Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. О. Иванова
МАТЕМАТИКА
ЕГЭ-2021 ТЕМАТИЧЕСКИЙ ТРЕНИНГ 10-11 классы
Учебно-методическое пособие
ЛЕГИОН
Ростов-на-Дону
2020


ББК22.1я721
М34
Рецензенты: А. П. Уваровский, кандидат педагогических наук, профессор РАЕ, заслуженный учитель РФ;
О. 	Б. Кожевников, кандидат физико-математических наук, доцент
Авторский коллектив:
С. О. Иванов, Е. Г. Коннова, В. М. Кривенко, Л. С. Ольховая, Н. М. Резникова, Е. М. Фридман, Д. И. Ханин
Математика. ЕГЭ-2021. Тематический тренинг. 10— 11-е М34 классы: учебно-методическое пособие/под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. О. Иванова. Ростов н/Д: Легион, 2020. — 464 с. — (ЕГЭ).
ISBN 978-5-9966-1397-7
Пособие предназначено для подготовки к единому государственному экзамену по математике базового и профильного уровней. Оно будет полезно учащимся выпускных классов, учителям, а также тем, кто собирается сдавать экзамен после перерыва в обучении.
Материал пособия сгруппирован по 28 темам, охватывающим все разделы элементов содержания, проверяемые на ЕГЭ, в том числе задания с развёрнутым ответом. В большинстве случаев каждый отдельный параграф имеет следующую структуру:
• краткие теоретические сведения с разобранными примерами решения;
• от 20 до 90 заданий в формате ЕГЭ, составленных по принципам нарастания уровня сложности и парного подобия (первое задание похоже на второе, третье — на четвёртое и т.д.); к каждому четвёртому заданию (его номер взят в рамку) приводится подробное решение с необходимыми пояснениями и указаниями;
• 4 варианта для контроля; каждый вариант содержит 5 заданий, которые отражают различные аспекты рассматриваемой темы.
В конце книги даны ответы ко всем заданиям.
ISBN 978-5-9966-1397-7
ББК22.1я721 © ООО «Легион», 2020


Оглавление
От авторов 7
Глава I. Задания базового уровня сложности 9
§ 1. Арифметические действия с дробями 9
Задания для контроля 14
§ 2. Простые текстовые задачи 16
2.1. Задачи с целочисленным ответом 16
2.2. Денежные расчёты 20
2.3. Проценты 21
Задания для контроля 24
§ 3. Соответствие между величинами и их значениями 27
Задания для контроля 37
§ 4. График функции и элементы статистики 47
4.1. Чтение графиков и диаграмм 47
4.2. Задачи на соответствие частей графика
и характеристик 57
Задания для контроля 65
§ 5. Выбор наилучшего варианта 76
Задания для контроля 92
§ 6. Текстовые задачи 100
6.1. Движение 100
6.2. Работа, производительность 103
6.3. Проценты, сплавы, смеси 104
Задания для контроля 106
§ 7. Теория вероятностей 109
7.1. Классическое определение вероятности 109
7.2. Основные теоремы теории вероятностей 114
Задания для контроля 122
§8. Нахождение величины из формулы 126
Задания для контроля 129
§9. Координатная прямая и числовые промежутки 132
Задания для контроля 140
§ 10. Уравнения 150
2.3ак.№111


4
Оглавление
10.1. Линейные уравнения 150
10.2. Квадратные уравнения 151
10.3. Рациональные уравнения 151
10.4. Иррациональные уравнения 153
10.5. Показательные уравнения 153
10.6. Логарифмические уравнения 155
Задания для контроля 156
§11. Преобразования выражений 158
11.1. Рациональные выражения (дроби) 158
11.2. Степени 159
11.3. Корни 160
11.4. Логарифмические выражения 161
11.5. Тригонометрические выражения 163
Задания для контроля 164
§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная 166
12.1. Геометрический смысл производной.
Применение производной к исследованию функций 166
12.2. Первообразная 184
Задания для контроля 187
§ 13. Исследование функции с помощью производной 193
13.1. Многочлены 194
13.2. Тригонометрические функции 194
13.3. Степени и корни 195
13.4. Логарифмы 196
Задания для контроля 196
§ 14. Содержательные задачи из различных областей науки 199
14.1. «Экономические» задачи 199
14.2. «Физические» задачи 201
Задания для контроля 208
§ 15. Логические задачи 213
15.1. Логические следствия 213
15.2. Расположение чисел на координатной прямой 215
15.3. Непересекающиеся подмножества 216
15.4. Пересекающиеся подмножества 217
15.5. Числовые промежутки 219
Задания для контроля 220
§ 16. Планиметрия: площади фигур 226
16.1. Прямоугольный треугольник 226
16.2. Треугольник 229


Оглавление
5
16.3. Прямоугольник 230
16.4. Трапеция 233
16.5. Ромб 234
16.6. Произвольный многоугольник 236
16.7. Круг и сектор 237
Задания для контроля 239
§ 17. Планиметрия: углы и длины 244
17.1. Свойства треугольника 244
17.2. Окружность. Касательные, секущие, хорды 253
Задания для контроля 268
§ 18. Практические задания по планиметрии 273
Задания для контроля 277
§ 19. Тригонометрия, координаты и векторы 282
19.1. Тригонометрия в прямоугольном треугольнике 282
19.2. Высоты в прямоугольном треугольнике 284
19.3. Равнобедренный треугольник 285
19.4. Тригонометрические функции тупого угла 286
19.5. Координаты точек 287
19.6. Векторы 290
Задания для контроля 295
§20. Параллелепипед, призма, пирамида 298
20.1. Прямоугольный параллелепипед 298
20.2. Параллелепипед и призма 305
20.3. Тетраэдр и пирамида 310
Задания для контроля 314
§21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел 319
21.1. Цилиндр 319
21.2. Конус 320
21.3. Шар 322
21.4. Изменение размеров геометрических тел 324
21.5. Комбинации тел 326
Задания для контроля 328
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности 333
§22. Тригонометрические уравнения и отбор корней 333
§23. Стереометрия 335
§ 24. Неравенства и системы неравенств .337
§ 25. Планиметрия 339
§26. Экономические задачи 341


6
Оглавление
§27. Уравнения и неравенства с параметром 345
§28. Исследовательские задачи 346
Глава III. Решения избранных заданий 349
Ответы к тренировочным заданиям 449
Ответы к заданиям для контроля 456


Уважаемые учителя!
Вам хорошо известно, что самая эффективная методика подготовки к ЕГЭ по математике заключается в систематической и планомерной работе с учащимися. Наше пособие поможет вам в организации такой работы на протяжении двух лет обучения, позволит теоретически, практически и психологически подготовить выпускников к ЕГЭ по математике.
Тренировочные задания и задания для контроля в формате ЕГЭ, представленные в пособии, могут быть использованы как во время уроков, так и в качестве домашнего задания.
Краткие теоретические сведения, приведённые в начале каждого параграфа первой главы (они отмечены жирной вертикальной чертой слева от текста), дополнены разобранными примерами и рекомендациями по выполнению заданий.
Обращаем ваше внимание на то, что задания, к которым даны решения (их номер взят в рамку), можно использовать для ознакомления учащихся с методами решения задач базового, повышенного и высокого уровней сложности.
Задания для контроля (каждое представлено в четырёх вариантах) могут применяться как для диагностики, так и для самоконтроля.
Надеемся, что тематический тренинг поможет вам не только в ходе непосредственной подготовки к ЕГЭ, но и в организации процесса обучения математике.
Успешной вам работы!
Дорогие ученики!
Пособие, которое вы держите в руках, на протяжении двух лет поможет вам систематизировать и обобщить знания по математике, ликвидировать пробелы в знаниях основных разделов курса, успешно справиться с текущими контрольными работами и домашними заданиями, а также качественно подготовиться к ЕГЭ по математике и получить высокий балл на экзамене.
Независимо от того, какой уровень ЕГЭ по математике выберете вы — базовый или профильный, эта книга для вас: рассчитывать на высокий балл, не научившись выполнять задания базового уровня, не приходится, а когда вы освоите базовый уровень, вам будет легче справиться с заданиями профильного уровня.


8
От авторов
Как работать с книгой?
Каждый из вас вправе самостоятельно определить последовательность тем для повторения, изучения или систематизации знаний по основным разделам курса математики. Однако мы рекомендуем придерживаться представленного в оглавлении порядка и начать подготовку с раздела «Арифметика». Это обусловлено тем, что каждое задание на ЕГЭ по математике предполагает вычисления, а цена вычислительной ошибки на экзамене очень высока.
Для вашего удобства в начале каждого параграфа главы I «Задания базового уровня» в доступной форме изложены краткие теоретические сведения с примерами и даны рекомендации по решению задач. Каждый параграф содержит тренировочные задания, составленные по принципам парного подобия и нарастания уровня сложности, и задания для контроля. Принцип парного подобия (первое задание похоже на второе, третье — на четвёртое и т.д.) позволяет эффективно организовать отработку и закрепление материала. Можно провести работу по двум вариантам в классе, либо один вариант разобрать на уроке, а второй предложить учащимся в качестве домашнего задания.
К каждому четвёртому из тренировочных заданий (его номер взят в рамку) приведено подробное решение с необходимыми пояснениями. Ко всем заданиям в книге даны ответы, которые помогут вам проверить правильность ваших решений.
Если какое-то задание вы не смогли выполнить или получили другой ответ при решении, обратитесь к учебнику. Ещё раз разберите приведённое в книге решение этой или подобной задачи или попросите помощи у учителя.
Необязательно выполнять все задания. Определите сами количество заданий, которые вам необходимо решить для успешного освоения темы и закрепления материала. В конце каждого параграфа главы I «Задания базового уровня» дано 4 варианта тематической самостоятельной работы. Обратите внимание на то, что первый вариант похож на второй, а третий — на четвёртый. Постарайтесь выполнить хотя бы два непохожих варианта каждого параграфа. Чем меньше ошибок вы допустите, тем больше у вас шансов сдать ЕГЭ на высокий балл.
Желаем успехов!
Замечания и предложения, касающиеся данной книги, можно присылать на адрес электронной почты legionrus@legionrus.com.


Глава I. Задания базового уровня
сложности
§ 1. Арифметические действия с дробями
Вспомним, как выполняются действия умножения, деления, сложения и вычитания обыкновенных дробей.
Чтобы перемножить обыкновенные дроби, надо перемножить их числители и записать результат в числитель, затем перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель:
5 10 _ 5 • 10 = 50.
7*11 7-11 77’
а с _ а • с
b d Ь-сГ
На протяжении этого параграфа под словом «дробь» будем понимать обыкновенную дробь. Если числитель и знаменатель дроби делятся на некоторое натуральное число, отличное от единицы, то обычно числитель и знаменатель дроби делят на это число. При этом значение дроби не изменяется, а процедура деления числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от единицы, называется сокращением дроби:
55 = 5 11 = 5
77 7-11 7*
Если числитель и знаменатель дроби умножить на любое натуральное число, то значение дроби также не изменяется. Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число необходимо для приведения дробей к общему знаменателю, а также при обращении некоторых обыкновенных дробей в десятичные:
24 _ 24» 2 _ 48 _ А «. 5 5-2 10
3 _ 3 -25 _ 75
40 40 • 25 1000
= 0,075.


10
Глава I. Задания базового уровня сложности
Смешанным числом называют сумму натурального числа и правильной дроби. При этом натуральное число называется целой частью смешанного числа, а правильная дробь — дробной частью смешанного числа. Для выполнения действий над смешанными числами их нередко представляют в виде обыкновенных дробей. Для этого целую часть надо умножить на знаменатель дробной части, затем прибавить числитель дробной части. Полученный результат следует записать в числитель, а в знаменателе оставить знаменатель дробной части:
~4 _ 3-7 + 4 _ 25 7 7 7 ‘
~4 12 = 25 7_25-7_5-5-7__5_с
7 5 7*5 7*5 7-5 1
Чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй дроби:
25 . 7 = 25 5 = 25 • 5 125.
7 ’ 5 7*7 7*7 49 *
a , с a d cl * d
b * d b с b e'
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складывают числители этих дробей и результат записывают в числитель, а в знаменатель записывают знаменатель этих дробей.
Сложить дроби с разными знаменателями можно двумя способами.
1. Приведением дробей к наименьшему общему знаменателю, равному наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей дробей. Для этого умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующие числа так, чтобы знаменатели у всех полученных дробей были одинаковыми. Затем складываем полученные числители и результат записываем в числитель, а знаменатель дроби оставляем равным знаменателю полученных дробей:
29 I 67 _ 29 • 3 . 67 • 2 __ 29 • 3 + 67 - 2 87 + 134 221
8 12 8-3 12-2 24 24 24 '
2. Приведением дробей к общему знаменателю, равному произведению знаменателей. Числитель и знаменатель первой дроби умножаем на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножаем на знаменатель первой дроби. Получим дроби с одинаковыми знаменателями, которые складываем по указанному правилу:


§ 1. Арифметические действия с дробями
11
29 . 67 29 12 67 -8 29-12+ 67-8 348 + 536
8 12 8 • 12 12 • 8 8 • 12 96
= 884 = 221.
96 24 ’
а , с a - d + cb
Ь d bd '
Чтобы вычесть из одной обыкновенной дроби другую, надо к первой дроби прибавить дробь, противоположную второй дроби:
29 67 = 29 (-67) 29 • 12 + (-67) • 8 348 + (-536)
8 12 8 12 8 12 96
= -188 _47
96 24'
Впрочем, сумму дробей ^ ^ можно было найти приведением
о 1.2
к наименьшему общему знаменателю:
29 (-67) = 29 • 3 + (-67) • 2 = 87 + (-134) _ 47
8 12 24 24 24*
Вспомним также, что выполнение операций над десятичными дробями сводится к выполнению операций над соответствующими целыми числами в столбик.
Для нахождения суммы 7,23 + 15,8 запишем число 15,8 под числом
7.23 (сотни под сотнями, десятки под десятками, единицы под единицами, десятые доли под десятыми, сотые доли под сотыми, запятую под запятой) следующим образом:
7,23
15,8
Далее пользуемся известным алгоритмом нахождения суммы целых чисел в столбик, не обращая внимания на запятую. Получим:
7.23 4-15,8 = 23,03.
Для нахождения произведения 7,23 • 15,8 умножим целое число 723 на целое число 158 в столбик по известному алгоритму. В полученном целом числе 114234 нужно поставить запятую так, чтобы после неё осталось 3 цифры (так как у исходных множителей после запятой стоят 3 цифры). Получим: 7,23 • 15,8 = 114,234.
Вспомним также, что для обращения десятичной дроби в обыкновенную (что нередко приходится делать) представляем сначала деся-


12
Глава /. Задания базового уровня сложности
тичную дробь в виде смешанного числа, а затем смешанное число представляем в виде обыкновенной дроби:
4 19 = 4 J2- = 4 • 100 + 12 = 412 ’ 100 100 100*
Можно поступить и по-другому, умножив и разделив исходную десятичную дробь на подходящую степень числа 10:
4,12 -100 412
100 100*
[Г]1 Найдите значение выражения l| +
3 3
2. Найдите значение выражения 1| -
5 3 11
3. Найдите значение выражения ^ + 1^ - —.
7 о о5
4. Найдите значение выражения - — 21
7 5 о5
— 3 31
5.1 	Найдите значение выражения 7^ :
6. Найдите значение выражения 5^ :
L О
7. Найдите значение выражения 5~ : 7.
15
8. Найдите значение выражения 6 :
[эТ] Найдите значение выражения ^-5| - |^ • 16.
10. Найдите значение выражения ^з| -f *16.
11. Найдите значение выражения ^3-~ — *6.
12. Найдите значение выражения ^3—> — ^ • 8.
113.1 	Найдите значение выражения :
14. 	Найдите значение выражения : |.
1В рамку взяты номера заданий, к которым приведены образцы решений.


§ 1. Арифметические действия с дробями
13
15. Найдите значение выражения ( ~г — —г) : ^=.
ylz 20) 15
16. Найдите значение выражения
117.1 	Найдите значение выражения (1532 — 1172) : 270.
18. Найдите значение выражения (1532 — 1472) : 150.
19. Найдите значение выражения (2742 — 1742) : 224.
20. Найдите значение выражения (1472 — ЮЗ2) : 110.
21. 	Найдите значение выражения 0,13 • 0,5 - 0,04.
22. Найдите значение выражения 0,13 • 0,5 + 0,04.
23. Найдите значение выражения 0,17 • 0,4 — 2,03.
24. Найдите значение выражения 0,11 • 0,3 — 3,002.
2 8
25. 	Найдите значение выражения - - .
1,7 — 6,7
3 2
26. Найдите значение выражения л.
1,7 	т* «),о
5 7
27. Найдите значение выражения _ ■ ’ _
2.0 -г 17,7
28. Найдите значение выражения , ^
1.0 — 5,0
29. 	| Найдите значение выражения (1,072 + 3,228):
10 51'
30. Найдите значение выражения (3,7 — 1,15) • ^.
29
35'
31. Найдите значение выражения ^3^ — 1,3^ : 3
32. Найдите значение выражения + 2,3^ : ^.
2Я
33. 	Найдите значение выражения (3,7 : 1,15) • ^
ОI


14
Глава I. Задания базового уровня сложности
34. Найдите значение выражения (1,072 : 3,228) •
1о4
35. Найдите значение выражения (2,324 • 4,15) : 48,223.
36. Найдите значение выражения (2,152 • 3,15) : 33,894. 37. Найдите значение выражения 63* | •
38. Найдите значение выражения 54- ^ | •
39. Найдите значение выражения 27 * ( т! — — §)•
у 18 12 3 J
40. Найдите значение выражения 18- ^ | •
Задания для контроля Вариант I
Р Л 10
1. Найдите значение выражения % + - — ■£§ .
7 5 о5
2. Найдите значение выражения 0,12 • 0,4 — 0,049.
 2 7 fi
3. Найдите значение выражения —: -г .
0,о5
о о
4. Найдите значение выражения - — 2,3 — f.
4 5
5. Найдите значение выражения 27 • | — |).
Вариант 2
1. Найдите значение выражения % — |
7 5 35
2. Найдите значение выражения 3,1 : 0,05 — 62,001.
3 — 58
3. Найдите значение выражения оег? .
0,35
7 7
4. Найдите значение выражения -j — 2,8 —
4 5
5. Найдите значение выражения 81 • -I- ^ — §).


Задания для контроля
15
Вариант 3
1. Найдите значение выражения ^5^ —
2. Найдите значение выражения + |-
3. Найдите значение выражения 3 : 0,06 + 37.
2 37 • 32 8
4. Найдите значение выражения тЫ^г~ТГооо •
26,7 	• 0,о2о
5. Найдите значение выражения Щ ^ : |.
7 о 5
Вариант 4
1. Найдите значение выражения ^2| —
2. Найдите значение выражения + |-
3. Найдите значение выражения 4 : 0,05 — 27.
4. Найдите значение выражения
45,2 	• 0,176
5. Найдите значение выражения Щ ^ :


16
Глава I. Задания базового уровня сложности
§ 2. Простые текстовые задачи
2.1. 	Задачи с целочисленным ответом
В. ответе на эти задачи надо писать целое число (количество автобусов, число банок с краской, число пачек сахара и т. д.). Нужно самому подумать, в большую или меньшую сторону округлять результат вычислений.
• Пример 1.
Если для перевозки детей нужно 5,3 автобуса, то округлять будем в большую сторону (6 автобусов). Иначе автобусов просто не хватит.
• Пример 2.
Если денег хватает на 12,8 пачек сахара, то нам продадут всего 12 пачек и у нас останется сдача.
Иногда в условии может требоваться округление по математическим правилам. Если в округляемом числе цифра десятых (первая цифра, стоящая после запятой) меньше 5, то число округляется в меньшую сторону, то есть все цифры после запятой отбрасываются. Например: 14,298 « 14. Если в округляемом числе цифра десятых больше или равна 5, то число округляется в большую сторону, то есть к числу единиц прибавляется 1. Например: 14,51 « 15.
141.1 На складе 217 бочек с краской и 315 бочек с эмалью. Сколько потребуется машин, чтобы перевезти все бочки со склада в магазин, если в машину помещается не более 85 бочек?
42. Экскурсия по городу была организована для 127 школьников. Найдите, какое количество автобусов вместимостью 33 человека необходимо заказать ддя проведения этой экскурсии.
43. Теплоход рассчитан на 840 пассажиров и 26 членов команды. Спасательная шлюпка может вместить 72 человека. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
44. В летнем лагере 260 детей и 28 воспитателей. В автобус вмещается не более 50 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?
45. 	Блокнот стоит 6 рублей 40 копеек. Какое наибольшее число блокно¬
тов можно купить на 80 рублей?


§2. Простые текстовые задачи
17
46. Сырок стоит 7 рублей 80 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 70 рублей?
47. Порция мороженого «Пломбир» стоит 24 рубля 50 копеек. Какое наибольшее число порций можно купить на 260 рублей?
48. Шариковая ручка стоит 15 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число ручек можно купить на 167 рублей 50 копеек?
49. В пачке бумаги 250 листов формата А4. За месяц в школе исполь¬
зуется 1200 листов. Какое наименьшее число пачек бумаги нужно купить в школу на 3 месяца?
50. Необходимо распечатать электронную версию книги объёмом 508 страниц в 5 экземплярах. Какое наименьшее число пачек бумаги потребуется для распечатки, если в каждой пачке 250 листов?
51. Каждый день во время конференции расходуется 60 пакетиков чая. Конференция длится 4 дня. Чай продаётся в пачках по 25 пакетиков. Какое наименьшее число пачек нужно купить на все дни конференции?
52. В детском саду имеется 5 групп по 14 детей. На второй завтрак им выдают зефир по два каждому. Какое наименьшее число коробок зефира надо купить на второй завтрак, если в одной коробке содержится 12 штук?
53. 	В магазине проходит рекламная акция: при покупке двух пакетов яб¬
лочного сока покупатель получает ещё один пакет сока в подарок. Какое наибольшее число пакетов яблочного сока можно получить на 200 рублей, если цена одного пакета сока составляет 34 рубля?
54. В гипермаркете проходит рекламная акция: покупая 3 шоколадки, 4-ю покупатель получает в подарок. Шоколадка стоит 28 рублей. Какое наибольшее число шоколадок получит покупатель за 300 рублей?
55. При покупке картофеля на поле можно по цене двух мешков получить три. Какое наибольшее число мешков можно приобрести на 2220 рублей, если цена одного мешка составляет 315 рублей?
56. При покупке лука оптом можно по цене двух мешков получить два с половиной. Какое наибольшее число мешков можно приобрести на 1850 рублей, если цена одного мешка составляет 360 рублей?
57. 	Роза стоит 45 рублей. Сергей хочет подарить Свете букет из нечёт¬
ного количества цветов. Из какого наибольшего числа роз получится составить букет, если у Сергея есть 550 рублей?
58. 	На день рождения принято дарить букет из нечётного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Вани есть 370 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов получится составить букет для подарка на день рождения Маши?


18
Глава /. Задания базового уровня сложности
59. Гладиолус стоит 130 рублей. Роман хочет подарить друзьям на свадьбу букет из нечётного количества цветов. Из какого наибольшего числа гладиолусов получится составить букет, если у Романа есть 800 рублей?
60. На праздник 8 Марта принято дарить букет из нечётного числа цветов. Тюльпаны стоят 40 рублей за штуку. У Андрея есть 330 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов получится составить букет на праздник 8 Марта да я учительницы математики?
[бПДля приготовления мармелада на 1 кг слив необходимо 1,4 кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить мармелад из 23 кг слив?
62. Для приготовления малинового варенья на 1 кг малины требуется
1,2 	кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 16 кг малины?
63. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 14 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продаётся в пакетиках по 20 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно купить хозяйке для приготовления 23 литров маринада?
64. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 13 г лимонной кислоты. Хозяйка готовит 9 литров маринада. В магазине продаются пакетики лимонной кислоты по 10 г. Какое наименьшее число пакетиков нужно купить хозяйке дая приготовления маринада?
65. 	В отделении больницы находятся 25 больных, которым врач назна¬
чил уколы по 2,5 мл лекарства. Уколы необходимо делать 3 раза в день. В упаковке 16 ампул по 2,5 мл. Какое наименьшее количество упаковок лекарства нужно заказать на один день?
66. Больному прописано лекарство, которое следует пить порциями по 0,5 г 3 раза в день в течение 18 дней. Лекарство выпускается в упаковках по 10 таблеток по 0,5 г. Какое наименьшее количество упаковок потребуется на весь курс лечения?
67. Полугодовалому ребёнку дают фруктовое пюре порциями по 60 г 3 раза в день. Пюре выпускается в упаковках по 100 г. Какое наименьшее количество упаковок потребуется двум полугодовалым детям на неделю?
68. Одна таблетка лекарства весит 30 мг и содержит 15% активного вещества. Врач прописывает ребёнку 2,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку весом 15 кг в течение суток?


§2. Простые текстовые задачи
19
69. 	В доме, в котором живёт Пётр Иванович, один подъезд. На каждом
этаже по пять квартир. Пётр Иванович живёт в квартире № 44. На каком этаже живет Пётр Иванович?
70. В доме, в котором живёт Саша, один подъезд. На каждом этаже по четыре квартиры. Саша живёт в квартире №51. На каком этаже живёт Саша?
71. В доме, в котором живёт Петя, 7 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже по 5 квартир. Петя живёт в квартире № 109. В каком подъезде живёт Петя?
72. В доме, в котором живёт Дима, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Дима живёт в квартире № 174. В каком подъезде живёт Дима?
73. 	В американских автомобилях скорость на спидометре измеряется
в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 47 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
74. Геннадий купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 76 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
75. Спидометр автомобиля показывает скорость как в милях в час, так и в километрах в час. Какую скорость в милях в час показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 84 км в час? (Считайте, что 1 километр равен 0,62 мили; 1 миля равна 1,6 км.)
76. Спидометр автомобиля показывает скорость как в милях в час, так и в километрах в час. Какую скорость в километрах в час показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 60 миль в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,61 километра.)
177.1 	Автобус «Москва — Таганрог» отправляется в 10:50, а прибывает в 6:50 на следующий день (время московское). Сколько часов автобус находится в пути?
78. Поезд «Ростов — Москва» отправляется в 13:40, а прибывает в 7:40 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
79. Поезд «Волгоград — Москва» отправляется в 13:20, а прибывает в 6:20 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?


20
Глава I. Задания базового уровня сложности
80. 	Поезд «Адлер — Ростов» отправляется в 22:40, а прибывает в 9:40 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?
2.2. 	Денежные расчёты
Достаточно часто приходится определять затраты на приобретение
различных товаров. Например, зная, что цена 1 м3 воды составляет
20 рублей 30 копеек, узнаем стоимость 150 м3 воды.
Переведём в рубли сумму 20 рублей 30 копеек. Копейка — это
1 ЯО
рубля, значит, 30 копеек равны = 0,3 рубля. Отсюда 20 рублей
30 копеек = 20,3 рубля.
Теперь найдём произведение 150 (м3) и 20,3 (руб. за м3).
150 • 20,3 = 15 • 10 • 20,3 = 15 • 203 = 3045.
Значит, стоимость 150 м3 воды равна 3045 рублей.
81. Летом килограмм помидоров стоит 40 рублей. Валентина Львовна купила 3 кг 300 г помидоров. Сколько рублей сдачи она должна получить с 1000 рублей?
82. Лена купила 1 кг 200 г яблок по цене 126 рублей за килограмм. Сколько сдачи она должна получить с 500 рублей? Ответ укажите в рублях.
83. На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 32 литра бензина по цене 30 рублей 50 копеек за литр. Сколько сдачи должен получить клиент? Ответ дайте в рублях.
84. На счету мобильного телефона Максима было 215 рублей, а после разговора с бабушкой осталось 160 рублей. Сколько минут длился разговор с бабушкой, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек?
85. Маша купила месячный проездной билет на троллейбус. Проездной билет стоит 280 рублей, а разовая поездка — 7 рублей. Сколько рублей сэкономила Маша, если за месяц она сделала 48 поездок на троллейбусе?
86. Аня купила месячный проездной билет на автобус. За месяц она сделала 54 поездки. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет стоит 700 рублей, а разовая поездка 18 рублей?
87. Больному предложено два расчёта за лечение: оплата 9 разовых процедур по цене 125 рублей за процедуру или оплата всех процедур единовременно в размере 2000 рублей. Какой способ оплаты выгоднее? В ответе укажите, на сколько рублей.
88. Индивидуальному предпринимателю предложили купить 11 пар мужских кроссовок либо по цене 1875 рублей за пару, либо оптом за


§2. Простые текстовые задачи 21
20000 рублей. Какой способ покупки выгоднее? В ответе укажите, на сколько рублей.
89. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 2 рубля 10 копеек. Счётчик электроэнергии 1 мая показывал 346025 киловатт-часов, а 1 июня показывал 346 308 киловатт-часов. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию за май?
90. В квартире, где проживает Владимир, установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). 1 сентября счётчик показывал расход 143 м3 воды, а 1 октября — 152 м3. Какую сумму должен заплатить Владимир за холодную воду за сентябрь, если цена 1 м3 холодной воды составляет 20 рублей 30 копеек? Ответ дайте в рублях.
91. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 2 рубля 60 копеек. Счётчик электроэнергии 1 мая показывал 7381 киловатт-час, а 1 июня — 8124 киловатт-часа. Сколько рублей надо заплатить за электроэнергию за май?
92.1 	м3 бытового газа стоит 5 рублей 40 копеек. Счётчик газа 1 января показывал 7381 м3, а 1 февраля — 8174 м3. Сколько рублей надо заплатить за бытовой газ за январь?
2.3. 	Проценты
Один процент (1%) — это одна сотая часть.
1% от числа А — одна сотая часть числа Л, то есть
р% от числа А — это
15% от числа 200 — это —= 30.
Если число В больше числа А на р% от числа А, то В = А+ + или£* = А.(1 + -2->)
100 100 V 100/'
Если число В меньше числа А на р% от числа Ау то
в = А - = .СМУ-Т?):^ или в = А • (1 —2-Л
100 100 V 100/*
При решении задач на проценты важно точно знать, от какого числа
рассчитывается процент в каждом конкретном случае.
93. 	Платье стоит 2120 рублей. Скидка в день распродажи равна 35%. Сколько стоит платье со скидкой в день распродажи?


