Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень. - Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.

Ответы к прототипам заданий с кратким ответом
Автор: Лысенко Ф.Ф. Кулабухова С.Ю.
Теги: математика егэ по математике
ISBN: 978-5-9966-1454-7
Год: 2020
Похожие
Математика. Учебно-тренировочные тесты. Подготовка к ЕГЭ-2011
Математика. ЕГЭ-2021. Тематический тренинг .
Математика. Тесты для промеж. аттестации и текущего контроля
Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ
Текст
                    Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
МАТЕМАТИКА
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2021 Профильный уровень
40 тренировочных вариантов по демоверсии 2021 года
Учебно-методическое пособие
тм
ЛЕГИОН
Ростов-на-Дону


ББК22.1я721
М34
Рецензенты: А. Г. Бермус, кандидат физико-математических наук, доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой образования и педагогических наук Академии психологии и педагогики ЮФУ, г. Ростов-на-Дону;
Л. Н. Евич, кандидат физико-математических наук, доцент, г. Ростов-на-Дону.
Авторский коллектив:
Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухов, С. О. Иванов, Е. Г. Коннова,
Е. М. Фридман, Д. И. Ханин, Н. И. Авилов, С. В. Дерезин,
А. М. Домашенко, А. Г. Корянов, В. М. Кривенко, Н. М. Резникова, К- А. Талипова, А. П. Уваровский, Е. Э. Чурилкина, А. Ф. Ягудин
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень. М34 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2021 года :
учебно-методическое пособие / под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону: Легион, 2020. — 400 с. — (ЕГЭ).
ISBN 978-5-9966-1454-7
Учебно-методическое пособие предназначено для качественной подготовки к профильному уровню ЕГЭ по математике в 2021 году. Книга содержит:
• 40 новых тренировочных вариантов, составленных в соответствии с проектами демоверсии и спецификации 2021 года профильного уровня ЕГЭ по математике, опубликованными на сайте ФИГ1И 24.08.2020 г.;
• подробное решение 10 вариантов;
• краткий теоретический справочник;
• задачник, содержащий основные типы задач с кратким ответом;
• ответы ко всем заданиям и вариантам.
Материал пособия позволит выпускникам и абитуриентам получить на ЕГЭ желаемый результат — от минимального количества баллов, необходимого для сдачи экзамена, до 100 баллов.
Книга адресована выпускникам общеобразовательных учреждений, учителям, методистам. Она может использоваться также и при дистанционном обучении.
ББК22.1я721
ISBN 978-5-9966-1454-7
© ООО «Легион», 2020


Содержание
От авторов 6
Прототипы заданий с кратким ответом 10
Прототип задания 1 10
Прототип задания 2 13
Прототип задания 3 17
Прототип задания 4 23
Прототип задания 5 27
Прототип задания 6 28
Прототип задания 7 33
Прототип задания 8 39
Прототип задания 9 42
Прототип задания 10 44
Прототип задания 11 46
Прототип задания 12 47
Тренировочные варианты 50
Вариант № 1 50
Вариант № 2 54
Вариант № 3 58
Вариант №4 62
Вариант № 5 66
Вариант № 6 70
Вариант № 7 74
Вариант № 8 78
Вариант № 9 82
Вариант № 10 86
Вариант № 11 90
Вариант №12 94
2. Зак.№121


4
Содержание
Вариант №13 98
Вариант № 14 102
Вариант № 15 106
Вариант № 16 110
Вариант № 17 114
Вариант № 18 118
Вариант № 19 122
Вариант № 20 126
Вариант №21 130
Вариант № 22 134
Вариант № 23 138
Вариант № 24 142
Вариант № 25 146
Вариант № 26 150
Вариант № 27 155
Вариант № 28 159
Вариант № 29 163
Вариант № 30 168
Вариант № 31 173
Вариант № 32 178
Вариант № 33 183
Вариант № 34 187
Вариант №35 191
Вариант № 36 195
Вариант № 37 199
Вариант № 38 204
Вариант № 39 208
Вариант №40 213
Решения избранных вариантов 218
Решение варианта № 1 218
Решение варианта № 5 231
Решение варианта № 9 240
Решение варианта № 13 248
Решение варианта № 17 256
Решение варианта № 21 267


Содержание 5
Решение варианта № 25 276
Решение варианта № 29 288
Решение варианта № 33 298
Решение варианта № 37 306
Краткий теоретический справочник 318
§ 1. Условные обозначения 318
§2. Степени и корни 319
§ 3. Модуль и его свойства 320
§ 4. Прогрессии 321
§ 5. Логарифмы 321
§ 6. Теория вероятностей 322
§ 7. Тригонометрия 323
§ 8. Многочлены и их корни 328
§ 9. Уравнения 332
§ 10. Неравенства 334
§11. Функции 336
§ 12. Планиметрия 351
§ 13. Стереометрия 365
Ответы к прототипам заданий с кратким ответом 378
Ответы к тренировочным вариантам j 379


От авторов
Пособие предназначено для эффективной подготовки к единому государственному экзамену по математике на профильном уровне. Книга будет полезна выпускникам, учителям, а также тем, кто собирается сдавать ЕГЭ после перерыва в обучении.
► Если сдача ЕГЭ по математике нужна вам только для получения аттестата, а не для поступления в вуз, то сдавайте базовый уровень. Рекомендуем воспользоваться пособием «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Базовый уровень. 40 тренировочных вариантов», под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. О. Иванова.
► Если вам необходим высокий балл на ЕГЭ для поступления на техническую или социологическую специальность, то нужно добиться уверенного выполнения заданий 1—15, а также задания 17.
► Если вы планируете получить математическое образование в вузе или поступить на престижную экономическую специальность (целью являются 90—100 баллов), то необходимо научиться решать все задания данного пособия.
Книга содержит:
• задачник, включающий в себя основные типы задач с кратким ответом, которые соответствуют предлагаемым заданиям открытого банка1;
• 40 новых тренировочных вариантов, составленных по проектам спецификации и демоверсии ЕГЭ 2021 года, опубликованным 24.08.2020 г. на сайте ФИПИ (www. fipi.ru);
• решение 10 вариантов;
• краткий справочник по элементарной математике, содержащий теоретический материал, достаточный для выполнения всех заданий данного пособия;
• ответы ко всем заданиям и вариантам.
Отметим, что варианты заданий носят парный характер, то есть являются попарно подобными (так, например, подобны 1-й и 2-й варианты, 3-й и 4-й и т. д.). Это позволяет учителю оптимизировать процесс подготовки: целесообразно прорешать с учащимися в классе один из нечётных вариантов, а следующий (чётный) вариант задать на дом.
Варианты в книге располагаются по возрастанию уровня сложности заданий. При этом уровень сложности и темы заданий с кратким ответом соответствуют предлагаемым заданиям открытого банка.
1 Доступен на сайте http://mathege.ru


От авторов
7
При подготовке к экзамену рекомендуем воспользоваться другими пособиями издательства «Легион» по математике.
Как работать с пособиями издательства «Легион» для подготовки к ЕГЭ по математике
Подготовку к ЕГЭ желательно начинать с пособий «Математика. ЕГЭ-2021. Тематический тренинг. 10—11~е классы» и «Математика. ЕГЭ. 10—11-е классы. Тренажёр для подготовки к ЕГЭ: алгебра, планиметрия, стереометрия. Базовый и профильный уровни». Оба этих пособия могут использоваться в течение двух лет (в 10-м и 11-м классах), способ же организации процесса обучения зависит от учителя. Например, задания тренажёра учитель может дать на уроке при прохождении определённой темы. Материал книги «Математика. ЕГЭ-2021. Тематический тренинг. 10—11-е классы» можно использовать для ознакомления с методами решения задач базового, повышенного и высокого уровней сложности, а также для организации диагностики и контроля (самоконтроля). Работать с тренингом целесообразно не только на уроках, но и при самоподготовке, а также при дистанционном обучении.
Эту книгу «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2021 года» рекомендуем использовать после освоения большей части материала из перечисленных выше пособий. Предлагаемые в нём тренировочные варианты в формате ЕГЭ профильного уровня могут быть разобраны в классе, при этом парный вариант можно предложить ученикам в качестве домашней работы. Варианты пособия могут быть полезны также для проведения пробного экзамена или для организации диагностики и контроля.
Для подготовки к сдаче ЕГЭ базового уровня советуем использовать книгу «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Базовый уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2021 года». Методика работы с этим сборником вариантов та же, что и с рассмотренным выше пособием.
Пособия «Математика. 7—11-е классы. Карманный справочник» и «Математика. Большой справочник для подготовки к ЕГЭ» удобны для поиска необходимого теоретического материала в период подготовки к ЕГЭ. Большим справочником можно также пользоваться для организации повторения теории: по предложенным примерам заданий можно определить важность запоминания тех или иных формул и теорем для успешной сдачи экзамена.
К пособию «Математика. ЕГЭ. Алгебра. Задания с развёрнутым ответом. Профильный уровень» следует переходить при работе с наибо¬


8
От авторов
лее подготовленными учащимися, претендующими получить высокий балл на ЕГЭ. Рассмотренные в нём задания можно отдавать как на самостоятельное изучение, так и использовать в классах или школах с углублённым изучением математики.
Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно присылать на адрес электронной почты legionrus@legionrus.com


От авторов
9
Система оценивания тренировочных вариантов
Каждый вариант состоит из 19 заданий различного уровня сложности. Первые 12 заданий предполагают краткий ответ, 7 заданий — с развёрнутым ответом.
Номера заданий
Максимальный первичный балл за правильное решение
1—12
1
13-15
2
16-17
3
18-19
4
Таким образом, максимальный первичный балл за вариант равен 32.
Рекомендуемая таблица перевода первичных баллов в стобалльную систему 2
Перв. балл
Итоговый
0
0
1
5
2
9
3
14
4
18
5
23
6
27
7
33
8
39
9
45
10
50
11
56
12
62
13
68
14
70
15
72
16
74
Перв. балл
Итоговый
17
76
18
78
19
80
20
82
21
84
22
86
23
88
24
90
25
92
26
94
27
96
28
98
29
99
30
100
31
100
32
100
2 http://www.ege.edu.ru/ги/main/scaling/


Прототипы заданий с кратким ответом
Прототип задания 1
1. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1300 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 3 недели?
2. Стоимость единого проездного билета в Москве на месяц составляет 2000 рублей, а стоимость билета на одну поездку в метро — 54 рубля. Маша купила проездной и сделала за месяц 58 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы покупала билеты на каждую определённую поездку?
3. Прогулочный катер рассчитан на 120 пассажиров и 7 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 25 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и членов команды?
4. Шоколадный батончик стоит 45 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за три батончика, покупатель получает четвёртый в подарок. Сколько батончиков можно получить на 350 рублей в воскресенье?
5. Водитель за месяц проехал 5000 км. Стоимость 1 литра бензина — 39 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 11 литров. Сколько рублей потратил водитель на бензин за этот месяц?
6. В библиотеку привезли новые учебники по 7 предметам: 108 штук по каждому предмету. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 8 полок, на каждой полке помещается 27 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
7. Из пункта А поезд отправляется в 13:50, а в пункт В прибывает в 03:50 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?


Прототипы заданий с кратким ответом
11
8. В доме 13 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Петя живёт в квартире № 341. В каком подъезде живёт Петя?
9. В доме 13 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 5 квартир. Петя живёт в квартире № 341. На каком этаже этого дома живёт Петя?
10.1 м3 холодной воды стоит 39 рублей 98 копеек. Счётчик расхода воды 1 мая показывал 9537 м3, а 1 июня — 9562 м3. Какую сумму нужно заплатить за пользование холодной водой за месяц? Ответ дайте в рублях.
11. Установка в квартире двух счётчиков воды (холодной и горячей) обошлась Василию Ивановичу в 5390 рублей. До установки счётчиков он платил за воду (холодную и горячую) ежемесячно 1470 рублей. После установки счётчиков оказалось, что в среднем за месяц он расходует воды на 800 рублей при тех же тарифах на воду. За какое наименьшее количество месяцев при тех же тарифах на воду установка счётчиков окупится?
12. В обменном пункте 1 доллар стоит 58 рублей 20 копеек. Туристы купили 3 сувенира по 5,5 доллара каждый. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.
13. В обменном пункте 1 доллар стоит 58 рублей 20 копеек. Туристы купили 3 сувенира по 5,5 доллара каждый. Какое целое количество рублей туристы обменяли в обменном пункте, чтобы сделать эту покупку?
14. Михаил получил свой первый гонорар в размере 1100 рублей за выполненный перевод. Он решил на все полученные деньги купить букет роз своей маме. Какое наибольшее количество роз сможет купить Михаил, если удержанный налог на его доходы составляет 13% от гонорара, розы стоят 110 рублей за штуку и букет должен состоять из нечётного числа цветов?
15. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 1,5 г 2 раза в день в течение 9 дней. В одной упаковке 5 таблеток лекарства по 1,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
16. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 1,5 г 2 раза в день в течение 9 дней. В одной упаковке 5 таблеток лекарства по 1 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
17. Одна таблетка лекарства весит 10 мг и содержит 27,2% активного вещества. Ребёнку в возрасте шести месяцев врач прописывает 1,6 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку шестимесячного возраста весом
8,5 	кг в течение суток?


12
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
18. Для покраски 1 м2 стены требуется 225 г краски. Краска продаётся в банках по 3 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски стены, площадь которой равна 38 м2?
19. Для покраски 1 м2 стены требуется 225 г краски. Краска продаётся в банках по 3 кг. Сколько банок краски нужно купить для покраски стены длиной 16 м и высотой 3 м?
20. Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,2 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размером 3,7 м на 5,3 м?
21. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, когда автомобиль движется по трассе со скоростью 72 км в час, если считать 1 милю равной
1,6 	км?
22. Бегун пробежал 85 м за 13,6 секунды. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
23. Александр купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 37 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
24. Рост Мэри — 5 футов 3 дюйма. Выразите её рост в сантиметрах, если в 1 футе 12 дюймов, а в 1 дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа.
25. На счету мобильного телефона Анны было 98 рублей, а после разговора с Викой осталось 62,9 рубля. Сколько минут длился разговор с Викой, если одна минута разговора стоит 1 рубль 30 копеек?
26. По тарифному плану «Хайвей 500 Мб» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 3,95 рубля за пользование Интернетом. Если на счету осталось меньше 8 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Михаила на счету было 300 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) он сможет пользоваться Интернетом, не пополняя счёт?
27. Флакон лосьона стоит 140 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%?
28. Блокнот стоит 64 рубля. Какое наибольшее число таких блокнотов можно будет купить на 1200 рублей после повышения цены на 5%?
29. Оптовая цена учебника 210 рублей. Розничная цена на 16% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 10000 рублей?


Прототипы заданий с кратким ответом
13
30. Цена на электрический утюг была понижена на 8% и составила 3680 рублей. Сколько рублей стоил утюг до понижения цены?
31. Электрический чайник стоил 3200 рублей. Через некоторое время цену на эту модель повысили до 3680 рублей. На сколько процентов была повышена цена?
32. При оплате услуг через платёжный терминал взимается комиссия 4%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Ваня хочет положить на счёт своего мобильного телефона не меньше 200 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в приёмное устройство данного терминала?
33. Клиент взял в банке кредит 25 000 рублей на год под 23%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
34. В городе А живет 340000 жителей. Среди них 64% женского населения. Среди женщин 6% — это студентки. Сколько студенток проживает в городе А?
35. В городе А живет 340000 жителей. Среди них 64% женского населения. Среди мужского населения 16% — это учащиеся. Сколько учащихся мужского пола проживает в городе А?
Прототип задания 2
36. На графике (см. рис. 1) изображена зависимость температуры в градусах Цельсия (°С) от времени. На оси абсцисс откладывается время в часах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия (°С). Температура в градусах Фаренгейта (F) определяется по формуле t(°F) = 1,8 • t(°С) 4- 32. Какая температура в градусах Фаренгейта была в 17 часов?
* ^1-7-,--г-г-
/'
►
1 о
7 9 11 13 15 17 19 часы
Рис. 1


14
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
37. 	На графике (см. рис. 2) показан процесс разогрева муфельной печи. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия.
Определите по графику, сколько минут печь нагревается от температуры 120 °С до температуры 270 °С.
t °С
300
240
180
120
/
/
/
J
/
/
/
5 7 9
Рис. 2 .
11 13 мин
38. 	На рисунке 3 показано изменение температуры воздуха в течение некоторого времени. По горизонтали указывается время в часах, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия.
Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха. Ответ дайте в градусах Цельсия.
/
J
У
г'-'
/
/■
9
11
13
СО 3
1
-1
-3
Рис. 3
39. 	На рисунке 4 жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в пункте К с 11 по 25 мая.
По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.


Прототипы заданий с кратким ответом
15
мм
16 18 20 Рис. 4
24 числа
Определите по рисунку, какое наименьшее количество осадков выпадало в периоде 15 по 19 мая. Ответ дайте в миллиметрах.
40. 	На рисунке 5 жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в пункте М с 4 по 18 декабря.
По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало осадков.
41. 	В ходе химической реакции количество исходного вещества, которое ещё не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке 6 (см. с. 16) эта зависимость представлена графиком.
На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося вещества, которое ещё не вступило в реакцию (в граммах).
Определите по графику, сколько граммов вещества вступило в реакцию за первые пять минут.


16
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
т, г
5
О 2 4 6 8 10 12 мин
Рис. 6
42. 	Для проведения физического эксперимента собрали электрическую цепь. В ходе эксперимента определяется зависимость силы тока от величины сопротивления при переменном напряжении (см. рис. 7). На оси абсцисс откладывается сопротивление (в омах), на оси ординат — сила тока (в амперах). Сопротивление увеличилось с 0,2 до 0,7 ома. На сколько ампер при этом уменьшилась сила тока в цепи?
1А
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 К Ом
Рис. 7
43. 	На диаграмме (см. рис. 8, с. 17) представлено количество (в тысячах тонн) выплавленного чугуна в 7 странах. Среди представленных стран первое место по выплавке чугуна занимает страна С, седьмое место — Е. Какое место занимает страна К?


Прототипы заданий с кратким ответом
17
Рис. 8
Прототип задания 3
44. 	Найдите тангенс угла ABC (см. рис. 9).
А
У
/
/
у
В
С
Рис. 9
45. 	Найдите тангенс угла ABC (см. рис. 10).
Рис. 10
46. 	Найдите котангенс угла ABC (см. рис. 11).
А
/
/
С
/
/
/
/
1
/
В
Рис. 11


18
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
47. 	Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 12). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Рис. 12
48. 	Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 13). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Рис. 13
49. 	Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 смх1 см (см. рис. 14). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Рис. 14


Прототипы заданий с кратким ответом
19
50. 	Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 3 см х 3 см (см. рис. 15). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
/
/
г
/
/
/
J
т
/
/
/
Рис. 15
51. 	Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (-2; 5), (—2; 3), (7; -2), (7;0) (см. рис. 16).
52. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (6; 3), (2; 3), (4; 5), (6; 5).
53. Найдите площадь фигуры, которая образована четырёхугольником с координатами (0;4), (—6;0), (0;—4), (6;0), из которого вырезан четырёхугольник с координатами (1; 2), (-3; 0), (1; —2), (5; 0).
54. Найдите площадь S круга, стороны квадратных клеток равны 5 (см. рис. 17). В ответе укажите S/тг.
/
S
S,
г
>
V
)
■s. ^
У
Рис. 17


20
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
55. 	На клетчатой бумаге изображены два касающихся круга, которые образуют некоторую фигуру. Площадь большего круга равна 45. Найдите площадь фигуры, состоящей из двух кругов (см. рис. 18).
s'
Ч /
£
t-
г
Л
\
-А
- 1
S
л
Рис. 18
56. 	Найдите периметр изображённого четырёхугольника, если стороны квадратных клеток равны л/5 (см. рис. 19).
Рис. 19
57. 	Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону АС, если стороны квадратных клеток равны у/17 (см. рис. 20).
Рис. 20


Прототипы заданий с кратким ответом
21
58. 	Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 21). Ответ дайте в сантиметрах.
/
S
/
г
"S
/
ч
\
Рис. 21
59. 	Найдите градусную меру угла К, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 22).
К
\
\
\
Рис. 22
60. 	Найдите расстояние от точки С до прямой АВ, если точки Ау В и С отмечены на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 23).
,с
tB
А
Рис. 23
61. 	Найдите расстояние от точки С до середины отрезка АВ, если точки Л, В и С отмечены на клетчатой бумаге и сторона клетки равна 2 (см. рис. 24).
Р
,В
А
Рис. 24


22
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
62. Точки А(—1;3), В(—3;— 2), С(5;-2), D(4;3) являются вершинами трапеции. Найдите длину её средней линии.
63. Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (-3; -1), (-3;4), (9; 4), (9; -1).
64. Прямая а проходит через точки с координатами (0; 5) и (7; 0). Прямая b проходит через точку с координатами (0; -2) и параллельна прямой a (см. рис. 25). Найдите абсциссу точки пересечения прямой Ъ с осью Ох.
65. 	Найдите угол между заданными векторами (см. рис. 26). Ответ дайте в градусах.
У‘
V
А
\
\
1
\
1
О
X
Ч
С
Рис. 26


Прототипы заданий с кратким ответом
23
66. 	Найдите градусную величину дуги АС окружности, на которую опирается угол ABC (см. рис. 27). Ответ дайте в градусах.
1
А.
N
5Т
ч
Рис. 27
Прототип задания 4
67. В среднем из 400 приборов, поступивших в продажу, 5 с браком. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля прибор окажется бракованным.
68. Фабрика выпускает насосы. В среднем на 89 качественных насосов приходится 11, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранный в магазине насос окажется с дефектами.
69. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до десятых.
70. В соревнованиях участвуют 6 спортсменов из Франции, 3 спортсмена из Чехии, 7 спортсменов из Германии и 4 — из Бельгии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.
71. Конференция длится 4 дня. Запланировано 80 докладов: первые два дня по 23 доклада, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора А. окажется запланированным на третий день конференции?
72. За круглый стол на 17 стульев в случайном порядке рассаживаются 15 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
73. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 делится на четыре?


24
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
74. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 33 до 52 не делится на четыре?
75. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 9, но не дойдя до отметки 2. Результат округлите до сотых.
76. Вероятность того, что новый телевизор в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,037. В городе К из 100 проданных телевизоров в течение года в гарантийную мастерскую поступили 4. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
77. На экзамене по биологии ученику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что этот вопрос относится к разделу «Ботаника», равна 0,27; к разделу «Зоология» — 0,28. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум разделам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется вопрос по одному из этих двух разделов.
78. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая — 0,15. Найдите вероятность того, что обе лампочки перегорели.
79. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая — 0,15. Найдите вероятность того, что горит хотя бы одна лампочка.
80. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая — 0,15. Найдите вероятность того, что обе лампочки горят.
81. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая — 0,15. Найдите вероятность того, что горит только первая лампочка, а вторая перегорела.
82. Первая лампочка может перегореть с вероятностью 0,18, вторая — 0,15. Найдите вероятность того, что горит только вторая лампочка, а первая перегорела.
83. Спортсмен четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,74. Найдите вероятность того, что спортсмен первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
84. Вероятность того, что новый электрический прибор прослужит больше года, равна 0,923. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.


Прототипы заданий с кратким ответом
25
85. В торговом центре два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна 0,2. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна 0,09. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.
86. Перед началом соревнований по теннису участников случайным образом разбивают на игровые пары с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 32 теннисиста, среди которых 8 участников из России, в том числе Дарья Иванова. Найдите вероятность того, что Дарья Иванова будет играть с какой-либо теннисисткой из России. Результат округлите до сотых.
87. В группе 30 человек, среди них два брата. Группу случайным образом делят на две команды по 15 человек в каждой. Найдите вероятность того, что братья окажутся в одной команде. Результат округлите до сотых.
88. В группе туристов 10 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые останутся дежурить в лагере. Турист М. хотел бы остаться в лагере, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что М. останется дежурить?
89. Чтобы поступить в университет, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому сдаваемому предмету. На специальность «Информатика» необходимо сдавать русский язык, математику и информатику, а на специальность «Робототехника» — русский язык, математику и физику. Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 75 баллов по русскому языку, равна 0,7, по математике — 0,5, по информатике — 0,6 и по физике — 0,4. Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
90. Робин Гуд подошёл к столу, на котором лежали 3 его старых лука и 2 новых. Он решил сбить стрелой яблоко с дерева. Робин попадает в цель из своего старого лука с вероятностью 0,8, а из нового — с вероятностью 0,3. Робин случайным образом выбирает один лук. Найдите вероятность того, что он промахнётся при стрельбе.
91. Автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,5, а при каждом последующем — 0,8. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
92. Два завода выпускают одинаковые подшипники. Первый завод выпускает 38% всех подшипников, второй — 62%. При проверке оказалось,


26
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
что 2% продукции первого завода и 2,5% второго имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно купленный подшипник окажется бракованным.
93. Предприниматель закупает для продажи на рынке куриные яйца в двух хозяйствах. 50% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 40% яиц высшей категории. При продаже яиц на рынке оказалось, что всего получилось 42% яиц высшей категории. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у предпринимателя, окажется из второго хозяйства.
94. На фабрике 8% произведённых сумок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 85% сумок с дефектом. Остальные сумки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке сумка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.
95. В стране М. бывает два типа погоды: дождливая и солнечная, причём погода, установившаяся утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,7 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня, 3 мая, погода в стране солнечная. Найдите вероятность того, что 5 мая в стране будет дождливая погода.
96. Всем пациентам с подозрением на болезнь делают анализ крови. Если анализ выявляет болезнь, то результат анализа называется положительным. У больных анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,95. Если пациент не болен, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 6% пациентов, поступающих с подозрением на заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.
97. Мышь забегает в лабиринт в точке А. Развернуться и бежать назад мышь не может, поэтому на каждом разветвлении мышь выбирает один из путей, по которому она побежит. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью мышь выбежит в точке Б (см. рис. 28).
А
Рис. 28


Прототипы заданий с кратким ответом
27
Прототип задания 5
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
109. Зх+4 = 0,375-8Х+4.
110. log 1 (13 + х) = —2.
Ill* l°g4-x4 = 2.
112. loggS2*-1 =2.
113. log7(x + 5) = log7(5x — 3).
114. logn(3-a;) = 21ogn 2.
115. log2(15 4- x) = log2(3:r — 1) + 3.
116. 21oS4(*+3) = l.
Найдите корни уравнения. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
7г(х + 2) _ у/2
98. 	-%х = 2%. 7 7
101. (х + 7)2 = 28х.
103. (2х + З)3 = —64.
104. ■§/5Тх = 2.
106. \/х + 12 = х.
107.
= 81.
108. 	325х-11
2'


28
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
119. Найдите корни уравнения sin— = —0,5. В ответе напишите наи-
о
меньший положительный корень.
Прототип задания 6
120. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 32, sin Б = 0,5. Найдите АС.
121. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 50, cos В — Най-
2о
дате АС.
122. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 20, tg В = |. Найдите
о
ВС.
123. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 14, sin А = 0,5. Найдите ВН.
124. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, АВ = 26, tg В = 5. Найдите АН.
125. В треугольнике ABC АС = ВС = 6,5, sin Л = Щ. Найдите АВ.
LO
126. В треугольнике ABC АС = ВС = 13, tg А = 2,4. Найдите АВ.
127. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, АС = 14, АН = 7. Найдите sin В.
128. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 26, ВН = 24. Найдите 13 cos Л.
129. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 26, ВН = 24. Найдите tg А.
130. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, ВН = 5,4, sin А — 0,6. Найдите АВ.
131. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 56. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
132. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 7 и 10v/3, а угол между ними равен 60°.
133. Площадь треугольника равна 72, две его стороны равны 9 и 24. Найдите большую высоту этого треугольника.
134. Площадь ромба равна 22,5. Одна из его диагоналей в 5 раз меньше другой. Найдите большую диагональ.


Прототипы заданий с кратким ответом
29
135. Около окружности, радиус которой равен 8, описан многоугольник, периметр которого равен 73. Найдите его площадь.
136. В тупоугольном треугольнике ABC АС = ВС = 16, угол С равен 150° (см. рис. 29). Найдите высоту АН.
137. Найдите высоту ромба, сторона которого равна 6л/2, а острый угол равен 45°.
138. Найдите угол между биссектрисами углов трапеции, прилежащих к одной из боковых сторон. Ответ дайте в градусах.
139. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 9 (см. рис. 30). Найдите его большую сторону.
140. 	Основания трапеции ABCD равны 6 и 9 (см. рис. 31). Найдите отрезок EF, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Я
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
141. 	Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет \ окружности. Ответ дайте в градусах.
о


30
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
142. Угол В четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 67°. Найдите угол D этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
143. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол BCD равен 108°, угол ABD равен 77° (см. рис. 32). Найдите угол АС В. Ответ дайте в градусах.
144. 	Хорда АВ стягивает дугу окружности в 108°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В (см. рис. 33). Ответ дайте в градусах.
Рис. 33
145. Сторона правильного треугольника равна 8\/3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
146. Сторона правильного треугольника равна 8\/3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
147. Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.


Прототипы заданий с кратким ответом
31
148. 	Периметры двух подобных многоугольников относятся как 4 : 7. Площадь большего многоугольника равна 171,5. Найдите площадь меньшего многоугольника (см. рис. 34).
d
149. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 10 и 24. Найдите длину вектора СО — ОВ.
150. Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка К — середина стороны ВС. Найдите площадь трапеции AKCD.
151. Периметр прямоугольника равен 28, а площадь равна 48. Найдите диагональ этого прямоугольника.
152. Найдите отношение площади квадрата, вписанного в окружность, радиус которой равен \/7, к площади квадрата, описанного около этой окружности (см. рис. 35).


32
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
153. Длина дуги сектора круга равна 9. Найдите площадь этого сектора, если радиус круга равен 3.
154. Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями 2х + Ьу = 4 и х -I- 2у = 1.
155. Диагональ BD разделила прямоугольник ABCD на два треугольника. Найдите меньший угол между биссектрисами острых углов треугольника BCD (см. рис. 36). Ответ дайте в градусах.
Рис. 36. Рис. 37.
156. В треугольнике ABC угол А равен 37°, угол С равен 85°, В К — биссектриса внешнего угла при вершине В, точка К лежит на прямой АС. На продолжении стороны АВ за точкой В выбрана такая точка М, что СВ = ВМ (см. рис. 37). Найдите угол С КМ. Ответ дайте в градусах.
157. Основания трапеции равны 9 и 17. Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ BD (см. рис. 38).


Прототипы заданий с кратким ответом
33
158. 	Диагонали четырёхугольника равны 11 и 16. Найдите периметр четырёхугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника (см. рис. 39).
159. 	Прямая, проведённая параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 7, отсекает треугольник, периметр которого равен 28 (см. рис. 40). Найдите периметр трапеции.
160. Дана окружность, радиус которой равен 23. Градусная мера вписанного в эту окружность угла равна 30°. Найдите длину хорды, на которую опирается этот угол.
161. Периметр правильного шестиугольника равен 15. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
162. Сторона правильного треугольника равна 6>/3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
163. В трапецию, периметр которой равен 76, вписана окружность. Найдите среднюю линию трапеции.
Прототип задания 7
164. Прямая у = 12х + 49 является касательной к графику функции у = 2х3 — Зж2 — 24х + 5. Найдите абсциссу точки касания.
Рис. 39
Рис. 40
З.Зак. № 121


34
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
165. 	На рисунке изображён график функции у = д(х)1 определённой на интервале (—3;7) (см. рис. 41). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
У‘
i
m 1
y=g(x)
1
Л
/
1
J
г
<
i
1
\
0
1 \
7
X
1
Рис. 41
166. 	На рисунке изображён график функции у = д(х), определённой на интервале (-7; 1) (см. рис. 42). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = —34 или совпадает с ней.
7^
гт гт
V У=я(х,
У11
)
-j--
п
тт
-'г-
--t
у-
п
►
— /
Л-
л
-с
X
Рис. 42
167. 	На рисунке 43 изображён график у = р'(х) — производной функции р(х), определённой на интервале (-3; 7). В какой точке отрезка [3; 6] функция р(х) принимает наименьшее значение?
У
1
( ITT 1
У=Р(х)
\
N
/
<
Г
1
/
0
л
/'
X
ч
У
Рис. 43
з*


Прототипы заданий с кратким ответом
35
168. 	На рисунке 44 изображён график у = h'(x) — производной функции h(x), определённой на интервале (—7;3). Найдите количество точек минимума функции h(x), принадлежащих отрезку [—4; 2].
У
к
/
\
/
\
Л
/
Г
/
/
0
h
X
/
/
/
\
f
/.
у — п(х)
Рис. 44
169. 	На рисунке 45 изображён график у = h'(x) — производной функции h(x)y определённой на интервале (—7;3). Найдите промежутки возрастания функции h(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Рис. 45
170. 	На рисунке 46 изображён график у = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (—3; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Рис. 46
4. Зак. № 121


36
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
171. 	На рисунке 47 изображён график у — s'(x) — производной функции s(x), определённой на интервале (—7; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции s(x) параллельна прямой у = -1, 5х — 1 или совпадает с ней.
Рис. 47
172. 	На рисунке 48 изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке xq.
Рис. 48
173. Прямая у == — Ъх 4- 1 является касательной к графику функции у — ах2 + Зх -f 9. Найдите а.
174. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(£) = 5£3 — 219£ + 10, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 4.
175. Материальная точка движется прямолинейно по закону х(£) = 5£2 - 201 + 11, где х — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите момент времени t (в секундах), когда скорость материальной точки стала равной 5 м/с.


Прототипы заданий с кратким ответом
37
176. 	На рисунке 49 изображён график функции у = t(x) и шесть точек на оси абсцисс: х\, х^,..., xq. В скольких из этих точек производная функции t(x) отрицательна?
У‘
У
/|
А
/
У
' 1 1
Л
|\
х4
Г
V
*5
*6
г
*1
*2
*3
V
: 1
/
0
\
1
1
к, I
1
1
X
\
1
1
1
/
\
Ч
г
У
...... j
= t(xj
1 1 .. .1 J
Рис. 49
177. 	На рисунке 50 изображён график у = д'{х) — производной функции д(х) и шесть точек на оси абсцисс: хь Х2,..., £б- В скольких из этих точек функция д(х) возрастает?
Рис. 50
178. 	На рисунке 51 изображён график функции у = h(x) и отмечены точки -4, —1, 2, 5. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
У
к
■■ 1 1 "Г"
— U /v \
У "
1
1 J
/
М
>1
Ч
4t
/
/
0
X
\,
г
Рис. 51


38
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
179. 	На рисунке 52 изображён график функции у = F(x) — одной из первообразных некоторой функции /(х), определённой на интервале (—3; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = О на отрезке [-0,5; 3].
L
г
i
\
1
Л
J
\
{\
1
/
\
-4
\°
1
\7
X
\
f\
к/
^y = F(x)
1 1 1 1
Рис. 52
180. 	На рисунке 53 изображена ломаная линия — график некоторой функции у = д(х). Пользуясь рисунком, вычислите G(6) - G(—2), где G(x) — одна из первообразных функции д(х).
У
1
\
/
/
У
= g(*)\
/
/
1
\
/
Г
1
\
/
1
2
0
6
X
1
|
I
Рис. 53
181. 	На рисунке 54 изображён график некоторой функции у = s(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры, если одна из первообразных
г3
функции s(x) имеет вид S(x) — — + х2 + Зх - 1.
о


Прототипы заданий с кратким ответом
39
Прототип задания 8
182. 	Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 55 (все двугранные углы прямые).
7
183. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке 55 (все двугранные углы прямые).
184. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, Д А\, Bi прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiC\Di, у которого АВ = 7, AD = 4, АА\ = 6.
185. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и В многогранника, изображённого на рисунке 55. Все двугранные углы многогранника прямые.
186. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\BiC\DiEiFi все рёбра равны И. Найдите расстояние между точками А и С\.
187. Прямоугольный параллелепипедописан около цилиндра, радиус основания которого равен 6. Объём параллелепипеда равен 720. Найдите высоту цилиндра.
188. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы, радиус которой равен 3. Найдите его объём.
189. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 15 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза меньше, чем у первого? Ответ выразите в см.
190. Объём конуса равен 54. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.
3
Рис. 55


40
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
191. Объём первого цилиндра равен 36. У второго цилиндра высота в девять раз меньше, а радиус основания в пять раз больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
192. Площадь поверхности куба равна 72. Найдите его диагональ.
193. Объём куба равен 216. Найдите площадь его поверхности.
194. Радиус основания цилиндра равен 5, высота равна 8. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, делённую на 7г.
195. Площадь большого круга шара равна 7. Найдите площадь поверхности шара.
196. Если каждое ребро куба увеличить на 3, то его площадь поверхности увеличится на 126. Найдите ребро куба.
197. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 24 и 10, и боковым ребром, равным 4.
198. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности шара, если радиус шара уменьшить в 7 раз?
199. В цилиндрический сосуд, в котором находится 9 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,8 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в литрах.
200. Если каждое ребро куба уменьшить на 1, то его объём уменьшится на 37. Найдите ребро куба.
201. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 34. Точка Е — середина ребра SB. Найдите объём тела, полученного после отсечения треугольной пирамиды ЕАВС от пирамиды SABCD (см. рис. 56).
S
Рис. 56


Прототипы заданий с кратким ответом
41
202. 	Объём куба равен 72. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба (см. рис. 57).
203. 	Объём тетраэдра равен 4. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра (см. рис. 58).
204. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно \/39, а сторона основания равна 6. Найдите объём пирамиды.
205. Цилиндр описан около шара. Объём цилиндра равен 12. Найдите объём шара.
206. Конус вписан в цилиндр. Объём конуса равен 1,5. Найдите объём цилиндра.
207. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призмы равна 60. Найдите высоту цилиндра.
208. Длина окружности основания цилиндра равна 7. Площадь боковой поверхности равна 29,4. Найдите высоту цилиндра.
209. В кубе ABCDAiBiCiDi найдите угол между прямыми АВ и В\С. Ответ дайте в градусах.
Рис. 57
Рис. 58


42
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
210. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все рёбра которой равны 17, найдите угол между прямыми ВВ\ и АС\. Ответ дайте в градусах.
211. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\BiC\DiEiFi все рёбра равны 23. Найдите тангенс угла AD\D.
Прототип задания 9
Найдите значение выражения.
213. \Лб02 - 962.
218. М.
Уп
2 19
220.45 .0,55 -85.
9
224.13р - a + 10, если 3q * jg ? = 4-
a — 2р Н-1
225. Зр(х -I- 4) — р(Зх), если р(х) — х + 1.


Прототипы заданий с кратким ответом
43
227. и при a > 0.
228. J" ^ _ Ъ/В. — 2a + 11 при о = 5.
у/a а
229 25_v^ • ® ^
230. 3-7Iog7n.
231.81log35.
232. Iog0>i25 8.
233. log2 + log0,25 32.
234. log0,36 5 ~ l°go,36 3*
235.1log6117_.
1°6зв
236. log12 ^lF.
237 1^>°-4+Sf
238. loggg 7 • logy 0,36.
239.92+1°8e2.
240. log2 log3 81.
241. loga(a362), если logb a = |.
242. (l5l0^9)l0g9?.
15 sin 23° cos 23°
sin 46° .2,
011 3(sin 51° — cos2 51°) cos 102°
245 18 sin 23°
246.-
sin 337° ‘ 14 sin 86°
sin 43° sin 47° ’
247. —8v^3 sin(—420°).
248. 14
. / 33тг\ / 35тг\


44
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
4 sin(/? — 57г) + 3 cos f ^ + /з)
249 ■ ' •
5sin(p + 7Г)
250.4 cos(x — 37г) — 7 sin(0,57r + х), если cosx = 0,3. 251. tg2 /3, если 7sin2 /3 -f 9cos2 /3 = 8.
252 4щ§±^ов£ f = 2
5 sin p - 8 cos p
253 3»in^+ 15c^-8 —5.
sm/3 + 5cos/3 + 2
254. tg А если 38m^-7^-3 _ 1
2sin/3 + 6cos/3 — 12 4
255. л/2 - V8cos2
О
256. v^sin2 Ц--у/2.
О
257. Найдите tg /3, если sin /3 = — -^= и /3 G •
Прототип задания 10
258. При температуре 0°С рельс имеет длину Iq = 5 м. При возрастании температуры длина рельса (в метрах) меняется по закону l(t°) = /0(1 + at°)> где a = 1,2 • 10“5 (°С) — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 1,5 мм? Ответ запишите в градусах Цельсия.
259. Объём спроса q (единиц в месяц) на продукцию зависит от цены р (тыс. руб.) и задаётся формулой q = 100 — 10 р. Выручка предприятия за месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = qp. Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 160 тыс. руб. Ответ запишите в тыс. руб.
260. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h{t) — — 2 + 17t - 5£2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?


Прототипы заданий с кратким ответом
45
261. В боковой стенке бака установлен кран. Если вода начинает вытекать из бака, то высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = Но - (2gHo) °’5Atf + 0,5gk2t2, где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, Я0 = 5 м — начальная высота
столба воды, коэффициент к = ^г,а^ — ускорение свободного падения
ои
(считайте д = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется 0,04 первоначального объёма воды?
262. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой т) = (Ti - Т2) : Ti • 100%, где Ti — температура нагревателя (в градусах Кельвина), Тг — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Ti КПД этого двигателя будет не меньше 16%, если температура холодильника Т2 = 399 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
263. Уравнение физического процесса записывается в виде pVa — const, где р (Па) — давление в газе, V — объём газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 4 раза объёма приводит к увеличению давления не менее, чем в 16 раз?
264. Агентство определяет рейтинг R новостных изданий по формуле 3 Tn -j- 2От) 4- 4Тг
R — л. т на основе показателей: информативность In, опе¬
ративность Ор и объективность Тг публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от —3 до 3. Каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 6,75?
265. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием / = 25 см. Расстояние di от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 27 до 33 см, а расстояние с?2 от линзы до экрана — в пределах от 100 до 150 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено
соотношение 4- + 4- = 4* Укажите, на каком наименьшем расстоянии
d\ a2 f
от линзы можно поместить экран, чтобы изображение лампочки на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.


46
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
Прототип задания 11
266. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 54 км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на 7,5 км/ч большую скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
267. Катер прошёл против течения реки 120 км и вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 1 час меньше. Найдите скорость катера в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
268. Рабочий с учеником, работая вместе, могут выполнить задание за 3 дня. За сколько дней, работая отдельно, может это задание выполнить ученик, если он за три дня выполняет такую же часть работы, какую рабочий — за один день?
269. В период акции продукт М подешевел на некоторое число процентов, а по окончании — подорожал на то же самое число процентов. В результате продукт М стал стоить на 0,25% дешевле, чем он стоил до акции. На сколько процентов подорожал продукт М после акции?
270. Четыре рубашки дороже куртки на 12%. На сколько процентов три рубашки дешевле куртки?
271. Три брата решили купить новый телевизор и положили в копилку некоторые суммы денег. Если бы первый положил в копилку сумму в 1,5 раза больше, то сумма в копилке увеличилась бы на 19%. Если бы третий брат уменьшил свой вклад в 5 раз, то сумма в копилке сократилась бы на 20%. Сколько процентов от общего вклада составляет сумма, вложенная вторым братом?
272. В сосуд, содержащий 8 литров 35%-ного водного раствора некоторого вещества, добавили 12 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
273. Вишня содержит 89% влаги, а высушенная вишня — 12%. Сколько килограммов вишни требуется для получения 15 килограммов высушенной?
274. Имеется два сплава. Первый содержит 12% меди, второй — 21% меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 19,2% меди. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?


Прототипы заданий с кратким ответом
47
275. Имеется два сосуда. Первый содержит 5 кг, а второй — 15 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 21% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
276. Бригада каменщиков выкладывает забор длиной 280 метров, ежедневно увеличивая норму кладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада выложила 70 метров забора. Определите, за сколько дней бригада каменщиков выложила весь забор.
277. Расстояние между городами А и В равно 175 км. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 20 минут следом за ним со скоростью 100 км/ч выехал мотоцикл, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в городА, автомобиль прибыл в город В. Найдите расстояние от А до С. Ответ дайте в километрах.
278. Два болида стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 19,5 км. Через сколько минут болиды поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 13 км/ч больше скорости другого?
279. Часы со стрелками показывают 19 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой стрелкой?
280. Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 90 км/ч, а последнюю — со скоростью 72 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
281. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 72 км/ч, проезжает мимо семафора за 40 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
282. Первая труба наполняет резервуар на 15 минут дольше, чем вторая. Обе трубы вместе могут наполнить этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна первая труба?
Прототип задания 12
283. Найдите точку максимума функции у = х3 4- Зх2 — 5.
х3
284. Найдите наибольшее значение функции у = 3 — х -f — на отрез-
о
ке [0; 3].
з
285. Найдите точку минимума функции у = х 2 - 6х — 1.
286. Найдите точку минимума функции у = ху/х — 6х + 7.


48
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2021. Профильный уровень
287. Найдите точку минимума функции у = - 4- х — 4.
х
2 I 101
288. Найдите точку максимума функции у = — .
х
289. Найдите точку максимума функции у — (х + 2)2(ж — 1) 4- 6.
290. Найдите точку максимума функции у = у/Ь + 6х — х2.
291. Найдите наибольшее значение функции у = log12(—4 — 8х — х2) — 5.
292. Найдите точку минимума функции у = 8х2_4х_1.
24
293. Найдите наименьшее значение функции у = 13 + 6 cos х Н х на от-
7Г
резке [-у;°].
294. Найдите наименьшее значение функции у = 6х — 1 — б tg х на отрезке
[-54
295. Найдите наименьшее значение функции у = 5х—1п(х+3)5 на отрезке [-2,5; 0].
296. Найдите наименьшее значение функции у = е2х — 6ех + 7 на отрезке [1;2].
297. Найдите наименьшее значение функции у = (х — 4)ех 3 на отрезке [2; 4].
298. Найдите точку максимума функции у = 1 + (2х — 3) cosx — 2 sin х на промежутке ^0;
299. Найдите точку максимума функции у = —2 • -■ ■ ■.
х “I- 121


Инструкция по выполнению работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий с кратким ответом базового уровня сложности. Часть 2 содержит 4 задания с кратким ответом повышенного и высокого уровней сложности, 7 заданий с развёрнутым ответом повышенного и высокого уровней сложности.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1—12 записываются в бланк ответа №1 в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите их в бланк ответов № 1.
При выполнении заданий 13—19 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2.
Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.
При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике, а также в тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при оценивании работы. После завершения работы проверьте, чтобы ответ на каждое задание в бланках ответов № 1 и №2 был записан под правильным номером.
Баллы, полученные вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов.
Желаем успеха!
Справочные материалы
sin2 а + cos2 а = 1 sin 2а = 2 sin а • cos а cos 2а = cos2 а — sin2 а sin(a + /3) = sin а • cos /3 + cos а • sin /3 cos(a + /3) = cos a • cos /3 — sin a • sin (3


Тренировочные варианты
Вариант № 1
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Показания счётчика электроэнергии 1 сентября составляли 67132 киловатт-часа, а 1 октября — 67 302 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за сентябрь, если 1 киловатт-час электроэнергии стоит 5 рублей 47 копеек?
2. На графике (см. рис. 1) изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, по вертикальной оси — крутящий момент в Нм. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо можно вычислить по формуле v = 0,065п, где п — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 80 Н-м? Ответ дайте в км/ч.
200
100
20
/
Ч
ф
\
S
*
г
/ -
>
Л
1000
3000 Рис. 1
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён угол (см. рис. 2, с. 51). Найдите тангенс этого угла.
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9. Ответ округлите до сотых.


Вариант № 1
51
Рис. 2
5. Найдите корень уравнения х2+4х—77 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите меньший из корней.
6. Одна сторона треугольника равна 3\/3, радиус описанной окружности равен 3 (см. рис. 3). Найдите острый угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
7. 	На рисунке 4 изображён график функции у = /(х), определённой на интервале (—4; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Рис. 4
8. 	Шар, объём которого равен 84, вписан в цилиндр (см. рис. 5, с. 52). Найдите объём цилиндра.


52
Тренировочные варианты
Рис. 5 Часть 2
9. Найдите значение выражения З0,64 • 90,18.
10. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = где U — напряже-
Н
ние в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 5,5 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
11. Во дворе Николая Павловича расположен бассейн, подача воды обеспечивается двумя насосами. Один из них, работая самостоятельно, наполняет бассейн за 30 мин, а другой — за 20 мин. За сколько минут оба насоса наполнят бассейн, работая одновременно?
12. Найдите наименьшее значение функции у = \/х2 — 8х + 20.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 2 cos2 ух —= \/3sm(7r — 2х).
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку —47rj.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания АВ равна 7, а боковое ребро РВ равно 6. На рёбрах CD и PC взяты соответственно точки М и К, при этом DM = 2; РК = 1.
а) 	Докажите, что плоскость ВМК перпендикулярна плоскости ABC.


Вариант № 1
53
б) Найдите объём пирамиды К ВС М.
15. Решите неравенство log7(9 — х) + log7 ~ > l°g7(~ - х + 8^.
16. На сторонах PQ, QM и РМ треугольника PQM взяты соответственно точки К, L и N, при этом РК : KQ = 21 : 10, QL : LM = 2 : 3, PN : NM = 2:5. Отрезки МК и NQ пересекаются в точке А.
а) Докажите, что PALN — параллелограмм.
б) Найдите AM, если QM = 15, РМ = 28 и прямая РА перпендикулярна прямой QM.
17. В августе 2023-го года Виталий Андреевич планирует взять кредит в банке в размере S тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению со своим значением в конце предыдущего года;
— с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;
— в августе 2024,2025 и 2026-го года долг должен оставаться S тысяч рублей;
— выплаты в 2027 и 2028-м годах должны составлять по 275 тысяч рублей;
— к августу 2028-го года долг должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
18. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений f l°g0j5(36 - у2) = log0 5(36 “ a2x2),
\ х2 + у2 = 4х - 6у имеет ровно два решения.
19. Костя написал на листе бумаги три столбца с натуральными числами. Все записанные числа различны, и в каждом столбце есть хотя бы одно число. Костина сестра приписала к каждому числу из первого столбца справа цифру 2, а каждому числу из второго столбца — цифру 5. Числа из третьего столбца не изменялись.
а) Могла ли сумма всех выписанных чисел увеличиться в 5 раз?
б) Могла ли сумма всех выписанных чисел увеличиться в 15 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех выписанных чисел?


54
Тренировочные варианты
Вариант № 2
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика 1 июня составляли 132 куб. м воды, а 1 июля — 148 куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную воду за июнь, если стоимость 1 куб. м холодной воды составляет 42 руб. 30 коп.?
2. На графике (см. рис. 6) изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, по вертикальной оси — крутящий момент в Н-м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо можно вычислить по формуле v = 0,044п, где п — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 120 Н-м? Ответ дайте в км/ч.
н%
18а
юо
2а
у
Г
~4-
\
ч
+—
✓
Рис. 6
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла (см. рис. 7).
Рис. 7


Вариант М2
55
4. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. Ответ округлите до сотых.
5. Найдите корень уравнения х2—8х—65 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите меньший из корней.
6. Одна сторона треугольника равна 5\/2, радиус описанной окружности равен 5 (см. рис. 8). Найдите тупой угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.
7. 	На рисунке 9 изображён график функции у = /(х), определённой на интервале (—2; 9). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
1
у=Л
1 .
*)
J
>
/
Л
'—/
/
Г
1
\
/
1
\
/
-2~
0
1
\
/
(
) X
1
f
Рис. 9
8. Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр (см. рис. 10, с. 56). Найдите объём цилиндра.
Часть 2
9. Найдите значение выражения 70,5 • 490,25.


56
Тренировочные варианты
/ I \
/ I ' ( ■•••*„
Рис. 10
10. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: I = где U — напряжена
ние в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 8 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.
11. Работая самостоятельно, швея может выполнить театральный заказ за 24 рабочих дня. Вместе с напарницей они могут выполнить этот заказ за 15 рабочих дней. За сколько рабочих дней может выполнить этот заказ напарница, работая самостоятельно?
12. Найдите наибольшее значение функции у = у/7 — 6х — х2.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение cos2 (х + ) = - sin(2x + 7г).
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку —37rj.
14. В правильной четырёхугольной пирамиде QKLMN сторона основания KL равна 8, а боковое ребро QK равно 10. На ребре QM взята точка Р, а на ребре MN — точка Т, при этом NT = 6 и плоскость LTP перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что МР равно 4.
б) Найдите объём многогранника PKLTN.


Вариант № 2
57
15. Решите неравенство log0 3(2 — х) + log0 3 ^ ^ log0 — 6х 4- 3^.
16. На сторонах KL, LM и КМ треугольника KLM взяты соответственно точки Р, Т и Q, при этом IfP,: PL = 24 : 5, LT : ТМ = 1:4, MQ : Q# = 5:1. Отрезки MP и LQ пересекаются в точке N.
а) Докажите, что KNTQ — параллелограмм.
б) Найдите NM, если LM = 15, = 24 и прямая ifiV перпендику¬
лярна прямой LM.
17. В сентябре 2024-го года Алексей Дмитриевич планирует взять кредит в банке в размере S тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению со своим значением в конце предыдущего года;
— с февраля по август необходимо выплатить часть долга;
— в сентябре 2025 и 2026-го года долг должен оставаться S тысяч рублей;
— выплаты в 2027, 2028 и 2029-м годах должны составлять по 432 тысячи рублей;
— к сентябрю 2029-го года долг должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат за 5 лет.
18. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
/ l°g1O(100 - X2) = log10(100 - <zV),
\ х2 + у2 = 10ж + 8у имеет ровно два решения.
19. Вика написала на листе бумаги три столбца с натуральными числами. Все записанные числа различны, и в каждом столбце есть хотя бы одно число. Викин брат приписал к каждому числу из первого столбца справа цифру 1, а каждому числу из второго столбца — цифру 7. Числа из третьего столбца не изменялись.
а) Могла ли сумма всех выписанных чисел увеличиться в 6 раз?
б) Могла ли сумма всех выписанных чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех выписанных чисел?


58
Тренировочные варианты
Вариант № 3
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Диагональ экрана телевизора равна 43 дюйма. Выразите диагональ экрана в сантиметрах. Считайте, что 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа.
2. На рисунке 11 показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 14 апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
кг
8—
6—
Д.
ч
2—
<Г“
" N
0- — 8- —
1
/
А-
S
/ —
S
^
& — Л.
"7
чг
2---
г
00 06 12 18 00 06 12 18 00 06 12 18 00 13 апреля 14 апреля 15 апреля
Рис. 11
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён угол (см. рис. 12). Найдите тангенс этого угла.
-~?L
(
7
L
Рис. 12
4. 	В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.


