Автор: Чуев Ю.В. Мельников П.М. Петухов С.И. Степанов Г.Ф. Шор Я.Б.
Теги: исследование операций математика военная техника
Год: 1965
Текст
основы
ИССЛЕДОВАН ИЯ
ОПЕ РА ЦИ Й
В ВОЕННОЙ
ТЕХНИКЕ
Ю. в. ЧУЕВ, П. М. МЕЛЬНИКОВ,
С. И. ПЕТУХОВ, Г. Ф. СТЕПАНОВ, Я. Б. ШОР
ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПЕРАЦИЙ
В ВОЕННОЙ ТЕХНИКЕ
Под общей редакцией
доктора технических наук, проф.
Ю. В. ЧУЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО»
МОСКВА —1965
УДК 519.8
В книге рассматриваются основные харак-
теристики изделий военной техники, их надеж-
ность, эффективность, экономичность и т. д.
Даются методы оценки этих характеристик в раз-
личных боевых и эксплуатационных ситуациях
при помощи аналитических методов и метода
статистического моделирования.
Рассматриваются задачи оценки эффектив-
ности вооружения в различных боевых ситуа-
циях с учетом его качества, надежности и раз-
личных форм противодействия противника. При-
водятся сведения о классических и новых мате-
матических методах оптимизации, применяемых
при решении военно-технических задач. Особенно
подробно излагается метод статистического моде-
лирования на электронных вычислительных ма-
шинах. Изложенный в книге материал поясняет-
ся на многих примерах. В приложении к книге
приводятся таблицы, предназначенные для об-
легчения расчетов.
Книга предназначается для широкого круга
инженеров, имеющих дело с вопросами разработ-
ки, испытаний, производства и эксплуатации
военной техники.
ПРЕДИСЛОВИЕ
При разработке, производстве и эксплуата-
**ции военной техники, чтобы обеспечить ма-
ксимальную эффективность при заданных затратах или
иметь минимальны^ затраты при заданной эффективно-
сти, приходится решать разнообразные задачи. В связи
с тем, что военная техника все больше усложняется, ре-
шение таких задач становится все более трудным. Если
до второй мировой войны для принятия решений по во-
енно-техническим вопросам можно было ограничиться
элементарными расчетами, основанными на самых про-
стых математических методах, то теперь положение рез-
ко изменилось. В настоящее время, чтобы принять обос-
нованные решения, приходится проводить многочислен-
ные и трудоемкие расчеты, основанные на разнообразных
математических методах, которые получили общее наз-
вание «методы исследования операций». В последние го-
ды эти методы находят широкое применение в различ-
ных областях человеческой деятельности — в промыш-
ленности, на транспорте, в торговле и военном деле. При
этом на наших глазах формируется новая прикладная
наука, которую называют «исследование операций».
Несмотря на молодой возраст новой науки, литерату-
ра здесь уже стала очень обширной. Во многих стра-
нах издают книги и специальные журналы, проводят
конференции по исследованию операций и печатают тру-
ды этих конференций. Что касается исследования опе-
раций в военной технике, то здесь литература состоит
в основном (ИЗ журнальных статей. Ощущается необхо-
3
дим-ость в книгах, содержащих систематическое изложе-
ние методов исследования операций .и их приложений
к военно-техническим задачам. Настоящая книга яв-
ляется одной из попыток заполнить этот пробел.
Здесь нужно отметить также книгу Е. С. Вентцель
«Введение в исследование операций», которая вышла во
время подготовки этой работы к печати и которую авто-
ры рекомендуют читателям. Наша книга предназначает-
ся для широкого круга инженеров, имеющих дело с раз-
работкой, испытаниями, производством и эксплуатацией
военной техники. Материал, изложенный в книге, требу-
ет от читателей знания обычного втузовского курса выс-
шей математики и курса теории вероятностей (в объеме,
например, известной книги Е. С. Вентцель).
В книге излагаются основные характеристики изде-
лий военной техники, даются методы оценки их надеж-
ности и эффективности в различных боевых и эксплуата-
ционных ситуациях при помощи различных аналитиче-
ских методов и метода статистического моделирования
на электронных вычислительных машинах. Последнему
методу в книге уделено особое внимание, так как он
обладает большой общностью и универсальностью.
Изложенный в книге материал поясняется на многих
примерах, которые имеют иллюстративный характер и
являются гипотетическими. В приложении к книге при-
водятся таблицы, предназначенные для облегчения рас-
четов. Кроме того, для облегчения моделирования на
электронных вычислительных машинах для большинства
из этих таблиц в приложении приводятся аппроксими-
рующие полиномы.
Работа распределялась между авторами следующим
образом. Ю. В. Чуеву принадлежат общая редакция
книги, § 0.9, 1.11, гл. 2, § 6.4, 6.6, гл. 8 (кроме § 8.7),
П. М. Мельниковым написаны § 1.3, 1.5, гл. 5 (кроме
§ 5.3) и 7.8, 8.7, С. И. Петуховым — гл. 4 и § 7.3, 7.4, 7.5,
7.6 и 7.7. Г. Ф. Степанов написал § 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5,
1.6, 3.1, 3.2, 3.7, 6.1, 6.2, 7.1. Я. Б. Шор написал введение
(кроме § 0.9), 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 6.3, 6.5,
6.7, 7.2, В. И. Кузьмин написал § 5.3, а В. С. Боголюб-
ский составил аппроксимирующие полиномы для прило-
жения к книге.
Настоящая работа является одной из первых попы-
ток, создать книгу по исследованию операций в воен-
4
ной технике, поэтому она, несомненно, не лишена недо-
статков. Авторы будут весьма признательны читателям
за их критические замечания, которые они просят нап-
равлять в :издательство по адресу: Москва, Главный
почтамт, п/я. 693.
Авторы считают своим приятным долгом поблагода-
рить Н. П. Бусленко и Д. Б. Юдина за помощь и советы
при работе над книгой.
* *
*
В книге принята следующая система нумерации и
ссылок. Главы имеют последовательную .нумерацию от
1 до 8. Параграфы нумеруются двумя цифрами, из ко-
торых первая указывает номер главы, а вторая—номер
параграфа в этой главе. Многие параграфы разделяют-
ся на пункты, которые обозначаются заглавными буква-
ми русского алфавита.
Формулы нумеруются последовательно в пределах
каждого параграфа. При ссылках на формулу данного
параграфа указывается ее номер в скобках: например,
см. уравнение (15). При ссылках на формулу из дру-
гого параграфа указывается в скобках сначала индекс
параграфа, а затем порядковый номер формулы в этом
параграфе: например, см. уравнение (7.2.15), т. е. урав-
нение (15) из § 7.2.
Рисунки и таблицы обозначаются так же, как дела-
ются ссылки на формулы из других параграфов, но без
скобок: например, рис. 7.2.1, табл. 7.2.3. Таблицы при-
ложения, приведенного в конце книги, обозначаются чис-
лами от 1 до 11.
Ссылки на литературу, приведенную в конце книги,
обозначаются порядковым номером, взятым в квадрат-
ные скобки. '
scilib.narod.ru
ВВЕДЕНИЕ
§ 0.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
За последнее десятилетие появилось боль-
шое число книг и статей по исследованию
операций. В ряде стран издаются специальные журналы,
проводятся конференции и симпозиумы, созданы особые
научные общества по исследованию операций.
Что же такое «исследование операций»?
В литературе еще нет общепринятого определения
этого термина. Однако, рассматривая опубликованные
работы и анализируя накопленный опыт, можно, на наш
взгляд, следующим образом охарактеризовать это новое
научное направление:
— исследование операций — это прикладная наука,
предназначенная для отыскания оптимальных решений
в самых различных областях человеческой деятельно-
сти— промышленности, торговле, военной технике и во-
енном искусстве;
— исследование операций дает, как правило, количе-
ственную основу для принятия решения, облегчает при-
нять решение, но не дает самого решения; чтобы при-
нять решение, обычно требуется еще привлечь накоп-
ленный опыт и здравый смысл, так как приходится учи-
тывать и факторы, которые трудно оценить количествен-
но и ввести их в расчет;
— исследование операций оперирует различными ко-
личественными критериями эффективности (экономиче-
ской, боевой эффективности и т. п.) и добивается опти-
мизации решений по этим критериям;
— исследование операций широко использует мате-
матические методы — теорию вероятностей, математиче-
скую статистику, теорию массового обслуживания, тео-
7
рию игр, линейное и динамическое программирование,
методы статистических испытаний и т. п.;
— (исследование операций является частью более
общей науки — кибернетики.
В настоящей книге рассматривается только одно во-
енно-техническое направление исследования операций.
Однако в силу общности методов исследования опера-
ций многое из изложенного здесь может оказаться по-
лезным и для лиц, занимающихся другими направле-
ниями исследования операций.
§ 0.2. ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВА И НАДЕЖНОСТИ
ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
Как известно, под качеством любого изделия пони-
мается совокупность свойств, определяющих степень
пригодности изделия для использования по назначению.
Это же относится и к всевозможным военно-техническим
устройствам.
Так, например, качество артиллерийского и ракетного
вооружения определяется его дальнобойностью, скоро-
стрельностью, точностью стрельбы (меткостью и куч-
ностью), маневренностью, помехозащищенностью, живу-
честью, безопасностью в обращении и при стрельбе,
безотказностью действия, долговечностью (при хране-
нии, транспортировке и эксплуатации), ремонтопригод-
ностью, удобством и трудоемкостью обслуживания и т. п.
Качество радиолокационых .станций разведки и це-
леуказания определяется их дальностью обнаружения,
разрешающей способностью, помехозащищенностью, жи-
вучестью, размерами зоны обзора, скоростью обзора,
точностью определения координат целей, маневрен-
ностью, безотказностью действия, долговечностью, ре-
монтопригодностью, удобством и трудоемкостью обслу-
живания и т. п.
Надежностью (общей надежностью) называется
свойство изделия, обусловленное безотказностью, дол-
говечностью и ремонтопригодностью и обеспечивающее
нормальное выполнение заданных функций. Это свойст-
во связано с возможностью появления неисправностей
в изделии при его эксплуатации (132].
8
Отсюда следует, что надежность является частью ка-
чества, входит IB состав качества. Следует .подчеркнуть,
что в ряде случаев надежность является очень сущест-
венной, а иногда и важнейшей частью качества.
Часто вместо термина «(надежность» употребляют
термин «эксплуатационная надежность». Этим хотят
подчеркнуть, что надежность проявляется при эксплуа-
тации изделия. При этом под эксплуатацией изделия
понимают совокупность .всех фаз его существования:
хранение, транспортировка, проверка, подготовка к ис-
пользованию по назначению, использование по назначе-
нию, техническое обслуживание и ремонты.
Под безотказностью понимается способность непре-
рывно сохранять работоспособность (т. е. не иметь от-
казов) в определенных условиях экспл1уатации. Под от-
казом понимается полная или частичная утрата работо-
способности.
Работоспособностью называется такое состояние из-
делия, при котором оно в данный момент времени соот-
ветствует всем требованиям, установленным в отно-
шении основных параметров изделия. Если изделие не
соответствует некоторым требованиям, установленным
относительно второстепенных его параметров, то такое
состояние изделия называется второстепенной неисправ-
ностью. При этом работоспособность изделия не нару-
шается и отказа нет.
Долговечностью изделия называется способность
длительное время сохранять работоспособность при
условии выполнения необходимого технического обслу-
живания (в которое могут входить и различные виды
ремонтов). Долговечность характеризуется либо време-
нем эксплуатации, либо числом циклов функционирова-
ния, либо объемом произведенной работы.
Ремонтопригодностью изделия называется его при-
способленность к восстановлению исправности и к под-
держанию технического ресурса путем предупреждения,
обнаружения и устранения неисправностей и отказов.
Ремонтопригодность характеризуется затратами труда,
времени и средств на такие работы.
В заключение подчеркнем различие в подходах к по-
нятиям «надежность» и «живучесть».
Под живучестью понимается свойство военно-техни-
ческого устройства сохранять способность выполнять
9
свои функции при боевых повреждениях. Когда же гово-
рят о надежности, то обычно имеют в виду нормальные
условия эксплуатации при отсутствии боевых повреж-
дений.
§ 0.3. ПОНЯТИЕ БОЕВОЙ СИТУАЦИИ
При исследовании эффективности военно-технических
устройств приходится рассматривать их функционирова-
ние в различных боевых ситуациях. При этом под бое-
вой ситуацией понимается совокупность следующих ус-
ловий и сведений.
А. Данные о своих силах:
— количество рассматриваемых устройств, боепри-
пасов и ЗИП к ним;
— типы и количество других устройств, с которыми
взаимодействуют рассматриваемые устройства;
‘ — поставленная боевая задача и время, отпущенное
на ее выполнение;
— характеристика средств разведки;
— характеристика средств маскировки;
— характеристика средств связи и управления.
Б. Данные о противнике:
— типы, количество и характеристика целей (напри-
мер, число атакующих самолетов противника, их воз-
можные скорости, боевой потолок, закон поражения
и т. д.);
— типы, количество и характеристика средств огне-
вого и радиопротиводействия противника;
— характеристика средств разведки противника;
— характеристика тактики действий противника (на-
пример, скорости, высоты, курсы, маневры самолетов
противника, интервалы между ними, строи и т. д.).
В. Внешние условия:
— время года и суток;
— метеоусловия (температура, влажность, ветер, ос-
вещенность, запыленность и т. п.);
— условия местности (равнинная, холмистая, гори-
стая и т. п.);
10
— расположение ближайших железнодорожных
станций, аэродромов, складов и т. п.
При анализе эффективности военно-технических
устройств очень важен правильный выбор нескольких
типичных боевых ситуаций, для которых и должно
проводиться исследование эффективности. В ряде слу-
чаев могут рассматриваться целые классы боевых ситуа-
ций, отличающиеся друг от друга различными парамет-
рами, которые могут заменяться их средними значе-
ниями.
§ 0.4. ПОНЯТИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
Под эффективностью военно-технического устройства
понимают характеристику уровня выполнения этим
устройством тех функций, для которых оно предназна-
чено. Под эффективностью вооружения понимают сово-
купность характеристик уровня выполнения им боевых
задач, для которых оно предназначено. Часто эффектив-
ность вооружения определяется в конечном счете вели-
чиной ущерба, наносимого противнику. В ряде случаев
эффективность вооружения может характеризоваться ве-
личиной предотвращенного ущерба.
Вообще характеристики эффективности зависят от
той цели, для которой вооружение предназначается. На-
пример, зенитный ракетный комплекс предназначен для
поражения самолетов, которые летят в некотором диапа-
зоне высот. Пусть сравниваются два варианта зенитных
ракетных комплексов. Из них будет эффективнее тот, ко-
торый поражает самолеты с большей вероятностью,
с меньшим расходом ракет, за более короткое время.
Из этого примера видно, что эффективность оцени-
вается при помощи целого ряда количественных крите-
риев, в число которых входят, например: вероятность
поражения цели, средний расход ракет на поражение
одной цели, средняя стоимость поражения одной цели,
среднее время, затрачиваемое на поражение одной це-
ли и др.
Это обстоятельство очень усложняет сравнение эф-
фективности различных вариантов военно-технических
устройств. Может оказаться, что по одним критериям
11
эффективности преимущество имеет один из сравни-
ваемых вариантов, а по другим критериям — другой.
Еще больше усложняется сравнение эффективности
различных вариантов тем обстоятельством, что критерии
эффективности существенно зависят от боевой ситуа-
ции. Так, например, один вариант зенитного ракетного
комплекса может обладать высокой эффективностью при
отражении налета низколетящих целей и малой эффек-
тивностью при отражении налета высоколетящих целей,
а у другого варианта зенитного ракетного комплекса
может быть обратное положение.
Характеристики эффективности военно-технического
устройства зависят от трех групп факторов:
— характеристики качества и надежности этого
устройства;
— экономические характеристики этого устройства
(стоимость устройства и его элементов, трудозатраты
обслуживающего расчета и т. л.);
— характеристики боевой ситуации, в которой рас-
сматривается функционирование этого устройства.
Заметим, что понятие эффективности применяется ’
чаще всего к комплексам вооружения и к отдельным
военно-техническим устройствам, которые выполняют са-
мостоятельные функции (например, радиолокационные
станции разведки). Но понятие эффективности не при-
меняется ко многим военно-техническим устройствам,
входящим в состав комплексов вооружения. Так, напри-
мер, не говорят об эффективности пусковой установки
ракетного комплекса.
С другой стороны, всегда можно говорить о крите-
риях надежности отдельных устройств, входящих в со-
став комплекса, но не всегда имеет смысл говорить о кри-
териях надежности комплекса в целом (см. § 1.10) <
§ 0.5. ВЫБОР КРИТЕРИЕВ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ВООРУЖЕНИЯ
Как уже указывалось, эффективность вооружения
можно характеризовать большим числом различных ко-
личественных критериев. В качестве таких критериев
могут применяться:
12
— вероятность выполнения боевой задачи в задан-
ной боевой ситуации;
— вероятность поражения заданного числа целей;
— математическое ожидание числа пораженных це-
лей;
— математическое ожидание расхода боеприпасов
на выполнение задачи;
— математическое ожидание стоимости средств, за-
трачиваемых на выполнение задачи;
— расход боеприпасов, обеспечивающий выполнение
задачи с заданной вероятностью;
— • математическое ожидание расхода времени на
выполнение задачи;
— математическое ожидание ущерба, наносимого
противнику;
— математическое ожидание ущерба, наносимого
противником и т. п.
Выбор критериев зависит от задачи проводимого ис-
следования, характеристик сравниваемых вариантов
вооружения и того, для какой цели это вооружение
предназначено. Критерии должны быть критичными
к варьируемым параметрам образцов вооружения.
Наглядный пример важности правильного выбора
критериев эффективности приведен в [50]. Во время вто-
рой мировой войны на английских торговых судах уста-
навливались зенитные орудия для борьбы с атакующи-
ми самолетами. Это мероприятие осуществлялось за счет
уменьшения зенитного прикрытия других важных объек-
тов и стоило достаточно дорого. Возник вопрос о целе-
сообразности этого мероприятия. Для его решения была
обработана обширная информация о воздушных атаках
на торговые суда. Оказалось, что по критерию «мате-
матическое ожидание ущерба, наносимого противнику»,
эффективность низкая — только около 4% воздушных
атак окончились уничтожением вражеских самолетов.
По этому критерию получилось, что стрельба зенитных
орудий с торговых судов даже не окупала затрат на их
установку. Но, кроме этого, был определен критерий
«математическое ожидание ущерба, наносимого против-
ником». Оказалось, что процент потопленных судов (от
общего числа атакованных) был равен 25 для случая,
когда зенитные орудия на судах отсутствовали, и 10 —
для случая, когда имелось зенитное прикрытие атакуе-
13
мых судов. Таким образом, установка зенитных орудий
на торговых судах снизила в 2,5 раза ущерб, наносимый
противником, что с избытком окупало расходы по их
установке на кораблях.
Поскольку основной целью установки зенитных
средств было не уничтожение самолетов противника,
а защита судов, то правильно было исходить из второго
критерия.
Отсюда видно, что от выбора критерия эффективно-
сти может зависеть правильность решения рассматри-
ваемой задачи.
Отметим еще следующее обстоятельство. Если срав-
ниваются два объекта вооружения по какому-либо кри-
терию эффективности, то при этом не следует забывать
о других показателях, характеризующих эти объекты.
Такими показателями могут служить различные харак-
теристики качества (например, надежность, безопас-
ность в обращении и т. п.). Сравнивая два объекта по
эффективности, необходимо требовать, чтобы другие по-
казатели качества этих объектов не выходили за опре-
деленные допустимые пределы.
§ 0.6. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБРАЗЦОВ
ВОЕННОЙ ТЕХНИКИ
Экономические характеристики военной техники мож-
но разделить на две группы:
А — характеристики, определяемые трудозатратами
на изготовление рассматриваемых изделий;
Б — характеристики, определяемые трудозатратами
при эксплуатации этих изделий.
Характеристики группы А могут быть всегда выра-
жены в денежных единицах. Характеристики группы Б
не всегда могут быть выражены в денежных единицах.
Так, например, трудозатраты при применении военной
техники, когда имеется достаточно высокая вероятность
поражения расчета, обслуживающего эту технику, не
могут быть выражены в денежных единицах.
В группу А входят следующие характеристики:
— стоимость проектирования и отработки опытного
образца;
— стоимость капитального строительства, необходи-
мого для организации серийного производства;
14’
— стоимость изготовления серийных образцов;
— стоимость изготовления запасных частей и при-
способлений;
— стоимость изготовления упаковочных и транспор-
тировочных приспособлений.
В группу Б входят следующие характеристики:
— стоимость транспортировки изделий;
— стоимость хранения изделий;
— стоимость текущих затрат, необходимых для
эксплуатации изделий (в том числе стоимость изделий,
приходящих в негодность во время хранения);
— стоимость капитального строительства, необходи-
мого для хранения и эксплуатации изделий;
— стоимость подготовки специалистов, обслуживаю-
щих изделия;
— количество человек в расчете, обслуживающем
данные изделия;
— трудозатраты в человеко-часах на различных эта-
пах эксплуатации изделий в войсках.
§ 0.7. КЛАССИФИКАЦИЯ ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИХ
УСТРОЙСТВ
Военно-технические устройства можно разделить на
пять больших групп:
А. Средства поражения.
Б. Устройства для доставки средств поражения
к цели.
В. Средства получения и обработки информации.
Г. Средства управления боевой техникой и боевыми
действиями.
Д. Все остальные военно-технические устройства.
Примерами устройств группы А являются артилле-
рийские снаряды, боевые части ракет, авиационные бом-
бы и т. п.
Примерами устройств группы Б являются артилле-
рийские орудия, ракеты и их пусковые установки, са-
молеты-бомбардировщики и т. п.
Примерами устройств группы В могут служить ра-
диолокационные станции разведки и специальные счет-
но-решающие устройства, предназначенные для обработ-
ки разведывательных данных.
J5
Примерами устройств футы Г являются управляю-
щие электронные вычислительные машины и командные
радиолинии.
Примерами устройств группы Д могут служить стан-
ции радиопомех.
Устройства этих групп часто объединяются в ком-
плексы. Так, например, в зенитный ракетный комплекс
входят зенитные ракеты, пусковые установки, станция
наведения ракет и станция разведки и целеуказания.
С другой стороны, различные военно-технические
устройства разделяются на отдельные блоки и элемен-
ты. Для рассмотрения вопросов надежности имеет боль-
шое значение разбивка всех изделий на два класса:
— невосстанавливаемые изделия, которые в случае
возникновения отказа не подлежат или не поддаются
восстановлению;
—• восстанавливаемые изделия, которые в случае
возникновения отказа могут быть восстановлены.
Следует подчеркнуть, что одни и те же изделия мо-
гут быть восстанавливаемыми на одной фазе их эксплу-
атации и невосстанавливаемыми — на другой.
Примерами невосстанавливаемых изделий могут слу-
жить элементы радиоэлектронной аппаратуры (электро-
вакуумные приборы, полупроводниковые приборы,, со-
противления, конденсаторы и т. п.), детали машин и
приборов (шестерни, подшипники, гироскопы и т. п.),”
детонаторы, боевые части ракет, взрыватели и т. д.
Примерами восстанавливаемых изделий могут слу-
жить различные электронные вычислительные машины,
радиолокационные станции, аппаратура связи, автомо-
били, пусковые установки ракет и т. п.
Подчеркнем, что бортовые устройства ракет могут
рассматриваться как восстанавливаемые при их хране-
нии и при подготовке к старту и как невосстанавливае-
мые при их работе в полете.
В анализе вопросов надежности имеет большое зна-
чение разделение военно-технических устройств еще на
два класса:
— устройства без резервирования (без избыточных
элементов), которые характеризуются тем, что отказ
любого элемента в них приводит к отказу всего устрой-
ства;
16
— устройства с резервированием (с избыточными
элементами), у которых отказ ряда элементов не при-
водит к отказу всего устройства.
§ 0.8. КЛАССИФИКАЦИЯ
ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Военно-технические задачи, рассматриваемые в на-
стоящей книге, можно разделить на три класса:
1. Задачи, возникающие на стадии составления так-
тико-технических требований к новым образцам изде-
лий военной техники.
2. Задачи, возникающие в процессе разработки и
испытаний опытных образцов новых изделий.
3. Задачи, возникающие при эксплуатации серийных
изделий.
К первому классу задач относятся:
— обоснование тактико-технических требований к но-
вым образцам военной техники;
— обоснование оптимальной системы вооружения.
Ко второму классу задач относятся:
— сравнительная оценка различных проектных ва-
риантов и разработка рекомендаций по выбору лучших
из них;
— оценка качества, надежности и эффективности
разрабатываемых образцов по их проектным данным и
результатам испытаний;
— экономическая оценка разрабатываемых образ-
цов.
К третьему классу задач относятся:
—оценка качества, надежности и эффективности се-
рийных образцов по результатам их испытаний и
эксплуатации;
— экономическая оценка этих образцов;
— разработка оптимальной системы технического
обслуживания (система профилактических работ, нор-
мы ЗИП, система ремонта и т. п.).
— разработка оптимальных режимов эксплуатации
(нормативы пребывания в различных готовностях, нор-
мативы боевого использования по метеоусловиям, по па-
раметрам целей и т. п.).
2—343 17
§ 0.9. ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
В ИССЛЕДОВАНИИ ОПЕРАЦИЙ
При решении многих военно-технических задач ока-
зывается целесообразным и эффективным применение
методов моделирования. Поясним сказанное на примере.
Пусть требуется назначить оптимальные тактико-техни-
ческие характеристики ракетного комплекса, намечаемо-
го к разработке. Поскольку эти требования, как прави-
ло, являются противоречивыми (чем больше максималь-
ная дальность, тем больше вес и стоимость; чем выше
точность стрельбы, тем дороже и сложнее система уп-
равления и т. д.), то необходимо дать им количествен-
ное обоснование.
Наиболее точно можно было бы обосновать эти ха-
рактеристики, проведя испытания ряда вариантов ра-
кетных комплексов в процессе боевых действий. Одна-
ко такие испытания в подавляющем числе случаев не-
реальны, во-первых, из-за отсутствия возможностей та-
ких испытаний в мирное время, а во-вторых, из-за ко-
лоссальной стоимости разработки ракетных комплексов.
В этом случае наиболее целесообразным методом ис-
следования операций является моделирование процес-
сов боевых действий, сравнение на этих моделях раз-
личных вариантов решений и выбор лучшего из них.
Существует три основных метода моделирования:
математический, физический и смешанный (см. рис. 0.9.1).
Математические модели отличаются от оригиналов по
физической природе и геометрической форме, а имеют
сходство в том, чго описываются одними и теми же ма-
тематическими уравнениями. Физические модели сходны
с оригиналом по физической природе и геометрическим
формам и отличаются от оригинала по размерам, ско-
рости процесса и другим точно учитываемым свойствам.
Смешанная модель—это сочетание математической
и физической модели, причем та часть процесса, которая
наиболее трудна или не поддается описанию математи-
ческими зависимостями, моделируется физически.
Достоинством математических моделей является уни-
версальность методов и аппаратуры для их исследова-
ния (это различные вычислительные приборы или ма-
шины, начиная от логарифмической линейки и кончая
сложнейшей ЭЦВМ); возможность исследования любых
18
процессов, включая и те, которые в настоящее время не
удается осуществить физически; более широкие возмож-
ности и простота отыскания оптимальных решений.
Достоинством физического моделирования является
возможность исследования любых процессов независи-
мо от того, поддаются ли они описанию средствами ма-
тематики или нет, большая наглядность его результа-
тов. К числу методов физического моделирования мож-
но отнести проведение специальных военных игр и уче-
2* 19
нии, а также /проведение отдельных вадов полигонных
испытаний (исключая те, которые по существу являют-
ся натурными испытаниями). С первого взгляда может
показаться, что эти методы, которые уже давно находят
применение в военном деле, во всяком случае, раньше,
чем появился термин моделирование, могут дать ответ
на все вопросы. Однако это далеко не так. Важнейшим
элементом боя является противодействие противника,
а этот процесс в любой игре или испытании учитывается
весьма условно, что не может не сказаться на общих
результатах такого моделирования. Безусловным досто-
инством физического моделирования является участие
в нем человека, описать действия которого в каждой
конкретной ситуации теми или иными алгоритмами бы-
вает очень трудно.
Очевидно, что лучших результатов можно добиться,
сочетая математическое и физическое моделирование,
причем это сочетание может быть как поэтапным: ма-
тематическая модель, затем проверка результатов на
специальных учениях, затем опять уточненная матема-
тическая модель, — так и комбинацией математической
и физической моделей (например, включение в матема-
тическую модель человека).
Математическое моделирование в последнее время
находит широкое применение благодаря успехам мате-
матики, позволившим создавать и исследовать достаточ-
но сложные модели, а также развитию электронно-вы-
числительных машин. С другой стороны, рост возможно-
стей современного вооружения наряду с ростом его стои-
мости требует более широкого применения математиче-
ского моделирования.
Математическая модель представляет систему мате-
матических уравнений и логических правил, пользуясь
которыми можно для каждого выбранного варианта при
заданных параметрах вычислить значение критерия. Ма-
тематические модели можно разделить на две основные
группы: статистических испытаний и аналитические.
Метод статистических испытаний состоит в получе-
нии ряда случайных реализаций критерия и последую-
щей их статистической обработке.
Аналитический метод позволяет вычислить матема-
тическое ожидание критерия и его дисперсию с помощью
аналитических формул.
20
ГЛАВА 1
НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВООРУЖЕНИЯ
§ 1.0. ВВЕДЕНИЕ
Впервой главе рассматриваются основные
характеристики вооружения,, которые могут
использоваться в качестве исходных данных при реше-
нии задач исследования операций. В некоторых задачах
по исследованию операций в качестве исходных данных
принимаются характеристики точности, надежности и
эффективности вооружения. В других задачах — стои-
мость вооружения или дальность действия средств раз-
ведки. Каждая из этих характеристик в одних задачах
исследования операций может быть задана конкретным
значением, а в других — их требуется оценить прежде,
чем приступать к исследованию.
Определить характеристики как точности, так и на-
дежности вооружения довольно сложно, иногда это воз-
можно с помощью опыта. Поэтому этим вопросам в гла-
ве уделено большое внимание (§ 1.1, 1.2, 1.7—1.10).
В данной главе рассматриваются также законы по-
ражения (§ 1.3—1.5). По этим вопросам уже опублико-
вано достаточно много работ. Однако важность этих ха-
рактеристик для исследования операций привела к не-
обходимости дать краткое их описание.
Один паралраф посвящен дальности обнаружения
(§1.6).
В заключение в § 1.11 рассматриваются характери-
стики стоимости.
Ряд важных характеристик вооружения, определение
которых достаточно просто (весовые, маневренность
и т. д.), не рассматривается.
21
§ 1.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТОЧНОСТИ СТРЕЛЬБЫ
А. Основные понятия точности стрельбы
Точность стрельбы является объективной характе-
ристикой качества вооружения. Не случайно каждый но-
вый вид оружия перед тем, как принять его на воору-
жение, проходит испытание, где определяются характе-
ристики точности. Под характеристиками точности пони-
мают характеристики меткости и кучности стрельбы.
Меткость стрельбы оценивается отклонениями сред-
ней траектории от центра цел.и, а кучность — отклоне-
ниями отдельных снарядов от средней траектории.
Говоря о характеристиках точности стрельбы, следует
различать обобщенные и частные характеристики. Пер-
вые характеризуют точность при стрельбе в самых раз-
нообразных условиях (время года, метеоусловия, азимут
стрельбы и т. д.). Вторые определяются для конкретных
(частных) условий, например для определенного вре-
мени года или азимута стрельбы.
Законы распределения, соответствующие осреднен-
ным характеристикам, представляют собой суперпози-
цию законов, соответствующих большому числу частных
характеристик.
Рассмотрим причины, вызывающие отклонения ракет
и снарядов от цели. Основные причины, вызывающее
отклонения ракет «земля — земля» от цели, будут сле-
дующие [131]:
1) ошибки геодезической подготовки;
2) ошибки метеорологической подготовки;
3) ошибки баллистической подготовки;
4) ошибки за счет технического рассеивания.
Рассеивание артиллерийских снарядов вызывается
теми же причинами.
Иногда более удобным делением причин рассеивания
является деление на рассеивание, зависящее от ракеты
(с учетом ошибок метеорологической и баллистической
подготовки), и рассеивание, не зависящее от ракеты
(из-за ошибок геодезической подготовки и ошибки про-
вешивания основного на,правления). Пользуясь теми или
иными характеристиками рассеивания, необходимо обя-
зательно иметь в виду, какие причины, вызывающие рас-
сеивание, при этом учитываются.
22
Ошибки стрельбы характеризуются их математиче-
скими ожиданиями и среднеквадратическими отклоне-
ниями о или их квадратами, т. е. дисперсиями О==о2
[Ю, 24].
Часто (в теории стрельбы используются главные ве-
роятные отклонения Е (срединные отклонения) и сред-
няя круговая ошибка CKO. СКО в американской лите-
ратуре называется круговой вероятной ошибкой (circu-
lar probable егог —с. р. е.) [49]. Средняя круговая ошиб-
ка определяется как радиус круга вокруг цели, вероят-
ность поп а дани я в который равна 50%. Ее иногда обоз-
начают Г50-
Срединное отклонение — это половина глубины по-
лосы, имеющей бесконечную ширину, вероятность попа-
да1ния в которую равна 50%.
Между о, Е и Г5о существует определенная зависи-
мость, которая будет показана ниже (см. п. Б).
На практике пользуются еще термином «максималь-
ное отклонение». Однако для большинства законов рас-
пределения он лишен смысла, если не указывать, какова
вероятность того, что отклонение не превзойдет это «ма-
ксимальное отклонение».
В качестве максимального отклонения обычно при-
нимают ±4Е, а иногда ±3о.
Б. Нормальный закон распределения
ошибок стрельбы на плоскости
Ошибки стрельбы являются случайными величина-
ми, которые характеризуются законами распределения.
Наиболее широко на практике применяется нормальный
закон распределения случайных величин. Случайное от-
клонение снаряда на плоскости характеризуется двумя
случайными величинами координат точек падения,
а в пространстве — тремя случайными величинами, по-
этому представляется целесообразным рассмотреть нор-
мальный закон распределения ошибок стрельбы на пло-
скости и в пространстве.
В теории вероятностей доказывается, что этот закон
является предельным. Суммирование большого числа
примерно одинаковых отклонений, распределенных по
любым законам, приводит к отклонению, распределен-
23
ному по нормальному закону. Эти условия обычно со-
блюдаются для ошибок стрельбы.
В общем случае плотность нормального распределе-
ния ошибок стрельбы на плоскости выражается форму-
лой
f(X’ Й =
_ 2г (х — тх) (у — ту) . (у — ту)*~
°х°у "Г
с2
(х —тх)г
а2
(1)
где тх, ту— математические ожидания случайных от-
клонений точек попадания снарядов по
осям координат х и у;
о*, о'2/ — средние квадратические ошибки стрельбы;
г — коэффициент корреляции величин х и у.
Функция плотности нормального распределения ошибок
стрельбы f(x,y) определяет вероятность попадания сна-
ряда в элементарную площадку Дх Ду. Нетрудно пока-
зать [25], что плотность распределения ошибок стрельбы
по одной из координат также подчиняется нормальному
закону с плотностью
и с плотностью
а коэффициент корреляции
__Кху
*Х*У
(4)
где Кху — момент связи.
Графически f(x, у) можно представить в виде холма
(рис. 1.1.1), вершина которого расположена над точкой
(тх, Шу), а ширина основания является бесконечной.
Крутизна скатов этого холма зависит от средних квад-
ратических ошибок сух и бу. Ширина основания может
быть ограничена ±3ох, ±3ву от точки с координатами
(тх, ту).
24
Ряд сечений поверхности f(x, у) плоскостями, па-
раллельными хОу, даст семейство подобных и одинако-
во расположенных эллипсов,
плоскость будут иметь общий
Во всех точках каждого
из таких эллипсов плот-
ность вероятности f(x, у)
постоянна. Поэтому такие
эллипсы называются эл-
липсами равной плотно-
сти или эллипсами рас-
сеивания. Оси т), прохо-
дящие через большую и
малую оси эллипса рас-
сеивания, называются
главными осями рассеи-
вания.
которые в проекции на
центр в точке (mx, ту).
1
Рис. 1.1.1.
Если совместить начало
координат с точкой ( тх, Шу) и оси координат х, у повер-
нуть на угол а и совместить с главными осями, то мы
получим уравнение эллипса рассеивания в каноническом
виде. Углы ct 1 и ct2 определяются из уравнения
tg 2а =
2rqxgy
(5)
2 ___ 2 ’
х у
где углы и а2 различаются на
Каноническая форма нормального закона на плоскости
имеет вид
f (£, 'П) = ту-1— ехр
1 v ’ 17 2rcafccr г
JL
2а|
(6)
где — главные средние квадратические отклонения
при стрельбе.
Обычно при обработке результатов измерений откло-
нений снарядов от цели на плоскости стараются зара-
нее выбрать координатные оси ох и оу так, чтобы они
совпали с главными осями рассеивания. Для этого не-
обходимо совместить ось ох с направлением стрельбы.
При этом средние квадратические отклонения по осям
25
х и у будут главными средними квадратическими от-
клонениями, а нормальный закон будет иметь вид
У)=2^ехР
__(х — тху _ (у — ШуУ'
2’х 2,2
(7)
В случае двумерного нормального распределения ве-
роятность попадания в круг радиусом г определится по
формуле
Р (г) = J f (х, у) dxdy.
Г
(8)
Подставляя плотность распределения f(x, у) и интегри-
руя уравнение (8), можно получить радиус круга Г50,
вероятность попадания в который равна 50%.
В простейшем случае, когда ох==сГу = о, а Р(г)=^0,5,
имеем
r50 = г (Р = 0,5) =1,177Ъ (9)
или
г50= 1,746Р. (10)
В более общем случае, когда дисперсии ^т^=з2 не
равны, интегрирование и аппроксимация полученной функ-
ции r — f (ах дает возможность получить следующую
приближенную зависимость:
г50 = 0,589 (ах + ^) (11)
или
г50 = 0,615зх + 0,562г/, (12)
где (5У — большее значение этих двух ошибок.
Формула (11) дает более точное совпадение (в преде-
лах 3%) в диапазоне -^- = 0,2 н-1,0.
Главные вероятные отклонения и средние квадратиче-
ские ошибки связаны соотношением р = р/2з, где р =
=0,4769 ["оно определяется из уравнения Ф(р|/2)=-^-\
(13)
26
В. Нормальный закон распределения
ошибок стрельбы в пространстве
Нормальный закон ошибок стрельбы в пространстве
описывает рассеивание при стрельбе дистанционными
снарядами. В общем виде плотность нормального рас-
пределения ошибок стрельбы в пространстве выражает-
ся достаточно громоздкой формулой, зависящей от де-
вяти параметров (mx, ту, mz, вх, оу, crz, п2, Г23, Ги). По-
этому ограничимся только каноническим видом плотно-
сти распределения ошибок стрельбы в пространстве
где <зх, Оу, oz — главные средние квадратические отклоне-
ния.
Г. Распределение Райса
Помимо нормального закона распределения ошибок
стрельбы, большое практическое значение имеет и рас-
пределение Райса. Распределение Райса характеризует
величину промаха снаряда относительно цели при на-
личии смещения центра группирования в том случае,
если распределение координат точек падения (взрыва)
нормальное.
Функцией распределения Райса называется функция
с плотностью
£ / \ г / г2 + а2 \ Т f ar \
f ехР (-----2аГ~) Jo при г > °’ <15>
/(г) = 0 при г<0,
где а — среднее квадратическое отклонение величины г
r=kV+22; U6)
а=]/'т2+/п2, (17)
/Пу, mz — математические ожидания случайных величин
у и z соответственно;
—функция Бесселя нулевого порядка.
27
Кривые функций распределения Райса представлены
на рис. 1.1.2.
Если y мало, то функция распределения Райса мало
отличается от функции распределения Релея и описывается
уравнением [40]
Распределение Райса иногда называют обобщенным
распределением Релея по причинам, которые будут яс-
ны из следующего раздела.
Д. Распределение Релея
При отсутствии систематических отклонений у 0
и нормальном круговом распределении координат точек
падения (подрыва) снарядов промах снарядов подчи-
няется распределению Релея.
Плотность распределения Релея выражается фор-
мулой
ехрприг>о,
(19)
f(r)=:0 при г<0.
f(r)dr представляет собой вероятность попадания
двух независимых случайных величин, распределенных
по нормальному закону с одинаковыми параметрами
28
ву = в2 = (^ в кольцо, ограниченное двумя концентриче-
скими окружностями радиусов г и r+dr, центр которых
расположен в точке максимальной плотности нормаль-
представлена следующим рис. iдд
образом (рис. 1.1.3). Число-
вые характеристики случай-
ной величины г, распределенной по закону Релея, опре-
деляются по уравнениям:
— математическое ожидание
тг = 1,253а, (20)
— дисперсия
Dr = ^ = 0,428a2. (21)
На практике этому распределению подчиняются
эксцентриситеты деталей в машиностроении, долговеч-
ность некоторых типов электронных ламп и, как уже
указывалось, промахи снарядов и ракет в артиллерии
[82].
Функция распределения Релея находится по уравне-
нию
f(r)dr=1—ехр [~4^]-
о
29
Вычислить F(r) по уравнению (22) не трудно, но
можно воспользоваться и таблицами (см. табл. 8 при-
ложения) .
Е. Случайные и систематические ошибки стрельбы
Точность стрельбы связана с отклонениями разрывов
от центра цели, т. е. с ошибками стрельбы. Какие же
могут быть ошибки стрельбы, как их классифицировать?
Покажем это на примерах. Предположим, что
стрельба ведется по цели, расположенной в горизон-
тальной плоскости, при одних и тех же условиях. Будем
фиксировать отклонения разрывов от центра цели.
В этом случае необходима двумерная система коорди-
нат, которую удобно совместить с центром цели. Одна
ось координат (х) может быть направлена вдоль на-
правления стрельбы, а вторая (у)—перпендикулярно
к нему. Все разрывы будут расположены на площади,
ограниченной эллипсом. Отклонение центра рассеива-
ния от центра цели характеризует меткость или систе-
матическую ошибку стрельбы, а отклонение отдельных
снарядов от центра рассеивания характеризует -случай-
ные ошибки стрельбы или кучность.
Объективной характеристикой систематических оши-
бок является их среднее значение, полученное при мно-
гократном повторении аналогичных стрельб
п п
nix=4 SХь m,j=тг Syi' <23)
I = 1 1 = 1
Объективной характеристикой случайных ошибок яв-
ляются средние квадратические отклонения и ву или
дисперсии Dx и Dy
п
1=1
п
Dy = - т^- (24>
1=1
Ошибки при стрельбе по движущейся цели рассмот-
рим на примере зенитного комплекса. Предположим, что
цель летит прямолинейно на постоянной высоте и с по-
30
стоянной скоростью. Стрельбу -ведет четырехорудийный
зенитный комплекс снарядами с дистанционным взры-
вателем по данным, полученным в результате решения
задачи встречи снаряда с целью с помощью прибора
управления артиллерийским зенитным огнем (ПУАЗО)
и станции орудийной наводки (СОН).
Комплекс работает автоматически и обеспечивает
залповую стрельбу с заданным темпом. Будем фиксиро-
вать отклонения каждого разрыва от центра цели.
В этом случае потребуется трехмерная система коор-
динат, а начало отсчета удобно также сов/местить с цен-
тром цели. За время пребывания цели в зоне огня ком-
плекс произведет серию залпов.
Все выстрелы одного залпа будут отклоняться о г
центра цели в соответствии с ошибками на выходе при-
борного комплекса. Но в то же время будет существо-
вать разброс разрывов при каждом залпе в соответст-
вии с индивидуальными ошибками каждого орудия.
В целом вое разрывы будут распределяться в неко-
тором объеме около цели случайным образом. Опыт по-
казывает, что при стрельбе по неподвижной цели гео-
метрическим телом, внутри которого будут заключены
все разрывы, будет эллипсоид. В нашем примере это
также будет эллипсоид, так как начало координат пере-
мещается вместе с целью.
Отклонение центра эллипсоида от центра цели бу-
дет обусловлено систематическими ошибками, а откло-
нение разрывов внутри эллипсоида относительно его
центра вызывается случайными ошибками. Но если те-
перь сопоставить эллипсоид разрывов, полученный при
стрельбе сегодня, с эллипсоидом, полученным при
стрельбе в другой день при тех же исходных данных, то
мы обнаружим, что их центры не совпадают. Следова-
тельно, систематические ошибки изменяются. В данном
случае отклонение центров эллипсоидов обусловлено
ошибками подготовки стрельбы. Но если отклонения
центров рассеивания будут повторяться многократно, то
эти отклонения будут систематическими. Они могут быть
вызваны как ошибками приборного комплекса, так и
ошибками подготовки стрельбы. Таким образом, следует
различать систематические ошибки, характерные для
конкретных условий (ошибки дня, ошибки комплекса
и т. д.).
31
Ж. Группы ошибок
В случае зенитной стрельбы случайные ошибки обыч-
но делят на две или три группы, которые связаны с ус-
ловиями стрельбы. Например, при стрельбе зенитной
батареей случайные ошибки делят на три группы. Де-
ление ошибок стрельбы на группы производят по приз-
наку их корреляционной зависимости: ошибки, тесно
связанные, относят в одну группу, менее тесно связан-
ные— в другую и т. д. В первую группу ошибок относят
индивидуальные ошибки, т. е. техническое рассеивание
снарядов и ошибки из-за размещения орудий на пози-
ции. Исчерпывающей характеристикой ошибок первой
группы является средняя квадратическая ошибка Оь
Во вторую группу ошибок относят ошибки на выходе
приборного комплекса (ошибки динамики), которые ха-
рактеризуются средней квадратической ошибкой Оц.
Эти ошибки вызывают отклонения не отдельного снаря-
да, а всех выстрелов в данной очереди.
В третью группу ошибок относят ошибки баллисти-
ческой и метеорологической подготовки стрельбы (ащ),
которые вызывают отклонения всех выстрелов в данной
стрельбе.
При оценке эффективности стрельбы одним орудием
с автономным комплексом управления огнем ошибки
стрельбы делят на две группы. При этом в первую груп-
пу относят ошибки технического рассеивания разрывов
и часть ошибок на выходе приборного комплекса, кото-
рые независимы при переходе от одного выстрела к дру-
гому. Во вторую группу ошибок относят оставшуюся
часть приборных ошибок и ошибки баллистической и
метеорологической подготовки стрельбы.
§ 1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ТОЧНОСТИ
СТРЕЛЬБЫ ИЗ ОПЫТА
А. Методы определения характеристик точности
Различают следующие методы определения характе-
ристик точности:
1. Опытный, связанный с непосредственной стрельбой
снарядами или ракетами [131] и последующей обработ-
кой полученных результатов. Такой метод широко при-
меняется в ствольной артиллерии.
32
%. ОпытнО-теорётичёский, под которым понимают ис-
пользование упрощенных теоретических зависимостей
в качестве интерполяционных формул для распростране-
ния опытных данных на другие условия.
3. Статистического моделирования, при котором воз-
мущения определяются путем статистического анализа
материала лабораторных испытаний и из результатов
обработки пусков, а характеристики точности затем
определяются путем электронного моделирования возму-
щенного движения ракет при большом числе испытаний
[35].
4. Аналитический, при котором характеристики точ-
ности рассчитываются.
Естественно, что последние два метода отличаются и
более высокой точностью получения характеристик рас-
сеивания, так как они позволяют учесть значительно
большее число факторов, воздействующих на стрельбу.
Здесь как бы обогащается полученный опытный мате-
риал.
Аналитические выражения для оценки точности полу-
ченных характеристик рассеивания при статистическом
моделировании приведены в § 2.3. Они позволяют оце-
нить точность результатов, полученных в конкретных
условиях.
В § 2.5 дан пример применения метода статистическо-
го моделирования для оценки точности стрельбы.
Б. Определение ошибок стрельбы из опыта
Определение характеристик точности из опыта удоб-
нее всего показать на примерах.
Разделение ошибок на группы здесь производить не
будем.
Пример 1. Чтобы получить характеристики рассеивания, произ-
водят пуск ракет при одних и тех же условиях. Координаты точек
определяют одним и тем же методом. В результате на плоскости
независимым образом в одинаковых условиях получают п пар из-
мерений отклонений точек разрыва от цели по дальности и направ-
лению. Результаты измерений (хь r/i), (х2, Уъ), . •(хп, уп) являют-
ся независимыми системами случайных величин, у которых
mxi = тх, mVi - ту, DXi =Dx=a2x,
Dyf “ Dy ” ° у И ~Кху»
где индекс i относится к паре измерений. Требуется найти при-
ближенные характеристики точности и оценить их.
3—343 83
Решение. Приближенные значения независимых тх, ту,
°х и определяются как в случае обработки линейных измере-
ний, т. е. по формулам
« 1
*2 *2
где /и*х, т*у, а , о —опытные значения математических ожида-
х у
ний и дисперсий измерений.
При оценке точности полученных характеристик обычно поль-
зуются формулами (см. |[82], стр. 128, 136)
q*y
%г*— уй Уп 9 ~~ УН Уп. 9
х У
___________________°*х '
Vx~ У'2п — 1,4" У2п — 1,4
°у °*у
У2п — 1,4 У2п— 1,4
(3)
(4)
Поскольку момент связи есть математическое ожидание произ-
ведения отклонений случайных величин х и у от своих математиче-
ских ожиданий, то приближенное значение момента связи К*ху опре-
деляется по формуле
п
К*ху = ‘7Г=Т (Xi ~ т**> ^yi — т*^'
/=1
Оценку точности для момента связи удобно давать через коэф-
фициент корреляции, генеральная характеристика которого опреде-
ляется уравнением
34
Опытный коэффициент корреляции
/г*
Г ХУ “ с*ха* ’
Л у
(7)
Пример 2. Для определения характеристик рассеивания зенит-
ной пушки производится стрельба по неподвижной точке в трехмер-
ном пространстве п выстрелами. Координаты точек разрывов опре-
деляют одними и теми же методами.
В результате измерений отклонений разрывов от цели получено
Зп независимых случайных величин. Определить приближение зна-
чения характеристик рассеивания zn*x, т*у, m*Zt а*2, а*2, с*2 ,
К* К* К* х у z
A х у > А хг» А у г»
Решение. Определение числовых характеристик системы двух
случайных величин свелось к обработке линейных измерений. Поэто-
му в случае системы трех случайных величин можно по аналогии
написать рабочие формулы для приближенных значений основных
числовых характеристик системы, добавив к ранее полученным зави-
симостям еще одну по координате z.
В заключение параграфа рассмотрим характеристики
точности в случае стрельбы зенитного комплекта.по дви-
жущейся цели. Поскольку цель движется, то все харак-
теристики точности будут случайными функциями вре-
мени.
Основными характеристиками случайных функций
являются математическое ожидание тх(/), дисперсия
£>х(/) и корреляционная функция ^x(Л, /2). А если рас-
сматриваются две случайные функции х(/) и z/(Z) сов-
местно, то к вышеприведенным характеристикам необ-
ходимо добавить еще момент связи Поэтому
основная задача обработки случайных функций заклю-
чается в определении приближенных значений этих ха-
рактеристик.
Пример 3. Зенитный артиллерийский комплекс при работе
с ПУАЗО по данным СОН готовит исходные данные для стрельбы
по самолету, летящему на постоянной высоте, прямолинейно и с по-
стоянной скоростью? Произведено п независимых опытов (наблюде-
ний) и в результате получено п реализаций случайных функций
x(Z) и y(t), характеризующих точность стрельбы (ошибки стрельбы
в картинной плоскости).
Требуется найти оценки для характеристик случайной функции:
тх (О, ту (О, Ас (0 и Dy (/),
Kx(G, *2), Ky(ti, t2) И Kxy(t).
Решение. Рассмотрим ряд сечений случайных функций x(t)
и y(t) для моментов времени ti, Z2, ...» tm и зарегистрируем значе-
ния, принятые функциями x(t) и у (О в эти моменты времени. Сече-
3* 35
нием случайной функции называется значение случайных ее реали-
заций в зафиксированный момент времени. Каждому из моментов
Л, /2,. •tm будет соответствовать п значений каждой функции. При
этом интервалы между моментами /1, h,..tm выбираются так, что-
бы можно было выявить наиболее существенные изменения функций
и обычно фиксируются темпом фотографирования случайного про-
цесса.
Предположим, что в нашем .примере функции х(/) и y(t) фикси-
ровались с интервалам в 0,5 сек. Причем начало отсчета / = 0 соот-
ветствует моменту прохождения цели через курсовой параметр.
Значения функций x(t) приведены в табл. 1.2.1.
ТАБЛИЦА 1.2.1
Значения Xi(f) [д.у.]
i t., сек
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
1 2,2 2,7 3,5 4,7 6,2 7,5 7,9 8,1 7,8 7,1 6,5
2 1,9 2,7 4,3 5,3 5,8 6,3 6,7 6,9 6,9 6,7 6,7
3 1,5 2,8 3,6 3,9 4,0 4,0 4,3 5,0 5,5 5,8 5,7
4 3,0 3,4 3,5 3,7 4,3 5,2 5,9 6,0 5,9 6,2 6,7
5 1,2 2,3 3,2 3,6 3,8 3,7 3,5 3,4 3,6 4,2 5,1
6 1,2 1,9 2,1 2,1 2,0 2,2 3,0 4,0 4,3 4,1 3,7
7 5,8 6,5 7,0 7,4 7,5 7,6 7,5 7,5 7,2 7,0 6,9
8 5,1 4,8 4,6 4,9 5,8 6,8 7,2 7,1 6,7 6,4 6,4
9 3,2 3,9 4,0 3,6 3,3 3,0 3,2 3,7 4,7 5,6 5,8
10 3,4 2,3 1,2 0,9 1,1 1,8 2,5 3,5 4,4 5,0 5,2
11 6,8 6,6 6,4 6,2 5,8 5,5 5,3 5,3 5,4 5,5 5,8
12 3,8 3,3 3,1 2,9 2,5 2,3 2,3 3,5 4,7 4,9 5,1
Для каждого значения tj рассчитываем математическое ожида-
ние, дисперсию и корреляционную функцию по формулам, приведен-
ным выше (1.5). Результаты расчетов приведены в табл. 1.2.2.
ТАБЛИЦА 1.2.2
tj, сек 0 0,5 1,0 1,5 2 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
[д.у.] 3,2 3,6 3,8 4,1 4,3 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 5,8
D** (tj) [Д. У-12 3,3 1,7 2,6 3,1 3,7 4,4 4,2 2,0 1,7 0,8 0,9
tq, сек — 0,5 1,0 1,5 2 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0
К* (М9)[Д-У]2 — 1,5 1,8 1,7 1,5 0,8 1,1 0,8 0,6 0,6 0,2
36
Корреляционная функция Kx\(tj, tq) в примере рассчитана толь-
ко для одного значения /; = 0.
Аналогично обрабатываются случайные функции .и по второй
координате у (t) при тех же фиксированных значениях tj.
Корреляционнй момент Kxy(tj) рассчитывается по уравнению
(5) для каждого фиксированного значения tj.
Иногда результаты расчета удобно представлять гра-
фически в зависимости от времени, а Кх— в виде анали-
тической зависимости.
Случайные функции иногда удобно представить
в форме канонического или спектрального разложения.
Методы получения таких разложений описаны в § 2.2.
Полученные значения ошибок на выходе приборного
комплекса m*x, т*у, D*x, D*y, К*х, К*у и К*ху использу-
ются при расчете эффективности стрельбы зенитного ком-
плекса. Причем результаты расчета эффективности бу-
дут отвечать тем условиям боевого использования ком-
плекса, при котором были получены опытные значения
ошибок на выходе ПУАЗО (скорость цели, ее высота,
курсовой параметр и дальность до цели).
§ 1.3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЗАКОНОВ ПОРАЖЕНИЯ
Основной задачей каждого выстрела является пора-
жение цели. Оно может осуществиться как при попада-
нии в цель (для одних типов снарядов), так и при взры-
ве (срабатывании) снаряда на некотором расстоянии от
цели. Это расстояние не должно быть выше фиксиро-
ванной для данного снаряда и цели величины. Подрыв
(срабатывание) снаряда может производиться как кон-
тактным (ударным) взрывателем, срабатывающим при
ударе в преграду, так и неконтактным, дающим коман-
ду на подрыв по тому или иному признаку (отражение
сигнала от цели, по времени полета и т. д.).
Под законом поражения цели понимают условную ве-
роятность поражения цели при условии попадания в цель
определенного числа снарядов т (для снарядов с кон-
тактным взрывателем) или при условии, что подрыв сна-
ряда (срабатывание) произошел в точке с координата-
ми (х, у, z) (координатный закон поражения для снаря-
дов с неконтактным взрывателем),
87
Закон поражения определяется уязвимостью цели и
могуществом боевой части снаряда (его поражающими
факторами).
Рассмотрим более подробно координатный закон по-
ражения и поражающие факторы различных боеприпа-
сов. В общем случае закон поражения является сложной
функцией, зависящей как от координат точки попада-
ния, так и от характеристик срабатывания взрывателей.
Так, например, в случае зенитной стрельбы необходимым
условием поражения воздушной цели осколочно-фугас-
ной боевой частью является накрытие уязвимых элемен-
тов цели областью поражения боевого заряда [49]. Мо-
мент подрыва в этом случае должен быть выбран с уче-
том скоростей движения цели и поражающих элементов.
С этой целью каждая боевая часть снабжается взрыва-
телем.
Таким образом, взрыватель должен обеспечить свое-
временный подрыв боевой части, в результате которого
цели наносится наибольший ущерб.
А. Координатный закон поражения
Зависимость вероятности поражения цели от коор-
динат точек попаданий (разрывов) снарядов называет-
ся «координатным законом поражения». Координатный
закон поражения характеризует вполне определенную
комбинацию снаряда и цели и может рассматриваться
как на плоскости, так и в пространстве. В качестве при-
мера, характеризующего координатный закон поражения
на плоскости, можно рассматривать закон поражения на-
земных целей (танков, бронемашин, блиндажей и т. п.)
при стрельбе несколькими фугасными или осколочно-фу-
гасными снарядами. Математически он записывается
уравнением вида
71 V^l> Z/l’ • • *> Уп.
= 1 — [1— Ci (А> I/i)] [1 — Gi(*s> y2)]...[l—GJXn, уп)]
(1)
при условии, что все разрывы с координатами (хг-, Уг)
являются независимыми в смысле поражения, т. е. при
«отсутствии накопления ущерба» [130].
38
Здесь Gn(xb ух\ х2, Уъ ..хп, Уп) — координатный за-
кон поражения цели при стрельбе п снарядами,
G\ yi) — координатный закон поражения при стрель-
бе одним Z-м снарядом. Координатный закон поражения
цели при стрельбе п снарядами представляет собой ус-
ловную вероятность поражения цели при условии разры-
ва снарядов в точках (хь z/i), (х2, z/г) и т. д. до (хп, Уп)-
При стрельбе по воздушным целям координатный за-
кон поражения аналогичным образом может быть запи-
сан так Gn(xb Уь ?Г, х2, у2, г2; хп, уп, zn), который
при отсутствии накопления ущерба также выражается
через Gr(Xj, yiy z^
^П У'Хц У И ^1» > "Хп> Ут ^п)
= 1—[1—Gj (*!, г/р 2\][1 — (а(*2. */а, г2)]... (2)
• • • [1 G, (хп, уп, zn)].
Предположим, что все п снарядов разорвались в одной
и той же точке (х, у, z). В этом случае G^Xi, ylt Zi) =
= Gi(x2, у2, z2) = G1(xn, уп, zn) и по формуле (2), полу-
чим
Gn(x,y,z)=l-[1-Gt(x,y, г)]ге^1-е-л0-(х^-г), (3)
где Gi(x, //, z) —условная вероятность поражения цели
при условии разрыва снаряда в точке (х, у, z).
Уравнение (3) используется также и для расчета ко-
ординатного закона поражения цели при стрельбе оско-
лочными снарядами, где за п принимают число осколков,
попавших в цель при разрыве снаряда, а за Gi(x, у, z)—
условную вероятность поражения цели одним осколком
данной весовой категории при условии разрыва снаряда
в точке (х, у, z).
Б. Поражающие факторы различных боеприпасов
а) Поражающие факторы ядерного взрыва
Атомное оружие взрывного действия основано на ис-
пользовании атомной энергии, выделяющейся практиче-
ски мгновенно при реакции взрывного характера [127].
В настоящее время атомное оружие взрывного действия
может применяться в виде атомных и водородных авиа-
ционных бомб, снарядов, -ракет и самолетов-снарядов.
39
Это оружие предназначается для разрушения различных
объектов, уничтожения боевой техники и поражения лич-
ного состава.
Ядерный взрыв может наносить поражения:
— световым излучением,
— ударной волной,
— проникающей радиацией,
— радиоактивным заражением местности.
Характер и степень поражения всеми этими факто-
рами различны и зависят от уязвимости цели.
Уязвимость целей. Поражения, полученные
людьми от ударной волны при непосредственном воздей-
ствии, подразделяют на легкие, средние, тяжелые и
крайне тяжелые [95] (рис. 1.3Л).
На фронте воздушной ударной волны можно считать,
что для разрушения обычных городских зданий необхо-
димо, чтобы избыточное давление было Д/?ф«0,5 кг) см2
[128].
Световое излучение вызывает возгорание и обуглива-
ние различных горючих материалов. На поле боя под
действием светового облучения живая сила получает
ожоги, могут возгораться или обугливаться деревянные
детали вооружения и техники, краска самолетов, танков
и других предметов вооружения, воспламеняться чехлы,
резиновые катки у танков и автомашин. Большой опас-
ности будут подвергаться склады горюче-смазочных ма-
териалов, боеприпасов и другого имущества [128].
Степень поражения от ударной волны и светового из-
лучения зависит от расстояния от эпицентра взрыва и от
тротилового эквивалента ядерных боеприпасов.
Зависимость степени поражения различных факторов
ядерного взрыва от радиуса и от тротилового эквивален-
та количественно показана на рис. 1.3.1. [95].
Из рис. 1.3.1 видно, что в ясный день наибольший ра-
диус поражения будет наблюдаться от светового излуче-
ния, а от ударной волны он будет наибольшим при пло-
хой прозрачности атмосферы, которая может уменьшать
радиус поражения от светового облучения в два и более
раз в зависимости от коэффициента прозрачности.
Радиус поражения при действии проникающей радиа-
ции мало зависит от величины тротилового эквивалента
ядерных боеприпасов, а по величине он уступает радиусу
поражения при действии ударной волны.
40
Радиоактивное заражение местности также наносит
поражение живой силе, если она не имеет защитных при-
способлений. Размеры территории, зараженной радиоак-
тивными осадками, зависят от тротилового эквивалента
ядерного взрыва. Степень радиоактивного заражения
Кривые легкой и сред-
ней степени поражения
при действии ударной
волны, кривая первично-
го 'а-, Р- и у-излучения
(доза 400 р) и кривые
светового и нейтронного
излучений.
Рис. 1.3.1.
сильно зависит также от метеорологических условий.
При дожде, снегопаде и тумане заражение будет силь-
нее. Чем больше скорость ветра, тем меньше размеры
местности с высоким уровнем радиации.
б) Поражающие факторы химического оружия
Отравляющие вещества (ОВ) и средства, с помощью
которых они применяются на поле боя, составляют поня-
тие химического оружия [129]. Основу поражающего дей-
ствия химического оружия составляют отравляющие ве-
щества, которые в иностранных армиях условно делят на
стойкие и нестойкие.
К стойким ОВ относят те, которые сохраняют пора-
жающее действие от нескольких часов до нескольких су-
ток.
41
К нестойким ОВ относят вещества, которые сохраня-
ют поражающее действие в течение нескольких минут,
иногда часов.
Как стойкие, так и нестойкие ОВ наносят поражение
незащищенной живой силе. Они легко проникают в не-
оборудованные в противохимическом отношении инже-
нерные сооружения, а также в танки и другие боевые ма-
шины и наносят поражение находящейся в них живой
силе.
в) Поражающие факторы боеприпасов
с обычными взрывчатыми веществами
Характер действия этих боеприпасов зависит от типа
боеприпасов (фугасные, осколочные и осколочно-фугас-
ные) и от их калибра.
Основным поражающим фактором фугасных боепри-
пасов является ударная волна, которая наносит пораже-
ние живой силе и технике.
Сила взрыва зависит от веса взрывчатого вещества и
от скорости детонации и количественно выражается че-
рез давление взрывных газов в момент их образования
с помощью формулы [127]
где р — давление в кг/м1 2 на поверхности заряда,
у — объемный вес взрывчатого вещества в кг/м3,
D — скорость распространения детонации в м/сек.
Для тротила по формуле (4) получаем
1 600-7 2002
Р 40
200 000 атм.
В результате такого давления взрывные газы начина-
ют расширяться во все стороны со скоростью, близкой
к скорости детонации. С такой же скоростью начинает
двигаться и окружающий воздух, образуя область силь-
ного сжатия или воздушную ударную волну, распростра-
няющуюся во все стороны от центра взрыва со сверхзву-
ковой скоростью. В дальнейшем давление на фронте
ударной волны приближается к давлению невозмущен-
ного воздуха и скорость фронта приближается к скоро-
42
сти звука. Ударная волна вырождается в обычную зву-
ковую волну.
При стрельбе по воздушным целям в результате дей-
ствия ударной волны конструктивные элементы цели
раздавливаются и возникают другие эффекты, приво-
дящие цель к потере аэродинамической устойчивости.
При подрыве фугасного заряда, проникшего в цель, про-
исходит разрыв конструкции цели изнутри. Для снаря-
дов малого калибра при стрельбе по воздушным целям
с контактным взрывателем основным поражающим фак-
тором является ударная волна, которая разрушает кон-
струкцию, нарушает управление, приводит к воспламене-
нию горючего.
Боевой заряд, предназначенный для получения боль-
шого числа осколков, называется осколочным или оско-
лочно-фугасным. Образование осколков при этом сопро-
вождается фугасным действием, эффектом которого при
разрыве на малых расстояниях до цели нельзя прене-
брегать.
Однако основным поражающим фактором для этих
снарядов и боевых частей являются осколки.
Осколки артиллерийских снарядов различаются по
форме и по весу, а осколки боевых частей ЗУР имеют
примерно одинаковую форму и размер (вес) [49]. Полу-
чение таких осколков достигается различными конструк-
тивными мерами.
Характеристиками боевых частей (снарядов), полу-
чаемыми путем подрывов неподвижных боевых частей
(снарядов) на земле (в статических условиях) и обу-
словливающими эффективность осколочного действия по
цели, являются: общее число осколков и параметры их
распределения по углу разлета в пределах ДфСт
(рис. 1.3.3), вес и скорость полета осколков, их балли-
стический коэффициент и т. д. Распределение по углу
разлета осколков в статических условиях является рав-
номерным в плоскости, перпендикулярной оси боевой
части и неравномерным в плоскости, проходящей через
эту ось.
На основе характеристик осколочности, полученных
при подрыве боевых частей (снарядов) в статике и ус-
ловий встречи рассчитываются параметры распределения
осколков в движении относительно цели. Последние ис-
пользуются для определения плотности потока и энер-
43
гетических параметров осколков, соударяющихся с
целью.
Осколочное действие по воздушной цели реализуется
в виде механического, зажигательного и инициирующего
действия отдельных осколков или групп осколков потока
по уязвимым элементам цели.
Эффективность осколочного действия, очевидно, бу-
дет зависеть от количества попавших в уязвимый эле-
мент осколков, их веса и скорости соударения
с целью {130.]
При фиксированной площади уязвимого элемента
количество попавших в него осколков определяется плот-
ностью осколочного поля, накрывающего элемент. Та-
ким образом, эффективность осколочного действия зави-
сит от строения поля осколков, движущихся с опреде-
ленной скоростью относительно цели. В свою очередь,
строение и энергетические характеристики поля и его
ориентацию относительно оси движущейся цели опреде-
ляют такие характеристики условий встречи снаряда
с целью, как скорость (1/ц) и курсовой угол цели (а) ско-
рость снаряда (Vp), и угол его встречи с целью (6).
Для иллюстрации сказанного рассмотрим в качестве
примера, как изменяются параметры движения одиноч-
ного осколка, т. е. элемента поля в случае изменения
44
только угла встречи при фиксированных значениях всех
остальных характеристик. На рис. 1.Я.2 показано, как
изменяются в зависимости от изменения угла встречи
в пределах 0 < 0 < тг величина V и направление (задан-
ное углом ф) относительной скорости осколка. При под-
рыве боевой части в стати-
ческих условиях этот оско-
лок имел одно значение
скорости — Уд и угла выле-
та фст- Показанные на ри-
сунке изменения направле-
ния и величины скорости со-
ударения осколка с целью
обусловливают наряду с из-
менением строения поля
различные значения энергии
и импульса, передаваемых
цели осколками. В качестве
другого примера на рис.
1.3.3. показано, как изме-
няется в зависимости от
вектора относительной ско-
рости (случаи V(r° и уг )
строение поля движущихся
относительно цели осколков,
Рис. 1.3.3.
имевших в статических условиях одинаковые скорости
Уд в секторе разлета с углом при вершине ДфСт- Для
этих двух характеристик сближения снаряда с целью
получены различные направления полей (ф^, ф2), величи-
ны скоростей соударения осколка с целью (V^, V2(2)) и
углов сектора разлета (ДфЬ Дфг), обусловливающих
плотность потока осколков.
Поле, образованное осколками, способными нанести
повреждения цели, называется областью поражения це-
ли осколочным действием. Она представляет собой по-
лый конус конечных размеров, заполненный траектори-
ями относительного движения осколков (Ооск на
рис. 1.3.4). На рис. 1.3.4. показана также область чисто
фугасного действия Оф и область поражения цели совме-
стным осколочно-фугасным действием. Последняя обо-
значена Оф /7Ооск-
45
Вся область поражения цели осколочно-фугасной
боевой частью Оц получается в результате объединения
областей Оф и ООск-
Так как характеристики действия боевой части уже
рассмотрены, обратимся теперь к вопросу об уязвимости
Рис. 1.3.4.
цели, которая характеризуется уязвимостью ее элементов
или «микроцелей».
Согласно данным [29, 49], такими основными элемен-
тами пилотируемых воздушных целей (рис. 1.3.5) явля-
ются: кабина экипажа Л, двигатель Д, топливная систе-
ма Т, планер цели К, система управления, боевой
груз Б. Уязвимым элементом войсковых баллистических
ракет является иногда только боевая часть, как это име-
ет место у снаряда «Першинг», а иногда боевая часть,
корпус и система управления («Капрал», «Сержант»)
46
и т. д. Для определения закона поражения элементов
цели необходимо иметь характеристики их уязвимости.
К ним относятся, например, в случае топливной системы:
поражаемая площадь системы, вид и количество топлива
в баках, распределение внутри цели баков и системы
подачи топлива к двигателям, прочностные характери-
стики баков и конструктивных элементов цели, экрани-
рующих баки. Кроме того, надо иметь данные о сред-
ствах защиты топливной системы от зажигательного дей-
ствия осколков. Такими являются: протектирование
бензобаков пластическим материалом, затягивающим
осколочные пробоины, заполнение свободного простран-
ства баков инертным газом, специальная экранировка
баков, автоматическое огнетушение и т. д. [29].
В случае поражения механическим действием необхо-
димо знать размеры уязвимого элемента, его•прочност-
ные характеристики и т. д.
Аналогичным образом рассматриваются и другие
цели.
§ 1.4. ЗАКОН ПОРАЖЕНИЯ ДЛЯ ЯДЕРНЫХ БОЕПРИПАСОВ
Под законом поражения для ядерных боеприпасов
понимают зависимость вероятности поражения цели от
расстояния цели до эпицентра взрыва. Рассмотрим за-
кон поражения для атомной бомбы с тротиловым эквива-
лентом 20 тыс. тонн (так
называемая номинальная
бомба). Для этой бомбы
в [95] приведена вероят-
ность поражения живой
силы, расположенной в
городах, как функция
расстояния от эпицентра
взрыва.
На рис. 1.4.1 приведе-
но изменение процента
случаев крайне тяжелого
поражения (смертных
случаев) в зависимости
от расстояния от эпицент-
ра при взрыве в воздухе.
График получен для
47
атомных бомб, сброшенных над Японией, с тротиловым
эквивалентом 20 тыс. тонн тротила [96].
Данный координатный закон поражения G(r0) будет
справедлив при стрельбе по укрытой живой силе, так как
он построен по результатам действия атомных бомб по
городам. Очевидно этим можно объяснить, что на
рис. 1.4.1 при ro = O G (-Го) =#100%. Из рисунка 1.4.1 видно,
что на дальности до 900 м от эпицентра существует вы-
сокая степень поражения, а на дальности г0 более 900 м
она начинает быстро падать.
Используя координатный закон поражения С?(го),
можно рассчитать эффективность стрельбы с примене-
нием ядерных боеприпасов.
Для ядерных боеприпасов, отличающихся от номи-
нальной бомбы, можно рассчитать G(r), пользуясь кри-
выми, приведенными на рис. 1.3.1, допуская, что одна и
та же эффективность поражения может быть достигну-
та на разной дальности от эпицентра, но при одном и
том же действии ударной волны или при одной и той же
энергии светового излучения.
Это допущение оправдано, так как для ядерных бое-
припасов действует закон подобия [95], который позво-
ляет определить радиус эффективности поражения для
одного ядерного боеприпаса, если он .известен для дру-
гого.
Для двух атомных бомб отношение расстояний от эпи-
центра взрыва, на которых происходит одно и тоже воз-
действие на цель ударной волной и световым излучени-
ем, пропорционально отношению тротиловых эквивален-
тов q и qo в степени !/з
где qQ и г0 — соответственно тротиловый эквивалент и
расстояние, относящиеся к бомбе, принятой для сравне-
ния (в данном случае номинальной атомной бомбы).
На рис. 1.3.1 по оси абсцисс отложено отношение тро-
тиловых эквивалентов, выделяемых при взрыве ядерных
боеприпасов, а по оси ординат — отношение расстояний
от места взрыва бомб (расстояния от эпицентра будут
соответственно меньше в зависимости от высоты взры-
ва). При этом за единицу сравнения приняты тротило-
вый эквивалент и расстояние, соответствующее номи-
48
нальной атомной бомбе. Считалось, что энергия, необхо-
димая для создания умеренных ожогов кожи и зажига-
тельного действия, соответственно равна 3 и 10 кал!см2.
Кривые на рис. 1.3.1 заимствованы из [95].
Поражения, полученные людьми от ударной волны
при непосредственном воздействии, как уже отмечалось,
подразделяют на легкие, средние, тяжелые и крайне тя-
желые.
На рис. 1.3.1 приведены кривые для некоторых из этих
случаев, которые хорошо согласуются с формулой (1), и
кривые, характеризующие поражение от нейтронного
излучения, которые с нею не согласуются.
Пользуясь кривыми, помещенными на рис. 1.4.1 и
1.3.1, можно построить координатный закон поражения
G(r) для разных степеней поражения.
Покажем это на примере.
Пример 1. Построить координатный закон поражения для ядер-
ной боевой части ракеты, имеющей тротиловый эквивалент 60 тыс.
тонн при действии ударной волной по укрытой живой силе для слу-
чая средней степени поражения.
q 60
Р е ш е н и е: Отношение — =-2q- = 3. По рис. 1.3.1 находим
г
---= 1,42 или г — 1,42г0. Затем по г0 на рис. 1.4.1 находим G (г0).
го
Рассчитываем значение г (по формуле r=l,42 rQ) и составляем таб-
лицу координатного закона поражения О (г).
Результаты расчета представлены в табл. 1.4.1.
ТАБЛИЦА 1.4.1
г0, км 0,3 0,6 0,9 1,2 L8 2,1
г, км 0.43 0,85 1,28 1,7 2,55 3,0
G(r) 0,94 0,89 0,79 0,55 0,14 0,04
При стрельбе по открытой живой силе 0(0) = 1,0.
§ 1.5. ЗАКОНЫ ПОРАЖЕНИЯ ДЛЯ СНАРЯДОВ С ОБЫЧНЫМ
СНАРЯЖЕНИЕМ
Артиллерийские снаряды и боевые части ракет с обыч-
ным снаряжением применяются как при стрельбе по на-
земным целям, так и воздушным. В зависимости от кон-
4—343 49
струкции снаряда и типа взрывателя применяются
фугасные, осколочные или осколочно-фугасные сна-
ряды.
Фугасные боевые части ракет имеют гораздо мень-
шую мощность, чем атомные боевые части [131]. Радиус
зоны поражения и у этих боевых частей определяется
формулой (1.4.1). Следовательно, для них может быть
использован такой же метод определения закона пора-
жения, как и для ядерных боеприпасов.
В данном параграфе рассмотрим определение закона
поражения для снарядов с контактным взрывателем, ко-
торые наносят поражение только при непосредственном
попадании в цель, для осколочных (осколочно-фугасных)
снарядов при стрельбе по наземным целям и для оско-
лочных боевых частей ЗУР.
А. Закон поражения для снарядов,
которые наносят поражение только
при непосредственном попадании в цель
Вероятность поражения цели при одном попадании
в этом случае может быть рассчитана по формуле [10]
G1 = ^- = g(Si), (1)
где S — площадь проекции цели на плоскость, перпен-
дикулярную к относительной траектории;
Si — площадь проекции уязвимой части цели на ту
же плоскость.
Уравнение (1) справедливо при условии, что рассеи-
вание превосходит размеры цели и точки попадания рав-
номерно распределены по площади S. При этом условии
частость попаданий в площадь будет
О
Вероятность поражения цели при т попаданиях и при
отсутствии накопления ущерба определится из уравне-
ния
Gm= 1 — [1 — g(Si)]™ = 1 — Gm, (2)
где G = l-g(S,). (3)
50
Математическое ожидание числа попаданий (со), не-
обходимых для поражения цели, определится по форму-
ле ([10]—стр. 82)
Тогда
СО
/ 1 \т —
Если учесть, что И--------— j ~ е-1, то
т
(5)
Из уравнения (5) видно, что закон поражения можно
вычислить с помощью экспоненциальной функции. Такой
закон поражения в литературе называют показательным.
Вид функции Gw представлен на рис. 1.5.1. Из
рис. 1.5.1 видно, что теоретически Gm представляет со-
бой монотонно возрастающую функцию (1). Однако по-
скольку т возрастает дискретно, то практически это бу-
дет ступенчатая кривая (2).
Закон поражения находят опытно-теоретическим пу-
тем. Опытным путем находят поражаемость отдельных
частей цели, а теоретически рассчитывается Gm или о>.
Рассмотрим определение о> из опыта по методике,
приведенной в [130]. Для поражения самолета необходи-
4* 51
мо пробить обшивку и разрушить или повредить уязви-
мые отсеки цели. В зависимости от силы боеприпасов
для одного и того же типа целей степень повреждения
будет различной. Для одного типа снаряда поражение
самолета наступает при одном попадании, а для другого
требуется несколько попаданий. Это объясняется тем, что
для менее мощных снарядов имеет место накопление
ущерба, которое уже необходимо учитывать. Например,
первый снаряд может пробить обшивку, а второй, прой-
дя через это отверстие, выведет из строя уязвимый отсек
(систему управления и т. д.).
Для опытного определения цель условно делится на
ряд равноуязвимых частей (отсеков). В том случае, ког-
да такое деление невозможно, оставляют некоторые от-
секи с меньшей уязвимостью.
В качестве примера рассмотрим расчет о> для гипоте-
тического двухмоторного самолета. Примем относитель-
ные площади и вероятности поражения отдельных отсе-
ков двухмоторного самолета (при одном достоверном
попадании зенитным снарядом малого калибра и опреде-
ленном положении самолета относительно траектории)
следующими:
ТАБЛИЦА 1.5.1
Части самолета или отсека Относитель- ная плошадь отсека Вероятности поражения отсека при одном попа- дании в него
Мотор правый 0,06 1
Мотор левый 0,06 1
Руль высоты 0,03 1
Консоль правая 0,07 0,5
Консоль левая „ 0,07 0,5
Фюзеляж 0,12 0,5
Отсеки, поражаемые одним
попаданием (кабина,
электропроводка, руле-
вая тяга и т. п.) . . . . 0,46 1
Непоражаемые отсеки . . 0,13 0
Из табл. 1.5.1 видно, что, хотя мотор поражается при
одном попадании, вероятность попадания в него невысо-
ка (0,06); если рассчитывать на поражение цели путем
52
попадания только в фюзеляж, то для этого потребуется
не менее четырех попаданий, так как
G4=l — ( 1—0,5)4 = 0,98. (6)
Это высокая вероятность поражения, хотя площадь это-
го отсека составляет только 12% от площади самолета,
а вероятность четырех попаданий при независимых
выстрелах в этот отсек равна 2« 10~4. В целом вероят-
ность поражения этого отсека будет весьма малая
(2* 10“4). Поэтому накоплением ущерба для фюзеляжа
и консолей можно пренебречь, а среднее необходимое
число попаданий рассчитать для каждого отсека по фор-
муле (7) с учетом вероятности попадания в z-й отсек
(О =
(7)
1 = 1
(50
где —вероятность попадания в z-й отсек;
О
Si (Si) — вероятность поражения z-ro отсека при
одном попадании.
Формула (7) справедлива при условии, что поражение
одной части или отсека самолета приводит к поражению
цели в целом.
По данным табл. 1.5.1 с помощью (7) находим
Аналогичный расчет со. производят при нескольких по-
ложениях цели к относительной траектории, а затем их
осредняют. Полученное значение для каждого типа са-
молета будет функцией веса разрывного заряда ВВ
(<7вв) для осколочно-фугасных снарядов и функцией веса
снаряда для осколочных снарядов.
Современные зенитные снаряды имеют следующий по-
рядок величины веса снаряда и заряда ВВ [115]:
53
ТАБЛИЦА 1.5.2
Калибр (мм) и тип снаряда Вес снаряда, кг Вес заряда ВВ, кг
20 (полубронебойные) 0,138 0,005
20 (осколочные) 0,120 0,015
30 я 0,420 0,060
40 я 0,960 от 0,115 до 0,140
57 3,0 0,400
75 п 6,0 0,600
88 и 9,0 0,900
90 п 10,0 1,0
120 » 22-, 0 2,3
Если для каждого калибра снаряда рассчитать сред-
нее необходимое число попаданий, то можно построить
зависимость
(*7вв)*
Типичный вид этой функции для воздушной цели
представлен на рис. 1.5.2. Расчеты показывают, что, ус-
тановив зависимость для одного типа цели, можно найти
подобную кривую и для другого типа цели по уравне-
нию
<0 = С/(?вв),
где С определяется опытным путем.
По этой же методике определяется закон поражения
при стрельбе ударными снарядами по танкам, бронема-
шинам и другим целям.
54
Б. Закон поражения для осколочных снарядов
по наземным целям
В отличие от закона поражения для снарядов с удар-
ным взрывателем, где за критерий качества была приня-
та условная вероятность поражения цели, в данном слу-
чае за показатель качества принимается математическое
ожидание числа пораженных целей при разрыве отдель-
ного снаряда ([10], стр. 279 и 305).
as=S(l — е-пС), (8)
где S — количество целей (например, стрелков в груп-
пе) ;
п — плотность осколков у цели (число осколков на
квадратный метр площади на шаровой поверх-
ности заданного радиуса с центром в точке под-
рыва) ;
С — коэффициент, учитывающий процент убойных
осколков.
ТАБЛИЦА 1.5.3
<7. г Процент осколков весом q и более г Процент осколков весом q и более г Процент осколков весом q и более
1 100,0 10 29,0 19 16,0
2 75,0 И 27,0 20 15,0
3 62,5 12 25,5 30 11,5
4 53,5 13 23,0 40 10,0
5 47,0 14 22,0 50 8,5
6 42,0 15 20,5 75 6,5
7 38,0 16 19,0 100 4,5
8 34,5 17 18,0 125 3,0
9 31,5 18 17,0 150 1,5
Для определения С по табл. 1.5.3 необходимо опыт-
ным путем найти минимальный вес q осколков, который
будет убойным, и принять за С процент осколков данно-
го веса и более.
Уравнение (8) применимо для оценки математиче-
ского ожидания числа пораженных целей как при стрель-
бе ракетами с кассетной боевой частью, так и при стрель-
55
бе артиллерийскими снарядами на рикошетах или бри-
зантной гранатой. Для каждого из перечисленных типов
снарядов опытным путем определяются плотность убой-
ных осколков и их процент от общего числа осколков.
На примере бризантной гранаты покажем расчет не-
обходимых характеристик.
Количество осколков и их вес зависят от калибра сна-
ряда, качества металла, веса и сорта взрывчатого
вещества. Опытным путем установлено распределение
осколков по весу ((10] стр. 293):
В табл. 1.5.3 приведено распределение осколков по
весу при разрыве стальной бризантной гранаты в про-
центах к общему весу осколков.
Скорости полета осколков весьма разнообразны.
Начальную скорость осколка можно рассчитать по
формуле:
v = yrv23-\-v2c-[-v3vccos^, (9)
где v3— скорость, получаемая осколком от разрывного
заряда;
vc — скорость снаряда в момент разрыва;
Р' — угол между направлениями скоростей и vc.
Разнообразие форм осколков приводит к различной
потере скорости осколков при их полете. Это обстоятель-
ство не позволяет установить для всех осколков посто-
янную величину убойного интервала.
Под убойным интервалом принято считать удаление
разрыва от цели, при котором половина всех осколков
имеет кинетическую энергию, достаточную для пораже-
ТАБЛИЦА 1.5.4
Убойный интервал в метрах
Я» г v, м/сек
400 800 1 200 1 400
1 2,3 4,1 5,4 5,9
5 8,2 11,2 13,4 14,4
10 13,0 16,8 19,6 20,8
20 18,0 22,8 26,2 27,8
50 29,3 35,9 40,6 42,8
100 41,1 49,3 55,2 58,1
200 57,1 67,5 75,1 78,6
56
ния цели. Убойный интервал определяется опытным пу-
тем. В табл. 1.5.4 приведены численные значения убой-
ных интервалов для различных начальных скоростей и
различных по весу осколков q. При этом энергия, необ-
ходимая для поражения
цели (живой силы), при-
нята равной 10 Кгм.
Для определения ха-
рактера разлета осколков
рассматривается поверх-
ность шара о центром
в точке разрыва снаряда.
Поверхность шара можно
условно разбить на 19
поясо*в, шириной в 10°
Рис. 1.5.3.
(рис. 1.5.3.).
Опытные данные (10]
показывают, что относи-
тельное число осколков,
приходящихся на каж-
дый сферический пояс,
будет таким, как это показано в табл. 1.5.5. Здесь
же приведена плотность попаданий осколков п' в сфери-
ческие пояса при разрыве стальной гранаты (R = 3 м,
#=1000).
Так как площадь поверхности шара изменяется про-
порционально квадрату радиуса, то плотность осколков
из табл. 1.5.5 необходимо умножать на отношение квад-
ратов радиусов R и г, где R = 3 м (для которого получе-
на табл. 1.5.5) и г — удаление цели от точки раз-
рыва.
Например, плотность осколков 5-го пояса в точке,
удаленной от точки разрыва на 10 м, будет равна
32
n’s = 2-84г=0-25-
Аналогично изменяется плотность осколков, при дру-
гом числе осколков (пропорционально изменению коли-
чества осколков).
При разрыве снаряда на траектории распределение
осколков по сферическим поясам изменяется благодаря
наличию поступательной скорости. Плотность осколков
57
ТАБЛИЦА 1.5.5
Номер пояса ₽', град Относитель- ное число осколков Площадь пояса, Д42 Плотность осколков п'
1 0 0,2 0,21 9,6
2 10 0,3 1,71 1,8
3 20 0,6 3,37 1,7
4 30 1,1 4,92 2,2
5 40 1,8 6,34 2,8
6 50 2,7 7,55 3,6
7 60 4,0 8,54 4,7
8 70 6,2 9,26 6,7
9 80 15,0 9,70 15,3
10 90 24,0 9,86 24,4
11 100 18,4 9,70 19,1
12 110 9,2 9,26 9,9
13 120 5,4 8,54 6,3
14 130 3,5 7,55 4,6
15 140 2,6 6,34 4,1
16 150 1,9 4,92 3,9
17 160 1,3 3,37 3,9
18 170 1,0 1,71 5,8
19 180 6,8 0,21 37,2
при этом можно рассчитать по формуле ([10], стр. 305)
где
п = п!
У (Vp + Ус + 2аРас cos ₽')3
ар(аР + ас COS р')
В' — В 4- arcsin ( — sin
г к VP
(10)
(И)
Р'— угол между направлениями скоростей v и ир
v = vp-j-vc.
Эти характеристики используются при расчете as.
Методику расчета as покажем на примере.
Пример 1. Определить математическое ожидание числа пора-
женных целей (отдельных стрелков с уязвимой поверхностью
0,5 л<2), если направление на цель с направлением траектории снаря-
да в точке разрыва составляет угол 0=60° и удаление цели от точки
разрыва равно 20 м. Количество осколков весом 10 г и более
1000 штук, ур = 1000 м!сек, ис=500 м!сек.
58
Решение. 1. Определим плотность осколков и', отвечающую
шаровой поверхности R = 3 м. По формуле (11) определим угол
(Uc \
— sin р ) = 85°.
По табл. 1.5.5 находим п' — 19,8.
2. По формуле (10) определим п
(1/vp +ас 4-2tfpt>c cos И3
п = П' ?-------------------------— =
OpO’p+t’c COS ₽')
, (/1 • 10е + 25-104 + 2- 10s cos 85)’’ n
“ 1 • 106 (1 • Ю3 + 500 cos 85) —26.3.
3. По табл. 1.5.4, по v=il000 У 1,29 = 1135 м!сек и по величине
убойного интервала (г=20 м), равного удалению цели от точки
разрыва, находим необходимый вес осколка
<7=10 г и более.
Процент осколков весом 10 г и более находим из табл. 1.53 (29%У-
4. Плотность осколков на удалении 20 м от точки разрыва бу-
дет равна
З2
п=26,3 go? ~ 0,59.
5. Число убойных осколков, приходящихся на площадь цели,
равно
пС=0,59 • 0,29 • 0,5= 0,086.
6. Математическое ожидание числа пораженных целей опреде-
ляется по формуле (8) а8 = 1—е~пС=0,086.
В. Закон поражения для осколочных
боевых частей ЗУР
Расчет закона поражения осколочной боевой части
ведется для конкретных точек области опасных разрывов
при фиксированных условиях встречи ЗУР с целью
примерно по такой схеме. Сначала определяются пара-
метры области поражения (осколочного поля). На их
основе для каждой весовой группы (£) осколков рассчи-
тывают плотность потока осколков (Хк) и энергетические
(fK) характеристики: энергию, импульс и т. д.
Затем определяют площадь (S'j) проекции на поверх-
ность, перпендикулярную направлению потока осколков,
59
той части (coj) объема (Ц) /-го уязвимого элемента, ко-
торая накрывается осколочным полем
= Ц^Ооск.
Математическое ожидание числа осколков k-и группы,
попавших в /-й элемент, равно произведению
В этом случае координатный закон для /-го элемента
можно рассчитать по формуле (1.3.3)
1 Л), (12)
где у, z) —математическое ожидание числа оскол-
ков, поражающих элемент цели. Оно равно
m^S'i (£„), (13)
k
где Pj(Ex)—вероятность поражения элемента одним
осколком, определяемая по значению энергетического
параметра Ек для определенного вида поражающего
действия осколков.
Пример 2. Пусть даны площадь уязвимого элемента цели S'j~
= 0,2 м2 и две группы осколков с плотностями %1=20СК/л/2 и %2=
=40СКЛи2 соответственно и вероятностями поражающего действия
осколка РДЕ])=0,5 и Pj(E2)=0,3. Найти закон поражения уязви-
мого элемента.
Решение. Используя формулы (12) и (13), найдем
Gj (х, y,z) = \ -е-0’2*2*0’5*4’03) = 0,36.
Значения вероятности Pj, как уже указывалось, опре-
деляются опытным путем; так же устанавливается закон
случайного числа попаданий осколков в цель и т. д.
Однако непосредственное воспроизведение действия
осколков по цели на определенной высоте возможно
лишь только при специальных испытаниях ЗРК [49].
Вследствие высокой их стоимости число опытов ограни-
чено и не дает достаточной информации. Поэтому пара-
метры законов поражения уязвимых элементов устанав-
ливаются по результатам моделирования в наземных
условиях процесса воздействия поражающих факторов
на элементы цели,
60
Координатный закон поражения цели ЗУР опреде-
ляется на основе координатных законов для ее уязвимых
элементов. Он является вероятностью наступления опре-
деленной комбинации соответствующих элементарных
событий, заключающихся в поражении уязвимых эле-
ментов. Рассмотрим некоторые варианты, вводя одина-
ковые обозначения для уязвимого элемента и события,
заключающегося в его поражении.
1. Цель поражена с определенной степенью, т. е. пе-
реходит в такое состояние в результате повреждения хо-
тя бы одного из двух элементов, например Л и Д. По-
ражение цели как событие (С) будет комбинацией, пред-
ставляющей объединение совместных событий Л и Д.
Для независимых элементарных событий получим
Р (С) = 1 - [ 1 - Р (Л)] [ 1 - Р (Д)]. (14)
Переходя по индукции к случаю п событий и вводя обо-
значения закона поражения, получим
G(x, у, z) = 1 — П [1 — Gj(x, у, z)], (15)
i
где Gj — координатный закон поражения /-го уязвимого
элемента.
Пример 3. Даны частные значения координатного закона пора-
жения кабины пилота 0Л=0,4, единственного двигателя Од=0,2 и
системы управления Оу=0,1 в точке с координатами х', у', z'.
Известно, что цель будет поражена при поражении хотя бы одного
из этих ее элементов. Определить О(х', у', z').
Решение. По формуле (15) найдем
О(х', у', z') = 1 — (1 —0,4) (1 — 0,2) (1 — 0,1) =5= 0,43.
2. Пусть цель состоит из кабины пилота и двух дви-
гателей Д1 и Д2, а ее поражение достигается в резуль-
тате повреждения элемента Л или обоих элементов Д1 и
Дз. Полагая, что поражение каждого элемента являет-
ся независимым событием, получим выражение для за-
кона поражения цели
G{x, у, z) = l -(1 -Сл)(1 -СДСД2). (16)
61
Здесь также предполагается зависимость правой ча-
сти выражения (16) от координат, которые для простоты
записи опущены.
Полагая условные вероятности поражения однорЪд-
ных уязвимых элементов /-го типа одинаковыми
GJi, = Gat’ Gn=Gn, и т- Д-.
найдем по индукции для случая поражения хотя бы од-
ной из нескольких групп однородных уязвимых элемен-
тов /-го типа выражение
G(x, у, г) = 1-П(1-С^), (17)
/
где nj — общее число однородных элементов /-го типа,
которые должны быть все поражены одновременно.
Пример 4. Установлено, что поражение какой-то цели с высокой
степенью возможно лишь в случае, если будут одновременно пора-
жены оба летчика, или оба одинаковых двигателя, или топливный
отсек, или несущая конструкция. Даны условные вероятности пора-
жения элементов в точке х', у', z'
бл=0,5; Од =0,4; Gt =0,2; Ок—0,3.
Найти координатный закон поражения цели.
Решение. Учитывая, что пл=ид = 2, пт = пк = 1, по формуле
(17) найдем
G(x', у', г') = 1 — (1— 0,52) (1 _ 0,42) (1 — 0,2) (1 — 0,3) 0,65.
3. Для поражения цели с заданной степенью необхо-
димо поразить кабину пилота Л или не менее чем три из
четырех двигателей Дь Д2, Дз, Д4. Предполагается, что
события, заключающиеся в поражении каждого элемен-
та, являются независимыми между собой. Составим воз-
можные комбинации поражения двигателей Gi =
— поражение всех четырех двигателей.
С2 (1 Од) ^дабдз6д4
Й1 = 0А.<>-°Д.)<;Д.0Л.
Поражение трех и
| одного двигателя.
непоражение
62
Так как комбинации событий поражения двигателей не-
совместны, то вероятность вывода из строя не менее
4
трех двигателей равна Gv. Тогда найдем
У = 1
4 5
(18)
V—I
Далее, в силу независимости событий будем иметь
(в обозначениях закона поражения)
5 4 4 3
£с.= ПОд, +
v = l i =1 i = l k=£i
Учитывая эти замены в формуле (18), после элементар-
ных преобразований получим выражение для закона
поражения цели в виде
G(x, у, 2) = 1-(1-Сл) Г1-ПСД<-
1=1
4 3
-Еа-с^псд.]- os)
i = 1 k=£i.
Пример 5. В предположении только что описанной ситуации
даны частные значения координатных законов поражения уязвимых
элементов 6Л =0,5; СД1 = = 0,7; СДз = 6д4 = 0,5. Требуется
найти значения закона поражения цели G (х', у', z').
Решение получим по формуле (19)
G(x', у', z') = l — (1—0,5) [1 — 0,72 — 2(1 —0,7)0,7 0,52—
— 2 (1—0,5) 0,5-0,72] = 0,74.
Рассчитав (7(х, у, z) в ряде значений координат точки подрыва
снаряда, мы получим координатный закон поражения цели.
§ 1.6. ДАЛЬНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ ЦЕЛИ
И ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
А. Понятие об обнаружении
Важнейшим свойством каждого вида вооружения,
которое приходится учитывать в любых моделях боя,
63
является его способность обнаруживать Цель и обнару-
живаться. Поскольку обнаружение i-й цели на заданной
дальности зависит от многих случайных факторов, то
дальность обнаружения будет величиной случайной для
каждого /-го средства. Таким образом, надо рассматри-
вать вероятность обнаружения i-й цели /-м средством.
Обнаружение может быть визуальным, оптическим,
радиотехническим и звукометрическим.
В этом параграфе мы рассмотрим вероятность обна-
ружения воздушной цели с помощью радиолокатора и
визуальное обнаружение наземной цели. Можно рас-
смотреть как типичный случай вероятность обнаружения
танка или противотанкового средства на марше или об-
наружение наземных целей с самолета-разведчика. По-
следний случай относится к теории поиска, который мы
здесь рассматривать не будем.
При ведении боевых действий 'войска применяют все
средства маскировки с тем, чтобы не допустить своего
обнаружения до того момента, когда уже будет приме-
няться оружие. В этом случае момент обнаружения бу-
дет совпадать с моментом открытия огня. Практически
многие цели на поле боя могут быть обнаружены только
с того момента, когда они начинают действовать.
Вероятность обнаружения зависит от дальности и
от состояния средства (рабочее, марш, укрытие и т. п.),
от времени суток и от внешних условий (погода,
рельеф). Поэтому формулы для расчета вероятности
обнаружения должны учитывать эти условия.
Б. Визуальное обнаружение цели
Максимальная дальность обнаружения наземных це-
лей зависит от рельефа местности. При углах укрытия
е<0она определяется прямой видимостью, а при углах
укрытия 8>0 она определяется дальностью до укрытия.
Поэтому при стрельбе по движущимся целям удобно рас-
сматривать вероятность обнаружения Р(х) как произве-
дение вероятности прямой видимости (П) на вероят-
ность обнаружения /?о(х) при условии, что прямая ви-
димость обеспечена
Р(х) = ПА(х).
(1)
64
Вероятность прямой видимости определяется как отноше-
ние
т
^Дхв<
Д = —<=1- ~т-------• (2)
S Дх^+Е Дхв<
/=1 1=1
где ДхВ; —видимый Z-й участок курса цели;
Дх;- — невидимый /*-й участок курса цели;
т — число видимых участков;
п — число невидимых участков.
Вероятность прямой видимости рассчитывается с по-
мощью топографической карты. Для этого в секторе
поиска в нескольких направлениях с наблюдательного
пункта строятся профили местности, по которым рас-
считывается с помощью уравнения (2) вероятность пря-
мой видимости движущихся целей (танкц, бронетранс-
портеры и т. п.). Затем в секторе проводятся изоверо-
ятностные кривые вероятности прямой видимости, кото-
рые используются для расчета вероятности обнаружения
цели по уравнению (1).
Если рассматривать дальность обнаружения движу-
щейся цели (танка, машины) при условии, что прямая
видимость обеспечивается (П='1), то оказывается, что
она является величиной случайной, зависящей от на-
блюдателя, от освещенности цели, от степени приспособ-
ленности окраски цели к окраске окружающей среды.
Основными числовыми характеристиками дальности об-
наружения в этом случае будут: средняя дальность
обнаружения До, дисперсия <3д и вероятность обнару-
жения цели Р0(Д) как функция дальности Д. Все эти
характеристики определяются опытным путем.
Как один из возможных вариантов опыт по определе-
нию дальности визуального обнаружения танка может
быть поставлен следующим образом. Танк делает не ме-
нее десяти заходов по одному и тому же направлению
и при одной и той же скорости. Танк сопровождает
радиолокационная станция разведки, на которой фото-
графируется индикатор дальности и электрические сиг-
налы, подаваемые в фотоаппарат от наблюдателей.
343 65
Наблюдатели находятся в районе расположения радио-
локационной станции. Обработка этих наблюдений по-
зволит получить плотность распределения дальности
обнаружения, среднее значение дальности и ее диспер-
сию, а также частость обнаружения цели в зависимости
от дальности.
Пример 1. Произведено 100 измерений дальности (Д) визуаль-
ного обнаружения танка. Результаты измерения сведены в стати-
стический ряд (табл. 1.6.1). Требуется определить числовые харак-
теристики дальности обнаружения танка
ТАБЛИЦА 1.6.1
Дг КМ 1,5; 2,5 2,5; 3,5 3,5; 4,5 4,5; 5,5 5,5; 6,5 6,5; 7,5 7,5; 8,5
mi 4 18 33 22 19 3 1
P*i 0,04 0,18 0,33 0,22 0,19 0,03 0,01
Здесь Дг — границы разряда;
mi — количество значений, приходящихся на каждый Z-й раз-
ряд;
— соответствующая частость, определяемая по уравнению
= (3)
п — число наблюдений.
Числовые характеристики дальности обнаружения можно опре-
делить приближенно по уравнениям
k
Д*, = М*[Д] = £д4Р*ь (4)
i = \
k
0*2 = П*[Д]=^(Л-Д;гР*4, (5)
i=l
где Дг—среднее значение дальности в Z-м разряде;
Р*г—частость Z-ro разряда;
k—число разрядов.
В нашем примере:
Д*о = 4,51 км, «/J2 = 1,65 км*, о*д = 1,28 км.
Знак * означает, что это характеристики выборочные, а не гене-
ральные.
66
Частость обнаружения цели в зависимости от дальности опре-
деляется статистической функцией распределения Р*о(Д).
Следует иметь в виду, что
k
Р*0(ДЛ + 1) = ^Р( = 1
i=l
при k —► оо.
Имеем
Дл, км 2345678
Р*0(Дь) ЬОО 0,96 0,78 0,45 0,23 0,04 0,01
Отсюда видно, что уверенное обнаружение танка наблюдается на
дальности менее 3 км. С учетом рельефа местности вероятность об-
наружения танка определяется по уравнению (1).
В. Обнаружение цели с помощью РЛС
Дальность обнаружения цели с помощью РЛС также
является случайной величиной, так как среди большого
числа факторов, от которых она зависит, многие являют-
ся величинами случайными. Например, величина эффек-
тивной отражающей поверхности цели, шумы в прием-
нике РЛС и др. являются случайными величинами,
влияющими на дальность обнаружения. Поэтому даль-
ность обнаружения цели связывается с вероятностью,
которая зависит от высоты цели, типа самолета, харак-
теристики станции, способа поиска цели и дальности до
нее. Вероятность обнаружения цели на данной высоте
может определяться опытным путем по частости обна-
ружения. Однако для того чтобы найти зависимость
вероятности обнаружения от условий полета цели и от
условий поиска, требуется поставить большое число опы-
тов. Для сокращения числа экспериментов и для получе-
ния более полных поисковых характеристик станций
необходимы и аналитические методы расчета вероятно-
сти обнаружения цели.
Максимальная дальность обнаружения цели хШах
определяется из условия, что мощность отраженного
сигнала, подводимая ко входу приемника, равна поро-
говой мощности приемника Pnpmtn [70].
Уравнение дальности в зависимости от конструктив-
ных параметров станции с учетом отражений от земли
или моря и поглощения радиоволн в атмосфере для углов
5* 67
места цели е<е0, где е0=^-, в работе [70] имеет вид
•^шах
8 Г бпер^пер^э^пр 16я2
1/ ^пр min
(Л77)4 е"”°’585Хтах
(6)
где РИер — мощность, излучаемая передающим устрой-
ством, вт\
Одер — коэффициент направленности передающей ан-
тенны,
Одер = ^-S/Сип, (7)
S — площадь раскрыва антенны, м?\
Лип — коэффициент использования площади антенны.
При параболическом рефлекторе с диаметром Дх
Одер 0,5Д1 ,
5др— эффективная площадь приемной антенны
^пр --5КиП«
Для антенн с параболическим рефлектором 5пр^0,5Д2.
Рпр min — чувствительность приемника, вт\
Л — рабочая длина волны, м\
£э — эффективная отражающая поверхность
цели, м2\
8 — затухание радиоволн в атмосфере, дб[км\
h — высота антенны, м\
Н — высота целщ м.
Для углов места е>е0 уравнение (6) имеет вид
х
шах
^пер Ри epSaSnp Гл Q1*n2 —о,115Ьлгтах
le^npmin 1 Чпах] 6
(8)
По уравнениям (6), (7), (8) можно определить хШах>
если известны основные параметры станции.
Кривые зависимости 6 от X, приведенные в [70], по-
казывают, что при 10 см 6 = 0.
Затухание радиоволн достигает максимума (6=
10 дб/км) при Л=0,5 см и быстро падает до 0 при
%=10 см. В большинстве случаев затухание волн в аг-
мосфере должно быть учтено на волнах порядка 3 см
и короче.
S3 определяется опытным путем. Значения S3 по дан-
ным (25] следующие:
— для тяжелых бомбардировщиков S3= 100-4-150 м2;
— для средних бомбардировщиков 53 = 40-ь70 л*2;
— для истребителей S3 = 5-4-15 л*2;
— для носового конуса (боевой головки) межкон-
тинентальной баллистической ракеты S3 = 0,2-^0,5 м2.
Длина волны X, мощность передатчика РПер, чувст-
вительность приемника РПртгп и высота антенны h опре-
деляются конструктивными особенностями станции.
Максимальная дальность обнаружения хтах получи-
лась бы в случае стабильной работы всех параметров
станции и при неизменных условиях поиска. Но по-
скольку существует разброс во времени всех этих пара-
метров, то на практике наблюдается и разброс даль-
ности обнаружения. Следовательно, х буд^т величиной
случайной, а событие, состоящее в обнаружении цели на
дальности х, также будет случайным. Вероятность это-
го события связана с конструктивными особенностями
станции и условиями поиска. Чтобы получить зависи-
мость вероятности обнаружения цели от ее скорости,
курсового параметра, от скорости поиска и от конструк-
тивных параметов станции, перейдем к аналитическому
выражению вероятности обнаружения цели.
Рассмотрим промежуток времени t от момента / = 0,
когда
Х — Х max-
Разделим это время на п интервалов Mi, в каждом из
которых вероятность обнаружения цели может быть
представлена так:
Л = (9)
где F(ti)—среднее превышение полезного сигнала над
средним уровнем шума за время Д/й
Кг — коэффициент пропорциональности.
События — появление цели на интервалах Д/г — при-
мем независимыми. Тогда полная вероятность обнаруже-
ния цели за время t равна
1 - exp [- £ KiFfti) Д/; ]. (10)
69
Переходя к пределу при Д/ —О, получим
t
/>=1 _ехр Г— j KF(/)<#], (П)
f=0
где Kf (0 является функцией дальности f (х).
Принимая, что время t соответствует горизонтальной
дальности х, а при / = 0 и х=хтах, получим
Р(х) = 1 — exp J f(x)dxj. (12)
•^тах
х
Обозначая <р (х) = j f (х) dx, получим
хтах
Р(х) = 1 — e_t?w. (13)
По этой формуле, приведенной в [50], можно рассчи-
тать нарастающую вероятность обнаружения в функции
горизонтальной дальности до нее при курсовом парамет-
ре, блИЗКОМ К Нулю, еСЛИ ИЗВеСТНЫ f(x) И Хщах-
Значения хтах рассчитываются по формулам (6)
или (8), a f(x) определяются с помощью опытных дан-
ных по частости обнаружения цели, пролетающей
с малыми курсовыми параметрами.
По опытным данным функция /(х) обычно пишется
в форме линейной зависимости
= (14)
а = хУц(1-е-Ч, (15)
где Уц — скорость цели;
т — среднее время цикла поиска;
X — коэффициент, определяемый из опыта.
Подставляя (14) в (12), а затем в (13), получаем
Р « = 1 - ехр [-
(16)
70
Расчет по формуле (1*6) позволяет получить Завися-
мость вероятности обнаружения низколетящей цели от
горизонтальной дальности х при курсовом параметре
цели, близком к нулю, если Хтах определяется по урав-
нениям (6) и (8) и известно %.
В реальных условиях цель очень редко движется
прямо на прибор. Чаще всего курс неманеврирующей
цели представляет собой прямую линию, проходящую на
случайном расстоянии от прибора. Дальность обнару-
жения слабо будет зависеть от направления облучения
цели, так как отраженный сигнал практически мало из-
меняется. Мощность отраженного сигнала от самолета
при длине волны Х=10 см и облучении спереди колеб-
лется в пределах 15—25 дб, а при изменении ракурса
полета цели по отношению к линии наблюдения мощ-
ность отраженного сигнала колеблется в пределах 15—
30 дб ([70], стр. 37).
