ПРОМЕЖУТОЧНАЯ
АТТЕСТАЦИЯ
Под редакцие!
СЮ. Кулабухова
о,
МАТЕМАТИКА
Тесты для
промежуточной
аттестации и
текущего контроля
10-й класг
тм
ЛЕГИОН

Учебные пособия издательства «Легион-М» допущены к использованию
в образовательном процессе Приказом Минобрнауки России № 2 от 13 01 2011
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
МАТЕМАТИКА
10-й КЛАСС
ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ
АТТЕСТАЦИИ И ТЕКУЩЕГО
КОНТРОЛЯ
Учебно-методическое пособие
Издание второе, переработанное
тм
ЛЕГИОН-М
Ростов-на-Дону
2011

ББК 74.262.21
М34
Рецензенты:
Н. М. Резникова — учитель высшей категории
С. О. Иванов — аспирант каф. АДМ, ЮФУ
Авторский коллектив:
Л. Н. Евич, Л. С. Ольховая, А. В. Горбачёв, Е. А. Войта,
Г. Л. Нужа
М34 Математика. 10-й класс. Тесты для промежуточной аттестации и
текущего контроля: учебно-методическое пособие /
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, СЮ. Кулабухова. — Изд. 2-е, пе-
рераб. — Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011. — 144 с. —
(Промежуточная аттестация)
ISBN 978-5-91724-086-2
Пособие содержит 40 вариантов итоговых работ по математике,
предназначенных для учащихся 10-х классов общеобразовательных
учреждений. Авторы предлагают следующую структуру изложения
материала: 20 вариантов, включающих задания с логарифмами без
производной, и 20 вариантов, содержащих задания с производной
без логарифмов.
Выполнение предложенных заданий поможет обучающемуся
подготовиться к различным формам текущего контроля и
промежуточной аттестации, а также систематизировать знания и практические
навыки при подготовке к ЕГЭ, а учителям — создать собственный
банк тестовых заданий для последовательного мониторинга обучен-
ности каждого учащегося.
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-91724-086-2 © ООО «Легион-М», 2011.

Оглавление
От авторов 5
Часть 1. Учебно-тренировочные тесты (без производной) 6
План итоговой работы по спецификации ЕГЭ
(варианты 1 — 10) 6
План итоговой работы по дидактическим линиям
(варианты 11-20) 10
Инструкция по выполнению работы 13
Вариант №1 14
Вариант №2 16
Вариант №3 19
Вариант №4 22
Вариант №5 24
Вариант №6 26
Вариант №7 28
Вариант №8 31
Вариант №9 33
Вариант №10 35
Вариант №11 37
Вариант №12 39
Вариант №13 40
Вариант №14 42
Вариант № 15 43
Вариант № 16 44
Вариант № 17 46
Вариант №18 47
Вариант №19 48
Вариант №20 50
Ответы к тестам 52
Решение варианта № 1 56
Решение варианта № 11 63

4 Оглавление
Часть 2. Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов) 68
План итоговой работы по спецификации ЕГЭ
(варианты 1 — 10) 69
План итоговой работы по дидактическим линиям
(варианты 11-20) 72
Инструкция по выполнению работы 76
Вариант № 1 77
Вариант №2 79
Вариант №3 82
Вариант №4 84
Вариант №5 87
Вариант №6 90
Вариант №7 93
Вариант №8 96
Вариант №9 98
Вариант №10 101
Вариант №11 104
Вариант № 12 106
Вариант №13 107
Вариант №14 109
Вариант №15 111
Вариант №16 112
Вариант №17 114
Вариант №18 115
Вариант №19 117
Вариант №20 118
Ответы к тестам 121
Решение варианта №1 125
Решение варианта №11 131
Литература 138

От авторов
Одним из эффективных методов подготовки к ЕГЭ по математике
учащихся 10-х классов является тренировочное тестирование, по
результатам которого можно осуществить оценку уровня их обученности и
провести работу над ошибками.
Пособие позволит
• учащимся самостоятельно подготовиться к текущим контрольным
работам и промежуточной аттестации по математике, оценить
уровень своей подготовки;
• учителям составить собственную базу тестовых материалов с целью
контроля за успешностью освоения программы по предмету.
Предлагаемое пособие состоит из двух частей. Первая часть содержит
20 вариантов тренировочных тестов, включающих задания с
логарифмами (без производной), вторая часть — 20 вариантов тестов, включающих
задания с производной (без логарифмов). Структура каждой части книги
одинакова: первые 10 вариантов соответствуют демонстрационному
варианту ФИПИ; варианты с 11 по 20-й составлены в традиционной
последовательности согласно дидактическим линиям курса математики. Каждая
часть пособия содержит также решения двух вариантов.
Все варианты содержат задания базового (В1 — В12) и повышенного
(С1 — С6) уровней сложности. Критерии оценивания заданий строго
дифференцированы и приведены в инструкции.
Тесты прошли апробацию в общеобразовательных учреждениях
г. Ростова-на-Дону. В апробации приняли участие около 500 учащихся
10-х классов. По результатам апробации в задания были внесены
соответствующие коррективы.

Часть I. Учебно-тренировочные тесты
(без производной)
План итоговой работы по спецификации ЕГЭ
Вариант 1-10
№
п/н
1
1
2
3
Обозначение
задания
2
В1
В2
ВЗ
Проверяемые умения
3
Уметь решать
текстовые задачи, используя
приобретённые
знания в практической
ситуации
Уметь описывать
зависимость между
величинами и
интерпретировать их
графики; извлекать
информацию,
представленную в
таблицах, на диаграммах,
графиках
Уметь выполнять
тождественные
преобразования
выражений
Коды проверяемых
элементов
содержания и элементы
содержания
4
1.1.1. Целые числа.
1.1.3. Дроби,
проценты,
рациональные числа.
6.2.1. Табличное и
графическое
представление данных.
3.1. Определение и
график функции.
3.2. Элементарное
исследование
функций.
3.3. Основные
элементарные
функции.
1.4.1.
Преобразование выражений,
включающих
арифметические
операции.
1.4.2.
Преобразование выражений,
включающих
операцию возведения в
степень.
Уровень
сложности
5
Б
Б
Б
Макс, балл
6
1
1
1
Время
выполнения
7
5
3
5

План итоговой работы
1
4
5
6
7
2
В4
В5
В6
В7
3
Уметь исследовать
построенные модели с
использованием
геометрических понятий и
теорем. Находить
геометрические величины
Уметь решать
прикладные задачи, в том
числе
социально-экономического содержания
Уметь решать уравнения
и неравенства,
содержащие неизвестные под
знаком модуля
Уметь находить
множество значений функции
4
1.4.3.
Преобразование выражений,
включающих
корни натуральной
степени.
1.4.4.
Преобразование
тригонометрических
выражений.
1.4.5.
Преобразование выражений,
включающих
опрерацию
логарифмирования.
5.1. Планиметрия.
5.5.5. Площадь
треугольника,
параллелограмма,
трапеции, круга,
сектора.
2.1.12. Применение
математических
методов для
решения
содержательных задач из
различных областей
науки и практики.
Интерпретация
результата, учёт
реальных
ограничений.
1.4.6. Модуль
(абсолютная
величина) числа.
3.1.2. Множество
значений функции.
5
Б
Б
Б
Б
6
1
1
1
1
7
3
5
5
5

Учебно-тренировочные тесты (без производной)
1
8
9
10
И
12
13
2
В8
В9
В10
В11
В12
С1
3
Уметь решать
иррациональные уравнения
Уметь решать
прикладные задачи физического
характера
Уметь решать
алгебраические уравнения
Уметь решать
содержательные задачи из
различных областей науки и
практики
Уметь решать
стереометрические задачи на
нахождение
геометрических величин
Уметь решать
комбинированные системы
уравнений
4
2.1.3. Иррациональные
уравнения.
4.1.2. Физический
смысл производной,
нахождение скорости
для процесса, заданного
формулой или графиком.
2.1. Уравнения.
2.1.12. Применение
математических
методов для решения
содержательных задач из
различных областей науки
и практики.
Интерпретация результата, учёт
реальных ограничений.
5.2. Прямые и
плоскости в пространстве.
5.3. Многогранники.
2.1.8. Простейшие
системы уравнений с двумя
неизвестными.
2.1.9. Основные приёмы
решения систем
уравнений: подстановка,
алгебраическое сложение,
введение новых
переменных.
5
Б
Б
Б
Б
Б
П
6
1
1
1
1
1
2
7
5
5
5
7
5
10

План итоговой работы
1
14
15
16
17
18
2
С2
СЗ
С4
С5
С6
3
Уметь решать
показательные,
логарифмические и
тригонометрические уравнения
Уметь решать
планиметрические задачи на
нахождение
геометрических величин
Уметь решать
показательные и
логарифмические неравенства
Уметь решать уравнения
и неравенства,
содержащие параметр
Уметь строить и
исследовать простейшие
математические модели
4
2.1.4.
Тригонометрические уравнения.
2.1.5. Показательные
уравнения.
2.1.6. Логарифмические
уравнения.
5.1. Планиметрия.
2.2.3. Показательные
неравенства.
2.2.4. Логарифмические
неравенства.
2.2.1. Квадратные
неравенства.
2.2.4. Логарифмические
неравенства.
2.2.8. Использование
свойств и графиков
функций при решении
неравенств.
2.2.9. Метод интервалов.
2.2.10. Изображение на
координатной плоскости
множества решений
неравенств с двумя
переменными и их систем.
1.1. Числа, корни и
степени.
1.2. Основы
тригонометрии.
1.3. Логарифмы.
5
П
П
п
в
в
6
2
3
3
4
4
7
10
15
15
20
20

10
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
План итоговой работы по дидактическим линиям
Варианты 11-20
№
п/н
1
1
2
3
4
5
Обозначение
задания
2
В1
В2
ВЗ
В4
В5
Проверяемые умения
3
Владеть понятием
степени с
рациональным показателем,
уметь выполнять
тождественные
преобразования и
находить значение
степеней
Уметь выполнять
тождественные
преобразования
логарифмических
выражений
Уметь решать
простейшие
показательные уравнения
Уметь решать
простейшие
логарифмические уравнения
Уметь решать
простейшие
логарифмические неравенства
Коды проверяемых
элементов
содержания и элементы
содержания
4
1.1.6. Степень с
рациональным
показателем и её
свойства.
1.4.2.
Преобразование выражений,
включающих
операцию возведения в
степень.
1.3.2. Логарифм
произведения,
частного, степени.
1.4.5.
Преобразование выражений,
включающих
операцию
логарифмирования.
2.1.5.
Показательные уравнения.
2.1.6.
Логарифмические уравнения.
2.2.4.
Логарифмические
неравенства.
Уровень
сложности
5
Б
Б
Б
Б
Б
Макс, балл
6
1
1
1
1
1
Время
выполнения
7
3
3
3
3
4

План итоговой работы
11
\
6
7
8
9
10
11
12
13
2
В6
В7
В8
В9
В10
В11
В12
С1
3
Уметь находить область
определения функции
(решение простейшего
показательного
неравенства)
Уметь находить
множество значений функции,
заданной аналитически
Уметь решать
простейшие тригонометрические
уравнения
Уметь выполнять
тождественные
преобразования
тригонометрических выражений
Уметь решать
уравнения, используя основное
логарифмическое
тождество
Уметь выполнять
тождественные
преобразования степенных
выражений и находить их
значение
Уметь решать
иррациональные уравнения
Уметь решать
комбинированные уравнения,
выполнять отбор корней
4
3.1.1 Функция, область
определения функции.
2.2.3.
Показательные неравенства.
3.1.2. Множество
значений функции.
2.1.4.
Тригонометрические уравнения.
1.4.4. Преобразования
тригонометрических
выражений.
1.3.1. Логарифм числа.
3.1.1. Область
определения функции,
содержащей аргумент под знаком
логарифма.
1.1.6. Степень с
рациональным показателем и
её свойства.
2.1.3. Иррациональные
уравнения.
3.1.1. Область
определения функции.
2.1.3. Иррациональные
уравнения.
2.1.4.
Тригонометрические уравнения.
2.1.5. Показательные
уравнения.
2.1.6. Логарифмические
уравнения.
5
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
П
6
1
1
1
1
1
1
1
2
7
4
4
4
4
7
10
10
10

12
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
1
14
15
16
17
18
2
С2
СЗ
С4
С5
С6
3
Уметь находить
область определения
сложной функции
(решать
неравенства, содержащие
переменную под
знаком модуля)
Уметь
использовать несколько
приёмов при
решении уравнений
Уметь сравнивать
значения функций,
составлять и
решать неравенства,
левая и правая
части которых
представлены
сложными
функциями
Уметь решать
системы уравнений с
двумя
переменными
Уметь решать
уравнения с
параметрами
4
3.1.1. Область определения
функции.
2.2. Неравенства, содержащие
переменную под знаком
модуля: решать, находить решения
по заданному условию.
2.1. Использование
нескольких приёмов при решении
иррациональных,
тригонометрических, показательных и
логарифмических уравнений.
2.2. Решение
комбинированных неравенств.
2.2.3. Показательные
неравенства: решать, находить
решения по заданному условию.
2.2.4. Логарифмические
неравенства: решать, находить
решения по заданному условию.
2.1.7.-2.1.11. Системы,
содержащие уравнения разного
вида (иррациональные,
тригонометрические, показательные,
логарифмические): решать,
находить решения по заданному
условию.
2.1. Уравнения с параметрами.
Решать и отбирать корни по
заданному условию.
5
П
П
п
в
в
6
2
3
3
4
4
7
12
15
15
15
20

Инструкция по выполнению работы.
На выполнение работы отводится 3 часа. Работа состоит из двух
частей и содержит 18 заданий.
Часть 1 содержит 12 заданий базового уровня (В1—В12) по материалу
курса математики. К каждому заданию нужно дать краткий ответ,
представленный либо целым числом, либо конечной десятичной дробью.
Ориентировочное время выполнения части 1 — 30 минут.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С 1 — С6). При их
выполнении надо записать подробное обоснованное решение и ответ.
Ориентировочное время выполнения части 2 — 120 минут.
Исправления и зачёркивания в каждой части теста, если они сделаны
аккуратно, не являются поводом для снижения оценки.
За выполнение каждого задания учащийся получает определённое
число баллов.
Таблица максимального числа баллов за одно задание
Часть 1
Задания, №
1-12
1
Часть 2
Задания, №
1-2
2
3-4
3
5-6
4
Е
30
Таблица перевода тестовых баллов в школьные оценки
Тестовый балл
0 — 6
7—12
13—17
18 — 30
Школьная оценка
2
3
4
5
При выполнении работы советуем не торопиться, проверять
полученный ответ, творчески подходить к решению каждого задания.
Желаем успеха!

14
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
Вариант № 1
Часть 1
81. Метр шёлковой ткани стоит 1500 рублей. Какое максимальное
целое число метров ткани можно купить на 10000 рублей после понижения
цены на 7%? Ответ запишите целым числом.
82. На графике (см. рис. 1) показано изменение уровня воды в реке с
10 по 20 марта. На оси абсцисс отмечается день, на оси ординат —
значение уровня воды в сантиметрах. Определите по графику, сколько дней
уровень воды в реке был не выше 300 см.
h (см)*
500
400
300
200
100
Г
1
-— —
—►
10
12
14 16
Рис. 1.
18
20 п (дни)
ВЗ. Найдите значение выражения log _i_ (log5 7 • log7 25).
16
B4. Найдите площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 2). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах (примите тг = 3,1).
В5. Молодая семья планирует купить однокомнатную квартиру не
ниже второго этажа общей площадью не менее 42 м2. Сколько тысяч рублей
предполагается заплатить за самую дешёвую покупку при условии, что к
моменту сдачи дома в эксплуатацию инфляция составит 15%, если
стоимость квартиры не превышает 1600 000 рублей, и 10%, если стоимость
выше этой суммы? Площадь и стоимость приведены в таблице.

Вариант №1
15
Этаж
1
2
3
4
5
Площадь (м2)
45
40
44
41
43
Стоимость (руб. за 1 м2)
33000
36000
38000
36000
35000
В6. Найдите количество целочисленных решений неравенства
\2х - 13| ^ 7.
У
/
\
У
1 СМ
\
i
/
f
Рис. 2.
87. Найдите наибольшее значение функции
f(x) = Iog3(9sinx).
88. Решите уравнение у/Зх -f 1 - 2 = \/х - 1. (Если уравнение имеет
более одного корня, то в ответе запишите сумму корней.)
89. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя опреде-
гр гр
ляется формулой г\ = —Ц=—2- • 100%. При каком наименьшем значении
температуры нагревателя 7\ КПД этого двигателя будет не менее 70%,
если температура холодильника Т2 = 300°К}
В10. Найдите больший корень уравнения
В11. Имеются два слитка, содержащие серебро. Масса первого
слитка на 2 кг больше, чем масса второго. Процентное содержание серебра
в первом слитке 40%, во втором слитке 10%. В сплаве этих двух слитков
содержание серебра 30%. Найдите массу (в кг) полученного сплава.

16 Учебно-тренировочные тесты (без производной)
В12. Найдите площадь (в см2) полной поверхности правильной
четырёхугольной пирамиды со стороной основания 12 см и высотой 8 см.
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
Г cos2 х — cosx = 0,75,
\ sinx + 0,5уУ - У - 3 = 0.
/1\bg5(x2-9)
С2. Решите уравнение ( - ) = 1.
СЗ. Треугольник MNP вписан в окружность радиуса ^—. Найдите
о
МРУ если MN = 4yNP = 3.
С4. Решите неравенство Iog5((x-h7)(x-l)) ^ ^ loga^e-log^^ + T).
С5. Найдите все значения параметра 6, при каждом из которых
множество значений функции g(t) = ~ "*" 2 лежит на промежутке [-5; 5].
1 т t т1
Сб. Найдите все целые п, при которых дробь с = п$ — целое
Вариант №2
Часть 1
81. Один рулон обоев стоит 1850 рублей. Ожидается повышение цены
на 10%. Какое максимальное число рулонов обоев можно будет купить на
15 000 рублей?
82. На графике показано изменение температуры в картинной галерее
после включения кондиционера (см. рис. 3). На оси абсцисс
откладывается время в минутах, на оси ординат — температура в градусах
Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, кондиционер
автоматически выключается и температура начинает расти. По графику
определите, до какой температуры кондиционер охладил воздух к моменту
второго выключения. Ответ запишите в градусах Цельсия.
83. Найдите значение выражения smJa-sm3c* если sin2o; = 0,5.
к 2 • cos 5а

Вариант №2
28
0 26
I; 24
1 22
17
\
\
\
\
\
/
у—
\
ч
\
/^
{
20
18
16
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Время, мин.
Рис. 3.
В4. Бумага разграфлена на квадратные клетки размером 1 см х 1 см
(см. рис. 4). Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке. Ответ
запишите в квадратных сантиметрах.
В,
А
/г
У
с
D
1 см
Рис. 4.
В5. Для изготовления скатерти хозяйке потребуется ткань и нитки.
Если скатерть делать из полотна, то необходимо купить 2 м ткани, если
из батиста — 1,8 м. Если филейную работу (сетка и узор на сетке)
выполнить полностью нитками № 80, то потребуется 20 катушек ниток. Если же

18
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
сетку выполнить нитками мулине, а узор на сетке — шёлком, то
потребуется 9 мотков мулине и 10 пасо (маленький моток ниток) шёлка. Если по
периметру скатерти пришить кружево, то потребуется 6,5 м кружев,
если вместо этого выполнить мережку широкой подшивкой, то потребуются
3 катушки ниток № 80 или 4 мотка мулине. Сколько рублей придётся
затратить на самую дорогую скатерть? Цены в рублях приведены в таблице.
полотно
1м
200
батист
1м
240
нитки №80
1 катушка
22
мулине
1 моток
25
шёлк
lnaco
28
кружево
1м
15
86. Найдите количество целочисленнных решений неравенства
|31 - 5х\ ^ 7.
87. Найдите наименьшее целое значение функции
f(x) = log i (125 cosx).
5
88. Решите уравнение 3 - у/х - 1 = \/6 — х.
(Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму
корней.)
89. Мальчик массой 40 кг разгоняется по льду и врезается в отца
массой 60 кг, стоящего неподвижно. Дальше они катятся вместе. Скорость
мальчика в момент столкновения с отцом была 3 м/с. После этого они
поменялись и повторили опыт.
Насколько больше тепла выделяется во втором случае, чем в первом?
Воспользуйтесь законом сохранения импульса
ггц • Щ = (mi + m2) • v
и законом сохранения энергии
ГП\'У
_ (mi + ГП2) • v2
Q.
В10. Найдите наименьший корень уравнения
811. Какую массу воды (в г) необходимо добавить к 150 г раствора
гидроксида калия с массовой долей ОД, чтобы получить раствор с
массовой долей 0,02?
812. К диагонали B\D куба ABCDAiBiCiDi провели
перпендикуляр из середины ребра АВ. Найдите длину этого перпендикуляра, если
ребро куба у/2.

Вариант №3 19
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
Г tg2х + 3 = 2y/3tgx,
\ cos2 x + 0,25vV-4i/ + 13 = 1.
logi(17-x2)
C2. Решите уравнение 7 7 = l.
СЗ. В треугольнике ABC AB = ВС = л/41, ЛС = 8. Точка М
делит высоту £?# в отношении 3 : 2, считая от вершины. Через точки А,
М, С проведена окружность. Найдите радиус окружности, проходящей
через точку В и касающейся данной окружности, если её диаметр лежит
на прямой ВН.
С4. Решите неравенство logx(log4(2x — 4)) < 1.
С5. Найдите все значения а, при каждом из которых функция
д(х) = х2 + \х2 — Ъх — 6| + Юх - а принимает только положительные
значения.
Сб. Среди обыкновенных дробей с натуральными знаменателями, рас-
положенными между числами — и —, найдите дробь с наименьшим зна-
15 1о
менателем.
Вариант №3
Часть 1
81. В прошлом году в городе было 120 тыс. жителей. Найдите
численность населения города в этом году, если прирост за год составил 5%.
Ответ запишите в тысячах.
82. Турист отправился из лагеря к озеру, отдохнул у озера и вернулся
обратно. На рисунке 5 изображён график движения туриста. По
горизонтальной оси откладывается время (в мин.), по вертикальной — значение
расстояния, на котором находится турист от лагеря (в км). Найдите
скорость туриста (в км/ч) на обратном пути.
83. Найдите значение выражения log4 log14 196 + 25log5 ^~l.
B4. Найдите площадь фигуры (см. рис. 6), изображённой на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах (примите тг = 3).
В5. Строительной фирме нужно приобрести 550 м2 линолеума у
одного из трёх поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с
доставкой в рублях? Цены и условия доставки приведены в таблице.

20
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
Поставщик
I
II
III
Цена линолеума
(руб. за 1 м2)
250
210
230
Стоимость
доставки (руб.)
850
950
900
Дополнительные
условия
При заказе на
сумму больше
130000 руб.
доставка
бесплатно
При заказе на
сумму больше
120000 руб.
доставка
бесплатно
Г-
1
i
i
I
1
1
1
\
\
\
\
\
\
0 20 40 60 80 100 120
Время, мин.
Рис. 5.
ч
/
\
У
к
/
\
/
Рис. 6.