22
Глава I. Задания базового уровня сложности
94. Футболка стоила 900 рублей. После снижения цены она стала стоить 720 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?
95. Стоимость одной поездки в маршрутном такси была повышена на 32% и составила 33 рубля. Сколько рублей стоила одна поездка до повышения цены?
96. Тестовое задание с повышенной степенью сложности выполнили 7 школьников, что составляет 4% от общего числа тестируемых. Найдите, сколько школьников участвовало в тестировании.
97. 	За квартал завод выпустил 180 ООО станков, из них 8% не прошли
ОТК (оказались с браком). Среди прошедших ОТК станков 45% были проданы в течение первого квартала. Сколько станков было продано в течение первого квартала?
98. За квартал фабрика выпустила 160000 мужских джинсов, из них 15% были отправлены в торговые сети. 45% остальных были отправлены заказчику. Сколько джинсов было отправлено заказчику?
99. В некотором городе живёт 300000 жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых жителей 40% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?
100. Среди 50000 жителей 40% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 70% смотрели по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрели этот матч по телевизору?
Ш7 Билет на междугородный автобус для взрослого стоит 260 рублей.
Стоимость билета для ребёнка до 10 лет составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 17 детей до 10 лет и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
102. Билет для взрослого на подъёмник в Архызе стоит 150 рублей. Пенсионерам от 60 до 70 лет предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоят билеты для группы из 22 взрослых, среди которых 6 пенсионеров от 60 до 70 лет?
103. Железнодорожный билет для взрослого стоит 1580 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 17 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?
104. Билет на электричке для взрослого стоит 125 рублей. Пенсионерам по возрасту предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоят билеты для группы из 15 взрослых, среди которых 4 пенсионера по возрасту?


§2. Простые текстовые задачи
23
105. 	Блокнот стоил 6 рублей. После переоценки он подорожал на 10%.
Какое наибольшее число таких блокнотов можно купить на 80 рублей после переоценки?
106. Поздравительная открытка стоит 20 рублей. Какое максимальное число открыток можно будет купить на 200 рублей после повышения цены на 25%?
107. В магазине во фруктовом отделе при покупке на сумму свыше 150 рублей предоставляется скидка 10%. Сколько штук киви можно купить за 200 рублей, если одна штука стоит 8 рублей? (В ответе укажите наибольшее возможное количество.)
108. В супермаркете при покупке на сумму свыше 350 рублей делается скидка 10%. Сколько плиток шоколада можно купить за 400 рублей, если одна плитка стоит 35 рублей? (В ответе укажите наибольшее возможное количество.)
109. 	Стоимость 15 учебников по математике составляет 2100 руб. Какое
максимальное количество учебников по математике можно будет приобрести на ту же сумму, если учебник подорожает на 10%?
110. Стоимость 20 мячей до уценки составляла 900 руб. Какое максимальное количество мячей можно приобрести на ту же сумму после их уценки на 10%?
111. В маршрутном такси 20 посадочных мест. Какое минимальное количество такси потребуется для того, чтобы перевезти 87 учащихся от школы до Дворца спорта, если каждое такси будет заполнено школьниками на 90%?
112. Из 30 центнеров муки 40% было продано оптом, а остальное расфасовано в пакеты по 2 кг. В один ящик вмещается 40 пакетов. Сколько ящиков потребуется, чтобы разместить пакеты с мукой?
113.1 	Анна Владимировна купила в магазине стиральную машину в кредит на год под 12% годовых. Стиральная машина стоит 24 тысячи рублей. Сколько рублей Анна Владимировна должна вносить ежемесячно за машину, если всю сумму кредита вместе с процентами нужно погасить за год, выплачивая каждый месяц одинаковую сумму денег?
114. 	Молодая пара приобрела в магазине холодильник стоимостью 21 тысяча рублей в кредит на полгода под 30% годовых. Сколько рублей нужно вносить ежемесячно за холодильник, если всю сумму кредита вместе с процентами погасить за полгода, выплачивая каждый месяц одинаковую сумму денег?


24
Глава I. Задания базового уровня сложности
115. Клиент взял в банке кредит 100000 рублей на год под 14% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, чтобы через год выплатить всю сумму вместе с процентами. Сколько рублей должен клиент вносить в банк каждый месяц?
116. Клиент взял в банке кредит 120000 рублей на полгода под 25% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, чтобы через полгода выплатить всю сумму вместе с процентами. Сколько рублей должен клиент вносить в банк каждый месяц?
Задания для контроля Вариант 1
1. На туристический слёт приехали 250 участников и 30 членов жюри. Каждый автобус вмещает не более 42 человек. Какое наименьшее количество автобусов требуется для перевозки всех участников и всех членов жюри?
2. Больному прописаны инъекции лекарства, которые нужно делать по ампуле 0,6 г 2 раза в день в течение 28 дней. В одной^ упаковке 10 ампул лекарства по 0,6 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
3. Павел купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 50 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
4. В городе 180000 жителей. Из них 30% дети и подростки. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых работает?
5. Налог на доходы и пенсионный налог составляют 14% от заработной платы. После удержания этих налогов менеджер получил 12900 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата этого менеджера?
Вариант 2
1. Мама для своих двух детей покупает чётное количество воздушных шариков. Какое наибольшее число шариков она сможет купить на 320 рублей, если один шарик стоит 35 рублей?
2. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,2 г 4 раза в день в течение 12 дней. В одной упаковке 8 таблеток лекарства по 0,2 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?


Задания для контроля
25
3. В магазине килограмм апельсинов стоит 40 рублей. Света купила 1кг 100 г апельсинов. Сколько рублей сдачи она должна получить с 500 рублей?
4. Магазин закупает кастрюли по оптовой цене 70 рублей за штуку и продаёт с наценкой 20%. Какое наибольшее число кастрюль можно купить в этом магазине на 1300 рублей?
5. Цена на электродрель была повышена на 18% и составила 2360 рублей. Сколько рублей стоила электродрель до повышения цены?
Вариант 3
1. Шарик стоит 3 рубля 40 копеек. Какое наибольшее число шариков можно купить на 40 рублей?
2. В коробке 110 кусков мела. За месяц в школе расходуется 400 кусков мела. Какое наименьшее количество коробок мела нужно купить в школу на 6 месяцев?
3. В магазин привезли учебники по биологии для 7—9-х классов по 50 штук для каждого класса. В шкафу 4 полки, на каждой полке помещается 30 книг. Сколько шкафов можно полностью заполнить учебниками по биологии, если все книги имеют одинаковый формат?
4. Оптовая цена рулона обоев 80 рублей. Розничная цена на 30% выше оптовой. Какое наибольшее число таких рулонов можно купить по розничной цене на 800 рублей?
5. Кириллу нужно 120 000 руб. для поступления в платную аспирантуру. Он взял в банке кредит на год под 12%. Для погашения кредита необходимо ежемесячно вносить в банк одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей Кирилл должен вносить в банк каждый месяц?
Вариант 4
1. На экскурсию поехали 320 школьников и 35 учителей. Каждый автобус вмещает не более 38 человек. Какое наименьшее количество автобусов требуется для перевозки всех школьников и всех учителей?
2. Для приготовления 1 литра компота требуется 70 г сахара. Сахар продаётся в пакетах по 500 г. Какое наименьшее число пакетов нужно купить хозяйке для приготовления 16 литров компота?
3. Павел купил катер, на приборах которого скорость измеряется в узлах. Узел равен 1852 м в час. Какова скорость катера в километрах в час, если его скорость 30 узлов? Ответ округлите до целого числа.


26
Глава I. Задания базового уровня сложности
4. Банка кофе стоила 320 рублей. После повышения цены она стала стоить 368 рублей. На сколько процентов была повышена цена на банку кофе?
5. Оптовая цена ножа 160 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наибольшее число таких ножей можно купить по розничной цене на 3000 рублей?


§ 3. Соответствие между величинами и их значениями
27
§ 3. Соответствие между величинами и их значениями
В заданиях данного типа проверяется умение работать с единицами измерения длины, площади, объёма, массы и т.д., а также умение приблизительно оценивать численные значения различных величин, опираясь на здравый смысл. В тех случаях, когда у учащегося не получается приблизительно оценить численное значение одной из величин (или даже нескольких из них), полезно расставить величины по порядку возрастания рассматриваемого признака. Скажем, если речь идёт о массе, то надо поставить на первое место самый лёгкий из предлагаемых объектов, на второе место — тот объект, который тяжелее первого, но легче остальных, и т. д. Затем следует привести все предлагаемые значения числовых величин к одной единице измерения и тоже расставить их по возрастанию. Тем самым будет установлено требуемое соответствие (самому лёгкому объекту припишется самое маленькое значение числовой величины и т.д.).
Приведём наиболее важные правила перевода единиц измерения. Единицы длины 1 см = 10 мм 1 дм — 10 см = 100 мм 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм 1 км = 1000 м = 104 дм = 105 см = 106 мм Единицы площади 1 см2 = 100 мм2 1 дм2 = 100 см2 = 104 мм2 1 м2 = 100 дм2 = 104 см2 = 106 мм2 1 км2 = 106 м2 = 108 дм2 = Ю10 см2 = 1012 мм2 1 а = 100 м2 = 104 дм2 = 106 см2 = 108 мм2 1 га = 100 а = 104 м2 = 106 дм2 = 108 см2 = Ю10 мм2 Единицы объёма 1 мл = 1 см3 = 1000 мм3 1 л = 1 дм3 = 1000 см3 = 106 мм3 1 м3 = 1000 дм3 = Ю6 см3 = 109 мм3 1 км3 = 109 м3 = 1012дм3 = 1015 см3 = 1018 мм3 Единицы массы 1 г = 1000 мг 1 кг = 1000 г = 106мг 1 ц = 100 кг = 105 г = 108 мг 1 т = 10 ц = 1000 кг = 106г = 109мг


28
Глава /. Задания базового уровня сложности
Единицы времени 1 мин = 60 с 1 ч = 60 мин = 3600 с 1 сутки = 24 ч = 1440 мин = 86 400 с 1 неделя = 7 суток = 168 ч = 10 080 мин = 604 800 с 1 месяц = 28 — 31 суток 1 год = 12 месяцев = 365 — 366 суток 1 век = 100 лет
117.1 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А)
толщина учебника
1) 960 км
Б)
ширина реки
2) 2 см
В)
высота письменного стола
3) 14 м
Г)
расстояние между
4) 80 см
Ростовом-на-Дону и Москвой
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
118. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
A) длина кита 1) 1,2 км
Б) длина грузового поезда 2) 3000 см
B) расстояние от истока до устья Волги 3) 200 мм
Г) длина лезвия поварского ножа 4) 3530 км
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г


§ 3. Соответствие между величинами и их значениями
29
119. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) длина черенка садовой лопаты Б) длина зубца вилки
B) длина 40-й параллели Земли Г) высота горы Чо-Ойю
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1) 50 мм
2)30700 000 м
3) 8,188 км
4)140 см
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
120. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) рост альпиниста Б) толщина листа бумаги
B) расстояние между Сатурном и Солнцем Г) высота десятиэтажного дома
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1)1,4-10® км
2)170 см
3)28м
4)0,1 мм
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
121. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
A) масса листа бумаги формата А4 1) 70 кг
Б) масса пассажирского самолёта 2) 5 г
B) масса сборника задач по олимпи- 3) 1,1 кг
адной математике (в виде книги) 4) 150 т
Г) масса взрослого сенбернара


30
Глава I. Задания базового уровня сложности
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
122. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
A) масса шариковой ручки 1)90 кг
Б) масса арбуза 2) 1,7 г
B) масса африканского страуса 3) 6,6 г
Г) масса колибри 4) 5000 г
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
123. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) масса атмосферы Земли Б) масса одной тротуарной плитки
B) масса взрослого леопарда Г) масса одного мужского ботинка
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1) 0,55 ц
2)450 г
3) 2,4 кг
4)5,2 • 1015 т


§ 3. Соответствие между величинами и их значениями
31
124. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) масса самосвала, гружённого щебнем Б) масса муравья
B) масса офисного принтера Г) масса плитки шоколада
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1)12 кг
2)100 г
3) 12 т
4)0,5 г
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
125. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А)
площадь одной клавиши на ноутбуке
1) 2,5 см2
Б)
площадь оконного стекла в квартире
2) Юга
В)
площадь одной риски
3) 5 мм2
на циферблате наручных часов
4) 2 м2
Г)
площадь городского парка
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г


32
Глава 1. Задания базового уровня сложности
126. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий
элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А)
площадь детской площадки
1) 1943 га
Б)
площадь Диснейленда
2) 56,6 млн га
В)
посевные площади России
3) 43 338 мм2
Г)
площадь стандартного коврика для компьютерной мыши
4) 100 м2
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
127. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) площадь крыши многоквартирного дома Б) площадь суши на Земле
B) площадь картины в галерее Г) площадь лицевой стороны монеты
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1)365 мм2
2) 149 • 106 км2
3)1200 м2
4)302 ООО мм2
Ответ:
А
Б
В
Г


§ 3. Соответствие между величинами и их значениями
33
128. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А)
площадь рабочей поверхности
1) 54 млн км2
кухонной сковороды
2) 300 см2
Б)
площадь кухни в квартире
3) 43 338 мм2
В)
посевные площади России
4) 12 м2
Г)
площадь Евразии
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
129. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) объём бревна для строительства дома Б) объём стержня в гелевой авторучке
B) объём рисового зёрнышка Г) объём кузова самосвала
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1)6,6м3
2) 5 мм3
3) 1,5 см3
4) 250 да3
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
3. Зак. № 111


34
Глава I. Задания базового уровня сложности
130. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
.рпыиынкт ВОЗМОЖНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ ЗНАЧЕНИЯ
A) объём малолитражного аквариума 1) 6,1 см3
Б) объём одной ягоды абрикоса 2) 10 л
B) объём Земли 3) 0,05 мл
Г) объём капли воды 4) 1083 * ДО9 км3
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
В
131. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
A) объём Луны 1) 800 мл
Б) объём банки кофе 2) 4,2 м3
B) объём горошины 3) 530 мм3
Г) объём бочки с молоком 4) 2,2 • 1019 м3
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
132. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) объём жидкости в ложке
Б) объём бутылки с минеральной водой
B) объём цистерны с бензином Г) объём планеты Меркурий
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1) 5 см3
2)8 м3
3) 6,083-Ю10 км3
4) 1,5 л


§ 3. Соответствие между величинами и их значениями
35
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
133. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1)4,6 млрд лет
A) продолжительность футбольного матча с учётом добавленного времени
Б) возраст планеты Юпитер
B) гарантийный срок для нового мобильного телефона
Г) продолжительность светового дня в Москве
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
2) 1 год
3) 13 часов
4) 94 минуты
Ответ:
А
Б
В
Г
134. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) время полного сгорания обыкновенной спички Б) продолжительность научной конференции
B) продолжительность футбольного матча Г) продолжительность полярной ночи в Мурманске
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1) 5 суток
2) 36 с
3) 40 суток
4) 1,5 ч
Ответ:
А
Б
В
Г
4.3ак. № 111


36
Глава I. Задания базового уровня сложности
135. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) продолжительность школьной перемены
Б) продолжительность движения автобуса по маршруту Москва — Санкт-Петербург
B) продолжительность прыжка с трамплина
Г) продолжительность Отечественной войны 1812 года
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1) 6 месяцев
2)600 с
3) 690 минут
4) 12 с
136. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
A) продолжительность авиаперелёта 1) 1 секунда
из Москвы в Нью-Йорк 2) 10 часов
Б) продолжительность железно- 3) 3 месяца
дорожной поездки от Москвы 4)6 суток
до Владивостока
B) продолжительность летних каникул
Г) продолжительность падения
чашки на пол
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г


Задания для контроля
37
Задания для контроля Вариант 1
1. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
A) высота яблони 1)4,2м
Б) длина гвоздя 2) Зсм
B) расстояние между Солнцем 3) 320 мм
и Полярной звездой 4) 4,1 • 1015 км
Г) длина реки
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
2. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) масса мобильного телефона Б) масса мешка цемента
B) масса строительного кирпича Г) масса швейной иглы
В таблице под каждой буквой, номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1)3,2 кг
2) 0,1 г
3)0,5ц
4)140 г
соответствующей величине, укажите


38
Глава /. Задания базового уровня сложности
3. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) площадь дна чайной чашки Б) площадь лицевой стороны входной двери
B) площадь компьютерного монитора Г) площадь страницы паспорта
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
4. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) объём коробки для торта Б) объём тюбика зубной пасты
B) объём воды в озере Мичиган Г) объём багажника легкового автомобиля
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1) 5,4 дм3
2) 4918 км3
3)444 л
4)100 мл
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1) 1,8 кв. м
2) 110 кв. см
3) 7 кв. дм
4) 27 кв. см
Ответ:
А
Б
В
Г


Заданиям я контроля
39
5. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
А) продолжительность пребывания космонавта на МКС
1) 2 ч
Б) продолжительность музыкального
2) 1с
концерта
В) продолжительность стоянки автобуса на промежуточной остановке
3) 169 суток
Г) продолжительность произнесения слова
4) 1 минута
«город»
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите
номер её возможного значения. Ответ:
А
Б
В
Г
Вариант 2
1. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
A) диаметр Солнца 1) 3 • 104 мм
Б) высота ели 2) 90 мм
B) ширина ладони 3) 1,1 м
Г) длина брюк 4) 1,39 • 106 км
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г


40
Глава /. Задания базового уровня сложности
2. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) масса смартфона
Б) масса полевой мыши
B) масса сокола Г) масса танка
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1) 3,5 • 10~2 кг
2)10
-1
кг
3)9,8т
4)9,8 • 10~4'
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
3. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) площадь водной поверхности Байкала Б) площадь г. Ростова-на-Дону
B) площадь классной доски Г) площадь подошвы утюга
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
4. Установите соответствие между величинами и их возможными значе¬
ниями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий
элемент из второго столбца.
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1) 28 800 кв. см
2) 31 722 кв. км
3) 2 кв. дм
4) 35 400 га


Задания для контроля
41
ВЕЛИЧИНЫ
A) объём шприца для инъекций Б) объём воздушного шара
B) жизненная ёмкость лёгких человека Г) объём вагона-цистерны
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
5. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) продолжительность Великой Отечественной войны
Б) время, за которое солнечный свет достигает Земли
B) продолжительность жизни дуба
Г) продолжительность авиарейса
Ростов — Москва
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
Вариант 3
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1) 120 мин
2) Звека
3) 500 с
4) 34 032 ч
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1)2055 м3
2)120 000 дм3
3) 5 мл
4)5200 мл
1. Установите соответствие между величинами и их возможными значе¬
ниями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий
элемент из второго столбца.


42
Глава I. Задания базового уровня сложности
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
A) длина дорожки в боулинге Б) высота Останкинской телебашни
B) расстояние от Москвы до Владивостока Г) диаметр песчинки
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
1) 0,54 км
2) 6,5 • 103 км
3)5•10~4 м
4) 1,8 • 103 см
Ответ:
В
2. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ВЕЛИЧИНЫ
А) масса кубометра древесины сосны
1) 0,011 кг
Б) масса шуки
2)140 г
В) масса яблока
3) 6 • 103 г
Г) масса перепелиного яйца
4) 0,47 т
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите
номер её возможного значения. Ответ:
А
Б
В
Г
3. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значе¬
ниями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий
элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) площадь классной комнаты Б) площадь княжества Монако
B) площадь лесов в России Г) площадь арены цирка
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1) 1,95 • 106 кв. м
2) 4800 кв. дм
3) 1,34 • 106 кв. см
4)800 000 га


Задания для контроля
43
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
4. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) объём апельсина
Б) объём холодильника
B) объём воды в Чудском озере Г) объём спичечного коробка
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1)25 км3
2) 124 см3
3) 24 мл
4)270 л
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
5. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А)
продолжительность ЕГЭ
1) 240с
по математике базового уровня
Б)
продолжительность рабочего дня
2) 0,4 с
В)
продолжительность паузы
3) 8ч
сердечного цикла
Г)
средняя продолжительность
4) 180 мин
музыкального клипа
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г


44
Глава I. Задания базового уровня сложности
Вариант 4
1. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
А) длина комариного хоботка
1) 20 км
Б) длина хобота у взрослого слона
2) 2,9 дм
В) длина шланга небольшого велонасоса
3) 1,5 мм
Г) протяжённость биатлонной трассы
4)3 м
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите
номер её возможного значения. Ответ:
А
Б
В
Г
2. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
А) 	масса металлической монеты достоинством 10 рублей
Б) масса купюры достоинством 5000 рублей
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1)25т
2) 5,65 г
В) 	масса курантов на Спасской башне Кремля
Г) масса арбуза
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
3)6,7 кг
4) 1,02 г
Ответ:
А
Б
В
Г
3. Установите соответствие между величинами и их возможными значе¬
ниями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий
элемент из второго столбца.


Задания для контроля
45
ВЕЛИЧИНЫ
A) площадь Московского Кремля Б) площадь Москвы
B) площадь поверхности табурета (сиденья)
Г) площадь циферблата обычного будильника
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1) 12дм2
2) 27,7 га
3) 2511 км2
4) 50 см2
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
Ответ:
А
Б
В
Г
4. 	Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.
ВЕЛИЧИНЫ
A) объём воды в Тихом океане
Б) объём одной ягоды черешни
B) объём (кубатура) зрительного зала в крупном театре
Г) объём дыни
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
А
Б
В
Г
5. Установите соответствие между величинами и их возможными значе¬
ниями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий
элемент из второго столбца.
ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
1) 4,6 мл
2) 8000 см3
3) 220 000 м3
4) 710,4 • 103 км3


46
Глава I. Задания базового уровня сложности
ВЕЛИЧИНЫ
ВОЗМОЖНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
1)21 с
A) продолжительность урока в школе
Б) продолжительность спуска лифта с восьмого этажа до первого
B) продолжительность похода
Г) продолжительность некоторого времени года
В таблице под каждой буквой, соответствующей величине, укажите номер её возможного значения.
2) 7 суток
3)90 дней
4)45 мин
Ответ:
А
Б
В
Г


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
47
§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
4.1. 	Чтение графиков и диаграмм
Главное при решении подобной задачи — внимательно прочитать условие и вопрос. При поиске ответа на такой вопрос иногда удобно прямо на графике провести недостающие линии, при необходимости дописать пропущенные числа.
137. 	| На графике (см. рис. 1) показано изменение количества выпавших
осадков по области в течение месяца. Определите по графику, сколько осадков (в мм) выпало за первые 10 дней месяца.
105
90
75
60
45
30
15
Количество осадков, мм
/
/
2 4 6 8i
10 12 1
14 1
16 :
[8 20 22 24 26 28 31
Рис. 1
Дни
138. На графике (см. рис. 1) показано изменение количества выпавших осадков по области в течение месяца. Определите по графику, сколько осадков (в мм) выпало за последние 20 дней месяца.
139. На рисунке 2 показана зависимость напряжения в электрической цепи фонарика от времени его работы. По горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, по вертикальной — напряжение в вольтах. Найдите по рисунку, какое напряжение (в вольтах) будет в электрической цепи через 2 часа после начала работы фонарика.
U, В - 1,0
0,8 0,6
0,4
0,2
ч
ч
1
12 3 4 1
> 6 '
*
9 t, ч
Рис. 2


48
Глава L Задания базового уровня сложности
140. 	В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое ещё не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке 3 эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который ещё не вступил в реакцию (в килограммах). Определите по графику, сколько килограммов реагента вступило в реакцию за первые четыре минуты.
т, кг
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3
ty мин
5 6
Рис. 3
1141.1 	На графике (см. рис. 4) показан выпуск продукции на медицинском предприятии с 5 по 7 октября. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — масса продукции в килограммах. Определите по графику массу продукции, выпущенную предприятием 7 октября к 15 часам.
9 12 15 18 6 октября
Рис. 4
i
1-
9 12 15 18
Время,ч
7 октября Дни


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
49
142. 	На рисунке 5 жирными точками показана динамика изменения курса доллара США по отношению к рублю во все рабочие дни с 08.01.12 по 05.02.12. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — курс доллара по отношению к рублю. Для наглядности жирные точки соединены линиями. Определите по рисунку курс доллара 15.01.12 (в рублях).
Курс доллара, руб.
Рис. 5
143. 	На графике (см. рис. 6) изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н*м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо выражается формулой v = 0,03п, где п — число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не меньше 75 Нм? Ответ дайте в километрах в час.


50
Глава /. Задания базового уровня сложности
144. 	На графике (см. рис. 6) изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н-м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближённо выражается формулой v = 0,025п, где п — число оборотов двигателя в минуту.
С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был не меньше 45 Н-м? Ответ дайте в километрах в час.
145. 	На графике (см. рис. 7) показано изменение температуры воздуха в некотором населённом пункте на протяжении трёх суток, начиная с 0:00 часов четверга.
На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах Цельсия.
Определите по графику наименьшую температуру воздуха в ночь с пятницы на субботу (ночь длится с 19:00 до 5:00). Ответ дайте в градусах Цельсия.


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
51
146. 	На графике (см. рис. 8) показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток, начиная с 0 часов 20 мая. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику, какой была наименьшая температура (в градусах Цельсия) за указанный период.
20 моя
21 мая
Рис. 8
22 мая
147. 	На рисунке 9 изображён график изменения курса евро в течение 5 дней; с 4 по 8 марта. Определите наименьшую стоимость евро 6 марта (в рублях).
1
з
£
£
45.75
45.50 45,25 45,00
44.75
44.50
А
■V
74
\
(А,
-f-
1 >
-V-
V s
1
ч 7
\
о
а
12:00
4.03
12:00
5.03
12:00
6.03
12:00
7.03
12?оог Время, ч 8.03 Дни
Рис. 9


52
Глава I. Задания базового уровня сложности
148. 	На диаграмме (см. рис. 10) показано количество посетителей сайта информационного агентства в течение каждого часа 6 февраля 2010 года. По горизонтали указываются часы, по вертикали — количество посетителей сайта за данный час. Определите по диаграмме, за какой час на данном сайте побывало максимальное количество посетителей.
£ 3
I I
о к:
3
у
а
I
/7
/
/
/
FT
/А
//
/
%
/
/
/
/
/
/
/
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Часы
Рис. 10
149. 	На графике (см. рис. 11) показано изменение температуры воздуха в некотором населённом пункте на протяжении трёх суток, начиная с 0:00 часов четверга. Определите по графику разность между наибольшим и наименьшим значениями температуры воздуха в четверг.


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
53
150. 	На графике (см. рис. 12) показано изменение температуры воздуха в период с 5 по 7 марта в некотором городе. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями температуры б марта. Ответ дайте в градусах Цельсия.
151. 	На графике (см. рис. 13) показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток, начиная с 0 часов 20 мая. На оси абсцисс отмечается время суток, на оси ординат — значение температуры в градусах. Определите, какой была разница между наибольшим и наименьшим значениями температуры за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Рис. 13


54
Глава I. Задания базового уровня сложности
152. 	На графике (рис. 14) показано изменение удельной теплоёмкости водного раствора некоторого вещества в зависимости от температуры. По горизонтали указывается температура в градусах Цельсия, по вертикали— удельная теплоёмкость в Определите по рисунку разни¬
цу между наибольшей и наименьшей удельной теплоёмкостью раствора в диапазоне температур от 20° до 100°. Ответ дайте в .
КГ • v^<
153. 	На диаграмме (см. рис. 15) показана среднемесячная температура воздуха в городе N за каждый месяц 1965 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.
Т, °С±
20
16
12
8
4
0
-4
-8
-12
-Месяцы
40-
JL
IS
Рис. 15


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
55
154. 	На диаграмме (см. рис. 16) показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в г. Челябинске. Найдите количество месяцев со среднемесячной температурой выше 10 °С.
Г,°С
зо
25
20
15
10
5
о
-5
4
ТУ
6
й
£
й
4
2
4
7
%
4
%
Ъ
%
У
и
У/
Я
У<
&
*
4
%
я
Рис. 16
155. 	На рисунке 17 жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Ростове-на-Дону с 3 по 15 февраля 1999 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало более 2 мм осадков.
Рис. 17


56
Глава I. Задания базового уровня сложности
156. 	На рисунке 18 жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Ростове-на-Дону с 1 по 11 сентября 1902 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период выпадало более 3 мм осадков.


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
57
4.2. 	Задачи на соответствие частей графика и характеристик
В заданиях базового экзамена по математике встречаются такие, в которых необходимо сопоставить отдельные фрагменты графика и соответствующие характеристики.
В некоторых заданиях вместо графика может быть представлена столбчатая диаграмма.
В этом параграфе рассмотрим подобные задания, решаемые без использования производной.
При их решении важно владеть понятиями возрастания и убывания функции, а также её наибольшего и наименьшего значений.
1157. | На графике (см. рис. 19) точками показано атмосферное давление в городе Z на протяжении трёх суток с 8 по 10 июля 1994 года. В течение суток давление замерялось 4 раза: в 00:00, 06:00, 12:00 и 18:00. По горизонтали указаны время и дата, по вертикали — давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.
Р, мм рт. ст.
8 июля 9 июля 10 июля Дни
Рис. 19
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику атмосферного давления в городе Z в течение этого периода.


58
Глава I. Задания базового уровня сложности
ХАРАКТЕРИСТИКИ
давление возросло на 6 мм ртутного столба
давление упало на 8 мм ртутного столба
давление не изменилось
показание давления было наибольшим
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Г
158. 	На графике (см. рис. 20) изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа оборотов в минуту. На горизонтальной оси отмечено число оборотов в минуту, на вертикальной оси — крутящий момент в Н м.
Н/м 180 160 140 120 100 80 60 40 20
0 2000 4000 6000 8000
об/мин
Рис. 20
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу числа оборотов в минуту характеристику крутящего момента.
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ
А)
ночь 8 6:00)
июля
(с
00:00
ДО
Б)
утро 9 12:00)
июля
(с
06:00
ДО
В)
день 9
июля
(с
12:00
ДО
18:00) '
Г) вечер 10 июля (с 18:00 до 4) 00:00)


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
59
ЧИСЛО ОБОРОТОВ В МИНУТУ
А) 0-1500 Б) 1500-3000
ХАРАКТЕРИСТИКИ
1) при увеличении числа оборотов наблюдается самый быстрый рост крутящего момента
2) при увеличении числа оборотов крутящий момент уменьшается
3) при увеличении числа оборотов крутящий момент не превышает 40 Н-м на всём рассматриваемом интервале
4) при увеличении числа оборотов крутящий момент не меняется
В) 4500-6000 Г) 6500-8000
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
159. 	На рисунке 21 точками показано атмосферное давление в городе К на протяжении трёх суток с 4 по 6 июня 1959 года. В течение суток давление замеряется 4 раза: в 00:00, 06:00, 12:00 и 18:00. По горизонтали указываются время и дата, по вертикали — давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.
Р, мм рт. ст.
°°:00<Ш>012:0°|8:00 №0006:0012:0018:0000:00 06:0012:°°18:00
4 июня 5 июня 6 июня Дни
Рис. 21


60
Глава /. Задания базового уровня сложности
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику атмосферного давления в городе К в течение этого периода.
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 	день 4 июня (с 12:00 до 18:00) 1) давление возрастало вплоть до
максимального значения за период 4—6 июня
Б) утро 5 июня (с 06:00 до 12:00)
2) 	давление падало
В) 	ночь 6 июня (с 00:00 до 06:00)
3) 	давление не изменялось
Г) день 6 июня (с 12:00 до 18:00) 4) давление возрастало, но не превышало 760 мм ртутного столба
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
160. 	На диаграмме (см. рис. 22) изображён среднемесячный курс акций компании «Город Плюс» в период с июня 2014 по май 2015 года. По горизонтали указываются месяц и год, по вертикали — цена акции в рублях.