Вариант № 3
59
5. Найдите корень уравнения
Их
1. 	Если уравнение имеет более
2х2 +15
одного корня, то в ответе запишите больший из корней.
6. 	В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 9, sin В = | (см. рис. 13). Найдите АС.
Рис. 13
7. 	На рисунке 14 изображён график функции у = /(х), определённой на интервале (—7; 4). Найдите количество точек, в которых касательная к графику у = /(х) параллельна прямой у = 11.
8. 	Шар, объём которого равен 127т, вписан в куб (см. рис. 15, с. 60). Найдите объём куба.
9. 	Найдите значение выражения
Часть 2
57,8
252,9
10. 	На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на большие глубины. Конструкция имеет форму бочки (цилиндра), и значит,


60
!
Тренировочные варианты
сила Архимеда, действующая на аппарат, будет определяться формулой Fa = Р • 9 * тг • R2 • I, где R — радиус основания цилиндра, I = 2 м, р — 1000 кг/м3 — плотность воды, а д = 10 Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите, каким должен быть максимальный радиус (в метрах) основания бочки (цилиндра), чтобы обеспечивать эксплуатацию аппарата в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не должна превосходить 1004800 Н (считать n « 3,14).
11. Первая труба пропускает в минуту на 2 л воды больше, чем вторая. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 360 л она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объёмом 180 л? Известно, что первая труба пропускает больше 5 л в минуту.
12. Найдите точку максимума у = 138х-ж .
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 1 + \/2 • sin^ — + cos 2х = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку |з7г; —L .
14. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. На стороне AF основания выбрана точка М так, что 2AM = MF. Через точки М uD проведена плоскость, перпендикулярная плоскости основания. Ребро SE пересекает эту плоскость в точке К.
а) Докажите, что КМ = KD.
б) Найдите объём пирамиды KADEF, если АВ = 6, SA = 12.
15. Решите неравенство log^e—х)2 ^ x2*log2(x —5)2-f я-log i (5-х).
72


Вариант № 3
61
16. Через точки А и В равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с прямым углом А провели окружность с центром О так, что эта окружность пересекает отрезок АС в точке D. Через точки Aw С провели ещё одну окружность так, что её центр Р лежит на прямой АО. Пусть Е — точка пересечения этой окружности с прямой АВ.
а) Докажите, что прямая BD параллельна прямой СЕ.
б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны соответственно 6
и 8.
17. Гражданин РФ хочет взять потребительский кредит на 3 года в августе 2020 года. Банк ему предлагает следующие условия:
— в январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с предыдущим годом;
— с февраля по июль нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, какую сумму кредита хочет взять гражданин в банке, если
известно, что кредит должен быть выплачен тремя равными платежами и общая сумма выплат превысит сумму взятого кредита на 386 ООО рублей.
18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений Г log7(x2 - а2) - log7(y2 - а2) = 0,
\ х2 + у2 — 2ж 4" 4у = 0 имеет ровно 1 решение.
19. Ученик составляет из пятёрок числа и находит их всевозможные суммы. Если бы у него было п = 4 пятёрки, например, то всевозможных сумм было бы пять:
51 = 54-5 + 5-1-5 = 20;
52 — 55 + 5 + 5 = 65;
53 = 55 + 55 = 110;
54 = 555 + 5 = 560;
55 = 5555.
а) Может ли одна из сумм S быть равной 1000, если п = 20?
б) Может ли одна из сумм S быть равной 1000, если п = 30?
в) Укажите все п, для каждого из которых одна из сумм S равна 1000, если одно из слагаемых равно 555.


62
Тренировочные варианты
Вариант «№ 4
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Система навигации самолёта информирует пассажира о том, что полёт проходит на высоте 34 ООО футов. Выразите высоту полёта в метрах. Считайте, что 1 фут равен 30,5 см.
2. На рисунке 16 показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 2 февраля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
О
-1- -2- -3- -4- -5- -6- -7- -8- -9- -10- -11- -12- -13- -14
00 06 12 18 00 06 12 18 00 06 12 18 00 1 февраля 2 февраля 3 февраля
Рис. 16
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён угол (см. рис. 17). Найдите тангенс этого угла.
Рис. 17


Вариант № 4
63
4. 	В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
17х
5. Найдите корень уравнения
= 1. Если уравнение имеет более
За;2 + Ю
одного корня, то в ответе запишите больший из корней.
6. 	В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 13, sin Л = ^ (см. рис. 18). Найдите АС.
Рис. 18
7. 	На рисунке 19 изображён график функции у = /(ж), определённой на интервале (-5; 12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику у = f(x) параллельна прямой у = 5.
8. 	Шар, объём которого равен 237т, вписан в куб (см. рис. 20, с. 64). Найдите объём куба.
9. 	Найдите значение выражения
Часть 2
45,6
2^*


64
Тренировочные варианты
Рис. 20
10. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на большие глубины. Конструкция имеет форму бочки (цилиндра), и значит, сила Архимеда, действующая на аппарат, будет определяться формулой Fa = р - д • п • г2 • I, где г — радиус основания цилиндра, / = 1,5 м, р = 1000 кг/м3 — плотность воды, а д = 10 Н/кг — ускорение свободного падения. Найдите, каким должен быть максимальный радиус (в метрах) основания бочки (цилиндра), чтобы обеспечивать эксплуатацию аппарата в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не должна превосходить 188400 Н (считать 7г « 3,14).
11. Первый рабочий изготавливает в час на 3 детали больше второго, и заказ в 330 деталей он изготавливает на 5 часов 30 минут быстрее второго. Сколько деталей в час изготавливает второй рабочий?
12. Найдите точку минимума функции у = 11х +5х+14.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение cos(^ + — cos2x -1-1=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Г57Г 117г1
L 4 ’ 4 J*
14. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной 5, стороной основания 12 и боковым ребром 24. На ребре SC выбрали точку К, отстоящую от вершины S на расстояние, равное 6. Через точки К и D перпендикулярно основанию пирамиды проведена плоскость а.
а) Докажите, что линия пересечения плоскости а с плоскостью основания пересекает отрезок АВ в его середине.
б) Найдите объём пирамиды KABCD.


Вариант № 4
65
15. Решите неравенство — - ^ о.
log2(*-3)2
16. Окружность с центром О касается в точке А внутренним образом окружности с центром Р. Диаметр BD меньшей окружности параллелен диаметру ЕС большей окружности, причём точки В и Е лежат по одну сторону от линии центров окружностей.
а) Докажите, что точки О, Du В лежат соответственно на прямых АР, АС и АЕ.
б) Найдите AD, если АЕ больше чем AD в 2 раза, а радиусы окружностей равны соответственно 3 и 8.
17. Гражданин РФ взял в банке потребительский кредит на 3 года в августе 2017 года. В январе каждого года долг увеличивался на 25% по сравнению с предыдущим годом. В июле каждого года он выплачивал часть долга одним платежом. Известно, что кредит был полностью выплачен тремя равными платежами (за 3 года). Определите размер ежегодного платежа, если известно, что общая сумма выплат на 655 ООО рублей больше суммы взятого кредита.
18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
{5%/а5-х2 _ а2—у2 _ q
х2 + у2 4- 2х — Ау = 0 имеет ровно 2 решения.
19. Ученик составляет из пятёрок числа и находит их всевозможные суммы. Если бы у него было п — 4 пятёрки, например, то всевозможных сумм было бы пять:
S\ = 5 + 5 + 5 + 5 = 20;
52 = 55 + 5 + 5 = 65;
53 = 55 + 55 = 110;
54 = 555 + 5 = 560;
55 = 5555.
а) Может ли одна из сумм S быть равной 1000, если п = 101?
б) Может ли одна из сумм S быть равной 1000, если п = 100?
в) Укажите все трёхзначные п, для каждого из которых одна из сумм S равна 1000.
5. 	Зак. №121


66
Тренировочные варианты
Вариант № 5
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Для приготовления маринада для корнишонов на 1 литр воды требуется 14 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продаётся в пакетиках по 50 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно купить для приготовления 60 литров маринада?
2. На рисунке 21 жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Тюмени с 12 по 25 мая 1912 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпадавших в соответствующей день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые за данный период в Тюмени выпало ровно 4 миллиметра осадков.
Рис. 21
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 22, с. 67). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. При производстве на каждые 1997 качественных медицинских масок приходится 3 с браком. Найдите вероятность того, что случайно выбранная медицинская маска окажется с браком.


Вариант № 5 67
Рис. 22
5. Найдите корень уравнения (2х + 9)2 = (2х — З)2.
6. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС — 16, tg А =
о
(см. рис. 23). Найдите АВ.
7. 	На рисунке 24 изображён график у = f'(x) — производной функции f(x)y определённой на интервале (—6; 5). В какой точке отрезка [—3; 4] функция принимает наибольшее значение?
8. 	В цилиндрический сосуд налили 85 см3 воды. Уровень жидкости ока- зался равным 17 см (см. рис. 25, с. 68). Затем в воду погрузили деталь, при этом уровень воды изменился на 5 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.
6. 	Зак.№ 121


68
Тренировочные варианты
Рис. 25 Часть 2
10. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 35 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрочайник. Каково наименьшее возможное сопротивление (в омах) электрочайника, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Ri и их общее сопротивление задаётся формулой R = ^ , а для нормального функ-
ционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 10,5 Ом?
11. Первые три часа автомобиль ехал со скоростью 81 км/ч, затем два часа — со скоростью 52 км/ч, а затем ещё 3 часа — со скоростью 63 км/ч. Найдите'среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
12. Найдите точку минимума функции у — х3 — 15х2 4- 5.
9. 	Найдите значение выражения
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение sin2 — х^ = sin^^^ -I- х^ • cos^^y^ — х^.
(ЗтГ 7Г1
- —; -J.
14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под


Вариант № 5
69
одним углом. Плоскость а проходит через точку D и середину высоты пирамиды и параллельна прямой АС.
а) Докажите, что плоскость а делит ребро SB в отношении 2 : 1, считая от вершины В.
б) Найдите синус угла между плоскостью а и плоскостью AS С, если угол SAC равен 30°.
15. Решите неравенство 3log^x"'8)2 ^ з91°8б(8-х) . _1_
16. В треугольнике ABC известны стороны АВ = 7, ВС = 10 и АС = 12. Биссектрисы AD и BE пересекаются в точке N.
а) Докажите, что BD : АЕ = 85 : 114.
б) Найдите отношение площадей треугольников ABN и ABC.
17. В июле планируется взять кредит в банке на целое число миллионов рублей на срок 6 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый июнь долг возрастает на 10% по сравнению с началом данного года;
— с июля по декабрь 1 -го, 2-го, 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг равным первоначальному;
— с июля по декабрь 5-го и 6-го годов необходимо выплатить одинаковые суммы так, чтобы весь долг был погашен полностью.
Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет не менее 14 млн рублей.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
Г х2 + у2 = Юх - 2у,
\ 1°8з+з/ (3 + х + а) = 1 имеет ровно два решения.
19. Сорок пять гирек массой 1 г, 2 г,..., 45 г разложили по двум коробкам, в каждой коробке хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов, и все массы различны. Затем из второй коробки переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой коробке увеличилась на 3 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой коробке лежали только гирьки массой 2 г, 5 г, 11 г и 26 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой коробке первоначально равняться 15,2 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой коробке?


70
Тренировочные варианты
Вариант № 6
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Для приготовления абрикосового мармелада на 1 кг абрикосов нужно 1,4 кг сахара. Какое наименьшее количество килограммовых упаковок сахара нужно купить бабушке Тане, чтобы приготовить мармелад из 18 кг абрикосов?
2. На рисунке 26 жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Симбирске с 5 по 26 января 1924 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпадавших в соответствующей день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые за данный период в Симбирске выпало ровно 8 миллиметров осадков.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 27, с. 71). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. При производстве на каждые 2486 качественных медицинских масок приходится 14 с браком. Найдите вероятность того, что случайно выбранная медицинская маска окажется с браком.


Вариант № 6
71
Рис. 27
5. Найдите корень уравнения (2х — 5)2 = (2х + 6)2.
6. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС = б, tg В — | (см. рис. 28). Найдите АВ.
С
7. 	На рисунке 29 изображён график у = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (—7; 8). В какой точке отрезка [—5; 5] функция принимает наибольшее значение?
Рис. 29
8. 	В цилиндрический сосуд налили 96 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 15 см (см. рис. 30, с. 72). Затем в воду погрузили деталь, при этом уровень жидкости поднялся на 6 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.


72
Тренировочные варианты
Рис. 30 Часть 2
9. Найдите значение выражения
10. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 80 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить холодильник. Каково наименьшее возможное сопротивление (в омах) холодильника, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Ri и Д2 их общее сопротивление
Ri • R2
задаётся формулой R
-, а для нормального функционирования
Ri -Ь R21
электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 16 Ом?
11. Первые 180 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, затем 180 км — со скоростью 80 км/ч, а следующие 46 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
12. Найдите точку минимума функции у = х3 — 9х2 + 12.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13.а)Решите уравнение cos2^^-x^ = \/3sin^^|^+a^ -cos^^|^—
б) 	Найдите его корни, принадлежащие промежутку ~^f)'
14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD. Боковые рёбра пирамиды равны. Плоскость а проходит через точку D, параллельна прямой АС и делит высоту пирамиды в отношении 3 : 1, считая от вершины S.


Вариант № 6
73
а) Докажите, что плоскость а делит ребро SB в отношении 2 : 3, считая от вершины В.
б) Найдите синус угла между плоскостью а и плоскостью AS С, если угол SAC равен 45°.
15. Решите неравенство 7log2(5_x)2 • ^ y2iog2(x-5)
16. В треугольнике ABC известны стороны АВ = 6, ВС = И и
1 О
cos /.ABC = Прямые AD и BE пересекаются в точке О, центре
вписанной в треугольник окружности. AD и BE пересекают стороны ВС и АС в точках DylE соответственно.
а) Докажите, что ЕС : DC = 20 : 17.
б) Найдите отношение площадей треугольников ABC и АВО.
17. В июле планируется взять кредит в банке на целое число миллионов рублей на срок 6 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый июнь долг возрастает на 20% по сравнению с началом данного года;
— с июля по декабрь 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг равным первоначальному;
— с июля по декабрь 4-го, 5-го и 6-го годов необходимо выплатить одинаковые суммы так, чтобы весь долг был погашен полностью.
Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет не более 15 млн рублей.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений {?o^4V:0>25(i2 + ^ + i0i)) = 1 имеет ровно два ре-
шения.
19. Шестьдесят шесть гирек массой 1 г, 2 г, ..., 66 г разложили по двум коробкам, в каждой коробке хотя бы одна гирька. Масса каждой гирьки выражается целым числом граммов, и все массы различны. Затем из второй коробки переложили в первую одну гирьку. После этого средняя масса гирек в первой коробке увеличилась на 2 г.
а) Могло ли такое быть, если первоначально в первой коробке лежали только гирьки массой 6 г, 8 г и 25 г?
б) Могла ли средняя масса гирек в первой коробке первоначально равняться 14,7 г?
в) Какое наибольшее число гирек могло быть первоначально в первой коробке?


74
Тренировочные варианты
Вариант № 7
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Лось пробежал 900 м за 45 секунд. Найдите среднюю скорость лося. Ответ дайте в километрах в час.
2. На рисунке 31 показана динамика цен на медь (в долларах США за тонну) в период со 2 декабря 2019 года до 24 февраля 2020 года. На горизонтальной оси отмечаются дни, на вертикальной оси — цена меди в долларах США. Определите, используя рисунок, разность между наибольшей и наименьшей ценой за тонну меди в долларах США в указанный период.
Рис. 31
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 32). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
1
см
/
S
/
/
S
N
Рис. 32


Вариант № 7
75
4. 	Завод выпускает процессоры. В среднем 21 процессор из 100 имеет скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранный для проверки процессор окажется без дефектов.
6. 	В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, АВ — 32,
о
sin А = | (см. рис. 33). Найдите ВН.
7. 	На рисунке 34 изображён график у = f'(x) — производной функции /(х), определённой на интервале (—12; 4). Найдите количество точек минимума функции /(я), принадлежащих отрезку [-10; 3].
5. 	Найдите корень уравнения
Рис. 34
8. 	Объём конуса равен 56. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной (см. рис. 35, с. 76). Найдите объём меньшего конуса.
Часть 2
(ч/П + ч/б)5
9. 	Наидите значение выражения
8 4* у 55


76
Тренировочные варианты
10. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над Землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле
I = где R = 6400 (км) — радиус Земли. Найдите, с какой высо¬
ты линия горизонта видна на расстоянии 3,2 километра. Ответ выразите в метрах.
11. Константин Валерьевич смешал некоторое количество 14%-го раствора определённого вещества с таким же количеством 28%-го раствора этого же вещества. Определите концентрацию получившегося раствора в процентах.
12. Найдите точку максимума функции у = (х + 12)е12~х.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение \/2 sin (^ + “ 2 sin2 (^ “ х) =
б) 	Укажите его корни, принадлежащие промежутку |^ - 37г; — .
14. Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC равна 12, а боковое ребро равно 8. Точка К лежит на боковом ребре SB, а точка М на стороне основания А В, ВМ = 3, SK : КВ = 2:3. Плоскость а проходит через точки К и М и перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости а.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью а.
15. Решите неравенство log27(x2 -I- 8ж + 16) ^ 2х2 log81(a; + 4).
16. В прямоугольном треугольнике ABC АС > 2ВС. Точка М лежит на катете АС, а точка N на продолжении катета ВС за точку С, СМ = 2ВС,


Вариант № 7
77
CN = 2 АС. Отрезки СН и CF — высоты треугольников AN С и ВМС соответственно.
а) Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.
б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LMy если ВС = 4 и АС = 10.
17. В августе 2021-го года планируется взять кредит на 5 лет в размере 210 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июль каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в августе 2022, 2023 и 2024-го года долг остаётся равным 210 тыс. рублей;
— выплаты в 2025 и 2026-м году равны;
— к августу 2026-го года долг должен быть погашен полностью. Найдите г, если известно, что общий размер выплат по погашению
долга составит 305 тыс. рублей.
18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
Г \/4 -у2 = у/4 - а2х2,
\ х2 + у2 = 4х + 2у
имеет ровно два различных решения.
19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?


78
Тренировочные варианты
Вариант JV® 8
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Электропоезд проехал 909 км за 5 часов. Найдите среднюю скорость электропоезда. Ответ дайте в метрах в секунду.
2. На рисунке 36 точками показана цена акций определённой компании в некоторые дни с сентября 2019 года по январь 2020 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акций этой компании в долларах США. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей ценой акций этой компании за указанные дни.
“<ff 1 I I 1 I I | 1/Ш, I I I 11 I I
™'zzzzzzzz/zzz^zzz~^
250 ^
242 -}
234<*ч- 2
226
16 сент. 11 окт. Хвнояб. 1 в дек. 16 янв.
2019 г 2019 г 2019 г 2019 г 2020 г
Рис. 36
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 37, с. 79). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. Завод выпускает процессоры. В среднем 26 процессоров из 200 имеет скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранный для проверки процессор окажется без дефектов.
5. Найдите корень уравнения = 8.
7
гк
(
-1-
л
ч
-V
>
(-
/—
N
s—
-S?
—/ i-
4-


Вариант N° 8
79
1 см
/
\
/
/
\
к
/
\
Рис. 37
6. 	В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, АВ = 3\/2,
/о
sin А = (см. рис. 38). Найдите высоту СН.
7. 	На рисунке 39 изображён график у = /'(х) — производной функции /(х), определённой на интервале (-9; 10). Найдите количество точек минимума функции /(х), принадлежащих отрезку [-7; 8].
Рис. 39
8. 	Объём конуса равен 96. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной (см. рис. 40, с. 80). Найдите объём меньшего конуса.


80
Тренировочные варианты
Рис. 40 Часть 2
9. 	Найдите значение выражения
10. 	Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляет¬
ся по формуле I = у где R = 6400 км — радиус Земли. Человек,
стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 8 километров?
11. В лаборатории соединили 5 кг сплава, содержащего 42% меди, с 15 кг сплава, содержащего 38% меди. Определите процентное содержание меди в получившемся сплаве.
12. Найдите точку максимума функции у — (х + 7)е1?~х.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение л/2 cos(7r — х) -Ь 2 cos2(7r + х) = 0.
б) 	Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку 27rj.
14. Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC рав-
20
на 10, а боковое ребро равно —т=. Точка К лежит на боковом ребре SB, а
v3
точка М на стороне основания АВ, ВМ = 3, SK : КВ = 4:9. Плоскость а проходит через точки К и М и перпендикулярна плоскости ABC.


Вариант № 8
81
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости а.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью а.
15. Решите неравенство log16(x2 - 6х 4- 9) ^ \х2 log32(:r - 3).
о
16. В прямоугольном треугольнике ABC АС > 3ВС. Точка М лежит на катете АС, а точка N — на продолжении катета ВС за точку С, СМ = 3ВС, CN = 3АС. Отрезки СН и CF — высоты треугольников ANC и ВМС соответственно.
а) Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны.
б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите AL, если ВС = 3 и АС = 10.
17. В сентябре 2025-го года планируется взять кредит на 5 лет в размере 315 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по август каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в сентябре 2026, 2027 и 2028-го года долг остаётся равным 315 тыс. рублей;
— выплаты в 2029 и 2030-м году равны;
— к сентябрю 2030-го года долг должен быть погашен полностью. Найдите г, если известно, что общий размер выплат по погашению
долга составит 457,5 тыс. рублей.
18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений f \/9 — у2 = \/9 — а2х2
\ х2 + у2 = — 6х 4- 3у
имеет ровно три различных решения.
19. На доске написаны несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 8.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 204?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 360?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1530?


82
Тренировочные варианты
Вариант № 9
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Поезд Москва — Ростов-на-Дону отправляется в 17:23, а прибывает в 14:53 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
2. На диаграмме (см. рис. 41) показана среднемесячная температура воздуха днём в Ростове-на-Дону за каждый месяц года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме номер месяца, в котором среднемесячная дневная температура принимает наименьшее положительное значение.
■кг
Л
►и
|А
Л
и
и
п
10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Рис. 41
3. 	На клетчатой бумаге с размером Клетки 1 см х 1 см изображён угол (см. рис. 42). Найдите синус этого угла.
/
J
г
/
/
J
г
Рис. 42
4. 	Перед началом первого тура чемпионата по дартсу участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 36 спортсменов, среди которых 8 спортсменов из


Вариант М? 9
83
Шотландии, в том числе Грег Монтгомери. Найдите вероятность того, что в первом туре Грег Монтгомери будет играть с каким-либо игроком в дартс из Шотландии.
5. Найдите корень уравнения \og6(x -f 5) = log6(3a; — 10).
6. В треугольнике ABC AC = ВС, АВ = 9, sin /.А = ^ (см. рис. 43).
1о
Найдите АС.
7. 	На рисунке 44 изображён график у — f'(x) — производной функции /(я), определённой на интервале (—7; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Рис. 44
8. 	Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 16, высота равна 11 (см. рис. 45, с. 84). Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Часть 2
/I I \ 3
9. 	Найдите значение выражения ( Д3 ]


84
Тренировочные варианты
\
Рис. 45
10. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5£2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,5 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,3 с? Ответ выразите в метрах.
11. В 6:30 моторная лодка вышла из пункта N в пункт Я, расположенный в 66 км от N вниз по течению. Пробыв в Я 2 часа 50 мин, лодка отправилась назад и вернулась обратно в 16:00 того же дня. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите наименьшее значение функции у = 6х — 61п(х + 3) 4- 1 на отрезке [—2; 0].
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 2 sin3 х — у/2 sin2 х 4- 2 sin х — у/2 = 0.
б) 	Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [— 7г].
14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 5, а боковое ребро SA равно 6,5. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и К соответственно, причём DN : NC = SK : КС = 2:3. Плоскость а содержит прямую KN и параллельна прямой ВС.
а) Докажите, что плоскость а параллельна прямой SD.
б) Найдите угол между плоскостью а и плоскостью основания пирамиды.
15. Решите неравенство
log7((5 - х)(х2 + 3)) ^ log7(x2 - 11х 4- 30) 4- log?(7 - х).


Вариант № 9
85
16. В треугольнике ABC угол А равен 120°, ВМ и CN — высоты треугольника. Точка К — середина стороны ВС.
а) Докажите, что треугольник KMN — равносторонний.
б) Найдите площадь треугольника KMN, если радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен 2\/3.
17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5,5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит И млн рублей?
18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
25т^
—— — т% = 0 имеет ровно два различных корня.
х ~|“ 12/Х -+■ оо — a
19. В течение п дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 5. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество — меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли п быть больше 4?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 3?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 5. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?


86
Тренировочные варианты
Вариант № 10
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тек- сте работы.
Часть 1
1. Поезд Казань — Киров отправляется в 14:56, а прибывает в 7:26 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
2. На рисунке 46 жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в градусах Цельсия на территории г. Арзамаса в 2016 году. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую положительную среднемесячную температуру в г. Арзамасе за 2016 год. Ответ дайте в градусах Цельсия.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён угол (см. рис. 47, с. 87). Найдите косинус этого угла.
4. Перед началом первого тура чемпионата по дартсу участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 33 спортсмена, среди которых 9 спортсменов из Нидерландов, в том числе Барт Орд. Найдите вероятность того, что в первом туре Барт Орд будет играть с каким-либо игроком в дартс из Нидерландов.
5. Найдите корень уравнения log12(x + 6) = log12(2x — 7).


Вариант № 10
87
/
у
Г ■
4
/
/
/
j
г
А
г
/
Рис. 47
6. 	В треугольнике ABC АС = ВС = 10, cos /.А = (см. рис. 48). Найдите АВ.
7. 	На рисунке 49 изображён график у = fix) — производной функции /(х), определённой на интервале (—10; 6). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Рис. 49
8. 	Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 12, высота равна 9 (см. рис. 50, с. 88). Найдите площадь боковой поверхности призмы.


88
Тренировочные варианты
S \
Рис. 50 Часть 2
9. Найдите значение выражения
10. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.
11. В 5:00 моторная лодка вышла их пункта К в пункт М, расположенный в 144 км от К вверх по течению. Пробыв в М 3 часа, лодка отправилась назад и вернулась обратно в 23:00 того же дня. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки равна 20 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите наименьшее значение функции у = 9х — 91п(я; 4- 4) 4- 2 на отрезке [—3; 0].
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 2 cos3 х 4- cos2 х — 2у/2 cos х — у/2 = 0.
б) 	Укажите его корни, принадлежащие отрезку |—27т; — .
14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 5, а боковое ребро SA равно 7,5. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и К соответственно, причём DN : NC = SK : КС = = 1 : 4. Плоскость а содержит прямую KN и параллельна прямой ВС.
а) 	Докажите, что плоскость а параллельна прямой SA.


Вариант № 10
89
б) 	Найдите угол между плоскостями а и SBC.
15. Решите неравенство
log3 ((1 - х)(х2 + 6)) > log3(ж2 - Зх + 2) + log3(3 - х).
16. В треугольнике ABC угол А равен 120°. Прямые, содержащие высоты ВМ и CN треугольника ABC, пересекаются в точке Н. Точка О — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что АН = АО.
б) Найдите площадь треугольника АНО, если ВС = 6, ZABC = 45°.
17. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 19 млн рублей?
18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
Ifir2 _ п2
~2—^ 2 = 0 имеет ровно два различных корня.
х — 10ж -f 25 cl
19. В течение п дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 5. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество — меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли п быть больше 5?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 1,8, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 3,2?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 4. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?


90
Тренировочные варианты
Вариант JVs 11
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Ножницы стоят 70 рублей. Какое наибольшее число таких ножниц можно будет купить на 700 рублей после понижения цены на 30%?
2. На диаграмме (см. рис. 51) показана среднемесячная температура воздуха в городе N в январе 1992 — 2014 годов. Определите год с наименьшей среднемесячной температурой воздуха в январе, в ответе запишите этот год.
0-1
-2-Н
-4
-6 -8
-10
-12
-14
-16
СЧ^ЧООООСЧТГ-ЧООООС^ТГ On^OnOsQOOOO—•—
0\ <Э\ 0\ Os ОООООООО
Рис. 51
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён угол (см. рис. 52, с. 91). Найдите косинус этого угла.
4. На соревнованиях по прыжкам в длину выступают 32 прыгуна, среди них И прыгунов из Казани и 10 — из Ростова-на-Дону. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятым будет прыгать спортсмен из Ростова-на-Дону.
5. Найдите корень уравнения yj4 = 4
6. В тупоугольном треугольнике ABC известно, что АС = ВС = 10, высота АН = 7. Найдите синус угла АС В.


Вариант № 11
91
\
\
\
\
>
\
V
\
Рис. 52
7. 	На рисунке 53 изображён график у = f'(x) — производной функции /(х), определённой на интервале (—3; 10). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Рис. 53
8. 	Найдите сторону основания правильной четырёхугольной призмы, если боковое ребро этой призмы равно 11, а площадь поверхности призмы равна 150 (см. рис. 54).
Рис. 54


92
Тренировочные варианты
Часть 2
9. Найдите значение выражения .
10. Небольшой камень бросают под некоторым углом а к плоской горизонтальной поверхности земли. Найдите, при каком наименьшем значении угла (в градусах) камень перелетит через реку шириной 24,2 метра, если расстояние, которое он преодолевает, вычисляется по формуле
V2
L = sin 2a (м), где vq = 22 м/с — начальная скорость камня, а д — 10 м/с2 — ускорение свободного падения.
11. По двум параллельным железнодорожным путям друг за другом в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны 82 км/ч и 46 км/ч соответственно. Длина товарного поезда равна 3 км. Определите длину пассажирского поезда (в метрах), если время, за которое он пройдёт мимо товарного поезда, равно 7 мин.
12. Найдите точку максимума функции у = (х2 — 8х + 8)е4"*.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 2 cos2 + х) + V^sinx = 0.
б) 	Укажите его корни, принадлежащие отрезку бя-j.
14. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с катетами АС — 3 и ВС = 4. Высота пирамиды равна 2\/3, ZSAC —
прямой, а тангенс угла между гранями SAC и ABC равен
а) Докажите, что угол между плоскостью ABS и плоскостью основания пирамиды равен 30°.
б) Найдите площадь грани ABS.
15. Решите неравенство х2 log625(x + 9) ^ 91og5(x2 4- 18ж + 81).
16. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC отмечены точки Сь А\ и В\ соответственно, причём АС\ : С\В = 8 : 3; ВА\ : А\С = 1 : 2; CBi : BiA = 3 : 1. Отрезки BBi и СС\ пересекаются в точке D.
а) 	Докажите, что ADAiBi — параллелограмм.


Вариант Mb 11
93
б) 	Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 16, ВС = 9.
17. В июле 2021-го года планируется взять кредит в банке на сумму 2,5 млн рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму долга на г процентов, после чего происходит платёж. Кредит был полностью погашен за 2 года. Найдите г, если первый платёж составил 1,5 млн рублей, а второй — 1,8 млн рублей.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
1х — 4 CL
— j = 0 имеет ровно два различных корня.
X j- OX 1Z &
19. 9 мальчиков и 8 девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые 2 девочки набрали больше грибов, чем 3 любых мальчика, но 5 любых мальчиков набрали больше грибов, чем любые 3 девочки.
а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?
б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?
в) Найдите минимально возможное количество грибов, собранных всеми детьми суммарно.


94
Тренировочные варианты
Вариант № 12
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Магазин канцелярских товаров закупает коробки акварельных красок по оптовой цене 120 рублей за штуку и продаёт с наценкой 60%. Какое наибольшее число таких коробок можно купить в этом магазине на 800 рублей?
2. На диаграмме (см. рис. 55) показана среднемесячная температура воздуха в городе N в январе 1992 — 2014 годов. Определите год с наибольшей средней температурой воздуха в январе, в ответе запишите этот год.
On
-2тН -4
-6
-8*
-10
-12
-14
-16
CN^V000Of4^*v000O<N^l* OnOn^O'sOOOOO—'-ч OsOsOnOnOOOOOOOO
Рис. 55
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён угол (см. рис. 56, с. 95). Найдите синус этого угла.
4. На соревнованиях по прыжкам в высоту выступают 18 прыгунов, среди них 5 прыгунов из Красноярска и 9 — из Москвы. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым будет прыгать спортсмен из Москвы.
5. Найдите корень уравнения = 5
6. В тупоугольном треугольнике ABC известно, что АС — ВС = 17, высота АН = 15. Найдите тангенс угла АС В.


Вариант № 12
95
\
\
\
\
V
\
V
\
Рис. 56
7. 	На рисунке 57 изображён график у = f'{x) — производной функции /(ж), определённой на интервале (—5; 12). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Рис. 57
8. 	Найдите сторону основания правильной четырёхугольной призмы, если боковое ребро этой призмы равно 15, а площадь поверхности призмы равна 198 (см. рис. 58).


96
Тренировочные варианты
9. 	Найдите значение выражения
Часть 2
9 sin 59°
cos 31°
10. Небольшой мячик бросают под острым углом а к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, вы-
v2
раженная в метрах, определяется формулой Я = ^(1 — cos 2а), где
vo = 18 м/с — начальная скорость мячика, а д — ускорение свободного падения (считайте д = 10 м/с2). При каком наименьшем значении угла a (в градусах) мячик может пролететь над стеной высотой 3,5 м на расстоянии 0,55 м?
11. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют товарный и пассажирский поезда, скорости которых равны 28 км/ч и 92 км/ч соответственно. Длина товарного поезда равна 2 км 600 м. Определите длину пассажирского поезда (в метрах), если время, за которое он пройдёт мимо товарного поезда, равно 2 мин 12 с.
12. Найдите точку максимума функции у = (х2 — 6х + 6)е5-х.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 2sin2^x —— y/Scosx = 0.
б) 	Укажите его корни, принадлежащие отрезку |——47rJ.
14. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник с катетами АС = 6 и ВС = 8. Высота пирамиды равна 3\/3, Z.SAC —
прямой, а тангенс угла между гранями SAC и ABC равен
а) Докажите, что угол между плоскостью ABS и плоскостью основания пирамиды равен 60°.
б) Найдите площадь грани ABS.
15. Решите неравенство х2 log1024(x + 15) ^ 101og2(x2 + ЗОж + 225).
16. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC отмечены точки Сь А\ и Bi соответственно, причём АС\ : С\В = 15 : 4; ВА\ : А\С = 1:3; СВ\ : В\ А = 4 : 1. Отрезки ВВ\ и СС\ пересекаются в точке D.


Вариант № 12
97
а) Докажите, что ADAiBi — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ADA\B\, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 20, ВС = 16.
17. В августе 2021-го года планируется взять кредит в банке на сумму 200000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму долга на г процентов, после чего происходит платёж. Кредит был полностью погашен за 2 года. Найдите г, если первый платёж составил 121000 рублей, а второй — 121980 рублей.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
2\х\ — а л
—!rJ—г 2 = о имеет ровно два различных корня.
zx — ox \ z — а
19. 10 мальчиков и 8 девочек пошли в лес за грибами. Известно, что любые 3 девочки набрали больше грибов, чем 4 любых мальчика, но 7 любых мальчиков набрали больше грибов, чем любые 5 девочек.
а) Может ли так случиться, что какая-то девочка набрала меньше грибов, чем какой-нибудь мальчик?
б) Может ли так случиться, что количество найденных грибов у всех детей будет различным?
в) Найдите минимально возможное количество грибов, собранных всеми детьми суммарно.
7. 	Зак. № 121


98
Тренировочные варианты
Вариант № 13
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. В обменном пункте 1 грузинский лари стоит 21 рубль 50 копеек. Отдыхающие обменяли рубли на лари и купили 3 кг персиков по цене 2,2 грузинских лари за 1 кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.
2. На диаграмме (см. рис. 59) представлена средняя температура в городе К в апреле 2019 года за каждый день. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по графику самый тёплый день в апреле 2019 года. В ответе укажите это число месяца.
3. 	План местности разбит на клетки (см. рис. 60). Сторона клетки соответствует 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
Рис. 60
Т


Вариант № 13
99
4. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллельность плоскостей», равна 0,31. Вероятность того, что это вопрос по теме «Правильные многоугольники», равна 0,08. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
X I Я Т I 0
5. Найдите корень уравнения = 4Х + 3' ^'сли УРавнение имеет более одного корня, то в ответе запишите меньший из корней.
6. В параллелограмме ABCD известно, что АВ — б, AD = 24,
3
sin А А = -. Найдите большую высоту параллелограмма.
о
7. На рисунке 61 изображён график у = f'(x) — производной функции /(х), определённой на интервале (—11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = —2х — 7 или совпадает с ней.
Рис. 61
8. 	Цилиндр вписан в правильную треугольную призму. Радиус основания цилиндра равен 4\/3, а высота равна 7 (см. рис. 62). Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Рис. 62
8. Зак. №121


100
Тренировочные варианты
Часть 2
9. Найдите значение выражения 6>/3sin Щ- • sin
о о
10. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(t) = 3,2 sin nt (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 1,6 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, округлив до сотых.
11. Два соседа отправляются из одного и того же места на прогулку до реки, находящейся в 2,6 км от места отправления. Скорость первого равна 5,1 км/ч, а второго — 5,3 км/ч. Дойдя до реки, второй с той же скоростью отправляется обратно. На каком расстоянии от места отправления встретятся соседи? Ответ укажите в километрах.
12. Найдите наибольшее значение функции у = 9 tgx — Ъх + 6 на отрезке
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
4Qsin2x y2\/3sinx
13. а) Решите уравнение ——, ■ ■■ ■ = 0.
>/—17 sin ж
б) 	Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку |з7г; .
14. В конусе с вершиной S проведены образующие SP и ST так, что центр основания О не лежит на прямой РТ. На отрезке SP отмечена точка К. Проведена прямая XL, параллельная 5Т, точка L лежит в основании конуса. Известно, что РТ _L OL.
а) Докажите, что К — середина SP.
б) Найдите угол между прямой КТ и плоскостью основания, если длина РТ равна 6, диаметр основания равен 36, высота конуса равна 6>/П.
15. Решите неравенство logg^x — 6 - х2) + 6 logi (5ж — 6 — х2) + 8 > 0.
16. В треугольнике ABC стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 9, 10 и 11. Высоты АН и В К пересекаются в точке О.
а) Докажите, что в треугольнике ABC угол В — острый.
б) Найдите площадь треугольника КОН.


Вариант № 13
101
17. В июле 2021-го года планируется взять кредит в банке на сумму 400000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите г, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 280 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей.
18. При каких значениях параметра а система уравнений Г х4 - у4 = 30а + 54,
\ х2 + у2 = 2а
имеет ровно четыре решения?
19. По кругу записано несколько (два или более) различных натуральных чисел. Каждое число или в три раза больше соседнего слева числа, или на два меньше.
а) Могут ли быть выписаны и число 5, и число б?
б) Могут ли быть выписаны ровно семь чисел?
в) Какое максимальное значение может иметь наибольшее из выписанных чисел, если сумма всех выписанных чисел не превосходит 2021?


102
Тренировочные варианты
Вариант № 14
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. На автозаправке водитель отдал кассиру 2000 рублей и залил в бак 36 литров бензина. Цена бензина 46 руб. 60 коп. за литр. Какую сумму сдачи должен получить водитель? Ответ дайте в рублях.
2. На диаграмме (см. рис. 63) представлена среднемесячная температура в г. N в апреле 2019 года за каждый день. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по графику самый холодный день в апреле 2019 года. В ответе укажите это число месяца.
3. 	План местности разбит на клетки (см. рис. 64). Сторона клетки соответствует 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
Рис. 64
4. 	На экзамене по геометрии школьник отвечает на один из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Перпен¬


Вариант № 14
103
дикулярность плоскостей», равна 0,19. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанные углы», равна 0,09. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Ж 1 Q j* I Q
5. Найдите корень уравнения - .х....... — ..т. Если уравнение имеет
ОХ “Г 11 11Ж “Г и
более одного корня, то в ответе укажите меньший из корней.
6. В параллелограмме ABCD известно, что АВ = 5, AD — 28,
sin А А — |. Найдите большую высоту параллелограмма.
7. На рисунке 65 изображён график у = f'(x) — производной функции /(ж), определённой на интервале (—9; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции /(ж) параллельна прямой у = —Зж — 7 или совпадает с ней.
Рис. 65
8. Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 5 (см. рис. 66, с. 104). Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Часть 2
9. Найдите значение выражения 9\/2 • cos cos .
10. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону
v(t) = 13sin (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени о


104
Тренировочные варианты
Рис. 66
из первой секунды скорость движения превышала 6,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, округлив до сотых.
11. Два соседа отправляются из одного и того же места на прогулку до озера, находящегося в 3,8 км от места отправления. Скорость первого равна 6 км/ч, а второго — 5,4 км/ч. Дойдя до озера, первый с той же скоростью отправляется обратно. На каком расстоянии от озера встретятся соседи? Ответ укажите в метрах.
12. Найдите наименьшее значение функции у = 8 tg х — Зх + 4 на отрезке
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
о с cos 2х о с cos х
13. а) Решите уравнение ——у = 0.
V5sinx
б) 	Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Г Итг _9тг1
L 2 ’ 2 J*
14. В конусе с вершиной Q проведены образующие QM и QN так, что центр основания О не лежит на прямой MN. Точка F — середина QM. Проведена прямая FT, параллельная QN, точка Т лежит в основании конуса.
а) Докажите, что МАГ _1_ ОТ.
б) Найдите угол между прямой FN и плоскостью основания, если длина отрезка MN равна радиусу основания конуса и равна 8, высота конуса равна 24.
15. Решите неравенство log2(7x + 4 — х2) + 5 logi (7х -Ь 4 — х2) + 4 > 0.


Вариант № 14
105
16. В треугольнике ABC стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 7, 8 и 9. Высоты АН и В К пересекаются в точке О.
а) Докажите, что в треугольнике ABC угол В — острый.
б) Найдите площадь треугольника АО В.
17. В мае 2021-го года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на х% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 110 500 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года, а если ежегодно выплачивать по 60 500 рублей, то кредит будет полностью погашен за 4 года. Найдите х.
18. При каких значениях параметра а система уравнений Г х4-у4 = 25а5 + 150а4,
\ х2 — у2 = а3
имеет не менее четырёх решений?
19. По кругу записано несколько (два или более) различных натуральных чисел. Каждое число или в десять раз больше соседнего слева числа, или на три меньше.
а) Могут ли быть выписаны и число 5, и число 6?
б) Могут ли быть выписаны ровно пять чисел, каждое из которых не равно 1?
в) Какое минимальное значение может иметь наименьшее из выписанных чисел, если сумма всех выписанных чисел не меньше 2021?


106
Тренировочные варианты
Вариант № 15
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. По тарифному плану «7000» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 19 рублей. Если на счету осталось меньше 19 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Святослава на счету было 480 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) он сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?
2. На графике (см. рис. 67) показано изменение удельной теплоёмкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры. По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали — удельная теплоёмкость в Определите по рисунку наименьшую удельную теплоёмкость раствора на исследуемом диапазоне температур. Ответ дайте в
кг-°С
Дж
°С±1
4270
4250
4230
4210
4190
4170
is
10 20 30 40 50 60 70 80 90 Рис. 67
°С
3. План местности разбит на клетки (см. рис. 68, с. 107). Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
4. Две фабрики выпускают одинаковые одноразовые шприцы. Первая фабрика выпускает 48% этих шприцев, а вторая — 52%. Первая фабрика


Вариант М 15
107
Рис. 68
выпускает 2% бракованных шприцев, а вторая — 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленный в аптеке одноразовый шприц окажется бракованным.
5. Найдите корень уравнения log3(7 — х) — log3 8.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 41 и 17. Боковые стороны равны 20. Найдите синус острого угла трапеции.
7. На рисунке 69 изображён график у = /(х) и касательная к нему в точке с абсциссой xq. Найдите значение производной функции /(ж) в точке xq.
Рис. 69
8. 	Прямоугольный параллелепипедописан около сферы радиусом \/7(см. рис. 70, с. 108). Найдите площадь его поверхности.
Часть 2
9. 	Найдите значение выражения -11\/2 • sin(—405°).


108
Тренировочные варианты
10. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет- изданий на основе оценок информативности In, оперативности Ор, объективности Тг публикаций, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель — целое число от 0 до 10. Составители рейтинга считают, что объективность и информативность ценятся втрое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид о 3/n + Op + 3TV 4- Q u
R = 1—Если по всем четырем показателям какое-то
издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.
11. Бизнесмен Жаднов в 2015 году получил прибыль 50 тысяч рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 500% по сравнению с предыдущим. Какую прибыль получил Жаднов в 2019 году? Ответ дайте в тысячах рублей.
12. Найдите точку максимума функции у = 2х3 — 12х2 4-11.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение cos^—— cos ^4-sin^7r-h^ cos ^ = sin24x.
Г Зтг З7Г
б) 	Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку I —; — .
14. ABCDA\B\C\D\ — правильная четырёхугольная призма, на ребре ВВ\ отмечена точка Q такая, что BQ : QB\ = 2:7. Плоскость 7 прохо¬


Вариант №15
109
дит через точки А и Q параллельно прямой BD. Эта плоскость пересекает ребро СС\ в точке М.
а) Докажите, что С\М : СС\ =5:9.
б) Найдите площадь сечения, если АВ = 3\/2, АА\ = 18.
15. Решите неравенство .
16. В треугольнике ABC стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 4, 5 и 6. Высоты АН и ВК пересекаются в точке О.
а) Докажите, что около четырёхугольника КО НС можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника КОНС.
17. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 5% по сравнению с его размером в начале года, и, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 21 млн рублей.
18. При каких значениях параметра а уравнение
1п(5а + х)-1п(5х + 5а-12) = 1п(3ж —а+4)-1п(5а+х) имеет единственный корень на отрезке [0; 20]?
19. Натуральные числа от 1 до 90 разбили на 30 групп по три числа. Из каждой группы выписали на доску одно число: второе по величине в этой группе.
а) Могут ли среди выписанных чисел одновременно быть числа 88 и 89?
б) Могут ли все выписанные числа быть чётными?
в) Чему равно наибольшее возможное значение суммы всех выписанных чисел?


110
Тренировочные варианты
Вариант № 16
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. По тарифному плану «2222» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 22 рубля. Если на счету осталось меньше 22 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Марии на счету было 360 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?
2. На графике (см. рис. 71) показано изменение удельной теплоёмкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры. По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали — удельная теплоёмкость в Определите по рисунку, при
КГ • kj
какой наибольшей температуре удельная теплоёмкость раствора составляет не более 4210 Ответ дайте в градусах Цельсия.
Дж
кг°С£
4270
4250
4230
4210
4190
4170
*
--S
S
д
ЭС
Я*"
Рис. 71
3. План местности разбит на клетки (см. рис. 72, с. 111). Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
4. Два завода производят одинаковые велосипеды. Первый завод производит 51% велосипедов, а второй — 49%. Первый завод выпускает 2,5%


Вариант № 16
111
Рис. 72
бракованных велосипедов, а второй — 1,5%. Найдите вероятность того, что случайно купленный в магазине велосипед окажется с браком.
5. Найдите корень уравнения logn(9 — х) = logn 3.
6. Основания равнобедренной трапеции равны 31 и 71. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.
7. На рисунке 73 изображён график у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xq. Найдите значение производной функции f(x) в точке xq.
Рис. 73
8. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом vTI (см. рис. 74, с. 112). Найдите площадь его поверхности.
Часть 2
9. Найдите значение выражения —9\/3cos(—210°).
10. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности /п, оперативности Ор и объективности Тг публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от —6 до 6. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится вдвое, а объективность — втрое дороже, чем оперативность.


112
Тренировочные варианты
Рис. 74
Таким образом, формула-приняла вид R = . Найдите,
каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг 60.
11. Компания «От Аз до Ижицы» начала инвестировать средства в некоторую область в 2011 году, имея капитал 8000 евро. Каждый год, начиная с 2012-го, она получала прибыль, которая составляла 300% от капитала предыдущего года. А компания «От Альфы до Омеги» начала инвестировать средства в ту же отрасль в 2013 году, имея капитал 15 000 евро. Каждый год, начиная с 2014-го, она получала прибыль, которая составляла 400% от капитала предыдущего года. На сколько евро капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2016 года, если прибыль из оборота не изымалась?
12. Найдите точку максимума функции у = Зх3 — 9х2 -1-10.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение
sin(| _ ^ cos Ш - sin(7т - sin ^ =cos2 2*.
[Олт
_ 4 ’ 2 ‘
14. ABCDAiB\C\D\ — правильная четырёхугольная призма, на ребре СС\ отмечена точка Р такая, что СР : РС\ =3:5. Плоскость /3 проходит


Вариант №16
113
через точки D и Р параллельно прямой АС. Эта плоскость пересекает ребро BBi в точке F.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью /3 является ромбом.
б) Найдите длину ребра ВВ\, если АВ = 6, а площадь сечения призмы плоскостью /3 равна 72.
16. В треугольнике ABC стороны АВ, ВС и АС соответственно равны 5, 6 и 7. Высоты В К и CL пересекаются в точке О.
а) Докажите, что около четырёхугольника ALOK можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника ALOK.
17. Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет 12 млн рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, и, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на целое число a миллионов рублей. Найдите наименьшее а, при котором через четыре года вклад будет больше 33 млн рублей.
18. При каких значениях параметра Ь уравнение
cos х • у/х + 4Ъ = л/3 sin х • у/х + 4Ь имеет единственный корень на отрезке [0; тг]?
19. Натуральные числа от 1 до 120 разбили на 20 групп по шесть чисел. Из каждой группы выписали на доску два числа: третье и четвёртое по величине в этой группе.
а) Могут ли среди выписанных чисел одновременно быть числа 5, 7, 9 и И?
б) Могут ли ровно семнадцать из выписанных чисел делиться нацело на 7?
в) Чему равно наименьшее возможное значение суммы всех выписанных чисел?


114
Тренировочные варианты
Вариант № 17
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Стоимость проездного билета на месяц на электричку составляет 1750 рублей. Дачник Артур Петрович купил проездной и сделал за месяц 42 поездки на электричке. Стоимость билета на одну поездку для Артура Петровича составляла бы 46 рублей. На сколько рублей больше он бы потратил, если бы покупал билеты на одну поездку?
2. На диаграмме (см. рис. 75) показано число посетителей электронной библиотеки за все дни с 10 по 27 февраля 2019 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — число посетителей электронной библиотеки за данный день. Определите по приведённой диаграмме, какого числа количество посетителей электронной библиотеки было наибольшим.
45 ООО 35 ООО 25 ООО 15 000-Н 5000
10
13 16
Рис. 75
19
22
25 27
3. 	План местности разбит на клетки (см. рис. 76). Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
Рис. 76


Вариант № 17
115
4. Маша, Аня, Тоня, Рома и Вадик бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру должен будет начинать мальчик.
5. Найдите корень уравнения >/45 — 4х — —х. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите больший из корней.
6. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 4 (см. рис. 77).
7. 	На рисунке 78 изображён график у = f(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у = f (x) параллельна оси абсцисс или.совпадает с ней.
Рис. 78
8. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 76, проведена плоскость, параллельная боковому ребру (см. рис. 79, с. 116). Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
Часть 2
9. Найдите значение выражения г ~ .
F cos2 211° + sin2 31°
10. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой


116 Тренировочные варианты
q = 170 — Юр. Выручка предприятия за месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = g • р. Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 520 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
11. Рабочие Сергей и Николай вдвоём могут выполнить заказ за 12 часов, а Николай и Егор за 24 часа. Сергей и Егор могут выполнить этот заказ за 12 часов. За сколько часов этот заказ могут выполнить Сергей, Николай и Егор, работая месте?
12. Найдите точку максимума функции у = log6(16 4- 6х — х2) - 10.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение -^-Os -CQS х 4-1 = 0.
r smx
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку [—37г; — 2п].
14. В правильной треугольной пирамиде SKLM с основанием KLM точка Р делит ребро SK в отношении 7 : 5, считая от вершины 5, точка Т делит ребро SL в отношении 7 : 5, считая от S. Плоскость 7 проходит через точки Р и Т параллельно ребру SM.
а) 	Докажите, что плоскость 7 параллельна ребру KL.
б) 	Найдите расстояние от точки К до плоскости 7, если SK = 15, KL = 12.
1C (х — 1)(х — 3)(х — 5) ^ -
15. Решите неравенство )——rf)——т^т,—гтл > 1-
(х + 1)(х + 3)(х4-5)
16. В треугольнике ABC сторона ВС равна 12, угол В равен 45°, а угол С равен 30°. Окружность касается стороны ВС в точке К, проходит через


Вариант № 17
117
точку А и пересекает сторону АВ в точке N, которая делит АВ в отношении 4 : 5, считая от точки В.
а) Докажите, что В К : АВ = 2:3.
б) Найдите радиус R окружности, указанной в условии задачи.
17. В мае планируется взять кредит в банке на срок 8 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года.
Найдите ж, если известно, что за весь период выплатили на 36% больше, чем взяли в кредит.
18. При каких значениях параметра а уравнение |ж+5а| + |х —14| = 7а+3 имеет ровно два решения?
19. В тетрадь выписали 2021 неотрицательное число: аь 02021,
причём a\ ^ а,2 ^ ^ «2021, произведение всех выписанных чисел рав¬
но 1.
а) Какое наибольшее количество различных целых чисел могло быть выписано в тетрадь?
б) Могут ли все выписанные числа быть различными иррациональными?
в) Какое наименьшее значение при этих условиях может принимать величина а\ • а2 •... • <*2021?


118
Тренировочные варианты
Вариант № 18
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Стоимость полугодовой подписки на периодическое издание «Выкройки» составляет 590 рублей, а стоимость одного номера издания — 85 рублей. За полгода Сабина купила 8 номеров издания. На сколько рублей меньше она бы потратила, если бы подписалась на это издание?
2. На диаграмме (см. рис. 80) показано число посетителей некоторого сайта за каждый месяц 2018 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — число посетителей. Определите по приведённой диаграмме номер месяца, когда число посетителей впервые превысило восемь тысяч пятьсот человек.
12 000 10 000 8000 6000 4000 2000
3 3 7 9 11
Рис. 80
3. 	План местности разбит на клетки (см. рис. 81). Каждая клетка обозначает квадрат 1 м х 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
Рис. 81


Вариант № 18
119
4. Арина, Ксюша, Алёна, Юра и Максим бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру должна будет начинать девочка.
5. Найдите корень уравнения у/12 — Ах = —х. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите больший из корней.
6. Найдите диагональ квадрата, если его площадь равна 8 (см. рис. 82).
7. 	На рисунке 83 изображён график функции у = f'(x) — производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику у = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Рис. 83
8. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 92, проведена плоскость, параллельная боковому ребру (см. рис. 84, с. 120). Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
Часть 2
•7
9. Найдите значение выражения —^ о •
sin2 43° + cos2 317°
10. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой


120 Тренировочные варианты
q — 90 — 5р. Выручка предприятия за месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q • р. Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 160 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
11. Мастерицы Ольга и Света вдвоём могут выполнить заказ за 15 часов, а Ольга и Марина — за 18 часов. Марина и Света могут выполнить этот заказ за 10 часов. За сколько часов этот заказ могут выполнить Ольга, Марина и Света, работая вместе?
12. Найдите точку максимума функции у = log3(30 - х — х2) + 7.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запищите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение ——- - - —1 = 0.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—57г; -7г].
14. В правильной треугольной пирамиде SKLM с основанием KLM точка Р делит ребро SM в отношении 5 : 4, считая от вершины S', точка Q делит ребро SK в отношении 5 : 4, считая от вершины S. Плоскость (3 проходит через точки Р и Q параллельно ребру SL.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью (3 является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости /?, если SK = 12, КМ = 9.
15. Решите неравенство < 1.


Вариант №18
121
16. В треугольнике ABC сторона ВС равна 18, угол В равен 45°, а угол С равен 30°. Окружность касается стороны ВС в точке К, проходит через точку А и пересекает сторону АВ в точке N, которая делит АВ в отношении 9 : 7, считая от точки В.
а) Докажите, что В К : АВ = 3:4.
б) Найдите радиус R окружности, указанной в условии задачи.
17. В сентябре планируется взять кредит в банке на срок 14 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на х% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по август каждого года нужно выплатить часть долга;
— в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на сентябрь предыдущего года.
Найдите ж, если известно, что за весь период необходимо выплатить на 90% больше, чем взяли в кредит.
18. При каких значениях параметра а уравнение
(\х + За| + \х + 9|)2 - 8(|х + За| + |ж + 9|) + а(8 - а) = 0 имеет ровно два решения?
19. В тетрадь выписали 999 отрицательных чисел: аь а2,..., аэээ» причём а\ ^а2 ^ ^ ад99, произведение всех выписанных чисел равно —1.
а) Могут ли ai (1 ^ г ^ 999) принимать в точности семь различных значений?
б) Чему равно наибольшее возможное значение выражения «1 Н" а2 “Н • • • “h «999?
в) Какое наименьшее значение при этих условиях может принимать величина а?" • а298 •... • «999?


122
Тренировочные варианты
Вариант № 19
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Таисия отправила SMS-сообщения с домашним заданием по математике своим 23 одноклассникам. Стоимость одного SMS-сообщения — 2 рубля 60 копеек. Перед отправкой сообщений на счету у Таисии было 410 рублей. Сколько рублей осталось у Таисии после отправки всех сообщений?
2. На графике (см. рис. 85) жирными точками показана динамика продаж автомобилей некоторой фирмой за каждый месяц 2019 года. По горизонтали указываются номера месяцев, по вертикали — число проданных автомобилей. Для наглядности жирные точки соединены линиями. Определите номер месяца, когда впервые было продано более 60, но менее 100 автомобилей.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 86, с. 123). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 4 раза попал, а в 5-й раз промахнулся. Результат округлите до сотых.


