Текст
                    Г.Б. ПЕТУХОВ, В.И. ЯКУНИН
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ВНЕШНЕГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
И ЦЕЛЕУСТРЕМЛЁННЫХ СИСТЕМ
*С1
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА
2006


УДК 519.8(075.8) ББК 32.817 П29 Авторы: заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор технических наук, профессор Петухов Георгий Борисович; кандидат технических наук, доцент Якунин Владимир Иванович. Рецензенты: доктор технических наук, профессор В.В. Панов; доктор технических наук, профессор В.К. Дедков Петухов, Г.Б., Якунин, В.И. П29 Методологические основы внешнего проектирования целенаправленных процессов и целеустремленных систем / Г.Б. Петухов, В.И. Якунин.—М: ACT, 2006. —504 с. ISBN 5-17-034652-2 В монографии дается последовательное и полное освещение основополагающих концепций, методологии и методов комплексного (системного) исследования эффектив- ности целенаправленных процессов (ЦНП-операций) любой природы, а также методов и методик анализа и оптимального синтеза целеустремленных технических систем (ЦУТС) и процессов их целевого функционирования (ЦНПФС) на этапах их внешнего проектирования (ВНЕПР). Монография предназначена для научных сотрудников и системных инженеров (системотехников), деятельность которых связана с проблемами исследования качества ЦУТС и эффективности ЦНПФС, а также для студентов и преподавателей ВТУЗов. УДК 519.8(075.8) ББК 32.817 ISBN 985-13-5638-7 (ООО «Харвесг») © Петухов Г.Б., Якунин В.И., 2004 © Оформление. ООО «Издательство ACT», 2006
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 8 Введение 11 Раздел I. МЕТОДОЛОГИЯ Глава 1. Концептуальные основы системных исследований 1.1. Системный подход и системные направления в науке 21 1.2. Основные принципы исследования операций и теории эффек- тивности целенаправленных процессов 27 1.2.1. Основные понятия 27 1.2.2. Терминология 30 1.2.3. Общая характеристика элементов операционного ком- плекса 33 1.3. Комментарии 38 Глава 2. Методологические основы теории эффективности целенаправленных процессов 2.1. Семантические аспекты теории эффективности 40 2.2. Основные понятия квалиметрии 42 2.2.1. Основные принципы и концепции квалиметрии 42 2.2.2. Критерии оценивания качества объектов 44 2.2.3. К проблеме оценивания 50 2.3. Основные принципы исследования эффективности целена- правленных процессов 56 2.3.1. Общие предпосылки 56 2.3.2. Показатели качества результатов операции 58 2.3.3. Показатель эффективности операции 62 2.3.4. Схема оценивания эффективности операции 66 2.3.5. Задачи исследования эффективности операций 69 2.4. Целевые и критериальные функции 71 2.5. Постановка задачи исследования качества ЦУТС 78 2.6. О принципах выбора показателей результативности ЦНПФС и формулирования целей операций 82 2.6.1. Классификация показателей результативности операций . 82 2.6.2. О формулировании целей операций 84 2.7. Комментарии 88
4 Оглавление Раздел II. МЕТОДЫ Глава 3. Методы оценивания эффективности целенаправленных процессов 3.1. Методы теории стохастической индикации 102 3.1.1. Семантические аспекты теории стохастической индика- ции. Терминология и символика 104 3.1.2. Законы распределения стохастических супериндикаторов 117 3.1.3. Квантили распределений стохастических супериндикато- ров 128 3.1.4. Числовые характеристики стохастических супериндика- торов 132 3.2. Математическая формулировка задачи оценивания эффектив- ности целенаправленного процесса 138 3.2.1. Средняя вероятность достижения цели операции 140 3.2.2. Гарантируемая вероятность достижения цели операции ... 147 3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества резуль- татов целенаправленных процессов 151 3.3.1. Состояние вопроса 151 3.3.2. Метод главной компоненты 157 3.3.3. Метод ведущих компонент 159 3.3.4. Эффект поглощения 165 3.4. Методы вычисления показателей эффективности целенаправ- ленных процессов 175 3.4.1. Аналитические и численные методы 175 3.4.2. Метод статистического имитационного моделирования ... 181 3.4.3. Анализ схем имитационных испытаний 194 3.5. О вырожденных задачах оценивания эффективности целена- правленных процессов 205 3.6. Комментарии 219 Глава 4. Методы исследования эффективности целенаправленных процессов 4.1. Методы анализа эффективности целенаправленных процессов ... 222 4.1.1. Формулировка задачи анализа эффективности операции ... 222 4.1.2. Характеристики чувствительности показателей эффек- тивности операции 224 4.1.3. Характеристики влияния параметров моделей ЦУТС и ЦНПФС на эффективность операции 229 4.1.4. О неформальном анализе эффективности операции 235
Оглавление 5 4.2. Методы синтеза эффективных целенаправленных процессов ... 248 4.2.1. Формулировка задачи синтеза операционной системы по критерию пригодности 248 4.2.2. Формулировка задачи синтеза операционной системы по критерию оптимальности 254 4.2.3.0 приближённом синтезе операционной системы 256 4.3. Дополнения 261 4.3.1. О детерминированных и квазирегулярных моделях опе- рационных систем и комплексов 261 4.3.2. О корректности постановки задачи оптимального синтеза операционной системы 266 4.4. Об экономическом анализе ЦУТС и ЦНПФС 270 4.4.1. Сущность и задачи экономического анализа 270 4.4.2. Структура экономических затрат на программу 274 4.4.3. Методы определения затрат 279 4.5. Комментарии 283 Глава 5. Методы построения математических моделей элементов операционного комплекса 5.1. Общие предпосылки 285 5.2. Схема построения моделей элементов операционного комплекса 287 5.2.1. Алгоритм построения математических моделей элемен- тов операционного комплекса 287 5.2.2. Структурная схема вероятностных моделей элементов операционного комплекса 293 5.3. Операционный функционал 296 5.3.1. Понятие операционного функционала 296 5.3.2. Классификация операционных ресурсов 300 5.3.3. Примеры операционных функций 303 5.3.4. Основные свойства моделей операционных функциона- лов и общая схема их построения 309 5.4. Методы построения математических моделей показателей ка- чества результатов целенаправленного процесса 313 5.4.1. Теоретические основы 313 5.4.2. Методика построения математической модели показателя виртуального качества результатов операции 320 5.4.3. Методика построения математической модели показателя требуемого качества результатов операции 323 5.5. Комментарии 328
6 Оглавление Раздел III. МОДЕЛИ Глава 6. Комплексные функциональные модели целенаправленных процессов 6.1. Линейная функционально-стохастическая модель непрерывно- го целенаправленного процесса 332 6.1.1. Содержательная (вербальная) постановка задачи 332 6.1.2. Построение агрегированной математической модели опе- рационной системы 333 6.1.3. Оценивание эффективности ЦНПФС 345 6.1.4. Анализ эффективности ЦНПФС и качества ЦУТС 356 6.1.5. Синтез эффективного ЦНПФС и качественной ЦУТС .... 364 6.2. Нелинейные функционально-стохастические модели непре- рывных целенаправленных процессов 367 6.2.1. Функционально-стохастическая модель непрерывного нормативного ЦНП 367 6.2.2. Функционально-стохастическая модель непрерывного директивного ЦНП 372 6.2.3. Функционально-стохастическая модель непрерывного нормативно-директивного ЦНП 376 6.3. Функционально-стохастическая модель циклического целена- правленного процесса 385 6.3.1. Содержательная (вербальная) постановка задачи 385 6.3.2. Построение агрегированной математической модели опе- рационной системы 386 6.4. Комментарии 403 Глава 7. Специализированные модели целенаправленных процессов 7.1. Определение и классификация Г-процессов 406 7.1.1. Г-процесс и его характеристики 406 7.1.2. Классификация Г-процессов 407 7.2. Постановка задачи исследования эффективности Г-процессов массового обслуживания 408 7.2.1. Оперативный Г-процесс как модель ПМО 408 7.2.2. Показатели эффективности ОПМО и математическая формулировка задачи его анализа 411 7.2.3. Методы определения закона обслуживания 413 7.2.4. Методы определения закона обслуженное™ 419 7.2.5. О методах решения задач оптимального синтеза КМО и ОПМО 421
Оглавление 7 7.2.6. О характеристиках оперативности ОПМО 423 7.2.7. Об экспертном оценивании оперативности ОПМО 426 7.3. Определение и классификация моделей циклических ОПМО .... 429 7.3.1. Циклический ОПМО и его математическая модель 429 7.3.2. Модель абстрактного КМО 433 7.3.3. Математическая формулировка задач исследования ЦОПО 440 7.3.4. Классификация моделей ЦОПО и задач его синтеза 442 7.4. Модель процесса функционирования восстанавливаемой ЦУТС 446 7.4.1. Содержательная (вербальная) постановка задачи 446 7.4.2. Построение агрегированной математической модели ЦОПО 446 7.4.3. Оценивание эффективности ЦНПФС 448 7.4.4. Анализ эффективности ЦНПФС и качества ЦУТС 450 7.5. Комментарии 455 Заключение 460 Приложения: П. 1. Основные обозначения 465 П.2. Аббревиатуры 474 П.З. Предметный указатель 478 Библиография 492
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая монография представляет собой оригинальное посо- бие по методологии и методам внешнего проектирования (ВНЕПР) целенаправленных процессов (ЦНП) и целеустремлённых систем (ЦУС), составляющих основу ряда дисциплин системного направле- ния: «Исследование операций», «Прикладная кибернетика», «Систе- мотехника», «Теория управления», «Анализ систем» и др. В книге, с одной стороны, прокомментированы и обобщены все наиболее со- держательные работы [3, 6, 9, 10, 12, 26, 30, 31, 32, 33, 34, 39, 40, 42, 43, 48, 50, 51, 61, 65, 75, 63, 88, 95, 96, 97, 112, 123, 124, 125, 128, 130, 144, 156, 164, 165, 166, 167, 190], связанные с проблемами количест- венного исследования качества целеустремлённых технических сис- тем (ЦУТС) и эффективности процессов их целевого функционирова- ния (ЦНПФС), а с другой - обоснованы и изложены концепции и об- щие принципы системного подхода к комплексному исследованию эффективности ЦНПФС, лежащие в основе единой методологии их внешнего проектирования. Повышение эффективности общественного производства является общей закономерностью экономического роста, развития экономики. В современных условиях реконструкции народного хозяйства на ос- нове научно-технического прогресса оно приобретает особое значе- ние. Для этого надо прежде всего изменить структурную и инвести- ционную политику. Суть перемен - в перенесении центра внимания с количественных показателей на качество и эффективность, с проме- жуточных результатов - на конечные. Проблема разработки и внедрения в практику научных методов ис- следования качества продукции и эффективности производства при- обретает особую актуальность. Для решения этих задач необходимо, чтобы инженерные и управленческие кадры, в том числе сотрудники и выпускники ВТУЗов, овладели основами современной теории эффективности, научились применять её методы в своей практической деятельно- сти по обучению и воспитанию личного состава, эксплуатации и целевому применению техники и вооружения. Для понимания материала достаточна математическая подго- товка в объёме, предусмотренном программой ВТУЗа, однако для его усвоения необходимы прочные теоретико-вероятностные зна- ния, обеспечивающие глубокое вероятностное мышление и чёткое понимание сущности рассматриваемых объектов и явлений.
Предисловие 9 Книга такого содержания (целиком ориентированная на проблему внешнего проектирования ЦНП и ЦУС на основе исследования эф- фективности ЦНПФС) выходит впервые. Поэтому для её усвоения аб- солютно необходима вдумчивая систематическая проработка всего (без пропусков) приведённого материала, и прежде всего при пер- вом прочтении, с целью осознания всего комплекса (системы) кон- цептуальных и методологических особенностей методов и моделей, используемых в теории эффективности ЦНП. В силу сложности проблемы, а также большого многообразия как аспектов её изучения, так и взглядов по ним и обусловленной этим сложности первоначального восприятия рассматриваемых в моногра- фии понятий, принципов и концепций возникает постоянная необхо- димость обсуждения и подчёркивания их семантики (смысла) с целью раскрытия их глубинной сущности ("тонкостей") и правильной фи- зически обоснованной интерпретации. Это приводит к неизбежным повторениям уже сказанного. Поэтому все обсуждения семантических аспектов используемых понятий оформлены в виде замечаний (по тексту) и комментариев (в конце каждой главы), на которые затем лишь делаются ссылки. Замечания позволяют решать две методические задачи: - адресовать читателя по мере необходимости к соответствующим замечаниям без дублирования их в тексте; - освобождать читателя от чтения всех замечаний при обращении к монографии за справкой по конкретному вопросу. Этой же цели служат и комментарии, но в отличие от замечаний их содержание менее связано с контекстом и посвящено всей совокупно- сти рассматриваемых в главе вопросов, поэтому они носят более об- зорный характер и помещены в конце главы. При первом чтении текста монографии замечания и комментарии пропускать не следует. При повторном чтении их иногда можно опускать, однако для правильного понимания и интерпретации изла- гаемого материала иметь их в виду необходимо. В целом содержание книги требует внимательного и вдумчивого изучения. Для облегчения работы с книгой в поисках справок введена под- робная рубрикация её элементов (пунктов, определений, теорем, формул, рисунков, таблиц, примеров) на основе их тройной нумера- ции. При этом первая цифра N означает номер главы, вторая М - номер параграфа, третья I (или J, или К) - номер элемента (пункта, определения и т.д.). Аналогично пронумерованы и приводимые за- мечания и комментарии. Номера замечаний отмечены угловой скоб- кой - ), номера комментариев - фигурной скобкой - }. При ссылках номера формул даются в круглых скобках (N.M.I), номера замеча- ний- в угловых - (N.M.J), номера комментариев - в фигурных -
10 Предисловие {N.M.K}. Ссылки на подстрочные примечания даются в виде (ПП R/S), что означает: R-e подстрочное примечание на S-й странице. Ссылки на литературу даны в квадратных скобках. Символ А означа- ет окончание определения, теоремы, примера, замечания, коммента- рия. Подобная рубрикация даёт возможность более гибко использо- вать материал монографии при его проработке. Используемая в монографии символика находится в полном соот- ветствии с руководствами [127], [169]. Монография включает в себя три раздела, посвященные, соответ- ственно, методологии ВНЕПР, методам исследования ЦНП и ЦУТС и их обобщённым моделям, описанным в терминах теории эффектив- ности ЦНПФС. В Прил. 1 приведены основные обозначения, в Прил. 2 дан список принятых сокращений (аббревиатур). Предметный указатель, содержащий перечень наиболее важных и употребительных понятий теории эффективности ЦНП и призванный играть роль терминологического словаря, дан в Прил. 3. Предметный указатель позволит быстро найти интересующий читателя термин. Жирным шрифтом прописными буквами в предметном указателе вы- делены основные термины предметной области ВНЕПР, определения которых выделены и пронумерованы в тексте книги. Прописными бу- квами в предметном указателе выделены термины, определения кото- рых приведены в тексте. Для остальных терминов в предметном ука- зателе приведены страницы, на которых читатель найдёт определе- ния, разъяснения и обсуждения этих терминов. Приведённый список литературы представляет собой достаточно полный перечень работ, так или иначе связанных с тематикой моно- графии, призванный играть роль справочника, расширяющего пред- ставления читателя об этой научной области (рекомендуемые для бо- лее глубокой проработки источники отмечены звёздочками). Однако поскольку лежащие в основе многих из этих работ концепции не все- гда отвечают требованиям методологической обоснованности исполь- зуемых принципов, то их следует читать критически и лучше после проработки материала монографии.
Наука только тогда достигает совер- шенства, когда ей удаётся пользоваться математикой К. Маркс ВВЕДЕНИЕ Предлагаемая вниманию читателей монография «Методологические ос- новы внешнего проектирования (ВНЕПР) целенаправленных процессов (ЦНП) и целеустремлённых систем (ЦУС)» призвана осветить концепту- альные основы методологии ВНЕПР, а также методы решения конкретных прикладных задач. По определению: - проект - это план, замысел [159]; - проектирование - разработка проекта [159]. Из приведённых определений следует, что проектирование составляет основу любой целенаправленной деятельности. При этом выработка за- мысла этой деятельности осуществляется на априорном представлении проектируемого объекта (проекта ЦУС; организации ЦНП; стратегии опе- рации; плана, алгоритма, программы, технологии целевого функциониро- вания ЦУС и управления ЦНП), называемом его концептуальной моделью. Представляется очевидным, что основным требованием к качеству та- кой модели является её адекватность как объекту исследования (проек- тирования), так и проблеме (задаче), в рамках которой проектируется объ- ект. Следует обратить внимание, что в общем случае процесс проектирова- ния распадается на две ярко выраженные стадии (фазы): - обоснование функций, стратегий и макроструктуры проектируемого объекта; - конструирование функциональных элементов и разработка алгорит- мов и программ их целевого функционирования. Первую фазу принято называть [42] внешним (или макро) проектиро- ванием (ВНЕПР), а вторую - внутренним (или микро) проектированием (ВНУПР). Поскольку любая деятельность целенаправленна и требует для своей реализации расхода ресурсов (различных видов) и времени, то при разра- ботке её замысла естественно стремление сделать расходы ресурсов целе- сообразными (рациональными) относительно цели деятельности, а делае- мые для этого усилия - эффективными. Из сказанного следует, что основу методов проектирования, и в первую очередь ВНЕПР [42], должна составлять "Теория эффективности ЦНП" (ТЭЦНП) [133], положения которой и представляют основу монографии.
12 Введение Термин "эффективность" ныне стал одним из наиболее употребитель- ных, вошёл "в моду". Однако излишне частое употребление слов, терми- нов, словосочетаний и фраз имеет и негативную сторону: возникает опас- ность искажения смысла слова (его своеобразная "девальвация"), отрыва его от выражаемой им сущности, от реального предмета или явления. Что- бы показать, что эта опасность отнюдь не иллюзорна, приведём определе- ние эффективности, данное в научной статье1: «Эффективность - это научная категория для обозначения единства соответствий, порождаемых действием функционально-целевой детер- минации объективных реальностей. ...Эффективность эффективна при- менимостью сравнимо измеряемого, ... критериальной объективностью и ... оптимизацией». Как говорится, "нарочно не придумаешь". Подобному определению скорее место в фельетоне, а не в научной статье. Однако к сожалению, это далеко не единичный пример. Опасность терминологической, а следова- тельно, и понятийной путаницы можно уменьшить, если разобраться в сущности понятия "эффективности", выяснить, насколько оно является конструктивным, какие практические задачи (например, в области народ- ного хозяйства или военного дела) позволяет решать "Теория эффективно- сти". Как научная дисциплина "Теория эффективности" возникла вскоре по окончании Второй мировой войны (лет 55-60 тому назад), однако осно- вополагающие результаты получены в ней сравнительно недавно (лет 20 - 25 назад), что обусловлено целым рядом объективных причин. Современная научно-техническая революция привела к колоссальному росту производительных сил общества, видоизменила орудия производст- ва, материалы, технологии, как самих производственных процессов, так и управления ими. Она потребовала гигантских и всё увеличивающихся вложений в обновление и совершенствование производственного аппарата и экономики, в создание больших сложных и дорогостоящих систем и объ- ектов народного хозяйства и вооружённых сил, в научные поиски и прак- тическое применение их результатов. Если учесть, что ресурсы общества ограничены, то возникает проблема поиска средств для подобного рода за- трат. Ответ на этот вопрос в современных условиях один: эти средства на- ходятся в самом народном хозяйстве, и путь их мобилизации - повышение эффективности производства отдачи (производительности) расходуемых на него ресурсов (рабочего времени, оборудования, сырья, энергии и т.п.). Повышение эффективности выступает как объективное условие расши- ренного воспроизводства [1]. При ограниченных ресурсах (всех видов) не- обходимо стремиться к использованию этих ресурсов наиболее рацио- нально, наилучшим образом. Здесь сразу возникает вопрос: "что значит 1 Гулько В. Некоторые вопросы методологии теории эффективности. Труды II Всесоюзного симпозиума по АСУ. - Л., 1972.
Введение 13 наилучшим образом!" ("что такое - лучше?"). Чтобы ответить на этот во- прос, необходимо научиться оценивать результаты целенаправленной дея- тельности, научиться сопоставлять их с поставленными задачами и сопут- ствующими их решению затратами. Но чтобы сравнивать, надо научиться измерять, т.е. иметь некоторую количественную меру, характеризующую результат функционирования объекта, а также "инструмент" ("мерило"), позволяющий этот результат оценивать. В связи с этим возникают естест- венные вопросы: что измерять? чем измерять? как измерять? как оцени- вать? Поскольку проблема состоит в выборе лучшего из сравниваемых объектов, то измерять нужно их качества. Качество любого объекта в полной мере проявляется лишь в процессе его использования по назначению (в процессе его целевого функциониро- вания). Поэтому наиболее объективным является оценивание качества объекта по эффективности его применения. Таким образом, для обосно- ванного выбора предпочтительного объекта необходимо измерять эффек- тивности целевого функционирования сравниваемых его вариантов. В принципе с этим утверждением никто не спорит, однако в публикаци- ях даются различные определения эффективности (или определения вооб- ще не даются). Более того, часто понятие эффективности связывается с различными по сути объектами (операциями, действиями [3, 26, 123], сис- темами [38, 114, 120], устройствами [123, 191], средствами [123, 190], тех- никой [125], решениями [116] и т.д. [50, 88, 109, 123]), причём подобные разночтения часто фигурируют в одной и той же публикации. Вследствие подобного разнобоя понятие эффективности приобретает множество смы- слов, порождаемых как многообразием его определений, так и ещё боль- шим многообразием его количественных характеристик - показателей эф- фективности. При этом последние, как правило, постулируются без обос- нования их структуры и анализа основных свойств, обусловливающих правомерность их применения. О необходимости такого обоснования мо- жет свидетельствовать ставший уже классическим приведённый ниже при- мер времён Второй мировой войны [190]. Решался вопрос об оснащении транспортных судов союзников зенитными орудиями. Когда в качестве критерия для принятия решения фигурировало соот- ношение расходов и ущерба, наносимого зенитными орудиями атакующим са- молетам противника, следовал вывод о нецелесообразности установки орудий, поскольку связанные с этим расходы значительно превосходили потери авиации противника. Когда же расходы по установке и обслуживанию орудий были соот- несены с предотвращённым с их помощью ущербом транспортного флота, по- следовал противоположный вывод. Поскольку орудия предназначались для за- щиты судов, а не для собственно борьбы с авиацией противника, то было приня- то решение о целесообразности установки орудий, правильность которого под- твердила последующая практика. Перечень подобных примеров может быть продолжен.
14 Введение Из приведённого примера видно, что правильность решения по органи- зации операции существенно зависит от цспользуемого показателя её ка- чества {эффективности). В настоящее время нет такой области человеческой деятельности, в ко- торой не приходилось бы сталкиваться с необходимостью решения про- блемы повышения эффективности этой деятельности. Повышение эффективности общественного производства и перевода экономики страны на новый, более высокий уровень является общей зако- номерностью экономического роста, развития экономики. В современных условиях решение этой проблемы приобретает особое значение. Ускорение социально-экономического развития страны - настоятельное требование времени. Оно позволит всесторонне удовлетворить растущие материальные и духовные потребности людей, создать условия для всесто- роннего развития человека. Необходимым условием ускорения является внедрение новейших дос- тижений науки и техники на основе кардинального ускорения научно- технического прогресса. Научно-технический прогресс означает прежде всего прогресс научной мысли по пути её сближения с практикой, разра- ботки действенных методов исследования, прогрессивных технологий и технических решений народнохозяйственных и военно-прикладных задач. Решение этих задач непосредственно связано с повышением уровня ру- ководства народным хозяйством, вооруженными силами, совершенствова- нием методов планирования и управления. Поэтому становится очевид- ным, сколь важной является проблема повышения эффективности всех це- ленаправленных процессов (ЦНП) человеческой деятельности. Также оче- видно, что научно обоснованное решение этой проблемы возможно лишь на основе количественных методов, разработкой которых, в частности, и занимается современная "Теория эффективности". Ведь для того, чтобы выявить пути повышения эффективности той или иной деятельности, ме- роприятий, действий, необходимо уметь количественно оценивать их эф- фективность. Количественное определение эффективности целенаправленного про- цесса даёт возможность действительно на научной основе, с привлечением самых современных математических методов решать проблему повышения его эффективности. По мнению одного из видных учёных в области "Сис- темотехники" Р.Э. Макола: "Сама идея количественного определения эф- фективности... с полным правом может рассматриваться как поворотный пункт истории науки, сравнимый по своей важности с некоторыми круп- нейшими открытиями в физике" [42]. Эффективность любой целенаправленной деятельности в значительной степени определяется качеством решений, принимаемых управляющими органами разных уровней. В связи с этим важное значение приобретает за- дача совершенствования принципов и критериев принятия решений.
Введение 15 Проектирование, организация, планирование и в целом управление свя- заны с рассмотрением более или менее отдалённого будущего и поэтому всегда содержат элемент неопределённости. Кроме того, должны учи- тываться и другие особенности управленческих задач, такие как необхо- димая оперативность решения, недостаточно полная информация для при- нятия решения, необходимость учёта социально-психологических факто- ров. В отмеченных выше условиях в основе решения задач проектирова- ния, организации, планирования и управления должен лежать так назы- ваемый системный подход. Он органически вытекает из материалистиче- ской диалектики и предполагает рассмотрение явлений в их взаимосвязи и взаимообусловленности. Широко известны слова В.И. Ленина: "Чтобы действительно знать предмет, надо охватить, изучить все его стороны, все связи и "опосредования"". Системный подход означает также, что интересующий нас объект рас- сматривается не только во взаимосвязи с другими объектами, но и как сис- тема. Изучение объекта во внешних взаимосвязях позволяет определить цели его функционирования, а анализ внутренней структуры - оценить пу- ти достижения поставленной цели. При решении любой из отмеченных выше управленческих задач (проектирование, организация, планирование, управления) основной является проблема выбора (определения) наилучше- го (наиболее рационального) решения, называемого оптимальным. Когда идёт речь о чем-то наилучшем, оптимальном, то предполагается, что имеется целое множество вариантов выбора синтезируемого объекта (систем, проектов, вариантов организации, планов, способов действий, стратегий управления и т.п.), из которых желательно выбрать наиболее предпочтительный (наилучший, оптимальный). Очевидно, что выбор мо- жет производиться только путём сравнения различных конкурирующих вариантов (альтернатив). Сравнение может производиться одним из двух способов. Первый способ связан с созданием и испытанием реальных конкури- рующих объектов (система процессов, организаций, управлений, ...), в хо- де которых производится их экспериментальное сравнение. Однако пред- ставляется совершенно очевидным, что применительно к уникальным, сложным, дорогостоящим объектам (системам и процессам) такой путь не- реален, так как в условиях научно-технической революции, с одной сторо- ны, резко возрастает многовариантность технических, проектных, эконо- мических, организационных, управленческих и других решений, а с другой стороны, весьма возросла цена неверного, ошибочного решения. В сущно- сти, проблема состоит в том, чтобы сделать выбор еще до создания реаль- ного объекта, так как после его создания выбирать уже поздно. Остаётся практически реализуемым лишь второй способ, основанный на построении достаточно адекватных (близких к оригиналу) математиче- ских моделей (аналитических или имитационных) реальных объектов и
16 Введение процессов их функционирования и сравнения результатов исследования этих моделей. "Теория эффективности целенаправленных процессов" (ТЭЦНП) и со- ставляет методологическую и математическую основы модельного экспе- риментирования со сложными объектами (системами и процессами) на ба- зе такого комплексного (системного) операционного свойства целенаправ- ленного процесса функционирования объектов (систем), как его эффектив- ность, количественной меры этого свойства - показателя эффективности и принципа его оценивания - критерия эффективности. В дальнейшем речь будет идти в основном о целеустремлённых техни- ческих системах (ЦУТС) и процессах их целенаправленного функ- ционирования (ЦНПФС). При этом, по определению (см. п. 1.2.2), ЦНПФС представляет собой операцию, т.е. упорядоченную совокупность взаимо- связанных действий, направленных на достижение определённой цели. Та- ким образом, может быть сформулировано следующее содержательное оп- ределение. Теория эффективности целенаправленных процессов (ТЭЦНП) - это прикладная дисциплина, в рамках которой разрабатываются и иссле- дуются принципы и методы количественного оценивания и анализа ре- зультатов целевого функционирования ЦУТС и степени их соответствия целям операции (стоящим перед ЦУТС задачам), а также методы оптими- зации проектируемых ЦУТС и организуемых ЦНПФС (операций). Предметом изучения ТЭЦНП является наиболее общее комплексное свойство ЦНПФС - его эффективность. ТЭЦНП формирует и раскрывает содержательный смысл этого понятия, рассматривает факторы, обусловли- вающие эффективность ЦНПФС, принципы и способы обоснования и оп- ределения количественной меры эффективности ЦНПФС - показателя эф- фективности, принципы суждения об эффективности ЦНПФС - критерии эффективности, формулирует проблемы и задачи, требующие решения, и разрабатывает необходимые для этого методы. Как научное направление "Теория эффективности" зародилась в воен- ном деле и, в частности, в теории стрельбы, предметом которой является оценивание действенности применения огнестрельного оружия. Бурное развитие "Теории эффективности" происходит в годы Великой Отечественной войны и особенно в послевоенные годы в связи с необхо- димостью создания новых видов вооружения и разработки новых способов его боевого применения. В этот период "Теория эффективности" (ТЭ) раз- вивалась в основном в недрах "Исследования операций", представляюще- го собой научное направление, предмет которого - анализ и оптимальная организация операций (ЦНПФС) на этапе принятия организационных и управленческих решений.
Введение 17 Наиболее выдающимся трудом того времени явилась статья акаде- мика А.Н. Колмогорова "Число попаданий при нескольких выстрелах и общие принципы оценивания эффективности стрельбы", опубликован- ная в трудах Математического института им. В.А. Стеклова в 1945 г. В этой статье А.Н. Колмогоров предложил оценивать эффективность стрельбы не на основе частных показателей, а по степени объективной возможности выполнения той основной задачи, ради которой эта стрельба производится. С этого времени в ТЭ прочно вошёл наиболее объективный и информативный показатель эффективности применения оружия - вероятность выполнения боевой задачи (т.е. вероятность дос- тижения цели операции). В настоящее время ТЭЦНП, непрерывно развиваясь и совершенствуясь, способна решать все более сложные задачи теории и практики "Исследо- вания операций" и "Системотехники". Её методы получили всеобщее при- знание и находят широкое применение при решении различных задач, свя- занных с разработкой как новых образцов вооружения и военной техники, так и способов их целевого (боевого) применения. Следует отметить, что бурное развитие ТЭЦНП представляет собой за- кономерный процесс, обусловленный возрастанием роли науки во всех областях общественной жизни и деятельности человека. Пожалуй, наибо- лее заметно это проявляется в военной области, так как для современного и перспективного вооружения характерны особенности, существенно от- личающие его от вооружения, применявшегося в прошлых войнах, в том числе и во Второй мировой войне. Во-первых, исключительно высокая поражающая способность. Залп со- временной ракетной части по мощности намного превосходит мощность всех огневых средств любой из воюющих сторон во Второй мировой вой- не. Отсюда вытекает очень высокая ответственность лиц, принимающих решение о применении оружия и организующих это применение. Во-вторых, большая и всё возрастающая сложность, а вместе с тем и стоимость вооружения. Как никогда ранее, мощь вооружённых сил зависит от экономики. Сейчас особенно злободневно звучат слова Ф.Энгельса: "В настоящее время армия и военный флот... стоят чертовски много денег" ("Анти-Дюринг"). Указанные особенности предъявляют к современному вооружению высокие требования. С одной стороны, необходимо, чтобы вооружение, создаваемое на выделенные средства, и способы его боевого применения были наиболее действенными (эффективными), а с другой - чтобы вооружение было относительно экономичным (материальные затра- ты - приемлемыми). Достижение в интересах общества наибольших результатов при допус- тимых затратах, т.е. достижение максимальной эффективности целевого функционирования всех отраслей народного хозяйства есть непреложный закон государственного строительства.
18 Введение Изучение ТЭЦНП для системного инженера имеет чрезвычайно важное значение по следующему ряду причин. 1. ТЭЦНП является представителем научных дисциплин так называемо- го системотехнического цикла ("Общая теория систем", "Анализ сис- тем", "Системотехника", "Кибернетика", "Исследование операций", "Теория принятия решений", "Теория полезности" и т.д.). Она разви- вает у будущего инженера системное мышление, прививает навыки комплексного подхода к исследованию процессов целевого функцио- нирования сложных ЦУТС на всех этапах их жизненных циклов от разработки и проектирования до эксплуатации и применения на осно- ве анализа наиболее общего комплексного свойства ЦНПФС - эффек- тивности, а не только частных свойств ЦУТС (надёжности, живучести и т.п.), хотя и важных, но отражающих лишь отдельные аспекты про- блемы их оптимального проектирования и организации. Только на ос- нове всесторонней, комплексной оценки конкурирующих вариантов можно выработать решение, компромиссное по отношению к различ- ным аспектам проблемы, но максимально соответствующее целям ис- следуемой программы в целом. Другими словами, ТЭЦНП формирует у системных инженеров способность "видеть за деревьями лес". 2. ТЭЦНП объединяет, интегрирует знания, сведения, результаты, полу- ченные в других дисциплинах, являясь связующим звеном между об- щеинженерными и специальными дисциплинами, с одной стороны, и системно-специальными - с другой, так как в ТЭЦНП наиболее тесно совместно используются оперативно-тактические и эксплуатационно- технические характеристики систем и проводимых ими операций. 3. Принципиальной особенностью ТЭЦНП является то, что выработка и реализация решений, получаемых её методами, не мыслится без при- менения вычислительной техники (ЭВМ). При этом ЭВМ использует- ся не только, как иногда считают, с целью облегчения трудоёмких расчётов и освобождения человека от громоздкой рутинной работы. Существенным является то, что современные средства вычислитель- ной техники придают выработанным решениям новое качество. Они способны производить такие расчёты и в такие сроки, которые други- ми средствами принципиально недостижимы. Комплексы ЭВМ, снаб- жённых математическим обеспечением (комплексами алгоритмов и программ), позволяющие решать различные задачи проектирования, планирования, выработки решений и управления, получили название "искусственного интеллекта", что свидетельствует о высоком уровне сложности этих задач. Из всего сказанного следует, что дисциплина «Внешнее проектирование целенаправленных процессов и целеустремлённых систем» (ВНЕПР ЦНП и ЦУС) (основным инструментом которой является "Теория эффективно- сти целенаправленных процессов") играет важную роль в подготовке сие-
Введение 19 темного инженера, так как, с одной стороны, она вбирает в себя знания, получаемые в таких курсах, как "Философия", "Высшая математика", "Теория вероятностей и математическая статистика" и др., а с другой - обеспечивает более глубокое понимание и сознательное изучение всех системно-специальных дисциплин и должна служить руководством в его практической деятельности по вопросам, связанным с оптимальной (ра- циональной) организацией процессов целевого функционирования экс- плуатируемых ЦУТС (реализуемых ЦУТС операций). Ещё раз обратим внимание, что для правильного и глубокого понима- ния концептуальных и методологических основ ТЭЦНП текст монографии должен быть проработан полностью, со всеми замечаниями и коммента- риями.
Раздел I МЕТОДОЛОГИЯ Претендовать на достоверность полу- ченных результатов, конечно, трудно. Как и в других областях естественнонаучного знания, следует ожидать, что завтра мы будем луч- ше понимать предмет, чем сегодня. Теория в отличие от теоремы подвержена постоян- ным изменениям, но даже чтобы называться теорией, любая гипотеза должна пройти много проверок. Стоит, по-видимому, напом- нить, что только при опровержении гипоте- зы человечество имеет возможность узнать что-нибудь новое. М.Х. Холстед. "Начала науки о программах" Глава 1 КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Как и у всякой научной дисциплины, атрибутами теории ВНЕПР ЦНП и ЦУС являются: - объект и предмет исследования; - цель и задачи исследования; - концептуально-методологические принципы; - естественнонаучные - гносеологические основы; - система исходных понятий, терминов и определений, образующих язык - тезаурус дисциплины; - система основных производных понятий, постулатов, аксиом и тео- рем, образующих методологические основы теории; - принципы построения адекватных моделей объектов исследования; - методы исследования; - экспериментально-информационная база; - научно обоснованная сфера приложения методов. Задачи данной главы: - введение в предмет ТЭЦНП; - определение объекта и предмета исследования ТЭЦНП;
1.1. Системный подход и системные направления в науке 21 - формулирование основных принципов и концепций ТЭЦНП; - определение целей и задач ТЭЦНП; ~ определение места ТЭЦНП среди дисциплин системного направле- ния. 1.1. СИСТЕМНЫЙ ПОДХОД И СИСТЕМНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ В НАУКЕ Системный подход - это методология комплексного исследования сложных объектов природы, техники и общества как систем, т.е. как объе- динений элементов, связанных комплексом (системой) отношений и вы- ступающих по отношению к внешней среде как единое целое. А Как методология системный подход требует проводить исследования сложных систем (СС) и процессов их функционирования (ПФС) с учётом (и во взаимосвязи) следующих аспектов: - системно-компонентного (исследование состава системы); - системно-структурного (исследование структуры и строения систе- мы); ~ системно-функционального (исследование функций и функциональ- ных связей элементов системы); - системно-агрегативного (исследование системообразующих факто- ров); - системно-ситуационного (исследование взаимодействия системы с внешней средой); - системно-эволюционного (исследование динамики поведения и раз- вития системы). Для учёта перечисленных аспектов системный подход (базируется на следующих принципах: 1. Любая исследуемая система должна рассматриваться как совокуп- ность взаимосвязанных элементов, подсистем (субсистем). 2. Любая система должна рассматриваться, с одной стороны, как под- система в системе более высокого уровня (надсистеме, суперсисте- ме), а с другой, - как совокупность образующих её (входящих в неё) подсистем (субсистем) и элементов. 3. Исследование любой системы требует анализа всех её свойств и взаимосвязей. 4. При исследовании системы описание её элементов не должно носить самодовлеющего характера, а должно вытекать из задач самой сис- темы и задач её исследования.
22 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований Именно для системного подхода специфична проблема порождения свойств системы свойствами её элементов, и наоборот, поведения элемен- тов поведением системы. По существу, системный подход сводится к тре- бованию всесторонности, комплексности исследования любого объекта или явления. При этом комплексность системного подхода проявляется в том, что наряду с рассмотрением системы как единого целого (комплекс- но) учитываются как положительные, так и отрицательные её свойства (комплекс свойств), все её связи и взаимодействия с окружающей средой (комплекс связей и взаимодействий), а также все возможные последствия её целевого функционирования (комплекс результатов), как положитель- ные (позитивные), так и отрицательные (негативные). Таким образом, системный подход - это общенаучная методология, которая не содержит конкретных средств исследования объектов, а обос- новывает и разрабатывает принципы таких исследований. Следствием развития и практического применения системного подхода явилось возникновение междисциплинарных научных направлений в изу- чении сложных явлений, систем и процессов. К таким направлениям отно- сятся: 1) общая теория систем (ОТС); 2) анализ систем (АНС); 3) системотехника (СИТ); 4) прикладная кибернетика (ПРК); 5) исследование операций (ИСО); 6) теория эффективности целенаправленных процессов (ТЭЦНП); 7) теория полезности (ТПО); 8) теория принятия решений (ТПР); 9) квалиметрия (КВМ) и т.д. На рис. 1.1.1 приведена схемати- Рис. 1.1.1 ческая диаграмма, иллюстрирующая отношения перечисленных научных направлений. Из рис. 1.1.1 видно, что, с одной стороны, все они взаимосвязаны (ме- тодологией системного подхода), а с другой - у каждого из направлений есть своя специфика и проблематика. В последнее время получили развитие такие направления, как технико- экономический анализ (ТЭА) и функционально-экономический анализ (ФЭА), в частности военно-экономический анализ (ВЭА).
1.1. Системный подход и системные направления в науке 23 Основная задача всех перечисленных направлений - оптимальный синтез, т.е.: - проектирование (организация) оптимальных (в каком-то смысле) целеустремлённых систем; - организация (проектирование) оптимальных (в каком-то смысле) це- ленаправленных процессов. Отличия системных направлений заключаются в следующем: - в объектах и предметах исследований; - в перечнях этапов системного анализа1, реализуемых в рамках кон- кретного системного направления; - в количестве и характере априорной информации и обусловленных этим методах исследования; - глубине и характере проработки исследуемого вопроса. На рис. 1.1.2. приведена структурная схема, иллюстрирующая взаимо- связь АНС, ИСО и ТЭЦНП. Из рис. 1.1.2. видно, что ИСО представляет собой этап АНС, а ТЭЦНП- этап ИСО. Таким образом, ТЭЦНП служит инструментом ИСО, а последняя - ин- струментом АНС [42]. Аналогичные связи можно выявить и между остальными направления- ми. В частности, как отмечено в монографии [42], многие проблемы и ме- тоды исследования являются общими как для ИСО, так и для СИТ (проек- тирование больших систем), так как предмет исследования у них общий: ЦУТС и ЦНПФС. Общими являются и цели исследования - синтез опти- мального ЦНПФС. В рамках ИСО эта задача решается с помощью выра- ботки организационных решений по синтезу ЦНПФС, а в рамках СИТ - путём выработки проектных решений по синтезу ЦУТС, реализующей этот ЦНПФС. Таким образом, различными являются объекты и этапы системных ис- следований. Так, в ИСО - это операция, проводимая системой, облик кото- рой уже определён (замоделирован), а в СИТ - это сложная система (ЦУТС), у которой определена (замоделирована) организация её ЦНПФС. Иллюстрацией взаимодействия ИСО и СИТ может служить тот же рис. 1.1.2, где роль АНС играет СИТ. Из сказанного следует, что ТЭЦНП находит применение практически во всех системных направлениях науч- ных исследований, будучи инструментом ИСО. Как отмечено в фундаментальной монографии [42] по "Системотехни- ке"2, процесс синтеза (проектирования, организации) любого сложного объекта (системы, операции) имеет два чётко выраженных этапа, называе- Системный анализ - это метод исследования (не смешивать с анализом систем (АНС) - научной дисциплиной). 2 С которой читателю рекомендуется ознакомиться подробнее.
24 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований мых соответственно внешним и внутренним проектированием (синте- зом). Исходя из физического смысла решаемых на этих этапах задач их ещё целесообразно называть этапами системно-агрегативного и структурно-параметрического синтеза (проектирования). v Постановка задачи и формулирование целей исследования Исследование ресурсов Перебор вариан- тов решения Построение вербальной, эври- стической модели объекта ис- следования, установление наи- более важных зависимостей (со- держательное моделирование) Оценивание вариантов Выбор варианта (принятие решения) Реализация решения Контроль г>\ X Построение агрегативной математической модели (абстрагирование) i Обоснование показателей качества системы, эффективности её функ- ционирования и критериев их оце- нивания (формализация задачи) * Реализация модели и исследова- ние влияния её управляемых параметров на показатели качества системы и операции X Сопоставление результатов ана- лиза с моделируемым объектом (проверка качества модели) j | Определение оптимального решения « S Я < Он ы с о W S в < т о ч щ ч и о S V Рис. 1.1.2 Внешнее (системно-агрегативное) проектирование (ВНЕПР) - это первый этап синтеза объекта, на котором: - изучается проблема - цели создания и будущего применения (функ- ционирования) объекта; - исследуются проблемная ситуация - фон и окружение проблемы, т.е. её предметная область, прецеденты и прототипы; - обосновываются показатели качества СС (ЦУТС) и эффективности её ЦНПФ (ЦНПФС), а также критерии их оценивания; ~ строятся агрегированные и агрегативные модели синтезируемых объектов (ЦУТС и ЦНПФС); - организуются и проводятся эксперименты по сбору информации, не- обходимой для построения и уточнения моделей.
1.1. Системный подход и системные направления в науке 25 Таким образом, на этапе внешнего проектирования выявляются требо- вания к ЦУТС и ЦНПФС, обусловленные их окружением, т.е. внешней средой и целевым предназначением. Внутреннее (структурно-параметрическое) проектирование (ВНУПР) - это второй этап синтеза объекта, на котором: - прорабатывается предварительный проект структуры и эксплуата- ционно-технических свойств {характеристик - ЭТХ) системы в единичном акте её функционирования; - прорабатывается проект системы, рассчитанной на полную загрузку в условиях воздействия случайных факторов; - анализируется ЦНПФС в условиях воздействия антагонистических факторов (противника, конкурента). Таким образом, на этапе внутреннего проектирования вырабатывается проектное задание на ЦУТС и ЦНПФС. При этом все его подэтапы осуще- ствляются одновременно в течение всего процесса проектировании, реали- зуя тем самым комплексный подход в замкнутой схеме. На рис. 1.1.3 приведены структурные схемы процесса проектирования сложных больших систем (ЦУТС) на различных его фазах: а) начальной фазе; б) организационной фазе; в) фазе предварительного структурно-параметрического проектирова- ния. Как видно из рис. 1.1.3, в), результаты ВНУПР используются для уточ- нения моделей ЦУТС и ЦНПФС. Следовательно, оба этапа (ВНЕПР и ВНУПР) тесно связаны между собой. Таким образом, в процессе ВНЕПР разрабатывается (проектируется, синтезируется) концептуальная модель [93] (? облик") ЦУТС (её орга- низация и системно-агрегативные свойства), наилучшим (в каком-то смысле) образом соответствующий её задачам (целям ПФС); в процес- се ВНУПР уточняются ЭТХ ЦУТС (её структурно-параметрические и экс- плуатационные свойства). В основе ВНЕПР лежат методы ИСО (методоло- гия и математические модели), основу которых, в свою очередь, составля- ют методы ТЭЦНП, базирующиеся на концепциях "Квалиметрии". По- скольку задачи ИСО решаются в условиях принципиальной априорной не- определённости, то основным орудием ВНЕПР являются "Теория вероят- ностей" и "Математическая статистика" [42]. Итак, ТЭЦНП - это прикладная математическая дисциплина, служащая инструментом ИСО, СИТ, ПРК, АНС в задачах измерения (оценивания) и анализа эффективности ЦНП, а также оптимального синтеза ЦУТС и ЦНПФС.
26 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований ВНЕПР ВНУПР Формулировка задачи ВНЕПР Формулировка задачи х Агрегативная мате- матическая модель Планирование экспериментов а) б) Предлагаемое решение ВНУПР i—>- Проектирование еди- ничного канала ЦУТС Проектирование ЦУТС для большой нагрузки Проектирование ЦУТС для конфликтной ситуации ВНЕПР ВНУПР Формули- ровка задачи Агрегатив- ная матема- тическая модель Планирова- ние экспе- риментов Испытания модели опе- рационного комплекса Проектиро- вание еди- ничного ка- нала ЦУТС Проектиро- вание ЦУТС |для большой) нагрузки Проектиро-1 вание ЦУТС) для конф- ликтной си- туации Входы h Связь Н Логическое управление Рефлек- сивное управление Средства отобра- жения Выходы Анализ h Опыты с критичес- кой аппа- ратурой в) Рис. 1.1.3
1.2. Основные принципы исследования операций и теории эффективности 27 Определения не имеют значения для науки, поскольку они всегда оказываются неудовлетворительными. Единственно ре- альным определением оказывается разви- тие самой сути дела, и оно уже не есть оп- ределение. ...Но для практического применения краткое указание наиболее общих и в то же время наиболее характерных признаков в так называемом определении часто бывает полезно и необходимо, и оно не может по- вредить, если только от него не требуют, чтобы оно давало больше, чем оно может выражать. Ф. Энгельс. "Анти-Дюринг" 1.2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ И ТЕОРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ Поскольку методы ТЭЦНП применяются при решении задач ИСО, то представляется необходимым знать её основные методологические прин- ципы и терминологию. 1.2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Существует множество определений предмета "Исследования опера- ций" [26, 40, 82, 109, 123, 190]. В каждом из них подчёркивается та или иная характерная черта этого научного направления, чёткие границы кото- рого до настоящего времени ещё не определены и которое, как уже отме- чалось, в значительной степени перекликается с другими системными дис- циплинами как по решаемым проблемам, так и по методам их решения. Приведём ряд определений различных авторов, данных на вербальном (содержательном, неформальном) уровне: - исследование операций - это совокупность конкретных практических приёмов решения задач и управления, методов исследования кон- кретных социальных (в том числе военных) процессов, так или иначе связанных с принятием решений, планированием и управлением; - исследование операций - это совокупность методов оптимизации решений, принимаемых людьми, в сложных ситуациях, основанных на точном, формализованном описании ситуации и количественном
28 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований анализе факторов, определяющих возможности достижения постав- ленных целей; - исследование операций - это приложение научных методов к про- блемам принятия решений, связанным с эффективным обслуживани- ем и управлением в реальных системах, состоящих из машин и лю- дей, и с распределением материально-денежных ресурсов; - исследование операций - это совокупность математических методов, применяемых при исследовании целенаправленных процессов воо- ружённой борьбы; - исследование операций - это количественное выражение здравого смысла. Последнее определение нельзя считать строгим, однако оно достаточно ёмко характеризует сущность "Исследования операций". Из приведённых определений следует: - объект исследования ИСО - операция (ЦНПФС); - предмет исследования ИСО - организация операции (ЦНПФС); - задача ИСО - разработка рациональных способов организации и проведения операций (ЦНПФС), в каком-то смысле оптимальных. Как было отмечено, организация ЦНПФС начинается уже в период про- ектирования ЦУТС, призванной проводить операцию. Таким образом, син- тез ЦУТС и синтез ЦНПФС - это две фазы (две стадии, две этапа) синтеза операции. Поскольку проблема заключается в выборе лучшего из сравниваемых вариан- тов исследуемого объекта (ЦУТС или ЦНПФС), то она, в свою очередь, порож- дает проблему измерения качества объекта и управления его качеством. Качество любого объекта в полной мере проявляется лишь в процессе его использования по назначению (в процессе его целевого функциониро- вания), поэтому наиболее объективным является оценивание качества объ- екта по эффективности его целевого применения. Как отмечалось, понятие эффективности получило научно-практическое применение в рамках ИСО при оценивании качества организации опера- ции (ЦНПФС). Концептуальные, методологические и методические осно- вы такого оценивания в результате их эволюции сформировались в "Те*> рии эффективности", объектом исследования которой является (как и в ИСО) операция (ЦНП), а предметом исследования - качество (эффектив- ность) операции. Поскольку, как было отмечено, понятие эффективности часто связыва- ется с множеством объектов различной природы (вопреки словарному тол- кованию [159]), то возникает необходимость в уточнении предмета рас- сматриваемой в монографии дисциплины. Итак, это "Теория эффективности целенаправленных процессов". При- менительно к целям данной монографии ей может быть дано следующее определение.
1.2. Основные принципы исследования операций и теории эффективности 29 Теория эффективности целенаправленных процессов (ТЭЦНП) - это научно-прикладная дисциплина, в рамках которой разрабатываются и исследуются принципы и методы количественного оценивания и анализа качества результатов целевого функционирования ЦУТС и степени их со- ответствия целям операции (стоящим перед ЦУТС задачам), а также мето- ды оптимизации проектируемых ЦУТС и организуемых ЦНПФС (опера- ций). А При решении задач ИСО и ТЭЦНП должны соблюдаться следующие основные принципы: 1. Анализ условий задачи с общей для всей ситуации единой точки зрения. Это в первую очередь проявляется при определении (форму- лировании) критериев оценивания эффективности операции, по- скольку оптимизироваться должны параметры ЦУТС и ЦНПФС, су- щественные для операции в целом. 2. Реализация системного, комплексного подхода, как к постановке, так и к решению задачи. В этом проявляется тесная связь ИСО с ОТС, АНС, СИТ и ПРК. 3. Рассмотрение не объектов как таковых, а их агрегированных матема- тических моделей. Это одна из основных особенностей системного метода. При этом сис- темный подход позволяет совершенно различные по физической природе ситуации и процессы рассматривать как стандартные условия задачи вы- бора оптимальной альтернативы, оптимального распределения ресурсов, оптимального процесса (модельного) достижения цели и т.п. Это означает, что в задачах ИСО и ТЭЦНП главное внимание уделяется не содержанию решения, а способу его получения, структуре и общим свойствам алгорит- мов решения. Единство способа, а не объектов исследования - суть мето- дов математического моделирования вообще и операционных исследова- ний в частности. 4. Абстрагирование, формализация и математизация проблемной си- туации со строгим количественным описанием связей агрегирован- ных характеристик модели с ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС. Единственные допускаемые эксперименты - это мысленные эксперименты на ана- литической модели или машинные эксперименты на имитационной модели. 5. Конкретность целей исследования на основе научных методов. Методы ИСО и ТЭЦНП отличаются строгой практической направлен- ностью. Это сугубо прикладные методы. Кроме того, это синтетические методы, направленные на воссоздание целостной картины проблемной си- туации.
30 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований 1.2.2. ТЕРМИНОЛОГИЯ Как в любой научной дисциплине, в ИСО и ТЭЦНП для обозначения используемых понятий применяется специальная терминология. Хотя мно- гие фигурировавшие уже понятия ИСО и ТЭЦНП известны из литературы, однако, чтобы избежать возможных разночтений, представляется целесо- образным уточнить определения используемых в дальнейшем понятий в соответствии с наиболее авторитетными источниками. Базовыми понятиями ИСО и ТЭЦНП являются: - операция; - цель операции; - система; - задача системы; - стратегия; - операционная система; - операционный комплекс и т.д. Дадим их определения. Определение 1.2.1. Система - это целостное множество (совокупность) взаимосвязанных объектов (предметов - элементов системы). А 1.2.1) Сложная система (СС) - это система, характеризующаяся мно- жеством возможных состояний, каждое из которых описывается набором значений её конкретных параметров. СС характеризуется сложным строе- нием и сложным поведением. Все рассматриваемые в дальнейшем системы - сложные. Сложная система военного назначения - это человеко-машинная {эрга- тическая) система, называемая военно-технической системой (ВТС). А Определение 1.2.2. Целеустремлённая техническая система (ЦУТС) - это множество взаимосвязанных материальных объектов (тех- нических средств и обслуживающих их групп людей), непосредственно участвующих в проведении операции и объединённых общей целью. А Для выделения системы из множества объектов используется понятие операции. Определение 1.2.3. Операция - это упорядоченная совокупность (сис- тема) взаимосвязанных действий, направленных на достижение опреде- лённой цели. А Применительно к СС (ЦУТС) операция - это целенаправленный процесс (ЦНП) функционирования системы (ЦНПФС). Именно наличие общей це- ли объединяет множество объектов в систему (ЦУТС).
1.2. Основные принципы исследования операций и теории эффективности 31 1.2.2) Необходимо подчеркнуть, что нераздельным атрибутом опера- ции является конечная её длительность, называемая операционным вре- менем. А Определение 1.2.4. Цель - это требуемый (желаемый) исход опера- ции. А Сложные системы могут быть расчленены на подсистемы и элементы с определённой иерархической структурой связей между ними. Определение 1.2.5. Подсистема (субсистема) - это сложная система меньшего масштаба, чем исходная, организационно входящая в послед- нюю, реализующая самостоятельную операцию, цель которой подчинена цели операции, проводимой исходной системой, являющейся по отноше- нию к подсистеме надсистемой (суперсистемой). А Определение 1.2.6. Элемент системы - это объект, входящий в состав системы, но не имеющий в рамках конкретной операции самостоятельной цели и не подлежащий расчленению на части. А Понятия подсистемы и элемента сугубо модельные и, в этом смысле, условные. Так, одна и та же совокупность объектов может в рамках одной операции являться элементом, в рамках другой - подсистемой (субсисте- мой), в рамках третьей - системой или даже надсистемой (суперсистемой). Элементы сложной системы функционируют во взаимодействии, в ре- зультате чего свойства СС определяются не только (и не столько) свойст- вами её элементов и подсистем, но и характером взаимодействия между ними, т.е. новыми, так называемыми системными свойствами. Определение 1.2.7. Комплекс - это совокупность объектов (систем, подсистем, элементов) различной физической природы, объединённых общей целью, но с менее жёсткими, чем в системе, организационными свя- зями. А 1.2.3) Под военно-техническим комплексом (ВТК) понимается объ- единение военно-технических систем, каждая из которых проводит само- стоятельную операцию. А Как следует из определений 1.2.3 и 1.2.4, пока нет цели, нет и операции. В рамках ИСО и ТЭЦНП предполагается (и это принципиально), что цель операции - единственная. Операция, преследующая несколько целей, - это совокупность одноцелевых операций. При этом эффективности отдельных таких операций могут быть (и, как правило, являются) различными. Если цели этих операций взаимосвязаны, то иногда их совокупность может рас- сматриваться как одна обобщённая (сложная, групповая) цель.
32 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований Цель считается достигнутой, если путём преобразования (расходования) функционирующей ЦУТС некоторых (в каждой операции своих) ресурсов (сырья, энергии, информации, времени и т.д.) получен соответствующий (требуемый, потребный) ей результат (исход операции). Определение 1.2.8. Задача системы - это достижение требуемого ис- хода операции в результате функционирования ЦУТС при заданном рас- ходе ресурсов, за заданное время и характеризуемого заданным набором количественных данных. А Другими словами, задача - это конкретизированная цель. По существу, цель операции становится задачей системы, если конкретизированы коли- чественные характеристики требуемого результата и отпускаемых на его получение ресурсов и времени. Практически цель операции достигается путём выполнения системой последовательности задач. Если цель операции сформулирована (задача системы поставлена), то может быть начата разработка альтернативных способов (стратегий, пла- нов, программ) достижения цели (выполнения задачи). Из набора альтер- нативных планов наилучший выбирается на основе тех или иных принци- пов и вытекающих из них концепций, которые формально выражаются в форме критериев {правил суждения). Определение 1.2.9. Стратегия — это определённая организация и спо- соб проведения операции (применения системы). А 1.2.4) Крупномасштабные операции всегда реализуются как совокупно- сти более мелких частных операций. А Определение 1.2.10. Результаты операции - это совокупность всех её эффектов (последствий). А Определение 1.2.11. Целевой эффект операции - это результат, ради получения которого проводится операция. А Определение 1.2.12. Ресурсы - это запасы материи (сырья), энергии, информации, времени, а также технические и людские ресурсы, необходи- мые для проведения операции и получения требуемого целевого эффекта. А Определение 1.2.13. Свойство - это объективная особенность объекта, зависящая от его.строения и характеризующая отдельную его сторону (ас- пект). А Определение 1.2.14. Качество - это совокупность свойств объекта, от- личающих его от других объектов и характеризующих его соответствие назначению. А
1.2. Основные принципы исследования операций и теории эффективности 33 Определение 1.2.15. Операционная система (ОС) - это совокупность объектов (как материальных, так и нематериальных: информация, время и т.д.), в результате взаимодействия которых реализуется операция. А Определение 1.2.16. Операционный комплекс (ОК) - это совокуп- ность объектов, включающая в себя в качестве элементов операционную систему, суперсистему и окружающую среду. А Определение 1.2.17. Окружающая среда (ОКС) - это совокупность объектов, не входящих в операционную систему, непосредственного уча- стия в операции не принимающих, но обусловливающих операционную ситуацию и оказывающих влияние на ЦНПФС и его исход. А В дальнейшем окружающая (внешняя) среда интерпретируется как ус- ловия проведения операции (УПО), представляющие собой, в свою оче- редь, совокупность условий функционирования (УФС) и условий примене- ния (УПС) системы (ЦУТС). Определение 1.2.18. Операционная ситуация (ОСТ) - это состояние объектов окружающей среды, определяющих условия применения систе- мы (ЦУТС). А 1.2.5) В принципе состояние ОС, зависящее от условий функциониро- вания ЦУТС, также влияет на ситуацию, однако представляется целесооб- разным под ОСТ понимать состояние объектов окружающей среды, яв- ляющихся по отношению к ЦУТС и ОС внешними и обусловливающих требования, которым должны удовлетворять результаты операции для дос- тижения её цели. А Более детально семантика введённых понятий раскрывается по мере об- ращения к ним в последующих главах. 1.2.3. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЛЕМЕНТОВ ОПЕРАЦИОННОГО КОМПЛЕКСА На рис. 1.2.1. приведена обобщённая структурная схема ОК, где обозна- чены: ОК - операционный комплекс; ОС - операционная система; ССС - суперсистема; ОУП - орган управления; ЦУТС - целеустремлённая техническая система; ЦНПФС - целенаправленный процесс функционирования ЦУТС; 2 Зак. 3303
34 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований ок ос ОУП УФС В' L ЦУТС Л' (<(тк;) ссс иэ к ?2 Уз У(л,Д') РВЗ(А,В) I J Z(B") В" УПС ПР Рис. 1.2.1 PC - ресурсы; УФС - условия функционирования ЦУТС; УПС - условия применения ЦУТС; ПР - противник (природа, конкурент и т.д.); ИЭ - измеритель эффективности ЦНПФС (операции). Смысл остальных обозначений раскрывается в гл. 2. Элементы ОК обладают целыми совокупностями свойств, однако в за- висимости от характера операции в её модели должны учитываться лишь существенные для её протекания свойства, называемые операционными. В табл. 1.2.1 дан перечень основных свойств элементов ОК. Из табл. 1.2.1 видно, что перечень операционных ресурсов зависит от характера ЦНПФС. Многоточия символизируют прочие свойства (либо менее существенные, либо ещё не вскрытые). В связи с перечисленными свойствами элементы ОК могут быть классифицированы. По назначению ЦУТС делятся на целевые и обеспечивающие. По целям операции (ЦНПФС) делятся на: ~ операции преобразования ресурсов в целевой эффект (изготовление продукции, добывание данных, нанесение ущерба противнику и т.д.);
1.2. Основные принципы исследования операций и теории эффективности 35 - операции распределения и перемещения (транспортные перевозки, передача информации и т.д.). По характеру протекания во времени операции делятся на непрерыв- ные и дискретные (циклические). 1.2.6) Строго говоря, все операции дискретны, так как отдельные их этапы (стадии, фазы) разнесены во времени, однако некоторые фазы ЦНПФС могут протекать непрерывно. А Таблица 1.2.1. Элементы ОК ЦУТС ЦНПФС Основные свойства Характеристики строения - состав; - структура (габариты, веса); - масштабы (сложность); - надёжность; Характеристики поведения - мощность; - мобильность; - манёвренность; - производительность; - быстродействие; - готовность; - работоспособность; - точность; - живучесть; - долговечность; - экономичность; Общие - масштабность; - продолжительность; - устойчивость (помехоустойчивость); Операционные - результативность; - ресурсоёмкое^; - оперативность; - эффективность;
36 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований Продолжение табл. 1.2.1. Элементы ОК Результаты ЦНПФС Ресурсы Основные свойства Прямые - целевые - объём (величина) целевого эффекта; - качество целевого эффекта: точность, достоверность, информативность, содержательность, полнота, своевременность и т.д. Косвенные - побочные - расход операционных ресурсов; - расход операционного времени; - потери и ущербы; - объём (количество); - состав (структура); - качество; - динамичность; - активность; По характеру повторяемости операции делятся на: - массовые (плановые транспортные перевозки, решения задач управ- ления, сбор метеоинформации, сбор разведданных и т.д.); - единичные - уникальные (запуск космического аппарата; стыковка космических аппаратов на орбите; вскрытие мероприятия, проводи- мого противником; нанесение удара по цели и т.д.). На рис. 1.2.2. приведена классификация результатов операций, соглас- но которой следует различать результаты: - положительные и отрицательные', - прямые и косвенные (побочные). Кроме того, в рамках каждого из блоков схемы рис. 1.2.2. результаты могут быть однородными и неоднородными. Ресурсы могут быть классифицированы по структуре и по динамике превращения в целевой эффект. По структуре ресурсы делятся на однородные и неоднородные. 1.2.7) Однородность ресурсов существенно упрощает исследование операции и её эффективности, однако подобные операции крайне редки (если вообще существуют). Выражение всех ресурсов в их стоимостном "эквиваленте" приводит к вырождению задачи до некорректной. ▲
1.2. Основные принципы исследования операций и теории эффективности 37 Результаты операции (ЦНП) т Положительные (позитивные) If—>• 1—>► Целевые эффекты (прямые результаты) Побочные положительные эффекты т Отрицательные (негативные) Расходы ресурсов (прямые результаты) Побочные отрицательные эффекты <—1 Рис. 1.2.2 По динамике превращения в целевой эффект различают ресурсы: - активные и пассивные; - динамические и статические. Активными (А) называются ресурсы, непосредственно превращающие- ся в целевой эффект. Пассивными (П) называются ресурсы, участвующие в получении целе- вого эффекта, но непосредственно в него не превращающиеся. Динамическими (Д) называются ресурсы, расходуемые на получение целевого эффекта в ходе операции. Статическими (С) называются ресурсы, расходуемые при создании ЦУТС и организации ЦНПФС и участвующие в нём опосредованно в ка- честве технического ресурса средств, уровня технологии, параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС и т.д. Это капитальные затраты. В ходе операции эти ресурсы расходуются, но весьма медленно, так что в пределах одной операции они практически не изменяются, но их наличие абсолютно необ- ходимо. Типичными являются операции, в ходе которых расходуются (исполь- зуются) ресурсы различных видов: - ресурс сырьевой (А, Д); - ресурс энергетический (А, Д); - ресурс структурный ЦУТС (П, Д); - ресурс технический (П, С); - ресурс технологический (П, С); - ресурс информационный (П, Д); - ресурс управленческий - организационный (П, Д); - ресурс временной (П, Д); - ресурс трудовой - людской (П, Д) и т.д.