Это позволяет сделать предположение, что при дви-
жении цели с параметром, отличным от нуля, коэффи-
циент согласования % практически мало будет зависеть
от курсового параметра цели.
В таком случае, если воспользоваться приближенной
зависимостью f(x), то для курса цели х с параметром z
на высоте //, <р(х, Н, г) определится по формуле
<р(х, //, z)= J Дтах — + Z2 + X» dx^ ц7)
хтах
где Дтах — максимальная наклонная дальность, опре-
деляемая по формуле (6) или (8).
Вероятность обнаружения цели в зависимости от
горизонтальной дальности х может быть рассчитана по
уравнению
Р(х)= 1 — г), (18)
где Н —const, z=const.
Определение опытного коэффициента согласования %
покажем на примере.
Пример 2. Произведено 200 измерений дальности обнаружения
цели, летящей на высоте 1000 м, станцией орудийной наводки (т=
71
=4 сек, хШах=28 км, z=0, уц=400 м!сек). Результаты измерений
сведены в статистический ряд.
ТАБЛИЦА 1.6.
Др км 6; 8 3; 10 10; 12 12; 14 14; 16 16; 18 18; 20 20; 22 22; 24 24; 26 26; 28
nii 1 3 5 17 32 37 34 30 20 13 4
p*i 0,01 0,01 0,05 0,08 0,16 0,19 0,17 0,15 0,10 0,06 0,02
Определить частость обнаружения цели и коэффициенты
согласования а и X расчетных и опытных значений частости обна-
ружения.
Решение. По табл. 1.6.2, определив частость обнаружения как
функцию распределения £*(Д) (табл. 1.6.3), из уравнения (16) на-
ходим а=1,1 км при 77*(Д)=0,5, а по уравнению (15) находим %=
= 19,5. Коэффициент х позволяет определить вероятность обнаруже-
ния цели расчетным путем в зависимости от условий поиска.
ТАБЛИЦА 1.6. з
Дь км 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
Р*(Д) 1,00 0,99 0,98 0,93 0,85 0,69 0,50 0,33 0,18 0,08 0,02
Р(Д) 0,99 0,94 0,92 0,86 0,76 0,65 0,50 0,34 0,19 0,08 0,01
Н, км
зо го ю о
л, км Зенитный
комплекс
Рис. 1.6.1.
72
В табл. 1.6.3 приведены частость обнаружения цели £*(Д), по-
лученная опытным путем, и вероятность обнаружения Р(Д), полу-
ченная по формуле ('16). Вместо Дг принималось хг-, которые в дан-
ном случае практически одинаковы. Йз табл. 1.6.3 видно, что сов-
падение расчетных и опытных значений вероятности обнаружения
вполне удовлетворительно.
Для оценки эффективности зенитного комплекса в зависимости
от горизонтальной дальности х и высоты Н по уравнению (18) рас-
считывают вероятность обнаружения цели. Затем строятся
изовероятностные кривые (рис. 1.6.1) и рассчитывается эффектив-
ность комплекса.
§ 1.7. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
А. Общие положения
Так как элементы являются невосстанавливаемыми
изделиями (см. § 0.7), то характеристикой надежности
каждого конкретного элемента будет его индивидуаль-
ная длительность службы /, отсчитываемая от начала
службы элемента до момента его выхода из строя. При
этом, конечно, имеются в виду некоторые определенные
условия эксплуатации (климатические условия, условия
нагружения, наличие вибраций и ускорений и т. п.).
При рассмотрении множества однотипных элементов
их длительности службы будут случайными величинами.
Обозначим через /(/) плотность распределения длитель-
ности службы элемента. Тогда можно дать следующие
уравнения для основных критериев надежности элемен-
тов (см. [82], стр. 364).
1. Вероятность безотказного действия элемента в те-
чение времени t
P(t)=\f(t)dt. (1)
2. Средний срок службы элемента
^ср
- §tf(t)dt = \P(t)dt.
3, Интенсивность отказов элементов
f(O__ 1 dP (t)
{4~p(t)~ P(t) dt
(3)
Физический смысл этого критерия будет выяснен ниже.
73
Подчеркнем следующее обстоятельство. Зная любую
одну из трех функций f(/), p(t) и Х(/), можно опреде-
лить остальные две. В самом деле, интегрируя уравне-
ние (3), получаем
t
Р (/) =ехр ( — (t) dt\ (4)
'о '
Уравнения (1), (3) и (4) позволяют найти по любой
одной из указанных трех функций остальные две.
Рис. 1.7.1.
Рассмотрим два последовательных промежутка вре-
мени t и т (рис. 1.7.1). Вероятности безотказного дейст-
вия элемента на интервалах от 0 до t и от 0 до t+x бу-
дут соответственно равны P(t) и P(t + r). Обозначим
через Pt(x) условную вероятность безотказного дейст-
вия элемента на интервале от t до Z+т, вычисленную
при условии, что в момент t элемент был исправен. По
теореме умножения вероятностей можно записать
P(t)Pt (г),
отсюда
Из уравнений (4) и (5) получаем
/ i+' \ _ 1
Pt (г) = exp f — С X (t) dt j — е ’с₽, (6)
' t '
где
f + X
(7)
Для выяснения физического смысла интенсивности
отказов рассмотрим уравнение (6) для частного случая,
74
когда интервал т очень мал, а именно т=Д/. В этом слу-
чае, очевидно, %ср=М0 и из уравнения (6) находим
Р;(Д/) = е^4а</)~1 —ДМ(/). (8)
Отсюда получаем вероятность отказа на промежутке
времени от момента t до момента t+M при условии, что
в момент t элемент был исправен
(9)
Из этого уравнения следует, что интенсивность отка-
зов в данный момент времени t равна вероятности от-
каза в единицу времени вблизи этого момента t (при
условии, что в момент t элемент был исправен).
Опыт показывает, что часто интенсивность отказов
элементов зависит от времени так, как это представлено
на рис. 1.7.2. Из этого рисунка видно, что в жизни эле-
мента можно заметить три различных периода:
1) Период от начала эксплуатации до момента Л,
который называется периодом приработки, или перио-
дом детской смертности (или периодом выжигания де-
фектных элементов). Этот период характеризуется по-
вышенной интенсивностью отказов, которая объясняется
наличием скрытых дефектов производства, выявляющих-
ся обычно в первоначальный период эксплуатации эле-
ментов.
2) Период от момента до момента /2, который ха-
рактеризуется постоянством интенсивности отказов.
Этот период называется периодом нормальной экс-
плуатации.
75
3) Период после момента /2, который характеризует-
ся возрастанием интенсивности отказов вследствие ста-
рения (износа) элементов. Этот период называется
периодом старения (износа) элементов.
Из рис. 1.7.2 следует, что одним из путей повыше-
ния надежности элементов является так называемая их
тренировка, которая заключается в следующем. До на-
чала эксплуатации элементов их ставят под нагрузку на
время t\. За это время часть элементов выходит из строя
из-за скрытых дефектов или слабых мест, а оставшиеся
элементы обладают более высокой надежностью, чем
первоначальная их совокупность, так как у них меньше
интенсивность отказов.
Б. Случай экспоненциального закона распределения
длительности службы
В рассматриваемом случае плотность распределения
длительности службы записывается в виде
f(O = ^e-xz, (10)
где % — параметр закона распределения (рис. 1.7.3).
Из уравнений (1) — (3)получаем
Р(/) = е-м, (11)
^ср = |, (12)
2(z)=i, (13)
т. е. в этом случае интенсивность отказов постоянна и
совпадает с параметром закона распределения.
На практике экспоненциальный закон встречается
в тех случаях, когда элементы эксплуатируются после
76
окончания периода приработки, а явления старения
(износа) пренебрежимо малы. Это имеет место, напри-
мер, у многих элементов радиоэлектронной аппаратуры:
конденсаторов, сопротивлений, полупроводниковых при-
боров и т. п. У электронных ламп и приборов СВЧ часто
экспоненциальный закон не имеет места, так как при
работе этих приборов существенное значение имеют
явления износа (старения).
Из уравнения (5) находим
Р^) = е~и, (14)
т- е. вероятность безотказного действия элемента на
интервале т при условии, что он был исправен в начале
этого интервала, не зависит от длительности t предыду-
щей работы. Это замечательное свойство экспоненциаль-
ного распределения объясняется отсутствием старения
(износа) элементов при их работе. В этом случае вме-
сто графика (рис. 1.7.2) имеем прямую, параллельную
оси абсцисс.
Отсюда следует, что в случае экспоненциального
распределения длительности службы элементов их тре-
нировка нецелесообразна.
В. Распределение длительности службы по закону
Вейбулла
В рассматриваемом случае плотность распределения
длительности службы записывается в виде
г т ч f tm\
= ™-’ехр( —р,
*0 \ Го /
(15)
где ta и т — параметры закона распределения (рис. 1.7.4)
Из уравнений (1)—(3) получаем
/ tm \
Р(0 = ехр(—г),
1
Л (/) = -£-/"»-*.
(16)
(17)
(18)
77
Из уравнения (18) следует, что при т<Л интенсив-
ность отказов убывает со временем, а при т> 1 интен-
сивность отказов растет со временем. При т=\ закон
Вейбулла вырождается в экспоненциальный закон
(рис. 1.7.5). Таким образом, принимая разные величины
ги, можно описать законом Вейбулла по частям всю
кривую рис. 1.7.2.
Опыт показывает, что у многих типов электронных
ламп, приборов СВЧ, шариковых подшипников и т. п.
имеет место закон Вейбулла с параметром т>1.
Из уравнения (5) получаем
Л(т):=ехр( ~
(t + т)™ — tm
(19)
Рассмотрим для примера случай, когда /о=1, т=1,
а т = 0,5 или т=1,5. Результаты расчета по уравнению
(19) при этих условиях представлены в табл. 1.7.1.
ТАБЛИЦА 1.7.1
t 0 1 2 3 4 5
Pt (т) при т = 0,5 0,37 0,66 0,73 0,77 0,79 0,81
Pt (т) при т = 1,5 0,37 0,16 0,09 0,06 0,04 0,03
Из этой таблицы видно, что предварительная трени-
ровка элементов при т = 0,5 повышает вероятность их
78
последующей безотказной работы (происходит прира-
ботка). При ап =1,5 тренировка нецелесообразна, так
как здесь вероятность последующей безотказной работы
убывает (имеет место износ элементов во время ра-
боты).
Г. Определение интенсивности отказов из опыта
Рассмотрим для простоты случай, когда закон рас-
пределения длительности службы элементов экспонен-
циальный. В этом случае опыт может ставиться сле-
дующим образом. На стенде испытываются в данных
условиях и элементов данного типа в течение времени t.
В результате опыта фиксируется число отказавших эле-
ментов т.
По результатам этого опыта определяется опытная
интенсивность отказов по уравнению
= (20)
Доверительные границы для заданной доверительной
вероятности а находятся по уравнениям
= (21)
*в=ф, (22)
где коэффициенты Г\ и г2 определяются по табл. 7 при-
ложения по заданному а и полученному на опыте т
(см. [82], стр. 388).
Если на опыте отказов не было (ап = 0), то довери-
тельные границы находятся по уравнениям
ZH = 0, *в=^, (23)
где Го определяется по табл. 7 приложения.
Пример 1.7.1. При испытаниях 10 000 сопротивлений в течение
1000 час было получено 3 отказа. Найти интенсивность отказов со-
противлений.
79
По уравнению (20) находим
хоп=з- io-7.
Задаваясь а=0,95, находим для т—З из табл. 7 приложения
Г] = 3,66, г2=0,39. По уравнениям (21) и (22) находим
%н=0,82-IO-7, %в=7,7-10-7.
Из этого примера (видно, что даже достаточно большой объем
испытаний дает возможность определить интенсивность отказов с не-
большой относительной точностью.
§ 1.8. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛ ИВАЕМЫХ
ИЗДЕЛИЙ
А. Общие положения
При рассмотрении работы однотипных невосстанав-
ливаемых изделий в некоторые фиксированных услови-
ях эксплуатации характеристикой надежности каждого
конкретного изделия будет его индивидуальная длитель-
ность службы t, отсчитываемая от начала службы изде-
лия до момента его выхода из строя. Такое'же положе-
ние имеет место для элементов (см. § 1.7). Поэтому все
характеристики надежности элементов, рассмотренные
в § 1.7, применимы и для любых невосстанавливаемых
изделий.
Если невосстанавливаемое изделие, в котором нет
резервирования, состоит из k элементов, имеющих ин-
тенсивности отказов
то интенсивность отказов изделия в целом находится по
уравнению
k
= (1)
i=\
В частном случае, когда все элементы имеют посто-
янные интенсивности отказов Xi, Хг, Хк, длитель-
ность службы изделия будет распределена по экспонен-
циальному закону. При этом средняя длительность
80
службы /Ср всего изделия (до первого отказа какого-
либо из элементов) будет определяться по уравнению
k
(2)
• ср f ср г
1 = 1
где = ---------средняя длительность службы i-го эле-
мента. Уравнение (2) является простым следствием
уравнений (1) и (1.7.12).
Часто невосстанавливаемые изделия предназначены
для работы в течение заранее определенного промежут-
ка времени /р. Так, например, радиовзрыватель снаряда
предназначен для работы в течение времени полета сна-
ряда. Поэтому для взрывателя /р будет равно полетно-
му времени.
Важной характеристикой надежности таких изделий
является вероятность безотказной работы за время /р
Р (/р) = е-Мр= е-<р//ср. (3)
Часто пользуются еще вероятностью отказа за время /р
— 1-Р(/Р). (За)
В случае, когда /р мало по сравнению с /ср, уравне-
ние (За) можно приближенно записать в таком виде:
<7(^р) = ^. (4)
*ср
Если изделие работает циклами с длительностью /р,
то вероятность безотказной работы изделия в течение п
циклов запишется в следующем виде:
Р (п) = е-Х"'р = (e-Wp)« = Pnt , (5)
где Р\ — вероятность безотказной работы в течение од-
ного цикла.
Б. Характеристики надежности
в процессе подготовки к работе
Для подготовки к применению невосстанавливаемых
изделий требуется некоторое нормальное время подго-
товки tH. Если при подготовке обнаруживаются отказы
6—343 81
некоторых элементов, входящих в состав изделия, то
фактическое время подготовки /ф будет больше, чем /н
из-за времени, затрачиваемого на отыскание и устране-
ние отказов.
Введем обозначение
т = /ф ta. (6)
Величина задержки подготовки т является случай-
ной. Из обработки опытной статистики можно найти ее
закон распределения. Обозначим ее условную плотность
вероятности через <р(т) (при условии, что задержка под-
готовки имеет место).
В первом приближении можно принять экспонен-
циальное выражение
т(т)=г;ехрС~г"У (7)
*с р V *с р /
где Тер — среднее время задержки подготовки (для тех
случаев, где задержка подготовки имеет место).
Условная вероятность qy(t) того, что задержка под-
готовки не превысит заданного времени /, найдется по
уравнению
t
= [?(т)Л=1 — expf — ^-Y (8)
J \ Тср/
о
Безусловная вероятность q(t) того, что задержка
подготовки не превысит заданного времени /, найдется
по уравнению
<7(0 = l-(l-Pn)expf-2-Y (9)
к тс р у
где Рп — вероятность нормальной подготовки (т. е. под-
готовки без задержки).
Так как с вероятностью Рп задержка подготовки
равна нулю, а с вероятностью 1—Рп среднее время за-
держки подготовки равно тСр, то безусловное среднее
время задержки подготовки будет
ТСр = Рп’0 + (1 Р п)тср = (1 Р л) тср* (Ю)
Пример 1. Пусть из опыта найдены значения Рп=0,90 и тСр =
= 2 час. Найти средние характеристики подготовки 1000 изделий.
82
Решение. Так как Рп=0,90, то в среднем без задержки будет
подготовлено к работе 1000 • 0,90=900 изделий. С задержкой будет
подготовлено в среднем 100 изделий. У этих 100 изделий среднее
время задержки подготовки составляет 2 час. У всех 1000 изделий
среднее время задержки подготовки найдется по уравнению (10),
7’Ср = (1 — 0,9)-2 = 0,2 час.
Зададимся величиной задержки подготовки t—\ час. По урав-
нению (9) находим
q (t) = 1 — (1 —0,9) exp —<^=0,939.
Это значит, что из 1000 изделий в среднем будет подготовлено с за-
держкой не более 1 час 1000-0,939=939 изделий.
В. Случай с резервированием
Рассмотрим такой случай, когда изделие состоит из
k одинаковых не зависимых одновременно работающих
блоков. Изделие считается работающим безотказно на
интервале времени от 0 до /, если на этом интервале ра-
ботает безотказно хотя бы один блок.
Пусть один блок имеет интенсивность отказов М (/)
и вероятность безотказной работы Pi(i) за время от 0
до t. Тогда для всего изделия будем иметь
Pk(t) = \- [1-ЛЮР. (11)
Интенсивность отказов всего изделия найдется по
уравнениям (11) и (1.7.3)
з т — М1-Л(01к-*М0Л(0
МО— 1 • (1^)
Рассмотрим для простоты такой случай, когда k=2,
(t) = const = Л„ Pi(t) =e-w.
В этом случае уравнения (11) и (12) перепишутся
в следующем виде:
P2(0 = 2e~w —е~2Х', (13)
М)= <14>
83
На рис. 1.8.1 и 1.8.2 представлены графики кривых
Xi(Z) и Хг(О для случая X—1. Из этих рисунков
видно, что резервирование приводит к следующим ре-
зультатам:
1. Вероятность безотказного действия заметно воз-
растет. При k>2 это явление еще усиливается.
2. Интенсивность отказов резко уменьшается при ма-
лых /, а затем асимптотически приближается к тому
значению, которое она имеет в случае отсутствия резер-
вирования.
Г. Резервирование элементов при наличии отказов
типа обрывов и коротких замыканий
Рассмотрим случай так называемого постоянного
резервирования элементов, когда основной и резервный
84
элементы работают одновременно, т. е. все элементы
являются равноправными.
Могут быть три способа соединения элементов:
1. Последовательное соединение (рис. 1.8.3).
2. Параллельное соединение (рис. 1.8.4).
3. Смешанное соединение (рис. 1.8.5 и 1.8.6).
Рис. 1.8.3.
—Г2 I—
--Г3 I—
Группу элементов, у которых имеется одно из выше-
указанных соединений, будем называть для краткости
системой элементов.
Будем отличать два типа отказов: а) обрыв и б) за-
мыкание.
При последовательном соединении элементов отказ
типа «обрыв» хотя бы в одном из элементов приводит
к отказу системы элементов, а
отказ типа «замыкание» приво-
дит к отказу системы, только
если он имеет место у всех эле-
ментов системы.
При параллельном соедине-
нии элементов отказ типа «замы-
кание» хотя бы в одном из эле-
ментов приводит к^отказу систе-
мы элементов, а отказ типа «об-
рыв» приводит к отказу системы
элементов, только если он имеет
место у всех элементов системы.
При смешанном соединении
элементов отказ любого типа
в одном из элементов не приво-
дит к отказу системы элементов. Здесь отказ системы
элементов может иметь место при т обрывах (во всех
т параллельных линиях) или при п замыканиях (в од-
ной из этих линий).
Заметим, что рассматриваемый способ резервирова-
ния возможен только в тех случаях, когда параметры
системы элементов не выходят за установленные пре-
делы допусков для того элемента, который резерви-
руется.
т
Рис. 1.8.4.
85
Обозначим вероятность обрыва элемента через qo,
а вероятность замыкания — через q^. Тогда
<7 = <7о + <7, (15)
будет вероятностью отказа элемента по какой-либо при-
чине.
{ZHZZh --Л
ли—।31—।31—
Рис. 1.8.5.
Начнем со случая последовательного соединения эле-
ментов. Обрыв системы будет иметь место в случае
Рис. 1.8.6.
обрыва хотя бы в одном из элементов системы. Вероят-
ность этого будет
Qno=l-(l-7o)n- (16)
86
Замыкание системы будет иметь место в случае замыка-
ния всех элементов системы. Вероятность этого будет
а?)
Вероятность какого-либо отказа системы последова-
тельно соединенных п элементов будет
Qn = 1 - (1 - <7О)”+<73\ (18)
Аналогично для системы т параллельно соединенных
элементов будем иметь
Qm=<X> (19)
Qms = 1 - (1 - (20)
Qm=C + i-(l-^m. (21)
Рассмотрим теперь смешанное соединение элементов,
изображенное на рис. 1.8.5. Эту систему можно рассма-
тривать, как параллельное соединение т элементов,
каждый из которых имеет вероятность обрыва и замы-
кания по уравнениям (16) и (17). Поэтому вероятность
отказа Qwn такой системы можно найти по уравне-
нию (21), если в нем заменить и q$ на Qno и Q по
уравнениям (16) и (17). Сделав эту замену, получим
Qmn = [l -(1 -<?„)«]’»+ 1 -(1 -^)- (22)
Рассмотрим теперь смешанное соединение элементов,
изображенное на рис. 1.8.6. Эту систему можно рассма-
тривать как последовательное соединение п элементов,
каждый из которых имеет вероятности обрыва и за-
мыкания, описываемые уравнениями (19) и (20). По-
этому вероятность отказа Qnm такой системы можно
найти по уравнению (18), если в нем заменить и q$
на Qmo и Qmg по уравнениям (19) и (20). Сделав эту
замену, получим
Qnm = 1 - (1 - q™ )П'+ [1 _ (1 - (23)
Уравнения (18), (21), (22) и (23) позволяют решать
все задачи, связанные с рассматриваемыми случаями
резервирования.
87
Рассмотрим практически важный случай, когда ве-
роятности q0 и q3 достаточно малы (каждая мень-
ше 0,01). Тогда можно уравнения (18), (21), (22) и (23)
упростить, если в разложении по биному Ньютона огра-
ничиться первыми двумя членами. <В этом случае полу-
чим приближенные уравнения, точность которых вполне
достаточна для практических целей
Qn—nq„ 4“ ?з» (24)
(25)
Qn>n=(n?0)ra + /n^3 , (26)
Qnm = nq™ 4~ (27)
Введем обозначение
k = -^, (28)
где q определяется по уравнению (15).
Тогда будем иметь
q„ = kq, (29)
qt=(\-k)q. (30)
При помощи этих уравнений можно переписать
уравнения (24) — (27) в таком виде:
= + W, (31)
Qm = k™q™ + tn (1 — k) q, (32)
Qmn — (nky»q™± tn (1 — &)V, (33)
Qnm = nkmqm + mn (1 — kf q* (34)
Из уравнения (31) видно, что при nk>\ будет Qn><7,
т. е. последовательное соединение элементов при nk>\
нецелесообразно, так как вероятность отказа при таком
соединении увеличивается. Аналогично из уравнения
(32) получаем, что при т(1—£)>1 будет Qm>?. Отсюда
следует, что параллельное соединение нецелесообразно
применять при т(1—А)>1.
88
Рассмотрим для примера случай, когда сравнивают-
ся уравнения (31)—(34) при одинаковом числе элемен-
тов в системе. Примем это число равным 4. Тогда
уравнения (31) — (34) запишутся в виде
Qn = 4^ + (1-W, (35)
QW = &V +4(1-£)<?, (36)
Qwn = 4AV + 2(l-W> (37)
Qnm = 2^2 + 4(1-W- (38)
ТАБЛИЦА 1.8.1
k <Г- = 0,01 q = 0,0001
oiQn <7/Qm <ilQmn 4lQn <ilQm qiQmn
0 106 0,25 50 25 1012 0,25 5000 2500
0,001 250 0,25 50 25 250 0,25 5000 2500
0,1 2,5 0,28 60 -31 2,5 0,28 6000 3100
0,5 0,5 0,5 67 67 0,5 0,5 6700 6700
0,9 0,28 2,5 31 60 0,28 2,5 3100 6000
0,999 0,25 250 25 50 0,25 250 2500 5000
1 0,25 10е 25 50 0,25 1012 2500 5000
Зададимся для q значениями 0,01 и 0,0001. В табл. 1.8.1
представлены результаты расчетов по этим уравнениям
для различных k. В этой таблице представлены отноше-
ния величин q и Q, которые показывают выигрыш в на-
дежности при применении резервирования (если эти
отношения больше 1) или нецелесообразность резерви-
рования (когда эти отношения <1)
Из этой таблицы видно, что при смешанном соедине-
нии повышается надежность при любых k. Причем
выигрыш в надежности растет с уменьшением q. При
последовательном соединении элементов надежность
возрастает только при достаточно малых k, а при па-
раллельном— только при достаточно больших k.
Д. Определение характеристик надежности из опыта
Интенсивность отказов невосстанавливаемых изделий
определяется на опыте совершенно аналогично тому, как
это делается для элементов (см. § 1.7.Г).
89
Рассмотрим вопрос об опытном определении вероят-
ности безотказной работы в течение заданного времени.
Опыт ставится следующим образом. Испытывается п
изделий при эксплуатационной нагрузке в течение вре-
мени |/р и фиксируется число т изделий, у которых были
отказы. Тогда опытная частость отказов находится по
уравнению
<7оп = -^, (39)
а доверительные границы для доверительной вероят-
ности а = 0,95 находятся по уравнениям
ч.= К- <4°)
4.= ^. (41)
где коэффициенты Rr и /?2 определяются по табл. 6 при-
ложения по значениям т и (см, [82], стр. 193).
Если на опыте отказов не было (т=0), то довери-
тельные границы находятся по уравнениям
?н = 0, ?в = ^-, (42)
где Ro определяется по табл. 6 приложения по заданной
доверительной вероятности а и величине п.
Опытная вероятность безотказной работы и довери-
тельные границы для нее определяются по уравнениям
Р оп—1 <7оп, (43)
Рн=1-<7в, (44)
Л.= 1-<7н. (45)
Заметим, что при -^-<0,10 можно в уравнениях
(40)—(42) заменить коэффициенты Rlf R2 и RQ на коэф-
фициенты г2 и г0, определяемые из табл. 7 приложе-
ния.
90
Пример 2. При испытании n=iOUO изделий получено т =
= 100 отказов. Оценить вероятность безотказной работы.
т
Решение. Здесь qon = — = 0,10. Из табл. 6 приложения
т
для т = 100 и — =0,10 находим Rj = 1,18 и R2=0,86. По урав-
нениям (40) и (41) находим
0,10 е 0,10
। jg 0,085, 0,116.
Из уравнений (43) —(45) находим РОп=0,90, Ра — 0,884, Рв =
= 0,915.
Пример 3. При испытании 100 взрывателей не получено ни од-
ного отказа. Оценить вероятность безотказной работы.
Из табл. 6 приложения для п = 100 и а = 0,95 находим Ro =
п г-, 2’95
= 2,95. По уравнениям (42) и (44) находим = “Jqq’~0,03, Рв =
= 0,97. Очевидно, что Рй = 1.
§ 1.9. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ
ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
А. Случай, когда резервирование отсутствует
Работа восстанавливаемых изделий обычно начи-
нается с включения аппаратуры. Поэтому в качестве
одного из критериев надежности следует рассматривать
вероятность Рв нормального включения.
Обычно в хорошо отработанных устройствах величи-
на Рв очень близка к 1. Однако в процессе испытаний и
отработки эта величина может существенно отличаться
от единицы. При этом отказы аппаратуры при ее вклю-
чении следует учитывать отдельно от отказов, которые
возникли во время работы (см. [82], стр. 452).
Далее для характеристики надежности восстанавли-
ваемых изделий следует рассмотреть параметры так на-
зываемого периода приработки изделия. В этот период,
с которого начинается эксплуатация вновь изготовлен-
ного изделия, имеет место повышенная интенсивность
отказов элементов и монтажа. Основными параметрами
этого периода, достаточными для практических целей,
могут служить средняя продолжительность /пр этого пе-
риода и среднее число отказов тпр за этот период.
91
После окончания периода приработки обычно можно
рассматривать поток отказов при работе изделия, как
простейший поток (см. § 4.1). Основной характеристикой
потока отказов является параметр Л потока
Л~’ (О
где Т — средняя наработка на отказ или среднее время
безотказной работы.
При помощи параметра Л легко находится вероят-
ность безотказной работы изделия в течение любого
промежутка времени t
Р — =^e~iir. (2)
Если в начале промежутка времени t производится
включение аппаратуры, то вероятность безотказной ра-
боты на промежутке времени t будет
Рв(/) = />ве-"г, (3)
где Рв— вероятность нормального включения.
Основными характеристиками ремонтопригодности
восстанавливаемых изделий являются среднее время
восстановления Тв и коэффициент готовности
Величина Тв определяет среднее время простоя изде-
лия, вызванное мероприятиями по отысканию и устра-
нению отказов.
Коэффициент готовности представляет собой вероят-
ность застать рассматриваемое изделие исправным при
условии, что рассматривается достаточно длительный пе-
риод его эксплуатации.
В уравнении (4) учитываются только простои, возни-
кающие из-за ремонта изделия после выявления отказов.
Между тем простои имеют место также во время про-
филактических работ. Учесть эти простои можно при по-
мощи коэффициента использования
^= г6-+<Ра6 + < (5)
* раб ч *рем “Г *проф
92
где /раб — длительность исправной работы изделия за
достаточно большой промежуток времени /;
/рем — длительность простоев из-за мероприятий по
устранению отказов, появившихся во время /;
/проф — длительность простоев из-за профилактиче-
ских работ за время t.
При этом простои из-за других причин (например,
из-за отдыха обслуживающего персонала) не учитыва-
ются. Пусть за рассматриваемый период t имело
место т отказов за время /раб. Разделив числитель и
знаменатель уравнения (5) на т, получим
= Г + Гв+Гпроф ’
где Тпроф — среднее время профилактики, приходящееся
на один отказ, имевший место во время /раб. Заметим,
что здесь в число т не включаются отказы, выявленные
во время профилактических работ. Заметим также, что
время, затраченное на устранение отказов, выявленных
во время профилактики, включается не в /рем, а в /прОф.
Б. Случай резервирования без восстановления резерва
Рассмотрим теперь случай резервирования, когда
в процессе эксплуатации отказавшие резервные элемен-
ты (блоки) не восстанавливаются, ремонт производится
только после отказа основного и всех резервных элемен-
тов (т. е. после отказа изделия в целом). Такой случай
имеет место, когда отказавшие изделия приходится на-
правлять для ремонта в специальные ремонтные подраз-
деления.
Будем рассматривать случай резервирования заме-
щением, когда имеется один основной элемент и п—1
резервных элементов. При выходе из строя основного
элемента он замещается одним из резервных. Отказ си-
стемы из п рассматриваемых элементов происходит
тогда, когда последний из резервных элементов выходит
из строя.
Приведем необходимые уравнения для двух вариан-
тов резерва.
1) Нагруженный (горячий) резерв, когда основной
и все резервные элементы находятся в одинаковом рабо-
чем режиме (под нагрузкой).
93
2) Ненагруженный (холодный) резерв, когда основ-
ной элемент находится в рабочем режиме, а все резерв-
ные элементы ожидают включения в рабочий режим (не
находятся под нагрузкой).
Для простоты будем иметь в виду случай, когда все
рассматриваемые элементы (блоки) прошли период при-
Рис. 1.9.1.
работки (тренировок) и для каждого из них справедливо
уравнение (2).
В случае нагруженного резерва вероятность безотказ-
ного действия системы из п элементов (блоков) в тече-
ние времени t записывается в таком виде (см. [82]):
(0 = 1 — 1 — ехр (—Д) ] п.
(7)
Среднее время безотказной работы системы из п эле-
ментов будет
л,=г(1+4+4+-+4)- ®
В случае ненагруженного резерва вместо уравне-
ний (7) и (8) будем иметь
P,.W=e (9)
1=0
Тп = пТ.
(Ю)
Заметим, что уравнения (8) и (10) получаются путем
интегрирования выражений (7) и (9) в пределах от 0
до оо [см. уравнение (1.7.2)].
Рассмотрим для примера изделие, схема которого
представлена на рис. 1.9.1. Здесь блок А не имеет ре-
зерва, а для блока Б применяется нагруженный резерв.
94
Вероятность безотказного действия блока А найдется по
уравнению (2)
Рл(0 = е~Г/Ч (11)
Вероятность безотказного действия системы из двух
блоков Б найдется по уравнению (7)
Ре(/) = 2е-"Г^е-!"Ч (12)
Вероятность безотказного действия всего изделия
найдется по теореме умножения вероятностей
Р (/) = е~'/Гл [2е“'/Г£ — е2'/Г£]. (13)
Среднее время Т безотказной работы всего изделия
найдется интегрированием выражения (13) в пределах
от 0 до оо [(см. уравнение (7.1.2)]. После интегрирования
получим
т___ ТАТБ(ЗТА + ТВ)
— (Гл + ^)(2Гл + Гб) •
Коэффициент готовности изделия находится по
уравнению (4), где Т определяется по уравнению (14),
а Тв — среднее время восстановления отказа всего изде-
лия (может быть найдено экспериментально).
В. Случай резервирования с восстанавливаемым
резервом
Для простоты и краткости изложения ограничимся
рассмотрением случая, когда изделие состоит из двух
одинаковых блоков, из которых один работает, а второй
включается в работу только при появлении отказа
в первом (ненагруженный резерв). При этом восстанов-
ление вышедшего из строя блока начинается немедлен-
но после отказа. Будем полагать, что времена работы
до отказа и длительности восстановления каждого блока
подчиняются экспоненциальным законам с интенсивно-
стями
о 1 1
А— т И — Тл •
95
Вычислим вероятность P(t) безотказной работы изде-
лия в промежутке времени от 0 до /, если в момент t=0
оба блока были исправны. Для этой цели будем искать
плотность f(t) распределения длительности работы t
изделия до первого отказа.
Если в момент t произошел отказ изделия, то это
значит, что в какой-то момент х произошел отказ одного
Рис. 1.9.2.
блока, восстановление этого блока не закончилось к мо-
менту /ив момент t произошел отказ второго блока
(рис. 1.9.2).
Пусть в момент х произошел z-й по порядку отказ
блока. Тогда можно записать
f (О ДГ=£ J fifx) dxР (х) е-к('~ж> е-11 (<_Ле~х{t~x}Ы.
Z = 1 О
(15)
Здесь fi(x)dx — вероятность появления z-ro отказа
блока в окрестности момента х;
Р(х)— вероятность отсутствия отказа изде-
лия до момента х;
— вероятность безотказной работы бло-
ка от момента х до момента Z;
е-н.а-л) — вероятность того, что ремонт блока,
отказавшего в момент х, не закон-
чится к моменту t;
— вероятность отказа блока в окрест-
ности момента t.
Уравнение (15) можно переписать в таком виде
f(t) = X JP (х) e~s (Z-X) dx% fi (x), (16)
i = l
где
8 2Л —[-
(17)
96
Из уравнений (100.3), (101.3) и (101.4) (см.. [82])
имеем
£А(х) = 2. (18)
i=l
Из уравнений (16) и (18) получаем
t
e‘f(t)^l2^P(t)exdx. (19)
о
Дифференцируя обе части уравнения (19) по t и
принимая во внимание уравнение (1.7.1), получаем
дифференциальное уравнение
Р" (0 + еР' (0 + А2Р (/) = 0. (20)
Начальные условия здесь имеют вид
Р(0)=1, Р'(0) = —f (0) = 0.
Отсюда находим решение
Р (/) = —e~aat------е-<м, (21)
4 7 аг — а2 ai — a2 v 7
где
а1==-Д(14-Т + /2т+?); (22)
я2=^(1+г-Г27+?); (23)
= (24)
Среднее время Ти безотказной работы всего изделия
найдется интегрированием выражения (21) в пределах
от 0 до оо [см. уравнение (1.7.2)]. После интегрирования
получим
ГИ = 2Т(1 + у). (25)
Заметим, что в случае, когда резерв не восстанавли-
вается, мы получили бы по уравнению (10)
Т2 — 2Т. (26)
7—343 97
Из уравнений (25) и (26) получаем выигрыш, кото-
рый дает восстановление резерва
77=1+Y- (27)
На практике обычно величина у изменяется от не-
скольких единиц до нескольких десятков. Поэтому
выигрыш по уравнению (27) получается очень значи-
тельный.
Рассмотрим практически важный случай, когда вели-
чина у велика по сравнению с 1. Тогда приближенно
можно записать
Г2у+Г=ИI + Y)2 -1 = (1 + Y) - 714^7 =
= 0 + Y) [1 — 2(1 4- 7)2] = 1 + Y 2(1 +7) • (28)
Из уравнений (22), (23) и (28) получаем для случая
больших у
а1 = 4’(2 + 2^--2Т27)’ <29)
Й2~ Т2+2у’ (30)
•>., ==:2 + 2Т~2 + 2Г^1
°' ~ а* 2 + 27 — —-—
2 + 2 + 2у
1
аг __ 2+2у
а*— аг 2 + 27 — —
z -г 2 + 2у
(31)
(32)
Тогда из уравнений (21) и (25) получаем
Р (0 ехР ( т (2 + 2у) ) е (33)
Таким образом, для восстанавливаемого изделия
с восстанавливаемым резервом имеет место такое же
уравнение, как и для невосстанавливаемых изделий по-
сле окончания периода приработки (тренировки) (см.
§ 1.7).
98
Г. Определение характеристик надежности из опыта
Для определения вероятности нормального включе-
ния может быть использована методика определения
вероятности безотказной работы, изложенная в § 1.8.
Рассмотрим здесь вопрос об опытном определении
средней наработки на отказ. Пусть на опыте подверга-
лись испытаниям п изделий, у которых наработки за
время испытаний были t\, t2, tn соответственно. Пусть
при этом зарегистрированы ть т2, тп отказов у этих
изделий. Тогда опытная средняя наработка на отказ на-
ходится по уравнению
у f 14- G 4-. • • 4* /члл
1 оп~ OT1 + «24-..-4-mn ’
а доверительные границы для заданной доверительной
вероятности а находятся по уравнениям
7'н==Г2^'оП, (35)
TB = rtT0It, (36)
где коэффициенты п и г2 находятся по табл. 7 приложе-
ния по заданной вероятности а и суммарному числу
отказов т (см. (82], стр. 450).
Если на опыте не было отказов, то доверительные
границы находятся по уравнениям
Гн = -^-(Л + /2 + --- + М> (37)
Тв = оо,
где коэффициент г0 также находится по табл. 7 прило-
жения.
Пример 1. Было испытано три прибора. Для этих приборов вре-
мена испытаний составляли 500, 700 и 400 час, причем было получе-
но соответственно 6,8 и 3 отказа. Оценить среднюю наработку на
отказ.
Р е ш е н и е. По уравнению (34) находим
500 + 700 + 400
6 + 8 + 3
94 час.
Из табл. 7 приложения для а=0,95 и /и=17 находим и = 1,58
и Г2=0,67. По уравнениям (35) и (36) определяем Тв = 63 час,
Тв=149 час.
99
Пример 2. При испытаниях аппаратуры в течение 100 час не
было получено отказов. Оценить среднюю наработку «а отказ.
Решение. Зададимся доверительной вероятностью а = 0,95.
Из табл. 7 приложения находим г0=3. По уравнению (37) опреде-
ляем Гн = 33,3 час.
§ 1.10. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ КОМПЛЕКСОВ
В § 1.7—1.9 были рассмотрены критерии надежности
элементов, невосстанавливаемых и восстанавливаемых
изделий. Всякий комплекс вооружения состоит из мно-
гих изделий и можно сказать, что надежность комплек-
са определяется совокупностью критериев надежности
всех частей, входящих в его состав.
Возникает вопрос; ’нельзя ли охарактеризовать на-
дежность комплекса в целом каким-то одним крите-
рием? Оказывается, что это возможно только в простей-
ших случаях. В этих случаях надежность комплекса
в целом характеризуется вероятностью его нормального
функционирования
PK = /W>3...Pn) (1)
где Рк— вероятность нормального (безотказного) функ-
ционирования комплекса, а Р2, ..., Рп — вероятности
безотказного функционирования частей (элементов, бло-
ков), входящих в состав этого комплекса.
Уравнение (1) достаточно хорошо характеризует со-
бой надежность комплекса в том простейшем случае,
когда выход из строя любой из частей комплекса при-
водит к выходу из строя всего комплекса. В сложных
случаях, когда в комплексе имеются несколько парал-
лельно работающих каналов, станций и т. п., уравне-
ния (1) уже недостаточно для характеристики надеж-
ности комплекса.
Рассмотрим для примера такой случай, когда ком-
плекс состоит из одной пусковой установки и п ракет.
Очевидно, что выход из строя одной или нескольких ра-
кет не означает выхода из строя всего комплекса.
В этом случае вероятность нормального функциониро-
вания, вычисляемая по уравнению (1), недостаточна
для характеристики надежности комплекса. Здесь мож-
но в качестве дополнительных показателей надежности
ввести еще следующие:
100
— вероятность Рт,п нормального функционирования
комплекса при т пусках из общего числа п пусков;
— математическое ожидание М(т) числа нормаль-
ных пусков из общего числа п пусков.
Приведем уравнения для этих показателей надеж-
ности комплекса для того случая, когда закон надеж-
ности пусковой установки экспоненциальный. Это зна-
чит, что вероятность нормального функционирования
пусковой установки при k последовательных пусках рав-
на Pkx у где Pi — вероятность нормального функциониро-
вания пусковой установки при первом пуске.
Введем обозначение Qk для вероятности такого собы-
тия: пусковая установка нормально функционировала на
всех пусках от первого до пуска с номером k (включи-
тельно) и отказала на Л+1 пуске. Тогда, очевидно,
имеем
Qo = 1 - Л,
<21=Л(1-Л),
Q2 = Р, (1 — Л)> /о)
Qn-t=Pn~' (1-Л).
Qn=P",
где Qn — вероятность того, что пусковая установка на
всех п пусках функционировала нормально. Легко про-
верить путем непосредственного сложения, что сумма
всех вероятностей (2) равна единице
п
(3)
как этого и следовало ожидать, так как мы здесь имеем
дело с полной группой событий.
Введем обозначение R\ для вероятности нормального
функционирования одной ракеты. Тогда можно записать
\равнение
Рт. п=QmR? + R” (1 - Rj +
101
+Qm+ac:+2T?7 <1 - *.)’+• • • +
+Q«-»C-i *7 (i -л1Г’т+* + QnC” я? (i -w*.
(4)
Введем для краткости обозначение
z = Л (1-^). (5)
Тогда из уравнений (2), (4) и (5) получаем
Рт.п= P?RT (1 - Л) п +
*=0
+ (6)
Вероятность иметь не менее т нормальных пусков
из п будет
P*m.n=SA.n- (7)
i=m
В частном случае /п = 0 из уравнения (6) получаем
после простых преобразований
(8)
Отсюда для вероятности иметь хотя бы один нор-
мальный пуск из п получаем
P*t,n = 1 - Ро,„=(1 - г») (9)
Для математического ожидания числа нормальных
пусков из п имеем (по определению математического
ожидания)
1=1
(10)
Приведем пример. Пусть п=3, /’i=^?i=0,9. По
уравнению (5) находим z=0,09. Из уравнения (8) нахо*
102
дим Ро,з=О,11. При помощи уравнения (6) определяем
^1,3=0,10, /*2,3=0,24, Р3,з=0,53. Из уравнения i(9) нахо-
дим Р* 1,з=0,89.
При помощи уравнения (10) определяем М(т) =2,17.
Отсюда находим среднюю долю нормальных пусков
П О
Заметим, что вероятность нормального функционирова-
ния при первом пуске выше — она равна PiRi =0,81.
Мы рассмотрели простой случай комплекса, надеж-
ность которого можно характеризовать вероятностными
показателями (6) — (10), которые зависят от показателей
надежности составных частей комплекса и только от
них.
В случае более, сложных комплексов не удается оха-
рактеризовать их надежность при помощи только по-
казателей надежности составных частей комплекса —
приходится еще прибегать к показателям эффективности
боевого применения.
В простейшем случае эффективность боевого при-
менения комплекса можно охарактеризовать вероят-
ностью R выполнения боевой задачи
R = P^ (11)
где 7?о — условная вероятность выполнения боевой за-
дачи при условии, что все элементы комплекса функ-
ционируют безотказно. Очевидно, что R$ зависит от точ-
ности комплекса, могущества действия у цели и других
характеристик качества комплекса, но не зависит от его
надежности. Характеристики надежности комплекса во-
шли в множитель Рк.
Рассмотрим теперь случай, когда выход из строя
одной или нескольких частей комплекса не приводит
к выходу из строя всего комплекса, а только снижает
его эффективность.
Пусть, как и прежде, комплекс состоит из п частей,
вероятности безотказной работы которых равны Рь
Р2, ..Рп. Вероятность выполнения комплексом боевой
задачи при условии безотказной работы всех его частей
обозначим через Rq. Пусть при выходе из строя только
103
одной Лй части комплекса вероятность выполнения бое-
вой задачи будет равна /?г*.
Пусть при выходе.из строя только двух частей (z-й
и /-й) комплекса вероятность выполнения боевой задачи
будет равна Яц.
Рассмотрим для простоты случай, когда при выходе
из строя трех или более частей комплекса вероятность
выполнения боевой задачи становится равной нулю.
Тогда для безусловной вероятности R выполнения бое-
вой задачи будем иметь уравнение
Я = (12)
/ = 1 ij=\
i^i
где Qi — вероятность такого состояния комплекса, когда
из строя вышла только z-я часть, а
Qij — вероятность такого состояния комплекса, когда
из строя вышли только z-я и /-я части.
При независимости выхода из строя отдельных ча-
стей комплекса можно записать уравнения
Qi = Р.Р2 ...Pi^(\- Рг) Pi+1 ...Рп, (13)
Qij = Р^2 . . . Л-! (1 - Л) Л+1 . . . Pi-г (1 - +
(И)
Проиллюстрируем уравнения (12)—(14) на примере.
Пусть п = 3, Рх = Р2 — Рз = Р> —
R13 '== ^12 О*
Тогда из уравнений (12)—(14) находим
£ = R0P3 + R2f-2 (1 - Р) + /?8Л2 (1 - Р) + R2ZP (1 - Р)\
(15)
Рассмотрим четыре варианта численных значений
величин, входящих в уравнение (15). Эти варианты и
результаты расчета для них по уравнениям (1) и (15)
представлены в табл. 1.10.1.
Из этой таблицы видно, что вероятность R выполне-
ния боевой задачи может быть в случае сложного ком-
плекса выше, чем вероятность Рк нормального функцио-
104
нирования всего комплекса. В случае простого ком-
плекса из уравнения (11) следует, что всегда -Й<РК
(так как /?0^1).
ТАБЛИЦА 1.10.1
Вариант *2 Яз ^23 р R
А 0,90 0,80 0,70 0,50 0,80 0,65 0,51
Б 0,90 0,50 0,30 0,10 0,85 0,64 0,61
С 0,90 0,85 0,85 0,80 0,75 0,66 0,42
Д 0,70 0,50 0,30 0,10 0,85 0,52 0,61
Из этой таблицы видно также, что вероятность Рк не
может служить для сравнительной оценки качества
двух комплексов. В самом деле, из этой таблицы видно,
что более высокую эффективность R может иметь ком-
плекс с меньшей величиной Рк- Так, например, у ком-
плекса А величина Рк ниже чем у комплекса Д, а эффек-
тивность у А выше, чем у Д.
Из этого примера видно, что вероятность нор-
мального функционирования всего комплекса не может
служить критерием надежности сложного комплекса.
Правильную оценку надежности сложных комплексов
можно получить, рассматривая критерии их эффектив-
ности, при расчете которых учитываются критерии на-
дежности составных частей комплекса.
§ 1.11. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТОИМОСТИ ВООРУЖЕНИЯ
И ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
А. Понятие о стоимости вооружения
Стоимость вооружения является важнейшей его ха-
рактеристикой, определяющей во многом целесообраз-
ность и возможные объемы его применения. Стоимость
вооружения непрерывно возрастает, поэтому ее анализ
становится все более актуальным. На рис. 1.11.1 дан
график, заимствованный из работы [38], показывающий
изменение процента расходов на военную технику во
всей стоимости материальных затрат на войну. Здесь же
приводятся аналогичные данные для США во второй ми-
ровой войне. Из графика видно, что стоимость затрат на
105
вооружение возрастает как в относительных, так и в аб-
солютных показателях. Интересно, что расходы США на
научно-исследовательские и опытно-конструкторские ра-
боты в области вооружения значительно возрастают.
Говоря о стоимости вооружения, следует обязатель-
но указать, о чем, собственно, идет речь. Прежде всего
следует учитывать то обстоятельство, что вооружение
состоит не только из ракет, самолетов, боевых машин и
тому подобных боевых единиц, но и из целого комплекса
обслуживающих механизмов, устройств и т. д. Поэтому
сравнивать между собой необходимо стоимость комплек-
сов, имея в виду, что, например, наиболее дешевой ра-
кете далеко не всегда соответствует наиболее дешевый
комплекс. Говоря о стоимости комплекса, следует также
учитывать, от какой стадии обслуживания техники мы
его рассматриваем (от завода, от базы, от технической
позиции и т. д.).
Во-вторых, следует учитывать объем расходов на
проведение научно-исследовательских работ, разработку
вооружения, изготовление его на заводах, хранение
и т. д. Разумеется, при проведении некоторых сравнений
можно ограничиваться анализом отдельных расходов,
так как частично расходы могут быть либо не главными,
106
либо одинаковыми, но во всех случаях следует предва«
рительно просмотреть все расходы, чтобы не сделать
грубой ошибки.
Например, при решении вопроса о целесообразности
введения нового, пусть и дешевого, образца необходимо
обязательно иметь в виду расходы на его разработку,
которые могут оказаться значительными.
Под расходами на разработку следует понимать рас-
ходы на проведение теоретических исследований, научно-
исследовательских и опытно-конструкторских работ, из-
готовление опытных образцов и их испытание. Послед-
нее может потребовать создания специальных полигонов
и разработки оборудования для полигонов. Кроме того,
испытания не всегда могут быть успешными и потре-
буется доработка образца.
В-третьих, следует иметь в виду значительное влия-
ние на стоимость объема производства: уникальные
образцы стоят значительно дороже массовых.
Наконец, важным показателем, характеризующим
стоимость образца, является количество и качество
обслуживающего персонала (расчета). Оно определяет
расходы на обучение расчета (преподавательский со-
став, материальная часть) и расходы на содержание
расчета (вместо производства материальных благ — обу-
чение) 4
Б. Влияние размера партии на стоимость
Остановимся прежде всего на стоимости производ-
ства’ образцов вооружения. Стоимость производства
образца снижается при увеличении количества изготав-
ливаемых изделий. Это происходит как из-за уменьше-
ния накладных расходов, стоимости механической обра-
ботки, технических издержек производства, которые
в этом случае распределяются на большее число изде-
лий, так и вследствие приобретения рабочими большего
опыта работы и, следовательно, повышения производи-
тельности труда. Кроме того, при увеличении объема
производства снабжение материалами может быть
улучшено (крупные закупки), а также появляется воз-
можность устранить конструктивные и производствен-
ные дефекты.
107
Определение стоимости в США (11] зачастую произ-
водят, полагая, что при удвоении числа изделий средняя
стоимость изделия в партии убывает на 20%.
Выведем соответствующие формулы, полагая, что
при удвоении числа изделий средняя стоимость изделия
в,партии убывает в а раз (по американским данным
а = 0,8). Пусть стоимость первого изделия Сь тогда
стоимость двух изделий будет 2aCi, стоимость четырех
изделий 4я2С1, восьми изделий 8a3Ci и т. д. В общем
случае можем записать, что стоимость партии из Af изде-
лий
CnapTHIl = NalgaA'C1 = C1№ + J’, (1)
где
р — (2)
^—Iog2'
при 0 = 0,8
Р^ — 0,3.
Средняя стоимость изделия в партии от 1 до N-ro из-
делия
С*ср
партии
слр-
(3)
N
Для вычисления стоимости N-ro образца поступим
следующим, образом. Найдем производную -от Спартии
по числу изделий
^рг = (1-|-Р)С1№’- (4)
Приращение стоимости
8С =
^б*па р т ии
дМ
(5)
Приращение стоимости на одно изделие (6^=1) и будет
стоимостью изделия. При этом в значение производной
вместо W следует подставить — у), Так как в этом
случае значение производной будет взято на середине
рассматриваемого интервала (от Af—1 до А).
108
Итак
/ 1 \ I»
С = С1(1+Р)(Я-^ .
(6)
В качестве иллюстрации сильной зависимости стои-
мости от номера изделия приведем таблицу.
ТАБЛИЦА 1.11.1
Номер изделия N 1 10 100 1 000
Стоимость Af-ro изде- лия, CN Средняя стоимость в пар- тии, Сср 1,00 1,00 0,35 0,50 0,18 0,25 0,09 0,13
Все предыдущие формулы справедливы, если в процессе
производства в изделия не вносятся существенные кон-
структивные изменения или существенные изменения
в технологии изготовления.
В. Определение стоимости ракеты
Для определения ориентировочной стоимости может
быть использован весовой коэффициент К, показываю-
щий стоимость килограмма аналогичного изделия в усло-
виях производства того же количества изделий
Сср = №, (7)
где Q — вес рассматриваемого изделия.
Подобная оценка имеет ряд недостатков, свя-
занных с различием в конструкции, ограниченностью
опыта массового производства, сложностью учета стои-
мости мероприятий по обеспечению строгого контроля и
высокого качества изделий и, наконец, внесением боль-
шого числа конструктивных изменений, влекущих за со-
бой изменения технологии.
Формула, приведенная выше, является приближенной
также и потому, что не учитывает влияние многих фак-
торов, сказывающихся на стоимости вооружения. ‘На
рис. 1.11.2 показаны основные факторы, влияющие на
стоимость вооружения, которые следует учитывать и
о которых было сказано в предыдущем разделе.
109
Рис. 1.11.2.
Вместе с тем можно заметить одну особенность со-
стоящую в тенденции к снижению относительной стои-
мости при увеличении веса ракет. Эта тенденция имеет
и определенный физический смысл. Очевидно, стоимость
крупного изделия на единицу веса при прочих равных
условиях будет меньше, так как при этом снижаются за-
траты на производство.
Анализ показывает, что эта поправка примерно про-
порциональна Q. Если ее учесть, то стоимость ракеты
может определяться по следующей формуле:
Ccp=K1Q2/3. (8)
Наконец, стоимость ракеты даже при заданном весе
в значительной степени зависит от ее конструкции и
основных характеристик. На рис. 1.11.3 приведена схе-
ма, показывающая основные конструктивные особенно-
110
сти ракеты и ее основные характеристики, влияющие на
стоимость.
Однако приближенный способ определения стоимости
ракет не может быть применен в-тех случаях, когда тре-
буется определить влияние разных факторов на стои-
мость. Рассмотрим в качестве примера вывод более де-
тальной формулы для стоимости баллистической ракеты.
Пусть стоимость 1 кг горючего Сг. Она зависит в зна-
чительной степени от вида топлива (твердое, жидкое),
его энергетических и эксплуатационных характеристик.
Пусть стоимость конструкции двигателя будет Сдв.
Она в значительной степени зависит от типа двигателя
(жидкостный, твердотопливный, воздушно-реактивный),
числа ступеней, применяемых материалов, весовых ха-
рактеристик и т. д.
Рис. 1.11.3.
Ш
Пусть вес приборов системы управления Qcy, а ее
стоимость Ссу. Величина Qcy колеблется в пределах 70—
270 кг при автономных системах управления, а стои-
мость составляет 0,4—0,7 стоимости ракеты. Пусть вес
боевой части (?бч, ее стоимость Сбч- Эта стоимость для
обычных боевых частей составляет около 10% от стои-
мости ракеты и равна в среднем 30 долларов за 1 кг.
Тогда стоимость ракеты
С = Сбч + Ссу + Сг<о + СдвКдв<о, (9)
где со — вес горючего;
КдВ — отношение веса конструкции двигателя к весу
горючего.
Исходя из параболической теории, можно прибли-
женно определить требуемую скорость vK для получения
заданной дальности х
v = ygx. (10)
Эта скорость, согласно формуле Циолковского, будет
равна
71 ° + Кдв<0 + Qc у + Qo ч
U = Ve Ш -Я-----------r~7S--•
Кдв<*> Qcy 4" Qg ч
Здесь ve — эффективная скорость истечения.
Отсюда
V
__ (О + КдвСО + Qc У + Qc ч
Кдв<О + Qcy + Qg ч ’
cu_ (Qcy + <?б ч) (е - 1)
V
1-КЯв (е °' - 1)
ИЛИ
«Эсу+<2бч)(е V“ -1)
ш =-----------.
' gx
1-Кдв(е -1)
(И)
(12)
(13)
112
Подставив (13) в (9), получим
С — Сб ч + Ссу +
К?*
(Сг -}- КдвС*дв) (Qcy Qo ч) (е ' 1
1 - Кдв (е Ve - 1)
(14)
В работе [35] приводится формула,- связывающая стои-
мость системы управления со среднеквадратичной ошиб-
кой o', которую эта система обеспечивает
, _Kcv
СУ— ат
(15)
Для определения стоимости фугасной боевой части мож-
но поступить так. Вес ВВ(о)вв) следующим образом
связан с радиусом зоны поражения г3:
= (16)
Qe ч =Кб ч®вв — Кб чКгг3, (17)
Сб ч =С\б ч = С16 чКб чКг^з • (18)
Здесь Кг, Кбч и Сбч — коэффициенты радиуса зоны по-
ражения, наполнения боевой части ВВ и стоимости.
Подставив в (14) величины из (15), (17) и (18), по-
лучим формулу, связывающую стоимость баллистиче-
ской ракеты с ее основными характеристиками: даль-
ностью, точностью и радиусом зоны поражения:
с=с1бчкб чк4+^+
/
(Сг + КдвСдв) (Qcy + Кб чКга*з) (е е 1
1 — Кд» (е Ve -1)
8-343
(19)
113
В этой формуле не учтена стоимость корпуса ракеты
и стоимость прочих узлов, достигающая 3—10%. Анало-
гичные формулы могут быть получены и для других ти-
пов ракет. Они, естественно, будут иметь другое написа-
ние, но принцип их вывода не будет отличаться от изло-
женного выше.
Данные по стоимости ядерных боевых частей, взятые
из [97], приведены ниже:
Тротиловый эквивалент, тыс. тонн..... 1,0 10 100 1 000
Стоимость, млн. долл.................2 4 6 8
Приближенно эти данные могут,быть описаны сле-
дующей формулой:
C64 = tyq, (20)
где q — тротиловый эквивалент в килотоннах;
Сбч — стоимость боевой части в миллионах долларов.
Г. Стоимость наземного оборудования
Необходимо отметить, что стоимость наземного обо-
рудования может достигать значительных величин, пре-
вышая в несколько раз стоимость ракеты.
Приведем стоимость американских грузовых авто-
мобилей в зависимости от их грузоподъемности.
Из таблицы 1.11.3 видно, что стоимость грузового
автомобиля может быть приближенно описана следую-
щей формулой:
C=a + bQ> (21)
где а — коэффициент, равный примерно 3 000 долл.;
b — коэффициент увеличения веса с грузоподъем-
ностью, равный примерно 1400 долл, на 1 тонну;
Q — грузоподъемность.
Аналогичная формула справедлива и для вертолетов.
В этом случае а = 8000 долл., &=’190 000 долл, на
1 тонну. Разумеется, и в этом случае необходимо учи-
тывать' зависимость стоимости от размера партии.
Расходы на строительство шахт для пуска балли-
стических ракет дальнего действия, командных пунктов
114
и соответствующее оборудование достигают значитель- ных величин. Это связано с необходимостью иметь хра- нилища и рабочие площадки, оборудование для перио-
дическои проверки сна- рядного комплекса и за- ТАБЛИЦА 1.11.3.
мены элементов, вышед- Грузо- Объем Стоимость
ших из строя или рабо- тающих недостаточно хо- подъем* ность (т) заказа 1 шт. С
0,25 1 000 3 500
рошо. Наконец, нужно
принять меры по обеспе- 0,25 7 500 3 100
чению безопасности. 0,75 2 400 4 200
Еще более значитель- 0,75 10 000 2 900
ные затраты на наземное 2,5 2,5 4 200 4 200 4 300 3 900
оборудование у зенитных ракет. Это связано с на- 5,0 3 200 10 600
личием радиолокацион-
ных станций, сложных счетно-решающих приборов, бо-
лее дорогих, чем зенитные ракеты. Ввиду этого в ряде
Случаев анализ стоимости наземного оборудования
может оказаться даже более важным, чем анализ стои-
мости ракет.
Д. Соотношение стоимости разработки,
производства и хранения
Помимо стоимости производства, важную родь игра-
ет стоимость разработки. По данным (44] видно, что эта
стоимость равна в среднем стоимости 1000 ракет,
т. е. достаточно велика для того, чтобы ее учитывать при
оценке стоимости ракетного вооружения. Помимо стои-
мости разработки, как таковой, необходимо также иметь
в виду расходы, связанные с постановкой на производ-
ство, которая может потребовать строительства новых
заводов, производства новых материалов и т. д.
Важную роль играют также и затраты на хранение
вооружения. В печати указывается, что в некоторых
случаях эти затраты за 10 лет могут достигать несколь-
ких стоимостей изготовления вооружения. К числу этих
затрат следует отнести затраты на сооружение храни-
лищ, их ремонт, отопление, охрану и главным образом
проведение регламентных работ и соответствующую за-
мену узлов и деталей.
8* И5
Итак, общие затраты на вооружение управляемыми
снарядами могут быть определены по следующей фор-
муле:
С*0 = С*раз 4“ Спр Л^сСср С 4“ Л^н^ср н Ч-
Ч~ NсСхр с + NhCxp н Ч“С*р, (22)
где Nc — количество снарядов;
Сер с — средняя стоимость одного снаряда;
NH — количество наземных комплексов;
ССр н — средняя стоимость наземного комплекса;
Схрс—средняя стоимость хранения ракеты;
Схр н — средняя стоимость хранения наземного ком-
плекса;
Ср — расходы на подготовку расчета;
Спр — стоимость подготовки производства.
Для расчета величины Схрс за 1 год можно восполь-
зоваться следующей формулой:
т С
СХр с(1) = Секл с + - -\-CpNР1, (23)
1 = 1
где ССкл с — стоимость складов, их оборудования и со-
держания, приходящаяся на 1 ракету за год;
ССрсг-—стоимость отдельных узлов и агрегатов ра-
кеты (например, заряда твердого топлива);
ai — амортизационный период, т. е. период, в те-
чение которого те или иные узлы приходят
в негодность;
Cpi — стоимость содержания обслуживающего пер-
сонала (охраны, технического персонала, про-
водящего работы по замене узлов и агрега-
тов, обслуживанию, контролю и т. д.),
Npi — количество людей, необходимое для обслу-
живания одной ракеты.
По американским данным затраты на одного военно-
служащего в год составляют в среднем 4500 долл.
В работе [44] для частного примера приводится сле-
дующее соотношение затрат при общем количестве сна-
рядов 7500 шт/.
стоимость разработки — 4,3%,
стоимость подготовки производства — 8,7%,
116
стоимость производства снарядов — 32,5%,
стоимость производства наземного оборудования —
54%,
стоимость хранения (за 1 год) —0,5%.
Следует иметь в виду большую разницу в экономике
мирного и военного времени. Если в первом случае
стоимость имеет решающее значение, то во втором слу-
чае главным фактором становится время.
Все приведенные цифры являются весьма прибли-
женными и носят, в основном, иллюстративный характер.
ГЛАВА 2
МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ
ИСПЫТАНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
В ИССЛЕДОВАНИИ ОПЕРАЦИЙ
§ 2.0. ВВЕДЕНИЕ
В исследовании операций метод статисти-
ческих испытаний, или, как его иногда на-
зывают, метод Монте-Карло, находит очень широкое
применение. Дело в том, что область применимости это-
го метода принципиальных ограничений не имеет, а прак-
тически ограничивается только затратами времени на про-
ведение расчетов. Широкое развитие электронных вы-
числительных машин в значительной мере снимает и это
ограничение, поэтому для решения сложных задач ис-
следования операций этот метод является основным.
Задачи расчета вероятности поражения цели реше-
ны аналитически только для сравнительно простых слу-
чаев. В сложных случаях, которые имеют место на прак-
тике, наиболее эффективным методом расчета оказы-
вается метод статистических испытаний. То же самое
можно сказать о задачах теории массового обслужива-
ния, не говоря уже о задачах исследования эффективно-
сти вооружения в сложных боевых ситуациях, требую-
щих учета противодействия противника, вероятностей
обнаружения, вопросов целераспределения и т. д.
Положительной особенностью метода является про-
стота его практического применения. Если исследуемый
процесс удается описать системой любых уравнений,
логических правил и т. д., то проведение статистических
испытаний не представляет никаких принципиальных
трудностей, не налагает никаких ограничений на выше-
указанные уравнения, правила и не требуют их упро-
щения.
118
В связи с изложенным в настоящей главе достаточно
подробно описывается сущность метода, его преимущест-
ва и недостатки и указываются наиболее рациональные
области применения. Здесь также описаны методы по-
лучения случайных событий, величин функций и потоков
случайных событий, вопросы оценки точности метода,
а также некоторые приемы повышения его точности.
В конце главы приводится пример применения мето-
да статистических испытаний для определения точности
стрельбы управляемыми снарядами.
§ 2.1. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
И ОБЛАСТИ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
А. Сущность метода статистических испытаний
В настоящее время методом статистических испыта-
ний (или методом Монте-Карло) называют любую про-
цедуру, включающую использование приемов статисти-
ческой выборки для приближенного решения той или
иной математической или физической задачи. Сразу же
укажем на две разновидности применения этого метода:
применение метода статистических испытаний для из-
учения вероятностных процессов (при этом предпола-
гается, что математическая или физическая модель это-
го процесса уже создана);
применение метода статистических испытаний для
решения невероятностных задач (за счет аналогии меж-
ду уравнениями, которыми описываются эти задачи, и
уравнениями, описывающими вероятностные процессы).
В исследовании операций часто приходится обра-
щаться к первой разновидности этого метода. При изу-
чении военных действий сравнительно легко составить
сложные описательные схемы (модели), включающие
вероятности, связанные с такими случайными элемента-
ми, как вероятность обнаружения тех или иных целей,
вероятность надежной работы всех элементов комплекса,
вероятность попадания в цель, вероятность поражения
ракеты в полете, вероятность разрушения цели и т. д.
Исследовать же такую модель аналитическими метода-
ми во многих случаях весьма трудно. Во всяком случае,
возможности построения сложных вероятностных моде-
лей, описывающих процессы боевых действий, быстро
119
обгоняют возможности математического анализа для
исследования таких моделей. В связи с этим методы
статистических испытаний в ряде случаев оказались
единственными практически приемлемыми методами
исследования. Следует отметить, что большинство мо-
делей, в которых рассматриваются двусторонние боевые
действия (противодействие), оказываются чрезвычайно
сложными для исследования аналитическими методами
и в этих случаях приходится прибегать к методу стати-
стических испытаний.
Рассмотрим применение метода статистических испы-
таний на простейшем примере. Пусть требуется вычис-
лить вероятность (Р) попадания ракеты в цель, пред-
ставляющую собой круг радиусом г, в том случае, если
рассеивание ракеты' характеризуется величинами вх =
= о'г=|сг, а систематической ошибки нет.
Эта задача решается аналитически (см. § 3.3-)
где
Р = \'Re 2 dR = 1 — е 2
(1)
(2)
В качестве примера она выбрана для удобства сравне-
ния точных результатов с методом статистических испы-
таний. Вместе с тем уже небольшие усложнения этой за-
дачи делают невозможным ее точное аналитическое ре-
шение, и тогда целесообразным оказывается применение
метода статистических испытаний и в практических слу-
чаях.
Для вычисления Р методом статистических испыта-
ний необходимо провести серию испытаний:
1. Определить координаты точки падения ракеты
хп и zn:
Хп ------- 3^1 ,71,
2 П —— 3^2, ??>
(3)
(4)
где 61,п и 62,п — случайные числа, распределенные по
нормальному закону со среднеквадратичными отклоне-
но
ниями, равными единице, и математическим ожиданием,
равным нулю. О методах получения этих чисел будет
сказано в § 2.3. В данном случае воспользуемся табли-
цей случайных чисел (см. табл. 2 приложения);
п — номер реализации (испытания).
2. Вычислить расстояние точки падения ракеты от
цели
гп = Ух\-\-z\. (5)
3. Сравнить гп и г. Если гЛ<г, то имеет место по-
падание в цель. Пусть число этих случаев будет т. Если
гп>г, то попадания нет.
ТАБЛИЦА 2.1.1
п 1 2 3 4 5 6 7
хп = 31 0,80 —0,54 0,42 —0,48 0,16 1,95 1,87
%п ^2 —0,67 0,61 1,15 —0,19 —0,90 —0,70 —0,36
гп 1,04 0,81 1,22 0,52 0,92 2,07 1,90
т 0 1 1 2 3 3 3
Р 0 0,50 0,33 0,50 0,60 0,50 0,43
п 8 9 10 11 12 13 14
хп 31 0,63 — 1,48 —0,49 —2,92 1,72 —0,90 —0,24
= 32 0,05 0,56 1,28 — 1,18 —9,66 —0,68 1,76
п 0,63 1,58 1,37 3,15 1,84 1,13 1,78
т 4 4 4 4 4 4 4
Р 0,50 0,44 0,40 0,36 0,33 0,31 0,29
п 15 16 17 18 19 20
хп == 3 ] 0,24 0,34 —0,88 —1,07 0,47 1,46
== 32 —2,47 —0,32 2,22 0,02 —0,55 2,62
Гп 2,48 0,47 2,39 1,07 0,72 3,00
т 4 5 5 5 6 6
Р 0,27 0,31 0,29 0,28 0,32 0,30
121
4. Вычислить вероятность попадания в цель
Р=-. (6)
п v
Результаты расчетов по этой методике приведены
в табл. 2.1.1 для случая а=1, /?д = 1.
Точное значение вероятности Р=0,393. Из таблицы
видно, что 20 испытаний позволяют определить эту ве-
личину с недостаточно высокой точностью. Ошибка со-
ставляет около 25%’, а среднеквадратичное отклонение,
вычисленное по формуле (2.3.12), составляет 27,5%
определяемой величины. Интересно отметить, что уже
при трех реализациях (п=3) получается результат бо-
лее точный, чем при 20, а при 10 реализациях получается
еще более точный результат. Однако это случайные
факты. Среднеквадратичное отклонение полученных ре-
зультатов от истинного значения с увеличением числа
реализаций, как это будет показано ниже, закономерно
убывает.
Б. Применение метода статистических испытаний
для решения невероятностных задач
Поскольку в следующих главах будут приведены и
сравнительно подробно рассмотрены несколько примеров
применения методов статистических испытаний для ис-
следования вероятностных моделей, связанных главным
образом с анализом боевых действий, отметим другие
возможные применения этой разновидности метода. Этот
метод может быть применен для решения целого ряда
задач, связанных с исследованием работы отдельного
образца вооружения, в частности для оценки надежно-
сти сложных комплексов, исследования точности стрель-
бы ракетных комплексов, исследования производствен-
ных операций, связанных с изготовлением, а также
сборкой ракет и подготовкой их к пуску, и т. д.
Применение метода статистических испытаний для
решения невероятностных задач связано, прежде всего,
с построением вероятностных моделей-аналогов функцио-
нальных уравнений. Наиболее широко этот метод при-
меняется для вычисления интегралов, и особенно много-
кратных интегралов.
122
b
Для вычисления интеграла J f (х) dx можно восполы-
а
зоваться следующим приемом. Вычислить этот инте-
грал— это значит определить площадь, заштрихован-
ную на рис. 2.1.1. Будем выбирать по паре случайных
чисел aiPi, «2₽2 и т. д., у которых аг распределены по за-
кону равной вероятности в интервале а, Ь, и рг- — по за-
кону равной вероятности в интервале 0, у, и будем
смотреть, в какую область попадет точка: заштрихован-
ную, как QiPi, сс^Рз, или незаштрихованную, как агРг,
а4р4- Это означает выполнение или невыполнение нера-
венства
Пусть число случаев, когда выполняется это неравенст-
во, т. е. когда точка попадает в заштрихованную область,
равно т, а всех случаев — п. Тогда доказывается, что
ь
fr(x)dx=%y(b-a). (7)
а
Очевидно, что если точки равномерно распределены по
площади, то число их попаданий в область, ограничен-
ную кривой y=f(x), осью абсцисс и вертикалями х—
123
= а и x=b, будет так относиться к общему числу испы-
таний, как площадь вышеуказанной области относится
ко всей площади, в которую могут попадать точки. Из
этого и следует формула (7).
Можно применить и другой прием. Пусть а — равно-
мерно распределенная на интервале (а, Ь) величина. Ес-
ли выбрать определенное количество (п) реализаций
этой величины аг-, вычислить /(а$) и математическое
ожидание
п
= i (8)
то доказывается, что
ь
^(x)dx = (b-a)M[f(^].
а
Действительно, математическое ожидание f(x) на интер-
вале (а, Ь)
ВД] =
п
п
или в пределе (я—юо)
откуда и следует формула (8).
В обоих случаях характерным является проведение
большого числа простых однотипных вычислений.
_ я2
Пример. Вычислить <7 = J Re 2 dR при R1 = l. За-
о
метим, что точное значение этого интеграла <7=1 —е 2 .
При Rx=l величина <7 = 0,393. В качестве примера он
выбран для удобства оценки точности результатов.
Воспользуемся теперь методом статистических ис-
пытаний, прежде всего первым методом. Для этого
124
ТАБЛИЦА 2.1.2
п 1 2 3 4 5 6 7
8, 0,667 0,993 0,242 0,940 0,610 0,131 0,352
а2 0,491 0,182 0,192 0,025 0,557 0,530 0,865
/(«,) 0,534 0,607 0,235 0,604 0,506 0,130 0,331
т 1 2 3 4 4 4 4
1 1 1 1 0,800 0,667 0,571
0,534 0,570 0,459 0,495 0,497 0,436 0,421
S — 0,0548 0,195 0,176 0,153 0,203 0,190
а — — — 0,1520 0,0967 0,1070 0,0880
п 8 9 10 11 12 13 14
3, 0,646 0,646 0,680 0,398 0,339 0,806 0,699
32 0,105 0,564 0,136 0,579 0,541 0,238 0,432
f(3,) 0,525 0,525 0,540 0,368 0,320 0,583 0,547
т 5 5 5 6 6 7 8
0,625 0,556 0.600 0,545 0,509 0,538 0,571
0,434 0,444 0,454 0,446 0,435 0,447 0,454
S 0,181 0,171 0,163 0,157 0,157 0,152 0,150
а 0,0757 0,0658 0,0584 0,0529 0,0501 0,0463 0,0436
п 15 16 17 18 19 20
3, 0,984 0,327 0,129 0,146 0,669 0,430
д2 0,033 0,462 0,284 0,161 0,990 0,547
f (3.) 0,606 0,310 0,128 0,145 0,535 0,392
т 9 9 9 9 9 9
0,600 0,562 0,529 0,500 0,474 0,450
J2 0,464 0,454 0,435 0,419 0,425 0,424
S 0,151 0,151 0,166 0,173 0,171 0,165
а 0,0421 0,0405 0,0431 0,0435 0,0416 0,0390
из таблицы случайных чисел, распределенных по
закону равной вероятности (табл. 2 приложения), выби-
раем по 2 числа, начиная с 41 по порядку (61 и 62), и,
умножив их на 10“5, округляем до 0,001. Затем вычисля-
125
ем f(6i) и сравниваем с 6*2. Если f (61) >62, то считаем,
что событие произошло, в противном случае — не про-
изошло. Суммируя число случаев, когда событие произо-
шло, относим их к числу опытов и получаем величину
Jx**. В табл. 2.1.2 приведены результаты расчетов при
числе проб до 20. Для каждого числа реализаций вы-
числено значение интеграла и обозначено Уг
При использовании второго приема отыскиваем толь-
ко случайное число 6ь вычисляем f(6i) и затем интеграл
по формуле (9). Это значение названо и также при-
ведено в таблице. Там же приведены квадратные корни
из выборочных дисперсий #2, которые обозначены S,
а также рассчитанные по формуле (2.3.2) значения а.
При первом методе вычислений получена ошибка
в 14,5%', при втором методе вычислений меньше — все-
го 7,9%. Среднеквадратичное отклонение в первом слу-
чае, рассчитанное по формуле (2.3.12), составляет
27,5%, во втором случае, рассчитанное по формуле
(2.3.8), составляет 9,4%’. Таким образом, второй метод
вычисления интеграла оказывается более эффективным.
Приемы, аналогичные указанным выше, могут быть
применимы для решения систем линейных уравнений,
решений краевых задач, вычисления континуальных ин-
тегралов и целого ряда других задач. Однако, посколь-
ку в исследовании операций такие вычисления носят
только вспомогательный характер, мы на них больше
останавливаться не будем.
В. Применение методов статистических испытаний
для решения вероятностных задач
Применительно к решению задач первой группы,
т. е. исследования вероятностных процессов, метод мо-
жет быть разделен на следующие основные этапы
(рис. 2.1.2):
1) определение характеристик случайных процессов
(исходных данных);
2) получение реализаций случайных чисел, функций,
потоков, событий;
* Так поступаем потому, что b—а в данном случае равно 1
и * г/ принято равным 1. В противном случае следовало бы вычислять
сц= (Ь—a)6u и ₽i = */d2,i.
*-* Так поступаем потому, что Ь~а=1 и
126
3) проведение многократно повторяющихся вычи-
слений по выбранному алгоритму, описывающему веро-
ятностную модель исследуемого процесса, исходя из
Рис. 2.1.2.
случайных реализаций, выбранных в предыдущем
пункте:
4) статистическая обработка полученных результа-
тов, оценка точности полученных результатов и принятие
решения на прекращение или продолжение процесса
статистических испытаний. Важное место занимает кон-
троль за работой модели со стороны человека. В неко-
127
горых случаях приходится комбинировать математиче-
скую модель с физической. Тогда встает вопрос
о сопряжении математической модели с приборами,
устройствами или даже человеком.
Для исследования любого вероятностного процесса
необходимо знать характеристики случайных величин,
функций, потоков и т. д., определяющих процесс. Для
моделей боевых действий это характеристики вероятно-
стей обнаружения целей, безотказной работы вооруже-
ния, попадания в цель, поражения цели и т. д., т. е. ха-
рактеристики комплексов вооружения. Эти характери-
стики определяются, как правило, экспериментальным
путем. В ряде случаев они могут задаваться с целью
определения их оптимальности. Наконец, они могут
определяться теоретическим путем, в частности, тем же
методом статистических испытаний, при котором исполь-
зуются характеристики отдельных элементов вооруже-
ния, определенные экспериментальным путем.
Помимо характеристики объектов вооружения в ряде
случаев приходится рассматривать случайные характе-
ристики окружающей среды, например:
— атмосферы (температура, давление, скорость и на-
правление ветра, видимость с различных высот и на
различные расстояния и т. д.);
— рельефа (дальность прямой видимости, наличие
укрытий, возможность передвижения и т. д.).
Случайными могут оказаться и расположение эле-
ментов боевого порядка (расстояние между подразделе-
ниями по фронту и глубине), и штатный состав подраз-
делений (с учетом потерь), и времена подготовки, и ско-
рости передвижения и т. д.
Определение всех этих характеристик выходит за
рамки метода статистических испытаний, однако важно
иметь в виду, что требования к точности метода должны
назначаться исходя из точности определения этих ха-
рактеристик. Чем более грубо определены эти характе-
ристики, тем менее жесткие требования следует предъ-
являть к точности метода.
Г. Точность метода и сложность модели
Несколько слов следует сказать о точности величи-
ны, получаемой в процессе статистических испытаний, и
ее связи со среднеквадратичными отклонениями случай-
128
ных величин, влияющих на процесс, и их взаимной за-
висимостью.
Пусть в процессе решения мы определяем математи-
ческое ожидание величины М, которая является сум-
мой k независимых величин хг- с математическими ожи-
даниями Л1г- и среднеквадратичными отклонениями Ог.
Пусть это будет, например, математическое ожидание
числа целей, пораженных разными средствами. Тогда
величина о для М при одном испытании будет
Относительная величина а
(10)
(11)
(12)
Пусть
Тогда
Л41 = Л42 = ... = ЛГ< = Л41,
:zrz а2 7=1 • • • ==
а
м ~MtVk'
(13)
k
М = ^
Итак, с увеличением числа независимых факторов,
влияющих на процесс, относительная величина средне-
квадратичного отклонения М убывает. Если величины
Xi зависимы, то согласно стр. 213 [25]
0==-|Ла*[1+г (£-!)],
(14)
где г — коэффициент корреляции (полагаем, что все они
равны).
9—343 129
В этом случае относительная величина среднеквадра-
тичного отклонения убывает медленнее, но все же убы-
вает. Значит, метод статистических испытаний тем бо-
лее точно дает математическое ожидание искомой ве-
личины, чем более сложный процесс исследуется
(в смысле числа влияющих факторов). Конечно, изло-
женное не может служить строгим доказательством этого
положения, однако опыт исследования сложных вероят-
ностных процессов убеждает нас в том, что с увеличе-
нием числа случайных факторов, влияющих на процесс,
применение метода статистических испытаний становит-
ся более целесообразным.
Посмотрим, как обстоит дело в том случае, когда
методом статистических испытаний определяются сред-
неквадратичные отклонения какой-либо величины.
Пусть отыскивается среднеквадратичное отклонение
величины z, являющейся суммой k величин у: z =
k
= V Уг. ПОЛОЖИМ <5=3 п = . . . =
" У1 Ул Уз J
1=1
_ k __
Тогда z = У yi и согласно (14)
а2 = /га2 k (k — 1) го2 .
После N опытов квадрат выборочного среднеквадратич-
ного отклонения
N k _
&-у#]-
j=\L 1=1
Но согласно правилу вычисления квадрата суммы
k _ k _ k _ __
[X tyi — Vi) ]2=£ (Уг — yiV + 2 2 (Уг —yi) (yt — yi).
i = \ i = \ i = \
l=\
130
Тогда
k N _ kN _ __
(N - 1) = J £ (y< -yty + 2 £ £ (yi -yi) (У1 - yiY
Учтем, что
£>-iMs=(tf-i)S2.,
у i
i=\
N __ _
£ (yi —yi) (yi — yi) = (N — 1) my,yi,
Z=1
где my y —корреляционный момент.
Тогда получим
k k
i=l
Известно [36], что после N опытов
4
2 , ч 1 ---- Г2 22
т. —: а2 (пг ) = -—г а а
N—1 ’ v УгУ1 ' N — 1 Уг У1
’2(S2V)
Полагая все <зу одинаковыми, получаем
°2 (S*) = Ь2 (S2K) + k (k - 1) a2 (myiyi
2kay 2k(k— 1) 4
=лГ=т+^Ьк(1-'-2)<
Отсюда
а (S^) = +(*-D(1 - Г2) ,
(Sz) _
=
Пусть величины у
o' I41 +(*-!)(!-'*)
Vk(N- 1) [1 +(*-О rl
не связаны. Тогда r = 0,
= (^) __ /2
~ /ЛГ=Т’
(15)
9*
131
т. e. среднеквадратичное отклонение выборочной диспер-
сии не зависит от числа факторов, определяющих про-
цесс (А).
Пусть величины у связаны так, что г=1.
Тогда
° (5Ь _ /2
kYk (N —
(16)
т. е. в этом случае среднеквадратическое отклонение
искомой дисперсии резко убывает с ростом числа
влияющих на нее факторов.
Итак, от метода статистических испытаний можно
ожидать наиболее высокой точности определения средне-
квадратичного отклонения в тех случаях, когда оно
определяется взаимно связанными величинами,
т. е. именно в тех случаях, когда аналитическое решение
наиболее затруднено.
Рассуждения, приведенные выше, носят в основном
иллюстративный характер, однако они могут оказаться
полезными при выборе методов исследования моделей.
Д. Область применимости метода
Теоретической основой метода статистических испы-
таний служит закон больших чисел. Одной из форм это-
го закона является теорема Чебышева, гласящая, что
при неограниченном увеличении числа независимых
испытаний среднее арифметическое наблюденных зна-
чений случайной величины, имеющей конечную диспер-
сию, сходится по вероятности к ее математическому
ожиданию, т. е.
п
lim P
-— — тх
п
e 1= 1
(17)
при любом 8>0, где Xi — независимые случайные вели-
чины с математическим ожиданием тх и конечной дис-
персией.
Другой формой этого закона является теорема Бер-
нулли, гласящая, что при неограниченном увеличении
чйсдд независимых испытаний в постоянных условиях
13g
частота рассматриваемого события по вероятности схо-
дится к его вероятности, т. е.
НшР(|/п(Л)-Р|<8)=1, (18)
где А — событие, fn(A) —его частость в п испытаниях,
а Р— его вероятность.
Таким образом, метод статистических испытаний
основан на самых общих теоремах теории вероятностей
и не содержит в своей принципиальной сущности ника-
ких ограничений. Этот метод может быть применен
к решению любой задачи, а при достаточно большом
числе испытаний от него можно требовать любой точно-
сти.
Указанные обстоятельства являются несравненными
достоинствами метода, обусловившими его широкое
применение для решения самых разнообразных и, в том
числе, самых сложных задач. Зачастую этот метод
используется для оценки приближенных теорий, высту-
пая в роли своеобразного эксперимента.
Вместе с тем этот метод обладает и недостатком, со-
стоящим в большой трудоемкости, в связи с чем широ-
кое применение этого метода началось с момента раз-
вития электронной вычислительной техники. Правда, в
отдельных случаях эта трудоемкость не так велика, как
это может показаться с первого взгляда, а в ряде слу-
чаев ее удается существенно уменьшить.
Вторым недостатком метода является, образно гово-
ря, его «слепота». В процессе его применения не видно,
как влияют те или иные факторы на полученные резуль-
таты, поэтому даже для качественного исследования
влияния разных факторов, что важно в процессе проек-
тирования, выбора оптимальных решений и т. д., при-
ходится делать большое число расчетов, в то время
как аналитические методы дают возможность просто
проводить такие оценки.
Поэтому наиболее рациональным оказывается сов-
местное применение упрощенных аналитических мето-
дов, позволяющих выбрать сравнительно узкую область
исследования, оценить характер влияния разных факто-
ров, упростить модель явления за счет отброса второсте-
пенных факторов, и метода статистических испытаний,
133
позволяющего провести оценку более точную, но в более
ограниченной области.
Именно такое сочетание аналитических методов и
метода статистических испытаний и может быть реко-
мендовано в исследовании операций. В литературе (114]
приводится следующий интересный график, показываю-
Рис. 2.1.3.
щий затрату времени (/) на решение задачи аналитиче-
ским методом и методом статистических испытаний
в функции от числа независимых параметров, влияющих
на исследуемый процесс (d).
Этот график показан на рис. 2.1.3. На графике обо-
значено:
de—число факторов, начиная с которого метод ста-
тистических испытаний становится более выгодным;
б/ф—число факторов, начиная с которого применение
аналитических методов требует времени больше прием-
лемого;
dm— число факторов, начиная с которого метод ста-
тистических испытаний требует времени больше прием-
лемого.
Из графика видно, что для исследования сложных
процессов целесообразен метод статистических испыта-
ний, а для простых — аналитические методы.
Следует отметить, что метод статистических испыта-
ний имеет много общего с экспериментами. Как и при
эксЦерименте, мы получаем окончательный результат,
достаточно надежный и, как правило, требующий боль-
ших затрат труда. Недостатком его по сравнению с опы-
том является невозможность учета всех факторов.
134
Однако он имеет и достоинство, состоящее в возможно^
сти исследования такого процесса, который опытным пу-
тем исследовать трудно. Например, получить крайние
значения метеоусловий при испытаниях на практике
трудно, при моделировании просто; стрельба под любы-
ми азимутами при достаточно больших дальностях за-
труднительна, моделировать это достаточно просто.
§ 2.2. ВЫРАБОТКА СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ И ФОРМИРОВАНИЕ
РЕАЛИЗАЦИЙ В ПРОСТЕЙШИХ СЛУЧАЯХ
Для вычисления каждой реализации искомой вели-
чины при применении метода статистических испытаний
необходимо получать случайные реализации величин,
функций, потоков, простейших явлений.
Исходным пунктом для формирования любой из этих
реализаций при дискретном счете служит устройство,
с равной вероятностью дающее 0 или 1. В качестве та-
кого устройства может использоваться монета, одной
стороне которой присвоен индекс 0, второй — единица;
жетоны в урне (поровну с индексом 0 и 1); игральная
кость, на трех сторонах которой нанесены 0, а на других
трех 1, специальные электронные устройства.
Получив соответствующие количества 0 и 1 в случай-
ном порядке, из них можно сформировать случайные
числа, распределенные по закону равной вероятности и
имеющие любое число знаков. Методы такого форми-
рования описываются в пункте А.
Кроме того, можно пользоваться таблицами соответ-
ствующих случайных чисел, вычисленных кем-то зара-
нее. Используя равномерно распределенные числа, мож-
но получить числа, распределенные по другим законам
(пункт Б), реализации случайных функций (пункт В),
потоков (пункт Г), событий (пункт Д).
Если на опыте были получены реализации случай-
ных величин, функций, потоков и т. д., то, присвоив каж-
дой такой реализации номер и пользуясь равномерно
распределенными случайными числами на интервале от
О до числа имеющихся в нашем распоряжении реализа-
ций, можно выбирать соответствующие реализации слу-
чайных величин, функций, потоков и т. д.
135
А. Получение равномерно распределенных
случайных чисел
Как правило, получают случайные числа, распреде-
ленные по закону равной вероятности в диапазоне 0—1.
Существуют специальные таблицы таких величин, при-
мер которых приведен в приложении (см. табл. 2, где
даны случайные величины, распределенные равномерно
в интервале 0—99999). Такими таблицами пользуются
при ручном счете. Принципиально говоря, они могут
использоваться и при расчетах на ЭЦВМ. Однако боль-
шие количества этих-чисел, необходимые для расчетов,
наряду с ограниченной памятью машин заставляют
пользоваться другими методами получения этих вели-
чин, из которых важно отметить два: с помощью физи-
ческих датчиков случайных чисел и методы получения
псевдослучайных чисел.
Простейшим физическим датчиком случайных чисел
может служить монета, одной стороне которой при-
своено значение 0, второй 1. Пользуясь этим датчиком,
можно получить числа 0 и 1 с равной вероятностью.
Случайное число будем вычислять по формуле
$ = г1.2“1 + ^-2-2 + г3.2-3 + ...+гп-2-+..., (1)
где гп — последовательность чисел 0, 1, полученная с по-
мощью датчика, описанного выше.
Нетрудно доказать, что величина £ распределена
равномерно от 0 до 1. Однако при практической реали-
зации этого метода приходится ограничивать число раз-
рядов. В ЭЦВМ это связано с конструкцией (числом
разрядов), при ручном счете это связано с необходи-
мостью сокращения времени. Поэтому вместо непрерыв-
ной совокупности чисел с равномерным распределением
используется дискретная совокупность чисел. Если ма-
шина имеет k двоичных разрядов, то эта совокупность
будет состоять из чисел с одинаковыми вероятностя-
ми появления. Число двоичных разрядов в существую-
щих ЭЦВМ настолько велико (около 30), что ожидать
каких-либо неточностей за счет дискретности при реше-
нии задач исследования операций не приходится.
Рассмотрим в качестве примера вычисление случай-
ного числа £ из равномерного распределения 0,1, огра-
136
кичившись 7 разрядами. Путем бросания монетки полу-
чили следующую последовательность: z=0, 1, 1,0, 1,0, 1.
Тогда на основании (1) получаем
$=—4-—Ч--+—+—4--Ч—-~=о 41
5 2 ' 4 ~ 8 ' 16 ' 32 ' 64 ' 128 ’
Результат вычисления округлен до 0,01, так как при-
мерно такова величина шага дискретности в случае 7
двоичных разрядов l.-ygs’J-
Практически в качестве физического датчика приме-
няются счетчики радиоактивных частиц или радиолам-
пы, имеющие существенные собственные шумы.
Первый способ реализуется следующим образом.
Если в фиксированный момент времени сосчитано чет-
ное число частиц, то это соответствует показанию 1,
в противном случае — это 0. Схема такого датчика
легко подключается к ЭЦВМ.
Во втором способе шумы радиолампы преобразуются
в серию импульсов, которые играют роль радиоактив-
ных частиц в предыдущем датчике.
Псевдослучайные числа — это числа, получаемые
расчетом по специальным алгоритмам без применения
физических датчиков. Один из возможных приемов по-
лучения равномерно распределенных псевдослучайных
чисел (середины квадрата) состоит в следующем.
Пусть gn-i—АП-разрядное двоичное число
Квадрат этого числа будет иметь вид
С = V2-‘ + 82-2-3 + - • • + 82™-2-2’п. (3)
Выделим средние разряды этого числа и положим
-2-* + 8m •2-2 + ... + 83m-2-’».
T+l Т+2 -
(4)
Аналогичным образом может быть получено $„+1 и т. д.
137
В качестве примера возьмем
= у+т+1+^+^= °’41,
Возведя его в квадрат путем последовательного перемно-
жения, получим
f = £+±4-±4-±+±4-
«-1 4'8* 16~32 ' 64 '
I £_J__L4-L4-.I4—L4-
~ 8~ 16~ 32~ 64~ 128 1
। £ । 1 । ±4-0-1--L_l
~ 16 ' 32 64 ‘ 128'256*
~64~ 128 ' 256^512^ 1024
э2 0 । 0 । 1 1 0 । 1 । 0 । 1 । 0 1 О I 1
п- 1 — ~2 “г у “Г s’ 1 16 Т 32 “Г §4 I 728 • 25б"Т”512 ‘ 1024
В качестве примем следующее число (ввиду того, что
в нашем примере т нечетно, вместо получающегося
1=3,5 берем Зит. д.):
=т+ т+т+й+i = °-66-
Опасностью, с которой встречаются при применении
таких методов, является «вырождение» (получение ну-
лей во всех разрядах, образование циклов повторяю-
щихся последовательностей и т. д.).
Отметим, что, получая псевдослучайные числа, не-
обходимо обязательно проводить статистическую про-
верку этих чисел (математического ожидания, диспер-
сий, закона распределения).
Б. Получение случайных величин, распределенных
по любым законам
Пусть получено случайное число Хг- из равномерного
распределения от 0 до 1. Требуется преобразовать его
138
в случайное число из последовательности с заданным
законом распределения. Существует 2 основных метода
такого преобразования: использование свойства интег-
ральной функции распределения и свойств законов рас-
пределения.
Рассмотрим первый метод. В теории вероятностей
[71] доказывается, что если случайная величина £ имеет
плотность распределения /(х), то распределение случай-
ной величины
т| = j f(x)dx
(5)
является равномерным от 0 до 1.
Исходя из этого свойства, правило получения чисел
Ху, распределенных по заданному закону f(x), будет
следующим. Получаем из равномерного распределе-
ния в интервале 0—1. Величину Xi находим, решая
уравнение
f (х) dX.
(6)
В качестве первого примера рассмотрим преобразование
величины Хг в величину х^ распределенную с плотностью
вероятности f(x)=2x на интервале 0—1. На основании
(6) записываем
Xi = \2xdx,
(7)
(8)
Отсюда
Xi — у/\ .
В качестве второго примера приведем формулу для по-
лучения случайных чисел распределенных по пока-
зательному закону
(9)
139
На основании (6) записываем
Л,-= — е \ (10)
—00
Отсюда ti = — yln(l—М-
Учитывая, что 1—распределено по закону равной ве-
роятности, как и A,j, можно упростить эту формулу
В,- = — V in
л
Аналогично можно поступить и для отыскания чисел
Хг, распределенных по закону Вейбулла. Для этого за-
кона
х, {Xi~x-}т
j f(x)dx=l—е Х° . (11)
о
{Xi~Xn
Тогда *г=1— е х° ’ (12)
Здесь хп, т и х0 — параметры закона Вейбулла; Х$—
равномерно распределенные числа в интервале 0—1.
Аналогично получается и формула для получения
чисел гг-, распределенных по закону Релея:
ri = 3/21n(l—Яг). (13)
Здесь о — параметр закона Релея.
Изложенный метод является универсальным. Однако
в ряде случаев его применение на ЭЦВМ оказывается
неудобным. Это происходит тогда, когда интеграл взять
не удается и таблицу интегральной функции распреде-
ления приходится вводить в память машины. Тогда мож-
но использовать второй прием, состоящий в использо-
вании специфических особенностей законов.
Пусть требуется получить число, распределенное по
нормальному закону. Нам придется либо воспользо-
ваться таблицей интегральной функции распределения,
либо вспомнить одно из основных свойств нормального
140
закона, состоящее в том, что сумма достаточно большо-
го числа чисел, распределенных по любым законам, бу-
дет распределена по нормальному закону.
Будем вычислять числа хг- с помощью формулы
хг = уЛь (14)
“1
где Xj распределены равномерно от 0 до 1. Тогда числа
Xi будут, согласно сказанному выше, распределены по
нормальному закону. Математическое ожидание и сред-
неквадратичное отклонение величин хг- будет
= р (15)
а(хО = -^//г. (16)
Л о
Если требуемое число yi должно отвечать нормальной
последовательности с 2И(у^)=а и сг(г/г) =(Г, то получен-
ное число Xi необходимо преобразовать следующим
образом:
~ + (17)
2/3
Практически нормально распределенные случайные ве-
личины получают так. Однако для близкого соответ-
ствия нормальному распределению число слагаемых
должно быть достаточно велико (порядка 10).
уменьшения этого числа используется следующее
образование:
(з \
2X1 Xi ]
Уп п\ п J
Закон распределения аг- уже при п = 5 достаточно
зок к нормальному. Преобразование типа [12]
Для
пре-
(18)
бли-
Х. Г 41 ( х\ X2: \"|
15)] <19>
позволяет получить хорошее соответствие с нормаль-
ным распределением уже при п=2.
141
В качестве второго примера использования этого
метода рассмотрим получение величин, распределенных
по закону Релея. Известно, что модуль случайного век-
тора распределен по закону Релея. Из этого следует та-
кое правило получения чисел, распределенных по за-
кону Релея:
— получаем 2 числа Xt и Zt из нормального распре-
деления с сг=1 и Л4 = 0;
— находим число гг- = -\-z2r
(20)
Это число будет соответствовать числу из распределения
Релея с параметром кт= 1.
Аналогично могут быть получены и величины из
распределения Райса
Р(г) = ^е 201 /«(-р-)’ (21)
где /0 —бесселева функция;
а и а — параметры распределения.
Учитывая, что этот закон описывает распределение
вероятностей модуля случайного вектора на плоскости
с независимыми составляющими, которые имеют дис-
персии o' и математические ожидания, отличные от нуля,
будем и в этом случае пользоваться формулой (20), но
в качестве хг- будем брать число из нормального рас-
пределения с о=1 и Л4=и^0, так как при этом и полу-
чается величина модуля случайного вектора, у которого
проекции независимы и распределены по нормальному
закону с М^=0.
Если потребуются числа из распределения Симпсона,
то они могут быть получены суммированием двух чисел
из равномерного распределения, так как известно, что
сумма двух равномерно распределенных величин рас-
пределена по закону Симпсона.
Числа из распределения х2 с одной степенью сво-
боды могут быть получены путем возведения в квадрат
чисел, полученных из нормального распределения с ма-
тематическим ожиданием 0 и дисперсией 1 (квадраты
нормально распределенных величин с математическим
ожиданием 0 и дисперсией 1 имеют распределение х2
142
с одной степенью свободы). Не вызывает никаких за-
труднений получение модулей нормально распределен-
ных величин, логарифмического нормального распреде-
ления и других величин.
В заключение этого раздела рассмотрим метод по-
лучения случайных чисел, распределенных по закону
Пуассона
Р(*) = ^-’е-» (22)
с математическим ожиданием а.
ИспользуехМ предельную теорему Пуассона: если
Рп — вероятность события А при одном испытании, то
вероятность наступления k событий при п независимых
испытаниях при п->оо и РП”>0 асимптотически равна
Будем моделировать серии по п независимых испы-
таний, вероятность появления в которых события А,
—Рп составляет порядка 0,1—0,2. При этом между а,
Рп и п будем выполнять условие
Рп = ~, (23)
что может быть достигнуто соответствующим выбором
числа испытаний п. Тогда в качестве чисел хг-, распре-
деленных по закону Пуассона, следует выбирать коли-
чество случаев фактического наступления события А.
В. Получение реализаций случайных функций
В ряде случаев необходимо получить реализации
случайных функций. Примером таких реализаций мо-
гут служить температура воздуха, скорость и направ-
ление ветра как функция высоты, тяга двигателя как
функция времени его работы, расход горючего танка
как функция пройденного пути и т. д. Свести задачу
к определению случайных величин в отдельных точках
нельзя, так как между величинами в отдельных точках
существует корреляционная связь — эти величины за-
висимы.
Подчеркнем, что случайные функции следует отли-
чать от неслучайных функций случайных величин (на-
пример, неслучайная функция дальности полета само-
143
лета от веса заправленного горючего, который являет-
ся случайной величиной). Получение неслучайных функ-
ций от случайной величины не составляет никаких труд-
ностей (получаем одним из методов, описанных выше,
случайную величину и вычисляем функцию от нее).
Случайной функцией x(t) аргумента t называется
функция, ординаты которой для любых фиксированных
значений аргумента являются случайными величинами.
Основными характеристиками случайной функции
являются ее математическое ожидание mx(t) и диспер-
сия Dx(t), являющиеся неслучайными функциями от
аргумента, и нормированная корреляционная функция
гх(/ь ^?), являющаяся неслучайной функцией двух пе-
ременных значений аргумента в двух точках. Все эти
характеристики определяются путем обработки опыт-
ных данных обычными методами математической ста-
тистики.
Для всякого рода преобразований, а также для ис-
пользования в моделях случайную функцию удобно
представить в виде канонических разложений, методика
получения которых разработана В. С. Пугачевым [64].
Случайная функция записывается в следующем виде:
= (24)
1=1
Здесь Xi — независимые случайные величины с матема-
тическим ожиданием, равным нулю;
fi(t)—неслучайные функции аргумента, которые
называют еще координатными функциями.
Не останавливаясь на выводе формул для вычисления
D(Xi), приведем только окончательные результа-
ты, взятые из работы [25].
Пусть на опыте определены математическое ожидание,
дисперсия Dx(t) и корреляционная функция Кх (^; /2) =
= ?х (^i*, t2) ИDx (/J Dx (t2) случайной функции ХА (/)• Обо-
значим
Х(0 = хА(0-/пя(0 = £х,М0. (25)
1=1
Требуется вычислить дисперсии Xi—D(xi) и
Для вычисления fi(tj) и £>(хг) могут быть использова-
ны следующие рекуррентные формулы:
144
i—1
При этом следует иметь в виду, что при i^> f
= (27)
а т. е. координатные функции имеют вид,
показанный на рис. 2.2.1.
Пример. Представить в каноническом виде случайную функцию,
заданную следующей матрицей корреляционных моментов (т. е. зна-
чениями корреляционной функции).
ТАБЛИЦА 2.2.1
1 2 3 4 5
1 0,16 0.14 0,11 0,08 0,05
2 — 0.20 0,18 0,17 0,14
3 — — 0,23 0,20 0,19
4 — — .— 0.26 0.22
5 — — — — 0,28
10—343
145
Порядок ками): вычисления следующий (ограничиваемся двумя зна- Di=Kx(ti-, Л) =0,16, f.(M = 1.0, f *ИММ_0.14 7 т.(М— Di 0,16 °’87, f ,t. Kx(ti-,t3} /1(<з)— Dt 0jl6 0,69, f lt} Kx(MM_0-08 li (14) — 0,16 Kx(/,;M _o.Q5_ hits)— Di 0,16 °’31’
D2 = Kx (h; ti) — J/, (t2)]2 D, = 0,20 — 0.872 -0,16 = 0,08,
Л (M=0.
f2(M = i.o,
Kx (M М—£М1 (Mfi (M_0,18 —0,16-0,87-0,69 _
a(Z’) =-----------Di-------------------0T08----------L05>
f ... Kx(M M--D.MM MM_0.17-0,16-0,87-0,50
/2 1М— Di 0,08 1
, ... Kx(6; (<«)_0.14-0,16-0,87 0,31 _
h(h) — Di 0,08 1
D3 = Kx (/,; M - {[fl (MP D, + [f2 (MP Di} =
= 0,23 —0,692-0,16+ l,052-0,08 = 0,07,
f, (M=o,
f, (M=0,
MM = 1.0,
. , Kx (t3; h) - [Dtf, (M f 1 (M + Difi (t3) fi (M] _
ЫМ— Ds
0,20 —0,16-0,69-0,50 + 0,08-1,05-1,25 „
=----------------Oj1----------------=0-57,
, tt . Kx (t3-, ts) - [Difi (M + Dih (t3) fi (Ml __
13 l‘s) - £)3
0,19 —0,16-0,69 0,31 +0.08-1.05-1.21
— 0>07 0,77;
146
n4 = Kx (t4; t-4) - {[fi (UP П1 + [f 2 (Ml2 ^2 + [f3 (UP Яз}
= 0,26-0,502-0,16 + 1,252.0,08 + 0,572-0,07 = 0,07,
f4(U=f4 (U = f4(U = °,
f4(U = l,0,
f . к* (U ^)-№ (t4) h (U+r>2f2(Uf2(U+r>3f3 (Ц f3 (Щ =
f4 (U — p4
_ 0,22 — 0,16-0,50-0,31 +0,08-1,25-1,21+0,07-0,57-0,79 __
0,07 —0,55;
o5 - Kx (U t.) - {[f 1 (UP D> + [f2 (UP D2 + [f3 (UP D3 +
+ [f4 (UP £4 = 0,28 — 0,312.0,16 + 1,212.0,08 + 0,772-0,08 +
+ 0,552.0,07 = 0,09,
f5(U = f5(U = f5(U = f5(U = o,
f5(U=i,o.
Координатные функции, вычисленные в данном примере, пока-
заны на рис. 2 2.1.
Если получено каноническое разложение случайной
функции, то получение случайной ее реализации не вы-
зывает никаких трудностей. Действительно, в этом слу-
чае достаточно получить п случайных чисел Xj, имеющих
дисперсии Dj и требуемое распределение, что делается
так, как это показано в предыдущем параграфе, и вы-
числить:
(fl) := ^Х (fl) “I- ^lf 1 (fl)»
^2) == ™х (t2) 1 (fa) “I- -Vaf2 (f2»)
x(t3) = (28)
i=l
(fn) (f7?) ~t Xif i (tn),
i = l
Этот метод получения случайных функций является наи-
более удобным в ЭЦВМ, хотя и не единственным.
Часто приходится сталкиваться с так называемыми
стационарными случайными функциями, у которых
mx(t) = const, (29)
/<x(fi;f2) = Kx(4» (30)
10* 147
где т=/2—Л, т. е. у стационарных функций корреляци-
онная функция не зависит от величины аргументов, а
зависит только от их разности. Дисперсия стационарной
функции постоянна.
Для стационарных случайных функций проще полу-
чать не каноническое разложение, а так называемое
спектральное разложение, т. е. представление ее в виде
суммы гармонических колебаний, имеющих разные ам-
плитуды и частоту. Это разложение может быь тракто-
вано как частный случай канонического разложения,
в котором роль координатных функций играют тригоно-
метрические функции. На интервале — Т+'Т
п
= cos 7 М “1“ Л'2*г’sin Т М ’ (31)
i=o 4
где п — достаточно большое число,
Х\,г и х2,г — случайные числа, дисперсии каждой пары
которых равны между собой и по известной
корреляционной функции определяются сле-
дующими формулами:
т
DB=^Kx^)dx, (32)
О
т
Di=l^x(s) cos £ (33)
О
Имея спектральное разложение случайной функции,
можно достаточно просто получить ее случайную реали-
зацию, пользуясь случайными числами и формулой (31).
Г. Формирование случайных потоков
Прежде всего отметим, что при сложных потоках в
модель лучше вводить опытные данные. Здесь рассмот-
рим формирование только простейшего потока, читате-
лей же отсылаем к работе [1'2, 13], где изложены методы
формирования случайных потоков с равномерным рас-
пределением интервалов между вызовами, потоков
Эрланга, обобщений потоков Эрланга, потоков с фикси-
рованным минимальным временем, потоков с перемен-
148
ными параметрами, а также потоков более общего ха-
рактера.
Итак, пусть требуется сформировать простейший по-
ток, т. е. определить времена 4 поступления заявок.
Представим эти времена в следующей форме:
• • • • •
tk = ^i- (34)
4=1
Функция плотности любых интервалов между вызовами
для простейшего потока имеет вид
/(2) = Яе-Хг. (35)
Поэтому построение реализации потока простейших со-
бытий может быть сведено к формированию последова-
тельности независимых случайных чисел, имеющих по-
казательное распределение. Методы получения таких
чисел изложены выше.
Пример. Требуется сформировать простейший поток с Х=1.
•Получаем из таблицы случайных чисел числа %<, распределенные
по закону равной вероятности от 0 до 1, преобразовываем их в чи-
сла, распределенные по показательному закону с помощью форму-
лы (10) и затем определяем времена наступления событий с по-
мощью формул (34). Результаты расчетов приведены в табл. 2.2.2.
ТАБЛИЦА 2.2.2
п 1 2 3 4 5 6
Xi 0,66674 0,99279 0,24202 0,94010 0,60981 0,13094
Si = — -J In (1—АО A п 1,110 3,933 0,277 2,814 0,939 0,141
<xr MS II 1,110 5,044 5,321 8,135 9,074 9,215
149
Д. Моделирование случайных событий
При статистических испытаниях очень часто необхо-
димо ответить на вопрос: произошло или не произошло
случайное событие, если вероятность его известна. На-
пример, исследуется бой двух групп танков. Произведен
выстрел. Известна вероятность поражения танка. Тре-
буется ответить на вопрос: поражен танк или нет.