Вариант №19
123
\
Рис. 86
5. Найдите корень уравнения cos В ответе запишите наи¬
больший отрицательный корень.
6. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 6. Найдите площадь этого треугольника (см. рис. 87).
7. Прямая у = — Ъх является касательной к графику функции
у = Х2+Ъх+4. Найдите 6, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
8. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые (см. рис. 88). Найдите расстояние между вершинами С и А\.
Рис. 88


124
Тренировочные варианты
Часть 2
9. Найдите значение выражения 12tg49° • ctg 131°.
10. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени v = 2 моля воздуха объёмом V\ = 12 л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением А = m/Гlogo 7^, где а = 12,6 -.■^ж-т> — постоянная,
r V2 моль • К
а Т = 300 К — температура воздуха. Найдите, какой объём V"2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 30 240 Дж.
11. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить некоторый заказ за 20 рабочих часов. Через 8 часов после того, как первый из них приступил к выполнению заказа, к работе подключился второй, и далее они выполняли заказ вдвоём. Сколько всего рабочих часов потребовалось на выполнение заказа?
24
12. Найдите наименьшее значение функции у = 5 sin ж 4 х + 6 на от-
7Г
резке
-т4
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 8 sin4 х — 17cos 2х — 13 = 0.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку ; 37г|.
14. В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN\, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок КМ\ пересекает ось цилиндра, а точки К и М\ лежат на окружностях нижнего и верхнего оснований соответственно.
а) Докажите, что AKNMi является прямоугольным.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой К Mi, если KN = 9, NNi = 20\/3, N1M1 = 20.
15. Решите неравенство -— ^ | ^ ^
F 4+10-21*1 -6-4'xl 3-2lx' -f 1 2-21х'


Вариант № 19
125
16. Около окружности радиусом 3 описана равнобедренная трапеция ABCD (AD — большее основание), площадь которой равна 39.
12
а) Докажите, что синус угла при большем основании равен —.
1о
б) Найдите площадь трапеции AMND, где Ми N — точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции.
17. В сентябре 2021 года планируется взять кредит в банке на сумму 464100 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по август каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
!х2у -f 8ху 4- 8ж + 64 _ п
у = ах 4- 5 — 2а имеет ровно два решения.
19. На острове 1000 городов, некоторые из них соединены друг с другом дорогами. Других населённых пунктов нет. Одна дорога соединяет ровно 2 города. Если по карте дороги должны пересекаться, то посредством эстакад и тоннелей их строят так, чтобы не было возможности съезда с одной дороги на другую. Из любого города можно попасть в любой другой, возможно, проездом через другие города. Любые два города не могут быть связаны более чем одной дорогой.
а) Может ли из каждого города выходить ровно 4 дороги?
б) Может ли из 500 городов выходить ровно по одной дороге, а из других 500 — по две?
в) Архитектор планировал сеть дорог так, что при закрытии любых двух дорог на ремонт всё равно из любого города можно попасть в любой другой по дорогам. Какое наименьшее число дорог могло быть построено?


126
Тренировочные варианты
Вариант JVs 20
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Виолетта отдыхала на Байкале и отправила MMS-сообщения с видео своим 30 друзьям. Стоимость одного MMS-сообщения — 7 рублей 50 копеек. Перед отправкой сообщений на счету у Виолетты было 600 рублей. Сколько рублей осталось у Виолетты после отправки всех сообщений?
2. На диаграмме (см. рис. 89) показана динамика продажи автомобилей некоторой фирмой за каждый месяц 2017 года. По горизонтали указываются номера месяцев, по вертикали — количество автомобилей. Определите по приведённой диаграмме номер месяца, когда впервые было продано менее 300, но более 200 автомобилей.
450 350 250 150 50
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 90). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
/
1
СЛ
4
г
\
/
\
Рис. 90
4. Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые
7~
/_
7
И
/
v:
“7
/
/
/
и
и
/
и
1 2 3 4 5 6 7
Рис. 89
7
/
/
/
И
и
“7”
/
/
/
"7
V
V / /
9 10 И 12


Вариант № 20
127
2 раза промахнулся, а остальные три раза попал. Результат округлите до сотых.
5. Найдите корень уравнения cos В ответе запишите наи-
О h
больший отрицательный корень.
6. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 12. Найдите площадь этого треугольника (см. рис. 91).
7. Прямая у = 2х является касательной к графику функции
у = 7х2 + Ьх + 5^. Найдите Ь, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
8. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые (см. рис. 92). Найдите расстояние между вершинами С и Е\.
Рис. 92
Часть 2
9. 	Найдите значение выражения 23 tg237° • ctg57°.


128
Тренировочные варианты
10. Водолазный колокол, содержащий v = 5 молей воздуха при давлении Pi = 1,2 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления Р2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением
А = avT log2 где a = 17,2 —Д** — постоянная, Т — 300 К — тем-
г\ МОЛЬ • 1\
пература воздуха. Найдите, какое давление Р2 (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 77 400 Дж.
11. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали строить два одинаковых производственных помещения. В первой бригаде было 62 рабочих, а во второй — 50. Через 14 дней после начала работы из первой бригады 10 человек перешли во вторую бригаду, в результате строительство обоих помещений было завершено одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на строительство каждого из помещений.
Iе)
12. Найдите наименьшее значение функции у = 4 cos ж -ж + 7 на
7Г
отрезке [о; —L .
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 4 cos4 ж — 15соз2ж — 1 = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку —L;
14. В прямом круговом цилиндре проведена образующая РРь точка Р лежит в нижнем основании. Точки Q и Ki отмечены на окружностях нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно, при этом они не лежат на одной образующей. ZKiPQ = 90°.
а) Докажите, что QKi пересекает ось цилиндра.
б) Найдите диаметр основания цилиндра, если PPi = 12; К\Р\ = 9, а расстояние от точки Р до прямой QK\ равно 12.
2 12- — 1
15. Решите неравенство -п гл гп ^ ^—гт-.
F 9l I - 3I*1 4-1 3|х| + 1 1 + 271*1
16. Около окружности радиусом 2 описана равнобедренная трапеция ABCD (AD — большее основание), площадь которой равна 20.


Вариант Ns 20
129
а) Докажите, что синус угла при меньшем основании равен
5
б) Найдите площадь трапеции MBCN, где Ми N — точки касания окружности с боковыми сторонами трапеции.
17. В июле 2021-го года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и банку будет выплачено 972 ООО рублей?
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
[ ху2 - бху -6у-f 36 _ п ) \/аГ+9 “U’
[ у = 6 — 2 ах — 6а имеет ровно три решения.
19. На острове 2021 город, некоторые из которых соединены друг с другом дорогами. Других населённых пунктов нет. Одна дорога соединяет ровно 2 города. Если по карте дороги должны пересекаться, то посредством эстакад и тоннелей их строят так, чтобы не было возможности съезда с одной дороги на другую. Из любого города можно попасть в любой другой, возможно, проездом через другие города. Любые два города не могут быть связаны более чем одной дорогой.
а) Может ли из 1000 городов выходить по 3 дороги, а из остальных по 9 дорог?
б) Может ли из 1010 городов выходить ровно по одной дороге, а из остальных — ровно по две?
в) Архитектор планировал сеть дорог так, что при закрытии двух произвольных дорог на ремонт всё равно из любого города можно попасть в любой другой по дорогам. Какое наименьшее число дорог могло быть построено?
9. 	Зак. №121


130
Тренировочные варианты
Вариант № 21
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. При посещении парка за день у озера с утками побывало 378 человек, что составило 45% от числа всех посетителей. Сколько человек посетило парк в этот день?
2. На диаграмме (см. рис. 93) показано месячное количество осадков, выпадавших в городе Р с января по декабрь 2019 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий месяц, в миллиметрах. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного периода количество осадков превышало 40 мм.
80 п
60
40
20Н
л
I-
so
Ж
о?
I4
"в*
л
а:
2
а
a v!
5
•О £
Vo" vo" VO о; 3 ?
о ^ а;
Рис. 93
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 94). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Рис. 94


Вариант № 21
131
4. В отделении банка стоят три терминала. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.
5. Найдите корень уравнения \/х -7 = 5.
6. Площадь треугольника ABC равна 5. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE (см. рис. 95).
7. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = ^t3 - 4t2 -f 71, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — о
время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 8 с.
8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 96.
Часть 2
9. Найдите значение tga, если cos а = — а Е |V, .
10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в Кельвинах) от времени работы: T(t) = То -h bt + at2, где t — время в минутах, Т0 = 1480 К,
10. 	Зак. №121


132
Тренировочные варианты
a — —30 К/мин2, Ъ = 150 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
11. Бригада выполняет заказ по изготовлению табуретов в количестве 180 штук, ежедневно увеличивая суточную норму на одно и то же число изготовленных табуретов. Известно, что за первый и последний день бригада в сумме изготовила 45 табуретов. Определите, сколько дней бригада выполняла заказ.
х3
12. Найдите наибольшее значение функции у = —— 24х 4- 5 на отрезке
[-9;0].
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение y/3cos(Sx) cos^x - = 2 sin —.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—7г; 37г].
14. Шар пересечён двумя параллельными плоскостями а и /3, площади сечений равны.
а) Докажите, что плоскости а и (3 равноудалены от центра шара.
б) В сечении шара плоскостью а взяты точки Л и Б, а в сечении плоскостью (3 — точки Си Д причём АВ = CD = 8, АВ _L CD. Найдите угол между плоскостью ABD и плоскостью /3, если радиус шара равен 5, а плоскость а образует сечение площадью 1б7г.
15. Решите неравенство ^ 1.
16. Две окружности 0\ и О2 одинакового радиуса, равного 10, касаются друг друга в точке К.
а) Докажите, что существует и притом только одна окружность Оз, которая касается окружностей 0\ и О2 и их общей касательной /, не проходящей через точку К.
б) Найдите площадь четырёхугольника C1MNC2, где точки М и N являются соответственно точками касания окружности 03 с окружностями 0\ и 02, a Ci и С2 — центры окружностей Oi и 02.
10*


Вариант № 21
133
17. 1 июня 2020 года Евгений планирует взять в банке 600000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Евгений переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Евгений может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 250000 рублей?
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
2ax — 1 имеет нечётное число корней.
19. 	Уравнение х2 + (к — тп)х + га2 = 0, корни х которого — натуральные числа, имеет хотя бы один корень, который является простым числом.
а) Какие значения может принимать ку если га = 14?
б) Какие значения могут принимать корни уравнения, если га (га + 1) = 1085 + к и к — целое число?
в) Какие значения может принимать га, если к2 = 36?


134
Тренировочные варианты
Вариант № 22
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Призёрами городского конкурса экологических проектов стали 54 ученика, что составило 18% от числа участников. Сколько человек участвовало в конкурсе проектов?
2. На рисунке (см. рис. 97) представлена диаграмма, показывающая максимальное суточное количество осадков в каждом месяце в Санкт- Петербурге по наблюдениям с 1836 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий месяц, в миллиметрах. Определите по рисунку, сколько месяцев максимальное суточное количество осадков не превышало 40 мм.
80
70
60
50
40
30
20-Н 10
<50
а:
«5
•в.
Б
§■
а?
С Л
5 cl У \СГ
6 §
Л Л
v& vo* V&1
“ § - ж
*
о
I
'О.
Рис. 97
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 98, с. 135). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. В отделении банка стоят три терминала. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,03 независимо от другого терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.


Вариант № 22
135
Рис. 98
5. Найдите корень уравнения \/2х — 9 = 4.
6. Площадь треугольника ABC равна 17. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE (см. рис. 99).
7. Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = -f*+7£3+4£+12, где х — расстояние отточки отсчёта в метрах, t — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 4 с.
8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 100 (см. с. 136).
Часть 2
9. Найдите значение tg а, если cos a — a € 27tJ .
10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в Кельвинах) от времени работы: T(t) = Т0 + bt + at2, где t — время в минутах, То = 1200 К,
50 3
тельного элемента свыше 2100 К прибор может испортиться, поэтому его
a = —— К/мин2, b = 250 К/мин. Известно, что при температуре нагрева-
о


136
Тренировочные варианты
5
Рис. 100
нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
11. Бригада выполняет заказ по изготовлению декоративных фигурок, ежедневно увеличивая суточную норму на одно и то же число изготовленных сувениров. За первый день бригада изготовила 8 фигурок, а весь заказ из 690 фигурок бригада выполнила за 12 дней. Определите, сколько сувениров бригада изготовила за четвёртый день.
х3
12. Найдите наибольшее значение функции у = —— 27х + 11 на отрезке [-8;0].
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение \/2sin(2x) cos^x -f ^ = 2 cos
б) 	Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—2тт\ 37г].
14. Шар пересечён двумя параллельными плоскостями 71 и 72, площади сечений равны.
а) Докажите, что центр шара находится между плоскостями 71 и 72.
б) В сечении шара плоскостью 71 взяты точки А и В, а в сечении плоскостью 72 — точки С и D, причём АВ = 24, CD = 12\/3, АВ _L CD, BD < AD. Найдите угол между плоскостью BCD и плоскостью 71, если радиус шара равен 13, а плоскость 71 образует сечение площадью 1447г.
15. Решите неравенство ^ 1.
bg3(x + 2r


Вариант № 22
137
16. Две окружности 0\ и 02 одинакового радиуса/равного 10, с центрами в точках С\ и С2 соответственно, касаются друг друга в точке К.
а) Докажите, что существует и притом только одна окружность Оз, которая касается окружностей 0\ и 02 и прямой Z, параллельной С\С2 и отстоящей от неё на расстоянии 15.
б) Найдите площадь четырёхугольника C\MNC2, где точки MwN являются соответственно точками касания окружности Оз с окружностями 01 и 02.
17. 1 июня 2020 года Ольга планирует взять в банке 660000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Ольга переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Ольга может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 210 000 рублей?
18. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение у/А — Зх = a — 2\х\ имеет нечётное число корней.
19. Уравнение х2 4- (к + т)х Ч- А:2 = 0, корни х которого — натуральные числа, имеет хотя бы один корень, который является простым числом.
а) Какие значения могут принимать корни уравнения, если к — — 9 и т — целое число?
б) Какие значения может принимать fc, если к(к +1) = 371 — т и га — целое число?
в) Какие значения может принимать fc, если га2 = 8649?


138
Тренировочные варианты
Вариант JV® 23
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Грузовик за месяц проехал 6000 км. Цена дизельного топлива — 44,25 рублей за литр. Средний расход бензина на 100 км составляет 24 литра. Сколько рублей потратил водитель грузовика на дизельное топливо за этот месяц? !
2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике (см. рис. 101) показана зависимость напряжения в цепи (в вольтах) от времени работы фонарика (в часах). На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по графику, какое напряжение будет в цепи через 36 часов работы фонарика. Ответ дайте в вольтах.
20 30
Рис. 101
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён параллелограмм (см. рис. 102). Найдите длину его большей высоты.
Рис. 102


Вариант № 23
•139
4. Из множества натуральных чисел от 20 до 29 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность, что оно делится на 7?
5. Найдите корень уравнения 215“х = 128.
6. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 14 и одна сторона на 5 больше другой.
7. На рисунке 103 изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: Укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции f(x) положительна.
1 11
y=Ji
х)
\
/\
■\
г
к.
г
V
/
Л
/
|\
У
>
ч'
\
/
Sj
/
\
А
л
Ч
/
1
1
V
i
1
/
1
1
\
/
1
|
1
ч.
J
1
1
1
1
I
1
1
J
h
J
•2
*3
J
А
*5
0
*6
xi
*8
J
:9
X
Рис. 103
8. 	В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, радиус основания которого в 3 раза больше радиуса основания первого сосуда (см. рис. 104)? Ответ дайте в сантиметрах.
Рис. 104


140
Тренировочные варианты
Часть 2
9. Найдите значение выражения Zs*nla, если sin 2a = 0,4.
2 cos 2a
10. На рисунке 105 изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Оу направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ох направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение у = 0,0024х2 — 0,54х + 42, где х и у измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 20 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
11. Курага получается в процессе сушки абрикосов. Сколько килограммов свежих абрикосов потребуется для получения 60 кг кураги, если курага содержит 8% воды, а свежие абрикосы — 94% воды?
12. Найдите наименьшее значение функции у — ху/х — Зх +16 на отрезке [!;9].
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. 	а) Решите уравнение (2х2 — 7х — 15)(2 sin х — л/3) = 0.
б) 	Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку —7г; ^


Вариант № 23
141
14. В основании четырёхугольной пирамиды SKLMN лежит прямоугольник KLMN со сторонами KN = 12, KL = 5. Длины боковых рёбер равны SK = V§6, SN = 10л/2; 5L = 9.
а) Докажите, что ребро SK является высотой пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SM и LN.
15. Решите неравенство > 0.
16. Большее основание AD трапеции ABCD равно 8. Углы при этом основании равны по 75°. Угол между меньшим основанием и одной из диагоналей равен 45°.
а) Докажите, что АВ2 = АО2 + О В2, где О — точка пересечения диагоналей.
б) Найдите площадь трапеции ABCD.
17. В августе планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в августе каждого года долг должей быть на одну и ту же величину меньше долга на август предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит 8,5 млн рублей?
18. При каких значениях параметра а система Г х2 4- а2 = 25,
\ х2 — Ъх + а(8х + 12а — 30) < 0 имеет хотя бы одно решение?
19. Последовательность аь а2, ..., ап,... состоит из натуральных чисел, причём а\ > 4 и an+1 = ап + 4п2 для п ^ 1.
а) Могут ли а2 и аз быть простыми числами?
б) Может ли сумма двух подряд идущих членов этой последовательности делиться на 4 нацело, если оба этих члена — простые числа?
в) Какое наибольшее количество подряд идущих членов этой последовательности (не обязательно с первого) могут быть простыми числами?


142
Тренировочные варианты
Вариант № 24
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Автобус за месяц проехал 12 ООО км. Цена топлива — 44 рубля за литр. Средний расход топлива на 100 км составляет 35 литров. Сколько рублей потратили на топливо для автобуса за этот месяц?
2. При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике (см. рис. 106) показана зависимость напряжения в цепи (в вольтах) от времени работы фонарика (в часах). На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по графику, какое напряжение будет в цепи через 38 часов работы фонарика. Ответ дайте в вольтах.
1)8
1,4
1,0
0,6
0,2
10
20 30
Рис. 106
40
50
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён параллелограмм (см. рис. 107). Найдите длину его большей высоты.
Рис. 107


Вариант № 24
143
4. Из множества натуральных чисел от 15 до 24 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность, что оно делится на б?
5. Найдите корень уравнения 511-х = 125.
6. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 22 и одна сторона на 7 больше другой.
7. На рисунке 108 изображён график функции у = /(ж). На оси абсцисс отмечено десять точек: ^кажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции отрицательна.
Рис. 108
8. 	В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, радиус основания которого в 2 раза больше радиуса основания первого сосуда (см. рис. 109)? Ответ дайте в сантиметрах.
Рис. 109


144
Тренировочные варианты
Часть 2
9. Найдите значение выражения ^ у*, если sin 4а = 0,7.
О COS 40!
10. Ha рисунке 110 изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Оу направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ох направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение у = 0,0025х2 — 0,75х + 65, где х и у измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 12 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
11. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов изюма получится из 260 кг винограда, если изюм содержит 9% воды, а свежий виноград — 93% воды?
з
12. Найдите наименьшее значение функции у = х 2 — 12х + 15 на отрезке [49; 100].
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. 	а) Решите уравнение (2х2 - Их + 5)(2 cos х - \/2) = 0.
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку я*] •


Вариант № 24
145
14. В основании пирамиды SABCDEF лежит правильный шестиугольник ABCDEF со стороной 4, SA — б, SF = 2л/13\ SD = 10.
а) Докажите, что SA является высотой пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми АС и SD.
log0 с(х — 1)
15. Решите неравенство ■.—-г- ^ 0.
(3х - 4)(|х| - 2)
16. Меньшее основание ВС трапеции ABCD равно 12. Углы при большем основании равны по 75°. Угол между диагоналями равен 90°.
а) Докажите, что ВО = ОС, где О — точка пересечения диагоналей.
б) Найдите площадь трапеции ABCD.
17. В октябре планируется взять кредит в банке на сумму 11 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по сентябрь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в октябре каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на октябрь предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит 20,24 млн рублей?
18. При каких значениях параметра а система
х2 — 17^ж -Ь (За ■+■ 18)— 1^ ^ 0,
х2 = 36 — а2 имеет хотя бы одно решение?
19. Последовательность аь а2,..., ап,... состоит из натуральных чисел, an+1 = 2ап + (2п - I)2 для п ^ 1.
а) Может ли а3 быть простым числом, если аь а2 и а4 не являются простыми числами?
б) Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности (не обязательно с первого) может делиться на 3?
в) Какое наибольшее количество подряд идущих членов последовательности (не обязательно с первого) может быть не кратно 3, если а\ не делится на три нацело?


146
Тренировочные варианты
Вариант № 25
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Студент получил гонорар в размере 3600 рублей за создание сайта. Он решил на все полученные деньги купить букет роз для своей бабушки. Какое наибольшее количество роз сможет купить студент, если удержанный у него налог на доходы составляет 13% гонорара, розы стоят 250 рублей за штуку и букет должен состоять из нечётного числа цветов?
2. На диаграмме (см. рис. 111) изображено количество учеников 11-го класса, выбравших для сдачи ЕГЭ различные дополнительные экзамены. По горизонтали указаны экзамены, по вертикали — количество учеников, выбравших тот или иной экзамен. По диаграмме определите, сколько экзаменов были более востребованы, чем история.
80 70 60 50 40 30 20 10
Рис. 111
3. На клетчатой бумаге с размером клетки \Дб х л/Гб изображён ДАВС (см. рис. 112, с. 147). Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
4. Перед началом теннисного матча судья бросает монетку, чтобы определить, кто из игроков будет подавать первым. Теннисист А играет три матча с разными соперниками. Найдите вероятность того, что игрок А будет подавать первым ровно два раза.
&
£
* з
о £ с?
а
5
ж
О 2 s £ «
Г
о
I
!■
S


Вариант № 25
147
В
\
Л;
А
у
Рис. 112
5. Найдите корень уравнения х = ^ Если уравнение имеет более
одного корня, то в ответе запишите меньший из корней.
6. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 и 13 (см. рис. 113).
7. 	На рисунке 114 изображён график функции у = F(x) — одной из первообразных функции /(х), определённой на интервале (—4;3). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [—3; 2].
Рис. 114
8. 	В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2700 см3 жидкости и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень


148 Тренировочные варианты
жидкости в сосуде поднялся с отметки 18 см до отметки 29 см. Найдите объём детали (см. рис. 115). Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Рис. 115
Часть 2
9. Найдите значение tg2 a, если 5 sin2 a + 17 cos2 a = 6.
10. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя опре-
ф ф
деляется формулой 77 = —Ц=—2- • 100%, где Тг — температура нагрева-
теля (в градусах Кельвина), Т2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Ti КПД этого двигателя будет не меньше 55%, если температура холодильника Т2 = 315 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
11. Из деревни Западная в деревню Восточная одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 45 км/ч, а вторую половину пути со скоростью, на 42 км/ч больше скорости первого. В деревню Восточная оба автомобиля прибыли одновременно. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите точку минимума функции у = 7ху/х - 21х + 9.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 1 -f sin(37r — х) = 2 sin2 х.
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку — ^^
14. Известно, что ABCDA1B1C1D1 — куб, АВ = 12. На ребре СС\ взята точка Т такая, что СТ — 10. Через точки TkDi проведена плоскость 7, параллельная прямой СА\.


Вариант № 25
149
а) Докажите, что В\М : МС\ = 4 : 1, где М — точка пересечения плоскости 7 и ребра В\С\.
б) Найдите угол наклона плоскости 7 к плоскости CDDiC\.
15. Решите неравенство log2(25 — bx) ^ log2(x2 — 8х + 15) + log2(x + 2).
16. Меньшая сторона АВ и меньшая диагональ BD параллелограмма ABCD образуют с его большей стороной AD углы, соответственно равные 30° и 15°. Проведена окружность с центром в точке В и радиусом ВН, где ВН — высота параллелограмма, опущенная на сторону AD.
а) Докажите, что отношение площади части круга, расположенной вне
7
параллелограмма, к площади всего круга равно
б) Найдите площадь части круга, расположенной внутри параллело-
12
грамма, если AD = —7=.
\Лг
17. Строительство нового завода стоит 340 млн рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,3х2 + х + 12 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх — (0,3х2 + х + 12). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы годовая прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции р — 14 тыс. рублей за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?
18. При каких значениях параметра а уравнение
(а 4- 2)81х — (а — 1)9Х — 6а + 5 = 0 имеет единственный корень?
19. В течение к дней Костя выписывал в тетрадь натуральные числа, каждое из которых не больше 18. При этом каждый день, начиная со второго, сумма выписанных за день чисел была хотя бы на 2 больше, чем в предыдущий день, а количество чисел меньше.
а) Может ли среднее арифметическое чисел, выписанных в первый день, быть больше 2, но меньше 3, а среднее арифметическое всех выписанных чисел быть больше 10?
б) Может ли сумма чисел, выписанных в первый день, равняться 350, если к ^ 300?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы всех выписанных чисел при к = 100.


150
Тренировочные варианты
Вариант № 26
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Эльза получила гонорар в размере 1200 рублей за работу няней. Она решила на все полученные деньги купить фигурки-трансформеры для своих братьев Миши и Тиграна. Какое наибольшее количество трансформе- ров сможет купить Эльза, если удержанный у неё налог на доходы составляет 4% гонорара, трансформеры стоят 230 рублей за штуку и она должна купить чётное число трансформеров (поровну для Миши и Тиграна)?
2. На диаграмме (см. рис. 116) показано потребление основных продуктов питания на душу населения в 2016 году по оценкам одного из статистических агенств. По горизонтали указаны основные продукты питания, по вертикали — количество в кг на душу населения. Используя диаграмму,
230
210
190
170
150
130
110--— 90р 70- 50+- 30— 10--
s В! <§ §*|1
Рис. 116


Вариант № 26
151
определите, сколько из представленных типов продуктов были востребованы населением меньше, чем овощи.
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки у/2 х у/2 изображён ААВС (см. рис. 117). Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
Рис. 117
4. Перед началом теннисного матча судья бросает монетку, чтобы определить, кто из игроков будет подавать первым. Теннисист А играет три матча с разными соперниками. Найдите вероятность того, что игрок А будет подавать первым ровно один раз.
5. Найдите корень уравнения х = Если уравнение имеет более
одного корня, то в ответе запишите меньшей из корней.
6. Площадь ромба равна 27, одна из его диагоналей равна 9 (см. рис. 118). Найдите другую диагональ.
7. На рисунке 119 (см. с. 152) изображён график функции у = F(x) — одной из первообразных функций /(х), определённой на интервале (—3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [—2; 4].
8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 3200 см3 жидкости и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 15 см до отметки 27 см. Найдите объём детали (см. рис. 120, с. 152). Ответ дайте в кубических сантиметрах.


152
Тренировочные варианты
Рис. 120 Часть 2
9. Найдите значение tg2 а, если 4 sin2 a + 13 cos2 a = 5.
10. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой rj = —2 • 100%, где Ti — температура нагрева-
теля (в градусах Кельвина), Т2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Ti КПД этого двигателя будет не меньше 40%, если температура холодильника Т2 = 330 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
11. Из посёлка Ижица по направлению к посёлку Ять одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, на 12 км/ч меньше скорости первого, а вторую половину пути со скоростью 80 км/ч. В посёлок Ять оба автомобиля прибыли одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч.


Вариант № 26
153
12. 	Найдите точку минимума функции у = Зху/х — 27х 4- 11.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 1 — cos^-^ — xj = 2 cos2 х.
[57Г —2~’® *
14. Известно, что ABCDAiB\C\Di — куб, AD = 8. На ребре АА\ взята точка К такая, что А\К — 1. Через точки К и В\ проведена плоскость 7, параллельная прямой АС\.
а) Докажите, что А\Р : PDi = 1:6, где Р — точка пересечения плоскости 7 и ребра A\D\.
б) Найдите угол наклона плоскости 7 к плоскости ADD1A1.
15. Решите неравенство log0 7(6 —Зх) ^ log0 j(x2 —5x-f 6)-f log0>7(x+l).
16. Меньшая сторона АВ и меньшая диагональ BD параллелограмма ABCD образуют с его большей стороной AD углы, соответственно равные 75° й 45°. Проведена окружность с центром в точке В и радиусом ВН, где ВН — высота параллелограмма, опущенная на сторону AD.
а) Докажите, что отношение площади части круга, расположенной
7
внутри параллелограмма, к площади всего круга равно —.
б) Найдите площадь части круга, расположенной вне параллелограм-
15
ма, если AD = —?=.
v/тг
17. Строительство нового завода стоит 350 млн рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,2х2 4- х 4- 24 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит рх — (0,2х2 4- х 4- 24). Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы годовая прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции р = 9 тыс. рублей за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?


154
Тренировочные варианты
18. При каких значениях параметра а уравнение
(а — 5)25ж 4* (а + 7)5Х + 2а + 7 = 0 имеет единственный корень?
19. В течение к дней Оля выписывала в тетрадь натуральные числа, каждое из которых меньше 21. При этом каждый день, начиная со второго, сумма выписанных за день чисел была меньше, чем в предыдущий день, а количество чисел — хотя бы на 3 больше.
а) Может ли к равняться 8?
б) Может ли к равняться 154, если сумма чисел, записанных в первый день, не больше 600?
в) Известно, что сумма чисел, выписанных в первый день, равна 300. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех выписанных за к дней чисел?


Вариант № 27
155
Вариант № 27
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по 0,5 г 2 раза в день в течение 28 дней. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
2. На заданной диаграмме (см. рис. 121) показана динамика курса евро с 18 февраля 2020 года по 27 февраля 2020 года. По вертикали указана цена 1 евро в рублях, по горизонтали — даты (23, 24, 25 — нет данных, поскольку это выходные дни). По диаграмме определите, сколько дней с 18.02 по 27.02.2020 года (из отмеченных) курс евро превышал 69 рублей.
, {руб. за 1 евро
70■
69
68
Дни месяца  ►
18 19 20 21 22 26 27 Рис. 121
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция (см. рис. 122). Найдите длину её средней линии.
/
\
А
\
Рис. 122
4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию А = {сумма очков равна 9}?


156
Тренировочные варианты
5. Найдите корень уравнения
6. Периметр треугольника равен 16, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника (см. рис. 123).
7. 	На рисунке 124 изображён график функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(6) — F( 1), где F(x) — одна из первообразных функций f(x).
-3-
\
\
\
\
\
0
1
X
\
Рис. 124
8. 	Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём конуса равен 23 см3. Найдите объём цилиндра (см. рис. 125, с. 157). Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Часть 2
9. 	Найдите значение если P(a) = (а + а + -V а Ф 0.
р^ V а)\ а)


Вариант № 27
157
Рис. 125
10. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу га = 1940 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной
I = 16 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой р = -52, где
га — масса экскаватора (в тоннах), I — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, д — ускорение свободного падения (считайте д = 10м/с2). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление р не должно превышать 242,5 кПа. Ответ выразите в метрах.
11. Из деревни Старомостовая в деревню Новомостовая, расстояние между которыми 120 км, одновременно выехали два автомобилиста. Известно, что за час первый автомобилист проезжает на 15 км/ч больше, чем второй. Определите скорость первого автомобилиста, если в Новомостовую он приезжает на 40 мин раньше второго. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите наибольшее значение функции у = Зх — Аху/х на отрезке [0; 1]-
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение log3(— cos х) + logi(— sin ж) = — i
3 2
б) 	Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
14. Основанием пирамиды ABCD является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна 4. Боковое ребро CD перпендику¬


158
Тренировочные варианты
лярно плоскости основания и имеет длину \/2. Пусть М — середина ребра ВС, а N — середина ребра АВ.
а) Докажите, что угол между прямыми DM и CN равен 45°.
б) Вычислите расстояние между прямыми DM и CN.
15. Решите неравенство ^ О-
X J.\JX ^4
16. Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е, вписан в окружность. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М.
а) Докажите, что ЕМ — медиана треугольника CED.
б) Найдите длину ЕМ, если AD = 8, АВ = 4 и ZBDC = 60°.
17.15-го января планируется взять кредит в банке в размере S рублей на п месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину А меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Найдите п, S, A, D (общая сумма выплат после погашения кредита), если известно, что четвёртая выплата составит 17700 рублей, а девятая выплата — 16 200 рублей.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение \Jx\x — 2| = ^|+а имеет ровно два различных корня.
19. а) Можно ли найти натуральные числа с первой цифрой 3 слева, которые уменьшаются в 13 раз при зачёркивании этой цифры?
б) Можно ли найти натуральные числа с первой цифрой 5 слева, которые уменьшаются в 13 раз при зачёркивании этой цифры?
в) Найдите все натуральные числа, которые уменьшаются в 13 раз при зачёркивании первой цифры слева.


Вариант № 28
159
Вариант № 28
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Больному прописано лекарство, которое нужно принимать по 0,8 г 2 раза в день в течение 31 дня. В одной упаковке 20 таблеток лекарства по 0,4 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
2. На заданной диаграмме (см. рис. 126) показано число посетителей музея за все дни в течение одной недели. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — число посетителей. По диаграмме определите, какое количество дней за эту неделю число посетителей не превышало 95 человек.
120 100 80 60 40 20+Н
пн вт ср чт пт сб вс Рис. 126
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция (см. рис. 127). Найдите длину её средней линии.
Рис. 127
4. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов
опыта благоприятствуют событию А = {сумма очков равна 10}?


160
Тренировочные варианты
( 1 \х~г1
5. Найдите корень уравнения ^—J = 4.
6. Около окружности, радиус которой равен 4, описан многоугольник, периметр которого равен 30. Найдите его площадь (см. рис. 128).
7. 	На рисунке 129 изображён график функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(7) — F(3), где F(x) — одна из первообразных функций /(ж).
Рис. 129
8. 	Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём конуса равен 41 см3. Найдите объём цилиндра (см. рис. 130). Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Рис. 130


Вариант Mb 28
161
Часть 2
9. Найдите значение , если Р(х) — Гх + -^7х+-У
V х)\ х)
10. Опорные башмаки шагающего экскаватора, массой m = 1026 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной I = 19 метров и шириной 5 метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в
килопаскалях, определяется формулой р = ^2, где m — масса экскаватора (в тоннах), I — длина балок в метрах, s — ширина балок в метрах, д — ускорение свободного падения (считайте д = 10 м/с2). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление р не должно превышать 180 кПа. Ответ выразите в метрах.
11. Из деревни Дождливая в деревню Засушливая, расстояние между которыми 105 км, выехал велосипедист. Пробыв в деревне несколько дней, он отправился обратно со скоростью, на 3 км/ч больше прежней. По пути он сделал остановку длительностью 50 мин, в результате на обратную дорогу он потратил столько же времени, сколько на путь из Дождливой в Засушливую. Определите скорость велосипедиста на пути из деревни Дождливой в деревню Засушливую. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите наибольшее значение функции у = 6х — Ъхл/х на отрезке [0; 6].
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение log2(sin 2х) + logi (— sinx) = i.
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку — 57т; — .
14. Основанием пирамиды ABCD является прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, длина гипотенузы АВ которого равна 4\/2. Боковое ребро пирамиды CD перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Пусть М — середина ребра АС, а N — середина ребра АВ.
а) Докажите, что угол между прямыми DM и CN равен 60°.
б) Вычислите расстояние между прямыми DM и CN.
11. 	Зак. № 121


162
Тренировочные варианты
15. Решите неравенство ^ 0.
аг + 4х - 5
16. Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и. пересекаются в точке Е, вписан в окружность. Прямая, проходящая через точку Е и середину стороны ВС, пересекает сторону AD в точке Я.
а) Докажите, что ЕН — высота треугольника AED.
б) Найдите длину ЕН, если CD — 6, BE = 5 и ZADB = 45°.
17.15-го января планируется взять кредит в банке в размере S рублей на п месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму А меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Найдите п, 5, А, D (общая сумма выплат после погашения кредита), если банку за первые пять месяцев будет выплачено 484 500 рублей, а за последние пять месяцев всего будет выплачено 450 500 рублей.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
\g(x\x — 2|) = lg ^ ^ — aj имеет ровно один корень.
19. а) Можно ли найти натуральные числа с первой цифрой 6 слева, которые уменьшаются в 25 раз при зачёркивании этой цифры?
б) Можно ли найти натуральные числа с первой цифрой 7 слева, которые уменьшаются в 25 раз при зачёркивании этой цифры?
в) Найдите все натуральные числа, которые уменьшаются в 25 раз при зачёркивании первой цифры слева.


Вариант № 29
163
Вариант № 29
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Держатели дисконтной карты магазина спортивных товаров получают при покупке скидку 7%. Держатель дисконтной карты заплатил за велосипед в этом магазине 21390 рублей. Сколько рублей стоит велосипед без скидки?
2. На рисунке 131 представлен график нагревания некоторого количества воды. По горизонтали указано время (в минутах), прошедшее с момента начала нагревания, по вертикали — температура в соответствующее время (в °С). Определите по графику, за сколько минут температура воды выросла с 30 °С до 70 СС.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки л/Гг х >/17 изображён четырёхугольник (см. рис. 132, с. 164). Найдите его периметр.
4. На пробный экзамен по математике пришли 126 одиннадцатиклассников, в том числе подруги Лена и Оля. Учащихся разместили в двух аудиториях, разделив случайным образом на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Лена и Оля окажутся в одной аудитории.
5. Найлитч корень уравнения (х — 7)2 = — 28х.
12. 	Зак. №121


164
Тренировочные варианты
I
Рис. 132
6. В треугольнике ABC угол А равен 43°, СН — высота, угол ВСН равен 16° (см. рис. 133). Найдите угол АС В. Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке 134 изображён график некоторой функции у = f(x). Функ-
*т
ция F(x) = х3 •+■ 15х2 + 84х — — — одна из первообразных функций f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Рис. 134
8. 	Найдите объём призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 5, а боковые рёбра равны 7 и наклонены к плоскости основания под углом 60° (см. рис. 135, с. 165).
12*


Вариант № 29
165
//
if
У
Рис. 135 Часть 2
9. Найдите значение -, если = 1.
у 7х + 3 у
10. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала /о = 170 Гц и определяется следующим выражением:
/ = /о • (Гд), где с — скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а и = 5 м/с и v = 12 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости с (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике / будет не менее 175 Гц?
11. Два мотоциклиста отправляются одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой 26 км. Скорость одного из них на 39 км/ч больше скорости другого. Через сколько минут после начала движения мотоциклисты поравняются в первый раз?
12. Найдите точку максимума функции у = — \ху/х + Ах + 2.
о
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. 	а) Решите уравнение cos2 х - \/2cosx - 2sin2x + 2,5 - cos2 2х = 0.
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку |^—7г; ^ .


166
Тренировочный варианты
14. Трапеция KLMN является основанием пирамиды PKLMN, /.KLM + ZLMN = 270°, Q — точка пересечения прямых KL и MN. Плоскости KPL и PMN перпендикулярны плоскости основания.
а) Докажите, что плоскости KPL и PMN взаимно перпендикулярны.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды PLQM, если KL = LM = MN = 12, а высота пирамиды равна 8.
15. Решите неравенство (14 — 6х) \og7x_6(x2 — 2х + 2) ^ 0.
16. В треугольник АБС со сторонами АВ = 14, ВС = 16 и АС = 18 вписан квадрат KLMN так, что две его вершины К и N лежат на стороне АС, а две другие — L и М — лежат соответственно на сторонах АВ и ВС этого треугольника.
а) Докажите, что угол В — острый и больше 45°.
б) Найдите сторону квадрата.
17. В июле 2021 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере 5 млн рублей, где 5:— целое число. Условия его возврата таковы:
— в конце каждого января долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Месяц и год
Июль 2021
Июль 2022
Июль 2023
Июль 2024
Июль 2025
Долг (в млн рублей)
S
0,85
0,65
0,35
0
Найдите наибольшее значение 5, при котором каждая из выплат будет меньше 2 млн рублей.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все реше¬
ния неравенства 2|у + 1| +
*+!
^ 2 являются решениями неравенства
(у + х2 - 2х - 2)(2у - х + 1) ^ 0.
19. 	На столе лежат 120 карточек — красные и зелёные, на каждой карточке записано ровно одно натуральное число. Все числа на красных карточках различны, и число на любой красной карточке не меньше числа на любой зелёной карточке. Среднее арифметическое всех записанных чисел равно 60,25. Если все числа на зелёных карточках увеличить на 2, а все числа на красных карточках увеличить на 5, то среднее арифметическое всех чисел станет равным 64.


Вариант № 29
167
а) Могут ли все числа на зелёных карточках быть различны?
б) Может ли среднее арифметическое чисел на зелёных карточках равняться 50,5?
в) Какое наибольшее среднее арифметическое может быть у чисел на зелёных карточках?


168
Тренировочные варианты
Вариант № 30
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 3% от стоимости купленной мебели. Комод вместе со сборкой стоит 8 549 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого комода без сборки?
2. На рисунке 136 представлен график нагревания некоторого количества воды. По горизонтали указано время (в минутах), прошедшее с момента начала нагревания, по вертикали — температура в соответствующее время (в °С). Определите по графику, за сколько минут температура воды выросла с 40 °С до 80 °С.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки VlS х \/ТЗ изображён четырёхугольник (см. рис. 137, с. 169). Найдите его периметр.
4. На пробный экзамен по математике пришёл 81 одиннадцатиклассник, в том числе друзья Глеб и Пётр. Учащихся разместили в трёх аудиториях, разделив случайным образом на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Глеб и Пётр окажутся в одной аудитории.
5. Найдите корень уравнения (х — 9)2 = —36ж.


Вариант № 30
169
Рис. 137
6. 	В треугольнике ABC угол С равен 45°, AD — биссектриса, угол CAD равен 25°. Найдите угол В (см. рис. 138). Ответ дайте в градусах.
7. 	На рисунке 139 изображён график некоторой функции у = f{x). Функция F(x) = х3 + 12х2 4- 72х — — одна из первообразных функций /(х).
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Рис. 139


170
Тренировочные варианты
8. 	Найдите объём призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 6, а боковые рёбра равны 11 и наклонены к плоскости основания под углом 60° (см. рис. 140).
Часть 2
9. Найдите значение если ^ = 1.
о 9а + 56
10. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движу¬
щихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала /о = 140 Гц и определяется следующим выражением:
/ = /о • (Гц), где с — скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а и = б м/с и и = 4 м/с — скорости приёмника и источника от¬
носительно среды соответственно. При какой максимальной скорости с (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике / будет не менее 150 Гц?
11. Два гонщика участвуют в соревнованиях. Каждому из них нужно преодолеть 40 кругов по кольцевой трассе длиной 6 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а первый завершил гонку на 4 минуты раньше второго. Определите скорость второго гонщика (в км/ч), если первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 1 час после старта.
12. Найдите точку максимума функции у = 5 + 9х - 2хфс.


Вариант № 30
171
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13; 14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение sin2 2х — >/3sin2x -f 2 — cos2 х — sin х = 0.
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку —37г; .
14. Трапеция CDEF является основанием пирамиды TCDEF, ZDCF + ZEFC — 90°, К — точка пересечения прямых CD и EF. Плоскости CDT и EFT перпендикулярны плоскости основания.
а) Докажите, что ТК является высотой пирамиды.
б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды TKCF, если CD = EF = 4, DE = 6\/2, ТК = Ъу/2.
15. Решите неравенство (18 — 5х) log9x_7(x2 — бх + 10) ^ 0.
16. В треугольник со сторонами АВ = 12, ВС = 14 и АС = 16 вписан ромб AKLM так, что точки К, L к М лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС этого треугольника.
а) Докажите, что угол А — острый и больше 45°.
б) Найдите площадь ромба.
17. В июне 2021 года предприятие планирует взять кредит в банке на четыре года в размере 5 млн рублей, где 5 — целое число. Условия его возврата таковы:
— в конце каждого января долг увеличивается на 22% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июне каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
Месяц и год
Июнь 2021
Июнь 2022
Июнь 2023
Июнь 2024
Июнь 2025
Долг (в млн рублей)
5
0,95
0,75
0,25
0
Найдите наибольшее значение 5, при котором сумма наибольшей и наименьшей выплат будет меньше 8 млн рублей.
18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все решения неравенства \у — а\ + \х\ ^ 3 являются решениями неравенства
(у - а- (х - а)2)(х - 3 - у + а) > 0.
19. На столе лежат 140 карточек — синие и белые, на каждой карточке записано ровно одно натуральное число. Все числа на белых карточках


172
Тренировочные варианты
различны, и число на любой синей карточке не меньше числа на любой белой карточке. Среднее арифметическое всех записанных чисел равно 70. Если все числа на синих карточках уменьшить на 5, а все числа на белых карточках увеличить на 2, то среднее арифметическое всех чисел станет равным 67,5 (при уменьшении некоторые числа могут не быть натуральными).
а) 	Могут ли все числа на белых карточках быть чётными?
б) Может ли среднее арифметическое чисел на синих карточках равняться 70,5?
в) Какое наименьшее среднее арифметическое может быть у чисел на синих карточках?


Вариант № 31
173
Вариант №31
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. В доме, в котором живет Степан, 15 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 6 квартир. Степан живет в квартире №261. В каком подъезде живёт Степан?
2. На диаграмме (см. рис. 141) показаны средние цены в интернет- магазинах на электрочайники модели А и модели Б, в период с февраля по октябрь 2019 года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — цены (в рублях). По диаграмме определите, сколько месяцев с февраля по октябрь 2019 года средняя цена электрочайника модели А была выше средней цены электрочайника модели Б.
5400т
5200
5000
4800
4600-Ц
4400 4200Н
4000
I
си
&
•С
ж
£
•О
з
\~] Модель А Модель Б
а
&
S
о
§
Рис. 141
3. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 142 (см. с. 174).
4. Вероятность того, что новый электрический утюг прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,95. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
5. 	Найдите корень уравнения
(
5х + 1
4
7.


174
Тренировочные варианты
6. 	Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиусом 5 (см. рис. 143).
7. 	На рисунке 144 изображён график функции у = /(ж), определённой на интервале (—4; 7). Найдите количество решений уравнения f'(x) = 0 на отрезке [1; 6].
Рис. 144


Вариант № 31
175
12
8. 	Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна —. Найдите пло-
7Г
щадь боковой поверхности цилиндра (см. рис. 145).
Рис. 145
Часть 2
9. Найдите значение выражения а + \/а2 - 6а 4* 9, а < 3.
10. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление Р (в Паскалях), оказываемое навесом и колонной на
опору, определяется по формуле Р = гДе ш = 2700 кг — общая
масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения д — 10 м/с2, а 7г = 3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 900000 Па. Ответ выразите в метрах.
11. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторый заказ за 30 часов. Работая отдельно, первый рабочий за 3 часа выполняет такой же объём работ, как второй за 5 часов. За сколько часов выполнит этот заказ второй рабочий самостоятельно?
12. Найдите точку максимума функции у = — - — ——.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. 	а) Решите уравнение 2 cos2 ж + v^3sin^-^ —3 = 0.


176
Тренировочные варианты
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку .
14. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAiBiCiDiEiFi сторона основания равна 4, а высота равна 6. Плоскость а параллельна боковому ребру призмы и делит пополам рёбра АВ и D\E\.
а) Докажите, что плоскость а перпендикулярна прямой CF.
б) Найдите расстояние между прямыми ВС\ и CF.
15. Решите неравенство - ^ о.
log3(ar + 8х + 16)
16. В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона АВ = 5, ВС = л/41» CD = \/4l и AD = 5.
а) Докажите, что диагонали АС и J3D этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
б) Найдите площадь ABCD, если все отрезки диагоналей, на которые их делит точка пересечения, являются целыми числами.
17. Дмитрий Олегович хочет положить определённую сумму денег в банк под проценты. Треть этой суммы он кладёт на вклад «А» под г% годовых, а оставшуюся часть денег — на вклад «В» под q% годовых (проценты начисляются в конце года и добавляются к сумме вклада). Через год сумма вкладов (с учётом процентов) равна 334000 рублей, а через два года —
371880 рублей. Если бы Дмитрий Олегович изначально | суммы поло-
о
жил на вклад «В», а оставшиеся средства на вклад «А», то через год сумма вкладов (с учётом добавленных процентов) была бы равна 332 ООО рублей. Чему в этом случае была бы равна сумма вкладов через два года?
18. При каких положительных значениях параметра а наибольшее значение функции у = cosx + 2а sin х + а на отрезке больше 2?
19. В двух школах некоторые учащиеся писали тест, результат любого ученика — натуральное число баллов. Из каждой школы писали не меньше двух учащихся, а всего —19 человек. После подсчёта средних баллов в каждой школе учащийся N перешёл из школы А в школу Б, затем средние баллы в обеих школах пересчитали. Известно, что первоначальные средние баллы в обеих школах выражались целыми числами.
а) 	Мог ли средний балл в школе А упасть на 40%, если учащийся N набрал 26 баллов?


Вариант № 31
177
б) Мог ли средний балл в обеих школах упасть на 25% после перехода учащегося N, если средний балл во второй школе до перехода учащегося N равнялся 64?
в) Средний балл в школе А вырос на 8%, средний балл в школе Б вырос на 10%. Найдите наименьшее возможное значение среднего балла в школе Б до перехода учащегося N.


178
Тренировочные варианты
Вариант № 32
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. В доме, в котором живёт Савелий, один подъезд. На каждом этаже по семь квартир. Савелий живёт в квартире 101. На каком этаже живёт Савелий?
2. На диаграмме (см. рис. 146) показаны средние цены в интернет- магазинах на пылесосы модели А и модели Б в период с мая по декабрь 2019 года. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — цены (в рублях). По диаграмме определите, сколько месяцев с мая по декабрь 2019 года средняя цена пылесоса модели Б была выше средней цены пылесоса модели А.
I \Цена в рублях
20 ООО
14 ООО
8000
2000
А
a
£
з
л
I
3
Ld
Л
£
8
•С
&
о
&
§
Ж
□ МодельА ЕЭ Модель Б
А
«§•
§
'О
Месяцы
Рис. 146
3. Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 147 (см. с. 179).
4. Вероятность того, что новый фен прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,91. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
5. 	Найдите корень уравнения
^ = 5.
6. 	Найдите хорду, на которую опирается угол 135° ность радиусом 5\/2 (см. рис. 148, с. 179).
вписанныи в окруж-


Вариант №32 179
7. 	На рисунке 149 изображён график функции у = /(я), определённой на интервале (—3; 9). Найдите количество решений уравнения /'(х) = 0 на отрезке [—1; 6].
Рис. 149


180
Тренировочные варианты
1К
8. 	Радиус основания цилиндра равен 5, высота равна —. Найдите пло-
7Г
щадь боковой поверхности цилиндра (см. рис. 150).
R
Рис. 150
Часть 2
9. Найдите значение выражения Ь + \/Ь2 — 166 И- 64, 6^8.
10. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление Р (в Паскалях), оказываемое навесом и колонной на
опору, определяется по формуле Р — где гп = 1350 кг — общая
7TJJ
масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения д — 10 м/с2, а 7г = 3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 200000 Па. Ответ выразите в метрах.
11. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторый заказ за 56 рабочих дней. Работая отдельно, первый рабочий за 7 рабочих дней выполняет такой же объём работ, как второй за 4 рабочих дня. За сколько часов выполнит этот заказ первый рабочий самостоятельно?
2 I о с
12. Найдите точку минимума функции у = .
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. 	а) Решите уравнение 2 sin2 х — \/2cos^^ — - 2 = 0.


Вариант № 32
181
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку —7г; -J.
14. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\B\CiDiEiFi сторона основания равна 8, а высота равна 6.
а) Докажите, что прямая А\С\ перпендикулярна плоскости ВВ\Е\.
б) Найдите расстояние между прямыми А\С\ и CF\.
15. Решите неравенство 1ое^++10х++25) < °'
16. В выпуклом четырёхугольнике ABCD сторона АВ — 5, ВС — \/52, CD = \/52 и AD = 5.
а) Докажите, что диагональ BD точкой пересечения диагоналей делится пополам.
б) Найдите площадь ABCD, если все отрезки диагоналей, на которые их делит точка пересечения, являются целыми числами.
17. Ирина Евгеньевна хочет положить определённую сумму денег в банк под проценты. Эту сумму она кладёт на вклад «А» с такими условиями: первые два года банк начисляет q% годовых, третий и четвёртый годы — р% годовых (проценты начисляются в конце года и добавляются к сумме вклада). Через 3 года сумма вклада (с учётом процентов) равна 290400 рублей, а через четыре года — 348480 рублей. Банк также предлагает положить деньги на вклад «В» с такими условиями: первый год банк начисляет q% годовых, второй и третий годы — р% годовых. Если бы Ирина Евгеньевна изначально положила такую же сумму на вклад «В», то через 3 года сумма вклада (с учётом добавленных процентов) была бы равна 316 800 рублей. Чему была бы равна сумма вклада через четыре года, если бы такую же сумму можно было разместить в банке под наибольшее из q% и р% годовых число процентов?
18. При каких положительных значениях параметра а наименьшее значение функции у = -За cos ж-sin ж+2а на отрезке не больше-1?
19. В двух школах некоторые учащиеся писали тест, результат любого ученика — натуральное число баллов. Из каждой школы писали не меньше двух учащихся, а всего — 32 человека. После подсчёта средних баллов в каждой школе учащийся N перешёл из школы №1 в школу №2, затем средние баллы в обеих школах пересчитали. Известно, что первоначальные средние баллы в обеих школах выражались целыми числами, при этом средний балл в школе №1 был в три раза больше, чем в школе №2.
а) 	Мог ли средний балл в обеих школах уменьшиться?


182
Тренировочные варианты
б) Могли средний балл в обеих школах стать одинаковым?
в) Известно, что после перехода учащегося N из школы №1 в школу «№2 средний балл в обеих школах увеличился на одно и то же целое число процентов г. Найдите все возможные значения г.


Вариант № 33
183
Вариант № 33
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. В музыкальной школе 800 учеников, из них 35% — мальчики. Среди девочек музыкальной школы 10% занимаются вокалом. Сколько девочек в музыкальной школе занимаются вокалом?
2. На графике (см. рис. 151) представлена среднемесячная температура воздуха днём в городе К по месяцам за 2019 год. По горизонтали указаны месяцы, по вертикали — среднемесячная температура. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разницу между наибольшей и наименьшей среднемесячной температурой воздуха днём в городе К в течение 2019 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
;,°С,
30°
20°
10°
L_
1
/-
X,,..
'X
V
-Л--
Л
\г
t----
А
У
-V
/
•С
I
Ж
*
S4
•©<
I
а?
а
I
а
^сяцы
'S' '£Г ф V&
S 5 ?
fc £ s *
^ о ^
о
Рис. 151
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён прямоугольник (см. рис. 152, с. 184). Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,95, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристре-


184
Тренировочные варианты
Рис. 152
лянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 3 пристрелянных. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
5. Найдите корень уравнения sin ™ . В ответе запишите наименьший положительный корень.
6. Хорда АВ делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 1 : 3. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принадлежащей меньшей дуге окружности (см. рис. 153)? Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке 154 (см. с. 185) изображён график функции у = f'(x) — производной функции /(х), определённой на интервале (—7; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = — 2х — 5 или совпадает с ней.
8. Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,6 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба (см. рис. 155, с. 185).


Вариант № 33
185
1
=Г(*
1
>У
У
)
\
\
/
\
\
1.
/
\
\
1
/
7
1
1
-1
У
1
1 i
X
\
/
V
\
/
N
>
ч
у
г
Рис. 154
Часть 2
9. Найдите значение выражения у/(х — 4)2 + у/(х — 12)2 при 4 ^ х ^ 12.
10. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч2. Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле v = \p2Xa, где I — пройденный автомобилем путь в километрах. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость 70 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.
11. Во вторник цена на товар уменьшилась на некоторое число процентов, а в среду — увеличилась на то же число процентов. В результате товар стал на 16% дешевле по сравнению с понедельником. На сколько процентов уменьшилась цена товара во вторник?
12. Найдите точку максимума функции у = х2 — 13ж + 11 In х + 5.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. 	а) Решите уравнение sin3 х + cos3 х = sin х + cos х.