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
61
Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов характеристику курса акции.
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 	июнь - август 2014 года 1) содержит месяц с наименьшей
ценой акции с июня 2014 года по май 2015 года
Б) сентябрь - ноябрь 2014 года 2) содержит месяц с наибольшей
ценой акции с июня 2014 года по май 2015 года
3) цена одной акции в первый месяц периода больше 50, но меньше 52 рублей
4) цена акции росла все месяцы периода
В) декабрь 2014 года — февраль 2015 года
Г) март — май 2015 года В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
161. 	На графике (см. рис. 23) изображено изменение температуры воздуха в течение суток.
Время, ч
Рис. 23


62
Глава I. Задания базового уровня сложности
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику температуры в течение этого периода.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
1) 	температура поднималась от 0° до 10 °С
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ А) с 4 часов до 7 часов
Б) с 8 часов до 12 часов
В) 	с 12 часов до 22 часов
2) температура опускалась от 10°С и была неотрицательной
3) температура была не больше 0 °С и не меньше (-2) °С
Г) с 22 часов до 24 часов
4) 	температура была не больше (-3) °С
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
162. 	На рисунке 24 изображён график изменения скорости движения автомобиля в зависимости от времени в течение 10 часов. На оси абсцисс отмечается время движения в часах, на оси ординат — скорость в километрах в час.
1
91
| j
г\
КЛ
t/Ч
J
\
V
/
\
/
\
\
/
\
5<
J
К
J
\
)
/
\
/
11
3
О
2
1
\
>
1
5
10
4
1
Рис. 24
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику скорости.


§ 4. График функции и элементы статистики (ВЗ)
63
ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
A) в течение 2-го часа движения 1) скорость возрастала с 60 км/ч до
90 км/ч
Б) в течение 4-го часа движения 2) скорость убывала с 90 км/ч до
50 км/ч
B) на протяжении 5-го и 6-го 3) автомобиль ехал с постоянной часов движения скоростью
Г) на протяжении 9-го и 10-го 4) скорость быстро убывала
часов движения с 90 км/ч до 0 км/ч
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г
163. 	На рисунке 25 жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в Ростове-на-Дону с 1 по 11 сентября 1902 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
мм i 8
7- 6 5
4<
3 2 1-
О
z
А
I
Дли
1
5 6
Рис. 25
8
9 10 11
Сентябрь
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику атмосферного давления в городе К. в течение этого периода.


64
Глава I. Задания базового уровня сложности
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ
A) 1-го, 2-го, 3-го 1) выпадало одинаковое количество осадков
Б) 4-го, 5-го, 6-го 2) в последний из указанных дней выпало на
1 мм осадков больше, чем в первый
B) 7-го, 8-го, 9-го
3) во второй из указанных дней выпало осад- Г) 10-го и 11-го ков на * мм меньше по сравнению с первым
4) за все дни выпало 13 мм осадков
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
164. 	На диаграмме (см. рис. 26) показана среднемесячная температура воздуха в городе N за каждый месяц 1965 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия.
Т, °С 20
16
12
8
4
О
-4 -8 -12
а
1
2
i
11
12 W
Л
С
£
7
ft
о
1Л
Д
1
О
ГГ
IV
Рис. 26
Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов характеристику температуры.


Задания для контроля
65
ПЕРИОДЫ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) январь — март
1)
сумма среднемесячных температур составляет 46° С
Б) апрель — июнь
2)
на протяжении всех месяцев температура возрастала и была положительной
В) июль — сентябрь
3)
на протяжении всех месяцев температура была отрицательной
Г) октябрь — декабрь
4)
на протяжении этих месяцев температура поменялась с положительной на отрицательную
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Г
Задания для контроля Вариант 1
На рисунке 27 жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 27 мая по 24 июня 2006 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
5. Зак. №111


66
Глава I. Задания базового уровня сложности
1. Определите по рисунку 27 (см. стр. 65) разность между наибольшей и наименьшей ценами на нефть на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).
2. Определите по рисунку 27 (см. стр. 65), сколько дней цена барреля нефти на момент закрытия торгов за данный период была больше 56 долларов США за баррель.
3. 	В ходе химической реакции масса реагента, который ещё не вступил в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке 28 эта зависимость представлена в виде графика. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат — масса оставшегося реагента, который ещё не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за четыре минуты.
Рис. 28
4. 	На диаграмме (см. рис. 29) показано распределение выплавки стали в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2000 год. Среди представленных стран первое место по выплавке стали занимал Китай, десятое место — Тайвань. Какое место занимала Япония?
т, тыс. тонн 120
100
80
60
40
20
5
: |zn з:
£ |_|
л-
-S3-
■I-
-й-
ьш
■ ж -
Рис. 29
5*


Задания для контроля
67
5. На графике (см. рис. 30) изображена зависимость скорости движения электропоезда от времени. На вертикальной оси отмечается скорость движения электропоезда в км/ч, на горизонтальной — время в минутах, прошедшее с начала движения.
120
100 80 60
40 20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Рис. 30
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику скорости движения на этом интервале.
ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1) скорость оставалась постоянной на протяжении 3 минут
2) скорость возрастала, но не превышала 60 км/ч
3) была остановка длительностью ровно 2 минуты
4) в какой-то момент времени скорость приняла наибольшее значение
A) 2-7 Б) 7—11
B) 14-18 Г) 18-21
Ответ:
А
Б
В
Г
Вариант 2
На рисунке 31 (стр. 68) жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в городе N на каждый день с 15 по 28 апреля 2003
6. 	Зак. № 111


68
Глава /. Задания базового уровня сложности
года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией.
1. Определите по рисунку 31, какой была разница между наибольшим и наименьшим значениями среднесуточной температуры в городе N за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.
2. Определите по рисунку 31, какого числа была наименьшая среднесуточная температура за указанный период.
3. На рисунке 32 жирными точками показана биржевая стоимость акций Газпрома с 27 мая по 24 июня 2010 г. На горизонтальной оси указаны даты, а на вертикальной оси — цена одной акции в рублях. Определите по графику, в какой день биржевая стоимость акций Газпрома в первый раз превысила 161 рубль. Ответ дайте без указания месяца.
в*


Задания для контроля
69
4. 	На диаграмме (см. рис. 33) показано количество посетителей сайта «Грибная поляна» во все дни с 10 по 29 июля 2011 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей за день больше, чем наименьшее количество посетителей.
80 000 70 000 160 000 §50 000 § 40 000
|зоооо ^20 000 10 000
1011 1213141516171819202122 23242526272829 Дни Рис. 33
5. 	На рисунке 34 точками показана среднесуточная температура в городе К в феврале 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — значения температуры в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.
Рис. 34
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры.


70
Глава I. Задания базового уровня сложности
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ
A) 1—7 февраля
Б) 8—14 февраля
B) 15—21 февраля Г) 22—28 февраля
ХАРАКТЕРИСТИКИ
1) среднесуточная температура достигла месячного максимума
2) среднесуточная температура достигла месячного минимума
3) в течение первой половины недели среднесуточная температура не изменялась
4) среднесуточная температура не возрастала на протяжении всего периода
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
Вариант 3
На рисунке 35 жирными точками показано суточное количество осадков, выпавших в городе N с 3 по 14 сентября 1980 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки соединены линией.
1. Определите по рисунку 35, сколько дней из данного периода выпадало более 3 миллиметров осадков.
2. Определите по рисунку 35, какого числа выпало наибольшее количество осадков.
3. Определите по рисунку 35, сколько дней из данного периода вообще не было осадков.


Задания для контроля
71
4. 	На диаграмме (см. рис. 36) показано количество посетителей сайта «Навигация» во все дни с 10 по 29 мая 2013 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, в какой день количество посетителей сайта впервые приняло наибольшее значение.
>§ 80 000 | 70 000
I 60 000
| 50 000 I 40 000 § 30 000 | 20 000 10 000
1011 121314151617181920212223242526272829 Дни Рис. 36
5. 	На рисунке 37 изображена сравнительная ежемесячная рождаемость в городском роддоме в 2014 году. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество родившихся.
70
60
§ 50
Он
§
§40
30
?т
/
/
V
/
/
янв. фев. март апр. май июнь июль авг. сент. окт. ноябрь дек.
месяцы
I/ / / А Число родившихся мальчиков
Число родившихся девочек Рис. 37
Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику рождаемости за этот период.


72
Глава I. Задания базового уровня сложности
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РОЖДАЕМОСТИ
1) рождаемость девочек не изменялась в течение данного периода
2) ежемесячная рождаемость мальчиков монотонно снижалась в течение данного периода
3) рождаемость девочек была наименьшей за весь год
4) в каждом месяце рождаемость мальчиков была больше рождаемости девочек
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Г
Вариант 4
1. 	На графике (см. рис. 38) показано изменение температуры воздуха в городе Долгопрудном на протяжении девяти суток, начиная с 0:00 часов 24 июня. На оси абсцисс отмечаются дни, на оси ординат — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку, какой была наименьшая температура за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.
A) 1-й квартал года
Б) 2-й квартал года
B) 3-й квартал года Г) 4-й квартал года


Задания для контроля
73
2. 	На графике (см. рис. 39) показано изменение температуры воздуха в Архангельске на протяжении девяти суток, начиная с 0:00 часов 24 июня. На оси абсцисс отмечаются дни, на оси ординат — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку, какой была разница между наибольшим и наименьшим значениями температуры за указанный период. Ответ дайте в градусах Цельсия.
3. 	На рисунке 40 жирными точками показана биржевая стоимость акций АвтоВАЗа с 26 мая по 25 июня 2010 года на момент закрытия биржи. На горизонтальной оси указаны даты, а на вертикальной оси — цена одной акции в рублях. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите, в какой день цена акции первый раз превысила 14 рублей. В ответе укажите число без названия месяца.
Рис. 40


74
Глава I. Задания базового уровня сложности
4. 	На диаграмме (см. рис. 41) показано количество посетителей сайта «Сказки» во все дни с 10 по 28 января 2012 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, сколько раз количество посетителей сайта было более 7.
8
*87
§ 6 3 с
о 4 s:
§3
10 12 14 16
18 20 Рис. 41
22 24 26 28 Дни
5. 	На графике (см. рис. 42) показано изменение скорости движения автомобиля в зависимости от времени. На оси абсцисс отмечается время движения в часах, на оси ординат — скорость в километрах в час.
Рис. 42


Задания для контроля
75
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса на этом интервале.
ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ
А) 0-3 ч
1)
Б) 3-6 ч
2)
В) 6—8 ч
3)
Г) 8-10ч
4)
вает, а затем возрастает В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г


76
Глава I. Задания базового уровня сложности
§ 5. Выбор наилучшего варианта
Осуществление большинства проектов предполагает поиск различных вариантов их реализации и выбор наиболее оптимального из них. Например, при покупке автомобиля немаловажно предварительно изучить предложения от многих фирм и выбрать наиболее подходящие условия по цене и качеству.
1165.| Для остекления парника требуется заказать 20 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,85 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стёкол.
Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
Фирма
Цена стекла (руб. за 1 м2)
Резка стекла (руб. за одно стекло)
Дополнительные условия
А
180
40
Б
200
35
В
220
25
При заказе на сумму больше 3500 руб. резка — бесплатно
166. 	Для остекления витрин требуется заказать 30 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,4 м2. В таблице приведены цены на стекло и на резку стёкол.
Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
Фирма
Цена стекла (руб. за 1 м2)
Резка стекла (руб. за одно стекло)
Дополнительные условия
А
280
21
Б
290
16
При заказе более 15 м2 стекла резка — бесплатно
В
300
18
При заказе (без учёта резки) на сумму свыше 3500 руб. резка — бесплатно


§ 5. Выбор наилучшего варианта
77
167. 	Для того чтобы построить забор, надо приобрести 2 тонны кирпича в одной из трёх фирм. В таблице приведены цены на кирпич и доставку. Один кирпич весит 4 кг. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
Фирма
Цена за 1 кирпич (руб.)
Стоимость доставки (руб.)
Дополнительные
условия
«Строитель»
17,5
1000
При покупке на сумму более 10 000 руб. — доставка бесплатно
«Атлант»
16
1500
При покупке более 400 кирпичей — доставка со скидкой 50%
«Титан»
15,5
1200
168. 	Для отделки цокольного этажа дома надо приобрести 700 кг плит в одной из трёх фирм. Одна плита весит 3,5 кг. В таблице приведены цены на плиту и доставку. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
Фирма
Цена за 1 плиту (руб.)
Стоимость доставки (руб.)
Дополнительные
условия
«Строймаг»
375
2000
При покупке на сумму более 30 000 руб. — доставка бесплатно
«Леман»
365
1500
При покупке более 250 плит — доставка со скидкой 50%
«Кряж»
360
2600
169. Семья из трёх человек собирается ехать из Волгодонска в Москву.
Можно ехать на автобусе, а можно — на своей машине. Билет на автобус для одного человека стоит 1200 рублей. Автомобиль расходует 7 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 1100 км, а цена бензина равна 23,8 руб. за литр. Сколько рублей будет стоить самая дешёвая поездка для этой семьи?
170. 	Семья из трёх человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Красный Сулин. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1410 рублей. Автомобиль расхо¬


78
Глава I. Задания базового уровня сложности
дует 9 л бензина на 100 км, цена бензина — 27 рублей за литр, а расстояние по шоссе 1700 км. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?
171. Семья из трёх человек планирует поехать из Волгограда в Москву. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 1320 рублей. Автомобиль расходует 8 л бензина на 100 км, расстояние по шоссе равно 900 км, а цена бензина — 29,5 рубля за литр. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку на троих?
172. Индивидуальный предприниматель планирует поехать из Ростова- на-Дону в Хабаровск. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд в купе на одного человека стоит 23100 рублей. Автомобиль расходует 8 л бензина на 100 км, цена бензина — 32 рубля за литр, а расстояние по шоссе — 8800 км. Сколько рублей придётся заплатить за наиболее дешёвую поездку?
173. 	Для строительства дачного домика можно использовать один из двух типов стен: кирпичные или стены из керамзитоблоков. Для возведения стен из керамзитоблоков необходимо 520 штук керамзитоблоков и 3 мешка цемента. Для кирпичных стен необходимо 2500 кирпичей и 7 мешков цемента. Один керамзитоблок стоит 40 рублей, кирпич стоит 8 рублей за штуку, а мешок цемента стоит 180 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешёвый вариант?
174. Для строительства гаража можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный или фундамент из пеноблоков. Для фундамента из пеноблоков необходимо 4,5 кубометра пеноблоков и 2 мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо 3 тонны щебня и 30 мешков цемента. Кубометр пеноблока стоит 2100 рублей, щебень стоит 750 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 250 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешёвый вариант?
175. Для подготовки к школе ученику первого класса нужно приобрести в первую очередь комплект учебников с рабочими тетрадями, пенал с канцелярскими принадлежностями, портфель. В трёх торговых центрах маме предложили различные наборы (см. таблицу на с. 79), она выбрала самый дешёвый вариант. Какую сумму (в рублях) заплатила мама, чтобы приобрести портфель, пенал, учебники?


§ 5. Выбор наилучшего варианта
79
Торго¬
вый
центр
Стоимость комплекта учебников (руб.)
Стоимость пенала (руб.)
Стоимость
портфеля
(руб.)
Дополнитель¬
ные
условия
А
2150
45
850
Б
2300
60
650
В
2500
55
700
При покупке на сумму свыше 3000 рублей скидка 400 руб.
176. 	Для подготовки к школе ученику первого класса нужно приобрести в первую очередь комплект учебников с рабочими тетрадями, пенал с канцелярскими принадлежностями, портфель. В трёх торговых центрах маме предложили различные наборы (см. таблицу), она выбрала самый дешёвый вариант. Какую сумму (в рублях) заплатила мама, чтобы приобрести портфель, пенал, учебники?
Торго¬
вый
центр
Стоимость комплекта учебников (руб.)
Стоимость пенала (руб.)
Стоимость
портфеля
(руб.)
Дополнитель¬
ные
условия
А
2150
40
800
Б
2300
65
750
В
2500
60
740
При покупке на сумму свыше 3000 рублей скидка 350 руб.
[ 177. | Из пункта А в пункт С ведут три дороги. Через пункт D едет грузовик со средней скоростью 40 км/ч, через пункт В едет легковой автомобиль со средней скоростью 70 км/ч. Через пункт Е движется автобус со средней скоростью 48 км/ч. На рисунке 43 показана схема дорог и указано расстояние между пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из пункта А. Какой автомобиль добрался до пункта С позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.
Рис. 43


80
Глава I. Задания базового уровня сложности
178. 	Из пункта А в пункт В ведут три дороги (см. рис. 44, расстояния указаны в километрах). Через пункт С едет автобус со средней скоростью 65 км/ч, через пункт D едет грузовик со средней скоростью 60 км/ч, и по третьей дороге без промежуточных пунктов едет легковой автомобиль со средней скоростью 80 км/ч. Все три автомашины выехали из пункта А одновременно. Найдите время в пути (в часах) автомашины, пришедшей позже всех.
179. Из пункта А в пункт D ведут три дороги.
На рисунке 45 показана схема дорог и расстояние (в км) между пунктами по дорогам. Через пункт В идёт грузовик со средней скоростью 26 км/ч. Через пункт С идёт легковой автомобиль со средней скоростью 60 км/ч. Третья дорога не имеет промежуточных пунктов, и по ней движется автобус со средней скоростью 45 км/ч. Все три транспортных средства выехали из А одновременно. Какое из них доберётся до D позже других? В ответе укажите, сколько часов оно находилось в дороге.
180. Из пункта А в пункт В ведут три дороги (см. рис. 46, расстояния указаны в километрах). Через пункт С едет автобус со средней скоростью 50 км/ч, через пункт D едет грузовик со средней скоростью 60 км/ч, и по третьей дороге без промежуточных пунктов едет легковой автомобиль со средней скоростью 45 км/ч. Все три автомашины выехали из пункта А одновременно. Найдите время в пути (в часах) автомашины, пришедшей позже всех.


§ 5. Выбор наилучшего варианта 81
181. 	Предполагается поездка длительностью 45 минут. В таблице приведены тарифы на услуги трёх фирм такси. Клиенту нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?
Фирма
такси
Подача машины (в руб.)
Продолжительность и стоимость минимальной поездки
Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки (вруб.)
А
50
Нет
3
В
30
20 мин — 50 руб.
6
С
Бесплатно
10 мин — 60 руб.
4
182. 	В таблице приведены тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка длительностью 45 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?
Фирма
такси
Подача
машины
(вруб.)
Продолжительность и стоимость минимальной поездки
Стоимость 1 минуты сверх п родол жител ь ности минимальной поездки (вруб.)
А
50
15 мин — 150 руб.
17
В
70
Нет
15
С
Бесплатно
10 мин — 120 руб.
18
183. 	В таблице приведены тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка длительностью 50 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?
Фирма
такси
Подача
машины
(вруб.)
П р о до л жител ь- ность и стоимость минимальной поездки
Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки (вруб.)
«Рассвет»
60
Нет
4
«Сказка»
40
20 мин — 60 руб.
5
«Корсар»
Бесплатно
15 мин — 50 руб.
6


82
Глава /. Задания базового уровня сложности
184. 	В таблице приведены тарифы на услуги трёх фирм такси. Предполагается поездка длительностью 55 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?
Фирма
такси
Подача
машины
(вруб.)
П родол жител ь- ность и стоимость минимальной поездки
Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки (вруб.)
«Пуля»
80
20 мин — 100 руб.
9
«Вихрь»
Бесплатно
20 мин — 300 руб.
13
«Форсаж»
90
Нет
9
185. 	Своему клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок: либо скидку 30% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 15% на звонки абонентам стационарных телефонов, либо 25% на услуги мобильного Интернета. Клиент посмотрел распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 200 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 300 рублей на звонки абонентам стационарных телефонов и 260 рублей на мобильный Интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Какую скидку выгоднее выбрать? В ответе укажите, сколько рублей составит эта скидка.
186. Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок: либо скидку 20% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 10% на звонки в другие регионы, либо 30% на услуги мобильного Интернета. Клиент посмотрел распечатку расходов за прошлый месяц и выяснил, что он потратил 190 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 160 рублей на звонки в другие регионы и 120 рублей на мобильный Интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же (без учёта скидки), и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Какую скидку следует выбрать? В ответе укажите, сколько рублей составит эта скидка, если клиент будет пользоваться всеми услугами в том же объёме.
187. Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок: либо скидку 30% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 10% на звонки


§ 5. Выбор наилучшего варианта
83
в другие регионы, либо скидку 20% на услуги мобильного Интернета. Клиент проанализировал распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 400 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 600 рублей на звонки в другие регионы и 500 рублей на мобильный Интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме?
188. 	Своему постоянному клиенту компания сотовой связи решила предоставить на выбор одну из скидок: либо скидку 30% на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе, либо скидку 20% на звонки в другие регионы, либо скидку 35% на услуги мобильного Интернета. Клиент проанализировал распечатку своих звонков и выяснил, что за месяц он потратил 300 рублей на звонки абонентам других компаний в своём регионе, 400 рублей на звонки в другие регионы и 300 рублей на мобильный Интернет. Клиент предполагает, что в следующем месяце затраты будут такими же, и, исходя из этого, выбирает наиболее выгодную для себя скидку. Сколько рублей составит эта скидка, если звонки и пользование Интернетом сохранятся в прежнем объёме?
189. 	Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинги R новостных сайтов на основе показателей информативности /п, оперативности Ор и объективности Тг публикаций. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от —4 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется
по формуле R = ^ 2/п + 2Qgjf 4Гг + 2^ . 25. В таблице даны оценки
каждого показателя для нескольких новостных сайтов. Найдите наибольший рейтинг среди сайтов, представленных в таблице. Ответ округлите до целого числа.
Сайт
Информативность
Оперативность
Объективность
myvrem.ru
-4
4
-4
poveru.com
0
-1
3
ogol23.ru
1
1
1
gorodl7.ru
-2
4
0
190. Независимое агентство каждый месяц определяет рейтинг новостных сайтов на основе показателей информативности 7п, оперативности Ор и объективности Тг публикаций. Рейтинг вычисляется по формуле
о 25 (21п + Ор 4- 3 Тг


84
Глава /. Задания базового уровня сложности
В таблице даны показатели четырёх новостных сайтов. Найдите наивысший рейтинг новостного сайта из представленных в таблице.
Сайт
Информативность
Оперативность
Объективность
А
1
-2
0
Б
-2
1
1
В
2
1
0
Г
1
1
1
191. 	Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,005 средней цены Р, показателей функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 6. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле R = 2(2F + 3Q + 2D) - 0,005Р. В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей кухонных воздухоочистителей. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице кухонных воздухоочистителей.
Модель
воздухоочистителя
Средняя
цена
Функцио¬
нальность
Качество
Дизайн
А
5200
3
4
4
Б
5400
3
3
6
В
8800
6
6
3
Г
6000
3
3
4
192. 	Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,01 средней цены Р (в рублях), а также показателей функциональности F, качества Q и дизайна D. Рейтинг вычисляется по формуле R = 4(2F + 2Q + D) - 0,01Р.
В таблице даны цены и показатели четырёх моделей пароварок. Найдите наивысший рейтинг пароварки из представленных в таблице моделей.
Модель
пароварки
Цена пароварки (руб. за шт.)
Функцио¬
нальность
Качество
Дизайн
А
890
2
1
1
Б
1469
4
3
2
В
1789
4
4
4
Г
1564
2
1
4


§ 5. Выбор наилучшего варианта
85
1193,1В таблице приведены условия банковского вклада в трёх различных банках. Предполагается, что клиент кладёт на счёт 10 ООО рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
Банк
Обслуживание счёта’"
Процентная ставка (% годовых)**
А
120 руб. в год
8
В
15 руб. в месяц
8,5
С
Бесплатно
7,5
*В начале года или месяца со счёта снимается указанная сумма в уплату за ведение счёта.
**В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.
194. 	В таблице даны условия банковского вклада в трёх различных банках.
Банк
Обслуживание счёта*
Процентная ставка (% годовых)**
А
400 руб. в год
4
Б
20 руб. в месяц
3,5
В
Бесплатно
2
* В начале года или месяца со счёта снимается указанная сумма в уплату за ведение счёта.
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.
Предполагается, что клиент кладёт на счёт 20000 рублей сроком на 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
195. 	В таблице даны условия банковского вклада в трёх различных банках. Предполагается, что клиент кладёт на счёт 20000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
Банк
Обслуживание счёта*
Процентная ставка (% годовых)**
А
100 руб. в год
3
Б
15 руб. в месяц
5
В
Бесплатно
2
* В начале года или месяца со счёта снимается указанная сумма в уплату за ведение счёта.
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.


86
Глава I. Задания базового уровня сложности
196. 	В таблице даны условия банковского вклада в трёх различных банках. Предполагается, что клиент кладёт на счёт 200000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
Банк
Обслуживание счёта-
Процентная ставка (% годовых)’*
А
7000 руб. в год
6
Б
700 руб. в месяц
7
В
Бесплатно
2,6
* В начале года или месяца со счёта снимается указанная сумма в уплату за ведение счёта.
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.
1 197. | В среднем Иван Семёнович в дневное время расходует 110 кВт ч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 135 кВт-ч электроэнергии. Раньше у Ивана Семёновича в квартире был установлен однотарифный счётчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 3,23 руб. за кВт • ч. Год назад Иван Семёнович установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 3,43 руб. за кВт • ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 2,68 руб. за кВт - ч. В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. Насколько больше заплатил бы Иван Семёнович за этот период, если бы не поменял счётчик? Ответ дайте в рублях.
198. В среднем Дмитрий Юрьевич в дневное время расходует 150 кВт ч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 70 кВт-ч. Раньше у Дмитрия Юрьевича в квартире был установлен однотарифный счётчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,80 руб. за кВт-ч. Год назад Дмитрий Юрьевич установил двухтарифный счётчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,80 руб. за кВт-ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 1,10 руб. за кВт-ч. В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. Насколько больше заплатил бы Дмитрий Юрьевич за этот период, если бы не поменял счётчик? Ответ дайте в рублях.


§ 5. Выбор наилучшего варианта 87
199. В позапрошлом году Сергей пользовался тёплой водой без счётчика учёта её потребления и платил 420 рублей ежемесячно. В прошлом году он решил поставить счётчик и результаты учёта в м3 записывал в таблицу.
Месяцы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
Расход воды ( м3)
4
3
3
2
2
1
1
2
2
3
3
4
Сколько рублей за прошлый год сэкономил Сергей, если стоимость 1 м3 тёплой воды равна 140 рублей?
200. В позапрошлом году Артём пользовался тёплой водой без счётчика учёта её потребления и платил 380 рублей ежемесячно. В прошлом году он решил поставить счётчик и результаты учёта в м3 записывал в таблицу.
Месяцы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Расход воды (м3)
3
3
3
2
2
1
1
2
2
3
3
3
Сколько рублей за прошлый год сэкономил Артём, если стоимость 1 м3 тёплой воды равна 125 рублей?
ших в 9 «В» классе.
Номер учащегося
Балл по физике
Балл по химии
1
58
63
2
74
48
3
42
88
4
58
68
5
62
84
6
41
54
7
46
70
8
62
63
9
93
19
Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 125 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше 70 баллов.
Какие учащиеся 9 «В» не набрали 70 баллов по химии и получили похвальные грамоты? Укажите соответствующие номера без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
201. 	В таблице даны результаты олимпиад по физике и химии, прошед-


88
Глава I. Задания базового уровня сложности
202. 	В таблице даны результаты олимпиад по истории и граждановедению, прошедших в 7 «Е» классе.
Номер учащегося
Балл по истории
Балл по граждановедению
1
61
68
2
71
59
3
51
89
4
70
63
5
64
65
6
59
67
7
68
58
8
48
77
9
65
74
Похвальные грамоты дают тем школьникам, у кого суммарный балл по двум олимпиадам больше 130 или хотя бы по одному предмету набрано не меньше 69 баллов.
Какие учащиеся 7 «Е» не набрали 69 баллов по истории и получи- ли похвальные грамоты? Укажите соответствующие номера без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
203. Расписание поездов «Ростов-на-Дону — Волгоград» и стоимость билетов представлены в таблице.
Номер
поезда
Время отправления
Время прибытия (на следующие сутки)
Стоимость билета (в рублях)
1
19:00
05:40
1240
2
19:20
05:45
1200
3
19:25
05:35
1320
4
19:43
07:32
1200
5
20:58
07:40
1350
6
21:10
07:35
1200
7
22:05
08:12
1400
8
23:10
09:15
1250
Георгию Климовичу нужно добраться из Ростова-на-Дону в Волгоград поездом. При этом ему необходимо приехать в Волгоград не раньше


§ 5. Выбор наилучшего варианта
89
07:30, в пути провести не более 11 часов и заплатить за билет не больше 1300 рублей.
В ответе укажите какой-нибудь один подходящий номер поезда.
204. Расписание поездов «Ростов-на-Дону — Адлер» и стоимость билетов представлены в таблице.
Номер
поезда
Время отправления
Время прибытия (на следующие сутки)
Стоимость билета (в рублях)
1
18:00
06:40
1050
2
19:30
07:10
1290
3
20:15
07:50
1310
4
22:10
08:15
1250
5
22:30
08:50
1270
6
22:50
09:30
1200
7
23:05
10:00
1310
8
23:44
10:42
1200
Игорю Ивановичу нужно добраться из Ростова-на-Дону в Адлер поездом. При этом ему необходимо приехать в Адлер не позже 09:00, в пути провести не более 10 часов 50 минут и заплатить за билет не больше 1300 рублей.
В ответе укажите какой-нибудь один подходящий номер поезда.
205. В таблице представлены сведения о шести видах натурального
мультифруктового сока, продающегося в специализированном магазине.
Номер
сока
Состав
Тип
Стоимость (в рублях)
1
Апельсин, лимон, манго, банан
Импортный
310
2
Апельсин, манго, киви
Импортный
180
3
Виноград, яблоко, лимон
Отечественный
230
4
Яблоко, слива, абрикос
Отечественный
120
5
Апельсин, гуава, киви, лайм
Импортный
200
6
Апельсин, манго, гуава
Импортный
380


90
Глава I. Задания базового уровня сложности
Алевтине нужно купить три разные упаковки сока так, чтобы среди них была хотя бы одна упаковка с отечественным соком, хотя бы одна с импортным, хотя бы одна содержала лимон. Какие соки должна купить Алевтина, если она рассчитывает потратить на всё не более 600 рублей?
В ответе укажите какой-то один набор номеров соков без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
206. 	В городе Новокамышовске имеется пять музеев: архитектурный, литературный, краеведческий, музей изобразительных искусств и музей естественных наук. В кассах продаётся шесть видов билетов, каждый из которых позволяет посетить один или два музея. Сведения о стоимости билетов представлены в таблице.
Номер билета
Музеи для посещения
Стоимость (в рублях)
1
Архитектурный
120
2
Литературный
90
3
Краеведческий и естественных наук
170
4
Архитектурный и изобразительных искусств
250
5
Изобразительных искусств и литературный
200
6
Краеведческий и архитектурный
190
Какие билеты должна купить Анастасия Филипповна, чтобы посетить все пять музеев и затратить наименьшую сумму? В ответе укажите какой-то один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных знаков.