Рассмотрим прежде всего случай, когда это событие
не зависит ни от какого другого. В этом случае необхо-
димо выбрать число Хг- из совокупности равномерно рас-
пределенных от 0 до 1 чисел и сравнить его с вероят-
ностью исследуемого события — Р.
Если то событие А произошло;
если Р\<Лг, то событие А не произошло.
Легко показать, что при большом числе испытаний ча-
стость определенного таким путем события А совпадает
с его вероятностью [13].
Используя этот метод, можно формировать и более
сложные независимые события. В качестве примера рас-
смотрим моделирование двух зависимых 'Случайных со-
бытий: А, имеющего .вероятность РА, и В, имеющего ве-
роятность Р в- Кроме того, известна условная вероят-
ность Р(в/а) события В при условии, что событие А
произошло.
Получаем — случайное число из совокупности рав-
номерно распределенных в интервале 0—1. Если
A,i<Pa, то -считаем, что событие А произошло. В этом
случае для испытания с событием В используется услов-
ная вероятность Р(в/А). Получаем Хг+ь и если
Хг+i<Р(в/а) , то считаем, что событие В произошло.
В противном случае считаем, что событие В не про-
изошло.
Если Ki>PAl то событие А не произошло. В этом
случае для испытания, связанного с событием В, необ-
ходимо использовать вероятность
Р(В/А) =
Рв-РдР(В/А)
1-РА
(36)
150
т. е. вероятность события В при условии, что событие А
не произошло. В заключение этого раздела напомним
связь коэффициента корреляции событий А и В [г(АВ)]
с вероятностями событий Ра и Рв и условной вероят-
ностью Р(в/д):
Р.Р(В/А) — Р,Р„
г (АВ) = - А А в
/Ра(1-^а)^в(1-^в) ’
Пример. Вероятность попадания артиллерийских снарядов
в цель при стрельбе из автоматической пушки первым и вторым
снарядами равна 0,6, т. е. =0,6 и Рв =0,6 Однако события эти
(попадания снарядов в цель при условии стрельбы из автоматиче-
ской пушки) являются зависимыми ввиду наличия общих ошибок
стрельбы. Поэтому вероятность попадания вторым выстрелом при
условии попадания первым выше чем 0,6. Пусть она равна 0,8
[Р(В/А) =0,8]. Требуется промоделировать эти случайные события.
Пользуясь таблицей случайных чисел, равномерно распределен-
ных в интервале 0—99999 (табл. 2 приложения), находим случай-
ное число 57705. Ему будет соответствовать число из равномерно
распределенных в интервале 0—'1
57705
— 99999 — °’57705,
Xi<0,6, следовательно, событие А (попадание первым выстрелом)
произошло. В этом случае для определения того, произошло или
не произошло событие В, пользуемся Р(В/А)=0,8.
Определяем
= 99999 = 0’71618 0,8.
Следовательно, и второе попадание произошло.
Если бы связь между событиями не учитывалась, то Хг>Р(В) =
= 0,6 и необходимо было считать, что событие не произошло.
§ 2.3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ, ПОЛУЧЕННЫХ
МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
Вопрос о точности результатов, полученных методом
статистических испытаний, является основным вопро-
сом метода, так как он по существу обусловливает его
применимость. Действительно, если с помощью метода
статистических испытаний необходимо выбрать одно ре-
шение из многих, а для оценки каждого из этих многих
151
решений с достаточной степенью точности требуется по-
лучить большое число реализаций, то может оказаться,
что затраты машинного времени будут столь велики,
что заставят отказаться от его применения.
А. Общие вопросы оценки точности метода
Существуют три основные причины, вызывающие
ошибки при использовании метода статистических испы-
таний:
— неточность определения входных данных;
— методические ошибки, связанные с упрощениями
модели и неучетом ею тех или иных факторов;
— ошибки, связанные с малостью выборки, и, кроме
того, ошибки расчета, которыми, как правило, можно
пренебречь.
Точность метода может быть описана следующей
формулой:
где аСи—суммарная среднеквадратичная ошибка метода;
К — критерий, определяемый в итоге применения
метода (математическое ожидание или средне-
квадратичное отклонение какой-либо величины,
вероятность какого-либо события);
р.; — величины факторов, влияющие на величину
критерия;
— среднеквадратичная ошибка определения вели-
1 чины этих факторов;
ом — методическая ошибка. Определить ее в тех
случаях, когда для упрощения модели после
исследования влияния различных факторов пренеб-
регают второстепенными факторами, не трудно
152
где jife — величины факторов, влиянием которых пре-
небрегли. Если же эта ошибка, возникающая вследст-
вие невозможности описать влияние каких-либо факто-
ров аналитическими зависимостями, то такую модель
необходимо контролировать какими-либо другими мето-
дами (испытания физической модели, оценка при край-
них допущениях и т. д.) с тем, чтобы можно было иметь
представления о величине ам.
o' — ошибка, связанная с малым числом реализаций.
Детально <величину этой ошибки рассмотрим в после-
дующих разделах настоящей главы.
Необходимо иметь в виду, что изменение величин
составляющих суммарной ошибки в тех случаях, когда
они заметно меньше остальных, не приводит к сущест-
венному изменению суммарной ошибки. Поэтому если
какая-либо из составляющих достаточно мала (порядка
0,5 наибольшей), то ее уменьшение не приведет к замет-
ному уменьшению суммарной ошибки.
Если определяющей ошибкой является ошибка за
счет неточности определения входных данных, то допу-
стимая ошибка за счет ограниченности числа реализа-
ций может быть определена по формуле
Если в действительности в меньше, то можно
уменьшить число реализаций.
При построении модели следует проанализировать и
такой вопрос, как возможность ее упрощения. Это уве-
личивает методическую ошибку, но сокращает затраты
времени на получение одной реализации и тем самым
при заданном машинном времени позволяет увеличить
число реализаций и, следовательно, уменьшить ошибку
за счет малости этого числа. Таким образом, можно най-
ти оптимальную сложность модели, обеспечивающую
минимальную величину суммарной ошибки при задан-
ном машинном времени.
Ниже рассматриваются ошибки, связанные с малым
числом реализаций.
153
Б. Точность определения математического ожидания
искомой величины
Пусть в результате N статистических испытаний по-
лучены следующие значения искомой величины: хь %2,
х3, • •., xN и вычислены
N
X~N~ У] Xi* (4)
N
= (5)
Величину х принимают в качестве математического
ожидания искомой величины.
В математической статистике (см. [71] стр. 215) дока-
зывается следующее:
а = Вер (— е < X — х0 < е), (6)
где Хо — истинное значение математического ожидания
искомой величины;
/а — функция а и k = N — 1 для распределения Стью-
дента, значения которой приведены в табл. 4 приложения.
Если задано требование получить математическое
ожидание критерия с тем, чтобы ошибка не превосходи-
ла заданную с заданной степенью надежности, то при-
ходится пользоваться формулой (7) и таблицей. Для
удобства введения в вычислительную машину таблицы
в приложении приведены аппроксимирующие полиномы.
Среднеквадратичное отклонение величины х—xQ со-
гласно [71}
\ $ f N — 1 /Оч
а(х —хв) —у ЛГ —3-
Этой формулой приходится пользоваться тогда, когда
требуется вычислять суммарные ошибки, например с по-
мощью формулы (1).
154
Приведенные формулы позволяют оценить точность
полученных результатов или оценить достаточность
числа реализаций.
Пример. Определить математическое ожидание величины, вычис-
ляемой методом статистических испытаний, если требуется, чтобы
с вероятностью 0,9' ошибка не превосходила 7% математического
ожидания.
Наиболее целесообразно в этом случае после получения каждой
реализации N вычислять х, S по формулам (4), (5), затем по а=0,9
и k=N—1 в табл. 4 приложения находить ta и с помощью формулы
(7) вычислять 8, которое затем относить к х. Если эта величина бу-
дет равна 7% или меньше, то расчет можно прекратить. В против-
ном случае его следует продолжать.
Указанный метод хорошо реализуется на электронных вычисли-
тельных машинах.
В табл. 2.3.1 приведены результаты расчетов по изложенной ме-
тодике. В качестве числа Xi взята случайная последовательность
чисел из табл. 1 приложения, начиная с 21 числа, увеличенная на 5.
ТАБЛИЦА 2.3.1
xi X 5 £ £ X а
1 4,33 4,33 — —
2 5,61 4,97 0,64 — — — —
3 6,15 5,36 0,72 2,920 1,21 0,23 —
4 4,91 5,25 0,62 2,353 0,73 0,14 0,54
5 4,10 5,02 0,71 2,132 0,67 0,13 0,45
6 4,30 4,90 0,69 2,015 0,56 0,12 0,36
7 4,64 4,86 0,63 1,943 0,47 0,10 0,29
8 5,05 4,89 0,59 1,902 0,40 0,08 0,23
9 5,56 4,96 0,59 1,860 0,37 0,08 0,23
10 6,28 5,09 0,68 1,836 0,40 0,08 0,25
11 3,82 4,98 0,74 1,812 0,41 0,08 0,25
12 4,34 4,92 0,73 1,797 0,38 0,08 0,23
13 4,32 4,88 0,71 1,782 0,36 0,07 0,22
Ограничение может быть задано также и по величине (Т, тогда
необходимо вычислять ее с помощью формулы (8) и сравнивать
с заданной.
В. Точность определения искомого
среднеквадратичного отклонения
В качестве подходящего значения среднеквадратич-
ного отклонения принимается величина S, .вычисленная
по формуле (5).
155
В математической статистике ([71] стр. 217) доказы-
вается «следующее:
а = Вер[5<^а], (9)
где о — истинное значение среднеквадратичного откло-
нения;
q определяется с помощью табл. 5 приложения
по величинам а и k=\N—1
В работе [82] приводится приближенная формула
для o’(S), которая хорошо согласуется с точной
o(S) = -=^=. (10)
v 7 /2W—1,4 7
Формула (9) применяется в том случае, когда тре-
буется определить в с ошибкой, не превышающей за-
данную. В этом случае требуемое число реализаций мож-
но определить до начала испытаний.
Формула (10) применяется в тех случаях, когда
необходимо определить суммарную ошибку. Ее приме-
нение затрудняется тем, что величина о (генеральная
дисперсия), как правило, неизвестна. При достаточно
большом числе испытаний в этом случае вместо о
приходится приближенно принимать S.
Пример. Найти число реализаций для определения <т, если тре-
буется, чтобы с вероятностью 0,95 она не превышала истинного
значения больше чем на 20%.
С помощью табл. 5 приложения, взяв У = у~2~ 0,834 и а = 1—
— 0,95 = 0,05, находим К = 50, откуда
Л^ = К + 1 =50 + 1 = 51.
Г. Точность определения вероятности
какого-либо события
Пусть произведено N проб, в которых изучаемое
событие наступило в т раз. Вероятность появления это-
го события будем определять как
(11)
156
Среднеквадратичное отклонение Р от истинного (Ро)
может быть определено с помощью следующей формулы:
а(Р) = |Л (12)
Эта формула оказывается 'полезной при оценке сум-
марной ошибки метода, однако незнание точной вели-
чины Ро затрудняет ее иопользование. Иногда вместо
Ро приходится приближенно принимать Р.
При определении вероятности Р методом статисти-
ческих испытаний зачастую необходимо определить ве-
роятность а того, что Р не будет отличаться от истин-
ной (Р|о) больше, чем на определенную величину ДР,
либо величину ДР = |Р—Ро|, которая не будет превыше-
на с заданной вероятностью а. Величину ДР называют
доверительным интервалом.
Для определения этой величины необходимо вос-
пользоваться табл. 6 приложения. Если при N стати-
стических иопытаний исследуемое событие не наступи-
ло ни одного раза, то с помощью табл. 6 находим Pa,
по которой вычисляем
(13)
Величина Рв является верхней доверительной грани-
цей, нижняя доверительная граница в этом случае
Рн=0.
Если при N статистических испытаний исследуемое
событие наступило m раз, то по а, и ш в табл. 6 на-
ходим коэффициенты Рх и Р2, с помощью которых вычис-
ляем доверительные границы
= (15)
Следует иметь в виду, что если
Bep(P^PH) = a,, (16)
Вер (Р< Рв) = а2, (17)
то Вер(Рв<Р< PB) = ai4-aa— 1. (18)
157
Пример, а) В процессе статистических испытаний требуется
определить вероятность события с ошибкой, не превышающей 0,20,
с надежностью 0,90. При 20 испытаниях получено от=3.
Спрашивается, продолжать получение реализаций или их можно
прекратить?
т
С помощью табл. 6, взяв-у- = 0,15, т = 3 и а = 0,95 [см. фор-
мулы (16), (17) и (18)], находим:
= 3,56, /?2 ±= 0,43,
т
Рн Ж = °’04’ Рв==0’35’
Вер (0,04 < Р < 0.35) = 0,90,
ДР1=0,35—0,15=0,20, ДР2=0,15—0,04=0,11, т. е. не превышают 0,20.
Следовательно, получение реализаций можно прекратить. Отметим,
что всегда ДР1>ДР2, поэтому можно ограничиваться определением
ДРь
б) Пусть при ?/=20 получено /п = 0: задано а=0,975 и довери-
тельный интервал не свыше 0,20.
Из табл. 6 находим /?0 = 3,37. Тогда Рв = = 0,17. ДР =
= 0,17 — 0,00 = 0,17 < 0,20. Расчет можно прекратить.
Д. Точность определения функций одного переменного
на заданном интервале
Часто при решении задач исследования операций не-
обходимо отыскать не одну постоянную величину,
а функцию на заданном интервале изменения аргумен-
та. Рассмотрим прежде всего вопрос о том, когда вид
этой функции известен, в частности, пусть это будет
полином степени п. При этом необходимо определить
среднюю величину среднеквадратичной ошибки функ-
ции сгСр на заданном интервале и выбрать такой способ
определения этой функции, чтобы при заданном числе
испытаний для определения функции получить мини-
мум величины сгср. Пусть заданный интервал 0—г.
Рассмотрим простейший случай, когда искомая
функция—полином первой степени
y = F(x) = ax-\-K (19)
на интервале 0—т.
158
Для определения коэффициентов этого полинома не-
обходимо вычислить значения F (х) по крайней мере
в двух точках (хг, у}) и (х2; г/2). Тогда
f + —г- (2°)
Х2--Х\ х2—Х\
Величины и х2 практически не содержат ошибок,
а и у2 определяются на опыте с ошибками, характери-
зуемыми и з , вызванными ограниченным числом ис-
пытаний.
На основании теоремы о дисперсии линейной функ-
ции можем записать
2 /х2 — X \2 2 f /X —хЛ2 2
О -- I ----- । (5 + ( ---- I Q
У кх2—Xi) У1 1 1х2—Xi J Ул
Тогда
2 =1ГГ/Х2—ГУ а2+/Х-Х. у 021rf
ср1 т J [Дх2 — XiJ Ух 1 ^х2 — X1J Ул
т2 (<з2 + <s2 ) — 3? (х2а^ + Xi<j2 ) + 3 (х? af. + х? <з2 )
__ 4 Уi 1 #а7__4 1 1 Ул' 1 4 ,У1 1 I Z/a7 /01 \
3(х2 — хО2 ’
Отыщем теперь оптимальные величины и х2, при кото-
рых а^Р1 минимальна. Учитывая, что симметрична отно-
сительно у , можем заключить, что оптимальный вариант
должен быть при
°у1==0Ул = ^ И Х2 = т-Х1.
Тогда
2 _ 2тг^~6ЧХ» + 34Х1 /991
СР1— 3(т —2х02 •
^°со
Из условия = 0 находим хх = 0, т. е. целесообразно
точки л\, r/i и х2, у2 расположить по краям интервала.
В этом случае расчеты показывают, что 0^ = 0,817^.
Аналогичные исследования были проведены для полино-
мов более высоких степеней. При этом полагалось, что
159
точки у/, х2, у2;. . . располагаются равномерно по за"
данному интервалу, начиная от краев, а число их мини
мально, т. е. равно степени полинома плюс единица
ТАБЛИЦА 2.3.2
Степень полинома п Наивыгоднейшее число испыта- ний в точках по порядку Значения Кх
При равном числе испы- таний в каж- дой точке При наивы- годнейшем распределе- нии числа испытаний по точкам
0 1.000N 1,00 1,00
1 0.500N; 0.500N 1,34 1,34
2 0.250N; 0.500N; 0.250N 2,40 2,14
3 0,153N; 0.347N; 0.347N 0,153N 3,69 3,22
4 0,112N; 0.280N; 0.216N; 0.280N; 0,112N 5,33 4,71
Исследование показывает, что минимальное число точек
обеспечивает минимум о . Анализ формул для acpi позво-
ляет выбрать оптимальное распределение числа испытаний
по точкам. Если считать, что а = -^L, где rti — число
у* Vrti
испытаний в заданной точке, и наложить условие
п+1
^fii = Nt то можно определить оптимальные дг-, обеспе-
i=i
чивающие минимум ocpj. Соответствующие данные приво-
дятся в табл. 2.3.2. Там же приведен и коэффициент Ki
из формулы
а
СР1
(23)
В ряде случаев а неизвестно и в-качестве него прихо-
дится принймать S.
Однако в ряде случаев показатель степени искомой
функции неизвестен. В этом случае, помимо ошибки за
счет малого объема выборки в опорных точках, также
160
может возникнуть ошибка за счет того, что вид функ-
ции выбран неверно. Рассмотрим вопрос об этой ошиб-
ке. Прежде всего посмотрим, к чему приведет принятие
вместо полинома второй степени полинома первой сте-
пени при условии, что средние величины всех членов
на заданном интервале (0—т) равны между собой.
В этом случае истинный столиком запишется так:
где — среднеквадратичное значение искомой функции
на заданном интервале.
Если вместо этого полинома возьмем полином пер-
вой степени, у которого величины у совпадают с соот-
ветствующими значениями у% из (24) на краях интер-
вала, то этот полином будет иметь следующий вид:
gF f 5х
= • у-—-..' —
/11,133
(25)
Среднеквадратичная величина ошибки на рассмат-
риваемом интервале определится следующим образом:
°сра J [у(2) {/(1)] 36*
(26)
Оказывается, что величина а зависит и от сочетания
1 СП»
знаков г/(2). Если считать все сочетания знаков равноверо-
ятными, то, произведя аналогичные вычисления для
каждого сочетания знаков и взяв среднюю осра, получим
<,СРа==0-3753Г==К23Г
(27)
Аналогичные расчеты были проведены и для дру-
гих случаев. В табл. 2.3.3 приведены коэффициенты К2,
когда степень истинного полинома равновероятна от О
до Л4, а степень принятого полинома п,
В практических приложениях трудно ожидать, что
искомая функция будет иметь большое число экстрему-
мов и перегибов, «поэтому практически она всегда до-
статочно хорошо будет аппроксимироваться полинома-
11—343 161
ми 3—4-й степени. Ёо всяком случае, можно Ожидать,
что Л4<6.
ТАБЛИЦА 2.3,3
п 1 2 3 4 5 6 7
0 0,000 0,270 0,353 0,453 0,502 0,556 0,591
1 0,000 0,000 0,125 0,252 0,339 0,435 0,533
2 0,000 0,000 0,000 0,026 0,053 0,087 0,119
3 0,000 0,000 0,000 0,000 0,005 0,013 0,020
Рассмотрим теперь вопрос о выборе оптимальной сте-
пени' аппроксимирующего полинома. Суммарная средняя
ошибка искомой функции на заданном интервале (учиты-
вая, что' а и зср2 независимы)
аср — % +Зсра ’ + ^2 °F ’ (28)
где
<м>
Поскольку Кх и К2 при фиксированном М являются
функцией /г, то величина — будет являться функцией
°F
п и т.
Результаты расчетов показаны на рис. 2.3.1, из ко-
торого видно, что существует оптимальная величина и,
которая зависит от величины т. Физический смысл т
следующий — это относительная точность определения
функции в опорных точках. Чем эта точность выше, тем
более высокую степень полинома следует принимать.
При /п>0,2 целесообразно принимать п = 2; при т<0,2
величину п целесообразно принимать равной 3.
Пример. Требуется найти функцию вероятности поражения
цели от отношения радиуса зоны поражения к среднеквадратич-
ному отклонению R == — на интервале = 1 ~ 3, при этом
162
_R*_
P=^Re 2 dR вычисляется методом статистических испытаний,
о
(Пример этот выбран только для удобства сравнения с точными
результатами, так как на прак-
тике функция вычисляется
аналитически.) Для вычисле-
ния функции мы можем про-
вести 100 испытаний.
Независимо от степени по-
линома, в форме которого мы
будем искать функцию, необ-
ходимо провести испытания
на кранах интервала. Из табл.
2.3.2 видно, что в зависимости
от степени полинома, *в форме
которого мы будем искать
функцию, по краям интервала
требуется провести от 50 до
11,2% испытаний. Проведем
по 11-испытаний и опреде-
лим (Т.
Для точки при /?1 = 1 вос-
пользуемся расчетами, приве-
денными в табл. 2.1.2, откуда
при n=ll, S(d=0,157, Л1)=
= J2 =0,446.
Для точки с /?]=3 прове-
дем аналогичные расчеты, в ре-
зультате которых получаем
Теперь вычисляем <т (в качестве а фактически принимаем S):
при n=ll, S(3)=0,590, Р(3)=0,999.
= 0,55,
а 0,55
т ~ <SFV N 0,77/100 = °’07’
Исходя из т, определяем, что
будет 3.
Тогда распределение числа
следующим (см. табл. 2.3.2):
наивыгоднейшей степенью полинома
реализаций по точкам должно быть
при /?! = 1
R1 = 1,67
= 2,33
Ri = 3
— 15 реализаций
-— 35 реализаций,
— 35 реализаций,
— 15 реализаций.
11*
163
Проведя соответствующие вычисления, определим Pi и 5».
ТАБЛИЦА 2.3.4
1 1,67 2,33 3
Ni 15 35 35 15
Si 0,151 0,302 0,377 0,560
Pi 0,464 0,735 0,978 0,933
Р = aR3 + bR2 + cR + d.
Подстав.ив в эту формулу соответствующие значения Ri и Pi и
разрешив полученную систему уравнений относительно a, b, с, d,
будем иметь следующую формулу для Р:
Р = — 0,149/?3 + 0,711^2 — 0,672/? + 0,571. (30)
Вычислив а)?=0,80, <т=0,375, ^=0,06, с помощью рис. 2.3.1 найдем,
что
ccPS 0,laF = 0,08.
Для сравнения на рис. 2 3.2 показаны точный и полученный с
помощью формулы (30) графики функции.
0 1 2 3 R
Рис. 2.3.2.
Е. Проверка гипотезы о величине
математического ожидания
Весьма часто при исследовании операций встречает-
ся случай, когда из двух вариантов (Л и Б) требуется
выбрать один, математическое ожидание критерия ко-
торого больше математического ожидания критерия
другого. При этом ни математическое ожидание, ни
дисперсия критериев до исследования неизвестны, а са-
164
ми критерии определяются методом статистических ис-
пытаний.
В этом случае до начала испытаний ответить на во-
прос о требуемом их числе невозможно. По мере .прове-
дения испытаний необходимо вычислять величину 6хъ =
= хА —хБ , 'математическоеожидание и среднеквадра-
тичное отклонение этой величины
w
i = \
N
s2=^S(8x,~^)2' (31)
Z —1
Затем, полагая, что для определения каждой из иссле-
дуемых величин проведено по N испытаний, вычисляем
критерий
/ = (32)
Далее по табл. 4 приложения, приняв в качестве К=2
(N— 1), находим вероятность а того, что лА>хБ, т. е.
что 8х>0. Если эта вероятность соответствует той, ко-
торую требуется получить, то счет прекращается. В про-
тивном случае он продолжается до тех пор, пока не по-
лучим требуемую вероятность.
Пример. Определить, математическое ожидание какой из вели-
чин хА или хв — больше. Правильный ответ должен быть дан с ве-
роятностью. 0,95. Результаты расчетов приводятся в табл. 2.3.5.
После 4 испытаний расчет можно прекратить.
ТАБЛИЦА 2.3.5
ХА *Б lxi Ъх 5 t К а
1 0,33 —0,19 0,52 0,52 "
2 1,61 0,29 1,32 0,92 0,40 2,30 2 0,84
3 2,15 2,17 —0,02 0,61 0,53 1,64 4 0,82
4 0,81 —0,63 1,44 0,82 0,56 2,54 6 0,95
5 0,10 —0,11 0,21 0.6Э 0,54 2,55 8 0,96
165
Ж. Проверка гипотезы о величине
среднеквадратичного отклонения
Иногда требуется выбрать вариант (из А и В), у ко-
торого среднеквадратичное отклонение критерия боль-
ше, чем у другого. В этом случае проводится Ai испы-
таний для варианта А, >по результатам которых вычи-
сляется SA и N2 испытаний для вариантов В, по которым
вычисляется SB. В 1математической статистике ([71]
стр. 245) показывается, что
о2
s2 ’
°в
(33)
где F является функцией /Ci=Ai—1 и А2 = А2—1 и за-
заданной вероятности того, что SA>SB.
Табл. 8 значений функции F для Р = 90 и 98% приве-
дена в приложении. В ней дана выборка для случая
Nx = N2'(y. е. Ai = A2) и случая оптимального N\ и Л'2,
под которым понимается такое их сочетание, при кото-
ром для заданного NX+]N2 величина Р максимальна.
Из таблицы видно, что число реализаций для варианта
с меньшей дисперсией целесообразно получать больше.
Пример. Проведено по 21 испытанию для двух вариантов, из
которых определены
SA=10, Sb = 8.
Требуется ответить на вопрос, больше ли Sa, чем Sb, с вероят-
ностью Правильного ответа 90%.
Определить, следует ли продолжать набор реализаций либо его
можно прекратить. Имеем
Ка + Кв=21+21—1—1=40,
5В
1Q2
82
= 1,56.
SA
Из табл. 8 приложения видим, что Р<90°/о, так как —2~=
5В
= 1,56 <2,12. Следовательно, набор реализаций нужно продол-
жать.
Если допустить, что при продолжении опытов
5В
не изменит-
ся, то из таблицы определим, что для обеспечения Р 90°/о об’
шее число опытов должно быть около 120.
166
В данном случае необходимо производить последовательный ана-
лиз результатов испытаний, увеличивая число испытаний для вари-
анта с меньшей дисперсией таким образом, чтобы К2 стремилось
к оптимальному. Последнее, правда, дает заметный эффект только
при малом числе испытаний.
Введение соответствующего алгоритма ® ЭЦВМ не вызывает
каких-либо трудностей.
3. Проверка гипотезы о величине вероятности
Наконец, возможен случай, когда потребуется уста-
новить, больше или меньше вероятность, соответствую-
щая варианту А, вероятности, соответствующей вариан-
ту В.
При достаточно большом числе испытаний (порядка
30) можно считать, что
Р
А
тА
И Рв
«в
Л^в
будут распределены по нормальным законам с вели-
чинами среднеквадратичных отклонений
^в(1 - рв)
*в
(34)
(35)
В этом случае разности ----будут также распреде-
77 А 7VB
лены по нормальному закону с
* = 3а+°В- (Зб)
Тогда вероятность а того, что Pi>P2, может быть опре-
делена из равенства
167
Если положить Рк = —- и PR = — , что можно
А в nb'
только при достаточно больших Nд и NB, то
ОТА тВ "1
"а "в_____________
— «а)2 , тв (Л'в—отв)2
"в J
a-=F
г4
Здесь:
X
Г е 2 dx.
сделать
(38)
(39)
Таблицы F (х) даны в приложении (см. табл. 3).
а = F
Пример. Проведено по 30 опытов, при которых событие А про-
изошло 15 раз, а событие В— 10 раз. Необходимо проверить гипоте-
зу о том, что вероятность события А больше вероятности события
В с надежностью а = 0,975.
15___[0
30 30
152 (30 — 15)2 102 (30 — 10)2’
304 + 304
= F (1,97) = 0,9756,
т. е. вероятность того, что Ра>Рв больше 0,975, и получение реали-
заций можно прекратить.
И. Проверка гипотезы о наличии связи
между двумя величинами
В процессе исследования методики может оказаться
необходимым установить, существует ли связь между
критерием (х) и какой-либо другой величиной (у), т. е.,
инымй словами, ответить на вопрос о том, влияет ли эта
величина (у) на критерий. Для этого необходимо вы-
числить коэффициент корреляции, проведя W испытаний
для определения хну:
N
^(хцц-ху)
Г
NSxSy
(40)
168
Затем необходимо определить параметр /:
(41)
/1—г2 ‘
Взяв величины t и К=Л/Г—2, с помощью табл. 4 прило-
жения найти вероятность того, что полученная корре-
ляция не появилась случайно.
Пример. При исследовании модели в результате 20 испытаний
было установлено, что между критерием и одним из факторов суще-
ствует коэффициент корреляции г=0,4. Какова вероятность того, что
эта связь действительно существует?
0,41^20 — 2
t = -77- = 1,23.
]Ti — 0,42
Из табл. 4 приложения по /=1,23 и К=20—2=18 находим а 0,800,
т. е. вероятность наличия связи недостаточно велика для надежного
утверждения о ее существовании.
При проведении статистических испытаний обычно
бывает задана величина а. Тогда после получения каж-
дой реализации необходимо вычислять Sx и Sy, затем
по формулам (40, 41) величины г, t и с помощью табли-
цы величину а.
Эту величину а следует сравнить с заданной и в за-
висимости от результата сравнения останавливать или
продолжать счет. Такой алгоритм легко реализуется на
ЭЦВМ. Для упрощения расчетов на ЭЦВМ в таблицах
соответствующих функций даны и аппроксимирующие их
полиномы, удобные для введения в ЭЦВМ.
В практике работ могут встретиться и другие случаи
проверки гипотез, например гипотезы о характере рас-
пределения исследуемой величины. Их описание дается
в курсах математической статистики, например в [71].
§ 2.4. ПУТИ УМЕНЬШЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ
Выше была рассмотрена точность результатов в ос-
новных случаях, которые могут встретиться при приме-
нении метода статистических испытаний. Из этого рас-
смотрения видно, что эта точность зависит от числа
проведенных испытаний и среднеквадратичное откло-
нение примерно пропорционально квадратному корню
из их числа. Таким образом, если точность следует уве-
169
личить в 10 раз, то для этого число реализаций придет-
ся увеличить в 100 раз. Это далеко не всегда возможно.
Поэтому встает вопрос об уменьшении дисперсий из-
меряемых величин другими путями. При этом само по
себе сокращение дисперсии не может служить критери-
ем целесообразности метода. Следует рассматривать
величины дисперсий при одной и той же затрате вре-
мени.
В настоящее время известно много таких путей. Все
их можно разделить на две группы:
1. Сочетание статистических испытаний с аналитиче-
скими методами. Этот путь может оказаться наиболее
эффективным. Это своеобразная борьба со «слепотой»
метода.
Применение специальных выборок. Эти методы име-
ют много общего с методами, применяемыми для анало-
гичных целей «в математической статистике.
Рассмотрим более подробно каждый из этих путей,
хотя следует иметь в виду, что в конкретных случаях
они могут использоваться и совместно.
А. Сочетание статистических испытаний
и аналитических методов
Пусть требуется определить вероятность попадания
в цель, представляющую собой круг радиусом г, при за-
данных характеристиках системы управления и ракеты.
Модель для решения этой задачи состоит из двух основ-
ных блоков: блока оценки точности стрельбы, на выходе
которого при каждой пробе получаются отклонения ра-
кеты от центра цели (г;), и блока оценки вероятности
попадания в цель, который может быть построен по-раз-
ному. Он может быть построен на принципе использова-
ния метода статистических испытаний. В этом случае
для каждой реализации первого блока производится
сравнение полученного отклонения т\ с радиусом цели г.
Если Гг<^гу то попадание произошло. В противном слу-
чае считаем, что его нет.
Вероятность попадания в цель (р) определяем как
отношение числа случаев попадания (т) к общему чис-
лу испытаний (и)
170
Это случай применения метода статистических испыта-
ний в «чистом» виде.
Возможен и другой принцип построения блока оцен-
ки эффективности. Данные, полученные из первого бло-
ка, подвергаются статистической обработке, в резуль-
тате которой вычисляются среднеквадратичные отклоне-
ния по дальности и направлению ох и oz. Пусть они рав-
ны между собой
ax = oz = a. (2)
Принимаем их равными выборочному, среднеквадра-
тичному S. В этом случае вероятность попадания в цель
может быть определена по формуле
где
(3)
(4)
Здесь имеет место комбинация метода статистических
испытаний с методом аналитическим. Сравним ошибки
в этих двух случаях.
Согласно изложенному в предыдущем параграфе,
ошибка определения р в первом случае после получе-
ния N реализаций
(5)
Для вычисления о воспользуемся приближенным равен-
ством
Но
OP п_______L дР -
д° а г ' db
в
s " V2N— 1,4 ’
(6)
(7)
(8)
171
Тогда
Отсюда
др _
дЬ —
______i_
2Ьа
е
Ь*
1
2Ь^
е
О =---------7=--- .
Pi 62 /2 ^ — 0,7
(9)
(Ю)
(И)
Поскольку р однозначно определяет Ь, то можно выра-
зить как функцию р и N. Результаты соответствую-
Ра
щих расчетов представлены на рис. 2.4.1.
172
Из рисунка видно, что существуют области, где вы-
годнее первый метод, и области, где выгоднее второй.
При р = 0,05 второй метод приводит к среднеквадратич-
ному отклонению в 3 раза меньшему, чем второй. А это
фактически означает возможность уменьшить число реа-
лизаций примерно в 10 раз.
Приведенный пример позволяет сделать вывод об
эффективности сочетания метода статистических испыта-
ний с аналитическими методами. В литературе приво-
дятся примеры и значительно более эффективных соче-
таний. Разумеется, что в некоторых случаях может
оказаться целесообразным первую часть модели иссле-
довать аналитически, а вторую — статистическими испы-
таниями.
Б. Анализ результатов,
получаемых в процессе реализаций, и принятие
соответствующих изменений в счете
В американской печати этот метод иногда назы-
вают «русской рулеткой». Сущность метода можно
хорошо проиллюстрировать на примере (см. табл. 2.1.2).
Очевидно, что если хп>\ или гп>1, то гп>1 и
бт = 0. Следовательно, если оказалось, что хп>1, то счет
не следует продолжать, а сразу считать, что цель не по-
ражена.
Если хп < 1, то следует найти zn. Если zn > 1, то
следует считать, что цель не поражена. Наконец, если
xn<Z 1 и гп<1, то целесообразно провести еще одну
проверку. Действительно, если хп<0,7 и zn=^0,7, то
г <]/0,72-|-0,72= 1 и цель поражена. Значит, и в этом
случае можно не рассчитывать гп.
Из табл. 2.1.2 видно, что по критерию хп>1 можно
прекратить счет в 7 случаях из 20, по критерию хп<1,
но ггг>1, можно прекратить счет в 5 случаях и по кри-
терию Хтг<0,7 и zn<0,7 — также в 5 случаях. Таким
образом, всего в 3 случаях из 20 необходим расчет гп.
Конечно, в рассматриваемом примере расчет гп не
является трудоемкой операцией и полученная экономия
времени небольшая. Однако если бы расчет гп и сравне-
ние его с г были основными по трудоемкости операция-
ми (это бывает при более сложных случаях расчета),
то можно было бы примерно в 7 раз быстрее произвести
173
расчеты, что позволило бы при одном и том же времени
повысить точность полученных результатов примерно
в 2,5 раза.
При статистическом моделировании боевых действий,
когда одной из сторон нанесены большие потери, оче-
видно, не стоит продолжать расчет этой реализации до
конца, а можно считать, что бой ею проигран. При этом
встает вопрос, что понимать под «большими потерями».
Чаще всего ответ на этот вопрос может дать анализ
предыдущих вариантов.
Наглядным примером применения этого метода при
статистических испытаниях может служить анализ про-
цесса воздушной разведки с учетом погоды. Если ока-
залось, что облачность закрывает цель, то процесс счета
можно прекращать, считая, что разведка не достигла
эффекта. При этом само построение модели должно
быть таким, чтобы в первую очередь получалась инфор-
мация, требуемая для проведения оценок, а затем уже
проводился трудоемкий счет.
Любую сложную модель необходимо тщательно про-
анализировать и ввести критерии прекращения счета
в тех случаях, когда уже промежуточные результаты
дают возможность принять то или иное решение.
В. Выделение части, определяемой аналитическим путем
Сущность этого приема поясним на нескольких при-
мерах. Прежде всего, когда интеграл вычисляется по
частости попадания случайных точек в площадь, ограни-
ченную сверху интегри-
руемой функцией, це-
лесообразно всю рас-
D сматриваемую пло-
щадь ограничить ми-
нимально возможной
величиной, как это
Ff следует из рис. 2.4.2.
в Очевидно, что нет не-
обходимости вычис-
лять с помощью ста-
тистических испытаний
_____________в____ часть площади АА'ВВ',
которая легко вычис-
Рис. 2.4.2. ляется аналитически.
174
Другим примером может служить вычисление 3=
1 __ ₽»
— J Re 2 dR. Выделим из подынтегральной функции
о
линейную часть и будем вычислять
1 1
J = j [f(R)-]-O,QR]dR= Jf(/?)d/? + 0,3, (12)
О о
_ /?2 / _ X
f(R) = Re 2 — 0,6Z? = Z?<е 2 -0,6,)-. (13)
Вспоминая, что точное значение этого интеграла
равно 0,393, мы видим, что сущность приема состоит
в вычислении основной его части (0,3) аналитически и
только небольшой части (0,093) методом статистиче-
ских испытаний. Результаты соответствующих расчетов
приведены в табл. 2.4.1. Случайные числа те же, что и
в табл. 2.1.2.
Из таблицы видно, что ошибка J (1,5%) получи-
лась значительно меньше, чем в случае, приведенном
в табл. 2.1.2. Среднеквадратичное отклонение (3,6%)
здесь также значительно меньше.
Рассмотрим еще один возможный путь использова-
ния рассматриваемого метода. Пусть требуется вычис-
лить
3 _
p = J = J/?e 2 dR. (14)
о
Результаты вычисления этой величины при п=15 приве-
дены в предыдущем параграфе. Точность вычисления ее
можно значительно увеличить, если вспомнить два
обстоятельства:
00 _
1) 2(Z/? = 1;
о
2) правило За, согласно которому вероятность от-
клонения свыше За очень мала.
Будем считать, что вероятность отклонения свыше 6а
пренебрежимо мала..
175
ТАБЛИЦА 2.4.1
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f 0,134 0,011 0,090 0,040 0,140 0,051 0.120 0,137 0,137 0,132
у 0,434 0,372 0,378 0,369 0,383 0,378 0,384 0,390 0,396 0,399
S — 0,0949 * 0,0632 0,0548 0.0548 0,0490 0,0532 0,0548 0,0434 0,0527
а — — — 0,0475 0,0346 0,0258 0,0246 0,0230 0,0167 1 0,0189
п 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f 0.129 0,117 0,099 0,128 0,016 0,114 0-, 051 0.057 0,134 0,134
у 0.402 0,403 0,403 0,405 0,399 0.400 0.397 0,395 0,397 0,399
S 0,0412 0,0514 0,0466 0л0382 0,0463 0,0416 0,0380 0.0406 0,0349 0,0410
с 0.0139 0,0164 0,0141 0,0111 0,0130 0,0112 0,00986 0,0102 0,00850 0,00969
ТАБЛИЦА 2.4.2
п 1 2 3 4 5
Y г == 3 -|- 3<Xj 5,001 5,979 3,726 5,820 4,830
«> 0,667 0,993 0,242 0,940 0,610
<p(Yi)-104 0,186 0,00103 36,0 0,00257 0,414
Р=1-ЗХ 0,99994 0,99997 0,99637 0,99728 0,99780
X1
S — 0,00004 0,00622 0,00539 0,00482
а — — — 0,00468 0,00305
п 6 7 8 9 10
= 3 + За^ 3,393 4,056 4,938 4,938 5,040
а> 0,131 0,352 0,646 0,646 0,680
¥(ь)-ю4 107 10,9 0,251 0,251 0,154
р=1-зх 0,99280 0,99340 0,99418 0,99484 0,99535
х'-' „
5 0,0129 0,0119 0,0112 0,0107 0,0102
а 0.0Q680 0,00551 0,00468 0,00412 0,00366
п 11 12 13 14 15
Yi = 3 + За; 4,194 4,017 5,418 5,097 5,952
а» 0,398 0,339 0,806 0,699 0,984
<Р (YiHO* 6,33 12,6 0,0229 0,116 0,00121
р=i-зх 0,99562 0,99565 0,99598 0,99628 0,99652
х’"'„ S 0,00974 0,00926 0,00894 0,00867 0,00840
а 0,00329 0,00295 0,00272 0,00252 0,00234
12—343
177
Продолжение табл. 2.4.2
п 16 17 18 19 20
Yi =3 + За; 3,981 3,387 3,438 5,007 4,290
ai 0,327 0,129 0,146 0,669 0,430
?(Y.)-104 14,4 109 93,2 0,180 4,33
р=1-зх 0,99646 0,99475 0,99349 0,99382 0,99406
х‘_'„
S 0,00812 0,0106 0,0116 0,0114 0,0111
G 0,00218 0,0027-5 0,00291 0,00278 0,00262
Тогда
6 _
р = 1 — j Re 2 dR.
3
(15)
И здесь наиболее существенная часть (1) вычис-
ляется аналитически, а менее существенная — путем ста-
тистических испытаний, причем это делается даже за
счет введения дополнительных допущений (верхний пре-
дел интегрирования принят равным 6 вместо оо).
Результаты вычисления, таким . образом, приведены
в табл. 2.4.2. Случайные числа те же, что и в табл. 2.1.2.
Поскольку здесь интервал интегрирования от 3 от 6,
то случайные числа at-, полученные из интервала 0—1,
необходимо преобразовать в уг-, распределенные в интер-
вале 3—6:
уг=3 + 3аг. (16)
Затем вычисления производятся обычным порядком,
с той лишь разницей, что при вычислении интеграла
математическое ожидание подынтегральной функции
умножаем на интервал интегрирования (в данном слу-
чае 3).
Из данных таблицы видно, что этот прием оказался
весьма эффективным. Ошибка составляет всего 0,52%,
среднеквадратичное отклонение 0,25%, т. е. намного мень-
ше, чем в предыдущих случаях. При расчете обычным
методом среднеквадратичная ошибка составляет 13%.
178
Г. Применение существенных (значимых) выборах
Этим методом начнем изложение специальных видов
выборок. Он состоит в получении выборок из распреде-
ления, отличного от распределения, подсказанного самой
задачей, и умножении окончательного результата на
нормирующий множитель — поправочный коэффициент,
который компенсирует применение неправильного рас-
пределения.
Существо этого метода сводится к проведению боль-
шого числа проб в наиболее интересных областях, т. е.
тех областях, где получаются наиболее показательные
результаты. Например, если нас интересует оценка воз-
действия снарядов противника на какое-либо сооруже-
ние, то следует рассмотреть случаи попаданий снарядов
вблизи этого сооружения, случаи же больших отклоне-
ний рассматривать не следует, хотя при этом мы и пре-
небрегаем малыми разрушениями.
Если нас интересует оценка работы сложной системы
массового обслуживания, то это лучше всего сделать
при наиболее интенсивном потоке заявок. Оценку систе-
мы противотанковой обороны целесообразно произво-
дить при массированной атаке танков, так как в этом
случае более наглядно вскрываются все ее слабые сто-
роны. При этом опять-таки не учитываются (или учиты-
ваются в меньшей степени) случаи атак слабыми си-
лами, но они и не являются определяющими.
Рассмотрим более конкретно этот метод на примере
вычисления интеграла. Пусть требуется вычислить
ь
J = J/(Л)б/х. (17)
а
Пусть 5 — случайная величина, плотность вероятности
которой отвечает двум условиям: р(х)>0; при а<^х<^Ь
ь
J р (х) Jx = 1.
а
Можем записать очевидное равенство
ь
J=\f7§)pwdx-
а
(18)
(19)
12*
179
Рассмотрим, чему будет равно математическое ожида-
ние
НИе Р(5)
ь
а
(20)
Следовательно, в качестве оценки искомого
можно принять
Lf(M
P(5i) ’
интеграла
(21)
f (Е)
Дисперсия величины будет равна
ь ъ
а а
(22)
Минимум D имеет в том случае, когда
A
If (-у)Г
ь
J If (x)l dx
а
(23)
Тогда подстановка (23) в (22) дает
А это означает, что если подынтегральная функция не
меняет знак, то дисперсия равна нулю. Воспользоваться
формулой (23) непосредственно до начала счета не
удается, так как для вычислений с ее помощью необхо-
димо знать искомый интеграл. Однако она является
чрезвычайно важной, так как, во-первых, дает указание
о том, что распределение случайной величины £• надо
выбирать таким, при котором наибольшее число точек
попадает в те области, где значения подынтегральной
функции максимальны, а во-вторых, может быть
180
использована в процессе счета, когда интеграл опреде-
ляется по ограниченной выборке, которая дает информа-
цию и о виде функции f(x).
В качестве примера вычислим
1 __R2
3 = j Re 2 dR,
О
приняв
р (R) = kR. (25)
Вычисления производятся применительно к одному
и тому же интегралу с тем, чтобы можно было сравнить
эффективность разных путей снижения дисперсий.
Здесь К и есть коэффициент, исправляющий «непра-
вильное распределение». Он определяется из условия
1 1
^P(R)dR=l, к ^RdR = l,
о о
К = 2. (26)
Таким образом, вычисление интеграла производится по
формуле
*2
п _ Ч
^=srEe (27)
Z=1
где числа & распределены с плотностью вероят-
ности (25).
Их можно вычислять с помощью формулы
Ь = (28)
где X; — числа, распределенные по закону равной ве-
роятности в интервале 0—1. Вывод ее дан в § 2.2.
Расчет по формуле (28) при п = 20 дал следующие
результаты: 3 — 0,3852, 5 = 0,0529. Таким образом,
ошибка в определении интеграла составила 1,98%, сред-
неквадратичная ошибка, согласно формуле (2.3.8), со-
ставила 3%, т. е. и здесь имеет место существенное улуч-
шение точности.
181
Д. Выборка по группам
Допустим, что требуется вычислить вероятность по-
ражения цели путем бомбометания с бомбардировщи-
ка в любую погоду. Одним из логичных приемов реше-
ния этой задачи будет решение ее по группам: каждая
группа при различной погоде, но одинаковая погода
внутри группы с последующим осреднением полученных
результатов с учетом вероятности той или иной погоды.
Такая задача в конечном итоге сводится к отысканию
интеграла. Однако и интеграл может вычисляться по т
группам
b т bk
J f (х) dx = £ J f (х) dx. (29)
a k~\ ah
Если каждый из интегралов, входящих в сумму, вы-
числять простейшим методом статистических испыта-
ний, то
т nk
J=S £№*> <30>
где
lh = bh-ah, D = (31)
*=i
ьк
Dk=D[f(\k)\=-^—\r{x)dx-
ак
Ьк
bk — ah j I dx •
ak
Если зафиксировать общее число опытов N, то не-
трудно показать, что для минимума D необходимо выби-
рать nk пропооциональным IkVВ этом случае
/ т \ 2
I V 1к у7Ук I
D=Kk-' -N...-Д (33)
182
Однако значения D& в начале счета неизвестны.
В этом случае обычно принимают tik пропорциональны-
ми 4. При этом
т
D = ~YilkDk- (34)
/г=1
Однако может быть применен и последовательный
метод, при котором по ограниченному числу проб опре-
деляют дисперсии, в соответствии с которыми делят
оставшиеся пробы.
Рассмотрим вопрос о влиянии числа групп на точ-
ность вычисления интеграла в том случае, когда Ik и ilk,
а также Dk равны между собой. В этом случае
D=(^=^Dh, (35)
т. е. дисперсия интеграла зависит от числа групп только
через величину Dk. Для качественной оценки влияния
числа групп на Dk рассмотрим случай
/(х) = Кх". (36)
Тогда в каждой группе
‘к Д
M[f(x)]=±\ f(x)dx=±\Kxndx = -^, (37)
tft J Ik J IL 1
0 0
Dh-~^{f(x)-M[f(x)]ydx==
0
= ^ПКа'"~7Тг)!^ =
0
+ (38)
где Afk — приращение функции в группе
? = (2л + 1) (л + 1)~ (39)
183
зависит от вида функции. Вид ее показан на рис. 2.4.3.
Таким образом, чем меньше приращение функции
в группе, т. е. чем меньше группа, тем меньше диспер-
сия. В пределе мы приходим к группам, состоящим из
одной точки. Такую выборку называют систематической.
1 _
В качёстве примера был вычислен интеграл j* Re 2 dR
b
при разном числе групп и общем числе реализаций, рав-
ном 20. Результаты этих расчетов представлены в
табл. 2.4.3.
ТАБЛИЦА 2.4.3
2
5
20
Число
групп
0,4240
0,4140
0,4030
0,3931
Ошиб-
ка в
7,9
5,3
2,6
0,03
Среднеквадра-
тичная ошиб-
ка в опреде-
лении JT в %
от J
9,4
5,2
2,2
0,5*
* Ориентировочно, исходя
мулы (38).
из фор-
«7
Из таблицы видно, что этот метод может оказаться
весьма эффективным. Среднеквадратичные ошибки ока-
зываются примерно обратно пропорциональными числу
групп, что следует из формулы (38).
Е. Использование зависимых величин
Пусть требуется провести сравнение точности стрель-
бы двух ракет (Si и S2), управляемых только на актив-
ном участке, автоматы дальностей которых имеют раз-
ную конструкцию.
Отклонение по дальности каждой из ракет может
быть определено следующим образом:
Xl=XOl + Xn.’ <40)
Х2 = Ха, + Хпг> И1)
184
где х и ха —отклонения за счет активного участка,
т. е. ошибок автомата дальности;
хп, и хп2 — отклонения за счет неуправляемого пас-
сивного участка.
Пусть = 1, = 0,5<3X/Zi = аХ/га = 1. Для вычисле-
ния Sj и S2 методом статистических испытаний необхо-
димо определить случайные реализации х^, ха*, хп* и хп
и затем хг и х2 с помощью формул (40) и (41).
Если производить вычисления ха*, ха*, хП1 и хп*, а сле-
довательно, xt и х2, исходя из независимых величин, то
получим следующую картину (табл. 2.4.4)
ТАБЛИЦА 2.4.4
п 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Истин- ное значе- ние S
Xi 0,13 0,07 1,57 —0,67 —0,74 1,25 1,51 0,68 -0,92
хг -1,82 0,40 2,42 —0,70 2,30 —0,37 1,56 —0,96 1,09 —
Si — 0,04 0,85 0,93 0,93 0,96 0,99 0,92 0,98 1,41
s2 — 1,00 2,16 1,80 1,90 1,73 1,65 1,61 1,53 1,11
Из таблицы видно, что S, получаемые во втором слу-
чае, оказываются значительно большими, чем в первом,
и выбрать лучшую ракету, таким образом, по 9 испыта-
ниям не удается (можно сделать неверный выбор).
Облегчить эту задачу можно, используя зависимые слу-
чайные величины (в данном случае лучше всего одина-
ковые величины) для расчета хп* и хп*. В этом случае
будем иметь следующую картину (табл. 2.4.5).
ТАБЛИЦА 2.4.5
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Истин- ное значе- ние
Xi 0,13 0,07 1,57 —0,67 0,74 1,25 1,51 0,68 -0,92
х2 0,61 —0,84 0,76 —0,73 0,53 1,35 2,05 0,51 —0,84 —
Si — 0,04 0,35 0,93 0,93 0,96 0,99 0,92 0,98 1,41
52 — 1,02 0,89 0,85 0,78 0,88 1,05 0,98 1,01 1,11
185
Выбор лучшей ракеты в данном случае по 9 испыта-
ниям также не удается, но принципиальной ошибки
здесь не допускается. По результатам расчетов ракеты
равноценны. Кроме того, в этом случае потребовалось
меньше случайных величин.
Изложенный пример не имеет практического смысла,
так как и без расчетов было ясно, какая ракета лучше.
Единственной его целью было показать сущность ме-
тода.
Однако основная идея этого примера имеет практи-
ческое значение. Пусть точки падения двух типов ракет
определяются опытным путем и нам наперед ничего не-
известно о рассеивании каждого типа ракет. Если про-
водить испытания ракет в разных метеоусловиях (это
соответствует выбору независимых случайных чисел для
определения и то получим картину, представ-
ленную в табл. 2.4.4. Если испытания каждой пары ра-
кет одного и другого типов проводить в одинаковых ме-
теоусловиях (что соответствует случаю принять одинако-
вые случайные числа для расчета хп^ и хЛа), то мы по-
лучим картину, представленную в табл. 2.4.5, и сможем
решить задачу выбора лучшей ракеты при ограниченном
числе испытаний.
Аналогичный случай может встретиться и при иссле-
довании математической модели, когда результат полу-
чается'расчетом по достаточно сложной системе уравне-
ний, проанализировать которую не удается, и прихо-
дится сравнивать две относительно большие флюктуи-
рующие величины для вычисления небольшой величины.
В этом случае сравнение целесообразно проводить
при прочих равных условиях, используя зависимые (или
даже одинаковые) величины. При этом, конечно, следует
охватить достаточно широкий диапазон изменения усло-
вий, ибо вариант, выгодный в одних условиях, может
оказаться менее выгодным в других. Одним из выраже-
ний этого метода является требование очищать модель
от всего лишнего.
Выше был указан случай применения зависимых ве-
личин для сравнения среднеквадратичных отклонений.
С подобным же успехом оно может применяться и для
Сравнения математических ожиданий, вероятностей, вы-
числения интегралов.
186
Использование зависимых величин может оказаться
весьма эффективным при сравнении результатов точной
и приближенной теории.
В заключение приведем пример применения зависи-
мых величин для вычисления интеграла. Пусть требует-
ся вычислить
1 _ Я» J
3 = f Re 2 dR = j <f (R) dR. (42)
0 Q
Поскольку на рассматриваемом интервале подынте-
гральная функция монотонно возрастает, то при попада-
нии большого числа точек на начальную часть интервала
получится заниженное значение интеграла, в противном
случае — завышенное. Чтобы этого избежать, восполь-
зуемся зависимыми величинами. Получив случайное чис-
ло cti, будем определять число 1—аг-. Этим самым дости-
гается равномерное распределение чисел по интервалу
интегрирования. Вычисляем интеграл по формуле
п
+ (43)
i = l
Этот прием иногда называют симметризацией подынте-
гральной функции.
Расчет по этой методике при 20 реализациях привел
к ошибке в интеграле 6,9%, а среднеквадратичная ошиб-
ка составляет 3,2%. Это существенное улучшение точ-
ности метода. Комбинация симметричной выборки с раз-
бивкой на 5 групп позволила уменьшить ошибку в инте-
грале до 0,3% при среднеквадратичной ошибке 0,35%.
Применительно к более сложным моделям этот при-
ем может состоять, например, в расчете реализаций рас-
сматриваемого процесса при симметричных отклонениях
от среднестатистического значения температур.
Ж. Дополнительные замечания
Выше были приведены некоторые методы, позволяю-
щие существенно уменьшить дисперсию. В отдельных
случаях это снижение дисперсии может достигать 106
раз. Характерным здесь является то обстоятельство, что
187
при применении этих (методов не наблюдаются законы,
если можно так выразиться, «сохранения стоимости».
То есть удается достигнуть значительного уменьшения
дисперсии либо вообще без увеличения объема счета,
либо с минимальным увеличением этого объема, не иду-
щим ни в какое сравнение с достигаемым снижением
дисперсии. Этого, как правило, не наблюдается при
обычном числовом анализе.
Разумеется, изложенные формулы редко смогут
использоваться непосредственно. Более важно и целесо-
образно использовать методы и их комбинации. Наибо-
лее эффективными могут оказаться приемы, основанные
на использовании специфических особенностей пробле-
мы, как это видно на примере преобразования
3 _ 6
J 2 dR = 1 — 2 dR, (44)
3
при котором удалось уменьшить дисперсию в 2700 раз.
Изложенными методами далеко не исчерпываются воз-
можности снижения дисперсий.
Одним из направлений, позволяющих существенно
снизить объем вычислительной работы, является приме-
нение двухступенчатой, трехступенчатой выборки и, на-
конец, метода последовательного статистического ана-
лиза’ на детальном изложении которых не позволяет
остановиться объем книги.
Другим интересным направлением является приме-
нение неслучайных чисел. Мы останавливались на при-
менении коррелированных величин, а также неслучайном
разбиении интервала интегрирования. И то и другое
в пределе приводит к неслучайным числам. При вычис-
лении интегралов вместо равномерно распределенных
случайных чисел может быть использована последова-
тельность Холтона [12], которая для достаточно гладких
функций обеспечивает пропорциональность среднеквад-
ратичного отклонения величины lnn/V/W вместо l/'KN при
использовании случайных чисел (где п — кратность ин-
теграла, W—число опытов), т. е. более высокую точ-
ность (при n=l, 10 среднеквадратичные отклонения
пропорциональны 0,230 и 0,320 соответственно, #=100;
0,046 и 0,100 соответственно).
tea
В заключение приведем некоторые сводные резуль-
таты, правда, без оценки времени расчета, которая для
столь простых примеров является условной. Во всех слу-
чаях рассматривается вероятность поражения цели при
г = (У и 20 испытаниях.
ТАБЛИЦА 2.4.6
Метод расчёта Ошибка от опре- деляемой величины в % Средне- квадратич- ная ошиб- ка в % Возможное уменьшение числа реали- заций при заданной точ- ности
1 n=]/rxf + z/2r1^r . . . . 25 27,5 1
2 С ~ 5" Ш 14,5 27,5 1
3 6 1 £>2 П 7,9 9,9 9
4 0 1 = 1 Вар. № 1 при анализе ре- зультатов в процессе реа- лизации 3,3 11,8 5
5 Г -- Г 1 /?е 2 dR — \f(R)dR+Q,3 1,5 4,4 60
6 о о Существенная выборка . . . 2,0 3,0 80
7 По 2 группам 5,3 5,2 30
По 5 группам 2,6 2,2 160
По 20 группам 0,03 — 3000
8 Симметризация 6,9 3,2 70
9 Разбивка на 5 групп и сим- метризация 0,3 0,35 6000
Данная таблица показывает, что различные методы
уменьшения дисперсий и тем более их комбинации мо-
гут дать значительный эффект. Разумеется, в разных
условиях наиболее эффективными могут оказаться раз-
ные методы, поэтому таблицу нельзя рассматривать
как характеристику методов, справедливую во всех
случаях.
189
§ 2.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТАТИСТИЧЕСКИХ
ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЧНОСТИ СТРЕЛЬБЫ
А. Особенности задачи
Как уже указывалось в гл. 1, точность стрельбы
обычно определяется опытным путем. Однако дорого-
визна опытов по определению точности стрельбы, необ-
ходимость проведения большого числа таких опытов
для надежного определения точности стрельбы в раз-
ных условиях заставляют искать теоретические методы
определения точности стрельбы. Одним из объективных
методов является статистическое моделирование полета
снаряда с учетом действующих на него возмущений
[35]. Этот метод и излагается ниже в качестве примера
применения метода статистических испытаний для опре-
деления характеристик вооружения.
В этом случае задача распадается на 4 этапа: опре-
деление возмущений; определение системы уравнений,
описывающих процесс движения снаряда; проведение
статистических испытаний, в результате каждого из ко-
торых определяется отклонение снаряда от цели; про-
ведение статистической обработки полученных данных
и оценка точности полученных результатов.
К числу возмущений, действующих на снаряды, сле-
дует отнести:
— ' метеорологические возмущения;
— возмущения, связанные с маневрами цели;
— возмущения, связанные с неточностью изготовле-
ния и действия агрегатов;
— электрические помехи.
Вопрос о метеорологических возмущениях будет
рассмотрен в § 8.2.
Вопрос о возможных маневрах цели является доста-
точно неопределенным. В общем случае движение цели
может быть описано координатами ее центра масс,
являющимися случайными функциями времени. Опреде-
ление вида этих функций требует анализа тактики ис-
пользования соответствующих средств и их маневрен-
ных возможностей.
Возмущения, связанные с неточностью изготовления
и действия —это отклонения от номинальных характе-
ристик;
190
— аэродинамических характеристик (коэффициента
осевой силы Ст, коэффициента нормальной силы Сп,
коэффициентов стабилизирующего и демпфирующего
моментов, появление аэродинамического эксцентриси-
тета аа);
— характеристик двигателя (тяги времени рабо-
ты двигателя th, секундного расхода GceK, появление
газодинамического эксцентриситета аг);
— весовых и габаритных характеристик ракеты (ве-
са ракеты mg, моментов инерции ракеты, расстояния от
центра масс до точки приложения управляющих сил,
площади сечения миделя * и т. д.);
— параметров системы управления, например коэф-
фициента усиления в системе управления, постоянной
времени рулевой машинки и т. д.
Количество и характер этих параметров в значш
тельной мере зависят от конструкции комплекса.
Б. Система уравнений для решения на ЭЦВМ
Система уравнений, описывающих движение управ-
ляемого снаряда, может быть разделена на следующие
группы уравнений:
1. Уравнения движения цели
Яцели=/1 СО > f/цели=/2 (^) • (О
В частном случае, если цель неподвижна, эти уравне-
ния вырождаются в координаты цели.
2. Уравнения подготовки начальных условий. Эта
группа должна определить те начальные условия, при
которых произведен пуск и установка соответствующих
приборов на снаряде. В частности, для управляемых
снарядов «воздух — земля» важным начальным усло-
вием является угол вектора скорости. Ошибка в перво-
начальном направлении снаряда требует дополнитель-
ных перегрузок для выведения снаряда к цели.
3. Уравнения движения центра масс и осей снаряда.
Это обычные уравнения движения твердого тела под
действием реактивной силы, аэродинамических сил и
силы тяжести в возмущенной атмосфере.
* Мидель от голл. middel — средняя, самая широкая часть
корабля.
191
4. Уравнения системы наведения в полной мере
определяются принципиальной схемой и конструкцией
системы наведения, в значительной мере отличаясь для
телеуправления, автономного управления и самонаведе-
ния. Уравнения этой группы должны дать возможность
определить команду на органы управления в зависи-
мости от взаимного расположения ракеты и цели.
5. Уравнения функционирования устройств, которые
позволяют определить момент взрыва боевой части.
Методика проведения статистических испытаний для
определения точности стрельбы не имеет принципиаль-
ных отличий от методики, применяемой в других слу-
чаях. Для каждой пробы определяются метеоусловия,
характеристики агрегатов ракеты, готовятся начальные
условия и путем интегрирования системы уравнений,
описывающих движение снаряда, определяется промах
снаряда в момент срабатывания взрывательпых
устройств.
Таким образом, при статистическом моделировании
необходимо испытать в «полете» достаточно большое
число снарядов. Для каждой обстановки и совокупности
параметров снарядов нужно выполнить большое число
решений, чтобы учесть изменение статистических вели-
чин от полета к полету. Точность полученных результа-
тов определяется так, как это показано в § 2.3.
Отметим, что моделирование полета ракет можно
производить с помощью как электронных цифровых
вычислительных машин, так и электронных моделей
(машин непрерывного действия). Говорить о ручном
счете из-за сложности систем дифференциальны^ урав-
нений, описывающих движение снаряда, в данном слу-
чае не приходится.
Существующие электронные модели не требуют боль-
ших затрат машинного времени, более просты в подго-
товке к работе. Их недостатком является меньшая
точность (требующая преобразований уравнений в урав-
нения в разностях) и ограничения по сложности задачи
относительно нелинейных членов.
Цифровые вычислительные машины обладают вы-
сокой точностью и широкими возможностями по реше-
нию сложных систем уравнений, которые ограничива-
ются в основном затратами машинного времени и
затратами времени на программирование.
192
Принципиально возможна и комбинация цифровых
машин и машин непрерывного действия. В качестве
примера рассмотрим моделирование стрельбы управляе-
мого снаряда «воздух — земля». Пусть пуск снаряда
произведен из определенной точки пространства, и далее
Рис. 2.5.1.
снаряд наводится с помощью пассивной инфракрасной
системы самонаведения на наземную цель. Для простоты
будем рассматривать плоскую задачу, т. е. считать, что
снаряд перемещается в вертикальной плоскости, прохо-
дящей через точку запуска и цель.
Упрощенная схема показана на рис. 2.5.1. Рассмот-
рим прежде всего систему уравнений для решения на
цифровой машине. Уравнения возмущенного движения
13—343 193
снаряда могут быть записаны в следующем виде (рас-
сматривается задача плоского движения):
dv __ -- -^упр - -- (У1 Ч~^упр)а __
dt т
(2)
</9 («^ — -^упр — । Y “Н Yуцр g cos 9
dt mv • mv v ’
+к 4г+м л+cY^+ms+=o, (4)
-^- = asin9, dt (5)
-^- = acos6, dt (6)
a = &-6, (7)
- _ P7X sin 6
a~ a v — lFxcose* (8)
v = v — WxcosO, M=-—» x a (9)
a = yUgRt, (Ю)
У 1
2 J 1
Лое 0 P gR'i ’ (П)
x=-^-sm[C^(M)+c:(M)I’], (12)
(M)a, (13)
Хупр = ^(8) для любых рулей, (14)
Yynp = f (3) для любых рулей, (15)
М>С^(М) (16)
м>сд(м)-^^' (17)
194
х Л + 8 = Ki (a + Я 4- Y + *1) =- Ki (P l)>
8 8доп>
p^d-f-arctg^-^-p
Лц - Л
(18)
(19)
(20)
Указанная система должна интегрироваться при на-
кальных условиях (t = 0):
V = uo. (21)
& = &о, (22)
6 = 0», (23)
(24)
У=Уо, (25)
(26)
В зависимости от условий задачи эти величины могут
быть либо фиксированными, либо случайными. Напри-
мер, если рассматривается вероятность поражения цели
при любых условиях, возможных в бою, то, произведя
предварительный анализ характера боя и условий пуска,
необходимо определить статистические характеристики
величин х0, уо, 90» 'б’о, и и рассматривать их как
случайные величины.
Если рассматривать вероятность поражения цели из
заданной точки, то тогда случайными величинами сле-
дует считать Vq, 6о, Фо и Фо, так как они зависят от
условий схода снаряда, а величины х0 и у0 считать по-
стоянными.
Если считать, что рассматриваемый снаряд имеет
контактный взрыватель, то в качестве граничного усло-
вия можно принять
0=0 (27)
и определять в этих условиях координату точки падения
хп и промах
8х = хц хп« (28)
Если взрыватель неконтактный, то вместо условия
У=0 необходимо написать уравнение работы взрыва-
теля.
13* 195
В приведенной выше системе уравнений приняты
следующие обозначения:
v — скорость центра масс снаряда относи-
тельно неподвижной атмосферы;
v — скорость центра масс снаряда относитель-
но реальной атмосферы (с учетом скорости
ветра);
t — время, аргумент;
SP — тяга реактивного двигателя, случайная
функция времени;
Л'упр и Fyjp — проекции управляющей силы (газовых или
аэродинамических рулей, поворотного дви-
гателя и т. д.), случайные функции угла
поворота управляющего органа;
Хх и Yt— осевая и нормальная проекции силы со-
противления воздуха;
а — угол атаки;
а — угол атаки с учетом скорости ветра;
& — угол оси снаряда с горизонтом;
6—угол вектора скорости с горизонтом;
т — масса ракеты, случайная функция времени;
g — ускорение силы тяжести, константа для
данной широты и переменная величина,
если рассматривать большой диапазон раз-
ных широт;
Oz — момент инерции ракеты, случайная функ-
ция от времени;
М®— производная демпфирующего момента;
М“ — производная стабилизирующего момента;
с — расстояние от центра масс до точки при-
ложения управляющих сил, случайная
функция времени;
<ха —угол аэродинамического эксцентриситета,
случайная величина;
аг — угол газодинамического эксцентриситета,
случайная величина;
— координаты центра масс снаряда;
М — число Маха с учетом скорости ветра;
а — скорость звука;
К — показатель адиабаты атмосферы;
W6
R — газовая постоянная атмосферы;
т — температура воздуха, случайная функция
координат;
р — плотность воздуха;
hQ — наземное давление воздуха, случайная ве-
личина;
SM — площадь сечения миделя, случайная вели-
чина;
С\о (М) — коэффициент осевой аэродинамической
силы, случайная функция М;
С* (М) — коэффициент нормальной аэродинамиче-
ской силы, случайная функция М;
8 — угол поворота управляющего органа;
С“ (М) — коэффициент стабилизирующего момента,
__ случайная функция М;
Сд (М)— коэффициент демпфирующего момента,
случайная функция М;
I — характерный продольный размер снаряда;
— постоянная рулевой машинки, случайная
величина;
Ki — коэффициент усиления, случайная вели-
чина;
т| — угловая ошибка определения линии сна-
ряд — цель, случайная функция времени;
1ГЖ — горизонтальная проекция ветра, случайная
функция координат и времени.
Таким образом, для проведения каждого испытания
необходимо получить 13 реализаций случайных функ-
ций, что требует около 200 случайных чисел. Этот при-
мер наглядно показывает важность простого получения
случайных чисел.
Интегрирование написанной системы уравнений так-
же занимает значительное время ввиду ее сложности,
поэтому вопрос о возможности применения метода
может зачастую определяться машинным временем.
В. Особенности решения задачи на электронных
моделях
Значительно более просто, но менее точно рассматри«
ваемая задача может быть решена на электронных мо^
197
делях. Для этого прежде всего придется упростить
систему дифференциальных уравнений, описывающих
движение снаряда.
Сделаем допущения о постоянстве скорости снаряда
и плотности воздуха и выберем новые оси координат
хь 01, z/i, у которых ось о,х направлена из точки пуска
в цель. Кроме того, будем считать, что масса ракеты
постоянна и углы а невелики, а также что Wx = 0.
В этом случае система уравнений, описывающих
движение ракеты, существенно упростится
В уравнении (2) можно пренебречь ве^
+ ^упр)«, тогда, учитывая, что -^- = 0:
— Лупр— ♦ с
-------—----— — Р* sin 0.
т-----------ъ
Подставив (29) в уравнение (3), получим
d$ gsin8-g gcos 9+Fynp
v v ‘ mv
Из уравнения видно, что первый член мал по сравнению
со вторым. Следовательно, им можно пренебречь. Но и
второй член оказывается малым по сравнению с третьим.
Величина Уупр обычно на порядок меньше У1,
можно пренебречь и ею. Тогда
dft dy У1 а
dt dt mv К3 ’
где
К _ 2ти
Р^(М) *
На основании рис. 2.5.1 можем записать
т ~gm cos 3» + + Гупр)cos Т
Откуда, пренебрегая Уупр:
pu2SMC“(M)cos у-а
. ________-____________/Т ППС
(29)
(30)
поэтому
(31)
(32)
(33)
198
или, учтя (32),
^г=у 4гcos Y ~g cos (34)
Преобразуем теперь уравнение (4), учтя (7) и положив
Уупр = КД
У г
dt*
г^9+мш4^+мф47
dt2 1 г dt 1 z dt
-|-M“ <x = cK48 —Me, (35)
где
M0 = M>a + ^ar; (36)
d29 _ 1 da
~dt^~~K7~drt
Подставив в (35) значения из (31) и (37), получим
^€+^^4+м:4+-^«+м>=^-м,
или -^+К64г+К«а = ^8“м>’ (з8)
где Ks = -^- ; (39) М“ кг+м“ Кв = -Ау ; (40) с/ Z (41) М.=-^-. (42)
199
Итак, определилась следующая система уравнений:
т15-]-8 = К1 (<3 + °Н-Т + 'П). (18)
8<8доп, (19)
^+К5 -^-+К»« = К48-М1, (38)
4Fcos т—cos (34)
к которым надо добавить очевидные равенства
а = -рг-^—, xr — vt.
D — Xi ’ 1
Интегрирование системы следует проводить до Xi=D.
Начальные условия (21) — (26).
Блок-схема математического моделирования этой
задачи представлена на рис. 2.5.2. В данном случае
процесс статистического моделирования состоит в сле-
дующем:
1. Определяются случайные реализации следующих
случайных величин: Kn v, с, $z, К4, т, р, SM, (М),
М", М“, Мо. Поскольку принята постоянная скорость,
плотность и масса, то все случайные функции (кроме у)
выродились в случайные величины. Разброс средней ско-
рости ракеты должен быть вычислен предварительно,
исходя из разброса характеристик ракеты и атмосферы.
2. Вычисляются коэффициенты, входящие в уравне-
ния, т. е. Кг, Кз, Ks, Кб, Mi по соответствующим форму-
лам для каждой реализации.
3. Производится моделирование, в результате кото-
рого определяется промах 8уп который по формуле 8у =
=--in а пересчитывается в промах на поверхности земли.
4. Производится статистическая обработка получен-
ных результатов и оценка их точности.
200
Говоря об оценке точности, следует иметь в виду,
что в данном случае имеет место методическая ошибка,
которая может достигать существенных величин. Она
складывается из двух составляющих. Первая вызывается
ограниченной точностью электронных моделей. Практи-
Рис. 2.5.2.
чески ее можно определить путем многократного повто-
рения моделирования в совершенно одинаковых усло-
виях с последующей статистической обработкой полу-
ченных результатов.
Вторая вызывается упрощением системы уравнений,
т. е. принятыми допущениями. Оценить ее можно, срав^
цивая результаты моделирования на электронной мо-
201
дели с результатами моделирования на цифровой
машине.
Возможен и третий способ моделирования, состоящий
в комбинации математического и физического модели-
рования. Суть его состоит в том, что вся ракета вклю-
чается в контур моделирования. Угол поворота ее рулей
снимается с помощью специальных устройств и посту-
пает в математическую модель, на выходе которой
получается угол ст, который поступает в специальный
имитатор, перемещающий макет цели перед головкой.
Такое моделирование позволяет точно учесть все особен-
ности работы внутреннего контура ракеты, но для полу-
чения объективных данных требует испытаний многих
ракет, с тем чтобы учесть влияние разброса их харак-
теристик.
ГЛАВА 3
ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ
ОТДЕЛЬНОГО ОБРАЗЦА ВООРУЖЕНИЯ
§ 3.0. ВВЕДЕНИЕ
D настоящей главе рассматриваются различ-
имые случаи оценки эффективности стрельбы
отдельного образца вооружения по одной и нескольким
целям. Под образцами вооружения понимаются: стрел-
ковое оружие, артиллерийские орудия и ракетные ком-
плексы различного назначения.
Первые три параграфа посвящены оценке эффектив-
ности при одном выстреле и при различных видах зако-
нов поражения. В § 3.4 дается оценка эффективности
стрельбы в случае произвольного числа независимых
выстрелов по цели и показательного закона поражения.
Здесь же приводятся необходимые выражения для рас-
чета вероятности поражения цели. В § 3.5 рассматри-
вается оценка эффективности стрельбы для зависимых
выстрелов. Здесь рассматривается зависимость между
выстрелами при наличии индивидуальных ошибок и
ошибок подготовки исходных данных для стрельбы
(в схеме двух групп ошибок стрельбы).
Следующий параграф (3.6) посвящен также оценке
эффективности стрельбы в случае зависимых выстрелов.
Однако здесь зависимость между выстрелами рас-
сматривается не из-за наличия ошибок стрельбы,
а вследствие ненадежности орудия (пусковой установ-
ки). Выражения, приведенные в этом параграфе, позво-
ляют учесть характеристики надежности вооружения
при оценке его эффективности.
Последний параграф (3.7) посвящен оценке эффек-
тивности отдельного образца вооружения в такой боевой
ситуации, в которой необходимо учитывать не только
отдельные случайные факторы, а и одновременное воздей-
203
ствие всех этих факторов (точность, надежность, поиско-
вые характеристики, живучесть и др.).
Эффективность отдельного образца вооружения в бое-
вой ситуации оценивается при помощи полной вероятности
поражения цели при одном выстреле (/?х) или при п выст-
релах (/?п).
В отличие от полной вероятности поражения цели
в § 3.1—3.6 рассматривается условная вероятность пора-
жения цели при одном выстреле (7?i) и при п выстрелах
(7?п) (при условии, что цель обнаружена и комплекс
действовал надежно).
§ 3.1. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИ УДАРНОЙ СТРЕЛЬБЕ
А. Аналитические методы
Стрельба ударными снарядами находит широкое
применение как при уничтожении наземных целей, так
и воздушных. Применение того или иного снаряда для
стрельбы обусловлено типом цели и могуществом сна-
ряда.
В данном параграфе мы будем рассматривать оценку
эффективности стрельбы в простейшем случае — при
одном выстреле снарядом ударного действия по одиноч-
ной цели.
Вероятность поражения цели при одном выстреле
является сложным событием и аналитически может
быть выражена как произведение вероятностей двух
случайных событий: попадания в цель и поражения
цели при условии попадания
= (1)
где /?1 — условная вероятность поражения цели при
условии, что цель обнаружена и комплекс дей-
ствовал надежно;
Р\ — вероятность попадания в цель при одном вы-
стреле;
G — вероятность поражения цели при условии по-
падания снаряда в цель.
Закон поражения G рассматривался в гл. I.
Остановимся более подробно на вычислении вероят-
ности попадания в цель. Вероятность попадания
204
Рис. 3.1.1.
в цель Pi зависит от размера и формы цели, от положе-
ния средней траектории, величины рассеивания и на-
правления стрельбы [10, 24].
Размеры цели могут превосходить размеры эллипса
рассеивания с полуосями по
среднеквадратические от-
клонения снаряда по даль-
ности и в боковом направле-
нии. В таком случае решаю-
щее влияние на вероятность
попадания будет оказывать
положение средней траекто-
рии относительно центра
цели. При совмещении сред-
ней траектории с центром
цели вероятность попадания
будет близка к единице
(100%), а при отклонении
средней траектории на Зох
или 3(Jz за размеры цели эта
вероятность будет близка
к нулю.
В е р оятность попадания
в полосу бесконечной дли-
ны при одном выстреле определяется по формуле
да _ д»
р1=-* Се 2^Д, (2)
а У J
Д1
где
а == °2х cos2 а + <5^ sin2 а; (3)
Д1 — расстояние от центра рассеивания снаря-
дов до ближней границы полосы (рис. 3.1.1);
Д2 — то же до дальней границы полосы;
д2—д1 — ширина полосы.
Выражение (2) иначе можно записать так [10]:
= (4)
где р2=-^_; а /%(₽)—табличная функция (см.
табл. 3 приложения).
205
При стрельбе по цели в виде прямоугольника опре-
деляется вероятность попадания в две взаимно перпен-
дикулярные полосы [см. (4)], а затем эти вероятности
перемножаются
Л = ^х-Л. (5)
На практике расчет вероятности попадания в пря-
моугольник или в полосу имеет широкое применение,
например: при расчете Р в случае стрельбы по блинда-
жам, окопам, траншеям, проволочным заграждениям
и т. п. Если по каждой из этих целей известен закон
поражения G или среднее необходимое число попада-
ний со, то вероятность поражения цели при одном вы-
стреле определится по формуле (1) или (6), где вместо
G поставим —:
со
я. =4- (6)
Точного аналитического выражения для расчета ве-
роятности попадания в цель сложной конфигурации нет.
Поэтому применяются различные приближенные методы.
Не останавливаясь на подробном изложении, перечис-
лим их.
Для подсчета вероятности попадания при одном
выстреле в цель произвольной формы можно пользо-
ваться графическим способом с помощью вероятностной
сетки или использовать приближенный способ сопостав-
ления площадей цели и прямоугольника, стороны кото-
рого параллельны направлениям ох и (jz. Иногда поль-
зуются так называемым коэффициентом фигурности
цели, представляющим собой отношение ее площади
к площади описанного прямоугольника. Тогда вероят-
ность попадания в цель определяют как произведение
вероятности попадания в прямоугольник на этот коэф-
фициент.
В настоящее время для решения подобного типа за-
дач может быть применен метод статистических испыта-
ний (см. гл.2).
Б. Метод статистических испытаний
Рассмотрим порядок расчета вероятности поражения
самолета при одном выстреле методом статистических
206
испытаний, если среднее необходимое число попаданий
(0 — 2, ошибки стрельбы распределены по нормальному
закону (mx=m2=0, ох = 25 м и cf2=17 jt). Площадь
проекции цели на плоскость xz, перпендикулярную к от-
носительной траектории, показана на рис. 3.1.2.
Порядок расчета
следующий: Z
1. Нанести площадь
проекции цели на
график, совместив на-
чало координат с точ- /
кой прицеливания. х
2. Определить коор-
динаты точки попада- \ \
ния снаряда xn, zn: Y \
•Хп = ох81>п,
= J Рис. 3.1.2.
где 61>п, 62,?г — случайные числа, распределенные по
нормальному закону со среднеквадра-
тичными отклонениями, равными еди-
нице, и математическим ожиданием,
равным нулю (см. Дабл. 1 приложения);
п — номер реализации.
3. Нанести координаты точки попадания на график,
где нанесена проекция цели, и оценить попадание.
Если точка попадания с координатами xn, zn попа-
дает в площадь проекции, то имеет место попадание,
а если она выходит за площадь проекции, то попадания
нет.
4. Вычислить условную вероятность поражения цели
(или попадания, тогда без со) по формуле
(8)
где т—число попаданий снаряда в площадь проекции
цели;
ti\ — число реализаций;
со — среднее необходимое число попаданий.
207
Этот метод вычисления вероятности попадания в цель
сложной конфигурации можно применять и при ручном
счете. При этом случайные числа дг.п берут из таблицы
случайных чисел, а результаты расчета сводят в табли-
цу. В табл. 3.1.1 приведены результаты расчета для ряда
значений Пь
ТАБЛИЦА 3.1.1
«1 10 20 30 40 50 70 90 100
т 1 1 1 1 2 4 6 6
Р 0.10 0,050 0.033 0,025 0,04 0.057 0.066 0.06
В таблице обозначено т — число попаданий при
выстрелах, р — частость попадания, которая при п\ 70
близка к вероятности попадания.
Из табл. 3.1.1 видно, что частость попадания в са-
молет р = 0,06 (при 100 реализациях). Минимальное
значение ртш =0.025 получено при п =40, а максималь-
ное ртах=0,1 при п=10. Очевидно, что более точным
значением будет р=0,06, так как это значение получено
по большому числу реализаций и соответствует середине
размаха при колебании р от минимального до макси-
мального значения. Если принять по условию <о = 2, то
по формуле (6) найдем вероятность поражения цели за
один выстрел
=2^=о,оз.
§ 3.2. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ
ПРИ ДИСТАНЦИОННОЙ СТРЕЛЬБЕ
А. Точные методы
В отличие от ударной стрельбы дистанционная
стрельба характерна тем, что для поражения цели не
требуется прямого попадания в цель, а в дополнение
к рассеиванию точек попадания в горизонтальной
плоскости имеет место рассеивание разрывов в верти-
кальной плоскости. Таким образом, при дистанционной
208
стрельбе имеет место случай трехмерного рассеивания
разрывов в пространстве. Это рассеивание подчиняется,
как правило, нормальному распределению. Если на
плоскости все разрывы
распределялись «внутри
эллипса, то в простран-
стве рассеивание точек
разрывов будет эллип-
соидальное. Центр эл-
липсоида разрывов на-
зывается центром рас-
сеивания разрывов.
Часто на практике
рассматривают только
двумерное рассеивание
точек разрывов вдоль
направления стрель-
бы и по высоте. При этом все разрывы, происходящие
в эллипсоиде, проектируются на плоскость цели. Полу-
чающаяся при этом картина распределения точек раз-
рывов в плоскости цели условно называется областью
возможных разрывов [10]. Можно принять, что при
стрельбе дистанционными снарядами будет двумерное
рассеивание разрывов, так как при этом рассеивание
в боковом направлении значительно меньше рассеивания
по дальности и по высоте и в ряде задач этим рассеива-
нием можно пренебречь (когда размеры цели по ширине
превышают рассеивание в боковом направлении или
когда зона поражения при разрыве одного снаряда пре-
вышает боковое рассеивание).
Основными источниками ошибок, вызывающими рас-
сеивание разрывов в вертикальной плоскости, являются
ошибки определения угла бросания Вр б, начальной
скорости BpV и времени срабатывания взрывателя Врь
Эти ошибки дадут эллиптическую ошибку с центром
в точке Со (рис. 3.2.1). На рис. 3.2.1 обозначено:
Со — центр рассеивания разрывов,
Врд — срединное отклонение разрывов по дальности,
Врв — срединное отклонение разрывов по высоте,
а — большая полуось эллипса,
Ь — малая полуось эллипса,
а — угол, определяющий направление большой
полуоси.
14—343
209
Эллиптическую ошибку можно характеризовать
большой и малой полуосями. Однако на практике более
удобно пользоваться вероятными отклонениями, вызы-
ваемыми единичной эллиптической ошибкой Врд и Врв,
которые приводятся в таблицах стрельбы. Определяя
Врд и Врв с помощью таблиц стрельбы, можно построить
единичный эллипс рассеивания разрывов в вертикаль-
ной плоскости. Для построения области возможных
разрывов необходимо увеличить единичный эллипс в
4 раза.
После того как определили область возможных раз-
рывов, можно учесть и другие факторы, влияющие на
вероятность поражения цели. К таким факторам отно-
сятся:
а) ошибки определения исходных данных для
стрельбы,
б) случайный характер поражения цели при условии
разрыва снаряда в области возможных разрывов с от-
клонением г от цели.
Оба эти фактора являются случайными. Поэтому
каждый из них учитывается при расчете вероятности
поражения соответствующей вероятностью.
Вероятность поражения цели при стрельбе дистан-
ционными снарядами с учетом этих вероятностей и сде-
ланного выше допущения о том, что трехмерное рас-
сеивание сводится к двумерному, определяется по
формуле
+ 00
у)Р(х, y)dxdy, (1)
—оо
где Ri — условная вероятность поражения це-
ли при условии обнаружения цели и на-
дежной работы всех элементов комплекса;
P(x,y)dx dy — вероятность попадания в область dxdy\
G(x у) — вероятность поражения цели при условии
разрыва снаряда в точке с координата-
ми х, у.
Эта формула также справедлива только для одного
выстрела.
210
Если совместить начало координат с центром рассеи-
вания и оси координат направить по направлению глав-
ных полуосей, то по заданным средним квадратическим
отклонениям вх и ву эллипса разрывов можно найти
вероятность попадания снаряда в область dxdy (от-
носительно центра рассеивания разрывов) по выра-
жению
Р(Х’ У)=2^ехР f-fe+^2 ")] dxdy>
L \ х у J
где х и у — удаления разрыва от центра рассеивания
по направлениям х и у соответственно
Пусть вероятность поражения цели при условии раз-
рыва в какой-то определенной точке (х,у) равна G(x, у),
тогда условная вероятность поражения цели при попада-
нии снаряда в область dxdy определится по формуле
R^x, y) = G(x, ^^-l-exp
__L / ।
2 e2 •“ 02
\ x у
dxdy. (3)
Проинтегрировав последнее выражение для всех то-
чек эллипса разрывов, можно найти вероятность пора-
жения цели при одном выстреле с учетом рассеивания
разрывов (при условии обнаружения цели и надежной
работы комплекса)
я,
—00
G(x, у)
2лохау
ехр
(4)
Следует отметить, что аналитический расчет /?1 яв-
ляется громоздким, поэтому его часто ведут с помощью
ЭЦВМ или прибегают к использованию различных при-
ближенных методов расчета.
При стрельбе по площадным целям за критерий эф-
фективности принимается математическое ожидание
числа (относительного числа, процента) пораженных це-
лей (или элементов цели).
Если математическое ожидание числа пораженных
целей при разрыве дистанционного снаряда в какой-то
14* 211
определенной точке (х, у) равно Af(x,y), то оно с учё-
том вероятности разрыва в области (x+cfx) (y+dy) бу-
дет
М (х, у) 75-!— ехр
V ’ ' 2п<5х<5у Г
dxdl/-
\ °х 9у J
(5)
Интегрируя уравнение (5) по всей области возмож-
ных разрывов, можно найти Мх на один выстрел при
условии обнаружения цели и надежной работы ком-
плекса. При этом уравнение математического ожидания
числа пораженных целей будет иметь вид
Л4(х, у)
-тг—— e*P
1 (х2 , «2 \-|
+ dxdy.
z i a g 11
\ x У ) \
(6)
Уравнение (6) решается с помощью ЭЦВМ как путем
непосредственного интегрирования, так и методом стати-
стических испытаний.
Графически можно найти приближенное решение
уравнения (6).
Б. Метод приведенных зон
К -приближенным методам расчета вероятности по-
ражения цели, если известны закон поражения и закон
ошибок, относятся графический метод и метод приведен-
ных зон. С появлением ЭЦВМ графический метод утра-
тил свое значение, однако метод приведенных зон нахо-
дит широкое применение. Сущность этого метода состо-
ит в том, что по закону поражения G(r) определяется
приведенный радиус поражения
r0=jG(r)rfr, (7)
О
а затем аналитически находится вероятность попадания
в приведенную площадь (объем) цели. При дистанци-
онной стрельбе, если размеры цели малы по сравнению
212
с радиусом поражения, в качестве приведенного объема
цели Wo принимают полусферу с радиусом г0
2 з
“,о = -3 Wo-
Вероятность поражения цели определяется как ве-
роятность попадания в полукруг, если не учитывать на-
земные разрывы, или в круг, если их учитывать.
Вероятность попадания в круг вычисляется в конеч-
ном виде, если совместить центр рассеивания разрывов
с целью и положить <тх=<гу=<г. Вероятность попадания
случайной точки внутрь круга в этом случае равна {24]
/>И=1-е. ' (8)
где г — радиус круга.
С учетом наземных разрывов вероятность пораже-
ния цели при одном выстреле дистанционным снарядом
определится по формуле
R, = l-e (9)
где о — -—• с^,
Го—приведенный радиус поражения, определяемый
по формуле (7).
При стрельбе атомными боеприпасами по площад-
ным целям используется воздушный разрыв. Допустим,
что используется координатный закон поражения G(r)
(см. § 1.3). В этом случае при оценке вероятности по-
ражения метод приведенных зон дает удовлетворитель-
ную точность. Вероятность поражения цели определяет-
ся как вероятность попадания разрыва в круг с при-
веденным радиусом поражения. Причем рассеиванием
по высоте в этом случае пренебрегают.
В заключение параграфа рассмотрим два случая
аналитического вычисления R\ и дадим оценку точно-
сти метода приведенных зон. Если обозначить:
О — цель,
х, у — точка разрыва снаряда,
х0, t/o — центр рассеивания,
213
то уравнение (4) иначе можно записать так:
+ 00
^, = JJ?(x-x0, y-y0)G(x, y)dxdy. (10)
—00
Обозначим
+оо
JjG(x, y)dxdy = S, (11)
—оо
а
-Ц^=Ф(х, У), (12)
где S — приведенная зона поражения.
Подставив (12) в (10), получим
+оо
/?i = 5jjy(x — х0’ У-У«ШХ> y)dxdy = Sf(xa, уа),
—оо
(13)
где f (х0, у0) — композиция распределений <? и <|>.
Приближенно:
, \ 1 Г 1 (хо । Уо \1
(•^0’ Уо) „ 2 е^Р 2 I 2 “Ь 2 I ’ ( 4)
\ °2 /
(15)
+ 00
”ф = J J Ф (*» У) Хг dx dy. (16)
—00
Случай 1. Круговое рассеивание. Ступенчатый закон
поражения (см. рис.3.3.1).
Пусть
f G (г) = 1 при г < г„,
( G (г) = 0 при г > г0,
S = <
где га — приведенный радиус зоны поражения,
+ 0О
= jj ^x2dxdy
—00
214
или
—оо
так как распределения х и у одинаковы (х2 -\-у~ — гг), то
При
или
где
2тс Го 2
г2 dxdy = J j r*drd<f — ,
о 6
г2
2 г0
°Ф 4
Лв = Уо = °>
1
^ = 1-е
/?1 = 5/(х0, уа)
7?1 — ’ГГ°2 2П32 ’
,2
Г0
го ____ Z2
^2"““ Z2"’
20=4-4 2 + ^
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
R
2
где
z = —,
о
Проверим точность уравнения (21) с помощью урав-
нения (18). Результаты расчета приведены в табл. 3.2.1
для разных значений
z =
Го
Из табл. 3.2.1 вйдно, что приближенный метод рас-
чета вероятности поражения цели хорошо согласуется
С методом приведенных зон при z<l, т. е. когда прп-
215
веденный радиус зоны поражения не превышает одного
среднеквадратического отклонения снаряда. Это усло-
вие всегда выполняется при стрельбе снарядами с обыч-
ным снаряжением и в ряде случаев при стрельбе ядер-
ними боеприпасами.
ТАБЛИЦА 3.2.1
г га = 1 - е 2 л> =——,
0 0 0
0,1 0,005 0.005
0,5 0,117 0,118
0,8 0,274 0.276
1,0 0,393 0.400
1,5 0,675 0,720
2,0 0,865 1.0
3,0 0,99 1
Случай 2. Круговое рассеивание. Закон поражения
G(r) приведен на рис. 3.2.2:
G(r)= 1 при г <а,
G(г) = А — Вг при Ь^г>а.
Определим приведенную зону поражения S:
+оо со
S = jjG(x, у) dxdy = 2it ^G(r)rdr =
216
ь
= tta2 -|- 2« J (Л — Br) rdr —
а
=tta2+A(itb2 — на2) — 2Вп (4— 4
V о о
Определим А и В из условия
А + ВЬ=\, А — ВЬ = 0,
В = т^~г, А b
Ь — а ’
s = (b + а,)— 4 и(а2 4- ab + Ь2) = 4 (а2-
о о
По уравнению (16) определим аф:
(22)
65 —а5
63—а3
(23)
Суммарная дисперсия определится по уравнению
(15)
и I иф>
а вероятность поражения цели — по формуле (18)
2°£
или
— Sf (-^о> У о)'
При хо = */о = 0
2nas
(24)
b — a *
Подставляя (23) в (24), получим
р а*+аЬ-]-Ь*
Ь6—а5
6а2 + 0,96,_а,
(25)
217
В заключение рассмотрим точность метода приве-
денных зон.
Для закона поражения G(r), приведенного на
рис. 3.2.2, представляется возможным получить точное
решение для Rf,
b __г*_ а
2’G(r)Jr=J-^-e ™dr +
О о
ь
-^(A-Br)-^e ™dr. (26)
а
Интегрируя уравнение (26), получаем
_ — _ а2
е 2”(Д —£/>) + е 2°*(Д — аВ— 1) —
(27)
Пользуясь уравнением (27), оценим точность метода
приведенных зон.
Пусть Ь = 5а (см. рис. 3.2.2). В этом случае будем
иметь
Подставляя г0 в уравнение (18), получаем /?] для ме-
тода приведенных зон
4,5
^ = 1— е г\ (28)
где
Уравнение (27) при этих условиях упрощается
Результаты расчета для различных значений z при-
ведены в табл. 3.2.2.
218
Из табл. 3.2.2 видно, что
метод приведенных зон
обеспечивает хорошую точ-
ность, так как ошибки мето-
да приведенных зон не пре-
восходят 13%. Поэтому на
практике он находит широ-
кое применение.
В случае оценки эффек-
тивности поражения цели
при стрельбе ядерными бое-
припасами, когда o'> 0,7 а,
можно пользоваться уравне-
нием (25), если заменить за-
кон поражения G(r) (§ 1.3)
ТАБЛИЦА 3.22.
а г = — а Ri (Метод приведен- ных зон, г0 = За) [по уравне- нию (29)]
0 1,0 1,0
0,5 1,0 0,993
1,0 0,989 0,901
1,5 0,865 0,766
2,0 0,675 0,622
3,0 0,388 0,395
5,0 0,165 0,180
10,0 0,045 0,054
составным законом пора-
жения (см. рис. 3.2.2). При сг<0,7 а уравнение (25) не
обеспечивает необходимой точности, поэтому необходи-
мо расчет вести по уравнению (27).
В зависимости от поставленной цели исследования
оценку эффективности при одном выстреле можно про-
изводить, пользуясь либо аналитическими методами рас-
чета, либо методом статистических испытаний. За кри-
терий выбора того или иного метода выбирают его точ-
ность и время, необходимое для расчета.
§ 3.3. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ ПО ТОЧЕЧНОЙ
ЦЕЛИ СНАРЯДОМ С МОЩНОЙ БОЕВОЙ ЧАСТЬЮ
В настоящем параграфе мы рассмотрим случай
стрельбы по малоразмерной (точечной) цели. Здесь
имеется в виду, что размеры цели малы по сравнению
с радиусом поражающего действия снаряда. Требуется
определить вероятность поражения цели при одном
выстреле при условии нормального функционирования
стреляющего комплекса.
Рассмотим эту задачу при условии, что суммарные
ошибки стрельбы подчиняются круговому нормальному
распределению о дисперсией о2.
Обозначим через г случайное расстояние точ-
ки разрыва снаряда от цели. Закон ошибок стрельбы
219
при отсутствии систематических ошибок запишется в га-
ком виде:
?(f)=-^-exp(-^y (1)
Обозначим через G(r) закон поражения, т. е. веро-
ятность поражения цели при условии, что разрыв сна-
GCrt
а
Рис. 3.3.1.
ряда имел место на расстоянии г от цели. Тогда интере-
сующая нас вероятность поражения цели при одном
выстреле найдется по уравнению
Ri^{r)G(r)dr. (2)
oJ
Простейший закон поражения имеет вид, изображен-
ный на рис. 3.3.1. Здесь
G(r)=l при 0<г<а,
G(r) = 0 при
В этом случае из уравнений (1) — (3) получаем после
простых преобразований
Я1=1_ехр(-^), (4)
т. е. вероятность .поражения цели равна вероятности
попадания снаряда в круг радиусом а (см. [82], стр. 122
и 507).
220
(3)
На практике закон поражения обычно имеет вид,
изображенный на рис. 3.3.2. На некотором расстоянии
а от цели вероятность поражения G(r) = l, а затем с ро-
стом г она убывает до нуля. Величину а можно здесь
назвать радиусом сплошного (100%) поражения.
Кривую, изображенную на рис. 3.3.2, можно аппрок-
симировать при помощи различных аналитических вы-
ражений. Для краткости рассмотрим только одно из
этих выражений, а именно:
О(г)=1 при г < а, |
G(r) = exp[—k (г2— а2)] при г^а. )
Из уравнений (1), (2) и (5) получаем после интегри-
рования и простых преобразований
/?х = 1
2feo2 / а2 \
1 + 2Ла2 еХР( 2Г2/
(6)
Рассмотрим теперь случай, когда имеется системати-
ческая ошибка стрельбы А. В этом случае вместо урав-
нения (1) будем иметь
/ \ г т f hr \ / г2 + Л2 \
= (^-)ехр^----(7)
где /о — функция Бесселя (см. [82], стр. 123).
Напомним, что имеет место соотношение
j<p(r)dr=l.
о
Отсюда при помощи уравнения (7) получаем
Р»(-&)ехр(_£')</г=°2ехр(£)- <8)
о
Введем обозначения
*.=i. (9)
*.=4- о»)
221
Тогда из уравнения (8) будем иметь
00
Р 1 / ^2 \
J Ч (ksr) exp (— kf2) dr = 2^ exp ( I. (11)
0
Рассмотрим еще интеграл
г2 + h2
2а2
(12)
Этот интеграл представляет собой вероятность попа-
дания в круг радиусом г (см. гл. 1). Эту вероятность
можно найти по табл. 9 приложения. Используя обозна-
чения (9) и (10), можно уравнение (12) переписать
в таком виде:
а
J г/0 (kar) exp (— kj2) dr =
о
=iexp(^F(a^’ <13)
Найдем теперь вероятность поражения цели при за-
коне поражения (5) и законе ошибок (7). Используя
уравнения (2), (5) и (7), находим
/?! = рр (г) dr 4- je~* {r2^ai)(f(r)dr —
О а
оо а
= |)+Je’ft(ra_a2)<PW^-^“^dr. (14)
О о
Рассмотрим сначала первый интеграл в правой части
уравнения (14). Используя уравнение (7), получаем
Je Мг’ a*><p(r)dr=-±-vip(ka* — ^-)Х
О
х (ч (-S-)ехр (—£ —kr jdr-
b
(15)
222
Введем здесь обозначения
(16)
(17)
Тогда интеграл в правой части уравнения (15) све-
дется к выражению (11) и получим
j е *(г2 а,)<? (г) dr =
о
= ехр (ka2-^±-ехр^ =
^^Гехр(~^г + ^2)>
(18)
где
Т2=1+2Ь2. (19)
Рассмотрим теперь последний интеграл в уравнении
(14). Используя уравнения (7), (13), (16) и (17), полу-
чаем
je *(r’ a\(r)dr = -^exp(ka2 — ^)х
О
Х2КГехр(4^)7?(аИ2^1. ~=г^ =
^)ехр[-^+^2]- <2°)
Из уравнений (14), (18) и (20) находим окончательно
(21)
Уравнение (21) и табл. 9 приложения позволяют
оценивать влияние на эффективность стрельбы следую-
223
щих факторов: случайных и систематических ошибок
(а и й) и параметров закона поражения (а и k).
Для большей наглядности заменим в уравнении (21)
параметр k на другой параметр, имеющий более ясный
физический смысл. Введем в рассмотрение радиус Го, на
котором вероятность поражения G(r0) =0,05 (т. е. на-
столько мала, что ею можно пренебречь). Тогда из урав-
нения (5) находим
k(r20-a*) = 3. (22)
Введем обозначение
(23)
Тогда из уравнения (22) получим
= Л2 (Z2 — 1) • (24)
Из уравнений (19) и (24) получим
(25)
Уравнение (21) примет вид
гч fa Л \ । 1 Г 3 ft \ 1 \ у»
Ajj. (26)
Из уравнений (25) и (26) видно, что зависит от
трех аргументов: -у, у и г. Уравнением (26) удобно
пользоваться в случае, когда
«7^0 и .z=^l.
В частном случае, когда а — 0, из уравнения (22) по-
лучаем
^=4, (27)
г0
224
и уравнение (21) принимает вид
J2 г- ~ <
п го 3/г2 /ГкСм
ехр[ Тьб^]' (28)
В случае, когда а=£0, z— 1, в уравнении (21) остается
только один первый член
= <29)
В частном случае, когда й=0, из уравнения (21) по-
лучаем уравнение (6), которое можно переписать в та-
ком виде:
= 1 — 6a’4-a*(z*—1)еХр (30)
Уравнения (26), (28) и (30) -позволяют проводить
анализ влияния различных факторов на эффективность
стрельбы по точечной цели.
Пример. Заданы a='l, z—2, Л=2. Найти зависимость R\ от а.
Решение. Из уравнений (25) и (26) получаем
72 = 1 + 2а2,
15—343 225
Задаваясь различными значениями (У, находим при помощи этих
уравнений и табл. 9 приложения зависимость от о, представлен-
ную на рис. 3 3.3. Из этого рисунка видно, что существует значение
с(=1), которое отвечает максимуму вероятности поражения
Отсюда следует, что при наличии систематических ошибок ино-
гда имеет смысл ввести искусственное рассеивание, которое приве-
дет к возрастанию вероятности поражения цели. Так, если в усло-
виях рассматриваемого примера было <у=0,5, то для повышения ве-
роятности поражения цели целесообразно увеличить в примерно
вдвое.
§ 3.4. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ
В СЛУЧАЕ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫСТРЕЛОВ
А. Определение вероятности хотя бы одного попадания
в цель при п независимых выстрелах
Пусть по цели производится п независимых выстре-
лов, при каждом из которых вероятность попадания
в цель одинакова и равна р. В таком случае вероятность
непопадания при одном выстреле будет
<7 = 1—Р- (1)
Вероятность того, что при п выстрелах не будет ни
одного попадания, равна
qn = (\ — p)n. (2)
Отсюда вероятность хотя бы одного попадания в цель
будет
Р’п= 1 -(1 - />)”. (3)
При больших п применение уравнения (3) становит-
ся неудобным для расчетов. В этом случае можно урав-
нение (3) заменить приближенным уравнением следую-
щим образом — его можно переписать в таком виде:
Р'»= W
Так как
lim fl —4У=е’п, (5)
«->00 \ п J
то уравнение (4) можно приближенно записать так:
Р'п=\ — е-пр. (6)
226
отно-
(7)
обоз-
(8)
пг от
Преимуществом уравнения (6) иерея уравнением (3)
является то, что для уравнения (3) нужна таблица
с двумя входами, а для уравнения (6) достаточно иметь
таблицу с одним входом.
Для оценки точности уравнения (6) найдем
шение
1— е-пр •
Чем больше /г, тем ближе k к единице. Введем
начение
k—\j____
К ~ 1 1 000 •
В табл. 10 приложения приведена зависимость
п и пр. Из этой таблицы видно, что при /г>30 ошибки
расчета по уравнению (6) не превосходят 1%, так как
т не превосходит 10—11. При п>50 ошибки расчета по
уравнению (6) не превосходят 0,5%.
Из табл. 10 видно также, что при пр<0,10 ошибка
расчета по уравнению (6) не превосходит 1% уже при
5. Таким образом, расчет по уравнению (6) обла-
дает достаточно высокой точностью в двух случаях:
1) при больших п и любом р,
2) при малых пр и любом п.
Из уравнений (7) и (8) вытекает формула
<9>
Эта формула позволяет определить Р'п для любых п
и д при помощи табл. 10.
Б. Определение вероятности определенного числа
попаданий при независимых выстрелах
Пусть по цели делается п независимых выстрелов,
при каждом из которых вероятность попадания в цель
равна р. В таком случае вероятность получения ровно
т попаданий будет (см. |[82], стр. 54)
Рт = Стп p™qn~™, (10)
где
(Н)
227
<7=1— Р-
15*
В. О количестве выстрелов до получения одного
попадания в цель
Рассмотрим стрельбу одиночными независимыми вы-
стрелами с постоянной вероятностью попадания при од-
ном выстреле р. Пусть результат каждого выстрела на-
блюдается до того, как произведен следующий выстрел,
и стрельба прекращается, как только получено первое
попадание в цель. При этих условиях число N выстре-
лов до получения попадания в цель является случайной
величиной. Найдем моменты распределения этой слу-
чайной величины. Согласно определению, имеем для
математического ожидания
М (N) = 1Л + 2Рг + ЗР3 +..(12)
где Pi — вероятность получить попадание на f-м вы-
стреле при условии, что оно не получено на всех преды-
дущих выстрелах.
Очевидно, что
Л = р<7’-‘ = р(1—р)4’*. (13)
Из уравнений (12) и (13) находим
M(N) = p + 2pq-\-3pq*-\-...=
=р(1+2<7 + 3<72 + ...) = р (14)
Г. О количестве выстрелов для получения заданной
вероятности хотя бы одного попадания в цель
Пусть по цели ведется стрельба одиночными выстре-
лами с вероятностью попадания на один выстрел р. Ве-
роятность хотя бы одного попадания в цель найдется
по уравнению (3).
Пусть задана вероятность а хотя бы одного попада-
ния в цель. Тогда уравнение (3) примет вид
«= 1- (1- P)Na- (15)
Откуда необходимое число выстрелов
в виде
_ In (1 — ос)
ln(l— Ру
Na найдется
(16)
228
Приближенную формулу для Na можно получить из урав-
нения (6)
1 ~PNa /1-г\
а — 1 —е , (17)
откуда
(18)
a р
где
Са = | In (1 — а) (19)
Ниже дается зависимость Са от а по уравнению (19)
а, % 50 60 70 80 90 95 99
Са 0.69 0,92 1.20 1.61 2.30 3.00 4,61
На основании уравнения (14) уравнение (18) можно
переписать в таком виде:
= = С M(N).
(20)
Д. Об определении вероятности поражения цели
В предыдущих пунктах настоящего параграфа шла
речь о вероятностях попадания в цель. Здесь мы рас-
смотрим вопрос об определении безусловной вероятно-
сти поражения цели, если известен ее закон пораже-
ния Gm.
Рассмотрим такой случай, когда по цели делается п
выстрелов. Обозначим через Рт вероятность того, чго
будет т попаданий при этих п выстрелах. Тогда по из-
вестной-формуле полной вероятности вероятность по-
ражения цели при п выстрелах будет
Rn = Pfi. + P2G2 +... + PnGn = 2 P(21)
t=0
Очевидно, с ростом l вероятности Pi убывают. С дру-
гой стороны, вероятности с ростом i растут, что тре-
бует брать в уравнении (21) достаточно большое число
членов при больших п. Поэтому при больших п удобнее
уравнение (21) преобразовать таким образом, чтобы
в нем все члены убывали с ростом I.
229
Для этой цели запишем очевидное равенство
1 = £ Рг- (22)
1=0
Вычитая уравнение (21) из уравнения (22), получаем
i—0 i=0
= P0+VPA, (23)
где для краткости введено обозначение
g;=i-g2.
В уравнении (23) с ростом i члены в правой части
убывают, что позволяет при расчетах ограничиться за-
частую небольшим числом членов. Кроме того, это
уравнение имеет большое принципиальное значение —
оно показывает, что наибольшую роль в вероятности
поражения Rn играют первые вероятности закона пора-
жения. Поясним это примером.
Пример 1. Пусть вероятность попадания в цель на одном вы-
стреле равна 0,1. По цели делается 3 независимых выстрела. Закон
поражения цели характеризуется вероятностью <j! = 0,5. Вероятности
G2 и б3 неизвестны. Оценить вероятность поражения /?3.