186
Тренировочные варианты
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку |^; .
14. Диаметр А В нижнего основания цилиндра перпендикулярен диаметру CD верхнего основания цилиндра, при этом диаметр основания цилиндра в \/2 раз больше высоты цилиндра.
а) Докажите, что тетраэдр ABCD — правильный.
б) Найдите объём цилиндра, если объём тетраэдра ABCD равен 14.
15. Решите неравенство 1 — sin xlog3 х > log3 х — sin я.
16. Равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписан в окружность, в которой проведён диаметр AM. Прямая, содержащая высоту АН треугольника, пересекает эту окружность в точке N.
а) Докажите, что углы ВАМ и CAN равны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BMNC, если ZABC = 45° и радиус окружности равен 14.
17. Андрей как начинающий предприниматель 31 декабря взял в кредит некоторую сумму в беспроцентном банке «Aliquot Bank». Он планирует погасить кредит в течение года, ежемесячно возвращая долг по следующей схеме: в январе Андрей возвращает банку половину взятой суммы, в феврале он возвращает треть остатка, в марте он возвращает четверть остатка и так далее в течение года, в том числе и в ноябре. В декабре Андрей возвращает банку 100 тысяч рублей и полностью погашает долг банку. Какую сумму денег Андрей взял в этом банке?
18. Найдите все значения а, при которых все решения неравенства
(2х — З)2 — (а + 4) (2х - 3) 4- 5(а — 1) ^ 0 принадлежат промежутку [3; 5].
19. Имеется 2п карточек: две карточки с числом 1, две карточки с числом 2, две карточки с числом 3 и так далее, две карточки с числом п. Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы между карточками с числом 1 была ровно 1 карточка, между карточками с числом 2 было ровно 2 карточки и так далее, между карточками с числом п было ровно п карточек?
Решите задачу если:
а) 7i = 3;
б)п = 8; в )п = 14.


Вариант № 34
187
Вариант № 34
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. В школе 1400 учеников, из них 35% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 40% изучают химию. Сколько учеников в школе изучают химию, если в начальной школе химия не изучается?
2. На графике (см. рис. 156) показано изменение температуры воздуха на протяжении суток, начиная с 12:00 9 марта до 12:00 10 марта. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по графику разницу между наибольшей температурой воздуха 10-го марта и наименьшей температурой воздуха 9-го марта за указанное время. Ответ дайте в градусах Цельсия.
)°С
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
О
/
о
о
о
о
о
о
о
о
оо о
<N
9 марта
о
о
CN
(М
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
10 марта
Рис. 156
3. На клетчатой бумаге с размером клетки у/Ъ х л/5 изображён квадрат (см. рис. 157, с. 188). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,92, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристре- лянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,1. На столе лежат 10 револьверов, из них 7 пристрелянных. Ковбой Джон видит на


188
Тренировочные варианты
Рис. 157
стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
5. Найдите корень уравнения sin В ответе запишите наимень-
О Z
ший положительный корень.
6. Хорда АВ делит окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как 7 : 8. Под каким углом видна эта хорда из точки С, принадлежащей меньшей дуге окружности (см. рис. 158)? Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке 159 (см. с. 189) изображён график функции у = f(x) — производной функции /(я), определённой на интервале (—4; 10). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = х + 3 или совпадает с ней.
8. Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба (см. рис. 160, с. 189).
Часть 2
9. Найдите значение выражения у/(х — 7)2 + \/(х - 2)2 при 2 < х < 7.
10. Автомобиль, масса которого m = 3240 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это


Вариант № 34
189
Рис. 159
время путь S = 400 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в
это время к автомобилю, F = ^2П-. Определите наибольшее время после
начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 2880 Н. Ответ выразите в секундах.
11. Три одинаковых дюбеля дешевле самореза на 4%. На сколько процентов восемь таких дюбелей дороже самореза?
12. Найдите точку минимума функции у = 2х2 + 4ж - 241пх + 9.
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. 	а) Решите уравнение sin3 х + cos3 х — sin2 х -h cos2 х.
6) 	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку


190
Тренировочные варианты
14. 	В цилиндр вписан правильный тетраэдр ABCD так, что его ребро CD является образующей цилиндра, а вершины Aw В лежат на боковой поверхности цилиндра.
а) 	Докажите, что отношение диаметра цилиндра к его высоте рав-
б) 	Вычислите объём цилиндра, если объём тетраэдра равен 8\/2.
15. Решите неравенство \——2 х ^ 0.
1 + cos х
16. Равнобедренный треугольник ABC с основанием АС вписан в окружность, в которой проведён диаметр AM. Прямая, содержащая высоту АН треугольника, пересекает эту окружность в точке N.
а) Докажите, что хорды ВМ и CN равны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BMNC, если ZABC = 30° и радиус окружности равен 12.
17. Бригада из 16 трактористов поочерёдно пахала поле площадью 170 га. Сначала первый вспахал половину поля, потом второй — треть оставшегося после первого, третий — четверть оставшегося от предыдущих и так далее. В конце шестнадцатый — семнадцатую часть оставшегося. Сколько гектаров поля вспахала бригада трактористов за это время?
18. Найдите все значения 6, при которых все решения неравенства (3 + log2 х)2 — (b + 4)(3 -f log2 х) + 3(6 + 1) ^ 0 принадлежат промежутку [1;8].
19. Имеется 2п карточек: две карточки с числом 1, две карточки с числом 2, две карточки с числом 3 и так далее, две карточки с числом п. Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы между карточками с числом 1 была ровно 1 карточка, между карточками с числом 2 было ровно 2 карточки и так далее, между карточками с числом п было ровно п карточек?
Решите задачу если:
а) п = 4;
б)п = 7;
в) гг = 13.


Вариант № 35
191
Вариант № 35
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Беспроводные наушники стоили 3400 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2108 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
2. На графике (см. рис. 161) показан процесс нагревания некоторого прибора. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения прибора, на оси ординат — температура прибора в градусах Цельсия. Определите по рисунку, через сколько минут от включения прибора его температура равнялась 60 ^С.
3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки Ау В и С (см. рис. 162, с. 192). Найдите расстояние от точки Л до прямой ВС.
4. В некотором городе из 8000 появившихся на свет младенцев 4320 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе.
5. Найдите корень уравнения 7l°S49(4*-4) = 4.
6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 109°, угол CAD равен 39°. Найдите угол ABD(см. рис. 163, с. 192). Ответ дайте в градусах.


192
Тренировочные варианты
А
q
в,
Рис. 162
7. Прямая у = Ъх + 2 является касательной к графику функции у = ах2 4- Зх + 4. Найдите а.
8. Два ребра прямоугольного параллелограмма, выходящие из одной вершины, равны 9 и 12. Диагональ параллелепипеда равна 17. Найдите объём параллелепипеда (см. рис. 164).
Рис. 164
Часть 2
9. Найдите значение выражения 5 log9 \/9 — log73 49.
10. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U = Uocos(ujt -f <р), где t — время в секундах, амплитуда Uo = 48 В, частота ш = 50°/с, фаза <р = 30°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже, чем 24 В, загорается


Вариант № 35
193
лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
11. Смешав 25%-й и 36%-й растворы соли и добавив 5 кг воды, получили 28%-й раствор. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 40%-го раствора, то получили бы 32%-й раствор. Сколько килограммов 25%-го раствора использовали для смеси?
12. Найдите наименьшее значение функции у = 4 cos х — 8х -Ь 5 на отрезке
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй- те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение у/4 • cos2 х -f 3 -f V4 • sin2 х + 1 = 4.
б) 	Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [я*; 37г].
14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD угол между высотой пирамиды и боковым ребром равен 30°; сторона основания пирамиды равна 4. Через середину высоты пирамиды, перпендикулярно ребру SB, проведена плоскость а.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью а является четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями.
б) Найдите площадь сечения.
(1 \ 2х—3
-J +2^0.
16. Отрезок АВ — диаметр окружности с центром в точке О. Проведены две хорды АС и BD так, что точки С и D лежат по одну сторону от прямой АВ. Точка пересечения прямых ВС и AD находится от точек С и D на расстоянии, равном 4, АС В А = 60°.
а) Докажите, что точка пересечения прямых ВС и AD не лежит внутри окружности.
б) Найдите радиус окружности.
17. В январе 2020 года был взят кредит в банке на 6 лет. Условия его возврата таковы:
— в феврале сумма долга увеличивается на 20% по сравнению с. январём;
— с марта по октябрь необходимо выплатить часть долга;
13. 	Зак. № 121


194
Тренировочные варианты
— в ноябре каждого года, с первого по четвёртый, долг должен быть на на одну и ту же сумму меньше, чем в январе того же года;
— в декабре четвёртого года долг клиента должен равняться половине суммы, взятой в кредит;
— в ноябре пятого и шестого годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на ноябрь предыдущего года.
На какую сумму был взят кредит, если первая выплата больше последней на 8000 рублей?
18. Найдите все значения параметра 6, при каждом из которых уравнение у/х — 9 = — Ьх -4-5Ъ+ 1,5 имеет единственный корень.
19. В коробке лежат р яблок зелёного цвета и с яблок красного цвета, при этом р ^ 2, с ^ 2. Из коробки наудачу достают 2 яблока.
а) Может ли вероятность того, что эти яблоки окажутся одного цвета, быть больше вероятности того, что они окажутся разных цветов?
б) Может ли вероятность того, что эти яблоки окажутся разных цветов, равняться вероятности того, что они окажутся одного цвета?
в) Чему равна наибольшая возможная при данных условиях вероятность того, что эти яблоки окажутся разных цветов?
13*


Вариант № 36
195
Вариант № 36
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Картина стоила 15000 рублей. На аукционе цену на эту картину повысили до 33 ООО рублей. На сколько процентов была повышена цена на аукционе?
2. Когда самолёт находится в горизонтальном полёте, подъёмная сила, действующая на крылья, зависит от скорости. На графике (см. рис. 165) изображена эта зависимость для некоторого самолёта. На горизонтальной оси отмечена скорость в километрах в час, на вертикальной оси — подъёмная сила в тоннах силы. Определите по графику подъёмную силу при скорости полёта 275 км/ч. Ответ дайте в тоннах силы.
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 отмечены точки АуВиС (см. рис. 166). Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.
А
,В
'с
Рис. 166
4. 	В некотором городе из 8000 появившихся на свет младенцев 4272 мальчика. Найдите частоту рождения девочек в этом городе.
14. 	Зак. №121


196
Тренировочные варианты
5. Найдите корень уравнения 51о82б(7*-7) = 7.
6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 121°, угол CAD равен 44°. Найдите угол ABD (см. рис. 167). Ответ дайте в градусах.
7. Прямая у = Зх + 2 является касательной к графику функции у — 2х2 — 5х + с. Найдите с.
8. Два ребра прямоугольного параллелограмма, выходящие из одной вершины, равны 24 и 32. Диагональ параллелепипеда равна 41. Найдите объём параллелепипеда (см. рис. 168).
Рис. 168
Часть 2
9. Найдите значение выражения log5 7 • log7 25 + log 121.
10. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U — Uq sin(u;£+</?), где t — время в секундах, амплитуда Щ = 4 В, частота и = 120°/с, фаза (р = —15°. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже, чем 2 В, загорается лампочка.
14*


Вариант № 36
197
Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
11. Имеется два сосуда, один из которых содержит 40 кг, а другой — 35 кг раствора кислоты различной концентрации. Если смешать растворы в этих сосудах, то получится раствор концентрации 11,2%. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор концентрации 11%. Сколько килограммов кислоты содержится во втором сосуде?
12. Найдите наименьшее значение функции у = 3cos — Ъх + 4 на отрезке
[-14
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используй- те отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение у/4 • cos2 х + 6 -I- у/4 • sin2 х + 8 = 6.
б) 	Укажите его корни, принадлежащие отрезку — 27т; — .
14. В правильной четырёхугольной пирамиде SKLMN с основанием KLMN сторона основания равна 2, а высота — 4. Через середину высоты перпендикулярно ребру SM проведена плоскость /?.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью /3 является четырёхугольником с перпендикулярными диагоналями.
б) Найдите площадь сечения.
/ *1 \ 2+Зх
15. Решите неравенство з4+3* — 15-^J +6^0.
16. В окружности с центром в точке О отрезок ЕК — диаметр. Проведены две хорды ЕТ и KS так, что точки Т и S лежат по одну сторону от прямой ЕК. Точка пересечения прямых КТ и ES находится от точек Т и S на расстоянии, равном 5, Z.TKE = 60°.
а) Докажите, что точка пересечения прямых КТ и ES находится вне окружности.
б) Найдите радиус окружности.
17. 1 марта 2020 года был взят кредит на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в апреле каждого года банк увеличивает сумму долга на 25% по сравнению с текущим значением;
— с мая по август клиент должен выплатить часть долга;


198
Тренировочные варианты
— в сентябре каждого года с 1 -го по 6-й сумма долга должна быть на одну и ту же величину меньше по сравнению с мартом;
— в сентябре 6-го года сумма долга должна равняться половине величины кредита;
— в ноябре 7-го и 8-го годов сумма долга должна быть на одну и ту же величину меньше, чем в ноябре предыдущего года.
На какую сумму был взят кредит, если первая выплата больше последней на 9000 рублей?
18. Найдите все значения параметра с, при каждом из которых уравнение у/х — 7 = — сх + 5с + 1,75 имеет единственный корень.
19. В пакете 28 конфет, 24 из них в серебристой упаковке, а остальные — в золотистой.
а) Конфеты случайным образом раскладывают в две коробки — по 14 штук в каждую. Какова вероятность того, что в каждой из коробок окажется по две конфеты в золотистой упаковке?
б) Конфеты случайным образом раскладывают в две коробки — по 14 штук в каждую. Какова вероятность того, что в одной из коробок не будет ни одной конфеты в золотистой упаковке?
в) К имеющимся конфетам добавили ещё по равному количеству конфет в золотистой и серебристой упаковках. Потом две конфеты убрали, выбрав их наугад. Может ли вероятность того, что эти две конфеты в одинаковой упаковке, в целое число раз отличаться от вероятности того, что эти две конфеты в разных упаковках?


Вариант Mb 37
199
Вариант № 37
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3 500 рублей. До установки счётчиков за воду платили 750 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 580 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?
2. На графике (см. рис. 169) показана температура воздуха с 5 по 11 мая 2019 года в некотором городе. По горизонтали отмечается время суток в часах (горизонтальная сторона клетки соответствует 6 часам) по вертикали — температура воздуха в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько часов за указанный период температура превышала 10 X}.
ku°c
/
/
Рис. 169
3. На координатной плоскости закрашена фигура (см. рис. 170, с. 200). Найдите её площадь.
4. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,5,


200
Тренировочные варианты
а при каждом последующем — 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?
5. Найдите корень уравнения log27 35х~2 = 9.
6. Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Угол САВ равен 54°. Найдите угол АОВ (см. рис. 171). Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке 172 (см. с. 201) изображён график у = f'(x) — производной функции /(х). На оси абсцисс отмечено семь точек: хь х2, хз, Х4, Х5, хв, Х7. Сколько из них принадлежит промежуткам убывания функции /(х)?
8. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12, объём равен 648. Найдите боковое ребро этой пирамиды (см. рис. 173, с. 201).
Часть 2
19\fWx-8\/Wx
9. Найдите значение выражения —^—У---Гл - -У-—■¥—, х > 0.
4 у/ \/х


Вариант № 37
201
'У
л
V = f'(x
А
ч.
!\
J
/|
\
1 1
/
1
■
V
/
\
'2
*3
1
(
.. 1 1
\
'5
■тб
/
*i
\
1
0
X
4
\
L
/
X
7 X
\
1
I
(
V
\
л
N
У
/
Рис. 172
10. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 4 • 10-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R — 1• 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе Uo = 18 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением
t = aRClog2 (с), где a = 0,9 — постоянная. Определите наибольшее
возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 50,4 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).
11. Семья состоит из мужа, жены, бабушки-пенсионерки и детей- школьников, не имеющих дохода. Если зарплату жены увеличить втрое, то общий семейный доход вырастет на 72%. Если зарплата мужа уменьшится в четыре раза, то общий доход уменьшится на 42%. Сколько процентов от общего дохода составляет пенсия бабушки?
12. Найдите наибольшее значение функции у = log3(8 — 2х — х2) + 5.


202
Тренировочные варианты
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение 2 cos2 х -h cos3x = 14* sin^4^ — xj;
б) 	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку ~~•
14. В правильной четырёхугольной призме ABCDAiB\C\Di точки М, N и К делят рёбра АА\ ВВ\, DD\ в отношении 1 : 5,1 : 4 и 1 : 2 соответственно, считая от нижнего основания ABCD.
а) Докажите, что плоскость MNK делит ребро СС\ в отношении 11 : 19, считая от нижнего основания.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания призмы равна \/13, а высота равна 30.
15. Решите неравенство - - 4- -- ----- — 2х ^ 1.
16. В треугольнике ABC стороны АВ и ВС соответственно равны 3 и 5, а угол между ними 120°. Серединные перпендикуляры к АВ и ВС пересекают АС соответственно в точках Ьи N.
а) Докажите, что BN : (BL + LN) = 5:8.
б) Найдите отношения радиусов окружностей, вписанных соответственно в треугольники BCN и ABL.
17. Николай Иванович хочет взять кредит в банке «СНТ и К» на два года. В начале каждого полугодия банк увеличивает долг на некоторое число процентов, а затем Николай Иванович вносит определённую сумму, которая каждый раз не превышает 168 тысяч рублей.
Определите максимальную возможную величину кредита при этих условиях, если известно, что на протяжении первого года банк каждое полугодие будет увеличивать сумму долга на 12%, а на протяжении второго года — на 10%. Ответ округлите до целого числа тысяч рублей.
18. Найдите все неотрицательные значения а, при которых выполняется неравенство ах2 < 4х 4- 5а — 1 на отрезке [1; 3].
19. Собрание депутатов N-ского района выбирает главу района из нескольких кандидатов. Результаты голосования по каждому депутату округляются с точностью до целого числа процентов. За каждого кандидата проголосовал по крайней мере один депутат. Каждый депутат может проголосовать только за одного кандидата и воздержаться не может.


Вариант № 37
203
При подсчёте результатов голосования оказалось, что суммарный процент всех кандидатов равен 102%.
а) Могло ли в списке кандидатов быть 3 человека?
б) Могли ли 13 депутатов избрать главу района из 7 кандидатов, если для победы необходимо набрать более 50% голосов?
в) Могло ли в списке быть 4 кандидата при условии, что голосовали 17 депутатов?


204
Тренировочные варианты
Вариант № 38
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Для покраски 1 кв. м забора требуется 360 г краски. Краска продаётся в банках по 3,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски забора площадью 70 кв. м?
2. На графике (см. рис. 174) показан уровень атмосферных осадков Н (мм) в 2019 году в некотором городе. По горизонтали отмечаются номера месяцев в году, по вертикали — количество осадков (в мм) за месяц. Сколько месяцев со 2-го по 12-й количество осадков было меньше, чем в предыдущие месяцы?
А Н(мм)
Месяцы
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12*
Рис. 174
3. На координатной плоскости закрашена фигура (см. рис. 175, с. 205). Найдите её площадь.
4. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
5. Найдите корень уравнения log125 52х+3 = 25.
6. Через концы А и В дуги окружности с центром О проведены касательные АС и ВС. Меньшая дуга АВ равна 58°. Найдите угол АС В (см. рис. 176, с. 205). Ответ дайте в градусах.


Вариант № 38
205
Рис. 175
7. 	На рисунке 177 изображён график у = /'(х) — производной функции /(х). На оси абсцисс отмечено девять точек: хь х2, хз, Х4, Х5, хв, Х7, xg, Х9. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции /(х)?
к
тт_
*
J
\
£
II
>
Л
\
(
\
/
Т\
/
—"
N
*2
Г
\
:
А
;
*5
/
1 Л
1
*7
i
\
1
J
*3
\
0
/
*6
\
"Т"
1
/
*8
J
JC
Л
<
/
\
J
\
\/
t
ч
/
Рис. 177
8. 	В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12, объём равен 896. Найдите боковое ребро этой пирамиды (см. рис. 178, с. 206).


206
Тренировочные варианты
Рис. 178 Часть 2
9. 	Найдите значение выражения
10. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С — 5 ♦ 10“6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = б • 106 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе Uo = 32 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением
t = aRClog2 ^ (с), где a = 1,4 — постоянная. Определите наибольшее
возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 42 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).
11. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата жены уменьшилась впятеро, то общий семейный доход снизился на 28%. Если бы стипендия дочери увеличилась вдвое, то общий доход вырос бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода составляет зарплата мужа?
12. Найдите наибольшее значение функции у = log2(3 — 2ж - ж2) + 7.
Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. 	а) Решите уравнение; 2 sin2 х 4- sin Зж = 1 + cos(^ + ж j;
б) 	Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку


Вариант № 38
207
14. В правильной четырёхугольной призме ABCDAiB\CiDi точки М, N, К делят рёбра AAi, ВВ\, DD\ в отношении 1 : 4,1 : 5,1 : 3, считая от нижнего основания ABCD.
а) Докажите, что плоскость MNK делит ребро CCi в отношении 13 : 47, считая от нижнего основания.
б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы, если сторона основания равна л/13, а высота равна 60.
15. Решите неравенство — * ~ ^ 5х + 5.
5—5 5—7
16. В треугольнике ABC стороны АВ и ВС соответственно равны 7 и 8, а угол между ними — 120°. Серединные перпендикуляры к АВ и ВС пересекают АС соответственно в точках L и N.
а) Докажите, что BN:(BL + LN) = 8 : 15.
б) Найдите отношения радиусов окружностей, вписанных соответственно в треугольники BCN и ABL.
17. Иван Николаевич хочет взять кредит на один год в банке «СТН и К°». В начале каждого квартала банк увеличивает долг на некоторое количество процентов, а затем Иван Николаевич будет вносить определённую сумму, которая каждый раз не превышает 84 тысячи рублей.
Определите максимальную возможную величину кредита при этих условиях, если известно, что на протяжении первых трёх кварталов банк каждый раз будет увеличивать сумму долга на 10%, а в последнем квартале — на 25%. Ответ округлите до целого числа тысяч рублей.
18. Найдите все неотрицательные значения а, при которых выполняется неравенство ах2 < х + 2а — 1 на отрезке [1; 2].
19. Собрание депутатов L-ского района выбирает главу района из нескольких кандидатов. Результаты голосования по каждому депутату округляются с точностью до целого числа процентов. За каждого кандидата проголосовал по крайней мере один депутат. Каждый депутат может проголосовать только за одного кандидата и воздержаться не может. При подсчёте результатов голосования оказалось, что суммарный процент всех кандидатов равен 98%.
а) Могло ли в списке кандидатов быть 4 человека?
б) Могли ли 13 депутатов избрать главу района из 5 кандидатов, если для победы необходимо набрать более 33% голосов и при этом больше, чем любой другой кандидат?
в) Могло в списке быть 5 кандидатов при условии, что голосовали 11 депутатов?


208
Тренировочные варианты
Вариант № 39
Ответом к заданиям 1—12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата программиста Ивана равна 180 ООО рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.
2. На диаграмме (см. рис. 179) показана информация о добыче нефти (включая газовый конденсат, в млн тонн) в 2016 году в отдельных странах мира. По горизонтали отмечаются страны, по вертикали — добыча нефти в млн тонн. Определите по диаграмме количество стран (среди представленных), добыча нефти в которых превысила уровень 300 млн тонн.
500-
400-
300-
200-
100-
2 f •§! 1 »
5 III S !
£ I *
Рис. 179
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки -Д= см х -7= см изображён
у 7Г -у 7Г
круг (см. рис. 180, с. 209). Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


Вариант № 39
209
Рис. 180
4. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.
5. Найдите корень уравнения 32+х = 0,6 • 52+х.
6. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 78. Найдите длину её средней линии.
7. На рисунке 182 (см. с. 210) изображён график функции у = /(ж). На оси абсцисс отмечены точки —5; —3; 1; 3; 7; 11. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
8. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. Найдите тангенс угла BD\D (см. рис. 183, с. 210).
Часть 2
9. 	Найдите значение выражения (16а2 — 25) • “ 40 + 5') + а ~ ^
при а = 173.


210
Тренировочные варианты
Рис. 182
10. 	Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера (в Нм), стремящейся повернуть рамку, определяется формулой М = NIBI2 sin а, где I = 6 А — сила тока в рамке, В — 7 • 10~3 Тл — значение индукции магнитного поля, I = 0,4 м — размер рамки, N = 6000 — число витков провода в рамке, a — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла а (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент М был не меньше 20,16 Н м?


Вариант № 39
211
11. Расстояние между между городами Полденск и Полуночинск составляет 210 км. Из Полденска выехал автомобиль, а следом за ним через 30 минут выехал второй автомобиль со скоростью на 20 км/ч больше, догнал первый в посёлке Вечерний и повернул обратно. Когда он вернулся в Полденск, первый добрался до Полуночинска. Найдите расстояние от города Полденска до посёлка Вечерний. Ответ дайте в километрах.
12. Найдите наибольшее значение функции у = 8х — 3 sin х + 4 на отрезке
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
13. а) Решите уравнение log3(2tgx) — 21og3(2tgrr) -3 = 0.
б) 	Найдите его корни, принадлежащие отрезку •
14. В правильной треугольной призме ABCAiB\Ci все рёбра в основании равны 12, а боковые рёбра равны 6. На ребре А\В\ взята точка М такая, что В\М = 3, а на ребре ВС — точка Т такая, что СТ = 5.Q — середина А\С\. Через точки М и Т проведена плоскость а, параллельная ребру АС.
а) Докажите, что BQ перпендикулярна плоскости а.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка Q, а основание — сечение призмы плоскостью а.
i2 1 л /1 \ 1о8о,б(х+5)
15. Решите неравенство 3log2 х 4- |x|log2 9 < 2 • y-J
16. Высота ВН параллелограмма ABCD, опущенная на сторону AD, равна 10. Сторона АВ и диагональ BD образуют со стороной AD углы, соответственно равные 75° и 30°. На высоте ВН, как на диаметре, построена окружность, пересекающая сторону АВ и диагональ BD в точках М и N соответственно.
а) Докажите, что углы МНВ и NHB равны соответственно 75° и 30°.
б) Найдите площадь четырёхугольника HMBN.
17. Роберт Назарович является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном


212
Тренировочные варианты
в первом городе, трудятся суммарно га2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5т единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно ш2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 12га единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Роберт Назарович платит рабочему 300 рублей.
Роберт Назарович готов выделять 3 ООО ООО рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
18. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции у = 3ах + 22 + \х2 - 2х - 8| больше -2?
19. На склад торговой организации поступили коробки со стройматериалами трёх видов: коробки массой 10 кг и стоимостью 15 ООО рублей за коробку, коробки массой 30 кг и стоимостью 9 ООО рублей за коробку, коробки массой 50 кг и стоимостью 3 000 рублей за коробку (в коробках разного типа содержимое различно, поэтому стоимость не пропорциональна массе). Внешне коробки неразличимы.
а) Могла ли общая стоимость всех коробок составлять 40 000 рублей?
б) Сколько всего коробок поступило на склад, если их общая стоимость равна 66 000 рублей, а суммарная масса равна 260 кг?
в) Для доставки коробок со склада потребителю в другом городе придётся оплатить транспортной компании 500 рублей за каждую коробку массой 10 кг, 800 рублей — за каждую коробку массой 30 кг и 1000 рублей — за каждую коробку массой 50 кг. Какое наименьшее число рублей может составить стоимость коробок с доставкой, если общая масса коробок равна 260 кг, а их общая стоимость без учёта доставки составляет 66 000 рублей?


Вариант № 40
213
Вариант № 40
Ответом к заданиям 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы.
Часть 1
1. Налог на доходы для самозанятых составляет 6% от доходов. После удержания налога Варвара Ренатовна за год получила 225600 рублей. Сколько рублей составили доходы Варвары Ренатовны за год до уплаты налога?
2. На диаграмме (см. рис. 184) показана информация о производстве стали в 2016 году в отдельных странах мира. По горизонтали отмечаются страны, по вертикали — производство стали в млн тонн. Определите по диаграмме количество стран (среди представленных), производство стали в которых было ниже уровня 50 млн тонн.
100 ^
90
80 ~1=Н
70-S ^— — •
6°-- IIIIII II II II 50-- — —
40-
30- ^
20- -~
10-
I
3§- а
в*
О
£
а
х
a
I
£
о
о
о
,5г
£
1
£
'О
X
3
Рис. 184


214
Тренировочные варианты
3. 	На клетчатой бумаге с размером клетки -4= см х -7= см изображён
у7Г у7Г
круг (см. рис. 185). Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 4 часа.
5. Найдите корень уравнения 74~х = 0,5 • 144“ж.
6. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 24, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности (см. рис. 186).
7. На рисунке 187 (см. с. 215) изображён график функции у = f(x). На оси абсцисс отмечены точки —6; —1; 1; 5; 14. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
8. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAiB\C\DiE\Fi все рёбра равны 7. Найдите угол F1D1F (см. рис. 188, с. 215). Ответ дайте в градусах.


Вариант № 40
215
Рис. 187
Часть 2
9. Найдите значение выражения (49Ь2 — 4) • — Ъ — 15
при Ь = 147.
10. Плоский замкнутый контур площадью S — 1,5 м2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой d = aS cos а, где а — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, a — 12 • 10”4 Тл/с — постоянная, S — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле а (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 9•10-4 В?
11. Расстояние между между городами Аз и Веди составляет 325 км. Из Аза выехал автомобиль, а следом за ним через 1,5 часа выехал второй


216
Тренировочные варианты
автомобиль со скоростью на 30 км/ч больше, догнал первый в посёлке Буки и повернул обратно. Когда он вернулся в Аз, первый добрался в Веди. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
12. 	Найдите наибольшее значение функции у = 11х - 7 sin х4- 5 на отрезке
Для записи решений и ответов на задания 13—19 используйте отдельный лист. Запишите сначала номер выполняемого задания (13,14 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво.
14. В правильной треугольной призме KLMK\L\M\ все рёбра в основании равны 12, а боковые рёбра равны 18. На ребре КК\ взята точка Р такая, что К\Р = 3, а на ребре ММ\ — точка Q такая, что QM = 9. F — середина KL. Через точки Р и Q проведена плоскость а, параллельная ребру KiLi.
а) Докажите, что FM\ перпендикулярна плоскости а.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка F, а основание — сечение призмы плоскостью а.
~ 2 . / 1 \ 1о8о, .25 (*+1)
15. Решите неравенство 5log4 х + |x|log4 25 ^ 2 • J
16. Высота ВН параллелограмма ABCD, опущенная на сторону AD, равна 18. Сторона АВ и диагональ BD образуют со стороной AD углы, соответственно равные 60° и 15°. На высоте ВН, как на диаметре, построена окружность, пересекающая сторону АВ и диагональ BD в точках М и N соответственно.
а) Докажите, что Z.MHN = 75°.
б) Найдите площадь четырёхугольника HMBN.
17. У фермера есть два комбайна. Оба комбайна используются для уборки зерновых, но второй комбайн более современный. В результате если первый комбайн работает ш2 часов, то за это время он собирает 8т т зерновых; если второй комбайн работает ш2 часов, то за это время он собирает 15т т зерновых.
За квждый час работы фермер платит каждому комбайнёру 200 рублей.


Вариант № 40
217
Фермер готов выделить 20 ООО рублей на оплату труда комбайнёров. Какое наибольшее количество тонн зерновых можно собрать на эти деньги с помощью двух комбайнов?
18. При каких значениях параметра а наибольшее значение функции у = 2ах - 4а - \х2 + 2х — 15| не больше 14?
19. На склад торговой организации поступили ящики со стройматериалами трёх видов: ящики массой 20 кг и стоимостью 20 ООО рублей за ящик, ящики массой 40 кг и стоимостью 15000 рублей за ящик, ящики массой 80 кг и стоимостью 5000 рублей за ящик (в ящиках разного типа содержимое различно, поэтому стоимость не пропорциональна массе). Внешне коробки неразличимы.
а) Могла ли суммарная масса всех ящиков составлять 1000 кг, если присутствуют ящики всех трёх типов, причём ящиков каких-то двух типов поровну?
б) Сколько всего ящиков поступило на склад, если их общая стоимость 320000 рублей, а суммарная масса равна 1120 кг?
в) Для доставки ящиков со склада покупателю в другом городе придётся оплатить транспортной компании 700 рублей за каждую коробку массой 20 кг, 1000 рублей — за каждую коробку массой 40 кг и 1400 рублей за каждую коробку массой 80 кг. Какое наибольшее число рублей может составить стоимость ящиков с доставкой, если общая масса ящиков равна 1120 кг, а их общая стоимость без учёта доставки составляет 320 000 рублей?


Решения избранных вариантов
Решение варианта № 1
1. За месяц показания счётчика изменились на 67 302 — 67132 =
= 170 киловатт-часов. Стоимость 170 киловатт-часов электроэнергии 5,47 • 170 = 929,9 рубля.
Ответ: 929,9.
2. v = 0,065п. Найдём п по графику: п = 1500. v = 0,065 • 1500 = 97,5 км/ч.
Ответ: 97,5.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (см. рис. 189).
А
У
/
г
В
С
Рис. 189
tgZB = |g,tgZB= 1=0,6.
Ответ: 0,6.
4. 	Сумма выпавших очков равна 9 в следующих четырёх случаях: 3 + 6, 4 4- 5, 5 4- 4, 6 4- 3, где первое слагаемое — число очков, выпавших на первой кости, а второе — на второй. Всего же количество исходов равно 36. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9, составляет
Ответ: 0,11.


Решение варианта № 1
219
5. х2 + 4х-77 = 0, У- =4 + 77 = 81, х1>2 = -2±V§1, *i,2 = -2±9,
xi = -11, Х2 = 7. Меньший из корней х = —11.
Ответ: —11.
6. Пусть ЛВ = 3>/3, Z.C — острый угол, противолежащий этой сто-
АВ
роне. По теореме синусов = 2Д, где по условию Д = 3. Тогда
sinZC = ^ ^ или ZC = 60°.
о 2
Ответ: 60.
7. /'(х) > 0 там, где функция у = /(х) возрастает, это выполняется для целых х = — 1, х = 0, х = 3, х = 4, всего таких точек четыре (см. рис. 190).
Рис. 190
Ответ: 4.
8. 	Vuiapa =
Уцил. “ nR2hy ноh = O1O2 = 2Д, поэтому Гцил. = тгД2-2Д = 27гД3.
3
То есть Уцил. = 2^шара»
Уцил. = | *84 = 126 (см. рис. 191).
Ответ: 126.
д 30,64 . д0,18 _ 30,64 . 32 0,18 _ 30,64+0,36 __ 3I __ 3
Ответ: 3.
10. 	По условию, U = 220 В, а сила тока не более 5,5 А, то есть I ^ 5,5.


220
Решения избранных вариантов
S.-I У- <55 R~~ R
равно 40 ом.
Ответ: 40.
220
R
^ 5,5, R ^ 40. Минимальное сопротивление
11. 	Первый насос за 1 мин наполняет — часть бассейна, а вто-
oU
рои
30 20
^г. Работая
1
вместе, за одну минуту насосы наполняют
= — часть бассейна.
2 + 3 60 12
Значит, бассейн они наполнят за 12 минут.
Ответ: 12.
12. у = у/х2 — 8х -I- 20, х2 — 8х -f* 20 > 0 при любом х, так как D < 0, а ветви соответствующей параболы направлены вверх.
Наименьшее значение арифметического корня достигается при наименьшем значении подкоренного выражения.
х2 - 8х + 20 = х2 - 8х + 16 + 4 = (х - 4)2 + 4.
(х — 4)2 ^ 0, его наименьшее значение, равное 0, достигается при х = 4. Значит, наименьшее значение заданной функции равно у( 4) = у/(4 — 4)2 + 4 = 2.
Ответ: 2.
13. а) Воспользовавшись формулами приведения, получим 2(—sinx)2 = \/3sin(2x);
2 sin2 х = у/3 sin(2x).
Отсюда по формуле синуса двойного угла 2 sin2 х = 2\/3 sin х cos х, тогда 2sin2x — 2>/3sinxcosx = 0;
2 sin x(sin x — \/3 cos x) = 0.


Решение варианта 1
221
Следовательно, sin х = 0 или sin х — \/3 cos х = 0.
В первом случае х = ттку к G Z, во втором случае, разделив на cos ж,
получим tg ж — л/З = 0; tgx = л/З; х = ~ + 7т, п е Z.
б) 	Выполним отбор корней отдельно для каждой серии решений.
I. 5$ пк ^ —4ж; -4.
С учётом того, что к € Z, получим к = —5, к = —4 и х = — 57г,
х = —47Г.
и. < | + я-» < -4,г; -у < | + п < -4;
“У ~ I ^ п ^ ~4 ~ 1: ~5§ ^ п ^ “4|-
С учётом того, что п е Z, получим п = — 5иж = | - 5тг = —
о «5
Ответ: а) пку к е Z\ ^ + 7га, п £ Z; б) -57г; ——47г.
J о
14. 	а) АВ — сторона основания. Значит, точка В лежит в плоскости основания. Боковое ребро соединяет вершину с точкой основания, следовательно, Р — вершина пирамиды (см. рис. 192).
Р
Пусть РО — высота пирамиды, О — середина АС. Пусть ВЫ и АС пересекаются в точке Н. Тогда ААНВ ~ АСНМ по двум углам (ZHAB = ZНСМ как накрест лежащие углы при параллельных пря¬


222
Решения избранных вариантов
мых АВ и CD и секущей АС, /.АНВ = ZМНС как вертикальные, см. рис. 193). Тогда $£ = А& = Ь СН = ±ЛС, СН = | СО.
A D
Рис. 193
Заметим, что АСНК ~ ДСОР по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
ZPOC = Z.KHC и, следовательно, КН || РО. РО JL (ABC), отсюда КН J. (ABC). Плоскость (ВКМ) проходит через прямую КН, перпендикулярную плоскости (ABC), поэтому (ВКМ) ± (ABC) по признаку перпендикулярности плоскостей.
б) 	КВСМ — пирамида, в основании лежит прямоугольный треугольник ВМС, КН — высота пирамиды.
Sbmc = \-BC СМ=±1-Ь=Щ.
кн = |ро.
о
/
Найдём РО по теореме Пифагора из треугольника РОС:
ро2 = ре2 - ос2 = б2 - (4р)2 = 36 - (^)2; РО =
КН =
Ш = Ш = i’zc~общий)-Тогда


Решение варианта № 1
223
Vkbcm = | • Sbcm ■ KH = Omeem: ЩМ.
15. Выпишем ограничения: <
9 — х > О, х >0’
X
— — х 4~ 8 > 0; х
' х < 9, х > 0, х2 — 8х — 1
<0.
Xi
Решим вспомогательное уравнение х2 — 8х — 1 = 0,
i2 = 8±j/M =4±v/l7.
Решим неравенство
х2 — 8х - 1
< 0. Из других ограничений х > 0,
поэтому должно выполняться х2—8х—1 < 0,тогдах е (4—\/l7; 44-\/l7) (графиком функции t/ = х2 - 8х - 1 является парабола, ветви которой направлены вверх, ниже нуля парабола опускается при значениях х между корнями уравнения, см. рис. 194).
Рис. 194
Так как 4 - у/17 < 0, получим х € (0; 4 + y/Vf). х < 9,
х > 0, х € (0; 4 4->/17).
0 < х < 4 + л/17;
log7(9 - х) 4- log7 ~ ^ log7(1-хЧ-в);
log7^^ >log7(i - х + 8):
Q />» 1
7 > 1, следовательно, ^ х 4- 8;
х х
8-х
^ — х 4- 8;


224
Решения избранных вариантов
+ (* - 8) ^ 0; (* - 8) • (^ + l) > 0; (* - 8). (*=1) > 0.
С помощью метода интервалов (см. рис. 195) получим решение последнего неравенства х € (0; 1] U [8; +оо).
Jh-
0 1 8 Рис. 195
С учётом ограничений х € (0; 1] U [8; 4 + >/17). Ответ: (0; 1] U [8; 4 + \/Y7).
16. 	а) Так как КР : KQ = 21 : 10, обозначим КР через 21х, тогда KQ = 10х. Проведём NF параллельно КМ (см. рис. 196), тогда
PF PN FK
(параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропор-
NM
циональные отрезки, в данном случае в качестве параллельных прямых выступают FN и КМ, а в качестве угла — ZKPM). Следовательно,
PF
FK
Отсюда PF = 6х, FK = 1Ьх.
5


Решение варианта № 1
225
С другой стороны, используя то же утверждение для угла FQN, получим ЧТО Х — - ЯА — Q A — ^LQN
чим,что KF AN'KF \Ъх 3' AN Z'4 ЪЧ
Тогда ЛQAL ~ ЛQNM по двум пропорциональным сторонам и углу между ними = -q]^ = §> AAQL — общий, см. рис. 197^. Отсюда
^ ^ ,AL — \NM. Кроме того, по условию PN = \NM.
NM 5’ —л—— NM 55
Таким образом, = РЛГ
Также из подобия треугольников вытекает, что Z.QAL = Z.QNM и, следовательно, AL || ЛГМ.
Таким образом, в четырёхугольнике PALN противоположные стороны AL и PN равны и параллельны, значит, PALN — параллелограмм.
б) 	Поскольку PALN — параллелограмм, то РА || NL и, следовательно, ANLM = 90° (см. рис. 198, с. 226).
5 3
NM = -РМ = 20; LM = -QM = 9. В прямоугольном треугольнике • о
NLM по теореме Пифагора NL2 = 202 — 92 = 319; NL = -у/319. Проведём высоту LH\ в треугольнике NLM.
Snlm = • LM = ^NM • LHi, отсюда
r rr _ NL ■ LM _ Эл/319 1 NM 20 '
MlK = cosZM=LM=9_.^ tfiM = A.tflM=81 LM COSilM tvM 20’ 9 20’ 1 20‘
15. 	Зак. № 121


226
Решения избранных вариантов
Q
AL = PN = § РМ = 1 • 28 = 8.
у у
Проведём Л#2 -L ЛГМ. Тогда ЛЯ2 = ЬНХ = -УлШ?.
я2м = ад + я,м = ^+|=8 + | = ^.
По теореме Пифагора из АН2АМ получим, что Ответ: ^/209,8.
17. 	Каждый год долг увеличивается на 25%, то есть в ^1 + = | раз,
при этом начисленные проценты составляют ^ от текущей суммы долга.
Составим таблицу по условию задачи, все суммы приведены в тысячах рублей.
Год
Долгдо начисления процентов
Начисленные
проценты
Долг после начисления процентов
Вып¬
лата
Долг после выплаты
2024
S
is
4
5 с 4
is
4
S
2025
S
i5
I5
Is
S
2026
S
i5
I5
Is
S
15*


Решение варианта № I
227
Год
Долг до начисления процентов
Начисленные
проценты
Долг после начисления процентов
Вып¬
лата
Долг после выплаты
2027
S
I5
Is
275
- 275
4
2028
^S - 275 4
i(!s-275)
|(|«-275) =
= (D^-l-275
275
275- -275 = 0
Найдём S из уравнения S - | • 275 — 275 = 0.
= | • 275;
16 4
S == ! • 275 • if = 396.
4 25
Общая сумма выплат равна ^ 5+^5+^ 5+275+275 = 15+550 = 847 тысяч рублей.
Ответ: 847 тысяч рублей.
18. 	Исходная система уравнений равносильна системе 36 — у2 — 36 — а2х2, ( у2 = а2х2,
36 — у2 > 0, I — 6 < у < 6,
х2 + у2 = 4х — 6г/; [ х2 — 4х + 4 + у2 + 6у + 9 = 4 + 9;
(2/ - ах)(у + ах) = 0,
-6 < у < 6,
(х — 2)2 + (г/ + З)2 = 13.
Графиком первого уравнения являются две прямые (у = ах и у = —ах) при а 0 и одна прямая (у = 0) при а = 0. Все эти прямые проходят через начало координат.
Геометрическим местом точек решения третьего уравнения системы является окружность с центром в точке (2; -3) и радиусом л/13, проходящая через точку (0; 0).
Изобразим графики первого и третьего уравнений системы с учётом условий у > -6 и у < 6 (см. рис. 199). В область у е (-6; 6) попадёт
16. 	Зак. №121


228
Решения избранных вариантов
дуга окружности (х — 2)2 4- (у 4- З)2 = 13, ограниченная точками (0; -6) и (4; —6). Решением системы уравнений при фиксированном значении a является пара (ж, у) — координаты общих точек видимой дуги окружности и хотя бы одной из двух указанных прямых.
При a = 0 прямая у = 0 имеет ровно две точки пересечения с видимой дугой окружности. Значит, а = 0 удовлетворяет условию.
Рассмотрим случай а > 0.
Прямая у = ах может иметь одну или две общие точки с видимой дугой окружности, одна из этих точек — начало координат. Найдём, при каком значении параметра прямая у = ах касается окружности (см. рис. 199 а). Квадратное уравнение х2 — Ах -f (ах)2 -I- б ах = 0 должно иметь единственный корень.
(1 4- а2)х2 4- (6а — 4)ж = 0;
ж((1 4- а2)х 4- (6а — 4)) = 0.
Единственное решение будет если ^—j = 0; а =
I “г а о
о
Если а ф -, то прямая у = ах имеет две точки пересечения с видимой «5
I
дугой окружности.
Прямая у = —ах может иметь одну или две общие точки с видимой дугой окружности, одна из которых — начало координат, то есть совпадает с точкой пересечения окружности и прямой у = ах.
16*


Решение варианта 1
229
Единственная общая точка будет при а е [ах; 4-оо), где а\ — такое значение параметра, при котором у = -ах проходит через точку (4; -6) (см. рис. 199 б). Действительно, угловой коэффициент (—а) должен меняться от некоторого значения, соответствующего прохождению прямой
о
через точку (4; —6), до —оо , тогда —6 = —4аь а\ —
Значит, при а > 0 значения параметра, удовлетворяющие условию, — это ° е {§} и [|' +«>)•
При значении параметра (—а) система имеет столько же решений, сколько и при значении параметра а, так как если в исходную систему уравнений вместо а подставить (—а), то система не изменится. Следовательно, при а € оо; — U система тоже имеет ровно два
решения.
Ответ: (-00; -|| U |±|; о| U [J; +оо).
19. 	Пусть до изменения сумма чисел в первом столбце равна А, во втором — В, в третьем — С. При этом в первом столбце п чисел, во втором — га чисел, в третьем — к чисел.
а) 	Да, например, в первом столбце было число 2, во втором — 3, в третьем — 8. Сумма чисел до изменения равнялась 2 + 3 4* 8 = 13, после изменения стала равна 22 + 35 4- 8 = 65, то есть увеличилась в 5 раз.
б) 	Каждое число а* из первого столбца превратилось в 10ai+2, каждое число bi из второго столбца превратилось в 106* 4- 5, каждое число с* из третьего столбца осталось неизменным, то есть с*.
10 aj 4- 2 _ 1 п 1 2
104 — ^ 12;
а\
= 10 + г- < 15.
Ь{
Значит, сумма чисел после изменения не превышала 12А 4- 15В 4- С < 15(А 4- В 4- С), таким образом, она не могла увеличиться в 15 раз.
в) 	Предположим, что на листе записаны именно те числа, которые дают увеличение в наибольшее число раз.
После изменения сумма чисел в первом столбце станет равна 10А4-2п, во втором — (10В 4- 5т), в третьем — С.


230
Решения избранных вариантов
Таким образом, сумма изменится в + р + 5т раз.
А + £> 4~ О
Если в первом или третьем столбце больше одного числа, то, переместив какие-то из них во второй столбец, мы увеличим числитель дроби и не изменим знаменатель, в результате частное увеличится, что противоречит предположению «на листе записаны те числа, которые дают увеличение
в наибольшее число раз». Значит, в первом и третьем столбце выписа¬
но ровно по одному числу. Тогда общее количество чисел равно m + 2, п = к = 1. При этом сумма всех выписанных первоначально чисел
A + B + C>\ + 2 + ... + (m + 2) = (TO + 3Xm + 2).
Заметим, что 10Л + 10.В + С,+ 2п + 5ш =
А Jd С/
10А ~f~ 10В -Н С -j- 2 Н~ 5m i п _l_ 2 -j- 5т — 9 С
А + В + С “ и+ А + В + С •
су I Q/^
Эта величина тем больше, чем больше значение дроби —~
А + + С
Ппм 2 + 5m - 9С <- 2 + 5m — 9С _ 2(2 + 5т - 9С)
? А + В + С "■ ^(т -[- 3)(т + 2)^ (т + 3)(т + 2)
€
< 2(2 + 5т — 9) _ 10т — 14
^ (т + 3)(т + 2) т2 + 5т + 6'
Рассмотрим функцию /(х) = 3.2^5^. на множестве х > 0.
,//_ч _ Ю(х2 + 5х + 6) - (2® + 5)(10х - 14) _ -Юх2 + 28х + 130 1 КХ) ~ (х2 + 5х + 6)2 “ (х2 + 5х + 6)2 ’
/'(х) = 0 при — Юх2 + 28х + 130 = 0;
5х2 - 14х - 65 = 0; X! 2 =
’ 5
7 — -у/374 cQ 5
При ж € ^0; выполняется /'(ж) > 0 и /(ж) возрастает, при
ж G +°°) выполняется f(x) < 0 и /(ж) убывает.


Решение варианта № 5
231
Учитывая, что 5 < ^^V?74 < 6, можно сделать вывод, что для натуга
ральных чисел m значение /(га) наибольшее при га = 5 или га = 6.
/(5) = ^Л6) = |<^.
Таким образом, сумма выписанных чисел не может увеличиться более
чем в 10 -I- 77 = 10раз.
14 14 г
Приведём пример, показывающий, что сумма могла увеличиться ровно
о
в 10— Раз- Пусть в первом столбце в начале было записано число 2, во втором — числа 3,4,..., 7, а в третьем — число 1. Сумма всех чисел равна
После изменения сумма всех чисел стала равна 22 + 1 -f 35 + 45 + 55 + 65 + 75 = 298.
При этом 298 : 28 = Ю77.
14
Ответ: а) да; б) нет; в) Ю—
Решение варианта № 5
1. Для приготовления 60 литров маринада требуется 14 • 60 = 840 г лимонной кислоты. Значит, нужно будет купить не менее 840 : 50 = 16,8 пакетика лимонной кислоты. Наименьшее подходящее целое число равно 17.
Ответ: 17.
2. Используя рисунок, на вертикальной оси находим число 4, проводим прямую до пересечения с графиком (параллельно горизонтальной оси), из точки пересечения с графиком опустим перпендикуляр на горизонтальную ось и попадём в отметку «16».
Ответ: 16.
3. В прямоугольном треугольнике ABC катет АС = 3 см, катет ВС = 7 см (см. рис. 200). SABC = \АС • ВС,
Sabc = ^ • 3 • 7 = 10,5 (кв. см).
Ответ: 10,5.


232
Решения избранных вариантов
Рис. 200
4. Общее число произведённых масок без брака и с браком равно 1997 -Ь 3 = 2000. Вероятность того, что случайно выбранная медицинская
Q
маска окажется с браком, равна = 0,0015.
Ответ: 0,0015.
5. (2® + 9)2 = (2х - З)2, 4х2 + 36х + 81 = 4х2 - 12х + 9, 81 — 9 = —36х — 12х, —48х = 72, х = —1,5.
Ответ: —1,5.
6. Воспользуемся следствием из основного тригонометрического тожде-
CTBal + tg2z'4 = J^Z4: 1 + М = Я = ^га’откудзсо5":Л = 1'
Тогда АВ = -Щ7 = = 18.
cos Z А 8
Ответ: 18.
7. f'(x) = 0 в точке х = —1, —1 G [—3; 4]. При переходе через точку х = — 1 производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то есть точка х = — 1 — точка максимума на отрезке [—3;4]. Так как это единственная критическая точка на этом отрезке, являющаяся точкой максимума, то функция у = f(x) принимает в ней наибольшее значение (см. рис. 201, с. 233).
Ответ: —1.
8. V = тгД2#, где 7гД2 — площадь основания цилиндрического сосуда, Н — высота.
Тогда 7гR2 • 17 = 85, тгR2 = 5.
Погрузили в цилиндр с водой деталь, и объём стал равным 7rR2 • (17 + 5) = 5 • 22 = 110 (см3).
Отсюда, объём детали равен 110 — 85 = 25 (см3).
Ответ: 25.


Решение варианта № 5
233
1 1 - У=/(х)
1
У
7^-\
1 ~7\
У
(
—6
-3 -
1о_
1
4
J-*
Л
\
:Г~
v S г1
/
Рис. 201
И):
- Ля2- [Ж- /23 125 /92 125 _
V 5 • V 125 V 5 * V 125 V 5 ' 92 у 5 ' 92
= y/2p-v/25 = §-5 = -2,5.
Ответ: -2,5.
10. По условию Д ^ 10,5 и i?i = 35, Д = , нужно найти наи-
#1 + #2
меньшее возможное сопротивление электрочайника Д2.
Д = ■ Щ ^ 10,5, при этом 35 + Дг положительно. Получаем
о5 -f Яг
35 • Д2 ^ 10,5(35 + Д2), 24,5Дг ^ 10,5 • 35, R2 ^ 15. Наименьшее возможное сопротивление Д2 = 15.
Ответ: 15.
11. Найдём среднюю скорость по формуле vCp = - —.
^общ
Автомобиль был в пути 3 + 2 + 3 = 8 ч и за это время проехал 3 • 81 + 2 • 52 + 3 • 63 = 536 км.
Средняя скорость равна = 67 км/ч.
о
Ответ: 67.
12. у = х3 - 15ж2 + 5, х е Д. у'(х) = Зх2 — ЗОх = Зх(х — 10).
у'(х) = 0, Зх(х — 10) = 0, х\ = 0, х2 = Ю.


234
Решения избранных вариантов
При переходе через точку х = 10 производная меняет знак с «—» на «4-», значит, это точка минимума (см. рис. 202).
Ответ: 10.
13. 	а) Преобразуем уравнение, используя формулы приведения. cos2 х — — cos х • (— sin х), cos2 х — cos x • sin x = 0, cosx • (cosx — sinx) = 0,
cos x = 0, x = ^ 4- 7rn, n € Z.
cosx — sinx = 0, tgx = 1, x = ^ + 7Гк, к £ Z.
б) Выберем корни, принадлежащие промежутку ^ » с помо¬
щью тригонометрической окружности (см. рис. 203).
Рис. 203
7Г 7Г ^ 7Г
х~ 2’ 4’ 2'
Ответ: а) ^ + 7rn,n € ^ 4- тгЛ:, fc € Z, 6)
14. 	а) Проведём высоту пирамиды SH (см. рис. 204, с. 235). Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, поэтому углы SDH, SAH, SBH и SCH равны. В треугольниках SDH, SAH, SB# и 5СЯ общий катет S# и противолежащие этому катеру углы равны, значит, треугольники равны. Из этого следует, что


Решение варианта № 5
235
АН = ВН = C# = DH и Я является центром описанной окружности квадрата ABCD, то есть точкой пересечения диагоналей квадрата, и SABCD — правильная пирамида.
Рис. 204
Проведём через середину М высоты SH прямую DT (точка Т лежит на ребре SB, и в этой точке плоскость а пересекает ребро SB). Рассмотрим равнобедренный треугольник DBS (см. рис. 205) и проведём HF || DT (точка F лежит на ребре SB). Высота SH равнобедренного треугольника с основанием DB является медианой и DH = НВ. Тогда по
S
теореме Фалеса из DH = НВ следует BF = FT, а из НМ — MS следует FT = TS. Получаем, что ТВ = 2Т5, значит, плоскость а делит ребро SB в отношении 2 : 1, считая от вершины В.


