ЕГЭ
■
h(x,y
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
«МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ»
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко,
СЮ. Кулабухова
готовимся
ЕГЭ
УЧЕБНО-
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ
ТЕСТЫ
ПОДГОТОВКА
кЕГЭ-2011
+ CD-диск
с автоматизированной системой * j \| f\ t4TIIК
для составления тестов
Разработано в соответствии
с Федеральным компонентом
государственного стандарта
общего образования
ПОДГОТОВКА
кЕГЭ-2011
(ОПУЩЕНО ФИШ!
С МОЯ ГОЛА
ЛЕГИОН

Готовимся к ЕГЭ
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С Ю. Кулабухова
МАТЕМАТИКА
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2011
УЧЕБНО-ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ
Учебно-методическое пособие с CD-приложением
тм
ЛЕГИОН-М
Ростов-на-Дону
2011

ББК22.1
М34
Рецензенты: О. Б. Кожевников — к.ф.-м.н., доцент
Л. Л. Иванова — заслуженный учитель России
Авторский коллектив:
Лысенко Ф. Ф., Кулабухов С. Ю., Авилов Н. И., Войта Е. А.,
Дерезин С. В., Евич Л. Н., Иванов С. О., Коннова Е. Г.,
Ковалевская А. С, Ольховая Л. С, Резникова Н. М.,
Фофонов А. Е., Ханин Д. И.
М34 Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011. Учебно-тренировочные
тесты: учебно-методическое пособие с CD-приложением /Под
редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону:
Легион-М, 2011. — 144 с. — (Готовимся к ЕГЭ)
ISBN 978-5-91724-073-2
Пособие является продолжением книги «Математика.
Подготовка к ЕГЭ-2011» под редакцией Ф. Ф. Лысенко и С. Ю. Кулабухова
и частью учебно-методического комплекса для подготовки к ЕГЭ.
В эту книгу включены тесты в соответствии с планом ЕГЭ-2011,
иллюстрирующие основные идеи демонстрационного варианта, а
также отражающие тенденции изменений в открытом банке заданий по
математике, произошедшие с момента опубликования демовариан-
та. Пособие содержит необходимый материал и рекомендации для
самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике:
• 22 новых авторских учебно-тренировочных теста,
составленных по плану ЕГЭ-2011 с учётом опыта экзамена 2010 года;
• краткий математический справочник;
• компакт-диск, содержащий программу составления тестов для
проведения пробных тестирований.
Наша книга позволит выпускникам и абитуриентам, не
обращаясь к дополнительной литературе, получить желаемый результат —
от минимального количества баллов, необходимого для сдачи ЕГЭ и
получения аттестата, до максимально возможного, практически до
100 баллов. Пособие предназначено выпускникам
общеобразовательных учреждений и учителям.
fP ББК22.1
ISBN 978-5-91724-073-2 © ООО «Легион-М», 2011

Оглавление
От авторов 5
Краткий теоретический справочник 8
§ 1. Условные обозначения 8
§ 2. Степени и корни 9
§ 3. Модуль и его свойства 10
§ 4. Прогрессии 11
§ 5. Логарифмы 11
§6. Тригонометрия 12
§ 7. Многочлены и их корни 16
§ 8. Уравнения 20
§ 9. Неравенства 22
§ 10. Функции 24
§11. Планиметрия 36
§ 12. Стереометрия 49
Учебно-тренировочные тесты 63
Инструкция по выполнению работы 63
Вариант №1 64
Вариант №2 67
Вариант №3 70
Вариант №4 73
Вариант №5 76
Вариант №6 80
Вариант №7 83
Вариант №8 86
Вариант №9 89
Вариант № 10 93

4 Оглавление
Вариант №11 97
Вариант №12 100
Вариант №13 103
Вариант №14 106
Вариант №15 110
Вариант №16 113
Вариант №17 116
Вариант №18 119
Вариант №19 122
Вариант №20 125
Вариант №21 128
Вариант №22 132
Ответы 135
Литература 141

От авторов
Предлагаемое читателю пособие содержит 22
учебно-тренировочных теста, составленных в соответствии с планом работы ЕГЭ-2011, с
учётом в качестве ориентира демонстрационного варианта и планируемой
ФИПИ трудности заданий. Безусловно, демонстрационный вариант не
охватывает весь спектр элементов содержания курса математики,
которые могут проверяться на ЕГЭ. Поэтому в предлагаемые тесты мы
включили все наиболее важные вопросы и темы плана, отдавая при этом
предпочтение наиболее вероятным на ЕГЭ-2011. Прежде всего,
значительная часть заданий посвящена отработке тем и идей, содержащихся в
спецификации и получивших свое отражение в демонстрационном варианте.
Тесты в целом носят «парный» характер, то есть каждый нечетный
вариант и следующий за ним четный в какой-то мере подобны. Это удобно для
организации работы преподавателей с учащимися в классе и дома.
Для автономной работы с нашим пособием в него включен краткий
теоретический справочник, который делает книгу самодостаточной и
позволяет не пользоваться дополнительной литературой.
Вместе с этой книгой Вы получаете также CD-диск, содержащий
программу генерации тестов — автоматизированную систему для их
составления. С помощью этой программы можно создавать тесты на основе
задач, представленных в этой книге, для проведения контрольных работ и
пробных тестирований в формате ЕГЭ.
Прежде чем приступить к решению тестовых заданий,
внимательно изучите инструкцию по выполнению работы, помещенную
перед первым вариантом теста на стр. 63. Эта инструкция
разработана ФИПИ, см. [1,3].
Таблица перевода первичных баллов в тестовые приведена на стр. 7.
Это реальная таблица 2010 года. По ней можно определить Ваш уровень
подготовки и тестовый балл. Поясним, что такое первичный и тестовый
балл.

6 Оглавление
Первичный балл — это балл, выставляемый за каждое выполненное
задание. Согласно КИМ 2010 года, правильное решение каждого из
заданий В1-В12 части 1 экзаменационной работы оценивается 1 баллом.
Полное правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается
2 баллами, СЗ и С4 — 3 баллами, С5 и С6 — 4 баллами. Максимальный
балл за выполнение всей работы — 30.
Тестовый (сертификационный) балл — это балл, который
выставляется ученику в сертификат. Максимальное количество — 100 баллов.
В заключение отметим, что для удовлетворительной сдачи ЕГЭ
ученику в этом году необходимо было решить 3 (а не 5, как было рекомендовано
в демонстрационном варианте прошлого года) задания из части В.
Отметим также, что новая шкала перевода набранных первичных
баллов в тестовые будет известна только после окончания сдачи ЕГЭ-2011.
Авторы благодарят рецензентов за полезные замечания и пожелания,
связанные с настоящим изданием.
Свои замечания и пожелания, касающиеся данной книги, можно
сделать по телефону (863) 256-82-22, Лысенко Фёдор Фёдорович, Кулабухов
Сергей Юрьевич, или отправить по электронной почте:
legionrus@legionrus.com.
Желаем вам успехов!

Оглавление
Таблица перевода первичных баллов
в тестовые (2010 г.)
Перв. балл
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Тест, балл
0
11
16
21
25
29
34
38
41
45
48
52
56
60
63
66
Перв. балл
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Тест, балл
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
90
92
95
97
100

Краткий теоретический справочник
Предлагаемый справочник содержит основные результаты и формулы,
предусмотренные программой 2002 года для общеобразовательных
учреждений. В основу отбора материала положен курс В, по которому
разрабатывались КИМы 2002-2010 годов. Однако, как при подготовке к ЕГЭ,
так и при его сдаче, учащимся понадобятся сведения, которые требуют
значительных усилий при их доказательстве, выводе, исследовании. Они
не входят в нормативные рамки курса В, но большинство из них включено
в курс углубленного изучения математики и отмечено звездочкой (*).
§ 1. Условные обозначения
При изложении теоретического материала, содержащегося в этой
главе, мы будем пользоваться следующими общепринятыми
математическими обозначениями.
N — множество всех натуральных чисел.
No — множество всех неотрицательных целых чисел.
Z — множество всех целых чисел.
Q — множество всех рациональных чисел.
R — множество всех действительных (вещественных) чисел.
Л+ — множество всех положительных действительных чисел.
=> — следует.
о — равносильно; эквивалентно; тогда и только тогда.
d= — по определению равно.
D(f) — область определения функции у = /(х).
E(f) — множество (область) значений функции у = /(х).
const — постоянная величина.
€ — принадлежит, содержится; например:
х G R — х принадлежит множеству действительных чисел, то есть х
является действительным числом.
п : т (для п,т Е Z) — число п делится нацело на число т.

§ 2. Степени и корни
§ 2. Степени и корни
Определение степени и корня
1. Пусть ае Д, п € N. Тогда:
Щ
Щ
0°
III
п сомножителей
1, если а ф 0;
1
—, если а Ф 0;
ап
не определено;
1 ^ {,п = а и Ь }
г 0 при п четном;
^J/а = 6 Ф> Ьп = а при п нечетном.
2. Пусть а € Л+; m G Z, n € JV, п > 1. Тогда:
Hi def
an =
Правила действий с радикалами
Пусть га,n, fc е N,771,71 > 1; а,Ь € i?+. Тогда:
Правила действий со степенями
Пусть p,q€Q, a, be Я+. Тогда:
4 = ap~9; (ab)p =
a4
He приводя определения степени с действительным показателем,
отметим, что правила действий с такими степенями «сохраняются», то есть
приведенные правила верны и для р, q € R.

10 Краткий теоретический справочник
Формулы сокращенного умножения
Пусть а, Ь е R. Тогда:
(a±b)3 = a3±
a2 - b2 = (a -
CL ~™ и —- 1CL ~™
Таблица квадратов
И2
122
132
142
152
= 121
= 144
= 169
= 196
= 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
Зо2Ы-ЗоЬ2±Ь3;
b)(a + b);
UjiCL ~\~ CLu ~f" Ь )l
0)(fl "~ CLu ~j~ и )l
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
§ 3. Модуль и его свойства
1. Определение модуля числа.
{х, если х > 0; е
Л , , def I х, если х ^ 0;
0, еслих = 0; или х зг I
1 -х, если х < 0.
-х, если х < 0; ^
2. Геометрически |х| есть расстояние от точки х числовой оси до начала
отсчета — точки О.
3. |х - а\ есть расстояние между точками х и а числовой оси.
4. Модуль произведения, частного и степени.
М=Ф1'М;|- =гт»У#0; *|xn| = |x|n,neZ,
5.V^=|x|.

§ 4. Профессии 11
§ 4. Прогрессии
Арифметическая прогрессия
1. Если ап есть n-й член, d — разность и Sn — сумма п первых членов
арифметической прогрессии, то
ап+1 = ап 4- d, ап = аг + d(n - 1),
_ (ai 4- an)n _ (2<ц 4- d(n - l))n
6n" 2 "" 2
Арифметическая прогрессия возрастает, если d > 0, и убывает, если
d<0.
2*. Если ak, сц, Оту On — члены арифметической прогрессии с такими
номерами, что к 4-1 = га + п, то a* + aj = am -I- On.
3. Каждый член арифметической прогрессии, отличный от первого и
последнего, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
Геометрическая прогрессия
1. Если Ьп есть n-й член, q — знаменатель и 5П — сумма п первых
членов геометрической прогрессии, то
bn+i = bnq, Ь\ ф О, q ф 0; Ьп = b\qn~l,
Sn =
2*. Если bfc, Ь|, bm, Ьп — члены геометрической прогрессии с такими
номерами, что к 4-1 = га 4- п, то bk • bi = 6m • bn.
3. Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, отличного от
первого и последнего, равен произведению соседних с ним членов:
&п = Ьп-1 'Ьп+1-
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Если 5 есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрес-
§ 5. Логарифмы
Определение логарифма
Логарифмом данного числа х по данному основанию а называется
показатель степени у, в которую нужно возвести основание о, чтобы
получить данное число х. у = loga x <=> ау = х.

Краткий теоретический справочник
Свойства логарифмов
Пусть о > 0, а ф 1.
1. Основное логарифмическое тождество:
2. Логарифм произведения, частного и степени:
bga(xj/) = loga |х| + loga |y|t xy > 0;
loga(^) = loga |x| - loga |y|, xy > 0;
foga(sj/) = loga x + loga y, x > 0, у > 0;
loga f^ J = loga x - logu y, x > 0, у > 0;
loga xa = a loga x, x > 0;
loga xfc = k loga |x|, fc — четное целое.
3. Формула перехода к новому основанию. Пусть Ь > 0, Ь Ф 1, х > 0.
Тогда:
1, в частности, log- х = г—^—, при х т^ 1.
logb о logx a
Кроме того, loga х log6 у = loga у log6 x.
4. Пусть Ь > 0, о т^ 0, а Ф 1, тогда:
= ^ loga Ь,рфО;
!ogafc ь = ^ bg|aj Ь, к ф 0, fc — четное целое.
При решении задач бывает полезна следующая теорема.
Если числа а и 6 на числовой оси расположены по одну сторону от
единицы, то loga Ъ > 0, а если по разные, то loga Ь < 0.
§ 6. Тригонометрия
Радианное измерение углов
Определение. Один радиан равен центральному углу окружности,
длина дуги которого равна радиусу этой окружности.
180°
1 радиан = « 57°17;45".
1° = т^г радиана « 0,017453 радиана.

§ 6. Тригонометрия
13
Углы в градусах
Углы в радианах
180° 9
30°
6
45°
4
60°
3
90°
2
180°
7Г
270°
1*
360°
2тг
Значения тригонометрических <
а
sin а
сова
tga
ctga
0
0
1
0
—
7Г
6
1
2
Л
2
Л
3
it
4
2
2
1
1
>ункций
7Г
3
^3
2
1
2
V3
3
некоторых углов
2
1
0
-
0
0
-1
0
-
1*
-1
0
-
0
Основные тригонометрические тождества
sin2 х 4- cos2 x = 1; tg x • ctg x = 1;
1 + tg2x = -Л-; 1 + ctg2x = ^Дг-
cos x sin x
Формулы суммы и разности аргументов
sin(x ± у) = sinx • cos у ± cosx • sin у;
cos(x ± у) = cosx • cos у ^f sinx • sin у;
tg(x ± y) = .
Формулы двойного и тройного аргументов
cos 2x = cos2 x - sin2 x = 1 - 2 sin2 x = 2 cos2 x - 1;
sin 2x = 2 sin x • cos x;
sin2x =
l-cos2x
cos x =
+ cos2x
*sin3x = 3sinx — 4sin3x;
2tgx
tg2x =
*cos3x = 4cos3x — 3cosx;
3tgx-tg3x
l-tg2x'
*tg3x =
l-3tg2x

14 Краткий теоретический справочник
Выражение тригонометрических функций через тангенс
половинного угла
Если х Ф тг 4- 2тгЛ, k G Z, то
2tg| I - tg2 |
*sinx = ; *cosx = .
Преобразование суммы и разности тригонометрических
функций в произведение
sinx ± siny = 2 • sin —-— • cos
2
;
2
х -f- у x — у
cosx 4- cos у = 2cos —^- • cos ;
o . x + y . y-x
cos x — cos у = 2 sin —r— • sin —-—;
* sin x + cos у = 2 sin f ^-y^ + ^ ) ' cos f ^~^ " \ ) •
sinx - cosy = 2sin I — J • cos 1 —— + - 1;
„ . , . sin(x ± y)
*tgx±tgy = -;
cos x • cos у
asinx-hbcosx = \/a2 + ba-sin(x+^), гдеа24-Ь2 ^ 0, а у? определяется
из формулы simp = ——=; costp = > ;
V а2 4- б2 v а2 4- Ь2
asinx4-6cosx = Va2 4- 62-cos(x—а),гдеа24-Ь2 Ф 0, а а определяется
из формулы sin а = > ; cos a = 7
* / 9 i 1.9 / 9 i L9
Преобразование произведения тригонометрических функций в
сумму
sinx • siny = - (cos(x - у) - cos(x 4- у));
cos x • cos у = i (cos(x - у) 4- cos(x 4- у));
sin x • cos у = i (sin(x - y) 4- sin(x 4- y)).

§ 6. Тригонометрия
Определение обратных тригонометрических функций
у = arcsinx О х = sin у и -£ < J/ < ?;
у = arccos х <=> х = cos у и 0 ^ у ^ тг;
у =f arctgx «» х = tgy и -| < у < |;
у = arcctg х ^ х = ctg у и 0 < у < тг.
'Свойства обратных тригонометрических функций
Z?(arcsinx) = [-1; 1]; S(arcsinx) = [-|; |];
D(arccosx) = [—1; 1]; S(arccosx) = [О;тг];
D(arctgx) = Я; S(arctgx) = (-|;|);
D(arcctgx) = R\ S(arcctgx) = ГО; тг);
arcsin(—х) = — arcsinx; arccos(—x) = тг — arccosx;
arctg(—х) = — arctgx; arcctg(—x) = тг — arcctgx;
arcsinx 4- arccosx = тг, если х G [—1; 1];
arctg х -h arcctg x = ^;
sin(arcsinx) = х, если х Е [— 1; 1];
arcsin(sinx) = хо, где хо € — ^; ^ и sinxo = sinx;
cos(arccosx) = х, если х € [— 1; 1];
arccos(cos х) = х0, где хо € [0; тг] и cos хо = cos x;
tg(arctgx) = х, ctg(arcctgx) = х;
arctg(tgx) = хо, гдех0 = (-|; |) и tgx0 = tgx;
arctg(ctg х) = хр где х0 € (0; тг) и ctg х0 = ctgx.
sin(arccosx) = \/1 — х2; cos(arcsinx) = \/1 — х2;
х 1
sin(arctgx) = > ; cos(arctgx) = > ;
VI 4-х2 у14-х2
1 х
sin(arcctgx) = i ; cos(arcctgx) = у
VI 4-х2 VI 4-х2

16
Краткий теоретический справочник
Некоторые значения обратных тригонометрических функций
X
arcsin х
arccosx
0
0
7Г
2
1
2
7Г
6
7Г
3
Л
2
7Г
4
7Г
4
2
7Г
3
7Г
6
1
7Г
2
0
-1
7Г
2
7Г
X
arctgx
arcctg x
0
0
7Г
2
Л
3
7Г
6
7Г
3
1
7Г
4
7Г
4
V3
3
7Г
6
Формулы для решения простейших тригонометрических
уравнений
sinx = a; \a\ < 1;х = (—l)n arcsin а+ тгп, n G Z;
sin х = 0; х = тгА:; k € Z;
sinx =1; x = — + 2тгк\ к G Z\
sinx = —1; x = — — 4- 2тгА:; к G Z;
cos x = о; |а| < 1; x = ± arccos а 4- 2тгп, n G Z;
x = - + Trfc; fc G Z\
cos x = 0;
cosx = 1; x = 2тгА:; fc G Z;
cosx = —1; x = 7Г 4- 2тгА:; fc G Z;
tg x = a; x = arctg а 4- тгп; nGZ;
ctg x = a; x = arcctg а 4- тгп; n € Z.
§ 7. Многочлены и их корни
Определение многочлена
Многочленом степени n (n G No) называется всякое выражение вида:
f(x) = onxn 4- an-ixn~l 4-... 4- агх 4- о0,
где ап, ап_ь..., аь а0 G Д и оп # 0.
Всякое вещественное число, отличное от нуля, принято трактовать как

§ 7. Многочлены и их корни 17
многочлен нулевой степени. Числа an, an_i,..., ai, ao называются
коэффициентами многочлена, ата — старший коэффициент, а0 — свободный
член.
Число х0 называется корнем многочлена /(х), если /(хо) = 0.
Квадратный трёхчлен
Квадратный трехчлен — это многочлен степени 2:
/(х) = ах2 + Ьх 4- с.
Если xi, X2 — корни /(х), то xit2 = -
ах2 4- Ьх 4- с = а(х — xi)(x — Х2);
xi 4-Х2 = —; xiX2 = - (ТеоремаВиета).
а а
Если второй коэффициент делится на 2, то есть
- к ± у/к2 - ас
/(х) = ах2 -h 2fcx 4- с, то xit2
Если старший коэффициент равен 1, то есть /(х) = х2 4- рх 4- q,
Выражение Ь2 — 4ас называется дискриминантом соответствующего
многочлена /(х) (уравнения /(х) = 0). Дискриминант принято обозначать
большой буквой D. Отметим, что D = 0 <=> к2 - ас = 0 ^ f ^ J - g = 0.
*ТеоремаБезу и схема Горнера
Для любого многочлена степени п > 0
/(х) = апхп 4- an-ix71"1 4- • • • 4- ахх 4- ао
и любого числа хо € Д найдется такой многочлен степени п — 1
что справедливо равенство:
/(х) = (х - х0) q(x) 4- / (хо) (Теорема Безу),
причем коэффициенты q(x) могут быть вычислены по следующему
алгоритму:
Ьп_1 = an, Ьп_2 = xobn-i 4- an_i,
Ьп_з = ^obn-2 4- an-2» • • •» bt-i = ^obt 4- at»- • •
..., Ь\ = xo&2 ■+■ a2> bo = ^obi 4- oi, /(xo) = xobo 4- ao.
Результаты вычисления коэффициентов многочлена q(x) удобно
помещать в таблицу (схему Горнера).