Решение. Находим вероятности ни одного, одного, двух и
трех попаданий:
А = (0,9)3 =0,729,
А = 3-0,1-(0,9)2 =0,243,
А = 3(0,1)2-0,9 = 0,027,
А = (0,1)3 = 0,001.
Рассмотрим три варианта закона поражения.
I вариант: 62==Сз=1. По уравнению (23) находим
А = 0,729 + 0,243-0,5 = 0,850.
II вариант: закон поражения (показательный. Тогда
А = (0,5)2 = 0,25. А=(0.5)3 = 0,125
230
и по уравнению (23) находим
R3 = 0,729 + 0,243-0,5 + 0,027-0,25 + 0,001 -0,125 = 0,857.
Ill вариант: <72=G3 = 0,5. По уравнению (23) находим
R = 0,729 + 0,243-0,5 + 0,027-0,5 + 0,001 -0,5 = 0,864.
Отсюда видно, как мало влияют величины <72 и О3 на вероят-
ность поражения R3. Заметим также, что варианты I и III являются
крайними возможными вариантами, а показательный закон пораже-
ния занимает среднее место между крайними возможностями.
Е. Расчет вероятности поражения при независимых
выстрелах и показательном, законе поражения цели
Рассмотрим случай показательного закона пораже-
ния цели. В этом случае имеем
С;=7У. (24)
Из уравнений (23), (24) и (10) находим
= = + (25)
i=0
Подставив в уравнение (25)
получим
откуда
(26)
Сравнивая уравнение (26) с уравнением (3), видим,
что при показательном законе поражения вероятность
поражения заданной цели при п выстрелах равна веро-
ятности хотя бы одного попадания в приведенную цель,
для которой вероятность попадания на один выстрел
в со раз меньше, чем в заданную цель.
Из уравнений (26) и (6) получаем
пр
Rn=i — е 40 • (27)
231
ж. Расчет количества выстрелов,
необходимого для поражения цели
Рассмотрим сначала общий случай закона пораже-
ния цели. В этом случае средний расход выстрелов до
поражения цели будет
М(У)=1Л + 2Р2 + ЗЛ + ..., (28)
где Pi — вероятность поражения цели при /-м выстреле
и при условии, что на всех предыдущих выстрелах пора-
жения цели не было. Очевидно, что
Pi = £i — R^, (29)
где Ri — вероятность поражения цели при i выстрелах.
Из уравнений (28) и (29) получаем
М (N) - + 2 (R, - R,) + 3 (R, - Ra) 4-.. •+
И- п (Rn — R«-1) + • • • (30)
Так как при п->оо имеем Rn—»1, то, начиная с некото-
рого значения п, можно положить Rn—\ и Rn+l—Rn=0.
Тогда уравнение (30) можно записать так:
M(N)^-R1 — R2—...-Rn-1-]-n =
= (1 - /?о) + (1 - /?.) + • • • + (1 - /?«-.), (31)
где Ro—0.
Чем больше п в уравнении (31), тем это уравнение
точнее. Поэтому вместо приближенного уравнения (31)
можно записать точное уравнение
(32)
1=0
В частном случае показательного закона поражения
цели из уравнений (32) и (26) находим после простых
преобразований
M(N) = NCP=~ (33)
Очевидно, что уравнение (20) остается в силе, если Ncp
определяется из уравнения (33).
232
3. Расчет математического ожидания числа
пораженных целей
Пусть ведется стрельба п выстрелами по группе из£
целей, причем вероятность поражения г-й цели за
стрельбу равна Ri. В этом случае число целей, которые
поражены за стрельбу, является случайным. Найдем его
математическое ожидание. Введем случайную величину
%г, которая равна 1 при поражении f-й цели и равна
нулю при непоражении этой цели. Вероятность равен-
ства = 1 есть а вероятность равенства %г = 0 равна
Число пораженных целей за стрельбу будет
Х = Х1-\- Хг-\- • . •+xft,
а его математическое ожидание
& & k
М (х) = £ М (Xi) = £ + 0 (1 — Z?i)] = £ Ri. (34)
i = l i = l i = l
Таким образом, математическое ожидание числа по-
раженных целей равно сумме вероятностей поражения
этих целей. Заметим, что это справедливо при любой за-
висимости между выстрелами.
Рассмотрим теперь частный случай независимых вы-
стрелов и со=1 (т. е. для поражения цели достаточно од-
ного попадания).
Пусть имеются k целей одинаковой площади и пусть
вероятность попадания в каждую из этих целей на каж-
Р
дом выстреле одинакова и равна где р — вероят-
ность попадания на одном выстреле в цель (все равно
какую). Обозначим
а=| (35)
среднюю плотность обстрела, т. е. число выстрелов за
стрельбу, приходящееся на одну цель.
Вероятность Ri поражения t-й цели за стрельбу най-
дется как вероятность хотя бы одного попадания в эту
цель
1 _ (1 _ ty. (36)
233
Используя уравнение (35), можно написать
(37)
Приближенно имеем
(l-£)ft = e-*, (38)
откуда
Ri = l — е"ар. (39)
Согласно уравнению (34) находим математическое
ожидание числа пораженных целей
хср = £/?< = 6(1 -е~^). (40)
Отсюда среднее число пораженных целей (в %) будет
xCpO/oz= х°Р-100 =100(1 -е-^). (41)
В табл. 3.4.1 представлена зависимость ар от хСр°/о
по уравнению (41).
ТАБЛИЦА 3.4.1
хс р’ % ар хср’ % ар
5 0,051 60 0.916
10 0,105 70 1,204
20 0,223 80 1.609
30 0,357 90 2,303
40 0,511 95 2,996
50 0,693 99 4,605
Пример 2. Пусть ведется стрельба по 50 целям при условии,
что вероятность попадания в какую-либо из целей равна 0,5 при од-
ном выстреле. Какое число выстрелов за стрельбу отвечает мате-
матическому ожиданию поразить 50% целей?
Решение. По табл. 3.4.1 находим др = 0,693, откуда а =
0,693
= -Q-g-= 1,38. Далее из уравнения (35) находим
п = ak = 1,38 • 50 — 69.
234
§ 3.5. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ
В СЛУЧАЕ ЗАВИСИМЫХ ВЫСТРЕЛОВ
(случай схемы двух групп ошибок)
А. О схеме двух групп ошибок стрельбы
Схема двух групп ошибок является очень распро-
страненной на практике. Кроме того, здесь упрощаются
расчетные формулы.
Поэтому мы ограни- | р
чимся рассмотрением -А—т—------------?-----—
этого простого случая. г _ j. _
Для краткости рассмо-
трим сначала стрель- Рис. 3.5.1.
бы с одномерным рас-
сеиванием вдоль горизонтальной оси (рис. 3.5.1).
Пусть центр цели находится в точке О. Пусть траек-
тория при гм выстреле проходит через точку Зг- (/ =
= 1, 2, ..., п), а центр рассеивания траекторий для
группы из п выстрелов находится в точке R. Обозначим
отклонение i-й траектории от точки R через &
li = RSi.
(1)
Обозначим отклонение точки R от центра цели
через х:
x = OR. (2)
Тогда отклонение траектории от цели будет
(3)
Величины gi распределены нормально с математиче-
ским ожиданием 0 и средним квадратическим отклоне-
нием (Тн, которое характеризует собой техническое рас-
сеивание выстрелов. Величины |г-, очевидно, независимы
между собой, их называют неповторяющимися ошиб-
ками.
Величина х является постоянной для группы из п
выстрелов, но изменяется случайным образом при пере-
ходе от одной группы выстрелов к другой. Распределе-
ние величины х является нормальным с математическим
ожиданием х0 и средним квадратическим отклонением
235
аг. Величина аг является характеристикой рассеивания
групповых повторяющихся ошибок, какими на практике
обычно являются ошибки подготовки стрельбы. Оче-
видно, что величины х и & независимы между собой.
Рассмотрим суммарные ошибки стрельбы Z/. Они
уже не являются независимыми. Для них имеем:
М (г,) = М (М + М (х) = 0 + х. = х0, (4)
°2 (г,) = а2 (У + а2 (X) = а2 + а2 , (5)
Kiз = М (ZiZj) — М (Zi) М (Zj) =
= М (tfj + + гзХ + X2) —х2=
= о + хаМ &) + хаМ (5j) + а2 =а2. (6)
Коэффициент корреляции между величинами z2- и zj
найдется по уравнению
2 2
г . = Ка___________°г 8г т
г3 а2 + о2 • V)
Уравнения (1) — (7) характеризуют собой так назы-
ваемую схему двух групп ошибок стрельбы (ср. [82],
стр. 168).
Б. Расчет вероятности попадания в цель
в случае схемы двух групп ошибок стрельбы
при одномерном рассеивании
Рассмотрим случай, когда цель имеет ширину 2а
и ее центр совпадает с началом координат (рис. 3.5.1).
Плотности распределения ошибок первой и второй
групп будут
1
Он V2n
?Н (5) =
?Г(Х) =------
ог у 2л
(Е-х)»
2а2 1
е н =-?о
°н
(8)
(9)
е
_ (Л—х0)2
2а2 1
Г
236
где
. -Ltt.
’"(“,=Vs е 2 <10>
При фиксированной ошибке х условная вероятность
попадания в цель при одном выстреле (при условии,
что групповая ошибка равна х) будет
(И)
где Ф(«) — функция Лапласа.
Безусловная вероятность попадания в цель при од-
ном выстреле будет
+оо
Pt = J Р (х) <рг (х) dx =
4-оо
dxd< =
(12)
Второй интеграл в уравнении (12) представляет
собой композицию двух нормальных распределений.
В результате этой композиции получается нормальное
распределение с математическим ожиданием
сперсией
Хо и ди
(13)
(см. [82], стр. 68). Поэтому можно уравнение (12) пре-
образовать следующим образом:
dl =
—а
(14)
Отсюда следует, чти в схеме двух групп ошибок
вероятность попадания за один выстрел находится та-
ким же способом,, как и в случае одной группы ошибок,
но с заменой технического рассеивания на суммарное
рассеивание обеих групп ошибок.
Вероятность хотя бы одного попадания в цель при
п выстрелах найдется по уравнению
+ 00
{1-[1-(15)
—00
где Р(х) находится по уравнению (И).
Интеграл в уравнении (15) легко вычисляется одним
из методов численного интегрирования (например, по
способу Симпсона).
Если закон поражения цели показательный, то из
уравнения (15) получается вероятность поражения цели
при стрельбе группой в п выстрелов
+00
(16)
—00
В. Определение вероятности попадания в цель
в случае схемы двух групп ошибок стрельбы
при двумерном рассеивании
Рассмотрим для простоты случай стрельбы при сле-
дующих условиях:
а) цель — квадрат со стороной 2 а;
б) рассеивание выстрелов круговое;
в) систематические ошибки стрельбы отсутствуют.
Пусть начало координат совпадает с центром цели.
Обозначим ошибки первой группы (неповторяющиеся)
через £ и т], а ошибки второй группы (повторяющиеся)
через х и у.
Тогда плотности вероятности ошибок 1-й и 2-й групп
будут соответственно
(17)
Л
°н
<1^2% (ч-уУ
у °Н у у °Н J ’
(18)
238
При фиксированных величинах ошибок второй груп-
пы вероятность попадания в цель при одном выстреле
будет
а а
Р{х- j jУ^УУУУУ-У^- <19>
—а —а
откуда находим
Р(х, й=1[ф(г-^) + ф(^±Г)]х
(20)
Условная вероятность получения т попаданий
в цель из п выстрелов (при фиксированных х и у} будет
Рт.п(Х, у)^Стп[Р(Х, у)рп[1-Р(х, //)]—, (21)
где С™ — число сочетаний из п по т.
Безусловная вероятность получения т попаданий
при п выстрелах будет
+оо +оо
Рт,п= j J Рт,п(х, у)-^-<рв (77) (47) dxdy. (22)
—00 —00 Г
Ицтеграл (22) просто вычисляется в частном случае,
когда п = т= 1. В этом случае получаем вероятность по-
падания в цель при одном выстреле, которая, как это
следует из уравнений (12) — (14), может быть записана
в таком виде:
(23)
где находится по уравнению (13).
При /г>1 интеграл (22) можно вычислить одним из
способов численного интегрирования. При этом он сво-
дится к произведению двух однократных интегралов.
Покажем, как это делается в частном случае, когда
/1=2.
239
Рассмотрим сначала вероятность Ргг- Из уравнений
(22), (21) и (20) находим
+ оо 4-оо
= ( [ [Р{х, 0Г =
J J ®г \ Z \ /
—00 —00
(24)
В уравнении (24) получилось произведение двух
одинаковых однократных интегралов, каждый из кото-
рых мы обозначим через А. В силу симметрии подынте-
грального выражения можно записать следующее выра-
жение для А:
оо
[ф(^~ег) + ф(^ + 82)]Ч(гЖ (25)
О
В уравнении (25) сделана замена z =— и введено
<*г
обозначение
е =—
(26)
Заметим, что величина А полностью определяется
двумя параметрами: е и Рц.
В самом деле, из уравнений (26) и (13) находим
откуда
4 =»’(!+). (27)
= (28)
240
Если заданы и е, то из уравнения (23) опреде-
ляется отношение —, а из уравнения (27) — отношение
—, которое входит в уравнение (25) для А.
°н
Рассмотрим теперь вероятность Р\* Из уравнений
(22), (21) и (20) находим
4-OO4-OO
Лг= f ( 2Р(х,1/)[1— Р(х, =
J J °г \ г / \ г /
—00—00
4-00 4-00
= 2 ( \ — (29)
J J % \ г / \ г /
— 00 —оо
Но интеграл, стоящий в правой части уравнения (29),
равен Рп. Поэтому получаем
Р18=2Р„ —2РИ=2РП —2А’. (30)
Теперь нетрудно найти последнюю из интересующих
нас вероятностей Рог- Для этого надо воспользоваться
тем, что сумма вероятностей Рад, Р12 и Р22 равна 1.
Тогда из уравнений (30) и (24) получаем
Р- = 1 - 2Р„ 4- А*. (31)
Из уравнений (24), (30) и (31) видно, что для вы-
числения всех трех интересующих нас вероятностей не-
обходимо только одно однократное интегрирование для
вычисления А по уравнению (25).
Пример 1. Рассмотрим случай, когда цель — квадрат со стороной
2а=4 Л£, а средние квадратические ошибки стрельбы в обеих группах
одинаковы: <ун = <уг=1 м. Найдем в этих условиях вероятности Р02,
Р12 И Рг2-
Решение. Из уравнения (25) находим численным интегрирова-
нием А=0,732. Из уравнения (13) получаем сЕ = У2, а из уравне-
ния (23) находим Рц=0,710.
Далее из уравнений (24), (29) и (30) получаем Ро2=О,116, Pi2=
= 0,348, Р22=0,536.
Заметим, что в случае независимых выстрелов при Рц=0,710
будет
РО2=(1-Рп)2=0,084,
Р12 = 2Рц (1—Рц) =0,412,
Рг2=Рц =0,504,
16—343 241
Результаты этих 'расчетов сведены в табл. 3.5.1
ТАБЛИЦА 3.5.1
S 0 1 00
Р02 0,084 0,116 0,290
£12 0,412 0,348 0
р22 0,504 0,536 0,710
Р' 0,916 0,884 0,710
Г 0 0,5 1
‘В табл. 3.5.1 приведены также значения вероятности
Р' хотя бы одного попадания в цель
Р’=Р„+РМ,
а также значения коэффициента корреляции
Кроме того, в табл. 3.5.1 помещены значения веро-
ятностей для случая, когда е = оо (г=1). В этом случае
неповторяющиеся ошибки настолько малы, что можно
пренебречь техническим рассеиванием выстрелов и счи-
тать, что все выстрелы в одной группе попадают в одну
точку. Это значит, что если один выстрел попал в цель,
то и все остальные выстрелы также попали в цель.
Поэтому в этом случае Pi2 = 0, Р22=Р\\ и Р02—1—Рп-
Закономерности, обнаруживаемые из рассмотрения
табл. 3.5.1, являются общими. При возрастании вели-
чины е (когда е—>оо или г—>1) при любых значениях п
имеют место следующие закономерности:
1) величины Pin, Р2п, ..Pn-i,n стремятся к 0;
2) величина Рп,п стремится к Рн;
3) величина РОп стремится к 1—Ри;
4) вероятность хотя бы одного попадания Р' стре-
мится к Р1Ь
Заметим также, что при вероятностные
характеристики не очень сильно отличаются от тех, ко-
торые соответствуют независимым выстрелам,
242
Г. Определение вероятности поражения цели
в случае схемы двух групп ошибок
Для краткости изложения ограничимся здесь слу-
1аем, когда число выстрелов в группе равно 2.
В этом случае, согласно уравнению (3.4.21), вероят-
ность поражения цели будет
+ ^22^2,
(33)
лде вероятности Р12 и Р22 находятся по уравнениям (24)
I (30), а вероятности Gr и G2 определяются законом
поражения.
Проиллюстрируем уравнение (33) на примере.
Пример. 2. Найти вероятность поражения цели в условиях при-
зера 1 для трех вариантов закона поражения:
a) Gi —0,5, С?2 =0,5,
6)Gj=0,5, G2=0,75,
в) Gi = 0,5, G2 = 1,
(здесь случай б) отвечает экспоненциальному закону поражения).
Решение. В условиях примера 1 мы имели Pi2=0,348 и
Р22=0,536.
По уравнению (33) определяем значения R2, приведенные
з табл. 3.5.2.
ТАБЛИЦА 3.5.2
Вариант
закона
поражения
а
б
в
0,442
0,576
0,710
Из этой таблицы видно, что показательный закон поражения за-
нимает среднее место (по величине Д2) между другими рассмотрен-
ными случаями.
Д. Применение метода статистического моделирования
для определения вероятности поражения цели
Выше мы ограничились рассмотрением нескольких
частных случаев и нескольких примеров для определе-
ния вероятности поражения цели. Это мы сделали по-
тому, что в более общих случаях получаются очень гро-
16* 243
моздкие аналитические выражения, которые малопри-
годны для расчетов.
Метод статистического моделирования позволяет по
одной простой общей схеме определять вероятность по-
ражения цели при самых общих условиях:
— форма цели произвольная,
— число выстрелов в группе любое,
— техническое рассеивание некруговое с произволь-
ным направлением осей рассеивания относительно цели,
— рассеивание повторяющихся ошибок некруговое
с произвольным направлением осей рассеивания относи-
тельно цели,
— систематические ошибки могут иметь место,
— зависимость между ошибками последовательных
выстрелов .произвольная (не обязательно сводящаяся
к схеме двух групп ошибок),
— закон поражения цели произвольный.
Схема применения метода статистических испытаний
для определения вероятности поражения цели группой
из п выстрелов заключается в следующем:
1) Моделируется одна группа из п выстрелов. При
помощи датчиков случайных чисел определяются повто-
ряющиеся и неповторяющиеся ошибки и для каждого
выстрела определяется, что имеет место — попадание
или промах. Подсчитывается число попаданий. При по-
мощи датчика случайных чисел и закона поражения
определяется, что имеет место для данной группы —
поражение или непоражение цели.
2) Моделирование группы выстрелов повторяется
N, раз. В результате получается, что в N\ раз имело
место поражение цели, а в раз поражения цели
не было.
3) Находится вероятность поражения цели по
частости
₽ = Т- (34)
4) Оценивается точность решения по уравнению (34)
при помощи методики, изложенной в § 2.3. Если точ-
ность оказывается недостаточной, то моделирование
продолжается до тех пор, пока не обеспечивается за-
данная точность.
244
§ 3.6. УЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ПРИ ОЦЕНКЕ
ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ
А. Постановка задачи
Рассмотрим случай стрельбы п выстрелами по одной
цели при следующих условиях:
1. От выстрела к выстрелу не изменяются вероятно-
стные характеристики снаряда (вероятность попадания
в цель, вероятность отказа бортовых устройств и т. п.).
2. Вероятность отсутствия отказа орудия (пусковой
установки) при п выстрелах записывается в виде
Р(п)=Р" (1)
(см. уравнение (1.8.5),
где Pi — вероятность отсутствия отказа при первом
выстреле, если до этого выстрела неисправностей не
было.
3. При оценке вероятности поражения цели можно
пренебречь накоплением ущерба от предыдущих вы-
стрелов (если при этих выстрелах цель не была пора-
жена).
При этих допущениях можно записать следующее
выражение для безусловной вероятности поражения
цели одним выстрелом:
R^PrRi, (2)
где — условная вероятность поражения цели одним
выстрелом, определенная при условии, что орудие не
отказало при этом выстреле.
Рассмотрим теперь такую задачу: в распоряжении
стреляющего имеется п снарядов, ведется стрельба
по одной цели, результаты стрельбы наблюдаются,
стрельба прекращается при поражении цели. Требуется
определить вероятность Rn поражения цели.
По аналогии с § 3.4.1 в случае независимых выстре-
лов эта задача имеет следующее решение [см. уравнение
(3.4.26)]:
#п=1-(1-#,)«. (3)
243
Однако в рассматриваемых условиях уравнение (3)
не имеет места, так как возможность отказов орудия
делает выстрелы зависимыми. В самом деле, если ору-
дие отказало на каком-то выстреле, то на всех ^после-
дующих выстрелах вероятность поражения цели равна
нулю.
Б. Основные уравнения
Обозначим через Qk вероятность такого события:
цель не была поражена на выстрелах с номерами от
1 до k—1, на &-м выстреле состоялось поражение цели.
Величину Qb можно легко определить как произве-
дение трех множителей:
— вероятности исправной работы орудия на k выстре-
лах Pk ,
— вероятность непоражения цели на k — 1 выстрелах
— вероятность поражения цели на k-м выстреле R,,
т. е.
(4)
где для краткости введено обозначение
-/<). (5)
Теперь можно записать следующие очевидные уравнения:
п
(6)
Л=1
п
Mn = ^£Qk, (7)
/г=1
где Мп — математическое ожидание количества выстре-
лов.
Используя уравнение (4) и соотношение
п
Ёг'_, = т^Т’ (8)
получаем из уравнения (6)
Rn=P^lT=^ (9)
246
Это уравнение справедливо в том случае, когда
в начале стрельбы орудие (пусковая установка) заве-
домо исправно. Если заранее не известно, исправно ли
орудие (пусковая установка), то уравнение (9) следует
записать в таком виде:
(9а)
где /Сг — коэффициент готовности орудия (пусковой
установки) (см. § 1.9).
Уравнение (7) можно переписать в таком виде:
Mn=P1R^kz^ = PlR1-^ (10)
k=\ k-\
Из уравнений (3) и (10) после ряда преобразований полу-
чаем
При л-юоиз уравнений (9) и (11) получаем
оз)
4.=-^. (is)
В. Анализ полученных уравнений
Рассмотрим сначала частный случай, когда ₽i=l.
В этом случае из уравнений (5), (9), (12) и (13) нахо-
дим
Rn= 1-(1-*.)”>
(14)
*00=1.
К1
(15)
(16)
т. е. мы получили хорошо известные уравнения для слу-
чая независимых выстрелов.
247
Рассмотрим теперь случай, когда Pi#=l, а /?1=1.
В этом случае из уравнений (5), (9), (12) и (13) полу-
чаем
= (17)
= (18)
т. е. результаты не зависят от п. Это физически оче-
видно, так как при /?1=1 либо на первом выстреле цель
будет поражена, либо на этом выстреле откажет орудие
и стрельба прекратится.
В рассмотренном случае мы получили уравнение (18)
для Л1П, из которого следует, что Мп 1, что согла-
суется с физическим смыслом величины Мп — это сред-
ний расход снарядов на стрельбу из одного орудия.
Часто интересуются средним расходом М'п снарядов
на одну пораженную цель. Для этого среднего расхода,
очевидно, справедливо уравнение
= —. (19)
Rn
Из уравнений (9) и (11) получаем
При п -► оо отсюда находим
Л'„= <21>
В заключение рассмотрим численный пример.
, Пример 1. Известны вероятность Pi =0,9 безотказного дей-
ствия пусковой установки при выстреле и условная вероятность
/?! = 0,7 поражения цели одним выстрелом. Определим предель-
ные значения безусловной вероятности поражения цели и ма-
тематического ожидания выстрелов на поражение цели и
при бесконечном возрастании числа п снарядов, находящихся
в распоряжении стреляющего.
Решение. По уравнениям (5), (12), (13) и (21) находим
2 = 0,27, #^ = 0,86, ^=1,18, M'w= 1,37,
248
Интересно отметить, что При независимых Выстрелах =1.
Здесь величина < 1 из-за низкой надежности пусковой уста-
новки.
При независимых выстрелах средний расход выстрелов на одну
пораженную цель при м-*оо будет = 1,43. Здесь М'^ —
= 1,37 < 1,43. Это объясняется тем, что по одной цели не удается
сделать большого числа выстрелов из-за низкой надежности пуско-
вой установки (среднее число выстрелов из одной пусковой уста-
новки 4^00= 1,18).
Г. Случай стрельбы по нескольким целям
Рассмотрим такой случай, когда в распоряжении
стреляющего есть по п снарядов на орудие. Стрельба
ведется по одной цели до ее поражения, а затем огонь
переносится на следующую цель и т. д. Требуется опре-
делить математическое ожидание М"п числа целей,
пораженных при стрельбе из одного орудия.
Легко видеть, что эта задача эквивалентна такой:
имеется п целей и по каждой из них производится по
одному выстрелу из данного орудия.
В этом случае вероятность поражения первой цели
первым выстрелом будет Р^. Вероятность исправной ра-
боты орудия на втором выстреле будет Р%, а вероятность
поражения второй цели будет Р2!^ • Аналогично для
третьей цели будем иметь Р3!^ и т. д.
Искомое математическое ожидание найдется как сумма
вероятностей
М"п = Р^ + Р% + Р% +... + P" Rt =
= Р^г J = РЛ (22)
k=i
Отсюда при п —> со получаем
(23)
249
Это уравнение непригодно для случая Pi=l. В этом
случае из уравнения (22) получаем
M"n = nR1 (24)
и
Л!" =оо.
со
Пример 2. Найти для условий примера 1.
Решение. Из уравнения (23) для значений Рх = 0,9 и =
= 0,7 получаем М"^ = 6,3. Это значит, что при неограниченном
количестве выстрелов на орудие в среднем одним орудием ‘будет
поражено только 6,3 цели (до того, как орудие откажет). Здесь
предполагается, что в ходе стрельбы отказавшее орудие не ремон-
тируется.
§ 3.7. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ В НЕКОТОРЫХ
БОЕВЫХ СИТУАЦИЯХ
А. Оценка эффективности стрельбы отдельного образца
вооружения при одном выстреле
Рассмотрим случай стрельбы отдельного образца
вооружения, который перед стрельбой совершил дли-
тельный марш. Комплекс получил команду открыть
огонь по цели, время т пребывания которой в зоне огня
ограничено. Это* могут быть, как правило, внеплановые
цели (скопления живой силы и техники, стартовые пози-
ции ракет и т. п.).
Выполнить такую задачу может только сложный
комплекс, снабженный средствами разведки. Например,
самолет — фронтовой бомбардировщик, артиллерийский
или ракетный комплекс с ядерными боеприпасами и со
средствами разведки.
Эффективность таких комплексов можно сравнивать
по вероятности поражения цели. Поражение цели при
одном выстреле в этих условиях будет сложным собы-
тием, состоящим из ряда случайных событий.
1. Случайного события, состоящего в том, что ком-
плекс обнаружит цель. Это событие оценивается вероят-
ностью обнаружения Робн(^о).
2. Случайного события, состоящего в том, что в мо-
мент времени /к=0 (момент получения команды на от-
крытие огня) комплекс будет готов к работе. Это собы-
тие оценивается вероятностью того, что в момент
250
времени /к = 0 комплекс будет в исправном состоя-
нии Кг.
3. Случайного события, состоящего в том, что ком-
плекс будет работать безотказно за заданное время /п,
которое оценивается вероятностью безотказной работы
Р(/п) за время tn (подготовки и пуска ракеты).
4. Случайного события, состоящего в том, что цель
не выйдет из зоны огня (если это подвижная цель) или
не покинет стартовой позиции. Это событие оценивается
вероятностью пребывания цели в зоне огня (на старто-
вой позиции) Р(т).
5. Случайного события, состоящего в том, что наш
комплекс не будет уничтожен за время tn огнем про-
тивника. Это событие оценивается вероятностью непо-
ражения от огня противника (1—Q).
6. Случайного события, состоящего в том, что промах
при пуске ракеты г будет меньше приведенного радиуса
зоны поражения г0. Это событие оценивается вероят-
ностью попадания в круг с радиусом г0, Pi-
Т. Случайного события, состоящего в поражении цели
при пуске с промахом г. Это событие оценивается
условной вероятностью поражения цели при условии
разрыва снаряда с промахом г, G(r).
Полная вероятность поражения цели при одном
выстреле с учетом всех этих случайных событий оце-
нивается как произведение вероятностей всех этих собы-
тий
Ri (О = ^обн (О К.Р (/п) р (О (1 - Q) /?!, (1)
где = и рассчитывается по уравнениям (3.1.1),
(3.1.6) или (3.2.1) — (3.2.29) в зависимости от типа
боеприпасов. Надежность комплекса Р(/п) рассматри-
валась в гл. 1 и в предыдущем параграфе. Рассмотрим
более подробно вероятность пребывания цели в зоне
огня Р(т), коэффициент готовности Кг и вероятность
обнаружения.
Если стрельба ведется по стартовой позиции, то
время пребывания цели в зоне огня определяется вре-
менем подготовки к стрельбе. Обычно время подготовки
тп характеризуется средним временем подготовки.
Однако мы будем иметь всегда случайное время Пребы-
вания цели в зоне огня т, так как случайное обнаруже-
251
ние цели может произойти в момент занятия ею старто-
вой позиции при Тп=0 и в любой другой момент тп.
Поэтому можно принять экспоненциальный закон рас-
пределения времени пребывания цели на стартовой по-
зиции т и рассчитать вероятность того, что цель не по-
кинет стартовую позицию за время т по уравнению
__
^(т>/п) = е \ (2)
где т>0;
То—среднее время пребывания цели в зоне огня
с момента ее обнаружения.
В любой момент времени, начиная с момента обна-
ружения, цель может покинуть стартовую позицию.
Причем вероятность пребывания цели в зоне огня зави-
сит только от т и не зависит от положения начала от-
счета.
Вероятность обнаружения движущихся целей рас-
сматривалась в § 1.6. Для неподвижных целей вероят-
ность обнаружения РОбн(^) зависит от интенсивности
разведки Хр и времени, затраченного на разведку, t
Причем под, интенсивностью разведки Хр будем пони-
мать число целей, разведанных в единицу времени:
РОбн -- 1 е
(3)
Коэффициент готовности Лг следует учитывать в тех
случаях, когда в период подготовки не будет времени
на производство технического осмотра различных эле-
ментов комплекса и на производство ремонта или за-
мену вышедших из строя элементрв комплекса. В слу-
чае, когда времени будет достаточно на проверку
аппаратуры и ее восстановление при отказах, коэффи-
циент готовности будет равен единице.
Пример 1. Оценить эффективность стрельбы ракетного комплек-
са на марше при одном пуске ракеты, если известно, что условная
вероятность поражения цели /?1=0,9, эффективность ответного огня
Q=0,5, время, необходимое на подготовку пуска, /п=0,5 час, сред-
нее время безотказной работы комплекса Т=50 час, среднее время
восстановления Тв = 2 час, среднее время пребывания цели в зоне
огня То=2 час, интенсивность разведки Хр=0,5 цели в час, время
разведки t= 10 час с момента начала движения комплекса.
252
Решение. 1. .По уравнению (3)
личных значений времени разведки
определяем РОбн(0 для раз-
t, час 0 2 4 6 8 10
Робн (0 0 0,635 0,865 0,950 0,982 0,993
2. Коэффициент готовности
50
^ = 50 + 2 = 0-973-
3. Вероятность безотказной работы определим по уравнению
Р (tn) = е т = 0,99а.
4. Вероятность пребывания цели в зоне огня найдем по урав-
нению (2) (пренебрегая временем, затраченным на обработку ре-
зультатов разведки и целеуказание)
__
/=> (т >/п) = е т<> = 0,775.
5. Эффективность стрельбы комплекса по стартовой позиции как
(Ьункцию времени разведки t определим по уравнению (1) —
=0,635 • 0,973 • 0,990 • 0,775(1—0,5) • 0,9=0,213 и т. д.
t, час 0 2 4 6 8 10
Rx 0 0,213 0,290 0,319 0,330 0,333
Отсюда видно, что эффективность стрельбы комплекса не
превышает 33%, в то время как условная вероятность поражения
цели /?1==0,9. Основным фактором, снижающим эффективность
стрельбы, в данном примере является эффективность противодей-
ствия Q=0,5.
Б. Оценка эффективности стрельбы
при нескольких выстрелах
При нескольких выстрелах в сложных ситуациях боя
на эффективность стрельбы комплекса будут воздейст-
вовать те же случайные факторы, которые рассматри-
253
вались в предыдущем пункте. Крогме того, появляется
еще зависимость между выстрелами. Однако зависи-
мость между выстрелами будет иметь место либо при
высоком темпе стрельбой, либо при низкой надежности
работы комплекса (см/§ 3.6). При высокой надежности
комплекса и низком темпе стрельбы можно пренебречь
фактором зависимости и вести расчет эффективности
по уравнению
Rn (0 = />обн (0 КгР (О р (х) {1 - [1 - Р (Q /?,]"} (1 - Q),
(4)
где Р(/)—вероятность безотказной работы комплекса
за время t\
P(/io)—вероятность безотказной работы ракеты за
полетное время /0;
п — количество ракет, выпущенных по одной
цели.
t—время работы комплекса по одной цели.
Остальные параметры имеют тот же смысл, что и
в предыдущем пункте. По уравнению (4) можно рассчи-
тать эффективность стрельбы зенитного комплекса или
комплекса ПТУРС. При этом вероятность обнаружения
рассчитывается по уравнениям (1.6.2) и (1.6.18).
ГЛАВА 4
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ
РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОПЕРАЦИЙ
§ 4.0. ВВЕДЕНИЕ
О настоящее время идеи и методы теории
^массового обслуживания получают всюду
на практике все большее распространение, в том числе
и в исследовании операций. В этой главе в кратком
изложении даны некоторые результаты и методы теории
массового обслуживания, которые могут найти примене-
ние при решении военных задач. Все они доведены до
расчетных зависимостей.
В главе показаны подходы и методы постановки и
решения некоторых военно-технических задач, связан-
ных с теорией массового обслуживания, и все это
проиллюстрировано соответствующими примерами.
В последнем параграфе высказаны основные принципы
решения более сложных задач на ЭЦВМ с помощью
метода статистических испытаний (метода Монте-Кар-
ло). В конце книги и в этой главе по ходу изложения
материала даны ссылки на имеющуюся на русском язы-
ке литературу по затронутым вопросам теории массо-
вого обслуживания. К ней читатель может обратиться,
если пожелает шире и глубже ознакомиться с методами
и результатами этой теории.
§ 4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Теория массового обслуживания получила свое раз-
витие сравнительно недавно. Ее возникновение было
вызвано насущными потребностями сначала телефон-
ного дела, а потом физики, рациональной организации
255
массового обслуживания населения (магазины, кассы,
аэродромы и т. д.), ремонта и обслуживания станков
и др.
В военном деле методы теории массового обслужи-
вания могут быть использованы для оценки эффектив-
ности системы противовоздушной обороны (ПВО) раз-
личных объектов, на основании которой вырабатыва-
ются требования к зенитному вооружению, надежности
воздушной разведки, для исследования эффективности
стрельбы противотанковых средств, пропускной способ-
ности и качества различных видов систем управления,
определения оптимальной организации ремонта военной
техники и системы снабжения войск боеприпасами и
другими видами военной техники, прогнозирования на-
пряженности работы пунктов эвакуации, госпиталей,
дегазационных пунктов и т. д. [66].
Как видно из этого краткого перечня, круг вопросов
военно-прикладного характера, которые могут быть ре-
шены с помощью методов теории массового обслужива-
ния, достаточно широк.
Прежде чем перейти к непосредственному использо-
ванию результатов и методов теории массового обслу-
живания и примеров ее военного приложения, необхо-
димо усвоить применяемые в ней основные понятия и
терминологию.
При решении перечисленных выше военно-приклад-
ных задач под термином ^обслуживание» понимается
обстрел системой ПВО воздушных целей, разведывание
наземных целей средствами воздушной разведки, отра-
жение танковой атаки системой противотанковых
средств, обработка разведывательных и других данных
системой управления, ремонт военной техники и т. д.
Сама система массового обслуживания состоит из
приборов (линий, потоков и т. д.) обслуживания. Если
вновь обратиться к примерам из области военного дела,
то такими приборами являются зенитные комплексы
ПВО, средства воздушной разведки, противотанковое
оружие, технологические потоки или мастерские по ре-
монту вооружения и т. д.
Задачей всякой системы массового обслуживания
является удовлетворение поступающих в нее требований
(заявок). В области военного дела такими требованиями
(заявками) на обслуживание являются воздушные цели
256
в зоне ПВО, танки в зоне действия противотанковых
средств, объекты воздушной разведки, вооружение, тре-
бующее ремонта, и т. д. Эти требования (заявки) посту-
пают в систему, образуя некоторую временную последо-*
вательность событий, которую будем называть потоком.
Те требования, которые поступают на обслуживание
в систему, образуют входящий поток. Но не все требо-
вания обслуживаются системой. Часть из них, получив
по тем или иным причинам отказ, выходит из нее необ-
служенной. Например, при налете самолетов противника
на объект зенитные комплексы не всегда успевают их
все обстрелять. Часть самолетов прорывается к объек-
ту, образуя выходящий поток необстрелянных самолетов
(необслуженных требований).
Выходящий поток может состоять и из обслужен-
ных требований (обстрелянных самолетов, танков, отре-
монтированных образцов вооружения и т. д.).
А. Классификация систем массового
обслуживания
Все системы массового обслуживания можно разде-
лить на две большие группы; однородные и неоднородные.
Первые состоят из однородных обслуживающих прибо-
ров, вторые — из неоднородных. Например, если система
противотанковой обороны состоит из однородных про-
тивотанковых средств, то это будет однородная система
массового обслуживания.
Сам процесс обслуживания может состоять из ряда
последовательных фаз. В том случае, если таких фаз
несколько, системы массового обслуживания называ-
ются многофазовыми. Например, систему ПВО можно
рассматривать как состоящую из системы управления и
огневых средств. Появившиеся в зоне ПВО цели вначале
обнаруживаются и распределяются системой управле-
ния между зенитными огневыми комплексами (первая
фаза), а потом обстреливаются последними (вторая
фаза).
Особенность работы многофазовых систем заклю-
чается в том, что обслуживающие приборы каждой сле-
дующей фазы приступают к работе только тогда, когда
требование (заявка) обслужено на предыдущей фазе.
17—343 257
По времени пребывания требования в сфере обслу-
живания все системы можно разбить на три большие
группы:
— системы с отказами,
— системы с ограниченным временем ожидания,
— системы с неограниченным временем ожидания.
Системы с отказами — это такие, в которых всякое
вновь поступйвшее требование на обслуживание, застав
все приборы уже занятыми, покидает систему. Приме-
ром системы с отказами может служить такая система
ПВО, в которой время пребывания цели в зоне обстрела
мало и соизмеримо со временем, необходимым для об-
стрела. В этом случае самолет противника (или другое
средство воздушного нападения), застав зенитные
комплексы занятыми обстрелом других самолетов, про-
ходит безнаказанно зону ПВО.
Их противоположностью является система массового
обслуживания с неограниченным временем ожидания
требований (заявок) в очереди (система с ожиданием).
Особенность ее работы заключается в том, что посту-
пившее в систему требование, застав все обслуживаю-
щие приборы уже занятыми, вынуждено ожидать своей
очереди до тех пор, пока какая-либо из обслуживаю-
щих единиц не освободится. В качестве примеров по-
добной системы можно назвать систему управления,
обрабатывающую результаты разведки и данные о поло-
жении и состоянии своих войск, ремонтную мастерскую
и др. В последнем случае прибывшие на ремонт образцы
вооружения в случае занятости потоков ремонтом ранее
поступившей техники вынуждены ожидать своей оче-
реди, и оружие скапливается в больших количествах.
Наконец, системы с ограниченным временем ожида-
ния занимают промежуточное положение. Поступившие
в такую систему требования, застав все приборы заняты-
ми, становятся в очередь. Но в ней требования находят-
ся ограниченное время, после чего, не дождавшись об-
служивания, покидают систему. Полученные для этих
систем основные зависимости, описывающие их функ-
ционирование, могут быть использованы для получения
подобных зависимостей для ранее рассмотренных си-
стем. Примером такой системы можно считать группи-
ровку противотанковых средств с достаточно большой
258
дальностью стрельбы. Время нахождения танков против-
ника в их зоне обстрела достаточно велико, но ограниче-
но. Для систем с отказами время ожидания требования
в очереди равно /Ож = 0.
По характеру требований на обслуживание каждая
из систем может иметь разновидности:
— приборы подключаются к обслуживанию в стро-
гом порядке (например, в порядке их номеров). Это
имеет место тогда, когда система состоит из разных ти-
пов образцов однородного вооружения с различными
преимуществами их боевого использования;
— приборы начинают обслуживать вновь поступив-
шие заявки по мере своего освобождения (например,
технологические потоки ремонта);
— приборы занимаются в случайном порядке (на-
пример, зенитные комплексы при обстреле целей при
мощном воздушном налете).
В системах с ожиданием и ограниченным временем
ожидания можно определить разновидности по порядку
принятия требований к обслуживанию:
— требования к обслуживанию принимаются в по-
рядке очередности их поступления в систему (поступ-
ление неисправного вооружения в ремонт);
— в первую очередь к обслуживанию принимаются
те требования, которые имеют минимум времени до
получения отказа (в зоне обстрела противотанковых
средств в первую очередь целесообразно обстреливать
те танки, которые наиболее близки к противотанковым
средствам и способны быстрее прорваться в глубину
обороны);
— требования на обслуживание принимаются в слу-
чайном порядке (примером может служить система
ПВО объекта при отражении воздушного налета про-
тивника).
Общей особенностью всех задач, связанных с мас-
совым обслуживанием, Является случайный характер
изучаемых явлений. Количество требований на обслу-
живание и величины временных интервалов между ни-
ми при поступлении в систему случайны. Время об-
служивания, а в некоторых системах с ограниченным
временем ожидания и время ожидания подвержены
также случайным колебаниям, причем случайные коле-
бания этих величин не носят характера небольших воз-
17* 259
мущений. Наоборот, это основная черта рассматривае-
мых процессов, что накладывает определенный отпеча-
ток на -свойства получаемых зависимостей.
Б. Характеристики потока требований
Практически почти все задачи теории массового об-
служивания, доведенные до конечных расчетных фор-
мул и получившие практическое применение, исходя.? из
Рис. 4.1.1.
положения, чю входящий поток — простейший (пуас-
соновский). Простейший поток обладает тремя основ-
ными свойствами: стационарностью, ординарностью и
отсутствием последействия. Случайный поток называет-
ся стационарным, если его вероятностный режим во
времени не изменяется.
Если на временной оси отложить равные, но не пе-
ресекающиеся интервалы времени т (рис. 4.1.1), то ве-
роятность события — появление в этих интервалах оп-
ределенного числа требований — зависит для данного)
потока от величины т и не зависит от положения этого»
интервала на временной оси (от моментов времени /ь
/2, h и т. д.).
Для простейшего потока вероятность поступления
в промежуток времени длительностью т ровно k требо-
ваний определяется формулой Пуассона
А(т) = (-^--е-х\ (1)
где А,>0 — постоянное число, смысл которого будет по-
яснен ниже.
Отсутствие последействия -состоит в том, что веро-
ятность поступления за отрезок времени т определен-
ного числа требований не зависит от того, сколько тре-
бований уже поступило в систему раньше, не зависит
от предыстории изучаемого явления. Отсутствие после-
действия предполагает взаимную независимость проте-
кания потока в неперекрывающихся между собой про-
260
межутках времени. Ординарность потока требований
означает практическую невозможность появления двух
и более требований в один и тот же момент времени.
Если обозначить вероятность появления более одного
требования за время AiZ через Р>1(Д'/), то условие ор-
динарности запишется так:
Р>'(А° -+ О при М -► 0.
Таким образом, простейший поток — это стационарный,
ординарный поток без последействия. Вывод уравне-
ний простейшего потока широко представлен в имею-
щейся литературе по теории массового обслуживания,
и при желании читатель может его найти в (80].
Важной характеристикой потока является его ин-
тенсивность, которая определяется как математическое
ожидание числа требований в единицу времени. Для
простейшего потока среднее число требований, посту-
пающих за время /, равно
00 оо
м [и (0] - J kPk (/) - e~xz J] k = U, (2)
6=1 k=\
где p(/) —интенсивность потока;
% — параметр потока.
Параметр потока в теории массового обслужива-
ния определяется как предел отношения вероятности
появления за время Ы хотя бы одного требования
Л1(0 ко времени М
Нт 2^1 _ а. (3)
Д/->0
Для простейшего потока интенсивность равна его па-
раметру. Для других стационарных потоков всегда
имеет место неравенство Два простейших потока
отличаются друг от друга только своими параметрами.
Таким образом, для задания простейшего потока до-
статочно задать только его параметр X.
Графически простейший поток, как и другие виды
потоков, можно представить в виде графика случай-
261
ной функции, принимающей дискретные целые неот-
рицательные значения (рис. 4.1.2). Высота каждой
ступеньки этого графика равна единице (появление
требования), а длина ступеньки определяет промежу-
ток времени между двумя последовательными требо-
Рис. 4.1.2.
ваниями. Величины этих промежутков являются слу-
чайными величинами с показательным законом распре-
деления с параметром Л.
Показательное распределение обладает одним ин-
тересным свойством — распределение длительности ос-
тавшейся части времени до наступления следующего
события не зависит от того, сколько прошло времени
с момента предыдущего события. Это свойство способ-
ствовало широкому применению показательного рас-
пределения в теории массового обслуживания. Дока-
зательство этого свойства можно найти в [80, 66].
Простейшему потоку уделяется много внимания по-
тому, что он получил подавляющее применение в при-
ложениях. Однако практика изучения реальных по-
токов показывает, что их не всегда можно представить
в виде простейшего. В действительности следует ожи-
дать наличия в потоке известного последействия, неор-
динарности и нестационарное™, которыми не всегда
можно пренебречь.
Появление потоков требований с ограниченным по-
следействием рассмотрим на примере ПВО крупного
объекта. По данным [62] система ПВО такого объекта,
как правило, состоит из нескольких эшелонов. Пусть
на первый эшелон системы ПВО поступает простейший
поток целей. Однако не все цели будут поражены при
проходе ими первого эшелона. Выходящий поток целей
262
будет уже потоком с ограниченным последействием
(потоком Пальма). Если на первый эшелон поступает
пуассоновский поток целей, то по мере прохождения
элементов ПВО в нем все больше будет образовывать-
ся пустых областей. И чем дальше поток целей будет
проходить через эшелоны ПВО, тем больше пустот и
скоплений будет образовываться. В этом проявляется
последействие.
Нестационарность потока во времени особенно силь-
но проявляется при его рассмотрении в течение боль-
шого периода. По мере уменьшения отрезка времени
нестационарность потока проявляется, как правило, сла-
бее.
Отступление от ординарности можно показать на
том же примере ПВО. И действительно, в зону ПВО
могут практически одновременно поступить два и более
самолетов.
Однако простейший поток продолжают использо-
вать в силу ряда обстоятельств:
1. Для других видов потоков не получены пока про-
стые формульные зависимости количественной оценки
качества функционирования систем массового обслужи-
вания.
2. К простейшему потоку системам массового обслу-
живания труднее приспособиться. Поэтому при расче-
тах средств обслуживания в этом случае мы ставим
их работу в наиболее тяжелые условия. Если расчет
средств обслуживания будет произведен на этот невы-
годный случай, то обслуживание системой других слу-
чайных потоков требований в одинаковой интенсивно-
сти будет надежнее. Такой вывод был получен
И. Н. Коваленко [121].
3. Простейший поток в теории массового обслужи-
вания играет такую же роль, как нормальный закон
распределения случайных величин в теории вероятно-
стей. При сложении нескольких случайных потоков об-
разуется суммарный, который по своим характеристи-
кам приближается к простейшему (см. [121]).
Однако на практике может возникнуть потребность
в исследовании работы систем массового обслужива-
ния, в которые поступают потоки требований, сильно от-
личающиеся от простейшего и других потоков, которые
достаточно хорошо изучены. В этом случае работа си-
263
стем массового обслуживания может быть проанализи-
рована с помощью метода статистических испытаний
(метода Монте-Карло), при котором часто выгодно ис-
пользовать цифровые электронно-вычислительные ма-
шины (см. гл. 2).
В. Время обслуживания
Время рбслуживания является важнейшей характе-
ристикой каждого аппарата (линии) обслуживания си-
стемы и определяет его пропускную способность. Время
обслуживания является случайной величиной. Причи-
ной этого служит нестабильность работы приборов об-
служивания (особенно с участием человека или целых
коллективов) и неидентичность поступающих в систему
требований. Например, при отражении воздушного нале-
та противника системой ПВО объекта временем об-
служивания является время обстрела каждым зенит-
ным комплексом воздушной цели. Естественно, что от
стрельбы к стрельбе по каждой новой цели время об-
стрела комплексом по различным причинам будет ко-
лебаться. Применительно к артиллерийскому зенитному
комплексу разброс времени обстрела воздушных целей
будет определяться изменениями дальности и парамет-
ра стрельбы, вида, скорости и маневра цели, разброса
времени подготовки к стрельбе, времени перезаряжа-
ния, переноса огня и т. д.
Поэтому величину времени обслуживания /Обс сле-
дует считать случайной величиной, полной характери-
стикой которой является закон распределения
F(t) = P[to6c<t], (4)
где Р[/обс</]— вероятность события, что время обслу-
живания /обе *не превосходит некоторой величины t.
Из физических соображений время обслуживания не
может быть отрицательной величиной, т. е. при /обс^О
F(/)=0. Закон распределения времени обслуживания
определяется из опыта путем статистических методов
анализа численных значений времени обслуживания ре-
альных систем. Законы распределения могут быть са-
мого различного вида.
264
Однако как в теоретических, так особенно в прак-
тических приложениях большое распространение полу-
чил показательный закон. При показательном законе
распределения значительно упрощаются все результаты,
тогда как разработка методов решения задач массово-
го обслуживания с произвольным законом распределе-
ния времени обслуживания встречает огромные трудно-
сти. При показательном законе функция распределения
имеет вид
F(0=l — е-|Х/, (5)
где = --------положительная постоянная величина. Вели-
_ ^обс
чина /обе равна математическому ожиданию времени об-
служивания.
Показательный закон распределения времени об-
служивания предполагает, что значительная доля тре-
бований будет весьма быстро обслуживаться^ что не
всегда согласуется с практикой. Поэтому Эрланг А. К.
предложил плотность распределения времени обслужи-
вания задавать формулой
<Рь $ = '1 при / > 0, (6)
<pft(/) = 0 при7<0.
Можно показать, что представляет собой плот-
ность распределения суммы k независимых случайных
величин с показательным законом распределения. Вид
функции фа(О показан на рис. 4.1.3. Это распределение
времени обслуживания более близко к истине. Системы
массового обслуживания при показательном законе рас-
пределения обладают одним важным свойством, кото-
рое нужно иметь в виду при оценке эффективности во-
оружения.
Пусть в систему массового обслуживания, состоя-
щую из п разнотипных комплексов, поступило требо-
вание. Время обслуживания требования каждым прибо-
ром подчинено показательному закону с параметром ц.
Обслуживание заканчивается, как только один из при-
боров выполнил свою задачу по обслуживанию. Можно
265
показать (см. [121]), что для этого случая закон обслу-
живания всеми приборами будет также показатель-
ным
1 “(Н + |ха+ ...+нпК
F(/o6c<0=l—е (7)
с параметром
(8)
Если все приборы одинаковой производительности, то
р = Значит, при одновременном обслуживании тре-
Рис. 4.1.3.
бования несколькими приборами среднее время обслу-
живания уменьшается в п раз по сравнению со време-
нем обслуживания одного прибора. Следует отметить,
что дисперсия при этом уменьшается в п2 раз. Это свой-
ство можно проиллюстрировать примерами из военного
дела.
Подобные ситуации возникают при обстреле несколь-
кими зенитными комплексами одного самолета, при од-
новременном бомбометании корабля или другого объ-
екта несколькими бомбардировщиками, обстрела тан-
ка несколькими противотанковыми средствами и т. д,
[121]. Во всех этих случаях обслуживание требования
(обстрел, бомбометание) проводится до момента пора-
жения объекта нападения. В этом проявляется широкое
применение в военном деле массированных, комбиниро-
ванных ударов по противнику.
§66
§ 4.2. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПВО ПРИ МАЛОМ ВРЕМЕНИ
ПРЕБЫВАНИЯ ЦЕЛИ В ЗОНЕ ОБСТРЕЛА
Рассмотрим систему ПВО объекта, состоящую из об-
разцов зенитного вооружения, для которых время пре-
бывания цели в зоне обстрела соизмеримо со временем,
необходимым для надежного поражения цели [66, 17].
Такое положение может быть обусловлено сочетанием
скорости, параметра и высоты полета цели с тактико-
техническими характеристиками зенитного вооружения.
Постановка задачи. Система ПВО состоит из
п однородных зенитных комплексов, каждый из которых
может одновременно обстреливать только одну цель. На
систему ПВО и прикрываемый ею объект противник про-
извел налет с интенсивностью Л. Необходимо решить
следующие важные вопросы:
— провести оценку ожидаемого количества сбитых
системой ПВО воздушных целей при отражении налета;
— определить ожидаемое количество воздушных це-
лей, могущих прорваться через систему ПВО к объекту
и решить свою боевую задачу;
— оценить основные тактико-технические характери-
стики зенитного вооружения с точки зрения возможно-
сти повышения эффективности ПВО;
— оценить боевые возможности средств нападения
по прорыву системы ПВО;
— определить необходимый состав средств ПВО
с заданными тактико-техническими характеристиками,
исходя из требуемой эффективности.
Полагаем, что поток целей в налете простейший.
Принятие этого допущения основано на следующих по-
ложениях:
— несмотря на необходимость выдерживания ди-
станций и интервалов в налете, их величины имеют слу-
чайные отклонения от требуемых;
— под воздействием огня средств ПВО боевые по-
рядки налетающих самолетов нарушаются;
— если на прикрываемый объект совершается напа-
дение противника с различных направлений, то суммар-
ный поток налетающих самолетов близок к пуассонов-
скому.
Как уже отмечалось выше, простейший поток нале-
тающих целей является наиболее трудным при отраже-
267
нии налета системой ПВО. Это позволит оценить эффек-
тивность ПВО объекта в более трудных условиях. При
решении задачи не учитывается ответный огонь против-
ника.
Каждая цель, появившаяся в зоне ПВО, сразу же
начинает обстреливаться одним из комплексов. Если все
комплексы уже ведут стрельбу по целям, то вновь по-
явившиеся в зоне обстрела самолеты прорываются
к объекту прикрытия.
Полагаем, что время обстрела самолета зенитным
комплексом — величина случайная и подчиняется пока-
зательному закону распределения с параметром v. По-
этому вероятность того, что время обстрела цели не
превосходит t, определяется из выражения
Вероятность противоположного события равна g(t)=e~vt.
Система ПВО может находиться в следующих состоя-
ниях:
Ао—все комплексы свободны от стрельбы,
А&—k комплексов ведут огонь, а остальные свободны
6 = 1, 2, 3, ..., (n—1),
Ап — все комплексы ведут огонь.
Составим дифференциальные уравнения этих состоя-
ний системы ПВО.
Обозначим через At очень маленький промежуток
времени. Составим уравнение состояния Ао- Оно воз-
можно в следующих несовместных случаях:
— в момент .времени t все комплексы свободны от
стрельбы. За время At в зоне ПВО не появился ни один
самолет противника. Вероятность этого события равна
(1)
— в момент времени t один из комплексов уже вел
стрельбу. За время Л/ новых целей в зоне ПВО не по-
явилось, а комплекс закончил стрельбу по цели. Веро-
ятность этого события равна
^1(0(1— e-v")e“w, (2)
где P\(t)—вероятность того, что один из комплексов
ведет стрельбу.
268
Так как рассмотренные события несовместны, то
можно составить уравнение состояния До
Ро (t + ДО = Р„ (() + Рг (0 (1 - е"’") e-w, (3)
где Ро(/4“А0 — вероятность того, что во время (/-f- Д£)
ни один из комплексов не будет стре-
лять;
Ро (I) — вероятность нахождения системы ПВО
в состоянии Ао:
е~хд*— вероятность непоявления за Д/ в зоне
обстрела ни одной цели;
1 — e-vA/ — вероятность того, что за время Д/ один
из комплексов закончит обстрел цели.
Величину е“хд/ можно представить в виде ряда
1—Ш-f...,
а
1—е“уД/^Д/ 4-....
Учитывая малость величины Д/, можно уравнение (3)
представить в виде
Ро (t + ДО = Р. (О (1 - Ш) + Р. (О vM (1 - Ш) (4)
Разделим обе части уравнения на Д/ и, перейдя к пре-
делу, получим
А-' + д?~Р|>(<) (0 + vP0 (0;
при Д/ -> 0 получаем
P'o(0=-^o(0 + vPx(0- (5)
Рассмотрим состояние Ак. Оно возможно в трех не*
совместимых случаях:
— в момент t k комплексов было занято обстрелом,
а за время в зону обстрела ПВО не пришло ни од-
ного самолета противника и ни один из комплексов не
закончил стрельбу
Рк (/)(1 — Ш)(1 —Ь>Д/);
269
«— в момент t система ПВО находилась в состоянии
Ль-ь За время М в зоне обстрела появилась еще одна
цель, но ни один из комплексов не закончил обстрела
своих целей
Ш(1 — kvbty,
— в момент t система находилась в состоянии А^+ь
За время А/ освободился один из комплексов, а в зоне
обстрела не появилось новых целей
Pft+1(0(l‘- ЯД0(*+ 1) vAt
Тогда
рк (t+ДО=рк (О X (I - (1 - kvM) +
+ Pk-г (t) (1 - kvM) Ш + Pk+l (0(1- ЛДО {k + 1) vA/.
(6)
После аналогичных преобразований получаем
(0=- (Я+kv) рк (0+хрк_, (0+Рк+, (0 (k 4-1) V.
(7)
Это уравнение справедливо для случая
0<k<n.
Рассмотрим крайнее состояние Ап. Оно возможно
в следующих несовместимых случаях:
— в момент времени t система ПВО находилась в со-
стоянии Ап. За время Д/ ни один комплекс не освобо-
дился
Рп (/) (1 —/zvA/);
— в момент времени t система находилась в состоя-
нии ЛЛ_Ь За время Д/ в зоне ПВО появился еще один
самолет и ни один из комплексов не освободился
Рп-гШ—n^t) Ш.
После соответствующих преобразований и перехода
к пределу при АЛ—>0, получаем
P'n = -nvP„(0 + ^n->(0- (8)
Совокупность этих уравнений получила название систе-
мы уравнений Эрланга.
270
Определение стационарного решения
Под стационарным решением понимают такое, кото-
рому соответствует уже сформировавшийся и устано-
вившийся процесс при отсутствии всякого рода переход-
ных явлений, характерных для начала обслуживания.
При определении стационарного решения исходят из
установившегося процесса, т. е. состояния системы при
t —► оо.
Рассмотрим функционированные системы ПВО при
отражении продолжительного налета. В этом случае
Pfe(0->Pfe = const, Р\(/)->0, £ = 0, 1, 2, ..п.
Тогда система дифференциальных уравнений:
Р'о(0=-АРо(0 + *Л(0.
р\ (0 = - (А + kv) Ph (/) + , (0 + Ph+l (/) (Л-1-1) v (9)
P\[t) = -nvPn(t) + iPn_t(f)
превращается в систему алгебраических уравнений:
_ APo_|_vpi = O>
- (А + kv) Pk + IP^ + (Л + 1) vPft+l = 0, (10)
— nvPn-^-XPn-i — O-
Как показывается в (121, 80], из этой системы можно
определить вероятности различных состояний.
Вероятность состояния Ph (k комплексов ведут
стрельбу) определяется по формуле
k\
Л.
Л=0
(11)
271
где а—среднее число целей, приходящих в зону ПВО
за среднее время, необходимое для обстрела
комплексом одной цели
Л — среднее число целей, входящих в зону ПВО в еди-
ницу времени
^обс
^обс—среднее время, необходимое комплексу для об-
стрела цели.
Может представлять интерес такая характеристика
системы ПВО, какой является вероятность занятости
всех комплексов одновременным обстрелом целей. Ее
можно назвать вероятностью пропуска системой ПВО
целей необстрелянными
ап
П\
Р проп — (12)
V —
Zj k\
k=0
Формула (12) выведена в предположении, что время об-
служивания подчиняется показательному закону рас-
пределения.
Б. А. Севостьяновым [12] доказан более общий ре-
зультат, согласно которому формула Эрланга остается
справедливой при произвольном законе распределения
времени обслуживания (см. [121]). Применительно
к формулам (11) и (12) составлены таблицы (11.5).
Вероятность того, что каждая цель будет обстреляна,
равна
Робе 3=1 1 РПг (13)
а вероятность того, что цель собьют, определяется по
формуле
Рсб = РобсЛ (14)
где Р— вероятность поражения комплексом каждой це-
ли за стрельбу при условии ее обстрела.
272
Математическое ожидание числа сбитых в налете
целей равно
Mc6 = NPc6. (15)
Математическое ожидание числа пропущенных к объ-
екту прикрытия самолетов необстрелянными равно
Л4проп = ЛЦ1-/*сб). (16)
Математическое ожидание числа занятых стрельбой
комплексов равно
п п k
(17)
Средняя загрузка каждого комплекса за налет
0 п ’
Выше были приведены формулы (15), (16), которые
получены для стационарного решения, т. е. для налета
очень большой продолжительности. Поэтому формулы
(15), (16) являются приближенными. Этими зависимо-
стями можно пользоваться для практических целей, ес-
ли время налета /Нал в 2—3 и более раз превышает сред-
нее время обстрела комплексом одной цели.
Из результатов расчетов, проведенных по методу ста-
тистических испытаний, следует, что уже при /Нал>2?Обс
нестационарность рассматриваемого процесса сущест-
венно не сказывается на результатах и в зависимости
от соотношения величин X и v ошибки расчетов Л4Сб и
Мпроп не превосходят 5—10%.
Применение полученных зависимостей рассмотрим
на примерах.
Пример. На объект прикрытия ПВО совершается налет воздуш-
ного противника со средней интенсивностью А,=4 самолета/лшн.
В полосе налета объект прикрывается 6 комплексами (п=6) со сред-
ним временем обстрела одной цели ?обс=0,5 мин. В налете участвует
24 самолета (^=24). Необходимо оценить эффективность системы
зенитного прикрытия объекта при Р=0,7.
18—343 273
При решении задачи исходим из предположения, что налет са-
молетов на объект представляет собой пуассоновский поток. Нахо-
дим вспомогательный параметр
а=Мобс = 4 • 0,5=2 самолета.
Для определения вероятностей различных состояний системы
ПВО воспользуемся формулой
_ а*
Ро k\ ’
а результаты расчетов сведем в табл. 4.2.1,
ТАБЛИЦА 4.2.1 *
Число ком- плексов, заня- тых стрельбой pk ра Рк kpn
0 1 0,136 0
1 2 0,272 0,272
2 3 0,272 0,544
3 1,333 0,181 0.543
4 0,666 0,091 0,363
5 0,267 0,036 0,180
6 0,088 0.012 0.072
Всего... 7,353 1 1,975
Используя результаты, приведенные в табл. 4.2.1, получим сле-
дующие характеристики системы зенитного прикрытия объекта в по-
лосе налета:
вероятность пропуска целей к объекту необстрелянными
Рп==Рл=б=0,012;
вероятность обстрела каждой цели в налете
Рсоб = 1—Рп«0,99;
вероятность сбития цели в налете
Рсб==Робс • Р — 0,99 • 0,7 = 0,7;
математическое ожидание числа обстрелянных целей в налете
А4обс=А^Робс = 24 • 0,99=24 самолета;
математическое ожидание числа сбитых целей в налете
AfC6 = ^c6 • <^=0,7 • 24= 16,8 самолетов;
274
Математическое ожидание числа Самолетов, Прорвавшихся к объ-
екту
Afnpon=N(1—Реб) =24(11-0,7)=7,2 самолета;
математическое ожидание числа комплексов, занятых обстрелом
в течение налета
Af/t=tl,98 комплексов.
Это означает, что за время налета каждый комплекс
Д7°/о = s = 33% времени
будет занят стрельбой. Остальное время может быть использовано
для перезаряжания и для других целей
Гн — 6 мин $
каждый из комплексов обстреляет
ЛГ-Робс 24-0,99 л
Hqqq — g 4 цели,
затратив на каждую из них в среднем /об с =5 мин. Остальное
время около 4 мин может быть использовано для .перезаряжания
или для обстрела других целей.
Рассмотрим влияние* количества комплексов в си-
стеме ПВО на характер ее функционирования.
В табл. 4.2.2 приведены для сравнения вероятности об-
стрела каждой цели и математические ожидания числа
комплексов, занятых в течение налета стрельбой.
Из данных таблицы следует, что уменьшение числа
комплексов с шести до пяти незначительно сказывается
на эффективности системы ПВО. При дальнейшем
уменьшении числа комплексов эффективность системы
ПВО снижается более резко. На первый взгляд может
показаться неожиданно малым число комплексов, заня-
тых в течении налета обстрелом целей. Это объясняется
тем обстоятельствам, что в процессе их стрельбы в зону
ПВО могут поступать новые цели, которые проходят зо-
ну необстрелянными. С другой стороны, вследствие не-
равномерной загрузки комплексов и неравномерного
поступления целей в зону обстрела часть комплексов
может простаивать. Однако, как следует из табл. 4.2.2
с уменьшением числа комплексов процент их загрузки
стрельбой в течение налета увеличивается.
18* 275
ТАБЛИЦА 4.2.2
п ^обс «л ДГ%
2 0,60 1,2 60
3 0,78 1,61 54
4 0,90 1,81 45
5 0,96 1,93 39
6 0,99 1,98 33
ТАБЛИЦА 4.2J
Количество комплексов, сосредото- ченных на одной цели Математические ожида- ния числа сбитых само- летов (Мсб)
при Р=0,1 | при Р=0,9
т — 1 1,2 10,9
т = 2 2,2 11,2
т — 3 . 3,0 10,5
Проанализируем в рамках примера необходимость и
целесообразность сосредоточения огня нескольких ком-
плексов по одной цели. Пусть по каждому самоле-
ту сосредоточивается огонь двух и трех огневых единиц.
Среднее время обстрела самолета при таком обстреле
уменьшается по сравнению с одним комплексом в два и
три раза (см. свойство показательного закона обслужи-
вания § 4.1), т. е. /2'060=0,25 мин, мин. Тогда
вспомогательный параметр будет равен «2—1 самолет,
«3 = 0,67 самолета. Остальные условия примера остают-
ся неизменными. Для этих условий в табл. 4.2.3 приве-
дены математические ожидания числа сбитых самоле-
тов Л4Сб, когда вероятности сбить самолет за стрельбу
одним комплексом равны Р = 0,1 и 0,9.
Анализ результатов, приведенных в табл. 4.2.3, по-
казывает, что при малых значениях вероятностей сбить
цель за стрельбу одним комплексом всякое сосредото-
чение огня резко увеличивает эффективность системы
ПВО. При высоких значениях тех же вероятностей это
либо не дает ощутимого прироста числа сбитых целей
в налете (при т = 2), либо становится нецелесообраз-
ным (прит = 3).
§ 4.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЭШЕЛОНИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
ПВО, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ОДНОТИПНЫХ КОМПЛЕКСОВ
Система ПВО крупного объекта может создаваться
в виде последовательно расположенных зон, эшелонов
(рис. 4.3.1). Такая оборона называется эшелонирован-
ной. В этом случае самолеты противника, прежде чем
появиться над объектом нападения, вынуждены после-
276
довательно преодолевать все эшелоны зенитного при-
крытия. В каждой зоне ПВО может находиться различ-
ное количество зенитных средств.
Проведем оценку эффективности такой системы
ПВО, состоящей из однородных зенитных средств. Как
уже делалось выше, будем предполагать, что самолеты
Рис. 4.3.1.
противника, совершающие налет, образуют простейший
поток с параметром X. Рассмотрим случай, когда время
обстрела цели комплексом является случайной величи-
ной с показательным законом распределения, имеющим
параметр v. Каждый из комплексов может одновремен-
но обстреливать лишь одну цель.
При решении задачи не учитывается ответный огонь
противника. Для преодоления самолетами противника
первой полосы обороны (первого эшелона зенитного
прикрытия) необходимо, чтобы все его зенитные сред-
ства были заняты стрельбой. Вероятность такого собы-
тия для случая, когда время пребывания цели в зоне
поражения комплекса мало (система с отказами), опре-
деляется по формуле (4.2.12)
ап
k\
&=о
277
Для прохода самолетов через второй эшелон необ-
ходимо, чтобы зенитные средства обоих эшелонов были
заняты стрельбой. Вероятность этого события равна
аЛ1ал»
2
(П1 + пг)\
«1 + Л,
л=о
средств первого эшелона;
эшелоне.
/, то вероятность прохода цели
где я>1 — число зенитных
— то же во втором
Если таких эшелонов
к объекту прикрытия равна
««а"». . .а"’
(/2j -[- /2г 4-...-}-/г<)!
р.____
г «1+ла+ ... л.
а*
~k\
л=о
Пример. Производится воздушный
рованной системой ПВО, состоящей из трех зон прикрытия. В пер-
вой зоне ПВО находится два зенитных комплекса, во второй — три
и в третьей — один. Все комплексы однотипные. Время обстрела це-
ли каждым зенитным средством случайное с показательным законом
распределения и параметром v=l самол'ет/лшя. Интенсивность нале-
та воздушных целей равна %=2 самолета/лши. Вероятность сбить
цель при обстреле комплексом близка к единице Р«1. Оценить эф-
фективность системы ПВО объекта и каждого ее эшелона.
Вероятность прорыва самолетов противника через первую зону
равна
налет на объект с эшелопи-
«1
22
2!
1 + 2 + 1Г
Это означает, что 60% самолетов противника будут уничтожены. Ве-
роятность прохода целей и через вторую зону равна
28
5!
= 0,037,
пл Л=5
k\
л=о
278
а вероятность прорыва всей системы 'ПВО
26
6!
Рп~-ь^— ~ 0,001.
k\
k=o
Полученный результат означает, что из тысячи налетающих са-
молетов в среднем прорвется к объекту только один.
§ 4.4. ЭШЕЛОНИРОВАННАЯ СИСТЕМА ПВО,
СОСТОЯЩАЯ ИЗ РАЗНОТИПНЫХ КОМПЛЕКСОВ
Оценку эффективности такой системы ПВО рассмот-
рим на примере объекта, зенитное прикрытие которого
состоит из двух эшелонов [62]. Разработанный для этой
задачи математический аппарат позволяет оптимально
распределить зенитные средства по эшелонам в зависи-
мости от характеристик.
Пусть на объект прикрытия совершается налет в до-
статочно узкой полосе таким образом, что на своем
пути он может быть обстрелян одним из комплексов
каждого эшелона. Необходимо оценить эффективность
системы ПВО объекта и выбрать рациональный способ
распределения зенитных средств по эшелонам.
Проанализируем зенитные средства с зонами пора-
жения, в которых время пребывания цели едва хватает
для ее надежного поражения. Времена обстрела цели
каждым, зенитным средством являются величинами слу-
чайными, которые подчиняются показательным законам
с параметрами pi и pi соответственно для первого и вто-
рого типов зенитного вооружения. Самолеты противника
совершают налет с интенсивностью X и образуют про-
стейший поток (см. § 4.4.1). Обозначим вероятности со-
стояний системы ПВО при отражении налета:
Роо—первый и второй комплексы не ведут стрельбы;
Рю— первый комплекс ведет стрельбу, второй свобо-
ден;
Poi — первый комплекс свободен, второй ведет
стрельбу;
Рц — оба комплекса ведут стрельбу.
Поступающие в зону ПВО цели сначала обстрелива-
ются первым комплексом. Если он уже ведет стрельбу,
279
то всякая новая цель пролетает дальше и попадает в зо-
ну обстрела второго комплекса. Если цель обстреляна
первым комплексом и не поражена, то второй уже не
успевает ее обстрелять. Цель обстреливается вторым
комплексом. Если он уже занят стрельбой по предыду-
щей цели, то новая цель проходит зону ПВО необстре-
лянной.
Обозначим состояния системы Адо, Аю, Aoi, Ап. Для
определения вероятностей состояний составляется систе-
ма дифференциальных уравнений.
Состояние Адо возможно в следующих несовместных
случаях:
— во время t система была в достоянии Адо. За про-
межуток времени А/ в системе ПВО не появилось ни од-
ной цели.
Ло(0(1 - Ш);
— во время t система ПВО была в состоянии А10. За
время А/ воздушная цель была обстреляна первым ком-
плексом
Р
— во время i система ПВО была в состоянии АОь За
время А/ закончился обстрел цели вторым комплексом
Рох (0
Тогда дифференциальное уравнение состояния АОо запи-
шется в таком виде:
р00 (t+до=р00 (0(1- uo+(0 + Р<п (0 ъм.
После преобразований и перехода к пределу А/—>0 по-
лучаем
Р'оо (0=- (0 +^10 (0 н.+Р01 (0 н,- (1)
Рассмотрим состояние Аоь Оно возможно в следую-
щих несовместимых случаях:
— система ПВО во время t находится в состоянии
Аоь За время \t в зону обстрела не прилетели новые
цели и не был закончен обстрел вторым комплексом
ро1(0(1 — ЛД/)(1 - |Л2ДО;
280
— в момент времени t оба комплекса вели стрельбу
по целям. За время At был закончен обстрел цели пер-
вым комплексом
Л. (О Mt
Отсюда уравнение состояния
Р'о. (О=- Л. (О (*+н2) + Р„ (О ih. (2)
При составлении дифференциального уравнения со-
стояния Аю необходимо исходить из того, что это со-
стояние системы ПВО возможно в таких несовместимых
случаях:
— система в момент времени t находилась в состоя-
нии Аю. За время At не появилось новых целей и не за-
кончился обстрел первым комплексом
Л» (0(1 -Ш)(1 - МО;
— в момент времени t в зоне обстрела не было це-
лей. За время At над первым комплексом появилась
цель и он начал ее обстрел
Л»(0^;
— в момент времени t оба комплекса вели стрельбу.
За время At второй комплекс закончил стрельбу
Л. (о Mt
Отсюда уравнение состояния
(О = ^00 (О - Р.0 (О (* + Н.) + Рп (О (3)
Наконец, последнее состояние системы ПВО возмож-
но в следующих несовместимых случаях:
— во время t система была в состоянии AOi или Аю.
За время At появились новые цели
[Л»(0+Ло(0РДО
— в момент времени t оба комплекса уже вели
стрельбу. За время Л/ ни один из них не закончил об-
стрел целей
(1—МО (1—МО Л. (О-
281
Откуда
Р\з (!) = I [Р<п (О + Р10 (01 - (14 +14) Р,г (4)
Общая система уравнений, описывающая всевозмож-
ные состояния системы ПВО, представляется в таком
Р'оо (0=- Л,0 (0 *+нАв (0+Л (0.
Р'ог (0 =- Р<п (0 (* + l4) + Ла (0 14» ™
Р\о (0=- Ры (0 (*+14)+Р'О (0 Ч-Л.(П»4,
Р'и (0=*Л, (0 + (0 - (14 + »4) Л. (0.
Для стационарного решения выполняются условия:
t-*<x>, Р'ц(1)-+0, Pi j (t) -> Pii = const
и система дифференциальных уравнений превращается
в систему алгебраических
Роа^ == НаЛо “1“ НаЛа»
Ла (^ “F 14) == ЛаНа, /с\
Ло(* + »4) = *Ло+Ла14, W
(P>i +14) Рц = *Ла + *Ло-
При решении этой системы определяются:
— вероятность прохода воздушной целью ПВО не-»
обстрелянной
К’ + X (р., 4" Ра) + (2^ + Ра + Ра)
— вероятность того, что все комплексы свободны от
стрельбы
р~=^р,г ®
Из системы уравнений (6) легко получить вероятно-
сти других состояний системы.
Пример. Проанализируем эффективность системы ПВО, схема
которой представлена на рисунке 4.4.1.
Пусть Ц1=2 самолета/мин, р<2=4 самолета/лш«, к —2 самоле-
ть/мин. Вероятность прохода цели к объекту необстрелянной равна
22
Ри =------------------2?4-------------= 0,137.
22 + 2 (24) + 27^4 (2’2 + 2 + 4)
282
Расставим иначе зенитные средства. Комплекс с характеристи-
кой ц=4 самолета/jwww поставим в первом эшелоне, а с характери-
стикой р,=2 самолета/мин во втором. Тогда вероятность прохода
воздушного противника к объекту прикрытия ПВО будет иная:
22
Л1 =--------------------4-9---------------- 0,1И.
22+ 2(4+ 2)+ 2+2 (2-2+ 4+ 2)
Как видно из примера, за счет разумного расположения зенитных
средств по эшелонам можно повысить эффективность системы ПВО.
§ 4.5. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ
Рассмотрим систему, состоящую из разведывательных
средств и средств управления огнем комплексами «зем-
ля—земля», перерабатывающих разведывательную ин-
формацию. Система разведки, обладая определенными
техническими средствами, обнаруживает в расположе-
нии противника огневые средства, командные пункты,
сосредоточения войск и т. д., которые назовем просто
цели [130].
Пусть в разведке имеются всякие средства, которые
позволяют ей обнаруживать pi целей в единицу времени.
Естественно полагать, что промежутки времени между
моментами обнаружения цели являются величинами
случайными. Обнаруженные цели во времени образуют
поток, который весьма близок к простейшему. Данные
разведки об обнаруженных целях поступают в систему
283
обработки разведданных и управления огнем (назовем
ее просто системой управления), которая имеет ограни-
ченную пропускную способность по обработке получен-
ной информации в единицу времени. Обозначим про-
пускную способность системы управления через цг. Вре-
мя обработки разведданных по каждой цели является
величиной случайной. Обработанные в системе управле-
ния данные о целях распределяются далее между огне-
выми комплексами «земля—земля» для их уничтожения.
Рассмотрим случай, когда время пребывания целей
на одном месте весьма ограниченно и соизмеримо со
временем, которое необходимо для их обнаружения, об-
работки исходных данных и открытия огня по ним. По-
этому эту сложную систему можно в первом приближе-
нии рассматривать как систему с отказами.
Обозначим вероятности состояния системы:
Роо— системы разведки и управления свободны;
Рю— система разведки занята получением информа-
ции об одной из обнаруженных целей, система управле-
ния свободна;
Poi — система разведки свободна, система управле-
ния занята обработкой информации о цели;
Рц — обе системы заняты.
Составим дифференциальные уравнения состояний
системы управления, которые можно соответственно
обозначить Аоо, АОь Аю, Ап.
Состояние системы Аоо возможно в таких несовме-
стимых случаях:
— системы разведки и управления свободны во вре-
мя t. За промежуток At не было обнаружено ни одной
цели
Роо(0(1 - Ш)-,
— общая система во время t находилась в состоянии
АОь За время At данные о цели переданы огневым ком-
плексам «земля — земля» для открытия огня по ней
Ли (0^
Общее уравнение состояния
Poo + ДО = Роо (0 (1 - + Ли (О М*.
284
После предельного перехода при Д/ -> 0 получаем
^'оо(0 = -/)оо(0^ + л1(0на. (1)
Состояние системы АОь Оно возможно в следующих
несовместимых случаях:
— система была в состоянии АОь За время At не об-
наружено новых целей и системой управления не обра-
ботаны данные ни по одной цели
Ро1(0(1-Ш)(1-нД0;
— система находилась в состоянии Аю. За время At
система разведки обнаружила и выдала данные по цели
системе управления
Pia (!) МО
— во время t система была в состоянии Ап. За вре-
мя At система разведки обнаружила и выдала данные
по цели системе управления, но последняя не использо-
вала их, так как была занята 'обработкой данных по
предыдущей цели. И поэтому полученные данные были
безвозвратно потеряны вследствие кратковременности
пребывания цели на одном месте
Р 11(0
Отсюда уравнение состояния запишется после соответ-
ствующих преобразований
Р'О1 (/) = — (Л -J- ь) Р01 (0 + И1рп (0 + И1Р10 (/). (2)
Рассмотрим состояние системы Аю. Оно возможно
в следующих случаях:
— во время t система находилась в состоянии Аоо. За
время At была обнаружена цель
— во время t система находилась в состоянии Аю- За
время At системой разведки не обработаны данные по
цели и не переданы в систему управления
Ло(0(1- МО;
285
— во время t система находилась в состоянии Ап.
За время At система управления выдала данные для
стрельбы по цели
Р и (О На^«
Уравнение состояния
Р'ю (0=хЛо (О - Н1Ло (О+МЛ1 (О- (3)
И последнее состояние Ап. Оно возможно в следую-
щих несовместных случаях:
— система находилась в состоянии АОь За время At
получены новые данные цели
— во время t система была в состоянии Ац. За вре-
мя At не были обработаны данные по цели системами
разведки и управления
Л1Ю[1-(н+н2т
Тогда
Р'п (О = *Л1 (О - (Hi + На) /’ll (О- (4)
Всевозможные состояния системы описываются сово-
купностью дифференциальных уравнений:
Р'М (О = -^00(0 + ^01(0.
Р',1 (0 = - (* + На) Р01 (0 + Hi/’n (0 + Н1Л.(0.
Р\о (!) = гр00 (0 - И1р10 (0+1Л2Р11 (0,
Р'11(0 = ЛРо1(0-(Н1+На)Л1(0-
При стационарном решении, т. е. при t—>со, P'ii(t)-+O,
Ро (0-*•/’»>=const, дифференциальные уравнения пре-
вращаются в алгебраические:
Р оо^ — V'iP 01.
+01 (* + На) — Hi^h + Hi/’io.
РюН1 ^оо I /’иНа.
(6)
(Н1 + На)Л1=;'/Эог
286
Решая уравнения (6), можно определить вероятности
различных состояний системы управления:
> — HP»2
00 (иг 4-A) (jx, + X) ’
) __ ^р2 (Р*1 + н ~Н^)_______
10 (Р*1 + Р»г) (Р*2 + X) (р-1 + X) ’
> ____ *Рч
01 (^ + А)(н+А) ’
) ____ ___________Р-1^2____________
11 (Р-i + Л) (р.2 + X) (p-i + Р-г) *
где Л — интенсивность появления новых целей в зоне
действия рассматриваемой системы.
Вероятность того, что цель останется необнаружен-
ной и необстрелянной и выполнит свою боевую задачу,
равна
РОТК - 1
__ Р*2 (^01 + ^11) _____________ 1____________Р-2Р*! ~h р! 4~ Р*г)__________________
X (X + р.1) (X + р.2) (р.1 + Р-г)
Пример. Пусть в полосе действия системы разведки
управления огнем
и
комплексами „земля—земля* в среднем по-
дели \
является две цели
в единицу времени (X
ед. вр.у
такими техническими средствами, которые по-
разведки обладает
зволяют ей в заданном районе при сложившейся боевой ситуации
в среднем обнаруживать в единицу времени две цели
f Л цели \ Л
( р>1 = 2 — вр~ у Система управления может обработать и сплани-
ровать огонь огневых средств в среднем по 4 целям в единицу
цели \
времени ^ = 4 ед. вр.
Определить эффективность системы — вероятность обстрела каж-
дой появившейся цели
Р — 1 Р ОТК
Р-2Р-1 (Pl + Р-2 4“ _______п . .
(Pi + X) (ps+ X) (р.х + Рч>)
цели
Рассмотрим менее совершенную систему управления И2=^ед Вр’«
Тогда
Р 0,38.
Проведенные расчеты с учетом экономических показателей позволя-
ют выбрать оптимальные параметры систем управления и разведки и
предъявить к ним разумные тактико-технические требования.
287
§ 4.6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СТРЕЛЬБЫ
ПО ПОЯВЛЯЮЩИМСЯ ЦЕЛЯМ
Использование аппарата теории массового обслужи-
вания применительно к системам с ограниченным време-
нем ожидания рассмотрим на примере задачи оценки
эффективности вооружения, с помощью которого ведет-
ся борьба с появляющимися целями. Под такими целя-
ми понимаются огневые точки и другие объекты против-
ника, которые после их обнаружения находятся на своем
месте расположения ограниченное время. Для обнару-
жения целей воюющие стороны располагают развитой
системой разведки. Однако эта система не в состоянии
добывать информацию о всех объектах, являющихся
важными целями для нападающей стороны. Если еще
учесть, что эти объекты как-то маневрируют на мест-
ности, стараются маскироваться, то станет понятным
факт случайного .характера обнаружения целей [130].
При рассмотрении во времени процесса обнаружения
объектов противника системой разведки нападающей
стороны (другую сторону для простоты назовем оборо-
няющейся) можно отметить отсутствие связи факта об-
наружения того или иного объекта от того, сколько и
каких объектов было уже обнаружено раньше. Можно
также согласиться с утверждением, что в один и тот же
момент времени обнаруживается только один важный
объект, а не несколько, и что при налаженной работе
система разведки за определенный промежуток времени
в первом приближении обладает некоторой средней
«производительностью», т. е. способностью обнаружи-
вать в единицу времени определенное количество це-
лей.
На основании этих допущений можно принять, что
обнаруженные цели как бы образуют поток, который
обладает свойствами. простейшего с некоторым пара-
метром А. Величина параметра %, видимо, будет зависеть
от технической вооруженности органов разведки напа-
дающей стороны, числа объектов противника в зоне
действия разведки, степени их маскировки и т. д.
Время пребывания целей в своих районах ограниче-
но, но не настолько мало, чтобы его не учитывать. Вре-
мя пребывания является случайной величиной. Для
вывода расчетных формул закон распределения времен
288
ни пребывания цели в зоне обнаружения принимается
показательным с параметром v, т. е.
1
где v= ——;
t о ж
/Ож— среднее время пребывания цели на месте после
обнаружения.
В реальных условиях боевой обстановки закон рас-
пределения времени пребывания цели на месте после
обнаружения может отличаться от показательного. Од-
нако опыт проведения большого количества расчетов ме-
тодом статистических испытаний показал, что основные
характеристики работы системы обслуживания (вероят-
ность пропуска заявки необслуженной, математическое
ожидание числа обслуженных целей) для стационарного
решения получаются практически одинаковыми для раз-
личных законов распределения времени пребывания
заявки (требования) в зоне обслуживания.
Время, необходимое для обстрела каждой цели, так-
же является величиной случайной. Положим, что оно
распределено по показательному закону с парамет-
ром ip, т. е.
/(0 = ие-^(/>0),
1
где н = "=—,
* обе
?обс — среднее время, необходимое для обстрела цели.
Потери средств вооружения нападающей стороны от
огня обороняющейся не учитываются. Методы учета
ответного огня приведены в гл. 7.
Как только цель (цели) обнаруживается, по ней
сразу же открывается огонь нападающей стороной. Пос-
ле поражения цели огонь сразу же переносится на дру-
гие цели, если таковые имеются. Если по вновь появив-
шимся целям нападающая сторона не может открыть
огонь вследствие занятости стрельбой по ранее появив-
шимся целям, то эти цели могут находиться на месте
обнаружения ограниченное время, после чего исчезают.
Таким образом, вооружение нападающей стороны со
своими органами разведки и обороняющейся стороны
составляет систему массового обслуживания с ограни-
ченным временем ожидания.
19—343 289
Рассмотренная выше система может находиться
в следующих состояниях:
Ао—'нападающая сторона не ведет огня;
Ai—один из образцов вооружения ведет огонь,
другие нет;
Aft — k образцов вооружения ведут огонь;
Ап — все п образцов вооружения ведут огонь по
объектам;
An+s — все п образцов вооружения ведут огонь, но
s обнаруженных объектов не обстреливаются.
Число s может быть очень большим и зависит от то-
го, сколько объектов обороняющейся стороны может
находиться в сфере- огневого воздействия нападающей
стороны. Не будем останавливаться на выводе уравне-
ний состояний и их решениях. Это читатель может най-
ти в [17]. Запишем формулы вероятностей состояний
системы, полученные для стационарных условий:
Для состояния Ао
Р> —п---------Бо----------- (0<6<п);
S — 4. — V"----------
m—1
для состояния Ак
ak
=—----------------------(0<6<п);
п оо дз \
Saft , a" -----------
.. /' '"ЙП<"+*
m=l
для состояния An+S
an a*
nl s
П («+«₽)
Pn+s = -------1).
S— -------
K=ak'
m=l
X a v
где a = -; ₽ = -.
290
Особенно важным показателем эффективности во-
оружения нападающей стороны является вероятность
обстрела каждого объекта противника, обнаруженного
его системой разведки:
00
ап sae
«=' П (« + «?)
Safe f an ae
~кГ + ~пГ Щ
Л=0 s=l П (n + «P)
m=l
Отсюда вероятность уничтожения каждого обнаружен-
ного объекта равна
W=PoGc-P,
где Р — вероятность поражения объекта при обстреле.
Для определения Л>бс=1—Л>тк, где Л>тк — вероят-
ность того, что цель не будет обстреляна, можно вос-
пользоваться таблицей (см. таблицу 11 приложения),
которую составил Новиков О. А. Для иллюстрации
пользования полученными зависимостями рассмотрим
пример.
Пример. У нападающей стороны имеются два образца вооруже-
ния. Для обстрела объекта в среднем потребуется 2 мин. Вероят-
ность поражения объекта при обстреле равна р=0,8. Нападающая
сторона обладает системой разведки, позволяющей в среднем обна-
1 цель\
* — * U7777 I- Среднее время пребыва-
ния цели на месте после ее обнаружения равно 4 мин мин).
Определить эффективность вооружения нападающей стороны.
Для определения РОбс вычисляем параметры:
1 „ цели 1 „ цели
** = Т7^ = 0,5Зййй"’ '>=~t = 0,25лйн'‘
»обс мин *ож мин
X v
а =----= 2, 8 =---=0,5.
р. н (X
С помощью таблицы 11 (см. приложения) при n=2, а=2, (3=0,5
получаем
Ротк = 0,225.
Эффективность вооружения нападающей стороны равна
W = Р (1 — Ротк) = 0,8 (1 — 0,225) = 0,62.
19*
291
Изменяя основные характеристики образцов вооружения (скоро-
стрельность, вероятность поражения цели), можно оценить влияние
этих параметров на эффективность вооружения нападающей сторо-
ны. Рассмотренная выше методика может быть применена при оцен-
ке эффективности противовоздушной обороны и других вопросов.
§ 4.7. ОСОБЕННОСТИ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЗЕНИТНОГО
ВООРУЖЕНИЯ ПРИ НАЛЕТЕ ГРУППОВЫХ ЦЕЛЕЙ
А. Случай, когда время пребывания цели
в зоне обстрела мало
В предыдущих 'параграфах рассматривалось исполь-
зование математического аппарата теории массового
обслуживания, разработанного применительно к орди-
нарным потокам требований. Однако на практике воз-
можны случаи, когда требования на обслуживание
поступают в систему строго определенными группами—
парами, тройками и т. д. Придя в систему массового
обслуживания, каждое из требований группы либо об-
служивается, либо получает отказ в зависимости от за-
нятости оператора. Примером этого может служить при-
лет в систему ПВО самолетов противника парами,
звеньями и т. д. |[133]. В районе ПВО прикрываемого
объекта каждый из самолетов противника будет обстре-
ливаться зенитными комплексами. Ставится задача, как
в этих условиях оценить эффективность системы ПВО
объекта по отражению воздушного налета.
При решении задачи сделаем следующие допущения:
1. Поток групп самолетов (пар, звеньев) пуассонов-
ский. В каждой группе т самолетов.
2. Время обстрела каждого самолета зенитным ком-
плексом случайное и подчинено показательному за-
кону.
3. Выбор цели каждым комплексом производится
случайно.
4. Система ПВО объекта состоит из п зенитных ком-*
плексов. Как только в зоне ПВО появляются цели, то
они сразу же начинают обстреливаться. Если зенитные
комплексы уже заняты обстрелом, то вновь появившаяся
цель проходит зону ПВО необстрелянная, ибо время
пребывания цели в ней мало и соизмеримо со временем,
необходимым для ее обстрела,
292
5. Учет противодействия противника не производит-
ся. Система ПВО может находиться в различных со-
стояниях, которые обозначим:
Ао — все зенитные комплексы свободны;
Afe — k комплексов заняты обстрелом;
Ап — все комплексы заняты стрельбой.
Вероятности этих состояний соответственно обозна-
чим Ро(О> ЛД'О, ЛДО- Поток приходящих групп само-
летов принят пуассоновский, время обстрела каждой це-
ли распределено по показательному закону, поэтому
рассматриваемый процесс является марковским.
Для определения вероятностей состояний Pn(t),
Pk(t) и Рп(0 составим систему дифференциальных
уравнений. Составим уравнения по такому же методу,
как это было сделано в § 4.2, поэтому не будем останав-
ливаться на промежуточных выкладках.
Состояние Ао может быть в следующих несовмести-
мых случаях:
1. В момент t все комплексы свободны. За время А/
не пришло ни одной группы самолетов.
2. В момент t один из комплексов был занят стрель-
бой. За время А/ он закончил обстрел цели, но новых
групп в зону ПВО не поступило. Тогда
Р'о(0 = -лро(0+нЛ(0.
где Л — плотность групп (пар, звеньев) в налете на
объект ПВО
1
f обе
?обс—среднее время, необходимое зенитному ком-
плексу для обстрела одной цели.
Состояние Ал может быть в следующих несовмести-
мых случаях:
1. Система ПВО во время t находилась в состоянии
Afe. За время А/ ни один из комплексов не освободился
от стрельбы и в зоне ПВО не появилось новых групп
самолетов противника.
2. Во время t система ПВО находилась в состоянии
Afe+i. За время А/ новых целей не появилось, но один
293
из комплексов закончил стрельбу. Тогда уравнение со-
стояния запишется так:
Р’ь (0=- R+Л|Х] ph (0 + Рк+1 (0 (k+1) и при (Н-
Рассмотрим состояние Да. при k>m. В этом случае
по сравнению с предыдущим добавляется еще один из
возможных вариантов состояния системы.
В момент времени t система ПВО находилась в состоя-
нии Afe_m. За время Д/ в зоне ПВО появилась новая
группа самолетов. Ни один из комплексов не закончил
стрельбу. Тогда уравнение состояния запишется так:
р\ (О = - (* +W Pk Ю + Ph+1 (0 (^ + I) ^+
+ Pk-™(t)l при k^m.
Наконец, целесообразно рассмотреть состояние Ап>
т. е. такое, когда все комплексы заняты стрельбой, ко-
торое может быть осуществлено несколькими несовмест-
ными способами:
1. Во время \t система находилась в состоянии Ап.
За промежуток времени At ни один из комплексов не
освободился и не появилось новых целей.
2. Система во время t находилась в состоянии An_m.
За время At не освободился ни один из каналов и при-
шла одна группа целей. Уравнение последнего состоя*
ния
Р'п (0 = — УПРп (0 + Pn-m (0 а.
В итоге мы получаем такую систему дифференциаль-
ных уравнений:
Р’ь (О = - [Л + Рь (О + РА+1 (0 (k + 1) |*
при k<^tn, ..
P\{t)=-[i+^]Ph(0 + Pft+1(0(^ + 1)н+ }
+ Ph-m(t)l при k^tn,
Р'п (0=- рпРп (0 + Рп - т (0 г.
294
Рассмотрим стационарный случай, когда t -> оо. В этом
случае P'k(t)->Q, Pk(t)-+Pk и решение задачи сводится
к решению системы алгебраических уравнений:
<хРв = Л,
(1+а)Л = 2Ра,
(£-|-a)Pft = (£4-l)Pft+1 при k<m,
(kа) Рк —(k\) Рк+г\-аРк.т при k>m,
Рп = аРп-т, где а = ~-.
К этой системе добавим еще одно очевидное условие
п
Рк = 1. Последнее выражение можно представить в виде
*=о
п п
S /*(«)=1-
k =0 ft =0
Отсюда
S ь («)
k =0
п
Величину fk (а) можно получить из рекуррентных фор-
ft =о
мул системы алгебраических уравнений (2).
Пример. Рассмотрим эффективность системы зенитного прикры-
тия некоторого типового объекта, которое обеспечивается четырьмя
однотипными зенитными комплексами (п=4). На объект произво-
дится налет самолетов противника. Для сравнения оценим эффек-
тивность системы ПВО, когда в каждой группе может находиться
m='l, 2, 3 и 4 самолета, при постоянной плотности налета Х=4 са-
молета/л/ын. Зенитные комплексы обладают определенными боевы-
ми характеристиками, позволяющими обстреливать воздушные цели
на определенной высоте с учетом перезаряжания со средней скоро-
стрельностью 1-------=2 самолета/лшн. Вероятность сбить цель
*обс
при обстреле одним из комплексов равна Р=0,8. Число целей, участ-
295
вующих в налете, равно М=20. Определяем параметр a=Xfo6c=2.
Составим рекуррентные зависимости для т=2:
Рг = 2Р„
Р2= 1/2(1 +«)?,.
Р3 = 1/3(1 + 2a) Р2 —2Р„
Р< = 1/4(1 +3a)P8—2Р>.
После подстановки значения а получаем:
Pi = 2Р0,
Р2 = ЗР„,
Р3 = 10/ЗРо,
Р4= 19/6Р„.
Определяем величину Ро:
4
£ Рк = 75/6Р. = 1, Р„ = 2/25.
k=0
Тогда вероятность занятости всех комплексов, т. е. прохода цели
необстрелянной, равна
Р У kPh
t 2-2,45 Л
^отк=1 — 1— 2-4 “°’39’
Б. Случай, когда время пребывания цели
в зоне обстрела велико
В отличие от предыдущего случая в рассматривае-
мой задаче необходимо учитывать время пребывания
цели в зоне поражения зенитного комплекса. Будем по-
лагать, что время пребывания цели в зоне ПВО вели-
чина случайная и подчиняется показательному закону
распределения с параметром v. При выборе закона рас-
пределения времени пребывания цели в зоне ПВО мож-
но руководствоваться соображениями, высказанными
в § 4.6.
Сделаем также допущение, что поступающие в зону
ПВО групповые воздушные цели образуют пауссонов-
ский поток с параметром X. Время обстрела цели зенит-
ным комплексом случайно и подчиняется показательно-
му закону с параметром ц.
96
По-прежнему обозначим число комплексов в зоне
ПВО через п, число целей в каждой группе — через т,
а состояния системы ПВО объекта так:
Ао — все комплексы свободны,
— k комплексов заняты стрельбой,
Ап — все комплексы заняты обстрелом целей,
An+s — все комплексы ведут стрельбу, и s новых целей
пришли в зону ПВО, но они не обстреливаются вследст-
вие занятости комплексов.
Вероятности каждого из этих состояний соответ-
ственно обозначим ЛДО, Pn+s(t). Опреде-
лим вероятность состояния Ао. Оно возможно в следую-
щих несовместных случаях:
1. В момент t все комплексы были свободны. За
время А/ не пришло ни одной группы самолетов против-
ника.
2. В момент времени t один из комплексов был занят
стрельбой, а за время At он стрельбу закончил. Так как
события несовместимые, то при AZ—0 получаем
Р'о(0-=-яро(0+нР1(0. О)
Рассмотрим состояние А&((Х#<7п). Оно возмож-
но в следующих несовместных случаях:
1. iB момент времени t система ПВО находилась в со-
стоянии Ah. За время Д/ в зоне ПВО не появилось новых
целей и ни один из комплексов не освободился от
стрельбы.
2. В момент времени t система находилась в состоя-
нии Afe+i. За время Ы новых целей в зоне ПВО не по-
явилось, но один из комплексов закончил стрельбу.
Дифференциальное уравнение состояния запишется так:
Р'к (О = - (* + Ы Ph (0 + (k + 1) иРй+1 (0 (4)
при 0<k<m.
Рассмотрим состояние Ай при Оно будет
отличаться от предыдущего тем, что может быть
в третьем несовместном случае, а именно: в момент t
система ПВО находилась в состоянии Ah_m. За время А/
в зоне ПВО появилась еще одна группа целей, но ни
один из комплексов не освободился. Дифференциальное
297
уравнение состояния Ал(/г>£>/п) запишется так:
Р’ъ (0=(а+Ы) pk (i)+Ph+t (t) (k +1) I*+pk_ m (i) v. (5)
В нашем распоряжении имеется п комплексов. По-
этому целесообразно рассмотреть состояние А„, когда
(п^т). Такое состояние возможно при следующих
условиях:
— в момент t система ПВО находилась в состоя-
нии Ап. За последующий промежуток времени Д/ ни один
из комплексов не освободился и не появилось новых
целей;
— в момент t система ПВО находилась в состоянии
Ап_то. За время Д/ поступила в зону группа целей, но ни
один из комплексов не освободился;
— в момент времени t система ПВО находилась в со-
стоянии Ап+ь Зд время Д/ новых целей не появилось, но
либо один из комплексов освободился, либо один из
самолетов вышел из зоны необстрелянным. Тогда
уравнение состояния
Р'п (О = - (2 4-ЛИ) Рп (0 + Рп.т (О А +
+ ^n+i(0(^+v)-
(6)
Рассмотрим подробно состояние An+s, которое воз-
можно в следующих случаях:
— в момент t система ПВО находилась в состоянии
An+s. За время Д/ новых целей в зоне не появилось, пи
одна из целей не ушла необстрелянной, ни один из ком-
плексов не освободился;
— в момент t система ПВО находилась в состоянии
•А 72 4*з—т- За время Д/ в зоне появилась новая группа це-
лей, ни один из самолетов противника не пришел из
зоны необстрелянным и ни один из комплексов не осво*
бодился от стрельбы;
— в момент времени t система ПВО находилась
в состоянии Ап+&+ь За время Д/ новых целей не появи-
лось, но либо один самолет ушел из зоны необстрелян-
ным, либо один из комплексов освободился от стрельбы.
Уравнение этого состояния таково:
РП4-s (О— ^n+s-m(0—Рn+s(t) 4“ SV)
4-/>n+s+l(0l«li + (^ + I) V]. (7)
298
Рассмотрим стационарное решение, для чего положим,
что при
t -> оо Р'к (/) -> 0, а Рк (0 —► Рк = const,
где k = l, 2, п........(« + $)•
В этом случае получаем систему алгебраических урав-
нений:
^Р ty—V'P 1>
(Л4-/П|1)Л» = (/п+ 1)нЛп+1+ рах при k=m,
.......................................... (8)
(Л-|-^)Рй=(А4- l)p.Pft+1-f-PA_TOZ при k^m,
(Л + п|х)Рп=(«н+ v) ^п+1 Рп-т^,
(1 nv. _]_ $ V) Рп+, = [гар. 4- ($+1) V] Рп+8+, -|-
4-ЛРп+8_т при 1<5<оо.
Обозначим —=а и —=В. Тогда уравнения (8) несколько
Н* |Х
упростятся:
®Ро = Л.
(а+1)Л=2Р2,
(а-\-т)Рт — (ти+ 1)Рт+1 + аЛ> при k = m,
(a + k)Ph = (k-[-\)Pk+l + aPh_m при k>m, (9)
(а 4- п) Рп = (л-Н) Pn+i+ лРп-т при п > т,
(а -|- п, -j- s[J) Рn+s = [п4-(5 + 1)Р]
Pn+«+i И-
4-аРп+s-m при 1<S<OO.
Отсюда
Рл=Р<Л(а. 0» т\
где ft(a, р, /и) —а; f2(a, р, wz) = -^-a(a4-l) и т. д.
399
Сумма вероятностей всех возможных состояний систе-
мы равна
00
£/\=1- (10)
k=0
Эту сумму можно представить так:
00 оо
₽> т). (П)
л=о *=о
Отсюда
Ро=^-------!-----• (12)
У fk («, Р, т)
6=0
00
Величину У, fA(a, f, т) можно получить из рекуррент-
6=0
ных формул системы уравнений (9).
Определим среднее число необстрелянных целей, нахо-
дящихся в зоне ПВО
оо
S(a, р, m) = £ SPn+l. (13)
s=l
Вероятность прохода самолетом противника зоны ПВО
необстрелянным равна
00
kph
Р0Тк=1-------• (14)
Пример. ПВО объекта состоит из 5 зенитных комплексов. Каж-
дый из них тратит на обстрел воздушной целив среднем /Обс = 1 мин.
Среднее время пребывания цели в зоне ПВО равно /Ож = 1 мин. На
объект совершается налет самолетов противника парами (ш=2).
пар целей
Интенсивность налета парных целей равна А,=2-. Оце-
нить эффективность системы ПВО, если полагать, что каждый из
комплексов может одновременно обстреливать только один из са-
молетов противника. Число целей в налете № 20.
300
Решение. Определим вспомогательные параме+рЫ:
самолет
самолет
Составим систему алгебраических уравнений:
2Р» = Pi.
(2-\-\)Pi—2Pt,
(2 + 2) Pi = 3Pi + 2Pa,
(2+3)Ps = 4P4 + 2P1,
(2 + 4) Р4 = 5Р5 + 2Рг,
(2 + 5) Р5 = 6Pt + 2Рг
(2 + 5 + 1) Р8 = (5 + 2-1) Р, + 2Р3,
(2+5+2) Р7 = (5 + 3'1) Р8 + 2Р4,
(2 + 5 + 3) Р8 = (5 + 4-1) Р8 + 2PS,
(2 + 5 + 4) Ра = (5 + 5 • 1) Р10 + 2Р6,
Пренебрегая малыми значениями Р]2 и вероятностями более высо-
ких порядковых номеров, получаем
20
1^^Р„ = 19Р0, P. = -ig.
Л=1
Вероятность прохода самолетом противника зоны ПВО необстрелян-
ным равна
5
v-^kPh
р ____1____k=o_______
^отк — 1 Кт
= _ 1 (1-0,105 + 2-0,153+ 3-0,175+ 4-0,165+ 5-0,135)
301
§ 4.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ
И ЗАГРУЗКИ РЕМОНТНЫХ МАСТЕРСКИХ
Очень часто ремонтные мастерские могут обслужи-
вать части и подразделения, расположенные на значи-
тельном удалении друг от друга. Для того, чтобы немед-
ленно восстанавливать неисправную технику, можно
было бы иметь ремонтные мастерские в каждом под-
разделении. Но это не всегда выгодно, так как мощности
подобных мастерских могут превосходить потребности
в ремонте такого подразделения. Поэтому выгодно для
ремонта определенных видов боевой техники, состоящей
на вооружении многих подразделений, иметь небольшое
число специализированных мастерских. Необходимое ко-
личество таких мастерских определяется из расчета,
чтобы они и не простаивали зря без работы, но в то же
время и не захлебывались в потоке заявок на ре-
монт.
Решить подобную задачу качественными рассужде-
ниями без количественной оценки трудно. В мирное
время необходимое число таких мастерских можно опре-
делить методом проб. Для этого можно закрепить за
несколькими подразделениями определенное число ре-
монтных мастерских. Опыт их эксплуатации в течение
определенного срока покажет правильность принятого
решения. Но с течением времени техника, особенно
военная, изменяется, появляются новые, более совер-
шенные образцы вооружения. В то же время и техника
ремонта не стоит на месте, поэтому экспериментальное
определение необходимого количества ремонтных ма-
стерских и их мощности может затянуться надолго, что
неблагоприятно скажется на эксплуатации вооружения
войсками. Безусловно, подобный эксперимент недопу-
стим во время ведения боевых действий.
Для решения этой задачи необходимо использовать
количественные методы анализа, с помощью которых
она может быть правильно решена при значительно
меньшем необходимом количестве статистических дан-
ных. В данном случае целесообразно использовать аппа-
рат теории массового обслуживания, разработанный
применительно к системам с ожиданием при ограничен-
ном количестве обслуживающих единиц [66]. Как уже
отмечалось выше, прежде чем решить поставленную за-
302
дачу, необходимо иметь определенное количество стати-
стических данных. К таким данным следует отнести:
— среднюю продолжительность времени, необходи-
мого для дефектации;
— среднюю продолжительность проведения основных
операций технологического процесса ремонта вооруже-
ния;
— время, необходимое для вызова и прибытия по-
движной ремонтной мастерской в подразделение (для
полустационарных мастерских — время доставки не-
исправного вооружения к месту ремонта) и др/,
— частота выхода вооружения из строя.
После статистической обработки полученных данных
можно получить основные параметры, характеризующие
систему ремонта вооружения.
К ним относятся:
— плотность потока выхода из строя вооружения
(потока заявок на ремонт) X;
— среднее время, необходимое для вызова мастер-
ской и проведения ремонта.
Определение предполагаемого потока выхода из строя
техники в боевых условиях должно решаться с помощью
различных методов прогнозирования, с учетом характера
ведения боевых действий, на которых мы здесь останав-
ливаться не будем. При наличии необходимых статисти-
ческих данных можно приступить к решению задачи.
А£ Постановка задачи
Пусть имеется п мастерских по ремонту определен-
ного вида вооружения, которые распределены в различ-
ных частях и подразделениях. Вышедшая из строя бое-
вая техника ремонтируется одной из ремонтных мастер-
ских. Обслуживание может быть организовано силами
подвижных мастерских, которые всякий раз могут на-
правляться в то подразделение, где имеется потребность
в ремонте.