236
Решения избранных вариантов
б) Проведём через середину М высоты SH прямую РК параллельно диагонали квадрата АС. Плоскость DPK параллельна АС, это и есть плоскость ос. Плоскости а и ASC имеют общую прямую РК.
DH _L АС как диагонали квадрата, РК || АС, значит, DH _L РК. HS — высота пирамиды, DH _L НМ. По теореме о трёх перпендикулярах DM _L РК. Значит, угол DMH является углом между плоскостью а и плоскостью ASC.
Треугольники SDB и SAC равны по трём сторонам (AS = BS = CS = DS и DB = АС), поэтому ZSDB = Z.SAC = 30°.
Пусть SD = 2а, тогда SH = a, DH = ^SD = \/3а,
МН = 0,55# = 0,5а.
DM2 = DH2 + МН2 = (%/За)2 + (0,5а)2 = ^а2, DM = ^а.
sin ZDMH = DH : DM = \/За : (^а) =
Z 1о
Ответ: б)
15. Используя условие 8 — х > 0, выполним преобразования: bg^(a; - 8)2 = (log5(8 ~ х)2)2 = (21°g5 |8 - х|)2 - 4(log5(8 - х))2 =
= 4 log!? (8-х).
341og^(8-x) ^ 391og5(8-x) . _JL? 341og^(8-x) ^ 391og6(8-x) . 3-6^
243
341og§(8-x) ^ 391og5(8-x)-5) 4 log2(8 - х) - 91og5(8 - х) + 5 ^ 0.
Пусть log5(8 - х) = t, тогда 4t2 - 9t + 5 > 0, t ^ |, t ^ 1. log5(8 — х) < 1, 0 < 8 — х < 5, — 8 < — х < — 3 , 3 < х < 8. log5 (8 - х) > |, 8 - х > 5?, х < 8 - 5^5.
Так как v'li > 1, то 8 — 5^5 < 3, значит, х € (—оо; 8 — U [3; 8). Ответ: (—оо; 8 — 5v^5] U [3; 8).
16. а) Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы BE выполняется
ЕСШАС-АВ=]2-ЛЕ,1^Ш = 1ЛЕ=Ц.


Решение варианта № 5
237
В
А
Н Е
С
Рис. 206
BD = 70 . 84 = 85 АЕ 19 * 17 114*
б) 	Пусть ВН — высота треугольника ABC. Она является также высотой треугольника АВЕ.
Sabc = ОМС ВН = АС = 17 Sabe 0,5АЕ • ВН АЕ 7
По свойству биссектрисы AN для треугольника АВЕ получим
Sabe _ BE _ 29 Sabc _ Sabc . Sabe _ 17 29 _ 29 Sabn BiV 17’ Sabe Sabn 7 17 7 ’
Sabc 29 Omeem: 6) 7 : 29.
17. 	Обозначим через Л размер кредита в млн рублей. С июля по декабрь 1-го, 2-го, 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает по 0,1А млн рублей, всего 0,4А млн рублей за четыре года.
В июне 5-го года долг возрастёт до 1,1 А млн рублей. Обозначим через х млн рублей размер ежегодно выплачиваемой суммы в конце 5-го и 6-го годов. В начале 6-го года долг будет равен 1,1 А—х, а в июне 6-го года долг
Аналогично, ^ЛВЕ =
EN : BN = АЕ : АВ = Ц : 7 = Ц.
BE BN+ EN BN BN
EN ! , 12 = 29
BN + 17 17’


238
Решения избранных вариантов
будет равен 1,1(1,1А — х). В конце 6-го года долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна 1,1(1,1А — х) и по условию равна х.
1,1(1,1Л -х) = х, 1,21 А = 2,1х, х = Щ-А.
Z1U
121
Общая сумма выплат заёмщика будет равна 0,4А + 2 • =
1 fiQ
= ^4 млн рублей, и по условию она не менее 14 млн рублей.
163 yi > 14 л > 1470 _ п 3 105 163 “163*
А — целое, значит, наименьшее подходящее А = 10 млн рублей. '
Ответ: 10 млн рублей.
18. 	Преобразуем систему при условии, что 3 4- у > 0 и 3 4- у ф 1, то есть у > -Зиу ф -2.
Г х2 — Юх 25 4~ у2 4~ 2у 4~ 1 = 25 4-1,
\ 34-у = 34-х4-а;
Г (х - 5)2 4- (у 4-1)2 = 26,
\ у = х 4- а.
Графиком (х — 5)2 4- (г/ 4-1)2 = 26 является окружность с центром в точке Q(5; —1) и радиусом \/26. С учётом условий у > —3 и уф -2, это три дуги окружности (см. рис. 207).


Решение варианта № 5
239
График у == х 4 a — прямая с угловым коэффициентом 1, пересекающая ось ординат в точке (0; а).
По рисунку видно, что графики имеют две общие точки при a € (ai; a2) U (a2\ аз). Найдём значения ai, a2 и аз.
При а = ai прямая у = a + х проходит через точку окружности А при у = -3. Тогда (х - 5)2 + (-3 + I)2 = 26, х = 5 ± %/22.
А(5 - л/22; —3). Из уравнения у = a + х получим a = \/22 - 8.
При a = a2 прямая у = a + x проходит через точку окружности В при у = -2. Тогда (х - 5)2 4- (-2 + I)2 = 26, х = 0, х = 10.
#(0; —2). Из уравнения у = a + ж получим аг = —2.
При а = аз прямая у = a + х касается окружности в точке С. Рассмотрим треугольник CQMy где М<2 || Ox, MCLCQ, QC = л/26. Треугольник CMQ равнобедренный, так как tg ZM = 1 и ZM = ZQ = 45°. Следовательно, СМ = CQ = \/26, и высота треугольника СН = HQ = 0,5MQ = х/13.
Координаты точки С: ус = СЯ—1 = л/13—1, хс = Ъ—HQ = 5—\/1з. Из уравнения у = a 4- х получим аз = 2\/13 — 6.
Графики имеют две общие точки при a G (—8 4- л/52; -2) U (-2; 2>/13 - 6).
Ответ: (-8 4- \/22; -2) U (-2; 2>/l3 - 6).
19. 	а) Предположим, что это возможно. Первоначально средняя масса гирек в первой коробке была равна (2 4- 5 4- 11 4- 26) : 4 = 11. После добавления гирьки массой х г средняя масса увеличилась на 3 г, то есть стала равна 14 г.
(2 4- 5 4- 11 4- 26 4- х) : 5 = 14, х = 26. Гирька массой 26 г уже была в первой коробке, поэтому её добавить не могли. Противоречие. Требуемое невозможно.
б) Предположим, что это возможно. Пусть в первой коробке первоначально лежали п гирек средней массой 15,2 г. Тогда их суммарная масса была равна 15,2п г, а после добавления ещё одной гирьки массой М г стала равна (15,2п 4- М) г. При этом средняя масса увеличилась на 3 г, то есть стала равна 18,2 г, значит, суммарная масса стала равна 18,2(n4-1) г. Из уравнения 18,2(п 4* 1) = 15,2п 4- М получим, что М — Зп 4-18,2. Так как п целое число, получили, что М, масса добавленной гирьки в граммах, нецелое. Значит, такое невозможно.
в) Пусть в первой коробке первоначально лежали п гирек средней массой т г. Тогда их суммарная масса была равна тп г, а после добавления ещё одной гирьки массой М г стала равна (тп 4- М) г. При этом


240
Решения избранных вариантов
средняя масса увеличилась на 3 г, то есть стала равна (ш + 3) г, значит, суммарная масса стала равна (m + 3)(п + 1) г.
(га + 3)(n + 1) = ran -I- М, М = Зп + га -I- 3.
^ 1 . Г» , (1 + п)п
Сумма масс п гирек не меньше 1 + 2 + ... + п = Л.
Значит, гага ^ ^ ~^п)п и ш ^ Переложили гирьку массой М = (3п + га + 3) г, её масса не более 45 г. Тогда
М = 3га + га + 3^3га + - у- + 3 и М ^ 45.
45 ^ ЛО Зга + + 3, n ^ Ilf.
Z I
Следовательно, наибольшее значение п не превосходит 11. Покажем, что п = 11 может быть.
Пусть в первой коробке лежало 11 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 11 г, их средняя масса была равна 6 г. Если к ним переложить гирьку массой 42 г, средняя масса станет равна 9 г, то есть увеличится на 3 г.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 11.
Решение варианта № 9
1. Уменьшим на 23 минуты время отправления и время прибытия. Поезд отправляется в 17:00, а прибывает в 14:30 на следующий день. В день отправления поезд в пути 24 — 17 = 7 часов, а на следующий день он в пути
14,5 	часа. Всего поезд в пути 7 + 14,5 = 21,5 часа.
Ответ: 21,5.
2. Наименьшая положительная среднемесячная температура воздуха днём (самый низкий столбик из тех, что соответствует положительным температурам) приходится на 12-й месяц.
Ответ: 12.
3. По рисунку видим, что в прямоугольном треугольнике ABC АС = 8, ВС = б (см. рис. 208, с. 241).
sin /.ABC = = VBC28+ AC2 = ^368+ 64 = °’8-
Ответ: 0,8.
4. Составить пару Грегу Монтгомери можно 35 способами, а составить пару с игроком из Шотландии — 7 способами. Тогда вероятность того,


Решение варианта № 9
в
t\
Рис. 208
что в первом туре Грег Монтгомери будет играть с каким-либо игроком в дартс из Шотландии, равна = 0,2.
оО
Ответ: 0,2.
5. log6(x -f 5) — log6(3x — 10), х + 5 = Зх — 10, 2х = 15, х = 7,5. Число 7,5 удовлетворяет условию х + 5 > 0.
Ответ: 7,5.
6. Треугольник ABC равнобедренный. Высота СН является медианой, значит, АН = ВН = (см. Рис- 209).
АС =
АН
АВ
АВ
9 -13
cos LA 2 cos ZA 2 \/1 — sin2 ZA 2 • 12
39
8
: .4,875.
Ответ: 4,875.
7. 	/'(x) < 0 на промежутках убывания, содержащих целые точки —3; —2; -1; 0; 1; 2; 3(см. рис. 210). Их сумма равна -3 — 2 — 1 + 0 + 14-2-1-3 = 0. Ответ: 0.
^бок пов пр = 6aЬ* где a — сторона основания, Ъ — высота призмы, ^бок.пов.пр. = 6 • 16 • 11 = 1056 (см. рис. 211).
Ответ: 1056.
9.
/ 25 . 2з \
v W )
Ответ: 2.
' А ' 215
= (2*)3
21 = 2.


242
Решения избранных вариантов
Рис. 210
I I
-Л
N
a
Рис. 211
10. Уровень воды в колодце до дождя равен hi = 5 • 1,52 = 11,25 (м).
После дождя уровень воды повысится, значит, время уменьшится на 0,3 с и станет равно 1,5 — 0,3 = 1,2 с.
Л2 = 5 • 1,22 = 7,2 (м).
Уровень воды в колодце должен подняться на h\ — h2 = 11,25 — 7,2 = = 4,05 (м).
Ответ: 4,05.
11. Обозначим собственную скорость лодки через х км/ч. Тогда её скорость по течению равна (х + 2) км/ч, а скорость против течения — (х — 2) км/ч. Составим таблицу.
Расстояние, км
Скорость,
км/ч
Время, ч
По течению
66
х + 2
66 х + 2
Против течения
66
х — 2
66
х-2


Решение варианта № 9
243
С 6:30 до 16:00 прошло 9 часов 30 минут, то есть 9^ часа. Стоянка
5
длилась 2 часа 50 минут, то есть 2^ часа. Таким образом, лодка была в
пути 9| - 2§ = Щ часа.
I о о
66 + 66 _ 20.
х + 2 х — 2 3 ’
66(х - 2) + 66(х + 2) _ 20. (х + 2)(х — 2) 3’
132х _ 20.
(х + 2)(х - 2) 3 ’
ЗЗх _ 5.
(х + 2)(х — 2) 3’
ЗЗх • 3 = 5 • (х — 2)(х + 2);
5х2 - 99х - 20 = 0.
Найдём дискриминант D = 992 + 4 • 5 • 20 = 10 201 = 1012. 99 ± 101
XI,2 =
10
99 — 101
х\ = ——— <0 — не удовлетворяет условию.
99 +101 on
*2 = —jo—= 20.
Ответ: 20.
12. у = 6ж — 61п(ж 4- 3) + 1.
Область определения функции: х 4- 3 > 0, х > —3.
у'(х) = 6- у'{х) = 0, х = -2. -2 6 [—2; 0].
Так как у'(х) > 0 при х > -2, то функция у(х) на отрезке [—2; 0] возрастает. Значит, принимает наименьшее значение при х = —2. у{-2) = б • (-2) - 61nl + 1 = -12 -6*0 + 1 = -11.
Ответ: —11.
13. а) Запишем исходное уравнение в виде sin2 x(2sinx — \/2) + (2 sinx — \/2) = 0;
(2 sin х — у/2) (sin2 х + l) = 0.


244
Решения избранных вариантов
Значит, или sin2x = —1, что невозможно, или sinx = откуда
х = — + 27гfc, к Е Z, или ж = Щ- + 27гп, пе Z.
4 4 ч
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку (см. рис. 212).
Получим числа: ^ .
Рис. 212
Ответ: а) ^ 4 2жfc, к € Z; ^ + 27гп, n € Z; б)
14. 	а) Пусть плоскость а пересекает прямые SB и АВ в точках L и М соответственно (см. рис. 213, с. 245). Поскольку плоскость а параллельна прямой ВС, прямые KLy ВС и параллельны. Следовательно, SL : LB = SK : КС = DN : NC = AM : MB.
Таким образом, прямая KN, лежащая в плоскости а, параллельна прямой SDy а значит, плоскость а параллельна прямой SD.
б) Поскольку плоскость а параллельна плоскости SAD, искомый угол равен углу между плоскостями SAD и ABC. Пусть точки Е и F — середины рёбер AD и ВС соответственно. Тогда прямые SF и EF перпендикулярны прямой ВС, а прямые SE и EF — прямой AD. Таким образом, плоскость SEF перпендикулярна прямым ВС и AD, а также содержащим их плоскостям SBC и SAD соответственно.
Зтг
Значит, угол между плоскостями а и ABC равен углу SEF.


Решение варианта № 9
245
В
Высота SO пирамиды SABCD лежит в плоскости SEF, откуда £0 = 2,5, SE = ^SA2 - = 6; cos ZSEF = Щ = Ц- =
ZSEF = arccos
с
Ответ: arccos
15. Запишем исходное неравенство в виде
log7((5 - х)(х2 + 3)) > log7((5 - х)(6 - х)) 4- log7(7 - х);
log7(5 - х) 4- log7(x2 4- 3) ^ log7(5 - х) 4- log7(6 - ж) 4- log7(7 - х). Неравенство определено при х < 5, поэтому при х < 5 неравенство принимает вид:
х2 4- 3 ^ (6 - х)(7 - х), х2 4- 3 ^ х2 - 13х 4- 42, 13х ^ 39, х ^ 3.
Учитывая ограничение х < 5, получаем: 3 < х < 5.
Ответ: [3; 5).
16. а) Точки М и N лежат на окружности диаметром ВС с центром в точке К — середине стороне ВС (см. рис. 214, с. 246), поэтому
ВС
КМ = KN = -у как радиусы этой окружности.
Z.AMN = ZABC как вписанные и опирающиеся на одну дугу. Значит,
треугольники AMN и ABC подобны с коэффициентом подобия
AN 1 ВС
= cos ZNAC = cos 60° = i Поэтому MN — а, следователь- ЛО 2 2
но, AKMN — равносторонний.
б) Пусть R = 2\/3 — радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Тогда по теореме синусов ддя ААВС имеем:


246
Решения избранных вариантов
R = о • ВЯ*лп = 2^3, ВС = RV3 = 6.
2 sin ZВАС
ВС
Значит, сторона треугольника KMN равна = 3.
Тогда SKMN = ^ = ЬЙ.
Ответ: б)
4
17. Пусть кредит планируется взять на п лет. Долг (в млн рублей) перед банком по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
5,5(п-1). . 5,5-2.5,5. 0
’ ’ П »*•*’ п ’ п ’
По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
™. 6,875(п - 1). . 6,875 • 2. 6,875
0,о/0, , . . . , ,
п п п
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
1 w -и 5,5- 1»375(п- 1) + 5,5. . 1,375-2 + 5,5. 1,375 + 5,5
’ п ’ П п * п '
Всего следует выплатить
'5,5 +1,375 • (2 + + • • • + 2 +1) = 5,5 +1,375 • (млн рублей).
\ 71 ТЬ ТЬ ТЬ / Z
Общая сумма выплат равна 11 млн рублей, поэтому
5,5 	+ 1,375 • = 11, *^±1 = Ц- • n + 1 = 8, п = 7.
Ответ: 7.
18. Корнями исходного уравнения являются корни уравнения
25#2 — а2 = 0, для которых выполнено условие х2 + 12х + 36 - а2 ф 0.


Решение варианта № 9
247
Уравнение 2Ъх2 - а2 = 0 имеет два корня х = при а ф 0. Найдём,
5
при каких значениях а выполнено условие (х 4* б — а)(х + 6 + а) ф 0.
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два корня при а ф -7,5; —5; 0; 5; 7,5.
Ответ: а ф ±7,5; а ф ±5; а ф 0.
19. 	а) Да. Пусть в первый день записано десять чисел 1, а в каждый следующий день записывают на два числа 1 меньше, зато добавляют число 3. Тогда количество чисел каждый день на 1 меньше, а сумма, соответственно, на 1 больше, чем в предыдущий.
б) 	Да. Пусть п = 3, в первый день записали число 1 и десять чисел 2, во второй день — два числа 1 и восемь чисел 4, а в третий день — девять чисел 4. Тогда сумма чисел в первый день равна 21, во второй — 34, а в третий — 36. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день,
равно 1 jj < 2, а среднее арифметическое всех записанных чисел равно
в) 	Заметим, что в первый день на доску было записано не более 5 чисел. Значит, если п > 4, то в пятый день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, равной 5. Таким образом, п ^ 4.
Если п = 4, то в четвёртый день на доску было записано не более двух чисел, а их сумма не превосходит 8. Значит, суммы чисел, записанных в третий и второй дни, не превосходят 7 и 6 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 26.
Если п = 3, то в третий день на доску было записано не более трёх чисел, а их сумма не превосходит 12. Значит, сумма чисел, записанных во второй день, не превосходит 11, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 28.
Если п = 2, то во второй день на доску было записано не более четырёх чисел, а их сумма не превосходит 16. Значит, сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 21.
Если п = 1, то сумма всех записанных чисел равна 5.


248
Решения избранных вариантов
Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 28. Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 28. Пусть п = 3, и в первый день были записаны числа 1,1,1,1,1; во второй — 2,3, 3, 3; в третий — 4, 4, 4. Тогда суммы записанных в эти дни чисел соответственно равны 5, 11, 12, то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а их сумма равна 28.
Ответ: а) да; б) да; в) 28.
Решение варианта № 13
1.3 кг персиков стоят 3*2,2 = 6,6 грузинских лари. Эта покупка обошлась отдыхающим в 6,6 • 21,5 = 141,9 рубля. После округления до целого числа получаем 142.
Ответ: 142.
2. Самым тёплым днём в апреле является 27-е число, на графике ему соответствует наивысшая точка.
Ответ: 27.
3. На плане выделен участок, площадь которого равна 17 квадратных метров, так как он состоит из 17 клеток и площадь одной клетки равна 1 м2.
Ответ: 17.
4. Пусть события А и В — «на экзамене школьнику достанется вопрос по теме “Параллельность плоскостей”» и «на экзамене школьнику достанется вопрос по теме “Правильные многоугольники”» соответственно. Тогда событие А + В — «на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем». По условию р(А) = 0,31, р(В) = 0,08. События А и В несовместны, так как нет вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам. Значит, р(А 4- В) = р(А) 4- р(В) = 0,31 + 0,08 = 0,39.
Ответ: 0,39.
5-ём = ёт!’ 3* + 4^0’ 4* + 3^0, хф-±, хф-\.
(х 4* 6)(4х + 3) = (х 4- 6)(3х 4- 4), (х 4- 6)(4х 4- 3 — Зх — 4) = 0, (х 4- 6)(х - 1) = 0, xi =-6, х2 = 1.
Меньшим из корней -6 и 1 является —6.
Ответ: -6.
6. 	Площадь параллелограмма равна АВ • h\ = AD • h2i где hi — высота, проведённая к стороне АВ, h2 — высота, проведённая к стороне AD.
По условию АВ < AD, значит, h\ > h2. Проведём высоту DH к стороне АВ, считая для определённости, что /.А острый (см. рис. 215, с. 249).


Решение варианта № 13
249
DH = AD ■ sin /.A = 24 • | = 9.
О
Omeem: 9.
7. 	Угловой коэффициент прямой у = — 2х — 7 равен —2. Значит, /'(х) = —2. Это равенство выполняется в шести точках промежутка (-11; 3) (см. рис. 216).
Рис. 216
Ответ: 6.
8* ^бок.пов.пр. = ЗаЬ, где а — сторона основания, Ь — высота призмы. Основание цилиндра вписано в основание призмы, значит, радиус равен
| высоты правильного треугольника. Тогда - = 4>/3 и a = 24.
* Отсюда, S$0K пов пр = 36* 24 = 3- 7* 24 = 504 (см. рис. 217).
Ответ: 504.
Рис. 217


250
Решения избранных вариантов
9. 6\/3sin ^ • sin ^ = 6\/3 • sin^27r — ^ • sin^7r 4- ^ =
= 6VS(- sin !) • (- sin I) = evS- (- &) ■ (-1) = 2J!. 2 = 4,5.
Omeetn: 4,5.
10. Заметим, что в течение первой секунды, то есть при 0 ^ t < 1, выполняется неравенство 0 ^ nt < 7г.
Из этого неравенства следует, что sin пt ^ 0.
Тогда 3,2sinnt ^ 1,6, sin7r* > ^ < wt < | ^
Значит, в течение первой секунды скорость движения превыша-
/ 5 12
ла 1,6 см/с на протяжении - — - = - секунды, что составляет
о о о
2 2
- : 1 = - « 0,67 от первой секунды.
о о
Ответ: 0,67.
11. К моменту встречи в сумме соседи пройдут 2,6 4- 2,6 = 5,2 км. Время до их встречи было бы таким же, если бы они двигались навстречу друг другу, находясь на расстоянии 5,2 км друг от друга. Это время равно
5 2 1 1
—- = - ч. За полученное время первый пройдёт 5,1 • - = 2,55 км.
о,14- 0)0 z 2
Это и есть искомое расстояние.
Ответ: 2,55.
12. Рассмотрим функцию у — 9 tg х — Ъх 4- 6 на | — ^; oj.
у1(х) = 9 • —\ 5 = ^ ~ ^ 2°s х > 0 при любом х € [--т;0 .
cos2 х cos* х r L 4 J
Значит, y(x) возрастает на данном промежутке. Наибольшее значение на
нём достигается при х = 0.
у (0) = 9 tg 0 — 50 + 6 = 6.
Ответ: 6.
13. а) Перейдём к системе
( ддат2х _ y2-s/3sinx = q
\ —17 sin X > 0.
Значит / 49sin2x = 49v/5sinx, Г sin2x = \/3sina:,
\ sinx <0; \ sinx < 0;


Решение варианта № 13
251
sin х(2 cosx — y/S) = sinx < 0;
(si lsi
б)3тг< *■
0, j c<
I si
_ xft
cosx~ 2’ z = -f + 27Tn,nez.
„ D
sinx < 0.
б+2тт<±±^ n€Z; 3<-i + 2n<^, Щ < n < откуда n = 2.
Тогда x = —^ + 2n • 2 = ^E.
о о
Ответ: a) — ? + 27га, n e Z\ б)
о о
14. а) Пусть О — центр основания конуса. Рассмотрим АРТО, по условию, OL — его высота (см. рис. 218). РО = ОТ как радиусы, высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой, следовательно, PL = LT.
Рис. 218
APKL ~ APST по двум углам (ZP — общий, ZPKL = Z.PST как соответственные при параллельных прямых KL и ST и секущей PS).
РК PL 1 1
Значит, -р-g = -р^ = РК = что и требовалось доказать.
б) Опустим перпендикуляр КН к плоскости основания, тогда КН — средняя линия треугольника PSO (см. рис. 219, с. 252), Н — середина РО. Найдём ТН по теореме косинусов.
PL 3 1.
cos /LHPT = cos Z.OPL =
OP 18


252
Решения избранных вариантов
ТН2 = HP2 + РТ2 - 2 HP РТ- cos ZHPT =
= 92 + б2 - 2 • 9 • 6 • cos ZOPL = 117 - 108 • I = 99; ТН = 3\/1Т.
О
Угол между прямой КТ и плоскостью основания — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Значит, АКТН — искомый.
OS буТТ ^KTH=SM = JL = штн =
Ответ: 45°.
15. 	Перейдём во втором слагаемом к основанию 3: log3(5x — 6 — х2) — 6log3(5x — 6 — х2) + 8 > 0 и введём замену переменной log3(5x -6 — х2) = t.
Тогда неравенство примет вид t2 — 6t + 8 > 0, (t — 2)(t — 4) > 0, его решения t < 2, t > 4.
исходной переменной, получим совокуп- log3(5x - 6
Возвращаясь ность неравенств
переменной, - х2) < 2,
log3(5x — 6 — х2) > 4,
которая равносильна
Ъх — 6 — х2 > 81, х2 > 0,
Г 5х — б — \ 5х - б -
или
х1 < 9;
х — Ъх + 87 < 0,
Г X2-,
Л*2-
— Ъх 4- 6 < 0,
Ъх 4-15 > 0.
Первое неравенство совокупности не имеет решений, так как дискриминант квадратного трёхчлена х2 - Ъх 4- 87 отрицателен, второе неравенство системы выполняется при любом действительном значении переменной, так как дискриминант квадратного трёхчлена х2 — Ъх 4- 15 отрицателен, поэтому последняя совокупность равносильна неравенству х2 — Ъх 4- б < 0, решая которое, получим 2 < х < 3.
Ответ: (2;3).


Решение варианта № 13
253
16. 	а) По теореме косинусов
АС2 = АВ2 + ВС2 -2 АВ ВС- cos ZB. Отсюда
COS
/я = АВ2 4- ВС2 - АС2 92 + 1Q2 - II2 60 1 п
2 АВ -ВС 2-9-10 180 3
Так как cos Z.B > 0, то угол В — острый. Что и требовалось доказать.
б) 	Из пункта а) следует, что треугольник ABC — остроугольный, поэтому точка О лежит внутри треугольника ABC (см. рис. 220).
В
Рис. 220
Пусть ZAOK = а. Тогда
Skoh = \ К0 0Н- sin(180° - а) = | • КО • ОН • sin а.
Так как ZAOK = а, то ZBOH = а и ZOAK = ZOBH = 90° - а. Но тогда ZBCK = 90° — (90° — а) = а и sin а = Щ$;. Следовательно,
JD С
Skoh = | • КО ■ ОН ■
Найдём теперь КО, ОН и ВК, используя площадь 5 треугольника ABC.S= ^AB-BC sinB = i-9-10-^1 - (J)2 = 9-5-^ = 30\/2.
АН=Щ= 6у/2, ВН = VAB2 - АН2 = ^92 - (6\/2)2 =
= ч/8Г^72 = 3, НС — 7.


254
Решения избранных вариантов
ОН НС
Из подобия треугольников ОВН и НАС следует, что ^7= = -глин. АН
Отсюда ОН — — 3'7 — 7
Отсюда ОН- АН - - 2^.
BK-2S
Ц = 6(^2 Ак = ^АВ2 _ ВК2 = ^д2 _
/81-121-7200 / 9801-7200 / 2601 51
у 11 у 121 V121 11'
ОК НС
Из подобия треугольников АО К и ЯЛС следует, что ^-zrp = -j-=.
АА A/z
Отсюда СЖ = = 22%'
60л/2
Значит, 5Коя = 4 • • ОН ■ ВК - 1 119 7 11
2 ВС 2 22у/2 2у/2 Ю '
о 119 • 7 • 60у/2 2499V2
КОИ 2 ■ 22\/2 • 2\/2 • 11 • 10 968 '
Ответ: б)
17. 	Согласно условию, каждый январь долг возрастает на г%, то есть уве- 100 -Ь г
личивается в q = • раз.
После первого начисления процентов долг будет равен 400д тыс. рублей, после выплаты 280 000 рублей он станет равен (400д — 280) тыс. рублей.
После второго начисления процентов долг будет равен (400д — 280)<? тыс. рублей, после выплаты 240 000 рублей он станет равен ((400д — 280)</ — 240) тыс. рублей. По условию кредит будет полностью погашен за два года, значит,
(400д - 280) g - 240 = 0.
Решая это уравнение, с учётом q > 0, получим
10q2 -7q-6 = 0,q = 1,2, = 1,2, г = 20.
Ответ: 20.


Решение варианта Л& 13
255
18. 	При фиксированном значении параметра а каждое решение исходной системы — это пара значений (х\ у), при подстановке которых в систему получаются верные равенства. Заметим, что если (яо; Уо) — некоторое решение системы, то и пары (х0; -Уо); (-so; Уо) и (-я0; “Уо) — тоже решения системы.
Г (х2 - у2)(х2 4- у2) = 30а 4- 54, Г 2а(ж2 — у2) = 30а 4- 54,
\ х2 + у2 = 2а; \ х2 4- у2 = 2а.
Г х4 — ty4 — 54,
При а = 0 исходная система примет вид j х2 _|_ *2 _ q Из второго уравнения получим х = у = 0, при этих значениях первое равенство выполнено не будет. Значит, при a = 0 система не имеет решений. Рассмотрим случай, когда а Ф 0. Тогда
ж2_ 2= 160 + 27
a
х2 4- у2 = 2а.
2^,2 15а 4~ 27 _|_ 2а2 4~ 15а 4* 27
а а
2 г — 2а— 15а + 27 = 2а2 - 15а - 27 а а
Исходная система имеет ровно четыре решения при тех значениях па-
Л ,,, 2а2 4- 15а 4" 27 ^ п 2а2 — 15а — 27 п
раметра а, при которых 1—-— > 0 и - > 0 (тогда
будет два значения х и два значения у).
Решим вспомогательное уравнение 2а2 4- 15а 4-27 = 0.
_ —15 ± л/225 -4-2-27 _ -15 ±3.
<*1,2 = 4 = —J~’
aj = —4,5; 02 = —3.
2(а + 3)(а + 4,5) > ^ при а ^ ^4 5. у (д. +оо).
Решим вспомогательное уравнение 2а2 — 15а — 27 = 0.
15 ± л/225 + 4-2-27 15 ±21.
’2 = 4 = —4“•
ai = —1,5; а2 = 9.
2°2 ~ а0'2'7 > 0 при а € (-1,5; 0) U (9; +оо).
Оба неравенства будут выполнены при а е (9; +оо).
Ответ: а € (9; +оо).


256
Решения избранных вариантов
19. 	а) Нет, не могут. Если х — некоторое натуральное число, то числа Зх и (х — 2) имеют ту же чётность, что и число х. Следовательно, все выписанные числа имеют одинаковую чётность, числа 5 и 6 не могут быть выписаны одновременно.
б) Да, могут, если по кругу выписаны числа 6,18,16,14,12,10, 8.
в) Пусть га — наибольшее из выписанных чисел. Тогда оно в три раза больше соседнего с ним слева числа (обозначим его к), га = ЗА;. Тогда справа от га могут быть только числа, каждое из которых на два меньше предыдущего, пока не встретится к. Действительно, если число р такое, что к < р < тпу то Зр > га, поэтому для получения очередного числа не может использоваться процедура умножения на 3, так как га — наибольшее. Все выписанные по кругу числа — подряд идущие члены арифметической прогрессии {ап} с разностью 2 от числа а\ = к до числа ап = ЗА;. Повторяться такая последовательность не может, так как по условию все выписанные числа различны. 3к = к + 2(п — 1), п = к + 1. Сумма всех
выписанных чисел равна . п = -— • (к + 1) = 2к(к + 1). То-
гда 2к(к + 1) < 2021; к(к + 1) ^ 1010,5. Чем больше значение fc, тем больше значение выражения к(к + 1). Наибольшим значением к, при котором выполнено неравенство к(к + 1) ^ 1010,5, является к = 31. Тогда наибольшее число га = ЗА; = 93.
Ответ: а) нет; б) да; в) 93.
Решение варианта № 17
1. Если бы Артур Петрович купил 42 билета на одну поездку по 46 рублей, он заплатил бы 42 • 46 = 1932 рубля. Разность между этой суммой и стоимостью проездного билета равна 1932 — 1750 = 182 рубля.
Ответ: 182.
2. Используя диаграмму, определяем, что самое большое число посетителей (самый высокий столбик) приходится на 16 апреля.
Ответ: 16.
3. Все стороны четырёхугольника, изображённого на рисунке, равны, следовательно, он является ромбом. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. По рисунку видим, что диагонали ромба 4 и 6. Площадь ромба равна 12.
Ответ: 12.
4. Эксперимент заключается в выборе того, кто начинает игру Всего при бросании жребия для 5 человек может быть 5 исходов. Пусть событие


Решение варианта №17
257
А — «игру должен будет начинать мальчик». Благоприятствующих исхо-
о
дов этому событию 2 — жребий выпал Роме или Вадику. р(А) = - = 0,4.
о
Ответ: 0,4.
5. \/45 — 4х = —х.
Значение арифметического корня должно быть неотрицательным числом. —х ^ 0, х ^ 0.
(\/45 — 4х)2 = (—х)2, 45 — 4х = х2, х2 4- 4х — 45 = 0,
х = — 2 ± \/4 4- 45 — —2 ± 7, х\ — —9, х2 = 5. Корень уравнения х = —9.
Ответ: -9.
6. Диагональ квадрата равна АС = АВ у/2, а площадь квадрата — АВ2, поэтому площадь квадрата равна — (^>) =
Ответ: 8.
7. Значение производной в точке, в которой касательная к графику функции у = /(х) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, равно нулю (см. рис. 221). /'(—4) = 0.
Рис. 221
Ответ: -4.
8. 	Vhp. = Sabc * В, где Н — высота треугольной призмы, Sabc — площадь основания ABC (см. рис. 222, с. 258).
К)тсеч.пр. = Sab^Ci ' Hi* гДе Н\ = Н.
SabiCi ~ I'S'abc-
17.3ак. №121


258
Решения избранных вариантов
Следовательно, УЬтсеч.пр. = |Sabc • Н — j * 76 = 19.
Ответ: 19.
9.
= 9.
cos2 211° + sin2 31°
= 9 = 9
cos2(180° + 31°) + sin^ 31° cos2 31°+sin2 31°
Ответ: 9.
10. 	В формулу r(p) = q • p подставим q = 170 — 10p, получим r(p) = (170 — 10p)p.
По условию r(p) ^ 520, следовательно, 10p2 — 170p + 520 < 0, p2 — Yip + 52 ^ 0.
_2 17 ± yjvt2 - 208 17 ±9 _ „ 10
P ~ 17p + 52 — 0, pi,2 = 2 = —2—* = ~~
4 ^ p ^ 13.
Максимальный уровень цены равен 13 тыс. руб.
Ответ: 13.
11. 	Обозначим производительность Сергея черезрс, производительность Николая через рн, производительность Егора через р^.
1
PC + РН = 12;
Тогда <
РН+РЕ =
24’
Рс+РЕ = J2*
Сложим все три уравнения, получим 2 (рс +Рн +Ре) = ^ 12 ’
17*


Решение варианта №17
259
2(рс+РН+Ре) = |р
PC + РН +РЕ =
Работая втроём, Сергей, Николай и Егор выполнят заказ за
^ = 9,6 часов.
5
Ответ: 9,6.
12. 	Функция у = log6(16 4- 6х - х2) определена при х € (—2; 8), так как 16 4- 6х — х2 > 0, х2 — 6х — 16 < 0.
х2 - 6х —16 = 0, J = 9 + 16 = 25.
xi = 3 — 5 = —2, Х2 = 3 4- 5 = 8.
Решением неравенства х2 - 6х - 16 < 0 служит промежуток (—2; 8).
= (16 + t~-^)ln6- *'<*>=° """* -3- 3 €
У
При переходе через точку х = 3 производная меняет знак с «4-» на «—», значит, х = 3 — точка максимума (см. рис. 223).
Ответ: 3.
13 а) \/cos2 х 4- cosх 4- sin х _ q
sinx
Перейдём к системе
\Jcos2 х 4- cos x = — sin x, J cos2 x 4- cos x — sin2 x,
sinx < 0;
: 4- cos x — 1 = 0,
{yjcos2 x 4- cos x — — sinx, J sin x^O; \
{cos2 x 4- cos x = 1 — cos2 x, f 2 cos2 x 4- sinx <0; \ sinx < 0;
cosx = -1, cosx = I |cosx=i x=_|+27rn> neZ
sin x < 0; ( sin x < 0;
б) С помощью единичной окружности отберём корни на отрезке [—37г; —27г] (см. рис. 224, с. 260).
18. Зак. №121


260
Решения избранных вариантов
Получим х = — .
о
Ответ: а) — ^ + 2пп, пе Z; б) —
О О
14. 	a) ASPT ~ ASKL (см. рис. 225, с. 261) по двум пропорциональным
(SP ST 7 \
ZPST — общий, -gj; = = — J. Тогда
ZSPT = ZSKL и, следовательно, РТ || ifL (равны соответственные углы при пересечении прямых секущей SK).
Значит, KL параллельна прямой РТ в плоскости 7. По признаку параллельности прямой и плоскости осталось показать, что KL не лежит в 7. Построим сечение, проведя в плоскостях SKM и SLM прямые PQ и TR соответственно (Q лежит на КМ, R — на LM, PQ || SM, TR || SM). PTRQ — искомое сечение. Плоскость основания пирамиды пересекает плоскость 7 по прямой QR, К не лежит на этой прямой, значит, не лежит в плоскости сечения, тогда и прямая KL не лежит в 7. Таким образом, ребро KL параллельно плоскости 7.
б) 	Так как KL || 7, все точки KL равноудалены от 7. Пусть D — середина KL, найдём расстояние от D до 7. Пусть плоскость SDM пересекает прямые РТ и QR в точках F и G соответственно. KL _L SD и KL _L MD, так как KL — основание равнобедренных треугольников SKL и MKL, к которым проведены медианы SD и MD. Значит, KL ± (SDM), QR _L (SDM). Высота DV треугольника DFG, опущен-
18*


Решение варианта №17
261
S
Рис. 225
ная из D, равна искомому расстоянию (DV ± FG, DV ± QR, DV JL 7).
S
PQ || SM || TR, PQ = ^SM = TR. Отсюда PQRT — па- раллелограмм (PQ и TR равны и параллельны), FG || SM, отсюда
к
ADFG ~ ADSM с коэффициентом подобия —.
К
Таким образом, искомое расстояние равно —DH, где DH — высота AS DM. Рассмотрим ASDM (см. рис. 226).
Его площадь Ssdm = * DM = ^DH • SM.


262
Решения избранных вариантов
птт SO DM
DH= sm ■
DM — высота равностороннего AKLM, DM = —^ = 6\/3.
О — центр равностороннего треугольника К LM,
МО = I MD = 4n/3. SO2 = SM2 - MO2 = 152 - (4\/3)2 = 177;
О
SO = y/V77.
' гурт ... \/l77• 6y/3 6y/59
15 5 '
Искомое расстояние равно ^ • -л/59 _ VjM
1Z О z
Omeem:
15 (д — 1)(^ — 3)(x — 5) _ j q ,0* (x + l)(x + 3)(x + 5) ’
x3 — 9x2 + 23x — 15 — (x3 + 9x2 + 23x + 15) „
(x 4- l)(x 4- 3)(x 4- 5)
-18x2 - 30 > 0 , ^ w ft < 0. Так как
(x + l)(x + 3)(x + 5) ’ (* + l)(x + 3)(x + 5)
3x2 4- 5 > 0 при любом x, то (x 4- l)(x -I- 3)(x 4- 5) < 0 (см. рис. 227),
^5
Рис. 227
откуда x < -5, — 3 < x < —1.
Ответ: (—oo; —5) U (—3; —1).
16. 	а) Рассмотрим рисунок 228, на котором О — центр окружности, АН — высота, опущенная на сторону ВС, и OELAH.
Тот факт, что на рисунке ВН > В К , будет установлен ниже при рассмотрении пункта б).
По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки, лежащей вне окружности, получаем, что В К2 = В А • BN. Согласно уело-


Решение варианта Же 17
А
263
ВИЮ
BN = |АВ и ВК2 = ВА • |АВ = |АВ2. Отсюда
= 4 = §. Что и требовалось доказать.
Ajd у 9 о
б) По теореме синусов
АВ sin 30°
ВС sin 105°
ВС sin 75°
Поэтому
АВ =
ВС sin 30° sin 75°
12'2
sin 75° sin 75°
Согласно пункту а) ВК = -АВ.
о
Так как АН — перпендикуляр к стороне ВС, то АН = ABsin45° =
= Щ и ВН = АН, ВН = Щ, ВК = ^АВ = ^. Так как | > у/2, то у/2 у/2 3 з 2
2
ВЯ > ВК.
Отсюда КН = ВН - ВК = .
По свойству прямоугольника ОЕ = НК и НЕ = (Ж = Д = О А По теореме Пифагора АЕ2 + OJ52 = АО2 = Д2.
АЕ = АН-R=^-R. Тогда
3\/2


264
Решения избранных вариантов
АВ2 2R AB , АВ2(3-2%/2)2
с% /^ » /« /7Г\0
2 v/2 (Зл/2)2
= 0,
АВ 2Д . АВ(3-2У2)2 2 V2 (3%/2)2
АВ(26 - 12л/2) • %/2 36
2 '
х/2
„ _ АВ( 13 - 6л/2) • V2 _ 6\/2(13 - 6л/2) R~ 18 " 18 sin 75°
sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° • cos 30° + sin 30° • cos 45° = ^4*
4(13^6^} 2(13-6y/2)(y/3-l)
3(>/5 + i) з
Заметим, что sin 75° можно было бы найти, пользуясь следствием из
Ответ: б) §(13 - 6\/2)(%/3 - 1).
О
17. 	Пусть планируется взять кредит А рублей. Долг перед банком (в рублях) по состоянию на май должен уменьшаться до нуля равномерно:
А. Aj_7, . АУ2Л А1.п
1 8 ’ ‘ ’ 8 ’ 8 ’
Согласно условию, каждый январь долг возрастает на я%, назовём это увеличение долга (в рублях) процентными выплатами. Значит, размер начисленных в январе процентных выплат (в рублях) будет составлять:
j .nnu.7
ных в январе процентных выплат на остаток долга. Сумма всех постоянных частей равна величине взятого кредита А. Сумма всех выплаченных процентных выплат равна
формулы косинуса двойного угла: sin 75° =
8
л
Выплаты состоят из постоянной части, равной —, и суммы начислен-
о


Решение варианта № 17
265
= ^з^(8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) = Л-0,045х(рублей).
О
Известно, что за весь период выплатили на 36% больше, чем взяли в кредит, то есть процентные выплаты равны А • 0,36 рублей.
А • 0,045х = А • 0,36, х = 8.
Ответ: 8.
18. 	Рассмотрим функции у = \х + 5а| + \х — 14|. Выражения, стоящие под знаком модуля, меняют знак в точках х = —5а и х = 14. Между этими числами модули раскрываются по-разному и значения х взаимно сокращаются, то есть функция на этом участке представляет собой константу 5а -f 14 при -5а ^ 14 и -5а — 14 при —5а ^ 14. В обоих случаях это значение можно записать как |5а + 14|.
Графиком этой функции будет «корыто» при —5а ф 14 (см. рис. 229) и уголок при -5а = 14 (см. рис. 230, в этом случае у = 2|х — 14|).
у = 1а + \
у= |х + 5а| + \х —14|
х
Рис. 229
У
v = 2l*-14|
0
14
х
Рис. 230


266
Решения избранных вариантов
Исходное уравнение имеет ровно два решения, если 7а + 3 > |14 + 5а| (график функции у = \х 4- 5а| + \х — 14| имеет две общие точки с горизонтальной прямой у = 7а + 3).
Если 7а 4- 3 < 0, то неравенство 7а 4- 3 > |14 4- 5а| не имеет решений.
В случае, если 7а 4- 3 > 0 ^то есть а > — у)» возведём обе части
неравенства 7а 4- 3 > |14 4- 5а| в квадрат, получим 49а2 4- 42а 4- 9 > 196 4- 140а + 25а2;
24а2 - 98а - 187 > 0.
Решим вспомогательное уравнение 24а2 — 98а — 187 = 0.
Найдём его дискриминант:
D = 982 +4-24-187 = 4(492 4-24* 187) = 4(24014-4488) = 4-6889 = 22-832.
Отсюда ai,2 = ;
17. л «;!
1 = —12’ = 2'
Решением неравенства 24а2 — 98а — 187 > 0 будут значения a £ оо; — ^ U (5,5; -foo).
о
С учётом ограничения a > — у получим, что a € (5,5; -foo).
Ответ: a € (5,5; foo).
19. 	а) Среди выписанных чисел нет числа 0, так как произведение равно 1. Все числа не могут быть различными натуральными, так как в этом случае их произведение было бы больше 1. Покажем, что может быть ровно 2020 различных натуральных чисел. Действительно, пусть выписаны все натуральные числа от 1 до 2020 (они являются числами от а2 до 02021)* Тогда 1
1 1-2-...-2020*
б) Да, могут. Например, выписаны числа \/2; л/З и а остальные
числа разбиваются на пары (\/5)2n+1 и i АПЯ Различных целых п
от 0 до 1008.
в) Пусть &i = агогь Ь2 = ^2020 * ^2021 i 63 = ^2019 * <^2020 * Я2021 и так далее,62021 = ai-a2*.. .*02021 = 1* Тогдаа\-а2-.. .-a^oli = Ъ\'Ь2-.. .*62021*


Решение варианта Л? 21
26 7
Если для какого-то натурального к верно, что Ь* < 1, то хотя бы один из множителей, образующих 6*, меньше 1, в частности, наименьший из этих множителей (а2о22-/0 меньше 1. Но тогда и для всех j, 1 ^ j ^ 2022 - к верно, что aj < 1. Отсюда выполняется, что bk+i < Ък, Ь*;+2 < bk+1 и так далее, так как каждое последующее 6* получается из предыдущего умножением на число меньше 1*. Тогда 62021 < 1, что противоречит условию.
Следовательно, для всех к, 1 ^ к ^ 2021, верно, что bk ^ 1. Тогда и &1 • Ь2 * • • • * &2021 ^ 1.
При CL\ — 0*2 — - - - — &2021 = 1 ПОЛуЧИМ, ЧТО 61 = Ь2 = . . . = &2021 = 1 И Ьх • 62 • . . . • ^2021 = 1-
Ответ: а) 2020; б) да; в) 1.
Решение варианта № 21
1.45% = 0,45. Чтобы найти число по его дроби, нужно число поделить на эту дробь. Поэтому парк в этот день посетило 378 : 0,45 = 840 человек.
Ответ: 840.
2. 	Более 40 мм осадков выпало в следующие месяцы: январь, февраль, апрель, май, июнь, июль, ноябрь, декабрь. Итого: восемь месяцев.
Ответ: 8.
3. 	Площадь четырёхугольника ABCD равна разности площадей треугольников ABC и ADC, высоты которых ВН и DH равны соответственно 3 и 1 (см. рис. 231), основание АС = 6.
Sabcd = Sabc - Sadc = \АС ■ {ВН - DH) = 3(3 - 1) = 6.
А
Н
с
■—
->■—
V
и
/
V
/
В
Рис. 231
Ответ: 6.
4. 	Пусть событие А — «терминал неисправен». По условию р(А) = 0,02. Событие А* А- А — все три терминала неисправны, а событие, противопо¬


268
Решения избранных вариантов
ложное этому событию,— хотя бы один терминал исправен. Его вероятность равна 1— р(А-А-А) = 1— р(А)-р(А)'р(А) = 1-0,000008 = 0,999992. Ответ: 0,999992.
5. \/зГ^7 — 5, (^х^7)3 = 53, х — 7 = 125, ж = 132.
Ответ: 132.
6. По условию DE средняя линия, значит, DE || АВ, АВ = 2DE, следовательно, ААВС ~ ACDE с коэффициентом подобия, равным 2. Тогда
Sabc ' SCde = 22 = 4, откуда SCde = | = 1,25.
Ответ: 1,25.
04.2
7. Скорость материальной точки равна xf(t) = ~— St 4- 7 = t2 - St + 7.
о
V = 64 - 8- 8 + 7 = 7.
Ответ: 7.
8. Площадь поверхности многоугольника равна сумме площадей всех граней этого многогранника
SViob. = 410 + 5*4-2 + 2- 4*2+1-4*2 + 6- 4 + 2-1*4 + 4-10-2 = 216. (см. рис. 232)
Ответ: 216.
9. tga = — ■—. Так как a е \п; ~^l,sina ^ 0. cos a L 2 J
sina = -VI-cos2 а =
Ответ: 2.
10. 	Подставим данные задачи в формулу T(t) = То + bt + at2 и решим неравенство 1600 ^ 1480 + 150t — 30£2.


Решение варианта № 21
269
30£2 - 1501 4- 120 ^ 0, t2 — 5t 4- 4 ^ 0, (t - 1 )(t - 4) ^ 0. Учитывая, что t > 0, неравенство выполняется при 0<£^1,£^4. Наибольшее время, через которое нужно отключить прибор, равно 1 минуте. При t > 1 прибор испортится.
Ответ: 1.
11. Пусть за 1-й день бригада изготовила а\ табуретов, за 2-й день — а2 табуретов и т. д. За последний га-й день бригада изготовила ап табуретов. Из условия следует, что (а*) — арифметическая прогрессия.
Сумма первых га членов Sn = 0,1 • га;
z
У n = 180;
га = 8.
Ответ: 8.
з
12. у(-9) = + 24 • 9 + 5 = -91,125 + 221 = 129,875.
О
у(0) = 0- 0 + 5 = 5.
у’(х) = - 24, у'(х) = 0, За:2 - 192 = 0, х = = ±8.
-8 е [—9; 0].
3
3/(—8) = — | +24-8 + 5 = 133.
О
Наибольшим среди значений у на отрезке [—9; 0] является число 133. Ответ: 133.
13. a) \/3cos(3x)cos^x — = 2 • cos(3x)cos^x — = 1,
cos3x = 1, ( cos3x = —1,
( 27г\ л или ^ / 27Г\ л
cos^x ——J = 1 J cos[х —— J — —1.
Зх = 2пга, га £ Z, ( Зх = 7Г 4- 27гт, m Е Z,
* - у = 2тгЛ:, fc € Z ИЛИ|х-^=7Г + 2ttZ, / €
27ГП _ _ ~
X = -д— ,П €
х = ^ + 2тгА:, fc € Z
О
ИЛИ
x=£±|2Em,meZ, x = ^+2ttZ,Z€Z.
О


270
Решения избранных вариантов
х—Щ-Л- 2жк, к G Z или х = Щ- + 2жк, к € Z. Объединяя решения,
О О
су
получим х = — + тгfc, к € Z о
б)-тг^ ^+7ГА:^37Г, fceZ; -1 ^ | + А:<3, к € Z; -| fc < |, к 6 Z; к = —1, к = 0, к = 1, к = 2.
Получим X = X = х = X =
Ответ: а)х = ^ + пк, к € б) - |,
14. 	а) Пусть О — центр шара (см. рис. 233), a R —его радиус. Сечениями шара плоскостями а и /3 являются круги с центрами 0\ и 02 соответственно. Расстояния от центра шара до этих плоскостей равны 00\ и 002. Площади сечений равны, значит, равны радиусы этих кругов, обозначим длину каждого из этих радиусов через г. Отметим произвольную точку М на окружности сечения плоскостью а. По теореме Пифагора из треугольника МОО\ получим, что 00\ = у/ОМ2 — МО\ = VR2 — г2.
Аналогично, 002 = y/R2 — г2.
00\ = 002i что и требовалось доказать.
б) Так как площадь сечения плоскостью а равна пг2 и равна 1б7г, то г = 4. По условию АВ = CD = 8 = 2г. Отсюда следует» чт<> АВ и CD — диаметры кругов, которые являются сечениями шара.
ООг = \/52 - 42 = 3,0i02 = 3 + 3 = 6.
Линейный угол искомого двугранного угла равен углу 0\D02 (см. рис. 234, с. 271), tg LO\DOi = ^ = | = |.


Решение варианта N° 21
271
Искомый угол равен axctg
Ответ: arctg
2'
15. ОДЗ:
х2 — Зх > 0, ( х < 0, х > 3,
(х - 5)2 > 0, < х Ф 5,
(х - 5)2 ф 1; [ х ф 4, х ф 6;
х<0,3<х<4,4<х<5,5<х<6, х>6. log4(x2 - Зх)2 1 < Q log4(x2 - Зх)2 - log4(x - 5)2 < Q
log4(x - 5)2 ^ log4(x - 5)2 ^
С помощью метода рационализации перейдём к неравенству (х2 - Зх)2 - (х - 5)2 (х — 5)2 — 1
(х2 — 4х + 5)(х2
<0, 2x-jT)
<0,
(х - 6)(х — 4)
(х - 1 — -\/б)(х - 1 4- л/б) ^ „
(х - 6)(х - 4) ^ U-
Решаем последнее неравенство методом интервалов (см. рис. 235).
Рис. 235
С учётом ОДЗ получим
Рис. 236


272
Решения избранных вариантов
1 — Уб ^х<0,3<х^1 + л/б» 4<х<5, 5<х<6 (см. рис. 236).
Ответ• [1 — v%; 0) U (3; 1 + у/Щ U (4; 5) U (5; 6).
16. 	а) Обозначим через С\ и Сг — центры окружностей 0\ и Ог, а через L обозначим точку пересечения касательной, проходящей через точку К, и касательной Z, не проходящей через точку К. LK — серединный перпендикуляр к Ci С2.
Пусть расстояние от некоторой точки Сз до окружностей Oi и 02 и до их общей касательной, не проходящей через точку К, равно г. С1С3 = 10 -I- г и С2Сз = 10 4- г и, значит, Сз равноудалена от Ci и С2. Из этого следует, что Сз лежит на серединном перпендикуляре к CiC2. Тогда точка Сз лежит на общей касательной, проходящей через точку К.
Пусть М — такая точка на окружности Oi, что С3М — наименьшее из всех расстояний от точки Сз до точек окружности 0\. Тогда С3М = г и отрезок С3М перпендикулярен касательной к окружности Оь проходящей через точку М. Заметим, что отрезок CiM также перпендикулярен этой касательной, поэтому М лежит на отрезке С1С3. Соответствующую точку на окружности 02 обозначим через N.
Рассмотрим рисунок 237.
По теореме Пифагора получаем, что С$К = >/(10 4- г)2 - 102. Так как KL = 10, то
>/(10 4- г)2 - ДО2 4- г = 10 (*)
Отсюда (10 + г)2 - ДО2 = (10 - г)2, 20г - 100 = -20г, г = 2,5.
Из единственности решения уравнения (*) следует справедливость утверждения а).


Решение варианта № 21
273
б) 	Треугольники С1С3С2 и MC%N подобны (MN || С1С2У Так как г = 2,5, а С\М = 10, то коэффициент подобия к равен = 5.
1 24
Значит, Smczn — Следовательно, Sc1mnc2 — Tj^ScxCzC*-
Но SClc3c2 = CiК • ДГС3 = 10 - (10 - 2,5) = 75. Тогда
SCimncа = || • 75 = 72.
Ответ: б) 72.
17. 	Минимизировать время выплат можно, только как можно больше увеличив сами выплаты. Решим задачу в общем виде. Пусть S — сумма (в тыс. руб.) кредита; Sn — задолженность в n-й месяц; sn — выплата в п-й месяц, sn = s; q — коэффициент ежемесячного повышения, q > 1. Тогда
Si — qS - s, S2 = qSi — s — q(qS — s) — s = q2S - s( 1 4- <?), S3=qS2- s = q(q2S - s(l + g)) - 5 = g3S - 5(1 + q + q2),.... После предпоследней выплаты останется Sn- 1 ^ 5, и тогда в последний N-й раз, кредит будет погашен. Значит,
=qN-lS-s(l+q+q2 + ---+qN~2) = qN~1S-s^N~1_~^ < а.
Пусть = t.
Получаем неравенство
±- 1 Q
По условию S = 600, s = 250, g = 1,02.
tS-s-±—j ^ e,tS(g-l)-s-(t-l) ^ s(q-l),t(S(q-l)^s) < s(?-2).
t(600(l,02 - 1) - 250) < 250(1,02 -2),t> ||§.
2oo
?JV_1 ^ it’1,02JV_1 ^ W = 1,02Q-
1,02 	^ 1,029..., 1,022 = 1,0404 ^ 1,029..., значит, наименьшее TV — 1 = 2, TV = 3.
Ответ: 3.
18. 	Решим неравенство - — 2^0; ^ ~-x ^ 0; ^^ > 0, x € (0; 2].
xxx
A П
Аналогично, —-— < 0 при x e (—oo; 0) U [2; -foo).