18
Краткий теоретический справочник
Ьп-1
йп-1
Ьп-2
ап-2
Ьп-3
...
...
a>i+i
bi
CLi
Ьг-1
...
...
а2
bi
ai
bo
<*o
/Ы
Понятно, что если x0 — корень многочлена /(х), то /(хо) = 0 и,
следовательно,
/(х) = (х - хо) q(x) (следствие из теоремы Безу).
Таким образом, чтобы выяснить, является ли число хо корнем
многочлена /(х), нужно заполнить приведённую выше таблицу (схему Горнера).
Если /(хо) окажется равным 0, то хо — корень. В противном случае хо —
не корень /(х).
Приведём еще одну теорему о многочленах и следствие из нее,
касающееся рациональных корней многочлена.
Теорема. Пусть /(х) = onxn -I- an-ixn~l 4 Ь а\х + о0 —
многочлен с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь (рациональное
число)p/q является корнем многочлена /(х), то:
l)an j g;
Следствие. Пусть /(х) = xn-han_ixn""1H haix-hao — многочлен с
целыми коэффициентами. Тогда все рациональные корни многочлена /(х)
являются целыми и являются делителями свободного члена а0.
Эти теоремы являются очень полезными при выполнении некоторых
заданий части В и части С, их использование существенно экономит время
решения.
Пример 1. Найти целые корни уравнения х4 4- Зх3 + х2 - Зх - 2 = 0.
Решение. По следствию целые корни находятся среди делителей
свободного члена: ±1; ±2. Проверяем по схеме Горнера каждое из этих чисел.
1
1
-1
-1
1
1
1
1
1
3
4
5
3
2
1
5
10
2
0
-3
2
12
0
-2
0
корень
не корень (не кратный корень)
корень
корень (кратности 2)
х4 4- Зх3 4- х2 - Зх - 2 = (х - 1)(х -I- 1)2(х 4- 2).
Данное уравнение имеет 3 корня: 1; -1; -2, причем -1 — корень
кратности 2.

§ 7. Многочлены и их корни
19
Пример 2. Решить уравнение 6х4 + 17х3 + 20х2 -I- 14х 4- 3 = 0.
Решение. По теореме все рациональные корни уравнения находятся
среди чисел 2, где 6: д, 3:р.
Делители 3: ±1; ±3.
Делители 6: ±1; ±2; ±3; ±6.
Числа вида 2: ±1; ±±; ±±; ±1; ±3; ±§.
g zoo z
Видим, что корнями могут быть лишь отрицательные числа. Поэтому
проверяем числа: -1; -£; -^; -|; -3; -§.
-1
1
2
1
3
6
6
6
6
17
11
14
15
20
9
13
15
14
5
15
2
9
3
-2
0
не корень
не корень
корень
Данное уравнение эквивалентно f х 4- ~ ) (6х3 4- 15х2 -I- 15х -I- 9) = 0.
хх = -\; 2х3 + 5х2 4- 5х 4- 3 = 0.
«5
Делители 3: ±1; ±3.
Делители 2: ±1; ±2.
Числа вида 2: ±1; ±J; ±3; ±|.
g 2 2
Корнями могут быть лишь отрицательные числа, причем — 1 и — ^ не
являются корнями (проверили выше).
о
Проверяем числа -3; ~.
-3
3
2
2
2
2
5
-1
2
5
8
2
3
-21
0
не корень
корень

20 Краткий теоретический справочник
Данное уравнение эквивалентно (х +|} (2х2 -h 2х И- 2) = 0, Х2 = -1,
х2 + х + 1 = 0 — корней нет.
Ответ:-!; _|.
§ 8. Уравнения
Уравнения с одним неизвестным
Напомним, что в соответствии с [1], уравнением называется
равенство, содержащее неизвестное, обозначаемое буквой. Пользуясь
понятием функции, можно сказать, что уравнение (с одним неизвестным) — это
пара функций от одной и той же переменной х, соединенных знаком
равенства:
/(*) = </(*).
Областью допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения
называется пересечение области определения функции f(x) и д(х):
D{f)nD(g).
Число а называется корнем (или решением) данного уравнения, если
при подстановке в уравнение вместо каждого вхождения х числа а
уравнение обращается в верное числовое равенство: /(а) = д(а).
Существуют эквивалентные определения корня уравнения в которых
требуют принадлежность числа а ОДЗ исходного уравнения.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать,
что данное уравнение корней не имеет. Отметим, что если мы нашли
подбором какие-то корни уравнения и доказали, что других корней у данного
уравнения быть не может, то тем самым мы уравнение решили.
Два уравнения называются равносильными, если множества их
корней совпадают. Уравнение А является следствием уравнения В, если все
корни уравнения В являются корнями уравнения А (но, быть может, среди
корней уравнения А есть такие, которые не являются корнями В).
Преобразование уравнения называется равносильным, если
преобразуемое уравнение равносильно исходному.
/. Если при решении уравнения вы производили лишь равносильные
преобразования, то для найденных корней нет нужды делать проверку.
2. Если вы нашли ОДЗ и в пределах ОДЗ производили равносильные
преобразования уравнения, то проверку также делать не нужно, но
необходимо выяснить, входят ли найденные корни в ОДЗ.

§ 8. Уравнения 21
3. Еслотне все преобразования были равносильными, но каждое
уравнение было следствием предыдущего, то необходимо сделать проверку.
Отметим, что очень часто находать ОДЗ нецелесообразно, если
экономнее (по времени) найти «корни» (среди которых, быть может, есть
лишние) и сделать проверку.
Все сказанное в отношении проверки справедливо с чисто
математической точки зрения. То есть, если все ваши
преобразования были равносильны, то приводить в конце решения проверку
нет необходимости, И в этом случае (при наличии
соответствующей оговорки) ваше решение будет смотреться более грамотным
с точки зрения математики.
Но совсем иное дело, если речь идёт о самоконтроле. Здесь мы
рекомендуем делать в некоторых случаях не одну, а несколько
проверок.
* Полезные неравенства
Отметим, что при решении уравнений (и неравенств) иногда бывают
полезны следующие неравенства, истинные для а > О, Ь > 0:
а2 +1 а + Ъ ^ г-? а + Ь ^ 1а2 + Ь2
а^~т~; —^^; "т^у—2~;
Равенства достигаются при о = Ь (в первом случае при а = 1).
Полезны также некоторые их следствия;
а + - ^ 2 при о > 0; а + - < -2 при а < 0.
а а
Равенства достигаются при о = 1 в первом случае и при а = — 1 — во
втором.
Системы уравнений с двумя неизвестными
Уравнением с двумя неизвестными хиу называется пара функций
от двух переменных (х и у), соединённых знаком равенства:
f(x>v)=9(*,y)-
Решением такого уравнения называется всякая пара чисел (хо>Уо)>
подстановка которых в уравнение вместо соответствующих неизвестных
обращает это уравнение в верное числовое равенство.
Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется пара
уравнений с двумя неизвестными:

22 Краткий теоретический справочник
Решением системы называется всякая пара чисел (х0, t/0)>
являющаяся решением и первого, и второго уравнения системы.
Решить систему — это значит найти все её решения или доказать,
что система решений не имеет.
Системы линейных уравнений
_ f a\x + b\y = ci,
Пусть дана система: s , ,
^ U2X + 022/ = С2-
1. Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда:
! - п2Ь\ ф 0.
2. Система имеет бесконечное множество решений тогда и только
тогда, когда: ( ^ _ ^ = ^
Ь\С2 — 62С1 = 0.
3. Система не имеет решений тогда и только тогда, когда:
= 0, НО п\С2 — п2С\ ф 0 ИЛИ Ь\С2 — ^2^1 ф 0.
§ 9. Неравенства
Неравенства и системы неравенств
Неравенством с одним неизвестным называется пара функций от
одной и той же переменной, соединённая одним из знаков: >, ^, <, ^,
Ф.
Решением неравенства (системы неравенств) называется всякое
действительное число, подстановка которого в неравенство (каждое
неравенство системы) вместо каждого вхождения неизвестного (переменной)
обращает это неравенство (все неравенства системы) в верное числовое
неравенство (верные числовые неравенства).
Решить неравенство (систему неравенств) значит найти множество
всех решений этого неравенства (этой системы неравенств) или
доказать, что оно (она) решений не имеет. Два неравенства (две системы
неравенств) называются равносильными, если множества их решений
совпадают. Соответственно, преобразования неравенства называются
равносильными, если при этих преобразованиях множество решений
полученного неравенства совпадает с множеством решений исходного
неравенства.
Отметим, что проверка правильности всех найденных решений
неравенства подстановкой в исходные неравенства в подавляющем больший-

§ 9. Неравенства 23
стве случаев невозможна. Поэтому при решении неравенств (систем
неравенств) нужно пользоваться равносильными преобразованиями
(равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ). Нахождение ОДЗ не
обязательно, если вы пользуетесь исключительно равносильными
преобразованиями. В противном случае нахождение ОДЗ обязательно. При этом
возможны два подхода к оформлению решения:
1. ОДЗ в виде неравенства или системы неравенств присоединяют к
данному неравенству (данной системе) и полученную систему решают.
2. Находят ОДЗ. Решают данное неравенство (систему неравенств),
пользуясь лишь равносильными преобразованиями в рамках ОДЗ. Из
полученных решений удаляют те, которые не входят в ОДЗ.
Объединение неравенств
Отметим также, что очень часто решениями данного неравенства
(системы неравенств) является объединение решений двух или более
неравенств (систем неравенств). В таких случаях мы будем употреблять запись
вида- Г №>«&*
ВИДа* [ h{x)<u{x).
Эту запись будем называть объединением неравенств. Решением
объединения двух неравенств является всякое число, являющееся
решением хотя бы одного из двух неравенств объединения. Иначе говоря, для
решения объединения нужно найти множества всех решений первого и
второго неравенств и найденные множества объединить.
Рациональные неравенства
Рациональным называется всякое неравенство, сводящееся к нера-
Р(х) Р(х)
венству вида 1) -^Чг > О или вида 2) ffi-^ ^ о, где Р(ж), Q(x) — неко-
торые многочлены.
р(т\
Поскольку ^Ч- > 0 ^ Р{х) • Q(x) > О,
то для решения рациональных неравенств удобно применять метод
интервалов.
Пример. Решите неравенство: х ~7х + 10 + 6х"~9 ^ 1.
X — «5 X ~т~ 1
решение. ^-7»+ 10 + te^i _ 1 ^ „
х — 3 х 41

24 Краткий теоретический справочник
(х2 - 7х + 10)(х + 1) + (6х - 9)(х - 3) - (х - 3) • (х +1) п
(х-3)(х + 1)
—( 5\~т—I 1\ ^ 0. Числитель последней дроби разложим на мно-
(х — 6) • (х 4-1)
жители. Подбором находим, что х = 2 является корнем многочлена
х3 — х2 — 22х 4- 40; деля данный многочлен (уголком или по схеме Горнера)
на х - 2, получаем: х3 - х2 - 22х + 40 = (х - 2) • (х2 4- х - 20) =
= (х - 2) • (х - 4) • (х 4- 5). Значит, исходное неравенство равносильно
системе:
(х - 2) • (х - 4) • (х + 5) • (х - 3) • (х + 1) < 0,
(х - 3) • (х 4-1) ф 0.
Решая первое неравенство этой системы методом интервалов (см. рис. 1)
и выкалывая точки х = -1, х = 3, получаем ответ:
CV
xe(-oo;-5]U(-l;2]U(3;4].
§ 10. Функции
Область определения функции
Областью определения D(y) функции у = f(x) называется
множество всех значений аргумента х, для которых выражение /(х)
определено (имеет смысл). Например, рассматривается функция у = sinx на
отрезке [0; тг]. В данном случае D(y) = [0; тг], так как данной фразой
функция у = sinx определена лишь на отрезке [0; тг]. Если же
рассматривается функция у = sinx без каких-либо оговорок, то это означает, что
D(y) = R. В этом случае говорят также, что функция у = sinx
определена на всей числовой прямой. С другой стороны, пусть рассматривается
vx- 1
функция у = —п—-. В данной фразе также нет каких-либо оговорок от-
х — 4
носительно того, на каком числовом промежутке рассматривается
функция. Вместе с тем мы видим, что эта функция не определена для х < 1, так
как при х < 1 под корнем будет отрицательное число. Эта функция также
не определена при х = ±2, так как при х = ±2 знаменатель обращается в
нуль. Таким образом, для данной функции: D(y) = [1; 2) U (2; 4-оо).
Напомним области определения основных элементарных функций.
Область определения любого многочлена — R.

§ 10. Функции 25
D (1) = (-00; 0) U (0; +oo). D (2^) = [0; +00).
D (2fc+^ ) = R. D (log. x) = (0; +00).
D (sinx) = D(cosx) = R. D (ax) = Я.
*Z?(arcsinx) = D(arccosx) = [—1; 1].
*D (arctgx) = D (arcctgx) = Я.
D (tgx) = (-| + 27rfc; I + 2тгА;) U (| + 2тгА:; |тг + 2тгА:), fc G Z.
Или: D (tgx): x ^ ~ + тг*;, fc G Z.
D (ctg x) = (2тгА:; 7г + 2тгА:) U (тг + 2тгА;; 2тг + 2тг*;), k G Z.
Или: D (ctgx) : x ^ TrJfc, fc G Z.
Множество значений функции
Множеством (областью) значений Е(у) функции у = /(х)
называется множество всех таких чисел у0» ДЛЯ каждого из которых найдется
число х0 такое, что: /(хо) = j/o-
Напомним области значений основных элементарных функций.
Областью значений всякого многочлена чётной степени является
промежуток [т; +оо), где т — наименьшее значение этого многочлена, либо
промежуток [-оо; п], где п — наибольшее значение этого многочлена.
Областью значений всякого многочлена нечётной степени является R.
Е (1) = (-оо; 0) U (0; +оо). Е (2^) = [0; +оо).
^(2fc+V^) = Л Е (ах) = (0; +оо).
Е (logax) = Д. S(sinx) = S(cosx) = [-1; 1].
*Е(arcsinx) = [-|; |]. *S(arccosx) = [0; тг].
S(tgx) = E(ctgx) = A ^(arctgx) = (-|; |).
* Я (arcctgx) = (0; тг).
Отметим, что задания на нахождение множества значений какой-то
функции решаются преимущественно двумя методами: аналитическим и
алгебраическим.
Приведем одно замечание. Предположим, что функция /(х)
является сложной функцлей, в которой можно выделить «подфункцию» t = t(x).

26 Краткий теоретический справочник
Тогда у = f(t) = f(t(x)). Отметим, что неважно, какой является
функция t = t(x) (возрастающей, возрастающе-убывающей и т. д.). Если нам
известна её область значений E(t), то при нахождении области
значений функции у = f(t) = f(t(x)) целесообразно считать, что t
возрастает на E(t) как какой-то новый аргумент. В соответствии с этим
функцию у = f(t) целесообразно считать такой, каковой она является
от аргумента t на промежутке E(t). Например, пусть нам дана функция
у = 2cosx + 1. Вводим новую переменную t(x) = cosx. Понятно, что
E(t) = [-1; 1]. Тогда функцию y(t) = 2t + 1 целесообразно считать
линейной на промежутке [-1; 1]. Это никак не повлияет на нахождение
Е{у), но, напротив, облегчит нам эту процедуру. Находим Е{у). Функция
y(t) = 2t + 1 на промежутке [-1; 1] является линейной и возрастающей,
потому Е{у) = [2(-1) + 1; 2 • 1 + 1] = [-1; 3].
При решении задач аналитическим методом будем пользоваться
следующими фактами.
1. Пусть /(х) — какая-то функция и lim /(x) = +оо, где a — какое-
х—*а
то число или а = +оо, или а = —оо. Тогда lim -77—г = 0, причём при зна-
- - J[x)
X—W,
чениях х, достаточно близких к а, величина -J^r будет достаточно
близкой к нулю, но вместе с тем больше нуля. В этом случае мы будем
говорить, что величина -гт—г стремится к нулю справа при х, стремящемся к а:
J\x)
lim -г}чг = +0. В этом смысле будем употреблять запись —=— = 4-0.
2. В аналогичном смысле будем употреблять также запись вида:
1
= -0.
—оо
3. Пусть теперь lim /(х) = 0, причём при всех х, достаточно близ-
х—*а
ких к а, функция /(х) > 0. Тогда lim -гг-т = +оо. Этот факт мы будем
х->а Дх;
записывать иногда в виде: — = +оо.
4. В подобном же смысле мы будем употреблять запись: -^г = -оо.
5. Ниже мы приводим записи, которые будем в дальнейшем
использовать, но понимать эти записи следует не в буквальном смысле. Фактиче-

§ 10. Функции
27
ский смысл этих записей вам предлагается привести самим.
J Н-оо при а > 1,
|+0 приО<а< 1;
J — ооприа > 1,
а ~ =
Г+0 при а > 1,
1+00 при 0 < а < 1;
/ Лч I ~~ "к" v ^ *, , v I +oo при а > 1,
bge(+O) = < Л bge(+oo) = < F Л
[+ооприО< а < 1; [-ооприО < а < 1.
Чётность и нечётность функции
Функция у = /(х) называется чётной, если для любого х € D(f)
верно равенство /(-х) = f(x). График чётной функции симметричен
относительно оси Оу.
Функция у = /(х) называется нечётной, если для любого х € D(f)
верно равенство /(—х) = — /(х). График нечётной функции симметричен
относительно начала координат.
Графики элементарных функций. На рисунках 2-7 изображены
графики основных элементарных функций.
У.
J
=-1
Г
Рис.2
Рис.3
Построение графиков функций «механическими»
преобразованиями
График функции у = -/(х) получен из графика функции у = /(х)

28
Краткий теоретический справочник
V
iS
Рис.4
y-hgjc,a>\
Рис.5
у и
1
yn
УшСОЗХ
Рис. 6
т
Рис.7
отражением относительно оси Ох, см. рис. 8.
График функции у = /(—х) получен из графика функции у = /(х)
отражением относительно оси Оу} см. рис. 9.
График функции у = m • /(х), m > 1, получен из графика функции

§ 10. Функции
29
Рис.8
\..y=f(x)
Рис.9
Рис. 10
у = /(х) растяжением в т раз вдоль оси Оу от оси Ох, см. рис. 10.
0<т<1
7У-№
Рис. 11

30
Краткий теоретический справочник
График функции j/ = m-/(x),0<m< 1, получен из графика функции
у = f(x) сжатием в — раз вдоль оси Оу к оси Ох, см. рис. 11.
m
y=f(kx) y=f(x)
Рис. 12
График функции у = /(fcx), к > 1, получен из графика функции
у = f(x) сжатием в к раз к оси Оу вдоль оси Ох, см. рис. 12.
0<к<1
<у=/(кх)
Рис. 13
График функции у = /(fcx), 0 < к < 1, получен из графика функции
у = /(х) растяжением в т раз от оси Оу вдоль оси Ох, см. рис. 13.
л*
J't
0
\
У
\
^У
*
= f(x) + Ъ
= f(x)
Рис. И

§ 10. Функции
31
График функции у = f{x) + Ъ получен из графика функции у = f(x)
сдвигом вверх на число Ь при Ь > О и сдвигом вниз на число (-6) при Ь < О,
см. рис. 14.
= f(x+a),a<0
X
Рис. 15
График функции у = f(x -h о) получен из графика функции у = /(х)
сдвигом вправо на число —а при а < 0 и сдвигом влево на число а при
а > 0, см. рис. 15.
Рис. 16
0
Рис. 17
График функции у = |/(х)| (рис. 17) получен из графика функции
у = f(x) (рис. 16) отражением относительно оси Ох части этого графика,
лежащей ниже оси Ох.