Ремонт может быть организован и в достаточно мощ-
ных мастерских с хорошо оганизованным технологиче-
ским потоком, в которые будет доставляться неисправ-
ная техника.
В обоих случаях время, необходимое для ремонта
неисправного вооружения, будет складываться по-раз-
3Q3
ному. В первом случае оно будет состоять из времени,
необходимого для вызова мастерской, ее движения
к месту ремонта и развертывания, и времени, нужного
для проведения дефектации и собственно ремонта. Во
втором случае оно будет определяться временем, необ-
ходимым для доставки неисправного вооружения в тыло-
вую ремонтную мастерскую, дефектации и ремонта.
В рассмотренных случаях соответствующие составляю-
щие времени обслуживания будут разные. Полагаем, что
время обслуживания — случайная величина с показа-
тельным законом распределения с параметром v, где:
1
v = —,
— ^выз Н- ^дефЧ~ ^дв м ^разв “И ^рем “И ^св?
^выз — среднее время для вызова мастерской;
^деф — среднее время дефектации;
/дв м — среднее время движения мастерской к месту
ремонта;
/разв, tcB — среднее время развертывания и свертывания
мастерской;
^рем — среднее время ремонта;
^р — среднее время обслуживания ремонтом неис-
правного вооружения.
По аналогичной схеме определяется Fp для полустацио-
нарных ремонтных мастерских.
Поток поступающих заявок на ремонт ограничен чис-
лом обслуживаемых подразделений, на вооружении ко-
торых находится боевая техника, и принимается про-
стейшим. Такое допущение может быть принято по сле-
дующим соображениям:
1. Моменты выхода из строя вооружения и поступле-
ния в сферу ремонта — события независимые в непере-
секающиеся промежутки времени.
2. Выход из строя того или иного образца вооруже-
ния не зависит от того, сколько их уже раньше вышло
из строя.
3. Количество поступающих заявок на ремонт зави-
сит от плотности, т. е. от среднего ожидаемого количе-
ства заявок в единицу времени X. Полагаем, что если
в сферу ремонта поступила заявка, то мастерская сразу
304
отправляется в соответстующее подразделение. Если все
мастерские уже заняты, то вышедшее из строя вооруже-
ние ждет своей очереди для проведения ремонта
Б. Основные показатели
системы обслуживания ремонтом
Для проведения количественной оценки системы
обслуживания ремонтом вооружения можно использо-
вать следующие зависимости [66]:
1. Вероятность того, что все мастерские свободны от
ремонта
Ро = -5--------------------------- (1)
S/n!aft т\ ак
k\ (*п—k)\ *" / J nk~nn\(m— k)\
k=0 k=n+\
X
где a = v;
Л — параметр потока поступления заявок на ремонт;
1
/р — среднее время ремонта неисправной техники;
т— число образцов вооружения в обслуживаемых ре-
монтом частях и подразделениях;
п — число ремонтных мастерских (технологических
потоков ремонта).
2. Вероятность того, что ремонтом боевой техники за-
нято k мастерских:
(2)
3. Та же вероятность при условии k^>n
р ___ <*к Л
k nk~nn\(m — k)V ' *
4. Вероятность того, что все мастерские заняты ре-
монтом вооружения, или вероятность отказа в немедлен-
ном ремонте
” п\ (т—п)Г ' '
20—343
305
5. Среднее число предметов вооружения, ремонтируе-
мых и ожидающих ремонта:
6. Среднее число образцов вооружения, которые бу-
дут ожидать ремонта (средняя длина очереди) по при-
чине занятости мастерских:
JVl« — ZJ л* - "л! (т — k)l °' W
k=fl+l
7. Средний процент вооружения, ожидающего ремонта:
т
£==«+!
8. Среднее число свободных от ремонта мастерских
М _ VI (n-fe)w! <х* р
k=0
(8)
9. Процент простоя мастерских
^=^-ЮОо/0 =
Л—1
т IW/o-
(9)
Рассмотрим примеры. Имеется три подвижные ма-
стерские (п=3) для ремонта 10 образцов вооружения
(/п=10). Опыт его эксплуатации показал, что в среднем
один раз в месяц каждый из образцов может выходить
из строя Л=1 образец/месяц. Для вызова мастерской и
ремонта техники в среднем требуется около шести дней
v=5 образцов/месяц. Необходимо определить основные
характеристики организации системы ремонта вооруже-
ния.
306
Вначале определим вероятность того, что все мастер-
ские свободны от ремонта. Для этого определим вели-
чину а= —=0,2 и составим таблицу вычислений 4.8.1.
ТАБЛИЦА 4.8.1
k Pk Р' Pk kpk (n—k) Pk
0 1 0,1548 0 0,4644
1 2 0,3096 0,3096 —- 0,6192
2 1,8 0,2786 0,5572 0,2786
3 0,96 0,1486 0,4458 — 0
4 0,448 0,0693 0,2772 0,0693 —
5 0,179 0,0277 0,1385 0,0554 —
6 0,056 0,0087 0,0522 0,0261 —.
7 0,012 0,0018 0,0126 0,0072 —
8 0,0025 0,0004 0,0032 0,0020 —
9 0,0004 0,0001 0,0009 0,0006 —
10 0 0 0 0 —
s = 6,4579 2= 1,0 Afi=l,7972 M 2=0,1606 M3= 1,3622
Из табл. 4.8.1 следует, что вероятность того, что все
мастерские будут свободны от ремонта, равна
Ро=О,155.
Это означает, что 4—5 дней в месяц все мастерские
будут свободны, а их технический персонал может
отдыхать.
Однако это не означает, что не будет «очереди» не-
исправного вооружения, требующего ремонта. «Длина»
такой очереди, конечно, в различные периоды будет раз-
ная. В среднем число образцов вооружения, ожидающих
ремонта, будет равно (см. сумму пятого столбца
табл. 4.8.1)
Af2=O,ie образцов.
Отсюда средний процент вооружения, ожидающего ре-
монта, равен
к1=^-юо»/.= 1,б»/о.
20*
307
Посмотрим, насколько рационально загружены ма-
стерские. Среднее число свободных от ремонта мастер-
ских равно (см. 6-й столбец табл. 4.8.1)
М3 = 1,3*6 мастерских,
а коэффициент простоя равен
К, = 100#/о=-^-1000/о==46»/0,
т. е. очень высокий.
Определим среднее число образцов вооружения, кото-
рое либо находится в ремонте, либо ожидает ремонта,
или, короче, среднее число небоеспособных образцов во-
оружения:
Л41 = 1,79 образцов.
Отсюда средний процент небоеспособного вооружения
равен
/(з=~ 100% = 17,9®/0.
Это очень высокий процент небоеспособности, и опреде-
ляется он. в основном, временем нахождения вооруже-
ния в ремонте (процент вооружения, «ожидающего» ре-
монта, невелик: £=1,6%).
Рассмотрим другой пример для тех же условий экс-
плуатации вооружения, но при иначе организованном
ремонте. Вместо трех подвижных мастерских для обслу-
живания вооружения выделена одна полустационарная
ремонтная мастерская с тремя хорошо организованными
технологическими потоками. Но в этом случае среднее
время доставки неисправного вооружения в мастерскую
в несколько раз больше, чем время вызова и приезда
в подразделение подвижной ремонтной мастерской.
И несмотря на уменьшение срока собственно ремонта,
общее время нахождения вооружения в сфере ремонта
увеличивается в 2,5 раза. Тогда v = 2 образца/месяц,
а=0,5.
Как и прежде, необходимые расчеты представим
в виде таблицы.
308
ТАБЛИЦА 4.8.2
k Рк Ро рь kPK (fe— n)Ph (n — k)Pk
0 1 0,010 0 0,030
1 5 0,051 0,051 — 0,102
2 11,25 0,115 0,230 — 0,115
3 15.0 0,153 0,459 — 0
4 17,5 0,178 0,712 0,178 —
5 17,47 0,178 0,890 0,356 —
6 14,56 0,149 0,794 0,447 —
7 9,7 0,099 0,693 0,396 —
8 4,85 0,050 0,400 0,250 —
9 1,58 0,016 0,144 0,096 —
10 0,28 0,003 0,030 0,021 —
S = 98,19 2=1,002 = 4,403 M2= 1,744 мз = 0,247
Результаты расчетов для сравнения целесообразно
свести в одну табл. 4.8.3.
ТАБЛИЦА 4.8.3
Характеристика варианта Ро Ма К, % М3 к, % Mi К, %
Подвижные мастер- ские Полустационарные мастерские . . . 0,155 0,01 0,16 1,74 1,6 17,4 1,36 0,25 46 25 1,79 4,4 17,9 44
Из данных таблицы следует, что в связи с общим
снижением пропускной способности ремонтных органов
резко увеличилась их загрузка при неизменной плот-
ности поступления требований на ремонт вооружения:
вероятность простоя без ремонта всех мастерских (тех-
нологических потоков) Ро уменьшилась в ~ 16 раз, чис-
ло свободных от ремонта мастерских (технологических
потоков) М3 — более чем в 5 раз. Зато резко увеличи-
лось среднее количество небоеспособного вооружения
с Ki= 17/9% до /(1=44%. В условиях боевого примене-
ния резко возрастает интенсивность вышедшего из строя
вооружения. Применительно к случаю обслуживания ре-
монтом подвижными мастерскими положим, что поток
309
требований на ремонт уйеДйчйЛся в 5 раз. Приведем
таблицу сравнительных результатов.
ТАБЛИЦА 4.8.4
Значение X Ро К, % м3 % Mi Ki %
Х = 0,2 0,155 0,16 1,6 1,36 46 1,798 17,98
А= 1 0,0005 4,02 40,2 0,012 0,4 7,00 70
Как следует из данных таблицы, резко увеличилась
загрузка мастерских (сравним М3, К3, Ро). В последнем
случае инженеры и техники не будут иметь практически
свободного времени. Но несмотря на это, процент небое-
способного вооружения резко увеличится с 18 до 70%’.
Очевидно, в последнем случае имеющегося количества
мастерских явно недостаточно для обеспечения ремон-
том вооружения.
Этой методикой можно воспользоваться для оценки
влияния на пропускную способность ремонтных органов
совершенствования технологии ремонта (уменьшение
£де$, £ рем), подвижности мастерских гдв м, времени раз-
вертывания для ремонта и свертывания после ремонта
мастерских и других факторов. На основании экономи-
ческой оценки можно найти оптимальную схему ремонта
вооружения, определить целесообразное количество раз-
личных видов мастерских и выгодность введения новых
методов ремонта.
§ 4.9. РЕШЕНИЕ ВОЕННЫХ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ
С МАССОВЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ, МЕТОДОМ
СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
В предыдущих параграфах приведены решения не-
которых задач массового обслуживания, которые дове-
дены до расчетных формул. Этого удалось достичь с по-
мощью ряда существенных допущений: стационарности
и ординарности потоков заявок, отсутствия последей-
ствия, были взяты простейшие законы распределения
времени работы элементов системы обслуживания и т. д.
Принятые допущения не всегда согласуются с практи-
кой. Кроме того, работа реальных систем массового
310
обслуживания сопровождается выходом из строя по
различным причинам приборов обслуживания, их ремон-
том, наличием при обслуживании брака (в военном
деле — непораженном цели) и т. д. Все эти трудности
можно преодолеть, используя метод статистических
испытаний [12]. При решении задач массового обслужи-
вания с помощью метода статистических испытаний
можно наметить несколько этапов.
Задание потока требований (заявок). При моделиро-
вании потока заявок возможны не только случайные
последовательности, но и детерминированные. Особен-
ности последних определяются характером применения
боевых единиц противником. Например, авиационное
наступление противника в определенных условиях может
быть представлено в виде достаточно строго построен-
ных боевых порядков воздушных средств. Способы за-
дания различных случайных последовательностей и их
реализации на машинах представлены в § 2.2 настоящей
книги, а также в (12, 13].
Время обслуживания каждой заявки, время пребы-
вания их в зоне обслуживания и т. д. являются случай-
ными величинами со своими законами распределения.
Способы задания случайных величин достаточно хорошо
разработаны и приведены в § 2.2 настоящей книги.
Самым важным является моделирование самого про-
цесса обслуживания, которое представляется в виде
алгоритма — совокупности математических и логических
правил и ограничений. Если процесс обслуживания не
слишком сложен, а необходимое число реализаций не-
велико, то он может проигрываться на бумаге вручную.
В противном случае следует обратиться к помощи элек-
тронных вычислительных машин (см. § 2.2). После про-
веденных расчетов и обработки многих реализаций про-
цесса производится статистическая обработка результа-
тов. В качестве величин, которые являются показателями
качества обслуживания, можно отметить те из них, кото-
рые получили наибольшее распространение [12, 66].
Для систем с отказами: средний процент отказов
в обслуживании за определенный промежуток времени
(/о, О
яд (t f\____ п
/Н°ткИо’ Ч— N{toi t) ,
311
где n(/0, /)—среднее число отказов в реализациях за
время /о, /;
Af(/0, t) —среднее число требований за тот же отре-
зок времени.
Для систем с ожиданием: Тож(/о, О —среднее время
ожидания заявок в очереди за отрезок времени (/0,
t)—средняя длина очереди за тот же отрезок
времени.
Для систем с ограниченным временем ожидания мо-
гут быть использованы все описанные выше показатели.
При решении военных задач необходимо определение и
других важных показателей. К ним относятся расход
снарядов, ракет на каждую сбитую цель, распределение
сбитых целей по зонам ПВО, возможности по снабже-
нию боеприпасами и т. д.
ГЛАВА 5
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ОПТИМИЗАЦИИ
§ 5.0. ВВЕДЕНИЕ
А. Классические методы определения
оптимума
При выборе оптимальных параметров воору-
“жения и способов его использования при-
ходится определять оптимальные значения различных
критериев оценки вооружения и эффективности его боево-
го использования. В настоящей главе будут рассмотрены
задачи оптимизации различных типов.
К задачам оптимизации относится определение
экстремального, т. е. максимального (наибольшего) или
минимального (наименьшего), значения оцениваемой
величины. В качестве оцениваемой величины может слу-
жить функция одного или нескольких независимых пере-
менных (аргументов) или так называемый функционал.
Как известно из анализа, величина у(х) называется
функцией независимого переменного х, если каждому
значению х из их множества соответствует определенное
значение у. Следовательно, функция устанавливает со-
отношение между множеством значений у и множеством
значений х. Функционал является более общим поня-
тием, чем функция. Так, если последняя устанавливает
соответствие между множествами чисел, то функционал
устанавливает соответствие между множеством чисел
(значений функционала) и множеством функций (кри-
вых, поверхностей и других объектов). Примером функ-
ционала может быть определенный интеграл с фикси-
рованными пределами, принимающий различные число-
вые значения в зависимости от вида подынтегральной
функции. Множество функций, для которых определен
(т. е. имеет смысл) функционал, называется областью
определения функционала или множеством допустимых
функциональных аргументов.
313
Большое число задач по определению экстремума
функций решается методами математического анализа,
которые позволяют определить экстремум непрерывных
и дифференцируемых функций как при отсутствии огра-
ничений на множество допустимых значений аргумента,
так и при наличии ограничивающих условий в форме
равенств. В первом случае определяется безусловный
экстремум, во втором — условный экстремум. Задача на
условный экстремум называется задачей Лагранжа.
Пример 1. Даны энергетические параметры размещен-
ной на бомбардировщике аппаратуры радиопротиводей-
ствия Xi и х2, снижающие эффективность ПВО против-
ника, которая при данных параметрах аппаратуры ра-
диопротиводействия характеризуется показателем [81]
в виде предотвращенного ущерба
=^~.
Вес аппаратуры в зависимости от величины пара-
метров определяется выражением Q=xi + 2x2. Предель-
ный вес размещенной на самолете аппаратуры <7=16.
Если ограничений по габаритам аппаратуры нет, то из
физических соображений ясно, что для снижения эффек-
тивности ПВО противника нужно использовать предель-
ные возможности по весу.
Необходимо определить оптимальные параметры
аппаратуры радиопротиводействия, минимизирующие по-
казатель эффективности обороны противника при усло-
вии, что вес аппаратуры будет максимально возможным,
т. е.
Q = X1 + 2x2=16. (1)
Это задача Лагранжа на условный экстремум.
Решение этой задачи методами анализа проводится
по такой схеме:
а) Составляется функция Лагранжа
F = £'(xI, a:1)-|-X(Q — q)
или
F=-^r+x<x* + 2^-16)>
где X — неопределенный множитель Лагранжа.
314
б) Дифференцируя F по Xi, х2 и приравнивая резуль-
тат нулю, найдем уравнения необходимых условий
экстремума
—%-+*=о, —^-|-2г=о. (2)
Х\Х2 X 1*2
в) Решая систему (1) и (2), найдем
х =8 х —4 Е =-^- = 2
Л1 — °’ ^min 4.8 —
Используя достаточные условия существования мини-
мума (которые из-за громоздкости здесь не приводятся),
убеждаемся, что полученные значения параметров Xi = 8
и х2=4 являются оптимальными, т. е. обусловливают
минимум показателя эффективности обороны.
Рассмотрим теперь пример задачи на экстремум
функционала.
Пример 2. Среди дуг кривых у(х), расположенных
в плоскости и соединяющих точки 1 и 2 с координатами
(xt, f/i) и (х2, у2) соответственно, найти дугу наименьшей
длины з.
Обозначим ds = элемент дуги. Тогда
функционал будет иметь вид
/=S = fds.
Из геометрических соображений очевидно, что искомым
решением будет:
т. е. экстремаль (кривая, на которой достигается экстре-
мум функционала) представляет собой прямую, соеди-
няющую точки 1 и 2.
Минимум J определится выражением
J = 5 = У{х*-х^ + (у2-у^.
315
В общем случае для определения экстремума функ-
ционала
^2
J= у F (х, у (х), у’ (х)) dx
%!
используются классические методы вариационного исчис-
ления. Заметим, что математический аппарат, разрабо-
танный Эйлером и Лагранжем, сводит решение задачи
на экстремум функционала к решению краевой задачи
для системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, являющихся выражением необходимых условий
экстремума.
Б. Математическое программирование
При исследовании операций применительно к вопро-
сам планирования и распределения боевых средств часто
встречаются задачи оптимизации функций при ограни-
чениях на область ее определения, заданных неравен-
ствами. Рассмотрим простой пример постановки такой
задачи (ср. с примером 1).
Пример 3. Требуется определить оптимальные значе-
ния энергетических параметров размещенной на бомбар-
дировщике аппаратуры радиопротиводействия Xi и х2,
минимизирующие показатель эффективности обороны
противника E(xix2) = ——> предполагая, что по усло-
виям размещения на самолете вес аппаратуры, опре-
деляемый в зависимости от параметров формулой
Q(Xi, х2) =Х1 + 2%2> не превзойдет предельного значения
<7=16, а объем V(xi, х2) = 10Xi4-5x2 не превзойдет значе-
ния У=60. Математически эта задача формулируется
так: минимизировать функцию
с" / \
Е(Х., Х,) = ;---.
' 1 27 [Х1Х2]
при наличии ограничений на значения и ха:
М + 2х2<<7= 16,
10x1+5x2<V = 60,
Xi S3 0, хг > 0;
316
последние два условия неотрицательности вытекают из
физических соображений.
Все значения х2, удовлетворяющие ограничиваю-
щим условиям, называются допустимыми; те из них, ко-
торые минимизируют функцию £(хь х2), называются
оптимальными значениями. Так как ограничения на хь
х2 содержат неравенства, а оптимизируемая функция
нелинейна, то поставленная задача является задачей
математического программирования и решается спе-
циальными методами. Постановка задачи математиче-
ского (в общем случае нелинейного) программирования
имеет следующий вид: минимизировать функцию п пере-
менных
f • • •> Xn)
при наличии ш ограничений в виде
gi(A, • • •, ^п)^0,
gm(X19 . . Лп)>0, Хг^О, / = 0, . . П.
Функции f, gi, ..., gm предполагаются дифференцируе-
мыми. Решение Х\, ..., хп, удовлетворяющее ограниче-
ниям, называется допустимым решением задачи мате-
матического программирования. Одно из допустимых
решений считается оптимальным, если оно обусловли-
вает значение функции f(xb ..., хп) не большее, чем
другие допустимые решения.
В настоящее время хорошо разработаны методы ре-
шения задач линейного программирования, т. е.
таких задач математического программирования, ког-
да f(xi, ..., хп) является линейной функцией,
a gi(*i, ..., хп)>0, ..., gm(x\, ..., хп) >0 составляют
систему линейных неравенств.
Вопросы линейного программирования излагаются
в § 5.1 и 5.2.
В. Метод оптимального управления
процессами и системами
Развитие средств автоматического управления и вы-
числительной техники поставило задачи оптимального
управления процессами и системами. Аналогичные за-
дачи возникли при разработке управляемого оружия и
его боевом использовании.
317
Управляемый процесс (система) характеризуется
в каждый момент времени параметрами состояния, или
так называемыми фазовыми координатами и параметра-
ми управления (управляющего воздействия).
Фазовыми координатами, характеризующими состоя-
ние, например, летательного аппарата в фиксированный
момент времени, будут: координаты центра тяжести, ско-
рость полета, различные углы ориентирования осей
аппарата и т. д.
Параметрами управления будут те параметры про-
цесса или системы, которые обусловливают определен-
ные состояния процесса или системы. Для летательного
аппарата это будут, например, расход топлива, положе-
ние рулей и т. д.
В зависимости от физических условий и постановки
задачи на фазовые координаты могут быть наложены
ограничения. Множество параметров управления всегда
ограничено возможностями реализации управления. Так,
например, имеются ограничения по углу отклонения ру-
лей, по скорости и ускорению.
В случае если допустимое управление процессом
или системой осуществляет человек или кибернетическое
устройство, то правило для принятия решения называет-
ся стратегией управления. В последнем случае закон,
по которому вырабатываются управляющие воздействия,
чаще всего называют программой управления. Стратегия
или программа, осуществляющие оптимальные допусти-
мые управления, называются оптимальными. Смысл
оптимальности может быть различным. Например, мо-
жет идти речь об оптимальности в смысле быстродей-
ствия, о достижении цели с минимальной затратой энер-
гии, средств и т. д.
В зависимости от характера процесса задача опти-
мизации будет сводиться к определению экстремального
(минимального) или минимаксного значения критерия
при ограничениях на управления. Так, например, в за-
даче на оптимальное быстродействие время полета
управляемого объекта из заданного положения в за-
данную точку пространства должно быть минимальным.
В качестве управляющих параметров здесь могут быть
значения осевого ускорения (перегрузки) и углов
отклонения рулей при заданных ограничениях в форме
318
неравенств. В случае задачи преследования одним
объектом А другого объекта В оптимум времени по-
лета, отсчитываемого от какого-то момента до момента
встречи, будет реализован как минимум лишь в случае,
когда объект В не управляем или не имеет информации
о стратегии управления объекта А, а последний знает
допустимую стратегию В.
Решение оптимальных задач при условии, что допу-
стимые управления удовлетворяют ограничениям в форме
неравенств, классическими вариационными методами
или невозможно, или составляет огромные вычислитель-
ные трудности даже при наличии современных ЭЦВМ.
Это обстоятельство привело к развитию неклассических
методов вариационного исчисления.
Академик Понтрягин Л. С. с группой учеников, зани-
маясь теорией автоматического управления, открыл так
называемый принцип максимума. Этот принцип был
обоснован как необходимое и достаточное условие опти-
мальности линейных систем управления и как необходи-
мое условие для нелинейных систем. Все необходимые
условия классического вариационного исчисления сле-
дуют из принципа максимума как частный случай. За-
тем принцип максимума был обобщен и развит рядом
советских ученых.
Американский ученый Веллман Р. и его ученики раз-
работали новый общий метод решения неклассических
вариационных задач — динамическое программирование.
Этот метод позволяет решать задачи оптимального
управления процессами более общими по характеру,
чем процессы, описываемые системами дифференциаль-
ных уравнений. Метод динамического программирования
позволяет, оптимизировать не только непрерывные, но и
дискретные, многоэтапные процессы. При этом он дает
весьма экономную вычислительную процедуру при
многошаговой оптимизации.
Однако, несмотря на более универсальный характер,
чем принцип максимума, в отличие от последнего метод
динамического программирования не имеет строго логи-
ческого обоснования для решения многих задач, где им
успешно пользуются как полезным вычислительным
приемом. Математическая формулировка общей задачи
метода отсутствует, четкая же формулировка частных
многошаговых задач является оригинальной (118].
319
Принцип максимума и динамическое программирова-
ние являются быстро развивающимися направлениями
неклассических методов решения вариационных и аль-
тернативных задач исследования операций.
Основные вопросы этих методов рассмотрены в § 5.3
и 5.4.
§ 5.1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ КАК МЕТОД
ВЫБОРА ВООРУЖЕНИЯ
А. Постановка задачи
Военные проблемы в целом, такие как планирование
боевых действий с распределением сил и средств, выбор
системы вооружения и т. д., не всегда могут быть све-
дены к какой-либо одной линейной модели. Однако
исследование почти любой из указанных проблем приво-
дит к необходимости решения отдельных частных задач
методами линейного программирования. К ним отно-
сятся: военно-экономическая задача выбора частной си-
стемы вооружения, предназначенной для поражения це-
лей одного типа, задача планирования перевозок бое-
припасов (военно-транспортная задача), задача наибо-
лее эффективного распределения ограниченных ресурсов
между взаимно связанными звеньями системы и т. д.
Задача целераспределения вследствие выпуклости функ-
ции критерия эффективности также может быть решена
методом линейного программирования после соответ-
ствующих преобразований функции и ограничивающих
условий в форме неравенств [84].
При решении многих военных вопросов в большей
степени, чем в народнохозяйственных задачах, требует-
ся четкое планирование сил и средств, тщательный учет
всевозможных узких мест и ограничений, которые в ко-
нечном счете могут сказаться на боевых возможностях
вооружения.
Кроме того, особенностью методов линейного про-
граммирования является то, что они позволяют решать
вопросы в условиях неполной информации, что особенно
характерно для военных ситуаций. Эти обстоятельства
определили широкое применение методов линейного
программирования при решении военных вопросов.
320
Общая математическая постановка задачи линейного
программирования сводится к отысканию минимума ли«
нейной формы
CiXi + слхг +... + спхп = Sb,
при соблюдении следующих линейных ограничений:
>0,
>0,
>0,
0,
| ^12-^*2 “J- • - • |
^21*^1 I ^22*^2 ~4~ ’ * * ---^2>
^n?2'^2 “i • • “i —
Здесь ац и bj — постоянные величины.
Величины Ci называют иногда коэффициентами стои-
мости.
При решении задач линейного программирования
возможны три случая:
— система условий противоречива и не имеет реше-
ния в области неотрицательных значений Хц-,
— система имеет неотрицательные решения, но ли-
нейная форма не имеет конечного значения (5С=±оо);
— система имеет неотрицательные решения, линей-
ная форма конечна. Последний случай имеет практиче-
ское значение.
Прежде чем перейти к методам решения задач ли-
нейного программирования, целесообразно изложить по-
становки ряда военных и военно-экономических задач,
решить которые можно при использовании аппарата ли-
нейного программирования [84, 19].
Б. Задача о размещении вооружения и оборудования
в самолете [84]
На самолете многоцелевого назначения необходимо
разместить:
21—343 321
— предметы вооружения (авиационные скорострель-
ные пушки, управляемые снаряды «воздух — земля»,
«воздух — воздух» с соответствующей аппаратурой
управления, неуправляемые снаряды «воздух — земля»,
бомбы);
— аппаратуру постановки помех;
— аппаратуру для прицельного бомбометания и др.
Каждый из рассматриваемых предметов имеет вес,
объем, габариты, которые ограничивают их размещение
в самолете. Все эти предметы влияют на эффективность
выполнения боевой задачи самолетом.
Необходимо, соблюдая ограничения по весу, объему
и отдельным габаритам, обеспечить в самолете такое
размещение вооружения и оборудования, при котором
обеспечивается максимальная эффективность выполне-
ния боевой задачи.
Для решения введем следующие обозначения:
т — число предметов и видов оборудования, подле-
жащих укладке в самолете;
п — число характеристик предметов или оборудова-
ния;
ciij — j-я характеристика z-ro предмета вооружения
(оборудования);
bj — ограничения по /-й характеристике;
Ci — коэффициент, характеризующий удельную эф-
фективность вооружения (оборудования) в общей эф-
фективности выполнения боевой задачи самолетом.
В этих обозначениях задача линейного программиро-
вания сводится к получению максимума эффективности,
т. е. линейной формы:
— сгхг —6*2X2 . • —j— спхп
при условиях
^11*^1 ^12*^2 “Н • • • ^1П^П ^Ьг,
“Н ^^2^*2 • • • "4“" ^тп^п Ьт.
Здесь хп х2, ..., хп могут принимать значения 0 или 1
(несколько единиц).
322
При решении этой задачи на практике поступают так.
Дробные значения Xi для оптимальных вариантов реше-
ния задачи округляют до нуля или целых чисел. Это, как
правило, не приводит к заметному изменению линейной
формы. Если же линейная форма изменяется заметно,
то необходимо учитывать дополнительные условия. Осо-
бенно большие трудности может вызвать определение
коэффициентов сг-, что является предметом специального
рассмотрения (см. гл. 3).
Аналогично может быть решена задача по размеще-
нию вооружения и оборудования в танке, корабле, ка-
тере и других боевых машинах.
В. Выбор системы вооружения [84]
(противовоздушной обороны, противотанкового
вооружения и др.)
При решении этой задачи предполагается автоном-
ность действия комплексов только по своей группе це-
лей.
Пусть Xj — число комплексов /-го типа (образца) ору-
жия, / = 1, ..., п\ Cj — математическое ожидание нанесен-
ного противнику ущерба одним /-м комплексом (или
какой-либо другой показатель эффективности).
В качестве показателя эффективности всей системы
примем суммарный ущерб в виде линейной формы
п
<5? = 5^ CjXj. (1)
/=i
Для производства комплекса каждого типа требуется
определенное количество затрат и не только денежных.
Комплексы могут различаться, например, по затратам
дефицитных материалов, приборов и т. д., имеющихся
в ограниченном количестве. Ограничения могут возник-
нуть из условий хранения и эксплуатации, наличия ква-
лифицированных кадров и т. д. Обозначим через аг;- за-
траты какого-либо Z-го фактора на производство (обслу-
живание и т. д.) одного комплекса /-го типа, а через
bt — ограничения по общим затратам z-го фактора,
1=1, ..., т. Тогда будут иметь место соотношения,
обусловленные ограничениями
*4“ • • • "4" (2)
21* 323
В общем случае отдельные коэффициенты ац могут быть
нулевыми.
Так как число комплексов не может быть отрица-
тельным, то необходимо выполнить условие
3
(3)
Теперь сформулируем задачу: найти такое распреде-
ление неотрицательных величин х, — количеств комплек-
сов разного типа (xj>0), которое при определенных
ограничениях на затраты по их изготовлению, хранению»
эксплуатации и т. п. в форме (2) давало бы максималь-
ную эффективность.
Общая формулировка задачи линейного программи-
рования: максимизировать линейную форму (функцию)
S? — “I- • • • -1~ Сп^-п (1 )
при условиях
• • • “F Ьг,
| • • • | ^тп^п ^т,
(2')
х,>0, .... х„>0. (37
Одним из основных положений линейного програм-
мирования является то, что приведенной задаче на ма-
ксимум соответствует следующая задача на минимум:
минимизировать линейную форму
“Ь • • • 4" ЬтУт (4)
при условиях
+ +
ЯП1у 1 | . - -1— О'птУт Сп>
у^О, ..., ут>0.
(5)
(6)
Эта задача на минимум является двойственной пер-
вой задаче на максимум. Необходимо заметить, что пер-
вая задача является, в свою очередь,, двойственной ко
второй, т. е. к своей двойственной задаче.
324
Свойство двойственности можно использовать для
упрощения расчетов при решении задач, ибо если эти
задачи имеют решения и они являются оптимальными,
то справедливо соотношение
шах —min ЛС.
Г. Задача снабжения боеприпасами [138]
(вооружением)
Имеется т пунктов снабжения (баз, складов). На
них сосредоточены различные виды боеприпасов (воору-
жения и другого военного имущества). Количества бое-
припасов, находящихся на пунктах снабжения, достаточ-
но для ведения боевых действий и частей (соединений).
Органы снабжения имеют ограниченное количество
транспорта. Необходимо так организовать бесперебой-
ное снабжение частей (соединений), чтобы нужное
количество транспорта было минимальным.
Обозначим:
Xij — количество боеприпасов (вооружения), перево-
зимое из i пункта снабжения в j часть (со-
единение) ;
Cij — потребное число транспортных единиц (машин,
специальных транспортных машин, вагонов
и т. д.) для перевозки боеприпасов (вооруже-
ния) из i пункта снабжения в / часть (соедине-
ние) ;
ai — количество боеприпасов (вооружения) в едини-
цах (тоннах) на i пункте снабжения;
bj — количество боеприпасов (вооружения) в еди-
ницах (тоннах), необходимое для ведения бое-
вых действий / частью (соединением).
В принятых обозначениях задача сводится к опреде-
лению минимума линейной формы
при следующих условиях
т
У. Хц = Ь}.
i=l
325
Это означает, что количество перевозимых боеприпа-
сов со всех пунктов снабжения в / часть (соединение) не
превосходит их потребности (потребности определяются
заявками на боеприпасы, поданными соответствующими
частями, соединениями).
п
У*, Xij — aj — количество вывезенных боеприпасов из
/=1
пункта снабжения, оно не может превосходить их общего
количества.
При наших условиях должно обеспечиваться равен-
ство
т п
У at = У bj.
z=i /=i
Это идеальные условия равенства наличия и потреб-
ности. На практике часто этот идеальный баланс нару-
шается (см. [84]).
Более сложной разновидностью транспортной задачи,
имеющей большое военное применение, является задача
с учетом ограничения по количеству транспорта и вре-
мени перевозок. В этом случае, кроме нужного количе-
ства транспортных единиц необходимо знать вре-
мя tij, необходимое для перевозки грузов из i пункта
снабжения в / часть (соединение).
Как правило, вся исходная информация для решения
такой задачи сводится в таблицу типа 5.1.1.
ТАБЛИЦА 5.1.1
ь» . . .
Хп сп> Gi Xj2 ^12» ^12 % . . . *1п £1п> ^1п
0,2 *21 ^21» ^21 *22 С22» ^22 . . . 8 03 03 и й
Ят X"mi Cmi> tml % m2 £тп2> m2 . • . £ Й й-к* ... 8 . Ц й 2
326
Эту задачу можно также решать методами линейного
программирования. Правда, в этом случае решение, при
т п
котором Тга1п = tijXij, как правило, не является
i=l / = 1
оптимальным. Задача может быть решена в два этапа.
При первом этапе наряду с оптимальным имеется ряд при-
емлемых решений, близких к оптимальному по критерию
т п
^min = X X Cii Xij'
t=l 7=1
на втором этапе среди этих решений выбирается такое,
которое одновременно дает возможность организовать
перевозку в кратчайшие сроки. Могут применяться
и иные методы решения (см. [84, 138]).
Д. Область решений
Прежде чем рассматривать методы решения задач
программирования, определим область решения системы
неравенств и область допустимых решений задачи.
Рассмотрим системы линейных нестрогих неравенств,
т. е. таких, где наряду со знаком неравенства содержит-
ся знак равенства, например
а) 2л\ — Зх, + 12 > О,
б) 5х, — х2 — 20 < О,
в) *1+ хг — 8>0. .
(69
Принимая во внимание только знак равенства, полу-
чаем уравнения соответствующих прямых. Положив в
уравнении a) %i = 0, найдем точку %2=4. Аналогично
находится точка на оси хх (—6). По этим двум точкам
строится прямая а). Она разделяет плоскость на две
полуплоскости, в одной из которых находятся значения
Xi и х2. удовлетворяющие неравенству а). Таким обра-*
зом, точки, удовлетворяющие неравенству, расположены
в полуплоскости, простирающейся вправо—вниз относи-
тельно прямой (на рис. 5.1.1 направление простирания
полуплоскости показано стрелками). Эта полуплоскость
называется областью решений линейного неравенства а).
Проделав аналогичные построения для всех трех не-
327
равенств, получим треугольник АВС. Точки, лежащие на
границах и внутри треугольника, удовлетворяют всем
неравенствам, т. е. являются решениями системы нера-
венств. Таким образом, областью решений системы (6')
является треугольник АВС (рис. 5.1.1). Этот треуголь-
ник является пересечением (общей частью) всех трех
полуплоскостей, представляющих собой области реше-
ний соответствующих отдельных неравенств системы (6).
В случае трехмерного пространства выражение
axi + 6x2 + cx3+rf=0, где а, Ь, с и d — постоянные коэф-
фициенты, как известно, геометрически представляет со-
бой плоскость. Она делит пространство на два полупро-
странства. Полупространство, точки которого удовлетво-
ряют неравенству axi + &x2+cx3+rf^0 (или <0), назы-
вается областью решения неравенства. Пересечение по-
лупространств, являющихся областями решения отдель-
ных неравенств, называется областью решения совокуп-
ности этих неравенств. Геометрически она представляет
собой многогранник с плоскими гранями и прямолиней-
ными ребрами.
Геометрическое место точек в n-мерном пространстве,
п
координаты которых удовлетворяют уравнению Xi -|~
i=\
328
4~d = 0, где at и d — постоянные коэффициенты, назы-
вается гиперплоскостью. Очевидно, понятие гиперпло-
скости является обобщением понятия прямой двумерного
пространства и плоскости трехмерного пространства.
Областью решения системы д-мерных неравенств
п
б/<0 будет также выпуклый многогранник в
i=l
/г-мерном пространстве. Его грани лежат в гиперплоско-
тях, определяемых уравнениями, которые получаются из
указанных нестрогих неравенств путем отбрасывания
знака неравенства.
Продолжая пример, наряду с системой (6') рас-
смотрим линейную форму <SC=xi+2x2. Приравнивая ее
к какой-либо постоянной, будем получать уравнения
прямых (двумерных гиперплоскостей). Поставим задачу:
найти такие неотрицательные значения Xj и х2 из обла-
сти решения неравенств (6), т. е. принадлежащие тре-
угольнику АВС, чтобы форма & приняла максимальное
значение. На рисунке показан случай 5? = 0, когда линия
S? проходит через начало координат и лежит вне тре-
угольника, стрелкой указано направление необходимого
перемещения прямой <2. При совмещении S? с точкой С
(1,08; 0,77) получим <2^ =2,6; с точкой А (4,4; 5,6) —
—<2а = 15,6, с точкой В (5,54; 7,6)—<2В«21. Оказалось,
ЧТО ^тах = 21.
Таким образом, решена весьма простая задача ли-
нейного программирования. Часть или вся область ре-
шения системы неравенств (2), удовлетворяющая ус-
ловию неотрицательности (5) решений, называется об-
ластью допустимых решений задачи линейного програм-
мирования. Так, если бы треугольник АВС лежал це-
ликом ниже оси Xi, то не существовало бы области до-
пустимых решений. Допустимое решение, обусловливаю-
щее максимум (минимум) формы 2?, называется опти-
мальным. В данном случае оптимальное решение полу-
чено в вершине В треугольника АВС. В общем случае
оптимальное решение может находиться не только в вер-
шине многогранника решений, но и на его грани, т. е.
на какой-то части гиперплоскости, его ограничивающей.
В последнем случае имеется бесконечное множество оп-
тимальных решений, расположенных на грани много-
гранника допустимых решений.
329
Например, если бы в данном случае прямая, соответ-
ствующая форме <2, была параллельна стороне АВ,
ВС или АС, то оптимальное решение заключало бы бес-
конечное множество точек, принадлежащих отрезку АВ,
ВС или АС.
Таким образом, при оптимальном решении гипер-
плоскость, соответствующая форме проходит через
вершину многогранника допустимых условий и может
совпадать с какой-либо гранью конечных размеров.
Е. Метод решения задачи линейного программирования
на принципе двойственности
Рассмотрим случай решения задачи с большим чис-
лом переменных, если в соответствующей ей двойствен-
ной задаче число переменных не более двух. Чтобы
обозреть симметричность условия двойственности, приве.
дем такую запись задач:
max <2 = +... + спхп,
1^1 ~Н • • • “I- ^1,
«21А + - • - + а2Пхп<Ь2,
flmi^x ~|~ * * • ^тп^п (7)
Xi>0,
х2>0,
' О,
min = Ь1у1 +... + bimym-,
у2^^,
ут>&, (Т)
а11У1 “Ь • • - ат1Ут^ Си
^1аУ1 Н- • • • -Н ^тгУт ^2>
^•тУ1 “I- • • • &тпУт
ззо
Допустим теперь, что получено оптимальное реше-
ние двойственной задачи у\, ут, в результате кото-
рого некоторые из неравенств (7) удовлетворяются как
строгие неравенства, например:
У 2 > 0;
^12^/1 | • • • “Н ^1*
Тогда в условиях прямой задачи соответствую^
щие неравенства (7) превращаются в равенства:
^21*^1 I ’ "" I ^2П^П--------
х2 = 0.
Пример 1. Дан показатель эффективности £g = 30xi 4-40х2 4-42х3 4-
4-30 Х4 и известно, что затраты на вооружение подчинены ограни-
чениям: по стоимости
3X1 + 5х2 + 7х3 + 10х4 < 200,
по числу обслуживающего персонала
lOxi -|- 8х2 -j- 6х2 Зх4 100.
Из физических соображений ясно, что:
Xi>0,
х2 >0,
х3>0,
х4>0.
Требуется найти такие количества х;- комплексов /-го типа (/=
= 1, ..п), чтобы показатель эффективности системы был макси-
мальным.
Решение. Так как переменных четыре, г. е. больше двух,
а уравнений два, то графически можно пытаться решить двойствен-
ную задачу. Составим уравнения двойственной задачи, учитывая, что
/3 5 7 10\Т
\10 8 6 3/
3 10\
5 8 |
7 6 Г
ю;з /
331
f /200\т
BT=( ) =(200, 100),
Двойственная задача: требуется найти min = 200«/i + lOOt/a
при условиях [см. (7')Г-
У1 > 0,
У г > 0,
+ 1 Ox/г 30,
3^/1 4" 3//2 40,
7yi + 42,
10r/i+3z/2>30.
Эту задачу можно решить графически.
Ж. Альтернативная задача. Специализация методов
При развитии методов линейного программирования,
с одной стороны, расширяется круг разнородных задач,
с другой стороны, происходит специализация методов.
Одним из направлений специализации является приме-
нение линейного программирования к решению альтер-
нативных задач, являющихся, вообще говоря, предме-
том теории игр.
Рассмотрим пример постановки альтернативной за-
дачи и приведения ее к задаче линейного программиро-
вания.
Пусть имеется J видов противотанковых снарядов,
долю их в системе шЬрядов обозначим через xjt j =
= 1, ..., пУ xj= 1. Противник использует i типов тан-
ков (отличающихся броней). Известна вероятность пора-
жения /-го типа брони /-м видом снаряда Pij. Допуская
случайное использование снарядов в долях Xj, напишем
выражение для математического ожидания числа поражен-
ных танков с /-й маркой брони в виде
(Mi — РiiX} ... " |” Рin^ni I — 11 • • •» (8)
332
Обозначим min -JCt — V. Тогда задачей будет отыскание
максимального значения V, т. е. определение шах {min М_,}.
Точнее, максимизировать форму S = V при условиях
п
2 j=l, п, (9)
j=i
+ - • --VPinXn^V, z = l, ..tn, (10)
Введем обозначение yj = ~. Тогда в терминах линей-
ного программирования получим задачу: максимизировать
& — Di • • • Л~Уп (И)
при условиях
PiiDi. “И • • • ~F PinDn 1 > t = 1, ..tn, 1 (12)
г/j^O, /= 1, ..п. J
Таким образом, представляется возможным задачи
теории игр решать методами линейного программирова-
ния (подробности см. в гл. 7).
Пример 2. Пусть рассматривается три вида снарядов (п=3) и
три типа брони (т=3). Соотношения (10) для математических ожи-
даний чисел пораженных танков будут иметь вид
Xi + х2 + Зх3 > V,'
Xi + Зх2 + 2х3> V, >
3xj + 2х2 + 2х8 > V,
Требуется сформулировать и решить задачу линейного програм-
мирования.
Решение. На основании соотношений (11). и (12) устанавли-
ваем, что задачей линейного программирования будет минимизация
формы5С=(/14-«/2+^з при условиях:
У1 + У 2 + 3z/8 1,
yi + Зх/а + 2Уз h
3f/i 4" 2//г + 2г/8 1,
. ...3.
1 2 4 15
Решив задачу, найдем у = jg, у2 = jg, у3 = ур V=y. Отсюда
получим оптимальное соотношение для типов снарядов:
1 2 4
Г. . r«=—. Jk% = —.
333
3. Постановка задачи нелинейного
программирования
Наряду с задачей линейного программирования
практического разрешения потребовали вопросы, кото-
рые в более общей постановке сводятся к нахождению
экстремума нелинейного функционала, а иногда даже и
к нелинейным ограничениям. Так, например, задача
выбора системы вооружения может быть сформулиро-
вана так. Рассматривается система из п типов, каждый
из которых содержит Xj комплексов. (/=1,2, ..., /г). Из-
вестны затраты аг;- z-го вида ресурсов на один комплекс
/-го типа. Суммарные затраты /-ресурсов по всем /-ти-
пам вооружения являются линейными функциями Xj и
ограничены определенными величинами &г-. Эффектив-
ность системы характеризуется нелинейной функцией
числа комплексов f(x\, х2, ..., хп). Требуется найти та-
кое количество комплексов (х;>0), чтобы система дава-
ла максимальную эффективность. Эту задачу можно
записать так: найти максимум функции
/тах=Н*^1> ^2, • • •> Хп)
при. ограничениях
т п
У, £ ацх,<Ьг,
1=1 j=\
где
/= 1, 2, ..., т, j— 1, 2, ..., п.
Другими задачами нелинейного программирования
являются задачи оптимального целераспределения для
ПВО, разработка планов налета авиации на объекты и
др. [19, 84]. Все эти задачи можно решить приближенно,
если свести их к задаче линейного программирования.
§ 5.2. СИМПЛЕКС-МЕТОД В ЛИНЕЙНОМ
ПРОГРАММИРОВАНИИ
Симплекс-метод (метод последовательного улучше-
ния плана) является одним из основных методов реше-
ния задач линейного программирования любой размер-
ности. Некоторые модификации этого метода позволили
334
решать задачи выпуклого нелинейного программирова-
ния. Решение задач линейного и квадратичного про-
граммирования достигается за конечное число этапов
улучшения (итераций) начального решения. Последняя
итерация дает точное решение.
А. Необходимые сведения из линейной алгебры
Система векторов Ah ..., Ап считается линейно-не-
зависимой, если равенство
«1А1+ ... +anAn = 0 (1)
возможно лишь при условии «1= ... =ап = 0.
Так, например, система векторов
линейно независима, потому что равенство (1)
или
аг1 +0 = 0, |
0 + а2-1=0 J
возможно лишь При а1 = а2 = 0.
Система п линейно независимых векторов п-мерного
пространства называется базисом этого пространства.
Любая система п+1 векторов п-мерного пространства
будет линейно зависимой.
Напишем условие (1) для случая трех двумерных
векторов
/^з\
I 0 I +* a21 1 I a31 2 I = 0
X1Z '0/ \i’/
или
0 + a2 + 2a3 = 0, a2 = —2a3, |
0 + <x? = 0, a^ = — ar J
335
Приняв аз=а, получим «2 =—2а, си = —а, т. е. аг=/=0.
Легко проверить, что любые два из них независимы и
могут быть приняты в качестве базисных. Третий вектор
может быть выражен через базисные. Так, приняв век-
торы Xi и А2 за базис, можно написать разложение по
ним вектора А3:
Геометрически очевидно, что два одномерных век-
тора А=а и В = в линейно зависимы, один из них, на-
пример, можно принять за базисный, а другой выразить
через него (a=kb, где % некоторая постоянная вели-
чина).
Если дано несколько двумерных векторов п>2 на
плоскости, то, приняв два из них, не совпадающие по
направлению, за базисные, можно остальные п—2 векто-
ра выразить через базисные. Обобщая, можно сказать
так: всякий вектор n-мерного пространства можно раз-
ложить, и притом единственном образом, по векторам
базиса. Однако не всегда можно выбрать «-мерный ба-
зис «-мерного пространства. Система « векторов будет
составлять базис, т. е. будет независимой лишь в том
случае, когда определитель, составленный из компонент
(координат) векторов, будет отличен от нуля. Так, на-
пример, трехмерные векторы
линейно зависимы, так как равен нулю определитель,
составленный из их компонент:
1 2 1
А
А
2 0 =0.
2 0
(2)
Однако подсистемы, состоящие из векторов Aj и А3 или
А2 и Д3, будут независимы, что легко установить на ос-
336
нове соотношения (1). В детерминанте (2) можно найти
хотя бы один минор второго порядка, отличный от ну-
ля, который можно получить, например, вычеркнув пер-
вый столбец и последнюю строку. В таком случае го-
ворят, что матрица А, составленная из компонент век-
торов Ai и А2, имеет ранг 2.
Таким образом, ранг системы векторов Ai, А2 нА-i ра-
вен числу векторов в независимой подсистеме (Ль А$
или Л2, Л3), или, что то же самое, рангу матрицы А.
Рангом матрицы называется минор наибольшего поряд-
ка, отличный от нуля.
Рассмотрим теперь вопросы, связанные с решением
систем уравнений. Пусть дана система m уравнений с п
неизвестными
Д1Л 4~ • • • “F ашхп — bi,
(3)
где Лх, ..., Ап, В — матрицы-столбцы (вёктор-столбцы).
Составим матрицы
где V—расширенная, матрица системы (3).
Решение системы линейных уравнений (3) можно
найти лишь в том случае, когда они совместны. Для
совместимости системы необходимо и достаточно, чтобы
ранг матрицы А был равен рангу матрицы V.
Отметим важные положения. Так, если ранг совмест-
ной системы равен числу неизвестных, то система име-
ет единственное решение и задача программирования не
22—343 337
возникает. Если же ранг системы г меньше числа неиз-
вестных п, то система имеет бесчисленное множество
решений. При этом г неизвестных, называемых базис-
ными, линейно выражаются через п—г свободных не-
известных.
Пример 1. Исследовать систему
*1—Хг + аг3 + 2х4 = 1, 1
3xi + 4х2 + х3 — х4 = 5. J
Решение. Составим матрицы
/1 —1 1 2\
А~ \3 4 1 —J’
/1—11 2 1 \
\3 4 1—15/
В матрице А есть по крайней
матрицы из 3-го и 4-го столбцов),
мере один минор
не равный нулю
2 II
= 11. Следовательно,
—J. 51
(определитель
1 2
1—1
= —3.
Не равен нулю также минор матрицы V
ранг гА матрицы А и ранг гу матрицы V равны и гА — гу = 2.
В качестве свободных неизвестных выберем х3 и х4, а в качестве
базисных Xi и х2. Для выражения базисных неизвестных через
свободные получим систему
хх — х2 = 1 — х3 — 2х4»
3xi -j- 4х2 === 5 — х3 -|— х4,
решив которую, найдем бесчисленное множество решений
1
Xi = у (9 — 5х3 — 7х4),
х2 = ? (2 + 2х3 + 7х4).
Б. Каноническая форма задачи
линейного программирования
Для решения симплекс-методом задачи линей-
ного программирования ограничивающие условия зада-
чи приводятся к каноническому виду. Рассмотрим ос-
новные случаи.
К первому случаю отнесем задачу, когда ограниче-
ния заданы в форме неравенств (5.1.2), т. е. требуется
338
максимизировать форму= c1Xi + ... + спхп при ограни-
чениях
4“ • • • ~F ^i,
И
л\>0. ..., лп>0.
Для представления задачи в канонической форме
в условия (4) введем так называемые слабые, или уравни-
вающие, неотрицательные переменные и отбросим знаки
неравенств. Так, в первую строку введем xn+i,..., в т-ю
строку хп+т. В результате получим
^11*^1 “4"* * * * 4’” ^1 тгХп ~|~ 1 ---Ьц
^21*^1 4” • • • + ^271^71 4~ Хп + 2 — ^2>
^7П1^1 + • • • 4” ^7П71^71 4" ^Ti^m---------"ТЛ
И
Х^ 0, . . ., Хп 0, Хп + J 0 . . ХП-^.т
(49
Матрица А дополнится т вектор-столбцами Лп+1, . ..
..Ап+т, т. е. единичной подматрицей порядка тут,
в результате будем иметь
(Ян .. . а1П
........
dmi • • • dmn
(5)
Пример 2. Даны ограничения в задаче максимизации формы
в виде:
£f. — 30xi -|- 40Хг ~F 42x3 -F ЗОХ4,
3xi + 5x2 + 7x3 + IOX4 200,
10Xi 8x2 -|“ 6x3 -j- ЗХ4 100, *
(5')
22*
339
Составить матрицу условий в канонической форме.
Решение. Вводя слабые переменные, условия (5') можно
записать в форме
3xi 4“ 5х2 4~ 7х3 -|” 10х4 4“ -^5 — 200,
10X14~ Вхг 4" Охз 4” 8x4 4” xe==: loo,
Х1 > О, . . ., х4 > О, х5 > 0, хб 0.
Матрица условий примет вид
(6)
(Д Аг Аг А4 A^ А$ \
3 5 7 10 1 0 I. (6')
10 8 6 3 0 1 /
Форма S не изменится, так как полагают £5 = Сб=0-
Рассмотрим другой случай, когда в системе ограни-
чений (4) знаки неравенств изменяются на противопо-
ложные. Тогда, очевидно, перед слабыми переменными
Хп+ь . •хп+т системы, аналогичной (4), появится знак
минус. Единичная подматрица в составе (5) получит
знак минус.
Пример 3. В задаче минимизации формы
£ = Х14-*24-*з
даны условия в виде:
(7)
7х2 4- *з > 1»
7X1 + 5х2 4- 4х3 1,
10х 1 4“ 4х2 4- Зхз 1,
3xi 4- 4” 1,
Xi>0, х2>0, х3^0.
(8)
Требуется составить матрицу условий в канонической форме.
Решений. Используя слабые переменные, систему (8) можно
представить в виде:
7х2 4- х8 — х4
7xi 4- 5х2 + 4х8 — х5
lOxi 4” 4х2 4“ 8x3 — хв
3X14~ 4~2хз — х7
Xi > 0, . .., X, > 0, х4^= 0, . . .,
= 1,
= 1,
= 1,
= 1,
х7>0.
(9)
340
0 \
0 . (9')
° /
—1 '
в ограничениях
смысла. Анало-
Матрица условий примет вид
>11 А2 А3 • А4 А6 А6
/ 0 7 1 . —1 О О
Л = | 7 5 4 . 0 —1 О
1 10 4 3.0 О —1
' 3 0 2.0 О О
Наконец, может быть случай, когда
(4) содержатся неравенства различного
гично рассмотренному вводятся слабые переменные с со-
ответствующими знаками.
Заметим, что возможны случаи, когда в первона-
чальной постановке задачи число переменных xit входя-
щих в состав линейной формы, основных ограничений
или условий неотрицательности, будет неодинаковым.
Тогда после введения слабых переменных необходимы
дополнительные преобразования.
Пример 4. В задаче максимизации формы ££ = Х1+х24-схз даны
условия в виде:
— 2xi -j- х. 4“ -Xз 4“ 4X4 = 4,
Xi — 2х2 4- х3 —3х4 = 3,
Xi 4~ х2 — 2х3 4~ 2X4 2,
Xi 4- х2 — 2х4 — 4х4< 1,
х4 0,
требуется привести задачу к канонической форме.
Решение. Выражая Xi и х2 через остальные переменные и пе-
реходя от неравенств к равенствам, получаем:
^ = -7 + (2 + с)х, + х<,
Зх4 + х6 = 9,
— Зх4 + х, = 8,
х45=0, х5>0, х,>0.
Здесь на Хз не наложено ограничений. Для того чтобы задача
имела смысл, необходимо равенство х3=0, для чего следует поло-
жить величину с=2. Тогда задача примет каноническую форму.
В. Симплекс-метод линейного
программирования
Геометрически симплекс-метод заключается в парал-
лельном перемещении гиперплоскости (см. § 5.1) от од-
341
йой вершийы мйогограййика допустимых решений к дру-
гой, смежной. При этом значение линейной формы долж-
но увеличиваться при отыскании максимума и умень-
шаться при определении минимума до тех пор, пока не
будет найден экстремум формы.
Вектор решений, отвечающий вершине многогранни-
ка, называют опорным планом, оптимальное решение —
оптимальным планом. Процессу перемещения гипер-
плоскости от начального плана к оптимальному соот-
ветствует вычислительный алгоритм последовательного
улучшения плана (решения).
Задача программирования в канонической форме
ставится так: найти вектор решения X, который удов-
летворяет условиям
Х1Д1 + - • .+ хпДп = В, Xj^O, j—1, ..., п
и максимизирует
S = V CjXj.
f=i
(Ю)
Пусть найдено такое решение, что т компонент (v =
= 1, .. ., пг) вектора X являются коэффициентами при
базисйых векторах Av, а остальные п—т компонент равны
нулю. Тогда будем иметь
т
О»
У=1
т
(12)
V=1
Решение X (л\, ..., хт, 0, ... 0) называется базисным.
Выбор первоначального, исходного базиса будет рассмот-
рен ниже на примерах. Вообще же базис /n-мерного про-
странства образует независимые векторы Дг Через них
могут быть выражены остальные п—пг векторов Д/.
т
А^Уа.А, (13)
342
Значение линейной формы J?=Z0, как правило, не
может быть с первого шага оптимальным. С целью
максимизации значения формы делается замена одного
из базисных векторов Д другим Аг из числа А, т. е. пе-
реходят к новому базису. Можно убедиться, что возмож-
на замена, приводящая к возрастанию значения 5?.
Представляя выражение (11) в виде
т
где АГ = А,Г, и заменяя Аг по формуле (13), т. е. полагая
т
АГ = У' atrA4, получаем
V—1
т
В = % (Л -9а,г)Л, + 0Лг. (14)
V=1
Для получения решения нужно, чтобы коэффициенты
при векторах нового базиса были неотрицательными, т. е.
— 6avr>0 и 0>О.
Вместо формы (12) будем иметь
т / tn
^01= J] ® I S Cr
V=1 \v = l
Учитывая [см. (13)], что
Xi =
(15)
и формулу (12), окончательно находим новое значение
формы
ZOi = Zo — 0(^Jr — Сзг)> (16)
В результате возможны три случая:
1) Zjr — Cjr>0 Для некоторого / и < 0 для всех v,
тогда шах <2! есть бесконечность;
2) Zjr—для всех /=1, ..., п, в этом случае
получено оптимальное решение;
34?
3) Zjr — Cjr > 0 для некоторого jr и ачг > 0 для неко-
торого v, в этом случае решение незакончено.,'
Необходимо заменить один из векторов базиса новым
вектором так, чтобы получить увеличение формы (16).
Очевидно, таким новым вектором из совокупности До-
будет вектор Aj=k, для которого
(Zh—eh) = max(Zj — Cj). (17)
Заметим, что при максимизации линейной формы в усло-
виях (1), (3) и в формуле (17) необходимо величины с, и Zj
поменять местами. После этого находится вектор Alt под-
лежащий исключению из базиса. Замена вектора Ai век-
тором Ah осуществляется в результате выбора
а т:„ х‘
0= пип —= —
avk atk
(18)
по всем V, для которых ачк >• 0.
Пример 5. Продолжим рассмотрение примера 2 задачи макси-
мизации с ограничениями (6) и матрицей (6'). В состав последней
входят два единичных независимых вектооа As и А$. Следовательно,
( 200 \
ранг А равен двум. Расширенная матрица за счет вектора юо 1
имеет тот же ранг. Значит, система (6) совместна. Требуется ре-
шит эту задачу симплекс-методом.
Решение. В качестве исходного базиса целесообразно ис-
пользовать единичные векторы As и Аб. Найдем базисное решение,
т. е. векторы Aj и В представим в виде (13) и (11) соответственно.
Коэффициенты разложений по базисным векторам можно найти,
рассматривая соотношения (13) и (11) в качестве уравнений. На-
пример, для вектора Aj будем иметь систему уравнений для коэффи-
циентов
Ai А5 А6
/3\ / 1 \ , /0\
GorMJM J (19)
ИЛИ
3 === Л51 -J- 0,1
10 = 0 4- лв1, /
Решая ее, находим asi=3, a6i=10.
Как видно из разложения по единичным векторам,
коэффициенты совпадают со значениями компонент са-
344
мого вектора. Ниже, в таблице первой итерации, коэф-
фициенты разложений векторов Aj составляют две стро-
ки на уровне v=4 и 2.
Так как удобно задачу максимизации формы S? рас-
сматривать как задачу отыскания ее минимума, то перед
коэффициентами Cj нужно поставить знак минус.
ПЕРВАЯ ИТЕРАЦИЯ
(*)
V Базис cv ci —30 —40 —42 -30 0 0
Ло Ai=t Лз Л< Л» л.
1 ^5 0 200 3 5 7 10 1 0
2 А, 0 100 10 8 6 3 0 1
3 -С, 0 30 40 1 04 I Н I 30 0 0
В последнюю строку таблицы помещают рассчитанные
2
значения разностей z'} — с$, где ^=7^. сг Анализ
У=1
их указывает на необходимость улучшения опорного плана
(решения) Ав. Затем отыскивают максимальное значение
этой разности и соответствующий максимуму индекс век-
тора Ak, подлежащего включению в новый базис. Найдем
Ak = A3 (столбец k).
Найдем теперь вектор, подлежащий исключению из
базиса. Умножая вектор А3 на число 0 и вычитая из
вектора Ао (в данном случае равного вектору В), полу-
чаем
До = 2ООА, + 100 А,
вл, = 70Л6 + 60Л«
Л. = 6Л3 + (200 —70)Л6 + (100 —60) Л. •
(20)
Находим далее
а т;„/200 100\ 100 /оп
0 = min ,-g-j =-g-. (21)
После подстановки 0 в уравнение для Ао найдем, что
Ae = -g- As-f--g- At, а исчезнувший вектор Ав подлежит
345
исключению. Приняв в качестве базисных векФоры Д3 и Лб,
продолжают итерации до получения оптимального реше-
ния (если оно существует). При большом числе базисных
векторов определение коэффициентов разложения „в лоба
путем решения уравнения (19) чрезвычайно громоздко.
Поэтому целесообразно применять следующий прием опре-
деления значений 6 и коэффициентов разложения векторов.
После того как найден вектор Ak и отмечен соответ-
ствующий (k) столбец таблицы, значение 6 находят из
соотношения
0=min—=— (22)
aiK
для всех a>)k > 0, где хч — элемент опорного плана (в стол-
бце До), I — индекс v-й строки, на пересечении которой
с k-м столбцом находится элемент a/ft, а со столбцом
До — элемент хг. В данной итерации 6 дано формулой (21).
Заметим, что если все alk < 0, то форма <S£ неограничена.
После этого все элементы следующей таблицы ите-
рации определяются по формулам
= при V=£l
a’ei=-^- при v=/,
е’ atl>. r
(23)
при этом для общности положено
^•,==^,0> Z0 = <Zm+lt0, =
Учтя, что в рассматриваемой задаче k=Q, 1=2, а=6,
в результате преобразований (23) получим последо-
ВТОРАЯ ИТЕРАЦИЯ
(*)
л0 At л, Аз л4 Аз Аз
1 А, 42 100/6 10/6 8/6 1 1/2 0 1/6
2 * As 0 500/6 —52/6 —26/6 0 13/2 1 -7/6
3 . —700 —40 —16 0 9 0 —7
346
вательно таблицы 2-й и 3-й итераций (строки Cj не при-
водятся, см. первую итерацию).
ТРЕТЬЯ ИТЕРАЦИЯ
cv Ао At 4* А< А» Ав
1 2 3 А3 А4 42 30 400/39 500/39 ^—815 91/39 —52/39 —28 5/3 —2/3 —10 1 0 0 0 1 0 —1/13 2/13 —18/13 10/39 —7/39 —70/13
В 3-й строке таблицы 3-й итерации все элементы
столбцов /—4, 4 отрицательны. Это значит, что най-
ден оптимум.
Таким образом, в результате решения найдем
шах£ ~ 815, х3 = ~=10,2, х4 = ^=12,8,
= х2 = 0.
В задаче, когда матрица условий не содержит еди-
ничных векторов или их число меньше ранга матрицы,
обычно решение достаточно быстро достигается изло-
женным методом. Однако, для того чтобы избежать
первоначального выбора недопустимых векторов, целе-
сообразно использовать искусственный базис из единич-
ных векторов.
При решении задачи симплекс-методом в этом слу-
чае:
— матрица А расширяется за счет прибавления т
единичных векторов-столбцов,
— линейная форма дополняется т членами вида
w-xn+v, v=l, ..., т, где W — произвольное число,
— для исходного плана используются соотношения
т т
Zi = av.Zo - W У 6 ,
V = 1 V=1
— в таблице итерации вместо (m+1) строк будет
(т+2) строки, при этом в (т+1)-ю и (яг+2)-ю строки
347
вписывают коэффициенты разности (Zj—Cj) при 1 и w
соответственно. Критериальной является (т+2)-я
строка.
Проследим особенности решения задачи с искусст-
венным базисом на примере составления таблиц по дан-
ным примера 3 для задачи минимизации формы (7)
с ограничениями (9) и матрицей (9').
ПЕРВАЯ ИТЕРАЦИЯ
(Л)
V Ба- зис Су 2l Л. 1 1 1 0 0 0 0 vr 1F U7 W
Ai Аа А3 Л4 А» Ав Л7 As Ав Aio Ац
1 А, W 1 0 7 1 —1 0 0 0 1 0 0 0
2 А, W 1 7 5 4 0 —1 0 0 0 1 0 0
3 Аю W 1 [iol 4 3 0 0 —1 0 0 0 1 0
4 Ai W 1 3 0 2 0 0 0 —1 0 0 0 1
5 0 —1 —1 —1 0 0 0 0 0 0 0 0
6 4 20 16 10 —1 —1 —1 —1 0 0 0 0
Столбец k определяется по максимуму (m +2)-й стро-
ки, затем на основе соотношения (22) устанавливается
/-я строка. Целью последующих итераций является ис-
ключение величины W, Установив индекс столбца k и
строки I и зная генеральный элемент = 10, на основе
уже известных преобразований (23) составим следую-
щую таблицу.
В результате 7 итераций из базиса оптимального ре-
шения исключаются все искусственные векторы. Судя
по последней строке, все ее члены до 7-го столбца
включительно являются неположительными, и, значит,
оптимум достигнут.
Решение, min <2 =10/21, Xi=7/21, х2=3/21, с3=0. Заметим,
что по мере исключения из базиса искусственных векторов (А8—Аи)
их элементы можно не вносить в симплекс-таблицу, во всяком слу-
чае, не» учитывать их при оценке по мере исключения из базиса.
Рассмотренная задача является характерной для альтернатив-
ных решений. Ее результаты будут использованы « гл. 6 при выборе
оптимальной системы радиопротиводействия.
348
ВТОРАЯ ИТЕРАЦИЯ
cv ci 1 1 1 0 0 0 0 W W W
Ао Ая А3 а< As As а7 Аз а9 Аю Ац
1 Аа W 1 0 7 1 —1 0 0 0 1 0 0 0
2 А» W 3/10 0 Т22/16] 19/10 0 —1 7/10 0 0 1 —7/10 0
3 Лю 1 1/10 1 4/10 3/10 0 0 — 1/10 0 0 0 1/10 0
4 Ац W 7/10 0 12/10 11/10 0 0 3/10 —1 0 0 —3/10 1
5 1/10 0 —6/10 —7/10 0 0 — 1/10 0 0 0 1/10 0
6 2 - 0 8 4 —1 —1 1 —1 0 0 —2 0
СЕДЬМАЯ ИТЕРАЦИЯ
(k)
Ао Ах >11 А8 а4 As Ав А? а8 а9 Аю Ац
1 Л5 0 9/21 0 0 29/21 — 10/4 1 0 —49/21 10/14 —1 0 49/21
2 Лг 1 3/21 0 1 3/21 —2/14 0 0 0 2/14 0 0 0
3 А, 1 7/21 1 0 14/21 0 0 0 —7/21 0 0 0 7/21
4 Лб 0 61/21 0 0 89/21 —8/14 0 1 —70/21 8/14 0 —1 70/21
5 10/21 0 0 —4/21 —2/14 0 0 —7/21 2/14 0 0 7/21
6 0 0 0 0 0 0 0 0 —1 —1 —1 —1
§ 5.3. ПРИНЦИП МАКСИМУМА.
ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ
Для большинства практических задач характерны
ограничения на управления, координаты и параметры
рассматриваемой системы. Эти ограничения определя-
ются конструктивными и техническими возможностями
осуществления данной системы, удобством ее использо-
вания, соображениями экономического свойства, взаимо-
связью с внешней средой и многими другими.
Так технические и конструктивные возможности
не позволяют создать ракету с бесконечно большим се-
кундным расходом топлива. Длина ракеты может лими-
тироваться удобством ее перевозки и запуска. Количе-
ство средств для выполнения задачи боевой единицей
может быть ограниченным.
Ряд ограничений может быть связан с некоторой ло-
кальностью решаемой задачи. Так, с точки зрения
управления нецелесообразно иметь большие углы атаки.
В принципе, решая более общую (и соответствен-
но более сложную) задачу, можно было бы не вводить
этого ограничения и, анализируя одновременно с реше-
нием основной задачи устойчивость и управляемость
системы, получить нужный результат. Таким образом,
ограничения могут представлять собой информацию,
полученную в результате некоторых предварительных
исследований различных свойств системы. Ясно, что на-
кладываемые ограничения должны быть достаточно хо-
рошо обоснованы с той точки зрения, чтобы, не исклю-
чая заранее физически реальных направлений, сделать
задачу достаточно приемлемой для решения.
Математическая теория оптимальных процессов по-
зволяет решать широкий круг задач исследования опе-
раций, связанных с динамическими системами, когда
имеют место ограничения в виде неравенств на управ-
ления и координаты системы. Динамическими называ-
ваются системы, состояние которых описывается обык-
новенными дифференциальными уравнениями. В каче-
стве примеров динамических процессов можно привести
перехват воздушной цели ЗУР, маневр самолета против
средств ПВО противника, динамику боя (например, со-
гласно уравнениям Ланчестера) и т. д. Отсюда ясно,
что круг задач, решаемых методами математической
теории оптимальных процессов, исключительно широк.
350
А. Область управлений
Принцип максимума развит применительно к зада-
чам оптимизации процессов управления объектами, со-
стояние которых описывается системами обыкновенных
дифференциальных уравнений
•••, Хп\ ^1, • ••, иг), /=1, /г,
где Xi — величины, характеризующие состояние объекта
в пространстве и времени, которые называют фазовыми
координатами.
Ими могут быть, например, скорость, высота и даль-
ность полета снаряда, различного рода ускорения (пе-
регрузки) и т. д. Таким образом, состояние объекта ха-
рактеризуется вектором состояния, определяемого фа^
зовыми координатами или фазовым вектором Х=
= (*i, ..., Хп). Множество значений (координат) таких
векторов принадлежит к так называемому фазовому
пространству п измерений Фп, Щ — управляющие воз-
действия на процесс (управления) /=1, ..., г. Это, на-
пример, угол поворота рулей, сила тяги двигателя и т. д.
Различные управления можно рассматривать как
компоненты вектора управления
U = (ulf ..., иг).
Значения вектора U принадлежат некоторой области
допустимого управления Qu. Характерно, что в задачах
теории оптимальных управляемых процессов область
управления является ограниченной и замкнутой. Об-
ласть называется [124] замкнутой, если она содержит,
кроме внутренних, все ее граничные точки.
Если точка U и другие точки в ее 8-окрестности
(сферы радиусом 8>0 с центром в точке U) принадле-
жат области Qu, то точка U называется внутренней точ-
кой области. Если же в окрестности U содержатся на-
ряду с точками области Qu и точки, не принадлежащие
к ней, то точка U является граничной точкой области.
Далее, если найдется число С, не зависящее от точки U,
такое, что |t/|<C, и это условие выполняется для всех
точек U области Qu, то говорят, что область ограничена.
351
Итак, в задачах оптимизации управляемых процес-
сов область управления является замкнутой и ограни-
ченной.
Чтобы избежать ограничений в форме неравенств
при использовании классических методов оптимизации,
применяются различного рода искусственные приемы
[125], например, ограничение |t/j|<t/max аппроксими-
руется функцией <pj=|t/max sin Vj и т. д. [43]. Однако это
удается лишь для незначительного числа довольно про-
стых задач и приводит к большим вычислитель-
ным трудностям. Кроме того, такая аппроксимация ис-
ходит из предположения, что параметр управления
изменяется непрерывно, а его граничные значения не
играют существенной роли. При управлении ракетами
это допущение не может быть принято. Поэтому прин-
цип максимума, предполагающий, что на область управ-
ления Qu могут быть наложены ограничения в форме
неравенств, является значительно более эффективным
методом исследования таких процессов.
Б. Постановка задачи
Пусть закон движения объекта и воздействия управ-
лений на это движение задан в виде системы диффе-
ренциальных уравнений (1) или в векторной форме
X = F(x, и). (1)
Заметим, что системой (1) характеризуется состоя-
ние автономного объекта (процесса), когда правые ча-
сти уравнений явно не зависят от времени. Неавтоном-
ную систему можно привести к автономной, если ввести
вспомогательную переменную xn+l = t. Тогда система
(1) примет вид
— ft (х1г . . ., Хп, Ult • . Ur', Xn.,.,), i — 1, ..., п, (1f)
Хп+1 -— 1 •
При заданном законе управления, т. е. когда выбра-
но некоторое допустимое управление u=u(t) на некото-
ром отрезке правая часть уравнения (1) при-
нимает вид F=F[x(t), и(/)]. К классу допустимых отно-
352
сятся управления, представляющие собой кусочно-глад-
кие кривые, имеющие конечное число точек разрыва.
Решение уравнения при любых начальных условиях
Х° = Х(/0) определяет закон движения объекта, как со-
ответствующий управлению. В этом случае говорят, что
допустимое управление и(£) переводит фазовую точку
из положения Х° в положение Хт, соответствующее ко-
нечному моменту /=7’>/0.
Пусть в фазовом пространстве даны точки Х°, X1 и
задана функция /0(х, и), определенная и непрерывная
вместе с частными производными f'ox. (/=1, ..., п) на
всем пространстве, являющемся общей частью областей
Фп и Qu. Требуется среди всех допустимых управлений
и('/), переводящих фазовую точку из положения XQ в
положение Хт, найти такое, для которого функционал
(2)
‘о
принимает минимальное значение.
Так как при фиксированных XQ и Хт время tQ и Т не
фиксировано, то сформулированная задача является
задачей с незакрепленным временем. Управление
u(t) =[(«1 (/), ..., ur(t)], обусловившее минимум функ-
ционала /, называется оптимальным, соответствующая
траектория X(t) =[х1 (£), ..., хп(/)] — оптимальной тра-
екторией.
Функционал J может иметь различную форму при
указанных выше условиях для подынтегральной функ-
ции.
Одним из обобщений функционала, как это имеет
место в функционале Больца, будет включение в его со-
став функции значений х в крайних точках траектории
J=h[x°, V,P1 + PO Jfo[x(0, (2')
/о
где Ро и Р = (РО ..Рп) — параметры;
h — обозначение функции.
Заметим, что пока эта задача решается для про-
стейших случаев [91], когда параметры Р, Ро представ-
ляют собой весовые коэффициенты.
23—343 353
Из автономности управления вытекает, что при сдви-
ге управления вдоль оси t оно не меняется.
Далее, если дана конечная система точек х°,
лгь ..., Xk и если существует управление пг-, переводящее
каждую фазовую точку из положения в положение
хг и придающее функционалу (2) значение Л, то су-
ществует управление и, переводящее фазовую точку из
положения х° в положение хк и придающее функциона-
лу значение J =Ji + ... +Л. При этом в точках
... <tk возможны разрывы управления первого
рода, т. е. такие, при которых функция управления
u(t) имеет конечный предел.
В каждом из интервалов между разрывами кусок
оптимальной траектории будет оптимальным. Объеди-
нение разрывных управлений в классических задачах
невозможно.
В. Сущность принципа максимума
Принцип максимума является необходимым услови-
ем существования частного оптимума для неклассиче-
ских задач и позволяет получить систему уравнений для
решения задачи оптимизации. В соответствии с принци-
пом максимума, который будет формулироваться ниже,
при определении экстремума функционала необходимо
составить вспомогательную функцию типа функции Га-
мильтона в виде
п
(Т, и, х) = £ (х, и)+м0 (х, и). (3)
Здесь Чг=(ф0, фь ..., фп)—вспомогательный (при-
соединенный) (п+1)-мерный вектор,
/о(х, и)—подынтегральное выражение функционала,
рассматриваемое как дополнительная к вектору F=
= (f\, •••> fп) компонента. Она получается в результате
дифференцирования соотношения, представляющего «те-
кущее» значение функционала
t
Л = ро (Л> «) dt
/о
(4)
354
и принятого в качестве (п+1)-й координаты фазового
состояния. Дифференцируя выражение (4) по t, полу-
чаем
Л = /»(•*. «)• (5)
Взяв частные производные функции SB, получим ка-.
ионическую сопряженную (гамильтонову) систему урав-
нений
= »=0. 1- 2......п, (6)
, *'==0, 1, 2, .... /г. (7)
CfXi
Пусть выбрано допустимое управление u(t),
<Т), ему соответствует полученная в результате реше-
ния системы (6) фазовая траектория x(t) с начальным
условием х(/0)=х°. Тогда в систему (7) можно подста-
вить значения х = х(/) и u = u(t) и получить систему
/=0'1......." <»)
1=0
Система (8) линейна и однородна, поэтому при любых
начальных условиях ф° = (ф° , ф°) допускает
единственное решение ф = (ф0, фп ..фп), определенное
на всем отрезке [/0, Г].
Решение системы (8) является решением системы
(7), соответствующим выбранному управлению u(t).
Таким образом, для каждого произвольного допустимо-
го управления решение систем (6) и (8) дает непре-
рывные функции x(t) и u(t), имеющие всюду, за исклю-
чением конечного числа точек, непрерывные производ-
ные по t. При фиксированных значениях ф и х функция
SB будет функцией параметров и.
Если при каком-то значении и*(/), принадлежащем
области Qu, достигается верхняя грань (обозначаемая
символом sup) значений функции SB,
М (ф, x) = sups%?(<|>, и*)>
то Л4(ф, х) является максимумом значений S& при
фиксированных значениях ф и х,
23* 355
Принцип максимума определяет условия оптимально-
сти, а именно, управление u(t) и траектория’x(t) будут
оптимальными (в смысле обеспечения минимума функ-
ционалу/), если существует такая ненулевая вектор-
функция ф(/), соответствующая вектор-функциям u(t)
и x(t), что:
а) для любого /, принадлежащего отрезку [/0, Т],
функция SB [ф(0> переменного и из области до-
пустимых управлений Qw достигает в фиксированной
точке w = u*(Z) максимума
ЖО. X (/)];
б) в конечный момент t = T выполняются соотноше-
ния
фо(Л=О, М[ф(Т), х(Г)] = 0.
Если величины ф(/), х(й), u(i) удовлетворяют га-
мильтоновой системе уравнений, то соотношения б) вы-
полняются для любого момента времени /.
Решение системы (6) и (7) зависит от 2п + 2 пара-
метров (постоянных интегрирования). Так как функция
ф(/) определена с точностью до общего множителя,
а функция SB однородна относительно ф, то один из па-
раметров является несущественным. Очевидно, что для
определения одного из параметров можно использовать
условие б) для момента Таким образом, решение
гамильтоновой системы зависит от 2 постоянных интег-
рирования, определяемых из краевых условий. Значит,
минимум функционала обеспечивается максимумом фун-
кции ей?- Расчеты проводят примерно в такой последо-
вательности. Сначала составляют функцию SB- Затем,
задавшись на одном из концов траектории недостающи-
ми начальными условиями, решают совместно систему
(5), (8), выбирая управления на каждом шаге из усло-
вия тах($?. Полученные конечные значения сопоставля-
ются с заданными и цель дальнейших расчетов состоит
в нахождении поправок к начальным приближенным
значениям, минимизирующих величины отклонений рас-
считанных конечных значений от заданных [122].
Могут быть и другие пути решения, важно лишь, что-
бы в результате удовлетворялись условия а) и б).
356
Г. Задача на оптимальное быстродействие
Рассмотрим задачу, когда управление должно обес-
печить минимальное время перемещения фазовой точки
яз состояния Х° в состояние Хт. Применительно, напри-
мер, к полету ракеты — это задача отыскания траекто-
рии с минимальным временем полета.
В этом случае будем иметь
J=T-tQ
и, следовательно, исходя из (2)
f0(x, и) = 1,
а исходя из (3)
«) + ф0. (9)
»=1
После этого гамильтонова система примет вид
п\ (10)
.п. (11)
Для получения оптимальных по быстродей-
ствию управления и траектории необходима такая
положительная непрерывная вектор-функция ф(/) =
=[ф!(/)...фп(^)1, соответствующая функциям «(,£) и
x(f), что:
а) функция для всех t, t9<t< 7" достигает в точке
u = u{t) максимума
да (О, х(0, «(0)=да(0, *(0Ь
где 7W(W, х) = Ж(ф, х) — Фо;
б) в конечный момент Т выполняется соотношение
МрГ(Г), х(Т)\ = — Ф0>0.
Если величины ф(/), x(t) и u(t) удовлетворяют га-
мильтоновой системе (10) и (И1) и условию а), то
= const, так что проверку соотношения б) мож-
но проводить в любой момент t.
Вопросы линейного оптимального быстродействия
детально разработаны в [61].
357
Д. Условие трансверсальности.
Задача с подвижными концами
При интегрировании гамильтоновой системы уравне-
ний (6) и (7) необходимые 2п постоянные определяют-
ся на основе так называемых краевых условий. Если
Рис. 5.3.1.
для моментов и Т заданы начальные и конечные зна-
чения фазовых точек х°(/0) и хт(Т), то задача на опти-
мум (как например, задача отыскания оптимальной тра-
ектории полета ракеты из неподвижной точки старта
в заданную точку пространства с фиксированными ко-
ординатами) называется задачей с закрепленными кон-
цами. Если один из концов свободен, т. е. не фиксиро-
ван, не закреплен, то возникает задача с одним закреп-
ленным, а другим подвижным концом. Например, в слу-
чае полета ЗУР из неподвижной точки старта в под-
вижную точку встречи с целью. Могут быть задачи, ко-
гда оба конца подвижны, т. е. когда подвижны точка
старта и точка встречи, например в случае стрельбы
самолета по самолету, танка по танку и т. д.
Концевые точки могут двигаться по заданным в про-
странстве траекториям (кривым) движения снаряда и
358
цели. Они могут также располагаться на различного
рода поверхностях или в ограниченных областях про-
странства (например, в области опасных разрывов,
см. гл. 1). В этом случае недостающие при интегриро-
вании гамильтоновой системы краевые условия опреде-
ляются из так называемых условий трансверсальности.
Пусть решается задача об экстремуме функционала
/, когда правая граница является подвижной и описы-
вается уравнением
?(А, ..., хп) = 0.
Можно построить семейство поверхностей, соответ-
ствующих равным значениям /. Тогда ясно, что экстре-
муму функционала J при подвижной правой границе
будет .соответствовать такая изоповерхность /= const,
которая касается ф.
В принципе возможны два случая — точки касания,
соответствующие минимуму функционала и макси-
муму л™ах (см. рис. 5.3.1).
В точке касания нормаль к поверхности <? и к изопо-
верхности J совпадают, что означает совпадение вектора
W и градиента <р
W(T)=gradf = (^......А).
откуда
,1Г-(Л = ^(< = 1.........п).
Это условие и называется условием трансверсальности.
Оно позволяет получить недостающие граничные усло-
вия.
Е. О методах решения вариационных задач на основе
достаточных условий абсолютного минимума
Интересными являются методы, разработанные на
основе достаточных условий абсолютного минимума
[139].
359
Рассматривается задача об абсолютном минимуме
функционала
у, u)dt-\-F (у„, yj.
О
Функции у1 (0, называемые фазовыми координатами,
непрерывны и обладают кусочно-непрерывной производ-
ной. Управления ui{t) непрерывны всюду, кроме конеч-
ного числа точек, где они могут иметь разрывы 1-го
рода. Вектор «(/) принадлежит заданному множеству
Q(t, у).
Имеет место система дифференциальных уравнений
y = f(t, у, и).
На множестве пар функций y(t), u(t) требуется найти
такую их последовательность, которая минимизировала
бы функционал.
В рассмотрение вводится функция <p(t, у), непрерыв-
ная при всех t и обладающая ограниченными непрерыв-
ными частными производными, и строятся функции:
Ф(Уо. = У1) — l/t) —?(0. У»),
R(t, у, = у, — у, +
p,(^) = sup7? (t, у, и),
где
ф = =
‘у ду ’ ‘ * dt ’
п
i=l 1
^ — эквиваленты функциям фг- принципа максимума;
Р — произвольная положительная постоянная.
Доказана следующая теорема: чтобы последователь-
ность у(t), и (/) минимизировала функционал 7, доста-
точно существования такой функции ф(/, у), что Л(/, у,
и) стремится к своей верхней границе, а Ф (уо, у\) —
к нижней границе.
360
Сформулированная здесь теорема носит название
принципа оптимальности, условия которого допускают
произвол в выборе функции <р(/, у). Этот произвол мо-
жет быть с успехом использован для выбора простейше-
го способа решения задачи. Так, например, его приме-
нение позволило решать вырожденные вариационные
задачи (управление входит линейно в уравнения систе-
мы), причем вырождение в данном случае использует-
ся как положительный факт, так как удается понизить
порядок системы.
Принцип максимума не решает вырожденных вариа-
ционных задач. В этом случае управление входит ли-
нейно в уравнения движения, в связи с чем гамильто-
нова функция будет иметь вид
= Аи —В,
где А и В —функции координат системы Хг и обобщен-
ных импульсов фг-
В соответствии с принципом максимума при решении
задачи о минимуме некоторого функционала должен
иметь место максимум функции $8 по управлению и. Ес-
ли и имеет ограничения
HI IП ШЗ X 9
то ясно, что максимум SK будет иметь место, если бу-
дет выполняться условие
и —
“max ПРИ А>°-
“min ПРИ А<0.
Условия подобного рода называются условиями пе-
реключения, так как определяют переход с одного пре-
дельного режима на другой. Доказано [61], что в случае
линейных систем уравнений оптимальные управления
являются релейными, т. е. процесс будет идти на пре-
дельных значениях управлений с переключениями с од-
ного предельного режима на другой. В случае, когда
процесс описывается нелинейной системой уравнений,
возможны особые режимы, т. е. когда А=0.
В этом случае функция SB перестает зависеть от
управления и принцип максимума не дает информации
361
о ходе процесса. Это соответствует случаю, когда управ-
ление «ушло» с одного предельного режима и «не при-
шло» на другой.
Выход пытаются искать в использовании условия
А = 0 и условиях поддержания этого режима на опреде-
ленном интервале:
А = 0, А = 0, ...
Эти соотношения приводят к уравнению некоторой вы-
рожденной поверхности, не зависящей от граничных
условий, причем в принципе не ясно, минимум или ма-
ксимум реализуется на ней.
В качестве примера применения методов теории оп-
тимальных процессов рассмотрим классическую задачу
преследования для двух ракет — «преследующей» и
«преследуемой». Пусть заданы запасы топлива «пресле-
дующей» и «преследуемой», их веса, скорости, углы на-
клона к горизонту и высоты в момент начала преследо-
вания. Требуется определить оптимальные управления
«преследующей» и «преследуемой», максимизирующие
дальность преследования для «преследующей» от ее
точки старта и минимизирующие ее для «преследуе-
мой».
Пусть уравнения движения в этом случае имеют вид:
do _ R____X___g_ t Q
dx mv cos 0 mv cos e—(12)
d* Уа«g> (13)
dx /nu2cos 0 v2
S p [ __e-ay ]
dm_______R । а 0 \ Po / (14)
dx uvcos 0 ’ hucos 0 *
J^- = tg9 (15)
dx b
для «преследующей», и аналогичная система уравнений
имеет место для «преследуемой», координаты и пара-«
метры которой обозначим
362
ДлЯ решения получена вырожденная вариационная
задача. Функция /? в этом случае имеет вид
* = отД е - -г + F <У> е- М,)-
Используя произвол в выборе ф-функции, выберем ее
так, чтобы
<Ру-~<Рт = 0.
Это линейное дифференциальное уравнение с частными
производными, которое интегрируется:
dl7 _________________। dm т
dt ’ dt и *
Отсюда
dm________________________т
dv и
И
$ = (16)
Продифференцировав полученное выражение и под-
ставив значения т' и v' из исходной системы, получим
уравнение
-xlev
di L \ Po ) J tg . „ a /1 -z\
которое заменит два уравнения — (12) и (*14). Получена
невырожденная система уравнений, в которой фазовыми
координатами являются i, 0 и у, а управлениями —
v и а.
В {31] доказана следующая теорема. Пусть и(£) и
v (/)(()</</])—оптимальная пара управлений; x(t),
y(t)—соответствующая оптимальная пара траекторий
уравнений
x=f(x, и),
y=f (У, о)
и Т=1] — оптимальное время преследования.
363
Тогда существуют такие непрерывные ненулевые Век-
тор-функции
= (0,---ЛпЮ).
х(0=(х*(0.....хМ
0«<Т,
что функции ф(0, х(0 удовлетворяют системе
«•=/«(х)Ы)=-4Д’ *=i. • ••>«,
п
Sdi: , _
dx' дх' ’
а функции х (/), у (t) — системе
У{=ёЧУ> =
V J^_ya—
х Li ду* ~ ду'
а=1
для любых t на отрезке 0 < t < Т.
Кроме того, на отрезке выполняется равен-
ство
&е (0 = <й? ('г (о, х (t), и (о, х (0. у (!)> ° (0) =
= max min Sg (Ф, x, и, x, у, v),
u^ur, v^vs
и в момент встречи t=T выполняется равенство
Ф(О=-Ах(О-
Процесс можно вести так, чтобы SB — 1.
Составим функцию Зв (см. уравнение (3) и основ-
ную систему уравнений (13), (15), (17) для «преследую-
щей» и аналогичные для «преследуемой»)
Г / \ 1
s<‘p»(_F — e’°v) — х е“
I \ Ро J J
cos 0
364
Обобщенные импульсы должны удовлетворять системе
уравнений типа (8):
- ==_^’==ф g кге+ф , (19)
Ч д£ * $ uv ® • ‘6 £2y2COS 0
{V
[5aPo(^-e^)-4“sin0-
1
UV COS2 0
дд№_______ , ЗаРоде-аУеи ______
tyy ду uv cos 0
V V
__ , еи дХ , dYa а еи
uv cos Яду * ‘в ду cos 0
Сопряженные уравнения для «преследуемой» имеют
аналогичный вид.
Функция должна быть минимальна по управле-
ниям «преследующей» v и а и максимальна по управле-
ниям «преследуемой» V и а, т. е. должны выполняться
условия:
д&в _ q до№ _ q д&в________________q д&8 q ^22)
dv ’ da — ’ dv ~~ ' да — 1 ’
и условия на границе vf а, минимизирующие и vf a,
максимизирующие
365
Эти условия Делают систему уравнений [основные урав-
нения (13), (15), (17) и аналогичные для- «преследуе-
мой», сопряженные уравнения (19), (20), (21) и анало-
гичные для «преследуемой», экстремум функции по
управлениям (22)] замкнутой, т. е. количество уравне-
ний равно количеству переменных.
Для решения имеет место следующая система гра-
ничных условий:
Решение этой задачи на ЭВМ дает возможность най-
ти оптимальную траекторию преследования и маневри-
рования «преследуемой».
§ 5.4. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
А. Сущность метода. Принцип оптимальности
Динамическое программирование — это метод иссле-
дования и решения задач по оптимизации управляемых
процессов и систем, состояние которых и управление
которыми может быть характеризовано различного ро-
да уравнениями, набором таблиц, графиков и др. При
этом возможно задание ограничений в любой форме.
Применительно к процессам, описываемым обыкновен-
ными дифференциальными уравнениями, он не имеет
такого* строгого обоснования, как принцип максимума.
Динамическое программирование возникло в связи
с исследованием многошаговых (многоэтапных) процес-
366
сов и основным содержанием его являются многошаго-
вые процессы решений, оптимальных в каком-либо
смысле. Однако не все задачи динамического програм-
мирования являются многошаговыми и, с другой сторо-
ны, не все многошаговые задачи могут быть решены
этим методом. Идейным содержанием рассматриваемо-
го метода является принцип оптимальности. Структура
исследуемых на его основе самых различных процессов
(как детерминированных, так и стохастических) имеет
следующие общие черты.
1. Процесс или система на каждом этапе (шаге),
если они дискретные, или в любой момент времени, если
они непрерывные, характеризуются небольшим числом
параметров состояния или фазовых координат.
2. На каждом шаге процесса производится выбор
одного решения (управления) из множества их допусти-
мых значений.
3. Результатом управляющего воздействия является
преобразование набора параметров состояния процесса
в такой же набор с другими численными значениями.
4. Управляемый процесс марковский, т. е. предысто-
рия не имеет значения при определении будущих дей-
ствий.
5. Целью процесса решения является определение
оптимума некоторого критерия — функции параметров
состояния и управлений (или функционала от этих
функций). Часто значение этой функции называют эф-
фектом (эффективностью).
Любое правило для принятия решения, которое по-
зволяет получать допустимую последовательность реше-
ний, называется стратегией. Стратегия, оптимизирующая
заданную функцию параметров состояния, является оп-
тимальной.
Оптимизация методом динамического программиро-
вания сводится к составлению функциональных уравне-
ний, управляющих процессом, и решению этих уравне-
ний посредством оригинальных вычислительных про-
цедур.
Составление функциональных уравнений проводится
на основе принципа оптимальности. Формулировка
принципа оптимальности: оптимальная стратегия имеет
то свойство, что, каково бы ни было начальное состояние
367
и принятое начальное решение, все остальные решения
на последующих шагах должны составлять оптимальную
стратегию относительно состояния, возникшего в резуль-
тате первого решения. Здесь подчеркивается зависи-
мость процесса решения от начальных параметров и
первого решения.
С другой стороны, в соответствии с марковским ха-
рактером процесса оптимальная стратегия не зависит
от «предыстории» процесса и определяется только его
состоянием в данный момент времени. Следовательно,
в соответствии с принципом оптимальности состояние
процесса в данный момент должно выражаться через
параметры состояния, полученные в результате первого
решения. Сущность этого станет ясной из дальнейшего.
Принцип оптимальности является общим необходи-
мым условием оптимальности как непрерывных, так и
дискретных процессов управления. Несмотря на кажу-
щуюся тривиальность, этот принцип глубоко содержа-
телен. Физический смысл его поясним на примере
управления объектом.
Пусть в результате решений найдена траектория
движения объекта, соединяющая в фазовом пространст-
ве точки х(/0)=х0 и х(Т)=хт, соответствующие момен-
там tQ начала и Т конца процесса, и дающая оптимум
какому-то функционалу.
Рассмотрим промежуточную точку xv. Если вся траек-
тория оптимальна, то* оптимален и ее кусок х^хт. Это
вытекает из того, что в промежуточной точке х^ прово-
дился выбор решения, оптимального относительно состоя-
ния объекта в этой точке. При этом история изменения
состояния объекта до прихода в точку х^ (форма куска
траектории xoxj при принятии решения не учитывалась
(хотя состояние объекта в этой точке есть результат
этой истории). «Дальновидная" оптимизация движения
с каждой промежуточной точки до конца траектории
присуща многим процессам с ограниченными ресурсами.
Так, имея ограниченное количество боеприпасов на не-
сколько дней боя, приходится в первый день их эконо-
мить,. т. е. расходовать не оптимально с точки зрения
эффекта за один день, но оптимально с точки зрения
эффекта за несколько дней.
368
Б. Вычислительные схемы решения
Существует два основных метода расчета оптиму-
ма: метод приближения в пространстве функций и при-
ближение в пространстве стратегий (управлений). Пер-
вый основывается на отыскании оптимальных решений
для все более возрастающих по числу шагов процессов,
пока последовательно не будет решен весь uV-шаговый
процесс. При втором подходе рассматривается весь
Л^-шаговый процесс в целом. Принятая первоначально
стратегия совершенствуется с каждым шагом прибли-
жения (итераций) до тех пор, пока не будет получена
оптимальная стратегия.
Первый подход является основным при оптимизации
непрерывных процессов управления системами, второй
чаще всего применяется в дискретных задачах, напри-
мер, распределения ресурсов или управления запасами.
Рассмотрим пример для уяснения сущности первого
подхода, иногда называемого методом «попятного» дви-
жения или «обращенного» времени.
Пример 1. Пусть возможные маршруты полета груп-
пы самолетов из точки А в Р могут быть условно пред-
ставлены сеткой квадратов, сторонам которых припи-
саны числа п, обозначающие математическое ожидание
числа потерянных самолетов от огня противника на
каждом шаге (между узловыми точками).
При движении от узла к узлу потери суммируются
и дают общее число потерянных самолетов, которое и
принимается в качестве оптимизируемой функции
Стратегиями будут выборы путей движения по сторонам
квадратов, дающие оптимум. Изменение состояния про-
цесса здесь символично, оно заключается в смене но-
мера узловой точки.
Требуется найти путь в виде ломаной линии для
движения вверх и вправо из точки А (рис. 5.4.1) в точ-
ку Р таким образом, чтобы получить минимальную
сумму f чисел п, приписанных отрезкам прямых между
точками с индексами ij.
Решение начинается с одношагового и заканчивает-
ся шестишаговым процессом. Движение начнем из точки
Р влево или вниз. Из точки Р в точку 3,4 и обратно
возможен один вариант перехода, и минимальной сум-
мой является число 5. Записываем его в кружок
24—343 369
37Q
Рис. 5.4.1
(рис. 5.4.1,6). При переходе из точки 3,4 в точку 2,4
также имеется только одна стратегия, минимальная сум-
ма равна 13. Аналогично однозначным образом нахо-
дятся минимальные суммы в точке 1,4 и при движении
вниз в точках 4,3; 4,2 и 4,1.
В точку 3,3 можно прийти двумя путями: через точ-
ку 3,4 или через точку 4,3. Определяем min [5 + 7;
8 + 5]= 12. Записываем это число в круг, а над неопти-
мальной стратегией (4,3; 3,3) надписываем неоптималь-
ную сумму 13 как признак неоптимального отрезка пу-
ти. В результате аналогичных действий получим опти-
мальную сумму 33 и соответствующую ей стратегию
—>
«прямого» движения А; 2,1; 2,2; 3,2; 3,3; 3,4.
Нетрудно прямой проверкой убедиться в том, что
при такой стратегии перехода из точки А в точку Р по-
лучается наименьшая сумма /.
В. Многошаговый процесс распределения
Рассмотрим применение динамического программи-
рования к многошаговым процессам распределения бое-
вых средств.
Пусть имеется некоторое количество боевых средств
х0, которое распределяется между двумя подразделе-
ниями долями уо и х0—Уо- От первой доли получают
эффективность g(yo), а от другой Л(х0—уо). Пусть пере-
распределение боевых средств может производиться
после каждого этапа боя. После одного этапа (шага)
распределения общая эффективность будет определять-
ся выражением
(-*». Уо) = ё (Уо) + h (х0—у9). (1)
В процессе боя первоначальное количество уо за
счет расхода средств, обеспечивающих эффективность
g(yo), уменьшается до величины ау0, 0<а<1. Аналогич-
но величина х0—уо уменьшается до &(х0—Уо), 0< Ь<1
за счет расхода средств для получения эффективности
Л(х0—уо).
Количество оставшихся средств к началу второго
шага процесса равно
А = яУо + 6(Хо—Уо)- (2)
24* 371
Выражение (2) представляет собой функцию, перево-
дящую процесс из старого в новое состояние. Оставшие-
ся средства можно представить еще в таком виде:
^У1+(х1—*/i), где В результате нового рас-
пределения на втором шаге будет получена эффектив-
ность g(y{) +h(xi—yi).
Полная эффективность от двухшагового процесса
(двух этапов боя)
я» (Х9, у9, yt) = g (у„) + h (х0 — у9) + g (yt) + h (х, — г/,). (3)
Продолжая расчеты, аналогично для Af-шагового
процесса получаем полную эффективность
Rn (-^о> Уо> • • •> Уы—1)=s (f/o) “F h “F Уо) Ч- • • • Н"
+ g (Dn-\ ) + h (xn-i —yN-\)’
(4)
где
A = ^o + *(^o —Уо),
О ^=5 У Q
XN-\ аУы—2 (XN—2 УN—2)'
0 <f/yV-2^XyV-2, j
o <>yN~\ < XN-\- J
Целью оптимизации процесса распределения будет
получение максимальной эффективности /?хутах- Следо-
вательно, возникает задача: максимизировать функцию
эффективности Rn путем выбора соответствующей по-
следовательности значений уг\ * — 0,1, ..., N—1.
При оптимизации процесса классическими методами
необходимо определить максимум функции (4) N пере-
менных уг. Для этого необходимо определить N частных
производных по этим переменным и решить N урав-
нений. Это возможно лишь в случае, когда ограниче-
ния (5) будут строгими неравенствами, а функции g и
h — дифференцируемыми.
Однако характерной чертой процессов распределе-
ния ограниченных ресурсов является то, что оптималь-
ные значения у0 лежат на границах областей их допу-
стимых значений. Динамическое программирование да-
ет рациональный метод решения этой задачи.
Основной целью этого метода является рассмотре-
ние процесса распределения как одномерного многоша-
372
гового процесса решения. Такая формулировка задачи
динамического программирования ведет к реализации
оптимального выбора на каждом шаге процесса.
Максимальная эффективность для одношагового
процесса будет, очевидно, равна
f (л0) = тах/?1,
где j/0>0 и находится в области допустимых значений,
или, учитывая (1),
А = шах [£ (г/0) + h (ха — у0)]. (6)
Стратегия у$, обусловившая max /?i, будет оптималь-
ной для одношагового процесса. Определим теперь ма-
ксимальную эффективность за двухшаговый процесс.
В соответствии с принципом оптимальности оставшаяся
к началу второго шага сумма (2) должна быть в двух-
шаговом процессе использована наивыгоднейшим об-
разом, т. е. в двухшаговом процессе необходимо взять
в расчет эффективность в виде максимума от суммы
(2), которая характеризует состояние процесса, полу-
ченное в результате первоначального решения у^ т. е.
A W = + —Уо)1- (7)
Тогда полная эффективность вместо (3) определится
формулой
(*<>, у„, yt) = g (у9) + h (х„ — г/0) + [ay* + b (х0 — у9)],
(8)
т. е. выражается через первоначальные значения xQ и у0.
Отсюда, определяя максимум /?2 по у0, 0<{/о<хо, полу-
чаем
« (х0) = max [g (у0) + h (х„ — у0) + f, [ау0 + b (ха — г/0)]. (9)
Аналогично получаем выражение для общей эффек-
тивности за A-шаговый процесс
УО’ У 1> • • чУ#—]) == g (У о) У о) +
+ А,-11^о + 6(-*о—Уо)] (10)
373
и основное функциональное уравнение
Гл/(Ло) = тах^> 0<уо<хо. (И)
В результате решения функционального уравнения по-
лучают последовательность функций f2(x) и у2(х). Здесь
и ниже х0 и уо обозначены текущими значениями х и у
соответственно.
Решение проводится по такой схеме. Сначала опре-
деляется эффективность За первый шаг R\ по формуле
(1) для различных значений х в пределах от 0 до за-
данного х=Хо и соответственно для у<х. Для каждого
из х определяется Д(х) =max/?i и то значение у=у\, при
котором реализуется максимум.
После этого для тех х и у, при которых рассчитыва-
ются Ri, определяются значения Xi=ayi-i + b(xi-i—yt-\)
и fi(x) соответственно (i=l, п—1). Зная величины
R\ и Л(х), находят R2 и его максимум. В результате
получают величины f2(x) и обусловившие их значения
У1(х) и т. д.
Оптимальные стратегии у вычисляют в обратном по-
рядке по начальным значениям х=хо и у=«/о
y=yN(x0),
Уг = yN-t [ayо + b (х0 — i0)], (!2)
yi=yN-i [ayi-l-\-b(xi_l—yi.J)], i = \...,N — 1,
где
xi — ayi_i “J- b (Xi_! (13)
Эффективность за i-й шаг из условия оптимальности
всего процесса определяется по формуле
ri = g(yi) + h(Xi—yi}. (14)
Г. Пример численного решения задачи
распределения ресурсов
Рассмотрим простой пример распределения огневых
средств между частями. Пусть имеется определенное
количество огневых средств (х0) и первоначально рас-
374
ТАБЛИЦА 5.4.1
Расчет /?i и R2
X у х g (у) h(x-y) Л Xi(X, у) 1,Й «2
2 0 0 2 и — —
1 0,4 1 1,4 — — —
2 1,6 0 1,6 — — —
3 0 0 3 3 2,7 3,1 м
1 0,4 2 2,4 2,4 2,6 5,0
2 1,6 1 2,6 2,1 2,2 4,8
3 3,6 0 I3-6! 1,8 2 —
4 0 0 4 4 3,6 5,3 I9-3!
1 0,4 3 3,4 3,3 4,4 7,8
2 1,6 2 3,6 3,0 3,6 7,2
3 3,6 1 4,6 2,7 3,1 7,7
4 6,4 0 м 2,4 2,6 9,0
5 0 0 5 5 4,5 8,2 13,2
1 0,4 ' 4 4,4 4,2 7,1 11,5
2 1,6 3 4,6 3,9 6,1 10,7
3 3,6 2 5,6 3,6 5,3 10,9
4 6,4 1 7,4 3,3 4,4 11,8
5 10,0 0 1 10,о| 3,0 3,6 113>61
6 0 0 6 6 5,4 11,8 17,8
1 0,4 5 5,4 5,1 10,4 15,8
2 1,6 4 5,6 4,8 9,3 14,9
3 3,6 3 6,6 4,5 8,2 14,8
4 6,4 2 8,4 4,2 7,1 15,5
5 10,0 1 11,0 3,9 6,1 17,1
6 14,4 0 1_М 3,6 5,3 1 19,71
7 0 0 7 7 6,3 15,4 22,4
1 0,4 6 6,4 6,0 14,4 20,8
2 1,6 5 6,6 5,7 13,1 19,7
3 3,6 4 7,5 5,4 11,8 19,4
4 6,4 3 9,4 5,1 10,4 19,8
5 10,0 2 12,0 4,8 9,3 21,3
6 14,4 1 15,4 4,5 8,2 23,6
7 19,6 0 НИ 4,2 7,1 | 26.7 |
375
пределяется между двумя
ТАБЛИЦА 5.4.2
X h У* f
2 0 2 0 2
3 3 3,6 0 6,1
4 4 6,4 0 9,3
5 5 10,0 5 13,5
6 6 14,4 6 19,7
7 7 19,6 7 26,7
подразделениями так, что
для 1-го подразделения
выделяется у$ средств,
для второго — (х0—.(/о)
средств. Эффективности
использования средств
подразделениями за один
этап (день) боя характе-
ризуются показателями
g(r/)=0,4f/2 и h(x—у) =
— х—у соответственно для
1-го и 2-го подразделений. В результате потерь за пер-
вый этап боя количество средств уменьшается до 0,6 у
для 1-го подразделения и 0,9 (х—у)—для второго. После
каждого этапа средства перераспределяются. Необходи-
ТАБЛИЦА 5.4.3
У 0 1 2 3 4 5 6 7
Ы*) 21,8 19,7 17,9 16,0 14,2 12,7 11,3 10,1
Я>+Ь(х) 28,8 26,1 24,5 23,6 23,6 24,7 26,7 29,7
мо определить общую эффективность и оптимальные
стратегии за три этапа. Начальное число средств Хо = 7.
Решение проводится по формульной схеме (1), (11)
и (12).
ТАБЛИЦА 5.4.4
1 0 1 2 3 Сумма
Xi 0 4,2 3,8 3,5
Vi 7 0 3,8 —
Г{ — 19,6 4,2 5,8 =г 29,6
Результаты решения приводятся в табл. 5.4.1—5.4.4.
Закончив вычисления для каждого х в интервале
[Охо] и г/<х (см. пятый столбец табл. 5.4.1), определяют
376
Для каждого x/i=max#i и выделяют значения у, обес-
печившие тах^ь Результаты выписываются во 2-й и
3-й столбцы 5.4.2. В 6-й столбец табл. 5.4.1 вносятся
результаты расчета Х](х, у) по формуле (2). По дан-
ным этого столбца и 3-го табл. 5.4.2 интерполяцией
определяются величины fi(xi) и заполняется столбец
7 табл. 5.4.1. Затем определяются величины R2 и f2=
= max/?2- Значения f2 также вносятся в табл. 5.4.2.
Приведенные в табл. 5.4.2 значения У\ и у2 соответ-
ствуют тем у, которые обеспечили экстремальные зна-
чения Ry и R2, т. е. величины fi и f2 и являются исход-
ными для расчета оптимальных стратегий. В табл. 5.4.1
fi и f2 соответственно в столбцах 5 и 8 очерчены пря-
моугольниками.
Так как начальное х=х0=7, то /з(х) и соответст-
вующую ей величину z/2(x) определяем аналогично пре-
дыдущему только для случая х=7. Получим табли-
цу 5.4.3.
Следовательно, г/з = 7 и /з=29,7.