§ 5. Выбор наилучшего варианта
91
207. 	В кинотеатре показывают пять кинофильмов, при этом проводится необычная акция: в кассах продаётся шесть видов билетов, каждый из которых позволяет посетить один или два фильма. Сведения о стоимости билетов представлены в таблице.
Вид билета
Кинофильмы
Стоимость (в рублях)
1
Фильм А
220
2
Фильм В
190
3
Фильм А и фильм D
400
4
Фильм В и фильм С
420
5
Фильм С и фильм D
490
6
Фильм В и фильм Е
500
Какие билеты должна купить Маша, чтобы посетить все пять фильмов и потратить наименьшую сумму?
В ответе укажите какой-то один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных знаков.
208. 	В кинотеатре показывают пять кинофильмов, при этом проводится необычная акция: в кассах продаётся шесть видов билетов, каждый из которых позволяет посетить один или два фильма. Сведения о стоимости билетов представлены в таблице.
Вид билета
Кинофильмы
Стоимость (в рублях)
1
Фильм I
200
2
Фильм II
180
3
Фильм I и фильм IV
420
4
Фильм II и фильм III
410
5
Фильм III и фильм IV
480
6
Фильм II и фильм V
500
Какие билеты должна купить Даша, чтобы посетить все пять фильмов и потратить наименьшую сумму?
В ответе укажите какой-то один набор номеров билетов без пробелов, запятых и других дополнительных знаков.


92
Глава I. Задания базового уровня сложности
Задания для контроля Вариант I
1. 	Для проведения детского праздника нужно заказать 72 одинаковых подарка с конфетами в одной из трёх фирм. В каждом подарке 2 кг конфет. В таблице приведены цены на конфеты, а также на подарочные упаковки. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
Фирма
Цена конфет (руб. за 1 кг)
Цена упаковки (руб. за один подарок)
А
150
45
Б
155
30
В
165
20
2. Чтобы перевезти 70 легковых автомобилей на 1100 км, можно воспользоваться услугами одной из трёх транспортных компаний. Стоимость перевозки и вместимость грузовиков для каждой компании указаны в таблице. Сколько рублей придётся заплатить за самую дешёвую перевозку?
Ком¬
пания
Стоимость перевозки одним грузовиком (руб. на 50км)
Количество автомобилей в одном грузовике
А
833
6
Б
1630
12
В
2380
18
3. 	Оператор сотовой связи предлагает три тарифных плана. В таблице для каждого тарифного плана указана месячная абонентская плата, включённое в тариф время разговора и цена каждой минуты сверх включённого времени.
Тарифный
план
Абонентская
плата
Цена каждой минуты сверх включённого времени
Тариф
«200»
300 руб. за 200 мин в месяц
2 руб. за 1 мин сверх 200 мин
Тариф
«400»
550 руб. за 400 мин в месяц
1,5 руб. за 1мин сверх 400 мин
Тариф
«600»
850 руб. за 600 мин в месяц
1 руб. за 1 мин сверх 600 мин


Задания для контроля
93
Абонент предполагает, что его телефонные разговоры составят 500 минут в месяц и исходя из этого выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, выбрав самый дешёвый тарифный план?
4. В качестве новогоднего подарка оператор сотовой связи предлагает своим пользователям на выбор одну из трёх скидок: 35% на звонки внутри сети, 25% на звонки абонентам других компаний или 30% на отправку текстовых сообщений. Клиент тратит в месяц 150 рублей на звонки внутри сети, 250 рублей на звонки абонентам других компаний и 200 рублей на отправку текстовых сообщений. Какую скидку нужно выбрать клиенту, чтобы получить наибольшую выгоду? В ответе запишите, сколько рублей составит эта скидка.
5. Расписание поездов «Город N — Город К» и стоимость билетов представлены в таблице.
Номер
поезда
Время отправления
Время прибытия (на следующие сутки)
Стоимость билета (в рублях)
1
21:00
03:20
1120
2
21:30
04:55
980
3
21:50
05:20
2350
4
22:20
05:35
860
5
23:00
05:50
1210
6
23:20
06:15
1150
7
23:35
06:20
1000
8
23:50
07:00
950
Наталье Анатольевне нужно добраться из города N в город К поездом. При этом ей необходимо приехать в город К не раньше 05:30, в пути провести не более 7 часов и заплатить за билет не больше 1100 рублей.
В ответе укажите какой-нибудь один подходящий номер поезда.


94
Глава I. Задания базового уровня сложности
Вариант 2
1. 	Клиент кладёт на банковский счёт 30000 рублей на срок 1 год. Какой вклад он должен выбрать, чтобы к концу этого срока получить на счету наибольшую сумму? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.
Вклад
Обслуживание счёта*
Процентная ставка (% годовых)**
А
400 руб. в год
3
Б
80 руб. в месяц
4,5
В
Бесплатно
2
* В начале года или месяца со счёта снимается указанная сумма в уплату за ведение счёта.
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.
2. 	Спортивный центр предлагает своим посетителям три программы занятий.
Программа
Плата в месяц
Стоимость дополнительных занятий
«Первая»
нет
400 руб. за занятие
«Вторая»
4300 руб. в месяц за 12 занятий
400 руб. за каждое занятие сверх 12
«Третья»
7900 руб. в месяц за 24 занятия
400 руб. за каждое занятие сверх 24
Клиент желает посетить в спортивном центре 16 занятий в месяц и исходя из этого выбирает наиболее дешёвую программу. Сколько рублей заплатит клиент за месяц?
3. 	Для съёмок исторического фильма нужно заказать 26 комплектов кожаной брони в одной из трёх фирм. На каждый комплект расходуется 2,5 м2 кожи. В таблице приведена цена кожи, а также пошива брони. Сколько рублей будет стоить самый дешёвый заказ?
Фирма
Цена кожи (руб. за 1 м2)
Цена пошива (руб. за один комплект)
А
300
3200
Б
320
3000
В
350
2800


Задания для контроля
95
4. 	Чтобы перевезти 315 человек на 250 км, можно воспользоваться пред- ложением одной из трёх туристических фирм. Стоимость перевозки и количество мест в автобусах для каждой фирмы указаны в таблице. Сколько рублей придётся заплатить за самую дешёвую перевозку?
Фирма
Стоимость перевозки одним автобусом (руб. на 100 км)
Количество мест
А
1280
43
Б
2030
68
В
2050
73
5. 	Покупатель планирует приобрести необходимые предметы посуды в магазине. Сведения о ценах на некоторые товары представлены в таблице.
Номер товара
Товар
Стоимость (рублей)
1
Тарелка
50
2
Миска
70
3
Миска, чашка
120
4
Тарелка, миска
110
5
Ложка
30
6
Тарелка, чашка
95
Пользуясь таблицей, подберите комплект покупок так, чтобы покупатель купил четыре предмета: тарелку, миску, чашку и ложку, а суммарная стоимость была меньше 200 рублей. В ответе для собранного комплекта укажите номера товаров без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Вариант 3
1. 	Для кровельных работ можно использовать один из двух видов материалов: металлочерепицу или мягкую черепицу. Для первого вида работ понадобится 60 м2 металлочерепицы и 10 кг крепежа. Для второго — 40 м2 мягкой черепицы и 7 кг крепежа. Квадратный метр металлочерепицы стоит 220 рублей, квадратный метр мягкой черепицы стоит 380 рублей, 1 кг крепежа стоит 40 рублей. Сколько рублей будет стоить материал, если выбрать наиболее дешёвый вариант?


96
Глава I. Задания базового уровня сложности
2. 	Для отделки фонтана управление по благоустройству города должно заказать 60 мраморных плит одной из трёх фирм. Площадь каждой плиты составляет 0,35 м2. Цена материала, а также стоимость резки указаны в таблице. Сколько будет стоить заказ, если выбрать самый дешёвый вариант?
Фирма
Цена мрамора (руб. за 1 м2)
Резка мрамора (руб. за одну плиту)
Дополнительные
условия
А
4200
150
—
Б
4700
120
—
В
5200
80
При заказе на сумму более 100000 руб. резка бесплатно
3. Компания из четырёх человек едет из Москвы в Новосибирск. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Один билет на поезд стоит 1300 рублей. Автомобиль расходует 9 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 3200 км, а цена бензина равна 19 руб. за литр. Сколько рублей будет стоить самая дешёвая поездка для этой компании?
4. Строительной фирме нужно приобрести 2650 килограммов листовой стали у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придётся заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
Пос¬
тав¬
щик
Стоимость стали (руб. за тонну)
Стоимость
доставки
(руб.)
Дополнительные
условия
А
25600
3400
—
Б
23700
6500
При заказе на сумму больше 75 000 руб. доставка бесплатно
В
24600
4500
При заказе более 2,5 тонн доставка бесплатно


Задания для контроля
97
5. В таблице представлены сведения о видах пиццы в интернет-магазине.
Номер
пиццы
Состав пиццы
Вид
Стоимость (в рублях)
1
Зелень, оливки, сыр
Вегетарианская
280
2
Говядина, свинина, сыр
Мясная
560
3
Сыр, свинина, оливки
Мясная
380
4
Сыр, овощи
Вегетарианская
390
5
Курица, грибы, перец
Мясная
400
6
Ветчина, сыр
Мясная
520
Игорю нужно купить три разные пиццы так, чтобы среди них была хотя бы одна с грибами, хотя бы одна вегетарианская и хотя бы одна мясная. Какие пиццы может купить Игорь, если он рассчитывает потратить на всё не более 1100 рублей? В ответе укажите какой-то один набор номеров пиццы без пробелов и дополнительных символов.
Вариант 4
1. 	Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,02 средней цены С, показателей функциональности Р, качества К и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле R = 3 (ЗР -h 4К + 2D) — 0,02С.
В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических чайников. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических чайников..
7. 	Зак. №111


98
Глава I. Задания базового уровня сложности
Модель
чайника
Средняя
цена
Функциональность
Качество
Дизайн
А
2900
2
1
2
Б
4500
3
3
4
В
3100
4
2
4
Г
3200
2
4
3
2. 	Для перевозки 65 тонн груза на 1800 км можно использовать одну из трёх компаний. Стоимость перевозки и грузоподъёмность автомобилей для каждой компании указаны в таблице. Сколько рублей придётся заплатить за самую дешёвую перевозку?
Компания
Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)
Грузоподъёмность одного автомобиля (тонн)
А
4200
4
Б
6100
6
В
11600
12
3. В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 15 ООО руб., он получает скидку на следующую покупку в размере 5%. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель Н. хочет приобрести кондиционер ценой 9900 руб., соковыжималку ценой 5800 руб. и кулер ценой 5200 руб.
В каком случае Н. заплатит за покупку меньше всего?
1) Н. купит все три товара сразу.
2) Н. купит сначала кондиционер и соковыжималку, а потом кулер со скидкой.
3) Н. купит сначала кондиционер и кулер, а потом соковыжималку со скидкой.
В ответе укажите, сколько рублей заплатит Н. за покупку в этом случае.
4. В таблице указаны средние цены (в рублях) на некоторые основные продукты питания в трёх магазинах Москвы (по данным на февраль 2013 года).


Задания для контроля
99
Наименование продукта
А
В
С
Сахар (1 кг)
50
26
72
Молоко (1 литр)
50
44
94
Картофель (1 кг)
22
13
74
Яйца (1 десяток)
99
44
92
Мясо (говядина)
459
487
890
Подсолнечное масло (1 литр)
90
72
99
Определите, в каком из этих магазинов окажется самым дешёвым следующий набор продуктов: 2 л молока, 3 кг картофеля, 2 кг говядины, 1 л подсолнечного масла. В ответе укажите стоимость данного набора продуктов в этом магазине (в рублях).
5. 	Маша решила посетить парк аттракционов. Сведения о билетах на аттракционы представлены в таблице. Некоторые билеты позволяют посетить сразу два аттракциона.
Номер билета
Аттракционы
Стоимость (в руб.)
1
Колесо обозрения
320
2
Комната смеха
130
3
Гидродром
390
4
Комната смеха, гидродром
450
5
Тир,гидродром
530
6
Колесо обозрения, комната смеха
390
Пользуясь таблицей, подберите билеты так, чтобы Маша посетила все четыре аттракциона: колесо обозрения, комнату смеха, тир и гидродром, а суммарная стоимость билетов не превысила 950 рублей.
В ответе укажите какой-нибудь один набор номеров билетов без пробелов, запятых и каких-либо других дополнительных символов.
8. 	За к. №111


100
Глава I. Задания базового уровня сложности
§ 6. Текстовые задачи
6.1. 	Движение
Чтобы решать задачи на движение, достаточно знать формулу пути при равномерном движении (то есть движении с постоянной скоростью) и её следствия для вычисления времени или скорости:
s — vt; v = §; t = -.
t v
Здесь s — путь, t — время, v — скорость.
В задачах на движение по течению или против течения реки нужно к тому же понимать, что при движении по течению (иногда говорят «вниз по реке») скорость реки прибавляется, а против течения («вверх по реке») — вычитается из собственной скорости транспорта (лодки, катера, теплохода). Скорость плота (бревна) совпадает со скоростью течения реки. На озере вода считается стоячей (скорость течения нулевая).
Чтобы составить уравнение, данные из условия и их следствия лучше всего занести в таблицу.
Расстояние (км)
Скорость (км/ч)
Время (ч)
А
si
VI
*1
В
52
V2
*2
209. 	Из одного города в другой выехали одновременно двое байкеров. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 80 км/ч, а вторую — со скоростью на 24 км/ч больше, чем скорость первого байкера. Определите скорость первого байкера, если в другой город они приехали одновременно. Ответ дайте в км/ч.
210. Из одного пункта в другой одновременно выехали два велосипедиста. Первый велосипедист проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй велосипедист проехал первую половину пути со скоростью 15 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью на 4,5 км/ч большей скорости первого велосипедиста, в результате чего прибыл в другой пункт одновременно с первым велосипедистом. Найдите скорость первого велосипедиста (в км/ч).
211. От пристани А к пристани Б, расстояние между которыми 150 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 ч 30 мин после этого вслед за ним со скоростью, большей на 10 км/ч, отправился


§6. Текстовые задачи
101
второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
212. 	От пристани А к пристани В, расстояние между которыми 180 км по морю, отправился катер. Через 8 часов после этого следом за ним отправился второй катер со скоростью на 6 км/ч больше. Найдите скорость второго катера, если в пункт В он прибыл одновременно с первым катером. Ответ дайте в км/ч.
213. 	Рыбнадзорный катер патрулирует участок реки длиной 180 км.
Против течения реки он проплывает этот участок за время, на 1 час большее, чем по течению реки. Определите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
214. Весной катер идёт против течения реки в 2 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 2 км/ч медленнее, поэтому катер
о
летом идёт против течения в 1- раза медленнее, чем по течению. Найдите
о
собственную скорость катера (в км/ч).
215. Моторная лодка в 9:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 13:00 того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки равна 12 км/ч.
216. Моторная лодка в 4:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 126 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 22:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.
217.1 	Экипаж дальнобойщиков проехал из города на побережье расстояние 6800 км с некоторой постоянной скоростью и без остановок. На обратном пути он увеличил скорость на 5 км/ч, что позволило ему сделать остановку длительностью 5 часов и тем не менее затратить столько же времени, сколько он затратил на дорогу из города на побережье. Найдите скорость при движении экипажа без остановок. Ответ дайте в км/ч.
218. 	Экскурсионный теплоход регулярно перемещается из пункта А в пункт В, расстояние между которыми составляет 570 км. Теплоход отправился с постоянной скоростью из пункта А в пункт В. После прибытия он отправился обратно со скоростью на 8 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на отдых на 4 часа. В результате теплоход затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь от пункта Л до пункта В.


102 Глава I. Задания базового уровня сложности
Найдите скорость теплохода на пути из пункта А в пункт В. Ответ дайте в км/ч.
о
219. Путь в 158- км первый велосипедист преодолевает на 2 часа быст-
о
рее, чем второй велосипедист. Какова скорость первого велосипедиста, если известно, что он в час проезжает на 3 км больше, чем второй велосипедист? Ответ укажите в км/ч.
2
220. Путь в 160 км мотоциклист преодолевает на 2- часа быстрее, чем
о
велосипедист. Какова скорость велосипедиста, если известно, что он в час проезжает на 16 км меньше, чем мотоциклист? Ответ укажите в км/ч.
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо платформы, длина которой равна 150 м, за 24 с. Найдите длину поезда в метрах.
222. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 70 км/ч, проходит мимо неподвижно стоящего на платформе человека за 1 минуту 12 секунд. Определите длину поезда в метрах.
223. Электропоезд-экспресс, двигаясь равномерно со скоростью 180 км/ч, проезжает мимо семафора за 4 с. Найдите длину экспресса (в метрах).
224. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых соответственно равны 85 км/ч и 45 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он проходит мимо товарного поезда, равно 1,2 минутам. Ответ дайте в метрах.
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующий час — со скоростью 110 км/ч, а затем два часа — со скоростью 85 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
226. Первые четыре часа автомобиль ехал со скоростью 65 км/ч, следующие два часа — со скоростью 90 км/ч, а затем два часа — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
227. Автомобиль ехал 1,5 часа со скоростью 40 км/ч, 2,5 часа — со скоростью 60 км/ч, оставшуюся часть пути — со скоростью 75 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля, если автомобиль двигался на протяжении 5 часов. Ответ укажите в км/ч.
225.
221.


§6. Текстовые задачи
103
228. 	Автомобиль ехал 1,7 часа со скоростью 60 км/ч, 2,3 часа — со скоростью 50 км/ч, оставшуюся часть пути — со скоростью 85 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля, если автомобиль двигался на протяжении 8 часов. Ответ укажите в км/ч.
6.2. 	Работа, производительность
При решении задач на работу и производительность можно применять ту же модель, что и при решении задач на движение, отождествляя проделанную работу с пройденным путём, а производительность со скоростью.
229. На сбор 2400 бонусов первый геймер тратит времени на 20 минут меньше, чем второй. Сколько бонусов в минуту собирает второй геймер, если первый собирает в минуту на 20 бонусов больше?
230. Оля и Дима читают одну и ту же книгу. Оля прочитывает за час 50 страниц, а Дима только 30. Они начали читать книгу одновременно и не прерывались, при этом Оля закончила читать на 36 минут раньше. Сколько страниц текста содержит книга?
231. Галя и Люда выполняют работу по параллельному набору одного и того же текста. За один час Галя набирает 12 страниц текста, а Люда — 15. Они начали работать одновременно, и Галя закончила работу на 45 минут позже Люды. Найдите, сколько страниц содержала работа.
232. На школьных соревнованиях ученик 9-го класса Геннадий и ученик 7-го класса Вячеслав стартовали в одном забеге. Геннадий пробегает 8 м за секунду, а Вячеслав — 5,5 м за секунду. К финишу Геннадий прибежал
на 18- с раньше Вячесла
пробежали эти ученики?
о
на 18- с раньше Вячеслава. Какова длина дистанции (в метрах), которую
233. 	Бак летнего душа объёмом 600 литров можно заполнить одним из двух насосов. Первый закачивает на 5 литров в минуту больше, чем второй, и поэтому на заполнение всего бака тратит на 6 минут меньше второго насоса. Определите, сколько литров в минуту закачивает второй насос.
234. Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 300 литров она заполнит на 18 минут быстрее, чем первая труба?
235. В помощь садовому насосу, перекачивающему 6 литров воды за 4 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объём воды за


104
Глава I. Задания базового уровня сложности
2 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 27 литров воды?
236. 	Вторая труба пропускает в минуту на 6 л воды меньше, чем первая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 140 л она заполнит на 5 минут быстрее, чем вторая труба запол- няет резервуар объёмом 100 л?
237. 	Винни Пух и Пятачок могут полить огород за 35 минут. Пятачок и Кролик могут вместе полить этот же огород за 63 минуты. Кролик и Винни Пух вместе поливают огород за 45 минут. За сколько минут польют огород Винни Пух, Пятачок и Кролик, работая вместе?
238. Ремонт одной и той же квартиры Виктор и Алексей делают за 8 дней, как и Андрей вместе с Виктором, при этом Алексей с Андреем могут выполнить этот ремонт за 12 дней. Сколько дней будет длиться ремонт, если все 3 мастера будут работать одновременно?
239. Один токарь может выполнить заказ за 12 часов, второй — за 15 часов, а третий — за 20 часов. За сколько часов три токаря выполнят заказ, работая совместно?
240. Каменщики Антон и Пётр выкладывают один кирпичный забор за 8 часов, Пётр и Дмитрий выполняют эту же работу за 12 часов, а Антон и Дмитрий — за 9,6 часа. Найдите, за сколько часов каменщики выполнят эту работу, если будут работать втроём.
6.3. 	Проценты, сплавы, смеси
Вспомним, что р% от числа А — это
Поэтому если в водном растворе массой А кг содержится р% чистого вещества, то масса этого вещества в растворе будет (кг).
Наоборот, если в водном растворе массой А кг содержится В кг чистого вещества, то процентное содержание (концентрация) в растворе чистого вещества находится из пропорции А кг — 100%
В кг — х%.
Отсюда х — —(%).
Например, в 15%-ном растворе соли массой 40 кг содержится = ^ (кг) соли- Наоборот, если в 35 кг водного раствора соли


§6. Текстовые задачи
105
содержится 7 кг другого вещества, то процентное содержание (концен-
7 . 1 ПП
трация) соли в растворе равно • = 20 (%).
оо
Иногда проценты берутся не от массы, а от объёма раствора. Соответствующие рассуждения подходят для любых растворов и сплавов.
241,1В ёмкость, содержащую 12 кг 8%-ного раствора вещества, добавили 4 кг воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
242. Инжир содержит 70% воды, а сушёный инжир — 3,4%. Сколько килограммов инжира потребуется для получения 10 кг сушёного инжира?
243. Смешали 2 кг 15%-ного водного раствора некоторого вещества с 8 кг 10%-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
244. Смешали некоторое количество 31%-ного раствора с таким же количеством 23%-ного раствора. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
245. Имеется два сосуда. Первый содержит 75 кг, а второй — 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 42% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
246. В результате смешивания 25%-ного и 15%-ного растворов серной кислоты получили 750 г 20%-ного раствора. Сколько граммов 15%-ного раствора было взято?
247. Смешав 25%-ный и 75%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 50%-ный раствор той же кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 5 кг 15%-ного раствора, то получили бы 55%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 75%-ного раствора использовали для получения смеси?
248. Первый сплав содержит 15% железа, а второй — 30%. Масса первого сплава на 2 кг меньше массы второго сплава. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 25% железа. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
249. 	Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 37,5%. Если бы зарплата мужа уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы


106
Глава I. Задания базового уровня сложности
на 39%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет стипендия сына?
250. Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы стипендия сына увеличилась в шесть раз, то общий доход семьи вырос бы на 100%. Если бы зарплата мужа уменьшилась вдвое, общий доход семьи уменьшился бы на 20%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
251. В понедельник акции компании подешевели на некоторое число процентов, а во вторник — подорожали на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подешевели акции компании в понедельник?
252. Бизнесмен Яблоков получил в 2009 году прибыль в размере 100000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 150% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Яблоков за 2012 год?
Задания для контроля Вариант 1
1. Двое байкеров выехали одновременно из одного города в другой. Первый проехал весь путь со скоростью 96 км/ч. Второй проехал первую прловину пути со скоростью 80 км/ч. С какой скоростью пришлось ехать второму байкеру вторую половину пути, если в другой город они приехали одновременно? Ответ дайте в км/ч.
2. Катер проплыл по течению реки от пристани А до пристани В расстояние в 437 км. Против течения реки он проплыл то же самое расстояние, но потратил на 4 часа больше, чем при перемещении по течению. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
3. Катя и Таня вместе могут вымыть окно за 15 минут. Таня и Настя могут вымыть это же окно за 21 минуту. Настя и Катя вымоют это окно за 35 минут. За сколько минут могут вымыть окно Катя, Таня и Настя, если будут мыть его вместе?
4. Бассейн объёмом 18 000 л первый насос наполняет на 10 минут медленнее, чем второй насос. Сколько литров в минуту закачивает первый насос, если второй закачивает в минуту на 300 л больше?


Задания для контроля
107
5. 	Смешали 5 л 27%-ного водного раствора некоторого вещества с 8 л 40%-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Вариант 2
1. Экипаж дальнобойщиков проехал расстояние 6375 км с определённой скоростью без остановок. На обратном пути водители планируют сделать остановку на 10 часов для отдыха. Для этого на обратном пути им необходимо увеличить скорость на 10 км/ч по сравнению с прямым маршрутом. Найдите (в км/ч) значение первоначальной скорости, если на пути в обоих направлениях затрачено одинаковое количество времени.
2. Малыш и Карлсон вместе съедают торт за 20 минут. Карлсон и фрё- кен Бок съедают вместе этот же торт за 30 минут. Фрекён Бок и Малыш съедают этот же торт за 24 минуты. За сколько минут съедят этот торт Малыш, Карлсон и фрёкен Бок, если будут есть его все вместе?
3. Бак летнего душа объёмом 800 л первый насос заполняет на 24 минуты медленнее, чем второй насос. Сколько литров в минуту закачивает первый насос, если второй закачивает на 30 л в минуту больше?
4. Первые три часа волк бежал со скоростью 20 км/ч, следующий час — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа — со скоростью 15 км/ч. Найдите среднюю скорость волка на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
5. Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 54 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?
Вариант 3
1. На сбор 3000 бонусов первый геймер тратит времени на 50 минут меньше, чем второй на сбор 5500 бонусов. Сколько бонусов в минуту собирает второй геймер, если первый собирает на 5 бонусов в минуту больше?
2. Скорость катера береговой охраны в стоячей воде равна 20 км/ч. Путь длиной 396 км по течению реки он проплывает на 4 ч быстрее, чем против течения реки. Найдите скорость течения реки (в км/ч).
3. Сестра вышла из дома на 1 мин 40 с раньше брата. Тем не менее в школу, находящуюся на расстоянии 300 м от дома, они пришли одновременно. Определите время движения сестры (в мин), если скорость брата на 0,5 м/с больше скорости сестры.
4. Первый рабочий изготавливает 200 деталей за 10 минут. Вместе со вторым рабочим они изготавливают 760 деталей за столько же минут, за


108
Глава I. Задания базового уровня сложности
сколько второй, работая один, изготавливает 360 деталей. Сколько деталей в минуту изготавливает второй рабочий?
5. 	Клиент А. сделал вклад в банке в размере 8800 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровнр через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 968 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?
Вариант 4
1. На сбор 4000 бонусов первый геймер тратит времени столько же, сколько второй на сбор 3600 бонусов. Сколько бонусов в минуту собирает второй геймер, если первый собирает на 4 бонуса в минуту больше?
2. Катер береговой охраны патрулирует участок реки длиной 396 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в стоячей воде (в км/ч), если против течения катер проплывает патрулируемый участок на 4 часа медленнее, чем по течению.
3. Расстояние от дома до школы, равное 480 м, брат проходит на 2 мин 40 с быстрее, чем сестра. Определите скорость брата (в м/с), если скорость сестры на 0,5 м/с меньше, чем его скорость.
4. Первый и второй рабочий, работая вместе, изготавливают 38 деталей в минуту. 200 таких же деталей первый рабочий изготавливает за то же время, за которое второй изготавливает 180 таких же деталей. Сколько деталей в минуту изготавливает первый рабочий самостоятельно?
5. Имеется два сплава. Первый содержит 15% золота, второй — 2% золота. Масса первого сплава 3 кг, масса второго — 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав. Найдите процентное содержание золота в полученном сплаве.


§7. Теория вероятностей
109
§ 7. Теория вероятностей
7.1. 	Классическое определение вероятности
Пусть при проведении испытания (бросание монеты или кубика, вытягивание экзаменационного билета и т. д.) наступает один из п равновозможных исходов. Например, при подбрасывании монеты число всех исходов п равно 2, так как кроме выпадения решки или орла других исходов быть не может. При броске игрального кубика наступает один из 6 исходов, так как на верхней грани кубика равновозможно появление любого из чисел от 1 до 6. Пусть также некоторому событию А благоприятствуют га исходов.
Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных дл я этого события исходов к общему числу равновозможных исходов. Пишем Р(А) = —.
п
Например, пусть событие А состоит в выпадении нечётного числа очков при бросании кубика. Всего возможны б исходов: выпадение на верхней грани кубика 1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом благоприятными для события А являются исходы с выпадением 1, 3, 5. Таким образом,
Р(А) = | = 0,5.
Заметим, что всегда выполняется двойное неравенство 0 ^ га ^ п, поэтому вероятность любого события А лежит на отрезке [0; 1], то есть 0 < Р(А) ^ 1.
1253. | Карточки с цифрами от 1 до 4 наудачу извлекают из мешка и кладут по порядку. Какова вероятность того, что карточку с цифрой 3 извлекут последней?
254. Пятеро друзей-автолюбителей взяли автомобиль в аренду для путешествия. С помощью жребия они выбирают двоих, которые в первый день будут поочерёдно водителями. Какова вероятность того, что М., входящий в состав группы, будет водителем в первый день путешествия?
255. В сборнике билетов по физике всего 30 билетов, в 6 из них встречается вопрос по механике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по механике.
256. В партии 1050 деталей, из них 630 — типа А, а остальные — типа Б. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь — типа Б?