274
Решения избранных вариантов
Рассмотрим функцию у =
--2 =
“ “ 2 при х £ (0; 2],
2 - - при х е (-оо; 0) U [2; + оо).
Построим график этой функции на плоскости Оху (см. рис. 238). График у = 2ax — 1 — это прямая с угловым коэффициентом к = 2а, проходящая через точку (0; —1).
Найдём, при каком значении к прямая проходит через точку А(2; 0): 0 = Jfe-2-l;fc = |.
Найдём, при каком значении к прямая у = кх — 1 коснётся графика
функции у — I 2
I X
на множестве х ^ 2. На этом участке у = 2 —


Решение варианта Л& 21
275
По рисунку определим, при каких значениях параметра к графики
19. 	Пусть уравнение х2 + (к — тп)х + тп2 = 0 имеет натуральные корни х\ и х2, (возможно, что Х\ — х2) и х\ — простое число.
а) При тп = 14 уравнение имеет вид х2 + (к — 14)х + 196 = 0.
По теореме Виета х\х2 = 196. Число 196 имеет ровно два различных простых делителя: 2 и 7.
Если х\ = 2, получим, что х2 = 98, сумма корней х\ 4- х2 = 100, тогда 14 - к = 100, к = -86.
Если xi = 7, получим, что х2 = 28, сумма корней х\ 4- х2 = 35, тогда 14 - к = 35, к = -21.
б)т2 + (тп — к) = 1085, по теореме Виета xix2 = m2, xi+x2 = тп — к, тогда xix2 + xi 4- х2 = 1085 и х\х2 4- х\ 4- х2 4- 1 = 1086; (xi 4-1)(х24-1) = 1086. Число 1086 можно несколькими способами разложить в произведение двух натуральных множителей, каждый из которых не меньше двух: 1086 = 2 • 543; 1086 = 3 • 362; 1086 = 6 • 181. При этом корни могут принимать значения 1 и 542, 2 и 361, 5 и 180. Только в парах 2 и 361,5 и 180 есть простые числа. Для пары 5 и 180 получим тп = 30, к = -155 или 771 = —30, к = —215. Для пары 2 и 361 получим тп = —у/722, к = -у/722 — 363 ^ Z или тп = \/722, к = л/722 — 363 £ Z.k целое, если корни 5 и 180.
в) Если к2 = 36, то или к = 6, или fc = —6. Рассмотрим два случая.
I. 	к = 6. Тогда х2 - (тп — 6)х 4- тп2 = 0.
Единственное решение при к € (—оо; 0) U ^0; U 4-оо^. Три решения при А; €
Нечётное число решений будет при
t€(-oo;0)u(0; |) U (1; А)и(&+со);
а€(-оо;0)и(0;1)и(1; Ю U (Й; +“)'
Ответ: а е (-оо; 0) U (о; U (±; U (^; +оо).
х\их2 — натуральные числа, значит, и тп € N.


276
Решения избранных вариантов
х± — простое число, из первого уравнения тп должно нацело делиться на xi, из второго — следует, что га — 6 > 0, тп > 6, значит,
га — положительно. Тогда тп = rxi, г — натуральное число. Отсюда Г xix2 = г2х\, Г х2 = г2хь
\ xi 4- х2 = rxi — 6; \ xi 4- r2xi = rxi — 6.
Из второго уравнения последней системы получим х\(г — г2 — 1) = 6. Это уравнение не имеет решения, так как слева выражение всегда отрицательно.
II. 	к = —6. Тогда х2 — (га 4- 6)х 4- га2 = 0.
^ of xix2 = ™2,
По теореме Виета < , , *
г xi 4- х2 = га 4- 6.
xi — простое число, из первого уравнения га должно нацело делиться
на xi, из второго — следует, что га 4- 6 > 0, га > —6, тогда га = гхь г —
^ Г #1^2 = г2х2, Г х2 = г2хь
целое число. Отсюда < , 1 , Л , 2 . Л
xi 4- х2 = rxi 4-6; xi 4- rzxi = rxi 4- 6.
Из второго уравнения последней системы получим х\(г2 - г 4-1) = 6.
Так как х\ — простое число, то оно должно являться делителем числа 6,
следовательно, х\ = 2 или х± = 3.
При xi = 2 получим, что г2-г4-1 = 3;г2 — г — 2 = 0;г = 2иг = -1.
При г = 2 получим, что га = rxi = 2 • 2 = 4, 4 > —6, х2 = 8. При г = -1
получим, что m = rx 1 = (-1) • 2 = -2, —2 > —6, х2 = х\ = 2.
При xi = 3 получим, что г2-г4-1 = 2;г2— г — 1=0 — нет целых
корней.
Ответ: а) —86; —21; б) 5; 180; в) 4; —2.
Решение варианта № 25
1. После удержания налога у студента останется
100% — 13% = 87% = 0,87 от 3600 рублей, то есть 3600 • 0,87 = 3132 рубля. На эти деньги он сможет купить не более 3132 : 250 = 12,528 розы. Так как букет должен состоять из нечётного числа цветов, наибольшее подходящее число равно 11.
Ответ: 11.
2. Более востребованы, чем история, те предметы, чьи столбики на диаграмме выше «колонки», соответствующей предмету «история». Таких экзаменов четыре: химия, обществознание, физика, биология.
Ответ: 4.
3. Заметим, что ААВС равнобедренный (АВ = АС), следовательно, медиана АН является высотой (см. рис. 239, с. 277).


Решение варианта № 25
277
Из прямоугольного треугольника ADH по теореме Пифагора АН = y/AD2 + HD2 = у/Ш+90 = 10.
Рис. 239
Ответ: 10.
4. 	Пусть выпадение орла (О) означает, что теннисист А будет подавать первым, а выпадение решки (Р) — что первым подаёт соперник. Тогда А начнёт подавать первым в двух играх из трёх в следующих трёх случаях: OOP, ОРО, РОО. Всего же, так как каждый раз может выпасть орёл или решка, есть 23 = 8 возможностей: ООО, OOP, ОРО, POO, ОРР, POP, РРО, РРР. Значит, вероятность того, что игрок А будет подавать первым
ровно два раза, равна ^ = 0,375.
о
Ответ: 0,375. с ™ Ъх — 28 /о
Ь.Х = — —, ХфЪ.
х — о
х(х — 6) — Ъх — 28, х2 — 6х — Ъх + 28 = 0, х2 — Их + 28 = 0,
D = II2-4-28 =121-112 = 9, хг,2 = 11 хг = 4, х2 = 7.
Меньшим из корней является число 4.
Ответ: 4.
6. Площадь ромба ABCD находим по формуле Sabcd = \аС • BD.
Sabcd = | ♦ 6 • 13 = 39.
Ответ: 39.
7. Воспользуемся определением первообразной функции для функции f(x) на промежутке: F'(x) = f(x).
По условию /(ж) = 0, то есть F'(x) = 0. Это выполнено в точках А, В, С и D на отрезке [-3; 2] (см. рис. 240, с. 278). Всего 4 решения. Ответ: 4.


278
Решения избранных вариантов
Рис. 240
8- ^щдкости = 50сн * где ^ — высота, на которой находится уровень жидкости (см. рис. 241).
Рис. 241
^жидкости = Soch • 18, Soch = = 150(см2).
Суммарный объём жидкости и детали равен 2700 4- Детали* ^жидкости с деталью = 5осн * 29, то есть 2700 4- ^детали = 150 • 29. ^детали = 150 • 29 - 2700 = 4350 - 2700 = 1650 (см3).
Ответ: 1650.
9. 	5 sin2 а 4- 17 cos2 а = 6, 5 sin2 а 4- 17 cos2 о: == 6(sin2a 4- cos2 а), 17 cos2 а — 6 cos2 a = 6 sin2 a — 5 sin2 a, 11 cos2 a = sin2 a, 11 = tg2 a.
Ответ: 11.


Решение варианта № 25
279
10. Согласно данным, указанным в задаче, получаем:
55 Г* ~ 315 • 100, 11 ^ Т1 ~ 315 • 20, 11ТХ < 20Ti - 315 • 20, *1 11
9Ti > 6300, 7\ > ® = 700.
Минимальная температура нагревателя Т\ = 700.
Ответ: 700.
11. Пусть скорость первого автомобиля составляла х км/ч, а расстояние между деревнями по дороге равно S км.
Составим таблицу по условию задачи так, чтобы в каждой строке расстояние равнялось произведению скорости на время.
Расстояние, км
Скорость,
км/ч
Время, ч
I
S
X
S
X
II (первая половина пути)
S
2
45
S
90
II (вторая половина пути)
S
2
х + 42
S
2(х + 42)
Так как оба автомобиля выехали и приехали одновременно, то получим с с с
уравнение — = — + 2^+42) ’ ^еля °^е части на придём к равенству + 1
х 90 2(х + 42) ’
1 _ 1 = _Г.
* 2(х + 42) 90’
2(х 4- 42) х _ J_.
2х(х + 42) 2х(х + 42) 90’
х + 84 J_.
2х(х + 42) 90’
90(х + 84) = 2х(х + 42);
45(х + 84) = х(х 4- 42); х2 - Зх - 45 • 84 = 0.
Найдём дискриминант
D = З2 + 4 • 45 • 84 = 9 + 180 • 84 = 9(1 + 20 • 84) = 9 • 1681.


280
Решения избранных вариантов
По смыслу задачи ж > 0, поэтому х = ^ -- --- = 63.
Ответ: 63.
12. у = Ixsfx — 21х + 9, х > 0.
у = 7х§ - 21х + 9, у' = | • 7 • х5 - 21, y'(x) = fv^-21 = 2l(^-l).
2/'(х) = 0; 2l(^ - l) = 0; V* = 2; х = 4. 4 е [0; +оо).
У 0 4 X
Рис. 242
Проходя через точку х = 4, производная меняет знак с минуса на плюс, значит, х = 4 является точкой минимума функции (см. рис. 242).
Ответ: 4.
13. 	а) 1 + sin(37r — ж) = 2 sin2 ж,
1 + sin ж = 2 sin2 ж, 2 sin2 ж — sin ж — 1 = 0.
sin ж = t, |£| < 1, 2t2 — £ — 1 = 0, D = 1 + 8 = 9.
t - 1±3 t -v t - 1 *1,2 — — j-;-, tl — 1, t2 — ~2*
1) sin ж = 1, ж = ^ + 27гп, n € Z;
2)sinx = —1, x = (-l)fc+1|+7rfc, k€Z.
6) Найдём корни данного уравнения, принадлежащие промежутку |—, с помощью единичной окружности (см. рис. 243, с. 281).
XI = -|тг, х2 = .-3* + | = -Ш, х3 = -2тг- | =
Зтг , ?г 5тг 5i
= 2~ * = (3 == 6~ ~ 6~'
Ответ: а) ^ 4- 27гп, п е Z; (—1)к+1^ + пк, ке Z;


Решение варианта № 25
281
77г. 17тг _13тг 37Г 57г
; 2 ’ 6 ’ 6 ’ 2 ’ б *
14. 	а) В плоскости САА\С\ проведём TQ параллельно СА\ (точка Q лежит на грани AiBiC\D\). СА\ — диагональ куба с ребром 12, следовательно, TQ — диагональ куба с ребром 2 (С\Т = 2), точка Q удалена от рёбер В\С\ и C\Di на расстояние 2 (см. рис. 244).
Рассмотрим плоскость A1B1C1D1, QN = QL = 2, QN ± В\С\, QL _L C1D1 (см. рис. 245, с. 282).
AQLDi ~ AMC\Di по двум углам. Следовательно, ,
X/liy iyiGi
А — M<?1 • д/с —24 10 12 ’ М01


282
Решения избранных вариантов
ВХМ = 12-2,4 = 9,6.
В\М : МС\ = 9,6 : 2,4 = 4 : 1, что и требовалось доказать, б) В треугольнике D\C\T проведём высоту С\Н (см. рис. 246).
DiT J. МС\ и DiT -L С\Н, следовательно, D{T J_ (Ci#M), МН _L D\T. Таким образом, С\НМ — линейный угол искомого двугранного угла.
Рассмотрим АС\НМ, этот треугольник прямоугольный, так как ребро куба В\С\ перпендикулярно грани CDD\C\.
Значит, tg /.СгНМ = = _М_
Найдём CiH из AD1C1T.


Решение варианта № 25
283
tg /.CiHM =
12 5
ZCiHM = axctg Ответ: axctg
5
15. Запишем неравенство в виде
log2(5(5 ~ х)) ^ log2((x - 3)(ж - 5)) + log2(x + 2). Так
как выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны, то
(5 - ж > О, Г ж < 5,
(х - 3)(ж - 5) > 0, < х < 3, х > 5, откуда — 2 < х < 3. То-
ж + 2 > 0; [ ж > -2;
гда log25 + log2(5 - х) ^ log2(3 - х) + log2(5 - х) + log2(x + 2), log2 5 ^ log2((3 - х)(х + 2)).
Функция у = log21 возрастающая, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента, то есть 5 ^ (3 — ж) (ж + 2),
5 ^ -ж2 + ж + 6, ж2 - ж — 1 ^ 0, откуда ж < - или ж ^
Оценим - и .
-2,3 < -л/5 < -2,2; -1,3 < 1-у/Ь < -1,2; -0,65 < —^ < -0,6.
2,2 	< v/5 < 2,3; 3,2 < 1 + %/5 < 3,3; 1,6 < 1 < 1,65.
Учитывая, что — 2 < х < 3, получим — 2 < х ^ ,
< X < 3.
Ответ: ( - 2; i^] U Р^Ц.
16. а) Рассмотрим параллелограмм ABCD, удовлетворяющий условию (см. рис. 247).
По условию угол А равен 30°. Тогда по свойству параллелограмма угол ABC равен 180° - 30° = 150°. Значит, центральный угол окружности, расположенный вне параллелограмма, составляет 210°. Пусть 5вне — площадь части круга, расположенной вне параллелограмма.


284
Решения избранных варианте
Н
Рис. 247
’вне
Что и требовалось доказать.
оОи 1^
Округа
б) 	Найдём ВН — радиус круга. В треугольнике ABD угол ABD равен 180° — (30° + 15°) = 135°. По теореме синусов для треугольника ABD получаем:
АР sin 135°
Отсюда BD = ADs\n™° sm 30 sin 135
AD Л
V2
2
AD
V2-
Тогда BH = BD • sin 15° =
AD sin 15° y/2
Ho sin 15° = sin(45° — 30°) = sin 45° cos 30° — cos 45° sin 30° =
= уЛ(Я! _ l\ = у/2(у/з-1)
2 \ 2 2/ 4
Заметим, что sin 15° можно было бы найти, пользуясь следствием из формулы косинуса двойного угла: sin 15° = ^°S3Q-.
Поэтому
12 л/2(л/3 — 1)
ВН = ^ 4 = = 3(х/3 - 1)
у/2 40т у/к
Отсюда 5Круга = тгВН2 = к • = 18 • (2 - у/3).
Согласно пункту а) площадь части круга, расположенной внутри параллелограмма, равна Округа = ^ * 18 • (2 - у/3) = 15 ' (2^~ >/3)
0тве„;6,114р51.


Решение варианта № 25
285
17. Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит
рх - (0,3ж2 4- х 4-12) млн рублей. Найдём х, при котором годовая прибыль будет наибольшей при цене р тыс. рублей за единицу продукции.
Рассмотрим функцию f(x) = рх - (0,3ж2 4- х 4-12),
/(я) = -0,3х2 4- х(р - 1) - 12. Это квадратичная функция, она достигает
наибольшего значения при х = xq = -.
/(х.) = -0,з(!^)2 + г^1(р - 1) - 12 = - 12.
Прибыль фирмы (в млн рублей) при ценер = 14 тыс. рублей за единицу продукции за первый год составит ^-■■■ ■ 12 = 128|.
Прибыль фирмы (в млн рублей) при ценер = 15 тыс. рублей за единицу продукции за второй год составит ( —- ^ 12 = 151^.
Прибыль за 2 года меньше 340 млн рублей.
Прибыль фирмы (в млн рублей) при цене р = 16 тыс. рублей за единицу продукции за третий год составит ^ 12 = 175^.
Суммарная прибыль за 3 года больше 340 млн рублей. Строительство завода окупится за 3 года.
Ответ: 3.
18. Сделаем замену t = 9х, каждому положительному значению t соответствует ровно одно значение х.
(а 4 2)t2 — (а — l)t — 6а 4- 5 = 0 — это уравнение должно иметь единственное положительное решение и сколько угодно неположительных.
17
При a = — 2 получим 3t = 6 • (—2) — 5; t = — — — нет положительных
о
корней.
При а ф -2 получим t2 — a ~ \ ■ t + ~^Q ~t ^ — 0.
а 4" 2 а -Ь 2
Пусть y(t) = t2 — ~ ~ ^ • t 4- —а ^ -. Графиком этого уравнения яв- а 4“ ^ а 4" 2
ляется парабола в плоскости Otyy ветви которой направлены вверх.
Если ~-Q ft < о, то у(0) < 0, значит, парабола пересекает ось Ot
CL \ £
в двух точках, уравнение y(t) = 0 имеет два разных различных корня: t\


286
Решения избранных вариантов
и ^2- По теореме Виета t\t2 = — < 0, следовательно, корни разных
CL I-
знаков, уравнение имеет ровно один положительный корень. Неравенство < 0 выполнено при a € (-00; -2) U (|; +оо^.
Если = 0, то a = ^ и условие y(t) = 0 можно записать в виде
О/ "Т" £* О
9 6 1
tz ——t = 0;t = Out = —— — нет положительных корней.
Т
Если то по теореме Виета уравнение или не имеет
корней, или имеет все корни одного знака. Единственный корень в этом случае будет только если дискриминант D равен 0, причём корень положительный, если а~ \ > 0;а € (—оо; -2) U (1; -foo).
CL ■+ Z
г> (о, — 1^2 л —6а + 5 _ 25а2 + 26а — 39
\а + 2/ а + 2 (а + 2)'2 ‘
D = 0, если 25а2+26а—39 = 0,а12 = ~26 ±*^6 =
’ 5и 25
~13У™ £ (-оо; —2) U (1; +оо).
~13~251Ш * (_00; _2) U (1; +00)- Единственное решение исходного уравнения будет при
а € (-оо; -2) U (|; +оо).
Ответ: а € (—оо; —2) U +оо^.
19. 	а) Пусть к = 2 и в первый день Костя выписал десять чисел «2» и десять чисел «3» (среднее арифметическое равно 2,5), а во второй день он выписал 19 чисел «18» (сумма всех чисел, выписанных во второй день, более чем на 2 превышает сумму чисел, выписанных в первый день). Тогда среднее арифметическое всех чисел, выписанных за два дня, равно
- --- - - *^9 + 19 -18, > до Значит, требуемое возможно.
«5У


Решение варианта N° 25
287
б) Предположим, что это возможно. Тогда в первый день выписано не более 350 чисел (так как каждое число не меньше 1). Тогда количество выписанных в к-й день чисел не превышает 350 — (к — 1) = 351 — к ^ 51, а их сумма больше либо равна 350 + 2(к — 1) = 348 + 2к ^ 948. Сумма 51 или менее чисел, каждое из которых не превышает 18, не превышает
18 * 51 = 918, с другой стороны, она должна быть больше либо равна 948. Получили противоречие, следовательно, требуемое невозможно.
в) Пусть сумма чисел, записанных Костей в первый день, равна тп. Тогда сумма всех чисел, выписанных за 100 дней, не меньше
то+(то+2)+.. ,+(т+2-99) = --М • 100 = 100т+9900. Сум-
ма чисел, выписанных в последний день, не меньше тп + 99 • 2 = т + 198.
С другой стороны, в первый день выписано не больше тп чисел, значит, в последний день количество выписанных чисел не больше (га — 99). Отсюда сумма чисел, выписанных в последний день, не больше (тп — 99) • 18.
Получаем неравенство (тп — 99) • 18 ^ тп + 198, отсюда 17т ^ 1980, тп ^ 117. Тогда сумма всех выписанных чисел не меньше, чем
100 117-1-9900 = 21600.
Приведём пример, показывающий, что сумма всех выписанных чисел может быть равна 21600.
Пусть в первый день Костя выписал 117 чисел «1». Разобьём их мысленно на три группы — в группу А поместим 95 чисел, в группу В —
19 чисел, в группу С — 3 числа. Предположим, что со 2-го по 96-й день Костя каждый раз делал одно и то же: переписывал числа, выписанные в предыдущий день, затем стирал одно из чисел «1» группы А, а к одному из чисел группы В прибавлял 3, но так, чтобы ни одно из чисел не превышало 18 (1 + 3 = 4; 4 + 3 = 7; 7 + 3 = 10; 10 + 3 = 13; 13 + 3 = 16). Таким образом, в 96-й день Костя выписал следующие числа: 19 чисел «16» (это числа группы В) и три числа «1»(числа группы С).
Укажем, какие числа следует выписать Косте в последние четыре дня.
97-й день — 19 чисел «16», а также «4» и «1».
98-й день — 19 чисел «16», а также «7».
99-й день — 9 чисел «16», 9 чисел «18», а также «7».
100-й день — 17 чисел «18», а также «9».
При указанном способе каждый раз сумма выписанных за день чисел увеличивается на 2, поэтому сумма всех выписанных чисел равна 21600. Ответ: а) да; б) нет; в) 21600.


288
Решения избранных вариантов
Решение варианта № 29
1. Стоимость велосипеда со скидкой составляет 100% -7% = 93% = 0,93 от стоимости велосипеда без скидки. Чтобы найти число по его дроби, нужно число поделить на эту дробь. Поэтому велосипед без скидки стоит 21390 : 0,93 = 23 000 рублей.
Ответ: 23 000.
2. Температура воды выросла с 30 °С до 70 Xi в период времени от 2 минут до 5,5 минут, то есть за 5,5 — 2 = 3,5 минуты.
Ответ: 3,5.
3. Заметим, что все стороны четырёхугольника равны. Сторону АВ находим как гипотенузу прямоугольного треугольника ABC (см. рис. 248).
АВ = \/АС2 4- ВС2 = 17. Периметр четырёхугольника равен 68.
-V
-К
a j
■-
Рис. 248
Ответ: 68.
4. Пусть Лена попала в какую-то аудиторию. Тогда для Оли попасть в эту аудиторию 62 возможности: всего в аудитории 126 : 2 = 63 мест, одно из которых занимает Лена. Всего же возможностей для Оли 125: из них 62 в той же аудитории, в которой находится Лена, и 63 — в другой. Значит, вероятность того, что Лена и Оля окажутся в одной аудитории, равна
■§ = о,т.
Ответ: 0,496.
5. (х — 7)2 = —28х, х2 — 14х + 49 — —28х, х2 — 14х 4- 49 4- 28х — О, х2 4- 14x4- 49 = 0, (х 4- 7)2 = 0, х =-7.
Ответ: -7.
6. В прямоугольном треугольнике АСН /.АСН = 90° - /.А = 47°. ZACB = ZАСН - ZBCH = 47° - 16° = 31°.
Ответ: 31.


Решение варианта № 29
289
7. 	Площадь S заштрихованной фигуры найдём по формуле Ньютона — Лейбница: S = F(-3) - F(-7) = (-27 + 15 • 9 + 84 • (-3) - -
- (-73 + 15 • 49 - 84 • 7 - = 52 (см. рис. 249).
Рис. 249
Ответ: 52.
8. 	Vnp. = 50сн. • Н, где 50сн. — площадь шестиугольника, Н — высота призмы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из какой-нибудь вершины верхнего основания призмы на плоскость нижнего основания призмы (см. рис. 250).
Soch. = 2SABcd = 2 • . 5^3 = 7^/3 (см рис ш с 290)
19. Зак. №121


290
Решения избранных вариантов
Из AAAiK получим Я = А\К = 7sin60(
А\
= ь/а
(см. рис. 252).
Зх + 7у — 7х - 3у _ п 7х + 3 у
Рис. 252
Vnp. = ^ = 393,75.
Ответ: 393,75.
о Зх ~4~ 7у ___ Зх 7 у _ п
7х + 3 у ’ 7х + 3у
~7x + Zy = °’ -4ж + 4У = 0’ Ж = f = 1- Ответ: 1.
10. Решим неравенство / ^ 175, учитывая, что с —v > 0. л-^>175,170.-^§>175,
170 . (с + 5) > 175 • (с - 12), с < 590.
При максимальной скорости с = 590 м/с частота сигнала в приёмнике будет не менее 175 Гц.
Ответ: 590.
11. В момент начала движения между мотоциклистами 26 : 2 = 13 км по трассе. Скорость более быстрого относительно более «медленного»
19»


Решение варианта № 29
291
1 Q. 1
равна 39 км/ч. Значит, он догонит более «медленного» через = - часа,
«ЗУ О
что составляет 20 минут.
Ответ: 20.
12. 	у = — ^ху/х + 4х 4- 2, х > 0.
у'(х) = • |\/х + 4 = + 4.
2/'(х) = 0, >/я = 8, х = 64. 64 е [0; 4-оо).
У <
У
JC
Рис. 253
При переходе через точку х = 64 производная меняет знак с плюса на минус, значит, точка х = 64 является точкой максимума (см. рис. 253). Ответ: 64.
13. a) cos2 x-V2 cos х — 2 sin 2х 4- 2,5 — cos2 2х=0.
Сумма квадратов двух слагаемых равна 0, когда каждое слагаемое равно 0.
{cosx — =0, f cosх =
sin2x = 1; [ sin2x = 1;
х = 4- 27ГП, n £ Z, x = =h^ 4- 27m, n £ Z,
<
2x = ^ 4- 27rfc, к £ Z. x = j 4* 7rfc, к £ Z\
Z fjc
\ \
x = ^ 4- 27m, n £ Z.
4
б) Найдём корни данного уравнения, принадлежащие отрезку 20.3ак. № 121


292
Решения избранных вариантов
При п = 0, х = £ Е —7г; ^ j.
При п ^ 1, х = ^ + 27гп > 27г + а; ^ 7г; .
При n ^ —1, х = — + 27гп ^ — 27г + |—7г; ~j.
Ответ: а) ^ 4- 27га, п € Z; б) ^
4 4
14. 	а) По условию в трапеции KLMN /.KLM + /.LMN = 270°. Сумма углов трапеции равна 360°, поэтому Z.LKN + Z.MNK = 90° (см. рис. 254).
N
В треугольнике KQN Z.KQN = 180° - (ZQKN + ZQNK) = 90°, то есть KQ ± MN.
Плоскость PMN перпендикулярна плоскости основания, значит, она проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания.
Аналогично, плоскость KPL проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания.
Все прямые, перпендикулярные плоскости основания, параллельны друг другу. Отсюда линия пересечения плоскостей KPL и PMN параллельна этим прямым и потому перпендикулярна плоскости основания: PQ X (KLMN).
KQ ± PQy KQ ± QN. Значит, KQ ± (PMN). Плоскость (KLP) проходит через KQ и потому перпендикулярна плоскости (PMN).
б) KL = MN, ZLKN = ZMNK = 45°, тогда AQKN — равнобедренный. Пусть QL = х. Тогда из AQLM получим, что LM = ху/2. Отсюда ху/2 = 12; х = 6\/2.
20*


Решение варианта № 29
293
Slqp = Spqm = | * 6%/2 • 8 = 24\/2.
SLqm = \- 6^2-6^2 = 36.
Пусть H — середина LM, тогда Q# = 6, PH = QH2 + PQ2 = 10. Splm = | • LM • PH = 60.
Площадь полной поверхности равна 24>/2 + 24\/2 + 36 + 60 =
= 48(2 + у/2).
Ответ: 48(2 + у/2).
15. Заметим, что при любом значении х, удовлетворяющем условиям
г*
7х - 6 > 0, 7х — 6 Ф 1, то есть при х > ^ и х ф 1, выражение
х2 — 2х + 2 = (х — I)2 + 1 принимает значения, большие 1, а значит,
1°ё7а;—б^2 ~2х + 2)ф0.
Рассмотрим три случая.
7
1.14 - 6х = 0, то есть х = тогда исходное неравенство верное.
о
7 7 7
2. х ф ^ и 7х - б > 1, то есть 1 < х < - или х > -.
U О О
Тогда в силу возрастания функции у = logat при a > 1 \og7x_6(x2 — 2х + 2) > 0, поэтому исходное неравенство верно, если
7 7
14 — бж < 0, х > откуда с учётом ограничений на х получаем х > -.
О и
3. ж^|и0<7ж-6<1то есть | < х < 1.
Тогда в силу убывания функции у = logat при 0 < a < 1 log7a._6(:r2 — 2х -f 2) < 0, поэтому исходное неравенство верно, если
14 — 6ж > 0, х < откуда с учётом ограничений на х получаем - < х < 1. о *
7
Итак, неравенство верно при -<х<1их^-.
I о
Ответ: U [3’+°°)*
16. а) Угол В лежит против стороны АС. Он является углом, образованным сторонами треугольника, равными 14 и 16. По теореме косинусов получаем:


294
Решения избранных вариантов
cos
ZB = 142 + 162 - 182 = 196 + 256 - 324 = 128
2 • 14 • 16 2-14-16 2-14-16
2
Г
Так как cos ZB = ^ > 0, то ZJ3 — острый угол.
cos 45°
1
2
у/2' 7
J-, так как (|) = ± (J.) =|и
Значит, ZB — острый и больше 45°. Что и требовалось доказать,
б) 	Рассмотрим рисунок 255.
В
49 2
На этом рисунке ВН — высота треугольника ABC. Так как LM || АС, то ААВС подобен ALBM.
Пусть сторона квадрата равна а. Тогда из подобия треугольников следует:
АС ВН 18
LM ВР' а
ВН
-, 18{ВН - а) = аВН, а =
18 ВН
ВН-а' у ' 18 + ВН'
Найдём теперь ВН, выражая площадь треугольника ABC по двум разным формулам.
Sabc = \ • АС • ВН = ± • 18 • ВН = 9ВН\
Sabc = у/р- {р — АВ) ■ (р - ВС) • (р - АС),р= АВ + ВС + АС
Согласно условию р = +.BQ+AC _ 14 + 16 + 18 _ 24
Sabc = л/24 • 10 • 8 • 6 = 48\/5.
Отсюда 9ВН = 48\/5, ВН = Значит,
О


Решение варианта № 29 295
lg 16%/5
д 3 = 96л/5 = 144л/5
10 , 16-\/5 54 + 16\/5 27 + 8\/5
з —з—
17. 	Составим таблицу (все величины в млн рублей).
Год
Долг на начало января
Долг после начисления процентов
Долг после выплаты
Выплата
2022
5
1,155
0,85
1,155 - 0,85 = = 0,355
2023
0,8 5
1,15 • 0,85 = = 0,925
0,65
0,925 - 0,65 = = 0,325
2024
0,65
1,15 • 0,65 = = 0,695
0,35
0,695 - 0,35 = = 0,395
2025
0,35
1,15 • 0,35 = = 0,3455
0
0,3455
Наибольшая выплата равна 0,395.
0,395 < 2;
<7 <г _2_ = 200 = г А- 0,39 39 39’
Так как S — целое, то наибольшее S равно 5.
Ответ: 5.
18. 	При каждом фиксированном значении параметра а графиком уравнения 2|г/+1| + |х+|| = 2 на плоскости Оху является ромб с центром в точке
с координатами “ *)» ПРИ этом диагонали параллельны координат¬
ным осям. Диагональ, параллельная оси Ох, имеет длину 4, а параллель¬
ная оси Оу имеет длину 2. Решения неравенства 2|у + 1| +
^2
координаты точек, лежащих внутри ромба или на его границе.
Решим вспомогательное уравнение (у + х2 — 2х — 2)(2у - х И-1) = 0. Возможны два случая.
1)2/4- х2 — 2х-2 = 0;у = —х24-2х+2— графиком является парабола с вершиной в точке (1; 3), ветви направлены вниз (см. рис. 256, с. 296).


296
Решения избранных вариантов
2) 	2у — х-Ь1 = 0;у=т^ — - — графиком является прямая. Найдём точки пересечения прямой и параболы.
у = -х*+2х+2
Рис. 256
у = —х + 2х + 2,
У 2 Г
~х2 + 2х + 2,
У 2 2’
2х2 — Зх — 5 = 0, ( х = —1; х = 2,5,
« = £-!• У 2 2'
у 2 2
Таким образом, точки пересечения имеют координаты (—1; —1);
(И)
Прямая и парабола разбивают область Оху на 5 областей, неравенство выполнено (у + х2 — 2х — 2) (2у — х + 1) ^ 0 в двух заштрихованных областях (их можно определить методом «пробной точки», аналогичном методу интервалов: достаточно подставить координаты (х; у) любых то¬


Решение варианта № 29
297
чек для каждой из пяти областей в неравенство, определить, где оно обращается в верное числовое неравенство).
Определим, при каких значениях параметра а ромб целиком лежит в заштрихованной части. По рисунку видно, что для этого должно выполняться = 1, a = -4 или —| ^ -3, а ^ 12.
Ответ: а е {-4} U [12; 4-оо).
19. Пусть зелёных карточек — п штук, а красных — к штук. Тогда п 4* А; = 120. Сумма всех чисел на карточках равна 120 * 60,25 = 7230. Если все числа на зелёных карточках увеличить на 2, а все числа на красных карточках увеличить на 5, то сумма всех чисел увеличится на 2п 4- 5к и станет равной 64 • 120 = 7680. Таким образом, сумма увеличится на 7680 - 7230 = 450, следовательно, 2п 4- Ък = 450.
▼-у „ ( п + к = 120, ~ СЛ
Получаем систему уравнении < 2п + 5к — 450 ОТСК)Да 71 — 50,
к = 70. Зелёных карточек 50, а красных — 70.
а) Да, например, на зелёных карточках написаны все натуральные числа от 1 до 50, а на красных — все числа от 50 до 118 и 159.
б) Предположим, что это возможно. Тогда на зелёных карточках есть хотя бы одно число 51 или больше (иначе среднее арифметическое не будет превышать наибольшее значение и не будет превышать 50). Сумма всех чисел на зелёных карточках равна 50,5 • 50 = 2525, а сумма чисел на красных карточках не меньше чем 51 4- 52 4-... 4- 120 = 5985. Тогда сумма чисел на всех карточках не меньше, чем 2525 4- 5985 = 8510. Получили противоречие, так как сумма чисел на всех карточках равна 7230. Следовательно, требуемое невозможно.
в) Пусть А — среднее арифметическое чисел на зелёных карточках и пусть A G (ш; т 4-1], где т — целое число, т ^ 0. Тогда среди чисел на зелёных карточках есть хотя бы одно число не меньше ш 4- 1 и, следовательно, сумма чисел на красных карточках не меньше
(771 4" 1) 4~ (771 4~ 2) 4* ••• 4~ (771 4~ 70) = ^ • 70 = 70тп, 4~ 2485,
а сумма чисел на зелёных карточках больше 50771. Тогда сумма чисел на всех карточках больше, чем 50771 4- 707?г 4- 2485 = 120771 4- 2485. Отсюда
120771 4- 2485 < 7230, тп < Так как тп — целое число, то 7?г ^ 39.
Покажем, что тп может принимать значение 39.


298
Решения избранных вариантов
В этом случае сумма чисел на красных карточках не меньше 70 • 39 4* 2485 = 5215, а сумма чисел на зелёных карточках не больше 7230 — 5215 = 2015, при этом каждое число на зелёной карточке не больше 40, значит, и среднее арифметическое не больше 40 (сумма не больше 2000).
Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое чисел на зелёных карточках может равняться 40. Пусть на всех зелёных карточках выписано число 40, а на красных выписаны все натуральные числа от 40 до 108 и число 124.
Ответ: а) да; б) нет; в) 40.
Решение варианта № 33
1. 	Мальчиков в музыкальной школе 800 • 0,35 = 280, девочек
800 — 280 = 520. Занимаются вокалом 10% девочек, значит, их
520 - 0,1 = 52.
Ответ: 52.
2. Наименьшая температура равна 6 °С, это наблюдалось в январе, наибольшая температура равна 32 °С, это наблюдалось в июне. Разность равна 32 - 6 = 26 (°С).
Ответ: 26.
3. По рисунку определяем длину диагонали прямоугольника. Она равна 8, значит, радиус окружности, описанной около этого прямоугольника, равен 4.
Ответ: 4.
4. Вероятность того, что Джон взял пристрелянный револьвер и промахнулся, равна 0,3 • 0,05 = 0,015.
Вероятность того, что Джон взял непристрелянный револьвер и промахнулся, равна 0,7 • 0,7 = 0,49.
Искомая вероятность равна 0,15 + 0,49 = 0,505.
Ответ: 0,505.
5. sin отсюда = (—1 )n j + тгп, п€ Z.
тс JL Т:
| = (_1)».1+п, х = (—1)" + An, neZ.
При п < 0 получаем отрицательные корни.
При п = 0 получаем х = 1.
При п — \ получаем х = 3.
При п ^ 2 корни не меньше, чем 14-4*2 = 9.


Решение варианта № 33
299
Делаем вывод, что наименьшим положительным корнем является корень, равный 1.
Ответ: 1.
6. Хорда АВ видна из точки С под углом АС В. Дуга АВ, не содержащая
3 3
точку С, равна - окружности, то есть ^ • 360° = 270°. Вписанный угол
равен половине дуги, на которую опирается, значит, ZACB = 135°. Ответ: 135.
7. Количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = —2х — 5 или совпадает с ней, находим из условия f'(x) = -2. Оно равно трём (см. рис. 257).
Рис. 257
Ответ: 3.
8. Площадь поверхности оставшейся части куба равна площади поверхности куба, из которой вычитается площадь двух квадратов со стороной 0,6 и прибавляется площадь четырёх прямоугольников со сторонами 0,6 и 1. Отсюда S = I2 • 6 - 2 • 0,62 + 4 • 0,6 • 1 = 6 - 0,72 + 2,4 = 7,68 (см. рис. 258, с. 300).
Ответ: 7,68.
9. у/(х — 4)2 + у/(х — 12)2 = \х — 4| 4- \х — 12|. При 4 < х ^ 12 выполняется х — 4 ^ 0, х — 12 < 0, то есть \х — 4| = х — 4, \х — 12| = 12 — х. Тогда \х — 4| + \х — 12| = (х — 4) 4- (12 — х) = х — 4 4-12 — х = 8.
Ответ: 8.
2
10. v = \f%a, v2 = 2/а, а = Подставляем в эту формулу I = 0,4,
702
v = 70: а = = 6125. Итак, ускорение, с которым должен двигаться
Z * U,4


300
Решения избранных вариантов
Рис. 258
автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость 70 км/ч, равно 6125 км/ч2.
Ответ: 6125.
11. 	Пусть в понедельник товар стоил S рублей, а во вторник подешевел
(‘+ 1§о) (‘ “ I5o)s рублей
С другой стороны, в среду товар стал дешевле на 16% по сравнению с
Получаем урав«„ие (l + (l - j3L)s = (l - |L)s,
Сократим на 5, получим
X = _16_. 10000 100’
х2 = 1600;
х = 40.
Ответ: 40.
на х%, х > 0. Тогда во вторник он стал стоить ^1 — j S рублей. В среду товар подорожал на х% от цены (1 — и поэтому стал стоить
понедельником. Значит, в среду товар стал стоить
(1-ш)5рублей'


Решение варианта № 33
301
12. 	у = х2 — 13х 4- 111пх 4- 5, х > 0. у'(х) = 2х - 13 + у'(х) = 0.
2х2 - 13х + 11
XI, 2 =
X
13 ±9
= 0, 2х2 - 13х + 11 = 0,
, х\ = 1, х2 = 5,5.
Рис. 259
При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, значит, точка х = 1 является точкой максимума (см. рис. 259). Ответ: 1.
13. а) Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и разложим её на множители
sin3 х — sin х 4- cos3 х — cos х = 0, sin x(sin2 x — 1) -f cos x(cos2 x — 1) = 0, sin x cos2 x + cos x sin2 x = 0, sin x cos x(sin x + cos x) = 0.
Получим три простых уравнения:
1) sinx = 0, х = 7гп, где п Е Z;
2) cos х = 0, х = 4- пк, где к е Z;
3) sinx -I- cosх = 0, tgx = —1, значит, х = —^ 4- 7гш, где m е Z.
Первые две серии корней можно записать как к е Z.
[9тг 137Г "1
—; -^-j и отметим точками найденные корни. Этому промежутку принадлежат корни: xi = ^ + 27г = х2 = ^ 4- 27г = х3 = тг 4- 27т = Зя* (см. рис. 260, с. 302).
Ответ: а) Щ-, к е Z; + тгт, т е б) Зтг.
Z 4 Z т:


302
Решения избранных вариантов
14. 	а) Пусть диаметры АВ = CD = d, высота 0\0 = h, где О и 0\ — центры окружностей нижнего и верхнего оснований цилиндра соответственно. Тогда 00\ — общий перпендикуляр к диаметрам АВ и CD и по теореме Пифагора, учитывая, что d = h\f2, имеем:
DO=//l2 + (f)2 = vM*#)2 =
— высота равнобедренного треугольника ABD:
AD
= Vdo^ + oa* = ^(^)2 + (f)* = ^^y + Цг = h^ = d-
Аналогично показывается, что отрезки АС, ВС и BD тоже равны d, у тетраэдра ABCD все грани — равносторонние треугольники, и значит, он правильный.
б) Объём тетраэдра равен Vt = поэтому d3 = 6\/2Vt. Объ-
1.А
ём цилиндра равен Уц = nr2h = 7г
d2 d d3
но учитывая, что
d3 = 6\/2Vt> получим Vm = Щ-Vf. Если объём тетраэдра равен 14, то
Q-TT
объём цилиндра будет равен • 14 = 217г.
Ответ: б) 217г.


Решение варианта № 33
303
15. Область допустимых значений неизвестной: х > 0.
Перенесём слагаемые в левую часть неравенства и методом группировки разложим её на множители 1 -hsinx — log3х — sinxlog3х > 0,
(1 -f sinx)(l — log3 x) ^ 0.
Неравенство выполняется в трёх случаях.
1) 1 + sin х = 0, sin х = —1, значит, х = — ^ + 2пп, где, с учетом ОДЗ, п € N;
2)1 — log3 х = 0, log3 х = 1, значит, х = 3;
3) Если — 1 < sinx < 1, то множитель 1 + sinx положителен, поэтому 1 - log3 х > 0, log3 х < 1, и с учетом ОДЗ, получим 0 < х < 3.
Ответ: 0 < х ^ 3, х = —^ + 2тгп, где п е N.
16. а) Заметим, что ZA/VM — прямой, потому что опирается на диаметр AM. Получается, что MN _L AN и ВС ± AN, то есть хорды MN и ВС параллельны. Но параллельные хорды высекают на окружности равные дуги ВМ и NC, значит, вписанные углы ВАМ и CAN равны.
б) 	Так как ZABC = 45°, то /ВАС = /ВСА = = 67,5°
(см. рис. 262, с. 304). Из ААНС получим, что /НАС = 90° - 67,5° = 22,5°.
/МАС = 180° - /АСМ - /АМС = 180° - 90° - 45° = 45°. Сле¬


304
Решения избранных вариантов
довательно, точки В, М, N и С лежат на окружности в том порядке, как показано на рисунке.
Из параллельности хорд MN и ВС следует, что четырехугольник BMNC является равнобедренной трапецией. Учитывая, что /АВМ тоже прямой и что /.ABC = 45°, острые углы трапеции равны по 45°. Заметим, что треугольники АВН и CHN не только прямоугольные, но и равнобедренные. Обозначим отрезки АН = х и HN = у, тогда ВН = х, СН = у и ВС = х + у. Из прямоугольного треугольника АВН следует по теореме Пифагора, что АВ = х\/2. По условию задачи треугольник ABC равнобедренный, поэтому АВ = ВС, то есть хл/2 = х + у, поэтому у = х(у/2 — 1).
В
По теореме синусов для треугольника ABC получим, что
АС г~
sin 45° = П0ЭТ0МУ ^ ~ V 2, и по теореме Пифагора для
треугольника АСН получим уравнение х2 -f у2 = 392. Возведём равенство у = х(\/2 — 1) в квадрат, получим у2 = х2(3 — 2\/2). Тогда
X2 + х2(3 - 2уД) = 392, х2(4 - 2\/2) = 392 или х2 =
Площадь трапеции BMNC равна S = i (BC+MN) NH. Подставим в эту формулу ВС = х+г/, MN — DH = х — у и NH = СН = у, получим s = |((х + у) + (х - у)) ■ у = ху.


Решение варианта № 33
305
Не будем искать отдельно значения х и у, а найдём значение их произведения ху. Для этого обе части полученного выше равенства у = х(у/2-1) умножим на х, получим
ху = x2(V2 - 1) = -Ж- • (V2 - 1) = =
* v У v2-\/2 1 ' (2 - >/§) • (2 + л/5)
_ 196\/2 _ поэтому площадь 5 = 98\/2.
Ответ: б) 98\/2.
17. Пусть Андрей взял в банке S тыс. рублей, тогда схема погашения кредита такова:
Месяц
Выплата
Долг
Январь
"Л
5(1-1)
Февраль
Я-(ЧНЧ)
Март
ччмчи
ЧЧИЧ) (Ч)
Апрель
s (.-l) МУ
■ми
•МИ-»
Ноябрь
-■(-А)-А
5(1-1). (1-D-
-О-АМ’-А)
Декабрь
-'('-п) 0-й)
0
По условию задачи последняя декабрьская выплата равна 100 тыс. рублей, поэтому 5 • (l - |) • (l - |) •... • (i - • (i - = 100,
S H'H"-и i|=100;l=i00;5=im
Значит, Андрей взял в банке 1200 тыс. рублей. Ответ: 1200 000 рублей.


306
Решения избранных вариантов
18. Пусть 2х — 3 = t, тогда получим квадратное неравенство t2 - (а + 4)t + 5(а - 1) ^ 0; (t - 5)(t - (a - 1)) ^ 0.
Рассмотрим два случая.
1) Если a — 1 < 5, то есть a < 6, то решением квадратного неравенства является промежуток [a — 1; 5]. Значит, а — 1 < t ^ 5. Учитывая, что t = 2х — 3, получим а — 1 ^ 2х — 3^5; а + 2 ^ 2х < 8. В этом случае решением данного неравенства является промежуток [log2(a + 2); 3], который может содержаться в промежутке [3; 5] только при log2(a + 2) = 3, а = 6, что не удовлетворяет условию а < 6.
2) Если а — 1 ^ 5, то есть а ^ 6, то решением квадратного неравенства является промежуток [5; а — 1], значит, 5 < t < a — 1. Учитывая, что t = 2х — 3, получим 5<2x-3^a — 1, или 8 < 2х ^ а + 2. В этом случае решением данного неравенства является промежуток [3; log2(a 4- 2)]. Этот промежуток будет содержаться в промежутке [3;5], при условии log2(a + 2) < 5, то есть при а ^ 30. Но учитывая, что а ^ 6, окончательно получим, что 6 ^ а < 30.
Ответ: [6; 30].
19. а) Можно, например, так: 3,1, 2,1, 3, 2.
б) Можно, например, так: 1, 5,1,4, 6, 7, 8, 5,4, 2, 3,6, 2, 7,3,8.
в) Нельзя. Докажем это. Предположим, что требуемое возможно и 28 карточек разложены в ряд согласно условию. Пронумеруем их позиции числами от 1 до 28. Сумма всех номеров позиций равна 1 + 2 + 3 + .. . + 28 = 29-14 = 406. С другой стороны, рассмотрим две карточки с числом п. Пусть одна из них занимает позицию х, другая — позицию х + (п + 1), тогда сумма номеров их позиций равна 2ж + п + 1, то есть эта сумма имеет такую же чётность, что и число п + 1. Но тогда сумма всех позиций имеет такую же чётность, что и число (1 + 1)+ (2 + 1)+ ... + (14 + 1) = 2 + 3+ ... + 15 = 17*14:2 = 119, что является нечётным числом. А число 406 — четное, противоречие. Значит, 28 карточек нельзя расставить так, чтобы выполнялись условия задачи.
Ответ: а) да; б) да; в) нет.
Решение варианта № 37
1. 	После установки счётчиков ежемесячная экономия составила 750 — 580 = 170 рублей. Чтобы экономия по оплате воды превысила за¬


Решение варианта N.? 37
307
траты на установку счётчиков, нужно 3500 : 170 = 20месяца, то есть
экономия превысит затраты через 21 месяц.
Ответ: 21.
2. График поднимается выше отметки 10 по вертикальной оси на протяжении 3+6 = 9 сторон клеток по горизонтали. Это соответствует 6*9 = 54 часам.
Ответ: 54.
3. Так как фигура симметрична относительно осей координат, то площадь S закрашенной фигуры равна 4Saklb (см. рис. 263).
S = 4Saklb = 4(Saob - Skol) — 4^АО • OB - т^КО • Ob'j.
Рис. 263
По рисунку видим, что АО = 4, КО = 3, ОВ = 3, OL = 2.
Тогда S = 2(4 * 3 - 3 • 2) = 12.
Ответ: 12.
4. 	Сформулируем вопрос задачи иначе: сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность неуничтожения цели была не более 0,03?
Пусть потребуется п выстрелов. По условию вероятность промаха при первом выстреле равна 0,5, при каждом следующем — 0,3.
Промахи при разных выстрелах являются независимыми событиями, вероятность их произведения равна произведению вероятностей, поэтому вероятность промахнуться при п выстрелах равна: 0,5 • 0,3Л_1.
Подберём наименьшее натуральное решение неравенства 0,5 • 0,3Л-Х < 0,03.
При п = 1 неравенство 0,5 ^ 0,03 неверное.
При п = 2 неравенство 0,5 • 0,3 = 0,15 ^ 0,03 неверное.
При п = 3 неравенство 0,5 • 0,09 = 0,045 < 0,03 неверное.


308
Решения избранных вариантов
При п = 4 неравенство 0,5 • 0,027 = 0,0135 < 0,03 верное. Автоматической системе потребуется сделать 4 выстрела.
Ответ: 4.
5. log27 35х_2 = 9, log33 З5*-2 = 9, log3 3 = 9, = 9,
Ъх — 2 = 27, Ъх = 29, х = 5,8.
Ответ: 5,8.
6. = АС как отрезки касательных, проведённых к окруж¬
ности из одной точки, поэтому треугольник ABC равнобедренный и /.ВАС = /.С В А = 54°. О В и О А — радиусы, проведённые в точку касания, поэтому OB J_ ВС, О А ± АС. В равнобедренном треугольнике АО В: 1.0 АВ = Z.OBA = 90°-54° = 36°. Z.AOB = 180°-2-36° = 108°.
Ответ: 108.
7. f'{x) < 0 в точках х2ч хз, Х5, xq. В остальных отмеченных точках f'(x) > 0. Подходящих точек — четыре (см. рис. 264).
Рис. 264
Ответ: 4.
8. 	^пир. = 4Soch. * Н, где £осн. — это площадь квадрата, Я — высота
о
пирамиды (см. рис. 265, с. 309).
5осн. = 3^ИР‘ = ^ = 162, то есть сторона квадрата 9\/2.
ti 12
АО — половина диагонали квадрата, и она равна у/2 _ д
. Из ASOA : ZSOA = 90°, SA = у/SO2 + О А2 = у/Ш+81 = у/225 = 15 Ответ: 15.


Решение варианта № 37
309
q 19VWZ-8VW* 198ffi-88#5
4
11 о 7К
= тф ,5-
Ответ: 2,75.
,10. С = 4 • 10"6 Ф, Я = 7 • 106 Ом, С/0 = 18 кВ, а = 0,9. t = aRC\og2 Jjj t ^ 50,4.
Подставим все данные в формулу.
0,9 • 7 • 106 • 4 • 10-6 log2 ^ ^ 50,4; 25,2 • log2 ^ ^ 50,4, log2 и ^ 4,5.
Значит, наибольшее возможное напряжение на конденсаторе равно 4,5 кВ.
Ответ: 4,5.
11. 	Обозначим зарплаты мужа и жены через х и у соответственно, а пенсию бабушки — через г. Общий доход семьи 5 = х -f у + z.
Если зарплату жены увеличить втрое, то общий семейный доход вырастет на 72%, то есть ж + 3у + z = 1,725; (х -I- у + z) + 2у = 1,725; 2 у = 0,725; у = 0,365.
Если зарплата мужа уменьшится в четыре раза, то общий доход уменьшится на 42%, то есть ^|+y + z = 5- 0,425; (ж + у + г)-^р = 5- 0,425;
- 0,425; х = 0,565.


310
Решения избранных вариантов
z = S — х — y = S — 0,365 - 0,565 = 0,085.
Пенсия бабушки составляет 8% семейного дохода.
Ответ: 8.
12. 	у = log3(8 - 2х - х2) + 5, 8 - 2х - х2 > 0. х2 + 2х — 8 < 0, х2 4* 2х — 8 = 0.
#1,2 — ““1 i 3, Х\ — —4, Х2 = 2.
Решением неравенства х2 4- 2х — 8 < 0 будет промежуток (—4; 2).
2 cos2 х 4- cos Зх = 1 — cos х; cos Зх 4- cos х 4- 2 cos2 х — 1 = 0;
2 cos 2х • cos х 4- cos 2x = 0; cos 2x(2 cos x 4-1) = 0; cos 2x = 0 или 2 cos x 4 1 = 0;
2x = ^ 4- 7rn, n e Z или x = 4- 2nk к e Z\
6) Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку [“ с
помощью единичной окружности (см. рис. 266).
—1 — х = 0, х = -1,
—1 € (—4; 2).
у(-1) = log3(8 - 2 - (-1) - 1) + 5 = log3 9 4-5 = 7.
Ответ: 7.
13. 	а) 2 cos2 х 4-cos Зх = 1 -fsin^^ — х^;
4л А 3
13я
6
Рис. 266


Решение варианта № 37
311
7Г
37Г
5ТГ.
4
2
4 ’
7Г
47Г
7тг
4
2
4
27Г
_ 27Г —
47Г
3 “
3
хз =
Ответ: а) | + |n, п е Z; + 2^, к € Z; б)
14. 	а) Обозначим АВ = a, AAi = Л, О и Oi — центры оснований призмы
(см. рис. 267). Согласно условию DK = ВЛГ = AM =
3 5 5
ОС2 — средняя линия трапеции BDKN, значит,
ОСг — также средняя линия трапеции ACLM. Значит, 4/i
CL = 2
15
ft 16-5. 11.
б = -зо"Л=зо/1
19,
Тогда LCi = g/i, CL : LCX
11 : 19
б) MK || NL и MN || KL, поэтому MNLK — параллелограмм. MN


312
Решения избранных вариантов
Аналогично NL = a2 + ~ ~ у^а2 + ■ Заметим, что
МК = iVL. KN
По теореме косинусов из AMNK получаем, что KN2 = МАГ2 + МЯ2 - 2 • МАГ • MN - cos а, где а = ZKMN. Следовательно, ^
^(8)* -
Так как а2 = 13 и h = 30, то 2 • \/13 4- 25 • \/13 4-1 • cos а = 1 + 25 -16.
к
Отсюда cos а = , Значит, угол а — острый и
V14 • 38
• Л [, 25 / 507
sma — ill — —
14-38 V 14-38' Площадь сечения 5сеч равна Smnlk-
Smnlk = MK-MN • sin a. = >/38 • л/П • ^ = v/507 = 13л/5.
Косинус искомого угла <р между плоскостью сечения и плоскостью
*5осн 13 л/3
основания призмы равен cosy? = Ц***1 = ——7= = так как
<Ьсеч 13у3 о
ABCD — это проекция MNLK на плоскость нижнего основания. Тогда V3
(р = arccos
о
/о
Ответ: б) arccos .
о
4х _ 2Х+2 4- 2 , 2*+1-6 ох^-,
2*-3 2®-4 ^
Обозначим 2х = £, 2х ф 3, 2х ф 4.
т—I t2 — 4£ 4- 2 , 2£ — 6 , ^ 1
Получим 4- -7—— - t ^ 1,
t О Г 4
(t-3)(t-l)-l 2(*-4) + 2
i-3 t-4 ^ ’


Решение варианта № 37
313
t - 1 - + 2 + - t > 1,
*-3
_2 1_
£-4 i-3
t-4
^0,
2t — 6 — 1+ 4 > n (t-3)(t-4) "U’
t — 2
(t - 3)(t - 4)
Решим методом интервалов (см. рис. 268).
Рис. 268
2 ^ t < 3, t > 4. 2 < 2* < 3, 2х > 4. 1 < х < log2 3 или х > 2. Ответ: [1; log2 3) U (2; +оо).
16. 	а) Рассмотрим рисунок 269.
В
По теореме косинусов получаем АС2 = AB2+BC2-2AB-BCcoeZB. АС2 - З2 + 52 - 2 • 3 • 5 • cos 120° = 49, АС = 7.
т 49 + 25-9 65
Тогда cos ZC = „ — =
2*7*5
13 /п Зл/З 2 • 7 • 5 = 14’ ~14~‘
Таккак|вС= %,oCN = = f|.
cos
,А _ 49 + 9-25 Zj4~ 2-3-7 .
Тогда AL
33 = 11 sinZ. W1
2-3-7 14’ 14 '
3' = Щ. Отсюда AL + CN < 7, значит,
Z • J. 1 XI
2 • cos А
точка L лежит левее точки N, как и показано на рисунке.