38 Глава 1. Концептуальные основы системных исследований Более подробно роли ресурсов различных видов выявляются в после- дующих главах. 1.3. КОММЕНТАРИИ 1.3.1} Цель данной главы - введение в предмет ТЭЦНП, формулировка основных её концепций и определение её места среди дисциплин систем- но-технического цикла. Поэтому сами эти дисциплины практически лишь упоминаются. Заинтересованного читателя адресуем к посвященной этим дисциплинам литературе (см. библиографию). А 1.3.2} В дополнение к сказанному в конце п. 1.1 обратим внимание на следующее принципиальное обстоятельство, не нашедшее в литературе достаточного отражения. Как было отмечено выше, этапу внешнего проектирования сопутствует большая неопределенность, обусловленная множеством самых различных факторов технического, экономического, социального, политического, ... характера. Поэтому (см. [42]) основным орудием внешнего проектирова- ния, а следовательно, и его инструментария - ИСО и ТЭЦНП является "Теория вероятностей". Но "Теория вероятностей" - это теория матема- тического моделирования стохастических (неопределённых) ситуаций (случайных явлений) и прогнозирования поведения случайных объектов - характеристик таких ситуаций (событий, величин, векторов, функций). Та- ким образом, как в ИСО, так и в ТЭЦНП строятся априорные (прогнозные) модели ЦУТС и ЦНПФС и исследуются их прогнозные свойства, которые в силу неопределённости исходных данных также содержат элемент неоп- ределённости. Поэтому когда в задачах ИСО и ТЭЦНП рассматривается ЦУТС или ЦНПФС, то речь идёт не о конкретном объекте исследования (ЦУТС, ЦНПФС), а о целом классе таких объектов, функциональные свой- ства которых имеют некоторый разброс относительно зафиксированных в модели номинальных значений. Действительно, хорошо известно, что в любой партии однотипных из- делий не существует идентичных или что невозможно абсолютно точно повторить какую-либо последовательность действий. Таким образом, когда априори говорится о качестве объекта, то речь идёт о качестве его проекта, модели, а не конкретного образца (которого ещё нет). Аналогично под эффективностью операции (ЦНПФС) следует понимать эффективность класса операций с "одинаковой" организацией (стратегией), в рамках которой отдельные элементы этого класса могут об- ладать различными по качеству результатами. А
Одна из основных опасностей, подсте- регающих исследователя, который решает практические задачи с помощью моделиро- вания, - это неправильно выбранный кри- терий эффективности. Это, в свою оче- редь, в большинстве случаев объясняется необоснованным перенесением на новые системы методов, выбранных для других систем. Д. Хорафакс. "Системы и моделирование" Глава 2 МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В гл. 1 были даны определения ключевых (базовых) понятий, лежащих в основе системных исследований и используемых в рамках системных научных направлений. При этом было отмечено, что для системного под- хода специфична проблема порождения свойств (поведения) целого из свойств (поведения) его элементов, и наоборот, порождения свойств (по- ведения) частей из свойств (поведения) целого. Принципы системного подхода выражаются в требовании всесторонности, комплексности иссле- дования любого объекта или явления. Комплексность системного подхо- да проявляется в том, что наряду с рассмотрением сложного объекта ис- следования (ЦУТС, ЦНПФС) как единого целого - комплексно, должен учитываться весь комплекс его существенных свойств (как положитель- ных, так и отрицательных), а также все возможные (положительные и от- рицательные) последствия его целевого применения - комплекс результа- тов функционирования объекта. Целями данной главы являются, с одной стороны, раскрытие семантики (физического смысла) этих понятий, а с другой - их формализация, т.е. ма- тематическая формулировка, обладающая достаточной общностью и при- годная для описания широкого класса объектов исследования (ЦУТС и ЦНПФС).
40 Глава 2. Методологические основы теории эффективности 2.1. СЕМАНТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ Как отмечалось ранее, основным объектом исследования теории эффек- тивности является операция, т.е. целенаправленный процесс функциони- рования ЦУТС (ЦНПФС). При этом цель исследования - выявление фак- торов, обусловливающих основные (существенные для анализа) свойства ЦНПФС, анализ влияния этих факторов на качество ЦНПФС, т.е. на его соответствие целям операции, определение принципов, путей и методов организации (планирования и обеспечения) и последующего управления ЦНПФС, обеспечивающих его наивысшее качество. В гл. 1 было показано, что основу разрешения всех проблем системных исследований составляет поиск наилучших (оптимальных) вариантов ис- следуемых объектов: ЦУТС и ЦНПФС. При этом оптимальность решения (варианта) тождественна наибольшему (наилучшему) соответствию синте- зируемого (проектируемого, организуемого) объекта его целевому назна- чению. Другими словами, во всех системных исследованиях первичным является целевое назначение объекта, точнее, достигаемая с его помощью (путём его применения по назначению) цель. Вспомним её определение. Определение 2.1 Л. Цель1 - это желаемый исход операции (ЦНПФС).А Определение 2.1.2. Операция (ЦНПФС) - это совокупность или по- следовательность согласованных действий, направленных на достижение некоторой конкретной цели. ▲ Так как операция протекает во времени, то это процесс, а поскольку операция имеет цель, то это целенаправленный процесс (ЦНП). Любой процесс есть следствие развития некоторой материальной системы. Если назначением системы является реализация (проведение) этого процесса, то процесс ее функционирования будет целенаправленным. Таким образом, операция - это целенаправленный процесс функционирования некоторой системы (в частности, ЦУТС), т.е. любой ЦНПФС представляет собой опе- рацию. Однако поскольку не все процессы целенаправленны, то необхо- димо сформулировать отличительные признаки операций, выделяющие их в самостоятельный класс процессов. Представляется очевидным, что поскольку операция организуется и проводится с определённой целью, то об её качестве следует судить по степени достижения этой цели. Поэтому мера (показатель) качества опера- ции должна учитывать как целевые эффекты, ради которых проводится операция, так и "усилия", необходимые для получения этих эффектов. 1 Существует множество определений понятия "цели", отличных от приведённого, содержащих гораздо больше слов, но при этом теряющих чёткость определения [26,40, 138].
2.1. Семантические аспекты теории эффективности 41 Из множества свойств, присущих любому процессу (стационарность, последействие, устойчивость и т.п. [129]), для характеристики целенаправ- ленного процесса существенны так называемые операционные свойства1, которые и определяют его качество как объекта исследования. Операцион- ные свойства ЦНПФС в совокупности и во взаимосвязи порождают его обобщённое свойство - эффективность, определяющее качество ЦНПФС и присущее только операциям. Раскроем семантику понятия эффективности. Вообще термин "эффект" многозначен. Из всех его значений нашим целям отвечает лишь одно: эффект - это действие, производимое чем- либо, результат такого действия. Отсюда эффективный - это дающий эффект, результативный, действенный (от латинского "производитель- ный") [159, 160]. Таким образом, эффективность - это свойство дейст- вия (операции - ЦНПФС) давать эффект. 2.1.1) В общем случае по отношению к цели рассматриваемого действия эффект качественно может быть как положительным (позитивным), так и отрицательным (негативным), однако при определении показателя качест- ва результатов операции речь идёт всегда о положительном (по смыслу, а не по значению) эффекте. Поэтому эффективность - это не просто спо- собность давать эффект, а именно действенность такой способности, т.е. результативность, соотнесённая с затратами ресурсов всех видов (матери- альных, энергетических, информационных, временных, людских и т.п.). А 2.1.2) Поскольку эффективность - это свойство действия, то распро- странённое словосочетание "эффективность системы (ЦУТС)" семантиче- ски некорректно (неточно). Если оно и может использоваться, то только лишь в смысле характеристики потенциальных возможностей ЦУТС, оп- ределяемых её качеством. Таким образом, не следует смешивать понятия "качество ЦУТС" и "качество ЦНПФС", относящиеся к существенно раз- личным объектам исследования. А 2.1.3) При исследовании эффективности операций вводится понятие операционной системы, включающей в себя в качестве элементов (подсис- тем) и ЦУТС, и реализуемый ею ЦНПФС. Применительно к этой системе (и только к ней) можно говорить об её эффективности, да и то лишь о по- тенциальной [185]. Однако поскольку это условие зачастую не выполняет- ся, то правильнее говорить об эффективности ЦНПФС (т.е. операции). А Обобщив всё ранее сказанное, дадим определение понятию эффектив- ности. 1 Таким образом, операционные свойства ЦНП - это его атрибуты2. 2 Атрибут - это существенный признак, свойство, неотъемлемая принадлежность предмета (объекта исследования) [159,160].
42 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Определение 2.1.3. Эффективность - это комплексное операционное свойство ("качество" - "атрибут") ЦНПФС, характеризующее его при- способленность к достижению цели реализуемой ЦУТС операции (к вы- полнению стоящей перед ЦУТС задачи). ▲ Из данного определения следует, что поскольку эффективность - это качество (свойство) операции, то методы её исследования должны опи- раться на основные положения науки о качестве, получившей название "Квалиметрия". Для чёткого понимания сущности современной методоло- гии, теории эффективности необходимо уяснить лежащие в её основе по- нятия «квалиметрии» и «теории оценивания». Измерять, что измеримо, делать изме- римым то, что ещё не измеримо. Г. Галилей 2.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАЛИМЕТРИИ Квалиметрия - это научная область, в которой разрабатываются мето- дологические основы, методы и методики количественного оценивания и анализа качества объектов. А Для более глубокого изучения принципов и методов квалиметрии заин- тересованному читателю следует обратиться к специальной литературе [4]. Здесь же приведена выборка основных её понятий и концепций, имеющих непосредственное отношение к проблеме исследования эффективности ЦНПФС. При этом формулировки ряда понятий уточнены. 2.2.1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ И КОНЦЕПЦИИ КВАЛИМЕТРИИ Прежде всего следует обратить внимание на неоднозначность понятия качества. Необходимо различать его философскую и потребительскую ин- терпретации, в связи с которыми оно имеет следующие определения: - «качество»1 - это наличие существенных признаков, свойств, особен- ностей (атрибутов), отличающих один предмет или явление от дру- гих [159]; именно в этом смысле эффективность характеризует "ка- чество" целенаправленного процесса (см. определение 2.1.3); - качество - это то или иное свойство, достоинство, степень пригодно- сти кого-нибудь или чего-нибудь [159]. При употреблении термина «качество» в философской концепции он заключается в кавычки.
2.2. Основные понятия квалиметрии 43 Легко заметить, что оба определения недостаточно чёткие, поскольку содержат последовательности неоднородных "синонимов": признаки - свойства - особенности в первом случае, свойство - достоинство - степень пригодности - во втором. Причём понятие свойства входит в оба опреде- ления. Понятно, что в каждом из определений оно имеет свой «оттенок», соответствующий сущности понятия качества. В дальнейшем (в рамках квалиметрии) речь будет идти о качестве потребительском (без кавычек). В основе последующих построений лежат три постулата. ПОСТУЛАТ 2.2.1. Каждый исследуемый объект обладает определён- ными свойствами, обусловливающими его качество. А Определение 2.2.1. Качество - это свойство или совокупность свойств объекта, обусловливающих его пригодность для использования по назначению. А ПОСТУЛАТ 2.2.2. Каждое из свойств объекта может быть описано ко- личественно с помощью некоторой переменной, значение которой характе- ризует меру (интенсивность) его качества относительно этого свойства. А Эту меру называют показателем свойства или единичным, частным показателем качества объекта. Уровень качества объекта характеризуется значениями совокупности показателей его существенных - атрибутивных свойств (АС), т.е. свойств, необходимых для соответствия объекта его назначению. Эта со- вокупность называется показателем качества. Поясним понятие "сущест- венные свойства" на примерах. Пример 2.2.1. Пусть объект исследования - радиоприёмник. Из его возможных свойств (полоса частот, чувствительность, вес, габариты, на- дёжность, ремонтопригодность, долговечность, эстетичность - внешнее оформление, стоимость и т.д.) совокупности существенных свойств будут определяться назначением и условиями целевого применения (условиями эксплуатации) этого приёмника. Так, для переносных вариантов важными свойствами будут вес и габариты, для стационарных - полоса частот и чувст- вительность, для бытовых - внешнее оформление, стоимость и т.д. А Пример 2.2.2. Пусть объектом исследования является трава на лугу. Её "качество" обусловливается множеством свойств (физических, химиче- ских, биологических и т.п.). Однако пока трава не используется, она не об- ладает качеством потребительским. Такое качество возникает при намере- нии использовать траву. При этом в зависимости от целей использования травы в число существенных будут входить различные её свойства (для выпаса стада - одни, для заготовки кормов - другие, для прогулки и отды- ха - третьи, для игры в футбол - четвёртые и т.д.). А
44 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Определение 2.2.2. Показатель качества объекта - это вектор, ком- поненты которого суть показатели его отдельных свойств, представляю- щие собой частные, единичные показатели качества объекта. ▲ Размерность этого вектора определяется числом существенных свойств (атрибутов) объекта. 2.2.1) Следует особо подчеркнуть тот факт, что показатель качества - вектор (т.е. комплексное понятие), а не простое множество показателей свойств объекта, поскольку между отдельными его свойствами могут суще- ствовать связи, которые в терминах теории множеств не описываются. А ПОСТУЛАТ 2.2.3. Требуемое качество объекта задаётся условиями, которым должны удовлетворять виртуальные (возможные) значения пока- зателей его существенных свойств - атрибутов (АС). А Эти условия называются критериями оценивания качества объекта, а проверка их выполнения называется оцениванием качества объекта. Определение 2.2.3. Критерий1 оценивания качества - это руково- дящее правило (условие или совокупность условий), вытекающее из принятых (положенных в основу исследования) концепций и принципов оценивания, реализуемое при принятии того или иного решения (проект- ного, организационного, управленческого и т.п.) о качестве исследуемого объекта. А 2.2.2. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ КАЧЕСТВА ОБЪЕКТОВ При оценивании качества любого объекта, описываемого я-мерным векторным показателем, реализуется совокупность критериев, каждый из которых в общем случае может принадлежать одному из трёх классов: - классу {G} критериев пригодности; - классу {О} критериев оптимальности; - классу {£} критериев превосходства. Приведём их математические формулировки [112]. Пусть у\, [# = l(l)#i; y = l(l)iw J - показатель /-го свойствау'-го объ- екта, т.е. показатель качествау-го объекта есть вектор FA = ( j/>J>2>"M.Fwb {j??j- множество (область) допустимых значений показателя у\ или 1 Критерий - это мерило (но не мера!) оценки, суждения [159]. Критерий - отли- чительный признак, "пробный камень", мерило; критерий истины - то, что удостоверя- ет объективную истину [160].
2.2. Основные понятия квалиметрии 45 в векторной форме |гЛ j={(j>i%J>^--vJwj- Тогда критерии перечислен- ных выше классов имеют следующие определения. Критерий пригодности: G- Ш*Ш = "> [j = l{l)m], (2.2.1) 1=1 где (/-достоверное событие (истинное высказывание); п - символ булева пересечения событий {конъюнкции высказываний). В векторной форме критерий (2.2.1) принимает следующий вид: G: (¥^е{¥^}П")=и, [y = l(l)m], (2.2.11) где {К'\ } - область допустимых значений показателя качества пригодно- го объекта. По определению, объекты, для которых выполняются условия (2.2.1), (2.2. Г), пригодны для использования по назначению. При этом все они об- ладают одинаковым качеством. Пример 2.2.3. Критерий (2.2. Г) иллюстрируется рис. 2.2.1 для случая W = 2; w = 5; {г^}ПР = [у\,у[ ]х[у2,/2 ]. Как видно из рис. 2.2.1, в приведённом примере объекты 1-й, 2-й, 3-й и 5-й пригодны, а 4-й не пригоден, т.е. 1Т(2) J = 1У(2> > Y(2) > Y(2) > Y(2) J ' ^ Критерий оптимальности: О: ПЫеМЬ ПЫ=*Г")=".к = 1(1)я; У = 1(1)«], (2.2.2) *=l ke{k\n ОПТ i где yk - оптимальное значение показателя ft-го свойства; /i0 - объём множества {к}^ номеров (число) оптимизируемых свойств объекта. В векторной форме критерий (2.2.2) принимает вид О: (% s {Y{:}})n(У(А = У«")з (% е {Y^h U,\j = l{l )*], (2.2.2') где \Y>dn\\ - область допустимых значений показателя качества опти- мального объекта. По определению, объект, для которого выполняются условия (2.2.2'), называется оптимальным по А-му свойству, т.е. по я0 свойствам. Понятно, что такой объект должен быть и пригодным.
46 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Пример 2.2.4. Критерий (2.2.21) иллюстрируется рис. 2.2.2, построен- ным в условиях примера 2.2.3 для случая щ=\; k = l; {г{2)}ОПТ={уГЫу'»У;}- Как видно из рис. 2.2.2, в приведенном примере 1-й и 3-й объекты оп- тимальны по первому свойству (по показателю у{), т.е. У г k ОПТ » Ух Ух Ух Ух Ух Ух Рис. 2.2.1 Рис. 2.2.2 Критерий превосходства: S: Г)Г\{у]е{у!})пГ\Г)(у'>у>)=и, [/ = l(l)«i], (2-23) у=1 /=1 /=1 J*i где / - номер превосходного объекта. В векторной форме критерий (2.2.3) принимает вид 7=1 где (Ца)*%%Ш*У1)'> /=1 |гЛ] - область допустимых значений показателя качества пре- восходного объекта. По определению, объект, для которого выполняются условия (2.2.3), превосходит по качеству все остальные объекты. Если [){у1. = yj)=U, то /=i качества /-го и у-го объектов признаются одинаковыми. Если же хотя бы
2.2. Основные понятия квалиметрии 47 одно из условий (2.2.3) не выполняется, то это означает, что заданная со- вокупность показателей свойств не позволяет выявить объект, превосхо- дящий по качеству все остальные из числа исследуемых. Пример 2.2.5. Критерий (2.2.3') иллюстрируется рис. 2.2.3, построен- ным в условиях примеров 2.2.3 и 2.2.4, т.е. Как следует из рис. 2.2.3, на заданной совокупности объектов 3-й объект i&}~ ЩТ - i ОПТ " Ух Ух Ух Рис. 2.2.3 является превосходным, несмотря на то что имеет место соотношение Уг > У г у поскольку 4-й объект не пригоден и, следовательно, не конкурен- тоспособен по сравнению с остальными. А 2.2.2) Легко заметить, что критерий оптимальности является частным случаем критерия пригодности, поскольку выражение (2.2.2) означает, что bihbrh **{*}„> или в векторной форме {%ГГ=КТ}ХП[^^]- (2-2.4) В условиях примеров 2.2.1, 2.2.2 выражение (2.2.4) принимает вид Иллюстрацией соотношения (2.2.5) может служить рис. 2.2.2, из которо- го видно, что в критерии оптимальности область {гД ] , превращаясь в об- Ivd \°ПТ ~ , ласть щ2к j , вырождается в отрезок прямой (а на конечной совокупно-
48 Глава 2. Методологические основы теории эффективности сти т исследуемых объектов-в двухточечное множество |к!2ч,ГД]). В свою очередь, критерий превосходства представляет собой частный случай критерия оптимальности, поскольку выражение (2.2.3) означает ШУ'^У{)*Ш=УГ) (2-2.6) или в векторной форме {%Гв=ПЬ'Г}. (2.2.6') В условиях примеров 2.2.1 - 2.2.3 выражение (2.2.61) принимает вид НТЕВ =№ПТ ИуГЫу™} • (2.2.7) ▲ Пример 2.2,6. Иллюстрацией соотношения (2.2.7) служит рис. 2.2.3, из которого видно, что в рамках критерия превосходства область |кД}, пре- вращаясь в область {к! } , вырождается в точку {(у*,yl) }. А Таким образом, при оценивании качества объекта критерий G пригод- ности является доминирующим и универсальным и определяется выраже- нием G^: Y{H)e{Y{ff] = U, (2.2.8) где [К] = ПР, ОПТ, ПРЕВ - индекс класса критерия ; *М ~ допустимое значение вектора Y,\ для критерия К-то класса; {у*М][*]1{у*М.(у -¥М)=(ОБЪЕКТ ПРИГОДЕН)} - область d допустимых значений показателя качества объекта, соответст- вующая задаче его исследования, т.е. выявлению его пригодно- сти, оптимальности или превосходства. А 2.2.3) Приведённые выше формулировки (2.2.1) - (2.2.3) критериев предназначены для сравнительного оценивания качества объектов и опти- мизации их свойств (качеств) на дискретно-непрерывных множествах |{j>/ j |от значений показателей качества объектов. Однако поскольку на этапах отработки и испытания объекта конкурируют его гипотетические варианты одного класса (определяемые конкретными значениями показа- телей свойств), число т которых в принципе не ограничено, то оптимиза- ция показателей его качеств (свойств) производится на континуальных множествах \yf }=[^,JI' J , [i = l(l)#i]. Очевидно, что в этом случае ин- В дальнейшем индекс К класса критерия будет опускаться.
2.2. Основные понятия квалиметрии 49 деке у при показателе у\ свойства у. у-го объекта теряет смысл. Поэтому в дальнейшем в обозначениях показателей качества он опущен. Сказанное может быть проиллюстрировано рис. 2.2.4, построенным в условиях примеров 2.2.3 - 2.2.5, где совокупности допустимых значений У г k Уг Уг О V77777777T77777T7, CZ Х////////////////Л К\ Уг Уг Уг Рис. 2.2.4 показателей качества исследуемых объектов интерпретируются следую- щим образом: - вся область - область оптимальных значений fcr=W}x[^X]; - область превосходных значений fej}™={rfMrfM<rf,rf>}. а 2.2.4) Поскольку, по определению, качество объекта характеризуется совокупностью его свойств, то оно, в свою очередь, также представляет собой обобщённое (комплексное) свойство объекта, которое само по себе ещё не характеризует степени его соответствия назначению. Этой цели служат показатели качества и критерии его оценивания. Таким образом, качество и его показатель ~ различные понятия. А 2.2.5) Не следует смешивать понятия "показатель качества" и "крите- рий оценивания качества", первое из которых означает числовую характе-
50 Глава 2. Методологические основы теории эффективности ристику или функцию {меру качества), а второе - совокупность высказы- ваний и предикатов [т.е. условия (2.2.1) - (2.2.3), (2.2.8)]. А 2.2.6) Наконец, сделаем замечание более общего характера. При опре- делении любого объекта перечисляются его отличительные признаки, т.е. его особенности и свойства. Для обозначения конкретного свойства ис- пользуется некоторый символ, имеющий смысл "имени свойства". Для обозначения меры (интенсивности) этого свойства должен использоваться символ (показатель), отличный от символа - имени. Значение, принимае- мое показателем при измерении, не тождественно самому показателю и должно иметь отличное от него обозначение. Указанные принципиальные отличия характеристик исследуемого объекта обычно не учитываются. Из контекста, как правило, бывает ясно, о чём идет речь, тем не менее для чёткого понимания сущности рассматриваемой проблемы семантическое разделение указанных понятий абсолютно необходимо. А Следует различать прямые и обратные задачи квалиметрии, т.е. соот- ветственно задачи анализа качества объектов и задачи синтеза объектов с требуемыми (заданными) качествами. Общие схемы (алгоритмы) реше- ния прямой и обратной задач исследования качества объектов изображе- ны на рис. 2.2.5 и 2.2.6, из которых видно, что основу прямой задачи со- ставляет измерение качества объекта, а основу обратной задачи - управ- ление качеством объекта с целью придания ему необходимых свойств. 2.2.3. К ПРОБЛЕМЕ ОЦЕНИВАНИЯ В данной монографии большинство понятий вводится по ходу изложе- ния. Однако представляется необходимым терминам, определяющим фун- даментальные понятия, правильное понимание которых имеет принципи- альнее значение, уделить особое внимание и обсудить их отдельно. Начнём с ряда распространённых в литературе неточностей в слово- употреблении, которые вредны, с одной стороны, в семантическом смысле, так как неправильное (неграмотное) словоупотребление приводит к разно- чтениям и неверному пониманию сущности предмета обсуждения, а с дру- гой - в терминологическом, поскольку они сокращают число терминов, имеющих самостоятельный смысл и призванных отражать специфические особенности исследуемых объектов. Прежде всего следует различать понятия оценки качества и оценивания качества. Оценка качества - числовая характеристика показателя качества, по- лучаемая опытным путём или с помощью расчётов (при косвенных изме- рениях) с использованием модели показателя качества. Оценивание качества - процедура принятия решения о качестве объекта.
2.2. Основные понятия квалиметрии 51 Постановка задачи анализа качества. Определение (выбор) объекта исследования и абсолютных показателей его свойств I Обоснование показателей качества объекта исследования и критерия его оценивания Построение модели объекта исследования i Испытание модели объекта исследования и оценивание его качества Анализ результатов моделирования и принятие решения о качестве объекта Рис. 2.2.5 Постановка задачи синтеза качества. Определение (выбор) объекта исследования и наиболее существенных показателей его качества У Обоснование критерия оценивания качества объекта исследования У ^_J3T~ Построение модели объекта —■— I исследований Коррекция модели Г I ~~ i Испытание модели объекта исследования и определение значений абсолютных показателей его свойств (ЭТХ) Анализ результатов моделирования и принятие решения о качестве (об ЭТХ) синтезируемого объекта У ' Формирование требований к структуре и параметрам синтезируемого объекта, обеспечивающих требуемое его качество (ЭТХ) Рис. 2.2.6 Схему исследования объекта, в которой определяется оценка показателя качества (мера качества), целесообразно называть разомкнутой, В ра- зомкнутой схеме качество объекта лишь измеряется, но не оценивается. Оценивание качества возможно только в замкнутой схеме, т.е. когда к
52 Глава 2. Методологические основы теории эффективности качеству объекта предъявлены требования. Именно они (требования) "за- мыкают" схему оценивания. Эта задача решается с помощью критериев оценивания качества. Один из важнейших этапов оценивания - этап измерения. Это первый этап, на котором определяется мера (количественная или качественная) оцениваемой характеристики исследуемого объекта. Измерение1 осущест- вляется путём сравнения показателя (количественного или качественного) измеряемой характеристики с эталонной шкалой, проградуированной в оп- ределённых единицах измерения. Поскольку процесс измерения подвер- жен воздействию целого ряда неконтролируемых (а потому неопределён- ных, случайных) факторов, то получаемый в его результате "отсчет" в об- щем случае отличается от истинного значения измеряемой характеристики (которое, таким образом, остаётся неизвестным) и называется его оценкой. Таким образом, оценка - это приближённое значение оцениваемой ха- рактеристики (параметра). В общем случае, когда оцениваемый показатель не может быть измерен непосредственно (ненаблюдаем), реализуется процедура так называемых косвенных измерений. В её рамках непосредственно измеряется некоторый (некоторые) наблюдаемый показатель (показатели), связанный функцио- нально с оцениваемым, значение которого затем вычисляется. Поскольку до настоящего времени в научно-технической литературе семантическим аспектам используемой терминологии (а также символики) уделялось недостаточно внимания, то представляется необходимым кратко обсудить вопросы соотношения понятий количественного и качественного оценивания. С общепринятой точки зрения измерение - это количественное оцени- вание значения показателя конкретного свойства исследуемого объекта. При этом под качественным оцениванием понимается процедура принятия решения по бинарной схеме, т.е. процедура выбора одной из двух альтер- натив: "дя" - "не/w"; годен - не годен; хороший - плохой; задача выполне- на - не выполнена; цель достигнута - не достигнута и т.п. Однако, как показывает практика, качественное оценивание является более гибким и в бинарную схему вписывается далеко не всегда. Примерами значений, при- нимаемых оценками качественных показателей в полинарной (полиадиче- ской) схеме, могут служить следующие "возрастающие" последовательно- сти: а) очень плохой - плохой - посредственный - удовлетворительный - хо- роший - отличный - превосходный; б) чрезвычайно мало - очень мало - мало - сравнительно мало (малова- то) - немного - достаточно - порядочно - многовато - много - очень много - чрезвычайно много; 1 С теорией измерений можно познакомиться в специальной литературе (см. также Д1в[112])
2.2. Основные понятия квалиметрии 53 в) задача не выполнена - задача недовыполнена - задача почти выпол- нена - задача выполнена - задача перевыполнена и т.п. Приведённые оценки естественно называть "нечёткими". Понятно, что за каждой из них скрыты количественные показатели рассмотренных ха- рактеристик объекта (количества, качества степени выполнения задачи). Таким образом, в принципе можно говорить как о качественных харак- теристиках количественной меры, так и о количественных характеристи- ках качественной меры. Рассмотрение приведённых выше последовательностей "нечётких" оце- нок наводит на мысль, что различие между количественным и качествен- ным лишь в квантифицированности (в степени определённости) эталон- ных шкал измерительных "приборов"1. Так, в бинарной схеме качествен- ная шкала может быть заменена количественной шкалой, содержащей лишь два возможных значения {0,1} измеряемого показателя. В общем случае, т.е. в многоальтернативной - полинарной схеме, про- вести подобную квантификацию весьма трудно, так как каждому значению нечёткой оценки измеряемого показателя соответствует диапазон значений количественной характеристики исследуемого объекта, и наоборот, каж- дому значению количественной характеристики может соответствовать целое множество значений качественной оценки. При этом относительные размеры диапазонов и их взаимное расположение на шкале также нечетки. Тем не менее в этом направлении ведутся обширные исследования и в на- стоящее время уже имеются заслуживающие внимания результаты, полу- ченные на базе теории нечётких понятий [58, 81, 121, 122]. Пример 2.2.7. При оценивании ответов на экзамене как "удовлетвори- тельных" истинные знания экзаменуемого могут варьироваться в доста- точно широком диапазоне, что зависит и от "удачи", и от требований экза- менатора и т.п. При этом даже при одинаковых оценках ответов различных экзаменуемых эти вариации могут быть весьма значительными. Аналогич- но обстоит дело и при выставлении за ответ экзаменуемого оценки "3". Те- перь соответствующие ей знания расцениваются как "удовлетворитель- ные", а прежде они считались "посредственными" (и это, по-видимому, ближе к истине). А Поскольку в результате измерения определяется оценка значения неко- торого показателя, то естественно считать целью этого процесса оценива- ние. Однако легко убедиться, что получение количественной оценки прак- тически никогда не является самоцелью. Цель процесса оценивания состо- ит в выработке суждения об исследуемом объекте (об его пригодности, оп- тимальности, превосходстве), количественная характеристика (показатель) 1 Термин "прибор" понимается в самом широком смысле; в том числе это и вычис- лительная процедура, дающая оценку показателя при косвенных измерениях.
54 Глава 2. Методологические основы теории эффективности которого приняла измеренное значение. Такое суждение вырабатывается на основе определённых (принятых, положенных в основу исследования) принципов и правил, формулируемых в форме критериев оценивания. Результатом применения этих критериев также являются оценки, но по- следние уже носят качественный характер. При этом чаще всего (хотя и не всегда) такие оценки вырабатываются по бинарной схеме и отображаются на множество {0,1} [104]. Примером качественного оценивания в поли- нарной схеме может служить ранжирование объектов по качеству [прису- ждение мест конкурирующим (соревнующимся) объектам при их эксперт- ном (балльном) оценивании и т.п.]. Таким образом, не следует смешивать понятия «показатель» и «крите- рий» оценивания, первое из которых означает числовую характеристику, т.е. меру (количественную или качественную), а второе - совокупность ус- ловий, т.е. высказываний и предикатов, реализующих принятые принципы [см. (2.2.1) - (2.2.3), (2.2.8) и определения 2.2.2 и 2.2.3]. Итак, при внимательном анализе процесса оценивания объекта обнару- живается, что он реализуется в два этапа. На первом этапе производится измерение характеристики объекта, т.е. определение или вычисление её показателя (количественного или качественного), а на втором - собственно оценивание объекта (его качества) по принятому критерию, принадлежа- щее одному из трёх классов (пригодности, оптимальности, превосходства), определение которых дано в п. 2.2.2. 2.2.7) Вообще говоря, формально измерение может рассматриваться как оценивание по критерию равенства измеренного значения показателя од- ной из отметок эталонной шкалы. Однако поскольку на этапе выработки суждения об исследуемом объекте результат измерения представляет со- бой исходную информацию (часть ее), то схему оценивания на первом эта- пе логично называть разомкнутой, а на втором - замкнутой. А В заключение кратко обсудим некоторые свойства показателей, т.е. мер (количественных и качественных) характеристик объектов и критериев их оценивания. Как известно, показатели бывают прямыми и косвенными, а также абсолютными и относительными. В соответствии с этим и оцени- вание бывает прямым и косвенным, абсолютным и относительным. Понятно, что косвенное оценивание реализуется в условиях, когда пря- мое оценивание невозможно, и, разумеется, уступает последнему по ин- формативности, а следовательно, и по объективности (точности и досто- верности). Что касается соотношения абсолютного и относительного оценива- ния, то оно сложнее и конкретный его вид диктуется целями исследования. Отметим двоякий смысл термина "относительный". С одной стороны, показатель может быть относительным по структуре (по форме), т.е. пред- ставлять собой отношение некоторых величин, с другой - он может быть
2.2. Основные понятия квалиметрии 55 относительным по содержанию, когда используется для сравнительного (относительного) оценивания различных объектов [112]. При абсолютном оценивании показатель должен характеризовать аб- солютную меру свойства объекта1. Поскольку сравнительное оценивание объектов может осуществляться и с использованием их абсолютных показателей, то последние являются наиболее информативными и универсальными. 2.2.8) Поскольку при оценивании качества объекта наблюдаются лишь его существенные свойства (атрибуты), то каждому значению показателя его качества соответствует целая совокупность "значений" его истинного качества, обусловленная неконтролируемыми "несущественными" свойст- вами. Кроме того, в рамках критерия пригодности (лежащего в основе ана- лиза качества) объекты, значения показателей качества которых различны, но принадлежат области их допустимых значений, считаются одинаковы- ми по качеству. Поэтому, строго говоря, при оценивании качества объекта истинное его "значение" остаётся неизвестным (как и при любом оценива- нии) и, следовательно, в сущности, оценивается целый класс объектов по- тенциально "одинакового" (по определению) качества. Понятно, что в пре- делах "класса" качества различных объектов различны (хотя и все прием- лемы по критерию пригодности). Это объективный факт, сопутствующий априорному (до применения по назначению) оцениванию качества объек- та, с которым следует считаться при принятии решений. ▲ На этом общее рассмотрение основных терминологических и методоло- гических "тонкостей", требующих учета в рамках теории эффективности целенаправленных процессов на этапе их ВНЕПР, закончим. Однако с це- лью более глубокого их уяснения по мере необходимости будем возвра- щаться к их обсуждению в замечаниях и комментариях. Здесь термин "абсолютный" используется в значении "совершенный", "полный" (а не в смысле абсолютной величины) [159].
56 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Если мы требуем победы и не знаем, что подразумеваем под этим, мы встре- тимся с призраком, стучащимся в дверь. Н. Винер. "Кибернетика" 2.3. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ До сих пор, в пределах гл. 2, понятие объекта исследования не было конкретизировано. В дальнейшем такими объектами будут ЦУТС и ЦНПФС. Однако в рамках данной книги рассмотрение ЦУТС и её качества необходимы лишь для выявления факторов, обусловливающих основные свойства и качества ЦНПФС. Поэтому объектом дальнейшего изучения является ЦНПФС, т.е. операция, реализуемая ЦУТС. 2.3.1. ОБЩИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ Как отмечалось в п. 2.1, из множества свойств, присущих любому про- цессу, для характеристики ЦНПФС существенными являются лишь его операционные свойства (атрибуты), которые и определяют качество дан- ного ЦНП как объекта исследования. Большинство этих свойств характеризуются результатами операции, т.е. даваемыми ею эффектами, и, следовательно, являются косвенными харак- теристиками её качества. Конкретный физический смысл таких показате- лей определяется характером и целями операции, а также свойствами и ус- ловиями применения реализующей её ЦУТС. Примером прямого показа- теля свойства операции может служить её длительность, т.е. время, по- требное для достижения цели операции. Таким образом, в общем случае качество операции включает в себя собст- венную и несобственную составляющие, компонентами первой из которых являются длительность операции и уровень достижения её цели, а компонен- тами второй - качество различных характеристик её результатов (эффектов). Поэтому следует различать др&уровня оценивания качества операции: 1. Оценивание качества результатов операции. 2. Оценивание качества самой операции, называемого её эффектив- ностью1. Второй уровень оценивания качества операции - доминирующий (глав- ный), поскольку операция может считаться качественной (эффективной) тогда и только тогда, когда требуемыми качествами обладают все (без ис- 1 Таким образом, эффективность непосредственно не наблюдаема и определяется (измеряется) косвенными методами.
2.3. Основные принципы исследования эффективности 57 ключения) её результаты. При этом критерии оценивания качеств опера- ции и её результатов должны выбираться независимо друг от друга. Как указывалось выше, в ходе операции на достижение её цели расхо- дуются ресурсы (материальные, временные и т.п.). Способность (точнее, приспособленность) операции наилучшим образом преобразовывать рас- ходуемые ресурсы в выходные эффекты является её основным (присущим только операциям) свойством. Вообще говоря, собственно результатом операции является получаемый в ходе неё целевой эффект (т.е. результат, ради которого проводилась опе- рация). Однако с формальной точки зрения соответствующий этому эф- фекту расход ресурсов также следует рассматривать как результат опера- ции [или как её побочный эффект (см. п. 2.3.2)]. Таким образом, свойства результатов операции (а также ЦУТС), определяющие их качества, целесо- образно разбить на две группы: - целевые {функциональные); - обеспечивающие {эксплуатационно-технические) . Эта классификация в какой-то мере условна, поскольку целью одной операции может быть обеспечение проведения другой операции более крупного масштаба или более высокого уровня (супероперации). К тому же цели операции могут изменяться в ходе её проведения. Однако с мето- дической точки зрения такая классификация всегда полезна, так как позво- ляет провести структуризацию задачи исследования и выделить факторы, оказывающие решающее влияние на успех операции (на качество её ре- зультатов - эффектов). Пример 2.3Л. Пусть, например, цель операции - нанесение плацдарму противника определённого ущерба. Тогда очевидно, что показателем целе- вого свойства результатов операции (ее результативности) будет количест- венная мера наносимого ущерба (абсолютного или относительного). В ка- честве обеспечивающих могут выступать такие свойства ЦУТС и ЦНПФС (операции), как готовность, надёжность, живучесть, мобильность, быстро- действие, точность, устойчивость, оперативность (своевременность) и др. При этом для подсистем ЦУТС, обеспечивающих поддержание на задан- ных уровнях этих свойств, последние будут целевыми. Если теперь перейти к исследованию операции более крупного масшта- ба (более высокого уровня), необходимым (но не достаточным) условием достижения цели которой является нанесение плацдарму противника ущерба, не менее требуемого, то свойство первой операции - способность наносить ущерб плацдарму противника - станет обеспечивающим. А Из приведённого примера видно, что наряду с иерархией ЦУТС суще- ствует соответствующая ей иерархия целей реализуемых ими операций. При этом, поскольку ЦУТС, функционируя, выполняет задачу, поставлен- ную перед ней суперсистемой, то её цели подчинены целям последней.
58 Глава 2. Методологические основы теории эффективности 2.3.2. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА РЕЗУЛЬТАТОВ ОПЕРАЦИИ По определению (см. п. 2.2), качество - это свойство или совокупность существенных свойств объекта, обусловливающих его пригодность для использования по назначению. Применительно к ЦНП подобные его свой- ства - атрибуты называются операционными. К ним относятся: - результативность ЦНП; - ресурсоёмкость ЦНП; - оперативность ЦНП. В совокупности эти свойства порождают комплексное свойство ЦНП - эффективность, присущее только операциям. Во избежание неточностей в понимании проблемы оценивания качества операции представляется необходимым кратко обсудить семантику (смы- словое содержание) операционных свойств ЦНП. Результативность ЦНП характеризуется получаемым в его результа- те целевым эффектом. Она обусловливается способностью операции да- вать целевой эффект (т.е. результат, ради которого проводится операция). 2.3.1) В военных приложениях, в частности в "Теории стрельбы", это свойство операции (процесса ведения стрельбы) называется действитель- ностью1, т.е. действительность стрельбы - это её способность пора- жать цель. А Ресурсоёмкость ЦНП характеризуется расходом операционных ресур- сов всех видов (материально-технических, энергетических, информацион- ных, временных, финансовых, людских и т.п.), потребных для проведения операции и получения целевого эффекта. Оперативность ЦНП характеризуется расходом операционного време- ни, т.е. времени, потребного для достижения цели операции. 2.3.2) Из всего сказанного следует, что качество операции не может быть охарактеризовано ни одним из перечисленных частных (единичных) свойств ее результатов в отдельности, а определяется их совокупностью - комплексом, включающим в себя три группы компонент2 (минимум три компоненты). А Введём следующие обозначения: Ул\ = V,\ - показатель (вектор) виртуального операционного целевого (позитивного) эффекта операции; Действительный - это производящий, оказывающий действие [159]. 2 Такие группы показателей свойств, характеризующие сложные агрегативные свойства, иногда [177] называются аспектами.
2.3. Основные принципы исследования эффективности 59 yP\=R, к - показатель (вектор) виртуальных затрат операционных ресурсов (побочных, негативных эффектов) на получение целевых эффектов; YP\ —Т,„\ - показатель (вектор) виртуальных затрат операционного времени (побочных, негативных эффектов) на получение целевых эффектов. Тогда показатель результатов (точнее, показатель качества результа- тов) операции будет представлять собой я-мерный (и = w1 +#i2 +я3) век- тор, содержащий три группы компонент (векторов) - показателей "качест- ва" операционных свойств ЦНПФС, в одной из двух форм: - в комплексной канонической форме (ККФ): у[ШФ]_у[Шф]_/у{1) у(2) y(3)\_/V р Т \. О 1 П - в развёрнутой форме (РФ)1: г^ф] = (у^^\..,/:!; у?\у?,...,у*; *(3)^3Uj><?)= =(^2,...,уЛ1; г,,г2,...,гЛ2; т19т29...9т„з). (2.3.2) С учетом (2.3.1) и (2.3.2) критерий пригодности операции по её резуль- татам (оценивающий качество её результатов) получит следующее выра- жение: «Ф1-- ^fyJ'W. (2-3-3) Здесь ШК]4У{%:(У{,)=Г(^ЦОД(ЗСВ)}, где \У(дк)1 ~ область допустимых значений показателя YiK\ качества результатов операции в комплексной канонической фор- ме по критерию [К]; ЦОД - "цель операции (ЦНПФС) достигнута"; ЗСВ - "задача ЦУТС выполнена", G1*}: Y{n)e{Y{n)}[K] = U, (2.3.4) где { ГЛ ] - область допустимых значений показателя К» качества ре- зультатов операции в развёрнутой форме, {%Г = {% •• (г<.> = *&)* ЦОД (зев)]. Соотношения (2.3.3), (2.3.4) представляют собой математические формулировки цели операции - ЦНПФС (задачи ЦУТС). 1 Поскольку из контекста ясно, о какой форме идёт речь, то верхние индексы [ККФ] или [РФ] будут опускаться.
60 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Часто внутри групп компонент вектора Км (внутри показателей К/Д, [/ = 1,2,3 ]) может быть произведено свёртывание частных (единичных) показателей результатов операции (одним из известных методов) путём введения обобщённых показателей. Например: v = ^aivi ; T = 2^rk или r = max:{r1,r2,...,ril3} и т.п. В таких случаях я, = п2 = пъ = 1 и поскольку п = я, + п2 + пъ, то будут выполняться равенства я = /г= 3 и соотношения (2.3.1) - (2.3.4) примут симплексную каноническую форму (СКФ): ¥(ш) =Г(з) =(Л>Л>ЛН^,Т), С2-3-5) где ^ = j;(l); j;2 = j;(2)/ j3 = У(3); СЦР: Y{3)e{Y{3)\=U, (2.3.6) где \Y,t) - область допустимых значений показателя K3v качества резуль- татов операции в симплексной канонической форме1. Соотношения (2.3.5), (2.3.6) для к— п = 2 иллюстрируются рис. 2.3.1. Если требования, предъявляемые к результатам уи у г, взаимно незави- симы, то и рис. 2.3.1 трансформируется в рис. 2.3.2. 2.3.3) Из вышесказанного следует, что компоненты показателя Y^\ це- левых эффектов (их качества) представляют собой количественные харак- теристики лишь количественных результатов операции. Однако такая их трактовка правомерна только в предположении, что "качества целевых эф- фектов" заведомо удовлетворяют предъявляемым к ним требованиям, т.е. качество результатов обеспечивается (гарантируется) ещё до проведения операции. В общем же случае показатели собственно качеств результатов операции (не зависящие от их количества) могут также входить в состав вектора Yr\. В этом случае "качество целевых эффектов" оценивается со- вместно с оцениванием качеств всех результатов (целевых и побочных эф- фектов) операции. 1 В дальнейшем подобные уточнения делаться не будут, так как из контекста ясно, о какой форме показателя качества результатов операции идёт речь.
2.3. Основные принципы исследования эффективности 61 •М Ч /1 / П / П П ) 11 ПА ZJ te) Г(2> Ух Ух Рис. 2.3.2 Ух Ух Аналогичное замечание можно сделать и относительно качества расхо- дуемых ресурсов. Поскольку от качества ресурсов зависят потребные их количества, а также качество целевых эффектов и расходуемое на их полу- чение операционное время (определяемое зависящей от качества ресурсов производительностью ЦУТС), то к нему могут предъявляться самостоя- тельные конкретные требования. А 2.3.4) Вообще говоря, время, затрачиваемое на проведение операции, - это тоже расходуемый ресурс и в ряде случаев возможна "перекачка" (вза- имный обмен в соответствующем соотношении за счёт изменения техно- логии ЦНПФС по принципу: "быстрее - дороже", "дешевле - медленнее" и т.п.) одних ресурсов в другие, однако функциональная значимость {суб- станциальность) времени при исследовании любых процессов требует раздельного рассмотрения векторов %') и у(з) 2.3.5) Термин "операционное свойство" призван подчеркнуть его непо- средственное отношение к операции. Так, наряду с операционным целе- вым эффектом конкретного ЦНП могут быть получены и побочные для не- го положительные эффекты, являющиеся целевыми для ЦНП высшего уровня иерархии (супер ЦНП). Подобные эффекты не являются операци- онными. То же самое можно сказать и о расходуемых ресурсах. Наряду с опера- ционными динамическими, активными ресурсами yP\ в ходе операции опосредованно расходуются и статические, пассивные ресурсы, затрачи- ваемые на этапах разработки, создания и эксплуатации (технического об- служивания) ЦУТС, а также в ходе организации и обеспечения ЦНПФС.
62 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Такие ресурсы в показатель yP\ не входят, а учитываются зависящим от них вектором Акх параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС. Кроме того, в ходе операции могут возникать и отрицательные эффекты - последствия раз- личного характера (технического, геофизического, экологического, орга- низационного и т.п.), ликвидация (устранение влияния) которых связана с затратами ресурсов, являющимися по отношению к операционным ресур- сам побочными расходами (см. рис. 1.2.2 и п. 5.3.2). Наконец, операционное время yP\ в общем случае не совпадает с те- кущим (календарным) временем. Так, например, когда ЦНП может преры- ваться и протекать циклически, то отдельные компоненты вектора yP\ (длительности этапов, фаз, стадий, циклов операции) могут "накладывать- ся друг на друга". А 2.3.6) При свёртывании разнородных показателей обобщённый показа- тель теряет физический смысл. Поэтому при комплексном многокомпо- нентном исследовании качества ЦНП (операции) свёртывание допустимо лишь внутри групп показателей его результатов. Свёртывание компонент показателя качества результатов ЦНП из различных групп некорректно. ▲ 2.3.3. ПОКАЗАТЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПЕРАЦИИ Как уже отмечалось (и будет ещё неоднократно комментироваться), к настоящему времени предложено множество показателей (зачастую назы- ваемых "критериями") эффективности операций, однако без достаточного обоснования как их структуры, так и обусловленных ею свойств. Многие показатели с аддитивной или мультипликативной структурой не без осно- вания подвергались критике [26], но без конкретных предложений показа- телей, свободных от указываемых недостатков. В то же время существует совокупность общих требований, которым должен удовлетворять любой показатель эффективности операции, чтобы соответствовать своему на- значению. Важнейшими из таких требований являются [190]: - представительность (адекватность); - критичность (чувствительность); - комплексность (полнота); - стохастичность; - "простота". Представительный показатель позволяет оценивать эффективность операции по достижению её основной (а не второстепенных) цели. Цель операции должна находить своё прямое отображение в показателе её эф- фективности. Критичный показатель чувствителен к изменениям исследуемых ха- рактеристик ЦУТС и ЦНПФС. Чем чувствительность выше, тем лучше.
2.3. Основные принципы исследования эффективности 63 Комплексный (единый) показатель позволяет решать задачу исследова- ния эффективности операции без привлечения других ее характеристик. Стохастичный (вероятностный) показатель позволяет учитывать не- определённость условий проведения операции, обусловленную воздейст- вием случайных факторов и всегда сопутствующую исследованию опера- ции и её эффективности, проводимому на первых этапах ВНЕПР. Показатель эффективности должен быть достаточно «простым» (при необходимой комплексности), чтобы его вычисление и последующий ана- лиз эффективности операции могли быть реализованы в приемлемые сроки и имели бы наглядную интерпретацию. Обратим внимание, что рассматриваемый ниже показатель эффективно- сти операции удовлетворяет всем перечисленным требованиям. По определению (см. п. 2.1), эффективность - это комплексное опера- ционное свойство ^качество") ЦНПФС, характеризующее его приспо- собленность к достижению цели реализуемой ЦУТС операции (к выполне- нию стоящей перед ЦУТС задачи). Следует ещё раз подчеркнуть, что для комплексного (многокомпонент- ного, "многокритериального") исследования эффективности ЦНП (опера- ции) показатель К» качества его результатов (короче, показатель резуль- татов или эффектов) должен определяться в канонической форме и включать в себя три группы компонент - три аспекта: У£?)'У<"^ характеризующих соответственно вир- туальные целевые эффекты {результативность, действительность опе- рации), затраты ресурсов (ресурсоёмкость операции) и затраты времени (оперативность операции), т.е. как минимум три компоненты1. 2.3.7) Поскольку качество операции (её результатов) определяется не только получаемым целевым эффектом, но и затрачиваемыми на это ре- сурсами, то эффективность ЦНП - это, по сути, эффективность усилий (действий) по переводу ресурсов в целевой эффект или, другими словами, эффективность расходования ресурсов. А Как отмечалось (см. п. 2.3.2), /i-мерный вектор L результатов опера- ции путём свёртывания показателей частных (единичных) результатов (эффектов) внутри групп (аспектов) может быть сведён к трёхмерному (точнее, трёхкомпонентному) и представлен в СК-форме: К , = K3v. В дальнейшем для большей наглядности будем рассматривать в основном такую форму показателя Ум с периодическим её обобщением. Понятно, что поскольку форма вектора К л остаётся канонической, то общность по- становок задач исследования ЦУТС и ЦНПФС при этом не снижается. 1 Следует иметь в виду, что это операционные характеристики результатов ЦНПФС.
64 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Итак, пусть качество результатов операции описывается вектором Г<з> = (/W) = (Л,Л»Л) = far) ■ (2-3.7) Каждая из компонент вектора Е3\ зависит от характеристик ЦУТС и ЦНПФС (от их параметров и ЭТХ), условий её функционирования, а также от организации ЦНПФС, т.е. Y(3) = *(з)\^*')> \")> B(v)> B(r))- Y{3)\A{k)9B(i)) > (2.3.8) где AL* = Л'*Д B[r)9 B(r)) -характеристики (параметры и ЭТХ) ЦУТС; А?к,л =Л?кЛв!гу В7ГА - характеристики организации (параметры и ЭТХ) ЦНПФС; BLk - характеристики условий функционирования ЦУТС; JB/L - характеристики условий применения ЦУТС; Л — Л ^г Л • 2.3.8) Следует обратить внимание, что характеристики BL* и В?гл ус- ловий функционирования ЦУТС (УФС) и условий применения ЦУТС (УПС) влияют как на ЭТХ А!кл и Л?к„к> так и на вид функции F/3\ \A/k\ 9 Btt\ ), т.е. являются её параметрами. А В свою очередь, компоненты вектора КД допустимых значений резуль- татов операции зависят от условий применения ЦУТС и связанных с ними требований, предъявляемых суперсистемой к ЦНПФС, т.е. % = %(*<;.>), (23.9) где itfL - характеристики условий применения ЦУТС (см. п. 2.7). 2.3.9) Поскольку эффективность - это операционное свойство ЦНПФС, а операция отличается от всех других процессов наличием цели, то её мера (показатель) должна характеризовать степень достижения цели операции. А Содержательно цель операции может определяться по-разному, однако во всех случаях она заключается в получении требуемых результатов, со- ответствующих цели операции, что формально означает выполнение усло- вия (2.3.3), т.е. G^.-F^e {%}=*/. (2.3.10) Соотношение (2.3.10) равносильно пригодности операции по результа- там для использования по назначению с требуемой целью, и, таким обра- зом, представляет собой формальное выражение цели операции.
2.3. Основные принципы исследования эффективности 65 Для сложных ЦУТС типичной является ситуация, когда на их ЭТХ и параметры, на условия их функционирования и применения, а также на па- раметры и ЭТХ ЦНПФС воздействует целый ряд априори неизвестных, а потому случайных факторов. Поэтому до проведения операции (а именно в этот период исследование её эффективности представляет наи- больший практический интерес) векторы А,к^ и й,л, а следовательно, и вектор F/3j оказываются случайными. Более того, априори случайными яв- ляются и допустимые значения КД вектора К3\, зависящие от условий применения ЦУТС, характеризуемых вектором В?гу поскольку до прове- дения операции неизвестно, какими должны быть её результаты, чтобы по- ставленная цель операции была достигнута. Таким образом: *(з) = ¥(з)\А(к)>'&(v)> B"i'V ' (2.3.11) В результате в реальных условиях критерий (2.3.10) пригодности опе- рации (её результатов) к достижению её цели принимает вид: СЦР:¥{3)е{¥^\=и. (2.3.13) Как видно из выражения (2.3.13), пригодность операции есть случайное событие, по которому непосредственно судить о качестве операции (об её эффективности) нельзя. Поэтому характеристикой качества ЦНПФС, т.е. степени его приспособленности к достижению цели в условиях реального воздействия случайных факторов, может служить только вероятность слу- чайного события (2.3.13), характеризующая, как известно [29], степень его объективной возможности (возможности его наступления) при заданном комплексе условий: РДц =P(Y{3)e {¥^\)=Рдц(х{т)), (2.3.14) где вектор Х.к = (х^ х^Х^Л = (А,куВ>Л не случаен, так как в отличие от (2.3.11), (2.3.12) здесь компоненты векторов А,^ и В,л либо являются неслучайными компонентами соответственно случайных векторов А,к^ и В,* из (2.3.11), (2.3.12), либо представляют собой вероятностные характе- ристики их случайных компонент1. 1 Специальные обозначения для этих векторов не вводятся для разгрузки символи- ки. Их физический смысл ясен из контекста задачи. 3 Зак. 3303
66 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Вероятность РДЦ называется вероятностью достижения цели опе- рации (или вероятностью выполнения задачи ЦУТС) и является пока- зателем эффективности ЦНПФС (массового характера1), т.е. мерой степени достижения его цели. 2.3.10) Следует обратить особое внимание на то, что допустимые зна- чения YL результатов операции обусловлены характеристиками Щ,л си- туации (условий применения ЦУТС), в которой ЦУТС реально придётся выполнять задачу и которая априори (до операции) неизвестна и не может быть задана исследователем (ЛПР - лицом, принимающим решения). Есте- ственно характеристики 2Г1 (как, впрочем, и Ц.*) назвать объективными факторами. Как будет показано, наряду с объективными факторами на ха- рактеристики области \YL\ могут оказывать влияние и субъективные факторы, т.е. решения о требованиях к виртуальным результатам К3ч операции, принимаемые ЛПР на этапе планирования и организации опе- рации с учётом функциональных возможностей ЦУТС и прогнозируемых ЛПР условий её применения (см. {2.7.15}). ▲ 2.3.11) Выше речь шла об оценивании качества результатов ЦНП. Пред- ставляется достаточно очевидным, что аналогичная ситуация возникает при оценивании качества любого объекта. Действительно, априори, т.е. на этапах разработки и создания, а также перед применением объекта, как его качество, так и требования к нему, обуславливаемые ситуацией, в которой объект будет выполнять свои функции, случайны и, следовательно, при- годность объекта для использования по назначению - случайное событие. Поэтому наиболее объективной и информативной априорной оценкой ка- чества объекта является вероятность его пригодности. ▲ 2.3.4. СХЕМА ОЦЕНИВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПЕРАЦИИ Поскольку, как было показано в п. 2.3.3, по качеству результатов опера- ции непосредственно судить о её качестве нельзя, то необходима вероят- ностная формулировка задачи, в соответствии с которой оценивание эф- фективности ("качества") операции должно проводиться на двух уровнях и реализоваться в два этапа. 1 Об эффективности уникальных ЦНП говорится в п. 3.2.
2.3. Основные принципы исследования эффективности 67 На первом уровне (1-й этап): 1.1) определяется (формулируется, обосновывается, устанавливает- ся) показатель виртуального качества результатов операции (ЦНПФС)— вектор К3) показателей v, Я, f его частных результатов (эффектов); 1.2) определяются (обосновываются, задаются, предъявляются) требо- вания к качеству результатов операции (ЦНПФС) - область \У?ЪА допус- тимых значений vd, fd, тд показателей v, r, f качества ее результатов; 1.3) формулируется (обосновывается, строится) критерий оценива- ния качества результатов операции (ЦНПФС) - 2я-местный (6- местный) предикат ОЦР:¥{3)е{¥{3)\=и. (2.3.15) На втором уровне (2-й этап): 2.1) определяется (вычисляется, "оценивается") показатель эффек- тивности операции (ЦНПФС) - вероятность достижения её цели (вероят- ность выполнения задачи ЦУТС): РДЦ=Рвз = р(г{3)е{г;)\); (2.3.16) 2.2) определяются (обосновываются, задаются, предъявляются) тре- бования к эффективности операции (ЦНПФС) - потребное (минималь- но-допустимое) или оптимальное (максимальное) значение [Рдц (Рвз) или РдцТ (Pg"T) ] вероятности Рдц (Рвз) достижения цели операции (выполнения задачи ЦУТС); 2.3) формулируется (обосновывается, строится) и реализуется один из "выбранных" (обоснованных) критериев оценивания эффективности операции (ЦНПФС) - одноместных предикатов: - критерий пригодности [р > рТР . e-' \Pm~>PZ' <"•"> \?вз - гвз • - критерий оптимальности Р™-Р™> (2.3.18) р _ рОПТ гвз — гвз • 2.4) производится собственно оценивание эффективности операции (ЦНПФС). Структурная схема алгоритма оценивания эффективности операции приведена на рис. 2.3.3.
68 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Этапы (уровни) оценивания эффективности операции (ЦНП) ► Оценивание качества результатов операции (ЦНП) Щ £) Ф CHJ © © (Н) |(3 Определение показателя качества результатов операции (ЦНПФС) Определение требований к качеству результатов операции (ЦНПФС) Формулировка критерия оценивания качества результатов операции (ЦНПФС) Оценивание эффективности операции (ЦНП) Определение показателя эффективности операции (ЦНПФС) Определение требований к эффективности операции (ЦНПФС) Формулировка критерия оценивания эффективности операции (ЦНПФС) 1 Оценивание эффективности операции (ЦНПФС) Рис. 2.3.3
2.3. Основные принципы исследования эффективности 69 2.3.5. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПЕРАЦИЙ Исследование эффективности операции (ЦНПФС) представляет собой триединую задачу: - задачу оценивания {измерения) эффективности операции; - задачу анализа эффективности операции; - задачу оптимального синтеза эффективной операции. Первые две задачи часто объединяются под общим названием прямой задачи, а третья называется обратной задачей. Примерная схема классификации задач исследования эффективности операций показана на рис. 2.3.4. Общие схемы (алгоритмы) их решения аналогичны схемам решения задач оценивания качества объектов произ- вольной природы, изображенным на рис. 2.2.5 и 2.2.6 соответственно. Хотя прямая и обратная задачи имеют самостоятельные значения, ко- нечная цель их решений, как правило, состоит в оптимальном проектиро- вании ЦУТС и организации ЦНПФС, обеспечивающих достижение цели операции с наибольшей вероятностью, т.е. в решении задачи синтеза. Тем не менее первые их звенья составляют задачи оценивания и анализа эф- фективности операции, цели которых достигаются путём: - построения математических моделей исследуемых объектов, т.е. ЦУТС и ЦНПФС; - определения (обоснования) показателей качества ЦУТС и эффектив- ности ЦНПФС; - оценивания эффективности ЦНПФС; - анализа влияния на эффективность ЦНПФС и качество ЦУТС их па- раметров и ЭТХ. Окончательные результаты решения задачи анализа являются инстру- ментом (средством), используемым при решении задач синтеза ЦУТС и ЦНПФС (см. рис. 2.2.5 и 2.2.6). В силу огромного многообразия ЦУТС и реализуемых ими ЦНПФС, различающихся не только целями, но и используемыми для их достижения средствами и ресурсами, существует множество постановок задач исследо- вания эффективности операций с использованием как детерминированных, так и квазирегулярных или стохастических моделей. Отметим, однако, что поскольку все операции проводятся и протекают в условиях воздействия множества априори неизвестных, а следовательно, случайных факторов, то их достаточно адекватное описание может быть дано только на базе стохастических моделей. Что же касается моделей де- терминированных и квазирегулярных, то их следует рассматривать лишь как некоторые приближения стохастических моделей и правомерность их применения должна обосновываться в каждом конкретном случае. К обсу- ждению этого вопроса будем ещё неоднократно возвращаться (см. пп. 2.4, 2.7, 3.2).
70 Глава 2. Методологические основы теории эффективности 3 !5Г| 3 «о 5 •9-1 at Д X э 8- С о се со О н и Д о Д и* се э со S 9 О I Он О Д I Он аГ С о ее со Д 9 S IS Д I <L> (D д 9 PQ о & Д д £д <L> и* О 4 PQ PQ Д Д PQ Sb (-и М О ев Sa с* Я o> 2 Д w s§ a| I" •e-g О 53 Дм is PQ ft я gg с д W ни :0 Й& IB В» О д д 55 ce в!? о о vo О д 5 о 2 >Д о о О д s Й9 §& О д д <D О О О С О К Я О ч опреде ристик SH д £ ss 3& cLx <t> . 8й ой одели мальн so 25 *о Л С ° К \V ь >> ЕГ \х^\ ^н од д МО «>д Д Я Я « So « 2 о&* Ко я и^ овани (пара X <-> о Ю О §1=1 о 8*8 Й& 11 (D Д s н х U 2^ д л о О ю Д I о 2 )Д о S3 9 В| н х се о ев й PL, О <L> X Ч Я" йЯ S3» « о о в О Д в 5 S PQ к> ь >> Рй и* х§н н?а ание влияни ффективнос! PQ CD о йл Ом о о к и е с S S В }Д 2 3 о ж о && PQ о д о О ю О ^ ь >. .Я ^ в Но э8. X £3 R 1 о Д Д£ л S Ss 5 со н Д & «.$ «н PQ О к^Д со Д 5 д < ^F У
2.4. Целевые и критериальные функции 71 Если хочешь добиться математиче- ской достоверности в вещах, не допус- кающих этого, нельзя не впасть в неле- пость или варварство. Ф. Энгельс. "Анти-Дюринг" 2Л. ЦЕЛЕВЫЕ И КРИТЕРИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Как было показано, наиболее информативным комплексным показате- лем эффективности ЦНП является вероятность РДЦ достижения цели опе- рации (выполнения задачи ЦУТС). Наряду с этим при исследовании опе- раций (ЦНПФС) и систем (ЦУТС) широкое распространение получили другие показатели, называемые обычно целевыми или критериальными функциями и обозначаемые чаще всего через W. 2.4.1) Следует обратить внимание, что оба приведённые названия не- точны, так как в этих функциях - показателях ни цель операции, ни крите- рий оценивания её эффективности отражения не находят. Однако посколь- ку эти функции могут использоваться при сравнительном анализе ЦУТС и ЦНПФС в качестве операндов критериев сравнительного оценивания их качества, то термин "критериальные функции" представляется более при- емлемым. А Поскольку любая операция характеризуется множеством эффектов (как положительных, так и отрицательных), часть которых находится в проти- воречии с целью операции, то, естественно, объективно оценить её резуль- таты одним числовым показателем не представляется возможным. В то же время совокупность противоречивых показателей частных (единичных) ре- зультатов операции также не позволяет однозначно оценивать эффектив- ность ЦНПФС. В связи с этим, сознавая необходимость комплексного (многокомпонентного, "многокритериального"1) оценивания и анализа ка- чества операций, исследователи вводят в рассмотрение различные функ- ции - "свёртки" компонент вектора Y,, [показателя результатов операции (ЦНПФС)], называя их "показателями эффективности" (см. {2.7.2}). Так, при исследовании операции определяется "критериальная функ- ция результатов операции" (КФР): Термин неточен, так как в его рамках критериями называются единичные (част- ные) показатели качества объектов исследования.
