = 2m, мы имеем
гп(х) > с2т (1 — cos у + cos 2у — cos Зу +... + cos 2ту) =
[ei(2m+l)jf _ 1 η
Ϊ73ϊ—J =
_ Γ imjcel(m+1/2)y -e4(m+1/2)jc 1 _ sin(m + l/2)jccosmjc _
- c2m Re|_e eix/2 _ e4x/2 J - c2m s.n(jc/2)
_ cos(m + l/2)y cos my
"C2m cos(y/2) '
Следовательно rnQc) > 0 для 0< (m + l/2)y < π/2, т. е. для 0 < у < π/(η +1).
Доказательство может быть завершено так же, как и прежде. Предположим, что
п>3и π/(η +1) < χ < π — π/(η +1). Как и в случае с σΠ(χ) при π/η <χ<π — π /π,
достаточно показать, что
Снова достаточно рассмотреть четные значения п, скажем η = 2m. Неравенство
может быть прямо проверено для т = 2 и 3. Для т>4, применяя
неравенство (7.3.17), убедимся, что выполняется более сильное неравенство
Γ_2_(ι Ξ^_Ή1/2__2_>0
l^m + lV1 6(2m + l)2JJ VTFS
Последнее верно для m = 4; если левую часть умножить на у/т, то она станет
возрастающей функцией переменной т. Таким образом, неравенство
выполняется для т>Л,и теорема доказана. D
Следующая теорема, являющаяся, очевидно, обобщением теоремы 7.3.4,
в действительности эквивалентна ей. Она также была доказана Вьеторисом.
Теорема 7.3.5. Если а0>аг >... >ап >0 и 2ка2к < (2fc — \)а2к-Ь к>\, то
η
sn (χ) = ^ ак sin кх> 0, 0 < χ < π, (7.3.23)
к=1
и
η
tn M = ^akcoskx>0, 0<χ<π. (7.3.24)
k=0
Доказательство. Для коэффициентов ск, определенных, как в теореме
7.3.4, положим ак = ckdk. Тогда d0 > dx > d2 >... > dn > 0 и суммирование по частям
приводит к соотношению
η п—1
5„М = ^ cfcdfc sin fcx = ^jidfc -dfc+1)CTfc(x) + dnan(x) > 0, 0 < χ < π,
Jk=l Jk=l
согласно равенству (7.3.20). Это доказывает теорему, поскольку неравенство
(7.3.24) может быть доказано таким же образом. D
Неравенство Джексона—Гронуолла является следствием неравенства (7.3.23).
Достаточно взять ак = 1/к.
Есть интересный пример применения приведенных выше неравенств Вьето-
риса к задаче нахождения достаточных условий на коэффициенты
тригонометрических многочленов для обеспечения вещественности всех нулей. Это также

§ 7.4. Положительные суммы многочленов и гипотеза Бибербаха 351
дает информацию о распределении этих нулей. Сегё [372] доказал следующую
теорему.
Теорема 7.3.6. Если А0> Ах> А2>...> An>0, a sk и tk обозначают нули
функций
р(0) = Y^Xkcos^n-k)e
k=0
U
п-1
q(0) = J]AjkSin(n-k)e
Jk=l
соответственно, расположенные в порядке возрастания на (О, π), то
(fc ~ Ι)π/(Π + \) < $к < (fc + ϊ)ηί{η + 1)> к = г> ""п' (Ζ3·25)
и
кпЦп+ I) <*к< № + 1)π/(η+ i), fc = 1,...,п-1. (7.3.26)
Если Хк не просто возрастают, но удовлетворяют условию выпуклости
2А0 - Ах > Ах - λ2 > λ2 - λ3 > ... > Αη_χ - λη > λη > 0, (7.3.27)
то правые части неравенств (7.3.25) и (7.3.26) могут быть заменены на кп/п
и (к + 1/2)п/п соответственно.
Неравенства Вьеториса могут использоваться для получения двух других
тригонометрических неравенств. См. упражнение 17. Два этих неравенства
совместно с условиями
(2fc- 1)Α*_! > 2кХк > 0, fc = 1,2,..., (7.3.28)
приводят к следующим уточнениям неравенств (7.3.25) и (7.3.26):
(fc ~ ΐ)πΙίη + 1)<$к< к71Цп + £)> fc = ^ -м п, (7.3.29)
fc^/(n + J)<tfc<(fc + ^/(n + J), fc = l,...,n-l. (7.3.30)
Доказательства этих неравенств см. в [30].
§ 7-4· ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ СУММЫ МНОГОЧЛЕНОВ И ГИПОТЕЗА БИБЕРБАХА
В предыдущем параграфе мы видели, какое значение имеет установление
положительности сумм
УР* М (741)
к=о Ъ w
Положительность некоторых из этих сумм оказалась очень важной. Мы покажем
это для некоторых выделенных а и β, хотя известно гораздо больше примеров.
Дополнительную информацию можно найти в [21].
Строгая положительность сумм вида (7.4.1) для α = 0 = 0, —1 < jc< 1 была
доказана в гл. 6, § 6.7. Из нее следует, что для многочленов Лежандра РкМ
выполняется неравенство
η
5]αΛ(χ)>0, -Κχ<1, (7.4.2)
fc=0

352
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
где ак > ак+1 > О, а0 > О, к = О, 1, ..., η — 1 (это доказывается с помощью
суммирования по частям). Следующий результат был получен Фельдхеймом [136]. Он
дает положительность сумм вида (7.4.1) при α = β>0.
Теорема 7.4.1. Для 0 < 0 < π и ν> 1/2 выполняется неравенство
V-.CiT(cos0)
Σ%ϊτ>α (7Λ3)
Доказательство. Интеграл Виленкина—Фельдхейма (следствие 6.7.3) для
v> 1/2 приводит к соотношению
^ C*(cos 0) 2Γ(ν +1/2) f . 2v_2
Z,-q0T= Γ(ν-1/2) ^V™2^**
x J][l - sin2 ^ cos2 </>]*/2Pfc(cos 0(1 - sin2 0 cos2 </?)~1/2) <ty.
fc=0
Возьмем ak = [1 — sin2 θ cos2 </?]fc/2. Тогда ak >ak+1 >0иа0 = 1. Таким образом,
в силу неравенства (7.4.2) интеграл положителен, и теорема доказана. D
Неравенство Джексона—Гронуолла
η
J] 5ί!ΐΜ > о, 0 < θ < π, (7.3.3)
Jk=l
является следствием теоремы 7.4.1 при v= 1.
Положительность сумм вида (7.4.1) для 0 = 0 и а = 0, 1, 2, ... была
необходима в первом доказательстве гипотезы Бибербаха для однолистных функций,
см. [96]. В более общем случае возьмем а>— 1.
Поскольку Ρη(0,α)(1) = 1, сумма, которая нас интересует, есть
η
2ρ,(α'0)00, α>-1. (7.4.4)
Jk=0
Первый шаг в данном Гаспером доказательстве положительности суммы (7.4.4)
состоит в том, чтобы представить ее как гипергеометрический ряд, т. е.
Sn(a,0)M_Vta + l)fc у (-k)j(k + a + l)jn_xy _
ук W~Zj к\ Zj (a + l)ij! V 2 J ~
fc=0 fc=0 j=0 ;
_ V1 (-l)J((l-*)/2V у1 (a + 1^j _ yi (a + l)2j((*-l№ Jy. (a + 2j + l)k
S(-1)4(1-*J/2JJ у 1«-и^+; _y ia-nj2jU*-ij/zr y* Ca + 2j-
/!(a + l), Zj №-/)! " Zj /!(a + l), 2-j k\
j=0 } k=j j=0 } k=o
Так как внутренняя сумма равна
(a + 2j + 2)n_;
(п-j)!

§ 7.4. Положительные суммы многочленов и гипотеза Бибербаха 353
мы имеем
π
Ση(α,θ)Μ = ν α + 1 (a + Vn+j(-nh(l-xy
rk W Zja + 2j + l' (a + l),j!n! I 2 i
k=0 j=0 J
_ (<x + 2)n _,f-n,n + a + 2,(a + l)/2. Ι-лЛ r_A_.
"""НГ~ *Ч (a + 3)/2,a + l ' ~2~> C7A5)
Формула Клаузена позволяет представить квадрат функции 2FX как з^2 (см·
упражнение 17 гл. 3). Эта формула имеет вид
<+i:^i'+»")-w.+f+'w=')r· ™
Данная функция 3^2 неотрицательна, поскольку является квадратом. Функция
3F2 из соотношения (7.4.5) очень близка к ней, но тем не менее отличается на
один параметр в числителе и на один в знаменателе. Ранее мы отмечали, что
с помощью интегрирования нецелого порядка функции pFq можно получить
p+iFq+i c необходимыми дополнительными параметрами. Поэтому, используя
формулу (2.2.2), перепишем функцию 3F2 из формулы (7.4.5) в виде
(-η,η + α + 2,(α + 1)/2 λ
3i4 (a + 3)/2,a + l ' V ~
[Γ((α + 1)/2)]2 ]2*1У (α + 3)/2 >$ГГ U S) as> l//K/J
где a>—1. Функция 2F\ под знаком интеграла на самом деле есть
ультрасферический многочлен
Cna/2(l-25t)/Cna/2(l).
Он имеет нули в интервале (0,1), и мы не получаем положительного
подынтегрального выражения в формуле (7.4.7). Чтобы понять, что можно сделать,
запишем 3F2 в формуле Клаузена с 2а = —к, 2Ь = к + а +1. Тогда
(-k,k + a + l,(a + l)/2 \_
Λν (α + 2)/2,α + 1 ' V ~
[Γ((α + 1)/2)]2£ C^-1)/2(l) U J l J
Доказательство было бы завершено, если бы можно было записать С„/2(х)
в терминах c£a~1)/2Gc), используя положительный коэффициент. Последнее
можно сделать, используя формулу (7.1.9) для коэффициентов перехода. Таким
образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 7.4.2. Для а>—1 выполняется равенство
η
2^α,0)00>0, -1<х>1. (7.4.9)
к=0
Интеграл в теореме 6.7.2 б) может быть применен к неравенству (7.4.9),
чтобы доказать положительность суммы (7.4.1) для — 1 < χ < 1 при β > О, α + β > — 1.
При α > —β, —1/2 < β < О Гаспер [153] доказал положительность для — 1 < χ < 1,
исключая случай α = —β = —1/2, в котором сумма приводится к виду (7.3.1),
когда имеют место как случаи равенства нулю, так и случаи неотрицательности.

354
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
§ 7-5· ТЕОРЕМА ТУРАНА
В предыдущем параграфе мы доказали неравенство Джексона—Гронуолла.
Следующая теорема Турана [385] позволяет сделать это по-другому.
00
Теорема 7.5.1. Если ряд J] |а;| сходится и
00
]Г а} sin(j + \/2)ψ > О, О < ψ < π, (7.5.1)
;=0
то либо
00
а; у+1' > 0, 0 < θ < π, (7.5.2)
/=о
либо а; =0, j = 0,1,2,...
Доказательство. В интегральной формуле из теоремы 6.7.2 г) возьмем
а = 1/2, β = —1/2 и μ = 1. Получаем
sin(n +1)0 _ Ψ sin(2n + 1)φ
2(n + l)(sin(0/2))2n+2 i (siny?)2"*3 αφ' U ;
σ/2
Умножив на 2an(sin(0/2))2n+2, просуммируем и получим
Ssin(n + 1)0 _ Ψ yvsin(0/2) л2п+2 Qn Sjn(n + 1/2)(2φ) άφ
n n + 1 J ^-jv sin φ у sin φ
η=0 θ/2η=0
Перепишем подынтегральное выражение как
sin2 (0/2)
п=0
sin3 φ ^-
00
2anr"sin(n + l/2)(2V), 0<\θ<φ<\π,
__sin2(e/2)^,
Г — 5 ^ ■*■·
sur φ
Строгая положительность данной суммы для -zQ < ψ < ·= π следует из того факта,
что
00
J]anrnsin(n + ±)</? =
п=0
π
= η S Σr" sin(n+Ю^ sin(n+IV Σam sin(m+IVd^· (7·5·4)
On m
Последняя формула получена при использовании ортогональности функции
синус. Теперь заметим, что замкнутая форма ядра Пуассона
]Г rn sin(n + 1)φ sin(n + |)г/> =
(l-r)sin|v?sin|V;[(l-r)2-l-4r(l-cosi(v?-l-^)cosi(v?-^))]
[l-2rcos|(v? + '0)-l-r2][l-2rcos|(v?-'0)-l-r2]

§ 7.5. Теорема Турана
355
дает его строгую положительность при 0 < г < 1. С учетом неравенства (7.5.1)
из этого следует, что подынтегральное выражение в формуле (7.5.4)
неотрицательно, что доказывает теорему. D
Имеется также обобщение формулы (7.5.5) на случай многочленов Якоби,
данное Ватсоном. Утверждается, что
Α Γ^α'β)(€0$2φ)Ρ^β\€082θ) _ Г(а + ]8 + 2)(1-г)
^ hk 2а+0+1Г(а + 1)ГО8 + 1)(1 + г)а+0+2
η=0
00
γι Ца + ρ + ZJ/2Jm+ngot + ρ + 3)/2)m+n (4r sin* φ sin- РГ (4r cos' ψ cos' V)"
Zj (а + 1)„(/3 + Шп!п! (l + r)*"*2» ' W }
m,n
(a + l)m03 + l)nm!n! (1 + r)
где hfc определены формулой (7.1.4). Мы основываем наше доказательство на
результате Бейли [40, с. 81]. Ссылки на Ватсона можно найти в [40, с. 102,
пример 19]. Формула Бейли имеет вид
2Fx{a, β; γ; x)2Fx{ft, β;α + β + 1-γ;γ) =
= у (aW/3)m+n[x(l-y)]m[y(l-s)]"
L* (γ)„(α + β + 1-γ).ηι\η\ ' l/-D,/J
m,n
Мы кратко приводим доказательство формулы (7.5.7), оставляя детали читателю.
Начнем с двойного ряда
Разложим в ряд по степеням s и t и получим, что коэффициент при smtn равен
(a)m(j3)„(l + a-yOm(l + j8-r)n(r-j3)m_n
m!n!(r)ra(r')„(l + a-r')
При γ + γ' = α + β + 1 последний множитель в числителе сокращается с
последним множителем в знаменателе, и выражение (7.5.8) равняется
00 00
У^ V (a)m(P)n(y-P)m(r ~«)п „тлг _ Р ,„ „ о. „. сл п ,ο „ι „.„/.+л_
ZjZj тШКгЬУ). S f -2^(а.Г-Р.Г;*)2^1«»,Г-а.Г,0-
т=0 п=0
= (1-5Γα(1-0^2^(α,)8;χ;-5/(1-5))2^(α,)3;/;-ϋ/(1-0).
На последнем шаге используется преобразование Пфаффа, сформулированное
в теореме 2.2.5, что и доказывает равенство (7.5.7).
Левая часть равенства (7.5.6) может быть записана как
fc!(a + j8 + l)fc
fc=o
Рассмотрим сначала более простой ряд
fc!(a + /3 + l)fc n(tttfl)
Jk=0
2^i^;(2fc + a + P + l)P<"'i>(coS2»,)P«,(coS29)r». (7.5.9)
Е|Й$^"Г(-2^Г(-2в)г>. (7.5.10)

356
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
Заменим многочлены Якоби их гипергеометрическими представлениями,
применим формулу (7.5.7) и получим
к=0 Р
к=0 т,п
γι (sin2 θ sin2 y)m(cos2 θ cos2 у)" m+n yi (a + /3 + 1)»+2т+2п с r->fc _
Zj (a + l)m(/3 + l)nm!n! fi k\ ^ П
m,n=0 Jc=0
_ V fr Sin2 θ Sin2 y)m(r COS2 θ COS2 у)" _4-2m-2n-a-/S-l
" 2j (a + l)m(|8 + l)nm!n!ta + P + 1)2m+2nU + r)
m,n=0
Теперь умножим ряд (7.5.10) и последнее выражение на r(a+^+1)/2 и
продифференцируем. Это даст множитель (2fc + a + jS + l) в формуле (7.5.9). Правая
часть формулы Ватсона находится после простого вычисления. Формула (7.5.6)
доказана.
Теорема 7.5.2. Если β > а > -1 и
к=0 Ъ W
то либо
fc=0 Μ: UJ
либо ak = Q, k = Q, 1, ..., п.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 7.4.1, используя
формулу Фельдхейма—Виленкина, получим
*(cos V = ГДЦ Τ sin2-1 у cos2*— φ χ
X^flfcCl-SlIl 20COS 2φΓ2^ да— d</>.
Jk=0 ^ UJ
Пусть r = (1—sin2 θ cos2 </?)1/2 и u = cos 0(1—sin2 θ cos2 </?)~1/2. Тогда при 0< θ < π
и 0 < ψ < π/2 имеем 0<г<1и|и|<1. Из формулы (7.5.6) мы можем заключить,
что либо сумма под знаком интеграла строго положительна, либо /Qc) = 0. Мы
знаем это, в силу того что
1иакГк±Ж^=Ь ±jakr- χά f(y)dy.
k=0 Ук UJ _U=0
к
Теперь заметим, что из ортогональности многочленов Якоби следует, что
/Qc) = 0 тогда и только тогда, когда ak = 0, fc = 0,1,2, ...,η, что и доказывает
теорему. D

§7.6. Положительность сумм ультрасферических многочленов 357
§ 7-6. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ СУММ УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
00
(С, 1)-средними (или средними по Чезаро) формального ряда 1 + 2 ][] cosfc0
Jk=l
являются выражения
σ=1 + 2Μΐ ^T)cosfce = ^T{ 2. . }>0. (7.6.1)
η Ζ—ιν n + U π + ll sinl0 J
Фейер использовал эту положительность для доказательства (С,
^-суммируемости ряда Фурье непрерывной функции. Производящей функцией
последовательности σ\ в (7.6.1) является выражение
00
(1 - гТ2( 1 + 2 У cos ηθ rn) = \±± · , „ * д—,· (7.6.2)
ν Z-j У 1-r l-2rcos0 + r2
Последнее равенство следует из формулы (5.1.16). Заметим теперь, что
n. v |2cosn0, n>0,
lim^^Cnv(cos0) = {
и производящая функция для {-—-C*(cos 0)} есть
00
S^^Cnv(cos 0)rn = ел 0 1"Г2 2,v+1. (7.6.3)
ν "v ' (l-2rcos0 + r2)v+1
n=0
Последнее вытекает из вида производящей функции для ультрасферических
многочленов, приведенной в гл. 6, а именно
η=0
Кобетлианц [230] доказал нижеприведенное обобщение формулы (7.6.1).
Обсуждение суммируемости бесконечных рядов по Чезаро можно найти в
дополнении Б.
Теорема 7.6.1. (С, 2ν+ \)-среЪнее формального ряда
п=0
положительно, т. е.
η
Ё^С»> -1<*<1, v>0,
ΣΤ-W t V)>ft -1<х<1, v>0. (76.5)
Доказательство опирается на лемму, сформулированную ниже.
Определение 7.6.2. Функция называется абсолютно монотонной, если ее
разложение в степенной ряд содержит только положительные коэффициенты.
Лемма 7.6.3. Функция 1/[(1 — r)2v(l — 2jtr + r2)v] абсолютно монотонна на
отрезке — 1 < χ < 1.

358
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
Доказательство. Обозначим эту функцию через [g(r)]v, и пусть jc = cos 0.
Тогда
00
h(r):=lng(r) = -21n(l-r)-ln(l^
n=l
Таким образом, функции h(r) и
[g(r)]v = 2
У№(г)]я
п!
п=0
абсолютно монотонны. D
Доказательство теоремы 7.6.1. Производящей функцией для (7.6.5)
является выражение
l^rf 1-г2 1
(l-r)2v+2(l-2ocr + r2)v+1 (l-r)2(l-2xr + r2) " (l-r)2v(l-2xr + r2)v'
Первый множитель абсолютно монотонен согласно формулам (7.6.1) и (7.6.2),
второй же —в силу леммы 7.6.3. Это доказывает неравенство (7.6.5) и,
соответственно теорему. D
Лемма имеет такое следствие.
Следствие 7.6.4. Для v>0, — 1 < jc< 1 выполняется неравенство
E£rgW>0· (7.6.6)
к=0
Доказательство. Это следует из соотношения (7.6.4) и леммы 7.6.3. D
Подобные результаты были получены и для рядов Якоби. Результаты эти
очень важны, однако в их доказательствах используются довольно сложные
формулы. Многочисленные примеры таких неравенств можно найти в [153].
К примеру, Гаспер доказал следующее обобщение неравенства из
упражнения 14:
(n-k)!n! p<*»(i)
> О, -1 < χ < 1, (7.6.7)
к=0 Гк
где 0<λ<α + /3 и α>β>0 или α + β>0 и )8>-1/2. Доказательства этого
неравенства основаны на использовании ряда формул, приведенных здесь для
гипергеометрических рядов, так же как и других формул. Отметим частный
случай А = 0:
Σ-^7>0> -1<»<1. (7.6.8)
к=0 Ук ^
для α + 0>Ο, β>—\/2. Неравенство является строгим при —1<х<1, если
исключен случай a = 1/2 и )8 = —1/2.
Эти неравенства имеют следствия для функций Бесселя. Используя
теорему 4.11.6, легко увидеть, что для α > β — 1 выполняется равенство
fc=0 rfc UJ О

§7.6. Положительность сумм ультрасферических многочленов 359
Условие а > β — 1 необходимо для сходимости интеграла при t = О, но оно не
требуется для самой суммы. В дополнении к статье [136] Сегё рассмотрел предел
при а = β и интеграл, который получается в ответе. Он показал, что
χ
$ raJa ft) d t > О, х > О (7.6.10)
о
когда α > α и α является решением уравнения
)а,2
5 raJa(t)dt = 0 (7.6.11)
о
где ja2 есть второй нуль функции Ja(t). Подобный результат имеет место для
X
\rPjaWdt, -К а < 1/2.
о
Из неравенства (7.6.8) мы имеем
X
5 t-pJa (0 dt > О, χ > 0 (7.6.12)
о
при α + β > 0, —1/2 < β < 0. В действительности неравенство (7.6.8) также
выполняется при α + β>—1, β>0. Таким образом, неравенство (7.6.12) выполняется
для α>β — 1 и β>0. Гаспер [152] показал, что неравенство (7.6.12) является
строгим для таких α, β, исключая значения а= 1/2 и )8 = —1/2.
Гаспер [152] вывел также следующее интересное тождество для случая, когда
в неравенстве (7.6.12) /3 = —1/2 и а>-3/2:
5tl/2Je(t)dt=J^_4iJ_2
g (α+|)Γ(α + 1)
a+1JC χ
ху12ЛЛ2 4ЛЛ 2ЛЛ 2УГ,(ί)| . (Ζ6.13)
Этот ряд, очевидно, положителен для а> 1/2, неотрицателен для a = 1/2 и
отрицателен, когда χ является нулем функции J(2a+i)/4(*/2) ПРИ —3/2<а< 1/2.
Аналогичный результат был получен Гаспером для
5 (х- t)a-1/2taJa(t) dt, a > -1/2.
о
См. упражнение 25. Это равенство и равенство (7.6.13) выводятся при помощи
тождества
П=0
2ν_ Γ2(ν+1)22ν+1 γ^ (η+ ν)Γ(η + 2ν) 2 .
~ Γ(2ν+1) Zj π! Jn+uW· U-0.14J
За пояснениями к формуле (7.6.14) можно обратиться к книге [414, § 5.1]. Подход
к неравенству (7.6.12), использующий дифференциальные уравнения, можно
найти в [263]. Другие ссылки можно найти в [21] или [152].

360
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
§ 7-7- иррациональность £(3)
Тема этого параграфа не связана с предыдущими частями этой главы. Однако
она интересным образом связана с многочленами Лежандра и потому была
сюда включена.
В гл. 1 мы приводили формулу Эйлера для ζ(2ή) при натуральном п. Из
нее следовало, что ζ(2ή) иррационально. Несмотря на непрестанные
попытки, Эйлеру не удалось вычислить £(2п + 1). Не удалось сделать это и позже
другим математикам. Лишь недавно, не ранее 1978 года, Апери доказал, что
£(3) иррационально. Более простое доказательство, использующее многочлены
Лежандра, было дано Бейкерсом [58]. Мы будем следовать изложению Бейкерса.
Имеется следующая основная лемма.
Лемма 7.7.1. Существует две такие последовательности целых чисел {Ап}
и {Вп}, что
0 < \Ап +ВПС(3)| < 3(9/10)". (7.7.1)
Отсюда немедленно вытекает теорема.
Теорема 7.7.2. Число ζ(3) иррационально.
Доказательство. Если £(3) = p/q, где ρ и q целые, то |А„ +В„^(3)| —
последовательность ненулевых рациональных чисел, причем |An +Bn£(3)| > 1/q.
Из второго неравенства в формуле (7.7.1), однако, следует, что эта
последовательность становится произвольно малой при возрастании п. Полученное
противоречие и доказывает, что ζ(3) иррационально. D
Доказательство леммы 7.7.1 опирается на следующие леммы.
Лемма 7.7.3. Для неотрицательных целых г и s выполняется равенство
ι ι
^-^Xrysdxdy =
N«3)-tp}·
оо -^
при r = s,
fc=l
рациональному числу, знаменатель которого
[делит d3r, где dr = НОКЦ, 2,..., г), при r > 5'
Доказательство. Заметим, что для σ>0 и r>s
\\ l-xy dxdy 2-ι(*: + Γ + σ + 1)№ + ί + σ + 1)
0 0 fc=0
= VJ_/ I Ι l = J_J_!_+ +^_l (772)
Z-jr-sU + s + σ + Ι k + r + σ + ΐί r-sb + 1 + σ r + σΐ" y J
Продифференцируем это равенство по σ, а затем положим σ = 0 и получим
1 1
J J 1-xy J J r-sl(s + l)2 r2J
Отсюда следует второе равенство в формулировке леммы. Положим теперь r=s
в первом уравнении (7.7.2) и снова продифференцируем по σ, приравняв затем

§ 7.7. Иррациональность ζ(3)
361
σ нулю. В результате получим
1 1
J J l-xyX y aXay Zj(]fc + r + l)3'
что является первым из равенств в формулировке леммы. Лемма полностью
доказана. Π
Для использования в следующей лемме введем обозначение
РпЫ = ^£;{хпа-хГ},
(это многочлен Лежандра на (0,1)).
Лемма 7.7.4. Существуют такие целые числа Ап и Вш что
0 * W ~Т^РпМРп(у) dx dy = (Ап + Β„ί(3))с£3.
о о
3decbdn = HOK(l,2,...,n).
Доказательство. Поскольку рпМ — многочлен с целыми
коэффициентами, равенство следует из леммы 7.7.3. Теперь заметим, что
-p*L = l * . dz.
Тогда интеграл в формулировке леммы может быть записан в виде
0 0 0
η η η ч J J
Проинтегрируем п раз по частям по переменной χ и получим, что интеграл
равен
J J J (l-(l-xy)z)"+1 '
Подставим
l-(l-xy)*
Запишем последний интеграл в виде
111 , .
Рп(у)
0 0 0
$ S Sa-xra-cor^w dxdydco=
111
{х(.1-х)уд-у)а>(1-о>)Г
_C С ΐ \Х(1-Х)У(1-У)Р>(1-0»Г j.. j.. j., ,--,1
— 333 л-п-wwv+i d*<M<». (7.7.3)
0 0 0
{l-(l-jcy)co}n+1
Последнее равенство использует η-кратное интегрирование по частям.
Очевидно, что последний интеграл не равен нулю, т. е. лемма доказана. D
Лемма 7.7.5. Для Ап, Вп из леммы 7.7.4 выполняются равенства
0 < \Ап + BnC(3)|d-3 < 2(л/2- D4nC(3).

362
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
Доказательство. Интеграл в формулировке леммы 7.7.4 равен интегралу
из формулы (7.7.3). Найдем максимальное значение подынтегрального
выражения в формуле (7.7.3). Пусть
f( , χ(\-χ)γ(\-γ)ω(\-ώ)
Κχ> у> ω) = i-(i-y)a> ·
Решая уравнения
дх by да> '
легко найти, что в максимуме х = у и ω = 1/(1 + χ). Таким образом,
функция / ограничена функцией х2{1—jc)2/(1 + jc)2, которая имеет максимум при
х — уП— 1. Следовательно, интеграл (7.7.3) ограничен снизу функцией
С\ С\ 1\ х <* '
= d/2 - l)4n J 5 -^ djc dy = 2(V5- l)4nC(3).
0 0 ™
Это и доказывает лемму. D
Нам нужен следующий результат Чебышёва из элементарной теории чисел.
Пусть π(η) обозначает количество простых чисел, меньших п. Тогда
π(η)<1,06η/1ηη. (7.7.4)
См. [199, с. 15].
Доказательство леммы 7.7.1. Заметим, что
d = Γ~Ι ρ[1ηη/1ηρ] < ρϊρΐηη/ΐηρ _Ππ(π)^
ρ<η ρ<η
ρ простое
Из неравенства (7.7.4) следует, что
dn<nl,06n/lnn=el,06n<3n
Верхнее ограничение для ζ(3) задается неравенством
«3)<l + j}ff = §.
Следовательно, в силу леммы 7.7.5 мы имеем
0<|Ап + ВпаЗ)|<з(^^)П<з(^)П.
D
В доказательстве Апери использовалось несколько последовательностей,
удовлетворяющих трехчленным рекуррентным соотношениям. Довольно живое
изложение доказательства Апери можно найти в [394]. Эти последовательности
были проанализированы в терминах соотношений смежности Аски и
Вильсоном [31]. См. упражнения 28 и 29.

Упражнения
363
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть
η
х(х-!)...(*-η+ l) = ^s(n,r)xr
r=0
и
η
jcn=^]s(n,r)jc(jc-l)...(jc-r + l).
r=0
Целые числа s(n, г) и S(n, r) называются числами Стерлинга первого и второго рода
соответственно. Покажите, что
^8(η,Γ)5(Γ,πι) = δητη.
г
Используя этот результат, докажите, что
an = ^s(n9r)bn п>1,
г
в том и только том случае, если
bn=^S(n9r)ari п>1.
г
2. Получите формулы (7.1.14) и (7.1.15) методом, указанным в тексте.
3. Докажите формулу (7.2.7).
4. Докажите, что
pfr+Wfrf = 2 in + a + VPf^-in + VP^fW
п W 2η + α + β + 2 1-х
Получите формулу (7.2.10).
5. Пусть т(х) — положительная функция, интегрируемая на (—1,1); {рпМУ —
последовательность многочленов, ортогональных с весом т(х), a iqn(x)} —
последовательность многочленов, ортогональных с весом (1 + х)т(х). Пусть р„(1) > 0 и qn(l) > 0.
Докажите, что
(1 + x)qn Μ = Αηρη+ι (χ) + Βηρη (χ).
где Ап и Вп — положительны. Найдите Ап и Вп в случае, рассмотренном в
формуле (7.2.10).
6. Пусть {ртМУ — последовательность многочленов, ортогональных с весом da(x) на
(0, оо). Пусть ξΐ9 ξ2,..., £jt — нули многочлена рт(х) и
00
Л(0 = $ e^ifa-xUGk-xirHPrnWYdaM, t> 0.
о
а) Покажите, что
№ = е-*«\еЬ* f^is) ds.
о
б) Докажите, что fk (t) > 0 при t > 0.
7. Используя последовательность {рт(х)У из предыдущей задачи и полагая рт(0)>0,
докажите, что
00
$ е~*рт (х)рп (χ) da(x) > 0, t > 0.
о
Пояснения к упражнениям 6 и 7 можно найти в [219, с. 507 — 509].

364
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
8. Получите лемму 7.2.3, опираясь на результат предыдущей задачи.
9. Докажите следствие 7.2.4.
10. а) Докажите, что
00
Σ Λ"*"5 ffoTi) = [2-(r+s + t) + rst]-a-1.
fc,m,n=0
б) Используя обобщение теоремы Бернулли на многомерный случай, докажите, что
с точностью до постоянного множителя правая часть равенства из п. а) также
равняется
гу—к-т—п
к mtnW + Vk+m+n2 p( -fc,-m,-n -Λ
к\т\п\ 3 2Ч-а-^-т-п)/2,(1-а-к-т-п)/2' У
в) Пусть Jc<min(m, η). С помощью изменения порядка суммирования в
вышеуказанном ряде 3F2, получите равенство
г) Применяя преобразование Куммера (следствие 3.3.5) к 3F2 из п. в), покажите,
что выражение в п. в) положительно для a = 0,1,2,... Это доказывает неравенство
(7.2.13) для данных значений а.
1L Докажите, что
п=0 к-0
оо П
б)УУ Y(n + l-k)sin(k + l)0 = --—Λ *in(9—-—jr.
ίί=ο έο (l-r)2(l-2rcos(9 + r2)
12. а) Выведите из неравенства (7.3.1), что
η
2^sinfc0 + sin(n + l)0>O для 0 < 0 < π.
fc=l
б) Используйте результат предыдущей задачи для доказательства того, что
η
]^(n + l-fc)sin№ + l)0>O для Ο<0<π.
fc=0
13. Пусть Sn(jc) = J] . Используя индукцию и тот факт, что экстремумы функции
Sn (χ) лежат в точках 2кп/п, где к — целое число, докажите, что Sn (χ) > О для 0 < χ < π.
14. Используя теорему 7.5.2 и следствие 7.6.4, докажите, что
& (n-B!fc! с*(1)
Получите также неравенство
Мп-кМк sin(fc + l)0
fc=0
Рассмотрите случаи а = 1; 2,
У£к^^±Ж>0) 0<а<2, 0<βπ.
^-ι (n-fc)!fc! (fc + l)sin0

Упражнения
365
15. Определим разностный оператор Ah выражением (Ahf)(t) = (f(t + tQ — /(t))/h.
Покажите, что (—/i)fc(A£/)(t) = £](— 1)'Г J/(t + Zh), где Δ£ — результат применения
оператора ΔΛ Jc раз.
Пусть функция / непрерывна на [0,1] и /(1) = 1. Докажите эквивалентность
следующих утверждений:
00
а) функция / абсолютно монотонна на [0,1], т.е. /(t) = Σantn, an>0, te[О,1];
о
б) /еС°°(0,1) и /(fc)(t) >0 при к = 0,1, 2, ... и te (0,1);
в) (Δ™π/)(0) >О при η = 1, 2, ... и 0<т< п.
Один из способов доказать, что из п. в) следует а) — использовать многочлены
Бернштейна Bn(t;/) = |](^)tfc(l-t)""fc/(^)= Σ{1){$(Δ\/ηί№, которые
равномерно аппроксимируют / на [0,1]. Для доказательства последнего равенства
используйте результат из начала задачи.
16. (Въеторис) Пусть а0 > аг >... > ат > О и 1 < π < гп. Покажите, что
т п—1
^ afc cos fc0 sin(0/2) > ^]afc cos кв sin(0/2) - (an/2)(l + sin(n-1/2)0)
fc=0 fc=0
и
m n-1
2ak sin*:0 sin(0/2) > ^]afc sin*:0 sin(0/2)- (an/2)(l-cos(n-1/2)0).
fc=0 fc=0
(Ob ν
J. Покажите, что при О < χ < 2π выполняются неравенства
η η
2 cfc sin(fc + 1/4)jc > 0 и 2 cfc cos(fc + l/4)x > 0.
fc=0 fc=0
Докажите, что неравенства выполняются, если коэффициенты ск заменить на ак,
удовлетворяющие условиям (2к — l)afc_! > 2как > О ддя к > 1.
18. Пусть коэффициенты ак удовлетворяют условиям, сформулированным в предыдущей
задаче. Докажите, что если 0 < v< 1/4 и 0 < χ < 2π или если —1/4 < ν< 1/4 и 0 < χ< π,
то
η
/] afc cos(Jc + v)x > 0.
fc=0
19. Используя коэффициенты afc, определенные в упражнении 17, покажите, что при
1/4< v< 1/2и 0<χ<2π и (другой случай) при 1/4< v<3/4h 0<х< π выполняется
неравенство
η
/л ак sin(Jc + v)x > 0.
fc=0
20. Покажите, что
п
л . V cos кх ^ Л Л ^
1 + / л > 0, 0<χ<π.
fc=l
2L Пусть коэффициенты cfc удовлетворяют неравенствам Вьеториса. Покажите, что
Zc*c|m>0
fc=0
для v>0 и 0<х<1.

366
Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
22. Покажите, что если
г,(«./5)
Ση w
ТО
Обратите внимание на то, что из этого результата следует теорема 7.5.1 в случае
конечного ряда.
23. Докажите, что если
fc=o ** ^
TO
24. а) Покажите, что [0F1(c;jc)]2 = 1F2(c-1/2;2c-1,c;4jc).
б) Докажите, что согласно формуле Бейли выполняется равенство
2х π/2
ξ ha (0 dt = 2* S W^* Sil1 ^^2 Sil1 ^ d(^' α > _1/2·
о о
в) Покажите, что a>—l.
о
25. (Гаспер) а) С помощью формулы (7.6.14) докажите тождество
ξ(χ-ο^^ω^=Γ(\ν)ΐΓ?+ί)(Γ(ν^1))224^α+Λ+μ+1-2νχ
J a Γ(α + 1)Γ(α + λ + μ + 2)
xVfT -">" + 2ν>ν+1>(α + μ + 1)/2,(α + μ + 2)/2 ](2ν+1)η 2π + 2ν 2 (*Λ
^-ι5 4Lv+l/2,a + l,(a + λ + μ + 2)/2,(a + λ + μ + 3)/2, J η! η + 2ν "+42>
когда α + μ>—1, λ>— 1 и 2νφ— 1,— 2,..., а множитель (2η + 2ν)/(π + 2ν) при п = 0
заменен на 1.
б) Возьмите μ = λ +1/2 и положите ν = (α + Я +1/2)/2, тогда 5*ч сводится к
уравновешенному ряду 4F3.
в) Положите Я = 0 и получите формулу (7.6.13).
г) Возьмите λ = α—1/2 и получите тождество
Ux-tr-^Ш dt = Γ(« + 1/2)Γ(2α + 1)Γ(α + 1) 3ajca+1/2 χ
i a Γ(3α + 3/2)
Γ(3α + 3/2)
α
((6α + 3)/4)π((6α + 5)/4)π
γ» ((2α + 1)/4)η((2α- 1)/4)η (2α + 1)η 2η + 2α 2 (*Λ
^-ι ((6α + 3)/4)η((6α + 5)/4)η π! η + 2α "+2aV2J
π=0
для α>—1/2.
26. Пусть {рп(х)} и {qn (χ)} — многочлены, ортогональные с весами ω (χ) и ω^χ)
соответственно. Докажите, что если
<1пМ = ^скдрк(х),
fc=0

Упрсимснения
367
то
а>(х)рк№ = Σ cMqn (*)*>! (дс).
n=fc
27. Используйте упражнение 26 и теорему 7.1.4, и покажите, что при -1<χ<ΐΗμ>
> (λ —1)/2 выполняется равенство
(i-xV-^w=Σ<Χ\*Μ(ΐ-*2)λ-1/2,
fc=0
где
μ>Λ= Γ(λ)22Λ"2μ(π + 2^ + λ)(π + 2^)1Γ(π + 2μ)Γ(π + ^ + λ)Γ(^ + λ-μ)
Cfc»n ~ Γ(λ-μ)Γ(ν)η!&!Γ(η + & + μ + 1)Γ(η + 2& + 2Α)
Обратите внимание на то, что для (λ—1)/2 < μ < λ выполняется неравенство с£* > 0.
Получите частный случай
00
(sin 9)2X-lC^cos Θ) = Σ с£п sin(n + 2к +1)0,
fc=0
ΓΠβμΧ), μ/1, 2, ... и
и _ 22~2»(η + к) 1 Γ(π + 2μ) Г(к +1 - μ)
^п~ Γ(μ)Γ(1-μ)&!π!Γ(η + & + μ + 1) '
28. (Апера) Покажите, что коэффициенты
fc=0
удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению
п% + (п - 1)3ЬП_2 = (34п3 - 51п2 + 27п - 5)ЬП^.
29. Если a + d = b +с, то коэффициенты
gn~2AkA h + d A fc + ί A k + f J
fc=o '
удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению. Найдите его.
30. Завершите доказательство формулы Бейли (7.5.7).
31. Используя формулу (7.5.7), докажите формулу Брафмана [68] для производящей
функции многочленов Якоби:
Σ°° (r)n(a + j8-r + l)nPn(g^U)rn =
п=о (a + l)nQ8 + l)n
= 2Ρι(γ,α + β-γ + 1;α + 1;α-Γ-Ε)/2)2Ρ1(γ,α + β-γ + 1;β + 1;(1 + Γ-Κ)/2),
где
R=(l-2xr + r2)1/2.
Интересным является случай γ = α.
32. Завершите доказательство неравенства (7.2.14).
33. Покажите, что если a > —1, а Jc, гп, η = О,1, ..., то
(_1)fc+m+n ξ La(j(.)La (jc)La(jc)jcae-x ^ ^ q

368 Глава 7. Еще об ортогональных многочленах
34. В случае а > О, j, к, πι, η = О,1,2,... докажите, что
00
$ ^WLfWIJWIJW/e-2' dx > 0.
о

ГЛАВА 8
Интеграл Сельберга и его приложения
Непосредственное и тем не менее полезное обобщение бета-интеграла,
предложенное Дирихле, было представлено в гл. 1. В 1940-х гг., более чем через 100 лет
после появления работы Дирихле, Сельберг обнаружил еще более интересное
обобщение бета-интеграла, в котором подынтегральное выражение содержит
степень дискриминанта η переменных интегрирования. Недавно Аомото
вычислил еще несколько более обыщи интеграл. Важной особенностью этого
вычисления является то, что оно приводит к более простому доказательству
формулы Сельберга, напоминающему вычисление бета-интеграла Эйлером с
помощью функционального уравнения. Глубину интегральной формулы Сельберга
можно оценить из того факта, что в случае двух измерений из нее следует
тождество Диксона для вполне уравновешенной функции 3F2. Брессу заметил,
что обобщение Аомото приводит к тождеству для почти уравновешенного ряда
После доказательства Аомото мы дадим другое доказательство формулы
Сельберга, принадлежащее Андерсону. Это доказательство имеет аналогии с
вычислениями бета-интеграла Эйлера, проделанными независимо Якоби и
Пуассоном, в том, что оно связано с вычислением многомерного интеграла двумя
различными способами. Основой доказательства Андерсона является
многомерный интеграл Дирихле, упоминаемый выше. Очень важный аспект метода
Андерсона состоит в том, что он применим также к аналогу интеграла Сельберга
для конечного поля. Мы коротко рассмотрим этот аналог в конце главы.
Стилтьес поставил и решил задачу в электростатике, которая эквивалентна
получению максимума функции η переменных, очень тесно связанной с
подынтегральным выражением в формуле Сельберга. Замечательное решение Стилтье-
са показывает, что максимум достигается, когда η переменных являются нулями
определенного многочлена Якоби степени п. Мы посвятим работе Стилтьеса
один из параграфов этой главы и покажем, как можно, используя его результат
и формулу Сельберга, вывести дискриминанты многочленов Якоби, Лагерра
и Эрмита.
Зигель использовал дискриминант многочлена Лагерра для обобщения
неравенства о геометрическом и арифметическом средних. Результат Зигеля,
который мы приводим, содержит интересное неравенство Шура, связывающее
арифметическое среднее и дискриминант.
§ 8.1. интегралы сельберга и аомото
Приведенная ниже теорема содержит обобщение бета-интеграла, предложенное
Сельбергом [340].
Теорема 8.1.1. Если η — натуральное число; α, β, γ —такие комплексные
числа, что Rea>0, Rej8>0 и Rer>-min{l/n, (Rea)/(n-l),(Rej8)/(n-l)},

370
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
то
1 η
Sn(a,β, г) = $ ... $ f[{jcr1(1-^"1}lAWl2rd^i-d^ =
0 0 i=i
= ртГ(а+д-1)г)Г(]8 + а-1)г)Г(1 + 7г)
1 1 r(a + j8 + (n + j-2)r)r(l + r)
где
Ki<j<n
Ограничение на параметры α,β,γ необходимо для сходимости интеграла.
Обсуждение этого ограничения приводит Сельберг [340]. Отметим, однако, что
условие на γ связано с положением первого полюса функции в правой части
интегральной формулы. Сельберг получил доказательство этой формулы в 1944 г.,
но в течение более трех десятилетий оно не было широко известно. Позднее
Аомото [18] нашел более простое доказательство, основанное на рекуррентном
соотношении, которому удовлетворяет несколько более обыщи интеграл.
Теорема 8.1.2. При выполнении тех же условий на параметры α, β, γ и при
к < η выполняется равенство,
Г"Ш*П*г1с1-*1)'"1 Π к-*;12гс**1-<**„=
0 0 i=i i=i Ki<j<n
_ΓΪ (a+(n-j)r) ,„ * .
~1 l(a + j8 + (2n-j-l)rrnl ,P,rJ'
Андерсон [8] доказал аналог формулы Сельберга для конечного поля и
позднее отметил [9], что идею можно распространить на непрерывный случай.
§ 8.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ СЕЛЬБЕРГА, ДАННОЕ АОМОТО
В качестве мотивировки этого доказательства напомним два основных шага
в доказательстве формулы β(α, /3) = Γ(α)Γ()8)/Γ(α Η- β).
Шаг 1. Получаем функциональное уравнение β(α, β) = β Β(α, β +1). Хотя
в гл. 1 мы поступили иначе, это можно сделать следующим образом. При Re a > О,
Re β > 0 имеем
1 11
0=^[χαα-χ)β]άχ = α^χα-ια-χ)βάχ-β^χαα-χ)β~ιάχ =
0 0 0
1 1
= (α+)8) ^χα-\ΐ-χ)βάχ-β ξ JCa"1(l-^"1dx = (a + j8)B(a,j8 + l)-j8B(a,j8).
о о
Шаг 2. Повторив первый шаг η раз, получим

§ 8.2. Доказательство формулы Селъберга, данное Аомото 371
Затем сделаем замену переменных в интегральном выражении для В{а, β + η)
и, переходя к пределу при η —> °о получим требуемое соотношение.
Воспользуемся тем же приемом для доказательства обобщения формулы
Сельберга. Пусть
η
ιυίχ) = ιυ(χ;α,β,γ) = Υ\χ«-\ΐ-χί)Ρ-1 f] \Xi-Xj\2r (8.2.1)
i=l Ki<j<n
И
k
h = 5 Π *'ш(*; α> 0>r) dx> (8·2·2)
Cn i=l
где Сп — это n-мерный куб и djc = djcx djc2—dxn. Из симметрии относительно пе-
k
ременных xi9 следует, что произведение Y\ х{ можно заменить на произведение
любых к различных переменных, причем значение интеграла не изменится.
к
Пусть /0 обозначает интеграл без множителя Π jc£.
i=l
Чтобы получить функциональное уравнение начнем со следующего
соотношения:
o=^[a-x1)Y\xiwM]dx=
= а ^1-x^Y^XiivMdx-β ξ ]~[xIw(x)dx +
Сп i=2 Сп i=i
η Y\XiW(x)dx
+2rSSa-«i)"Xl-X. · (β·")
;=2 Cn
Третий член в формуле (8.2.3) получен с использованием того факта, что
±\x\< = c\x\c-1sgnx=c^f
; |х|с = с\х\с l sgn х = -!-!-, если χ ^ 0.
Следующая лемма показывает, что третий интеграл можно выразить через 1к
и 4-х·
Лемма 8.2.1. Справедливы соотношения
Y\XiwMdx J0> eau2<j<k,
-4_x, если k<j<iTi;
хгΠJfi^U)dx (I, ο^ ·^τ
cn *a~x) \lk, если k<j<n.
2)
cn
Доказательство.
1) В первом случае, когда 2 < j < fc, перестановка jq <—► jc; приводит к
изменению знака подынтегрального выражения, так что интеграл обращается в нуль.

372
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Во втором случае та же перестановка приводит к преобразованию
JCj Xj Χι JCj JCj Xi
так что
к
Y\xiW(x)dx к
2S l Xl-X. =5П^е»)сы=/ь.1.
2) При 2 < j < к перестановка хг «-> Xj приводит к преобразованию
χ2ιχ> , ***? = Φ/ ?
которое доказывает первую часть п. 2). Чтобы доказать вторую часть отметим,
что
Х1 , Х1Х)
—— = хг + —
X\—Xj X\ Xj
и последний член меняет знак при замене хг «-> х;. Таким образом, его
присутствие приводит к обращению в нуль соответствующей части интеграла. Другая
часть, которая получается из хг, дает требуемый ответ. Таким образом, лемма
доказана. D
Воспользовавшись этой леммой, перепишем равенство (8.2.3) в виде
0 = oifc_1-(a + /8)Jfc + r(n-fc)Jfc_1-r(2n-fc-l)Jfc.
Это приводит к соотношению
a + (n-fc)r rft .
Итерируя это функциональное соотношение, получим тождество
к к
Οι ΐ=1 ί=1 Сп
Последний интеграл —это интеграл Сельберга, который мы будем обозначать
Sn(a, β, γ). Задача теперь состоит в том, чтобы вычислить этот интеграл.
К счастью, к самому интегралу Сельберга можно применить функциональное
уравнение (8.2.4). Заметим, что
Sn(a + Ι,β,г) = Π a + pti2n-]-l)YS^a·^ГУ (8-2.5)
Используя симметрию относительно α на β и наоборот, с помощью итераций
получим
η
^.г>=п(аТ^и1)г)'^+^=
j=l 0 0 i=i l<i<j<n

§ 8.2. Доказательство формулы Селъберга, данное Аомото 373
Перейдя к пределу при к —> », и воспользовавшись определением
гамма-функции в виде предела, получим
rQS + (n-j)r)
S(a6 γ) = Π ГУ + *-»Г) χ
00 00 П ^_^
х$-Шл:Г1е"Х' П \Xi~Xj\2rdx. (8.2.6)
0 0 i=i Ki<j<n
Обозначим интеграл в формуле (8.2.6) через Gn(a, γ). Тогда используя
симметрию между а и β, из соотношения (8.2.6) получим
Gn(a,Y) = C,QB,r) =. D (r)
ПГ(а+(п-ЛГ) fln/S + (n-j)r)
Таким образом, мы можем записать
S"(0t' ^ " 1 1 r(a + /8 + (2n-J-l)r) Dn(r)· (8·2'7)
Для того чтобы вычислить Dn(f), отметим сначала, что из симметрии между
переменными хъ х2,..., хп следует равенство
1 1 1
5 ш(х; а,)8, г)dx = п\ $ ξ ... ξ w(x; a,)8,r) dxx...dxn. (8.2.8)
Cn 0 xn x2
Поскольку
lim a\ta-1/(t)dt = /(0)
для непрерывной функции / (доказательство содержится в упражнении 1 в
конце этой главы), умножая равенство (8.2.8) на а, переходя к пределу при а —> +0
и пользуясь формулой (8.2.7), получим:
«S fltf^i-*^-1] Π |*<-*,12г<**=
Cn_i i=l Ki<j<n-1
грв+сп-лг)
=°.wnr(7;i7Xnno-»r).
Снова используя формулу (8.2.7), видим, что последний интеграл равен
Αι-ι (г) Π Г(2г +- ° "1)Г)Г(]8 + ϋ "1)г)
r(2r + j8 + (n+j-3)r) '

374
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Это приводит к функциональному соотношению
Отсюда получаем
Dn(r) = ^Dn_1(r) = i^Dn_1(r).
»η\τ) 1 1 r(i+r)'
Таким образом, мы доказали как формулу Сельберга, так и ее обобщение,
полученное Аомото.
Используя для вывода формулы (8.2.6) замену переменных и процедуру
перехода к пределу в интегральной формуле Аомото, получим такой результат
Следствие 8.2.2. При таких же, как в теореме 8.11, условиях на параметры
α, β и γ выполняется равенство
ΐ-in^fl^ П 1*.-*;12г<* =
О 0 ΐ=ι i=i l<i<j<n
Пк r ^r ·λ λ vif Γ(<*+0' - 1)г)П1+;r) ^
(a+(n-j)r)l К ΓΟ+Ϊ) У
Для вывода другого следствия формулы Сельберга положим α = β и х( =
= (1 + ti/i/2a)/2, перейдем к пределу при а -> оо и применим формулу Стирлин-
га.
Следствие 8.2.3. При Кеу>—1/п выполняется равенство
i-i-pf-ii»?) π ъ-*р*-а*г*пщ$}.
-°° -00 V ί=1 У Ki<j<n ;=1
Замечание 8.2.1. Для доказательства формулы (8.2.7) можно использовать теорему
Карлсона, при этом нет необходимости переходить к пределу при β —» оо. Из равенства
(8.2.5) следует, что формула (8.2.7) верна, когда α и β натуральные числа. Более того,
обе части равенства (8.2.7) являются аналитическими функциями переменных α и β
при Rea>0HRej8>0, и они ограничены при Re a > 1, Re /3 > 1.
§ 8.3. ОБОБЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ АОМОТО
к
В формуле Аомото содержится дополнительный множитель вида Y\xi, fc<n.
Возникает вопрос, можно ли ввести в подынтегральное выражение
дополнительный множитель вида ГК*- *Р· Простейший интеграл такого вида возникает,
когда среди двух различных типов множителей нет общих переменных. Пусть
j j+k
ВЦ,к) := ξ Π*' Π (1-*.·)"Ό0ώ:,
где j + к < π и
η
w(x) = w(jc;a,/3,r) = n*r1(1-*/"1 Π Ι*-*^·
ί=1 1 <!'</< П

§ 8.3. Обобщения интегральной формулы Аомото
375
Тогда ответ имеет следующий вид:
нг. м _ Π Γ(α + (п-рг)ГрВ + (п -0Г)ГаУ +1)„
°ч>к) 1 1 Г(а + ]8 + (2п-1-1)г)Г(г + 1)
ί=1
П[а + (п-0г]П№ + (п-0г]
х^ И . (8.3.1)
П[а + 0 + (2п-*-1)Г]
i=l
Эту формулу легко проверить. Обозначим через C{j, к) правую часть равенства
(8.3.1). Заметим, что из формулы Аомото следует, что
BO\0) = C(j,0) и B(0,k) = C(0,k); (8.3.2)
более того, как В, так и С удовлетворяют одному и тому же рекуррентному
соотношению
B(j-l,k-l)-B(j,k-l) = B(j-l,k). (8.3.3)
Отсюда следует формула (8.3.1). Пусть теперь
) j+k-l
βΟ',Μ)=$Π*'· Π tt-*i)i"(jOdx,
Сп i=i i=j+l-i
так что j — число дополнительных множителей xif к — число дополнительных
множителей вида (1 — х{), а I — число переменных, которые содержатся сразу
в двух дополнительных множителях. Здесь l^j, к < п, и j + fc — Ζ < η.
Теорема 8.3.1. Справедливо равенство
D,. , n j-f a + j8 + (n-i-l)r Μ *у '
B0,fc,0 = l l[g+/B + i + (2n-i-i)r] j* Snfefcr),
*=i f[[« + iS + (2n-i-l)r]
i=l
где Sn(a,β,γ)— значение интеграла Сельберга.
Доказательство. Во-первых, рассмотрим случай к = Ζ. Этот интеграл после
перенумерации переменных может быть записан в виде
j к
вс/дд)=$п*'П(1-**)ш(*)с**·
Сп i=l i=l
Он удовлетворяет функциональному соотношению, которое обобщает (8.2.4):
(a-hj8-h(2n-j-fc-l)r)B0' + l,fc-l,fc-l) =
= (a + (n-j-l)r)B(j,fc-l,fc-l). (8.3.4)

376
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Доказательство формулы (8.3.4) начнем с соотношения
) к
0= S ^П*'П(1~*)Ш(*)С**=
» U*iT\a-*i>
+ 2γΤ\ ίΞί_!Ξί wOddx.
m=2C,
Функциональное уравнение (8.3.4) теперь следует из приведенной ниже леммы.
Лемма 8.3.2. Справедливы соотношения
к [Una-*,)
^Σ^^Ι^χ w{x)dx = 0.
j ή* Πα-*) ,_.
б> Σ S l=1 /-* u;(jf)dx=VB0'fc-l.fc-D.
» ή*ιΠα-*)
в) У j ——1~2 w{x)dx =
m='+lC" * ^ =(n-j)[B(j-1'k;1'k-1)-B<J,k-hk-l)]
Доказательство этой леммы мы предоставляем читателю.
Непосредственным следствием формулы (8.3.4) является соотношение
1=1 1=1
Второе равенство следует из формулы (8.3.1) и того факта, что Bin, к, к) — это
то же самое, что и В (0, fc,fc), только параметр а заменен на а +1. Уравнение
(8.3.5) на самом деле эквивалентно формуле
ЯП ь /Л-П α + Ρ + ΐη-ι-υ
g + j8 + (n-i-l)r
j8 + l + (2n-i-l)y
П(а + (п-Ог)П08 + (я-Ог)
х^ ~ Sn(a,j8,r). (8.3.6)
fl(a + j8 + (2n-i-l)r)
i=l

§ 8.3. Обобщения интегральной формулы Аомото
377
Таким образом, мы доказали теорему 8.3.1 для случая к = 1. Представив хг как
1 — (1—хх) в интеграле B(j, к, Z), можно проверить, что выполняется равенство
В0' + 1ДЛ)=£0'Л0-В0'Д + 1,0 w*j>l. (8.3.7)
Правая часть формулы в теореме 8.3.1 также удовлетворяет этому
рекуррентному соотношению. Итак, теорема 8.3.1 доказана. Представленное доказательство
принадлежит Шауну Куперу. D
Мы заканчиваем этот параграф утверждением об еще одном бета-интеграле
Сельберга.
Теорема 8.3.3. Пусть Dn = {(хъ..., хп) \ х( > 0, £ х( < 1}. Тогда
ί=1
Dn i=i i=i V i=i J Ki<i<n
Ki<j<n
Γ(β) ρτΓ(α + (η-7»Γ0Υ + 1)
Доказательство рассматривается в упражнении 5.
Историческое замечание. Харди и Пойа независимо доказали
следующую теорему о целых функциях.
Пусть /(*) — целая функция экспоненциального типа меньше In 2. Если /(л)
принимает целые значения при п = 0,1,2,..., то f (z)—многочлен.
Эту теорему можно переформулировать следующим образом: 2Ζ — это
наименьшая целая трансцендентная функция, принимающая целые значения в
положительных целых точках.
Гельфонд обобщил эту теорему следующим образом.
Если f (ζ) — такая целая функция, что все числа
ДпХ/Чп),...,/^-1^)
целые uf — функция экспоненциального типа меньше чем ρ 1η(1 + е(1-р)/р), тогда
/—многочлен. В случае ρ = 1 имеем результат Харди и Пойа.
Сельберг получил свою интегральную формулу при обобщении теоремы
Р
Гельфонда. Он доказал, что ρ 1η(1+е(1~р)/р) можно заменить на ln(min П(1+#)),
i=l
ЧТО ЭТО
где у{ >0, У1У2».ур = е1 р и Π (V " ν)\ = 1β Д™ того ч™6*1 увидеть,
действительно обобщение, отметим, что, поскольку у; различны, выполняется
равенство
ρ
Π(1+^)>α+0^τ^)ρ = (ι+^)ρ.
i=l
Ссылки можно найти в [60].
Следствие 8.2.3 было предложено Метой и Дайсоном в середине 1960-х.
Они рассматривали газ, состоящий из N точечных зарядов, расположенных

378
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
в точках хъх29...,xN, которые могли двигаться по прямой линии —οο<χ<οο.
Потенциальная энергия этого газа задается формулой
i=l Ki<j<n
где первый член описывает потенциал гармонического осциллятора,
притягивающий каждый заряд независимо от других в точку х = 0, а второй член
описывает электростатическое отталкивание между любыми двумя зарядами.
Важную роль в термодинамическом изучении этой системы играет
статистическая сумма
00 00
г/>„(/3)= $ ... $ e-W dxv..dxn.
— 00 —00
Значение именно этого интеграла было предсказано Дайсоном и Метой
(см. [265]). Книга Меты содержит также полученное Сельбергом
первоначальное доказательство интегральной формулы Сельберга1.
§ 8.4- ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ СЕЛЬБЕРГА, ДАННОЕ АНДЕРСОНОМ
В гл. 1 мы воспроизвели два существенно разных доказательства формулы
Ж«, )8) = Γ(α)Γ()8)/Γ(α + )8). Одно из них было основано на использовании
функционального уравнения, а второе — на вычислении некоторого двойного
интеграла двумя различными способами. Второй метод доказательства мы
применим к конечнополевым аналогам бета- и гамма-интегралов, т. е. к суммам
Якоби и Гаусса. Андерсон [9] нашел доказательство формулы Сельберга, которое
содержит вычисление (2п—1)-мерного интеграла двумя различными способами.
Это доказательство приводит к аналогу интеграла Сельберга для конечного поля.
Андерсон [8] вначале получил доказательство именно этого результата.
Доказательство Андерсона опирается на обобщение бета-интеграла, данное
Дирихле (описано в гл. 1): для Re at > О выполняется равенство
ΠΓ(α,)
$$ - $ рГ'рГ'-РГ1 dPo...dp„-i = Ц^у (8.4.1)
η
где V —это множество, заданное условиями р;>0, ΣΡΐ = 1· ^та формула ис-
ί=0
пользуется после замены переменных. Для того чтобы увидеть это, рассмотрим
вначале интеграл Сельберга, который можно переписать в следующем виде:
ηΙΑη(α,β,γ) :=п! $ $ ... $ ^(ОЗГ^ШМа^ахг...ахп,
0 0 О
где 0<х1<х2<-<^п<1)
F(t) = it-xlKt-x2)..Xt-xn) = ίη-¥η_λίη-Ύ +... + (-1)"F0
ι Интегралы типа Сельберга с 2γ = 1, 2, 4 (и 2γ = 8 в качестве экзотики) возникают при
рассмотрении «радиальной части меры Хаара» на симметрических пространствах.

§ 8.4. Доказательство формулы Селъберга, данное Андерсоном 379
и AF — это дискриминант многочлена F, т. е.
ι π || |2
I i=i I Ii<j I
Перейдем теперь от переменных хъ х2,..., хп к переменным F0, Fx,..., Fn_x,
которые являются элементарными симметрическими
Fn-k= 2j xh"xh
h<-<Jk
ФУНКЦИЯМИ ОТ JCf.
Лемма 8.4.1. Справедливо равенство
An(a,j8,r) = J |F(0)|a-1|F(l)|^-1|AF|HdF0dF1...dFn_1,
где интегрирование проходит по всем точкам (F0,F1,...,Fn_l), в которых F{ —
это значения элементарных симметрических функций переменных хг,..., хп при
0<хг<...<хп<1.
Доказательство. Достаточно доказать, что якобиан преобразования
имеет вид
Заметим, что два столбца якобиана совпадают, когда Xi = Xj. Таким образом,
ПС**—*j) — множитель детерминанта. Более того, как якобиан, так и Π(·*Ί~~*/)
i<j i<j
суть однородные многочлены одинаковой степени. Итак, формула (8.4.2) и,
следовательно, лемма, доказаны*. D
Произведем аналогичную замену переменных в интеграле Дирихле (8.4.1).
Для удобства определим функцию
Z{t) = (t-C0)(t-ii)...(t-in) (0 < Со < Ci < .·. < ζη < 1)
и область 9 в пространстве многочленов степени η
9 = {(t-x1Kt-x2)...(t-xn) I Ci-i < Xi < f,·; i = 1,..., n}. (8.4.3)
Лемма 8.4.2. Для всех F(t) = tn -F^t"-1 +... + (-l)nF0 € 0 отображение
(F0,Fb...,Fn_1)^(|^,...,|g) = (p(),p1,...,pn)€R"+1,
где Z'(0 обозначает производную от Z(t)9 является биекцией 9 на симплекс
Ρ;>α ΣΡ; = 1·
i=0
Доказательство. Заметим, что
_ F(Cj) _ (C;-^l)(C;-^2)...(C;-^)
Р' " Ζ'(ί,) (C;-io)...(i;-i;-l)(i;-i;4l)...(i;-i„) '
поскольку числитель и знаменатель содержат в точности n — j отрицательных
множителей.
ι Формула доказана с точностью до постоянного множителя С = С (л).

380
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Положим
По интерполяционной формуле Лагранжа
F(f) = ΣρΑ(0 = J] ^Ηζ]). (8.4.4)
Можно явно проверить, что обе части равенства являются многочленами
степени π и их значения совпадают вл + 1 точке t = Co>£i>— >ίη· Приравняв
коэффициенты при tn в обеих частях равенства, получим
Теперь для заданной точки (Ро>Ръ—>Рп)> Для которой выполняется условия
5]р; = 1 и р;>0, j = 0, ...,n, определим функцию F(t) по формуле (8.4.4).
Соотношение
F(Q = р,ад) = p(Ci-Co)...(Ci-Ci-i)(Ci-CI4-i)...(Ci-C„)
и
^(Ci+i) = Pi+i^i+i (Ci+i) = Pi+i (f i+i - Co) - CCi+i - Q (Ci+i - Ci+2) - (Ci+i - in)
показывают, что F(£t) и F(£I+1) имеют различные знаки и F обращается
в нуль в некоторой точке xi+1 между ζ( и £ί+1. Таким образом, Fe& согласно
формуле (8.4.3). Биективность доказана. D
Теперь мы можем применить замену переменных из леммы 8.4.2 к интегралу
Дирихле (8.4.1).
Лемма 8.4.3. При Re a{ > 0 в обозначениях леммы 8.4.2 выполняется
равенство
П№)Г~*Па{)
S Πΐ^)Ια,"1^ο-^η_1 = ίΞ2 _ .
*(0€» f=o r(J] af)
i=0
Доказательство. Нужно проверить, что якобиан удовлетворяет
соотношению
|θ(Ρο,...,ρ„_ι)|
i=0
Поскольку
Ρί = Щ = z4) (i" "^-iCr1 + - + (-DnFo),
якобиан равен
Поскольку числитель—это определитель Вандермонда, лемма доказана. D

§ 8.4. Доказательство формулы Селъберга, данное Андерсоном 381
(8.4.5)
Последний шаг состоит в вычислении некоторого (2п +1) -мерного
интеграла. Пусть F(t) и G(t)—это многочлены, задаваемые формулами
F(t) = it-x1)(t-x2)...(t-xn_1),
G(t) = (t-y1)(t-y2)...(t-yn)
и
О < Уι < Χι < У2 < · · · < *η-1 < У η < 1 ·
Результант многочленов F и G, обозначаемый символом R(F, G), задается
формулой
|R(F,G)| =
in—1
I lj=i
ί=1,...,η-1
j=l,...,n
Ι ί=1
(8.4.6)
Абсолютное значение дискриминанта многочлена F можно представить в виде
|R(F,F')|. Интересующий нас (2п —1) -мерный интеграл равен
$ iGWMGiDMRtf, GW~l dF0...dFn_2 dG^.dG^ =
(F,G)
I η iy—1
= $ |G(0)r4G(l)M[^F(yi.) dF0...di,„-2dG0...dGfl.1. (8.4.7)
(F,G) l;=l I
Здесь интегрирование проводится по всем F и G, определенным соотношением
(8.4.6).
Лемма 8.4.4. Интеграл Селъберга Ап{а, β, γ) из леммы 8.4.1 удовлетворяет
рекуррентному соотношению
V. /». г) - г^Свд-4-'"+■<■β+">·
Доказательство. Проинтегрируем подынтегральное выражение (2п —1)-
мерного интеграла в формуле (8.4.7) по dF0...dFn_2 и, воспользовавшись леммой
8.4.3 с функцией G(t) вместо Ζ (χ), получим
I II
$|С(0)Г^(1)МП^ур
r-5
,r ,r (r(r))n _ 4 (n R ,^(r(r))n
dGo...dGn_x -j^- _ ^(α,^,,τ)——.
С l;=l
Для того чтобы вычислить интеграл из формулы (8.4.7) другим способом,
положим F(t) = t(t-x1)(t-x2)-(t-^n)> <*о = а, αη = β, α, = γ при j = l, ...,η-1,
х0 = 0 и χη = 1, тогда интеграл будет равен
ΙΠ-1
5 |σ(0)Μβ(1)ΜΠσ(*Ρ
(F,G)
lj=l
r-i
dCo..^.^..^.^
= $ niG(jcI)|a'-1dG0...dGn_1dF0...dFn_2. (8.4.8)
(F,G) j=0
Теперь проинтегри£уем равенство (8.4.8) no dG0...dGn_i и, использовав лемму
8.4.3 для функции F(t) вместо Z{t), получим
in-l
Г-1/2
|F,(0)|e_1/2|F'(l)|p-1/2dFo...dF№.
(Г(г))п-'Г(а)Г(/3)
2Γ(α + /3 + (π-1)χ)·

382
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Поскольку
|?'(0)| = \χ1χ2^χη.1\ί |?'(1)1 = |(ΐ-χι)...(ΐ->:„-ι)Ι
и
п-1 п-1
Πι^·)ΐ=Π^ιΠΐ(ι-χριΐΔ^
последний интеграл можно переписать в виде
$ 1>Г-1 Па-х^-жг* dF0...dFn_2=
(ΠτΟ^ΠοΟΓφ)
Г(а + /3 + (п-1)Г)
= (Г(Г))^Г(а)ГУ) ( * }
Приравнивая ответы, полученные при двух различных вычислениях
(2п—1)-мерного интеграла, получим утверждение леммы 8.4.4. D
Формула Сельберга получается (п —1) -кратной итерацией леммы 8.4.4.
Р. Дж. Эванс показал, что обобщение Аомото (8.3.1) также может быть
доказано этим методом. Идея доказательства кратко обсуждается в упражнении 21
в конце этой главы1.
§ 8.5- ПРОБЛЕМА СТИЛТЬЕСА И ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
Существует проблема Стилтьеса, которая связывает между собой многочлены
Якоби, гипергеометрическое дифференциальное уравнение и интеграл
Сельберга очень интересным образом. Ее можно описать в терминах двумерной
электростатической задачи. Пусть р>0 и q>0 фиксированы. Предположим,
что в точке 0 расположен заряд р, в точке 1 заряд див таких точках хъ х2>..., хю
что 0 < х{ < 1, i = l,..., п, расположены единичные заряды. Если предположить,
что потенциал взаимодействия логарифмический, то энергия системы будет
иметь вид
η η
Γ(χ1,χ2,...,χη) = -ρ^]ΐηχΙ-ς^]ΐη(1-χΙ)- ]Γ ΙηΙ^-χ,Ι. (8.5.1)
ί=1 ί=1 Ki</<n
Задача состоит в нахождении такого положения зарядов, в котором они
находились бы в электростатическом равновесии. Последнее достигается, когда
энергия достигает минимума, так что мы должны минимизировать (8.5.1) или
максимизировать функцию
η ^_^
HQc1,Jc2,...,xn):=PI*?(l-*i)<' Π \χί-χ)\· (8·5·2)
ί=1 Ki<j<n
Теорема 8.5.1. Максимум выражения (8.5.2) достигается, когда хъ х2,..., хп
являются нулями многочлена Якоби Рп р~ ' q~ (1 — 2дг).
ι См. также многопараметрическое обобщение интеграла Сельберга, полученное в [457].

§ 8.5. Проблема Стилтъеса и определитель многочленов Якоби 383
Доказательство. Поскольку Я — непрерывная функция переменных хъ
x2i ..., хп при 0 < jcf < 1, i = l, ...,n, она принимает максимальное значение
в некоторой точке. Если какая-либо из переменных xt равна 0 или 1, то значение
функции Я равно 0. Тогда минимум функции Г (или максимум функции Я)
достигается при
g = 0, i = l,2,...,n.
Следовательно,
Α1ηΔ = 2ν^- = £^ i = l,...,n.
дх( 4-iXi-x, /'(Xj)
7-^Σ^=°> * = 1.4....n. (8.5.3)
Это система из п нелинейных уравнений с η неизвестными. Стилтьес ввел
многочлен /, нули которого хь ί = 1,..., η, удовлетворяют системе (8.5.3), и показал,
что / удовлетворяет определенному гипергеометрическому
дифференциальному уравнению. Положим
η
ΐ=1
тогда дискриминант Δ многочлена / задается соотношением
Ki<j<n i=l
Вычислив логарифмическую производную дискриминанта, получим
Х:—Х:
Перепишем теперь равенство (8.5.3) следующим образом:
If "РФ , Ρ Ч _п ,._, 0 „
ИЛИ
х£1-хдУЫ) + 2[р- (р + q)xf]/'(x,·) = 0, i = 1,..., п.
Рассмотрим теперь выражение
x(l-x)f'W + 2[p-(p + q)x]fW.
Это многочлен степени не больше п, поскольку / — многочлен степени п,
и он обращается в нуль в точках xif ί = 1,2, ...,η. Таким образом, выражение
с точностью до постоянного множителя совпадает с fix), и, следовательно,
функция у = /Qc) удовлетворяет дифференциальному уравнению
х(1 - х)у" + [2р - 2(р + q)x]/ + Ay = 0 (8.5.4)
для некоторой константы Я. Сравним уравнение (8.5.4) с гипергеометрическим
уравнением
х(1-х)у'Ч[с-(а + Ь+1)х]/-аЬу = 0,
которое имеет два независимых решения
л(*>) - ''-v-r1-^;1";*)-

384
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Мы видим, что они также являются независимыми решениями уравнения (8.5.4)
при с = 2р, α + b = 2р + 2q — 1и ab = —Я. Мы получим полиномиальное решение
степени п, только если а или Ъ равно —п. Таким образом, если Ь = —п, тогда
a = n + 2p + 2q-l, A = -n(n + 2p + 2q-l) и
/W = fc 2^ι("Π,Π + 22Ρ/2<ϊ"1;4 (8.5.5)
Для того чтобы найти к, заметим, что коэффициент при хп в разложении
функции /Qc) равен 1. Значит,
(-1У(2р)п
(n + 2p + 2q-lV
С точностью до постоянного множителя гипергеометрический многочлен в
(8.5.5) — это многочлен Якоби р^-1»^-15 q _ 2дс). Теорема доказана. D
Оказывается, возможно найти максимальное значение Я, используя
интеграл Сельберга.
Теорема 8.5.2. Справедливо равенство
где функция Н определена формулой (8.5.2).
Доказательство. Напомним, что если μ — положительная мера на
пространстве X с мерой и
( \Vk
11/11* = ^ 1/1* ^М < °° Для некоторого fc, 0 < к < »,
то
ll/llfc->ll/llco прик^оо. (8.5.6)
В интеграле Сельберга положим a — 1 = 2pfc, β — 1 = 2qfc, χ = fc и затем
воспользуемся соотношением (8.5.6) и формулой Стирлинга. Теорема доказана. D
Поскольку выражение для функции Н(хъ ...,дгп) содержит дискриминант,
мы приходим к следующей теореме.
Теорема 8.5.3. Дискриминант многочленов Якоби Р„ W равен
2
Доказательство. Имеем
! ! (a + j8 + n + J)n+J"2 '
ffjcfa-jc,)2" = Π«-ΐ)η/(ο))2ρ(/(ΐ))24,
i=0 i=l
(-D"/(0) = (-i)"fc=(n+2^_1)n
fm-l· r(-n>n + 2p + 2q-l.\_ (2q)„
fW-k2F^ 2p >Ύ)- in + 2p + 2q-Dn·

§ 8.6. Неравенство Зигеля
385
Тождество Чу—Вандермонда (следствие 2.2.3) использовалось для
суммирования ряда 2^ι. Объединяя эти результаты с теоремой 8.5.2, видим, что
дискриминант функции Pn '2q~ (1 — 2х) равен
π
(2p + ;-iy-1(2q+j-l)J-y
{2p + 2q + n + j-2)n+i-2 '
Отсюда после подходящей замены переменных получается утверждение
теоремы 8.5.3. D
Аналогичные теоремы можно доказать для многочленов Лагерра и Эрмита.
Вот эти теоремы.
Теорема 8.5.4. Максимум функции
U(Xl,x2,...,xn) = Y]xfe-x' Y\ \Xi-Xj\
i=l Ki<j<n
достигается, когда хь ..., хп являются нулями многочлена Лагерра Ln p~ (2х).
Дискриминант многочлена L"(x) имеет вид
П-
[j^a + jy-1
Теорема 8.5.5. Максимум функции
η
i=l l<i<j<n
достигается, когда xlf...,xn являются нулями многочлена Эрмита Яп(дг).
Дискриминант многочлена HnQc) имеет вид
η
22n(n-l) I [J '
В доказательстве этих теорем используются следствия 8.2.2 и 8.2.3. Мы
оставляем его читателю в качестве упражнения. Также возможны другие
формулировки теорем 8.5.4 и 8.5.5. Они даются в упражнениях в конце этой главы.
Ссылки на работу Стилтьеса и на другие методы вычисления дискриминантов
классических ортогональных многочленов содержатся в книге [375, § 6.7 — 6.71].
Замечание 8.5.1. Интерпретация Стилтьеса, состоящая в том, что нули многочленов
Якоби являются точками равновесия зарядов, расположенных на отрезке [0,1], может
быть полезна при формулировке гипотез об их нулях. Например, если нули многочлена
ЙУ ЙУ
ρία,β)ц _ 2χ) записать в порядке возрастания: 0 < х1 < х2 <... < хп < 1, то —- > 0 и —-^ < 0.
Заметим, что если α растет, то единичные заряды на интервале (0,1) сдвигаются к 1,
а если растет β, то они сдвигаются к 0.
§ 8.6. НЕРАВЕНСТВО ЗИГЕЛЯ
Зигель [342] вывел неравенство, которое уточняет неравенства об
арифметическом и геометрическом средних. Это неравенство он использовал для

386
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
получения результатов о следах алгебраических целых чисел1, для которых
все сопряженные2 действительны и положительны.
Примерная структура дальнейшего рассуждения следующая. Пусть s и ρ —
два таких положительных числа, что sn>p. Найдем максимум функции Δ =
= Π (Xi—Xj)2 как функции от хъ ...,хп при условии jcx + ... + Jcn = ns ивд...
Ki<j<n
...χη = ρη, х(>0. Оказывается, максимум достигается в нулях некоторого
многочлена Лагерра. На самом деле метод, с помощью которого получается это
утверждение, совпадает с использованным при решении проблемы Стилтьеса
в предыдущем параграфе. Из полученного результата легко выводится
неравенство Зигеля.
Перед тем как сформулировать неравенство Зигеля, мы докажем
неравенства об арифметическом и геометрическом средних.
Лемма 8.6.1. Пусть хъх2,..., χη —π положительных чисел. Тогда
t . Хл+Χι + ... + Χη
Vxix2-*n<-— ">
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда хг=х2 = ...=хп.
Доказательство. Начнем с неравенства из упражнения 6. При
неотрицательных α, β, и и ν и при а + β = 1 запишем неравенство в следующем виде:
υ.αυβ<αιι + βυ. (8.6.1)
Здесь равенство выполняется тогда и только тогда, когда и = υ. Докажем лемму
по индукции. Очевидно, что она верна при п = 1. Предположим, что
утверждение верно до η включительно. Тогда согласно неравенству (8.6.1) и
предположению индукции получаем
0сЛ...*п+1)1/(п+1) = (χί/η...^/η)η(π+1)^ί+1) <
Из доказательства очевидно, что равенство достигается тогда и только тогда,
когда все xt совпадают. Лемма доказана. D
Для того чтобы сформулировать обобщение Зигеля, положим
*ω=ρ,ω = £Π(£ϊΓ*"1· (8·6·2)
Jk=0
n-1
αω=Qn(t)=f[(i+j^i) (8.6.3)
fc=l
Δ= fj ^-χβ2,
Ki<j<n
где все xt положительны. Для η > 2 и Δ φ О обозначим через μ единственный
положительный корень алгебраического уравнения
Ρ„(μ) = (χ1...χη)η-1Δ-1. (8.6.4)
ι Алгебраическое целое число — это корень многочлена хп + αλχη~λ +... + αη с целыми
коэффициентами.
2 То есть элементы орбиты корня под действием группы Галуа.

§ 8.6. Неравенство Зигеля
387
(Многочлен P(t) имеет только положительные коэффициенты и Р(0) = 0,
поэтому μ определяется однозначно.) Неравенство Зигеля формулируется в
следующей теореме.
Теорема 8.6.2. Пусть п>2, Δ^Ο, и μ —положительный корень уравнения
(8.6.4), тогда
(Xl + "n+Xn)n>Xl...xnQnQi),
где Q задается формулой (8.6.3).
Замечание 8.6.1. Поскольку Qn (μ) > 1 при положительных μ, теорема 8.6.2 уточняет
неравенство об алгебраическом и геометрическом средних.
Докажем вначале следующую лемму.
Лемма 8.6.3. Пусть s и р — два таких положительных числа, что sn>p.
Тогда максимум функции Δ = Y\(Xi — х,)2 при условиях
jc1 + ... + jcn = ns и х1...хп = р
(см. (8.6.6)9 достигается, когда хг, ...,хп являются нулями некоторого
многочлена Лагерра.
Доказательство. Для того чтобы показать существования максимума,
заметим, что для набора положительных значений х3,х^,..., хп уравнения
Хг +Х2 = nS- (Х3 + ... +*п)> *1*2 = РСКз-^пГ1
имеют единственное положительное решение тогда и только тогда, когда
х3 + ... + *п<™ и {ns-(x3 + ... + xn)}2>4p(x3...xnTl. (8-6.5)
Более того, хг = х2 тогда и только тогда, когда в формуле (8.6.5) достигается
равенство. Условия (8.6.5) определяют компактную область D в (п — 2)-мерном
пространстве, точки которой имеют положительные координаты х3,..., хп.
Граница области D состоит из поверхности хг =х2, так что максимум функции Δ
достигается внутри D. Из метода множителей Лагранжа получаем уравнения,
которые должны выполняться в точке максимума:
Й = °. ' = > «■
где
</?(*!,..., хп) = | ΙηΔ-Μχχ +... + χη) + μ1η(χ1...χη)
и Я и μ — некоторые константы. В действительности, как мы увидим, μ
совпадает с положительным корнем уравнения (8.6.4), когда х{ максимизирует Δ.
Как и при решении проблемы Стилтьеса в предыдущем параграфе, мы
η
покажем, что функция /(χ) = {~[(.χ· — xt) удовлетворяет уравнениям
/"(*fc) л , μ _η ,_Ί 9 „
Тогда xf"W — (Αχ—μ) fix) многочлен степени η, который обращается в нуль
в точках хг,..., хп и, следовательно, совпадает с /(дс) с точностью до
постоянного множителя. Этот множитель должен быть равен —An. Следовательно, /
удовлетворяет дифференциальному уравнению
ху" - (Ах - μ)у' + Any = 0.

388
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Положив t = λχ, приведем это уравнение к виду
ty"-(t-M)/ + ny = 0.
Этому уравнению удовлетворяет многочленом Лагерра L^"l) (t). Таким образом,
имеем
/Qc) = к1^-1} (Ах) (8.6.6)
для некоторого постоянного к. Лемма доказана. D
Приведем несколько фактов, необходимых для завершения доказательства
неравенства Зигеля. Вначале отметим, что дискриминант многочлена (8.6.6)
равен, согласно теореме 8.5.4,
Я-ηΟι-ΐ) [~[{(μ + j)J(j + 1)Я*}. (8.6.7)
Заметим также, что, поскольку
1Г1Сях) = ^Л(7;Ях),
μ
константа к в формуле (8.6.6) равна (—1)ηη!/Αη. Тогда
х1 + ... + хп _ μ + η-1
5 =
И
Ό-χχ х -iEb
Ρ —ΧιΧ2—χη — дп ·
Отсюда получаем, что
5Пр.1 = с^=д(1+_£у=(№) (868)
и (с учетом формулы (8.6.7))
Jfc=0
Доказательство теоремы 8.6.2. Предположим, что У\,У2> — >Уп — такие
положительные числа, что
У1 + - + Уп
=5 И У1...Уп=Р.
Пусть μ0 — решение уравнения (8.6.4), где jce- положены равными данным yf,
и пусть Δ0 обозначает дискриминант, зависящий от у. Поскольку Pn(t) —
возрастающая функция и
мы имеем μ<μ0. Однако Qn(t)—убывающая функция, и, следовательно,
Неравенство Зигеля доказано. D
Приведенное ниже следствие принадлежит Шуру [335].

§ 8,6, Неравенство Зигеля
389
Следствие 8.6.4. Для положительных хъ..., хп выполняется неравенство
П f\kk(k-l)k-1 i<i<j<n
fc=2
Доказательство. Положим
(t + n-lT
R(t)=P(t)Q.-.(t,=rii^^·
Используя уравнение (8.6.4) и неравенство из теоремы 8.6.2, исключим р =
= jc1...jcn и получим
5η(η-υ > ΔΚ(μ) (8.6.10)
Покажем, что функция R(t) является возрастающей при t > 0, доказав для этого,
что ^ In R(t) > 0. Тогда Κ(μ) > R(0) и
5n(n-i) ^ дя(0)
Это и есть неравенство Шура. D
Зигель применил свое неравенство к выводу некоторых результатов о следах
положительных алгебраических целых с положительными сопряженными. Мы
приведем два из таких утверждений, поскольку они довольно интересны, и
коротко опишем доказательство одного из них. Детали доказательства, которое
состоит в простом применении формулы суммирования Эйлера—Маклорена,
остаются читателю.
Перед тем как сформулировать следующую теорему, заметим, что уравнение
g(y):=(l + i;)2ln(H-l/i;)+lni;-i;-l = 0 (8.6.11)
имеет ровно один положительный корень, скажем 0. Это так, поскольку g(0) =
= -1, g(00) = 00 и
g'(i>) = 2(l + i;)ln(l + l/i;)-2>0 для υ > 0.
Теорема 8.6.5. Предположим, что алгебраическое уравнение с целыми
коэффициентами
хп + а1хп~1 + ... + ап = 0
имеет положительные корни хг, х2,..., хп. Пусть θ — единственный
положительный корень уравнения (8.6.11) и пусть Ао = е(1 + 1/0)~е; тогда для любого А<А0
существует такое число Ν = Ν(λ), что
*! + ...+ JCn > λη
при всех η>Ν.
Доказательство основывается на следующей лемме.
Лемма 8.6.6. Если t — произвольное положительное число,
удовлетворяющие условию ΔΡη(0 > 1, то
sn > QnW.

390
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Доказательство. Поскольку p = jc1jc2—*η = (—1)"αη — натуральное число,
из теоремы 8.6.2 и следствия 8.6.4 вытекает, что
5n(n-i) ^ max(Q«-1(M), ΔΚ(μ)).
Мы видели, что Q(f) убывает, a R(t) возрастает при t>0. Отсюда при t>0
имеем
maxiQ^iM), ΔΚ(μ)) > miniQ^W, &R(t)) = Qn~\t) min(l, ΔΡ(0).
Лемма доказана. П
Доказательство теоремы 8.6.5. Начнем с формулы суммирования
Эйлера—Маклорена (см. добавление Г)
]T/(fc) = /(п)~/(0) + I /(*) dx+ ξ /'QOBiQc- Μ)d*. (8.6.12)
Jt=l 0 О
(Вспомним, что ВгМ=х— «.) Возьмем в формуле (8.6.12) /GO = (п — х)lnQc +
+ ι;η — 1) и получаем, что
п—1 η
lnP(i;n)=J](ri-fc)ln(fc + i;n-l)-2fclnfc = ^g(i;)n2 + 0(nlnn).
Jb=l Jk=2
Поскольку
lim{l - υ 1η(1 + (1/ι/))} = In A0,
получается, что s = Qc1 + ... + .x,n)/n> А для любого А<А0 и всех η, больших
некоторого достаточно большого iV(A). Таким образом, теорема доказана. D
Зигель вычислил значение 1,7336105... Лучшее возможное значение
константы, которой можно заменить А0 в теореме, очевидно не больше 2. Это
следует из того факта, что 4 cos2 — для нечетных простых ρ имеет след, равный
2п — К 2п, где п = (р —1)/2. Следующая теорема также была доказана Зигелем,
но, поскольку ее доказательство длиннее, мы его опускаем.
Теорема 8.6.7. Предположим, что ξ — алгебраическое целое число, не
равное 1 или « (3 ± у/5). Предположим, что все числа xlf x2i..., хп сопряженные числу
ξ положительны. Тогда
*1+*2 + - + *п> \п-
§ 8.7- ЗАДАЧА СТИЛТЬЕСА НА ЕДИНИЧНОМ КРУГЕ
В § 8.5 мы рассмотрели задачу Стилтьеса на единичном интервале. Дайсон
и другие рассмотрели ситуацию, в которой свободно двигающиеся заряды лежат
на тонком круговом проводнике единичного радиуса (ссылки см. в книге [265]).
Мы изучим случай η единичных зарядов, расположенных на единичном круге,
хотя аналогичным образом можно рассмотреть более общий случай с зарядом
q, расположенном в точке θ = 0, и зарядом р, расположенным в точке θ = π.
Потенциальная энергия системы η единичных зарядов на единичном круге
имеет вид
W = - J] ln|el*'-el4 (8.7.1)
Kj<k<n

§ 8.7. Задача Стилтъеса на единичном круге
391
В положении равновесия функция W имеет минимум.
Теорема 8.7.1. Минимальное значение функции W равно —| Inn и
достигается, когда ei9k для к = 1,..., η являются корнями уравнения хп ± 1 = 0.
Доказательство. Перепишем \el9k — elQ>\ в виде
\e^-ewJ\ = 2sin(^=^-) = \{eie* -е^)е~^^'2 для вк > 0;,
Отсюда видно, что в точке максимума выполняется равенство
η-dW- :[п-1 ν_Εϋϋ__Λ 1.-1
Как и в задаче Стилтъеса, определим функцию
η
тогда
Г(е^) = у^ Ι
2/'(е1'^) Zje^-e^'
Таким образом, / удовлетворяет уравнению
ху"-(п-1)/ = 0,
или
/00 = Cxn + D.
Поскольку коэффициент при дг" в функции / равен 1, а корни лежат на
единичной окружности, С = 1 и D = ±l. Тогда имеем
/М = хп±1.
Наименьшее значение функции W равно — « ΙηΔ, где Δ —это дискриминант
многочлена /Qc). Поскольку
Δ =
П/7^) = Ππβί(η~1)θ"
к=1 I U=l
= П",
этот минимум равен —z In п. D
Замечание 8.7.1. Статистическая сумма для такого распределения зарядов задается
формулой
*«W- ok I - S ^^-^= (2^r I ··· Ι Π H-e^|d01...dan.
-π -π -π -π i<j<fc<„
Этот интеграл иногда называется интегралом Дайсона, но это просто частный случай
интеграла Сельберга, что можно увидеть после некоторого преобразования. Его значение
равно Γ(1 + /3Ν/2)/(Γ(1 + /3/2))Ν. Попутно можно использовать последний интеграл,
для того чтобы вычислить дискриминант многочлена хп ± 1. Форрестер и Роджерс [144]
рассмотрели другое распределение зарядов на единичной окружности, которое приводит
к появлению многочленов Якоби (см. упражнение 13).