314
Решения избранных вариантов
Заметим, что AL = BL и BN = CN. Тогда BN _ CN _ CN 35
35
BL + LN AL + LN АС - CN
(-1)
13
91-35
= 35 5
56 8‘
б) 	Обозначим радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABL и BNC, соответственно г\ и г2.
Pi = Pabl = 3 + 2 • fj- = g, p2 = Pbnc = 5 + 2-1| -
Пусть Sabl — Si; SBnc — S2- 1
Тогда ф- = — 1
NC • ВС ■ sin Z.C
35 - 3y/3 13 14 55
1 • AL ■ AB ■ sin LA Щ ■ 3 39
2 11 14
75
r2 = 2Sz.2Sx = S2,Pi=:55. Л = 5-75 = 25 ri P2 Pi Si P2 39 135 3-135 27'
U
Ответ: б) Щ.
£ 9
17. 	Пусть S — сумма кредита (в тыс. рублей), п — полугодовой платёж (в тыс. рублей).
Составим таблицы, указав все суммы в тыс. рублей.
Первый год: ставка 12% в полугодие.
Начало полугодия
Конец полугодия
После платежа
1
S
28 е 25
28 с _ п 25 П
2
28с_п 25 П
/28 о \ 28 _
V25 — / 25 —
(28\2о 28
{й) ~ 25
(28\2с 53 \й) ~ 25


Решение варианта № 37
315
Второй год: ставка 10% в полугодие.
Начало
полугодия
Конец полугодия
После платежа
3
/'Ш2- 53_ U5J * 25
f28\2o 11 1,25/ ’ 10
-|8-
/ 28 \ 2 о 11
\25/ ’ 10
53 • 11 4- 25 • 10 25 • 10
4
/^N2 11с
UsJ ' 10
53 • 11 + 250
ЯП#)*»-
53 11 + 250
(1)48)’®-
(53 • 11 + 250) • 11 + 2500
250 П
2500 "*11Л
2500 25П~°
С учётом погашения в конце четвёртого полугодия остаток равен нулю.
(28 • 11)25 = ((53 • И + 250) • 11 + 2500) • 25п 948645 = 291575п
При п = 168 (тыс. руб.) получим максимальный кредит
5 = 516,366... тыс.руб. С учётом округления это составляет 516 тысяч рублей.
Ответ: 516000.
18. 	Заметим, что при a = 0 неравенство примет вид 0 < 4х — 1 или х >
то есть справедливо для всех х € [1; 3].
Если a > 0, то представим неравенство в виде ах2 - Ах + 1 - 5а < 0. Рассмотрим квадратный трёхчлен
/(х) = ах2 — 4х 4- 1 — 5а. Дискриминант этого квадратного трёхчлена D(a) = (~4)2 -f 4а(5а — 1) = 4(5а2 — а 4- 4) = 4i>i(a), где D\(a) = 5а2 — а 4- 4. В свою очередь дискриминант D2 квадратного трёхчлена D\(a) равен D2 = (—I)2 — 4-5*4 = —79 < 0. Так как старший коэффициент равен 5 и 5 > 0, то D\(a) >0 для любого a > 0. Поэтому D(a) > 0 для любого a > 0.
Значит, график у = /(х) пересекает ось Ох в двух точках х\ и х2 и ветви параболы направлены вверх. Для выполнения неравенства необходимо, чтобы отрезок [1;3] лежал внутри интервала (х\\х2). Должны выполняться условия:
Г/(1) < 0, Га-44-1-5а < 0, Г-4а-3<0, 3 .И
\ /(3) <0; \ 9а - 12 + 1 - 5а < 0; \ 4а - 11 < 0; 4 4'
В рассматриваемом случае a > 0, поэтому 0 < a < ^.


316
Решения избранных вариантов
С учётом замечания, что при a = 0 неравенство выполняется для всех ж е [1; 3], получим, что a £ |о; .
Ответ: [ф^)-
19. 	а) Заметим, что абсолютная погрешность при округлении числа с точностью до целых не превосходит 0,5. Если кандидатов трое, то, округляя результаты голосования за них в процентах с точностью до целых и складывая, получим число, отличающееся от 100 не более, чем на 1,5. Значит, число 102 получиться не может. Следовательно, число кандидатов не может равняться 3.
б) Пусть за шесть кандидатов проголосовали по 1 депутату, тогда
каждый из них получил ^ « 8%. За одного кандидата проголосова-
1о
•7
ли 7 депутатов, тогда он получил « 54%. Суммарный процент равен
1о
6 • 8 + 54 = 102. Значит, 13 депутатов могли избрать главу района.
в) Укажем целые числа процентов, которые могут набрать кандидаты.
^ и 6%, ^ я 12%, А я 18%, ± « 24%, А « 29%, ^ я 35%, Yj « 41% , ^ я 47%, ^ я 53%, ^ я 59%, |± я 65%, || я 71%,
|| я 76%, || я 82%, || я 88%, || я 94%.
Числа 6,12,18,24 имеют вид 6к(к £ ЛГ), дают в остатке 0 при делении на 6.
Следующие 8 нечётных чисел дают в остатке 5 при делении на 6. Числа 76 и 82 дают в остатке 4 при делении на 6.
Последние два числа 88 и 94 выделим отдельно.
Число 102 делится на 6, даёт в остатке 0 при делении на 6.
Покажем, что 102 ф х\ + х2 + жз + Ж4, где жх, х2, жз, Ж4 — среди указанных чисел.
Сразу отметим, что ни одно ж* (г = 1,2,3,4) не может равняться 88 и 94, так как сумма трёх оставшихся чисел не может равняться 8 или 12.
Для того чтобы сумма жх + х2 + жз + Ж4 делилась на 6, надо, чтобы сумма остатков от деления на 6 чисел жх, х2, жз, Ж4 также делилась на 6. Рассмотрим все возможные случаи:


Решение варианта № 37
317
1. Все числа х!,х2,хз,х4 дают в остатке 0 при делении на 6. Так как наибольшее из них равно 24, то х\ 4* х2 4- хз + < 4 • 24 = 96 < 102.
2. Три числа из чисел xi, х2, хз, Х4 дают в остатке 0 при делении на 6, одно из них даёт в остатке 4 или 5. Тогда сумма остатков не делится на 6.
3. Два числа из чисел xi, х2, хз, Х4 дают в остатке 0 при делении на 6. Тогда два из оставшихся чисел не могут давать остатки 4, так как их сумма будет больше 102. Получаем остатки: 4 и 5; 5 и 5. В каждом из случаев сумма остатков не делится на 6.
4. Одно число из чисел xi, x2l хз, Х4 даёт в остатке 0 при делении на 6. Заметим, что среди оставшихся чисел не могут быть числа, дающие остатки 4 и 4 (иначе сумма превысит 76% 4- 82% = 158%). Поэтому возможны случаи: 4, 5, 5 и 5, 5, 5. В каждом из этих случаев сумма остатков не делится на 6.
5. Все числа xi, х2, хз, Х4 дают остатки 4 или 5 при делении на 6. Возможны случаи: 4, 5, 5, 5 и 5, 5, 5, 5. В каждом из этих случаев сумма остатков не делится на 6.
Таким образом, 17 депутатов не могут избрать главу района из 4 кандидатов при указанных условиях.
Ответ: а) нет; б) да; в) нет.


Краткий теоретический справочник
Предлагаемый справочник содержит основные теоретические сведения и формулы, предусмотренные действующей программой для общеобразовательных учреждений.
§ 1. Условные обозначения
При изложении теоретического материала, содержащегося в этой главе, мы будем пользоваться общепринятыми математическими обозначениями. Перечислим их.
N — множество всех натуральных чисел.
N0 — множество всех неотрицательных целых чисел.
Z — множество всех целых чисел.
Q — множество всех рациональных чисел.
R — множество всех действительных (вещественных) чисел.
Я+ — множество всех положительных действительных чисел.
=Ф — следует.
<=> — равносильно; эквивалентно; тогда и только тогда.
def
= — по определению равно.
D(f) — область определения функции у = /(х).
E(f) — множество (область) значений функции у = f(x). const — постоянная величина.
6 — принадлежит, содержится; например: х е R — х принадлежит множеству действительных чисел, то есть х является действительным числом. п • т (для n,mGZ) — число п делится нацело на число т.


§ 2. Степени и корни
319
§ 2. Степени и корни
Определение степени и корня
1. Пусть а € R,n € N. Тогда
ап = а - а - а -... * а:
" v
п сомножителей
О def 1 / г*
а = 1, если аф 0;
—п def 1 / г,
а = —, если аФ 0; а
0° не определено; у/а =f b<F>bn — аиЬ^О при п чётном; у/а =f Ъ <&bn = а при п нечётном.
2. Пусть а € га G Z, n € N, n > 1. Тогда
а п
Правила действий с радикалами
Пусть m,n,k е N,m,n > 1; а, 6 € i?+. Тогда
пк.
атпк _
'а _ п/а.
^5= "*$6;
УЕ.Гь=УаЪ; ГЬ'ЧЬ'
( у/а)m = v^o"*; v^Tb < Va+ Vb.
Правила действий со степенями
Пустьp,qeQ, a,be R+. Тогда
ара9 = ар+я; {ap)q =аря;
^ = ap~q; (ab)p = aPlf.
а4
Не приводя определение степени с действительным показателем, отметим, что правила действий с такими степенями «сохраняются», то есть приведённые правила верны и для р, q € R.


320
Краткий теоретический справочник
Формулы сокращённого умножения
Пусть а, Ъ € Я. Тогда
(а ± b)2 = а2 ± 2ab -f b2;
(а ± 6)3 = а3 ± За26 + ЗаЬ2 ± Ь3; а2 — 62 = (а — Ь)(а + Ь); а3 — 63 = (а — 6)(а2 -f ab + Ь2); а3 + Ь3 = (а 4- &)(а2 — аб Н- Ь2).
Таблица квадратов
II2 = 121 162 = 256 212 = 441 262 = 676
122 = 144 172 = 289 222 = 484 272 = 729
132 = 169 182 = 324 232 = 529 282 = 784
142 = 196 * 192 = 361 242 = 576 292 = 841
152 = 225 202 = 400 252 = 625 302 = 900
§ 3. Модуль и его свойства
1. Определение модуля числа. х, если ж >0;
0, если х = 0; или
—х, если х < 0
V. '
2. Геометрически |ж| есть расстояние от точки х числовой оси до начала
i*i =
def J X,
если х ^ 0; если х < 0.
отсчёта — точки О.
3. \х — а\ есть расстояние между точками х и а числовой оси.
4. Модуль произведения, частного и степени.
М = 1*1 • М;
5. -у/х2 = |х|.
-gf |х"
|x|n,n G Z,
х ф 0, п > 0.


§ 4. Прогрессии 321
§ 4. Прогрессии
Арифметическая прогрессия
1. Если ап есть п-й член, d — разность и Sn — сумма п первых членов арифметической прогрессии, то
о>л~f-i — о>п -j* d, Qjfi — о,\ “Ь d(ri 1),
0 _ («г + ап)п _ (2ai + d(n - l))n n “ 2 “ 2
Арифметическая прогрессия возрастает, если d > 0, и убывает, если d < 0.
2. Если а^, сц, am, ап — члены арифметической прогрессии с такими номерами, что к + I = т + п, то -I- щ = ат + ап.
3. Каждый член арифметической прогрессии, отличный от первого и последнего, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
Q>n—1 0>п+1
ап - - 2 •
Геометрическая прогрессия
1. Если Ьп есть п-й член, q — знаменатель и Sn — сумма п первых членов геометрической прогрессии, то
Ьп+1 = bnq, bi^0,q^0; bn = bi gn_1,
6г(^-1)
= —-—;—. <7^1- q- 1
2. Если bk, bi, bm, bn — члены геометрической прогрессии с такими номерами, что к + I = т + гг, то bk • bi = Ьш • bn.
3. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, отличного от первого и последнего, равен произведению соседних с ним членов:
bn — 6n_ 1 • 6П_|_1.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Если S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
- J>1_
сии (|д| < 1), то S = —
§ 5. Логарифмы Определение логарифма
Логарифмом положительного числа х по основанию а (а > 0, а Ф 1) называется показатель степени г/, в которую нужно возвести а, чтобы получить число х: у = loga х ау = х.
21.3ак. № 121


322
Краткий теоретический справочник
Свойства логарифмов
Пусть a > 0, а ф 1.
1. Основное логарифмическое тождество:
aioga х _ х ддЯ х > о
2. Логарифм произведения, частного и степени:
loga(xt/) = loga |х| + loga \у\, ху > 0;
l°ga (^) = loga |х| - loga |у|, ху > 0;
loga (ху) = loga Х + loga У,Х > 0, у >0\
loga = ioga X - loga у, X > 0, у > 0;
loga xa = a loga x, x > 0;
loga xk = k\oga |x|, k — чётное целое.
3. Формула перехода к новому основанию. Пусть 6 > 0, b Ф 1, х > 0У тогда
log- х = !°g^ х, в частности, log,, х = — при х Ф 1.
log6a oa logx a
Кроме того, loga х log6 у = loga у log6 x.
4. Пусть 6 > 0, a ф 0, а ф 1, тогда
logaP b = i loga ь,рф 0;
logafc b = jr log|a| b, k Ф 0, k — чётное целое.
5* al°gbc = (J°8b a
При решении задач бывает полезна следующая теорема:
Если числа аиЪ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то loga b > 0, а если по разные, то loga Ъ < 0.
§ 6. Теория вероятностей Классическое определение вероятности
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов:
Р(А) =
4 7 п
где п — общее число равновозможных исходов, га — число исходов, благоприятствующих событию А.
21*


§ 7. Тригонометрия
323
Противоположные события
Событие, противоположное событию А, обозначают А. При проведении испытания всегда происходит ровно одно из двух противоположных событий и
Р(А) 4- Р(А) = 1; Р(А) = 1 - Р{А).
Объединение несовместных событий
Два события А и В называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В.
Событие С называют объединением событий А и В (пишут С = АиВ), если событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В.
Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий А и В:
P(AUB) = P(A) + P(B).
Пересечение независимых событий
Два события АиВ называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Событие С называют пересечением событий А и В (пишут С = АПВ), если событие С означает, что произошли оба события АиВ.
Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий АиВ:
Р(АПВ) = Р(А)-Р(В).
§ 7. Тригонометрия Радианное измерение углов
Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности.
180°
1 радиан = я 57°17'45".
7Г
7Г
1° = тгтг радиана « 0,017453 радиана.
loU
Углы в градусах
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
Углы в радианах
о
о
7Г
6
7Г
4
7Г
3
7Г
2
7Г
COICM
2п
22. Зак. №121


324
Краткий теоретический справочник
Значения тригонометрических функций некоторых углов
а
0
7Г
6
7Г
4
7Г
3
7Г
2
7Г
2*
sin а
0
1
V2
V3
1
0
-1
2
2
2
cosa
1
Л
V2
1
0
-1
0
2
2
2
tg OL
0
л/3
3
1
V3
-
0
-
ctga
-
у/3
1
у/г , 3
0
-
0
Формулы приведения
7Г ±a
Зтг 1
T±0
sin
cosa
=Fsina
— cosa
cos
=Fsina
— cosa
±sina
tg
T ctga
±tga
Tctga
ctg
Ttga
±ctga
Ttga
К счастью, эту таблицу не требуется запоминать. Любую формулу приведения из этой таблицы легко вывести с помощью простого мнемонического правила. Это правило предполагает получение ответов на два вопроса.
Вопрос /. Какой знак надо поставить в правой части формулы? .
Ответ. Этот знак определяется по левой части выводимой формулы. Смотрим, в какую четверть попадает угол, считая а острым углом. Далее мысленно (по единичной окружности) определяем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части формулы. Этот знак ставится после знака равенства в правой части (конечно, ставится только знак минус).
Вопрос 2. Меняется ли функция в правой части формулы на кофунк- цию?
Ответ. Если в левой части формулы присутствуют углы ^ или Щ- —
Z Z
это углы вертикальной оси единичной окружности, — киваем головой по вертикали и отвечаем «Да». Если же присутствуют углы горизонтальной
22*


§ 7. Тригонометрия
325
оси 0 или 7г, то мотаем головой по горизонтали и отвечаем «Нет». Это правило в шутку называют «правилом лошадки».
Пример. Выведем формулу для cos + а^. Для этого ответим на два вопроса.
Вопрос /. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ. Угол ^ + а находится во второй четверти (считаем а острым
углом). В этой четверти косинус (то есть абсцисса точки) отрицательный. Значит, в правой части ставим знак минус.
Вопрос 2. Меняется ли функция в правой части формулы на кофунк- цию?
Ответ. Используем «правило лошадки». Так как угол ^ находится
на вертикальной оси, то киваем головой по вертикали и отвечаем «Да». Значит, справа будет sin а.
Итак, cos + а) = — sin а.
Основные тригонометрические тождества
sin2 х -I- cos2 х = 1; tg х • ctg х = 1;
9 1 , о 1
1 + tg* х = j—; 1 + ctgz х = ——ту—.
cos х smx
Формулы суммы и разности аргументов
sin(x ± у) = sin х • cos у ± cos х • sin у; cos(x ± у) = cos х • cos у sin х • sin у;
w . Ч tgx±tgy
tg(x ± у) = — —.
1 qF tgx -tgу
Формулы двойного и тройного аргументов
cos 2х = cos2 х — sin2 х = 1 — 2 sin2 х — 2 cos2 х — 1;
sin 2х = 2 sin х • cos х;
2 1 — cos 2х 9 1 -f cos 2х
sin х = ; cos х = ;
2 2
sin Зх = 3 sin х — 4 sin3 x; cos 3x = 4 cos3 x — 3 cos x;
2tgx 3 tg x — tg3 x
tg2l = r^iv te3l“ i-3.g4x '


326
Краткий теоретический справочник
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Если х ф 7г + k е Z, то
2tgf 1 - tg2 |
sinx = ; cosx = .
l + tg2| ! +
Преобразование суммы и разности тригонометрических
функций в произведение
, . о • Х±У Х + У sinx ± smy = 2 • sin —-— • cos —-—;
Z Z
x+y x-y cosx + cosy = 2cos —2— ’cos —2—’
„ . X + y . y-x cosx — cos у = 2sm —-— • sm —-—;
Zd z
Л . (x — y n\ (x + y 7Г\
sinx -f cosy = 2sin I — h- I cos I — - 1;
Л . (x + y (x — y 7r\
sinx - cosy = 2sin I — 1 cos I — h ^ I;
sin(x ± y)
tg x tg у = ;
cos x • cos у
a sinx + b cosx = \/a2 + b2 ♦ sin(x + (f), где a2 + b2 ф 0, а (p опреде-
, . b a
ляется из формулы sin</? = —; cosy? =
у a2 + b2 ya2 -h б2
asinx -h 6cosx = Va2 -f б2 • cos(x — a), где a2 -f 62^0,aa определи b
ляется из формулы sin a = , ; cos a —
/ 1 ===, WO IX / ' ■ =.
\/a2 + ft2 Va2^
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
sinx • sin у = ~ (cos(x — у) — cos(x + у)); cos х • cos У = \ (cos(x — у) + cos(x + у));
2
s'
sinx • cosy = ~(sin(x y) + sin(x -j- y)).


§ 7. Тригонометрия
327
Определение обратных тригонометрических функций
def . , ^ . 7Г ^ ^ 7Г
у = arcsinx 4Ф х = sin у и —— < у < —; у =f arccos х х = cos у и 0 ^ у ^ 7г;
def 7Г it
у = arctg х х = tgy и ~2 <у < 2’
def
2/ = arcctg х х = ctg у и 0 < у < 7г.
Свойства обратных тригонометрических функций
£>(arcsinx) = [—1; 1]; £7(arcsinx) = [““2’ §]’
D(arccosx) = [—1; 1]; .E(arccosx) = [0;7г];
D(arctgx) = R; £(arctgx) = (-|; |);
Z)(arcctgx) = i?; #(arcctgx) = ^0;7r^; arcsin(—x) = - arcsinx; arccos(—x) — ix — arccos x; arctg(—x) = — arctg x; arcctg(—x) = тг — arcctg x; arcsinx -f arccosx = если x G [—1; 1];
arctg x 4- arcctg x = ~;
sin(arcsinx) = x, если x G [—1; 1];
arcsin(sinx) = x0, где xo € [-~; и sinxo = sinx;
cos(arccosx) = x, если x G [—1; 1];
arccos(cosx) = xo, где xo G [0; n] и cosxo = cosx;
tg(arctg x) = x, ctg(arcctg x) = x;
arctg(tgx) = x0, где x0 = и tgx0 = tg®;
arctg(ctgx) = xQ, где xp G (0; 7г) и ctgxo = ctgx; sin(arccosx) = \/l — x2; cos(arcsinx) = \/l — x2; x
sin(arctgx) = —j— —■■■; cos(arctgx)
v Б
sin(arcctgx) = A--- ; cos(arcctgx) =


328
Краткий теоретический справочник
Некоторые значения обратных тригонометрических функций
X
0
1
2
V2
2
\/3
2
1
-1
arcsin x
A
7Г
7Г
7Г
7Г
7Г
0
6
4
3
2
2
7Г
7Г
7Г
7Г
A
arccos x
0
7Г
2
3
4
6
X
0
\/3
3
1
\/з
arctgsr
0
7Г
6
7Г
4
7Г
3
arcctg ж
7Г
2
7Г
3
7Г
4
7Г
6
Формулы для решения простейших тригонометрических
уравнений
sin x = a;
|a| < l;x = (—l)narcsina-f7rn, n £ Z\
sin x = 0;
x = nk, £ Z;
sinx = 1;
x=|+ 2nk1 k £ Z;
sinx = —1;
x = — ^ -f 27Г&, k £ Z;
cos x = a;
|a| < 1; x = =b arccos a + 27m, n £ Z\
cos x = 0;
x = -f тг&, fc G Z;
cosx = 1;
x = 2nk,k £ Z;
cosx = —1;
x = 7Г -f 27Г&, k £ Z\
tgx = a;
x = arctg a -f 7rn, n £ Z;
ctg x = a;
x = arcctg a + 7m, n £ Z.
§ 8. Многочлены и их корни
Определение многочлена
Многочленом степени n (n £ N0) называется всякое выражение вида
/(З') — "Ь —З.Х ~1” • . • 0>\Х 0-0»
ГДе CLfi, Ciji—i, . . . , Q,\у CLq £ R И CLfi ф 0.


§ 8. Многочлены и их корни
329
Всякое вещественное число, отличное от нуля, принято трактовать как многочлен нулевой степени. Числа ап, ап_ i,..., аь ао называются коэффициентами многочлена, ап — старший коэффициент, ао— свободный член.
Число хо называется корнем многочлена /(х), если f(xо) = 0.
Квадратный трёхчлен
Квадратный трёхчлен — это многочлен степени 2: f(x) = ах2 -f bx 4- с.
. ч — Ъ ± \/б2 — 4 ас
Если Х\,Х2 — корни f(x), ТО £1,2 = ~ i
za
ах2 + bx + c = а(х — х\)(х — хг);
Ъ с
х\+Х2 = —х\х2 — - (Теорема Виета).
Если второй коэффициент делится на 2, то есть
f(x) = ах2 + 2кх 4- с, то х\$ =
к±у/к
2
ас
а
- /у»2 .
Если старший коэффициент равен 1, то есть f(x) = х2 4- рх 4- д, ТОЖ1)2 = ±
Выражение Ь2 — Аас называется дискриминантом соответствующего многочлена f(x) (уравнения f(x) = 0). Дискриминант принято обозначать
большой буквой D. Отметим, что D = к2 -ас = 0<=> — q = 0.
Теорема Безу и схема Горнера
Для любого многочлена степени п > 0
f(x) = апхп 4- an_ixn_1 4-... 4- а\х 4- а0 и любого числа xq е R найдётся такой многочлен степени п — 1 q(x) = 6n_irrn-1 4- bn-2Xn~2 4-... 4- hx 4- b0, что справедливо равенство
f(x) = (х - х0) q(x) 4- / (xo) (Теорема Безу), причём коэффициенты q(x) могут быть вычислены по следующему алгоритму:
bn—1 = an, Ьп—2 — X()bn—i 4* an_i, bus ~ Х()Ьп—2 4~ an_2, • * * ? bi—i := Xq4~ a*,...
..., b\ = xo&2 4- a2, 6q = xo&i + f(xo) = xo&o 4- ap.


330
Краткий теоретический справочник
Результаты вычисления коэффициентов многочлена q(x) удобно помещать в таблицу (схему Горнера).
0>п
0>п—1
О'п-2
Яг+1
...
а>2
ai
ao
Жо
Ьп-1
bn-2
Ьп-3
...
bi
bi-1
bi
bo
f(x o)
Понятно, что если хо — корень многочлена /(ж), то /(жо) = 0 и, следовательно, /(ж) = (ж — хо) q(x) (следствие из теоремы Безу).
Таким образом, чтобы выяснить, является ли число хо корнем многочлена /(ж), нужно заполнить приведённую выше таблицу (схему Горнера). Если f(xо) окажется равным 0, то хо — корень. В противном случае хо — не корень /(ж).
Приведём ещё одну теорему о многочленах и следствие из неё, касающееся рациональных корней многочлена.
Теорема. Пусть /(ж) = anxn + an_ixn~l 4- ... -j- a\x + ao — многочлен с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь (рациональное число) p/q является корнем многочлена /(ж), то 1) \
2) 	а0 : р.
Следствие. Пусть /(ж) = жЛ + ап_1Жп-1 + ... 4- а\ж 4- ао — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда все рациональные корни многочлена /(ж) являются целыми, а также делителями свободного члена ао.
Эти теоремы будут очень полезными при выполнении некоторых заданий, их использование существенно сэкономит время решения.
Пример 1. Найдите целые корни уравнения ж4 + Зж3 4-ж2 — Зж — 2 = 0.
Решение. По следствию целые корни находятся среди делителей свободного члена: ±1; ±2. Проверяем по схеме Горнера каждое из этих чисел.
1
3
1
-3
-2
1
1
4
5
2
0
корень
1
1
5
10
12
не корень (не кратный корень)
-1
1
3
2
0
корень
-1
1
2
0
корень (кратности 2)
ж4 -f Зж3 4- ж2 — Зж — 2 = (ж — 1)(ж 4-1)2(# 4* 2).
Данное уравнение имеет 3 корня: 1; —1; —2, причём —1 — корень кратности 2.


§ 8. Многочлены и их корни
331
Пример 2. Решите уравнение 6х4 4- 17х3 4- 20х2 4-14# + 3 = 0. Решение. По теореме все рациональные корни уравнения находятся
среди чисел где 6: q, 3:р.
Делители числа 3: ±1; ±3.
Делители числа 6: ±1; ±2; ±3; ±6.
Числа вида2: ±1; ±|; ±|; ±|; ±3; ±|.
q 2t о и 2d
Видим, что корнями могут быть лишь отрицательные числа. Поэтому проверяем числа -1; -3;
6
17
20
14
3
-1
6
И
9
5
-2
не корень
1
2
6
14
13
15
2
3
4
не корень
1
3
6
15
15
9
0
корень
Данное уравнение эквивалентно 4-(6х3 4- 15х2 4- 15х 4- 9) = 0. xi — — 2х3 4- 5х2 4- Ъх 4- 3 = 0.
о
Делители числа 3: ±1; ±3.
Делители числа 2: ±1; ±2.
Числа вида 2: ±1; ±1; ±3; ±5
q Zt Jd
Корнями могут быть лишь отрицательные числа, причём -1 и не являются корнями (проверили выше).
о
Проверяем числа-3; —
2
5
5
3
-3
2
-1
8
-21
не корень
1
to ICO
2
2
2
0
корень


332
Краткий теоретический справочник
Данное уравнение эквивалентно (2#2 + 2х 4- 2) = 0, х2 = —
я2 4- ж + 1 = О — корней нет.
Ответ:-|.
§ 9. Уравнения
Уравнения с одним неизвестным
Напомним, что уравнением называется равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. Пользуясь понятием функции, можно сказать, что уравнение (с одним неизвестным) — это пара функций от одной и той же переменной ж, соединённых знаком равенства:
/(х) = д(х).
Областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения называется пересечение области определения функций f(x) и д(х):
D(f)nD(g).
Число а называется корнем (или решением) данного уравнения, если при подстановке в уравнение вместо каждого вхождения х числа а уравнение обращается в верное числовое равенство: /(а) = д(а).
Существуют эквивалентные определения корня уравнения, в которых требуется принадлежность числа а ОДЗ исходного уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что данное уравнение корней не имеет. Отметим, что если мы нашли подбором какие-то корни уравнения и доказали, что других корней у данного уравнения быть не может, то тем самым мы уравнение решили.
Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Уравнение А является следствием уравнения В, если все корни уравнения В являются корнями уравнения А (но, быть может, среди корней уравнения А есть такие, которые не являются корнями уравнения В).
Преобразование уравнения называется равносильным, если в результате преобразования получается уравнение, равносильное исходному.
1. Если при решении уравнения вы производили лишь равносильные преобразования, то для найденных корней нет нужды делать проверку.
2. Если вы нашли ОДЗ и в пределах ОДЗ производили равносильные преобразования уравнения, то проверку также делать не нужно, но необходимо выяснить, входят ли найденные корни в ОДЗ.


§ 9. Уравнения
333
3. 	Если не все преобразования были равносильными, но каждое уравнение было следствием предыдущего, то необходимо сделать проверку.
Отметим, что часто находить ОДЗ нецелесообразно: во многих случаях экономнее (по времени) найти «корни» (среди которых, быть может, есть лишние) и сделать проверку.
Всё сказанное в отношении проверки справедливо с математической точки зрения. То есть если все ваши преобразования были равносильны, то приводить в конце решения проверку нет необходимости. И в этом случае (при наличии соответствующей оговорки) ваше решение будет смотреться более грамотным, с точки зрения математики.
Но совсем иное дело, если речь идёт о самоконтроле. Здесь мы рекомендуем делать в некоторых случаях не одну, а несколько проверок.
Полезные неравенства
Отметим, что при решении уравнений (и неравенств) иногда бывают полезны следующие неравенства, истинные для а ^ О, b > 0:
&2 -Ь 1 а -Ь 6 г—г а + Ь Iа2 -Ь 62
а 2 ’ 2 у 2 ‘
Равенства достигаются при а = b (в первом случае при а = 1).
Полезны также некоторые их следствия:
а + - ^ 2 при а > 0; а + - ^ — 2 при а < 0. а а
Равенства достигаются при а = 1 в первом случае и при а = —1 — во втором.
Системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнением с двумя неизвестными хиу называется пара функций от двух переменных (х и у), соединённых знаком равенства:
f(x,y)=g(x,y).
Решением такого уравнения называется всякая пара чисел (хо,2/о)» подстановка которых в уравнение вместо соответствующих неизвестных обращает это уравнение в верное числовое равенство.
Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется пара уравнений с двумя неизвестными:
Г f(x,y)=g(x,y),
\ h(x,y) = t(x,y).


334
Краткий теоретический справочник
Решением системы называется всякая пара чисел (х0, уо), являющаяся решением и первого, и второго уравнений системы.
Решить систему — это значит найти все её решения или доказать, что система решений не имеет.
Системы линейных уравнений
1. Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда a\b2 — ^261 Ф 0.
2. Система имеет бесконечное множество решений тогда и только то-
3. 	Система не имеет решений тогда и только тогда, когда a\b2 — ^2^1 = 0, но aiC2 — a2c\ ф 0 или Ъ\с2 — Ъ2с\ ф 0.
§ 10. Неравенства Неравенства и системы неравенств
Неравенством с одним неизвестным называется пара функций от одной и той же переменной, соединённая одним из знаков: >, ^, <,
Решением неравенства (системы неравенств) называется всякое действительное число, подстановка которого в неравенство (каждое неравенство системы) вместо каждого вхождения неизвестного (переменной) обращает это неравенство (все неравенства системы) в верное числовое неравенство (верные числовые неравенства).
Решить неравенство (систему неравенств) — значит найти множество всех решений этого неравенства (этой системы неравенств) или доказать, что оно (она) решений не имеет. Два неравенства (две системы неравенств) называются равносильными, если множества их решений совпадают. Соответственно, преобразования неравенства называются равносильными, если при этих преобразованиях множество решений полученного неравенства совпадает с множеством решений исходного неравенства.
Пусть дана система
гда, когда


§ 10. Неравенства
335
Отметим, что проверка правильности всех найденных решений неравенства подстановкой в исходные неравенства в подавляющем большинстве случаев невозможна. Поэтому при решении неравенств (систем неравенств) нужно пользоваться равносильными преобразованиями (равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ). Нахождение ОДЗ не обязательно, если вы пользуетесь исключительно равносильными преобразованиями. В противном случае нахождение ОДЗ обязательно. При этом возможны два подхода к оформлению решения:
1. ОДЗ в виде неравенства или системы неравенств присоединяют к данному неравенству (данной системе) и полученную систему решают.
2. Находят ОДЗ. Решают данное неравенство (систему неравенств), пользуясь лишь равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ. Из полученных решений удаляют те, которые не входят в ОДЗ.
Объединение неравенств
Отметим также, что часто решениями данного неравенства (системы неравенств) является объединение решений двух или более неравенств (систем неравенств). В таких случаях мы будем употреблять запись ви-
Эту запись будем называть объединением неравенств. Решением объединения двух неравенств является всякое число, являющееся решением хотя бы одного из двух неравенств объединения. Иначе говоря, для решения объединения нужно найти множества всех решений первого и второго неравенств и найденные множества объединить.
Рациональные неравенства
Рациональным называется всякое неравенство, сводящееся к неравенству вида ~^Х~1 > 0 или вида ^ 0, где Р(х), Q(x) — некоторые Q(x) Q(x)
многочлены.
то для решения рациональных неравенств удобно применять метод интервалов.
f(x) ^ д(х), fe(x) < и(х).
Поскольку > О 4Ф Р(х) • Q(x) > О,


336
Краткий теоретический справочник
Пример. Решите неравенство - —■ j1 ^ ^ 1.
х — о х -f 1
Решение. з£--7?±.10 + -1^0,
х — 3 х + 1
(х2 - 7х + 10)(ж + 1) + (6х - 9)(х - 3) - (х - 3)(х + 1) ^
(х — 3)(х -f 1)
х3 — х2 — 22х -f 40 ^ п (х — 3)(х + 1)
Числитель последней дроби разложим на множители. Подбором находим, что х = 2 является корнем многочлена х3 — х2 - 22х + 40. Разделив данный многочлен (уголком или по схеме Горнера) на х - 2, получаем
х3 — х2 — 22х + 40 = (х — 2)(х2 + х — 20) = (х — 2)(х — 4)(х + 5). Значит, исходное неравенство равносильно системе Г (х — 2)(х — 4)(х + 5)(х — 3)(х + 1) ^ 0,
\ (х — 3)(х + 1) ф 0.
Решая первое неравенство этой системы методом интервалов
(см. рис. 270) и выкалывая точки х = —1, х = 3, получаем ответ
"Hf + X -
-5 -1 2 3 4 *
Рис. 270
х € (-оо; -5] U (-1; 2] U (3; 4].
§ 11. Функции
Область определения функции
Областью определения D(y) функции у = /(х) называется множество всех значений аргумента х, для которых выражение /(х) определено (имеет смысл). Например, рассматривается функция у = sinx на отрезке [0; 7г]. В данном случае D(y) = [0; 7г], так как данной фразой функция у = sinx определена лишь на отрезке [0; 7г]. Если же рассматривается функция у = sinx без каких-либо оговорок, то это означает, что D(y) = R. В этом случае говорят также, что функция у = sin х определена
на всей числовой прямой. Пусть рассматривается функция у =
В данной фразе также нет каких-либо оговорок относительно того, на каком числовом промежутке рассматривается функция. Вместе с тем мы


§77. Функцтр 337
видим, что эта функция не определена для х < 1, так как при х < 1 под корнем будет отрицательное число. Эта функция также не определена при х = ±2, так как при х = ±2 знаменатель обращается в нуль. Таким образом, для данной функции D(y) = [1; 2) U (2; +оо).
Напомним области определения основных элементарных функций. Область определения любого многочлена — R.
D = (-оо; 0) U (0; -foo); D ^'\/х) = [0; +оо);
D (2fcVa;) = R; D (logaz) = (0; +оо);
D (sinx) = D(cosx) = R; D (ax) = R;
D(arcsinx) = D (arccosx) = [—1; 1];
D (arctg x) = D (arcctg x) = R;
D (tgx) = +27rfc;^ 4- 2тгк^ U -f 27гА:; |тг 4- 27rfc), к G Z,
WmD(tgx): хф^+пк, k € Z;
D (ctgx) = (2nk; 7r 4- 2nk) U (7Г 4* 27гА;; 27г 4- 2nfc), к G Z,
Или D (ctgx) : x ф 7гк, к G Z.
" Множество значений функции
Множеством (областью) значений Е(у) функции у = /(х) называется множество всех таких чисел уо, для каждого из которых найдётся такое число хо, что /(хо) = уо-
Напомним области значений основных элементарных функций.
Областью значений всякого многочлена чётной степени является промежуток [т; -foo), где га — наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток (—оо; п], где п — наибольшее значение этого многочлена.
Областью значений всякого многочлена нечётной степени является R.


338
Краткий теоретический справочник
Е (ij = (-00; 0) U (0; +оо);
E^k+^i) = Д;
Е (log0 х) = R;
Е(arcsinx) = |];
Е (tgx) = E'(ctgx) = R;
Е (2\/х) = [О; -foo);
E(ax) = (О; -foo);
E( sinx) = E( cosx) = [—1; 1]; E (arccos x) = [0; 7r];
JS (arctgx) = (-|;
£ (arcctg x) = (0; 7r).
Отметим, что задания на нахождение множества значений какой- то функции решаются преимущественно двумя методами: аналитическим и алгебраическим.
Замечание. Предположим, что функция /(х) является сложной функцией, в которой можно выделить «подфункцию» t = t(x). Тогда у = f(t) = f(t(x)). Отметим, что неважно, какой является функция t = £(х) — возрастающей, возрастающе-убывающей и т. д. Если нам известна её область значений E(t), то при нахождении области значений функции у = f(t) = f(t(x)) целесообразно считать, что t возрастает на E(t) как какой-то новый аргумент. В соответствии с этим функцию у = f(t) целесообразно считать такой, каковой она является от аргумента t на промежутке E(t). Например, пусть нам дана функция у = 2cosx + 1. Вводим новую переменную £(х) = cosx. Понятно, что == [“1; !]• Тогда функцию y(t) = 2^ + 1 целесообразно считать линейной на промежутке [—1; 1]. Это никак не повлияет на нахождение Е(у), но при этом облегчит нам эту процедуру. Находим Е(у). Функция y(t) = 2t + 1 на промежутке [—1; 1] является линейной и возрастающей, поэтому Е(у) ='[2(-1) + 1; 2 1 + 1] = [-1; 3].
При решении задач аналитическим методом будем пользоваться следующими фактами.
1. Пусть /(х) — какая-либо функция и lim /(х) = +оо, где а —
близкой к нулю, но вместе с тем больше нуля. В этом случае мы будем го-


§ 11. Функции
339
ворить, что величина ущ стремится к нулю справа при х, стремящемся к a: lim ущ = +0. В этом случае будем употреблять запись = +0.
2. Аналогично мы будем употреблять также запись вида —^ = —0.
3. Пусть теперь lim /(х) = 0, причём при всех х, достаточно близких
х—>а
к а, функция /(х) > 0. Тогда lim -тг-т = +оо. Этот факт мы иногда
х-~+& ГIX)
будем записывать в виде -j~ = +оо.
4. Аналогично мы будем употреблять запись = —оо.
5. Ниже мы приводим записи, которые будем в дальнейшем использовать, но понимать эти записи следует не в буквальном смысле. Фактический смысл этих записей вам предлагается привести самим.
а+°° = / +°° ПрИ а > Х’ а“°° = / +0 при а >
|+0 при0 < а < 1; ^+оопри0 < а < 1;
/ I -оо ПРИ а > 1, / ч Г +оо при а > 1,
loga(+0) = < v loga(+oo) = < у
&аК 9 \+ооприО<а< 1; &aV ' \-оо при 0 < а < 1.
Чётность и нечётность функции
Функция у = /(х) называется чётной, если для любого х G D(f) верно равенство /(—х) = /(х). График чётной функции симметричен относительно оси Оу.
Функция у = /(х) называется нечётной, если для любого х € D(f) верно равенство /(—х) = -/(я). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.


340
Краткий теоретический справочник
Графики элементарных функций. На рисунках 271 —276 изображены графики основных элементарных функций.
у= а, 0 <а < 1
У=а,а>1 кУ
Рис. 273


§ 111 Функции
341
y=logjc,to<a<\ y=logjc, a > 1
Я
1-
k y=sinx
'/~\к
/ XW
о ' V_y -
у=cosx
Рис. 275
y=tgx
У= Ctgx
У*
X
TP
7C
Рис. 276
Построение графиков функций «механическими» преобразованиями
График функции у = -f(x) получен из графика функции у = f(x) отражением относительно оси Ох (см. рис. 277).
Рис. 277


342
Краткий теоретический справочник
График функции у = /(—х) получен из графика функции у = f(x) отражением относительно оси Оу (см. рис. 278).
Рис. 278
График функции у = тп • /(х), га > 1, получен из графика функции у = /(х) растяжением в га раз вдоль оси Оу от оси Ох (см. рис. 279).
График функции у = га • /(ж), 0 < га < 1, получен из графика функции у = /(х) сжатием в — раз вдоль оси Оу к оси Ох (см. рис. 280).


§77. Функции
343
График функции у = f(kx)y k > 1, получен из графика функции у = /(х) сжатием в к раз к оси Оу вдоль оси Ох (см. рис. 281).
График функции у = f(kx), 0 < к < 1, получен из графика функции у = f (х) растяжением в - раз от оси Оу вдоль оси Ох (см. рис. 282).
Рис. 282
График функции у = f(x) 4- b получен из графика функции у = f(x) сдвигом вверх на число Ь при 6 > 0 и сдвигом вниз на число (—6) при b < О (см. рис. 283).
Рис. 283


344
Краткий теоретический справочник
1рафик функции у = /(х + о) получен из графика функции у = /(х) сдвигом вправо на число -а при а < 0 и сдвигом влево на число а при
Рис. 285
График функции у = |/(х)| (см. рис. 286) получен из графика функции у = f(x) (см. рис. 285) отражением относительно оси Ох части этого графика, лежащей ниже оси Ох.
Рис. 286


§7/. Функции
345
График функции у = /(|х|) (см. рис. 287) получен из графика функции у = /(х) (см. рис. 285) объединением части этого графика, лежащей правее оси Оу> с её отражением относительно оси Оу и удалением части, лежащей левее оси Оу.
Рис. 287
Определение производной
Пусть функция у = /(х) определена в точке х и некоторой её окрестности (интервале, содержащем точку х). Дадим аргументу х приращение Ах (положительное или отрицательное), такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдём соответствующее приращение функции Ay = f(x 4- Ах) — f(x) и составим отношение Если существует
предел этого отношения при Ах —► 0, то этот предел называется производной функции у — f(x) в точке х и обозначается /'(х):
&У v f(x + Ах) - /(х)


346
Краткий теоретический справочник
Таблица производных основных элементарных функций
(с)' = 0 (с — const); (xa)f = a • ха~г (о; — const);
(>/*)' = ohzi Q) =-p;
(cosx)' = — sinx;
2y/x’ (sinx)' = cosx;
(tg x)' = —; cos^x
(iax)f = a* In a; (logax)' =
x • In a ’ (axcsin x)' =
(arctgx)' =
1
l + a?’
(ctgx)' =
sm x
(e*)' = e»;
=
(arccos x)' = — (arcctg x)' = —
Vl — x 1
1 -f X2 *
Основные правила дифференцирования
(с • w)' = с • г/, с — const; (u ± v)' = v! ± v';
/ w / . ' / /«V u'v-uv'
(uv) =uv + uv\ (-) = s ;
\v/ v
У = f(9(x)), y' = /i(u) • 5*(ж), ГДе u = £(*)•
Отметим, что справедливо следующее свойство: если функция /(х) чётна (нечётна) и дифференцируема на всей области определения, то функция f(x) является нечётной (чётной).
Геометрический смысл производной
/'(хо) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой хо- Напомним, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох. Уравнение касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой хо:
у = /(хо) + f'{xо)(х - Хо).
Механический смысл производной
Пусть S = S(t) — уравнение зависимости пути от времени при движении какого-либо тела. Тогда S'(t) — скорость движения этого тела в момент времени t. S"(t) — ускорение движущегося тела в момент времени t.


§ 11. Функции
347
Возрастание и убывание функции
Функция у = /(х) возрастает (убывает) на множестве А, если для любых xi,Х2 € А, таких, что х\ < х?,, выполняется неравенство /(х 1) < /(х2) (/(xi) > Дх2)).
Замечание. Если функция возрастает (убывает) на двух промежутках, из этого ещё не следует, что она возрастает (убывает) на объединении этих промежутков. Например, функция у = — убывает на про-
х
межутках (—оо;0) и (0; +оо), но она не является убывающей на области определения.
Если на каком-то промежутке функция у = /(х) возрастает (убывает) и дифференцируема на этом промежутке, то f'(x) ^ 0 (/'(а:) ^ 0), причём равенство нулю невозможно на промежутке ненулевой длины.
Верно и обратное утверждение, которое мы сформулируем в частном случае. Если на каком-то промежутке /'(х) ^ 0 (/'(х) ^ 0), причём равенство /'(х) = 0 достигается лишь в конечном числе точек этого промежутка, то функция у = /(х) на этом промежутке возрастает (убывает). Отсюда следует, что если производная в точке хо меняет знак с «+» на «-» (с «-» на «+»), то функция у = /(х) в этой точке меняет возрастание на убывание (убывание на возрастание). А это значит, что функция у = /(х) имеет в точке хо максимум (минимум).
Предлагаем доказать самостоятельно, что для сложной функции f(g(x)) двух непрерывных функций /(х) и <j(x) справедлива данная ниже таблица, в которой «+» означает возрастание функции, а «—» — убывание.
/(*)
+
+
-
-
р(я)
+
-
+
-
/(s0*0)
+
-
-
+
Наибольшее и наименьшее значения функции
Значение /(х0) функции /(х) в точке хо называется наибольшим (наименьшим) значением этой функции, если для любого х из D(f) выполняется неравенство
/(*о) ^ /(х) (/(х0) < /(х)).


348
Краткий теоретический справочник
Справедлива следующая теорема.
Дифференцируемая на (а; Ъ) и непрерывная на [а;Ь] функция у = /(х) достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка [а; Ъ] или в одной из стационарных точек на интервале (а; Ь).
В частности, если функция удовлетворяет условиям теоремы и имеет единственную критическую точку, которая является точкой максимума (минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение.
Алгоритм поиска наибольшего (наименьшего) значения функции
Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции у = f(x) на отрезке [а; b], применяют следующий алгоритм.
1. Находят значения функции на концах отрезка в точках а и 6, то есть /(а) и f(b).
2. Находят все стационарные точки, принадлежащие интервалу (а; Ь). Для этого решают уравнение /'(х) = 0 и отбирают те его корни, которые принадлежат (а; b). Затем находят значения функции f(x) в этих точках.
3. Находят остальные критические точки (не являющиеся стационарными), принадлежащие интервалу (а; 6). Для этого находят такие точки хо, в которых функция /(х) определена, но производная функции /'(х) не определена, то есть выражение /(х0) определено, а выражение /'(х0) не определено. Из найденных точек отбирают те, которые принадлежат (а; Ь). Затем находят значения функции /(х) в этих точках.
4. Из всех чисел, найденных в пунктах 1, 2 и 3, отбирают наибольшее (наименьшее).
Замечание. Иногда применение 2-го, а особенно часто 3-го пункта этого алгоритма никаких чисел на выходе не даёт. Например, если функция /(х) на [а; Ь] монотонно возрастает, то в этом случае она вообще не имеет критических точек на (а; Ь). Её наибольшее значение в этом случае равно /(b), а наименьшее равно /(а). Другой пример: если функция /(х) дифференцируема на (а; Ь), то все её критические точки являются стационарными. В этом случае 3-й пункт алгоритма можно просто пропустить. Пример. Найдите наименьшее значение функции
о 4
У ~ 4х3 — 2х 4- 2 на отрезке [0; 27].
Решение.
1. 	Найдём значение функции на концах отрезка:


§ 11. Функции
349
2/(0) = | -03 - 2 0 + 2 = 2; у(27) = ^ • 273 - 2 • 27 + 2 = f • З4 - 2 • 27 + 2 =
4 4 4
2. Найдём стационарные точки, принадлежащие интервалу (0; 27).
Q И 4 1 1
у 4'ГХЗ -2 = *3-2-
хз - 2 = 0; х = 8 — стационарная точка у(х). Она принадлежит интер-
о 4
валу (0; 27), поэтому найдём у (8) = | * 8з — 2-84-2 = —2.
3. Так как у'(х) = х1/3 - 2 всюду определена на интервале (0;27), то критических точек, не являющихся стационарными, на этом интервале нет.
4. Из чисел 2, ^ и -2 наименьшим является -2.
4
Ответ: —2.
Применение свойств функций при решении уравнений
Рассмотрим уравнение /(х) = д(х).
1. Пусть на ОДЗ уравнения функция /(х) возрастает, а д(х) убывает. Тогда уравнение не может иметь более одного корня.
2. Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны на отрезке [а; Ь] и выполняются неравенства /(а) > <?(а), f(b) < g(b). Тогда уравнение имеет по крайней мере один корень на интервале (а; 6).
3. Пусть число А является наибольшим значением функции f(x) и наименьшим значением функции д(х). Тогда исходное уравнение равносильно на ОДЗ системе уравнений |
Первообразная
Пусть f(x) — некоторая функция, заданная на некотором числовом промежутке А. Если функция F{x) такова, что для любого х из промежутка A Ff(x) = f(x), то F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке А.
Отметим, что две первообразные для одной и той же функции отличаются на постоянную. И обратно, если F(x) — первообразная для /(х), то для любого с (с — const) функция F(x) + с тоже первообразная для функции /(х).


350
Краткий теоретический справочник
Приведём таблицу первообразных для основных элементарных функций. Буквой с везде обозначается произвольная постоянная.
F(*“) = £TT + C(a^-1); *■(-)= In |*|+с;
а •+•1 'X/
F^-^=lnx + c, х > 0; f(~) = 1п(—х) + с, х < 0;
F(sin х) = — cos х + с; F(cos х) — sin х + с;
F (—j = tgx + c; F () = -ctgx + c;
\coszxJ \sin х)
F(a*) = -^+c; F(e*) = e* + c;
In a
F f —-—о I = axctgx + c; F ( —=i== J = arcsinx 4- c.
\i+x у & \VT^J
Неопределённый интеграл
Неопределённым интегралом функции /(х) называется множество всех её первообразных. Неопределённый интеграл функции /(х) обозначается через ^ f(x)dx и вычисляется по формуле
^ f(x)dx = F(x) + с, где F(x) — первообразная для функции /(х).
Кроме того, при нахождении интегралов можно пользоваться формулами:
^(f(x)+g(x))dx= ^/(x)dx + ^(x)dx;
J kf(x)dx = k J /(x)dx, где fc E #.
Определённый интеграл
Определённый интеграл ^ f(x)dx можно найти по формуле
о
Ъ
J f(x)dx = F(b) - F(a), если /(х) непрерывна на [а;Ь], a F(x) —
а
первообразная для /(х). Для приведённой формулы используется сокращённая запись:
6 ь
^f(x)dx = F(x) | .


§ 12. Планиметрия
351
Справедливы формулы: j kf(x)dx = к j f(x)dx, где к e R;
a a
b b b
5 (/(x) + 5(x))dx = ^ f(x)dx + j g(x)dx.
a a a
Площадь криволинейной трапеции (см. рис. 288) можно вычислить ь
по формуле S = ^ (/(я) - g{x))dx.
У=А*)
y~s(x)
§ 12. Планиметрия
Параллельные прямые
Свойства и признаки параллельных прямых
1. Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
2. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, внутренние односторонние углы в сумме составляют 180°. .
5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
yj
к
/
/
я
d
&
А
/
у
%
А
1
й
у,
//
У/
%
£
Ж
V
//
%
/у
А
А
/
О
\
М
у<
ъ
X
Г
Рис. 288


352
Краткий теоретический справочник
6. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.
7. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.
Треугольник
Признаки равенства треугольников
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. По двум катетам.
2. По катету и гипотенузе.
3. По гипотенузе и острому углу.
4. По катету и острому углу.
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё
1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов.
3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(п - 2).
4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360°.
5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.


§ 12. Планиметрия
353
6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.
7. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки: медиана, биссектриса, высота, — то он является равнобедренным.
Неравенство треугольника и следствия из него
1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого. звена с концом последнего.
3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то:
1) перпендикуляр короче наклонных;
2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
Теоремы о медианах треугольника
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.
23. Зак. №121


354
Краткий теоретический справочник
Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
Площади подобных треугольников
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
Прямоугольный треугольник
1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.
2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к этому катету острого угла.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
5. R = г = - = р — с, где а, b — катеты, ас — гипотенуза
Z Z
прямоугольного треугольника; г и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
23*


§ 12. Планиметрия
355
Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора
1. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
2. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник — прямоугольный.
Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.
Метрические соотношения в треугольнике
1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2. Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3. Формула для медианы треугольника. Если га — медиана треугольника, проведённая к стороне с, то га = |л/2а2 + 2Ь2 — с2, где а и Ь —
остальные стороны треугольника.
4. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
5. Обобщённая теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
Формулы площади треугольника
1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
4. Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности.
5. Формула Герона: 5 = у/р(р — а)(р — Ь)(р - с), где р — полупери- метр; а, 6, с — стороны треугольника.
24. Зак. №121


356
Краткий теоретический справочник
Элементы равностороннего треугольника
Пусть hy S,r, R — высота, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной а. Тогда
j, ал/3. а\/3. р о\/3, п о г» о> \/3
^ ^ Л — 0 ч R — 2г, 6 —
2 6 3 4
Четырёхугольник
Параллелограмм. Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма
1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Свойство середин сторон четырёхугольника. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырёхугольника.
Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника
1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
Ромб. Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого равны.


§ 12. Планиметрия
357
Свойства и признаки ромба
1. Диагонали ромба перпендикулярны.
2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.
Трапеция. Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).
1. Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полу- разности оснований.
Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Равнобедренная трапеция. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.
Формулы площади четырёхугольника
1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.