72 Глава 2. Методологические основы теории эффективности - в развернутой форме: W = W/ {Y(n))=WPp (¥{я); Х'^ = Wf {yx, уг,..., у„; х\, *;,..., хт); (2.4.1) - в комплексной канонической форме: ^=^(^^=<(^^)=<(^)ЦЙЦЗ^М); (2А2) - в симплексной канонической форме: w="7W=»7( V*V>)=К(у»у»у»'х\».'))' (2-4-3) В приведённых выражениях вектор X'л = (Л'Ал> ^Ly tfts) игРает Роль параметра зависимости W = W(y) (cm. {2.3.6}). При решении задач проектирования и анализа систем (ЦУТС) в качест- ве критериальных используются функции от параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС - "критериальные функции параметров системы" (КФП). Поскольку г«=r<.)l*W= F«Kr 4r 4>J' (2А4) то выражения (2.4.1) - (2.4.3) можно привести к виду w=wP[Y{n))=wP[Y{n)[x{n{))\=wn (;rj=^(4>'4v4>)- (2А5> 2.4.2) Подчеркнём, что в выражениях (2.4.1) - (2.4.5) все входящие в них переменные детерминированные (неслучайные). А Приведём в качестве примеров ряд наиболее распространённых крите- риальных функций. Пример 2.4.1. Аддитивные критериальные функции: - функция целевого эффекта операции Wt=WlP{Y{1))=yi=3; (2.4.6) - сепарабелъная функция результатов операции W1 = Wif(Y{B))= t a2i fM , (2.4.7) 1=1 если функции f2i (у.)могут быть линеаризованы, то W3=fV3P(Y{n))=±a3iyi; (2.4.8) /=1 - сепарабелъная функция параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС Ъ = W3n(xU)= t «4y g*j W, (2-4.9)
2.4. Целевые и критериальные функции 1Ъ если функции gA\x'j) линеаризуются, то ws = »U*V>)= £ «W- (2А10> Наряду с приведенными "аддитивными" критериальными функциями (2.4.6) - (2.4.10) находят применение и "мультипликативные" критери- альные функции: - функция целевого эффекта операции и расходуемых на его получе- ние ресурсов [116] W6 = W6P(Y{1))=Z- = ?-; (2.4.11) W Уг г - функции результатов операции: ^7 = ^Л1ы)=П/7ЛЫ ; (2-4.12) ^ = M*w)=i-n и-лЫ!*; (2.4.13) - функции параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС: Ъ = *«(*V>)=fWM; (2-4.14) 7=1 ^., = ^(^M)=l-nb-A.yW]",i • (2-4Л5> у=1 Наконец, иногда используются "функции от целевых функций": Wn=Wx^Wk)=W\Jk ; (2.4.16) *п = *п№)="\_1. , (2-4.17) "* "А где W^ - значение, принятое Л-й целевой (критериальной) функцией (из числа приведённых выше) в результате проведения операции; Wk - значение, принимаемое Л-й целевой функцией без проведения операции; Wku - значение, принимаемое Л-й целевой функцией при проведении операции в идеальных условиях (при идеальной ее организа- ции). А Поскольку, как было отмечено выше, в общем случае результаты (эф- фекты) операции случайны (см. п. 2.3.3), то используются аналогичные приведённым функции от математических ожиданий аргументов критери- альных функций. Получаемые при таком подходе математические модели
74 Глава 2. Методологические основы теории эффективности ЦУТС и ЦНПФС называются квазирегулярными. Произведя подобную подстановку в соотношениях (2.4.6) - (2.4.17), получим соответствующие им выражения квазирегулярных критериальных функций. Пример 2.4.2. Аддитивные квазирегулярные критериальные функции: Wx=Wxp{¥{x))=k=3 = Wx, (2.4.6') #г =Г„(7{Я))=± СЬ/Лу,) ; (2.4.7') W3 = WiP(Y{n))= £ a3i у, = W3 ; (2.4.81) &4 = W4n(x\m))= £ a4J g^x'j); (2.4.91) 7=1 Мультипликативные квазирегулярные функции: W6=W6P(Y{n))=*- = l ; (2.4.11-) * 2 Wn = W1P(Y{n))= П ЛЛ(й) J (2-4.12') *=1 Ws = WiP(¥{n))=l-f[ [!-/«(Ji)]*'; (2-4.13*) 1=1 y=l ^• = ^1.я(^=1-П[1-А.у(*гу)]^/- (2А15') 7= Квазирегулярные функции от целевых функций: ^n = ^nFJ=-^r^; (2A16') wk ;о Wn = wM=*_* , (2.4.17-) где — (черта над символом) - знак математического ожидания отме- ченного им случайного объекта (величины, вектора, функции); ~ (тильда над символом) - знак приближённого значения (оценки) отмеченной им величины.
2.4. Целевые и критериальные функции 75 2.4.3) Нетрудно заметить, что если функции (2.4.11), (2.4.12), (2.4.14) или (2.4.12'), (2.4.14!) прологарифмировать, то они примут аддитивную форму. ▲ 2.4.4) Раскрывая семантику целевых (критериальных) функций, можно дать им следующую интерпретацию: - функции результатов - это взвешенные "валовые" показатели ре- зультатов ЦНПФС; - функции параметров - это взвешенные показатели качества ЦУТС и организации ЦНПФС. ▲ 2.4.5) Из определений элементов (операндов) соотношений (2.4.16), (2.4.17) или (2.4.16'), (2.4.17') следует, что показатели Wn, Wn или Wu, Wn призваны характеризовать действенность операций в обеспечении операций более высокого уровня (суперопераций). Другими словами, это показатели вклада подопераций в "эффективность" надопераций. Таким образом, указанные показатели - это типичные несобственные показатели качества подопераций (субопераций), характеризующие его косвенно, но не дающие его абсолютной оценки. ▲ 2.4.6) В различных источниках отдаётся предпочтение тем или иным критериальным функциям с указанием (не всегда) их преимуществ перед другими. Однако следует отметить, что все функции типов (2.4.6) - (2.4.17) или (2.4.6') - (2.4.17') имеют больше недостатков, чем достоинств. Чтобы убедиться в этом, прокомментируем приведённые примеры критериальных функций. Как уже отмечалось (см. (2.4.1)), во всех приведённых функциях (2.4.6) - (2.4.17) не находит отражения цель операции, поскольку в них не предъявляется требований к результатам (эффектам) у. [i = l(l)n] опера- ции. В выражениях (2.4.1) - (2.4.5) это обстоятельство находит отражение в структуре вектора Х!« = (A^yA^yBL,\ характеристик ЦУТС, ЦНПФС и условий функционирования ЦУТС, в который не входят характеристики В?Г} условий проведения операции, определяющих требования к ее ре- зультатам [см. (2.3.9)]. Необходимо подчеркнуть, что на уровне средних значений у. [#=l(l)#i] результатов операции предъявлять к ним требова- ния нельзя в принципе, так как не известно, при каком среднем результате истинный (случайный) результат (его реализация) будет достаточен для достижения цели операции. Таким образом, при оценивании "эффективности" (точнее, качества) ЦНПФС по значениям показателей Wk, Wk [A: = l(l)l2] реализуется pa-
76 Глава 2. Методологические основы теории эффективности зомкнутая схема, позволяющая лишь измерять свойство, но не позволяю- щая его оценивать. А 2.4.7) При решении задач оптимального синтеза ЦНПФС или ЦУТС ис- пользуется критерий оптимальности, согласно которому показатели Wk или Wk максимизируются. При этом схема оценивания качества операции замыкается, так как к его показателю Wk (Wk) предъявляется требование maxWk {maxWk), но вне связи с требованиями, диктуемыми целями опе- рации, поскольку допустимым считается лишь максимальное значение по- казателя Wk (fVk). Другими словами, при подобной постановке задачи оп- тимального синтеза цель операции (задача ЦУТС) отождествляется с мак- симизацией критериальной функции [84]. Однако, с одной стороны, это (максимальное) значение критериальной функции может не обеспечивать достижения цели операции, так как в принципе нельзя определить, при ка- ком значении Wk, Wk [k = l(l)l2 ] она достигается, поскольку все показа- тели Wk (Wk\ кроме Wx (Wx\ лишены физического смысла, связанного с целью операции, а с другой - оно в общем случае может находиться вне области {Wk } его допустимых значений, обеспечивающих достижение цели операции (выполнение задачи ЦУТС). Добавим, что поскольку ис- тинная цель операции может быть достигнута не обязательно при предель- но допустимых значениях эффектов Y.x или параметров X',* то макси- мизация функций от них представляется совершенно необоснованной. А 2.4.8) Использование функций (2.4.7) - (2.4.17) или (2.4.7') - (2.4.17'), имеющих искусственные размерности (или не имеющие их), затушёвывает физическую сущность задач исследования ЦУТС и ЦНПФС и затрудняет анализ и осмысление результатов. А 2.4.9) Показатели (2.4.11), (2.4.11') не учитывают временных затрат, а показатели (2.4.6), (2.4.9), (2.4.10), (2.4.14) - (2.4.17); (2.4.9'), (2.4.10'), (2.4.14') - (2.4.17') вообще не учитывают расхода ресурсов, что при ком- плексном исследовании эффективности неприемлемо в принципе (см. п. 2.3.2). А 2.4.10) Для функций типа (2.4.6) - (2.4.17) к отмеченным недостаткам добавляется ещё их детерминированность, плохо соответствующая реаль- ным практическим задачам. А 2.4.11) Показатели W2, W4, Wk [# = 6(l)l2] не являются математиче- скими ожиданиями соответствующих показателей W29 W4, Wk [А: = 6(l)l2] и в общем случае могут существенно от них отличаться.
2.4. Целевые и критериальные функции 11 К сожалению, это обстоятельство, как правило, не учитывается и даже не исследуется влияние такой замены (подмены). А 2.4.12) К указанным недостаткам показателей Wk, Wk [A = l(l)l2] до- бавляется их неопределённость, поскольку одна и та же величина отноше- ния может быть достигнута при различных значениях входящих в него ве- личин [26]. А 2.4.13) Резюмируя сказанное, следует отметить, что необходимо разли- чать показатели эффективности и показатели эффектов операции. По- следние, оценивая в какой-то мере качество ЦНПФС и ЦУТС, характеризуют эффективность операции лишь косвенно, как потенциально возможную, без учета её цели, т.е. в разомкнутой схеме. Поэтому подобные показатели при- годны лишь для сравнительного оценивания качества различных операций и только после достаточного обоснования их структуры (что, как правило, не производится) и не пригодны для оценивания (ни абсолютного, ни относи- тельного) их эффективности (см. п. 2.2.3 и {2.7.1}). А 2.4.14) В приведённых критериальных функциях не учитывается взаим- ная зависимость компонент вектора F,v (целевой эффект есть функция за- трат ресурсов и времени) и они "работают" в используемых формулах мно- гократно (сами по себе и совместно с зависимой компонентой без учёта действительной степени их влияния на качество ЦУТС и ЦНПФС) в отли- чие от независимых компонент (которые в составе вектора Y,, также су- ществуют). Понятно, что подобное влияние зависимых компонент на пока- затель Wk искажает даваемую им оценку качества ЦНПФС или ЦУТС. А 2.4.15) В заключение обратим внимание на следующее важное обстоя- тельство. В общем случае как между показателями у. [i = l(l)#i] качества результатов операции (ЦНПФС), так и между параметрами (ЭТХ) ау. [j = l{l)k] ЦУТС и ЦНПФС могут существовать связи. Если эти связи выявлены, то множества аргументов критериальных функций (2.4.1) - (2.4.5) естественным образом сокращаются, и некоторые из характеристик у. или ttj перестают фигурировать в соответствующих выражениях. Мо- жет показаться, что этот факт на решении задачи исследования качества ЦНПФС или ЦУТС не сказывается, поскольку "исчезнувшие" параметры учтены через зависимые от них переменные. Однако следует иметь в виду, что при решении задач оптимального синтеза ЦУТС и ЦНПФС требования предъявляются к каждой из характеристик в отдельности и их исключение из критериальных функций приводит к вырождению задачи и невозможно- сти её решения. А
78 Глава 2. Методологические основы теории эффективности 1 §1 а: § съ «б I а» § i i 53 5 PQ (D S Он « о g Х\ " PQ 8 I lij §•©1 S X 8- Он . w 5 3 3 Д о> PQ О О ее PQ н се s * я теля пера се о СО § о 2 н С ее н Л Л о Я Я £ о- Л 01 азм Г" <d 3 я S* о Й 0> PQ ; к <i> 3 я * и J 3 я щен "8 Ю О а> 3 В о! се ЕГ к Я с я я W 3 В о ю о U S О*
2.4. Целевые и критериальные функции 79 Из содержания данного параграфа и приведённых замечаний - коммен- тариев следует, что "критериальной" функцией1, пригодной для измерения эффективности операции в замкнутой схеме, т.е. с учетом объективных требований к её результатам, выполнение которых равносильно выполне- нию задачи ЦУТС, является вероятность Рдц достижения цели реализуе- мой (проводимой) ЦУТС операции (ЦНПФС), т.е. где А^ = \А(к,},А^J, А^ = А^[В^); B(') = \B(iVB(i"))> X{m) = \\)'B(i))- На рис. 2.4.1 приведена схема классификации показателей качества и эффективности операций (ЦНПФС) и критериев их оценивания. Элемен- ты схемы описаны достаточно подробно и специальных комментариев не требуют, тем не менее в последующих параграфах их семантика раскрыва- ется более полно. 2.5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ КАЧЕСТВА ЦУТС В предыдущих параграфах была достаточно полно рассмотрена про- блема исследования качества ЦНПФС (точнее, качества результатов ЦНПФС и его эффективности), т.е. её математическая формулировка и принципы, лежащие в основе методов её решения (см. также пункты 2.6, 2.7). Поскольку в данной монографии объектом исследования является ЦНПФС (операция), то реализующая его ЦУТС рассматривается лишь как элемент операционной системы и операционного комплекса, так как в рамках исследования операций структура, параметры и ЭТХ ЦУТС счита- ются заданными или варьируемыми (кроме структуры) в ограниченных пределах. Однако в других дисциплинах системного цикла ("Общая теория систем", "Анализ систем", "Системотехника" и т.д.) объектом исследова- ния является ЦУТС, и проблемой исследования - её синтез, т.е. разработка и создание ЦУТС, обладающей требуемым качеством. Поэтому представ- Эта (и только эта!) функция может называться ещё и целевой.
80 Глава 2. Методологические основы теории эффективности ляется необходимым рассмотреть общую постановку задачи такого иссле- дования на языке ТЭЦНП. Качество любого объекта в полной мере проявляется лишь в процессе его использования по назначению. Поэтому наиболее информативным и объективным является оценивание качества объекта по эффективности его целевого применения. Для такого оценивания объект должен быть под- вергнут испытаниям, в ходе которых и выявляется его качество. Это отно- сится как к качеству продукции вообще, так и к качеству ЦУТС в частно- сти. Однако, с одной стороны, далеко не все объекты (ЦУТС) могут быть испытаны в условиях, достаточно близких к тем, в которых им придется функционировать по назначению, с другой - наибольший практический интерес представляет априорная оценка качества объекта (ЦУТС), т.е. еще до его применения. Так, для управления качеством продукции его необхо- димо оценивать в процессе производства и даже ещё раньше - на этапе разработки образцов продукции. Это же относится и к ЦУТС, прогноз качества которой необходим на этапах её проектирования и разработки, а оценка качества - на этапе при- ёмных испытаний, предшествующем её применению в реальных условиях. Априорное оценивание качества любого объекта (контроль продукции ОТК, приемка ЦУТС) без прямого его применения по назначению возмож- но, если известно соотношение, связывающее его характеристики (струк- туру, организацию, параметры, ЭТХ и т.п.) с выходными эффектами его целевого применения (функционирования по назначению). Итак, пусть объект исследования ЦУТС и пусть F,v - вектор выходных эффектов ЦНПФС (показатель виртуального качества его результатов), A',k* - вектор виртуальных значений параметров и ЭТХ ЦУТС (структур- ных, организационных, эксплуатационных, технических, параметрических и т.п.), А?к* - вектор виртуальных значений характеристик организации ЦНПФС, 2Г'7м - вектор характеристик условий функционирования ЦУТС. Кроме того, пусть известно соотношение (см. (2.3.8» Y(n) = ^(n)l^V> ,#^"(*'>'^\г)>' (2.5.1) устанавливающее зависимость выходных эффектов (результатов) ЦНПФС от параметров, ЭТХ и условий функционирования ЦУТС и характеристик ЦНПФС. Тогда, если через { ГЛ ] обозначить область допустимых значе- ний ГЛ вектора F,v, т.е. таких, при которых ЦУТС выполняет свои зада- чи, то критерий пригодности ЦУТС для целевого применения (критерий целевой пригодности) будет иметь следующее выражение: GVP--Y{n)e{Y^\=U. (2.5.2)
2.5. Постановка задачи исследования качества ЦУТС 81 Если для оператора (2.5.1) существует обратный оператор по вектору А[ку А\к')= А\к') \У(т)9^'\кт) >В'{1'))~ Y{k') \Y{n)>'A"{k") >В'(Г) ) > (2.5.3) позволяющий выразить зависимость виртуальных "значений" параметров и ЭТХ ЦУТС от выходных эффектов, характеристик ЦНПФС и условий функционирования ЦУТС, то может быть определена область ( А'Л j до- пустимых значений А'Л вектора А,к,к параметров и ЭТХ ЦУТС, при кото- рых она может выполнить свои функции, соответствующая области { УЛ ] допустимых значений ГЛ результатов Y.k ЦНПФС, т.е. К !=> К-> }= ко •• ^4V4r*'(")= К) 1. <2-5-4> где А*?"к - номинальные (расчётные) значения характеристик ЦНПФС; BIS - номинальные (расчётные) значения характеристик условий функционирования ЦУТС, создаваемых в ходе приемных ис- пытаний. Тогда критерий параметрической пригодности ЦУТС будет иметь вид Таким образом, для контроля, проверки и приемки ЦУТС (и любой дру- гой продукции) реализуется критерий (2.5.5), позволяющий управлять её качеством, не подвергая целевому применению. 2.5.1) Понятно, что в пределах области {Д'Д ] качества ЦУТС (систем), удовлетворяющих критерию (2.5.5), различны, однако в его (критерия) рамках оно (качество ЦУТС) считается одинаковым. А 2.5.2) В принципе в выражениях (2.5.2) и (2.5.5) области {уЛ ] и \А'Л j могут иметь размерности меньшие, чем соответственно я и Л', и даже мо- гут быть точками, что определяется классом К руководящего ("выбранно- го") критерия, координаты которых определяют оптимальные или превос- ходные значения выходных эффектов Y, v и соответствующих им парамет- ров А'{к,} ЦУТС (см. (2.2.1». А 2.5.3) На практике допустимые значения A',L параметров А!к* опреде- ляются, как правило, экспериментально с применением испытаний ЦУТС (стендовых, полигонных и т.п.). А
82 Глава 2. Методологические основы теории эффективности 2.6. О ПРИНЦИПАХ ВЫБОРА ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ЦНПФС И ФОРМУЛИРОВАНИИ ЦЕЛЕЙ ОПЕРАЦИЙ 2.6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ ОПЕРАЦИЙ Наряду с приведённой на рис. 2.4.1 классификацией применяемых пока- зателей эффективности операций и критериев ее оценивания целесообраз- но рассмотреть и классификацию показателей результативности ЦНПФС, отражающую специфику широкого и весьма универсального класса целе- направленных процессов, а именно процессов массового обслуживания (ПМО), при оценивании эффективности которых применяются специфиче- ские показатели их результатов (целевых и побочных эффектов). Схема классификации таких показателей по пяти основным аспектам показана на рис. 2.6.1. Кратко рассмотрим методологические основы (принципы) этой классификации. 1. Прежде всего следует различать функциональную (целевую) и эко- номическую (ресурсную) компоненты вектора результатов ЦНП. Под "функциональной эффективностью" (см. {2.7.12}) понимается приспособ- ленность исследуемого объекта - ЦУТС (правильнее, процесса его целево- го функционирования - ЦНПФС) к выполнению возложенных на него функций (поставленной перед ним задачи - цели). Это свойство, как отме- чалось в п. 2.3.2, называется результативностью (или действительностью) ЦНП, реализуемого объектом (ЦУТС). В то же время "экономическая эф- фективность" (см. {2.7.12}) отражает либо такие свойства ЦНПФС, как доходность, рентабельность и т.д. (для народнохозяйственных ОК), либо стоимостные показатели процессов проектирования, изготовления, испы- таний и эксплуатации (боевого применения) военно-технических ОК (ВТК). 2. В рассматриваемой схеме (рис. 2.6.1) термины "прямые и косвенные показатели" призваны отразить степень их информативности по отноше- нию к задаче исследования. Так, прямые показатели непосредственно от- вечают на вопросы: насколько результативен ЦНПФС и насколько ОК (ОС) приспособлен к выполнению поставленных перед ним задач. Однако, к сожалению, не всегда удаётся четко сформулировать задачи ОК, что, как правило, обусловлено наличием нескольких, подчас противоречивых за- дач. В таких случаях целесообразно использовать косвенные показатели результативности ЦНП, дающие исследователю представление о наиболее важных характеристиках ЦНПФС. Окончательное суждение о его эффек- тивности вырабатывается эвристически с учётом целого ряда неформали- зуемых дополнительных данных и сведений.
2.6. О принципах выбора показателей результативности ЦНПФС 83 (D § ST К нам | 5 /■■^ - <-> S (зав S Он
84 Глава 2. Методологические основы теории эффективности 3. По третьему аспекту показатели результативности ЦНП делятся на индивидуальные и групповые. Такая классификация в первую очередь от- носится к процессам массового обслуживания, протекающим в КМО и СМО. При этом, если индивидуальные показатели в основном характери- зуют "качество"1 процесса обслуживания отдельного (но произвольного) требования (среднестатистического "представителя" потока требований), то групповые показатели характеризуют (в среднем) "качество" процесса обслуживания всех поступающих в СМО требований [129]. 4. По четвертому аспекту показатели делятся на локальные (точечные) и интегральные (интервальные), т.е. на показатели, определяющие ре- зультативность ПМО соответственно в некоторый произвольный момент времени и за некоторый период (интервал) времени. 5. По признаку зависимости от времени следует различать статисти- ческие и динамические показатели результативности. Строго говоря, все показатели результативности ЦНПФС зависят от времени, причём в выра- жения для локальных показателей эта переменная (время) входит непо- средственно (как аргумент), а в интегральных показателях она определяет начальный момент периода функционирования ЦУТС - СМО (начало ЦНПФС - ПМО) и играет роль параметра. Однако в установившемся, ста- ционарном режиме работы ЦУТС (СМО) (если он существует) указанная зависимость исчезает, локальные показатели становятся постоянными (константами), а интегральные зависят только от длительности периода функционирования ЦУТС (СМО) и не зависят от его положения на вре- менной оси. 2.6.2. О ФОРМУЛИРОВАНИИ ЦЕЛЕЙ ОПЕРАЦИЙ Как уже отмечалось ранее, ключевой проблемой при исследовании эф- фективности операций (ЦНПФС) является корректная (правильная, обос- нованная) формулировка задач, стоящих перед ЦУТС, от которой зависит правильность выводов об эффективности реализуемых ими операций и пригодности последних для достижения целей, поставленных суперсисте- мой. Из содержания п. 2.3 следует, что поскольку математическое выражение цели операции - это критерий оценивания качества её результатов (эффек- тов) [(2.3.3) или (2.3.4)], то формулирование цели операции начинается с определения спецификации существенных эффектов ЦНПФС и требований к ним, количественные меры которых образуют векторы F, * и ГЛ, а закан- чиваются установлением отношений между компонентами этих векторов, обеспечивающих достижение цели операции (равносильных ему). Здесь речь идёт о "качестве массового обслуживания", а не о качестве, характери- зуемом эффектом обслуживания.
2.6. О принципах выбора показателей результативности ЦНПФС 85 В состав операционных систем, проводящих сложные (большие) опера- ции, часто входят несколько ЦУТС, собственные цели которых могут не совпадать (как, например, в моделях двусторонних боевых действий). Не- обходимость учёта этого обстоятельства делает задачу формирования цели операции в значительной степени неопределенной и поэтому весьма слож- ной. Успех её решения в значительной мере зависит от компетентности и опыта управляющего органа ОС (суперсистемы). Универсальных формальных методов решения таких задач не сущест- вует. Однако представляется полезным обсудить основные принципы, ле- жащие в основе процесса формирования показателя качества результатов операции и формулирования ее цели. Из вышесказанного следует, что операционные комплексы (ОК) разли- чаются как по структуре операционных систем (ОС), так и по форме и сте- пени участия их элементов в проведении операций (ЦНПФС). В связи с этим следует различать сплочённые и разобщённые операционные комплексы (СОК и РОК). В сплочённых ОК все их элементы в полной мере "заинтересованы" в оптимальности одних и тех же результатов (эффектов) операции, вследст- вие чего совокупность "существенных" их показателей включает в себя как целевые (функциональные) эффекты, так и расходуемые на их достижение ресурсы (материально-технические и временные). Что касается разобщённых ОК, то их исследование существенно зави- сит от причин разобщения "интересов" их элементов. Такими причинами могут быть либо антагонизм, либо индифферентность. В первом случае состав показателей существенных результатов (ПСР) операции зависит от состава элементов ОК, сплочённых с суперсистемой. Во втором случае, если индифферентность интересов элементов ОК полная, то состав ПСР зависит лишь от постановки задачи исследования. При частичной индифферентности состав ПСР должен назначаться с учётом элементов ОК, интересы которых наиболее чувствительны к реше- нию задачи. Поясним сказанное на ряде примеров из теории (точнее, из практики) массового обслуживания. Пример 2.6.1. Пусть ЦУТС (есть ВТС) - система ПВО, рассматривае- мая как система массового обслуживания (СМО), "клиентами" которой яв- ляются самолеты противника, также образующие ЦУТС (самостоятель- ную). Понятно, что соответствующий такому случаю ОК будет разобщён- ным по интересам ЦУТС - ПВО и ЦУТС - самолеты противника, обра- зующие поток заявок (требований) на обслуживание в СМО. Понятно так- же, что причиной разобщения является антагонизм СМО и ее "клиента". В рассматриваемом примере состав ПСР, очевидно, зависит от того, чья ПВО (своя или противника) рассматривается. В первом случае ЦНПФС - обстрел самолетов противника. Поэтому в качестве целевых эффектов операции могут фигурировать либо число сбитых самолетов, либо предотвращённый ущерб, либо оба показателя в отдельности, либо некоторая функция от них.
86 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Во втором случае ЦНПФС - преодоление самолетами ПВО противника и нанесения ему ущерба. Теперь в качестве целевых эффектов могут рас- сматриваться либо ущерб, нанесённый противнику, либо относительное число (доля) самолетов, преодолевших ПВО, либо ущерб, соотнесённый с потерями самолетов, либо некоторая функция от этих показателей. А 2.6.1) В связи с приведённым примером необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. Иногда потери (своих самолетов или нане- сение самолетами противника) рассматриваются как расход ресурсов. Од- нако такой подход представляется не совсем правомерным, так как подоб- ные потери изменяют характеристики Alk,s ЦУТС, а не ресурсов. Действи- тельно, это так, поскольку, во-первых, цель операции может быть достиг- нута и без потерь (в принципе), а во-вторых, и с изменившейся в резуль- тате потерь структурой (а следовательно, с изменившимися ЭТХ) ЦУТС может (в принципе) выполнить задачу в последующей операции (см. п. 5.3.2). А 2.6.2) Применение относительных показателей целевого эффекта (нане- сённый ущерб / потерянные самолеты и т.д.) нежелательно, поскольку их размерность, лишённая чёткого физического смысла, не позволяет предъ- являть к ним осмысленные требования. А Пример 2.6.2. Пусть СМО - ателье бытового обслуживания. Основной задачей такой системы является качественное и массовое обслуживание "клиентов". Одним из важнейших показателей "качества результатов" та- кого ЦНПФС (ПМО) является длительность выполнения заказа (побочный эффект операции). Однако число обслуживающих каналов (приборов, уст- ройств, мастеров и т.п.) и их быстродействие ограничены условиями "эко- номической эффективности" [рентабельности (см. {2.7.12.})] работы ате- лье, в значительной мере предопределяющей его индифферентность ("без- различие") к интересам "клиентов", вынужденных в ожидании обслужива- ния выстаивать большие очереди. В подобных условиях одним из путей улучшения "качества массового обслуживания" "клиентов" (повышения эффективности этого процесса в интересах "клиентов") является введение "штрафов", налагаемых на СМО, если время ожидания "клиентом" начала обслуживания или время его пре- бывания в СМО превзойдет предельно допустимое значение и "клиент" покинет СМО необслуженным. Понятно, что введение штрафов целесообразно лишь в случае, когда в интересах клиентов отражаются интересы ОК, т.е. суперсистемы. Таким образом, в состав ПСР наряду с показателем качества целевого обслужи- вания "клиентов" должны входить и время его ожидания начала обслужи- вания или пребывания в СМО, и характеристики связанных с этим потерь на уровне ОК. А
2.6. О принципах выбора показателей результативности ЦНПФС 87 Наконец, встречаются ОК, "разобщенные в малом" [т.е. на уровне от- дельных СМО (ЦУТС): ателье, автобазы, предприятия и т.п.] и "сплочён- ные в большом" (на уровне отрасли, министерства, региона, народного хо- зяйства и т.п.), в которых недостаточный учёт интересов "клиентов" в од- них СМО (ЦУТС) компенсируется соответствующим их учётом в других СМО (ЦУТС). Так, например, попытка ликвидировать "очереди" перед СМО определённого типа путём улучшения её технического оснащения или увеличения "обслуживающего персонала" могла бы привести к увели- чению "очередей" перед СМО других типов, что, в свою очередь, могло бы отрицательно сказаться как на "качестве массового обслуживания" "клиен- тов", так и на "экономической эффективности" процесса функционирова- ния всей сети массового обслуживания в целом. Для учёта указанных факторов должны использоваться векторные пока- затели F/v и ГЛ качества результатов операции и требований к ним, от- дельные компоненты которых и призваны описывать количественно не только целевые (функциональные), но и наиболее существенные побочные эффекты, также характеризующие приспособленность ЦНПФС к достиже- нию цели операции. Так, в примере 2.6.2 "целевой эффект" - качество функционального обслуживания ("выполнение заказа"), а один из важней- ших побочных эффектов - длительность обслуживания1. При этом доми- нирующими являются интересы (цели) суперсистемы, организующей опе- рацию, которые включают в себя и которым должны быть подчинены ин- тересы (подцели) всех сплочённых с ней элементов ОК. Однако следует помнить, что принципы комплексного исследования эффективности опе- раций требуют включения в состав векторов Y.k и ГЛ компонент трёх групп, характеризующих наряду с целевыми (и на равных с ними правах) и побочные эффекты операции - расходы ресурсов и времени. Отмеченные обстоятельства должны учитываться также при определении остальных элементов критерия ОцР оценивания качества результатов операции и при- способленности ЦНПФС к её достижению. Таким образом, формулирование цели операции - это один из важней- ших и ответственных этапов исследования эффективности ЦНПФС, в зна- чительной степени предопределяющий правильность окончательных вы- водов. В рамках "Теории массового обслуживания" исследуются лишь временные ха- рактеристики ПМО. При этом качественность функционального обслуживания посту- лируется.
88 Глава 2. Методологические основы теории эффективности 2.7. КОММЕНТАРИИ Подведём некоторый итог и прокомментируем рассмотренные в данной главе понятия, принципы и концепции, лежащие в основе теории эффек- тивности ЦНП, в понимании которых до настоящего времени существуют различия, делающие само понятие "эффективности" расплывчатым [38, 50, 88, 116, 125, 190, 191] и затрудняющие его формализацию и построение теории, обладающей достаточной общностью и необходимой для практики содержательностью и конструктивностью (см. также все замечания). 2.7.1} Прежде всего необходимо уточнить понятия уровней и этапов оценивания эффективности ЦНП. Как было отмечено в пункте 2.2.3, про- цедура оценивания качества объекта реализуется в два этапа на двух уров- нях: - первый этап - количественное оценивание (называемое измерением) качества реализуется в разомкнутой схеме; - второй этап - качественное оценивание (собственно оценивание) ка- чества реализуется в замкнутой схеме. Следует подчеркнуть, что указанные этапы оценивания реализуются при прямых измерениях, т.е. когда непосредственно наблюдается и изме- ряется показатель исследуемого свойства. Поскольку эффективность - это "качество" операции (ЦНПФС), то для его оценивания в замкнутой схеме необходимо реализовать оба этапа. В то же время эффективность, будучи комплексным свойством ("качеством") операции, непосредственно не наблюдается, а определяется через качество результатов ЦНПФС, т.е. посредством косвенных "измерений" по описан- ной выше схеме в два этапа (на двух уровнях). При этом на каждом этапе (на каждом уровне) реализуются замкнутые схемы оценивания (см. п. 2.3.4): на первом - качества результатов операции (подэтапы 1.1 - 1.3), на втором - эффективности операции (подэтапы 2.1 - 2.3). Таким образом, всего реализуются четыре этапа, на двух из которых производится измере- ние (подэтапы 1.1, 2.1), а на двух других - собственно оценивание (подэта- пы 1.3, 2.3) соответственно качества результатов и степени (вероятности) достижения цели операции. Выше были рассмотрены методологические основы комплексного ис- следования эффективности одноцелевой операции. Если операция "много- целевая"1, то её эффективность по достижении каждой из целей должна оцениваться самостоятельно по описанной выше схеме (см. п. 2.3.4, (3.3.23), (3.3.24». А Строго говоря, согласно определению такую операцию необходимо рассматривать как совокупность одноцелевых операций (см. определение 1.2.3).
2.7. Комментарии 89 2.7.2} Как было установлено, показатель эффективности операции - это комплексный показатель "качества" ЦНПФС как объекта исследования, а критерии оценивания качества результатов ЦНПФС и его эффективности суть математические формулировки цели операции и требуемой степени её достижения. Таким образом, не следует смешивать понятия: - эффективность - свойство операции, - показатель эффективности - количественная мера этого свойства; - критерий оценивания эффективности - совокупность условий, оп- ределяющих цели операции и в соответствии с ними пригодность, опти- мальность или превосходство исследуемой операции (целенаправленной системы действий). А 2.7.3} В принципе понятия "цель операции" и "задача ЦУТС" сходны. Однако в общем случае отождествлять их не следует. Как отмечалось в п. 1.2, цель операции достигается путём выполнения последовательности (или одной) задач. Действительно, если цель операции достигнута, то это означает, что ЦУТС свои задачи (задачу) выполнила. В то же время не- трудно представить ситуацию, когда задача ЦУТС выполнена, а цель опе- рации не достигнута. Применительно к изображенной на рис. 2.4.11 клас- сификации показателей эффективности вероятность Рдц достижения цели операции является собственным (внутренним) показателем для операци- онного комплекса (для суперсистемы), а вероятность Рвз выполнения за- дачи ЦУТС - несобственным (внешним) показателем для операционной системы (для ЦУТС) (см. рис. 1.2.1). При этом если операцию реализует одна ЦУТС, цель которой совпадает с целью суперсистемы, то должно вы- полняться равенство Рдц = Рвз. Хотя в целях простоты изложения в рамках монографии указанное раз- личие в основном не учитывается, тем не менее, поскольку вероятность Рдц есть показатель эффективности операции (ЦНПФС), то её целесооб- разно называть вероятностью достижения цели операции в отличие от распространённого в литературе словосочетания "вероятность выполнения задачи ЦУТС". А 2.7.4} Физически достижение цели операции (ЦНПФС) - это наступле- ние некоторого события, математически - это выполнение необходимых условий, которые в формализованной, конструктивной форме представля- ют собой предикаты, т.е. системы отношений (принадлежности, включе- ния, равенств, неравенств и т.п.), заданных на множествах значений пока- зателей качества результатов операции и ее эффективности. Следует под- черкнуть, что это не условия функционирования или применения ЦУТС, а Фигурирующее на рис. 2.4.1 понятие "ведущих компонент" раскрывается в п. 3.3.
90 Глава 2. Методологические основы теории эффективности также не ограничения, накладываемые на параметры и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС, а условия выполнения задачи ЦУТС, т.е. условия, при выполне- нии которых цель операции может считаться достигнутой. Таким образом, как отмечалось в п. 2.3.2, критерий оценивания качест- ва результатов операции представляет собой математическую формули- ровку её цели, А 2.7.5} При описанном подходе к оцениванию качества результатов и эффективности операции все целенаправленные процессы оказываются сравнимыми по эффективности, имеющей единую меру - вероятность РДЦ достижения цели операции. Подчеркнём, что в рамках этого подхода пока- затель эффективности не только единый, но и единственный, тогда как при других подходах рассматриваются множества "показателей эффективно- сти" (см. п. 2.4), которые, в сущности, таковыми не являются. А 2.7.6} Вероятность Рдц, по существу, является одновременно относи- тельным и абсолютным показателем эффективности операции. Действи- тельно, с одной стороны, поскольку в общем случае целевой эффект связан с затратами ресурсов (побочными эффектами), то, как следует из выраже- ний (2.3.7) и (2.3.16), вероятность Рдц характеризует эффективность опе- рации с учётом соотношения целевого (основного) и побочных эффектов. С другой стороны, для фиксированного комплекса условий вероятность случайного события есть абсолютная характеристика (мера) степени объ- ективной возможности его реализации (появления, осуществления, насту- пления). Говоря строже, ее значение и в этом случае относительно, но по сравнению с единицей, т.е. с абсолютной мерой (единицей измерения) сте- пени объективной возможности достоверного события. В связи с этим для объективного оценивания эффективности операции, характеризующей степень достижения её цели, достаточно знать его вероятность Рдц. Такой показатель эффективности операции позволяет производить как относи- тельное (сравнительное), так и абсолютное оценивание по эффективности различных по организации ЦНП. Другие распространённые "показатели эффективности" [несмотря на их обилие (см. п. 2.4)] этим важным свойст- вом (абсолютного оценивания) не обладают. А 2.7.7} Компоненты вектора ГЛ, как правило, взаимно независимы, по- скольку требования к результатам ЦНП из различных их групп вытекают из различных не взаимосвязанных предпосылок. Так, требуемый целевой эффект yP\* диктуется собственно целью операции, допустимый расход ресурсов YP\d обусловлен их наличием и качеством, директивный срок
2.7. Комментарии 91 достижения цели операции К^г обусловлен ситуацией и динамикой ее развития. Представляется, что в общем случае указанные предпосылки не связаны друг с другом, хотя возможны и исключения, о которых, в частности, бу- дет говориться в п. 5.2. ▲ 2.7.8} Следует подчеркнуть, что допущение о независимости компо- нент вектора Y,^ неправомерно в принципе, так как, с одной стороны, це- левой эффект ух получается за счёт расходования ресурсов, образующих побочные эффекты j;2 и j;3, а, с другой стороны, наличие избыточности ресурсов позволяет (в определённых пределах) осуществлять их взаимные обмены (см. п. 2.3.2), так что побочные эффекты в общем случае связаны друг с другом. А 2.7.9} Как отмечалось в п. 2.3.1, характеристики (свойства) ЦУТС и ЦНПФС (их параметры и ЭТХ, а также организация и результаты) можно разделить на целевые и обеспечивающие. Многообразие целевых характе- ристик практически неисчерпаемо (как и многообразие целей операций), поэтому здесь обсуждаться не будет. Что касается обеспечивающих харак- теристик, то представляется необходимым кратко рассмотреть их. К обеспечивающим в первую очередь относятся основные эксплуатаци- онно-технические характеристики ЦУТС и ЦНПФС, такие как готов- ность и эксплуатационно-техническая надёжность1. Рассуждая аналогично {2.7.7}, предположим, что требования к готовно- сти, эксплуатационно-технической надёжности ЦУТС и результатам ЦНПФС взаимно независимы2. Тогда область { Yff't ] допустимых значе- ний обобщённых характеристик ЦУТС и результатов ЦНПФС может быть представлена в следующем виде: l^'M^M^)И*<:;>}. k+«.+*n="j. (2-7.1) где { Г/Л J - область допустимых значений "характеристик готовности" ЦНП, т.е. результатов ЦНПФС, обусловленных техниче- ской готовностью ЦУТС; { Y(":\ \ - область допустимых значений "характеристик надёжности" (^живучести") ЦНП, т.е. результатов ЦНПФС, обуслов- ленных эксплуатационно-технической надёжностью ЦУТС; 1 Семантику этого понятия обсудим в {2.7.10}. 2 В общем случае этот постулат неправомерен.
92 Глава 2. Методологические основы теории эффективности i *М J ~ область допустимых значений "целевых (операционных) характеристик" ЦНП, т.е. результатов ЦНПФС [целевых эффектов и расходуемых ресурсов (т.е. пц =п)]9 обеспе- чивающих достижение цели операции. Введем обозначения: у/* - вектор обобщённых характеристик ЦУТС и результатов \Поб) ЦНПФС; Y/ х - вектор "характеристик готовности" ЦНП; \пг) Y/'n\ - вектор "характеристик надёжности" ЦНП; К * v - вектор "целевых характеристик" ЦНП. Тогда критерий пригодности ЦНП будет определяться следующим пре- дикатом: » AnВпС= (Y;g)e{ifo \Н^ц)еЦ** \)= DnC=U, (2.7.2) где К* ч = Г/ \ + К \ _ вектор "обеспечивающих характеристик" ЦНП1; I ^М J= I ^(О Jx I ^(О J ~ °бласть допустимых значений вектора F/\. Теперь показатель эффективности ЦНПФС примет одно из следующих выражений: рДМКА £> }М(&> е1 % 1W^l> eU:5 }W%, el % ))l= =ЛКг)e 1 ч; > )M*<:.>e I fo> I) рЦ:„)e Ц:;> ))=^ ^ ^> <2-7-3) где Рг = Р(г/ v e { F/'t )) - вероятность того, что в момент начала опе- рации (ЦНПФС) ЦУТС будет готова к функционированию (к применению) - веро- ятность события А; Рн = Р\¥,нп v e{ У£\ \) - условная вероятность того, что в ходе опе- рации (ЦНПФС) параметры ЭТХ ЦУТС бу- дут находиться в пределах, обеспечиваю- щих выполнение её задачи - вероятность события В при условии А; 1 Следует различать векторы Y^ v и Y? \, т.е. обобщённые и обеспечивающие ха- рактеристики.
2.7. Комментарии 93 Рц = P\Y,4n \ е [КД^ }) - условная вероятность того, что цель прово- димой операции будет достигнута - вероят- ность события С при условии Аг\В, или = '(%)*№)№%)*[*£)])= рл*б . (2-7.4) где Рд = р(к* v€ |к*Л })= Рг Рн - вероятность того, что в ходе операции ЦУТС будет находиться в дееспособном1 (работоспособном) состоянии, т.е. вероятность качественного эксплуатационно- технического обеспечения операции (ЦНПФС). Обратим внимание, что поскольку С с: An В, т.е. то вероятность РДЦ - есть безусловная (априорная) вероятность случайно- го события С = ^К* че|кЛ*ч j) , которое, таким образом, характеризует достижение цели операции исчерпывающе. В заключение ещё одно замечание семантического характера. При рас- смотрении процесса достижения цели операции (ЦНПФС) в динамике, т.е. в последовательности реализации его фаз (этапов, стадий), представляется целесообразным терминологическое уточнение рассмотренных выше ха- рактеристик. Так, вероятность Рн целесообразно обозначить через РБ и называть показателем безотказности ЦУТС, а вероятность Рц-Р3 - ус- ловной вероятностью выполнения задачи ЦУТС. При этом, исходя из фи- зического смысла сомножителей РГ9 РБ и Р3 в выражении Рдц = Р,РБР3 [см. (2.7.3)], их целесообразно соответственно называть: - вероятность Рг - показателем эксплуатационно-технической го- товности ЦУТС; - произведение РГРБ - показателем функционально-технической (оперативной) готовности ("живучести") ЦУТС (см. {2.7.10}); - вероятность Р3 - показателем функциональной способности ЦУТС. Применительно к боевым военно-техническим системам (ВТС), с уче- том существующей терминологии, последние два показателя имеют смысл: - произведение РГРБ - показатель боеготовности ВТС; - вероятность Р3 - показатель боеспособности ВТС. ▲ Дееспособность - это обобщение понятия работоспособности на сложные и боль- шие системы.
94 Глава 2. Методологические основы теории эффективности 2.7.10} Существует множество работ (как правило, по "Теории на- дёжности" [113], [147], [187]), в которых эффективность ЦНПФС, "по- нимаемая" как эффективность системы (ЦУТС), отождествляется с её надежностью или даже ещё уже, с безотказностью. Другими словами, предполагается (постулируется), что если система (ЦУТС) не откажет в течение периода времени, необходимого для выполнения задачи систе- мы (ЦУТС), то цель операции (ЦНПФС) будет достигнута. Представля- ется совершенно очевидной несостоятельность (необоснованность) по- добной концепции, так как, во-первых, "безотказность" работы системы (ЦУТС) и достижение цели операции (ЦНПФС) не тождественны (см. {2.7.3} и {2.7.7}), во-вторых, в общем случае время функционирования системы и время, необходимое для получения требуемого целевого эф- фекта (операционное время), не равны, в-третьих, операционное время принципиально случайно, т.е. случаен момент достижения цели опера- ции и, следовательно, заранее не известно, сколько времени должна без- отказно профункционировать система (ЦУТС). Подобные ситуации ле- жат за рамками проблем современной "Теории надёжности". Другими словами, в ней рассматриваются не реальные, а идеализированные (вы- ше допустимого) условия применения системы (ЦУТС), уводящие ис- следования от существующей в действительности проблемы в сторону её необоснованного упрощения. В рамках рассматриваемой здесь мето- дологии этого не происходит. Вернёмся к термину "эксплуатационно-техническая надёжность". По определению [159], надёжный - это внушающий доверие, верный, проч- ный. Из приведённого определения следует, что термин "надёжность" может характеризовать свойства существенно различной физической природы, такие как степень доверия, прочность и верность. Однако в определении не уточнён смысл термина "верный", которым, с одной стороны, характеризу- ется степень соответствия (точность, правильность), а с другой - предан- ность. К сожалению, в технической литературе не уделяется достаточно внимания уточнению смысла употребляемых терминов, что часто является причиной разночтений и нечёткости в понимании рассматриваемой про- блемы. Так, в "Теории надёжности" надёжность элементов систем имеет смысл их "безотказности" или, другими словами, "прочности". В качестве мер этого свойства используются вероятностные характеристики времени безотказной работы (дополнительная функция распределения, математиче- ское ожидание и т.п.). Например, "функция надёжности" есть вероятность того, что элемент системы (техническое устройство) проработает безотказно в течение неко- торого (неслучайного) времени и, следовательно, характеризует степень "доверия", оказываемого элементу. Однако поскольку безотказная работа (прочность) элемента системы (ЦУТС) зависит не только от его свойств,
2.7. Комментарии 95 но и от условий его функционирования, то бытующее понимание термина "надёжность" не в полной мере отвечает его назначению. Теперь о термине "живучесть". По определению [159], живучий - это 1) жизнеспособный; 2) прочно сохраняющийся, устойчивый. Здесь, в отли- чие от определения понятия "надёжный", разночтений меньше и обе ин- терпретации (толкования) термина сходны по смыслу. Если процитировать определения понятия "надёжность", приводимые в различных источниках [25, 114, 137, 197], то можно заметить, что, по су- ществу, всюду речь идет о "живучести", а не о "прочности" элементов (уст- ройств, блоков, агрегатов) систем (ЦУТС). Поэтому встречающееся словосочетание "методы создания надёжных систем из ненадёжных эле- ментов" [имеются в виду методы резервирования элементов, блоков, агре- гатов и подсистем, а также другие приемы создания в системе (ЦУТС) раз- личного рода "избыточности" (элементной, структурной, временной и т.п.)] следует понимать как "методы создания живучих систем из ненадёж- ных элементов". В последнем словосочетании термин "ненадёжный" по- нимается как не внушающий доверия по прочности (непрочный). Вообще, термин "надёжность" в смысле "прочность" к сложным и большим системам неприменим, так как для них не определено понятие отказа. Действительно, в отличие от простых технических устройств, вы- ходящих из строя при отказе любого из их элементов, сложные и большие системы благодаря различного рода избыточности могут функциониро- вать при отказе (выходе из строя) многих из элементов и даже подсистем. Закрепление термина "живучесть" для характеристики способности ЦУТС сохранять свои функции при воздействии противника представляет- ся необоснованным, поскольку эта способность (это свойство) ЦУТС име- ет единый смысл (см. выше), ее интенсивность зависит только от характера воздействия и не зависит от того, кто (или что) воздействует на ЦУТС. Из сказанного следует, что под "Теорией надёжности" следует понимать "Теорию живучести", а собственно теорией надёжности является "Теория физической надёжности" [101], которой до настоящего времени уделяется явно недостаточное внимание. Обобщая всё сказанное, отметим, что использованный выше термин "эксплуатационно-техническая надёжность" есть синоним понятия "живу- честь" (в указанном выше общем смысле), т.е. способность системы (ЦУТС) сохранять свои функции при любых воздействиях на нее окру- жающей среды (понимаемой в широком смысле, включая противника). Что касается меры живучести как свойства системы (ЦУТС), то она может быть только вероятностной и иметь смысл "степени доверия к системе (ЦУТС)". Наконец, о термине "устойчивость". По определению [159], устойчи- вый - это 1) стоящий твердо, не колеблясь, не падая; 2) не поддающийся, не подверженный колебаниям, стойкий, твёрдый.
96 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Очевидно, что применительно к задачам исследования операций и тео- рии эффективности ЦНП имеет отношение лишь вторая трактовка этого термина. Возникает вопрос: к какому объекту он относится? Приходится встречать словосочетания "устойчивая система", "устойчивый процесс". Понятно, что смысл этих словосочетаний различен и речь в них идет о свойствах существенно различных объектов (системы и процесса) и, сле- довательно, о различных свойствах. Поэтому представляется необходимым уточнение этих понятий. Применительно к системе (ЦУТС) понятие "устойчивость" - синоним понятия "живучесть" (см. выше) и термин "устойчивость системы", ничего не уточняя, лишь запутывает дело. Поэтому представляется целесообраз- ным употреблять лишь термин "устойчивость ЦНПФС", понимая его как способность ЦНПФС сохранять свои функциональные (целевые) свойства в условиях воздействия различных факторов (окружающей среды, условий проведения операции, противника). ▲ 2.7.11} В соответствии с принятой в настоящее время терминологией используемые на практике "показатели эффективности" (прямые и косвен- ные) можно подразделить на два класса: I класс - показатели результатов (эффектов) операции (показатели ре- зультативности, действительности ЦНПФС); II класс - показатели функциональной (целевой) надёжности (достовер- ности) результатов операции (показатели эффективности ЦНПФС). Ранее было отмечено, что на этапе планирования и организации опера- ций условия функционирования и применения ЦУТС содержат элемент неопределённости (случайности) [см. (2.3.11), (2.3.12)]. Более того, все ко- личественные характеристики ЦУТС и ЦНПФС (параметры и ЭТХ - ДА\), фигурирующие в математической модели операции, в принципе также яв- ляются случайными. Поэтому все показатели эффективности операций должны носцть вероятностный характер [48, 190]. Так, показатели I класса характеризуют средний или гарантируемый (с какой-то вероятностью) це- левой эффект операции, а показатели II класса характеризуют вероятность достижения требуемого результата (цели) операции, т.е. вероятность выполнения задачи ЦУТС. Из физической сущности этих характеристик следует, что показатели I класса [см. (2.4.61) - (2.4.17')] слабо связаны (явно вообще не связаны) с целью операции (с задачей ЦУТС) и поэтому являются косвенными пока- зателями её эффективности. Показатели же II класса являются прямыми, поскольку непосредственно отвечают на вопрос, в какой степени (вероят- ностной мере) будет достигнута цель операции (будет выполнена задача ЦУТС). Таким образом, при исследовании уникальных (единичных, не массовых) операций для оценивания эффективности пригодны лишь пока-
2.7. Комментарии 97 затели их функциональной (целевой) надёжности. Использование для этой цели показателей среднего, или средневзвешенного [(2.4.61) или (2.4.8')], или гарантированного результата некорректно. Однако следует заметить, что информативность, а следовательно, и объективность последнего пока- зателя выше, поскольку его определение опирается на закон распределения целевого эффекта операции. А 2.7.12} В литературе часто встречаются термины "целевая эффектив- ность", "боевая эффективность", "функциональная эффективность", "техническая эффективность" системы и т.п. Строго говоря, эффектив- ность одна (это комплексное операционное свойство ЦНП) и эти термины относятся к компонентам показателя качества результатов операции, т.е. к ее эффектам. Так, "функциональная эффективность" характеризуется прямым (целевым) эффектом, полученным при выполнении ЦУТС своих прямых функций; "экономическая эффективность" - экономическим (т.е. косвенным, побочным) эффектом, выражающимся в затратах, прибылях, предотвращённых потерях и т.д. Следует подчеркнуть, что эффективность как свойство операции одна, и в этом смысле операция может быть либо эффективной (когда этого свой- ства в ней достаточно), либо неэффективной. Причём в соответствии с требованиями комплексного исследования эффективности её измерение и оценивание должны проводиться с учётом всех существующих эффектов операции (функциональных, технических, экономических, боевых и т.п.). Так, "функциональная эффективность" характеризуется прямым (целевым) эффектом операции, получаемым при выполнении ЦУТС своих прямых функций; "экономическая эффективность" - экономическим (т.е. косвен- ным, побочным по отношению к цели операции) эффектом, выражающим- ся в затратах, прибылях, предотвращённых потерях (если это не цель опе- рации) и т.п. Следует ещё раз подчеркнуть, что понятия "прямой" и "косвенный" эф- фекты относительны и применимы лишь в рамках конкретных операций. Например, существуют операции, основной целью которых является полу- чение "экономического эффекта" (прибыли), а "функциональный эффект" (если это не чисто финансовая операция) либо учитывается косвенно, либо не учитывается вообще. Как правило, именно так поступают при исследо- вании "экономической эффективности". Поэтому за множеством "различ- ных эффективностей" обычно скрывается некомплексный подход, при ко- тором изолированно рассматриваются отдельные эффекты операции. При этом, по-видимому, допускаются ситуации, когда операция эффективна экономически, но неэффективна в целевом отношении. Понятно, что по- добные допущения абсурдны, так как если цель операции не достигнута, то она не удовлетворяет критерию пригодности и, следовательно, обсуж- дение каких бы то ни было "других эффективностей" лишено смысла. 4 Зак. 3303
98 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Представляется, что отмеченное выше словоупотребление имеет прак- тический смысл лишь при желании терминологически выделить ведущие компоненты показателя К* качества результатов операции (см. п. 3.3.3). А 2.7.13} Поскольку функциональный (целевой) и экономический (побоч- ный - расход ресурсов) эффекты находятся в противоречии (увеличение одного из них влечёт за собой снижение другого), то одной из фундамен- тальных проблем "Исследования операций" и "Теории эффективности" яв- ляется проблема "эффективность-стоимость". Эта проблема возникла в сфере "военно-экономического" и "технико-экономического" анализа до- рогостоящих технических проектов и программ, т.е. крупных мероприя- тий, связанных со значительными затратами на решение вопросов, обу- славливающих принятие ответственных решений. Подчеркнём, что при формулировании задачи исследования эффектив- ности операции в замкнутой схеме, определяемой формулами (2.3.15) - (2.3.18), проблема "эффективность - стоимость" решается автоматически1. В дальнейшем это будет показано на примерах. ▲ 2.7.14} Практика исследования эффективности ЦНПФС показывает, что наиболее сложным его этапом является этап формулирования цели опера- ции, от которого зависит правильность выводов и принимаемых решений. Следует помнить, что критерии оценивания качества результатов операции должны иметь свою иерархию, строго соответствующую иерархии ЦУТС, реализующей эти операции. А 2.7.15} На рис. 2.7.1 приведена схема классификации основных факто- ров, обусловливающих эффективность ЦНПФС (операции). Фигурирую- щие на рис. 2.7.1. многоточия обозначают прочие свойства ЦУТС, ресур- сов и условий проведения операции либо менее существенные, либо ещё не выявленные. Стратегическая обстановка, отнесённая на рис. 2.7.1 к не- управляемым условиям применения ЦУТС, в общем случае может быть обусловлена как естественным развитием операции, так и действиями кон- курента (противника). Представляется необходимым раскрыть семантику фигурирующих на рис. 2.7.1 и в выражениях (2.3.8), (2.3.9) понятий "условия функциониро- вания ЦУТС" и "условия применения ЦУТС". Когда мерой стоимости служит расход операционных ресурсов.
2.7. Комментарии 99 5 § so s ■Si 3" s s H m н о о « U H К & Ю О о о и ffl i g О i о о I
100 Глава 2. Методологические основы теории эффективности Условия функционирования ЦУТС (УФС) - это совокупность фак- торов (как правило, природного происхождения), оказывающих влияние на параметры и ЭТХ ЦУТС (Л'Лл), а также на характеристики ЦНПФС (Л**\) и через них обусловливающие виртуальные результаты операции [см. (2.3.8)]. Условия применения ЦУТС (УПС) - это совокупность факторов (как правило, организационно-ситуационного происхождения), влияющих на ситуацию, в которой ЦУТС придётся выполнять задачу, и тем самым обу- славливающие допустимые (требуемые) результаты операции [см. (2.3.9) и (2.3.5)]. А Пример 2.7.1. Пусть операция - ЦНПФ ЦУТС, функционирующей как в мирное, так и в военное время. Тогда если противник воздействия на ЦУТС не оказывает, то условия её функционирования как в мирное, так и в военное время будут одинаковыми. Однако представляется очевидным, что требования к результатам ЦНПФС в военное время будут жёстче. Это означает, что условия применения ЦУТС в мирное и в военное время су- щественно различны. А Пример 2.7.2. Пусть операция проводится в Антарктиде с применением вездехода. Условия функционирования вездехода (низкие температуры и бездорожье) требуют повышенного расхода топлива. Условия же приме- нения вездехода (большая удалённость места проведения операции от ис- точников топлива и сложность его доставки) требуют его повышенной экономичности по расходу топлива. Оба эти обстоятельства должны учи- тываться при проектировании и создании как вездехода, так и любых дру- гих технических средств, предназначенных для работы в Антарктиде. А Аналогичные примеры можно привести и применительно к другим от- далённым районам со сложными условиями проведения операции, т.е. условиями функционирования и применения технических средств. Пример 2.7.3. Пусть операция - участие спортивной команды в сорев- нованиях. Тогда, с одной стороны, такие факторы, как время проведения соревнований (время года, время суток, поясное время места соревнова- ний), климатические и погодные условия в месте соревнований и т.п. бу- дут влиять на "условия функционирования команды", а следовательно, на физическое состояние спортсменов, и тем самым будут предопределять (обусловливать) их возможные (виртуальные) спортивные результаты. С другой стороны, прибывший на соревнования контингент спортсменов- противников будет обусловливать спортивные результаты команды, необ- ходимые (потребные) для победы в соревнованиях. Последние факторы и определяют "условия применения команды". А
2.7. Комментарии 101 2.7.16} В зависимости от задач исследования любой объект или явление может рассматриваться применительно либо к его прошлому, либо к на- стоящему, либо к будущему. Следует уяснить, что в рамках ТЭЦНП речь идёт о будущей эффектив- ности будущего ЦНПФС либо существующей, либо будущей ЦУТС. В первом случае имеет место проблема организации ЦНПФС, во втором - проблема проектирования ЦУТС. Если и ЦУТС, и организация (стратегия) ЦНПФС определены (синтезированы), то возникает (имеет место) пробле- ма управления ЦНПФС и ЦУТС (см. {1.4.2}). А 2.7.17} В данной главе были рассмотрены общая проблема и методоло- гические основы исследования эффективности ЦНПФС (операций). Из ее содержания видно, что целями таких исследований являются: - оценивание эффективности ЦНПФС; - анализ влияния на эффективность ЦНПФС его организации и пара- метров и ЭТХ ЦУТС; - синтез ЦУТС и ЦНПФС, обеспечивающих достижение цели опера- ции. Таким образом, исследование эффективности ЦНПФС представляет со- бой двуединую квалиметрическую задачу его анализа и оптимального син- теза. ▲
Раздел II МЕТОДЫ Так как во всяком учении о природе имеется науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней ап- риорного познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нём математика. И. Кант Глава 3 МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В гл. 2 были рассмотрены методологические аспекты теории эффек- тивности ЦНП, а также содержание и общая формулировка задач исследо- вания качества ЦУТС и эффективности ЦНПФС. Как было отмечено, исследование эффективности ЦНПФС представляет собой двуединую задачу её анализа и оптимального синтеза. При этом первым этапом решения задачи анализа является этап оценивания эффективности, который из-за огромного много- и разнообразия ЦУТС и реализуемых ими ЦНПФС и обусловленного этим многообразия их моделей, требующих индивидуального подхода, оказывается главным этапом анализа. Цель данной главы - рассмотрение теоретических основ и методов оце- нивания эффективности ЦНП, а также связанных с этим проблем. 3.1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ИНДИКАЦИИх В данном параграфе излагаются элементы (основы, начала) "Теории стохастической индикации" (ТСИ) - нового раздела "Теории вероятно- стей", родившегося из задач научно-исследовательской практики и имеющего ярко выраженную прикладную направленность. Концепции и Более подробное изложение дано в монографии [128].
3.1. Методы теории стохастической индикации 103 методы ТСИ находят применение в самых различных областях систем- ных научных исследований: "Анализе систем", "Прикладной киберне- тике", "Исследовании операций", "Теории эффективности ЦНП", "Тео- рии планирования испытаний", "Теории принятия решений", "Непара- метрической статистике". Нет сомнения, что действительная сфера её применимости приведенным перечнем не исчерпывается и, прежде всего потому, что ТСИ является разделом "Теории вероятностей", без приме- нения методов которой сейчас не мыслится ни одно серьёзное научное исследование. В последние годы получили широкое развитие и внедрение в научную практику концепции "Теории нечетких понятий" (переменных, множеств, отношений и т.п. [58, 81, 121, 122]). Однако следует отметить, что до на- стоящего времени как методы этой теории, так и получаемые с их помо- щью решения не имеют достаточно содержательной и наглядной интер- претации, что, несомненно, снижает их практическую ценность. В то же время в работе [121] раскрыта несомненная связь между "Теорией нечет- ких множеств" и "Теорией случайных множеств", которая может быть описана математически. А поскольку основной объект ТСИ - стохастиче- ский индикатор представляет собой индикатор (характеристическую функцию [28]) случайного множества, то (в других терминах) ТСИ также представляет собой "Теорию случайных множеств", и притом в наиболее конструктивном варианте1, так как ТСИ - теория вероятностная и, следо- вательно, получаемые на её основе решения имеют чёткую частотную ин- терпретацию (в отличие от "Теории нечётких множеств") и не вызывают затруднений в их осмыслении и практическом использовании. Как будет показано, ТСИ служит основой для разработки методов оце- нивания эффективности операций и в первую очередь уникальных (еди- ничных), для исследования которых известные вероятностные методы ма- ло пригодны. В то же время, поскольку исследование эффективности ЦНП является важнейшим этапом решения задач "Анализа систем", "Исследо- вания операций", "Военно-прикладной кибернетики", то концепции и ме- тоды ТСИ находят применение при решении задач проектирования ЦУТС, планирования и организации ЦНПФС, а также задач принятия решений в условиях неопределённости. В настоящее время ТСИ представляет собой достаточно развитую тео- рию, и освещение её в полном объеме вышло бы за рамки монографии. Поэтому здесь излагаются лишь её элементы. Тем не менее семантическим аспектам ТСИ, без уяснения которых нельзя усвоить её концепций, уделе- но достаточно много внимания. Для глубокого изучения ТСИ рекомендуем читателю пособие [128]. Советуем читателю путём вдумчивой проработки материала этого параграфа убе- диться в этом.