110
Глава I. Задания базового уровня сложности
257. 	В урне 14 красных, 9 жёлтых и 7 зелёных шаров. Из урны на¬
угад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?
258. На книжной полке Максима 25 книг: 12 детективов, 4 учебника по математике и 9 книг в жанре фэнтези. Найдите вероятность того, что наудачу взятая с этой полки книга окажется учебником по математике.
259. В классе 20 человек, из них четыре Светы и пять Дим. Директор вызвал наугад одного из учеников. Какова вероятность, что вызванного ученика зовут Света или Дима?
260. В зрительном зале кинотеатра 60 человек, из них 15 россиян и 9 казахов. Какова вероятность того, что по окончании сеанса первым из зала будет выходить россиянин или казах?
261. 	В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их
нужно разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1,1,1,1,1,1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4,4, 4, 4,4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?
262. В чемпионате мира участвуют 24 команды, в том числе команда из России. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1,1,1,1,1,1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,4, 4.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда из России окажется во второй группе?
263. На международных соревнованиях 20 спортсменов из различных стран разделили на 4 группы по 5 человек случайным образом. Одним из участников соревнований является спортсмен из России. Какова вероятность того, что он окажется в третьей группе?
264.На международных соревнованиях 28 спортсменов из различных стран разделили на 4 группы по 7 человек случайным образом. Одним из участников соревнований является спортсмен из России. Какова вероятность того, что он окажется в четвёртой группе?
265. 	Из 20 билетов, предлагаемых на экзамене, школьник может от¬
ветить только на 17. Какова вероятность того, что школьник не сможет ответить на выбранный наугад билет?
266. 	Из семидесяти пяти замков шесть неисправны. Какова вероятность того, что наудачу купленный замок исправен?


§ 7. Теория вероятностей
111
267. В книге 400 страниц, из них на 36 есть картинки. Школьник открывает книгу на наугад выбранной странице. Какова вероятность того, что на открытой странице не будет картинки?
268. В доме сорок восемь квартир. В тридцати из них ранним утром среды никого не будет. Пришедший в это время почтальон наберёт на панели домофона наудачу номер одной из квартир. Какова вероятность того, что ему ответят?
269. 	В чемпионате по художественной гимнастике участвуют 20 спортс¬
менок: 6 — из России, 5 — из Германии, остальные — из Франции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая седьмой, окажется из Франции.
270. В чемпионате мира по фигурному катанию участвуют 75 спортсменов, среди них 12 — из России, 8 — из Китая. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что 13-м будет выступать спортсмен из России.
271. В соревнованиях по метанию копья участвуют 4 спортсмена из Германии, 6 спортсменов из Дании, 11 спортсменов из Швеции и 9 — из Греции. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Дании.
272. В соревнованиях по поднятию тяжестей участвуют 4 спортсмена из России, 5 спортсменов из Дании, 6 спортсменов из Швеции и 9 — из Греции. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Греции.
273. 	Научная конференция проводится в течение 5 дней. Всего запла¬
нировано 50 докладов: первые три дня — по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?
274. Научная конференция проводится в течение 4 дней. Всего запланировано 50 докладов: первые три дня — по 14 докладов, остальные в четвёртый день. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?
275. На экзамене участников рассаживают по семи аудиториям. В первых шести по 15 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию на


112
Глава I. Задания базового уровня сложности
другом этаже. При подсчёте выяснилось, что всего было 100 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал экзаменационную работу в запасной аудитории.
276. 	На экзамене участников рассаживают по шести аудиториям. В первых пяти по 21 человеку, оставшихся проводят в запасную аудиторию на другом этаже. При подсчёте выяснилось, что всего было 120 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал экзаменационную работу в запасной аудитории.
277. 	Завод производит холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых.
278. Фабрика выпускает рюкзаки. В среднем на 100 качественных рюкзаков приходится восемнадцать рюкзаков со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный рюкзак окажется качественным. Результат округлите до сотых.
279. Из 1000 собранных на заводе кофемолок 7 штук бракованных. Эксперт проверяет одну наугад выбранную кофемолку из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемая кофемолка окажется бракованной.
280. В сборнике билетов по истории всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по XVII веку. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по XVII веку.
281. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников
разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе Максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.
282. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 76 шахматистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Леонид Петров. Найдите вероятность того, что в первом туре Леонид Петров будет играть с каким-либо шахматистом из России.
283. Перед началом первого тура чемпионата по фехтованию участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате соревнуются 36 спортсменов, среди которых 8 участников из России, в том числе Дмитрий Хало. Найдите вероятность того,


§ 7. Теория вероятностей
113
что в первом туре Дмитрий Хало будет фехтовать с каким-либо спортсменом из России.
284. 	Перед началом первого тура чемпионата по восточным единоборствам участников одной весовой категории разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего таких участников 36, среди них 29 участников из России, в том числе Владислав Зарубин. Найдите вероятность того, что в первом туре Владислав Зарубин будет бороться с каким-либо спортсменом из России.
1285.1 	Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата — Фёдор и Сергей. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Фёдор и Сергей окажутся в одной команде.
286. Спортивную секцию посещают 16 человек, среди них два брата — Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на четыре команды по 4 человека в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.
287. В группе 51 человек, среди них две сестры — Маша и Даша. Группу случайным образом делят на три звена по 17 человек в каждом. Найдите вероятность того, что Маша и Даша окажутся в одном звене.
288. В группе 49 человек, среди них два брата — Роман и Даниил. Группу случайным образом делят на семь подгрупп по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Роман и Даниил окажутся в одной подгруппе.
1 289.1 Симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
290. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 1 раз.
291. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет орёл, во второй и третий — решка.
292. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет все четыре раза.
| 293. | Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствует событию А = «сумма очков равна 8»?
294. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствует событию А = «сумма очков равна 6»?
295. Юра дважды бросал кубик. Найдите вероятность того, что при втором броске у него выпало столько же очков, сколько и при первом. Ответ округлите до сотых.


114
Глава I. Задания базового уровня сложности
296. 	Юра дважды бросал кубик. Найдите вероятность того, что при втором броске у него выпало в два раза меньше очков, чем при первом. Ответ округлите до сотых.
[ 297, ] Одновременно бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
298. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет не менее 11 очков. Ответ округлите до сотых.
299. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 12 очков. Ответ округлите до сотых.
300. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет не менее 16 очков. Ответ округлите до сотых.
7.2. 	Основные теоремы теории вероятностей
События А и В называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен ровно душ одного из них. Событие, противоположное событию А, обозначают А. Из определения противоположных событий следует
Р(А) 4* Р(-4) = 1, значит, Р(А) = 1 — Р(А).
Два события А и В называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию А, так и событию В.
Пусть событие С означает, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Тогда С называют объединением событий А и J3, пишут С = A U В. Также объединение событий иногда называют суммой событий и обозначают А + В.
Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий А и В:
Р(Ли£) = Р(Л) + Р(В).
Два события А и В называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события.
Пусть событие С означает, что произошло как событие А, так и событие В. Тогда С называют пересечением событий А и В, пишут С = А П В. Также пересечение событий иногда называют произведением событий и обозначают А • В.


§7. Теория вероятностей
115
Если события А и В независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий А и В:
Р{АпВ) = Р{А)-Р(В).
Частотой события А называют отношение —, где п — общее чис-
п
ло испытаний, m — число появлений события А. Например, пусть мы подбросили монету 100 раз, орёл выпал 47 раз. Тогда частота выпадения орла в нашем эксперименте равна = 0,47.
В общем случае вероятности пересечения и объединения событий А и В связаны следующими формулами:
Р(А U В) = Р{А) + Р{В) - Р(А П В),
Р(А П В) = Р(А) + Р(В) - Р(А U В).
301.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Н. с вероятностью 0,45. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Н. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Н. играют две шахматные партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
302. Если футбольная команда А играет на домашнем стадионе, то она выигрывает у футбольной команды Б с вероятностью 0,4. Если команда А играет в гостях (на домашнем стадионе команды Б), то команда А выигрывает у команды Б с вероятностью 0,3. Команды А и Б играют два матча, по одному разу на домашнем стадионе каждой из них. Найдите вероятность того, что команда А выиграет оба матча.
303. Вероятность того, что в течение дня охотник встретит зайца, равна 0,35, а вероятность того, что встретит лису, — 0,6. Считая, что указанные два события независимы, найдите вероятность того, что в течение дня охотник встретит и зайца, и лису.
304. Вероятность того, что в течение дня рыболов поймает шуку, равна 0,45, а вероятность того, что поймает сазана, — 0,5. Считая, что указанные два события независимы, найдите вероятность того, что в течение дня рыболов поймает и шуку, и сазана.
305. 	По отзывам покупателей Пётр Петрович оценил надёжность двух
интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,85. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,96. Пётр Петрович заказал товар сразу в обоих магазинах.


116
Глава /. Задания базового уровня сложности
Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
306. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
307. Рядом находятся два автомата для продажи кофе. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один из этих автоматов исправен.
308. В загородном доме установлены две видеокамеры. Неисправность одной из них не зависит от неисправности другой. Вероятность неисправности первой равна 0,3, а вероятность неисправности второй — 0,2. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из видеокамер исправна.
309. 	Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние три — промахнулся. Результат округлите до сотых.
310. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.
311. Ракета поражает цель с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что цель не окажется поражённой после 4 запусков ракеты?
312. Ракета не поражает цель с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что цель окажется поражённой при первых трёх запусках ракеты и не поражённой при четвёртом?
313. 	На рисунке 47 (см. с. 117) изображён лабиринт. Мышка заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад мышка не может, поэтому на каждом разветвлении мышка выбирает один из путей, по которому ещё не шла. Считая, что выбор дальнейшего пути совершенно случаен, определите, с какой вероятностью мышка придёт к выходу В.


§7. Теория вероятностей
117
Выход Д
Рис. 47
314. 	На рисунке 48 изображён лабиринт. Крыса заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и идти назад крыса не может, поэтому на каждом разветвлении крыса выбирает один из путей, по которому ещё не шла. Считая, что выбор дальнейшего пути совершенно случаен, определите, с какой вероятностью крыса придёт к выходу А.
Выход В
Рис. 48


118
Глава I. Задания базового уровня сложности
315. 	Иван Петрович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наугад выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке 49. Найдите вероятность того, что Иван Петрович попадёт в точку Е.
Рис. 49
316. 	Денис совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наугад выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке 50. Найдите вероятность того, что Денис попадёт в точку Н.
317. 	В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Для подготовки классной ком¬
наты к занятиям случайным образом выбирают двоих дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут два мальчика.
318. В классе 16 мальчиков и 9 девочек. Среди учащихся класса случайным образом выбирают двоих дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут две девочки.
319. В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Среди учащихся класса случайным образом выбирают двоих дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут два мальчика.
320. В классе 10 мальчиков и 15 девочек. Среди учащихся класса случайным образом выбирают двоих дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут две девочки.
321. 	Вероятность того, что новая кофемолка прослужит больше года,
равна 0,93. Вероятность того, что она прослужит больше двух лет, рав¬


§7. Теория вероятностей
119
на 0,81. Найдите вероятность того, что кофемолка прослужит меньше двух лет, но больше года.
322. Вероятность того, что новый мобильный телефон прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,78. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
323. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в среду в автобусе окажется меньше 40 пассажиров, равна 0,89. Вероятность того, что окажется меньше 28 пассажиров, равна 0,37. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 28 до 39.
324. Жители одного провинциального города ежедневно могут посещать открытый плавательный бассейн. Вероятность того, что в воскресенье будет меньше 150 посетителей, равна 0,85, а вероятность того, что их будет меньше 100, равна 0,35. Найдите вероятность того, что число посетителей будет от 100 до 149.
325. 	Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если
стреляет из пристрелянного револьвера. Если Билл стреляет из непри- стрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,25. На столе лежит 5 револьверов, из них только 2 пристрелянных. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл попадёт в муху.
326. Ковбой Джо попадает в муху на стене с вероятностью 0,72, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джо стреляет из непристрелян- ного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,16. На столе лежит 12 револьверов, из них только 3 пристрелянных. Ковбой Джо видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джо промахнётся.
327. Васе нужно забить в дубовую доску гвоздь. Если гвоздь стальной, то он согнётся с вероятностью 0,1, а если гвоздь медный, то он согнётся с вероятностью 0,3. На столе вперемешку лежат 6 стальных и 4 медных гвоздя. Вася берёт первый попавшийся гвоздь со стола и пытается забить его в доску. Найдите вероятность того, что этот гвоздь согнётся.
328. Андрею нужно забить в дубовую доску гвоздь. Если гвоздь стальной, то он не согнётся с вероятностью 0,9, а если гвоздь алюминиевый, то он не согнётся с вероятностью 0,2. На столе вперемешку лежат 6 стальных и 4 алюминиевых гвоздя. Андрей берёт первый попавшийся гвоздь со стола


120
Глава I. Задания базового уровня сложности
и пытается забить его в доску. Найдите вероятность того, что этот гвоздь согнётся.
329. 	Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной коман¬
де нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
330. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.
331. Чтобы пройти в следующий крут соревнований, шахматисту нужно набрать хотя бы 1,5 очка по итогам двух игр. Если шахматист выигрывает, он получает 1 очко, в случае ничьей — 0,5 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что шахматисту удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятность выигрыша и проигрыша одинакова и равна 0,3.
332. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, шахматисту нужно набрать хотя бы 1,5 очка по итогам двух игр. Если шахматист выигрывает, он получает 1 очко, в случае ничьей — 0,5 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что шахматисту удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятность выигрыша и проигрыша одинакова и равна 0,25.
333. 	В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Ве¬
роятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,4. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,22. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
334. В торговом центре два одинаковых автомата продают шоколадки. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончатся шоколадки, равна 0,4. Вероятность того, что шоколадки закончатся в обоих автоматах, равна 0,35. Найдите вероятность того, что к концу дня шоколадки останутся в обоих автоматах.
335. На втором и третьем этажах в корпусе механико-математического факультета университета для студентов установлены два одинаковых ксе¬


§7. Теория вероятностей
121
рокса. Вероятность того, что к концу дня в ксероксе закончится бумага, равна 0,4. Вероятность того, что бумага закончится в обоих ксероксах, равна 0,23. Найдите вероятность того, что к концу дня бумага останется в обоих ксероксах.
336. 	В двух корпусах университета для студентов установлены два одинаковых принтера. Вероятность того, что к концу дня в принтере закончится бумага, равна 0,3. Вероятность того, что бумага закончится в обоих принтерах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня бумага останется в обоих принтерах.
337. 	Чтобы поступить в институт на специальность «архитектура», аби¬
туриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «живопись», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов — русскому языку, истории и литературе. Вероятность того, что абитуриент Н. получит не менее 60 баллов по истории, равна 0,8, по русскому языку — 0,5, по литературе — 0,6 и по математике — 0,9. Найдите вероятность того, что Н. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
338. Чтобы поступить в институт на специальность «архитектура», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и истории. Чтобы поступить на специальность «телевидение», нужно набрать не менее 75 баллов по каждому из трёх предметов — русскому языку, литературе и истории. Вероятность того, что абитуриент К. получит не менее 75 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по истории — 0,5 и по литературе — 0,7. Найдите вероятность того, что К. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
339. Чтобы поступить в институт на специальность «туризм», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 55 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и обществознанию. Чтобы поступить на специальность «механизмы», нужно набрать не менее 55 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 55 баллов по математике, равна 0,5, по русскому языку — 0,7, по физике — 0,4 и по обществознанию — 0,6. Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
340. Чтобы поступить в институт на специальность «экономика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 65 баллов по каждому из трёх


122
Глава /. Задания базового уровня сложности
предметов — математике, русскому языку и обществознанию. Чтобы поступить на специальность «право», нужно набрать не менее 65 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и истории. Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее 65 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,5, по истории — 0,8 и по обществознанию — 0,7. Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Задания для контроля Вариант 1
1. В некоторой школе 500 учащихся, среди них 257 мальчиков. Найдите вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы окажется девочкой.
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что в первый раз выпадет орёл, во второй — решка.
3. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,08 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
4. Вероятность того, что новый мобильный телефон прослужит больше двух лет, равна 0,62. Вероятность того, что он прослужит больше пяти лет, равна 0,43. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше пяти лет, но больше двух.
5. Чтобы поступить в институт на специальность «автоматизация», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Чтобы поступить на специальность «мехатроника», нужно набрать не менее 60 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и информатике. Вероятность того, что абитуриент У. получит не менее 60 баллов по математике, равна 0,4, по русскому языку — 0,5, по физике — 0,3 и по информатике — 0,2. Найдите вероятность того, что У. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.


Задания для контроля
123
Вариант 2
1. В сборнике заданий по математике всего 280 заданий, в 21 из них встречается вопрос по процентам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на уроке задании школьнику не достанется вопроса по процентам.
2. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 76 теннисистов, среди которых 13 участников из России, в том числе Роман Исаев. Найдите вероятность того, что в первом туре Роман Исаев будет играть с каким-либо теннисистом из России.
3. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 19 пассажиров, равна 0,26. Вероятность того, что окажется меньше 6 пассажиров, равна 0,009. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 6 до 18.
4. На рисунке 51 изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад жук не может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути совершенно случаен, определите, с какой вероятностью жук придёт к выходу Е.
Выход А Выход Б
Рис. 51
5. Чтобы поступить в институт на специальность «биотехника», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 80 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и химии. Чтобы поступить на специальность «управление», нужно набрать не менее 80 баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и обществозна- нию. Вероятность того, что абитуриент 3. получит не менее 80 баллов по математике, равна 0,3, по русскому языку — 0,4, по химии — 0,7 и по об-


124
Глава I. Задания базового уровня сложности
ществознанию — 0,6. Найдите вероятность того, что 3. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Вариант 3
1. Маша, Даша, Света, Оля и Наташа бросили жребий — кому первой петь песню. Найдите вероятность того, что первой петь песню будет не Маша.
2. Перед началом волейбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру. Команда «Тигры» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх команда «Тигры» выиграет жребий ровно два раза.
3. Вероятность того, что новый фен прослужит больше трёх лет, равна
0.71. Вероятность того, что он прослужит больше десяти лет, равна 0,24. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше десяти лет, но больше трёх.
4. Профессиональный игрок в шашки А., играя белыми, выигрывает у профессионального игрока Б. с вероятностью 0,42. Если же он играет чёрными, то выигрывает с вероятностью 0,2. А. и Б. играют две партии, меняя при этом цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет обе партии.
5. В торговом центре два одинаковых автомата продают шоколадки. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится шоколад, равна 0,8. Вероятность того, что шоколад закончится в обоих автоматах, равна 0,62. Найдите вероятность того, что к концу дня шоколад останется в обоих автоматах.
Вариант 4
1. На полке лежит 180 тетрадей, из них 63 в линейку, а остальные — в клетку. Найдите вероятность того, что случайно выбранная тетрадь будет в клетку.
2. Перед началом партии в шашки Вася бросает монетку, чтобы определить, кто из игроков начнёт игру. Вася играет четыре партии с разными игроками. Найдите вероятность того, что в этих партиях Вася выиграет жребий ровно один раз.
3. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 43 пассажиров, равна 0,91, а вероятность того, что пассажиров будет меньше 16, равна 0,12. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 16 до 42.


Задания для контроля
125
4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,85, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристре- лянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,34. На столе лежит 17 револьверов, из них только 7 пристрелянных. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
5. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,7. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,56. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.


126
Глава 1. Задания базового уровня сложности
§ 8. Нахождение величины из формулы
Всякая формула представляет собой уравнение, содержащее переменные. Выражение одних переменных через другие осуществляется с помощью равносильных преобразований этого уравнения.
Вспомним равносильные преобразования.
1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.
2. Обе части уравнения можно умножить (или разделить) на одно и то же ненулевое число.
Также важно понимать, что многие физические и экономические величины по своей природе всегда неотрицательны (или даже строго положительны).
341. 	| Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле 2
Е = где га — масса тела (в килограммах), a v — его скорость
(в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите Е (в джоулях), если v = б м/с, га = 15 кг.
342. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле Р = /2Д, где I — сила тока в амперах, R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите Р (в ваттах), если R = 8 Ом и I = 4,5 А.
343. Второй закон Ньютона можно записать в виде / = гаа, где / — сила (в ньютонах), действующая на тело, га — его масса (в килограммах), a — ускорение, с которым движется тело (в м/с2). Найдите га (в килограммах), если / = 222 (Н) и a = 37 (м/с2).
344. Закон Гука можно записать в виде / = кх, где / — сила (в ньютонах), с которой сжимают пружину, х — абсолютное удлинение (сжатие) пружины (в метрах), а к — коэффициент упругости. Пользуясь этой формулой,
и
найдите х (в метрах), если / = 42 Н и А; = 6~.
1345. | Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле R = 2s^'q, где a — сторона, а а — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите R, если a = 4 и sin а =
о


§ 8. Нахождение величины из формулы
127
346. Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле R = 2^^’ где а — сторона, а — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите а, если R = 16 и sina = §.
О
347. Теорему синусов можно записать в виде -- где а и Ъ —
sin a sin р
две стороны треугольника, а и /3 — углы треугольника, лежащие против них, соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите а, если 6 = 8,
sina = - иsin/З = ^ о о
348. Теорему синусов можно записать в виде где а и Ъ —
sina sin/3
две стороны треугольника, а и /3 — углы треугольника, лежащие против них, соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину sin a,
если a = 17, b = 5, sin/3 =
349. 	Площадь треугольника со сторонами a, b и с можно найти по фор¬
муле 5 = ^r(a + b + с), где г — радиус окружности, вписанной в этот
треугольник. Найдите с, если его стороны а и Ъ соответственно равны 5 и 12, S = 30 и г = 2.
350. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле г = - -^~с, где а и Ь — катеты, ас — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите с, если a = 8,6 = 15, г = 3.
351. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = ^bcsina, где Ь и с — две стороны треугольника, а a — угол между ними. Пользуясь этой
о
формулой, найдите площадь S, если Ь = 15, с = 8, sina =
О
352. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = irfi^sina, где d\ и di — длины диагоналей четырёхугольни¬


128
Глава I. Задания базового уровня сложности
ка, a — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите
3
площадь S, если d\ = б, d2 — 11, sina = —.
1353. | Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле d = л/a2 + Ъ2 + с2, где а, бис — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите с (в метрах), если d, а и Ь равны соответственно 25,12 и 9 (метров).
354. Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле d = %/a2 + b2 -f с2, где a, 6 и с — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите b (в метрах), если dy a и с равны соответственно 25,16 и 15 (метров).
355. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами а, 6 и с вычисляется по формуле S = 2ab + 2ас + 2Ъс. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра, выходящие из одной вершины, имеют длину у/2, >/4Д
356. Длина медианы шс, проведённой к стороне с треугольника со сторо-
\/2а2 4- 2V2 — с2
нами а, Ь и с, вычисляется по формуле шс = - . Найдите
медиану тс, если а = у/Е, 6 = >/7, с = л/Тб.
357. 	В фирме «Сквозь пробки» стоимость поездки на такси длительно¬
стью меньше 5 минут составляет 120 рублей. Если поездка длится 5 минут или более, то её стоимость (в рублях) рассчитывается по формуле С = 120 + 9(t — 5), где t — длительность поездки, выраженная в минутах (t ^ 5). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 25-минутной поездки. Ответ дайте в рублях.
358. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nly где п — число шагов, I — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если I = 55 см, п = 2000? Ответ дайте в метрах.
359. Сумма углов правильного выпуклого многоугольника вычисляется по формуле Е = (п — 2)тг, где п — количество его углов. Пользуясь этой формулой, найдите п, если Е = 157г.
360. Сумма Е всех делителей числа Зп, где п — натуральное число нахо-
071+1 _ 1
дится по формуле Е = . Пользуясь этой формулой, найдите п,
если Е = 40.


Задания для контроля
129
Задания для контроля Вариант 1
1. Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле
rj2f
А = где U — напряжение (в вольтах), R — сопротивление (в омах), К
t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если £ = 7 с, U = 5 В и # = 5 Ом.
2. Среднее геометрическое трёх чисел а, Ъ и с вычисляется по формуле g = fyabc. Вычислите среднее геометрическое чисел 9,15, 25.
3. Длина биссектрисы /с, проведённой к стороне с треугольника со сторонами а, Ь и с, вычисляется по формуле 1С = --уу/аЬ((а + Ь)2 — с2).
a *i о
Найдите биссектрису 1Су если а = 2, Ъ — 3, с — \/19.
4. Площадь четырёхугольника находится по формуле S = -, где
di и ^2 — длины диагоналей четырёхугольника, а — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали di, если
d2 = 14, sina = |, 5 = 50.
5. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = ^bcsina, где 6 и
с — две стороны треугольника, а a — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину sina, если Ъ = 12, с = 20 и S = 15.
Вариант 2
1. Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле А = I2Rty где / — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах), t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите А (в джоулях), если £ = 4с, / = 5АиЛ = 3 Ом.
2. Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tp = 1 ,Stc + 32, где tc — температура в градусах по шкале Цельсия, tp — температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует —2 градуса по шкале Цельсия?
9. 	Зак. № 111


130
Глава /. Задания базового уровня сложности
3. Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле Q = cm(t2 — £1), где с — удельная
теплоёмкость (в ), га — масса тела (в кг), t\ — начальная темпе- v кг-К
ратура (в кельвинах), а ^ — конечная температура тела (в кельвинах). Пользуясь этой формулой, найдите Q (в джоулях), если ^ = 600 К,
с = 300 £Щ7, m = 1,5 кг и t\ = 590 К. кг-К
4. Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи поверхности вычисляется по формуле Е = mgh, где m — масса тела в килограммах, g — гравитационная постоянная, a h — высота (в метрах), на которой находится тело относительно условного нуля. Пользуясь этой формулой, найдите га (в килограммах), если g = 9,8м/с2, h = 5 м, а Е = 196.
5. Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = где
а, Ь и с — стороны треугольника, ай — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите 6, если а = 11, с = 14, S = 847, Д = 1.
Вариант 3
1. В фирме «Гвидон» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле С = 5000 + 3200п, где п — число колец, установленных при копании колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из шести колец. Ответ укажите в рублях.
2. Площадь треугольника вычисляется по формуле S = |bcsina, где Ь
и с — стороны треугольника, a a — угол между ними. Пользуясь этой
о
формулой, найдите площадь 5, если Ъ = 15, с = 8, sina =
от л2 + Ь2 — с2
3. Теорему косинусов можно записать в виде cos 7 = — 2ab ’ ГДе
a, Ь и с — стороны треугольника, а 7 — угол между сторонами а и 6. Пользуясь этой формулой, найдите величину cos 7, если a = 4, b = 7, с = 10.