Вариант №3 21
86. Найдите произведение корней уравнения |3 - х2\ = 1.
87. Найдите наибольшее значение функции у = 3COS x+1.
88. Решите уравнение х = \/2х2 — Зх — 5 -f 1. (Если уравнение имеет
более одного корня, то в ответе укажите сумму корней уравнения.)
89. Бассейн объёмом 160 м3 наполняется двумя трубами. После
открытия труб объём воды в бассейне меняется по закону
V(t) = 2t2 — Ш + 100, где t — время в часах. В течение какого времени
бассейн будет полностью наполнен водой, если откроют одну трубу?
810. Найдите количество корней уравнения
sin3 х - sin2 x cos x + 3 cos3 x = 3 sin x cos2 х на промежутке [0; тг].
811. Кусок латуни (сплав меди и цинка) содержит меди на 7 кг меньше,
чем цинка. Этот кусок сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой
60% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни
первоначально?
812. В правильной четырёхугольной пирамиде боковая грань
образует с плоскостью основания угол 60°. Радиус окружности, описанной
около основания пирамиды, равен 2\/2. Найдите площадь поверхности
пирамиды.
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
\ cosy — cos2x = 0.
С2. Решите уравнение log5 (2 + 3 • 5~х) = х + 1.
СЗ. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к
основанию, равна 20, а основание относится к боковой стороне как 4 : 3.
Определите радиус окружности, вписанной в треугольник.
С4. Решите неравенство x2~log2x~log2x2 > 0.
С5. Найдите все положительные значения а, при которых неравенство
\2х + а\х\ - 13| > 1 выполняется для всех х из отрезка [-3; 3].
Сб. Найдите все пары целых чисел (х;у), удовлетворяющие
уравнению 25х2 - у2 = 9.

22
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
Вариант №4
Часть 1
81. После объявления о 10%-ной скидке на билет в кино билеты
продавались по 270 рублей. Какое максимальное количество билетов можно
было купить на 25 000 рублей до скидки?
82. На графике (см. рис. 7) показано движение двух автомобилей. По
оси абсцисс отмечается время движения автомобилей (в ч), по оси
ординат — расстояние, пройденное автомобилями (в км). Определите, на
сколько километров первый автомобиль проехал больше второго за
первые 3 часа движения.
140
120
90
60
30
i
1
/
/
/
I
s
1
II
О 1
5 7
Время, ч
Рис. 7.
83. Найдите значение выражения 252 log512 +
84. Найдите площадь фигуры (см. рис. 8), изображённой на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
85. Для строительства гаража можно использовать два варианта стен:
из кирпича и пеноблоков. Сколько рублей придется заплатить за самый
дешёвый вариант строительства? Цены и условия приведены в таблице.

Вариант №4
23
Строит,
материал
кирпич
пенобетон
Количество
штук
3500
200
Цена за 1 шт.
(руб.)
4,2
92
Стоимость
кладки за
1 шт. (руб.)
4
40
Количество
цемента в
мешках по
цене 230 руб.
за мешок
20
25
у*
\
\
/
/
Рис. 8.
86. Найдите сумму целочисленных решений неравенства \Ьх - 2| < 8.
87. Найдите наименьшее целое значение функции у = Iog2(x2 + 4).
88. Решите уравнение \Jl — \[х + 1 = 2.
89. Расстояние от земли до мяча, подброшенного вверх, описывается
законом h(t) = —Ы2 + 30£ -f 1, где h(t) — высота, на которую
поднимается мяч (измеряется в метрах), t — время, прошедшее с момента начала
движения (измеряется в секундах). Определите, через сколько секунд мяч
достигнет наибольшей высоты.
810. Найдите произведение корней уравнения
(2х - 3)(2х - 1)(х + 1)(х + 2) = 36.
811. В колбе 200 г 80%-ного спирта. Провизор отлил из колбы
некоторое количество этого спирта и затем добавил в неё столько же воды, чтобы
получить 60%-ный спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?
812. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см,
10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под
углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
103-ig(x-y) =

24
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
С2. Решите уравнение 6log6x + xlog6x = 12.
СЗ. Определите площадь равнобедренной трапеции, у которой
основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны.
С4. Решите неравенство logx+2 (х<2 — 4а: + 1) > log3x-5 1.
х-6
С5. При каких значениях параметра а неравенство < 0
х — а
выполняется при всех х, принадлежащих отрезку [1; 2].
Сб. Найдите все пары целых чисел (х;у), удовлетворяющие
уравнению Збж2 - у2 = 27.
Вариант №5
Часть 1
81. Коробка цветных карандашей стоит 25 рублей. Какое
наибольшее число коробок можно купить на 650 рублей после повышения цены
на 10%?
82. На графике (см. рис. 9) показана среднесуточная температура
воздуха в течение недели. На оси абсцисс отмечается время в сутках, на оси
ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику
минимальную температуру в течение наблюдаемого периода.
I
I
^^
V
\
\
N
1
1
/
/
f
\
\
/
b-
14 15 16 17 18 19 20
Время, сутки
Рис. 9.
ВЗ. Найдите значение выражения f - j
l+21ogi 5
5

Вариант №5
25
В4. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на
рисунке 10. Размер клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ч
ч
ч
Рис. 10.
В5. Во время ремонта в школе планируется заменить 30 окон. Заказ
на окна можно оформить в одной из трёх фирм. Цены и условия доставки
приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую
покупку с доставкой?
Фирма
1
2
3
Стоимость одного
окна (в рублях)
6 000
6 500
7 000
Стоимость доставки
(в рублях)
15 000
12 000
5 000
Дополнительные
условия доставки
(в рублях)
При заказе товара
на сумму свыше
180 000 доставка
бесплатно
86. Сколько положительных целых чисел входит во множество
решений неравенства |3х — 8| ^ 13?
87. Сколько целых чисел входит во множество значений функции
f{x) = 3 sin2 x + 2?
88. Решите уравнение у/2х - 6 -I- у/х + 4 = 5. (Если уравнение имеет
более одного корня, то в ответе запишите произведение корней.)
89. Из бака, наполненного водой, после открытия крана,
находящегося вблизи дна, начинает вытекать вода. При этом высота столба воды
в нём меняется по закону h(t) = OfiSt2 — 0,24£ + 0,48 (h — высота воды
в метрах), где t — время в минутах. Через сколько минут после открытия
крана вся вода вытечет из бака?
810. Найдите больший корень уравнения
2х2 + Зх - 5 • у/2х2 + Зх + 9 + 3 = 0.
811. Сплав меди с цинком, содержащий 80 г цинка, сплавлен со 100 г
цинка. В результате содержание цинка в сплаве повысилось по сравнению
с первоначальным на 20%. Сколько граммов меди в сплаве?

26 Учебно-тренировочные тесты (без производной)
В12. В основании прямоугольного параллелепипеда
ABCDAiB\C\D\ лежит квадрат со стороной Зл/2. Высота
параллелепипеда равна у/7. Найдите площадь сечения АВ\С.
Часть 2
{3 sin2 х — sin x cos x = 2,
1
cosx > ±
z
С2. Решите уравнение Ig3x = - \g(x - 8)2.
z
СЗ. Окружность 5 проходит через вершину С прямого угла и
пересекает его стороны в точках, удалённых от вершины С на расстояние 24 и
10. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся
окружности 5.
ос _ Х2 1
С4. Решите неравенство log^ > --.
4 X Zi
С5. Найдите все целые значения параметра га, при которых
неравен~ Х > тх + 2 *
ство \Jx2 — х — 2 + а / - > тх + 2 — w „ "*" не имеет решений.
V х + 4 у5-х ^
Сб. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном
получится 6, а в остатке 5. Найдите это число.
Вариант №6
Часть 1
81. На распродаже был куплен спортивный костюм за 630 рублей.
Сколько рублей стоил костюм до распродажи, если цена на него была
снижена на 30%?
82. На графике (см. рис. И) показана среднесуточная температура
воздуха в течение недели. На оси абсцисс отмечается время в сутках, на
оси ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику,
какого числа из наблюдаемого периода температура была максимальной.
.-v l+21ogl6
83. Найдите значение выражения (-) 2 .
84. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на
рисунке 12. Размер клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Вариант №6
27
k
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
1
/
/
/
/
/
\
\
\
\
\
8 9 10 И 12 1
Время, сутки
Рис.11.
у
3
Рис. 12.
В5. В детский сад надо закупить мебель: 30 столов и 150 стульев.
Заказ можно оформить в одной из трёх фирм. Цены и условия доставки
приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую
покупку с доставкой?
Фирма
1
2
3
Стоимость 1 стула
(в рублях)
150
120
100
Стоимость 1 стола
(в рублях)
350
410
410
Стоимость
доставки (в
рублях)
5 000
4 000
4 200
86. Сколько отрицательных целых чисел входит во множество
решений неравенства \1х - 7| ^ 25?
87. Сколько целых чисел входит во множество значений функции
f{x) = 2 cos2 x - 3?
88. Решите уравнение \J2x-\- 5 - \/Зх — 5 = 2. (Если уравнение имеет
более одного корня, то в ответе запишите произведение корней.)
89. Из бака, наполненного водой, после открытия крана,
находящегося вблизи дна, начинает вытекать вода. При этом высота столба воды

28 Учебно-тренировочные тесты (без производной)
в нём меняется по закону h(t) = 0,02t2 — 0,12£ + 0,18 (h — высота воды
в метрах), где t — время в минутах. Через сколько минут после открытия
крана вся вода вытечет из бака?
810. Найдите больший корень уравнения х2 + \/х2 +2ж + 8 = 12-2х.
811. Сплав серебра с золотом, содержащий 5 г золота, сплавлен с
15 г золота. В результате содержание серебра, составляющее вначале а%у
уменьшилось до величины (а - 30)%. Какой могла быть первоначальная
масса сплава? (В ответе укажите наибольшую массу сплава.)
812. Высота правильной четырёхугольной пирамиды 6, а двугранные
углы при основании 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
sin х • cos у = -,
cos x • sin у = —-.
С2. Решите уравнение xlog2 x+1 = 4.
СЗ. В параллелограмме MNPQ биссектриса угла N пересекает
сторону PQ в точке Е и прямую MQ в точке F. Найдите периметр
треугольника MNF, если EQ = 10, EF = 8,NE= 12.
С4. Решите неравенство log^ (3X+1 - 9х j ^ —1.
„ Зх2 - тх + 3
Со. При каких значениях параметра т неравенство ——^— — < 1
эх -\~ Зх -\~ 5
справедливо при всех значениях х?
Сб. Сумма цифр искомого чётного трёхзначного числа равна 15. Если
же это число записать теми же цифрами, но в обратном порядке, то оно
окажется на 594 меньше искомого числа. Найти это число.
Вариант №7
Часть 1
В1. Стоимость билета на автобусную экскурсию составляла 320
рублей. Какое максимальное количество школьников может поехать на
экскурсию, если родительский комитет класса выделил на поездку 15000
рублей, а стоимость билета снизилась на 10%?

Вариант №7
29
В2. На графике (см. рис. 13) показано изменение скорости поезда в
течение шести часов. На оси абсцисс отмечается время (в ч), на оси
ординат — значение скорости (в км/ч). Определите, сколько часов скорость
поезда была не менее 60 км/ч.
s 70
£ 50
g
§,30
i
• >
X
t
Время, ч
Рис. 13.
83. Найдите значение выражения log± 16 • log5 Ц— : 32log324.
84. Найдите площадь фигуры АВСД (см. рис. 14), изображённой на
координатной плоскости.
1-
в
А
/
/
/
с
д
О 1 х
Рис. 14.
В5. Для остекления парника требуется заказать 130 одинаковых
стёкол размером 1 м2 в одной из трёх фирм. Сколько рублей надо заплатить
за самый дешёвый заказ? В таблице приведены цены на стекло и на его
резку.
Фирма
А
В
С
Стоимость стекла
(руб. за 1м2)
320
310
350
Резка стекла
(руб. за одно стекло)
12
15
10
Если заказ превышает
42000, то бесплатно

30 Учебно-тренировочные тесты (без производной)
86. Найдите количество целочисленных решений неравенства
\5х - 7| < 13.
87. Найдите наибольшее значение функции у = log i (х2 + 4).
88. Решите уравнение \/4 - 6х - х2 - х = 4. (Если уравнение имеет
более одного корня, то в ответе запишите сумму корней.)
89. Для предприятия зависимость объёма спроса на продукцию
q (единиц в месяц) от её цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 30- Зр.
Определите максимальный уровень цены р(в тыс. руб.), при котором
значение выручка предприятия за месяц г = q - р составит не менее 63 тыс.
рублей.
810. Найдите наименьший корень уравнения
(х2 + 9х){х2 + 9х + 20) + 96 = 0.
811. Кондитерская фабрика производит два вида шоколада: с
содержанием какао 25% (молочный) и 70% (горький). Масса молочного
шоколада на 3 кг больше, чем горького. В смеси этих двух сортов шоколада
содержится 45% какао. Найдите массу полученной смеси.
812. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной
пирамиды со стороной 6 см, если боковые грани наклонены к основанию
под углом 30°.
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
Зх2 - 2х - 2 + л/Зх2 - 2х = 0,
siny = х.
С2. Решите уравнение з1овз(*2-4) = 2х - 5.
СЗ. Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Найдите
большую сторону треугольника, если sin А = -, sin В = -.
4 о
С4. Решите неравенство Iog3((x + 3)(x —2)) ^ -log5^2-logi(x+3).
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
значение выражения х 4~ а\ ~ не равно 1 ни при одном значении
переменной хе (-1;3].
Сб. Решите в натуральных числах уравнение - + - = ——, где а ^ Ь.

Вариант №8
31
Вариант №8
Часть 1
81. Завтрак в школьном буфете стоит 35 рублей. Какое
максимальное число школьников можно накормить завтраком на 1000 рублей, если
стоимость завтрака снизилась на 5%?
82. На графике (см. рис. 15) показано изменение температуры
воздуха в течение суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на
оси ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику,
сколько часов температура была менее 3°С
3-
1
0
i,
4
5.
00
~£_
1П пл
/
^—
15
-^
00
ч
20
00
24
00
Время, ч
Рис. 15.
ВЗ. Найдите значение выражения logj^ 64 • log2 -~- : 7logr2.
В4. Найдите площадь фигуры АВСД, изображённой на координатной
плоскости (см. рис. 16).
У*
1
0
<
1
А
/
\
/
\
D ■
В
\
А
\
/
-г
д
с
1
\
-
X
Рис. 16.

32
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
В5. Швейной фабрике поступил заказ изготовить рабочие спецовки
для шахтёров. В распоряжении фабрики имеются три бригады, каждая из
которых состоит из специалистов и учеников. Один специалист за
неделю изготавливает 6 спецовок, а ученик — 3. Заказчик платит за каждую
спецовку 1500 рублей. Фабрика может поручить заказ только одной
бригаде. Сколько тысяч рублей должен заплатить заказчик, чтобы фабрика
изготовила за неделю наибольшее число спецовок?
Бригада
1
2
3
Специалистов
11
12
10
Учеников
10
6
8
86. Найдите количество целочисленных решений неравенства
\7х — 2| > 9 на отрезке [-4; 4].
87. Найдите наибольшее значение функции у = log i (х2 + 16).
88. Найдите больший корень уравнения у/2х2 — 7х + 21 — 1 = х.
89. Для предприятия зависимость объёма спроса на продукцию
q (единиц в месяц) от её цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 45 — Зр.
Определите максимальный уровень цены р (в тыс. руб.), при котором
значение выручки предприятия за месяц г = q • р составит не менее 162 тыс.
рублей.
810. Найдите Зхо, если х0 — меньший корень уравнения
(Зх - I)2 - 2|3х - 1| - 3 = 0.
811. Смешали два раствора щёлочи. Первый раствор содержит 40%
щёлочи, второй — 10% щёлочи. Объём первого раствора на 4 л меньше,
чем второго. В смеси этих двух растворов содержится 15% щёлочи.
Найдите объём полученной смеси.
812. Найдите площадь боковой поверхности правильной
четырёхугольной пирамиды со стороной основания 12\/2, если её боковые грани
наклонены к плоскости основания под углом 60°.
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
у/х2 - Зх + 5 + х2 = Зх + 7,
С2. Решите уравнение 47log47(25-x2) = 24х.
СЗ. Треугольник MKN вписан в окружность радиуса 5. Найдите
2 1
большую сторону треугольника, если cosM = -, cosAf = -.
5 5

Вариант №9
33
С4. Решите неравенство log± (х + 1) > - log ь^(х - 2).
С5. Найдите все значения параметра 6, при каждом из которых значе-
2<г4 _ Ът2 — 7
ние выражения -^—^ ^—г не равно 1 ни при каком значении перемен-
ZtX "т" X ~\ X
нойхе (-1;2].
Сб. Решите в натуральных числах уравнение —Ь - = —, где х ^ у.
Вариант №9
Часть 1
81. Метр ткани стоит 3500 рублей. Какое максимальное число
метров ткани можно купить на 30000 руб., если цена одного метра повысится
на 20%? (Ответ запишите целым числом.)
82. На диаграмме (см. рис. 17) показано изменение количества
осадков с 1 по 10 сентября. На оси абсцисс отмечается день, а на оси
ординат — количество выпавших осадков в мм/м2. Определите по графику,
сколько дней количество осадков не превышало 100 мм/м2.
«г 200
150
I100
I 50
5 6
Дни
10
Рис. 17.
ВЗ. Найдите значение выражения log7 4 • log2 7 • (log3 81 - log3 3).
B4. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 18). Ответ дайте в см2.

34
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
У
/
/
ч
ч
ч
Рис. 18.
В5. Фирме надо приобрести участок площадью не менее 135 га и
содержанием в почве минеральных солей не менее 300 г на м3. Сколько
тысяч рублей придётся затратить на самую дешёвую сделку, если при
оформлении договора купли-продажи на сумму не более, чем 2 250000,
взимается комиссия 2%?
Содержание минеральных солей (г)
200
628
394
181
426
Площадь (га)
155
140
130
160
150
Цена1 га (руб.)
17500
16000
16000
14500
15 000
86. Найдите количество целочисленных решений неравенства
\Ъх - 4| < 9.
87. Найдите наибольшее значение функции f(x) = log^^cosx - 2).
88. Решите уравнение у/х2 + 28 = 8. Если уравнение имеет более
одного корня, то в ответе запишите их произведение.
89. Путь, пройденный телом, задан формулой s(t) = 8£+ —-. Найдите
скорость движения тела к концу второй секунды.
810. Найдите наименьший корень уравнения
(z2 + 2z + 4)(:r2 + 2:r) + 3 = 0.
811. Концентрация первого соляного раствора равна 60%, а
второго — 10%. Объём первого раствора на 3 литра больше, чем второго.
Когда оба раствора слили в одну ёмкость, концентрация раствора стала 40%.
Найдите объём полученного раствора.

Вариант №10 35
В12. Найдите отношение объёма конуса к числу тг, если радиус
основания конуса равен 4, а образующая конуса равна 5.
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
Г 0,25 sin2 х + 0,75 sin x = 1,
{ >/cos3x + 18cos2 x + у2 - 4у - 8 = 2.
I
С2. Решите уравнение f*^*2-1)2 = 3.
СЗ. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со
сторонами 9,10,11.
С4. Решите неравенство
Iog5(x2 - Ux + 45) - 3 Iog125(x - 9) < | log^ 19 - log
i
— ht 4- It2
—^ \
выполняется при любых значениях t.
Я — ht 4- It2
C5. Найдите все значения 6, при которых неравенство ^—^, \ < 3
Сб. Решите в натуральных числах уравнение -г + - = —, где t > к.
Вариант №10
Часть 1
81. Золотая рыбка стоит 800 рублей. Сколько рыбок можно будет
купить для аквариума, имея 4000 рублей, если рыбка подорожает на 30%?
82. На диаграмме (см. рис. 19) показано изменение цен на золото с 10
по 19 декабря. На оси абсцисс отмечается день, а на оси ординат —
стоимость одного грамма в рублях. Определите по графику, сколько дней цена
на золото не превышала 1000 рублей за грамм.
83. Найдите значение выражения log5 81 • log3 5(lg25 + Ig4).
B4. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 20). Ответ дайте в см2.
В5. Хлебопекарному заводу надо купить на одном складе 20 тонн
пшеницы не ниже второго сорта. Сколько тысяч рублей придётся заплатить за
самую дешёвую сделку, если государство возмещает 5% средств,
потраченных на пшеницу 1 сорта?

36
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
Сорт
3
2
2
1
3
Количество пшеницы на складе (т)
41
21
19
24
16
Цена за тонну (руб.)
14000
18000
17500
20000
14500
1015
1010
1005
1000
995
990
985
п
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Дни
Рис. 19.
Рис. 20.

Вариант № И 37
86. Найдите количество целочисленных решений неравенства
\2х - 5| < 14.
87. Найдите наибольшее значение функции f(x) = lg(l + sinx)+lg5.
88. Решите уравнение у/х1 + 56 = 9. Если уравнение имеет более
одного корня, то в ответе запишите их произведение.
89. Путь, пройденный телом, задан формулой s(t) = 128 + Ы + ft2.
о
Найдите скорость при t = 3 с.
В10. Найдите наименьший целый корень уравнения
811. Концентрация первого соляного раствора равна 20%, а
второго — 50%. Объём первого раствора на 6 литров больше, чем второго.
Когда оба раствора слили в одну ёмкость, концентрация раствора стала 26%.
Найдите объём полученного раствора.
812. Найдите радиус основания конуса, у которого длина образующей
равна 5, а площадь боковой поверхности — 8тг.
Часть 2
ni n .[ (sin x+ 12) (sin x + 13) + 14= 170,
С1. Решите систему уравнении < /-=—-—-^z тг~
I v У ~ % 4- 37 cos2 х = 5.
С2. Решите уравнение niog121(z2-4z+6)2 _ 3
СЗ. В треугольник ABC вписана окружность радиуса \/3.
Найдите АС, если АВ = 7, ВС = 8.
С4. Решите неравенство
log3(x2 - 12х + 11) - 41og9(x - 1)5 < Iog9(x - 7)2 + Iog3(x - 11).
С5. Найдите все значения параметра 6, при которых неравенство
22 — Ы 4- Ч/2
:=|—^^ X > 2 выполняется при любом значении t.
Сб. Решите в натуральных числах уравнение 1— = -, где га > п.
га п о
Вариант № 11
Часть 1
D1 „ . 16i -813
В!. Найдите значение выражения j—
3753

38 Учебно - тренирово чные тесты (без производной)
82. Найдите значение выражения log6 144 + 2 log6 - + 1.
/ 1 \3-х
83. Найдите корень уравнения ( — J = 343.
84. Решите уравнение log3 (х + 2) - 2 = 0.
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
log2 (5х - 2) ^ 2.
86. Найдите наибольшее значение х из области определения функции
87. Найдите наименьшее целое значение функции
88. Решите уравнение sin ^ = — на отрезке [0; тг]. Ответ запишите в
градусах.
89. Упростите выражение 3cos2 a H 2 - 22,4.
ctg a + 1
21ogi(2x-3)
810. Решите уравнение ( - J 7 = 5х — 4.
811. Вычислите (l,2\/$Ь/5+ 1,8у/зЩП.
В12. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: \/2х2 + 8х + 7 - 2 = х.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
(cosx - sinx) log3 (5 - х2) = 0 ?
С2. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область
определения функции у = 1п(|3х + 7| - |х - 9|).
СЗ. Решите уравнение 5 cos x ctg x - 5 ctg x + 2 sin x = 0.
С4. Найдите все значения аргумента х, при которых сумма
соответствующих значений функций /(х) =
5-lgx
2
TTgx
g(x) = —^— больше 1.