104 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП 3.1.1. СЕМАНТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ИНДИКАЦИИ. ТЕРМИНОЛОГИЯ И СИМВОЛИКА 3.1.1.1. Общие предпосылки Весьма плодотворным математическим понятием, широко используе- мым в теории функций, функциональном анализе [79], теории меры [79], теории вероятностей [183], алгебре логики и т.д., является понятие индика- тора множества1, определяемого следующим образом. Определение 3.1.1. Индикатором множества А называется функция d Г 1, яге А; 1А=1А{х) = \ (3.1.1) А Каждому множеству соответствует его индикатор, и наоборот, каждая функция, принимающая лишь одно из двух значений {ОД }, может интер- претироваться как индикатор некоторого множества. Если f(x) - произвольная функция, принимающая отличные от нуля значения лишь на некотором множестве А значений аргумента х , то с по- мощью индикатора множества А она может быть определена (задана) линейным выражением вида / ч / \ [ f(x)f xe А; [ 0, дгй А. Пусть теперь С - пересечение, a D - объединение двух множеств А и В, т.е. C=AnB, D=AkjB. Очевидно, что тогда Ic = inf{lA,IB}=min{lA9IB}; (3.1.3) ID=sup{lA,IB}=max{lA,IB}, (3.1.4) т.е. значение индикатора 1с или ID множества С или D равно соответст- венно наименьшему или наибольшему из значений индикаторов 1А и 1В. Поэтому для обозначения наименьшего или наибольшего из значений двух функций f(x) и g(jt) часто используются теоретико-множественные обо- значения2 [183]: inf{f{x),g{x)*£fng{x); (3.1.5) sup{f{x),g(x)£fvg{x). (3.1.6) 1 Другое его название "характеристическая функция множества" в вероятностных приложениях неудобно из-за возможности смешения с другим понятием. 2 Иногда для этих целей вместо символов Пии используются соответственно символы л и V [74].
3.1. Методы теории стохастической индикации 105 В качестве примеров индикаторов — селекторов множеств могут слу- жить широко используемые в прикладной математике кусочно-единичные ^селектирующие") функции [108, 169]: -"селектор луча" / Л 0, jc<0; А(х)=\ (3.1.7) - "селектор интервала"1 П(х;а,Ь)=А(х-а)-А(х-Ь)=А{х-а)-А(Ь-х); (3.1.8) - "селектор точки" е(х;а)=А{х-а)-А(а-х). (3.1.9) Нетрудно видеть, что А{х) = 1А{х), А = [0,оо); (3.1.10) П{х;а,Ь)=1с(х), C = AnB, A = [a,<*>)9 B = (-oo,b); (3.1.11) е(х;а) = 1{а}(х), {а}=а , (3.1.12) т.е. "селектор луча" ("единичная функция Хевисайда") - А (х) - суть инди- катор полубесконечного интервала [0,°о); "селектор интервала" ("единич- ный прямоугольный импульс") - П(х;а,Ь) - индикатор интервала [a,by, "селектор точки" ("функция эквивалентности") - е(х;а) - индикатор од- ноточечного множества {а }. Если, кроме того, воспользоваться обозначе- нием (3.1.5), то n(x;a,b) = fng{x), (3.1.13) где f(x)=A(x-a); g(x) = A(a-x); e{x;a)=f{x)ng{x), (3.1.14) где f(x) = A(x-a); g(x)=A(a-x). 3.1.1.2. Понятие стохастического индикатора Пусть теперь множество AczU является случайным событием (где U - универсальное множество [74], множество логических возможностей [74], пространство элементарных событий [183], достоверное событие 1 В вероятностных приложениях удобнее определения функций (3.1.7), (3.1.8), дан- ные в списке обозначений, которые и используются в дальнейшем.
106 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП [28, 29]). Тогда его индикатор 1А будет представлять собой случайную величину со следующими свойствами1: d Л d [ \ у если А произойдёт; 0, если А не произойдёт (произойдёт —А). h=®A={ Л Л „л. / .... л (3-Ы5) В отличие от индикаторов множеств индикаторы 6)А случайных собы- тий называются стохастическими. Плотность распределения2 и функция распределения стохастического индикатора й)А соответственно имеют сле- дующие выражения: <р»А{о)) = д-3{о))+р-3{а)-1); (3.1.16) ^>) = г4^)+/>-^-1)> (ЗЛ.17) где р = р(А); q = l-Р = р(-тА). Переход от случайных событий к их индикаторам - случайным величи- нам весьма плодотворен, поскольку математический аппарат и методы ис- следования вероятностных свойств случайных величин обладают большей гибкостью и универсальностью. Итак, из соотношения (3.1.15) с учетом (3.1.16), (3.1.17) следует р(а)=Р = Р{Аа=1) = М[Аа]=1Ва. (3.1.18) Раскроем семантику (смысловое содержание) равенства (3.1.18), для че- го воспользуемся содержательной трактовкой понятия случайного собы- тия, используемой в "элементарной" теории вероятностей. Под событием понимается исход опыта, состоящего в реализации вполне определенного комплекса N условий. Тогда случайное событие есть не что иное, как ис- ход опыта, проходящего при воздействии на комплекс К не поддающихся учёту случайных факторов, т.е. в условиях X некоторой неопределённо- сти. Указанная неопределённость приводит к тому, что конкретное собы- тие А происходит не при каждой реализации комплекса X, а лишь иногда и, следовательно, связь между событием А и предопределяющим его ком- плексом К условий носит стохастический (случайный) характер. Для ко- личественного оценивания этой связи вводится понятие вероятности Р[А) случайного события А, которая, таким образом, характеризует степень объективной возможности появления события А в условиях N [28]. 1 Для дальнейшего изложения обозначение (ЬА более удобно, чем IA. 2 Здесь и всюду в дальнейшем плотность распределения понимается в обобщённом смысле [169]. 3 Будем ог уточнения увела бы нас в сторону от обсуждаемого вопроса 3 Будем опираться на интуитивное восприятие понятия "возможность". Попытка его
3.1. Методы теории стохастической индикации 107 В аналогичной связи находятся высказывание А и ситуация К, в кото- рой это высказывание истинно [74]. Указанная аналогия фундаментальна. Действительно, при решении конкретных прикладных задач описание любо- го из исследуемых событий (исходов опыта) даётся в форме некоторого вы- сказывания. Очевидно, что истинность такого высказывания адекватна дос- товерности соответствующего ему события. При этом аналогом множества элементарных событий, из которых состоит событие А, является множество логических возможностей (при реализации которых высказывание А истин- но), называемое множеством истинности1 высказывания А [74]. При такой трактовке событий появляется возможность вести содержательное описание методов теории вероятностей в терминах алгебры высказываний, которое применительно к некоторым вероятностным задачам обладает большей на- глядностью, чем описание на языке алгебры событий [28]. Если для множества истинности высказывания А определить индика- тор 1А(л:), то принимаемые им значения будут равны значениям истинно- сти высказывания А на множестве U всех логических возможностей, т.е. , ч [1, хеА, AcU, 1А{х) = \ (3.1.19) Продолжая проводить аналогии между алгебрами высказываний и со- бытий, легко установить, что истинность и ложность высказывания А эк- вивалентны соответственно достоверности и невозможности события А , а неопределённость ситуации К, в которой высказывание А истинно, экви- валентна неопределённости комплекса К условий, определяющих слу- чайный эксперимент (опыт). Из всего сказанного следует, что каждая из алгебр - высказываний и событий - является булевой и изоморфна алгебре их индикаторов. Следовательно, эти алгебры изоморфны между собой, т.е. с формальной точки зрения описания стохастической ситуации на языке любой из них адекватны. Приведённые соображения лежат в основе веро- ятностной логики [74]. Итак, что же такое вероятность случайного события? Из равенства (3.1.18) следует, что, с одной стороны, - это вероятность того, что случай- ное событие А произойдёт, т.е. станет достоверным, а с другой - это ве- роятность того, что соответствующее высказывание А окажется истин- ным''. В обоих случаях она равна вероятности P(cbA = l) того, что стохасти- ческий индикатор &А примет значение 1, которое на языке алгебры собы- тий есть вероятность достоверного события, а на языке алгебры высказыва- Высказывание и множество его истинности будем обозначать одной и той же бук- вой по аналогии с событием и множеством образующих его элементарных событий. 2 Для краткости обычно говорят просто "вероятность события" и "вероятность вы- сказывания".
108 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП ний есть значение истинности заведомо истинного высказывания. Тогда из эквивалентности понятий "достоверность события" и "истинность высказы- вания" следует эквивалентность понятий "вероятность случайного события" и "степень достоверности случайного события", а также понятий "вероят- ность высказывания" и "степень истинности высказывания". Но тогда при- обретают вполне определённое (и, как будет показано, весьма глубокое) со- держание высказывания: "достоверность (точнее, степень достоверности) события U равна 1"; "достоверность невозможного события Нравна 0"; "достоверность случайного события А равна его вероятности р(л)", a также высказывания: "истинность (точнее, степень истинности) истинного высказывания U равна 1"; "истинность ложного высказывания V равна 0"; "истинность произвольного высказывания А равна его вероятности Р^)". Таким образом, вероятность случайного события А - это степень объ- ективной возможности точного воспроизведения комплекса К условий, при которых событие А достоверно, или, другими словами, - это степень объективной возможности ситуации К, в которой соответствующее собы- тию А высказывание А истинно. Эта семантическая двойственность поня- тия вероятности будет в дальнейшем использована при формулировке ос- новных концепций теории стохастической индикации. 3.1.1.3. Количественные характеристики неопределённости стохастической ситуации При исследовании процессов функционирования сложных систем (ЦУТС) принято различать три составляющие этих процессов [15]: детер- минированную, случайную и неопределённую. Детерминированными называются процессы, вызванные действием полностью известных причин Х0. Эти процессы изучаются методами фи- зики и других естественных наук. Случайные процессы возникают при воздействии на известные причи- ны Х0 не поддающихся учету случайных факторов К,, делающих причи- ны К = Я0 и К j, обусловливающие основные свойства процесса, случай- ными. Изучение случайных процессов основано на наблюдениях и анализе их вероятностных свойств по проявлениям этих свойств в прошлом. Неопределённая составляющая исследуемого процесса обусловлена не- достаточностью или отсутствием наблюдений, необходимых для опреде- ления её вероятностных свойств. Для их выявления используются эксперт- ные оценки, в основе которых лежат понятия "полезность", "предпочти- тельность" и "субъективная вероятность".
3.1. Методы теории стохастической индикации 109 3.1.1) Не вдаваясь в сколько-нибудь подробный сравнительный анализ понятий "случайность" и "неопределённость", а также связанных с ними понятий "объективная" и "субъективная" вероятности, отметим, что в принципе различия между ними чисто условны. Действительно, с одной стороны, при наблюдениях реальных процессов их случайность и неопре- делённость проявляются одинаково - как невозможность точного предска- зания их поведения; с другой стороны, "объективные" вероятностные ха- рактеристики случайных процессов не могут быть полностью свободными от "субъективных" взглядов их исследователей. В то же время задаваемые экспертами "субъективные" вероятности в значительной мере являются "объективными", поскольку основаны на опыте изучения экспертами ок- ружающей их объективной реальности и не являются чисто умозритель- ными. ▲ В дальнейшем используются оба термина "случайность" и "неопреде- лённость", однако их не следует полностью отождествлять с понятиями, упомянутыми в замечании. Итак, как было установлено в п. 3.1.1.2, степень случайности1 выска- зывания характеризуется его вероятностью Р\А)=р. Если высказыва- ние^ окажется истинным, то его вероятность станет равной 1, а если оно окажется ложным, то - 0. Поскольку априори неизвестно, истинным или ложным окажется высказывание А, то, следовательно, неизвестно, какое из значений (1 или 0) примет его вероятность, которая, таким образом, яв- ляется случайной величиной, подчиненной закону распределения Бернул- ли с параметром р. Именно так распределён стохастический индикатор &А [см.(3.1.16), (3.1.17)] и, следовательно, он имеет смысл апостериорной ве- роятности высказывания А в неопределённой ситуации X (условной ве- роятности высказывания А относительно ситуации X). Таким образом, в приведённой трактовке неопределённость ситуации X характеризуется на- бором {0,l} возможных значений стохастического2 индикатора &Л, а случайность высказывания А характеризуется его вероятностью р . Приведённые выше рассуждения относительно ситуации К в значи- тельной мере носят качественный характер, затрудняющий применение математических методов исследования. Для получения возможности ко- личественного анализа таких ситуаций необходима их формализация, т.е. построение адекватных им математических моделей. Пусть U - множество действительных чисел3 (действительная прямая); Точнее, степень достоверности или, что то же самое, - степень истинности. 2 В дальнейшем это слово часто будет опускаться. 3 В общем случае это может быть векторное пространство.
ПО Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП d U1 = U х U - двумерное множество действительных чисел (действительная плоскость); а, Ъ - константы (возможно векторные); у, z - переменные (возможно векторные); <,>,<,> - отношения порядка. Тогда: а<Ъ, а>Ъ, а<Ь, а>Ъ- высказывания; z<a, z> a, z^b, z^b - одноместные предикаты1; z<y, z>y, z^y, z^.y - двухместные предикаты. 3.1.2) Известно [194], что всякий двухместный предикат можно пред- ставить как одноместный на множестве наборов (пар) (j;, z)eU2, однако, как будет показано, при решении вероятностных задач такой переход мо- жет привести к существенной потере информации. А Проанализируем приведённые выше выражения трёх различных клас- сов. Легко заметить, что константы а, Ъ фиксируют вполне определённую ситуацию, в которой соответствующее высказывание (например, а < Ь) ли- бо истинно (если а<Ь\ либо ложно (если а > Ь). Что касается переменных у, z, то они определяют целые множества возможных их значений, фикса- ция которых превращает соответствующий предикат (например, z < а) ли- бо в истинное (если ze (-°° , а) ), либо в ложное (если ге [ а , «>) ) высказы- вание. Если заранее не известно, в какое из указанных множеств попадают пе- ременные у, z или (у у z), то возникает неопределённая ситуация (случай- ное явление), в которой можно говорить лишь о вероятности (или степени истинности) высказывания, получаемого из соответствующего предиката. Если переменная z является случайной величиной, то одноместный предикат z < а будет представлять собой "неопределённое" высказывание или, другими словами, случайное событие А. При этом, как нетрудно ви- деть, неопределённость ситуации заложена в неопределённости перемен- ной z, и для определения вероятности этого высказывания достаточно знать закон распределения случайной величины z, т.е. p = p(A)=P{z<a)= )dFi{z) = Fi{a). (3.1.20) Пусть IA (z) = cbA - стохастический индикатор множества А=(-оо9 а). Тогда из выражений (3.1.18), (3.1.20) следует, что Р{фА =l) = F-(a), и вы- ражения (3.1.16), (3.1.17) примут вид: 1 В некоторых источниках [194] предикаты называются высказывательными фор- мами.
3.1. Методы теории стохастической индикации 111 <р&л{а) = К.г{а)5{а>)+Р.{а)д{а>-\); (3.1.21) F&A{co)=Ri{a)-A{(o)+Fi{a)-A{a>-\). (3.1.22) Найдём числовые характеристики индикатора cbA, который в дальней- шем будем называть константным. Начальный момент Л-го порядка рас- пределения индикатора &А определяется соотношением vk[<&A]=M[a>kA]=ri = )atdFtA(a>)=Ft(a), [* = l(l)...] (3.1.23) и, следовательно, M^=^ = F£(a); (3.1.24) ^=^ = ^-SUF^e)-Fl,(e)=Fl(a).JIl(a). (3.1.25) Таким образом, как видно из равенства (3.1.24), вероятность случайного события А равна математическому ожиданию его индикатора &А. Известно, что дисперсия случайной величины характеризует степень "рассеяния" возможных её значений относительно математического ожи- дания ("среднего значения") этой величины. Поскольку возможными зна- чениями стохастического индикатора служат возможные степени досто- верности случайного события А, т.е. степени истинности неопределённого высказывания z < а, являющиеся значениями его апостериорной вероятно- сти, то в рассматриваемом случае дисперсия D& характеризует степень неопределённости предиката (£ < а) ~ (d)A = l). При этом, как нетрудно по- нять, максимальная неопределённость будет иметь место при а = Mei. Пусть теперь z < у - двухместный предикат. Ситуация, в которой соот- ветствующее этому предикату высказывание истинно, может быть неопре- делённой как по одной (любой), так и по двум переменным. Рассмотрим оба случая. Допустим, что случайной является переменная £. Тогда будет иметь место неопределённый предикат z< у, т.е. случайное событие А 9 завися- щее от неслучайной переменной у. Поэтому p = p(y) = p{Ay)=P(z<y)= ]dF.(z) = F.(y)=P[a>A{y) = l], (3.1.26) где cbA(y) - стохастический индикатор множества А = (-°°,у). Из выражения (3.1.26) видно, что в данном случае cbA=d)A(y) = A(y-z) (рис.3.1.1), т.е. формально индикатор случайного события Ау представляет собой случайную функцию, одномерные
112 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП <оа{у) i ». О z У Рис. 3.1.1. законы распределения которой имеют следующие выражения: <pK{m;y)=Ri{y)-d{o>)+Fi{y)-S{(o-\); (3.1.27) F^ {a>;y)=R.(y)-A{co)+ F.{y)-A{co-l). (3.1.28) Стохастический индикатор d>A(y) будем называть функциональным. Его числовые характеристики определяются следующими равенствами: м№Ау)]=Жу)= ]»^(»;jO=*iGO; (3-1.29) —оо M[&A{y)]=mA{y)=Fi{y); (3.1.30) о[&М=Шу)=^а{у)-К{у)=Ф)ФУ (3.1.31) Наконец, пусть переменная у также случайна. Тогда имеет место пре- дикат z < у и, следовательно, случайное событие А~ ~(z< у), в свою оче- редь, зависит от случайной величины у, т.е. предикат z < у становится уже дважды неопределенным. Вновь поставим задачу: определить вероят- ность случайного события А.. Если переменная z, определяющая ситуацию, связана с переменной у, то для решения поставленной задачи необходимо знать закон совместного распределения случайного вектора (уЛ)- Допустим, что известна плот- ность распределения ^/а 2\0%z). Тогда решение может быть представлено в одной из следующих форм: p(A})=P{z<y)=P[{y,z)e (H)]= \\<p{hi){y,z)dydz, (3.1.32) (И) где {H)~{(y,z):z<y}; p(A.)=P{z<y)=P{u<0)=)<pu{u)du, где u = z-y, (3.1.33) p(AP)=P{z<y)=p(S>o)=)<Pt{0)d#, (3.1.34) 0 где tf = j>-£.
3.1. Методы теории стохастической индикации 113 Выражения (3.1.32) - (3.1.34) реализуют различные способы перехода от двухместного предиката z < у к одному из одноместных предикатов: (y,z)e (#), или и < 0, или г?> 0. Однако, как будет видно из дальнейше- го, при таком решении задачи теряется большое (точнее, большее) количе- ство информации об исследуемом явлении. Поэтому в основу дальнейших рассуждений положено соотношение, отличное от приведенных выше. Для его получения преобразуем выражение (3.1.32): (я) z<y \<Pz/Az;y)dz = \Fvy{y;y)dF9{y) ; dy = (3.1.35) (tf) y>z \<Pz/yiy;z)dy = JRy/z(z;z)dF,(z). dz = (3.1.36) Как видно из соотношений (3.1.35) и (3.1.36), в данном случае для опре- деления искомой вероятности р = P(z < у) имеются уже два пути, кото- рые приводят, естественно, к одним и тем же результатам, но обеспечива- ют различную его надёжность (см. п. 3.4.3, 3.4.4). Наиболее распространённым на практике является случай, когда слу- чайные величины у и z взаимно независимы. Именно этот случай лежит в основе наиболее содержательных приложений рассматриваемой здесь тео- рии. Итак, если у и z взаимно независимы, то соотношения (3.1.35) и (3.1.36) соответственно примут вид: P(i<y)=iFt(y)dF,{y); /»(j>>f)=]*,(z)rfF,(z). Введём следующие обозначения: a>x=o)l(y)=Fi{y); Л,=в»,(г)=Л,(г). Тогда, как видно из (3.1.37) и (3.1.38), P{z<y) = M[d>l]=mi ] Р{у>г)=М[&г]=Ш2\ 0)\ =СОг. (3.1.37) (3.1.38) (3.1.39) (3.1.40) (3.1.41)
114 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Случайные величины &х и <Ь2 называются стохастическими супер- индикаторами. Поскольку каждому двухместному дважды неопределён- ному предикату соответствуют два супериндикатора, то для отличия их друг от друга они снабжены индексами (номерами). Поэтому в дальней- шем они также будут называться индексными. Из соотношения (3.1.41) следует, что Р{2<у) = Щ = )(DdF&x{a)) = CD2 = )codF&i(co), (3.1.42) о о где F&(co), F&i(co) - соответственно функции распределения суперинди- каторов &х и <Ь2. Проведём сравнение основных свойств стохастических индикаторов трёх рассмотренных классов. Из выражений (3.1.21) и (3.1.27) видно, что константный (<ЬА) и функциональный [tf^M] индикаторы, определяющие соответственно апостериорные вероятности случайных событий А и А , могут принимать лишь одно из двух значений (0 или 1), тогда как супер- индикаторы &х и d)2 могут принимать бесконечное множество значений из интервала (ОД], т.е. апостериорные вероятности случайного события А} являются случайными величинами более общего типа. Из всего сказанного можно сделать вывод, что безусловная (априорная) вероятность любого случайного события равна математическому ожида- нию его условной (апостериорной) вероятности или, другими словами, это его средневзвешенная достоверность. При этом, если достоверность собы- тий А и А принимает лишь одно из двух значений: 0 или 1 с весами (ве- роятностями) q, p соответственно, то достоверность события А* распре- делена на интервале (ОД] с плотностью фЛ (со) или фй (со). Далее, как следует из равенств (3.1.20) и (3.1.26), ША=Р(АА=1); coA(y) = P[d>A(y) = ll но GJx±P(d>x=l) ; Ш2ФР(&2=1). Это различие является следствием того, что в последнем случае не только ситуация неопределённа (случайна), но и степень истинности соот- ветствующего высказывания (степень достоверности события) случайна и может принимать значения, отличные от 0 и 1. Таким образом, супериндикаторы cbx и 6)2 совмещают в себе свойства и функции со(у) случайного аргумента и случайной функции &(у) [см. (3.1.39), (3.1.40)], т.е. представляют собой случайные функции случайных аргументов. При неслучайных аргументах эти функции превращаются в функциональные индикаторы d)A (у), &в (z), а при фиксации значений
3.1. Методы теории стохастической индикации 115 этих аргументов превращаются соответственно в константные индикато- ры &А и &в, где А = {z :z < а }, В = {у:у > Ъ]. Физический смысл таких свойств стохастических индикаторов заклю- чается в следующем. Если переменная £ случайна, то в предикате z<a константа а определяет границу детерминированного множества А = (-<*>, а), а в предикате £ < у переменная у определяет границу пере- менного множества А = (- °°,у)9 при попадании в которое случайной ве- личины £ индикаторы &А и &А {у) принимают значение 1 (т.е. достовер- ности событий А = (z < а) и А = (z < у) равны 1). В предикате £ < у пе- ременная у определяет границу "неопределённого" ("случайного") мно- жества Ар = {-°°,у), при попадании в которое случайной величины £ ин- дикаторы *й,, а>2 могут принять уже любые значения из интервала (0, 1]. Это объясняется тем, что в данном случае как "размеры", так и "располо- жение" множества А- в пределах пространства U элементарных собы- тий случайны и вероятность попадания £ в такое множество оказывается также случайной. Подведём некоторый итог сказанному. Итак, при вычислении вероятно- стей случайных событий по формулам (3.1.20), (3.1.26), (3.1.32) - (3.1.34), (3.1.37), (3.1.38), в сущности, вычисляются математические ожидания со- ответствующих стохастических индикаторов. Однако известно, что любой конечный набор числовых характеристик случайной величины менее ин- формативен, чем закон её распределения, т.е. при использовании только перечисленных выше формул теряется значительная часть информации, которая может оказаться полезной в самых различных исследованиях. 3.1.3) Из сравнения формулы (3.1.32) с формулами (3.1.33) и (3.1.34) следует, что в последних двух выражениях искомая вероятность p = P(z<y) вычисляется путём перехода от распределения <P/pAy>z) случайного вектора (y,z) к распределению <рй{и) или <р$(у) случайной ве- личины и или v соответственно. При этом, как нетрудно видеть, физиче- ские размерности величин й, v и компонент вектора (уЛ) совпадают. Если теперь сравнить выражения (3.1.37) и (3.1.36) с (3.1.42), то здесь также можно усмотреть переход от распределений F.(y), Ft(z) компо- нент вектора (y,z) к распределениям FA {y)f F& (z) индексных суперин- дикаторов. Однако в этом случае независимо от размерностей случайных величин у и £ случайные величины &х и &2 безразмерны (как вероятно- сти). Указанный переход называется трансформацией распределений F^(y) и Ft(z) соответственно в распределения FA (у) и F&{z). Причём по аналогии с другими интегральными преобразования-
116 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП ми интегрируемые в выражениях (3.1.37) и (3.1.38) функции распреде- ления ("ядра") называются трансформирующими, а интегрирующие функции распределения - трансформируемыми, А Пусть теперь в отличие от (3.1.39), (3.1.40) исходные переменные у и z являются r-мерными векторами К* и Z.k соответственно. Тогда А(Г>=«.У=^(Д)); (3-1.43) 4>=^(^))=^()(z(r)). (3.1.44) Если положить (z(r) < Y^)=П(гу < yt), то P(z{r)<f{r))= р^^<г)Ц^^=«('> = }вД^,(в); (3.1.45) *&>>*«)= f'-J^^wKJ^^^^^H^^' (зл-46) где ^ММ"пи<о *<„ V"{. *«>«)М П(А<я) /=1 dX{r)=dxxdx2-dxr9 (*,-= #,£,). Число г называется рангом индексного стохастического супериндика- тора. Наконец, могут возникнуть задачи, требующие рассмотрения предика- тов вида fy < d)j (где &й, &j - индексные супериндикаторы), вычисления вероятности Р(а>. <&.) и анализа её стохастических свойств, аналогично- го приведенному выше применительно к вероятности P(z < у). Для реше- ния таких задач потребуется трансформировать распределения суперинди- каторов d)n d)j, которые в этом случае будут называться индикаторами первого порядка, в индикаторы d>\j , cbjfJ второго порядка и реализовать следующие процедуры: Р(щ «&,)= \F&i{a>)dF&i{a>)= \a>dFM=a>f; 0 0 />(<&,. ><&,)= \R&/ {a>)dF&i (а) = \(0dF^ И=^. (3.1.47) Очевидно, что повторное применение описанного приема повышает по- рядок исследуемых супериндикаторов.
3.1. Методы теории стохастической индикации 117 3.1.4) Для обозначения характеристик двух признаков классификации стохастических супериндикаторов - их ранга и порядка - применяются верхние индексы соответственно в угловых ( ) и квадратных [ ] скобках. Понятно, что поскольку применительно к каждому супериндикатору мож- но говорить как о ранге, так и о порядке, то в его обозначении должны присутствовать оба индекса. Однако для разгрузки символики в контексте это требование нарушено и индекс порядка супериндикатора всюду опу- щен. Поскольку в рамках излагаемых здесь методов фигурируют лишь су- периндикаторы первого порядка, то отмеченное упрощение символики вполне оправданно. ▲ 3.1.2. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СУПЕРИНДИКАТОРОВ Из вышеизложенного следует, что для практического применения ма- тематического аппарата стохастических супериндикаторов необходимо знать законы их распределения. Для теоретического обоснования методов определения этих законов в данном пункте приведён ряд теорем. Все дока- зательства проводятся в предположении, что случайные величины у и z взаимно независимые, скалярные и непрерывные. Ограничения эти не принципиальны и имеют целью избежать громоздких выкладок и рассуж- дений, неизбежных при рассмотрении общего случая (см. [128]). Кроме то- го, для практических приложений наиболее интересен именно непрерыв- ный случай. 3.1.2.1. Теоремы о функциях распределения супериндикаторов Теорема 3.1.1. Если функции распределения F-(y) и F~(z) случайных величин у и z известны, то F&i{a>) = F.\F?{a>)}. (3.1.48) Доказательство. Введём обозначения: d ^t=Fiiy); 0) = io{y) = Ft[y); y = y{(o) = F:l{(D). Тогда, поскольку функция Ft (z) неубывающая, то F^ {a>)=P{a>, <а>)= P{F.(y)< F^(«)]}= P\y<y{a>)]=
118 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Теорема 3.1.2. Если дополнительные функции распределения R~y(y) и Л|(г) случайных величин у и z известны, то ^И=Л.[л:,И]. (3.1.49) Доказательство. Введём обозначения: d>2=Ry(z); eo = a)(y)=Ry{z); z = z{o)) = R:l{a)). Тогда, поскольку функция Ry(y) невозрастающая, то ^И=Р(»2<й;)=р{л.(г)<лЛгИ]}=Р[£>гИ]= = Л|[гИ]=/гг[л:,И], ое(0,1]. ▲ 3.1.5) Супериндикаторы cbx и 6)г называются ещё индикаторами рас- пределений Fy(y) и R2(z) соответственно (см. (3.1.6), (3.1.9)). ▲ Из доказанных теорем вытекает очень важное для практики следствие - теорема 3.1.3. Теорема 3.1.3. Если случайные величины у и z распределены одина- ково, то все индексные супериндикаторы распределены равномерно на ин- тервале (0,1], т.е. Рр{х)^Р2(х)^Р£{х) ^ F&i{cd) = Fk(g)) = = О)Л(а);0,1)+А(а)-1), [/ = 1,2] . (3.1.50) Доказательство. Выведем это утверждение как следствие из тео- ремы 3.1.1. Пусть у- f(x) и х = f~l(y) - взаимно обратные функции. Тогда, как известно, /|/"1Ск)]= у- Поэтому при Fy(x) = Ft(x) = F.(x) из соотношения (3.1.48) следует FAH = FjFj-V)]=a>, а>б(0,1]. При со < 0 или со > 1 функция F& (со) доопределяется естественным образом: , v [0, при (О<0; *Л } \\,при со>\. А 3.1.6) Супериндикатор со0 называется собственным индикатором распределения F~(x) [R-(x)]. A 3.1.7) Теорема 3.1.3 лежит в основе алгоритмов статистического моде- лирования случайных величин с заданным законом распределения "мето- дом обратной функции" [64, 163,173]. А
3.1. Методы теории стохастической индикации 119 Пример 3.1.1. На рис. 3.1.2 приведены графики функций распределения F&{fo); Fuj{a>) и FA(co) супериндикаторов щ\ а>2 и сой соответственно, построенные для случая, когда случайные величины у и г подчинены нормальным законам распределения с параметрами: у = 2, <7-=1, г = 1, о, = 2, т.е. F,{y)=F,b;y,<r,)=Fa fy-y) \ °'У J = F„ F.W-F^W,)^/'"^ у °i j = F„ У-2 1 г-1 При этом Fui{a) = Fp[Fri{(o)]=FcrlAF;l(a))+B]n(6),%l)+A(6)-i); Р^со) = кХщ1{(о)]=1-РМ~х{Р;\\-о})-в)}п{т^,\)+Л{о)-\), где А = ^-; В = ^^-. а- о- У У Следует подчеркнуть, что график функции распределения F& {со) имеет вид рис. 3.1.2,6 как при х = у, <Ji=o,}, так и при x = z, ak=av A Рис. 3.1.2. 3.1.8) При построении функций распределения супериндикаторов весь- ма эффективен графический метод, в основе которого лежат теоремы 3.1.1-3.1.3. Ключ к реализации этого метода дан на рис. 3.1.3. А При доказательстве следующих теорем будет использована лемма 3.1.1.
120 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП z 0 со 1 со Рис. 3.1.3. Лемма 3.1.1. Если для каждой из функций /,, /2, ...,fk соответствен- но существуют обратные функции J\x, /2"!,..., f^, то у=fi(A(4fА*))-)) => *=/Г,(/й(-(/Г,Ы)-)). (3-1.51) Доказательство. По определению * = /(*) => лг = Г'Ы. (3.1.52) Последовательно применяя соотношение (3.1.52), будем иметь: *=/.(/*(...(/;(*))•••)) => /,to(.~(/*(*)).~))=/,'Ы => /stoUUMMbyr'Or'M) => - => /*W=/;-,,fc(-U-,U-,W))...)) => «-/r'taU/r'W)-)). а Теперь докажем теорему, устанавливающую характер связи законов распределения индексных супериндикаторов &х, й2.
3.1. Методы теории стохастической индикации 121 (3.1.53) (3.1.54) Теорема 3.1.4. Функции распределения индексных супериндикаторов &х, &г связаны следующими соотношениями: F&i{(o)=\-F^{\-a>), e»e(0,l];l F,»=l-F,-;(l-<»), a>e(0,l].J Доказательство. Согласно лемме 3.1.1 ^,M=^h",M]=7 => ^f-^^f.If;1^)]; ^|И = Л|[й>-*И]=»7 => <o = F£(7j) = R}[r:1(ti)]. Поскольку, кроме того, 17 = ^Л(дс) = 1-ЛЛ(де) => x = F?{fi)=R?(l-fi), то с учётом соотношений (3.1.54) получим: ^,H=^h",H]=i-^k,(i-«)]=i-^I,(i-«)> FAiH=^[«;,(e»)]=i-F£[F;,(i-»)]=i-F;i,(i-e»). A Подобными соотношениями связаны и дополнительные функции рас- пределения индексных супериндикаторов. Все они сведены в табл. 3.1.1. Таблица 3.1.1 *■*» *■*» л*, И л*, И **» ^» 1-^-'(1-й>) 1-^,И <(!-«) *■*» l-Fj(l-a>) *"*» КМ-а») i-f,» ^,и 1-<И 1-<И ^,и **» **» 1-<И i-*d» <и *«>) Приведём без доказательства (которое можно найти в [128]) важную теорему о функции распределения супериндикатора r-го ранга. Теорема 3.1.5. Если компоненты случайного вектора X, v =(jc,,jc2,...,jcr) взаимно независимы, то супериндикатор r-го ранга щ$ = F£ \X/r\) имеет функцию распределения вида ^^^М^ЕИГ"' ^^-П{ео;ИЛ)+Л{со-\), (3.1.55) [/ = 1,2].
122 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП На рис. 3.1.4 приведён график функции F.{r)(a)) распределения собст- венного индикатора Щ' произвольного факторизованного1 г-мерного распределения F% [Х,\) при г = 2. FA®) Рис. 3.1.4 3.1.9) Как можно было заметить, приведённые выше теоремы в основ- ном касались функций распределения супериндикаторов 1-го ранга. Ис- ключение составила лишь теорема 3.1.5, посвященная частному случаю, когда компоненты случайного вектора Х.к взаимно независимы и при этом трансформируемое и трансформирующее распределения одинаковы, и, следовательно, &^ = Щ' = F% \Х,\ Что касается общего случая: <аи=р. (U где Fj [Xtry)*F£ (^/r\)> то Для него получить выражения, аналогичные выражениям (3.1.48) - (3.1.55), не удаётся. Соотношения того же назначения получены в монографии [128], но из- за сложности и малой наглядности здесь они не приводятся. Тем не менее имеется возможность получить наглядное выражение для функции распре- деления супериндикатора r-го ранга путём обобщения соотношений (3.1.48), (3.1.49), основанного на геометрической интерпретации стохасти- ческой ситуации, порождающей понятие супериндикатора. Факторизованным называется распределение системы взаимно независимых слу- чайных величин.
3.1. Методы теории стохастической индикации 123 Действительно, поскольку по определению щ' = F% (*м)>то ^,>)=р(<&<'> < а>)= />Ц Д>)< a>)= P(f{r) e {z{r)}J= =j!:!KA>b (3l56) где i^(r\) ~ область значений вектора Z,y граница которой ZfrAa)) = F~£ (со) определяется решением уравнения F% \z,A=a). Геометрической интерпретацией соотношения (3.1.56) при г = 1 может служить рис. 3.1.5, а при г = 2 - рис.3.1.6. А p(Sl) <(о) Рис. 3.1.5 3.1.2.2. Теоремы о плотностях распределения супериндикаторов Теорема 3.1.6. Если функция распределения F-(z) и плотности распре- деления <pt(z) и <р${у) случайных величин z и у известны, то *«-2Ш-м. (3.1.57) Доказательство. Утверждение теоремы 3.1.6 следует из выражения (3.1.48) с учетом того, что фА (со) = F^ (cd) . A Теорема 3.1.7. Если дополнительная функция распределения R^(y) и плотности распределения <pt(z) и <Р}(у) случайных величин z и у извест- ны, то
124 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП *^-10т' -м- (3.1.58) LFtJ*l>b) FzJ^,Z2)=0) (K)i,nk)}) Доказательство. Утверждение теоремы 3.1.7 следует из выражения (3.1.49) с учетом того, что фй (со) = F'& (со). А Теорема 3.1.8. Если случайные величины у и z распределены одина- ково, то все индексные супериндикаторы распределены равномерно на ин- тервале (ОД], т.е. Фр(х)=ф2(х) => ^|И = ^.И=/7(т;вД), [/ = 1,2]. (3.1.59) Доказательство. Выведем это утверждение как следствие из тео- ремы 3.1.6. Поскольку ф${х) = ф£(х\ то из выражения (3.1.57) следует, что ФЛ1(й>) = 1, юе(0Д]. Вне интервала (0,1] плотность фй (со) доопределяется так:
3.1. Методы теории стохастической индикации 125 ^,И = О, при со<0; О, при со>\. 3.1.10) Выражение (3.1.59) может быть получено и путём дифференци- рования выражения (3.1.50). А Пример 3.1.2. На рис. 3.1.7 приведены графики плотностей распределе- ния фй (со), ф& (со) и фл (со) супериндикаторов сох, 6ог и со0 соответст- венно, построенные в условиях примера 3.1.1. А 4 3 2 1 —-и '^И.^И ч><№) *чН 1 >^ 9л, И . ► МоА со Рис. 3.1.7. Плотности распределения супериндикаторов $,, со2 связаны соотно- шениями, приведёнными в табл. 3.1.2, получающейся из табл. 3.1.1 путём дифференцирования её элементов. Таблица 3.1.2 9*№) я»,И 9л№) Я»,М ^,н к (1-*)]- 9*№) к (*-*>)]"' я»,М
126 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Теорема 3.1.9. Если компоненты случайного вектора Х.х =(jc,,jc2,...,jcr) взаимно независимы, то супериндикатор r-го ранга Щь =F% \Х,А имеет плотность распределения вида In Доказательство. Вьфажение (3.1.60) получается путём дифферен- цирования выражения (3.1.55). ▲ На рис. 3.1.8 приведён гра- фик плотности распределения <р&(г)(со) собственного индика- тора щ' произвольного фак- торизованного r-мерного рас- пределения (рк \Х(Г}). Рис. 3.1.8. 3.1.11) Супериндикаторы r-го ранга щ$=Fk \Х,А и Щ^=ЯЛ №г\) называются собственными индикаторами распределений F% \Х/Г\) и Rk ytir\) соответственно. При этом, как видно из соотношений (3.1.55) и (3.1.60), если компоненты случайного вектора Х.к взаимно независимы, то оба собственных индикатора щ? и т£ подчинены одному и тому же ло- гарифмическому закону распределения r-го порядка. В общем случае рас- пределения случайных величин щ$ и щ{ различны. Исключение состав- ляют собственные индикаторы одномерных распределений. Независимо от характера исходных распределений F~(x) и Я£(х) их собственные инди- каторы супериндикаторы 1-го ранга cbl0 = Ff(jc) и &20 = Я.(х) имеют оди- наковые равномерные распределения на интервале (0, 1] [см. (3.1.50) и (3.1.59)]. А
3.1. Методы теории стохастической индикации 127 3.1.2.3. Обратные теоремы В приложениях ТСИ при решении задач синтеза ЦУТС и ЦНПФС нахо- дят применение (см. п. 4.2) и теоремы, обратные к доказанным выше. При- ведём основные из них [128]. Теорема 3.1.10. Если известны функции распределения F^ (со) и Ft (z) супериндикатора &А и случайной величины z соответственно, то РМ = Ъ,[Ф)1 (3-1.61) Доказательство. Введём обозначения: &x=F.(y); a> = a>(y)=F.{y). (3.1.62) С учётом (3.1.61) из соотношения (3.1.48) следует Согласно определению обратной функции Ft-%[FM=y => F,{y) = F^[Ft{y)]- A Теорема 3.1.11. Если известны функции распределений F&((o) и Rf{y) супериндикатора &2 и случайной величины у соответственно, то *t(z) = Ft\R,{z)\. (3.1.63) Доказательство. Введём обозначения: a>2 = RP(z); o) = a){z) = R^{z). (3.1.64) С учётом (3.1.64) из соотношения (3.1.49) следует *■*, М= ^>(г)] = F^ [й,(г)]= К,{Щ%{г)]}. Согласно определению обратной функции Из доказанных теорем вытекает важное следствие - теорема 3.1.12. Теорема 3.1.12. Если функции распределений F&(cci) и F.(z) или R${y) соответственно супериндикатора щ и случайных величин £ или у известны и при этом F&i{a)) = F&t{a))=coI7{a);0,i)+A{eo-l), [/ = 1,2], (3.1.65) т.е. супериндикатор щ, [ * = 1, 2] распределён равномерно на интервале (0,1], то F,(y)*Ft(z) (3.1.66)
128 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП или Д£(г) = дДг) (3.1.67) Доказательство. Поскольку согласно (3.1.65) F&i{o)) = a), <В€(0Д], [/ = 1,2], то из соотношения (3.1.61) следует (3.1.66), а из (3.1.63) следует (3.1.67). ▲ 3.1.3. КВАНТИЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ СУПЕРИНДИКАТОРОВ Как будет видно из дальнейшего, теоремы п. 3.1.2 служат для обоснова- ния методов решения так называемой прямой задачи оценивания вероят- ностей изучаемых случайных событий. Не менее важной для практики яв- ляется обратная задача оценивания, т.е. задача определения толерантных границ для этих вероятностей, характеризующих точность и надёжность их оценок. Основой методов решения обратной задачи является совокуп- ность теорем о квантилях распределений супериндикаторов. Теорема 3.1.13. Если функции распределений F~(y) и F~(z) случайных величин у и z известны, то 100/7-процентный квантиль cox{rj) распреде- ления F& (со) супериндикатора 6)х имеет следующее выражение: Щ{П)=Ф?(П)]> 176 [0,1]. (3.1.68) Доказательство. По определению щ(п)=Р£{п)- (3.1.69) Согласно лемме 3.1.1 Fti(a) = F,[Ffl{to)] => Fffyj) = Ft\F?(Tl)]. (3-1.70) Из выражений (3.1.69) и (3.1.70) следует (3.1.68). А Теорема 3.1.14. Если дополнительные функции распределений Rp(y) hjR£(z) случайных величин у и £ известны, то 100 ^-процентный квантиль 0)2(tj) распределения F& (со) супериндикатора а>2 имеет следующее выра- жение: ^(//ЬдДдг'У, 17е[0,1]. (3.1.71) Доказательство. По определению ^г(п)=Р^(п). (3.1.72)
3.1. Методы теории стохастической индикации 129 Согласно лемме 3.1.1 ^»=Яг[д:'И] => F^Tj^R^irj)]. (3.1.73) Из соотношений (3.1.72) и (3.1.73) следует (3.1.71). ▲ Пример 3.1.3. На рис. 3.1.9 обозначены квантили сох{г]) и ct)2(rj) одина- кового уровня 7] для распределений F& (со) и FA (а>) соответственно, по- строечные в условиях примера 3.1.1. ▲ Рис. 3.1.9 Поскольку функции распределения F2(z) и R^z) произвольной слу- чайной величины z связаны соотношениями: F^l-R^z); (3.1.74) Frl{n)=R:l(l-n), (3-1.75) то в каждом из равенств (3.1.68) и (3.1.71) трансформируемые законы рас- пределения могут быть заменены на дополнительные. В результате будет получена система соотношений, приведенных в табл. 3.1.3, где выражения для квантилей (ofa) [i = 1, 2] находятся в столбцах порождающих их зако- нов распределения. 3.1.12) При построении квантилей распределений супериндикаторов весьма эффективен графический метод, в основе которого лежат теоремы 3.1.13 и 3.1.14. Ключ к реализации этого метода дан на рис. 3.1.10. А 5 Зак. 3303
130 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП щ(п) a>Av) юМ щ{л) Таблица 3.1.3. >* 1 Z Ft{z) F^irj)] l-F^il-rj)] Fy(y) рА&Ь-ч)] ^[^(1-7)] *>Ы Л,(«) 1-ф?{г1)] i-^к'У F,{y) 1-^[^'(1-17)]| Ф?(ч)] *>00 У Рис. 3.1.10
3.1. Методы теории стохастической индикации 131 Поскольку индексные стохастические индикаторы (супериндикаторы [128]) образуют систему зависимых случайных величин, законы распреде- ления которых связаны равенствами, доказанными выше, то квантили этих распределений также связаны соотношениями, являющимися следствиями из указанных равенств. Выведение этих следствий основывается на рас- смотренных ваше свойствах индексных супериндикаторов и законов их распределений. Здесь оно не проводится, но результаты вывода, представ- ленные в табл. 3.1.4, будут использованы в дальнейшем. Таблица 3.1.4. &&) а>М ЮгЬ) fM FJ{V) l-FJl-77) fM l-F&i{\-tl) f;xM R^ifi>) *£(i-n) **(i-v) ДЙ,И ^(l-»7) <(1-^) Поскольку квантили распределения супериндикатора представляют со- бой функциональные преобразования исходных распределений F-(z) и Fy(y) tCM- (3.1.68) и (3.1.71)], то для каждой из посвященных им теорем существует обратная. Приведём их. Теорема 3.1.15. Если известны функции распределений F& (а)) и Ft(z) случайных величин &х и ъ соответственно, то 100/7 -процентный квантиль yv распределения F- (у) определяется следующим выражением: уч =F:,{rJ)=F.-1[F£(t])\ , qe[0, l] . (3.1.76) Доказательство. На основании леммы 3.1.1 из (3.1.61) следует (3.1.76), т. е. Р>(у)=РА[Ш]=> yn=F^{TjhFt-iF^(rj)\. ▲ Теорема 3.1.16. Если известны функции распределений F& (со) и Rp{y) случайных величин &2 и у соответственно, то 100^-процентный кван- тиль zn распределения F-(z) определяется следующим выражением: z,=Fr4r,)=R:*[F£{l-Tj)l (3.1.77) Доказательство. Поскольку F-"1 (rj) = Rf (l-tj) , то согласно лемме 3.1.1 из (3.1.63) следует (3.1.77), т. е. RtizhF^RM^z^il-nhRAF^l-Tjt A
132 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП 3.1.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СУПЕРИНДИКАТОРОВ В предыдущих пунктах были изучены свойства законов распределения супериндикаторов, которые исчерпывающим образом характеризуют их вероятностные свойства. Однако, как известно, многие практические зада- чи могут быть решены на базе числовых характеристик случайных вели- чин, которые по назначению делятся на два класса: - характеристики положения - математическое ожидание, мода, ме- диана, квантили распределения и т.п.; - характеристики рассеяния - дисперсия, среднее квадратическое от- клонение, размах распределения, интерквантильные разности и т.п. В силу особой практической важности квантилей распределения сто- хастических супериндикаторов они были рассмотрены в отдельном пунк- те. Здесь будут рассмотрены методы определения некоторых из названных числовых характеристик супериндикаторов. 3.1.4.1. Математические ожидания Универсальными выражениями для определения математических ожи- даний супериндикаторов являются интегралы вида (3.1.37), (3.1.38) и (3.1.45), (3.1.46), т.е. для супериндикаторов 1-го ранга Щ^М^ \Ftiy)iF9{y); 4=M&i = ~\Rp{z)dF.{z); для супериндикаторов r-го ранга -» При этом имеют место следующие соотношения (см. п. 3.1.1) Ш1=Ш2; *><'>=*><'>. (3.1.78) (3.1.79) (3.1.80) (3.1.81) Таким образом, если известны трансформируемые законы распределе- ния F.(y), F£(z) или Ff (У(г\)> F£ \Z,r\), то математические ожидания ин- дексных индикаторов могут быть определены соответственно по форму- лам (3.1.78) или (3.1.79). Если же известны законы распределения F {1)(а>),
3.1. Методы теории стохастической индикации 133 [/ = 1,2 ; r = l(l)...] самих супериндикаторов, то задача решается по об- щим формулам, т.е. для супериндикаторов любого ранга l$ = M4,=M[dP]=)(UdF4M* [/ = l,2;r = l(l)...] (3.1.82) О (см. рис. 3.1.9, где Й7, и Ш2 численно равны заштрихованным площадям). Из сравнения выражений (3.1.78), (3.1.79) и (3.1.82) видно, что послед- нее значительно проще, однако для его реализации необходимо знать за- кон распределения F&{r)(o)) супериндикатора щ\ что, в свою очередь, требует выполнения подчас достаточно сложных и громоздких математи- ческих выкладок (см. п. 3.1.2). Поэтому могут оказаться полезными оце- ночные соотношения, которые дают представление о порядке исследуемых величин. Приведём некоторые из них. Известно (неравенство Чебышева), что если случайная величина f не- отрицательная и имеет конечное математическое ожидание f < ©о 9 то при любом т0 > О имеет место неравенство P{f>T0)<—. (3.1.83) Поскольку супериндикаторы щ неотрицательны и всегда 2JJ < ©о, то со- гласно (3.1.83) Э;.>л0Яа,к), [/ = 1,2]. (3.1.84) Из неравенства (3.1.84), в частности, следует: Л4(0.25)<4Щ.; 1 Я^{0.50)<2Щ ; L (3.1.85) Д^(0.75)<1.33й5>. .J Вообще неравенства (3.1.85) являются достаточно грубыми, однако с их помощью можно, зная лишь среднее значение c5t супериндикатора &п оценить порядок значений функции его распределения в точках, интере- сующих исследователя в первую очередь. Начиная с этого абзаца, будем предполагать, что случайные величины z и у являются ограниченными, т.е. существуют такие числа а , b и с , d, что P(a<£<*) = P(c<j><</) = l, (3.1.86) и при этом \а\ , \Ь\ , |с| , |rf|<°o. Поскольку на практике встречаются только такие случаи, то сделанное допущение не сужает сферы приложений при- водимых ниже результатов. Приведём без доказательств (за которыми ад- ресуем читателя к монографии [128]) ряд теорем о математических ожида- ниях стохастических супериндикаторов. Итак, пусть условия (3.1.86) вы- полняются. Тогда имеют место следующие теоремы.
134 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Теорема 3.1.17. Если случайные величины z и у имеют произвольные, но симметричные распределения F-(z) и F~(y) и при этом z = у, то 2^=2^=0.5. (3.1.87) А Следствие 3.1.1. Если распределения F£(z) и F^(y) симметричны, то (z<y) => {щ > 0.5)п(ш2> 0.5) ; (z>y) => (щ < 0.5)п (й72 < 0.5). А 3.1.13) Если распределения F£(z) и F-(y) одинаковы, то независимо от их симметричности ^,=^=0,5. (3.1.89) Равенство (3.1.89) является следствием теорем 3.1.3 и 3.1.8 и дополни- тельных обоснований не требует. А Теорема 3.1.18. Если функция распределения F£(z) случайной величи- ны £ в пределах области [c,d] возможных значений (носителя распреде- ления) случайной величины у выпукла и при этом [c,rf]c \a9b\, то S,>F-(j;). (3.1.90) А Теорема 3.1.19. Если функция распределения F~(z) случайной вели- чины z в пределах области [c,d] возможных значений (носителя распре- деления) случайной величины у вогнута и при этом [c,rf]c [a,b], то m^F-iy). (3.1.91) А Теорема 3.1.20. Если дополнительная функция распределения Rp(y) случайной величины у в пределах области [а, Ь\ возможных значений (но- сителя распределения) случайной величины z выпукла и при этом [a, b]c[c,d], то m2>R9(z). (3.1.92) ▲ Теорема 3.1.21. Если дополнительная функция распределения И${у) случайной величины у в пределах области [a,b] возможных значений (но- сителя распределения) случайной величины ъ вогнута и при этом [a,b]c[c,d], то Щ<Щ{1). (3.1.93) ▲ (3.1.88)
3.1. Методы теории стохастической индикации 135 Следствие 3.1.2. Пусть [а,й]= [c,d]. Тогда: 1) если F£(z) - выпукла, a R^{y) - вогнута, то F^y)<Wx=W2<R-{z); 2) если F-(z) - вогнута, a R^{y) - выпукла, то (3.1.94) (3.1.95) А 3.1.14) Если трансформирующая функция распределения строго (в пре- делах всего носителя распределения) выпукла или вогнута, то все доказан- ные (приведённые) неравенства становятся строгими. А 3.1.15) Если трансформирующая функция распределения в пределах но- сителя трансформируемого распределения линейна, то все доказанные (приведённые) соотношения превращаются в равенства. А 3.1.16) Если трансформируемое распределение вырождено1, то все до- казанные соотношения превращаются в равенства. А 3.1.4.2. Дисперсии Универсальные выражения для определения дисперсий супериндикато- ров имеют вид: (3.1.96) м[Й")!] = И'- v =|:!]Ц,](уи)-й,«]Ц.,W; ] I— -J — оо —ее J где щ' [/ = 1,2; г = l(l)...] вычислены по формулам (3.1.79). При г=1 соотношения (3.1.96) упрощаются: ~%=В&1 = )Щу)-щ]гйР.(у); $=2^ = ][яДг)-й>2]2^£(г), где Щ [/ = 1,2] вычислены по формулам (3.1.78). Если же известны законы распределения F {г) (со), [/ = 1,2 ; г = 1 (l)..J, (О, самих супериндикаторов щ', то задача решается по общим формулам, т.е. для супериндикаторов любого ранга (3.1.97) Вырожденным называется "распределение" неслучайной величины.
136 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП (uf)2 = D^ = 2>[<8fr>]= ){a>-af) V,,>{со), [i = 1,2 ; г = l(l)..J, (3.1.98) О где щ' [/ = 1,2; r = l(l)...] вычислены по формулам (3.1.81). Приведём ряд оценочных соотношений для дисперсий супериндикато- ров, которые могут оказаться полезными для прикидочных расчётов. Поскольку всегда 0 < щ < 1, то со] < Щ и, следовательно, \ (3.1.99) Так как из всех распределений, сосредоточенных на интервале (0,l], наибольшую дисперсию, равную p{l-p), имеет двухточечное распреде- ление Бернулли [45] при р = 0.5, то всегда выполняются неравенства Z>^<^.(l-fi>,.)<0.25; 1 ^<#^)<0.5, [/ = 1,2].} (3.1.100) 3.1.17) Наряду с рассмотренными основными числовыми характеристи- ками супериндикаторов Щг\ [# = 1,2; r = l(l)...] могут найти практиче- ское применение и моменты их распределений более высоких порядков как начальные щ ) у так и центральные Щ ) , [/ = 1,2; r = l(l)...; k = 2(l)... ]. Для ознакомления с определяющими их формулами адресуем читателя к монографии [128]. А 3.1.18) Можно показать [128], что число параметров распределения су- периндикатора равно сумме их чисел для трансформируемого и трансфор- мирующего распределений. Собственные индикаторы распределений со- ставляют исключение из сформулированного правила. Их распределения имеют неизменные числа параметров, определяемые их рангом и свойст- вами трансформирующих распределений. А 3.1.19) В заключение ещё раз прокомментируем семантический аспект данного параграфа, в котором были рассмотрены основы (начала) теории стохастической индикации, призванной служить инструментом вероятно- стного анализа случайных явлений второго порядка (уровня, ступени). В принципе поскольку согласно одному из основных положений материали- стической философии (диалектического материализма) процесс познания действительности бесконечен и, следовательно, на любой период времени знания исследователя содержат элемент неопределённости,, то число сту- пеней (уровней) анализа может неограниченно расти. Действительно, все
3.1. Методы теории стохастической индикации 137 вероятностные модели случайных явлений строятся в предположении, что основные условия эксперимента1 известны. Так, в "элементарной" теории вероятностей [29] - это комплекс М условий "эксперимента", в аксиомати- ческой теории - это пространство U элементарных событий, в матема- тической статистике - это генеральная совокупность. Как известно [29], вероятности случайных событий характеризуют сте- пени объективной возможности их реализации (появления, наступления) в этих условиях (на этом пространстве элементарных событий или на этой генеральной совокупности) и являются по определению неслучайными ве- личинами. Однако, если условия К эксперимента до его проведения неиз- вестны (полностью), то задача определения вероятностей исходов такого эксперимента становится неопределённой. Первым шагом на пути преодо- ления этой неопределённости является применение формулы полной веро- ятности (или полного математического ожидания [78]) в дискретной или непрерывной (интегральной) форме: р(а)=^р{Й)р{а/н) (3.1.101) или Р(Л)= ]p(A/x)dF-{x), (3.1.102) где Р\Н.) - вероятность гипотезы Н. [/ = l(l)w ]; Р\А/ Н.) - условная вероятность случайного события А относительно гипотезы Н. (реализованной - неслучайной); d Fk (х) - вероятность гипотезы (х < х < х + dx); Р\А/Н.) - условная вероятность случайного события А относительно гипотезы (jc < х < х + dx). Нетрудно видеть, что вычисленная по формуле (3.1.101) или (3.1.102) вероятность Р\А) случайного события А представляет собой математиче- ское ожидание ("среднее значение") его условной вероятности Р\А/ Й) или Р[А/х), принимающей соответственно значения РуА/Н.) или Р\А/х) с вероятностями Р\Н§) или dF.(x) [29]. Как известно [29], любой конечный набор числовых характеристик (па- раметров распределения) содержит о случайной величине меньше инфор- мации, нежели закон её распределения. Поэтому исследование закона рас- пределения условной вероятности РуА/Й) или Р\А/х), несомненно, представляет большой практический интерес. Эту задачу, как можно было Следует иметь в виду, что в рамках теории вероятностей все "эксперименты" мыс- ленные, тогда как в рамках математической статистики все эксперименты реальные.
138 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП заметить, и призвана решать теория стохастической индикации. Для этого, как было показано, необходимо знать распределение вероятностей Р\Н.) или dFk(x) гипотез и условные вероятности Р[А/Н.) или Р\А/ х) слу- чайного события А относительно каждой из них. Однако в распределени- ях Р[Н.) или dF~(x) также может содержаться неопределённость (напри- мер, когда они определены статистически или экспертно). Тогда полная вероятность Р\А) случайного события А, в свою очередь, окажется слу- чайной и вновь возникнет задача определения её вероятностных характе- ристик. Эта задача тоже может быть решена в рамках теории стохастиче- ской индикации, но при этом объектом исследования будут уже индексные супериндикаторы второго порядка [см. п. 3.1.1 и (3.1.47)]. Очевидно, что описанная схема может быть неоднократно последова- тельно реализована, однако с каждым шагом будет усложняться как реше- ние задачи, так и содержательная трактовка получаемых результатов. По- этому на данной ступени развития методов теории стохастической инди- кации наиболее эффективен математический аппарат рассмотренных здесь супериндикаторов первого порядка (см. (3.1.4), [126]). А ...приписывать неопределённым по са- мой своей сути величинам какую-то особую точность бесполезно и нечестно, и, каков бы ни был предмет, применение точных формул к этим слишком вольно определён- ным величинам есть не что иное, как обман и пустая трата времени. Н. Винер. Творец и робот 3.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ ОЦЕНИВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННОГО ПРОЦЕССА Как отмечалось, методы теории эффективности целенаправленных процессов (операций) являются инструментом системных дисциплин ("Исследование операций", "Прикладная кибернетика" и т.д.), предна-
3.2. Математическая формулировка задачи оценивания эффективности ЦНП 139 значенным для формализации одного из важнейших этапов системного анализа - этапа оценивания эффективности операции (ЦНП) и качества проводящей её системы (ЦУТС) (см. рис. 1.1.2), поэтому приводимая ниже математическая формулировка задачи оценивания эффективности ЦНП имеет принципиальное значение и призвана обеспечить (и обеспе- чивает) необходимые общность и универсальность рассматриваемой здесь методологии. 3.2.1) Как отмечено в [178] и как подтверждают теория и практика ре- шения оптимизационных задач (а все системные исследования в конечном счёте проводятся с целью поиска оптимальных решений: проектных, орга- низационных, управленческих и т.п.), практически могут быть реализова- ны лишь вычислительные схемы решения "однокритериальных" (одно- компонентных - скалярных) "детерминированных" оптимизационных за- дач, т.е. задач поиска оптимума скалярной детерминированной "критери- альной" функции от детерминированных аргументов (возможно вектор- ных). Все другие оптимизационные процедуры неизбежно содержат в себе элементы субъективизма и произвола, обусловленные формулировкой принципа (критерия) оптимальности. Поэтому весьма актуальными оста- ются так называемые проблемы "скаляризации" и "детерминизации" зада- чи исследования или, точнее, выходных характеристик математической модели объекта исследования (ЦУТС или ЦНПФС), определяющих её ре- шение. В связи со сделанным замечанием следует подчеркнуть, что в рам- ках изложенной в гл. 2 методологии обе указанные проблемы решаются автоматически. А Как было показано в п. 2.3.4, оценивание эффективности операции должно проводиться на двух уровнях, в два этапа, первый из которых за- вершается оцениванием качества её результатов, точнее, формулировкой (формализованным описанием) её цели в виде критерия пригодности GU3, а второй - оцениванием её эффективности по одному из принятых (обос- нованных) критериев GU3 или Оцэ. При этом на первом этапе решается задача скаляризации путём перехода от вектора Г, v к единственному кри- терию Y, v е \yA] , а на втором этапе - задача детерминизации путем пе- рехода от случайного события (Y^e \Y/*\\ ) к его вероятности РДЦ или Рвз. Так обстоит дело на уровне идей. Для материализации этих идей их необходимо формализовать с помощью математических моделей иссле- дуемых объектов (ЦУТС и ЦНПФС) и на основе последних построить ме- тоды и методики, позволяющие решать конкретные практические задачи. Этим целям и призван служить данный параграф.
140 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП 3.2.1. СРЕДНЯЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ ОПЕРАЦИИ Как было показано в п. 2.3, оценивание эффективности ЦНП заключа- ется в определении (вычислении) показателя эффективности РДЦ (Рвз) и его сравнении с требуемым (или оптимальным) значением РТДЦ (Р^) (или РдцТ (Р£?т)1 ). Таким образом, первый этап оценивания эффективности - это её измерение, заключающееся в определении (оценивании) значения Рдц показателя эффективности2. Итак, согласно выражению (2.3.16) P„=P(twe{t{$, (3.2.1) где К3\ - показатель качества результатов операции (в симплексной ка- нонической форме); \YL\ _ область допустимых значений показателя K3v - (см. рис. 2.3.1, 2.3.2). Из (3.2.1) следует, что для вычисления показателя РДЦ эффективности операции должны быть заданы законы распределения случайного вектора К3ч и случайной области {fAj (в общем случае L и {кД }). Универсаль- ной формой первого, как известно, является функция распределения Ff( Ч(Г{Э))^[(И *л)п(& <у2)п(у3<у3)] . (3.2.2) Однако, как будет показано, применительно к рассматриваемой проблеме чаще более удобной оказывается следующая форма интегрального закона распределения: Ф^Г{3))=Р[(У1*у,)п{уг<у2)п{у3<у3)], (3.2.3) которая и используется в дальнейшем. 3.2.2) Если перейти к рассмотрению отрицательного целевого эффекта ("~-.Pi)> то соотношения (3.2.2) и (3.2.3) поменяются местами. Таким обра- зом, распределения F^(y) и ФДг), моделирующие показатель качества результатов операции, отличаются лишь направлением оси Оух в системе координат Оухугуъ. А 1 В дальнейшем для разгрузки текста символ Рвз будет опускаться, но будет подразумеваться. В дальнейшем показатель и принимаемое им значение обозначаются одинаково. Смысл символа конкретизируется контекстом.