32
Краткий теоретический справочник
У=/(\х\)
Рис. 18
График функции у = /(|х|) (рис. 18) получен из графика функции
у = /(х) (рис. 16) объединением части этого графика, лежащей правее
оси Оу, с её отражением относительно оси Оу и удалением части,
лежащей левее оси Оу.
Определение производной
Пусть функция у = /(х) определена в точке х и некоторой её
окрестности (интервале, содержащем точку х). Дадим аргументу х
приращение Дх (положительное или отрицательное), такое, чтобы не выйти из
указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции
Ду = /(х + Дх) — /(х) и составим отношение -д^. Если существует
предел этого отношения при Дх —> 0, то этот предел называется
производной функции у = f(x) в точке х и обозначается /'(х):
„, ч r &У r /(х + Дх) - /(х)
fix) = lim — = lim .
Дж-*О Дх Аас-^О Дх
Таблица производных основных элементарных функций
(с)' = 0 (с — const); (ха)' = а • х0"1 (а — const);
(sinx)' = cosx;
^'У-згЬ
(cosx)' = — sinx;
(*■)'-*■;

§ 10. Функции 33
•(arcsinx)' = -j±-g\ '(arccosx)' =--L
•(arctgx)' = -L-y; '(arcctgx)' = -
Основные правила дифференцирования
(с • u)f = с • и', с — const; (u ± v)r = uf ± t/;
xrv — ш/
» = /(»(*)). l/ - Л(«) ■ ИМ. гае u = ,(i).
Отметим, что справедливо следующее свойство:
если функция /(х) четна (нечётна) и дифференцируема на всей
области определения, то функция /'(х) является нечётной (чётной).
Геометрический смысл производной
/'(х0) является угловым коэффициентом касательной к графику
функции у = /(х) в точке с абсциссой х0. Напомним, что угловой коэффициент
прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с
положительным направлением оси Ох. Уравнение касательной к графику функции
у = f(x) в точке с абсциссой х0:
Механический смысл производной
Пусть 5 = S(t) — уравнение зависимости пути от времени при
движении какого-то тела. Тогда S'(t) — скорость движения этого тела в момент
времени t S"(t) — ускорение движущегося тела в момент времени t.
Возрастание и убывание функции
Функция у = /(х) возрастает (убывает) на множестве Л,
если для любых xi,X2 £ А таких, что xi < хг выполняется неравенство
Замечание, Если функция возрастает (убывает) на двух
промежутках, из этого ещё не следует, что она возрастает (убывает) на объединении
этих промежутков. Например, функция у = - убывает на промежутках
х
(—оо; 0) и (0; +оо), но она не является убывающей на области
определения.
Если на каком-то промежутке функция у = /(х) возрастает (убывает)
и дифференцируема на этом промежутке, то/'(х) ^ 0 (f'{x) < 0), причём

34
Краткий теоретический справочник
равенство нулю не может быть на промежутке ненулевой длины.
Верно и обратное утверждение, которое мы сформулируем в частном
случае. Именно, если на каком-то промежутке /'(х) ^ 0 (f'{x) ^ 0),
причём равенство f'(x) = 0 достигается лишь в конечном числе точек этого
промежутка, то функция у = /(х) на этом промежутке возрастает
(убывает). Отсюда следует, что если производная в точке х0 меняет знак с «4-»
на «-»(с «-» на «+»), то функция у = /(х) в этой точке меняет
возрастание на убывание (убывание на возрастание). А это значит, что функция
у = f(x) имеет в точке хо максимум (минимум).
Предлагаем доказать самостоятельно, что для сложной функции
f(g(x)) двух непрерывных функций /(х) и д(х) справедлива данная ниже
табличка, в которой «4-» означает возрастание функции, а «-» —
убывание.
9(х)
+
-1- '
+
+
-
-
-
+
-
-
-
-1-
Наибольшее, наименьшее значения функции
Значение /(х0) функции f(x) в точке х0 называется наибольшим
(наименьшим) значением этой функции, если для любого х из D(f)
выполняется неравенство:
Л*о)>/(«) (/(«о) </(*))•
Справедлива следующая теорема.
Дифференцируемая на (а; Ь) и непрерывная на [а; 6] функция у = f(x)
достигает своего наибольшего (наименьшего) значения на границе отрезка
[а; Ь] или в одной из стационарных точек на интервале (а; 6).
В частности, если функция удовлетворяет условиям теоремы и
имеет единственную критическую точку, которая является точкой максимума
(минимума), то в ней достигается наибольшее (наименьшее) значение.
Механический смысл производной
Пусть 5 = S(t) — уравнение зависимости пути от времени при
движении какого-то тела. Тогда S'(t) — скорость движения этого тела в момент
времени t. S"(t) — ускорение движущегося тела в момент времени t.
Применение свойств функций при решении уравнений
Рассмотрим уравнение /(х) = <;(х).
1. Пусть на ОДЗ уравнения функция /(х) возрастает, а #(х) убывает.
Тогда уравнение не может иметь более одного корня.

§ 10. Функции 35
2. Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны на отрезке [а; Ь] и
выполняются неравенства f(a) > g(a), f(b) < д(Ь). Тогда уравнение имеет по
крайней мере один корень на интервале (а; Ь).
3. Пусть число А является наибольшим значением функции /(х) и
наименьшим значением функции д(х). Тогда исходное уравнение
равносильно на ОДЗ системе уравнений < ,х! ~ А'
I 9\х) — А-
Первообразная
Пусть f(x) — некоторая функция, заданная на некотором числовом
промежутке А. Если функция F(x) такова, что для любого х из
промежутка A F'(x) = /(х), то F(x) называется первообразной функцией
для функции /(х) на промежутке А.
Отметим, что две первообразные для одной и той же функции
отличаются на постоянную. И обратно, если F(x) — первообразная для /(х),
то для любого с (с — const) функция F(x) -I- с тоже первообразная для
функции /(х).
Приведем таблицу первообразных для основных элементарных
функций. Буквой с везде обозначается произвольная постоянная.
i) = lnx + с, х > 0. F(-) = ln(-x) + с, х < 0.
F(sin x) = — cos x 4- c. F(cos x) = sin x 4- c.
F[—\-] =tgx-hc. F(-^2-) =-ctgx
Vcos2x/ Vsin2x/
^2
sin2x
F(ax) = -^+c. F{ex) =
In a
)= MCtex+c- *F (тг=р)=амйпх+a
Применение первообразной
Пусть функция f(x) имеет первообразную на отрезке [а; Ь], причём на
этом отрезке /(х) ^ 0. Обозначим через 5 площадь фигуры
(криволинейной трапеции), ограниченной графиком функции у = /(х), осью Ох и
прямыми х = а и х = Ь. Тогда: 5 = F(b) — F(a), где F(x) — одна из
первообразных для /(х).

36 Краткий теоретический справочник
§11. Планиметрия
Параллельные прямые
Свойства и признаки параллельных прямых
1. Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не
более одной прямой, параллельной данной.
2. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они
параллельны между собой.
3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой,
параллельны.
4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные
при этом: внутренние накрест лежащие углы равны; соответственные углы
равны; внутренние односторонние углы в сумме составляют 180°.
5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные
внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
6. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные
соответственные углы, то прямые параллельны.
7. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних
односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные
отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие
вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные
отрезки.
Теорема о пропорциональных отрезках. Параллельные прямые,
пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные
отрезки.
Треугольник
Признаки равенства треугольников
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то
треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём
сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

§11. Планиметрия 37
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. По двум катетам.
2. По катету и гипотенузе.
3. По гипотенузе и острому углу.
4. По катету и острому углу.
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё
1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не
смежных с ним углов.
3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(п - 2).
4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360°.
5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они
оба острые или оба тупые.
6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.
7. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных
прямых и секущей перпендикулярны.
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота,
проведенные к основанию, совпадают.
4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки:
медиана, биссектриса, высота, то он является равнобедренным.
Неравенство треугольника и следствия из него
1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало
первого звена с концом последнего.
3. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.
4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и
наклонные, то
1) перпендикуляр короче наклонных;
2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.
Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины
двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.

38 Краткий теоретический справочник
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия
треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.
Теоремы о медианах треугольника
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в
отношении 2:1, считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она
проведена, то треугольник прямоугольный.
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины
прямого угла, равна половине гипотенузы.
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной
около треугольника.
Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты
треугольника, пересекаются в одной точке.
Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке, которая является центром окружности,
вписанной в треугольник.
Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника
делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум
углам другого, то треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника соответственно
пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими
сторонами, равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно
пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
Площади подобных треугольников
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся
как произведения сторон, заключающих эти углы.

§11. Планиметрия 39
В прямоугольном треугольнике
1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению
гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету
острого угла.
2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету,
умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к этому
катету острого угла.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°,
равен половине гипотенузы.
4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине
гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
5. R = ^; г = Q "~с = р — с, где а, Ь — катеты, ас — гипотенуза
Л* It
прямоугольного треугольника; г и R — радиусы вписанной и описанной
окружности соответственно.
Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора
1. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме
квадратов катетов.
2. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других его сторон, то треугольник — прямоугольный.
Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на
гипотенузу, а каждой катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей
проекции на гипотенузу.
Метрические соотношения в треугольнике
1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон
на косинус угла между ними.
2. Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3. Формула для медианы треугольника. Если га — медиана
треугольника, проведенная к стороне с, то га = £л/2а2 Ч-2&2 — с2, где а и Ь —
2t
остальные стороны треугольника.
4. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов.

40 Краткий теоретический справочник
5. Обобщённая теорема синусов. Отношение стороны треугольника
к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной
около треугольника.
Формулы площади треугольника
1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на
высоту.
2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его
сторон на синус угла между ними.
3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на
радиус вписанной окружности.
4. Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон,
делённому на учетверённый радиус описанной окружности.
5. Формула Герона: 5 = у/р(р - а)(р - Ь)(р - с), где р —
полупериметр; а,Ь,с — стороны треугольника.
Элементы равностороннего треугольника. Пусть h, 5, г, R —
высота, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника со стороной а. Тогда
£ f ^ ^f
Четырёхугольник
Параллелограмм. Параллелограммом называется четырёхугольник,
противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма.
1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой
пересечения пополам.
5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны,
то этот четырёхугольник — параллелограмм.
6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и
параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения
пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

§11. Планиметрия 41_
Свойство середин сторон четырёхугольника. Середины сторон
любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма,
площадь которого равна половине площади четырёхугольника.
Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с
прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника.
1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм —
прямоугольник.
Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны
которого равны.
Ромб. Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого
равны.
Свойства и признаки ромба.
1. Диагонали ромба перпендикулярны.
2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот
параллелограмм — ромб.
4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот
параллелограмм — ромб.
Трапеция. Трапецией называется четырёхугольник, у которого
только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней
линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины
непараллельных сторон (боковых сторон).
1. Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции
параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен
полуразности оснований.
Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей
трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины
оснований лежат на одной прямой.
Равнобедренная трапеция. Трапеция называется равнобедренной,
если ее боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции.
1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

42 Краткий теоретический справочник
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание
равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме
оснований.
Формулы площади четырёхугольника
1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на
высоту.
2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних
сторон на синус угла между ними.
3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних
сторон.
4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на
высоту.
6. Площадь четырёхугольника равна половине произведения его
диагоналей на синус угла между ними.
7. Формула Герона для четырёхугольника, около которого можно
описать окружность: 5 = у/(р - а)(р- Ь)(р - с)(р - d), где а, Ь, с, d —
стороны этого четырёхугольника, р — полупериметр, а 5 — площадь.
Подобные фигуры
1. Отношение соответствующих линейных элементов подобных фигур
равно коэффициенту подобия.
2. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату
коэффициента подобия.
Правильный многоугольник.
Пусть ап — сторона правильного n-угольника, а гп и Дп - радиусы
вписанной и описанной окружностей. Тогда:
Окружность.
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости,
удаленных отданной точки, называемой центром окружности, на одно и то же
положительное расстояние.

§ 11. Планиметрия 43
Основные свойства окружности
1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду и стягиваемые ею
дуги пополам.
2. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся
диаметром, перпендикулярен этой хорде.
3. Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр
окружности.
4. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
5. Хорды окружности, удалённые от центра на равные расстояния,
равны.
6. Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.
7. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами,
равны.
8. Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.
9. Диаметр есть наибольшая хорда окружности.
Замечательные свойства окружности
1. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под
прямым углом (/.AMВ = 90°), есть окружность с диаметром АВ без
точек Аи В.
2. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под
острым углом (/.AMВ < 90°), есть внешность круга с диаметром АВ без
точек прямой АВ.
3. Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под
тупым углом (/AMВ > 90°), есть внутренность круга с диаметром АВ
без точек отрезка АВ.
4. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под
данным углом, есть две дуги равных окружностей (без концов этих дуг).
Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью
единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку
касания.
2. Если прямая а, проходящая через точку на окружности,
перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая о — касательная к
окружности.

44 Краткий теоретический справочник
3. Если прямые, проходящие через точку М, касаются окружности в
точках Л и В, то MA = MB и ZAMO = ZBMO, где точка О — центр
окружности.
4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого
угла.
Касающиеся окружности. Говорят, что две окружности касаются,
если они имеют единственную общую точку (точку касания).
1. Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.
2. Окружности радиусов г и R с центрами О\ и Оч касаются внешним
образом тогда и только тогда, когда R + г = O1O2.
3. Окружности радиусов г и R (г < R) с центрами О\ и Ог касаются
внутренним образом тогда и только тогда, когда R — г = O\O<i-
4. Окружности с центрами О\ и Ог касаются внешним образом в
точке К. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках А
и В и пересекается с общей касательной, проходящей через точку К, в
точке С. Тогда ZAKB = 90° и /.ОгСО2 = 90°.
5. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся
окружностям радиусов г и R равен отрезку общей внутренней касательной,
заключённому между общими внешними. Оба эти отрезка равны 2\fRr.
Углы, связанные с окружностью
1. Величина дуги окружности равна величине центрального угла, на
неё опирающегося.
2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую
он опирается.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме
противоположных дуг, высекаемых хордами.
5. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга, равен
полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
6. Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания,
равен половине угловой величины дуги, высекаемой на окружности этой
хордой.
Свойства хорд окружности
1. Линия центров двух пересекающихся окружностей
перпендикулярна их общей хорде.
2. Произведения длин отрезков хорд АВ и CD окружности,
пересекающихся в точке Е, равны, то есть \АЕ\ • \ЕВ\ = \СЕ\ • \ED\.

§11. Планиметрия 45
Вписанные и описанные окружности
1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного
треугольника совпадают.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольного
треугольника — середина гипотенузы.
3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его
противоположных сторон равны.
4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его
противоположных углов равна 180°.
5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°,
то около него можно описать окружность.
6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона
трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности
есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит
боковую сторону.
8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его
площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой
окружности.
Теорема о касательной и секущей и следствие из неё
1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и
секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату
касательной.
2. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки
и данной окружности постоянно.
Длина окружности радиуса R равна 2тгЯ.
Площадь круга радиуса R равна тгЯ2.

46
Краткий теоретический справочиик
Основные формулы
Далее S — площадь фигуры, Р — периметр, р — полупериметр.
Чертежи
Обозначения
Формулы
Треугольник
а, 6, с — стороны;
At Bt С —
противолежащие им углы;
/ia, hb, hc — высоты,
проведенные к
соответствующим
сторонам;
na, пьу пс —
биссектрисы,
проведенные к
соответствующим сторонам;
6а и be — отрезки, на
которые делится
биссектрисой сторона 6;
ша, fribt тпс —
медианы, проведенные
к соответствующим
сторонам;
(mg+ть+гпс) __
М 2
полусумма медиан;
R — радиус
описанной окружности;
г — радиус вписан-
ной окружности.
h 2S
пь ■
пь-
5 =
5 =
-fV2a* + 2c*-b*
а + с^аСр{р Ь)
= у пС — ЬаЬс
: -aha = -absin С
a2 sin Б sin С
2 sin A
= 2R2 sin A sin Б sin С
S=
Vp(p - <*)(P - b)(p - c)
4 /—
- ma)(/x -
- mc
Четырёхугольник
a, 6, c, d — стороны;
Di, £>2 — диагонали;
7 — угол между
диагоналями;
hi,h2 — длины
перпендикуляров,
опущенных на
диагональ D\\
a, /3 — два
противолежащих угла
четырёхугольника.
S =
^(a6sina 4- cdsin/3)
z

§ 11. Планиметрия
47
Чертежи
Обозначения
Формулы
Трапеция
Ъ
a,b — основания;
с, d — боковые
стороны;
£>i, £>2 — диагонали;
a — угол между
диагоналями;
га — средняя линия;
h — высота.
Р = 2га + с + d
=±(
= i
Параллелограмм
a, b — стороны;
h — расстояние между
сторонами 6;
a — угол
параллелограмма;
D\,D2 — диагонали;
7 — угол между
диагоналями.
= bh
S = ab sina
S = i
Ромб
a — сторона;
a — угол ромба;
Di,D2 — диагонали.
S = a2 si
sin a
Правильный
многоугольник
n — число сторон;
a — сторона;
R — радиус описанной
окружности;
г — радиус вписанной
окружности;
a = 180° - 27 —
угол многоугольника
a = 2y/R2 - г2
Р = 2nflsin7 = 2nrtg7
5= in
= |nar

48
Краткий теоретический справочник
Чертежи
Обозначения
Формулы
Круг
R — радиус;
/ — длина окружности.
Круговое
кольцо
г — внутренний радиус;
R — наружный радиус;
d — внутренний
диаметр;
D — наружный
диаметр;
д = Г\ "~~ сРедний
радиус;
6 = R — г — ширина
кольца;
a — центральный угол
части кольца (в
градусах).
S = тг(Д2 - г2)
S = 2npS
Площадь части кольца
Круговой
сегмент
г — радиус;
a — центральный угол
(в градусах);
1 = щг —длина дуги;
a — длина хорды;
h — высота.
= l + a
r(l - a) + ah
2
Круговой
сектор
г — радиус;
a — центральный угол
(в градусах);
= щг —длина дуги.
Р = I + 2r
= ~2

§ 12. Стереометрия 49
§ 12. Стереометрия
Аксиомы стереометрии
Основные аксиомы
1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.
2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Факты, непосредственно связанные с аксиомами
1. Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит
единственная плоскость.
2. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.
3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная
прямая, параллельная данной.
Параллельность в пространстве
1. Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая а
параллельна некоторой прямой плоскости а, то прямая а параллельна
плоскости а.
2. Если через прямую а, параллельную плоскости а, провести
плоскость, пересекающую плоскость а по прямой Ь, то прямые о и Ь
параллельны.
3. Если прямые а и Ь параллельны, а плоскость, проходящая через
прямую а, пересекается с плоскостью, проходящей через прямую Ь, то
прямая пересечения плоскостей параллельна прямым а и Ь.
4. Транзитивность параллельности прямых в пространстве. Если
прямая а параллельна прямой Ь, а прямая Ь параллельна прямой с, то
прямая а параллельна прямой с.
5. Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся
прямые одной плоскости соответственно параллельны двум
пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
6. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые
пересечения параллельны.
7. Транзитивность параллельности плоскостей. Если плоскость а
параллельна плоскости /?, а плоскость /3 параллельна плоскости 7» то
плоскость а параллельна плоскости 7-

50 Краткий теоретический справочник
8. Отрезки параллельных прямых, заключённые между
параллельными плоскостями, равны.
9. Через точку, не лежащую в плоскости, проходит единственная
плоскость, параллельная данной.
Скрещивающиеся прямые
1. Признак скрещивающихся прямых. Если прямая а лежит в
плоскости а, а прямая Ь пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на
прямой а, то а и Ь — скрещивающиеся прямые.
2. Через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара
параллельных плоскостей.
3. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух
скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым и
проходящая через середину одного из таких отрезков.
4. Угол между скрещивающимися прямыми (угол между
пересекающимися в произвольной точке М прямыми, соответственно
параллельными данным) не зависит от выбора точки М.
5. Для любых двух скрещивающихся прямых существует
единственный общий перпендикуляр (отрезок с концами на этих прямых,
перпендикулярный обеим прямым).
Параллельное проектирование
1. Прямая, непараллельная проектирующей, переходит в прямую.
2. Пара параллельных прямых, непараллельных проектирующей,
переходит в пару параллельных прямых или в одну прямую.
3. При проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на
одной прямой или на параллельных прямых.
4. Наклонная пересекает плоскость в точке, лежащей на любой её
параллельной проекции на эту плоскость.
5. Площадь ортогональной проекции плоского многоугольника на
плоскость равна произведению площади проектируемого многоугольника
на косинус угла между плоскостью этого многоугольника и плоскостью
проекций.
Координаты и векторы в пространстве
1. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат
конца и начала данного вектора.
2. Для того чтобы векторы It и Ь были коллинеарны, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство ~а = к- Ь , где к — некоторое
число.