392
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
§ 8.8. ТОЖДЕСТВА ДЛЯ СВОБОДНОГО ЧЛЕНА
Положим в интеграле Дайсона β = 2fc, где fc — натуральное число. Тогда его
значение равно свободному члену в разложении в ряд Лорана следующего
произведения:
П(1-Ь/. (8.8.1)
Для того чтобы это доказать, положим z;- = eie>, тогда
1*,-*Г = о,,-*) Vf1)* = (i-u)*(i-ip*.
Заметим теперь, что любая степень ζ;·, кроме нулевой, при интегрировании
обращается в нуль. Тогда, воспользовавшись значением интеграла Дайсона,
приведенным в нашем последнем замечании, получим
где С.Ч. обозначает «свободный член». Более общее утверждение, содержащееся
в следующей теореме, было предложено Дайсоном и впервые доказано
независимо Гансоном и Вильсоном. Элегантное доказательство, приведенное ниже,
было получено Гудом [169].
Теорема 8.8.1. Если аг,а2, ...,αη —неотрицательные целые числа, то
СЧ ΓΤΓΐ Xj)aj = (fli + fl2 + " + Qn)!
я, щ rW»
η
Доказательство. Пусть pW = Y[(x — z{). Тогда
ί=1
ΣΡΜ _ Ί
. (χ-*;·)ρ'(*;) '
поскольку левая часть равенства —это многочлен степени не выше п — 1,
который равен 1 в π точках zb i = 1,2,..., п. Перепишем это тождество в следующем
виде:
Положив х = 0, получим
Теперь положим
ΣΠϊΓ^ = 1· (8-8.3)
Fn(a1)a2,...,an) = f[(l-|r

§ 8.9. Тождества для почти уравновешенного ряда 3F2
393
и, умножив равенство (8.8.3) на ¥п{аъ..., αη), придем к рекуррентному
соотношению
η
¥п{аъ ..., ап) = ^Fn(ab ..., α; -1,..., αη).
Очевидно, С.Ч. Fn(al9..., αη) должен удовлетворять такому же соотношению:
η
С.Ч. ¥п{аъ ..., αη) = ]Г С.Ч. Fn(ab..., а;_ь а, -1, а;+1,..., ап).
i=i
Кроме того, С.Ч. Fn(0,0,..., 0) = 1, и если ак = 0, то
С.Ч. Fn{al9..., αη) = С.Ч. F^ia^ ..., а*_ь а*+1,..., αη).
Последнее соотношение верно, поскольку равенство ак = 0 подразумевает, что
в выражении для ^(с^, ...,ап) возникают только неположительные степени zk.
Легко проверить, что выражение (a1 + a2 + ... + an)!/(a1!a2!...an!) удовлетворяет
тем же рекуррентным соотношениям и начальным условиям. Таким образом,
теорема 8.8.1 доказана по индукции. Π
Моррис [272] вывел следующее тождество для постоянного члена из
интеграла Сельберга.
Теорема 8.8.2. Предположим, что p,qu r —неотрицательные целые числа.
Тогда
U4.|ju zt) ^i z) ll^i J 1 l(p + 0-_1)r)!(q + 0-_1)r)!r!·
Доказательство этого тождества остается в качестве упражнения1.
§ 8.9- ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ПОЧТИ УРАВНОВЕШЕННОГО РЯДА 3F2
В гл. 2 и 3 мы представили несколько выводов выражения для суммы Диксона
для хорошо уравновешенных рядов 3F2. Версия этого тождества для
обрывающихся рядов также следует из формулы Сельберга. Более общий результат
Аомото позволяет суммировать несколько почти уравновешенных функций 3F2.
Напомним, что ряд называется почти уравновешенным, если все, кроме одной,
пары верхних и нижних параметров имеют одинаковые суммы.
Для того чтобы увидеть, что формула Сельберга приводит к обрывающейся
сумме Диксона, рассмотрим значение η = 2 и положим в интеграле Сельберга
γ = у, где у — натуральное число. Тогда получим
ι ι
$ SUi^r^ta-*ι)(1 -χ2)]β-1(Χι-*i)2y dxx dx2 =
= S S хГ1*^ "Ί^α -Χ2)β-1*?(ΐ - ^f dxx dx2
о о
ι Здесь не обязательно, чтобы ρ, q, r были целыми неотрицательными; в общем случае надо
каждый множитель (1 — ύ)ν понимать как lim (1 — tu)v. Мы получаем контурный интеграл,
t->i-o
который деформацией контура можно свести к интегралу Сельберга.

394
Глава 8. Интеграл Сельберга и его приложения
Разложив (1—х2/хг)2у с помощью биномиальной теоремы и проинтегрировав
почленно по хг, получим
1 2у
5Σ
О г=0
С V Г(2у + 1) П2у + а-г)Г(/3) +г-1 _ β_,
3^-1Г(г + 1)Г(2у-г + 1) Γ(2γ + α + β-Γ)Χ2 u X*J ax*
=Σ
— Г(2у + 1)Г(2у + а-г)Г(]8)Г(а + г)Г(]8)
Г(2г + 1)Г(2у-г + 1)Г(2у + а + 0-г)Г(а + 0 + г)
r=0
Г(а)(Гф))2Г(а + 2у) /--2y,a,-a-j8-2y + l >v
Г(а + )8)Г(а + )8 + 2у) 3 2V —α—2y + l,a + j8 * V'
Эта формула вместе с выражением для интеграла Сельберга при η=2 приводит
к соотношению
/-2y>a>-a-j3-2y + l Л Г(1 + 2у)Г(а + )8)Г(/3+у)Г(а + /3)
3 2V -a-2y + l,a + /3 * V Г(/3)Г(а + 2у)Г(1+у)Г(а + /3+у)·
Это форма тождества Диксона для обрывающихся рядов, о которой мы
упоминали ранее.
Следующая теорема дает значения некоторых обрывающихся почти
уравновешенных рядов, которые могут быть выведены из формулы Аомото и ее
обобщения. Эта теорема была также получена Брессу [71] в более общем классе
базисных гипергеометрических рядов.
Теорема 8.9.1. Справедливы соотношения
. (-2k,a,-a-fi-2k \ (а + ЩЩРц
;Л1 -α-2Κα + β 'J (.α + β\ί1\ία)Ά'
„ f-2k,a,l-ot-/3-2fc \ (α)„(/3 + 1^(1)^(α + /3)
' 3 2V 1-α-2Κα + β + 1 ' J (а + ШШаЫа + 0 + 2Ь)'
, /•-2fc,a + l>l-a-/8-2fc.-\ (g + l)tQ8)it(l)a(g + /8)
B) 3 2V 1-α-2Κα + β + 1 ' J (α + β)ΙιαΜα)Ά(α + β + 21ίγ
r-2k,a,-a-fi-2k \ (а).ф + 1)„(1)а
;32V l-a-2k,a + fi ' J (a + j8)*a)k(aV
. f-2fc,a-H,l-a-j3-2fc. Λ_ (a + l)t(j8-H)t(l)a(a + j8)2t
*32l l-a-2fc,a + /S + 2 ' J {α + β + 1Μ1Μα)Ά(.α + β + 2)&·
Доказательство. Рассмотрим интеграл
1 = U *Г_1*22_2(1 -*i)ft-1(l-x2)h-1(xi-x2)2kdxr dx2
о о
при неотрицательных целых к, разложим (jcx—x2)2k по биномиальной теореме
и проинтегрируем. В результате получим
Г(а1+2к)Г()81)Г(а2)Г(/32) f-2k,l-al-p\-2k,a2t
1 =
Г(а1 + /51 + 2ЮГ(а2 + /52) 3 Ч \-αλ-2Κα2 + β2 ' У
Из формулы Аомото значение / может быть найдено в следующих случаях:
а) аг = а2 +1 (= а +1), β2 = ft (= β),
б) αχ = α2 (= α), β2 = ft +1 (= β +1),
в) α2 = αχ +1 (= α +1), β1 = β2 (= β),

§ 8.10. Соотношение Хассе—Давенпорта
395
Γ)αι = α2(=α), )31 = )32 + 1(=)3 + 1).
Это дает первые четыре пункта теоремы. Теоремой 8.3.1, которая служит
обобщением формулы Аомото, можно воспользоваться, когда
д) α2 = α1 + 1(=α + ΐ),β2 = β1(=β + ΐ).
Теорема доказана. D
Читатель может разобрать случай
аг = а2 +1 (а +1), βλ = β2 +1 (= β +1), (8.9.1)
воспользовавшись теоремой 8.3.1.
Существуют обобщения теоремы 8.3.1 на случай необрывающихся сумм.
(См., например, упражнение 15). Также возможно суммировать подобные почти
очень хорошо уравновешенные ряды 5F^. Некоторые случаи для
обрывающихся рядов, разобранные опять-таки для базисных гипергеометрических рядов,
рассматриваются в [71].
§ 8.IO. СООТНОШЕНИЕ ХАССЕ—ДАВЕНПОРТА
Конечнополевые аналоги гамма- и бета-интегралов — это суммы Гаусса и Яко-
би соответственно. Стоит изучить также аналог интеграла Сельберга. Идея
вычисления интегралов с помощью изучения их конечнополевых аналогов
принадлежит Андерсону. Эванс [127] предложил формулы, являющиеся аналогами
интегральной формулы Сельберга, а Андерсон [8] привел доказательство одного
из частных случаев. Позднее Эванс [128] использовал идеи Андерсона для
доказательства общего результата. В этом параграфе мы докажем соотношение
Хассе—Давенпорта, которое можно рассматривать как другой конечнополевой
аналог многомерного бета-интеграла Дирихле, использованного Андерсоном
при доказательстве формулы Сельберга. В следующем параграфе мы
представим формулировку и доказательство аналога формулы Сельберга, полученные
Андерсоном. Хотя это утверждения является частным случаем более общего
известного результата, оно содержит идеи, которые помогают объяснить
происхождение понятий, использованных в § 8.3. В этом и следующем параграфах
предполагается наличие у читателя некоторых знаний о конечных полях.
Любое конечное поле — это конечномерное векторное пространство над
полем Z/pZ = Z(p) для некоторого простого р. Таким образом, конечное поле
F содержит q=pm элементов для некоторых целого числа т>0 и простого
р. Обозначим через Fs конечное поле, содержащее qs элементов. Для asFs
обозначим след и норму элемента а из Fs в F так:
TrFs/F(a) = a + aq + aq2 +... + afl"1
и
Νρ§/Ρίά) = α·οΑ...αΓ\
Проверьте, что след и норма принадлежат F и что
NFJF (a + β) = NFJF (a) + NFJF QS)
и
nFs/fw = Nfs/f(cOnFs/fW).

396
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Мы будем опускать FJF в обозначении следа и нормы в тех случаях, когда это
не ведет к противоречиям. Для aeF мы имеем aq = a. Отсюда следует, что
Тг(а) =sa и Ν(ά) = а5, если а рассматривать как элемент поля Fs. Более общим
образом, TrFs/F(a) = J TVF(a)/F(a) и iVFs/F(a) = [iVF(a)/F(a)]s/d, где d = [F(a) : F] -
размерность элемента F(a) над F.
Предположим, что α является корнем неприводимого многочлена со
старшим коэффициентом 1
/(x)=xd-c/4c2xd"2 + ... + (-l)(,cd€FM. (8.10.1)
Лемма 8.10.1. 1. След и норма элемента а из F(a) в F задаются
соотношениями
Тг(а)=сх и N(a)=cd.
2. Если а рассматривается как элемент поля Fs2F(a), то
Тг(а) = ^сх и Nia)=c5Jd.
Доказательство. 1. В этом случае Tr(a) = а + aq +... + aq ~ и N(a) = aaq...
...aq ~\ Поскольку автоморфизм jS -> jSq любого конечного поля, которое
содержит поле F с q элементами, фиксирует F, мы получаем 0=(/(a))q =/(aq). Таким
образом, если a — корень /, то и aq тоже корень. Отсюда следует утверждение 1.
2. Это утверждение следует из утверждения 1 и из рассуждения,
предшествующего лемме 8.10.1. D
Обобщим теперь понятие гауссовой суммы, введенное в гл. 1 для Z(p), на
случай конечного поля. Для удобства записи обозначим Z(p) как Fp. (He путать
с Fs, конечным полем размерности 5 над F.)
Пусть ψ обозначает аддитивный характер на F, определяемый
соотношением
<ψία) = C^/Fp(a), где ζρ = е2"«Р. (8.10.2)
Мультипликативный характер на F — это гомоморфизм χ из F \ {0} в
комплексную плоскость, т. е.
Χ(αβ) = χ{α)χφ). (8.10.3)
По договоренности #(0) = 0. В дальнейшем χ будет обозначать нетривиальный
мультипликативных характер. Определим сумму Гаусса g(#) соотношением
£(*) = Σ*(α)<Κα). (8.10.4)
aeF
Мы будем интересоваться связью между g(#) и
*(*0 = Σ *'WQS), (8.10.5)
где
z' = Z°NPt,P и i// = i/>oTrFs/F. (8.10.6)
Проверим, что #' и г// — это характеры поля Fs некоторого типа. Соотношение
между g{x) и g(x') было получено Давенпортом и Хассе [92]. Мы сформулируем
и докажем его, после того как приведем две леммы.

§ 8.10. Соотношение Хассе—Давенпорта
397
Лемма 8.10.2. Предположим, что asFs является корнем неприводимого
многочлена (8.10.1). Тогда
^,(а)г/;,(а) = [^(с,)г/;(с1)]^,
где χ' и г// определены формулой (8.10.6).
Доказательство. Утверждение следует из цепочки равенств
Z'(aW(a) = *(AKa)WTr(a)) = X(cf >/>(f q)(по лем*=е ""> [*(cd)tKci)]s/d. D
В следующей лемме формулируется хорошо известный в теории конечных
полей результат.
Лемма 8.10.3. Многочлен xqS — х является произведением всех
нормированных (со старшим коэффициентом единица) неприводимых многочленов
степеней, кратных s, в F[x]. (Поле F имеет q элементов.)
Доказательство этой леммы предоставляется читателю.
Важная идея в доказательстве соотношения Хассе—Давенпорта,
представленном здесь, принадлежит А. Вейлю [415]. Доказательство Вейля гораздо проще
первоначального. Мы будем следовать изложению, данному Ирландом и Росе-
ном [200, § 11.4], которое содержит дальнейшие упрощения рассуждений Вейля,
полученные П. Монски.
Соотношение Хассе—Давенпорта сформулировано в следующей теореме.
Теорема 8.10.4. Справедливо равенство — gQfO = (—gCf))s.
Для того чтобы сделать доказательство более доступным, мы разобьем его
на две леммы, за которыми последует завершение доказательства.
Предположим, что / — нормированный многочлен хп — Cjjc"""1 + с2хп"2 +... + (— 1)%, где
q€F. Определим комплекснозначную функцию Я на наборе нормированных
многочленов с коэффициентами из F уравнением Я(/) = х(сп)гр(с1).
Лемма 8.10.5. Функция λ является мультипликативной, т. е. если fug—
нормированные многочлены в F[x], то A(/g) = A(/)A(g).
Доказательство. Предположим, что
/00 = хп - ex*"-1 + с2хп"2 +... + (-1)псп,
а
gW = xm- dlXm~l +... + (-l)mdm.
Тогда
fMgM = хт+п - (сх + аг)хт+п'1 +... + (-Dm+ncndm.
По определению
Atf£) = ;Kc„dmW(ci + di) = ^(cn)^(c1)^(dm)^(d1) = A(/)A(£).
D
Лемма 8.10.6. Справедливо равенство gQfO = SWeg/)(A(/))s/deg^ где сум-
f
мирование проводится по всем нормированным неприводимым многочленам
в F[x], степени которых являются делителями s.

398
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Доказательство. Предположим, что aeFs является корнем
неприводимого многочлена / степени d. Тогда согласно лемме 8.10.2 выполняется равенство
^/(a)'0/(a) = [^(cn)'0(c1)]s/d = A(/)s/d. Отсюда следует, что
2 Z'W'W = (deg /)(A(/))s/deg/,
сопряженные
где суммирование идет по всем элементам, сопряженным с а. Поэтому каждый
элемент поля Fs является корнем нормированного неприводимого многочлена,
степень которого является делителем 5 и наоборот, каждый корень такого
многочлена является элементом Fs (в действительности эти многочлены
являются единственными неприводимыми делителями многочлена xq$ — χ). Лемма
доказана. D
Доказательство теоремы 8.10.4. Рассмотрим I-функцию, задаваемую
формальным степенным рядом L(A,t)= £ A(/)tdeg^, где суммирова-
/ нормированы
ние идет по всем нормированным неприводимым многочленам в F[x]. Легко
проверить следующее тождество:
L(A,t)= J] A(/)tdeg/= Π U-Wt^'r1,
/ нормированы / неприводимы
где произведение берется по всем нормированным неприводимым
многочленам. Здесь подразумевается, что А(1) = 1. Перепишем L-функцию в виде
n=0Meg/=n J
4eg/=
Коэффициент при t равен
J] ЯСх - а) = J] X WW = Six),
aeF aeF
a коэффициент при tn при п > 1 равен
Σ X^№cl) = qn~2YiX<icn)YixP<icl)=0.
cltcn<=F cneF Cl€F
Множитель qn~2 возникает потому, что для заданной пары Ci,cneF есть qn~2
способов выбрать другие коэффициенты многочлена. Мы показали, что
L(A, t) = l + g{x)t = Π (Ι - A(/)tdeg/rX.
/ неприводимы
Возьмем логарифмическую производную и умножим уравнение на t. Тогда
получим
tg(x) у^ A(/)(deg/)tde^
l + g(*)t Zj l-A(/)tde*' '
/ неприводимы
00 00 /· Ν
Σ(-1)'_1(«0τ))ν = 5]ί Σ (deg/)(A(/))s/deg/)ts·
s=l s=l ν неприводимы '
Приравняв коэффициенты при ts в обеих частях равенства и воспользовавшись
леммой 8.10.6, получим утверждение теоремы. D
или

§ 8.11 Аналог интеграла Селъберга для конечного поля
399
Замечание 8.10.1. В упражнении 50 гл. 1 мы ввели L-функцию Дирихле
Пи-яСрЭр-Т1·
Простые идеалы кольца целых чисел ρ являются идеалами, порожденными простыми
числами р. Число элементов поля Ζ(ρ) равно р. Для кольца многочленов F[x] простые
идеалы порождаются неприводимыми многочленами. Если F имеет q элементов, то
фактор-кольцо FM/(/(*)), где многочлен / неприводимый, имеет qaegf элементов.
Таким образом, если t = q"s, то функция
/ неприводимы / неприводимы
называется L-функцией. Отметим, что λ мультипликативна на F[x], так же как функция χ
мультипликативна на Ζ.
§ 8.II. АНАЛОГ ИНТЕГРАЛА СЕЛЬБЕРГА ДЛЯ КОНЕЧНОГО ПОЛЯ
Мы начнем с напоминания определения и некоторых элементарных свойств
результанта двух многочленов. Предположим, что К — поле, и пусть
Дх) = а0хп + αχ*"-1 +... + απ,
gW = b0xm + b1xm-1 + ... + bm
—два многочлена в К[х].
Результантом многочленов / и g по определению называется следующий
определитель (rn + ri) х(т + ή) -матрицы
*(/,*) =
αο
b0
αϊ
α0
bi
bo
αϊ
bi
a„
a0
bm
bo
a„ ·
aj .
bm ·
bi ·
.. fl„
.. \*n
K,
·· ^m
(8.11.1)
Можно показать (упражнение для читателя), что результант обращается в нуль
тогда и только тогда, когда / и g имеют общий, не равный константе множитель,
или старшие коэффициенты многочленов / и g равны нулю.
Предположим, что / и g раскладываются на множители следующим
образом:
/ = α0(χ-χι)(χ-χ2)···(*-*η)>
^ = Ь0(х-ух)(х-у2)...(х-ут).
Тогда
Rif, g) = <Ь0П f] f](*i" УО = < Π ^(JC··) = (-1)тПЬ2 П /(Ур· (8·11·2)
Отсюда следует, что
R(J,gh) = R(J,g)R(J,h).
(8.1L3)

400
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Из определения также ясно, что если g или /—константа, то
Я(Л Ь0) = bS> R(ao> g) = С (8-11-4)
Пусть теперь F — поле с q = pn элементами, где ρ — нечетное простое число.
Пусть χ и ψ — мультипликативный и аддитивный характеры, определенные
в предыдущем параграфе. Для всех натуральных чисел α определим сумму
Гаусса
g(Xa) = *(α) = J] №))Ч 00- (8.П.5)
xeF
Обобщим определение на все целые числа а с помощью условия
g(a + q-l) = g(a) (8.11.6)
и пусть g*(a) = q/g(-a).
Для всех натуральных чисел α, β, γ, η сумма Сельберга определена формулой
Sn(a, /9, Г) = Σ ^((-1)ηασ(0))ασ(1))^Δ];)δ(Δ/), (8.11.7)
/
где суммирование производится по всем нормированным многочленам /
степени η в F[x], Af —дискриминант многочлена / и δ = ^(ч-D/2.
Для того, чтобы вычислить сумму в формуле (8.11.7), нам потребуются
свойства L-функции, введенной следующим образом. Для нормированного
многочлена VeF[x] положим
ΐα,ν):=Σ^(Λ(ν,νν))^^,
w
где W пробегает множество всех нормированных многочленов в F[x]. Пусть G —
произведение всех различных неприводимых многочленов, которые являются
делителями многочлена V, Обозначим кратность нормированного
неприводимого многочлена / как множителя в V за ordf V, Будем говорить, что многочлен
V элементарный, если для любого множителя / в V число (q — 1) не является
делителем ordf V,
Следующая лемма при вычислении суммы Сельберга играет роль,
подобную роли леммы 8.4.3, являющейся следствием формулы для бета-интеграла
Дирихле, в вычислении интеграла Сельберга. В доказательстве этой леммы
используется соотношение Хассе—Давенпорта (доказанное в предыдущем
параграфе).
Лемма 8.11.1. Предположим, что многочлен V элементарен и имеет
положительную степень. Тогда
degI(t,V)<degG-l
и коэффициент е(У) в tdegG""1 равен
е(У) = 5(AG)*(R(V, G,))g*(deg(V))-1 [~[s*(ord/ v^f^
f\G
Доказательство. Из формулы (8.11.2) следует, что R(V, W) зависит только
от величины W (mod G). Предположим, что т —целое число, не большее degG.
Для заданного многочлена S степени не больше degG —1 существует ς™-*1^

§ 8.11 Аналог интеграла Селъберга для конечного поля
401
таких многочленов Q степени degm — degG, что GQ + S имеет степень degm.
Запишем
«*>ιο = Σ( Σ jcrcv.whV1.
m=0MegW=m '
4legt
Поскольку V — элементарный многочлен, χ (R(V, S)) φ 1 для некоторого
многочлена S, и, следовательно,
Σ X Шу> И0) = qm_degG Σ * (R(V>S)) = °·
degW=m S
Таким образом, L(t,V) —это многочлен степени не больше degG —1.
Для того чтобы найти e(V), рассмотрим двойную сумму
" = Σ Σ ^(- Res°° Ψ ах)хШу> W),
где суммирование по W охватывает нормированные многочлены степени
deg G — 1, а суммирование по U — многочлены степени deg G, Res» обозначает
вычет в бесконечности. Если U — константа, скажем а € F, то
— ReSoo -g- αχ = коэффициенту при 1/x в , 2 = α·
(Множитель 1/jc2 возникает из-за того, что преобразование х -> 1/х переводит
dx в —dx/x2.) Согласно формуле (8.11.4) имеем
*(R(V,a)) = (*(a))de*v.
Если многочлен 1Г не равен константе, то, как следует из рассуждений, подобных
представленным выше, сумма по всем W обращается в 0. Таким образом,
μ = qdegG-l ^^a)(j(fl))degV = qdegG-lg(_deg(V)). (8.11.8)
asF
Для того чтобы вычислить μ другим способом, воспользуемся следующим
фактом: сумма вычетов функции UW/G в конечных точках плюс вычет в
бесконечности равна нулю. Поскольку полюса в конечных точках являются нулями
многочлена G, получаем, что
Resr7/
Здесь r)f обозначает корень функции G, возникающий из-за неприводимого
множителя /. Вычет в точке rjy равен t/0?/)W07/)/G'07/), где G' обозначает
формальную производную G. Сумма вычетов во всех корнях многочлена / равна
У G'(tj,) У
Воспользовавшись этой формулой, перепишем μ в следующем виде:
17 W /|G 7

402
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Здесь N обозначает норму; мы воспользовались формулой (8.11.2) для того,
чтобы получить выражение, содержащее N. Для того, чтобы упростить μ,
заметим, что если R(V, W) Φ 0, то
Очевидно, что, поскольку многочлен V элементарен, сумма по U в μ обращается
в нуль, когда R(V, W) = 0. Таким образом, члены в сумме по W, для которых
выполняется равенство R(V, W) = 0, можно опустить. Это наблюдение вместе
с формулами (8.11.9), (8.11.2) и (8.11.3) приводит к тому, что
--Σ*(|&3?)Π«/ί-*/ν>· <№»
W /|С
В приведенном выше выражении суммирование в сумме Гаусса gf идет по
полю F(rjyr), где [F(rjyr) :F] — степень многочлена /. Согласно соотношению
Хассе—Давенпорта мы получаем
g/C-ord/ V) = (-D^^igi-ord, V))***f.
Заметим теперь, что произведение Y\(— l)degg-1 равно знаку перестановки
f\G
корней многочлена G, осуществляемой автоморфизмом q-й степени
алгебраического замыкания поля F. Поскольку q нечетное, эта величина равна 5(AG).
Таким образом,
μ = *(ν)δ(Δσ)* (R(V, GO) ["[g(-ord/ V)deg/. (8.11.11)
Сравнивая два выражения для μ, (8.11.11) и (8.11.8), получаем требуемое
утверждение. Лемма доказана. Π
Теорема 8.11.2. Предположим, что числа α, α + γ, ..., α + (η — 1)γ; β, β + γ,
..., β + (η — 1)γ; γ, 2γ, ..., ηγ не делятся на q — 1. Тогда сумму Селъберга можно
переписать в следующем виде:
ς (π β ,λ = Π 2*(a+Jr№W+J'r)s*(0' + Dr)
nl,P,iJ Π g*(a + j8 + (n-l + ;)r)g*(r) '
Доказательство. Доказательство проведем по индукции. Достаточно
доказать, что
s»(a>β' г> = t^f^iwtw ■Vl(a+r' *+r'r)· (81L12)
Для этого рассмотрим двойную сумму
S = Σ Σ ^((Q(0))a(Q(l))^(R(P, Q))O,
P Q

Упражнения
403
где суммирование по Ρ происходит по нормированным многочленам степени
п — 1, а суммирование по Q происходит по нормированным многочленам
степени п. Заметим вначале, что
^((Q(0))a(Q(l))^(R(P,Q))O =
= ^((Q(0))a(Q(D)^(Qr,P)) = χ{Κ{χα{\-χ)βΡ\ Q)).
Таким образом в лемме 8.11.1, можем положить V = Qr или У = дса(дс — 1)^РГ,
поскольку, согласно условию теоремы, многочлен V элементарен. Из леммы
следует также, что сумма по Ρ (соответственно по Q) равна нулю, если
многочлен Q (соответственно Р) свободен от квадратов. Следовательно, суммируя по
Ρ со свободными от квадратов многочленами Q, согласно лемме 8.11.1 получаем
S = 2^((Q(0))a(Q(l))^)5(AQ)^((R(Q,QO)O^^.
Q
Это утверждение следует из того, что если Q = QX...QS —разложение на
неприводимые многочлены, то deg V = deg Qr = ηγ и ordQi ν = γ. Тогда согласно
соотношению (8.11.2) мы имеем
S = a(-D)na+n(n-1)r/2Sn(a, )8, r)Cg*(r))7g*(nr)· (81113)
Аналогично суммирование по Q со свободными от квадратов многочленами Ρ
и V = xa(x — 1)0рг приводит к соотношению
«- S««w*>xiRWcr-1*·,». £,0.-1»» ■ У°'^!Г))·"'
Положим
р „ . . . i)r) ·
Г = ^jc(jc - 1)Р = (х - 1)Р + хР + х{х - 1)Р'
и заметим, что
X(.R(xa(x- 1)βΡΥ, Γ)) = *((ПО))а(Г(1))0(К(Р, Т)У) =
= ^((-1)а(Р(0))а(Р(1))^(К(Р, *(*- 1)Р'))Г)
и
R(P,x(l-x)P') = R(P, x)R(P,Jt-l)R(P,P') = P(0)P(1)R(P,P0.
Эти соотношения и тот факт, что δ(Δχ(χ_1)Ρ) = δ(ΔΡ), приводят к равенству
S = (у (-В)™^"-1»^ ία + γ,β + γ, γ) ffgffiffi^' · (8-11.14)
Сравнение формул (8.11.13) и (8.11.14) показывает, что равенство (8.11.12) верно,
и теорема доказана. D
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что если функция / непрерывна на отрезке [0,1], то
ι
lim a\ta-1f(t)dt = f(0).
η—»+0 Ч

404
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
Случай, когда / дифференцируема, легче и может быть изучен с помощью
интегрирования по частям.
2. Предположим, что / — это комплексная измеримая функция на пространстве X
с положительной конечной мерой μ и что Ц/IU >0. Докажите, что если ||/||р < оо
для некоторого 0 < ρ < оо, то
ИД, -11/11. при ρ ^оо.
3. Разберите детали доказательств следствий 8.2.2 и 8.2.3, т. е. докажите формулы
О 0 i=i i=i Ki<j<n j=l j=l '
И
ξ...ξβχρ(4Σ*.2) Π ix,-x^dr-(2«^n^.
-°° -°° ^ i=l ' Ki<j<n j=l '
4. Обозначив первый интеграл из упражнения 3 за Gn(k;a, γ) и воспользовавшись
методом, примененным при доказательстве формулы Аомото, покажите, что
Gn(k; α, γ) = [α+ (η-Κ)γ]βη&-1; α, γ).
Получите выражение для Gn(k; α, γ), воспользовавшись этим рекуррентным
соотношением.
5. В этом упражнении рассматривается доказательство альтернативной формулы Сель-
берга для бета-интеграла (теорема 8.3.3). Положим R+ = [0, оо) и
RjM=l У Ki<j<n i=l
а) Покажите, что A^+fc+na+(n-1)nir-1e-AG(A) = G(l)^"1e-A.
б) Проинтегрируйте соотношение из п. а) по λ на луче [0, оо) и покажите, что
(Π**) Π bi-XjF η Γ09) Π(α +(η-j)r) η , , .ΛΛ#. 1Λ
С Μ=ι J\<i<i<n Γ] χα-ι dx = ___tl r4r(a + (n-j)r)r0r + l)
CR+)" Γ V f+k+na+nin~l)Y \=l l r(j8 + fc + na + (n-l)nr)l_l Пг+1)
в) Сделав замену переменных
покажите, что
|Э(*1
Э(У1
и получите формулу Сельберга.
6. Докажите лемму 8.3.2.
7. Проверьте уравнения (8.3.6) и (8.3.7) в доказательстве теоремы 8.3.1.
8. Докажите теоремы 8.5.4 и 8.5.5.
Следующие пять задач сходны с задачей Стилтьеса о максимуме и имеют
аналогичные решения.
9. Пусть в фиксированной точке х = 0 расположена положительная масса р, а
единичные массы расположены в переменных точках хг,х2,...,хп на луче [0, оо) и при
этом
*!+...+*„ < ПК,

Упражнения
405
где К — заданное положительное число. Покажите, что максимум функции
η
U{xu...,xJ = Ylx> Π \х,-х,\
j=\ Ki<j<n
достигается тогда и только тогда, когда {х(} являются нулями многочлена Лагерра
1<а)(сх), где а = 2р -1 и с = (п + а)/К.
10. Пусть на прямой (—оо, оо) в переменных точках хъ..., хп, удовлетворяющих условию
*? + ··· + ** <nL
ддя заданного положительного числа L, находятся единичные заряды. Покажите, что
максимум функции
V(xlf...,Xn) = [~] \Xi-Xj\
Ki<j<n
достигается тогда и только тогда, когда {jc£> являются нулями многочленов Эрмита
Нп(Сх\ С=л/(п-1)/(2«.
11. Предположим, что η единичных масс, п>2, расположены в точках xlfx2f...,xn
на отрезке [—1,1]. Найдите такое положение этих точек, при котором функция
Y\ \xt —Xj\ достигает максимума.
Ki</<n
12. Предположим, что η единичных масс находятся в точках хг, ...,jcn на луче [0, оо),
удовлетворяющих условию
*1+*2 + — +Хп ^ПК,
где К — заданное целое число. Найдите положение этих точек, при котором функция
Y\ \xt —Xj\ достигает максимума.
Ki<j<n *
13. Предположим, что по единичному кругу распределены электрические заряды. В
точке 0=0 зафиксируем заряд +q, а в точке 0 = π зафиксируем заряд +р. Поместим
2Ν свободных зарядов в точки θΐ9..., Θ2Ν так, что
0 < Θ; < π, j = 1, ...Ν, и π < 0j < 2π, j = Ν +1,..., 2Ν.
Покажите, что потенциал
2Ν 2Ν
T = -q^]ln|l-e^|-p5]ln|l + ei0M- Σ 1п1е^-^1
fc=l к=1 Kk<j<2N
достигает минимума, когда 0f являются нулями многочлена Якоби ρ^_1/2,ρ-ι/2) ^cos q^
Ο<0<2π (См. [144]).
14. Докажите, что при необходимых ддя сходимости условиях на параметры
выполняются равенства
l^lYlxJ-Hi+XiT"-'-2**1-» Π l^-^)l2r^i...^n =
0 0 j=\ Ki<j<n
= гЧг(а + 0-1)г)Г(^ + а-1)г)Г(1 + ;г)
11 r(a + j8 + (n+j-2)r)r(l + r)

406
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
У I ... I flia + ixjr'ib-ixjr* Π K*i-*^2r<**!...<**„ =
1 гт r(a + j8-(n + j-2)r-l)r(l+jr)
(2π)
_oo -oo ;=1 Ki<j<f|
Π
(α + Μ^+^-Τ"^-"" i=J Г(а-0-1)г)ПР-0'-1)г)Г(1 + г)"
Для доказательства второго равенства возьмите за отправную точку бета-интеграл
Коши.
15. Покажите, что
Г а-1,Ь,с \_ (а-1)Г(а + 1-Ь)Г(а + 2-с)Г(а/2 + 1)Г(а/2 + 2-Ь-с)
3 2L + l-b,a + l-c' J ~ (Ь-1)(с-1)Г(а/2 + 1-Ь)Г(а/2 + 1-с)Г(а + 1)Г(а + 1-Ь-с)
Г(а + 1-Ь)Г(а + 1-с)Г(а/2 + 1/2)Г(а/2 + 3/2-Ь-с)
(Ь-1)(с-1)Г(а/2 + 1/2-Ь)Г(а/2 + 1/2-с)Г(а)Г(а + 1-Ь-с)"
Отметим, что если а = 2п, то второе слагаемое обращается в нуль, а первое можно
вычислить, положив а = — 2п — ε и перейдя к пределу при ε -> 0. Если α = —2п — 1,
то первое слагаемое обращается в нуль, а второе можно вычислить с помощью
аналогичного предельного перехода.
16. Вычислите интеграл из замечания 8.7.1, т. е.
оИ~$ п \^-^\^..мп.
-π -π Ki</<n
Одним из возможных способов является переход к переменным Xi = tg(^/2) во
втором интеграле в упражнении 14.
17. Докажите тождество Морриса для постоянного члена, содержащееся в теореме 8.8.2.
18. Восстановите пропущенные шаги в доказательстве теоремы 8.6.5.
19. Докажите неравенство об арифметическом и геометрическом средних следующим
образом. Пусть хг < х2 < х3 ^ — ^ хп· Покажите, что для s = (хг +... + хп)/п
выполняется неравенство s{xi +xn —s)> x^. По предположению индукции утверждение верно
для η — 1 чисел х2,..., хп-г, хг + хп — s. Докажите теперь требуемое утверждение.
20. Детально рассмотрите доказательство теоремы 8.9.1. В частности, проработайте
случай (8.9.1).
21. Рассмотрите функцию
Sn(a,j8,r;u)= $ |F(0)r-1|F(l)|^1|AFr-2F(a)dF0dF1...dFn_1,
где и — параметр.
а) Покажите, что
η
» ,7/,nia-l/2rr л Σ«*Π("-?«)
s Ffto π wor« dF^dF^=π lz(Cf: :(αί) · *ч*—·
vo -/ о
(Это следует из леммы 8.4.3.)
б) Пусть
/η(α,β,Г; и) = $ IGCODI^IGCDI^IRCF,ΟΓ^(α) dF0...dFn_2dG0...dG^v
Покажите, что

Упражнения
407
в) Докажите теперь по индукции, что
5д«,Аг;и>=5.<«,Ц£<-«1;К"П<^еть}·
^m=0 i=0 '
Для того чтобы доказать это утверждение, обозначьте сумму в скобках через
Γη(α, j8, γ; ύ) и покажите, что
Тп(а,]8,г;а) = пТп_1(а + г^ + Г,Г;").
г) Используя в) покажите, что введение множителя
x1x2...xm(l-xm+1)..Xl-xm+l), т + Кп,
внутрь интеграла Сельберга приводит к умножению его значения на
/ m+j-l
Y(-iy(l) Π a+(n~1~0r .
Z-Λ J \j) 1 1 α + β + (2η-2-ι)γ
j=0 J i=0 r '
д) Используя тождество Чу—Вандермонда, просуммируйте выражения в п. г).
Следующие задачи о конечных полях используют обозначения и определения,
данные в § 8.10.
22. Для a € Fs покажите, что
a)TrFs/F(a)€F, NFs/F(a)€F;
б) TrFs/F отображает Fs в F;
в) существует такой элемент β eF, что я/Ч/З) Φ1;
г) Σ<Κ0)=ο.
/3€F
23. Определим ga(^) = Σ Я(t)xj)(at). Покажите, что
t<=F
a)lga(*)l=41/2;
б) если χ /id, то gaQr)gaQ: a) = *(-l)q.
24. а) Докажите лемму 8.10.3.
б) Положим в п. а) F = Z/pZ = Z(p). Пусть Nd обозначает число нормированных
неприводимых многочленов степени d в F[x]. Воспользовавшись п. а) покажите,
что
d\s
в) Докажите, что
d\s
25. Докажите, что
00 00
—— = /Jqntn = /J (число нормированных многочленов степени n)tn =
4 n=0 n=0
/ неприводимы d=l
где Nd обозначает то же самое, что и в предыдущей задаче. Затем получите результат
упражнения 24 б).
26. Проверьте формулы (8.11.4).
27. Докажите, что результант R(/, g) = 0 тогда и только тогда, когда / и g имеют общий
множитель, не равный константе, или старшие коэффициенты в / и g равны 0.

408
Глава 8. Интеграл Селъберга и его приложения
(Отметим, что / и g имеют общий множитель тогда и только тогда, когда существуют
такие многочлены fx и gl9 что deg fx < deg / — 1, deg gx < degg — 1 и fgx = /ag.)
28. Докажите, что если / = а0(х-хг)...(х-хп) и g = b0(y-y1)...(y-ym), то
*(/,g)=α?4 ΠΠ^-^=αο Π^'ϊ=(-1)mnbs Пда-

ГЛАВА 9
Сферические гармоники
Цель этой главы —ввести основные функции, которые необходимы в
анализе Фурье в высших размерностях. Функцию cos π θ можно интерпретировать,
например, как ограничение на единичную окружность однородного
многочлена [(х + (у)п + (х — iy)n]/2, который является решением двумерного уравнения
Лапласа. Сферические гармоники — это ограничения на сферу х\ + ... + jc^ = 1
однородных многочленов, являющихся решениями п-мерного уравнения
Лапласа. Эти функции связаны с ультрасферическими многочленами, изучавшимися
в гл. 6.
Важный результат этой главы — теорема сложения для ультрасферических
многочленов, которая обобщает формулу сложения для косинуса. При
доказательстве этого результата полезную роль играет теорема Функа—Гекке об
интеграле произведения непрерывной функции и сферической гармоники. Наш
подход во многом следует книге [273]. С помощью формулы Функа—Гекке мы
получим также преобразование Фурье функции на R", являющейся
произведением радиальной функции и сферической гармоники.
В последних шести параграфах этой главы показано, как в пространствах
сферических гармоник реализуются неприводимые представления группы
SU(2), состоящей из всех 2 χ 2-матриц вида
(И)
с определителем 1. Теория представлений создает очень эффективный подход
к изучению специальных функций. К сожалению, здесь для него не хватает
места. Читатель может обратиться к книгам [441] * и [266]. Здесь мы покажем
лишь, каким образом появляются многочлены Якоби в представлениях группы
SU(2), а также докажем теорему сложения.
§ 9-1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Решения уравнения Лапласа
Σ§ = « (9.U,
называются гармоническими функциями. Нас интересуют главным образом
полиномиальные решения. А так как любой многочлен от переменных хъ х2,..., хп
является суммой конечного числа однородных многочленов различных
степеней, мы на них и сосредоточимся.
Определение 9.1.1. Многочлен Нт{х), однородный степени т и
удовлетворяющий уравнению (9.1.1), называется гармоническим многочленом.
ι См. также [402, т. 1].

410
Глава 9. Сферические гармоники
Интерес к таким многочленам происходит от того, что с их помощью
можно находить гармонические функции с заданными граничными
значениями. В частности, может потребоваться найти такие функции в единичном
η
шаре 5]дг?<1. Чтобы мотивировать изучение таких многочленов и функций,
i=l
рассмотрим случай π = 2. В этой ситуации мы обычно пишем u = u(jc,y), где χ
и у — вещественные числа. Ясно, что для отыскания гармонических функций
можно перейти к переменной z = x + iy. Так как
d2(x + iy)n , _, . .„.о
оХ
и
ду2 =-n(n-l)(x + iy)n 2,
мы знаем, что zn = Gc + fy)n — гармонический многочлен. Аналогично
гармоническим многочленом является nzn = (x — iy)n. При отыскании гармонических
функций с данным граничным значением на окружности х2+у2 = 1 с помощью
многочленов Qc + iy)" и (х — iy)n возникают технические сложности, поскольку
трудно определить некоторые важные свойства этих многочленов, если они
заданы в терминах {x + iy)n и (х — iy)n. Проблема разрешается применением
полярных координат.
Положим χ = г cos 0 и у = г sin 0, так что ζ = ге'е и zn = rneinQ, Тогда
unQc,y) = rncos n0 = [x + iy)n + Qc-iy)n]/2
и
i/„(x,y) = rnsin ηθ = [x + iy)n-(x-iy)n]/(2Q
— гармонические многочлены степени п. С помощью интеграла Пуассона
ι 2π ι 2
кг,е) = ^^(У)1_2гсо1-г_ф)+г^У
получаем гармоническую функцию u(jc, у) = ν (г, 0), для которой lim ν (г, 0) =
г->1—0
= /(0), 0<θ<2π.
Заметим, что ядро Пуассона равно
00 00
-——Ц^—г—r = l + 2Vrncosn0 = l + 2yun(x,y).
l-2rcos(0-u>) + r2 *-J ilJ n iJ
n=l n=l
Таким образом, ядро в предыдущем интеграле является бесконечной суммой
гармонических многочленов.
Многочлены ип(х,у) и vn(x,y) можно также представить в виде
» -п Ln/2j
fc четное j=0
r-fi
Ч.СХ.У) = Ι Σ(-1>;(2,Π+ΐ>η_2'"1^+1·

§9.2. Трехмерное уравнение Лапласа
411
На окружности х2+у2 = 1 эти многочлены проще представить как cos ηθ и sin ηθ
соответственно. Заметим, что при каждом натуральном η существует два
независимых гармонических многочлена степени п, а при п = 0 лишь один. Это
отражается в коэффициентах разложения ядра Пуассона.
§ 9-2. ТРЕХМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
Мы видели, что при рассмотрении гармонических многочленов на единичной
окружности удобно пользоваться полярными координатами. Их можно было
применить с самого начала, записав уравнение Лапласа в виде
^£ + 1^ + 1^-0 Г92Г)
dr2+r2d02 + rar~a ν·ΖΛ)
Множество решений вида U(r, 0) = Я(г)Г(0) можно получить разделением
переменных. Мы имеем
r2R"T + rR'T + RT" = 0,
или
r2R" + rR! Τ" _
R Τ С'
где с — константа. Отсюда следует, что
r2R" + rR'-cR = 0,
т.е. мы получили уравнение Эйлера с решением вида R = rx. Показатель А
удовлетворяет условию
А(А-1) + А-с = 0,
или
X = ±yfc.
В случае полиномиального решения А должно быть неотрицательным целым
числом, а с —квадратом целого числа п. Тогда Τ удовлетворяет уравнению
Т" + п2Т = 0.
Оно имеет два независимых решения cosn0 и sinn0.
Вышеизложенное переносится и на трехмерный случай. В сферических
координатах уравнение Лапласа записывается в виде
дг V дг)+ sin θ дв VSin Ό дв J + sin2 β 3φ2 U'
где 0 < 0 < π, О < ψ < 2π. Разделяя переменные: U(r, φ, 0) =R(r)F(</?)7(0),
получаем
(г2Д')' , 1 (sinGr')' , l F"
R sin0 T sin20 i7
Отсюда следует, что
Гг2Д'У
= с
(r2R'y
R
и
1 (sin 0ГУ , 1 F"
+ —Т-Г ТГ = "С
sin0 Т sin20 F

412
Глава 9. Сферические гармоники
Можно переписать первое уравнение в виде
r2R" + 2rR'-cR = 0.
Снова из равенства R=rx получаем условие А (А—1) + 2А—с=0 и А(А +1)—с=0.
При с = п(п + 1) получаем решения А = п и А = — п — 1. Чтобы получить
полиномиальные решения, нужно взять А равным целому неотрицательному числу п.
Тогда
sin θ Wn ery + n(n +1) sin2 θ + ^ = 0.
Отсюда F" — dF = 0 для некоторой константы d, которую можно записать в виде
d = —m2. Тогда Τ удовлетворяет уравнению
■4^^isine§)-h{n(n + l)-^-}r = 0.
sin θ άθ ν d0 У I ' sin2 ^ J
Положив jc = cos 0, Г(0) = y(jc), приводим это уравнение к виду
Это дифференциальное уравнение упоминалось в гл. 3 как уравнение
второго порядка, имеющее регулярные особенности в точках —1,1 и оо и не имеющее
никаких других особенностей. В обозначениях Римана множество его решений
имеет вид
Г -1 со 1 >
pi т/2 п + 1 те/2 xl. (3.9.5)
[-те/2 -п -те/2 J
Отметим, что с точками 1 и —1 связаны одни и те же показатели. Из
рассуждений проводившихся в гл. 2, и особенно из уравнения (2.3.6) следует, что это
множество решений можно также записать в виде
(1-х2)т/2р\ ° п + т + 1 0 jc J. = (1-^.2^/2^
оо 1 Л
п + те + 1 0 jcl = (i-
те — η —те I
По теореме 2.3.1, функция υ удовлетворяет уравнению
(l-jc2)<y//-2(l + m)xy/+(n-m)(n + m + l)<y = 0.
При целом неотрицательном значении п — т это уравнение имеет
полиномиальные решения. В действительности таким решением является ультра-
т+-
сферический многочлен Сп_^(х). Читатель может это проверить, сравнив это
уравнение с дифференциальным уравнением для многочленов Якоби из гл. 6.
См. упражнение 25 гл. 6.
Мы показали, что уравнению Лапласа удовлетворяют функции
rn(l - x2)m/2C+j (χ) cos τηψ
и
rn(l - x2)m/2C™_+j M sin τηψ,
где χ = cos θ и 0 < m < п. Это 2п +1 независимых решений. Мы увидим, что
они порождают пространство гармонических многочленов степени η в
размерности 3. Отметим, что лишь одно решение, а именно rnC„ (jc), не зависит
от ψ.

§ 9.3. Размерность пространства гармонических многочленов степени к 413
§ 9-3- РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
СТЕПЕНИ fc
Пусть Vk обозначает векторное пространство однородных многочленов степени
fc от π переменных. Каждый многочлен ρ е Vk имеет вид
Ρ Μ = Σ саха,
\а\=к
где α = (αχ,α2, ...,<*п)> а\> а2> ···> ап ~~ неотрицательные целые числа, х =
η
= (хх,х2,..., хп), ca = cau0L2^ani xa = x"1 ...х"п и |α| = Σ щ. Размерность простран-
i=l
η
ства Vk равна количеству наборов (ах, а2,..., ап), где ][] af = fc. Представим набор
i=l
(ах, α2,..., αη) последовательностью fc точек и п — 1 вертикальных черточек, как
в следующем примере:
До первой черты стоит ах точек, между первой и второй — а2 точек и т. д. Ясно,
что такие последовательности взаимно однозначно соответствуют наборам η
элементов описанного вида. Точек и черточек в совокупности n + fc — 1, поэтому
количество их различных расположений равно числу сочетаний
Этот факт виден и из того, что dkn равно коэффициенту при хк в разложении
функции (1— jc)"" = (1— jc)_1...(1—χ)-1, поскольку этот коэффициент совпадает
с количеством неотрицательных решений уравнения 5]α,· = &. En*e °ДН0
доказательство для частного случая содержится в работе [17]. Очевидно, что не все
однородные многочлены являются гармоническими. Например, в случае двух
переменных пространство гармонических многочленов степени fc > 0 двумерно,
но dfc2 = fc + l.
Чтобы найти количество независимых гармонических многочленов степени
fc от π переменных, рассмотрим однородный многочлен
к
РМ = Σ*^_/(*ι> ->*η-ι)>
где Ак_}■ — однородный многочлен степени fc — ; от хъ..., jcn_x. Применив к р{х)
оператор
п-1 2 2
получаем
к к-2
АР (*) = Σ J0' - 1)χί'%-;·(Χι,..., x„-i) + J] ^Δη_χΛΜ(χχ,..., xn_x).
j=2 j=0
Если ρ Μ — гармонический многочлен, должно выполняться равенство
Δη-iAh-j = "О + 2)0 + 1)АМ_2, j = 0,1,..., fc - 2.

414
Глава 9. Сферические гармоники
Значит, если заданы Ак и Ак_ъ то определены и остальные многочлены А{.
Следовательно, количество линейно независимых гармонических многочленов
степени к от η переменных равно
„ -л ,л _fk + n-1>\_L/rk + n-3>\_roi._L~ ОЛ№ + п-3)1
сМ-4,п-1+4-1,п-1-[ к J + [ к_г J-(2fc + n-2)fc!(n_2)| .
Заметим, что cfc2 = 2 при fc>0 и с^3 = 2к + 1, что подтверждает результаты,
приведенные в конце первых двух параграфов1.
§ 9-4- ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
Гармонические многочлены различных степеней от двух переменных
ортогональны при интегрировании по единичной окружности; в трехмерном случае
то же верно для единичной сферы. Это становится ясным, если рассмотреть
многочлены из предыдущих параграфов, составляющие базис пространства
гармонических многочленов в двумерном и трехмерном случае. Этот результат
сохраняется и в высших размерностях. Прежде чем доказывать это обобщение,
заметим, что в п-мерном случае полярные координаты (г, 0Х,..., 0η_2, φ) можно
задать уравнениями
хг = г cos θι, х2 = г sin вг cos θ2, Хз = r sin 0Х sin θ2 cos θ3, ...,
(9.4.1)
χη-ι = r sin θι ··· sin #η-2 cos V» *η = r sin θι ··· sin #n-2 sin V»
где 0< θ{ < π и2 0 < ψ <2π.
Пусть НкМ и Н; Qc) — однородные гармонические многочлены от η
переменных степеней ки j соответственно, причем )фк. По теореме Грина
0= $ [HjMAHkM-HkMAHjW]dV =
= ξ [Η;(ξ)|:Η,(Γξ)|Γ=ι-Η,(ξ)|:ΗΓ(Γξ)|Γ=ι]ίίω(ξ), (9.4.2)
где ξ = χ/|χ|, |jc| = r, a d ω (ξ) —инвариантная мера на поверхности сферы. Мы
воспользовались тем, что нормальная производная на сфере направлена по
радиусу. Из однородности многочленов Нк(х) следует, что
Подставив это выражение в формулу (9.4.2), получаем
(fc-j) $ Η;.(ξ)Η*(ξ)*ω(ξ) = 0. (9.4.3)
ICI=i
Функции Η^(ξ), которые являются ограничениями однородных
гармонических многочленов на поверхность сферы в R", называются сферическими
гармониками. Иногда их называют сферическими функциями3, а функции Нк(х)
ι См. ниже упражнение 4.
2 Стоит иметь в виду, что это обобщение не единственно. Например, при η = 4 можно взять
jc1 = cos0cos(/?1, jc2 = cos0sin(/?1, jc3 = sin Θ cos φ2, χ* = sin Θ sin φ2. Стоит также иметь в виду,
что случай η = 4 выделен из-за теоретико-представленческого изоморфизма so (4) =so(3) x so(3),
см. [119].
3 Довольно часто слова «сферические функции» означают то, что ниже называется «зональные
сферические функции».
iH*o
= kHkg).
г=1

§ 9.5. Действие ортогональной матрицы
415
тогда называются шаровыми гармониками. При выражении сферических
гармоник в полярных координатах иногда используется обозначение
гДее = (е1,е2,...,еп_2).
Пусть F — пространство вещественнозначных непрерывных функций на
сфере \ξ\2 = ζ\ + ξ\ +... + ξ£ = 1. В этом пространстве можно задать скалярное
произведение формулой
ICI=i
В случае комплекснозначных функций в подынтегральном выражении вместо g
должна стоять сопряженная функция. Формула (9.4.3) выражает факт,
сформулированный в следующей теореме.
Теорема 9.4.1. Сферические гармоники различных степеней ортогональны
относительно скалярного произведения (9.4.4).
Сферические гармоники одинаковой степени могут быть ортогональными,
а могут и не быть. Например, cosfc0 и sinfc0 — две независимые и притом
ортогональные двумерные сферические гармоники, но cos кв + sin кв и cos кв не
ортогональны. С помощью ортогонализации Грама—Шмидта можно получить
ортогональный базис для скуП = (2fc + η — 2)(к + η — 3)!/(к! (π — 2)!) сферических
гармоник степени к от η переменных. Векторы этого базиса1 обозначим через
Sfcj(?)> J = 1,2, ...,cfcf„.
Из этого определения и теоремы 9.4.1 следует, что
§ 9·5· ДЕЙСТВИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
Напомним определение ортогональной матрицы.
Определение 9.5.1. Матрица О размера пхп называется ортогональной,
если ОО1=1, где Of — матрица, транспонированная к О.
Ясно, что если 00* =1, то 0*0 = 1, т.е. матрица Of также ортогональна.
Запишем вектор χ € Rn в виде
х =
а скалярное произведение векторов х, у € Rn — в виде
(х, у) = х'у = хгуг + х2у2 +... + хпуп.
ι При π > 4 эти базисы не очень удобны; есть ряд способов избегать их. Во-первых, если J] а2. = 0, то
(Σ ".j*/) является гармоническим многочленом. Поэтому мы можем представлять сферические
гармоники в виде §(ΣαΛ')η <ίμ(οϋ, где (ίμ(α) — мера или обобщенная функция на конусе
(Переломов), см. [446]. Другой способ (Максвелл) — писать гармоники в виде Р(дъ..., дп)г~п+2,
где dj — частные производные, а Р — однородный многочлен.

416
Глава 9. Сферические гармоники
Если О — ортогональная матрица, то
(Ох, Оу) = х'О'Оу = х*у = (х, у). (9.5.1)
Если теперь положить (х, х) = ||х||2, то ||Ох|| = ||х||. В частности, если ||ξ|| = 1, то
Ι|θξ|| = ι.
Теперь покажем, что уравнение Лапласа инвариантно относительно
действия ортогональных преобразований. Положим
(±) = (J- -i-Y
\dxJ \дхг'"'' dxnJ '
Тогда оператор Лапласа имеет вид
lajcJ lajcJ*
После замены переменных χ' = Ох получаем
Отсюда
ш'ш=ш°°и)=т'ш- <«*
и наше утверждение доказано.
Рассмотрим действие ортогональной матрицы О на сферическую гармонику
Η^(ξ), определяемое отображением Η^(ξ)->Η^(Οξ). Это действие переводит
ортонормированный базис Sjtj(£), j = 1,2,...,с^п, в пространстве сферических
гармоник степени к от η переменных в другой ортонормированный базис
SfcjiO?), J = 1,2, ...,см, поскольку
ICI=i |ξ|=ι
Можно записать
Cfc.n
Sjy(00 = S4Sw(0, (9.5.3)
где коэффициенты Α*ζ образуют ортогональную матрицу. Это вытекает из
соотношения
Ск,п
ί=ι |ξ|=ι
§ 9-6. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ
Для сферической гармоники степени к от двух переменных cosfc© имеется
формула сложения
cos кв cos fc0o + sin кв sin fc0o = cos fc(0 - 0О). (9.6.1)
Отметим два интересных свойства этой сферической гармоники.
Единственное ортогональное преобразование окружности, оставляющее на месте точку
(cos 0О, sin 0О),— отражение относительно прямой 0 = 0О; при этом
преобразовании инвариантна только одна независимая сферическая гармоника степени к,

§ 9.6. Теорема сложения
417
а именно cos к(0 — 0О). А так как sinfc0 = cos(fc0 — тг), можно рассматривать
cosk0 как основную сферическую гармонику от двух переменных. Такая
единственность сохраняется и в высших размерностях, но с другой основной фун-
цией. Это обобщение и является целью данного параграфа.
Не существует непостоянного гармонического многочлена, инвариантного
относительно всех ортогональных преобразований. Но существует ровно один,
с точностью до постоянного множителя, гармонический многочлен,
инвариантный относительно преобразований с данной неподвижной точкой. Для
доказательства потребуется следующая предварительная лемма.
Лемма 9.6.1. С точностью до постоянного множителя существует не более
чем один гармонический многочлен степени к, инвариантный относительно
всех ортогональных преобразований, оставляющих на месте данную точку η
единичной сферы.
Доказательство. Для всех ортогональных преобразований О,
оставляющих η на месте, имеем (Одс,т)) = (дс,т)). Поэтому достаточно доказать, что
существует не более чем один (с точностью до постоянного множителя)
гармонический многочлен Нк(х), зависящий лишь от г и Qc, rj).
Ввиду однородности многочлена Нк(х) имеем
НкМ = с0(х, ηΫ + сгг(х, η)*"1 + с2г2(х, η)*~2 +...
Отсюда нетрудно получить, что
Δ[τι{χ, r})m] = т{т - 1)(η, т})г'(х, η)"1"2 + Щ + 2т + п - 2)г1~\х, r?)m.
Тогда из равенства АНк = 0 следует, что коэффициенты ск удовлетворяют
соотношениям
(fc-m)(fc-m-l)cm + (m + 2)(2fc-m-2 + n-2)cm+2 = 0
при т = 0,1,2,... и сх = 0. Это означает, что с0 однозначно определяет Нк(х),
и лемма доказана. D
Теперь докажем существование гармонического многочлена из леммы 9.6.1.
Пусть Skfji ; = 1,2, ...,с^п,— ортонормированный базис в пространстве
гармонических многочленов степени к от π переменных. Вид формулы (9.6.1)
и замечания после нее подсказывают, что нужно рассмотреть определенную
ниже функцию F(£, η). Сначала определим вектор-функцию
WO
а затем положим ¥{ξ, η) = 5(ξ)ί5(η), где ξ, η —точки на сфере. Из формулы
(9.5.3) и ортогональности матрицы С = (А^) вытекает, что
F(0£, От,) = ΞίΟξΥϊίΟη) = StfYC'CSW = F(£, η),
если О — ортогональное преобразование. Ясно, что F как функция от ξ является
ограничением на единичную сферу гармонического многочлена степени к. Если
при этом О оставляет на месте точку г,, то F(0£, η) =F(£, η). Это доказывает
существование искомой функции. Ее единственность была доказана в лемме
9.6.1.
S(£) =

418
Глава 9. Сферические гармоники
Ясно, что функция F(£, η) зависит только от скалярного произведения (ξ, η).
Обозначим его ЪкРк{(£, η)) и нормируем, положив Р&(0?, rj)) = Р^(1) = 1.
Определение 9.6.2. Функция F(£, η) = Μ\((ξ,τ})) называется зональной
сферической функцией степени к с полюсом η.
Чтобы найти Ък, положим ξ = η и получим
интегрирование по сфере относительно <2ω(η) приводит к равенству Ъксоп =
= ckfTl, или Ьк = скзП/а>п, где ωπ = 2(π)η/2Γ(η/2) — площадь единичной сферы
х\ + х\ +... + х2 = 1. Теперь умножим на себя уравнение
МШ£,т))) = ΣΧ,(ξ)5*,,(τ?)
и проинтегрируем по η. Результат равен
^ J [Ρ*((ξ,τ,))]^ω(τ,) =
п |т?|=1
j ί |ι?|=ι
Отсюда получаем
$ Ρ*((ξ, τ,))Ρ;((ξ, τ,)) άω(η) = ^5kj. (9.6.2)
Μ=ι °k>n
Это соотношение ортогональности для Рк поможет нам определить искомую
функцию. Применив к ξ подходящий поворот, получим вектор ег = (1,0, ...,0)
и положим η = ίεΎ + VI — ί2η', где |η'| = 1 и первая компонента вектора η' равна
нулю. Перейдя к полярным координатам, получаем
t = (r?,fi) = cose1. (9.6.3)
Якобиан перехода к сферическим координатам имеет вид
ахг dx2...dxn = г""1 sin""2 0X... sin2 0n_3 sin 0n_2 drd6i...den_2 άφ,
и потому на сфере выполняется равенство
dcon = sin""2 0X d0x άωη_λ = (1 -12)*? dt dcL>n_x. (9.6.4)
Соотношение ортогональности (9.6.2) можно записать в виде
{ P.WP^Od-t2)2? dt = -^—5kj. (9.6.5)
Значит, Ρ^(0=Λ^η"2)/2(0 является ультрасферическим многочленом. Так как
Ρ*(1) = 1, то константа равна А = 1/С^"2)/2(1).
Таким образом, мы доказали следующую теорему сложения.

§ 9,6, Теорема сложения
419
Теорема 9.6.3. Пусть Ξ^(ξ), j = 1,2,.,.,скп,— ортонормированное
множество сферических гармоник степени fc. Тогда *
Vc спя Μ-^€ΐ~2)/2αξ>η)) го*^
;=1 n Cfc W
Замечание 9.6.1. Этот результат содержит формулу (9.6.1) как предельный случай.
Вспомним, что
c(n-2)/2(t)
lim , _,,_— = cos кв, где t = cos θ.
η-* c^n-2)/2(l)
Замечание 9.6.2. Так как интеграл (9.6.5) можно найти исходя непосредственно из
свойств ультрасферических многочленов, он позволяет вычислить скп, т.е. размерность
пространства сферических гармоник степени к.
Выясним, как выглядит формула сложения (9.6.6) при п = 3. Рассмотрим
совокупность независимых сферических гармоник от трех переменных,
перечисленных в конце § 9.2. Запишем их в терминах ассоциированной функции
Лежандра, которая определяется формулой
If M = (-Dm|Si (I -x2)m/2C+i M. (9.6.7)
Легко проверить, что
\ \РтШ2 dx = —2— - № + m)!
№ WJ aX 2k + \ (fc-m)!'
так что ортонормированное множество сферических гармоник степени fc при
η = 3 имеет вид
/
2|±1р*(х), Amcosm</?Pnm(x), Am sin m</?Pnm (x), m = l,...,2fc,
где
/(fc-m)!(2fc + l)
Лт V № + т)!2я '
Положим теперь
ξ = (cos α, sinacos^j, sin a sin </?x),
rj = (cos)8, sinjScos^j, sin j8 sin </?2),
так что (ξ, η) = cos a cos j8 + sin a sin j8 cos φ, где ψ = ψ\ — </?2· Так как
в силу формулы (9.6.6) мы получаем
Pfc(cos a cos β + sin a sin )8 cos </?) =
к
= Pfc(cos a)Pfc(cos )8) + 2 J] ^~^;Pfcm(cos a)Pfcm(cos )8) cos my, (9.6.8)
m=l
где φ = φι-φ2·
ι Рассмотрим (интегральный) оператор ортогонального проектирования из пространства I2 на
fc-e гармоники. Теорема состоит в вычислении его ядра.

420
Глава 9. Сферические гармоники
Формула сложения (9.6.6) показывает, что ультрасферические функции
с£"~2)/2((£, η)) порождают все сферические гармоники в размерности η
аналогично функции cosfc0 в размерности 2. Заметим, что на сфере ·Χ"ι +^| + ···
... +х^ = 1 можно найти с^п таких точек ηχ, η2,..., rjCjkn, что матрица
f SK1bid SkaW ... БКскпШ\
: (9.6.9)
\sktl(vCktn) skt2^Ckn) ... sktCkn(Vckn)J
обратима. Составим теперь систему ckttl линейных уравнений, полагая η =
= т}х, г}2,..., г)Скп в формуле (9.6.6). Разрешая эту систему относительно функций
Sfcj(£)> однозначно выразим их через (^""^((ξ,τ^)). Доказана следующая
теорема1.
Теорема 9.6.4. Существуют такие точки ηχ, η2, ···> ^с^ что любая
сферическая гармоника может быть представлена в виде
^(ξ)=Σαζ^η-2)/2((ξ,τ,ζ)).
§ 9·7· ФОРМУЛА ФУНКА—ΓΕΚΚΕ
В этом параграфе мы докажем формулу Функа—Гекке, полезную при отыскании
базиса в пространстве сферических гармоник степени fc. Это приведет нас
к формуле сложения для ультрасферических многочленов.
Ниже мы записываем скалярное произведение двух векторов α, β €Rn в виде
α β, а не (α, β). Заметим, что любая непрерывная функция / на отрезке
[—1,1] продолжается до непрерывной функции двух переменных g(a, β) на
сфере, которая определяется формулой g(a, β) =/(α · β). Если хотя бы один из
векторов α или β зафиксирован, то мы получаем функцию на сфере. Теперь
рассмотрим интеграл
F(a,j8) = $ /(α·τ,)^π-2)/2()8.τ?)ίίω(τ?). (9.7.1)
|τ?|=ι
Пусть О —некоторое ортогональное преобразование. Тогда
F(Oa,Oj8) = $ /(Οα.τ?Κ][η-2)/2(0)8.τ?)ίίω(τ?) =
|τ?|=ι
= $ /(α-Ο^^-^^.Ο^ίωίτ,).
Так как мера сохраняется при ортогональных преобразованиях, мы получаем
F(Oa,Oj8)=F(a,j8). (9.7.2)
Как функция от β, интеграл F является сферической гармоникой и зависит
только от a · )8. Рассуждение из предыдущего параграфа показывает, что F(a, β)
отличается постоянным множителем от С^"~2)/2(а· β). Таким образом,
$ /(а · ηΚΐη-2)/\β · η) άω(η) = λ,^η"2)/2(α · )8). (9.7.3)
Ν=ι
ι Это ослабленный вариант утверждения о неприводимости представления ортогональной группы
в пространстве гармоники фиксированной степени.

§ 9.8. Теорема сложения для ультрасферических многочленов 421
Чтобы найти Хк, положим α = β = ег = (1,0,..., 0) и η = ίελ + Vl — ί2η', где первая
компонента вектора η' равна 0. Действуя как при выводе равенства (9.6.5),
получаем
Afccf-2)/2(l) = $ \ №С?~2У2Ш1 -t2)(n-3)/2 dtάω(χΠ =
ΙηΊ=ι-ι
= ωπ_! \ /(t)Cf-2)/2(t)(l-12)("-3)/2 dt, (9.7.4)
-1
где вектор η' получается из η' удалением первой компоненты.
Формула Функа—Гекке содержится в следующей теореме. Впервые она была
опубликована в работе [149], а чуть позднее —в работе [184].
Теорема 9.7.1. Пусть функция fit) непрерывна на [—1,1]; Sk(£)—любая
сферическая гармоника степени к; а —единичный вектор. Тогда
$ /(a-4)Sfc(4)dW(4) = AfcSfc(a), (9.7.5)
|τ?|=ι
где Хк определяется формулой (9.7.4).
Первое доказательство. Ввиду соотношения (9.7.3) наше утверждение
верно, если Sk(j]) заменить на С^п~ ()8 · rj). Согласно теореме 9.6.4 любая из
функций Sk{j]) является линейной комбинацией функций C^n"2)'2(ft · η). Отсюда
следует равенство (9.7.5). D
Второе доказательство. Формула сложения (9.6.6) в интегральной
форме записывается как
5Ц(€)=пЛт S ^-2)/2(ξ.τ,)5Μ(τ,)ίω(τ,). (9.7.6)
Но δ^;(ξ) можно заменить любой сферической гармоникой Sfc(£), поскольку
базис в пространстве таких функций образуют функции вида Sk;(ξ). Умножим
обе части равенства (9.7.3) на Sfc(j8)da>(j8) и проинтегрируем по )8. Применив
формулу (9.7.6), получаем утверждение теоремы. D
Замечание 9.7.1. Формула (9.7.6) подсказывает другой путь получения зональной
сферической функции. Отображение φ: Skj —> Skj (ξ) является линейным функционалом
на конечномерном пространстве сферических гармоник степени к. Поэтому φ
порождается скалярным произведением, т. е. существует такая функция g^, что
В развернутом виде получаем
Ι*ιΙ=ι
Тогда можно показать, что gξ(η) = ^tSktj(ξ)SkJ(η).
§ 9-8. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
Чтобы обосновать метод нахождения базиса в пространстве сферических
гармоник, начнем с интегральной формулы для ультрасферических многочленов,

422
Глава 9. Сферические гармоники
полученной в теореме 6.7.4. Эту формулу можно записать в виде
r(n-2)/2r ч 1
SW^^ + i^r^l-s^-^ds, n>3. (9.8.1)
Можно получить доказательство, отличное от приведенного в гл. 6, рассмотрев
интеграл
£(*)= 5 [*,fii + "f,r?n-i]fcd^(r}n_1),
l?n-il=i
гдех = (х1,...,хп), ε1 = (1,0,...,0), rj = tf1 + Vl-t2r}n_1, Г = г}·^, а ηη_χ
получается из т)п_х удалением первой компоненты, равной нулю. Далее мы пишем
ηη_ι вместо г)п_х. Вначале покажем, что g — гармоническая функция1. Заметим,
что
д*1 hn-il=i
и при j = 2,..., η выполняется равенство
-§ = -fc(fc-1) ξ [*' *ι + **' η„-ι]*-2(*, · r?n_x)2 ^(r)^),
где ε;· имеет 1 в j-й позиции и 0 в остальных. Отсюда получаем
^ω(τ}η_χ)=0,
поскольку
Ag = fc(fc-1) $ [χ-βι+^-ηπ-ιΙ^Γΐ-Σ^^π-ι)2
Ιτ?„-ι1=1 L ;=2
Σ^ΓΤϊπ-ΐ)2 = |τ?π-ΐ|2 = 1.
1=2
Таким образом, g(jc) — шаровая гармоническая функция степени к. Ясно, что
она инвариантна относительно всех ортогональных преобразований,
фиксирующих £х. Если х = еъ то значение g(jc) равно ωπ_χ, т.е. объему (п —1)-мерной
единичной сферы.
Положим ξ = х/\х\, тогда ξ = tex + \/1 — ί2ξπ_χ. Ввиду сказанного выше #(ξ)
кратно С^п~2)/2(0. Нормировка при t = 1 приводит к равенству
c(n-2)/2f >
^_ii = ^ ξ [ϋ + ίΤϊ^ξ.τ,^Ι^ωίτ,^). (9.8.2)
Применив к этому интегралу процедуру, использованную при выводе формулы
(9.6.5), получаем равенство (9.8.1).
Следующий шаг при выводе теоремы сложения для ультрасферических
многочленов состоит в том, чтобы выразить произвольную сферическую гармонику
степени fc от η переменных через сферическую гармонику другой степени от
η — 1 переменных. С этой целью рассмотрим интеграл
*(0 = J К · *ι + ιΈ · τ?„-ι]4·(ηπ_χ) <*ω(ηπ_χ). (9.8.3)
I5n-il=i
ι Вопрос по элементарной теории представлений: ясно ли это без вычисления?

§ 9.8. Теорема сложения для ультрасферических многочленов 423
Из предыдущих рассуждений непосредственно очевидно, что g — сферическая
гармоника степени (с от η переменных. С помощью формулы Функа—Гекке
интеграл можно записать в виде
*(ξ) = $ [ί + ί^Γ^ξπ-ι·ηπ-ι]4(ί?π-ι)^ω(ηπ_1) =
1ч1=1
= Sj^n.^n_2 I (t + iA/T=^s)*cf-3)/2(s)(l -s2)^'2 ds.
-1
Из формулы Родрига для ультрасферических многочленов
η _ γ2Λλ-1/2Γλ(γΛ _ (-1)кГ№ + Я)Г№ + 2Я) dk n _ о^+А-1/2
U X) ЦШ- fcir(A)r(2fc + 2A) djcfcU j
следует, что множитель (1—s2)(n-4)/2CJn~3)/2(s) в подынтегральном выражении
равен константе, умноженной на
^i(l_52y+(n-4)/2
ds;
Интегрируя по частям j раз, получаем
*(ξ) = ικ^ξ^χι - t2y/2 \ (ι+iVT=Ps)k-ia-s2yHn-4y2 ds,
-ι
где К — константа. Ввиду равенства (9.8.1) последний интеграл пропорционален
c;+(n-2)/2(t) Таким образоМ) мы доказали, что S^.Oa-t2)^2^'^12^)^
сферическая гармоника степени fc от η переменных. Напомним, что t и ξη_λ
связаны соотношением ίελ + Vl — ί2ξπ_ι = ξ, где ξ — точка на n-мерной
единичной сфере. В обозначениях, введенных в конце § 9.4, функции S;>z^n_i), ί = 1,
2, ..., Cjn_l9 образуют базис пространства сферических гармоник степени j от
η — 1 переменных. Поэтому множество функций
S;,z(Sn-i)(l -t2)^2C;i:f-2)/2(t), j = 0,..., fc, ί = 1,..., с,,п_!, (9.8.4)
является ортогональным базисом векторного пространства сферических
гармоник степени fc от π переменных. Ортогональность легко проверяется, и, так как
к
скп = Σ cj n-i> количество векторов равно размерности пространства.
;=0
Заметим, что, так как
aj = \ [^!f"2)/2(t)]2(i - t2y+<"-3)/2 dt =
πΓ№ + ;+π-2)
22;·+π-3[Γ(;· + (Π-2)/2)]2№-;)!(fc + (η-2)/2)'
функции из формулы (9.8.4) после умножения на 1/ y/Xj=Bj образуют ортонор-
мированный базис. Если использовать этот базис в формуле (9.6.6), положив
ξ = ίελ + νΐ-^ξΠ_!, r)=se1-¥ y/l-s2r)n.l9

424
Глава 9. Сферические гармоники
то мы получим
;=0 Ζ
Ввиду соотношения (9.6.6) внутренняя сумма равна
2; + п-3 (п-з)/2г5 л
«^(п-З)^ ίξ"-ι 4»-ιλ
Получаем следующую теорему из работы [163].
Теорема 9.8.1. Если п —натуральное число, п>Ъ, то
С^2)/2(5Г+ νΤ^νΓ^ξ^ · !»„_!) =
= J]α,(1 -52)^2С^("-2)/2(5)(1 - t^^ct^COC^K^ · η»-ι), (9.8.5)
;=0
где
= r(n-3)224fe-;)l[rg + (n-2)/2)]2(2; + n-3)
α' [Γ((η-2)/2)]2Γϋ + * + η-2)
Замечание 9.8.1. Предыдущий результат верен также при η = 2,3, но нужно перейти
к пределу. При η = 2 получаем формулу сложения для косинуса, а при π = 3 — теорему
сложения для многочленов Лежандра (9.6.8).
Формулу (9.8.5) часто записывают в виде
£(п-2)/2 £cqs α cos β + sin α sin j8 cos φ) =
k
= J] a;(sin aVc£f-2y\cos a) (sin j8)^C^n-2)/2(cos )8)C{n-3)/2(cos φ). (9.8.50
Теорему сложения можно распространить на любой сферический многочлен
с£(х), А>0, посредством аналитического продолжения, поскольку обе части
равенства (9.8.5') являются рациональными функциями от А = (п — 2)/2. Это
тождество выполнено для комплексного Я при отсутствии полюсов. Полезно
также заметить, что можно получить равенство (9.8.5') из (9.6.8),
дифференцируя по ψ.
Замечание 9.8.2. Формулы сложения для тригонометрических функций допускают
также обобщения на эллиптические функции. Эллиптические функции удовлетворяют
формуле сложения вида
/(и+ ι/)=Α(/(ιι),/(ι/)), (9.8.6)
где А(Ху у) — алгебраическая функция. Вейерштрасс доказал, что решения уравнения
(9.8.6) исчерпываются алгебраическими функциями, алгебраическими функциями от еаи
для некоторой константы с и алгебраическими функциями от эллиптических функций.
Видимо, Вейерштрасс так и не опубликовал этот результат, хотя упоминал о нем
в лекциях. См. [88, с. 363].

§ 9.9. Ядро Пуассона и задача Дирихле
425
§ 9-9- ЯДРО ПУАССОНА И ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
Решением задачи Дирихле для единичного круга является интеграл
1 2Я 1-2
«(Г, в) = £ J /(v)I-5-i=L:_ dV. (9.9.1)
Ядро Пуассона
00
1-г
^—^ = l + 2X;r"cosn(6-V)
l-2rcos(0-y>)-.
— это сумма всех двумерных зональных сферических функций с полюсами
в точке φ. В размерности η зональная сферическая функция степени к с полюсом
в точке η согласно формуле (9.6.6) имеет вид
2к + п-2Мп-2)/2,е ,
(η-2)ω> ^ η)·
В гл. 6 мы видели, что
Σ°° 2к + п-2с(п-2)/2(Е )к_1 l^rf (992)
k=Q (п -2)ωη L* U rj;r - ^ (ι _2r ^ ^ + r2)n/2. LV.y.z;
Обобщение формулы (9.9.1) содержится в следующей теореме.
Теорема 9.9.1. Пусть / — непрерывная функция на n-мерной сфере;
сеточка на сфере; 0 < г < 1. Тогда функция
u(rd) = — \ f^)—-—^-τ—2wad*>(4)
ω J/v,y(i-2rcos(a-T7) + r2)n/2 '
|i7|=l
является гармонической функцией в шаре, а на сфере выполняется
равенство u(a)=/(a).
Эта теорема доказывается методом, который мы уже использовали в
двумерном случае.
§ 9-Ю. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
В гл. 4 мы рассмотрели преобразования Фурье функций двух переменных.
Если точка (дг,у) отождествлена с комплексным числом x + iy = z = rew, то
интегрируемую функцию f(rew) можно записать в виде
00
/(«")-Σ Λ(Γ)β*Μ. (9.10.1)
—00
Мы видели, что преобразование Фурье ряда (9.10.1) можно выразить через
бесселевы функции. Это справедливо и в высших размерностях. Прежде всего
нам потребуется следующее определение.
Определение 9.10.1. Функция /: Rn->R называется радиальной, если
существует такая функция /0(и), заданная на интервале (0, оо), что /(х) =/о(М).

426
Глава 9. Сферические гармоники
Обобщением функций fk{r)eike из формулы (9.10.1) на высшие размерности
будут служить функции, представимые как произведение радиальной функции
и гармонического многочлена. Главный результат этого параграфа относится
к преобразованиям Фурье таких функций. Изложение основано на работе [62],
хотя основные результаты доказываются иначе.
Лемма 9.10.2. Для любой сферической гармоники Sk{£) степени к от η
переменных справедлива формула
$ e-W*Sfc(0άωίξ) = 2А(г>)*^Г}' (9·10·2)
ICI=i
Доказательство. Согласно формуле Функа—Гекке интеграл (9.10.2) равен
ω„-Λ(η) J e-27ritsC^-2)/2(5)(l -t2)(n"3)/2 dt.
-ι
Теперь применим формулу Гегенбауэра:
τ и(хл = (-0*Т(2у)*е!(х/2Г г ixS(1 _ 2)y-i/2cv(s)ds (477)
Jv+*W Γ(ν+1/2)Γ(1/2)Γ(2ν + *)_\β U Sj ЦШ<И· W·'·''
Отсюда вытекает утверждение леммы. D
Пусть функция / принадлежит L^W1), и пусть Tf — ee преобразование
Фурье:
Г/00 = ξ e~2ni{y'x)f(x) dx. (9.10.3)
R"
Теорема 9.10.3. Пусть /el^CR"), причем f имеет вид /(χ)=/0(Μ)5*(ξ)·
Тогда
r/(y) = Fo(lyl)^(r?),
где
00
F0dt) = 27riV-"/2 $ foWk-1+n/2&™t)sn/2 ds (9.10.4)
о
uy = \y\r).
Доказательство. Легко видеть, что если х = (хъ...,хп) и х; =5ξ;, то
r/(y) = 5F0(5)5"-1( $ e-2™M№sktf)da>tf))ds.
0 |ξ|=1
Теперь утверждение теоремы вытекает из леммы 9.10.2. D
Следующий интересный результат получается при объединении теоремы
9.10.3 с тем фактом, что при Refa + ν) > 0 выполняется равенство
,. С 0-et Ί (гЛф-\ At _ 2"-1Γ((μ+ν)/2)
krn^e JVW ^-Γ(1 + (ν_μ)/2). (9.10.5)
Чтобы получить формулу (9.10.5), нужно в формуле (4.11.4) применить
преобразование Пфаффа (теорема 2.2.5) к 2^ъ а затем перейти к пределу.

§ 9.11 Конечномерные представления компактных групп 427
Следствие 9.10.4. Для сферической гармоники Sk^) справедлива формула
lim ξ e'e^[V^\x\)aSk^)e-2ni^'x)dx =
ikSkW 2*+"/2r((Tj + fc + g)/2
(«y|fa Γ(»-α)/2) ' WJU-W
где |y|^0uy = |y|rj.
Доказательство. Положим F0(t) = ίι/2πΜ e"ft в теореме 9.10.3, а затем
применим формулу (9.10.5). D
Полезно отметить частный случай формулы (9.10.6). Положим а = — п/2.
Тогда
И* S f^e-l'le"2-^) djc = ^Ш (9.Ю.7)
*-о# |х|п/2 |у|"/2
Это означает, что |jc|~n/2Sjt(ξ) — собственная функция преобразования Фурье
с собственным значением ίη. Заметим, что на самом деле это преобразование
является абелевым средним преобразования Фурье.
Аналог теоремы 9.10.3 верен для случая, когда /eljiR") имеет вид /(х) =
= /o(M)Sfc(x), где SfcQc) — однородный гармонический многочлен степени fc.
Достаточно заметить, что Sk(x) = \x\nSk^).
Теорема 9.10.5. Пусть функция f интегрируема и имеет вид f0(\x\)Sk(x);
тогда
r/(y) = F0(|y|)S,(y),
где
00
F0W = 2*и*гИп+1 ξ /0(5)Λ+ιη.1(2π5θ55η^ ds.
о 2
Как известно, преобразование Фурье функции е"я,дс| равно е"я,у| .
Аналогичное утверждение верно, если умножить эти экспоненты на сферические
гармоники.
Теорема 9.10.6. Для любого однородного гармонического многочлена Sk(x)
степени к справедлива формула
5 e-2ni(*'x)e-nM2SkW dx = ike~n^2Skiy).
R"
Таким образом, е"я|х| Sk(x) является собственной функцией преобразования
Фурье с собственным значением ik.
Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из теоремы 9.10.5 и
следующей формулы Сонина:
00
I Jv(5t)e-'V+1 dt = £ϊβ-*2'\ (9.10.8)
ο D
§ 9.II. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПАКТНЫХ ГРУПП
Теория представлений дает важные и эффективные средства исследования
специальных функций. К сожалению, этой теме мы сможем посвятить лишь

428
Глава 9. Сферические гармоники
несколько параграфов. Дав основные определения, мы покажем, как в
представлениях группы SU(2) появляются многочлены Якоби. Мы выясним также, как
пространства сферических гармоник порождают неприводимые представления
группы SU(2).
Пусть G — группа, V — конечномерное векторное пространство, GL(V) —
группа всех его обратимых линейных преобразований.
Определение 9.11.1. Конечномерное представление группы G в
пространстве V — это гомоморфизм из G в GL(V). Если G — топологическая группа, то
гомоморфизм предполагается непрерывным.
Таким образом, если
l/:G->GL(V)
— некоторое представление, то U(g1g2) = U(g1)U(g2). Линейные представления
U(gi)> ^(&) и ^(£ι#2) можно представить матрицами, выбрав базис для V.
Пусть dimV = n и {xlfx2,...,xn} — базис для V. Ясно, что матричные элементы
l/y (gi&X 1 < h }' < п, удовлетворяют соотношению
η
tyfei&) = Σ tfftfei)!'* C&)> Ki,j<n. (9.11.1)
k=l
Если выбран другой базис {x'v x'2,..., х'п}, то существует такая матрица Р, что
!/(?) = Pl/'Cg)*"1
для всех g€G. Здесь l/'(g) —матричное представление группы G, отвечающее
новому базису.
Пусть иг и 1/2 — представления группы G в векторных пространствах Уг и У2-
Эти два представления называются изоморфными, или, для краткости, Уг и V2
считаются изоморфными, если существует такой линейный изоморфизм
T:Vx^V2i
что
Tol/1Cg) = l/2Cg)oT для всех g€G.
Пусть теперь в векторном пространстве V задано скалярное
произведение {х,у)у и {jci,jc2»···>*n} — ортонормированный базис относительно этого
скалярного произведения. Тогда
ЩШ = (иШхрхд^ (9.11.2)
Определение 9.11.2. Представление U: G—► GL(V) называется унитарным,
если
№*,i/(s)y} = (*,y>
для всех х, у € V и g€ G.
В этом параграфе мы рассматриваем представления компактной группы
SU(2). Для компактной группы всегда можно задать скалярное произведение
в пространстве V так, чтобы ее представление U в этом пространстве стало
унитарным. Это легко доказать, если предполагается существование
инвариантной меры на G. На самом деле существует единственная такая мера dg на
G, что для любой непрерывной функции / справедлива формула
$/(g)d*= $/(gfc)dg, (a)
G G

§ 9.11 Конечномерные представления компактных групп 429
где h, g € G, причем
$dg = l. (б)
G
Первое условие обеспечивает инвариантность относительно правых сдвигов.
Можно показать, что мера dg инвариантна также относительно левых сдвигов.
Эту инвариантную меру часто называют мерой Хаара. См. книгу [177]. Здесь мы
подробно занимаемся лишь группой SU(2). На этой группе инвариантная мера
строится легко. Группа состоит из всех матриц с комплексными элементами,
имеющих вид
с определителем 1, что равносильно равенству \а\2 + \Ъ\2 = 1. Пусть элемент
\~Ь0 a0J
также принадлежит SU(2). Легко проверить, что gh определяется
параметрами аг и Ьъ где
a.i = а0а — Ь0Ь, 51 = 50α + α05.
Следовательнох,
dg = daAdaAdbA db (9.11.3)
— инвариантная мера на SU(2). Несложно показать, что
dgh = dax А dax А dbx А аЬг = (|α0|2 + \b0\2)2da AdaAdbAdb = dg. (9.11.4)
Пусть (·, ·)! — скалярное произведение на векторном пространстве V. Исходя
из данного представления U группы G в пространстве V определим новое
скалярное произведение по формуле
(х, у) = ξ (lHg)x, 1/(г)у>! dg. (9.11.5)
G
Унитарность представления U относительно этого скалярного произведения
вытекает из свойства а) меры Хаара. Заметим, что
ШЮхЖЮу) = S(I/(g)I/№)x,I/(g)I/№)y)idg =
G
= 5(l/(g/i)x,l/№)y)1dg= <S(U{g)x,U(g)y)1dg=(x,y).
G G
Пусть U: G -> GL(V) — представление группы G, a W — подпространство
в V. Мы говорим, что W инвариантно относительно действия группы G, если
U(g), g€G, отображает W на себя. Тогда мы получаем другое представление
группы G, а именно UW:G^> GL(W). Отметим, что Uw(g) = l/(g) |w. Мы говорим,
что Uw является подпредставлением представления U. Если нетривиальных
подпредставлений нет, представление называется неприводимым.
Пусть группа G компактна; тогда существует скалярное произведение на
V, относительно которого представление U унитарно. Если W — инвариантное
ι Формула непонятна. Можно записать da Л da Ad (arg b).