3.2. Математическая формулировка задачи оценивания эффективности ЦНП 141 Определением закона распределения фДг) вектора Y (показателя ка- чества результатов операции) завершается процедура построения матема- тической модели ЦНПФС в задаче исследования его эффективности. Од- нако на базе такой модели может быть реализована только разомкнутая схема анализа эффективности операции, основанная лишь на измерении эффектов (результатов операции) без их оценивания. Для замыкания схемы необходимо знать закон распределения области |кЛ| допустимых значений ГЛ показателя K3v результатов операции, свойства и характеристики которой зависят от условий применения ЦУТС, описываемых параметрами В?*. В общем случае с их помощью могут учитываться и условия, создаваемые искусственно (воздействия противни- ка и т.п.). Закон распределения случайной области |кД } может быть задан аналитически лишь в простых случаях, когда она может быть описана ко- нечным множеством случайных параметров. Например, указанная область может представлять собой куб со случайными координатами вершин и длинами ребер или шар со случайными координатами центра и радиусом и т.п. Если ограничения на компоненты вектора YL взаимно независимы, то область \Y^\\ представляет собой параллелепипед (в общем случае п- мерный гиперпараллелепипед) со сторонами, параллельными осям систе- мы координат Оуху2у3, т.е. прямое (декартово) произведение отрезков \yn yl\ , определяющих области допустимых значений yf результатов у. , [/ = 1,2,3]: {%}=[JU^^^ . (3.2.4) При Х=2 соотношение (3.2.4) иллюстрируется рис. 2.3.2. Как было от- мечено (см. {2.7.7}), предположение о независимости ограничений, нала- гаемых на различные эффекты (результаты) операции - компоненты век- тора K3v, как правило, правомерно, поскольку они обусловливаются не связанными между собой факторами1. До сих пор рассматривался самый общий случай предъявления требо- ваний к результатам операции. Применительно к показателям операцион- ных свойств ЦНП эти требования носят односторонний характер. Так, виртуальный целевой эффект у[ должен быть не менее требуемого {ми- нимально допустимого) - у[, виртуальные затраты у2 ресурсов должны быть не выше максимально допустимых - у2 , называемых предельными, Об исключениях говорится в п. 5.2.
142 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП цель операции должна быть достигнута за виртуальное время у3, не пре- вышающее максимально допустимого - у*, называемого директивным временем [130]. 3.2.3) Следует особо подчеркнуть, что односторонность требований к характеристикам операционных свойств ЦНП носит принципиальный ха- рактер и обусловлена спецификой этих свойств. В отличие от любых дру- гих управляемых параметров ЦУТС (включая её ЭТХ) и ЦНПФС, которые для обеспечения требуемых свойств (требуемых качеств) ЦУТС и ЦНПФС должны находиться в определённых пределах (двусторонних), для опера- ционных свойств ЦНП подобных пределов (обусловленных объективной необходимостью) не существует. А если ограничения всё-таки есть, то они обусловлены физическими особенностями этих свойств, но не целями опе- рации. Так, если целевой эффект характеризуется позитивным свойством результата операции (а это всегда так), то "чем его больше - тем лучше". Верхний его предел (если он существует) будет обусловлен возможностя- ми ЦУТС и ЦНПФС, т.е. физическими свойствами показателя ух. Расход ресурсов (всех видов) - это негативное свойство результата операции и, следовательно, "чем его меньше - тем лучше". Нижний его предел (в част- ности, нулевое значение) обусловлен также физическим смыслом ресурсов j>2, j>3, а не целями операции. Если же пойти по пути максимального обобщения, то отрицательный расход ресурсов можно трактовать как их прирост. Так, применительно к операционному времени уъ это означало бы, что цель операции достигнута до её начала (т.е. до t0 = 0). Аналогично бесконечно большие расходы ресурсов могут быть истолкованы как факт невозможности достижения цели операции. А Введём следующие обозначения: d d d Ух =«i/ Уг =«2/Л=«з • Тогда область \YjiA допустимых значений результатов операции (пока- зателей их качества) будет представлять собой октант (в общем случае я-мерный гипероктант) {%}=[г.»~)х(-~Л ]х(-о-,|,] (3.2.5) с вершиной в точке Z/3) -{^хЛгЛъ)* Возможные реализации вектора iL и области |г,1 } приведены на рис. 3.2.1. При #=2 Y(2) = (Ух>Уг)> {^(2>|=Ьи00)х(-00^2], Z{2)=(Zl,Z2), что иллюстрируется рис. 3.2.2.
3.2. Математическая формулировка задачи оценивания эффективности ЦНП 143 «з1л /. / // $— Ъ7-,П—ъ / i / 1г\Уг Ужму*' а * 2 /J Y г|?Г Рис. 3.2.1 Рис. 3.2.2 С учётом сказанного критерий пригодности результатов операции (2.3.13) примет вид СЦР : (Г(3)е {%})«(к(з>^^з>Ь[0>1 * *)п(л < £2)п& ^ £3)1> где согласно (2.3.11) и (2.3.12) Теперь вероятностное описание области \YL \ не представляет трудно- сти, так как оно сводится к определению закона распределения случайного вектора 2,ъу Применительно к рассматриваемой задаче целесообразно использовать две формы интегрального закона распределения следующего вида: Fi(3)(z(3))=P[fo <zt)n(z2 <z2)n(z3 < г,)]; (3.2.9) фф(3У=р[& uZl)n{z2 >z2)n{z3 >z3)]. (3.2.9') Если законы распределения случайных векторов К3> и ^/3)известны>то по формуле полной вероятности (в интегральной форме) вероятность достижения цели операции будет определяться одним из следующих вы- ражений: Шфк5)(^з)К3)Цз))Л3.2.10) РдЦ=Л%Ац])=Л%гА^=\ Ш<^Л)Ц>(3>), (3.2.10')
144 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП d\(YJ=%MJdY(>) ; dY^dyidyidy3. По структуре выражений (3.2.10) видно, что вероятность РДЦ представ- ляет собой математическое ожидание ^среднее" значение) одной из слу- чайных величин: 43)Ц3)Цз>); (3-2.il) ^ЦД>) . (3-2.12) называемых соответственно первым и вторым стохастическими суперин- дикаторами третьего ранга1 (см. п. 3.1 и [128]). 3.2.4) Рассматривая соотношения (3.2.10) как формулы полных вероят- ностей, легко понять, что случайные величины щ3-Ф$ \2,ЪА представ- ляют собой условные вероятности достижения цели операции относи- тельно событий \Zi3x = Z/3J и [Уф = К3\) соответственно <и1<3>=<р^Цз>)=^Йг(г.»г1»*з); Поскольку реализации этих событий предшествует вычисление услов- ных вероятностей, то эти вероятности еще называются апостериорными (послеопытными). Известно, что наиболее информативной исчерпывающей вероятностной характеристикой случайной величины является закон её распределения. Это в полной мере относится и к супериндикаторам щ' и щ'. Как пока- зано в п. 3.1, функция распределения супериндикатора определяется соот- ношением F&w(<»)=P(<b{i)<a>)=p(z{3)e{Y{3)}J= Д dF,Jz{3)), (3.2.13) где Н(з)| - область значений вектора К3\, граница которой Y£A(d) = Ф$х (со) определяется решением уравнения •*>«J-«. (3-2-14) В дальнейшем они часто называются просто индикаторами.
3.2. Математическая формулировка задачи оценивания эффективности ЦНП 145 Пример 3.2.1. Пусть #=1 и при этом Кк* = кФ = ух. Тогда согласно (3.2.14) Rhiy) = a> => у[(а>)=к£{а>) (см. рис.3.2.3,а)) и формула (3.2.13) дает ^■>И = ^И = ^,к,И] • (3-2.15) А Пример 3.2.2. Пусть tf-l и при этом Кк. = кФ = j>2. Тогда, согласно (3.2.14) Fh{y)=a> => ^н=^;'И (см. рис.3.2.3,б)) и формула (3.2.13) дает FMM = FM = FdFy>)] ■ (3-2-16) ▲ Л («S-w. m^itr" а) Рис. 3.2.3 б) 3.2.5) При К>1 решение задачи усложняется и выражений типа (3.2.15) или (3.2.16) в общем случае получить не удается. Однако геометрической интерпретацией области { Y,^ } при tf=2 может служить рис. 3.2.4. А Если закон распределения (3.2.13) известен, то РДЦ=^ = М^=м[4]]=)^Р&М, [i = hll (3.2.17) ' о ' Таким образом, как следует из выражения (3.2.17), вероятность дости- жения цели операции представляет собой математическое ожидание его условной вероятности &f*. В связи с этим вероятность Рдц имеет смысл средней условной вероятности достижения цели операции.
146 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Рис. 3.2.4 Поскольку случайная величина бй£ъ>, [/ = 1,2] неотрицательная, то веро- ятность РДЦ=а)1 численно равна площади заштрихованной на рис. 3.2.5 области [29]. 3.2.6) Поскольку вероятность Рдц вычисляется путём рандомизации ус- ловной вероятности Ф$ \^(з)/ или ®z гш > т,е- е^ взвешенного усредне- ния по всем возможным реализациям условий [значениям вектора Z^ в (3.2.10) или Г(3) В (3.2.10')], то она от этих условий уже не зависит и поэто- му называется безусловной вероятностью, а поскольку она определяется до реализации условий, то она ещё называется априорной (доопытной). А 3.2.7) Поскольку определение закона распределения F% [z^) вектора Z^ требуемых результатов операции является прерогативой суперсисте- мы и функция F^ [Z,3x) часто оказывается неизвестной, то в таких случаях предельно допустимые значения Z^ результатов Г^ операции полагают- d ся детерминированными и заданными, т.е. Z^=Z^. При этом распреде-
3.2. Математическая формулировка задачи оценивания эффективности ЦНП 147 \f*M 1-у ление случайного вектора Z^ оказывается вырожденным1 следующего вида: ^wW=F*„(«i^^)eUnfe)=n^fc-«f)- (з-2-18) Тогда dFtw(z{i))= <p^(z{^dZ(3) = П*у,(г,)*, =№(*, -$ К> и формула (3.2.10) даёт Рдц =PV(3)<Z(3))= = *,w(«f ,«f,гзя)=^(г,я,г2я,г3я). (3.2.19) Таким образом, при детерминированных требованиях к результатам операции достаточно знать лишь закон распределения Ф$ (K3J случайно- го вектора Y^ - показателя качества результатов операции. А 3.2.2. ГАРАНТИРУЕМАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛИ ОПЕРАЦИИ 3.2.8) Из семантики вероятностных характеристик случайных объектов следует, что они представляют собой прогнозные оценки показателей Вырожденным называется закон распределения неслучайной величины.
148 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП различных свойств этих объектов. Так, математическое ожидание и на- чальные моменты распределения случайной величины характеризуют ("априори") положение центра её рассеяния на числовой оси; дисперсия и центральные моменты распределения характеризуют рассеяние возмож- ных значений случайной величины относительно этого центра и т.п. При этом наиболее полной и исчерпывающей априорной характеристикой слу- чайной величины является закон её распределения, учитывающий все её вероятностные свойства в совокупности и во взаимосвязи. Следует обратить внимание на существенное различие прогнозирую- щих свойств и возможностей указанных характеристик. Так, числовые ха- рактеристики (и моменты распределения) случайных величин дают про- гнозы лишь средних результатов будущих массовых опытов, тогда как за- коны их распределений позволяют прогнозировать результаты единичных опытов. Поэтому при наличии закона распределения случайной величины использование лишь числовых характеристик обедняет анализ её свойств и используемую математическую модель исследуемого объекта (явления) [29]. А Итак, если известны законы распределения F {3) (со) и F {3) (со) суперин- дикаторов щ' и щ соответственно (рис. 3.2.5), то могут быть определе- ны ещё два очень важных показателя эффективности операции, называе- мые гарантируемыми вероятностями достижения её цели: \af{r)=R&М=Р^(1-Г); (3.2.20) [a)r2(r)=R^ (у) = F^} (1 - у\ (3.2.20') где у- уровень гарантии {гарантийная вероятность). Поскольку при определении гарантируемой вероятности (оГдц\у) ис- пользуется закон распределения супериндикатора щ' или Щ , то этот по- казатель позволяет оценивать эффективность уникальных (единичных) операций в отличие от вероятности РДЦ9 достаточно полно характери- зующей эффективность лишь массовых операций. В силу естественных аналогий свойств случайных величин щ' и щ (см. п. 3.1) в дальнейшем часто рассматривается лишь один из суперинди- каторов, который при этом конкретизируется контекстом и обозначается через cor '. 3.2.9) При исследовании эффективности операций в условиях неопреде- лённости, вызываемой воздействием случайных факторов, полное её уст- ранение невозможно в принципе. Поэтому в любом решении о качестве ре- зультатов ЦНП будет присутствовать элемент неопределённости (недосто-
3.2. Математическая формулировка задачи оценивания эффективности ЦНП 149 верности), т.е. непредсказуемого несоответствия их действительному уровню. Если операция будет повторяться многократно, то эти несоответ- ствия будут "в среднем" сглаживаться. Однако при немногократном и осо- бенно при одноразовом применении ЦУТС отклонения показателей щ\ щ эффективности ЦНПФС от их среднего значения РДЦ могут оказаться существенными, и тогда надо считаться с возможностью появления не- ожиданностей в каждом отдельном случае. А 3.2.10) Как видно из рис. 3.2.5, гарантируемая вероятность (огдц\у) достижения цели операции есть невозрастающая функция аргумента у, т.е. чем выше уровень ^гарантии, тем ниже гарантируемое на этом уровне значение (одц\у) условной вероятности достижения цели операции. По- этому в общем случае гарантируемая вероятность (одц{у) значительно ни- же средней вероятности Рдц. Отклонение от этого правила может возник- нуть лишь в случаях, когда уровень гарантии ниже средней вероятности Рдц (т.е. когда У<РДЦ). Поэтому при исследовании эффективности уни- кальных ЦНП следует "не пугаться" малых значений согдц\у) и помнить, что основным назначением этого показателя является сравнительный ана- лиз и оптимизация операций (ЦНПФС и проводящих их ЦУТС), а не абсо- лютное оценивание их эффективности. А 3.2.11) В определении показателя эффективности операции (огдц\у) фи- гурируют две вероятности: гарантируемая - сог и гарантийная - у Для уяснения их различия представляется целесообразным дать их частотные трактовки. Поскольку соДцУу) — это наименьшее (с вероятностью у) из значений ус- ловной вероятности dr"'=Ф$ \Z,A, принимаемых ею при фиксации ус- ловий применения ЦУТС, т.е. при фиксации значения Z^ вектора Z,,, то (одцху) имеет смысл минимально возможной (с вероятностью $ доли реа- лизации условий применения ЦУТС, в которых цель операции достигается с вероятностью Sr' > 0)дц(у). В свою очередь, при многократной реализации операции гарантийная вероятность у приближенно равна доле проведённых операций, в которых условная вероятность taff (j - номер операции) достижения цели опера- ции удовлетворяет неравенству or' > содц(у) (см. п. 3.4, 3.5). Для лучшего уяснения сказанного следует ознакомиться с п. 3.4.2 и рис. 3.4.3, 3.4.4. А
150 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦЦП 3.2.12) Напомним, что сокращение размерностей nk, \k^ 1,2,3] компо- нент Yr\ и Zr\ векторов L и Z, х - показателей результатов операции и требований к ним л, = п2 = пъ = 1 имело целью лишь повысить нагляд- ность и упростить изложение, а следовательно, и понимание логических построений. С формальной же точки зрения все сказанное справедливо для любых nk и все элементы рассматриваемых моделей легко обобщаются на случай иЛ>1, [* = 1,2,3]. А 3.2.13) Если требования Z/^, предъявляемые к результатам Y,3. опера- ции, детерминированные (неслучайные), т.е. вектор Z3v имеет вырожден- ное распределение ^W-^W-ft^b-^). где Z^L =(z,y7,zf ,z?) - заданное предельно допустимое значение вектора К3\, то, как следует из определений (3.2.11) и (3.2.12), супериндикаторы (з) (з) (0\' и щ' становятся неслучайными: их распределения оказываются вырожденными (см. рис. 3.2.6): F^{a))=F&M = A(a)-G)r) 1-у v Рис. 3.2.6
3.2. Математическая формулировка задачи оценивания эффективности ЦНП 151 и, следовательно, Как известно, у вырожденного распределения квантили всех уровней равны заданному значению "случайной" величины, поэтому Таким образом, при детерминированных требованиях к результатам операции все показатели её эффективности равны между собой при любом уровне у гарантии, т.е. Рт = ^ = ^-<4f(rW М-«г, (3-2.21) где о)г - гарантированное значение вероятности достижения цели. Все сказанное в (3.2.13) применительно к n=N=3 справедливо для про- извольного п< °°. А 3.3. МЕТОДЫ СВЁРТЫВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА РЕЗУЛЬТАТОВ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ 3.3.1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА Представляется достаточно очевидным, что качество ни одного сколь- ко-нибудь сложного объекта не может быть охарактеризовано лишь одним свойством, и, следовательно, показатель качества такого объекта есть век- тор (см. п. 2.2.1). Сказанное в полной мере относится к таким действитель- но сложным объектам, как ЦУТС и ЦНПФС. При этом, как было показано, показатель качества результатов ЦНП включает в себя не менее трех ком- понент (симплексная каноническая форма). Понятно, что в таких условиях при сравнительном оценивании качества различных объектов возможно возникновение противоречий из-за неоднозначности ситуации принятия решения, поскольку по одним свойствам более качественным может ока- заться один объект, а по другим - другой. Задачи принятия решений в по- добных ситуациях принято называть "многокритериальными" [177, 178]. 3.3.1) Используемый термин ("многокритериальная задача") нельзя счи- тать удачным, поскольку в нём под критериями понимаются показатели отдельных (единичных) свойств объекта. Что касается собственно крите- риев выработки решений, то они в рамках указанных задач вообще никак не называются. Подобная терминология приводит к смешению понятий и затрудняет как понимание сущности проблемы, так и её формулировку и решение. Поэтому семантически правильнее указанные задачи называть
152 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП "многокомпонентными" или, ещё лучше, "задачами с векторными пока- зателями качества" исследуемых объектов (решений)" (см. (2.2.1), (2.2.4), {2.7.2}, {2.7.4}). Как нам представляется, других задач практически не существует, так как качество сложного объекта одним показателем (скаляром) описать нельзя. Указанная ситуация и порождает проблему скаляризации, о которой говорилось в (3.2.1). А Понятно, что из-за неоднозначности формулировки многокомпонент- ных задач их решения оказываются также неоднозначными. Это обстоя- тельство без введения дополнительных условий и ограничений (как на са- ми показатели качества исследуемого объекта, так и на характер взаимо- связи этих показателей) делает задачу принятия решения (оптимального (3.2.1)) некорректной (неразрешимой). Поэтому все предлагаемые методы решения таких задач посвящены поискам компромиссных решений путём построения так называемых "обобщённых показателей" качества, называе- мых ещё "целевыми" или "критериальными" функциями (см. п. 2.4). Как отмечалось в п. 2.4, обобщённые показатели представляют собой различные функции от частных (единичных) показателей. Вид этих функ- ций (как правило, постулируемый без достаточных обоснований) и опре- деляет дополнительные условия, позволяющие свести задачу с векторным оптимизируемым показателем к одной или нескольким последовательно решаемым задачам, каждая из которых имеет скалярный оптимизируемый показатель качества объекта (решения). Для указанных методов использу- ются названия, отражающие заложенные в них принципы поиска компро- миссных решений: "Метод главной компоненты" [26], "Метод компро- миссов", "Метод последовательных уступок", "Лексикографический ме- тод" [134] и т.п. 3.3.2) Заметим, что ни один из перечисленных методов не даёт доста- точно обоснованных решений и, что самое главное, во всех этих методах задача решается в детерминированной постановке, мало соответствующей реальным практическим ситуациям. В связи с этим возникает отмеченная в (3.2.1) проблема обоснованной детерминизации. Как отмечалось в п. 2.4, для учёта случайности (реально всегда сущест- вующей) аргументов критериальных функций рассматриваются квазирегу- лярные модели, в рамках которых в этих функциях фигурируют математи- ческие ожидания их аргументов. Однако при этом, несмотря на кажущийся учет неопределённости (случайности) факторов, влияющих на исследуе- мый объект (ЦУТС, ЦНПФС), модель остаётся детерминированной. Не- достатки таких моделей прокомментированы в (2.4.5) - (2.4.14). ▲ В различных источниках предлагаются различные подходы к свёртыва- нию частных показателей качества в обобщённые, причём часто все по- добные подходы подвергаются аргументированной критике [26, 84]. Тем
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 153 не менее они получили распространение на практике и поэтому заслужи- вают обсуждения. Все способы свёртывания можно "условно" разбить на четыре класса [84]. 3.3.1.1. Формирование критериальной функции качественного типа Под "качественной целевой функцией" понимается функция, прини- мающая лишь одно из двух значений {0,1} (см. п. 2.2.3). При её определе- нии все результаты операции (все возможные значения показателя их ка- чества), приводящие к достижению её цели, считаются одинаково пригод- ными, а все результаты, не приводящие к достижению цели операции, счи- таются одинаково непригодными. Свёртывание единичных показателей качества результатов операции в обобщённый осуществляется путем разбиения множеств значений показа- телей единичных (частных) свойств на подмножества допустимых и недо- пустимых их значений. С этой целью назначаются некоторые числа zn [j = l(l)/f], и допустимыми считаются лишь значения yn [i = l(l)#i] пока- зателей, удовлетворяющие условиям (отношениям порядка) Л*г, , [/ = 1(1)л], (3.3.1) d где конкретный вид отношений ^={>,>,<,<} определяется физической сущностью показателя у. и его предельно допустимого значения zr При этом мультипликативная критериальная функция принимает вид Wp = tlA(y?-z?)> (3-3.2) 1=1 где yf, Z? - приведенные значения переменных у., zt, преобразующие отношения ^ к единому виду >. Аналогично может быть определена и критериальная функция парамет- ров Wn=f[n(x.;x'j,x';), (3.3.3) 7=1 где [jCy, jcJ J - множество допустимых значений параметра х.. 3.3.3) В работе [84] описанный подход назван "способом формирования цели качественного типа". Данный термин представляется весьма неудач- ным, поскольку из него следует, что, с одной стороны, значение критери- альной функции отождествляется с целью операции [84], а с другой - что
154 Глава 5. Методы оценивания эффективности ЦНП существуют "цели количественного типа". Однако, как было показано в п. 2.3.2, формулировка цели операции носит всегда качественный характер [см.(2.3.3), (2.3.4)], а степень (мера) её достижения - количественный ха- рактер. А 3.3.4) Данный мультипликативный способ формирования критериаль- ной функции (3.3.2) или (3.3.3) обладает большой семантической (смысло- вой) наглядностью и понятностью для ЛПР. Однако детерминированность его формулировки и сложность определения граничных значений zi9 [i = l(l)n] и хр jcJ, [y = l(l)iw] показателей у. и х. делают реализую- щую его процедуру достаточно противоречивой [84]. А 3.3.1.2. Логическое свёртывание Такое название получили методы, реализуемые в предположении, что сами показатели w. единичных свойств объекта (ЦУТС, ЦНПФС) носят "качественный" характер, т.е. принимают лишь одно из двух значений {ОД }. В этом случае их свёртывание производится по аналогии с логиче- скими операциями. Так, если для достижения цели операции все её результаты должны быть качественными (т.е. показатели wt всех её результатов должны быть равны 1), то мультипликативная критериальная функция называется конъюнкцией и имеет вид W^flw,. (3.3.4) Если же для достижения цели операции достаточно хотя бы одного ка- чественного результата, то аддитивная критериальная функция называется дизъюнкцией и имеет вид Wp = l-f[{\-Wi). (3.3.41) 1=1 3.3.5) Следует обратить внимание, что, строго говоря, цитированные термины [84] неточны, так как "конъюнкцией" и "дизъюнкцией" называ- ются логические операции над высказываниями и предикатами [типа (3.3.1)], а не над значениями их истинности. Об этом свидетельствует и фигурирующий в (3.3.4) и (3.3.4') оператор JJ произведения, а не опера- тор п пересечения (конъюнкции). А 3.3.6) Как было показано в п. 3.1, значение истинности высказывания имеет смысл его условной (апостериорной) вероятности. Поэтому крите-
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 155 риальные функции вида (3.3.2), (3.3.3) и (3.3.4), (3.3.4*) можно трактовать как условные вероятности достижения цели операции при различных её формулировках. Так, если ввести понятие "частной цели" операции1, под которой понимать выполнение i-го условия у? > zj7, то формально при критериальных функциях вида (3.3.2), (3.3.3) и (3.3.4) цель операции трак- туется как пересечение (булево произведение) её "частных целей", а при критериальной функции вида (3.3.4') - как их объединение (булева сумма) [40, 84]. А 3.3.7) С семантической точки зрения для более осмысленного формули- рования цели операции и более содержательного определения критериаль- ной функции представляется целесообразным избегать показателей и>.е [ОД] и заменять их индикаторами А (у/7 - z/7)^ [ОД], где yf, zf - чи- словые переменные. Другими словами, вместо функции (3.3.4) рекоменду- ется пользоваться функцией (3.3.2) или (3.3.3). При этом формулы (3.3.4) и (3.3.41) соответственно примут вид: ^n^fe7-*/7); (3-3.5) #=1 ^l-ntl-^U77-*/7)]. (3-3.5') 1=1 А 3.3.8) Поскольку при использовании критериальной функции (3.3.5') допускается достижение хотя бы одной "частной цели" операции, то доста- точно содержательным её обобщением могла бы явиться аддитивная кри- териальная функция вида Wp=±±A{y?-zf1). (3.3.6) Легко заметить, что функция (3.3.6) численно равна доле достигнутых "частных целей" операции от их общего числа я. Если "частные цели" операции не равнозначны (не равноважны) и для них определены весовые коэффициенты (коэффициенты важности) лг, , [0 <Kt < 1, [i = l(l)/i], ^/rf. = 1], то критериальная функция (3.3.6) примет /=1 вид Wp = t^{yf-z?). (3-3.7) /=1 Напомним, что в рамках реализуемой здесь методологии каждая операция имеет одну цель.
156 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Обратим внимание, что выражения (3.3.6) и (3.3.7) могут трактоваться как формулы полных вероятностей достижения цели операции. При этом роль вероятностей гипотез выполняют индикаторы Л [yf7 - zf), [/ = l(l)n] , а роль условных вероятностей - весовые коэффициенты — в п (3.3.6) и к. , [j = l(l)ii] в (3.3.7). Вместе с тем следует подчеркнуть, что поскольку в рамках критериальных функций (3.3.6) и (3.3.7) достижения частных целей предполагаются несовместными, то тем самым не учиты- ваются возможные кумулятивные эффекты, получаемые в ходе операции при совместном достижении различных комбинаций (совокупностей) тре- буемых частных эффектов. ▲ 3.3.1.3. Обобщенное логическое свёртывание В качестве другого (по сравнению с (3.3.8)) обобщения "логических" критериальных функций рассматриваются следующие соотношения: Wp=min{Kxwx,K2w2,...,Knyi>n}\ (3.3.8) Wp = max {к, wx, K2w2,...,Knwn). (3.3.9) В выражениях (3.3.8) и (3.3.9) переменные wn [/ = 1 (l)w] могут быть как количественными, так и качественными. Однако в первом случае не учитываются предъявляемые к ним требования w]p, [ i = 1 (l)#i ]. Нетрудно понять, что если все w.€ [ОД] и к. =1, [i = l(l)n], то вы- ражения (3.3.8) и (3.3.9) превращаются в (3.3.4) и (3.3.4') соответственно. 3.3.1.4. Линейное свёртывание При этом способе аддитивную критериальную функцию представляют в виде линейной комбинации функций от показателей wl9 [i = 1 (l)/i ] ча- стных свойств объекта (результатов ЦНПФС, параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС): wp = t*i/M > (З.З.Ю) называемой сепарабельной критериальной функцией. В зависимости от содержания (физического смысла) показателей и>., [j = l(l)#i] на коэффициенты к. и функции /(и>.) могут накладываться
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 157 различные ограничения. Например, к. >0 , [i = l(l)/i] или 0</г/<1 , [i = l(l)/i] и £к.=1 ;/,(*>,)=*, и т.п. (см. п. 2.4). Иногда данный способ свёртывания называют "экономическим". Это бывает в случаях, когда в качестве коэффициентов к. фигурируют цены на товар, а функция Wp приобретает смысл суммарной прибыли [84]. В заключение отметим, что, несмотря на достаточную необоснован- ность и искусственность рассмотренных способов свёртывания, обуслов- ленных стремлением к простоте аналитических свойств получаемых кри- териальных функций, их применение связано со значительными трудно- стями как семантического, так и технического характера [84]. 3.3.9) Рассмотренные способы свёртывания показателей частных свойств объектов приводили к обобщённым скалярным, детерминирован- ным критериальным функциям, различающимся как формулировками цели операции, так и обусловленной этим структурой их математических выра- жений. При этом фигурирующие в них весовые коэффициенты призваны отражать относительные "важности" отдельных частных (единичных) свойств результатов операции для достижения её цели. Определение весо- вых коэффициентов, производимое на балльных шкалах [112], представля- ет собой достаточно сложную (методологически) задачу, решение которой в значительной мере подвержено влиянию субъективных факторов. По- скольку ранжирование свойств на порядковой шкале [112] гораздо проще их "взвешивания", то широкое применение находят методы последова- тельного (пошагового) решения оптимизационных задач, в которых на ка- ждом шаге оптимизируется лишь одно свойство объекта, считающееся на этом шаге наиболее важным, а свойства "высших рангов" поддерживаются на заданном уровне (в заданных диапазонах). Понятно, что при таком под- ходе оптимизация каждого из свойств осуществляется за счёт свойств бо- лее "низких рангов". Этим обусловлены и названия соответствующих ме- тодов (см. (3.3.1), (3.3.2)). Из сущности этих методов (которые можно на- звать "циклическими" или "каскадными") следует, что в них как таковое свёртывание показателей частных свойств заменяется последовательным (циклическим, каскадным) синтезом. А 3.3.2. МЕТОД ГЛАВНОЙ КОМПОНЕНТЫ Данный метод [26, 112] представляет собой частную и наиболее про- стую разновидность "каскадного метода". Здесь он выделен для более на- глядной иллюстрации сущности подобных методов.
158 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Пусть wn [i = l(l)ii] - показатель 1-го эффекта (результата) опера- ции. Тогда в детерминированной модели w. = yn [i = l(l)/f ]; в квазире- гулярной модели w.-yn [j = 1 (l)n ] ; в стохастической модели w. =/>(j>^£.). И пусть главным из всех является показатель н>,, т.е. операция считается успешной (пригодной для реализации), если пока- затель и>, достигает требуемого уровня [максимального (минимально- го) или не менее (не более) заданного], а остальные показатели н>., [i = l(l)#i] удовлетворяют некоторой системе ограничений (т.е. крите- рию пригодности): г \опт WitWi,w"\ [i = 2(l )n; wnw"e (- 00,00) ]# При такой постановке задачи все решения, не удовлетворяющие соот- ношениям (3.3.11), отбрасываются как неконкурентоспособные. Нетрудно заметить, что соотношения (3.3.11) реализуют критерий оп- тимальности при л0 = 1, т.е. когда оптимизируется одно качество (свойст- во) результата операции, а остальные свойства удовлетворяют критерию пригодности. Таким образом, "метод главной компоненты" следует из рас- смотренной выше "каскадной" формулировки задачи как её частный слу- чай (см. (2.2.1), <2.2.2». 3.3.10) Описанный подход не лишён серьёзных недостатков, как, впро- чем, и другие рассмотренные в п. 3.3.1 способы свёртывания показателей частных свойств, поскольку в нём не учитывается их возможная взаимная зависимость, с одной стороны, и практическая сложность выделения глав- ной компоненты - с другой. Кроме того, независимо от конкретного вида показателей wn [i = l(l)/i] подход является принципиально детермини- рованным. А 3.3.11) Применение метода главной компоненты обычно аргументиру- ется сложностью обоснования обобщённого показателя качества результа- тов операции и отыскания с его помощью компромиссного решения. Од- нако несомненные сложности создаёт и большая размерность п векторов Y.k и Z/v. Причём эти сложности не только (и даже не столько) техниче- ского, а в большей степени эвристического характера, так как при больших п задача (модель операции) становится труднообозримой и плохо подда- ётся осмыслению и анализу. А (3.3.11)
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 159 3.3.3. МЕТОД ВЕДУЩИХ КОМПОНЕНТ При больших размерностях п векторов К, и Z/v непосредственное использование формулы (3.2.9) или (3.2.10) становится затруднительным. Как было показано в п. 3.3.1, для преодоления возникающих трудностей используются различные методы свёртывания показателей yn [ i = 1 (l)n ] частных свойств результатов операции в обобщённые. При этом в зависи- мости от желания (произвола) исследователя показателям w. присваива- ются различные свойства, описываемые количественно или качественно, что делает саму формулировку задачи оценивания эффективности опера- ции неоднозначной. Всюду в дальнейшем (как и ранее) показатели виртуального (У,Л и требуемого (Z, О качества результатов операции рассматриваются как чи- словые векторы, включающие в себя три группы компонент. Как было от- мечено в п. 2.3.2, показатели yn [i = l(l)/i] качества частных (единич- ных) результатов операции могут свёртываться в обобщённые показатели операционных свойств ЦНП - "аспектов". Однако такое свёртывание допустимо лишь внутри группы компонент, относящихся к одному, обще- му для всей группы аспекту. Реализация этого метода часто позволяет со- кратить размерность п вектора Y, к (а следовательно, и вектора Z, ^) до трёх и привести его к симплексной канонической форме (см. п. 2.3.2). Тем не менее и в этом случае исследование эффективности ЦНПФС часто на- талкивается на некоторые технические и вычислительные трудности. В значительной мере преодолеть трудности позволяет метод ведущих компонент. Раскроем его сущность. Прежде всего подчеркнём, что в рамках этого метода ни одна из компо- нент вектора Y. v (показателя качества результатов операции) не считается главнее остальных, поскольку в соответствии с требованиями комплексно- го подхода вектор Y, v включает в себя лишь показатели результатов опе- рации, существенных для оценивания её эффективности в равной мере. Вместо главной выделяются ведущие компоненты вектора Y, v. 3.3.12) Так, например, в наступательных операциях ведущая компонен- та вектора Гм - показатель наносимого противнику ущерба, в оборони- тельных операциях - показатель предотвращённого ущерба, в народнохо- зяйственных операциях - показатель выпуска продукта, в экономических операциях - показатель дохода (прибыли), в оперативных ЦНП - время, потребное для достижения цели операции, и т.п. ▲
160 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Определение 3.3.1. Ведущими называются компоненты F/n, показа- теля Y, v качества результатов операции, которые наиболее полно отра- жают физическую сущность её цели. А Остальные компоненты Y?*\ вектора L называются ведомыми. На ведомые компоненты априори накладываются ограничения, и в дальней- шем анализе они в явном виде не фигурируют, но участвуют через пара- метры законов их распределений. 3.3.13) Следует подчеркнуть, что в соответствии с рассматриваемой по- становкой задачи исследования эффективности операции ограничения, на- лагаемые на ведомые компоненты Y,^ вектора К», задаются ведомыми компонентами Zf ~ вектора Z,v требований к результатам (к их качеству) операции, так что в отличие от задач математического программирования и метода главной компоненты здесь ограничения стохастические (случай- ные). ▲ Пусть, например, ведущие компоненты вектора F v образуют вектор КЛч, а ведомые - вектор КЛч. Тогда интегральный закон апостериорного (условного)распределения случайного вектора F/,v, относительно события2 будет определяться соотношением где ^^ = %,г,^уУ'.,)=^К^К->^) (3-3.13) - условный интегральный закон распределения случайного вектора Yf* относительно события3 1 г» В рамках конкретного исследования. 2 При условии его наступления. Когда оно не случайно, а достоверно.
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 161 3.3.14) Легко заметить, что соотношение (3.3.12) реализует формулу полной вероятности в интегральной форме, где dF^Z") - P(Z" = Z")= Р{Н2.) ; ФггАГ;Г)=р{лг/нг)АЙ^) ; Точка с запятой в равенстве (3.3.13) символизирует, что в этом выра- жении вектор Y,~ играет роль параметра, а не аргумента, так что функции (3.3.12) и (3.3.13) должны обладать всеми свойствами функций распреде- ления [с учетом их определений (3.2.3)]. Напомним, что согласно используемой здесь символике [127, 169] d Ру1/у1(У\>'Уг)=Р(У1^У\/У1=Уг)>' Рк7Н{Ух;Уг)=Р{у^Уг/ Уг^Уг); Ру1±у,{у<;Уг)=Р{у1 ^ Уг /Уг * Уг)' Поскольку в определении функций фДк) участвуют отношения <, > двух типов, то в обозначении условного закона распределения &ripft'>Y") используется символ ±. ▲ 3.3.15) Выражение (3.3.12) получено на основе соотношения (3.2.10), т.е. применительно к комплексно-симплексной (К-С) схеме исследования эффективности операции (см. п. 3.4.3, [128]). Понятно, что аналогичное (3.3.12) выражение может быть получено и на основе соотношения (3.2.107), т.е. применительно к симплексно-комплексной (С-К) схеме ис- следования. В этом случае подынтегральная функция будет определяться равенством и будет представлять собой условный интегральный закон распределения случайного вектора Z',« относительно события H-\ff~^Z?*A-Hz. Следует обратить внимание на различие отношений в (3.3.13) и (3.3.14). ▲ 3.3.16) В дальнейшем в основном рассматривается К-С-схема исследо- вания эффективности операций. В качестве упражнения рекомендуем чи- тателю проанализировать и С-К-схему. ▲ 6 Зак. 3303
162 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Если закон распределения ведущих компонент УЛ* показателя L ка- чества результатов операции известен, то априорная вероятность достиже- ния её цели будет определяться равенством ^=р{К'гЛ'))= ]••• ]^ЖМ' fcO <3-3-15) или Frm = J^ = M&W =м[а>{п')]= )<odF&M, (3.3.16) О а гарантируемая вероятность достижения цели операции - равенством <г =^(1-у) = ^(у)- (3-3.17) Здесь &'=d>^ = 0WH(z'); (п) F^)^P{d)'<(o') = p(z^{Y%)= l{...JdF,,(Z% (3.3.18) где {F'}^ - область значений вектора У' соответствующая значению (о\ граница которой Y/^(a/) = 0f}/н(а/) определяется решением уравнения (см.п.З.2.1) Ф^^'^со'. 3.3.17) Если требуемые (предельно допустимые) значения ведомых d компонент детерминированы и заданы, т.е. Z^=Z^Jl, то ^Ы=П^ = П^(<-*Г)=> dF, (z;.})=f[S(z:-zr) и формула (3.3.12) примет вид Ф (Г)-Ф (i" .^я)-*'<->Ц?;2<^ G319^ где jfr«(fo*Z$). Если, кроме того, заданы и требуемые значения ведущих компонент, ^, W-n^w-ft^ fe-*;77) => ^,(^))=п^;-г;я) и согласно соотношению (3.3.15)
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 163 Если ведущая компонента одна, т.е. я' = 1, то выражения (3.3.12), (3.3.19) и (3.3.20) соответственно примут вид f^_t)\ (л-1>/ ¥(«-i) = № > у г у-> у i-x > Ум >•»> у,); Алг /ллг луг /»лг /»>г ллг\ & („_l) — \^1 9 Z2 f»f Zi_x 9 Zi+l y*9 Z„ J 9 bM=*^jyt*tii=y \l{::\; (3.3.22) РдЦ = р(у'^п)=Ф//н(г'п)= . . Ф( {z'n;Z"") *(-o Пусть вектор К» задан в симплексной канонической форме KKv = F,3v и при этом ведущая компонента ух. Тогда формулы (3.3.21), (3.3.22) и (3.3.23) соответственно примут следующий вид: со оо ф. (y;z19Z<s) *A/-W- J J p (7 r \ dF^>Z3), (3.3.24) где £«[(& **,)n(&££,)]; Ф'П/Н{У) = Ф^7Л^^)= <? ( , , (3.3.25) где H-[(y2<z?)n(y3<z?)]; /^ = р(й>г,я)=1гЛ/„(г,я)= -*>.гкМ^)- ^>z?) ■ (3.3.2а, Поскольку распределение (3.3.24) одномерно и при этом ф.Ух/н{у)=Р{у^у/н)=щ1/И{у),
164 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП то согласно данным п. 3.1 и с учетом обозначения R-x/H(y)=Rh(y) фор- мулы (3.2.10), (3.2.10'), (3.2.11), (3.2.12), (3.2.15), (3.2.16), (3.2.17), (3.2.20), (3.2.20') соответственно примут следующие выражения: р;„=/>&>£)= где \Rh{z)dF.x{z); (3.3.27) foGOrfF^M, (3-3.271) Rhb>)=Rh/Hiy); Fyiiy)=Fh/H{y)=l-R}x/H{y); Fa>)=*>:>)J,fi;e(0,l|; F^(<o)= Fh[Frl(a>)],a>e (0,1],• Р;ц=Щ = Му=М[сЬЛ=)а><1Ру{<о), (/ = 1,2); (3.3.32) 0 \<»f(r)=**> W=Fj(i- r); (з.з.зз) (3.3.28) (3.3.29) (3.3.30) (3.3.31) <M= tf(r) = q(r)=FJ(l-r). (3.3.33') A Рекомендуем читателю в качестве упражнения вывести аналогичные формулы для случаев, когда ведущими компонентами являются у2 или j>3 ] (см. пример 3.2.2). 3.3.18) Следует обратить внимание, что вероятности достижения цели операции, определяемые соответственно соотношениями (3.2.10) и (3.3.15), (3.2.19) и (3.3.26), (3.2.20) и (3.3.33), численно не равны. При этом, поскольку в методе ведущих компонент эффективность ЦНП исследуется при условии, что по ведомым компонентам цель операции уже достигнута (в среднем), то получаемые в рамках этого метода оценки эффективности операции представляют собой "потенциальные" условные вероятности достижения её цели и, следовательно, принимают более высокие, чем пол- ные его вероятности значения. Это обстоятельство необходимо учитывать при абсолютном оценивании эффективности операции (т.е. при сравнении 1 Исследованию специального случая, когда ведущей компонентой является уъ, посвящена монография [130].
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 165 РДЦ с 1 ). Однако на решении задач её анализа и оптимального синтеза ЦНПФС это не отражается, поскольку все вероятностные характеристики (параметры распределения) ведомых компонент ГЛх и Zf ,v векторов F/v и Z/v входят в выражения для показателей Р'дц, ф^ (^) "потенци- альной" эффективности ЦНПФС. А 3.3.19) Если требования, предъявляемые к результатам (к их ведущим компонентам) F/* операции детерминированные (неслучайные), т.е. ^Ц^,то(см.<ЗЗЛ2» РдЦ=Ц = 0)'дгц(Г)=0)'г9 (/ = 1,2 ;7e [0,l]). (3.3.34) А 3.3.4. ЭФФЕКТ ПОГЛОЩЕНИЯ Как было показано, в общем случае вероятность достижения цели опе- рации в симплексной канонической форме определяется соотношением Рдц =Р%)Щ3^Р[{у1 >£,)n(j>2 <z2)n{y3 <z3)]. (3.3.35) При этом, поскольку для получения эффекта j>, требуются ресурсы у2, и время j>3, то компоненты вектора Е3\ связаны между собой очевидными соотношениями *.=*&»&)»• (3-3-36) y3=siyi;yi), (3.3.37) называемыми операционным функционалом (см. п.5.3). До сих пор предполагалось , что векторы Гм и Z/ * взаимно независи- мы. В действительности, как правило, так оно и есть. Однако в так назы- ваемых "сплочённых операционных комплексах" (см. п. 2.6.2) все их эле- менты "стремятся" к достижению одной и той же цели. При этом требова- ния к некоторым результатам ЦНП заранее обусловлены его технологией, возможностями ЦУТС и условиями проведения операции и заведомо удовлетворяются. В таких случаях достижение цели операции по некото- рым отдельным её результатам или "аспектам" оказывается достоверным фактом, а соответствующий операнд в критерии пригодности результатов операции "исчезает", поглощается остальными операндами. В результате Интуитивно, согласно здравому смыслу.
166 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП число п или К компонент показателя Y, » или F,Kv качества результатов операции сокращается, т.е. происходит их "автоматическое" свёртывание, и задача исследования эффективности ЦНП упрощается. Для большей на- глядности проиллюстрируем проявление эффекта поглощения на ряде примеров. Пример 3.3.1. Пусть ЦНП организован так, что получаемый в его ре- зультате целевой эффект всегда равен требуемому. Это означает, что орга- низатор ЦНП (суперсистема) довольствуется получаемым эффектом, т.е. zJ = у{. Формально это равносильно выполнению условия [ух = £,)~ U. В этом случае критерий пригодности результатов операции (ее формализо- ванная цель) принимает вид1 Gp: [foa$>fo£*)nfo^MK£3)n&£3)], (3.3.38) где ] 1П ( \? \ - операционный функционал (см. п. 5.3). (3.3.381) Соотношения (3.3.38) и (3.3.38') означают, что расходы ресурсов у\ и времени у'ъ обусловлены требуемым целевым эффектом ъ[ и для дости- жения цели операции необходимо и достаточно, чтобы эти расходы не превзошли допустимых ($г и гъ соответственно). В результате уг и уъ становятся ведущими компонентами вектора *<э> = (*Г> Ут (%)> Уз/г (£))• Закон их совместного распределения будет определяться соотношением (см. <3.3.13>, (3.3.14» оо <\/я(Л'Л)= 1\,К(Уг>Уз}ь№*;(г1)=РХц(Уг>У3)> (3-3-39) где Й~{у'х=г'); \,х{Уг*У*;ъ£ф'г * УгЫУг ± уМ%= «,)]= При этом вероятность достижения цели операции рдц = ] )фу;г)/н^3)<1ГЩг){г2г3)= } ]ргди{гг,гъ)йР^{1г,гъ), (3.3.40) 1 Вспомним, что AnU=A.
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 167 где P*u(z2,Z3)= lP^{zlfz2,z3)dFri(zl) - условная вероятность достижения цели операции при (z2 = z2 )П [z3 = z3). А 3.3.20) Совпадение обозначений функций (3.3.12) и (3.3.39) говорит о том, что они имеют одинаковый смысл и, следовательно, в рассматривае- мом случае также может быть определена гарантируемая вероятность 0)дЦ (у) достижения цели операции. Для упражнения рекомендуем сделать это читателю. А 3.3.21) Отсутствие штриха в обозначении Рдц в (3.3.40) [см. (3.3.15), (3.3.16)] говорит о том, что это выражение точное (значение Рдц не завы- шено (3.3.18)), поскольку в отличие от (3.3.15) здесь условие Н - (j>, = zx) достоверно. А Пример 3.3.2.' Пусть ЦНП организован так, что расходуются все имеющиеся ресурсы, т.е. (у2 = z2)~ U, где %г = у\. В этом случае Gp: fa*il)n&Zll)nfoztt)]«\iytb%)n(%Zg$, (3.3.41) где Л) Х/1 (\\\ " операционный функционал (см. п. 5.3). (3.3.4Г) В результате оо фг(1}/н(У1>Уз)= \фцг)г/г{Ух>Уъ^г)^Г1{гг), (3.3.42) где i *(# = £)? %,Л{У1>Уг;*г)=Ф\ * УШ% * УМК = Z2)] = у(%{у'^2,у3) , При этом Рдц = ] ]^1)/я(*1^з)^,)(*1**з)= J ]P^(^z3)dFrJzl9z3\ (3.3.43) где РдЦ(ь>ь)= \Pw{zx9z2yZ3)dFh{z2) - условная вероятность дос- тижения цели операции при (£,' = zx) п (£3 = z3) . А В этом и последующих примерах пояснения, аналогичные сделанным в примере 3.3.1, опускаются.
168 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Пример 3.3.3. Пусть ЦНП организован так, что операционное время равно директивному (плановому), т.е. (у3 =z3)~U, где £3 = у*. В этом случае Gp: [(y^it)n(y2<z2)n(y3<z3)M(y[>C^(y^z2)], (3.3.44) где !:=',/з£Н (3.3.44-) Уг = yi/3\Z3) ) - операционный функционал (см. п.5.3). В результате фу(2)/н(Уг>Уг)= )%/n(yi>yi;z3)dFi3{z3) , (3.3.45) где й*(у'3=г;у, %/n(yl,y2;zS=P[(y'l*y1)n(y2<y2)/(y'3 = z3)]= При этом рт = "\ ]%/я(г.»г2)^(2)(г„г2)= ] p^UpzJrfF^fe^), (3.3.46) где РУДЦ (г,, г2) = |Рвд (г,, г2, г3 У^ (г3) - условная вероятность достижения цели операции при (z[ = zx )п (г2 = г2). А Пример 3.3.4. Пусть ЦНП организован так, что получаемый в его ре- зультате целевой эффект всегда равен требуемому, но при этом расходу- ются все имеющиеся ресурсы, т.е. [(U=z,)n(j>z=z2)]=t/, где £, = yf, z2 = у". В этом случае GP: [&>zx)n(j2<z2)n(y3<z3)] = {y'3<z3), (3.3.47) где - операционный функционал (см. п. 5.3). В результате оо оо Фу,1н{Уъ)=Гу31н(У>)= \ iFy^iys'-Zi'Zi^Fz-Jb'h), (3-3.48) где Н = [{у" = гГ) п (у2 = £)];
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 169 *>/*£, Cf3»**i»«2)= рШ ^ Уз)/{у"= г,)п(Х= Zl)]= При этом Рдц = ]^;/«(гэУ^(г3)= fcfe)^, (z3)> (3-3-49) где /^(z3)= J J^iflCz^ZjjZj)^. (г,,г2) - условная вероятность дости- —ее— оо жения цели операции при (z3 = z3). A Пример 3.3.5. Пусть ЦНП организован так, что получаемый в его ре- зультате целевой эффект всегда равен требуемому, но при этом расходу- ются все имеющиеся ресурсы, т.е. где zx = j>f, z3 = $ • В этом случае Gp : [(J), > zjnfa < z2)n{y3 < z3)\={y'2 < z2) , (3.3.50) где Уг=УцА?х>%) (3.3.50') - операционный функционал (см. п. 5.3). В результате ^/яОъЬ^/яОъЬ ] J^GvVSa)^,^) , (3-3-51) где ^£[(j>r=zf)n(K=l3')]; d = J^tt—г**- - ^2)U„z3J При этом *w = К/я(г2)^(г2)= ]^(г2)^2(г2), (3.3.52) —во —ев во ев где /да(г2)= J J^fa^^V^zfafa'^) - условная вероятность дости- жения цели операции при (z2 = z2) • ^ Пример 3.3.6. Пусть ЦНП организован так, что расходуются все имею- щиеся ресурсы и все плановое время, т.е. [(у2 = z2)r*{y3 = z3)] = U,
170 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП где £2= Я> *з=.Уз- В этом случае Gp: [(3>1>£Оп(3>2<^)п(Л<^)]=(^>^), (3.3.53) где у[ = УхпА%Л") (3.3.53') - операционный функционал (см. п.5.3). В результате ФК/н{у1)=«К/н(Уг)= ] ]^;/%и;г2,гз)^Г)(г2,г3), (3.3.54) где # = [(# = g)n{у" = %)]; При этом ^ = ]*k/«(z,)^;(z,)= P&fc^fe) , (3.3.55) оо оо где jP^(z,) = J \P^(zlfz29z3)dF^ (z2,z3) - условная вероятность дости- жения цели операции при (£,' = z,) . ▲ Рассмотренные примеры охватывают все возможные варианты прояв- ления эффекта поглощения при симплексной форме показателя К3\ каче- ства результатов операции. 3.3,22) Следует заметить, что соотношения (3.3.39), (3.3.42), (3.3.45), (3.3.48), (3.3.51), (3.3.54) носят весьма общий и потому в значительной ме- ре условный характер, поскольку в конкретных случаях подынтегральные функции этих выражений не обязательно имеют смысл условных законов распределения (как в приведённых формулах), а могут иметь специфиче- ские формы вероятностных характеристик ведущих компонент вектора Y . Это обусловлено в первую очередь тем, что наряду с зависимостью ве- дущих компонент Y виртуальных результатов Y ЦНП от ведомых ком- понент Z требуемых его результатов Z и обусловленным этим вероятно- стным поведением случайного вектора ж могут существовать независи- мые от Z случайные факторы, также влияющие на стохастические свойства ведущих компонент Y вектора Г. Более подробно этот вопрос рассматривается в гл. 5, здесь же для иллю- страции сказанного приведём ряд примеров. ▲
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 171 Пример 3.3.7. Пусть в условиях примера 3.3.2 математическая модель показателя К3, виртуального качества результатов ЦНП исчерпывающе описывается соотношениями (3.3.4Г) (т.е. единственным источником слу- чайности является предельно допустимый г"г уровень расхода ресурсов). Тогда1 %1иЬ»Уг)=Фх *Ух)^{уг ^У3)]= Р[Ь>1/2(%>лЬМ&йУз)\ = -J \dFr(Zl). (3.3.57) Пределы интегрирования в (3.3.57) обусловлены вытекающим из (3.3.56) очевидным требованием Ут («з) * З'Г/г (г,) => г3 ^ л/2Ь^ (г< Я • А Пример 3.3.8. Пусть в условиях примера 3.3.6 математическая модель показателя Е3, виртуального качества результатов ЦНП исчерпывающе описывается соотношением (3.3.53') (т.е. случайных факторов, отличных от (f*,Ij*), нет). Тогда = Р[{%,$е к,г3}„ J= JJ ^if,(*»*) ; (3.3.58) Ъг = J .V.3 ^ '*» Я k *%(*»»*) к *■«(«.)• (3.3.59) Из (3.3.59) видно, что в данном случае равенства, аналогичного (3.3.57), получить нельзя и, следовательно, для каждого конкретного случая реше- ние будет иметь своё выражение. Пусть, например, ведущие компоненты (*2»2з) вектора Z,3, связаны между собой имеющим достаточно ясную 1 Формулы (3.3.56) и (3.3.57) представляют собой варианты формул (3.3.42) и (3.3.43) соответственно.
172 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП интерпретацию соотношением z2= flz3 (т.е. предельно допустимые расхо- ды ресурса и операционного времени пропорциональны) и пусть, кроме того, j>,=jty2(«2)=az2- Тогда ух =az2 = otj3z3 и, следовательно, = P(afiz;>yi) = P\z"3>-Z =*rJ-^h (3-3-60) a>0j z\afi p« = K(^)rfFri(«.)- (3.3.61) A Рекомендуем читателю найти аналогичные интерпретации в условиях остальных приведённых выше примеров. 3.3.23) В замечаниях п. 3.3.1 практически все рассмотренные там спосо- бы свёртывания компонент показателя качества результатов операции кри- тиковались. Эта критика обусловлена в первую очередь тем, что свёрты- ваемые "показатели эффективности" таковыми не являлись, так как опре- делялись в разомкнутой схеме. Однако в принципе свёртывание действи- тельных показателей эффективности операций представляется вполне кор- ректным. Ранее было постулировано, что в рамках рассматриваемой методологии исследуемые операции одноцелевые. При этом многоцелевую операцию (супероперацию) рекомендуется рассматривать как совокупность одноце- левых операций (подопераций, субопераций), эффективности которых в общем случае могут существенно различаться. Если исследуется супероперация, направленная на достижение R целей, то комплексный показатель её эффективности может быть определен соот- ношением ^]? = 1>,/>й (3.3.62) или <?} = 2Х<%,)> (3.3.63) где Р^ц - средняя (априорная) вероятность достижения r-й цели операции; Юдц&г) ~ гарантируемая с вероятностью уг условная (апостериорная) вероятность достижения r-й цели операции; v — коэффициент важности (вес) r-й цели операции.
3.3. Методы свёртывания векторных показателей качества результатов ЦНП 173 Чтобы показатели (3.3.62) и (3.3.63) имели смысл взвешенных вероят- ностей, коэффициенты vr, должны удовлетворять условиям vr > О, [г = l(l)if] и ]£ vr = 1, т.е. должны быть нормированными. Легко заметить, что выражения (3.3.62) и (3.3.63) могут интерпретиро- ваться как формулы полных вероятностей {средней и гарантируемой) дос- тижения обобщённой цели (состоящей из R подцелей) супероперации. При этом коэффициент vr имеет смысл вероятности гипотезы о том, что супероперация имеет лишь одну r-ю цель, а вероятность Руц - смысл ус- ловной вероятности достижения цели супероперации относительно этой гипотезы. Понятно, что при такой трактовке достижения различных под- целей супероперации считаются (подразумеваются, трактуются) несовме- стными событиями (принцип суперпозиции). Следует подчеркнуть, что ранжирование (взвешивание) целей супер- операции семантически проще, чем ранжирование показателей качества результатов операции или параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС, так как бо- лее ясны роли отдельных подопераций относительно всей их совокупно- сти, чем влияние отдельных результатов операции или ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС на её эффективность. А 3.3.24) Отмеченная в (3.3.23) интерпретация структуры супероперации (несовместность подопераций, реализующая принцип суперпозиции) при использовании показателей (3.3.62) и (3.3.63) может быть отнесена к их недостаткам, так как в принципе наряду с неравной важностью подцелей супероперации наверняка различные комбинации (сочетания) достигнутых подцелей вносят в достижение суперцели неодинаковый вклад. Для учета этого обстоятельства комплексный показатель эффективно- сти супероперации может быть определён соотношением s=\ «Й*-!*,»^. (3-3-65) s=l вероятность достижения 5-й комбинации подцелей суперопера- ции; степень (например, условная средневзвешенная вероятность) достижения суперцели при достижении 5-й комбинации подце- лей супероперации; оценка гарантируемой вероятности достижения суперцели при достижении 5-й комбинации подцелей супероперации. или где Кс - шдц
174 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Элементы формул (3.3.64) и (3.3.65) определяются следующими равен- ствами: tf _ p(rsi )p(rsi/rsi) pVSKs Л" ,Г« ""'r*(*,-«)J /ъ о f.f\ ^Б^^ДЦ ГДЦ %,%ГДЦ ' \Э.ЭЛ)Ч) где Рдц "'"' s{*s-l)) _ условная вероятность Л-й подцели в 5-й комбина- ции относительно совместного достижения (Л-1) предшествующих подцелей; ГДЦ-1аУгвГДЦ > vrj>0, г,=1(1)Л5; £v„=l (3.3.67) Показатель соДц' чёткой вероятностной интерпретации не имеет и мо- жет определяться по-разному. Например: *>=К<НО> (3-3-68) где Rs - число подцелей в 5-й их комбинации, или «№=-ф, k <ifJk )is. (3-3.69) (3.3.70) где {r5} - множество номеров rs подцелей супероперации, входящих в 5-ю комбинацию. Заметим, что при определении Xs по (3.3.66) может не выполняться усло- 2R вие ]£Х5 = 1 и соотношение (3.3.65) не будет интерпретироваться как фор- мула полной вероятности. Однако, с одной стороны, это не обязательно, по- скольку и в случае, когда показатели (3.3.64), (3.3.65) не могут трактоваться как вероятности, они могут использоваться для сравнительного (относитель- ного) оценивания эффективности супероперации, а с другой - этот недостаток может быть устранён путём нормирования коэффициентов Х^ по формуле Х,=-^-. (3.3.71) Приведённые выражения (3.3.62) - (3.3.71) были определены эвристи- чески и интерпретированы в вероятностных терминах. При более строгом подходе для гарантированного от ошибок их применения необходимо бо- лее детальное изучение их свойств. Тем не менее представляется, что при- ведённая интерпретация обобщённых показателей (3.3.62) - (3.3.65) дос- таточно аргументированна и их применение в задачах исследования эф- фективности многоцелевых операций (суперопераций) правомерно. А
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 175 Знание людей заслуживает имени нау- ки в зависимости от того, какую роль иг- рает в нём число. Э. Бор ель. "Вероятность и достоверность" 3.4. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ 3.4.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В предыдущих параграфах была дана математическая формулировка задачи оценивания эффективности операции и приведены соотношения, определяющие её показатели РДЦ и соГдц (у), однако ничего не говорилось о вычислительных аспектах задачи оценивания эффективности. Понятно, что они образуют самостоятельную проблему, соизмеримую по сложности с концептуально-методологической, но носящую методико-технический характер. Итак, для вычисления показателей эффективности операции необходи- мо реализовать формулы (3.2.10), (3.2.13), (3.2.17), (3.2.20)1 или (3.3.12), (3.3.15), (3.3.16), (3.3.17) [см. (3.2.8), (3.3.15)]. На современном уровне раз- вития прикладной математики это можно сделать одним из четырёх мето- дов: аналитическим, численным, статистических испытаний (СИ), стати- стического имитационного моделирования (СИМ)2. Кратко прокомменти- руем их. 3.4.1.1. Аналитический метод Аналитический метод основан на непосредственном интегрировании по формулам (3.2.10), (3.2.13) и (3.2.17). Для реализации этого метода, естест- венно, необходимо знать явные выражения для интегрируемой и интегри- рующей функции фДк) и F^(z), а также необходимо, чтобы интегралы имели выражения через элементарные функции (т.е. чтобы интегралы "брались"). Методика решения задачи этим методом будет описана и про- иллюстрирована на примере в п. 6.13. В дальнейшем в силу аналогии будут рассматриваться лишь эти формулы. 2 В силу большой практической важности метода СИМ в задачах ВНЕПР его рассмотрению посвящен отдельный п. 3.4.2. 3 См. также примеры 3.4.4, 3.4.5.
176 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП 3.4.1.2. Численный метод Численный метод основан на численном интегрировании выражений (3.2.10), (3.2.13) и (3.2.17). Понятно, что его реализация возможна лишь при наличии ЭВМ. При этом поскольку, как известно, точность и время решения задачи зависят от шага разбиения области интегрирования, то при большой размерности п (или п*) вектора К л (или F/л) затраты вычисли- тельных ресурсов (времени, памяти ЭВМ) могут оказаться значительными. Следует заметить, что для определения гарантируемой вероятности 0)дц(у) достижения цели операции по формуле (3.2.20) полученное по (3.2.13) выражение для функции распределения F w (со) может быть пред- варительно аппроксимировано "подходящей" элементарной функцией. При этом может оказаться, что интеграл (3.2.17) может быть вычислен аналитически. 3.4.1.3. Метод статистических испытаний Метод статистических испытаний основан на геометрическом способе определения вероятности случайного события и её частотной интерпрета- ции [63, 163, 173]. Для его реализации выражения (3.2.10), (3.2.13) и (3.2.17) преобразуются соответственно к виду: PM = \<09tl»{a>)da>. (3.4.3) 0 Из соотношений (3.4.1), (3.4.2), (3.4.3) видно, что эти интегралы чис- ленно равны соответствующим гиперобъёмам тел, ограниченных областя- ми интегрирования и поверхностями, описываемыми подынтегральными функциями. Так, в (3.4.1) носителем \Z^\ распределения (областью воз- можных значений) случайного вектора Z,^ и поверхностью, уравнение которой /.=/W=\^KW. (3-4.4) в (3.4.2) - областью {У,3А и поверхностью распределения случайного век- тора JL\ и поверхностью, уравнение которой
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 177 Из соотношения (3.4.3) видно, что определяемая им вероятность чис- ленно равна площади, ограничиваемой отрезком [0,1] и кривой, /з = /зИ=а>9&) И- (3.4.6) Раскроем сущность рассматриваемого вычислительного метода на при- мере. При этом для наглядности изложения будем считать область интег- рирования одномерной. Пример 3.4.1, Пусть требуется вычислить определённый интеграл вида (рис. 3.4.1) I=Sf{u)du, (3.4.7) где(Уи€[а,Л]) Ди)^)1. Как видно из рис. 3.4.1, интеграл (3.4.7) численно равен площади (£,), заштрихованной на рисунке области (S,). Рис. 3.4.1 Введём в рассмотрение прямоугольник (Sv) со сторонами, параллель- ными осям системы координат hOv, в котором целиком содержится об- ласть (Sj) (т.е. как показано на рис. 3.4.1, h > maxf(u), ue [а,Л]), и неко- и торый случайный вектор (точку) (u,v) имеющий равномерный закон рас- пределения в пределах области (Su). Если теперь провести испытание, исходом которого будет реализация (u,v) вектора (u,v), то вероятность Р, попадания точки (u,v) в область Ограничение, обеспечивающее вероятностный смысл рассматриваемой задачи (вычисляемых интегралов).