§ 12. Стереометрия 51
3. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и
достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной
комбинации двух других (~ct = х • Ь + у • "с\ где х, у — некоторые числа).
4. Любой вектор можно единственным образом разложить по трём
некомпланарным векторам.
5. Если М — середана АВ, то ОМ = ОА + ОВ.
6. Если М — середина АВ, aN — середина С Д то ~MN = \ BD•
7. Если М — точка пересечения медиан треугольника ABC, то
о
8. Если М — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD,
то ОМ = Ш±Ш±А±Ш^
4
9. Координаты середины отрезка равны средним арифметическим
координат его концов.
10. Свойства скалярного произведения векторов:
а)~а • Ь = Ь ~а\
б)а~а • Ь = а(~а • Ь);
в) ~а • ( Ь + ~с) = 7? • Ь + ~а • ~с;
д) (Ъ + V)2 = S2 + 2 • (7?
е) (а • Ь )2 < а • Ь , причем равенство достигается тогда и только
тогда, когда векторы "аи 6 коллинеарны;
ж) ненулевые векторы ~а и Ь перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно нулю.
11. Расстояние между точками А(х\\у\\ z{) и В(х2; уг; ъ) равно
\АВ\ =
12. Угол между ненулевыми векторами. Если (р — угол между
ненулевыми векторами ~а{х\; у\\ z\) и Ь (хг; У2\ ^г). то
^1 1 {/ 24
13. Уравнение плоскости, проходящей через точку Mo{xo;yo;zo)
перпендикулярно ненулевому вектору 7?(о;Ь;с) (вектор нормали), имеет

52 Краткий теоретический справочник
вид:
а(х - хо) 4- Ь(у - уо) + c(z - zo) = 0.
14. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
о; Уо; зо) параллельно ненулевому вектору тИ(а\ Ь\ с) (направляющий
вектор), имеют вид:
х — хо = at)
у-Уо = Ы;
15. Уравнения прямой, проходящей через две точки А(х\\у\\ z{) и
В{х2\ у2\ z2), имеют вид:
х-х\ _ у- у\ _ z- z\
16. Прямая как пересечение двух плоскостей задается системой
\ А2х 4- B2y + C2z + D2 = 0,
где Л? -I- В\ Л- С? ^ 0 и А\ -I- B| -I- C£ ^ 0, а коэффициенты при
соответствующих неизвестных непропорциональны.
17. Угол между плоскостями. Если (р — угол между плоскостями,
заданными уравнениями Агх + В\у -h C\z + D\ = 0 и
Л2ж + В2у + C2z Ч- Х>2 = 0, то
cosy> =
18. Уравнение плоскости «в отрезках». Если плоскость пересекает
оси координат в точках Л(о;0;0), В(0;Ь;0) и С(0;0;с) (а,Ъ,сф 0), то ее
уравнение можно, представить в виде
а Ь с
19. Расстояние от точки до плоскости. Если р — расстояние от
точки Мо(жо; уо; 2о) до плоскости Ах + By -h Cz + D = 0, то
_ |Ахр + Бур 4- Czp 4- D\
Перпендикулярность прямой и плоскости
1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она
перпендикулярна этой плоскости.
2. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они
параллельны.

§ 12. Стереометрия 53
3. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
плоскости, то вторая прямая также перпендикулярна этой плоскости.
4. Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
5. Если прямая и плоскость перпендикулярны одной прямой, то они
параллельны.
6. Через данную точку проходит единственная плоскость,
перпендикулярная данной прямой.
7. Через данную точку проходит единственная прямая,
перпендикулярная данной плоскости.
8. Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости,
перпендикулярна наклонной к плоскости тогда и только тогда, когда она
перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.
9. Если из одной точки проведены к плоскости перпендикуляр и
наклонные, то
а) перпендикуляр короче наклонных;
б) равные наклонные имеют равные ортогональные проекции;
в) большей наклонной соответствует большая ортогональная
проекция;
г) из двух наклонных больше та, ортогональная проекция которой
больше.
10. Теорема об угле прямой с плоскостью. Угол между наклонной
и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой
наклонной и любой другой прямой плоскости.
11. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка,
есть плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его
середину.
12. Геометрическое место точек, удалённых на данное расстояние от
данной плоскости, есть две параллельные плоскости.
13. Геометрическое место точек, равноудалённых от вершин
треугольника, есть прямая, проходящая через центр описанной окружности
треугольника перпендикулярно его плоскости.

54 Краткий теоретический справочник
Двугранный угол
1. Линейный угол двугранного угла (сечение двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной его ребру) не зависит от выбора точки на ребре
двугранного угла.
2. Геометрическое место внутренних точек двугранного угла,
равноудаленных от его граней, есть биссекторная плоскость двугранного угла.
3. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности
плоскостей. Две плоскости перпендикулярны (образуют прямой
двугранный угол) тогда и только тогда, когда одна из них проходит через
перпендикуляр к другой.
4. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то
они пересекаются по прямой, также перпендикулярной этой плоскости.
Многогранные углы
1. Плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других его
плоских углов.
2. Сумма плоских углов выпуклого многогранного ytvia меньше 360°.
Сфера. Касательная плоскость. Касающиеся сферы
1. Сечение сферы плоскостью, удалённой от центра сферы на
расстояние, меньшее радиуса, есть окружность. Основание перпендикуляра,
опущенного из центра сферы на секущую плоскость, есть центр этой
окружности.
2. Касательная плоскость к сфере (плоскость, имеющая со сферой
единственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы,
проведённому в точку касания.
3. Касательная прямая к сфере (прямая, имеющая со сферой
единственную общую точку) перпендикулярна радиусу сферы, проведённому
в точку касания.
4. Центр сферы, вписанной в двугранный угол, лежит в биссекторной
плоскости этого угла.
5. Отрезки касательных прямых, проведённых к сфере из одной точки,
равны между собой.
6. Линия центров касающихся сфер (имеющих единственную общую
точку) проходит через их точку касания.
7. Если две различные сферы имеют более одной общей точки, то они
пересекаются по окружности. Плоскость этой окружности
перпендикулярна линии центров данных сфер.

§ 12. Стереометрия 55
Пирамида
Правильная пирамида
1. Если ABCD — правильная треугольная пирамида с вершиной Д
высотой DM и стороной основания а, а А\, Вх и С\ — середины сторон
соответственно ВС, АС и АВ, то
а) /.DAM = ZDBM = /DCM — угол бокового ребра с плоскостью
основания;
б) ZDAiM = /DB\M = /DC\M — линейный угол двугранного
угла боковой грани с плоскостью основания;
в) /AFB (где F — основание перпендикуляра, опущенного из
вершины А основания на боковое ребро DC) — линейный угол между боковыми
гранями пирамиды;
г) АА\ = ВВ\ = СС\ = Щг высота треугольника основания;
2
д) AM = ВМ = СМ = -zAA\ = ^—^ — ортогональная проекция
«5 о
бокового ребра на плоскость основания;
е) А\М = В\М = С\М = ^ф1 = ^^ — ортогональная проекция
«5 О
апофемы на плоскость основания;
ж) C\F — общий перпендикуляр противоположных рёбер АВ и CD.
2. Противоположные рёбра правильной треугольной пирамиды
попарно перпендикулярны.
3. Высота правильного тетраэдра с ребром а равна aw 2
4. Если PABCD — правильная четырёхугольная пирамида с
вершиной Р, высотой РМ и стороной основания а, а Ль Вь С\ и D\ —
середины сторон соответственно АВ, ВС, CD и AD, то
а) /РАМ = /РВМ = /PCM = /PDM — угол бокового ребра с
плоскостью основания;
б) /РАХМ = /РВгМ = /PCiM = /PDXM — линейный угол
двугранного угла боковой грани с плоскостью основания;
в) /BFD (где F — основание перпендикуляра, опущенного из
вершины В основания на боковое ребро АР) — линейный угол между соседними
боковыми гранями пирамиды;
г) /А\РС\ = /B\PD\ — линейный угол двугранного угла между
противоположными боковыми гранями;

56 Краткий теоретический справочник
д) AM = ВМ = СМ = DM = ^тр = ^р — ортогональная
проекция бокового ребра на плоскость основания;
е) А\М = В\М = С\М = D\M = ^ — ортогональная проекция
апофемы на плоскость основания;
ж) FM — общий перпендикуляр диагонали BD основания и
скрещивающегося с ней бокового ребра АР.
5. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
перпендикулярно скрещивающейся с ним диагонали основания.
Правильный тетраэдр. Пусть a — ребро правильного тетраэдра, a R
иг — радиусы описанной и вписанной сфер, V — объём тетраэдра. Тогда:
Пирамида
1. Если боковые грани треугольной пирамиды образуют равные
двугранные углы с плоскостью основания, то высота пирамиды проходит
либо через центр вписанной окружности, либо через центр одной из вневпи-
санных окружностей основания.
2. Если все боковые рёбра пирамиды образуют с основанием равные
углы или если все боковые рёбра равны, то высота пирамиды проходит
через центр окружности, описанной около основания.
3. Теорема о медианах тетраэдра. Медианы тетраэдра (отрезки,
соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан
противолежащих граней) пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении
3:1, считая от вершины.
4. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то
в сечении образуется многоугольник, подобный основанию.
5. В пирамиде и в конусе площади сечений, параллельных основанию,
относятся как квадраты их расстояний до вершины.
Параллелепипед
1. Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра
перпендикулярны основанию.
2. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит
прямоугольник, называется прямоугольным.

§ 12. Стереометрия 57
3. Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда:
а) диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
б) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер с общей вершиной).
4. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда.
Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. Диагонали
параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5. Диагональ АС\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ проходит через
точку пересечения медиан треугольника A\BD и делится ею в отношении
1: 2, считая от точки А.
Площади поверхности многогранников
1. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению
периметра перпендикулярного сечения призмы на боковое ребро.
2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
площади её основания, делённой на косинус угла боковой грани с плоскостью
основания.
Объёмы многогранников
1. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх
его измерений.
2. Объём наклонной призмы равен произведению площади
перпендикулярного сечения на боковое ребро.
3. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.
4. Объём треугольной призмы равен половине произведения площади
боковой грани на расстояние между этой гранью и противолежащим ей
боковым ребром.
5. Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на
высоту.
6. Пирамиды с равными высотами и равновеликими основаниями
равновелики.
7. Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и прямую,
лежащую в основании, делит объем пирамиды в том же отношении, в котором
прямая делит площадь основания.
8. Если точки А\, В\ и С\ лежат на боковых рёбрах
соответственно DA, DB и DC треугольной пирамиды ABCD или на их продолжениях,
то объём пирамиды AiB\C\D\ относится к объёму пирамиды ABCD как
произведение отношений ^д ' ТГд

58
Краткий теоретический справочник
9. Отношение объёмов подобных многогранников равно кубу
коэффициента подобия.
10. Объём тетраэдра V равен шестой части произведения длин двух
противоположных рёбер а и Ь на расстояние между ними с и на синус
угла (р между ними, то есть V = \abcsin (p.
о
11. Объём тетраэдра V равен двум третям произведения площадей
двух граней Р и Q на синус угла у> между ними, делённому на их общее
ребро а, то есть У = |££^.
О CL
12. А. Объём тетраэдра равен трети произведения его полной
поверхности на радиус вписанной сферы.
Б. Объём многогранника, в который можно вписать сферу, равен
трети произведения полной поверхности многогранника на радиус
вписанной сферы.
Основные формулы
Далее V — объём тела,
Многогранники
— его боковая и полная поверхности.
Чертежи
Призма
Прямая призма
Обозначения
F — площадь
основания;
h — высота;
I — боковое ребро;
Q и Р — площадь и
периметр сечения, пер-
пендлкулярного
боковому ребру.
F и Р — площадь и
периметр основания;
I — боковое ребро.
Формулы
V = Fh = Ql
S6 = Pl
S = PI + 2F
= Fl

§ 12. Стереометрия
59
Чертежи
Обозначения
Формулы
Призма, усечённая
непараллельно
основанию
I — длина отрезка OOi,
соединяющего центры тяжести
оснований;
Q — площадь сечения,
перпендикулярного к
отрезку ООь
= Ql
Треугольная призма,
усечённая
непараллельно
основанию
а, Ь и с — параллельные
рёбра;
Q — площадь сечения,
перпендикулярного к рёбрам.
Прямоугольный
параллелепипед
а, Ъ и с — рёбра;
d — диагональ:
V = abc
Пирамида
F — площадь основания;
h — высота;
Р — периметр основания;
а — апофема (высота
боковой грани правильной
пирамиды).
Правильная
пирамида

60
Краткий теоретический справочник
Чертежи
Усечённая
пирамида
(плоскость сечения
параллельна основанию)
1а
у
А\
м \ \
.ГкЛ \
п А >
Правильная
усечённая
пирамида
//// ! \ \
//и lh\ \
х/Г4Лх
Обозначения
F, / — площади
оснований;
h — высота
(расстояние между
основаниями);
А, а — две
соответственные стороны
оснований.
F, / — площади
оснований;
Р, р — периметры
оснований;
h — высота;
а — апофема
(высота боковой грани).
Формулы
3
~~ з V "а "*" Vл/)
1 пгг\
V = ^{F Н- / 4- v^7)
Тела вращения
Чертежи
Обозначения
Формулы
Сфера
R — радиус.
S = 4тгД2
Цилиндр
R — радиус основания;
h — высота.
V = nR2h
5б = 2тг Rh
S = 2тг R(h + R)

§ 12. Стереометрия
61
Цилиндр, усечённый
непараллельно основанию
Я — радиус основания;
h\ и /i2 — наименьшая
и наибольшая
образующие.
V=±nR2(h1+h2)
5б = тгЯ(/ц + h2)
( /
Конус
Я — радиус основания;
h — высота;
/ = y/R2 + h2 —
образующая.
V
5б
Усечённый конус
Я и г — радиусы
оснований;
h — высота;
I = vW + ^-r)2 —
образующая;
Я — высота
неусечённого конуса:
H = hl hr
R-r'
= |тг/1(Я2 W+Rr)
Шаровой сегмент
h — высота сегмента;
Я — радиус шара;
а = y/h(2R-h) —
радиус основания
сегмента.
V=\*h2(3R-h)
= 2тгДЛ
S = ;
Шаровой сектор
I*
h — высота сегмента;
Я —радиус шара;
а — радиус основания
сегмента.

62
Краткий теоретический справочник
Шаровой слой
2Ь ,
h — высота слоя;
а и b — радиусы
оснований (а > 6);
R — радиус шара.
V = ±nh(3a2+3b2+h2)
о
V = Vi 4- \nhl2f где
о
V\ — объём
вписанного в шаровой слой
усечённого конуса,
радиусы оснований
которого а и Ь, высота h и
образующая I.
S6 = 2тгД/1
S = тг(а2 + Ъ2 4- 2ДД)

Учебно-тренировочные тесты
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по математике дается 4 часа
(240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий.
Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1—В12) базового
уровня по материалу курса математики. Задания части 1 считаются
выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа
или конечной десятичной дроби.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1—С6) по материалу
курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и
ответ.
Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не
удаётся выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению
пропущенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время.
Желаем успеха!

Вариант № 1
Часть!
81. В летнем лагере отдыхают 160 человек. На каждого отдыхающего
полагается 500 г фруктов в день. Какое наименьшее количество ящиков с
фруктами необходимо закупить на 7 дней, если в каждом ящике по 5 кг
фруктов?
82. На рисунке 19 жирными точками показана среднесуточная
температура воздуха в посёлке Иваново каждый день с 4 по 15 марта 2006 года. По
горизонтали указаны числа месяца, по вертикали — температура в
градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией.
Определите по рисунку наибольшую среднесуточную температуру (в градусах
Цельсия) в период с 5 по 10 марта.
17 ■
16 -
15 ■
14 ■
13 -
12 -
11 -
10 •
9 ■
8 ■
7 -
—}
/
/
\
IT
it
IT
4-
i
i
A
/\
/ »
\
\
\
\
-\
/
i—►
8 9 10 11 12 13 14 15
март
Рис. 19
83. Найдите корень уравнения log^x + 4) = 4. Если их несколько, то
укажите наибольший.
84. 3 треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, ВС = 5,
ВН = 1. Найдите sin Л.
85. Для изготовления книжных полок требуется заказать 52 одинаковых
стекла в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,4 м2.
В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стёкол и
шлифовку края.

Вариант № I
Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
65
Фирма
А
Б
В
Цена стекла (руб. за 1 м2)
400
420
450
Резка и шлифовка (руб.
за одно стекло)
80
75
65
В6. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на
клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см (см. рис. 20). Ответ дайте в
квадратных сантиметрах.
У,
z
У/
z
z
А
У/
Z
Z
/у
/у
У/
У
У-
У/
/у
f у
У/
<f
Уг
у
<
//
z
У
Z
Z
У/
\см
V,
'/.
У/
у,
Рис. 20
87. Найдите значение выражения (5х - 3)(5х -I- 3) - 25х2 - 35 при х = 40.
88. На рисунке 21 изображен график функции у = /(х), определённой и
дифференцируемой на интервале (—5; 8). Определите количество точек, в
которых касательная к графику функции параллельна прямой у = у/тт.
89. Куб и пирамида имеют общее основание (см. рис. 22), высота
пирамиды равна ребру куба и равна 3. Найдите объём пирамиды.
В10. Коэффициент полезного действия некоторого двигателя
определяется формулой ту =
100%, где Т\ — температура нагревателя (в
градусах Кельвина), Гг — температура холодильника (в градусах
Кельвина). При каком наибольшем значении температуры Т\ КПД этого
двигателя будет не более 42%, если температура Г2 = 348 К? Ответ дайте в
градусах Кельвина.

66
Учебно-тренировочные тесты
^
-5
/
(
\
ч
\
i
У
ч
0
1
1
/
V
J
=/(
ч
8
X
Рис.21
Рис. 22
Bl 1. Найдите наименьшее значение функции у = Цг + х2 + 1 на отрезке
[-2; 2].
В12. Корабль прошел по течению реки 220 км, а затем 720 км по морю.
Определите скорость течения реки (в км/ч), если весь путь занял 46 ч и по
морю он двигался на 26 ч дольше, чем по реке.
Часть 2
С1. Решите уравнение 2sin2x-sinx - 1 = 0
Jr l + cos2x
С2. АВСА\В\С\ — прямая треугольная призма, основание которой —
равнобедренный треугольник ABC со сторонами АВ = 18, АС и ВС = 15.
Точка L лежит на ребре А\С\ так, что A\L : LC\ = 2:1. Высота
призмы АА\ = 8. Найдите тангенс угла между плоскостью, проходящей через
середины рёбер АА\, ВВ\ и точку L и плоскостью основания призмы.

Вариант №2
67
СЗ. Решите неравенство logx2_2x+i(x2 + 1) > 1.
С4. В равнобедренной трапеции ABCD тангенс острого угла при основа-
нии равен |, высота h = 3, диагональ является биссектрисой острого угла
трапеции. Точка К расположена так, что треугольник ВС К —
равнобедренный (ВС — меньшее основание трапеции), причём отношение боковой
стороны этого треугольника к его основанию равно 3 : 2. Найдите
расстояние от точки К до большего основания трапеции.
С5. Найдите все значения параметра о, при каждом из которых система
Г У2 - уа - 6у - а2у + а3 + 6а2 = О,
1 J Ъ Т. 3 i г — 4 имеет единственное решение.
Сб. Найдите все числа р, для которых является простым каждое из шести
чисел:р, р + 2, р + 6, р + 8, р+12, р+14.
Вариант №2
Часть!
В1. Клиент взял в банке кредит в размере 10000 рублей на год под 14%
годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно
одинаковую сумму денег с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в
кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк
ежемесячно?
120 ■
100 •
80 •
оО •
40 •
20 <
1
J
/
1
\
\
/
\
\
N
/\
/
1/
1
V
\
1
(
10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29
ноябрь
Рис. 23
В2. На рисунке 23 жирными точками показана цена акции одной из
строительных компаний Австралии на момент закрытия биржевых торгов во

68
Учебно-тренировочные тесты
все рабочие дни с 10 по 29 ноября 2010 года. По горизонтали
указываются числа месяца, по вертикали — цена одной акции в долларах США.
Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите, сколько дней в течение указанного периода цена акции не превышала
60 долларов США.
/1 \ 7-Зх
83. Найдите корень уравнения ( - J = 32х.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, cos A = §,
о
АС = 6. Найдите АН.
85. Для остекления веранды требуется заказать 35 одинаковых стёкол в
одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,6 м2. В таблице приведены
цены на стекло и на резку стёкол.
Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
Фирма
А
Б
В
Цена стекла
(руб. за 1 м2)
320
325
340
Резка стекла
(руб. за одно
стекло)
15
11
10
Дополнительные
условия
При заказе на
сумму более
6500 руб. резка
бесплатно
В6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен
треугольник (см. рис. 24). Найдите его площадь (в квадратных сантиметрах).
ч
lew
/
J 1
А 1
V
\
\
\
ч \|
1
Рис. 24

Вариант №2
В7. Найдите значение выражения
69
при х = 9.
В8. На рисунке 25 изображен график функции у = f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x)
в точке xq.
-у.
\
■л,
\
}
ч
*>
\
'У
1
0
\
1
\
1
X
Рис. 25
В9. Правильная шестиугольная пирамида вписана в конус (см. рис. 26),
радиус основания которого равен 1. Найдите объём пирамиды, если
высота конуса совпадает с высотой пирамиды и равна 2\/3.
Рис. 26
В10. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма
спроса на продукщш q (единиц в месяц) от её цены р (тыс. руб.) задаётся
формулой q = 260 - 20р. Выручка предприятия за месяц г (в тыс. руб.) вы-

70 Учебно-тренировочные тесты
числяется по формуле r(p) = q p. Определите наибольшую цену р, при
которой месячная выручка г(р) составит не менее 600 тыс. руб.
В11. Найдите наибольшее значение функции у = Зх — 3 tg x — 3 на
отрезке 0;т
L 4.
В12. На изготовление 40 деталей первый рабочий тратит на 4 часа
меньше, чем второй рабочий на изготовление 54 таких же деталей. Известно,
что второй рабочий за час изготавливает на 2 детали меньше, чем первый.
Сколько деталей в час изготавливает первый рабочий?
Часть 2
С1. Решите уравнение 2 cos2 x-f cos х - 1 = Q
уу cos 2x4-0,5
С2. ABCDA\B\C\D\ — куб с ребром АВ = 4. Найдите тангенс угла
между плоскостью, проходящей через середины рёбер А\В\, A\D\ и
вершину Л, и плоскостью ABC.
СЗ. Решите неравенство Iog3a;_2x2(x 4-1) > 0.
С4. В равнобедренной трапеции ABCD косинус острого угла равен \у бо-
о
ковое ребро АВ = 6, диагональ трапеции является биссектрисой
внутреннего угла и делит трапецию на два треугольника, в каждый из
которых вписана окружность. Найдите отношение радиусов этих окружностей
(большего к меньшему).
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
Г У2 - уа2 + (а - 6)у + а2(6 - а) = 0,
< /о* ——=■ %- имеет единственное решение.
\ Vx2 - 2ах + 5 -I- у/у = 3 г
Сб. Найдите все простые числа, которые одновременно являются
суммами и разностями двух простых чисел.
Вариант №3
Часть 1
81. Светильник стоит 45 рублей. Какое наибольшее число светильников
можно будет купить на сумму 800 рублей, если цена понизится на 15%?
82. На диаграмме (см. рис. 27) показано количество посетителей сайта
информационного агентства в течение каждого часа 6 февраля 2010 года.