Задания для контроля
131
4. Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = ^ + С)Т,^
где а, Ь и с — стороны треугольника, а г — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь указанной формулой, найдите 6, если а = 8, с = 11, г = л/З, S = 20\/3.
5. Длина биссектрисы 1С, проведённой к стороне с треугольника со сторонами а, Ъ и с, вычисляется по формуле lc = ^ ^/afe((a -I- Ь)2 — с2). Найдите биссектрису /с, если а = 1, Ъ = 1, с = у/3.
Вариант 4
1. Ускорение тела (в ) ПРИ равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле а = u2Ry где w — угловая скорость вращения (в с-1), a R — радиус окружности в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите а (в м/с2), если R = 5 м, w = 9 с"1.
2. Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tc = |(*f — 32), где tc — температура в градусах по шкале
Цельсия, tp — температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 140 градусов по шкале Фаренгейта?
3. Среднее квадратичное трёх чисел а, Ъ и с вычисляется по формуле
/ 2 , i9 I J2
q = J JL.P~Г-£Т. Найдите по этой формуле среднее квадратичное чисел
2,2\/2,3\/7.
4. Площадь четырёхугольника находится по формуле S = ^1^2 sin ^ где
di и di — длины диагоналей четырёхугольника, а — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d\y если
^2 = 80, sina = f, S = 96.
5
5. Теорему косинусов можно записать в виде с2 = а2 + Ь2 — 2abcos7, где a, Ь и с — стороны треугольника, а 7 — угол между сторонами а и Ь. Пользуясь этой формулой, найдите величину cos 7, если а = 1, Ъ — 1, с = ч/З.
10. 	Зак.№111


132
Глава Г. Задания базового уровня сложности
§ 9. Координатная прямая и числовые промежутки
Иногда числа обозначают на координатной прямой. В математике принято числовую прямую направлять слева направо. То число, которое правее, то и большее. Например, на рисунке 52 видно, что 6 > а.
~0 1~а b *
Рис. 52
Нередко решение того или иного неравенства изображают на координатной прямой, штрихуя соответствующие промежутки. При этом обычно граничные значения изображают жирными точками, если они входят в промежуток, и «выколотыми» точками, если они не входят. Так, на рисунке 53 изображено множество (оо; 1) U [3; +оо).
Рис. 53
361. 	На координатной прямой отмечены числа а и 6 (см. рис. 54). Какое
из следующих чисел наибольшее?
0 16 * *
Рис. 54
1) а 2)6 3) 36 4)а + 2
362. 	На координатной прямой отмечены числа а и 6 (см. рис. 55). Какое из следующих чисел наибольшее?
0 16 * *
Рис. 55
1)о 2) 6 3) 2,56 4)а + 1
363. 	На координатной прямой отмечены точки М, N, К и L (см. рис. 56). Одна из них соответствует числу \/500. Какая это точка?
М ( NK^ L ,
21 22 23 24 *
Рис. 56
1) 	М 2) N 3) К 4) L
1<Г


§ 9. Координатная прямая и числовые промежутки
133
364. 	На координатной прямой отмечены точки М, N, К и L (см. рис. 57). Одна из них соответствует числу \/520. Какая это точка?
М NK
1) М
21
2) N
22 23
Рис. 57
24
3) К
4) L
365. 	Про число а известно, что оно равно \/П- Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому это число принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого
столбца.
ЧИСЛА
ОТРЕЗКИ
A)s2-6
i)li; 2]
Б)^1
S
2) [5; 6]
В) y/s
3) [3; 4]
Г) —
S
4)10; 1]
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г
366. 	Про число ш известно, что оно равно л/8. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому это число принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
ЧИСЛА
ОТРЕЗКИ
А) тп2 — 3
!)[!; 2]
Б) у/т
2) [5; 6]
В)^
т
3) [3; 4)
Г)Ш
ТП
4) [0; 1]
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г


134
Глава I. Задания базового уровня сложности
367. 	Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
ЧИСЛА ОТРЕЗКИ
A) 1)[4;5]
B)log29 2) [2; 3]
В) v/l7 3) [3; 4]
П0.42-1 4) [1; 2]
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
В
368. 	Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому это число принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
ЧИСЛА ОТРЕЗКИ
A)log449 1)[4; 5]
Б)Ш 2) [5; 6]
B) л/ГГ 3) [2; 3]
Г) (0Д8)-1 4) [3; 4]
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
1369. | Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ
А) 	16х > 16 1) [16; +оо)
B)log16x ^ 1 Г) log16 х ^ 1
2) (-оо;
3) (0; 16]
4) [1; +оо)
-1]


§ 9. Координатная прямая и числовые промежутки
135
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г
370. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА А)4Х ^4
в, (1)\«
Г) 4* <4
РЕШЕНИЯ
1)(—оо; -1]
2) [1; +оо)
3)(-оо; 1]
4) [—1; +оо)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г
371. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
Б) (х — 2)(х — 5) ^ 0 B)log3(x — 2) > 0 Г) (х - 2) (я - 5) ^ 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
РЕШЕНИЯ
1) х < 2 или х > 5
2)ж>3
3)2 < х <5
4)2 < ж < 5
Ответ:
А
Б
В
Г


136
Глава I. Задания базового уровня сложности
372. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
A) (х — 3)(х — 4) < О Б) ^ О
х — 4
B) (х — 3)2(х — 4) ^ О Г) (х ~ 4/ > о
РЕШЕНИЯ
1) х < 3 или х > 4
2)3 ^4
3)х ^ 4
4)ж > 3
х — 3
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
373.1 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А)3* ^3 Б)(§)%3
в>(!)'«3 Г)3Ж <3
РЕШЕНИЯ 1)-
-1
2)-
3)
1
4У
-1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г


§ 9. Координатная прямая и числовые промежутки
137
374. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
РЕШЕНИЯ
о 2)
3)
НЕРАВЕНСТВА
A) log2 х ^ 1
B)log2x ^ -1
B)log2a: ^ -1 Г) log2 х < 1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
1 >//////
2
X
2
X
'0 2
X
©<
К>|—
X
А
Б
В
Г
375. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А) 	(х + 5)(ж — 9) < О (ж + 5)2
Б)
<0
х — 9
В) 	(х — 9)2(ж + 5) > 0
Г)^±| >о х — 9
РЕШЕНИЯ
\)х е (—оо; —5) U (—5; 9)
2) (—оо; —5) U (9; +оо)
3) (—5; 9) U (9; +оо)
4) (-5; 9)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г


138
Глава /. Задания базового уровня сложности
376. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
A)(х + 3)(а?-7) <0
Б) (*±-312 < о ' х-7
B) (х - 7)2(х + 3) > 0
Г) > 0 7х-7
РЕШЕНИЯ
1) гс € (—оо; -3)U(-3; 7)
2) (-оо; -3) U (7; +оо)
3) (-3; 7)
4) (—3; 7) U (7; +оо)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г
1377.1 	На прямой отмечены числа типи точки А, В, С, D (см. рис. 58).
I I I -f£f
-5-4-3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 *
Рис. 58
Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.
точки
ЧИСЛА
А
l)n + m
В
2 )m2 + n;
С
3) — +m n
D
4 )n — m
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
A
В
С
D


§ 9. Координатная прямая и числовые промежутки
139
378. 	На координатной прямой отмечены число га и точки А, В, С, D.
I ^ I I mi-1—►
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 59
Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.
точки
ЧИСЛА
А
1)6 — m
В
2) m2 +1
С
3)m — 1
D
4) —— m
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
A
В
С
D
379. 	На координатной прямой отмечены точки А, В, С и D (см. рис. 60).
\А'\* 1-1 l-t I f
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 60
Число га равно 1,7. Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.
ТОЧКИ ЧИСЛА
А 1)1,4 — m


140
Глава I. Задания базового уровня сложности
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
В
С
D
380. 	На прямой отмечены точки А, В, С и Z) (см. рис. 61).
I I \4\ Я I q у
-3-2 -1 0 1 2 3 4 5
Рис. 61
Число то равно \/2. Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.
ТОЧКИ
А
С
D
ЧИСЛА 1) 1 — тп
п\т + 4 1) 3
3)тп2 — 1
4)2m + 1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
В
С
D
Задания для контроля Вариант 1
1. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.


Задания для контроля
141
НЕРАВЕНСТВА A)log7x > 1
B)log7x < -1
B)log7x > —1 Г) log7 х < 1
РЕШЕНИЯ
1)*>f
2)0 < х < 7
3)0 < х < |
4)x>7
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
2. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА A) х2 - 5х - 36 < 0 Б)х2 — 13х + 36 > 0
B) х2 + 13х + 36 > 0 Г) х2 + 5х — 36 < 0
РЕШЕНИЯ
1) (—оо; 4] U [9 + оо)
2) И; 9]
3)1-9; 4]
4) (—оо; -9] U [-4; +оо)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г
3. 	На прямой отмечены точки A,B,ChD (см. рис 62).
—I \ \А»\»\» \ Л I »
-2 -1 01 23456*
Рис. 62
Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.


142
Глава I. Задания базового уровня сложности
ТОЧКИ
А
В
С
D
ЧИСЛА
1)
3) log6 4
4)?
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер (см. рис 63).
Ответ:
А
В
С
D
4. 	На прямой отмечены числа шипи точки А, В, С, D (см. рис 63).
->►
х
FI- F4 FgHH—h
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Рис. 63
Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.
ТОЧКИ
ЧИСЛА
А
l)mn
В
2) — — тп п
С
о\ п2 ) 2~
D
4 )тп — п
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
В
С
D
5. 	На координатной прямой точками отмечены числа а, Ь, с, d и га (см. рис. 64).
Установите соответствие между указанными точками и числами.
1) 	2то 2) 0,4т 3) тп - | 4) -0,4т
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.


Задания для контроля
143
Ъ d а с
f I • t*| 1 ♦ ►
-10 m
Рис. 64
Вариант 2
1. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
A) log9 х < 1 Б) logg X < -1
B)l0ggX > -1 Г) log9 х > 1
РЕШЕНИЯ
1)(§; +°о)
2) (О; 9)
3>(°; I)
4) (9; +оо)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г
2. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
A) ж2 — 5® — 14 < 0 Б) х2 + 9® + 14 > 0
B)ж2 + 5ж — 14 > 0 Г) ж2 — 9ж + 14 < 0
РЕШЕНИЯ
1) х < —7 или ж ^ 2
2)2 < ж < 7
3) ж < —7 или ж > —2
4) —2 < ж < 7
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г


144
Глава /. Задания базового уровня сложности
3. 	На прямой отмечены точки Д В, С и D (см. рис. 65).
I i»i !■! 1-1 I 1-1 I—►
-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 х
Рис. 65
Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.
ТОЧКИ ЧИСЛА
А 1) n/7 + ч/З
В 2)2у/2 — 5
С 3)у/3-2
D 4) у/7-у/2
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
В
С
D
4. На прямой отмечены числа шип (см. рис. 66).
-5 -4-3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 л
Рис. 66
Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует один из отрезков в правом столбце, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
ЧИСЛА ОТРЕЗКИ
A) га2 — п2 1) [-1; 0]
Б)п + га 2) [—2; —1]
B)п — га 3) [0; 3,5]
П —~ — п 4) [3,5; 5]
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г


Задания для контроля
145
5. 	На координатной прямой точками отмечены числа a, b,c,d и п. Установите соответствие между указанными точками и числами (см. рис. 67).
d Ъ с ♦ » I»
-1
-I—►
Рис. 67
2) 	—2п 3) —п 4) п2
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
i)»+!
а
Ь
с
d
Вариант 3
1. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА A)log5a; > О Б)5~х > 5
<0 >0
В) х Г)
х +1 1
РЕШЕНИЯ
1) (—оо; —1) U (0; +оо)
2) (-1; 0)
3) (—оо; -1)
4) (1; оо)
х(х + 1)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
2. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.


146
Глава I. Задания базовою уровня сложности
НЕРАВЕНСТВА
A) log3 х > О Б)3~ж > 3 х
РЕШЕНИЯ 1)-
-1
2)-
в)
Г)
X + 1 1
х(х +1)
<0 >0
-1
-1
4)-
-О^
1
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
Б
В
Г
3. 	Про число к известно, что оно равно у/7. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому это число принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками.
ЧИСЛА
ОТРЕЗКИ
к) Vk
ОМ; о]
Б) fc2 - 4
2) [2; 3]
В>4
3) [—2; -1]
г>"15
4)[1; 2]
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
4. 	На прямой отмечены точки А, В, С и D (см. рис. 68),
I ^1 1*1- г I I 1-1 I 1^1—
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Рис. 68
Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.


Задания для контроля
147
точки
А
В
ЧИСЛА
1) log if
2 2
2)
41
8
с 3)-v/5a
D 4) 21,5
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер,
Ответ:
А
В
С
D
5. 	На координатной прямой точками отмечены числа а, Ь, с, d и р. Установите соответствие между указанными точками и числами (см. рис. 69).
1) -(р+1)
2)
—н
-1
+
Ъ с
3) р2
+
4) 3р
d
-4—►
О Р Рис. 69
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
Вариант 4
1. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ
A) log5 х < 2 1) х < -2 или х > О
Б)5“х > 25 2)0 < х < 25
B) —ттч > 0 3) х < —2 и —2 < х < 0
X Z
Г)Щ^Т2?<0 4)1<-2


148
Глава I. Задания базового уровня сложности
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ: —
В
2. 	Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА РЕШЕНИЯ
П
А)2~х ^ 8
О
Б) х В)
х — 3 1
>0
2
х(х — 3) Г) log3 х ^ 1
<0
4)-
X
0 3 X
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
3. 	Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.
ЧИСЛА ОТРЕЗКИ
A) у/б + ч/З 1) [9; Ю]
Б)^| 2) [4; 5]
B) \/б + 4^3 3) [1; 2]
Г) (л/З)3 4- 2 4) [7; 8]
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
4. 	На прямой отмечены точки А, В, Си D (см. рис. 70).
1*1 I У I I I I I ‘ А
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Рис. 70


Задания для контроля
149
Каждой точке соответствует одно из чисел из правого столбца. Установите соответствие между указанными точками и числами.
точки
ЧИСЛА
А
1) V5 + 2\/3
В
2) у/Ь — 2V3
С
3>-$
D
4) —>/5 -л/3
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А
В
С
D
5. 	На координатной прямой точками отмечены числа a, b,c,dn I. Установите соответствие между указанными точками и числами (см. рис. 71).
—Ь -1
d
-f-
0
а
-t-
l
+
b
-4-*
Рис. 71
1) 	0• / 2) 21 3) 2,5-I 4) —I
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
0,5


150
Глава I. Задания базового уровня сложности
§ 10. Уравнения
10.1. 	Линейные уравнения Линейные уравнения — это уравнения вида
ax + b = 0,
где х — неизвестное число, а буквы а и Ъ обозначают заданные числа.
Если а = 0, то либо уравнение не имеет корней (как, например, уравнение Ox -I- 5 = 0), либо х может быть любым числом (если Ох + 0 = 0).
Прибавляя к обеим частям уравнения ах + Ъ = 0 число -6, получим равносильное уравнение ах = —Ь. При а Ф 0 разделим обе части уравнения на а и получим единственный корень этого уравнения:
х = (—6) : а.
2 5
381. 	Найдите корень уравнения — 5-х = 1 —.
О
45 7 ’
3 45
382. Найдите корень уравнения ~-х =
383. Найдите корень уравнения ^х = 4-—.
ZZ X X
X 1
384. Найдите корень уравнения — = — 5-.
о о
385.1 	Найдите корень уравнения 0,2х — 5 = 0.
386. Найдите корень уравнения —0,4х + 2 = 0.
387. Найдите корень уравнения 4х + 2,5 = 0.
388. Найдите корень уравнения —6х — 2,7 = 0.
1389. | Найдите корень уравнения 2,5(х - 2) = 8.
390. Найдите корень уравнения 3(х + 4) = 4,8.
391. Найдите корень уравнения 2,5(х — 2) = 7,5х.
392. Найдите корень уравнения 3,2х = 0,8(х 4- 3).


§ 10. Уравнения
151
10.2. 	Квадратные уравнения Квадратные уравнения — это уравнения вида
ах2 + Ьх + с = 0,
где х — неизвестное число, а буквы а, Ь и с обозначают заданные числа иа^О.
Основная формула для решения квадратного уравнения:
—b ± УЬ2 — 4 ас
1'2 Чп
]393. | Найдите корень уравнения 5а;2 + 7х — 6 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите больший из них.
394. Найдите корень уравнения 6а;2 — 13а; -5 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите больший из них.
395. Найдите корень уравнения Зх2 - 7х - 10 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите меньший из них.
396. Найдите корень уравнения а;2 — 5х — 14 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите меньший из них.
1397. | Решите уравнение (Зх + I)2 = (Зх - 4)2.
398. Решите уравнение (8х - 5)2 = (8х + 5)2.
399. Решите уравнение (2х — I)2 = (3 — 2х)2.
400. Решите уравнение (4х + 2)2 = (2 — 4ж)2.
10.3. 	Рациональные уравнения Рациональные уравнения — это уравнения, имеющие вид
где Р и Q — произвольные многочлены.
Припер,,,: 32~3_5 + 5 = 0; = 0;2х4 — х + 5 = 0(число
неизвестных в уравнении может быть любым).
При решении рациональных уравнений пользуемся тем, что дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен.


152
Глава I. Задания базового уровня сложности
Р S
Уравнение ^ где Р, Q, S и Т — произвольные многочлены,
РТ — OS
равносильно рациональному уравнению —7уг~~ ~ ^го Решениями будут те значения неизвестных, при которых РТ - QS = 0 и QT ф 0.
1 2х — 21
401. 	j Решите уравнение — х. Если уравнение имеет более од-
X т
ного корня, укажите больший из них.
402. Найдите корень уравнения -х = - ~ + ^ Q ■ Если уравнение имеет
(X о
больше одного корня, то укажите больший из них.
Л -J
403. Найдите корень уравнения - = —j-—. Если уравнение имеет
ZX 1 X “I- о
более одного корня, укажите меньший из них.
*7 -J
404. Найдите корень уравнения _■ ' = —. Если уравнение имеет
ЭХ т 1 X “г 7
более одного корня, укажите меньший из них.
405. 	Найдите корень уравнения —- = —2.
2х 4* о
406. 	Найдите корень уравнения —- =
1
407. 	Найдите корень уравнения
2х — 7 Ъх 4- 8 *
о о
408. 	Найдите корень уравнения —
Зх —2 4x4-7*
з
409. | Решите уравнение = —125.
410. Найдите корень уравнения (х 4- З)3 = -27
411. Найдите корень уравнения х ~ ^ — х ~ 3
412. Найдите корень уравнения
х 3 х 9
2х — 3 = 2х — 1 2ж + 3 2х + 9'


§ 10. Уравнения
153
10.4. 	Иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина х находится под знаком корня. При решении иррациональных уравнений нам приходится обе части заданного уравнения возводить вжвадрат. При этом получаем уравнение, которое может содержать корни, не являющиеся корнями заданного уравнения (такие корни называют посторонними). Поэтому непосредственной проверкой находим корни, являющиеся корнями заданного уравнения.
Например, возведём в квадрат обе части уравнения у/2х + 87 = —11. Получим уравнение 2х -I- 87 = 121, корень которого х = 17 не является корнем уравнения у/2х + 87 = —11, так как у/121 ^ —11 (по определению квадратный корень является неотрицательным числом).
413. Найдите корень уравнения ]J^X ^ ^ =
414. Найдите корень уравнения yj$ = 3.
415. Найдите корень уравнения у/5х + 74 = 8.
416. Найдите корень уравнения л/23 — 7х = 3. [417.1 Найдите корень уравнения у/66 — 5х = —х.
418. Найдите корень уравнения у/12 — х — х.
419. Найдите корень уравнения yj = 1.
420. Найдите корень уравнения yj= 1*
421. Найдите корень уравнения (у/Ь — х — 4)(\/7 — х — 2) = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то укажите наибольший из них.
422. Найдите корень уравнения (2 — у/9 — х)(3 — у/8 — х) — 0. Если уравнение имеет более одного корня, то укажите наименьший из них.
423. Найдите корень уравнения (х + l,5)(\Zx2 — 4х — 5) = 0. В ответе запишите корень уравнения или их сумму, если корней несколько.
424. Найдите корень уравнения (х — 2,Ъ){у/х2 + 8х — 9) = 0. В ответе запишите корень уравнения или их сумму, если корней несколько.
10.5. 	Показательные уравнения


154
Глава I. Задания базового уровня сложности
Показательные уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина х находится в показателе степени. Их решают приведением к виду
а/(*) =
где в левой и правой частях уравнения степень одного и того же числа. Такое показательное уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x).
При этом нужно помнить, что = а“*,
(а) = 1 = л0*» у/а = аЪ\ ал = у/а.
1425. | Найдите корень уравнения 52*+4 = —■.
20
426. Найдите корень уравнения 4Ж~П =
О»
(•j \ 12—4ж
4/ =
/Л \ 4аг—13
428. Найдите корень уравнения J = 125.
1429. | Найдите корень уравнения 81ж+2 =
JU I
430. Найдите корень уравнения 16“ж+1 = ^г.
02
431. Найдите корень уравнения 214~2х = ^
о
432. Найдите корень уравнения II2-* = 121.
1433. | Решите уравнение 23+х = 0,4 • 53+х.
434. Решите уравнение 32+х = 0,6 • 52+х.
435. Найдате корень уравнения 25-х = 4,5 • 95-1.
436. Найдите корень уравнения 24-х = 3,5 • 74-х.


§10. Уравнения
155
10.6. 	Логарифмические уравнения
Логарифмические уравнения — это уравнения, в которых неизвестная величина ж находится под знаком логарифма.
Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид
loga/(x) = loga0(x),
где a > 0, а ф 1, а f(x) и д(х) — произвольные алгебраические выражения. Это уравнение равносильно любой из двух систем:
f(x) = д(х),
Г /(») = 5(*), . / /(*) = 9( \ /И >0 ’ \ д(х) > 0.
Другими словами, для решения уравнения loga f(x) = loga д(х) надо найти все решения уравнения /(ж) = д(х) и из них выбрать такие значения ж, при которых f(x) > 0 или д(х) > 0.
Уравнение loga /(ж) = д(х) равносильно уравнению а9^х) = /(ж).
Следует также помнить, что выражение loga х определено при ж > 0, a > 0 и аф 1, а также, что loga 1 = 0; loga а — 1; loga ак = к\ cloga6 = loga bc.
437. 	Найдите корень уравнения log2 (ж + 8) = 5.
438. Найдите корень уравнения к^5(ж 4- 7) = 2.
439. Найдите корень уравнения к^2(4ж — 13) = 3.
440. Найдите корень уравнения log i (5 — 2ж) = —3.
з
441.1 	Найдите корень уравнения log5 (Зж — 9) = 21og5 6.
442. Найдите корень уравнения log5^ — 7) = | log5 4.
443. Найдите корень уравнения log5 91 = к^5(2ж — 3).
444. Найдите корень уравнения log0 5(5ж — 1) = log0 514.
445.
12
Найдите корень уравнения In -—- = In (ж -f 7).
В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
446. 	Найдите корень уравнения In -- = In (ж — 6).
Ж "г О
В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.


156
Глава /. Задания базового уровня сложности
447. Найдите корень уравнения log4(x + 4)2 = log4(5x + 20).
В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
448. Найдите корень уравнения log5(x — 6)2 = log6(2x — 12).
В ответе укажите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.
Задания для контроля Вариант 1
1. Найдите корень уравнения log7(21 + х) = log7(2x + 3).
2. Найдите корень уравнения 49х-8 = 7.
3. Найдите корень уравнения у/1х + 15 = 8.
_ I 01
4. Найдите корень уравнения - = -4.
х — о
5. Найдите корень уравнения х2 — 7х — 18 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Вариант 2
1. Найдите корень уравнения log3(7 — х) = 21og3 7.
/ 1 \5-2*
2. Найдите корень уравнения J = 2.
3. Найдите корень уравнения л/54 + Зх = х. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
f* е\
4. Найдите корень уравнения ^х = 4|.
5. Найдите корень уравнения 2х2 + Их + 15 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
Вариант 3
1. Найдите корень уравнения log8(5 — х) = 3.
/ -J \ S+5
2. Найдите корень уравнения ^ J = 27х.
3. Найдите корень уравнения \/59 — Их = 9.
4. Найдите корень уравнения = —б.
х *| *
5. Найдите корень уравнения 2х2 4- х — 21 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.


Задания для контроля
157
Вариант 4
1. Найдите корень уравнения log5(7 + х) = 3.
2. Найдите корень уравнения 7-6+* = 343.
3. Найдите корень уравнения %/Ю — За: = х. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
4. Найдите корень уравнения х2 + 2х — 15 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
ос “ 9
5. Найдите корень уравнения -—- = 6.
х — 3


158
Глава I. Задания базовою уровня сложности
§11. Преобразования выражений
11.1. 	Рациональные выражения (дроби)
Вспомним, как производить простейшие вычисления с обыкновенными дробями. Чтобы перемножить дроби, нужно умножить их числители и записать результат в числитель, а потом перемножить знаменатели и результат записать в знаменатель:
a
d =
a • d
ad
Ъ '
с
b • с
be'
5
5
5-5
25
7 '
6
7-6
42’
Если числитель и знаменатель дроби делятся на одно и то же число, то обычно их делят на него и называют это «сократить дробь»:
20 = 20: 10 2 30 30:10 3*
Если дроби смешанные (с выделенной целой частью), то нужно их перевести в обыкновенные (состоящие только из числителя и знаменателя). Для этого целую часть умножают на знаменатель, прибавляют числитель и результат записывают в числитель, а знаменатель оставляют прежним:
«2 _ 3-5 + 2 _ 17 5 5 5 ’
о4 jj. = 3*5 + 4 19 _5_ = ,
5 * 19 5 *19 5 * 19
Чтобы разделить число на обыкновенную дробь, нужно в этой дро¬
би поменять местами числитель со знаменателем и умножить число на полученную дробь:
a . d _ а с _ ас b'c b d bd1
2 . 3 = 2 4 _ _8_
5*4 5 3 15*
Сложить дроби с разными знаменателями можно двумя способами.
1. 	Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительные множители так, чтобы новый знаменатель был равен наименьшему общему кратному знаменателей исходных дробей.


§ 11. Преобразования выражений
159
Сложить полученные дроби с одинаковым знаменателем:
3,1_ 3х® j£2_ 3^3 , 5-2 9 + 10 19
8 12 8 12 8-3 12-2 24 24’
2. 	Умножить числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй и наоборот. Сложим полученные дроби с одинаковым знаменателем:
3 , _5_ = 3\12 _5_х® = 3 12 5-8 36 , 4Ю
8 12 8 12 8-12 12 • 8 96 ^ 96
= 36 + 40 76 19
96 96 24'
1449. | Найдите значение выражения (—| + 4^ • 9,6.
450. Найдите значение выражения 7,4 : ^з| — 1^).
451. Найдите значение выражения 9,2 : 0,23 — 45,3.
452. Найдите значение выражения (—2,4) + 0,48 • 3,125.
1453. j Найдите значение выражения — 7х при х =
ogT2 _ 15 1
454. Найдите значение выражения ~ 4- 6х при х = -.
—ох -t-Ь о
0—3 I 1
455. Найдите значение выражения 2 - 7 — 2х при х = 0,25.
4Х — 1 Q/w3 1
456. Найдите значение выражения ■■■■— 2х при х = —0,25.
11.2. 	Степени
Вспомним, что если о>0,Ь>0их,у — произвольные числа, то верны формулы:


160
Глава I. Задания базового уровня сложности
457. 	Найдите значение выражения (5 7 • 510): 54.
458. Найдите значение выражения (4 6 : 43) • 48.
1 JL 5
459. Найдите значение выражения а^ • а^) при а = З12.
3 I ц1
А 9 9
460. Найдите значение выражения (6 : b ) • b ) при b = 24.
461. Найдите значение выражения (43)7 : 422.
462. Найдите значение выражения (52)6 • 5“п.
463. Найдите значение выражения 49ч/з+2 : 72+2^.
464. Найдите значение выражения II1’26 .1210,37.
183 • 3
465. 	Найдите значение выражения —^
2
243 • 22
466. Найдите значение выражения —.
(12а3)2 * З5
467. Найдите значение выражения - 5— при a = 0,25.
о * fl
468. Найдите значение выражения ^ при 6 = 0,125.
(оо)
11.3. 	Корни
Вспомним, что JJ/a (a € i?,n G iV) определяется по-разному для различных значений п.
Если п — чётное число, то а ^ 0, ^ 0, ( fya)n = а.
= |а|, V^2 = |а|.
Если п — нечётное число, то ( у/а)п = а.
Если а > 0,6 > 0 и п, ш, A: G iV, то верны формулы:


§11. Преобразования выражений 161
469. 	Найдите значение выражения 1v/a*® • v'a4 при a = 0,5.
15/^Ys
470. Найдите значение выражения - при a = —2,5.
Va“4
471. Найдите значение выражения y/a2y/cfi при a = -0,5.
472. Найдите значение выражения \/a3Vcfi при a = —0,36.
„-О Ц “ 14 1%/х у/х л
473. 	Наидите значение выражения Уу-У при х > 0.
Л7Л Н ” №)10 ,п
474. 	Наидите значение выражения — при а ф 0.
(Г
(л/5)2 . ~ . 3/Z2
475. Найдите значение выражения -—4==^-—прир > 0.
Vp3 • fyp
гл ~ ^.(V7bf - п
476. Наидите значение выражения —— при b > 0.
477. 	Найдите значение выражения yj(a — 5)2 4- у/(а ~ ?)2 ПРИ
5 < а < 7.
478. Найдите значение выражения <^/(2 — а)2 — у/(а — 7)2 при а < 2.
479. Найдите значение выражения y/(b — 12)2 -f \/(Ь — 7)2 при 7 < Ь < 12.
480. Найдите значение выражения ^(8 — 6)2 — у/{Ь — 5)2 при Ь > 8.
11.4. 	Логарифмические выражения
Пусть а > 0, а ф 1, х > 0. Тогда alog« х = х.
Вспомним основные формулы:
bga(x?/) = loga х + loga у, у > 0;
loga = loga X - loga у, у > 0;
loga(x6) = 61oga х;
log0i, (х) = | loga x, 0;
l°ga x = т-f—, хф\. logx a
Пусть b > 0, b Ф 1, x > 0. Тогда loga x = }°^ x.
logba
11.3ак. №111


162
Глава I. Задания базового уровня сложности
Формула
W х = l£&£ °ga log6a
называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
481. Найдате значение выражения 3logs 7.
482. Найдите значение выражения 0,2log°*211.
(1 \ 1об0,2 4
5/
(1 \ log0>5 7 4/
485. Найдите значение выражения 62Ioge5.
486. Найдите значение выражения 531og* 2.
487. Найдите значение выражения 72+1о«73.
488. Найдите значение выражения 42~log4 8.
489. Найдите значение выражения log7 4,9 4- log710.
490. Найдите значение выражения log5 12,5 + k>g6 10.
491. Найдите значение выражения log0j710 — log0>7 7.
492. Найдите значение выражения logo}75 4 - logo,75 3.
493. 	Найдите значение выражения log16 log3 9.
494. Найдите значение выражения log256 log3 81.
Л_ _ log о с 7
495. Наидите значение выражения .
j 5
496. Найдите значение выражения .
497. 	Найдите значение выражения
498. Найдите значение выражения
olog5 175
499. Найдите значение выражения --—у.
ylog3 54
500. Найдите значение выражения ' ^.
1501.1 	Найдите значение выражения (1 — log315)(1 - log515). 502. Найдите значение выражения (1 — log2 18)(1 — log918).
11*


§11. Преобразования выражений 163
(\ 1°8б 3
8“log3 5 J
(\ — log72
4l0g27J
11.5. 	Тригонометрические выражения
При преобразовании тригонометрических выражений необходимо знать:
— определение sin a, cos а, tg а, ctg а;
— таблицу значений sin a, cos а, tg а, ctg а при а = 0, — > т > ? > 5;
о 4 о 2
— знаки sin a, cos а, tg а, ctg а в различных четвертях;
— чётность и периодичность тригонометрических функций: sin(—а) = — sina, cos(—а) = cos a, tg(—а) = — tga, ctg(-a) = - ctg а,
sin(a + 2&7г) = sin a, cos(a -f 2kn) = cos a, tg(a -f kn) = tg a, ctg(a + fc7r) = ctg a (к € Z);
— формулы приведения;
— формулы: cos2 a + sin2 a = 1, tga • ctga = 1 (a ^ ^f,k 6 Z);
— формулы: sin 2a = 2 sin a cos a, cos 2a = cos2 a — sin2 a.
3 cos 35°
505. Найдите значение выражения . .
1 1 sin 55
5 cos 37°
506. Найдите значение выражения
sin 53
OA oin OQOO
507. Найдите значение выражения —: ? .
sin 62
5 sin 306°
508. 	Найдите значение выражения
cos 36°
Найдите tga, если cosa = и a € ^7г;
510. Найдите tga, если sina = и a € 27г^.
511. Найдите sina, если cosa = —^51 и a ^ ^
12. Зак. N6111


164
Глава I. Задания базового уровня сложности
512. 	Найдатесоэа, если sina = ^ и а € (^7Г)*
513. 	Найдите значение выражения 14\/6tg ^ cos
514. Найдите значение выражения 5\/54 tg
515. Найдите значение выражения 18\/6cos^i~^ • cos
516. Найдите значение выражения 15V6sin^^^ • sin
517. 	Найдите значение выражения
(cos2 67,5° - cos2 22,5°) • cos67,5° cos 22,5°.
518. Найдите значение выражения
\/3(sin2 15° - sin2 75°) • sin 15° sin 75°.
519. Найдите значение выражения ТР если sina = I
2sm(7r + a) 3
2COS(f-“) !
520. Найдите значение выражения — -—, если sina = -4.
tg50°tg40° 4
Задания для контроля Вариант 1
20,48
1. Найдите значение выражения .
а2,35
2. Найдите значение выражения ^ при а = 2,5.
3. Найдите значение выражения 32+log3 5.
4. Найдите значение выражения log2 log2 256.
с и и 18(sin236° — cos2 36°)
5. Найдите значение выражения —* — L.
cos 72°
12*


Задания для контроля
165
Вариант 2
*4 lh
1. Найдите значение выражения 3*9.
х-8.х6
2. Найдите значение выражения * Д.-3 при х = 28.
3. Найдите значение выражения 0-.
logio V13
4. Найдите значение выражения 4loga 5.
5. 	Найдите значение выражения
4 sin 18°
cos 72° Вариант 3
1. 	Найдите значение выражения , 10
I
Уз-П\2 ) '
л.5 # л,6
2. Найдите значение выражения —при х = 12.
3. Найдите значение выражения
l°g8 57
4. Найдите значение выражения log5 0,5 + log5 50.
Q
5. Найдите значение выражения —525
к sin2 35° + sin2 125°
Вариант 4
1. Найдите значение выражения 778 : И7 : 7е.
2. Найдите значение выражения .
6 -f v35
3. Найдите значение выражения log3 8 • log2 27.
4. Найдите значение выражения 5log*564.
5. Найдите значение выражения .