178 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП (Sj) будет (согласно геометрическому определению вероятности) опреде- ляться равенством [29] Р,^~Ш = £-=', (3.4.8) mes [Su) Sv (b-a)h где mes(S) - мера области (*S); откуда 1 = {Ь-а)кРЙ. (3.4.9) Описанное испытание повторяется достаточно большое число п раз1. После подсчета числа m{SI) попаданий точек /иу.,уу.\, [/=1(1)л , j - номер испытания] в область (S,) определяется оценка Pt =m(Sl)/n вероятности Pj и затем приближённое значение / интеграла / по формуле I = {b-a)hPI~{b-a)hPI=I. (3.4.10) Структурная схема алгоритма вычисления интеграла (3.4.7) методом статистических испытаний приведена на рис. 3.4.2, где через ДЛ обозна- чен датчик случайных чисел и>, равномерно распределённых на интервале (0,1]. Поскольку стороны прямоугольника (5^) параллельны осям системы координат и uOv (см. рис. 3.4.1), то компоненты случайного вектора («,v) взаимно независимы и для их раздельного моделирования в приведенном алгоритме реализован "метод обратной функции" [63, 163, 173]. При этом блок 3 алгоритма (рис. 3.4.2) вырабатывает реализации и. случайной ве- личины й, равномерно распределенной в интервале (а, Ь] , а блок 5 - реа- лизации vj случайной величины v, равномерно распределенной в ин- тервале (0, Н]. Блоки 2 и 8 ограничивают цикл моделирования, повто- ряющийся п раз. Остальные блоки специальных пояснений не требуют. Более подробно рассмотренный метод описан в книгах [63,163,173]. 3.4.1) Поскольку описанный метод основан на статистическом оцени- вании вероятности случайного события по его частоте (частости), то точ- ность вычисления интеграла / этим способом зависит от числа п стати- стических испытаний, а так как частота события априори является случай- ной, то оценка этой точности должна быть вероятностной. Пусть €pfH{l}= e1 - максимально допустимая с вероятностью /3 абсо- лютная погрешность вычисления интеграла / при п испытаниях, т.е. в терминах математической статистики е! - это половина длины довери- тельного интервала для интеграла / при доверительной вероятности J3 и объёме выборки п. Обеспечивающее требуемые точность и надёжность оценки [173].
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 179 Вычисление Вывод 7 1/=(*-а)А/> В -0L '- п Рис. 3.4.2 Поскольку / = (*-а)йР7, то границы доверительных интервалов для / и Р/ связаны соотношением 1+ер>п{1}={ь-а№.+ерЛр,})> из которого следует е' =ePMXb-a)hep,n{p,} (3-4.11)
180 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП или е' *'^><}=(^)А- (ЗА12) Поэтому для вычисления (оценивания) интеграла с точностью не ниже е' при доверительной вероятности /3 необходимо число п1 испыта- ний, определяемое следующим соотношением [169]: где tp -табличная функция [169]. Как видно из (3.4.13), для определения потребного объема п! испыта- ний необходимо знать Р, (или, что то же самое, / ). Однако именно эти величины и вычисляются и, следовательно, формула (3.4.13) непосредст- венно неприменима. Поэтому вначале "на глаз" определяется приближён- ное значение Pj = mes yS, J/mes ySy J, где mes(S) - мера области S. По значению Pt находится первое приближение числа п': и* • которое затем уточняется по результатам испытаний [Pt). Если окажется, что п' >п', то никаких уточнений п' не требуется и используется число п'. Подробно вопросы статистического оценивания освещены в пособиях [170] и [173]. А Изучив (уяснив) приведённый пример, не представляет труда обобщить реализованную в нем методику вычисления интеграла на рассматриваемые случаи (3.4.1), (3.4.2), (3.4.3). Так, в формуле (3.4.3) элементы примера 3.4.1 имеют следующие выражения: (a,b]= (0,l]; /3(«)= и0^<з> («) (блок 3). Поэтому блок 2 алгоритма (рис. 3.4.2) моделирует случайную величину й по формуле иj = w., а блок 5 проверяет условие v. < и. <p&{i) (ny), [/=1(1)л]. В формуле (3.4.1) роль интервала (a,b] играет носитель \ZfLj распре- деления случайного вектора Z/3v, на котором равномерно распределён слу- чайный вектор U,3x, моделируемый блоком 2. Блок 3 вычисляет значения а блок 5 сравнивает их со значениями v., выработанными блоком 4.
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 181 Напомним, что должно выполняться условие h > тахв л/гу^Ш- В формуле (3.4.2) роль интервала (a,b\ играет область \У/г\\ , в которой равномерно распределён вектор UJZ), моделируемый блоком 2. Блок 3 вы- числяет значения а блок 5 сравнивает их со значениями v., выработанными блоком 4. Остальные блоки алгоритма работают, как показано на рис. 3.4.2. В данном пункте была рассмотрена сущность аналитического и числен- ного методов оценивания эффективности операций. С деталями соответст- вующих методик читатели могут ознакомиться по специальной литературе [63, 179]. 3.4.2. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКОГО ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Как нетрудно было заметить, для реализации рассмотренных в п. 3.4.1 методов необходимо знать явные выражения подынтегральных функций или, другими словами, законов распределения фДг), F%{z) и F&{(o) век- торов K3v, Z/3s и супериндикатора &F'. Подобная необходимость сущест- венно ограничивает сферу применимости этих методов, что обусловлено причинами двух типов: а) необходимостью постулирования (принятия) целого ряда допущений, без которых аналитическая модель не может быть построена и которые, как правило, достаточно трудно строго обосновать. Единственным руково- дящим принципом при построении моделей в этих случаях является "принцип аналогий и правдоподобности рассуждений" [135], правомер- ность которого существенно зависит от компетентности и опыта исследо- вателя и ЛПР. В связи с этим вопрос об адекватности математической мо- дели исследуемому объекту (ЦУТС и ЦНПФС) часто не получает удовле- творительного решения и остаётся открытым; б) сравнительной технической сложностью решения задачи (в том чис- ле и при допущениях), требующей от исследователя высокой математиче- ской подготовки. 3.4.2) Следует подчеркнуть, что хотя "принцип правдоподобности рас- суждений" может показаться недостаточно убедительным для обоснования адекватности модели, тем не менее он лежит в основе всех научных иссле-
182 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП дований, во всяком случае, на первой их стадии, когда объективных - экс- периментальных данных об исследуемом явлении еще недостаточно и мо- дель явления строится на основе прошлого опыта и научной интуиции ис- следователя. Понятно, какое большое значение на этом этапе имеет компе- тентность исследователя и ЛПР, обусловливающая основанную на их опы- те объективность эвристических (экспертных) данных, используемых при построении исходных вариантов моделей. А Известно, что критерием истины является опыт, т.е. эксперимент над исследуемым объектом (ЦУТС, ЦНПФС), позволяющий наиболее полно изучить его свойства и оценить качество (см. п. 2.5). Однако проведение подобных экспериментов наталкивается на препятствия принципиального характера двух существенно различных типов: а) необходимостью априорного оценивания качества объекта, так как наибольший интерес качество объекта (ЦУТС, ЦНПФС) представляет на этапах его проектирования (планирования) и создания (организации), т.е. когда объекта ещё нет, но прогноз его качества уже необходим; б) трудностью экспериментальных исследований качества сложных, до- рогостоящих и особенно уникальных (единичных) объектов, так как они зачастую не могут быть подвергнуты испытаниям, проводимым в услови- ях, близких к реальным (в которых объект призван выполнять свои функ- ции), и сохраняющим в то же время проектное качество объектов. По этим причинам широкое применение нашли методы исследования объектов на их моделях. Различают модели аналитические и имитаци- онные. Модели первого типа представляют собой совокупности математиче- ских зависимостей и соотношений, описывающих основные свойства объ- екта, взаимосвязи этих свойств и взаимодействия объекта со средой, т.е. с условиями его функционирования и целевого применения. Таким образом, это модели математические (см. п. 3.4.1). Модели второго типа делятся на "физические", "математические" и "смешанные" и согласно их названию призваны имитировать процесс це- левого функционирования объекта. Физические имитационные модели представляют собой либо образец исследуемого объекта, либо его копию (часто выполненную в меньшем масштабе), исследуемые свойства которой подобны (адекватны) аналогич- ным свойствам моделируемого объекта. Математические имитационные модели строятся с применением вычис- лительной техники (аналоговой или цифровой). Они, как правило, совер- шенно не похожи на моделируемые объекты, но, как и у физических моде- лей, количественные характеристики их динамических свойств (свойств, проявляющихся при целевом применении объекта) подобны (адекватны) соответствующим свойствам моделируемого объекта.
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 183 Смешанные имитационные модели представляют собой комплексы, элементы которых являются либо физическими, либо математическими моделями, имитирующими функционирование (работу) элементов (агрега- тов, подсистем) моделируемых объектов. Поскольку по отмеченным выше причинам физическое моделирование сложных объектов (ЦУТС, ЦНПФС) не всегда возможно, особенно на этапах проектирования ЦУТС и планирования ЦНПФС, то наиболее дей- ственным методом их исследования является метод математического ими- тационного моделирования. Как было отмечено, для решения задач опти- мального проектирования и построения ЦУТС, а также планирования и ор- ганизации ЦНПФС необходимо прогнозировать их качество и эффектив- ность в условиях значительной неопределённости, обусловленной недоста- точностью на этих этапах информации об условиях функционирования и применения ЦУТС. Эти обстоятельства приводят к необходимости, в це- лях обеспечения модели достаточной адекватности, имитировать и реально существующую неопределённость, обусловленную воздействием на пара- метры и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС случайных факторов. Способ, позволяю- щий исследовать операции (ЦНПФС) с учётом воздействия таких факто- ров, получил название метода статистического имитационного моде- лирования. В дальнейшем предполагается, что читатель знаком с сущностью как метода статистических испытаний (СИ) (см. п. 3.4.1.3), так и метода стати- стического имитационного моделирования (СИМ) [63, 94, 136, 163, 173]. Поэтому здесь рассматривается методика применения метода СИМ лишь к решению задач исследования эффективности операций (ЦНПФС). Для реализации метода СИМ строится так называемая имитационная модель ЦНПФС, отображающая его в формализованной форме с помощью алгоритмического описания (которая, как правило, реализуется на ЭВМ). Таким образом, имитационная модель - это алгоритм работы ЭВМ, моде- лирующий, т.е. приближенно воспроизводящий, ЦНПФС (его протекание во времени) или его отдельные этапы, стадии, фазы, циклы. При этом эле- ментарные явления, образующие ЦНПФС, т.е. этапы ЦНП и происходящие в его ходе события имитируются с сохранением их логических связей и последовательности протекания во времени, а также характера и состава информации о последовательных соотношениях и событиях процесса. Влияние случайных факторов на ЦНПФС имитируется путём моделирова- ния случайных объектов (событий, величин, векторов, функций, полей) с обусловленными характером протекания процесса вероятностными харак- теристиками. Эти характеристики, в свою очередь, определяются в процес- се "функционирования" имитационной модели ЦНПФС. При реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ вырабатывается информация, описы- вающая элементарные события и этапы процесса с учётом их связей и вза- имных влияний. Затем эта информация используется для определения
184 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП (оценивания) исследуемых характеристик ЦУТС и ЦНПФС. Весьма глубо- ко и детально сущность метода СИМ раскрыта в пособиях [63, 173]. По- этому здесь мы ограничимся сказанным и перейдём к рассмотрению мето- дики оценивания эффективности ЦНПФС (операции). Итак, требуется разработать алгоритм, моделирующий ЦНПФС и по- зволяющий определять (вычислять) показатели РДЦ и 0)дЦ(у) его эффек- тивности. Поскольку показатели эффективности операции представляют собой вероятности некоторых случайных событий, то их оценками, обладающи- ми всеми необходимыми свойствами (состоятельность, несмещённость, "эффективность" [170, 173]), являются частоты (частости) появления этих событий в "длинных" сериях однородных опытов (испытаний). Как было показано в п. 3.4.1.3, такие оценки могут быть получены методом стати- стических испытаний. Однако при реализации метода СИМ испытаниям подвергаются не абстрактные модели стохастических экспериментов, у ко- торых лишь некоторые параметры численно равны оцениваемым характе- ристикам исследуемого объекта [или связаны с ними известными зависи- мостями (см. пример 3.4.1)], а модели конкретных ЦУТС и ЦНПФС, во всех существенных деталях количественно адекватные реальным или соз- даваемым (организуемым) ЦУТС (ЦНПФС). Как видно из (3.2.10), вероятность Рдц может вычисляться двумя путя- ми (способами) и, следовательно, статистически может оцениваться по двум схемам (алгоритмам), называемым соответственно комплексно- симплексной (К-С) и симплексно-комплексной (С-К) схемами1. Структур- ные схемы алгоритмов статистического имитационного моделирования ЦНПФС по К-С и С-К схемам приведены соответственно на рис. 3.4.3 и 3.4.4. При описании работы алгоритмов ограничимся рассмотрением лишь К-С схемы (рис. 3.4.3). В целях активизации процесса изучения предмета рекомендуем читателю "параллельно" провести аналогичные рассуждения применительно к С-К схеме (рис. 3.4.4). Как видно из рис. 3.4.3, алгоритм включает в себя два цикла: - внешний цикл - по у, (у, - номер испытания во внешнем цикле), повторяющийся Nx раз; - внутренний цикл - по у2 (у2 - номер испытания во внутреннем цикле), повторяющийся в каждом у, -м внешнем цикле N2 раз. Рассмотрим последовательность работы блоков алгоритма. Блок 1 осуществляет ввод исходных данных, необходимых для стати- стического имитационного моделирования ЦНПФС и статистического оценивания показателей его эффективности. Смысл этих терминов раскрывается в п. 3.4.3.
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 185 О Ввод исходных данных NUN2,L Q= ix •=! О Iff i •=ttt. +1 © Вывод Вывод Рдц&тЬ) © u/ nit — "Л, ЛДО wlNt-L+\ 0—L_ гдц M lsw\jx У1-=Л+1 Рис. 3.4.3
186 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Набор этих данных зависит от этапа жизненного цикла ЦУТС, на котором проводится исследование ЦНПФС, и обусловленного этим характера имею- щейся у исследователя информации (детерминированная, случайная, неопре- делённая, вероятностная и т.п.). Блок 2 (вспомогательный) организует начало внешнего цикла, засылая в счётчик циклов единицу. Блок 3 (стохастический) моделирует вектор Ж.к требуемых (предельно допустимых) значений результатов L операции. Блок 4 (вспомогательный) организует начало внутреннего цикла, засылая в счётчик циклов единицу и очищая счётчик числа т^ "успешных" испытаний (в которых при фиксированных требованиях Z/\ к результатам операции бы- ла достигнута её цель) внутреннего цикла (полное число которых равно N2). Блок 5 (стохастический) моделирует вектор L виртуальных результатов операции. Блок 6 (логический) реализует критерий пригодности результатов опера- ции для использования по назначению. Выполнение проверяемых блоком 6 условий означает достижение цели операции [см. (2.3.3), (2.3.4), (2.3.15), (3.2.6)]. Блок 7 (счётчик) подсчитывает число т. "успешных" испытаний внутрен- него цикла. Блок 8 (счётчик) подсчитывает число у2 пройденных испытаний внутрен- него цикла (нумерует текущее испытание внутреннего цикла). Блок 9 (логический) устанавливает факт окончания внутреннего цикла ис- пытаний. Блок 10 (арифметический) вычисляет оценку щ") значения условной (апо- стериорной) вероятности щ"' достижения цели операции в у, -м испытании внешнего цикла. Блок 11 (счётчик) подсчитывает число jx пройденных испытаний внешне- го цикла (нумерует текущее испытание внешнего цикла). Блок 12 (логический) устанавливает факт окончания внешнего цикла испы- таний. Блок 13 (арифметический) вычисляет значение оценки РДЦ средней (апри- орной) вероятности достижения цели операции. Блок 14 (логический) определяет значение оценки б)[дц (у) гарантируемой вероятности достижения цели операции. Блок 15 осуществляет вывод полученных в ходе статистического имитаци- онного моделирования оценок Рдц, 8)[дц(у) показателей Рдц, со[дц(у) эффективности операции.
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 187 0 Ввод исходных данных NlyN2,L 0 Л-1 «л .-=0 Ф Iff , .*= Iff , +1 О Вывод 0 а'=ф ДЦ W2N2-L+1 X 0 L_ р =—ys(,,> iV2 Л=1 0 Л--Л + 1 0 2л- iv, тТ^М 0 У1--У1+1 Рис. 3.4.4
188 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Приведённого описания алгоритма, моделирующего ЦНПФС, вполне достаточно для уяснения общей идеи метода СИМ, однако для практиче- ской её реализации необходимо раскрыть содержание блоков 3, 5 (пред- ставляющих собой самостоятельные моделирующие алгоритмы) и блока 14 (являющегося логическим блоком с одним выходом), реализуемых спе- циальными подпрограммами. В зависимости от этапа жизненного цикла ЦУТС, на котором оценива- ется эффективность ЦНПФС, а также от класса ОК (сплочённый или ра- зобщённый, см. п. 2.6.2) вероятностное описание требований Z.k , предъ- являемых к результатам Y, ч операции, может задаваться в различных формах. В частности, оно может быть задано в форме закона распределе- ния F% \Z,A случайного вектора Z, v или закона распределения F& \В(Г}) случайного вектора Bfa характеристик условий применения ЦУТС, компоненты которого могут быть как количественными, так и "ка- чественными" (например, иметь лишь несколько градаций без указания "расстояния" между ними либо только две градации - {0,1} и т.п.). При этом должны быть заданы зависимости (не обязательно аналитические), связывающие векторы В,* и Z, v [см. (2.3.12), (3.2.8)]. Если, кроме того, требования к результатам ЦНПФС предъявляются с учетом возможностей ЦУТС в сплочённых ОК (см. п. 2.6.2), то должны быть описаны как связи вектора Z.x с A,k, - ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС, так и взаимосвязи его компо- нент между собой, которые в этом случае имеют место (см. {2.7.7}, {2.7.8}). Если указанные описания есть, то структурная схема алгоритма, моделирующего случайный вектор Z. ч, будет иметь вид рис. 3.4.5, где вектор Bif* моделируется подблоком 3.1 с помощью известных методов [63,170,171,173]. Если условия В,гк проведения операции неуправляемы, то обусловлен- ный ими вектор Z, ч описывает объективные (не зависящие от ЛПР) тре- бования к её результатам, которые для достижения цели операции должны быть выполнены. Поскольку требования к различным операционным свойствам (аспектам) результата операции обусловлены не связанными между собой факторами (см. {2.7.7}), то компоненты вектора Z,, ока- зываются взаимно независимыми. В этом случае, если законы распределе- ния Ft(z), [* = l(l)#i] компонент zt случайного вектора Z,x известны, то алгоритм блока 3 примет вид рис. 3.4.6, где ДА - датчик случайных чисел,
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 189 Рис. 3.4.5 распределённых равномерно на интервале (0,l]. Работа остальных подбло- ков блока 3 наглядно описывается их начертанием [169]. 3.4.3) Выше было сделано предположение о том, что вероятностное описание вектора Z.k задаётся в форме закона распределения, однако ни- чего не говорилось о том, как этот закон распределения определять. Мето- дика определения закона распределения существенно зависит от этапа жизненного цикла ЦУТС, на котором оценивается эффективность ЦНПФС, и от обусловленной этим информации, которой располагает ис- следователь. Рассмотрению подобной методики (её сущности) посвящен п. 5.5. А Теперь раскроем содержание блока 5. Функцией этого блока является моделирование случайного вектора Г, ч, т.е. показателя качества результа- тов, получаемых вследствие расходования на них ресурсов. Насколько ра- ционально (действенно, эффективно) в ходе операции ресурсы превраща- ются в целевой эффект, настолько эффективен ЦНПФС. Поэтому исход- ными данными для алгоритма, реализуемого блоком 5, являются все пара- метры и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС, влияющие на процесс преобразования ре- сурсов в целевой эффект, а его ядро ("тело") образуют соотношения, опи- сывающие взаимные связи всех элементов операционной системы (см. п. 1.2), т.е. связи ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС как между собой, так и с операцион- ными свойствами ЦНПФС, а также связи ресурсов с целевым эффектом и
190 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Рис. 3.4.6 между собой. Последние зависимости называются "операционным функ- ционалом"1. На рис. 3.4.7 приведена структурная схема алгоритма, реализуемого блоком 5. Из рис. 3.4.7 видно, что подблок 5.1 моделирует условия функ- ционирования ЦУТС, характеристики которых описываются случайным вектором BL. Подблок 5.2 моделирует влияние условий функционирова- ния на параметры и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС. Подблок 5.3 моделирует влия- ние на результат операции ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС и условий функциониро- вания ЦУТС, а также взаимное влияние расходуемых в ходе операции ре- сурсов и зависимость от них получаемого целевого эффекта. Подробно об этом говорится в п. 5.3.
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 191 3.4.4) Строго говоря, именно блок 5 моделирует ЦНПФС и поэтому яв- ляется "главным" блоком алгоритма рис. 3.4.3. А Рис. 3.4.7 Теперь о блоке 14, который выше был назван логическим. Как известно (см. п. 3.1), по определению супериндикатор представляет собой условную вероятность достижения цели операции от- носительно случайного события \Z,n\-Z,\ при реализации (наступле- нии) которого она принимает значение При реализации К-С алгоритма (К-С схемы, рис. 3.4.3) во внешнем цикле фиксируется значение ZK вектора Z,, и по частоте дйг") появления
192 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП событий (f/2v^Z/\) оценивается значение условной вероятности щт\ вы- числяемой блоком 10. В результате реализации внешнего цикла TV, раз вырабатывается последовательность -P'(Y^Z^)=^l=^-. (3.4.14) Пусть у - гарантийная вероятность (уровень гарантии), определяемая равенством Г=р[Ми) * *>r(r)]= *^ W{y)\. (3.4.15) Приближённо её можно оценить по частоте события [coy. >0)г(у)] в серии TV, испытаний, т.е. y~p-[6t:l>a>r(r)]=±=f, где L - число испытаний, в которых произошло событие [щ] ^ &г{у)\\ /"-частотасобытия [u)\j > CDr(y)] (см. рис. 3.4.8). Потребуем выполнения неравенства у = — >у. TV, ' Тогда L = E(yNl)+l9 где Е(и) - целая часть и. При этом в образующей вариационный ряд упорядоченной последовательности щ"' ,[r = l(l)TV,], такой, что (off <(o\^ (где г -ранг порядковой статистики [170, 173]), по- рядковая статистика йг„_ш, занимающая в вариационном ряде по величи- не (TV, - L + l)-e место (имеющая (TV, - L + 1)-й ранг), будет иметь не левее себя L членов вариационного ряда ш\^\щ\...9а)^\, т.е. их — = у-ю часть (см. рис. 3.4.8). Таким образом, порядковая статистика ю„_ы может служить оценкой наименьшей вероятности о>дЦ{у) достижения цели опе- рации, гарантируемой с вероятностью у, т.е. <(r) = ^M=«fei- (34.17) Поскольку для определения оценки 8)дЦхУ) необходимо упорядочение выборки a){j , [/, =l(l)TVj и определение её конкретного члена, то реали- зующий эту процедуру блок 14 является логическим блоком.
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 193 *.<» N-L + X N О Щ оу2 N-L+1 Рис. 3.4.8. 3.4.5) В принципе рассмотренный алгоритм, моделирующий ЦНПФС, может быть реализован и в случае, когда законы распределения фДк) и F^(z) случайных векторов L и Z.x известны и их моделирование про- изводится обычными методами [63, 163, 173], минуя моделирование соб- ственно операции, либо по алгоритму типа рис. 3.4.6, либо по алгоритму, учитывающему стохастическую зависимость компонент векторов L и Z/v. В этом случае, строго говоря, модель ЦНПФС и реализующий её ал- горитм перестают быть имитационными и становятся просто статистиче- скими, поскольку моделироваться будут лишь виртуальные и требуемые результаты операции, а не сам ЦНПФС и реализующая его ЦУТС, описы- ваемые характеристикамиАк,9 В,*. Другими словами, в этом случае будет реализоваться метод статистических испытаний и с его помощью будут оцениваться вероятности РДЦ и содц(у) по соответствующим частотам 3.4.6) Если ЦНПФС носит массовый характер (операция многоразового применения) и при этом число N будущих операций велико, то удовле- творительной мерой его эффективности может служить лишь априорная (средняя) вероятность Рдц = аг' достижения цели операции. В этом слу- чае гарантируемая вероятность й)дц(у) может не оцениваться, модели- рующий алгоритм упрощается и принимает вид рис. 3.4.9, который специ- альных пояснений не требует. А 7 Зак. 3303
194 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП О Ввод исходных данных 0 Л^у N j:=l; m:=0 0 О © Вывод 1 ДЦ р = гдц т D /.•=;+! hi := w +1 Рис. 3.4.9 3.4.3. АНАЛИЗ СХЕМ ИМИТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ 3.4.3.1. Классификация схем испытаний В предыдущем пункте фигурировало понятие "схемы испытаний" ис- следуемых объектов (ЦУТС и ЦНПФС), однако без достаточных для по- нимания его сущности комментариев. Восполним этот пробел и раскроем семантику (физический смысл) этого понятия. Для большей наглядности
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 195 рассуждений будем полагать, что показатель качества результатов опера- ции скалярный1, т.е. L = у, Z,^ = z. Обратимся вновь к показателю эф- фективности операции. В рассматриваемом (одномерном) случае он будет иметь следующее выражение: Рдц=ННг)> (3.4.18) где у - значение характеристики виртуального результата (достижимого качества) операции; z - значение характеристики необходимого результата (требуемого качества) операции. Структура выражения (3.4.18) призвана подчеркнуть, что в зависимости от физического смысла операции для достижения её цели виртуальный ре- зультат у должен быть не меньше или не больше некоторого необходи- мого (требуемого - предельно допустимого) значения z, т.е. при проведе- нии операции может реализоваться соответственно один из двух принци- пов: "чем больше, тем лучше" или "чем меньше, тем лучше". В первом случае выражение (3.4.18) имеет вид Pm=P{y>z), (3.4.19) во втором случае - Рдц=Р(у<г), (3.4.20) Таким образом, величина z определяет уровень результата операции, преодоление которого величиной у означает достижение её цели. В общем случае любая из величин у, z (или обе) может оказаться как детерминированной, так и случайной, поэтому оценивание результата опе- рации будет сводиться к проверке выполнения одного из четырёх нера- венств, приведённых в обобщённой форме в табл. 3.4.1. Эти неравенства определяют четыре2 схемы3 оценивания качества результата операции: - симплексно-симплексная (С-С) схема определяет оценку качества ре- зультатов операции, проводимой ЦУТС с детерминированными (неслу- чайными) характеристиками (ЭТХ), т.е. в детерминированных условиях функционирования, при детерминированных (неслучайных) требовани- ях к результатам ЦНПФС, т.е. при детерминированных условиях приме- нения ЦУТС; 1 Реализован метод ведущих компонент (см. п. 3.3.3). 2 В предложении, что все компоненты вектора К v или Z, v обладают однотипны- ми вероятностными свойствами. 3 В обозначении схемы первая компонента относится к виртуальному результату, вторая - к требуемому.
196 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП - симплексно-комплексная (С-К) схема определяет оценку качества ре- зультатов операции, проводимой ЦУТС с детерминированными (неслу- чайными) характеристиками, при неопределённых (случайных) требова- ниях к её результатам (в неопределённых условиях применения ЦУТС); - комплексно-симплексная (К-С) схема определяет оценку качества ре- зультатов операции, проводимой ЦУТС, свойства (ЭТХ) которой под- вержены воздействию случайных факторов (в неопределённых условиях функционирования ЦУТС), при детерминированных (неслучайных) тре- бованиях к её результатам; - комплексно-комплексная (К-К) схема определяет оценку качества ре- зультатов операции, проводимой ЦУТС, свойства (ЭТХ) которой под- вержены воздействию случайных факторов (в неопределённых условиях функционирования ЦУТС), при неопределённых (случайных) требова- ниях к её результатам (в неопределённых условиях применения ЦУТС). Схема К-К является самой общей, так как с наибольшей полнотой от- ражает действительные условия, в которых проводится операция, и апри- орное оценивание её эффективности как на этапах планирования и органи- зации, так и на этапе проведения операции. Три остальные схемы пред- ставляют собой различные варианты её идеализации и упрощения.
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 197 3.4.3.2. Выбор схемы имитационных испытаний В п. 3.2.1 рассматривалось аналитическое решение задачи оценивания эффективности операции. При этом в рамках соотношений (3.2.10) реали- зуется К-К схема оценивания. Однако, как было отмечено, из-за сложно- сти определения законов распределения фДк) и F^(z) аналитическое решение не всегда возможно. В таких случаях оценивание эффективности операции осуществляется методом статистических испытаний или мето- дом статистического имитационного моделирования ЦНПФС. В зависимости от объема и характера исходных данных, а также имею- щихся у исследователя средств (математических - формулы, методики и т.п., технических - ЭВМ, вычислительные устройства и т.п.) может воз- никнуть ряд типичных ситуаций. Рассмотрим некоторые из них, для опре- деленности полагая, что достижение цели операции равносильно выполне- нию неравенства (наступлению события) у < z, а в качестве показателя её эффективности используется средняя (априорная, безусловная) вероят- ность достижения цели P„=P{y*z)= fF,(*)rfF£(«)=24 , d где Wx=F-y(z) или РДЦ = Р(2>у)= )ъ(у)<1Р,{у)=щ, где m2=F.{z). 1. Пусть поставлена задача: оценить эффективность проводимой ЦУТС операции, подверженной воздействию случайных факторов (в слу- чайных условиях функционирования - Щг\)9 в детерминированных усло- виях применения ЦУТС - Bt!L. Как было показано в п. 3.4.2, при определении вероятности достижения цели операции методом статистического имитационного моделирования (СИМ) моделируются параметры и ЭТХ ЦУТС и частота, оценивающая вероятность, находится как отношение "числа систем", выполнивших за- дачу, к полному "числу смоделированных систем". При этом определяется оценка й>, значения сох апостериорной (условной) вероятности а\ дости- жения цели операции. Согласно определению (см. п. 3.4.3), описанная процедура реализует К-С схему имитационных испытаний. (3.4.21) (3.4.22)
198 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Пример 3.4.2. Примеры задач, приводящих к К-С схеме испытаний: а) оценивание эффективности массового применения боевого средст- ва определённого образца по типовой цели (по цели со стандартными ха- рактеристиками); б) оценивание эффективности массового применения однотипных ЦУТС военного назначения в определённых условиях и в конкретный пе- риод боевых действий; в) оценивание эффективности массового (многоразового) применения конкретной ЦУТС, параметры и ЭТХ которой подвержены воздействию случайных факторов, в определённых условиях и в конкретный период боевых действий и т.п. ▲ 2. Пусть поставлена задача: оценить эффективность операции, прово- димой конкретной ЦУТС, в детерминированных условиях функциониро- вания - jBL, но в случайных (неопределённых) условиях применения - EL, т.е. при неопределённых требованиях к результатам операции. Как было показано в п. 3.4.2, при определении вероятности достижения цели операции методом статистического имитационного моделирования (СИМ) моделируются требования £ результатам операции, зависящие от условий применения ЦУТС, и частота, оценивающая вероятность, нахо- дится как отношение "числа операций", в которых цель была достигнута, к полному "числу смоделированных операций". При этом определяется оценка д)2 значения со2 апостериорной (условной) вероятности &2 дости- жения цели операции. Согласно определению (см. п. 3.4.3), описанная про- цедура реализует С-К схему имитационных испытаний. Пример 3.4.3. Примеры задач, приводящих к С-К схеме испытаний: а) оценивание эффективности применения боевого средства по целям одного класса, характеристики которых (живучесть, защищённость, ориен- тация и т.п.) априори неизвестны (случайны); б) оценивание эффективности применения конкретной ЦУТС военного назначения в различные, априори неизвестные периоды боевых действий; в) оценивание эффективности применения конкретной ЦУТС в услови- ях возможного, но априори неизвестного противодействия противника. А Понятно, что получаемые в приведённых выше схемах имитационных испытаний оценки эффективности операции не позволяют выработать окончательное суждение о степени её приспособленности к достижению поставленной цели, так как не учитывают возможные случайные отклоне- ния условий применения ЦУТС в К-С схеме и условий функционирования ЦУТС в С-К схеме, т.е. не учитывают одновременного (наиболее реально- го) воздействия случайных факторов как на условия функционирования,
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 199 так и на условия применения ЦУТС. Поэтому схемы С-К и К-С следует рассматривать как промежуточные на пути от С-С схемы к К-К схеме, ко- торая дает исчерпывающую характеристику эффективности операции. Легко заметить, что если реализована одна из схем С-К или К-С, то тем самым определён один из законов распределения Ft(y) или F-(y) соответ- ственно. В этом случае для реализации К-К схемы необходимо либо ис- пользовать эти функции в формулах (3.4.21) или (3.4.22), либо (если трансформирующие распределения соответственно F*(y) или F-(y) неиз- вестны) вновь воспользоваться статистическим моделированием. Пусть известно распределение F*(y). Тогда, реализуя стохастическую модель условий применения ЦУТС и подставляя получаемые значения zj% - предъявляемых к результатам операции требований в зыражение для F.(y), получают последовательность значений супериндикатора а\, т.е. <°^=FAhX t/i=l(lW. (3.4.23) и по ней находят оценки средней (априорной) и гарантируемой (апостери- орной) вероятностей достижения цели операции (см. п. 3.4,2): *£rM = ".S^«- (3-4.25) Если же известно распределение Щ(у)9 то, реализуя стохастическую модель условий функционирования ЦУТС и подставляя получаемые зна- чения yh виртуальных результатов операции в выражение для Я£(г), по- лучают последовательность значений супериндикатора &г, т.е. <»*л=*«Ы' [/2=l(lM. (3A26) и по ней находят оценки средней (априорной) и гарантируемой (апостери- орной) вероятностей достижения цели операции (см. п. 3.4.2): *л*=4-£«ь; (ЗА27) ««00 = »,^ ■ (3-4.28) Попутно по выборкам (3.4.23) и (3.4.26) могут быть построены стати- стические функции распределения F^ (со) и F^ (со) супериндикаторов &х и ^соответственно. Отметим, что на рис. 3.4.3 и 3.4.4 изображены структурные схемы алго- ритмов, реализующих соответственно схемы С-С-»К-С->К-К и С-С -> С-К -> К-К.
200 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Как было показано в п. 3.1, распределения супериндикаторов а\ и &2 в общем случае существенно различны. Так, различны их моды, одноимён- ные квантили, дисперсии и т.д., вследствие чего при одном и том же уров- не гарантии у гарантируемые вероятности а)[ДЦ (у) и (о[дц (у) достижения цели операции различны. Таким образом, можно сделать вывод, что процедуры оценивания эф- фективности операции по схемам С-С->К-С->К-К и С-С->С-К->К-К не в равной мере надёжны и, следовательно, в зависимости от параметров распределений F.(y) или Ft{z) следует отдавать предпочтение той или иной схеме испытаний. Проиллюстрируем сказанное на конкретных при- мерах. Пример 3.4.4. Планируется нанесение удара по площадной "цели". Для вывода "цели" из строя ей должен быть нанесен относительный ущерб не менее z. Выделяемые для этого боевые средства могут нанести относи- тельный ущерб, равный у. Цель операции - выведение "цели" из строя. Требуется: оценить эффективность операции при условии, что вирту- альный (возможный) и необходимый (требуемый) ущербы подчинены нормальным законам распределения (см. [169]), т.е. (\. тЛ (3.4.29) °у J Ft(y)=Fl%;y,v,)=Fjy-^ где J; = 0.7; <т-=0.1; *-Н (3.4.30) V °i ) где z = 0.6; <7- =0.5. Решение. В рассматриваемом случае средняя вероятность достижения цели операции будет определяться одним из следующих соотношений: Pm = P(z<y)= )Ft{y)dFt{y)=)adFui{a) = Wi, (3.4.31) -оо 0 d где <q=F2(j>),iura Рдц = Р{у > z) = ] R,(z)dFu(z) = )<DdF&i {со) = Ш2, (3.4.32) -оо 0 d где d)2=R-{z). Согласно (3.1.48) и (3.1.49) функции распределения F& (со) и F& (а)} оп- ределяются следующими выражениями1: Не следует смешивать "агрегаты" А и В с параметрами А,кк и В,
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 201 F&t{w) = F\F7'{o))\=Fa[AF;\o>)+B\=FaWsF;x-\\; (3.4.33) F^H = ^[^M]=fJ1^1M+^J = fJ2I^-2] , (3.4.34) где А = -*- = 0.5 ; В = =lzZ=_ =-i. °> После подстановки (3.4.33) в (3.4.31), (3.4.34) в (3.4.32) и последующего интегрирования (с учетом заданных значений параметров распределений случайных величин у и z) получим col=a)2=F0 -В ^л/ГТ^ Согласно (3.1.65) и (3.1.68), с учетом заданных значений параметров распределений F.(y) или F-(z), при уровне гарантии у = 0.9 имеют место следующие равенства: >Ло.1)+1 f;x(i-y)-b А = F, 0,5 со 2ДЦ = 0.29; (3.4.36) (r)=<w=^:(i-r)=^J^;,(i-r)-^]= = F<r[0.5F;,(0.l)+l]=0.64 . (3.4.37) Из равенств (3.4.36) и (3.4.37) следует, что при уровне гарантии у = 0.9 й>2г(0.9)><(0.9) (3.4.38) и, таким образом, "более целесообразна" схема испытаний С-С—»С-К—>К-К, поскольку она обеспечивает более высокий гарантиро- ванный результат (гарантируемую вероятность достижения цели опера- ции). На рис. 3.4.10 приведены графики функций распределения F& (a)j и F& (o)j супериндикаторов &х и &2 соответственно, построенные при за- данных значениях параметров распределений F-(y) и Ft(z) случайных ве- личин у и z, иллюстрирующие полученное решение. А Пример 3.4.5. Планируется операция, которая должна быть завершена не позднее директивного момента времени z. Параметры и ЭТХ ЦУТС и реализуемого ею ЦНПФС позволяют завершить операцию к моменту вре- мени у.
202 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Рис. 3.4.10 Требуется оценить эффективность операции при условии, что вирту- альная (возможная) и директивная (предельно допустимая) длительности операции подчинены смещённым показательным законам распределения, т.е. F9{y)=Flcn](y;jufa) = [l-e-fl{"-")U(y-a), (3.4.39) где ju = 0.5 ; а = 1 ; *i(*) = F}cn]{z;v,c)= [l-e-^Uiz-c), (3.4.40) где v = 1 ; с = 2. Решение. В рассматриваемом случае средняя вероятность достижения цели операции будет определяться одним из следующих соотношений: Pm = P{z>y)= )R,(y)dFt(y)= )a>dF&i{a>)=mt , (3.4.42) 0 d где й>2=Д2(.р)-
3.4. Методы вычисления показателей эффективности ЦНП 203 Согласно (3.1.48) и (3.1.49) функции распределения Fa(cd) и F&(co) определяются следующими выражениями: /?*/e>)=FjF/4a»)]=[i-^(e^i-^V(»;^W,i)+^(a>-i)= = [l-e(l-й))2\п{а>;0.39,1) + Л{бО-1) ; (3.4.43) F&i{a>)= R}[R:t(o))]=e/l{"c)uy;n{(o;0,l)+A(o}-1) = = 0.606а>*#(ю;0,1)+Л(ю-1). (3.4.44) После подстановки (3.4.43) в (3.4.41), (3.4.44) в (3.4.42) и последующего интегрирования (с учётом заданных значений параметров распределений случайных величин у и z ) получим ж = со2 = 1 У—е^а-с) = 0.596 . (3.4.45) v + // Согласно (3.1.65) и (3.1.68), с учётом заданных значений параметров распределений F^{y) и F^{z)9 при уровне гарантии у = 0.9 имеют место следующие равенства: <да(г) = ^ГЫ = ^//(1-г) = 1-Г ИЛ-с) = 1-(0.9)Ь^ =0.424 ; (3.4.46) <цМ= <»fW= Fftl- Г)= (l- r)^v (а"с) = (М) V"> = 0.027 . (3.4.47) Из равенств (3.4.46) и (3.4.47) следует, что при уровне гарантии у = 0,9 ^(0.9)>^2(0.9) (3.4.48) и, таким образом, "более целесообразна" схема испытаний С-С—»К-С—>К-К, поскольку она обеспечивает более высокий гарантиро- ванный результат (гарантируемую вероятность достижения цели опера- ции). На рис. 3.4.11 приведены графики функций распределения F& {со) и F& {со) супериндикаторов &х и &2 соответственно, построенные при за- данных значениях параметров распределений F~{y) и Fi{z) случайных ве- личин у и z, иллюстрирующие полученное решение. А 3.4.7) Обратим внимание на реальный смысл выводов, сделанных по результатам примеров 3.4.4 и 3.4.5. В принципе объективно существует одна гарантируемая вероятность соГДЦ {у) достижения цели операции (выполнения задачи ЦУТС), и две раз- личные её оценки со[{у) и со[{у) свидетельствуют о наличии неадекват- ности лежащих в основе этих оценок вероятностных моделей исследуемо- му случайному явлению. Однако эта неадекватность кажущаяся. На самом
204 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП 0 а у О F^cfafiy) 1 а) со деле она отражает позицию исследователя, анализирующего операцию, т.е. ситуацию, в которой он оказывается при установлении мест (ролей) "неоп- ределённости" и "случайности" в построенной им вероятностной модели (см. (3.1.1)). Напомним, что трансформируемое распределение характери- зует "случайность", а трансформирующее - "неопределённость". На какую же из вероятностей 0)[(у) или oo^iy) следует ориентироваться? Ответ на этот вопрос зависит от концепций исследователя и его возможностей по выбору схемы испытаний. Если выбор ограничен, то вопрос теряет смысл. Если же могут быть реализованы обе схемы, то при анализе эффективно- сти операции полезно знать обе вероятности 0)[(у) и (О^У)- Что касается синтеза операции, то, с одной стороны, для экономии средств (ресурсов) и усилий следует ориентироваться на большую из этих вероятностей, но, с другой стороны, для большей гарантии успеха операции надо отправляться от меньшей из них. Поэтому в зависимости от реальных условий проведе- ния операции и возможностей её оптимизации должно приниматься неко- торое компромиссное решение. А
3.5. О вырожденных задачах оценивания эффективности ЦНП 205 3.5. О ВЫРОЖДЕННЫХ ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ Как указывалось выше, в основе методологии комплексного исследова- ния операции, как при оценивании её результатов, так и при оценивании эффективности, лежат критерии пригодности и оптимальности [см. п.2.2.2, формулы (2.2.1), (2.2.2), (2.2.3)]. При этом все операции, показатели каче- ства результатов и показатели эффективности которых удовлетворяют этим критериям, считаются одинаково эффективными. Это обстоятельство порождает ряд возражений против оценивания эффективности операции по вероятности РДЦ или согдц (у) достижения её цели. Приведём наиболее типичные из таких возражений. 1. Цель операции может быть достигнута при различных результатах (эффектах), а при таком подходе это якобы не учитывается. Причём выска- зывается мнение, что квазирегулярные модели (см. п. 2.4) позволяют про- изводить такой учёт. 2. По некоторым эффектам (как правило, побочным) цель операции за- ведомо достигается, и, следовательно, задача ЦУТС состоит в достижении требуемого целевого эффекта. Поэтому нет необходимости вводить в рас- смотрение векторный показатель Км качества результатов операции. 3. В детерминированной постановке задачи вероятность Рдц достиже- ния цели операции может принимать лишь одно из двух значений: 1, если Ум g [У?\], и 0, если L £ \Уи\\ > и> следовательно, вероятностный пока- затель не позволяет сравнивать между собой конкурирующие варианты операций (их организации) по их эффективности. 4. Если ресурсы всех видов не ограничены и требуемый целевой эф- фект достигается наверняка, то Рдц = 1 и, следовательно, операции, даю- щие различные эффекты, по этому показателю неразличимы. Если же ре- сурсы ограничены настолько, что требуемый целевой эффект наверняка не достигается, то Рдц = 0 и, следовательно, все операции, обладающие та- кой "эффективностью", также неразличимы. Постановки задач исследования операций, в рамках которых высказы- ваются приведённые выше замечания, получили распространение в лите- ратуре и находят практическое применение. Однако представляется целе- сообразным подобные задачи называть вырожденными (чтобы не сказать "надуманными"), если вообще их можно считать реальными задачами. Прокомментируем их в той же последовательности. 3.5.1) Приспособленность операции к достижению цели выражается в ее результатах (F/„\)5 имеющих вполне определённый закон распределения, в
206 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП котором проявляется специализация операции (ЦНПФС) по достижению тех или иных отдельных эффектов (по аспектам). Так что при фиксиро- ванных требованиях (Z?\) к результатам операция, дающая больший эф- фект определённого вида при одинаковых остальных эффектах, будет иметь большую вероятность РДЦ достижения цели, так как на последнюю оказывает влияние и характер рассеяния эффектов (см. п. 4.2). Таким обра- зом, квазирегулярные, а тем более детерминированные модели этого не учитывают. А 3.5.2) Если по каким-либо эффектам цель операции заведомо достигает- ся, то соответствующие им показатели не должны входить в состав вектора Y, х, так как его образуют лишь показатели существенных эффектов. Если же к таким эффектам относятся затраты ресурсов и времени, то задача вы- рождается до некорректной и в принципе в рамках теории эффективности не должна рассматриваться. Действительно, если ресурсы не ограничены и получение требуемого целевого эффекта "не к спеху", то никакой пробле- мы нет, нечего анализировать и оптимизировать, так как за неограничен- ное время при неограниченных ресурсах может быть получен любой напе- рёд заданный результат. А 3.5.3) Как уже неоднократно подчёркивалось, детерминированная мо- дель не является адекватной ни одной реальной операционной системе и должна рассматриваться лишь как весьма грубая ее аппроксимация. При Рдц = 0 сравнение результатов различных операций (различных вариантов организации ЦНПФС) бессмысленно, потому что операции не- пригодны для реализации, поскольку не достигают цели. Если же есть та- кие возражения, что, мол, хотя цель операции и не достигается, но опера- ция должна проводиться и желательно, чтобы при этом ее результаты были бы "получше", то это означает, что цель операции была сформулирована неправильно. Действительно, если можно довольствоваться результатами операции ниже требуемых (а желание их сравнивать при нулевой вероятности Рдц свидетельствует именно об этом), то это означает, что при таких снижен- ных результатах также достигается цель операции, хотя и ограниченная. Это обстоятельство легко учитывается в стохастической модели путём за- мены детерминированных требований - ZK к результатам - Ум операции случайными {рандомизированными ) требованиями - Z,, > область (носи- тель) распределения которых - \Z^} располагается в окрестности точки Путём введения искусственного рассеяния.
3.5. О вырожденных задачах оценивания эффективности ЦНП 207 Zf. так, чтобы по компонентам вектора К* результатов операции, не удовлетворяющим заданным требованиям - Z\, последние были бы "в среднем" снижены. Сформулированные рекомендации для случая я=2 иллюстрируются рис. 3.5.1, на котором обозначено: ух — показатель целевого эффекта; у2 - показатель расхода ресурсов; ZL- заданное значение показателя требуе- мых (предельно допустимых) результатов (эффектов) операции; \Zf% j - область возможных значений (носитель распределения) рандомизирован- >р <2> ного вектора ZL - показателя результатов операции; zf, zf"[i = 1,2] границы носителей распределений компонент if, if/f рандомизирован- ного вектора ZL. При этом верхние индексы (/ ) показателей У$ вирту- альных результатов операции обозначают вариант ее организации. Рандо- мизация требований к результатам операции должна проводиться по зако- ну распределения F%P \Z,2A, наиболее полно учитывающему относитель- ную "важность" ("весомость") отдельных её эффектов ух и у2. Легко по- нять, что в рассматриваемом случае рДЦ=р[г[2)е(ц")\, где (ц(/)) - подобласти области {z^f}, при попадании в которые вектора ZL цель операции достигается. Всё сказанное в полной мере относится и к случаю Рдц = 1 с тем раз- личием, что рандомизация требований - ZL должна проводиться в сторо- ну их "повышения". Этот случай иллюстрируется рис. 3.5.2. А 3.5.4) Последний случай практически сводится к предыдущему, с тем различием, что результаты - К2* операции здесь случайны. При этом предполагается, что операции, для которых РДЦ =1 (или Рдц = 0), "эф- фективны" не в равной степени, более "эффективна" та, у которой выше показатель W = Wp\y,A. Ещё раз подчеркнём, что подобная точка зрения - заблуждение вследствие неправильной постановки задачи. Действительно, ведь если результаты различных операций сравниваются не только по це- левому эффекту, но и по затратам ресурсов и времени, то это означает, что ресурсы и время надо экономить. Их экономия приведёт к снижению веро- ятности Рдц достижения цели операции.
208 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП Р{1) =0 ГДЦ и г2 ' *-г 0 0 у(») - у> w z<y Г ! ? F J« *, Г(2) Рис. 3.5.1 Таким образом, неограниченность ресурсов, как, впрочем, и чрезмерное их ограничение - это абстракции от конкретных реальных задач. При кор- ректной постановке задачи в рассматриваемом случае, как и в предыду- щем, требования - Z,2v к результатам операции как по целевому эффекту, так и по расходу ресурсов должны быть повышены (или понижены) до ре- альных пределов. При этом вероятности Р^ц снизятся (или повысятся) и различие вариантов операции в их результативности и ресурсоёмкое™ проявится в различии их эффективностей, т.е. в различии вероятностей р(0 гдц-
3.5. О вырожденных задачах оценивания эффективности ЦНП 209 V ^ *2 У? 0 'Л " "7 р(|)=1 73 / А w///// у К i У ГУ 1 * />(2)=1 у(») Z2 — Z2 «Г'^ p(D ф л Рис. 3.5.2 Сказанное иллюстрируется рис. 3.5.3 и 3.5.4, на которых обозначено: \Y$] - область возможных значений (носитель распределения) показателя Y$ результатов 1-го варианта операции (/ = 1, 2); \Zt, ) - область воз- можных значений (носитель распределения) показателя Z,^ требуемых (предельно допустимых) результатов операции; \Z^ j - область возмож- ных значений (носитель распределителя) рандомизированного показателя ZL требуемых результатов операции. ▲
210 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП If Уг' Уг (О у2 ^iD = i шшщ --щшй !*&} 1«°} - ГТШ -Щтжг т г, yt ,'(0 Ух *(») Ух \?>»»»»Л Zi I - - к^щс^^Д »(г) Уг yf Уг />(2)=1 Ш Ух ,Ф) tirl Ух Ух ,'(») р(1) ф 1 /г(г) z?=y\{l) Рис. 3.5.3 3.5.5) В заключение ещё раз отметим, что закон распределения, рандо- мизирующий вектор Z;\, должен задаваться с учётом важности (весомо- сти) компонент векторов Y$. При этом естественно, что области {К^|, {z^ j , \Zf%j возможных значений (носители распределений) случайных векторов F/7 , Z/v, Z, \ соответственно в общем случае могут иметь про- извольные конфигурации, учитывающие возможные связи их компонент. На рис. 3.5.1-3.5.4 эти области прямоугольные лишь для большей нагляд- ности. А
3.5. О вырожденных задачах оценивания эффективности ЦНП 211 *?'=*(2) <*о 4-jP 4=# У1{1) К(2) г( = У?г) «. Рис. 3.5.4 3.5.6) В общем случае за счёт степени повышения (или снижения) тре- бований по различным компонентам вектора L может быть учтена их от- носительная "важность". Однако, как указывалось ранее, при комплексном исследовании эффективности операции в состав вектора L должны вхо- дить лишь показатели существенных и потому одинаково важных её ре- зультатов. Таким образом, в качестве границ области \Z£? j, "смягчаю- щих" ("ужесточающих") требования к результатам К» ЦНПФС, лучше брать их предельно допустимые значения (на рис. 3.5.1-3.5.4 они обозна- чены штрихами). Отметим, что в общем случае совпадение величин zf it" с у\'К [i = l(l)«; / = 1,2] (рис. 3.5.1, 3.5.2) или с у^'К у{(,) [i = l(l)« ; / = 1,2] (рис. 3.5.3,3.5.4) не обязательно. А
212 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП 3.5.7) При вырождении задачи, т.е. когда РДЦ = 1 или Рдц = 0 (как при детерминированной постановке задачи, так и при вероятностной), ран- домизации может быть подвергнут не только вектор Z,y но и векторы y№- Однако, чтобы получаемые при этом результаты были сравнимы, в основу рандомизации должны быть положены принципы, обеспечивающие одинаковую её степень для всех сравниваемых вариантов операции. А Проиллюстрируем общую методику решения вырожденных задач ис- следования эффективности операций на ряде примеров. Пример 3.5.1. Пусть Z(32>=(zf,z2J> = (2,5,3); Г$ = (^(,),^2)> = (l,8,3); У(2? = (уР'У?) = (4>3>5) (см. рис. 3.5.1). Тогда т.е. обе операции неэффективны. Однако требуется выбрать из них "более предпочтительную". Решение. Решение задачи зависит от выбранного показателя качества операции (критериальной функции): а) если руководствоваться показателем целевого эффекта (2.4.6), то »f = ,<'>= 1.5; 1 \ (3.5.2) ^>=*(2)=4, j т.е. более результативна операция О® и, следовательно, О^ < 0^г\ где -< - знак доминирования (превосходства); б) если руководствоваться показателем (2.4.7), то 6 W 3.5 (3.5.3) т.е. менее ресурсоёмка операция 0(|), и, следовательно, и 0(|) >- 0(2); в) если положить #31 = 1, а32 = -1, и воспользоваться показателем (2.4.8), то W^^a^+a^ = 1.5-1 = 0.5; 1 W® = а31 у® + ad? = 4 - 3.5 = 0.5 J и, следовательно, операции О^ и О^ по показателю W3 неразличимы.
3.5. О вырожденных задачах оценивания эффективности ЦНП 213 Понятно, что результаты (3.5.2) - (3.5.4) не позволяют с уверенностью отдать предпочтение ни одной из сравниваемых операций (ни одному из вариантов ЦНПФС) О^ или 0^2К Это происходит потому, что использо- ванные детерминированные показатели JVl9 W39 W6 не оценивают эффек- тивности операций О^ и О^ поскольку никак не учитывают их цели, а лишь измеряют некоторые операционные свойства их результатов, такие, как результативность операции - Wx, производительность (отдача) ресур- сов - W6 (или ресурсоёмкость целевого эффекта - W^x); обобщённый эф- фект операции - \¥ъ ; г) проведём рандомизацию требований - ZL, предъявляемых к результа- там - Коопераций 0(,) и 0(2). Как отмечалось (см. (3.5.1), (3.5.2)), в основу рандомизации могут быть положены различные принципы (например, учёт сравнительной "важности" эффектов у$'\ у^). Однако наиболее простое (из разумных) решение даёт подход, при котором полностью учитываются дос- тоинства и в равной мере (хотя, быть может, и частично) недостатки конку- рирующих вариантов О^ и О^ операции. Этот подход иллюстрируется рис. 3.5.1, где "максимальные" требования zP/ , гР2; обусловлены лучшими эффектами JY ,j>2 операций О^ и О^ соответственно, а "минимальные" требования zP/', zP// - худшими из допустимых эффектов miny\ , таху\ . .р/ Пусть miny^ =0.6; таху2=4Л. Тогда zt =0.6; zt = 4; z2 =1; zP// = 4.1 и, следовательно, (3.5.5) *3=?l W2) * zh W2) * *f )]=p\K)e №)l Будем считать, что вектор ZL распределён в пределах области \Z[%} равномерно. Тогда из соотношений (3.5.5) имеем: 1 \(Ц{1))\ PilhJi^fMzM1dz2=1r-^l\dz1dz2 |K<2)j|(tf(") (« та -1Я .(». «f'X *"-*," L(l.5-0.6)(4.1-l)_ (гГ-гГДгГ-гГ)" (4-0.б)(4.1-1) (2)^ Я^А^К^тт—гг JJ&,*, = 0.26; (3.5.6) 'Д4 (ц«) 1^1 _ (zr-zrhr -^)_(4-0.6)(4.1-3.5)_ ~и'#-х."К'-*ГГ (4-0.6)(4.1-l) ~0Л9' (3-57)
214 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП где \Ц^)\ , {^(2? Л ~ меры (площади) областей \Ц ) и \Z^j соответст- венно. Из сравнения результатов (3.5.6) и (3.5.7) следует, что операция О^ более эффективна, чем операция О^ т.е. О^ У О®. В частотной трактов- ке понятия вероятности это означает, что при возможных отклонениях требований - Z,2v к результатам операции от заданных - ZL при много- кратной реализации ЦНПФС типа О'1' цель операции будет достигаться чаще, чем при реализации ЦНПФС типа О® (и это несмотря на то, что ,««,«). А В последующих примерах будут приведены лишь математические вы- кладки. Сопутствующие им рассуждения аналогичны приведённым в при- мере 3.5.1. Рекомендуем читателю провести их самостоятельно. Пример 3.5.2. Пусть Z3{2) = (zf,z23) = (2, 3); Г$ = (у®,у®)= (4,2,5); (см. рис. 3.5.2). Тогда ^5MW^^)nW)<z25)]=l;l Требуется выбрать из операций О^ и О^ "более предпочтительную". Решение. В зависимости от показателя качества операции (критери- альной функции)получим: (3.5.8) а) по формуле (2.4.6) т.е. 0(х)<0(1); б) по формуле (2.4. W) »f = ,<2)=4, (3.5.9) Ъ (o-if-A-2. 1.5 (3.5.10) W® = \r = ^- = 1.6, T.e.O(Vo(1); в) по формуле (2.4.8) при а31 = 1, а31 = -1 »f = «з,Al) + ajp = 3 -1.5 = 1.5 ; »f = a3ly\2) + ad? = 4 - 2.5 = 1.5, т.е. О^ = 0^г\ где = - знак "равносильности"; (3.5.11)
3.5. О вырожденных задачах оценивания эффективности ЦНП 215 73 положив zf/= zf, г) проведём рандомизацию требований zP2;/ =Ух\ zP2'=у^\ zP//=zl и, считая, что в пределах области \Z?£\ вектор ZL распределён равномерно. Тогда (4м) \\Z{2)i\(4(,)) \(Ц{1))\ Ul)-7P/)(7P// -7P/\ 3-2 |VM >[ = ¥1 h-Jgi hA =i L = о so . G5 12") И <> = />[z{'2) e (д«)]= JJ f>i& fe.*»)*. A, = -гЛтг 1/4,4, = J to") т.е. 0<o V0W- РЩ .(гГ-гГХгГ-^), 3-2.5 («."-*.")&'-«.") 3-i.s = 0.33; (3.5.12') 3.5.8) В приведённых примерах к выводу о превосходстве операции О^ над операцией О^ приводят как показатель РДЦ, так и показатель W6. Однако это совпадение чисто случайно и обусловлено лишь исходными данными примеров. Действительно, если в условиях примера 3.5.1 поло- житьГ$ = (^,,«) = <4,3),то W^ = \ = - = 1.33 6 У? 3 и по показателю Wt по-прежнему Or' >Ок'- В то же время (0 »ю. „W Р(2)_гГ-^_ 4.1-3, ГДЦ р// р/ Z2 -Z2 = 0.35 4.1-1 и, следовательно, по показателю Рдц О^ •< 0^2\ т.е. операция 0^ стала (оказалась) более эффективной, чем операция О^. Именно такой вывод должен быть сделан по их сравнительному оцениванию. Всё сказанное в равной мере относится и к примеру 3.5.2. Рекомендуем читателю убедиться в этом самостоятельно путём варьирования исходных данных. ▲ Пример 3.5.3. Пусть случайные векторы кУ, К(22Л Z,^ распределены равномерно соответственно в пределах областей \F/f\^j , {F^2*} , \%?Л (см. рис.3.5.3), вершины которых имеют следующие координаты: z[ = 0.5;
216 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП zf =1.7; zi=3;4=4; *'<'> = 2 ; <<'> = 3.5; ^ = 0.5 ; ^ = 1.5 ; у?* = 3 ; rf « = 4.2 ; у'® = 1 ; у^ = 2.5 . Из рис. 3.5.3 видно, что р0) _ р(2) _ t и, следовательно, обе операции О^ и О*2) "абсолютно эффективны". Это является результатом некорректной формулировки задачи, обусловленной занижением требований к результатам (эффектам) операции. Требуется выбрать "предпочтительный вариант" операции (ЦНПФС). Решение. При различных показателях качества операции (критери- альных функциях) получим: а) по формуле (2.4.6') = 2.75 ,Г(0_?(0_^/(1)^Г(1)_2 + 3.5_ 1 Ух 2 2 ,ч И2) + i//(2) 1 + 4 2 ^(2) = ^(2) = УХ +Л = 3+±f = 3.60 1 Jx 2 2 (3.5.13) т.е. 0(1)<0(2) б) по формуле (2.4.1 Г) «W ^(,) = |; = ^ = 2.75; ~(2)=^=з:бо = 10 * J2(2) 1.75 (3.5.14) (3.5.15) т.е. 0(,)хО«. в) по формуле (2.4.80 ПРИ &з\ = *> азг = ~* ^з(1) = «з,У11) + <*пА1) = 2.75 -1 = 1.75 ; Из(2) = «3iJi(2) + «и У® = 3.60 -1.75 = 1.85 т.е. 0{1) <0{2); г) введём дополнительную рандомизацию вектора Z/2v требований к ре- зультатам операций, положив 7Р/ = _/ _/>// = v//(2). Я/ = /(1). Р// _ // и считая, что в пределах области случайный вектор \Z^} вновь распределён равномерно. Тогда *Й = РЫ] * гТ)п (jf * #)]= Я ф*'!(^К'„fe'*)' 1 Urol -<2> w ^ = *!2) * Zh№ * «Г)]= Я <М**)^*& (*.*); lZ(2) / (3.5.16)
3.5. О вырожденных задачах оценивания эффективности ЦНП 217 где = JR,,oU)F,,o0'2), (/ = W); F1&(r,,%)=P|fe' <Z|)n(£2" <*2)]=i»fe' <*>(# <z2)=F,,(Zl)F£,(Z2). Поскольку при равномерном распределении ^(г) = |-^я(г;а,*)+Л(г-А); Ъ-а Ri{z)=A{a-z)+^n{z;a,b), b —a (3.5.17) то с учётом того, что и, следовательно, ft(z) =!?(*) = n{z;a,b) b-a jv(\ M( \j n{z;a,b)dz dF.[z) = <pt{z)dz = —*- '—, b — a формулы (3.5.16) принимают вид г?" г" Pfu= ]*^<,,(г>1Г(г,К J l>(z,)p£f («,)*,= z, z, \dz\ ijf -Л 2 2 (/ = 1,2). В результате интегрирования вьфажения (3.5.18) по формулам 'Ил( Wb-ZT7l *\1 * "г * ,*r [b-z)dz 2{a-c)+{b-a) } dz2, (3.5.18) </-c aJ(*-a)(rf-c) i</-c 2(</-c) 'J (3.5.19) имеем
218 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП рм _ Ш> -z?htim -№)№" -yFMz? -yi{,))] /._! 2) (3.5.20) Подставив в формулу (3.5.20) числовые данные примера, получим (|)_[2(2-0.5)+(3.5-2)][(1.5-0.5) + 2(4-1.5)]_ т~ 4(4.2-0.5)(4-0.5) (2)_[2(3-0.5) + (4.2-3)][(2,5-1) + 2(4-15)]_ т~ 4(4.2-0.5)(4-0.5) " (3.5.21) Сравнение результатов (3.5.21) показывает, что О^<0^г\ т.е. опера- ция О™ эффективнее операции О^1' (хотя и незначительно). Заметим, что из выражений (3.5.14) следуют противоположные выводы. ▲ Пример 3.5.4. Пусть случайные векторы Щ), кФ, Z,2> распределены равномерно соответственно в пределах областей JF/f\(,)j , |кД(2)) , \^н)\ (рис. 3.5.4), вершины которых имеют следующие координаты: г,'= 2.5; z"2=4.2; г; = 1.5; г? = 2.5; Х(,) = 0Л; tf(,) = 1.8; ^(,)=0.5; ^(,) = 2; Х« = 3; y;V = 4.5;y'V = 3;/V = 4. Из рис. 3.5.4 видно, что р(0 _»(»)_ л Л ли Л ли v » 1 дц - Лдц и, следовательно, обе операции О^ и О*2* "абсолютно неэффективны", т.е. поставленная цель операции никогда не достигается. Однако это может быть обусловлено чрезмерным завышением требований к результатам (эффектам) операции. Тем не менее необходимо выбрать "предпочтитель- ный вариант" операции. Решение. Предоставляем читателю провести его в качестве упражне- ния по схеме (алгоритму), реализованной в примере 3.5.3. А Примеры 3.5.1 - 3.5.4 ещё раз убеждают нас в том, что распространён- ные на практике показатели W\9 W3, We и т.п. не позволяют проводить сравнительный анализ операций по их эффективности в замкнутой схеме, так как они не характеризуют в достаточной мере это комплексное свойст- во ЦПФС и, следовательно, непригодны для их оптимального синтеза. Эта задача может быть корректно решена только на базе стохастических моде- лей элементов операционного комплекса, лежащих в основе методов, рас- сматриваемых в данной монографии (см. п. 4.2).