Вариант №12 39
С5, Решите систему уравнений
х2 - 18 - 2у{Ау -9),
2х
Зх - 2у
Сб. При каких значениях параметра га система уравнений
{у = 4 — 2га sin 2х,
у = тп cos2 х + 2 sin x — m
не имеет решений?
Вариант №12
Часть 1
545 • 165
В1. Найдите значение выражения
2503
82. Найдите значение выражения log3 4-1-2 log3 x - 1.
/ ч 3
83. Найдите корень уравнения (73+х J = 343.
84. Решите уравнение log4 (х - 8) — 3 = 0.
85. Найдите количество однозначных целочисленных решений
неравенства log3 (2x — 5) > 2.
86. Найдите наибольшее значение х из области определения функции
-1-Зх
(1\х
-) .
88. Решите уравнение tg ( ^ — х j = 1 на отрезке 0; ^ . Ответ
запишите в градусах.
89. Упростите выражение 1 -h ctg f -^ + xj • sin x cos x и найдите его
значение при х = 2тг.
810. Решите уравнение 5log* (ж"2) = х2 - 4х -f 4.
/ 20
811. Вычислите (4,3 убч/бТб -f 0,7 2\ftf\ 27.
812. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: х = \/4 + 2х — х2 -f 2.

40 Учебно-тренировочные тесты (без производной)
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
(cos х cos Зх + sin x sin Зх) у/—х2 + Зх = 0?
С2. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область
определения функции у = 4/ —= -.
у |5х + 1| — \2х — 6\
СЗ. Решите уравнение 125 • 24х - 9 • 20x+1 -f 64 • 25х = 0.
С4. Найдите сумму всех целых значений аргумента х, при которых
сумма соответствующих им значений функций
/() и 9{х) = I^i больше2-
С5. Решите систему уравнений
ky^_2x
У
Сб. При каких значениях параметра р система уравнений
{у = 5р + б sin х + р cos х,
у = 3 cos х + 2р sin х + р2 + 6.
не имеет решений?
Вариант №13
Часть 1
D1 „ . 6255
81. Найдите значение выражения j .
225з
82. Найдите значение выражения log i 4 + 2 log \ 3 — 1.
6 б
83. Найдите корень уравнения (42~х j = -
84. Решите уравнение log5 (х + 1) - 3 = 0.
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
log2 (4 - х) < 3.
86. Найдите наименьшее значение х из области определения функции
-2х
»-,№) -±-

Вариант №13 41_
87. Найдите наименьшее целое значение функции у = 4 + 2~х.
88. Решите уравнение cos ^ = ^- на отрезке 0; ^ . Ответ запишите
в градусах.
89. Упростите выражение cos2xcosx + cos(6?r — х) — sin2xsinx и
найдите его значение при х = ^.
о
В10. Решите уравнение 1з| - 5х =
)"5 • 165 -2-х(^)~* -8"3 +(0,001)"3.
811. Вычислите
812. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: \/4 — 6х — х2 — 4 = ж.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
(sin ж — cos x) log2 (1 — х2) = 0?
С2. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область
определения функции у = у/\Ъх + 2\ — \х— 1|.
СЗ. Решите уравнение cos3x + cos Щ- = 2.
С4. Найдите все значения аргумента х, при которых график функции
у = 3 • 4х + 2 • 9х расположен выше графика функции у = 5 • 6х.
С5. Решите систему уравнений
(х + 2,).3*-* = JL,
3log5 (ж + у) =х-у.
Сб. При каких значениях параметра а система уравнений
{у = a cos x + 2 sin x + 5а,
у = cos х + 2а sin x + а2 + 4
не имеет решений?

42 Учебно-тренировочные тесты (без производной)
Вариант №14
81. Найдите значение выражения jj
84 -644
о
82. Найдите значение выражения log6 - + 2 log6 3-I-2.
о
/ ч 2
83. Найдите корень уравнения ( 32x-1 J = 27.
84. Решите уравнение log6 (16 + х) — 2 = 0.
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
log3 (4 - 2х) ^ 1.
86. Найдите наименьшее значение х из области определения функции
J
В7. Найдите наименьшее целое значение функции у = 3 + 3 х.
(\ /о г 1
?-я) = -%£ на отрезке ^-;тг . Ответ
запишите в градусах.
В9. Упростите выражение 1 + \ / ( —« 1) • ctg а • .
к к y\cos2a / ь tga
810. Решите уравнение \Ь- + Ьх =
/ о Г~
811. Вычислите
812. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: \/S - 6х — х2 — х = 6.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
(l-2sin|)log2(4-x2)=0?
С2. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область
определения функции у = log02 (|7х — 2| - |5х + 6|).

Вариант №15 43
СЗ. Решите уравнение 64 • 9х - 84 • 12х + 27 • 24х = 0.
С4. При каких значениях х график функции у = 2 sin2 ^ расположен
ниже графика функции у = 1 — cos2 x?
С5. Решите систему уравнений
\х — •
+ 4x -f У2 - Зу = 0.
Сб. При каких целых значениях параметра к система уравнений
Г у = 2к sin х — cos2 x,
\у=15-8к
имеет хотя бы одно решение?
Вариант №15
Часть 1
1. Найдите значение выражения
81з
82. Найдите значение выражения log6 4-1-2 log6 3—1.
83. Найдите корень уравнения 53~2х = -.
5
84. Решите уравнение 2 - log3 (я + 2) = 0.
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
log2 (2х + 7) ^ 3.
86. Найдите наибольшее значение х из области определения функции
I, 1 ,2х-1 ~
87. Найдите наибольшее целое значение функции
88. Решите уравнение cos (^- — х\ = — ^ на отрезке 0; ^ . Ответ
запишите в градусах.
89. Упростите выражение
cos4 2a - sin4 2a , . ч2 тг
(cos 2a - sin 2a) и найдите его значение при a = —.
cos 4a v ' 24

4 4 Учебно - тренирово чные тесты (без производной)
В10. Решите уравнение 7log7 (*+3) = х2 + 8х -f 13.
811. Вычислите л/л/10 — 1 • УГГТ^ТГо + 4.
812. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: х = у/1 + 4х - х2 -f 1.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
(sin Зх cos х — sin х cos Зх) л/5х — х2 = 0?
С2. Укажите наименьшее натуральное число из области определения
з
функции у = (\/\2х2 -9х+15| - 3) 2.
СЗ. Решите уравнение
у/х - 1 4- 2>/х - 2 = >/ж + 7 - 6>/х - 2.
С4. Найдите все значения х, при которых точки графика функции
у = — лежат ниже соответствующих точек графика функции
JtX 11
log33(2x-5)
У 17 - 2х '
С5. Решите систему уравнений
4v + x =32,
bg3(x-2/) = l-log3(x + 2/).
Сб. При каком наименьшем натуральном значении параметра а
система уравнений
{у = sin2 х — 12а,
у = 4 - 6а sin х
не имеет решений?
Вариант №16
Часть 1
81. Найдите значение выражения -3 • 1212 - 13.
82. Найдите значение выражения log2 а, если log4 a2 = 8.
83. Найдите корень уравнения ( - J =16.
84. Решите уравнение log2 (х - 1) = 3.

Вариант №16 45
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
log4(2z + 3) < 1.
86. Найдите наименьшее значение х из области определения функции
87. Найдите наименьшее целое значение функции у = 2~х + 5.
88. Решите уравнение 2 sin х = \/3 на отрезке yjr\ тг . Ответ запишите
в градусах.
89. Упростите выражение 5 tg2 a • cos2 a + 5 sin2 a • ctg2 a — 10.
BIO. Решите уравнение 4log* ^x~^ = x2 - Ylx -f 36.
Bl 1. Вычислите ((^)~^ • 7"1 - (|)"5 * 2"3): 49"i
В12. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: у/Зх2 + Зд; + 21 - 5 = х.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
(1-2 sin2 x) log7 (1 + х - Ах2) = 0?
С2. Укажите наименьшее натуральное число из области определения
_з
функции у=(х2- \5х - 6|) 2.
СЗ. Решите уравнение 81cos2 x -f 30 = 39 • 3cos2x.
С4. Найдите все значения аргумента ж, при которых график функции
2
у = 3 2 -j-9 расположен ниже графика функции у = 28 • 3 2
С5. Решите систему уравнений
lg (Зх - у) + lg (х + у) - 4 lg 2 = 0.
Сб. Найдите все значения параметра 6, при которых графики функций
f(x) = big2 х и д(х) = 6 - cosx — 6 имеют хотя бы одну общую точку.

46 Учебно - тренирово чные тесты (без производной)
Вариант №17
Часть 1
(а*} -а"То
81. Упростите выражение -^—^—j и найдите его значение при
а~ 2
82. Найдите значение выражения 4log2 6 °'5.
83. Найдите корень уравнения 812~х = -.
9
84. Решите уравнение log3 (2 - х) = 3.
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
0^(x-h3)>-l.
86. Найдите наименьшее значение х из области определения функции
j
87. Найдите наименьшее целое значение функции
ИГ-
88. Решите уравнение cos (тг + х) = ^ на отрезке \Л\ тг . Ответ
запишите в градусах.
89. Упростите выражение 3 cos2 2х + tg x ctg х + 3 sin2 2x.
810. Решите уравнение 7log7(x~4) = (х - 4)2. В ответе запишите
корень уравнения или сумму всех его корней, если их несколько.
811. Вычислите у/М + 24уД • ^3\/2 - 4 • ^324.
812. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: \/2х2 - 7х + 5 -f x = 1.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
(2*a-4*a-16*)-log6(x-3)=0?
С2. Укажите количество целых чисел из промежутка (0; 9], принадле-
5
жащих области определения функции у = (|3 -f х\ - 2х)4.

Вариант №18 47
СЗ. Решите уравнение tg2 х • sin 2х — 1 = 2 sin 2х — cos 2x.
С4. Найдите все значения аргумента х, при которых график функции
= 9 • 2 з расположен выше графика функции у = 4 з + 2.
С5. Решите систему уравнений
5х -4-5^ -Зу~^ = 32х/"1.
Сб. При каких значениях параметра к прямая у = -4А; - 3 и график
функции у = cos2 х — 2к sin x имеют хотя бы одну общую точку?
Вариант №18
В1. Упростите выражение
Часть 1
J-6.3 . 63,7 . J-9.8
В2. Найдите значения выражения =Ц=.
log3 V27
(i\4x — 5 1
9 ) = ft*
84. Решите уравнение lg (2х — 6) - 1 = 0.
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
log2 (Зж - 1) < 3.
86. Найдите наименьшее значение х из области определения функции
2/=ч/0,04-0,23х-1.
87. Найдите наибольшее целое значение функции у = 7 - Ъх.
88. Решите уравнение tgf^ + xj = 1на отрезке yjr\ тг . Ответ
запишите в градусах.
89. Упростите выражение 5 tg2 x cos2 x + 5 sin2 x ctg2 x.
810. Решите уравнение log8 (Зх - 2) = 2log5 25 +log327.
811. Вычислите y/S -f 2\/7 • \/l - \/7- ^36.
812. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: \/2х2 + Зх + 4 = 2х -f 1.

48 Учебно - тренировочные тесты (без производной)
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
1
- 1 I у/\Ъ + 7х - 2х2 = О?
С2. Укажите количество целых чисел из промежутка (-6;0), принад-
7
лежащих области определения функции у = (|3 — х\ + х)4.
2
^ 2 j ^ х
СЗ. Решите уравнение т h 2 2 + 1 = 0.
22-1
С4. Найдите все значения х, при которых точки графика функции
54z+l _ jgg . 52х
2/ = — лежат ниже соответствующих точек графика функ-
1QX 1
25
С5. Решите систему уравнений
2
Сб. Найдите все значения параметра р, при которых прямая
у = 3 — ри график функции ?/ = pctg2 ж + sin ж имеют хотя бы одну общую
точку.
Вариант №19
Часть 1
81. Найдите значение выраженияj
20з
82. Найдите значение выражения log5 а, если log 1 а = 6.
25
83. Найдите корень уравнения з3х+4 = -.
у
84. Решите уравнение 2 - log7 (6х — 5) = 0.
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
log3 (3 - 2х) < 1.
В6; Найдите наибольшее значение х из области определения функции
у= vUl4* 2 - ЮО.

Вариант №19 49
87. Найдите наименьшее целое значение функции у = 3~х -I- 4.
88. Решите уравнение ctg (тг + х) = 1 на отрезке 0; ^ . Ответ
запишите в градусах.
89. Упростите выражение 3cos2 х — —^ =- — 2.
2
810. Решите уравнение log2 (5 - 2х) = 5log2 5.
811. Вычислите у/й^^Ш - \/8 + \/28.
812. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: у/2х2 - Зх + 10 + х = 4.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
(0,5х) • cos Гх - |) = 0?
С2. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область
определения функции у = lg(|2x + 4| - \х - 3|).
СЗ. Решите уравнение I6sin2x -f 12 = 24-cos2x.
С4. Найдите все значения аргумента х, при которых точки графика
. 4х + 88 .
функции у = —г лежат не выше соответствующих точек графика
7х — 21)
19 • 2х
функции V= ^^.
С5. Решите систему уравнений
\ х Н Ь Jy H— =2\
(х2 + 1)у + (у2 + 1)х =
Сб. При каких значениях параметра га прямая у = Зга - 2га2 не имеет
общих точек с графиком функции у = sin2 x + га cos x?

50 Учебно - тренирово чные тесты (без производной)
Вариант №20
Часть 1
г 3,2 . г~1
В1. Найдите значение выражения —г*
254 .53'1
82. Найдите значение выражения log4 6 - log4 3 -f bg4 8.
83. Найдите корень уравнения 22х-4 = —.
84. Решите уравнение log2 (1 - 2х) = 3.
85. Найдите количество целочисленных решений неравенства
logi (1 - 5х) > -2.
4
86. Найдите наибольшее значение х из области определения функции
В7. Найдите наименьшее целое значение функции
88. Решите уравнение cos ^ = -^ на отрезке |тг; Щ-1. Ответ запи-
шите в градусах.
89. Упростите выражение 2 sin2 х + 3 + 2 ctg2 x sin2 x.
-2
logjL6
В10. Решите уравнение log7 (6х — 5) = 6 >/2 .
811. Вычислите (l3 v^64 • >/8 + 51 )
812. Найдите корень уравнения или произведение корней уравнения,
если их несколько: х + \/2х2 - 14х -I-13 = 5.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение (1 - 2 sin2 x) log3 (х - х2) = 0?
С2. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область
определения функции у =
СЗ. Решите уравнение (sin х - cos х)2 + tg x = 2 sin2 x.

Вариант №20 Ъ\_
С4. Найдите наибольшее целое значение х, при котором точки графика
2-3x+9log3z
функции ——-—— лежат не выше соответствующих точек графика
1о — оХ
функции —-
С5. Решите систему уравнений
х + у'
Сб. Найдите наибольшее целое отрицательное значение параметра а,
при котором графики функций f(x) = cos2 x - 4а и
д[х) = 4 - 2a cos х не имеют общих точек.

Ответы к тестам
Ответы к заданиям В
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
В1
7
7
126
83
23
900
52
30
7
3
1,2
2,4
15
0,5
5
-46
2
1
3
5
В2
3
18
4,8
60
1
12
2
17
4
3
3
-1
-3
3
1
8
18
8
-12
2
ВЗ
-0,25
0,5
0,74
16
5
18
1,75
5,25
6
8
4,5
-2
1,25
1,25
2
-1
2,5
2
-2
0
В4
27,9
10,5
32
33
12
17,5
6
8
15
12
7
72
124
20
7
9
-25
8
9
-3,5
В5
1730,75
1037
116450
32150
195 000
31500
42250
144
2284,8
360
1
2
7
1
4
2
4
3
1
3
В6
8
3
8
0
7
9
6
6
6
14
1
-1
-1
1,5
1,5
-1
-2
1
0
-0,5
В7
2
-3
9
2
4
3
-2
-4
2
1
3
3
5
4
4
6
-2
6
5
-2
В8
6
7
3
8
5
2
-1
5
-36
-25
120
45
90
135
60
120
120
135
45
270
В9
1000
0
20
3
4
3
7
9
14
9
-19,4
1
-0,5
2
0,5
-5
4
5
-2
5
В10
1
1
3
-5
3
2
-8
-2
-1
1
3,25
3
2,5
3
-2
7
5
22
-5,5
9
В11
6
600
3
50
120
25
27
6
15
10
9
5
16,75
2
7
1,5
6
-6
-2
0,5
В12
384
1
48
96
12
144
18
576
16
1,6
-1
3
-1
-2
3
-2
1
1
-6
-2

Ответы к заданиям С
1
2
3
4
5
6
7
8
С1
(-^+2тгп, -2^ , n GZ;
(-^г+2тгА;;з) , keZ
^|+тгп;2^ ,neZ
(0; 27rfc) keZ
(20;16)
-£+27rAvfcGZ
4
fi + ? + **-* + ?-**),
n, fc G Z
(l;|+27rn, nez);
(-i; (-l)fc+1 arcsin i + Trfc, fc G z)
(-l;-|+7rn),nGZ;
U;a.Tctg4 + nk\k G Z
C2
±\/l0
±4
0
6' 6
2
Решений
нет
1
СЗ
\/37или
7
n/37
1,5 или 6,5
8
256
8 или 60
70
4у/2 + 2VT5;
или 8
4>/б
С4
(i;7]
(log2 5; +оо)
(0,1) U (1; 2)
u(-i;0)u(6;+oo)
[-7;-V35)U[5; V35)
(-oo;0]u[log32;l)
[4, +оо)
(2;i^)
С5
[-7;3]
(0;2]
(И
0
(-7;1)
(-2;+оо)
(-3;+оо)
С6
-7;-2;-1;
0,1; 3
11
3
(1;4), (1;-4);
(-1;4), (-1;-4)
(-1;-3), (-1;3)
(1;-3), (1;3)
53
852
(1452; 132);
(14762; 122);
(242; 242)
(2450; 50);
(392;56);
(98; 98)

Ответы к заданиям С (Продолжение)
ел
4^
9
10
11
12
13
14
15
16
17
С1
(!+2тг*;-2),
(|+2тгп;б);
k,nez
(7гп;2),(тгА:;6);
n,keZ
3
4
2
3
5
2
2
С2
±2
i;3
9
2
1
5
4
4
3
сз
8тг
5 или 13
о
± arccos ^ 4- 2тгк,
fcGZ
i;2
4?rfc, к G Z
1;2
3
7Г , 7Г71
4^2'
n G Z
-^ Н- Trfc, Trfc,
arctg 2 + тгк,
kez
С4
а; > 9
х > 11
(1O-1;1O2)U(1O3;1O5)
44
(-oo;0)U(l;+oo)
(-|+27rfc;27rfc)u
U(27rfc; | + 2тгА0, fc G Z
(2,5;4)U(8,5;+oo)
C5
-6 - V24 < 6 < -6 + v/24
-4 - л/56 < 6 < -4 + л/56
(3;1,5),(6;3)
(1;2),(2;4)
(4;1)
(-4;0),
( 40. 32\
V 41' 41/
(2;1)
(2; 2)
(i;i-io63^)
C6
(272; 17), (144; 18),
(80; 20), (48; 24)
(42; 7), (24; 8),
(18;9), (15; 10)
(-2; 2)
(-oo; 2- v^)U
U(2 + л/5; +оо)
(-oo;l)U(l;4-\/5)U
U(4 + л/5; +оо)
2
1
(0;7]
[-1,5; -0,5]

Ответы к заданиям С (Окончание)
18
19
20
С1
4
2
1
С2
5
7
11
СЗ
1
7Г . 7Г71 ^ <~ V
4 +~2~'nGZ
7Г 1 7Г71 _, /- *7
С4
(-oo;-l)u(l;l)
(-oo;^)u[3;log2ll]
9
С5
(3;3)
(5;3), (5;-3)
С6
(0;4]
(-oo;0)U(2;+oo)
-2
1
ел
ел

56
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
Решение варианта №1
81. После понижения цены на 7% метр ткани будет стоить
1500 - 1500 • 0,07 = 1395 рубля.
На 10000 рублей можно будет купить 10000 : 1395 « 7,17 метров ткани.
Целое число, удовлетворяющее условию, — 7 метров.
Ответ: 7.
82. По графику (см. рис. 21) определяем, что уровень воды в реке был не
выше 300 см в течение трёх дней.
h (см)* Г
500
400
300
200
100
I I
I I
10 12
Ответ: 3.
ВЗ. logj^ (log5 7
I
4-
14 16
Рис.21.
1
Iog75
18 20 п (дни)
2 log7 5 = log2-4 2 =
Ответ: -0,25.
B4. Площадь круга находим по формуле S = *Щ-.
По рисунку (см. рис. 22) d = 6 см, по условию тг = 3,1.
S =
Ответ: 27,9.
В5. Условию задачи соответствуют две квартиры: на третьем и пятом
этажах. Определим стоимость каждой из них:
1) 38000-44= 1672 000 (руб.);
1672000 + 1672000 • 0,10 = 1839200 (руб.) = 1839,2 (тыс. руб.).
2) 35000-43 = 1505 000 (руб.);
1 505000 + 1 505000 • 0,15 = 1 730750 (руб.) = 1730,75 (тыс. руб.).

Решение варианта №1
57
/
\
\
У
1
\
/
CM
Рис. 22.
За самую дешёвую покупку предполагается заплатить 1730,75 тыс.
рублей.
Ответ: 1730,75.
86. \2х - 13| ^ 7;
-7 ^ 2х - 13 ^ 7;
6 ^ 2х ^ 20;
3 ^ ж ^ 10.
Промежуток [3; 10] содержит 8 целых чисел, следовательно, исходное
неравенство имеет 8 целочисленных решений: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10.
Ответ: 8.
87. Функция f(t) = \og3t возрастающая (3 > 1), следовательно,
принимает наибольшее значение при наибольшем значении аргумента t,
t = 9 sin х. Учитывая, что t > 0, имеем 0 < 9 sin ж ^ 9, £наиб = 9,
следовательно, /наиб = /(9) = log3 9 = 2.
Ответ: 2.
88. уДхТТ = V'х- 1 + 2.
Возведём обе части уравнения в квадрат.
3z + l = z-l + 4>/ж- 1 + 4;
2х - 2 = 4>Д - 1;
х - 1 = 2>/ж- 1.
Возведя обе части последнего уравнения в квадрат, получим
х2 - 2х + 1 = 4(х - 1);
х2 - 6х + 5 = 0;
#1=5, хч = 1 — корни уравнения.
Проверка показывает, что каждое из чисел 5 и 1 является корнем
исходного уравнения.
Ответ: 1; 5.