430
Глава 9. Сферические гармоники
подпространство в V, то инвариантно и его ортогональное дополнение, что
легко проверяется. В этой ситуации i/(g) представляется матрицей
Повторяя это рассуждение, мы видим, что
ν = wi e w2 е... е wk, (9.П.6)
где Wi,..., Wk неприводимы. Можно показать, что такое разложение
единственно с точностью до изоморфизма. Таким образом, если
y = w1,ew2/e...ew/,
то к = ί и, после возможной перенумерации, W; a* W?.
§ 9-12. группа SU(2)
Напомним, что SU(2) определяется как группа всех матриц вида
(-ьг)· Ν2 + Ι*Ι2 = 1· <9Л2Л>
Таким образом, эта группа определяется тремя параметрами, в качестве
которых можно выбрать |а|, arga и argb. При аЬфО можно однозначно задать
другое множество из трех параметров φ, ψ и 0, которые называются углами
Эйлера. Они определяются из соотношений
а = е^^)/2 cos ±0, Ь = ie{W>l2 sin ±0, (9.12.2)
где 0 < φ < 2π, 0 < 0 < π и —2π < ψ < 2π. При аЬ = 0 соответствие между α, b
и θ,φ,ψ не является взаимно однозначным. Соотношение (9.12.2) можно
записать в матричном виде и другим способом:
( a_bWe'*/* о Λ(™1Θ i«ta|eVeW2 0 Л
У-Ъа)-{о e-Wj[ism\e cos 10 JI 0 β"Ή' ^ J
*(М.ДО = (.!ьг)·
где а и Ь таковы, как в формуле (9.12.2). Тогда равенство (9.12.3) равносильно
соотношению
«(¥>, 0, ДО = g(Y>, 0,0)g(0,0,0)g(0,0, ДО. (9.12.4)
Из формулы (9.12.2) следует также, что
со.в = 2|«|'-1. e^-jJjjL e«* = £ β[. (9.12.5)
Здесь возникает следующий вопрос: если
£(¥>, Θ, ДО = gi(¥?i, 01, ДО)£2(¥>2> #2, ДО),
Положим

§ 9.13. Представления группы SU(2)
431
то как связаны φ,θ,ψ с φΐ9 θΐ9 грг и φ2, 02, г/>2? Здесь общий случай следует из
частного, в котором ipi=ipi=rp2 = 0. Тогда
_Г а Ь\ _ ί cos \θλ ί sin \θΛ ί cos \θ2№2 i sin \в2е^2\
gty, θ, г/0 - ^ _- _J - ^.§ίη ^ cQs ^ J ^.§.η ^2e.lV2/2 cQs iQ2e-^2i2J '
(9.12.6)
Отсюда следует, что
α = cos ±02 cos ±02e'^/2 - sin ^ sin ±02e-'^/2,
b = f(cos \θλ sin ±02e^/2 + cos ±02 sin l^e-^'2).
Из формул (9.12.5) и (9.12.6) получаем
cos 0 = cos 02 cos 02 — sin 02 sin 02 cos φ2,
iy _ sin θ1 cos fl2 + cos θ1 sin fl2 cos ψ2 + i sin fl2 sin ψ2
6 ~ sine ' (9.12.7)
ei(,^)/2 = cosl^cos^e^^-sinl^sin^e-^2
cos±0
Отсюда вытекают формулы для произведения g(0,0i,O)g(^2,02,O). Чтобы
перейти к общему случаю, достаточно заметить следующее. Справедливы
равенства gO^, 0,0)£(φ, 0,г/0 =g(Vl + ψ, 0,г/0,g(v>, 0, г/OgiO,0, гр2) =g(V, 0,г/>+г/>2),
«(О,0,О)£(г/>,О,О)=£(О,0,г/О и ^(0,0,г/;1)^(г/;2,0,0)=^(г/;1 + ¥?2,0,0).
Применим эти соотношения к функции
= g(¥>i, 0,0)g(0, 0Ь 0)g(0,0, гргЫч>2,0,0)g(0,02,0)g(0,0, г/>2).
Отсюда непосредственно вытекает общий случай.
Замечание 9.12.1. Инвариантная мера dg на группе G = SU(2), определенная
посредством формулы (9.11.3), в терминах углов Эйлера имеет вид
dg = - sin θ άθ άψ dip.
Обычно ее приводят к нормированному виду
dg = —-j sin θ d9 άψ dip.
так что
$dg = l.
Заметим, что мера dg равна половине произведения нормированной меры на сфере
sin θ d9 άφ/4π и нормированной меры на окружности d\p/2n.
§ 9-I3- представления группы SU(2)
Пусть VN+1 обозначает (iV + 1)-мерное векторное пространство, состоящее из
однородных многочленов степени N от двух комплексных переменных с
комплексными коэффициентами. Если PeVN+l9 то
N
р&1, *2)=Σ r**f "Ζ4** (9l3l)
к=0

432
Глава 9. Сферические гармоники
где хъ х2 — комплексные переменные, ark (k = 0,..., Ν) — комплексные
константы. Мы будем также писать PQc) =P(Xj, x2), где
*=(£)■
Можно определить представление группы SL2(C) в пространстве VN+1 формулой
l/(g)PW = P(gfx), (9.13.2)
где
g = (c d)> ad-bc = 1> a,b,c,d€C.
Отметим, что Pig1 χ) = Р(ахг + сх2, Ьхг + dx2). Легко проверить, что
I/Cgrfa) = t/(g1)l/(g2). (9.13.3)
Можно показать, что U является неприводимым представлением группы SL2(C).
На самом деле все конечномерные неприводимые представления группы SL2(C)
имеют такой вид1. Ограничения этих представлений на компактную подгруппу
SU(2) дают все ее конечномерные неприводимые представления.
Как правило, многочлен из формулы (9.13.1) записывают в несколько ином
виде. Пусть N = 21, так что I — целое кратное одной второй. Можно записать
ι
Р&1> *2) = Σ Γηχί1~ηχί2+η· С9·13·4)
n=-l
Здесь I + η принимает значения от 0 до N = 21.
Многочлену Ρ соответствует неоднородный многочлен Q, определяемый
равенством Q(jc)=P(jc,1). Таким образом,
ι
QM = J] rnxl~n, (9.13.5)
n=-l
и соответствующий однородный многочлен определяется формулой
Ρ(*1,*2)=*2/(Κ*ΐ/*2)·
Обозначим пространство всех неоднородных многочленов вида (9.13.5) через
Hh а представление группы SU(2), которое соответствует в этом пространстве
представлению I/,—через Г/. Тогда
Tt(g)QW = (bx + d)2/Q((ax + c)/(bx + d)). (9.13.6)
Так как группа SU(2) компактна, формула скалярного произведения (9.11.5)
показывает, что на Я/ существует такое скалярное произведение, что 7)
унитарно. Относительно этого скалярного произведения базис {1,х, ...,х2/}
пространства Hi ортогонален. На самом деле справедлива следующая лемма. Так как
упомянутое скалярное произведение определено с точностью до постоянного
множителя, положим (1,1) = (2Z)!.
ι Имеются в виду представления, матричные элементы которых комплексно-аналитичны на группе
SI^CC). Любое конечномерное неприводимое представление группы SL2(C) есть тензорное
произведение комплексно-аналитического представления и представления, сопряженного к
комплексно-аналитическому.

§ 9.14. Многочлены Якоби как матричные элементы
433
Лемма 9.13.1. Справедливо равенство (xl m,xl n) = (Z —n)!(Z + n)!5mrl, — Km,
п<1.
Доказательство. Положим
g
1, 0 е-*'2)'
Из формулы (9.13.6) вытекает, что T^g)xl k = e lktxl k. Так как
представление 7jCg) унитарно, мы получаем
<jcz~m, jcz~n) = (ВДх/-т,Г/(£)х/-п) =e-m-n)t(xl~m,xl~n).
Отсюда (х1~т,х1~п) = 0 при тфп.
В случае т = п требуется несколько больше работы. Положим
( cosl· "5ЦЛ
\sinb сс"Фу
и заметим, что в силу первой части теоремы
0 = (xl-n9xl-n+1)-(T^gW~n9T^g)xl-n+1) = (uz+ni/z-n,uz+n-1i/z-,l+1>, (9.13.7)
где
и = isin -tjx + cos 2^ ^ = (cos 2^ —sin -t.
Продифференцируем равенство (9.13.7) по t и положим t = 0. Получим
(I + η)(χζ-η+1, χζ"η+1) - (I - η + 1)(χζ"η, χζ"η) = 0.
Использовав условие (1,1) = (2Z)!, получаем утверждение теоремы. D
§ 9.14. МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ КАК МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
В качестве ортонормированного базиса в пространстве Я/ возьмем функции
ιΙ>ηΜ = -7=χ1~η -г<п<г. (9.14.D
у/а-пу.а+пу.
EoiHg€SL2(C), то
™<*-!е7Шъ1т£ы»·™ (9·14·2)
С помощью формулы Тейлора получаем, что
Положим у +1 = a(bx + d). Так как ad — be = 1, мы имеем ах + с = у/Ь и
t/ fg) = J « + >">' b"~m d'-m [yi-m(y + W+n-, (9143)
cmn W γ a - n) I a + n) I (I - m)! a"+m dy'-™ 1У ^ } J'=bc· 1**ь<«
Если geSU(2), то с помощью углов Эйлера можно получить более простую
формулу для tlmn(g). Рассмотрим разложение
7ί(£(φ, 0,1/0) = T,(g(VA 0))T,Cg(0, β, 0))7ifc(0,0,^0). (9.14.4)

434
Глава 9. Сферические гармоники
Из формул (9.12.3) и (9.14.2) следует, что
Τ№φ,0,0))ψη = β-ίη*>ψη9 -Ζ < гг < Ζ.
Это означает, что 7/(£(φ,0,0))— диагональная матрица вида
(#* о Л
Г, (*(</>, 0,0)) =
рЩ-1)Ч>
ν
-ύψ
(9.14.5)
(9.14.6)
J
Матрица для 7ί(£(0,0,*/0) имеет аналогичный вид. Положим
'LW = tL0KO, Μ));
тогда из уравнения (9.14.4) получаем
'L(s) = e-i(m*+^O0).
Обозначим *4„(0), 0 < θ < π, через ^„(cos θ). Тогда
Так как
(cosf isinfA fa ЬЛ
isin* cos Π Э'
lsm2 C0S2/
величина be в формуле (9.14.3) равна —sin2 ^ = (cos0 —1)/2. Заменив теперь
в формуле (9.14.3) у на {ζ —1)12, получаем
(9.14.7)
ρ/ ω _ i-l)l-nin-m I C + m)l f rt4m+n)/2 x
^mnW- 2i у (Z-iO!(l + n)!(l-m)!U+*J X
x (l-z)(n-m)/2£^[(l-z)z-n(l+z)z+n]. (9.14.8)
Мы показали, что P^OO можно вьфазить через многочлен Якоби. Он отличается
постоянным множителем от многочлена
(1 — Z)(m-n)/2(l +z)(m+n)/2p(m-">m+n)(z)
§ 9.15. ЕЩЕ ОДНА ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ
Из формулы (9.12.7) вытекает, что если
g(V.0^) = i(O,0i,O)g(V2,02,O),
то
cos θ = cos θλ cos 02 — sin θλ sin 02 cos φ2. (9.15.1)
Подставляя это соотношение в формулы (9.11.1), (9.14.4) и (9.14.7), получаем
формулу сложения:
ι
ι
k=-l
e-iCm^m/Opijcos 0) = £ е"*^ (cos e^Ccos ад, (9.15.2)

§ 9.15. Еще одна теорема сложения
435
где θ,φ и гр определяются из формулы (9.12.7). При φ2 = 0 и в = вг + в2<п
получаем φ=ψ = 0. В этом случае
ι
PL^0S^l + θ2)) = Σ ^(COS ejPhiCDS 02). (9.15.3)
Jk=-f
Формула сложения (9.15.2) является аналогом формулы сложения Графа
(4.10.6) для бесселевых функций. Формула (9.8.5) — аналог формулы сложения
Гегенбауэра для бесселевых функций. Ее аналог для многочленов Якоби был
найден для β = 0 в работе [478], а в общем случае —в работах [233, 235].
Корнвиндер с помощью формулы сложения нашел интеграл лапласовского
типа для многочленов Якоби, приведенный в упражнении 45 гл. 6, и
интегральную формулу для произведения многочленов Якоби. В работе [234] отмечено,
что можно получить формулу произведения из лапласовского интеграла с
помощью результата из работы [50, с. 392 — 393]. Результат Бейтмена имеет вид
Ря(вЛ(1)Ря(вЛ(1) £й р»(1)
где Ькп определяется из формулы (9.15.4) при t = 1:
rn u; k=0
Бейтмен вывел формулу (9.15.4), показав, что обе ее части являются решениями
уравнения в частных производных
[^ + ((2a + l)ctg?-(2)3 + l)tg?)A + ^ +
+ ((2a + l)cthr} + (2j8 + l)thr})^-]F = 0, (9.15.6)
где
s = cos2£, t = ch2rj.
Вспомним теперь формулу из упражнения 45 гл. 6:
££ю = ξ l[^-a-^\iVY=^ucoseJdmapMX {9Ж7)
?п UJ о о
где α>β>-1/2 и
«4,fe w = j„£%$+1/2) a ->г+**«ш W dud».
Отсюда следует, что
,_Pn(a/,)((l+Jcy)/(JC + y))
(Х + УГ— £7т =
= \ }[ —2 — + V(l-Jf2)(l-y2)"coseJ dmafi{u,e).

436 Глава 9. Сферические гармоники
Объединив эту формулу с соотношениями (9.15.4) и (9.15.5), получаем формулу
произведения многочленов Якоби:
ρία,β)ζχ\ρία,β)ζγ\ Ι π
"г«т п<авл = tan \ ^Рп(а^[{(И-х)(И-у) + (1-х)(1-у)}/2 +
+ y/a-x2Kl-y2)ucos θ -1] dma>/5(u, 0). (9.15.8)
§ 9.16. связь группы SU(2) с группой вращений SO(3)
Описание элементов группы SU(2) в терминах углов Эйлера приводит к мысли
о связи между SU(2) и группой трехмерных вращений. Ниже эта связь описана
в явном виде. Она имеет интересное следствие: пространства сферических
гармоник от трех переменных можно рассматривать как пространства
неприводимых представлений группы SU(2).
Группа вращений SO(3) состоит из таких 3 χ 3-матриц g с вещественными
элементами и определителем 1, что транспонированная матрица совпадает с
обратной к g. Это линейные отображения из R3 в R3, сохраняющие ориентацию
и такие, что |jc|2 = |gx|2 для всех jc€R3. Чтобы определить гомоморфизм ψ из
SU(2) в SO(3), вначале отождествим точки дг = (дг1,дг2>-х,з)€^3 с эрмитовыми
матрицами порядка 2 со следом 0:
и =( -*? *1-*М
Заметим, что detux = —|х|2. При g€SU(2) положим
Ясно, что φ(β)χ — эрмитова матрица со следом 0 и определителем — |х|2. При
этом отображение </?(#) линейно и сохраняет ориентацию. Поэтому можно
отождествить </?(#) с элементом из SO(3), и мы получаем гомоморфизм ψ из
SU(2) в SO(3). Легко видеть, что его ядро равно {±1}. Можно также показать,
хотя мы здесь этого не делаем, что отображение φ сюръективно. Таким
образом, ψ является изоморфизмом между SU(2)/{±/} и SO(3). Вспомним, что
область значений угла Эйлера ψ в формуле (9.12.2) имеет вид [—2π, 2π), а в
случае вращений [0,2π). Это связано с тем фактом, что элементы ±g€SU(2)
соответствуют одному и тому же вращению в SO(3).
Легко проверить, что матрицы ωχ(0, ω2(0, ω3(0 €SU(2), имеющие вид
С cost isinίΛ fcost — siniA fek 0 A
ωΐΜ = ^5ίΐΚ COStJ' ω2Μ = ^5ίηϋ COStJ' ωΐΜ = [θ £* J '
отвечают вращениям (на угол 2t) вокруг осей хг, х2 и х3 соответственно.
С учетом соотношений (9.12.3) и (9.12.4) можно рассматривать любое вращение
с углами Эйлера φ,θ,ψ как произведение вращений на угол ψ вокруг точки х3,
на угол θ вокруг точки хг и на угол ψ вокруг точки дг3-
В оставшейся части параграфа мы покажем что в пространстве Нк(х)
гармонических многочленов степени fc от трех переменных реализуется
неприводимое представление группы SO(3), а следовательно и SU(2).

Упражнения
437
Пусть ψ— гомоморфизм группы SU(2) на SO(3). Мы видели, что </?(gi) =
= (/?(g2), если и только если £ι = ±#2· Ясно, что если U — (неприводимое)
представление группы SO(3) в векторном пространстве V, то ψ · U —
(неприводимое) представление группы SU(2) в V. Обратно, если Г — (неприводимое)
представление группы SU(2) в V, при котором Г(—1) является
тождественным преобразованием, то Г порождает (неприводимое) представление группы
SO(3).
Напомним, что из доказательства леммы 9.13.1 вытекает, что в обозначениях
§ 9.13 функции х1~к еЩ (не путать с Нк(х)) при к = —1,..., I являются
собственными векторами отображения 7](g) с собственными значениями e2ikz (k = —l,..., Ζ),
где g = co3(—t). С помощью этого факта можно доказать, что если U —
представление группы SU(2) в пространстве V размерности 21 +1, a e2llt является
собственным значением для t/(o>3(t)), то пары (U,V) и (Т^Щ) изоморфны.
Справедливо соотношение
V = Hki®+Hk2®...(BHkp
для некоторых натуральных чисел кг,..., кр. Если ρ = 1 и кг = Ζ, то доказательство
закончено. Если ρ Φ1, то к{ < I и собственные значения отображения ί/(ω3(0)
имеют вид e2imt, где \m\ < L Отсюда Vc^Hh и утверждение доказано.
Определим теперь представление U группы SO(3) в Нк(х), положив
i/(g)pW = p(g_1x)
при χ еК3, ρ еНк(х) и ge SO(3). Это в свою очередь определяет представление
U · φ группы SU(2). Заметим теперь, что (дгх + ix2)keHk(x) и что ω3(0
отображается во вращение на угол 2t вокруг х3. Поэтому (χί + ix2)k является собственным
вектором для £/(</?(ω3(О)) с собственным значением e2ikt. Ввиду доказанного
в предыдущем абзаце пространство Нк(х) всех гармонических многочленов
степени к реализует неприводимое представление группы SU(2).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверьте, что единственным полиномиальным решением дифференциального
уравнения
(1-л:2)У/-2(1 + гп)лу/ + (п-гп)(п + гп + 1)у = 0,
где т,ηGΖ, n — m>0, является многочлен С£!^}/2(х).
2. Пусть Vfc обозначает векторное пространство всех однородных многочленов степени
к от η переменных. Для а = (аа,..., ап) положим ха =х"1Х22...х"п и
Da = θαι+α2+· -+а*/дх?дх?...дф.
Если Ρ — многочлен от η переменных, то P(D) обозначает дифференциальный
оператор, полученный путем замены ха на Da в Р(дс)._Для Р, Q G Vfc положим (Р, Q) =P(D)Q
(в случае комплексных коэффициентов P(D)Q). Дркажите, что (·, ·) — скалярное
произведение на Vk.
3. Пусть Δ — оператор Лапласа, к > 2. Докажите, что отображение Δ: Vk —> Vk__2 сюръ-
ективно, показав, что Vk_2 не содержит ненулевого вектора, ортогонального
(относительно скалярного произведения из упражнения 2) всей области значений Δ.
4. Пусть Нк с Vk обозначает подпространство гармонических многочленов,
Lk = {Ρ € Vk I PQc) = |jc|2Q(jc), Q € Vk_2}.

438
Глава 9. Сферические гармоники
Докажите, что
Vk =Hk®Lk.
5. С помощью результата упражнения 4 докажите, что если РеVk, то
Р(х)=Р0(х) + \х\2Р1М + ... + \х\21Р1М,
где Pjf — однородный гармонический многочлен степени fc — 2j (J = 0,1,...,Ζ).
Получите как следствие, что ограничение любого многочлена от η переменных на
единичную сферу является суммой сферических гармоник.
6. С помощью результатов предыдущих упражнений покажите, что размерность скА
пространства сферических гармоник степени к от η переменных равна dim Vk —dim Vk_2,
а также
7. Докажите, что при некотором выборе точек щ, η2,..., tjCm матрица (9.6.9) обратима.
8. Покажите, что функция gξ(η) из формулы (9.7.7) имеет вид S^kjCOSitjO?)·
9. Выведите формулу сложения (9.8.5) из (9.6.8) путем дифференцирования.
10. Докажите теорему 9.9.1.
11. Выведите с помощью соотношения (9.8.5') следующие формулы:
а) формулу произведения Гегенбауэра
С^ Г cos θ 1С^ Г cos iD I n
— -Ζχτ\ = ся § С*(cos 0 cos φ + sin 0 sin φ cos я/0 (sin я/О2*"1 άψ,
где λ > 0 и
c-^isini/O2*"1^;
о
б) интегральную формулу (9.8.1) для ультрасферических многочленов.
12. Докажите, что при λ -> 0 в формулах а) и б) из упражнения 11 получаются известные
формулы
cos πθ cos ηφ = τ [cos π(θ + φ) + cos n(0 — φ)],
cosn^ = i[ein0+e-in0].
13. Пусть x,ysRn, χ=Κξ, у = гт}, |ξ| = |η| = 1, R>r. Заметим, что
|х -У|- = Я-(1 -2(5)f · г, + (02р/2 = Л- Σ СГ^2(С · „)( J)\
fc=0
а) Пусть
Σ^έ:=Κη·Δ).
'аде,
С помощью теоремы Тейлора докажите, что
к\
k-yl2"n=X|^Lrfc(r?.v)fckl2-n
fc=0
б) Выведите формулу Максвелла:
W ν<» W fc! |x|n+k-2 ·
14. Выведите из формулы (9.15.2) следующие формулы:

Упражнения
439
а) ^fc(cos0^(cos02) = ^ I βί^-^-η^Ρΐηη(οο8θ)άφ2;
—π
б) Pi (cos θ1)Ρι (cos 02) = — ^ *ί (cos #ι cos ^2 ~~ sin #ι sul ^2 cos ψ)άφ,
—π
где φ, ψ и θ определены в тексте главы. В формуле б) предполагается, что I целое.
15. В этом упражнении идет речь о производящей функции сферических гармоник
в трехмерном случае. Пусть х = (хг, х2, *з)и ип = (—2t> I—t2, i + it2). Определим Η*(χ),
положив
η
(u-jc)" = [jc2 + ijc3-2x^-^2-0:3)^]" = *" Σ HiWik·
fc=-n
а) Покажите, что Нп = (—l)fcH~fc.
б) Докажите, что Η* (χ) — однородный гармонический многочлен, показав, что
ν2(α·χ)η=0.
в) Пусть v = (—2s, 1—s2, i + is2). Определим многочлен φ (и, ν), положив
φ(4,υ)= $ (α·ξ)η(ΐ7·ξ)η<ίω(ξ).
|ξ|=ι
Используя 0(3)-инвариантность скалярного произведения в L2 на сфере, покажите,
что φ (и, ν) отличается постоянным множителем от (α·ζ7)η. (Заметьте, что и-и = 0
и у·у=0.)
д) Положим S*(£) = |x|~nH*Cx:), где ξ=χ/\χ\. Покажите, что
О, кф\,
Ξ^ξ)^ηίξ)άωίξ) = (
Κ·=1 Г'к Г(п + (3/2))
е) Докажите также, что
S ί(ξ)^(0 <ίω(ξ) = J ' г(1/2)Г(п + 1)Г 2л Л , .'
«ι-1 12π' Γθι+ο/2)) U+J* fc~'·
S* (ξ) = (-1Г* ^l2>_ (ξ2 - ϊξ2Ϋ (1 - ξ2Γ*/2Ρη* (ξ!).
16. Покажите, что ассоциированные функции Лежандра Pfcm(x), которые были
определены в формуле (9.6.7), при гп = 0,1,2,... удовлетворяют рекуррентному соотношению
p?+2w+ (2J2m^
17. Выведите формулы
r(fc + m + l) *
a) Pfcm(jc?=1^^1J $(* + vG^^lcosi/O*cosrm/;cty,
<П Г" fens 01- (-Dm2r(fc + m+l) 1 r a>8ft+l/2)ydy
OJ Fk ICOStfj- ^r(m + 1/2)r(fc_m + 1) (2sinW» J [2 cos φ-2 cos βΓ""1^' ГДе те*>4
о
Ο<0<π, am — неотрицательное целое число.
18. Покажите, что
(-1)_
19. Покажите, что
Pfcm(cos θ) = * iy" I uke-ucoseJm(u sin 0) du.
(λ τη)' λ
[Pm(cos θ)]2 = (fc+m)! У(-1V+™ Ш (fc+-')! sinv θ

440
Глава 9. Сферические гармоники
20. Докажите соотношение (9.10.5):
anS^j,ft)^dt-!:lry+,;)ff.
f-Ηθί ν Γ(1 + (ν-μ)/2)

ГЛАВА 10
Введение в теорию q-рядов
Подсчитывая какие-либо объекты, можно отслеживать их количество с
помощью производящей функции. Это еще один способ появления
гипергеометрических рядов. Например, формула бинома в конечном случае обычно
записывается в виде
η
-кл,к
(х+Уг=Х{Пк)хП~ку
к=0
Коэффициент у1}) выражает количество способов, которыми можно выбрать
п — к объектов χ и к объектов у. Обычное обоснование состоит в том, что
первое у можно поставить на любое из η мест, второе —на любое из п —1
мест и т. д., всего получая
n(n-l)...(n-k + l)
способов. Однако заметим, что первое у можно поместить в любую из к позиций,
второе —в любую из оставшихся к — 1 позиций, и так вплоть до /с-го, так что /с!
построенных размещений совпадают. Поэтому количество комбинаций можно
представить в виде
n(n-l)...(n-fc + l) _ η!
о-
к\
к\(п-к)\·
Последнее выражение выявляет симметрию между к и п — к, вызванную тем,
что можно сначала выбирать объекты х, а не у.
Заметим, что при χ = у = 1 мы имеем
*"=Σ(Ζ)·
fc=0
Таким образом, с помощью биномиальных коэффициентов получено уточнение
более грубого результата: общее количество размещений объектов χ и у в η
позициях равно 2".
Возможно и дальнейшее уточнение. Его удобно проиллюстрировать с
помощью путей по узлам целочисленной решетки в первом квадранте,
начинающихся в точке (0,0) и достигающих точки (п — к, к) за η шагов, каждый из
(1,1)
(1,1)
(0,0)1
(0,0)1
Рис. 10.1

442
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
которых имеет длину 1 и направлен либо вправо, либо вверх. Рассмотрим случай
двух шагов, показанный на рис. 10.1. На левом рисунке площадь под путем [в
первом квадранте] равна 0, а на правом 1. Разделим ί" J путей в зависимости
от площади под ломаной. Поскольку
(х + у)2 = хх + ху + ух + уу,
можно отслеживать площадь, записывая в каждом слагаемом сначала все χ
и добавляя единичную площадь, когда ух заменяется на ху. При выполнении
подсчета будем использовать параметр q, подчиненный условию
ух = qxy.
Так как мы хотим собрать все q вместе, будем также считать, что
yq = qy, xq = qx.
В качестве упражнения рассмотрим случай (х + у)4. Коэффициент при х2у2
определяется шестью рисунками, и производящая функция для суммирования
площадей под путями на этих шести рисунках имеет вид
l + q + 2q2 + q3 + q4.
Несложно сообразить, что это выражение приводится к виду
(l + q2)(l + q + q2),
который означает, что этот коэффициент обладает некой структурой. Можно
переписать это выражение в форме, подсказывающей общий вид коэффициентов,
но его можно найти более изящным способом. Вспомним свойство треугольника
Паскаля, составленного из биномиальных коэффициентов:
("i')-(:WA> «°·°·»
Его можно обосновать комбинаторным рассуждением, поскольку (п + 1)-я
позиция содержит χ в ( !М случаях и у в ί, " J случаях.
Однако равенство (10.0.1) вытекает также из равенства
(х + у)п+1 = (х + у)п(* + у).
С помощью указанного метода мы найдем q-биномиальные коэффициенты Г " 1 ,
которые определяются равенством
η
(χ+уГ = Σ[ I ] *п~кУк> (10·0·2)
где
Из равенства
вытекает, что
к=0
ух = qxy, xq = qx, yq = qy.
fc=0 fc=0

Глава 10. Введение в теорию q-рядов
443
Так как
мы получаем
к к к
уКх = qKxyK,
ΓηΊ _l-q—* Г η 1
lklq~ l-q* LKc-lJq-
едуру, получаем
Гп] =(l-qn+1-*)...(l-qn)rri1
Iklq (i_qfc)...(i_q) LoJq
Это q-обобщение равенства (10.0.1). При q = l с треугольником Паскаля
связано лишь одно соотношение. В общем q-случае имеется и второе. Рассуждая
так же, как выше, из равенства
(х + у)п+1 = (х + у)(х + у)п
получаем
В совокупности соотношения (10.0.3) и (10.0.4) приводят к равенству
1_qn+l-ki
Jq 1-q*
Повторяя описанную процедуру, получаем
(1-ςη+1-*)...(1-ςη)ΓΓΓ
Но г π
откуда следует, что
Г«1 = (l-q)...(l-qn) = (5£ς)η (1Q Q 5)
где
П
(ς;ς)π = Π(1"(ϊ;)· (ιαα6)
Формулу (10.0.5) можно записать также в виде
где
π!ς = (1 + ς)...(1 + ς + ... + ςη-1) = (ς;ς)η(1-ςΓη. (10.0.8)
Теперь обсудим, существует ли коммутативное обобщение биномиальной
теоремы, использующее q-биномиальные коэффициенты. Чтобы это выяснить,
в равенстве (10.0.2) заменим у на ху. Это возможно, поскольку у(ху) = (ух)у=
= q(xy)y. Тогда
η
fc=o ч
Заметим, что (xy)k = xyxy...xy = xkykqkik~v>t2. С другой стороны,
(х + хуКх+ху)...(х + ху) = ха + у)...х(.1 + у)х(.1 + у) =
= х(1 + у)...х(1 + у)х2(1 + qy)(l + у) = хп(1 + y)(.l + qy)..Xl + qn~1y)·

444
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Следовательно,
η
(1 + 7)(1 + ςχ)...(1 + ςη-ν) = Σς^-1)/2[2]7". 00.0.»
fc=o q
Заменив у на у/х, получаем
η
(jc + y)(jc + qy)...(JC + qn-V) = Σ[*] ЧЩ-1)/2*п-у. (10.0.10)
fc=o ς
Это и есть q -обобщение биномиальной теоремы. Некоммутативная
биномиальная теорема доказана Шютценберже [337]. Еще в XIX в. q-биномиальную
теорему независимо доказали несколько математиков. Истолкование q
-биномиальных коэффициентов в терминах площадей под ломаными принадлежит
Пойа [291, т. 4, с. 444].
В случае бесконечного разложения q-биномиальная теорема может
рассматриваться как аналог формулы для бета-интеграла на интервале (0,1) в терминах
гамма-функций. Чтобы показать это, мы введем q-интеграл. В явном виде это
было сделано Томе и Джексоном, но основная идея принадлежит Ферма. Мы
построим также q-обобщения гамма- и бета-функций.
Обобщением q-биномиальной теоремы служит 1ψ1 -формула Рамануджана.
Ее можно рассматривать как q-обобщение формулы для бета-интеграла на
интервале (0, оо). Формула Рамануджана и одно из ее следствий, тождество
тройного произведения Якоби, очень важны в теории чисел. Мы покажем, как
из них вытекают результаты о представлении чисел в виде суммы квадратов.
Оставшаяся часть главы посвящена изучению некоторых других важных
q-бета-интегралов и построению элементарной теории базисных
гипергеометрических (и q-гипергеометрических) рядов. Будет также дан очень краткий
обзор теории q-ультрасферических многочленов. Отметим, что некоторые из
этих бесконечных рядов и произведений одновременно являются модулярными
функциями.
§ ЮЛ. q-ИНТЕГРАЛ
Еще до систематического построения анализа Лейбницем и Ньютоном во
второй половине XVII в. математики в разных концах света пытались вычислить
интеграл
\xadx.
о
Например, Архимед вычислил его при α = 2. Он сделал это двумя различными
способами: в одном случае использовалось значение суммы 12 + 22 + ... + п2,
известное вавилонянам уже 1700 до н.э., а в другом —сумма конечной
геометрической прогрессии. В начале XVII в. этот интеграл был вычислен для
других небольших значений α (согласно некоторым источникам вплоть до
девяти). Трудность, с которой сталкивались тогдашние математики, состояла
в рассмотрении сумм 1к + 2к +... + пк в общем виде. Подходящий метод нашли
в 1650-е гг. Ферма, Паскаль и другие. Ферма нашел также более легкий способ

§ 10.1 q-интеграл
445
вычисления этого интеграла с помощью геометрической прогрессии. Изучая
греческих авторов, Ферма мог заметить, что Архимед также применял
геометрическую прогрессию, вычисляя квадратуру параболы. Дальнейшие исторические
сведения и библиографию см. в работах [113] и [112].
Применим к отрезку [0, а] геометрическое разбиение, т. е. разделим его на
отрезки с концами {хп}%, где xn = aqn, 0<q<l. В этом случае интегральная
сумма имеет вид
00 00
X>na(*„-W = 2>qT(aqn-aq"+1) =
n=0 n=0
= a°+1(l-q)^g(a+1)" = ai+-q«"ig)· 0ΩΛΛ)
n=0
Ферма рассмотрел случай a = ί/m, где ί и m — натуральные числа. Положим
t = qi/m и запишем соотношение (10.1.1) как
а('Т(1+7Г) = a?*** } + t + ~ + 5\ - S^ja^f» при t - 1. (Ю.1.2)
1 — tm+l 1 +1 +... + tm+/_1 m + £ r
Таким образом, Ферма вычислил интеграл для рациональных а.
Томе [379], а позже Джексон [207] ввели q-интеграл, который определяется
как
а »
$ /(jc) dqjc = J] /(aqn) (aqn - aqn+1). (10.1.3)
0 n=0
Назовем dqx мерой Ферма. Джексон определил также интеграл на луче (0, оо)
по формуле
00 °°
$ /(*) dqx = (1 - q) J] f{qn)qn. (10.1.4)
0 n=—оо
Заметим, что
lim ξ /(χ) dqx = § /(*) dqx.
N~>0° о о
Идея заключается в том, что при 0 < q < 1 точками деления интервала (1, оо)
являются q"1^"2^"3,... Легко видеть, что если функция f(x) непрерывна на
(О, а), то
lirr^ \ /(or) dqx = $ /(or) dx. (10.1.5)
Ясно, что q-интеграл можно найти для любой непрерывной функции, но
важно иметь в виду, что результат должен быть интересным и удобным в
применении. В конце концов, Ферма использовал q-интеграл, потому что
геометрическую прогрессию можно просуммировать.
Пусть fix) =jcge""1(1 —jc)^""1; мы хотели бы получить аналог бета-интеграла.
В формуле (10.1.3) этой функции /Qc) отвечает сумма
V qite-1) (1 - q")**-1 (q" - qn+1).
Σ
n=0

446
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Мы не можем просуммировать этот ряд из-за множителя (1 — qnY г. Поэтому
будем искать такую функцию /q(x), что
fqM -> Xе"1 (1 -χ)β~λ при q -> 1 -О
ι
и q-интеграл § fq(x) dqx можно представить в удобной форме. Кажется весьма
о
вероятным, что х""1 следует оставить в прежнем виде. Можно разложить
CI—jc)^""1 в степенной ряд по х, а затем решить, что делать с коэффициентами.
По биномиальной теореме
~ (а),
(1-*Γα = Σ^χ* при|х|<1.
fc=0
Теперь нам нужны q-аналоги величины fc! и, далее, величин (а)ь а в итоге
аналог биномиальной теоремы как таковой.
§ 10.2. q-БИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Чтобы ввести k\q, т.е. q-аналог величины fc!, заметим, что ввиду
соотношения (10.1.2) мы должны заменить целое число m выражением 1 + q +... + q"1"1 =
= (1 —qm)/(l —q). Таким образом,
^(l-q)(l-q2)...(l-q*)
*"« (l-q)(l-q)...(l-q) '
и можно заменить сдвинутый факториал (а)к на
(l-gtt)(l-gtt+1)...(l-gtt+*-1)
(l-q)*
Положим
(a;q)k = (l-a)(l-aq)...(l-aqfc-1). (10.2.1)
00
Теперь ряду ^(,а)кхк/к\ отвечает q-ряд
fc=0
00 (qa;<z)
к=о
У ψψχΚ (Ю.2.2)
Этот ряд можно просуммировать; его сумма выражена в терминах
бесконечных произведений в следующей теореме, которая называется q-биномиальной
теоремой. Чтобы понять, как суммируется этот ряд, рассмотрим следующее
доказательство биномиальной теоремы. Положим
(а);
fc=0
Сначала продифференцируем:
во
(а)
(
Jt=l
8αΜ=Σψχ", Μ<1.
*«W = Σ (Й)!^"1 = °«.+ιW·

§ 10.2. q-бинамиалъная теорема
447
Чтобы избавиться от ga+i(x), рассмотрим уравнения
«.ex) -^сх)=Σ (a)t"fc(r+lv=Σ (a+1)*-i[°-(a+fe)V=-^icx).
Исключая из двух уравнений ga+iW> получаем
ggW a
ga(jc) 1-х'
откуда следует, что
Применение этой идеи к суммированию ряда (10.2.2) требует введения
q-разностного оператора. Он определяется формулой
д fW = fOO-fW = fMzim, (ю.2.3)
Теперь мы сформулируем и докажем q-биномиальную теорему.
Теорема 10.2.1. Если \х\ < \, \q\ < \, то
Sfoq)fcxfc^ (α^;ς)οο
где (a;q)00 = n(1~^ )·
fc=0
Первое доказательство. Положим
'°W Zj(q;q)fcX·
tog).
fc=0
Применим к обеим частям равенства q-разностный оператор Aq. Тогда
/«W-/«(?*) _y (a;q)
fc=0
fc=1 №«)« &
ИЛИ
Далее,
или
= α-αΐΥ1^^-1^-1 = (l-a)V tag;gV = (l-a)f Ос)
/aW -/a(<Z*) = (1 -a)xfaqW.
/flW-/flqW=2i^^(l-a--l + aqV=--axfflqW,
fc=0
/a(x) = (l-ax)/flq(x).
Исключая faqW из двух уравнений, получаем
/aC*) = Y^/a(q*).

448
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Применяя это соотношение η раз и переходя к пределу при η -»оо, в итоге
получаем
Теорема доказана. D
Второе доказательство. Бесконечное произведение (ax;q)*/(x;q)* при
фиксированных а и q равномерно и абсолютно сходится в области \х\ < 1 — е и,
следовательно, представляет собой аналитическую функцию в области \х\ < 1.
Рассмотрим ее разложение Тейлора при \х\ < 1:
(ax;q)a_
п=0
Ясно, что
'«-ϋ£-Σ^·
FW=\^-F(qx).
Отсюда следует, что
00 00
а-х)^Апхп = (l-ax)J]AnqV.
п=0 п=0
Приравняем коэффициенты при хп в обеих частях равенства. Получаем
_l-aqn-1 _(α^
l-qn "'^(qiqV
Второе доказательство завершено. D
Замечание 10.2.1. Бесконечное произведение из q-биномиальной теоремы
естественно возникает и в том случае, когда мы ищем аналог для (1—дс)"а. Действительно,
пусть а равно натуральному числу п. Возможный q-аналог для (1—х)~п имеет вид
1 = (l-g^Xl-g"*1*)... = (дядг;д),
(l-jc)(l-qjc)...(l-qn-1jc) (l-*)(l-q*)... taq). *
Последнее выражение имеет смысл, даже если η не является натуральным числом,
поэтому можно рассматривать (ajtjq^/Otjq)».
Теорема 10.2.1 имеет много интересных частных случаев.
Следствие 10.2.2. а) (Эйлер) Σ 7^^ = 7^ΓΓ> \χ\<1> ΙίΙ<1·
n=Q V4> Ч^Л V*j4Joo
00 Γ—Ήηπν2)γη
б) (Эйлера Σ fa.fl^ =Cx;g)w lql<l-
n=0 ^ 4^n
в) (Pome) Sri! (-l)fcq^)jcfc = (x;q)N = (l-x)...(l-Jcqw-1).
fc=oL * Jq
r) ΣΙ ι ~ 1 *k = 7—Γ" = 7^ ч—71 jtt:> Μ < l· где а-биномиалъный
коэффициент равен
[ I ] = Gz; q)n/(q; q)*(q; q)n-*·
Доказательство, а) Положим в теореме 10.2.1 a = 0.
б) Заменим а на 1/α, χ на ах и затем положим а = 0.

§ 10.2. q-биномиалъная теорема
449
в) Положим a = q~N.
г) Положим a = qN. D
Замечание 10.2.2. По-видимому, q-биномиальная теорема была независимо
установлена несколькими математиками, в том числе Гауссом [159], Коши [79] и Гейне [187].
Первая формулировка q-биномиальной теоремы в форме, близкой к следствию 10.2.2 в),
была, видимо, опубликована Роте [323]. (Он сформулировал равенство (10.0.10), но
с опечаткой.) О ссылках на Эйлера в следствии 10.2.2 см. [10, с. 30].
В большинстве случаев мы не даем детальное обоснование предельных
переходов. Однако в данном случае интересно и важно его знать. Поэтому
завершим этот параграф доказательством (см. [240]) того факта, что обычная
биномиальная теорема получается из q-биномиальной при q -»1 — 0.
Доказательство теоремы 10.2.4 будет опираться на следующую лемму,
доказательство которой мы опускаем.
Лемма 10.2.3. Пусть μ,λ,χ — вещественные числа; 0 < μ — Я < χ; μ + Я > 1;
/ft) = g1_eV+1> , t>o.
Тогда /'(О < 0 при t>0.
Теорема 10.2.4. Пусть Я и μ —вещественные числа. Тогда
ς->ι-ο(ςμ*;ς)«>
равномерно на множестве {х е С: \х\ < 1} при μ>λ, μ + λ>\,αβ остальных
случаях равномерно на компактных подмножествах из множества {хеС: \х\ < 1,
χφΐΥ
Доказательство. Вначале заметим, что поскольку
(дя*;д)оо_ igxx;g)i (дя+*х;д), пс\оал
Wx; q). (q"x; q)m (q"+m*; q).' ^mM)
можно подобрать такие ί и m, что μ + m> Я + ί и μ + λ + \ + m> 1. При этом первая
дробь в правой части равенства (10.2.4) стремится к (1—х)х~ш равномерно на
компактных подмножествах из множества {х е С: \х\ < 1, χ φ 1} при q —> 1 — 0.
Как следствие, нужно рассмотреть лишь ситуацию, когда μ>Яиμ + Я>l. По
q-биномиальной теореме левая часть равенства (10.2.4) равна
(q*-y*;q) ,ff-^ q»-qX+1 q^-qx+n~l
Wx;q) . ~ X + Zj "T^" * "Т^"- 1-q" * ' llu""J
n=l
Легко проверить, что величина (qM — qA+fc)/(l —qk+1) возрастает вместе с q при
Я + fc > μ, откуда следует, что
l-qfc-ы %Нью l-q*+1 "" Jk + 1 *
Пусть m — наибольшее целое число, для которого Я + m — 1 < μ. Тогда при \х\ < 1
имеем
1-q ·" l-qm i_qm+i - x_qn * ^
< 9μ-<ΙΛ qM-qA+m"1 λ-μ + m Я-μ+η-Ι
^ 1-q '" l-qm * m + 1 "" π '

450
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
и ряд (10.2.5) начиная с m-го слагаемого мажорируется сходящимся рядом
\4μ~4λ
Ι ι-ς '
qM-qA+m-i, (λ_μ + πι)πηι
" 1-q» |Zj (m + l)„_m ,Χ·
sup
0<q<l
Как следствие, в равенстве (10.2.5) можно почленно перейти к пределу, и мы
получим
Ш„ ^^ = 1 + νθ£ζ^χΠ = (1_χ),-Α. (10.2.6)
q-i-o(q"x;q)„ Δα nl
n=l
Теорема доказана. D
Точно так же, если в следствии 10.2.2 а) мы заменим χ на (1—q)x и перейдем
к пределу при q -»1 — 0, то ряд будет сходиться к ех:
lim ττί—\ 4"=^, (10.2.7)
q->i-o(d-q)*;q).
и мы получаем q-аналог показательной функции. Сумма в следствии 10.2.2 б)
также дает ряд, сходящийся к экспоненциальному, но вид бесконечного
произведения эквивалентен (10.2.7). Аналогично
lim (-(l-q)*;q)co=e\ (10.2.8)
q->l-0
Функции, использованные в формулах (10.2.7) и (10.2.8), иногда обозначаются
по-другому:
№=m=krt:· αα2·9)
EqW := (-(l-q)*;q)«. (10.2.10)
§ 10.3. q-ГАММА-ФУНКЦИЯ
Вернемся к проблеме отыскания аналога бета-интеграла по интервалу (0,1).
Ввиду теоремы 10.2.4 будет разумно заменить
на
Запишем q-биномиальную теорему в виде
Σ(ςη+1;ς)οο^η (ах;д)Лд;ч)» πότη
(q^jq)» Cx;q).(a;q). " UU"AJJ
n=0
Заменив в равенстве (10.3.1) χ на qa и α на q^, получаем
с X^^1SL· dx = (1-У;Чв"Уч)"· ao.3.2)
jj (qpx;q)~ q (qa;q).(q^;q)-
Это q-обобщение равенства

§ 10.3. q-гамма-функция
451
Чтобы записать в похожем виде равенство (10.3.2), нам требуется q-вариант
гамма-функции. Существование полезной функции n\q указывает на
возможность подходящего аналога гамма-функции. Последуем методу Эйлера и будем
искать интерполяционную формулу с помощью бесконечных произведений. Мы
имеем
. _ (q;q)n _ fog)* η^π^ι
ПЧ - a-qy - a~q)4qn+1;q)J O<q<1'
В последнем выражении не требуется, чтобы η было натуральным числом,
поэтому положим
ГЯМ := ^^U-q)1"* ПРИ 191 < 1- С10·3·3)
Здесь мы берем главные значения функций qx и (1 — q)1-*. Тогда Γς(χ)
является мероморфной функцией с очевидными полюсами при х = — n±2mfc/lnq,
где к и η — неотрицательные целые числа. Нетрудно видеть, что вычет при
х = — η равен
(q-";q)„lnq-ie
Поскольку Γς(χ) не имеет нулей, l/rqQc) является целой функцией. Проверка
этих фактов предоставляется читателю. Перечисленные свойства функции Tq Qc)
аналогичны свойствам функции Г(х). Теперь можно записать равенство (10.3.2),
которое на самом деле является другой формой q-биномиальной теоремы,
следующим образом.
Теорема 10.3.1. Справедливо равенство
w-i^v-^
rq(a)rq(j8)
(α + jS) ■
Замечание 10.3.1. На первый взгляд может показаться, что можно заменить
(1—х)р~г на (q1"^*; q) «,/(*; q)«» но это не слишком полезно. Функция (1—χΫ'1
положительна на интервале интегрирования (0,1), и 1-х обращается в нуль при χ = 1. В q-ин-
теграле множество точек суммирования имеет вид qn, η = 0,1,2,..., т. е. это дискретное
множество точек на отрезке [0,1]. Первая точка справа от интервала, где наша функция
должна обратиться в нуль,—это q"1. Чтобы получить функцию с указанным свойством,
заменим xq~p на χ в обоих бесконечных произведениях. Получаем (qx;q)«>/(q^x;q)oo·
Можно было использовать также функцию (q1~px;q)00/iXyq)co, но тогда нужно брать
q-интеграл на отрезке [0,q^].
Теорема 10.3.1 дает одно основание принять Γς(χ) в качестве естественного
q-аналога функции Г(х). Другое основание состоит в следующем. По теореме
Бора—Моллерупа Г(х) — единственная функция, которая удовлетворяет
функциональному уравнению
/Qc+1) = */(*), Д1) = 1,
и при этом логарифмически выпукла. Можно показать, что rqQc) —
единственная функция, которая удовлетворяет функциональному уравнению

452
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
и при этом логарифмически выпукла. Доказательство последнего факта
совпадает с доказательством теоремы Бора—Моллерапа и содержится в гл. 1.
См. упражнение 10.
Исходя из определения функции Γς(χ) и теоремы Бора—Моллерапа можно
предположить, что lim Г0 (х) = Г(х), и это действительно так. Мы получим это
q->l-0 4
в качестве следствия теоремы 10.3.3, для доказательства которой потребуется
следующая лемма.
Лемма 10.3.2. Если /(1) =/(2) =g(l) =g(2) = 0 и 0 </"(*) <g"№ прих>0,
то /Qc) < g(x) на множестве [0,1] и [2, оо) и /Qc) > g(x) на множестве [1,2].
Доказательство. Легко видеть, что при хе [1,2] выполняется равенство
2
/Qc)=$h(x,t)/"(t)dt,
ι
где
w ч f(jr-2)(t-l), Kt<x<2,
Hx,t) = <
[(t-2)(x-l), 1 < jc < t < 2.
Так как функция h(jc,t) отрицательна при х,tε [1,2], f(x)>g(x) на отрезке
[1,2]. Без потери общности можно считать, что f(x) = 0. Мы только что
показали, что в этом случае g{x) < 0 на отрезке [1,2] и g{x) =0 на его концах. По
теореме о среднем значении g' обращается в нуль в некоторой точке интервала
(1,2), и, так как gf возрастает, g'(x)<0 при 0<х<1 и g'(x)>0 при х>2.
Значит, g убывает на интервале (0,1) и возрастает на (2, оо). Отсюда вытекает
утверждение леммы. D
Теорема 10.3.3. При 0 < г < q < 1 выполняются неравенства
ГДх) < Γς(χ) < Г(х), 0<х<1илих>2,
и
Г(х)<Гч(х)<Гг(х), 1<х<2.
Доказательство. Заметим, что
j2 ^—^1 пх+п
^lnrq(x) = (lnq)2X;-^-¥>0.
n=0 H
Покажем, что каждый член ряда
Ш - (1_qx+„)2
возрастает на интервале (0,1). Положим а = п + х; тогда
, _ aq'-1(lnq)(l + q-)r2(l-q'1) "|
Чтобы доказать, что h! > 0, достаточно установить отрицательность выражения
в квадратных скобках, которое мы обозначим g(q). После несложных выкладок
получаем
я'(о) - u ч \ ^о, а > 0.
*w q(l + qa)2 ' ч

§ 10.3. q-гамма-функция
453
Так как g(l) = 0, мы имеем g(q)<0 на полуинтервале (0,1]. Поэтому функ-
d2
ция h(q) возрастает, а тогда и -j-j In rq (χ) возрастает при 0 < q < 1. Это означает,
что
^1пГг(дг)< ^lnTqU), 0<r<q<l, х> 0.
При этом
In ГД1) = In Γς(1) = In ГД2) = In rq(2) = 0.
Теперь утверждение теоремы вытекает из леммы 10.3.2. D
Следствие 10.3.4. lim Γ0(χ) = Γ(χ).
q->l-0 Ч
Доказательство. Из теоремы 10.3.3 вытекает, что предел lim Г0(х) = А(х)
q->l-0 H
существует. Он удовлетворяет условиям теоремы Бора—Моллерапа. Поэтому
А(х) = Г(х) и следствие доказано для 0<*<«>. Для вещественных не целых
значений аналогичный результат следует из функциональных уравнений. Для
комплексных χ остается применить теорему Стилтьеса—Витали. Об этой
теореме см. в работе [194, с. 251]. (О доказательстве следствия 10.3.4, принадлежащем
Госперу, см. в [11, с. 109].) D
Имеется несколько результатов относительно rqQc), аналогичных
соответствующим утверждениям о Г(х). Следующая теорема содержит аналоги
формулы удвоения Лежандра и формулы умножения Гаусса.
Теорема 10.3.5. а) Справедливо равенство rq(2x)Tq2(l/2) = (l + q)2x~1x
xrq2(jc)rq2(jc+l/2).
б) Пусть г = qn. Тогда
Гч(лх)ГД1/л)ГД2/л)...Гг((л-1)/л) =
= (1 + Ч + ... + Чп-1)^-1Гг(х)Гги + 1/л)...Гг(х+(л-1)/л).
Доказательства очевидны и предоставляются читателю в качестве
упражнений. Следующие две формулы можно рассматривать как асимптотику функции
Γς(χ) при больших х, но они иной природы, чем формула Стерлинга. Они
вытекают из следствия 10.2.2:
00
rq(x) = (q;q)»(l-q)1-JCJ](^, Rex>0, (10.3.4)
n=0
F-7-T = г л У г л > Re jc > 0. (10.3.5)
Tq(x) (q;q)„ ^ (q;q)„
4 n=0
Вспомним теперь, что функция 1/Г(х) имеет нули при х = 0,— 1,— 2,...,
а 1/Г(1 — х) — при χ = 1,2,3,... Поэтому их произведение имеет нуль при всех
целых х. Этот факт принадлежит к числу свойств, отраженных в формуле Эйлера
Г(х)Г(1 - χ) = π/ sin πχ.
Аналогично функция l/rq(x) имеет нули при х = — л из-за наличия множителя
(q*;q)oo· (На самом деле l/rq(x) имеет нули при х = — n±2nik/]nq, где /си л —
неотрицательные целые числа.) Поэтому в качестве функции, у которой все
целые точки —нули, можно взять (qJC;q)oo(q1~JC;q)oo = (qJC)q)oo(q/q:,c;q)oo· Заменив

454
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
qx на у, запишем функцию в виде (у; q)a>(q/y; q)»· От этой функции мы ждем
интересных свойств. И действительно, это одна из тэта-функций, открытых
Гауссом и Якоби; она служит темой следующего параграфа.
§ 10.4. ТОЖДЕСТВО ТРОЙНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Тождество тройного произведения выражает Qc; q)oo(q/*; q)oo(q; q)oo в виде ряда
Лорана при 0 < \х\ < оо. Одно доказательство этого тождества вытекает из
ограниченной q-биномиальной теоремы Роте, содержащейся в следствии 10.2.2. Это
доказательство было известно Гауссу [160] и Коши [80]. В конце предыдущего
параграфа мы отметили, что бесконечное произведение Qc; q)oo(q/*; q)»
естественно возникает, когда мы ищем q-аналог формулы отражения Эйлера. Мы увидим,
что ряд Лорана в этом тождестве также естественно возникает из некоторого
приближения интеграла Пуассона римановыми суммами. Отсюда возникает
вопрос, нельзя ли получить тождество тройного произведения, рассматривая
ряды. Ответ утвердительный, и это приводит к другому доказательству тождества.
В конце параграфа мы приведем ряд тождеств, которые являются простыми,
но важными следствиями тождества тройного произведения. В последующих
параграфах мы дадим приложения к теории чисел и комбинаторике.
Теорема 10.4.1. При |q| < 1 и хеС\ {0} выполняется равенство
00
(*;q)oo(q/*;q)oo(q;q)oo= J] (-1)*ςΦχ*.
fc=-oo
Доказательство. Положив N = 2n в следствии 10.2.2 в), получаем
(*;q)2„= Σίη + k] (-D^q^^^/V^.
к=-п Я
Теперь заменим χ на xq~n и запишем (xq"n; q)2„ в виде
(*Г"; qinOd 9)n = (-l)nxnq-n4n(n-1)/2(q/x; q)„(x; q)„.
Тогда предыдущее неравенство принимает вид
При η —> оо получаем
(q;qW(q;q)n-k
к=—п
U;q)oo(q/^;q)oo= £a (q;q)„ '
Лс=-оо
Этот предельный переход можно обосновать с помощью теоремы Таннери.
Тождество из теоремы 10.4.1 называется тождеством тройного произведения. D
Замечание 10.4.1. Заменим в тождестве q на e~2t и χ на — e~Ve. Получаем
00 00
J] e-V9 =]~[(H-2e-(2n+1)tcose+e-(4n+at)(l-e-2Cn+1)t).
k=-oo п=0

§ 10.4. Тождество тройного произведения
455
Левая часть является решением уравнения теплопроводности
д2и _ ди
дв2 " dt'
Правая часть при t > 0 положительна, поскольку
l + 2rcos0 + r2>l-2r + r2 = (l-r)2>O
при 0<г<1. Положительность левой части не очевидна. Таким образом, две части
равенства дают два разных свойства функции. Ясно, что правая часть определяет также
ее нули.
Ввиду важности тождества тройного произведения рассмотрим его и с
другой точки зрения. Заменив q на q2 и χ на —qjc, получаем
00
Ых;q2)»(-q/*; ч2)Лч2; ς2)» = Σ q"V. (io.4.i)
п=—00
Сумма в правой части равенства (10.4.1) связана с одним важным интегралом.
Рассмотрим интеграл Пуассона
00
/π= § е~~х ах.
— 00
Сдвинув χ на α/2, получаем
00
ea2,4fE=\e-x2-axdx.
00
Аппроксимируем этот интеграл суммой по дискретной одномерной решетке
с шагом δ:
00
-δ2η2-αδη
δ Σ β"52"
Здесь естественно спросить, насколько близка эта сумма к интегралу при малых
δ. Чтобы получить ответ, рассмотрим формулу из упражнения 30 гл. 2:
00 00
J] е-«(п+а)2 _1^ e-nn*/te2mna (10.4.2)
П=—оо V n=—оо
Когда t мало, слагаемые в левой части при малых значениях η близки к 1, но
все слагаемые в правой части, кроме одного, очень малы. Поэтому выражение
в правой части очень удобно для вычисления суммы ряда при малых t. Позже
мы увидим, что есть и более глубокая причина, по которой формулу преобра-
00
зования (10.4.2) следует считать важной. Она показывает, что J] q"2 является
—00
модулярной формой.
Вернемся теперь к сумме из теоремы 10.4.1 при дг = 1. Она равна А =
= Σ(— 1)ης^2λ Применив замены переменных п->-пип->п + 1, получаем
—00
00 00
А= 2 (_!)πςπω+ΐ)/2 _ 2(_l)n+iq«C«+1)/2=_A

456
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Значит, А = 0. Положим
П=—оо
Тогда
00
H(qx) = - j Σ (-1)П+1<1!Ш?и*П+1 = ~lHW>
П=—оо
ИЛИ
H(x) = -xH(qjc). (10.4.3)
Их этого уравнения вытекает, что если χ является корнем уравнения Н(х) =0,
то это верно для qx и x/q. Поскольку мы знаем, что jc = 1 является корнем,
корнем является и qn при любом целом п. Следовательно, Н(х) делится на
T(jc) = (jc;q)00(q/jc;q)00. Без учета теоремы 10.4.1 нельзя быть уверенным, что
Я (х) не имеет других нулей. Однако можно показать простым вычислением,
что
Таким образом, Г(х) удовлетворяет тому же функциональному уравнению, что
и Н. Следовательно, разложение в ряд Лорана (10.4.1) однозначно определено
в выколотой окрестности нуля с точностью до постоянного множителя. Отсюда
следует, что
Г(х) = C0(q)H(x).
Заменив q на q2 и χ на — qx, получаем
00
Ых; q2)»(-q/*; q2)* = C0(q2) J] q"V. (10.4.4)
П=—оо
Есть много способов найти C0(q2). Мы применим подход Гаусса и Якоби. Другой
метод, также принадлежащий Гауссу [161] и использующий арифметико-геомет-
рическое среднее, содержится в упражнении 13. Существуют и комбинаторные
методы, но мы не будем их здесь излагать. Один такой метод приведен в
следующей главе.
Положим х = 0 в формуле (10.4.4). Получаем
(-£q;q2)oo(iq;q2)co = С0(д2)Г ^ (-DV' + i Σ C-l)nqi2n+1)2].
I_n=—оо п=—оо J
Так как левая часть вещественна при вещественных q, мы имеем
00
(-iq;q2)oo(iq;q2)» = C0(q2) J] (-ΌΥ"2-
П=—оо
Левая часть совпадает с (—q2; q4)*,. Положив теперь в равенстве (10.4.4) jc = —1
и заменив q на q4, получаем
00
(q4;q8)2=C0(q8)2(-l)V·2·
П=— оо

§ 10.4. Тождество тройного произведения
457
Из последних двух тождеств вытекает, что
с0(д2) = (-д2;д4)оо (g2;?4)» = (ς8; ς8)»
C0(q8) (q4;q8)2w ' (q2;q4)o, (q2;q2)o/
Отсюда следует, что
Co(q2)(q2;q2)oo = C0(q2-22)(q2-22;q2-22)„ = Co(q2-22")(q2-22";q2·22")».
00
Заметим, что (ς;ς)„ и ]£ qfc2jcfc — непрерывные функции от q при |q|<l.
fc=-oo
Поэтому функция C0(q2) также непрерывна, откуда следует, что С0(0) = 1. При
η —> оо получаем
C0(q2)(q2;q2)oo = l.
Отсюда следует, что C0(q2) = l/(q2; q2)oo, и мы получаем другое доказательство
тождества тройного произведения.
Следствие 10.4.2. Справедливы равенства
Σ <?2=П(1"^2П)(1+92п"1л 0^ (10·4·5)
п=-оо п=1
00 00
J] (-l)nqn2 = [~[(1 -q2n)(1 - q2""1)2, (Гаусса (10.4.6)
п=-оо п=1
00 00
J] (_l)«q"(3n+i)/2 = ]~[(1 - q"), (Эйлера (10.4.7)
п=-оо п=1
00 00
J] qnCn+1)/2 = J"] К1 -q2n)/d -q2n+1)]. (Гаусс; (10.4.8)
п=0 п=1
00 00
Σ(-1)π(2η + l)qn(n+1)/2 = [~](1 - qn)3. 0»cd6uJ (10.4.9)
п=0 п=1
Доказательство. Тождества (10.4.5) и (10.4.6) очевидным образом
следуют из формулы (10.4.4). В свою очередь, тождество (10.4.6) следует из (10.4.5)
после замены q на —q. Чтобы получить тождество (10.4.7), заменим q на q3/2
и положим jc = — yq. Чтобы доказать формулы (10.4.8) и (10.4.9), в тождестве
из теоремы 10.4.1 заменим χ на — qx и получим
00 00
2д«("+1)/2(хп + д.-П-1) _ (1 + 1/χ)]~[(1_ςη)(1 + ςη/*)(1 + ςη*). (Ю.4.10)
п=0 п=1
Положим х = 1. Тогда
£qn(n+i)/2 = pjcd-q^/d.qn)] = = fjtd-q^/a-q2^1)].
п=0 п=1 п=1
Мы получили тождество (10.4.8). Разделив теперь равенство (10.4.10) на х + 1
и перейдя к пределу при х->— 1, получаем тождество (10.4.9). Следствие
доказано. Π

458
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Последовательности чисел {п2}, {п(п + 1)/2}, {п(Зп±1)/2} — это
квадратные, треугольные и пятиугольные числа соответственно. Они представляют
интерес в теории чисел, и их появление в ряде в качестве показателей степеней q
делает вышеприведенные тождества полезными в комбинаторной теории чисел.
Замечание 10.4.2. Гаусс и Якоби открыли тождество тройного произведения
независимо. Результаты Якоби, включая тождество (10.4.9), содержатся в его знаменитой
книге Fundamenta Nova [210]. Тождества (10.4.1), (10.4.5) и (10.4.6) см. в работе [159].
Тождество (10.4.8) было опубликовано в работе Гаусса [157]; эта статья известна тем,
что содержит первую оценку квадратичной гауссовой суммы. См. упражнения 5 и 6.
Результат Эйлера (10.4.7) — это известная теорема о пятиугольных числах. Обсуждение
доказательства Эйлера, а также библиографию см. в книге [419, с. 281]. См. также
работу [124].
§ 10.5- ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ РАМАНУДЖАНА
С помощью q -биномиальной теоремы мы получили q-аналог бета-интеграла по
интервалу (0,1). Мы видели, что q-интеграл по лучу (0, оо) — это двусторонний
ряд. Поэтому q-аналог бета-интеграла по (0, оо), т. е.
Ι α+χ)α+β
dx,
должен быть двусторонним рядом, но аналогичным ряду из q -биномиальной
теоремы. Правильное обобщение было найдено Рамануджаном. Он рассмотрел
двустороннюю сумму
(а; 9)п ..η
у wgj, „ (1051)
Π=—oo
которая, как мы позже увидим, является q-интегральным аналогом для
B(a,jB) = r χ"-1 ,
са J (l + cjt)a+0 "
о
Прежде всего установим смысл величин (a; q)n в выражении (10.5.1) при
отрицательных п. Поскольку
(a; q)n = (a; qW(aqn; q), (10.5.2)
при п>0, а правая часть имеет смысл и для отрицательных п, мы примем
формулу (10.5.2) в качестве определения (.a;q)n при всех п. Если п = —т, то
(а.а\ 1 = (-W™)
W,4)-m (aq-m;q)m am(a-lq;q)m·
Ниже приведено выражение для суммы (10.5.1) в терминах бесконечных
произведений, найденное Рамануджаном. Оно включает q-биномиальную теорему
и тождество тройного произведения как частные случаи.
Теорема 10.5.1. При \q\ < 1 и |ba_1| < \х\ < 1 выполняется равенство
Σ
П=—оо
(β;ς)„χη = (Q^;q)oo(q/Q^;q)oo(q;q)oo(b/a;q)oo (10 5 3.
№;q)„ U;q)oo(b/ajc;q)00(b;q)00(q/a;q)00 *

§ 10.5. Формула суммирования Рамануджана
459
Доказательство. С учетом формулы (10.5.2) запишем ряд в виде
Σ(α>9)ηνη . У1 (Ь~гд;д)пг ь γ
№;g)/ ^1и(а-^а\Уах) '
Первый ряд сходится при \х\ < 1, а второй при \Ь/ах\ < 1. Поэтому двусторонний
ряд сходится при |Ьа_1| < \х\ < 1.
Заметим, что
Σ(α;ς) (α;q). V №q^q)« „_{a^q).
(b;q)„ (b;q). ^-i (ας«;ς).Χ ~ <fcq)-/W·
Π=—oo n=—oo
Это доказательство тождества Рамануджана получается с помощью
функционального соотношения. Чтобы найти его, заметим, что левая часть (10.5.3)
равна
/№>=EiSl^"»-w-«-,>-b.-']=
П=-оо
= (1-£)/(*)+ έ Σ |S|:^+1 = a-b/a)/(bq) + (b/ax)/(b).
П=—oo
Отсюда получаем искомое функциональное уравнение, а именно
/»> = £$£/<*>·
Далее, /(b) является аналитической функцией от Ъ при достаточно малых \Ь\.
Итерируя, получаем
к»=Ш%:т· (10·5·4)
Вычислить /(0) нелегко, но из q-биномиальной теоремы можно получить /(q).
Заметим, что
fr^= V (qn+1; д)«> тп _ у ^n+1> g>« rn _ (g; g)°° γ1 (q; g)n rn _ (g; g)°° Q*;g)o°
' w Zj (aq»;q). * Zj (aq»;q). * (ajq)» Zj (q;q)/ (ajq)» ' tag)» '
n=-oo n=0 n=0
Ввиду соотношения (10.5.4) имеем
A j (q/a;q)./WJ (q/a;q)00(a;q)00(jc;q)00 "
Подставляя это выражение в формулу (10.5.4), находим /(b) и получаем
Σ(α'><ύηχη _ (адс;д)а0(д/адс;д)а0(д;д)а0(Ь/а;д)00
№;д)„ (дс;д)оо(Ь/адс;д)00(Ь;д)00(д/а;д)00 *
П=—оо
В этом рассуждении подразумевалось, что можно взять b = q. В общем случае
нужно применить аналитическое продолжение по b и χ. Ώ
Второе доказательство (Венкатачалиенгар). Как и при
доказательстве q-биномиальной теоремы, можно начать с бесконечного произведения
и получить ряд Лорана. Предположим, что
= (ах;я)Ля/ах;Ф„ = у
ix'tq)Ab/ax;q)aa f-J п

460
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Ряд Лорана определен при \х\ < 1 и \Ь/ах\ < 1, т. е. при \Ь/а\ < \х\ < 1. Далее
считаем, что \b/aq\ < \х\ < 1; мы хотим, чтобы функция F(qx) разлагалась в этой
области в ряд Лорана. Функции FQc) и F(qx) при \b/aq\ < \х\ < 1 определены.
Поэтому можно попробовать найти функциональное уравнение, связывающее
F(jc) и F(qx) в этой области.
Имеем
= ίαχ-,ΦЛфх-Ч) a-1/axKl-x) = у- ΠχΠ
* ix;q)Ab/ax;q)M-ax)(l-b/aqx) £-ь пч
П=—оо
Отсюда следует, что
00 00
q(l-x) J] Anxn = (b-aqx) J Anqnxn.
П=—оо п=—оо
Приравняв коэффициенты при хп, получаем
q(An-An_1)=bAnq"-oAn_1q'\
или
Отсюда следует, что
Or, q)ЛЬ/ах; q)» * *-* (b;q)n
Умножив обе части на 1—χ и перейдя к пределу при χ -»1 — 0, получаем
(α;ς)οο(ς/α;ς)οο _ fog)» д пп(.йч
(««З.СЬ/а;,)."»;,).^0· ДОЛЩ
Подставим это значение Aq в формулу (10.5.7). В тождестве Рамануджана Ь
подчинено условию |b/aq| <|х|<1. Его можно устранить посредством
аналитического продолжения. При выводе равенства (10.5.8) на последнем шаге
применялась теорема Абеля о непрерывности. Она гласит, что если lim ап = а,
П—юо
ТО
lim (1—χ) 7 апхп = а.
Х-+1-0 -~ί
п=0
Об этих и родственных вопросах см. дополнение Б.
Третье доказательство [201]. Запишем q-биномиальную теорему в
следующей форме:
(ах;д)„ yi (a; q)n n у (a; q)n+N n+N tag^iy V1 (в<Лд)„ rN
(x;q). Zj(q;q)/ Zj(q;q)n+N* (q;q)N ^ (qN+1;q)„
n=0 n=—N n=—N
Заменив а на aq"N, получаем
Σ(β;<ϊ)η η _ (ας"Νχ;ς)οο^"Ν(ς;ς)Ν _ (ας"Νχ;ς)Ν Ν (q;g)oo(as;q)oo _
n=_oo foN+1;<*)n (*<rN;<z)n(*;q). (*<rN; <z)n (<zn+1;ς).(χ;ς).
_ (q/aJc;q)N(q;q)00(ajc;q)00 _ (aJc;q)oo(q/aJc;q)oo(q;q)n(qN+1/a;g)oo
(q/a; <z)n(<zn+1; *).(*; q). (*; q)oo(qN+1/a*; ς)οο(ςΝ+1; ς)οο(ς/α; q). *

§ 10.6. Представление чисел суммами квадратов
461
Если qN+1 заменено на Ь, то обе части этого равенства аналитичны по Ь,
при Ь близком к нулю, и совпадают при b = qN+1. Нуль служит предельной
точкой этой последовательности, и если две функции аналитичны в открытой
проколотой окрестности нуля и совпадают в бесконечно многих ее точках, то
они совпадают во всей окрестности. С помощью аналитического продолжения
получаем теорему 10.5.1 при условии \Ь/а\ < \х\ < 1. D
Теорему 10.5.1 называют 1гр1 -формулой Рамануджана, поскольку
двусторонние q-ряды обозначаются ψ и имеется один верхний и один нижний параметр.
Замечание 10.5.1. Если распространить рассуждение из второго доказательства на
функцию
_ (.ax;q)aa(b/x;g)aa
то возникает дифференциальное уравнение второго порядка. При d = q/c оно сводится
к уравнению первого порядка, и его коэффициенты можно определить. К сожалению,
получается неправильный ряд. Это происходит оттого, что переход от F(jc) к F(qjc)
переводит области аналитичности функции в сопряженные, так как F(jc) имеет полюсы
при x = c~1gn, n = 0,±l,... Подробности см. в [22].
Замечание 10.5.2. Как отмечено ранее, формула Рамануджана — это q-аналог
бета-интеграла. Запишем эту формулу в виде
Е(Ьдя;д)«. я _ (в*; д)Лд/ах\ д)оо(д; д)ЛЬ1а\ д)*
(aqn;q)«> (.a;q)aa(.q/a;q)aa(.x;q)aa(b/ax;q)O0 '
П——0О
Положив x = q", α = — с и b = —cqa+p, получаем
г (-cqa+^;q). α_! = (.-cqa;q)x(.-c-1q1-a;q)xrq(.a)rqW)
I i-cx;q)„ * qX (-c;q)»(-c-1q;q)»r,(a + /3) '
Наконец, по теореме 10.2.4 имеем
Um (-cq«; ^-су-*· Ό- =a + c)-a(1 + 1/c)a = £-α,
q-i-o (-cjq)»,^ 1q;q)00
§ 10.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СУММАМИ КВАДРАТОВ
00
Формула Рамануджана для ]£ (a;q)n*n/(b;<l)n позволяет получить простые
П=—оо
и прямые доказательства некоторых результатов о количестве представлений
числа в виде суммы квадратов. Здесь изучены три случая: два квадрата (х2+у2);
три квадрата, из которых два равны (х2 + 2у2); четыре квадрата (х2 + у2 +
+ и2 + υ2). О других результатах такого рода см. в [139]. Для доказательства будет
использован следующий частный случай тождества Рамануджана. Положив
b = aq в теореме 10.5.1 и разделив на 1 —а, получаем
л η = 7 Γ~ΓΊ Г~г ΓΤΊ Г~> \Ч\ < \х\ < !· (Ю.6.1)
1-адп Cr,q)w(q/x;q)w(a;q)00(q/a;q)00' ,41 '
П=—оо
Теперь заметим, что
Г 00 \S 00
" " "liOOq", (ю.6.2)
/00 NS 00
(Σ«*)-Σ·
Vn=—оо J π=0

462
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
где rs(n)— количество способов представления η в виде суммы s квадратов.
Заметим также, что rs(ri) равно количеству точек с целыми координатами на
сфере в s-мерном пространстве. Здесь при подсчете учитывается порядок, так
что для 25 учитываются представления З2 + 42, 52, 42 + 32. Используются и
отрицательные числа, поэтому, например, учитывается представление (—3)2Н-42.
Мы рассмотрим случаи s = 2 и s = 4. Заметим, что
Σ чп2 Σ q2m2=!>(n)(*n' (ια6·3)
n=—oo m=—oo n=0
где s(ji) —число способов представления η в виде х2 + 2у2.
Стратегия поиска простых выражений для rs(ri) и s(n) состоит в том, чтобы
с помощью тождества тройного произведения выразить левые части равенств
(10.6.2) и (10.6.3) в виде произведений, а затем с помощью равенства (10.6.1)
выразить эти произведения в виде других сумм.
Пусть ditj(n) обозначает количество делителей числа п, сравнимых с i по
модулю }.
Теорема 10.6.1. Справедливы соотношения
а) r2(n) = 4[d14(n) -d3j4(n)];
б) σ(η) = 2[dlj8(n) + d3tQ(ri) -d5i8(ri) -d7j8(n)];
в)г4(п) = 8 Σ d.
d\n,Ad
Доказательство, а) В силу соотношений (10.4.5) и (10.6.2) имеем
00
2r2(n)qn = (q2;q2)2„(-q;q2)t
n=0
Чтобы применить формулу (10.6.1), запишем произведение в виде
(q2;q2).(-q;q2)2.(q2;q4)2 (.q2;q2)2J-q;q2YJq2;q2)l (q2;q2)2.(-q;q2)2.
(q;q2)2. (q;q2)2.(q4;q4)2 (q;q2)2.(-q2;q2)2 ' l J
Заменим в формуле (10.6.1) q на q2 и положим x = q, α = — 1. Тогда
у. q" =(-q;q2)2.(q2;q2).
J^l + q2» (q;q2)2(-q2;q2)2„·
Отсюда получаем
00 00 00 00
2r2(n)q" = 2 J] riLr = l + 45]qn2(-1^2m',=
n=0 n=-oo ч n=l m=0
= 1 + 4Σ Σ(q(4m+1)" - q(4m+3)n) = 1 + 4 2(d1)4(n) " «Мп))«"· СЮ.6.5)
n=l m=0 n=l
Утверждение а) доказано.
б) Как и при доказательстве утверждения а), можно показать, что
Σ <? Σ <?т2 = Ъ2>&»Ы1Ч2?ми4^Ы2;ч<)1 =
П=— оо п=—оо
^ (q4; q4).(-q; q4).(-q3; q4).(q4; q4).
(q; q4).(q3; q4)»(-q4; q4)„(-q4; q4)-'

§ 10,6, Представление чисел суммами квадратов
463
На этот раз заменим в формуле (10.6.1) q на q4, а затем положим а = — 1 и x = q.
Получаем
η=0 η=-οο ** η=1 ι ι
00 00
= 1 + 2 V V(-l)m[q(4m+1)n + q«m+Vn] =
n=l m=0
00 00
= 1 _|_ 2 У^ У^ [g(8m+1)n + g(8m+3)n _ (8m+5)n _ (8m+7)nj
n=l m=0
Утверждение б) доказано.
в) Запишем формулу (10.6.1) в следующем виде:
Σχη _ 1 γι jcn(l-gqn) + aqnjcn γι а"1д"х"я _
1-αοη"ΐ-α 2j l-aqn Zj l-crV ~
n=-oo л n=l n=l ч
1-ax
^+JZx"^n[aVn(1"a^rl"(1"^/arl]·
(1-JC)(1 ,
n=l
Положив а = —1, с учетом равенства (10.6.1) получаем
Ых>я)Л-д/х;д)Лд;д)1 _ 2(i-s) γ^ (ςΛΓίΐ-*2"]
Uq;q)00(q/jc;q)00(-q;q)2w + 1 + х Zj l + q»
Π=1
При х -»— 1 + 0 отсюда следует, что
№Г" >♦·!$£· <™«
п=1
Из равенства (10.4.6) вытекает, что
V f-l)«o"2 = iq;q)"
^l ' q (-q;q).
Π=-οο
Заменив в формуле (10.6.6) q на —q, приходим к соотношениям
п=0 п=1
Ln=i „=i * * J
L„=i „=i * J
Отсюда аналогично предыдущему следует утверждение в). D
Тождества (10.6.5) и (10.6.7) и их интерпретации были впервые открыты Яко-
би [210]. Теоретико-числовое утверждение б) было сформулировано и доказано
Гауссом для простых п.

464
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
§ 10.7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И ТЭТА-ФУНКЦИИ
Теория эллиптических функций и ее ответвления развиваются в течение двух
столетий. Ее создателями были Эйлер, Гаусс, Абель и Якоби. В XX в. теория
эллиптических функций в значительной степени вошла в теорию эллиптических
кривых, недавно примененную Уайлсом для доказательства последней теоремы
Ферма. В этом параграфе мы дадим простейшие определения и покажем, как
Рамануджан получил из формулы (10.6.1) разложение в ряд Фурье эллиптических
функций Якоби.
Существует четыре тэта-функции Якоби. На самом деле это одна и та же
функция, так же как синус и косинус, но бывает полезно рассматривать все
четыре:
00 00
0x(z, q) = 2 2](-Ό V+1/2)2 sin(2n + l)z = -i J] (-i)™q("+1/2)2e(2n+i)uj (10 7 ц
n=0 n=—oo
00 00
β2(ζ, q) = 2 J] q(n+1'2)2 cos(2n + l)z = £ q<n+1/2>V2n+1)i* = 0α(ζ + π/2; q),
n=0 n=—oo
(10.7.2)
00 00
03(s, q) = 1 + 2 J] q"2 cos 2nz = J] qnVniz, (10.7.3)
n=l n=-oo
00 00
04(z, q) = 1 + 2 £(-!) V2 cos 2nz = J] (-l)nqn2e2ni* = 03(z + §, q). (10.7.4)
n=l n=-oo
Здесь q = e7ciT, где 1тт>0, так что |q|<l. Для заданного Я значение q*
равно βπιλτ. Из определения тэта-функций непосредственно вытекает, что они
удовлетворяют следующим соотношениям:
θλ{ζ + π, q) = -θ^ζ, q), 02(s + π, q) = -02(s, q),
03 {ζ + π, q) = 03 (s, q), 04(s + π, q) = 04(s, q)
θ^ζ + πτ, q) = -q-V2^*, q),
02 (^ + πτ, q) = q^e"2^*, q),
03(2; + πτ,ς) = ς-1β-2ίζ03(2;,ς),
04(z + ^,q) = q-V2iz04(z,q).
Из тождества тройного произведения вытекают следующие формулы:
βχ(ζ,ς) = 2q^ sinz(q2; q2)M(q2e2te; q2)„(q2e"2i*; q2)„ =
= -iq1/4ete(q2; q2)„(q2e2i*; q^ie"2'*; q2)„,
02(z, q) = 2q^4 cos z(q2; q2)„ (-q2e2i*; q2)„ (-q2e"2te; q2)„ =
= q^e'V; q2) »(-q2e2fe; q2)„(-e-2te; q2)M, т?7)
θ3ίζ,4) = (q2; q2)„(-qe2te; q2)„(-qe-2*; q2)„,
e4(z,q) = (q2; q2)»(qe2ii; q2)„(qe"2te; q2)„.

§ 10.7. Эллиптические и тэта-функции
465
При ζ = 0 эти соотношения сводятся к равенствам
#2 = 02(О) = 02(О, q) = 2qa/V; q2)»(-q2; q2)2,
#з = β3(0) = θ3(0, q) = (q2; Ч2)„Ы; q2)L (Ю.7.8)
#4 = 04(θ)θ4(ο, q) = (q2; <?)Лч; q2)i
θί = ^ (0, q) = ton ^ = 2qV\q2; д2)3ш.
Предложение 10.7.1. Справедливо равенство θ[ =^2^з^4·
Доказательство. Правая часть равна
W; q2)3„(-q; q2)2 (-q2; q2)2 (q. q2)2 ·
Множитель (—q;q2)oo (—q2;q2)* (q,q2)* равен 1, поскольку его можно записать
в виде
(-q;q)oo(q;q2)(q2;q2)oo _ (-q;q)oo(g;q)oo _ (q2;q2)«
(q2;<Z2)oo (q2;q2)oo (q2;q2).
Чу HJoolQ) 4 Joo — Г/»2.л2л ~~ Гл2. λ2λ ~~ Гл2. λ2λ ~~ 1φ
Предложение доказано. Следует отметить, что оно равносильно
соотношению (10.4.9). D
Мероморфная функция называется эллиптической, если она обладает двумя
периодами, отношение которых не является вещественным. Чтобы определить
эллиптические функции Якоби, положим
к1/2=*2/*з 00.7.9)
и
0, 0i(ii/02)
snM=itaty (10710)
Из формул (10.7.5) и (10.7.6) вытекает, что функция sn(u, fc) периодична по и
с периодами 2тг#| и πτ#| и, значит, является эллиптической функцией. Другие
эллиптические функции Якоби —это
Имеются также функции, которые соответствуют cosecz, tgz и т.д.:
ns(">*) = .„г,1 м> η<*", k) = w,1, м> nd(u, fc) = г
sn(u,k)' "^"'^ сп(и,КсГ "~^>^ dn(u,fc)'
, ,. sn(u,Jc) , ΙΛ cn(u,Jc) ,. ,. cn(u,Jc) ^λ^«λ
sc(u«fc) = cioiju' cs(u'fc) = iHaa)' cd(u'fc) = dKoo)' (107U)
Ле ,. sn(u, Jc) j f ,Λ dn(u,Jc) j . ,. dn(u,Jc)
sd(u'fc) = dU0O)' ds(u'fc) = iU0OT' dc(u'fc)=cu(iljt)·
В упражнении 10 гл. 2 требовалось показать, что
ι
-ϋ2 = { = К
2 3 i Vd-t2)(i-Ft2)

466
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Положим и = 2Кх/п. Тогда
и аналогичные соотношения верны для остальных функций. Опустим
переменную к в выражениях sn(u,fc) и т.п. и будем писать просто snu и т.п. Легко
видеть, что
п=1
-=vw! cos, п{0£ё^!±^
(10.7.13)
и
dnu = ^/2ni1 + 2q COS2X + q 1
π=1
2q2n~1cos2x + q4
Здесь fc'>0 определяется соотношением fc/2 = l — к2. Тогда из упомянутого
упражнения 10 гл. 2 следует, что /с/1/2=#4/#з· Мы взяли здесь 0</с<1, но
результаты верны в большей общности. Можно также вывести из упражнения
11 гл. 2, что функция snu имеет периоды ЛК и 2iK'.
В следующей теореме определяется разложение Фурье функций Якоби.
Теорема 10.7.2. Положим и = 2Кх/п. Тогда
2π V1 <Zn+1/2 sin(2n + 1)jc «Λ «-. „ч
5η"=^Σ i-q*.+i—· (10·714>
п=0 Ч
, π , 2π V1 qn cos 2nx ,1Л71П
dnu=2^ + IL "Tf?^"' (10715)
п=1 *
2π V^ <ΖΠ+1/2 cos(2n + 1)jc
cn**— ж
2π y-q^^cosun + ljjc ПЛ7Ю
п=0 *
Доказательство. Докажем равенство (10.7.14), предоставив остальные два
тождества в качестве упражнений для читателя. В формуле Рамануджана (10.6.1)
вначале заменим q на q2, а затем положим x = qe~2lx и a = 1/q. Тогда
l-g2n+l ^j l_q2n-l
. -q2n+i ^ i-q2n-i (qeto;q2).(qe-to;q2).(q;q2)i
n=0 n=l
Заменив во второй сумме п на π +1 и вычтя из первой, получаем
°° qn sin(2n + 1)jc
'*Σ4?,
Λ _ ,r»2n+l
п=0
Теперь умножим обе части на —ieixq1/2n/Kk и убедимся, что произведение будет
равно
^θ1(χ)θ4(χ) = δηα.