3.6. Комментарии 219 3.6. КОММЕНТАРИИ В силу сугубо практической направленности рассматриваемой пробле- мы в монографии большое внимание уделяется обсуждению ее семантиче- ских и методологических аспектов, четкое понимание которых абсолютно необходимо для корректного формулирования задач исследования и по- строения адекватных математических моделей изучаемых объектов (ЦУТС и ЦНПФС). С этой целью прокомментируем принципиальные по- ложения, составляющие основу данной главы. 3.6.1} Как было отмечено в (2.2.6), при априорном (до применения по назначению) оценивании качества объекта, по существу, оценивается "класс объектов", в пределах которого истинные качества их образцов (эк- земпляров) имеют разброс, обусловленный, с одной стороны, размерами области {УД ] допустимых значений показателя качества F/\, а с другой - возможным разбросом "несущественных" свойств объекта, не учитывае- мых при оценивании его качества. При оценивании эффективности ЦНП это обстоятельство также прояв- ляется в полной мере. Кроме того, к отмеченным выше факторам добавля- ется априорная неопределённость и обусловленный ею разброс требова- ний, предъявляемых к качеству результатов операции (см. (2.3.7)). Поэто- му при априорном оценивании эффективности ЦНПФС, в сущности, оце- нивается его потенциальная эффективность, присущая "классу ЦНП", оп- ределяемому его организацией, т.е. стратегией его целевого применения, а не отдельной реализации этой стратегии, проявляющейся в конкретной операции. А 3.6.2} Как отмечалось ранее, согласно комплексному, системному под- ходу при исследовании операции и оценивании ее эффективности исполь- зуются специфичные агрегированные модели ЦУТС и ЦНПФС, при- званные отражать с требуемой адекватностью результаты ЦНПФС, дина- мику их получения в ходе операции и их связи с параметрами и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС, без детального описания всех элементов ОК и элемен- тарных актов их функционирования. При необходимости анализа влияния характеристик конкретного эле- мента ОС или ОК на эффективность ЦНПФС эти элементы в модели "вы- свечиваются" путём выделения их параметров из агрегированных характе- ристик ЦНПФС или ЦУТС. ▲ 3.6.3} При наличии существенно неопределённых характеристик ЦУТС и ЦНПФС, а также условий функционирования и применения ЦУТС (т.е. условий проведения операции) используется понятие "гарантированной"
220 Глава 3. Методы оценивания эффективности ЦНП вероятности1 РДЦ достижения цели операции, представляющей собой пессимистическую оценку вероятности Рдц, получаемую при наи- худших (наиболее неблагоприятных) значениях неопределённых характе- ристик, для которых известен лишь их возможный диапазон. А 3.6.4} Иногда высказывается утверждение о том, что рассматриваемый здесь подход к оцениванию эффективности операции не имеет преиму- ществ перед методом, основанным на использовании критериальных функций (см. п. 2.4), поскольку в случаях, когда модели ЦНПФС недоста- точно адекватны реальным операциям, получаемые на их основе значения вероятности Рдц достижения цели операции не равны истинным значени- ям Рдц показателя её эффективности. Однако следует иметь в виду, что даже в этом случае в рассматриваемой методологии "веса" аспектов (опе- рационных свойств результата операции) реализуются (проявляются) в замкнутой схеме, т.е. с предъявлением требований к результатам операции, в отличие от метода критериальных функций, в рамках которого они (веса) определяются эвристически (интуитивно), практически ни на чем не осно- вываясь. ▲ 3.6.5} Рассмотренный в п. 3.5 метод рандомизации показателей вир- туального и требуемого результатов операции - это один из способов "взвешивания" его существенных операционных свойств (аспектов - атри- бутов), причём методологически наиболее обоснованный, поскольку про- водится в замкнутой схеме, на основе объективных исходных данных (ус- ловий задачи). ▲ 3.6.6} В вырожденных задачах оценивания эффективности операций снижение показателей РДЦ их эффективности в результате рандомизации условий функционирования и применения ЦУТС (см. (3.6.5)) пропорцио- нально для всех сравниваемых вариантов ЦНПФС, однако воздействует оно на Р^ц через аспекты качества ЦНП селективно (индивидуально). А 3.6.7} При оценивании эффективности ЦНПФС не следует "пугаться" малых значений вероятности РДЦ достижения цели операции, так как, не- смотря на психологическое неприятие малой вероятности Рдц, она более адекватно отражает реальную ситуацию, чем детерминированный показа- тель W, поскольку в отличие от него определяется в замкнутой схеме (см. также (3.2.10». ▲ 1 Не следует смешивать это понятие с понятиями «гарантируемой» и «гарантий- ной» вероятностей (см. (3.2.11)).
3.6. Комментарии 221 3.6.8} Следует обратить внимание, что в рамках факторизованной моде- ли показателя L виртуального качества результатов операции (см. п. 3.5.2) применение метода ведущих компонент приводит к вырождению за- дачи, так как если компоненты вектора L взаимно независимы, то выде- ление из них ведущих компонент равносильно исключению ведомых ком- понент из рассмотрения. Понятно, что в этом случае возможно оценивание пригодности операции лишь по некоторым аспектам качества её результа- тов. Оценивание комплексного качества операции - её эффективности при этом невозможно. А
Глава 4 МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ Как было отмечено в п. 2.3.5, исследование эффективности ЦНП пред- ставляет собой триединую задачу (оценивания, анализа и синтеза), причём решения первых двух задач - это этапы прямой задачи, а решение треть- ей - этап обратной задачи исследования эффективности ЦНП. В силу методологической важности и концептуальной особенности, а также большого многообразия аспектов, связанных с решением задач оце- нивания эффективности ЦНП, её рассмотрению посвящена гл. 3. В данной главе рассматриваются методы исследования эффективности ЦНП, т.е. ме- тоды её анализа и оптимального синтеза. 4.1. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ Как отмечалось (см. п. 2.3.5), основу всех методов "Исследования опе- раций" и "Теории эффективности целенаправленных процессов" составля- ет их математическое моделирование (аналитическое или имитационное). Поэтому решение прямой задачи исследования эффективности ЦНП за- ключается в анализе свойств (параметров и ЭТХ) его модели. О методах построения моделей ЦНП речь будет идти в гл. 5, здесь же будем предпо- лагать, что такие модели уже построены, и рассмотрим задачи и методы их анализа. 4.1.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПЕРАЦИИ На рис. 2.3.5 приведена схема примерной классификации прямых и об- ратных задач исследования эффективности операции. Как нетрудно ви- деть, задачи анализа операции и её эффективности реализуются при по- строении математических моделей ЦУТС и ЦНПФС, используемых и при решении задач их оптимального синтеза (см. рис. 2.2.5 и 2.2.6). Собственно задачами анализа эффективности операции являются: - вычисление показателей эффективности операции при заданных па- раметрах и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС (характеристиках А',к« и AL*), а также
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 223 при заданных условиях проведения операции (характеристиках J5L и В[г))\ - оценивание эффективности операции по соответствующему задаче исследования критерию; - анализ чувствительности показателей эффективности операции к из- менениям параметров А,к, ЦУТС и ЦНПФС и условий В,* проведения операции; - исследование характера и степени влияния характеристик А', А", В\ В" на эффективность операции и отбор значимых факторов, т.е. факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на эффективность ЦНПФС; - выявление параметров Л'£\, ^ГА' Щ)* Щг\ > наиболее пригодных для управления эффективностью операции (см. рис. 5.2.1). Вычисление показателей РДЦ, <огдц (у) эффективности операции произ- водится по формулам (3.2.10), (3.2.10'); (3.2.17'); (3.2.20), (3.2.20'). Что ка- сается оценивания эффективности операции, то, как известно, в его основе лежат критерии пригодности и оптимальности, которые в задачах её ана- лиза принимают вид: п • р > р7 с; о. дц -' дц> о>[(у)><о%(г); гдц ~ гдц > 0'э:а>[(г) = <огдцОПТ(г); о;:а>Хг)=<»дцОПТ(г)- (4.1.1) (4.1.2) Как было показано [см. формулу (2.3.14)], значения показателей эффек- тивности операции зависят от значений характеристик ЦУТС, ЦНПФС и условий проведения операции, т.е. Рт,,, = Рдц \А,к) , А л ]= Рдц [Х,т)); дц со (у)= | а>х ir) = (о[(у;А{к),В{1))=(о[(у;Х{т)); [а>[{у)= а>[(у;А{к),В{1))=а)[^;Х{т)), ГДе \к) ~ \^(*') » ^(*') / = ^(т,) ' В(1)={В(г)'В(0/ = ХМ; Л<*>-Г>,>'ЛЫ/- (4.1.3) (4.1.4) (4.1.4')
224 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП При этом в отличие от (2.3.11), (2.3.12) компоненты вектора Х.к не случайны, так как либо являются неслучайными компонентами векторов Л*)' A*)' ™6° представляют собой вероятностные характеристики их слу- чайных компонент. Для действенного управления ЦНПФС необходимо знать наиболее зна- чимые факторы (характеристики А,кк и В^), а также характер и степень их влияния на эффективность операции. Эта задача решается методами "Тео- рии чувствительности" [119, 151]. 4.1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПЕРАЦИИ При решении многих задач1 "Исследования операций" и "Теории эф- фективности ЦНП" возникает вопрос о степени влияния на результат па- раметров, определяющих условия задачи. Это в первую очередь задачи анализа и синтеза сложных систем (ЦУТС) и процессов их целевого функ- ционирования (ЦНПФС), задачи принятия решений (проектных, организа- ционных, управленческих и т.п.), задачи непараметрической статистики [170] и т.д. В основе характеристик такого влияния лежат так называемые функции и коэффициенты чувствительности. Методы получения и иссле- дования этих характеристик разрабатываются в "Теории чувствительно- сти" [151] и здесь рассматриваться не будут, однако для понимания мате- риала прикладных разделов монографии необходимо знакомство с основ- ными начальными понятиями этой теории. К таким понятиям в первую очередь относится понятие функции чувствительности. Дадим её опреде- ление применительно к задачам теории эффективности ЦНП. Пусть решение задачи оценивания эффективности операции имеет вид *| = *#Ц.);г)> [/ = 0,l,2;m = l(l)...], (4.1.5) где wt - 1-й показатель эффективности операции (ЦНП) [w,(x)=Pm{x), w1(X;r)=a[{r;X), w2(X;r)=af{y;X)[, Х.х = (А,куВ,Л - вектор параметров задачи исследования эффективности операции, от которых зависят параметры распределений 0f \У,„\) и F% \Z/„\), а следовательно, и параметры распределений F&{H) (со) супериндикаторов &;' [/ = 1,2; /i = l(l)...]; Примеры таких задач будут рассмотрены ниже.
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 225 у - гарантийная вероятность, играющая в задачах анализа эффективности операции роль параметра. Определение 4.1.1. Функцией чувствительности показателя w. эффективности ЦНП к параметру х. (к его изменению) называется част- ная производная функция и>Дх ч;у) по аргументу xJ9 т.е. йдЛ(«)'//-яхЛЛ(«)'^- Лг dXj ,[/ = 0Д,2; j = 1(1)ж], (4.1.6) где Х\ =(xf, Jcf,..., jc' ) = (af,ef,..., af, Af,A* ,..., bf) - вектор базовых (номинальных, расчётных) значений параметров Xj, [/ = 1 (l)»»] • А 4.1.1) В матричной форме система равенств (4.1.6) примет следующий вид [111,119]: (">"/" «<., *<«)-*£) (4.1.7) где ^>(^Ь;У)=к(*м;г)»*5^>»-уЙ(^г.)/г)1 [/=i(iM; (4.1.7) Из определений (4.1.7) и (4.1.7й) следует: - #/зДХ^\;?') - 3-мерный вектор-столбец, называемый вектор- функцией чувствительности показателя W,^ = (w0, wl, w2) = = \Рдц9^(у)9(о[(у)) эффективности операции к параметру ху.; - Н!Ах?,;у) - m-мерный вектор-строка, называемый вектор- функцией чувствительности показателя wt эффективности операции к па- раметру Х(м). А Если показатель wt от переменной у не зависит (как, например, w0 = Рдц) или исследуется при фиксированном её значении у0, то ^ = ^{ту'Го)=^{Х{т)), [/ = 0,1,2] (4.1.8) и выражение (4.1.7) примет вид <m>/ «w Х(т)-Х(т) 8 Зак. 3303
226 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП где «М-скУ-^ **, \Х{»ГХ(») , [/=0,1,2;/ = l(l)m]. (4.1.10) Числа hlj[X?A [/=0,1,2; /' = l(l)w], называются коэффициентами чувствительности. 4.1.2) В принципе значение х* параметра х} в выражении (4.1.6) может быть произвольным, т.е. вместо вектора X,, в нем может фигурировать вектор где nf/ = 0(l)nf; т" = т-т'; ЛГЛч - вектор фиксируемых (номинальных) значений параметров ХТтк; ЛГЛгч - вектор варьируемых значений параметров Х?у Очевидно, что в этом случае функция (4.1.5), а следовательно, и функ- ция чувствительности (4.1.6) будут функциями т" + \ аргументов и их ис- следование существенно усложнится. Однако наибольший практический интерес представляет чувствительность показателей wn [/ = 0,1,2] к ва- риациям параметров х. именно в окрестности их номинальных значений х% [/ = l(l)m]. A Более детально функции чувствительности показателей РДЦ9 Ci)[(y)9 &[ (у) применительно к конкретным распределениям F^(y) и Ft(z) слу- чайных величин у и z рассмотрены в монографии [128], с которой реко- мендуем читателю ознакомиться более подробно. Для иллюстрации рассмотренных выше понятий приведём ряд приме- ров. Пример 4.1.1. Найдём характеристики чувствительности показателей эффективности операции в условиях примера 3.4.4. Решение. Как было показано, при нормальных распределениях вир- туального (у) и требуемого (£) целевых эффектов показатели эффектив- ности операции определяются следующими выражениями: и>п ,0(x{J=w0(AfB)=P^(AfB)=Fo wl(x{m);y)= wl(A,B;y)=a)[(y;A,B)=F0 *>2{х{т);у)= w2(A,B;y)=a)[(y;A,B)=Fa -В 41 +A2 J F;l(i-y)-B (4.1.11) (4Л.12) AF;l(l-r)-B\9 (4.1.12»)
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 227 гкХ{т) = Х(2}=(А,В); А, В-обобщённые (агрегированные) параметры ("агрегаты") задачи; у - гарантийная вероятность. В результате дифференцирования соотношений (4.1.11), (4.1.12) и (4.1.12') при Л = 0.5, В = -1 и 7=0,9 получим ^А(А,в) = -^-Т<р, В Л (1 + Аг){ Чл/Г^? VI+ А2 {л11 + А2 f;x{\-y)-b ;c^,io=*-f;'(1A А1 = 0,096; = -0.240; = 0,387; (4.1.13) -1 к«{у;А,В)=-±<р{ F;l{i-r)-B = -0,678; hf(r;A,B)=F;,(i-r)<p<T[AF;l{i-r)-B]=-o,m; hf {y;A,B) = -<pAaf;1{1 - у)- в] = -0,374. (4.1.14) (4.1.14') A Из числовых данных примера видно, что как величины, так и знаки ха- рактеристик чувствительности показателей эффективности к параметрам А и В зависят от величин и знаков этих параметров [128]. Пример 4.1.2. Найдём характеристики чувствительности показателей эффективности операции в условиях примера 3.4.5. Решение. Как было показано, при смещённых показательных распре- делениях виртуальной (у) и директивной (г) длительностей операции по- казатели её эффективности определяются следующими выражениями: w. (х,т))=ь>9{м,а,У,с)=РДЦ{м,а,У,с) = 1 У—е»^; (4.1.15) JU + V W, ".(*<„>>t)= wj,fi,a,v,c;y)= af{y;n,a,v,c) = 1-у'е*™*; (4.1.16) wi\x{m)>y)= w2(fi,a,v,c;y)=a>[{y;ju,a,v,c)=(l-y)Mev{a-c), (4.1.16') rfleX<m) = X(4)=(//,a,v,c); ju, a,v, с -параметры ("агрегаты") задачи; у - гарантийная вероятность.
228 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП В результате дифференцирования соотношений (4.1.15), (4.1.16) и (4.1.16') при ju = 0,5, а = 1, v = 1, с = 2 и у = 0,9 получим: V"+v) hZ(M,a,v,c) = ^^e>'{-c) = -0,202; /л-v ^(//,a,v,c) = 7-^r^(-c) =-0,135; h^{n,a,v,c) = -^-e"{tt-c) =0,202; h?(y;ii,a,v,c) = -Iny -a + c \у*е»(а-с) = 0,636; ** ^//)a)v,c)-//r'/M) = -0,778; A<(r;/M,v,c) = 4r*A(e~c) =0,778; v A* (r;//,«,v,c) = fir e"("~e) = 0,778; ^(^,a,v,c)=^%^(l-r)L"^ = -2,303; M hf (y;n,a,v,c)=-v{l - yfev^ = -0,027; ln{l-y) hf {y;n,a,v,c) = v(l - yfev{c-a) = 0,027. h?{y;n,a,v,c) = \ myi 7, + c-a \{\-y)i>ev(c-a) =-0,098; Как видно из примера, при одних и тех же номинальных значениях па- раметров ju, a, v, с характеристики чувствительности показателей эф- фективности операции принимают самые различные значения и предска- зать их поведение только по выражению показателя эффективности нельзя [128].
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 229 4.1.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ЦУТС И ЦНПФС НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОПЕРАЦИИ Достаточно очевидно, что рассмотренные характеристики чувствитель- ности представляют несомненный практический интерес, так как позволя- ют анализировать характер изменения эффективности операции при изме- нении значений параметров моделей ЦУТС и ЦНПФС, являющихся агре- гированными комплексами их параметров и ЭТХ (ДА\). Однако сущест- венным недостатком этих характеристик является различие их размерно- стей, не позволяющее проводить их сравнительный анализ. Для осуществ- ления такого анализа вводится в рассмотрение ряд характеристик, произ- водных от характеристик чувствительности (либо безразмерных, либо имеющих одинаковые размерности): - коэффициент (показатель) влияния параметра х} на показатель эф- фективности и>7 (/ = 0,1,2) У\=У:;=К\Х;\ (4-1.19) - коэффициент (показатель) нестабильности показателя wt по па- раметру х., [/ = l(l)#fi] ^'=*;'=<'<V (4Л.20) - потенциал управления показателем и>7 по управляемому параметру ик, [к = 1 (l)r] (г - число управляемых параметров) и[=и::=\Кк\\Лик\, (4.1.21) где Л ик - диапазон возможного изменения параметра ик; - потенциал оптимизации [коэффициент (показатель) действенно- сти управления] показателя wt по параметру uk, [k = l(l)r] i \\^uk\ Dl=D"' = А"' ' -, (4.1.22) где Аик - диапазон возможного прогрессивного (способствующего по- вышению эффективности) изменения параметра ик; £ Ск - затраты, необходимые для изменения параметра ик в диапазо- не £ик. 4.1.3) В отличие от показателей Vj 9 N1., U[, которые для всех j и к имеют одинаковые размерности, совпадающие с размерностью показате- лей wt (поскольку в рассматриваемом случае wn [/ = 0,1,2] - это вероят- ности и, следовательно, безразмерны, то безразмерны и характеристики
230 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Vj, Nj9 U[) и потому пригодны для сравнительного анализа, показатели D'k9 [k = l(l)r\ имеют размерности, обратные размерностям затрат Ск на управление параметрами wA, [A = l(l)r]. Поэтому для сравнимости этих характеристик для различных параметров затраты СЛ, [# = l(l)r] следует выражать в одних единицах. ▲ Некоторые из приведённых характеристик имеют широкое применение в "Теории производственных функций" и "Теории операционных функ- ционалов" (см. гл. 5 и [59]), хотя иногда и под другими названиями. При широком толковании понятия "ресурс" можно говорить о ресурсе конкретного свойства объекта, понимая под этим "интенсивность" этого свойства [4, 158]. А поскольку параметры объекта характеризуют количе- ственно его свойства, то их значения характеризуют запасы ("ресурс") это- го свойства у объекта. Опираясь на такое толкование понятия ресурса, рас- смотрим ещё ряд характеристик, позволяющих проводить углублённый анализ свойств исследуемых объектов ЦУТС и ЦНПФС, а также их каче- ства й эффективности. Характеристики производительности "параметрическихресурсов" 1: - показатель предельной производительности параметра х. lt=h'>> (41-23) - показатель средней производительности параметра х. Щ XJ = *;' . (4.1.24) Характеристики замещения "параметрическихресурсов" - коэффициент (показатель) эластичности показателя wl по парамет- ру Xj dw, x. h\ , p—L = 1± = 3; (4.1.25) dxj w, hj - показатель предельной нормы замещения параметра х} парамет- ром х, дХ; h\ - показатель эластичности замещения параметра Xj параметром х, ' Подробно эти характеристики анализируются в [59].
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 231 d(Xi/Xj) 3lj _ia> -коэффициент (показатель) эластичности показателя w, = Э'и; (4.1.27) т т 7)иу х 4.1.4) В зависимости от задач анализа коэффициент Эу' может тракто- ваться либо как параметроёмкость показателя wt по параметру xj9 ли- бо как параметровооружённостъ ЦУТС и ЦНПФС параметром х. (см. п. 5.3.2). А В основном из приведённых определений достаточно ясен физический смысл соответствующих характеристик, тем не менее некоторые из них требуют пояснения. Так, коэффициент эластичности показателя wt харак- теризует степень его относительного изменения при относительном изме- нении параметра х. на единицу. Показатель эластичности замещения па- раметров характеризует относительное изменение отношения параметров при относительном изменении предельной нормы замещения параметров на единицу, т.е. характеризует возможности по управлению показателем wt за счет взаимного изменения значений параметров jc, и х}. Для иллюстрации сказанного рассмотрим плоскость двух параметров щ и и. (рис.4.1.1) и построим на ней линии уровня (равных значений и>, = Pk) показателя wr Такие линии называются изоквантами. Прямые, в точках, которых суммы взвешенных (с весами, равными коэффициентам чувствительности) значений параметров (суммы коэффициентов влияния параметров) щ и и. постоянны, называются изокостами. Нетрудно по- нять, что величина Э/у показывает, на сколько процентов должно изме- ниться отношение значений параметров при движении вдоль изокванты, чтобы при этом величина З'и изменилась на один процент. Таким образом, изокванты - это линии одинаковой эффективности ("изоэффы"), а изокосты - линии одинаковых суммарных "затрат пара- метрических ресурсов". Точки касания изоквант и изокост соответствуют наименьшим суммарным "затратам параметрических ресурсов", обеспечи- вающим соответствующие этим точкам значения показателя эффективно- сти. Очевидно, что для управления эффективностью операции с целью её увеличения целесообразно (если нет дополнительных ограничений) под- держивать значения параметров «Л, [* = l(l)r] на линии, образованной точками касания изоквант и изокост. Эта линия называется траекторией оптимального (по параметрам) управления.
232 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП <Рг<Р> Рг Рг О и\ Рис. 4.1.1 С помощью приведённых характеристик может решаться целый ряд со- держательных в практическом отношении задач анализа: - выделение параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС, а также условий про- ведения операции, к изменениям которых наиболее чувствительны показа- тели её эффективности; - определение точки Х\ или области {Х*Л, в которых показатели эффективности операции нечувствительны к изменению параметров Х,т); - сравнительный анализ влияния различных параметров и ЭТХ на эф- фективность операции и выбор из них наиболее пригодных для управления организацией ЦНПФС и качеством ЦУТС; - анализ критичности операции к требованиям, предъявляемым к ре- зультатам операции, и выделение из их операционных свойств (аспектов) наиболее важных; - содержательное (неформальное) решение некоторых задач оптималь- ного синтеза ЦУТС и ЦНПФС. Проиллюстрируем сказанное на примерах. Пример 4.1.3, Провести анализ эффективности операции в условиях примеров 3.4.4 и 4.1.1. Решение. Подставив результаты (4.1.13) в (4.1.19), получим: и.
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 233 у;=ка= А2В <Ро В 3 Т0\ I (1 + А*)г 41 +А = 0,048; ( \ v'-*-^b'hb) = -0,240; (4.1.29) vf .к'д^К(17)~д]--°'<78; (4.1.30) Vf = hfA = AF;1{1- у)(ра(АРЛ- Г)-В)= -0,240;1 Vf = hfB = -B90(af;1(1 -у)-в)= -0,374. J (4.1.30') Пусть A = jc, , В = хг. Тогда предельные нормы замещения параметра А параметром В для различных показателей и>0 = РДЦ, и>, = о>[, w1=a>[ примут следующие значения: иг (4.1.31) (4.1.32) (4.1.32') ир 12 ""*:" 12 ~~tf 12 " !.< = 2,50; = 1,76; = -0,78 Соответствующие показатели эластичности замещения параметров А и В примут значения: ^B)J^ 11 d3*n А/В ^B)J^ d3, А/В г _d(A/B) 3f2 _ , ^И — л! .. / n — >' d3ln А/В 56. (4.1.33) (4.1.34) (4.1.34') Наконец, коэффициенты эластичности показателей w, по параметрам А и В примут значения:
234 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Э1в=А1в/А1в=А1°-^- = 0,059; °ДЦ Э\ = h\ /h2° = h\ — = -0,294; "дц Э,1 = h\ /h\ =hl^r = 0,667; Э21=А]/А21=А]^г = -2,338/ Э2 = А? /*? = А2 -4- = -0,375; Э22 = Л2 /А2 = hi ^г = -0,584, 2 2 2 W (4.1.35) (4.1.36) (4.1.36') Из результатов (4.1.29) - (4.1.36) следует: а) характеристики чувствительности и влияния могут существенно от- личаться друг от друга, как по величине, так и по знаку [см. (4.1.13) - (4.1.14') и (4.1.29)-(4.1.30')]; б) при управлении эффективностью операции путём варьирования па- раметров А и В, параметр А требует большого изменения: при управле- нии показателем Рдц = н>0 - в 2,5 раза, при управлении показателем а)[ =wx - в 1,76 раза, при управлении показателем со[ = w2- в 0,78 раза (т.е. в последнем случае параметр В требует большего увеличения, чем параметр А [см. (4.1.31) -(4.1.32')]); в) при управлении показателем Рдц для изменения предельной нормы замещения 3,°2 параметра А параметром В на 1% отношение А/В долж- но измениться на 5%, при управлении показателем (о[ - на 3,52%, при управлении показателем (о[- на 1,56% (в сторону уменьшения); г) при управлении показателем Рдц, его процентное изменение за счёт изменения параметра В почти в 5 раз выше, чем за счёт изменения пара- метра А, при управлении показателем (о[ - в 3,5 раза, при управлении по- казателем со[ - в 1,5 раза. А Представляется весьма очевидной практическая ценность подобного анализа как на этапе проектирования ЦУТС, так и на этапах организации и управления ЦНПФС. Понятно, что проведённый краткий анализ далеко не исчерпывает воз- можности аппарата рассмотренных характеристик, так как многие из них в рамках примера не использовались. Рекомендуем читателю для приобре-
4.L Методы анализа эффективности ЦНП 235 тения навыков решения задач анализа в качестве упражнения провести анализ эффективности операции в условиях примеров 3.4.5 и 4.1.2. 4.1.4. О НЕФОРМАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПЕРАЦИИ Под неформальным здесь понимается эвристический содержательный анализ зависимостей, проводимый, как правило, по их графикам и нося- щий в основном качественный характер. Поскольку при таком анализе не используются "формальные характеристики", определяемые при целом ря- де предположений и допущений (не всегда достаточно обоснованных), то содержательный, качественный анализ в ряде случаев может оказаться бо- лее предпочтительным. Из рассмотрения распространенных практических методов анализа следует, что среди них содержательный анализ занимает весьма существенное место. Строгой классификации таких методов не су- ществует, да, по-видимому, и не может существовать из-за их много- и разнообразия. Тем не менее представляется целесообразным условно раз- бить их на две группы: графоаналитические методы и имитационные ме- тоды. Рассмотрим их. 4.1.4.1. Графоаналитические методы Среди графоаналитических методов анализа качества объектов особое место занимает "Метод компромисса", в основе которого лежит построе- ние компромиссных множеств ("множеств Парето"). Понятие компромиссного множества возникает в так называемых "мно- гокритериальных" (см. (3.3.1)) задачах принятия решений [36, 55, 177, 178]. Сразу заметим, что в известной литературе этот метод фигурирует как принципиально детерминированный. Кроме того, он применяется в тех случаях, когда не удаётся построить единую (обобщённую) критериальную функцию и компоненты у. показателя Y,n) качества объекта (ЦНПФС и ЦУТС), будучи его атрибутами, фигурируют как таковые в полной их со- вокупности. В этом случае рассматривается пространство |уЛ ] векторов F/\ =(у?,У2,Уз), называемое [162] "пространством критериев"1; в кото- ром выделяются так называемые "эффективные" точки Г/?, определяе- мые с помощью отношения Парето р [177] и обладающие следующими свойствами: Точнее, "пространство аспектов".
236 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП т.е. объект, показатель качества которого (Г/£?) определяет "эффективную" точку, по всем компонентам не хуже остальных объектов и хотя бы (по меньшей мере) по одной компоненте заведомо лучше их. Качество объек- та, соответствующее эффективной точке, называется доминирующим. Множество {г/? ) "эффективных" точек образует "компромиссное множе- ство" (множество Парето), а соответствующие им объекты называются "оптимальными по Парето". 4.1.5) В литературе [162] в рамках рассмотренной модели вводится ещё целый ряд понятий, таких как: - пространство параметров; - параметрические ограничения; - пространство критериев; - критериальные ограничения; -множество допустимых точек; - множество управлений и т.п. В рамках рассматриваемой методологии параметры объектов образуют векторы (^ALyA^yBf,ryB^rA = X,,9 пространство параметров - множест- во [Х, Л, параметрические ограничения - Х,.е \Х?т\\ (где {-Х?да\| - множество допустимых точек), пространство "критериев" (аспектов) |кЛ], критериальные ограничения -Y/t^e \Y/^\ (или Y^^Zfs); множе- ство допустимых управлений - \U?r\ ]. Приведённые понятия иллюстрируются рис. 4.1.2, построенным для случая конечного числа 5=12 объектов х = 2, на котором "эффективные" точки выделены двойными кружками1. А 4.1.6) Обратим внимание, что приведённое определение компромиссно- го множества основано (и это принципиально) на предположении о равно- значности рассматриваемых аспектов ("критериев"). Поэтому множество "оптимальных по Парето" объектов точнее было бы назвать множеством "несравнимых по Парето" объектов, поскольку для каждого из них суще- ствуют объекты, превосходящие их по одним аспектам ("критериям") и уступающие - по другим. Таким образом, при наличии "компромиссного множества" объектов проблема выбора из них оптимального не снимается и для её решения должна привлекаться дополнительная информация о 1 Аспекты ух и у2 имеют определённый в формуле (2.3.5) физический смысл (ух - целевой эффект; у2 - расход ресурсов).
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 237 предпочтениях или ограничениях на множестве \У,ХЛ компонент вектора К*. Наличие дополнительной информации об относительной (сравни- тельной) значимости (важности) аспектов существенно повлияло бы на структуру компромиссного множества. Впрочем, это произошло бы только в случае оставшейся (после ранжирования в соответствии с дополнитель- ными данными "эффективных" точек) их несравнимости по каким-то "рав- нозначным" аспектам. ▲ Уг\ 0 i II 1 I | i ' | ! | j | 1 4 i i ' 'С' < > A Ъ ►•• f\ V Г" > 4 щ> i -4 ........<! > 1 j i 1 1 ft у Ух Рис. 4.1.2 В рамках рассматриваемой методологии указанной "дополнительной" информацией является уровень рг "изоэффы", т.е. гарантийная вероят- ность Р*ДЦ = рг обеспечения требуемого качества результатов операции или параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС. При этом наличие единого ком- плексного показателя качества исследуемого объекта (ЦУТС и ЦНПФС) - показателя Рдц (или 0)дц(у)) эффективности операции приводит к новой концепции и вытекающим из нее принципам решения многокритериаль- ных задач, основанным на понятии "гарантированного компромиссного множества". Определение 4.1.2. Множество \Zf v} (или {хг* j) значений показателя требуемого качества объекта (результатов операции или параметров ЦУТС и ЦНПФС), гарантируемых с вероятностью не менее р\ называется компромиссным множеством уровня р (КМУ). А
238 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Легко понять, что в пространстве \z, А (или {Xv j) КМУ представляет собой изоэффу (изокванту), пометка рг которой - Уровень гарантии ка- чества объекта" называется "гарантийной вероятностью"*. Пусть требования Z, *, предъявляемые к качеству результатов опера- * ции, строго определены (заданы предельными значениями), т.е. Z^^Z^, тогда, как известно (см. п.2.4), "критериальная функция" будет иметь вид *,(*£> )= рт = <\,К) )= <\,(Z(z)'XH )• <4Л-38) Для отличия от функции Wp\p,A виртуальных результатов Y,, крите- риальная функция WA\Z?s\ называется директивной. Пусть (для простоты и наглядности) х = 2. Тогда компромиссные мно- жества будут иметь вид кривых, изображённых на рис. 4.1.3, где г,я/, z"п - предельно допустимые (наиболее "мягкие") требуемые значения показателей у19 у2 качества результатов операции, JP^J, (/ = 1,2,3) -веро- ятность достижения цели /-го варианта операции, определяемого вектором 4.1Л) Легко заметить, что кривые на рис. 4.1.3 являются изоэффами, а их совокупности, совмещённые на одном поле - "декартовом абаке" [186], представляют собой "сетчатую номограмму". Сетчатая номограмма (рис. 4.1.3) позволяет на качественном уровне ре- шать целый ряд задач как анализа ЦУТС и ЦНПФС, так и их "рациональ- ного" (субоптимального) синтеза. Так, если реализуется критерий пригод- ности - РДЦ > РТдЦ, то на рис. 4.1.3 определяется компромиссная кривая: a) PW(Z{X))=PZ<> или б) *тК))=Р*> ИЛИ В) РЛ2Ъ)>ии)=рт и соответствующее ей гарантируемое значение ZP1 показателя Z,. ка- чества результатов операции (ГУЕМР), или гарантирующее требуемую эффективность операции значение иГЦ* управляемых параметров U,r) (ГУЮЩП), или значение (zf^fU^) комплексного показателя \Z,)9U,i) (ГУЕМРЮЩП) - задачи синтеза ЦУТС и ЦНПФС. 1 Не следует смешивать вероятности рг и у, имеющие аналогичные названия, но относящиеся к различным характеристикам.
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 239 ■(*) «) С) i pW >> р(*) Z?" *,W б) р(*) _ р ly(k) Jj(k) \ •) ■(*) > (*) »(*) *5 р(») _ в (т<*) 7/(*) ) Рис. 4.1.3
240 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП При реализации критерия оптимальности РДЦ = Р™ компромиссная кривая отвечает уравнению Рдц [ Z,,) = Ф$ [ Z, *) = Р%£, или Рдц[и(г))=Рщ, или Pm(z{x),U{r))=0f (z{x);uJ=P™, а соотвегсг- '(X) вующее ей искомое значение вектора Z[K)^argmaxPm{z^ , Z/"s€ ш или К)=^тр*«К))> {ZU'K)) = t «*"■« P^Z^t/J. Если пометки Р1ДЦ компромиссных кривых снабдить значениями пара- метра Z,y или 17/v, или (Z/v,17/Л, то, исследуя рис. 4.1.3, можно осу- ществлять качественный анализ влияния параметров Z!L, или V,^, или (Z£v,J7/rv) на эффективность ЦНПФС, а, следовательно, и на качество ЦУТС. А 4.1.8) Обратим внимание, что в общем случае как Р Ык) -ХМ)± Р (7(к) •Х&А так и Р Ы*'} • X(l) ) ± Р (Z(*>} • X® ) А 4.1.9) Аналогично решаются задачи анализа эффективности ЦНПФС и в случае, когда в качестве показателя эффективности фигурирует гаранти- руемая вероятность С0дЦ(у) достижения цели операции, с той разницей, что в пометках компромиссных кривых к параметрам Z/L, J7/rv, (Z/L,£/,v) добавляется гарантийная вероятность у. А 4.1.10) Следует обратить внимание, что рассмотренная методика по сравнению с известными [36, 162, 178] обладает несомненными преиму- ществами, поскольку кроме "критериальных ограничений" учитывает и ог- раничения по эффективности (её минимально допустимое значение). При- чём, как уже отмечалось, этот глобальный обобщённый показатель качест- ва исследуемого объекта (ЦУТС, ЦНПФС) определяется без необоснован- ного постулирования [36, 84, 178] структуры критериальной функции, зна-
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 241 чений её весовых коэффициентов и т.п. (см. п.2.4, (2.4.13), (2.4.14), п.3.3, (3.3.8), (3.3.9)). А 4.1.11) Подчеркнём, что в общем случае при решении задачи оценива- ния качества объекта в разомкнутой схеме, т.е. только по показателю К \ (без учёта эффективности операции), компромиссные множества будут от- личаться от изображённых на рис. 4.1.3 и будут иметь отличный от них смысл. А 4.1.12) Ещё раз подчеркнём, что если замкнутая схема исследования эффективности реализована в полном объёме, т.е. при рандомизированных по всем аспектам требованиях Z, v к результатам операции, то компро- миссное по требованиям ZJL множество "размывается" (исчезает) и каче- ство анализируемого объекта (ЦУТС или ЦНПФС) определяется единст- венным комплексным показателем РДЦ\х,т)) [или согдц\у;Х,к)] - веро- ятностью достижения цели операции. В этом случае вероятность Рдц [о)дЦ(у)] будет зависеть только от параметров Х,ту (или U,,) и компро- миссное множество Парето будет подмножеством пространства допусти- мых значений параметров, т.е. t*wM*<->)шш К>1сК>1- А 4.1.13) Из рассмотрения рис. 3.1.9 следует, что хотя в общем случае яв- ной функциональной зависимости между средней вероятностью Рдц (на- помним, что /дц =й>1 =<й2) и гарантируемой вероятностью 0)гдц(у) (ю'лб(у)~F&*(l"~У)) достижения цели операции нет, тем не менее их не- явная связь имеет вполне определенную тенденцию, которую можно оха- рактеризовать следующими неравенствами: ЬРДЦ ' Ъу Как можно было заметить, графоаналитические методы, по существу, являются номографическими, так как основаны на применении номограмм, т.е. специальным образом построенных семейств кривых. Проиллюстриру- ем сказанное на примере. Пример 4.1.4. Пусть качество результатов операции характеризуется одним показателем - аспектом ("эффект поглощения", см. п. 3.3.4). Причём
242 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП виртуальный и требуемый целевые эффекты j>, и £, подчинены нормаль- ным законам распределения с параметрами y,OpViz,<7i соответственно. Тогда, как показано в примере 3.4.4, показатели эффективности опера- ции определяются следующими выражениями: °>м=< Рдц=Рм{А>В)=К a>;(r)=G>[(y;A,B)=F0 В .VI + Аг F;l(i-r)-B' [<Dl(y)=<o[(r;A,B) = F<r[AF;1(l-y)-B (4.1.39) (4.1.40) (4.1.40') где АиВ- агрегированные обобщённые параметры операции (ЦНПФС), А = В <У.у Для уравнений (4.1.39), (4.1.40), (4.1.40') могут быть построены сетча- тые номограммы (абак Декарта [128, 186]). Это целесообразно сделать в системе координат BOA , т.е. интерпретируя агрегаты АиВ как аспекты. Разрешив уравнения (4.1.39), (4.1.40), (4.1.40' ) относительно агрегата А, получим: А = . В2 W('-r)J -1; F?{l-y)-Bu F-Ai-r) ' (4.1.41) (4.1.42) (4.1.421) Соответствующие равенствам (4.1.41), (4.1.42), (4.1.42') изоэффы для компактности совмещены на одном поле (абаке) и приведены на рис. 4.1.4, Ключ к номограмме рис. 4.1.4 дан в его правом нижнем углу. С помощью приведённой номограммы может быть решён целый ряд за- дач анализа эффективности операции. В частности, может быть проанали- зирована зависимость соотношения гарантируемых вероятностей 0)[ и со[ достижения её цели от значений параметров АиВ .
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 243
244 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Из выражений (4.1.39), (4.1.40), (4.1.40') следует: {Vre[0A])af = ar2(r)**{A=l)u[B=F;,{l-y){l+A)\; (4.1.43) а>гАг) ><(/)«* ^{Й>1)п[Б>^1(1-г)(М]}^{Й<1)п[5<^,(1-г)(1+^)]}; (4-1.44) <t>rt(r)<o>i{r)** ^{(^>i)n[^<^:1(i-r)(i+4]WU<i)n[i?>/^,(i-r)(i+^)] }• (4.1.44-) Соотношения (4.1.43), (4.1.44), (4.1.44') сведены в табл. 4.1.1, а также проиллюстрированы графически на рис. 4.1.5. А Таблица 4.1.1. А А=\ А>\ А<\ В b={\+a)f;x{\-y) <огАг)=о>гг{у) (0ГАг)=о)Г1{г) <»ГЫ=<»£Ы B>(l + A)Fa-l(l-r) <»ГЛг)=<»г(г) а>ГАг)>а>Гг{у) (оГЛу)<а)Гг{г) B<(l + A)Fa-l(l-y) (0ГЛу) = (0Г1{у) tf(r)<<»2(r) <»гАг)><*>гАг) о в Рис. 4.1.5 Номограмма рис. 4.1.4 и соотношения табл. 4.1.1 позволяют произво- дить быстрые прикидочные расчёты, которые в условиях использования приближённых исходных данных имеют приемлемые по точности резуль- таты при максимальной простоте процедуры их получения.
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 245 4.1.4.2. Имитационные методы В настоящее время благодаря высокому уровню развития вычисли- тельной техники всё более широкое применение получают методы иссле- дования (анализа и синтеза) объектов (ЦУТС и ЦНПФС) с помощью их имитационного моделирования на ЭВМ. Поскольку, как отмечалось, ана- лиз качества объекта представляет собой второй этап (фазу, стадию) реше- ния прямой задачи его исследования, то основу его алгоритма составляет алгоритм оценивания качества. Применительно к задачам исследования эффективности ЦНПФС такой алгоритм был достаточно подробно рас- смотрен в п. 3.4.2. При анализе качества ЦУТС и эффективности ЦНПФС он выполняет роль подалгоритма в алгоритме их исследования более вы- сокого уровня. Общая структура такого алгоритма приведена на рис. 4.1.6 (см. п. 2.3.5 и рис. 2.2.5 и 2.2.6). В зависимости от решаемой задачи анали- за (определяемой блоком 1) содержание работы отдельных блоков может несколько варьироваться, однако основное их назначение остаётся неиз- менным. Кратко поясним сказанное. Блок 1 описывает класс решаемых задач анализа [определение характе- ристик чувствительности и влияния, построения "изоэфф" (компромисс- ных множеств), оценивание эффективности операции по заданному крите- рию и т.п.]. Блок 2 контролирует (проверяет) выполнение программы анализа и ус- танавливает факт её завершения. Блок 3 в соответствии с программой варьирует значения синтезируе- мых [Х,т)) или управляемых \р,г)) параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС и определяет их приращения (вариации) по формулам Щт) = Х[т)-Х^, [1 = 1(1)7], где Х!т) - 1-й вариант значений параметров X, , = \А,куВЛ\ X! ^ - исходное (номинальное, расчетное) значение параметров Х,т); / - число запланированных вариаций; АХ[т)={Ах[,Ах11,...,Ах,т). Блок 4 вычисляет для новых значений Х'т = Х]~\ +ЛХ',^ параметров Х(т\ оценки РДЦ И»))» ®дц\г>'хи) показателей Рдц{Х{т)), а>гдц\у;Х{т)) эффективности операции по алгоритму рис. 3.4.3, или 3.4.4, или 3.4.9.
246 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП о Характеристика решаемых задач анализа Проверка завершения программы анализа ж Варьирование значе- ниями управляемых параметров 0 Вычисление © Определение hf,Vf,Ut,Dt 1=0,1,2; /=1(1)7; y=l(l)in; А=1(1)г Выдача результатов Построение компро- миссных множеств РДЦ\2{Х)>Х(т))=Рг /»д><,>)=/>' 3! Оценивание рдц\х(т))- рдц Рис. 4.1.6 ме: Блок 5 определяет характеристики чувствительности и влияния по схе- а) определяются вариации показателей эффективности: ЛР'ц=ЛРдц{х[т))=Рдц(х[т))-Рдц{х^), [/ = 1(1)/]; б) определяются оценки характеристик чувствительности: ^'=^k))=^#^' moo" ;=i(iH; hl)=h« (у;XQ= . \ Лф[дц(г,х!т)) Ах) , [i = l(l)/;/ = l(l)in;/ = l,2];
4.1. Методы анализа эффективности ЦНП 247 в) определяются оценки характеристик влияния: V]1 = h'/x), [I = 0,1,2; i = 1(1)/; у = l(l)m]; Я';=Ц'а*}, [/ = 0,1,2; / = 1(1)/; j = l(l)m\; 0? =№Uik\, [/ = 0,1,2; / = 1(1)/; * = l(l)r]; %' = \Щт^1> [/ = 0Д,2; / = 1(1)/; * = l(l)r]. "А Блок 6 оценивает пригодность операции по эффективности путём про- верки условий: Рдц^Рдц' ММ']; ^(rXF(rl [/=i(i)4 Блок 7 определяет элементы компромиссных множеств ("эффективные точки" пространства аспектов). Блок 8 выдаёт результаты. 4.1.14) При необходимости программой работы блока 5 может быть предусмотрено и определение характеристик производительности и заме- щения параметров. А После выдачи результатов проводится их анализ и принимается реше- ние об эффективности ЦНПФС и качестве ЦУТС. В принципе последняя процедура также может быть формализована и реализована на ЭВМ. Рекомендуем читателю внимательно ознакомиться с приведённым опи- санием алгоритма анализа качества исследуемого объекта (ЦУТС и ЦНПФС) и, уяснив принципы его работы, сформулировать другие воз- можные задачи анализа и необходимые для его реализации процедуры. 4.1.15) В соответствии с физическим смыслом решаемых задач (про- странств JZ/ v ), JJ7/V ) или UZi \>U,k )\ анализ соответственно называ- ется аспектным, параметрическим или аспектно-параметрическим. ▲
248 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП 4.2. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ЭФФЕКТИВНЫХ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ ПРОЦЕССОВ Как отмечалось, задача синтеза объектов, обладающих требуемым или оптимальным качеством, является по отношению к задачам его оценивания и анализа обратной. Поэтому она также решается с помощью моделей объ- ектов. Однако в отличие от задачи анализа, в рамках которой структура и характеристики модели предполагаются заданными и исследуется их влияние на качество объекта (его модели), задача синтеза состоит именно в определении структуры и характеристик объекта (его модели), обеспечи- вающих требуемое его качество (заданное или оптимальное). Данный па- раграф посвящен рассмотрению (обзору) основных, наиболее перспектив- ных подходов к решению этой важной практической задачи. В классификационной схеме рис. 2.3.4 задачи синтеза операций (обрат- ные задачи) до некоторой степени условно подразделяются на инженерно- технические и организационные. Основное содержание этих задач ясно из самой схемы. Поэтому здесь мы не будем рассматривать содержание каж- дой из этих задач (перечень которых, приведённый на схеме, не исчерпы- вает всего их многообразия), а кратко обсудим основные варианты их формулировок и методов решения. 4.2.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПЕРАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПО КРИТЕРИЮ ПРИГОДНОСТИ Под синтезом операционной системы (ОС) понимается определение оп- тимальных значений её характеристик, обеспечивающих достижение цели операции в максимально возможной степени. К таким характеристикам относятся: структура, параметры и ЭТХ ЦУТС, а также организация и управление ЦНПФС (операции). 4.2.1.1. Формальное решение При реализации критерия пригодности задача синтеза объекта не имеет однозначного (единственного) решения, так как в соответствии с этим кри- терием качества сравниваемые объекты считаются одинаковыми для неко- торых диапазонов значений показателей их свойств (характеристик - па- раметров и ЭТХ). Общих методов решения таким образом сформулиро- ванных задач синтеза не существует, и в основе применяемых на практике алгоритмов лежат методы прямого или направленного перебора вариантов и поиска компромиссного решения. Покажем это.
4.2. Методы синтеза эффективных ЦНП 249 Как известно [см. (2.3.17)], критерии пригодности операции по эффек- тивности имеют выражения: (Гэ:РДЦ(и{г))>Р^; (4.2.1) <?э •• <r(r;U{r})> а>гдТц"(г), (4.2.2) где t//v - вектор управляемых характеристик, параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС. Поскольку для увеличения эффективности прогрессивное изменение dtUix (увеличение положительных и уменьшение отрицательных) харак- теристик U,, синтезируемого объекта (ЦУТС и ЦНПФС) требует опреде- лённых дополнительных затрат Л С, то желательно эти затраты свести к минимуму. Как видно из соотношений (4.2.1) и (4.2.2), минимум затрат бу- дет обеспечиваться в случае равенства возможных и требуемых (мини- мально допустимых) значений показателей эффективности ЦНПФС, т.е. когда PjmK))=P£i> (4-23) <,(riU{r))=a№(r). (4.2.4) Легко понять, что наиболее рациональные (наиболее "экономичные" по критерию пригодности) значения {/,\ характеристик СЛ* определяются решениями уравнений (4.2.3) и (4.2.4), т.е. U(r)(pZ)=arg{pm(u{r))=PZ\; (4.2.5) ЩгНТц{ г))=«У {а>дц(у;и{г))= <"( у)\. (4.2.6) Поскольку U, к - вектор, то уравнения (4.2.3) и (4.2.4) описывают не единственные точки, а поверхности в (г + 1)-мерных пространствах векто- ров (их,и2,...,иг,Рдц} и (иА,и2,...,иг,(Огдц{у^. Для г = 2 сказанное иллюст- рируется рис. 4.2.1. Из рис. 4.2.1 видно, что кривая ^гш~Рдц№(г))~Рдц =® представляет собой изокванту - изоэффу (см. п. 4.1.3), во всех точках которой эффективность операции одинакова и ха- рактеризуется требуемой средней вероятностью достижения цели - Р™ц. Руководствуясь, кроме критерия (4.2.3), "дополнительными соображе- ниями", на кривой j\fJi2\) выбирается наиболее рациональная точка UL. Пример 4.2Л. Пусть в условиях примера 4.1.1 Р™ц = 0.9. Требуется определить значения параметров А и В, обеспечивающие требуемую эффективность операции.
250 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП j(u*2))=0 Рис. 4.2.1 Решение. По номограмме рис. 4.1.4 находится изоэффа уровня /;г=0.9 (кривая, помеченная штриховкой). Любая точка (аэ,Вэ) этой кривой обеспечивает пригодность операции, т.е. её требуемую эффектив- ность. Для однозначности решения необходимы "дополнительные дан- ные". Пусть, например, известно, что Аэ =1. Тогда, как видно из рис. 4.1.4, для выполнения условия (4.2.3) должно выполняться равенство Вэ =-1.8, т. е. (аэ ,ВЭ) = (1,-1.8), а для выполнения условия (4.2.1) должны выпол- няться неравенства (а<Аэ)п(в<Вэ) ,т.е. (А,В)<(аэ,ВэУ А 4.2.1.2. Неформальное решение Фигурировавшие выше соотношения РДЦ=РДЦ[и{г)), (4.2.7) <0гдц{у)=а>дц{г;и{г)) (4.2.8) могут быть получены в случае, когда требования Z, v , предъявляемые к результатам Е* операции, случайны и закон их распределения известен. Если же они детерминированы и заданы вектором ZlL, то выражения (4.2.7) и (4.2.8) примут вид:
4.2. Методы синтеза эффективных ЦНП 251 <,ir) = ^(r;Z^uJ=w,(u{r);Z^tr), (# = 1,2), (4.2.10) т.е. вероятность достижения цели будет функцией не только управляемых характеристик £Лд, но и заданных требований Z/L к результатам опера- ции. В этом случае операционная система может синтезироваться как по параметрам U,y так и по требованиям Z?.. При этом синтез может осу- ществляться в трёх постановках: - определение значений Г/Л характеристик £Лд, обеспечивающих при заданных требованиях ZJL требуемую эффективность Р™ц или а?дЦ операции; - определение требований Zf v, которые можно предъявить к результа- там Y, v операции при заданных значениях UL характеристик 1Лд, обес- печивающих эффективность операции не ниже требуемой [Рщ или 0)дцР{у)]> т.е. определение гарантированных значений аспектов (см. п. 4.1.4.1); - определение значений £/,\ и Z? v векторов U,x и Z, v, при которых обеспечивается требуемая эффективность [PJJJ или fljJ^OOl операции. Представляется очевидным, что чем больше аргументов в выражениях (4.2.9) и (4.2.10), тем больше требуется дополнительных данных (устра- няющих неопределённости) для решения сформулированных задач син- теза. Пример 4.2.2. Пусть организуется (планируется) операция, качество ре- зультатов которой характеризуется одним (вследствие эффекта поглоще- ния) целевым эффектом у, подчинённым нормальному закону распреде- ления, т.е. г Fy{y)=FlHb;y>*y)=Fo l-^l (4.2.11) ч °у ) а потребный (минимально допустимый) целевой эффект детерминирован (неслучаен) и задан значением z11, т.е. Fi{z) = A(z-z1)^ (4.2.12) Тогда, как известно (см. (3.2.13)), ( - п -Л PM=p(y>zn)=Ry(zn)=l-Fp(zn)=l-F0 V °у J (4.2.13)
252 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Фигурирующие в (4.2.13) параметры у и ау представляют собой агре- гаты (как и переменная zn), значения которых определяются значениями параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС, а также условиями проведения опе- рации, т.е. В условиях примера синтез ОС заключается в отыскании значений уэ, а\ и ъг параметров у, оу и zn, обеспечивающих требуемую эффектив- pM(y,<r;,z')=i-F0 ,у „ „ ~r- Г J •> -у ность операции при гарантируемом качестве её результатов, т.е. выполне- ния равенства Г г__-э\ ''-' ' ~*\Ч^ГР"' {42Л5) V У ) где z* - гарантируемое значение потребного целевого эффекта. Используя дополнительные данные, фиксирующие значения двух (лю- бых) параметров, можно найти значение третьего. Уменьшим число параметров задачи, введя в рассмотрение коэффици- ент вариации г?- = oyjy распределения виртуального целевого эффекта у. Тогда соотношение (4.2.15) может быть приведено к виду Рдц(*" >*,)=!-Ъ zH'-\ _ рТР ~~ ГДЦ> (4.2.16) где zHe = —— необходимое гарантируемое значение. У На рис. 4.2.2 изображена поверхность Р =1-F и изоэффа /(z"%tf,)=l-Fe -Ртр =0 Из физических соображений у>0 и, следовательно, должно выпол- няться условие (;р>3<т-)=>(0<г?.<1/3). Резонно также предположить, что (zn<y + 3ay)^ (г"*<1 + 3г?-). Указанные допущения нашли отражение на рис. 4.2.2.
4.2. Методы синтеза эффективных ЦНП 253 Решение задачи синтеза ОС определяется точкой (г?^,г*), лежащей на изоэффе. Фиксация одного из параметров Щ или V однозначно опреде- ляет значение другого V или Щ соответственно [см. рис. 4.2.2, где дzHd9&1)}= [ ги/Ди//]х[г^,г^] - область допустимых значений (множест- во допустимых управлений) управляемых параметров гнг и г?^ , обеспечи- вающих выполнение условия (4.2.16)]. А 4.2.1) Исследование в условиях примера применительно к показателю О)дц(у) аналогично приведённому выше с отличием, отмеченным в (4.1.9)), (см. также (3.2.13)). А 4.2.2) Как было отмечено, неформальное решение задачи синтеза ОС аналогично подобному решению задачи её анализа (см. п. 4.1.4). Более то- го, поскольку в основном исследование эффективности операции прово- дится с целью синтеза (желательно оптимального) ЦУТС и ЦНПФС, то обе эти задачи (прямая и обратная) практически решаются совместно (пооче- редно, итерационно). А Рис. 4.2.2
254 Глава 4: Методы исследования эффективности ЦНП 4.2.3) В отличие от рассмотренной задача синтеза ОС по критерию пре- восходства либо имеет единственное решение, либо вовсе его не имеет. Однако в основе алгоритмов, реализующих этот критерий, также лежит метод перебора вариантов с целью поиска единственного, превосходящего все остальные. А 4.2.2. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПЕРАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПО КРИТЕРИЮ ОПТИМАЛЬНОСТИ Наиболее сложными и в то же время наиболее разработанными являют- ся методы решения задач синтеза исследуемых объектов (ОС, ОК, ЦУТС, ЦНПФС), основанные на критерии оптимальности. Алгоритм решения за- дачи синтеза зависит от "степени аналитичности" операторов: Pm=Pm{U(r))=w\U(r)); (4.2.17) o>rm{y)=(Orm\r;U{r))=^(u(r);r), (/ = 1,2), (4.2.18) где U,, -lAlyBli\ (ky + ly=r)- вектор управляемых характеристик (параметров и ЭТХ ОС, ОК, ЦУТС и ЦНПФС); wo(^m)> w№(r)>Y)" критериальные функции (см. п. 2.4). Если операторы (4.2.17), (4.2.18) не имеют существенных особенностей, усложняющих их математический анализ, то решение задачи оптимально- го синтеза дают решения U??T следующих систем уравнений: *»№,)) Ж- = 0,,; (4.2.19) ^j^-tw. (, = 1,2), (4.2.20) dU(r) где О-» - r-мерныйнуль-вектор. Легко заметить, что уравнения (4.2.19), (4.2.20) равносильны следую- щим [см. (4.1.7")]: Н(г)К)>'Г)=%> (/ = 1>2), (4-2-22) т.е. в оптимальной точке U??T показатели эффективности ЦНПФС нечув- ствительны к изменениям параметров ОС и ОК (ЦУТС и ЦНПФС). Это об- стоятельство позволяет решать целый ряд задач оптимального синтеза объектов методами теории чувствительности [128,151].
4.2. Методы синтеза эффективных ЦНП 255 4.2.4) Сформулированный подход к решению задачи синтеза объекта исследования иногда называют "классическим". Принципиальным обстоя- тельством, допускающим такой подход, является отсутствие ограничений на управляемые характеристики U,r). Другими словами, \Utr\}= \Pir) J> T-e- множество допустимых управлений не ограничено. В реальных практиче- ских условиях такое предположение неправомерно, так как по физическим соображениям область (множество) Щг\\ (или {j+J7/vj) допустимых управлений всегда ограничена предельно допустимыми значениями управ- ляемых характеристик uk, [k = l(l)r], обусловленными рядом факторов (технических, технологических, информационных, стоимостных и др.). А Если на пространство \U,r\\ (или |/4+£Л \ |) налагаются ограничения, то в ряде случаев задача оптимального синтеза может быть решена методами "математического программирования" [65]. При этом она имеет следую- щую математическую формулировку: найти значения V9JT, параметров £Лд, доставляющие максимум показателю и>Д£Л J, (/ = 0,1,2) эффектив- ности операции при ограничениях U??T е {{/Л/с |#лл| > где \UfrA - об- ласть допустимых значений U\ параметров U,r) (множество допустимых управлений). Формализованные формулировки этих задач имеют следующие выра- жения: U™ =argmax\РДЦ(и{г))\'> (4-2.23) U™ =argmaxU(r;U{r))\9 (/ = 1,2), (4.2.24) "<о6 Wo/ где {tf/'vjc \U,A - область допустимых значений управляемых парамет- ров 1Л », граница которой задается уравнениями G{s)(u{r)) ± G$(u{r}). (4.2.25) В общем случае в силу сложности исследуемых объектов (ОС, ОК, ЦУТС, ЦНПФС) аналитические выражения показателей Рдц\и,А и 0)дц[у;и,\) оказываются такими, что непосредственное применение раз- работанных методов математического программирования оказывается за- труднительным. Однако в ряде случаев возможно приемлемое по точности приближённое решение задачи путем её приведения к каноническим фор- мам задач математического программирования (линейного, нелинейного, динамического и т.п.).
256 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП 4.2.3.0 ПРИБЛИЖЁННОМ СИНТЕЗЕ ОПЕРАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В принципе область \Ud} допустимых управлений, описываемая сис- темой ограничений (4.2.25) - равенств и неравенств, не произвольна, а представляет собой некоторую окрестность номинальных (расчётных) зна- чений UFx параметров U,y Если в пределах этой области нелинейность функции (4.2.17), (4.2.18) и (4.2.25) по параметрам незначительна, то воз- можна аппроксимация этих функций, например, путем разложения их в ряды Тейлора в окрестности точки 1УД с оставлением в разложении огра- ниченного числа членов: только линейных, линейных и квадратичных и т.д. В первом случае задача будет сведена к задаче линейного программи- рования, а во втором - к задаче квадратичного программирования и может решаться разработанными для этих задач методами. 4.2.5) Линеаризация функций w<\Uir\) и и>Д1Лд;у), (/ = 1,2) равно- сильна замене описываемых ими гиперповерхностей гиперплоскостями, а линеаризация вектор-функции GS[U,A - замене ограничивающей область \Ufr\ J гиперповерхности гипермногогранником. Для правомерности таких замен необходимо, чтобы в пределах области \Ufv) допустимых значений параметров U,, функции и>ДгЛд), и>Д(7/л;у), GS[U,,) отличались от ли- нейных незначительно. А Для иллюстрации сказанного рассмотрим методику приближённого синтеза ОС путем линеаризации критериальных функций wt[u,x), (/ = 0,1,2). Чтобы не повторяться, ограничимся рассмотрением лишь од- ной критериальной функции. Пусть это будет w0[U,A= РДЦ\U.A. Тогда Рдц=Рдц{и{г))= "№(,))-%Au{r)k =".Ю+i к: (*%)(«* -О, (4.2.26) где Г/Л - базовое (расчётное, номинальное) значение характеристик СЛ*; К' \U(r))~~ коэффициент чувствительности показателя w0 к параметру uJ9 / г \d Эи>0Шм)| и*4 жтБ I- °v \г)'\ Если показатель Рдц эффективности операции определяется при детер- минированных требованиях Z?\ к её результатам, то выражение (4.2.26)
4.2. Методы синтеза эффективных ЦНП 257 примет вид Рдц = Pm{u{r);Z3{x))= w0(u{r);Z3x))~ ф{г);г3{х))= = w9(u^;Z3x))+ ±K; (u?r);Z3x))(uk -«f) (4.2.26') ИЛИ Рдц = Pw{u{r);Z{x))= w0(u{r);Z{x))~ w0(u{r);Z{x))= =»Hyzi»)+%к (Чу 4))(u> - «*)+ + iK(u^Zlx))(zi-zf). (4.2.26") 4.2.6) Обратим внимание, что в отличие от (4.2.26'), где Z?\ является параметром, в (4.2.26") вектор Z, ч становится аргументом, равноправным с вектором U, к (см. пп. 4.1.4.1) и совместно с ним фигурирует в решении задачи синтеза (см. (4.1.7) - (4.1.9)). А Итак, если в пределах области \UtA функция (4.2.26) мало отличается от функции Рдц - w0[U,x), то она может использоваться в качестве крите- риальной в задаче линейного программирования. Что касается ограничений, то их линеаризация сводится к линеаризации компонент qj\Uir\) вектор-функции G.Au.Ayio формуле fуК>)"?,К>)= *;(<> К t«5.(^(5)U - <') , (4-2-27) А=1 ™е 9jk\U(rj "»-"'i Uu(- "центр" линеаризации у'-й ограничивающей функции ?Д£//Г\) • 4.2.7) В принципе точка U?! может быть любой (в том числе и Ufr\ од- цако с практической точки зрения желательно, чтобы U?! е \U?A и при- том лежала ближе к "середине" области {l/fx }. А 4.2.8) Если в пределах области {#?r\j функция qj\JJ,A существенно не- линейна, то область \U?A разбивается на непересекающиеся подобласти \и?к} такие, что (J { U?A = { UfA , и в пределах каждой из них функция 9 Зак. 3303
258 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП ц\и,А линеаризуется аналогично (4.2.27). В результате описанной проце- дуры размерность вектор-функции G, v [U, \) возрастёт до S = ^ L}. Аналогично линеаризуются и функции q3fd\U,A, и после их переноса в левую часть (4.2.25) может быть получена каноническая форма ограниче- ний задачи линейного программирования (ЗЛП) [65]. А Нетрудно было заметить, что рассмотренные критериальные функции представляют собой функции параметров, т.е. w\U, J= Wr [U,\) (см. п. 2.4). Однако, как было показано в п. 4.1.4, несомненный практический инте- рес представляют и директивные критериальные функции (см. (3.2.13)): или где Г/* - вектор ведущих компонент показателя Y!* качества результа- тов операции, используемый в задачах неформального анализа эффектив- ности ЦНПФС [см. (4.1.38)]. В зависимости от задачи исследования в качестве "центра линеариза- ции" могут выступать различные точки пространства \Z, v) (или \Z',X*}) - носителя распределения требуемых результатов Z,. (или \Zf ,v j) опера- ции. Так, если требуемые результаты Zf^ операции задаются в окрестно- сти её среднего виртуального результата У? м, то приближённая дирек- тивная критериальная функция будет иметь следующее выражение: wjz£,})= *л.(3?))= <\,/я(^')+ ЕМИ^К^ - 5V ),(4.2.30) где ф>;Х')^ф!^ 57/r5U'> Хр = ЛГЛ - расчётные (номинальные) значения параметров А7\. Критериальная функция (4.2.30) соответствует случаю "среднего экс- пертного компромисса" (ЛПР-компромисса) (см. п.5.2), при котором в наибольшей степени учитываются средние возможности ОС (ЦУТС и ЦНПФС) в получении результатов У,\ операции, и при этом требования Z/'^л не выходят за пределы области {5^ +^К/м}, в которой функция \¥Д[£'(*')/ мало отличается от линейной.