Вариант №3
71
По горизонтали указывается время в часах, по вертикали — количество
посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме, за какой час
на данном сайте побывало максимальное количество посетителей.
3 5 7
9 11 13 15 17 19 21 23 часы
Рис. 27
83. Найдите корень уравнения у/5х - 36 = 13.
84. В треугольнике ABC ZC = 90°, АВ = 12, АС = 6\/3. Найдите
sinZA
85. Для транспортировки 36 тонн груза на 1600 км можно использовать
одного из трёх перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность
автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице. Сколько рублей
придется заплатить за самую дешёвую перевозку?
Перевозчик
А
Б
В
Стоимость перевозки
одним автомобилем
(руб. на 100 км)
2800
5200
8400
Грузоподъёмность
одного автомобиля
(тонн)
3,5
6
12
86. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена
трапеция (см. рис. 28). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
87. Найдите значение выражения 49logT 5.
88. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [—9; 9]. На
рисунке 29 изображен график производной функции f(x) на интервале (-9; 9).
Определите промежутки возрастания функции /(х). В ответе укажите
длину наибольшего из них.

72
Учебно-тренировочные тесты
I
1
\
\
\см
\
Рис. 28
-9
ч
I
/
\
yi
\°
1
У
/
f
Ь)
\
J
(
->>
Рис. 29
В9. В правильную треугольную призму вписан шар, имеющий объём,
равный Збтг (см. рис. 30). Найдите высоту призмы.
Рис. 30
В10. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону
h(t) = l-h 2,9* - 0,5*2, где h — высота в метрах, t — время в секундах,

Вариант №4 73
прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на
высоте не менее 3,4 метра?
811. Найдите наименьшее значение функции у = х3 - Зх2 + Зх 4- 2 на
отрезке [-2; 2].
812. Теплоход проходит против течения реки до пункта назначения 144 км
и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость
течения реки, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч,
стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается
через 25 ч после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Часть 2
С1. Решите уравнение \/х* - 2х2 4- 2 4- у/х2 + 2х 4- 2 = 2.
С2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной 5
точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Сторона
основания пирамиды равна |, апофема \ . Найдите угол между плоскостью
MNC и плоскостью основания пирамиды.
СЗ. Решите неравенство 10' \— ~ < 0.
X — ZoO
С4. В параллелограмме ABCD острый угол равен 30°. Найдите диагональ
АС, если АВ = 4\/3, Sabcd = 20\/3.
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений < , ё^ . 2 _ "• ^_ 2 _ с имеет единственное решение.
Сб. Целое число кратно 11 и при делении на 5 дает остаток 3. Найдите
остаток от деления этого числа на 55.
Вариант №4
Часть 1
81. Строительная база продаёт ламинат по оптовой цене 200 рублей за
упаковку, в которой содержится 1 м2 ламината. Фирма продаёт эту
упаковку с наценкой 10%. Какое наибольшее количество м2 плитки можно
купить на сумму 235 000 рублей в данной фирме?
82. На графике, изображённом на рисунке 31, показано изменение
скорости ветра на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и

74
Учебно-тренировочные тесты
30
25
20
15
10
5
0:
N
S
Ю 6:00 12:00 18:00 0:
1 января
/
/
\
S
/ S
Ю 6:00 12:00 18:00 0:
2 января
\
\
\
/
/
/
J
\
\
\
\
Ю 6:00 12:00 18:00
3 января
Рис.31
время суток, по вертикали — значение скорости ветра в м/с. Определите
[я 2г^-25х-13 = 0. Если корней
несколько,
> скорость ветра;
\ корень уравнения:
в ответе укажите наибольший.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СИ — высота, АВ = 18,
о
cos А = -. Найдите АН.
85. Для транспортировки 38 тонн груза на 800 км можно использовать
одного из трёх перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность
автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице. Сколько рублей при-
дется заплатить за самую дешёвую перевозку?
Перевозчик
А
Б
В
Стоимость перевозки
одним автомобилем
(руб. на 100 км)
2800
5200
8400
\
1см
ч
\
\
Грузоподъёмность
одного автомобиля
(тонн)
4
5
12
\
\
Рис. 32
В6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен
четырехугольник (см. рис. 32). Найдите его площадь в квадратных
сантиметрах.

Вариант №4
75
87. Найдите значение выражения log4 9 • log3 16.
88. На рисунке 33 изображен график производной функции /(х).
Определите количество точек экстремума функции /(х) на интервале (—5; 5)
Рис. 33
В9. Найдите объём прямоугольной призмы, вписанной в цилиндр, если
основанием призмы служит прямоугольник (см. рис. 34), одна из сторон
которого равна 6, радиус основания цилиндра 5, высота призмы 10.
м
\:
Рис. 34
В10. Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в
вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении
ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: оно максимальна
в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если
сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории,
кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила
давления, выраженная в ньютонах, равна р = m I ^— у 1, где i/ —
скорость движения ведёрка в м/с, I — длина верёвки в метрах, д — ускорение

76 Учебно-тренировочные тесты
свободного падения (д = 10 м/с ). С какой наименьшей скоростью надо
вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна
90 см? Ответ выразите в м/с.
811. Найдите наименьшее значение функции у = (х - 4)еж"~3 на отрезке
[1;5].
812. Моторная лодка прошла против течения реки 70 км и вернулась,
затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость моторной лодки
в неподвижной воде, если скорость течения составляет 2 км/ч.
Часть 2
С1. Решите уравнение \/хА - 8х2 4-17 4- у/х2 4- 4х 4- 5 = 2.
С2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC
точки К и F — середины рёбер SB и 5С соответственно. Сторона
основания пирамиды равна 2\/3, боковое ребро равно >/79. Найдите угол между
плоскостью AKF и плоскостью основания пирамиды.
Q . о13—X2 QX
СЗ. Решите неравенство 4—01 ^ 0.
х — oJ.
С4. В параллелограмме ABCD острый угол равен 45°. Найдите BD, если
ВС = 4\/2, Sabcd = 16.
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
рр р р
- Г logft(6 — х) = logrt у,
уравнении < , _ .2 __ , 1 2 _ 7 имеет единственное решение.
Сб. Целое число кратно 13 и при делении на 4 даёт остаток 3. Найдите
остаток от деления этого числа на 52.
Вариант № 5
Часть 1
81. Необходимо распечатать электронную версию книги объёмом
508 страниц в 5-ти экземплярах. Сколько для этого потребуется пачек
бумаги, если в каждой пачке 250 листов?
82. На диаграмме (см. рис. 35) жирными точками показана
среднемесячная температура воздуха в посёлке Самолётово за каждый месяц 1983
года. По горизонтали указывается месяц, по вертикали — температура в
градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены
линией. Определите наименьшую среднемесячную температуру с марта по
ноябрь (в градусах Цельсия).

Вариант №5
77
• i
25-
20
15-
10
5-
0
-5-
101
-15-
1
ч
\
1
/
)
/
У
i/
)
1
/
»
4
L
ч
4
\
1
V
\
J
\
\
l\
\
Me
nan
I
T
\
\
\
Ы-
Рис. 35
2 1
83. Найдите корень уравнения ^х = 7^.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, АВ
sin Л = 0,25. Найдите ВН.
85. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по
подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.
Тарифный
план
План «0»
План «500»
План «600»
Абонентская плата
Нет
600 руб. за 500 Мб
трафика в месяц
750 руб. за 600 Мб
трафика в месяц
Плата за трафик
3 руб. за 1 Мб
2,5 руб. за 1 Мб сверх
500 Мб
2 руб. за 1 Мб сверх
600 Мб
= 12,
Пользователь предполагает, что его трафик составит 700 Мб в месяц
и, исходя из этого, выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько
рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно
будет равен 700 Мб?

78
Учебно-тренировочные тесты
В6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен
четырехугольник (см. рис. 36). Найдите его площадь в квадратных
сантиметрах.
/
ч
1см
\
\
V
Рис. 36
87. Найдите значение выражения log4 log6 36.
88. Функция /(х) определена на интервале (-7; 7). На рисунке 37
изображен график производной функции f(x). Найдите наибольшую целую
точку, входящую в промежутки возрастания функции /(х).
-7
j
/
1
/
/
—-ч
О
ч
1
ч
\
А
1
\
\
ч
fix)
J *x
Рис. 37

Вариант №5
79
В9. Из куба со стороной 5 вырезана правильная четырехугольная
пирамида (см. рис. 38) со стороной основания 3 и высотой 4. Найдите объём
оставшейся части куба.
Рис. 38
В10. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление
которых составляет 100 Ом. Параллельно с ними в розетку
предполагается подключить электропечь. Определите (в Омах) наименьшее возможное
сопротивление электропечи, если известно, что при параллельном
соединении двух проводников с сопротивлениями i?i и i?2 их общее
сопротив= 1
ление задаётся формулой R =
, а для нормального функциони-
рования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше
20 Ом.
811. Найдите наибольшее значение функции у = 4х3 - х(х + 2) на
отрезке [0;3].
812. Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем
вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если
резервуар объёмом 594 литров она заполняет на 5 минут дольше, чем
вторая труба заполняет резервуар объёмом 616 литра?
Часть 2
С1. Решите уравнение
sin2 2x — sin 2x
у х^тг — Zx)
= 0.
С2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF проведено
сечение SBE, являющееся правильным треугольником. Найдите угол между
плоскостью SAC и плоскостью основания пирамиды.
СЗ. Решите неравенство [ —п г- 1 > 1.
\х* -х + 1 J

80
Учебно-тренировочные тесты
С4. Найдите длины двух смежных сторон параллелограмма, если
известно, что их сумма равна 8, а сумма квадратов длин диагоналей
параллелограмма равна 68.
С5. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из
которых уравнение ах = х имеет единственное решение.
Сб. Найдите все квадратные трёхчлены х2 + рх + q с целыми корнями,
если известно, что р + q = 30.
Вариант № 6
Часть 1
81. Больному предложено два варианта оплаты лечения: оплата 9-ти
разовых процедур по цене 125 рублей за процедуру или оплата всех процедур
единовременно в размере 2000 рублей. Какой способ оплаты выгоднее? В
ответе укажите, на сколько рублей.
82. На рисунке 39 жирными точками показано суточное количество
осадков, выпавших в Новгороде с 1 по 25 ноября. По горизонтали указываются
числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в
соответствующий день (в миллиметрах). Для наглядности жирные точки
соединены линиями. Определите по рисунку, сколько дней в течение указанного
периода не выпадало осадков.
мм*
5-
4-
3-
2-
1-
/
/
/
/
\
\
\
)
/
/
\
\
V
/
1
)
/
/
\
\
\
\
\
/
)
(
\
\
V
11 13 15 17 19 21 23 25
ноябрь
Рис. 39
83. Найдите корень уравнения у/х- 1 +
то в ответе укажите наибольший.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН
= i Найдите ВН.
«5
1 = х. Если корней несколько,
высота, АН = 9,

Вариант №6
В5. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по
подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.
81
Тарифный
план
План «600»
План «1000»
План
«Безлимитный»
Абонентская плата
500 руб. за 600 Мб
трафика в месяц
860 руб. за 1000 Мб
трафика в месяц
1200 руб. в месяц
Плата за трафик
3 руб. за 1 Мб сверх
600 Мб
2,5 руб. за 1 Мб сверх
1000 Мб
Нет
Пользователь предполагает, что его трафик составит 1050 Мб в месяц
и, исходя из этого, выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько
рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно
будет равен 1050 Мб?
В6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена
некоторая фигура (см. рис. 40). Найдите ее площадь.
\
\см
</
\
Z
\
У/
X
'/
\
У/
У,
'/}
1
/
/
Рис. 40
87. Найдите значение выражения log i л/15.
88. Функция f(x) определена на интервале (—7; 8). На рисунке 41
изображен график её производной. Найдите суммарную длину всех
промежутков, на которых функция f(x) постоянна (внутри каждого отдельно
взятого промежутка).
89. Стороны основания правильной пятиугольной пирамиды равны 12,
боковые рёбра равны 10. Найдите площадь боковой поверхности этой
пирамиды.
В10. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота,
на которой он находится, описывается формулой h(t) = -5t2 -I- 39t, где

82
Учебно-тренировочные тесты
-7
/
\
/
/
Уь
1
О
<
\
1
К
W
/
\
i
I х
Рис.41
Рис. 42
h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска.
Укажите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 34 метров.
В11. Найдите наименьшее значение функции j/ = 4tgx-4x-7r + 5Ha
отрезке [-^J-
В12. Моторная лодка прошла против течения реки 336 км и вернулась в
пункт отправления, затратив на обратный путь на 1,5 часа меньше, чем на
путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если
скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
С1. Решите уравнение
Часть 2
cos х + cos x
= 0.
С2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF высота
пирамиды равна диагонали АС. Найдите угол между боковым ребром и
плоскостью основания пирамиды.
СЗ. Решите неравенство ( —ч — ] > 1.
v \ х2 4- х 4- 2 J
С4. Найдите длины диагоналей параллелограмма, если известно, что их

Вариант №7
83
сумма равна 20, а сумма квадратов длин двух смежных сторон
параллелограмма равна 109.
С5. Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из
которых уравнение aa" = x имеет единственное решение.
Сб. Найдите все квадратные трёхчлены х2 + рх + q с целыми корнями,
если известно, что сумма квадратов корней равна 34.
Вариант № 7
Часть 1
81. Джемпер стоил 2400 рублей. После наценки за использование
системы доставки он стал стоить 2760 рублей. На сколько процентов выросла
цена джемпера?
82. На диаграмме (см. рис. 43) показана среднемесячная температура
воздуха в деревне Кораблёво за каждый месяц 1988 года. По
горизонтали указываются месяцы, по вертикали — среднемесячная температура в
градусах Цельсия. Определите по диаграмме количество месяцев, когда
среднемесячная температура превышала 15 градусов Цельсия.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
Рис. 43
ВЗ. Найдите наименьший положительный корень уравнения cos2 ^ = f •

84
Учебно-тренировочные тесты
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, СН — высота, sin Л = |,
ь
ВС = 4. Найдите ВН.
85. Клиент хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки
протяженностью 600 км. В таблице приведены характеристики трёх автомобилей
и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо
для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за
аренду и топливо, если выберет самый дешёвый вариант?
Автомобиль
б иль
1.
2.
3.
Топливо
Дизельное
Бензин
Газ
Расход топлива
(л на 100 км)
V
10
14
Арендная плата
(руб. за 1 сутки)
3400
3100
3000
Цена дизельного топлива 21 руб. за литр, бензина — 24 руб за литр,
газа —15 руб. за литр.
В6. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют
координаты (3; 3), (4; 0), (5; 5), (0; 4) (см. рис. 44).
В7. Найдите значение выражения
при х = 2.
88. Функция /(х) определена на интервале (-7; 7). На рисунке 45
изображен график ее производной. Найдите точку, в которой функция /(х)
принимает наибольшее значение.
89. В цилиндр помещён конус (см. рис. 46), радиус основания и высота
которого в 2 раза меньше, чем радиус основания и высота цилиндра.
Найдите объём фигуры, являющейся разностью между цилиндром и конусом,
если объём цилиндра равен 24.

Вариант №7
85
/
У
^\
\
\
\
\
\
У*
1„
0
1
/
7
N
w
X
Рис.45
Рис. 46
810. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со
скоростью 1/0 = 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением о = 4 м/с .
За t секунд после начала торможения он проделал путь 5 = v^t - Щт- (м).
Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если
известно, что за это время автомобиль проехал 42 м. Ответ выразите в
секундах.
811. Найдате наименьшее значение функции у = 5 sin я—6х+7 на отрезке
[-¥4
В12. Первая бригада строителей может построить два здания по одному
проекту на 1,4 месяца быстрее, чем вторая — три таких же здания, а одно
такое здание первая бригада строит на 4 месяца дольше, чем вторая. За
сколько месяцев первая бригада может построить одно такое здание?

86 Учебно-тренировочные тесты
Часть 2
С1. Решите уравнение ^ш Д + sinx - 1 = о.
r COSX
С2.В конус вписан шар радиуса 6. Через центр шара параллельно
плоскости основания конуса проведена плоскость, отсекающая конус объёмом в
3,375 раза меньше объёма исходного конуса. Найдите образующую
меньшего конуса.
СЗ. Решите неравенство 4ГС"1 • 52х - ^гу • 2X+1 ^ -35.
о
С4. Расстояния от вершины Е вписанного пятиугольника ABCDE до
прямых АВ, ВС и CD равны 15, 20 и 9 соответственно. Найдите
расстояние от вершины Е до прямой AD.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых система
у/х2 + 2ху + 2у2 = у/х2 - у2,
х8 / \ _ t имеет ровно четыре решения.
„ * уп X) — 1
Сб. Найдите наименьшее натуральное число п, кратное 150, сумма цифр
которого равна 150.
Вариант № 8
Часть 1
81. Билет на поезд стоил 3750 рублей. После понижения цены он стал
стоить 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?
82. На рисунке 47 жирными точками обозначено среднее количество
жителей в городе N за указанное столетие. По горизонтали указано столетие,
по вертикали — среднее число жителей (в тыс. человек). Точки для
наглядности соединены отрезками. В каком веке Н-го тысячелетия средняя
численность жителей впервые превысила 7 тыс. человек?
83. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения tg ^p = 1.
84. В тупоугольном треугольнике ABC стороны АВ и ВС равны, ВН —
высота, АВ = 14, ВН = 7. Найдате cos ZABC.
85. От дома до дачи можно доехать на автобусе, на электричке или на
маршрутном такси. В таблице указано время, которое нужно затратить на

Вариант №8
В7
тыс. человек
l
10 -
9 -
8 -
7 -
6 ■
5 ■
4 -
3 •
2 -
1 -
(
/
(
/
)
(
\
\
\
/
/
1
1
v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Столетия
Рис. 47
каждый участок пути. Укажите наименьшее время, которое потребуется
на дорогу. Ответ дайте в часах.
Автобус

Электричка

Маршрутное
такси
1.
От дома до
автобусной
станции —15 мин
От дома до
станции
железной дороги —
20 мин
От дома до
остановки
маршрутного
такси — 5 мин
2.
Автобус в
пути — 1 ч 40 мин
Электричка
в пути — 1ч
30 мин
Маршрутное
такси в пути —
1 ч 20 мин
3.
От остановки
автобуса до
дачи пешком —
10 мин
От станции до
дачи пешком —
10 мин
От остановки
маршрутного
такси до дачи
пешком —
20 мин
В6. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 1),
(2; 3), (5; 2), (5;-2) (см. рис. 48).
В7. Найдите значение выражения
54-sin 103° -cos 103°
sin 206°

88
Учебно-тренировочные тесты
3.
1
0
-!■
|\
1 N.
2 л
^^
\5
\
X
Рис.48
88. Прямая у = -5х - 45 является касательной к графику функции
у = х3 -I- 12х2 + 43х 4-19. Найдите абсциссу точки касания.
89. В правильную треугольную призму вписан конус (см. рис. 49).
Найдите объём призмы, если объем конуса \/Зя\
Рис. 49
810. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах,
равна J = тг^—, где е — ЭДС источника (в вольтах), г = 1 Ом — его
it -Г Г
внутреннее сопротивление, R — сопротивление в цепи (в Омах). При
каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более
10% от силы тока короткого замыкания /кз = -? Ответ выразите в Омах.
811. Найдите наибольшее значение функции у = 7cosx-9x-l на отрезке
N4

Вариант №9 89
В12. В сосуд, содержащий 20 литров 15-процентного водного раствора
некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов
составляет концентрация получившегося раствора?
Часть 2
С1. Решите уравнение 2со82х-cosx - 1 = Q
г sinx
С2. В конус, высота которого больше радиуса основания, вписан шар
радиуса 12. Через центр шара параллельно плоскости основания конуса
проведена плоскость, отсекающая меньший конус с образующей, равной
25. Найдите отношение объёмов исходного и отсечённого конуса.
СЗ. Решите неравенство 9х"1 • 72х - ^ • 3х-1 ^
С4. Расстояния от вершины Е вписанного пятиугольника ABCDE до
прямых АВ, AD и CD равны 20, 25 и 11 соответственно. Найдите
расстояние от вершины Е до прямой ВС.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых система
х6 (а - х) = 1 имеет ровно четыре решения.
2)2
( )
Сб. Найдите наименьшее натуральное число п, кратное 200, сумма цифр
которого равна 200.
Вариант №9
Часть!
81. На складе находятся 270 банок варенья из клубники, которые надо
поместить в контейнеры. Контейнер вмещает не более 7 штук. Какое
наименьшее количество контейнеров потребуется, чтобы произвести укладку
всех банок?
82. На рисунке 50 жирными точками показана цена олова на момент
закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 9 по 30 апреля 2008 года. По
горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена тонны
олова в долларах США. Для наглядности жирные точки соединены линиями.
Определите по рисунку разность (в долларах США) между наибольшей и
наименьшей ценой олова на момент закрытия торгов в указанный период.