Окончательные результаты расчета приводятся
в табл. 5.4.4.
Начальные значения: х=Хо=7, ^о=г/=Уз=7. Величи-
ны Xi nri рассчитывались по формулам (13) и (14), yt =
— у2(х) и y2=yi(x) определялись по данным табл. 5.4.2.
Таким образом, в результате решения получены опти-
мальные стратегии уо, У\ и у2 и значения функции эф-
фективности за каждый шаг гь г2 и г3, определенные из
условия оптимальности трехшагового процесса в целом.
ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
§ 6.0. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей главе были изложены методы
оптимизации, которые могут применяться
в исследовании операций. Настоящая глава посвящена
изложению конкретных примеров применения этих ме-
тодов. Наиболее часто встречаются задачи, в которых
отыскание оптимума сводится к построению графика
оптимизируемого критерия и отысканию аргументов,
при которых достигается его минимум или максимум.
Примеры таких задач приведены в § 6.1, 6.2, 6.3, 6.4,
а также и в § 6.6, 6.7 и 6.8. Во многих практических
случаях задача оптимизации сводится к классической
задаче отыскания максимума или минимума функции
путем приравнивания нулю производных. Примеры та-
ких задач приводятся в § 6.5, 6.6. Применение метода
неопределенных множителей Лагранжа показано
в § 6.7 и 6.8. Применение метода скорейшего спуска
к отысканию оптимума показано в § 6.7.
Применение метода линейного программирования
к решению задач исследования операций показано
в § 6.8.
Порядок решения задач во всех примерах одинаков:
дается постановка задачи, описывается математиче-
ски модель, выбирается критерий и метод его оптими-
зации. Вопросам обоснования критерия в данной главе
большого внимания не уделяется. Главный упор делает-
ся на, показ практики применения методов оптими-
зации.
Примеры выбраны по возможности из различных об-
ластей исследования операций: обоснования основных
378
характеристик вооружения (дальность, вес боевой ча-
сти, точность, надежность), обоснования оптимального
сочетания вооружения (аппаратура радиопротиводейст-
вия и бомбовая нагрузка), выбор оптимального режима
профилактических работ, тренировок, резервирования.
§ 6.1. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОЙ ДАЛЬНОСТИ ПОЛЕТА
ЗЕНИТНОЙ РАКЕТЫ
А. Постановка задачи
Дальность полета зенитной ракеты является одной
из важнейших характеристик зенитного ракетного комп-
лекса, определяющей его тактическое назначение. Один
комплекс может быть предназначен для поражения воз-
душных целей, летящих на больших высотах,, а дру-
гой — для поражения низколетящих целей. Для каждого
из этих комплексов будет своя оптимальная даль-
ность полета ракеты. Рассмотрим обоснование опти-
мальной дальности для заданной высоты Н. В этом слу-
чае определяется максимальная дальность полета, на-
чиная с которой система ПВО становится экономически
нерациональной. Речь идет об оптимальной горизон-
тальной дальности управляемого участка полета зенит-
ной ракеты.
Для заданной эффективности обороны системы ПВО
на данном направлении дальность полета ракеты опре-
деляют:
— число и размещение стартовых позиций;
— число размещенных на них ракет;
— методы стрельбы;
— стоимость системы ПВО.
Эти параметры различны, но связаны между собой,
что не позволяет выбирать их независимо.
В качестве критерия при определении оптимальной
максимальной дальности стрельбы зенитных ракет при-
нимается минимальная общая стоимость комплексов
при заданном уровне эффективности. Метод обоснова-
ния оптимальной дальности стрельбы для этого случая
изложен в работе [115]. Ниже излагается этот метод
при некотором сокращении.
379
Основной задачей системы ПВО является ее спо-
собность не допустить проникновения противника за
обороняемый рубеж, который может быть представлен
схематически окружностью при обороне отдельных
объектов или дугой окружности при зональной обо-
роне.
Рассмотрим оборону отдельного объекта по окруж-
ности радиусом г. Система ПВО отражает налет груп-
пы N самолетов, летящих в направлении на объект.
Атака может быть произведена в любой точке линии
обороны. Предполагается, что противник стремится пе-
ресечь обороняемый рубеж в кратчайшее время, т. е.
перпендикулярно к линии обороны и без маневра. Пред-
полагается также, что система обнаружения и связи ра-
ботает безотказно и обеспечивает достоверное обнару-
жение каждой цели, участвующей в налете.
Б. Основные параметры системы и их обозначение
1. Параметры, характеризующие всю систему:
— эффективность обороны Rz (средний процент сби-
тых целей или вероятность поражения отдельного са-
молета) ;
— общая стоимость системы обороны Сх.
2. Параметры, характеризующие ракету:
— наибольшая горизонтальная дальность стрельбы
х на данной высоте;
— вероятность поражения цели одной ракетой /?г,
— вероятность промаха
(1)
В общем случае R\ зависит от дальности х и высоты
цели Н. В данном случае предполагается, что не за-
висит от дальности на участке перехвата.
3. Параметры, харакеризующие зенитные комплексы:
— стоимость комплекса С;
— состав комплекса, определяющий размеры залпа
—л;
— число комплексов вдоль обороняемого рубежа;
— геометрические параметры, описывающие взаим-
ное расположение комплексов.
38Q
Каждый комплекс располагается в центре площади
круга с радиусом, равным максимальной горизонталь-
ной дальности управляемого полета ракеты х
(рис. 6.1.1).
Используются соотношения:
— отношение расстояния между двумя комплексами
к удвоенной дальности
00' ос
е = —б— =----= cos а;
2х х '
(2)
— отношение общей хорды двух окружностей к уд-
военной дальности
f —- = sina = Kl—cos2a = /l—е2. (3)
4. Параметры, характеризующие метод стрельбы.
Предполагается, что обстрел каждой цели может про-
изводиться одним залпом, серией пусков и серией зал-
пов.
В общем случае по каждой цели производится /зал-
пов (с постоянным временем 0 между двумя залпами)
при п выстрелах в каждом залпе.
381
В. Расчет числа расходуемых ракет г
Расход ракет зависит от эффективности одной раке-
ты и от принятого, метода обстрела целей. Для каждо-
го метода стрельбы могут быть получены формулы, по-
зволяющие определить расход ракет.
При стрельбе залпом вероятность поражения одной
цели в случае z независимых выстрелов определяется
по формуле
/?2=1-<Л (4)
Откуда расход ракет для заданного уровня эффектив-
ности Rz определяется по формуле
3 log q
При серии пусков каждый бомбардировщик, участ-
вующий в полете, обстреливается ракетами последова-
тельно. Ожидается результат предыдущего выстрела,
прежде чем запускается следующая ракета. При таком
способе стрельбы общий средний расход ракет для по-
ражения N целей составит
ZN=N(\+q + q^...^q^)^=N^.
Откуда средний расход ракет на один бомбардиров-
щик определится по формуле
Вероятность поражения при /' пусках будет
Rz=\-qi, (7)
поэтому уравнение (6) можно записать иначе
г« = т4?- <6’)
Аналогично можно получить уравнение среднего
расхода снарядов для серии залпов (по п снарядов
в каждом залпе). Результаты стрельбы каждого залпа
оцениваются так же, как и при серии пусков.
382
Вероятность поражения цели в каждом залпе оце-
нивается по уравнению (4)
Rn=l-qn,
а при / залпах по уравнению (7)
Rz=i — qin. (7')
По аналогии с уравнением (6) получим средний
расход снарядов для серии залпов
или иначе
г-=т4> <8’)
Этот метод стрельбы менее экономичен, чем преды-
дущий метод (серия пусков), так как в каждом залпе
участвуют п ракет вместо
одной ракеты и могут
быть напрасные потери
ракет, но более экономи-
чен, чем случай стрельбы
одним залпом.
Достоинством этого
метода стрельбы по срав-
нению с серией пусков
является то, что он позво-
ляет получить требуемую
эффективность за более
короткое время.
Расход ракет на один
бомбардировщик z пока-
зан на рис. 6.1.2 [115]
в зависимости от веро-
Рис. 6.1.2.
ятности промаха q и чис-
ла залпов (этапов) для двух уровней эффективности
обороны при одном залпе (на одном этапе).
7?z = O,5 и /?z = 0,9.
383
Из рисунка видно, что расход ракет при двух залпах
(этапах) оказывается меньше, чем при одном. Повыше-
ние требуемого уровня эффективности приводит к зна-
чительному увеличению расхода ракет.
Г. Расчет числа возможных этапов перехвата
Возможное число этапов перехвата зависит от даль-
ности х, от времени, затрачиваемого на залп Т, скоро-
сти и направления полета самолета.
Предположим, что полет совершается по общей хор-
де окружностей двух комплексов (рис. 6.1.1), так как
в этом случае может быть получено минимальное число
этапов перехвата. Предположим, что d — расстояние,
пролетаемое самолетом за время Т.
В этом случае один этап перехвата возможен, когда
зоны действия двух комплексов (окружности) будут
иметь одну общую точку (точка касания). Для осу-
ществления двух этапов необходимо, чтобы общая хор-
да АВ была больше, чем rf, т. е. чтобы после проведе-
ния первого залпа одним комплексом и оценки его ре-
зультатов можно было успеть провести второй залп
AB^d.
Подставив в это уравнение АВ из (3), получим
f > —
1 2х *
С учетом времени на оценку результатов первого
залпа fo можно записать уравнение для двух этапов
перехвата
е f । d *)
f 2х
Для нескольких (/) этапов перехвата по аналогии
получим
О')
*) В [115] принято f 0 = -у.
384
Д. Определение числа комплексов и их стоимости
Предполагается, что комплексы расположены рав-
номерно по окружности радиусом г. В этом случае
число комплексов (S) определяется следующим обра-
зом. Из рис. 6.1.1 видно, что
• чУч-/
9 = arc sin -у-,
но
Значит
Отсюда
ОС = х cos а.
. xcos а
<р = arc sin—-—,
Q___
2Т ’
(10)
Расчет числа комплексов в зависимости от дальности и
от числа этапов перехвата представлен на рис. 6.1.3.
На этом же рисунке показана стоимость комп-
лекса (С) в зависимости от дальности. В стоимость
комплекса включалось наземное оборудование (по-
25—343 385
е.
(12)
стройки, пусковые установки, радиолокационные стан-
ции различных типов, счетно-решающие устройства) и
необходимый запас ракет.
При расчете стоимости предполагалось, что стои-
мость каждого -элемента стартовой позиции является
показательной функцией от дальности стрельбы раке-
ты, т. е.
C = k.x\ (11)
Можно допустить также, что стоимость комплекса про-
порциональна возможным размерам залпа, т,
C — kx^n.
Е. Выбор оптимальной дальности
Общая стоимость системы обороны:
Подставив в эту формулу 5 и С из (10) и (12)
ственно, получим
Р ________knx'n____
s /XCOS а\
arc sin ( —-— 1
Учитывая, что на основании (2), (3) и (9')
cosa = e= fl 1 — 1)3>
получаем
(13)
соответ-
(13')
При заданной степени поражения одной цели Rz и ве-
роятности поражения цели одной ракетой R\ = 1—q тре-
буемое число ракет на 1 цель на основании (8) будет
z_____
Z*— 1 _9п-
386
Отсюда требуемое число залпов на 1 цель (этапов пе-
рехвата) будет
%П __ R Z
n(\ — qnY
(15)
Подставив это выражение в (14), получим
Наиболее просто оптимальную дальность найти сле-
дующим образом. При заданных k, г, d, Rz q=\—R{ и
n можно, задаваясь разными х, вычислить и, по-
строив график Cz=/(x), отыскать оптимальную вели-
чину х. Проведя такие рас-
четы при разных п, можно
определить оптимальные
величины х и п. Пример
таких графиков показан на
рис. 6.1.4.
Из рис. 6.1.4 видно, что
существует оптимальное
значение дальности х =
= 100-4-120 км и п = 2.
Отметим, что при обо-
сновании оптимальной даль-
ности полета ЗУР необхо-
димо учитывать зависимость
стоимости от точности и на-
дежности комплексов.
Рис. 6.1.4.
§ 6.2. ОБОСНОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ТРЕБОВАНИЙ
К ЭФФЕКТИВНОСТИ ЗЕНИТНОЙ РАКЕТЫ
А. Постановка задачи
Эффективность стрельбы зенитными ракетами опре-
деляет тактику использования ракетных комплексов.
Одну и ту же тактическую задачу в зависимости от эф-
фективности ракет можно решить одной или нескольки-
ми ракетами. Обоснование оптимального требования
к эффективности ракеты является одной из проблем, ко-
25* 387.
торые встречаются при определении тактико-техниче-
ских требований к новым образцам вооружения [49].
Одним из возможных вариантов постановки задачи
может быть такой. Определить оптимальное требование
к эффективности зенитной ракеты, предназначенной для
Рис. 6.2.1.
поражения воздушной цели с заданной эффективной
отражающей поверхностью (например, 0,5 л2), с задан-
ной вероятностью поражения (например, не менее 90%),
при заданной максимальной дальности стрельбы ракеты
(например, 30 км) и скорости цели (например,
500 м!сек). Расход ракет при стрельбе по одной цели
не должен быть больше трех.
В такой постановке эта задача может быть решена
при помощи методов исследования операций. План ис-
следования может быть представлен так, как это пока-
зано на рис. 6.2.1.
Из рис. 6.2.1 видно, что оценка точности предшеству-
ет оценке эффективности и не зависит от последующего
решения задачи. Поэтому точность наведения иногда мо-
жет задаваться в условиях задачи.
В данном случае для краткости не будем вести обос-
нование точности наведения. Примем для расчета сред-
нее квадратическое отклонение снаряда сг = 8-т-18 м,
388
Б. Оценка эффективности стрельбы
Оценка эффективности стрельбы производится рас-
четным -путем или по результатам опытных пусков.
Расчетные методы более удобны, так как они позво-
ляют рассчитывать вероятность поражения цели еще до
опыта и с различной степенью точности. Точные методы
расчета требуют достаточно большого числа входных
параметров, которые определяются конструктивными
особенностями зенитного ракетного комплекса. В свою
очередь, конструктивные параметры могут быть доста-
точно хорошо определены только при проектировании.
В данном случае расчет эффективности предстоит про-
извести еще до выполнения проекта. Следовательно,
у нас остается единственная возможность: воспользо-
ваться приближенными методами оценки эффективно-
сти.
Мы располагаем только ограниченными сведениями
о конструктивных особенностях комплекса. Мы знаем,
что ракета будет иметь фугасную или осколочную бое-
вую*часть с неконтактным взрывателем, а точность на-
ведения характеризуется ошибками промаха в.
Необходим приближенный метод расчета, который
позволил бы дать оценку эффективности Pi в зависи-
мости от веса боевой части q§4 и промаха о. Для полу-
чения приближенной зависимости Ri=f(<7б.ч., <т) обра-
тимся к стрельбе зенитного артиллерийского комплекса,
стреляющего по воздушной цели снарядами с контакт-
ным взрывателем (26].
При стрельбе очередью из п снарядов, обеспечиваю-
щих вероятность поражения цели каждым выстрелом,
равным Ро, вероятность того, что цель будет поражена
хотя бы одним снарядом, равна
Р1>п= 1 - (1 - Ро)«« 1 -е-'"’» (1)
(см. §3.4).
Уравнение (1) показывает, что вероятность пораже-
ния цели зависит от числа снарядов в очереди п и от эф-
фективности одного снаряда Ро.
По аналогии с уравнением (1) вероятность пораже-
ния цели одной ракетой можно рассчитать по уравнению
(2), исходя из того, что вес боевой части увеличивает
389
эффективность, а ошибки стрельбы о приводят к сни-
жению эффективности:
а?б.ч
= °7 , (2)
где >?бч — вес боевой части ракеты;
о — средняя квадратическая ошибка наведения
в м\
а — коэффициент пропорциональности.
Коэффициент а определяется путем согласования
расчетов эффективности по формуле (2) с опытными
значениями эффективности при известных значениях
?бч, о, р, у.
Значения коэффициента ₽ зависят от конструкции
боевой части. Так, например, в [49] рекомендуется
принимать:
р =у для изотропной осколочной боевой части и
Р=~ для фугасной боевой части.
Значения коэффициента а зависят от типа цели и
при стрельбе по истребителю-бомбардировщику нахо-
дятся в пределах
0,6<а<1,0.
Принимая во внимание, что уменьшение ошибок на-
ведения (ат) увеличивает вероятность поражения более
резко, чем увеличение веса боевого заряда [26], возьмем
1 1 2
Y>p. Но так как Р—уу то можно принять Y = у.
Следовательно, формулу (6) можно записать иначе
1/2
а<7б.ч
2/3"
= е ° ’ (3)
Предположим, что путем согласования с опытными
данными был определен коэффициент а = 0,8. Прини-
мая такое значение а, произведем расчеты эффектив-
ности в зависимости от веса боевой части. Результаты
расчета по уравнению (3) представлены в табл. 6.2.1.
390
Из табл. 6.2.1 следует, что заданный уровень эф-
фективности 0,90 можно достигнуть при стрельбе одной
ракетой с весом боевой части 150 кг и при ошибках
наведения сг = 8 м.
ТАБЛИЦА 6.2.1.
а, м Яб,ч’ кг
20 I 30 40 50 100 150 200
8 0,59 0,67 0,72 0,76 0,86 0,91 0,94
13 0,48 0,55 0,60 0,64 0,76 0,83 0,87
18 0,41 0,47 0,52 0,56 0,69 0,76 0.81
Необходимо оценить, является ли это решение по-
ставленной задачи оптимальным.
В. Оценка стоимости ракеты
Стоимость зенитной ракеты зависит от метода на-
ведения и от веса ракеты и определяется по уравнению
(см. § 1.11)
C = KtQ2013, (4)
где К\ — коэффициент согласования;
Qo — стартовый вес ракеты.
Вес зенитной ракеты зависит от скорости ракеты, ма-
ксимальной дальности, точности наведения и веса бое-
вой части. Но если уже установлены скорость ракеты,
дальность полета и точность наведения, то можно найти
зависимость веса ракеты от веса боевой части.
Вес ракеты можно рассчитать по методике, приведен-
ной в работе [55]. Эта методика удобна тем, что она по-
зволяет получить высокую точность расчета, не прибе-
гая к численному интегрированию уравнений движения.
При стрельбе по целям до высот 5 км применяется
одношаговый метод расчета, 10 км — двухшаговый, а бо-
лее 10 км — трехшаговый с тем, чтобы лучше учесть
влияние плотности воздуха на вес ракеты. В данном
случае можно воспользоваться одношаговым методом,
так как в нашем примере можно ограничиться высотой
цели 5 км.
391
Покажем порядок расчета веса ракеты на следую-
щем примере. Схема ракеты — двухступенчатая с отде-
ляемым стартовым двигателем. Скорость ракеты па
стартовом участке возрастает пропорционально времени
полета, а на маршевом остается постоянной. Метод на-
ведения— «три точки». Высота цели 5 км. Наклонная
дальность 30 км. Скорость на маршевом участке
700 м!сек.
а) Расчет баллистики стартовой ступени
1. Коэффициент сопротивления движению ракеты на старте
где В=1,5-10~5 ---коэффициент сопротивления атмосферы;
т]0 = 30 — тяговооруженность стартового двигателя;
sin 0 = -д- =0,166.
2. Относительная скорость старта
v» = ;#=0-39- (6)
3. Относительный запас топлива
Мо= 1—е~ ^=0,323.
4. Время работы двигателя
Мо
tQ = Jo — = 2,15 сек.
*1о
5. Путь ракеты
Хд = 2" УЛ == 750 м.
6. Высота
Яо = х0 sin 0О = 125 я.
б) Расчет баллистики маршевой ступени
1. Маршевое время движения ракеты
7** =41,8 сек. (7)
" о
392
2. Тяговооруженность маршевого двигателя
eiV0 + sin 0
1 — (1 — 2-19-IO-5//)5.4 1 — (1 — 2,19-Ю-5//)1»5
11,32-Ю-5// * 3,825-Ю-5//
Здесь принято Н — 5000 м, так как величина
//0= 125 м<^5000 м.
3. Относительный запас топлива
41 , 2,1.41,8
Afi — ti— 200 0,44.
4. Маршевая скорость ракеты на заданной высоте
f1-(1 - Р-1Н + V. (I - H)v -
gsin0
H(v-1) К1 — P-) — (1 — нН = 706 м/сек,
2,1.10’
750 м/сек-.
gc, 9-8-2-8-10-’
Н 1,05-10-’ 2'6;
H(v — 1)= 1,05-10-’(2,6— 1)= 1.68-10-’^;
(1 — p.1)', = 0,56’.‘ = 0,221;
1 — (1 — p,i)’ = 1 — 0,221 =0,779;
(1 — Hi) — (1 — Hi)’ = 0,56 — 0,22 = 0,34.
393
в) Расчет веса ракеты
Стартовый вес
AQ
Qt‘~ (1-fax.) (1 -f^.) ’ (9)
где AQ — вес полезной нагрузки (вес боевой части, приборов
управления, источников питания, оперения и части
корпуса ракеты);
1,1 1,8— конструктивно весовая характеристика двигателя.
Для ракет среднего калибра 0 =1,3-5-1,4.
Принимаем 0О= 01=1,3 и определяем Qo-
ДО _
(1 — 1,3-0,323) (1 — 1,3-0,44) 4Д<3-
С увеличением веса боевой части ракеты будет увеличиваться вес
полезной нагрузки AQ как за счет увеличения веса боевой части,
так и за счет увеличения остальных узлов. Положим, что это увели-
чение линейно зависит от веса боевой части.
Тогда в качестве примера можно принять AQ = 220 кг для ра-
кеты с весом боевой части 20 кг и А0г=580 кг для ракеты с весом
боевой части 200 кг. По уравнению (9) находим
Qoi = 88O кг и Qo2 = 2320 кг.
Стоимость ракеты определялась по уравнению (4) при 7(=72
(см. § 1.11). Результаты расчета приведены в габл. 6.2.2.
ТАБЛИЦА 6.2.2
Чбг • кг 20 30 40 50 100 150 200
AQ 220 240 260 280 300 480 580
Qo 880 960 Ю40 1120 1520 1920 2320
92 97 103 108 132 155 175
Сусл.ед 66 70 74 78 95 112 126
Г. Выбор критерия и обоснование оптимальных
требований к эффективности
С увеличением веса боевой части увеличивается эф-
фективность и стоимость ЗУР. Требуется выбрать опти-
мальную ракету, если известны зависимость эффектив-
ностй от веса боевой части и стоимости ракет. Очевидно,
что оптимальным будет тот образец ЗУР, который обес-
печивает минимальную среднюю стоимость выполнения
394
поставленной задачи. Из табл. 6.2.1 видно, что пораже-
ние цели с заданной вероятностью (0,90) можно достичь
при стрельбе одной ракетой с боевой частью весом
150 кг. Но эту же задачу можно решить и при стрельбе
двумя или тремя ракетами с меньшей боевой частью.
Оценим математическое ожидание затраченных
средств на выполнение поставленной задачи, если ре-
зультаты стрельбы наблюдаются и стрельба прекраща-
ется при поражении цели.
На рис. 6.2.2 нанесены расчетные вероятность пора-
жения цели одной, двумя и тремя ракетами и их стои-
мости Ci, Сц, Сщ как функции веса боевой части qa.4.
Исходя из заданной вероятности поражения цели, опре-
делено математическое ожидание затрат на поражение
цели.
395
Из рис. 6.2.2 видно, что математическое ожидание за-
траченных средств «С» будет изменяться в зависимости
от веса боевой части по кривой, имеющей экстремальную
точку «О».
По рис. 6.2v2 находим Яопт=0,84, что соответствует
весу боевой части 90 кг. Дальнейшее повышение требо-
ваний к эффективности хотя и не приводит к существен-
ному увеличению стоимости «С», однако не целесооб-
разно, так как увеличивает габаритные размеры и вес
ракет.
§ 6.3. ОБОСНОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ
ПРОФИЛАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
А. Постановка вопроса
Рассмотрим такой случай, когда в аппаратуре имеет-
ся сравнительно малонадежный элемент (элемент с ма-
лой долговечностью), у которого плотность распределе-
ния длительности службы /(/), средний срок служ-
бы /Ср.
Для повышения надежности работы аппаратуры в этом
случае может оказаться целесообразным проводить про-
филактическую замену рассматриваемого элемента по вы-
работке им определенного ресурса т (если он не был за-
менен раньше из-за наступления отказа). При такой про-
филактической замене длительность работы элементов
в аппаратуре будет иметь усеченное распределение
с плотностью f (I) и средним сроком службы /Ср. Оче-
видно, что ?Ср будет зависеть от т. Вероятность отказа
элемента до выработки ресурса т равна
pW- (О
а вероятность того, что элемент будет профилактически
заменен при выработке ресурса т,
Р2 = Р(^), (2)
где р(т) находится по уравнению (3.1.1).
Иметь очень большую величину т нецелесообразно,
так как при этом будет мала величина р(х) и велика
вероятность р\ отказа во время работы. Иметь очень
396
малую величину т невыгодно, так как при этом будут
очень частые профилактические замены, что влечет за
собой большой расход времени на замены и средств на
новые элементы.
Рассмотрим вопрос о выборе оптимальной величи-
ны т. Для этой цели рассмотрим достаточно большой
(по сравнению с /Ср) промежуток времени Т. В среднем
за этот промежуток времени будет заменено элементов
П = (3)
^ср
При этом из-за отказов будет в среднем заменено
элементов
П^пр., (4)
а из-за выработки ресурса будет в среднем заменено
элементов
п2 = пр2, (5)
где pi и р2 определяются по уравнениям (1) и (2).
Пусть на замену элемента при отказе во время рабо-
ты тратится время t\. а на профилактическую замену
тратится время /2. Тогда средний расход времени на за-
мену элементов будет
С*ср — #1^1 “Н ^2^2 — Я {Pifi А/г)* (6)
Коэффициент простоя будет равен
Сер п (pit 1 />2^2)piti 4- Pzt2
ntCip tcp
Введем безразмерную величину и, пропорциональную
коэффициенту простоя,
Из уравнений (7), (8), (1) и (2) получаем
«=- /’Ш (9)
^ср
397
где
(10)
Одним из способов выбора оптимального значения т
является такой, три котором величина и становится ми-
нимальной, что соответствует минимуму коэффициента
простоя, т. е. выбору по критерию коэффициента про-
стоя.
Рассмотрим еще другой подход, при котором в осно-
ву определения оттимума т кладутся экономические
соображения, т. е. в качестве критерия, по которому про-
изводится оптимизация, выбирается математическое
ожидание стоимости.
Пусть стоимость замены элемента при отказе во вре-
мя работы равна (с учетом стоимости элемента и
ущерба, наносимого простоем во время работы). Пусть
стоимость профилактической замены элемента рав-
на С2. Тогда средняя стоимость замены элементов за
время Т будет
СсР = /г1С1+/г2С2. (Н)
Введем безразмерную величину и, пропорциональную
средней стоимости замен в единицу времени,
ц = Сс^ср_ (12)
Очевидно, что уравнение (9) для и сохранится в си-
ле, если положить
(13)
Отсюда следует, что выбор оптимального т как по
критерию коэффициента простоя, так и по экономиче-
скому критерию приводит к отысканию минимума вели-
чины и в уравнении (9). Численные же результаты в за-
висимости от величин -у— и могут быть разными.
К уравнению (9) приводит и еще одна задача. Пусть
в аппаратуре нет малонадежных элементов, но имеет
место явление расстройки. Пусть /(/)—плотность
распределения времени работы до расстройки при
398
отсутствии профилактических регулировок, а /Ср —
средняя длительность работы до расстройки при
этих условиях. Пусть проводится профилактическая
регулировка по истечении времени т, отсчитывае-
мого от момента предыдущей регулировки (если
до истечения этого промежутка времени не произо-
шло расстройки аппаратуры). При такой системе про-
филактики длительность работы аппаратуры до регули-
ровки будет иметь усеченное распределение с плотно-
стью f(t) и средним значением tCv Тогда можно и для
рассматриваемого случая по уравнению (9) определить
оптимальное значение периодичности т регулировок. От-
сюда следует, что уравнение (9) с параметром и до-
статочно универсально.
Б. Вывод основного уравнения
Для того чтобы использовать (9) для определения
оптимального значения т, найдем выражение для /Ср
в функции г.
Величина fcp является математическим ожиданием слу-
чайной величины t, определенной на интервале от 0 до т.
Эта величина t принимает значение т с вероятностью
р2 — р(ъ} согласно уравнению (2). Вероятность попадания
случайной величины t в интервал от t до t-\-dt равна
(по определению плотности распределения) f (t) dt. Поэтому
математическое ожидание ^Ср найдется по уравнению
%
?сР = J tf (t) dt + 'РЮ- (14)
О
Интеграл, стоящий в уравнении (14), можно вычислить
по частям
— (15)
0 0 о
Из уравнений (14) и (15) получаем
?ср — \p(t)dt. (16)
о
399
Подставляя найденное значение /ср в уравнение (9), на-
ходим
= <cp{pN + тП — P(t)]}
С р (t) dt
*0
(17)
В это уравнение входят искомая величина т и извест-
ные параметры распределения /(/), а также заданная
постоянная у.
В. Случай экспоненциального закона распределения
Рассмотрим случай, когда заданная плотность рас-
пределения f(i) определяется по уравнению (1.7.10). Ис-
пользуя в этом случае уравнения (1.7.11) и (1.7.12),
можно переписать уравнение (17) в следующем виде:
08)
Из этого уравнения видно, что величина и монотон-
но убывает с ростом т. Здесь экстремума нет и, следова"
тельно, профилактические замены нецелесообразны.
Этого и следовало ожидать, так как при экспонен-
циальном распределении долговечности элемента веро-
ятность выхода элемента из строя в промежуток вре-
мени от момента t до момента t+x не зависит от того,
был ли в момент t заменен элемент на новый или ог
момента t до момента t+x продолжал работать старый
элемент.
Это связано с тем, что экспоненциальный закон име-
ет место у таких элементов, где явления старения или
износа пренебрежимо малы (см. § 1.7).
Г. Случай закона распределения Вейбулла
Рассмотрим случай, когда заданная плотность рас-
пределения f(t) определяется по уравнению (1.7.15).
В этом случае по уравнениям (16) и (1.7.15) находим
о
tm
~t*
dt.
(19)
400
Применив подстановку
получим
1 %ГП
.т 1
о
(20)
Используя уравнение (1.7.17) и уравнение (1.19.2) из
[82], получаем
- ъ 1
^-= 1 ( Zm e-*dz = P0(-^\ (22)
‘ср р ( 1 \ J V ‘о J
\ т I о
где Р0(х)— функция распределения хи-квадрат с числом
степеней свободы
k
(см. [82], стр. 483).
Из уравнений (9), (22) и (3.1.16) получим оконча-
тельно
Рассмотрим для примера случай, когда т = 2. В этом
случае число k степеней свободы равно 1 и функция
Ро(х) просто выражается через функцию Лапласа
Р0(х) = Ф(хг). (25)
Уравнение (25) получается путем подстановки х =
— z2 в уравнение (13) на стр. 483 в [82].
Из уравнений (24) и (25) получаем
е-v+т(1 — е-»)
и— Ф (4</’)
(26)
26—343
401
где для краткости обозначают
т:2
(27)
В рассматриваемом случае из уравнения (1.7.17) полу-
чаем
/ср=4<28)
Из уравнений (27) и (28) находим
7С / Т \2
у==т(т^)-
(29)
Аналитическое отыскание у, соответствующего мини-
муму величины и из (26), затруднено. Проще восполь-
зоваться методом построения графика и(у) и отыскания
с его помощью оптимально-
го у, приводящего к мини-
муму и, а затем т по (29).
Проиллюстрируем изло-
женное на примере.
Пример 1. В аппаратуре име-
ется малонадежный элемент, у ко-
торого наработка до отказа рас-
пределена по закону Вейбулла с
параметром т—2 и средней /Ср =
= 150 час. Стоимость замены эле-
мента во время работы Ci —
= 250 руб, а стоимость его про-
филактической замены равна С2=
= 25 руб. Найти оптимальную пе-
риодичность т профилактических
замен рассматриваемого элемента.
Решение. По уравнению
(10) находим т=10. При помощи
уравнения (26) строим зависи-
мость и от у, показанную на
рис. 6.3.1. Из этого рисунка находим оптимальное значение у = 0,7.
Далее из уравнения (29) по у=Ъ,7 и ,/ср=150 час находим т=
= 142 час.
402
§ 6.4. ОБОСНОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К ОПТИМАЛЬНОЙ
НАДЕЖНОСТИ БОРТОВОЙ АППАРАТУРЫ РАКЕТЫ
А. Аналитическое решение
Рассмотрим вопрос об отыскании оптимальной на-
дежности бортовой аппаратуры ракеты по критерию ми-
нимума математического ожидания затрат на пораже-
ние цели. Отыщем прежде всего упрощенное аналити-
ческое решение, а затем рассмотрим вопрос о более
точном решении. При этом вначале полагаем, что резер-
вируется вся бортовая аппаратура, хотя практически
могут резервироваться отдельные ее элементы.
Будем считать, что вероятность нормального фун-
кционирования бортовой аппаратуры ракеты без резер-
вирования— pi, стоимость ее без резервирования—Сб и
вес — Qg, вес боевой части — Рбч, ее стоимость—Сбч, от-
ношение веса двигателя к весу полезной нагрузки при
фиксированной дальности равно — q, стоимость одного
килограмма веса двигателя ракеты с топливом равна
Сд. Обозначим п количество резервирований бортовой
аппаратуры. Тогда стоимость ракеты С может быть
определена с помощью следующей формулы:
С = Сд9 (Qe4 H-^Qe) + Сбч -f-дСб. (1)
Вероятность безотказного действия ракеты будет (счи-
тая, что она целиком определяется надежностью борто-
вой аппаратуры)
Р=1-(1-А)п- (2)
Тогда математическое ожидание затрат на поражение
цели будет равно
и Сд^7 (Об ч + hQg) + Сб ч + лСб /о\
где /?1 — вероятность поражения цели при условии на-
дежной работы бортовой аппаратуры.
Это уравнение можно переписать следующим обра-
зом:
_ 1 +kn
Сд^Об Ч + Сб Ч 1 - (1 - р^п 9
26*
(4)
403
где
£ __ QCjiQq + Сб
Cji^Qg я + С б Ч*
(5)
Физический смысл k следующий: это отношение стоимо-
сти, связанной с бортовой аппаратурой, к стоимости
остальной части ракеты.
Аналитическое отыскание оптимального п вызывает
некоторые трудности, тем более, что по своей природе
п дискретно. Численное же отыскание оптимального п
путем расчетов функции А(/г) не вызывает никаких за-
труднений. На рис. 6.4.1 показаны результаты расчетов
величины А при & = 0,05 и р\ =0,5; 0,7, 0,9. Из рисунка
видно, что при pi=0,5 резервирование целесообразно
(оптимум соответствует 3 каналам); при pi = 0,7 также
целесообразно (оптимум соответствует 2 каналам); а при
pi =0,9 резервирование нецелесообразно. Если резерви-
руется не вся аппаратура, то под Cq и Qq следует пони-
мать характеристики резервируемой части аппаратуры,
а стоимость и вес нерезервируемой ее части включить
в Сбч и Qoq. При этом физический смысл коэффициента
k становится следующим: это отношение стоимостей ре-
404
зервируемой и нерезервируемой частей ракеты. Расчет
р в этом случае проводится по формулам § 1.7. Отметим,
что аналогичные задачи рассматриваются в [69].
Б. Статистическая модель
Изложенная методика дает возможность получить
быстрый ответ на вопрос о целесообразности и объеме
резервирования, однако она является недостаточно точ-
ной и может использоваться только для получения пред-
варительных оценок. Более точное решение может быть
получено анализом сложной модели с использованием
метода статистических испытаний. На рис. 6.4.2 изобра-
жен один из возможных вариантов блок-схемы такой
модели, пригодный для выбора оптимального резерви-
рования. Основой этой схемы является блок оценки на-
дежности сконструированной схемы, в котором произ-
водится всесторонняя оценка надежности ракеты, вклю-
чающая оценку надежности системы управления (авто-
мата дальности и автомата стабилизации), двигателя
(конструкции и автоматики), боевой части (собственно
боевой части и взрывателя). Эти блоки могут быть
аналитическими, однако в сложных случаях (много эле-
ментов, дублирование, переключение, перекрещивание)
они могут быть построены и применительно к методу
статистических испытаний.
При проектировании схем необходимо производить
выбор оптимального резервирования внутри схемы. Ме-
тодика такого выбора изложена в § 6.7.
При оценке влияния резервирования на математиче-
ское ожидание затрат на поражение цели необходимо
учесть влияние изменения схемы бортовой аппаратуры
на объем и продолжительность предстартового контроля.
Необходимо также учесть влияние резервирования на
закон поражения ракеты от средств ПРО противника и,
следовательно, вероятность поражения ракеты от ПРО
противника.
При расчете вероятности поражения цели противни-
ка следует учитывать возможные типы целей в отноше-
нии их дальности, уязвимости, временных характери-
стик, а также защиты ПРО.
Полный учет указанных обстоятельств наиболее про-
сто осуществить в статистической модели. Однако отыс-
405
Рис. 6.4.2.
406
кание экстремума величины, определяемой методом ста-
тистических испытаний, связано с большим объемом
расчетов. Поэтому такие задачи приходится решать на
ЭВМ с большим быстродействием.
§ 6.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
ТРЕНИРОВКИ
ИЗДЕЛИЙ ВОЕННОЙ ТЕХНИКИ
А. Оптимизация по вероятности безотказной работы
Как указывалось в § 1.7, одним из путей повышения
надежности некоторых элементов является их трениров-
ка. Этот же способ пригоден и для повышения надежно-
сти невосстанавливаемых изделий.
Рассмотрим здесь одну практически важную задачу,
которая встречается при эксплуатации изделий, пред-
назначенных для использования в течение определенного
промежутка времени х (например, полетного времени
снаряда). Требуется найти такую длительность t трени-
ровки, чтобы вероятность РДт) безотказной работы из-
делия в течение времени х после окончания тренировки
была максимальной. Здесь в качестве критерия, по ко-
торому ведется оптимизация, выбрана вероятность без-
отказной работы изделия.
Для решения этой задачи необходимо знать зависи-
мость от времени интенсивности отказов изделия X(f).
Воспользуемся уравнением (1.7.6). Из этого уравнения
следует, что максимум вероятности Pt(x) достигается
при минимуме величины Хср, определяемой по уравне-
нию (1.7.7). Приравняв нулю производную Хср по ty по-
лучим
4 [*('+’)-лю]=о,
откуда
2(/-Н) = 2(/). (1)
Искомая оптимальная длительность тренировок t опре-
деляется из уравнения (1). Вторая производная Аср по
/ будет
d2Acp_ 1 fdA(Z4-t) dX(Z)i
dt* —' t [ dt dt J’
407
Если кривая зависимости Л (/) выпукла книзу
/ /? с 1 \ d\ (t 4- т) л dX(t) п
(рис. 6.5.1), то - 0 и —3т-!->0 в точках, где
v 7 at at
выполняется условие (1). Поэтому из уравнения (2) на-
ходим -<С0> что свидетельствует о наличии мини-
мума величины Я,ср и, следовательно, максимума вероят-
ности безотказной работы.
Рис. 6.5.1.
Заметим теперь, что уравнение (1) можно легко ре-
шить следующим графическим приемом (см. рис. 6.5.1):
1) строим график X(Z),
2) откладываем на линейке заданную величину т,
3) двигаем линейку параллельно оси t так, чтобы ле-
вый конец отрезка т лежал на кривой Х(/),
4) в тот момент, когда правый конец отрезка т по-
падает на кривую Х(/)> решение задачи заканчивается—
абсцисса t левого конца отрезка т и будет искомой
оптимальной длительностью тренировки.
Подчеркнем, что приведенное решение задачи спра-
ведливо только в том случае, когда зависимость интен-
сивности отказов от времени имеет вид, изображенный
на рис. 6.5.1. Другие возможные случаи изображены на
рис. 6.5.2.
Если после окончания периода приработки величина
Х(/) остается постоянной длительное время (большее
промежутка т), то длительность тренировки должна
быть равна длительности t периода приработки (см.
кривую а). Если величина %(/) монотонно возрастает, то
очевидно, что в этом случае тренировка нецелесообраз-
408
на — после тренировки вероятность безотказной работы
уменьшается (см. кривую в). Если величина %(/) моно-
тонно убывает, то в этом случае оптимума длительности
тренировки по выбранному критерию не существует —
чем длительность тренировки больше, тем будет выше
вероятность безотказной работы (см. кривую с).
Рис. 6.5.2.
Б. Оптимизация по экономическому критерию
Рассмотрим случай, когда интенсивность отказов мо-
нотонно убывает со временем (кривая с на рис. 6.5.2).
В этом случае длительность тренировки иногда можно
найти из экономических соображений. Пусть стоимость
изготовления одного изделия равна Сь а стоимость од-
ного часа тренировки равна С2. Пусть эффект от безот-
казного действия изделия в течение времени т оцени-
вается величиной С3, а ущерб от отказа во время проме-
жутка х оценивается величиной С4. Вероятность безот-
казной работы изделия во время тренировки длительно-
стью t будет в соответствии с уравнением (1.7.4)
(t
— J*(0 dt
о
(3)
вероятность безотказной работы в течение промежутка
х найдется по уравнению (1.7.6)
(t + т \
— J Л (0 dt, , (4)
t J
409
а вероятность отказа в течение промежутка времени г
будет
1 — Pt^)-
Если рассматривается работа N изделий, то в сред-
нем из них не откажут при тренировке NP(t). Из этого
количества не откажут за время т в среднем NP(t)Pt(x).
Отказы за время т будут в среднем у Np(t)qt(x) изде-
лий.
Средний эффект от эксплуатации рассматриваемых
изделий оценивается величиной
С = C.Np (/) р Jx) - - NC2t - C4Np (t) qt (t). (5)
Максимум С будет иметь место при такой длитель-
ности t тренировки, при которой обращается в нуль про-
изводная С по /. Дифференцируя уравнение (5) по /,
получаем следующее уравнение для определения опти-
мальной длительности тренировки:
С3 4г Р * W+С*Р W Ч* (’) -
-с4р(0^=са. (6)
Из уравнений (3), (4) находим:
= (7)
= -[*(' + ’)-* (0] Pt (х), (8)
(9)
Подставляя выражения (7) — (9) в уравнение (6),
получаем после простых преобразований
С4Л (0 = (С.+С4) Л (t 4- -z) Pt (,)+(10)
Из этого уравнения и находится искомая оптималь-
ная длительность тренировки t при заданном т.
Уравнение (10) можно решить графически. Это ре-
410
шение в общем случае достаточно громоздко. Оно мо-
жет осуществляться следующим образом:
1) строим график зависимости левой части уравне-
ния (10) от времени /,
2) строим график зависимости правой части уравне-
ния (10) от времени /,
3) находим точку пересечения обоих графиков. Зна-
чение t в этой точке и будет искомым оптимумом дли-
тельности тренировки.
§ 6.6. ОБОСНОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ТОЧНОСТИ СТРЕЛЬБЫ
Выше уже указывалось, что в исследовании операций
наиболее целесообразно сочетать применение упрощен-
ных аналитических методов с методом статистических
испытаний. Рассмотрим такое сочетание на примере
обоснования рациональной точности ракет класса «зем-
ля— земля».
А. Аналитическое решение
Прежде всего отыщем приближенное аналитическое
решение для случая заданной боевой части с радиусом
зоны поражения г.
Стоимость ракеты приближенно может быть выра-
жена следующей формулой [35]:
0)
где Сг— стоимость всех элементов ракет, кроме системы
управления;
k
——стоимость системы управления;
о — среднеквадратичное отклонение ракеты от цели
(считая равными между собой отклонения по
дальности и по направлению). В более общем
случае показатель степени а может отличаться
от 2.
Вероятность поражения цели в простейшем случае
(размеры цели малы по сравнению с радиусом зоны по-
ражения)
(2)
411
Выберем в качестве критерия, по которому будем
проводить оптимизацию, математическое ожидание за-
трат на поражение цели. Эта величина будет равна от-
ношению стоимости ракеты к вероятности поражения
цели
Будем искать решение, соответствующее минимуму
этого критерия. Для этого прежде всего введем новый
параметр
Тогда
M = Ct-±±^, (5)
где
Физический смысл этой величины следующий: это
удвоенное отношение стоимости системы управления,
обеспечивающей среднеквадратичное отклонение, рав-
ное радиусу зоны поражения, к стоимости остальных ча-
стей ракеты.
Необходимое условие экстремума
дМ___г ___ (1—е-ж)я — (\-\-ах)ъ~х
~дх ~G1 —’ (1 —е-жр
Выкладки, на которых останавливаться не будем, пока-
зывают, что оно является и достаточным. Отсюда
а(1 —е“х) — (1-[-ал) е“х = 0
или
е»=х+1 + ^-.
(7)
Полученное трансцендентное уравнение аналитиче-
ски не решается, однако не представляет никаких труд-
412
ностей отыскать x=f(a) численным методом. Данные,
рассчитанные таким образом, приводятся ниже:
а О 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0
х оо 2,10 1,50 0,92 0,69 0,54 0,45 0,38 0,33 0,30 0,27 0,24 0,18 0,13
С помощью этих данных по заданной величине а лег-
ко определяется величина х и затем о.
При малых величинах а, что имеет место в случае
дешевой системы управления или, наоборот, большой
стоимости остальной части ракеты, формулу (7) можно
упростить следующим образом:
е
Г2
2аа
, 1
Л~1п—,
а ’
откуда
(8)
Анализ данных таблицы и формулы позволяет сделать
следующий вывод. Оптимальное о для ракет пропорцио-
нально радиусу зоны поражения и тем меньше, чем вы-
ше стоимость ракеты по отношению к стоимости систе-
мы управления.
Отметим, что аналогично может быть решена и за-
дача при произвольной боевой части, когда одновремен-
но следует выбрать и оптимальную точность стрельбы и
вес боевой части. Так, если считать боевую часть фугас-
ной, то r=kqyfq,rjte q — вес боевой части, и если счи-
тать, что стоимость ракеты пропорциональна весу бое-
вой части в некоторой степени б, то получим следующее
уравнение математического ожидания стоимости затрат
на поражения одной цели
М
С.,Ч±.
. 2а«
1 — е
(9)
где С2 — коэффициент зависимости стоимости ракеты от
веса боевой части.
413
Из этого уравнения необходимо обычными методами
найти и оптимальные, т. е. соответствующие миниму-
му Л1, значения о и q.
Это уравнение можно переписать в следующем виде:
аЪ+-~,
1 —
(10)
где
С. = Сгд^
X-—-
' 2а2 ’
2k _ 2k .
61^=^ г2 ” г2 ’
qN — вес боевой части, принятый за единицу, при
торой радиус зоны поражения rN и стоимость ракеты
системы управления Сх.
ко-
без
на
Аналитическое исследование этого выражения
экстремум оказывается громоздким, поэтому восполь-
зуемся простым расчетом.
Результаты расчетов по формуле (10) при фиксиро-
ванном а представлены на рис, 6.6.1, из которого видно,
414
что существуют оптимальные а и х, т. е. q и а. Такие
расчеты позволяют установить следующую зависимость
оптимальных а и х от а.
ТАБЛИЦА 6.6.1
1g а — 2,0 — 1,0 0,0 + 1,0
1g Хопт 0.30 0,56 0,32 0,30
1g аопт —1.30 —0,70 —0,13 +0,48
Аналогичная задача при других исходных зависимостях
(для стоимости системы управления и боевой части)
решается в работе [120].
Б. Статистическая модель
Полученное выше решение является очень простым,
однако не учитывает влияния и связи целого ряда фак-
торов.
Прежде всего изменение системы управления влечет
за собой не только изменение стоимости системы управ-
ления, но и ее веса. А это в свою очередь повлечет за
собой изменение веса и стоимости ракеты и стартового
оборудования. Изменение системы управления может
повлечь за собой изменение стоимости аппаратуры
предстартового контроля и аппаратуры баллистической
и метеорологической служб. Изменение системы управ-
ления может привести к изменению времени подготовки
ракеты к пуску, а это скажется на вероятности пораже-
ния цели. Система управления во многом определяет
закон поражения ракеты средствами ПРО противника.
От системы управления в значительной степени зависит
надежность ракеты. Ракета может применяться для
стрельбы по разным целям на разные дальности. И то
и другое — случайные величины, характеризуемые веро-
ятностями. Оценка точности стрельбы при выбранной
системе управления сама по себе является сложной ве-
роятностной задачей, в которой, помимо характеристик
системы управления, приходится учитывать и такие слу-
чайные факторы, как метеоусловия, координаты точки
415
старта и азимут стрельбы и т. д. То же самое можно
сказать и о вычислении вероятности поражения реаль-
ной цели.
Итак, мы пришли к сложному вероятностному про-
цессу, исследовать который аналитически в настоящее
время вряд ли возможно.
Наиболее целесообразно здесь воспользоваться ме-
тодом статистических испытаний.
Один из возможных вариантов схемы решения пока-
зан на рис. 6.6.2. Эта схема позволяет оценить выбран-
ный вариант системы управления.
Основными блоками этой модели являются:
— блок оценки точности стрельбы;
— блок оценки вероятности поражения цели;
— блок оценки стоимости ракеты и комплекса.
Остановимся на основных функциях и принципах по-
строения этих блоков.
Проектирование варианта системы управления явля-
ется весьма сложной задачей. Прежде всего, система
управления может быть построена на разных принципах
(телеуправления, инерциального, самонаведения), раз-
ных методах управления (на всей траектории, только на
активном участке), разных методах стабилизации дат-
чиков (гиростабилизированная платформа, жесткое
скрепление с корпусом ракеты), разных датчиках уско-
рения, если речь идет об инерциальных системах (маят-
никовых, гироскопических, тензометрических), разных
системах счетно-решающих приборов (непрерывного
счета, дискретного счета, дифференциальных анализато-
рах, механических), разных типах рулевых машин
(электрических, гидравлических). Если ограничиться пе-
речисленными разновидностями, считая, что возможны
любые комбинации и что числу типов датчиков у инер-
циальных систем соответствует такое же число типов
координаторов цели у головок самонаведения и т. д., то
получим число возможных комбинаций конструкций
системы управления:
3X2X2X3X4X2 = 288.
Таким образом, имеем очень большое число дискрет-
ных вариантов, просмотреть каждый из которых не
представляется возможным. Поэтому приходится огра-
ничиться просмотром сравнительно небольшого числа
416
Стоимость
аппаратуры
баллистичес-
кой и метео-
служб
Аппаратура
баллистичес-
кой и метео-
служб
Стоимость
системы
управления
Вариант
___ системы
управления
Закон
поражения
ракеты
Вес
системы
управления
Блок оценки
точности
стрельбы
блок оценки
вероятности
поражения ракет
от противника
{Даль-
—\ность
Стоимость
аппаратуры ч
предстартового
контроля
ность
Надежность *
системы —i
управления
Вес
ракеты
Стоимость
ракеты и
стартового
агрегата
блок оценки
вероятности
поражения
цели
*Тип
цели
Цремя
нахож-
Блок
выбора,
целей
дения цели на
позиции
Время
подготовки
к пуску
Математическое
ожидание затрат
на поражение
цели
Выбор
системы
управления
блок оценки
стоимости
ракеты и
комплекса
к
Рис. 6.6.2.
27—343
417
вариантов, предварительно выбранных опытным конст-
руктором.
В рамках каждого варианта необходимо выбрать оп-
тимальное распределение ошибок отдельных элементов,
обеспечивающее минимальную стоимость при заданной
точности. Пусть стоимость каждого элемента Сг- связа-
на со среднеквадратичной величиной промаха, им вы-
зываемой Oi, следующим соотношением:
Сг=~4~. (И)
°?
Здесь ki — коэффициент относительной стоимости эле-
мента системы управления (т. е. стоимость
при сг = 1);
щ — показатель степени зависимости стоимости от
точности (процент изменения стоимости на
1 % изменения точности).
Суммарная стоимость системы управления
Суммарное рассеивание
п
*’ = £< (13)
i = l
Требуется найти соотношение между сч, при котором ве-
личина С минимальна. Исследование этого вопроса, про-
веденное в [35], показывает, что это условие выполняет-
ся при
—const. (14)
Если считать, что все аг= const, то это условие сводится
к следующему:
—const. (15)
В этом случае чем больше стоимость компонента,
тем больше среднеквадратические отклонения могут
418
ему соответствовать. Если показатели степени зависи-
мости разные, то чем больше этот показатель, тем боль-
шая стоимость допускается. Таким образом можно про-
вести распределение точностей элементов, задаваясь ве-
личинами о.
Далее, при проектировании системы управления не-
обходимо определить вес этой системы, который склады-
вается из веса основных узлов, источников питания, ком-
мутационной сети и несущей конструкции.
Вид системы управления определяет требования
к аппаратуре баллистической и метеорологической
служб. Так, при управлении на всей траектории без ме-
теорологической службы вообще можно обойтись, управ-
ление только на активном участке предъявляет доста-
точно жесткие требования к метеослужбе. Поэтому при
проектировании системы управления необходимо, опре-
делив требования к метеослужбе и баллистической
службе, спроектировать соответствующее оборудование
или выбрать его из существующего.
Наконец, необходимо спроектировать аппаратуру
предстартового контроля и определить ее стоимость.
Детальное описание формул, которыми приходится
пользоваться при проектировании, выходит далеко за
рамки настоящей книги.
При этом приходится пользоваться характеристиками
состояния производства: весовыми, стоимостными, объ-
емными характеристиками аппаратуры, потребляемыми
ею мощностями и другими аналогичными характеристи-
ками. Необходимо иметь в виду, что изменение этих
характеристик (что может быть вызвано, например,
изобретением нового прибора, материала, нового техно-
логического процесса) может коренным образом изме-
нить характеристики системы управления.
После получения конкретной конструкции необхо-
димо проверить выполнение требований по точности. Это
может быть выполнено с помощью метода статистиче-
ских испытаний в блоке оценки точности стрельбы. Опи-
сание метода построения этого блока дано в § 2.5.
Надежность полученной системы должна быть про-
верена в блоке оценки надежности, который в общем
случае может быть построен с использованием метода
статистических испытаний.
27* 419
Вид и конструкция системы управления в значитель-
ной мере определяют уязвимость ракеты от средств ПРО
противника. Так, ракеты, управляемые на всей траекто-
рии, будут с этой точки зрения хуже ракет, управляемых
не на всей траектории. Чем больше габариты системы
управления, тем больше ее уязвимость и т. д.
Поэтому в зависимости от типа системы управления
будет меняться закон поражения ракеты от средств
ПРО, который должен быть определен в соответствую-
щем блоке.
Прежде чем перейти к определению вероятности по-
ражения цели, необходимо осуществить выбор цели. Из
анализа задач, решаемых данным типом ракет, можно
получить статистические характеристики целей: часто-
сти их появления, габариты (математические ожидания
и дисперсии), уязвимость (например, выраженная в дав-
лении ударной волны), расстояния от переднего края
(математическое ожидание и дисперсия), время пребы-
вания на позиции и т. д. В блоке выбора цели для каж-
дой реализации выбираются конкретные характеристики
целей с помощью случайных чисел и преобразований,
описанных в § 2.2.
В блоке оценки вероятности поражения цели по за-
данным характеристикам цели, надежности и точности
стрельбы ракеты, времени подготовки ракеты к пуску
(оно влияет на вероятность того, что цель не ушла до
попадания в нее ракеты) определяется вероятность по-
ражения цели. При этом в общем случае и здесь наи-
более приемлемым может оказаться метод статистиче-
ских испытаний.
Наконец, исходя из стоимости ракетного комплекса
и вероятности поражения цели, в результате серии
испытаний определяется математическое ожидание за-
трат на поражение цели. Такое определение производит-
ся для разных вариантов системы управления при раз-
ной точности. Выбирается тот вариант, который обеспе-
чит минимум затрат.
Приведенная схема является весьма сложной и гро-
моздкой, однако она позволяет произвести всесторонние
исследования.
При решении практических задач она может быть
упрощена или изменена в зависимости от конкретных
требований.
420
§ 6.7. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ
А. Постановка вопроса
Рассматривается устройство, состоящее из блоков k
типов (рис. 6.7.1). Для повышения надежности эти бло-
ки резервируются однотипными с ними блоками. Число
всех блоков каждого типа равно
Вероятность безотказной работы (в течение задан-
ного времени) f-го блока (с учетом наличия щ—1 ре-
зервного блока) равна
(Z= 1,2,..., £)•
Стоимость одного блока f-готипа равна СД/=1,2, ...,&).
Вероятность безотказной работы всего устройства
(с учетом наличия резервных блоков) будет
Р = A (nt) А (/г2)... A (raft). (1)
Общая стоимость всего устройства будет
С = п1С1 -|- п2С2 -|-... -|- (2)
Формулируются две задачи.
Прямая задача. Задано значение вероятности по
уравнению (1). Требуется найти числа /гг, ..., Пь так,
чтобы стоимость С по уравнению (2) была минимальной.
421
Обратная (двойственная) задача. Задано значение
стоимости Сзад по уравнению (2). Требуется найти числа
«1, nt, пи так, чтобы вероятность Р по уравнению (1)
была максимальной.
Введем обозначения для вероятности отказа в тече-
ние заданного времени:
^(/1г)= 1 — Pi (Hi),
Q=l-P.
(3)
(4)
Тогда можно указанные две задачи сформулировать
так:
Прямая задача. Задано значение Q3w Требуется най-
ти так, чтобы стоимость С была минимальной.
Обратная задача. Задано значение Сзад. Требуется
найти Пг так, чтобы вероятность Q была минимальной.
На практике часто бывает так, что величины
малы по сравнению с 1. Тогда из уравнений (1) и (3)
получаем приближенное уравнение, где опущены произ-
ведения q:
P=\—qAnJ — q»(nJ — ...—qk(nh)- (5)
Из уравнений (4) и (5) находим
Q — qt (nJ + qa (nJ + ... 4- qh (nh).
(6)
В заключение этого пункта заметим, что приведен-
ные здесь уравнения справедливы для любого вида ре-
зервирования (нагруженный резерв, ненагруженный
резерв и т. п.).
Заметим также, что величины Ci можно рассматри-
вать как веса или объемы блоков.
Ниже мы приведем несколько методов решения рас-
смотренных задач.
Б. Метод перебора возможных вариантов
Если число k типов блоков невелико и искомый
экстремум достигается при малых значениях то рас-
смотренные выше задачи легко решаются по методу
перебора всех возможных вариантов.
422
Очевидно, что наименьшие значения всех иг- рав-
ны 1. Поэтому первый вариант значений будет
1, 1, 1.
В качестве второго варианта можно принять следую-
щие значения пс
2, 1, ..., 1.
В качестве третьего варианта можно взять гц
1, 2, 1
и т. д.
Для каждого из этих вариантов можно найти Р
или Q по уравнениям (1) или (6) и значение С по
уравнению (2). Затем из этих вариантов отбирается тот,
который удовлетворяет условиям поставленной за-
дачи.
Поясним этот метод на примерах.
Пример 1. Устройство состоит из двух типов блоков (k=2). Ре-
зерв нагруженный. Заданы: #i(l) = 0,07, </2(1) = 0,30, Ci=l, С2=5,
Озад=0,10. Требуется найти щ и п2 так, чтобы стоимость С была
минимальной.
Решение. Для случая нагруженного резерва справедливо
уравнение (см. § 1.8)
= = (7)
где для краткости обозначено
4i (!)=<?.•• (8)
Составим сначала табл. 6.7.1 значений ^-(п;), используя уравнение
(7) и заданные по условию значения q\ (1) и ?2(1)«
ТАБЛИЦА 6.7.1
п <71 («) <71 («)
1 0,07 0,30
2 0,005 0,09
3 0 0,027
Из уравнения (6) и табл. 6.7.1 ясно, что для получения Q 0,10
пригодны варианты значений п\ ,и и2, сведенные в табл. 6.7.2.
Из этой таблицы видно, что минимум С при 0,100 достигает-
ся при П1=<2 и и2=2.
423
Пример 2. Рассмотрим обратную задачу для условий примера 1.
Пусть задано С8ад=15. Требуется найти П\ и п2 так, чтобы ве-
роятность Q была минимальной.
ТАБЛИЦА 6.7.2
«1 Q С
1 3 0,097 16
2 2 0,095 12
2 3 0,032 17
3 2 0,090 13
3 3 0,027 18
Решение. Для решения этой задачи составляются табл. 6.7.1
и 6.7.2. Из табл. 6.7.2 видно, что при С < 15 наименьшее значение Q
достигается при Л1 = 3, л<г=2.
В. Метод неопределенных множителей Лагранжа
Рассмотрим сначала прямую задачу. Для нее в соот-
ветствии с уравнениями (1) и (2) составляем функцию
k k
Ft = X ~ гП Pi (th). (9)
Z=1 Z=1
Приравнивая нулю частную производную по пг-, полу-
чаем
k
-2 т П/ =°- (10)
Ufli *
/=1
Из уравнения (1) имеем
ъ
(И)
й
Из уравнений (10) и (И) находим
для всех i от 1 до k.
424
Если используется уравнение (6), то для прямой за-
дачи составляется функция
k k Л = S niCi — 2 4i (ni). (13) t=l
Приравнивая нулю производную no iti, получаем = (14)
откуда с, -^г-- 1 -“№*• <15>
Уравнения (12) и (15) используются обычным обра-
зом для решения задачи по методу неопределенных мно-
жителей Лагранжа.
Для обратной задачи уравнение (9) записывается
в таком виде:
k k
F3 = П Pi (rti) — Я, nt€i. (16)
Z=1
Из этого уравнения вместо уравнения (12) получаем
1 dpi(rii) IX ,
Аналогично для обратной задачи при использовании
уравнения (6) получаем
Т—const. (18)
U i Otli
Рассмотрим частный случай, когда резерв нагружен-
ный. В этом случае из уравнений (7) и (15) получаем
=_1_. (19)
Введем обозначение
425
Тогда уравнение (19) примет вид
Из условия прямой задачи и уравнения (6) получаем
k
Фзад^^ (22)
i=i
Из уравнений (21) и (22) находим
(23)
i=l
Отсюда получаем
k
1g Озад + 1g Лг — 1g аг
----------ig-—
Из физических соображений ясно, что уравнение (24)
обеспечивает минимум С.
Так как величины пг- являются целочисленными, то
метод неопределенных множителей Лагранжа дает при-
ближенное решение задачи, которое тем точнее, чем
больше величины гц.
Заметим, что для обратной задачи по этому методу
не получается явного решения, как в уравнении (24).
Поэтому метод неопределенных множителей Лагранжа
нельзя рекомендовать* для решения« обратной задачи
(для рассмотренного выше случая прямой задачи).
Проиллюстрируем этот метод на примере.
Пример 3. Рассматривается прямая задача в условиях при-
мера 1.
Решение. По условиям примера 1 находим
1g *71 =—1,155, lg q2 = — 0,523, lg Q3afl = — 1.
Далёе по уравнению (20) вычисляем
at = 0,376, #2 = 0,415,
426
затем находим
2 2
£^=0,791, lg^ а, = — 0,102.
1=1 1=1
Затем по уравнению (24) определяем
пх = 1,15, п2 = 2,44.
Напомним, что в примере 1 мы получили пх = 2, п2 = 2.
Г. Метод скорейшего спуска
Рассмотрим сначала случай, когда величины qi(rii)
малы и справедливо уравнение (6). Здесь, как это сле-
дует из уравнений (15) и (18), в точке экстремума имеет
место постоянство величин
(25)
Из уравнения (25) ясен физический смысл величины
Vi — это скорость изменения характеристики надежности
9г (я), приходящаяся на единицу стоимости Сг-. Переходя
от значения щ к значению Пг+1, можно приближенно за-
писать для абсолютной величины скорости выражение
Vi (tti) = . (26)
С г
С ростом rii вероятности 9г(Пг) убывают, стремясь
к нулю. Отсюда следует, что с ростом пг- скорости Vi
также стремятся к нулю. В точке экстремума все ско-
рости Vi одинаковы. Отсюда следует, что при рассмотре-
нии какого-либо варианта значений Пг(/=1, 2, ..., k),
для которого еще не достигается заданный уровень
(?зад или Сзад, нужно в первую очередь увеличивать то
значение П-/, для которого скорость Vi имеет наибольшее
значение. При таком подходе к рассмотрению различных
вариантов величин п2, ..., nh будет осуществляться
«скорейший» спуск к минимуму Q (или С).
Если величины qi(rii) не малы, то, пользуясь уравне-
нием (1), надо в соответствии с уравнениями (12)
и (17) рассматривать относительные скорости
<27)
427
Переходя от пг к tii +1, можно приближенно записать
v,w= (28)
С ростом щ скорости Vi стремятся к нулю, а в точке
экстремума они одинаковы. Поэтому и здесь «скорей-
ший» спуск осуществляется увеличением тех значе-
ний tii, для которых скорости Vi имеют наибольшее зна-
чение.
Метод скорейшего спуска рекомендуется применять
следующим образом, который годится для прямой и
обратной задач и при любых видах резервирования.
1. Составляется таблица значений:
< 7х(1), <7,(1). • • ><7л(1).
< 7.(2), qt(2),...,qh(2),
< 7i(/)> q»(i),-- , qh(f)
(или соответствующая таблица для
2. С помощью уравнений (26) или (28) составляется
таблица скоростей:
VxO), V2(l),..Vft(l),
VJ2), V2(2),Vfe(2),
v.(/), V2(/),..., vh(j).
3. На таблице скоростей производится последователь-
ная нумерация скоростей от 1 в порядке убывания вели-
чин скоростей.
4. Производится переход от начального варианта /гх =
— Л2 = . л . — Пь— 1 к следующему варианту, у которого
П1 = П2=.. ,=Пз^1 = П8Л.1 — . . тг8 = 2,
где s — номер блока, у которого скорость Vs (1) оказа-
лась наибольшей, т. е. имеет номер 1. Далее аналогично
делается следующий шаг по скорости с номером 2
и т. д.
5. Для каждого варианта значений пг- подсчитыва-
ются значения Q(P) и С по уравнениям (6), (1) и (2).
Эти значения записываются в таблицу, из рассмотрения
которой и выбирается решение задачи.
Проиллюстрируем эту методику на примерах.
428
Пример 4. Применим метод скорейшего спуска к задаче, усло-
вие которой приведено в примере 1.
Решение. Составляем таблицу значений qt(n). Она приведена
выше (см. табл. 6.7.1). Далее составляем таблицу скоростей
(табл. 6.7.3) при помощи уравнения (26).
ТАБЛИЦА 6.7.3
п V, (л)
1 0.065/1 0,042/2
2 0.005/4 0,013/3
Затем отмечаем на табл. 6.7.3 порядковыми номерами скорости
в порядке убывания их величины. Первый шаг от варианта 1,1 сле-
дует сделать к варианту 2,1, так как скорость Vi(l) является наи-
большей. Следующая по величине скорость У2(1). Поэтому следую-
щий шаг приводит к варианту 2,2. Далее получаем варианты 2,3 и
3,3. Все эти варианты сводим «в табл. 6.7.4, в которой приводятся
также значения Q и С, вычисляемые по уравнениям (6) и (2).
ТАБЛИЦА 6.7.4
Номер варианта «1 Q С
1 1 I 0.37 6
2 2 1 0,305 7
3 2 2 0,095 12
4 2 3 0,032 17
5 3 3 0.027 18
Из этой таблицы видно, что минимум С при условии Q <0,100
достигается при Л1=2 и п2=2. как это и было получено в примере 1.
Пример 5. Устройство состоит из трех типов блоков (k=3).
Заданы: <?i=0,07, ^2=0,10, <?з=0,05, 1, С2=5, С3=2, <?зад=0,015.
ТАБЛИЦА 6.7.5
п ft(«) ft («) ft (л)
1 0,07 0.10 0,05
2 0,005 0,010 0,0025
3 0 0,001 0
429
Требуется найги числа блоков ni, п2 и л3 так, чтобы имел место ми-
нимум С (резерв нагруженный).
Решение. Составляем табл. 6.7.5 значений qi(n) = qf.
Далее составляем табл. 6.7.6 при помощи уравнения (26)
ТАБЛИЦА 6.7.6
п Vi (п) v, (П) V, («)
1 2 0.065/1 0,005/4 0,018/3 0,002/5 0.Р24/2 0,001/6
В этой таблице нумеруем скорости в порядке убывания их вели-
чины. По этим номерам определяем последовательные варианты
значений п2 и п3, которые сводим в табл. 6.7.7. В этой же табли-
це приводим значения Q и С, полученные по уравнениям (6) и (2).
ТАБЛИЦА 6.7.7
Номер варианта «1 п2 п3 Q С
1 1 1 1 0,22 8
2 2 1 1 0,155 9
3 2 1 2 0,107 11
4 2 2 2 0,017 16
5 3 2 2 0,012 17
6 3 3 2 0,004 22
7 3 3 3 0,001 24
Из этой таблицы видно, что при условии Q =<0,015 минимум С
достигается при П1=3, п2=2, п3==2.
Пример 6. Рассмотрим обратную задачу в условиях примера 5.
Пусть задано с3ад=12, а требуется найти числа п2 и п3 так, что-
бы вероятность отказа Q имела минимум.
Решение. Из табл. 6.7.7 видим, что при условии С ^12 ми-
нимум Q достигается при П]=2, п2=1, п3==2.
ГЛАВА 7
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ БОЯ
§ 7.0. ВВЕДЕНИЕ
роевое использование различных видов во-
оружения и другой техники производится
при активном противодействии противника. Это обстоя-
тельство существенно влияет на эффективность боевого
применения вооружения. Поэтому три исследовании эф-
фективности различных видов оружия важно правиль-
но оценить противодействие противника. В настоящей
главе приведены различные методы его оценки. Первые
два параграфа посвящены учету противодействия в про-
стейших случаях, в том числе и с учетом характеристик
надежности вооружения.
Методы расположены по мере их усложнения и пол-
ноты учета различных факторов противодействия про-
тивника. Среди них большое место отведено применению
теории игр. Однако приведенный в главе материал не
может ни в коей мере претендовать на полноту изложе-
ния вопросов теории игр. Здесь даны лишь основные
элементы этой теории и некоторые принципы ее приме-
нения для учета противодействия.
Теории игр посвящена достаточно большая литера-
тура на русском языке, с которой читатель может при
желании ознакомиться. В главе рассмотрены линейный
и квадратичный законы Ланчестера, использование кото-
рых иллюстрировано примерами, и даны некоторые их
обобщения. Кроме того, рассмотрены вероятностный
анализ уравнений Ланчестера и особенности его приме-
нения.
Модель выживания дана на примере дуэли двух
враждующих боевых средств. Однако рассмотренный
метод можег быть распространен и на другие, более
431
общие боевые ситуации. В главе приводится матричная
модель боя комплексов ПВО.
Все аналитические модели составлены при ряде до-
статочно существенных допущений. Поэтому они годятся
лишь для приближенной оценки противодействия про-
тивника. Более полный учет всех особенностей реаль-
ных боевых ситуаций, в которых будет использоваться
вооружение и боевая техника, может быть осуществлен
с помощью статистического моделирования на ЭЦВМ,
вопрос о котором рассматривается в следующей главе.
§ 7.1. УЧЕТ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ
ПРИ.ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ
А. Постановка задачи
С противодействием противника мы встречаемся
в большинстве военных задач. Против танков действуют
противотанковые средства, а танки, в свою очередь,
ведут стрельбу по противотанковым средствам. Против
самолетов действуют зенитные средства, а самолеты ве-
дут борьбу как со стартовыми позициями ЗУР, так и
с ракетами в воздухе. Подобные задачи решаются и
в других видах войск. Поэтому сравнение эффективно-
сти различных средств необходимо вести с учетом про-
тиводействия. Только в этом случае удается выбрать
наиболее перспективные виды вооружения.
В общем случае при стрельбе ракетами учет проти-
водействия является весьма сложной задачей. Ослож-
няется задача тем, что при этом требуется учитывать
количественное воздействие многих факторов, таких, как
эффективность вооружения, эффективность средств раз-
ведки и количество огневых единиц, привлекаемых для
противодействия.
Более простое решение получается в задачах дуэль-
ного типа. Например, зенитная установка против одного
самолета или противотанковая пушка против танка или
группы танков. Такие задачи решаются аналитически.
Более сложные задачи противодействия, такие, как
противодействие подразделений, частей и соединений,
уже не имеют аналитического решения. В современных
условиях такие задачи решаются с применением ЭЦВМ.
432
Однако аналитические методы решения задач по проти-
водействию не утратили своего значения. Дело в том,
что при решении сложных задач на ЭЦВМ требуется
большой объем памяти.
В том случае, когда объем памяти данной машины
не позволяет решить поставленную задачу, прибегают
к упрощению, сокращая количество операций. При этом
многие входные данные для машины могут быть полу-
чены решением аналитических задач по противодей-
ствию.
Покажем применение аналитических методов реше-
ния простейших задач по противодействию на примерах.
Б. Оценка эффективности батареи ЗУР
с учетом противодействия, когда зенитные комплексы
открывают огонь первыми
Для снижения эффективности зенитного прикрытия
авиация предпринимает ряд атак на зенитные средства
еще перед тем, как совершить налет на охраняемый объ-
ект. Рассмотрим задачу, связанную с подавлением зе-
нитного прикрытия самолетами.
Пусть самолет совершает п заходов на огневую по-
зицию батареи ЗУР, применяя бомбометание с горизон-
тального полета неуправляемыми бомбами. Огонь от-
крывает при каждом заходе батарея ЗУР и заканчивает
его до момента выхода цели на рубеж образования во-
ронки бомбометания, так как после сбрасывания бомбы
самолет, применяя маневр, выходит из зоны обстрела.
Пусть pi, р2, ..рп — вероятность поражения само-
лета соответственно в 1, 2, ..., n-м заходе, a qi,
?2, ..Цп — вероятность поражения зенитной батареи
при бомбометании с самолета в 1,2,..., n-м заходе.
Тогда вероятность поражения самолета в первом
заходе будет pi, батареи (1—Р1)<7Г, во втором заходе
соответственно
(1—А)(1—<7)Л’и (1 —А)(1 —?1)?2 и т. д.,
в k заходе
t=k-i i=k-\
Рь П (1 —А)(1 —<7г) и А) П (1— Л)П — <7<)-
;=i /=1
28—343 433
Вероятность поражения самолета за п заходов опреде-
ляется по формуле
Рп = % рк П(1-А)(1-<7«), (1)
г=1
а вероятность поражения батареи за п заходов—по фор-
муле
Qn = % qh (1 - ph) П '(1 - Pi) (1 - <?,)• (2)
£=1 i = \
Пусть вероятности поражения самолета и батареи ЗУР
в каждом заходе остаются постоянными, т. е.
Pi = p и qi = q.
Тогда формулы (1) и (2) принимают вид
Рп = рУ (3)
&
Qn = q(l-p)Y (4)
6=1
Суммы в правой части формул (3) и (4) представляют
собой суммы убывающей геометрической прогрессии,
поэтому их можно записать иначе:
о.=.(1-р)^(л)|(|,2:))' • (6)
При /г->оо формулы (5) и (6) принимают вид
Формулы (7) и (8) дают точное значение вероятности
поражения самолета и зенитной батареи в предельном
случае, когда «ничейный» исход маловероятен.
434
В. Оценка эффективности зенитных установок,
когда, начиная со второго захода,
первым производит бомбометание самолет
Для зенитных установок, которые не могут вести
борьбу с самолетами до момента образования воронки
бомбометания и открывают огонь первыми только при
первом заходе, когда самолет еще не обнаружил уста-
новку, а во втором и третьем заходах первым будет про-
изводить бомбометание самолет, формулы (1) и (2) при-
нимают вид
= + £ А(1 —П (1—А)(1—<7i). (9)
Л-1
= X ’(1 -^)(1-Чг)~ ЧгРи (Ю)
i=l
Если Pi —р и qi—q, то формулы (9) и (10) можно за-
писать иначе:
пг п /1 п\ 1 К1 р) О q)]n I Г}п /11 \
р П — Р(\ Я) 1 —(1—р)(1—9) ~Г РЯ> (11)
Q' 1-Ю-Р) (!-<?)]" П2)
чп—i —(i—/>)(1 —<?) • ча»
при п.—«-оо
p-=w+1-^;)>('; из)
от
Г. Математическое ожидание числа пораженных целей
и среднее число самолетовылетов
Уравнение, позволяющее рассчитать среднее число
самолетовылетов Fn для поражения установки (бата-
реи), можно записать следующим образом:
Fn = -^, (15)
ЧП
где Qn — вероятность поражения установки за п захо-
дов при одном самолетовылете, вычисляемая с помощью
28* 435
формулы (6) или (12); Fn зависит от числа заходов.
Предположим, что один самолет делает 2—3 захода для
атаки, а поскольку первый заход необходим для обна-
ружения малоразмерных наземных целей, можно при-
нять равновероятными самолетовылеты с двумя и тремя
заходами по одной цели. Среднее число самолетовыле-
тов F3 в этом случае определяется по формуле
= (16>
Определим математическое ожидание числа пора-
женных воздушных целей за боевую жизнь установки.
Пусть самолет выполняет п заходов за один самолето-
вылет, причем вероятность поражения установки в каж-
дом заходе а самолета Тогда математическое
ожидание числа пораженных воздушных целей Мп (если
каждый самолет делает п заходов) определится по фор-
муле
2Wn=p1 + (i-Q1)/32+(l-Q1)(l-Q2)/:>s + ...
где N=nS — общее число заходов на одну установку
при атаке S самолетов.
Пусть Р\^Р2~Рп—.вероятность поражения одного
самолета за п заходов, a Qt~Q2~Qn— вероятность по-
ражения установки одним самолетом за п заходов.
Тогда
Мп = Рп[1 + (1 -Q„) + (l-Qn)2 + - . . +(1 -<?„)*] =
==Pnl-(l-Qn)=^n‘ (17)
Допустим, что атака на установку при двух и трех
заходах равновероятна, тогда математическое ожидание
числа пораженных воздушных целей
Л = (>8)
Уравнения (16) и (18) могут быть использованы
при оценке эффективности зенитного вооружения с уче-
том экономики, если известна стоимость установки и
самолета.
436
Пример 1. Вероятность поражения батареи ЗУР и самолета по-
стоянны: р=</=0,5. Зенитная батарея открывает огонь первой. Опре-
делить математическое ожидание числа пораженных воздушных це-
лей при стрельбе зенитной батареи с учетом противодействия (Л1)
и среднее число самолетовылетов, необходимых для поражения зе-
нитной батареи (F3).
Решение. Расчет производим по уравнениям (5), (6), (16) и
(18).
Результаты расчета приведены ниже:
Р* Pt <?2 <2з М Ft
0,625 0,655 0,312 0,328 2 3,14
Отсюда видно, что при одной и той же эффективности зенитной
батареи и самолета требуется в среднем более трех самолетовылетов
для подавления батареи, а батарея в среднем сбивает две цели за
боевую жизнь.
Пример 2. Вероятность поражения зенитной установки и самоле-
та постоянны: р=</=0,5. Самолет производит бомбометание первым,
начиная со второго захода (в первом заходе первой открывает
огонь зенитная установка).
Определить математическое ожидание числа пораженных воздуш-
ных целей при стрельбе зенитной установки М и среднее число са-
молетовылетов, необходимых для поражения зенитной установки
(F3).
Решение. Расчет производим по уравнениям (11), (12), (16)
и (18). Результаты расчета следующие:
Р'2 Р'3 Q't Q't М F3
0,56 0,58 0,62 0,66 0,89 1,57
Отсюда видно, что при одной и той эффективности зенитной
установки и самолета требуется в среднем 1,6 самолетовылета для
поражения зенитной установки, а зенитная установка сбивает менее
одного самолета за боевую жизнь.
В этом примере преимущество оказалось на стороне самолета,
так как мы не учли вероятности обнаружения цели, а приняли p=q.
При расчете р и q необходимо учитывать вероятность обнару-
жения цели (см. § 1.10).
Д. Оценка эффективности противотанковых установок
с учетом противодействия
Рассмотрим задачу по отражению атаки группы тан-
ков с помощью установки ПТУРС. Установка ПТУРС
расположена на танкоопасном направлении, находится
в постоянной боевой готовности и хорошо замаскиро-
вана. Установка может быть обнаружена противником
только после выстрела. После выстрела по установке от-
437
крывает огонь танк. Определить эффективность уста-
новки ПТУРС с учетом противодействия.
Пусть pi, р2, • •Рп — вероятности поражения танка
при первом, втором и п выстрелах, а <?i, q2i ..qn—
вероятность поражения установки ПТУРС при 1, 2 и п
выстрелах с танка.
В таком случае вероятность поражения танка при
первом выстреле будет а установки (1—Р1)<7Г, при
втором выстреле
(1— pi) (1— qi)p2 и (1—/?,) (1—<7i)</2 и т. д.
при k выстрелах
Pk П О —А)(1—<7<) и —А) П (1— А)(1— Яг)-
/=1
Вероятность поражения танка при п выстрелах с уче-
том противодействия определится по формуле
Рп=^АП,(1-А)(1-<7д. (19)
£=! Z=1
а вероятность поражения установки
Qn^qk(\-ph)1 П (20)
Л=1 i=l
Применяя такие же преобразования к уравнениям
(19) и (20), как и к уравнениям (1) и ('2), получаем
(21)
(22)
При п = 2 уравнения (21) и (22) принимают вид
Л = Я1 + (1- Р)(1- <7)], (23)
Q» = 7(l-Р)[1+(1- Р)(1 - Я)]- (24)
438
Предположим, что установка имеет N снарядов и по
каждой цели она расходует по два снаряда. Среднее
число пораженных танков определится по формуле
tW = P2 + (1-Q2)P2+ (1_Q^P2 + (1_Q2)*P2 +
k
+ • • • + (1 - Q2)n- Л [1+У (1 - Q2)ft] -
(25)
или, подставив уравнения (23) и (24) в уравнение
(25), получим математическое ожидание числа поражен-
ных танков
М = ,.р .. (26)
<7(1—р) v 7
Среднее число танковых атак, после которых уста-
новка будет поражена, если в каждой атаке он будет
расходовать по два снаряда, определится по формуле
Л = = <7(1-р) + <7(1-7)(1-р)2 • (27)
Аналогично можно получить М и L при п=3 и более.
Пример 3. Пусть вероятности поражения танка ПТУРС и уста-
новки ПТУРС танком постоянны и равны p=q=§. Определить сред-
нее число пораженных танков М и число танковых атак, после ко-
торых установка будет поражена L.
Решение. По уравнениям (26) и (27) находим
M=2,0, L=3,21.
Здесь, так же как и в примере 7.1.1, сказалось преимущество
установки ПТУРС, так как она первой открывает огонь.
§ 7.2. ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ
СТРЕЛЬБЫ ПРИ УЧЕТЕ НАДЕЖНОСТИ ВООРУЖЕНИЯ
И ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ ПРОТИВНИКА
А. Постановка задачи
В настоящем параграфе будет рассмотрен один про-
стой случай наличия противодействия противника.
В этом случае особенно наглядно можно показать влия-
439
ние надежности всех элементов вооружения на эффек-
тивность стрельбы.
Условимся для краткости называть стреляющее ору-
жие (в совокупности со снарядом или ракетой) ком-
плексом.
Рассматривается следующий случай. Комплекс полу-
чает задачу выехать «на стартовую позицию и поразить
заданную цель одним выстрелом. В этом случае крите-
рием эффективности выполнения боевой задачи является
вероятность R поражения цели. Эту вероятность можно
найти по уравнению
B = Q.(1)
где Q — вероятность того, что комплекс сумеет произ-
вести выстрел до того, как сам будет поражен огнем
противника;
Рк— вероятность безотказного функционирования
комплекса при старте и на траектории;
•#1 — условная вероятность поражения цели при ус-
ловии, что все элементы комплекса функционируют без-
отказно.
Вероятность зависит от точности комплекса и
могущества действия по цели. Вопрос о факторах,
влияющих на эту вероятность, и о методике ее расчета
был рассмотрен в § 3.1—3.3.
Вероятность Рк характеризует собой техническую на-
дежность комплекса при выстреле. Она может быть
представлена в таком виде:
Р К Р Н* Р НС* Р нп, (2)
где Рн — вероятность безотказного функционирования
наземного стартового оборудования;
Рнс — вероятность нормального старта (вероятность
отсутствия отказа при старте);
Рнп—вероятность нормального полета (вероятность
отсутствия отказа на траектории и у цели).
Вероятность Q характеризует собой «тактическую
надежность», или готовность комплекса к нанесению
удара. Эта вероятность заслуживает того, чтобы на ней
остановиться подробнее.
440
Вероятность Q зависит от технической надежности
комплекса до выстрела, от интенсивности разведки
противника и от характеристик вооружения противника.
Рассмотрим по порядку эти три группы факторов.
Б. Характеристики технической надежности
комплекса
Пусть длительность нормальной подготовки компле-
кса к выстрелу (при отсутствии отказов на СП) равна
/н, а вероятность отсутствия отказов на СП равна Рсп-
При наличии отказов на стартовой позиции затрачи-
вается некоторое время на отыскание и устранение отка-
зов, вследствие чего появляется задержка подготовки t
(т. е. время подготовки к выстрелу равно /н+1/)- Вели-
чина t является случайной. В первом приближении
функция распределения этой случайной величины может
быть представлена в виде (см. § 1.8)
Р (т) = Вер (t < г) = 1 - (1 - Рсп) е“^, (3)
где ц — характеристика интенсивности задержек подго-
товки;
Р(т)—вероятность того, что задержка подготовки
не будет превосходить т. Подчеркнем, что величина т
всегда > 0.
В. Разведка комплекса противником
Для упрощения аналитического решения рассматри-
ваемой задачи примем экспоненциальную зависимость
вероятности Ро обнаружения противником комплекса от
времени Т его пребывания на стартовой позиции
Рй(Т) = ^{Г^Т)=\-^~гТ, (4)
где г — характеристика интенсивности разведки про-
тивника;
f— время, затраченное противником на обнаруже-
ние комплекса (/' отсчитывается от момента
прибытия комплекса на СП).
441
Г. О характеристиках вооружения противника
Рассмотрим случай, когда противник использует
против стреляющего комплекса аналогичный комплекс.
Будем характеристики комплекса противника обозна-
чать такими же буквами, как и характеристики стреляю-
щего комплекса, но с чертой вверху. Тогда его характе-
ристиками будут Рк, ^1, Реп, р, tH. Кроме того, как
указывалось в п. В, интенсивность разведки г также от-
носится к характеристикам вооружения противника.
Д. Вывод основного уравнения для Q
Обозначим через Рг вероятность того, что комплекс
сделает 'выстрел раньше, чем сделает выстрел про-
тивник.
Возможны два случая:
А — рассматриваемый комплекс стреляет раньше
противника;
В — комплекс противника стреляет раньше рассмат-
риваемого комплекса.
В этих двух случаях вероятности того, что рассматри-
ваемый комплекс сумеет произвести выстрел до того,
как сам будет поражен, будут соответственно
0л=1> (5)
QB= 1-РкЯ,. (6)
По теореме полной вероятности получаем
Q=pAQA+pBQB - Рг+(i - Рг) (i - АЛ). (7)
Таким образом, для определения Q надо найти вероят-
ность Рг.
Е. Вывод уравнения для Рг в простейшем случае
Рассмотрим сначала для простоты случай, когда
РСп=1, т. е. противник может произвести выстрел без
случайных задержек через время tu после обнаружения
рассматриваемого комплекса (заметим, что в FH можно
включить полетное время снаряда противника).
442
Пусть рассматриваемый комплекс выходит на стар-
товую позицию в момент /=0, а противник обнаружи-
вает его в момент f и, следовательно, противник может
произвести выстрел в момент + Рассматриваемый
комплекс может произвести выстрел в момент tH+t.
Величины t и /' подчиняются уравнениям (3) и (4)
соответственно. Величина Рг _ представляет собой
вероятность того, что + + или что —
—/н-
Из уравнения (3) следует, что при фиксированном t'
Вер (t < Г + Гн - /н) = 1 - (1 - Рсп) е"11 . (8)
Уравнение (8) справедливо для случая, когда
Г+^-<н>0. (9)
Введем обозначение
Д = /н —7Н. (10)
Тогда из условия (9) получаем
(11)
Дифференцируя по Т уравнение (4), находим, что
вероятность обнаружения противником комплекса в ин-
тервале времени от момента f до момента t'+dt' равна
re~ri'dt'. (12)
Из уравнений (8) и (12) по теореме о полной вероят-
ности получаем для случая, когда Д^=0,
Pr= J re~ri> {1 — (1 — РСп) е-м/'-Д)}йГ. (13)
д
Из уравнения (13) после простых преобразований
получаем
Рг = е-гД^+_5Рсп. (14)
В случае, когда Д<0, в уравнении (13) надо ниж-
ний предел интегрирования заменить на 0. Тогда полу-
чим
Рг = 1- Г(1-Рс°) еиД, (15)
443
Ж. Вывод уравнения для Рт в общем случае
Рассмотрим случай, когда РСп¥=1- Ограничимся для
краткости случаем, когда Д<0.
Если РСп=/=1, то возможны два случая:
А — у противника подготовка пуска происходит без
задержки;
В — у противника подготовка пуска происходит
с задержкой.
Вероятности этих двух случаев будут соответственно
равны РСп и 1—Рсп.
В случае А вероятность того, что рассматриваемый
комплекс осуществит пуск раньше противника, опреде-
лится из уравнения (15).
Обозначим через SB вероятность того, что рассмат-
риваемый комплекс осуществит пуск раньше противника
в случае В.
Тогда по теореме о полной вероятности будем иметь
Л = Р„{1-^7^е"} + (1_р<!п)5в. (16)
Перейдем к вычислению вероятности SB.
Противник может произвести выстрел в случайный
момент времени
V = f + 7+7H> (17)
где t'— случайное время до обнаружения рассматри-
ваемого комплекса;
t — случайное время задержки подготовки комплекса
противника, имеющее условную плотность вероятности
р.е~ I1*
(см. § 1.8).
Введем обозначение
(18)
и =
(19)
Можно найти плотность вероятности величины и как
композицию плотностей (12) и (18) в виде
[е гц —
р- — г
(20)
444
Величина SB представляет собой вероятность того, что
/н Ц-1 и -|~ /н
или
/ < и -|- tn — tH — u — Д.
Из уравнения (3) следует, что
Вер (t < и - Д) = 1 - (1 - Реп) е”1* (“~4). (21)
Из уравнений (20) и (21) по теореме полной вероятно-
сти находим
00 __
SB = [ [e-r“ -е"7“ ] {I _ (1 — рлп) (“-д)} du.
J р» г
о
(22)
После простых преобразований находим отсюда
5В = 1 - (1 - Реп) (23)
|Х —г\Г+|*
Из уравнений (23) и (16) получаем
р == 1 _ г (1 ^си) (и-^сп *+*Iх)
Г (г + р) (р + р)
(24)
В частном случае, когда Рсп=1, из уравнения (24)
получается уравнение (15). Уравнение (24) вместе
с уравнением (7) позволяет найти величину Q, входя-
щую в уравнение (1). Теперь мы можем сказать, что
в уравнение (1) входят характеристики безотказности
комплекса (в множители Рк и Q) и характеристики
ремонтопригодности комплекса (в множитель Q).
Уравнения (1) и (24) позволяют решать рассматри-
ваемую задачу в случае экспоненциальных распределе-
ний (3) и (4). В случае других распределений эта за-
дача может быть решена при помощи статистического
моделирования.
Проиллюстрируем изложенное на примере.
Пример 1. Определить вероятность R поражения цели нашим
комплексом, если ему противостоит аналогичный комплекс противни-
ка и имеют место следующие исходные данные.
445
Вероятности безотказного действия обоих комплексов одинаковы
Рк=Рк=0,99.
Условные вероятности поражения цели /?i=/?i = 0,95.
Вероятности отсутствия отказов на стартовой позиции Р<?п=
= Рсп=0.90.
Длительности нормальной подготовки комплексов на стартовой
позиции одинаковы /н = £н, т. е. Д=0 [см. уравнение (10)].
Интенсивности задержек подготовки на стартовой позиции у обо-
их комплексов одинаковы р=ц.
Решение. Подставляя приведенные исходные данные в урав,-
нение (?4), получаем
Подставляя это значение в уравнение (7), получаем
Q= 1 —0,941
0,19г
r + Р* *
Подставляя это значение в уравнение (1), находим
* 0,19г
R = 0,941 - 0,885 —г—
' “Г г
446
Для большей наглядности введем в рассмотрение среднее время
разведки до обнаружения комплекса tp = у и среднее время за-
держки подготовки комплекса на стартовой позиции /3=—. Тогда
Iх
окончательно будем иметь
t3
/^=0,941 —0,168 7—,% .
f3 "Т 1 р
На рис. 7.2.1 представлена зависимость R от и /р, вычислен-
ная по приведенной формуле. Из этого рисунка видно, что чем
меньше среднее время разведки /р, тем сильнее влияние задержки
подготовки t3 на вероятность поражения цели.
§7.3. ТЕОРИЯ ИГР КАК МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Областью изучения теории игр являются абстрактные
модели конфликтных ситуаций, в которых сталкиваются
интересы двух и более сторон, представленных отдель-
ными лицами и целыми коллективами. Деятельность
этих сторон целеустремленно направлена, а их интересы
частично или полностью противоположны. Поэтому
можно сказать, что теория игр является не чем иным,
как математической теорией конфликтных ситуаций.
В области военного дела каждая ситуация, которая
складывается в процессе боевых действий, по своей
природе является конфликтной. Естественно, что каждая
конфликтная ситуация ‘сложна, а ее анализ затруднен
наличием большого числа привходящих факторов.
Многие из действующих факторов являются второ-
степенными, не определяющими, и ими при анализе
можно пренебречь. Поэтому для исследования любой
реальной конфликтной ситуации создается ее модель,
которая значительно проще. Она позволяет учитывать и
анализировать влияние наиболее важных факторов.
Такая модель реальной конфликтной ситуации назы-
вается игрой. Как всякая игра, указанная выше модель
подчиняется правилам, которые определяют поведение
участников в конфликтной ситуации. При любой сло-
жившейся обстановке каждый из участников имеет
много альтернатив своего поведения. Выбор одной из
них каждым участником называется ходом. Например,
истребитель-перехватчик идет на сближение с группой
447
из трех самолетов противника. Завязывая бой, он мо-
жет вначале напасть на любой из самолетов группы.
Нападая на ближайший к нему самолет, истребитель-
перехватчик делает ход, он делает выбор из трех воз-
можных решений и т. д. Ходы бывают личные и случай-
ные. Личный ход характеризуется сознательным выбо-
ром. Приведенный выше пример является одним из
вариантов личного хода — выбор истребителем-перехват-
чиком объекта нападения. Случайный ход определяется
не сознательным решением игрока, исходя из сложив-
шейся ситуации, а каким-то механизмом случайного
выбора. Это чаще всего бывает в азартных играх (бро-
сание монеты, рулетка и т. д.) и в так называемых
играх с природой (подробно о которых см. (18]).
Создавая модель той или иной конфликтной ситуации,
мы на основании ее глубокого изучения определяем си-
стему правил, которыми должны руководствоваться сто-
роны при выборе своего личного хода.
Совокупность правил, которые однозначно опреде-
ляют выбор личного хода каждой из сторон, называется
стратегией.
Когда определена такая стратегия, то в игре каждая
из сторон может уже лично не участвовать, ходы вместо
нее может делать любое незаинтересованное лицо, кото-
рое должно строго придерживаться заданной стратегии
поведения. Это обстоятельство широко используется при
проигрывании на электронных вычислительных маши-
нах боевых действий. В этом случае стратегии поведе-
ния «воюющих сторон» задаются в виде программ.
В зависимости от числа возможных стратегий игры
могут быть конечные и бесконечные.
В рассмотренном выше примере дан вариант конеч-
ной игры. В ней налицо три стратегии возможного
поведения истребителя-перехватчика:
— напасть на первый, ближайший к нему самолет;
— напасть на следующий, летящий за ним самолет;
— напасть на последний самолет.
Можно привести примеры других игровых моделей,
где число стратегий велико, но все же количество их
ограничено. Это конечные игры.
Примером игры с бесконечным числом стратегий
является задача выбора гипотезы о характере движения
воздушной цели, параметр которого нужно заложить
448
в устройство прицельных приспособлений истребителя-
перехватчика.
При проектировании прицельных приспособлений
нужно заложить в его конструкцию маневренные харак-
теристики самолета противника, т. е. с какой перегруз-
кой самолет будет маневрировать, уклоняясь от обстре-
ла. Конечно, величина этой перегрузки может быть
любой в заданном диапазоне, т. е. противник имеет
бесконечное число стратегий, которыми он может руко-
водствоваться, осуществляя отворот для уклонения от
обстрела. Больше того, как правило, величина пере-
грузки при отвороте в бою будет меняться во времени.
В данном случае имеет место игровая модель с беско-
нечным числом стратегий.
Другим примером игры с бесконечным числом стра-
тегий является танковая дуэль. Движущиеся навстречу
друг другу танки противников могут перемещаться
с различными скоростями и вести огонь с различных
дистанций. Вариантов выбора скорости движения и ди-
станции начала стрельбы бесконечно много. Каждый
выбор является стратегией поведения сторон. Выбор
того или иного хода в игре каждый из противников
может производить при наличии или отсутствии не-
обходимой информации о предыдущем ходе против-
ника.
По характеру и объему информации, доступной каж-
дой стороне при ее ходе, игры делятся на игры с полной
информацией и игры с неполной информацией. Послед-
ние имеют большее практическое значение. Отсутствие
полной информации о поведении противника является
одним из важнейших элементов всякой реальной кон-
фликтной ситуации. Всякие боевые действия двух
враждующих сторон характерны отсутствием полной
информации о противнике. Если сложилась такая обста-
новка, когда о противнике (как и противнику о нас)
имеются достаточно полные разведывательные данные,
то такая боевая ситуация может быть исследована на
модели игры с полной информацией. Типичными играми
с полной информацией являются шахматы, шашки и
другие. Однако чаще всего о противнике известно да-
леко не все, а иногда отсутствует всякая информация
о его поведении. Подобные конфликтные ситуации более
типичны.
29—343 449
По числу участников игры делятся на игры одного
лица, игры двух лиц, игры трех и более лиц. Для воен-
ных приложений наибольший интерес представляют
игры с двумя участниками (нападающей и обороняю-
щейся сторонами). Обозначим нападающую сторону
через Л, а обороняющуюся — В. Если каждая из сторон
сделает ход, то в результате
таблица 7.3.1 создается ситуация, при-
в А В, ва в8
А, 0,7 0,6 0,9
Ai 0,9 0,4 0,6
А3 0,7 0,8 0,2
водящая к какому-то ре-
зультату. Этот результат
называется платежом. Обо-
значим его через аг;. Вели-
чина ац определяет величи-
ну платежа стороны В при
ее /-стратегии и /-стратегии
стороны А. Например, при
проектировании образцов
противотанкового вооруже-
ния ориентируются на имеющиеся и разрабатываемые
образцы танков противника. В зависимости от боевых
характеристик танков (скорости, броневой защиты,
размеров и др.) эффективность различных противотан-
ковых средств будет разная. Не рассматривая здесь
методов определения эффективности стрельбы противо-
танковых средств по танкам (см. гл. 3), приведем ре-
зультирующую таблицу, в которой для гипотетических
трех видов танков и трех образцов противотанкового
вооружения приведены соответствующие эффективности
поражения танков.
Здесь выбор каждой из сторон лучшего образца
танка (для стороны В) и противотанкового средства
(для стороны Д) определяет стратегию поведения при
создании соответствующей системы вооружения.
В рассматриваемом примере как сторона Д, так и
сторона В имеют по три стратегии поведения. Мерой
платежа является вероятность поражения танка. Для
каждого сочетания стратегий поведения сторон А и В
определен соответствующий уровень эффективности по-
ражения танка. Созданная таким образом таблица но-
сит название платежной матрицы игры. Для игр с бес-
конечным числом стратегий платежная матрица превра-
щается в платежную функцию f(x,y) ..где х и у —
параметры, характеризующие стратегии сторон.
450
Игры, для которых созданы подобные матрицы, на-
зываются матричными или прямоугольными играми.
Среди этих игр широкое применение в приложениях
получили игры с нулевой суммой. Это такие игры, в ко-
торых то, что проигрывает одна сторона, выигрывает
противная сторона, а сумма выигрышей обеих сторон
равна нулю. Игры с нулевой суммой отличаются своим
решительным характером, так как интересы противни-
ков строго противоположны. Приведенный выше пример
хорошо иллюстрирует это качество матричных игр с ну-
левой суммой.
Если сторона А имеет m стратегий, а сторона В — п
стратегий, то такая игра называется игрой тХп,
Решить игру — значит найти оптимальные стратегии
поведения и определить цену игры — ожидаемый выиг-
рыш стороны А или проигрыш стороны В,
Рассмотрим прямоугольную игру с матрицей тХп.
ТАБЛИЦА 7.3.2
в А Вг В, . . . Вп
^2 #11 #21 #12 #22 • • # In #2п
Лт #ТП1 #т2 . . . #тп
Сторона Л, выбирая одну из стратегий поведения,
действуя осторожно, будет надеяться на наименьший,
но гарантированный при всех обстоятельствах выигрыш.
Но так как она вольна выбирать любую из своих стра-
тегий поведения, то она выберет ту из них, которая
обеспечивает максимальный из минимальных выигры-
шей, т. е.
max mintZij.
i j
Величина max min ац называется нижней ценой игры.
i j
29*
451
Обозначим ее
а = max min ао-.
i i
Рассуждая аналогично за сторону В, приходим к та-
ким выводам. Если сторона В выбирает /-стратегию, то
она, рассчитывая на худший для себя исход игры, будет
ориентироваться на максимальный проигрыш
— maxtZij;
знак «—» означает отрицательный выигрыш. Естест-
венно, что она будет выбирать такую стратегию поведе-
ния, при которой среди максимальных проигрышей
|maxaij| проигрыш будет минимальным, т. е.
— min maxtZij.
i t
Этот проигрыш стороны В будет верхним пределом
выигрыша стороны А и называется верхней ценой игры
р = — min max
Очевидно, что истинная цена игры заключена в пре-
делах
Подобный подход к решению матричных игр назы-
вается принципом минимакса, а в соответствии с этим
для стороны А стратегия, отвечающая нижней цене
игры а, называется максиминной, а для стороны В стра-
тегия, определяющая верхнюю цену игры р, называется
минимаксной.
Иногда имеет место равенство
а = р.
Это случай игры с седловой точкой. Игры с седловой
точкой обладают устойчивостью решения. Таким свой-
ством, в частности, обладают игры с полной информа-
цией. Рассмотрим это свойство на примере.
Пусть до начала боевых действий стороне А известно
возможное число объектов противника, которые нужно
подавить огнем артиллерии. Сторона В (противник)
может по-разному разместить объекты в глубине своей
452
обороны. Будем полагать, что из бесконечного множе-
ства вариантов расположения определены четыре,
наиболее целесообразные. Сторона Л, в свою очередь,
может по-разному планировать огонь своей артиллерии
(распределение огня по целям). Но в каждом случае
эффективность ее огня по объектам противника будет
разная.
Подставим эффективность огня стороны А по объек-
там стороны В в процентах числа пораженных объектов
в зависимости от выбранных стратегий в виде платеж-
ной матрицы.
ТАБЛИЦА 7.3.3
Вначале найдем нижнюю цену игры
а = max min а,ц = 70%
i i
и верхнюю цену игры
Р = min max — 70%.
J i
Они оказались одинаковыми. Таким образом, налицо
случай игры с седловой точкой
У = а = р = 70%.
Стратегия Л3 для стороны А и стратегия В2 для сторо-
ны В являются оптимальными. Цена игры равна V==
= 70%.
453
Совокупность этих стратегий является решением
игры.
Как уже отмечалось выше, решения подобных игр
очень устойчивы. Это следует понимать так. Всякое
отклонение любой из сторон от своей оптимальной
стратегии становится невыгодным. И действительно,
в нашем примере при оптимальной стратегии стороны
В—В2 использование стороной А стратегий Дь А2, А4
снижает величину потерь, наносимых противной стороне,
что невыгодно для нападающей стороны. При оптималь-
ной стратегии поведения стороны А использование сто-
роной В неоптимальных стратегий Вь В3, В4 приводит
к увеличению ее потерь от огня артиллерии.
В рассмотренном примере, как и в теории игр
вообще, не учитываются ошибки, просчеты противни-
ков, возможные элементы риска. Полученная цена игры
предполагает разумное поведение обеих сторон и яв-
ляется гарантированным выигрышем стороны А.
В процессе составления платежной матрицы не все-
гда очевидны невыгодные стратегии поведения сторон.
Пусть в предыдущем примере рассматривалось большее
число стратегий и получена такая платежная матрица.
ТАБЛИЦА 7.3.4
в А Вг в3 В4 В5 в6
А, 50 60 90 40 90 90
Дг 90 50 40 80 40 50
Д3 80 70 90 90 90 90
Д4 80 30 50 70 50 60
Нетрудно убедиться, что стратегии В3 и В$ дубли-
руют друг друга, и поэтому одну из них, например В5,
можно не рассматривать при расчетах. Такие стратегии
называются дублирующими.
С другой стороны, стратегия В6 является явно невы-
годной для стороны В, что видно из сравнения ее со
стратегией В3. То же можно сказать и о стратегии Аь
если сравнить ее со стратегией Д3. Стратегии А4, В6, В5
сразу же можно отбросить при рассмотрении игровой
454
задачи как явно невыгодные. Такие стратегии в теории
игр получили название доминирующих.
Отбросив дублирующие и доминирующие стратегии,
мы упрощаем платежную матрицу и решение игровой
задачи.
§ 7.4. РЕШЕНИЕ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ИГР
ЗАДАЧ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ СОЧЕТАНИИ РАЗЛИЧНЫХ
ВИДОВ БОЕВОЙ ТЕХНИКИ
Начнем с простейших игровых задач, составление и
решение которых рассмотрим на примерах.
Решается такая гипотетическая задача [130].
Пример 1. Имеются две подвижные системы зенитных
ракетных комплексов. Первая система В\ особенно
эффективна против высоколетящих воздушных целей,
в то время как вторая система В2 наиболее эффективна
против низколетящих целей.
Стратегии стороны В:
Bi — создание зенитных комплексов, эффективных
при стрельбе по целям, летящим на больших высотах;
В2 — создание низковысотных комплексов.
В тактике поведения воздушного противника также
имеются свои стратегии поведения — нападение на ма-
лых и больших высотах (стратегии и А2). В качестве
меры платежа берется вероятность поражения самолета
противника. Методы расчета этих вероятностей см.
в гл. 3. Задача заключается в определении количествен-
ного соотношения видов зенитных комплексов.
В результате проведенных расчетов эффективности
стрельбы по самолетам противника, летящим на малых
и больших высотах, получена такая платежная матрица.
Каждый элемент матрицы (вероятность поражения воз-
душной цели) определяется при соответствующем соче-
тании вида комплексов и
в А Bi в2 а
At 0,4 0,2 0,2
А2 0,2 0,6 0,2
0,4 0,6 —
высоты полета самолетов.
Цена игры заключается
в пределах
0,2<V<0,4.
Решение этой задачи не уда-
ется найти в виде частных
стратегий. Для подобных иг-
ровых задач решение пи-
455
шется в виде комбинированных стратегий, которые чере-
дуются по случайному закону с определенной частотой.
Такие стратегии в теории игр называются смешанными.
В этом случае каждая из сторон выбирает не одну
какую-то стратегию, а их набор. Выбор стратегий из
набора в каждом конкретном случае осуществляется
с помощью некоторого случайного механизма. Тогда
каждой стороне трудно угадать, как будет поступать
противник. Таким образом, смешанная стратегия яв-
ляется средством для каждой из сторон предохранить
себя от того, чтобы ее стратегия была раскрыта про-
тивником.
Случайный выбор стратегий в их смеси опреде-
ляется их вероятностями. Поэтому и исход игры будет
оцениваться с помощью математического ожидания
(среднего значения цены игры)
т п
V = M[P, =
i=i /=i
где Р — смешанная «стратегия стороны А:
Р = \\лл, • • • , Anil:
G — смешанная'стратегия стороны В:
G = \\ql,qa, . . . ,<7п||;
V — цена игры при применении сторонами А и В
смешанных стратегий.
Согласно основной теореме теории игр [9] каж-
дая конечная игра имеет по крайней мере одно решение
(возможно, в области смешанных стратегий). Это озна-
чает, что если одна из сторон (скажем, 4), применяя
свою смешанную стратегию, рассчитывает по меньшей
мере получить минимальный выигрыш, то эта сторона
будет выбирать свою стратегию поведения так, чтобы
этот минимальный выигрыш был наибольшим, т. е.
max min М [Р, G].
р G
456
Сторона В, в свою очередь, рассчитывая на максималь-
ный проигрыш, будет вести себя так, чтобы этот макси-
мальный проигрыш был минимальным
min max М [Р, О].
G р
Согласно основной теореме (теоремы о минимаксе) эти
оба выражения всегда имеют одну и ту же величину —
цену игры У, т. е.
max min М [Р, G] = min max М [Р, G].
Р G G Р
Формулируется эта теорема так: пусть дана игровая
платежная матрица
• • • &1П
(Zmi • • • ^тп
и пусть математическое ожидание выигрыша М [Р, G]
для смешанных стратегий стороны А Р = || pl9 р2,..., рт |
и стороны В G = || qx, q2, . . . , qn\\ определено следующим
образом:
т п
/=1/=1
тогда величины
min max М [Р, G]
в р
и
max min М [Р, G]
р G
существуют и равны между собой.