§ 10.8. q-бета-интегралы
467
Далее требуются почти те же преобразования, что в предложении 10.7.1, и
теорема доказана. D
Существуют аналогичные ряды для cd, sd и nd. Ряды для остальных функций
Якоби, например для ns и, несколько отличаются. Так,
пс ,ι - П -L 2π V <f+1SJn(2n + l)S ПП 717Ϊ
nsu " 2ΚΈΚΪ + TL· i-q2n+i · СЮ.7.17)
Можно доказать это непосредственно или же показать сначала, что
sn(u + ЖО = fc"1 dc(u - К) = fc-1 ns u.
См. [423, с. 511].
§ 10.8. q-БЕТА-ИНТЕГРАЛЫ
Мы видели, что бета-интегралы и их обобщения и аналоги весьма полезны
и важны. Существует еще несколько их обобщений, и есть смысл рассмотреть
здесь некоторые из них. Одно из обобщений очень важно, поскольку связано
с семейством ортогональных многочленов, которое начинает находить
применение в нескольких областях математики.
Мы уже отмечали, что выражения из 1гр1 -формулы Рамануджана можно
рассматривать как интеграл от ха-1(—ах; q)<x>/i—x'y q)« относительно меры
Ферма. Рамануджан проинтегрировал также эту функцию по обычной мере. При
вычислении он применил теорему типа интерполяционной. Об этом будет
сказано позже. Сейчас мы проведем вычисление с помощью функционального
соотношения, поскольку это согласуется с методами, применявшимися выше.
Пусть 0<q<l, Яеа>0и |aq"a| < 1. Предположим на время, что 0 < α < 1.
Положим
f^V-^.
dx.
Тогда
о
Итерируя, получаем
fM-i^w-w^rJw·
Как и при выводе 1гр1 -формулы Рамануджана, трудно вычислить /(0). Но
Поэтому
л = (a;g,y-";g), ^l_ (108ц
J (aq «jq^Cqjq^sin™*
при 0<α<1. Обыщи случай можно получить аналитическим продолжением
по α с учетом непрерывности при натуральных а. Предельный переход при

468
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
натуральном а = к приводит к равенству
I (-*;q)«> (a_1q;q)fc
Убедимся, что формула (10.8.1) является обобщением формулы
г χ""1 , Γ(α)Γφ)
J (1 + χ)β+^ Γ(α + 0)·
' Й (-^;q)oo(-q/^;q)oo
Положив в формуле (10.8.1) a = qa+P, получаем
с Ya-it53°^13^HY = г^Р)г(а)г(Ьа)
I (~x;qL· Γ,(α + 0)Γ,(1-α)'
Эта формула не обладает симметрией относительно а и β. Симметрия
восстанавливается с помощью следующего интеграла:
= г .x-i(-fl*;q)«(-qb/x;g),
о
Детали вычислений предоставляются читателю. Вначале нужно показать, что
f{a,b)=f{aq9b)+aq-cf{a9bq),
а затем, аналогичным методом, что
f(a}b)=f(a,bq)+bqcf(aq,b).
Из этих двух равенств следует, что
Значение /(а, 1) определяется из формулы (10.8.1), и в итоге получаем
f, w _ (аЬ;д)00(дс;д)00(д1"с;д)00я
1 ' (bqc;q)00(aq-c;q)00(q;q)00sin^*
Если a = qa+c, b = q^, то
С rc-i (-^a^; 4).ί-4β+ι-°/χ; g). ■ = Г(с)Г(1 -с) rq(a)rq(ft)
J (-x;q).(-q/x;q). Г,(с)Г,(1-с) ' Γς(α + 0) '
Чтобы получить другие q-бета-интегралы, снова рассмотрим 1я/'1-формуду
Рамануджана (см. формулу (10.5.3)). При \Ь/а\ <χ < 1 и \q\ < 1 мы имеем
Σ (q;g)nxn _ {ах\д)Лд1ах\д)ЛЬ1а\д)Лд\д)^
(b;q)„ U;q)oo(b/ajc;q)00(q/a;q)00(b;q)00 *
Положим ax = q1/2e'e и х = ае'е, |а| < 1. Тогда
_ (b;q).(aq1/2;q). ? γι (q1/2/a;q)n _ίη6 _ (b;q).(aq1/2;q). „_
"(^„(abq-^q).^^ »;ς)„ 6 ™ ~ iq-.q^iabq-^'.qi. ^^

§ 10.8. q-бета-интегралы
469
Чтобы сделать подынтегральную функцию в формуле (10.8.2) положительной,
положим b = aq1/2. Тогда функция становится четной по θ и результат
приобретает вид
о п=о
Jll l-2aoncos0 + aVn (α^ζΰ.Οιισ).
Чтобы взглянуть на эти интегралы в более широком контексте, заменим в
формуле (10.8.1) α на qa~1/2 и Ъ на q^. Получаем
? (q1/V<,;q).(q1/Vi9;q). ,„ _ Γ,(α + /?-1)
Л («"-^e"^).^-^^^). йУ " ^ Γ,(α)Γ,08) ' 11ШМ°
и предел при q -*1 равен
ξ(1_β^α-1α_β-:ψ-4θ = 2πίΧα+^1) (1085)
—π
Аналогично из формулы (10.8.3) получаем частный случай формулы (10.8.5) при
a = j8, а именно
πΓ(2α-1)
_г Γ(α)Γ(α) ·
$(2-2cos0)a-1d0 = 2a-1 \а-хУ-1а-х2Г1/2ах =
Одно простое обобщение формулы (10.8.2) можно получить, если перед
интегрированием умножить на е~1кв. Более важное обобщение получается, если
проанализировать преобразования, содержащиеся в формуле (10.8.2), и понять,
что числитель можно заменить другими произведениями. Один очевидный
вариант—произведение
(-q1/2eie;q)M(-q1/2e-ie;q)M.
Два других произведения имеют вид
(ei0;q)oo(e-i0;q)oo и (e^q^C-e^q)..
Каждое из них отличается множителем от произведения тэта-функций в
числителе i^pi-суммы, и вычислить подобный интеграл не составляет труда. Туг
может разыграться аппетит, и возникнет вопрос, можно ли вычислить интеграл,
если все такие множители присутствуют одновременно. Этот интеграл имеет
вид
и . л = I (в^оДе-^^/У*;^^
№ о, с, a) j (ae*; *).(ае-"; ^„(be*; q).^-"; qj.fce"; q^Cce""; q).
χ (-q1/2e'fl;q),(-q1/2e-'fl;q),dg = I h(x, l)h(x,q1/2)h(jc,-l)h(jc,-q^dx
(deie;q)00(de-ie;q)00 _\ h(jc,a)h(jc,b)h(jc,c)h(jc,d)/T^jc2 '
где jc = cos0,
00
h(x,a) = Y\a-2axqn + a2q2n).
n=0

470
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Параметры должны удовлетворять условию max(|a|, |b|, |с|, |d|, |q|) < 1. Вместо
прямого вычисления интеграла попробуем сначала догадаться, чему он
должен быть равен. Хотелось бы найти какие-то функциональные соотношения.
Заметим, что
Ь a b(l-2gjc + a2)-g(l-2bjc + b2) = (b-a)(l-ab)
h(x, aq)h(x, b) h(x, a)h(x, bq) h(x, a)h(x, b) h(jc, a)h(x, b) "
Множители b и α мы вынесли влево, для того чтобы исключить χ из числителя.
Получаем
bKaq,b,c,d)-aI{a,bq>c>u) = {\-ab)Q>-d)I{a,b,c,d). (10.8.6)
Это заставляет предположить, что I(a,b,c,d) является функцией от ab и
симметричных произведений. Поэтому попробуем найти соотношение вида
/(а, Ь, с, d) = f(ab)f(ac)f(ad)f(bc)f(bd)f(cd). (10.8.7)
Подставив это выражение в формулу (10.8.6) при с = d = 0, получаем
(b-a)(l-ab)/(ab) = (b-a)f(abq).
Отсюда следует, что
ffnh\ - fiabq) - - fiabqn) - т
^aD)- 1-ab - (ab;q)n " (ab;q).e
Чтобы проверить, выполнено ли такое соотношение, применим его к формуле
(10.8.7), а затем подставим это предполагаемое значение интеграла в (10.8.6).
Результат эквивалентен соотношению
(abq) „ (acq) „ (adq) „ (be) „ (bd) „ (cd) „ (abq) „ (ac) „ (ad) „ (beq) „ (bdq) „(cd)^
b-a
(ab)a(ac)M(ad)e(bc)e(bd)M(cd)e'
где мы для удобства писали (*)„ вместо (χ;ς)«>· Это равенство эквивалентно
следующему:
b(l-ac)(l-ad)-a(l-bc)(l-bd) = b-a.
Это неверно, поскольку левая часть равна (b — d)(l — abcd). Однако возникает
мысль, что погрешность является функцией от abed. Поэтому запишем
ТСп h г /П - H(abcd)
Подставив это выражение в формулу (10.8.6), получаем
bH(abcdq) aH(abcdq)
(abq)„(acq)„(adq)„(be)„(bd),»(cd)„ (abq)„(ac)„(ad)„(beq)„(bdq)„(cd)^ ~~
(b-a)(l-ab)H(abcd)
(ab) „ (ac) „ (ad) „ (be) „ (bd) „ (cd) „ *
Это выражение приводится к виду
H(abcd) = (l-abcd)H(abcdq).
Итерируя, приходим к соотношению
H(abcd) = (abed; q)ooH(O) = (abed; q),M (q). (10.8.8)

§ 10.8. q-бета-интегралы
471
Чтобы определить M(q), нам нужно найти такие значения а, Ь, с, d, при которых
можно вычислить и интеграл, и бесконечное произведение в формуле (10.8.8).
Для этого подходит очевидный выбор (а, Ь, с, d) = (1, ^/q, —1, —д/q). Получаем
о
и
\άθ = π
(q;q)ooM(q) ι
(q1/2;q)oo(-l;q)oo(-q1/2;q)oo(-q1/2;q)oo(-q;q)oo(q1/2;q)oo 2 х
(Легко видеть, что длинный знаменатель равен 2.) Отсюда следует, что M(q) =
= 2π/(ς;ς)οο. Предполагаемое значение 1(а,Ъ,с,а) оказывается правильным,
и справедлива такая теорема.
Теорема 10.8.1. Если max(|a|, |b|, |c|, |d|, |q|) < 1, то
ρ h(jc, l)h(x, yffihfr, -l)h(x, -,/q) djc
\ h(x, a)h(x, b)h(jc, c)h(jc, d) 1/ϊΖρ
(q; q)00(ab; q)„(ac; q^^ad; q)oo(bc; q)w(bd; q),,^; q)»'
где
00
Ж*,<1) = Y[il-2axqn + a2q2n).
n=0
Доказательство. Мы уже видели, что обе части этого соотношения
удовлетворяют функциональному уравнению (10.8.6). Ясно также, что обе части
являются аналитическими функциями от a, b, с, d при max(|a|, |b|, |c|, |d|) < 1.
В силу свойства единственности аналитических функций достаточно показать,
что они совпадают при (а, Ь, с, d) = (qJ, qfc_,"1/2, — ql, —qm+1/2)} j, fc, Z, m = 0,1, 2, ...
Сначала покажем, что они равны при а = 1, с = —1, d = ^/q и всех таких Ь, что
|Ь| < 1. В этом случае интеграл принимает вид
¥ Их, </q) dx
а этот интеграл был вычислен в формуле (10.8.3). Таким образом, нужно
показать, что
я(Ьд1/2;д)00(Ьд1/2;д)00= 2п{Ъд1'2;д)„
(b2;g)00(g;g)00 (qjqJ.ft^.HiqJ.i-bq^jqJ.i-ljqJ.^ji.iq^jq);
Но правая часть равна
2я(Ьд1/2;д)00(Ьд1/2;д)00 = n(]bql'2;q)l
2(g;g)00(b2;g2)00(b2g;g2)00(-g;g)00(g;g2)00 {h2;q)„{q\q)J
Это дает нам начальное значение, и тогда функциональное уравнение (10.8.6)
показывает, что если можно вычислить интеграл для некоторых a,b,c,d, то
его можно вычислить и после умножения одного из параметров на q. Этим
доказана требуемая формула для случая
(а, Ь, с, d) = (qJ, b, -q', -qm+1/2), j, Z, m = 0,1,2,...,

472
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
при всех таких Ь, что \Ь\ < 1. Доказательство теоремы завершено. D
При отсутствии ограничения max(|a|, |b|, |с|, |d|) < 1 в весовой функции
появляются дискретные точки с массой. Этот случай впервые был рассмотрен
непосредственно с помощью теоремы Коши в работе [32]. Как прямое
обобщение случая, рассмотренного в теореме 10.8.1, он был получен в работе [155,
§ 6.6].
Ниже приведено обобщение теоремы 10.8.1.
Теорема 10.8.2. Если max1<l<5(l^iL Iql) < l· τηο
5
ι h(xf 1Ждс, Jq)h(x, -l)h(x, -Jq)h{x, Π af)
с ι ах __
-1 Плсх^) νι χ
1
2π(α1α2α3α4)°°(αια2α3α5)οο(α2α3α4α5)οο(αια2α4α5)«>(αια3α4α5)«>
(а^г)» (а^з)» (a^)» (α^)» (а2аз)» (а2а4)» (a2as)«> (аз^)» (азС^)»^^)^)»'
где (x)oo = U;q)oo.
Это доказывается тем же способом, каким мы доказали теорему 10.8.1,
с тем исключением, что начальное значение отыскивается более элементарно.
Более общий интеграл был вычислен в работе [276]. Данный частный случай
был отмечен в работе [298], а доказательство, изложенное здесь, взято из
работы [23].
Как мы уже видели, у теоремы 10.8.1 есть важный предельный случай.
Положим в интеграле
и
и перейдем к пределу при q -»1 — 0. Получаем интеграл де Бранжа—Вильсона
(3.6.1):
uc)r(b + uc)r(c + uc)r(d + uc)l2, _
J_ г|Г(а +
Γ(2ίχ)
r(a + b)r(a + c)r(a + d)r(b + c)r(b + d)r(c + d)
r(a + b + c + d)
Re(a,b,c,d)>0, (10.8.9)
где каждый параметр либо веществен, либо появляется в паре с сопряженным.
При комплексном а нужно заменить |Γ(α + ίχ)2| на Γ(α + ίχ)Γ(α — ίχ). Мы
видели, что подынтегральная функция в формуле (10.8.9) —это весовая функция
ортогональности многочленов Вильсона
„ Г— п, п + а + Ъ + c + d — l, a — ix, a + ix~\
4 3V а + Ъ, а + с, a + d ' )'
Существует q -обобщение этих многочленов, для которого ту же самую роль
играет подынтегральная функция из теоремы 10.8.1х. См. [155].
ι Многочлены Аски—Вильсона; интеграл из теоремы 10.8.1 — интеграл Аски—Вильсона.

§ 10.9. Базисные гипергеометрические ряды
473
§ 10.9- БАЗИСНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Ряд из q-биномиальной теоремы имеет вид ]£сп, гДе сп+1/сп—рациональная
функция от qn. В этом случае
сп+1 1-Qqn
с„ l-q"+1*
и
_(g;g)n η -
Выше мы начали с q -биномиальной теоремы, а затем рассмотрели тождество
тройного произведения и его обобщение 1гр1. Это привело нас, среди прочего,
к тэта-функциям и эллиптическим функциям. Предыдущие замечания о q-бино-
миальном ряде подсказывают иное направление. В качестве обобщения этого
ряда рассмотрим ряд Σ сп, для которого
с„+1 = (l-aqn)(l-bq")
сп (1-сд")(1-д"+1Г' С° Х"
Это соотношение можно разрешить относительно сп следующим образом:
_ (Q;q)n(b;q)njcn
n (c;q)„(q;q)„
Функция J] сп обозначается
п=0
^(^И
и служит примером базисного гипергеометрического ряда. Положив a = qa,
b = qP и c = qr и перейдя к пределу при q —>1 — 0, получим обычную
гипергеометрическую функцию 2^ι (α> β;χ;χ). Ряд 2^ι изучался в работе [187], где
доказана следующая теорема, которая служит аналогом интегральной формулы
Эйлера для гипергеометрической функции.
Теорема 10.9.1. При \q\ < 1, \х\ < 1 и \Ь\ < 1 выполняется равенство
2Н с ;<И = (c;,).0t;q). 'Ы ax >*>ЬУ
Доказательство. Как можно предположить из доказательства
интегральной формулы Эйлера, доказательство вышеприведенной формулы требует
применения q-биномиальной теоремы и изменения порядка суммирования. Снова
будем для удобства писать (α)η вместо (a; q)n. Тогда
n=0 n=0 m=0
_ (b)oo y^ (c/b)m(axqm)oo Lm _ (Μ,ίαχ), (с/Ъ,х.п h\
"(O.Zj (q)m(4«). D " (c).(x). 2<<4 ax 'q'D>
n=0
что и завершает доказательство. D

474
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Стремясь понять смысл этого преобразования, Томе [379] заметил, что это
q -интегральный аналог интегрального преобразования Эйлера
гипергеометрической функции 2^ι· Положив в теореме 10.9.1 a = qa, b = q& и c = qY, получаем
у (OnOA, ,= (g';g).(gtts;g). у (дгЛ-д)т(*;д)тд*т
^ (q)n(qr)„ x (ς';ς).(χ;ς). ^n (<z;<z)m(<za*;<z)m
п=0 т=0
_ (q^qJ.Cq^q).. V^ (qm+1;q)m(xqa+m;q).qm<'
Применяя обозначение
„,v-„,v- n(qm+1+''-i,-1;q).(xqm;q)»' l J
запишем соотношение (10.9.1) в виде q -интегральной формулы
2<Ы qr '^XJ-rq(i8)rq(r-i8)J (*;,). «V·
Интегральное представление Эйлера дает один из способов вычислить
2FX при jc= 1. Аналогично имеется q-аналог формулы суммирования Гаусса,
принадлежащий Гейне.
Следствие 10.9.2. При \c/ab\ < 1 выполняется равенство
1Л (а,Ъ%п _,_j\_ (c/aiqlMbiq)»
2Ψι[ С,Ч,ФЪ)- (c;q)oo(c/ab;q)oo ·
Доказательство. В теореме 10.9.1 положим x = c/ab, считая, что |Ь|<1
и \с/аЪ\ < 1. Тогда
(а,Ъ ι Λ ftl^jW^ уч (c/ab;q)mbm {Ъ;д)ж{ф;д)ж {с/а\д)ж
2^V с '^c/aoj (c;q)oo(c/ab;q)ooZj (q,q)m teq)Mab;q)„ (b;q). "
m=0
Последний шаг следует из q-биномиальной теоремы. Следствие доказано при
ограничении \Ъ\ < 1. Последнее устраняется аналитическим продолжением. D
В работе [42] найден аналог теоремы Куммера, позволяющий вычислить
2^(а,Ь;а + 1-Ь;-1).
Теорема 10.9.3. Если \q\ <min(l, \b\), то
tn(^b _ ,^\ _ {ад\ д2)Л-д\д) Лад2 lb2 ;g2)„
^Aag/b>q>-q/ab)- (в,/Ь;,).(^/Ь;,). '
Доказательство. Вначале предположим, что \а\ < 1. Поменяв местами a
и b в преобразовании Гейне, получаем
._ Г а>ь .~ -ι λΛ (а;д)Л-д;д)«> ν^ (g/b;g)mi-g/b;g)
2VAaq/b'q' q/afiJ-(a«/b;q).(-^/b;q)e2j Cq;q)m(-q;q)m a "
_ (a;q).(-q;q). γ> (q2/b2;q2)m m_ (a;q)«,(-q;q). (aq2/b2;q2). _
(aq/b;q).(-q/b;q)M Zj (q2;q2)m a (aq/b;q)„(-q/b;q). ' (a;q2)„
= (aq;q2)o0(-q;q)o0(aq2/b2;q2)00
(ад/Ъд^Л-д/Ъд)»
Устранив ограничение на α, получаем утверждение теоремы. D

§ 10.10. Базисные гипергеометрические тождества
475
Следствие 10.9.4. Справедливы равенства
Ίη(η-1) γπ
η=0
, w ч = τ—V; (Коши) (10.9.2)
(<ζ;<ζ)π(*;<ζ)π U;q)oo'
?)nqnCn+
(<z;<z)n
χ—, (α.αλ fln(n+l)/2
Σ Τ%) = <«* <?^-Ч> Й- (10·9·3>
η=0
Доказательство. Чтобы доказать равенство (10.9.2), положим α = 1/Α,
Ь = 1/Вис=хв формуле Гейне (следствие 10.9.2, а затем перейдем к пределу при
Л->0иВ->0. Чтобы доказать равенство (10.9.3), положим Ь = 1/В в формуле
Бейли (теорема 10.9.3 и перейдем к пределу при В —> 0. Следствие доказано. D
Положив в формуле (10.9.2) x = q, получаем
L(l-q)2(l-q2)2...(l-q")2=l l·1"^"1·
η=υ η=ι
Этот частный случай формулы (10.9.2) был известен Эйлеру. Аналогично
частный случай формулы (10.9.3) при a = q приводит к формуле Гаусса
1-q
1+£ς^1)/2 = Πΐ3
2т
χ Р2т~1 '
п=1 т=1
Выше мы получили ее из тождества тройного произведения.
Теперь должно быть ясно, что многие результаты о гипергеометрических
рядах обобщаются на базисные гипергеометрические ряды. В следующем
параграфе мы еще разовьем эту тему, выведя ряд базисных гипергеометрических
тождеств. Значительно больше об этих вопросах можно найти в работе [155].
Тождество (10.9.2) содержится в работе [79].
Закончим этот параграф обобщением 2<f гРДДа> которое потребуется в
следующем параграфе и далее. Базисный гипергеометрический ряд Γφ8, где r>s +1,
определяется как
^ТХ^ЁЪЖ^ь*-*™*™^*·(1094)
п=0
при q^0. Ряд r+i4>r называется fc-уравновешенным, если x = q и
bib2...br = qka1a2...ar+1. (10.9.5)
Если к = 1, то ряд называется уравновешенным. Ряд (10.9.4) называется хорошо
уравновешенным, если s = г — 1 и
qax = Ъга2 = ... = Ъг_гаг. (10.9.6)
§ IO.IO. БАЗИСНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Итерируя преобразование Гейне из теоремы 10.9.1, получаем
,„ (а>ъ>„ .Л_ (c/b;q),(bx;q), (аЪх/с,Ъ^ „Λ πηιηι^
и из второй итерации вытекает следующий результат.

476
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Теорема 10.10.1. Справедливо равенство
Это q-аналог преобразования Эйлера
2γ>ι(α^*) = (ΐ-*)~Λ*ι(ε-γ-*;*).
В равенстве (10.10.2) разложим бесконечное произведение в правой части
согласно q-биномиальной теореме и приравняем коэффициенты при хп. Получаем
(*->(0п0>;д)п _ γι (с/а;д)к{с/Ъ;q)k k (ab/c; д)п_к _
feq)„(q;q)„"fj (c;q\(q;q)k ^D/C) (q;q)n_fc ~
k=0
_ {ab/c;q)n γι (.q-n;q)k{c/a;q)k(.c/b;q)kqk
(q;q)n f^ (^-"c/aMbfeqbtaq)* ·
После переименования параметров приходим к тождеству
( q^.a.b ч_ (c/a;q)n(c/b;q)n nnmw
Мы получили обобщение тождества Пфаффа—Заальшютца для уравновешенной
функции 3F2. Ряд з^2 из формулы (10.10.3) уравновешен, поскольку
произведение параметров числителя q~nab, умноженное на переменную степенного
ряда q, равно произведению параметров знаменателя. Напомним, что число
q, участвующее в определении уравновешенности, служит переменным
степенного ряда. Для г^гсуммы Гейне в следствии 10.9.2 переменным является c/ab
и выполнено условие того же рода, т. е. произведение параметров числителя,
умноженное на переменную степенного ряда, равно параметру знаменателя
(а-Ъ-(с/аЪ)=с).
Ниже приведен более общий результат Сирса [338]. Он дает преобразование,
которое связывает два обрывающихся уравновешенных 4у>3-ряда и обобщает
^-преобразование Уиппла.
Теорема 10.10.2. Для натуральных η выполняется равенство
_ fq-nfafbfc \_„n(e/a;q)n(J/a;q)n r q-n,a,d/b,d/c λ сттлл
«Ы d,e,/ '*«Ьв (e;q)n(/;q)n «Ы^о^/е,-^//'^ °°МА)
при def = abcq1~n.
Доказательство. Применим преобразование (10.10.2) дважды, каждый
раз с другими параметрами; затем возьмем такое их произведение, что функция
в левой части умножается на функцию в правой части другого тождества.
Получаем
(а,Ъ Λ(&χ//;ς). (f/dj/e dex\_
2И с >q>X) (x;q). 2ψΑ f >*> f )~
- ,„ (d>e>n .Mabx/c;q)„ (c/a,c/b.n abx\
Сведем это выражение к произведению двух рядов, положив
aji __ de
с "" /·

§ 10.10. Базисные гипергеометрические тождества
477
Приравняв коэффициенты при хп, получаем
S(fl;q)fc(b;q)fc if/d;q)n.k(J/e;q)n_k /nn-k _
и (c;q)k{q;q)k (/;q)n_fc(q;q)n_* Kat,J}
k=0
S(d;q)k(e;q)k (с/а; д)п-*(с/Ь; q)n__k k
L U;qMq;q\' (c;q)n_k(q;q)n_h iaD/C) '
k=0
Переименовав параметры и преобразовав это равенство, можно убедиться, что
оно равносильно формуле (10.10.4). D
Следует заметить, что обе части равенства (10.10.4) —уравновешенные ряды.
В следующей теореме приведено много интересных предельных случаев этого
преобразования. Прежде чем ее формулировать, отметим, что если в (10.10.4)
положить c = d, то мы получаем соотношение (10.10.3).
Теорема 10.10.3. Справедливы равенства
fq-n,a,b \ (e/a;q)nan fq-nfafd/b . .\ ПЛ1ЛП
зЫ\,е 'q'V = -lm^^d,q^a/e'<l'b<l/er' (101°·5)
fq-n,a,b _\_ (e/a;q)n(//a;q)n_n ( q^.a.abq^/ef л nninm
зЫ e,f >™)--(£я1Ш)Га Мчг-па/е>ч^а/ГЧ,ч), (Ю.Ю.6)
fa,b,c Л , , Λ (e/a;q)00(de/bc;q)00 (a,d/b,d/c , \ Г1Л1Л^
3<,2( df e ; q, de/abc) = ^^^.^ зЫ d> de/bc ; q, e/a); (10.10.7)
/л (а,Ъ,с^ 1л,_иЛ- (a;q)со(de/ab;q)00(d6/ac;q)00 rd/afe/af de/abc \
(10.10.8)
Доказательство. Чтобы доказать равенство (10.10.5), перейдем в формуле
(10.10.4) к пределу при / -»0, с -»0, зафиксировав //с и a, b, d, е. Аналогично
мы получим равенство (10.10.6), перейдя к пределу при d->0, c->0 при
d/c = q~n+1ab/ef.
Наконец, чтобы доказать равенство (10.10.7), положим / = дя и перейдем к
пределу при η -»оо при фиксированном п + Яи при qn+x = abcq/de.
Формула (10.10.7) обобщает преобразование Куммера
Г(а,Ъ,с Λ r(e)r(d+e-a-b-c) Г a,d-b,d-c Λ fining^
Λ1 d,e }1J"r(e-a)r(d + e-b-c)3Hd,d+e-b-cjl> (10·ΐα9)
Применив преобразование (10.10.7) к самому себе и поменяв местами α и с,
получаем соотношение (10.10.8). D
Замечание 10.10.1. Полезно отметить, что если положить χ — c/e и перейти к
пределу при с—> оо, то преобразование Куммера принимает вид
Л(*ь;х) = a-хГ ЛС^-*; ^т). ao.io.io)
Напротив, при дс = а/е и a -> оо получаем
2F1(Y;x) = (l-x)'i-b-2F1(d"V~C^). (Ю.10.11)
Нам уже встречалось q-обобщение последней формулы. Найдем q-обобщение формулы
(10.10.10). В формуле (10.10.7) положим de/abc=хи перейдем к пределу при с -> 0 и е -> 0.

478
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Получаем
2yi(a'^q,x)=^^V(^?"^b:^(;)(-1)''(bxr. (10.10.12)
2ГЧ d 'ч' J (x;q)„ i-L (.d;q)n(.ax;q)„(.q;q)„
Заменив α, b, с на qa, qb, qc соответственно и перейдя к пределу при q —> 1 — 0, получаем
формулу (10.10.10). Этот пример показывает, что q-обобщение может иметь
преимущество перед случаем q = l в следующем смысле. Левая часть равенства (10.10.10)
аналитична при |дс| < 1, а правая часть состоит из двух множителей, первый из которых
аналитичен по χ в области С\ [1,»), а второй аналитичен при Иедс< 1/2. В формуле
(10.10.12) ряд 2Ψι в левой части аналитичен при |дс|<1, тогда как в правой части
функция l/(jc;q)oo имеет полюсы при χ = 1, q~\ q~2,... Остальные множители являются
целыми функциями, поскольку это верно для
(аде; qWiax; q)n = (axqn; q)*,,
а ряд равномерно сходится при |дс| < А для любого Λ.
§ 10.II. q-УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
В § 6.11 мы ввели (непрерывные) q-ультрасферические многочлены, которые
имеют вид
fc=0
(Поскольку в этом параграфе рассматриваются только непрерывные
q-ультрасферические многочлены, в дальнейшем слово «непрерывный» опущено.)
Применив к производящей функции, найденной в гл. 6, q-биномиальную теорему,
получаем.
п=0
Легко также вывести из формулы (6.11.5) и (6.11.6), что многочлены Сп(х\ j8|q)
удовлетворяют рекуррентному соотношению
2(l-j8qn)xCn(x; j8|q) = (l-qn+1)Cn+1U; j8|q) + (l-jSy-^C^Ot; j8|q).
(10.11.3)
Из теоремы 6.6.2 следует, что последовательность многочленов {Cn(x; j8|q)},
χ = cos 0, ортогональна относительно распределения
a>p(cose)de =
(e2W;q)a
(]Se2*;q)
άθ. (10.11.4)
Так как мы не доказывали теорему 6.6.2, непосредственно проверим этот факт
здесь.

§ 10.11 q-улътрасферические многочлены
479
Теорема 10.11.1. При \q\ < 1 и \β\<1 выполняется равенство
$ Cn(cos θ; j8|q)Cm(cos θ; β\4)ωβ(ςΜ 0) άθ =
ο
_ 2π(1-/Β) (j82;q)n (/8; q)oo(/8q; q)a
5mn, (10.11.5)
l-]8qn (q;q)„ G82;q).(q;q).
где copCcosfl) определяется формулой (10.11.4).
Доказательство. Пусть β и q — вещественные числа. Так как
подынтегральная функция в формуле (10.11.5) не меняется при преобразовании θ ->— 0,
a Cn(cos θ; b|q) можно разложить по функциям е1(п~2к)в, мы рассмотрим интеграл
При |]8| < 1 из q-биномиальной теоремы получаем
Ι e*^(cos0)d0 = Y^f^ I е«к+2п-2т*>ав.
-η „=0 lq,qJn n=0 lq,qJm -π
При нечетном к этот интеграл равен нулю. При к = 21 имеем
\ е2«ва>.(со8 0) d0 = 2π V ^/^"^^iS2^1 =
~2πΊΪφΓβ 2¥Ч q^ ,q'^ >
Применив к этому г^гРЯДУ формулу (10.10.1), получаем
(j3q';q).(j3q;q). (<Γ\β-\1.η Rn\
Этот 2Vi-ряд содержит лишь два слагаемых, и мы имеем
С jue,, (гпсЙл _ 2n/3'(j8-1;g)<a+q')(i8q;'?).(P;q).
Д w^Cos^- (j^ (|8»;«).(,;,).·
Этот интеграл можно вычислить также с помощью 1'01-суммы Рамануджана
(10.5.3).
Пусть m < п. Рассмотрим теперь интеграл
π
5 cos(m-2fc)0 Cn(cos0; jSlq^fcos θ)d© =
о
= ι г em-2w у ψ ч\V; <?)η-, 6«η-2ΐ)θω (cos б) d6,
2-π Ы) (q;q)'(q;q)n-'

480
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Чтобы вклад интеграла был ненулевым, т + п — 2к — 21 должно быть четным.
Поэтому положим тп — п — 2к = —2s, или m — 2k = n — 2s. Тогда интеграл равен
ι у- (Р;чШчУ^ г 62«η-ι-*)θω (cosθ)άθ =
2fj (g;g),(g;g)„_, _·>π β
= ι у Cfrq),(ftqU с e2«s-w (cosθ)d0 =
= Q3q;g).(g). γι Cj8;q)tCj3;q)n_, .-uQB-'.-q)^ =
OS2; q)„(g; q). f* (q; q)/(q; q)„_, l q J (/3q; q)s_,
(=0 '" -π
η
-π^2.^ ,„.^ · г„.„л ™„.„λ ·ρ u+q)x
(/3q;q).(j3;q). (frqW'.'g).
(j82; q).(q;q). (q;q)n(/Sq;q)s
x у» (g^.-gMg-'/r^gMfrgM-g'-'igW
££ (g; дЖд^/З"1; qMq1-^; д),НГ; д)/ *
Второе равенство в этой формуле получается заменой I на η — Ζ и θ на — 0.
Последняя сумма, представляющая собой уравновешенный ^з-ряд» после
применения формулы Сирса (теорема 10.10.2) принимает вид
(q^ttqW""//!^),, 4V^-q-,q-",/8a 'q'qJ·
Этот 4</?3-ряд содержит лишь два ненулевых слагаемых, и предыдущее
выражение после простых преобразований принимает вид
(j32;g)n(g1-s;g)n-1d-g''-25)
(frgW-'frqVi+g-O *
Множитель (q1_s; q)n-\ равен нулю при s = 1,2,..., п — 1. Отсюда получаем
π
5 cosOi-2s)0C„(cos θ; jSlq^Ccos θ) d0 =
0 при s = 1,2, ...,п — 1;
_(/3;g).(ffg;g).Q32;g)„ _
π7β2—Γ~7 TTS Г" ПРИ S = 0, П.
k (j82;q)-(q;q)»(/3g;g)„
Из этого соотношения и формулы (10.11.1) следует ортогональность:
π
$ Cm(cos θ; j8|q)Cn(cos θ; jSlq^Ccos 0) d0 =
о
= 2-(^q)n(jg2;q)n(^q)oo(^;q)ooc =2_ (i-fl) Qs2;q)n №si-iE£iS2-x
(<Z;<Z)n 08q;q)„Q82;q).(q;q). mn (!"№) ' (q;q)„ (q;q).Q82;q). mn*
Теорема доказана. D
Многочлены Cn(cos θ; j8|q) удовлетворяют некоторому разностному
уравнению. Чтобы его записать, требуется q-разностный оператор Dqy который имеет
вид
VW = ^ rfle5qg(ei0)=g(q1/V0)-g(q-1/V0), x = cos θ. (10.11.6)
π

§ 10.11 q-улътрасферические многочлены
481
С помощью производящей функции для Cn(cos θ; j8|q) можно показать, что
DqCnOc; j8|q) = Ц^^^^х; j8q|q). (10.11.7)
Соответствующее q-разностное уравнение имеет вид
(1 - q2)Dq [uiqWDqy(x)] + 4q1"n(l - qn)(l - β24η)ωβΜγΜ = 0, (10.11.8)
где у (χ)=Cn(x; j8 |q). В качестве первого шага в доказательстве формулы (10.11.8),
можно показать, что
2а~п/2(1 — an+1Vl — β2αη~λΛ
D,(a)p(x)Cn(x; /8|q)) = -^ИкГ^Й] ^/«WC"+lfc /3qlq)'
С помощью равенства (10.11.7) можно доказать следующую формулу для
коэффициентов, связывающих рассматриваемые многочлены:
C»Cx,rlq)" ρ β iq;qhiPq;q)n_k г-β C^Cx^lq). (10.11.9)
Доказательство строится по той же схеме, что и в теореме 7.1.4. Формула (10.11.9)
впервые приведена в работе Роджерса [313]. Роджерс нашел также следующую
формулу линеаризации:
CTO(x;jB|q)Cn(x;jB|q) =
= m^n) (g;q)m+n_2fc(j8; g)m-fc(fr q)n_fc(j8;q)fc(j82;q)m+n_fc l-jBg"*"-3* ,
Й ^2^)m+n-2fc(q;q)m-fc(q;q)n-fc(q;q)fc(i8q;q)m+„-fc 1-0 U^"2^ 'Piq;·
(10.11.10)
Она легко доказывается по индукции. Похоже, что Роджерс сначала установил
это равенство для нескольких малых значений т, а затем предположил общий
результат. Возможно, простейший прямой способ вывода этой формулы —тот,
который аналогичен доказательству теоремы 6.8.2; в нем используется q-ана-
лог преобразования Уиппла, содержащийся в гл. 12. Подробности см. в [154].
Доказательства формул (10.11.7)—(10.12.10) предоставляются читателю.
Положив β = 0 в Сп(х\ j8|q), получаем (непрерывные) q-эрмитовы
многочлены. Они имеют вид
H„(x|q) = (q; q)nCn(x; 0|q). (10.11.11)
Непосредственно очевидны следующие свойства q-эрмитовых многочленов:
H„(cos0|q) = Υ , У\ cos(n-2к)в = Υ ,g:g,}"e . . (10.11.12)
i-rffotfttei)»-* £-^(<ι;<ι)*(<ι;<ι)π^
Jc=0 fc=0
Выполнены соотношения ортогональности
I Hm(cos0|q)fin(cose\q)\(e2W;qU2άθ = **5"" . (10.11.13)
0 vi > Ч-Όο
Поскольку весовая функция для эрмитовых многочленов равна е~*2 и
,. Hn(x((l-q)/2)^2|q) ,...„..
А ((1-«)/1У» = Н"W· (1°-Ш4)

482
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
можно рассматривать интеграл
U(e2W-a) \2άθ= 2π
J lie ,qjw| a\> {q;q)
как обобщение нормального интеграла
§ е х ах = Утг.
— 00
Производящая функция для Hn(x\q) имеет вид
yMdg) ι x = Cose; (10.11.15)
^-j (q;q)B (re^q^o-e-^q)»
выполнено трехчленное рекуррентное соотношение
2xHn(x|q) = Hn+1(x|q) + (1 -qOH^UIq). (10.11.16)
С учетом формулы (10.11.10) легко показать, что формула линеаризации имеет
вид
Hm(x\q)Hn(x\q) _ m у»'" Hm+n_2k(x\q) ц
(q;q)m(q;q)n £ц (ч',чЫч',ч)п-к(я1ч)тг*ш
Прямое доказательство намечено в упражнении 41. Из формулы (10.11.17) и q-би-
номиальной теоремы можно вывести формулу для ядра Пуассона q-эрмитовых
многочленов:
SHn(cosfl|q)Hn(cosy|q) (г2;д)о, fin 11 Iff!
(q; q\ |(re<^; qUre"'^; q)J2' UU.n.io;
где г вещественно, —1 < r < 1. Вывод этой формулы предоставляется читателю
в качестве упражнения.
Наконец, заметим, что интеграл /(а, Ь, с, d) из § 10.8 можно выразить через
q-эрмитовы многочлены следующим образом:
akblcmd>
ι,;>ο
χ I HfcU|q)H/U|q)HmU|q)H;U|q)|(e210;q)»!2 d0, (10.11.19)
о
где x = cos0. Это легко вытекает из вида производящей функции (10.11.15).
Другое выражение для интеграла можно получить из формулы линеаризации
(10.11.17). Это наблюдение содержится в работе [202]. Там отмечено также, что
формулы (10.11.17) и (10.11.18) эквивалентны. В работе [5] теорема 10.8.2
доказана с помощью формул коэффициентов связи и линеаризации для (непрерывных)
q-ультрасферических и эрмитовых многочленов.
§ IO.I2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МЕЛЛИНА
Интеграл от ха-1(—ax;q)oo/(—x;q)oo> вычисленный в § 10.8 с помощью
функционального уравнения, является также частным случаем интересной формулы
Кп h г /П - V акЪ1ст&
№ о, с, а) ^
k,l,m,j>0 J

§ 10.12. Преобразования Меллина
483
преобразования Меллина. Эта формула, принадлежащая Рамануджану, имеет
много важных применений; некоторые из них будут представлены в
упражнениях. Преобразование Меллина существенным образом связывает преобразования
некоторых q-рядов с функциональными уравнениями, которым удовлетворяют
определенные ряды Дирихле. Мы уже упоминали о преобразовании ряда
00
п=1
использовавшемся для приближения римановыми суммами интеграла Пуассона
00
§ е-**2 dt. В упражнении 28 гл. 2 читателю предлагалось применить это преобра-
—00
зование, чтобы получить функциональное уравнение для дзета-функции Римана
£(s). Эта связь между q-рядами, возникающими из эллиптических функций,
и рядами Дирихле чрезвычайно важна в теории чисел. Мы обсудим некоторые
примеры, в особенности связанные с q-рядами, рассмотренными в предыдущих
параграфах.
Рамануджан записывал свою формулу в виде
00
\χ5-4φ(0)-χφα)+Χ2φ(2)-..Λάχ = -^φ(-8).
о
Здесь необходимы сильные ограничения на </?(s). В книге [182, с. 189 — 190]
приведены довольно общие условия справедливости этой формулы. См. также [56,
с. 299]. Теорема Харда сформулирована ниже.
Пусть Η(δ) обозначает полуплоскость и = σ + it, σ > —δ, 0 < δ < 1. Возьмем
Α<π, и пусть Κ (Α, Ρ,δ) — множество всех функций φ, голоморфных на Η (δ)
и удовлетворяющих условию
\ψ(μ)\ = 0(ePc7+A|t|). (10.12.1)
Возьмем 0 < с < δ и положим
c+i оо
Ф(х) = -1Т \ -Ji—tpi-uix-udu. (10.12.2)
v у 2πι J sin7rurv v J
C—100
Подынтегральная функция имеет порядок
0(е-Сп-А)\1\е-Рсх-с);
поэтому интеграл равномерно сходится в любом множестве 0 < х0 < χ < X.
Следовательно, он представляет собой аналитическую функцию Ф(х) при х>0.
Применив теорему Коши, получаем
-N-l/2+ioo
Ф(х) - ~т \ -г?— φ (-u)jc-" du =
ν 2πι J smnu^
-N-l/2-ioo
= ψ(Ρ) -χφ(1) +...+ (-1)ΝχΝ(^(Ν). (10.12.3)
00
При 0<х<е~р ряд Σ(—1)η<ρ(η)χη сходится, и интеграл из формулы (10.12.3)
о
стремится к нулю при N —> оо. Поэтому при 0 < χ < е~р выполняется равенство
Ψ Μ = φ (Ρ) - φ(Χ)χ + φ(2)χ2... (10.12.4)

484
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Теорема 10.12.1. Пусть 0<Res<5. Если функция Ф(х) имеет вид (10.12.2),
то
00
J v sins7rrv
о
Доказательство. Выберем сг и с2 так, чтобы выполнялись условия 0 < сг <
<Res = a<c2<5. Вычислим двумя способами абсолютно сходящийся двойной
интеграл
±\ \ -r^tpi-uW^dudx.
2πι J J 8ΐηπϋτ
0 Cj— ioo
С одной стороны, этот интеграл равен
1 /Cj+ίθΟ N 1
О vcj-ίοο У О
С другой стороны, он равен
Cj+ίοο /·ι ч Cj+ioo
1 С ^iE_v(_u)[Cx««-id3C]du= 1 С .* ^(~u)du.
2πι J. sin πι/r I J / 2πι J smnu s — u
Cj-ioo VO / Cj—l»
Таким образом,
S i-^Cx) dx = ^ Τ ^^^=Η) du.
J 2πι J. sinTru 5 — и
0 Cj—ι»
Аналогично с помощью двойного интеграла
00 C2+i»
2πι J J sin тшТ
1 c2-i оо
можно получить формулу
00 C2+ioo , .
W-4&)dx = -±-. \ π ^~u)du.
J 2πι J. sin тш s — u
1 c2—ioo
Применив теорему Коши о вычетах, получаем
00 /"Cj+ioO С2+100Ч
J 2πι\ J J. Ismnu s — u smnsT
0 м^—ioo c2— l оо У
D
Следствие 10.12.2. Если 0<q<l, s>0 uO<a<qs, то
J (xjq). sinsTrCqjq^iaq-^q)»·
Доказательство. Положим
VW (q;q).(aq";q).
и проверим, что </? удовлетворяет условиям теоремы 10.12.1. D
Другим следствием служит теорема Карлсона, которую мы доказали и
применяли в предыдущих главах для ограниченных функций ψ.

§ 10.12. Преобразования Меллина
485
Следствие 10.12.3. Пусть функция φ(ιϊ) аполитична в полуплоскости
H(5) = {u|Reu> — δ}, 0<δ <1, удовлетворяет условию (10.12.1) и ψ(η)=0 при
π = 0,1,2,... Тогда φ = 0.
Это следствие показывает, что формула Рамануджана на самом деле является
интерполяционной. В действительности интерполяционная формула Ньютона
A(-s) = А(0) + ffAA(O) + ^^ρ^δ2Α(0) +...,
где
ΔΑ(0) = Α(1) -А(0), Δ2(Α(0)) = А(2) -2AQ) + А(0), ...,
может быть выведена из теоремы 10.12.1 при некоторых условиях на А. Этому
и другим приложениям посвящены упражнения 34 — 36.
Когда мы говорили о преобразованиях Меллина1, было отмечено, что это не
что иное, как преобразования Фурье с заменой переменных. Следовательно,
теоремы о преобразованиях Фурье имеют аналоги для преобразований Меллина.
Поэтому для последних справедлива теорема единственности. Пусть функция
x<J~1fW интегрируема на (0, оо) при α<σ<β. Тогда функция
00
F(s) = $ xs~lf M dx (10.12.5)
о
существует и аналитична при α < Res < β.
Лемма 10.12.4. Если F(a0 + it)=0 при всех t€(—оо, оо) и фиксированном
σ0 € (α, β), то /(χ) = 0 почти всюду
Доказательство. Пусть х = еи в формуле (10.12.5). Тогда функция
00
F(a0 + it)= $ в^е^Де") du
—оо
почти всюду равна преобразованию Фурье для βσ°"/(β") = 0. Так как βσ°" нигде
не обращается в нуль, лемма доказана. D
Заметим, что если в этой лемме функция / непрерывна в точке, то ее
значение в этой точке равно 0. Как следствие, если преобразования Меллина
двух непрерывных функций совпадают, то эти функции совпадают. Вот одно
применение этого факта.
Теорема 10.12.5. При и>0 выполняется равенство
S
r-ut+x2/4t dt _ </πβ χ^
Vt y/ϊί
е
о
Доказательство. Достаточно доказать равенство для и = 1. Обозначим
интеграл через fix). При Res> 1 двойной интеграл
Y\xs-ie-t-tf/M)dtdx
0 0 *t
абсолютно сходится. Поэтому он равен
ξ jc-^J е-'-(*2/4^] dx = ξ jc-VGO dx.
о Lo ^fJ о
ι См. последовательное применение преобразования Меллина как инструмента теории
спецфункций в [449].

486
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
Изменив теперь порядок интегрирования, получаем
I e^=[l jt-V-*2/* dx]dt = 2ГгГШ I tb-We-* dt =
ο ν* о о
= 2s-1r(s/2)r((s +1)/2) = V^r(s).
Последний шаг следует из формулы удвоения Лежандра. Получаем
00
о
Это означает, что функции /(*) и <у/пе~х имеют одинаковое преобразование
Меллина и потому совпадают. Теорема доказана. D
Это доказательство следует работе [53, с. 30], где содержится также
интересное обсуждение тэта-функций.
С преобразованием Меллина связано другое важное интегральное
преобразование, а именно преобразование Лапласа
00
F(s) = 5 e"st/(0 dt.
о
Если функция / интегрируема и удовлетворяет условию |/(t)| =0(ebt) при t —»»,
то функция F(s) аналитична при Res>b. Для преобразования Лапласа также
справедлива теорема единственности. С ее помощью можно доказать формулу
преобразования для тэта-функций, упоминавшуюся ранее.
Теорема 10.12.6. Справедливо равенство
Σβ~η2χ=>β Σβ"η2π2/*> Re*>0·
П=—oo Π=—oo
(Более обыщи результат можно доказать с помощью формулы суммирования
Пуассона, но данный результат показывает, что тэта-функция, определяемая
рядом, является модулярной формой. См. замечания 10.12.1 и 10.12.2 в конце
параграфа.)
Доказательство. При Res>0 выполняется равенство
ξβ- Ye-"2*dx=±+2V-^-.
J Z-J 5 Z-Jn2 + S
0 n=-oo n=l
По теореме 10.12.5 при Res > 0 имеем
о L^ έί ^ J J* ^sh
_ π 2π e~2nVl _ π 1 + β~2π^
Vs Jsl-e-2nS~s Jsl-e-2"^'
Согласно формуле (1.2.5) справедливо тождество
σο
η=1

§ 10.12. Преобразования Меллина
487
Сравнив его с предыдущим, получаем
π 1 + β"2π^
п=1
и утверждение леммы вытекает из единственности преобразования Лапласа.
Это доказательство содержится в работе [178]. D
00
Взяв преобразование Меллина от Σ е~п2*> получаем дзета-функцию Рима-
— 00
на. Это устанавливает связь между q-рядами и рядами Дирихле. В одном из
упражнений к гл. 2 читателю предлагается с помощью теоремы 10.12.6 получить
функциональное уравнение для £(s). Приведем здесь подробности, поскольку
и результат, и доказательство важны.
Теорема 10.12.7. Выражение 7r~s/2r(s/2)£(s) инвариантно относительно
замены s->l — s.
Следующее доказательство восходит к Риману [310].
00
Доказательство. При Res> 1 и i/j(jc) = £ е~п πχ выполняется равенство
п=1
00 °° 1 00
jTs/2r(s/2)C(s) = $ x(s/2bl J] е~п2"х dx = $ χ(ί/2)-χιΚ*) dx + $ x(s/2bli/» W dx.
0 n=l 0 1
Заменив в первом интеграле х на Ι/χ, получаем
$ χ-(ί/2)-χι/>(1/*) dx. (10.12.6)
По теореме 10.12.6 имеем
l + 2tMx) = 4=(l + 2tMl/x)).
Поэтому выражение (10.12.6) приводится к виду
$ *-с*/2ы[^ _ ^(х) _ ι ] djc = _zL _ Ι + ξ χ-№-«/2)ψΜ dX9
Как следствие, получаем
00
7Ts/2r(s/2)as) + 7 + YZJ = $ iK*)(*(s/2bl + jc-(s/2)-(1/2)) dx. (10.12.7)
Поскольку интеграл является целой функцией от s, выражение в левой части
определено для всех s. В частности, функция £(s) определена для всех s, кроме
точки s = l, где она имеет полюс порядка 1. Интеграл инвариантен относительно
замены s -»1 — s. Теорема доказана. D
Мы показали, что функциональное уравнение для дзета-функции, формула
преобразования для нее и разложение функции котангенса на элементарные
дроби эквивалентны друг другу. Конечно, нам еще нужно показать, что
тэта-преобразование следует из функционального уравнения. Это можно сделать с
помощью обращения Меллина. Чтобы продемонстрировать этот метод, применим

488
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
его к другой функции, хотя и связанной с рассмотренными, а именно к функции
00
τ,(τ) =q1/24f](l-qn), \q\ < 1, (10.12.8)
n=l
где q = e2niT. Это так называемая η-функция Дедекинда.
Прежде чем формулировать теорему, заметим, что интеграл из
формулы (10.12.7) ограничен на вертикальных полосах a<Res<]8. Поэтому то же
верно и для функции
π-(5/2)Γ(5/2)α5) + Ι + _1_
Теорема 10.12.8. Функция Дедекинда η(τ) удовлетворяет соотношению
7,(-1/τ) = ^г,(т).
ρ2πίπιπτ
m
т,п>1
ρ2πύηητ
Доказательство. Мы следуем работе [416]. Так как функция η(τ) не имеет
нулей при Im τ > 0, мы докажем, что
1η η(-1/τ) = In η(τ) + \ 1η(τ/ί). (10.12.9)
Ввиду соотношения (10.2.8) имеем
1ηη(τ) = πίτ/12— /t
Положим
m,n=l
Как и выше, соответствующий ряд Дирихле можно найти, взяв преобразование
Меллина от /:
-^ Σ ^ άχ=(2π)_τω Σ _±_
0 m,n m,n
Далее,
т,п т=1 п=1
Из теоремы 10.12.7 вытекает, что функция
Λ(5) = (2πΓ*Γ(5)£ω«5 + 1)
инвариантна относительно замены s—> — s. Ясно, что A(s) имеет простые
полюсы при s = ±l с вычетами ±π/12 соответственно, поскольку £(—1)=—1/12.
Последний факт можно вывести из функционального уравнения для £(s). При
s = 0, однако, A(s) имеет двойной полюс. Этим исчерпываются ее полюсы. Так
как £40) =—1/2, функция
^-ϊΦγ^ϊΦγ^^ (101210)

§ 10.12. Преобразования Меллина
489
является целой функцией, ограниченной на каждой вертикальной полосе.
Последнее замечание вытекает из сказанного перед формулировкой теоремы. По
теореме Коши обращение Меллина для T(s) имеет вид е~у, т.е.
c+i оо
е~, = т S Т^у-5&, οι.
С—ίοο
Отсюда получаем
c+i оо
/(iy)=2^j S A(s)y"sds, Ol. (10.12.11)
С—ίοο
Заметим, что функция ζφζ^ +1) ограничена на прямой Res = c> 1, поскольку
ряд для £(s) сходится абсолютно. По формуле Стирлинга
T(s) ~ ν^?|ί|σ-(1/2)β-π|ί|/2, s = σ + it, |t| -> оо,
в любой вертикальной полосе α < σ < β. Из этих двух фактов вытекает, что при
любом μ > 0 мы имеем
|A(s)| = 0(|ίΓμ), |t| -»оо, Res = c> 1. (10.12.12)
Возьмем теперь сг < — 1. Тогда при любом μ > 0 получаем
|A(s)| = |A(-s)| = 0(|tr), |t|->oo, Res = Cl<-l.
Так как выражение (10.12.10) ограничено в каждой вертикальной полосе, по
теореме Фрагмена—Линделефа условия (10.12.12) выполнено на интервале (с1} с)
при больших t. В итоге мы можем сдвинуть прямую интегрирования в
формуле (10.12.11) в область —с<—1, сделав поправку на вычеты при s = ±l hs = 0.
Функция y~s имеет разложение
1-slny-l·...,
поэтому вычет при s = 0 равен (Inу)/2. При s = ±l вычеты равны п/12у
и — пу/12. В результате получаем
—c+i оо
/(iy) = 2^ $ A(5)y-S ds + π/Uy + (In y)/2- ny /12 =
—c—i oo
—c+i oo
= 2^7 S A(-s)y-*ds + ir/12y + 0ny)/2-ity/12 =
—c—i oo
c+i oo
= 2^i S AWysds + n/12y+(lny)/2-rty/12 =
c—i oo
= /(-1Ду) + я/12у+(1пу)/2-яу/12.
Отсюда можно заключить, что соотношение (10.12.9) выполнено на мнимой оси.
Поскольку рассматриваемые функции аналитические, теорема доказана. D
Замечание 10.12.1. Заметим, что функция g(r) = η8(τ) обладает следующими двумя
свойствами:
*(τ + 1)=*(τ), £(-1/τ)1/τ4 = *(τ).
Интерес к преобразованиям
τ->τ + 1, τ->— 1/τ

490
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
происходит оттого, что они порождают модулярную группу G, состоящую из всех
дробно-линейных преобразований (ατ + Ь)/(ст + d), где a, b,c,d — целые числа и ad — be = 1.
Функция / на верхней полуплоскости называется модулярной формой, если для
некоторого целого к выполняется равенство
/(Ατ)Α'(τ)»=/(τ)
при всех AeG. Это выполнено для g(r) = η8(τ) при к = 2. Подгруппы конечного индекса
в группе G также играют весьма важную роль. Рассмотрим тэта-функцию
ем=|У'
где q = e1dx. Функция /ι(τ) = 04(τ) удовлетворяет соотношениям
Λ(τ + 2) = Λ(τ), Λ(-1/τ)1/τ4 = Λ(τ).
Преобразования τ —> τ + 2 и τ —> — 1/τ порождают подгруппу модулярной группы. В
теории чисел представляют интерес свойства коэффициентов Фурье модулярных форм.
Например, коэффициент при qn в разложении функции /ι(τ) — это количество
представлений числа η как суммы четырех квадратов, которое изучалось в § 10.6 немодулярными
методами. О доказательстве с использованием модулярных форм и операторов Гекке см.
в работе [225, с. 174].
Замечание 10.12.2. Существует простое доказательство теоремы 10.12.8, в котором
рассматривается интеграл от ctgzctgCz/τ) по подходящему контуру в комплексной
плоскости; оно содержится в работе [343]. Более общий результат получен аналогичным
методом в работе [294]. Пусть h, Ы и к — целые числа. Положим
τ = (h + iz)IK τ' = (h' + iz^/k,
где Ник взаимно просты, к> 0, Re ζ > 0 и hh! = — 1 (mod к). Тогда результат Радемахера
состоит в следующем:
где сумма Дедекинда s(h, к) имеет вид
·*·»-ΪΧΗΧί-[!Η>
/=1
Полезно, однако, здесь заметить, что трансформационная формула для η (τ) вытекает
из аналогичной формулы для тэта-функций, частный случай которой содержится в
теореме 10.12.6. Выполнено равенство
00 00
^ e-s(n+*)2 _ 5-1/2 ^ enn2/se2ninx (10.12.13)
П=—оо П=—оо
(дополнение Г, уравнение (Г.4.2)). Положим q = emr и ρ = β"πιτ. В силу определения
функции 03 в формуле (10.7.3) из предыдущей формулы вытекает, что
03(f, Ρ) = ^™™2<τθ3ίπζ, q). (10.12.14)
С учетом разложения 03 в бесконечное произведение (10.7.7) получаем
n=l

Упражнения
491
ton *«τ + Α)*/2τ,ρ) = Γ[(1 _ρηγ (10Λ216)
^ ι_ρΐ-Α 11
Несложные выкладки показывают, что из формул (10.12.14)—(10.12.16) вытекает
равенство
η(-1/τ)3 = 1^ϊη(τ)3)
ИЛИ
тК-1/т) = суу17(т),
где с — кубический корень из единицы. Положив τ = i, видим, что с = 1.
Прежде чем закончить эту главу, добавим, что квадратичные гауссовы
суммы связаны с тэта-функциями. Коши вычислял эти суммы с помощью
формулы из теоремы 10.12.6, полагая χ = ε + 2πί/Ν, где Ν — нечетное целое число,
и переходя к пределу при ε —> 0. Этим методом можно получить и более общее
соотношение взаимности для гауссовых сумм. Беллман [53, с. 40] приписал
это доказательство соотношения взаимности Ландсбергу, но оно было раньше
опубликовано Генри Смитом в 1859 г. Обзор [347] содержал ссылку на Коши.
О связи взаимности гауссовых сумм с тауберовыми теоремами см. в работе [61].
Формула взаимности содержится в упражнении 43.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Родриг, Стерн) Пусть рп(к) обозначает количество перестановок чисел 1,2,..., пек
инверсиями. Докажите, что
Затем найдите общее количество инверсий во всех перестановках чисел 1,2, ...,п.
Задача отыскания общего количества инверсий была поставлена Стерном и решена
Родригом. Интересная история результатов об инверсиях изложена У.Джонсоном
в неопубликованных заметках Some old and new results on inversions.
2. Дайте доказательство тождества (10.10.10), аналогичное доказательству
некоммутативной биномиальной теоремы в первой части главы.
3. Пусть р(т,п,к) — количество разбиений числа к на не более чем η частей, где
каждая часть не превосходит т. Покажите, что
[mnn\=^p^m'n'k)<ik·
к>0
Отсюда заключите, что
р(т,п,к) = р(п,т,к).
4. Докажите следующие тождества:
. Гп + т + 11 V» .Гт + Л
ι
k=0
Последнее тождество является q-аналогом тождества Чу—Вандермонда.

492
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
5. (Гаусс) Положим
m
Дд,т)=]Г(-1У[™], /(q,0) = l.
j=o J q
Докажите, что
/(q,m) = (l-qm-1)/(q,m-2).
Отсюда заключите, что
((l-q)(l-q3)...(l-qm-1)f m четно,
f(q,m) = \
[О, т нечетно.
6. (Гаусс) Пусть η — нечетное целое число, χ — первообразный корень степени η из
единицы.
а) С помощью результата упражнения 5 покажите, что
η
JV(fc-i) = (ΐ_χ-2)(1-χ^)..^1-χ-2(η-2)).
б) Докажите, что
G = JV2 = (jc-jc-1)^3-^-3)...^-2-^-^2) =
к=0
= (-l)2?(jc2-Jc-2)(jc4-JC-4)...(jcn-1-Jc-n+1).
в) Покажите, что
(±у/п при η = 4Jc+l,
±i't/n при π = 4Jc + 3.
г) Положим x = e2ni,n в п. б). Докажите, что
- гп.Лп=1 . 2π . 6π . 2(π-2)π
G = (2ι) 2 sin — sin —... sin — —.
η η η
Проверьте, что при η = 4Jc + l в произведении синусов имеется к отрицательных
множителей. Получите отсюда, что
G = </п при η = 4Jc +1.
Проведите аналогичный анализ при η = 4Jc + 3. Покажите, что в этом случае
G = i<fn.
7. Пусть invCm^rr^, ...,mr;n) — количество перестановок хгх2,...,xmi+m2+...+mn
множества {lmi2m2,..., гШг}, в которых имеется ровно η инверсий.
а) Докажите, что
η
inv(m!,..., mr; η) = ^ inv(m! +... + mr_!, mr;;) inv(m!,..., m^; η -j).
j=0
б) Используя п. а), докажите по индукции, что при г> 1 выполняется равенство
Σ. „Гж _, w . „_rm1+m2 + ...+mr-| _ (q;q)m1+m2+...+mr
n>0 L ш^Шг^.^Шг Jq (q;q)mi.:(q;q)mr
Этот результат принадлежит Макмагону. См. [10, с. 41].

Упражнения
493
8. Докажите, что гауссов многочлен
G(m,n;q) = [m + n]q
является возвратным, т.е. G(m,n;q) = qmnG(m,n;l/q). Выведите отсюда, что
р(т,п,к) =р(т,п,тп — к).
9. Докажите следующий вариант q-биномиальной теоремы:
η
(ab;q)n = Y[nk]bk(a;q)k(b;q)n.k.
к=о q
Сформулируйте и докажите многомерное обобщение этой формулы.
10. а) Докажите следующий аналог теоремы Бора—Моллерупа. Функция rq(jc), где
0<q<l,— это единственная логарифмически выпуклая функция, которая
удовлетворяет функциональному уравнению
/q(x + l) = \^/q(x), где/,(1) = 1.
б) Пусть функция g(jc) определена при х>0 и
lim^=0.
Докажите, что любые два выпуклых решения уравнения
/(x + l)-/(x)=g(x)
могут различаться только на константу. С помощью этого факта докажите
утверждение а). (См. [216].)
11. Докажите q -аналоги формулы удвоения Лежандра и мультипликативной формулы
Гаусса, содержащиеся в теореме 10.3.5.
12. При q > 1 положим
rqu)=(q:;q:;;-(q-i)i-vu-i)/2.
q iqx\q Ч.
Покажите следующее.
а) Функция Yq(x) удовлетворяет функциональному уравнению из упражнения 10.
б) Выполняется равенство Ит Γς(χ) = Γ(χ).
в) Вычет функции Γς(χ) при х = —п равен
(q_l)n+lqn(n+l)/2
(q;q)nlnq
г) Если q > 1 и
/(х + 1) = ^£у/(х), Д1) = 1, |^(1п/(х))<0
при χ > 0, то
/(x) = Tq(x) прих>0.
д) Если q > 1 и
Дх + 1) = ^£у/(х), /d) = l, |^0n/(x))>lnq
при χ > 0, то
/(χ) = Γς(χ) прих>0.
(См. [269].)

494
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
13. (Гаусс) Вычислите C0(q2) из формулы (10.4.4) следующим образом.
а) Проверьте, что
00
C0(.q2)e3(.q)=Y]a + q2n-1)2
л=1
И
00
л=1
б) Покажите, что
00
C0(q2)^4(q2) = f[a-q4n"2).
Указание. Воспользуйтесь тождеством y/63(q)64(q)= ^О?2)·
в) Покажите, что
Отсюда заключите, что
00
Cotfr1=Y\a-q2n).
Л=1
14. Докажите тождество пятерного произведения:
00
H(jc) = ]^(l-qn)(l-Jcqn)(l-qn-1/Jc)(l-JC2q2n-1)(l-q2n-1/x2) =
л=1
00
= Σ(χ3π-*"3,,"1)<ι
Отсюда заключите, что
оо оо
Π(ΐ-<Γ)3σ-<ι2',-1)2= £>n+1W
л(Зл+1)/2
„лОл+шг
Один из способов: положите Н(х) = У с(п)дсп. Чтобы найти с(0), вычислите ,
Л=-оо "W
и * , что позволит выразить с(п) через с(0). Затем выберите значение х.
15. Докажите, что тождество пятерного произведения в предыдущей задаче равносильно
тождеству
00
Y\(l - q2n) (1 - q2""1 χ) (1 - q2""1 /χ) (1 - q4""4*2) (1 - q4""4/*2) =
л=1
00
= Σ q3n2_2n[(je3,,+>:"3n)-(je3',"2 + x"(3,,"2))].
Π=-οο
Об упражнениях 16 — 24 и соответствующих результатах и библиографии см. в [155].
16. (Джексон) Докажите следующий q-аналог формулы Дуголла для 2-уравновешенной,
очень хорошо уравновешенной функции 7F6:
г a,qya,-qVa,b,c,d,e,q"N Л_ (aq\q)N(aqlcd\g)N(aqlbd\q)N(aqlbc\q)N
8ψ7{ У5, -Ju, aq/Ъ, aq/c,aq/d,aq/e,aqN+1' *' *' (aq/b; q)N(aq/c; q)N(aq/d; q)N(aq/bcd; q)N'

Упражнения
495
где Ν —натуральное число, bcde = a2qN+1. Одно из доказательств строится
следующим образом.
а) Заменим q~N на / и запишем формулу в виде
( a,qja,-qja,b,c,d,e,f -ααλ =
8ψ7V Ja~, -У5, aq/Ъ, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f >4i4J
_ iaq)ouiaq/cd)OU{aq/bd)0O{aq/bc)O0(_aq/bf)0O (aq/c/)»,(ag/dfl„(ag/bcdfloo
(aq/b)O0(aq/c)aa(aq/d)OU(<aq/f)0O(aq/bcd)OU ' (.aq/bcfl^aq/bdfl^aq/cdf),»'
где a2q = bcde/.
б) Предположим, что формула верна для / = l,q"\q"2, ...,q"N+1, и возьмем f = q~N.
По симметрии результат верен, если с или d = a2q/bcef равно l,q_1,...,q"N+1.
в) Заметим, что если домножить изначальную формулу на (aq/c; q)N и (aq/bcd; q)N,
то формула означает совпадение двух многочленов от с степени 2N. Ввиду п. б) обе
части тождества равны при 2N значениях с. Положим теперь c = aqN и проверим
равенство для этого случая.
17. (Бейлй) С помощью формулы из упражнения 16 и метода, которым она доказывается,
покажите, что
г a,qja,-qja,c,d,e,f,g,h,j · α σϊ =
10ψ9νJa,-Ja,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq/h,aq/jf ' )
_ (.aq)oa(.aq/fg)^aq/^)o0(.aq/fDou(.aq/gh)oa(aq/gj)^aq/hj)O0(.aq/fghj)n
(ag/'/)oo(aq/g)oo(aq//i)oo(aq/j)«>(ag/'gh^^aq/hjD^aq/'jfg)m(flq/'fgh)^
r k,q</k,-q</k,kc/a,kd/a,ke/a,f,g,h,j \
x ίοΨ9{ ^ _л^ aq/Cj aq/dj aq/ej kq/fj kq/gj kq/K kq/j ί Ъ <1 )>
где к = a2q/cde и cdefghj = a3q2, причем /, g, h или ; имеет вид q"N, где N —
неотрицательное целое число.
18. (Ватсон) Из формулы Бейли, содержащейся в предыдущем упражнении, выведите
следующую формулу:
j a,qVa,-qVa,cd,e.f.g ;na2q2/cdefg) =
^7^^,-^,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/gf4f 4 /La*f&)
_ (.aq)coiaq/fg)coiaq/ge)00iaq/ef)00 r aq/cd,e,f,g \
(aq/e)00(aq//)00(aq/g)00(aq/e/g)004^3Vefe/a,aq/c,aq/d,q,q>
где e, / или g имеет вид q~N. Это q-аналог преобразования Уиппла.
Выведите формулу преобразования Сирса (см. теорему 10.10.2).
19. Переходя к пределу при с, d, e, /, g = q~N -> оо в формуле Ватсона из упражнения 18,
покажите, что
п=1 п=0
Упростите эту формулу при а = 1 и а = q.
20. Покажите, что из формулы Джексона (см. упражнение 16) вытекают следующие
тождества:
я) ω ( a>4Va,-qVa,b,c,d aa/hcd)= (a(l>(U<»teq/bc;q)0o(aq/bd;q)00(aq/cd;q)00
} ^syja-,-Sa-,aq/b,aq/c,aq/d'q' 4/ J (aq/b;q)^aqlc;q)a>(aqld;q)^aq/bcd;q)a>
при условии \aq/bcd\ < 1;
6) q-формула Диксона
f q,-q</a,b,c a/qfhA= (W\<U*(aq/bc\q)v>(<i>falb-,q)v>{q>falc\q)«>
4^3U^,ag/b,ag/c,q,qV ' J (ag/b;g)00(ag/c;g)00(gv^/d;g)00(gv^/bc;g)00
при условии \qja/bc\ < 1.

496
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
21. Докажите следующие тождества и выведите п. б) из п. а).
«л - (Ч^.Ъ.с \_<Лфс;д)п(Ъс\« fq-n,d/b,d/c γ
а)зЫ d,e '«'«J—fei)T^ 3^ d,de/bc n'q,<1>
6) 2Vi(,_"^/Ь;«, bq/e) = (-1)-,Чϊ)(β;,).«- 3φ2(q"^'°;,,«,);
22. Докажите интегральную q-формулу Барнса, полученную Ватсоном:
(β. ь «Λ _ (fl;q)°°(b;qW-i^ '? (д1+5;д)оо(сд5;д)аоЯ(-г)5
|*| <1, |arg(-z)|<7r.
23. (Вильсон) Пусть Rec>0, Red>OnRe(jc + y)>l. Докажите следующий аналог
формулы бета-интеграла Коши:
J_ '? (-csq^q^Cdsq^q)» = Г,Сх + у-1) (-cqx/d;q),(-dqy/c;q),
2πί J. (-«;q)oo(d5;q)oo 5 rq(jc)rq(y) (c + dX-cq/djtf.C-dq/cjq)..
при 0<q<l.
24. Проверьте следующие аналоги первой и второй лемм Барнса:
а) (Ватсон)
J_ '? (g^g)^1"^5^ ng'ds
2πί JL (qa+5;q)oo(qb+s;q)oo siii^(c-5)sm^d-s)
gc (g; дЗооСд1^^; g)-^-*; g)oo(qfl+b+c44i; g)„
sinnic-d)' (,qa^q)Ouiqa+d;q)^qb+c\q)0O(,qb+d;q)0o
б) (Агарвал)
J_ '? (q1+5; q)oo(qd+5; gW"; q)» nq'ds =
2ni J» (qa+5;q)oo(qb+5;q)oo(qc+5;q)oo sinrcssin7r(d + s)
(ga; q)oo(qb; g)«>(gc; g^g1^; ς)·(ς14*^; g^g1^; ς)»'
гдео + е = 1 + а + Ь + с, 0<q<l.
25. Докажите тэта-соотношения (10.7.5), (10.7.6) и (10.7.7).
26. Докажите формулы для произведений эллиптических функций Якоби (10.7.13).
27. Докажите следующие формулы при и = 2Кх/п:
. , π , 2π V"1 q cos2n*
a) an u = —+ — > -4:—=—;
2K К ^-J l + gn '
n=l *
2π у» gn+1/2 cos(2n + l)x
^ 2π ν1 ί ' cos(2n
6)cnu=T£ —^
„=o - ■"«'
λ π , 2π V,q2n+1sin(2n + l)jc
n=0 *
28. Покажите, что при k^O,±1 выполняется равенство
— sn(u, к) = cn(u, к) dn(u, к),
аи
Докажите также, что
sn2(u,fc) + cn2(u,fc) = 1
и
fc2sn2(u,fc)+dn2(u,fc) = l.

Упражнения
497
Заметьте, что
(<i*£J0)2 = (1_sn2(U(fc))(1_fc2sn2(ufc))
29. С помощью соображений из § 10.8 докажите, что
г xc-i (,-ax'iq)oui-qb/x;q)00 άχ _ jab; дЗоЛд^дЗооСд^дЗорЯ
5 (-л·; q)oo(~q/jf; q)» 0>qc; дЗооСад"*; q)„(q; g3oo sin nc'
30. Докажите теорему 10.8.2 при max^^sOaJ, |q|) < 1:
5
г hOU3fr(*,vffifr(*,-13fr(x,-y^fr(*,A3 d* = ,Ц
A n,,fv, Vi-*2 й;й« П (ai;^).'
1
где A = a1a2a3a4a5.
31. Докажите следующие формулы (где 0 < q < 1 nRea>0, Reb>0):
. г (-*gb;g3oo(-ga+1/*;g3oo У = rq(a)rq(b)
J J (-Jc;q)oo(-Jf/q;q)oo * rq(a + b3 '
F (-V;g3oo(-ga+1/*;g3oo d* = lng rq(a)rq(b)
0 (-Jf;q)oo(-q/jf;q)oo * 1-q rq(a + b3
о
в) Обобщите формулу из п. а) следующим образом:
г *c-4-*g-b;g3oo(-ga+1/*;g3oo , (-^«(-g1"*;?)- rq(a + c3rq(b-c3
J (-Jc;q)oo(-q/jc;q)oo q (-l;q).(-q;q). rq(a + b3 '
где Re(a + с)>0, Re(b-с)>0n0<q<l.
32. Докажите, что если тахОа^, |а2|, |а3|, |а4|) < 1, то
С sin2fldfl _ π(1-α1α2α3α4)
•na-2«Joo.e+^"21J!3<4(1-^)'
33. С помощью теоремы 10.12.1 докажите следующие факты.
а) Если 0 < 5 < min(a, b), то
Ix*-1 Г(аЪс χΛάχ- Г(С) ГМГ(а-5)Г(Ь-5)
Iх ^i7!(а,Ь,с, х)Лс-г(а)г(Ь) г(с_5)
б) Если 0<5<1, то
00
\xs-1a-a-2-ax + 3-ax2-...)dx=-^-a-s)-a.
jj SlllSft
34. Покажите формальную равносильность следующих формул:
00
а) \χ*-1{φ(.0)-χφα)+Χ2φ(.2)-...}άχ=-^φ(.-5);
б) ξ х^ШО) - £Я(1) + ^А(2) -...} dx = nsMs).
о 1! 2!
35. Пусть s > 0 и ряд
пЯ(п) -
Λ(χ) = Υ(-1)"^
сходится при всех х. Покажите, что разностная формула Ньютона
Я(-5) = А(0) + ^АЯ(О) + ^рА2Я(0) +...,

498
Глава 10. Введение в теорию q-рядов
где ΔΑ(η) = λ(η) — Α(η +1), равносильна формуле из п. б) из предыдущего
упражнения.
36. Пусть а>0, Ь>0 и
00
л=0
С помощью формулы из упражнения 34 б) докажите, что A(n) =a(a + nb)n~1.
Результаты, содержащиеся в упражнениях 34 — 36, принадлежат Рамануджану. См.
[182, гл. 11].
37. С помощью упражнения 5 и q-биномиальной теоремы докажите, что
"2 - °° „4п2„2п
2л V^1 <Г α" _ V^« q™ α*"1
m'4 £$ (l2;q2)„(«q2;q2)n ~ ^ С<14; Ч4)™'
38. а) С помощью преобразования Гейне из теоремы 10.9.1 покажите, что
ιη (Ъ2,Ъ2/с., „/h2\ 1 (b2;q2)«,(q;q2). /-(с/Ц, , (-с/Ь)«Л
б) Положив b = q~n и перейдя к пределу при с —>», покажите, что
^0(q2;q2)ra(q2;i2)n-m~l Ч'^П'
Последнее тождество было получено Гауссом [157, § 9] другим методом.
39. Из упражнения 38 б) и q-биномиальной теоремы выведите следующие тождества:
40. Покажите, что рекуррентное соотношение (10.11.3) вытекает из вида производящей
функции (10.11.2) и обратно.
41. а) Докажите формулу линеаризации (10.11.17) исходя из того, что при χ = cos θ
выполняется равенство
Σ («,)»££(««). Ι нкШнтШнпШКе™;4)Ι2*θ =
akbmcn
(q; q)oo(ab; q)w(ac;q)„(be;q)oo (q;q)oo Ain (я;ч)г(Я'>Ч)*(Я'»<0г'
б) Завершите вычисление интеграла из формулы (10.11.19).
42. Докажите формулу (10.11.18).
43. Положив в теореме 10.12.6 χ = ε — πίτη/2η и перейдя к пределу при ε —> 0, покажите,
что
2n-l m-1
JL V1 enik2m/2n _ Hi у e-2nik2n/m
Для нечетных q выведите тождество
1=0
44. Рассмотрим более общий оператор разностного отношения
./0*M)-/(yiM)
D/Qc) =
У2М-У1М

Упражнения
499
Пусть D переводит многочлены степени η в многочлены степени п — 1. Покажите,
что угМ и у2{х) удовлетворяют квадратному уравнению
Ay2 + Bxy + Cx2 + Dy + Ex + F = 0.
Покажите также, что с помощью двух решений этого уравнения можно определить
оператор D таким образом, чтобы он переводил многочлены степени η в многочлены
степени п — 1. Конкретные варианты многочленов уг(х) и у2М и их пределы
определяют операторы, используемые в этой книге. С другой стороны,
используемые в книге операторы — это по существу стандартные формы, к которым можно
привести уг(х) и у2{х). См. [260].
45. Покажите, что
DJnix)=q^/2ij^Un.1(x).
46. Если
π
$ /(cos 0) άθ = 0
о
и функция / гладкая, то
00
/(cos 0) = /J α* cos кв.
Если /(cos θ) — многочлен от cos 0 или коэффициенты afc убывают достаточно
быстро, то
Положим
Покажите, что
где
См. [74].
к=1 Ч
/qg(*) =/(*).
IqgM = - § g(cos </?Ж(0 + ν?) sin ν? άφ9
—π
*<β> = ^ϊ# те1п(<11/2еШ; 0-<91/2«4β; «>-

ГЛАВА II
Разбиения
Теория разбиений, с одной стороны, по своей тематике естественно
вписывается в теорию q -рядов, а с другой —по своим методам сугубо
комбинаторна. Как следствие, этот предмет можно излагать по-разному. П. А. Макмагон,
один из первопроходцев теории разбиений, озаглавил свою основополагающую
двухтомную работу «Комбинаторный анализ». Ясно, что он видел важнейшую
роль комбинаторного анализа в изучении разбиений. Мы последуем его
пути и будем изучать разбиения с помощью развитой им техники — анализа
разбиений. С помощью этого метода определяются производящие функции
различных интересных функций разбиения. По ходу дела мы продемонстрируем
и некоторые другие способы построения теории разбиений.
§ II.I. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РАЗБИЕНИЯХ
Теория разбиений рассматривает представления натуральных чисел в виде сумм
натуральных чисел. Например, число 4 допускает пять разбиений, а именно 4,
3 + 1,2 + 2, 2 + 1 + 1и1 + 1 + 1 + 1. Отметим, что порядок слагаемых (или частей)
не учитывается: 1 + 2 +1 — то же самое разбиение числа 4, что и 2 +1 +1.
Одним из предметов изучения служит функция ρ (η) — количество разбиений
числа п. Другие примеры интересных функций разбиения таковы: рт(п) —
количество разбиений числа η на не более чем т частей и р^(п) — количество
разбиений числа η на различные части. Таким образом, р(4) = 5, р2(4) = 3
и р^(4) = 2. Последнее обозначение будет объяснено ниже.
Теория разбиений восходит к Эйлеру. Производящая функция данной
функции разбиения оказалась одним из важнейших объектов при изучении
разбиений. Основное наблюдение Эйлера состояло в том, что при рассмотрении
производящих функций можно применять геометрические прогрессии. Пусть
А — некоторое множество натуральных чисел. Разбить число η на элементы
множества А означает представить η как сумму таких элементов (причем
порядок слагаемых несуществен). Таким образом, η = αι + α2 + ... + αΓ, а( е А; чтобы
сделать представление единственным, можно наложить условие ах>аг>...>аг.
Пусть рА(п) означает число разбиений числа η на элементы множества А.
Производящая функция для рА(п) имеет вид
00
Σ рАшп=Π(1+^+42α+43α+-)- (1т)
п=0 а€А
Равенство в формуле (11.1.1) становится понятным, если раскрыть скобки и
заметить, что показатели степени при q имеют вид
/1α1+/2α2 + ... + /;α; + ...

502
Глава 11 Разбиения
Это выражение означает произвольное разбиение на элементы из А, в котором
аг появляется /г раз, а2 появляется /2 раз и т. д. Как следствие,
00
Σ^(«)ςπ = Πϊ^· 01.1.2)
п=0 аеА
Если мы наложим условие, что каждая часть разбиения появляется не более
чем s раз, и определим Рд}(Ю как количество соответствующих разбиений
числа п, то получим, как и выше,
Σρϊ\η^η=Π(1+ια+*2а+-+^=Π ^т^"· (1LL3)
п=0 аеА аеЛ
Отметим, что Рд1}(п) — это количество разбиений числа η на различные
элементы множества А и
г,2а
Ι--ΠΪΞ-
п=0 аеА аеА
zrf'w^a^^^· caw)
Эти замечания о производящих функциях позволяют нам доказать одну из
впечатляющих, хотя и элементарных теорем Эйлера.
Теорема 11.1.1. Количество разбиений числа η на элементы множества
нечетных чисел б равно количеству разбиений числа η на различные части
(т. е. части из множества всех натуральных чисел Ν). Более кратко,
Ро(п) = р£\п).
Доказательство. Это легко вытекает из предыдущего, поскольку
00
2>(П)<*П = (l-qXWXl-q5).·. =
η=Ό
(l-q2)(l-q4)... π 1-q2"
^=Π^=Σ*ί»<·-
(ΐ-,κι-Λα-«·. >rf . „,„
Здесь на первом шаге применено соотношение (11.1.2), а на последнем —
соотношение (11.1.4). Теорема доказана. D
Дойдя до этого места, читатель может попробовать доказать методом
теоремы 11.1.1 следующий результат.
Количество разбиений числа η на слагаемые, не кратные трем, равно числу
его разбиений, в которых никакое слагаемое не встречается более двух раз.
Одна из трудностей при изучении теории разбиений состоит в следующем:
кажется, что каждый новый результат требует нового приема. Хотя
посвященных это может восхищать, но несколько обескураживает тех, кто не
специализируется в комбинаторике. В этой главе мы рассчитываем дать систематический
вывод множества элементарных результатов. В центре нашего внимания будет
анализ разбиений Макмагона, позволяющий получить производящие функции
для многих интересных функций разбиения.

§ 112. Анализ разбиений
503
§ II.2. АНАЛИЗ РАЗБИЕНИЙ
Продемонстрируем этот метод на примере следующей задачи: какова замкнутая
00
форма производящей функции J] pm(n)qn? Напомним, что рт(п) —количество
п=0
разбиений числа η на не более чем т частей.
Нетрудно видеть, что можно записать эту производящую функцию как
многомерную сумму. А именно,
00
n=0 ni>n2>...>nm>0
Условие n1>n2>...>nm>0 вызвано тем, что порядок в разбиении несуществен.
Поэтому любое разбиение можно записать единственным образом как сумму
невозрастающей последовательности чисел. Идея Макмагона состояла в том,
чтобы ввести новые переменные Хъ Я2,..., Ят_1} которые и обеспечивают
выполнение неравенств для п;, тогда как сами п; остаются свободными. Рассмотрим
сумму
V д^^^Я"1""^2""3 ...Я^ГГПт·
nlfn2f...,nm>0
Если в этой сумме выбрать слагаемые с неотрицательными показателями
степени при Я, то эти показатели будут соответствовать разбиениям числа η на не
более чем т частей. Например, если m = 2 и η = 4, то получаются показатели
4 + 0,3 + 1и2 + 2. Метод анализа разбиений состоит в применении линейного
оператора Ω к описанному кратному ряду Лорана от переменных Хъ >^,λτη_1.
Оператор аннулирует слагаемые с любыми отрицательными показателями, а в
оставшихся слагаемых отображает все Яi в 1. Как следствие,
Σρ-("^π = ω Σ чъ+~^-п\..хп-\-п» =
п=0 nlf...,nm>0
= Ω J] (qAx)ni J] (qA^A^... £ (q/A^)"™ =
' ηλ>0 η2>0 nm>0
= 9(l-qA1)(l-qA2A1)...(l-q/Am_1)' (U,2,1)
Теперь нужно построить алгоритм, который вычисляет действие оператора Ω.
Для этого мы сформулируем и докажем следующую лемму.
Лемма 11.2.1. Справедливо равенство
Ω
" (1-Ях)(1-у/Я) (1-х)(1-хуГ
Доказательство. Левая часть равна
Ω ]>] Хп-тхпут= ^ хПУт·
п,т>0 п>т>0

504
Глава 11 Разбиения
Положим к = п — т. Последняя сумма примет вид
Σ x^y- = S^Z^m=(i-xKi-xy)'
к,т>0 к>0 т>0
и лемма доказана. D
Многократное применение леммы 11.2.1 позволяет получить замкнутую
форму производящей функции для рт(п)-
Теорема 11.2.2. Справедливо равенство
00
][]pm(n)qn = l/(l-q)(l-q2)...(l-qm).
п=0
Доказательство. Однократное применение леммы 11.2.1 и формулы
(11.2.1) приводит к равенству
00
2jPm(n)q" = Ω (1_ς)(1_λ2ς2)(1_λ3(ϊ/λ2)...(1_ς/λπι_ι)·
η=υ
После второго применения получаем
1
Ω
> α-4)α-α2)α-λ3α3)...α-4/λτη_ιγ
Теперь ясно, что мы получим искомый результат, если применим лемму к
каждому из Хъ Я2,..., Ят_!. Теорема доказана. D
Прежде чем углубляться дальше в анализ разбиений, рассмотрим простой
пример, еще раз демонстрирующий силу этого метода. Нам потребуется
обобщение леммы 11.2.1, полезное и для других целей.
Лемма 11.2.3. Пусть а —неотрицательное целое число. Тогда
λ~α ха
> (1-Ах)(1-у/А) = (1-хШ-хуУ
Доказательство леммы 11.2.1 пригодно и здесь. Читатель может это
проверить. Пример же состоит в следующем: пусть Δ(η) означает количество
неконгруэнтных треугольников с периметром п, у которых длины сторон —
00
натуральные числа. Чему равно J] A(n)qn?
п=0
Пусть пъ п2, п3 —длины сторон треугольника в порядке возрастания.
Должно выполняться условие п2 + п3>п1 +1. Анализ разбиений Макмагона
автоматически дает ответ:
00
П=0 ПЪП2,П3>0
= Ω^ Ϊ-ΤΓΤ7-, Λ /λ .„ τ-ΓΓΤ=Ω 3
" (1-ςλ1/λ3)(1-ςλ2λ3/λ1)(1-ςλ3/λ2) " (1-ς/Α3)(1-ς2λ2)(1-ς3Α3/λ2)
*? q3
= Ω
> (l-q/A3)(l-q2)(l-q3A3) (1-q2)(l-q3)(l-q4)"
Следовательно, Δ (η) равно количеству разбиений числа η на двойки, тройки
и четверки при наличии хотя бы одной тройки.

§ 113. Библиотека алгоритмов анализа разбиений
505
§ II.3. БИБЛИОТЕКА АЛГОРИТМОВ АНАЛИЗА РАЗБИЕНИЙ
Примеры из предыдущего параграфа демонстрируют методы анализа
разбиений. Используя ряд простых и просто доказываемых соотношений для оператора
Ω (таких как лемма 11.2.3), можно применять этот оператор ко многим раци-
ональным функциям от нескольких At·. Приведем еще некоторые результаты,
аналогичные лемме 11.2.3. Эти и другие факты были впервые установлены
Макмагоном.
Предложение 11.3.1. Справедливы равенства
а) Ω г г
У(1-Ях)(1-у1/Я)(1-у2/Я)...(1-у;/Я) {1-хХ1-худ.М-ху,У
бч 0 1 _ l-xyz β
Ό) У (1-Ях)(1-Яу)(1-*/Я) (l-x)(l-y)(l-xz)(l-yz)'
1 \ + xyz — x2yz — xy2z
B) > (1-Ях)(1-Яу)(1-2/Я2) "" (l-x)(l-y)(l-x22)(l-y22)·
Доказательство. Любой такой результат (и бесчисленные другие) можно
доказать несколькими способами. Метод элементарных дробей в основном
сведется к применениям леммы 11.2.3. Ниже доказаны утверждения а) и б),
а в) предоставляется читателю.
Заметим, что при j = 1 утверждение а) совпадает с леммой 11.2.1. Применим
индукцию. Пусть утверждение верно вплоть до j —1. Заметим, что
1 = 1 ( Ум У) \
а-У;-1Д)(1-у;/Я) У;-1-уЛ1-У;-1Д i-jo/aJ·
Теперь выражение из а) можно записать в виде
_1_ΩΓ £2
Ум -У} Д α -λχ)(ΐ -у,A)...(i -jo_i А)
Ь. 1 =
0.-Xx)0.-yJX)...0.-yh2IVO--yilbl
_ ι Г Ум У) 1
Ум-уА(.1-х№-ху0...а-хум) (.i-x)a-xy1).M-xyj-2)a-xyi)i
(1-х)(1-дси)...(1-догр·
Очень похоже доказывается и утверждение б):
> (1-хЯ)(1-уЯ)(1-2/Я) х-у >и-хЯ 1-γλ)ΐ-ζ/λ
__ χ У l-xyz
(х-у)(1-х)(1-д«) (х-у)(1-у)(1-у2) (1-х)(1-у)(1-Х2)(1-у2)·
Предложение доказано. Π
§ ιι.4. производящие функции
В этом параграфе мы применим анализ разбиений к отысканию производящих
функций для некоторых важных функций разбиения.