166
Глава I. Задания базовою уровня сложности
§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
12.1. 	Геометрический смысл производной. Применение производной к исследованию функций
Производной функции у = /(х) в точке хо называют число, равное пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при стремящемся к нулю приращении аргумента.
/'(хо) = lim = lim Я*о + А*)-/(хо)
4 7 Ах—0 Ах Ах—0 Ах
Рассмотрим рисунок 72, где Ах — это приращение (изменение) аргумента, хо -I- Ах = х, Ау = /(х0 4- Ах) — /(хо) — приращение функции.
Тогда по определению производной
/'(хо) = lim = цт £(*Ь_ЛЗ>).
Ах—0 Ах х—х0 X — Хо
Уравнение касательной, проведённой к графику функции у = /(х) в точке х = хо, имеет вид у = /(хо) 4- /'(хо)(х — хо).
Геометрический смысл'производной
Вспомним, что угловой коэффициент к прямой у = кх 4- Ь — тангенс угла, образованного этой прямой и положительным направлением оси Ох, отсчитываемого от оси Ох против часовой стрелки (см. рис. 73 и рис. 74 на с. 167).


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
167
1
\
\
L У
х + 1
)
\
к --
и <0
1
\
1
?
0
\
X
\
у ‘
к
/
/
/
У
= к
х + 1
/
/
/
/
к --
= tg
Dt >б
—ь
У
/Н
Y
0
У
/
X
/
Рис. 73 Рис. 74
Геометрически производная /'(хо) функции у = /(х) в точке хо означает угловой коэффициент касательной к графику функции у = /х), проведённой в точке (хо; /(хо)).
На рисунке 75 изображены график функции у = /(х), определённой на промежутке (а; 6), и касательная к нему в точке (х<>; /(хо)), проходящая через точки Л и С.
У'
i
У
-fi
у
1
/
1
1
ft
/
Л
W
1
t
J
—т
\a
1
1
1
f
<
С
'А
•
•
В
1
1
1
i
1
1
1
a
0
I
Xi
b
X
Рис. 75 Рис. 76
Находим /'(хо) как угловой коэффициент прямой АС.
1. Угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох против часовой стрелки до прямой АС, обозначен на рисунке 75 через а. Тогда /'(х0) = tga.
da
2. Находим tg а из прямоугольного треугольника J3CA: tg а = .
Ad
По клеткам определяем, что ВС = 2, а АВ = 5. Поэтому
tga = ^ = | = 0,4. Значит, /'(х0) = 0,4.
Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей (см. рис. 76). Находим /'(хо) как угловой коэффициент прямой АВ.


168
Глава I. Задания базового уровня сложности
1. Угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох против часовой стрелки до касательной к графику этой функции, обозначен на рисунке 76 через а, а угол, дополняющий а до 180°, через /?.
2. Тогда f(xо) = tga. Но a = 7г — /?. Поэтому, применяя формулы приведения, получаем: tga = tg(7r — р) — —tg/3.
AC
3. Находим tg (3 из прямоугольного треугольника ВС A: tg (3 = .
По клеткам определяем, что АС = 3, а ВС = 5. Поэтому
-tg/? = = -| = -0,6. Значит, /'(хо) = -0,6.
Заметим, что если производная функции у = /(х) в точке хо равна 0, то касательная к графику этой функции в точке (хо, /(хо)) параллельна оси абсцисс.
Знак производной мы можем определить двумя способами.
1-й способ.
Если точка принадлежит интервалу возрастания дифференцируемой функции, то значение производной в этой точке положительно, а если — интервалу убывания, то значение производной отрицательно.
2-й способ.
Рассмотрим угол между касательной к графику функции в некоторой точке и осью абсцисс (это угол, отсчитываемый в положительном направлении — против часовой стрелки — от положительного направления оси Ох до касательной). Если угол острый, то значение производной в этой точке положительно, а если угол тупой, то значение производной в этой точке отрицательно (см. рис. 73 и рис. 74 на с. 167).
Полезно знать, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Прямая, параллельная оси абсцисс Ох, имеет угловой коэффициент, равный нулю.
Применение производной к исследованию функций
Если /'(х) > 0 для любого х из некоторого промежутка и /'(х) = 0 лишь в некоторых отдельных точках этого промежутка, то функция у = /(х) возрастает на этом промежутке.
Если /'(х) ^ 0 для любого х из некоторого промежутка и /'(х) = 0 лишь в некоторых отдельных точках этого промежутка, то функция у = f(x) убывает на этом промежутке. Если производная непрерывной функции меняет знак при переходе через точку х = хо (см. рис. 77


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
169
на с. 169), причём в точке х = хо производная равна нулю или не существует, то точка х = хо — точка экстремума (точка минимума или точка максимума).
f - + /' +
7— ► т ►
/ \ *0 ^ J X 0
Рис. 77
Приведём пример нахождения точек максимума и минимума по графику производной. На рисунке 78 изображены два графика производных разных функций. На обоих графиках х — a — точка максимума функции /(х); х = Ь — точка минимума функции /(х).
У*
i
У‘
У =
-Л
\
V
\
/
У =
■Л-
\
1
У
г
\
0
\
У
/
/
\
-1
i
o'
ч
О
%
1
X
—1
4
/ъ
о
X
/
\
/
\
Рис. 78
Точки, в которых производная равна нулю, называют стационарными.
Если функция непрерывна на отрезке, то она принимает наибольшее и наименьшее значения либо на концах отрезка, либо в тех точках, где производная равна нулю (или не существует).
521. На рисунке 79 (см. с. 170) изображён график функции у = /(х) и
касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной
функции /(х) в точке xq.


170
Глава I. Задания базового уровня сложности
Рис. 79
522. 	На рисунке 80 изображён график функции у = f(x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной —3. Найдите значение производной этой функции в точке жо = —3.
Рис. 80 Рис. 81
523. 	На рисунке 81 изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке (2; —1). Найдите значение производной этой функции при х = 2.


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
171
524. 	На рисунке 82 изображены график функции у = /(х) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке xq.
Рис. 82
525. 	На рисунке 83 изображён график функции у = /(х), заданной на
интервале (—9; 8). Определите количество точек с целочисленными абсциссами, в которых производная функции /(х) положительна.
Рис. 83
526. 	На рисунке 83 изображён график функции у = /(х), заданной на интервале (—9; 8). Определите количество точек с целочисленными абсциссами, в которых производная функции /(х) отрицательна.


172
Глава I. Задания базового уровня сложности
527. 	На рисунке 84 изображён график функции у = f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: х\, #2» яз» • • •, #8- Во скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
528. 	На рисунке 84 изображён график функции у = f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: хь ^2, • • •, ^8- Во скольких из этих точек
производная функции f(x) отрицательна?
529. 	На рисунке 85 изображён график функции у = f(x) и отмечены точки А, В, С и D на оси Ох. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и производной.
точки
А
В
С
D
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ
1) значение функции в точке отрицательно и значение производной функции в точке отрицательно
2) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно
3) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
4) значение функции в точке положительно и значение производной функции в точке положительно


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
173
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
В
С
D
530. 	На рисунке 86 изображён график функции у = f(x) и отмечены точки А, В, С и D на оси Ох. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и производной.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ
значение функции в точке отрицательно и зна* производной функции в точке отрицательно
значение функции в точке отрицательно, а зна^ производной функции в точке положительно
значение функции в точке положительно, а зна* производной функции в точке отрицательно
значение функции в точке положительно и зна* производной функции в точке положительно
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
точки
А
1)
В
2)
С
3)
D
4)
Ответ:
А
В
С
D


174
Глава I. Задания базового уровня сложности
53 К На рисунке 87 изображён график функции у — f(x). Числа а, 6, с, d и е задают на оси Ох интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
ИНТЕРВАЛЫ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ
1) значения функции положительны в каждой точке интервала
2) значения функции отрицательны в каждой точке интервала
3) значения производной функции положительны в каждой точке интервала
4) значения производной функции отрицательны в каждой точке интервала
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ:
А)
(а; Ь)
Б)
(Ь; с)
В)
(с; d)
Г)
(d; е)
А
Б
В
Г
532. 	На рисунке 87 изображён график функции у = /(х). Числа а, Ь, с, d и е задают на оси Ох интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
175
ИНТЕРВАЛЫ
A) (а; Ь)
Б) (Ь; с)
B) (с; d)
Г) (d; е)
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ ИЛИ ПРОИЗВОДНОЙ
1) значения производной меньше нуля в каждой точке интервала, а значения функции меньше нуля не в каждой его точке
2) значения функции больше нуля в каждой точке интервала
3) значения производной больше нуля в каждой точке интервала, а значения функции больше нуля не в каждой его точке
4) значения функции меньше нуля в каждой точке интервала, а значения производной меньше нуля не в каждой его точке
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Ответ:
А
Б
В
Г
533. 	На рисунке 88 изображён график производной функции у = /'(х), определённой на интервале (—5; 5). Найдите количество точек экстремума функции /(х) на отрезке [-4; 3].
Рис. 88


176
Глава I. Задания базового уровня сложности
534. 	На рисунке 89 изображён график у = /'(х) — производной функции /(х), определённой на интервале (-4; 6). Найдите количество точек экстремума функции /(х), принадлежащих отрезку [-3; 5].
Рис. 89
535. 	На рисунке 90 изображён график производной функции /(х). Определите количество точек экстремума функции /(х) на интервале (—5; 5).
Рис. 90
536. 	На рисунке 91 изображён график производной функции у = /(х), определённой на интервале (—8; 10). Найдите точку экстремума функции /(х) на интервале (—3; 4).
Рис. 91


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
177
537. 	На рисунке 92 изображён график производной функции у = /'(х),
определённой на интервале (-5; 5). Найдите точку максимума функции у = f(x) на интервале (-3; 3).
Рис. 92
538. 	На рисунке 93 изображён график у = /'(х) — производной функции /(х), определённой на интервале (—4,5; 5). Найдите точку максимума функции /(х).
539. 	На рисунке 94 изображён график производной функции у = /(х), определённой на интервале (—6; б). Найдите количество точек максимума функции /(х) на интервале (—5; 4).
У\
1
V
1
= f(д
~4:
Nr
{\
J Vй - г
V
i
V.
/ -
-в'-
-.1-
Рис. 94


178
Глава I. Задания базового уровня сложности
540. 	На рисунке 95 изображён график у = /'(х) — производной функции /(х), определённой на интервале (—5; 11). Найдите количество точек максимума функции /(х), принадлежащих отрезку [-3; 10].
А
t--
i
-TTm
y=f
(xj-
A
i=:
—-i 1
\-1
C\
- c
s
s
:fc
.1
- 1
V1-
-V
У
T
Рис. 95
541. 	На рисунке 96 изображён график производной функции у = /'(х),
определённой на интервале (—2; 16). Найдите промежутки убывания функции у = /(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Рис. 96
542. 	На рисунке 97 изображён график у = /'(х) — производной функции /(х), определённой на интервале (—6; 9). Найдите промежутки возрастания /(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
mt::
-+
--N
s
/
j--
M-
:4
=f(
X)-
/
"If
.-6-
-+■
Л;
-A
) I
-\
-C
Рис. 97
543. 	На рисунке 98 (см. с 179) изображён график у = /'(х) — производной функции /(х) и отмечены девять точек на оси абсцисс: xi, х2, хз,..., хд. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции /(*)?


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
179
544. 	На рисунке 99 изображён график у = /'(х) — производной функции f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: х\, Х2, хз,..., х7. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции /(х)?
545. 	На рисунке 100 изображён график функции у = /(х) и отмечены точки -1,1,2,4,6 на оси Ох. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Рис. 100
546. 	На рисунке 100 изображён график функции у = /(х) и отмечены точки -1,1,2,4,6 на оси Ох. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.


180
Глава I. Задания базового уровня сложности
547. 	На рисунке 101 изображён график функции у = f(x) и отмечены точки —1,1,2,3,4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
548. 	На рисунке 102 изображён график функции у = f(x) и отмечены точки —4, —3, —2, —1,1. В какой из этих точек значение производной данной функции наибольшее? В ответе укажите эту точку.
1549.1 На рисунке 103 изображён график производной функции у = /'(ж), определённой на интервале (-7,5; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции у = f(x) параллельна прямой у = х 4-1 или совпадает с ней.
=3~:
■X
\ -
;
:У-
-я
4—
JL-
1
_*7
У
7
bh-
:Sf:
. ... (ла*
L
/
-у-
Рис. 103


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
181
550. На рисунке 103 изображён график производной функции у = /'(х), определённой на интервале (-7,5; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции у = /(х) параллельна прямой у = -х + 1 или совпадает с ней.
551. На рисунке 104 изображён график у = f'(x) — производной функции /(х). Найдите количество точек, в которых касательная к графику /(х) параллельна оси абсцисс.
Рис. 104
552. 	На рисунке 105 изображён график у = /'(х) — производной функции /(х), определённой на интервале (—8,6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции /(х) параллельна прямой у = 2х — 3 или совпадает с ней.
Рис. 105
1553.1К графику функции у = /(х) проведена касательная в точке с абсциссой хо = 3. Определите градусную меру угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох, если на рисунке 106 изображён график производной этой функции.
)
'Л 1
гтт гт у=Г(х)~
V
<1
V
..... 4
>
1
1
/
£
0
■/
-
(
"Г
-у
=/'(>
а*
V
j Г
-S-
V
£
1
О
1
/
>
X
Рис. 106
Рис. 107


182
Глава I. Задания базового уровня сложности
554. Функция у = f(x) определена на промежутке (-3; 5). На рисунке 107 (см. с. 181) изображён график её производной. Найдите угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох, проведённой к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0 = 2. Ответ укажите в градусах.
555. Функция у = f(x) определена на промежутке (—5; 4). На рисунке 108 изображён график её производной. Найдите число касательных к графику функции у = /(ж), которые наклонены под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс.
1
*
у
у
ч
1
\
X
О
1
N
f'O
*)-
У J
У)
L
4
-У=Г(х)~
/
Л
J
Л
<
У
У
1
/
о
1
X
/
<
Рис. 108 Рис. 109
556. 	Функция у = f(x) определена на промежутке (—2; 4). На рисунке 109 изображён график её производной. Определите количество точек, в которых касательная к графику функции у = f(x) составляет с положительным направлением оси Ох угол 45°.
1557. [Прямая у — —4х 4- 15 является касательной к графику функции у — от + Зх2 — 4х +11. Найдите абсциссу точки касания.
558. Прямая у = 6ж — 4 является касательной к графику функции у = х3 — х2 — 2х + 8. Найдите абсциссу точки касания.
559. Прямая у = 56 параллельна касательной к графику функции у = х2 — 21х 4- 9. Найдите абсциссу точки касания.
560. Прямая у = —17 параллельна касательной к графику функции у = 2х2 — 6х 4-15. Найдите абсциссу точки касания.


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
183
1561.1 Функция у = f(x) определена на промежутке (—5; 5). На рисунке 110 изображён график производной этой функции.
Найдите количество точек промежутка (—5; 0), в которых функция у = /(х) принимает максимальное значение.
Рис. 110
562. Функция у = f(x) определена на промежутке (—5; 5). На рисунке 110 изображён график производной этой функции. Найдите количество точек промежутка (—5; 5), в которых функция у = f(x) принимает максимальное значение.
563. Найдите количество точек, в которых функция у = f(x) принимает максимальное значение, если на рисунке 111 изображён график производной этой функции.
\
)
\ \
1 1 1
\
у -fb) -
I
Л
\
1 ■
1
\
J
1
\
с
1
1
J
X
«4.
Рис. 111
564. Найдите количество точек, в которых функция у = f(x) принимает
минимальное значение, если на рисунке 111 изображён график производ¬
ной этой функции.


184
Глава I. Задания базового уровня сложности
12.2. 	Первообразная
Пусть /(х) — некоторая функция, заданная на числовом промежутке А. Если функция F(x) такова, что для любого х из промежутка А выполняется F'(x) = /(ж), то F(x) называется первообразной функции f(x).
Две первообразные для одной и той же функции отличаются на постоянную величину. Если F(x) — первообразная для /(ж), то при любом числе С функция F(x) 4- С тоже будет первообразной для f(x).
Все графики первообразных для одной и той же функции f(x) получаются друг из друга сдвигом вдоль оси Оу (см. рис: 112).
Как проверить, правильно ли мы нашли первообразную для данной функции? Нужно найти производную от найденной первообразной. Например, у — \хг + 5 является первообразной функции у = х2, потому о
что Qx3 + 5^ = | • Зх2 + 0 = х2.
На рисунке 113 изображена фигура, ограниченная снизу отрезком [а; Ь], с боков отрезками прямых х = а и х = 6, сверху графиком непрерывной функции у = /(х), принимающей неотрицательные значения. Такую фигуру называют криволинейной трапецией, отрезок [а; Ъ] — её основанием.
Площадь S криволинейной трапеции можно вычислить с помощью первообразной функции по формуле S = F(b) - F(a), где F(x) — любая первообразная функции /(х).


§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная
185
565. 	На рисунке 114 изображён график некоторой функции у = f(x)
2х3 3
площадь заштрихованной фигуры.
Одна из первообразных этой функции F(x) = +2х2+3х — 1. Найдите
Рис. 114
566. 	На рисунке 115 изображён график некоторой функции у — f(x). Функция F(x) = х3 - 15х2 + 78х - Щ является одной из первообраз-
О
ных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
567. 	На рисунке 116 изображён график некоторой функции у = f(x). Функция F(x) = х3 — 9х2 + 29х + ^ — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь заштрихованной фигуры.


186
Глава I. Задания базового уровня сложности
568. 	На рисунке 117 изображён график некоторой функции у = f(x). з
Функция F(x) = —j- +6х2—45х+64 — одна из первообразных функции /(х). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
569. 	На рисунке 118 изображён график функции /(х) = 5 — |х + 1| — |х — 2|. Пользуясь рисунком, вычислите F(3) — F(—1), где F(x) — некоторая первообразная /(х).
-2 -1 О
1 2 3 х
Рис. 118
570. 	На рисунке 119 изображён график функции у = /(х). Пользуясь рисунком, вычислите F(2) — F(—1), где F(x) — одна из первообразных функции /(х).


Задания для контроля
187
571. 	На рисунке 120 изображён график некоторой функции у = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(7) - F(-3), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
572. 	На рисунке 121 изображён график некоторой функции у — f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(l) - F(-7), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).
Задания для контроля Вариант 1
1. Прямая у — 2х — 7 является касательной к графику функции у = х3 + 6х2 4- 2ж — 7. Найдите абсциссу точки касания.
2. На рисунке 122 изображён график производной функции у = f(x), определённой на интервале (—6; 9). В какой точке отрезка [—1; 7] f(x) принимает наибольшее значение?
цу
| | .
-А-

-6“
У-ЛхГ,
/
■V
' г
Н
-f-
А;
-I—
Рис. 122


188
Глава I. Задания базового уровня сложности
3. 	На рисунке 123 изображён график производной функции /(ж), определённой на интервале (—6; 9). Найдите количество точек минимума функции /(ж) на отрезке [—5; 8].
Рис. 123
4. 	На рисунке 124 изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой жо. Найдите значение производной функции f(x) в точке жо.
Рис. 124
5. На рисунке 125 изображён график некоторой функции у = /(ж), определённой на промежутке (0;+оо). Одна из первообразных этой функ-
_о
ции — F(x) = + 2х — 3. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Рис. 125


Задания для контроля
189
Вариант 2
1. Прямая у = 47х — 5 параллельна касательной к графику функции у = х2 - 7х - 7. Найдите абсциссу точки касания.
2. На рисунке 126 изображён график функции у = /(х), заданной на интервале (—4; 5). Определите количество целочисленных значений х, при которых производная функции /(х) отрицательна.
У*
4 111
О
= Г(-Л
i
\
7
!
j
\
J
.
.1
/
7
-8
1
11
1
J
о
Г
/
X
4
/
\
/
J
/
\
t
/
\
/
Рис. 126 Рис. 127
3. На рисунке 127 изображён график функции у = /(х), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 12.
4. На рисунке 128 изображён график функции /(х) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции /(х) в точке xq.
Рис. 128


190
Глава I. Задания базового уровня сложности
5. 	На рисунке 129 изображён график некоторой функции у = f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(3) - 1), где F(x) — одна из первооб¬
разных функции /(ж).
Рис. 129 Вариант 3
1. Прямая у = Зх + 14 является касательной к графику функции у = х3 + 6х2 + Зх — 18. Найдите абсциссу точки касания.
2. На рисунке 130 изображён график у = /'(х) производной функции /(х) и отмечено восемь точек на оси абсцисс: хь Х2, хз,..., xg. Сколько из этих точек принад лежит промежуткам убывания функции /(х)?
3. 	На рисунке 131 изображён график производной функции /(х), определённой на интервале (—5; 4). Найдите точку минимума функции /(х) на интервале (—5; 4).
Рис. 131


Задания для контроля
191
4. 	На рисунке 132 изображены график функции /(х) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции f(x) в точке xq.
5. 	На рисунке 133 изображён график некоторой функции у = /(ж). Од-
з
на из первообразных этой функции F(x) = ~— 2х2 + 6х — 4. Найдите
о
площадь заштрихованной фигуры.
Вариант 4
1. Прямая у = —Зх + 2 параллельна касательной к графику функции у = х2 + 8х + 1. Найдите абсциссу точки касания.
2. На рисунке 134 изображён график производной функции у = /(х), определённой на интервале (—8; 7). Найдите сумму точек экстремума функции /(х).
А
II
г
4—
-f
к—
-1—
!—
/Ч
1 -
-8
\ ~ "Г—
-4
L ]
л
1
~тЪ
—4 *
-V
-t-
7
и
1
/ X
Рис. 134


192
Глава I. Задания базового уровня сложности
3. 	На рисунке 135 изображён график у = /'(х) производной функции /(х) и отмечены девять точек на оси абсцисс: х\, Х2, хз,..., хд. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции /(х)?
4. 	На рисунке 136 изображён график функции /(х) и касательная к нему в точке с абсциссой хо. Найдите значение производной функции /(х) в точке xq.
Рис. 136
5. 	На рисунке 137 изображён график некоторой функции у = /(х). Функция F(x) = —2х3 + 51х2 — 420х + 14 — одна из первообразных функции /(х). Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Рис. 137


§13. Исследование функции с помощью производной 193
§ 13. Исследование функции с помощью производной
Производные некоторых элементарных функций
(с)' = 0, где с = const;
(ха)' = a • xa_1, где a = const;
(sinx)' = cosx; (cos x)' = — sin x;
(tg *)' = —!
COS2 X ’
(ctgx)' =—Г-2-;
sin X
(a*)' = a* In a;
(e*)' = ex;
(ln*)'=l.
Правила дифференцирования
(с • u)f = с • tx', с — const;
(u ± v)f — uf ± v';
(uv)' = u'v + ш/;
/nV _ yfv — ад/.
У = /(p(x))) 2/' = /£(«) • 5*(z), rae u = PW-
Нахождение наибольшего (наименьшего) значения
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке можно находить двумя способами.
I способ.
1) Находим все точки, в которых производная равна нулю или не существует.
2) Вычисляем значения функции в этих точках и на концах промежутка.
3) Из указанных значений находим наибольшее и наименьшее значения.
13. 	Зак. №111


194
Глава I. Задания базового уровня сложности
II способ.
1) Находим все точки, в которых производная равна нулю или не существует.
2) По знаку производной на каждом промежутке между соседними, указанными в пункте 1 точками определяем промежутки возрастания и убывания функции.
3) Строим эскиз графика функции на отрезке и находим точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения.
Точки максимума могут как совпадать, так и не совпадать с точками, где функция принимает наибольшее значение. То же можно сказать про точки минимума и про точки, где функция принимает наименьшее значение.
13.1. 	Многочлены
573. 	Найдите точку минимума функции у = 2ж3 — 5ж2 - 4х 4- 12.
574. Найдите точку минимума функции у = 10ж3 4- 15ж2 - 180ж 4- 17.
575. Найдите наибольшее значение функции у = ж3 — 2,5ж2 — 2х 4- б на отрезке [0; 2].
576. Найдите наименьшее значение функции у = ж3 4- 14ж2 -I- 64ж 4- 96 на отрезке [—4; 2].
577. Найдите точку максимума функции у = (ж — 2)2(-2ж - 3) 4- 5.
578. Найдите точку максимума функции у = (ж — 6)2(2ж 4- 3) 4- 4.
579. Найдите точку минимума функции у = —2ж3 4- 21ж2 — Збж 4- 4.
ж3
580. Найдите точку максимума функции у = 6 4- 81ж ——.
о
13.2. 	Тригонометрические функции
581. 	Найдите наименьшее значение функции у = Зу/2 sin ж 4- Зу/2х — 15 на отрезке |о; ^ j.
582. Найдите наибольшее значение функции у — 4бтж 4- 4ж - 2л- на отрезке |о; ^j. f
583. Найдите наименьшее значение функции у — 6 cos ж — 7ж - 12
■ Зтг л
на отрезке —2~» J
13*


§ 13. Исследование функции с помощью производной 195
584. 	Найдите наибольшее значение функции у = by/2sinx — Ъх 4- — 3
на отрезке [о; ^j.
1585. | Найдите наибольшее значение функции у = 16х — 16 tg х 4- 4я* — 56 на отрезке •
586. Найдите наименьшее значение функции у = 18ж — 18tgx + 4 на отрезке [— ^;()j.
587. Найдите наибольшее значение функции у = + 6 _ 22 tg х)
7Г 7Г
на отрезке [-|; |].
588. Найдите наибольшее значение функции у = 4* — 5tgx)
на отрезке
13.3. Степени и корни
589. 	Найдите наименьшее значение функции у = (х + 7)ех+8
на отрезке [—9; —7].
590. Найдите наименьшее значение функции у = (4 — х)еъ~х на отрезке [4; 6].
591. Найдите наибольшее значение функции у = (х2 4- 8ж 4- 17)ех“3 -I-1 на отрезке [0; 3].
592. Найдите наименьшее значение функции у = (ж2 — 8х 4- 17)е4~~х на отрезке [0; 4].
593. | Найдите точку минимума функции у = х2 — 6ху/х 4- 18.
1 2
594. Найдите точку максимума функции у = —~х2 +2х — 2.
о
595. Найдите точку максимума функции у = - 4- х + 6.
х
1
596. Найдите точку минимума функции у — —- — х 4- 7.
14. 	Зак. №111


196
Глава I. Задания базового уровня сложности
С _ К
597, Найдите наименьшее значение функции у = ~аг 4-^4* 2013
на отрезке loj.
7 7
598. Найдите наименьшее значение функции у = х2 - - 4- 2018
2 а:
на отрезке [^; sj.
599. Найдите наименьшее значение функции у =
600. Найдите наименьшее значение функции у = Q j 13.4. Логарифмы
Юж-я2—29
601. 	Найдите наименьшее значение функции у = log3(x2 + 2х + 4) 4- 3.
602. Найдите наибольшее значение функции у = log3(18 4- 6х — я2) 4- 4.
603. Найдите наименьшее значение функции у = 4х - In (4х 4- 2) — 8
на отрезке [-§;-§] ••
604. Найдите наименьшее значение функции у = 2х - 1п(2х) - 4 на отрезке ^j.
Задания для контроля Вариант 1
1. Найдите наибольшее значение функции у = х3 — Зх2 на отрезке [—2; 5].
2. Найдите наименьшее значение функции у = 16 cos х+27х-6 на отрезке
№)■
по
3. Найдите наибольшее значение функции у = -f 7 sin х 4- 2 на отрезке
[-¥4
4. Найдите наибольшее значение функции у = 51п(х 4- 5) - 5х 4- И на отрезке [—4,8; 0].
5. Найдите точку максимума функции у = (31 — х)ех+31.
14*


Задания для контроля
197
Вариант 2
1. Найдите наибольшее значение функции у — (х4-5)2(х—3) —6 на отрезке [~5;0].
2. Найдите наибольшее значение функции у = 18х—17 sin х4-2 на отрезке
И4
3. Найдите наименьшее значение функции у = 8х - 1п(х 4-12)8 на отрезке [-11,5; 0].
4. Найдите наибольшее значение функции у = х2 — 15х + 13 In х 4-11 на
отрезке 1Ы\-
5. Найдите точку минимума функции у = (35 — х)е35-х.
Вариант 3
1. Найдите наименьшее значение функции у = (х—3)2(х4-1)4-2 на отрезке [—1; 5].
2. Найдите наибольшее значение функции у = 15х—14 sin х+8 на отрезке
3. Найдите наименьшее значение функции у = 15х — 151п(х + 11)4-4 на отрезке [-10,5; 8].
4. Найдите наибольшее значение функции у = 80х — 80tgx 4- 207т на от- резке
5. Найдите точку максимума функции у = (23 4- х)е23~х.
Вариант 4
1. Найдите наибольшее значение функции у = (х 4- 7)2(х — 2) 4* 10 на отрезке [—1; 3].
51х
2. Найдите наибольшее значение функции у = h 17 sin х 4-15 на от-
7Г
резке [-у;о].
3. Найдите наименьшее значение функции у = -8x4-8 tg х —14 на отрезке


198
Глава I. Задания базового уровня сложности
4. Найдите наименьшее значение функции у = Ъх2 — Ъх — 51па;-|-11на отрезке [|;|].
5. Найдите точку минимума функции у = (х2 — х — 5)ех+8.


§14. Содержательные задачи из различных областей науки
199
§ 14. Содержательные задачи из различных областей науки
14.1. 	«Экономические» задачи
605. 	Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности /п, оперативности Ор, объективности публикаций TV, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 9-балльной шкале целыми числами от —4 до 4. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — всемеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид R = —+ Q gCJIH по всем
четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.
606. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности /п, оперативности Ор, объективности публикаций Тг, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается целыми числами от —4 до 4. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится впятеро, информативность — втрое, а оперативность — вдвое дороже, чем качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
3In И- 20» И- ЪТг + Q с R = 1 L-3L. Если по всем четырем показателям какое-то
издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с э^ой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.
607. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле
R = гп<ж , где гпок — средняя оценка магазина
покупателями (от 0 до 1), гэкс — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и К — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Центы», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 19, их средняя оценка равна 0,4, а оценка экспертов равна 0,21.