358
Краткий теоретический справочник
5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
6. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
7. Формула Герона для четырёхугольника, около которого можно описать окружность: S = у/(р — a)(p — b)(p — с)(р — d), где а, 6, с, d — стороны этого четырёхугольника, р — полупериметр, a S — площадь.
Подобные фигуры
1. Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур равно коэффициенту подобия.
2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Правильный многоугольник
Пусть ап — сторона правильного n-угольника, агпийп — радиусы вписанной и описанной окружностей. Тогда
_лп . 180°. _о* 180° . _D 180°
CLfi — 2Rfi * Sill , CLfi — 2 tig ' Гл, Гц — Rn * cos
n n n
Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.
Основные свойства окружности
1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
2. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.
3. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
4. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
5. Хорды окружности, удалённые от центра на равные расстояния, равны.
6. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7. Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны.
8. Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.


§ 12. Планиметрия
359
Замечательные свойства окружности
1. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под прямым углом (/.AMВ = 90°), есть окружность с диаметром АВ без точек А и В.
2. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под острым углом (/AMВ < 90°), есть внешность круга с диаметром АВ без точек прямой АВ.
3. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под тупым углом (/AMВ > 90°X есть внутренность круга с диаметром АВ без точек отрезка АВ.
4. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, есть две дуги равных окружностей (без концов этих дуг).
Касательная к окружности
Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Если прямая а, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая a — касательная к окружности.
3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в точках Л и Б, то МА = MB и /АМО — /ВМО, где точка О — центр окружности.
4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Касающиеся окружности
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).
1. Точка касания двух окружностей лежит на линии центров этих окружностей.
2. Окружности радиусов гийс центрами Oi и 02 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + г = 0\02.
3. Окружности радиусов гиД(г < й)с центрами 0\ и 02 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R — г = 0\02.
4. Окружности с центрами 0\ и 02 касаются внешним образом в точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К, в точке С. Тогда /АКВ = 90° и /0\С02 = 90°.


360
Краткий теоретический справочник
5. 	Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов гий равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними касательными. Оба эти отрезка равны 2л/Rr.
Углы, связанные с окружностью
1. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на неё опирающегося.
2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
6. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине угловой величины дуги, высекаемой на окружности этой хордой.
Свойства хорд окружности
1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.
2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности, пересекающихся в точке Е, равны, то есть АЕ • ЕВ = СЕ • ED.
Вписанные и описанные окружности
1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°.
5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.


§ 12. Планиметрия
361
7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.
Теорема о касательной и секущей и следствие из неё
1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
2. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.
Длина окружности радиуса R равна 2я\К.
Площадь круга радиуса R равна 7гR2.


362
Краткий теоретический справочник
Основные формулы
Далее S — площадь фигуры, Р — периметр, р — полупериметр.
Чертежи
Обозначения
Формулы
Треугольник
А С В
а, 6, с — стороны;
А, В, С — противолежащие им углы;
/la) /lb, he высоты, проведённые к соответствующим сторонам; п0, пь, пс — биссектрисы, проведённые к соответствующим сторонам; 6а и Ьс — отрезки, на которые делится биссектрисой сторона 6; пга, тъ, шс — медианы, проведённые к соответствующим сторонам;
{тП(х “I- ТП}) ~|“ ТПс)
h 2 S
Нь = т
ТПЬ = \у/2а2 + 2с2-IP
Л»
о
Пъ - а + с у{2ср(р ъ)
П5 — \/ас babe S = ia/i0 = ^аЬ sin С
^ _ а2 sin В sin С 2 sin А 5 = 2Я2 sin Л sin Б sin С
S = r2 ctg^ctg^ctg^
с cibc ^ _ 4Д
М ~ 2 _ полусумма медиан;
R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности
S = -у/р(р - о)(р - 6)(р - с) 5=|^х
х yj (fi—ma)(fi—mb){fJi—mc)
Четырёхугольник
7/%
Л\ р
d
с
а, Ь, с, d — стороны; D\,D2 — диагонали;
7 — угол между диагоналями;
h\, /12 — длины перпендикуляров, опущенных на диагональ D\\ а, /3 — два противолежащих угла четырёхугольника
5 _ hi + h2 Di
S = i£>iD2sin7 5 = i (аб sin а + cd sin /3)


§ 12. Планиметрия
363
Чертежи
Обозначения
Формулы
Трапеция
Ъ
с/|а V
\ У т \ \
/ XDi лчЛ
/а
a
а, 6 — основания; с, d — боковые стороны;
Du D2 —диагонали; a — угол между диагоналями;
га — средняя линия; h — высота
т= i (а + 6)
Р = 2т + с + d S = - (а + b)h = mh
S = i D1D2 sin а
Параллелограмм
a
a
а, b — стороны; h — расстояние между сторонами 6; а — угол параллелограмма;
Du D2 —диагонали;
7 — угол между диагоналями
S = bh S — ab sin a
S — iDiZ>2sin7
Poi
*/Di
<<ft
мб
a — сторона; a — угол ромба;
Di, D2 —диагонали
S = a2 sin a
s = ±£>1 Z>2
Прав!
МНОГО]
/7А1
1ЛЬНЫЙ
угольник
Гг >\
о ]))
п — число сторон; a — сторона;
R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности;
Q = 180° - 27 — угол многоугольника
Ь-Ф)
a = 2 VR? - r2 P — na
P = 2nR sin 7 = 2nr tg 7 S = ctg7 S — nr2 tg 7 S = sin 27
5 = inar


364
Краткий теоретический справочник
Чертежи
Обозначения
Формулы
Круг
©
R — радиус;
1 — длина окружности
/
S = тгЯ2 1 = 2ttR
Круговое
кольцо
г — внутренний радиус;
R — наружный радиус; d — внутренний диаметр; D — наружный диаметр;
г R о р = ■■■ — среднии радиус;
6 = R — г — ширина кольца;
a — центральный угол части кольца (в градусах)
S = тг(R2 - г2)
S= |(D2-d2)
S = 2ттр6
Площадь части кольца:
s=$§)(R2-r>)
S=||(£»2-d2)
s=Wo<*
Круговой
сегмент
U a >
г — радиус;
a — центральный угол (в градусах);
1 = щг — длина дуги; a — длина хорды; h — высота
Р = I + a
*=Мш-Ч
g _ r(l — a) + ah
Круговой
сектор
О
о
г — радиус;
a — центральный угол (в градусах);
1 = ~г — длина дуги
P = l + 2r
Q 1Г ~2
о nr2a 360


§ 13. Стереометрия
365
§ 13. Стереометрия
Аксиомы стереометрии
Основные аксиомы
1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Факты, непосредственно связанные с аксиомами
1. Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит единственная плоскость.
2. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
Параллельность в пространстве
1. Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая а параллельна некоторой прямой плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а.
2. Если через прямую а, параллельную плоскости а, провести плоскость, пересекающую плоскость а по прямой Ь, то прямые а и Ь параллельны.
3. Если прямые а и b параллельны, а плоскость, проходящая через прямую а, пересекается с плоскостью, проходящей через прямую b, то прямая пересечения плоскостей параллельна прямым а и 6.
4. Транзитивность параллельности прямых в пространстве. Если прямая а параллельна прямой 6, а прямая b параллельна прямой с, то прямая а параллельна прямой с.
5. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
6. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые пересечения параллельны.
7. Транзитивность параллельности плоскостей. Если плоскость а параллельна плоскости /?, а плоскость /? параллельна плоскости 7, то плоскость а параллельна плоскости 7.


366
Краткий теоретический справочник
8. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
9. Через точку, не лежащую в плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.
Скрещивающиеся прямые
1. Признак скрещивающихся прямых. Если прямая а лежит в плоскости а, а прямая b пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой а, то а и Ъ — скрещивающиеся прямые.
2. Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.
3. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым и проходящая через середину одного из таких отрезков.
4. Угол между скрещивающимися прямыми (угол между пересекающимися в произвольной точке М прямыми, соответственно параллельными данным) не зависит от выбора точки М.
5. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр (отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный обеим прямым).
Параллельное проектирование
1. Прямая, не параллельная проектирующей, переходит в прямую.
2. Пара параллельных прямых, не параллельных проектирующей, переходит в пару параллельных прямых или в одну прямую.
3. При проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых.
4. Наклонная пересекает плоскость в точке, лежащей на любой её параллельной проекции на эту плоскость.
5. Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на плоскость равна произведению площади проектируемого многоугольника на косинус угла между плоскостью этого многоугольника и плоскостью проекций.
Координаты и векторы в пространстве
1. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.
2. Для того чтобы векторы ~а и Ь были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ~а = к - Ъ, где к — некоторое число.


§ 13. Стереометрия
367
3. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других (~а = х • b + у • ~с, где х, у — некоторые числа).
4. Любой вектор можно единственным образом разложить по трём некомпланарным векторам.
5. Если М — середина АВ, то ОМ = ОАЛ-ОЖ
6. Если М — середина АВ, а N — середина CD, то MN = —.
7. Если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, Г0ом = 0А±Ш±од
О
8. Если М — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, TOCM-°A + OB + Od + OD
4
9. Координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат его концов.
10. Свойства скалярного произведения векторов:
а) 7? • 6 = & • сГ;
б)ota • b = а(ё?• 6);
в)а*(Нс)=а - 6 4- <а •;
г) | сх | = \/бГ2;
д)(а 4 Ь )2 = а 2 4- 2 • (сГ • 6) -I- b ;
^ ^ 2
е) (а* • 6)2 ^ ~а2 • 6 , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы 'а и b коллинеарны;
ж) ненулевые векторы ~а и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
И. Расстояние между точками A(xi\yi\z\) и В(х2',У2]%2) равно
\АВ\ = у/(х2 - Xi)2 + (г/2 - J/i)2 + (Z2 - Zi)2.
12. Угол между ненулевыми векторами. Если (р — угол между ненулевыми векторами ~а(х\\ yi\ z\) и b (хг; у2] z2), то
cos 1р = —=шшт+ш=. л/х\ + у\ + z\ у/х% + у\ + 2%
13. Уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(хо;г/о;^о) перпендикулярно ненулевому вектору п (а; 6; с) (вектор.нормали), имеет вид
а(х - х0) 4- Ь(у - уо) 4- c(z - z0) = 0.


368
Краткий теоретический справочник
14. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Мо(хо; уо; zq) параллельно ненулевому вектору га(а; Ь; с) (направляющий вектор), имеют вид
{X Xq —
У - Уо = bt,
Z — Zo = ct.
15. Уравнения прямой, проходящей через две точки 2/1; ^i) и В(ж2; 2/2; *2), имеют вид
х-xi _ У~У1 _ Z-Zi х2-хг г/2 — 2/1 22-21*
16. Прямая как пересечение двух плоскостей задаётся системой
Г Агх 4- Вху + Ciz + £>1=0,
А2Х ~h £2у Н” C2z + D2 = 0, где А\ 4- В\ -f С\ Ф 0 и А2 4- В2 4- С2 Ф 0, а коэффициенты при соответствующих неизвестных непропорциональны.
17. Угол между плоскостями. Если ср — угол между плоскостями, заданными уравнениями А\х 4- В\у 4- C\z 4- D\ = 0 и А2х 4- В2у 4- C2z 4- D2 = 0, то
I-A1A2 4* В\В2 4- С\С2\
COS Ф = — ' ■ .
у/ А \ 4- В\ -|- С\ • л/ А % + В\ 4- С\
18. Уравнение плоскости «в отрезках». Если плоскость пересекает оси координат в точках А(а; 0; 0), В(0; 6; 0) и С(0; 0; с) (а, Ь,с ф 0), то её уравнение можно представить в виде
*+?+*=!.
а о с
19. Расстояние от точки до плоскости. Если р — расстояние от точки Мо(хо; Уо; го) До плоскости Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0, то
_ \Ахр 4- Вуо 4- Czp 4- D\
P~ VA2 + B2 + &
Перпендикулярность прямой и плоскости
1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.


§ 13. Стереометрия
369
3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.
4. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллель’ны.
5. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.
6. Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
7. Через данную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
8. Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к плоскости тогда и только тогда, когда она перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
9. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и наклонные, то:
а) перпендикуляр короче наклонных;
б) равные наклонные имеют равные ортогональные проекции;
в) большей наклонной соответствует большая ортогональная проекция;
г) из двух наклонных больше та, ортогональная проекция которой больше.
10. Теорема об угле прямой с плоскостью. Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой плоскости.
11. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, есть плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
12. Геометрическое место точек, удалённых на данное расстояние от данной плоскости, есть две параллельные плоскости.
13. Геометрическое место точек, равноудалённых от вершин треугольника, есть прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника перпендикулярно его плоскости.


370
Краткий теоретический справочник
Двугранный угол
1. Линейный угол двугранного угла (сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру) не зависит от выбора точки на ребре двугранного угла.
2. Геометрическое место внутренних точек двугранного угла, равноудалённых от его граней, есть биссекторная плоскость двугранного угла.
3. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей. Две плоскости перпендикулярны (образуют прямой двугранный угол) тогда и только тогда, когда одна из них проходит через перпендикуляр к другой.
4. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то они пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой плоскости.
Многогранные углы
1. Плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.
2. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Сфера. Касательная плоскость. Касающиеся сферы
1. Сечение сферы плоскостью, удалённой от центра сферы на расстояние, меньшее радиуса, есть окружность. Основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость, есть центр этой окружности.
2. Касательная плоскость к сфере (плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, проведённому в точку касания.
3. Касательная прямая к сфере (прямая, имеющая со сферой единственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, проведённому в точку касания.
4. Центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит в биссекторной плоскости этого угла.
5. Отрезки касательных прямых, проведённых к сфере из одной точки, равны между собой.
6. Линия центров касающихся сфер (имеющих единственную общую точку) проходит через их точку касания.
7. Если две различные сферы имеют более одной общей точки, то они пересекаются по окружности. Плоскость этой окружности перпендикулярна линии центров данных сфер.


§ 13. Стереометрия
371
Пирамида
Правильная пирамида
1. Если ABCD — правильная треугольная пирамида с вершиной D, высотой DM и стороной основания a, a Аг, Bi и С\ — середины сторон ВС, АС и АВ соответственно, то
а) ZDAM = Z.DBM = ZDCM — угол бокового ребра с плоскостью основания;
б) ZDAiM = Z.DB\M = /LDC\M — линейный угол двугранного угла боковой грани с плоскостью основания;
в) ZAFB (где F — основание перпендикуляра, опущенного из вершины А основания на боковое ребро DC) — линейный угол между боковыми гранями пирамиды;
г) AAi = BBi = СС\ = — высота треугольника основания;
д) AM = ВМ = СМ = \ЛА\ = — ортогональная проекция
о о
бокового ребра на плоскость основания;
е) А\М = В\М — С\М = — ортогональная проекция
о и
апофемы на плоскость основания;
ж) C\F — общий перпендикуляр противоположных рёбер АВ и CD.
2. Противоположные рёбра правильной треугольной пирамиды попарно перпендикулярны.
3. Высота правильного тетраэдра с ребром а равна а
4. Если PABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной Р, высотой РМ и стороной основания a, a А\, Рь С\ и D\ — середины сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно, то
а) ZРАМ = ZPBM = ZPCM = ZPDM — угол бокового ребра с плоскостью основания;
б) ZPAiM = ZPBiM = ZPCiM = Z-PD\M — линейный угол двугранного угла боковой грани с плоскостью основания;
в) ZBFD (где Р — основание перпендикуляра, опущенного из вершины Р основания на боковое ребро АР) — линейный угол между соседними боковыми гранями пирамиды;
r)ZAiPCi = ZBiPDi—линейный угол двугранного угла между противоположными боковыми гранями;


372
Краткий теоретический справочник
д) AM = ВМ = СМ = DM = — ортогональная проек-
ция бокового ребра на плоскость основания;
е) А\М — В\М — С\М — D\M = - — ортогональная проекция
апофемы на плоскость основания;
ж) FM — общий перпендикуляр диагонали BD основания и скрещивающегося с ней бокового ребра АР.
5. 	Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды перпендикулярно скрещивающейся с ним диагонали основания.
Правильный тетраэдр. Пусть a — ребро правильного тетраэдра, айиг — радиусы описанной и вписанной сфер, V — объём тетраэдра. Тогда
aV6 aV6 a3 у/2
R= ; г — ; R = 3r; V———.
4 12 ’ 12
Пирамида
1. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проходит либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вне- вписанных окружностей основания.
2. Если все боковые рёбра пирамиды образуют с основанием равные углы или если все боковые рёбра равны, то высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
3. Теорема о медианах тетраэдра. Медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противолежащих гранёй) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершины.
4. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то в сечении образуется многоугольник, подобный основанию.
5. В пирамиде и в конусе площади сечений, параллельных основанию,
относятся как квадраты их расстояний до вершины.
/
Параллелепипед
1. Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны основанию.
2. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным.


§ 13. Стереометрия
373
3. Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
а) диагонали прямоугольного параллелепипеда равны;
б) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер с общей вершиной).
4. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5. Диагональ АС\ параллелепипеда ABCDAiBiC\Di проходит через точку пересечения медиан треугольника A\BD и делится ею в отношении 1 : 2, считая от точки А.
Площади поверхности многогранников
1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на боковое ребро.
2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна площади её основания, делённой на косинус угла боковой грани с плоскостью основания.
Объёмы многогранников
1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.
2. Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.
3. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
4. Объём треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние между этой гранью и противолежащим ей боковым ребром.
5. Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.
6. Пирамиды с равными высотами и равновеликими основаниями равновелики.
7. Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и прямую, лежащую в основании, делит объём пирамиды в том же отношении, в котором прямая делит площадь основания.
8. Если точки Ai, В\ и С\ лежат на боковых рёбрах DA, DB и DC соответственно треугольной пирамиды ABCD или на их продолжениях, то объём пирамиды A\B\C\Di относится к объёму пирамиды ABCD как
о DAi DBi DCi произведение отношении п * • -jj • - .


374
Краткий теоретический справочник
9. Отношение объёмов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия.
10. Объём V тетраэдра равен шестой части произведения длин двух противоположных рёбер а и Ь на расстояние с между ними и на синус угла (р между ними, то есть V = ^abcsintp.
11. Объём V тетраэдра равен двум третям произведения площадей двух граней Р и Q на синус угла tp между ними, делённому на их общее
ребро а, то есть V = ~ .
о &
12. А. Объём тетраэдра равен трети произведения его полной поверхности на радиус вписанной сферы.
Б. Объём многогранника, в который можно вписать сферу, равен трети произведения полной поверхности многогранника на радиус вписанной сферы.
Основные формулы
Далее V — объём тела, й S — его боковая и полная поверхности.
Многогранники
Чертежи
Обозначения
Формул^
h
h
А —• -1
Призма
с—" 1
\ / уА
1 *1—/
7 F [У
F — площадь основания;
h — высота;
I — боковое ребро;
Q и P — площадь и периметр сечения, перпендикулярного боковому ребру
V = Fh = Ql S6 = Pl S = PI+ 2F
Прямая
призма
A
F и Р — площадь и периметр основания;
1 — боковое ребро
V = FI S6 = Pl S = PI + 2F
\
iv
/
7


§ 13. Стереометрия
375
Чертежи
Обозначения
Формулы
Призма, усечённая непараллельно основанию
1 — длина отрезка OOi, соединяющего центры тяжести оснований;
Q — площадь сечения, перпендикулярного к отрезку ООх
V = Ql
Треугольная призма, усечённая непараллельно
а, Ъ и с — параллельные рёбра; Q — площадь сечения, перпендикулярного к рёбрам
V=|(a + b+c)Q
Прямоугольный
параллелепипед
• \d J - - *
\уъ
а
а, b и с — рёбра; d — диагональ: d2 = а2 + 62 -1- с2
V = abc
S = 2(ab+bc+ac)
Пирамида
F — площадь основания; h — высота;
Р — периметр основания; а — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды)
v.i Fk
Правильная
пирамида:
«б = J*.


376
Краткий теоретический справочник
Чертежи
Обозначения
Формулы
Усечённая пирамида (плоскость сечения параллельна основанию)
F, / — площади оснований;
h — высота (расстояние между основаниями);
A, a — две соответственные стороны оснований
V=\h{F + f + JFJ)
1'=5',Р(1 + 3 + Й)а)
Правильная
усечённая
пирамида
F, / — площади оснований;
Р, р — периметры оснований; h — высота; a — апофема (высота боковой грани)
V=\h(F + t + jF7)
Тела вращения
Чертежи
Обозначения
Формулы
Сфера
R — радиус
Со ^
II II
$о 2,
Цилиндр
h
R — радиус основания; h — высота
V = тг R2h 5g = 2nRh S = 2vR{h + R)


§ 13. Стереометрия
377
Цилиндр, усечённый непараллельно основанию
R — радиус основания; hi и /12 — наименьшая и наибольшая образующие
V=±TrR2(h1+h2)
Sft = 7T#(/il + h2)
S = 7TjR^/ii 4" h>2 4 /24
Конус
Я — радиус основания; h — высота;
I = у/ R2 + h2 — образующая
V = \nR2h
О
S6 = 7Г Ry/R2 4 /12
/S5 = 7г/&
5 = тгД(Д + 0
Усечённый конус
Я и г — радиусы основании;
h — высота;
I = у'*2 + (Я - г)2 - образующая;
Н — высота неусечённого конуса:
hr
V =
- яh(R2+г2+ Rr)
%
5=
= 7rl(R 4- г)
= 7r(R2+r2+l(R+r))
H = h +
R
Шаровой сегмент h
R
h — высота сегмента;
R — радиус шара; a = y/h(2R-h) —
радиус основания сегмента
V =
-7r/i(3o2 4- h2)
\*h2{3R - h) о
S = 5 =
= 2тт Rh = 7Г(a2 4 h2)
- 7г(2a2 4 fo2)
= 7r(a2 4 2Rh)
Шаровой сектор
R
2а
h — высота сегмента;
R — радиус шара; а — радиус основания сегмента
V = §тг R2h
О
S = 7гR(a 4 2h)


Ответы к прототипам заданий с кратким
ответом
1. 16. 2. 1132. 3. 6. 4. 9. 5. 21450. 6. 3. 7. 14. 8. 6. 9. 4. 10. 999,5.
11. 	9. 12. 960. 13. 961. 14. 7. 15. 4. 16. 6. 17. 5. 18. 3. 19. 4. 20. 15. 21. 45. 22. 22,5. 23. 60. 24. 160. 25. 27. 26. 74. 27. 5. 28. 17. 29. 41. 30. 4000. 31. 15. 32. 210. 33. 2562,5. 34.13056. 35.19584. 36. 69,8. 37. 4. 38. 5. 39. 0,5. 40. 8. 41. 15. 42. 3. 43. 3 . 44. 0,75. 45. 1,875. 46. 1,5. 47. 14. 48. 11. 49. 15. 50. 270. 51. 18. 52. 6. 53. 32. 54. 250. 55. 61,2. 56. 40. 57. 17. 58. 3,5. 59. 135. 60. 3. 61. 10. 62. 6,5. 63. 13. 64. -2,8. 65. 135.66.135. 67.0,0125.68.0,11.69.0,1. 70.0,35. 71.0,2125. 72.0,125. 73.0,25.74.0,75.75.0,42.76.0,003.77.0,55.78.0,027.79.0,973.80.0,697. 81. 0,123. 82.0,153. 83.0,04. 84.0,053. 85. 0,69. 86.0,23. 87. 0,48. 88. 0,2. 89. 0,266. 90. 0,4. 91.3. 92. 0,0231. 93. 0,8. 94. 0,987. 95. 0,42. 96. 0,0758. 97. 0,125. 98. -3,4. 99. -6. 100. -7. 101. 7. 102. 9. 103. -3,5. 104. 3. 105. 29. 106. 4. 107. 5,5. 108. 2,16. 109. -3. 110. -4. 111. 2. 112. 2,5. 113. 2. 114. -1. 115. 1. 116. -2. 117. -1. 118. -3,75. 119. 3,5. 120. 16. 121. 48. 122.12. 123. 7. 124. 25. 125. 5. 126.10. 127. 0,5. 128. 5. 129. 2,4. 130. 15. 131. 0,28. 132. 52,5. 133. 16. 134. 15. 135. 292. 136. 8. 137. 6. 138. 90. 139. 18. 140. 1,5. 141. 22,5. 142. 113. 143. 31. 144. 54. 145. 8. 146. 4. 147. 36. 148. 56. 149. 13. 150. 18. 151. 10. 152. 0,5. 153. 13,5. 154. -3. 155. 45. 156. 48. 157. 4,5. 158. 27. 159. 42. 160. 23. 161. 2,5. 162. 6. 163. 19. 164. -2. 165. 6. 166. 3. 167. 6. 168. 1. 169. -2. 170. 5. 171. 7. 172. -0,5. 173. 2. 174. 21. 175. 2,5. 176. 4. 177. 3. 178. -4. 179. 3. 180. 27,5. 181. 9. 182. 490. 183. 600. 184. 84. 185. 259. 186. 22. 187. 5. 188.216. 189. 135. 190.6,75. 191. 100. 192.6. 193.216. 194.80. 195.28. 196.2. 197.448. 198.49.199.7,2.200.4.201.25,5.202.12.203.2.204.27. 205. 8. 206. 4,5. 207. 2,5. 208. 4,2. 209. 90. 210. 45. 211. 2. 212. -23,5. 213. 128. 214. 3. 215. 25. 216. 3,5. 217. 2. 218. 1. 219. 2. 220. 64. 221. 3. 222.3.223. -14. 224.22.225.14. 226.7.227.11. 228.3.229.0,25. 230.33. 231. 625. 232. -1. 233. -6,5. 234. -0,5. 235. 2. 236. 1,4. 237. 0. 238. 2. 239. 162. 240. 2. 241. 9. 242. 15. 243. 7,5. 244. -3. 245. -18. 246. 28. 247. 12. 248. 28. 249. 1,4. 250. -3,3. 251. 1. 252. 7,5. 253. -4. 254. 3,4. 255.1. 256. 1. 257. 3. 258. 25. 259. 8. 260. 2,6. 261. 40. 262. 475. 263. 2. 264. 4. 265. 103,125. 266. 60. 267. 22. 268. 12. 269. 5. 270. 16. 271. 37. 272. 14. 273. 120. 274. 120. 275. 1,2. 276. 8. 277. 100. 278. 45. 279. 300. 280.72.281.800.282.20.283. -2.284.9.285.16.286.16.287.3.288.11. 289. -2. 290. 3. 291. -4. 292. 2. 293. -6. 294. -1. 295. -10. 296. -2. 297. -1.298.1,5. 299. -11.


Ответы к тренировочным вариантам Ответы к заданиям 1 — 12 (начало)
СМ
см
ю
СМ4
1
О
гН
СО
т-Н
1-Н
1
со
1
т-Н
т-Н
1
-25
00
СО
со
О
о
со
-0,5
-19,5
Ю
1
-
см
т-Н
40
20
см
г-Н
67
58
21
39
20
1200
1800
2,55
о
о
см
64800
6317000
9,6
05
14
35
о
40
27,5
см
ю
т-Н
20
00
сГ
16
4,05
2,2
ю
т-Н
30
0,67
0,17
оо
0,6
со
т-Н
со
гН
0,75
со
оГ
05
со
25
г-Н
Ю
см~
1
1-Н
1
см
СО
СМ
IV
IV
05
4,5
1
гН
т-Н
13,5
05
IV
СМ
т-Н
1
23
00
126
27
72
00
со
гН
25
38,4
IV
12
1056
648
со
со
504
о
о
см
168
264
19
23
27
31
СО
СО
IV
гН
1
СМ
1
см
СМ
О
г-Н
СМ
1
СО
СО
т-Н
-1,25
1
IV
05
1
О
т-Н
1
со
09
135
4,5
6,5
оо
г-Н
о
гН
оо
т-Н
см
4,875
6,25
IV
о
-1,875
05
СО
т-Н
0,8
0,6
00
05
36
1C
т-Н ' т-Н
1
Ю
1
СО
ю
ю
т-Н
1
-0,25
9,5
6,5
tv~
СО
гН
15,2
34
СО
1
05
1
т-Н
1
со
05
1
СО
1
т-Н
1
см
1
тг
гН
гН
о
IV
гН
о
0,375
0,375
Ю
1"Н
О
о
о
0,0056
0,79
IV
00
о
СМ
о
0,25
0,3125
0,5
0,39
0,28
0,0252
0,0201
О
0,6
0,08
0,02
со
0,6
0,375
т-Н
т-Н
10,5
т-Н
13,5
т-Н
0,8
0,6
-0,6
00
о
17
т-Н
24
СМ
г-Н
СМ
т-Н
со
IV
6,5
см
97,5
О
т-Н
1-4
СМ
гН
05
1
со
т-Н
СМ
т-Н
875
44
СМ
гН
ю
2010
2005
27
14
4190
06
со
т-Н
со
со
-
929,9
676,8
05
О
т-Н
10370
17
26
72
50,5
т—Г
см
ю
со"
1—1
гН
СМ
т“Н
322,4
25
СО
т-Н
<м
00
т-Н
06
350,2
375
-
СМ
со
*1"
Ю
00
05
о
СМ
со
ю
СО
IV
00
05
20


Ответы к заданиям 1 — 12 (окончание)
380
Ответы к тренировочным вариантам
см
133
119
см
1-н
т-Н
СМ
1
36
0,25
00
т-Н
64 -
05
оо
т-Н
ю
1
т-Н
см
05
t-
05
Ю
-
оо
35
920
о
см
63
09
60
18
о
см
т-Н
08
154
40
156
20
2,8
оо
59
120
О
Ю
о
гН
СО
32,16
56,36
700
550
см~
ю
т-Н
590
144
СМ
о
со
сГ
6125
30
09
62,5
ю
CO
т-Н
30
60
05
СМ
со
1
2,8
4,2
i-H
т-н
00
т-Н
т-Н
гН
т-Н
со
оо
оо
ю
т-Н
СМ
т-Н
2,75
т-Н
1
171
-158
00
216
158
СМ
со
1650
2560
69
123
393,75
891
48
150
7,68
7,28
864
6912
15
16
0,5
30
ь-
84
ю
Ю
Tf<
Ю
10,5
3,5
52
СМ
т-Н
т-Н
со
СО
СО
0,5
О
г-Н
Ю
co
т-Н
со
1,25
4,25
со
оо
гН
39
со
СО
гН
09
гН
со
85
Ю
10
135
96
70
77
108
122
Ю
oT
т-Н
Ю
1—Г
ю
СМ
со
т-Н
36,5
00
00
со
05
Ю
О
т-Н
1
05
1
39
г-Н
см
Ю
00
5,8
36
i-H
L
co
ГГ
0,999992
0,999973
0,2
см
о
0,375
0,375
СО
0,496
0,325
со
о
о
ю
о
о
0,505
0,326
0,46
0,466
LQ
0,25
ю
o'
со
СО
2,5
ю
01
со
Ю
5,5
68
52
оГ
т-Н
СО
т-Н
2,5
Ю
СМ
CM
т-Н
CO
т-Н
6,75
CO
СМ
00
00
гН
0,8
со
СО
3,5
СО
со
со
со
см
СМ
Ю
Ю
ю
т-Н
Ю
Ю
CO
CO
-
840
300
63720
О
о
00
00
т-Н
т-Н
гН
со
23000
о
о
СО
00
со
15
52
364
38
120
r-4
CM
oo
156600
о
о
о
о
см
Z
Л
СМ
см
со
см
см
25
26
см
00
см
29
30
£5
32
со
со
тг
со
35
36
CO
00
CO
39
о


Ответы к заданиям 13—19 (начало)
Ответы к тренировочным вариантам 381
со ^ о
е( Ж гч
со О 03
IV100 \S СМ|СМ СО % о X 1-н
СО О CQ
г .
со ^ S . „ 00
. - н - СО 05
S а> CN ю см
t( X 05 -
у—-V ^—v Ю 00
СО о и со со
см
00 - -
и ю 00
► Ю N о
т-Н гН гН
05 „
и Tf N О
. ^ - со со
Н О 1-Н гН
а> о -
ас <м со со 05
^ ^ IV ^
Ю CQ Т-Н Т-Н
I
со
со
гН ^
Э
гН
I
со
I
пот
о
о
о
о
со
СО
а
о
о
о
t>
00
Qb
о
о
о
о
с*
о
о
о
ю
см
со
со
05
о
см
>
со
of
00
+
гГ
.00.
Э
ю
Tf.
D
csT
со
с£
Э
СМ4
см
I
ю
со
<м
05
N
ш
-4Г
N
ш
е
sf
+
Мсо
I
^1 со
ю
I
N
О»
N
е
ф
б
-se
+
со
1
со
I
со|^
I
IV1^
N
ш
+
£|см
N
ш
£
б*
СМ
+
wh
-н
col^r
N
fcsf
Ш
051
ш
б
V
е
см
-5<г
и
£
+
со
*>1^
ю


Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
382
Ответы к тренировочным вариантам


Ответы к заданиям 13— 19 (продолжение)
Ответы к тренировочным вариантам
383
а>
а) да;
б) да;
в) 28
а) да; б да; в) 19
а) нет;
б) да;
в) 109
00
ю
хб ~Н ~Н о Iklklk
в <3 в
81^ Tf
-Н -Но сз <3 в
CSlLO см
о -н -Н Чк % ^ сз сз сз
*>
т-Н
о
(М
со
Ч
a
со
105
[г-Н
(М
1Л
ю
со.
гН
О
со
00
D
(§Г
со
1
of
ЧГ
со
о
о
Й
Д
*ю
о
а
<м
о
г-Н
со
^ N ш ф
* е
1 1 + сч «1^
X—V ЫтЕ '
оз col VO
N
ш
S AI"
+ i <nIw 4?b i i.
'яГ о
и
оо
ш Ш fcl
6 е ЯГ
nT е е , г ш g <n дН1
Ji « + 1
•* + JT w
соИ ^
/cas 1 1 \o
05
о


Ответы к заданиям 13-19 (продолжение)
384
Ответы к тренировочным вариантам


Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
Ответы к тренировочным вариантам
385
05
а) да;
б) нет;
в)1660
а) 2020;
б) да;
B) 1
а) да;
б) -999;
в)1
а) да;
б) нет;
в)1500
а) нет;
б) нет;
в)3032
00
э
из
L s'
?
+
Ю
Ю
o>i"cn
bb*
D
oTT^ ^
Tf
t-HlCM W-'
^ D
(-1; —0,3] U U{0; 0,4; 0,5; 12,5}
D
Ю105 3 ^
1 8 T-HlCO _j_
8 сГ хс
1 ч2^ а
^ Э D
00
CM
H
О
со
ю
00
ю
о
о
ю
см
00
со
СО
«ме
i-Н <
1TJ*
1—1
1
s
$
CO
1
CO
tH CM ICO
rH
1
5
£
CM
1-4
1
Ю
о 05 22 ю ^
СМ| НО
ю|см
ю
D
со
н
я? 1-1 + « СМ
vL D
Я—
Ю4 Г*
1 1
8 f
Я8
?£
^ i
Id
(-оо; -1)и U(—1; 1)и U(l;+oo)
см
со
ьо
СО
ьо
jd
X
00
105
IS
CM
105
Ю
00
СМ I т-н
col^f
00
1 ’"Н 00
со
nT ^ еГ N(N
^ VO
N
o>
s
с
£
fclco r£|°° 1 1 CC VO
N
W
e 4?l« 1
N w
+ о CO
<SI« ^
со О
N
Ф <g|co е-
+ юГ” Т 4?|«
1
^ VO
N
KU
е
11 ih
VO
co
00
о>
о
см
25. Зак. №121


Ответы к заданиям 13- 19 (продолжение)
386
Ответы к тренировочным вариантам


Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
Ответы к тренировочным вариантам
387


Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
388
Ответы к тренировочным вариантам


Ответы к заданиям 13— 19 (продолжение)
Ответы к тренировочным вариантам
389
05
а) да;
б) нет;
в) 40
а) нет;
б) нет;
в) 79
а) да;
б) нет;
в) 5
а) нет;
б) да;
в) 4; 5
00
+
ся
1-Н
D
1
'-w
Э
1 +
8 2Н;
'—' Э
8
+
1«г
12
+ «
<М
1
8
+
ТГ1Ю
ю
00
0.
О
Tt*
т*<
ь-
со
со
оь
о
см
IV
Tf
т-Н
т*
со
гН
00
+
ir¬
es
д.
(М
г>
<м
со
со
со
ю
т
+
jMQQ
Э
1-Н
COlt-
Э
г-^
СО
Л?
00105 1>|05 2£
Э
д
СО4
1
rf
Э , ,
1>|Ю 1 <N Ю 1
(-6;-5) U (-5; -4)и
U[-M]
+
СМ
оо"
?
см
+
г-Н
о"
ю
со
00
со
NJ
Ш
б
е
и
<м
4*
со О
N
UJ
б
с
*= t-T
гН СО
+ гн| Н|со | со ю
N
ш
б
е
£
-н £1°
со Ю
N
W
б
е
+
+ .1 5-v t=|^ »-н col^
х JL
"со" ХО
2
05
СМ
о
со
см
со


Ответы к заданиям 13—19 (продолжение)
390
Ответы к тренировочным вариантам
S S S
«=( *=( эс
со eg. , е{ <м|со
I8
со
Iю
И
o'
CQ
00
о
со
ю
of
00100
t400
, о .
, о .
Э
Э
гН|00
тН| 00
о
о
о
о
о
см
о
со
о.
о
о
о
о
см
со
QU о о о см со
00
о>
00
о
OI
б
s
см
со"
+
V/
fc|CM
1
V
II
о
00
j£
Э
о
8
+
с<Г
8
+
CMICO
I
217Г
N
N
ш
-42
ш
5
6
£
4*
гН 1
1!г
+
уез'
1
o'
см
1SJ
со
СО
N ш е
' б см ц;
+ fcl
^ ^ со см хо
гг
со
CSJ
ш
+
Н|со
-н
со
ОБИ
гё|«
ю1м
■51м
ю
со
N
+ ^1
-Н I
ю|<°
со
VO
со
со


Ответы к заданиям 13—19 (окончание)
Ответы к тренировочным вариантам
391
си СО Й ГС С* X
о
о
Р СО <v . - см к оо ь
СО о сз
о
о
со
... ... ю
СО Tf rtf fc* CM СО
СО О СО
+
со
о
о
о
со
о
о
о
05
ю
СМ
о
о
со
|>
см
ю
(N
05
00
+
ю
8
+
ьо
о
ьо
о
Э
со
ю
ьо
8
I
о
о
и
ю
о
00
N
N
KU
ш
б
#s
-5е
£
И
fclCM
см
+
+
27Г
3
СО
-и
«оЬ
4?Ь
N
ш
£
sf
+
Ы<о
N]
ш
+
N
ш
е
е
и
+
гН|СО
ьо
0
1 СО
IS)
ш
-5<Г
!1«
ьо
о
см|<^
ьо
4-г
о
а
Г—1| со ьо
+э
о
д
о
N
W CsT ш
£
в с
-I- £ +
^ 4-
ЬО '
Ч-З см
а & ъ а
со
00
со
05
СО
+ ... ч*.
СМ ЬО
W>t3
Iй.
М +
+3 см
Й »
й 15
S' а
о
(М
+
ьо
4J
У
а
см
+
см
ьо
о
а


ЕГЭ
Учебное издание
Лысенко Фёдор Фёдорович, Кулабухов Сергей Юрьевич, Иванов Сергей Олегович, Коннова Елена Генриевна, Фридман Елена Михайловна, Ханин Дмитрий Игоревич, Авилов Николай Иванович, Дерезин Святослав Викторович, Домашенко Алкесандр Михайлович, Корянов Анатолий Георгиевич, Кривенко Виктор Михайлович, Резникова Нина Михайловна, Талипова Клара Анваровна, Уваровский Александр Павлович, Чурилкина Елена Эрнстовна, Ягудин Анвар Фаридович
МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2021. ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ.
40 тренировочных вариантов по демоверсии 2021 года
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Обложка М. Сафиуляина Компьютерная вёрстка С. Кулабухов Корректоры И. Бобякова, Н. Лимонова
Подписано в печать с оригинал-макета 25.08.2020.
Формат 60х84У16. Бумага типографская.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уел. нем. i 23.25.
Тираж 20000 экз. Заказ № 121.
Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ООО «Август»
347900, г. Таганрог, ул. Лесная биржа, 6В.


Пособия издательства «Легион» можно приобрести:
■ ИНТЕРНЕТ-МАГАЗИНЫ*
www.legionr.ru
www.labirint.ru
www.ozon.ru
www.umlit.ru
www.chitai-gorod.ru
www.my-shop.ru
Г АДЫГЕЯ РЕСПУБЛИКА 1
Майкоп
«Книжный мир» 8-928-473-17-41
(АЛТАЙ РЕСПУБЛИКА
Горно-Алтайск
Центр учебно-наглядных пособий (38822)4-15-55
Г АЛТАИСКИИ КРАЙ
Барнаул
«Учмаркет» (3852)50-00-50; 36-30-61 «Библионик» (3852)36-37-90 Бийск
«Дом книги» (3854)35-56-74
Г АМУРСКАЯ ОБЛАСТЫ
Благовещенск
«Учколлектор» (4162)33-07-96 «Планета» (34766)3-12-23
f АРХАНГЕЛЬСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Буквоед» 8-800-250-06-18; (812)601-06-01 Архангельск
«АВФкнига» (8182)20-70-80
Г АСТРАХАНСКАЯ ОБЛАСТЫ
Астрахань
«Институт технологий» (851)252-41-00 «Школьный мир» 8-967-335-23-28 «Глобус» (851)272-77-93
I БАШКОРТОСТАН РЕСПУБЛИКА
Бирск
«Школьник» 8-987-582-52-05
«Планета» 8-986-709-03-27 Нефтекамск
«Планета» 8-917-443-66-50
Октябрьский
«Планета» (34767)5-12-62
ИП Насыров Р. Ш. 8-927-933-62-91
Стерлитамак
«Планета» 8-917-041-18-30 Туймазы
«Планета» (34782)7-22-25 Уфа
«Планета» (3472)41-54-59 УМЦ «Эдвис» (3472)82-56-30 «Знание» (3472)73-40-85
[БЕЛГОРОДСКАЯ ОБЛАСТЫ
«Букватория» (4722)35-61-83 «Библиотечный коллектор» (4722)34-11-52
> БРЯНСКАЯ ОБЛАСТЫ
«Проспект» 8-915-532-27-57 «Школьный город» (4832)61-38-48 «Книжный дворик» 8-903-868-01-13 ИП Трубко Н.З. (4832)59-59-39
[БУРЯТИЯ РЕСПУБЛИКА 1
«ПолиНом» (3012)51-51-66 «ПродаЛитЪ» (3012)22-30-50 Манданова Елена Семёновна 8-950-387-03-13
ВЛАДИМИРСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Глобус» (4922)38-02-58 Владимир
ИП Митина Л. Г. (4922)47-09-01


ВИПКРО имени Л. И. Новиковой (4922)45-12-01
ВОЛГОГРАДСКАЯ ОБЛАСТЬ
Сеть магазинов «Кассандра» (8442)97-58-00 Сеть магазинов «Учитель» (8442)42-17-71 Волгоград
«ГраНиКа» (8442)54-88-24
ВОЛОГОДСКАЯ ОБЛАСТЬ
Сеть магазинов «Буквоед» 8-800-250-06-18
Ё ВОРОНЕЖСКАЯ ОБЛАСТЬ *
Сеть магазинов «Амиталь» (473)224-24-90 Сеть магазинов «Риокса» (473)221-08-66
(ДАГЕСТАН РЕСПУБЛИКАЧ
Дербент
Дагестанский ИРО 8-963-418-85-41 ИП Шисинов И. Ш. 8-928-585-24-00 Махачкала
Дагестанский ИРО 8-963-418-85-41 ИП Абдурахманов Н. Г. 8-928-062-77-73 «Мир книг» 8-928-969-77-78 «Школьный базар» (8722)56-87-37 Хасавюрт
«Школьник» 8-928-674-54-75
{ЕВРЕЙСКАЯ АО!
«МедиаМир» 8-962-501-52-97
IЗАБАИКАЛЬСКИЙ КРАЙ)
Чита
«ПродаЛитЪ» (3022)21-09-95 «Генезис» (3022)35-84-87 «Учитель» (3022)21-25-35 ТС «Ваша книга» (3022)21-09-10 Хилок
ТС «Ваша книга» 8-914-368-25-32
Сеть магазинов «Глобус» (4932)58-55-74 Иваново
ООО «Пифагор» (4932)58-12-34
( МАРИЙ ЭЛ РЕСПУБЛИКА
«Хорошие книги» (8362)42-88-55 «Мир книги» (8362)63-41-55
ИРКУТСКАЯ ОБЛАСТЬ!
«ПродаЛитЪ» (3952)24-17-77 «СибВерк-Байкал» (3952)48-21-90
I КАБАРДИНО-БАЛКАРСКАЯ РЕСПУБЛИКА'
Нальчик
Центр «Книга» (8622)42-66-57
КАЛМЫКИЯ РЕСПУБЛИКА!
Элиста
«Учитель» (84722)4-04-79
КАЛИНИНГРАДСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Буквоед» 8-800-250-06-18
Калининград
«МЧ» (4012)63-10-88
I КАЛУЖСКАЯ ОБЛАСТЬ!
Сеть магазинов «Глобус» (4842)77-45-99
f КАМЧАТСКИЙ КРАЙ!
Петропавловск-Камчатский
«Новая книга» (4152)41-12-60; 43-36-08
ЯГ КАРАЧАЕВО-ЧЕРКЕССКАЯ РЕСПУБЛИКА!
Черкесск
ООО «Книготорг» (8782)20-34-89
КАРЕЛИЯ РЕСПУБЛИКА
Сеть магазинов «Буквоед» 8-800-250-06-18 Петрозаводск
ООО «Мистериум» (8142)76-81-35
I
Кемерово
«Книжный мир» (ГК «СибВерк»)
(384)221-14-88
Киселёвск
«КиселёвскКнига» (ГК «СибВерк») (38464)223-52 \
Новокузнецк
«Учебник» 8-961-709-00-24
£ КИРОВСКАЯ ОБЛАСТЫ
Киров
ИП Воробьёва Е.Л. 8-922-665-15-77 ТД «Дельта» (8332)31-20-15 КЦ «Улисс» (8332)54-86-45


ТЦ «Микс» (8332)25-10-88 ТЦ Green Haus (8332)25-10-77
Назарово
Билле Надежда Тимофеевна 8-913-197-12-61
КОСТРОМСКАЯ ОБЛАСТЫ
«Леонардо» (4942)31-53-76 МУП г. Костромы «Школьник» (4942)51-42-55; 31-50-28
I КРЫМ РЕСПУБЛИКА И СЕВАСТОПОЛЬ*
Сеть магазинов «Крымкнига»
(3652)60-04-54
Евпатория
«ПОЗНАЙКА» 8-978-104-57-99 Симферополь
ИП Синица Г.Л. 8-978-736-72-04 «Всё для школы» 8-978-090-87-28 ИП Ясницкий М. В. 8-978-767-08-90 Севастополь
ИП Синица Г.Л. 8-978-736-72-04 «Гала» 8-978-044-10-68
КРАСНОДАРСКИЙ КРАЙ 1
Сеть магазинов «Когорта»
(861)238-24-21 (опт), 262-36-08 (розница)
Сеть магазинов «Интеллект» (861)254-25-67 Сергей Викторович 8-918-467-48-04 Армавир
«Буквица» 8-918-219-20-00 Анапа
ИП Ладанов И. А. (86133)3-72-76 Краснодар
«Ремикс» (861)267-24-49 Краснодарский ГБОУ ИРО (861)232-31-63 Лазаревское
ИП Зайцев А. А. (8622)70-74-13 Новороссийск
«Книжная лавка студента» (8617)30-64-19
iКРАСНОЯРСКИЙ КРАЙ]
Зеленогорск
«Былина» (39169)3-46-15 Красноярск
ПродаЛитЪ (391)200-15-50
«Градъ» (391)259-11-50
«КК ИПК и ППРО» (391)227-90-00
«Яр Книга» (391)223-35-00
АНО ДПО ОЦ «Развитие» (391)212-12-60
i КУРГАНСКАЯ ОБЛАСТЬ
Курган
«Книжный кит» (3522)23-64-05 «Класс» (3522)46-57-02
[ КУРСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Оптимист» (4712)73-04-00 Курск
«Аистёнок» (4712)52-86-10
^ЛЕНИНГРАДСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Буквоед» 8-800-250-06-18
Г ЛИПЕЦКАЯ ОБЛАСТЬ
ООО «ЛКТФ Книжный клуб 36,6» (4742)77-40-64; 48-79-32; 73-35-58
( МОСКОВСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть «Читай-город»
(495)733-91-68, 780-58-31
Сеть магазинов «Торговый Дом Лабиринт»
8-800-500-95-25
М0СКВА1
ИМЦ «Глобус» (495)988-72-83 Сеть «Читай-город» (495)733-91-68,780-58-31 «Торговый Дом "Абрис"» (495)229-67-59 Торговый Дом «БИБЛИОГЛОБУС» (495)781-19-00
«Торговый Дом Лабиринт» 8-800-500-95-25 Горбунов С. В. 8-915-142-63-92 Московский дом книги (495)789-35-91 Магазин My-Shop.ru (495)638-53-38; 8-800-100-53-38
МУРМАНСКАЯ ОБЛАСТЫ
«Тезей» (8152)41-26-09
ЖИЖЕГОРОДСКАЯ ОБЛАСТЬ
ИП Чернышев В. В. (831)436-58-14
[ НОВГОРОДСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Буквоед» 8-800-250-06-18 «Прометей» (8162)77-82-96
НОВОСИБИРСКАЯ ОБЛАСТЬ
«Библионик» (383)336-46-01


«СибВерк» (383)200-01-55 «Планета-Н» (383)375-00-75
[ ОМСКАЯ ОБЛАСТЬ
Омск
«Сфера» (3812)56-42-41 «Учебная литература» (3812)24-45-37 «Центр-книга» (3812)24-69-87
ОРЕНБУРГСКАЯ ОБЛАСТЬ
Сеть магазинов «Фирма Фолиант» (3532)77-46-92
ОРЛОВСКАЯ ОБЛАСТЬ
Сеть магазинов «Оптимист» 8-905-166-79-72 Орёл
■«Орловский учебный коллектор» (4862)59-20-34
ПЕНЗЕНСКАЯ ОБЛАСТЫ
Пензенский областной Учколлектор (8412)95-54-59; 44-61-51
(ПЕРМСКИИ КРАЙ
Пермь
«Учебники» 8-919-446-19-87 «Лира-2» (342)206-96-91 «Пермский Торговый дом книги» (342)249-53-24
ПКИМЦ «Глобус» (342)212-34-26
триморскии край з
Владивосток
ИП Пархоменко Е. П. 8-950-294-97-74 АО «Приморский торговый Дом книги» (423)226-80-36
ПСКОВСКАЯ ОБЛАСТЬ
«Золотая сова» (8112)66-25-04
РОСТОВСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Магистр» (863)240-83-36 Сеть магазинов «Ростовкнига» (863)295-89-36
Новочеркасск
Учебники «Маштаков» (86352)2-35-53 «Глобус» (86352)2-28-50 Ростов-на-Дону
ИП Василенко Н.Н. (863)232-30-48
«Алтай» (863)262-37-95 ИП Глинков Д. Г. (863)322-12-84 «Донская школа» (863)267-56-11 ИП Ермолаев А. Н. 8-961-328-67-59
ГРЯЗАНСКАЯ ОБЛАСТЫ
Рязань
ИП Итунин М.Ф. 8-903-839-25-11 Я
Сеть магазинов «МЕТИДА-ОПТ» (846)269-17-27
Сеть магазинов «Катюша» (846)302-08-40 Самара
Магазин «Учебная книга» (846)995-58-68
САНКТ-ПЕТЕРБУРГА
«ВЕК Развития» 8-911-924-04-58 «Буквоед» 8-800-250-06-18 «Санкт-Петербургский Дом Книги» (812)448-23-57 Учебная книга (812)341-04-58 Ритон (812)412-64-37; 339-09-40
САРАТОВСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Полиграфист»
(8452)29-22-92
Саратов
«Гемера-Плюс» (8452)72-65-65
' САХА (ЯКУТИЯ) РЕСПУБЛИКА
«Якутский книжный дом» (4112)42-01-83 Терехова Валентина Андреевна 8-914-102-93-61
СВЕРДЛОВСКАЯ ОБЛАСТЫ
Екатеринбург
ТК «Люмна» (343)228-10-70 «Дом книги» (343)289-40-45 Нижний Тагил ТК «Люмна» (3435)379-732
СМОЛЕНСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов «Читай-город» 8-800-444-84-44
Смоленск
«Кругозор» (4812)65-85-03 «Эрудит» (4812)65-62-94


[СТАВРОПОЛЬСКИЙ КРАЙ 1
«Твоя Книга» (8793)32-39-81
Ессентукская
«Книги» (87961)5-11-28
Ставрополь
«Книжный дом» (8652)28-07-30 «ЛАД Книга» 8-968-267-85-19 «Ставрополь-Сервис-Школа» (8652)57-47-25 Пятигорск
ИП Бердникова Л. А. (8793)33-88-80 Покровское
Хожаев Н. С. 8-906-472-72-41
^ТАМБОВСКАЯ ОБЛАСТЬ
ТО ГО АУ «ИПКРО» (4752)63-05-08
I ТАТАРСТАН. РЕСПУБЛИКА
Казань
«Пегас» (843)272-73-73
ТД «Аист-Пресс» (843)525-55-40; 525-56-15
Альметьевск
«Азбука» 8-987-222-55-55
Набережные Челны
«Грамотей» (8552)77-90-27
«Книжный мир» (8552)39-23-03
IТВЕРСКАЯ ОБЛАСТЬ
«ВООК-СЕРВИС» (4822)55-42-41 «Кириллица» (4822)32-05-68
IТОМСКАЯ ОБЛАСТЬ
ООО «УчСервис» (ГК «СибВерк») (3822)46-86-24
IТУЛЬСКАЯ ОБЛАСТЫ
Сеть магазинов ООО «Букварь» (4872)70-00-94
ЬТЫВА РЕСПУБЛИКА!
ГАУ ДПО «Тувинский ИРОиПК» (39422)2-35-46; 8-923-385-73-83
IТЮМЕНСКАЯ ОБЛАСТЫ
Тюмень
«Фолиант» (3452)56-25-45
I УДМУРТСКАЯ РЕСПУБЛИКА
ООО «Регион книга» (34141)2-59-96 Ижевск
ИП Шихалеева Р. Р. 8-912-858-15-72 «Инвис» (3412)78-53-33; 78-16-24
* УЛЬЯНОВСКАЯ ОБЛАСТЬ
Сеть магазинов «Глобус» (8422)67-55-77 Ульяновск
Всё для школы (8423)57-48-48
^ХАБАРОВСКИЙ КРАЙ
«МедиаМир» (4212)61-52-97
ХАНТЫ-МАНСИИСКИИ АО
Нефтеюганск
«Книголюб» (346)325-47-42
Нижневартовск
«Учебная книга» (3466)40-71-23
Сургут
«ЗабАВа» (3462)61-89-20 «Книгабук»(3462)26-26-64 ТКЛюмна (3462)95-14-46
ХАКАСИЯ РЕСПУБЛИКА
ГАОУ РХ ДПО «Ха к ИРОиПК» (3902)22-70-12; 22-65-39
«Кругозор» (3902)22-36-40 «Абакан Книга» (3902)26-55-96
ЧЕЛЯБИНСКАЯ ОБЛАСТЬ
ООО «ИнтерСервис ЛТД» (351)247-74-01 «Урал-пресс» (351)220-70-97; 216-38-83
ЧЕЧЕНСКАЯ РЕСПУБЛИКА
«Иреком» 8-928-888-10-10
ЧУВАШСКАЯ РЕСПУБЛИКА
«Чувашский Учколлектор» (8352)56-24-75 Чебоксары
«Школьник» 8-927-999-70-53
(ЯМАЛО-НЕНЕЦКИИ АО
Ноябрьск
«Дом книги» (3496)34-16-42
i ЯРОСЛАВСКАЯ ОБЛАСТЬ
ГОАУ ЯО «ИРО» (4852)21-06-83 . ИП Клоновец М. Ю. (4855)24-30-61
Глазов
Жуйков С. В. 8-904-247-77-89


ДЛЯ ЗАМЕТОК


ДЛЯ ЗАМЕТОК


ДЛЯ ЗАМЕТОК