58
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
В9. При Т2 = 300°К КПД двигателя будет не менее 70%, значит,
" 30°
• 100% ^ 70%,
(Ti - 300) • 100 - 70Ti ^ 0,
lOOTi - 30000 - 70Ti ^ 0,
30Tx > 30000,
Ti > 1000.
КПД двигателя будет не менее 70% при наименьшем значении
температуры нагревателя Тг = 1000° К.
Ответ: 1000.
В10. Обозначим Зх2 - х = t. Уравнение примет вид:
(t - 3) • t + 2 = 0;
£2 - 3£ + 2 = 0;
h = 2, £2 = 1 — корни уравнения.
Вернёмся к исходной переменной.
1) Зх2 - х = 2, Зх2 - х - 2 = 0, «►
2) Зх2 - х = 1, Зх2 - х - 1 = 0,
Из найденных корней большим является х = 1.
Ответ: 1.
811. Пусть масса второго слитка х кг, тогда первого — (х + 2) кг, а масса
сплава — (2х + 2) кг. В первом слитке содержится (х + 2) • 0,4 кг серебра,
а во втором — 0,1х кг, в сплаве — (2х + 2) • 0,3 кг.
Составим уравнение:
0,1х + (х + 2) • 0,4 = (2х + 2) • 0,3;
0,5х + 0,8 = 0,6х + 0,6;
0,1х = 0,2;
х = 2.
Масса полученного сплава равна 2-2-1-2 = 6 (кг).
Ответ: 6.
812. По условию пирамида правильная (см. рис. 23), значит, ABCD —
квадрат, РО — высота.
1) Sabcd = АВ2 = 122 = 144 (см2).
2) 5бок. = \ ' pabcd • PF, где PF — апофема.

Решение варианта №1
59
Рис. 23.
3) В ААВС OF — средняя линия, OF = ^АВ = 6 (см).
4) В APOF по теореме Пифагора имеем PF2 = РО2 + OF2,
PF = VS2 + б2 = 100 (см);
5Полн. = 56ок + 50сн. = 240 см2 + 144 см2 = 384 см2.
Ответ: 384.
С1. Решим уравнение cos2 х — cos х — 0,75 = 0.
Обозначим cosx = t, \t\ ^ 1.
t2 - t - 0,75 = 0;
£> = 1+3 = 4 = 22;
-I I Q
t\ = ~L = 1,5, не удовлетворяет условию \t\ ^ 1;
= -0,5.
Вернёмся к исходной переменной:
cosz = --;
х = ±Щ- + 2тгп, пе Z (см. рис. 24).
о
Из уравнения sin х = —0,5у/у2 — у — 3 следует, что sinx ^ 0.
Поэтому, х = —-^- + 2тгп, п G Z и sinx = —Цг-. Получим

60
Учебно-тренировочные тесты (без производной)
Рис. 24.
Ответ:
: (-Щ + 2тгп; -2V Г-^ + 2тгп;зУ n e Z.
log5(x2-9)-0.
По определению логарифма имеем
х2 - 9 = 5°;
х2 - 9 = 1;
2
Ответ: ±у/10.
~
СЗ. По теореме синусов . ~,N = 2Д, где R — радиус описанной
окружности (см. рис. 25).
М
Рис. 25.
3

Решение варианта №1 61
По теореме косинусов МР2 = MN2 + NP2 - 2MN • NP • cos ZN,
МР2 = 42 + З2 - 2 • 4 • 3 • cosZiV,
МР2 = 25 -24 cos ZN.
Решим систему уравнений:
мр= ЦШ .sinZ7v5 (^
о
МР2 = 25 - 24 cos ZN. (2)
Из первого уравнения получим
МР* = *_Ш -si
9
Подставим МР2 = -~ ^- cos2 ZN во второе уравнение:
о о
^ - ^ cos2 ZN = 25 - 24 cos ZN;
0 о
148 - 148 cos2 ZN = 75- 72 cos ZN;
148 cos2 ZN - 72 cos ZN -73 = 0.
Обозначим cos ZN = t, \t\ ^ 1.
148£2 - 72* - 73 = 0;
D = 5184 + 43216 = 48400 = 2202.
. = 72 -f 220 = 292 = 73.
1 148-2 296 74'
. = 72 - 220 = 148 = 1
2 148-2 148-2 2*
Числа —^ и ^ удовлетворяют условию |i| ^ 1.
MP
2)
_ 1148 Л 732T_ /l48 Л 73\Л , 73\ _ /49 _ 7
~ у Т Л1 ~ 74*; " у ~3" Ч1 " 74 j I1 + 74 J ~ V 37 ~ 737
i
Ответ: -i-, >/37.

62 Учебно-тренировочные тесты (без производной)
С4. Iog5((x + 7)(х - 1)) < | log 1 6 + Iog5(x + 7); «•
** 5 3
х + 7 > 0, «•
Iog5((x + 7)(х - 1)) - Iog5(x + 7) < log5 6;
х - 1 > О,
Iog5(x + 7) + Iog5(x - 1)) - Iog5(x + 7) < log5 6;
Iog5(x-l)<log56; **
Omeem: (1; 7].
t
U4;
_ (b + l)-
4 ^ t^
+ < + 1
Умножим обе части каждого неравенства системы на t2 +1 + 1, учитывая,
что t2 + £ 4-1 > 0 при любом значении t. Получим:
Г (6 4- l)t ^ -4t2 - 4* - 4,
J 4^2 + (Ь + b)t + 4 ^ О,
\ 6^2 - (6 - 5)* + 6 ^ 0.
Старший коэффициент квадратных трёхчленов каждого неравенства
положителен, значит, неравенства выполняются для любого t при условии,
что дискриминанты трёхчленов 4£2 + (Ь + 5)£ + 4 и 6t2 — (6 —5)£ + 6
неположительные. Задача сводится к решению системы неравенств
Г 2 Г 2 - 39 ^ 0,
р
Г (6 + 5)2 - 4 • 4 • 4 ^ 0, Г Ь2 + 106 -
\ (Ь -5)2 -4-6-6^0; \ Ь2 - 106 -
119^0;

Решение варианта №11 63
^ о ^ 17;
Ответ: [-7;3].
Сб. Представим с в виде суммы многочлена и дроби, числитель которой —
многочлен первой степени.
= (п9 4- п7) - (п7 + п5) + (п5 + п3) - (п3 + n) + n + 7 =
7Г + 1
Так как п7 -п6 + п3 — п — целое число, то с — целое число тогда и только
тогда, когда дробь Пэ л — целое число.
71+1
Этому условию удовлетворяет значение п = -7, при котором числитель
п + 1 = 0, и некоторые целые п, при которых |п + 7| ^ п2 + 1, -2 ^ п ^ 3.
Из промежутка [-2; 3] выберем возможные целые значения п:
—2 -I- 7
п = -2, 2 I = 1 — удовлетворяет;
— 1 -I- 7
п = — 1, ^ =3 — удовлетворяет;
Q i 7
п = 0, =7 — удовлетворяет;
п = 1, т-^-т = 4 — удовлетворяет;
2-1-7 9
п = 2, 2 = - — не удовлетворяет;
п = 3, ^2^" = 1 — удовлетворяет.
Ответ: 0; ±1; -2; 3; -7.
Решение варианта
1^4
(53)з-33 5-33
Ответ: 1,2.
Ответ: 3.

64 Учебно-тренировочные тесты (без производной)
83. (^)3~Х = 343, (7"2)3"x = 73, 72х"6 = 73,
2х - 6 = 3, 2х = 9, х = 45.
Ответ: 4,5.
84. Iog3(x -f 2) = 2. По определению логарифма имеем х + 2 = З2,
х + 2 = 9, х = 7.
Ответ: 7.
85. Iog2(5x - 2) < 2, Iog2(5x - 2) < log2 4, «=>
/5х-2>0, / х > 0,4, / х > 0,4,
\5х-2^4; ^\5х^6; \х^ 1,2; ** U) ^ Х ^ 1>z"
Следовательно, исходное неравенство имеет одно целочисленное решение
Ответ: 1.
/i\i+2 I /ni+2 /1\3
86. Область определения функции (±) ~ ^ ^ 0> ( о ) ^ ( о ) •
Так как функция j/ = f - J убывающая, то х + 2 ^ 3, х ^ 1.
Следовательно, х = 1 — наибольшее значение х из области определения заданной
функции.
Ответ: 1.
87. 4~х > 0, 4~х + 2 > 2, все промежуточные значения достигаются.
Наименьшее целое значение функции у = 4~х + 2 равно 3.
Ответ: 3.
88. sin | = —, х G [0; тг].
7j = (—l)n arcsin ^—Ь тгп, n £ Z,
х _ f_i^n2L +7ГП пс7
Промежутку [0; тг] принадлежит единственный корень уравнения х = Щ-,
Ц- = 120° (см. рис. 26).
о
Ответ: 120.

Решение варианта №11
65
Рис. 26.
1
В9. Так как ctg2 a + 1 = —«—, то исходное выражение равно
sin a
3cos2 a + 3sin2 a - 22,4 = 3 - 22,4 = -19,4.
Omeem: -19,4.
/ /142logl(2x-3)
BIO. Ш ? = 5*~4'
2x-3>0;
: - 3)2 = 5X - 4,
Г 4x2 - 12x 4 9 - 5x 4 4 = 0, f 4x2 - 17x 4
\ x > 1,5; ^ \ x > 1,5;
13 = 0,
=i5 ^
4
x > 1,5;
Omeem: 3,25.
/21 1 IN11
Bll.U2-33-36+l,8-32-33>/ =
12
11
12
11
=32 = 9.
Omeem: 9.
= 0,
Omeem: —1.
2x2 + 8x + 7 = x2 + 4x 4- 4,
X
i = -1,
= -3,
—9*
= -1.

66 Учебно - тренирово иные тесты (без производной)
Г1 Г cosx - sinx = 0, Г sinx = cosx, ftgx = l,
10 — X P* U, I X <» O, I |X| <*. V")
x = -г 4- 7ГП, n € Z,
-\/5 < x < \/5;
Система имеет единственное решение х = j.
2. Iog3(5-x2) = 0.
По определению логарифма имеем 5 — х2 = 1, х2 = 4, х\ = 2, х2 = -2.
Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ: 3.
С2. Учитывая, что логарифм определён на множестве положительных
чисел, задача сводится к решению неравенства
|3х + 7| - |х - 9| ^ 0, |3х + 7| ^ \х - 9|.
Так как |3х 4- 7| ^ 0 и |х — 9| ^ 0, возведём обе части неравенства в
квадрат:
(Зх + 7)2-(х-9)2'<0,
(Зх + 7 - х + 9)(3х + 7 + х - 9) ^ О,
(2х + 16)(4х - 2) ^ О,
Промежуток -8; ^ содержит 9 целых чисел:
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2,-1,0.
Ответ: 9.
О^ /Г» Сч Г»Г\СЭ Т» I О Din" /
5 cos^ x - 5 cos x 4- 2 sin x = О,
1 sin x 7^ 0;
{
5 cos2 x — 5 cos x 4- 2 — 2 cos2 x = 0,
sin x t^ 0;
" J cosx = 1,
{9 - Л I sinx 7^ 0,
3cos2x-5cosx + 2 = 0, k
sin x t^ 0;
cosx= |,
sin x ^ 0.

Решение варианта №11 67
Так как первая система решений не имеет, то из второй системы получаем
о
х = ± arccos - + 2тгп, п G Z.
о
о
Ответ: х = ± axccos - + 2тгп, п е Z.
о
С4. —i— + -А.— > 1,
5-lgz 1 + lgx
1 + lgx + 10 - 2lgx - (5 + 5lgx - lgx - lg2 x) „
(5lgz)(l + lgx)
(lgx-2)(lgx-3)
Обозначим \gx = t.
„ (t-2)(t-S) n
Неравенство примет вид f-—rft:—rf < 0.
[t — ^)v^ ' I)
-1 <*< 2, 3< * < 5.
Вернёмся к исходной переменной.
1. -1 < lgx < 2, КГ1 < 10lgx < 102, КГ1 < x < 102.
2. 3 < lgx < 5, 103 < lO1** < 105, 103 < x < 105.
Ответ: (0,1; 100) U (1000; 100000).
C5.1. Из второго уравнения системы выразим х через у.

Обозначим W 2xy = t,
Уравнение примет вид
t + \ = 2, t2 - 2t + 1 = 0, (t - I)2 = 0, t = 1.
Вернёмся к исходным переменным:
2. Подставим х = 2у в первое уравнение. Получим:
(2у)2 - 18 = 2у • (4у - 9),
4У2 _ 18 _ 8у2 + 18 = 0

68 Учебно - тренирово чные тесты (без производной)
-4у2 + 18у - 18 = О,
2у2 - 9у + 9 = О.
Корни уравнения: ух = 3, у2 = 1,5.
Решениями исходной системы являются (6; 3) и (3; 1,5).
Ответ: (6;3),(3;1,5).
Сб. Данная система не имеет решений, если уравнение
4 - 2m sin х = mcos2x + 2sinx - т (1) не имеет решений.
Найдём, при каких значениях m уравнение (1) имеет хотя бы одно
решение.
4 — 2m sin х = т(1 — sin2 х) + 2 sin х — т,
т sin2 х — 2т sin x — 2 sin х + т + 4 — т = 0,
т sin2 х - 2(т + 1) sin х + 4 = 0.
Обозначим sinx = t, \t\ ^ 1.
Уравнение примет вид mt2 - 2(т -h 1)^ + 4 = 0. Рассмотрим два случая.
1. m = 0, — 2t + 4 = 0, t = 2, не удовлетворяет условию \t\ ^ 1.
о ™ -j- п * - m + 1 ± Vrn2 + 2т + 1 - 4т _ т+1± у/(т - I)2
Z. 771 ^ U, Ъ\ 2 — — »
т т
^ — ~— = 2 не удовлетворяет условию |^| ^ 1,
m
m + 1 — m + 1
т т
2
Учитывая, что \t\ ^ 1, имеем — ^ 1 ^ \т\
ml
mG (-oo;-2]U[2;+oo).
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений при m e (-2; 2).
Ответ: (-2; 2).

Часть II. Учебно-тренировочные тесты
(без логарифмов)
План итоговой работы по спецификации ЕГЭ
Варианты 1 — 10
№
п/н
1
1
2
3
4
Обозначение
задания
2
В1
В2
ВЗ
В4
Проверяемые умения
3
Уметь решать
текстовые задачи, используя
приобретённые
знания в практической
ситуации
Уметь описывать
зависимость между
величинами и
интерпретировать их
графики; извлекать
информацию,
представленную в
таблицах, на диаграммах,
графиках
Уметь выполнять
тождественные
преобразования
тригонометрических выражений
Уметь исследовать
построенные модели
с использованием
геометрических
понятий и теорем; находить
геометрические
величины
Коды проверяемых
элементов
содержания и элементы
содержания
4
1.1.1. Целые числа.
1.1.3. Дроби,
проценты,
рациональные числа.
6.2.1. Табличное и
графическое
представление данных.
3.1. Определение
и график функции.
3.2. Элементарное
исследование
функций.
3.3. Основные
элементарные
функции.
1.2. Основы
тригонометрии.
5.1. Планиметрия.
5.5.5. Площадь
треугольника,
параллелограмма,
трапеции, круга,
сектора.
Уровень
сложности
5
Б
Б
Б
Б
Макс, балл
6
1
1
1
1
Время
выполнения
7
5
3
3
3

70
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
1
5
6
7
8
9
10
11
2
В5
В6
В7
В8
В9
В10
В11
3
Уметь решать
прикладные задачи, в том
числе
социально-экономического содержания
Уметь решать уравнения
и неравенства,
содержащие неизвестные под
знаком модуля
Уметь решать
простейшие тригонометрические
уравнения
Уметь применять
геометрический смысл
производной
Уметь применять
физический смысл
производной
Уметь находить
наибольшее и наименьшее
значения функции
Уметь решать
содержательные задачи из
различных областей науки и
практики
4
2.1.12. Применение
математических методов
для решения
содержательных задач из
различных областей
науки и практики.
2.1.12. Интерпретация
результата, учёт
реальных ограничений.
1.4.6. Модуль
(абсолютная величина)числа.
2.1.4.
Тригонометрические уравнения.
4.1.3. Уравнение
касательной к графику
функции.
4.1.2. Физический
смысл производной,
нахождение скорости
для процесса, заданного
формулой и графиком.
4.2.1. Применение
производной к
исследованию функций и
построению графиков.
2.1.12. Применение
математических методов
для решения
содержательных задач из
различных областей
науки и практики.
Интерпретация результата,
учёт реальных
ограничений.
5
Б
Б
Б
Б
Б
Б
Б
6
1
1
1
1
1
1
1
7
5
5
3
5
5
7
7

План итоговой работы
71
1
12
13
14
15
16
17
18
2
В12
С1
С2
СЗ
С4
С5
С6
3
Уметь решать
стереометрические задачи на
нахождение
геометрических величин
Уметь решать
тригонометрические уравнения
Уметь находить
множество значений функции
Уметь решать
планиметрические задачи на
нахождение
геометрических величин
Уметь описывать с
помощью функций
различные реальные
зависимости между величинами
Уметь решать уравнения
и неравенства,
содержащие параметр
Уметь строить и
исследовать простейшие
математические модели
4
5.2. Прямые и
плоскости в пространстве.
5.3. Многогранники.
2.1.4.
Тригонометрические уравнения.
3.1.2. Множество
значений функции.
5.1. Планиметрия.
4.2.2. Примеры
использования производной
для нахождения
наилучшего решения
в прикладных, в том
числе
социально-экономических, задачах.
2.2.1. Квадратные
неравенства.
2.2.2. Рациональные
неравенства.
2.2.8. Использование
свойств и графиков
функций при решении
неравенств.
2.2.9. Метод интервалов.
2.2.10. Изображение на
координатной плоскости
множества решений
неравенств с двумя
переменными и их систем.
1.1. Целые числа.
1.4. Преобразование
выражений.
5
Б
П
П
П
П
В
В
6
1
2
2
3
3
4
4
7
5
10
10
15
12
15
20

72
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
План итоговой работы по дидактическим линиям
Варианты 11-20
№
п/н
1
1
2
3
4
Обозначение
задания
2
В1
В2
ВЗ
В4
Проверяемые
умения
3
Владеть
понятиями синуса,
косинуса, тангенса,
котангенса
числового аргумента;
примененять
основное
тригонометрическое
тождество
Уметь решать
простейшие
тригонометрические
уравнения
Уметь находить
множество
значений
тригонометрической
функции
Уметь решать
уравнение
f'(x)=a
Коды проверяемых
элементов содержания и
элементы содержания
4
1.2.3. Понятия синуса,
косинуса, тангенса,
котангенса числового
аргумента.
1.2.4. Основное
тригонометрическое
тождество: упрощать
выражение; находить
значение выражения.
2.1.4. Решение
тригонометрических
уравнений. Общая формула
решения уравнений
sinx = a, cos х = а,
tgx = a.
3.1.2. Множество
значений
тригонометрической функции.
4.1. Производная
сложных функций:
находить, вычислять
значение производной
в точке аргумента при
определённом значении
функции.
Уровень
сложности
5
Б
Б
Б
Б
Макс, балл
6
1
1
1
1
Время
выполнения
7
3
3
3
3

План итоговой работы
73
1
5
6
7
8
9
10
2
В5
В6
В7
В8
В9
В10
3
Уметь выполнять
тождественные
преобразования

тригонометрических выражений,
используя
соотношения между

тригонометрическими функциями
одного аргумента
Уметь решать
тригонометрические
уравнения
Уметь применять
геометрический
смысл
производной
Уметь находить
значение
тригонометрических
выражений
Владеть
физическим смыслом
производной
Уметь находить
промежутки
монотонности функции,
точки экстремума,
экстремум
4
1.4.4. Зависимость между
тангенсом и косинусом
одного и того же аргумента.
Зависимость между
котангенсом и синусом одного и
того же аргумента. Другие
комбинации соотношений
между тригонометрическими
функциями одного и того же
аргумента: упрощать
выражение; находить значение
выражения.
2.1.4. Использование
нескольких приёмов при
решении тригонометрических
уравнений.
4.1.1. Геометрический смысл
производной: находить
угловой коэффициент
касательной, тангенс угла наклона
касательной, угол наклона
касательной, угол наклона
касательной по графику
производной.
1.4.4. Тождественные
преобразования
тригонометрических выражений: упрощать
выражение, находить
значение выражения.
4.1.2. Физический смысл
производной.
3.2.1. Промежутки
монотонности функции: находить
аналитически.
3.2.5. Экстремумы функции:
находить аналитически.
5
Б
Б
Б
Б
Б
Б
6
1
1
1
1
1
1
7
4
4
4
6
6
11

74
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
1
11
12
13
14
15
16
2
В11
В12
С1
С2
СЗ
С4
3
Уметь исследовать
функцию с
помощью производной
(по графику
производной)
Уметь находить
период функции
Уметь решать
комбинированные
уравнения
Уметь исследовать
функцию с
помощью производной
Уметь решать
тригонометрические
уравнения
Уметь находить
множество
значений сложной
функции
4
4.1.1. Промежутки
монотонности: находить по графику
производной. Точки
экстремумов функции: находить по
графику производной. Точки,
в которых функция
достигает наибольшего и
наименьшего значения: находить по
графику производной.
3.3.5. Периодичность
функции: синуса, косинуса,
тангенса, котангенса.
3.1.1. Область определения
функции.
2.1.3. Решение
иррациональных уравнений.
2.1.4. Решение
тригонометрических уравнений: решать,
решать и отбирать корни по
заданному условию.
4.2.1. Исследование функций
с помощью производной.
2.1.4. Использование
нескольких приёмов при
решении тригонометрических
уравнений.
3.3.5. Множество значений
тригонометрической функции.
5
Б
Б
П
П
П
П
6
1
1
2
2
3
3
7
10
10
11
13
15
15

План итоговой работы
75
1
17
18
2
С5
С6
3
Уметь составлять и
исследовать
математическую модель
практической задачи, связанной
с нахождением
наибольшего (наименьшего)
значения функции
Уметь решать уравнения
с параметрами
4
4.2.2. Решение тестовых
задач на нахождение
наибольшего
(наименьшего) значения
величины с помощью
производной.
2.1. Уравнения с
параметрами: решать, решать
и отбирать корни по
заданному условию.
5
В
В
6
4
4
7
15
20

Инструкция по выполнению работы.
На выполнение работы отводится 3 часа. Работа состоит из двух
частей и содержит 18 заданий.
Часть 1 содержит 12 заданий базового уровня (В 1—В12) по материалу
курса математики. К каждому заданию нужно дать краткий ответ,
представленный либо целым числом, либо конечной десятичной дробью.
Ориентировочное время выполнения части 1 — 30 минут.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С 1 — С6). При их
выполнении надо записать подробное обоснованное решение и ответ.
Ориентировочное время выполнения части 2 — 120 минут.
Исправления и зачёркивания в каждой части теста, если они сделаны
аккуратно, не являются поводом для снижения оценки.
За выполнение каждого задания учащийся получает определённое
число баллов.
Таблица максимального числа баллов за одно задание
Часть 1
Задания, №
1-12
1
Часть 2
Задания, №
1-2
2
3-4
3
5-6
4
30
Таблица перевода тестовых баллов в школьные оценки
Тестовый балл
0 — 6
7—12
13—17
18 — 30
Школьная оценка
2
3
4
5
При выполнении работы советуем не торопиться, проверять
полученный ответ, творчески подходить к решению каждого задания.
Желаем успеха!