90
Учебно-тренировочные тесты
доллары США
к
21 100 -
21000 -
20900 4
20 800 -
20 700 -
20 600 -
20 500 -
20400 -
20 200 -
20100 -
20000 -
V
\
\
/
/
/
/
/
\
\
\
\
—i
/
\
\
9 10 11 14 15 16 17 18 21 22 23 24 25 28 29 30
апрель
Рис. 50
83. Найдите неотрицательный корень уравнения (^) = 2"9.
\о/
84. Найдите синус и косинус острого угла параллелограмма, если высота,
опущенная на сторону АВ равна 6, AD = 10. В ответе запишите их сумму.
С
65
45
50
В5. Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет
легковая машина со средней скоростью 60 км/ч, через пункт С едет автобус со
средней скоростью 55 км/ч. Третья дорога — без промежуточных пунктов,

Вариант №9
91
и по ней движется грузовик со средней скоростью 40 км/ч. На рисунке 51
показана схема дорог и расстояние между пунктами.
Все три автомобиля одновременно выехали из пункта А. Какой
автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он
находился в дороге.
В6. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют
координаты (2; 1), (4; 3), (1; 4) (см. рис. 52).
О
Рис. 52
В7. Найдите значение выражения
24»3 • 52'3
105'3 в
В8. На рисунке 53 изображен график функции /(я), определённой и
дифференцируемой на интервале (—7; 7). Определите количество точек, в
которых производная функции f(x) равна 0.
ч.
У
/
У*
4
0
i
\
ч
1
У^
')
1 X
Рис. 53
В9. В конус вписан цилиндр (см. рис. 54), высота которого в три раза
меньше высоты конуса. Во сколько раз объём конуса больше объёма
цилиндра?

92
Учебно-тренировочные тесты
Рис.54
810. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя
длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону I = /04 /1 - т", где
i0 = 15 м — длина покоящейся ракеты, с = 3 • 105 км/с — скорость
света, a v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная
скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 12 м? Ответ
выразите в км/с.
811. Найдите точку минимума функции у = (х2 - 7х + 7)е*"~5.
812. Первый компьютер способен выполнить некоторый расчёт за
определённое время, а второй этот же расчёт выполняет на 4 часа дольше.
Работая вместе, они выполнили расчет за 4,8 часов, при этом затраты на
обмен данными были пренебрежительно малы. За сколько часов этот расчёт
выполнил бы первый компьютер, работая самостоятельно?
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
5 ~3'
4
4 у 4*
С2. Диагональ развёртки боковой поверхности цилиндра составляет со
стороной основания развёртки угол 30°. Найдите угол между диагональю
осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.
СЗ. Решите неравенство (3 - 2\/2)х"п < (2\/2 -h 3)v/i=3.
С4. Прямоугольный треугольник разделён на два треугольника
перпендикуляром, опущенным из вершины прямого угла на гипотенузу. В об-

Вариант №10
93
разовавшиеся треугольники вписаны окружности с радиусами г\ = 5 и
г2 = 12. Найдите радус окружности, вписанной в данный треугольник.
С5. При всех допустимых значениях параметра а решите систему
неравенств
Г 2
Сб. Дана последовательность оп = 1+ 2П + Зп 4- 4П + 5П. Существуют ли
5 ее членов, идущих подряд и делящихся на 23?
Вариант №10
Часть!
В1. В торговом центре проводилась акция по продаже телевизоров по
цене 18560 рублей. Прежняя цена составляла 23200 рублей. Сколько
процентов от прежней цены составила уценка товара?
долларов США
36
32
2S
24
20
16
12
ii
/
/
(
\
)
/
\
/
к
/
с /
Т
—
\
V
—
/
\
!
1 2 5 6 7 8 11 12 13 14 15 18 19 20 21 22 25 26
октябрь
Рис. 55
В2. На рисунке 55 жирными точками показана цена акции одной из
обувных фабрик на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 1
по 26 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по

94
Учебно-тренировочные тесты
вертикали — цена одной акции в долларах США. Для наглядности
жирные точки соединены линией. Бизнесмен приобрёл 6 октября пакет акций,
а 15-го октября их продал. В результате его прибыль составила 1960
долларов США. Определите, используя рисунок, сколько акций было в
пакете.
83. Найдите значение х + у для решения системы уравнений
Г у-2* = -5,
\ х - 2у = -2.
84. Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если большее
основание трапеции равно 25. Высота трапеции равна 8. Тангенс острого
угла А равен 0,8.
85. Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана.
Тарифный
план

Повременный

Комбинированный

Безлимитный
Абонентская плата
Нет
150 руб. за 350 мин в
месяц
320 руб.
Плата за 1 минуту
разговора
0,4 руб.
Свыше 350 мин в
месяц — 0,4 руб. за
каждую минуту
Оруб.
Абонент выбрал самый дешёвый тарифный план, исходя из
предположения, что общая длительность телефонных разговоров составит 700
минут в месяц. Какую сумму он должен будет заплатить за месяц, если
общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна
700 минутам? Ответ дайте в рублях.
86. Найдите площадь заштрихованной фигуры на координатной
плоскости (см. рис. 56).
87. Найдите значение выражения \J £-1=.
V 6 • у0,72
88. На рисунке 57 изображен график функции /(х), определённой и
дифференцируемой на интервале (—5; 11). Найдите промежутки, на которых
производная функции f(x) положительна. В ответе укажите длину
наибольшего из них.
89. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (см. рис. 58),
радиус основания которого равен 4, а высота 12. Найдите объём этого
параллелепипеда.

Вариант №10
95
/
1
/
\
\
\
\
к
i
.—^
i
у
f
у
\|
1
\
\
w
ч
\
X
Г
i
Рис. 57
810. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в
минутах) для некоторого прибора была получена экспериментально и на
исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = Го 4- at 4- bt2,
где Го = 1300 К, a = -12 К/мин, Ь = 150 К/мин2. Известно, что при
нагреве прибора свыше 1876 он может выйти из строя, поэтому его
нужно отключать. Определите, через какое время после начала работы нужно
отключать прибор. Ответ дайте в минутах.
811. Найдите точку максимума функции у = (Зх2 — 12х 4- 12)ех+7.

96
Учебно-тренировочные тесты
Рис. 58
В12. На изготовление одного и того же количества деталей одному
рабочему требуется 306 часов, а другому 272. За сколько часов они могут
выполнить этот объём, работая вместе?
Часть 2
С1. Решите систему уравнений
C2. Угол между диагоналями осевого сечения цилиндра и плоскостью его
основания равен 60°. Найдите угол между диагональю развёртки его
боковой поверхности и стороной основания развёртки.
СЗ. Решите неравенство (\/17 - 4)v^T3(>/l7 -I- 4)IX+3I~2 ^ 1.
С4. Площадь треугольника ABC равна 62. Его стороны ЛВ, ВС и С А
разделены точками М, N и Р так, что AM : MB = 1:5, BN : NC = 1:5
и СР : PA = 1:5. Найдите площадь треугольника, ограниченного
отрезками прямых AN, BP и СМ.
С5. Решите систему неравенств
г
при Ь € (4; 10).
Сб. Дана последовательность Ьп = 1 -I- 2П 4- Зп 4-... 4- Т1. Существуют ли
7 её членов, идущих подряд делящихся на 130?

Вариант №11
97
Вариант № 11
Часть 1
81. На сельскохозяйственную выставку из 8-ми регионов страны
привезли по 20 моделей сельхозтехники. Сколько площадок необходимо для
размещения всей продукции, если каждая площадка вмещает только 12
моделей?
82. На графике, изображённом на рисунке 59, показан процесс разогрева
двигателя внутреннего сгорания при температуре окружающего воздуха
25°С. По горизонтали указывается время в минутах, прошедшее от
запуска двигателя, по вертикали — температура двигателя в градусах Цельсия.
Когда температура достигнет 35° С, к двигателю можно подключить
нагрузку. Какое наименьшее количество минут потребуется выждать
прежде, чем подключить нагрузку к двигателю?
°С
50
45
40
35
30
25
20
15
123456789 10 11
мин
Рис. 59
83. Решите уравнение Iog2(3 - х) = 4.
84. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС боковая
сторона АВ = 10, a cos A = 0,8. Найдите высоту, проведённую к основанию.
85. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов
фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из
пеноблоков необходимо 3 кубометра пеноблоков и 6 мешков цемента. Для
бетонного фундамента необходимо 4 тонны щебня и 30 мешков цемента.
Кубометр пеноблоков стоит 2550 руб., щебень стоит 600 руб. за тонну,
а мешок цемента стоит 190 рублей.
Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее
дешёвый вариант?
\

98
Учебно-тренировочные тесты
В6. Найдите площадь заштрихованной фигуры (см. рис. 60).
Рис. 60
87. Найдите значение выражения c°el
88. На рисунке 61 изображен график производной функции /(ж),
определённой на интервале (-8; 9). Найдите сумму целых точек, принадлежащих
промежуткам убывания функции /(х).
-8
У
1
/
/
\
>
1
0
\
S
1
V
\
>
'
J
/
/
-у-
^)
9
X
Рис.61
В9. Найдите объём куба (см. рис. 62), описанного около конуса, если объ-
4
ем конуса равен -тг.
«5

Вариант № И
99
Рис. 62
810. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон
Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого
тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой
степени температуры: Р = ст5Г4, где a = 5,7 • 10~8 — числовой
коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в
градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда
имеет площадь S = \ • 1021 м2, а излучаемая ею мощность Р не менее
11,875 • 1027. Определите наименьшую возможную температуру этой
звезды.
811. Найдите точку минимума функции у = (-6х2 + Зх - Z)ex+2.
812. На скачках победитель двигался со скоростью, на 4 км/ч
превышающей скорость пришедшего вторым. При этом разница между вторым и
третьим в средней скорости составила 1 км/ч. Но разница результатов
первого и третьего в |^ раза больше, чем у первого и второго. Найдите
скорость второго (в км/ч).
Часть 2
С1. Решите уравнение у/х2 4- Ъху/х 4- 9х - у/9х 4- 12-у/х + 4 = 9.
С2. В правильном октаэдре EABCDF (вершины Е и F не смежны) с
ребром 2 проведено сечение KEHF, причем ~~ = ^^г = 2. Найди-
J\ D liU
те площадь сечения, если точки К и Я принадлежат ребрам АВ и CD
соответственно.
СЗ. Решите неравенство 4Ж -h 2X+1 4- (22х - 2Ж+2 4- 22)5 ^ 8.
С4. Площадь треугольника ABC равна 48. На сторонах АС, ВС и прямой

100 Учебно-тренировочные тесты
АВ взяты точки M,L и К соответственно так, что
-J77 = 77ч = ~Бт? = 3- Найдите площадь треугольника KLM.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
(х- I)4 — 2ах2+а2(|х —1|-1-1) = 15 — 4ах+4а имеет чётное число корней.
Сб. Найдите все пары ненулевых цифр (а; Ь), при которых указанное
уравнение имеет целочисленное решение, если р — простое, р > 3.
aba + abaO + abaOO + ... + aba 00... 0 = 9x.
Вариант №12
Часть 1
81. Банк предоставляет годовую ипотеку под 10,25% годовых. Какова
будет окончательная стоимость жилья, если первоначальная её цена была
2100000 рублей?
82. На диаграмме (см. рис. 63) показана среднемесячная температура в
посёлке Добрынино за каждый месяц 1923 года. По горизонтали
указываются месяцы, по вертикали — температура воздуха в градусах
Цельсия. Определите по диаграмме разность между наибольшей и наименьшей
среднемесячными температурами в 1923 году (в градусах Цельсия).
83. Решите уравнение Iog3(7 - х) = 2.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС = 10, АВ = 2\/34.
Найдите тангенс угла А.
85. При строительстве сельского дома можно использовать один из двух
типов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента
необходимо 8 тонн природного камня и 8 мешков цемента. Для бетонного
фундамента необходимо 5 тонн щебня и 45 мешков цемента. Тонна
природного камня стоит 1500 рублей, щебень стоит 700 рублей за тонну, а
мешок цемента стоит 200 рублей. Сколько рублей будет стоить материал для
фундамента, если выбрать наиболее дешёвый вариант?
Вв. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют
координаты (2; 3), (3; 2), (9; 4) (см. рис. 64)
87. Найдите значение выражения с ^ о—.
СГ§ ±о
88. Прямая у = 44я — 81 параллельна касательной к графику функции
у = 2х2 4- 16х 4-17. Найдите абсциссу точки касания.

Вариант Ml2
101
Рис. 63
Рис. 64
В9. Во сколько раз объём цилиндра больше объёма конуса с тем же
основанием, если высота конуса в два раза меньше высоты цилиндра (см.
рис. 65)?
В10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в
лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным
расстоянием / = 40 см. Расстояние d\ от линзы до лампочки может изменяться
в пределах от 40 до 60 см, а расстояние d<i от линзы до экрана — в
пределах от 160 до 200. Изображение на экране будет чётким, если выполнено

102
Учебно-тренировочные тесты
Рис. 65
соотношение -у- + т" = \- Укажите, на каком наименьшем расстоянии
d\ a2 j
от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение было чётким.
Ответ выразите в сантиметрах.
811. Найдите точку минимума функции у = (х2 — 6х + 6)е4~х.
812. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 20% серебра, второй —
35% серебра. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 30 кг,
содержащий 30% серебра. На сколько килограммов масса первого сплава
меньше массы второго?
Часть 2
С1. Решите уравнение у/х2 + Аху/х + Ах - у/4х +1 + Ау/х = 2.
С2. В правильном октаэдре EABCDF (вершины Е и F не смежны)
проведено сечение KEHF, площадь которого равна 4\/Тб. Найдите ребро
октаэдра, если точки К и Я принадлежат рёбрам АВ и CD соотвественно
|Т АК = СН = 1
KB #£> 3*
СЗ. Решите неравенство 9х + (32х+2 - 6 • 3х + 1)2 ^ 2 + 3х.
С4. На сторонах АС, ВС треугольника ABC и прямой АВ взяты точки
М, Ьи К соответственно так, что Ц% = Щ± = 4i7 = 4. Площадь
AM LC
треугольника KLM равна 1027. Найдите площадь треугольника ABC.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
(х + I)4 + х2а3 + 28а(|х + 1| + 1) = а3 + а2 - 2ха3 имеет чётное число
корней.

Вариант №13
103
Сб. Найдите все пары ненулевых цифр (а; Ь), при которых указанное
уравнение имеет целочисленное решение, если р — простое, р > 3.
bba + ЬЪаО + ЬбаОО + ... + ЬЬа 00^^ = 27х.
Зр-1
Вариант №13
Часть 1
81. Стоимость акриловой ванны составляет 15000 рублей, а стоимость
чугунной ванны такой же вместимости — 8 850 рублей. На сколько
процентов стоимость чугунной ванны меньше стоимости акриловой?
82. На графике, изображённом на рисунке 66, показано изменение
температуры воздуха в течение трёх суток. По горизонтали указаны дата и
время суток, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите
разность между максимальной и минимальной температурой за 12 июля
(в градусах Цельсия).
<- i
28 *
26 '
24 •
22 ■
20 ■
18 -
16 •
12 ■
10 •
8 '
6 •
4 ■
2 •
/
1
1
t
1
1
\
\
\
\
\
\
V
1
/
1
\
/\
-
\
\
\
\
1
/
/
1
1
/
\
\
\
\
V
0:00 6:00 12:00 18:00 0:00 6:00 12:00 18:00 0:00 6:00 12:00 18:00 0:00
11 июля | 12 июля I 13 июля I
Рис. 66
83. Решите уравнение log^x - 1) = 8.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 25, ВС = 20. Найдите
sin 2?.

104
Учебно-тренировочные тесты
В5. Для остекления веранды требуется заказать 64 одинаковых стекла в
одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,3 м2. В таблице
приведены цены на стекло и резку стёкол. Сколько рублей будет стоить самый
дешёвый заказ?
Фирма
А
Б
В
Цена стекла
(руб. за 1 м2)
260
280
320
Резка стекла
(руб. за одно
стекло)
12
15
18
Дополнительные
условия
При заказе на
сумму более
5000 руб. резка
бесплатно
В6. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют коор-
данаты (-4; 2), (-2; 1), (0; 4), (-2; 5) (см. рис. 67).
5
-4
-2
Рис. 67
87. Найдите значение выражения ctg(-a)-6 ctg(77r-a), если ctga = 13.
88. На рисунке 68 изображен график функции f(x) и касательная к нему
в точке с абсциссой xq. Найдите значение производной функции f(x) в
точке хо-
89. Площадь боковой поверхности конуса равна 24тг, а его высота
равна 6. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в основание
конуса (см. рис. 69).
В10. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене р = 350 руб.
за единицу. При этом переменные затраты на производство одной
единицы продукции составляют v = 200 руб., постоянные расходы предприятия

Вариант №13
105
1
\
\
\
\
k
*
к у
1
о
l/
/-
f
-f(x
\
>
X
\
Рис. 68
Рис. 69
/ = 500000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль
предприятия (в рублях) вычисляется по формуле U(q) = q(p — v) — f.
Определите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при
котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше
250000 руб.
В11. Найдите наибольшее значение функции у = Ъх - 4 sin x + 6 на
отрезке
[-14
В12. Первый рабочий способен выполнить заказ за 6 рабочих дней.
Сначала второй рабочий выполнил половину заказа, после чего первый сде-
о
лал | оставшейся работы, а затем к выполнению заказа вернулся второй.
о
При этом заказ был выполнен за 5 рабочих дней. За сколько дней второй
рабочий мог бы выполнить этот заказ самостоятельно?

106 Учебно-тренировочные тесты
Часть 2
~ « ™ log? х — 4 logo x + 3
С1. Решите уравнение —^ -.—^ = 0.
log3(x-5)
С2. В основании конуса с вершиной Р проведены два взаимно
перпендикулярных диаметра АВ и CD. Найдите угол между хордой ВС и
образующей АР, если радиус основания и образующая соответственно равны 6
и6>/2.
СЗ. Решите неравенство 3 • 2log«х + 4 • 3log«х ^ х + 12.
С4. Каждая из точек А\,В\,С\, Ач, Вч, Сч делит стороны треугольника
ABC в отношении 1 : 2. Найдите площадь заштрихованной фигуры на
рисунке 70, если площадь треугольника ABC равна 21.
лх
А Вг Вх С
Рис. 70
С5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система
уравнений
Г4 2 2
имеет единственное решение.
Сб. Таблица умножения — это квадратная таблица, в которой на
пересечении т-ой строки и п-го столбца стоит число тп. Каждое число таблицы
умножения, в которой 1<т<31и1<п<31, заменили остатком от
деления на 31. Найдите сумму всех этих остатков.
Вариант №14
Часть 1
В1. Диагональ монитора составляет 19 дюймов. Английский дюйм
равен 2,54 см. Какова диагональ монитора в сантиметрах? Ответ округлите
до целого числа.