506
Глава И Разбиения
Теорема 11.4.1. Пусть Qm(n) обозначает количество разбиений числа η
ровно на т частей. Тогда
~ „m(m+l)/2
n=0
Г
(l-q)(l-q2)...(l-qm)·
Доказательство. Если η = ηι + η2 +...+ nm, то можно считать, что пг>
>п2 + 1, п2>п3 + 1, ..., пт>1, поскольку части различны по размеру и их
количество равно т. Тогда
00
η=0 nlf...,nm>0
= Ω^-? Β
> (1 -λ,ς)(1 -λ2ς/Α,)...(1 -Xmq/Xm_0'
Применив лемму 11.2.3 к Ях, Я2,.... А„ при α = 1, получаем
Σ
Qm№n = Ω ^
i-i
n=o V(l-q)(l-A2q2)(l-A3qM2)...(l-AmqMm_1)
> (l-q)(l-q2)(l-A3qM2)...(l-AmqMm_1) (l-q)(l-q2).(l-qm)'
что доказьгоает теорему. D
Точно так же можно рассмотреть θ£'ι\ή) количество разбиений числа η
на m частей, где каждая часть отличается от следующей не менее чем на к
и наименьшая из частей не меньше чем ί. Замкнутую форму производящей
функции дает следующая теорема.
Теорема 11.4.2. Справедливо равенство
. п1т+кт(т-1)/2
ΖΛπ. v"* (i_q)(i_q2) ...(i-qm-,·
пэи
Доказательство. Рассуждая, как выше, получаем
\nm-l~nm~kДПт— I __
т—1 т
n>0 nb...,nm>0
Я7*ЯГ* ...Я"* . Я"? QZm+km(m-l)/2
ι ί τη—ι τη _ τ
= Ω
V (1-A1q)(l-Aaq/A1)...(l-Amq/Am_1) (1-q)(l-q2)...(l-qm)'
Единственное отличие в том, что при первых m — 1 применениях оператора Ω
мы полагаем в лемме 11.2.3 α = fc, а при последнем (тривиальном) применении
α = ί, у = 0. Теорема доказана. D
Мы можем вводить и другие переменные, которые позволяют отслеживать
различные свойства разбиений. Например, справедлива следующая теорема.
Теорема 11.4.3. Пусть pm(j,ri) {соответственно 0.т(],пУ) обозначает
количество разбиений числа η на не более чем т частей (соответственно ровно
на т различных частей), причем максимальная часть равна j. Тогда
YAPm<j,n)zlqn = \K\-zq)(\-zq2)..X\-zqm)
j,n>0

§ 114. Производящие функции
507
j,n>0
Доказательство. Из определения величины pm(],ri) ясно, что
Σ PmU, nWqn = Ω Σ ζη^^'''^λ\^λΙ^...Я^_"ГПт =
j,n>0 ' пи...,пт>0
= Ω
= Ω
> (1-β4λ1)(1-ςλ3/λ1)...(1-ς/λ11Ι_1)
1
= Ω
"(l-zq)(l-zq2A2)(l-qA3/A2)...(l-q/Am_1)
1 1
> (l-zq)(l-zq2)(l-2q3A3)...(l-q/Am_1) (l-zq)(l-zq2)...(l-zqm)·
Для другой производящей функции рассуждение аналогично. Таким образом,
Σ Qmo»*v = § Σ 2-д-+-+"--яГП2-1яГПз"1-я:":Гт"1^-1 =
;',п>0 пъ...,пт>0
zmqm(m+l)/2
(l-zq)(l-zq2)...(l-zqm)·
Теорема доказана. D
00
В дальнейшем мы пользуемся обозначением [V] J] αηζη = α;, т.е. оператор
п=0
[V ], примененный к степенному ряду, дает коэффициент при ζ у В
доказательстве теоремы 11.4.4 потребуется следующий факт:
Ν Ν оо
ft=0 /ι=0 η=0
00
==[ζΝ][(1 + 2; + 2;2 + ...)(αο + α12; + α22;2 + ...)] = [2;Ν]-^ΓΓ-^ (11.4.1)
Теорема 11.4.4. Пусть p(JV, Μ, η) (соответственно Q(JV, Μ, π)) обозначает
количество разбиений числа η на не более чем Μ частей (соответственно ровно
на Μ частей), каждая из которых не превосходит N. Тогда
Σρ(«,μ,„„· _[»;-1
п=0
п=0 Ч
Здесь I п J — q-биномиальный коэффициент, определяемый формулой (10.0.5).

508
Глава 11 Разбиения
Доказательство. В силу теоремы 11.4.3 и соотношения (11.4.1) получаем
η=0 /ι=0 ;,η>0 /ι=0 *
"LZ J(l-2)(l-2q)...(l-2qM)~L2; JZjL It V"L Μ V
Заметим, что предпоследнее равенство получено с помощью следствия 10.2.2 г).
Теперь докажем второе соотношение:
n=0 h=0 ;',n>0
= [zw]zMqM(M+1)/2/[(l-z)(l-zq)...(l-zqM)] =
00
_ [yV]2M м(м+1)/2уТ*с + М1 ^ = 4Μ(Μ+ΐ)/2ΓΝΊ ^
fc=o ς q
Теорема доказана. D
Следствие 11.4.5. Справедливо равенство
J] Q(N,M,n)2;V = a + 2;q)...(l + zqN).
η,Μ>0
Доказательство. В силу теоремы 11.4.4 и следствия 10.2.2 в) имеем
J] QCW, М, n)*V = J] ^^ΓΣ QCAT, Μ, n)qn>) =
= ^ zMqM(M+l)/2|-N j = (i+^d + ^^d + ^N^
M>0 Ч
и следствие доказано. D
Теорема 11.4.6 охватывает предельные случаи и другие следствия
предыдущих результатов.
Теорема 11.4.6. Пусть р(п) обозначает общее количество разбиений числа
η, α ρ [τη, ή) — количество разбиений числа η ровно на т частей. Тогда
a)2pW = 1/(q;q)oo,
п=0
б) J] p(m,n)2;mqn = l/(2q;q)oo,
п,т>0
в) J] Qm(n)zV = (-*q;q)oo,
п,т>0
00
п,т>0 т=0
00
д) Σ Qi2,2)(")zmqn=2zm4m(m+1)/(q;q)n
n,m>0 m=0

§ 115. Некоторые результаты о разбиениях
509
Доказательство. По теореме 11.2.2 имеем
00 СЮ
yVn)qn= ton y]pm(.n)qn= ton l/[(l-q)(l-q2)...(l-qm)] = l/Cqjq)..
Лат* т—>00 «>J Щ—> 00
n=0 n=0
Чтобы доказать п. б), вначале заметим, что p(m,n) = pm(n) — pm-i(n). Отсюда
получаем
п,т>0 т>0 п>0
= у zm(_l 1_) _ у *т<1т = 1
4i ^ to <*)т (<z; <z)m-i ' 4а (<*; *« bv Φ-'
где последний шаг вытекает из следствия 10.9.4. Формула в) получается из
следствия 11.4.5 при N-*<*>. Чтобы вывести г), заметим, что по теореме 11.4.2
выполняется равенство
п,т>0 т>0 п>0 т>0 т
Аналогично получается и последняя формула. Теорема доказана. D
Ряды в правых частях формул г) и д) появляются в формулах Роджерса—Ра-
мануджана, которые будут приведены и доказаны в следующей главе.
§ II.5- НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О РАЗБИЕНИЯХ
В § 11.1 мы показали, что количество разбиений числа η на нечетные части
равно количеству разбиений на попарно различные части, поскольку их
производящие функции совпадают. Это очень мощный метод получения результатов
о разбиениях. В этом параграфе мы приведем некоторые приложения теорем,
доказанных в предыдущем параграфе. Например, из теоремы 11.4.4 легко
вытекает следующий результат.
Теорема 11.5.1. Количество разбиений числа η на <М частей, каждая из
которых не превосходит Ν, равно количеству разбиений числа η на < JV частей,
каждая из которых не превосходит М, т. е.
p(JV,M,n)=p(M,JV,n).
Доказательство. По теореме 11.4.4 производящая функция для p(JV, Μ, η)
имеет вид
ΓΝ + Μ]
L м ν
Ясно, что это производящая функция и для ρ(Μ,Ν, η). Теорема доказана. D
Из этой теоремы непосредственно вытекает такой результат.
Следствие 11.5.2. Количество разбиений числа η на не более чем т частей
равно количеству разбиений числа п, в которых каждая часть не превосходит т.
Можно дать и прямое доказательство этого следствия, показав, что
функция Ь(т, п), представляющая собой количество разбиений, в которых все части

510
Глава 11 Разбиения
не превосходят т, также имеет производящую функцию l/(q;q)m. Пусть 1к
обозначает, сколько раз к встречается в некотором разбиении числа п. Тогда
J] Ит, n)qn = 2 qW+U2)+..Mmm =
η=0 Ιι,...,Ι«>0
С помощью результатов предыдущего параграфа можно также дать другой
вывод некоторых тождеств, полученных в гл. 10 из q-биномиальной теоремы.
Например, очевидно, что
(l + 2;q + 2;V+1 + ...)(l + 2q2 + 2;V+2 + ...)(l + 2;q3 + 2;2q3+3+ ..·)...=
т,п>0
где ρ(τη, ή) —количество разбиений числа η ровно на m частей. Однако согласно
результату из анализа разбиений (теорема 11.2.2) мы имеем
Х>,,0<" = SOU» -P„-,W)," - gJjJ - gji- . ^,-.
(*q;q)oo ~~2j (q;q)m'
n>0 n>0
Отсюда следует, что
m=0
ИЛИ
Σζ" = 1 .
Λ(ς;ς)οο (ζ; ς)»'
m=0
это результат Эйлера (следствие 10.2.2).
Аналогично
gm(m+l)/22m
i-zq; q). = (1 + zq)(l + 2q2)(l + zq3)... = J] Qm(n)zmqn = Σ g ( } ,
m,n>0 m=0
где последнее равенство следует из анализа разбиений (теорема 11.4.1). Отсюда
вытекает другой результат Эйлера в следствии 10.2.2, а именно
оо (п\
п=0
Закончим этот параграф формулировкой тождеств Роджерса—Рамануджана
и их интерпретацией в теории разбиений. Более полное рассмотрение этих
тождеств и их доказательство см. в следующей главе. Тождества имеют вид
оо 2 °°
Σ щгт = П^1-^1^1-^"1 (1L51)
m=0 -' *"" n=0
,_m(m+l)
n(q;q)m
m=0 n=0
__ „m(m+l) ..—-
Σ шк =Π(1-«5"+2)"1(1-«δΜ3)"1· (1L5-2)

§ 116. Графические методы
511
Правая часть формулы (11.5.1) —это, очевидно, производящая функция
количества разбиений, в которых все части сравнимы с 1 или 4 (mod 5). Левая часть
по теореме 11.4.6 г) равна числу разбиений, в которых все части различаются
не меньше чем на 2. Формула (11.5.2) имеет аналогичную интерпретацию.
Теорема 11.5.3. а) Количество разбиений числа п, в которых разность
между любыми двумя частями не меньше чем 2, равно количеству разбиений
числа η на части, сравнимые с 1 или 4 по модулю 5.
б) Количество разбиений числа п, в которых наименьшая часть не меньше,
чем 2, а разность между любыми двумя частями не меньше чем 2, равно
количеству разбиений числа η на части, сравнимые с 2 или 3 по модулю 5.
Такая интерпретация формул (11.5.1) и (11.5.2) принадлежит Макмагону
[259].
§ II.6. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Мощным методом изучения разбиений является графическое представление.
Этот метод был открыт Н. М. Ферре в 1850-х гг. С тех пор он широко применялся
в теории разбиений, в отличие от анализа разбиений Макмагона, который
лишь недавно стал выдвигаться на передний план. Отчасти это могло быть
связано с признанием Макмагона, что анализ разбиений не дал существенных
результатов для разбиений плоскости, для которых первоначально и был создан.
Напротив, Сильвестр, опубликовавший работу, посвященную графическому
методу Ферре, дал ему широкую известность. В короткой заметке «Note on the
graphical method in partitions» («Заметка о графическом методе в разбиениях»),
опубликованной в 1883 г., Сильвестр писал:
«Изобретение этого процесса принадлежит доктору Ферре, который
сообщает, что он сам никогда его не публиковал, но предоставил мне сделать это
под его именем в журнале „London and Edinburgh Philosophical Magazine" за
1853 г. Могу отметить, что я никогда не упускал случая выразить свое мнение
об огромном значении этого открытия и привлечь к нему внимание моих
учеников...»
Графическое представление разбиений по Ферре* — это совокупность точек
решетки, где каждая строка точек соответствует части разбиения. Например,
на рис. 11.1 показано графическое представление разбиения 5 + 2 + 2 + 1.
Рис. 1L1
Этому разбиению сопряжено другое разбиение, которое получается из
столбцов исходного. В данном случае сопряженное разбиение имеет вид 4 + 3 +
+ 1 + 1 + 1.
ι Чаще употребляется термин «диаграмма Юнга».

512
Глава 11 Разбиения
Согласно Сильвестру, Ферре доказал этим методом следующий результат:
количество разбиений числа η ровно на т частей равно количеству разбиений
числа η с максимальной частью т. Это интуитивно очевидно из диаграммы
Ферре. Каждое разбиение ровно на т частей имеет сопряженное разбиение
с максимальной частью т и обратно. В заметке Сильвестра [366] имеется
следующее интересное замечание: «Я знаю от г. Ферре, что он пришел к пониманию
этого своего метода при выполнении экзаменационной работы в Кембридже,
заданной г. Адамсом, знаменитому благодаря открытию Нептуна».
Читателю следует проверить, что теорема 11.5.1 и ее следствие также
немедленно получаются методом Ферре. В этом параграфе мы рассмотрим некоторые
применения этого метода, которые показывают его силу и широкую
применимость.
Рассмотрим результат, содержащийся в теореме 11.4.1:
" „m(m+l)/2
η=0
(l-q)(l-q2)...(l-qm)'
где Qm (π) —количество разбиений числа η ровно на т различных частей. Мы
видели, что производящая функция количества разбиений на не более чем т
частей равна l/(q;q)m. Чтобы понять смысл показателя т(т + 1)/2, возьмем
разбиение 7 + 6 + 4 + 2+1, для которого т = 5. Оно представлено графически
на рис. 11.2. Внутри треугольника находится Г - J (5) (6) точек. Оставшиеся узлы
образуют разбиение некоторого числа на не более чем 5 частей.
Рис. 11.2
Рассмотрим теперь тождество Эйлера, содержащееся в следствии 10.9.4:
1 +
2-1 (1-е
Γ1¥ = Πα-<ϊ'1)-1·
, .- -q)2(l-q2)2...d- , ,
Для каждого разбиения π найдем наибольший квадрат из узлов
(начинающийся в левом верхнем углу), который содержится в диаграмме Ферре. Такой
квадрат называется квадратом Дерфи в честь ученика Сильвестра, который
применил эту идею. Для разбиения π вида 6 + 4 + 4 + 2 + 1 + 1 диаграмма Ферре
и квадрат Дерфи размера 3x3 показаны на рис. 11.3. В общем случае каждое
разбиение π числа m имеет квадрат Дерфи некоторого размера п, и можно
записать π = η2 + π1 + π2, где разбиение пг образовано точками, лежащими
ниже квадрата, а π2 — сопряженное разбиение для точек, лежащих справа от
квадрата. Так как разбиения на части, не превосходящие п, имеют
производящую функцию l/(q; q)n, множество всех разбиений с квадратом Дерфи размера

§ 116. Графические методы
513
Рис. 114
Рис. 1L3
η имеет производящую функцию
1 1
<Г -7^
(q;q)n (q;q)„ (l-q)2(l-q2)2...(l-q")2'
Но производящая функция для р(п) имеет вид l/(q;q)oo, и потому
п2
A*(q;q)n(<z;<z)n tart- 1 !(1 дП) *'
п=0 п=1
В качестве упражнения читатель может доказать с помощью квадрата Дерфи
следующее тождество:
znqn?
Σ ζ π
to;qU^)„=1/(zg;q)"·
η=0
В качестве последнего примера снова посмотрим на тождество тройного
произведения
00
j-^- J] q^1)x" = (-JCq;q).(-x-1;q)«.
00 n=-oo
Мы видели, что главная трудность в некоторых доказательствах—установить,
1
что слагаемое в левой части, не зависящее от х, на самом деле равно f . ч ■
Это совсем легко доказывается с помощью символа Фробениуса для
разбиения. Чтобы объяснить эту идею, рассмотрим разбиение 6 + 4 + 3 + 3 + 1. Точки
на рис. 11.4 составляют его диаграмму Ферре.
Соединим точки, как показано на рисунке, и составим символ Фробениуса
для π:
(Ъ 2 ОЛ
U 2 lj·
Верхняя строка соответствует горизонтальным линиям справа от диагонали,
а нижняя — вертикальным линиям под диагональю. Ясно, что сумма чисел
в символе Фробениуса плюс количество столбцов равна числу, которое
разбивается. Более общим образом, каждое разбиение π числа η можно представить
с помощью символа Фробениуса
(ах а2 ... аЛ
U Ь2 ... Ъг)>

514
Глава 11 Разбиения
где аг > а2 >... > аг > О, Ьг >... > Ъг > О и η = г + Σ Щ + Σ &ί· Теперь докажем, что
в выражении
00 00
(-χς;ς)Μ(-*_1;ς)» = П(1+^") П(1+«ж"1/*)
п=1 т=1
постоянное слагаемое равно l/(q; q)», откуда будет следовать искомый
результат. Заметим, что вклад в константу дают ситуации, когда г слагаемых вида
xqn умножаются на г слагаемых вида qm~1/x, т.е.
qaj+02+...+α,. #(-Ь1+Ь2+...+ЬГ)
где все at положительны и различны, а fy неотрицательны и различны. Тем
самым определяется разбиение с символом Фробениуса
(аг-1 а2-1 ... αΓ-1λ
I Ьг Ь2 ... Ъг )'
Следовательно, постоянное слагаемое является производящей функцией для
р(п)} но последняя равна l/(q;q)oo· Утверждение доказано.
§ II.7- СРАВНЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С РАЗБИЕНИЯМИ
Первые сравнения, относящиеся к свойствам количества р(п) разбиений
числа п, были открыты Рамануджаном при изучении таблицы значений р(п),
построенной Макмагоном для π от 1 до 200. Рамануджан дал простые
доказательства теорем
р(5п + 4) = 0 (mod 5), (11.7.1)
р(7п + 5) = О (mod 7). (11.7.2)
Он также нашел представление производящих функций для ρ (5п + 4) и ρ (7η + 5)
в виде произведений (или суммы двух произведений). Соответствующие
формулы приведены ниже:
,2j_ _,ла-д5)а-д10)а-д15)...}5
{(l-q)(l-q2)(l-q3)...}6
Р(4) + p(9)q + p(14)q2 +... = 5^7^"^ * ""/ , (11.73)
пГ^ипП^хпПО^х _^{(l-q7)(l-q14)(l-q21)...}3 .
p(5)+p(12)q + p(19)q + ...-7 {(1_,)(1_Л(1_,.,.м}4 +
+ 49q"a ч^х ч "а ч ^ (1174)
.{(l-q7)(l-q14)(l-q21)...}7
{(l-q)d-q2)(l-q3)...}8
В работе [305, с. 25] дан набросок доказательства формулы (11.7.3) с обещанием
привести подробности в последующей статье. Через год Рамануджан умер,
и обещанная статья так и не появилась. Однако он дал необходимые
подробности в неопубликованной рукописи. См. [306, с. 238]. Мы воспроизведем здесь
это доказательство. Оно также вошло в интересную неопубликованную книгу
Тирувенкатачара и Венкатачалиенгара.
Заметим, что сравнения (11.7.1) и (11.7.2) немедленно вытекают из (11.7.3)
и (11.7.4) соответственно. С помощью этих производящих функций можно также
доказать сравнения по модулю 52 и 72. Вначале заметим, что для любого
простого ρ выполняется сравнение
a-qy = l-q* (modρ),

§ 117. Сравнения, связанные с разбиениями
515
или
^3^ = 1 (mod р). (11.7.5)
Поэтому из формул (11.7.3) и (11.7.5) при ρ = 5 вытекает, что
p(4)q + p(9)q2 + ... _ q (l-q5)Q-q10)... _
5{(l-q5)(l-q10)...}4 (l-q)(l-q2)... (l-q)(l-q2)...}5 -
^(l-qXW)... (m°d5)· (1L7-6)
Так как
= £p(n-l)qn,
(l-q)d-q2)...
n=i
коэффициент при q5m делится на 5. Коэффициент при q5m в левой части
сравнения (11.7.6) равен ρ(25т — 1), и потому
р(25т-1) = О (mod 25). (11.7.7)
Аналогично из формулы (11.7.4) следует, что
р(49т- 2) = О (mod 49). (11.7.8)
Чтобы доказать формулу (11.7.3), применим теорему Эйлера о пятиугольных
числах (третья формула в следствии 10.4.2):
00 00
]~[(l-q"/5)= 2 (-l)nqn(3lI+1)/10·
n=l n=-oo
Разобьем ряд на пять частей, отвечающих п = 0, ±1, ±2 (mod 5). Например,
числам вида η = 5m — 1 отвечает ряд
_ V* (-l)mq(5m-l)(15m-2)/10 _ 1/5 V1 (_1)™д5т(Зт-1)/2 _ 1/5 ГТц _ 5пу
т=—оо т=—оо п=1
Отсюда следует, что
00 00 00
ΓΤ(1_ςΠ/5)= V* (_1)Шдт(15т+1)/2 + V^ (_1)m(J(3m-l)(5m-2)/2 +
п=1 т=—оо т=—оо
[00 00 -1 00
V (_i)mq{3m+2){Sm+l)/2 _ \^ (_1jm?m(15m+7)/2 Lql/5 Пц -q5")#
т=-оо т=-оо J n=l
00
Разделив на бесконечное произведение П(1 — (15п)> получим
п=1
-4s
n=l
где ξ и ξχ—степенные ряды от q. Мы утверждаем, что ξξχ = 1. Из (10.4.9)
и (11.7.9) получаем
Σ(-1)η(2η + 1)ςη(η+1)/1°
η-Ξΐ—-„ = (ξι-ς1/5-ξς2/5)3· (п.7.10)
Π(ΐ-ς5η)3
η=1

516
Глава 11 Разбиения
Так как показатель степени п(п + 1) при q сравним с 0, 2 или 6 по модулю
10, никакой показатель при q не может иметь вид 2/5 плюс целое число.
Поэтому слагаемое Зq2/5ξι — 3ξlξq2/5 = 3q2f5ξι(l — ξξl) в правой части равенства
(11.7.10) должно быть нулем. Значит, ξ = ξ-1. Поэтому
fl(rf^)=C-1-ql/1s_^/s· W-7JD
Знаменатель правой части равен
(ξ-νι/5-ξς1/5-ΐ)ς1/5.
Рассмотрим выражение Я-1 —Я—1, где Я = ξq1/5ω, а ω —корень пятой степени
из единицы. Заметим, что если Я-1 — Я = 1, то, как легко вычислить, Я-5 — Я5 = 11.
Отсюда получаем
4
ξ"5 - llq - ξъq2 = П^"1" <ϊ1/5ω* " £«2/5<Л (П.7.12)
fc=0
где ω = β2πι/5. Теперь легко проверить посредством деления столбиком, что
соотношения (11.7.11) можно записать в виде
1 lli-gn/sj
- "<Zn/5y ξ"5-11ς-ς2ξ5
(11.7.13)
(В действительности в работе [305, с. 25] набросок доказательства формулы
(11.7.3) начинается с замечания, что можно показать справедливость равенства
(11.7.13).) Теперь умножим обе части на q1/5, а затем заменим q1/5 на qil*e2nik,s,
где к = 1,2,3,4. Сложим пять тождеств, пользуясь тем, что
qV5pj(1_qn/5ri=2p(n-l)q"/5.
п=1 п=1
Получаем, что
00 00
n(1-^ZP(5n + 4)g"= £Η»_η5α_«2£5· №7.14)
n=l n=0 S Ч 4 S
В формуле (11.7.11) заменим q на qe2mk, где fc = ±l, ±2, и перемножим пять
уравнений. Заметим, что
Л ,с о ч, /* fl —q", n^O (mod 5),
Π(1-αη/5β2πι*η/5) = <
Ц \(l-qm)5, n = 5m.
В силу формулы (11.7.12) имеем
П(1Л6 = ι
llVl-qnJ ξ-s-\\q-ξъq2
л=1
С учетом соотношения (11.7.14) получаем
2^(5n + 4)q "5 ш-й(1-Ла-Л...}· '

Упражнения
517
Об этом тождестве Харди писал, что если бы он должен был выбрать из
работ Рамануджана одну формулу высочайшей красоты, то он бы согласился
с Макмагоном, что нужно выбрать именно эту.
Замечание 11.7.1. Рамануджан отметил, что
ζ _ (ΐ-ί5η+1)(ΐ-ί5η+4)' C ]
Обратим внимание на связь этой функции с тождествами Роджерса—Рамануджана,
которую использовал Рамануджан, чтобы выразить ξ"1 как непрерывную дробь. Чтобы
доказать формулу (11.7.15), заметим вначале, что из равенства (11.7.11) и теоремы
о пятиугольных числах, сформулированной сразу после (11.7.8) сравнения, вытекает,
что
£"1П(1-95П)= Σ(-1)ηι
(η/10)(3η+1)
=0,3
(mod 5)
Теперь применим к последней сумме тождество пятерного произведения (упражнение
14 гл. 10) и, преобразовав полученное произведение, получим в итоге формулу (11.7.15).
Непрерывную дробь для ξ"1 можно найти в книге [182, с. 99].
Замечание 11.7.2. Формулы (11.7.3) и (11.7.4) были доказаны несколькими
способами. Относительно простой способ, в некоторых отношениях похожий на доказательство
Рамануджана, см. в работе [231]. Доказательство, использующее аппарат модулярных
функций, см. в работе [223, § 8.3].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверьте следующие формулы:
а) Ω
> (1-Ах)Ц-уА2) (1-хШ-х2уУ
61 Ω 1 = 1 + *У
> (1-А2*)(1-у/А) (1-хК1-ху2У
1 1
BJ § (1-А*)(1-у/А*) " (l-jOd-x^r
rto 1 =1 + зу(1-у'-1)/(1-у)
Т) V (1 - λ*χ) (1 - у /А) (1 - х) (1 - xys) '
л _ 1 1 + xy + xz + xyz
Д) Ω ~ —
" (1 - λ2χ) (1 - у Ι λ) (1 - ζ Ι λ) (1 - χ) (1 - xy2) (1 - χζ2) (1 - χζ2)'
λ 1 _ 1 + xz—xyz — xyz2
e) > (l-A2jc)(l-Ay)(l-z/A) " a-x)a-y)a-yz)(l-xz2)'
λ 1 _ 1 — xyco—χζω—yzco + xyzco + xyzco2
Ж) > (1 - λχ)(1 - Ay)(1 - λζ)(1 - ω/λ) " (1-дс)(1-у)(1-*)(1-дсш)(1-уш)(1-*ш)·
Докажите, что количество разбиений числа η на части, не делящиеся на 3, равно
количеству разбиений числа п, в которых никакая часть не появляется более чем
дважды.
Покажите, что количество разбиений числа п, в которых могут повторяться только
нечетные части, равно числу разбиений числа п, в которых никакая часть не
появляется более чем трижды.
Обобщите упражнение 3, показав, что количество разбиений числа п, в которых
могут повторяться лишь части, не делящиеся на 2т, равно количеству разбиений
числа п, в которых никакая часть не появляется более чем 2m+1 — 1 раз.

518
Глава 11 Разбиения
5. Докажите, что количество разбиений числа п, в которых каждая часть появляется
2, 3 или 5 раз, равно количеству разбиений числа η на части, сравнимые с 2, 3, 6, 9
или 10 по модулю 12. (Этот результат принадлежит Суббарао; см. [10, с. 15].)
Следующие три упражнения взяты из работы [305, с. 25].
6. Докажите, что р(5т + 4) =0 (mod 5), следующим образом,
а) Покажите, что
qY\a-qnr = qf\a-qn)f\a-qn)3 = l £ £ (-l)l+m (.21 + Dq1
,l+/a+l)/2+m(3m+l)/2
n=l n=l l=—oo m=— oo
б) Покажите, что если показатель l + Z(Z + l)/2 + m(3m + l)/2 делится на 5, то
коэффициент 21 +1 также делится на 5.
в) Покажите, что — ё = г (mod 5).
(1-q)5 1-q5
г) С помощью п. в) покажите, что
fj(l-q5n) oo fj(l-q5n)
№ = q^ =qnY\(l-qn^ = чЦ(1-яГ? (mod 5).
Π α-ς") η=ι πα-q")5 n=1
n=l n=l
д) Докажите, что коэффициент при q5m+5 в /(q) делится на 5.
е) Покажите, что число ρ(5т + 4), являющееся коэффициентом при q5m+5 в — ,
делится на 5. Π (1 - qn)
7. Покажите, что ρ(7т + 5) = 0 (mod 7). Используйте тождество n=1
q2fl(l-qn)6 = 5 Σ Σ (-D/+m(2i + l)(2m + l)q2
χ |r,2+[i(i+l)+m(m+l)]/2
/=—οο m=—oo
и метод, примененный в упражнении 6.
8. С помощью равенства (11.7.4) докажите, что ρ (49т — 2) = 0 (mod 49).
9. Докажите равенство (11.7.4).
10. Покажите, что количество разбиений числа п, сопряженных себе, т. е. совпадающих
с сопряженными им, равно количеству разбиений числа η с различными нечетными
частями.
11. Пусть Mjfa) обозначает количество таких разбиений числа п, что каждая часть
больше чем 1 и последовательные целые числа не появляются среди частей. Пусть
М2{п) обозначает количество разбиений числа п, в которых никакая часть не
появляется ровно один раз. Покажите, что М1(п) = М2(п).
Утверждение из упражнения 10 принадлежит Сильвестру, а из упражнения 11 —
Макмагону. См. [10, с. 14].
12. Применив теорему Эйлера о пятиугольных числах в форме
00 00
П(1-<Г)= Σ (-D-q-o-DA
n=l m=—oo
покажите, что
m m f(-Dm прип = т(Зт±1)/2,
10 в противном случае.
Здесь Ρ™ (ή) (соответственно Ρ™ (π)) — количество разбиений числа η на четное
(соответственно нечетное) количество попарно различных частей.

Упражнения
519
13. Докажите следующее соотношение, дающее эффективный алгоритм вычисления
Pin):
р(п)-р(п-1)-р(п-2) + р(п-5)+р(п-7) + ...+ (-1)т(р(п-т(Зт-1)/2) +
+ (-l)mp(n - m(3m +1)/2) +... = 0,
где p(M) = 0 при отрицательных М.
Указание. Используйте равенство (q; q)^ = 1.
14. С помощью квадрата Дерфи, рассмотренного в § 11.6, докажите, что
п=0
15. Покажите, что
V41 Х"";/"^2 V41 x2nynq2n2 ^ ^2п+1у1+1д(п+1Х2п+1)
^ (^q;q)n(yq;q)n ~^ (^q;q)n(yq;q)2n ^ (*q;q)nCrc;q)2n+i
Применив идею упражнения 14 к левой части, покажите, что коэффициент при
ymxrqn равен количеству разбиений числа η на m частей, максимальная среди
которых равна г. Проделайте то же с правой частью, использовав вместо
квадрата Дерфи максимальные прямоугольники, которые могут иметь размер η χ 2η
или (η +1) χ (2η +1). Заметьте, что максимальные прямоугольники таких размеров
охватывают все случаи.
00
16. Используя тождество п2 = 1 + 3 + 5 +... 4- (2п — 1), покажите, что £ Чп /(Ч'> Я)п явля·
п=0
ется производящей функцией для количества разбиений, в которых разность между
частями не меньше чем 2.
Следующие шесть результатов интерпретируют в терминах теории разбиений
тождества Роджерса, приведенные в упражнении 6 гл. 12. Докажите их. См. [14].
17. (Гордон) Количество разбиений b1+b2 + ... + br числа п, где Ьг>Ъ2>Ь3>... и каждое
Ь, нечетно или сравнимо с ±4 по модулю 20, равно количеству разбиений сг + с2 + ...
числа п, где с2>с2>с3>с4^с5> ...
Указание. Заметим, что п2 = 0 +1 +1 + 2 +... + (п — 1) + n, a l/(q; q)^ — производящая
функция разбиений, содержащих не более 2п частей.
18. (Коннор) Количество разбиений b1 + b2 + ... числа п, где Ьг>Ь2>Ь3... и каждое bt
нечетно или сравнимо с ±8 по модулю 20, равно количеству разбиений сг + с2 + ...
... + C2*+i числа η на нечетное количество частей, где с1>с2>с3>сл>сБ>с6>с7>...
Указание. Используйте равенство п2 + 2п = 1 +1 + 2 + 2 +...+ (п — 1) + (п — 1) + η + η+π.
19. (Коннор) Количество разбиений Ь2 + Ь24-... + Ьг числа п, где ЬХ>Ь2>ЬЪ> ... и
каждое Ь, не сравнимо по модулю 20 с ±1, ±8, ±9,10, равно количеству разбиений
сг + с2 +... + Сг* числа η на четное количество частей, где сх>с2>с3>с4>с5> ...
20. (Коннор) Количество разбиений ^ + ^ + ... + ^ числа п, где Ь^Ьз^Ьз^... и
каждое Ь, не сравнимо по модулю 20 с ±3, ±4, ±7,10, равно количеству разбиений
ci + с2 + ··· + ск числа п, где с2 > с2 > с3 > с4 > с5 ^ с6 > ...
21. Количество разбиений числа п, в которых все части различны и каждая четная часть
больше, чем удвоенное количество нечетных частей, равно количеству разбиений
числа η на части, сравнимые с 1 или 4 по модулю 5.
Указание. Левую часть равенства из упражнения 6 д) гл. 12 можно записать как
" gl+3+5+...+2n-l "
2, a-q2Ki-rt.M-q*4 11(1+<*2n+2m)·

520
Глава 11 Разбиения
22. Количество таких разбиений числа η на различные части, что каждая часть больше
единицы и каждая четная часть больше, чем удвоенное количество нечетных частей,
равно количеству разбиений числа η на части, сравнимые с 2 или 3 по модулю 5.
Указание. Используйте равенство 3 + 5 +... 4- (2п +1) = п2 + 2п.

ГЛАВА 12
Цепи Бейли
Работу, ведущую к тождествам Роджерса—Рамануджана и дальнейшим
результатам, первым начал Л. Дж. Роджерс. Его идея, опубликованная в работе [315],
составляет исходную точку этой главы. Эта плодотворная идея излагается
в § 12.1. В 1940-х гг. У. Н. Бейли начал систематически изучать тождества
типа Роджерса—Рамануджана. См. [43]. Он увидел, что методы, предложенные
Роджерсом, обладают большой общностью. Этот новый уровень общности
охватывает широкий круг приложений помимо рассмотренных Роджерсом.
Мотивировка излагаемых здесь приемов скудна. Как вы увидите,
первоначальная идея Роджерса выглядит почти магической по своей конструкции.
Появление компьютерной алгебры помогло лучше осмыслить случайные
открытия Роджерса. Однако по-прежнему не очевидно, почему изначально следовало
ожидать, что этот метод принесет плоды.
В § 12.2 систематически изложены идеи Бейли, ведущие к лемме Бейли.
В следующем параграфе в качестве их приложения выведена важная формула
8 (/^-преобразования Ватсона. Включены также некоторые следствия этой
формулы. Последний параграф содержит беглый обзор других приложений идей
из § 12.2.
§ 12.1. ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОЖДЕСТВ РОДЖЕРСА—РАМАНУДЖАНА,
ПОЛУЧЕННОЕ РОДЖЕРСОМ
Тождества Роджерса—Рамануджана были впервые открыты Роджерсом [312].
Он внес существенный вклад в несколько областей математики, но, к
удивлению, его работы привлекали мало внимания и не имели должного влияния.
Удивление отчасти вызвано тем, что ранние результаты Роджерса по теории
инвариантов были замечены Сильвестром и заняли видное место в его «Lectures
on the Theory of Reciprocants» («Лекциях по теории взаимности») [368]. Здесь
могло сыграть роль длительное пренебрежение к теории инвариантов после
открытий Гильберта. Роджерс не получил признания за открытое им
неравенство Гёльдера, а его работы, содержащие тождества Роджерса—Рамануджана,
которые принадлежат к числу красивейших математических формул, прошли
незамеченными.
Эти тождества позже были переоткрыты Рамануджаном. Его первое письмо
к Харди в 1913 содержит некоторые формулы для непрерывных дробей,
вытекающие из этих тождеств. Рамануджан не располагал доказательством тождеств
и сформулировал их как проблему в 1914 г. в «Journal of the Indian Mathematical
Society» («Журнал индийского математического общества»). Макмагон
сформулировал их без доказательства во втором томе своего «Комбинаторного
анализа». Он отметил также их связь с разбиениями.
Дальнейшее лучше всего описывается словами Харди [182, с. 91]:
«Загадка была разрешена — трижды — в 1917 г. В этом году Рамануджан,
просматривая старые тома „Proceedings of the London Mathematical Society",

522
Глава 12. Цепи Беили
случайно наткнулся на статью Роджерса. Я очень хорошо помню его удивление
и выраженное им восхищение по поводу работы Роджерса. Последовала
переписка, ход которой привел Роджерса к значительному упрощению первоначального
доказательства. Примерно в то же время И. Шур, отрезанный от Англии войной,
снова переоткрыл эти тождества. Шур опубликовал два доказательства, причем
одно из них является „комбинаторным" и совершенно непохоже ни на какое
другое известное доказательство».
В этом параграфе мы рассмотрим второе доказательство Роджерса,
опубликованное в его работе [315]. Как отмечалось выше, тождества Роджерса—Рама-
нуджана имеют вид
° _(q2;q5)oo(q3;q5)oo(q5;q5)tt
η=0
И
_Л to tin (q; q5)oo(q4; q5)» iqi q). l ^
Sgm+1} _ ι _ (д;д5)со(д4;д)оо(д5;д5)оо П9 Ί 9.
ft («; g)n " (g2; g5)co(g3; g5)» " («;«). ' l J
Можно преобразовать произведения в правой части с помощью тождества
тройного произведения (теорема 10.4.1):
(*;q)oo(q/*;q)oo(q;q)oo= £ (-l)Y('-1)/2x*.
fc=-oo
Заменив q на q5, χ на q2, а затем на q, получаем
fc=-oo
и
(q;q5)o.(q4;q5:L(q5;q5).. = Σ (-1)У(5к"3)/2.
fc=-oo
Таким образом, достаточно доказать, что
«о П2 Σ (-1)У(5*-1)/2
У-±—= ΪΞΖϋ_^ (12.1.3)
^(q;q)n (ч;ч)~
n=0
И
n=0
Второе доказательство тождеств Роджерса—Рамануджана, найденное
Роджерсом, опирается на следующую лемму.
Лемма 12.1.1. Пусть
1 (_i)*q*(3*-i)/2 1+1) (_l)*qfc(3*-i)/2
Σ С— ±rq^°* *"* тг^
fc=—/ fc=—I

§ 12.1 Второе доказательство тождеств Роджерса—Рамануджана 523
Тогда
sn = s2/+i = j-^y где (q)^ = (<z; я)к-
Доказательство. Доказательство состоит в перегруппировке слагаемых.
В сумме S2i соберем слагаемые, отвечающие индексам — к и к +1. (Отметим,
что если к = Z, то слагаемое, отвечающее Ζ +1, равно 0.) Получаем
(<Ζ)ί+*ΟΖ)ί-* (<Z)/+k+i(<Z)/-k-i
_ (-1)γ(3^1)/2Γ q2fc+l(1_q/-fc) (_υγ(3^1)/2
(<Z)/+*(<Z)/-* L l-q/+fc+1 -I (<l)/+i+*(<Z)/-* U Ч J*
Легко видеть, что то же самое выражение получается, если в сумме S2i+1 собрать
слагаемые, отвечающие индексам — к и fc +1. Значит, S2i = S2M.
Теперь докажем, что
S2/+i = a-qW)S2/+2> (12.1.5)
откуда утверждение леммы следует по индукции с учетом равенства S2i = S2M.
Рассмотрим сумму слагаемых в S2i+1, отвечающих индексам +fc и — fc.
При fc ^ 0 имеем
(-l)V(3fc"1)/2 (-l)fcqfc(3fc+1)/2 (_i)fcqfc(3fc-i)/2 r- qk^_qi+i-k^ -.
(q)i+w(q)w + («)|+*Й)м = (q)^(q)/+i-fcL1+ l-q<+1+* -I =
г Г— 1 ϊ*Λ*(3λ-1)/2 -.
Это выражение равно произведению (1 — ql+1) на сумму слагаемых в S2i+2,
отвечающих индексам ±fc, где fc^O. При fc = 0 соответствующие слагаемые
в S2M и S2i+2 равны
^ И 1
(<Ζ)/+ι(<Ζ)/+ι (<Ζ)/+ι(<Ζ)/+Γ
Тем самым доказано соотношение (12.1.5), откуда следует утверждении леммы.
D
Идея второго доказательства формул (12.1.1) и (12.1.2), найденного
Роджерсом, состоит в том, чтобы двумя различными способами продолжить функцию
(— y/qew; q)oo(— y/qe~wl q)« как ряд Фурье. Один способ —применить тождество
тройного произведения, а другой — применить к каждому из произведений
q-биномиальное тождество. Так как разложение Фурье единственно,
соответствующие коэффициенты Фурье в двух разложениях совпадают. Поэтому в обоих
разложениях можно заменить экспоненты βιηθ любыми числами, лишь бы ряды
сходились. Роджерс показывает, что если выполнить эту замену подходящим
образом, то мы получим тождества Роджерса—Рамануджана. Подробности
изложены ниже.
Согласно результату Эйлера из следствия 10.2.2 г) мы имеем
-2L лл(л+1)/2
И
,.m(m+l)/2
(-χρ-ιθπ· ο") = > " хте~хтв
I xe q,q}co ^ (q;q)m x e ·
т=0

524
Глава 12. Цепи Беили
Поэтому произведение равно
■ ι лLlIV'I-ΓJ.^-гшvш-ΓJ.^J/л yiimi-,
m,n>0
оо ρ
[η(η+1)+(ρ-η)(ρ-η+1)]/2
ΧΡ У —, ^—7 ν β''
Z_j (q;q)p_„(q;q)n
n=fl n=fl r
ί(2η-ρ)θ
(α: αϊ fo:oL
ρ=0 η=0
Разобьем последнюю сумму на две части, отвечающие четным ρ (ρ = 2ί)
и нечетным ρ (ρ = 2ί +1), и положим п = I.+ fc. Тогда
* , *Д nk2-ko(2k-l)i0
+ Va(,+1) x2/+1 V g g
^Ξο *Πι (q; q)/+* (q; q)/+1_*
При qx = q~1/2 это соотношение принимает вид
= УУУ ^ + 7qfV^Y ^g(2"W -
Z^9 Zj (q;q)w(q;q)w ^ V4 ^4 Zj (q;q),+*(q;q)l+i-k ~~
l=0 k=-l l=0 k=-l
42 A. ., . _ ...Λ Α. Λισ+«
(12.1.6)
_Z_ °° ;2 °° да κι+ΛΛ
fZj q L· (q;q)/+fc(q;,)„ + V9 Zj « Zj, (q;q)l4jk(q;q),_
Мы получили одно разложение Фурье. Чтобы получить другое, рассмотрим
тождество тройного произведения
fc=-oo
(q;q).Cx;q).(q/x;q).= Σ (-«V*"1"2**
Заменив χ на —^/qew9 получаем
f qfc2/2e*e
(-ν^1*; q)oo(-^"i0; ς). =—
(q;q)«
у q2k2e2kW+/Q у q2k(k-l)e(2k-W
= — 7-^^ . (12.1.7)
(q;q)«>
Таким образом, правые части равенств (12.1.6) и (12.1.7) совпадают. Теперь
заменим е2Ш на (—l)qfc(fc_1)/2, а е*2*"1^ на 0. Применив лемму 12.1.1, получаем
соотношение (12.1.3), которое равносильно первому тождеству Роджерса—Рама-
нуджана. Чтобы получить второе тождество, заменим е2Ш на 0, а e®k~1)W на
(—l)kqk(k+1V2 и применим лемму 12.1.1.

§ 12.2. Лемма Бейли
525
Замечание 12.1.1. Рассуждение Роджерса позволяет получить одно из простейших
доказательств формул (12.1.3) и (12.1.4). Внешне оно опирается на формулы из теории
тэта-функций. Эти формулы, однако, используются как мотивировка и не требуются
в доказательстве. Заметим, что в вышеприведенном рассуждении совпадение
коэффициентов при е2Ш в формулах (12.1.6) и (12.1.7) вытекает из единственности разложения
Фурье. Отсюда получаем
^ а12*2 а*2
£-■ (q;q)/+fc(q;q)/-fc fa; ς)»'
Но это вытекает непосредственно из формулы Коши в следствии 10.9.4, которую можно
записать в виде
V ίίί = 1 (1219)
На самом деле с помощью квадратов Дерфи можно дать очень простое графическое
доказательство этой формулы, если считать показатель при χ количеством частей в
некотором разбиении. Положив затем x = q2k, получаем соотношение (12.1.8). Далее, можно
получить соотношение (12.1.3), умножив обе части равенства (12.1.8) на (—l)*qfc(fc~1)/2,
просуммировав по всем к и применив лемму 12.1.1. В следующем параграфе мы увидим,
что сферу применимости этого рассуждения можно сильно расширить.
Замечание 12.1.2. Отметим, что мы получим теорему Эйлера о пятиугольных
числах:
f>l)V(3'-1)/2 = (q;q)„,
k=-oo
если в лемме 12.1.1 перейдем к пределу при I -> оо.
§ 12.2. ЛЕММА БЕЙЛИ
В 1940-е гг. в серии из двух статей Бейли прояснил внутреннюю структуру
доказательства Роджерса. Он начал со сделанной Роджерсом замены
2созпв=еш + е~ш
в некоторых разложениях Фурье и быстро обнаружил следующий упрощенный
вариант разложения.
Лемма 12.2.1 (слабая лемма Бейли). Пусть ап и βη — όββ
последовательности, связанные соотношением
г=0
тогда, если выполнены условия сходимости (в большинстве случаев сводящиеся
κ \q\<l), то
00 00
Σ^Α^^Σ^α, (12-2.2)
п=0 п=0

526
Глава 12. Цепи Бейли
Доказательство. Доказательство здесь совсем короткое:
п=0 п=0 г=0
γίγΐ ау2аг γι γι q("+r)2Qn+r
~ Αί^ (q;q)n-r(eq;<Z)n+r "2jarZj (q;q)„(aq;q)n+2r "
r=0 n=r r=0 n=0
r=0 n=0 r=0
последний шаг вытекает из следствия 10.9.4. Π
Доказательство Роджерса по существу содержится в этом результате.
Например, чтобы получить первое тождество, положим а = 1 и
α =ί1, Π = 0,
a" " j(-l)nqn(3n~1)/2(l + <Ζη), η > 0.
По лемме 12.1.1 имеем
л
Pn Zj (q;q)„_r(q;q)n+r ^ (<i;<Z)n-r(<Z;<Z)n+r (<Z;<lV
r=l
и из результата Бейли следует, что
„2
1 + V (_1)ПдП^ (дП(Зп-1)/2 + дП(Зп+1)/2) у» (_1)ПдП(5п-1)/2
п=1
А (qiq)» (q;q)«
n=0
Предоставляем читателю провести аналогичный вывод второго тождества.
Из сказанного ясно, что метод допускает широкое обобщение за счет
использования сумм более общего вида, чем весьма частный предельный случай
q-аналога гауссовой суммы.
Во второй статье Бейли отметил, что на самом деле можно применить
в полную силу q-суммирование по Пфаффу—Заалынютцу. Он тщательно описал
доказательство такого обобщения, однако не стал его выписывать явно, видя,
что оно выглядело бы очень сложно. В результате этого упущения он не понял
всю силу того мы теперь называем леммой Бейли.
Вначале рассмотрим «преобразование Бейли».
Лемма 12.2.2. Из равенств
η
βη=Σα'υη-'Υη+'
r=0
U
00
r=n
при соответствующих условиях сходимости следует равенство
00 00
п=0 п=0

§ 12.2. Лемма Бейпи
527
Доказательство. Имеем цепочку равенств
00 00 00 00 f 00
Σ апГп=Σ Σ an5rUr-nVr+n=Σ Σ an5rur-nVr+n=Σ 5'Pr>
η=0 η=0 r=n r=0 η=0 r=0
из которой следует утверждение леммы. D
Изложенное рассуждение чисто формально, и соответствующие условия
сходимости должны обеспечивать сходимость всех бесконечных рядов и
обосновывать изменение порядка суммирования. Теперь сформулируем и докажем
лемму Бейли.
Теорема 12.2.3. Если при некотором п>0 выполняется равенство
η
Pn = ljiq;q)nJaq;q)n+/
то
где
г=0
η
βή = У1 7—r^T Г-> (12.2.3)
r=0
д/ _ (Pi;q)r(P2;q)r(Qq/PiP2)rgr
r (aq/Pi;q)r(aq/P2)r
^o (q^)n-;(^/Pi;q)n(aq/p2;q)n
Доказательство. Положим1 в лемме 12.2.2 l/„ = l/(q;q)„, К = 1/(ад;д)п,
я _ (Pi;q)n(p2;q)n(q N;qW
(PiP2q"N/a;q)„
Чтобы вычислить χη, требуется q-тождество Пфаффа—Заалынютца (10.11.3),
которое мы воспроизведем здесь для удобства читателя:
q~n,a,b ^_ (c/a;q)n(c/b;q)n
<c,abq1~n/c
Тогда
г q-n,a,b \_ ic/a;q)n(c/b;q)n
^Cabq^/c'4'4) (c;q\(c/ab;q)n '
Г„ = |]5г1/г_пУг+п = |]
(Pi;q)r(p2;q)r(q ;q)rqr
=-f (piP2q"N/a;q)r(q;q)r-n(aq;q),
r=n
-Σ
(pi;<zWp2;<zW<z ;<z)r+n<z'
Γ+Π
-^.Λ^ Λ»·+Π
r+nH __
r=o (ΡιΡ2ςτΝ/α; <zW<z; <z)rfa<z; <z)r+2n
= (Pi;g)n(p2;q)n(q"N;q)nqn ( Ρι<ζη,Ρ2<ζη,<Γ(Ν-η) λ
(PiP2q-N/a; q)n(aq; q)2n 3^2VPlp2q"-»/a, aq2"+1'q'qJ
_ (Pi;q)n(p2;q)n(q"N;q)nqn(Qqn+Vpi;q)N-n(Qqn+1/p2;q)N-n =
(ΡιΡ2ςτΝ/α; <z)nte<z; <z)2nte<z2n+1; qh-n(*q/pip2'> qh-n
_ (Qg/Pi;q)N(Qq/p2;q)N (-i)n(Pi;g)n(p2;g)n(q~N;q)n f , Ίη πν-π(π-ι)/2
(aq;q)N(aq/Plp2;q)N (aq/Pl;qUaq/p2;q)n(aq"+1;q)^ 4/PlPl) Ч
ι Формальная структура утверждения следующая. Даны явный оператор U: а ·-> β из пространства
последовательностей в себя и явный оператор Г умножения на последовательность. Вычисляется
UTU'1.

528
Глава 12. Цепи Бейли
Теперь докажем соотношение (12.2.3). Заметим, что
Ν Ν
r=0 —'-'—'-" r=0 aa L
Σατ = y (Pi;q)r(P2;q)r(Qq/PiP2) «r _
—л r=0
(-1)г(Р!;д)г(Ра;д)г(д^;д)г
taq/Pi; <z)r(a<z/P2; <z)rteq; <z W
Caq/PiP2; q)N у a (Щ/РгР^Ум Vff5
toq/Pi;q)Ntoq/p2;q)N^i r faq/Piiqhfaq/Piiqh ^ r
a<z/PiP2; <z)n ν (Ριί ^)r(p2; <z)r(<rN; <z)r<zrft
= У (-Dr(pi;q)r(p2;д)Д<г";g)r (aq/i0li0o)r. arN-r(r-i)/2a =
r=0
(Qq/PiP2; q)N у = (eq/PiP2;q)N у1« * (по лемме 12.2.2)
Zj7r r (aq/p1;q)N(aq/p2;q)JVZjf
Scpi;qJrCp2;qJrCg ";д)гдРг =в,
(PiP2q-N/a;q)r P"'
(aq/Pi;q)Ntoq/p2, _ n
r=0
где последнее равенство получается после упрощения, приводящего к
алгебраическому выражению из формулы (12.2.4). Теорема доказана. D
Замечание 12.2.1. Слабая лемма Бейли (лемма 12.2.1 вытекает из сильной леммы
Бейли, если перейти к пределу при n, plf p2 -> °°.
Назовем (αη, βη) парой Бейли, если эти величины связаны, как в лемме
Бейли. Сила полной леммы Бейли состоит в том, что по данной паре Бейли (αη, βη)
строится новая пара Бейли. Как следствие, из одной такой пары можно
построить бесконечную последовательность пар Бейли (αη, βη) —> (α^, β^) —> (α^, β{{) —>
—>..., повторно применяя лемму Бейли. Эта последовательность называется
цепью Бейли. Простейшая возможная цепь начинается с величины
(1 при η = О,
(12.2.5)
О при η > 0.
Легко показать, что соответствующее ап равно
_(l-aq2")(a;q)n(-irq(2)
a" (l-a)(q;q)n ' (12·2·6)
Замечание 12.2.2. Тот факт, что (ап, 0П) является парой Бейли, немедленно
вытекает из следующей формулы, приведенной в работе [3]:
f, (1-д^)(д-;д)Да;д)л« = (ад;д)мд"м(д^;д)м
^ (l-a)(aq"+1;q);(q;q);· (q;q)M(aqn+1;q)M '
которая может быть доказана непосредственно индукцией по М. Можно также
применить формулу «обращения»: если β„ имеет вид (12.2.1), то
§ 12.3. формула преобразования ватсона
В этом параграфе мы выведем с помощью цепей Бейли некоторые важные
формулы. В частности, мы получим q-аналог преобразования Уиппла, принад-

§ 12.3. Формула преобразования Ватсона
529
лежащий Ватсону [412]. Он преобразует обрывающийся очень хорошо
уравновешенный ряд 8φ7 в обрывающийся уравновешенный ряд 4φ3. Выражение «очень
хорошо уравновешенный» объяснено ниже.
Начнем с более простого результата. Напомним, что (αη, βη) из формул
(12.2.5) и (12.2.6) образуют пару Бейли. По теореме 12.2.3 следующая пара
в цепи, а именно {а'п, ]8^), имеет вид
Рп (q; <ζ)π(α<ζ/Ρι; Фп(щ1рг> q)n'
д/ = (Pi;q)n(p2;q)n(Qq/PiP2)n(l-aq2n)(a;q)n(-l)nq^)
п (aq/Pi J q)n Шр21 Ч\ (1" <0 (q; q)„
а соотношение
pn Zj(q;q)n_r(aq;q)n+r
r=0
в подробной записи имеет вид
(Qg/PiP2)n γ1 (Pi)r(P2)r(Qq/PiP2)r(i-Qq2r)(Q)r(-i)r^^ П2Я«
(q)n(aq/Pi)n(a<Z/p2)n ^ (q)n-r(aq)n+r(aq/Pi)r(aq/p2)r(l-a)(q)r ' l J
где (x)r = (jc; q)r. Заметим, что
l-aq2r = (l-</5qr)(l + </5qr) = (^q;q)r(-</5q;q)r
1-a (l-^d + i/a) iVa,q\i-Ja;q)r '
(„л =_С11Ш»_
4 n~r (qn)rqr(2n"r+1V2
и
(aq)„+r = (aq)„(aqn+1)r.
Таким образом, соотношение (12.3.1) равносильно формуле
( a9qja,-qyfa9pl9p29q-n eg"*1'!- (a<On(a(ll Р\РгХ f 19 3 2Ϊ
6^5V Va, -Va, aq/Pl, aq/p2, aq^'Ч' РгР2 ' (aq/Pl\(aq/p2\' l ' ' }
Ряд 6φ5 хорошо уравновешен, поскольку произведение параметра в числителе
на соответствующий параметр в знаменателе равно aq. Сверх того, присутствие
множителя (1 —aq2r)/(l —a) делает ряд 6φ5 очень хорошо уравновешенным.
Преобразование Ватсона получается, если сдвинуть цепь Бейли к (α^,^7)·
Можно показать, что соотношение
П и
\(q\Jaq\+r=Pn
r=0
равносильно равенству
у» (A1)r(A2)r(aq/A1A2)r(Pi)r(p2)r(Qq/PiP2)r(l-aq2r)(a)r(-l)rq^^
Zj (aq/A1)r(aq/A2)r(aq/p1)r(aq/p2)r(l-a)(q)r(q)n_r(aq)n+r
r=0
S(.^1)j(.X2)j(.aq/X1X2)n_j(.aq/XlX2y(.aq/p1p2)j

530
Глава 12. Цепи Бейли
Формулы, использованные для получения соотношения (12.3.2), позволяют
легко показать, что равенство (12.3.3) можно записать следующим образом:
г aiq^Jai-q^Ja9XliX2iplip2iq~n а2дп+2 \_
8ψ?V У5, -У5, aq/Xlf aq/X2f aq/plf aq/p2f aqn+1'4i λ1λ2ρ1ρ2 J
_ (aq)n(aq/PiP2)n ( aqjXxX2i plf p2, q~n u \
" WPiUaq/p2V^aq/Xlfaq/X2fp1p2q-Va>q>qJ· ^M)
Это и есть формула Ватсона. Если ας/λ1λ2 = ΡιΡ2<Ι~η/α, то ряд 4φ3
превращается в уравновешенный ряд 3φ2, который можно просуммировать с помощью
q-формулы Пфаффа—Заалыыютца (10.11.3). В этом случае результат является
q-аналогом формулы Дуголла, полученной в работе [208]:
г atq^/at-q^/afXltX2tpltp2fq~n ·0/Λ =
8 7vy5,-y5,aq/Я1,aq/Я2,aq/p1,aq/p2,aqπ+1, ' '
-(α,/^ίβ,/^ίβ,/ρΛία,/λ,^Λ· ^ας-λιλ2Ριρ2ς . (12.3.5)
Переходя в этой формуле к пределу при π -> », получаем
г atqy/at-q^/atXlfX2tp1 ад \_
6 5νν/α,-ν/5,ας/λ1,ας/λ2,ας/ρ1' ' A^pj/
= (aq)o0(aq/PiP2)oo(Qq/AiPi)o0(aq/A1A2)00 g
(ας/λ1)00(ας/λ2)00(ας/ρ1)00(ας/λ1λ2ρ1)00'
Это необрывающаяся форма соотношения (12.3.2).
Теперь заметим, что выражение 8ψ7 в формуле (12.3.4) симметрично по
λι, Я2, ръ р2 и потому
(Qq/PiP2)n Г αςΜιλ2,ρ1,ρ2,ς-π Λ
(aq/p1)B(aq/p2)B4V3Vaq/A1,aq/A2,p1p2q-"/a,q,q-'
(flgMi*2)n ( aq/PiP2>bi>*>2>q~n .n λ Π9,η
- (aq/A1)B(aq/A2)/V4aq/p1,aq/pa,A1Aaq-»/a,q,q> lL"'/J
Положив в формуле (12.3.6) рх = ν'ά, получаем q-аналог формулы Диксона для
хорошо уравновешенного ряда 3F2:
/> q,-qi/a,A!,A2 . Ч^ \ _ (Qq)oo(QqMiA2)00(qya/A1)00(qv/a/A2)00
4 ъ^-у/а,ад1Хъад1Х2' ' λλλ2) (aq/A^^aq/A^qv^ooiq^a/A^)»'
Из преобразования Ватсона (12.3.4) можно вывести и обе формулы
Роджерса—Рамануджана. Переходя к пределу при Хъ А2, ръ р2 -» °°, получаем
Теперь перейдем к пределу при η —»оо и применим теорему о мажорированной
сходимости. После упрощения получаем
* ^Σία,;,)ί,;",:α,")'-»'°^'1ί'-',ί=<*;«- Σ £&· сим»

§ 12.4. Другие применения цепей Бейпи
531
При а = 1 это первое тождество Роджерса—Рамануджана, а при а = q — второе.
Если мы хотим обобщить тождество между q-рядами, содержащее
квадраты, то естественно попробовать представить каждую степень q^2' как (a\q)ki
умноженное на подходящий множитель, используя равенство
lim(a;q)fc/(-a)* = qG).
Q—>00
Так как имеется два тождества Роджерса—Рамануджана и пять множителей ql^ J,
минимальное такое обобщение тождеств Роджерса—Рамануджана должно иметь
шесть свободных параметров. Формула (12.3.4) и является таким обобщением.
§ 12.4- ДРУГИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЦЕПЕЙ БЕЙЛИ
Формула для суммирования очень хорошо уравновешенных рядов βφ5, а также
преобразование Ватсона достаточно просто вытекают из леммы Бейли. Можно
и далее получать интересные результаты, начав с пары Бейли (12.2.5) и (12.2.6)
и продвигаясь по цепи. Например,
qni+nl+-+n2k
π
„>.^>ο(,)--'№'·-»-<«,""-'<"· ί-ί Ι"<"'
n#),±(fc+l)
(mod 2fc+3)
При к = 1 это тождество сводится к первому тождеству Роджерса—Рамануджана.
Как отмечено выше, его можно доказать, рассматривая (a*+1),j8*+1)) в цепи
Бейли, начинающейся с пары (12.2.5) и (12.2.6).
Следует подчеркнуть, что не только эта цепь Бейли представляет интерес.
В совершенно ином контексте изучался другой ряд Рамануджана
п=0 п=0
Соответствующая пара Бейли имеет вид
& = άίΓ' an = q»2-£(-l)y
j=-n
Из равенства
вытекает, что
П /
^ = L(q;q)n_r(q;q)n+r
r=0
S(q) = J](-l)n+>q^3n+1)/2->2(l-q2n+1).
n>0,
\J\<n
Отсюда можно получить, что почти все sn равны нулю и что для любого
целого Μ (положительного, отрицательного или нуля) существует бесконечно
много таких п, что sn = M. Подробности см. в статье [16]. Эта статья содержит
также ссылки на результаты Слейтер и Брессу (см. упражнения 3, 4 и 5).

532
Глава 12. Цепи Бейли
УПРАЖНЕНИЯ
1. Получите второе тождество Роджерса—Рамануджана (12.1.2) из слабой леммы Бейли
12.2.1.
2. Докажите формулу Агарвала (12.2.7), а именно
Λ (l-aq20(q-";q);(a;q);q^ = (aqiq^q^iq^q^
j-* (l-a)(aqn+1;q);(q;q);. (q;q)M(aqn+1;q)M '
3. (Слейтер) Покажите, что определенная ниже пара (а„, βη) является парой Бейли
с а = 1:
f-q6"2-5"*1, m = 3n-l>0,
lq6n2-n + q6n2+n, m = 3n>0,
6n2+5n+1 ο Λ ^n = i/(q;q)2n·
_дбп+5п+1? m = 3n + l>0,
^1, m = 0,
4. (Слейтер) Пусть
f-q5"2-*", m = 3n-l>0,
|д6п2-2п+д6п2+2п? m = 3n>0,
|_дбп2+2п? m = 3n + l>0,
(l, m = 0,
am =
/8„=q7(q;q)2n.
Докажите, что (an, ]8n) — пара Бейли с a = 1.
5. (Брессу) Докажите, что
((-l)m(qm(5m+1)/2 + qnVn-V/*), η = 2m,
О, п нечетно,
;·=ο
составляют пару Бейли с a = 1.
6. Применив формулу (12.3.8), упражнения 37 и 39 гл. 10 и формулу тройного
произведения Якоби, получите следующие шесть тождеств Роджерса1:
а) 1 -h J] т-^— = 1/CCq; q2DcoCq4; q20)ooCq16; q20^];
л=1 ^'qj2n
б) 1+Σ ihr- = VKe; q2)co(q8; <z2(№2; q20) J;
^ (q»q)2n+i
■»I+Zfe- Π »-«">-■;
n=l " * n=l,
n$k±l,±8,±9,10 (mod 20)
n=l,
n£±3,±4,±7,10 (mod 20)
ι См. также [413].

Упражнения
533
оо 2 оо
Д) (.-Я2) q2)» g (^4j; =П (l-qSn+ljd.qSn^) ι
n=0 Ί '^ " n=0
„n2+2n
2)(q-q5n+3)'
Мы получили 7F6-преобразование Уиппла в гл. 7 по ходу решения проблемы
коэффициентов связности многочленов Якоби. Для этих многочленов существует несколько
q-аналогов. Следующий набор из четырех задач показывает, как можно применить
малые q-многочлены Якоби для вывода 8(/?7-преобразования Уиппла. См. [14].
7. Определим малые q-Многочлены Якоби следующим образом:
ία~η,αβαη+1 \
ρη(χ;α,β:ς) = 2φ1[4 ™ ;q,qx|
qn+l
aq
а) Покажите, что
limpn(jt;qa,q* : q) =Pn(a^(l-2jc)/Pn(a^(l).
q-+l-0
б) Докажите соотношение ортогональности
Σ a%%U'?°°PnW> а>Ρ : 9>й-W! α·Ρ : «> =
О при τη Φ η,
апдп(д;д),(а/У+1;д)..(д;д),, поит = п
(i8qn+1;q).(aq;q)„(aq;q)n(l-a/5q2"+1) P
Указание. Сначала получите следующее равенство:
yaW^q). (. β ) ьп =
£ 03g'+1;g)„ ΛΙ«.«.Ρ·4«
{О при 0 < m < η,
(_a)nqn(n+l)/2(q. q)AaPq^2. )<>( }
03q»-;q)„(aq;q)„ прит = П.
8. Пусть
η
Рл(*; Г, δ : q) = ]Γ] аьрк(дс; а, /3 : q).
k=0
Покажите, что
_ (-l)fcqfc(fc+1)/2(r5qn+1;q)fc(q-n;q)fc(aq;q)fc m f q-n^rgqn+*+1,gq*+1. д Λ
(aft™; q)fc(q; q)*(rq; q)k 3 ^ Г*'+1, aft»*» ' *' *>
9. Заметим, что тождество из упражнения 8 полиномиально по х. Докажите, что при
тех же α^ι выполняется равенство
10. В предыдущем упражнении положим г = 2, β = δ, a1 = aq, x = l и b2 = q2a5a2/b1.
Заметим, что ряд 3^2 в выражении для акп становится уравновешенным и может

534
Глава 12. Цепи Бейли
быть вычислен с помощью формулы (10.10.3). Получите отсюда, что
(q~n,r5qn+1,aq,a2 \=сРд\6д;д)я1г/а;д)я
rq~niqy/a5qi—qy/a5qJa5qJaqia5q2/biiY5qn+1ibi/a2 \
* 8ψΛ y/^9^y/^96q9bi9cuT^1/r9a6a2q2/bua6qn¥2 'Ч'*2")'
После соответствующих замен отсюда получается стандартная форма
преобразования Ватсона.
11. Большие q-многочлены Якоби определяются следующим образом:
Докажите, что выполнено соотношение ортогональности
jj, " m (qa+1x/c;q)0„C—qP^jc/d;^)»
{0 m/n,
(cd)nqn(n-l)/2(qa+l.q)n(^+l.q)n(_qp+lc/d;q)n(_qa+ld/c;q)n(1_qa+<)+l)M
(qa+"+1;q)(q;q)n(l-q2n+a+"+1) (-« «).(-*«),. ' "'
где
cd(l-q)(q;q)„(qa+',+2;q),»(-d/c;q).,(-c/d;q).,
(c+ d)(q«+1; q)„(q^+1; q)„(-q«+1d/c; q)„( V+Vd; q).'
Отметим, что если c=d = 1, то весовая функция в q-интеграле при q —»1 — 0 стремится
κ(1-χ)αΟ-+χ)β.
12. Семейство q-многочленов Лагерра определяется следующим образом:
г wf-. 0л = (qa+1;q)n ν (g~n:q)^(^(q',+a+1^
- 'Ч) ii;<0n £t Ъа+1;<1Ыч;ч)к '
а) В малом q-многочлене Якоби степени п замените χ на —(1—q)q~(P+1)x и перейдите
к пределу при β -»—оо. Покажите, что в результате получится
(q;q)n rMfjr<rt
(q°+1;q)„ " l 'qh
б) Докажите, что lim Lna\x;q) = L^M.
в) Докажите дискретное соотношение ортогональности
-Ξ- „ка+к
„ka+k
qn(q;q)n fc^oo(-(l-q)qfc;q)«
(Используйте ^-сумму Рамануджана.)
г) (Μοακ) Докажите непрерывное соотношение ортогональности
Wfe^Wfeg)r-ri-V^ ^= Γ(α+1)Γ(-α)(^,ς)η m = n
I rq(-a)(q;q)nqn '
тфп,
m = n.

Упражнения
535
13. Мультипликативный сдвиг переменной χ в упражнении 12 порождает семейство
q-многочленов Лагерра, определяемых следующим образом:
fc=0 (4a+1;4)k(q;qh
а) Покажите, что
? i.;(x;g)i.°(x;q)*a-',(V+1x-1;q), djf =
5 (-x;q)»(-qx-1;q)«
f <rn(q;q)„(q;q)» Γ(α + 1-Ρ)Γ0-α)
= { (qa+1;q)„(qa+1;q)„r,(a + l-/3)r,(/3-a)' m "'
Ιο, τηφη.
б) Положим a—/3 = с (где с фиксировано) и перейдем к пределу при a -»<» в
многочлене L°(x; q). Покажите, что в результате получится многочлен Стилтьеса—Вигерта
S„U,qJ 2j(q;q)k(q;q)n4k·
в) Докажите, что весовая функция многочленов Стилтьеса—Вигерта имеет вид
ХС
ω(χ) = τ г-7—τ—ς-·
(.-x;q)oo(.-q/x;q)«>
Относительно упражнений 12 и 13 см. книгу [155, гл. 7].

ДОБАВЛЕНИЕ А
Бесконечные произведения
§ АЛ. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Здесь дано краткое введение в теорию бесконечных произведений для
читателей, незнакомых с ними.
η
Определение А.1.1. Пусть рпк = ]~[ (1 + am)· Если существует такое /с, что
т=к
рпк сходится при п —> оо к некоторому ненулевому значению р, то мы говорим,
00
что бесконечное произведение J~[(l + an) сходится, и записываем это как
п=к
00
p=]~[(l + an). Мы не накладываем условие fc = l, для того чтобы допустить
п=к
наличие конечного количества нулевых множителей. Сходимость произведения
00
называется абсолютной, если сходится произведение J~[(l + ΙαηΡ·
η=1
Следующая основная теорема сводит сходимость произведения к
сходимости ряда. Для простоты допустим, что Re ап > —1, π = 1,2,... В противном случае
пусть произведение начинается с такого места, после которого это выполнено.
00
Теорема А.1.2. Произведение Π(1 + αη) сходится, если и только если схо-
п=1
00
дится ряд J] 1η(1 + αη).
п=1
η
Доказательство. Предположим, что Sn= J] ln(l + am) сходится к S. Так
m=l
как ехр —непрерывная функция,
П оо
[~](1 + ат) = exp(Sn) сходится к es = [~](1 + an).
m=l n=l
η
Обратно, пусть 1 + am = Amei0m и П (H-am) =^пе^п· Из сходимости
произведете
ния П(1 + an) следует, что ат-»0, так что 9т->0иуп можно выбрать так, что,
скажем, φη—>φ. Кроме того,
θ1 + θ2 + ... + θη = φη + 2π1ίη,
где fcn—целое число. Следовательно,
0„+i = YVhi - ¥>п + 2я(кп+1 - кп).
Так как fcn+1 — kn — целое число, 0п+1 -»0, а так как φη+1 — </?„ ->0, кп для
достаточно больших η равно константе к. Поэтому для достаточно больших
η справедливо равенство
Sn = lnpn + 27rfci.

538
Добавление А. Бесконечные произведения
При η —> оо получаем
S = lnp + 2nki.
Теорема доказана. D
Условие абсолютной сходимости формулируется проще и содержится в
следующей теореме.
00
Теорема А.1.З. Произведение ]~[ (1 + αη) абсолютно сходится, если и только
п=1
00
если J] ап абсолютно сходится.
п=1
Доказательство. Из сходимости ряда или произведения вытекает, что
αη->0. Тогда для достаточно больших η выполнено условие |αη|<1/2. Пусть
апфОип велико. Тогда
а« а* _i_ I <? 1 TU I _i_ U 12 . π _ 1 lQnl <- 1
У"Т + -| 2[Ι ηΙ ' ηΙ +···] 214^1*2'
Отсюда получаем
и
||αη|<|1η(1 + αη)|<||αη|.
Из этих неравенств с учетом теоремы А.1.2 вытекает наше утверждение, а также
тот факт, что из абсолютной сходимости произведения следует его сходимость.
D
Определение А.1.4. Бесконечное произведение
00
[~](l + an(x)),
п=1
где переменная χ пробегает некоторую вещественную или комплексную
область, равномерно сходится, если ряд
m=k
равномерно сходится в этой области при каждом к.
00
Теорема А.1.5. Если ряд J] |a„00| равномерно сходится в некоторой
облапь
00
ста, то произведение J~[(H-an(jc)) также равномерно сходится в этой области.
Доказательство предоставляется читателю.
Следствие А.1.6. Если функция ап(х) аполитична в некоторой комплексной
области и бесконечное произведение PI(l + anQc)) равномерно сходится в этой
области, то оно представляет в этой области аналитическую функцию.
1-
ln(l + an)
*п
lng + a,)
-i«i

Упражнения 539
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите непосредственно из определения, что произведение
(ЧХЧХ1-;)···
сходится.
2. Докажите, что абсолютно сходящееся произведение сходится.
3. Покажите, что если все ряды Σαπ> Σαϊ> — »Σαϊ_1» Σ ΙαπΙ* сходятся, то
произведение Y[(l + απ) сходится.
4. Выясните, что можно сказать о сходимости произведения
ГКО+*№-!»·
п=1

добавление б
Суммируемость и дробное интегрирование
§ Б.1. СРЕДНИЕ АБЕЛЯ И ЧЕЗАРО
В начальном курсе вещественного анализа мы часто встречаемся со следующей
теоремой, первая часть которой была доказана Абелем.
00 00
Теорема Б.1.1. Пусть ряд J] Ьп сходится к В. Тогда ряд J] bnxn равномерно
п=0 п=0
сходится на отрезке [О,1], причем
ton ]>]bnxn = B. (Б.1.1)
*->1-0 л
п=0
η
Кроме того, если В„ = Σ ^ь то
к=0
^Βο + Β,-f +ВП=Б
η->οο П+ 1
Пример ряда 1 — 1 + 1 — ... показывает, что пределы в формулах (Б.1.1)
и (Б.1.2) могут существовать, даже если ряд расходится. Таким образом, с
помощью этих формул можно определить сумму расходящегося ряда.
00
Ряд J] Ьп суммируем по Абелю или Α-сходится к В, если выполнено равен-
п=0
ство (Б.1.1); он суммируем по Чезаро или (С, 1)-сходится к В, если выполнено
равенство (Б.1.2). Мы также называем предел из формулы (Б.1.1) абелевым
средним (или средним Абеля), а предел из формулы (Б.1.2) — средним Чезаро
00
Для ряда Σ К-
п=0
Средние Абеля и Чезаро для ряда 1 — 1 +1 —... равны 1/2. Следующая теорема
показывает, что суммируемость по Чезаро —более сильное требование, чем
суммируемость по Абелю.
00
Теорема Б.1.2. Если ряд J] Ьп является (С, 1)-сходящимся κ В, то он
п=0
Α-сходится κ В,
η
Доказательство. Суммируя по частям, получаем (полагая В„= Σ &*)
к=0
^bnJCn-B = (l-Jc)J]BnJCn-B = (l-jc)2J](Bo + ... + B„)^-B =
п=0
00
= α-χ)2Σ{(.Β0 + ... + Βη)-(.η + 1)Β}χη. (Б.1.3)
п=0 п=0 п=0
л=0

542 Добавление Б. Суммируемость и дробное интегрирование
Но из формулы (Б.1.2) следует, что для каждого ε > О существует такое целое
число JV, что
|(В0 + .·· + Вп) - (π + 1)В| < ε(η +1) при η > Ν.
Сравнив этот результат с формулой (Б.1.2), получаем утверждение теоремы. D
Пример ряда 1 — 2 + 3—... показывает, что абелево среднее может
существовать (в данном случае это 1/4), когда среднее Чезаро не существует. Применение
средних Абеля и Чезаро, наряду с другими методами суммирования, бывает
очень полезным в анализе и аналитической теории чисел. В качестве
элементарного примера рассмотрим следующую теорему Абеля о произведении двух
рядов.
00 00 П
Теорема Б.1.3. Пусть Σ αη ц Σ bn —сходящиеся ряды, сп= Σ QkPn-k иряд
п=0 п=0 Лс=0
00
Σ сп сходится. Тогда
п=0
п=0 п=0 п=0
Доказательство. Поскольку
η
к=0
то
fc=0 j=0 к=0
и остается применить теорему Б.1.1. D
Средние Абеля и Чезаро играют весьма существенную роль в теории рядов
Фурье и преобразования Фурье. Вкратце покажем, как они появляются в рядах
Фурье, поскольку эти идеи существенны для всей книги.
00
Пусть /00 — интегрируемая функция с периодом 2тг, a ^aneinx — ее ряд
— 00
Фурье. Важный вопрос состоит в том, когда ряд Фурье некоторой функции
сходится к этой функции. И снова оказывается легче иметь дело со средними
Чезаро и Абеля. Абелева сумма имеет вид
00
2 anrl»lei,uc, |г| < 1. (Б.1.5)
П=—оо
Так как
2π
о
сумма в формуле (Б.1.5) равна
2π °°

§ Б.1 Средние Абеля и Чезаро
543
Сумма под знаком интеграла называется ядром Пуассона. Непосредственное
вычисление показывает, что она равна
, 0 1~/2 Л—г = Pr(x-t). (Б.1.6)
l-2rcos(x-t) + r2 rV
Полезно отметить следующие свойства ядра Пуассона:
1)Рг(х)>0,
2)^$Pr(x)dx = l,
о
3) если 5>0иг->1 — 0, то max5<x^2n-5 Pr00 -> 0.
Используя эти свойства, можно доказать следующую теорему.
Теорема Б.1.4. Если функция f периодична и интегрируема на интервале
(0,2п), то абелево среднее ее ряда Фурье сходится к ~{/(*ο+) +/С*о—)} β любой
точке Xq, где существуют правый и левый предел /(х0±).
Аналогичное утверждение верно для средних Чезаро. А именно, п-я
частичная сумма ряда Фурье имеет вид
η 2π η
k=-n 0 k=-n
Сумма под знаком интеграла равна
noV^trv *л sin(n + l/2)(x-t) _Ί_.
1 + 2^совк(х-0 = sin((jc_t)/2) · (Б.1.7)
fc=0
Это выражение называется ядром Дирихле. Оно имеет тот недостаток, что не
всегда положительно. Однако если взять (С, 1)-среднее ряда Фурье, то
,мЛ_50(х)+51(х) + ...+5я(х) _ 1 2C*tf,^ V^fo+JKX-O ^
σ*w s+ί 2^ϊτϊ) 5 '(t) 2j sin((x-o/2) dt·
Сумма под знаком интеграла обозначается Кп (х—t) и называется ядром Фейера.
Эта сумма равна
fsini(n + l)(x-t))2
<—З-т \ >0. (Б.1.8)
[ sin^(x-t) J
Ядро Фейера обладает тремя свойствами ядра Пуассона, отмеченными выше.
Это позволяет доказать следующую теорему.
Теорема Б.1.5. Пусть функция f такова, как в теореме Б.14. Тогда среднее
Чезаро ее ряда Фурье сходится к 2{/(*о+)+Д*о~~)} в любой точке х^ где
существуют правый и левый предел /(х0±).
Если функция / предполагается непрерывной на [0,2π], то средние Абеля
и Чезаро сходятся к /. Приведем важное следствие теоремы Б.1.5.
Следствие Б.1.6. Функция, непрерывная на отрезке [0,2π], равномерно
приближается тригонометрическими многочленами, т. е. многочленами вида
Σ α^·
k=-n

544 Добавление Б. Суммируемость и дробное интегрирование
Так как функция eikx равномерно приближается на отрезке [0,2π]
частичными суммами своего ряда Тейлора, мы получаем новое доказательство (см.
упражнение 40 гл. 1) аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
§ Б.2. СРЕДНИЕ ЧЕЗАРО (С, а)
В предыдущем параграфе мы видели, что (С, 1)-средние не дают конкретного
значения суммы 1 — 2 + 3 — 4+... Для этой и некоторых других ситуаций
требуются средние Чезаро высших порядков, которые мы сейчас определим1.
00
Для ряда Σ Ьп положим
п=0
где
fc=0
Предел последовательности {—тт г есть (С, 1)-среднее. Положим теперь
β(ΐ)=β(θ)+β(θ) + ^ + β(ο)) (Б21)
Ε(ΐ) = 1 + 2 + ... + π + 1=(π + 1)2(ΓΙ + 2).
Предел последовательности |-^j} есть (С, 2)-среднее ряда Σ *V
Аналогично
п« п=0
Β®=Β^+Βίυ + ... + Β«,
«(2) __ Ί ,ο, , (η + Ό(η + 2) _ (η + 1)(η + 2)(η + 3)
ϋη -ι-hJ-h...-h 2 3! '
Соответственно (С, 3)-среднее имеет вид
UmCB^/B®).
П—юо " "
Величины В^ и E^fc) определяются по индукции:
В« =В*)+В*) + ... + В«, Я« =E^"1)+Ef-1) + ... + E^-1).
Величина B£fc) допускает следующее явное выражение в терминах Ьп. Заметим,
что
£| В™хп = (1 - χ)"1 J] В*-»хп = ... = (1 - хГ(*+1) £| bnxn,
п=0
п=0 п=0 п=0
л=0
ι Стоит иметь в виду, что есть много способов регуляризации рядов и интегралов. Итоговый
результат, вообще говоря, может зависеть от регуляризации.

§ Б.З. Дробные интегралы
545
Отсюда получаем
1=0
Б*> = ii±ila. (Б.2.3)
00
Определим (С,/с)-среднее ряда ]£bn как предел величин В^/Е^ при п-юо.
о
Отметим, что эти величины имеют смысл, даже если к не является натуральным
числом. Будем считать, что к — вещественное число и fc>—1.
00
Определение Б.2.1. Ряд J] Ъп является (С, а)-сходящимся к В (при а > —1),
п=0
если
Замечание Б.2.1. Отметим, что предел в формуле (Б.2.4) равен
Ит Πα + 1)β(α)
П-»оо Π* П
§ Б.З- ДРОБНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определения суммируемости можно распространить и на интегралы. Пусть
функция /(0 интегрируема на конечных интервалах (0,х). Будем называть
00
ее, например, интегрируемой по Абелю и говорить, что § /(t) dt существует
о
в смысле Абеля, если существует
00
lim W-A7(0dt.
В этом случае будем также использовать запись
00 00
\f(t)dt= lim $е"я7(0 dt. (Абель)
О А->+0 0
Чтобы определить интегрируемость по Чезаро для (С, /с), где к — целое число, мы
вначале определим интегральный аналог величины Bj*J (см. формулу (Б.2.2))
как
/(*> Μ = I /ft-i) (О А = J (χ - t)/(Jt_2) (t) dt = ... = 1 $ (χ - t)fc/(0 dt. (Б.3.1)
0 0 0
С учетом замечания после формулы (Б.2.4) будем говорить, что функция /
является (С, к) -интегрируемой, если существует
Ла ^Ψ1^ м - si S С1 - г)*/ω &
х—о

546 Добавление Б. Суммируемость и дробное интегрирование
Заметим, что окончательное выражение для fa)W в формуле (Б.3.1) имеет
смысл для всех вещественных чисел к > —1. Таким образом, (С,
а)-интегрируемость определена для всех α > —1.
Заметим также, что формула (Б.3.1) выражает /(Jt) в виде (fc + Ι)-кратного
интеграла от /. Поэтому мы определим Iaf, т. е. α-кратный интеграл от / при
Re α > 0, посредством формулы
/«/(*) = γ^ SCx-O^/COdt. (Б.3.2)
Легко проверить, что оператор 1а удовлетворяет соотношению
V/3=W Re(a,j8)>0.
Оператор Ia называется дробным интегралом порядка а. Интегральное
выражение Эйлера для 2Р\ -гипергеометрического ряда можно теперь интерпретировать
как дробный интеграл. Запишем соответствующую формулу в виде
*("■>) = rw& \ ^с-о—а-о-* *=Щх-(/с_ь/)(х),
где/(0 = гь-1(1-0-°.
Замечание Б.3.1. Можно применить интегрируемость по Абелю и Чезаро при
изучении интегралов Фурье точно так же, как соответствующая суммируемость применяется
при изучении рядов Фурье.
§ Б.4- ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Эйлер использовал абелевы средние, так же как и другие методы, чтобы
определить сумму расходящегося ряда. В частности, он получил функциональное
уравнение дзета-функции в виде
χ-2^-1+35-1-... _ (5-1)1(У-1) rnQ 1
1-2-* + 3-*-... ~~ (^-«π· cos2SK·
При Re 5 > 1 ряд в знаменателе сходится, а ряд в числителе интерпретируется
в смысле Абеля. Можно показать, что
lim ^(-l)n-1ns-1JCn = C(l-5)(2s-l);
JC-+1-0
таким образом, функциональное уравнение Эйлера выполняется. Эйлер прове-
1 3
рил его только для целых значений 5 и для 5 = ~, ~ · Этому методу присвоено
имя Абеля, потому что Абель доказал формулу (Б.1.1)).
Лейбниц использовал (С, 1)-средние, чтобы вычислить 1 — 1 + 1 — ..., а
несколько позже Д. Бернулли применил этот же метод при рассмотрении рядов
оо р—1
более общего вида J] bn, где Ъп+р=Ьп при всех η и J] bk = 0. Ни Лейбниц,
п=0 п=0
ни Бернулли не сформулировали явно, что они дают новое определение
сходимости. Это сделал Чезаро. Дальнейшие сведения по истории средних

§ БА. Исторические замечания
547
Абеля и Чезаро читатель найдет в весьма интересном обзоре, содержащемся
в книге [183].
Видимо, первым математиком, применявшим дробные интегралы, был
Абель, хотя само понятие рассматривалось и ранее. Абель использовал дробные
интегралы при решении проблемы отыскания таутохроны — кривой, вдоль
которой частица свободно скользит под действием силы тяжести с нулевой
начальной скоростью и достигает дна за одинаковое время, независимо от
начальной точки, если только начальная и низшая точки различны. Эта
проблема уже была решена Гюйгенсом; ее смысл состоял в конструировании часов,
у которых период колебаний маятника не зависит от амплитуды.
Пусть частица начинает скольжение в точке (a, b), a заканчивает в начале
координат. Если 5 обозначает длину пути, пройденного частицей, то согласно
закону сохранения энергии скорость равна
u=ds/dt= V2g(b-y),
где у —ордината данной точки на кривой. Положив f(y)=ds/dy, мы видим,
что дно достигается за время
r(io = -U-^L<iy.
Абель заметил, что
пь) = у^а1/2/хг>).
Так как Г(Ь) не зависит от Ь, с учетом формулы (Б.3.2) мы имеем
Взяв производную от обеих частей равенства, получаем
Поскольку
/w=£=[4f)T2.
мы получаем дифференциальное уравнение, которое может быть решено.
Таутохрона оказывается циклоидой. Статья Абеля [1] на эту тему имеется также
в английском переводе.
Предыдущие выкладки наводят на мысль, что понятие дробной производной
также могло бы принести пользу. Для достаточно гладких функций, в частности
аналитических, можно определить дробные производные следующим образом:
DafM = £;In-afM, (Б.4.1)
где 0<Rea<n и п — натуральное число. Заметим, что сначала мы взяли
интеграл, а затем производную. Если проделать вычисление в обратном порядке,

548 Добавление Б. Суммируемость и дробное интегрирование
то получится другая функция, поскольку первые п —1 членов тейлоровского
разложения исчезают при взятии n-й производной. Для аналитической функции
00
к=0
дробный интеграл, как легко проверить, имеет вид
00
'°/« = Zr(FiW'*fc+a·
r(fc + a + l)
о
Это показывает, что в формуле (Б.4.1) можно взять произвольное значение п,
если только η > Re α. В действительности
Однако добавление дробных производных к дробным интегралам не порождает
группу: в самом деле, хотя при дробных α, β и а + β выполняется равенство
Όαϋβ=Όα+β,
но
Di,2D£D3/2
по причине, указанной выше.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите теорему Б.1.1.
00
2. В обозначениях теоремы B.L3 докажите, что если ряд J] ап сходится абсолютно,
п=0
00 00
а ряд Σ Ьп сходится, то ряд Σ сп сходится.
п=0 п=0
00
3. Докажите, что если ряд J] Ъп является (С, а)-сходящимся к В и β > а, то ряд (С, β)
п=0
является (С, 0)-сходящимся к В.
00
4. Докажите следующее обобщение теоремы Б.1.2: если ряд J] Ъп является (С, а)-схо-
п=0
дящимся к В, то он сходится по Абелю к В.
5. Покажите, что
со
dn
η=1 ^
Отсюда выведите, что
! _22* + з2* = ... = о, 1-22'-1 + З2*-1 -... = (-Ι)'"1 ^Чпг1^
-ι г2*-!,
2Г~Ь*
в смысле суммируемости по Абелю. Этот результат принадлежит Эйлеру. См.
исторические пояснения в книге [183].
6. Последовательность Sn сходится к S по Борелю, если
lime^VV^S.
sn
п=0

Упражнения
549
Покажите, что если Sn сходится к S, то Sn -> S по Борелю. Докажите также, что если
Sn(x) = l+jt + ... + jtn, то Sn(jc)->l/(l-jc) по Борелю при Rex<l.
7. Покажите, что если β>α>—1π частичные (С, 0)-средние ряда £ αη неотрицательны,
то (С, а)-среднее ряда J] а^ неотрицательно при 0 < г < (а +1)/(0 +1).
Указание. Заметьте, что
(Ι-ωΓ*-1 ΣαητΛωη = α-ω)-α-1(1-Γω)β+1α-ΓωΓβ-1 ^α^ω",
и покажите, что коэффициенты разложения в ряд величин
(1-ωΓβ-1(1-πι/)'+1
и
неотрицательны. Доказательство содержится в работе [76].
00
8. Ряд J] сходится по Ламберту ((L)-сходится) к S, если
п=1
lim(1_x)V2£4 = s.
п=1
Докажите, что если Σ απ = S(C,а) для некоторого а, то J] ап = S(L).
9. Докажите теорему Дирихле (если χ — квадратичный характер Дирихле, то 1(1, χ) =
00
= J] χ in) Iη Φ Ό) следующим образом.
π=1
а) Покажите, что J] χ (d) > 0.
d\n
б) Покажите, что
п=1 п=1 V d\n J
в) Положим
/(х) = У( х™ - *ω^) =. V ХШЬ
JW ZjU(I-jc) 1-jc" ^ -ZjI-дЛ·
п=1 п=1
Покажите, что b1>b2>...>bn >Ьп+1 > ...
m
г) Заметим, что | J] /(п)| <М, где Μ — константа, не зависящая от т. С помощью
п=1
суммирования по частям докажите, что /(дс) < γζΓ = Μ-
д) Отсюда выведите, что 1(1, χ) Φ 0.
Это доказательство взято из [270].
10. Докажите следующую теорему Харда и Литлвуда: если ап > 0 и
00
п=0
ТО
η
lim - 7 аь = 1.
Ниже намечено доказательство Караматы.