Вариант №1
11
Вариант № 1
Часть 1
81. Какое наибольшее число тетрадей можно купить на 700 рублей,
если тетрадь стоила 20 рублей и цена повысилась на 20%?
82. На графике показано изменение температуры воздуха на
протяжении трёх суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси
ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику
наибольшую температуру воздуха (в градусах Цельсия) 5 марта (см. рис. 28).
У
/
'\
6:00 12:00 U
4 марта
\
:00\
i
I
\
\
у
Ю 12:00 1
5 марта
ш
\
Вю&мя гЪни
>
/
/Л
/ \
\
\
\
1 \
fo 12:00 1
6 марта
8:0й
\
I
/
h
-3
-4
-5
Рис. 28.
83. Найдите значение выражения 3 cos2 х + tg х • ctg х + 3 sin2 x.
84. Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 29). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
У
***
Рис. 29.
В5. Фирма планирует купить 60 кг краски у одного из трёх
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей
нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

78
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
Поставщик
1
2
3
Стоимость 1 кг
краски (в рублях)
280
320
350
Стоимость
доставки
(в рублях)
12 000
10000
10 000
Дополнительные
условия доставки
При заказе
товара на сумму
свыше 20000 рублей
доставка
бесплатно
При заказе
товара на сумму
свыше 20 000 рублей
доставка
бесплатно
86. Решите неравенство \2х + 1| ^ \3х — 1|. В ответе запишите
количество целых чисел, входящих в это решение.
87. Решите уравнение 2 cos 2х = \[2 на промежутке ( \; тг . Ответ за-
\ о J
пишите в градусах.
88. На рисунке 30 изображены график функции у = f(x) и
касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 2. Найдите значение
производной этой функции в точке х = 2.
\
у
\
\
N
/
7
/
1
/
О
/
1
/
1
1
1
2
/
/
s
\
\
\
X
Рис. 30.
B9. Тело движется по закону s(t) = -4t2 + 25t (s — расстояние в
метрах, пройденное телом с момента t = 0, t — время в секундах). Найдите,
какой путь (в метрах) прошло тело с момента t = 0 до момента, когда его
скорость составила 1 м/с.
В10. Найдите точку минимума функции у = (х 4- 2)е2х.

Вариант №2 79
ВП. Сколько граммов чистого цинка надо добавить к 400 г сплава
цинка и железа, содержащего 40% железа, чтобы получился сплав,
содержащий 80% цинка?
В12. Дана правильная треугольная призма АВСА\В\С\ со стороной
основания 2л/3. Высота призмы равна у/3. Определите площадь сечения
этой призмы плоскостью, проходящей через точки £?ь Д С.
Часть 2
С1. Решите уравнение sin 2х + cos x — sin x = 1.
С2. Найдите множество значений функции у = (х + 8)е4х.
СЗ. В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает диагональ BD
в точке Т. Найдите площадь трапеции, если АВ = 2, AD = 8, AT = 1,92,
ВС = Ъ.
С4. Определите наименьшее значение периметра прямоугольного
треугольника, если его площадь равна 24.
С5. При каких значениях а уравнение (а + 1 —|х-1|)(а + х2 — 2х) = 0
имеет ровно три корня?
Сб. Если к натуральному числу а приписать справа запятую и затем
некоторый бесконечный набор цифр, то получится десятичная запись
такого иррационального числа с, что (5с — б)2 = 6а2 - 60с + 168. Найдите
все возможные значения числа с.
Вариант №2
Часть 1
81. Во время перерыва каждый из 24-х студентов группы купил чай
стоимостью 13 рублей, а треть студентов дополнительно купила пирожок
стоимостью 15 рублей. Сколько всего рублей потратила группа во время
обеденного перерыва?
82. На графике (см. рис. 31) показано изменение массы сахара,
имеющегося в офисе, в зависимости от времени. Сколько дней в офисе
находилось больше 0,5 кг сахара?
83. Упростите выражение
4sin4x -4sin2x + I + sin2 2x + ctg x • tg 2x • (tg2x- 1).

80
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
к 2
8,
3
Масса са
0
к
\
1
ч
2
>
\
\
(
ч
s
7
Дни
Рис.31.
В4. Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с
клетками размером 1 см х 1 см (см. рис. 32). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
\
\
\
/
/
/
s
ч
1
)
(
СЛ
Ч
/
/
Рис. 32.
85. Пассажиру предлагают на выбор три такси. В первом он должен
заплатить 150 рублей и дополнительно по 20 рублей за каждый километр.
Во втором — 260 рублей и дополнительно по 10 рублей за каждый
километр. В третьем — 400 рублей за преодоление расстояния не более 15 км и
по 10 рублей за каждый дополнительный километр. Какую сумму
придётся заплатить пассажиру при наиболее выгодном выборе такси, если ему
необходимо проехать 20 км? Ответ дайте в рублях.
86. Решите неравенство \х + 1| > \2х — 3| - 2. В ответе укажите
количество целочисленных решений.
87. Решите уравнение cos2ttx = 1 на промежутке [\/13;\/23]. Если
корней несколько, в ответе запишите их сумму.
88. На рисунке 33 изображён график производной функции у = f(x).
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции
у = /(х) наклонена к положительному направлению оси абсцисс под
углом 135°.

Вариант №2
81
-5
Г
/
/
уь
1
N
0
и
1
f
N.
4
Рис. 33.
B9. Тело начинает движение и 10 секунд движется по закону
x(t) = 2t2 - 3t. В какой момент времени его скорость будет равна 6?
810. Найдите наибольшее значение функции у = — costtx - тг|х| на
отрезке [—1; 1].
811. Покупатель пришёл в магазин, имея с собой 1000 рублей и сделал
три покупки. На вторую покупку он потратил в 3 раза меньше денег, чем
на первую, а на третью в два раза больше, чем на две предыдущие. После
этого у него осталось 460 рублей. Сколько рублей потратил покупатель на
вторую покупку?
812. В основании наклонной призмы ABCDA\B\C\D\ лежит
квадрат ABCD со стороной АВ = 5. Боковые рёбра призмы равны 2 и
наклонены под углом 30° к плоскости основания. Найдите объём призмы.
Часть 2
С1. Решите уравнение сов 3s + сов fo + сов 7д? = х
sin Зх + sin Ъх + sin 7x
С2. Найдите множество значений функции у = 5 sin ж — 2cos2x.
СЗ. В прямоугольном треугольнике ABC на стороне ВС = 4 как на
диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в
точке М. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника
ВМС равна Щ.
1о
С4. Найдите наибольший возможный объём правильной
четырёхугольной пирамиды, у которой сторона основания а и высота h
удовлетворяют условию a + h = 6.
С5. При каждом значении а решите уравнение у/2х + 3 = х — 2а.
Сб. Решите в целых числах уравнение Зх2 + Ъху - 2у2 = 17.

82
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
Вариант №3
Часть 1
81. Насте задали выучить несколько английских слов. Сначала
девочка выучила 20 слов, что составило - часть от всех слов. Затем она
выучила ещё 10 слов. Сколько процентов от общего числа слов Насте осталось
выучить?
82. Из пункта А в пункт В (см. рис. 34) необходимо доставить груз,
затратив наименьшее количество бензина. На рисунке 34 показано
количество бензина, которое в среднем расходуется на каждом участке пути от
пункта А до пункта В. Определите наименьшее количество бензина,
которое можно затратить при перевозке груза из пункта А в пункт В.
83. Найдите значение выражения \/2 sin 75° - \/2 sin 15°.
84. На клетчатой бумаге размером 1 см х 1 см изображена трапеция
(см. рис. 35). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.
J
I
{
1
1
/
/
/
f
1
Рис. 35.

Вариант №3
83
В5. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных
плана.
Тарифный
план
1. Повременный
2. Комбинированный
3. Безлимитный
Абонентская
плата
150 руб.
280 руб. за
600 мин.
разговора в месяц
400 руб.
Плата за 1 минуту
разговора
30 копеек
Свыше 600 мин —
25 копеек за каждую
минуту
0 копеек
Абонент выбрал наиболее дешёвый тарифный план, исходя из
предположения, что общая длительность телефонных разговоров у него составляет
800 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если
общая длительность разговоров в этом месяце у него составила 780 минут?
Ответ запишите в рублях.
86. Решите уравнение \Ъх — 4| = 2. Если корней несколько, то в ответе
запишите их сумму.
87. Определите количество корней уравнения
sin2x = \/2cosx на промежутке [0; 2тг).
88. Функция f(x) определена на отрезке [-8; 4]. На рисунке 36
изображён график её производной у = f'{x). Найдите точку максимума этой
функции на отрезке [-5; 3].
-8
Рис. 36.
В9. На рисунке 37 изображён график скорости прямолинейно
движущейся точки. Пользуясь этим графиком, определите ускорение
a (a = v'(t)) этой точки в момент времени t = 2 с. Ответ дайте в м/с2.
В10. Найдите наибольшее значение функции у = \/2sinx — 2 на
отрезке \-j\ 7
Bl 1. Первая труба пропускает в минуту на 2 литра воды больше, чем
вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, ее-

84
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
ли резервуар объёмом 240 литров она заполнит на 5 минут быстрее, чем
вторая труба заполнит резервуар объёмом 280 литров?
В12. Площадь одной грани куба равна 12. Найдите его диагональ.
Часть 2
С1. Решите уравнение
l-cos(2z+|)
C2. Найдите множество значений функции у = у/1 + 2 sin x cos x.
СЗ. Серединный перпендикуляр к гипотенузе АВ прямоугольного
треугольника ABC пересекает катет АС в точке М, продолжение катета ВС
в точке N, АВ в точке Р. Найдите АВ, если МР = 4, MN = 5.
С4. Чему должна быть равна глубина бассейна с круглым дном, чтобы
на облицовку его внутренних стен и дна пошло наименьшее количество
материала, если известно, что объём бассейна равен 343тг?
С5. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
х + 6 - (2а - 1)у/х + 4 + 2а
о ft . ^ 0 не имеет решений.
3 - 2а 4- cos у/х + 4 г
Сб. Найдите число к , которое делится на 2 и на 25 и имеет ровно б
делителей (включая 1 и к).
Вариант №4
Часть 1
В1. Вова купил плеер со скидкой 15% от первоначальной его
стоимости, заплатив 1445 рублей. На следующий день скидку увеличили до 20%
от первоначальной стоимости. Сколько рублей сэкономил бы Вова, купив
плеер на день позже?

Вариант №4
85
В2. На графике (см. рис. 38) показана средняя скорость движения
автомобилей по автомагистрали от 0-го до 100-го км. Аварийно-опасными
считаются те участки магистрали, где средняя скорость автомобилей
более 120 км/ч. Определите по графику, сколько километров на
представленном участке автомагистрали аварийно-опасны.
^ 240"
> 210-
* 180-
g 150-
§ 120-
8, 90-
r§ 60-
^ 30-
д\
5
*—-
5
25
35
4f
■—
55
65
\
\
\
75
8f
95
Расстояние, км
Рис. 38.
83. Найдите значение выражения sin2 25° + sin2 65°.
84. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см
изображена трапеция (см. рис. 39). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах,
J
/
I
I
/
\
N
\
\
1<
•M
Рис. 39.
B5. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных
плана.
Тарифный
план
1. Повременный
2. Комбинированный
3. Безлимитный
Абонентская
плата
150 руб.
280 руб. за
600 мин.
разговора в месяц
400 руб.
Плата за 1 минуту
разговора
30 копеек
Свыше 600 мин. —
25 копеек за каждую
минуту
0 копеек

86
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
Абонент выбрал наиболее дешёвый тарифный план, исходя из
предположения, что общая длительность телефонных разговоров у него составляет
1000 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если
общая длительность разговоров в этом месяце у него составила 1200 минут?
Ответ запишите в рублях.
86. Решите уравнение |3 - 2х\ = 5. Если корней несколько, то в ответе
запишите их сумму.
87. Определите количество корней уравнения sin2x = v^sinx на
промежутке [0; 2тг).
88. Функция f(x) определена на отрезке [-5; 8]. На рисунке 40
изображён график её производной у = f'(x). Найдите точку минимума этой
функции на отрезке [—3; 6].
У=Ах)
Рис. 40.
В9. Маховик, задерживаемый тормозом, за t секунд поворачивается
на угол (р = (p{t) радиан. Используя график функции (р (см. рис. 41) и
касательную к этому графику, проведённую в точке с абсциссой t0 = 2,
определите угловую скорость ш (ш = (p'(t)) вращения маховика в момент
времени t0 = 2 с.
Рис.41.
В10. Найдите наименьшее значение функции у = 4cosx - 15 на
отрезке
_2Е.Зтг1
2' 2 J*

Вариант №5 87
811. Первая труба пропускает в минуту на 4 литра воды меньше, чем
вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба,
если резервуар объёмом 320 литров она заполнит на 10 минут быстрее, чем
первая труба заполнит резервуар объёмом 200 литров?
812. Площадь поверхности куба равна 150. Найдите объём куба.
Часть 2
С1. Решите уравнение
+ cos(2z+|) cos(z+|
С2. Найдите множество значений функции
у = 2\/2 cos2 х sin 2х — sin 2х + 1.
СЗ. В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и
биссектриса СК. При этом точки D и К лежат соответственно на сторонах ВС
и АВ. Найдите отношение площадей треугольников Sabc '• Sakd, если
АВ = 12, АС = 24, СВ = 16.
С4. Чему должна быть равна глубина бассейна с квадратным дном,
чтобы на облицовку его внутренних стен и дна пошло наименьшее
количество материла, если известно, что объём бассейна равен 2048 м3?
С5. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
х - 1 - (а + 4)у/х - 2 + 4а
. ^ 0 не имеет решений.
4 + sin у х — 11 — а
Сб. Найдите число fc, которое делится на 4 и на 7 и имеет ровно 10
делителей (включая 1 и к).
Вариант №5
Часть 1
81. Железнодорожный билет для взрослого стоит 470 рублей.
Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для
взрослого. Группа состоит из 13 школьников и 2-х взрослых. Сколько стоят
билеты на всю группу? Ответ выразите в рублях.
82. На графике (см. рис. 42) показано изменение цены билета в
метрополитене в периоде 1 января 1998 года по 1 января 2009 года. Определите
по графику стоимость в рублях одной поездки в метро 23 августа 2002
года.

Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
i
и
S? 7
3
1
—*
© © © © © © © © © © © ©
©©©©©©© ©© ©© ©
Дата
Рис. 42.
83. Упростите выражение 2 • tg2 x • ctg2 x + 5 sin2 х + 5 cos2 х.
84. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 43). Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.
1 см
/
/
/
/
f
1
1
1
/
1
Рис. 43.
В5. Планируется купить 80 килограммов краски у одного из трёх
поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько
рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

Вариант №5
89

Поставщик
1
2
3
Стоимость краски
(руб. за 1 кг)
300
320
340
Стоимость
доставки
12 000
10000
10000
Дополнительные
условия доставки
При заказе товара
на сумму свыше
30 000 рублей
доставка бесплатно
При заказе товара
на сумму свыше
25 000 рублей
доставка бесплатно
86. Решите уравнение \х — 1| — \2х + 3| = 0.
В ответе запишите количество корней этого уравнения.
87. Найдите корни уравнения 2cosx = 1, принадлежащие
промежутку (0; тИ. Ответ запишите в градусах.
В8. На рисунке 44 изображены график функции у = f(x) и
касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 1. Найдите значение
производной этой функции в точке х0 = 1.
1.
1
у
п
л/
г
i
1
I
X
Рис. 44.
В9. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота,
на которой он находится, описывается формулой h(t) = -Ы2 + 8£, где
h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска.
Определите, на какой высоте его скорость равнялась 3 м/с.
В10. Найдите наибольшее значение функции
У =
на отрезке U; ^
В11. Из бутыли, доверху наполненной кислотой, отлили 8 литров.
Затем снова наполнили бутыль водой и отлили 6 литров смеси. После этого

90 Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
вновь наполнили бутыль водой. Определите вместимость бутыли, если в
результате получили смесь, содержащую 42% кислоты.
В12. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA\B\C\D\.
Основанием его является квадрат со стороной 4\/2, а его высота равняется 3.
Определите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки А\, В, D.
Часть 2
С1. Решите уравнение tg Зх cos x + 3 sin x = 0.
С2. Найдите множество значений функции у = sin x - cos x + \/2.
СЗ. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает
диагональ BD в точке Г, а сторону ВС в точке К. Найдите КТ, если АВ = 12,
AD = 16, AT = 13.
С4. Определите наименьшее значение периметра прямоугольного
треугольника, если его площадь равна 9.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
х2 + 8(а + 1)х + 16а2 Л , о 1Ч
v > / > 0 выполняется для всех х € (-2; 1).
4 - (cos >/6 - a - a2 + 3) '
Сб. Если к десятичной записи натурального числа а приписать справа
запятую, а потом некоторый бесконечный набор цифр, то получится
десятичная запись такого иррационального числа с, что
(2с - З)2 = За2 - 12с + 46. Найдите все возможные значения числа с.
Вариант №6
Часть 1
81. Железнодорожный билет для взрослого стоит 540 рублей.
Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для
взрослого. Группа состоит из 18 школьников и трёх взрослых. Сколько стоят
билеты на всю группу? Ответ запишите в рублях.
82. На графике (см. рис. 45) показано изменение цены в
метрополитене в период с 1 января 1998 года по 1 января 2009 года. Определите по
графику стоимость в рублях одной поездки в метро 11 июля 2001 года.
83. Упростите выражение 3 cos2 х + 3 sin2 х + 5 tg x • ctg x.
84. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 46). Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.

Вариант №6
91
i
и
! ':
^Г 5
3
1
ррррррррррр ©
ооооооо оо © © о
Дата
Рис. 45.
Рис. 46.
В5. Планируется купить ПО килограммов краски у одного из трёх
поставщиков. Цены и условия приведены в таблице.
Поставщик
1
2
3
Стоимость краски
(руб. за 1 кг)
300
350
370
Стоимость
доставки
10000
8 000
8 000
Дополнительные
условия доставки
-
При заказе
товара на сумму
свыше 42 000 руб.
доставка бесплатно
При заказе
товара на сумму
свыше 40000 руб.
доставка бесплатно
Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?

92
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
86. Решите уравнение \х — 3| - \х + 2| = 0.
В ответе укажите количество корней этого уравнения.
87. Решите уравнение 2 sin ж = \/2 на промежутке (0°; 90°].
Ответ запишите в градусах.
88. На рисунке 47 изображены график функции у = f(x) и
касательная к графику в точке с абсциссой, равной —1. Найдите значение
производной этой функции в точке х0 = — 1.
1
(
у
(
J
f
I
у
f
f
О
w
X
Рис. 47.
B9. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота,
на которой он находится, описывается формулой h(t) = —3t2 + Ш, где
h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента
броска. Определите, на какой высоте находился камень, когда его скорость
составляла 5 м/с.
810. Найдите наибольшее значение функции
у = cos 2х + у/2х — Цг-тг на отрезке т; 5 •
811. Из бутыли, доверху наполненной глицерином, отлили 4 литра.
Затем бутыль наполнили водой и отлили два литра смеси. После этого
снова наполнили бутыль водой. Определите вместимость бутыли, если в
результате получили смесь, содержащую 48% глицерина.
812. Дан прямой параллелепипед ABCDA\B\C\D\. Его основанием
является квадрат ABCD со стороной 6>/2, а его высота равняется 2\/7.
Определите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки А\, В, D.
Часть 2
С1. Решите уравнение tg Зх cos x + 2 sin x = 0.
С2. Найдите множество значений функции у = cos х + sin ж 4- л/2.

Вариант №7 93
СЗ. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает
диагональ BD в точке Т, а сторону ВС в точке К. Найдите КТ, если АВ = 4,
AD = 8,ВТ = 2,4.
С4. Определите наименьшее значение периметра прямоугольного
треугольника, если его площадь равна 32.
С5. Найдите все значения а, при которых неравенство
х2 + 2(а + 2)х + а2 п , - оЧ
— у N / о > 0 выполняется для всех х е (—1; 2).
4(cos >/8 + 2а - а2 + 3) v У
Сб. Если в записи натурального числа а приписать справа запятую, а
потом набор цифр, то получится запись такого иррационального числа с,
что (2с — 5)2 = За2 — 20с + 47. Найдите все возможные числа с.
Вариант №7
Часть 1
81. Группа из 20 школьников и 4 взрослых отправилась на
теплоходе на морскую прогулку. Одна путёвка для взрослого стоит 350 рублей, а
для школьника стоимость путёвки составляет 40% от стоимости путёвки
взрослого. Сколько рублей надо заплатить за всю группу?
82. На графике показано изменение температуры воздуха на
протяжении трёх суток, начиная с 15 ноября (см. рис. 48). На оси абсцисс отмечено
время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах.
Определите по графику наименьшую температуру 17 ноября. Ответ дайте
в градусах Цельсия.
83. Упростите выражение (1 - cos а)2 + (1 + cos а)2 + 2 sin2 a.
84. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на
рисунке 49. Размер клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
85. Семья из четырёх человек едет из Перми в Сочи. Можно ехать
поездом или на своей машине. Билет на поезд стоит 1500 рублей на
одного человека. Машина расходует 10 л бензина на 100 км пути;
расстояние от Перми до Сочи по шоссе равно 2100 км, а цена бензина — 22
рубля за литр. Сколько рублей надо заплатить семье за наиболее дешёвую
поездку?
86. Решите уравнение \2х - 5| = |3х - 1|. В ответе запишите сумму
корней, если их несколько.
87. Решите уравнение cos2x = -i на промежутке |0; тН. Ответ
укажите в градусах.

94
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
t
12 ■
ю ■
о
6 ■
4 ■
2 ■
о
/
\
\
8 8 8 8
О VO Н ОО
15 ноября
/
/
8 8 s \
16 ноябру
\
S
О
S. 8 s S
о vo н о
7 7 ноября
о
Часы. Дни
Рис. 48.
Рис. 49.
88. На рисунке 50 изображены график функции у = f(x) и
касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение f'(x0).
89. При движении тела по прямой расстояние 5 (в метрах) от
начальной точки изменяется по закону s(t) = ts-t2+bt-7(t—время движения в
секундах). Найдите скорость тела через 5 секунд после начала движения.
810. Найдите наибольшее значение функции
у = 5\/2cosx + Ъх - ^ + 3 на отрезке [о; |].
811. Двое рабочих, работая одновременно, выполнят весь
необходимый объём за 6 часов. За сколько часов в одиночку выполнит этот объём

Вариант №7
95
,v
' 0
1
i i i ь
21 ' ' *
Рис. 50.
первый рабочий, если известно, что он сделает работу на 5 часов быстрее,
чем второй?
В12. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, апофема —
4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Часть 2
С1. Решите уравнение 12 ctg х — cos 2х — 1 = 2 sin 2x.
С2. Найдите множество значений функции у = 3sinx — 4cosx + 5.
СЗ. Трапеция MNPK с прямым углом KMN описана около
окружности радиусом 3. Найдите среднюю линию трапеции, если угол между
средней линией и боковой стороной РК равен 30°.
С4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10. Каков
должен быть периметр этого треугольника, чтобы площадь треугольника
была наибольшей?
- 2х = m — х
С5. При каких значениях параметра га уравнение
имеет корни?
Сб. Если двузначное число разделить на число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке, то в частном получится 3, а в остатке 5.
Если же это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8,
а в остатке 4. Найдите это число.