Вариант №14
107
В2. На диаграмме (см. рис. 71) представлена ежемесячная разность
доходов и расходов фирмы «Дзета» за 1,5 года. По горизонтали указаны
месяцы, а по вертикали — разность доходов и расходов в млн. рублей.
Определите, сколько месяцев в течение первого года фирма имела прибыль.
6 7__8 9 10 11 12 1 2\//ЛЬ 5 6
2009 2010 месяцы
Рис.71
83. Найдите корень уравнения \/\\ - 2х = 5.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 24, АС = 6>/7. Найдате
синус внешнего угла при вершине А.
85. Семья из трёх человек едет из Москвы в Пермь. Можно ехать
поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит
1050 рублей. Автомобиль расходует 15 литров на 100 км пути, расстояние
по шоссе 1560 км, а цена бензина 21 руб. за литр. Сколько рублей будет
стоить самая дешёвая поездка для этой семьи?
86. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют
координаты (-1; 3), (1;-3), (6; 2) (см. рис. 72).
87. Найти значение выражения 34 sin ( 4т*— а^гдеэто; = -т|,а€ (^'оу*
88. На рисунке 73 изображен график функции /(х), определённой на
интервале (—4; 5). Определите наибольшее значение х из промежутка (—4; 3],
при котором касательная в соответствующей точке параллельна прямой

108
Учебно-тренировочные тесты
6 *
Рис. 72
-4
<
/
/
V
\
V
1
1"
о
j
1
\
/
3
У
\
5
ч
Рис. 73
В9. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара (см. рис. 74),
если его объём увеличился в 27 раз?
Рис. 74

Вариант Ml4
109
810. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой /о = 410 Гц. Чуть
позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта
Доплера частота второго гудка / больше первого: она зависит от скорости
тепловоза по закону f(v) = *° Гц, где с — скорость звука в воздухе
1-2
с
(в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если
они отличаются не менее, чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной
скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог
различать сигналы, а с = 336 м/с. Ответ выразите в м/с.
811. Найдите наибольшее значение функции у = 6\/2 cos х + 6х - ^тг - 9
на отрезке 0;~ .
812. Объём бассейна 1125 м3. Две трубы заполняют бассейн за 2 часа.
При этом первая труба может заполнить бассейн за 3 часа, работая
самостоятельно. Сколько литров в час пропускает вторая труба?
Часть 2
С1. Решите уравнение ^*~5Iog2* + 4 =
loga(x-6)
С2. В основании конуса с вершиной Р проведены два взаимно
перпендикулярных диаметра АВ и CD. Найдите угол между хордой BD и
образующей ЛР, если радиус основания и высота конуса равны 8.
СЗ. Решите неравенство 5 • 2lgx + 4 • 5lgx ^ х + 20.
С4. Точки А\%В\,С\% D\ делят стороны квадрата ABCD в отношении
1: 2. Найдите площадь заштрихованной фигуры на рисунке 75, если
площадь квадрата ABCD равна 12.

по
Учебно-тренировочные тесты
С5. Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых система
уравнений
Г Ь(х6 + 2х4 + Зх2 + 1) = у + 2 - я2,
1М+М-1
имеет единственное решение.
Сб. Таблица умножения — это квадратная таблица, в которой на
пересечении ш-ой строки и п-го столбца стоит число ran. Каждое число таблицы
умножения, в которой 1 < га < 37 и 1 < п < 37, заменили остатком от
деления на 37. Найдите сумму всех этих остатков.
Вариант №15
Часть 1
В1. Для изготовления пары обуви потребуется 1м2 кожи высшего
качества по цене 1750 рублей. Какое наибольшее число пар обуви можно
изготовить из кожи на сумму 22 300 рублей?
82
81
80
|79
I 77
i76
175
74
73
72
71
70
i i
1
/
/
I
/
/
\
ч
\
\
\
>
/
/
\
/
/
/
/
/
0:00 6:00 12:00 18:00 0:00 6:00 12:00 18:00 0:00 6:00 12:00 18:00 0:00
3 июля | 4 июля | 5 июля |
Рис. 76
В2. На графике, изображённом на рисунке 76, показано изменение
относительной влажности воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали
указываются дата и время суток, по вертикали — значение относительной

Вариант №15
111
влажности в процентах. Определите максимальное значение
относительной влажности (в процентах) за 3 июля.
11 2
83. Найдите корень уравнения — х = 3-.
оо о
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 28, ВС = 7\/7. Найдате
sin Б.
85. Строительной фирме нужно приобрести 60 кубометров строительного
бруса у одного из трёх поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой
покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в
таблице.

Поставщик
А
Б
В
Цена бруса
(руб. за 1 м3)
3600
4000
4100
Стоимость
доставки (руб.)
10100
9600
9300
Дополнительные
условия
Нет
При заказе на
сумму более
200000 доставка
бесплатно
При заказе на
сумму более
210000 руб.
доставка
бесплатно
В6. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют
координаты (-4; 2), (-1; -2), (1; -2), (6; 2) (см. рис. 77).
В7. Найдите значение выражения
Рис. 77
cos2 153° + cos2 63°
25

112
Учебно-тренировочные тесты
В8. На рисунке 78 изображен график производной функции f(x),
определённой на интервале (—6; 9). Найдите количество точек минимума
функции f(x) на интервале (-6; 8).
-6
/
/
/
Г'
У*
\
i О
\
i
1
1
J
/
/
(
-У =
\
\
г
f
/
/
9
>
X
Рис. 78
В9. В прямоугольном параллелепипеде диагональ образует с боковым
ребром угол 45°. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если
стороны его основания 6 и 8.
810. При температуре 0°С рельс имеет длину 10 = 20 м. При прокладке
путей между рельсами оставили зазор в 6 мм. При возрастании
температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет
меняться по закону l(t°) = fo(l + crt°), где а = 1,2 • 10"5(°С)~1 —
коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах
Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет
зазор? Ответ выразите в градусах Цельсия.
811. Найдите наименьшее значение функции у = 2х2 - 5х + lnx - 4 на
отрезке Т'н*
812. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля.
Первый проехал весь путь с постоянной скоростью, а второй проехал первую
половину пути со скоростью на 10 км/ч меньше, чем скорость первого, а
вторую — со скоростью на 15 км/ч больше, чем скорость первого. В
результате в пункт В они прибыли одновременно. Найдите скорость первого
автомобиля. Ответ выразите в км/ч.
С1. Решите уравнение
Часть 2
. 4 12
sin х — — cosz х
Lid
2sinx — 1
= 0.

Вариант №16 ИЗ
С2. В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания равна
боковому ребру. Точка М делит ребро DC пополам, К — середина ВС.
Найдите синус угла между плоскостью АКМ и плоскостью ABC.
СЗ. Решите неравенство Iog2_5(x - 6,5) + logx-6,s(x - 5) < 2.
С4. Треугольник ABC вписан в окружность. Известно, что ZA = 75°,
/.В = 45°. Хорда АК составляет угол 15° с хордой АС. Найдите
отношение площади треугольника ABC к площади треугольника АВК.
С5. При каких значениях параметра а уравнение
— VI в 1 имееттолько один неотрицательный корень?
Сб. Сколько целых значений может принимать функция
400+ 2 cos ^
д(у) = (Зу5 - 45t/4 + 220у3 - 360t/2 + 400) ^ ,
если у = 1 + cosx?
Вариант №16
Часть 1
81. Оптовая цена душевых кабин составляет 17000 рублей. Розничная
цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число душевых кабин
можно купить по розничной цене на сумму 69 000 рублей?
82. На рисунке 79 жирными точками показано количество запросов со
словом ДОБРО, сделанное на поисковом сервере yandex.ru во все
месяцы с января по декабрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы,
по вертикали — количество соответствующих запросов за данный месяц.
Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите
по рисунку номер месяца, когда было сделано наибольшее число запросов
в период с января по сентябрь 2009 года.
83. Найдите корень уравнения Iog17(3a: - 5) = log17 4.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АС = 14>/3, АВ = 28.
Найдите sin А.
85. Для изготовления книжных полок требуется заказать 29 одинаковых
стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,5 м2. В
таблице приведены цены на стекло, а также на резку стёкол и шлифовку края.
Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?

114
Учебно-тренировочные тесты
1500000
1400000
1300000
1200000
1 100000
1000 000
900 000
800000
700000
600000
500 000
400000
у
Кол-во
запросов
у*
/
/
/
/
\
\
/
1
/
)
(
янв фее март апр май июнь июль авг сент окт нояб дек
Рис. 79
Фирма
А
Б
В
Цена стекла (руб. за 1 м2)
320
340
360
Резка и шлифовка (руб.
за одно стекло)
190
80
60
В6. Найдите площадь заштрихованной фигуры (см. рис. 80).
-1
Рис. 80
В7. Найдите значение выражения
„,(£_!)+„.(„ + £)

Вариант №16
115
В8. На рисунке 81 изображен график производной функции /(х).
Найдите наибольшее целое значение, которое принимает угловой коэффициент
касательной к графику функции f(x) на отрезке [-5; 5].
-5
\
ч
Лх
/
Ч
/
f
о
\ 1
А
\|
\
V
i
/
/
/
/
i
\
\
\
\
S X
Рис.81
В9. Найдите площадь поверхности сферы, вписанной в куб (см. рис. 82),
если ребро куба равно -^=.
Рис. 82
В10. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым
острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью.
Траектория полета камня в системе координат, связанной с машиной,
описывается формулой у = ах2 + Ъх, где а = —
M
-1
= 1 — постоянные па-
раметры, х (м) — смещение камня по горизонтали, у (м) — высота камня
над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной
стены высотой 4,25 м нужно расположить машину, чтобы камни
пролетали над стеной на высоте не менее 0,5 м?

116 Учебно-тренировочные тесты
811. Найдите наибольшее значение функции у = 1п(5х) - Ъх + 3 на от-
резке [±;§].
812. Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы зарплата
мужа увеличилась на 60%, общий доход семьи вырос бы на 40%. Если бы
стипендия сына снизилась на 37,5%, то общий доход семьи сократился бы
на 5%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата
жены?
Часть 2
cos4 х - | sin2 x
С1. Решите уравнение = 0.
()
С2. В правильной треугольной пирамиде ABCD боковое ребро в 1,5 раза
длиннее, чем сторона основания ABC. Точки К и М делят пополам рёбра
AD и CD соответственно. Найдите синус угла между плоскостями ACD
иВКМ.
СЗ. Решите неравенство Iog2_3 х + 16 log2 (х - 3) < 8 при х ^ 3,8.
С4. В окружность радиуса 5 вписан прямоугольный треугольник с
меньшим углом, равным 30°. Равный ему треугольник пересекается с ним
только по гипотенузе. В.фигуру, ограниченную катетами этих двух
треугольников, вписана окружность так, что она касается максимально возможного
количества её сторон. Найдите значения, которые принимает радиус
данной окружности.
С5. При каких значениях параметра а уравнение Jx + у/\х- 2| = а
имеет решение?
Сб. Найдите все целые значения а, при которых уравнение
а ~**~х = 1О'а1 имеет решение в целых числах, и \/\ар\ не является целым
ни для одного натурального р < |а|.
Вариант № 17
Часть 1
В1. В магазине булочка стоит 8 рублей, а в школьном буфете — на 25%
дешевле. Какое наибольшее число булочек можно купить в школьном
буфете на 35 рублей?

Вариант №17
117
В2. На графике, изображённом на рисунке 83, показана зависимость
крутящего момента автомобильного двигателя от числа его оборотов в
минуту. По горизонтали указывается число оборотов, по вертикали —
крутящий момент в Н-м. Чтобы автомобиль начал движение, крутящий момент
должен быть не менее 45 Нм. Какое наименьшее число оборотов
достаточно, чтобы автомобиль начал движение?
Нм
120
105
90
75
60
45
30
15
О 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Обороты
Рис. 83
/
J
г
J
/
1
/
\
\
\
83. Найдите положительный корень уравнения у/10х +14 - х = 3.
84. В треугольнике ABC 1С = 90°, СН — высота, АВ = 12,
cos Л = 0,75. Найдите АН.
ВБ. Семья из трёх человек едет из Ростова в Сочи. Можно ехать поездом,
а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит
850 рублей. Автомобиль расходует 10 литров бензина на 100 км пути,
расстояние по шоссе 600 км, а цена бензина равна 20,5 руб. за литр. Сколько
рублей будет стоить самая дешёвая поездка для всей семьи?
Вв. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют
координаты (0; 1), (3; 3), (2; 0), (0; -3) (см. рис. 84).
87. Найдите значение выражения \ло% *» .
88. Прямая у = 39ж - 17 параллельна касательной к графику функции
у = х3+12х+16, при этом точка касания имеет положительную абсциссу.
Найдите ординату этой точки.
89. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра с высотой, равной
-, если в основание цилиндра вписан прямоугольный треугольник (см.
7Г
рис. 85) с катетами 3 и 4.

118
Учебно-тренировочные тесты
Рис.84
Рис. 85
BIO. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на
небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит,
действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в
ньютонах, будет определяться по формуле F^ = apgr3, где а = 4,2 —
постоянная, г — радиус аппарата в метрах, р = 1000 кг/м — плотность
воды, а д — ускорение свободного падения (считать д = 10 Я/кг). Каков
может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила
при погружении не превышала 1134000 Я? Ответ выразите в м.
811. Найдите наименьшее значение функции y = 3 + ^-5x-5cosxHa
отрезке [0;|].
812. Пешеход вышел из пункта А в пункт J5, расстояние между которыми
24,4 км. Через 30 мин из пункта В навстречу ему вышел второй пешеход.

Вариант №18 П9
Известно, что скорость первого пешехода на 20% больше скорости
второго. Найдите скорость первого пешехода (в км/ч), если пешеходы
встретились через 3 часа после начала движения первым пешеходом.
Часть 2
С1. Решите уравнение 2 • Ь^* - 3 • 10 \7* - 5 • 2^ = 0.
С2. В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ высота равна 6, а
сторона основания равна 4. Найдите расстояние от точки А до плоскости
АгВС.
СЗ. Решите неравенство log^ х + log2 я4 + 3 < 0.
С4. В треугольнике со сторонами 6,12,3\/2б, две меньшие стороны
являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей
стороне.
Найдите радиус этой окружности.
С5. При каких значениях параметра а уравнение (7х — a) Iog7(9 + х) = 0
имеет ровно один корень?
Сб. Решите уравнение в целых числах 2х2 - ху + х + Ъу - у2 = 13.
Вариант №18
Часть 1
81. Турфирма получила заявки на летний отдых в Греции от 250 человек.
За один рейс можно перевезти не более 80 человек. Какое наименьшее
число рейсов надо совершить, чтобы вывезти на отдых всех желающих?
82. На рисунке 86 жирными точками показано суточное количество
осадков, выпавших в Новоивановке с 4 по 15 августа 2008 года. По
горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков,
выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные
точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, в течение
какого количества дней за указанный период выпадало менее 2-х мм
осадков.
83. Решите уравнение \/12 - 2х = Зх - 10.
84. В треугольнике ABC АС = АВ = \/98, угол С равен 45°. Найдите
высоту АН.

120
Учебно-тренировочные тесты
MM i
4 ■
3,5-
3 -
2,5-
2 -
1,5-
1 -
0,5 <
\
/ \\
1
L /
/
/
/
1
\
/
\(
s
/
s
/
1
->
4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
август
Рис. 86
85. Семья из трёх человек едет из Москвы в Ростов-на-Дону. Можно
ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного
человека стоит 1200 руб. Автомобиль расходует 12 литров бензина на 100 км
пути, расстояние по шоссе равно 1100 км, а цена бензина 20 руб. за литр.
Сколько рублей будет стоить самая дешёвая поездка для всей семьи?
86. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют
координаты (-15; 5), (15; 10), (25; -10), (-10; -5) (см. рис. 87).
В7. Найдите значение выражения
log35*
В8. Две прямые, каждая из которых параллельна прямой у = кху
являются касательными к графикам функций f(x) = Зх2 + 16а: и
д(х) = 7х2—56х+15соответственноводнойитойжеточкехо. Найдите к.

Вариант №18
121
В9. Найдите объём части цилиндра, изображённого на рисунке 88. В
ответе укажите —.
Рис. 88
810. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью I/O = 76 км/ч,
выезжает из него и сразу после этого начинает разгоняться с постоянным
ускорением о = 12 км/ч . Расстояние от мотоциклиста до города,
измеряемое в километрах, определяется выражением S = щг + Щг. Определи-
те наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться
в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует зону
покрытия на расстоянии не более чем в 39,5 км от города. Ответ выразите
в минутах.
811. Найдите наибольшее значение функции у = х2 — 5х + 21па; + 6 на
отрезке [1; 2,5].
812. Катер проходит одно и то же расстояние по течению в 1,5 раза
быстрее, чем против течения. Во сколько раз собственная скорость катера
больше скорости течения?
Часть 2
С1. Решите уравнение 14 • 4>/*+т + 3 • 14V'*+T - 2 • 49V^TT = 0.
С2. Ребро куба ABCDAiBiCiDi равно 4>/3. Найдите расстояние
отточки А до плоскости A\DB.
СЗ. Решите неравенство logo 5 х* ~~ 1°б2 3 < 0.
* х
С4. На большем катете прямоугольного треугольника как на диаметре
построена окружность.

122
Учебно-тренировочные тесты
Определите радиус этой окружности (в см), если меньший катет
равен 7,5 см, а длина хорды, соединяющей вершину прямого угла с точкой
пересечения гипотенузы и окружности, равна 6 см.
С5. При каких значениях параметра а уравнение Iog2(4x — о) = х имеет
единственный корень?
Сб. Решите уравнение в целых числах 6х2 — ху + 7х + Ау — у2 = 14.
Вариант №19
Часть!
81. Телевизор стоил 39400 руб. Во время акции цена телевизора была
снижена на 25%. Какое наибольшее число телевизоров можно купить во
время проведения акции на 100000 рублей?
82. На графике (см. рис. 89) показано изменение температуры воздуха
на протяжении 5 суток, начиная с 0 часов 12 апреля. На оси абсцисс
отмечено время суток, на оси ординат — значение температуры в градусах.
Определите, какой была наименьшая температура воздуха в течение 5
суток.
Г С i
9
7
5
3
1
/
s
\
/
/
1
/
/71
|
\ь -
О 12 24 12 24 12 24 12 24 12 24 Часы
12 13
14
15 16
Дни
Рис.89
83. Найдите корень уравнения 5х"2 = 125.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, cos A = 0,6. Найдите tg В.

Вариант №19
123
В5. Для перевозки 52 тонн груза на 2300 км можно использовать одну из
трёх транспортных компаний. Стоимость перевозки и грузоподъёмность
автомобилей каждой компании указаны в таблице.
Сколько рублей придется заплатить за самую дешёвую перевозку?
Компания
А
Б
В
Стоимость перевозки
одним автомобилем
(руб. на 100 км)
3300
5000
9600
Грузоподъёмность
автомобилей (тонн)
4
6
12
В6. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 90). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.
^ч
1см
——"
ч
1
/
/
/
Рис. 90
log7
49
87. Найдите значение выражения 98 • 7
88. К графику функции у = f(x) проведена касательная в точке с
абсциссой хо (см. рис. 91).
Найдите значение производной данной функции в этой точке.
89. Объём первого конуса равен 30 м3. У второго конуса радиус
основания в 2 раза больше радиуса первого конуса, а высота второго в 3 раза
меньше высоты первого. Найдите объем второго конуса. Ответ укажите
вм3.
В10. При температуре 0 °С рельс имеет длину 16 м. При возрастании
температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина,
выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = Zq(1 + at0), где

124
Учебно-тренировочные тесты
/
1
/
-*"
У
1
0
>
/
/
1
/
У
/
/
/
А
/
у
/
V
7
Рис.91
а ас 1,2 • 10""5 (6С)~ — коэффициент теплового расширения, t° —
температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится
на в мм? (Ответ дайте в градусах Цельсия.)
В11. Найдите наибольшее значение функции у — 2 sin x +
на
отрезке [0;|].
В12. Двое ткачей выполнили заказ за 12 часов, работая одновременно.
За какое время может исполнить заказ первый ткач, если его скорость
выполнения работ в полтора раза больше скорости второго ткача?
Часть 2
С1. Решите уравнение \ logg х = (1 - х) Iog27 х - х + 4.
С2. В кубе ABCDAiBiCiDi точки К и L лежат на серединах рёбер A\D\
и DiCi соответственно. Точка М лежит на продолжении ребра ВВ\ так,
что MB : МВ\ «: 1 : 3. Площадь сечения куба плоскостью KLM равна
3\/3. Найдите длину ребра куба.
16
СЗ. Решите неравенство {?
)3 < ^.

Вариант №20
125
С4. Точка Е — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Угол
/.AED = /.ABC, СЕ = 3, DE = 3,36. Некоторая прямая,
пересекающая основания трапеции С В, DA в точках М и N соответственно, делит
её на 2 трапеции, отношение площадей которых 1 : 2. Найдите отношение
AN : DN, если В А = 3, СМ = 3 и MB = 2.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых система
Г log2 У = 2atg(cosx) - a2;
< _ хз имеет единственное решение.
Сб. Сумма х2 + у2 кратна 231. Найдите наименьшее из возможных
значений суммы положительных целых чисел хиу.
Вариант № 20
Часть 1
81. Билет в театр стоит 500 руб. Сколько билетов можно купить на сумму
21500 руб., если на коллективные заявки предоставляют скидки 15%?
82. На графике (см. рис. 92) показано изменение температуры воздуха с
1-го по 8-е марта. На оси абсцисс отмечены дни, на оси ординат —
значение температуры в градусах. Определите по графику разность между
наибольшим и наименьшим значениями температуры воздуха в период с 4-го
по 6-е марта. (Ответукажите в градусах Цельсия.)
83. Найдите корень уравнения 22х+х = 32.
84. В треугольнике ABC угол С равен 90°, sin В = 0,6. Найдите ctg A.
85. Для отделки фасада здания требуется заказать 300 мраморных плит
в одной из трёх фирм. Площадь каждой плиты равна 0,5 м2. В таблице
приведены цены на мрамор, а также на резку плит. Сколько будет стоить
самый дешевый заказ? Ответ укажите в рублях.
Фирма
А
Б
В
Цена мрамора (руб. за
1м2)
5400
6100
6300
Резка (руб. за одну
плиту)
120
110
90

126
Учебно-тренировочные тесты
1
5
1
0
-1-
-4"
/
\
/
/
2
\
\
\
\
\
4 \
\
6
\
/
Дни
8
\
Рис. 92
В6. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на
клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок 93). Ответ дайте в
с
квадратных сантиметрах, укажите —.
7Г
\
\
1см
/
Рис. 93

Вариант №20
127
64
87. Найдите значение выражения 256 • 4
88. К графику функции у = f(x) проведена касательная в точке с
абсциссой х0 (см. рис. 94). Найдите значение производной этой функции в этой
точке.
У
/
1
/
/
>
\
/
х
л
\
к
|\
/
/
1
°)
V
i
/
/
/
1
/
/
1
1
>
/
/
1
//
Хо
/
\
N
\
\
\
7
)
X
Рис. 94
В9. Объём первого цилиндра равен 27 м3. У второго цилиндра высота в
4 раза больше высоты первого цилиндра, а радиус основания второго
цилиндра в 1,5 раза меньше радиуса основания первого цилиндра. Найдите
объём второго цилиндра. Ответ выразите в м3.
810. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по
прямолинейному отрезку пути дайной I (в километрах) с постоянным
ускорением а (в км/ч2)э вычисляется по формуле V = \/2/а.Определите
наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав
три километра, приобрести скорость не менее 150 км/ч. Ответ выразите в
км/ч2.
811. Найдите наименьшее значение функции у = 4\/2cosx-h24x—4\/2+9
на отрезке 10; тИ.