550 Добавление Б, Суммируемость и дробное интегрирование
а) Покажите, что
lim (1-х) Vanjcng(jcn) = \g{t)dt,
где g(t) 1) является многочленом, 2) является непрерывной функцией, 3) имеет
разрыв первого рода.
б) Положите g(i) = 0 при 0 < t < 1/е и g(t) = 1/t при 1/е < t < 1 и завершите
доказательство теоремы.

добавление в
Асимптотические разложения
§ B.I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
Пусть х — вещественная или комплексная переменная в неограниченной обла-
00
era D, а Σ апх~п — формальный степенной ряд, который может быть сходя-
п=0
щимся или расходящимся.
00
Определение В.1.1. Ряд £ &пх~п является асимптотическим разложением
п=0
функции fix), если
п-1
/ W = J] akx~k + Rn(x), (B.1.1)
fc=0
где RnQc) = OQc~n) при *-► оо в области D. Обычно равенство (В.1.1)
записывается в виде
/(*) ~ а0 + αχχ"1 + а2х"2 +... при χ -► оо в D. (В.1.2)
Это определение принадлежит Пуанкаре [289]. Простым примером служит
следующее разложение для (1 + х)-1:
ϊΤϊ~;-? + ?-~ принос. (в.1.з)
В данном случае ряд сходится. Более интересна ситуация, когда ряд расходится.
Рассмотрим интеграл вероятности как функцию вещественного переменного
х>0:
00
erfc χ = -т= \ е~<2 dt. (B.1.4)
Последовательное интегрирование по частям приводит к равенству
•*'-^[^-5^*]-^[1+В-"'1:^ра^«)}
L X J L £=1 J
где
я.Сх) = c-i)-«l^±»^ \ £L dt.
Легко видеть, что
Поэтому ряд
l«n Cx)l < 1"(2-g+t1)- (в.1.5)
^±Γι+ν(-ΐ)^·3-(2^-ΐ)1
служит асимптотическим разложением функции erfc. Ясно, что этот ряд
расходится при всех х> 0. Однако если брать фиксированное количество слагаемых,

552
Добавление В. Асимптотические разложения
то при достаточно больших χ получается хорошее приближение к erfcx. С
другой стороны, использование большего количества слагаемых при данном χ не
улучшает аппроксимацию, поскольку ряд расходится.
§ В.2. СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ
Следующая теорема почти сразу следует из определения.
Теорема В.2.1. Для функции fix) существует асимптотическое разложение
Σ αηχ~η> если и только если для любого η выполняется условие
хп\ /00 —^ Qkx~k ~~> ak пРи х ~~* °° в области D, (В.2.1)
в случае комплексного χ равномерно по arg x.
Доказательство. Легко видеть, что из условия (В.2.1) вытекает (В.1.2).
Обратно, заметим, что
xnRnM = хп[апх~п + R„+i00] ->αη при χ -> »,
и теорема доказана. D
Из этой теоремы следует, что функция не может иметь более одного
асимптотического разложения в области D. В другой неограниченной области
асимптотическое разложение может оказаться иным. Однако две различные функции
могут иметь в некоторой области одно и то же асимптотическое разложение.
Например, функция е~х в области |argx| <*-ζπ — δ<-ζπ УДовлетвоРяет условию
хпе~х->0 при дг-> оо. Согласно условию (В.2.1) получаем
е"*~0 + - + -^ + ... |arg χ|<^π-δ, χ-><».
X X 2t
Таким образом, тождественный нуль и е~х имеют в этой области одно и то же
разложение.
Следующая теорема дает некоторые алгебраические свойства
асимптотических разложений.
Теорема В.2.2. Пусть /Μ^Σαηχ~η в области Dl9 a gOO ~Σ&η*~η в
области D2. Тогда:
1) для любых констант λ и μ выполняется соотношение
А/00 + μ8Μ - Σ(λα" + ^η)*-"
β области Όλ Π D2;
2) /00 dOO ~ Σ°η*~η β области D1DD2, где
сп = aobn+<*Α-ι + -+αΑ;
3) £сли α0 ^ 0, mo
п-1
fc=0
при x->ooe области Db где а^+1ак — многочлен от а0,аъ ...,afc, а величины dk
определяются соотношениями
a0d0 = 1, a0dfc = —(α^.χ + a2dfc_2 + — + afcdo), к = 1,2,....

§ В.З. Лемма Ватсона
553
Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.
Если а0 = аг= О, то можно проинтегрировать асимптотическое разложение
по лучу χ < t < оо. в этом случае
/Сх)~Э + 3 + "· х^ж'
и
5/(0Л~? + § + .... χ—.
Интегрирование здесь возможно, поскольку /(О = a2t~2 + 0(t~2) при больших t.
Если α0 и αχ не равны нулю, то
00
S[/(t)-ao-a1t-1]dt~5 + § + ·- *^°°·
Дифференцирование асимптотического разложения не всегда корректно.
Стандартным примером, когда дифференцирование невозможно, служит /Qc) =
= е~хsinех при х>0. Производная /'(*) = cosе* — е~хsinе* при χ-> оо
осциллирует и в силу теоремы В.2.1 не имеет асимптотического разложения. Однако
/Сх)~0+£+ £ + ..., Х^°°.
Если производная /'(*) непрерывна и имеет асимптотическое разложение, то
его можно получить почленным дифференцированием разложения для /Qc).
Это следует из сказанного выше об интегрировании с учетом единственности
асимптотического разложения.
§ В.З- ЛЕММА ВАТСОНА
В этом параграфе мы рассмотрим метод получения асимптотического
разложения в некоторой области для функции, представимой интегралом Лапласа. В § 1
приведен пример интеграла, асимптотическое разложение которого получается
посредством интегрирования по частям. В гл. 2 обсуждалась неприменимость
этого метода в одном случае. См. также работу [430, с. 18].
Следующая теорема, называемая леммой Ватсона, дает асимптотическое
00
разложение для § e~xtf(t)dt. См. [410].
о
Теорема В.3.1. Пусть функция /(О аполитична β области |t|<a + 5, где
а > 0, δ > 0, за возможным исключением точки ветвления в нуле; пусть также
00
m=l
при \t\ < а и г > 0. Далее, пусть |/(t) | < xebt, гдехиЬ положительны и не зависят
от t при t>a. Тогда
00 °°
$ β~*7(0 άΐ^Σ amr(m/r)jc_m/r при χ -► оо (В.3.2)
О m=l
в области |argjc|<-7r — δ< τπ.

554
Добавление В. Асимптотические разложения
Доказательство. Ясно, что для любого фиксированного целого Μ
существует такая константа С, что при t > О выполняется равенство
ι Μ-1 ι
\т _ J] α,^-ι < Ct(M/D-iebte
I m=l I
Отсюда получаем
oo Μ-1 οο Μ-1
$ е-л/(0 &=Σ\ e-^amt(m/r)-i dt + rm = ]£ amr(m/r)x-/r + RM,
0 m=l0 m=l
где
00
\Rm\ < § |e-Jct|Ct(M/r)-1ebtdt = Cr(M/r)/[Rex-b]M/r
о
при Re χ >b. Так как |argx|<^7i —δ, мы имеем Rex>b при |х| >bcsc5.
Следовательно,
м/ сгшмы»" _
'* RMl<(Msin5-b)^-°(1)·
Теорема доказана. D
Лемма Ватсона обобщается на случай, когда интеграл в формуле (В.3.2) —
(0+)
контурный интеграл § e~xtf{t)dt9 a (B.3.1) заменено на асимптотическое
00
разложение для /(t). См. [284, с. 112 — 115] и [430, с. 22].
§ В.4- ОТНОШЕНИЕ ДВУХ ГАММА-ФУНКЦИЙ
Покажем, как с помощью леммы Ватсона строится асимптотическое разложение
отношения гамма-функций. Этот результат получен в работе [384].
Заметим, что при ReQc + α) > 0 и Re(b — α) > 0 выполняется равенство
Г(х + а)
Г(х
^ = f^S^"flta--e-)b--dt. (B.4.1)
Определим обобщенные многочлены Бернулли В°(и) следующим образом:
00
t£=W=ΣΒη^ W<2«. (B.4.2)
n=0
Тогда для σ = α +1 — Ъ мы получаем
ΤΪ^Ψ=Σ^Β>^-σ, \t\<2n.
n=0
В силу леммы Ватсона
Г(х + а) _ у· (-1)" ησ ,^ Г(Ь - а + η) Ι
η=0
Г(х + а) у(-1)" σΓ Г(Ь-а + п) 1
Г(х + Ь) Zj π! "W Г(Ь-а) **>-*+*>
|argjc| < |тг —δ, |jc| — oo. (B.4.3)

Упражнения
555
Если вместо интегрального представления (В.4.1) воспользоваться формулой
Г(х + а) ГЦ + а-b) г" u+fl)t( t )b-a-l dt (B44)
—оо-е1а
где Re[(x + α)βία] > 0, \α\ < π/2 и при малых \t\ справедлива оценка
α — π < arg(ef — 1) < α + π,
то можно распространить разложение (В.4.3) на область |argx| < π — δ.
В работе Филдса [138] формула (В.4.3) усовершенствована в
вычислительном отношении. Заметим, что если в формуле (В.4.2) заменить и на σ — и, то
мы получим В£(ст — и) = (—1)кВ%(и). Отсюда следует, что B£fc+1(σ/2) = О· Теперь
запишем подынтегральное выражение в формуле (В.4.1) как
e-b+«-<7/Vte-W(l-e-ty<7 =
00 00 т»ст f Ift\
= e-{x+a-a/2)t V^1 ίζ3Ζβσ(σ/2)ίη_σ = β~{χ+α~σ/2)ί V 2η ' £2η~σ.
n=0 ' n=0
Отсюда получаем
Γ(χ + α) ν>β2η(σ/2) Г(Ь-а + 2п) 1
: + b) £u
n=0
Г(х + Ь) Z-ι (2n)! Г(Ь-а) (χ + α - σ/Ι)2^^
при |arg(x + a)|<~7r-5, |х|-юо.
2'
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Re χ > 0. Покажите, что при χ —> О выполняется соотношение
00 _f 00
\^— dt~V(-l)nn!xn,
0 n=0
применив два метода: а) разложите 1/(1 + xi) в ряд; б) используйте многократное
интегрирование по частям.
2. Пусть интеграл
00
F(x)=5e"Jft/(t)dt
о
сходится при некотором χ = х0, а / имеет непрерывные производные всех порядков
при 0 < t < α. Покажите, что
FM^^/^iO)*-"-1
равномерно по arg χ при χ —>» в области | arg х\ < π/2 — ε, где ε > 0.
3. Покажите, что
x-V ξ е-*-1 d* ~ 1 + Ц1 + (а-1}^-2) +...
J χ χ2 χ3
4. Пусть 0„ определяется формулой
1+l! + 2l+",+ 0i-l)! п!4, 2е·

556
Добавление В. Асимптотические разложения
Покажите, что
Θη = ι +5К (хе1-*)" ах -1 Осе1"*)" dx\
и потому
θ ,Л + _* *_ +
п 3 135л 2835л2 ""
при п—> оо. Обсуждение этого результата Рамануджана см. в работе [57, с. 181 — 184].
5. Докажите теорему В.2.2.

ДОБАВЛЕНИЕ Г
Формула суммирования Эйлера—Маклорена
§ ГЛ. ВВЕДЕНИЕ
Уже в начальном курсе анализа представлены некоторые примеры тесной
связи между рядами и интегралами. Так, согласно интегральному признаку
сходимости рядов, для убывающей непрерывной функции на луче [1, оо) ряд
Σ /(η) и интеграл § /Qc) dx сходятся или расходятся одновременно. При
п=1 1
выводе аппроксимационной формулы Стирлинга для Г(х) в гл. 1 мы видели, что
в случае конечных сумм для того, чтобы интеграл давал хорошее приближение,
убывание функции / не обязательно. Формула суммирования
Эйлера—Маклорена выявляет связь между суммой и интегралом в случае достаточно гладких
функций. В данном дополнении мы сформулируем и докажем эту формулу
и несколько ее следствий.
Вначале рассмотрим дифференцируемую функцию, определенную на
множестве, содержащем отрезок [т,п], где т и п — целые числа. Пусть m<j<n,
где j — целое число. В качестве первого приближения рассмотрим
S fW dx * i(/0)+/(/ + Ό). (Γ.1.1)
j
Погрешность этого приближения можно выразить в виде интеграла. Заметим,
что
;+ι
|(/0)+/(; + !))= j ^[{x"j"l)fM]dx =
j
= J /Qt)dx+ J (x-j~l)f'Mdx. (Г.1.2)
Полагая j = m, m +1,..., n, получаем
m+1 m+1
|(/(m)+/(m + l)) = S /Wdx+ J (x-m-§)/'(*) dx,
m m
m-l-2 m-l-2
i(/(m + l)+/(m + 2))= $ /(x)dx + $ (x-(m + l)-±)/'(x)dx,
m+1 m+1
|(/(η-1)+/(η))= ξ /(x)dx + $ (x-(n-1)-£)/'(*)dx.
n-1 n-1
Последние интегралы в каждом равенстве можно сложить, заметив, что
подынтегральное выражение записывается в виде \х— [х] — «)/'(*)· В результате

558 Добавление Г. Формула суммирования Эйлера—Маклорена
получаем
Σ /№) + §(/(m)+ /(n)) = \fWdx+\(x-[x]-l)f'Mdx. (Г.1.3)
fc=m+l m m
Это частный случай формулы Эйлера—Маклорена. Чтобы придать ей несколько
иной вид, положим ВгМ =х— 2. Тогда Bi(jc— М) = х— [х] — «· Положим также
Вг =ВХ(0) =—1/2 и запишем соотношение (Г.1.3) в виде
Σ /00 + WOO -/(m)} = ξ /(χ) dx + ξ Βχ(χ- [*])/'(*) dx. (Γ.1.4)
fc=m+l m m
Напомним, что Вг(х) — первый многочлен Бернулли, а Вх — первое число
Бернулли.
В качестве примера возьмем в формуле (Г.1.4) /(дс)=1пдсит = 1. Получим
lnnl-(n + |)lnn + n = l+SBl(iJM)djc, (Г.1.5)
Bi(x-M)
1
Так как функция Βχίχ— [χ]) периодична с периодом 1 и
1 t+1
5 Bi(x- Μ) dx = ξ Bi(x- Μ) dx = 0 (Γ.1.6)
о t
при любом t > 0, предел в формуле (Г.1.5) при η —> оо существует и равен
1
^jBjCr-M)^ (Г17)
Это и есть приближение Стирлинга, если только мы можем показать, что
выражение (Г.1.7) равно -ζ\η2π. Мы докажем это позже с помощью иного
метода, чем в гл. 1, где использовалась формула Валлиса.
Формула (Г.1.4) получена с помощью однократного интегрирования по
частям. Повторим эту процедуру, имея в виду формулу Стирлинга. Мы получим
выражение, содержащее высшие производные от /Qc). Если /(х)=1пх, то
f\x) = l/x} f"W=—l/x2 и т.д. При больших χ эти величины становятся
малыми, так что обобщение формулы (Г.1.4) оказывается полезным.
§ Г.2. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА—МАКЛОРЕНА
Пусть В2(х) — первообразная (антипроизводная) отВ^х — [χ])Βι(χ). Из
формулы (Г.1.6) вытекает, что функция В2 периодична с периодом 1. Как следствие,
В2(0) = В2(1) =... = В20") =В20* +1) =... Интегрируя по частям, получаем
$ B1(jc)//(Jc)dx = B2(0)(//0 + l)-//0))- $ B2Wf"Mdx.
j j
Далее предполагается, что fix) имеет достаточно много непрерывных
производных.

§ Г. 2. Формула Эйлера—Маклорена
559
Суммируя от j = т до j = п, получаем
ξ ВгМ/'М dx = В2(0)(/'(η) -/'(т)) -$ B2(x)f"M dx. (Г.2.1)
т т
Заметим, что простое выражение в правой части уравнения (Г.2.1) получилось
благодаря периодичности функции B2Qc). Это наводит на мысль, что константу
интегрирования в В2М нужно выбрать так, чтобы получить
1 t+1
$β2(χ)= $ В2(х) = 0.
О t
Пусть г^гМ =^2Μ ПРИ 0< jc < 1, так что В2М = -ζΒ^χ— [χ]). В силу
определения функции В2{х) получаем
В2(х)=х2-х+|,
а это второй многочлен Бернулли. Общая формула Эйлера—Маклорена
содержится в следующей теореме.
Теорема Г.2.1. Пусть f имеет непрерывные производные вплоть до порядка
s. Тогда
Σ/С*) = I /Wd^ + X|(-l)/§{/a-1)(n)-/a-1)(m)} +
m+l ™ i=l
+ Ь1р J Bj(x_ [χ])/&)(χ) dx,
m
где Bs(x) —многочлены Бернулли, α Βχ =Β/(0) — числа Бернулли.
Доказательство. Как и при выводе формулы (Г.2.1), будем
многократно применять интегрирование по частям, получая последовательность таких
периодических функций Вп(х), что
S;(x) = B„-i(x) (0 < jc < 1, л>1)
и
1
$BnQc)dx = 0, п>1.
о
Для этих функций получаем формулу
Σ ДЮ = I /Мах + ^-^гШ/^ЧЮ-^Чт)}^
m+l ™ 1=1
η
+ (-l)s-15BsW/Cs)Wdx.
m
Чтобы выявить связь между BjQc) и многочленами Бернулли, рассмотрим
производящую функцию последовательности {Bz(jc)>:
00
G(x, t) := J]B„(x)tn, где В0(х) = 1. (Г.2.2)
п=0

560 Добавление Г. Формула суммирования Эйлера—Маклорена
Заметим, что при 0 < χ < 1 выполняется равенство
ϋ=Σ^ωί"=Σ5"-ιWt"=tZ5-Wt"=tG·
n=\ n=l n=0
Отсюда получаем
С(х,0=А(0е*. (Г.2.3)
ι _
Поскольку в формуле (Г.2.2) мы имеем § £nQc)djc = 0, из соотношения (Г.2.3)
о
получаем
l=A(t)STl илиЛ(0 = ?^т.
Следовательно,
си, о = й:=ΣΒ» w£ (Γ·2·4)
и
В„(х) = ^р при0<х<1.
Но так как функция Вп(х) периодична,
Вп(х) = ~ВП(х - М) при всех х.
Это формальное рассуждение легко сделать строгим, заметив, что
производящая функция (Г.2.4) аналитична в круге \t\ < 2π. Теорема доказана. D
§ г.з. применения
Положив в формуле (Г.1.3) /(*) = х-1 1η χ, τη = 1 и η = JV, получаем
п=2 1
При Res>l и JV —> оо отсюда вытекает, что
Интеграл в правой части равенства сходится при Res > —1 по признаку Абеля.
Отсюда получаем
Г (0) = -1 - $ —2- dx. (Г.3.1)
ι *
В силу следствия 1.3.3 имеем ζ'(О) = — - 1η(2π). Поэтому константа (Г.1.7) в
формуле Стерлинга равна ~ In(2π).
В качестве другого применения формулы Эйлера—Маклорена докажем
следующую полезную теорему о порядке функций £(s) и ζ' (s) при больших Ims.

§ Г.З. Применения
561
Теорема Г.3.1. Пусть s = a + it. Тогда при 1 —τ-η-τ<σ<2, где А—любая
положительная константа, a \t\ достаточно велико, справедливы соотношения
as) = 0(ln|t|), Г(5) = 0(1п2Н).
Доказательство. В формуле (Г.1.3) положим /Qc) =x~s, m=JV и перейдем
к пределу при η —> оо. Получаем
η=1 Ν
Интеграл имеет порядок 0(\ί\/σΝσ). Заметим, что
|гГ5| = η~σ < n-(1-A/ln|t|) = 0(1/η),
где последнее равенство выполнено при η < \t\. Поэтому при N = [|t|] получаем
00
i(5) = X|o(i) + 0(l) = 0(ln|t|).
п=1
В случае ζ' (s) положим /Qc)=Jt~slnjc и проведем аналогичное рассуждение.
При необходимости см. [295, с. 100]. D
Закончим этот параграф доказательством следующей теоремы,
сформулированной в гл. 1.
Теорема Г.3.2. Пусть zеС\(-оо,0]. Тогда
Доказательство. Рассмотрим следующее выражение для гамма-функции:
Тогда
In Γ(ζ) = lim (z -1) 1η(η +1) - J In Ζ + ι~1 Ι (г.3.2)
где выбрана главная ветвь логарифма в области С \ (— оо, 0]. Взяв в теореме Г.2.1
/(x) = ln^±^=ta(x + z-l)-lnx,
получаем
η
1=1 1=2
т
1=2 I
+ Zj 2j(2j -1) L (π + ζ - i)2j-i ην-ι zV-i J +
+ |[ln(n + 2-l)-lnn-ln2] + ^SB2m(x-M)[(z+x1_1)2m-^]dx.

562 Добавление Г. Формула суммирования Эйлера—Маклорена
Здесь мы воспользовались тем, что Вг =—1/2 и JB2;+i = 0 ПРИ J > 1· Вычислим
первый из указанных интегралов и заметим, что слагаемые, включающие п,
после некоторого сокращения принимают вид
7=1
Вычтем это выражение из (ζ — 1)1η(η + 1) и перейдем к пределу при п->оо.
Выражение в формуле (Г.3.2) стремится к пределу
tarw = (.-i)ta.-.+i+2y^(-fe-i)-
7=1
-^SB2m^-M)[uT^-^]djc· (Γ·3·3)
В силу формул (Г.1.5) и (Г.3.1) получаем
lim [In Γ(ζ) - (ζ -1/2) In ζ + ζ] = £ 1η(2π).
Ζ—»οο Ζ
Отсюда, переходя в формуле (Г.3.3) к пределу при ζ—»<», получаем
1 V1 ВУ 1 ? Д2т(*~М) ^_ Ilq.
bL2jOH) + 2UiJ ?= d*-2ln27r·
;=1 1
С учетом соотношения (Г.3.3) получаем формулу из теоремы Г.3.2. D
§ Г.4- ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ПУАССОНА
В этом параграфе мы сформулируем и докажем важную и полезную формулу из
теории рядов Фурье. Это формула суммирования Пуассона. Она имеет
многочисленные применения, хотя мы отметим лишь немногие. Одним из следствий
формулы Пуассона является формула суммирования Эйлера—Маклорена.
Начнем с результата о рядах Фурье, приписываемого Жордану. Мы говорим,
что функция /(*) имеет ограниченную вариацию на отрезке [а,Ь] (возможно,
бесконечном), если существует такая константа С>0, что для любых точек
хо < χι < — < хп из этого отрезка выполняется неравенство
η
Σ i/(*i)-/c*i-i)i <c.
k=l
Если в качестве отрезка взята вся вещественная прямая, то мы говорим, что
/ имеет ограниченную полную вариацию. Имеет место важное, хотя и легко
доказываемое утверждение: если функция / имеет ограниченную вариацию на
[а,Ь], то f = g — h, где g и h — возрастающие функции на этом отрезке.
Теорема Жордана состоит в следующем. Пусть функция / интегрируема на
отрезке [0,1] и периодична с периодом 1. Если / имеет ограниченную вариацию
на [0,1], то
/(х+)^/(х-) = lim Σ (\ /(0е-**"ЛW.
N->00|n|<N^0 J

§ ГА. Формула суммирования Пуассона
563
Формула суммирования Пуассона содержится в следующей теореме.
Теорема Г.4.1. Пусть функция g интегрируема на оси (—<», <») и имеет
ограниченную полную вариацию. Далее, пусть h —четная положительная
интегрируемая функция, убывающая на [О, оо), причем \g№\ < |h(jt)|. Тогда
g(x + n+) + g(x + n-)
= lim V \g{t)e~2nintdte2ninx. (Г.4.1)
Π=-οο |n|<JV -°°
Доказательство. Из неравенства
Ν-1 Ν
J] |g(x + n)|<|g(x)|+ $ Hx + i)dt
n=-M -Μ
00
вытекает, что ряд £ g(* + Ю абсолютно сходится и определяет периодическую
П=—оо
функцию /Qc) с периодом 1. Но так как функция g имеет ограниченную полную
вариацию, функция / имеет ограниченную вариацию на отрезке [0,1]. По
теореме Жордана имеем
ΙπΚλΛΟ /
|η|<ΛΓ
Далее,
1 1 °°
\ f(t)e~2nint dt = $ J] g[rn + t)e"27cint dt =
0 0-00
» 1 oo m+i oo
= S$S(m + t)<r2"intdt = S S ?(")β"2πίη"ίί"= S g(.u)e-2ninu du.
— 00 0 —00 ΠΙ —00
Суммирование во второй строке можно вынести за знак интеграла по теореме
о мажорированной сходимости. Π
Замечание Г.4.1. Если в теореме Г.4.1 ряд в правой части абсолютно сходится, то
можно написать
£ g(* + n+)+g(*+n-) = £ Г ξ ^Hta* dte2l^\
П=—оо Π=—oo \—oo J
В следующем интересном примере формула Пуассона позволяет связать ядро
Пуассона для верхней полуплоскости, имеющее вид g(x)=y/Qc2 + y2), y>0,
с ядром для единичного круга, имеющим вид (1 — г2) / (1—2r cos χ + г2). Заметим,
что для данной функции g выполняется равенство
5 _i*2+y2
Читатель может это проверить посредством контурного интегрирования или
как-либо иначе. Подставляя это выражение в теорему Г.4.1, получаем
Σ У _ V ^-2пу\п\ 2Шпх _
у2 + (х + п)2 Ζ-· ι-:
1_е-4*у
^-j y2 + (jc + n)2 ^j l-2e-2^cos2^ + e-4^*
П=—oo " П=—oo

564 Добавление Г. Формула суммирования Эйлера—Маклорена
Из теоремы Г.4.1 можно получить и разложение тригонометрических
функций на элементарные дроби. Возьмем 5 > 0 и положим
*(Ηθ, г<0.
Левая часть формулы Пуассона принимает вид
χ, χ целое,
в противном случае.
Правая часть имеет вид
00
Σ^ληύιχ
5 + 2πίη'
п=—оо
При χ = О получаем
*1+1 = 1 + УГ 2 + 1 )
е5-! s Z-jVs + 27rin s-2ninJ'
n=l
Возьмем аналитическое продолжение, полагая s = 2niy:
π ctg πν = - + Vf —τ- + —— \
ό J y £j\y + n y —η)
η=1
Если же положить х = 1/2, то мы получаем
е5-! s AAs + 2nin s-lninr
n=l
Замена s = 2тпу на этот раз приводит к формуле
*csc(rty) = ±+£(-l)»(^ + -^).
Из формулы суммирования Пуассона вытекает важная формула
преобразования тэта-функций, если положить g(x) = e~s7C*2. Эта формула имеет вид
00 00
2 е-Ып+х)* =$-1/2 ^ е-яп2Ле2шп* (Г42)
П=—оо П=—оо
Формула Эйлера—Маклорена получается из формулы суммирования
Пуассона, если положить
»{г
]/(х) приа<х<Ь,
g(*) =
в противном случае.
Здесь предполагается, что а и Ъ — неотрицательные целые числа, а функция
fix) непрерывно дифференцируема на отрезке [а,Ь]. Как следствие, / имеет

Упражнения
565
ограниченную вариацию на [а, Ь], а потому gQc) имеет ограниченную полную
вариацию. Подставим эту функцию gQc) в формулу (Г.4.1). Получаем
Ь-1 Ь
fc=a+l ~>°° |η|<ΛΓ α
b °° b
= § /(О dt + 2 J] ξ /(t) cos 2nnt at. (Г.4.3)
a n=i a
Интегрирование по частям приводит к соотношению
\mcos2nntdt = -\nt)s^^dt.
а а
С другой стороны,
п=1
если только χ не является целым числом (см. упражнение 44 в гл. 1).
Поэтому с учетом теоремы о мажорированной сходимости можно записать
равенство (Г.4.2) в виде
b b
Σ /сю = $ /ω A-BiC/ao-/(a»+ξ /Чдов^*- м)d*.
a<n<b a a
Если функция /(m)Qc) предполагается непрерывно дифференцируемой, то
применение формулы
^^ = пВп_1(х), 0<х<1,
и многократное интегрирование по частям приводит к теореме Г.2.1. О
других применениях и обобщениях формул суммирования, рассмотренных здесь,
читатель может узнать из работы [55].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что в обозначениях и условиях теоремы Г.3.1 выполняется равенство
C,(s) = 0(ln2|t|+).
2. Положим Δ/(0)=/(1)— /(0). Покажите, что если /(дс) — многочлен степени т, то
/(0) = { /(x)dx + J] ^Δ/°-υ(0).
о j=i J
3. С помощью формулы Эйлера—Маклорена докажите соотношение
к-1 к-1
где 0 < θ < 1, а γ — константа Эйлера.
4. Покажите, что существует такая константа С, что
Σ-Γ-sInInx + C + of-r-).
2<п<х

566 Добавление Г. Формула суммирования Эйлера—Маклорена
5. С помощью формулы суммирования Пуассона докажите, что
00 00
—00 —00
6. С помощью суммирования по Пуассону докажите следующую теорему Липшица.
Пусть Rex>0, 0<α<1 и Res>l. Тогда
Π—О П——оо
(Другое доказательство для а = 1 см. в упражнении 37 гл. 2.)
7. Пусть а,Ъ,с — целые числа, причем ас + Ъ четно. С помощью формулы суммирования
Пуассона докажите следующую формулу взаимности для гауссовых сумм:
И-1 /7-т М-1
^ ет(ап2+Ъп)/с _ / £ L«i(|ac|-62)/(4ac) V1 ^(сг^+Ьп)/^
п=0 п=0

ДОБАВЛЕНИЕ Д
Формула обращения Лагранжа
§ Д.1. ОБРАЩЕНИЕ РЯДОВ
В анализе встречаются ситуации, когда известно разложение в ряд функции
у(х), но требуется разложить χ в ряд по степеням у. Ньютон, например,
столкнулся с этой проблемой, когда он получил ряд для arcsinx путем почленного
интегрирования разложения для (1 — х2)~1/2 и хотел найти ряд для sin*.
Некоторые результаты Ньютона по обращению рядов можно найти в его работе [281,
с. 147].
Пусть требуется разложить χ по степеням у, причем χ = у </?(*).
Предположим, что функция φ аналитична в окрестности точки х = 0 и ψ (О) фО. Тогда
00
у = *М*) = ][]апхп, агфО. (Д.1.1)
п=1
Ниже мы увидим, что формула обращения Лагранжа приводит к разложению
·=ϊνη.
п=1
где
Это означает, что пЬп равно коэффициенту при дс""1 в разложении функции
φη(χ) и коэффициенту при дс"1 в разложении функции 1/уп.
Более общим образом, пусть выполнено равенство (Д.1.1) и /(дс) — некоторая
аналитическая функция в окрестности точки дс = 0. Тогда формула Лагранжа
имеет вид
00
n=l
§ Д.2. ОСНОВНАЯ ЛЕММА
Доказательство формулы Лагранжа (Д.1.2) основано на простой лемме,
приведенной ниже. Мы следуем изложению этой темы в статье [164], опирающемуся
на работу [211]. См. также работу [72]. Обобщение обращения Лагранжа на
случай нескольких переменных содержится в работе [167], a q -аналоги
рассмотрены в работе [362]. Историю этой формулы можно найти в неопубликованной
рукописи У. Джонсона, «Notes on the Lagrange inversion formula».
00
Под вычетом формального ряда Лорана /(χ) = Σ ajx* будем понимать
j=-m
Res[/(jc)]=a_!. Следующая лемма утверждает, что вычет не меняется при
определенной замене переменных.

568
Добавление Д. Формула обращения Лагранжа
Лемма Д.2.1. Пусть GQc) = Σ <*j*J и Λ 00 = Σ bixi> где bi ^°· Το^α
j=—m i=l
Res[G(hQc))h'0O] = Res[G(x)].
Доказательство. Так как обе части равенства линейны по G, достаточно
доказать его для GQc) = Jcm. Поскольку Res[gO0] = 0 для любого ряда Лорана
gOO, при тф— 1 получаем
Res[hmQc)h'Q0] = ^ Res[{hm+1 (χ)}'] = 0.
При m = —1 положим h(x) = bxxf (jc). Тогда
Лемма доказана. D
Чтобы доказать равенство (Д-1-2), заметим, что отображение у = агх +
+ а2х2 + ... (где χ — комплексная переменная) конформно в некоторой
окрестности нуля, поскольку агф0,и потому х можно разложить по степеням у. Так
как функция /Qc) аналитична, ее также можно разложить по степеням у. Пусть
/(х) = /(0)+2спу«.
п=1
Тогда
/'(*) = Σ псу""1!.
п=1
00
Пусть G0O = Σ rtcnjcn_1. По лемме Д.2.1 получаем
п=1
Ч^]=**[ψ] - Ч5^] - Ч^] - --
Но ряд Тейлора для /'00уг00 имеет вид
п=0
и потому
Est[e=vw^w)U·
Отсюда следует равенство
что доказывает формулу Лагранжа (Д.1.2).
Имеется следующий вариант формулы (Д.1.2)
η=0

§ Д.З. Тождество Ламберта
569
где у определяется формулой (Д.1.1). Чтобы доказать соотношения (Д.2.1),
заметим, что, так как χ — γφ(χ) = 0, справедливо равенство
или
фг = 1-у»/(х) Ш22)
dx V(x) " W^*ZJ
Взяв производную от формулы (Д.1.2) по х, с учетом равенства (Д.2.2) получаем
Положив FQc) =/'(х)^М, получаем соотношение (Д.2.1).
§ Д.З- ТОЖДЕСТВО ЛАМБЕРТА
С помощью формулы обращения Лагранжа можно получить множество
интересных разложений в ряд для конкретных функций. Несколько примеров приведено
в упражнениях. Здесь мы выведем тождество Ламберта. Оно имеет вид
(1+*)° = 1+£^(°+/"У> (д.з.1)
n=l r
где у = х(1 + х)-Р. Положим /(*) = (1 + х)а и </?(*) = (1 + х)' в формуле (Д.1.2).
Тогда
α+χ)«=ι+Σ £[£ёгс«(1+*)*-1)L0·
п=1
Выражение в квадратных скобках равно
а(п)8 + а-1)...(п)8 + а-п + 1) = а(п-1)!(а+г1ПД"1),
откуда получаем соотношение (Д.3.1). Формуле (Д.2.1) соответствует тождество
п=1
Из формул (Д.3.1) и (Д.3.2) вытекает интересное биномиальное тождество.
Приравняем коэффициенты при уп в обеих частях равенства
(1 + х)"
γ_α+χ)α+ι _ (i+x)e+r+l
1 + х(1-)8) l + x(l-j8)'
Получаем
Г + jSfcv

570
Добавление Д. Формула обращения Лагранжа
§ Д.4- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УИППЛА
Джессел и Стантон показали, как вывести из леммы Д.2.1 формулу
преобразования Уиппла, которую мы получили различными способами в гл. 3 и 7.
Теорема Д.4.1. Пусть AM, В(х\ С(х) и DM —степенные ряды, β которых
коэффициенты при хк равны Ак, Вк, Ск и Dk соответственно. Далее, пусть
(1 - хТаА(хЦ\ - χ)**1) = В(х), (Д.4.1)
(1 + j8x)(l -jc)^C(jc/(1 -χ)***1) = D(x). (Д.4.2)
Тогда если п(]8 +1) = 1 — α — γ, mo
η η
/ i ^kPn-k = 2.J АкСп-к-
к=0 к=0
Доказательство. Вначале заметим, что Res[ n+1 ] равно коэффициен-
п
ту при хп в B(jc)D(jc) = Σ BkDn_k. Теперь положим h(x) = х(1 —χ)"*3-1, так что
fc=0
h'(x) = (1 + j8x)(l -jc)-^"2 и
возрос) _ α+βχχι-χτα-γΑ(χ/α-χγ+1)αχ/α-χ)Ρ+ι) _
γ.Π+1 JTn+1
= (l + jBxjq-xr^^AChWJCChCx)) = A(h(jc))C(h(jc))h7(Jc)
χη+1 №(χ)]π+1
По лемме Д.2.1 получаем
Согласно замечанию в начале доказательства это означает, что
η η
У , Bk^n-k = ^j AfcQi-fc·
fc=0 fc=0
Теорема доказана. D
Чтобы найти преобразование Уиппла для 7F6, вспомним квадратичное
преобразование Уиппла, упомянутое в гл. 2, а именно
Это соответствует формуле (Д.4.1) при α = α и /3 = 1. Преобразование,
отвечающее формуле (Д.4.3), было найдено в работе [36]:

Упражнения
571
Эту формулу можно получить из соотношения (Д.4.3) путем
дифференцирования или непосредственно приравнивая коэффициенты при хп. Чтобы
применить теорему Д.4.1, заметим, что в силу соотношения (Д.4.3) выполняются
равенства
Afc = (a/2)fc((l + a)/2)fc(l + a--b--c)fc(--4)V[fc!a + a-bMl + a-c)fc],
Bfc = (a)fc(b)fc(c)fc/[fc!(l + a-b)fc(l + a-c)fc],
а из формулы (Д.4.4) после переименования параметров получаем
Cfc = ((l-l·d)/2M(2-l·d)/2Ml-l·d-e~/)fc(-4)V[fc!(l + d-e)fc(l-l·d-ЛJ^
Dfc = (d)fc(l + d/2)fc(e)fc(/V[fcIW/2)fc(l + d-e)fc(l + d-/)fc].
Отсюда следует, что
^ЛкСп_к =
(-4)n(d + d)/2)n((2 + d)/2)n(l + d-6-/)nx
n!(l + d-e)n(l + d-/)n
fc=0
у. (a/2)fc((l + a)/2)fc(l + a-b-c)fc(-n)fc(6-d-n)fc(/-d-n)fc
ZjKc!(l + a-b)fc(l + a-c)fc((l-d)/2-n)fc(-n-d/2)fc(e + /-n-d)fc·
fc=0
Теорему Д.4.1 можно применить, если 2n = —a —d. Тогда выражение под знаком
суммы упрощается. Например, — п — d/2 = a/2, и слагаемые, содержащие эти
выражения, взаимно уничтожаются. После упрощения сумма принимает вид
r—n,l + a — b — c,e + a + n,f + a + n9 -Λ
4 3V i + a-b,l + a-c,e + / + a + n ' a
η
Из суммы J] BkDn_k получаем 7F6, и равенство
fc=0
η η
/ , BkDn-k = 2.J ^fcCn-fc
fc=0 fc=0
приводит к теореме Уиппла:
a, 14- a/2, b, с, е + a + n, / + a + n, — π
с a,l + a/2,b,c,e + a + n,/ + a + n,—η . ι^ —
7 6Va/2,l + a-b,l+a-c,l-e-n,l-/-n,Ha + n' J
_ (a + l)n(a + c + / + n)n fl + a-b-c,e + a + n,/ + a + n,-n л
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что
=Σα(α+η, (*β-»τ
π=0
π!
π=1

572
Добавление Д. Формула обращения Лагранжа
2. Покажите формально, что
Найдите достаточные условия справедливости этого равенства.
3. Покажите, что
(а + jc)° = J] jc(jc - kbf-1 ^p (-1)* (а + kb)
ла-к
4. Покажите, что если /_1 (дс) — функция, обратная к /(дс), и /(0) = 0, то при условии
аналитичности соответствующих функций выполняется равенство
5. Покажите, что
μ—ΣΧ?.-,')?.
п=1
гдеу=дс(1+дс)~0.
6. Предположим, что дст+1 + аде — Ь = 0. Покажите, что
_ Ь bm+1 2т + 2 b2m+1 (3m + 2) (3m + 3) b3m+1
X a am+2 2! a2m+3 3! a3m+4 '"
С помощью этой формулы найдите решение уравнения х5 + 4х + 2 = 0 с точностью
до четвертого знака после запятой. При m = 0 этот ряд сводится к геометрической
прогрессии. Запишите эту сумму как гипергеометрический ряд.
7. С помощью формулы обращения Лагранжа найдите производящую функцию для
многочленов Лагерра.

ДОБАВЛЕНИЕ Е
РЯДЫ КАК РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ ЕЛ. ОБЫКНОВЕННЫЕ ТОЧКИ
Для читателей, не знакомых с решением дифференциальных уравнений с
помощью рядов, мы даем первоначальные определения, чтобы сделать доступным
материал по гипергеометрическому уравнению в гл. 2 и по вырожденным
гипергеометрическим и бесселевым уравнениям в гл. 41.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
aw S+ъм %+cWy=°> (Ε·η)
где а(х), Ь(х) и с(х) аналитичны в окрестности точки jc=jc0. Далее χ обозначает
комплексную переменную. Самое простое уравнение возникает, когда а(х0) фО.
В этом случае х0 называется обыкновенной точкой уравнения (Е.1.1).
Нетрудно показать, что если х0 — обыкновенная точка уравнения (Е.1.1), то
(Е.1.1) имеет единственное решение fix) с заданными значениями /(хо)=/о
и /'(*о) =Л> аналитичное в окрестности точки х0. Как следствие, в окрестности
точки х0 имеется ровно два линейно независимых решения. Чтобы это доказать,
удобно разделить уравнение (Е.1.1) на а(х) и переписать уравнение в виде
у" = В(х)у' + СМу. (Е.1.2)
Снова для удобства положим х0 = 0. Тогда
00 00
В(х) = J] Ьпхп, С(х) = J] спхп.
п=0 п=0
Предположим, что уравнение (Е.1.2) имеет аналитическое решение /00,
удовлетворяющее условиям
Д*о)=/о, rUo) = /i.
Тогда
00
/οο=Σ^*η· (EL3)
n=0
Подставим в уравнение (Е.1.2) этот ряд, а также ряды для В(х) и С(х), и
приравняем коэффициенты при хп. Получаем
η η
(η + 2) (η + 1)/η+2 = J](n +1 - k)fn+1.kbk + J] /η_Λ, (Ε.1.4)
fc=0 fc=0
π = 0,1,2,... Это показывает, что /0 и /х однозначно определяют /п при η > 2.
Теперь достаточно доказать, что ряд (Е.1.3) имеет положительный радиус
сходимости. Поскольку ряды для В Μ и С (х) имеют положительный радиус сходимости,
ι См. также книгу [474].

574 Добавление Е. Ряды как решения дифференциальных уравнений
существуют такие константы Μ и R, что
\bn\<M/R\ \cn\<M/Rn.
Покажем по индукции, что для подходящих положительных чисел Мг и г
выполняется неравенство
l/„l <M1/r". (E.1.5)
Отсюда вытекает нужный результат. Возьмем такое Мъ что |/il <М1} и такое
г, что r<R, |/χ | < Мг/г и Μ (г/2 + г2) < 1. Пусть п>2и неравенство (Е.1.5)
выполняется вплоть до п — 1. Тогда неравенство (Е.1.5) выводится из соотношения
(Е.1.4) посредством несложных выкладок.
§ Е.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Если а(дс0) = 0, а b(jc0) и/или с(дс0) не равно нулю, то точка х = х0 называется
особой (сингулярной) точкой уравнения (Е.1.1). Разделим уравнение (Е.1.1) на
α (х) и запишем в виде
у" + d{x)y' + еМу = 0. (Е.2.1)
Сначала рассмотрим простейший случай, когда х0 — особая точка и aQc) имеет
простой нуль в точке х0. Тогда d(x) и е{х) имеют не более чем простые полюсы.
Положим х0 = 0. Тогда
00 00
d(x) = J] dnx\ eW = J] епх\ (Е.2.2)
п=-1 п=-1
Подставим ряд (Е.1.3) в уравнение (Е.2.1) и приравняем коэффициенты, как
выше. Читатель может проверить, что в данном случае мы получаем лишь одно
решение, поскольку значение /0 определяет fn при η > 1. Если при этом ά_λ —
неотрицательное целое число, то этот метод может и не дать решения.
Теперь рассмотрим случай, когда d(x) имеет не более чем простой полюс,
а е{х) —не более чем двойной полюс. Вот простейший частный случай
уравнения (Е.1.1), когда возникает такая ситуация:
а(х) = а2(х-х0)2> Ь(х) = Ъ^х-Xq), с(х) = с0. (Е.2.3)
Существуют два линейно независимых решения, и хотя бы одно из них имеет
вид у = (χ—χ0)μ. Чтобы определить μ, подставим в уравнение (Е.1.1) выражение
для у. Получаем
α2μ(μ -1) + ί>χμ + с0. (Е.2.4)
Если это квадратное уравнение имеет два различных корня, то им
соответствуют два независимых решения уравнения (Е.1.1). Если оба корня равны
(скажем) μΐ9 то мы получаем решение (χ —χ0)μι. Чтобы найти другое
независимое решение, положим у = (х — х0)^ш. Дифференциальное уравнение для
w имеет решение InQc — x0). Значит, второе независимое решение имеет вид
(χ-χ0)μι1η(χ-χ0)·

§ E.3. Регулярные особые точки
575
§ Е.З. РЕГУЛЯРНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Точка jc = jc0 называется регулярной особой точкой для уравнения (Е.1.1), если
существуют оба предела
(х-х0)ЪМ ,. (х-х0)2сМ
*->*0 а(дс) *->*0 а(дс)
Если какой-то из этих пределов не существует, то особая точка называется
нерегулярной.
Разницу между регулярной и нерегулярной особой точкой легче всего
увидеть, рассмотрев уравнение первого порядка, аналогичное (Е.1.1). Регулярная
особая точка возникает, когда
b(jc)/ + c(jc)y = 0, (Е.3.1)
где функции bQc) и c(jc) аналитичны в окрестности точки jc = jc0 и существует
предел
lim (jc — jc0)c(jc)/b(jc).
Если bQc) = (jc —jc0)2 и c(jc) = c0, то функция
yW = Ae-c°/ix-x°)
является решением и имеет существенную особенность при χ = jc0.
В предыдущем параграфе рассмотрен простой случай, когда cz(jc), bQc), c(jc)
имеют вид (Е.2.3). Он показывает, что в регулярной особой точке решения
могут включать нецелые степени jc—jc0. При этом второе решение может иметь
логарифмическую особенность.
Теперь предположим, что х0 — регулярная особая точка уравнения (Е.1.1)
и функция aQc) имеет в ней двойной нуль. Тогда
aQc) = 2αη(*-*ο)η> Ь(дг) = Σ*η(χ-*ο)η> CW = Σ°«(χ"χο)η·
η=2 η=1 η=0
Пусть у = (χ—χ0)μ/(χ) —решение уравнения (Е.1.1). Можно показать, что
уравнение для /(jc) имеет вид
cz(jc)/" + f 2μ J an+1 (jc - jc0)n + b(jc) V +
V n=l J
S 00 00 "V
+1 c(x) +M2]bn+1(x-JCo)n +μ(μ-l)2an+2U-^o)n )/ = 0. (E.3.2)
V n=0 n=0 '
Если теперь μ выбрано так, что
μ(μ - 1)α2 + μb1 + с0 = 0, (Е.3.3)
то уравнение (Е.3.2) принадлежит к тому же типу, что и рассмотренное в начале
параграфа Е.2. В этом случае всегда существует решение вида
00
п=0
если только 2μ + ^/α2 не является неотрицательным целым числом.

576 Добавление Е. Ряды как решения дифференциальных уравнений
Заметим, что квадратное уравнение (Е.3.3) имеет два корня μχ и μ2.
Поэтому могут существовать два решения вида (χ — *ο)μ/(*)· Из уравнения (Е.3.2)
следует, что
Μι - /*2 = 2Μι - (μι + μ2) = 2μλ - (1 - bja2) = 2μλ + Ъг/а2 -1.
Из замечаний в предыдущем параграфе теперь вытекает, что если разность
двух корней уравнения (Е.3.2) не целая, то уравнение (Е.1.1) имеет два неза-
00
висимых решения вида J] fn(x—Χο)η+μ- Однако если μλ — μ2 > 0 — целое число,
п=0
то существует решение такого вида с μ = μτ. Второе решение может включать
логарифмическую особенность.
Уравнение (Е.3.3) называется определяющим уравнением. На практике его
получают, подставляя ряд Σ fn(x~χο)η+μ Β уравнение (Е.1.1) и приравнивая
коэффициенты при самой маленькой степени величины х — х0.
Гипергеометрическое уравнение (2.3.5) имеет три регулярные особые точки:
0,1 и оо. Для вырожденного гипергеометрического уравнения (4.1.3) и
уравнения Бесселя (4.5.1) нуль является регулярной особой точкой, а бесконечность —
нерегулярной особой точкой.

ДОБАВЛЕНИЕ Ж
Эллиптические гипергеометрические функции
(В. П. Спиридонов)
§ Ж.1. ВВЕДЕНИЕ
Настоящая книга в основном посвящена специальным функциям
гипергеометрического типа —обычным гипергеометрическим рядам и интегралам и их
q -аналогам. Незадолго до ее публикации появились первые примеры
гипергеометрических функций нового типа, связанных с эллиптическими кривыми.
За короткий период 2000 — 2004 гг. была построена систематическая теория
эллиптических гипергеометрических функций. Настоящее дополнение посвящено
краткому рассмотрению состояния этой теории к весне 2013 г. По возможности
оно повторяет структуру настоящей книги и в основном опирается на материал
диссертации автора [470] и обзор [473].
Теория квантовых и классических вполне интегрируемых систем сыграла
ключевую роль в открытии этих новых специальных функций. Эллиптическое
обобщение обрывающегося совершенно уравновешенного
сбалансированного q-гипергеометрического ряда 10φ9 при дискретных значениях параметров
впервые появилось в эллиптических решениях уравнения Янга—Бакстера [146],
связанных с точно решаемыми моделями статистической механики [91]. Этот
же обрывающийся ряд с произвольными параметрами возник в работе [359]
как частное решение пары линейных конечно-разностных уравнений, условие
совместимости которых порождает наиболее общую известную (1 + 1)-мерную
нелинейную интегрируемую цепочку типа цепочки Тоды с дискретным
временем. В работе [327] изучен эллиптический аналог гамма-функции Эйлера,
зависящий от двух базисных переменных ρ и q с абсолютными значениями меньше
единицы, который появился еще в восьмивершинной модели Бакстера [51],
а в работе [350] построена модифицированная эллиптическая гамма-функция,
у которой один из базисных параметров может лежать на единичной
окружности. Общие эллиптические гипергеометрические функции определяются
интегралами, открытыми в работе [468], которые качественно отличаются от
обрывающихся эллиптических гипергеометрических рядов. Появление таких
математических объектов было достаточно неожиданным, поскольку ни в
одном справочнике или монографии по специальным функциям не было указаний
на их существование. Однако обобщенные гамма-функции, связанные с
эллиптическими гамма-функциями и составляющие один из ключевых элементов
теории, были сконструированы в старых работах Барнса [46] и Джексона [206].
Наиболее важное известное приложение эллиптических гипергеометрических
интегралов было найдено совсем недавно —они возникли при описании
топологических характеристик четырехмерных суперсимметричных квантовых
теорий поля [106, 151, 355, 356].
Лаборатория теоретической физики ОИЯИ, Дубна.
© В. П. Спиридонов, 2013.

578 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
§ Ж.2. ОБОБЩЕННЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
В начале XX в. Варне [46] предложил многократную дзета-функцию следующего
вида:
£m(s,u;6>)= ]Г (и + ПУ П = П1^1 + - + ПтС0т, Z>0 = 0,1,...,
nb...,nmeZ>0
где и, ω;· е С. Этот ряд сходится при Re(s) > m и при условии, что все переменные
ω; лежат в одной полуплоскости, определенной какой-либо прямой, проходящей
через точку и = 0 (это условие запрещает точки накопления Ω-решетки в
компактных областях). Используя интегральное представление для аналитического
продолжения ζτη по s, Варне определил также многократную гамма-функцию
Гт(и; ω) = exp(d£m(s, и; u>)/ds)|s=0. Она представляется бесконечным
произведением вида
^=>% π' (·+§>£"**. ««β
n1,...,nmeZ>0
где 7mfc — некоторые константы, аналогичные постоянной Эйлера (в работе [46]
использовалась нормировка 7то = 0)· Штрихованное произведение означает,
что точка п1 = ... = пт = Ов нем пропущена. Функция Гт(ц; ω) удовлетворяет т
конечно-разностным уравнениям первого порядка
Гт_г(ц; б>0))Гт(и + ω;; ω) = Гт(и; ω), j = 1,..., т, (Ж.2.2)
где ω(;) = (ω1?..., ω;_1? ω;>1,..., сот) и Γ0(ιι; ω) := 1/u. Функция Γ^ωχχ; ωχ) по
сути совпадает с гамма-функцией Эйлера Г(х). Обычные, q- и эллиптические
гипергеометрические функции связаны с Гт(и; ω) при т = 1, 2, 3
соответственно.
Пусть т = 3 и квазипериоды о>12,з попарно несоизмеримы. Определим три
базисные переменные р, q, re С:
2πϊ^ 2πϊ^ 2πΐ^
q = e ω2, ρ = e ω2, r = e ω*,
q = e ωι, ρ = e ω3, r = e ω3,
где q, p, f обозначают специальные τ ->—Ι/τ модулярно преобразованные базы.
При |р|, |q| < 1 бесконечные произведения
00 00
(^ς)οο = Π(1-2;(ϊά fep,q)oo= Y\a-zpiqk)
корректно определены. Легко проверить равенства [206]
рФ«=1 (£i^ = (2;p)ooj (£LiiP^ = (2;q)oo. (ж.2.з)
(qs;q)oo (qz;q,p)oo r (p*;q,p)oo ^
Нечетная тэта-функция Якоби (см. формулу (10.7.1) в основном тексте)
может быть записана так:
00
0a(U|T) = -i J] (_1)петтСп+1/2Яет(2п+1)и _ ipl/8e-rau(p. p^Q^2niu. р)> ц е с>

§ Ж. 2. Обобщенные гамма-функции
579
где р = е2шЧ. Модифицированная тэта-функция (см. теорему 10.4.1)
0(s;р) := tepD.GMT^p). = ^- ^(-DV^-WV (Ж.2.4)
fceZ
играет ключевую роль в дальнейшем рассмотрении. Она обладает следующими
свойствами:
0(р*; ρ) = 0С2Г1; ρ) = -ζ^θίζ; ρ) (Ж.2.5)
и θ (ζ; ρ) = 0 при ζ = ρ\ fc e Ζ. Обозначим
θ(α1,...,α^;ρ):=θ(α1;ρ)...θ(α^ρ), eCat^jp) := вШ;рЖаГг;р).
Тогда тождество Римана для произведений четырех тэта-функций принимает
вид
в0сш±г, ух±г; р) -вС»*1,уш±г] р) = уш-^Сху^1, и»*1; р) (Ж.2.6)
(отношение левой и правой частей есть ограниченная функция переменной
хеС, и по теореме Лиувилля оно не зависит от х, а при x = w равенство
очевидно).
Гамма-функцию Эйлера можно определить как специальное мероморфное
решение функционального уравнения /(μ + ω^ = u/(и). Соответственно q-гам-
ма-функции связаны с решениями уравнения /(ι/ + ω1) = (1 — e2niu/(°2)f(i0, где
ς = β2πίωι/ω2. При |q|<l одно из решений имеет вид Γς(ϋ) = 1/(β2πί"/ω2;ς)α>,
что дает стандартную q-гамма-функцию (она отличается от функции (10.3.3)
заменой и = ωλχ и некоторым элементарным множителем). Модифицированная
q-гамма-функция («двойной синус», «некомпактный квантовый дилогарифм»,
«гиперболическая гамма-функция» и т.д.), которая остается корректно
определенной и при \q\ = 1, имеет вид
r(U;a>) = exp(- [ a_eJ^a_e^ γ) (Ж-2.7)
где контур R + ιΌ проходит по действительной оси, огибая сверху точку χ = 0
инфинитезимальным образом. Если RefaJ, Re(a>2)>0, то интеграл
сходится при 0<Re(u) <Re(a>1 + a>2). При подходящих ограничениях на u и ω12
этот интеграл может быть вычислен как сходящаяся сумма вычетов
полюсов в верхней полуплоскости. При Ιπι(ω1/ω2) > 0 это приводит к выражению
χ(ι/;ω) = (β2πι"/ωιή;ή)00/(β2πι"/ω2^)00, которое аналитически продолжается на
всю комплексную плоскость и. Эта функция, служащая основным
строительным элементом для q-гипергеометрических функций при |q| = l, не
рассматривалась в настоящей книге и [156]; ее детальное описание дано в статьях
[129, 215, 220, 327, 404] и цитированной в них литературе.
Аналогичным образом, эллиптические гамма-функции связаны с уравне-
НИ6М /Οι + ωχ) = 0(β2πί"/ω*; р)/(ц). (Ж.2.8)
Пользуясь факторизацией (Ж.2.4) и равенствами (Ж.2.3), нетрудно убедиться,
что отношение
ЪР.*-*&* ОВД»

580 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
удовлетворяет уравнениям
Γ(ς«; ρ, q) = 0(ζ; ρ)Γ(ζ; ρ, q), Γ(ρζ; ρ, q) = 0(s; q)r(s; p, q).
Поэтому функция /(u) = r(e2m"/c°2;p,q) дает решение уравнения (Ж.2.8) при
|q|, |р|<1, которое называется (стандартной) эллиптической гамма-функцией
[327]. Ее можно однозначно определить как мероморфное решение системы
трех уравнений: уравнения (Ж.2.8) и уравнений
/0ι + ω2) = /(u), /0ι + ω3) = 0(e2™/^;q)/(u)
с нормировкой
так как не существует нетривиальных троякопериодических функций.
Формула отражения для нее имеет вид Γ(ζ;ρ, q)r(pq/2;;p,q) = l. При р = 0 имеем
r(^;0,q) = l/(2;;q)00.
Модифицированная эллиптическая гамма-функция, корректно
определенная при |q| = 1, имеет вид [350]
G(u; ω) = Γ(β2πί£; ρ, q)r(re~2™£; q, r). (Ж.2.10)
Она дает однозначное решение трех уравнений: уравнения (Ж.2.8) и уравнений
f{u + ω2) = 0(β2πί"/ωι; r)/(u), /(u + ω3) = β"πίβ^(";ω)/0ι)
с нормировкой
Здесь
В22(и',ь>) = + ζ~^ + Ζ"^ +о
Δ>Δ ωχω2 ωχ ω2 6ω2 6ωι 2
обозначает многочлен Бернулли второго порядка, фигурирующий в законе
модулярного преобразования для тэта-функции
θ(β-2πι^; e~2ni%) = e-iB^^e{e2ni^;e2ni^). (Ж.2.11)
Можно проверить [397], что тем же самым трем уравнениям и нормировке
удовлетворяет функция
G(u; ω) = e"f вз.з("^)г(е-2я^. ρ ^ (Ж.2.12)
где \р\, \г\ < 1 и В3,з(ц;ω) обозначает многочлен Бернулли третьего порядка
Поэтому функции (Ж.2.10) и (Ж.2.12) совпадают и их равенство определяет один
из законов SL(3, Z)-группы модулярных преобразований для эллиптической
гамма-функции [132]. Из выражения (Ж.2.12) легко увидеть, что G(u;ci>) остается
мероморфной функцией при ωα/ω2>0, т.е. при |q| = l. Формула отражения

§ Ж.З. Эллиптический бета-интеграл
581
з
для этой функции имеет вид G(a; <u)G(]b\ ω) = 1, а + Ъ=^ cok. При |q|<l и при
k=l
стремлении ρ и г к нулю (т. е. Ιπι(ω3/ω1), Im(co3/co2) -> +») выражение (Ж.2.10),
очевидно, вырождается в модифицированную q -гамма-функцию γ (и; ω).
Представление (Ж.2.12) дает альтернативный способ редукции к γ(μ;ω); строгая
предельная связь такого типа впервые построена другим способом Руджинарсом
[327].
Как показано Барнсом, q-гамма-функция l/faq)^, где z = e2niul(u2 и q —
= β2πιωι/ω2, Ιπι(ω1/ω2) >0, равна произведению
Г2(и; ωα, ω2)Γ2(ϋ-ω2; ωα,-ω2)
с точностью до экспоненты от некоторого многочлена. Аналогично
модифицированная q-гамма-функция γ (и; ω) совпадает с отношением
Γ2(ω1 + ω2 — и; ω)
Γ2(ιι;ω)
с точностью до экспоненты от многочлена. Поскольку
e(z;q) = (z;q)Q0(qz~1;q)00,
по существу Г2(ц; ω)-функция представляет собой (в смысле числа точек
дивизора) «четверть» θ1(ϋ/ω2|ω1/ω2)-φ}ΉΚ4ΗΗ Якоби. Соответственно можно
рассмотреть уравнение (Ж.2.8) как композицию четырех уравнений на Г3(и; ω)
с различными аргументами и квазипериодами и представить эллиптические
гамма-функции как отношения четырех гамма-функций Барнса третьего
порядка с некоторым простым экспоненциальным множителем [147, 350]. Некоторые
другие важные результаты для обобщенных гамма-функций получены в работах
[275, 302].
§ Ж.З- ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ БЕТА-ИНТЕГРАЛ
Для работы с эллиптическими гипергеометрическими интегралами удобно
пользоваться компактными обозначениями
Г(аь ..., ak; р, q) := Г(аа; р, q)...Γ(α^ ρ, q),
rft^1; ρ, q) := T[tz\ p, q)r(te"1; p, q),
nz±2; p, q) := Γ(ζ2; ρ, ς)Γ(2Γ2; ρ, q).
Начнем рассмотрение с эллиптического бета-интеграла, открытого автором
в работе [468].
Теорема Ж.3.1. Возьмем восемь комплексных параметров tp j = l, ..., 6,
б
и Р> Ч> удовлетворяющих ограничениям \р\, \q\, |t;|<l и Y\tj = pq. Тогда
;=ι
справедливо равенство
YlntjZ±l;p,q)

582 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
где Τ обозначает положительно ориентированную единичную окружность их =
= (ρ;ρ)α,(ς;ς)οο/(4πθ.
Первое доказательство этой формулы было основано на эллиптическом
расширении метода Аски [24]. Весьма короткое доказательство приведено
в работе [351]. Оно основано на уравнении в частных q -разностях
p(z\ qtl912,..., t5; ρ, q) -ρ(ζ; tlf..., t5; ρ, q) =
= g(q~lz)p(q~lz\, tlf..., t5; p, q) -g(z)p(z; tlf..., t5; p, q),
где p(z;t;p,q) обозначает ядро интеграла, поделенное на правую часть
равенства (Ж.3.1) с параметром t6, замененным на pqltl...ts, и
5 5
giz) = - 5 7.
n^ctitbP) θ(ζ2,ζΠ^ρ)
fc=2 ;=1
Если поделить указанное уравнение на ρ {ζ; t; p, q), то возникнет специфическое
тождество для эллиптических функций. Аналогичное р-разностное уравнение
получается после перестановки ρ и q. Вместе они показывают, что интеграл
τ
удовлетворяет уравнениям I(qtl312,..., t5) = Kpti, t2,..., t5) =/(t). Чтобы
убедиться в этом, необходимо проинтегрировать уравнения на p(z;t;p,q) no Z6T
5
при условиях |tfc|<l, fc = l, ..., 5, и ΠΙ^Ι-ΗρΙ» |q|. При несоизмеримых р
k=l
и q инвариантность относительно растяжений на эти параметры доказывает,
что аналитически продолженная функция J(t) не зависит от ta и тем самым
является постоянной, не зависящей от всех параметров t;. Переходя к такому
специальному пределу по параметрам t;, что значение интеграла
асимптотически дается суммой вычетов фиксированной пары полюсов (см. ниже), можно
найти значение этой постоянной.
Эллиптический бета-интеграл (Ж.3.1) дает самую общую известную
точную формулу однократного интегрирования, обобщающую бета-интеграл
Эйлера. При р->0 возникает интеграл Рахмана [297] (см. теорему 10.8.2),
переходящий при обращении в нуль одного из параметров в известный q
-бета-интеграл Аски—Вильсона [32] (см. теорему 10.8.1). Биномиальная теорема
lF0(a;x) = (l — x)~a (см. формулу (2.1.6)) была доказана Ньютоном, а q-бино-
миальная теорема \ψ^{Χ\ q;x) = (tx; q)o>/(x; q)<x> (см. раздел 10.2) была доказана
Гауссом и несколькими другими математиками. Эти формулы представляют
простейшие тождества для обыкновенных и q-гипергеометрических функций.
На эллиптическом уровне эту роль играет точное вычисление эллиптического
бета-интеграла, т. е. формула (Ж.3.1) может рассматриваться как эллиптическая
биномиальная теорема.
Заменим в формуле (Ж.3.1) Τ на контур С, который отделяет
последовательности полюсов, сходящихся к нулю по точкам z = tjqkpm, k, meZ>0, от их
партнеров, возникающих после замены ζ —> 1/ζ и уходящих на бесконечность.

§ Ж.З. Эллиптический бета-интеграл
583
Это позволяет снять ограничения |t;| < 1 без изменения правой части формулы
5
(Ж.3.1). Подставим теперь t6 = pq/A, А = П^ и предположим, что |tm|<l,
s=l
m = l, ..., 4, |pt5|<l<|t5|, |pq|<|A| и что аргументы ts, 5 = 1, ..., 5, и ρ, q
линейно независимы над Ζ. Тогда справедливо следующее равенство [395]:
x\AEiz,t)^ = x\AE(z,t)^+c0(t) J] vn(t), (Ж.3.2)
|t5qnl>l,
n>0
где
и
AE(z,t) = m=1
ΠΠί^ίρ,ς)
Πζ^,Λζ^ρ,ς)
4
nr(tmtf;p,q) дг,2я2„.п-, 5
c^-nq\At^p,qr '"(-)-1^ГПё(Щ(!·
5
Здесь мы ввели новый параметр t0 с помощью соотношения Y\ tm = q и исполь-
m=0
зовали эллиптический символ Похгаммера
n_1 " k
(указанное отношение гамма-функций определяет Θ(0Π при любых пеС).
Множитель χ в коэффициенте с0 отсутствует благодаря соотношению
lim(l — ζ)Γ(ζ;ρ,α) = 7 гт—т~
и удвоению числа вычетов, возникающему из-за симметрии ζ-^ζ-1.
В пределе при t5t4-^q"N, NeZ>0, интеграл по контуру С (равный правой
части равенства (Ж.3.1)) и множитель c0(t) перед суммой вычетов расходятся,
в то время как интеграл по единичной окружности Τ остается конечным.
Разделив все члены на c0(t) и перейдя к предельному равенству, мы получаем
формулу суммирования Френкеля—Тураева
θ№> hh> hh>
АЛ
"=0 Ul^tgts' h > t2 > t3 )N
впервые доказанную в работе [146] совершенно другим способом. При N = 0 это
равенство тривиализуется и доказывает, что интеграл, рассмотренный ранее,
/(0 = 1. При ρ —> 0 и фиксированных параметрах равенство (Ж.3.3) редуцируется
к сумме Джексона для обрывающегося 8у>7-ряда (см. упражнение 16 в гл. 10
и формулу (12.3.5)). Подчеркнем, что все тождества для обрывающихся
эллиптических гипергеометрических рядов, подобных тождеству (Ж.3.3), представляют
собой соотношения для обыкновенных эллиптических функций, т.е. в них
не используется принципиально новых специальных функций, в отличие от
тождеств для эллиптических гипергеометрических интегралов.

584 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
§ Ж.4- ОБЩИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение общих эллиптических гипергеометрических рядов и интегралов
было предложено и детально изучено в работах [348] и [350] соответственно.
Так, формальные ряды ^] сп называются эллиптическими гипергеометрически-
ми рядами, если cn+l=h(n)cn, где h(n) — некоторая эллиптическая функция
переменной η еС. Это определение неявно содержится в рассмотрениях работы
[359]. Хорошо известно [439], что произвольная эллиптическая функция h(u)
порядка s +1 с периодами ω2/ωα и ω3/ωα может быть представлена в виде
к=\
Равенство h(u + ω2/ωα) = h(u) очевидно, а периодичность h(u + ω3/ωα) = h(u)
приводит к условию балансировки
s+l s+1
гъ=гк
Благодаря факторизации h(n) для определения коэффициентов сп достаточно
решить уравнение ап+1 = 9(tqn;p)an, которое приводит к эллиптическому
символу Похгаммера ап = θ(ΐ)ηα0. Теперь не составляет труда вывести явный вид
формального двустороннего эллиптического гипергеометрического ряда
neZ fc=i κ η
где выбрана нормировка с0 = 1. Положив ws+1=q, ts+1 = t0, получаем
односторонний ряд
E(to,h,...,ts )= V ^оД!,···,^ „ ( }
neZ>0
Для фиксированных t; и ш;, в пределе при р—>0 функция S+1ES переходит
в базисный q-гипергеометрический ряд 5+ιψ5, удовлетворяющий условию
П«.-«П'
к=0 к=1
Бесконечные ряды (Ж.4.2) в общем случае не сходятся, и поэтому мы будем
подразумевать, что они обрываются благодаря условию tk = q~NpM для некоторого к,
где Ν € Ζ>0, Μ € Ζ. Для рассмотрения ряда вопросов удобна аддитивная система
обозначений для эллиптических гипергеометрических рядов (см., например,
гл. 11 в книге [156] или работу [470]), но мы ее опускаем.
Ряд (Ж.4.2) называется вполне уравновешенным, если t0q = tlwl =... = tsws.
В этом случае условие балансировки принимает вид t1...ts = ±q(s+1)/2tQ α ,
а функции h(u) и s+lEs становятся инвариантными относительно замен tj-^ptj,
; = 1, ..., 5 — 1, и t0-+p2t0. При нечетных 5 и при условии балансировки
вида t1...ts = +q(s+1)/2toS_1)/2 возникает симметрия t0-+pt0 и s+lEs становится

§ Ж А. Общие эллиптические гипергеометрические функции 585
эллиптической функцией всех свободных параметров lnt;, j =0, ..., 5 — 1, с
одинаковыми периодами (такие функции назывались в работах [348, 470]
полностью эллиптическими). При выполнении четырех дополнительных ограничений
^-3 = 9^ ts_2 = -q1/to, *5-1 = <1у/*о/Р, ts = -qjpt^, связанных с удвоением
аргумента тэта-функций, ряды называются совершенно уравновешенными. В
работе [349] введены специальные обозначения для совершенно уравновешенных
эллиптических гипергеометрических рядов:
f t0)tli...its^iq^i-qy/^iqy/to/pi-qy/pt^ \
SVqt0/t1,...,qt0/ts_4, ^,-^,Jpt^,-y/tJp' ' ' J
= Σ 4£w Π <RekWn =: s+1Vs(t0; tlf.... W q, p;y), (Ж.4.3)
s-4
где условие балансировки имеет вид Y\ tk = ±t^ ' q(s_7)/2 и для нечетных
s подразумевается выбор положительного знака для сохранения симметрии
t0-+pt0. При значении аргумента у = 1 он опускается в обозначениях рядов.
Таким образом, формула суммирования (Ж.3.3) дает замкнутое выражение для
обрывающегося 10V9(t0; tlf..., t5; q, р)-ряда.
Контурные интегралы § A(u) du называются эллиптическими гипергеомет-
с
рическими интегралами, если функция Δ (и) удовлетворяет системе трех
уравнений
Δ (и + ω*) = hfc(u)A(u), k = 1,2,3, (Ж.4.4)
где ωα2)з €С — попарно несоизмеримые параметры, a hk(u) — некоторые
эллиптические функции с периодами ω^+1, ω^+2 (мы полагаем ω^+3 = ω^). Можно
ослабить требование (Ж.4.4), оставив только одно уравнение, но тогда
возникает функциональная свобода в выборе Δ (и), которую надо фиксировать
каким-либо другим способом.
Опуская детали рассмотрения из работ [350, 470], приведем общий вид
допустимых функций Δ (и). Предположим, что эта функция удовлетворяет
уравнениям (Ж.4.4) для fc = 1, 2, где
^4 0α;β2™/ω2;ρ) Λ 0α>-2πί"/ωι;τ)
Ίιω=7ι|_1θ(^2πί,/ω2;ρ), Ί2ω=72ΐ_μ(^_2^/ωι.Γ),
s s l l
где |р|, |r| < 1 и Π fj = Π ш;' ПН; = Π &j- Пусть |q| < 1, тогда наиболее общая
; = 1 ; = 1 ;=1 ; = 1
мероморфная функция Δ (и) имеет вид
«а-пr(t^:p,q)пЩе~22;й'г)ίι^^ <*«*>
У Г(ш;е2т^;р)Ч) }=} Г№,е-2,п=Г;&г) {={ 0(b,e2m^;q)
параметры d€C и meZ>0 произвольны, a afc, i>fc, с связаны с уг и у2 соот-
m
ношениями у2 = е""2 и У1 =β0ωι Π ^fc0^1 · При этом оказывается, что функция
Jfc=l

586 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
h3(u) не может быть произвольной — она фиксируется выражением для ядра
интегралов (Ж.4.5).
При |q| = l в формуле (Ж.4.5) необходимо выбрать l=s и подобрать
параметры так, чтобы Г-функции комбинировались в модифицированную
эллиптическую гамма-функцию G(u; ω) (именно так она и была построена в работе
[350]):
nG(u + g.;<«>) ,,
*;> 'cu+d (Ж46)
G(u + ia;<u) '
где параметры g;, Vj связаны с t;, ш; соотношениями tj=e2mg^oj2, Wj=e2mv^oj2,
а yl2 =eC0J}·2. Интегралы § A(u) du с ядрами указанного вида являются эллипти-
с
ческими аналогами функции Мейера. Более общие тэта-гипергеометрические
интегралы построены в работе [350], но мы их здесь не рассматриваем.
Ограничимся случаем, когда в формуле (Ж.4.5) I и т равны 0.
Соответствующие интегралы называются вполне уравновешенными, если tlwl =... = tsws =pq.
Условие совершенной уравновешенности дополнительно фиксирует восемь
параметров ts_7, ..., ts = {±(pq)1/2, ±q1/2p, ±p1/2q, ±pq} и приводит к удвоению
аргумента эллиптической гамма-функции:
5
j=s-7 '*'*
Наиболее интересны совершенно уравновешенные эллиптические
гипергеометрические интегралы с четным числом параметров
2т+6
Π ηψ^-,ρ,ς) 2т+6
Iмь...., w = χ s j=1r(2±2;iM) γ, Π <> = wm+1> (ЖА7>
с |t;|<l и «правильным» знаком в условии балансировки. Они являются
интегральными аналогами 5+1У5-рядов с нечетным 5, «правильным» условием
балансировки и аргументом у = 1 в том смысле, что эти ряды возникают как
суммы вычетов определенных последовательностей полюсов ядра J(m). Отметим,
что /(0) совпадает с эллиптическим бета-интегралом.
Свойства эллиптических функций объясняют происхождение известных
ранее гипергеометрических понятий балансировки, вполне уравновешенности
и совершенной уравновешенности. Однако строго говоря, эти понятия
последовательно определены только на эллиптическом уровне, так как существуют
предельные переходы к таким q -гипергеометрическим тождествам, в которых
они уже не сохранены [300, 349, 409]! Факт однозначной фиксации условия
балансировки для рядов (Ж.4.3) с нечетным 5 и интегралов (Ж.4.7) (в интересных
приложениях встречаются именно эти случаи) показывает неразрывную связь
между «эллиптическим» и «гипергеометрическим» классами специальных
функций. Многократные эллиптические гипергеометрические ряды и интегралы
определяются аналогично однократному случаю—для этого необходимо
использовать системы разностных уравнений для ядер с коэффициентами,
эллиптическими по всем переменным суммирования или интегрирования [348, 350], что

§ Ж. 5. Эллиптический аналог гипергеометрической функции Эйлера—Гаусса 587
является естественным обобщением подхода Похгаммера и Хорна к функциям
гипергеометрического типа (см. настоящую книгу, а также [443]).
§ Ж.5- ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ АНАЛОГ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
ЭЙЛЕРА—ГАУССА
Возьмем восемь параметров tl9 ..., t8€C и две базисные переменные р, q€C,
8
удовлетворяющие ограничениям \р\, \q\ < 1 и ]~| tj=p2q2 (условие балансиров-
7=1
ки). При всех \tj\ < 1 эллиптический аналог гипергеометрической функции
Эйлера—Гаусса 2F\ (α, b; с; χ) (см. гл. 2) определяется интегральным представлением
[470]
ΠΠ^ρ,ς)
У(0 = V{tl9..., t8; ρ, q) = χ $ ;=1r(2*2;p?q) f, (Ж.5.1)
т.е. выбором т = 1 в выражении (Ж.4.7). Отметим, что оно может быть
редуцировано к обоим интегральным представлениям Эйлера и Барнса для 2F\
-ряда. При других допустимых значениях параметров У-функция определяется
аналитическим продолжением выражения (Ж.5.1). При этом нетрудно увидеть,
что У-функция является мероморфной для произвольных значений параметров
tj € С*, которые не приводят к пинчеванию контура интегрирования. Для того
чтобы убедиться в этом достаточно вычислить вычеты подынтегральной
функции и определить аналитически продолженную функцию как сумму интеграла
по фиксированному контуру и вычетов, возникших при пересечении контура
полюсами. Точнее, Y\ (t;-tfc; ρ, д)ооУ(^) является голоморфной функцией па-
Kj<k<8
раметров [299]. Как показано в работе [472], У-функция имеет сингулярности
типа дельта-функции при определенных значениях t;.
Первым нетривиальным свойством функции (Ж.5.1) является ее редукция
к эллиптическому бета-интегралу при наложении условия tjtk=pq, )фк
(выражение (Ж.3.1) возникает при t7tQ = pq). Очевидно, что У-функция симметрична
по ρ и q. Она инвариантна также относительно S8-rpynm>i перестановок
параметров tj, изоморфной группе Вейля А7. Рассмотрим двойной интеграл
Y\Y{ajz±\bjw±u)p)q)Y{cz±lw±l-ipiq)
с T^i dzdw
Х)2 Γ(ζ±2,ιν±2;ρ,α) ζ w>
4 4
где α;, bj, c€C, |α;|, |b;|, |с|<1 и с2 Y\ a}=c2 \\ b},=pq. Используя формулу
;=1 j=l
(Ж.3.1) для вычисления интеграла по ζ или по w (перестановка порядка
интегрирования разрешена), мы получаем следующую формулу преобразования:
У(0= [~] r(t;tfc,t;44tfc+4;p,q)y(5), (Ж.5.2)
Kj<k<4

588 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
где \tj\, \sj\<1 и
is^p-hj, j = 1,2,3,4,
\sj = ptj, j = 5,6,7,8;
Это фундаментальное соотношение получено автором в работе [350], где
впервые и появилась функция V(t). Оно является эллиптическим аналогом (более
того, интегральным обобщением) преобразования Бейли для четырех необры-
вающихся ιοφ9-рядов [156].
Повторим преобразование (Ж.5.2) еще раз с параметрами s3456,
играющими роль ti,2,3,4' и в конечном ответе переставим параметры t3, t4 с t5, t6. Это
приводит к соотношению »
4
V(t) = [~] Щгм; ρ, q) νίή/h,..., ή/t^ I/5/t5,..., U^t^, (Ж.5.3)
Μ=ι
где Г = tat2t3t4, U = t5t6t7tQ и ΙΓΙ1/2 < |t;| < 1, Ц/р/2 < |t;44| < 1, j = 1, 2, 3, 4. Теперь
мы приравниваем правые части соотношений (Ж.5.2) и (Ж.5.3), выражаем
параметры t; через s; и получаем третье соотношение
V(§)= Π Γ^;ρ,ς)ν(^ρςΛι,...,^ρςΛ8), ΟΚ.5.4)
Kj<k<8
где |pq|1/2 < |s;-| < 1 для всех ;.
Рассмотрим евклидово пространство R8 со скалярным произведением {х, у)
и ортонормированным базисом βί€Ε8, (ег,е;·) = 5у. Корневая система А7
состоит из векторов v = {ei — ej,i^j}. Ее группа Вейля составлена из отражений
x—>Sv(x)=x — 2u{v,x)/{v,v), действующих в гиперплоскости, ортогональной
8 8
вектору 2 е( (т. е. координаты векторов χ = J] х^ удовлетворяют соотношению
ί=1 ί=1
8
2 xt = 0), и совпадает с группой перестановок S8.
i=l
Свяжем параметры функции V(t) с координатами х; соотношениями t; =
8
= β2πι*>(ρς)1/4. При этом условие балансировки подразумевает, что Σ*ί = 0·
ί=1
Теперь нетрудно увидеть, что первое преобразование У-функции (Ж.5.2)
соответствует отражению Sv (x) по отношению к вектору
( 8 4 А
ν=Ι(Σβ'"Σβί)·
V I=5 i=l /
имеющему каноническую длину {ν, ν) =2. Это отражение расширяет группу
А7 до исключительной группы Вейля Е7. Соотношения (Ж.5.3) и (Ж.5.4) были
другим способом доказаны Райнсом в работе [299], где и было указано, что эти
преобразования принадлежат группе Е7.