4.2. Методы синтеза эффективных ЦНП 259 Если требуемые результаты Z? * операции задаются в окрестности их среднего значения Z,,,, то приближённая директивная критериальная функция принимает вид + th^;Xp)(z^-Z[,), (/ = 1,2,3). (4.2.31) Критериальная функция (4.2.31) соответствует случаю среднего "экс- пертного - ЛПР - компромисса", при котором в наибольшей степени учи- тываются средние требования к ОС (ЦУТС и ЦНПФС) по достижению ре- зультатов Y! а операции и предъявляемые к ним требования Z',3* не вы- ходят за пределы области \ЩХ>\ + AZ!,A, в которой функция WAT\Z,,3A мало отличается от линейной. Если требуемые результаты операции строго директивны, то их дирек- тивные значения Ztj* определяют "центр линеаризации" и приближённая директивная критериальная функция примет вид + |I<(^^*<:>)(Я?-<Z^I,). (*' = U,3). (4.2.32) Критериальная функция (4.2.32) соответствует случаю наименьшего "экспертного - ЛПР - компромисса", при котором в наибольшей степени учитываются директивные требования к ОС (ЦУТС и ЦНПФС) по дости- жению результатов К* операции и предъявляемые к ним требования Z!\ не выходят за пределы области \Щ"\ +AZ'll,A , в которой функция WMT\Z',3,x) мало отличается от линейной. 4.2,9) Несомненный практический интерес могут представлять прибли- жённые директивные критериальные функции, у которых в качестве "цен- тров линеаризации" служат гарантированные, т.е. наихудшие Y{x.) =(Й >У" 'у")> или наилУ4™16 Y(z)={y" >Уг>Уъ)> или наиболее ве- роятные значения F/? = \У?° ,у¥° уУ^/ виртуальных результатов Y,, операции. Получаемые при этом оценки и>, показателей wn (/ = 0,1,2) эффективности операции соответственно называются пессимистическими, или оптимистическими, или модальными. А
260 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП 4.2.10) Из сравнения выражений (2.4.10), (2.4.11) с (4.2.26) и (2.4.8), (2.4.9) с (4.2.30) - (4.2.32) становится ясен физический смысл весовых коэффициентов критериальных функций. А 4.2.11) Рассмотренный метод линеаризации директивных критериальных функций применим и при решении задач анализа эффективности операции. В этом случае компромиссные множества будут представлять собой плоскости (в симплексной канонической форме показателя K3v) или гиперплоскости (в комплексной канонической форме - Y, % или в развернутой форме У,Л\ при X = п = 2 это будут прямые (см. рис. 4.1.3). Как видно из рис. 4.2.2, в рабочей области аргументов (zn,&-) поверх- ность Рдц = Pav\Zn,&.) мало отличается от плоскости, а изоэффа J[Zn ,&- )= 0 - от прямой и может быть линеаризована с достаточной точно- стью. Понятно, что при этом анализ эффективности операции в техническом отношении упрощается. ▲ 4.2.12) Если в выражениях директивных критериальных функций WA[Z?\,U,\) (не обязательно линеаризованных) в качестве аргументов рас- сматривать не только директивные требования Z? к к результатам операции, но и управляемые параметры U,^, то может решаться задача комплексного синтеза ОС (ЦУТС и ЦНПФС), целью которого является определение как оп- тимальных значений U??T параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС, так и наибо- лее соответствующих им значений Z?"J требований ZL\ к результатам Y,, операции, обеспечивающих совместно максимальную её эффективность. А 4.2.13) Из всего вышеизложенного следует, что операция (ЦНПФС) синте- зируется как непосредственно путём её организации, т.е. определения и реали- зации (на этапе целевого применения ЦУТС) оптимальных (или пригодных) значений А?% (или AZS) его параметров и ЭТХ - А£,,, так и опосредованно путём синтеза ЦУТС, т.е. определения и реализации (на этапе разработки и создания ЦУТС) оптимальных (или пригодных) значений А!°,\ (или А'Л) его параметров и ЭТХ - А^9 обеспечивающих требуемую эффективность ЦНПФС (см. п. 2.5). А 4.2.14) Заметим, что в принципе задачи анализа и синтеза объектов (ЦУТС и ЦНПФС) исследования тесно связаны между собой и всегда цели первой из них подчинены целям второй. Таким образом, задача синтеза ОС (ЦУТС и ЦНПФС) решается и в ходе анализа эффективности операции, целью которого является поиск путей оптимизации ЦУТС и ЦНПФС, т.е. путей их синтеза. А
4.3. Дополнения 261 4.3. ДОПОЛНЕНИЯ 4.3.1. О ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И КВАЗИРЕГУЛЯРНЫХ МОДЕЛЯХ ОПЕРАЦИОННЫХ СИСТЕМ И КОМПЛЕКСОВ Вернёмся к п. 2.4 и вспомним приведённые там выражения (2.4.1) - (2.4.17) широко распространённых в литературе функций результатов опе- рации (2.4.6) - (2.4.9), (2.4.12), (2.4.13) и функций параметров ЦУТС и ЦНПФС (2.4.10), (2.4.11), (2.4.14), (2.4.15), используемых в качестве пока- зателей эффективности ЦНПФС. В отличие от детерминированных моделей ОС, в рамках которых ис- пользуются показатели (2.4.6) - (2.4.17), в квазирегулярных моделях дела- ется попытка учесть случайность результатов операции и параметров ЦУТС и ЦНПФС, обусловленную случайностью условий BLx функциони- рования ЦУТС, путём оперирования с их математическими ожиданиями [см. (2.4.6) - (2.4.17)]. Однако, как уже отмечалось (см. (2.4.5) - (2.4.13», такой учет случайности не может считаться удовлетворительным, и осо- бенно тогда, когда показатели L качества результатов операции и пара- метры ААл ЦУТС и ЦНПФС имеют несимметричные относительно их средних значений К v и А,к, распределения. Кроме того, при обоих подходах никак не учитываются истинные цели операции, поскольку в задачах анализа к её результатам не предъявляется никаких требований. Таким образом, строятся модели лишь операционной системы (а не операционного комплекса), позволяющие реализовать ра- зомкнутую схему анализа эффективности операции, в рамках которой мо- гут сравниваться и отбираться "лучшие" (что не доказывается, а постули- руется) из вариантов ОС без ответа на вопрос, насколько они вообще хо- роши. Несколько иначе обстоит дело при решении задач оптимального синтеза ОС, когда схема замыкается путём предъявления к показателям (2.4.6) - (2.4.17) требования их максимальности. Однако вновь, даже при достиже- нии этими показателями максимумов, вопрос о том, достигнута или нет цель операции, остаётся открытым. При решении задач оптимального синтеза ЦНПФС и ЦУТС или ОС в целом обычно рассматриваются две их постановки: - обеспечение максимального целевого эффекта - max yx при заданных ограничениях у2 < z2 на расход ресурсов у2 (принцип максимизации целевого эффекта);
262 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП - обеспечение минимального расхода ресурсов - nun у2 при заданных ограничениях ух > zx на получаемый целевой эффект yt (принцип экономии ресурсов). Сформулированные постановки задачи оптимального синтеза операций и систем, называемые соответственно задачами "с открытой экономикой" и "с закрытой экономикой", реализуют их детерминированные модели. В квазирегулярных моделях вместо детерминированных значений ух, у2 целевого эффекта и расхода ресурсов фигурируют математические ожидания ух, у2 их стохастических аналогов ух, у2. Однако при этом ог- раничения z2 (в первом случае) и zx (во втором случае) остаются детер- минированными и наперёд заданными. Прокомментируем сформулиро- ванные постановки задач. Понятно, что при таком подходе не учитывается неопределённость, все- гда сопутствующая формулированию цели операции и не позволяющая однозначно определять требуемый (минимально допустимый) уровень zx целевого эффекта ух и предельный (максимально допустимый) уровень z2 расхода потребных ресурсов у2. Если же обратиться к квазирегулярной модели, то к отмеченным недостаткам добавится ещё один (не менее су- щественный). Он состоит в том, что предъявление требований к средним величинам ух, у2 целевого эффекта и расходуемых ресурсов сопровожда- ется неучитываемой недостоверностью получаемых решений, обусловлен- ной случайностью истинных реализуемых в ходе операции значений ух и у2 эффекта и расхода ресурсов. Кратко обсудим показатель W6=yx/y2, выдвинутый в монографии [116] в качестве основного и нашедший применение в ряде других работ [26,190]. Поскольку целевой эффект ух связан с расходом ресурсов у2 функцио- нальной зависимостью (рис. 4.3.1) Уг=*{Уг)> (4-ЗЛ) то значение показателя ^6=Л = *Ы (43.2) Уг Уг в точке у2 = у\ имеет физический смысл "скорости изменения" наиболь- шего значения у" = у™** целевого эффекта при условии, что зависимость (4.3.1) заменена линейной вида >_*к), Л =*(*)-*(л)=^Л. (4-3.3) •^ 2
4.3. Дополнения 263 Как видно из рис. 4.3.1, в общем случае при заданном уровне z2 допус- тимого расхода ресурсов у°2 = argmaxW6(y2)* argmax 9t(y2)= y\ y*£z2 y2£z2 и, следовательно, максимизация показателя W6 не обеспечивает достиже- ния максимального целевого эффекта. Таким образом, данное в работе [116] "обоснование" допустимости применения на практике показателя W6 нельзя считать убедительным. 0 y2=argmaxW2 y2=z2 Рис. 4.3.1 Уг О = argmax W2 =y°2 y2= z2 Рис. 4.3.2 Уг Приведённая в работе [116] кривая зависимости yl=(R{y2) целевого эффекта от расхода ресурсов, называемая "логистической", обосновывает- ся как единственно возможная форма связи величин у1 и у2. Однако при- ведённые там рассуждения противоречат практике (см. (5.3.13)) и не могут служить доказательством единственности такой формы РЭ-функции. Дей-
264 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП ствительно, эффект "насыщения", т.е. замедления роста целевого эффекта при неограниченном увеличении расхода ресурсов, имеет место и под- тверждается практикой. Что касается начального участка кривой Уг = ^1^2 /' то он может иметь самый различный характер, в частности экспоненциальный (рис. 4.3.2). При этом, как нетрудно видеть, yl=argmaxW6(y2)=0 => у°хПТ = <ф2°)=0. (4.3.4) Из выражения (4.3.4) следует, что в случае, когда РЭ-функция У\ =(&\Уг)> показатель W6 для решения оптимизационных задач непри- годен. 4.3.1) Самым существенным недостатком показателя W6 является его независимость от времени у3, расходуемого на достижение целевого эф- фекта ух, учёт которого при комплексном исследовании эффективности ЦНПФС абсолютно необходим. ▲ 4.3.2) Как было показано, отношение ух/у2 = Wb не может служить по- казателем эффективности операции, тем не менее оно обладает достаточно содержательными характеристическими свойствами, широко используе- мыми на практике. Так, в математических моделях экономики [59] соглас- но физическому смыслу отношение ух/у2 называется средней произво- дительностью ресурса [ср. с (4.1.24)]. Обратную величину у2/ух естест- венно назвать средней ресурсоёмкостью целевого эффекта. Соответст- вующие этим характеристикам производные dyx/dy2 и dy2/dyx называют- ся предельными производительностью и ресурсоёмкостью. Следует обратить внимание, что вследствие соотношения (4.3.1) пока- затель W6 =W6(y2) представляет собой функцию расходуемых ресурсов, однако это обстоятельство, как правило, никак не учитывается. А В дополнение к замечаниям (2.4.1) - (2.4.14) отметим следующее. Если для вычисления показателей Wx, W2, W3 по формулам (2.4.6'), (2.4.8х), (2.4.10'), достаточно знать математические ожидания у. компонент уп [i = l(l)/f] вектора Г{м)9 то в случаях (2.4.7'), (2.4.9'), (2.4.11'), (2.4.12') этого недостаточно и для вычисления показателей Wk, [A: = 2,4,6(l)l0]' необходимо знать закон распределения случайного вектора Y, v. Наконец, во всех случаях (2.4.6') - (2.4.15') показатели Wk, [k = 2(l)l0] не учитыва- ют связи между компонентами уп у., [/,/ = l(l)/i; iФ j] и её влияния на результаты ЦНПФС и на его эффективность.
4.3. Дополнения 265 Итак, для объективного комплексного оценивания и анализа эффек- тивности ЦНПФС показатели Wk (функции средних эффектов) непри- годны. Спрашивается, пригодны ли они для оптимального синтеза ЦНПФС и ЦУТС? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо устано- вить и проанализировать характер связи показателей Wk с вероятно- стью Рдц достижения цели операции (см. п. 4.5). Поскольку коэффициенты аи в соотношениях (2.4.7) - (2.4.15) про- извольны, то исчерпывающий ответ на поставленный выше вопрос по- лучить практически невозможно. Однако общее представление о харак- тере такой зависимости может быть получено при рассмотрении ряда частных случаев. Пусть в общей постановке задачи исследования эффективности ЦНПФС реализован метод ведущей компоненты и получен условный за- кон распределения F-/H(y) ведущей компоненты у = ух вектора Y, * относительно события Й = №\^Z?*}). Тогда согласно выражению (3.3.27) вероятность достижения цели операции Рдц = Р{у> £)= J*,(z)dF£(z) • (4.3.5) При этом в случае (2.4.6')' Wx =W{yl) = y, (4.3.6) и, следовательно, Wt =Щ =w{yl) = y,=M[y/H] , (4.3.7) т.е. показатель Wx никак не учитывает требования zx к целевому эффек- ту JV Предлагаемое иногда включение расходуемых временных ресурсов уъ в состав показателя у2 неправомерно, поскольку, как отмечалось ранее, ограничения £3 на СР0К Уз достижения цели операции задаются независимо от ограничений £,, z2 на остальные компоненты уг, у2 век- тора F(3) (см. (2.7.7». Наконец, ещё раз подчеркнём, что максимизация целевого эффекта или минимизация расхода ресурсов в общем случае не максимизирует вероятности Рдц или согдц{у) достижения цели операции (см. п.4.3.2) и, следовательно, получаемые при этом решения задачи синтеза ОС (ЦУТС и ЦНПФС) не являются оптимальными, тем более что истинная цель операции, выражаемая критерием (2.3.3) или (2.3.4) её пригодности, в 1 Практически это случай (2.4.8) при OC3i=l, OC3i=0, [l=2(l)/i].
266 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП принципе может быть достигнута не только при максимальном уровне целевого эффекта или минимальном расходе ресурсов. Более того, в си- лу противоречивости требований ix и £2, £3 > предъявляемых соответст- венно к компонентам ух и у2, уъ вектора К3*, оптимальное решение, как пра- вило, является компромиссным, т.е. таким, что ни один из показателей ух, у2, j>3 не достигает экстремального значения. Из всего сказанного следует вывод, что только стохастические и притом замкнутые модели ОС и ОК позволяют проводить комплексные исследо- вания эффективности операций как в рамках задач их анализа, так и в рам- ках задач синтеза. Именно о таких моделях здесь и идёт речь. 4.3.2. О КОРРЕКТНОСТИ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО СИНТЕЗА ОПЕРАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ Вновь обратимся к наиболее распространённым критериальным функ- циям Wk,[k= 1,2,3], определяемым соотношениями (2.4.60- (2.4.8')1. Из сказанного ранее следует, что, строго говоря, величины W2 и \¥ъ являются показателями средневзвешенных эффектов операции и, посколь- ку в них не входят требования к её результатам, то мерой эффективности операции они служить не могут. Более того, поскольку показатели W2 и W3 не имеют физического смысла, то они непригодны для оценивания эф- фективности ЦНПФС в замкнутой схеме, т.е. с предъявлением требований к их значениям. Теперь рассмотрим показатель W1=Wl=yl, т.е. математическое ожи- дание целевого эффекта уг, получивший широкое распространение в каче- стве критериальной функции и называемый часто "показателем (и даже "критерием" [26, 190]) эффективности ЦНП" в задачах оценивания дейст- вительности ударов по военным целям, оценивания валового продукта, и т.п., и установим характер его связи с действительным показателем РДЦ эффективности операции. Пусть случайные величины у и z распределены нормально и имеют соответственно числовые характеристики у, о~у и г, ov т.е. Л. *Л FP{y) = FlH]{y;y,(Tp) = F\ У-У V °у J По ходу изложения речь будет идти о том или ином показателе этой группы.
4.3. Дополнения 267 F.z{z) = F}»\z;z,^=F0 где Fa{x) - табличная функция [169], и пусть цель операции выражается неравенством у > £. Тогда, как показано в примере 3.4.4, F&{a))=R.[R:l(<0)]=Fc Рдц = р{у>1)=тг = Р0 У-z \Щ^,\ У-Z 9 <Оди(г)=0>2{г)=Р0 <±е;%-г)-1^- °У °> (4.3.8) (4.3.9) (4.3.10) В общем случае требования z , предъявляемые к целевому эффекту операции, могут зависеть от принимаемых им значений у (см. п. 5.2.2). Однако в рамках рассматриваемой задачи представляется целесообразным полагать целевой эффект у и предъявляемые к нему требования z стохас- тически независимыми (т.е. z = const, <7- = const). Известно, что параметры законов распределения случайных объектов (величин, векторов, функций) взаимно независимы (между собой). Следо- вательно, при нормальном законе распределения взаимно независимы ве- личины у и о-. Однако при оптимизации ЦНП по критерию максимума среднего целевого эффекта (результата) y = Wl операции с целью измене- ния (в частности, увеличения) у изменяются параметры и ЭТХ ЦУТС - л(;гицнпфс А?к~, а также условия функционирования ЦУТС - В[е), щ (О' что может повлиять (и, как правило, влияет) и на величину рассеяния ау значений у целевого эффекта операции. При этом естественно предполо- жить, что с увеличением среднего результата у рассеяние о'- виртуально- го целевого эффекта у имеет тенденцию к увеличению. С учётом сказанного выражения (4.3.9) и (4.3.10) могут быть представ- лены в следующем виде: Лу Pw=P{Ay)=F0 corM{y)=a)[(y;Ay)=F0 Jf?W) + С7? о. -^{1-у)+- АУ f,(Ay) ' v " f,(Ay) где А у = у - z; //(*) - неубывающая функция аргумента х. (4.3.11) (4.3.12)
268 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Будем полагать, что при изменении среднего результата (целевого эф- фекта) у распределение его виртуального значения у остаётся нормаль- ным, и проанализируем характер связи показателей РДЦ, согдц {у) и Wx=y при различных зависимостях а у от Ау. На рис. 4.3.3 и 4.3.4 соответственно показаны кривые зависимостей (4.3.11) и (4.3.12) при причём f,(Ay)=<r,+\dy\',[i=o(i)3], d)a, = ft{Ay) = a9+\dy]; a)a.=f2(Ay) = a0+\Ay\2; (4.3.13) (4.3.14) ЪШ -1Аух 0 Ауг\ 4 Ау Рис. 4.3.3 Как видно из рис. 4.3.3, если выполняется условие (VAy) Af,{Ay)<C\Ay\ (С = const), (4.3.15) т.е. среднее квадратическое отклонение о~у растёт не быстрее линейной за- висимости от \Ау\, то с увеличением среднего целевого эффекта (результа- та) у, {Ау) вероятность Рдц достижения цели операции (выполнения за- дачи системы) монотонно возрастает. Если же (ЗАу) Af,(Ay)>C\Ay\ (4.3.16)
4.3. Дополнения 269 то в зависимости от диапазона изменения среднего результата у, (А у) при его увеличении вероятность Рдц может как расти, так и падать, проходя через две экстремальные точки (А У, min Рдц}, (А у" > max Рдц}. Рис. 4.3.4. Понятно, что в случаях [(4.3.14), в), г)] увеличение А у более чем на А у" приводит к снижению эффективности ЦНПФС. К сожалению, при решении оптимизационных задач отмеченное обстоятельство не учиты- вается, в результате чего "оптимальные" решения фактически таковыми не являются1. Итак, был рассмотрен случай зависимости от среднего результата у операции характеристики его рассеяния. Однако в подобной зависимо- сти могут находиться характеристики (моменты) распределения вирту- ального целевого эффекта у более высоких порядков (асимметрия, экс- цесс и т.п.). В этом случае с изменением среднего эффекта у будет из- меняться вид (класс, семейство) закона распределения случайной вели- чины у, что также приведёт к изменению вероятности Рдц достижения цели операции. Для выявления точного характера указанной зависимо- сти необходимы специальные исследования. Совершенно очевидно, что без проведения таких исследований оптимизация ЦНПФС и ЦУТС по критерию максимума среднего целевого эффекта является некорректной (необоснованной). 1 Анализ зависимости (4.3.12) и рис. 4.3.4 рекомендуем провести читателю.
270 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Понятно, что всё сказанное в ещё большей степени относится к много- компонентному (комплексному) анализу эффективности ЦНП, когда реа- лизуется соотношение (2.4.7) или (2.4.8), а не (2.4.6). В этом случае при максимизации показателя W2 или W3 за счёт изменения параметров А,к. и будут изменяться параметры распределения всех компонент случайного вектора L. Поскольку же требования к результатам операции (ЦНПФС) по различным аспектам, как правило, противоречивы (желательно иметь целевой эффект побольше, а затраты ресурсов всех видов поменьше, тогда как для получения большего целевого эффекта необходимы большие за- траты), то при максимизации показателя \¥ъ или W4 вероятности РДЦ9 С0дЦ(у) достижения цели операции могут как расти, так и убывать. Понят- но, что лишь в первом случае допустима оптимизация ЦНП по критерию maxWk, однако общих методов его выявления не существует. 4.4. ОБ ЭКОНОМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ЦУТС И ЦНПФС В принципе экономический анализ (ЭА) - это типичное междисципли- нарное направление системных исследований, о которых говорится в гл. 1. Однако ознакомлению с основами экономического анализа ЦУТС и ЦНПФС должно предшествовать изучение общей методологии ТЭЦНП. Поэтому данный параграф рекомендуется читать после изучения первых двух разделов монографии. 4.4.1. СУЩНОСТЬ И ЗАДАЧИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА По мере развития и совершенствования техники, а также роста масшта- бов её производства и внедрения как в народнохозяйственной, так и в во- енной областях весьма острой становится проблема обоснования её эконо- мической целесообразности или, как принято говорить, "экономической эффективности" (см. {2.7.12}, {2.7.13}). В основу исследования "экономической эффективности" разрабатывае- мой сложной (большой) системы с учётом всех этапов (фаз) её жизненного цикла (ЖЦС): проектирования (разработки), создания (изготовления), экс- плуатации (целевого применения) - кладётся анализ соотношения "эффек- тивность - стоимость" [75, 116]. При этом если стоимость обычно из- меряется в денежных единицах, то с эффективностью дело обстоит слож- нее и, как отмечалось в п. 1.1.1, разные авторы вкладывают в этот термин
4.4. Об экономическом анализе ЦУТС и ЦНПФС 271 самый различный смысл. Это и "полезный эффект", под которым понима- ется "степень достижения цели" [51, 111], и "прибыль" [16, 68], и "стои- мость произведённой продукции" [180], и "наносимый или предотвращён- ный ущерб" [26, 48], и "значение технического параметра или функции от него" [62, 84], и "полезность" [45, 140] и т.д. В качестве показателей "эко- номической эффективности" обычно используются отношения количест- венных мер отмеченных характеристик к стоимостям соответствующих проектов (программ). Хотя каждый из авторов пытается обосновывать предлагаемый показатель, однако их обилие и разнообразие свидетельст- вует о том, что общей точки зрения по этому вопросу пока не существует. Тем не менее с целью установления экономической целесообразности про- екта (программы) на этапе проектирования ЦУТС и организации ЦНПФС экономический анализ должен проводиться. 4.4.1) Сразу отметим, что применительно к ударным (боевым) военно- техническим системам (ВТС) и комплексам (ВТК) в силу принципиальной сложности определения стоимости целевого эффекта ЦНПФС (операции) формальный экономический анализ весьма затруднителен как в техниче- ском, так и в семантическом отношении хотя бы уже потому, что, во- первых, наносимый или предотвращаемый ущерб далеко не всегда может быть выражен в денежных единицах, а во-вторых, не всегда ясно, к стои- мости чего этот ущерб следует отнести. А В ходе экономического анализа наряду с расчётами затрат на разработ- ку, создание и эксплуатацию ЦУТС основную роль играют экспертное оценивание полученного при этом целевого эффекта и анализ его соответ- ствия затратам. Следует особо подчеркнуть, что в рамках ЭА как эффекты, так и затра- ты на их получение рассматриваются на уровне суперсистемы, т.е. на уровне ОК, а не ОС. Это означает, что в основном здесь речь идет о стати- ческих ресурсах (и их стоимости), расходуемых на этапах разработки и создания ЦУТС и организации ЦНПФС, в то время как в рамках ИО и ТЭЦНП рассматриваются динамические ресурсы (называемые операцион- ными), расходуемые в ходе операции на получение её операционного це- левого эффекта. Исключение составляют эксплуатационные затраты, свя- занные с расходом динамических ресурсов, однако это ресурсы надопе- рационные, так как расходуются они в обеспечивающих подсистемах ОК и непосредственно в образовании целевого эффекта операции не участвуют. Подробнее об этом говорится в п. 5.3.2. Как отмечалось в п. 1.2 (а также в п. 5.3.2), по функциональным свой- ствам следует различать ресурсы: статические (динамические), активные (пассивные), операционные. Из вышесказанного следует, что наряду с этим существуют и "квазистатические", "квазиактивные", "надоперацион-
272 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП ные" ресурсы, которые расходуются на создание и эксплуатацию ЦУТС, а также на организацию и управление ЦНПФС и участвуют в операции не явно, а опосредованно через агрегированные эксплуатационно- технические характеристики (ЭТХ) ЦУТС и ЦНПФС. В дальнейшем в пределах данного параграфа говорится о системных (надоперационных - программных, проектных) целевых эффектах и сис- темных затратах ресурсов и денежных средств. Введём обозначения: А',к.к - вектор параметров и ЭТХ ЦУТС; А?к* - вектор параметров и ЭТХ ЦНПФС; В,, v - вектор характеристик условий проведения операции; С, (А') - системные затраты на придание ЭТХ ЦУТС значений AL*; С2(А") - системные затраты на придание ЭТХ ЦНПФС значений А?к.\; Y^l - показатель целевых эффектов операции; F/2v - показатель расхода операционных ресурсов; YP\ - показатель расхода операционного времени; Г,(ДС - показатель системного (надоперационного) целевого эффекта от реализации проекта (программы); F/Д с - показатель расхода системных (надоперационных) ресурсов; F/3C\C - показатель расхода системного (надоперационного) времени (длительность жизненного цикла ЦУТС). В принципе имеют место следующие соотношения: y(i)_y(i)(y(2) у«.д ) Г44П где F(i=y(iHo'4o;i?('>/; y(3) _ у(3) ( л> л* . R ) уО) С _ у(\)С ( у(2)С у(Ъ)С . » ) (л л ?ч гтте y(2)c-y(2)c(yW yW yW.J? )• y(3)C _y(3)c(y(l) y(2) y(3)#o \ V) -*(nf) \ж(*)'жЫ'жЫ'"(1с)>> и, следовательно, УЙС =Сил]{сМ%Сг{Л"% (4.4.3) т.е. системный целевой эффект от применения ЦУТС (суммарный эффект операций, проведённых ЦУТС за период её жизненного цикла) зависит от
4.4. Об экономическом анализе ЦУТС и ЦНПФС 273 системных затрат на создание и эксплуатацию ЦУТС, а также на организа- цию ЦНПФС и управление им. 4.4.2) Обратим внимание, что векторы yP\ и y№? также описывают за- траты на проведение операции и реализацию проекта (программы) соот- ветственно, однако в отличие от затрат С{(А') и С2(А"), выражаемых в денежных единицах, это затраты конкретных ресурсов, расходуемых в хо- де операции, а также на её обеспечение и эксплуатацию ЦУТС. А Поскольку ЭА проводится на самом первом этапе жизненного цикла ЦУТС, т.е. на этапе её внешнего проектирования, то ему сопутствует су- щественная неопределённость как всех перечисленных выше характери- стик, так и характеристик Z)x\? 9 Z,(2\c, ZJ3)C? требований, которым должны удовлетворять системные характеристики У/Дс, Y$\ > Y/{%C результатов реализации проекта (программы). Поэтому мера качества проекта (про- граммы) носит вероятностный характер и имеет следующее выражение [см. (2.3.14), (3.2.6), (3.2.10)]: = p[to<*^ , (4.4.4) V) -*>f} *■?<*) -~к>/■■?(*) -*>0 1 дц ~ итг*агги где РдЦ - вероятность достижения цели программы (реализации проекта); /Iе = ncx + #i2c + псъ . 4.4.3) Как видно, соотношение (4.4.4) имеет структуру выражений (2.3.14), (3.2.10), однако смысл входящих в них операндов несколько раз- личен. Поскольку источники неопределённости на первом этапе системно- го исследования проекта (программы) в рамках АНС и на этапе исследова- ния операции в рамках ТЭЦНП имеют различную природу, то их описания носят различный характер. Так, в ТЭЦНП широко используются принципы аналогий и прототипов. В АНС возможности их применения значительно уже. Поэтому здесь многие оценки носят экспертный характер и вероят- ность Рсдц может трактоваться как субъективная. С учётом (4.4.1) - (4.4.3) из (4.4.4) следует РСдц=РСМ<\СгШ- (4А5) А Свойства компонент Z)x]?, ZJ2\C9 z!3c\c соотношения (4.4.4) выявляют- ся в ходе системного анализа проблемной ситуации. Характеристики F/'c\c, YrAc определяются на основе моделирования \»i; \*>; ЦУТС и ЦНПФС в рамках ИСО.
274 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Определение показателя У/Дс, выявление его связи с С,(у4'), С2(А") и составляет предмет ЭА. В зависимости от цели анализа и используемой при этом информации различают: - военно-экономический анализ (ВЭА), в общем случае функционально- экономический (стоимостной) анализ (ФЭА); - технико-экономический анализ (ТЭА). Задача ВЭА - анализ зависимости y№Ic от У(я1\с9 Y$\C и через них от Сх(А')> С2(А")9 т.е. исследование взаимосвязи затрат на подготовку и про- ведение операции с показателями её качества: у(1)С_у(1)с(у(2)С у(з)С.дС ) =* сД4^)=с2Кг'^^в4гд(о)- <4A6> Задача ТЭА - анализ зависимости показателя качества ЦУТС от затрат на её разработку и создание: 4'>=4'>1с-'4')) => c.l4'))=ctl4'>'4')i- <4А7> Общая схема проведения системного экономического анализа приведе- на на рис. 4.4.1. 4.4.2. СТРУКТУРА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАТРАТ НА ПРОГРАММУ Затраты, сопутствующие реализации программы (проекта), делятся на [112]: - статические (осуществляемые до проведения операции); - динамические (осуществляемые в ходе проведения операции). Обобщённая структурная схема затрат на программу приведена на рис. 4.4.2. При анализе затрат на ЦУТС их принято рассматривать применительно к жизненному циклу ЦУТС. Определение 4.4.1. Жизненный цикл ЦУТС (ЖЦС) - это период времени от момента начала проектирования системы до момента её снятия с эксплуатации в связи с физическим или моральным устареванием (изно- сом). ▲ ЖЦС включает в себя три этапа (фазы): - проектирование ЦУТС; - создание ЦУТС; - эксплуатация и целевое применение ЦУТС.
4.4. Об экономическом анализе ЦУТС и ЦНПФС 275 Описание операции и операционного комплекса —> Определение факторов, характеризующих организацию операций и способы её проведения —► Определение состава системных ресурсов Определение основных характеристик организации операции Определение систем, обеспечивающих проведение операции, и их основных ЭТХ Определение системы, проводящей операцию, и её основных ЭТХ Пассив- ные ресурсы Актив- ные ресурсы w Определение затрат на ресурсы Определение затрат на организацию и проведение операции Определение затрат на эксплуатацию систем, обеспечиваю- щих проведение операции Определение затрат на создание и эксплуатацию системы, проводящей операцию —н —*- Определение суммарных затрат на операцию (ЦНП) и реализующие её ЦУТС
276 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП Затраты на операцию (ЦНП) Статические Затраты на разработку проекта и создание ЦУТС Затраты на создание, модер- низацию и совершенствова- ние ЦУТС, обеспечивающих проведение операции Затраты на создание запасов ресурсов, расходуемых в ходе операции Затраты на организацию операции Динамические Расходы ресурсов в ходе операций Эксплутационные расходы на ЦУТС, проводящую операцию Эксплутационные расходы на ЦУТС, обеспечивающие проведение операции Расходы на проведение операции (на планирование и управление ЦНПФС) Рис. 4.4.2. По степени отношения к результатам операции затраты можно разде- лить на непосредственные и опосредованные, а в зависимости от их на- значения и этапа ЖЦС - на основные, сопряжённые и сопутствующие. Примерная схема классификации затрат по второму признаку приведена на рис. 4.4.3. Кратко1 прокомментируем рис. 4.4.3 в соответствии с его рубрикацией. Основные затраты имеют отношение к получению целевого эффекта ЦНПФС на всех этапах ЖЦС, но в различной степени: от непосредствен- ного до весьма опосредованного, в связи с чем они делятся на прямые и косвенные. Прямые затраты идут на создание (проектирование и изготовление), содержание в готовном состоянии (техническое обслуживание и эксплуа- тацию) и целевое применение ЦУТС: Более подробно эти вопросы освещены в пособии [111].
4.4. Об экономическом анализе ЦУТСи ЦНПФС 277 Затраты на ЦУТС Основные Сопряжённые Сопутствующие Прямые Косвенные Рис. 4.4.3. а) на этапе проектирования ЦУТС это расходы: - на производственные потребности конструкторских бюро (проек- танта); - на потребности внешних научно-исследовательских организаций; б) на этапе изготовления ЦУТС это расходы: - на материалы, полуфабрикаты, покупные изделия; - на заработную плату производственных рабочих; - на контрагентские поставки и работы смежников; в) на этапе эксплуатации ЦУТС это расходы: - на материально-техническое снабжение; - на все виды энергии; - на сырьё (расходные материалы); - на ремонт; - на содержание обслуживающего ЦУТС персонала; г) на этапе целевого применения ЦУТС это расходы операционных ре- сурсов всех видов (см. п. 1.2.3). Косвенные затраты обусловлены накладными расходами на содержа- ние административно-управленческого аппарата КБ, НИИ, предприятий- изготовителей, на содержание, амортизацию, техническое обслуживание и ремонт оборудования и т.д. Сопряжённые затраты идут на создание, эксплуатацию и материаль- но-техническое обеспечение комплексов базирования и обеспечения ЦУТС, а также на совершенствование, модернизацию и создание новых систем, обеспечивающих организацию и проведение операции (улучшение помещений, развитие систем энергоснабжения, связи и т.д.). Сопутствующие затраты возникают в смежных областях науки, произ- водства и экономики, связанных с обеспечением программы (в других от- раслях промышленности, транспортных системах, в добывающей про- мышленности и т.д.). Введём обозначения: СХ=СП - затраты на этапе проектирования ЦУТС; С2=СИ - затраты на этапе изготовления ЦУТС;
278 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП С3=СЭ - затраты на этапе эксплуатации и применения ЦУТС; суммарные косвенные затраты; 'сопр ~ суммарные сопряженные затраты; Ссопут ~ суммарные сопутствующие затраты; C.(t) - интенсивность затрат на *-м этапе ЖЦС. Суммарная интенсивность затрат на всём ЖЦС определяется выраже- нием Ф)=1с,(')- Тогда полные затраты Спр на реализацию программы (проекта) будут определяться соотношением СПР ='}с1(г)Л + '}с2(/)Л + '}Сз(<)Л + с£в + с£, +с£уг , (4.4.8) '#/ 'я 'о где tH- момент начала ЖЦС; t0 - момент ввода ЦУТС в эксплуатацию; tK - момент снятия ЦУТС с эксплуатации - момент окончания ЖЦС. На рис. 4.4.4 приведён график, иллюстрирующий примерный характер зависимости интенсивности C(t) затрат от момента t ЖЦС. Из рис. 4.4.4 видно, что на каждом из этапов ЖЦС функция C(t) имеет экстремум и уменьшается по мере их завершения. сЛ')1 ct(t),c2(*)A(t) Рис. 4.4.4 Исключение составляет этап эксплуатации ЦУТС, к концу которого ин- тенсивность затрат вновь возрастает, что связано со старением ЦУТС, ухудшением её ЭТХ и обусловленным этим увеличением эксплуатацион- ных расходов.
4.4. Об экономическом анализе ЦУТС и ЦНПФС 279 4.4.4) При анализе сопряжённых и сопутствующих затрат на создание, модернизацию и совершенствование обеспечивающих систем необходим^ учитывать существенную их особенность, состоящую в том, что они чаще всего участвуют во многих операциях, т.е. обеспечивают функционирова- ние целого ряда различных операционных систем. Так, например, данные радиолокационных станций (РЛС) ПВО используются зенитной артилле- рией, системой зенитных управляемых ракет (ЗУР), истребительной авиа- цией; данные космической навигационной системы используются подвиж- ными средствами систем различного назначения; данные спутниковой ме- теорологической системы используются как в народнохозяйственных, так и в военных комплексах и т.д. В связи с этим затраты данных видов рас- пределяются между ЦУТС, в интересах которых функционируют обеспе- чивающие системы. А 4.4.5) При оценивании затрат на создание запасов эксплуатационных и операционных ресурсов необходимо учитывать, что из-за их физической конкретности возникают ограничения при обеспечении ими различных операций, так как недостаток ресурсов одних видов не может быть ском- пенсирован избытком (резервом) ресурсов других видов. Поэтому затраты на ресурсы, обладающие указанными свойствами, должны оцениваться раздельно. А 4.4.6) Под затратами на организацию операции понимаются расходы, связанные с выбором оптимального способа и плана проведения операции и последующим управлением ею. А 4.4.3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАТРАТ Определение затрат на ЦУТС и ЦНПФС производится в соответствии с общими принципами оценивания и включает в себя два этапа. 1. Формулирование критерия оценивания: - спецификация номенклатуры затрат; - определение показателей затрат данной номенклатуры; - формулирование (обоснование) требований (нормирующих условий) к значениям показателей затрат. 2. Оценивание затрат: - измерение уровней показателей затрат (получение их оценок); - сопоставление измеренных значений затрат с нормирующими усло- виями (реализация критериев оценивания). Например, при определении затрат на военно-техническую систему (ВТС) её структура и общий облик считаются известными. В качестве ос- новного типового элемента структуры ВТС принимается комплекс воо-
280 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП ружения (KB), включающий в себя целевую подсистему (оружие) и обес- печивающую подсистему (технологическое оборудование). Экономический анализ ведётся применительно к сроку (периоду) реали- зации программы вооружения с данным КВ. При этом используются сле- дующие показатели: Спрг- средняя суммарная стоимость программы вооружения с данным _ KB; СБЗ - средняя стоимость выполнения боевой задачи; СТЗ - средняя стоимость выполнения типовой боевой задачи; С по ~ средняя стоимость применения единицы оружия; С^- средние годовые эксплуатационные расходы; Сэк - средняя стоимость элемента KB (ЭКВ); Сгэо - средние годовые эксплуатационные расходы с учётом отвлече- ния средств из народного хозяйства. При этом С„0=-^-, (4.4.9) ™ ПРГ где N прг - число единиц оружия, предусмотренное программой; СБЗ=СП0МБЗ, (4.4.10) где Na - число единиц оружия, необходимых для выполнения боевой за- дачи; _ _ _ С«=С/Э + ^СЯЛ., (4.4.11) где КуСпрг - ущерб, наносимый народному хозяйству из-за отвлечения средств. Период реализации программы вооружения начинается с утверждения ТТЗ на KB, а заканчивается снятием его с вооружения. Средняя стоимость программы определяется следующей суммой: ^прг ~ ^рс ~*~ ^пр "*" ^то "*" ^сс ~*~ ^эс> (4.4.12) где СРС - средние расходы на разработку вооружения системы (ЦУТС); Спр - средние расходы на производство оружия; Сто - средние расходы на производство технологического оборудова- ния; С ее ~ средние расходы на строительство сооружений; Сэс- средние расходы на эксплуатацию вооружения системы (ЦУТС). Более подробно содержание слагаемых в (4.4.12) раскрывается в [38, 116,125].
4.4. Об экономическом анализе ЦУТС и ЦНПФС 281 При экономическом анализе ЦУТС на этапе её проектирования необхо- димо знать соотношения между её качеством и стоимостью, т.е. зависимо- сти стоимостей элементов KB от их параметров и ЭТХ: СЭК = СЭК(А*«), (4.4.13) где А^л - вектор параметров и ЭТХ элемента КВ. Зависимость (4.4.13) называется функцией стоимости (ФС). Основ- ными методами определения ФС являются: - методы калькуляции; - методы производственных функций [функций затрат - ЭР-функций (см. п. 5.3.1)]; - статистические методы. В рамках калькуляционных методов могут использоваться различные исходные данные: - данные о стоимостях реализованных прототипов KB; - данные о стоимостях ЭКВ реализованных прототипов KB; - данные о стоимостях элементов KB, получаемые путем укрупнённых расчётов по сметной и базисной статьям калькуляции, по удель- ным затратам, с использованием базисных коэффициентов. Таким образом, совокупность калькуляционных методов расчёта стои- мости ЭК может быть разбита на две группы: - методы прототипов; - методы укрупнённых расчётов. Методы укрупнённых расчётов, в свою очередь, имеют ряд разновидно- стей: - метод сметной калькуляции; -метод базисной статьи калькуляции; - метод удельных затрат; -метод базисных коэффициентов. Более подробно все отмеченные методы рассматриваются в пособии [112]. В основе методов производственных функций лежит математиче- ский аппарат регрессионного и корреляционного анализов. При этом наи- большее распространение получили линейные регрессионные модели, а также модели парных и множественных корреляций. Качество моделей оценивается по дисперсиям оценок их параметров (коэффициентов регрес- сии и корреляции). Основное влияние на качество моделей производственных функций [операционных ЭР-функций и РЭ-функций (см. п. 5.3)] оказывает выбор (определение) состава факторов (параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС), обусловливающих организацию и протекание операции. Первоначальный перечень факторов определяется эмпирически, после чего методами фак- торного анализа производится отбор из них наиболее существенных (наи- более значимых).
282 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП В основе построения РЭ-функций лежит функционально-стоимостный анализ (ФЭА) соотношений (4.4.6), в результате которого определяются зависимости затрат от факторов YP\9 а затем и от параметров и ЭТХ А,к, ЦУТС и ЦНПФС, т.е. из соотношения: следует откуда Здесь YM -*(nt)\YM;AW J-G(nx)\A(kyY{n2) b СЭк = СэАс{к)(А^)\. (4.4.14) у(»)р|у(»)э I _s АЭК^\ ЛЭКЪ \ где \Г/^\Э ] - область допустимых значений целевых эффектов операции. Зависимости C\A?kKA [i = l(l)&] - компоненты вектор-функции С,кх[А^л) могут иметь различный характер, однако, как правило, их приво- дят к линейным или степенным функциям, т.е. C9K, = C,(a,)=Ch + C;,[i = l(l)*\, C3K=tcfi> + tcU (4-4.15) ИЛИ СЭК,=С,{а,) = С^-+С„ [/ = 1(1)*]; C3K=tcti' +tcU (4-4.16) где c;=^M,[i=i(i)k). В основе статистических методов лежит определение, по экспери- ментальным данным, собранным на реализованных прототипах, вероятно- стных характеристик затрат на ЦУТС на различных этапах ЖЦС в форме условных законов их распределений относительно условий протекания каждого из этапов. Достоинство этого метода состоит в учёте неопределённости, всегда со- путствующей экономическому анализу, однако недостаточная изученность механизма воздействия неопределённых (случайных) факторов сущест- венно затрудняет его практическое использование, поскольку этот метод принципиально опирается на ретроспективные данные.
4.4. Об экономическом анализе ЦУТС и ЦНПФС 283 4.4.7) Рассмотренные выше методы ЭА, основанные на средних стоимо- стях элементов KB (ЭКВ) и компонентов программы вооружения, облада- ют существенным недостатком - малой надёжностью (достоверностью), так как при реализации проекта (программы) реальные стоимости могут существенно отличаться от их средних значений. Поэтому методы ВЭА (ФЭА) и ТЭА требуют дальнейшего совершенствования в направлении бо- лее адекватного реальной ситуации учёта неопределённости стоимостных данных. А 4.4.8) Как можно было заметить, методы экономического анализа ЦУТС и ЦНПФС обладают большим много- и разнообразием и требуют отдель- ного изучения. Поскольку тематика монографии принадлежит смежной области системных исследований, то здесь были лишь обозначены конту- ры этого научно-прикладного направления. Заинтересованный читатель может расширить свои познания по работам [9, 11, 14, 16, 38,41,43, 53, 59, 63, 68, 76, 80, 85, 88, 97,98, 108, 116, 120, 125,132, 133, 149, 164, 180]. А 4.5. КОММЕНТАРИИ Продолжая обсуждение проблемы исследования эффективности опера- ции и обусловливающего её качества ЦУТС и ЦНПФС, прокомментируем ряд ключевых концептуальных и методологических вопросов. Заметим, что возможные повторы сказанного ранее обусловлены различием уровней и ракурсов (точек зрения) рассмотрения методологических аспектов про- блемы, которые необходимо уяснить в новом контексте. 4.5.1} Прежде всего следует подчеркнуть, что детерминированные мо- дели учитывают лишь потенциальные характеристики ОС, ОК и их эле- ментов, относящиеся к некоторым вариантам ЦУТС и ЦНПФС, которые в силу воздействия случайных факторов будут реализовываться с нулевой вероятностью. Квазирегулярные модели имеют незначительные преимущества, так как ориентированы на средние значения моделируемых случайных характери- стик, реализуемые также с нулевой вероятностью и не обязательно с мак- симальным элементом вероятности. При этом свойства самой критериаль- ной функции в общем случае остаются неизвестными (см. (2.4.10)). А 4.5.2} В известных методиках [84, 177, 178] исследования операций наиболее сложным и необоснованным этапом является определение пока- зателей, называемых критериями или функциями ценности, полезности и т.п. [36, 45]. Лежащие в их основе постулаты носят умозрительный харак- тер, и реализующие их практические процедуры не определены. А
284 Глава 4. Методы исследования эффективности ЦНП 4.5.3} Ещё раз подчеркнём принципиальное различие критериальных функций Wp и Wn результатов Y,n) операции и параметров X',,, ЦУТС и ЦНПФС соответственно (см. п. 2.4): первые - это операционные характе- ристики ЦНПФС, а вторые - эксплуатационно-технические характеристи- ки ЦУТС и ЦНПФС. Обратим внимание, что требования (ограничения) к качеству результа- тов операции всегда односторонние, тогда как требования к параметрам и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС могут быть как одно-, так и двусторонними. Не сле- дует эти ограничения смешивать. А 4.5.4} Если при исследовании эффективности операции данных для оп- ределения закона распределения F% \Z/n\) предельно допустимых (тре- буемых) значений Z,^ показателя К v качества её результатов недоста- точно, то весьма полезными могут оказаться гарантированные - пессими- стическая и оптимистическая оценки РДЦ и Рдц показателя Рдц эффек- тивности ЦНПФС при крайних значениях параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС. Малость диапазона 1/^ ,/^/J значений показателя Рдц может служить обоснованием правомерности предъявления к результатам К* операции детерминированных требований Z\. A
Глава 5 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ ОПЕРАЦИОННОГО КОМПЛЕКСА 5.1. ОБЩИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ Как известно [16, 20 - 22, 44, 52, 59, 70, 74, 82, 84, 85, 89, 94, 108, 171, 178, 181], математической моделью сложного объекта называется сово- купность соотношений, описывающих его строение (состав, структуру, ор- ганизацию), поведение и взаимодействие с другими объектами и с окру- жающей средой и позволяющих изучать объект в развитии. В зависимости от задач исследования объекта степень детальности модели может быть различной (от учёта каждого его элемента до представления в виде "черно- го ящика"). Однако следует отметить, что методологическим аспектам проблемы построения математических моделей сложных объектов (ЦУТС и ЦНПФС) в известной литературе уделено недостаточно внимания. Точ- нее сказать, мало обсуждаются принципы и методики построения моделей и основные требования, которым они должны удовлетворять. Другими словами, в основном говорится, что такое математические модели, и при- водятся их примеры и не говорится о том, как эти модели построить и ка- кими они должны быть, чтобы их можно было использовать в конкретных исследованиях. Мало говорится о специфике моделей в исследовании опе- раций вообще и в рамках задачи исследования их эффективности в частно- сти. Тем не менее общие концептуальные основы в этих работах освеще- ны. Рекомендуем читателю ознакомиться с ними. Для уяснения основных принципов математического моделирования процитируем их из работ [74] и [84]. В основе методологии научного исследования лежит следующая схема: - формулируется проблема; - строится математическая модель исследуемого объекта; - формулируется теория рассматриваемого явления; - выводятся некоторые следствия из этой теории; ~ даётся интерпретация полученных результатов. Описанная схема иллюстрирует весь цикл научного метода, за исклю- чением этапа сбора фактов. Этот этап начинается с набора уже известных фактов, их использования в рамках правдоподобных рассуждений [135], затем идёт экспериментальная верификация (проверка адекватности) и за-
286 Глава 5. Методы построения математических, моделей элементов ОК канчивается готовностью использовать предсказания теории для решения конкретных практических задач. После построения математической моде- ли, её "экспериментальной" проверки по ограниченным исходным данным и её достаточной детализации представляется экспериментальное доказа- тельство возможной неадекватности первоначальной модели, но сам факт неадекватности предполагает возможность создания улучшенного (более адекватного) варианта модели (см. рис. 2.2.6). К сказанному необходимо добавить следующее [178]. При построении математических (как правило, аналитических) моделей зачастую делаются (постулируются) предположения (допущения), позволяющие упростить описывающие модель аналитические зависимости (детерминизация, ска- ляризация, линеаризация и т.п.) с целью повышения возможностей её ана- литического исследования, а также наглядности и иллюстрируемости по- лучаемых результатов. При этом, естественно, адекватность модели сни- жается. Тем не менее, если сделанные при построении модели допущения принципиально не противоречат физическому смыслу рассматриваемого явления и упрощенная модель отражает основные тенденции в строении и поведении исследуемого объекта, то получаемое с её помощью решение позволяет сделать многие полезные выводы и дать рекомендации. Важно, чтобы интерпретация результатов соответствовала реальным фактам, про- веряемым экспериментально (возможно, и на имитационных моделях). По- этому подобные модели широко используются в теоретических и приклад- ных исследованиях и расчётах. 5.1.1) Применительно к задачам исследования эффективности операций вышесказанное означает, что среди всех свойств моделей исследуемых объектов (ЦУТС и ЦНПФС) первостепенное значение имеет правильное описание ими влияния параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС на эффектив- ность. Что касается точности абсолютного измерения (оценивания) эффек- тивности операции, то её уровень должен обеспечивать правильное срав- нительное оценивание и ранжирование по эффективности альтернативных вариантов ЦУТС и ЦНПФС (см. п. 2.3.3). Именно наличием таких свойств у критериальных функций (см. п. 2.4) может быть оправдано их практиче- ское использование. Однако при их определении обоснованию наличия этих свойств должного внимания, как правило, не уделяется. А 5.1.2) Следует подчеркнуть, что модели ЦУТС и ЦНПФС в задачах ис- следования их качества и эффективности достаточно специфичны и прежде всего своей агрегированностъю, т.е. комплексностью учёта в рамках моде- ли реальных параметров и ЭТХ объектов исследования. Кроме того, это модели не конкретной ЦУТС или ЦНПФС, а модели соответственно клас- са ЦУТС, определяемого её проектом, и класса ЦНПФС, определяемого его организацией. Еще раз напомним, что в задачах исследования опера-
5.7. Общие предпосылки 287 ций и теории эффективности целенаправленных процессов моделируются не существующие, а вновь создаваемые (гипотетические) объекты. А 5.2. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ ОПЕРАЦИОННОГО КОМПЛЕКСА Во всём предшествующем изложении для обозначения исследуемых объектов и формулирования задач исследования широко использовалась математическая символика. При этом одни символы призваны описывать структуру и основные свойства объектов, а другие - их поведение. Сово- купности всех этих символов и образуют математические модели объек- тов. Применявшиеся до сих пор символы носили весьма общий и абст- рактный характер (за исключением некоторых примеров). Причём практи- чески ничего не говорилось о том, как эти модели строить, т.е. как и где брать необходимые для этого данные и что с ними делать, чтобы модель объекта была как можно более адекватной ему. Настало время обсудить основные аспекты этой проблемы. 5.2.1. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ ОПЕРАЦИОННОГО КОМПЛЕКСА Процесс построения математической модели любой операции (любого ЦНПФС) включает в себя две фазы и реализуется в два этапа: - на первом этапе строится модель операционной системы, включаю- щей в себя в качестве подмоделей: модель ЦУТС, модель условий функционирования ЦУТС и модель ЦНПФС; - на втором этапе строится модель операционной ситуации, т.е. модель условий применения ЦУТС. На рис. 5.2.1 приведена обобщённая структурная схема алгоритма по- строения математической модели операционного комплекса и его элемен- тов. Кратко прокомментируем функции отдельных блоков схемы. Блоки 1-3 определяют спецификации: - существенных эффектов (атрибутов) операции, определяющих вир- туальное качество её результатов - вектора К*; - параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС - векторов Alk* и Л?к~ (управ- ляемых Ж х и неуправляемых А!к Л\
288 Глава 5. Методы построения математических моделей элементов ОК ттт ттт ттт « ! ^ о ! £ !'— и и 1 О L* mm ттт ттт У|Л ^Г f-x •ч < «К •ч «г •ч 1 II ттт ттт ттт ттт т ! н <-> о Is 1 ~* <м «3 * •«к II •* X ттГ 1." и J <*> 1 r-i — -► -- иг *- — <Г> V •ч 1 % •ч \ •ч 1 •ч J *» 1 II <^ «fl -- иг :—■ ••ч II с2 J «ч 1 ,"н — "* - — " U- — ^ '"""rU •ч 1 л 1 Ч| II — -- " :—г II I 1-Н 1 f—* — -► ■ — " *- — ir> . „ &\ II О «Г — - — 1.. I—Г L-^—-*. •ч •ч * — <5 •*ч <5 1 *ч ■о 1 •* *^ II 1 * .*> J о 1 тН — -* — Wmm V — * *~~X ' •ч "ST" II S'? • — " ^ «Г **> ••ч ГЧ» Я ••ч •ч II On —' Г"" ! | —■ i so —- 3 J "^ ■*•♦. «г ^г «Г Ч" ^ .. N^ «ас •2» »*^ >-^ 3 ^ и — j ■* — —- Г— «г и и 00 А г^ »г ♦•ч II --. Ц| —'|
5.2. Схема построения моделей элементов операционного комплекса 289 - характеристик условий функционирования ЦУТС - вектора 1?L, влияющих на параметры AL* и А?к«. Блок 4 представляет собой операционную модель ЦУТС, описывающую зависимость параметров А,кх = (А',к«, А?^) от ЭТХ и условий функциони- рования ЦУТС и от организации ЦНПФС. Блоки 5-7 определяют операционный функционал со всеми его пара- метрами - агрегатами (см. п. 5.4), а также закон распределения показателя F/v виртуального качества результатов операции и представляют собой математическую модель ЦНПФС. Блок 8 определяет подвектор (U'{/) = (Afo,Bfa))с(X'{mf) = {A{k),B'{r)J) управляемых компонент вектора Х',« (параметров и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС), а также стратегии (способы) управления ими и, таким образом, моделирует работу органа управления качеством ЦУТС и эффективностью ЦНПФС. Блоки 9 и 10 определяют спецификацию показателя Z, v требуемого ка- чества результатов операции и характеристик В7гх условий применения ЦУТС. Блоки 11 и 12 определяют зависимость требований Z.y предъявляемых к результатам L операции, от условий щ* применения ЦУТС, а также закон распределения случайного вектора Zv и, таким образом, совместно с блоками 9 и 10 реализуют априорную модель ситуации (стратегической и оперативной обстановки), в которой проводится операция и достигается её цель. Блок 13 определяет подвектор Ufi = UT* сX?* = BJL управляемых компонент вектора X?* (характеристик условий применения ЦУТС), а также стратегии (способы) управления ими и совместно с блоком 8 моде- лирует работу органа управления требуемым качеством результатов опе- рации. Блок 14 определяет соотношения ^ между компонентами векторов L и Z/v, обеспечивающие достижение цели операции и, таким образом, мо- делирует процедуру оценивания качества результатов операции. Из сказанного следует, что блоки 1-8 образуют модель операционной системы (МОС), блоки 9-13 образуют модель операционной ситуации (МОСТ), а блоки 1-14 образуют .модель операционного комплекса (МОК) в целом. 10 Зак. 3303
290 Глава 5. Методы построения математических моделей элементов ОК 5.2.1) Следует обратить особое внимание на специфику математических моделей, строящихся по рассмотренному алгоритму, которая обусловлена их назначением. Указанная специфика раскрывается в дальнейшем. При этом необходимо иметь в виду, что схема, изображенная на рис. 5.2.1, но- сит весьма общий характер и называется "алгоритмом" условно, поскольку в конкретных случаях в зависимости от имеющихся данных о ЦУТС и ЦНПФС, а также от возможностей и процедур их добывания последова- тельность реализации блоков этого "алгоритма" может отличаться от по- следовательности, приведённой на рис. 5.2.1. А При изучении физических явлений объектом моделирования являются связи между их различными характеристиками. При исследовании техни- ческих устройств, систем и протекающих в них процессов моделируются связи их состояний (понимаемых в широком смысле, т.е. включая и свой- ства объектов) с внешними воздействиями (как естественными, так и спе- циально организованными), а также с другими элементами и подсистема- ми (точнее, с их состояниями) исследуемого объекта (ЦУТС или ЦНПФС). Для пояснения сказанного процитируем определение понятия матема- тической модели: "математическая модель реальной системы - это совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.д.), определяющих характеристики состояния системы (а через них и выходные сигналы) в зависимости от пара- метров системы, входных сигналов, начальных условий и времени" [74, 93, 178]. Понятию "соотношение" в этом определении придаётся весьма широ- кий смысл: в одних случаях - это явные функции от параметров системы, входных сигналов, начальных условий и времени, в других - это совокуп- ность уравнений (алгебраических, дифференциальных, функциональных и т.д.) относительно характеристик состояний системы и её выходных сиг- налов. При этом параметры системы входят в коэффициенты уравнений, а входные сигналы - в их правые части. Однако при исследовании реальных систем не всегда удаётся построить математические модели в виде явных функций или уравнений. Подтвер- ждением сказанного служат модели конкретных сложных систем и про- цессов, построенные с учётом воздействия на них различных случайных факторов. Рекомендуем читателю ознакомиться с монографией [178] более подробно. Операционный комплекс - это сложная (большая) система, поэтому приведённая выше цитата относится к нему в полной мере. Это, в частно- сти, иллюстрируется и приведёнными на рис. 5.2.1 соотношениями общего характера, конкретные выражения которых могут принимать самые раз- личные формы. Тем не менее ОК и ОС имеют специфические особенности, присущие только им и обусловленные задачами исследования.
5.2. Схема построения моделей элементов операционного комплекса 291 Прежде всего следует отметить, что в общем случае характеризующие математическую модель параметры и ЭТХ ЦУТС и ЦНПФС Х,к являют- ся функциями времени, т.е. X,s=X,mAf). Это означает, что от времени за- висят как показатели К,, Z,k качества результатов (виртуальных и тре- буемых) операций, т.е. Г(||> = Y{n){X[mf){t)), Z{n) = Z{ll)[x^(t))9 так и пока- затели её эффективности, т.е. РДЦ = Pm[x{m){t)), (0Гдц{у)^(0Гдц{г;Х{т){()), Поэтому состояния ОС и ОК могут характеризоваться любой из приве- денных функций времени. 5.2.2) До сих пор для большей простоты и наглядности изложения из- менение характеристик Х,к ЦУТС и ЦНПФС во времени явно не подчёр- кивалось. В дальнейшем символ / , как правило, также опускается, но при существенной зависимости характеристик исследуемых объектов (ЦУТС и ЦНПФС) от времени он должен фигурировать в модели в явном виде.1 ▲ Интерпретируя приведённое выше определение математической моде- ли, заметим, что под "состояниями" ЦУТС и ЦНПФС следует понимать значения A'^Ai) и A^kAt) их параметров и ЭТХ, под "выходными сигна- лами" - значения Y,\t) показателя Y.x качества результатов операции, под "входными сигналами" - значения (^A%At),AyAt)) = Utry их управ- ляемых параметров и ЭТХ, под "начальными условиями" - значения Щгк(tQ) и YP\(t0) характеристик условий функционирования ЦУТС и за- пасов ресурсов в начале операции. 5.2.3) При некотором воображении, в рамках задачи синтеза к входным (управляющим) "сигналам" можно отнести и значения показателя Y^l расходуемых ресурсов, характеристик В^ условий применения ЦУТС и показателя Z, v требуемого качества результатов операции. А 5.2.4) В приведённых обозначениях элементов математических моделей символ t в общем случае может обозначать различные моменты времени. Так, в выражениях показателей Y,At), Z,At)9 РДЦЬ) и ctfMU{y;t) - это момент оценивания эффективности операции и принятия решения о её ка- честве и пригодности, в выражениях B',rAt0) , YP\(tQ) - это момент начала операции, в остальных выражениях - это текущее время, принимающее 1 Не следует смешивать текущее время t с операционным временем Т.
292 Глава 5. Методы построения математических моделей элементов ОК значения из интервала [*0,*я]. Следует заметить, что хотя в принципе все характеристики X,St), Y,At)9 Z,ndt) модели с течением времени изме- няются, однако многие из них в ходе одной (единичной) операции (в тече- ние времени г ) в силу малости изменений целесообразно считать посто- янными. В то же время применительно ко всему жизненному циклу ЦУТС подобное допущение неправомерно и изменение её характеристик от вре- мени должно учитываться. А Другая особенность моделей ОС и ОК заключается в том, что имею- щиеся в ОС запасы ресурсов и времени, с одной стороны, играют роль "входных сигналов", а с другой - будучи израсходованными, характери- зуют качество результатов операции ("цену" целевого эффекта) и играют уже роль "выходных сигналов". Именно это свойство математической мо- дели операции и позволяет оценивать её результаты комплексно, т.е. во взаимосвязи и сопоставлении (соотнесении) целевого эффекта с израсхо- дованными на его получение ресурсами и временем и с учётом предъяв- ляемых к совокупным результатам (с учётом потерь - расхода ресурсов и времени) операции требований, т.е. в замкнутой схеме. Третья особенность модели ОС состоит в том, что поскольку количе- ства Г/2!, Г/3} израсходованных ресурсов и времени отражены в показате- ле F/v, то основной её функцией является адекватное описание этого пока- зателя. При этом в рамках задачи оценивания эффективности операции в её показатели параметры X, v в явном виде могут и не входить. Что же ка- сается задач анализа и синтеза (см. гл. 4), то в выражения, описывающие модель ОС, явно должны входить лишь управляемые агрегированные па- раметры U, у Другими словами, при оценивании эффективности опера- ции модель ОС может рассматриваться как "чёрный ящик", на вход кото- рого поступают ресурсы г/2!, г/3!, а на выходе появляются результаты Y, v =(Гл1,к/л,Гл{). При решении задач анализа и синтеза в "чёрном ящике" "высвечивается окно", в котором "просматриваются" управляемые параметры U.x. Наконец, одной из важнейших и принц