96
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
Вариант №8
Часть 1
81. До повышения цены учебник стоил 96 рублей, а после повышения
цены стал стоить 120 рублей. На сколько процентов была повышена цена
учебника?
82. На графике показана среднесуточная температура воздуха с 5 но
12 июня 1995 года в городе Сочи (см. рис. 51). Определите в градусах
разность максимальной и минимальной температур в этот период времени.
24
22
20
16
I 14
i i
/
/
/
/
/
\
\
►
8 9
Дни
10
12
Рис.51.
83. Упростите выражение (1 + sine*)2 + (1 — sine*)2 + 2cos2 с*.
84. Вычислите площадь четырёхугольника, изображённого на
рисунке 52. Размер клетки 1 см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
/
\
/
\
\
\
\
/
\
/
Рис. 52.

Вариант №8
97
В5. Фермер для остекления теплицы должен заказать 40 одинаковых
стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,2 м2. В
таблице приведены цены на стекло и на резку стёкол. Сколько рублей нужно
заплатить фермеру за самый выгодный заказ?
Фирма
1
2
3
Стоимость стекла
(руб. за 1 м2)
320
300
350
Резка стекла (руб. за одно стекло)
15
25
10 или бесплатно, если
сумма заказа более 1800 рублей
86. Решите уравнение |3х — 8| = \Ъх — 2|. В ответе запишите сумму
корней, если их несколько.
87. Решите уравнение у/2 • sin х = — 1 на промежутке — ^; 0 . Ответ
запишите в градусах.
88. На рисунке 53 изображны график функции у = f(x) и касательная
к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение ff(x0).
У*
\
2-
1-
О
\
\
1
\
)
\
\
\
\
X
Рис. 53.
В9. При движении тела по прямой расстояние s (в метрах) от началь-
ной точки изменяется по закону s(t) = — — 4t2 -f 15£ -f 7 (t — время
о
движения в секундах). Сколько мгновенных остановок (г;Мгн. = 0)
сделает тело за первые 6 секунд своего движения?
В10. Найдите наибольшее значение функции у = х Н
х-1
на отрез-
ке[2;4].

98 Учебно - тренирово чные тесты (без логарифмов)
В П. Имеются два сплава меди и цинка. В одном сплаве количество
этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом — в отношении 3:7.
Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава,
в котором медь и цинк были бы в отношении 5 : 11? В ответе запишите
массу меньшего сплава.
В12. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 3,
апофема пирамиды образует с высотой угол 30°. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
Часть 2
С1. Решите уравнение 1 - sin2 х + sin 2х = 1 - 5 tg x.
С2. Найдите множество значений функции у = 8mx ~
СЗ. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом 3.
Найдите площадь трапеции, если косинус угла при основании равен 0,8.
С4. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг радиуса 5 так, что
одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у
которого наибольшая площадь. Найдите эту площадь.
С5. Решите уравнение %/sin 2х - m cos 2x + sinx = 0, если известно,
что х = ^р — один из его корней.
Сб. Искомое трёхзначное число оканчивается цифрой 5. Если эту
цифру перенести с последнего места на первое, сохранив порядок остальных
двух цифр, то вновь полученное число будет больше искомого на 162.
Найдите это число.
Вариант №9
Часть 1
81. Женские коньки стоили в магазине 1200 рублей. Сколько пар
коньков можно купить на 6250 рублей весной после скидки 35%?
82. На графике (см. рис. 54) показано количество осадков, выпавших
в течение месяца. На оси абсцисс отмечены дни, на оси ординат —
количество осадков, выпавших к этому дню в мм. Определите по графику,
какого числа уровень выпавших осадков достиг 40 мм.

Вариант №9
hu
^ 45
| 40
^ 35
30
25
20
15
10
§
99
10
15 20
Дни
25
30
Рис. 54.
83. Найдите значение выражения sin4 a + cos4 a + i sin2 2a.
84. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке 55. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах (примите тг = 3,1). Округлите до
целого значения.
\см
Рис. 55.
В5. Для изготовления стеклянных столов требуется заказать 46
одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,2 м2. В
таблице приведены цены на стекло, а также на резку стёкол и шлифовку
края. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

100
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
Фирма
А
Б
В
Стоимость стекла
(руб. за 1м2)
305
330
350
Резка и шлифовка
(руб. за 1 стекло)
18
12
7 (Бесплатно, если стоимость
заказа больше 3000 руб.)
86. Найдите количество целочисленных решений неравенства
|3х - 15| ^ 9.
87. Решите уравнение cosx = sin2x • cos x на промежутке [0°;60°].
Ответ запишите в градусах.
о
88. Прямая у = -х + 7 параллельна касательной к графику функции
о
у = х3 — 4х2 + 6х + 5. Найдите абсциссу точки касания. Ответ округлите
до сотых.
89. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота,
на которой он находится, описывается формулой h(t) = — 5 • t2 + Ш, где
h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска.
Определите, на какой высоте его скорость составила 10 м/с при падении
с максимальной высоты вниз.
1 Q
810. Найдите наименьшее значение функции f(x) = -х3 - -х2 + 5 на
о 2*
отрезке [—1;4].
811. Имеются два слитка, содержащие иридий. Масса первого
слитка в 3 раза меньше, чем масса второго. Процентное содержание иридия в
первом слитке — 40%, во втором слитке — 20%. Каково будет процентное
содержание иридия в сплаве этих двух слитков?
812. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со
стороной основания 8 см и высотой \/3 см.
Часть 2
С1. Решите уравнение sin4 х + cos4 х - - sin 2х + | sin2 2x = 0.
о о
С2. Найдите множество значений функции у = 4sin3x - 4cos3x + 5.
СЗ. На хорде АВ окружности с центром О взята точка М так, что
MB = 5. Через точки А, М и О проведена окружность, которая
пересекает первую окружность в точках Аи С. Найдите длину МС.
С4. Жёлоб для водостока решили сделать из листа железа так, чтобы
через него могло протекать максимальное количество воды в единицу вре-

Вариант №10 1Ш_
мени. Размеры листа: длина — 1,5 м, ширина — 20л/2 см. Форма жёлоба
такова, как показано на рисунке 56. Каков будет объём жёлоба в литрах?
1,5 м
Рис. 56.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
/«У + 14аУ + (49а* + ба)а» + А2аЧ + 9 ^2 lfa 4g Q не
у \/а — 2х — у/х — а
имеет решений.
Сб. В последовательности троек натуральных чисел (2,3,5), (6,15,10)
и т. д. каждая тройка получается из предыдущей следующим образом:
первое число умножается на второе, второе — на третье и третье — на первое,
и полученные произведения дают новую тройку. Найдите, сколько чисел,
получаемых таким образом, можно представить в виде гап, где га, n —
натуральные числа и п ^ 2.
Вариант №10
Часть 1
BI. Мужские коньки стоили в магазине 1400 рублей. Сколько пар
коньков можно купить на 6750 рублей весной после скидки 40%?
82. На графике (см. рис. 57) показано количество осадков, выпавших
в течение месяца в определённом месте области. На оси абсцисс
отмечены дни, на оси ординат — количество осадков в мм, выпавших к этому
дню. Определите по графику, в какой день количество выпавших осадков
достигло 20 мм.
83. Найдите значение выражения (tga + ctga)2 — (tga — ctga)2.

102
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
10 15
Дни
Рис. 57.
20
25 "30
В4. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке 58. Ответ
дайте в квадратных сантиметрах (примите тг = 3,1). Округлите до
целого значения.
\7
7
\см
Рис. 58.
В5. Для изготовления стеклянных столов требуется заказать 30
одинаковых стёкол в одной их трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,15 м2. В
таблице приведены цены на стекло, а также на резку стёкол и шлифовку
края. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

Вариант №10
103
Фирма
А
Б
В
Стоимость стекла
(руб. за 1м2)
310
320
360
Резка и шлифовка
(руб. за 1 стекло)
15
10
5 (бесплатно, если стоимость
заказа больше 1500 руб.)
86. Найдите количество целочисленных решений неравенства
\2х - 4| < 8.
87. Решите уравнение cos ж • sin х = - на промежутке [0°; 45°]. Ответ
запишите в градусах.
88. Прямая?/ = --ж + 8 параллельна касательной к графику функции
о
у = х3 + 4ж2 + Ьх - 12. Найдите абсциссу точки касания. Ответ округлите
до сотых.
89. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота,
на которой он находится, описывается формулой h(t) = — 5 • t2 + 12t, где
h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска.
Определите, на какой высоте его скорость составила 7 м/с при падении с
максимальной высоты вниз.
810. Найти наименьшее значение функции f(x) = jx4 - 2х2 + 1 на
заданном отрезке [—1; 3].
811. Имеются два слитка, содержащие свинец. Масса первого
слитка на 10 кг меньше, чем масса второго. Процентное содержание свинца
в первом слитке — 60%, во втором слитке — 30%. В сплаве этих двух
слитков содержание свинца составило 37,5%. Найдите массу полученного
сплава.
812. Найдите площадь полной поверхности правильной
четырёхугольной пирамиды со стороной основания 10 см и высотой 12 см.
Часть 2
С1. Решите уравнение sin4 х + cos4 х — | sin 2x — sin2 2x = 0.
С2.Найдите множество значений функции у = 3 sin 2а: — 3 cos 2х + 7.
СЗ. Хорда АВ стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит
на этой дуге, а точка D — на хорде АВ. AD = 8, DB = 4, CD = 4л/2.
Найдите площадь треугольника ABC.

104
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
С4. Жёлоб для водостока решили сделать из листа железа так,
чтобы через него могло протекать максимальное количество воды в единицу
времени. Размеры листа: длина — 1,5 м, ширина — 40 см. Форма жёлоба
такова, как показано на рисунке 59. Каков будет объём жёлоба в литрах?
/
\,5м
/
9tf/
Рис. 59.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
33а V + 40аЗ* + 16а4 + ^2 + 16х + 55 ^ р не имеет
V а — бх — у/х — a
решений.
Сб. На доске выписаны числа от 1 до 2010. Разрешается стереть
любые два числа и вместо них записать одно число — модуль их разности.
После повторения указанной процедуры несколько раз на доске
останется одно число. Какое это может быть число?
Вариант № 11
Часть 1
81. Упростите выражение 2 sin2 х + 4 + 2 cos2 x.
82. Решите уравнение 2 cos ж — 1 = 0 на отрезке 0; ^ . Ответ запи-
шите в градусах.
83. Найдите наибольшее значение функции у = 4 + 2sin4x.
84. При каких значениях х выполняется равенство f'(x) = 5, если
известно, что f(x) = 4^/х — 1 + Зх — 11?
85. Упростите выражение ctg2 х • (1 — cos2 ж), если cos ж = 0,2.
86. Решите уравнение cos2 2х + 3cos2x + 2 = 0 на отрезке 10; ^ .
Ответ запишите в градусах.

Вариант №11
105
В7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = v^cos § в точке с абсциссой хо = тг.
о
В9. Точка движется по координатной прямой согласно закону
#(£) = г3 + t2 + 2, где ж — перемещение в метрах, £ — время в секундах.
В какой момент времени ускорение точки будет равно 8 -^ ?
810. Найдите максимум функции у = -х3 — 4х2 + lbx — 15.
о
811. Функция у = f(x) определена на промежутке (c;d). На
рисунке 60 изображён график производной функции у = f'(x). Найдите
количество точек минимума функции.
с
[
\
У*
~1
~т_
/
/
\о
1\
\
i
г- v-f't
\ i i
\
\
1 А
1 /
\ у
м
1 1
'х)
V
Рис. 60.
В12. При каком положительном значении параметра а наименьший
положительный период функции у = - cosfa2x + тг) равен 8тг?
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение \/16 — х2 (—* 2) = 0?
Vcos^x /
С2. При каком наименьшем значении а уравнение
—х3 — Зх2 + 8 — a = 0 имеет ровно два корня?
СЗ. Решите уравнение: tg 6x cos 2х — sin 2х — 2 sin 4ж = 0.
С4. Найдите множество значений функции
у = arccos

106 Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
С5. Определите наименьшую суммарную длину всех рёбер
прямоугольного параллелепипеда, полная поверхность которого равна 600 см2,
если основание его является квадратом.
Сб. Найдите, при каком значении параметра р графики функций
/(х) = psin2 х + 2 cos а: — р и д(х) = 4 — 2pcosx имеют хотя бы одну
общую точку.
Вариант №12
Часть 1
81. Упростите выражение 2 sin2 х + 2 sin2 x • ctg2 x.
82. Решите уравнение 5 sin ж = 0 на отрезке 0; ^ . Ответ запишите в
градусах.
83. Найдите наименьшее значение функции у = 1,5 — 2sinx.
84. При каком значении х выполняется равенство f'(x) = —3, если
известно, что f(x) = 15 — 2х + 4\/5 — х?
85. Упростите выражение 5 + 2 ctg2 x • sin2 ж, если cos2 x = 0,3.
86. Решите уравнение sin2 ?—5 sin ^+4 = Она отрезке ?;тг .Ответ
запишите в градусах.
87. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = tg х в точке с абсциссой х0 = j.
Rft d cos 105° cos 5° + sin 105° sin 5°
B8. Вычислите cosl8ocos62o _ sin62o cos72o •
B9. Точка движется по координатной прямой согласно закону
s(t) = — 9t2+t3 —11, где s — перемещение в метрах, t — время в секундах.
В какой момент времени ускорение точки будет равно нулю?
810. Найдите минимум функции у = ?j- + Щ?- + *Ц- + 2.
811. Функция у = f(x) определена на промежутке (-4; 7). График её
производной изображён на рисунке 61. Укажите количество точек
максимума функции у = /(я).
812. При каком отрицательном значении параметра а период функции
= -\ cos(a2a; + ^) равен |?

Вариант №13
107
4
S
У*
/
/
Л 1
/
/
/
0
i
1
/
f
\
y=f(x)
\
\
\
\
}
Рис.61.
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
) 7а:-3 = 0?
С2. При каком наименьшем значении а уравнение
хА - 8х2 + 7 - a = 0 имеет ровно два корня?
СЗ. Решите уравнение sin 6х + ctg За; cos 6х = cos Зж.
С4. Найдите множество значений функции
sin2a:
in2a:J J.
у = — arcsin
С5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
АС — 2\/2 м, а ЛЛх = 1 м. Найдите площадь боковой поверхности
параллелепипеда, имеющего наибольший объём.
Сб. При каких значениях параметра р система уравнений
{у = 5р + 4 sin х + р cos ж + sin 2ж,
t/ = 3cosx + 2psin:r +p2 + 6
не имеет решений?
Вариант №13
Часть 1
81. Упростите выражение 1 — cos2 х + tg2 x cos2 ж — 2 sin2 x.
82. Решите уравнение sin a: + sin2 a: + cos2 а: = 0 на
промежутке — т£; 0 . Ответ запишите в градусах.
83. Найдите наибольшее значение функции у = л/cos2 х + 1.

108
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
84. При каких целых значениях х выполняется равенство
f'{x) = 11, если известно, что f(x) = -х2 + Зх3 + х — 1?
85. Упростите выражение 3 tg2 x cos2 x — 5, если sin ж = 0,4.
86. Решите уравнение cos Юх + 2 sin2 Ъх = 2 sin ж на отрезке 0; ^ .
Ответ запишите в градусах.
87. На графике функции у = -4х + 2у/х найдите абсциссу точки, в
которой касательная образует с положительным направлением оси абсцисс
угол 45°.
DO o 7 cos 75° cos 15° -cos 15° cos 105°
B8. Вычислите —т= •
У2 sin 18° sin 63° + sin 108° sin 27° '
B9. Тело движется по координатной прямой согласно закону
s(t) = t3 — bt2 + 6t + 7, где s — перемещение в метрах, t — время в
секундах. В какой момент времени ускорение точки будет равно 8 -^Р
810. Найдите минимум функции у = — Щ- + х3 + Ах — -.
о о
811. Функция у = f(x) определена на промежутке (а; Ь). График её
производной изображён на рисунке 62. Найдите длину наибольшего
промежутка убывания функции у = f(x).
/
I
1
1
о
i
\
\
\
к
\
1
1
/
f
У
\
=f'(x)-
\
/
)
Рис. 62.
В12. При каком значении параметра к период функции
у = 2sin(kx + 8) равен 8тг?
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение у/4 — х2 (sin7 х — cos7 ж) = 0?
С2. При каком значении а уравнение
х4 — 8х3 — 8х2 + 96ж + a = 0 имеет ровно три корня?

Вариант №14 109
СЗ. Решите уравнение 4 cos ж = \/3ctg:r + 1.
С4. Найдите множество значений функции
у = 2arctg ( —^=(\/3sin:r — cosa: + 4) j.
C5. Найдите наибольший объём правильной четырёхугольной призмы,
периметр диагонального сечения которой равен 6 дм.
Сб. При каких значениях параметра а система уравнений
{у = sin 2х + a cos x + 4 sin x + За,
у = cos х + 2а sin х + а2 + 2
не имеет решений?
Вариант №14
Часть 1
Q
Q
81. Упростите выражение 3 cos2 х — —^ — 2.
82. Решите уравнение л/3 — ctgx = 0 на промежутке 0; тИ. Ответ
запишите в градусах.
83. Найдите наибольшее значение функции у = cos2 x + 2.
84. При каком наименьшем значении х выполняется равенство
f'(x) = 0, если известно, что f(x) = + х?
X о
85. Упростите выражение ctg2 x — 2 cos2 x tg2 х + -, если
о
sin2 ж = -.
о
86. Решите уравнение cos3 ж+sin2 х cos х = - cos2 х на отрезке Mj; тг .
Ответ запишите в градусах.
87. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = ctg ^ в точке с абсциссой ж0 = тт.
Dfi n V^(sin70°+sin20°)
Во. Вычислите —-
sin 80° cos 15° - cos 80° cos 75°'
B9. Два тела совершают прямолинейное движение по законам
si(t) = 3t2 -2t + 10, s2(0 = t2 + Ы + 1, где t — время в секундах, a si(t)

110
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
и s2(t) — пути в метрах, пройденные соответственно первым и вторым
телами. Через сколько секунд, считая от t = 0, скорость движения первого
тела будет в два раза больше скорости движения второго тела?
В10. Найдите длину наибольшего промежутка возрастания функции
В11. Функция у = /(х) определена на промежутке (—6;3). График её
производной изображён на рисунке 63. Укажите точку максимума
функции у = /(х) на промежутке (-6; 3).
_
>
/
>
s
\
\
У*
1
0
ч
1
Ш00»
Рис. 63.
В12. При каком значении параметра а период функции
у = — 3sm(ax + jj равен тг?
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение \Jlx — x2(2cosx - 1) = 0?
С2. При каком наибольшем значении к уравнение
— -h —— xz + 18 — к = 0 имеет ровно три корня?
СЗ. Решите уравнение (sinx — cosx)2 -h tgx = 2 sin2 x.
C4. Найдите множество значений функции
У = 2arccos sbx + cosx+ V2 + h
С5. Найдите наибольшую площадь боковой поверхности правильной
четырёхугольной призмы, у которой диагональ равна у/2 м.
Сб. При каком целом значении параметра к система уравнений
Г у = 2fc sin x — cos2 x,
\ у = 15 - 8fc
имеет хотя бы одно решение?

Вариант №15 111
Вариант №15
Часть 1
81. Упростите выражение 5 tg2 x cos2 х + 5 sin2 x ctg2 x.
82. Решите уравнение cos2x — 1 = 0 на промежутке тг; ^Ч. Ответ
запишите в градусах.
83. Найдите наибольшее значение функции у = 4cos2x + 3.
84. При каком наибольшем значении х выполняется равенство
f(x) = О, если известно, что f(x) = -х4 - -х3 + 11?
Z о
85. Упростите выражение 6sin2 х — 4, если cos2 х = j.
86. Решите уравнение cos2x — 2 cos2 ж = 2 cos ж на отрезке ^; тг .
Ответ запишите в градусах.
87. Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику
функции у = 4ж2 — 8х + 4 параллельна оси абсцисс.
В8. Вычислите а/З^4 ^J^to + 16 sin2 15° cos2 15°.
1 - tg 4 tg 26
B9. При движении тела по прямой расстояние s (в метрах) от
начальной точки изменяется согласно закону s(t) = t3 - 9t2 + 24* + 6 (t — время
движения в секундах). Укажите момент времени t после начала движения,
когда тело сделает первую мгновенную остановку.
гЛ 2х3 х2
810. Найдите минимум функции у = — -\——- + — + 1.
4 о Z
811. Функция у = f(x) определена на промежутке (а; Ь). График её
производной изображён на рисунке 64. Укажите число точек максимума
функции у = f(x).
812. При каком значении параметра к период функции
у = -tg(kx + j J равен 4тг?
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение \/Ьх -ж2 (2 cos2 ж - 1) = 0?

112
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
(
/
(
1
\
\ 1
\
ю
\
\
1
\г
. v=f'M
У
/
/1
|
\
\
J
1
J
У*
f\
/
i
)
Рис. 64.
С2. При каком наименьшем значении а уравнение ж3+3ж2 — 9х — a = О
имеет ровно два корня?
СЗ. Решите уравнение ctg x cos Ъх = cos 6х + sin Ъх.
С4. Найдите множество значений функции
у = - arctg (0,25(>/38тж - cos x + 2)).
С5. В прямоугольном параллелепипеде периметр основания равен
6 см. Найдите наибольший объём параллелепипеда, если его высота равна
одной из сторон основания параллелепипеда.
Сб. При каком наименьшем натуральном значении параметра а систе-
о Г у = sin2 х — 12а,
ма уравнении < * . _ .
[ у = 4 — 6а sin х
не имеет решений?
Вариант №16
Часть 1
81. Упростите выражение 2 cos2 4х + tg x ctg х + 2 sin2 4x.
82. Решите уравнение 3tgx — л/3 = 0 на промежутке 0; тИ. Ответ
запишите в градусах.
83. Найдите наименьшее значение функции у = 2 sin x — 1.
84. При каких натуральных значениях х выполняется равенство
у'(х) = 0, если известно, что у(х) = }гх3 - 2х2 + 7.
85. Упростите выражение 4 — 2 cos2 ж, если sin2 x = 0,75.