Имеется несколько доказательств теоремы о мини-
максе. Их читатель может найти в [9]. Из теоремы
о минимаксе можно сделать следующие выводы.
Применяя свою оптимальную смешанную стратегию,
каждая из сторон всегда будет иметь в среднем гаран-
тированный выигрыш, равный цене игры.
457
Если одна из сторон будет применять чистую стра-
тегию против оптимальной смешанной стратегии про-
тивника не из состава своей оптимальной смешанной
стратегии, то средний выигрыш будет меньше цены игры.
Если заведомо известно, что противная сторона
применяет свою оптимальную смешанную стратегию, то
можно применять свою чистую стратегию из состава
оптимальной смешанной стратегии и средний выигрыш
будет равен цене игры.
Рассмотрим методы определения смешанных страте-
гий на примере игр 2Х,2. Применительно к играм 2X2
существует несколько методов решения. Аналитическое
решение можно получить из такой системы уравнений:
А В <71 Bi Qi в*
Pi Я, аи а 12
Рг Л #21 #22
#22 -- #21
Я11Р1 + а21р2 = V,
а12Р1+а22Р2=^.
(1)
Qi Яъ
Откуда
#11 +#22- (#12 +#21)
1 — А-
(2)
Цену игры легко определить, подставив значения р\ и рг
в исходные уравнения (1). После определения цены
игры V еще проще определяются частоты стратегий
стороны В:
^11^1 == ^12^2 ==
<7i + <7a=l-
В нашей задаче:
2 1 1
3 ’ Р* з ’ з ;
2 1
?1= 3 ’ ?2= 3
Последнее означает, что зенитные ракетные компле-
ксы нужно иметь в сочетании: 65% типа В\ и 35%
458
типа В2. При этом обеспечивается эффективность сбития
воздушных целей по крайней мере не ниже чем V=0,38.
Ту же задачу можно решить графически. Для этого
делается построение (рис. 7.4.1), которое вытекает из
решения системы уравнений (1). При этом построении
на горизонтальной прямой откладывается отрезок, рав-
ный в масштабе единице.
Рис. 7.4.1.
-От концов этого отрезка строятся вертикальные
линии, на которых отмечаются точки В2, В'ь В'2.
Расстояния этих точек от горизонтальной линии равны
в масштабе соответствующим элементам платежной
матрицы (см. рис. 7.4.1): на левой вертикали выигрыши
при стратегии Ль на правой выигрыши при стратегии А2.
Линии В\В'Х и В2В'2 соответствуют применению сто-
роной В ее первой и второй стратегий. Точка пересече-
ний этих линий Доопределяет цену игры, равную в мас-
штабе отрезку Nk. Точка k делит горизонтальную линию
пропорционально частотам применения стратегий сто-
роны А (см. рис. 7.4.1).
Аналогичное построение можно сделать для опреде-
ления частот применения стратегий стороны В. Особен-
ности построения для различных частных случаев реше-
ния игр 2X2 и 2Хп читатель может найти в [16].
459
Графические методы решения просты и наглядны
для игр 2X2 и 2Хя. Уже для игр 3X3 требуется про-
странственное построение, поэтому для этих и более
высокого порядка игр графические методы не нашли
применения.
Есть еще один простой метод [18], который позволяет
весьма просто определить
Bt В2
ГО М 0,4 0,2 0,2 0,6 —0,4 0,2
-0,4 0,2
частоты смешанных страте-
гий. Метод основан на ре-
шении системы уравнений
(1). Рассмотрим его исполь-
зование на предыдущем при-
мере.
Для этого вычтем из
цифр верхней строки цифры
нижней и поменяем местами
результаты. Сложим абсо-
лютные значения получен-
ных разностей. Частоты стратегий Bi и В2 определяются
как частные от деления полученных разностей (абсо-
лютные значения) на их сумму
0,4 п/о 0,2 1/о
<71 о,б 2/3, q2 0,б 1/3.
Аналогично поступаем при определении частот стратегий
и для стороны А
__0,4 о/о п 0,2 i/о
/^1 о>6 2/3, р2 0>б 1/3.
Цена игры определяется согласно уравнениям (1)
V = PA1 + a«!2=1/3-
Пример 2. Необходимо определить состав боеком-
плекта снарядов различного назначения для артиллерий-
ского орудия. Для орудия спроектированы осколочно-
фугасный (ОФ), фугасный (Ф), бронебойный (Бр)
снаряды и картечь (К). Эффективность стрельбы каж-
дым из перечисленных снарядов по различным целям
будет разная. В свою очередь, количество видов целей,
их удельный вес и значение в бою в зависимости от
стратегии противника будут также разные. Необходимо
определить оптимальный состав боекомплекта, исходя
460
из максимума величины наносимого ущерба противнику
в живой силе и технике в различных условиях боево-
го применения артиллерийского орудия. Не оста-
навливаясь на методе определения критерия и его вели-
чины, что является большой самостоятельной задачей
(см. гл. 3), приведем платежную матрицу игры с число-
выми критериями оценки наносимого ущерба стороне В
в зависимости от использования при стрельбе того или
иного вида'Снаряда (стра-
тегии А) и тактики про-
тивника (стратегии В),
Для решения игры
воспользуемся правилом:
если каждый элемент
платежной матрицы ум-
ножить на какое-то число
или к каждому элементу
матрицы прибавить (вы-
честь) постоянное число,
ТАБЛИЦА 7.4.1
А в В1 Ва В8
Оф А, 40 10 30
Бр А 30 50 20
К А 0 60 80
Ф А 40 10 20
то решение игры не изменится, только цена игры -соот-
ветственно изменится в то же число раз или на прибав-
ленное (вычтенное) число. Воспользуемся этим прави-
лом и запишем матрицу задачи в таком виде:
ТАБЛИЦА 7.4.2
Стратегия А< для стороны А является явно невыгодной
по сравнению с Аь поэтому ее можно сразу же исклю-
чить. Найдем нижнюю и верхнюю цены игры
а = 2, р = 4.
Значит, цена игры заключена между ними 2<V<4 и
решение нужно искать в области смешанных стратегий.
Для определения смешанной стратегии стороны А
461
можно воспользоваться различными итерационными
способами решения: симплекс-методом, методом итера-
ции Неймана, Брауна и др. Решение этой задачи найдем
итерационным методом Брауна. Метод опирается на
традиционный принцип — основывать будущие решения
на соответствующей предыстории. Суть метода заклю-
чается в проведении фиктивной игры. Решение игры
начинается с того, что сторона А выбирает одну, на
первый взгляд, наиболее выгодную стратегию. Сторона
В отвечает также выбором стратегии, которая ей более
выгодна. На этот ход сторона А опять отвечает выбо-
ром стратегии, но уже с учетом своего предыдущего
выбора и т. д. В процессе проведения такой игры про-
исходит как бы самообучение сторон с определением
более оптимальных стратегий. После достаточного коли-
чества ’Сделанных ходов обеих сторон получается при-
ближенное решение. Объем вычислений при использо-
вании этого метода увеличивается пропорционально
числу строк и столбцов матрицы выигрышей. Для
матриц большого порядка этот метод позволяет быстрее
прийти к цели, чем с помощью симплекс-метода (см.
гл. 5). Следует отметить, что получить достаточно точ-
ный результат можно лишь при большом числе про-
игранных партий (ходов сторон А и В).
Решение игры итерационным методом представляется
в виде таблицы, где
i — выбранная стратегия стороны 4;
j — выбранная стратегия стороны В;
V — минимальный выигрыш стороны А за п партий,
“ деленный на число партий;
V — максимальный выигрыш стороны А за п партий,
деленный на число партий; _
V — среднее арифметическое значений V и V;
п — число проигранных партий.
По мере увеличения числа проигранных партий ве-
личина V стремится к истинной цене игры. Использова-
ние этого метода проиллюстрируем на нашем примере
(см. табл. 7.4.3).
Пусть сторона А для начала приняла оптимальную
стратегию. В этом случае сторона В проиграет:
3 — при стратегии Вь
5 — при стратегии Вг,
2—при стратегии В3.
462
ТАБЛИЦА 7.4.3
п i Bi Ва в3 / Ai Аа Аз V V V
1 2 3 5 2 3 3 2 8 2 8 5
2 3 3 11 10 1 7 5 8 1,5 4 2,75
3 3 3 17 18 1 11 8 8 1 3,67 2,34
4 1 7 18 21 1 15 -11 8 1,75 3,75 2,75
5 1 11 19 24 1 19 14 8 2,2 3,8 3,8
6 1 15 20 27 1 23 17 8 2,50 3,83 3,16
7 1 19 21 30 1 27 20 8 2,71 3,86 3,28
8 1 23 22 33 2 28 25 14 2,75 3,50 3,12.
9 1 27 23 36 2 29 30 20 2,55 3,33 2,94
10 2 30 28 38 2 30 35 26 2,8 3,5 3,15
11 2 33 33 40 2 31 40 32 3,0 3,64 3,32
12 2 36 38 42 1 35 43 32 3,0 3,58 3,29
13 2 39 43 44 1 39 46 32 3,0 3,54 3,27
14 2 42 48 46 1 43 49 32 3,0 3,5 3,25
15 2 45 53 48 1 47 52 32 3,0 3,47 3,24
16 2 48 58 50 1 51 55 32 3,0 3,44 3,22
17 2 51 63 52 1 55 58 32 3,0 3,41 3,20
18 2 54 68 54 1 59 61 32 з,о 3,39 3,20
19 2 57 72 56 3 62 63 40 2,95 3,32 3,14
20 2 60 77 58 3 65 65 48 2,90 3,25 3,08
21 1 64 78 61 3 68 67 56 2,90 3,24 3,07
22 1 68 79 64 3 71 69 64 2,9 3,23 3,06
23 1 72 80 67 3 74 71 72 2,91 3,22 3,06
24 1 76 81 70 3 77 73 80 2,92 3,33 3,12
25 3 76 87 78 1 81 77 80 3,04 3,24 3,14
26 1 80 88 81 1 85 80 80 3,08 3,27 3,18
27 1 84 89 84 1 89 81 83 з,н 3,30 3,205
28 1 88 90 87 3 92 83 91 з,н 3,28 3,195
29 1 92 91 90 3 95 85 99 3,10 3,41 3,255
30 3 92 97 98 1 99 88 99 3,07 3,30 3,185
31 1 96 98 101 1 103 91 99 3,10 3,32 3,21
32 1 100 99 104 2 104 96 105 3,09 3,28 3,185
33 3 100 105 112 1 108 99 105 3,03 3,27 3,15
34 1 104 106 115 1 112 102 105 3,06 3,29 3,175
35 1 108 107 118 2 113 107 111 3,06 3,23 3,145
36 1 112 108 121 2 114 112 117 3,05 3,25 3,125
37 3 112 114 129 1 118 115 117 3,03 3,19 3,11
38 1 116 115 132 2 119 120 123 3,03 3,24 3,135
39 3 116 121 140 1 123 123 123 2,97 3,15 3,06
40 1 120 122 143 1 127 126 123 3,0 3,17 3,085
41 1 124 123 146 2 128 131 129 3,0 3,19 3,095
463
Продолжение табл. 7.4.3
п i вя Вз j Ai Az Аз V V
42 2 127 128 148 1 132 134 129 3,02 3,19 3,105
43 2 130 133 150 1 136 137 129 3,02 3,19 3,105
44 2 133 138 152 1 140 140 129 3,02 3,18 3,10
45 1 137 139 155 2 141 145 135 3,09 3,22 3,155
46 2 140 144 157 1 145 148 135 3,04 3,22 3,13
47 2 143 149 159 1 149 151 135 3,04 3,21 3,125
48 2 146 154 161 1 153 154 135 3,04 3,21 3,125
49 2 149 159 163 1 157 157 135 3,04 3,20 3,12
50 1 153 160 166 1 161 160 135 3,06 3,22 3,14
При этих условиях сторона В, видимо, предпочтет
стратегию В3 всем остальным, поэтому в графу / впи-
сываем цифру 3. При стратегии В3 сторона А может
выиграть:
3—при стратегии Alt
2 — при стратегии А2,
8 — при стратегии Л3.
Конечно, сторона А предпочтет стратегию Д3, поэтому
в графу i вписываем цифру 3 для следующего хода
(/г = 2)._В проигранной партии максимальный выигрыш
равен У=8, минимальный V=2, средний У=5. После-
дующие ходы проводятся аналогично, но при этом
в соответствующих графах Дь А2, Л3 ставится суммар-
ный выигрыш стороны Л, а суммарный проигрыш сто-
роны В за те же п партий — в графах Вь В2, В3. Вели-
чины V, У, У определяются как средние за п партий.
О точности приближения полученных значений У
к истинной цене игры можно судить по величине раз-
ности
уп_уп_1 = ду.
При п -> оо ДУ ->> 0.
Частоты применения стратегий сторон Л и В в их
смешанных стратегиях определяются по данным стобцов
i и j в табл. 7.5.1. В нашем примере при п = 50 получены
такие частоты:
Д = § = 0,48, Д=4 = 0,14, Ла = |? = 0,38
464
В‘=1б = 0>62’ ^ = й = 0,20, В3 = ^ = 0,18.
Решим этот пример с помощью правила, которое осно-
вано на точном решении системы уравнений игры 3X3:
a, ,А + Ап А + Ан А = V,
aitPt + а^Ръ + а,,А = V,
Аз А + А»А + AsA = V.
Рассмотрим платежную матрицу
Вх в2 в»
я. Аг Л 4 3 0 1 5 6 3 2 8
Вычтем из элементов верхней строки соответствую-
щие элементы второй и третьей строк. Получим
Bi В2 Ва
1 4 —5 1 н. ел
Относительная частота стратегии Вх определяется
как разность произведений чисел по диагоналям после
вычеркивания первого столбца, т. е.
(—4)(—5) —
— (1)(—5) =
= 25.
30—343
465
Аналогично поступаем при определении частот стра-
тегии В2 и В3. После вычеркивания соответствующих
столбцов получаем для
Определение частот стратегий Аь Л2, А3 проводится по
тем же правилам, но для этого предварительно из эле-
ментов одного из столбцов вычитаются соответствующие
элементы двух других.
В нашем случае
„22. —18.
Р* 45’ Р2 45 ’ Р* 45’
Последним, но очень важным этапом является проверка
полученных частот.
Согласно основной теореме теории игр смешанная
стратегия каждой из сторон должна обеспечивать один
и тот же платеж при использовании противником каж-
дой стратегии, входящей в его оптимальную стратегию.
Проверка для стратегии В [см. (3)]:
для В\
22X4+ 18X3 + 0X5 _142.
45 — 45 ’
466
для Ва
22 X 1 + 18X54-6X5 _142ф
45 — 45 ’
ДЛЯ В3
22X34- 18X24-8X5 _142
45 ~ 45 •
Полученный результат равен цене игры
v=m
45 *
Аналогично проверяются частоты стратегий стороны А:
для Лх
25 X 4 + 9 X 1+ 11 X 3_ 142
45 — 45 ’
ДЛЯ Л2
25X3 + 9X5+ ПХ2 142.
45 ~~ 45 ’
ДЛЯ Л8
25X0+9X6 + И Х8_142
45 — 45 *
Проведенная проверка показала правильность получен-
ного решения.
Сравним полученные реультаты с тем, что получено
итеративным методом Брауна (см. табл. 7.4.4).
ТАБЛИЦА 7.4.4
Метод Pi Ра Рз <71 <72 <7з V
Точный 0,49 0,40 0,11 0,56 0,20 0,24 3,15
Итерационный . . . 0,48 0,38 0,14 0,62 0,20 0,18 3,14
Из сравнения результатов следует, что при п = 50
цена игры получена с высокой степенью точности.
Ошибка в получении частот не превосходит 25% (для
<7з).
30* 467
На основании полученного решения снаряды в бое-
комплекте артиллерийского орудия целесообразно рас-
пределить в такой пропорции:
ОФ —49%,
Бр —40%,
К— 11%.
При этом, независимо от поведения противника ему
будет нанесен урон в живой силе и технике, не мень-
ший, чем определено ценой игры:
7=31,5.
Здесь мы сознательно увеличили размер цены игры
в 10 раз, так как вначале все элементы платежной мат-
рицы уменьшили в 10 раз.
Приведенным выше точным методом можно пользо-
ваться, если задача не является игрой с седловой точ-
кой и вычеркнуты из платежной матрицы лишние и
доминирующие стратегии. Однако может случиться, что
не все стратегии, входящие в смешанные, являются
активными.
Активной стратегией называем такую, которая имеет
определенный удельный вес в смешанной стратегии (ее
частота не равна нулю). Такое явление может быть, если
одна из стратегий является невыгодной по сравнению
с линейной комбинацией части или всех остальных стра-
тегий этой стороны. Это сразу становится ясно, когда
проверяются полученные частоты смешанных стратегий.
Например, пусть дана матрица игры:
Bl ва В* а
А1 8 2 5 2
Аг 10 0 8 0
Аз 6 8 7 Г"б“1 i-S-i
? 10 ПИ 1 JLJ
468
В этой матрице нет седловой точки и доминирующих
стратегий. Решая эту задачу по приведенным выше
правилам, получаем
<71 = 3/12, ?2 = 5/12, <73-_=4/12,
А =1/9, А = 0, А = 8/9.
Делаем проверку:
для
8-3+2,5 + 4,5_54.
12 —12’
ДЛЯ Л2
10X3 + 0+8,4 _62е
12 —12’
для А3
6X3 + 8X5 + 4,7 __ 86
12 “12-
Это говорит о том, что здесь не все стратегии актив-
ные. В таком случае нужно поступать следующим обра-
зом. Выбросим стратегию Д2, так как р2 = 0. Получим
матрицу игры 3x2
Дальше попробуем выбросить стратегию Вх и посмотрим
получающееся решение
Pi='!v <72=1/4, <7з = 3/4.
469
Сделаем проверку:
для Аг
2Х 1 +5X3 _12ф
4 — 4 ’
для Д3
8-1 + 7-3_29
4 — 4 *
Решение неправильное, стратегию В\ выбрасывать
нельзя.
Положим, что В2 неактивная стратегия, тогда
Л =1/4; Рз = 3/4. 91 = <72=1/2.
Для At 8-1 +5-1 —23.
2 2 ’
для Bt 8-1 +6-3_ 26_ ]
4 4
для As 6-1 4-7»! _ 13.
2 2 ’
для В, 5-1 + 7-3 _13
4 2 *
Решение правильное.
Решение* игры представляется в виде смешанных
стратегий сторон:
для А: Р1 = \[4, р2 = 0, А = 3/4,
для В: <7, = 1/2, 72 = 0,
и ценой игры V=6,5.
470
Отсюда можно сделать вывод, что если в одной из
сторон все стратегии, входящие в смешанную, явля-
ются активными, то противник, применяя любую из
своих чистых стратегий, проиграет всегда одинаково.
Если в одной из сторон будет не активная стратегия, то
эта сторона от ее применения только потеряет. Поэтому
всегда нужно пользоваться смешанными стратегиями.
Это страхует от ненужных потерь во всех случаях и,
кроме того, заставляет противника нести ущерб от
использования неактивных стратегий.
Пример 3. Необходимо решить задачу оптимального
распределения личного состава батальона (сторона Л)
для обслуживания танков, артиллерийских средств
(артиллерии, минометов) и стрелкового оружия. В зави-
симости от состава соответствующих подразделений
вероятного противника и его техники ведения боя (сто-
рона В) наносимый ему ущерб в живой силе и технике
будет разный, если личный состав батальона вооружить
одним из этих типов вооружения. Задача определения
наносимого ущерба с учетом ответного огня противника
и соотношения сил и средств сторон достаточно сложная
и может являться предметом специального рассмотре-
ния (см. § 7.2). Положим, что в результате проведен-
ных исследований получены величины наносимых сторо-
не В потерь (в условных единицах) в зависимости от
вооружения батальона (см. гл. 3).
Ai — танками,
А2 — артиллерией и минометами,
А3 — стрелковым оружием
и состава и тактики действия соответствующих подраз-
делений противника Вь В2, В3, В4. Все это представлено
в виде матрицы потерь стороны В
Прежде чем приступить к решению, целесообразно
уменьшить величины элементов матрицы в сто раз. Тогда
получаем
471
После рассмотрения нескольких методов решения игр
целесообразно дать общие правила решения игровых
задач, которые сводятся к следующему:
1. Проверить наличие доминирующих стратегий и
понизить порядок игры. Игры могут быть со строгим
доминированием, когда элементы одного столбца (стро-
ки) больше или меньше соответствующих элементов
одного из столбцов (строк), и нестрогим доминирова-
нием, когда налицо равенство соответствующих элемен-
тов строк (столбцов) или равенство элементов одной
строки (столбца) линейной комбинации соответствую-
щих элементов других строк (столбцов). Доминирующие
стратегии исключаются.
2. После понижения порядка игры необходимо опре-
делить ее верхнюю и нижнюю цены.
3. Проверить, имеет ли игра седловую точку. Если
таковая имеется, то она определяется и игра решена.
4. В противном случае выбрать один из методов ре-
шения и определить цену игры и смешанные стратегии
сторон.
5. Проверить полученное решение на активность
чистых стратегий, входящих в смешанные согласно
уравнениям:
#n Pi 4~#21Л4“* • • 4“ ^miPm^y\
^inPi 4“ #271/^2 4- • • • 4" ^тпрт V,
#п?14" #12?2 4“ • • • 4"9in<^>
#mi91 4" #7пг92 4“ • • • 4~ QtyitiQп * •
6. Если эти неравенства не удовлетворяются, то не-
обходимо последовательно исключать каждую из стра-
тегий одного игрока и искать решение до тех пор, пока
не будет найдено верное.
472
7. Если эти методы оказались безуспешными, то не-
обходимо искать ошибку в вычислениях.
В нашем примере игра без седловой точки. Стратегия
В4 является явно доминирующей и ее нужно исклю-
чить, тогда получим
Цена игры заключена в пределах
2<V<3.
Решение игры будем искать с помощью симплекс-мето-
да (см. § 5.3), разработанного применительно к задачам
линейного программирования. Игровая задача может
быть описана системой уравнений
®иА + «21Л + - • • V,
ainPi • • • “Ь атпРп Ээ V.
Если разделить частоты смешанных стратегий рь
р2, . •Рт на положительную величину цены игры V,
то получим
^in-
Сумма величин равна
т
/=1
473
Сторона А стремится к тому, чтобы цена игры V была
максимальной. Значит, нам нужно искать минимум
линейной формы
AJ=y- = x1-j-x2-f~. . . -рл^.
В нашем примере получается такая система неравенств:
a + a +
Pi + Зра + V,
3a + 2a + 2a>V.
Приведем эту систему к задаче линейного программиро-
вания, разделим на V и получим:
хг “I- Зл*2 —[— 2х3 1,
Зл\ -j- 2х2 -j- 2х3 1.
Нужно найти минимум линейной формы
= = + +
Дальнейший ход решения этого примера матричным ме-
тодом приведен в § 5.3. В результате проведенных рас-
четов получена цена игры
V= 15/7.
Частоты стратегий стороны А
Л =1/7, Р2 = 2/7, Л —4/7.
Это решение означает, что личный состав батальона
нужно- распределить для обслуживания танков, артилле-
рийских средств и стрелкового противотанкового воору-
жения в соотношении 1:2:4.
При этом противнику в среднем наносятся потери
в живой силе и технике независимо от его поведения не
меньше, чем цена игры:
V = 15/7 -100 214 условных единиц.
474
§ 7.5. РЕШЕНИЕ ВОПРОСОВ СНАБЖЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ИГР
В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ
До этого рассматривались методы решения прямо-
угольных игр двух лиц. Однако на практике могут встре-
титься игры, где число участников конфликтной ситуа-
ции больше двух или каждая из сторон может делать
более одного хода. Обычно игры в развернутой форме
сводятся к эквивалентным прямоугольным играм. Такой
процесс носит название нормализации, а получающаяся
прямоугольная игра называется игрой в нормальной
форме.
Особенности решения игр в развернутой форме рас-
смотрим на примере. Подробно о них можно прочитать
в [46]. Рассмотрим пример игры, когда один из ее участ-
ников делает два хода.
Пример 1. Сторона В наступающая. Ей предо-
ставляется выбор направления главного удара, где
она сосредоточивает основную массу танков. Таких на-
правлений для выбора у стороны В два. Сторона А обо-
роняющаяся. У нее также два выбора, на каком из направ-
лений сосредоточить основную массу артиллерии. Это
первый ход стороны А. После того как развернется бой,
сторона А делает свой второй ход. Под вторым ходом А
понимаем организацию снабжения артиллерии снаря-
дами— бронебойными и осколочно-фугасными. Второй
ход стороны А заключается в выборе направления по-
ТАБЛИЦА 7.5.1
№ п/п. Л1 В Ап Платеж
1 л'и в\ Л'г1 10
2 А' 11 В'. Л%2 2
3 A't j В'2 Л'г1 5
4 А' и В'г Л'22 9
5 А' а В', А'21 6
6 Л'12 В'1 А'22 4
7 Л'12 В'г Л'21 Ю
8 Л'12 в'2 Л'2 2 2
475
дачи основной массы бронебойных снарядов. Мерой
платежа считаем ущерб, наносимый стороне В в живой
силе и технике в условных единицах.
В этой задаче может быть восемь вариантов сочета-
ний ходов обеих сторон. Все эти варианты и размеры
платежа в условных единицах представлены в табл. 7.5.1
Обозначим:
Д'н — сосредоточение артиллерии на первом на-
правлении,
Л'12 — то же на втором направлении,
B'i— нанесение главного удара на первом на-
правлении,
В'2 — то же на втором направлении,
Л'21 — снабжение бронебойными снарядами войск
на первом направлении,
ДХ22 — то же на втором направлении.
Рассмотрим все возможные стратегии стороны 4,
хотя некоторые из них будут неразумными.
1. А выбирает Л'ц и 4z2i независимо от поведения
стороны В
Ход Л1 в лп
Выбор А'11 Sq Л'21 ЛЛ21
2. А выбирает Д'ц независимо от поведения сторо-
ны В, второй ход в зависимости от ее поведения по
такому правилу:
Ход А1 В
Выбор А'и Со Со М и-* Л'21 Л'22
3. То же, но второй ход сторона А делает наоборот
по сравнению с предыдущим
476
Ход в лп
Выбор Л'и <4 аа А'22 А' 21
4. Сторона А выбирает Л'ц и А\2 независимо от по-
ведения стороны В
Ход Л1 В лп
Выбор -4'11 А'и Со Со h> м Л'2 2 Л'21
5. Сторона А выбирает A'i2 и A'2i независимо от по-
ведения стороны В
Ход Л1 В лп
Выбор .4'12 А'! 2 Со Со Л'21 А' 21
6. Сторона А при первом ходе выбирает Л'12, а вто-
рой ход делает по такому правилу:
Ход Л1 в лп
Выбор -4'12 -4'12 QQ CQ Л'21 Л'22
7. То же, только при втором ходе сторона А делает
все наоборот
477
Ход А1 в лп
Выбор Л'12 А'12 В’, А 22 ЛЛ21
8. Сторона А выбирает A'i2 и А'22 независимо от
поведения стороны В
Ход А1 в лп
Выбор А' 12 Ак 12 Со Со А' 22 А' 22
У стороны В может быть четыре стратегии поведения.
1. Выбирать В'1 независимо от поведения стороны
Ход А1 в
Выбор А'и А'12 OQ CQ
2. Выбирать стратегию поведения по такому правилу:
Ход -41 В
Выбор ^11 ^12 Со Со Ю и-'4
3. То же, но наоборот
Ход -4i В
Выбор ^12 to ео 1- Ю —
478
4. Выбирать В'2 независимо от поведения стороны А
Ход А1 в
Выбор А'п 4^12 Со Со to' го'
Итак, налицо восемь стратегий у стороны А и четыре
у стороны В.
Так осуществился переход от игры в развернутой
форме к прямоугольной игре, т. е. произведена норма-
лизация.
В результате нормализации получена такая платеж-
ная матрица:
ТАБЛИЦА 7.5.2
в А В, ва в8 В4 а
Ai а2 А3 А. As Ai А. 10 10 2 2 6 6 4 4 10 10 2 2 10 2 10 2 2 и 5 7 6 6 4 4 2 7 5 7 10 2 10 2 CN J Г- СЧ СО СЧ СЧ
10 10 1 7 1 LJ Ю
Решение игры получается в чистых стратегиях А2
и В3. Игра имеет седловую точку. Это означает, что сто-
рона А должна сосредоточивать основную массу артил-
лерии на первом направлении. Бронебойные снаряды
направляются по тому направлению, где сторона В на-
носит главный удар. Оптимальная стратегия сто-
роны В: если сторона А сосредоточила основную массу
артиллерии на первом направлении, то главный удар
нужно наносить на втором направлении. Получающиеся
выводы тривиальны. Это и естественно, когда каж-
479
дая из сторон имеет о противнике полную информа-
цию. Но на этом простейшем примере показан метод
подхода к исследованию более запутанных и сложных
ситуаций, где выводы не так очевидны. Для игр в раз-
вернутой форме выгодно для наглядности давать графи-
ческое представление, которое получило название дерева
игры (рис. 7.5.1).
Рис. 7.5.1.
Нижнее разветвление дерева характеризует возмож-
ности стороны при ее первом ходе. Концы этих двух вет-
вей далее ветвятся, характеризуя возможности сторо-
ны В. Далее идут следующие ветви, определяющие
возможности стороны при ее втором ходе. На «верши-
нах» дерева указаны выигрыши стороны А. Это дерево
построено при условии, что каждый из игроков имеет
полное представление о поведении противника. Это так
480
называемая игра с полной информацией, решение кото-
рой всегда бывает в области чистых стратегий (игра
с седловой точкой), что видно из решения. В этом слу-
чае дерево игры представляется так, как показано на
рис. 7.5.2. Кружок вокруг ветвления означает, что
сторона, делая ход, знает все, что сделано противной
стороной.
Рассмотрим примеры, когда нет полной информации.
Пример 2. Пусть условие задачи остается неизмен-
ным, но, делая свой второй ход (на какое направление
нужно направить основную массу бронебойных снарядов
для артиллерии), сторона А не имеет информации, где
сторона В наносит свой главный удар. Тогда стратегии
стороны А—Д2', Л3, А6, А7 пропадают, так как в них сто-
рона А делает свой второй ход в зависимости от пове-
дения стороны В, Сторона В сохраняет все свои
стратегии неизменными. В этом случае мы получаем
игру 4X4 с такой платежной матрицей:
ТАБЛИЦА 7.5.3
Игра уже не имеет седловой точки и решается в обла-
сти смешанных стратегий. Освободившись от домини-
рующих стратегий, сначала от А$, а потом от В2 и B4i
получим игру 2X3. После ее решения имеем:
для стороны А
= 43/88 :24/88 :21/88 :0,
для стороны В
<7х^а:?3:^ = 7/15:О:8/15:О
и цену игры V=5,9.
31—343 481
Цена игры говорит уже о значительном снижении
ущерба у стороны В, если нет информации о направле-
нии нанесения главного удара. Ошибки в снабжении бое-
припасами скажутся на успехе оборонительных действий
стороны А. Что касается поведения сторон в подобной
ситуации, то рекомендуется стороне А придерживаться
в -^=49% случаев стратегии Aif в -^ = 27% стратегии
А4 и в 24% случаев стратегии А5. Стратегию А3 не
употреблять как невыгодную. Что касается стороны В,
то она практически с одинаковой частотой должна поль-
таблица 7.5.4 зоватыся стратегиями В1
и В3.
Пример 3. Пусть для
стороны А условия зада-
чи, как и в примере 1.
Что касается стороны В,
то она не имеет инфор-
мации, на каком направ-
лении сторона А сосредо-
точила основную массу
артиллерии. В этом слу-
чае у стороны В остают-
ся лишь две стратегии
Bi и В4 и мы имеем де-
ло с игрой 8X2 и матри-
цей платежа—табл. 7.5.4.
Избавившись от доминирующих стратегий Ль А3, Л4, Лб,
A7f А8, мы получим игру 2x2, цена игры которой заклю-
Эта игра легко решается
А : А = 4/5 :1/5, А : А = 1/5 4/5,
V = f = 9,2.
О
482
Полученный результат говорит о том, что отсутствие
информации у стороны В о поведении стороны А увели-
чило ее потери по сравнению с тем, что было, когда
такая информация имелась. Это получено при условии,
что сторона А имеет информацию о намерениях сторо-
ны В. Стратегия поведения сторон определяется их сме-
шанными стратегиями с полученными при решении игры
частотами.
§ 7.6. ОПИСАНИЕ БОЯ УРАВНЕНИЯМИ ЛАНЧЕСТЕРА
Для оперативно-тактических расчетов нашли приме-
нение упрощенные аналитические модели, получившие
название уравнений Ланчестера (метод динамических
средних). В этих моделях бой двух сторон рассматри-
вается как детерминированный процесс, исход которого
при заданной и неизменной в течение боя эффективно-
сти вооружения определяется первоначальным соотно-
шением сил сторон. Сам бой представляется в виде ряда
последовательных ударов, в результате которых обе сто-
роны несут потери. Ослабление сторон рассматривается
как непрерывный процесс, и это явление описывается
системой дифференциальных уравнений.
При выводе дифференциальных уравнений приме-
няется ряд допущений: перед боем (сражением) каждая
сторона имеет определенное число однородных боевых
единиц, каждая из которых в течение боя может быть
либо в боеспособном состоянии, либо поражена,. Огне-
вая мощь сторон в каждый момент времени определяет-
ся не фактическим количеством боевых единиц, а его
математическим ожиданием (что справедливо для боль-
шого числа боевых единиц). Величина Е, характеризую-
щая соотношение потерь двух сторон, определяется эф-
фективностью боевых единиц и в течение боя остается
неизменной. В силу принятых допущений уравнениями
Ланчестера целесообразно пользоваться при большом
числе боевых единиц сторон. Не останавливаясь подроб-
но на выводе дифференциальных уравнений, описываю-
щих бой (см. 50), запишем их в общем виде
dm PnnnG(t) dn PmtnmG (t)
dt — ь An . ’ — a A ,
kn m +mTfn km n +
31*
483
где -г:, -rz — скорости изменения потерь сторон во вре-
а 4 и t
мени;
т, п — текущие значения боевых единиц сторон;
гт, Гп — показатели степени, характеризующие степень
влияния возможной концентрации усилий (концентрации
огня, возможности по одновременному поражению не-
скольких боевых единиц огнем боевой единицы против-
ника и т. д.) боевых единиц одной стороны на потери
противника. Значения показателей гп и гт определяют-
ся, исходя из характера боя (операции), а в более слож-
ных случаях — по результатам обработки данных по
потерям и особенностям боя (сражения), полученных на
войсковых, флотских учениях, по результатам проигры-
вания боевых действий на ЭЦВМ и т. д. Если бой рас-
падается на ряд дуэлей (например, бой между танками),
то принимается гт=гп = 0 и получается линейный закон
Ланчестера. При обеспечении концентрации огня обыч-
ного вооружения боевых единиц сторон описание боя
сводится к квадратному закону Ланчестера и тогда
Г т :==z Г п 1.
В условиях применения ядерного оружия и других
средств массового поражения значения показателей сте-
пени гп, гт могут быть больше единицы.
G(t) характеризует интенсивность боя в момент вре-
мени Чаще всего принимается
G (/) = const = 1,
где km, kn — коэффициенты, характеризующие степень
маскировки сторон;
Ат, Ап — площадь (протяженность рубежа, объем
пространства), на которой расположены боевые единицы
сторон;
Tjm, Tfn — время, необходимое для производства
атаки боевым единицам сторон;
Рп, Рт — эффективности стрельбы сторон, отношение
которых принимается в течение боя постоянным.
Если вооружение боевых единиц сторон способно ве-
сти огонь очередями, то под Рп, Рт понимается вероят-
ность поражения боевой единицы противника за оче-
484
редь. Бой между двумя боевыми единицами представ-
ляется как обмен очередями выстрелов, в результате
которых одна из единиц остается боеспособной, дру-
гая— поражается. Если стрельба ведется одиночными
выстрелами (пусками), то Pw, Рп представляют собой
вероятности поражения цели одним выстрелом (при
одном пуске).
Решение этой системы уравнений представляется
в таком виде:
/ rn rn\ | иГп + 11 _
— («О — П ) [по —п ] —
__Pm J&n-Am г rm rrci | ! п г „ гт~‘~ ’ м гт Ч I /п\
Р~\~Г~ lOTo ~т 1 + л"0 — т Ч‘ ™
*п \ ' т ' m г 1 )
Из этого выражения получаются частные случаи, кото-
рые подробнее рассматриваются ниже.
А. Линейный закон Ланчестера
При
Гт = Гп = 0, G(/)=l=COnst
и
+ П „ = ^ + Tfm = 1 (3)
получается линейный закон Ланчестера
nQ — n = E(mQ — т), (4)
где д0, т0 — исходное число боевых единиц воюющих
сторон;
Бой сторон представляется в виде дуэлей между бое-
выми единицами. Борьба между ними ведется до уничто-
жения одной из них. Оставшаяся единица начинает бой
с другой боевой единицей противника. Для линейного
закона характерна невозможность сосредоточения уси-
лий боевых единиц одной стороны по одной из боевых
единиц противника. Полученная аналитическая модель
может быть использована для приближенной оценки
485
танкового боя, когда в течение сравнительно небольшого
отрезка времени возможности по концентрации огня
двух и более танков одной стороны по танку противника
ограничены.
Пример 1. С обеих сторон в бою участвует по 10 тан-
ков. Пусть средняя длительность каждой танковой дуэли
равна 5 мин, в течение которой один из танков пора-
жается. Бой заканчивается, если одна из сторон поте-
ряла 50% и более своего боевого состава. Танки сторо-
ны А имеют лучшую броневую защиту, чем танки сторо-
ны В, поэтому эффективность танков стороны А при
стрельбе по танкам противника в 1,1 раза выше, т. е.
Е =-^г~ = 1,1. Время ведения боя определяется из зави-
* п
симости
Г = -п° —: =2,6 врем, единиц,
1 -j- £
Т = 2,6-5 мин = 13 мин.
Положим, что на танки стороны А поставлено более
мощное вооружение, которое позволило увеличить их
эффективность на 20%. Какому количеству танков
(т'о) равноценно по боевому эффекту такое увеличение
действительности огня танков стороны А? Рассмотрим
бой, который идет до полного уничтожения танков про-
тивной стороны, т. е. /г = 0. Тогда
п , п0 ±
w0 ~ Тле = — = const,
откуда
tri. — 11,5 танков.
0 0 1 Е 1 ЛЕ
Это означает, что увеличение эффективности огня танков
стороны А на 20% равноценно увеличению числа танков
на 15%.
Оценка эффективности вооружения с учетом экономи-
ческих показателей (см. § 0.6) дает возможность сделать
выводы об экономической целесообразности постановки
на танки более мощного вооружения или более мощной
брони, обеспечения повышенных маневренных характе-
ристик и т. д.
486
Б. Квадратичный закон Ланчестера
Однако для современных войн стало более характер-
ным концентрация сил и средств по отдельным объек-
там противника. В этом случае нельзя уже представить
бой в виде отдельных боев-дуэлей. С учетом возможной
концентрации усилий обычных видов вооружения одной
стороны по объектам другой стороны изменение потерь
во времени представляется уже в другом виде, который
получается, если положить:
rm = r„-l, ^+^=^+^„=1, (5)
% = (6)
Из этих уравнений следует, что изменение потерь
каждой стороны пропорционально возможной концен-
трации усилий противника (числу его боевых единиц) и
интенсивности боя. Решение этих уравнений получено
в виде так называемого квадратичного закона Ланче-
стера
До — п2 = Е (rnQ — т2). (7)
Здесь уже чувствуется преимущество концентрации, так
как боевые возможности каждой стороны пропорцио-
нальны эффективности вооружения в первой степени, но
квадрату числа боевых единиц.
Пример 2. Двенадцать батарей стороны А ведут
контрбатарейную борьбу с девятью батареями сторо-
ны В, Мощность снаряда и точность стрельбы батареи
стороны А такова, что по эффективности огня она
в 1,5 раза превосходит батарею стороны В. Поставлена
задача — уничтожить артиллерийскую группу стороны В,
Необходимо оценить средние потери стороны А. При ре-
шении задачи целесообразно рассмотреть два варианта.
1. Боевая задача решается методом дуэльной борьбы,
для чего можно использовать линейные уравнения Лан-
честера
487
При /л = 0, Е= 1,5, /п0=12 бат.,/г0 = 9 бат. получаем
т= 6 бат. Потери стороны А составляют т0—т=6 бат.
2. Созданы приборы для управления огнем группы
батареи стороны Л, которые дают возможность сосредо-
точить их огонь по каждой из батарей противника.
В этом случае
т =
/п0-^Д^9,5 бат.
Потери равны Дт = т0—т~2,5 бат., т. е. существенно
уменьшаются. Учитывая стоимость дополнительных
средств, необходимых для управления огнем дивизиона,
можно с помощью методов экономической оценки эффек-
тивности сделать вывод о их целесообразности
(см. § 1.11).
В. Обобщение закона Ланчестера
Если положить в уравнении (I) rn = rw=l, то полу-
чим обобщение квадратического закона Ланчестера
dm_______Рптп
dt kn-Am “ЬПТfn
dn Рттп
dt~ kmAn+nTfm* }
Решение этой системы уравнений получено в таком
виде:
kmАп (пй — п) + («о — = jr [k”A™ (т0 — т) +
(т1 — ] • (9)
Пример 3. Рассмотрим бой 20 однотипных противо-
танковых средств (сторона Л) с 12 танками противника
(сторона В). Танки наступают на фронте шириной 400м
(Лп=400 м). Противотанковые средства занимают пози-
ции на фронте 2000 м (Лт=2000 л). Средняя эффектив-
ность стрельбы противотанковых средств по танкам за
время Tfm=2 мин равна Рт=0,8. Средняя эффектив-
488
ность огня танков по противотанковым средствам в тече-
ние Tfn = 0,8 мин равна Рп=0,6. Пусть, например, коэф-
фициенты маскировки танков и противотанковых средств
соответственно равны £w=0,025, &п=0,125.
Определить потери в танках, когда потери противо-
танковых средств не будут превосходить 20% первона-
чального состава, т. е. т0—m=4(m=16). Составим
уравнение
0,125-400 (12-«) + -| (122 —/г2) = §^|х
X [0,025-2 000 (20 - 16) + (202 — 162)].
Получаем п = 7, откуда потери в танках составляют
Дп = п0—/2=5 танков.
Если увеличить скорострельность противотанковых
средств в два раза Tfm— 1 мин, то потери в танках будут
уже равны Дп = 6 танков. Проводя подобные расчеты,
можно оценить влияние различных боевых характери-
стик вооружения на его эффективность. На основании
расчетов эффективности вооружения и экономической
оценки можно разумно определить его основные такти-
ко-технические характеристики.
Г. Еще одно обобщение квадратичного
закона Ланчестера
Система уравнений для этого случая запишется в та-
ком виде (см. [50]):
dm ~ G (t) п
Я=р-1Гв^сп’
<10>
где с, d—коэффициенты, определяющие естественную
убыль сторон;
Q, Р — скорости пополнения боевыми единицами для
обеих сторон.
С помощью уравнений (10) удается учесть естествен-
ную убыль личного состава и техники и возможности ее
пополнения к исходу боевых операций сторон.
489
G(t) < £G(t) о
Обозначим через а = -у^.; Ь = । . В этом случае
решение уравнений значительно усложняется и представ-
ляется в виде:
т=Qa+Pd . De(|X-x)tfeFe-(И+Х)t
ab— cd 1 1 b ’ v '
П
Pb — Qc _p. + & ре(н-Х)/ ।
ab — cd a ' ’
где
c __ ab Гт । d-P- + fe pl
г ~~ 2р. (|x 4- k) j а |/Ло“Г ab — cd J
D —____________f\m _i_ 1+.^ + k p'l —
u 2р.(р. + й) Ц о Т ab — cd
_|A + fe Г» _i_ c + i^ —fe 11. z 12)
b [rao I ab — cd [/’
Л =-^ (e-j-d); k = ^-(c— d); p. — J/'k2— ab.
Использование полученных зависимостей можно рассмо-
треть на таком примере.
Пример 4. Воздушные силы сторон содержат прибли-
зительно по 100 самолетов (то = по=1ОО самолетов).
В течение одного сражения (/=1) из тыла могут посту-
пить подкрепления для восполнения потерь в среднем
по 5 самолетов для каждой из сторон. «Естественные»
потери сторон определяются техническим состоянием
самолетов, надежностью их конструкции и качеством
технического обслуживания и характеризуются коэффи-
циентами с и d. Примем их равными
fx = 0,6; б/х = 0,4.
Величины с и d характеризуют процент «естественных»
потерь в единицу времени.
Оценим величину потерь обеих сторон при заданных
«естественных» потерях и при их снижении для сторо-
490
ны А с2=0,3; d.2 = dx = 0,4. После подстановки числовых
значений в уравнения (11) получаем следующие средние
потери сторон в течение одного сражения (в самолетах).
Сторона А .................
Сторон^ В .................
При G=0,6; di—0,4 При са=0,3; da=0,4
74,2 73,7
76,3 78,2
Так улучшение технического состояния самолетов
способствует уменьшению боевых потерь. С помощью
оценки эффективности и материальных затрат можно су-
дить о целесообразности введения специальных меро-
приятий, улучшающих боевую готовность самолетов (до-
полнительные ремонтные органы, комплектация ЗИП,
изменение конструкций и т. д.).
Д. Вероятностный анализ уравнений Ланчестера
С помощью уравнений Ланчестера получаются сред-
ние ожидаемые потери сторон в течение боя. Однако на
каждом этапе сражения, особенно на конечных, если по-
дойти с вероятностной точки зрения, существует вероят-
ность того, что сражение закончится гораздо раньше,
чем это предпологается, исходя из среднего результата.
Вероятностный подход оказывается очень полезным при
исследовании процессов развития боя (сражения) во
времени.
а) Линейный закон. Величина характеризует эф-
Е
фективность боевых единиц стороны В, а r-j—ь—сторо-
ны Д. Тогда вероятность поражения в течение Т боев а
боевых единиц стороны А и (3 единиц стороны В опреде-
ляется из зависимости
п /~ о\_(а + ₽)-/ Е \а ( 1 V /1О\
а! ₽! (j + в) V+£/ ’ 3
где а -(- р — Т при Т <т0, /г0.
Вероятностный анализ показывает, что результаты
отдельных боев могут отличаться от тех средних значе-
ний, которые были получены по уравнениям Ланчестера.
Однако в среднем потери сторон для заданного началь-
491
ного соотношения сил сторон (т0, п0) и их эффектив-
ности подчиняются закономерностям (4). Вероятность
состояния, когда сторона А потеряла а единиц, а сторо-
на В потеряла все свои боевые единицы, определяется
по формуле
р (а п \ — <а + ____ /14)
' ’ °' а! (п0— 1)! (1 £)а + «о ’ * '
Аналогично для стороны В
р (8 т ) — (Р +^о— 1)! Вт° /Jr)
°' ₽!(^0— О (1 4- Е)т°+$ ’
Пример 5. Стороны Л и В в начале боя имеют по
5 танков (т0 = /г0 = 5). Величина Е = 0,5. Определить ве-
роятность различных состояний сторон при условии, что
сторона А потеряла 3 танка (tn = 2):
Р(а = 3, р = 0) = 0,035, Р(а = 3, р = 3) = 0,22,
Р(а = 3, р= 1) = 0,099, Р(а = 3, р = 4) = 0,256,
Р(а = 3, р = 2) = 0,165, Р(а = 3, £ = 5) = 0,27.
Математическое ожидание числа потерянных танков
в бою для стороны В равно
М(п) = ^ Р(а, [3) [3 = 3,46,
р=о
где
а = т0 — т, ^ = /г0— п.
По линейному уравнению Ланчестера получаем
п = п0 — Е (mQ — т)—5 — 0,5 (5 — 2) = 3,5 танков.
б) Квадратичный.закон. Вероятность того, что данная
боевая единица стороны А не будет поражена огнем ни
одной из п боевых единиц стороны В, равна
w(£-H)
492
Тогда вероятность поражения в течение боя единиц сто-
роны А равна
1
т0 (1 —Е)
[1
Аналогично получена зависимость для стороны В
Р(₽)=
п0!
(1 +E)n0 J J '
Уравнения Ланчестера применяются для разработки
стратегии и тактики, а также для более сложных случа-
ев. В качестве примера последнего можно привести за-
дачу распределения сил и средств государства на разви-
тие тактических и стратегических сил и другие (см. [50]).
Е. Уравнения Динера
При выводе уравнений Ланчестера предполагалось,
что:
— информация о поражении целей поступает мгно-
венно;
— как только боевая единица противника уничто-
жается, победившая боевая единица сразу же переносит
огонь на другую цель.
Это вариант так называемого «высокоорганизован-
ного боя». Рассмотрим бой, при ведении которого
информация о поражении цели отсутствует и перенос
огня не осуществляется.
При создании математической модели такого огня
принимаются следующие допущения:
Каждая боевая единица сторон может вести огонь
по цели со средней скорострельностью Л; так как про-
межутки между выстрелами являются величинами слу-
чайными, то полагается, что они образуют пуассонов-
ский поток с плотностью % (для стороны A %i, для сто-
роны Б Аг).
493
Эффективность стрельбы при каждом выстреле в про-
цессе боя остается неизменной и равной для боевых
единиц стороны А Рь а для стороны В Р2.
Время полета снарядов не учитывается.
Огневая мощь сторон определяется, исходя из мате-
матического ожидания числа боевых единиц.
При выводе уравнений, описывающих бой двух сто-
рон, ограничимся средними характеристиками. Рассмо-
трим бой двух группировок, каждая из которых состоит
из однородных боевых единиц (число боевых единиц
стороны А Azi, стороны Б А2). Боевые возможности еди-
ниц сторон можно характеризовать средней «эффектив-
ной скорострельностью», которая равна:
для стороны А
Al = Х1Рг,
для стороны В
Л.2—^2Р2-
Уменьшение числа боевых единиц сторон за время Д/
равно числу успешных выстрелов, которые пришлись на
непораженные цели. Вероятность того, что успешный вы-
„ mi
стрел пришелся по непораженной цели, равна
где mi — текущие значения числа боевых единиц сторон.
Тогда потери стороны А равны
= — Л2ДЛт2^-. (1)
Откуда, деля на Д/ и переходя к пределу Д/-+0, полу-
чаем
Начальное условие при / = 0; Аналогично полу-
чаем уравнение для стороны В. Откуда система уравне-
ний, описывающая бой, запишется в таком виде [130]:
~~dt~ (2)
где
__________т2 ______, __Л2Л^2
Nt> Р'2— N2’ 1— Nt '
494
При/ = О (i1 = p.2= 1. При «! = const, u2 = const урав-
нения (2) интегрируются в конечном виде
-- ц.
. (3)
__ ^1—^2
O^U'~lt^--U2 *
Полученные результаты можно представить в ином виде,
если обозначить
j _^1 + #2 р
I— 2 I
(приведенное время),
А _ ^1—^2
° их + 0,2*
Тогда относительная величина потерь сторон от огня
противника за время t определится по формулам
__________2₽_____
14 “(1 +₽)-(!-?)
2?
1X2 (1 +0) е2^- (!-₽)'
Для иллюстрации применения полученных формул
рассмотрим пример.
Пример. 5 батарей стороны А ведут контрбатарейную борьбу
с 4 батареями стороны В. Каждая батарея стороны А делает в сред-
нем 10 прицельных выстрелов в минуту, а батарея стороны В—
8 выстрелов в минуту. Эффективность каждого выстрела стороны А
по батарее стороны В равна Pi = 0,1, а соответственно у стороны В
Р2=0,05. Определить результаты 5-мин боя.
Решение. Определяются средние эффективные скорострель-
ности сторон
= Ю-0,1 = 1
выстрел
мин
Л2= Л2Р2 = 8-0,05 = 0,4
выстрела
мин
Вычисляются вспомогательные параметры:
выстрела
“* =_/УГ~1,25 мин •
495
X.2W2 выстрела
«2 = 4?—=0,32---------
2 Nj. мин
2? _
‘l',= (1 + ₽)- (1 - ₽) e-2?t °’74’
28
u.2 =--------957-------Г" =0,007.
(1 + g)e2^- (1 - ₽)
В результате боя силы сторон составляют:
для А
т1 = pilVi = 0,74-5 = 3,7 батарей,
для В
т2 = р*2^2 = 0,007*4 = 0,028 батарей,
т. е. практически уничтожаются батареями стороны Л.
§ 7.7. ЗАДАЧА НА ВЫЖИВАНИЕ
Задачи на выживание (задачи с дуэлями) относятся
к игровым с бесконечным числом стратегий. В то же
время в них учитываются ответные действия противника,
и в этом отношении они по духу близки к аналитическим
моделям Ланчестера. При решении этих задач пред-
полагается, что каждая из сторон знает для себя и для
своего противника вероятности поражения в зависимости
от расстояния между ними. Причем предполагается, что
эти вероятности возрастают монотонно и непрерывно по
мере изменения расстояния между боевыми единицами
сторон. В качестве платежной функции может быть
взято математическое ожидание времени выживания
боевой единицы противника или вероятность ее пораже-
ния, что и применяется в предлагаемой задаче. Вероят-
ность поражения зависит от вооружения боевых единиц
и программы ведения ими огня.
Программ ведения огня может быть бесконечное
множество. Поэтому задача может быть решена опреде-
лением средней вероятности поражения противника
в зависимости от выбранной программы ведения огня
или определением наивыгоднейших областей открытия
огня. Этому и посвящен настоящий параграф.
496
Пусть сторона А имеет на вооружении систему, спо-
собную поражать боевую единицу стороны В с вероят-
ностью РА (d), которая зависит от расстояния d между
противниками. Аналогично сторона В имеет на вооруже-
нии систему с эффективностью P&(d). За время t каж-
дая из сторон может произвести случайное число вы-
стрелов, интервалы между которыми являются случай-
ными величинами, распределенными по закону Пуассо-
на, соответственно с параметрами КА и Хв. В процессе
боя стороны сближаются друг с другом, двигаясь со
скоростями VA и Полагаем, что VA и VB — const. Не-
обходимо определить вероятность выживания сторон
в бою. Сторона А выживает в момент времени t + At,
если:
сторона В не выживает к моменту
сторона В выживает к моменту времени t, сторона А
за время (/, t+At) поражает сторону В;
сторона В выживает к моменту Z, но за отрезок вре-
мени (/, t+At) В не ведет огня, сторона А стреляет и
промахивается;
сторона В выживает к моменту времени t, А и В про-
махиваются при стрельбе;
В выживает к моменту времени /, А и В не ведут
огня;
В выживает к моменту времени А не стреляет,
В производит выстрел и делает промах.
Тогда вероятность выживания стороны А ко времени
t+At равна
р [Л (t + ДО]=Р [Л (01 {1 -Р [5 (ОМ (0] + р [5 (ОМ (0 ] X
Х[ЛЛДЛРЛ+ЛЛДО1 -РЛ)И(1 -V0+VO1 -/%)]+
+ (1 -алд/)[лвд^в+(1 - V0]}. (1)
где <7В = 1-РВ;
Р[Д(/)] — вероятность выживания стороны А в момент t;
Р [£(/)]—вероятность выживания стороны В в момент t.
Пренебрегая членами с сомножителем А/2, как вели-
чиной второго порядка малости, получаем
р [Л (t + ДО] = Р[А (0] {1 - Р [5 (ОМ (01 +
+ Р[5(0/Л(0](1-РЛд0}- (2)
32—343
497
После простейших преобразований получаем
= -Р[В (t)/A(/)]• Р [Д(О]ЯВРВ.
(3)
При Д/ -> О
= - Р [В (0/Д (0] Р [Д (0] Чрв. (4)
Аналогично получается и для стороны В
= _р[А щв (/)] Р [В (0] ЬАРА, (5)
Если исходить из предположения, что одновременные по-
ражения обеих сторон невозможны, то справедливо
р [В (0/Л(0]=р [Д (0/S701 = 1, (6)
где A(t), B(t)— случаи невыживания сторон А и В.
В свою очередь, полная вероятность события A (t) равна
Р [Д (0] = Р [Д (t)/B (/)]. Р [5 (0] + Р[ A (t)/B (0i Р
(7)
Учитывая результаты (6) и (7), можно преобразовать урав-
нения (4) и (5) к такому виду:
= - {Р [Д (0] + Р [5 (0] - 1} *ВРВ> (8)
^^1 = - {Р [Д (0] + Р [5 (/)] - 1} 2ЛРЛ.
Обозначим
Р[Д(0] = х(/), х(0) = 1,
Р[5(^]=у(0, у(0) = 1. (9)
Вероятности Рд — Рд (d), Рв = Рв (d). При
VA + VB = V = C0I1St PA - PA W. PB = PB (0- ( 10)
498
Тогда
^ = (l-x-z/)PB(f),
^ = (1_х_г/)РлЮ1 (Ц)
где х (0) == у (0) = 1.
Решая эту систему уравнений, получаем
t
t - рРл(«)+Рв(«)]<Хи
X(/) = 1-J Рв(т)е °
о
t “ j lpA(“)+pB<“)ld“
y(t) = l-^PA(t)e 0 dz. (12)
0
Если допустить, что при X—>оо
J [Рл(«) + Рв(«)]^й-*оо,
то выражение (12) может быть записано в следующем
виде:
%
1рЛ du
х(0=л-(оо)+JpB(T)e 0 dz,
t
%
оо J [PA(u) + PB(u)\du
r/(0 = j/(oo)+ £Рл(т)е ° dz. (13)
Вводится переменная zA, которая представляет собой
время выживания стороны Л, когда она не выживает
в результате первого выстрела. Величина zA опреде-
ляется своей функцией распределения
FгА (!)= -^55) J 11 рв (“)du- (14)
О
При / = 0 F2^(0)=0, F^(oo) = 1.
32*
499
Плотность распределения
W = hU !•»<') + и W-4PSW-
Аналогично для В
Из системы уравнений (11) следует
Тогда
— J 1Рд(и) + РВ(иЛ du
х-\-у — 1 = е 0
t
— j 1рЛ + рВ<иЯ du
Рп (О е 0
fZA (0 =-----~--------z----------------
1рд (u)+PB(u)]du
1-^РА№ ° -dt
oJ
(15)
(16)
(17)
(18)
t
— J [/’л (U) + PB(u)] du
РА (О е 0
ОО х
1 — £ - J 1Рд (и) + Рв (“)1
°Рв(х)е 0 -dx
Время выживания до первого поражающего выстрела про-
тивника будет равно
00 — J 1рд («) + рв
Урв(г)е 0 -dx
Е (^л)=-------------,
оо — J [рЛ (и)+рв (W)l du
1-\РА($г 0 .dx
о
500
« \ \.рА (и) + РВ <иЯ du
оо J
]/’л(х)е °
£^в)=------------------;---------------
оо — J lpA (U)+PB («)] du
0 -dt
о
(19)
Пример 1. Рассмотрим бой между ПТУРС и танком,
первоначальное расстояние между которыми равно d.
Вероятность поражения танка огнем ПТУРС при одном
выстреле определяется зависимостью
РА kat = 0,6 + 0,05Л
Здесь, как и в самой поставленной задаче, предпола-
гается, что танк движется навстречу ПТУРС с примерно
постоянной скоростью. Поэтому зависимость вероят-
ности поражения танка от дальности выразилось через
функцию времени. В свою очередь, танк, ведя огонь по
ПТУРС, может поражать его с вероятностью Рв(0 =
= & + &ь/ = 0,44-0,3/. Найти стратегию поведения в опре-
делении дальности открытия огня. Определим выраже-
ния плотности распределения вероятности выживания
танка и ПТУРС
г /f\___ (bkbt) е
/тах ka+kb
л - (а+b)- **
1— I (a-]-kat) е 2 -dt
о
-(a+b) t--a-*±. Р
£ _ (Д + kat) е_______________________
гв /nJ,aI — (а+Ь) t— -~Ч kb р
1— ( (b+kbt) е 2 dt
‘о
501
После подстановки численных значений получим графики
изменения величин (0 и (рис. 7.7 Л) в функции
расстояния между танком и ПТУРС, где дальность
d t • Vтанка*
Применительно к условиям этого примера можно
сделать такие выводы. Зона больших дальностей до dk
является наиболее выгодной для открытия огня ПТУРС.
Для танка, наоборот, выгодно подойти незамеченным,
используя складки местности, возможно ближе к ПТУРС,
чтобы с большей вероятностью его поразить. Зона ма-
лых дальностей в примере является преимущественной
для открытия огня танка. Следовательно, при проекти-
ровании танка нужно так выбирать маневренные харак-
теристики, броневую защиту, чтобы дать ему возмож-
ность подойти незамеченным к переднему краю, тем
самым уменьшить зону эффективной стрельбы ПТУРС
вероятного противника. При заданном весе танка по-
дробные исследования помогут найти оптимальное рас-
пределение между оборнительным весом (весом брони)
и весом активного вооружения, оценить целесообраз-
ность обеспечения стабилизации артиллерийской уста-
новки для ведения точного огня на ходу и т. д.
502
§ 7.8. МОДЕЛЬ БОЯ КОМПЛЕКСОВ ЗЕНИТНЫХ
УПРАВЛЯЕМЫХ РАКЕТ
А. Общие замечания
Моделирование боя может быть применено для вы-
бора лучших характеристик зенитных ракет, а также для
выбора оптимального метода их боевого использования
и при определении оптимального состава группировки.
При построении модели рассматриваются вопросы реаль-
ного боевого процесса, развивающегося во времени и
пространстве.
Ниже показана возможность исследования боя зе-
нитного комплекса с помощью элементарной аналити-
ческой модели. Вопросы методики разработки статисти-
ческой модели, обладающей' более широкими возможно-
стями отображения реального процесса, будут рассмо-
трены в § 8.7.
В § 3.4 приведены соотношения для оценки эффек-
тивности стрельбы по одной цели п выстрелами. Они
справедливы и для оценки стрельбы по N целям в слу-
чае, когда интервал времени между появлениями любых
двух целей (на рубеже досягаемости оружия) будет
больше времени обстрела одной цели п выстрелами. В
противном случае необходим учет характеристик налета
целей и огневых возможностей оружия. Особенно это
важно при оценке эффективности зенитного комп-
лекса.
При этом нужно учитывать соотношения между дли-
тельностью обстрела цели и интервалом времени между
появлениями целей на рубеже обстрела. Эти времена,
вообще говоря, являются случайными, и объективная
оценка результатов боя возможна лишь с помощью ста-
тистической модели.
Однако при необходимости просмотра многочислен-
ных вариантов условий налета и обстрела целей целе-
сообразно сначала использовать аналитические выраже-
ния. На их основе с помощью простых вычислительных
средств можно быстро получить приближенную оценку,
которая, кроме самостоятельной значимости, позволяет
также определить область более детальных и точных
исследований.
503
Б. Постановка упрощенной задачи
Рассмотрим случай решения задачи оценки влияния
основных характеристик налета и боевой работы ком-
плекса на его эффективность. С целью упрощения за-
дачи пренебрегаем случайными факторами. Поток целей
S=3z * г~ л
7— / - п у н — п
Н н — п н — — н —
L- г -J m-Rf '
------ 1‘й вариант
-----2-й вариант
Рис. 7.8.1.
считаем одномерным детерминированным (т. е. неслу-
чайным).
Общее время подготовки к стрельбе и реализации
одного пуска ЗУР характеризуется средним значением
интервала т между пусками ракет. Считается, что W
однотипных целей движутся с постоянными скоростями
и появляются на фиксированном рубеже через равные
промежутки времени тц. Даны также такие характери-
стики, как:
P = Rt — вероятность поражения цели одной ракетой
(при этом для упрощения считается, что отказов в ра-
боте комплекса нет);
5 — максимально возможное число выстрелов за ин-
тервал времени тц между появлениями целей 5 = ^;
т — максимально возможное число пусков ракет по
одной цели, которое определяется как среднее значение
отношения полного времени пребывания цели в зоне
поражения к интервалу т времени между выстрелами.
Предполагается, что огонь переносится на другую
цель или после сбития первой, или после проведения по
ней всех т выстрелов, т. е. из-за выхода ее из зоны
обстрела.
Схема ведения »стрельбы в случае т=6 и 5 = 3 по-
казана на рис. 7.8.1, где символ п означает поражение
504
цели, а н — непоражение целей. Из рисунка видно, что
в первом варианте вторая цель появилась после 3 без-
успешных выстрелов по первой; 4-й выстрел был дан по
первой же цели. После сбития первой цели огонь был
перенесен на вторую. Последняя сбита при втором по
ней выстреле, после чего огонь перенесен по третьей
цели, которая только что вошла в зону поражения,
и т. д.
Во втором варианте обстрела первая цель сбита на
втором выстреле, после этого оружие ждет в течение
интервала времени т другую цель. Вторая цель сбита
как только появилась в зоне досягаемости, и оружие
ждет в течение времени 2т появления третьей цели
и т. д.
На основании приведенных выше исходных данных и
характеристик режима ведения огня требуется опреде-
лить математическое ожидание:
— числа сбитых целей,
— общего расхода ракет по отражению налета.
В. Вероятность проведения выстрелов
Исходными для расчета математического ожидания
числа сбитых целей и общего расхода выстрелов явля-
ются вероятности ведения огня по целям потока. Будем
в индексе вероятности указывать номер выстрела,
а вверху в скобках указывать номер цели.
Вероятность проведения первого выстрела по первой
цели так как первый выстрел по первой цели
является достоверным событием. Второй выстрел по пер-
вой цели проводится лишь при безуспешности первого.
При вероятности поражения цели одним выстрелом р ве-
роятность неуспеха при первом выстреле будет равна 1 —
— p = q- Следовательно, вероятность проведения второго
выстрела будет равна = Третий выстрел обуслов-
ливается безуспешностью первых двух. Тогда вероятность
его проведения = (1 — р) (1 — р) = q2. Аналогично
можно заключить, что вероятность проведения /я-го вы-
стрела по первой цели
w^=qm-\
т "
505
Запишем вероятности ведения огня по первой цели в
порядке номеров выстрелов в виде
U7. = (№(l1), IT'0,..., Г(1’)1 1 \ 1 ’ Z 771 7
ИЛИ (1)
— (1, q,--, q™'1)-
Здесь W\ называется матрицей-строкой, , a =
=1 ,... ,т) —ее элементами.
Пример 1. Составить матрицу ТГ, если известна вероятность по-
ражения цели Р=0,7 и возможное число выстрелов в зоне дося-
гаемости оружия ш—4.
Решение. В соответствии с формулой (1) и учитывая, что
т= 4, запишем
Wi = (\,q, q3).
Так как ^=1—р=0,3, то окончательно получим
Г1=(1; 0,3; 0,09; 0,027).
Аналогично можно представить в виде матрицы-
строки вероятности ведения огня по любой /г-й цели на-
лета
Wn=(W\n\..., №';>). (2)
Вероятности ведения огня по n-й цели определяются
по значениям элементов матрицы W и специальной ма-
трицы преобразований М с помощью соотношений
W2 = WeMf
(3)
где М — матрица порядка (т^т) с элементами Мц в
z-й строке и j-м столбце. Она имеет вид
'p*pq pq2........................pq™'1
p pq pqi.........................pqm~'
Л1 = ]д p pq.......................pqm~x>
5 СТРОК /дч
(5<m). W
0 0 ... 0 р pq pq2 ... pqs~l pqs
oo... oo 2. ч qs~2 q*'1
S столбцов
506
Матрица составляется таким образом, что первые
S строк одинаковы и равны произведению элементов W
на р. Далее, начиная с (S + 1)-й строки, в каждой по-
следующей строке записываются элементы предыдущей
строки со сдвигом относительно нее на один интервал
между элементами. Оказавшиеся справа лишние эле-
менты отбрасываются. Пустые элементы слева запол-
няются нулями. В последней строке записываются соот-
ветствующие элементы матрицы строки W\.
Из матрицы М видно, что успех, достигнутый на
S+/-M выстреле по первой цели обусловливает открытие
огня по второй цели на (/+1)-м выстреле. Последняя
строка матрицы М свидетельствует о том, что после
m-го выстрела по первой цели вероятности ведения огня
по второй будут идентичны таковым для первой цели.
Пример 2. Составить матрицу М, если известно, что по первой
цели можно провести не более 4 выстрелов, а вторая цель может
появиться в зоне поражения после 2-го выстрела по первой цели.
Решение. Очевидно, m=4, S=2. Тогда согласно (4) запишем
(р pq pq2 pq3
р ря pq2 pq3
о p pq pq2
0 0 1 q
Из формулы (3) видно, что для определения вероят-
ности ведения огня по цели, начиная с п = 3, требуется
возведение матрицы М в степень (п—1). Это сводится
к последовательности произведений двух матриц, так
как Mk = M • Mh~l.
Пример 3. Дано: максимально возможное число выстрелов
т=3, число выстрелов за интервал времени между появлениями це-
лей 5=1, число целей потока W=3, вероятность поражения цели
р=0.6. Найти вероятности ведения огня по целям.
Решение. Напишем матрицу вероятностей ведения огня по
первой цели
= (1, q, ?2) = (1; 0.4; 0,16).
Вероятности ведения огня по второй цели находим, используя пра-
вило умножения строк [57] первой матрицы на столбцы второй
(р pq pq2
О р pq
0 0 1
507
/ 1 \
Учитывая, что (a, b, с) I f ] = al + bf + ck, находим
У k J
wt = (p, pq + pq, pq2 + pq2 + <72) =
= [p. 2pq, q2(2p+ 1)] = (0,6; 0,48; 0,35).
Учитывая, что ij-и элемент матрицы — произведения двух мат-
риц равен произведению f-ой строки первой матрицы и /то столбца
второй, находим
(р pq pq2\(p pq pq2 \ / p2 %p2q pq2(?p + 0 \
0 P Pq j| 0 p pq 1=1 0 p2 p<7(p+O I-
ooi/\ooi/\o о .1 /
Теперь найдем вероятности ведения огня по третьей цели
F3 = F1-M2 = [it?2, 3p*q, ^2(3^2+2р+1)] = (0,36; 0,43; 0,52).
Пример 4. В случае 5 = 2 и остальных данных примера 3 ана-
логично получим решение
1Г2 = (0,84; 0,5; 0,2), Г3 = (0,80; 0,52; 0,21).
Г. Выходные данные аналитической модели
Математическое ожидание рп расхода выстрелов по
n-й цели будет равно сумме вероятностей ведения по ней
огня, т. е.
т
Рп=£г<").
(5)
Общий средний расход выстрелов при отражении на-
лета определится очевидной формулой
N
Рх — Рп-
(6)
Воздушная цель прорвет ПВО в случае, если m-й вы-
стрел по ней будет безуспешным. Вероятность этого со-
508
бытия равна произведению вероятности проведения по
цели m-го выстрела и вероятности непоражения при
этом. Следовательно, вероятность прорыва n-й целью
ПВО будет равна
Qn=w^.q. (7)
Отсюда найдется вероятность поражения n-й цели за
стрельбу
Pn=l-Qn. (8)
Математическое ожидание nN числа целей, поражен-
ных в результате отражения налета, определится по
формуле
N
= (9)
Пример 5. Найти значения математических ожиданий числа сби-
тых целей и общего расхода ракет по данным примера 3.
Решение. Продолжая пример 3, в результате расчетов на
основе данных о значениях Wy W3 получаем следующие вели-
чины:
а) Математическое ожидание 'расхода выстрелов по цели со-
гласно (5):
р1== 1 +0,4 + 0,16 = 1,56,
р2 = 0,6 + 0,48 + 0,35 = 1,43,
р3 = 0,36 + 0,43 + 0,58 = 1,31.
б) Обший средний расход за налет по формулу (6)
Ря — Pi + Р2 + Рз — 4,30.
в) Вероятности непоражения и поражения целей соответственно
формулам (7) и (8):
Qx = ,06,
Q2 = (2р + 1) = 0,4-0,35 = 0,14,
Q3 = q3 (Зр2 +2р+ 1) = 0,4-0,52 = 0,27,
= 1 —0,06 = 0,94,
Р2= 1 —0,14 = 0,86,
Р3 = 1 —0,21 = 0,79.
г) Математическое ожидание числа пораженных целей согласно
формуле (9)
^ = Pi + Р2 + Р3 = 0,94 + 0,86 + 0,79 = 2,59.
509
Пример 6. Продолжая пример 4, для случая S = 2 аналогично
предыдущему находим
рЕ==4,63; nN = 2,78.
Для случая S = 3, очевидно, возможности обстрела второй и
третьей целей будут такими же, как и для первой. В этом случае,
используя данные примера 5, легко найти
рЕ = Зр2 = 3.1,56 = 4,68; nN = 3Pt = 3-0,94 = 2,82.
Итак, в результате расчетов получили:
5=1,
5 = 2,
5 = 3,
nN = 2,59,
nN = 2,78,
nN = 2,82,
Ре = 4,30,
Р£ = 4,63,
Ре = 4,68.
Отсюда видно, что уменьшение плотности налета,
т. е. увеличение S, приводит к увеличению эффектив-
ности отражения налета и расхода выстрелов. То и дру-
гое происходит за счет увеличения возможностей
обстрела, что видно также из сравнения элементов ма-
триц W2 и W3 соответственно для случаев S=1 и 5 = 2
(примеры 3 и 4).
ГЛАВА 8
СТАТИСТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЯ
§ 8.0. ВВЕДЕНИЕ
О предыдущих главах книги рассматрива-
U лись аналитические методы определения
эффективности вооружения в различных боевых ситуа-
циях. В третьей главе даны методы оценки эффектив-
ности без учета противодействия противника, в четвер-
той— применение теории массового обслуживания для
оценки эффективности вооружения и, наконец, в 7-й гла-
ве рассмотрены аналитические методы оценки эффектив-
ности вооружения в значительно более сложных боевых
ситуациях.
Достоинством аналитических методов является воз-
можность оценки с их помощью влияния разных факто-
ров как с количественной, так и с качественной стороны
(зачастую без проведения расчетов). Однако при созда-
нии таких методов приходится в значительной мере
упрощать действительный процесс, отказываться от уче-
та влияния разных факторов, пользоваться приближен-
ными зависимостями, так как без этого не удается
найти аналитического решения. Поэтому для оценки
эффективности вооружения в сложных боевых ситуациях
приходится прибегать к методу статистических испыта-
ний, основные положения которого даны в гл. 2.
В настоящей главе излагаются некоторые специфи-
ческие вопросы, связанные со статистическим моделиро-
ванием боя: критерии выбора оптимального вооружения
по результатам моделирования боя, введение внешних
условий в модели, учет свойств вооружения, описание
действий человека и методы сопряжения математической
и физической моделей.
511
Общие принципы создания моделей показываются
на конкретных примерах:
— математическая модель на примере модели отра-
жения атак танков;
— сочетание математического моделирования с дей-
ствиями людей (операторов) на примере модели дей-
ствия частей и подразделений;
— сочетание аналитического решения со статистиче-
ским моделированием на примере модели боя комплек-
сов ЗУР.
§ 8.1. КРИТЕРИИ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО ВООРУЖЕНИЯ
ПО РЕЗУЛЬТАТАМ МОДЕЛИРОВАНИЯ БОЯ
Как уже указывалось, выбор критерия оценки ва-
рианта вооружения является чрезвычайно важной зада-
чей, так как неверный выбор критерия может привести
к ошибочному решению. Критерий должен прежде всего
отражать основные требования, предъявляемые к образ-
цу вооружения. Для этого должны быть выяснены и
четко определены цели операции и уже исходя из них
выбран критерий.
В качестве общей формы критерия эффективности
образца вооружения может быть принята следующая:
E--S.. (1)
где D — общий причиненный (или предотвращенный)
ущерб;
С — общая стоимость оружия;
Помимо этого критерия необходимо обязательно рас-
сматривать и второй — соотношение людских потерь:
(2)
где Afi — потери одной стороны;
Л^2 — потери другой стороны.
В американской печати зачастую рассматривают один
критерий Ei, вводя в D и С «стоимость» людских потерь
(в частности, в [49] принимается «стоимость» человека
20 000 долларов). Необходимо рассматривать критерии
Е\ и Е2 раздельно, хотя это в некоторых случаях и созда-
ет определенные трудности в анализе полученных ре-
512
зультатов (когда образец более выгодный по Ех оказы-
вается менее выгодным по Е2).
Отметим, что эти критерии не всегда обязательно
брать в форме соотношения стоимостей или потерь. Воз-
можны и другие формы, например, первая — стоимость
выполнения данной боевой задачи (уничтожения задан-
ного процента цели с заданной вероятностью и т. д.)
или вторая — вероятность выполнения заданной боевой
задачи при фиксированных затратах. Из этих двух форм
критериев более предпочтительной является первая,
так как в военном деле выполнение задачи, как правило,
должно быть достигнуто любой ценой. Если оказывает-
ся возможным производить сравнение по еще более про-
стым критериям (например, оказывается, что точность
стрельбы одной ракетой при прочих равных условиях
выше, чем второй), то безусловно необходимо пользо-
ваться более простым критерием. Отметим только, что
этот простой критерий (в данном случае точность стрель-
бы) составляет часть критерия Еь
Рассмотрим подробнее вопрос о выборе критериев на
примерах.
Пример. Требуется сравнить два образца самолетов-бомбарди-
ровщиков, летающих на разных высотах: первый до /7=10 000 м и
второй до /7=20 000 м, если вероятность сбить первый ПВО про-
тивника Pi=0,4, вероятность сбить второй р2=0,1; стоимость пер-
вого Сс1 = Ю единиц, второго СС2=50 единиц; вероятность пораже-
ния типичной цели (завода) атомной бомбой с одного самолета
равна /71 = 0,6, со второго равна /72=0,4. Стоимость завода Сз=100
единиц, атомной бомбы Сб=10 единиц, затраты ПВО Сп=2 едини-
цы. Экипаж первого самолета 2 человека, второго — тоже 2 челове-
ка, на заводе работает 1000 человек.
Тогда общий причиненный ущерб от одного налета:
Dx = ПгС3 + Сл = 0,6-100 + 2 = 62,
Р2 = П2С3 + Сп = 0,4-100 + 2 = 42.
Общая стоимость оружия при одном налете:
Ci = piCci + Сб = 0,4-10 + 10 = 14,
С2 = р2Сс2 + Сб =0,1-50+ 10= 15.
Критерии эффективности
Di 62 D2 42 л
Ei-i = C1 14,0 = 4,41 £*>a — Ci 15 = 2’8,
Таким образом, по критерию Ei первый самолет оказывается
выгоднее. Отметим, что в данном случае можно не учитывать за-
траты противника на ПВО, так как они малы. Но ни в коем случае
33—343 513
нельзя не учитывать стоимость бомбы, так как в некоторых случаях
это может привести к неверным результатам (когда стоимость бом-
бы является основной).
При вычислении критерия соотношения людских потерь следует
Исходить из одинаковой степени решения боевой задачи. В данном
случае следует прежде всего определить математическое ожидание
числа вылетов на уничтожение завода
OT1 = 77, (1 — Pi) =0,6-0,6 = 2’78'
1 _ 1 _
Отг= /7г(1—р2) ~0,4-0,9~2,78-
Тогда математическое ожидание числа потерянных самолетов
Л41 =т1р1 = 2,78-0,4 — 1,11,
М2 = ГП2Р2 = 2,78-0,1 = 0,278.
Математическое ожидание людских потерь
/n'j = 2-1,11 = 2,22,
m'2 = 2-0,278 = 0,556.
Соотношение потерь
2 22
£2,1 = у5од= 0,00222,
0,556
£2,2 = iqqq 0,000556.
С этой точки зрения второй самолет оказывается выгоднее.
Отметим, что если бы /71 = /72, то не было бы необходимости
вычислять £i, а достаточно было бы сравнить Ci и С2 (стоимость
затрат на оружие на один налет). Если бы и стоимости самолетов
были одинаковыми, то достаточно было бы сравнить вероятности их
поражения ПВО.
Сравним теперь эти два самолета при условиях, сформулирован-
ных выше, но по критерию математического ожидания материаль-
ных затрат на выполнение задачи (ц)
Рч (СС1+Сб) + Сб= 1,11(10 + 10) + 10 = 32,1;
Р»2=Л42 (СС1 + Сб) + Сб = 0,271 (50 + 10)+ 10 = 34,4.
И в данном случае первый самолет выгоднее.
При построении модели необходимо предусмотреть
вычисление всех выбранных критериев, а также учесть
основные факторы, влияющие на их величину. Отка-
заться от учета того или иного фактора можно только
после проведения расчетов с целью оценки его влияния.
514
§ S.2. ВВЕДЕНИЕ ВНЕШНИХ УСЛОВИЙ В МОДЕЛИ
К числу внешних условий можно отнести: характери-
стики местности, метеорологические условия, время су-
ток, геофизические условия.
А. Рельеф местности
Он может быть учтен следующим образом. Вся рас-
сматриваемая территория разбивается на небольшие
участки (размеры которых составляют 0,01—0,001 раз-
меров той местности, на которой происходит бой), для
каждого из которых определяются:
1) высота Zi), где хг-, Zt— координаты участка
территории;
2) степень маскировки, обеспечиваемая естественной
растительностью (лучше всего по шкале из нескольких
баллов);
3) наличие естественных особенностей (болот, кру-
тых склонов);
4) скорость, с которой данное средство может пере-
мещаться по данной местности.
Первая величина используется для определения ви-
димости из одной точки в другую. Вторая величина
используется для определения вероятности обнаружения
средства, находящегося на данном участке. Третья ве-
личина используется для расчета вероятности, с которой
каждый из соседних участков должен выбираться в ка-
честве следующей позиции. Например, если два сосед-
них участка разделены болотом, то вероятность переме-
щения с одного на другой будет близка к нулю.
Следует отметить, что введение в модель рельефа
требует большого количества запоминаемой машинной
информации. Поэтому с целью упрощения модели может
рассматриваться средний рельеф. Тогда параметры
рельефа в машину не вводятся, а рассматриваются сред-
ние скорости движения, средние вероятности обнаруже-
ния, вероятность прямой видимости и, наконец, прямо-
линейное движение танков, противотанковых и других
средств в случае их перемещения.
Для учета вероятности перемещения на другой уча-
сток можно поступить следующим образом. Пусть, на-
пример, вероятность перемещения танка на соседние
33* 515
516
участки равна pi, рг, Рз, Р4, Ps и ре (рис. 8.2.1). Очевид-
но, что:
Р1+Р2 + Рз + Р4 + Р5 + Рб=)1- (1)
Тогда для определения участка, на который переме-
стится танк, можно поступить так. Найти число из
равномерно распределенных от 0 до 1, и если 0<Хг^рх,
то танк переместится на участок 1; Р1<Лг^Р1+Р2, то
танк переместится на участок 2; Р1+Р2<^г^Р1+Р2+Рз,
то танк переместится на участок 3 и т. д.
Для определения прямой видимости при сравнитель-
но небольших дальностях можно поступить следующим
образом. Определяются квадраты, через которые прохо-
дит линия прямой видимости. Считая размеры квадра-
тов достаточно малыми, можно определить координаты
этих квадратов (рис. 8.2.2) так:
(xt; г,); (л\ + /; zj;...;
(л\ —[- ni (*^i 4“ “F 2/j -j-/)> • • •»
+ (2)
И т. д.
Затем определяется высота каждого квадрата
и сравнивается с высотой линии прямой види-
мости
y-y(xt, ZJ+ .
(3)
Если последняя хотя бы в одном месте меньше, чем вы-
сота квадрата минус высота танка, то прямой видимости
нет.
Если рельеф не учитывается, то вводится вероят-
ность прямой видимости как функция расстояния, исходя
из которой легко дать ответ на вопрос, существует
прямая видимость или нет (опять-таки с помощью слу-
чайных чисел, равномерно распределенных от 0 до 1).
Б. Метеорологические возмущения
К их числу относятся отклонения параметров атмо-
сферы от стандартных: температуры воздуха, давления
воздуха, скорости и направления ветра.
517
Отклонение температуры воздуха от нормальной Дт
может быть представлено как случайная функция высо-
ты у и расстояния по горизонтали от точки старта Д:
= Ж Д). (4)
В ряде случаев влиянием Д можно пренебречь. Давле-
ние воздуха на заданной высоте h определяется баро-
метрической формулой
у
__1 С dy
R J 'Сдг+Дт ’
Л = Лое 0 (5)
где Ао — наземное давление воздуха;
R — газовая постоянная;
Xn — нормальное распределение температур.
Таким образом, для учета случайного характера дав-
ления помимо учета влияния температуры следует учесть
случайный характер величины Ао, т. е. наземного давле-
ния.
Ветер удобнее всего рассматривать в форме проек-
ций на плоскость стрельбы (полета, направления движе-
ния и т. д.) и перпендикулярную к ней плоскость Wx
и Wz. Эти проекции необходимо рассматривать как слу-
чайные функции высоты и расстояния от точки старта,
а также и времени
wx = fx(y, Д), (6)
Wz = fz(y, Д). (7)
Характеристики всех перечисленных величин могут
бьрть получены путем статистической обработки много-*
летних измерений метеофакторов в тех районах, в ко-
торых предполагается применять снаряды, с последую*
щим представлением в канонической форме.
К числу метеоусловий относится также высота облач-
ности, определяющая возможность визуальной воздуш-
ной разведки. Она может быть выражена в форме ве-
роятности видимости, являющейся неслучайной функ-
цией от высоты, с которой ведется наблюдение. Полу-
чить эту функцию можно путем обработки результатов
соответствующих наблюдений. Получение же случайной
518
реализации события (существует видимость или Нет)
производится следующим образом.
Исходя из высоты, с помощью неслучайной функции
вероятности от высоты вычисляем вероятность види-
мости с данной высоты ру. Затем получаем случайное
число из совокупности равномерно распределенных от
О до 1.
Если ру, то видимость отсутствует.
Если &i<Zpy, то видимость существует.
В. Время суток
При статистическом моделировании оно легко может
быть получено, исходя из случайных чисел, равномерно рас-
пределенных от 0 до 24 часов. Однако вероятность веде-
ния боевых действий в разное время суток разная. На-
ступательные операции по опыту прошедшей войны на-
чинались, как правило, утром. Ночные боевые действия
во многих случаях ограничены по масштабам и т. д. По-
этому при моделировании боя необходимо выяснить
вероятность проведения его в то или иное время суток,
исходя из которой и определять случайные реализации
времени суток, в которое начинается бой.
Г. Геофизические условия
К числу этих условий относятся: широта, долгота
и высота над уровнем моря. В зависимости от вида боя
широта и долгота определяются из оперативно-тактиче-
ских соображений, которые приводят к определению ве-
роятности ведения боевых действий в той или иной точке
земного шара. Имея широту и долготу, с помощью гео-
графической карты можно определить высоту над уров-
нем моря.
§ 8.3. УЧЕТ СВОЙСТВ ВООРУЖЕНИЯ
При построении моделей боевых действий в них при-
ходится вводить основные характеристики вооружения.
В зависимости от вида модели это могут быть либо ха-
рактеристики отдельного образца вооружения, либо ха-
рактеристики подразделения (части), вооруженного эти-
ми образцами. Тем не менее во всех этих случаях при-
519
ходится сталкиваться с одинаковыми характеристиками,
важнейшими из которых являются:
1. Площадь, которую занимает данный Z-й тип во-
оружения (например, стартовая батарея ракет, батальон
пехоты, артиллерийский дивизион и т. д.). Проще всего
эту площадь можно охарактеризовать радиусом приве-
денного круга JRi. Следует иметь в виду, что в зависи-
мости от состояния подразделения (оборона, наступле-
ние, марш и т. д.) эти размеры могут меняться. Они
также могут меняться и в зависимости от понесенных
потерь.
2. Степень маскировки, которая может быть опреде-
лена через вероятность обнаружения данного образца
вооружения (подразделения) конкретными (/) средства-
ми разведки противника при условии прямой видимости
Р обнг;
Ров*а = Г(Д, /, 5, М, t, П9 Т)9 (1)
где Д — расстояние от средства разведки до образца
вооружения (подразделения);
t — длительность наблюдения;
S — состояние средства (оборона, наступление,
марш, ведет огонь и т. д.);
М — характер местности, на которой расположен
образец вооружения (подразделение);
П — состояние погоды (видимость);
Т — время суток.
Значения S, М9 П трудно охарактеризовать числами,
поэтому приходится вводить определенные шкалы, кото-
рыми они характеризуются, и математические зависи-
мости создавать, исходя из этих шкал. Величину РОбн«ь
как правило, можно надежно определить только опыт-
ным путем.
3. Возможная скорость передвижения V}, являющая-
ся функцией местности:
= (2)
4. Времена свертывания и развертывания tCB и /р —
являются случайными величинами, характеризуемыми
математическим ожиданием и среднеквадратическим
отклонением от него. Часто их рассматривают как де-
терминированные величины.
520
5. Запас горючего, определяющий запас хода без до-
заправки.
6. Эффективность, которая может быть описана груп-
пой характеристик:
а) численностью в рассматриваемом подразделении
f-ых образцов вооружения, ракет, стволов, направляю-
щих, стартовых агрегатов и т. д.;
б) условной вероятностью поражения /-го объекта
противника за один пуск (выстрел, сбрасывание одной
бомбы)
j, М, П, Т), (3)
где Д — дальность до объекта противника;
М — вид местности.
Эта 'вероятность не учитывает противодействия про-
тивника и вероятность его обнаружения. Она учитывает
вероятность попадания, вероятность поражения при по-
падании и надежность комплекса. Как правило, она
хорошо аппроксимируется зависимостью вида
= М, П, Г)е~Ч (4)
где Л(/, Af, П, Т) —в общем случае функция от типа
объекта противника, местности, по-
годы, времени суток;
k2 — опытный коэффициент.
Эта функция определяется расчетным или опытным
путем;
в) скорострельностью; эту характеристику лучше
всего определять через интервал времени между очеред-
ными выстрелами Мы, который в общем случае полагать
случайной функцией от числа произведенных выстре-
лов (jii) и в ряде случаев от расстояния до цели (при
всех видах телеуправления). Через эту величину можно
учесть и время перезаряжания и боекомплект
= Д). (5)
Определяется эта характеристика опытным путем.
7. Уязвимость от средств противника, которая
в общем случае определяется законом поражения от
/-средства противника.
521
8. Стоимость вооружения и количество обслуживаю-
щего персонала являются важнейшими характеристика-
ми, определяющими возможный объем применения
средств вооружения.
При рассмотрении разных вариантов вооружения
в ряде случаев необходимо выполнять условие равен-
ства стоимости вооружения и числа расчета.
§ 8.4. ОПИСАНИЕ ДЕЙСТВИЙ ЧЕЛОВЕКА.
СОПРЯЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И ФИЗИЧЕСКОЙ
МОДЕЛЕЙ
А. Описание действий человека
Одним из наиболее сложных процессов в создании
моделей является описание действий человека, являю-
щегося основным участником боевых операций. Действия
человека могут быть достаточно разнообразными. При-
ведем несколько примеров.
Человек может выступать как звено, обнаруживаю-*
щее цели в расположении противника в процессе боя,
например, расчет танка обнаруживает стреляющие про-*
тивотанковые орудия, гранатометы, установки ПТУРС
и т. д. Некоторые соображения об определении вероят-*
ности обнаружения цели человеком изложены в гл. 1,
где дана также типичная зависимость вероятности обда-
5?2
ружейия как функция дальности. Покажем гистограмму
дальностей начала атаки истребителей, заимствован-
ную из работы [30]. Эта гистограмма (рис. 8.4.1) полу-
чена путем обработки результатов фотографирования
боев, проведенных немецкими летчиками во время вто-
рой мировой войны. График характеризует не только
дальность обнаружения самолетов, в нем учитывает-
ся и время на реакцию летчика с учетом задержек в на-
чале атаки, преднамеренно вводимых летчиками.
Данные о запаздывании отображения обстановки на
пункте управления сектора системы ПВО, которые ха-
рактеризуют как работу системы, так и работу операто-
ров, приведены на рис. 8.4.2. Они заимствованы из рабо-
ты [30], в которой получены путем обработки опытных
данных, накопленных во время натурных испытаний.
Последние два графика описывают процессы более
сложные, чем обнаружение. Здесь уже комплекс дей-
ствий человека.
Второй часто встречающейся функцией оператора
является наводка. Если рассматривать процесс наводки
орудия по неподвижной цели, то описание действий опе-
ратора математическими зависимостями не встретит
больших затруднений, так как оно будет достаточно
полным, если из опыта получить статистические харак-
теристики случайной величины ошибки наводки и вре-
мени наводки.
Процесс усложняется, если речь идет о наводке ору-
дия на подвижную цель, и еще более усложняется, если
необходимо описать процесс наводки снаряда операто-
523
ром ПТУРС, когда человек выступает как звено в си-
стеме автоматического регулирования. К последнему
случаю близки действия водителя-танкиста и пилота са-
молета.
Описанию действий человека в этих условиях посвя-
щено большое количество исследований, например [98],
подробное описание которых выходит за рамки настоя-
щей книги.
Путем проведения большого числа испытаний и ста-
тистической обработки их результатов получается пере-
даточная функция оператора, которая в операторной
форме может быть записана следующим образом:
- = 4- Т'п)е~Тр_________ (1)
£(/?) 2 Р) 1 + Т"р'
Т' « 0,25 7Ъ0,05, Г'^0,1, сек,
где первый член является компенсирующим, второй учи-
тывает запаздывание реакции и третий учитывает за-
паздывание нервно-мышечной нагрузки. Во всяком слу-
чае этот тип действий оператора в настоящее время
удается описать аналитически.
В усложненных случаях можно воспользоваться со-
четанием физической и математичской модели, о кото-
рой будет сказано ниже.
Еще одним видом действия людей является перевод
образцов техники из боевого положения в походцоё,
проведение всякого рода подготовительных операций
(расчеты исходных данных, предстартовый контроль
и т. д.). В этих операциях нас интересуют в основном
две величины: время и вероятность ошибки. Первая
величина достаточно хорошо может быть описана как вся-
кая случайная величина, получение второй эксперимен-
тальным путем не вызывает принципиальных затрудне-
ний.
Люди в бою выполняют и значительно более слож-
ные функции — функции управления. Это всякого рода
решения а целераспределении, вводе в бой резервов,
проведении выстрелов, перемещении боевых средств
и т. д. Описание этих функций в тех случаях, когда про-
цессы управления автоматизированы, не вызывает за-
труднений.
524
В ряде случаев это описание произвести не удается,
тогда опять единственным реальным путем учета этих
действий при моделировании остается введение в мо-
дель оператора или операторов, т. е. своеобразное соче-
тание математического моделирования и военной
игры.
Итак, методы описания действий человека в моделях
могут быть следующими:
— отыскание и введение алгоритма, описывающего
эти действия. Это наиболее удобный способ для по-
строения и исследования модели, однако практически он
далеко не всегда достижим ввиду трудности получения
соответствующего алгоритма;
— введение в модель планов, правил, разработанных
опытными командирами. Этот метод достаточно прост
с точки зрения осуществления, однако обладает двумя
недостатками. Во-первых, при применении этого метода
вносятся элементы субъективизма, а во-вторых, не мо-
жет быть учтена реакция людей на те или иные измене-
ния обстановки в ходе решения задачи;
— введение оператора в модель. В этом случае от
математической модели мы переходим к комбинации ее
с физической моделью. Для осуществления такой ком-
бинации необходимо создать устройства отображения,
которые позволяют оператору видеть складывающуюся
обстановку и устройства ввода, позволяющие оператору
внести те или иные изменения в ход решения задачи —
подать соответствующие команды, неважно будут ли
это команды на введение резервов в бой или команды
в систему управления полетом снаряда.
Устройства отображения должны в максимальной
степени имитировать реальные условия работы опера-
тора. Не останавливаясь на детальном описании таких
устройств, сошлемся на работу [104], где дана классифи-
кация возможных путей их осуществления.
Попутно отметим, что такие устройства могут ока-
заться полезными и в тех моделях, в которых оператор
не вводится, с целью контроля за работой модели.
В частности, при моделировании действий перехватчика,
описанном в [110], траектория его полета выводится на
экран, что позволяет легко контролировать правиль-
ность решения задачи.
525
Б. Сочетание математического и физического
моделирования
Рассмотрим в качестве примера введения в модель
человека случай определения характеристик точности
снаряда, система управления которого работает следую-
щим образом [35]: на борту снаряда имеется телевизион-
ное устройство, которое передает на наземную станцию
наведения телевизионное изображение того пространства,
куда снаряд направляется. Оператор наземной станции
может наблюдать телевизионное изображение и с по-
мощью линии управления передавать соответствующие
команды на снаряд. Исследование такой системы может
вестись путем сочетания математической и физической
моделей, причем в последнюю включен человек. Мате-
матическая модель должна описывать движение снаря-
да под воздействием возмущений и управляющих сил.
К числу возмущений относятся изменчивость параметров
атмосферы, разброс конструктивных характеристик сна-
ряда, шумы электрических цепей и т. д. На вход мате-
матической модели поступают команды оператора, а вы-
ход ее дает координаты центра масс и положение осей
снаряда. Эти характеристики поступают на счетно-ре-
шающий прибор индикатора, который на их основании
вырабатывает изображение, видимое оператором. Опе-
ратор, наблюдая за экраном индикатора, подает коман-
ды, поступающие после преобразования в вычислитель-
ное устройство.
Проводя достаточно большое число испытаний опи-
санной модели по возможности в разных условиях,
можно получить данные, статистическая обработка ко-
торых даст возможность определить характеристики
точности снаряда. Аналогичные системы могут приме-
няться для оценки точности стрельбы противотанковыми
управляемыми снарядами, наводимыми оператором,
при самых различных их конструктивных оформ-
лениях.
В ряде случаев большие затруднения вызывает и ма-
тематическое описание процессов работы отдельных
узлов или агрегатов образцов военной техники, ввиду
чего приходится прибегать к физическому моделирова-
нию.
При физическом моделировании в лаборатории не-
526
обходимо воспроизвести наиболее важные характери-
стики окружающей среды, в которых работает рассма-
триваемый агрегат.
В качестве примера рассмотрим случай, когда при
моделировании полета ракеты не удается описать мате-
матически выходные характеристики гироскопа, предна-
значенного для управления креном снаряда. В этом слу-
чае приходится прибегать к сочетанию физической и ма-
тематической модели. Гироскоп устанавливается на
вращающийся стол с сервоуправлением, на которое из
вычислительной машины подаются команды, соответ-
ствующие углу крена снаряда. Вследствие этого стол
поворачивается на требуемый угол. С выхода гироскопа
получаются сигналы, соответствующие его работе
в реальных условиях, которые вводятся в машину. Осу-
ществление такой схемы применительно к электронным
машинам дискретного счета вызывает определенные за-
труднения в преобразовании непрерывных величин в ди-
скретные, однако эти затруднения в настоящее время
являются разрешимыми.
Вместо простейшего стола можно использовать бо-
лее сложные приборы, которые обеспечивают три степе-
ни вращения и могут позволить подключить группу
гироприборов системы управления снарядом.
Помимо гироскопов в математическую модель могут
включаться и другие узлы военной техники.
Основным недостатком такого моделирования являет-
ся необходимость решения задачи в реальном масштабе
времени, что налагает дополнительные ограничения на
электронную вычислительную машину. Однако такой ме-
тод может позволить решить очень сложные задачи. Ра-
зумеется, при этом потребуются многократные испыта-
ния физической модели, как это делается при методе
статистических испытаний.
Изложенные выше соображения лишний раз подчерки-
вают эффективность метода статистических испытаний
для решения сложных задач. Действительно, этот метод
позволяет использовать опытные данные в любой фор-
ме— обработанной или необработанной, а также дает
возможность совместить сам процесс моделирования
с проведением опыта, т. е. сочетать математическую и
физическую модели.
327
§ 8.5. МОДЕЛЬ ОТРАЖЕНИЯ АТАКИ ТАНКОВ
А. Задачи, решаемые моделью
Модель отражения атаки танков может использовать-
ся для решения следующих задач:
— назначения рациональных тактико-технических
требований как к вновь разрабатываемым образцам про-
тивотанкового оружия, так и к вновь отрабатываемым
образцам танков. В последнем случае «используется»
противотанковое оружие противника;
— выбора оптимального сочетания противотанковых
средств из существующих;
— выбора оптимальной тактики применения (даль-
ность открытия огня, целераспределение, порядок дей-
ствия резервов) противотанковых средств, а также так-
тики применения танков (группировка, целераспределе-
ние).
При решении этих задач требуется выбрать те или
иные оптимальные характеристики. Значит должны быть
выбраны критерии, по которым производится оптимиза-
ция. В данной модели могут использоваться следующие
критерии:
— потери противника при фиксированных затратах
на собственное вооружение и заданном количестве
обслуживающего персонала;
— соотношение потерь своих и противника при фи-
ксированных затратах на собственное вооружение и за-
данном количестве обслуживающего персонала;
— вероятный рубеж поражения заданного числа тан-
ков противника при фиксированных затратах на соб-
ственное вооружение и заданном количестве обслужи-
вающего персонала.
Иногда может ставиться задача на минимизацию
стоимости затрат и количество расчета при заданном
уровне эффективности вооружения. Эта задача ре-
шается, так же как и все другие, путем попыток.
Общий порядок решения указанных выше задач с по-
мощью модели может быть следующий (рис. 8.5.1).
Задаемся: качественным и количественным составом
своего вооружения;
— качественным и количественным составом воору-
жения противника;
528
Рис, 8.5.1.
34—343
529
— тактикой (дальностью открытия огня, порядком
целераспределения, введением резервов) своих войск;
— тактикой войск противник^;
— расположением своих средств и средств против-
ника;
— внешними условиями боя (местность, погода,
время суток).
Проводим при выбранном варианте испытания, необ-
ходимые для получения требуемого критерия с задан-
ной точностью. Меняем условия боя и при новом ва-
рианте определяем требуемый критерий. Проведя таким
образом серию расчетов, отыскиваем наивыгоднейшее
решение. При назначении новых вариантов соблюдаем
условие сохранения стоимости вооружения и числа
обслуживающего персонала.
Задача отыскания оптимального решения в данном
случае является достаточно сложной, так как приходит-
ся находить экстремум функции многих переменных.
Необходимо при выборе соотношений в группиров-
ках своих сил и сил противника исходить из того, чтобы
собственная группировка была не сильнее группировки
противника. Тогда изменение вариантов будет приводить
к заметным изменениям критериев.
Порядок боя в общих чертах следующий: противо-
танковые средства и танки располагаются на заданных
рубежах. Танки движутся к расположению, обороняе-
мому противотанковыми средствами. По достижении
дальности эффективного огня (с учетом тактики и про-
цессов. обнаружения) те или иные противотанковые
средства открывают огонь по противнику. После каждого
выстрела производится определение события: поражен
танк или нет. При поражении танка производится пере-
распределение целей. С момнта открытия огня противо-
танковыми средствами танки начинают обнаруживать
Эти средства и вести по ним огонь. При каждом вы-
стреле производится определение события: поражено
противотанковое средство или нет. При поражении про-
тивотанкового средства производится перераспределение
целей. Таково в общем содержание модели боя.
Б. Параметры, вводимые в модель
Перечень этих параметров дан в предыдущем раз-
деле. Рассмотрим эти параметры подробно. Прежде
530
всего каждому противотанковому средству присвоим
индекс /, каждому танку — индекс /, каждому моменту
времени — индекс k.
Характеристиками противотанкового оружия явля-
ются:
1) вероятность поражения того или иного танка про-
тивника за 1 выстрел Ruj\
2) вероятность обнаружения танка при условии ви-
димости Робнг}- В ряде случаев можно считать эту ве-
роятность равной единице, так как противотанковые
средства располагаются таким образом, чтобы хорошо
просматривалась местность;
3) скорострельность;
4) вероятность обнаружения танками противника;
5) закон поражения противотанкового средства;
6) время свертывания и развертывания /Св + ^;
7) скорость передвижения;
8) стоимость противотанкового средства Сг-, вклю-
чающая в себя стоимость снарядов и пускового обору-
дования;
9) количество и качество обслуживающего персона-
ла (расчета).
Важнейшие характеристики танков следующие:
1) вероятность поражения противотанковых средств;
2) вероятность обнаружения противотанковых средств.
Во многих случаях ее можно принять равной единице,
когда средство начало вести огонь;
3) скорострельность;
4) толщина брони, определяющая закон поражения
противотанковыми средствами;
5) скорость движения;
6) габариты танка, определяющие вероятность обна-
ружения и вероятность попадания;
7) стоимость танка и его расчет.
Важнейшими параметрами тактики противотанковых
средств при моделировании являются:
1) дальность открытия огня До;- Она может прини-
маться равной дальности эффективного огня или мень-
шей;
2) порядок выбора целей. Противотанковое средство
ведет огонь в том случае, если танк попадает в выде-
ленный для этого средства сектор. Однако в этот сектор
может попасть несколько танков. Следует также иметь
34* 531
в виду, что секторы противотанковых средств могут пере-
крываться и в этом случае необходимо выбрать такую
систему логических правил, которая обеспечивала бы
равномерный обстрел всех целей и исключала случаи
обстрела одного и того же танка двумя средствами при
наличии в этом секторе танков, никем не обстреливаемых;
3) порядок введения резервов или перемещения про-
тивотанковых средств. В простейших моделях такие дей-
ствия могут не производиться. В более сложных моде-
лях выбор участка, на который направляются резер-
вы, может определяться при выполнении соотноше-
ния
где NT— число танков противника на определенном
участке;
Д1 — расстояние от танков до переднего края;
— критическое значение этого отношения.
При этом проверяется условие достаточности време-
ни на подвод резервов
у. у.,
(2)
где Др — расстояние от места расположения резервов
в начале боя до места их расположения в про-
цессе отражения атаки танков;
Vi — скорость перемещения противотанковых средств;
Vj — скорость движения танков.
Момент перемещения противотанковых средств мо-
жет быть определен, например, исходя из соотношений
дг т __^т»_т+£
Л^пт, т + 1 ’
(3)
где Мт,т и Л^пт.т — количество танков и противотанко-
вых средств на /n-м участке;
ЛГТ, m+i И NnT) т+1 — количество танков и противотанко-
вых средств на m+l-м участке.
532
Эти участки могут быть и не соседними.
К — коэффициент неравенства соотношения сил, при
котором целесообразно производить перемещения, на-
пример 2—3.
Следует отметить, что оптимальная тактика в значи-
тельной степени зависит от наряда противотанковых
средств, поэтому для каждого варианта противотанковых
средств целесообразно выбирать на модели свою опти-
мальную тактику. Это увеличивает объем расчетных ра-
бот, но делает их результаты более объективными.
Важнейшими параметрами тактики танков являются:
1) выбор типа оружия по той или иной цели, кото-
рый определяется соотношением эффективности этих ти-
пов оружия в данных условиях;
2) порядок выбора целей. Кроме изложенного о по-
рядке выбора целей противотанковыми средствами здесь
необходимо учитывать также важность целей;
3) выбор метода огня (с хода или с коротких оста-
новок) . При оценке противотанковых средств в качестве
тактики противника может быть принята тактика, опре-
деляемая его уставами. Однако, учитывая возможность
изменения тактики противника при появлении у нас
новых средств,' более правильно выбирать и для против-
ника оптимальную тактику, т. е. считать, что он дейст-
вует лучшим образом.
Расположение противотанковых средств определяется
их координатами (хг-, гг). Оно может быть сделано, опе-
раторами и оставаться неизменным в процессе иссле-
дований данного варианта. Возможны определенные ва-
риации с целью выбора лучшего расположения. Можно
располагать средства и случайным образом, выполняя
определенные правила, например,
•^г = (Ai 4“ ^г^хг)» (4)
Zi = * Мпт+1 + a^i- (5)
Здесь Xi — расстояние от переднего края;
Zi — расстояние от выбранного начала отсчета по
фронту;
Ai и (Гг- — математическое ожидание расстояния сред-
ства от переднего края и его среднеквадра-
тичное отклонение;
533
z — ширина полосы обороны;
7VnT — количество противотанковых средств данного
типа;
(Тгг — среднеквадратичное отклонение координаты
средства от средней;
kxi и Х2г- — случайные числа, распределенные равно-
мерно.
Расположение танков характеризуется главным обра-
зом величиной дальности рубежа начала атаки от перед-
него края. Эта величина может задаваться оператора-
ми, либо выбираться случайным образом.
В. Состав и принципы построения модели боя
Модель боя может быть подразделена на ряд бло-
ков, выполняющих специфические функции:
— блок координат,
— блок видимости,
— блок обнаружения,
— блок целераспределения,
— блок вероятности поражения.
Эти блоки работают все время. Кроме того, можно
выделить еще 2 блока: блок оценки результатов боя и
блок оценки точности результатов, которые обрабатыва-
ют результаты испытаний. Последний по заданной точ-
ности может давать команду на прекращение испыта-
ний.
В блоке координат определяются координаты танков
и противотанковых средств в данные моменты времени.
В том случае, если учитывается характер местности, по-
ложение танков определяется с учетом вероятности их
перемещения на соседний участок. Время перемещения
танка с участка на соседние (при которых он проходит
путь Z) равно
(6)
В том случае, если рельеф местности не учитывается,
лучше всего выбрать ось х вдоль направления движения
танков и тогда
Xj = х0 — Vjt. (7)
Перемещение противотанковых средств может начи-
наться при выполнении одного из условий (1) и (2) или
534
(3) в зависимости от структуры модели. При учете рель-
ефа оно может осуществляться так же, как и для тан-
ков. Если рельеф не учитывается, то движение происхо-
дит по прямой, соединяющей требуемые точки, с задан-
ной скоростью. При этом учитывается время на развер-
тывание и свертывание. Учитывая, что в процессе дви-
жения противотанковые средства не ведут огня, задача
о перемещении противотанковых средств сводится к оп-
ределению времени перемещения
/ __Др
^пер — у~~
(8)
В блоке видимости определится возможность прямой
видимости из одной точки в другую.