§ Ж. 5. Эллиптический аналог гипергеометрической функции Эйлера—Гаусса 589
Обозначим через V(qt;, q-1tfc) эллиптические гипергеометрические
функции, смежные с У(0 в том смысле, что параметры t; и tk заменены на qt;
и q~ltk, соответственно. Можно показать, что верна следующая формула связи
для смежных У-функций
t76<it8t^/q; pWdqte, <ГЧ) - (t6 ~ t7) = trf^1; p)V(t), (Ж.5.5)
где (t6 <—> t7) обозначает перестановку параметров в предыдущем выражении
(такое соотношение использовалось уже в работе [468]). Действительно, при
у = t6, w = t7, и χ = q-118 тождество Римана (Ж.2.6) эквивалентно q-разностному
уравнению на подынтегральное ядро У-функции
Π га***1 ;p,q)
совпадающему с (Ж.5.5) после замены У-функций на Δ(ζ, t) с
соответствующими параметрами. Интегрирование этого уравнения по контуру Τ и дает
формулу (Ж.5.5). Подставим теперь преобразование симметрии (Ж.5.4) в формулу
(Ж.5.5) и получим вторую формулу связи для смежных функций
5 5
1А£>Ρ)Πθ[ψ'P)v(«_lt6.*Ы-(t6-»t7) = beg;p) Y\9(t6tk;p)V(t).
fc=l 6 Jfc=l
Подходящая комбинация этих двух равенств дает уравнение
^(t)(l/(qt6, <ГЧ) - I/ft)) + (-h «-» t7) + ϋΦ = О, (Ж.5.6)
где используются обозначения l7(t) = V(t)/r(t6tg1,t7tg1;p, q) и
^frt- ^(tj(qts),t6t8,t8/t6;p) p|g(t7tt/g;p) мчТ>
•"V 9(t6/t7,t7/(qt6),t6t7/q;p)i\ e(tstk;p) · ^^
Подставив tj = e2mg^oj2, можно проверить, что потенциал j4(X) является моду-
лярно инвариантной эллиптической функцией переменных gl9 ..., g7, т.е. он
не меняется при заменах gj—>gj + ω2,3 или (ω2,ω3) —►(—ω3, ω2).
Обозначим теперь t6 = ex, t7 = c/x и введем новые переменные
pfc-c^, κ-ι,...,*, p8-t8, e7-q, ρ2 '
8
В терминах ek условие балансировки принимает стандартный вид Y\ ek =
= p2q2. После замены 1/(0 в формуле (Ж.5.6) на неизвестную функцию /(*)
мы получаем q -разностное уравнение второго порядка, которое называется
эллиптическим гипергеометрическим уравнением [470, 471]:
AW[fiqx)-fW) + Aix-1){nq-1x) -/(*))+ vfW = 0, (Ж.5.8)
8
Цв(екх;р) б

590 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
У нас уже имеется одно функциональное решение этого уравнения
г ΓνΛ _ Viq/iceQ,..., q/jce^, ex, c/x, c/e8; p, q)
flW" Г(с¥7.8)х^8;м) ' (Ж'5'10)
где необходимо наложить ограничения (в предыдущей параметризации)
vH<lt;-l<i,j = i,-,5,
V\M\< 19*41, \q±1t7\,\qtlta\<l,
которые могут быть ослаблены аналитическим продолжением. Другие
независимые решения могут быть получены умножением одного из параметров еъ ..., ε5
и χ на степени ρ или перестановками еъ ..., ε5 с ε6.
Обозначим ek = e2niak/oj2, χ=βΐπίιι/ω2 и F^u; д. ω^ ω^ ω^ :=^χ^ после этих
замен можно убедиться, что уравнение (Ж.5.8) инвариантно относительно
модулярного преобразования (ω2, ω3) —> (—ω3, ω2). Поэтому одно из линейно
независимых решений уравнения (Ж.5.8) имеет вид
F2{u\ α; ωΐ9 ω2, ω3) := Fa(u; α; ωΐ9 -ω3, ω2).
Это же решение получилось бы, если бы мы повторили вывод уравнения (Ж.5.8)
и решения (Ж.5.10) после замены Г-функций на модифицированную
эллиптическую гамма-функцию G(u; ω). Поэтому F2-функция корректно определена и при
|q| = 1. Различные предельные переходы от У-функции и других эллиптических
гипергеометрических интегралов к q -гипергеометрическим интегралам типа
Меллина—Барнса или Эйлера описаны в [470, 471] и намного более
систематически в работах [302, 387, 391, 393].
§ Ж.6. БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА
По аналогии с анализом вычетов для эллиптического бета-интеграла (Ж.3.2)
можно рассмотреть сумму вычетов для выделенной геометрической
последовательности полюсов ядра У-функции по одному из параметров. Это приводит
к совершенно уравновешенному 12УП-эллиптическому гипергеометрическому
ряду, условие обрыва которого обеспечивается специальной дискретизацией
выбранного параметра. Это позволяет из формул связи для У-функций
воспроизвести формулы связи для смежных обрывающихся 12УП-рядов из работ
[359, 360], которые мы опускаем ввиду недостатка места. Например, это дает
следующее частное решение эллиптического гипергеом^трического уравнения
(Ж.5.8):
Rn(x,(l,P) = ΐ2^π( —; —, —, —, —, —,ε6χ, —;q,p), (Ж.6.1)
Vfc8 c1bQ fc2fc8 c3fc8 ^4^8 fc5fc8 x '
8
где ρς/(ε4ε8) = ςΓη, neZ>0 (напомним, что Y\ ek = p2q2). Свойства Rn-функции
k=l
описаны в работе [350] в обозначениях, переходящих в наши после замен
*од,2-> *1,2,з> ^->ε6, U~*4> μ-»ε4ε8/(ρςΟ и Aμ/(qt4)^pq/(ε5ε8).
Уравнение (Ж.5.8) симметрично по еъ ..., ε6. Ряд (Ж.4.3) эллиптичен по всем
параметрам, поэтому функция (Ж.6.1) симметрична по еъ ..., ε5 и любой из этих

§ Ж.6. Биортогоналъные функции гипергеометрического типа 591
параметров можно использовать для обрыва ряда. Перестановка еъ ε2, ε3, ε5 с εβ
приводит к Rn(z;q,p) с точностью до некоторого множителя, не зависящего
от х, благодаря эллиптическому преобразованию Бейли для обрывающихся
12Vn-рядов [146], которое можно получить предельным переходом из равенства
(Ж.5.2).
Те же формулы связи для смежных 12УП-рядов приводят к следующему
трехчленному рекуррентному соотношению для Rn(x; q,p) по номеру п:
(*(*) - an+1)p(Aqn_1/^8)(^n+iU; 1, p)-Rn(x', q, ρ)) +
+ (^U)-j8n_1)p(q-n)(Rn_1U;q,p)-RnU;q,p)) +
+ 5(z(x) - s(s6))RnQt; q, p) = О, (Ж.6.2)
й(г II 3£i jt_ j*_ _qt_ q2^±1. л
... UV'eBt> e8t> ειε2> ε2ε3> £ιε3> Α >ρ)
p(0 = a Тл >
ь(<£ ч till. Λ
5 = q(^£i Λ ? <L ε л±ьр)
V Α ε1ε8 ε2ε8 ε3ε8 J
Здесь Α = ε1ε2ε3ε6ε&, а ξ и η — произвольные калибровочные параметры, ξ φ
ΦV±1Pky keZ. Начальные условия R_a =0, R0 = 1 обеспечивают, что вся
зависимость от переменной χ есть только зависимость от ζ Μ и что Rn(x) является
рациональной функцией от z(x) с полюсами в точках аъ ..., ап.
Эллиптическое гипергеометрическое уравнение для Rn-функций может быть
записано в виде обобщенной задачи на собственные значения Q1Rn = Xn@2Rn
для некоторых q-разностных операторов второго порядка ©a 2 и дискретного
спектра Яп [350]. Обозначим через ψλ решения абстрактной спектральной
задачи ^λψχ = λ$2φλ, а через ψλ — решения уравнения ®[г/>я = А©£г/*я, где ®[2
являются сопряженными операторами по отношению к некоторому скалярному
произведению (ψ\φ), т.е. {β[^φ\ψ) = (Ψ№ι,2ψ)· Тогда
0= <VvJ(0i-A»2)Va) = (μ-λ)(»2τ^μ1νλ>,
т.е. функция ©Ji/ίμ ортогональна ψλ при μφλ. Как показано Жедановым в
работе [435] (см. также [359, 360]), этот простой факт может служить основой для
формулировки теории биортогональных рациональных функций, обобщающих
ортогональные многочлены. Аналогом ©Ji/jm для Rn(z;q,p) служат функции
№q,p) = 12vn(f; f f ^λ ^, /J-, /ξ-;* ρ), (ж.6.3)
ν q ελ ε2 ε3 χ ε^ε8 ε5ε8 j
являющиеся рациональными функциями от ζ {χ) с полюсами в точках βΐ9 ..., βη.
Обозначим
Rnm{x) = Rn(x; q, p)Rm(x; ρ, q) и Tnm(x) = Гп(х; q, p)Tm{x; p, q),
где все 12Уп-ряды одновременно обрываются благодаря модифицированному
условию обрыва εΛε8 = ρπι+ιςη+1, τι, meZ>0. Функции Rnm являются решениями
уже не одной, а двух обобщенных задач на собственные значения,
отличающихся перестановкой ρ и q.

592 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
Теорема Ж.6.1. Выполняется следующее соотношение двухиндексной
биортогональности:
χ $ TnlMRmkM **x±2j Αχ±1. ΡίφΤ = Ki5mn5kh (Ж.6.4)
где S = {1,2,3,6,8}, CmnW обозначает контур, отделяющий
последовательности точек 6jpaqb 0 = 1, % 3, 6), e8pa"V"m, pa+1~V+1~n/A a, beZ>0, от их
χ —> х~г партнеров, а нормировочные константы имеют вид
11Γ(Αε;· ,p,q)
9(A/qe8; p)fl(q, qg6/g8> gig2> gig3, g2g3> Ag6)n<T"
n q'P e(Aq2n/qe8; ρ)θ{1/ε6ε8, ελε6, ε2ε6, ε3ε6, Α^εβ, Α/ςε8)η '
Эта теорема была доказана в работе [350] прямым вычислением интеграла
в левой части с помощью формулы (Ж.3.1). Появление двухиндексных
соотношений ортогональности для функций одной переменной является новым явлением
в теории специальных функций. Отметим, что только при к = 1 = 0 существует
предел при р —>0 и функции Rn(x;q, 0), Tn(x;q, 0), возникающие при этом,
совпадают с семейством непрерывных 10</?9~биортогональных рациональных
функций Рахмана [297]. Специальный предел при Im(a>3) —> °° в модулярно
преобразованных функциях Rnm и Тпт приводит к двухиндексным биортогональ-
ным функциям, выражающимся через произведение модулярно сопряженных
10у>9-рядов [470]. Специальное ограничение на один из параметров в Rn(x; q, p),
Τη(χ\ q, p) приводит к биортогональным рациональным функциям дискретного
аргумента, полученным Жедановым и автором в работе [359] и обобщающим
функции Вильсона [428]. Все эти функции являются естественными
обобщениями многочленов Аски—Вильсона [32].
Отметим, что RnmM и Тпт(х) представляют собой мероморфные функции
переменной хеС* с существенными сингулярностями при х = 0, оо и только
при к = I = 0 или η = т = 0 они становятся рациональными функциями
некоторого аргумента, зависящего от х. Соотношение биортогональности для самой
У-функции с непрерывнными параметрами было установлено в работе [472].
Биортогональные функции, порожденные трехчленным рекуррентным
соотношением (Ж.6.2) после сдвига η на произвольное (комплексное) число, еще не
изучены. Обобщение описанных «классических» биортогональных функций на
«полуклассический» уровень, связанный с эллиптическими бета-интегралами
более высокого порядка (Ж.4.7), было предложено Райнсом в работе [304].
§ Ж.7- ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ БЕТА-ИНТЕГРАЛЫ НА КОРНЕВЫХ СИСТЕМАХ
Введем аналог постоянной χ для системы корней Сп (или ВСП):
(p;p)I(g;g)I
Хп (2πί)η2ηη\ '

§ Ж.7. Эллиптические бета-интегралы на корневых системах 593
Опишем теперь Сп -эллиптический бета-интеграл, представляющий собой
многопараметрическое обобщение интеграла (Ж.3.1), классифицированный в работе
[396] как интеграл типа I.
ТеоремаЖ.7.1. Пусть η переменныхzb ..., zneTu комплексные параметры
2п+4
h> ---> f2n+4 и Р> ({удовлетворяют ограничениям \р\, \q\, |t;|<l и Y\ tj=pq.
Тогда
2п+4
= Π r(tmts;p,q). (Ж.7.1)
Km<s<2n+4
Формула (Ж.7.1) предложена и частично обоснована ван Диеженом и
автором в работе [396]. Она была доказана различными способами в работах
[299, 351, 465, 470]. В специальном пределе при ρ —>0 она сводится к одной из
формул интегрирования Густафсона [176].
Теорема Ж.7.2. Возьмем комплексные параметры t, tb ..., t^ p и q, огра-
6
ничейные условиями \р\, \q\, \t\, |tm|<l и t2n~2 Y\ tm=pq. Тогда
6
-Ιϊ(β Π r(^tmts;p;q)). (Ж.7.2)
Для доказательства формулы (Ж.7.2) рассмотрим (2п — 1)-кратный интеграл
ι π Y\r(trz?;p,q)
χ Π nt^zfwt;p,q) Π
А 1 ГСш^щ* ,P,q)
Kfc<n-1
5
Π1 s=i ащ άινη_λ άζλ α\ ,ж?3)
5 ЦЛ. """ W„ ι Ζλ '" Z„
с параметрами р, q, t и tr, r = 0, ..., 5, лежащими внутри единичного круга и
5
такими, что tn_1 PI tr = pq. Обозначим интеграл в левой части равенства (Ж.7.2)
г=0
через In(t,ti,...,t5;p,q). Интегрирование по переменным ш; с помощью
формулы (Ж.7.1) приводит выражение (Ж.7.3) к виду Tn(t)In(t,tl,...,ts\p,q)lT(f1')

594 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические фикции
(если обозначить t6 =pq · I t2n 2 Y\ t}A ). В силу ограниченности
подынтегральной функции на контуре интегрирования мы можем поменять порядок
интегрирования. Соответственно интегрирование по переменным Zj с помощью
формулы (Ж.7.1) приводит выражение (Ж.7.3) к виду
(Kr<s<5
т.е. мы получаем рекуррентное соотношение по размерности интеграла п:
In(t,t1;..., t5;p,q) = ^p'S Π Г(^;Ρ'4)4-ιit,№1г..., t^2t5;p,q).
0<r<s<5
Итерируя его с известным начальным условием (Ж.3.1) при п = 1, получаем
формулу (Ж.7.2).
Интеграл (Ж.7.2) предложен ван Диеженом и автором в работе [395] и
классифицирован как интеграл типа II в статье [396], откуда и взято приведенное
доказательство. Это доказательство моделирует вывод интеграла Сельберга,
предложенный Андерсоном и описанный в настоящей книге (см. теорему 8.1.1
и раздел 8.4). Оно представляет собой также прямое обобщение метода Гу-
стафсона [176], использованного при выводе многократного q -бета-интеграла,
возникающего из формулы (Ж.7.2) после выражения t6 через другие параметры,
устранения множителей pq с помощью формулы отражения для Γ(ζ; ρ, q) и
последующего перехода к пределу ρ —> 0. Ряд дальнейших предельных переходов
по параметрам приводит к интегралу Сельберга—одному из наиболее важных
известных интегралов из-за множества приложений в математической физике
[145]. Поэтому формула (Ж.7.2) представляет собой эллиптический аналог
интеграла Сельберга (аналогичное обобщение интеграла Аомото, описанного
в теореме 8.1.2, получено в работе [299]). Она может также интерпретироваться
как эллиптическое обобщение ВСп -тождеств Макдональда—Морриса для
постоянных членов.
По аналогии с одномерным случаем [350] естественно ожидать, что
многократные эллиптические бета-интегралы определяют меру в соотношениях
биортогональности для некоторых функций многих переменных, обобщающих
соотношения (Ж.6.4). В работах [299, 300] Райнс построил первую систему
таких функций на основе интеграла (Ж.7.2). Эти функции обобщают также
ортогональные многочлены Макдональда, Корнвиндера и интерполирующие
многочлены Окунькова. См. также связанную с этим работу [89].
Систематическое исследование предельных случаев эллиптических биортогональных
функций как одной, так и многих переменных проведено в работе [392].
В этом смысле на данный момент результаты, полученные в работах [299, 300],
представляют собой вершину достижений теории эллиптических
гипергеометрических функций многих переменных. В частности, следующее ВСп-обобщение
преобразования (Ж.5.2) было доказано в работе [299]:
/(tb ..., t8; t; q, ρ) = /(slf..., s8; t; q, ρ), (Ж.7.4)

§ Ж.7. Эллиптические бета-интегралы на корневых системах 595
где
8
π г&*;Р,,,о ni1<{<Lr(z"z";p-q)}=f r«?>p>4 z>'
1<;<Ж8
(sj = p-1tj, j = 1,2,3,4,
;;=p t;·, ; = 1,2,3,4, /W^J pqt1""
;;- = pt;, ; = 5,6, 7,8; V P<Jf \ hhhh J J
r<iz;p,q,0= Y\ (l-2*W)(l-2rV+y+y+1)
обозначает эллиптическую гамма-функцию более высокого порядка,
связанную с гамма-функцией Барнса Γ4(ιι;ω). В работе [353] это преобразование
симметрии представлено в виде соотношения «звезда-звезда» для решаемых
моделей статистической механики, а равенство (Ж.7.2) представлено в виде
соотношения «звезда-треугольник», в котором использовалась эллиптическая
гамма-функция еще более высокого порядка, связанная с Γ5(ιι; ω)-функцией.
Имеется около 10 доказанных точных формул для вычисления
эллиптических бета-интегралов на корневых системах. В частности, в работе [350]
автором было предложено три различных интеграла для корневой системы
Ап (два из них выглядят по-разному для четных и нечетных п). В работе
[357] Варнаар и автор нашли еще один Ап -интеграл, который оказался новым
даже при вырождениях на q- и чисто гипергеометрические уровни. Другой
ВСп-интеграл был сконструирован в работах [303, 389]. Очень много новых
многократных эллиптических бета-интегралов и преобразований симметрии
для их обобщений более высокого порядка было предложено в виде гипотез
в работах [355, 356].
Опишем обобщение эллиптического бета-интеграла (Ж.7.2). Возьмем 10
параметров р, q, t, s, tj, Sj, j = 1, 2, 3, абсолютное значение которых меньше 1,
таких, что
з
(tsT^Ylhs^pq,
и определим Ап -интеграл
1Л1ъ t2, h> si> s2> s3> r> s> P> 4) — (π + 1)!(2πΟπ Χ
XS Π Г(гД r-Ч;м) ΠΠ Π^,skzj\p,q) Π if > СЖ.7-5)
где
n+1
1Ъ = '
;=i

596 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
Тогда для нечетных η имеем
п+1 п+1
'п&1^2^з;51»52»5з^;5;Р»9) = г^ 2 ,5 2 ;p,q)x
(п+1)/2 3
х Π Πί^^,^5Λ;ρ,ς) [~] [^Г(а5у-ЧЛ;р,д)х
(п-1)/2/ \
χ Π (r((ts)j;p,q) Π rct^VtitbtV-^Sfcip^)) (ж.7.6)
и для четных п имеем
з
*п(*1> f2> *з; 5ъ 52> 5з; t;*; р> <ΰ = \\ r(t * tf, S25.; ρ, q) χ
π/2 ,
χ rCtS-^^atg, 5 2-1515253; ρ, q) [~] r((ts)'; ρ, q) x
χ[]Γ(ωΗ^;ρ,ς) [~] Г^'"1*^, *8>-\зк;р,4)). (Ж.7.7)
Эти Ап-эллиптические бета-интегралы были открыты автором в работе [350].
Как показано в работе [355], переход к пределу при s—»1 сводит формулу
(Ж.7.6) вычисления интегралов с нечетным η к формуле (Ж.7.2), т. е. мы имеем
обобщение эллиптического интеграла Сельберга из [395, 396]. Наблюдение, что
ВСп-гипергеометрические тождества типа II можно получить из соотношений
типа II для корневых систем А2п-\ и А2п, впервые было сделано в [358] на уровне
многократных q -гипергеометрических рядов. В этой работе была также
высказана гипотеза, что эллиптические биортогональные рациональные функции
многих переменных, связанные с эллиптическими бета-интегралами (Ж.7.6)
и (Ж.7.7), существование которых было предположено автором довольно давно
[350], должны так же обобщать биортогональные функции Райнса [299, 300]
на корневую систему Ап.
В статье [355] было предложено следующее преобразование симметрии для
двухпараметрического обобщения Л2п-1"интегРала (Ж.7.5):
Τ2""1 l*j<k<2n ) к, ) к >У'Ч> j=1 k=1 ;=1 1
= Π ( Г^\*}· ^Щ! Р> Я) Π rMsOmsiS}, sistTtitf, p, q) J x
Kt<j<A m=0 '
x Ι Π r(r\.Ul;P.4) ХППГ( Ут^· VsW'P-η Π if»
(Ж.7.8)

§ Ж.8. Эллиптическое преобразование Фурье и лемма Бейли 597
где
2п
условие балансировки имеет вид
4 4
(502n-2ST = (pq)2, S = Y\sk и T = Y\tk
k=l k=l
и \s\, \t\, \sj\, \tj\, \y/T/Ssj\, I y/S/ftj\<l. Как показано в работе [355], при
s —► 1 эта формула переходит в преобразование Райнса (Ж.7.4) и имеется также
два других подобных преобразования симметрии. Поскольку интегралы (Ж.7.8)
имеют только S^xS^x S2 перестановочную симметрию по параметрам вместо
S8-rpynnbi в формуле (Ж.7.2), эти три преобразования из группы Вейля
приводят не к группе Е7, а к гораздо меньшей группе. Рассмотрение аналогичных
преобразований симметрии для интегралов на системе корней А2п еще не
завершено.
§ Ж.8. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЛЕММА БЕЙЛИ
Цепочки Бейли, открытые Эндрюсом, служат мощным средством вывода
конструктивных тождеств для гипергеометрических рядов (см. гл. 12). Они
описывают преобразования одних последовательностей чисел в другие с помощью
матриц, допускающих явное обращение. Так, наиболее общая цепочка Бейли
для однократных q -гипергеометрических рядов, предложенная в работе [13],
связана с матрицей, порожденной 8у>7-суммой Джексона [70]. Эллиптическое
обобщение этой цепочки для S+1VS -рядов построено в работе [349], но ни оно, ни
его дополнение, описанное в статье [408], не будут рассмотрены здесь. Вместо
этого мы опишем обобщение формализма цепочек Бейли на случай интегралов,
открытое в работе [469].
Определим интегральное преобразование, которое будем называть
эллиптическим преобразованием Фурье,
/3(ш, t) = М(0ш,а(*, t) := ^ \ rit2,z±2;p,q) а{*' °Т' (ЖА1)
где \tw\, \t/w\ < 1 и α (ζ, t) является аналитической функцией переменной z€T.
Для удобства мы пользуемся матричными обозначениями для М-оператора и
подразумеваем, что при его действии по повторяющимся индексам ведется
интегрирование. Будем говорить, что функции a{z,t) и β(ζ,ί), связанные
указанным образом, образуют интегральную эллиптическую пару Бейли по
отношению к параметру t. Интегральный аналог леммы Бейли, позволяющей
строить бесконечное число пар Бейли исходя из заданной пары, в данном случае
выглядит следующим образом.
Теорема Ж.8.1. Пусть a{z,t) и β(ζ,ΐ) образуют интегральную
эллиптическую пару Бейли по отношению к параметру L Тогда при \s\, \t\<l, | y/pqy*11 < \st\

598 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
функции
a\w, st) = D(s; у, w)a{w, t), D{s; у, w) = T{Jpqs-ly±lw±l;p, q), (Ж.8.2)
β\ιν,st) = DCr1; y, w)M(s)wxD(st; y, χ)β(χ, t), (Ж.8.3)
где weT, образуют интегральную эллиптическую пару Бейли по отношению
к параметру st.
Операторы D и Μ обладают замечательными алгебраическими свойствами.
Благодаря уравнению отражения для эллиптической гамма-функции,
Dtr1;y,w)Dtt;y,w) = l.
Как показано в работе [357], при определенных ограничениях на параметры
и контуры интегрирования операторы M{t~l)wz и M{t)wz становятся взаимно
обратными друг к другу. Переходя к интегрированию по реальной
переменной [353, 472] можно воспользоваться обобщенными функциями и получить
Μ (t_1)M (О = 1 в символической записи, в которой «1» означает дельта-функцию
Дирака. Это t —►t"1 обращение напоминает основное свойство преобразования
Фурье, что оправдывает название «эллиптическое преобразование Фурье».
Вторая лемма Бейли, приведенная в статье [469], по существу эквивалентна этому
обращению.
Предполагаемое равенство j84w,sO=M(st)wZa'(2,st) сводится к
операторному тождеству известному как соотношение «звезда-треугольник»
M(s)wxD(st; у, x)M(t)xz = D(f; у, w)M(st)wzD(s\ у, ζ), (Ж.8.4)
которое представлено в обзоре [473] как матричное соотношение (6.5). После
подстановки явных выражений для операторов Μ и D легко убедиться в
справедливости соотношения (Ж.8.4) с помощью эллиптического бета-интеграла,
что доказывает теорему.
Возьмем четыре параметра t= (ta, t2, t3, t4) и рассмотрим операторы
элементарных транспозиций sl9 s2, s3, генерирующих группу перестановок 64:
*i(t) = (t2, tlf t3, t4), s2(t) = (tlf t3, t2, t4), s3(t) = (tlf t2, t4, t3).
Определим теперь три оператора Sa(t), S2(t) и S3(t), действующих в
пространстве функций двух комплексных переменных f(zi,z2):
[S^O/K*!, *2) := M{ti/t2\Jiz, z2), [S3(t)/](*lf z2) := M(t3/t4),2,/(*lf ζ),
[S2(t)/1 («ι, z2) := D(t2/t3, zl9 z2)ft*i> *г)·
Как показано в [102], эти три оператора генерируют группу 64 при условии,
что их последовательное действие определяется с помощью правила коцикла
S;Sfc :=S;(sfc(t))Sfc(t). При этом можно убедиться, что соотношения Кокстера
S;2 = l, SjS^SjSj для |ϊ-;|>1, S;Sj+1S;· = S;+1S;S;41 (Ж.8.5)
эквивалентны алгебраическим соотношениям для операторов, входящих в
лемму Бейли, причем кубическое соотношение эквивалентно равенству (Ж.8.4).
Таким образом, лемма Бейли работ [349, 469] приводит к соотношениям
Кокстера для генераторов группы перестановок [102].

§ Ж.9. Связь с теорией представлений
599
Эта теорема используется аналогично лемме Бейли для рядов: необходимо
взять начальные функции a(z,t) и β{ζ,ΐ), определенные, например, из
формулы (Ж.3.1), и порождать новые пары с помощью описанных подстановок,
примененных к различным переменным. Равенство (Ж.8.1) для этих пар
приводит к дереву тождеств для эллиптических гипергеометрических интегралов
различных кратностей. В качестве иллюстрации приведем одно нетривиальное
соотношение. С помощью формулы (Ж.3.1) легко убедиться в справедливости
рекуррентного соотношения
Π r(tkt,;p,q)
I &!,..., t2m+8) - Γ(ρ2;ρ,ς) Χ
2m+8
Π r(p-\w*;p,q)
XXS'=2m+5r(w±2.p)q) /(m)(t1,...,t2m+4,Pm^Pmu;-1)^, (Ж.8.6)
2m+8
где p^= Π **/(??)» a интеграл J(m) определен формулой (Ж.4.7). После
fc=2m+5
подходящего переобозначения параметров это дает конкретную реализацию
пар Бейли: α ос J(m) и β ос J(m+1). При т = О подстановка явного выражения (Ж.3.1)
для /(0) в правую часть (Ж.8.6) приводит к тождеству (Ж.5.2). Другие
интересные следствия рекурсии (Ж.8.6) (эллиптического аналога формулы (2.2.2))
рассмотрены в работах [470, 472]. Различные обобщения эллиптического
преобразования Фурье (Ж.8.1) на корневые системы и их обращения описаны в статье
[357].
§ Ж.9- СВЯЗЬ С ТЕОРИЕЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Простые гипергеометрические функции связаны с матричными элементами
представлений обычных групп Ли (см., например, раздел 9.14, где рассмотрен
случай многочленов Якоби). Некоторые из q -специальных функций были
интерпретированы аналогичным образом в связи с квантовыми группами. Поэтому
естественно попытаться сконструировать эллиптические гипергеометрические
функции из представлений «эллиптических квантовых групп». Наиболее
сильный известный результат на этом пути получен в работе [321], где
обрывающийся эллиптический гипергеометрический ряд типа I на корневой системе Ап был
сконструирован как матричный элемент сплетателей между копредставления-
ми некоторой эллиптической квантовой группы. Однако вся эта конструкция
крайне сложна, и эллиптические гипергеометрические интегралы еще не нашли
в ней своего места.
Качественно новая теоретико-групповая интерпретация эллиптических
гипергеометрических функций возникла опять из математической физики (см.
статьи [106, 151, 355, 356] и указанную в них литературу). Она напрямую
связывает эллиптические гипергеометрические интегралы с представлениями
обычных групп Ли. Возьмем группу Ли G x F и набор ее неприводимых
представлений, включающий в себя выделенное представление adjG, присоединенное
для группы G и тривиальное для F («векторное» представление). Рассмотрим

600 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
следующую функцию на характерах этой группы:
Пу; Р, q) = S <*μ(ζ) ехр( 2 I ""Up", qn, zn, у") ), (Ж.9.1)
G Vn=i У
где άμ(ζ) есть инвариантная мера (Хаара) для группы G и
ind(p, q, ζ, у) = ffp^I^/adfc (ζ) +
+ 2j (l-p)d-q) (Ж-9-2)
с некоторыми дробными числами г,·. Здесь χ^ο{ζ) и *яс,;0О, ^RfJ (у)
—характеры «векторного» и всех других («киральных») представлений соответственно.
Они зависят от переменных максимального тора ζα, α = 1, ..., rankG, и yfc,
fc = l, ..., rankF.
N
Для G = SU(A0 имеем z = (zlf ...,ζ^Χ Πζ; = 1» и
S d"« = Si S даддс^П
JV-1
Orriz '
SU(N) "■■Tiv-i -=ϊ
где Δ(ζ) = Π &a-zb) и ^suciv),adj(«) = ( Σ zi)( Σ *7* )-!·
Ka<b<JV Vi=l VV;=1 У
Для специальных наборов представлений, входящих в сумму £] в формуле
(Ж.9.2), и некоторых дробных чисел г; формула (Ж.9.1) описывает все
известные эллиптические гипергеометрические интегралы с интересными
свойствами. Она имеет еще более глубокий теоретико-групповой смысл в контексте
теории представлений суперконформной группы SU(2,2|1), где 2η совпадают
с собственными значениями генератора и(1)д-подгруппы («R-заряды») и р, q
интерпретируются как групповые параметры для генераторов, коммутирующих
с выделенной парой суперзарядов (см. следующий пункт).
Возьмем эллиптический бета-интеграл (Ж.3.1) и перепишем его в виде Jlhs =
=Jrhs, где tk = (pq)1/6yk, k = 1,..., 6. Тогда Jlhs получается из (Ж.9.1) для G = SU(2),
F = SU(6) с двумя представлениями: «векторным» (adj, 1) с #Su(2),adj 00 = ζ2 +
+ ζ"2 + 1η фундаментальным (/,/) с Xsvi2),fO)=z + z~l, Г/= 1/6 и
б 6 6
*su(6),/(y) = Σ Λ' *su(6),/00 = Σ-^"1' ΠΛ = 1β
k=l k=l k=l
Указанное ограничение на yk является не чем иным, как условием балансировки
для интеграла в подходящей нормировке параметров, т.е. это пресловутое
условие эквивалентно требованию, что определитель специальных унитарных
матриц равен 1. Для Jrhs имеем G = 1, F = SU(6) с единственным представлением
та'· Φΐ,· = -Φ;ΐ, U J = l, ..., 6, где
*8и(б),гА(У)= Σ yiyi> гтА = 1/3'
Ki<j<6

§ Ж.10. Приложения в математической физике
601
Таким образом, формула для вычисления эллиптического бета-интеграла
доказывает равенство двух функций характеров для различных групп с различными
наборами представлений. Все известные аналогичные соотношения между
интегралами имеют такую же интерпретацию. Поскольку ожидается, что
эллиптические гипергеометрические интегралы определяют автоморфные функции
в классе когомологий группы SL (3,Z), это может означать эквивалентность
двух автоморфных функций, определенных различными способами, что
представляет собой некий новый тип теоретико-групповой дуальности. Физическая
интерпретация этой конструкции дается в следующем пункте.
§ Ж.10. ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Наиболее важное известное приложение эллиптических гипергеометрических
интегралов было найдено в четырехмерных суперсимметричных квантовых
теориях поля, где они возникли как суперконформные индексы.
Для Jf = 1 суперсимметричных теорий полной группой симметрии
является Gfull = SU(2,2|1) xGxF, где^пространственно-временная группа симметрии
порождается элементами Jh Jh i = l, 2, 3 (генераторы SU(2)-подгрупп, или
SO(3,1)-группы вращений Лоренца), Ρμ, Qa, Qa, μ = 0, ..., 3, α, ά = 1, 2
(суперсдвиги), Κμ, Sa, Sa (специальные суперконформные преобразования), Η
(дилатации) и R ([/(1)д-вращения); G является группой локальных
калибровочных преобразований, а F является глобальной группой симметрии ароматов.
Полный набор коммутационных соотношений между этими операторами
приведем например, в работе [355]. Выбрав какую-либо пару суперзарядов, скажем,
Q = Qi и Qt = — Sl9 получим
QQ* + Q^Q = 2Ж, Q2 = (Q1)2 =0, Ж = Η - 2J3 - 3R/2. (Ж.10.1)
Тогда суперконформный индекс (СКИ) определяется следующим способом:
I(y,p,q) =t/(~1)^/2+j3^/2-^3 fIyfcFke-^\ Я =H-R/2, (Ж.10.2)
где & — оператор числа фермионов ((—1)^ — это просто Z2 -градуирующий
оператор в SU(2,2|1)), Fk — генераторы максимального тора группы F, а р, q,
yk, β — групповые параметры. След в формуле (Ж.10.2) берется по пространству
Гильберта (Фока) квантовых полей, образующих неприводимые представления
группы Gfun. Поскольку операторы Я, J3, Fk, Ж, используемые в определении
СКИ, коммутируют друг с другом и с Q, Q1, ненулевой вклад в след может
появиться только от пространства нулевых мод оператора Ж (или пространства
когомологий операторов Q и Q1). Следовательно, зависимости от параметра β
нет. Вычисление этого следа приводит к интегралу (Ж.9.1), где интегрирование
по G отражает калибровочную инвариантность СКИ. Функция (Ж.9.2)
называется индексом одночастичных состояний.
Некоторые суперсимметричные теории поля связаны друг с другом
электромагнитной дуальностью Сайберга [339], которая еще не доказана, несмотря
на множество убедительных аргументов в ее пользу. Равенство СКИ для таких
теорий было предположено Ромельсбергером и доказано в некоторых случаях

602 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
Доланом и Осборном [106] с помощью идентификации СКИ с эллиптическими
гипергеометрическими интегралами. Связанное приложение к топологическим
квантовым теориям поля (в котором используется тождество для некоторого
эллиптического гипергеометрического интеграла из работы [388]) было
найдено в работе [151]. В работах [355, 356] было построено много новых Jf = 1
суперсимметричных дуальностей и предложено очень много новых тождеств
для интегралов, среди которых есть соотношения качественно нового типа
(например, в них используются обобщения интеграла (Ж.7.2) более высокого
порядка с t = (pq)l/K, К = 2,3, ...).
Мы предлагаем в качестве упражнения определить, какое преобразование
эллиптических гипергеометрических интегралов скрыто за равенством СКИ для
оригинальной дуальности Сайберга [339]. В этом случае имеются две теории
с F = SU(M)j χ SU(M)r χ U(l) (здесь U(l) описывает симметрию, сохраняющую
барионное число) и различные калибровочные группы и представления.
«Электрическая» теория имеет группу G = SU(N) и набор представлений, описанный
в приведенной ниже таблице:
SU(N)
/
/
adj
SU(M),
/
1
1
SU(M)r
1
7
1
1/(1)
1
-1
0
1Д1)я
Ν/Μ
Ν/Μ
1
где Ν = Μ—Ν. «Магнитная» теория имеет группу G = SU (Ν) с представлениями,
описанными в следующей таблице:
SU(A0
/
/
1
adj
SU(M),
7
1
/
1
SU(M)r
1
/
/
1
1/(1)
Ν/Ν
-Ν/Ν
0
0
i/(DR
Ν/Μ
Ν/Μ
2Ν/Μ
1
Последние столбцы этих таблиц содержат числа 2η — собственные значения
генератора [/(1)д-группы Я· Нижние строки соответствуют представлению
векторного суперполя, остальные строки описывают киральные суперполя. При
N = 2, Μ = 3 равенство СКИ эквивалентно эллиптическому бета-интегралу, как
это описано в предыдущем пункте. Для произвольных N и Μ СКИ
вычислены в работе [106] (см. также [355]). С физической точки зрения точная
вычисляемость СКИ описывает принципиально важное физическое явление —
конфайнмент цветных частиц в суперсимметричных теориях сильных
взаимодействий. Равенство СКИ представляет собой в настоящее время наиболее
строгое математическое подтверждение дуальностей Сайберга.
В работе [359] была сконструирована дискретная интегрируемая система,
обобщающая цепочку Тоды с дискретным временем. Специальное
эллиптическое решение уравнений этой нелинейной цепочки привело к обрыващемуся
12Уц-ряду в качестве решения пары уравнений Лакса. Вывод этой функции из
автомодельной редукции уравнений движения для некоторой интегрируемой

§ Ж.10. Приложения в математической физике
603
системы отражает суть мощного эвристического подхода ко всем специальным
функциям одной независимой переменной (он подробно описан в работе [470]
на ряде других примеров новых специальных функций, построенных этим
способом). В [218] было показано, что тот же самый ^Уц-ряд возникает как
специальное решение эллиптического уравнения Пенлеве, открытого Сакаи
[330]. Аналогичную роль играют общее решение эллиптического
гипергеометрического уравнения [470, 471] и некоторые многомерные эллиптические
гипергеометрические интегралы [301, 304]. Исходя из квазиклассического
анализа эллиптического бета-интеграла в работе [52] была выведена еще одна
дискретная интегрируемая система.
Первая физическая интерпретация эллиптических гипергеометрических
интегралов была найдена в работах [470, 471], где было показано, что интегралы
на корневой системе ВСп описывают или специальные волновые функции, или
нормировки волновых функций в квантовомеханических многочастичных
моделях типа Калоджеро—Сазерленда. Аналогичным образом можно рассмотреть и
корневую систему Ап. Естественно ожидать, что все суперконформные индексы
связаны с подобными интегрируемыми системами [355].
Другая богатая область применений эллиптических гипергеометрических
функций связана с точно решаемыми моделями статистической механики. Как
упоминалось во введении, эллиптические гипергеометрические ряды появились
в первый раз в виде решений уравнения Янга—Бакстера типа IRF. Из вертексной
формы уравнения Янга—Бакстера естественным образом возникает алгебра
Склянина [467]. Связь эллиптических гипергеометрических функций с этой
алгеброй рассмотрена в [101, 232, 300, 319, 320, 472]. В частности, в [320]
Розенгрен доказал старую гипотезу Склянина о воспроизводящем ядре, а в
[472] был построен эллиптический аналог модулярного дубля Фаддеева [130].
Опишем кратко, как возникает в этом контексте V-функция. Общая
линейная комбинация четырех генераторов алгебры Склянина может быть
представлена в виде [300]
П^(а;+и) П^(а;-и)
А(а) = — е176" + — e-r?du
где а; и rj — произвольные параметры и e±r]duf{u) =/(u ± rj). Операторы
Казимира принимают произвольные непрерывные значения, т. е. в общем случае мы
имеем дело с представлениями с непрерывным спином. Обобщенная задача на
собственные значения
Δ(α, Ь, с, d)/(u; Я, а, Ь; s) = ΑΔ(α, Ь, с', d')f(u; Я, а, Ь; 5),
где s = a + b + c + dHc + d = c' + d', решается точно, и / задается произведением
8 эллиптических гамма-функций. Определим скалярное произведение
(f σ) = χ{ ^(u)g(u) ** z = e2niu = 2πίτ _ Απίη
V>8) κ)ηζ±2.ρ}φ z> * e , ρ e , q e ,
и рассмотрим индуцированную им сопряженную обобщенную задачу на
собственные значения
Δ*(α, Ь, с, d)g(u; μ, α, b; s) = μΔ*(α, b, c'y d')g(u; μ, α, Ь; 5),

604 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
где Δ* определяется из равенства (Af,g) = (f,A*g). Тогда функция
перекрытия двух дуальных базисов с одинаковым s-параметром (/, g) равна V(t) при
соответствующем выборе параметров Г, [472].
Общее решение (ранга 1) уравнения Янга—Бакстера было выведено в работе
[102] в виде интегрального оператора, действующего в пространстве функций
двух комплексных переменных. Общая конструкция работы [101],
алгебраические свойства операторов Sk (Ж.8.5) (включая тот факт, что операторы S13
являются сплетающими операторами для генераторов алгебры Склянина) и
эллиптический модулярный дубль работы [472] сыграли ключевую роль в
этом результате. Операторное тождество леммы Бейли (Ж.8.4) (или кубическое
соотношение Кокстера) эквивалентно соотношению «звезда-треугольник» для
специфических Больцмановских весов, рассмотренному в работе [52]. В статье
[353] построено наиболее общее решение соотношения «звезда-треугольник»,
связанное с гиперболическими бета-интегралами. Кроме того, было показано,
что преобразования симметрии для эллиптических гипергеометрических
интегралов могут быть переписаны в виде соотношения «звезда-звезда» (уравнение
Янга—Бакстера типа IRF), приводящего к новым решаемым моделям
статистической механики на шахматных решетках. Многокомпонентные обобщения
этих моделей также были предложены в этой работе. Общая связь между
различными моделями уставливается с помощью «вершина-грань»-соответствия
для R-матриц. Таким образом возникают новые решаемые модели типа Изинга
для спиновых систем с непрерывными значениями спинов (т.е. двумерных
квантовых теорий поля), объединяющих многие известные ранее примеры.
Свободная энергия на ребро для эллиптической бета-интегральной модели была
вычислена в работе [52]. Согласно Ad/2d -соответствию, установленному в [353],
дуальности типа Сайберга для суперконформных индексов четырехмерных
суперсимметричных теорий поля эквивалентны преобразованиям дуальности
типа Крамерса—Ванье для статистических сумм элементарных ячеек, причем
полная статистическая сумма для двумерной решетки равна суперконформному
индексу определенных квиверных калибровочных теорий.
В качестве последнего примера упомянем интересное приложение
дискретных эллиптических биортогональных функций из работы [359] к случайным
точечным процессам, связанным со статистикой ромбовидных замощений гек-
сагона (или с плоскими разбиениями), описанное в работе [65].
§ Ж.II. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основная часть результатов теории обычных гипергеометрических функций
имеет естественное эллиптическое обобщение, хотя соответствие становится
видным только при достаточно большом числе свободных параметров и
структурных ограничений. Завершим данный обзор перечислением некоторых
других достижений теории эллиптических гипергеометрических функций.
Многократные эллиптические гипергеометрические ряды были впервые рассмотрены
Варнааром [407]. Мы описывали в основном свойства эллиптических
гипергеометрических интегралов, так как многие результаты для рядов являются их
частными случаями и они могут быть получены из анализа вычетов.
Комбинаторный вывод формулы суммирования Френкеля—Тураева приведен в работе

§ Ж.11 Заключение
605
[334]. Различные обобщения этой суммы на корневые системы найдены в
работах [318, 350, 395, 407]. Аналоги эллиптического преобразования Бейли для
многократных рядов описаны в статьях [89, 217, 299, 318, 407]. Разложения
в простые дроби для отношений тэта-функций и связанные с ними тождества
рассматривались Розенгреном [318] (см. также [299, 396, 465]). Такие
разложения играли важную роль в методе доказательства формул точного вычисления
эллиптических бета-интегралов, предложенном в работе [351]. Некоторые
общие свойства эллиптических гипергеометрических членов были рассмотрены
в работе [352]. В работе [354] построена модифицированная эллиптическая
гамма-функция второго порядка и найдена другая форма тождества (Ж.7.4),
имеющая интересную интерпретацию в шестимерной суперсимметричной
теории поля.
Обрывающаяся цепная дробь, порожденная трехчленным рекуррентным
соотношением (Ж.6.2) и условием обрыва типа Рака, вычислена в работе
[360]. Понижающие и повышающие операторы, связанные с рациональными
функциями, обсуждались в статьях [261, 262, 299, 361]. В частности, в работе
[361] было показано, что общий понижающий оператор первого порядка может
существовать только для эллиптических сеток. Систематическое исследование
эллиптических детерминантных формул, связанных с корневыми системами,
проведено в работе Розенгрена и Шлоссера [322]. Детерминанты эллиптических
гипергеометрических интегралов были рассмотрены в работах [350, 465].
Эллиптические тождества Литтлвуда обсуждались в работе [303], в которой было
высказано много гипотез о квадратичных преобразованиях для эллиптических
гипергеометрических функций многих переменных. Некоторые из этих гипотез
были доказаны ван де Балтом [390] (квадратичные преобразования для
однократных рядов выведены в работах [349, 408]). В работе [437] было показано,
что эллиптический гипергеометрический ряд 3Е2 с произвольным степенным
аргументом описывает некоторые многочлены с плотным точечным спектром.
Связь с интерполяцией Паде была проанализирована в работах [261, 361, 436].
Решения различных конечно-разностных уравнений на эллиптических
сетках были рассмотрены Магнусом в работах [261, 262]. Как показано в работе
[356], редукция эллиптических гипергеометрических интегралов на
гиперболический уровень приводит к интегралам состояния для узлов в трехмерном
пространстве. Ограниченные рамки данного обзора не позволяют автору
процитировать ряд других интересных результатов, существенно более детальный
обзор литературы дан в работах [470, 473] и [355, 356].
Итак, эллиптические гипергеометрические функции являются
универсальными функциями с важными приложениями в различных областях математики
и теоретической физики. Они объединяют специальные функции
эллиптического и гипергеометрического типов под одной крышей и делают их жесткими,
уникальными, недеформируемыми объектами, живущими в мире идеальных
тел Платона.
Несмотря на очень большой прогресс в развитии теории эллиптических
гипергеометрических функций, все еще остается много открытых проблем. Они
включают в себя доказательство десятков существующих гипотез о вычислении
или преобразованиях симметрии для интегралов, строгое определение
бесконечных эллиптических гипергеометрических рядов, подробное исследование

606 Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические функции
специфических свойств функций, когда базисные переменные связаны с
корнями из единицы, вычисление необрывающейся эллиптической
гипергеометрической цепной дроби, детальный анализ несамодуальных биортогональных
функций [359] (все еще остающихся самыми сложными известными функциями
такого типа) и построение их многомерных аналогов, поиск
теоретико-числовых приложений этих функций аналогичных рассмотренным в работе [445],
исследование их автоморфных свойств, обобщение на римановы поверхности
более высокого рода и т. д.
Я благодарен Ю. А. Неретину за предложение написать данное дополнение
и Дж. Эндрюсу, Р.Аски и Р. Рою за воодушевленную поддержку этой идеи.
Я признателен также С. О. Варнаару, Г. С. Вартанову и X. Розенгрену за полезные
замечания. Эта работа частично поддержана грантами РФФИ № 05-01-01086 и 11-
01-00980 (совместного с грантом ВШЭ № 11-09-0038) и Институтом математики
им. Макса Планка (г. Бонн).

ДОБАВЛЕНИЕ 3
Индексное гипергеометрическое преобразование
(Ю. А. Неретин)
Как известно, непрерывным аналогом рядов Фурье является преобразование
Фурье. Оказывается, разложение по многочленам Якоби тоже имеет
непрерывный аналог — интегральное «преобразование Якоби» (о терминах см. ниже),
ему и посвящено это добавление. Об этом преобразовании можно сказать
много, но, к сожалению, на сегодняшний день обстоятельного современного
обзора его свойств и его применений в литературе нет, и настоящее добавление
таких целей не ставит. Разные дополнительные факты можно найти в работах
[82, 109, 141, 236, 238, 239, 455, 456, 431].
По аналогии с иерархией гипергеометрических ортогональных многочленов
есть иерерхия гипергеометрических интегральных преобразований (см. [82,
83, 173, 109, 228, 451, 458, 459, 429, 431], о многомерных аналогах говорится
в [84, 185, 257]). Обсуждаемое преобразование не относится ни к самым
простым (скажем, преобразование Ганкеля и преобразование
Конторовича—Лебедева явно проще), ни к самым сложным элементам иерархии. Оно достаточно
просто, чтобы быть относительно гибким спецфункциональным инструментом
(о чем говорится ниже, в § 3.2), с другой стороны, оно «контролирует»
гармонический анализ на гиперболических симметрических пространствах (т. е. на
пространствах Лобачевского и их комплексных и кватернионных аналогах), об
этом немного сказано в § 3.4, подробнее см. [238, 455].
§ 3.1. ИНДЕКСНОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
3.11 Многочлены Якоби
Рассмотрим ортогональную систему Якоби на отрезке [0,1],
^α.βΜ_(-1)"Γ(η + /3 + 1) Γ-η,η + α + jB + l 1
^п W- r(jB + l)n! 21l /3 + 1 'ХУ
Тогда
γ .-\\ρ«>β\\ΐ=\&«>β(χγχβ(1-χ)«(1χ= Γ(η + α + 1)Γ(η + /3 + 1)
Гп —ll^„ II -3^„ W*U Χ) α*-(2π + α + /3 + 1)η!Γ(η + α + /3 + 1)· W-L1J
Для функции /(*) рассмотрим числа («коэффициенты Фурье»), заданные
формулой
ι
с„(Я := S /Ы9?Чх)ха(1-х)рах.
о
Частично поддержано грантом FWF, P22122.
© Ю. А. Неретин, 2013.

608 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
Тогда функция /(*) восстанавливается по формуле
/« = Σ
п=0
Τη
(3.1.2)
Кроме того, верна формула Планшереля
ι °°
$ /ω *(*) χβα - хг <ΐχ=Σ f сп(Л c„(g).
0 п=0 Гп
Разложение по многочленам Якоби имеет аналог, в котором ряды
заменяются интегралами.
3.12. Индексное гипергеометрическое преобразование
Пусть Ь, с>0. Для функции /, определенной на полупрямой [0, оо)? определим
функцию переменной s > 0:
4,/ω = [Яь,с00 = fTf^ IfMiFi^b'+^l-xy^-Hl + x^dx. (3.1.3)
о
Теорема 3.1.1. (i) Оператор Jbc является унитарным оператором
r(b + is)r(c + is)|2
JbjC: L2([0, с»), χ^α + χΫ^άχ) ^L2([0, с»),
Иными словами, верна формула Планшереля
00 00
$ /iWЛй)хь+с-а(1 + x)b"cdx = $ [Ль,с(*)[Ль,с(*)
Γ(2ί5)
ds).
о о
(п) Обратный оператор задается формулой
Г(Ь + 15)Г(с + 15)
Γ(2ί5)
ds.
Г(Ь + 15)Г(с + 15)
Γ(2ΐ5)
ds.
(3.1.4)
Отметим, что утверждение (Н) выткает из утверждения (i), так как для
унитарного оператора U выполнено равенство I/"1 = U*.
Как и в случае преобразования Фурье, возникает вопрос о точном
определении. Можно, например, сказать, что преобразование Jbc определено на
непрерывных функциях с компактным носителем, а далее оно продолжается по
непрерывности до унитарного оператора, определенного в пространстве L2.
3.13. Голоморфное продолжение в полосу
Лемма 3.1.2. Пусть функция f интегрируема на R+ и
f(x) = o(x-a-e), х^+оо,
где ε>0. Тогда функция [f(s)]bc голоморфна в полосе
\lms\ < а — Ъ
и удовлетворяет в ней условию /(—s) = /(5).

§3.1 Индексное гипергеометрическое преобразование
609
Доказательство. Это вытекает из следующей асимптотики для
гипергеометрической функции (см. [119, т. 1, (2.3.2.9)]) при дс—>+оо:
2Fa (Ь + is, Ъ - is; Ъ + с; -χ) = λ^-^5 + X2x~b-[s + 0{х~Ш5~1) + ООГ5-'5"1),
где 2is&Z, а λΐ9 λ2 — некоторые константы (при 2is€Z появляется
дополнительно множитель In x при старшем слагаемом). D
3.14. Операционное исчисление
Обозначим через D гипергеометрический дифференциальный оператор
D := -х(х + D-j-τ - [(с + Ь) + (2Ь + l)x]-j~ + Ь2 (3.1.5)
dxz ax
(мы заменили χ на — χ по сравнению с обычными обозначениями).
Гипергеометрические функции в формуле (3.1.3) суть (обобщенные) собственные функции
оператора D:
_ _rb + is, b-is Ί 2 ~ [b + is,b-is Ί ГГ)1П
Легко видеть, что оператор D формально самосопряжен в следующем смысле:
00 00
$ D/a (χ) · /2(х) xb+c"a(1 + x)b~c dx = $ /α(χ) · D/2(x) xb+c"a(1 + x)b"c dx,
о о
где /i, /2 — гладкие функции с компактным носителем на (0, «>) (на самом деле
он существенно самосопряжен, см. ниже), и наша теорема 3.1.1 есть теорема
о разложении оператора D по собственным функциям.
Теорема 3.1.3. Пусть f, DfeL2, тогда
[Sf(5)]bjC = -52/(5). (3.1.7)
Доказательство. Это перефразировка формулы (3.1.6). D
Теорема 3.1.4. Пусть функция / на R+ непрерывна и удовлетворяет
условию
/00 = оОГ5"1-*); χ -> +оо. (3.1.8)
Тогда
[xfmb,c = PUMh,c, (3.1.9)
где разностный оператор Pg задан формулой
W = Mfl«*0-f(»g|«.-0-« (MX)
Замечание 3.1.1. Отметим три забавных особенности данной теоремы.
1. Оператор Ρ есть разностный оператор, но сдвиг s*-*s + i производится в мнимом
направлении, а интегрирование идет вдоль вещественной оси.
2. Преобразование J^] переводит оператор Ρ в оператор умножения на функцию
х, т.е. наш оператор J~] задает спектральное разложение разностного оператора Р.
См. несколько примеров спектральных разложений разностных операторов мнимого
направления в [278, 173].
3. Оператор Ρ похож на разностные операторы, связанные с ортогональными
многочленами Вильсона, Хана, Мейкснера—Поллачека, см. (6.10.6), (6.10.9), (6.10.12) и
упражнение 6.37 в). Рациональные коэффициенты оператора Ρ «сцеплены» с гамма-мно-
жителями в формуле (3.1.4).

610 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
Доказательство. Это сводится к проверке тождества
b + c ' χ\-χ24 b + c
вд[ь+?+ьГ^-*]-*л[ь+?+ьГ|,;-4
Теорема 3.1.5. Пусть функции f и /' непрерывны и удовлетворяют
условиям убывания (3.1.8). Тогда
[x(x + D^/]bic = H|/]biC> (3.1.11)
где разностный оператор И задан формулой
„ , Л (b — is)(b + l — is)(c — is) f f . .. , ΛΛ .
Η*ω = —(-ада-ад—(g(s+° "g(s))+
, (b + 1*5) (Ь + 1 + 15) (C H- IS) , , .. , ΛΛ /ι , л / л /ό-ι-ιολ
+ (+2to)(l + 2is) fe&-i)-g(s))-(b + c)s(5). (3.1.12)
Доказательство. Мы можем вычислить Jbc-o6pa3 коммутатора [x,D]. Π
3.15. Исторические замечания
Преобразование Ji/2,i/2 было введено Ф. Г. Мелером [264] в 1881 г. Он же без
доказательства написал формулу обращения (надо сказать, совсем не
очевидную). Доказательство было опубликовано В. А. Фоком [476] в 1943 г., само
преобразование Ji/2,i/2 B итоге называется преобразованием Мелера—Фока. Общее
преобразование Jbc было введено Германом Вейлем в 1910 г. в работе [420] по
спектральной теории дифференциальных операторов, но этот результат, видимо,
не привлек к себе никакого внимания. Снова это преобразование «появляется
на поверхности» в книге Е.Титчмарша [382] в 1946 г. В 1949 г. оно было
переоткрыто Μ. Η. Олевским [462], по-видимому, в связи с его исследованиями
по многомерным пространствам Лобачевского.
Наиболее употребительные термины, используемые для
Jbc,—преобразование Олевского и преобразование Якоби (термин введен Т. Коорнвиндером).
§ 3.2. ПРИЛОЖЕНИЯ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ
Наша первая цель — вычислить явно индексные преобразования для некоторых
функций. Это сделано в п. 3.2.2 с помощью преобразования Меллина. Далее в
п. 3.2.3 — 3.2.4 мы демонстрируем эффективность индексного преобразования
как инструмента теории спецфункций.
3.2.1 Преобразование Меллина
Напомним, что преобразование Меллина функции fix), определенной на луче
χ > 0, задается формулой
F(s) = Л№ := ξ f(x)xs
dx
о
Область абсолютной сходимости этого интеграла — некоторая вертикальная
полоса вида u<Res<i; (и функция F(s) тогда голоморфна в этой полосе),
границы полосы могут входить или не входить в область сходимости, полоса

§ 3.2. Приложения к специальным, функциям
611
может вырождаться в прямую вида Res = u. Разумеется, она может быть и
пустой.
Отметим, что преобразование Меллина является унитарным оператором из
L2(R,dx/x) в L2 на вертикальной прямой Re 5 = 1/2. В частности,
00 -1-00
$/Gt)iCx)dx/x=^ $ F(l/2 + is)G(l/2 + is)ds.
о —°°
Напомним также теорему о свертке. Если области определения функций F(s) =
= ^/(s) и G(s) — Mg{s) пересекаются (по полосе или прямой), то
мультипликативная свертка
00
/*gU) := \ f(y)g(x/y)dy/y
о
переходит в F(s)G(s) (на общей области определения).
Конечно, преобразование Меллина сводится к преобразованию Фурье
подстановкой х = еу, и с точки зрения абстрактной теории между
преобразованием Меллина и преобразованием Фурье разницы нет. Но для фиксированной
функции / преобразования Меллина и Фурье, разумеется, различны; их роль в
теории спецфункций тоже различна.
3.2.2. Игра в преобразование Меллина. Небольшая таблица индексных
преобразований
Так как нам будут встречаться длинные произведения Г-функций, мы введем
следующее обозначение:
Val9 ..., gfc] r(g1)...r(Qfc)
ΙΑ, ..., bj· ΓΑ)...^,)·
Теперь рассмотрим произвольный (сходящийся) барнсовский интеграл вида
l+rra1+s,...,ak+s,b1-s,...,b,-slSds
2πι J Lci-5,...,cfn-s,d1+s,...,dn+sJ
—ΐοο
Он может быть представлен как линейная комбинация гипергеометрических
функций вида pFq с гамма-множителями. Как это делать, объясняется в книге в
§ 2.4. Вычисление требует отслеживания некоторых асимптотик, но его можно
раз и навсегда проделать «в общем случае». Окончательные «правила» можно
найти в [345, 449] или в [463, т. 3].
С другой стороны, есть неожиданно много случаев, когда интеграл допускает
более простое выражение, чем это дается общим алгоритмом, см. [463, т. 3, гл. 8]
(рациональных объяснений этого я не знаю).
Теперь мы вычислим два вспомогательных интеграла.

612 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
Лемма 3.2.1. Справедливы равенства:
00
S7^Tzy2F^p'q;r;~x)dx =
о
= *Ζή г Ylr\t + a,p-t-ap + t,q + t,-tltd
2πι Lp,q,pJ J L r + t J
—[00
0
~~ 2m1 L",i;,p,qJ J L r-a-t,u/ + t JUJ ate W""J
—[00
Доказательство. Проверим, например, первое равенство.
Преобразование Меллина от функции f{x)\-=xa~ll(x + z)p равно β(5 + α,ρ— s — a)zs+a~p.
Преобразование Меллина от g(x) :=2F1(p,q;r;—x) было вычислено в § 2.4
и равно некоторому произведению Г-функций. Наш интеграл есть свертка
функций xf(l/x) и g(x). Далее, мы замечаем, что преобразование Меллина
функции xfiX/x) равно F(l — 5), и применяем теорему о свертке. D
Итак, проведенное вычисление состоит в «перекладывании Г-функций».
В правой части стоят барнсовские интегралы, которые можно представить
как линейную комбинацию функций 3F2 и 4^з соответственно. Выписывать их
мы не будем, а вместо этого заметим, что при некоторых значениях параметров
в правых частях интегралов могут происходить сокращения.
Лемма 3.2.2. Преобразование Jbc переводит
U+XJ β r(c + a)r(c + b)> U^J
(1+ *)*"*
Qc + z)c+b
_u_a Г(-и + Ь) r(u + is)r(u-is)
• ιΓ«;£;?]*[ί+ϋ,."','ι-4 (3·2·4)
" Г(а + и) r(b + is)r(b-is) (3,2,5)
ГР + М + Ь *Ί b_a
zFlL a + b ' yJ(1+X) б
b_q Г a + b 1 rp + is,p-is,q + is,q-isl Γρ + Ϊ5,ρ-Ϊ5 Ί
J LP + q.P + b.q + bJ'1 L a + is,a-is J21L p + q jl y 1'
(3.2.6)
чЬ-а
лГД'Л-ф+'О'
ΓΓ a + Ь 1 rp + i5,p-i5,q + i5,q-i5l.
LP + ^P + M + bJ'1 L a + is,a-is J' ^'Z-/J
ra + c,a + d _ "l r(a + b + c + d)-r(c + is)r(c-is)r(d + is)r(d-is) n 9 ft.
^Aa + b + c + d' *J β r(a + c)r(a + d)r(b + c)r(b + d)r(c + d) ' W'^ttJ
Доказательство. Посмотрим на правую часть тождества (3.2.2). Если
a = г, там сокращаются два Г-множителя. В результате остается интегральное
представление функции 2F\. Это дает вторую формулу. Подставляя в нее z = l,
получаем первую формулу.
Далее, если ζ = 1, r = p + q + p, то в правой части стоит один из интегралов
Барнса (см. теорему 2.4.3 основного текста). Это дает формулу (3.2.5).

§ 3.2. Приложения к специальным, функциям
613
Теперь отслеживаем возможные упрощения в правой части формулы (3.2.2).
Если в нее подставить α = w = г, то в правой части четыре Г-множителя
сокращаются. Это дает формулу (3.2.6). Подставляя у = 1 в формулу (3.2.6), мы получаем
формулу (3.2.7).
Наконец, при попытке проверить формулу (3.2.8), мы обнаружим, что два
Г-множителя в правой части формулы (3.2.2) сократится, а дальше применяется
та же теорема 2.4.3. D
3.2.3. Игра в формулу Планшереля
Только что выписана короткая таблица из 6 строчек для преобразования Jbc.
Применяя к этим строчкам формулу Планшереля для Jbc, можно получить
забавный набор интегралов. Мы приведем лишь несколько примеров.
1. Интеграл де Бранжа—Вильсона. Применяя формулу Планшереля к паре
функций (1 + х)~а~с и (1 + x)~a_d, мы после тривиальной выкладки получим
интеграл де Бранжа—Вильсона (см. § 3.6 основного текста, а также работу [239]).
2. Другой бета-интеграл. Применяя формулу Планшереля к х~и~а, χ~υ~α,
получим интеграл
00
- \
2π J
nr(ak + is)
fc=l
r(2is)r(b + is)
ds =
Г(Ь-а1-а2-а3) Ц T(ak+a{)
Kfc<K3
ПГ(Ь-ак)
fc=l
3. Интегральное представление для 3F2(1). Пара функций
приводит к забавному интегральному представлению функции 3^2(1):
00
π J
Г (a + is)r(b + 15)Г(с + is)T{d + is)V(e + is)
ds =
T(2is)
Γ(α + Ь)Г(а + с)Г(а + d)T{a + е)Г(Ь + с)Г(Ь + d)TQ> + е)Г(с + d)r(c + β)
Γ (a + b + с + d)r(a + b + c + e)
а + с,Ъ + с,а + Ъ
**l+::?£z::c+a ^»
Левая часть симметрична по параметрам, поэтому симметрична и правая часть.
Симметричность равносильна тождеству Куммера (см. следствие 3.3.5).
4. Добавление еще одного гамма-множителя к числителю. Применяя
формулу Планшереля к паре функций
a + e,a + f
г a + c,a + d Ί г a + e,a + / .1
FlLa + b + c + d' XJ И 2jFlLa + b + e + /' XJ'

614 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
мы получаем тождество
~ Ι Γ(α + 15)Г(Ь + 15)Г(с + is)V{d + is)V(e + is)V(J + is)|2
π J
T(2is)
ds =
= ^тГ(а + с)Г(а + ЮГ(с + й)Г(Ь + е)Г(Ы-/)Г(е + /)х
x^Trre+b+i'e+e+;'e+/+,:d-e-i'e-e-,'^l ds. (3.2.Ю)
2πι J [ c + d — s,a + b + e + f + s J
—ioo
Правая часть—линейная комбинация трех функций ^F3(l) с
гамма-коэффициентами. Впрочем, барнсовский интеграл можно воспринимать как окончательный
ответ.
5. Добавление гамма-множителя к знаменателю. Теперь мы применяем
формулу Планшереля к паре функций
p + b,q + b _"|,Ί , _лъ-а „ 77 \и + Ъ,У + Ъл
Опуская промежуточные выкладки, приводим окончательный результат
| Г(Ь + 15)Г(р + is)T(q + is)r(u + is)r(i> + is) |2
о
;5|!
Γ(2ί5)Γ(α + Ϊ5)
ds =
= J_r|"u + z;,p + q,p + b,q + b1 χ
2πΐ [ α —ν,и —ν J
'r ru + p + s,u + q + s,b + u + s,a-z; + s,z;-u-s,-s1
J |_ u + a + 5,u + b + p + q + 5 J* *>>.z.i J
—[00
Два последних тождества не столь эстетичны, как предыдущие. Рассмотрим,
однако, два частных случая последнего интеграла.
6. Интеграл Нассраллаха—Рахмана. Полагая в последнем интеграле а = Ь +
+ u + v + p + q (это приведет к сокращению гамма-множителей) и применяя
теорему 2.4.3 основного текста книги (с изменением обозначений), мы
получаем интеграл Нассраллаха—Рахмана (его q -вариант есть в основном тексте
книги, теорема 10.8.2)
- \
tlriaj + ts)
Ϊ5)Γ\Υ,α}+ύ\
Г(2й)Г
ds = 2-
П Πα,+α,)
Kfc<K5
Π Γ(αχ + α2 + α3 + α4 + α5-ak)
k=l
7. Тождество Уиппла и симметрия многочленов Вильсона по параметрам.
Теперь мы выражаем правую часть формулы (3.2.11) через 4F3:
r|"u + z;,p + q,p + b,q + b1 χ
|_ α —υ,и —υ J
ί rv-u,u + p,u + q,u + b,a-vl Γ u + p,u + q,u + b,a-z; "I
J L u + a,u + b + p + q J4 3Ll + u-z;,u + a,u + b + p + q' J
Tu-z;,p + z;,q + z;,b + z;,a-u1 г p + v,q + v,b + v,a-u "ll
"1"1 L v + a,v + b + p + q J 4'3Ll-z; + u,z; + a,z; + b + p + q' Mj" ^'ΔΛΔ)

§ 3.2. Приложения к специальным функциям
615
Левая часть формулы (3.2.11)) симметрична по параметрам b, p, q, и, υ, а
правая часть в форме (3.2.12) таковой не выглядит. Это дает соотношения
симметрии для 4^з в форме «линейная комбинация четырех слагаемых равна О».
Это «необрывающееся тождество Уиппла». Его «обрывающийся» вариант
(теорема 3.3.3), интенсивно используемый в книге (симметрия многочленов Вильсона
относительно параметров), получается при подстановке a = v — m с целым т,
тогда два слагаемых исчезают за счет множителей Г(—т) в знаменателе.
8. Еще одно обобщение интеграла де Бранжа—Вильсона, Применяя формулу
Планшереля к (1 + хГ~а(1 + х + у) и (l + xr-a(l + x + y)-b-d, получаем
1. г Ι Γ(α + 15)Г(Ь + 15)Г(с + is)r(d + is) I2
π 3| Г(2и) I Х
_ Гс — is,c + is "| _ [a — is,d + is "Ι , ,η η 10,
πΓ(α + Ь)Г(а + с)Г(а + d)T(b + с)Г(Ь + d)r(c + d) r2b + c + d,c + d _ ]
r(a + b + c + d) 2 4 a+b+c+d ' yJ·
3.2.4. Вывод соотношения ортогональности для многочленов Вильсона1
Вычислим теперь образ относительно J^] функции
|r(a + i5)|2Wn(52),
где Wn(s2) = Wn(a,b,c,d;s2) —многочлен Вильсона. Иначе говоря, нам надо
вычислить интеграл
1 с Ι Γ(α + is)r(b + 1*5)Г(с + is) I2
Г(Ь + с)
_ ГЬ + 15,Ь-15 Ί_._ f 2л j
Γ(2ΐ5) |2Ы Ъ + с ->-x\Wn<is2)ds =
(a + b)n(a + c)n(a + d)n г I r(a + is)r(b + is)r(c + is)
Г(Ь + с)
51
Γ(2ΐ5)
x2Fa[
Ь + 15,Ь —15
Ъ + с
ΗΣ
k=0
(—n)fc(n +a+b+c+d— l)fc(a + i5)fc(a — is)fc
fc!(a + b)fc(a + c)fc(a + d)fc
ds.
Мы получили линейную комбинацию известных нам (в силу формулы
обращения и (3.2.3)) интегралов вида
r|r(a + fc + i,
is)r(b + is)r(c + is)|2 _ rb + i5,b-i5
Γ(2ΐ5)
■-[■
b + c
s __ -ι . r(a + b + fc)r(a + c + fc)
; xJd5- - (l+x)a+b
В итоге получаем
Г(а + Ь)Г(а + с)(а + Ь)п
(1 + x)"
-a-b
'.[
-n,n + a + b + c + d-
' 1 + xJ
Г(Ь + с) ^ ' ~' 2 Ч a + d
Это многочлен Якоби, записанный через переменную 1/(1 + х).
Меняя местами α с d, мы получаем обратное индексное преобразование от
|r(d + is)|2Wm(s2). Теперь вычисляем интеграл (см. формулу (3.8.3))
1 г Ι Πα + 1'*)Г(Ь + 15)Г(с + is)r(d + is) I2
Г(Ь + с)
Γ(2ΐ5)
Wn(sz)Wm<isz)ds
ι Другой простой вывод этих соотношений ортогональности содержится в работе [456].

616 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
с помощью формулы Планшереля. Получается выражение вида
с ^ г —n,n + a + b + c + d-
const ^[ a + d
о
x2Fa[
Переходя к переменной y = l/(H-x), мы получаем интеграл, дающий
соотношения ортогональности для многочленов Якоби.
На первый взгляд, рассуждение может показаться проверочным, но в
действительности оно дает также следующий результат.
Ортогональная система Вильсона ca = d есть образ ортогональной системы
Якоби при индексном преобразовании (см. [239]).
Если учесть, что индексное преобразование было обнаружено в 1910 г. и
стало вполне известным с 1950 г., выглядит странным, что многочлены Вильсона
были обнаружены так поздно (1980 г.)...
§ 3.3. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ. СКАЧОК РЕЗОЛЬВЕНТЫ
Выводов известно много, см. [238]. Можно, например, различными способами
разлагать индексное преобразование в произведение более простых
интегральных преобразований, а далее писать формулы обращения для каждого
сомножителя. Впрочем, оригинальный путь Вейля, основанный на спектральной
теории, выглядит и сейчас наиболее естественным (см., например, [109, § 13.8]
или [382]). Мы приведем вариант вывода, в котором используется минимум
теории, но требуются избыточные вычисления. Подробно спектральная теория
дифференциальных операторов излагается в [382, 452] и [109, гл. XII—XIII].
3.3.1 Скачок резольвенты
Напомним спектральную теорему. Рассмотрим конечный или счетный набор
мер μα, μ2, ...на R, пространство У [μ] :=Θ;·Ι2(Μ, μ;) и оператор Ζβ: У [μ] —>У [μ],
заданный формулой
[Ζμ(/ι θ/2 Θ ...)](*) = xfa(x) Θxf2M θ ...
Теорема 3.3.1. Для любого самосопряженного (вообще говоря,
неограниченного) оператора в гильбертовом пространстве Η существуют такой набор мер
μ; и такой унитарный оператор U: Я—>У[Д], что Α = υ~1Ζβϋ.
Для любого борелевского подмножества Μ с R рассмотрим подпространство
W(M) с У [Д], соостоящее из функций, равных нулю вне множества М.
Определим спектральное подпространство Ω(Μ) :=i/_1W(M). Через Ρ[Ω] обозначим
проектор на это подпространство.
Предложение 3.3.2. Для конечного интервала (a, b)cR выполняется
равенство
b-δ
Р[(а,Ъ)] = ^-. lim lim [ ((Α-ίε-Λ)"1 -(λ + ίε-ΑΤι)άλ.
2πΐ 5->+0e->+0 J.v J
' 1+xJ
•т,т + а + Ъ + с + а — 1
a + d
■lh\
.Ь+с-1
(1+x)
-a—d—c
dx.

§ 3.3. Вывод формулы обращения. Скачок резольвенты
617
Здесь предел понимается как предел в сильной операторной топологии, т. е.
Тп —> Г, если для любого вектора ν выполнено условие \\Τηυ — Τυ|| —> 0.
Проверка этого высказывания достаточно очевидна (и является хорошим
упражнением, в частности, для конечномерных пространств), и мы с самого
начала можем считать, что наш оператор действует в У [μ].
Для любого вектора υ выполняется равенство
л Ν
y = r^lim lim {((λ-ίε-Α^-ίλ + ίε-ΑΤ^υάλ.
2πι ν->°° ε->+ο JNy }
Вычисление предела дает спектральное разложение. Сейчас мы это
проделаем для дифференциального оператора D, заданного формулой (3.1.5).
3.3.2. Решения уравнения (D — Я)/ = 0
При каждом Я это уравнение имеет два линейно независимых решения. Мы
выберем два базиса в пространстве решений (оба состоят из куммеровских
рядов, см. [119]). Первый базис состоит из функций
φ (χ, Я) =2F1[b+yfX,b-yfX;b + с; -χ]; (3.3.1)
<0(х, Я) = (-х)1"5"^7! [1 + ι/λ-c, 1 - y/J-c; 2-Ъ-с; -χ]. (3.3.2)
Второй базис и±00 задается формулами
и±(х, Я) = (-*ГЬт>/I2F1 [Ъ ± ι/λ, 1 ± y/λ-с; 1 ±2^Я; -х-1]. (3.3.3)
Мы полагаем, что плоскость Я разрезана по отрицательной полуоси.
У первой пары функций хорошо видно поведение вблизи нуля, у второй —
вблизи бесконечности. Чуть ниже нам понадобится формула, выражающая φ
через и+ и и_:
φ(χ, Я) = В+(Я)и+(х, Я) +В_(Я)и_(х, Я),
где
В±(А) = ПЬ + с)Г(ТЛ) д 0 }
Г(ЬтУЯ)Г(ст/Я)
3.3.3. Самосопряженность
Пусть Ь>0, с>0. Мы определим оператор D на пространстве ©(R+) гладких
функций с компактным носителем на (0, оо). Оператор D формально
симметричен относительно веса xb+c~1(l-\-x)b~c dx, т. е.
00 00
$ ОУ) (x)iWxb+c_1 (1 + х)ь~с dx = ξ /(jc)Dg(x)jcb+c-1 (1 + х)ь~с dx,
о о
где/, g€@(K+). Его сопряженный оператор D* определяется из условия D*g=h,
если g, heL2(M+,xb+c-1(.l + x)b-c) и
оо оо
$ О)/) WgQO*5^"1 (1 + *)b_c dx = $ fWhWx^-1 (1 + x)b"c dx
о о
для всех /€©(R+). Этот оператор по-прежнему задается формулой (3.1.5), но
его область определения увеличилась.

618 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
Напомним, что для любого формально симметричного оператора А числа
dimker(A* — Я) (индексы дефекта) постоянны на полуплоскостях ImA>0 и
1т Я < 0. Оператор А существенно самосопряжен, если эти числа нулевые. Тем
самым мы должны проверить, существуют ли при Im Я Φ 0 у дифференциального
уравнения Df = Я/ решения, лежащие в L2 по нашему весу. Для определенности
положим Im Я > 0.
Легко видеть, что в случае Ь + с>2 таких решений нет. Действительно,
ψ слишком велико вблизи нуля, а и_ слишком велико около оо. Поэтому
L2 -решение должно совпадать с φ ии+ одновременно, а они различны.
Поэтому оператор D существенно самосопряжен.
Замечание 3.3.1. Если Ь + с<2, то и φ, и ψ лежат в L2 вблизи 0. Поэтому
и+ €L2, и тем самым оператор D не самосопряжен. Мы расширим область определения
оператора D до пространства функций, гладких на замкнутом луче [0, оо) и равных нулю
при достаточно больших х. Тогда оператор становится самосопряженным. В дальнейшем
мы не отслеживаем этот случай.
3,3.4. Резольвента
Лемма 3.3.3. Резольвента (Ρ — λ)~ι оператора D определена в области
С \ [—оо, 0) и задается формулой
00
Ι(Α)/(χ) = $ Kix,y;X)yb+c-la + yY+cdy, (3.3.5)
о
где ядро К — функция Грина,
[2ΒΛλΤιλ-ιΙ2φίχ,λ)^{γ,λ), если х<у,
\2В_Ш U 1/2у>(у,Я)и+0с,Я), если χ > у,
а В_(Я) задается формулой (3.3.4).
Скачок резольвенты образуется на полуоси Я < 0 за счет скачка функции
>Гк на разрезе. Вычисляя скачок резольвенты, мы получаем
т = ^ί ЗхвВш) \ ^W)/W^(i+^^. (3.3.7)
Формула получается столь простой, потому что функция φ скачка не испытывает,
а скачок функции и+ оказывается пропорциональным φ.
Последняя формула и есть формула обращения.
Доказательство леммы. Прежде всего формально проверим равенство
(D-X)L(X) = 1. Надо убедиться, что функция К удовлетворяет уравнению
{Рх-Х)К(х,У\ Я)уь+с-а(1 +У)Ь+С = SQt-y). (3.3.8)
Очевидно, что вне диагонали χ = у равенство (Рх — λ)Κ = 0 выполнено. На
диагонали ядро К непрерывно, а первая производная испытывает скачок. Поэтому
* ΟΧ ν=γ+Ω OX v=r—ClJ
дК{х,у,Х)
у=х+0
y=x-0J
= 2В_аГ^~^2Ыу, А)'и+(У, Я) - ψ(γ, Х)и+(у, Я)']5(х-у).

§ 3.3. Вывод формулы обращения. Скачок резольвенты
619
В квадратных скобках стоит детерминант Вронского двух решений
дифференциального уравнения (Ό — λ)/. С точностью до постоянного множителя
вронскиан пары решений определяется самим уравнением, в нашем случае
он равен const-y'^Q + y)0-5-1· Для вычисления постоянного множителя мы
отслеживаем асимптотику вронскиана при у —> оо.
В действительности это вычисление достаточно для доказательства. Но не
совсем очевидно, что оператор L(A) ограничен в L2. Эту трудность можно
обойти следующим образом.
Так как оператор D существенно самосопряжен, при Я φ R оператор (D — Я)-1
ограничен. В силу теоремы Л. Шварца о ядре (см. [196]) этот оператор является
интегральным, а ядро К(х,у;Х) является обобщенной функцией двух
переменных. Оно должно удовлетворять уравнению (3.3.8) и условию симметрии
К(у, х; Я) = К(х, у, Я). Поэтому вне диагонали χ = у функция должна
удовлетворять системе уравнений
(Dx - λ)Κ = О, {Dy - λ)Κ = 0.
А дальше легко убедиться, что наше ядро К является единственным возможным
кандидатом, все остальные решения системы слишком быстро растут. D
3.3.5. Многочлены РомановскогоΣ
Пусть теперь Ъ < 0, Ъ + с > 0. Пусть т = 0,1,..., [—Ъ]. Рассмотрим многочлены рт,
заданные формулой
η ΓνΛ.- гГ-т,2Ь + т. 1_ хтГ(Ъ + с)Г{-т-Ъ) Г -т, 1-т-Ь-с. __11
PmW--2'i|_ b + c , xJ-r(2b + m)r(c + b + m)2flL 2-b-c > χ У
Теорема 3.3.4. (i) Многочлены рт содержатся в L2(R+,xb+c_1(H-^)b~c).
(ii) Справедливо равенство Dpm = (Ь + т)2рт.
(Ш) Многочлены рт попарно ортогональны.
Доказательство. Утверждения (i), (ii) очевидны, а утверждение (ш)
следует из (i) и (ii). D
Таким образом, мы получили конечную систему ортогональных
многочленов. Увеличить ее мы не можем, потому что одночлены xN с большими
номерами не лежат в L2.
Замечahие 3.3.2. Таких странных систем конечных ортогональных систем известно
довольно много. Романовский [316] ввел еще две системы: многочлены на прямой,
ортогональные по весу
dx
(1 + ΐχ)α(1-ΐχ)α
где α € С (это тоже аналитическое продолжение многочленов Якоби), и многочлены на
полупрямой с весом
χ~β ехр(—l/x)dx
(это аналитическое продолжение многочленов Лагера от 1/х). Более сложные
конечные системы ортогональных многочленов перечислял П. Лески [245, 246], некоторые
дополнения есть в работе [456].
Романовский Всеволод Иванович, известный узбекский математик, один из основателей
Ташкентского университета (март 1918 г.). Основные работы по математической статистике.

620 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
Что это значит, видно из вышеприведенных рассмотрений. А именно, при
b < 0, Ь + с>0 у нашего оператора D появляется конечное число дискретных
собственных значений (соответствующих многочленам Романовского), которые
и добавляются к нашему непрерывному спектру.
Разумеется, в наше вычисление будут внесены соответствующие изменения.
У резольвенты (см. формулу (3.3.6)) появляется конечное число полюсов в
точках А = (Ь + гл)2, они связаны с появлением полюсов у В_(Я)-1. Чтобы найти
скачок резольвенты, нужно дополнительно посчитать вычеты резольвенты в
этих полюсах. В формуле обращения (3.3.7) появляется дополнительное
слагаемое
т
Выражение (3.1.3) для Jbc не меняется. Но функция Jb,cf(s) теперь определена
на следующем множестве в С: полупрямая 5 > 0 и конечное множество точек
s = i(b + m) на мнимой оси, соответствующих многочленам Романовского.
Замечание 3.3.3. Подобные ортогональные системы появляются в
некоммутативном гармоническом анализе и отвечают дискретным вкраплениям в спектры (например,
в L2 на псевдоримановых симметрических пространствах ранга 1, см. также работу [458]
о тензорных произведениях унитарных представлений группы SL(2,R)). Скорее всего
(но это никто не проверял), дискретные серии Фленстед-Йенсена [140] контролируются
какими-то многомерными ортогональными системами типа Романовского.
§ 3.4- ПРИЛОЖЕНИЯ К ГАРМОНИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
3.4.1 Псевдоунитарные группы ранга 1
Пусть К — это R, С или тело кватернионов ЕЕ. Отметим, что для первоначального
ознакомления с ситуацией можно держать в голове лишь случай К = R. Ниже
мы без доказательства приводим различные простые факты, читатель может
или поверить на слово или проверить их.
Через г мы обозначим размерность тела К. Через Кп обозначаем п-мерное
пространство над К со стандартным скалярным произведением
(z9u)=YAzjUj.
Через U(l, η; К) обозначим псевдоунитарную группу над К, т. е. группу (1 + η) χ
χ (1 + π)-матриц ( , J над К, удовлетворяющих условию
' С Ж".1 !)С ЭХ".1!)·
Стандартные обозначения для групп U(l, п\ К) в случаях К = R, С, Ш
соответственно: 0(1, ή), U(l, ή), Sp(l, ή).
3.4.2. Однородные гиперболические пространства
Через ВП(К) мы обозначим шар {ζ,ζ)<\ в Кп. Через Srn~1 обозначим сферу
(ζ, ζ) = 1. Группа U(l, n; К) действует на ВП(К) дробно-линейными
преобразованиями
ζ ^ ХШ := (α + ZC)-l(b + zd). (3.4.1)

§ ЗА. Приложения к гармоническому анализу
621
Стабилизатор К точки 0€Вп(К) состоит из матриц вида
(J °), |a| = l, d€U(n;K). (3.4.2)
Поэтому ВП(К) есть однородное пространство
ВП(К) = U(l, n; K)/(U(1; К) х U(n; К)).
Замечание 3.4.1. В случае K = R наш шар —это n-мерное пространство
Лобачевского в модели Бельтрами—Клейна. Напомним, что в этом случае прямые в смысле
Лобачевского являются отрезками (хордами), а наша сфера S"-1 является абсолютом в
смысле Лобачевского. Группа 0(1, п) является группой движений пространства
Лобачевского. В случае К=С или В. мы получаем так называемые гиперболические пространства,
комплексные или кватернионные.
Якобиан преобразования (3.4.1) равен
J(g;20 = |a + SCrr(1+n).
Отметим простую формулу
1-(«м,мм> = (а + «сГ1(1-(2,и»(а + ис)-1.
Отсюда видно, что U(l, π; К)-инвариантная мера на ВП(К) имеет вид
dm(s) = (l-(s,s)r(n+1)r/2ds,
где через dz обозначена мера Лебега на ВП(К).
Группа U(l,n;K) действует в L2(Bn(K),dm(z)) заменами переменной
Ρ (g)/(*) = f{ia + zcT4b + zd)). (3.4.3)
Легко видеть, что эти операторы унитарны. Иными словами, мы получили
унитарное бесконечномерное представление группы U(l, π; К).
Наша следующая задача—разложить это представление на неприводимые
подпредставления.
3.4.3. Сферическая основная серия
Пусть 5 € R. Представление Ts сферической основной унитарной серии группы
U(l, п; К) реализуется в L2(Srn_1) и задается формулой
Ts (" ^ /(h) = /((а + НсГЧЪ + hd))\a + hc|-(n+1)r/2+1+is, (3.4.4)
где heS™-1. Прямое вычисление показывает, что эти представления унитарны
при 5 € R.
Замечание 3.4.2. Все эти представления неприводимы, и представления Ts и T_s
эквивалентны (это не совсем очевидно, см. [441]).
Замечание 3.4.3. Слово «серия» употребляется потому, что эти группы имеют
несколько разных типов представлений. Слово «сферическая» в названии серии
означает, что любое такое представление содержит (единственный) вектор, инвариантный
относительно подгруппы К. В нашей модели это функция / = 1.

622 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
3.4.4. Сплетающий оператор
Теперь рассмотрим пространство функций y>(h,s) на полуцилиндре Srn_1 xR+
(какое именно пространство, мы уточним ниже). Пусть U(l, η; К) действует на
этом пространстве по формуле
τ (* J) φΟι, s) = φ((α + псГЧЪ + hd),s) \a + hc\^n+1)r/2+1+is.
При любом фиксированном 5 мы получаем представление Ts(g) в функциях,
зависящих от heS™-1, т. е. мы имеем что-то вроде прямой суммы всех
представлений Ts по непрерывному параметру 5 (это называется «прямым интегралом»).
Теперь определим оператор А из пространства L2(Bn(K), dm(z)) в
пространство функций на Srn~l χ R+, заданный формулой
Г II-(Z b\|-(n+l)r/2+l+is
A/(h,s)= J m \^l+1)r/4+1/2+is/2dz. (3.4.5)
Bn(K) |X VZ,Z/I
Лемма З.4.1. Оператор А является сплетающим, т.е.
Ар (g) = τ (g)A, для всех g.
Это утверждение является полезным двухшаговым упражнением. Во-первых,
стоит «в лоб» проверить эту лемму, а во-вторых, интересно придумать
соображения, из которых можно придумать формулу для оператора А, заранее ее не
зная.
3.4.5. Формула Планшереля
Теорема 3.4.2. Оператор А является унитарным оператором
L2(Bn(K), dmW -»L^S™-1 x R+) | Π^&±Ϊ£) |2 ds dhy (3A6)
где
b = (π + l)r/4 -1/2; с = (π - l)r/4 +1/2. (3.4.7)
Учитывая предыдущую лемму, мы получаем, что оператор А отождествляет
представление группы U(l, n; К) в L2 на шаре с непрерывной прямой суммой
представлений основной серии.
Доказательство. Прежде всего объясним внезапное появление Г-множи-
теля. Для этого ограничим оператор А на пространство функций, зависящих
лишь от радиуса. Удобно ввести переменную
1-1Ы2
и положить / = /00. Тогда соответствующая функция G(h,s) зависит лишь от
переменной 5, и несложное вычисление дает знакомую формулу
00
G(5) = const· $ fM2Pi(b + is,b-is;b + c;-x)xb+c_1 (1 + x)b~cdx. (3.4.8)
о
Итак, мы видим, что оператор А является унитарным оператором из
пространства 12-функций на шаре, зависящих лишь от радиуса, в пространство
функций на полуцилиндре, зависящих лишь от 5.

§ 3.4. Приложения к гармоническому анализу
623
Это основное сображение1, остался лишь розыгрыш стандартных теорети-
ко-представленческих трюков. D
3.4.6. Окончание доказательства
Обозначим G:=U(1, π; К), JC:=U(1,K) xU(n,K). Обозначим гильбертовы
пространства L2 из формулы (3.4.6) соответственно через V и W. Через VK и WK
обозначим пространства JC-неподвижных функций в V и W. Через Pv и Pw мы
обозначим проекторы на VK и WK.
Напомним следующее стандартное утверждение.
Лемма 3.4.3. Пусть ρ (к) —унитарное представление компактной группы К.
Тогда проектор на подпространство К-неподвижных векторов задается
формулой
P=\p(k)dk,
к
где dk—мера Хаара на К, нормированная так, что мера всей группы равна 1.
Следствие 3.4.4. Справедливо равенство PWA = APV.
Лемма 3.4.5. Каждое замкнутое G-инвариантное пространство в V
содержит гладкую ненулевую функцию.
Доказательство. Рассмотрим последовательность гладких
положительных функций η на G с компактным носителем, аппроксимирующих δ-функцию в
единице. Для вектора ν φ О из подпространства рассмотрим последовательность
(гладких) функций § r^{g)p{g)vdg, сходящуюся к v. D
Лемма 3.4.6. Каждое замкнутое G-инвариантное подпространство в V
содержит К-инвариантный вектор.
Доказательство. Рассмотрим гладкую функцию / из подпространства.
Пусть /(α) Φ0. Рассмотрим такой g€.G, что 0С*] = а. Далее усредняем функцию
f(x[g]) по К. D
Следствие 3.4.7. Линейная оболочка векторов вида p(g)u, где g пробегает
G, α ν пробегает VK, плотна в V.
Доказательство. В противном случае берем ортогональное дополнение к
этой линейной оболочке. В ней есть JC-инвариантный вектор. D
Лемма 3.4.8. Линейная оболочка векторов вида z(g)w, где g пробегает G,
a w пробегает WK, плотна в W.
Доказательство. Мы используем неприводимость представлений Ts
основной серии. В качестве векторов w берем функции вида /(х, 5) = 1, если \s—s0\ < ε,
и 0 в противном случае. Легко убедиться, что функций, ортогональных ко
всевозможным Tg(g)/, нет. D
ι В случае К = С есть также действие группы U(l, л), заданное формулой
P(g)/U) = ftta + zcrl(.b + zd))(a + zc)k(a + zcTk.
Задача о разложении тоже сводится к индексному преобразованию (с другими параметрами),
представление имеет дополнительный конечный дискретный спектр, который контролируется
многочленами Романовского.