Вариант №16
113
86. Решите уравнение sin6x — 7sin3x = 0 на промежутке (0; ^ . От-
вет запишите в градусах.
87. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = sin3x в точке с абсциссой xq = тг.
DO D cos 105° sin35° - cos 145° cos 15°
B8. Вычислите . 2og0 y^o •
sm"5 25 - cos"5 25
B9. Тело движется по прямой так, что расстояние s (в метрах) от него
4.4 +3
до данной точки М этой прямой изменяется по закону — — — +2tz — bt
LZ о
(t — время движения в секундах). Через сколько секунд после начала
движения ускорение станет равным 4 -^?
810. Найдите наибольшее целое отрицательное число, принадлежа-
4
щее промежуткам возрастания функции у = — ^- + х3 + х2 — 3.
811. Функция у = f(x) определена на промежутке (а; Ь). График её
производной изображён на рисунке 65. Найдите наибольшую длину
промежутка возрастания функции у = f(x).
(
\
\
\
\
1
1
(
О
1
\
-y=f'(x)
1
I
I
г
г
\
у
у
?
Рис. 65.
В12. При каком отрицательном значении параметра к период функции
у = 4tg(k2x+?rJ равен 4тг?
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение
\/-x2 + 8x-7(cos2x - sin2x) = 0?
С2. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение
--ж3 + х2 + Зх — a = 0 имеет ровно один корень?
о

114 Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
СЗ. Решите уравнение 5 sin4 х — cos4 х = sin2 2x.
С4. Найдите множество значений функции
у = — arccos (v^5(cos x cos Зх — sin x sin За;)).
С5. Требуется изготовить закрытый ящик с квадратным дном, объём
которого 8 дм3. Каковы должны быть линейные размеры ящика, чтобы его
полная поверхность была наименьшей?
Сб. Найдите все значения параметра Ъ, при которых графики функций
f(x) = btg2 х и д(х) = 6 — cos ж — Ь имеют хотя бы одну общую точку.
Вариант №17
Часть 1
81. Упростите выражение 6,8 — 4,1 sin2 Зх — 4,1 cos2 Зх.
82. Решите уравнение 1 — 2sinx = 0 на отрезке 0; ^ . Ответ
запишите в градусах.
83. Найдите наибольшее значение функции у = 5 + 2 sin ж.
84. При каком целом значении х выполняется равенство
f'(x) = -1, если известно, что f(x) = \хъ + §ж2 + 21?
85. Упростите выражение 7 cos2 х — 3ctg2 a: sin2 x, если cos2 x = 0,3.
86. Решите уравнение sin2 ^ — 5 sin jr +4 = 0 на отрезке ^; тг . Ответ
запишите в градусах.
87. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
в точке с абсциссой х0 = 8.
88. Вычислите cos2 150° - (sin 70° cos 40° - cos 70° cos 50°)2.
B9. Точка движется по координатной прямой согласно закону
x(t) = t3 - 9t2 + 24£ + 6, где х — перемещение в метрах, t — время в
секундах. Укажите первый момент времени, когда она меняет направление
своего движения.
В10. Найдите наименьшее натуральное число, принадлежащее проме-
4
жутку возрастания функции у = —— 4х3 + 18ж2 — 9.

Вариант №18
115
В11. Функция у = f(x) определена на промежутке (—6;3). График её
производной изображён на рисунке 66. Найдите точку максимума
функции у = f(x).
/
/
6
У
\
\
\
\
\
У*
1
0
1
/
/
\
Рис. 66.
В12. Найдите наименьший положительный период функции
у = 2 sin х + 3cos 2ж (считать число тг равным 3).
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение (sinx + v^cosa:) \/64 — х2 = О?
С2. При каком натуральном значении а уравнение ж3 — Зж + 2 — а = 0
имеет ровно два корня?
СЗ. Решите уравнение 3 — cos4r =
у = —
С4. Найдите множество значений функции
(sin ж + cos ж) 1.
С5. Диагональ боковой грани правильной четырёхугольной призмы
равна 2>/3 м. Какой наибольший объём может иметь такая призма?
Сб. При каких значениях параметра к прямая у = —4fc — 3 и график
функции у = cos2 х — 2fcsina: имеют хотя бы одну общую точку?
Вариант №18
Часть 1
81. Упростите выражение —5 sin2 х + 2 — 5 cos2 x.
82. Решите уравнение 2 sin ж — у/3 = 0 на отрезке 0; ^ . Ответ
запишите в градусах.

116
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
83. Найдите наибольшее значение функции у = 2cos2x + 3.
84. Определите, при каком наибольшем значении х выполняется
равенство у'(х) = 0, если известно, что у(х) = Зх3 — 2х2 — Ьх.
85. Упростите выражение ctg2 x(3 — 3cos2 ж), если cos ж = 0,1.
86. Решите уравнение 2 cos2 ^ + 3cos ^ — 2 = 0 на отрезке тг; 4? •
Ответ запишите в градусах.
87. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции
у = \/5 — 2х в точке с абсциссой хо = 2.
88. Вычислите cos 66° cos 42° + cos 24° cos 48°
sin2 12° - cos2 12°
B9. При движении тела по прямой расстояние s(t) (в метрах) от
фиксированной точки Р до тела изменяется по закону
s(t) = St2 + It + sin £ + 1 (t — время движения тела в секундах). Какой
была скорость тела в момент начала движения?
810. Найдите максимум функции у = —х4 + ^ — 1.
811. Функция у = f(x) определена на промежутке (а; Ь). График её
производной изображён на рисунке 67. Найдите число точек минимума
функции у = f(x).
с
\
Л
\
\
\
1
о
\
\
1
1
J
1
f
y-f'(x)
\
J
\
)
/
ь
Рис. 67.
В12. Найдите наименьший положительный период функции
у = 5sin2x + 7 cos ж (считать число тг равным 3).
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение \/9 — ж2 (cos ж — sin ж)6 = 0?
С2. При каком натуральном значении йуравнениех3+3х2—9х — к = 0
имеет ровно два корня?
СЗ. Решите уравнение sin х + sin За: = 4 cos2 x.

Вариант №19 Ш_
С4. Найдите множество значений функции
у = 2 arcsin ( 7= (sin х ~ cos х ~ Зл/2) ) •
С5. Найдите наибольший объём правильной четырёхугольной призмы,
периметр диагонального сечения которой равен 6 дм.
Сб. Найдите все значения параметра р, при котором прямая у = 3 - р
и график функции у = pctg2 x + sin x имеют хотя бы одну общую точку.
Вариант №19
Часть 1
81. Упростите выражение 2 sin2 х + 4 + 2 cos2 x.
82. Решите уравнение 2 cos ж — 1 = 0 на отрезке 0; ^ . Ответ
запишите в градусах.
83. Найдите наименьшее значение функции у = 4 + 2sin4a:.
84. При каких целых значениях х выполняется равенство
f(x) = 8, если известно, что f(x) = х3 - х2 - 13?
85. Упростите выражение tg2 a:(sin2 x — 1), если sin а: = 0,2.
86. Решите уравнение cos2 2х + 3cos2x + 2 = 0 на отрезке ?;тг .
Ответ запишите в градусах.
87. На графике функции у = 2\/3 — х найдите абсциссу точки, в
которой касательная образует с положительным направлением оси абсцисс
угол 135°.
„ п „ sin 75° sin 43° - sin 15° sin 47°
B8. Вычислите . —5 .
- 2 sin 14 cos 14
B9. Уравнение зависимости пройденного точкой М пути s(t) (в
сантиметрах) от времени t (в секундах) имеет вид s(t) = 5 sin21. Найдите
максимальное ускорение точки М.
В10. Найдите длину наибольшего промежутка убывания функции
у = х + - + 3.
х
ВП. Функция у = f(x) определена на промежутке (а;Ь). На
рисунке 68 изображён график производной у = f'(x). Найдите количество
промежутков возрастания функции у = f(x).

118
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
(
У*
1
\
1
\ \
V и
М
1
\
\
\
0
1
v=f'(x)
7
\
\
\
\
1
г
ъ
Рис. 68.
В12. При каком наименьшем положительном значении параметра к
период функции у = — 7sm(kx + т^) равен ^?
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение у/4 — х2 ( 2 г-%— ) = О?
С2. При каком наибольшем целом значении а уравнение
Щг- + х2 — Зж+|— а = 0 имеет ровно три корня?
о о
СЗ. Решите уравнение sin 2х + 1 = sin2 x + 6 ctg x.
С4. Найдите множество значений функции
С5. Определите наименьшее значение периметра прямоугольного
треугольника, если его площадь равна 8 см2.
Сб. При каких значениях параметра m прямая у = Зтп — 2т2 не имеет
общих точек с графиком функции у = sin2 x + mcosx?
Вариант №20
Часть 1
В1. Упростите выражение 2 sin2 x + 2 sin2 x ctg2 x.
В2. Решите уравнение V^sinx = Она отрезке 0; ^ . Ответ запишите
в градусах.
ВЗ. Найдите наименьшее значение функции у = 1,5 — 2 sin ж.

Вариант №20
119
84. При каких значениях х выполняется равенство f'(x) = 4, если
известно, что f(x) = (3 — 2а;)2?
85. Упростите выражение 5 + 2 tg2 x cos2 x, если sin2 x = 0,3.
86. Решите уравнение sin2 ^ — 5 sin ^ + 4 = 0 на отрезке тг; -^ .
Ответ запишите в градусах.
87. На графике функции у = 2\/Зх найдите абсциссу точки, в
которой касательная образует с положительным направлением оси абсцисс
угол 60°.
D o „ 3 cos 28° cos 34° - 3 cos 62° cos 56°
B8. Вычислите ——-^ -^ о . о .
sin 74 cos 46 — cos 44 sm 16
B9. Точка А совершает прямолинейные колебания по закону
x(t) = 14 cos (2t + 3) + 7, где х — перемещение в сантиметрах, t — время
в секундах. Найдите максимальное ускорение точки А.
810. Найдите минимум функции у = ^- + ^ §х + 4-
811. Функция у = /(ж) определена на промежутке (-4; 7). График её
производной изображён на рисунке 69. Найдите количество точек
минимума функции у = /(#).
4
\
\
\
\
у
1
\
О
J
1/
(
1
/
/
/
/
А
\
v=f'(x)
LJ
\
/
1 *
f
5
Рис. 69.
В12. Найдите наименьший положительный период функции
у = 2 cos2 2х (считать число тг равным 3).
Часть 2
С1. Сколько корней имеет уравнение л/16 — ж2 (sin а: — cos х) = 0?
С2. При каком наименьшем значении а уравнение
-т#4 — 2х3 — 2ж2 + 24а: — a = 0 имеет ровно два корня?

120 Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
СЗ. Решите уравнение sin ж + ctg ^ = 2.
С4. Найдите множество значений функции
у = 2arctg (л/з(соз4а:8т4ж — Ц^-cosSxj ].
С5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
BD = 4\/2 м, а АА\ = 1 м. Найдите площадь полной поверхности
параллелепипеда, имеющего наибольший объём.
Сб. Найдите наибольшее целое отрицательное значение параметра а,
при котором графики функций f(x) = cos2 x — 4а и д(х) = 4 — 2а cos x не
имеют общих точек.

Ответы к тестам
Ответы к заданиям В
О
3
гъ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
В1
29
432
25
85
3995
6480
4200
25
8
8
6
2
0
-2
5
3
2,7
-3
6
2
В2
4
4
115
60
5
4
2
10
25
15
60
0
-90
30
180
30
30
60
60
0
вз
4
-1
1
1
7
8
4
4
1
4
6
-0,5
2
3
7
-3
7
5
2
-0,5
В4
10
38
25
37,5
25
6
20
12
32
29
2
1
1
1
0,5
4
-1
1
2
2
В5
21000
450
325
430
27200
40700
4620
2800
3220
1620
0,04
5,6
-4,52
5
-2,5
3,5
1,2
0,03
-0,04
5,6
В6
3
5
1,6
3
2
1
-2,8
-1,75
7
9
90
180
30
90
120
60
180
180
90
180
В7
157,5
4
4
4
60
45
60
-45
45
15
-0,5
2
0,04
-1
1
-3
-2
-1
2
1
В8
1
-3
2
-1
2
2
0
-1
1,33
-1,33
1
-1
3,5
2
2
-1
0,5
-1
-1
3
В9
39
2,25
1
-1,5
2,75
8
70
2
6,25
4,75
1
3
3
6
2
2
2
8
10
56
вю
-2,5
-1
-1
-19
1
-1
8
6
0,5
-3
3
2
-10
4
1
-1
1
-0,8125
2
-5
BU
400
45
16
8
20
10
10
1
25
20
2
1
2
-1
3
2
-3
1
2
2
В12
6
25
6
125
20
48
72
24
96
360
0,5
-4
0,25
2
0,25
-0,5
6
6
14
1,5

Ответы к заданиям С
2
3
4
5
6
7
8
С1
| + тгп, 2тгп, Щ- + 2тгп, n € Z
| + 2тгА:, А: € Z
тгк, к е Z
тгк, ± arccos W ^ + тг&, А; € Z
V 8
тгп; ±^ arccos ^ + тгп, п € Z
2 о
| + тгА:, к € Z
Trfc, к € Z
С2
[-0,25е-33;+оо)
[-3,5625; 7]
[0;V2]
[ч^;ч^]
[0;2\/2]
[0;2\/2]
[0;Ю]
и-]
сз
12,48
12 15
12' 3
12
5
9,75
8\/2
5
9
60
С4
4(2л/3 + \/б)
32
3
7
8
6 + 6\/2
16 + 8\/2
10 + 10>Д
25
С5
±1
о < — 1 — нет решений;
а= -1 — х = -1;
-1<а<-|-* =
= 2а + 1 ± 2л/оТТ;
а>-|,х =
= 2а + 1 + 2у/аТТ
[5; 6)
(-3;-I]u
u[|;2)
[-2;-l]u[3;4]
[0; 1) U [2; +оо)
-f+2тгА:,
arctgl +тг(2А: + 1);
kez
се
0,4\/39
(5;-2), (-5; 2)
50
112
^;2V7;
л/145
2
л/34 \/70
2 ' 2
92
375
I

Ответы к заданиям С (Продолжение)
9
10
11
12
13
14
15
16
17
С1
Решений нет
I.(-l)n.arcsini +
5
3
3
4
5
6
7
С2
[5 - 4%/2; 5 + 4%/2]
[7 - 3\/2; 7 + 3\/2]
4
-9
-112
18
-5
10
4
СЗ
5
12>/2
7ГП j. 7Г , 7ГП _ /- -7
~2~i:t18 + ~3~'neZ
О 3
| + 2пк, kez,
2тг ■ 2тгп „ ^ /7
T + "aT'neZ
7Г _i_ ТТЛ 1, (- /7.
| + 2тгп, n G Z
z + mi}Tiez
(-l)nf+ ^,
n G Z
С4
15
30
L4' 2J
L3' 3 J
[f + l;7r + l]
[0;2]
[i;3]
[-4; 4]
С5
ае (-12;-6]U
U[0;+oo)
ае (-ll;-10]U
U[0; +оо)
120
8
2
2\/2
4
2,2,2
16
С6
0
2к-1,гяеке N,
к ^ 1005
f-oo;-2J U [2;+оо)
(-с»; 1) U (5;+оо)
(-oo;-l)U(3;+oo)
2
1
(0;7]
[-1,5; -0,5]
to
со

Ответы к заданиям С (Окончание)
№
18
19
20
С1
4
4
5
С2
27
10
-36
сз
^ 4- тгп, п е Z
z+nk}kez
| + 2тгк, keZ
С4
[И
С5
2
8 + 4л/2
48
С6
(0;4]
(-oo;0)U(2;+oo)
-2

Решение варианта Ml 125
Решение варианта №1
81. После повышения цены на 20% тетрадь будет стоить
20 + 20-0,2 = 24 рубля. На 700 рублей можно купить 700 : 24 « 29,17
тетрадей. Целое число, удовлетворяющее условию, — 29 тетрадей.
Ответ: 29.
82. Наибольшая температура воздуха 5 марта 4°С.
Ответ: 4.
83. 3(cos2 х + sin2 ж)+ 1 = 3 + 1 = 4.
Ответ: 4.
B4.S=±-3-5+±-5-l = |(15 + 5) = 10 (см2).
Ответ: 10.
В5.1) 60 • 280 + 12000 = 28800 (руб.)
2) 60 • 320 + 10000 = 29 200 (руб.)
3) 60-350 = 21000 (руб.)
За самую дешёвую покупку нужно заплатить 21000 рублей.
Ответ: 21000.
В6. Возведём обе части неравенства в квадрат, учитывая, что \2х + 1| ^ 0
и \3х - 1| ^ 0. Получим (2х + I)2 - (Зх - I)2 ^ 0 &
(2х + 1 + Зх - 1)(2ж + 1-Зж + 1)^0 <^ 5ж(ж -2)<0<=>0<ж<2.
Исходное неравенство имеет три целых решения: 0; 1; 2.
Ответ: 3.
2х = ±j +2тгп, nGZ
X = ±f +7ГП, ПЕ Z.
о
Промежутку (?;тг принадлежит единственное решение
х = ^ (см. рис. 70), ^ = 157,5°.
о о
Ответ: 157,5.
В8. f(2) = tg ZABC = |g = | = 1 (см. рис. 71).
Ответ: 1.

126
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
Рис. 70.
Рис.71.
В9. v(t) = s'(t) = -8t + 25, v(t) = 1, -St + 25 = 1, t = 3.
s(3) = -4.32 + 25-3 = 39(m).
Omeem: 39.
BIO. y'(x) = e2x + (x + 2) • 2 • e2x = e2x(l + 2x + 4) = е2х(2ж + 5).
y'(x) = 0, x = -2,5.
При a: < -2,5, y'(x) < 0, при х > -2,5, t/'(x) > 0.
Следовательно, x = —2,5 — точка минимума заданной функции.
Ответ: —2,5.
В11.1) —гт^— = 160 (г) железа содержится в сплаве.
1UU
2) 400 — 160 = 240 (г) цинка содержится в сплаве.
3) Пусть надо добавить х г цинка, чтобы получился сплав, содержащий
80 % цинка. Составим уравнение:
д:)-100_оп
400 + х
2400 + Юх = 3200 + 8ж,
2х = 3200 - 2400,
2х = 800,
х = 400.

Решение варианта №1
127
Надо добавить 400 г цинка, чтобы получился сплав, содержащий 80%
цинка.
Ответ: 400.
В12. По условию призма правильная, следовательно, АВ\ = СВ\ как
диагонали равных граней, значит, ААВ\С — равнобедренный, В\К —
высота (см. рис. 72).
ААВС — правильный, высота ВК =
В АКВВг по теореме Пифагора ВХК2 = ВК2 + ВВ\,
, SABlC = \ • 2^3 • 2^3 = 6.
= 3.
SABlc = \
Ответ: 6.
Cl. (I — sin2a:) + (sinа: — cosx) = 0,
(sin ж — cos ж)2 + (sin а: — cos x) = 0,
[sin x
sin a: -
sin a: = cos a:,
r-l 1 Л #
V2 I sinar • —f= — cosx • —7= I = —1;
sin а: — cos а: = 0,
cosx = —1;
tgx=l,
7Г
\/2 ( sin a: cos у — cos a: sin у ) = — 1;

128
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
х = | + тгк, к е Z,
1+тгп, neZ;
х = | + тгк, к е Z,
Ответ: | + тгп, 2тгп, ^ + 2тгп, пе Z.
С2. у'(ж) = е4х + 4(ж + 8)е4х = е4х(4ж + 33).
2/'(ж) = 0, х = -8,25.
При х < —8,25 имеем у'(х) < О, при х > —8,25 имеем у'(ж) > О.
Функция у = (х + 8)е4х имеет единственную точку экстремума — точку
минимума х = —8,25, следовательно,
Унаим. = у(-8,25) = (-8,25 + 8) • е4^"8'25) = -0,25 ■ е"33.
Промежуток [—0,25 • е"33; +оо) — множество значений заданной
функции.
Ответ: [-0,25 • е"33;+оо).
СЗ. 1) По условию AT — биссектриса угла А, значит, Zl = Z2; Z2 = Z3
как накрест лежащие при ВС \\ AD и секущей AM, следовательно,
ААВМ равнобедренный, ВМ = АВ = 2 (см. рис. 73).
М г
D
АМТВ (Z2 = Z3, ZATD = ZMTB как вертикальные).
AD AT
N
Рис. 73.
2) AATD
Из подобия треугольников следует
ВМ МТ"
МТ =
ВМ AT 2 • 1,92
= 0,48.
AD 8
АМ = АТ + МТ= 1,92 + 0,48 = 2,4.
3) В ААВМ по теореме косинусов
ВМ2 = АВ2 + AM2 -2 АВ AM cos Zl;

Решение варианта МЫ
4) В AANM MN 1 AD, sinZ2 =
AM'
129
сое Zl AB2 + АМ2 ~ ВМ2 22 + 2'42 - 22 - 0 6
C0S^~ 2ABAM ~ 2-2-2,4 ~ U'°'
sin Zl = sin Z2 = 0,8.
MAT
MN = AM ■ sin Z2 = 2,4 • 0,8 = 1,92.
5) Sabcd = BC + AD ■ MN = ^b8- • 1,92 = 12,48.
Omeem: 12,48.
C4. Обозначим AC = x, ВС = у (см. рис. 74), тогда АВ =
, l
X X
Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции
р(х) = х + — + *х на промежуткех > 0.
,/ ч л 48 , 2ж4 - ж4 - 482
= (х2 - 48) ■ у/х4 + 482 + (х2 - 48) (х2 + 48) _
х2\/х4-Ь 482
= (х2 - 48)(\/х4 + 482 + х2 + 48).
р'(ж) = 0, ж2 - 48 = 0, ж > 0, х = 4д/3.
При ж < 4>/3 р'(ж) < 0, при х > 4>/3 р;(ж) > 0.