В блоке обнаружения по заданной формульной зави-
симости вероятности обнаружения от соответствующих
параметров вычисляется вероятность обнаружения, ис-
ходя из которой дается ответ на вопрос, обнаружено ли
данное средство другим или нет. Важным фактором,
определяющим вероятность обнаружения, является факт
ведения огня средством, поэтому в этот блок поступают
сведения о том, какие средства вели огонь. Разумеется,
вопрос обнаружения рассматривается только для пар
средств, находящихся в прямой видимости, поэтому
в этот блок поступают также сведения из блока види-
мости.
В блоке целераспределения производится распреде-
ление огня между средствами. При этом вначале опре-
деляются для каждого средства цели, отвечающие сле-
дующим условиям:
— находятся в секторе, выделенном для средства;
— обнаружены данным средством;
— соответствуют дальности открытия огня.
Если таких целей окажется больше чем одна, то про-
изводится выбор по заданным правилам. Например,
первой обстреливается цель, находящаяся в центре сек-
тора или ближе всего к средству, или самая опасная,
в качестве которой может приниматься та, огонь кото-
рой наиболее эффективен.
В начале каждого цикла к списку целей предыдуще-
го цикла необходимо добавить те цели, которые вновь
обнаружены; вычеркнуть цели, оказавшиеся скрытыми,
535
вычеркнуть те цели, которые уничтожены, и вновь про-
извести выбор цели.
В блоке вероятности поражения по формульной за-
висимости или из таблицы находится вероятность пора-
жения цели одним выстрелом и затем дается ответ на
вопрос, произошло поражение цели или нет.
Помимо перечисленных блоков важную роль в мо-
дели играет блок времени, своеобразные часы. Боевые
действия обеих сторон должны быть точно определены
во времени, которое определяется скоростью передвиже-
ния, скорострельностью и т. д.
Каждое средство обеспечивается двумя «часами»:
одни управляют ведением огня, другие — передвижением
от одного участка к другому. Эти часы показывают вре-
мя, в которое связанное с ними средство должно начи-
нать следующее действие: двигаться, стрелять или выби-
рать цель.
На часы движения танков поступают времена нахож-
дения на каждом участке, определяемые по формуле
(6). Туда же применительно к противотанковым сред-
ствам может поступать время перемещения, определен-
ное по формуле (8), которое отсчитывается от времени
выполнения условий (,1) или (3).
На часы ведения огня поступают промежутки между
выстрелами, определяемые исходя из скорострельности
средства, его боекомплекта и времени перезаряжания.
Для того чтобы выбрать следующее средство, маши-
на проверяет все ячейки (часы) и опознает ячейку,
установленную на более раннее время, и начинает сле-
дующий цикл, включающий в себя анализ обстановки,
в которой находится каждое подразделение, проведение
определенного действия и установку нового времени на
часах.
Для упрощения счета времена отдельных средств мо-
гут уравниваться и производиться одновременный анализ
и проведение действий нескольких средств.
Г. Анализ результатов боя
После окончания каждого испытания, в качестве
признака которого может приниматься уничтожение всех
танков или, наоборот, достижение ими переднего края,
производится вычисление выбранных критериев и ста-
536
тистическая обработка результатов, йолучеййых при
всех проведенных испытаниях. В итоге вычисляются
математические ожидания критериев и характеристики
их точности. По получении требуемых характеристик
Рис. 8.5.2.
точности испытания для данного варианта прекращают-
ся и начинается исследование другого варианта.
В тех случаях, когда требуется выбрать лучший ва-
риант из двух, счет может производиться последователь-
но для одного и второго вариантов с обработкой резуль-
татов счета.
В заключение приведем результаты моделирования
боя двух группировок, состоящих главным образом
из танков, заимствованные из [114]. Гистограммы
(рис. 8.5.2) получены по 50 испытаниям для каждого
варианта. Один вариант соответствует случаю примене-
ния у противника средних танков, второй вариант — того
же количества легких. Следует отметить, что средне-
квадратичное отклонение числа подбитых танков во всех
случаях составляет порядка 0,3 танка, т. е. результаты
50 испытаний достаточно надежны.
537
§ 8.6. МОДЕЛЬ ДЕЙСТВИЯ ЧАСТЕЙ И ПОДРАЗДЕЛЕНИЙ
А. Особенности рассматриваемой модели
Если в предыдущей модели рассматривались дейст-
вия мелких подразделений, при которых в качестве бое-
вой единицы рассматривался танк или противотанковая
система, то в настоящем разделе предполагается рас-
смотреть действия более крупных подразделений, объе-
диняющих в себе значительное количество танков или
противотанковых средств.
Рассмотрение такой модели необходимо для оценки
эффективности вооружения в более крупном масштабе,
что позволяет перейти к выбору и обоснованию характе-
ристик вооружения, входящего в более крупные подраз-
деления, части или даже соединения. Действительно на
фоне боя роты или даже батальона танков трудно или,
точнее говоря, невозможно оценить эффективность кор-
пусных ракет. Для полной оценки таких средств нужны
и соответствующие масштабы боевых действий.
Принципиально возможно строить и математические
модели таких действий, создавая соответствующие алго-
ритмы, как и в предыдущем случае. Наиболее просто
создать такую модель, рассматривая очень малый пери-
од времени, за счет чего удается сделать ряд упрощаю-
щих допущений. Однако если рассматривать вопросы
мобильности (подвижности) вооружения, то последняя
окажется непригодной.
Построение достаточно полных математических мо-
делей действий крупных подразделений, частей и тем
более соединений может оказаться сложной задачей, для
облегчения которой может использоваться смешанная
модель, в которой часть действий выполняется математи-
чески, а часть действий (решений) принимают квалифи-
цированные операторы. Такая модель во многом напо-
минает военную игру.
Еще раз подчеркнем, что это далеко не единственная
форма создания такой модели.
Итак, в случае участия оператора модель может быть
разбита на чередующиеся этапы, в которых происходит:
— отдача приказов операторами на основе анализа
сложившейся обстановки (это своеобразное физическое
моделирование);
538
— выполнение этих приказов и определение новой
обстановка путем математического моделирования.
Схема такой последовательности представлена на
рис. 8.6.1.
После этих предварительных замечаний перейдем
к описанию модели.
Рис. 8.6.1.
Б. Задачи решаемые моделью.
Принципиальная схема модели
Модель служит для оценки эффективности принятого
вооружения (количественного и качественного состава)
и выбора его оптимальных характеристик в условиях ди-
намики ведения боевых действий путем сравнения ре«
зультатов, полученных при различных вариантах этого
вооружения. Помимо этого, модель позволяет оценить
влияние изменений в вооружении противника на эффек-
тивность нашего вооружения, а также изменений в так-
тике его использования.
Для оценки каждого варианта проводится серия ста^
тистических испытаний, по результатам которых опреде-
ляются выбранные критерии, оценивается их точность и
принимается решение на продолжение или прекраще-
ние этих испытаний.
539
Таким же образом просматриваются и другие ва-
рианты. Анализируя соответствующие критерии, выби-
рают лучший вариант.
В качестве критериев и здесь могут выбираться поте-
ри противника, соотношение потерь, однако значительно
более остро, чем в предыдущем случае, встает вопрос об
относительной важности целей. Облегчить решение этой
задачи могут стоимостные оценки и оценки людских по-
терь, однако при этом должен обязательно учитываться
и такой факт, как выполнение боевой задачи — основной
цели всех действий. Последний факт является наиболее
важным, ибо вариант вооружения, обеспечивающий на-
несение большого материального ущерба противнику, но
не обеспечивающий выполнения боевой задачи, не мо-
жет быть признан рациональным. Конечно, между по-
терями противника и вероятностью успешного выполне-
ния задачи существует определенная связь, но важней-
шим критерием остается выполнение боевой задачи.
Принципиальная схема модели в данном случае сле-
дующая. В начале действий имеются определенные
группировки войск своих и противника, расположенные
на определенной местности, перед каждой из которых
поставлены определенные задачи.
Исходя из этого комплекса сведений, операторы раз-
рабатывают частные задачи, вводимые в машину. Спу-
стя определенное время машина «докладывает» о выпол-
нении этих задач и сложившейся обстановке операторам
обеих сторон, которые дают новые команды частям и
подразделениям.
Такой процесс повторяется до момента решения од-
ной из сторон всей поставленной задачи или до достиже-
ния определенного времени.
В. Характеристики, вводимые в модель
Наиболее важными характеристиками являются ко-
личество и тип боевых подразделений каждой сторонц.
Каждое подразделение (пехотное, танковое, артиллерий-
ское и т. д.) может быть охарактеризовано следующими
важнейшими параметрами:
1) расположением, которое может характеризоваться
координатами центра подразделения (хг-; Zi) и радиусом
круга, в котором располагается подразделение
540
2) возможной скоростью передвижения Vit а также
временем на развертывание и свертывание;
3) эффективностью, которая может быть описана
системой следующих хаарктеристик:
— численностью вооружения,
— дальностью действительного огня,
— точностью стрельбы, зависящей от дальности, на-
пример Вл и Be.
— характеристиками боевой части, определяющими
радиусы зоны поражения по разным целям (г«),
— надежностью (подробнее см. гл. 1),
— скорострельностью;
4) количеством боеприпасов Mi, которое может рас-
сматриваться как заданное на все время боя либо попол-
няемое в процессе боя;
5) запасами горючего (Fi). Эти запасы могут рас-
сматриваться заданными, либо может учитываться воз-
можность их пополнения;
6) уязвимостью от средств противника, которая мо-
жет описываться законом поражения;
7) подверженностью к обнаружению средствами про-
тивника;
8) стоимостью вооружения и количеством расчета,
которые должны учитываться при назначении исходных
данных (соблюдение условия одинаковой стоимости
вооружения для разных вариантов).
Второй важной характеристикой, вводимой в модель,
являются внешние условия (местность, погода). Описа-
ние и порядок введения этих характеристик даны выше.
Расположение средств на местности и тактика дей-
ствий в данном случае выбираются операторами, и по-
этому вопрос о машинных методах описания этих про-
цессов отпадает.
Оператор подает команду в следующем виде:
— выполнить боевую задачу (наступательный бой,
оборонительный бой);
— достичь указанных объектов (согласно заданным
путям следования).
При этом указываются возможные ограничения дей-
ствий, которым подвержены подразделения (например,
сосредоточение подразделений), порядок выбора про-
тивника (контакт с / противником), предпочитаемый по-
рядок в случае смешения своих подразделений.
541
Эти команды могут доводиться в несколько этапов
или изменяться на каждом этапе.
Действие каждого подразделения подчиняется систе-
ме логических правил (например, артиллерийские под-
разделения, обнаружив противника, его обстреливают;
танковые подразделения уничтожают пехотные огнем и
гусеницами и т. д.). Эти правила можно разделить на
начальные, задаваемые в начале процесса и изменения,
вносимые за счет изменений состояния подразделений
(например, израсходованы боеприпасы или горючее, по-
несены большие потери) или за счет подачи команд
операторами (например, принятие нового плана ведения
боевых действий).
Таким образом, команды, подаваемые оператором,
сводятся в конечном итоге к изменению логических пра-
вил, которыми руководствуются подразделения.
Г. Состав и принципы построения модели
Основные блоки модели следующие:
1. Блок ввода приказов, задачей которого является
изменение логических правил, которыми руководствуют-
ся подразделения, на основании полученных приказов.
2. Блок расчета параметров, характеризующих под-
разделение.
3. Блок изменения логических правил на основании
изменения параметров, характеризующих подразделе-
ние.
4. Блок донесения операторам, который выдает па-
раметры подразделений и их логические правила опера-
торам.
Рассмотрим более подробно состав второго блока,
поскольку он является наиболее характерным. Этот
блок, в свою очередь, может быть разделен на группу
блоков.
В блоке расположения вырабатываются координаты
подразделений и их радиусы. Определение координат
производится на основе координат предыдущего состоя-
ния с учетом логических правил (наступление,оборона,
перемещение), возможных скоростей перемещения,
а также вероятности перемещения с одного участка
местности на другие.
Радиус круга, в котором размещается подразделение,
542
определяется с учетом логических правил (наступление,
оборона), и состава подразделения, который зависит от
понесенных потерь.
Блок численности подразделения определяет его со-
став в данный момент времени, исходя из состава под-
разделения в предыдущий момент и понесенных потерь.
Для определения потерь просматриваются все под-
разделения противника, устанавливается факт обнару-
жения анализируемого подразделения, факт открытия
огня теми или иными подразделениями противника. За-
тем исходя из эффективности соответствующих средств
противника вычисляются потери. Из этого блока должен
быть выход в блок изменения логических правил и блок
расположения.
В блоке эффективности средств подразделения исхо-
дя из номера и координат цели определяется вероят-
ность ее поражения методами, изложенными в гл. 3.
В ряде случаев приходится сталкиваться с дуэльной си-
туацией. Тогда необходимо учитывать противодействие
противника. Для дуэльной ситуации могут быть приме-
нены модели «выживания», описанные в гл. 7.
Блок обнаружения и целераспределения решает за-
дачу об обнаружении тех или иных средств противника
(см., например, [92]).
Целераспределение производится на основании за-
данных правил с учетом важности целей. К решению
этой задачи может быть привлечен и оператор.
В блоках количества боеприпасов и запасов горюче-
го производится подсчет соответствующих величин, ис-
ходя из проведенных действий. Эти блоки носят чисто
«бухгалтерский» характер. Данные из этих блоков так-
же подаются в блок изменения логических правил.
В блок уязвимости от средств противника в зависи-
мости от расположения (движение, оборона) вырабаты-
вается радиус зоны поражения от разных средств про-
тивника Г;г.
Следует отметить, что каждый из перечисленных
блоков дублируется: один из блоков работает за одну
сторону, другой — за другую. Анализ полученных ре-
зультатов производится в общих чертах так же, как и
в предыдущей модели.
Следует отметить большую сложность описанной мо-
дели. В работе [94], где описывается модель такого типа,
543
указывается, что программа такой модели состоит из
25 000 команд и составлялась, тремя программистами на
протяжении двух лет.
Такая модель может использоваться не только для
исследования операций, но и для обучения операторов.
§ 8.7. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БОЯ
КОМПЛЕКСОВ ЗЕНИТНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ РАКЕТ
В § 7.8 была рассмотрена простейшая аналитическая
модель боя комплексов ЗУР. Ниже рассматриваются
статистические модели: аналог простой модели и более
сложная модель.
А. Статистический аналог простой модели
Как видно из изложенного в § 7.8, аналитическая
(матричная) модель позволяет приближенно исследо-
вать возможности обстрела Wn и поражения рп каждой
цели за стрельбу в зависимости от возможностей оружия
(т, p=R\) и характеристик рассредоточения целей на-
лета (S). Это не представляется возможным сделать
с помощью, например, моделей массового обслуживания.
Зато последние позволяют учесть влияние случайного
характера интервалов т и тц на результаты боя. Воспро-
изведение же любого реального боевого процесса может
быть осуществлено лишь статистической моделью, кото-
рая может дать наиболее полное и правильное отобра-
жение поэтапного развития боевого процесса. Прежде
чем рассматривать вопросы построения таких более слож-
ных моделей, построим статистический аналог рассмот-
ренной в § 7.8 простой аналитической модели. При этом
сохраним постановку задачи и систему входных данных.
Метод статистических испытаний применим лишь
только к оценке результата встречи ракеты с целью
(поражена цель или нет). Налет целей и режим стрель-
бы по-прежнему полагаются детерминированными. Не-
смотря на это, частные реализации процесса стрельбы
будут случайными. Дело в том, что в этом простом слу-
чае для каждого момента встречи ЗУР с целью по за-
данному значению вероятности поражения устанавли-
вается случайный факт наступления или ненаступления
события, заключающегося в поражении цели (см. гл. 2).
544
Обозначим /*я) индикатор поражения, т. е. случайную
величину, принимающую значение = 1 в случае по-
ражения n-й цели v-й ракетой и = 0 в противном слу-
чае. Тогда значение определится путем сравнения ве-
роятности поражения р со случайным числом 1, равно-
мерно распределенным на отрезке [0,1], на 'основе оче-
видных соотношений
/"’ = 1 при |
= 0 при р < Л. J
(1)
На основе оценки результата выстрела принимается
решение о ведении огня. Если обстреливаемая цель по-
ражена, то оружие открывает огонь по вновь появившей-
ся цели или ожидает ее выхода на рубеж досягаемости.
Если же в результате v-ro выстрела цель не поражена,
то проверяется условие на возможность продолжения об-
стрела. Цель считается пропущенной, если она вышла из
зоны поражения и реализация следующего выстрела по
ней невозможна или когда все т выстрелов по ней ока-
зались безуспешными. Будем считать в данной частной
модели, что моментами входа или выхода цели в зону
поражения будут моменты встречи ЗУР с целью при пер-
вом и последнем возможном (t^) по ней выстрелам
соответственно. При заданных интервалах рассредоточе-
ния целей по времени тц = 5т и числе т максимально
возможных выстрелов (по одной и той же цели) эти мо-
менты определятся из очевидных соотношений
= п^2-, = 0,1
= + J
Выстрел будет считаться реализованным, если момент
встречи v-й ракеты с /z-й целью будет удовлетворять
условию
(3)
35—343
545
где /v определяется из очевидного соотношения
= max {(v — 1) т, 4- », /(пп}. (4)
Заметим, что в статистических моделях реального
боя возможности обстрела устанавливаются по характери-
стикам зоны пуска.
Последовательность расчета следующая. Для первой
цели определяются величины и t\m) и значение инди-
катора поражения цели.
Если Л1) = 1, то цель считается пораженной. Тогда
переходят к обстрелу следующей цели. Определяют для
нее величины моментов входа и выхода цели из зоны и
встречи с ракетой по формулам (2) и (4). Затем аналогич-
но предыдущему рассчитывают значение индикатора пора-
жения цели.
Если же /(р = 0, определяется момент пуска ракеты
t{y при v = 2 и проверяется условие (3). Если оно удов-
летворяется, то фиксируется пуск и проводится расчет
величины и т. д.
После каждой реализации боевого процесса определя-
ется случайное число рп выпущенных ракет и число nw
сбитых целей как сумма значений индикатора поражения
Полученные результаты определяются по всем
реализациям и на их основе затем получают величины ма-
тематических ожиданий р2 и nN.
Пример 1. Дано: вероятность поражения р=0,6; максимально
возможное число выстрелов ш = 3, интервалы времени между выстре-
лами т=2, интервалы между целями т4=4 (5=2), число целей в на-
лете Л^=3.
Найти расход ракет и чисдо сбитых целей за случайную реа-
лизацию боя.
Решение. Определяем для первой цели моменты входа
в зону обстрела и выхода из нее по формулам (2): /^ = 0, =
= 2-2 = 4.
Находим величину /v=1 по формуле (4) и проверяем условие (3)
для первой ракеты: 0=С(1 — 1)-2=С4. Так как условие удовлетво-
ряется, то определяем значение индикатора поражения. Для этого
546
из первого столбца случайных чисел табл. 2 приложения берем пер-
вое число и округляем до сотых долей (так как значение р опреде-
лено с точностью до десятых), получим Л=0,58. Используя соотно-
шение (3), находим /ф.
Определяем моменты обстрела второй цели:
/^ = (2—1)4 = 4, 43)=4 + (3—1)2=8.
Рассчитываем значение fv=2 = max {(2 — 1)-2; 0 + 2; 4} = 4, так
как оружие ожидает цель. Затем устанавливаем индикатор пора-
жения второй цели, используя второе число того же столбца
табл. 2, после округления равное 0,72. Получим /^ = 0.
Снова определяем момент встречи третьей ракеты с целью по
формуле (4) и проверяем условие возможности обстрела и т. д.
Результаты расчетов приведены в таблице.
ТАБЛИЦА 8.7.1
Таблица данных первой реализации
п п /3) п V к /<п)
1 0 4 1 0 0,58 1
2 4 8 2 4 0,72 0
3 6 0,74 0
4 8 0,70 0
3 8 12 5 10 0,17 1
5 2
Из этой таблицы видно, что 2-я цель не была поражена тремя
выстрелами и вышла из зоны обстрела. Расход ракет равен пяти,
а число сбитых целей — двум.
Рассмотренная выше схема расчета, очевидно, при-
менима как для случая дробных значений 5 = тц/т, так и
для случайных значений интервалов тц и т, так как чи-
сло S здесь в явном виде не входит. Однако и в этом
случае сохраняется схема анализа условий (3) при оцен-
ке возможности продолжения стрельбы. Сам же процесс
расчета усложняется.
Б. Вопросы математической формализации боя
зенитных ракетных комплексов
Правильность и точность результатов статистическо-
го моделирования реального процесса отражения воз-
душного налета обусловливается правильностью описа-
ния закономерностей боя, точностью и полнотой матема-
35* 547
тической формализации процесса и исходной информа-
ции.
Правильность и точность математической формали-
зации, в свою очередь, зависит от возможностей вычис-
лительной техники и масштаба исследуемых операций.
Ясно, что глобальная модель процесса отражения воз-
душных налетов разнотипных целей неоднородными
группировками зенитных комплексов при различной сте-
пени централизации управления огнем будет содержать
больше допущений и приближений, чем локальная мо-
дель стрельбы по однотипным воздушным целям.
Современный бой зенитных комплексов с воздушны-
ми целями является сложным процессом, который ха-
рактеризуется большим числом взаимосвязанных фак-
торов, как правило, случайной природы. Поэтому моде-
лирование боя возможно лишь с помощью электронно-
вычислительной техники.
Как и моделирование любого процесса (14], разра-
ботка модели боя состоит из математической формали-
зации боевого процесса, разработки алгоритма, програм-
мирования в системе команд конкретной ЭЦВМ, обра-
ботки и анализа результатов. Характер и структура
модели определяются поставленной задачей исследова-
ния и структурой боевого процесса.
После постановки задачи на исследование и описание
этапов боя, определения объема и характера, входной
информации, начинается собственно математическая
формализация процесса. Она заключается в разработке
общей функционально-логической схемы поэтапного
воспроизведения динамики процесса отражения комплек-
сов воздушного налета, в установлении формульно-логи-
ческих зависимостей для описания элементарных под-
процессов на различных этапах боя, окончательном вы-
боре критериев эффективности боевой работы комплек-
сов и параметров входной информации и т. д.
При моделировании боя зенитных комплексов раз-
личают [49] следующие основные этапы процесса:
— налет целей и их противодействие,
— приведение комплексов в боевую готовность,
—целераспределение и передача целеуказания,
— прием целеуказания и сопровождение цели целе-
вым каналом,
— определение зоны пусков по данной цели,
548
— принятие решения на пуск—анализ результатов
стрельбы и принятие решения на ее продолжение,
— пуск и наведение ракеты в цель [НО],
— действие ракеты у цели на конечном этапе наве-
дения,
— подготовка элементов комплекса к продолжению
стрельбы.
Исходная для моделирования информация в основ-
ном должна содержать данные:
— о построении налета воздушных целей, их уязви-
мости и характере ответных мер при преодолении огня
зенитных комплексов.
— составе огневой единицы или группировки, строе-
нии зоны поражения комплекса,
— средствах и методах обнаружения, распознания и
распределения целей по комплексам при определенной
степени централизации управления огнем,
— временных и вероятностных закономерностях фун-
кционирования элементов комплекса и средств разведки
и управления огнем,
— параметрах точности наведения комплекса и зако-
нах поражения цели и т. д.
Налет воздушных целей может быть представлен
в виде потока одиночных цепей или групп целей [49].
В последнем случае он может быть эшелонированным
по глубине и фронту. Эшелонированные налеты можно
формализовать различного рода композициями случай-
ных потоков и фиксированных интервалов между эше-
лонами.
При преодолении ПВО воздушные цели могут при-
менять такие ответные меры, как маневр, постановка
радиопомех, использование ложных целей, огневое воз-
действие по наземным агрегатам зенитных комплексов
или по ракетам. Наиболее сложными для моделирования
являются пространственные маневры пилотируемых це-
лей, такие, как, например, боевой разворот, при котором
одновремено изменяется направление полета и высота;
боевой переворот, при котором направление полета из-
меняется на обратное с изменением высоты и переворо-
том через крыло вокруг касательной к траектории поле-
та на угол 180°, и т. д. В зависимости от возможно-
стей ЭЦВМ применяются различные аппроксимации.
549
Приближенно траектории целей могут заменяться лома-
ными линиями и т. д.
Огневое воздействие по боевым порядкам может
[49] осуществляться посредством сбрасывания бомб или
использования управляемых снарядов класса воздух —
земля. При бомбометании применяются различного ро-
Стартовая
позиция
5 10 15 20
Горизонтальная дальность (в милях)
Мертвая
зона
Рис. 8.7.1.
да маневры, в том числе сложные маневры в вертикаль-
ной плоскости. В случае огневого противодействия бой
моделируется в виде совокупности дуэльных ситуаций
или (L/) односторонних действий (когда комплекс ведет
огонь по цели, воздействующей огнем по другому ком-
плексу), протекающих параллельно или последователь-
но. При формализации необходимо установить логиче-
скую схему этих элементарных действий (операций), их
временные параметры и вероятностные характеристйки.
Аналогичные характеристики необходимы при фор-
мализации процессов постановки активных и пассивных
помех радиолокационным средством огневой единицы.
Состав огневой единицы и режим стрельбы обуслов-
ливаются решаемой тактической задачей. Так, например,
для отражения атаки нескольких бомбардировщиков
с разных направлений в состав огневой единицы могут
входить несколько комплексов. Огневые их возможности
в конечном счете характеризуются вероятностной струк-
турой зоны поражения. На рис. 8.7.1 представлена при-
550
мерная схема изолиний показателя эффективности зе-
нитного комплекса.
Заметим, что в случае формализации боя комплекса
в условиях радиопротиводействия необходима информа-
ция о вероятностной структуре зоны как в условиях по-
мех его радиотехническим средствам, так и без них.
50
Точка встречи снаряда Опреде -
N2 с целью ление
м Предполагаемая точка
Jvl встречи снаряда нит цели
мания N1 с целью <15миль)
Приведение
в готов-
ность _
боевого Обнаружение
расчета цели
(35миль) (47 миль)
г
I
го
10
2
Ц ель и стартовая
позиция
2,6
1,6
1,0
Время в минутах
до встречи сна-
ряда N2 с целью
UM
7,6
0,5
О
Таблица событий
События
4 8 8 10
Дальность до цели (в милях)
Обнаружение цели
Приведение в готовность
боевого расчета
Определение координат
цели системой
управления
Пуск снаряда N1
Встреча снаряда N1
с целью
Пуск снаряда N2
встреча снаряда N2
с целью
Рис. 8.7.2.
Схема временной последовательности, операций по
обстрелу одиночной цели автономным комплексом пред-
ставлена на рис. 8.7.2. В зарубежной литературе [49]
приводятся следующие примерные данные о средней
длительности операций: обнаружение и опознавание
пели, приведение в готовность боевого расчета 3 мин,
приведение в готовность комплекса и определение коор-
динат цели 5 мин, подготовка данных для стрельбы и
пуск первого снаряда 1 мин, оценка результатов и пуск
следующего снаряда 0,5 мин.
Предполагается, что управление огнем организовано
так, что можно своевременно оценивать степень пораже-
ния цели и быстро передавать информацию для после-
дующего решения. Поэтому при формализации целерас-
551
пределеиия обычно считается, что другая цель отдается
комплексу лишь после поражения первой цели или вы-
хода ее из зоны поражения. Перераспределение целей
после первого выстрела, таким образом, как правило»
исключается.
Помимо временных характеристик боевой работы
элементов комплекса необходимо определить вероят-
ности их нормального функционирования и показатели
эксплуатационной надежности. Так, например, для опи-
сания операций обнаружения цели необходимо задать
вероятность нормального обнаружения цели (или про-
пуска цели) и вероятностное распределение дальности
обнаружения или статистические характеристики време-
ни работы станции обнаружения.
Параметры точности наведения зенитных ракет и за-
коны поражения цели определяются с помощью анали-
тических методов или частных статистических моделей
(гл. 1).
При оценках результатов действия зенитной ракеты
по цели оценивается степень поражения цели в соответ-
ствии с нанесенными ей повреждениями и в зависи-
мости от того, когда они были нанесены. Если цель
была поражена до выполнения ею задачи, то это приво-
дит к срыву ее атаки. Виды поражения учитываются
при выборе критериев эффективности боевой работы
комплекса и при соответствующем формировании вы-
ходных данных модели.
Ж. Структура моделирующего алгоритма
Сущность моделирования без зенитных комплексов
на ЭЦВМ сводится к реализации специального алгорит-
ма, который воспроизводит математически формализо-
ванный боевой процесс. Моделирующий алгоритм по-
зволяет по входной информации о начальном состоянии
системы комплекс—цель, и параметрах развертывания
процесса во времени получить информацию о состоянии
процесса на отдельных этапах, в том числе, и на конеч-
ном этапе боя.
Разработка алгоритма начинается с построения функ-
циональной блок-схемы реализации боевого процесса»
примерный вид которой представлен на рис. 8.7.3. Меж-
ду блоками алгоритма реализуется функционально-логи-
552
ческая связь путем передачи от блока к блоку функций
и информации о результатах счета или анализа (одно-
сторонняя показана стрелкой, двусторонняя — отрезком
прямой). Предусматривается схема управления счетом»
БЛОК-СХЕМА МОДЕЛИ
Рис. 8.7.3.
накоплением информации в счетчиках и ее обработкой
для получения выходных данных. В блоках алгоритма:
— развивается логическая схема динамики боя в ви-
де совокупности элементарных подпроцессов, реализуе-
мых рядом отдельных операций;
— формируются случайные интервалы длительности
подпроцессов или операций или определяются соответ-
ствующие граничные моменты времени;
55$
— проводится анализ логических условий в. узловых
точках разделения (разветвления) на подпроцессы (опе-
рации) или оценка состояний системы комплекс—цель
в граничные моменты [119].
В блоке налета целей, например, развивается один*
подпроцесс: появление целей на фиксированном рубеже.
Он реализуется рядом последовательных операций опре-
деления случайных моментов появления целей, методы
получения которых изложены в гл. 2.
Сущность логического анализа рассмотрим на примере
оценки условий пуска ЗУР в блоке анализа результатов
стрельбы. Пусть определен момент готовности ком-
плекса к пуску v-й ракеты по п-й цели и найден гранич-
ный момент пребывания цели в зоне пусков, позднее
которого нельзя реализовать пуск. Для принятия реше-
ния необходимо проверить справедливость условия
U.: t{n}
1 nv
t[n\
гр
Обозначим выполнимость условия индикатором /х = /(£/!),
который будет равен единице при выполнении условия и
нулю — в противном случае. Если /х = 0, очевидно, пуск
не производится. Если же /х=1, то пуск производится
при условии U2: v = 1. В противном случае, когда /2=0,
необходимо еще оценить результат действия предыдущей
v—1-й ракеты, т. е. условие U3 :/v_j = 0, где /v_,—ин-
дикатор поражения цели при предыдущем пуске. При
Л = 0 и /3= I производится пуск ракеты. Пуск произво-
дится, если цель, не вышла из зоны пуска и по ней не
было проведено пусков ракет. Если же ракета не являет-
ся первой, то необходимо, чтобы предшествующая ракета
не поразила цель.
В блоке выходной информации определяются такие
данные, как среднее число (доля) целей, обстрелянных
тем или иным числом ракет, пораженных той или иной
по порядку ракетой, пропущенных по различным причи-
нам, расход ракет и т. д. Все эти данные используются
для подсчета обобщенных критериев эффективности бое-
вой работы комплекса и для экономических оценок его
оптимальности.
554
Подробное содержание моделирующего алгоритма
тесно связано с описанием конкретного боевого процес-
са и тактико-технических характеристик образцов ком-
плекса.
В заключение необходимо заметить, что разработка
статистической модели является весьма трудоемким про-
цессом. Поэтому необходимость ее построения для тех
или иных условий исследования должна быть предвари-
тельно изучена. Вывод о необходимости разработки ста-
тистической модели и рентабельности диапазона модели-
руемых условий и факторов может быть сделан на осно-
ве предварительных иследований ряда боевых ситуаций
с помощью приближенных аналитических методов (мо-
делей).
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦА 1
Случайные отклонения, распределенные по нормальному
закону
0,80 —0,54 0,42 —9,48 0,16 Г- CD СЧ CD СО О О — ~ © II II 0,38 —0,60 0,67 0,50 0,74 0,13 — 1,59 0,06 —0,19 1,16 .1,73 —0,60 1,37 1,18 0,37
1,95 1,57 — 1,19 —1,47 0,35
1,87 1,41 —0,37 —0,25 -0,25
0,63 1,17 0,25 —0,24 —0,31
—1,48 0,46 —1,28 — 1,36 —0,83
—0,49 —0,27 1,04 1,41 0,38
—2,92 1,53 —0,51 —1,02 —0,78
1,72 —0,08 1,29 —0,96 0,91
—0,90 —1,75 0,15 —1,09 —0,12
—9,24 1,16 0,21 —0,22 1,23
0,24 0,16 0,28 0,75 0,96
0,34 0,06 —0,72 0,44 —2,27
—0,88 0,14 0,89 —0,14 —0,39
—1,07 0,54 —0,46 0,81 1,16
0,47 —0,25 —0,01 0,59 0,56
1,46 — 1,53 1,51 0,54 0,71
—0,67 —2,01 —0,52 0,67 0,05
0,61 —0,70 1,04 —2,01 —0,91
1,15 2,08 0,60 0,81 —0,77
—0,19 —0,95 0,56 —0,29 —0,22
—0,90 1,93 —0,57 —0,61 — 1,61
—0,70 —0,97 1,36 —0,02 0,87
—0,36 1,38 — 1,24 -0,68 —0,92
0,05 — 1,08 —0,49 —0,29 0,81
0,56 0,45 -0,37 0,26 2,37
1,28 1,25 1,34 0,83 —0,52
556
Продолжекие табл, t
— 1,18 —0,28 — 1,23 —0,91 0,31
—0,66 —0,08 —0,76 0,75 1,75
—0,68 0,78 —0,96 0,15 1,78
1,76 0,39 —0,74 0,57 —0,80
—2,47 1,35 —0,33 1,66 0,75
—0,32 —0,48 0,91 —1,99 —0,81
2,22 —0,22 — 1,11 0,77 0,01
0,02 ^-0,35 — 1,06 0,19 — 1,59
—0,55 0,14 — 1,12 0,28 0,00
2,62 0,73 0,06 —0,40 1,13
ТАБЛИЦА 2
Случайная последовательность чисел, равномерно
распределенных в интервале 0—99999
57705 13094 60835 36014 35950
71618 35193 42323 38612 03235
73710 64560 25732 93857 73606
70131 64559 93364 33749 66090
16961 68008 63407 08921 31842
53324 39848 72028 07721 22807
43166 33851 25496 58577 41476
26275 80586 83761 39303 74473
05926 69939 58568 19302 78489
66289 98351 27409 17068 14142
35483 32673 64789 59201 75975
09393 12949 78992 18688 55604
30304 14644 67388 73449 80702
55186 66887 75316 41734 11027
64003 43042 73673 17033 34559
20514 49110 21681 18664 73345
00188 18170 32763 94722 02783
55709 19187 50983 55024 54095
86977 02464 98359 85143 29373
31303 55739 38440 28594 96006
11578 52992 78142 76086 69351
93045 86513 25730 97570 07995
93011 10480 30454 26292 0090
42844 56437 19106 07120 29396
52906 13647 58222 11851 17727
09461 57910 45818 24806 25424
99602 54062 96748 90506 38695
69962 23767 45732 39116 02624
31311 43191 91542 35745 36522
27004 03283 78115 82713 56461
557
Продолжение табл . 2
65339 46250 18186 07938 62250
93382 28366 61450 51275 73071
05750 16074 74582 32203 59362
00336 98951 80604 51925 98178
88222 54686 49538 24693 40526
98585 87615 22917 16837 74412
52103 44968 99135 78155 79033
91827 27709 58274 97412 62192
07069 59560 01940 09892 96942
13928 00799 87397 84299 34623
66674 76151 84445 96036 48259
99279 61716 86012 48472 12634
24202 59298 51625 42687 93997
94010 89923 71881 89434 32799
60981 20327 64466 67912 04011
ТАБЛИЦА 3
Интегральная функция Fo (х) нормального
распределения
х _ X2
—оо
X X г<М
0,00 0,5000 3,00 0,9986
0,10 0,5398 3,10 0,9990
0,20 0,5793 3,20 0,9993
0,30 0,6179 3,30 0,9995
0,40 0,6554 3,40 0,9997
0,50 0,6915 3,50 0,9998
0,60 0,7257 3,60 0,9998
0,70 0,7580 3,70 0,9999
0,80 0,7881 3,80 0.9999
0,90 0,8159 3,90 1,0000
1,00 0,8413 0,253 0,600
1,10 0,8643 0,524 0,700
1,20 0,8849 0,842 0,800
1,30 0,9032 1,036 0,850
1,40 0,9192 1,282 0.900
1,50 0,9332 Г, 341 0,910
1,60 0,9452 1,405 0,920
1,70 0,9554 1,476 0,930
1,80 0,9641 1,555 0,940
558
Продолжекие табл. 3
X Л>(*) X Л>(*)
1,90 0,9713 1,645 0,950
2,00 0,9772 1,751 0,960
2,10 0,9821 1,881 0,970
2,20 0,9861 1,960 0,975
2,30 0,9893 2,054 0,980
2,40 0,9918 2,326 0,990
2,50 0,9938 2,576 0,995
2,60 0,9953 2,807 0,9975
2,70 0,9965 2,878 0,998
2,80 0,9974 3,090 0,999
2,90 0,9981 3,719 0,9999
ТАБЛИЦА 4
Значения ta для распределения Стьюдента [значения ta
удовлетворяют уравнению а = Вер (—
а 0,8 0,9 0,95 0,98 . 0,99 0,999
2 2,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,60
3 2,638 2,353 3,182 4,541 5,844 12,94
4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610
5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,859
6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959
8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041
10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4.587
12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4.318
14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4.140
16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015
18 1,330 1,734 2,103 2,552 2,878 3,922
20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850
22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792
24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745
26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707
28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3.674
30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646
40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551
60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460
120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373
оо 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,291
559
ТАБЛИЦА 5
Значения q, удовлетворяющие условию а = Вер
при k степенях свободы
k а
0,005 0,010 . | 0,025 0,050
1 0,000 0,014 0,032 0,062
2 0,071 0,100 0,159 0,227
3 0,155 0,196 0,268 0,342
4 0,228 0,272 0,348 0,422
5 0,287 0,333 0,408 0,479
6 0,336 0,38f 0,454 0,522
7 0,376 0,421 0,491 0.556
8 0,410 0,454 0,522 0,584
9 0,439 0,482 0,548 0,608
10 0,464 0,506 0,570 0.628
12 0,506 0,546 0,606 0,660
14 0,540 0,577 0.634 0,685
16 0,567 , 0,603 0.657 0,705
18 0,590 0,624 0,676 0,722
20 0,610 0,613 0,693 0,737
25 0,649 0,679 0,724 0,764
30 0,678 0,706 0,748 0,785
40 0,720 0,744 0,782 0,814
50 0,748 0,771 0,804 0,834
60 0,770 0,790 0.82i 0,848
70 0,786 0,806 0,835 0,860
80 0,800 0,818 0,845 0,869
100 0,821 0,837 0,862 0,883
150 0,848 0,862 0,884 0,902
200 0,869 0,881 0,899 0,915
300 0,893 0,903 0.918 0,931
500 0,918 0,926 0,937 0,947
1000 0,942 0,947 0,956 0,963
560
ТАБЛИЦА 6
Коэффициенты для определения доверительных границ в
случае биномиального распределения
Значения коэффициента Rx при а ==0,95
т tn “дГ
0 0,10 0,20 | 0,30 0,40 0,50
1 19,5 19,5 19,6 19,6 19,7 19,7
2 5,63 5,53 5,44 5,35 5,26 5,15
3 3,66 3,60 3,52 3,44 3,36 3,27
4 2,93 2,87 2,81 2,74 2,67 2,59
5 2,54 2,49 2,43 2,37 2,31 2,25
6 2,29 2,26 2,20 2,15 2,09 2,04
8 2,01 1,98 1,93 1,89 1,84 1,79
10 1,83 1,81 1,78 1,74 1,70 1,66
15 1,62 1,60 1,58 1,54 1,51 1,48
20 1,51 1,49 1,46 1,44 1,41 1,39
$5 1,44 1,42 1,40 1,38 1,35 1,33
30 1,39 1,37 1,35 1,34 1,31 1,29
40 1,32 1,31 1,30 1,28 1,26 1,24
50 1,28 1,27 1,26 1,24 1,23 1,21
60 1,25 1,25 1,23 1,22 1,21 1,20
80 1,21 1,21 1,20 1,19 1,18 1,17
100 1,19 1,18 1,17 1,16 1,16 1,15
150 1,15 1,14 1,14 1,13 1,12 1,12
200 1,13 1,12 1,12 1,11 1,10 1,10
250 1,11 1,11 1,10 1,10 1,09 1,09
300 1,10 1,10 1,09 1,09 1,08 1,08
400 1,09 1,08 1,08 1,08 1,07 1,07
500 1,08 1,08 1,07 1,07 1,06 1,06
600 1,07 1,07 1,06 1,06 1,06 1,05
800 1,06 1,06 1,06 1,05 1,05 1,05
1000 1,05 1,05 1,05 1,05 1,04 1,04
ТАБЛИЦА 6а
Значения коэффициента /?2 при а = 0,95
т т 17“
0 о,10 0,20 0,30 0,40 0,50
1 0,21 0,25 0,30 0,37 0,45 0,51
2 0,32 0,35 0,39 0,44 0,49 0,55
3 0,39 0,42 0,45 0,49 0,53 0,59
4 0,44 0,47 0,50 0,53 0,57 0,62
5 0,48 0,50 0,53 0,57 0,60 0,64
36—343
561
Продолжек'ие табл, 6d
т т
0 0,10 0,20 0,30 0,40 I 0,50
6 0,51 0,53 0,56 0,59 0,62 0,66
8 0,55 0,58 0,60 0,63 0,66 0,69
10 0,59 0,61 0,63 0,66 0,69 0,72
15 0,65 0,67 0,69 0,71 0,74 0,76
20 0,69 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78
25 0,72 0,73 0,74 0,76 0,78 0,80
30 0,74 0,75 0,76 0,78 0,80 0,82
40 0,77 0,78 0,79 0,80 0,82 0,84
50 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,85
60 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86
80 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88
100 0,85 0,86 0,86 0,87 0,88 0,89
150 0,87 0,88 0,89 0,89 0,90 0,91
20Q 0,89 0,90 0,90 0,91 0,91 0,92
250 0,90 0,91 0,91 0,92 0,92 0,93
300 0,91 0,91 0,92 0,92 0,93 0,93
400 0,92 0,92 0,93 0,93 0,94 0,94
500 0,93 0,93 0,94 0,94 0,94 0,95
600 0,94 0,94 0,94 0,94 0,95 0,95
800 0,94 0,95 0,95 0,95 0,96 0,96
1000 0,95 0,96 0,97 0,97 0,97 0,97
ТАБЛИЦА 65
Значения коэффициента Ro
N а
0,999 | 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800
1 1,00 0,99 0,98 0,95 0,90 0,80
2 1,94 1,80 1,68 1,55 1,37 1,11
3 2,70 2,35 • 2,12 1,89 1,61 1,25
4 3,29 2,74 ' 2,41 2,11 1,75 1,32
5 3,74 3,01 2,61 2,25 1,85 1,38
6 4,10 3,22 2,76 2,36 1,91 1,41
7 4,39 3,37 2,87 2,44 1,96 1,44
8 4,63 3,50 2,96 2,50 2,00 1,46
9 4,82 3,60 3,03 2,55 2,03 1,47
10 4,99 3,69 3,08 2,59 2,06 1,49
562
П родолжение табл, 66
N а
0,999 0,990 0,975 | 0,950 0,900 | 0,800
12 5,25 3,82 3,18 2,65 2,09 1,51
14 5,45 3,92 3,24 2,70 2,12 1,52
16 5,61 4,00 3,29 2,73 2,14 1,53
18 5,74 4,06 3,33 2,76 2,16 1,54
20 5,84 4,11 3,37 2,78 2,18 1,55
25 6,04 4,21 3,43 2,82 2,20 1,56
30 6,17 4,27 3,47 2,85 2,22 1,57
35 6,27 4,31 3,50 2,87 2,23 1,57
40 6,34 4,35 3,52 2,89 2,24 1,58
50 6,45 4,40 3,56 2,91 2,25 1,58
60 6,52 4,43 3,58 2,92 2,26 1,59
80 6,62 4,48 3,60 2,94 2,27 1,59
100 6,67 4,50 3,62 2,95 2,28 1,60
200 6,79 4,55 3,Ьб 2,97 2,29 1,60
300 6,83 4,57 3,67 2,98 2,29 1,61
500 6,86 4,58 3,68 2,99 2,30 1,61
1000 6,88 4,59 3,68 3,00 2,30 1,61
со 6,91 4,60 3,69 3,00 2,30 1,61
ТАБЛИЦА 7
Коэффициенты для определения доверительных границ
в случае распределения Пуассона
Значения п
т а
0,999 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800
1 1000 100 40 19,5 9,50 4,48
2 44,0 13,5 8,26 5,63 3,77 2,42
3 15,7 6,88 4,84 3,66 2,73 1,95
4 9,33 4,85 3,67 2,93 2,29 1,74
5 6,76 3,91 3,08 2,54 2,05 1,62
6 5,43 3,36 2,73 2,29 1,90 1,54
8 4,06 2,75 2,31 2,01 1,72 1,43
10 3,38 2,42 2,08 1,83 1,61 1,37
15 2,59 2,01 1,78 1,62 1,46 1,28
20 2,23 1,81 1,64 1,51 1,37 1,24
25 2,02 1,68 1,55 1,44 1,33 1,21
30 1,89 1,60 1,48 1,39 1,29 1,18
40 1,72 1,50 1,40 1,32 1,24 1,16
50 1,61 1,43 1,35 1,28 1,21 1,14
60 1,56 1,38 1,31 1,25 1,19 1,12
36*
563
Продолжение табл, 7
т а
0,999 0,990 0,975 | 0,950 | 0,900 | 0,800
80 1,47 1,32 1,26 1,21 1,16 1,10
100 1,40 1,28 1,23 1,19 1,14 1,09
150 1,30 1,22 1,18 1,15 1,12 1,07
200 1,26 1,19 1,16 1,13 1,10 1,06
250 1,23 1,17 1,14 1,11 1,09 1,06
300 1,21 1,15 1,12 1,10 1,08 1,05
400 1,18 1,13 1,11 1,09 1,07 1,04
500 1,16 1,11 1,09 1,08 1,06 1,04
600 1,14 1,10 1,08 1,07 1,05 1,04
800 1,12 1,09 1,07 1,06 1,05 1,03
1000 1,11 1,08 1,06 1,05 1,04 1,03
Значения г2 и г0
ТАБЛИЦА 7 а
т а
0,999 0,990 0,975 0,950 I 0,900 | 0,800
1 0,11 0,15 0,18 0,21 0,26 0,33
2 0,18 0,24 0,28 0,32 0,38 0,47
3 0,23 0,30 0,34 0,39 0,45 0,56
4 0,27 0,35 0,39 0,44 0,50 0,60
5 0,30 0,38 0,43 0,48 0,54 0,63
6 0,33 0,41 0,46 0,51 0,57 0,66
8 0,38 0,46 0,51 0,55 0,62 0,70
10 0,41 0,50 0,54 0,59 0,65 0,73
15 0,48 0,56 0,60 0,65 0,70 0,78
20 0,53 0,60 0,65 0,69 0,74 0,81
25 0,56 0,64 0,68 0,72 0,76 0,83
30 0,59 0,66 0,70 0,74 0,78 0,84
40 0,63 0,70 0,73 0,77 0,81 . 0,87
50 0,66 0,73 0,76 0,79 ' 0,83 0,88
60 0,69 0,.75 0,78 0,81 0,84 0,89
80 0,72 0,78 0,80 0,83 0,86 0,90
100 0,74 0,80 0,82 0,85 0,88 0,91
150 0,78 0,83 0,85 0,87 0,90 0,93
200 0,81 0,85 0,87 0,89 0,91 0,94
250 0,83 0,86 0,88 0,90 0,92 0,95
564
Продолжение табл. 7а
т а
0,999 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800
300 0,84 0,88 0,89 0,91 0,93 0,95
400 0,86 0,89 0,91 0,92 0,94 0,96
500 0,87 0,90 0,92 0,93 0,94 0,96
600 0,88 0.91 0,92 0,94 0,95 0,97
800 0,90 0,92 0,93 0,94 0,96 0,97
1000 0,91 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97
Значения Го
° 6.91 4,60 | 3,69 | 3,00 | 2,30 1,61
Значения F
ТАБЛИЦА 8
Число ki + k% F при ki = ОПТИМ. F при kx и ki оптималь- ных
P = 90% P = 98% P = 90% P = 98%
2 1 161 4052 1 161 4052
4 19 99,01 3 10,13 34,12
6 9,28 29,46 5 6,61 16,26
»8 6,39 15,98 6 5,14 10,92
10 5,05 10,97 7 4,35 8,45
12 4,28 8,47 8 3,84 7,01
14 3,79 7,00 10 3,48 5,99
16 3,44 6,03 11 3,20 5,32
18 3,18 5,35 12 3,00 4,82
20 2,97 4,85 13 2,84 4,44
40 2,12 2,94 24 2,09 2,86
60 1,84 2,38 36 1,82 2,35
80 1,69 2,11 50 1,69 2,10
100 1,60 1,94 60 1,59 1,93
200 1,39 1,59 — 1,39 1,59
400 1,26 1,39 ч 1,20 1,39
1000 1,16 1,23 — 1,16 1,23
сю 1,00 1,09 1,00 1,09
565
ТАБЛИЦА 9
Значения вероятности попадания в круг радиусом г при
смещении центра рассеивания от центра круга на А
Ь/а
г/а 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4,0
0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,2 020 018 012 007 003 001 000 000 000
0,4 077 068 048 026 он 004 001 000 000
0,6 165 147 104 059 026 009 003 001 000
0,8 274 146 179 105 050 019 006 001 000
1,0 393 357 267 164 082 033 011 003 001
1,2 513 471 363 234 125 054 019 005 001
1,4 625 580 463 314 178 084 032 010 002
1,6 722 679 560 400 243 123 051 017 004
1,8 802 763 650 489 316 172 078 029 008
2,0 865 831 731 576 397 232 ИЗ 045 014
2,2 911 884 800 659 481 301 159 069 024
2,4 944 923 856 734 565 378 215 101 039
2,6 966 951 899 799 646 458 280 143 060
2,8 980 970 932 853 720 539 353 194 088
3,0 989 982 956 896 786 620 433 256 126
3,2 994 990 972 929 841 696 514 326 173
3,4 997 994 983 953 886 763 595 402 230
3,6 998 997 990 970 921 821 672 483 297
3,8 0,999 998 994 982 947 869 742 564 371
4,0 0,999 997 989 966 907 803 642 450
4,2 __ — 998 994 979 936 855 715 530
4,4 0,999 997 987 957 897 780 609
4,6 998 993 972 932 835 683
4,8 —— — — 0,999 996 982 957 880 751
5,0 998 988 974 915 810
5,2 0,999 992 986 942 859 .
5,4 — 995 990 962 898
5,6 . — 997 992 975 929
5,8 — — — — — 0,999 996 984 > 951
6,0 . — 998 990 967
6,5 — — 0,999 996 988
7,0 - — — — 998 994
7,5 — — — — — — — 0,999 0,996
566
ТАБЛИЦА Ю
Значения коэффициента т в уравнении
1 — (1 = +0,001 т) (\ — £-пР)
пР п
4 5 7 10 15 20 30 50 100
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,10 12 9 7 5 3 2 1 1 ,0
0,20 23 19 13 9 6 4 2 2 1
0,30 34 27 20 13 8 6 4 3 1
0,40 43 34 24 17 10 8 5 3 2
0,50 52 41 29 20 12 10 6 4 2
0,60 59 47 33 23 15 11 7 4 2
0,70 66 52 36 25 16 12 8 5 2
0,80 72 57 39 27 17 13 8 5 3
0,90 77 60 42 29 19 14 9 6 3
1,00 81 64 44 30 20 15 9 6 3
1,20 87 68 47 32 21 16 10 6 3
1,40 90 70 49 34 22 16 11 6 3
1,60 91 71 49 34 22 17 11 6 3
1,80 88 69 48 33 22 16 11 6 3
2,00 84 67 47 32 22 16 11 6 3
2,20 78 63 44 31 20 15 10 6 3
2,40 72 58 42 29 19 14 10 6 3
2,60 64 53 38 27 18 14 9 5 2
2,80 56 47 35 25 17 13 8 5 2
3,00 46 42 31 23 15 12 8 5 2
3,50 31 29 23 17 12 9 6 4 2
4,00 18 18 16 12 9 7 5 3 1
4,50 — 11 10 9 6 5 4 2 1
5,00 — 7 7 6 4 4 3 2 1
6,00 — — 2 2 2 2 1 1 0
7,00 — — 1 1 1 1 1 0 0
8,0 — — — 0 0 0 0 0 0
567
nd
<O
О СП СаЗ ND — О О Ч СИ СЛ о сл Саз nd — о о ч СЛ СЛ О СЛ СО ND — О О ч сл сл О СЛ СО nd — о о ч сл сл ОО! w to —оо ч сл сл TO / / s
ооооооо ооооооо
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ооооооо СЛ СЛ СЛ 4 СО ND ND — О — СО ND СП ND СО ND ND ND ND — ND 00 СЛ 00 — о CD О U1CD4 О 04 0,5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ооооооо ооооооо ND ND ND — — — О Ч СО О СП СЛ ND Ч ооооооо — — о о о о о ND — О 00 СЛ СЛ 4 о ел со о ч о ел ооооооо 4 СО СО СО ND ND ND О О CD СО О Ч 4 СЛ О О СЛ 4 ND СЛ 0,75
о о о о о о о ООООООО ооооооо ооооооо
1 1 1 1 1 1 1 ооооооо —ОООООО О СО Ч Ч 4 СО ND ОWO4 ОО ООООООО СЛ 4 СО ND ND ND — ND СЛ О О СО О СЛ — — — — — о о 00 0 4 WOO4 О СЛ Ч СО СО СЛ 4 4 4 4 4 СО СО СО 4CDCONDCH4 — о О 00 О Ч — ND —
О О О О О О О ООООООО ооооооо ООООООО
1 1 1 1 1 1 1 ооооооо 00 О CD СЛ СО СО ND о оо о о оо сл сл ————ООО СЛ СО ND — О 00 00 о о со сл сл ч о СО СО СО ND ND ND ND 4 ND0 00 0 4ND о ел сл оо о оо сл CD CD CD СП СЛ СЛ 4 СО 00 — О СЛ ND О ND О О 4 СЛ О О to
ооооооо ооооооо ооооооо ОО ООО оо
1 1 1 1 1 1 1 — —— — — о о Ч О 4 СО О СО Ч сл о о о сл о сл ND ND ND ND ND — — ОО СЛ 4 ND О CO 00 — СЛ ND СЛ О О О 4 4 4 4 4 СО СО ЧСЛ4 ND О О Ч ч ч о оо оо ел о ч ч ч ч ел CD CD ND ND О О ЧОО- CD О 00 О О CD 4 00
о о о о о о о ооооооо ООООООО ооооооо ооооооо
—оооооо — 00 Ч Ч СЛ 4 СаЗ О Ul^OOUlQ ND ND ND ND — — — 00 04 tOCD Ч4>> СЛ ND 4 Ч СЛ СЛ 00 4 СО СО СО СО СО СО со о ч ел со — о О О 00 — о ело сл сл сл сл сл сл ел О Ч CD СЛ 4 СО О СЛ CD ND О О О CD 00 Ч Ч CD S СО — 40-W4OO 4*
о о о о о о о ООООООО ооооооо ооооооо ооооооо
— — — — и— о о Ч 4 СаЗ ND О СО оо сл cd СЛ СО 00 СП сл СО СО СО CaD ND ND ND СЛ 4 ND — 00 СЛ CO .сл о о to о ч о Сд СЛ4 4 4 4 4 ND о оо ел сл со о о о ел сл сл сл о о о о о ел сл 4 WND-OOO ело о о оо о ч оо оо оо оо ч ч ч — — О О О Ч СЛ СО СО Ч О СО СО СЛ СЛ
о о о о о о о ооооооо ооооооо ооооооо ооооооо
ND ND ND — — — — Ф- — ОО Ч сл>^ □ 00 01-010 4 4 СО СО СО СО СО СО-С00 0 4 - 4 — ело О О СЛ cd ел СЛ СЛ СЛ СЛ 4 оо ел сл 4 со — оо ОЧООСЛ4О ооооооо Q0 00 ч О О СЛ ND ел о о ч сл сл о оо оо оо оо оо оо ч 44 COCONO-CD 4 О СП о — о о 0>
о о о о о о о ооооооо ООООООО ооооооо ооооооо
СаЗ to to to to ND to 04001W-0 co сл сл оо сл оо о 4 4 4 4 4 4 СО О Ч CD CD СаЗ — О СЛ СЛ ело 4 соо ел ел СЛ сл ел ел ел ND — о о оо ел со сл сл сл о сл сл о ч ч ч ч ч о о ND ND — — — О О ч сл ч сл о со сл оо оо оо оо оо оо оо ел СЛ СЛ СЛ 4 СО- СО О ел О ел СО СО
о о о о о о о ооооооо ооооооо ооооооо ооооооо
СаЗ СаЗ СО СО СаЗ ND ND cd 4 со nd о оо cd СЛ О ND СЛ о О со СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ 4 4 4 CO ND — О 00 CD о оо ел сл со ч о о о о о ел о ел СЛ ел СО ND ND О О оо ел ел ел со — ч о о ел ел СЛ 00 о ООСЛ4О-О 00 оо 00 00 оо оо оо 00 Ч Ч Ч CD СЛ 4 О СО CD О CD СЛ О 00
ооооооо 4 4 со 00 СО СО СО to О СО СО СЛ 4 to СЛ Ч OD О 00 СаЗ О ооооооо о ел ел ел ел ел ел 0(0 чо СЛ4 — о о сл сл ел о сл ооооооо О) О) О) О) О) О) О) О 00 СЛ СЛ СЛ со о о со ел оо о со о ооооооо о оо оо оо оо О 00 О (£> СЛ ND О О О ооооооо 00 оо оо 00 оо 00 оо О О 00 оо 00 CD СЛ 4 О CD ND О 00 СЛ co
ооооооо ооооооо ооооооо ооооооо ооооооо
4 4 4 4 4 СО СО 00 Ч CD СЛ — о Ч СО СЛ СЛ О СЛ СЛ о о о оо о сл сл 4 СО ND О О 00 CD сл сл о оо о сл о ч ч о о о о cd — О О 00 Ч СЛ ND CD СЛ о СО ND СО 00 00 00 00 00 ч ч о о о о о оо ел 00 СЛ ND — О СЛ СО СО СО 00 00 00 00 о о осо со оо ч 4 ND О 00 СЛ СЛ О о
о о о о о о о ооооооо ООО о о о о ооооооо ооооооо
СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ 4 со со оо Ч СО —* СО ч со сл о о сл о ч ч ч ч о о о 4 СО ND —о 00 о о о о сл сл о ч О 00 ч ч СЛ со — сл ND 4 — О СЛ О 00 оо оо оо оо оо оо *4 0 О 0 4 СаЗ- СЛ сл сл о оо nd ел со о со со со со со СО СО nd nd nd — о О О СЛ4 о о — U1
о о о о о о о ооооооо ооооооо ооооооо ооооооо
Ч Ч Ч CD OD О') СЛ — оо -ч W —о оооооооо 00 00 ч ч ч ч ч 000000 014 ND о О СЛ СО СЛ О 00 00 00 00 00 ч ч сл 4 4 СО — О оо со оо сл сл о о оо О 00 00 00 00 УЗ оо 0000004 0 ОО (О О СЛ СЛ 00 о СО СО СО СО СО СО СО СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ 4 ND о о оо о о ел to о
ооооооо ооооооо ооооооо ооооооо ооооооо
Ч Ч Ч Ч Ч Ч CD Ч Ч Ч СЛ — о 00 СЛ —0 0 4 СЛ со 00 00 00 00 00 00 оо 4 со СО ND — о — О — О О О ND 00 00 00 00 00 00 оо оооо чч ел сл4 о о о оо о •— о 000000 00 ND ND ND — О О О 4 ОО СЛ00 4 Ч со со со со со со со CD CD CD OD OD СЛ 4 ND — О О О СЛ СЛ N3 СЛ
о О о о о о о 00 00 оо 00 Ч 4 *4 0000(0 00 00 О О О О О СЛ ND ооооооо 00 оо оо оо 00 00 00 ч cd cd cd сл сл ел Ч 00 СП 4* оо сл о ооооооо О О 00 00 оо оо 00 000(000 00 о о ч ел ело ел ооооооо ооооооо СО 00 Саа 00 00 ND ND ел о ел сл о cd оо ооооооо СО СО СО СО СО СО СО CD CD CD CD CD CD CD оо ч ч ч ч ел о 09 о
Вероятности отказа
tn
b
X
АППРОКСИМИРУЮЩИЕ полиномы
ДЛЯ ТАБЛИЦ 3—8
При расчетах на ЭЦВМ таблицы функций часто бывает целе-
сообразным представлять в форме аппроксимирующих полиномов,
что позволяет сократить объём ячеек памяти, занимаемых этими
таблицами.
Ниже приводятся аппроксимирующие полиномы для функций,
помещенных в табл. 3—8 приложения, полученные путем подбора
на ЭЦВМ по методу наименьших квадратов.
Таблица 3
Fo (х) = 0,4988 + 0,4116х — 0,19331 х2 — 0,07276 х3 +
+ 0.024551x4 — 0,0024104х5.
Максимальная ошибка менее 1°/о.
Таблица 4
lg ra = a + 61g^ + c(lg k)* + d (1g k)3 + e (1g ky + f (1g k)\
где величины a, b, c, d, e, f даны в таблице.
а 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99 0,999
а 0,4557 0.7453 1,0303 1,4090 1,7012 2,6920
— Ь 0,8147 1.2762 1,8187 2,6040 3,2439 5,4801
с 0,8416 1,3519 1,9617 2,8323 3.5394 5,9498
— d 0,4583 0,7499 1,1031 1,5993 2,0003 3,3346
е 0,12674 0,21005 0,31193 0,45302 0,56638 0,93585
-f 0,01387 0,02318 0,03465 0,05035 0,06289 0,10309
Максимальная ошибка менее 1</р.
570
Таблица б
q = а + bk + ck2 4- dk3 + ek* + fk*,
Мё a = — 0,018+ 4,229a— 132,36a*-|- 1576,6a*;
b = 13,692468 4-3548,2399a— 173816,70a2 4-2170512,8a*;
c = 3,1135409 — 642,33309a 4- 50668,663a2 — 752034,04a*;
d =0,74662065 — 14,393262a 4- 1094,3528a2 — 13683,18a*;
e = 0,20087916 4- 8,2887352a — 462,75705a2 4- 5556,5146a*;
/=0,019791220—1,2716180a 4-63,653741a2 — 751,12738a*,
Максимальная ошибка менее 3»/o
Таблица 6
a) R„ = а 4- b 1g N 4- c (1g V)2 4- d (Ig N)3 4- e (1g N)3 4- f (1g N)',
где величины a, b, c, d, e, f приведены в таблице.
a 0,999 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800
a 0,97 0,96 0,96 0,93 0,89 0,80
b 2,113 2,764 2,664 2,334 1,897 *1,227
c 5,317 1,203 0,057 —0,483 —0,842 —0,659
— d 4,7104 1,8029 0,8750 0,3650 —0,0760 —0,1066
e 1,4050 0,6079 0,3376 0,1822 0,0345 0,0189
-f 0,14336 0,06587 0,03856 0,02253 0,00634 0,00554
Максимальная ошибка менее 3°/о.
б) lg Rt = а 4- b 1g т 4- с (1g m)2 4- d (1g «)*+<? (1g m)3+f (1g m)s
при m «С 100,
Ri— g +~ nPH 100,
/ 7И \ f tn \ f tn \ 8
где a = 1,287 — 0,081 1} +1,357 I -y J —7,321 +
. / m \4 . f m \s
+ 16,540l-yJ — 13,227(-дН ;
t m\ f m \2 , , , f m \3 ,
b = — 2,286 — 0,282 ( "дН 0,763 ( “iV ) + l,1501-yj +
(m \4 f m \6
-3,169 fjj-] ;
/ zn \ //nV, / m '
c = 2,061 4- 1,0631 -y j —10,147 l-y) +60,3351-y-
f m \4 , f m \5
— 144,389 (-дг) +119,6461— j ;
571
d=— 1.0417— 1,0860 (у)+ 14,0939 —80,7022 (jP) +
(m\* . „ _ / m V
у I —153,9053 у) ;
f m \ f tn \2 . f m \3
e = 0,2720 + 0,4368 ( у 16,3795 ( у } +36,2343 I у j
f m X4 , / m Xs
-84,1517 у +68,2182 f-yj ;
. f tn \ . f tn \2 _ f nt \3 ,
f = 0,0273 — 0,0606 f у ]+0,94071 у J —5,3335 f у 1 +
, / m \4 f m X6
+ 12,3475 (yj —9,9808 (yj ;
g= 1,050 + 1,050 (y)~2,124 ^-^-^+14,163 (y
/ m \4 . t m V
— 37,491 +33,326 f-jy] ;
, / w \ . f m\2 //nV.
Л = 14,0-31,4 +424,9 — 2832,б(-^- j +
। / fn V
+ 7498,4 f-y-j “6665,4
Максимальная ошибка при 100 менее 4°/o, при т^ЮО
менее 1,3%.
в) R2 = а + bm + cm2 + dm3 + etn4 + fm5,
где
f rn\ ( m \2 , f m \2
a ==0,21 +0,39 ('лГ}“0’45(“лг) +4’48('¥j
f m \4 / m \5
3,68( yy j 3,60 (”y“J
f m \ /w\2. / m\*
6 =0,32128 + 0,95163 (-yy-J —16,86773(туу-) +99,58118 ( I —
(m \4 , f m \5
-yy-j +268,53573 (-yy-) ;
c = 0,17849090 + 11,945328 (-y22423631 ^y^+
+ 1222,7046 Гу Y—2582,4276 fyY+ 1880,1109 Гу^
572
d = — 0,15558824 + 2,9354543 ~ 40.459462 (jp) +
+ 230,47625 —590,54602 (7^*+534,96844 (tt)*;
(m \ , f m \2
-yj + 15,299138 (-y } —
f m \3 . f m \4 / m \s
—85,592928 1-y) + 215,05119 (-yj-— 191,92543 (-у 1 ;
f = — 0,0036052113 + 0, 151544670^—2,0210771 ^“У'У+
+ 11,143401 (-yY-27,610460 (~yY+24,385855 (-yY.
Максимальная ошибка менее 1°/о.
Таблица 7
При т 3
1g Г1 = а + 61g т + с (1g m)2 + d (1g m)3 + e (1g m)4 + f (1g m)r‘,
где величины a, b, c, d, e, f приведены в таблице.
a 0,999 0,990 0,975 0,950 0,900 0,800
a 2,65 1,79 1,44 1,18 0,90 0,60
— b 4,39 2,85 2,24 1,83 1,37 0,94
c 3,461 2,194 1,678 1,386 1,017 0,721
— d 1,495 0,937 0,704 0,594 0,430 0,314
e 0,3361 0,2099 0,1560 0.1355 0,0970 0,0727
-f 0,0306 0,0191 0,0141 0,0127 0,0090 0,0069
Максимальная ошибка мёнее 5%
r2 = а + b 1g т 4- с (1g m)2 + d (1g m)3 + e (1g m)4 + f (1g /и)5,
где величины at b, c, d, e, f приведены в таблице.
a 0,999 0,990 0,975 0,950 0,900 0,830
a 0,11 0,15 0,18 0,21 0,26 0,33
b 0,166 0,257 0,262 0,321 0,369 0,473
c 0,196 0,154 0,232 0,178 0,133 0,000
— d 0,0512 0,0634 0,1621 0,1556 0,1552 0,1074
— e 0,0107 0,0029 0,0403 0,0401 0,0462 0,0409
f 0,00357 0,00239 0,00345 0,00361 0,00476 0,00490
573
Максимальная ошибка менее 1,5д/о.
Таблица 8
При k\ + 4
lg F = а + b\g (k. + k2) + с 11g + k2)]* + d [1g (k, + k2)]* +
+ 41g(^i + M]4 + f[lg(^ + M]5,
где a, b, c, d, e, f приведены в таблице.
F При ki = Л2 При kt и /г2 оптимальных
Р=90% | Р—98% Р—90% Р=98%
а 3.34 5,61 2.00 3,41
—Ь 5,305 9,499 2.280 4,578
с 3.978 7,391 1,265 3,028
—d 1.6163 3,0480 0,4219 1,1440
е 0.3372 0,6361 0.0806 0,2296
ч 0.02812 0,05254 0,00665 0,01872
Максимальная ошибка менее 4°/о.
Л ИТЕРАТУРА
1. Антомонов Ю. Г. Автоматическое управление с примене-
нием вычислительных машин. Судпромгиз, 4962.
2. Атомная энергия в авиации и ракетной технике. Ред. сост.
П. Т. Асташенков, Воениздат, 1959.
3. А х и е з е р Н. И. Лекции по вариационному исчислению. ГИТТЛ,
1955.
4. Б а р б а ш и н Е. А. Об оценке среднеквадратичного отклонения
от заданной траектории. «Автоматика и телемеханика», 1960,
т. XXI, № 7.
5. Белл м ан Р. Теория динамического планирования. Сб. «Со-
временная математика для инженеров». Изд-во иностранной
литературы, 1959.
6. Беллман Р. Динамическое программирование. Изд-во ино-
странной литературы, 1960.
7. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопро-
сы математической теории процессов управления. Изд-во
иностранной литературы, 1962.
8. Б е р ж К. Общая теория игр нескольких лиц. Физматгиз, 1961.
9. Б л е к у э л л Д., Г и р ш и к М. А. Теория игр и статистических
решений. Изд-во иностранной литературы, 1958.
10. Блинов Г. И. Теория стрельбы наземной артиллерии, ч. I,
Воениздат, 1948.
11. Бонни Е. А., Цукров М. Д., Б е с с е р е р К. У. Аэроди-
намика. Теория реактивных двигателей. Конструкция и прак-
тика проектирования. Воениздат, 1959.
12. Б у с л е н к о Н. П., Ш р е й д е р Ю. А. Метод статистических
испытаний. Физматгиз, 1961.
13. Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М. Сра-
г о в и ч В. Г., Ш р е й д е р Ю. А. Метод статистических ис-
пытаний. Физматгиз, 1962.
14. Бусленко Н. П. Моделирование производственных процес-
сов на электронных цифровых машинах. Сб. «Проблемы ки-
бернетики», 9, Физматгиз, 1963.
15. Бургесс Э. Управляемое реактивное оружие. Изд-во ино-
странной литературу, 1958.
575
16. Вентце ль Е. С. Элементы теории игр. Физматгиз, 1959.
17. Вентце ль Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, 1962.
18. Вильямс Д. Д. Совершенный стратег или букварь .по теории
стратегических игр. Изд-во «Советское радио», ‘-I960.
19. Гасс С. Линейное программирование (методы и 'Приложения).
Физматгиз, 1961.
20. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. Изд-во
иностранной литературы, ,1963.
21. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Физматгиз, 4962.
22. Гнеденко Б. В., Шор Я. Б. Надежность. Энциклопедиче-
ский справочник «Автоматизация производства и промышлен-
ная электроника», 4963, т. 2.
23. Голдман. Теория информации. Изд-во иностранной лите-
ратуры, 1957.
24. Гольштейн Е. Г. Транспортная задача и ее обобщения.
Методы и алгоритмы решения транспортной задачи, выл. 1.
Госстатиздат, <1963.
25. Г р и г о р ь я н ц В. Г. Введение в курс -радиолокационной ап-
паратуры. Изд-во Московского университета, -1962.
26. Г у т к и н Л. С. Принципы радиоуправления беспилотными
объектами. Изд-во «Советское радио», 4959.
27. Деннис Д. Б. Математическое программирование и электри-
ческие цепи. Изд-во иностранной литературы, 1961.
28. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. Изд-во
иностранной литературы, 1959.
29. И д а т т М. П. «Эффективность зенитной стрельбы». Изд-во
иностранной литературы, 1959.
30. Исследование операций на практике (материалы конференции
НАТО), пер. с англ, и франц, под ред. Ю. М. Пивницкого.
Воен из дат, 1962.
31. Келенджеридзе Д. Л. Об одной задаче оптимального
преследования. «Автоматика и телемеханика», 1962, т. XXIII,
№ 8.
32. К л я м к о Э. И. О повышении надежности -вычислительных
машин методом дублирования оборудования с восстановле-
нием резерва. «Известия АН СССР», ОТН, Энергетика и
автоматика, 1960, № 3.
33. К о л м о г о р о в А. Н. Число попаданий при нескольких вы-
стрелах и общие принципы эффективности стрельбы. Труды
математического института им. Стеклова, 11945, выл. XII.
34. Колосов Г. Е., Стратонович Р. Л. Об одной задаче
синтеза оптимального регулятора, решаемой методами дина-
мического программирования. «Автоматика и телемеханика»,
1963, т. XXIV, № 9.
35. Конструирование управляемых снарядов. Пер. с англ, под ред.
А. Е. Патета и С. Рамо. Воениздат,' 1963.
36. К р а м е р Г. Математические методы статистики. Изднво ино-
странной литературы, 1948.
37. Кр а с опеки й А. А., П о сп е л о в Г. С. Основы автоматики
и технической кибернетики. Госэнергоиздат, 1962.
38. Логовский А. Н. Стратегия и экономика. Воениздат, 1961.
39. Л е в и н Б. Р. О некоторых вопросах теории надежности ра-
диоэлектронного оборудования. «Радиотехника», 4960, 2.
576
40. Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение
в радиотехнике. Изд-во «Советское радио», 1960.
41. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов.
«Автоматика и телемеханика», 1960, т. XXI, № 4, 1961, т. XXII,
№ 4.
42. Л е т о в А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.
Физматгиз, 1962.
43. Л и то в ч е нко И. А. Об одной задаче оптимального управ-
ления. «Автоматика и телемеханика», 1960, т. XXI, № 8.
44. Локк А. С. Управление снарядами. Пер. с англ. Гос. изд-во
техн.-теор. лит., 1957.
45. Л ь ю с Р. Д., Р а й ф а X. Игры и решения. Изд-во иностран-
ной литературы, 1961.
46. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. Физматгиз, 1960.
47. М а л и к о в И. М., П о л о в к о А. М., Романов Н. А., Ч у к -
реев П. А. Основы теории и расчета надежности. Суд-
промгйз, I960.
48. Матричные игры, Сборник переводов. Физматгиз, 11961.
49. Мери л л Г., Гольдберг Г., Гилмгольц Р. Исследо-
вание операций. Боевые части. Пуск снарядов. Изд-во ино-
странной литературы, 119159.
50. Мор з Ф. М., Ким белл Д. Е. Методы исследования опе-
раций. Изд-во «Советское радио», 1956.
51. Надежность радиоэлектронной аппаратуры. Сб. статей, под ред.
И. И. Морозова, Изд-во «Советское радио», 1958, <1960.
52. Н еч и п о р е н к о В. И. Функционально надежные электрон-
ные схемы. Гостехиздат УССР, 1963.
53. Н о в и к о в П. С. Элементы математической логики. Физматгиз,
•1959.
54. Н о р к и н К. Б. Об одном методе автоматического поиска
экстремума функций многих переменных. «Автоматика и те-
лемеханика», 1196)1. т. XXII, № 5.
55. О р л о в Б. В., М а з и н г Г. Ю. Баллистическое проектиро-
вание ракет на твердом топливе. Оборонгиз, 1964.
56. О с т о с л а в с к и й И. В., Стр а ж ев а И. В. Динамика поле-
та. Траектории летательных аппаратов. Оборонгиз, 1963.
57. П а й ж Л. А. Матрицы в технике. Сб. «Современная матема-
тика для инженеров». Изд-во иностранной литературы, 1959.
58. Паккет А. и Эдвард Р. Оптимальные характеристики ра-
кетных снарядов малой дальности. Сб. «Исследование опти-
мальных режимов движения ракет». Оборонгиз, 1959.
59. П е р в о з в а н с к и й А. А. Случайные процессы в нелинейных
автоматических системах. Физматгиз. 1962.
60. Полиссар Г. Л. Моделирование. Воениздат, 1963.
61. П о нтр яг и н Л. С., Болтянский В. С., Гамкрелид-
зе Р. В., Мищенко Н. Ф. Математическая теория опти-
мальных процессов, Физматгиз, 1961.
62. Применение теории ипр в военном деле. Сб. переводов под ред.
В. О. Ашкенази. Изд-во «Советское радио», 1961.
63. Пугачев В. С. Теория воздушной стрельбы, Воениздат, 1940.
64. П у г а ч е в В. С. Теория случайных функций и ее применение
к задачам автоматического управления. Физматгиз, 1960.
37—343 577
65. Р а стр и г и н Л. А. О сходимости метода случайного поиска
при экстремальном регулировании многопараметрическ'их
систем. «Автоматика и телемеханика», 4963. т. XXIV, № 41.
66. Р о з е н б е р г В. Я., Прохоров А. И. Что такое теория
массового обслуживания. Из1д-во «Советское радио», 1962.
67. Р ы б а ш о в М. В. Решение на модели методом градиента ал-
гебраических трансцендентных уравнений. «Автоматика и теле-
механика», 1961, т. XXII, № 7.
68. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произве-
дений. Гостехиздат, 4948.
69. С а а т и Т. Л. Математические методы Исследования операций.
Пер. с англ. Воениздат, 1963.
70. Сиверс А. П., Суслов iH. А. Огновы радиолокации. Изд-во
«Советское радио», 1956.
71. Смирнов Н. В. и Дунин-Барковский И. В. Теория
вероятностей и математическая статистика в технике. Гос-
техиздат, 1955.
72. Соловьев А. Д. Об определении резервов для систем
многократного действия. «Известия АН СССР» ОТН, Энерге-
тика и автоматика, 1962, № 2.
73. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных
систем автоматического управления. Физматгиз, 1960.
74. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Новейшее развитие методов динами-
ческого программирования и их применение для синтеза оп-
тимальных систем. Доклад, представленный на 2-й междуна-
родный конгресс Международной 'федерации по автомати-
ческому управлению, 1963.
75. Томпкинс Ч. Б. Методы быстрого спуска. Сб. «Современ-
ная математика для инженеров» Изд-'во иностранной лите-
ратуры, 1959.
76. Т р а к с е л Д. Синтез систем автоматического регулирования.
Машгиз, 1959.
77. Федосеев В. И., Синя рев Г. Б. Введение в ракетную
технику. Оборонгиз, 1960.
78. X арке вич А. А. Борьба с помехами. Физматгиз, 1963.
79. Хестенс М. Р. Элементы вариационного исчисления Сб. «Со-
временная математика для инженеров». Изд-во иностранной
литературы, 1959.
80. X и н ч и н А. Я. Работы по математической теории массового
обслуживания. Физматгиз, 1963.
81. Шлезингер Р. Радиоэлектронная война. Воениздат, 1963.
82. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля каче-
чества и надежности. Изд-во «Советское радио», 1962.
83. Эрроу К. Д., Гурвиц Л., Удзава X., Исследования по
линейному и нелинейному программированию. Изд-во ино-
странной литературы, 1962.
84. Ю д и н Д. Б., Г о л ь ш т е й н Е. Г. Задачи и методы линейного
программирования. Изд-во «Советское радио», 1961.
85. Barlow R. Е., Hunter L. С. IRE Trans on Reliability and
Quality Control, 1960, RQC-9. (Критерии для определения
оптимальной избыточности).
86. Barlow R., Hunter L. Operations Research, 1960, v. 8, №1.
(Оптимальная система профилактики).
579
87. Bellman R. Qvarterly of applied mathematics, <1958, XV1, №'l.
(К транспортной проблеме).
88. В 1 а с к G., Р г о s с h a n F. Proc, fifth National Symposium
on Reliability and Quality Control, 1959, 281—295 (Оптимиза-
ция ЗИП по стоимости).
89. В о о t J. С. G., Т h е i I Н. Procedings of the 3 rd International
Conference on Operational Research, Oslo, 1963, 1—5/VIII.
(Процедура отыскания целочисленных максимумов опреде-
ленных квадратичных функций).
90. В г е n n a n Р. J., R о b е г t s А. Р. Journal of Electronics and
control first series, 1962, v. XII, № 4. (Использование ЭВМ
при применении принципа максимума Понтрягина для син-
теза системы управления с оптимальным переходным про-
цессом).
91. Dahl ar d L. Progr. Astronaut, and Rocketry, 1962, v. 8. (При-
менение принципа -максимума Понтрягина для нахождения
оптимального управления аппаратом переменной массы).
92. Danskin J. Operations Research, 1962, v. 10, № 3. (Теория
разведки).
93. D г у 1 u s S. «Program Operations Logistics Onarterly, 1959,
v. 6, № 4. • (Динамическое программирование).
94. Du kriegspiel aux Modeles Mathematiques du combat L’armee,
11962, № 20. (От военных игр к математическим моделям
боя).
95. The Effects of aftomic weapons, New York—Toronto—London,
1950. (Действие атомного оружия).
96. Epstein В., Hosford J. Proc, sixth National Symposium
on Reliability and Quality Control, 1960. (Надежность ду-
блированных систем).
97. Fl tick i ger H. Allgemeine Schweizerische Militarzeit schrift,
Mai, 1962. (Ядерное оружие малой и сверхмалой мощности).
98. Н i g g i n s T. and Holland D. B. JRE Transactions on Me-
dical Electronics, 1959, № 3. (Человек как -звено в автомати-
ческой системе управления).
99. Kahn Н. Use of Different Monte Corio Sampling Techniques.
Symposium on Monte Carlo methods, 1954. (Применение раз-
личных выборочных методов Монте-Карло).
100. Katz S. J. Electron and Control, 1962, v. 13, № 2. (Принцип
максимума Понтрягина для дискретных систем).
101. Kelley Н. AIAA Journal, 1963, v. 1, № 7. (Особые экстре-
мали в задаче Лаудена об оптимальной траектории движения
ракеты).
102. Kushner Н. J. Joint Automat Control Conf. New York, 1962,
(Методы поиска экстремума по многим переменным при опти-
мизации систем, подверженных влиянию помех).
103. Zawden D. F. Aeronaut. Quart., 1963, v. 14, № 2. (Аналити-
ческий метод оптимизации траекторий ракет).
104. Zoe we R. Т. and Ног о wits Р. Display System Design
Considerations, 1961. (Некоторые соображения по разработке
систем отображения).
105. М а г s h а 11 е A. W. Symposium on iMonte Corio Methods,
1954. (Вступительная статья на симпозиуме по методу Мон-
те-Карло).
37* 579
106. iPa r iso G. R. Revie Francaise de recherehe Operationnelle,
49611. (Приближенное числовое решение задач линейною про-
граммирования путем применения логарифмического програм-
мирования).
107. Р i с с а г i е 11 о Н. J. «Operations research», v. 10, № 6, J962.
(Задача распределения ракет).
108. Rosenbaum R. AIAA Journal, 1963, v. 1, № 7. (Улучшение
сходимости при оптимизации траекторий методом наискорей-
шего спуска).
109. Schoderbek J. Operations Research, 1962, v. 10, l№ 2.
(Некоторые вероятностные модели выживания систем ору-
жия).
Г10. Taylor James Z., Operations Research v. 7, № 6, 11959,
p. 783—797. |(Разра1ботка и применение модели воздушного
|боя на конечном этапе).
ГН. True 1 owe A. J. Operations Research, J961, v. 9, № 11.
(Стратегическая надежность и профилактическое обслужи-
вание).
112. Weibull W. Journal of Applied Mechanics, 1951, v. 18, № 3.
(Статистическая функция распределения с широкой областью
применения).
Г13. Wolfe Р.< Operations research, v. 10, № 4, 1962.
Использование симплексного метода в некоторых случаях при
нелинейном программировании).
114. Z i m m е г m a n n R. Operations Research for management,
V.II 1954. ^Применение метода Монте-Карло для моделиро-
вания сражений).
115. Les tel J. Н. Application de la recherche operationnelle a la
determination de la meilleure portee d un engin de la defense
antiaerienne. Centre Francais de recherche operationnelle,
1961, № 17. (Применение исследования операций к определе-
нию оптимальной дальности полета зенитной ракеты).
116. G i г а г d L. and Н a h г у М. Rosenstock, Operations research,
v. Г1, № 11, 1963.
Аналитические выражения для вероятности прорыва ПВО от-
дельных объектов.
Г17. Гельфанд И. М., Цетлин М. Л. Принцип нелокально-
го поиска в задачах автоматической оптимизации. ДАН
'СССР, 1901, т. 1137, № 2.
lil> 8. Шрейдер Ю. А. Задача динамического планирования и ав-
томаты. Об. «Проблемы кибернетики», 496'1, вып. 5.
119. Ляпунов А. А., Шестопал Г. А. Об алгоритмическом
описании процессов управления. Сб. «Математическое про-
свещение», вып. 2. Гостехиздат, 1957.
120. Reiner Н. Wehrtechnische Monatshefte, 1963, № 9. К вопросу
об определении оптимальной мощности ядерного заряда ра-
кет класса «земля — земл#».
121. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Лекции по теории
массового обслуживания. КВИРТУ, Киев, 1963.
122. Ланс. Численные методы для быстродействующих машин.
Изд-во иностранной литературы, 1962.
123. Поляк Д. Г. О двух задачах теории надежности радио-
электронного оборудования. «Радиотехника», 1960, № 10.
580
124. Фельдбаум А. А. Основы тёорий опТймйльйых автомата
ческих систем. Физматгиз, 1963.
135. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа,
т. 1, ГИТТЛ, М., 1957.
126. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. Изд-во
иностранной литературы, 1950.
127. Науменко И. А., Петровский И. Г. Ударная волна
атомного взрыва, Воениздат, 1956.
128. Архипов М. П. Световое излучение атомного взрыва. Во-
ениздат, 1956.
129. М а-не ц Ф. И. Защита от радиоактивных и отравляющих ве-
ществ. Воениздат, 1962.
130. Вентцель Е. С. Введение в исследование операций. Изд-во
(«Советское радио», 1964.
131. Киселев С. П., Чуев Ю. В. Рассеивание ракет. Воениз-
дат, >1964.
132. Надежность технических систем и изделий. Основные поня-
тия. «Терминология». Издательство «Наука», 1965.
133. Петухов С. И. Решение одной задачи теории массового
обслуживания. «Морской сборник», 1962, № 2.
134. Дрешер М. Стратегические игры. Теория и приложения.
Изд-во «Советское радио», И 964.
135. Применение метода Монте-Карло для оценки противотан-
ковых систем оружия.
136. Armor № 4, 1956.
137. Тыл и снабжение Советской армии № 1,11958.
138. Барсов А. С. Линейное программирование в технико-эконо-
мических задачах. «Наука», 1964.
139. Кротов В. Ф. Методы решения вариационных задач на ос-
нове достаточных условий абсолютного минимума. «Автома-
тика и телемеханика», 4962, т. XXIII, № 12; .1963, т. XXIV,
№ 15; 1964, т. XXV, № 7.
140. Bulletin of the Operations Research of America, 1959, № 1.
ПРЕДМЕТНЫЙ
Ан а литические методы иссле-
дования боя 431
Аппроксимирующие полиномы
570
Базисное решение 342
Базис пространства 335
Безотказность 9
Бернулли теорема 132
Боевая ситуация 10
Бой между ПТУРС и танком
501
Брауна итеративный метод
467
Бризантная граната 57
Вероятность безотказной рабо-
ты 73, 81
-------, опытное определение
90
— отказа 81, 569
— попадания в круг 222, 566
-----в цель в случае схемы
двух групп ошибок при
двумерном рассеивании
238
-------, то же при одномер-
ном рассеивании 236
-----в цель при п независи-
мых выстрелах 227
— т попаданий при п неза-
висимых выстрелах 227
Вероятность поражения цели
222, 243
-------, когда имеется п сна-
рядов 245
-------комплексом 445
-------одной ракетой 389
-------очередью из п снаря-
дов 389
УКАЗАТЕЛЬ
-------при одном выстреле
204, 210, 220
-------, расчет графическим
методом 212
-------, расчет по методу при-
веденных зон 212
-------, сравнение прибли-
женного метода расчета с
методом приведенных зон
215
Вероятность пропуска цели не-
обстрелянной 272
Вес ракеты 394
Военная техника 14
-----, экономические характе-
ристики 14
Военно-технические задачи 17
Военно-технические устройства
15
•----без резервирования 16
----- с резервированием 17
Время обслуживания 264
Второстепенная неисправность
9
Выборка по группам 182
-----систематическая 184
Выбор оптимальной степени
аппроксимирующего поли-
нома 162
— системы вооружения 323
Гиперплоскость 329
Главные оси рассеивания 25
Дальность полета зенитной ра-
кеты 379
-------, определение числа
комплексов и их стоимости
385
------- оптимальная 386
582
—------, расчет числа возмож-
ных этапов перехвата 384
Дерево игры 479
Динамическое программирова-
ние 319, 366
Доверительный интервал 157
Длительность службы элемен-
та 73
-------, распределение Вей-
булла 77
-------, экспоненциальное рас-
пределение 761
Долговечность 9
Достаточные условия абсолют-
ного минимума 359
Живучесть 9
Задача альтернативная 332
— Лагранжа 314
— на выживание 496
— на максимальное быстродей-
ствие 357
— на условный экстремум 314
— об абсолютном минимуме
функционала 360
— о размещении вооружения и
оборудования в самолете
321
— о распределении ресурсов
374
— преследования 362
— снабжения боеприпасами
325
— с подвижными концами 358
Задачи максимилизации 339,
341
— массового обслуживания,
решаемые методом стати-
стических испытаний 310
— минимизации 340
— оптимизации 378
— с закрепленными концами
358
Закон больших чисел 132
Законы поражения цели 37,
2'14, 216
-------для осколочных бое-
вых частей ЗУР 59
-------для осколочных сна-
рядов 55
------- для снарядов с обыч-
ным снаряжением 49
-------для ядерных боепри-
паров $7
-------, координатный 37, 38,
49, 64
-------, показательный 51,
231
-------, при непосредственном
попадании 50
-------, ступенчатый 214
Зенитные управляемые ракеты
394
-------, выбор критерия и
обоснование оптимальных
требований к эффективно-
сти 394
Игры 447
— в нормальной форме 475
—, когда один из участников
делает два хода 475, 481,
482
— матричные 451
— прямоугольные 451
— с бесконечным числом стра-
тегий 448, 498
— с конечным числом страте-
гий 448
— с неполной информацией
449
— с полной информацией 449
Интегральная функция нор-
мального распределения
558
Интенсивность отказов элемен-
тов 73
-------, определение 79
— разведки 252
Исследование операций 3, 7
----- и моделирование 18
Качество вооружения 8
Комплекс 440
— зенитных управляемых ра-
кет 503
Коэффициент готовности изде-
лия 92, 252
-----орудия 247
— использования 92
— то же для распределения
Пуассона 563
Коэффициент стоимости 321
Критерий эффективности об-
разца вооружения 512
Ланнестера законы 431, 485
-----, квадратичный 487, 492
583
-----, линейный 485, 491
-----, обобщения 488, 489
Максимальное отклонение 23
Математическая и физическая
модели боя 522, 526
Математические методы опти-
мизации 313
Математическое ожидание ве-
личины, вычисленной мето-
дом статистических испы-
таний 155
-----числа пораженных целей
при независимых выстре-
лах 233
Математическое ожидание зат-
рат на поражение цели 403
-----числа пораженных целей
в условиях противодейст-
вия 435
Математическое программиро-
вание 316
Матрица-строка 506
Метеорологические возмущения
в модели боя 517
Метод аналитический 20, 133
— динамических средних 483
— Монте-Карло (см. метод ста-
тистических испытаний)
— неопределенных множителей
Лагранжа 424
— перебора возможных вари-
антов 422
— попятного движения (обра-
щенного времени) 369
— последовательного улучше-
ния плана 334
— скорейшего спуска 427
Метод статистических испыта-
ний 20, 119, 192, 200, 264,
432, 511, 544
-------- для обоснований на-
дежности аппаратуры ра-
кеты 403
-------- для обоснования ха-
рактеристик точности
стрельбы 415
-------- для определения ве-
роятности поражения цели
группой из п выстрелов 244
-------- и исследование опера-
ций 118
--------(и определение вероят-
ности поражения цели 243
584
------- и определение точно-
сти стрельбы 190
-------, области применения
1-19, 132
-------, применение к вероят-
ностным задачам 126
-------, — к невероятностным
122
-----, причины, вызывающие
ошибки метода 152
-------, проверка некоторых
гипотез 164, 166, 167, 168
-------, простейший пример
120
-------, сочетание с аналити-
ческими методами 170
-------, точность метода 128,
151
Метод статистического моде-
лирования 4
Методы расчета оптимума 369
Многошаговый процесс распре-
деления 371
-------одномерный 372
Множество допустимых функ-
циональных аргументов 313
Моделирование 18
— боя двух танковых группи-
ровок 537
— боя комплексов ЗУР 503
— математическое 18, 202
— статистическое (см. метод
статистических испытаний)
— стрельбы управляемого сна-
ряда «воздух—земля» 193,
197
физическое 18, 202
Моделирующий алгоритм 552
Модель действия частей и под-
разделений 538
Модель отражения атаки тан-
ков 528
-----------, параметры, вводи-
мые в модель 530
-----------t принципы построе-
ния модели боя 534
Надежность 8, 81, 89
— восстанавливаемых изделий
91
— в случае резервирования 83
— комплексов 100
— невосстанавливаемых изде-
лий 80
—- тактическая 440
Начальная скорость осколка
56
Неслучайные функция случай-
ных величин 144
Номинальная бомба 47
Нормализация 475
Нормирующий множитель 179
Область возможных разрывов
209
— замкнутая 351
— поражения цели осколочным
действием 45
Область решений задач про-
граммирования 327
----- неравенства 328
— управления 351
Обслуживание 256
Опорный план 342
Оптимальная длительность тре-
нировки изделий военной
техники 407
-------, выбранная по вероят-
ности безотказной работы
изделия 407
—------, найденная по эконо-
мическому критерию 409
Оптимальная надежность бор-
товой аппаратуры ракеты
403
Оптимальная траектория 353
— характеристика точности
стрельбы 4illl
Оптимальное распределение
личного состава батальона
для обслуживания воору-
жения 471
Оптимальное резервирование
421
Оптимальное управление про-
цессами и системами 317,
350
Оптимальные режимы профи-
лактических работ 396
----------в случае распреде-
ления по закону Вейбулла
400
---------- в случае экспонен-
циального распределения
400
Оптимальный состав боекомп-
лекта, необходимый для на-
несения максимума ущерба
460
Отказ 9
Оценка эффективности зенитно-
го вооружения при налете
групповых целей 292
Оценка эффективности ЗУР,
когда зенитные комплексы
противника открывают
огонь первыми 433
-------, когда, начиная со
второго захода,- первым
бомбит самолет 435
Оценка эффективности ПВО
при малом времени пребы-
вания цели в зоне обстре-
ла 267
-----систем ПВО 277, 279, 283
-----системы управления 283
-----стрельбы 389
-----в некоторых боевых
ситуациях 250
-------в случае зависимых
выстрелов 235
-------в случае независимых
выстрелов 226
-------и учет надежности
245
-------одного образца воору-
жения при одном выстреле
250
-------по точечной цели сна-
рядом с мощной боевой
частью 219
------- при нескольких вы-
стрелах 253
-------при одном выстреле
по одиночной цели 204
------- при стрельбе ядерны-
ми боеприпасами 219
------- ракетного комплекса
на марше 252
-------при учете надежности
стрельбы и противодейст-
вия противника 439
Ошибки стрельбы 23
-----, главные вероятные от-
клонения 26
----- двумерный нормальный
закон распределения 26
-----, деление на группы 32
-----, нормальный закон рас-
пределения 23, 27
585
----при стрельбе по движу-
щейся цели 30
----систематические 30, 224
----, средние квадратические
ошибки 26
Параметр потока 261
Параметры состояния 318
— управления 318
Передаточная функция опера-
тора 524
Период нормальной эксплуата-
ции 75
— приработки 75, 91
— старения 76
Платежная матрица игры 450
Поражающие факторы боепри-
пасов 39
-------, обычные взрывчатые
вещества 42
-------, химическое оружие
41
-------, ядерный взрыв 39
Поражение цели 37
Последовательность Холтона
188
Поток
— без последействия 260
—, интенсивность 261
— нестационарный 263
— ординарный 261
— Пальма 263
— простейший (пуассоновский)
260, 274
— случайный стационарный
260
— событий 257
— требований 260
Приведенный радиус пораже-
ния 212
Принцип максимума 319, 350,
354
— минимакса 452
— оптимальности 361, 366
Программа управления 318
Пропускная способность ре-
монтных мастерских 302
Псевдослучайные числа 137
Пуассона формула 260
Работоспособность 9
Ранг матрицы 337
Распределение Райса 27
— Релея 28
586
----обобщенное 28
— Стьюдента 559
Резервирование 83
— без восстановления резер-
вов 93
— при наличии отказов 84
— с восстанавливаемым резер-
вом 95
Резерв нагруженный 93
— ненагруженный 94
Рельеф местности в модели
боя 515
Ремонтопригодность 9
Симметризация подынтеграль-
ной функции 187
Системы динамические 350
Системы массового обслужива-
ния 257
-------многофазовые 257
-------неоднородные 257
-------однородные 257
-------с неограниченным вре-
менем ожидания 258
-------с ограниченным 258,
288, 311
-------с ожиданием 258, 311
-------с отказами 258, 311
— ПВО 380
Случайная величина
----, точность определения
математического ожидания
154
----, точность определения
среднеквадратичного от-
клонения 155
— последовательность чисел
557
Случайные отклонения, распре-
деленные по нормальному
закону 556
Случайные потоки 148
----простейшие 149
Случайные события 250
----, моделирование 150
----, определение его вероят-
ности с заданной ошибкой
158
Случайные функции
----, каноническое разложе-
ние 144
---- получение реализации
143
---- стационарные 147
Случайные числа 136
----, распределение по любым
законам 138
----, — по закону Вейбулла
140
----, — по закону Пуассона
143
----, — по закону равной ве-
роятности 140
----, — по закону Райса 142
----, — по закону Релея 140
Срединное отклонение 23
Средний срок службы элемен-
та 73
Средняя круговая ошибка 23
— наработка на отказ 99
— плотность обстрела 233
Статистическое моделирование
боя 511
-------комплексов ЗУР 544
----, учет времени суток 519
----, учет геофизических усло-
вий 519
----, учет действий человека
522
----, учет метеорологических
возмущений 517
----, учет рельефа местности
515
----, учет свойств вооруже-
ния 519
Стационарное решение 271
Стоимость вооружения 105
----, влияние размера партии
107
— грузового автомобиля
«Стоимость» людских потерь
512
Стоимость наземного оборудо-
вания 114
— ракеты 109, 391, 403
— сравнительная 117
— фугасной боевой части 113
— ядерных боевых частей 144
Стратегия 448
— активная 468
— доминирующая 455
— дублирующая 454
— максиминная 452
— минимаксная 452
— смешанная 456, 458
Стратегия управления 318
---- оптимальная 318
— чистая 458
Стрельба по нескольким целям
249
— по одной цели 245
Схема двух групп ошибок
стрельбы 235
Теорема о дисперсии линейной
функции 159
Теорема о минимаксе 457
Теория игр 431
— — и оптимальное сочетание
различных видов боевой
техники 455
-----как метод исследования
операций 447
-----, основная теорема 456
Теория массового обслужива-
ния 255
-------- и исследование опера-
ций 255
Точность стрельбы 22
— определения вероятности
события 156
— определения функций одно-
го переменного на задан-
ном интервале 158
Требования к оптимальной на-
дежности бортовой аппара-
туры ракеты 403
Убойный интервал 56
Уменьшение дисперсии изме-
ряемой величины 170, 188
-----, выборка по группам 182
-----, выделение части, опреде-
ляемой аналитически 174
-----, использование зависи-
мых величин 184
-----, метод «русской рулетки»
173
-----, метод с применением су-
щественных выборок 179
•Управление оптимальное 353
Уравнения Динера 493
— Ланчестера 431, 483
Урав-нения, описывающие дви-
жение управляемого сна-
ряда 191
-----, применяемые для опера-
тивно-тактических расчетов
483
Условие трансверсальности 358
Уязвимость цели 40
587
Фазовые координаты 318, 360
Функция Бесселя 27
— Лапласа 237, 401
Функционал 313
— Больца 353
—, область определения 313
Функции Гамильтона 354
Характеристики вооружения 21
— точности стрельбы 22
-------, методы определения
32
-------обобщенные 22
-------частные 22
Ход 447
— личный 448
— случайный 448
Холтона последовательность
188
Цель
—, вероятность обнаружения в
зависимости от горизон-
тальной дальности 71
—, вероятность попадания в
случае двух групп ошибок
стрельбы при однородном
рассеивании 236
—, вероятность поражения 210,
229
— , вероятность прямой види-
мости 65
— , визуальное обнаружение 64
— •, дальность обнаружения 63,
67
Цель движущаяся 65
-----, дальность обнаружения
65, 71
—, зависимость вероятности
обнаружения от скорости
69
—, количество выстрелов для
получения заданной веро-
ятности хотя бы одного
попадания 228
—, количество выстрелов до
получения одного попада-
ния 228
—, количество выстрелов, не-
обходимое для поражения
цели 232
—, коэффициент фигурности
206
—, обнаружение с помощью
РЛС 67
—, число ракет для ее пораже-
ния 382
Центр рассеивания разрывов
209
Чебышева теорема 132
Эксплуатация изделия 9
Электронные машины и моде-
лирование полета ракет
192
Эллипсы равной плотности (эл-
липсы рассеивания) 25
Эрланга системы уравнений
270
Этапы перехвата 384
Эффективность вооружения 11,
112
-----, оценка стрельбы 203
-----, учет противодействий
противника 432
— зенитной ракеты 387
— противотанковых установок
с учетом противодействия
437
Эффективность стрельбы по по-
являющимся целям 288
-----зенитными ракетами 387
Эшелонированная система ПВО
из однотипных комплексов
276
-------из разнотипных компл
лексов 279
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................ 3
Введение. . *....................................... . . 7
§ 0.1. Исследование операций......................... 7
§ 0.2. Понятия качества и надежности военно-технических
устройств..............................•...... 8
§ 0.3. Понятие боевой ситуации....................... 10
§ 0.4. Понятие эффективности военно-технических уст-
ройств ...................................... 11
§ 0.5. Выбор критериев оценки эффективности вооружения 12
§ 0.6. Экономические характеристики образцов военной
техники........................................... 14
§ 0.7. Классификация военно-технических устройств ... 15
§ 0.8. Классификация военно-технических задач........ 17
§ 0.9. Применение моделирования в исследовании опера-
ций ......................................... 18
Глава 1
Некоторые характеристики вооружения
§ 1.0. Введение............•......................... 21
§ 1.1. Основные характеристики точности стрельбы. ... 22
§ 1.2. Определение характеристик точности стрельбы из
опыта............................................. 32
§ 1.3. Основные понятия и характеристики законов пора-
жения ....................................• . . . . 37
§ 1.4. Закон поражения для ядерных боеприпасов .... 47
§ 1.5. Законы поражения для снарядов с обычным снаря-
жением ........................................... 49
§ 1.6. Дальность обнаружения цели и ее характеристики 63
§ 1.7. Критерии надежности элементов................. 73
§ 1.8. Критерии надежности невосстанавливаемых изделий 80
§ 1.9. Критерии надежности восстанавливаемых изделий 91
§ 1.10. Критерии надежности комплексов...............100
§ 1.1 Е Характеристики стоимости вооружения и их опре-
деление ..........................................105
Глава 2
Метод статистических испытаний и его
применение в исследовании операций
§ 2.0. Введение....................................... И 8
589
§ 2.1. Метод статистических испытаний и области его
применения......................................• . 119
§ 2.2. Выработка случайных чисел и формирование реали-
заций в простейших случаях . •......................135
§ 2.3. Оценка точности результатов, полученных методом
статистических испытаний............................151
§ 2.4. Пути уменьшения дисперсий......................169
§ 2.5. Применение метода статистических испытаний для
определения точности стрельбы .................. 190
Глава 3
Оценка эффективности стрельбы отдельного
образца вооружения
§ 3.0. Введение.......................................203
§ 3.1. Оценка эффективности при ударной стрельбе . . . 204
§ 3.2. Оценка эффективности при дистанционной стрельбе 208
§ 3.3. Оценка эффективности стрельбы по точечной цели
снарядом с мощной боевой частью...................• . 219
§ 3.4. - Оценка эффективности стрельбы в случае независи-
мых выстрелов.......................................226
§ 3.5. Оценка эффективности стрельбы в случае зависимых
выстрелов (случай схемы двух групп ошибок) . . . 235
§3.6. Учет надежности при оценке эффективности стрельбы 245
§ 3.7. Оценка эффективности в некоторых боевых ситуациях 250
Глава 4
Применение методов теории массового обслуживания
при решении задач исследования операций
§ 4.0. Введение ... •.............•...................255
§ 4.1. Основные понятия теории массового обслуживания 255
§ 4.2. Оценка эффективности ПВО при малом времени
пребывания цели в зоне обстрела.....................267
§ 4.3. Эффективность эшелонированной системы ПВО,
состоящей из однотипных комплексов..................276
§ 4.4. Эшелонированная система ПВО, состоящая из раз-
нотипных комплексов......................•..........279
§ 4.5. Оценка эффективности системы управления .... 283
§ 4.6. Эффективность стрельбы по появляющимся целям 288
§ 4.7. Особенности оценк1Гэффективности зенитного воору-
жения при налете групповых целей....................292
§ 4.8. Определение пропускной способности и загрузки
ремонтных мастерских................................302
§ 4.9. Решение военных задач, связанных с массовым об-
J служиванием, методом статистических испытаний . 310
Глава 5
Математические методы оптимизации
§ 5.0. Введение....................................313
§ 5.1. Линейное программирование как метод выбора воору-
жения ................................................320
§ 5.2. Симплекс-метод в линейном программировании . . . 334
§ 5.3. Принцип максимума. Оптимальные управления . . . 350
§ 5.4/ Динамическое программирование..............366
590
§ 6.0.
~ 6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
§ 6.7.
§
§
§
§
§
§
378
379
387
396
403
407
411
421
§
§
§
7.0.
7.1.
7.2.
§
§ 7.4.
§
§
§
§
7.3.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
fr л а в а 6
Некоторые задачи оптимизации
Введение ....................................
Выбор оптимальной дальности полета зенитной ра-
кеты ...................
Обоснование оптимальных требований к эффектив-
ности зенитной ракеты..........................
Обоснование оптимальных режимов профилактичес-
ких работ.........................
Обоснование требований к оптимальной надежности
бортовой аппаратуры ракеты ....................
Определение оптимальной длительности тренировки
изделий воЬнной техники .......................
Обоснование оптимальных характеристик точности
стрельбы.......................................
Выбор оптимального резервирования.............
Г л^а в а 7
Аналитические методы исследования боя
Введение .....................................
Учет противодействия при оценке эффективности . .
Об одном случае оценки эффективности стрельбы при
учете надежности вооружения и противодействия
противника . . .................
Теория игр как метод исследования операций. Ос-
новные понятия ................................
Решение методами теории игр задач об оптимальном
сочетании различных видов боевой техники ....
Решение вопросов снабжения на примере игр в раз-
вернутой форме ............................
Описание боя уравнениями Ланчестера...........
Задача на выживание...........................
Модель боя комплексов зенитных управляемых ра-
кет • .
431
432
439
447
455
475
483
496
503
§ 8.0.
§ 8.1.
§ 8.2.
§ 8.3.
§ 8.4.
§ 8.5.
§ 8.6.
§ 8.7.
Глава 8
Статистическое моделирование боя
Введение . . • ...........................
Критерии выбора оптимального вооружения по ре-
зультатам моделирования боя ...............
Введение внешних условий в модели........ •
Учет свойств вооружения....................
Описание действия человека. Сопряжение матема-
тической и физической моделей .............
Модель отражения атаки танков
Модель действия частей и подразделений . . • • •
Статистическая модель боя комплексов ЗУР • • • •
Приложение............................. • *
Аппроксимирующие полиномы для таблиц о о • •
Литература.................................
Предметный указатель.....................• •
511
512
515
519
522
528
538
544
556
570
575
582
591
Ю. В. ЧУЕВ и др.
Основы исследования операций в военной технике
Редактор Н. Д. Иванушко
Техн, редактор 3. И. Яковлева
Обложка художника Е. П. Масленниковой
Сдано в набор 14/V 1965 г. Подписано к печати 18/IX 1965 г.
Формат 84x108733 Объем 31,08 п. л. Уч.-изд. л. 29,173
Г-24807 Заказ 343 Тираж 6 000 экз. Темплан 1965 г. № 60
Цена в пер. №5 1р. 61 к.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Шлюзевая наб., 10.