624 Добавление 3. Индексное гипергеометрическое преобразование
Окончание доказательства теоремы 3.4.2. Пусть p{g)v, pig'W — два
вектора только что упомянутого вида. Тогда
, , Λ , /ч А (представление U унитарно) , _1 7 А (Ρν — проектор)
/ r> /^ -1 /л /\ (ФОРМУ·43 Планшереля) . _α . ,.
(A — сплетающий оператор) . , _Ί /ч Λ /ν (Pw — проектор)
(Av,Pwz(g 1g)Av)w
/л г -1 л л п (представление τ унитарно) . , ,.
Поэтому оператор А изометричен. С другой стороны, образ оператора А
содержит WK (в силу теоремы 3.1.1), а следовательно, и все W (в силу
леммы 3.4.8). D

Литература
[1] Abel N. Н. Auflosung einer mechanischen Aufgabe // J. Reine Ang. Math. — 1826. —
V. 1. — P. 153 —157. (Англ. перевод в: Source Book in Mathematics / Ed. D. E. Smith. —
New York: McGraw-Hill. - P. 656 - 662.)
[2] Adams J. С On the expression of the product of any two Legendre coefficients by
means of a series of Legendre's coefficients // Proc. R. Soc. London. —1877. —V. 27. —
P. 63-71.
[3] Ag arwal R. P. On the partial sums of series of hypergeometric type // Proc. Cambridge
Phil. Soc. -1953. - V. 49. - P. 441 - 445.
[4] Ahern P., Rudin W. Geometric properties of the gamma function // Am. Math.
Monthly. -1996. - V. 103. - P. 678 - 681.
[5] Al-Salam W. Α., Ismail Μ. Ε. Η. q-Beta integrals and the q-Hermite polynomials //
Рас. J. Math. -1988. -V. 135, N. 2. - P. 209 - 221.
[6] Amend B. Fox Trot. — Comic strip, June 2. —1996.
[7] Anastassiadis J. Definition des Functions Euleriennes par des Equations
Fonctionnelles. — Paris: Gauthier-Villars, 1964.
[8] Anderson G. W. The evaluation of Selberg sums // Сотр. Rend. Acad. Sci., Paris. —
1990.-V. 311, Serie 1.-P. 469-472.
[9] AndersonG.W.A short proof of Selberg's generalized beta formula // Forum Math. —
1991.-V.3.- P. 415-417.
[10] Andrews G. E. The Theory of Partitions. — Reading, MA: Addison-Wesley, 1976. (Рус.
перевод: Эндрю с Дж. Теория разбиений. — М.: Наука, 1982.)
[11] Andrews G.E. q-Series: Their Development and Application in Analysis, Number
Theory, Combinatorics, Physics, and Computer Algebra. — Providence, RI: Amer. Math.
Soc, 1986.
[12] Andrews G. E. The death of proof? Semi-rigorous mathematics? YouVe got to be
kidding! // Math. Intelligencer.-1994.-V. 16 (4).-P. 16-18.
*[13] Andrews G. E. Bailey's transform, lemma, chains and tree // Special functions 2000:
current perspective and future directions (Tempe, AZ). — Dordrecht: Kluwer Acad.
Publ., 2001. (NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem.; V. 30).-P. 1-22.
[14] Andrews G.E., Askey R. Enumeration of partitions: The role of Eulerian series
and q-orthogonal polynomials // Higher Combinatorics / M. Aigner, ed. — Dordrecht:
Reidel, 1977.-P. 3-26.
[15] Andrews G.E., Burge W. H. Determinant identities // Рас. J. Math. —1993. —
V. 158.-P 1-14.
[16] Andrews G.E., Dyson F.J., Hickerson D. Partitions and indefinite quadratic
forms // Invent. Math. -1988. -V. 91. - P. 391 - 407.
[17] Anno M., Mori T. Socrates and the Three Little Pigs. — New York: Philomel Books,
1986.
Звездочкой (*) отмечены позиции, добавленные при переводе.—Прим. ред.

626
Литература
[18] Аомото К. Jacobi polynomials associated with Selberg integrals // SIAM
J. Math. Anal. -1987. -V. 18. - P. 545 - 549.
[19] Artin E. The Gamma Function. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1964.
[20] As key R. Orthogonal polynomials and positivity, Studies in Applied Mathematics 6 //
Wave Propagation and Special Functions / D. Ludwig and F. W. J. Olver, eds. —
Philadelphia: SIAM, 1970.-P. 68-85.
[21] As key R. Orthogonal Polynomials and Special Functions. — Philadelphia: SIAM, 1975.
[22] Askey R. Ramanujan's l\pl and formal Laurent series // Indian J. Math.— 1987. —
V. 19.-P. 101-105.
[23] Askey R. Beta integrals and q-extensions // Papers of the Ramanujan Centennial
International Conference. — Ramanujan Math. Soc, 1987. — P. 85 —102.
*[24] Askey R. Beta integrals in Ramanujan's papers, his unpublished work and further
examples // Ramanujan Revisited. — Boston: Academic Press, 1988. — P. 561 — 590.
[25] Askey R. A look at the Bateman project // Contemporary Math. —1994. —V. 169. —
P. 29-43.
[26] Askey R., Gasper G. Jacobi polynomial expansions of Jacobi polynomials with non-
negative coefficients // Proc. Cambridge Phil. Soc. —1971. — V. 70. —P. 243 — 255.
[27] Askey R., Gasper G. Convolution structures for Laguerre polynomials // J. Analyse
Math. -1977. - V. 31. - P. 48 - 68.
[28] Askey R., Gasper G., Ismail M. A positive sum from summability theory // J. Approx.
Theory. -1975. - V. 13. - P. 413 - 420.
[29] Askey R., Koornwinder O., Rahman M. An integral of products of ultraspherical
functions and a q-extension // J. London Math. Soc. —1986. —V. 33 (2). — P. 133 —148.
[30] Askey R., Steinig J. Some positive trigonometric sums // Trans. Am. Math. Soc. —
1974. - V. 187. - P. 295 - 307.
[31] AskeyR.,WilsonJ.A.A recurrence relation generalizing those of Apery // J. Austral.
Math. Soc. (Series A).-1984.-V. 36.-P. 267-278.
[32] Askey R., Wilson J. A. Some Basic Hypergeometric Orthogonal Polynomials that
Generalize Jacobi Polynomials. — Providence, RI: Am. Math. Soc, 1985.
[33] Auslander L., Tolimieri R. Is computing with finite Fourier transform pure or
applied mathematics? // Bull. Am. Math. Soc. (N. S.).-1979.-V. 11.-P. 847-897.
[34] Azor R., Gillis J., Victor J.D. Combinatorial applications of Hermite
polynomials // SIAM J. Math. Anal. -1982. -V. 13. - P. 879 - 890.
[35] Baernstein II Α., Drasin D., Duren P., Marden A. The Bieberbach Conjecture. —
Providence, RI, 1986. (Amer. Math. Soc. Surveys and Monographs; No. 21).
[36] Bailey W. N. Some identities involving generalized hypergeometric series // Proc.
London Math. Soc. -1929. -V. 26 (2). - P. 503 - 516.
[37] Bailey W. N. The partial sum of the coefficients of the hypergeometric series //
J. London Math. Soc. -1931. -V. 6. - P. 40 - 41.
[38] Bailey W. N. On one of Ramanujan's theorems // J. London Math. Soc. — 1932. —
V. 7.-P. 34-36.
[39] Bailey W. N. On the product of two Legendre polynomials // Proc. Cambridge Phil.
Soc. -1933. - V. 29. - P. 173 -177.

Литература
627
Bailey W. N. Generalized Hypergeometric Series. — Cambridge University Press, 1935.
Reprinted by Hafher Pub. Co., New York, 1972.
Bailey W. N. The generating function of Jacobi polynomials // J. London Math. Soc. —
1938.-V. 13.-P. 8-11.
Bailey W. N. A note on certain q-identities // Quart. J. Math. (Oxford). — 1941. —
V. 18.-P. 157-166.
Bailey W. N. Identities of the Rogers—Ramanujan type // Proc. London Math. Soc. —
1949.-V. 50 (2).-P. 1-10.
Bailey W. N. Contiguous hypergeometric functions of the type 3F2(1) // Proc. Glasgow
Math. Assoc. -1954. - V. 2. - P. 62 - 65.
Bak J., Newman D. J. Complex Analysis. — New York: Springer-Verlag, 1982.
Barnes E. W. On the theory of the multiple gamma function // Trans. Cambridge
Phil. Soc. -1904. -V. 19. - P. 374 - 425.
Barnes E. W. A new development of the theory of the hypergeometric functions //
Proc. London Math. Soc-1908.-V. 6 (2).-P. 141-177.
Barnes E. W. A transformation of generalized hypergeometric series // Quart. J.
Math. -1910. - V. 41. - P. 136 -140.
Bateman H. The solution of linear differential equations by means of definite
integrals // Trans. Cambridge Phil. Soc. —1909. — V. 21. —P. 171 — 196.
Bateman H. Partial Differential Equations of Mathematical Physics. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1932.
Baxter R. J. Partition function of the eight-vertex lattice model // Ann. Phys. (NY). —
1972. - V. 70. - P. 193 - 228.
Bazhanov V. V., Sergeev S.M. A master solution of the quantum Yang-Baxter
equation and classical discrete integrable equations // ATMP. — 2012. — V. 16. —
P. 65-95.
Bellman R. A Brief Introduction to Theta Functions. — New York: Holt, Rinehart,
and Winston, Inc., 1961.
Berggren L., Borwein J., Borwein P. Pi: A Source Book. — New York: Springer-
Verlag, 1997.
Berndt B. Periodic Bernoulli numbers, summation formulas and applications //
Theory and Application of Special Functions / R. Askey, ed. — New York: Academic
Press, 1975.
Berndt B. Ramanujan's Notebooks, Part I.— New York: Springer-Verlag, 1985.
Berndt B. Ramanujan's Notebooks, Part II. — New York: Springer-Verlag, 1989.
Beukers F. A note on the irrationality of ζ (2) and ζ(3) // Bull. London Math. Soc. —
1979. - V. 11. - P. 2268 - 2272.
BiedenharnL.C.,LouckJ. D. Angular momentum in quantum physics. Theory and
application. — Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Co., 1981. (Рус. перевод:
Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и
приложения. — М.: Мир, 1984.)
Boas R. P. Entire Functions. — New York: Academic Press, 1954.
Bochner S. Remarks on Gaussian sums and Tauberian theorems // J. Indian Math.
Soc. -1952. - V. 15. - P. 99 -106.

628
Литература
[62] BochnerS. Harmonic Analysis and the Theory of Probability. — Berkeley: University
of California Press, 1955.
[63] Bochner S. Review of Gesammelte Schriften by Gustav Herglotz // Bull. Am. Math.
Soc. (N. S.). -1979. - V. 1. - P. 1020 -1022.
[64] Bohr H., Mollerup J. Laerebog i Matematisk Analyse, Vol. III. — Kopenhagen:
J. Gjellerup, 1922.
*[65] Borodin Α., Gorin V., Rains E.M. q-Distributions on boxed plane partitions //
Selecta Math. - 2010. -V. 16, № 4. - P. 731 - 789.
[66] Borwein J., Borwein P. Pi and the AGM. — New York: Wiley, 1987.
[67] Boyarsky M. p-adic gamma functions and Dwork cohomology // Trans. Am. Math.
Soc. -1980. - V. 257. - P. 359 - 369.
[68] Вrafman F. Generating functions of Jacobi and related polynomials // Proc Am.
Math. Soc. -1951. - V. 2. - P. 924 - 949.
[69] Brent R. P. Fast multiple-precision evaluation of elementary functions // J. Assoc.
Сотр. Mech. -1976. - V. 23. - P. 242 - 251.
*[70] Bressoud D.M. A matrix inverse // Proc. Amer. Math. Soc. —1983. — V. 88.—
P. 446-448.
[71] Bressoud D.M. Almost poised basic hypergeometric series // Proc. Indian Acad. Sci.
(Math./Sci.). -1987. -V. 97. - P. 61 - 66.
[72] Bromwich T. J. ГА. An Introduction to the Theory of Infinite Series, 2nd ed.—
London: Macmillan, 1926.
[73] Brown G., Hewitt E. A class of positive trigonometric sums // Math. Ann. —1984. —
V. 268.-P. 91-122.
[74] Brown M., Ismail Μ. Ε. Η. A right inverse of the Askey—Wilson operator // Proc.
Amer. Math. Soc. -1995.-V. 123.-P. 2071-2079.
[75] Brualdi R.A., Ryser H.J. Combinatorial Matrix Theory.— New York: Cambridge
University Press, 1991.
[76] Bustoz J. Note on «Positive Cesaro means of numerical series» // Proc. Amer. Math.
Soc. -1974. - V. 45. - P. 69.
[77] Caratheodory C. Funktionentheorie. —1954. (Англ. перевод: Theory of Functions,
Vols. I and II. -New York: Chelsea, 1958, 1960.)
[78] Cartier P., Foata D. Problemes Combinatoires de Commutation et
Rearrangements. — Berlin: Springer-Verlag, 1969. (Lecture Notes in Math; No. 85).
[79] Cauchy A.-L. Memoire sur les functions dont plusieurs valeurs... // C.R. Acad. Sci.
Paris. —1843. —V. 17. — P. 523. Перепечатано в: Oeuvres de Cauchy. —1893. — Ser. 1,
V. 8.-P. 42-50.
[80] Cauchy A.-L. Deuxieme Memoir sur les functions dont plusieurs valeurs... // C.R.
Acad. Sci. Paris. — 1843. Перепечатано в: Oeuvres de Cauchy. — 1893. — V. 8. —
P. 50-55.
[81] Chebyshev P. L. Sur les functions analogues a celles de Legendre. — 1870. //
Сочинения П. Л. Чебышёва, т. 2 / под ред. А. А. Маркова и Н. Я. Сонина. — СПб,
1907. —С. 61 — 68. Перепечатано: New York: Chelsea, 1961.
*[82] Cherednik I. Harish-Chandra transform and difference operators // Int. Math. Res.
Not. -1997. - V. 15. - P. 733-750.

Литература
629
*[83] CherednikI., OstrikV. From double Hecke algebra to Fourier transform // Selecta
Math. (N. S.).-2003.-V. 9, N 2.-P. 161-249.
*[84] Cherednik I. Double affine Hecke algebras. — Cambridge: Cambridge University
Press, 2005.
[85] Chihara J. S. An Introduction to Orthogonal Polynomials. — New York: Gordon &
Breach, 1978.
[86] Clausen T. Ueber die Falle, wenn die Reihe von der Form y = l + ^·— x +
J 1 γ
α·α + 10·0 + 1, . , , ^ Λ α! β' δ'
+ „ „ · !—J-—-χ + etc. ein quadrat von der Form ζ = 1 + — -!-7--7x +
1-2 γ·γ + 1 Μ \ γ' ε'
aV + 1 . β''β' + l . δ''δ' + Κ*+ etc hat /7 j Reine ^g Math _ 1828. -V. 3. -
1-2 γ'-γ' + Ι ε'-ε' + Ι ь
P. 89-91.
[87] Cooley J. W., Tukey J. W. An algorithm for the machine calculation of complex
Fourier series // Math. Сотр. —1965. —V. 19. — P. 297 — 301.
[88] Copson E.T. Theory of Functions of a Complex Variable. — London: Oxford Univ.
Press, 1935.
*[89] Coskun H., Gustafson R.A. Well-poised Macdonald functions Wx and Jackson
coefficients ωλ on BCn // Contemp. Math. — 2006. —V. 417. — P. 127 — 155.
[90] Cox D. The arithmetic-geometric mean of Gauss // Enseign. Math. —1984. —V. 30. —
P. 270-330.
*[91] Date E., Jimbo M., Kuniba Α., Miwa Т., Okado M. Exactly solvable SOS models,
II: Proof of the star-triangle relation and combinatorial identities // Adv. Stud, in Pure
Math. -1988. - V. 16. - P. 17 -122.
[92] Davenport H., Hasse H. Die Nullstellen der Kongruenzzetafunktion in gewissen
zyklischen Fallen // J. Reine Ang. Math.-1934.-V. 172.-P. 151-182.
[93] de Boor С FFT as nested multiplication, with a twist // SIAM J. Sci. Stat. Сотр. —
1980.-V. 1.-P. 173-178.
[94] de Branges L. Gauss spaces of entire functions // J. Math. Anal. Appl. —1972. —
V. 37.-P. 1-41.
[95] de Branges L. Tensor product spaces // J. Math. Anal. Appl. —1972. — V. 38.—
P. 109-148.
[96] de Branges L. A proof of the Bieberbach conjecture // Acta Math. —1985. —V. 154. —
P. 137-152.
[97] deBruijnN.G. Uncertainty principles in Fourier analysis // Inequalities / O. Shisha,
ed. — New York: Academic Press, 1967.
[98] de Bruijn N.G., Saff E.B., Varga R. S. On the zeros of generalized Bessel
polynomials // Proc. K. Ned. Akad. Wet., Series A.-1981.-V. 84 (l).-P. 1-25.
[99] de Moivre A. Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis. — London: Tonson
and Watts, 1730.
[100] Dedekind R. Uber ein Eulersches Integral // J. Reine Ang. Math. — 1853.
*[101] Derkachov S., Karakhanyan D., Kirschner R. Yang-Baxter 32-operators and
parameter permutations // Nucl. Phys. — 2007. —V. B785. — P. 263 — 285.
*[102] DerkachovS.E.,SpiridonovV. P. Yang-Baxter equation, parameter permutations,
and the elliptic beta integral. ArXiv:1205.3520; УМН, в печати.

630
Литература
[103] DeSainte-Catherine Μ., Viennot G. Combinatorial interpretation of integrals
of products of Hermite, Laguerre and Tchebycheff polynomials // Polynomes
Orthogonaux et Applications / C. Brezinski et al., eds. — Springer-Verlag, 1983. (Lecture
Notes in Math.; No. 1171).-P. 120-128.
[104] Din Α. Μ. Lett. Math. Phys. -1981. - V. 5. - P. 207.
[105] Dixon A.C. Summation of a certain series // Proc. London Math. Soc.— 1903. —
V. 35 (1).-P. 285-289.
*[106] Dolan F. Α., Osborn H. Applications of the superconformal index for protected
operators and q-hypergeometric identities to Ji — 1 dual theories // Nucl. Phys. —
2009. - V. B818. - P. 137 -178.
[107] DougallJ. On Vandermonde's theorem and some more general expansions // Proc.
Edinburgh Math. Soc. -1907. -V. 25. - P. 114 -132.
[108] DougallJ.A theorem of Sonine in Bessel functions, with two extensions to spherical
harmonics // Proc. Edinburgh Math. Soc —1919.—V. 37. —P. 33 — 47.
*[109] Dunford N., Schwartz J. T. Linear operators, V. 2. — Wiley & Sons, 1963. (Русский
перевод: Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Том 2. — М.: Мир, 1966.)
* [110] DunklCh.F., XuYuan Orthogonal polynomials of several variables. — Cambridge-
Cambridge University Press, 2001.
* [111] DysonF.J.,MehtaM.L. Statistical theory of the energy levels of complex systems //
J. Math. Phys. -1963. - V. 4. - P. 701 - 719.
[112] Edwards С. Н. The Historical Development of Calculus. — New York: Springer-Verlag,
1979.
[113] Edwards A. W. F. Pascal's Arithmetical Triangle. — London: Charles Griffin and Co.,
1987.
[114] Eisenstein G. Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelproducte // J. Reine
Ang. Math. -1847. - V. 35. - P. 153 - 274.
[115] Elliot E. B. A formula including Legendre's EK' + KE'-KK' = |π // Messenger of
Math. -1904. - V. 33. - P. 31 - 40.
[116] Erdelyi A. Der Zusammenhang zwischen verschiedenen Integraldarstellungen
hypergeometrischer Funktionen // Quart. J. Math. (Oxford). — 1937. — V. 8. —
P. 200-213.
[117] Erdelyi A. Note on the transformation of Eulerian hypergeometric functions // Quart.
J. Math. (Oxford).-1938.-V. 9.-P. 129-134.
[118] Erdelyi A. Transformation of hypergeometric integrals by means of fractional
integration by parts // Quart. J. Math. (Oxford). —1939. —V. 9. — P. 176 —189.
[119] Erdelyi A. Higher Transcendental Functions, Vols. I, II, III / A. Erdelyi, ed. — McGraw-
Hill, 1953. Перепечатано: Malabar, FL: Krieger Publishing Co., 1981.
[120] Erdelyi A. Asymptotic Expansions. New York: Dover, 1956.
[121] Erdelyi A. Asymptotic solutions of differential equations with transition points or
singularities // J. Mathematical Phys. —1960. — V. 1. — P. 16 — 26.
[122] Euler L. De progressionibus transcendentibus sen quaroum termini generales
algebrare dari nequeunt // Comm. Acad. Sci. Petropolitanae. — 1730. — V. 5. —
P. 36-57.

Литература
631
[123] Euler L. De productis ex infinitis factoribus ortis // Comm. Acad. Sci.
Petropolitanae. —1739. —V. 11. — P. 3 — 31. Перепечатано в: Opera Omnia. —1924. —
V. 14.-P. 260-290.
[124] Euler L. Introductio in Analysin Infinitorum. — Lausannae: Marcum-Michaelem
Bousquet, 1748. (Англ. перевод: Springer-Verlag, 1988. Рус. перевод: Введение
в анализ бесконечных. Т. 1 —2. — М.: Физматгиз, 1961.)
[125] Euler L. Institutiones Calculi Integralis, II // Opera Omnia. —1769. — Ser. 1. —
V. 11-13.
[126] Euler L. Specimen transformationis singularis serierum // Nova Acta Acad. Sci.
Petropolitanae. — 1794. — V. 12. — P. 58 — 70. Перепечатано в: Opera Omnia. —
Ser. 1. - V. 16, Part 2. - P. 41 - 55.
[127] Evans R. Identities for Gauss sums over finite fields // Enseign. Math. —1981. —V. 27
(2).-P. 197-209.
[128] Evans R. The evaluation of Selberg character sums // Enseign. Math. —1991. —V. 37
(2).-P. 235-248.
*[129] Faddeev L.D. Discrete Heisenberg-Weyl group and modular group // Lett. Math.
Phys. -1995. - V. 34. - P. 249 - 254.
*[130] Faddeev L.D. Modular double of a quantum group // Conf. Moshe Flato 1999.—
V.I.Dordrecht: Kluwer, 2000. (Math. Phys. Stud.; V. 21).-P. 149-156.
[131] Fejer L. Abschatzungen fur die Legendreschen und verwandte Polynome // Math.
Zeit. -1925. - V. 24. - P. 267 - 284.
*[132] Felder G., Varchenko A. The elliptic gamma function and SL(3, Ζ) κ Ζ3 // Adv. in
Math. - 2000. - V. 156. - P. 44 - 76.
[133] Feldheim E. Contribution a la theorie des polynomes de Jacobi (венг., резюме
φρ.) // Mat. Fiz. Lapik.-1941.-V. 48.-P. 453-504.
[134] Feldheim E. Sur les polynomes generalises de Legendre // Изв. Акад. наук СССР,
сер. матем. —1941. — Т. 5. — С. 241 — 248.
[135] Feldheim E. Contributi alia teoria della funzioni ipergeometriche di piu variabili //
Annali della Scuola Norm. Super, di Pisa. —1943. — Ser. II. —V. 12. — P. 17 — 60.
[136] Feldheim E. Appendix by G. Szego. On the positivity of certain sums of ultraspherical
polynomials // J. Anal. Math. -1963. -V. 11. - P. 275 - 284.
[137] Ferrers N.M. An Elementary Treatise on Spherical Harmonics and Subjects
Connected with Them. — London: Macmillan, 1877.
[138] Fields J.L. A note on the asymptotic expansion of a ratio of gamma functions //
Proc. Edinburgh Math. Soc. -1964. -V. 15. - P. 43 - 45.
[139] Fine N.J. Basic Hypergeometric Series and Applications. — Providence, RI: Amer.
Math. Soc, 1988.
*[140] Flensted-Jensen M. Analysis on non-Riemannian symmetric spaces. — Providence,
RI: Amer. Math. Soc, 1986.
*[141] Flensted-Jensen M., Koornwinder T. The convolution structure for Jacobi
function expansions // Ark. Math. — 1973. —V. 11. — P. 245—262.
[142] Foata D. Etude algebrique de certains problemes d'analyse combinatoire et du calcul
des probabilites // Publ. Inst. Stat. Univ. Paris. —1965.—V. 14. —P. 81 — 241.

632
Литература
*[143] Fokas A.S., Its A. R., KapaevA. A. Novokshenov V. Yu. Painleve transcendents.
The Riemann-Hilbert approach. — Providence, RI: Amer. Math. Soc, 2006. (Рус.
перевод: Итс А. Р., Καπαεβ Α. Α., Новокшенов В. Ю., Фокас А. С. Трансценденты
Пенлеве. Метод задачи Римана. — Ижевск: РХД, 2005.)
[144] Forrester P. J., Rogers J. В. Electrostatics and the zeros of the classical
polynomials // SIAM J. Math. Anal.-1986.-V. 17.-P. 461-468.
*[145] Forrester P. J., Warnaar S.O. The importance of the Selberg integral // Bull.
Amer. Math. Soc. (N. S.).-2008.-V. 45.-P. 489-534.
*[146] Frenkel I. В., Turaev V. G. Elliptic solutions of the Yang-Baxter equation and
modular hypergeometric functions // The Arnold—Gelfand mathematical seminars. —
Boston, MA: Birkhauser Boston, 1997. —P. 171 — 204.
*[147] Friedman E., Ruijsenaars S. Shintani-Barnes zeta and gamma functions // Adv.
in Math. - 2004. - V. 187. - P. 362 - 395.
[148] Frobenius F. G. Uber die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach
gegebenen Functionen fortschreiten // J. Reine Ang. Math. —1871. — V. 73. — P. 1 — 30.
Перепечатано в: Gesammelte Abhandlungen, Band I. — Springer-Verlag, 1968. —
P. 35-64.
[149] Funk P. Beitrage zur Theorie der Kugelfunktionen. — Math. Ann. —1916. —V. 77. —
P. 136-152.
[150] Fuss N. Correspondance Mathematique et Physique de Quelques Celebres Geometres
du XVIIIeme siecle, 1. - Saint-Petersbourg, 1843.
*[151] Gadde Α., Pomoni E., Rastelli L., Razamat S. S. S-duality and 2d topological
QFT // J. High Energy Phys. - 2010. - V. 3. P. 32.
[152] Gasper G. Positive integrals of Bessel functions // SIAM J. Math. Anal.— 1975.—
V. 6.-P. 868-881.
[153] Gasper G. Positive sums of the classical orthogonal polynomials // SIAM J. Math.
Anal. -1977. - V. 8. - P. 423 - 447.
[154] Gasper G. Rogers' linearization formula for the continuous q-ultraspherical
polynomials and quadratic transformation formulas // SIAM J. Math. Anal. —1985. —
V. 16.-P. 1061 -1071.
[155] Gasper G., Rahman M. Basic Hypergeometric Series. — Cambridge: Cambridge
University Press, 1990. (Рус. перевод: Гаспер Дж., Рахман Μ. Базисные
гипергеометрические ряды. — М.: Мир, 1993.)
*[156] Gasper G., Rahman Μ. Basic Hypergeometric Series. — Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 2004. (Encyclopedia of Math. Appl.; V. 96).
[157] Gauss С F. Summatio quarumdam serierum singularium // Commen. Soc. Reg. Sci.
Gotting. Rec. V. I. —1808. (Нем. перевод в: Arithmetische Untersuchungen. — New
York: Chelsea, 1981.)
[158] Gauss С F. Disquisitiones generales circa seriem infinitam // Comm. Soc. Reg. Gott.,
II // Werke. -1812. - V. 3. - P. 123 -162.
[159] Gauss С F. Zur Theorie der neuen Transscendenten, II // Werke. —1866. — V. 3. —
P. 436-445.
[160] Gauss С F. Hundert Theoreme uber die neuen Transscendenten // Werke. —1866. —
V. 3.-P. 461-469.
[161] Gauss С F. Arithmetisch Geometrisches Mittel // Werke. —1866. —V. 3. P. 361 — 403.

Литература
633
[162] Gautschi W. Computational aspects of three-term recurrence relations // SIAM
Review. -1967. - V. 9. - P. 24 - 82.
[163] Gegenbauer L. Ueber einige Bestimmte Integrale // Sitz. Math. Natur. Klasse Akad.
Wiss. Wien. -1875. - V. 70. - P. 433 - 443.
[164] Gessel I., Stanton D. Strange evaluations of hypergeometric series // SIAM J. Math.
Anal. -1982. - V. 11. - P. 295 - 308.
[165] Godsil CD. Hermite polynomials and a duality relation for the matching
polynomial // Combinatorica. —1981. — V. 1. — P. 257 — 262.
[166] Godsil С D. Algebraic Combinatorics. — New York: Chapman and Hall, 1993.
[167] Good I.J. Generalization to severable variables of Lagrange's expansion, with
applications to stochastic processes // Proc. Cambridge Phil. Soc. —1960. — V. 56. —
P. 367-380.
[168] Good I. J. A short proof of MacMahon's «master theorem» // Proc. Cambridge Phil.
Soc. -1962. -V. 58. - P. 160.
[169] Good I.J. Short proof of a conjecture of Dyson // J. Math. Phys. —1970. —V. 11. —
P. 1884.
[170] Gosper R.W., Jr. Decision procedure for indefinite hypergeometric summation //
Proc. Nat. Acad. Sci. USA.-1978.-V. 75.-P. 40-42.
[171] Gould H. W., Hsu L. C. Some new inverse series relations // Duke Math. J. —1973. —
V. 40.-P. 885-891.
[172] Gray J. Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincare. —
Boston: Birkhauser, 1986.
*[173] Groenevelt W. The Wilson function transform // Int. Math. Res. Not.— 2003.—
V. 52.-P. 2779-2817.
[174] Gronwall Т.Н. Ueber die Gibbssche Erscheinung und die trigonometrischen
Summen sin χ + - sin 2x + - sin 3x +... + - sin nx // Math. Ann. — 1912. — V. 72. —
2 3 η
P. 228-243.
[175] Gross В., Ко blitz N. Gauss sums and the p-adic gamma function // Ann. Math. —
1979. - V. 109. - P. 569 - 581.
*[176] Gustafson R. A. Some q-beta integrals on SU(n) and Sp(n) that generalize the Askey-
Wilson and Nassrallah-Rahman integrals // SIAM J. Math. Anal. —1994. — V. 25. —
P. 441-449.
[177] Halmos P. Measure Theory. — Princeton: Van Nostrand, 1950. (Рус. перевод: Хал-
мош П. Теория меры. — М.: ИЛ, 1953; М.: Факториал Пресс, 2003.)
[178] Hamburger Η. Ueber einige Beziehungen, die mit der Funktionalgleichung der
Riemannschen ζ-Funktion aequivalent sind // Math. Ann. — 1922. — V. 85. —
P. 129-140.
[179] Hankel H. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunctionen // Math. Ann. —1875.—
V. 8.-P. 453-470.
[180] Hardy G. H. A new proof of the functional equation for the zeta function // Mat.
Tidsskrift. -1922. - V. B. - P. 71 - 73.
[181] Hardy G. H. A theorem concerning Fourier transforms // J. London Math. Soc. —
1933. - V. 8. - P. 227 - 231.
[182] Hardy G. H. Ramanujan. — Cambridge: Cambridge University Press, 1940.

634
Литература
Hardy G. Η. Divergent Series. — Cambridge: Cambridge University Press, 1949. (Рус.
перевод: Харди Г. Расходящиеся ряды. — Μ.: ИЛ, 1951.)
Неске Е. Ueber orthogonal-invariante Integralgleichungen // Math. Ann.— 1918. —
V. 78.-P. 398-404.
Heckman G.I., Opdam E.M. Root systems and hypergeometric functions. I //
Compositio Math. -1987. - V. 64. - P. 329 - 352.
Heckman G., Schlicktkrull H. Harmonic Analysis and Special Functions on
Symmetric Spaces. — San Diego: Academic Press, 1994.
Heine E. Untersuchungen uber die Reihe... // J. Reine Ang. Math. —1847. —V. 34. —
P. 285-328.
Helversen-Pasotto A. L'identite de Barnes pour les corps finis // С R. Acad. Sci.
Paris. -1978. - Ser. A-B. -V. 286. - P. A297-A300.
Helversen-Pasotto Α., Sole P. Barnes' first lemma and its finite analogue //
Canadian Math. Bull. -1993. -V. 36. - P. 273 - 282.
Her ζ C.S. Bessel functions of matrix argument // Ann. of Math. (2). —1955.—
V. 61.-P. 474-523.
Hermite С Sur les Polynomes de Legendre // Rend. Circ. Mat. Palermo. —1890. —
V. IV. — P. 146 —152. Перепечатано в: Oeuvres. — V. 4. — P. 314 — 320.
Hewitt E. Remark on orthonormal sets in L2(a, b) // Amer. Math. Monthly. —1954. —
V. 61.-P. 249-250.
Hill M.J.M. On a formula for the sum of a finite number of terms of the
hypergeometric series when the fourth element is equal to unity // Proc. London
Math. Soc. (2). -1908. - V. 6. - P. 339 - 348.
Hille E. Analytic Function Theory. Vol. II. — Ginn and Co, 1962. Переиздано: New
York: Chelsea, 1977.
Holder O. Uber einen Mittelwertsatz // Goettinger Nach. —1889. — P. 38 — 47.
Hormander L. The analysis of linear partial differential operators. Vol. 1. Distribution
theory and Fourier analysis. — Berlin: Springer, 1983. (Рус. перевод: М: Мир, 1986.)
Hsu Η.-Υ. Certain integrals and infinite series involving ultraspherical polynomials
and Bessel functions // Duke Math. J. —1938. — V. 4. — P. 374 — 383.
Hylleraas E. Linearization of products of Jacobi polynomials // Math. Scand. —
1962. - V. 10. - P. 189 - 200.
Ingham A. E. The Distribution of Prime Numbers. — London: Cambridge University
Press, 1932.
Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd Ed. —
New York: Springer-Verlag, 1991.
Ismail Μ. Ε. Η. A simple proof of Ramanujan's 1ψ1 sum // Proc. Amer. Math. Soc. —
1977. - V. 63. - P. 185 -186.
Ismail M.E.H., Stanton D. On the Askey—Wilson and Rogers polynomials //
Canadian J. Math. -1988. - V. 40. - P. 1025 -1045.
Ismail M.E.H., Tamhankar M.V. A combinatorial approach to some positivity
problems // SLAM J. Math. Anal. -1979. -V. 10. - P. 478 - 485.
Iwasaki K., Kimura H., Shimomura Sh., Yoshida M. From Gauss to Painleve. A
modern theory of special functions. — Braunschweig: Vieweg & Sohn, 1991.

Литература
635
[205] Jackson D. Ueber eine trigonometrische Summe // Rend. Circ. Mat. Palermo. —
1911. - V. 32. - P. 257 - 262.
*[206] Jackson F. H. The basic gamma-function and the elliptic functions // Proc. Roy. Soc.
London. -1905. V. A76. - P. 127 -144.
[207] Jackson F. H. On q-definite integrals // Quart. J. Pure Appl. Math. —1910. —V. 41. —
P. 193-203.
[208] Jackson F. H. Summation of a q-hypergeometric series // Messenger of Math. —
1921. - V. 50. - P. 101 -112.
[209] Jacob ι C.G. Uber Gauss' neue Methode, die Werthe der Integrale naherungsweise
zu finden // J. Reine Ang. Math. -1826. - V. 1. - P. 301 - 308.
[210] Jacob ι C.G. Fundamenta Nova. — fratrum Borntraeger: Regiomontis, 1829.
Перепечатано в: Werke, Vol. 1. — New York: Chelsea, 1969. — P. 49 — 239.
[211] Jacob ι C. G. De resolutione aequationum per series infinitam // J. Reine Ang. Math. —
1830. - V. 6. - P. 257 - 286.
[212] Jacobi C.G. Demonstrate Formulae... // J. Reine Ang. Math. —1834. — V. 11.—
P. 307.
[213] Jacobi C.G. Untersuchung uber die Differentialgleichung der hypergeometrischen
Reihe // J. Reine Ang. Math. -1859. -V. 56. - P. 149 -165.
[214] Jensen J. L. W. V. An elementary exposition of the theory of the gamma function //
Ann. Math. -1915 -1916. - V. 17. - P. 124 -166.
*[215] Jimbo M., Miwa T. Quantum KZ equation with \q\ = 1 and correlation functions of
the XXZ model in the gapless regime // J. Phys. A: Math. Gen. —1996. — V. 29. —
P. 2923-2958.
[216] John F. Special solutions of certain difference equations // Acta Math.— 1938.—
V. 71.-P. 175-189.
*[217] Kajihara Y., Noumi M. Multiple elliptic hypergeometric series. An approach from
the Cauchy determinant // Indag. Math. — 2003. —V. 14. — P. 395 — 421.
*[218] Kajiwara K., Masuda Т., Noumi Μ., Οητα Υ., Yamada Y. 10E9 solution to the
elliptic Painleve equation // J. Phys. A: Math. Gen. — 2003. — V. 36. —P. L263-L272.
[219] KarlinS.,McGregorJ. L. The differential equations of birth-and-death processes //
Trans. Amer. Math. Soc.-1957.-V. 85.-P. 489-546.
*[220] Kharchev S., Lebedev D., Semenov-Tian-Shansky M. Unitary representations
of i/q(sZ(2,R)), the modular double and the multiparticle q-deformed Toda chains //
Comm. Math. Phys. - 2002. -V. 225. - P. 573 - 609.
[221] Kirillov A.N. Dilogarithm Identities // Preprint Series. — Dept. of Math. Sci.,
University of Tokyo, 1994.
[222] Klein F. Vorlesungen uber die Hypergeometrische Funktion. — Gottingen, 1894.
[223] Knopp M. Modular Forms and Analytic Number Theory. — New York: Markham, 1971.
[224] Koblitz N. p-Adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, New York: Springer-
Verlag, 1977. (Рус. перевод: Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ
и дзета-функции. — М.: Мир, 1982.)
[225] Koblitz N. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — New York: Springer-
Verlag, 1984. (Рус. перевод: Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и
модулярные формы. — М.: Мир, 1988.)

636
Литература
КоекоекR., Lesky Р. Α., SwarttouwR. F. Hypergeometric orthogonal polynomials
and their q-analogues. — Springer, 2010.
Koekoek R., Swarttouw R. F. The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal
polynomials and its q-analogue // Reports of the Faculty of Technical Mathematics
and Informatics. — Delft, 1994. — N 98 —117.
Koelink E., Stockman J. V. Askey—Wilson transform scheme // Special functions
2000: current perspective and future directions / J. Bustoz et al., eds. — Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers, 2001. — P. 221—241.
Koelink E. Spectral theory and special functions // Laredo Lectures on
Orthogonal Polynomials and Special Functions, Adv. Theory Spec. Funct. Orthogonal
Polynomials. — Hauppauge, NY: Nova Sci. Publ., 2004. —P. 45 — 84.
Kogbetliantz E. Recherches sur la sommabilite des series ultraspheriques par la
methode des moyennes arithmetiques // J. Math. Pures Appl. (9). —1924.—V. 3.—
P. 107-187.
Kolberg O. Some identities involving the partition functions // Math. Scand.—
1957.-V. 5.-P. 77-92.
Konno H. Fusion of Baxter's elliptic R-matrix and the vertex-face correspondence //
Lett. Math. Phys. - 2005. -V. 72, N 3. - P. 243 - 258.
Koornwinder Т.Н. The addition formula for Jacobi polynomials, I, Summary of
results // Indag. Math.-1972.-V. 34.-P. 188-191.
Koornwinder Т.Н. Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product
formula // SIAM J. Math. Anal.-1974.-V. 5.-P. 125-137.
Koornwinder Т.Н. Jacobi polynomials, III. An analytic proof of the addition
formula // SIAM J. Math. Anal.-1975.-V. 6.-P. 533-543.
Koornwinder T. H. A new proof of a Paley—Wiener theorem for Jacobi transform //
Ark. Math. -1975. -V. 13. - P. 145 -159.
Koornwinder T. H. Positivity proofs for linearization and connection coefficients of
orthogonal polynomials satisfying an addition formula // J. London Math. Soc. (2). —
1978. - V. 18. - P. 101 -114.
Koornwinder Т.Н. Jacobi functions and analysis on noncompact symmetric
spaces // Special functions: group theoretical aspects and applications / R.?Askey,
T. Koornwinder, eds. — Dodrecht—Boston: Schempp, Reidel, 1984. —P. 1 — 85,
Koornwinder Τ. Η. Special orthogonal polynomial systems mapping to each other
by Fourier—Jacobi transform // Lect. Notes Math.—1985.—V. 1171. —P. 174 — 183.
Koornwinder Т. Н. Jacobi functions as limit cases of q-ultraspherical polynomials //
J. Math. Anal. Appl.-1990.-V. 148.-P. 44-54.
Krattenthaler С Advanced determinant calculus // Sem. Lothar. Combin. —
1999.-V. 42.
Kummer E. Ueber die hypergeometrische Reihe // J. Reine Ang. Math. — V. 15.—
P. 39-83,127-172.
Kummer E. Beitrag zur Theorie der Function Г00 // J. Reine Ang. Math.— 1847.—
V. 35.-P. 1-4.
Lang S. Cyclotomic Fields II. — New York: Springer-Verlag, 1980.
Lesky P. A. Endliche und unendliche Systeme von kontinuierlichen klassischen
Orthogonalpolynomen // Z. Angew. Math. Mech. —1996. — V. 76, N 3. —P. 181 — 184.

Литература
637
*[246] Lesky P. A. Unendliche und endliche Orthogonalsysteme von continuous
Hahnpolynomen // Results Math.-1997.-V. 31, N 1-2.-P. 127-135.
[247] Lewin L. Polylogarithms and Associated Functions, New York: North-Holland, 1981.
[248] Lewin L. Structural Properties of Polylogarithms, Providence, RI: Amer. Math. Soc,
1981.
[249] Liouville J. Sur quelques integrates definies // J. Math. Pures Appl. —1839. —
Ser. 1. - V. 4. - P. 229 - 235.
[250] Liouville J. Sur un theoreme relatif a Tintegrale eulerienne de seconde espece //
J. Math. Pure Appl. -1855. - Ser. l.-V. 20.-P. 157-160.
[251] Little wood J. E. Little wood's Miscellany / B. Bollobas, ed. — Cambridge: Cambridge
University Press, 1986. (Рус. перевод: Литлвуд Дж. Математическая смесь. — Μ.:
Физматлит, 1962.)
[252] Lorch L., Muldoon Μ. Ε., Szego P. Higher monotonicity properties of certain
Sturm-Liouville functions, III // Canadian J. Math. —1970.—V. 22. —P. 1238 — 1265.
[253] Lorch L., Muldoon M.E., Szego P. Higher monotonicity properties of certain
Sturm-Liouville functions, IV // Canadian J. Math. —1972.—V. 24. —P. 349 — 368.
[254] Lorch L., Szego P. Higher monotonicity properties of certain Sturm-Liouville
functions // Acta Math. -1963. - V. 109. - P. 55 - 73.
[255] LorentzG.G., ZellerK. Abschnittlimitierbarkeit und der Satz von Hardy-Bohr //
Arch. Math. (Basel).-1964.-V. 15.-P. 208-213.
[256] LorentzenL., WaadelandH. Continued Fractions with Applications. — Amsterdam:
North-Holland, 1992.
*[257] MacdonaldI.G. Spherical functions on groups of p-adic type. — Madras, 1971. (Рус.
перевод: УМН. -1973. - Т. 28. - С. 155-224.)
[258] Macdonald I.G. Symmetric Functions and Hall Polynomials, 2nd ed. — Oxford:
Oxford University Press, 1995.
[259] MacMahon P. A. Combinatory Analysis, Cambridge: Cambridge University Press,
1917 — 1918. Перепечатано: New York: Chelsea, 1984.
[260] Magnus A. Associated Askey—Wilson polynomials as Laguerre—Hahn orthogonal
polynomials // Orthogonal Polynomials and Their Applications (Segovia, 1986) /
M.Alfaro et al, eds. — New York: Springer-Verlag, 1988. (Lecture Notes in Math.;
No. 1329).-P. 261-378.
*[261] Magnus A. P. Rational interpolation to solutions of Riccati difference equations on
elliptic lattices // J. Сотр. Appl. Math. — 2009. — V. 233, N 3. —P. 793 — 801.
*[262] Magnus A. P. Elliptic hypergeometric solutions to elliptic difference equations //
SIGMA. - 2009. - V. 5. - P. 38.
[263] Makai E. An integral inequality satisfied by Bessel functions // Acta Math. Acad. Sci.
Hungaricae. -1974. - V. 25. - P. 387 - 390.
*[264] MehlerF. G. Ueber eine mit den Kugel und Cylindrfunctionen verwandte Function
und ihre Anwedung in der Theorie der Elektricitatsvertheilung // Math. Ann. —1881. —
V. 18.-P. 161-194.
[265] Mehta M.L. Random Matrices, 2nd ed. — Boston: Academic Press, 1991. (Рус.
перевод: Мета М. Л. Случайные матрицы.— Μ.: МЦНМО, 2012.)

638
Литература
[266] Miller W., Jr. Symmetry Groups and Their Applications. — New York: Academic
Press, 1972.
[267] Milne S. С Multiple q-series and U(n) generalizations of Ramanujan's 1ψ1 sum //
Ramanujan Revisited / G. Andrews et al., eds. — New York: Academic Press, 1988. —
P. 473-524.
[268] MilneS.C.,LillyG.M. Consequences of the Al and Q Bailey transform and Bailey
lemma // Discrete Math. -1995. - V. 139. - P. 319 - 346.
[269] Moak D.S. The q-gamma function for q>l // Aequat. Math. —1980. — V. 20.—
P. 278-285.
[270] Monsky P. Simplifying the proof of Dirichlet's theorem // Amer. Math. Monthly. —
1993. - V. 100. - P. 861 - 862.
[271] Morita Y. A p-adic analog of the Γ-function // J. Fac. Sci. Tokyo, Sec. 1A. —1975. —
V. 22.-P. 255-266.
[272] Morris W. G. Constant term identities for finite and affine root systems: Conjectures
and theorems // Ph. D. Thesis. — University of Wisconsin-Madison, 1984.
[273] Muller С Spherical Harmonics. — New York: Springer-Verlag, 1966. (Lecture Notes
in Mathematics; V. 7).
[274] Murphy R. Second memoir on the inverse method of definite integrals // Trans.
Cambridge Phil. Soc.-1835.-V. 5.-P. 113-148.
* [275] Naruk awa A. The modular properties and the integral representations of the multiple
elliptic gamma functions // Adv. in Math. — 2005. —V. 189. — P. 247 — 267.
[276] Nassarallah В., Rahman M. Projection formulas, a reproducing kernel and a
generating function for q-Wilson polynomials // SIAM J. Math. Anal. —1985. — V. 16. —
P. 186-197.
[277] Nemes I., Petkovsek M., Wilf H., Zeilberger D. How to do Monthly Problems
with your computer // Amer. Math. Monthly. —1997. —V. 104. —P. 505 — 519.
*[278] Neretin Yu. A. Difference Sturm—Liouville problems in the imaginary direction //
J. of Spectral Theory. — 2012.
[279] Nevai P. Orthogonal Polynomials. — Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1979.
[280] Nevai P. Orthogonal Polynomials: Theory and Practice / P. Nevai, ed. — Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers, 1990.
[281] Newton I. The Correspondence of Isaac Newton. — Cambridge: Cambridge University
Press, 1960.-V. 2.-P. 1676-1687.
[282] Nielsen N. Handbuch der Theorie der Gamma Funktion. — Leipzig: B. B.Teubner,
1906.
*[283] Noumi M. Painleve equations through symmetry. — Providence, RI: Amer. Math. Soc,
2004.
[284] Olver F. W. J. Asymptotics and Special Functions. — New York: Academic Press, 1974.
[285] PapperitzE. Ueber die Darstellung der hypergeometrischen Transcendenten durch
eindeutige Functionen // Math. Ann. —1889. — V. 34. —P. 247 — 296.
[286] Petkovsek M., Wilf H., Zeilberger D. A = B. — Wellesley, MA: A.K.Peters, 1996.
[287] Pfaff J. F. Disquisitiones Analyticae, I. — Helmstadt, 1797.

Литература
639
[288] Pfaff J. F. Observations analyticae ad L. Euleri Institutiones Calculi Integralis. Vol. IV,
Supplem. II et IV, Historie de 1793 // Nova Acata Acad. Scie. Petropolitanae. —1797. —
V. XI.— P. 38 — 57. (Замечание: в историческом разделе этого журнала страницы
нумеруются отдельно от научного раздела.)
[289] Poincare Η. Sur les integrates irregulieres des equations lineares // Acta Math.—
1886. - V. 8. - P. 295 - 344.
[290] Poisson S. D. Suite du Memoire sur les integrates definies et sur la sommation de
series // Paris Jour, de l'Ecole Polytechnique. —1823. —V. 19. — P. 404 — 509, особенно
с. 477-478.
[291] Polya G. Collected Papers, Vols. I-IV. — Cambridge, MA: MIT Press, 1984.
[292] Polya G., Szego G. Problems and Theorems in Analysis, Vols. I, II.— New York:
Springer-Verlag, 1972. (Рус. перевод с более раннего издания: Полна Г., Сеге Г.
Задачи и теоремы из анализа. Т. 1 —2. — М.: Гостехиздат, 1956.)
* [293] Racah G. Theory of complex spectra I—III // Phys. Rev. —1941. — V 61. — P. 186 -197.
1942. - V. 62. - P. 438 - 462. 1943. - V 63. - P. 367 - 382.
[294] Rademacher H. On the transformation of log η(τ) // J. Indian Math. Soc. —1955. —
V. 19.-P. 25-30.
[295] Rademacher H. Topics in Analytic Number Theory.— New York: Springer-Verlag,
1973.
[296] Rahman M. A non-negative representation of the linearization coefficients of the
product of Jacobi polynomials // Canadian J. Math. —1981. — V 33. —P. 915 — 928.
*[297] Rahman M. An integral representation of a ιοφ9 and continuous bi-orthogonal 10φ9
rational functions // Can. J. Math. —1986.—V. 38. —P. 605 — 618.
[298] Rahman M. q-Wilson functions of the second kind // SIAM J. Math. Anal. — 1986. —
V 17.-P. 1280-1286.
*[299] Rains E. M. Transformations of elliptic hypergeometric integrals // Ann. of Math. —
2010. - V. 171. - P. 169 - 243.
*[300] Rains E.M. BCn-symmetric abelian functions // Duke Math. J.— 2006.—V. 135,
N1.-P. 99-180.
* [301] R α ι ν s Ε. Μ. Recurrences for elliptic hypergeometric integrals // Rokko Lect. in Math. —
2005. - V. 18. - P. 183 -199.
*[302] Rains E.M. Limits of elliptic hypergeometric integrals // Ramanujan J.— 2009.—
V. 18, N3.-P. 257-306.
*[303] Rains E.M. Elliptic Littlewood identities // J. Comb. Theory. — 2012. — V. A 119,
N7.-P. 1558-1609.
*[304] Rains Ε. Μ. An isomonodromy interpretation of the hypergeometric solution of the
elliptic Painleve equation (and generalizations) // SIGMA. —2011.—V 7. —P. 88.
[305] Ramanujan S. Collected Papers. — Cambridge University Press, 1927. Перепечатано:
New York: Chelsea, 1962.
[306] Ramanujan S. The Lost Notebook. — New Delhi: Narosa Publishing House, 1988.
[307] Raynal J. On the definition and properties of generalized 6—j symbols // J. Math.
Phys. -1979. - V. 20. - P. 2398 - 2415.

640
Литература
*[308] Reed Μ., Simon В. Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis.
Self-adjointness. — New York, London: Academic Press, 1975. (Рус. перевод: Рид М.,
Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. Гармонический
анализ. Самосопряженность. — М.: Мир, 1982.)
[309] Riemann В. Beitrage zur Theorie der durch Gauss'sche Reihe ¥{α,β,γ,χ)
darstellbaren Functionen // K. Ges. Wiss. Gottingen. —1857.—V. 7. —P. 1 — 24.
[310] Riemann B. Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebene Grosse. // Monatsb.
Berliner Akad. —1859. — P. 671 — 680. Перепечатано: Gesammelte Mathematische
Werke, paper 7. — Springer-Verlag, 1990.
[311] RoGERsL.J.An extension of a certain theorem in inequalities // Messenger of Math. —
1888. - V. 17. - P. 145 -150.
[312] Rogers L.J. Second memoir on the expansion of certain infinite products // Proc.
London Math. Soc.-1894.-V. 25.-P. 318-343.
[313] Rogers L.J. Third memoir on the expansion of certain infinite products // Proc.
London Math. Soc.-1895.-V. 26.-P. 15-32.
00
[314] Rogers L. J. On function sum theorems connected with the series J] xn/n2 // Proc.
London Math. Soc. -1907. - V. 4. - P. 169 -189.
[315] Rogers L. J. On two theorems of combinatory analysis and allied identities // Proc.
London Math. Soc. (2)-1917.-V. 16.-P. 315-336.
*[316] Romanovski V. I. Sur quelques classes nouwels of polynomes orthogonaux // Compt.
Rend. Acad. Sci. Paris.-1929.-V. 188.-P. 1023-1025.
[317] Roosenraad C.T. Inequalities with orthogonal polynomials // Ph. D. Thesis.—
University of Wisconsin-Madison, 1969.
*[318] Rosengren H. Elliptic hypergeometric series on root systems // Adv. in Math. —
2004. - V. 181. - P. 417 - 447.
*[319] Rosengren H. An elementary approach to 6;-symbols (classical, quantum, rational,
trigonometric, and elliptic) // Ramanujan J. —2007.—V. 13, N 1 — 3. —P. 131 — 166.
*[320] Rosengren H. Sklyanin invariant integration // Internat. Math. Res. Notices. —
2004. - N 60. - P. 3207 - 3232.
*[321] Rosengren H. Felder's elliptic quantum group and elliptic hypergeometric series on
the root system An // Internat. Math. Res. Notices. — 2011. — N 13. — P. 2861 — 2920.
*[322] Rosengren H., SchlosserM. Elliptic determinant evaluations and the Macdonald
identities for affine root systems // Compos. Math. — 2006. — V. 142, N 4. —
P. 937-961.
[323] Rot η ε Η. A. Systematisches Lehrbuch der Arithmetic. — Leipzig, 1811.
[324] Roy R. The discovery of the series formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha //
Math. Mag.-1990.-V. 63.-P. 291-306.
[325] Roy R. The work of Chebyshev on orthogonal polynomials // Topics in Polynomials
of One and Several Variables and Their Applications / Th. Rassias, Η. Μ. Srivastava,
A. Yanushauskas, eds. — Singapore: World Scientific, 1993. —P. 495 — 512.
[326] Rudin W. Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. — New York: McGraw-Hill,
1976. (Рус. перевод: Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1966,
1976. СПб: Лань, 2002.)

Литература
641
*[327] Ruijsenaars S.N.M. First order analytic difference equations and integrable
quantum systems // J. Math. Phys.—1997.—V. 38. —P. 1069 — 1146.
[328] SaalschutzL. Eine Summationsformel // Zeitschrift Math. Phys. —1890. —V. 35. —
P. 186-188.
[329] Saff E. В., Varga R. S. Zero-free parabolic regions for sequences of polynomials //
SIAM J. Math. Anal. -1976. - V. 7. - P. 344 - 357.
*[330] Sakai H. Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of the
Painleve equations // Comm. Math. Phys. —2001.—V. 220. —P. 165 — 229.
[331] Salamin E. Computation of π using arithmetic-geometric mean // Math. Comput. —
1976. - V. 30. - P. 565 - 570.
[332] ScharlauW., OpolkaH. From Fermat to Minkowski. — New York: Springer-Verlag,
1985.
[333] Schiff L. I. Quantum Mechanics. — New York: Addison-Wesley, 1947. (Рус. перевод:
Шифф Л. И. Квантовая механика. —М.: ИЛ, 1957,1959.)
*[334] SchlosserM. Elliptic enumeration of nonintersecting lattice paths // J. Combin. Th.
Ser. A. - 2007. -V. 113, N 3. - P. 505 - 521.
[335] Schur I. Uber die Verteilung derWurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen
mit ganzzahligen Koeffizienten // Math. Zeit. —1918.—V. 1. —P. 377 — 402.
[336] Schur I. Uber die Gaussschen Summen // Nach. Gesel. Gottingen, Math-Phys.
Klasse. -1921. - P. 147 -153.
[337] Schutzenberger M.-P. Une interpretation de certaines solutions de Fequation
fonctionelle: F(x + y)=F(x)F(y) // С R. Acad. Sci. Paris —1953. — V. 236.—
P. 352-353.
[338] Sears D. B. Transformations of basic hypergeometric functions of special type // Proc.
London Math. Soc. (2).-1951.-V. 53.-P. 138-157.
* [339] S ε ι в ε rg N. Electric-magnetic duality in supersymmetric non-Abelian gauge theories //
Nucl. Phys.-1995.-V. B435.-P. 129-146.
[340] S el в erg A. Bemerkninger om et multipelt integral // Norske Mat. Tidsskr. —1944. —
V. 26.-P. 71-78.
[341] Sheppard W. F. Summation of the coefficients of some terminating hypergeometric
series —Proc. London Math. Soc. (2)—V. 10. —P. 469 — 478.
[342] Siegel С L. The trace of totally positive and real algebraic integers // Ann. Math. —
1945. -V. 46. - P. 302 - 313.
[343] Siegel C.L. A simple proof of η(-1/τ) = η(τ)<>/τ72 // Mathematica. —1954. —
V. 1.-P. 4.
[344] Simpson T. The invention of a general method for determining the sum of every
second, third, fourth, or fifth, etc. term of a series, taken in order; the sum of
the whole series being known // Phil. Trans. Royal Soc. London. —1759. — V. 50. —
P. 757-769.
*[345] Slater L.J. Generalized hypergeometric functions. — Cambridge: Cambridge
University Press, 1966.
*[346] Slater L. J. Confluent hypergeometric functions. — New York: Cambridge University
Press, 1960. (Рус. перевод: Слейтер Л. Дж. Вырожденные гипергеометрические
функции.-М.: ВЦ АН СССР, 1966.)

642
Литература
[347] Smith H. J. S. Report on the Theory of Numbers. —1859 —1865. Перепечатано: New
York: Chelsea, 1965.
*[348] Spiridonov V. P. Theta hypergeometric series // Proc. NATO ASI. Asymptotic
Combinatorics with Applications to Mathematical Physics. (St. Petersburg, Russia,
July 9-23, 2001).-Dordrecht: Kluwer, 2002.-P. 307-327.
*[349] Spiridonov V. P. An elliptic incarnation of the Bailey chain // Internat. Math. Res.
Notices. - 2002. - N 37. - P. 1945 -1977.
*[350] Spiridonov V. P. Theta hypergeometric integrals // Алгебра и анализ. — 2003. —
Т. 15, вып. 6.-С. 161-215.
*[351] Spiridonov V. P. Short proofs of the elliptic beta integrals // Ramanujan J. — 2007. —
V. 13.-P. 265-283.
*[352] Spiridonov V. P. Elliptic hypergeometric terms // SMF Seminaire et Congres.—
2011. - V. 23. - P. 385 - 405.
*[353] SpiridonovV. P. Elliptic beta integrals and solvable models of statistical mechanics //
Contemp. Math.-2012.-V. 563.-P. 181-211. ArXiv:1011.3798.
*[354] SpiridonovV. P. Modified elliptic gamma functions and 6d superconformal indices.
ArXiv:1211.2703.
*[355] Spiridonov V. P., Vartanov G.S. Elliptic hypergeometry of supersymmetric
dualities // Comm. Math. Phys.-2011.-V. 304.-P. 797-874.
*[356] Spiridonov V. P., Vartanov G.S. Elliptic hypergeometry of supersymmetric
dualities II. Orthogonal groups, knots, and vortices. ArXiv:1107.5788, to appear in
Comm. Math. Phys.
*[357] Spiridonov V. P., Warnaar S. O. Inversions of integral operators and elliptic beta
integrals on root systems // Adv. in Math. — 2006. —V. 207. — P. 91 — 132.
*[358] SpiridonovV. P., Warnaar S. O. New multiple 6ψ6 summation formulas and related
conjectures // Ramanujan J. — 2011. —V. 25, N 3. — P. 319 — 342.
*[359] Spiridonov V. P., Zhedanov A. S. Spectral transformation chains and some new
biorthogonal rational functions // Comm. Math. Phys. — 2000. — V. 210. —P. 49 — 83.
*[360] SpiridonovV. P., Zhedanov A. S. To the theory of biorthogonal rational functions //
RIMS Kokyuroku. - 2003. - V. 1302. - P. 172 -192.
*[361] Spiridonov V. P., Zhedanov A. S. Elliptic grids, rational functions, and the Pade
interpolation // Ramanujan J. — 2007. — V. 13, N 1 — 3. — P. 285 — 310.
[362] Stanton D. Recent results for the q-Lagrange inversion formula // Ramanujan
Revisited / G.E.Andrews, R.Askey, B.Berndt, K.G.Ramanathan, and R.A.Rankin,
eds. — San Diego: Academic Press, 1988. —P. 525 — 536.
[363] Stieltjes T.J. Collected Papers, Vols. I and II. —New York: Springer-Verlag, 1993.
[364] Stirling J. Methodus Differential. — London, 1730.
[365] Stone Μ. Η. A generalized Weierstrass approximation theorem // Studies in Modern
Analysis / R. С Buck, ed. — Math. Assoc. America, 1962.
[366] SYLVESTERj.J.On Mr. СаукуЪ impromptu demonstration of the rule for determining
at sight the degree of any symmetrical function of the roots of an equation expressed
in terms of the coefficients // Phil. Mag. —1853. — V. 5. — P. 199 — 202. Collected
Papers, Vol. 1.-P. 594-598.

Литература
643
[367] Sylvester J. J. Note on the graphical method in partitions of η // Proc. Cambridge
Phil. Soc.-1883.-V. 19.-P. 207-210.
[368] Sylvester J. J. Lectures on the theory of reciprocants // Amer. J. Math. —1886. —
V. 8.-P. 196-260; V. 9.-P. 1-37. P. 113-161. P. 297-352; V. 10.-P.1-116.
[369] SzAsz O. On the relative extrema of ultraspherical polynomials // Bollettino della
Unione Matematica Italiana. —1950.—V. 5 (3). —P. 125 — 127.
[370] S ζ As ζ Ο. On the relative extrema of the Hermite orthogonal functions // J. Indian
Math. Soc.-1951.-V. 25.-P. 1340-1345.
[371] Szego G. Ueber gewisse Potenzreihen mit lauter positiven Koeffizienten // Math.
Zeit. -1933. - V. 37. - P. 674 - 688.
[372] Szego G. Inequalities for the zeros of Legendre polynomials and related functions //
Trans. Amer. Math. Soc—1936.— V. 39. —P. 1 — 17.
[373] Szego G. On an inequality of Turan concerning Legendre polynomials // Bull. Amer.
Math. Soc. -1948. - V. 54. - P. 401 - 405.
[374] Szego G. On the relative extrema of Legendre polynomials // Bollettino della Unione
Matematica Italiana. —1950. — V. 5 (4). — P. 120 —121.
[375] Szego G. Orthogonal Polynomials. — Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1975.
[376] Szwarc R. Orthogonal polynomials and a discrete boundary value problem II //
SIAM J. Math. Anal.-1992.-V. 23.-P. 965-969.
[377] Takacs L. On an identity of Shih-Chieh Chu // Acta Sci. Math. (Szeged). —1973.—
V. 34.-P. 383-391.
4378;
[379;
[38o;
Terras A. Harmonic analysis on symmetric spaces and applications. V. 1 — 2.—
Springer, 1988.
Thomae J. Beitrage zur Theorie der durch die Heinesche Reihe... // J. Reine Ang.
Math. -1869. - V. 70. - P. 258 - 281.
Thomae J. Uber die Funktionen welche durch Reihen von der Form dargestellt
werden: 1 + ψ/^ + ... // Journal Math. -1879. -V. 87. - P. 26 - 73.
[381] Titchmarsh E. С Introduction to the Theory of Fourier Integrals. — London: Oxford
University Press, 1937. (Рус. перевод: Титчмарш Ε. Введение в теорию интегралов
Фурье.-М.-Л.: ГИТЛ, 1948.)
*[382] Titchmarsh Ε.С. Eigenfunction expansions with second-order differential
operators. — Oxford: Clarendon Press, 1946. (Рус. перевод: Титчмарш Э.Ч.
Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными
уравнениями второго порядка. — М.: ИЛ, 1960.)
[383] Todd J. On the relative extrema of Laguerre orthogonal functions // Bollettino della
Unione Matematica Italiana. —1950. — V. 5 (3). —P. 120 — 125.
[384] Tricomi F. G., Erdelyi A. The asymptotic expansion of a ratio of gamma functions //
Рас. J. Math.-1951.-V. l.-P. 133-142.
[385] Turan P. On a trigonometrical sum // Ann. Soc. Polonaise Math.—1952.—V. 25.—
P. 155-161.
[386] Tweddle I. James Stirling. — Edinburgh: Scottish Academic Press, 1988.
*[387] van deBultF. J. Hyperbolic hypergeometric functions // Ph. D. thesis. — University
of Amsterdam, 2007.

644
Литература
*[388] van de Bult F.J. An elliptic hypergeometric integral with W(F4) symmetry //
Ramanujan J. - 2011. - V. 25, N 1. - P. 1 - 20.
*[389] van de Bult F.J. An elliptic hypergeometric beta integral transformation.
ArXiv:0912.3812.
*[390] van de Bult F.J. Two multivariate quadratic transformations of elliptic
hypergeometric integrals. ArXiv:1109.1123.
*[391] van de Bult F. J., Rains E. M. Basic hypergeometric functions as limits of elliptic
hypergeometric functions // SIGMA. — 2009. — V. 5. —P. 59.
*[392] van de Bult F. J., Rains E.M. Limits of elliptic hypergeometric biorthogonal
functions. ArXiv:1110.1456; Limits of multivariate elliptic hypergeometric biorthogonal
functions. ArXiv:1110.1458; Limits of multivariate elliptic beta integrals and related
bilinear forms. ArXiv:1110.1460.
*[393] van de Bult F. J., Rains E. M., Stokman J. V. Properties of generalized univariate
hypergeometric functions // Comm. Math. Phys. —2007.—V. 275. —P. 37 — 95.
[394] van der Poorten A. A proof that Euler missed... Apery's proof of the irrationality
of CO) // Math. Intelligencer.-1979.-V. 2.-P. 195-203.
*[395] van Diejen J. F., Spiridonov V. P. An elliptic Macdonald-Morris conjecture and
multiple modular hypergeometric sums // Math. Res. Letters. — 2000. — V. 7. —
P. 729-746.
*[396] van Diejen J. F., Spiridonov V. P. Elliptic Selberg integrals // Internat. Math. Res.
Notices. - 2001. - N 20. - P. 1083 -1110.
*[397] van Diejen J.F., Spiridonov V. P. Unit circle elliptic beta integrals //
Ramanujan J. - 2005. -V. 10, N 2. - P. 187 - 204.
[398] Van Loan C. Computational Frameworks for the Fast Fourier Transform. —
Philadelphia: SIAM, 1992.
[399] Viennot G. Une Theorie Combinatoire des Polynomes Orthogonaux Generaux.—
UQAM: Lecture Notes, 1983.
[400] Vietoris L. Ueber das Vorzeichen gewisser trigonometrischer Summen // Sitzungsber.
Oest. Akad. Wiss. -1958. -V. 167. - P. 125 -135.
[401] Vietoris L. Ueber das Vorzeichen gewisser trigonometrischer Summen, II //
Sitzungsber. Oest. Akad. Wiss.-1959.-V. 167.-P. 192-193.
*[402] Vilenkin N. J., Klimyk A.U. Representation of Lie groups and special functions.
Vol. 1. Simplest Lie groups, special functions and integral transforms. — Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers Group, 1991. Vol. 2. Class I representations, special
functions, and integral transforms. —1993. Vol. 3. Classical and quantum groups
and special functions. Mathematics. —1992. Recent advances. —1995.
[403] Vilenkin N. J., Klimyk A. Representation of Lie Groups, Special Functions and
Integral Transforms.—Amsterdam: Kluwer Academic, 1992.
*[404] Volkov A.Yu. Noncommutative hypergeometry // Comm. Math. Phys.— 2005. —
V. 258.-P. 257-273.
[405] Wallis J. Arithmetica Infinitorum. — Oxford, 1656.
[406] Wang Z.X., Guo D. R. Special Functions. — Singapore: World Scientific, 1989.
*[407] Warnaar S. O. Summation and transformation formulas for elliptic hypergeometric
series // Constr. Approx.—2002.—V 18. —P. 479 — 502.

Литература
645
*[408] Warnaar S. О. Extensions of the well-poised and elliptic well-poised Bailey lemma //
Indag. Math. (N. S.).-2003.-V. 14.-P. 571-588.
*[409] Warnaar S. O. Summation formulae for elliptic hypergeometric series // Proc. Amer.
Math. Soc.-2005.-V. 133.-P. 519-527.
[410] Watson G.N. Asymptotic expansions of Hypergeometric functions // Trans.
Cambridge Phil. Soc.-1918.-V. 22.-P. 277-308.
[411] Watson G. N. A note on generalized hypergeometric series // Proc. London Math.
Soc. (2).-1925.-V. 23.-P. xiii-xv (Records for 8 Nov. 1923).
[412] Watson G. N. A new proof of the Rogers—Ramanujan identities // J. London Math.
Soc. -1929. - V. 4. - P. 4 - 9.
*[413] Watson G. N. The Mock Theta Functions // Proc. London Math. Soc. (2). —1937.—
V. 42, N1.-P. 274-304.
[414] Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd Ed. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1944.
[415] Weil A. Number of solutions of equations in a finite field // Bull. Amer. Math. Soc. —
1949.-V. 55.-P. 497-508.
[416] Weil A. Sur une formule classique // J. Math. Soc. Japan. —1968. — V. 20.—
P. 400-402.
[417] Weil A. Two lectures on number theory, past and present. Collected Papers, Vol. III. —
New York: Springer-Verlag, 1974.
[418] Weil A. Elliptic Functions According to Eisenstein and Kronecker. — New York:
Springer-Verlag, 1976. (Рус. перевод: Вейль А. Эллиптические функции по
Эйзенштейну и Кронекеру. — М.: Мир, 1978.)
[419] Weil A. Number Theory, from Hammurabi to Legendre. — Boston: Birkhauser, 1983.
*[420] Weyl H. Uber gewonliche lineare Differentialgleichungen mis singularen Stellen und
ihre Eigenfunktionen (2 Note) // Nachr. Konig. Gess. Wissen. Gottingen. Math.-Phys. —
1910.— P. 442 — 467. Перепечатано: Weyl H. Gessamelte Abhandlungen, Bd. 1.—
Springer, 1968. - P. 222 - 247,
[421] Whipple F.J.W. On well-poised series, generalized hypergeometric series having
parameters in pairs each pair with the same sum // Proc. London Math. Soc. (2). —
1926. - V. 24. - P. 247 - 263.
[422] Whittaker E.T. An expression of certain known functions as generalized
hypergeometric series // Bull. Amer. Math. Soc. —1904. — V. 10. —P. 125 — 134.
[423] Whittaker E.T., Watson G.N. A Course of Modern Analysis, 4th Ed.— London:
Cambridge University Press, 1940. (Рус. перевод: Уиттекер Ε. Т., Ватсон Дж.Н.
Курс современного анализа. Ч. 1, 2. — М.: Физматгиз, 1963.)
[424] Wiener N. The Fourier Integral and Certain of Its Applications. — Cambridge, 1933.
Перепечатано: New York: Dover, 1958. (Рус. перевод: Винер Н. Интеграл Фурье
и некоторые его обобщения. — М.: Физматгиз, 1963.)
[425] Wilkins J. Ε. Nicholson's integral for J*(z) + Y*(z) // Bull. Amer. Math. Soc.—
1948.-V. 54.-P. 232-234.
[426] Wilson J. A. Three-term contiguous relations and some new orthogonal
polynomials // Pade and Rational Approximations / E. B. Saff and R. S. Varga, eds. —
New York: Academic Press, 1977.

646
Литература
[427] Wilson J. A. Hypergeometric series, recurrence relations and some new orthogonal
polynomials // Ph. D. Thesis. — Madison: University of Wisconsin, 1978.
[428] Wilson J. A. Orthogonal functions for Gram determinants // SIAM J. Math. Anal. —
1991. - V. 22. - P. 1147 -1155.
*[429] Wimp J. A class of integral transforms. // Proc. Edinburgh Math. Soc. (2). —
1964/1965. - V. 14. - P. 33 - 40
[430] Wong R. Asymptotic Approximations of Integrals. — New York: Academic Press, 1989.
*[431] Yakubovich S.B., Luchko Yu.F. The hypergeometric approach to integral
transforms and convolutions. — Kluwer, 1994.
[432] Zagier D. The dilogarithm in geometry and number theory // Number Theory and
Related Topics / R. Askey et al., eds. — Oxford: Oxford University Press, 1989. —
P. 231-249.
[433] Zeilberger D. Sister Celine's technique and its generalizations // J. Math. Anal.
Appl. -1982. - V. 85. - P. 114 -145.
[434] Zeilberger D. Theorems for a price: Tomorrow's semi-rigorous mathematical
culture // The Math. Intelligencer. —1994. — V. 16, N 4. —P. 11 — 14.
*[435] Zhedanov A.S. Biorthogonal rational functions and the generalized eigenvalue
problem // J. Approx. Theory.-1999.-V. 101.-P. 303-329.
*[436] Zhedanov A. S. Pade interpolation table and biorthogonal rational functions // Rokko
Lect. in Math. - 2005. - V. 18. - P. 323 - 363.
*[437] Zhedanov A. S. Elliptic polynomials orthogonal on the unit circle with a dense point
spectrum // Ramanujan J. — 2009. — V. 19, N 3. — P. 351 — 384.
*[438] Алексеевский Д. В., Винберг Э.Б., Солодовников А. С. Геометрия
пространств постоянной кривизны // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат.
Фундам. направления. —1988. —Т. 29. —С. 5 — 146.
*[439] Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. — М.: Наука, 1970.
[440] Виленкин Н.Я. Некоторые соотношения для функций Гегенбауэра // УМН.—
1958.-Т. 13, вып. З.-Р. 167-172.
[441] Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. —
М.: Наука, 1965. (Англ. перевод: Special Functions and the Theory of Group
Representations. — Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1968. (Translations of Math.
Monographs 22).)
*[442] Гельфанд И. М., Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И. Обобщенные функции,
вып. 6. Теория представлений и автоморфные функции. — М.: Наука, 1966.
*[443] Гельфанд И. М., Граев М. И., Ретах В. С. Общие гипергеометрические системы
уравнений и ряды гипергеометрического типа // УМН. —1992. — Т. 47, вып. 4. —
С. 3-82.
*[444] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними. —
М.: Физматлит, 1959.
*[445] Зудилин В. В. Арифметические гипергеометрические ряды // УМН.— 2011.—
Т. 66, вып. 2. - С. 163 - 216.
*[446] Карасёв М.В., Козлов М.Б. Решения Флоке для гамильтонианов над su(2) с
точки зрения симплектической геометрии и когерентных состояний // Алгебра
и анализ. —1994. —Т. 6, вып. 5. —С. 231 — 251.

Литература
647
* [447] Колмогорова.Η.,ФоминС.В. Элементы теории функций и функционального
анализа. — М.: Физматлит, 2006.
[448] Ланцевицкий И.Л. Об ортогональности полиномов Фейера—Сеге // ДАН
СССР. -1941. - Т. 31. - С. 199 - 200.
*[449] Маричев О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций
(теория и таблицы формул). — Минск: Наука и техника, 1978. (Англ. перевод:
Marichev О. I. Handbook of integral transforms of higher transcendental functions. —
Wiley and Sons, 1983.)
*[450] Маркушевич А. И. Теория аналитических функций.— М.: Наука, 1967.
*[451] Молчанов В. Φ. Формула Планшереля для псевдоримановых симметрических
пространств ранга 1 // Докл. АН СССР. —1986. — Т. 290, № 3. —С. 545 — 549.
*[452] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
[453] Натансон И. П. Конструктивная теория функций. — М.-Л.: ПТИ, 1949. (Англ.
перевод: Natanson I. P. Constructive Function Theory, Vol. III. — New York: Frederick
Ungar Publishing Co., 1965.)
*[454] Неретин Ю.А. Голоморфные продолжения представлений группы
диффеоморфизмов окружности // Мат. сборник. —1989. — Т. 180, № 5. —С. 635 — 657.
*[455] Неретин Ю.А. Индексное гипергеометрическое преобразование и имитация
анализа ядер Березина на гиперболических пространствах // Мат. сборник. —
2001. - Т. 192, № 3. - С. 83 -114.
*[456] НеретинЮ.А. Бета-интегралы и конечные ортогональные системы
многочленов Вильсона // Мат. сборник. — 2002. —Т. 193, № 7. —С. 131 — 148;
*[457] Неретин Ю.А. Треугольники Рэлея и нематричная интерполяция матричных
бета-интегралов. — Мат. сборник. — 2003. — Т. 194, № 4. —С. 49 — 74.
*[458] Неретин Ю.А. Непрерывные аналоги разложения по многочленам Якоби и
векторно-значные гипергеометрические ортогональные базисы // Функц. анализ
и прилож. - 2005. - Т. 39, № 2. - С. 31 - 46.
* [459] НеретинЮ.А. Возмущение многочленов Якоби и кусочно-гипергеометрические
ортогональные системы // Мат.сборник. — 2006. — Т. 197. —С. 1607 — 1633.
*[460] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической
физики.—М.: Наука, 1978.
*[461] Никифорова. Ф., Уваров В. Б., Суслов С. К. Классические ортогональные
многочлены дискретной переменной. — М.: Наука, 1985. (Дополненный англ. перевод:
Nikiforov A. F., Suslov S. К., Uvarov V. В. Classical orthogonal polynomials of
discrete variable. — Berlin: Springer, 1991.)
*[462] Олевский Μ.Η. О представлении произвольной функции через интеграл с
ядром, включающим гипергеометрическую функцию // ДАН СССР. —1949. — Т. 69,
№ 1.-С. 11-14.
*[463] Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Т. 1.
Элементарные функции. — М.: Наука, 1981. Т. 2. Специальные функции. — М.:
Наука, 1983. Т. 3. Дополнительные главы. — М.: Наука, 1986. V. 4. Tables of Laplace
transform. — Gordond and Breach, 1992. V. 5. Tables of inverse Laplace transform. —
Gordon and Breach, 1992.
*[464] Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И. Вычисление интегралов и
преобразование Меллина // ВИНИТИ, Мат. анализ. —1989. — Т. 27. —С. 3 — 146.

648
Литература
*[465] Райнс Э.М., Спиридонов В. П. Определители эллиптических
гипергеометрических интегралов // Функц. анализ и его прил. — 2009. — Т. 43, № 4. — С. 67 — 86.
[466] СармановИ.О. Обобщённая симметрическая гамма-корреляция // ДАН СССР. —
1968. - Т. 179. - С. 1279 -1281. (Англ. перевод: Soviet Math. Dokl. -1968. - V. 9. -
P. 547-550.)
*[467] СклянинЕ.К.О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением
Янга—Бакстера. Представления квантовой алгебры // Функц. анализ и его прил. —
1983. - Т. 17, № 4. - С. 34 - 48.
*[468] Спиридонов В. П. Об эллиптической бета-функции // УМН. — 2001. — Т. 56,
вып. 1.-С. 181-182.
*[469] Спиридонов В. П. Дерево Бэйли для интегралов // Теор. мат. физ. — 2004. —
Т. 139.-С. 104-111.
*[470] Спиридонов В. П. Эллиптические гипергеометрические функции // Дисс. ...
д-ра физ.-мат. наук.—Дубна: ЛТФ ОИЯИ, 2004.
* [471] СпиридоновВ.П. Эллиптические гипергеометрические функции и модели типа
Калоджеро—Сазерленда // Теор. мат. физ. — 2007. — Т. 150, вып. 2. —С. 311 — 324.
*[472] Спиридонов В. П. Непрерывная биортогональность эллиптической
гипергеометрической функции // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20, вып. 5. — С. 155 —185.
*[473] Спиридонов В. П. Очерки теории эллиптических гипергеометрических
функций // УМН. - 2008. - Т. 63, вып. 3. - С. 3 - 72.
*[474] ФедорюкМ.В. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных
уравнений. — М.: Наука, 1983.
*[475] Федорюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. — М.: Наука, 1987.
*[476] Фок В. А. О разложении произвольной функции в интеграл по функциям Ле-
жандра с комплексным значком // ДАН СССР. —1943. — Т. 39. — С. 253 — 256.
*[477] Хуа Л о Кен. Гармонический анализ функций нескольких комплексных
переменных в классических областях. — Пекин, 1958 (китайск.). (Рус. перевод: М.: ИЛ,
1959. Англ. перевод: Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1963.)
[478] Шапиро Р.Л. Специальные функции, связанные с представлениями группы
SU(n) класса I относительно SU(n — 1) (п>3). — Изв. вузов (математика).—
1968. - Т. 71 (4). - С. 97 -107.

Предметный указатель
алгоритм Госпера 162
— Миллера 204
анализ разбиений 503
арифметико-геометрическое среднее 138
асимптотическое разложение 551
бета-интеграл 22
— Барнса 100
—, q-аналог 468
возвратный многочлен 152
вронскиан 141
гамма-функция 20, 24
— неполная 192
— формула Гаусса 38
— р-адическая 59
—, q-аналог 451
гауссовы суммы 52
, формула взаимности 566
гипергеометрические функции 76, 96
, асимптотическое разложение 98
, интеграл Барнса 97
, интегральное представление 77
, квадратичное преобразование 130
, кубическое преобразование 180
, непрерывная дробь 106
смежные 103
гипергеометрический ряд 73
очень хорошо уравновешенный 149
почти уравновешенный 144
уравновешенный 81
хорошо уравновешенный 144
/с-уравновешенный 144
гипергеометрическое уравнение 85
двусторонняя сумма Дуголла 117
дзета-функция Гурвица 32
— Римана 32
, функциональное уравнение 32
дигамма-функция 30
дилогарифм 111
дискриминант 384
задача Дирихле 425
зональные сферические функции 418
интеграл вероятности 191
— Вильсона 153
— Дайсона 391
— дробный 546
— Сонина 210
— Френеля 225
— Эйлера второго рода 24
первого рода 24
— эллиптический 136
второго рода 140
первого рода 136
интегральный косинус 225
— логарифм 192
— синус 225
интегрирование дробного порядка 118
интерполяционный многочлен Лагранжа
239
квадратичный закон взаимности 66
лемма Бейли 527
— Ватсона 553
логарифмическая выпуклость 48
матрица смежности 254
мера Ферма 445
— Хаара 429
метод Дарбу 292
многочлены Бернулли 36
обобщенные 554
— Вильсона 159
ортогональность 159
— гармонические 409
— Гегенбауэра see многочлены
ультрасферические
— Кравчука 321
— Лагерра 268
, производящая функция 268
, ядро Пуассона 272
, q-аналог 534
— Лежандра 242
— Лежандра—Фейера 312
— Мейкснера 321
— Мейкснера—Поллачека 322
— Рака 320
— Стилтьеса—Вигерта 535

650
Предметный указатель
многочлены ультрасферические 284, 285
, интеграл Лапласа 296
, линеаризация 298
, производящая функция 284
, формула Родрига 285
сложения 424
— Хана 309, 320
двойственные 321
непрерывные 309
непрерывные 309
— Чебышева ПО
второго рода ПО
первого рода ПО
третьего рода ПО
четвертого рода ПО
— Шарлье 322
— Эрмита 264
, дискриминант 385
, ортогональность 264
, производящая функция 264
, формула линеаризации 298
, ядро Пуассона 266
— Якоби 108, 435
, дискриминант 384
, интеграл лапласовского типа 324
, производящая функция 281
, формула произведения 436
— q -ультрасферические 478
, линеаризация 481
— q -эрмитовы 481
, линеаризация 482
, производящая функция 482
, ядро Пуассона 482
модулярная группа 490
— форма 490
неравенства Вьеториса 348
неравенство Бесселя 252
— Зигеля 387
— Маркова—Стилтьеса 243
— Турана 318
— Шура 389
ортогональная матрица 415
пара Бейли 528
— Ганкеля 209, 274
паросочетательный многочлен 303
последовательность полиномиальных
воспроизводящих ядер 248
представление группы 428
представление группы, изоморфизм 428
неприводимое 429
, подпредставление 429
унитарное 428
преобразование Бейли для 9F8 178
— Ватсона для 6φ5 529
— Ганкеля 209, 273
— Гейне 473
— Куммера второе 187
первое 187
— Ландена 111
— Лапласа 486
— Меллина 94, 483
— Пфаффа 80
— Сирса 476
— Уиппла для 4F3 144
7F6 148
— Эйлера 80
проблема Стилтьеса 382
радиальная функция 425
разбиение 501
—, диаграмма Ферре 511
—, квадрат Дерфи 512
—, производящая функция 506
—, символ Фробениуса 513
— сопряженное 511
—, сравнения для р(п) 514
результант 381
ряд абсолютно монотонный 357
— базисный гипергеометрический 475
хорошо уравновешенный 475
/с-уравновешенный 475
символ Похгаммера 20
соотношение Хассе—Давенпорта 397
соотношения смежности для 4F3 156
сумма Сельберга 400
— Якоби 53
суммируемость по Абелю 541
Ламберту 549
Чезаро 541
сферические гармоники 414
, теорема сложения 419
теорема биномиальная некоммутативная
444
— Карлсона 117
— Лерча 33
— Макмагона основная 341
— о пятиугольных числах 457

Предметный указатель
651
теорема Штурма о сравнении 218
— q -биномиальная 447
тождества Роджерса—Рамануджана 510,
522
, интерпретация в терминах
разбиений 511
тождество Дуголла 82
— Клаузена 123
— Пфаффа—Заальшютца , бесконечная
форма 102
— Пфаффа—Заальшютца 80
, интегральный аналог 101
, q-аналог 476
— пятерного произведения 494
— тройного произведения 454
— Чу—Вандермонда 78
тэта-функции 464
углы Эйлера 430
уравнение Бесселя 194
— Вебера 193
— гипергеометрическое вырожденное
184-187
, асимптотическое решение 186
, рецессивное решение 189
— Лапласа 192
— Лежандра 162
— Уиттекера 190
— Шрёдингера 193
факториальное выражение 162
формула Бесселя 205
— Ганкеля 200
— гауссова квадратурная 240
— Гегенбауэра 198
— Графа 208
— Диксона 146
, q-аналог 530
— Дуголла для 7F6 149
, интегральный аналог Бейли
154
, q-аналог 530
— Кристоффеля—Дарбу 236
— Николсона 215
— обращения Лагранжа 567 — 571
— отражения Эйлера 27
— Парсеваля 252
— произведения Гегенбауэра 438
— Рамануджана для ji/jj 458
— Сельберга интегральная 369
, обобщение Аомото 370
— сложения Гегенбауэра 208
формула Стерлинга 34
— суммирования Гаусса 78
, интегральный аналог 99
, q-аналог 474
Пуассона 563
Эйлера-Маклорена 557 — 565
— удвоения Лежандра 37
— Функа—Гекке 421
— Эрдеи 120
функции Уиттекера 190
функция Бесселя 194, 197 — 200, 205
второго рода 195
, интегральное представление
Пуассона 198
модифицированная 214
производящая функция 205
— Ганкеля 201
— кулоновская волновая 194
— Лежандра ассоциированная 419
— параболического цилиндра 192
характер 51, 69
— аддитивный 51
— мультипликативный 51
— нечетный 71
— примитивный 125
— четный 71
цепь Бейли 528
числа Бернулли 29
— Стерлинга 330
эллиптические функции 464
якобиевы 465
явление Гиббса 344
ядро Пуассона 354
rj-функция Дедекинда 488
L-функция Дирихле 70, 399
, функциональное уравнение 71
q-биномиальные коэффициенты 442
q-интеграл 445
q-многочлены Якоби большие 534
малые 533
q-разностный оператор 447
q-сумма Куммера 474
W—Z-метод 166

Ричард Аски
Ранджан Рой
Джордж Эндрюс
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Корректор А. А. Панин
Подписано в печать 12/VIII 2013 года. Формат 70 χ 100/16. Бумага офсетная №1.
Печать офсетная. Гарнитура Charter ITC. Объём 41 печ. л. Тираж 1000 экз. Заказ 3673
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83, (495) 745-80-31.
Отпечатано в ППП «Типография „Наука"».
121099, Москва, Шубинский пер., 6.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга» по адресу:
Бол. Власьевский пер., д. 11. Тел.: (499) 241-72-85. E-mail: biblioQmccme.ru
http: //biblio. mccme. ru/

с*