130 Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
Функция р(х) на промежутке х > 0 имеет единственную точку
экстремума — точку минимума х = 4>/3, следовательно в этой точке она принимает
наименьшее значение.
Рнаим. =
Ответ: 4(2>/3 + \/б).
С5. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений
Га + 1-|*-1|=0,
[ а + х2 - 2х = 0.
Заметим, что каждое из уравнений совокупности может иметь не более
двух корней.
Рассмотрим возможные случаи:
1. Уравнение а + 1 — \х — 1| = 0 имеет один корень, а уравнение
a + х2 — 2х = 0 — два корня.
Уравнение а+1 — \х — 11 = 0 имеет один корень, если а + 1 = 0, а = —1.
При а = —1 уравнение a + х2 — 2х = 0 примет вид х2 — 2х — 1 = 0 <&
Г з = 1 - \/2,
/- — два корня.
[ ж = 1 + v2,
а = — 1 — удовлетворяет условию задачи.
2. Уравнение а + х2 — 2х = 0 имеет один корень, а уравнение
а + 1 — \х — 1|=0 имеет два корня.
Уравнение а + ж2 — 2х = 0 имеет один корень, если трёхчлен х2 — 2х + а —
полный квадрат. Это условие выполняется только при a = 1.
При а = 1 уравнение а+1 — \х — 1| = 0 примет вид 2 — \х — 1| = 0 Ф>
Г
* = 1,
_ о — два корня.
|_ ж — о,
а = 1 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: ±1.
Сб. 25с2 - 60с + 36 = 6а2 - 60с + 168,
25с2 = 6а2 + 132,
ч
6а2 + 132
25
Найдём, при каком значении а целая часть числа с равна а, решив
неравенство
a < с < a + 1, где a G N,
а<ф
25

Решение варианта №11
131
<<(a+1)
6a2 + 132 > 25a2,
6a2 + 132 < 25a2 + 50a + 25;
a <
a <
19 '
-25- УШ8
19
ае (:
a<±^
19 '
19a2 + 50a - 107 > 0;
2658. /132
V 19
19
а >
/2658
19
Учитывая, что а € N, получим а = 2.
При а = 2 имеем с = А/6>22 + 132 = >Ж24 = 0,4>/39.
V 25
Ответ: 0,4>/39.
Решение варианта №11
Bl. 2(sin2х + cos2x) + 4 = 2 + 4 = 6.
Ответ: 6.
х = ±% +2тгп, пе Z.
о
[ \
0; — ) принадлежит единственное решение х =
(см. рис. 75).
У*
^, ^ = 60°
Рис. 75.
Ответ: 60.
ВЗ.-1 ^sin4x^ 1;
-2 ^ 2sin4x ^ 2;

132
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
2 ^ 4 + 2sin4x ^ 6, все промежуточные значения достигаются.
Наибольшее значение функции у = 4 + 2sin4x равно 6.
Ответ: 6.
84. f'{x) = 4 • -/=!== + 3, /'(*) - -Л- + 3;
2у/х — 1 ух — 1
, 2_ +3 = 5, ,2_1 = 2;
Ответ: 2.
85. ctg2 ж • (1 - cos2 ж) = с?% х • sin2 х = cos2 ж.
sin х
Если cos ж = 0,2, то cos2 х = (0,2)2 = 0,04.
Ответ: 0,04.
86. cos22x + 3cos2x + 2 = 0 <=> cos ж ~ ~ »
[ cos2x = —1.
1. Уравнение cos2x = —2 не имеет решений, так как | cos2x| ^ 1.
2. cos2x = —1, 2х = тг + 2тгп, п е Z, х = ^ + тгп, п е Z.
Промежутку 0; ^ принадлежит только одно решение х = ^, ^ = 90°
(см. рис. 76).
У4
Рис. 76.
Ответ: 90.
А: =
Ответ: -0,5.
• sin | = -

Решение варианта №11 133
R8 cos 26° • cos22° - cos(90° - 26°) - cos(90° - 22°)
sin 42°
cos 26° • cos 22° - sin 26° - sin 22° cos 48° -,
sin(90°-48°) cos 48°
Omeem: 1.
B9. x'(t) = 3t2 + 2t — скорость движения точки в момент времени t\
x"(t) = 6£ + 2 — ускорение движения точки в момент времени t.
Следовательно, имеем 6t + 2 = 8, 6t = 6, t = 1.
Ускорение точки будет равно 8 м/с2 в момент времени t = 1 с.
Ответ: 1.
X —
у'(х)
Рис. 77.
При переходе через точку х = 3 производная меняет знак с плюса на
минус.
х = 3 — точка максимума.
2/(3) = \ • З3 - 4 • З2 + 15 • 3 - 15 = 9 - 36 + 45 - 15 = 3.
о
у(3)=3 — максимум функции у = -х3 — 4х2 + lbx — 15.
о
Ответ: 3.
811. По графику производной функции у = f'(x) определяем, что при
переходе через точки х = —1 и х = 2,5 производная меняет знак с «минуса»
на «плюс», следовательно, функция у = f(x) имеет две точки минимума.
Ответ: 2.
812. у(х + 8тг) = \ соъ(а2(х + 8тг) + f) = \ cosfa2x + ? + 8тга2) =
1 ( / \ \ 1 / \
= - cos ( [а2х + — ) + 8тга2 ) = - cos (а2х + — ).
2 у\ о/ J 2 \ о/
Зная, что наименьший положительный период функции у = cos ж равен
2тг, составим уравнение 8тга2 = 2тг.

134
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
По условию a > О, a = 0,5.
Ответ: 0,5.
С1.ч/16-;г2(-4 2^ =0,
\cosJa: /
-2 = 0,
х = 4,
я = -4,
х ф | + тгп, n G Z; <=>
|cosx| = 1,
x\ ^ 4;
Найдём ж = тгп, принадлежащие промежутку [—4; 4].
Х\ — —7Г, Ж2 =0, Ж3 = 7Г.
Исходное уравнение имеет пять корней.
Ответ: 5.
С2. -х3 - Зх2 + 8 = а.
Задача сводится к нахождению наименьшего значения а, при котором
график функции у = -х3 - Зх2 + 8 и прямая у = а имеют ровно две общие
точки.
у'(х) = -Зх2 -6х = -Зх(х + 2)
у'{х) = 0 при х = 0, х = —2.
у'(х) -
Рис. 78.
При х < — 2 имеем у' < 0, при —2 < ж < 0 имеем у1 > 0, при х > 0
имеем у' < 0 (см. рис. 78), следовательно х = — 2 — точка минимума,
ж = 0 — точка максимума.
у(~2) = 8 - 12 + 8 = 4, 2/(0) = 8 (см. рис. 79).
Исходное уравнение имеет ровно два корня при a = 8 и a = 4.
Наименьшее значение а равно 4.
Ответ: 4.

Решение варианта №11
135
СЗ. ОДЗ: cos 6а: ф О, х ф £- + 2™ n G
12 о
sin 6а: cos 2ж
— sin 2x — 2 sin 4a: = О,
cos 6a:
sin 6a: cos 2a: — sin 2a: cos 6a: — 2 sin 4a: cos 6a: = 0,
-(sin 4a: + sin 8a:) — -(sin 8a: — sin 4a:) — (sin 10a: — sin 2a:) = 0,
sin 4a: + sin 8a: — sin 8a: + sin 4a: — 2 sin 10a: + 2 sin 2a: = 0,
sin 4a: + sin 2a: — sin 10a: = 0,
sin 4a: — 2 sin 4a: cos 6a: = 0, дописывая условие ОДЗ, получим
. л Л Г Г sin 4а:
sin 4а: = 0,
Г sin4a:(l — 2 cos 6a:) = 0,
1 cos 6а: ф 0;
cos 6а: = -,
cos 6a: ф 0;
6а: = ±^ -Ь2тгп,п G Z\
о
Ответ: Ш.±^ + Ш>п

136
Учебно-тренировочные тесты (без логарифмов)
С4. sin ж — cos ж = у/2 (sin x • —т= — cos ж • -т=) =
= \/2(sina:cos j — cosxsin ^ J = \/2sinfx — j J.
-1 < sinfz - |
все промежуточные значения достигаются;
arccos -*;г- ^ arccos
arccos 0,
— ^ arccos
достигаются.
т£, все промежуточные значения
Ответ: [|;|].
С5. 5полн. — ^бок. + 2«5осн.
Пусть ЛЛх = a, AD = 6 (см. рис. 80).
Рис. 80.
По условию ABCD — квадрат, Sabcd = &2, ^ок.
5тюлн. =4а6 + 262.
4а6 + 262 = 600, а = 3QQ ~ Ъ*.
Обозначим длину всех рёбер прямоугольного параллелепипеда через /.

Решение варианта МП 137
26 о
Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции.
ЦЪ) = Щ^ при Ъ > 0.
,,ш _ 1262 - 600 - 6Ь2 _ 6Ь2 - 600 _ 6(Ь-10)(Ы-10)
/'(6) = 0 при b = 10, 6 = —10 — не удовлетворяет условию b > 0.
При переходе через точку 6 = 10 первая производная l'(b) меняет знак с
«минуса» на «плюс» (см. рис. 81).
Рис.81.
Ь = 10 — точка минимума. Это единственная точка экстремума
исследуемой функции на промежутке (0; +оо).
Z(10) ^ 6QQ +ig •1Q2 =120 (cm).
Ответ: 120 см.
Сб. Задача сводится к нахождению значений р, при которых уравнение
psin2 х + 2 cos ж — р = 4 - 2pcosa: имеет хотя бы один корень.
р(1 — cos2 х) + 2 cos ж + 2р cos ж — р — 4 = 0;
pcos2 х — 2(1 +p)cosx + 4 = 0.
Обозначим cos ж = £, |£| ^ 1.
Уравнение примет вид pt2 — 2(1 + p)t + 4 = 0.
1. р = 0, —22 + 4 = 0, £ = 2 — не удовлетворяет условию \t\ < 1.
= 1+Р+1-Р = 2 t 1+P-1+P = 2 _
р
условию \t\
о
3. Учитывая, что \t\ ^ 1, имеем - < 1; \р\ ^ 2, то есть
р€ (-oo;-2]U[2;+oo).
Ответ: р е (-оо; -2] U [2; +оо).

Литература
1. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа, 10 кл. — М.: Дрофа, 2010.
2. Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Седова Е.А. Алгебра и начала
анализа. Ч. 1,2. 10 кл. — М.: Дрофа, 2010.
3. Колягин Ю.М. Алгебра и начала анализа, 10 кл. — М.:
Просвещение, 2010.
4. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Алгебра и начала анализа, 10 кл. —
М.: Мнемозина, 2010.
5. Муравин Г. К. Алгебра и начала анализа, 10 кл. — М.: Дрофа, 2010.

Промежуточная аттестация
Учебное издание
МАТЕМАТИКА. 10-й КЛАСС.
ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
И ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
Учебно-методическое пособие
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С Ю. Кулабухова
Издание второе, переработанное
Обложка В. Кириченко
Корректор М. Федорова
Подписано в печать 30.06.2011.
Формат 60x84716- Бумага типографская.
Гарнитура Тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 8,14.
Тираж 10 000 экз. Заказ № 2039
Издательство ООО «ЛЕГИОН-М» включено в перечень организаций,
осуществляющих издание учебных пособий, которые допускаются
к использованию в образовательном процессе в имеющих государственную
аккредитацию и реализующих образовательные программы общего образования
образовательных учреждениях. Приказ Минобрнауки России № 2 от 13.01.2011,
зарегистрирован в Минюст 08.02.2011 № 19739.
ООО «ЛЕГИОН-М»
Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550.
Адрес редакции: 344011, г. Ростов-на-Дону, пер. Доломановский, 55.
www.legionr.ru e-mail: legionrus@legionrus.com
Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени
«Чеховский полиграфический комбинат»
142300, Чехов Московской области.
E-mail: marketing@chpk.ru Сайт www.chpk.ru
Телефон 8 (495)988-63-87 Факс 8 (496)726-54-10

Пособия издательства «Легион» можно приобрести
в книготорговых организациях:
000 «Кругозор Иванова и К»
(3902)22-36-40
ГОУДПОХРИПКиПРО
(3902)22-70-12,2-61-22
ИПЛадановаН.И.
(86133) 3-72-76
АРХАНГЕЛЬСК
000 «Оберег»
(8182) 65-12-41, 20-72-12, 65-24-77
Магазин учебной литературы
«Школьный мир»
(8142)78-24-43
АСТРАХАНЬ
ИП Агаев Сархаддин Х.О.
8-960-859-53-89
ИП Агаев Сейфаддин Х.О.
(8512)72-77-93
ИП Щенина В.В.
8-917-180-88-18, (8512) 22-33-62
ИП Нестеренко Т.Н.
(3852) 36-80-93
БЕЛГОРОД
ИПБабъякИ.А.
(4722) 34-15-59
Областное государственное учреждение
«Квант»
(4722) 34-17-34, 34-30-28
ИП Поляков A.M.
(4722) 35-61-83
БЕЛЕБЕЙ, респ. Башкортостан
000 «Предприятие Прогресс»
(34786) 448-61,467-39,450-89
БОРИСОГЛЕБСК Воронежской обл.
ИП Мусатов СЮ.
(47354)64-560
000 «Александрия»
(4832) 66-52-30, 74-41-80
ИП Белкина И. В.
(4832) 67-68-40
ИПТрубкоЛ.И.
(4832) 74-92-20, 74-61-64
ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
000 «Маркет-Сервис»
(8162) 62-30-47
000 «Книжный магазин «Прометей»
(8162)77-82-96, 77-30-21
ВЛАДИМИР
ИП Митина Л.Г.
8-960-721-40-48, 8-960-721-55-48
ОГОУДПОВИПКРО
(4922) 36-63-94, 36-63-69
000 «Талета»
(4922) 21-26-66
ВОЛГОГРАД
ИП Гражданкин Н.Н.
(8442) 93-04-65, 90-05-85, 95-54-11
000 «Кассандра»
(8442) 97-58-00, 97-85-85
000 «Учебная и деловая книга»
(8442) 76-06-06, 76-34-34, 76-60-92,
76-60-93
ВОЛОГДА
ОАО «Библиотечный коллектор»
(8172) 72-04-75, 21-05-86, 72-20-45
ОАО «Источник»
(8172) 72-42-38
ИП Соловьев А.В.
(8172)72-61-28,21-17-36
000 «Амиталь»
(4732) 26-77-77, 24-24-90, 26-35-19,
26-35-60
000 «Риокса»
(4732) 21-08-66, 46-13-26, 46-43-94
ВЫШНИЙ ВОЛОЧЕК
ИП Лебедев В. Ф.
(48233) 6-41-03, 8-910-930-86-35
ГЕОРГИЕВСК
ИПКуцеваТ.И.
(87951) 6-77-43, 6-39-12
ИП Филатов В.П.
8-928-366-05-00
ДЕРБЕНТ
ИП Шисинов И. Ш.
(87240) 4-35-00

ДИМИТРОВГРАД
ООО «Учебник»
(84235)7-48-48
000 «Телеком»
(86132) 69-069
ЕКАТЕРИНБУРГ
000 «Алис-Альянс»
(343) 355-33-86, 355-43-92
ИП Евтюгина Н.С.
(343)228-10-91,228-10-79
000 «Новая мысль»
(4932) 41-64-16
ИП РаковаО.В.
(4932) 30-04-28
000 «Инвис»
(3412) 78-16-24
000 «Свиток»
(3412) 78-22-24, 51-05-37
000 «Учебно-методическая книга»
(3412) 78-35-04
ЙОШКАР-ОЛА
ИП Бессолицын B.C.
(8362) 42-88-55
ИП Кошкин Н.Ю.
(8362) 63-41-55, 63-44-04
ИПУдальцоваЗ.И.
(8362) 46-24-69
ИП Крамень И.Н.
(843) 292-46-51
ИП Микашкин В. Н.
8-903-344-90-63
000 «Пегас»
(843) 272-34-55, 272-34-55, 295-12-71
000 Торговый дом «Аист-Пресс»
(843) 525-55-40, 525-52-14
КАЛИНИНГРАД
000 «Лабор»
(4012) 75-87-46
ИП Безбородова Т. И.
8-906-643-37-17
ИП Калуженский Г.В.
8-910-910-41-76
ИП Махонина А. А.
(4842) 56-10-10
ИПНастенкоТ. Н.
8-910-913-08-49, (4842) 54-71-95
ИП Кокорин Ю. П.
(8332) 29-40-40, 29-44-08
ИПАббакумоваЭ.О.
(4942) 31-53-76, 37-05-21, 37-04-21
000 «Филлипок»
(4942) 41-50-91, 36-00-72
МУП города Костромы «Школьник»
(4942) 51-42-55, 31-25-58
КРАСНОДАР
000 «Когорта»
(861)279-54-21,279-54-20
000 «Ремикс»
(861) 267-24-49
КРАСНОЯРСК
000 фирма «Градъ»
(391) 212-39-94; 226-91-45; 227-82-65;
000 «Мила-В»
(391) 240-04-80
000 «Алис-К»
(3522) 24-61-04; 24-61-05
000 «Кристалл»
(3522)49-23-01
000 «Аистенок»
(4712)52-86-10
ИП Захаров СЮ.
(4712)35-16-51
000 «Интеллект Образование XXI»
(4712)52-97-03
КЫЗЫЛ, респ. Тыва
ИПТуневаЕ.Г.
(39422) 2-29-27, 2-42-86, 2-42-86
ЛЕНИНОГОРСК, респ. Татарстан
ИП Исхакова Ф.Г.
(85595) 5-08-74
ЛИПЕЦК
000 «ЛКТФ Книжный клуб 36,6»
(4742) 77-40-64, 48-79-32, 22-19-61,
22-19-50
000 «Абрис Д»
(495) 229-67-59

ОООТД«БИБЛИО-ГЛОБУС»
(495) 621-78-39, 781-19-08, 621-19-47
000 «Учебно-методический Центр
«Глобус»
(495)988-72-83,721-17-13
НЕВИННОМЫСК
ИП Гагарин Н. В.
(86554) 6-74-94
НЕФТЕКАМСК
ИП Киямова Г. Ф.
(34783) 4-88-83, 9-07-34
НЕФТЕЮГАНСК
ИП Пугачева М.В.
(3463) 25-47-42
НИЖНИЙ НОВГОРОД
ИП КулеминаЛ. М.
(831) 241-92-27, 241-95-57, 241-95-74
ИП Чернышев В. В.
(831)436-58-14
НОВОРОССИЙСК
000 «Центр социальных инициатив»
(8617) 63-17-04
НОВОСИБИРСК
ИП Березкина Е.В.
(383) 223-47-71
ИП Камалетдинов P.P.
(383) 28-999-06, 224-63-48
000 «СибВерк»
(383) 212-50-90
000 «ПринтТФ»
(3812)53-52-73,53-42-73
000 «Сфера»
8-960-989-48-65
000 «Форсаж»
(3812) 23-35-71, 57-88-56, 53-89-67
ЗАО «Орловский учебный коллектор»
(4862)74-48-34,75-29-11
000 «Фирма «Фолиант»
(3532) 77-46-92, 77-40-33
ИПЖмыховаГ.И.
(342), 226-66-91, 226-44-10
ИП Габзалилов М.Х.
(342) 245-24-37
ПЕТРОЗАВОДСК
000 «Азбука»
(8142) 78-55-03
000 Книжный магазин «Экслибрис»
(8142) 76-33-76, 76-75-51
Пос. ЛАЗАРЕВСКАЯ Краснодарского края
ИП Зайцев А. А.
8-918-916-71-66, (8622)70-74-13
ИП Васильева А. В.
(8112) 66-25-04
ОАО «Псковский областной учебный
коллектор»
(8112) 56-93-63, 58-58-36
ПЯТИГОРСК
ПБОЮЛ Бердникова Л.А.
(8793) 33-88-80, 39-47-17
ИП Борисковский В.А.
(8793) 39-02-54, 39-02-53
РОСТОВ-НА-ДОНУ
000 «Алтай»
(863)262-37-95
000 «Донская школа»
(863) 267-56-11
ИП Евдокимов И. А.
(863)279-39-11,26-35-331
ОАО «Ростовкнига»
(863) 295-89-32, 278-36-23
ИП Рудницкий А.В.
(863) 291-03-53, 234-82-96
Магазин «Учебная книга»
(846) 995-58-68
000 «МЕТИДА-ОПТ»
(846) 269-17-17
000 «Чакона»
(846)331-22-33
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
000 «Век развития»
(812)924-04-58
000 «Коллибри»
(812) 703-59-94; 703-59-95; 703-59-75
000 «Санкт-Петербургский Дом Книги»
(812) 448-23-57
ГУП РМ «Мордовское книжное
издательство»
(8342) 47-05-91

ИП Вавилов О.Ю.
(8452)222-404
000 «Гемера-Плюс»
(8452) 64-37-37, 64-78-24
000 «Стрелец и К»
(8452)52-25-24
ИП Воронцов СВ.
(4812) 65-62-94,32-75-21
ИП Кормильцева И. В.
(4812) 38-93-52
ИП Кудашова Н.Н.
(4812)65-86-65
000 «Анис»
(8622) 92-33-51,64-83-56
МУП г. Сочи «Книги»
(8622) 64-14-61, 64-69-28
СТАВРОПОЛЬ
ИП Апурин А.И.
(8652) 28-07-30, 28-23-81
ИП Колесников А.П.
8-928-650-29-33
000 «Ставрополь-Сервис-Школа»
(8652) 57-47-27, 72-87-40
СЫКТЫВКАР
ИП Коврижных Д.Г.
(8212) 66-37-35
ИП Боринский И.Г.
(8634) 61-03-57
ТАМБОВСКАЯ ОБЛ.
ГОУ ДПО «Тамбовский областной ИПК
работников образования»
(8-4752) 63-05-08
000 «BOOK-СЕРВИС»
(4822) 34-52-11
000 «Кириллица»
(4822) 32-05-68
ТИХОРЕЦК
000 «Астрея»
(86196) 7-36-42, 7-36-53
Книжный магазин-музей
«ПетрМакушин»
(3822) 51-58-33
000 «Система плюс»
(4872) 31-29-23, 70-02-48, 32-60-94
000 «Книжник»
(3452)35-72-12
ИП Нестеров В.А.
(3452) 20-56-10
УЛАН-УДЕ
ИПШашинаО. К.
(3012) 22-01-05
УЛЬЯНОВСК
ИП Селезнев Ю. И.
(8422) 53-33-33
^ошш
ГУП Башучколлектор РБ
(3472)63-37-78,83-95-66
000 «Мир книги»
(3472) 82-56-30,82-83-92, 82-89-65
ЧЕБОКСАРЫ
Чувашский учколлектор
(8352) 56-08-55, 61-45-76,62-85-57
Чувашский бибколлектор
(8352) 62-15-67,62-03-70, 62-28-46
ЧЕЛЯБИНСК
000 «ИнтерСервис ЛТД»
(351) 247-74-14, 247-74-13
000 ПК «Урал-пресс»
(351) 772-69-57, 773-48-37, 771-44-03
ИП Борлыкова Л.А.
(84722) 2-86-42
ЯРОСЛАВЛЬ
ИП Зелинская Т.В.
(4852) 73-40-07
ГОУ «Институт развития образования»
(4852) 73-93-00,21-06-83

ИЗДАТЕЛЬСТВО
Рекомендует
Готовимся к ЕГЭ
МАТЕМАТИКА
ПОВЫШЕННЫЙ УРОВЕНЬ ЕГЭ-2012 (С1, СЗ)
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕСТЫ.
Уравнения, неравенства, системы
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
Пособие содержит задания по отдельным
темам, которые являются традиционными
в курсе математики и потому, как правило,
входят в ЕГЭ. Они полностью охватывают
задания типа С1 и СЗ последнего плана ЕГЭ.
Каждой теме посвящен отдельный параграф,
включающий 10 вариантов: 1
демонстрационный с решениями, 9 — тренировочных.
Каждый вариант состоит из 8 заданий.
Цель настоящей книги — выработать
навыки решения заданий с развернутым
ответом тестов ЕГЭ. Это пособие необходимо всем
выпускникам, стремящимся получить на ЕГЭ
высокий балл, а также учащимся 10-х классов,
которым нужно закрепить пройденные темы
под углом зрения ЕГЭ. Пособие также может быть полезно и педагогам,
осуществляющим подготовку учащихся к ЕГЭ.

ЛЕГИОН
Сайт, интернет-магазин: www.iegionr.ru
e-mail: legionrus@legionrus.com
Издательство включено в перечень организаций,
осуществляющих издание учебных пособий,
которые допускаются к использованию в
образовательном процессе в имеющих государственную
аккредитацию и реализующих образовательные
программы общего образования образовательных
учреждениях. Приказ Минобрнауки России № 2 от
13.01.2011, зарегистрирован в Минюст 08.02.2011
№ 19739.
Издательство "Легион" предлагает
школьникам и учителям пособия
в серии "Промежуточная аттестация"
ОСНОВЫ
ВОЕННОЙ
БЫ
РУССКИЙ
ЯЗЫК
Тесты для
промежуточной
аттестации
7 класс
Таблицы
сам
ПТ\ Алгоритмы
1 МАТЕМАТИКА
а
1
ISBN 978-5-91724-086-2 .
344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550
Тел. (863) 303-05-50, 248-14-03
Ю862
Опт, мелкий опт, интернет-магазин,
книга - почтой.