128 Учебно-тренировочные тесты
В12. Два станка различной производительности обрабатывают
определенное количество деталей за 2 часа 24 мин. Первый станок выполнил бы
всю работу на 2 часа быстрее, чем второй станок. За сколько часов
обработал бы это же количество деталей второй станок?
Часть 2
С1. Решите уравнение
log^(x2 + Ъх - 5) + 3log£ х = 4log3 x • Iog3(x2 + Ъх - 5).
С2. В кубе ABCDA\B\C\D\ точки К и L лежат на серединах рёбер A\D\
и D\C\ соответственно. Точка М лежит на продолжении ребра ВВ\ так,
что MB : MB\ = 2:3. Площадь сечения куба плоскостью KLM равна
9. Найдите длину ребра куба.
С4. В трапецию ABCD, боковые стороны которой равны 5,8 и 4,2,
вписана окружность. Прямая, пересекающая боковые стороны трапеции в
точках М и Ny делит её на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3.
Найдите длину большего основания трапеции, если MN = 6.
С5. Найдите все значения параметра а, при которых система
имеет единственное решение.
Сб. Найдите такое наименьшее положительное целое число х, что х! не
делится на 1239 нацело и оканчивается на 12 одинаковых цифр.
Вариант №21
Часть 1
81. Блокнот стоит 25 рублей. Сколько рублей заплатит покупатель за
14 блокнотов, если при покупке более 10 блокнотов магазин делает скидку
7% от стоимости всей покупки?
82. На рисунке 95 жирными точками показано суточное количество
осадков, выпавших в Ростове-на-Дону с 1 по 11 сентября 1902 года. По
горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество
осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для
наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку,
сколько дней за указанный период выпадало более 3 мм осадков.

Вариант№21
129
MM
9
8
7
6
5
44
3
2
1
/
\
>
/
у
/
f
\
\
\
X
\
\
,—*
1
9 10 11
Сентябрь
Рис. 95
83. Найдите корень уравнения Iog19(37 - 2х) = 2.
84. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС боковая
сторона АВ равна 15, а высота, проведённая к основанию, равна 9. Найдите
cos Z.A.
85. Для транспортировки 40 т груза на 1200 км можно использовать
одного из трёх перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность
автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице. Сколько рублей
придется заплатить за самую дешёвую перевозку?
Перевозчик
А
Б
В
Стоимость перевозки
одним автомобилем
(руб. на 100 км)
2800
5200
8400
Грузоподъёмность
одного автомобиля(т)
3,5
5
9
86. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен
треугольник (см. рис. 96). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
87. Найдите значение выражения 34+log3 2.
88. Функция f(x) определена на интервале (-5; 11). График её
производной изображен на рисунке 97. Найдите точку максимума функции f(x).

130
Учебно-тренировочные тесты
\[см
\
\
/
V
I
I
{
f
Рис.96
J
>
/
/
/
1
О
N
у
\
•A
\
\
X)
\
"
1
л
!
Рис. 97
В9. Найдите площадь поверхности сферы, если площадь боковой
поверхности конуса, вписанного в сферу, с основанием, совпадающим с сечением
сферы, проходящим через ее центр (см. рис. 98), равна 6%/2.
Рис. 98

Вариант №27 Ш
BIO. Для предприятия зависимость объёма спроса на продукцию q (тыс.
руб.) от её цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 90 - 9р. Выручка
предприятия за месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле г = q • р.
Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка г
составит не менее 81 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
811. Найдите наименьшее значение функции у = 2х2 — In x на отрезке
[1;е].
812. Два пешехода одновременно вышли из пункта А по направлению к
пункту Ву но второй дошел только до пункта С, где пробыл половину того
времени, которое до этого находился в пути, после чего решил вернуться
в пункт А и достиг его одновременно с тем, как первый прибыл в пункт В.
Определите, на сколько первый пешеход двигался быстрее, чем второй,
если расстояние от А до С составляет ^ длины пути от А до В и скорости
о
пешеходов постоянны.
Часть 2
С1. Решите уравнение 1б2сов2х - ^ • 162""па х + 40 = 0.
о
С2. В правильной четырёхугольной призме ABCDA\B\C\D\ со
стороной основания равной 2 и высотой равной 5 точка М лежит на ребре АА\
так, что А\М : МА = 1:4. Найдите расстояние от точки С\ до общей
прямой плоскостей ABC и D\B\M.
СЗ. Решите уравнение
С4. Дан угол ВАС. На стороне угла АВ лежит центр окружности О.
Окружность пересекает стороны угла в точках В, В\ и С, С\
соответственно. Из точки В проведена прямая, пересекающая окружность в
точке К и луч АС в точке М так, что КМ = МС = АСХ = 2 см, В К = 3 см.
ВО
Найдите отношение тгт-
ОА
СБ. Решите неравенство 4 sin ax — sin Зх ^ а4 4- 6а3 + 9а2 4- 5 для всех
значений параметра а.
Сб. Существует ли такой многочлен Р(х) с целыми коэффициентами, что
а)Р(О) = 17,Р(1) = 82,Р(2) = 2011
= 17,Р(17) = 82

132
Учебно-тренировочные тесты
Вариант № 22
Часть 1
81. Автопогрузчик рассчитан на подъём и перевозку 1,5 тонн
стройматериалов. Какое минимальное количество ходок сделает автопогрузчик,
если ему надо перевезти 107 тонн груза?
82. На рисунке 99 жирными точками показана цена акции одного
металлургического комбината на момент закрытия биржевых торгов во все
рабочие дни с 5 по 20 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа
месяца, по вертикали — цена акции в долларах США. Определите по
рисунку, какого числа цена акции на момент закрытия торгов была
наименьшей за данный период.
i
50-
40-
30-
20-
10-
k Цена акции, $
\
\
\
\
\
i "
/
/
/
\
\
11 12 13 14 15
Рис. 99
18
19 20
Октябрь
83. Найдите корень уравнения 4916 1>5х = =.
84. В треугольнике ABC /LC = 90°, АВ = 14, ВС = 7>/3. Найдате
cos Z А
85. Для транспортировки 35 т груза на 1400 км можно использовать
одного из трёх перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъёмность
автомобилей каждого перевозчика указаны в таблице. Сколько рублей
придется заплатить за самую дешёвую перевозку?

Вариант №22
133
Перевозчик
А
Б
В
Стоимость перевозки
одним автомобилем
(руб. на 100 км)
2800
5200
8400
Грузоподъёмность
одного автомобиля (т)
3,5
5
12
В6. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен
треугольник (см. рис. 100). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
\
\
1см
\
1
л
\
т
ч /
1
Рис. 100
87. Найдите значение выражения 531ogs 4.
88. На рисунке 101 изображен график функции f(x) и касательная к нему
в точке xq. Определите значение производной функции f(x) в этой точке.
•
У*
^/_
1
1
°А
А
•
У~)
fix)
X
Рис. 101

134
Учебно-тренировочные тесты
В9. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке 102.
/
/ i
2
2
1
11
Рис.
2 /
102
)
810. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик
измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает
расстояние до воды по формуле h = ^-, где h — расстояние в метрах,
t — время падения в секундах, д = 10 м/с2. До дождя время падения
камешков составляло 0,9 с. На сколько должен подняться уровень воды
после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,3 с. Ответ
выразите в метрах.
811. Найдите наибольшее значение функции у = 2я(х+2)— х3 на отрезке
[-3;0].
812. Из города А в город В выехал мотоциклист, а через 20 минут следом
за ним со скоростью 84 км/ч выехал автомобиль, догнал мотоциклиста в
пункте С и повернул обратно. Когда он вернулся в Л, мотоциклист прибыл
в В. Расстояние между пунктами А и В равно 312 км. Найдите расстояние
от С до В. Ответ дайте в километрах.
Часть 2
Cl. Решите уравнение 81ein2* - Щ • 91*2einxcoax + 30 = 0.
C2. В прямой призме ABCDA\B\C\D\ с высотой 8 в основании лежит
ромб со стороной 3 и углом Л, равным 120°. Точка М лежит на ребре AAi
и делит его в отношении 4 : 1 от точки А. Найдите расстояние от точки С\
до общей прямой плоскостей ABC и D\B\M.
СЗ. Решите уравнение
4х)log(x+2)« (х + 2)6 - 4'5*+f+2 = r-?i
2 • 10*

Ответы 135
С4. В угол ВАС вписана окружность радиуса 10, точки касания МиТ
соединяет хорда длиной 16. Найти периметр трапеции, образованной хордой,
касательной к окружности, параллельной хорде, и отрезками, лежащими
на сторонах угла.
С5. Решите неравенство 3 sin Ъх + sin ах > а4 — 10а3 + 25а2 + 4 для всех
значений а.
Сб. Существует ли такой многочлен Р(х) с целыми коэффициентами, что
а)Р(О) = П,Р(1) = 201, Р(2) = 2011

Ответы к заданиям В
№
1
2
3
4
5
в
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
В1
112
950
20
1068
11
875
15
20
39
20
14
2315250
41
48
12
3
5
4
3
50
625,5
72
В2
14
6
14
20
-5
5
3
19
600
98
5
42
18
8
80
7
1500
5
2
5
5
7
ВЗ
5
14
41
13
32
2
1
-3
1
7
-13
-2
17
8
12
3
5
4
5
2
-162
11
В4
0,2
3,6
0,5
8
0,75
1
1,6
-0,5
1,4
5
6
0,6
0,6
0,75
0,75
0,5
6,75
7
0,75
0,75
0,8
0,5
В5
12480
7140
403200
224000
950
985
4260
1,75
2,5
280
8100
12500
5760
3150
226100
6960
1230
2640
986700
846000
403200
352800
В6
30
13,5
12
9
12
15
8
9
4
12
30
4
8
20
24
9
7,5
487,5
23
27
9
10
В7
-44
81
25
4
0,5
-0,5
64
27
0,004
2
17
-6
65
-16
0,04
-1
49
1
2
4
162
64
В8
4
-1,5
3
6
2
3
-3
-4
3
5
1
7
-0,5
3
2
3
79
70
1
0,875
7
0,75
В9
9
3
6
480
113
240
23
27
2,25
768
16
6
6
9
480
25
30
36
40
48
24
135
В10
600
10
3,8
3
25
5,8
3
9
180000
2
5000
50
5000
8
25
95
3
30
31,25
3750
9
2,25
В11
1
-3
-24
-1
93
1
7
6
5
0
-1,5
2
6
-3
-7
2
0,5
2
2
9
2
33
В12
2
8
3
12
18
30
13,4
12
8
144
56
10
4,5
187500
60
20
4,8
5
20
6
20
144

Ответы к заданиям С
1
2
3
4
5
6
7
С1
(-1)П+1| +7ГП,
nez
х = тг 4- 2тг&,
fc€Z
-1
-2
тг
4
тг
(-1Г-1+ТГП,
С2
0,5
2>/2
45°
60°
arctg2\/3
60°
8v/3
сз
(2;+оо)
(и)
(-оо; -4)U
U(-4;2]U
U(4; -hoo)
(-oo;-5]U
U(-3;3)U
U(3; -hoo)
(-oo;-l)U
U(0; -hoo)
(-oo;0)U
U(0;l)U
U(l;-hoo)
(-оо; 1]U
U[lg 14; -hoo)
С4
5>/2±3;
2^2±3
5(4-h\/lO).
3(5-h\/lO)J
7(5 -h уДЬ)
5(6 -h у/Щ
2\/67; 2>/7
4;4>/5
Зи5
7и13
6,75
С5
-2; 2
—2; —1; 1; 2
(0; 0,8) U {4}
(0;f)u{6}
(0;l]U{e1/e}
(0;l]U{e1/e}
/5^4.5^028^
I 4 • 12 ;
C6
5
5
33
39
x2 -h 30x;
x2 - 34x -h 64
x2 ± 8x -h 15;
x2 ± 2x - 15
19^50
16 девяток
CO
^1

Ответы к заданиям С (Продолжение)
ЛЬ
8
9
10
11
С1
±^+2тгп,
n € Z
(16;20)
(4; 36)
11
С2
4,096
arctg^
сз
[-logai2;0]
х^9
х> 1
(-оо;1]
С4
8,8
13
32
21; 35
С5
/33^2.3^25\
4 2*4/
а 6(0; 0,5)-
х € (а; 1 4- ^1-а)
а€(0,5;1]-
х € (1 + л/Г^; 1 + vTTo)
а€(1;3)-
х € (а; 14- \/ГТа)
при других значениях
параметра решений нет;
при 9 < Ь < 10
х € (3 - v/9T36; 3 + л/9Т36),
при 4,5 < Ь ^ 9
х€(3->/9Т36;Ь),
при 4 < 6 ^ 4,5
х 6 (3 - л/9ТзЬ;3 - >/9 - 26)U
U(3 + \/9^26;6)
а^-3,а^5
С6
39...9800
21 девятка
нет
нет
(1;7),(2;5),
(3;3),(4;1),
(5; 8), (6; 6),
(7; 4), (8; 2),
<9;9)

Ответы к заданиям С (Продолжение)
12
13
14
15
16
17
18
19
С1
3
27
16
(-l)*+i|+iribf
kez
-| + 2**,
£+2*(2m + l);
4
fc,m€Z
1
0
о. 1
*27
С2
4
60°
60°
2л/22
11
л/46
8
3
4
2
СЗ
(-оо;0]
[6; 36]
(0; 10] U [100; -hoo)
7
7 + <Лз
2
(0,125; 0,5)
(0,5; ^8)
[-1,5; 2J U [5; 7]
С4
1975;1300
2,1
4,8
Уз + i. Уз + 1
3 ' 2
«5.5(3-VS)
' 2
4
5
17 : 4; 25 : 59
С5
а ф -4; 0; 3,5
2
3
•<i
а^0
(-оо; -63] U {-56}
{-0,25} U [0;-hoo)
0;2tgl
С6
(1;4),(2;8),
(3;3),(4;7),
(5; 2), (6; 6),
(7;1),(8;5),
(9; 9)
13950
23976
307
±1;±2
(3;4),(3;-2)
(2; 6), (2;-4)
462

Ответы к заданиям С (Окончание)
JVt
20
21
22
С1
i;\/5
k,nez
nez
С2
■л
\/97
VT45
СЗ
Г-55-\/817. -55 + \/5i71,,
I 48 ' 48 JU
2
1
C4
5
7
36; 96
C5
-*•
при а = —3,
7Г ■ 2тгл
6 3
для других
значений параметра
решений нет
при а = 5,
х- — 4- 27rfe
10 5 *
для других
значений параметра
решений нет
ее
50
а) да, например
= 932х2 - 867х + 17
б) нет
а) да, например
Р(х) =
= 810х2 - 620х -h 11
б) нет

Литература
1. Единый государственный экзамен по математике. Демонстрационный
вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2011 г.
[Электронный ресурс]. — Электрон, текст, дан. — Москва: ФИПИ. —
2010. — Режим доступа: www.fipi.ni, свободный.
2. Единый государственный экзамен по математике. Кодификатор
элементов содержания по математике для составления контрольных
измерительных материалов единого государственного экзамена 2011 г.
[Электронный ресурс]. — Электрон, текст, дан. — Москва: ФИПИ. —
2010. — Режим доступа: www.fipi.ru, свободный.
3. Единый государственный экзамен по математике. Спецификация
контрольных измерительных материалов единого государственного
экзамена 2011 г. [Электронный ресурс]. — Электрон, текст, дан. —
Москва: ФИПИ. — 2010. — Режим доступа: www.fipi.ru, свободный.
4. Единый государственный экзамен по математике. Кодификатор
требований к уровню подготовки выпускников по математике для
составления контрольных измерительных материалов единого
государственного экзамена 2011 г. [Электронный ресурс]. — Электрон, текст,
дан. — Москва: ФИПИ. — 2010. — Режим доступа: www.fipi.ru,
свободный.
5. Лукин Р. Д., Лукина Т. /С, Якунина М. С. Устные упражнения по
алгебре и началам анализа. — М.: Просвещение, 1989. — 96 с.
6. Лысенко Ф. Ф. и др. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011/Под
редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону:
Легион-М, 2010. — 416 с.

142 Литература
7. Лысенко Ф. Ф. и др. Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ-
2011/Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-
на-Дону: Легион-М, 2010. — 192 с.
8. Программы для общеобразовательных учреждений (школ,
гимназий, лицеев): Математика, 5-11 кл./Составители: Г. М. Кузнецова,
Н. Г. Миндаж. — М.: Дрофа, 2000,2002.
9. Федеральный компонент государственного стандарта общего
образования. Математика. Основное общее образование; среднее (полное)
общее образование. 2004 г. (Приказ МО РФ от 05.03.04 №1089).

Готовимся к ЕГЭ
Учебное издание
МАТЕМАТИКА. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2011.
УЧЕБНО-ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ
Учебно-методическое пособие с CD-приложением
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова
Художественное оформление,
разработка серии И. Лойкова
Компьютерная верстка А. Ковалевская
Корректор Н. Пимонова
Подписано в печать 27.12.2010.
Формат 60х841/16. Бумага типографская.
Гарнитура Тайме. Печать офсетная. Усл. печ. л. 8,3.
Тираж 15 000 экз. Заказ № 449.
ООО «ЛЕГИОН-М»
Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550.
Адрес редакции: 344011, г. Ростов-на-Дону, пер. Доломановский, 55.
www.legionr.ru e-mail: legionrus@legionrus.com
Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных диапозитивов
в ЗЛО «Полиграфобъединекие». 347900, г. Таганрог, ул. Лесная биржа, 6 В.

ИЗДАТЕЛЬСТВО
Рекомендует
Готовимся к ЕГЭ
МАТЕМАТИКА
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ-2011
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С /О. Кулабухова
ЕГЭ
ПОДГОТОВКА И
h ЕГЭ-2011 '
Пособие содержит необходимый материал
и рекомендации для самостоятельной
подготовки к ЕГЭ по математике:
• 28 новых авторских
учебно-тренировочных тестов, составленных по плану ЕГЭ
с учетом опыта экзамена 2010 года;
• задачник (около 1500 задач),
предназначенный для более детальной отработки разных
видов тестовых заданий;
• подробное решение одного варианта;
• математический справочник.
Наша книга позволит выпускникам и
абитуриентам, не обращаясь к дополнительной
литературе, получить желаемый результат —
от минимального количества баллов,
необходимого для сдачи ЕГЭ, до максимально возможного, практически до 100
баллов. Пособие может быть использовано выпускниками
общеобразовательных учреждений и преподавателями.
Вместе с данной книгой выходит в свет и её решебник.

h{x,y)
ЕГЭ
МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИК \
ПОДГОТОВК V
к ЕГЭ-2011
ЕГЭ Ц
МАТЕМАТИКА
I
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ
УТО-АЖНЕНИЯ
зл курс м» классов
344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550
Тел. (863) 303-05-50,248-14-03
www.legionr.ru
e-mail: legionrus@legionrus.com
ИЗДАТЕЛЬСТВО С.J)
ЛЕГИОН?
Учебно-методический комплекс
«Математика. Подготовка к ЕГЭ»
под редакцией Ф.Ф. Лысенко и СЮ. Кулабухова
включает следующие пособия
для учащихся и учителей:
J Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011
J Рсшгбник. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011
J Математика. Мтные вычисления и быстрый счет.
Тренировочные упражнения за курс 7-11 классов
Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2011 (В1 - В6).
Пособие для < чайников»
Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2011 (В7-В8,
В1 О-В 12). Пособие для <• чайников»
Математика. Тематические тесты.
Повышенный уровень ЕГЭ-2011 (С1, СЗ).
Уравнения, неравенства, системы
Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011.
Учгбно-тргнировочные тесты
■ •равочник по математике
Ждем Ваших предложений и замечаний!