200
Глава I. Задания базового уровня сложности
608. 	Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле
R = гПОк Гдокл.Г.зк£ ^ где Гпок — средняя оценка магазина
(к — 0,03^
( Гпок + 0,2
покупателями (от 0 до 1), гэкс — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и К — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Gold», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 21, их средняя оценка равна 0,4, а оценка экспертов равна 0,19.
609. 	Зависимость объёма спроса на продукцию некоторой фирмы от цены продукции задаётся формулой q(p) = 280 — Юр, где р — цена (тыс. руб.), q — спрос (единиц в месяц). Определите максимальный уровень цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц г = q-p составит не менее 960 тыс. руб.
610. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб.) задаётся формулой q = 175 — 20р. Выручка предприятия за месяц г (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r{p) = q р. Определите наибольшую цену р, при которой месячная выручка г(р) составит не менее 375 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
611. Операционная прибыль предприятия за краткосрочный период вычисляется по формуле 7r(q) = q(p — v) — /. Компания продаёт свою продукцию по цене р = 400 руб. за штуку, затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб. за штуку, постоянные расходы предприятия / = 800 000 руб. в месяц. Определите наименьший месячный объём производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 700 000 руб. в месяц.
612. Некоторая компания продаёт свою продукцию по ценер = 750 руб. за единицу. Переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 250 руб., постоянные расходы предприятия — / = 800 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в руб.) вычисляется по формуле 7r(g) = q(p - v) - f. Определите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 400 000 руб.


§ 14. Содержательные задачи из различных областей науки
201
14.2. 	«Физические» задачи
1613. | Коэффициент полезного действия теплового двигателя вычисляется по формуле 71 = ^±_—Т2 . юо%. При каком наименьшем значении
температуры нагревателя Т\ КПД двигателя будет не менее 75%, если температура холодильника Т2 = 350 К?
614. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой г] — ~ ~^2 • 100%, где Т\ — температура нагрева-
теля (в градусах Кельвина), Т2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Т\ КПД этого двигателя будет не меньше 20%, если температура холодильника Т2 = 310 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
615. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых Япр составляет 70 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Чему равно наименьшее возможное сопротивление (в омах) этого электрообогревателя Доб, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rnр и Доб их общее сопротивление определяется формулой
R • Rn
R = ПР ‘ р , а для нормального функционирования электросети об- ttnp + Лоб
щее сопротивление в ней должно быть не меньше 21 Ом?
616. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых Дпр составляет 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрочайник. Каково наименьшее возможное сопротивление электрочайника Дч, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rnp и R4 их общее со-
R • Ru
противление задаётся формулой R = а для нормального функ-
#Пр 4- Нц
ционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 36 Ом?
617. 	Изменение высоты полёта брошенного вертикально вверх мяча описывается формулой h(t) = —5t2 + 30t (h — высота в метрах, t — время в секундах). Сколько секунд мяч находился на высоте не менее 25 м?
618. Скорость автомобиля v, разгоняющегося с места старта по прямо¬
линейному отрезку пути длиной I км с постоянным ускорением a км/ч2,
вычисляется по формуле v2 = 2la. Определите, с какой наименьшей ско-


202
Глава I. Задания базового уровня сложности
ростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 0,4 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 8000 км/ч2. Ответ выразите в км/ч.
619. При температуре 0°С рельс имеет длину 1о = 20м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса и его длина будет меняться по закону l(t°) = lo(l -f at°), где a = 1,2 • 10“5 °С-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)
620. При температуре 0 °С рельс имеет длину Iq = 12,5 м. При прокладке между рельсами оставили зазор 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса и его длина будет меняться по закону l(t°) — lo( 1 + ctt°)y где a = 1,2 • 10-5(°C)_1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? Ответ выразите в градусах Цельсия.
621. 	Камень бросили под углом а к плоской горизонтальной поверх¬
ности Луны. Время полёта камня (в секундах) определяется по формуле i — 2уо sin a ]-jpH каком наименьшем значении угла а (в градусах)
время полёта будет не меньше 5 секунд, если камень бросают с начальной скоростью vq — 8 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g = 1,6 м/с2.
622. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера (в Нм), стремящейся повернуть рамку, определяется формулой М = NIBl2sina, где I = 8А — сила тока в рамке, В = 0,05 Тл — значение индукции магнитного поля, I = 0,03 м — размер рамки, N = 500 — число витков провода в рамке, a — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла а (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент М был не меньше 0,09 Н-м?
623. Плоский замкнутый контур площадью S = 0,3 м2 находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяет¬


§14. Содержательные задачи из различных областей науки
203
ся формулой £i — aS cos а, где а — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, а = 25 • 10“4 Тл/с — постоянная, S — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м2). При каком минимальном угле а (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать 375 • 10“6 В?
624. 	Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью v = 2 м/с под острым углом а к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью и = —— v cos a (м/с), где га = 60 кг — масса г га + М 7
скейтбордиста со скейтом, а М = 240 кг — масса платформы. Под каким максимальным углом а (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,2 м/с?
625. 	Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине со скоростью, меняю¬
щейся по закону v(t) — 2 cos 7it, где t — время в секундах. Кинетическая
2
энергия груза вычисляется по формуле Е = где га — масса груза
(в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 0,24 Дж. Ответ выразите десятичной дробью, при необходимости округлите до сотых.
626. Два тела массой га = 3 кг каждое движутся с одинаковой скоростью v = 4 м/с под углом 2а друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением Q = гаг>2 sin2 а. Под каким наименьшим углом 2а (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 24 джоулей?
627. При нормальном падении света с длиной волны А = 500 нм на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол ip (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума к связаны соотношением dsin<p = кХ. Под каким минимальным углом (р (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решётке с периодом, не превосходящим 3000 нм?
628. Очень лёгкий заряженный металлический шарик с зарядом q = 5 • 10“6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 2 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции В которого лежит в той же плоскости и составляет угол а с направлением движения шарика. Значе¬


204
Глава /. Задания базового уровня сложности
ние индукции поля В = 5 • 10“3 Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная Рл = qvBsina (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла а е [0°;180°] шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила Fn бы- ла не менее чем 25 • 10-9 Н? Ответ дайте в градусах.
1629. | При вращении ведёрка с водой на верёвке в вертикальной плоскости сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет неотрицательной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления Р — - р), где m — масса
воды, v — скорость движения ведёрка, L — длина верёвки, g — ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью (в м/с) надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась из него, если длина верёвки равна 90 см? (д считать равным 10 м/с2.)
630. При быстром вращении ведёрка с водой на верёвке в вертикальной плоскости вода из него не будет выливаться. При этом сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не выливается, если сила её давления на дно будет неотрицательной во всех точках траектории. В верхней точке сила давления выражается формулой Р = га— <7^, где га — масса воды в
килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, д — ускорение свободного падения (д = 10 м/с2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 0,729 м? Ответ выразите в метрах в секунду.
631. Зависимость температуры нагревательного элемента прибора от времени имеет вид T(t) = Т0 + at + bt2, где То = 100 К, a — 37,5 К/мин, Ь = —0,25 К/мин2. Прибор может испортиться при температуре свыше 1000 К. Определите момент времени (в минутах), когда прибор необходимо отключить, чтобы он не вышел из строя.
632. Зависимость температуры нагревательного элемента прибора от времени имеет вид T(t) = То + at + bt2, где То = 50 К, a — 20 К/мин, Ь = —0,25 К/мин2. Прибор может испортиться при температуре свыше 350 К. Определите момент времени (в минутах), когда прибор необходимо отключить, чтобы он не вышел из строя.


§ 14. Содержательные задачи из различных областей науки
205
633, Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий v = 40 мо¬
лей воздуха при давлении рг = 1,3 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением
А = avT log2 ^ (Дж), где a = 3,5, Т = 300 К — температура воздуха,
Pi (атм) — начальное давление, а р2 (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления р2 можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 126000 Дж? Ответ приведите в атмосферах.
634. Для обогрева помещения, температура в котором равна Тп = 25 °С, через радиатор отопления пропускают горячую воду с начальной температурой Тв = 65 °С. Расход проходящей через трубу воды тп = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние х (м), вода охлаждается до температуры
Т(°С), причём х = a— log2 (м), где с = 4200 - — теп-
7 i in КГ • О
Вт
лоёмкость воды, 7 = 21 — коэффициент теплообмена, а а = 0,7.
м • О
До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м?
635. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по
_±
закону m(t) = mo • 2 т, где то (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, Т (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа то = 100 мг. Период его полураспада Т = 4 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?
636. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по
_
закону m(t) = mo • 2 т, где то (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, Т (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа то = 50 мг. Период его полураспада Т = 5 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?
637. 	Расстояние (в километрах) от наблюдателя, находящегося на вы¬
соте h километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле I = y/2Rh} где R = 6400 км — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 16 километров? Ответ выразите в километрах.


206
Глава I. Задания базового уровня сложности
638. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле I = y/2Rh, где R = 6400 (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 24 километра? Ответ выразите в километрах.
639. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: Р = сгST4, где a — 5,7 • 10~8 — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = ^ • 1016м2, а излучаемая ею мощность Р составляет 19,551 • 1022 Вт. Определите температуру этой звезды.
640. Для определения температуры звёзд используют закон Стефана - Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: Р = <т5Т4, где a = 5,7 • 10-8 — постоянная Стефана - Больцмана, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = 1,5 • Ю10 м2, а излучаемая ею мощность Р равна 8,55 • 1018 ватт. Определите температуру этой звезды.
641. 	Глубоководники проектируют новый батискаф в виде сферы ради¬
усом R. Выталкивающая сила Архимеда, действующая на батискаф, вычисляется по формуле Fa = pgV = pg- -7гЯ3. Определите максимальный
о
радиус батискафа (в метрах), если сила Архимеда по технологии не должна превосходить 1130 400 Н. При расчёте примите следующие значения постоянных: р = 1000 кг/м3, g — 10 Н/кг, 7г = 3,14.
642. 	Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление Р (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на
опору, определяется по формуле Р = где m = 270 кг — общая
7Г D
масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g = 10 м/с2, а 7г = 3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 640 000 Па. Ответ выразите в метрах.


§14. Содержательные задачи из различных областей науки
207
643. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой /о = 490 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе другой тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка / больше первого: она зависит от
скорости тепловоза по закону f(v) = ---■ (Гц), где с — скорость звука
* с
в воздухе (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью v приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с = 340 м/с. Ответ выразите в м/с.
644. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой /о = 470 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе другой тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка / больше первого: она зависит от
скорости тепловоза по закону f(v) = (Гц), где с — скорость звука
* с
в воздухе (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью v приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с — 330 м/с. Ответ выразите в м/с.
1645. | Парашютисты-экстремалы определяют высоту сооружений для будущих прыжков, засекая время падения небольших камней с вершин сооружений до поверхности приземления. Приближённая зависимость высоты от времени свободного падения имеет вид h = 4,9£2. Здесь h — высота в метрах, t — время в секундах. С вершины первого сооружения камень падал 4,5 с. На сколько метров второе сооружение выше первого, если с вершины второго сооружения камень падал на 1 с дольше?
646. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = bt2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,6 с. На сколько метров должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с?
647. К источнику с ЭДС е = 100 В и внутренним сопротивлением
г = 1 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. На¬
пряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаётся формулой


208
Глава I. Задания базового уровня сложности
fR
U = При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки
напряжение на ней будет не менее 80 В? Ответ выразите в омах.
648. 	При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала /о = 250 Гц и определяется следующим выражением: / = (Гц), где с — скорость распространения сигнала в среде
(в м/с); и = 20 м/с и = 5 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости с (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике / будет не менее 270 Гц?
Задания для контроля Вариант 1
1. Независимое агентство намерено ввести рейтинг R новостных изданий на основе показателей информативности In, оперативности Ор и объективности Тг публикаций. Каждый показатель оценивается целыми числами от —3 до 3. Аналитик, составляющий формулу, считает, что объективность публикаций ценится вдвое, а информативность — втрое дороже, чем
оперативность. В результате формула примет вид R = ^
Каким должно быть число А, чтобы издание, у которого все показатели наибольшие, получило рейтинг 60?
2. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он находится, описывается формулой h(t) = -412 -f 25t, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 25 метров.
3. При температуре 0°С рельс имеет длину 10 = 15 м. При температуре 0°С между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса и его длина будет меняться по закону l(t) = Zo(l + at), где а = 1,2 • 10-5(°C-1) — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)


Задания для контроля
209
4. Небольшой мячик бросают под острым углом а к поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле
V2
L = -jj- sin 2а (м), где г;о = 14 м/с — начальная скорость мячика, a g —
ускорение свободного падения (считайте g = 10м/с2). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 9,8 м?
5. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением pV1,2 = const, где р (атм.) — давление, V — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 51,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками сосуд выдерживает давление не более 64 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.
Вариант 2
1. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет- изданий на основе оценок информативности In, оперативности Ор, объективности публикаций XV, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от -2 до 2. Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций — вшестеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула
D 6Jn -f Ор + 2Тг + Q г? приняла вид R = 1—^Если по всем четырем показате¬
лям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число А, при котором это условие будет выполняться.
2. После паводка уровень воды в колодце может повыситься. Можно определить его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h — —bt2 м. До паводка время падения камушков составляло 1,2 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)
3. При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала /о = 280 Гц и определяется следующим выражени-


210
Глава I. Задания базового уровня сложности
ем: / = —(Гц), где с — скорость распространения сигнала в среде
(в м/с), а и = 30 м/с и v = 20 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости с (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике / будет не менее 330 Гц?
4. Два тела, массой га = 5 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 4 м/с под углом а друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением Q = rav2 sin2 Под каким наименьшим углом а (в градусах)
должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 60 джоулей энергии?
5. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: Р = сг5Т4, где a — 5,7 • 10-8 — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая
звезда имеет площадь S = • 1017м2, а излучаемая ею мощность Р
OZ4
равна 184,68 • 1018 Вт. Определите температуру этой звезды.
Вариант 3
1. Операционная прибыль предприятия за краткосрочный период вычисляется по формуле h(q) = q(p — га) — к. Компания продаёт свою продукцию по цене р = 8000 руб. за штуку, затраты на производство одной единицы продукции составляют га = 2000 руб., постоянные расходы предприятия к = 10500000 руб. в месяц. Определите наименьший месячный объём производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет не меньше 1500 000 руб. в месяц.
2. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 120 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить холодильник. Чему равно наименьшее возможное сопротивление (в омах) этого холодильника, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями i?i и Rz их общее сопротивление определяется формулой R = , а для нормального
^1 4* Л2


Задания для контроля
211
функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 48 Ом?
3. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием / = 60 см. Расстояние от линзы до лампочки d\ может изменяться в пределах от 85 см до 105 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если
выполнено соотношение 4- + 4- = -г* Укажите, на каком наименьшем
«1 а 2 /
расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.
4. При нормальном падении света с длиной волны Л = 300л/2 нм на дифракционную решётку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол <р (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума к связаны соотношением dsinip = кХ. Под каким минимальным углом (р (в градусах) можно наблюдать седьмой максимум на решётке с периодом, не превосходящим 4200 нм?
5. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу 900 тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной 15 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой р = ^2, где га — масса экскаватора (в тоннах), I — длина балок в метрах, з — ширина балок в метрах, g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения. Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление р не должно превышать 120 кПа. Ответ выразите в метрах.
Вариант 4
1. 	Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле R — г Гдо&.Г.Гакс..
-t t' — I пок
'ПОК I 0,1
где гпок — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), гэкс — оцен¬
ка магазина экспертами (от 0 до 0,9) и К — число покупателей, оценивших
магазин.


212
Глава I. Задания базового уровня сложности
Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,6, а оценка экспертов равна 0,45.
2. К источнику с ЭДС Е = 12 В и внутренним сопротивлением г = 1 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой
Е • R
нагрузке, выражаемое в вольтах, определяется формулой U = р ■ * .
К -г г
При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 10 В? Ответ выразите в омах.
3. Автомобиль, масса которого равна тп — 1200 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь s = 300 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, можно вычислить по формуле F —
Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1800 Н. Ответ выразите в секундах.
4. Катер должен пересечь реку шириной L — 45 м и скоростью течения и = 0,3 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением t = ~ • ctg а, где a —
острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом а (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 150 с?
5. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий v — 200 молей воздуха при давлении р\ = 1,1 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением
А = avT\og2 ^ (Дж), где а = 9,15, Т = 280 К — температура воздуха, Pi
Pi (атм.) — начальное давление, а р2 (атм.) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более 1537 200Дж? Ответ приведите в атмосферах.


§ 15. Логические задачи
213
§ 15. Логические задачи
15.1. 	Логические следствия
Рассмотрим и проанализируем примеры некоторых хорошо известных логических следствий:
1. Из того, что два угла являются вертикальными, следует, что эти углы равны.
2. Из того, что натуральное число п делится на шесть, следует, что натуральное число п является чётным. .
В каждом из приведённых примеров указывается, что из истинности одного утверждения следует истинность некоторого другого утверждения.
В примере 1 из истинности утверждения «два угла являются вертикальными» следует истинность утверждения «эти углы равны».
Аналогично в примере 2 из истинности утверждения «натуральное число делится на шесть» следует истинность утверждения «натуральное число п является чётным».
При доказательстве этих следствий используются определения, аксиомы и основные законы логики. Наиболее часто используется так называемое правило обращения следствия. Пусть А и В — некоторые утверждения. Тогда утверждение «если А, то В» равносильно утверждению «если не В, то не А».
Так, при обращении рассмотренного выше примера 1 мы получаем утверждение «если два угла не равны, то эти углы не являются вертикальными», а при обращении примера 2 — утверждение «если натуральное число п не является чётным, то натуральное число п не делится на шесть».
649. 	Когда к дому подъезжает автомобиль, то на доме загорается фо¬
нарь. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.
1) Если на доме не загорается фонарь, то к дому подъезжает автомобиль.
2) Если на доме не загорается фонарь, то к дому не подъезжает автомобиль.
3) Если к дому подъезжает белый автомобиль, то на доме фонарь не загорается.
4) Если к дому подъезжает чёрный автомобиль, то на доме фонарь загорается.


214
Глава I. Задания базового уровня сложности
650. В жилых домах, в которых больше 5 этажей, установлен лифт. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если в доме нет лифта, то в этом доме больше 5 этажей.
2) Если в доме нет лифта, то в этом доме меньше 6 этажей.
3) Если в кирпичном доме больше 6 этажей, то лифт не установлен.
4) Если в кирпичном доме больше 7 этажей, то в нём установлен лифт.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
651. Каждый российский футболист, который забивает более 100 голов, становится членом клуба Федотова. Выберите утверждения, которые следуют из приведёных данных.
1) Российский футболист, забивший более 102 голов, становится членом клуба Федотова.
2) Футболист из России, который забивает более 100 голов в возрасте после 30 лет, не становится членом клуба Федотова.
3) Футболист из России, который забивает 90 голов в возрасте до 30 лет, становится членом клуба Федотова.
4) Российский футболист не становится членом клуба Федотова, если он ещё не забил 100 голов.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
652. Каждый юноша одного приморского города, который проплывает более 1000 метров, становится членом клуба «Юнга». Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Юноша этого приморского города, который проплывает 1100 метров, становится членом клуба «Юнга».
2) Восемнаддатилетний юноша Петров из этого города, проплывший более 1000 метров, не стал членом клуба «Юнга».
3) Юноша этого приморского города, который ещё не стал членом клуба «Юнга», проплывает более 1000 метров.
4) Юноша из указанного приморского города не становится членом клуба «Юнга», если он ещё не проплыл 1000 метров.


§ 15. Логические зада чи 215
15.2. 	Расположение чисел на координатной прямой
выделяемые на ремонт, питание, одежду и коммунальные расходы. Сумма, выделяемая на ремонт, больше суммы, выделяемой на питание, а сумма, выделяемая на одежду, меньше суммы, выделяемой на питание, и меньше суммы, выделяемой на коммунальные услуги. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Сумма, выделяемая на одежду, — наименьшая.
2) Сумма, выделяемая на коммунальные услуги, равна сумме, выделяемой на питание.
3) Сумма, выделяемая на одежду, меньше суммы, выделяемой на ремонт.
4) Сумма, выделяемая на коммунальные услуги, меньше суммы, выделяемой на ремонт.
654. Фирма приобрела планшет, принтер, компьютерный стол и шкаф. Известно, что планшет дешевле принтера, а компьютерный стол дешевле шкафа, шкаф дороже принтера. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Шкаф — самая дорогая покупка.
2) Стол дешевле принтера.
3) Планшет дороже стола.
4) Шкаф дороже планшета.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
655. На соревнованиях по метанию диска Иван метнул диск дальше, чем это сделали Никита и Пётр. Пётр метнул диск дальше Николая, а Фёдор — ближе Ивана. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Никита и Пётр метнули диск дальше Фёдора.
2) Иван метнул диск дальше всех.
3) Фёдор метнул диск ближе Ивана, но дальше Никиты.
4) Фёдор метнул диск ближе всех.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания
без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
653. 	При распределении семейного бюджета были определены суммы,


216
Глава I. Задания базового уровня сложности
656. 	На соревнованиях по отжиманию от пола Илья отжался большее число раз, чем Николай и Павел. Павел отжался больше Николая, а Филипп — меньше Ильи. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Николай и Павел отжались больше Филиппа.
2) Филипп отжался меньше Ильи, но больше Николая.
3) Илья отжался больше всех.
4) Филипп отжался меньше всех.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
15.3. 	Непересекающиеся подмножества
1657. | Некоторые сотрудники издательского отдела отдыхали летом в Китае, а некоторые — в Японии. Те сотрудники, которые отдыхали в Китае, не отдыхали в Японии. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Каждый сотрудник издательского отдела где-то отдыхал.
2) Среди сотрудников, которые не отдыхали в Китае, есть хоть один сотрудник, который отдыхал в Японии.
3) Сотрудник отдела, который летом не отдыхал в Китае, обязательно отдыхал в Японии.
4) Нет ни одного сотрудника отдела, который летом отдыхал в Китае и в Японии.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
658. 	Некоторые ученики 8-го класса ходят в танцевальный кружок, а некоторые — в драматический. Те ученики, которые ходят в танцевальный кружок, не ходят в драматический. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Ученик в этого класса Сливкин, который не ходит в танцевальный кружок, обязательно ходит в драматический.
2) Каждый учащийся в этом классе ходит или в танцевальный, или в драматический кружок.
3) Среди тех учащихся в этом классе, которые не ходят в танцевальный кружок, есть хотя бы один, который ходит в драматический кружок.
4) В классе нет ни одного ученика, который ходит и в танцевальный, и в драматический кружок.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.


§ 15. Логические задачи 217
659. В свободное время некоторые обучающиеся одиннадцатого класса смотрят телевизор, а некоторые — ходят в кинотеатр. При этом те, кто ходит в кинотеатр, не смотрят телевизор. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) В этом классе есть обучающиеся, которые в свободное время смотрят телевизор и ходят в кинотеатр.
2) Все обучающиеся этого класса, которые в свободное время смотрят телевизор, не ходят в кинотеатр.
3) Не все обучающиеся этого класса в свободное время смотрят телевизор или ходят в кинотеатр.
4) В этом классе все обучающиеся, которые в свободное время смотрят телевизор, ходят в кинотеатр.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
660. Некоторые пенсионеры многоквартирного жилого дома играют вечерами во дворе в домино, а некоторые — в лото. Причём те, кто играет в домино, не играют в лото. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) В этом доме найдётся хотя бы один пенсионер, который вечерами играет в лото и домино.
2) Каждый пенсионер этого дома играет вечерами либо в лото, либо в домино.
3) Все пенсионеры этого дома, которые вечерами играют в лото, не играют в домино.
4) В этом доме все пенсионеры, которые вечерами играют в лото, играют в домино.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
15.4. 	Пересекающиеся подмножества
а 15 — кружок по биологии. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если ученик из этого класса ходит на занятия кружка по химии, то он обязательно ходит на занятия кружка по биологии.
2) Каждый ученик посещает оба кружка.
3) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.
4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.
661. 	В классе учатся 25 человек. Из них 14 посещают кружок по химии,


218
Глава I. Задания базового уровня сложности
662. В пансионате отдыхают 23 человека. Из них 12 посещают бассейн, а 15 — тренажёрный зал. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если отдыхающий посещает бассейн, то он обязательно посещает тренажёрный зал.
2) Найдутся хотя бы трое отдыхающих, которые посещают и бассейн, и тренажёрный зал.
3) Каждый отдыхающий посещает и бассейн, и тренажёрный зал.
4) Не найдётся 9 отдыхающих, которые одновременно посещают и бассейн, и тренажёрный зал.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
663. Среди 15 рыбаков международного рыболовецкого судна английский язык знают 8, а немецкий — 10. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Найдётся хотя бы один рыбак, который знает оба языка — английский и немецкий.
2) На судне не менее трёх рыбаков знают оба языка — английский и немецкий.
3) На этом судне ровно девять рыбаков знают оба языка — английский и немецкий.
4) На этом судне есть рыбаки, которые не знают ни одного из указанных языков.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
664. На флагштоке вывешены 18 флагов. На 11 из них есть красный цвет, а на 9 — белый. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) На флагштоке вывешен хотя бы один флаг, на котором есть оба цвета — красный и белый.
2) На всех флагах этого флагштока есть либо белый, либо красный цвет.
3) На флагштоке вывешены ровно 10 флагов, на которых есть оба цвета — красный и белый.
4) На флагштоке вывешено не менее двух флагов, на которых есть оба цвета — красный и белый.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания
без пробелов, запятых и других дополнительных символов.


§ 15. Логические задачи 219
15.5. 	Числовые промежутки
ющих. Оказалось, что вес каждого отдыхающего меньше 100 кг и больше 56 кг. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Среди отдыхающих нет никого с весом 98 кг.
2) Найдётся двое отдыхающих, разница в весе которых будет меньше 12 кг.
3) Среди отдыхающих обязательно есть человек с весом от 60 кг до 75 кг.
4) Разница в весе любых двух отдыхающих меньше 44 кг.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
666. Результаты школьных соревнований по бегу на 100 м оказались включительно в промежутке от 11,2 с до 12,8 с. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Среди достигнутых результатов нет результата 11,1 с.
2) Среди достигнутых результатов нет результата 11,5 с.
3) Среди достигнутых результатов есть результат 11,7 с.
4) Разница любых двух достигнутых результатов не превосходит 1,6 с.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
667. При взвешивании боксёров супертяжёлого веса оказалось, что их вес колеблется от 125 до 160 кг включительно. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Вес каждого из боксёров равен 130 кг.
2) Нет ни одного боксёра, вес которого равен 120 кг.
3) Вес каждого из боксёров больше 115 кг.
4) Разность в весе любых двух боксёров меньше 36 кг.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
668. Температура воздуха в квартире в течение суток была не менее 13 ° С и не более 22 °С. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Температура воздуха в квартире на протяжении двух часов была 13 °С.
2) Температура воздуха в квартире ночью была меньше 23 °С.
3) Температура воздуха в квартире ночью была меньше, чем днём.
4) Разность температуры воздуха в квартире в любые два момента суток была не более 10 °С.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
665. 	Перед санаторной сменой измерили вес всех приехавших отдыха-


220
Глава I. Задания базового уровня сложности
Задания для контроля Вариант 1
1. Когда учитель русского языка ведёт урок, она отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если учитель разговаривает по телефону, значит, она не ведёт урок.
2) Если учитель ведет урок русского языка, значит, её телефон не отключён.
3) Если телефон учителя включён, значит, она ведёт урок.
4) Если учитель проводит на уроке диктант, значит, её телефон выключен.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
2. Для школьной столовой были куплены плита, духовой шкаф, набор кастрюль и посудомоечная машина. Известно, что духовой шкаф дороже посудомоечной машины, а набор кастрюль дешевле посудомоечной машины и дешевле плиты. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Духовой шкаф — самая дорогая покупка.
2) Набор кастрюль — самая дешёвая покупка.
3) Плита дешевле посудомоечной машины.
4) Плита и духовой шкаф стоят одинаково.
3. Некоторые альпинисты одного спортивного клуба летом 2016 года поднялись на вершину горы Эльбрус, а некоторые — на Красноярские Столбы. Оказалось, что альпинисты, поднявшиеся на вершину горы Эльбрус, не поднимались на Красноярские Столбы. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если альпинист этого спортивного клуба поднялся на вершину горы Эльбрус, то он поднимался и на Красноярские Столбы.
2) Каждый альпинист этого спортивного клуба поднимался на Красноярские Столбы.
3) Среди альпинистов спортивного клуба, которые поднимались на вершину горы Эльбрус летом 2016 года, есть хотя бы один, который поднимался на Красноярские Столбы.
4) Нет ни одного альпиниста в этом клубе, который поднимался летом 2016 года и на вершину горы Эльбрус, и на Красноярские Столбы.
4. В бюро работают 15 переводчиков, 9 из которых знают английский язык, 8 — немецкий язык. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.


Задания для контроля
221
1) Ни один из переводчиков не владеет одновременно английским и немецким языками.
2) Хотя бы двое переводчиков знают и английский, и немецкий языки.
3) Хотя бы один переводчик владеет двумя указанными иностранными языками.
4) Не найдётся 7 переводчиков, знающих оба названных иностранных языка.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
5. 	Перед соревнованиями по борьбе измерили вес всех участников команды школы № 4. Оказалось, что вес каждого участника этой команды меньше 70 кг и больше 50 кг. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) В команде школы № 4 нет участника с весом 48 кг.
2) В команде школы № 4 обязательно есть участник с весом 60 кг.
3) Вес любого участника этой команды меньше 90 кг.
4) Не найдутся два участника этой команды, чей суммарный вес будет превышать 120 кг.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Вариант 2
1. В жилых домах, в которых больше 12 этажей, на кухне установлены электрические плиты вместо газовых. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если в доме установлены газовые плиты, то в этом доме менее 13 этажей.
2) Если в доме установлены электрические плиты, то в этом доме менее 13 этажей.
3) Если в доме больше 15 этажей, то в нём установлены электрические плиты.
4) Если в доме установлены газовые плиты, то в нём более 12 этажей.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
2. Елена старше Натальи, но младше Дарьи. Светлана не старше Натальи. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Дарья самая старшая из четырёх подруг.
2) Светлана и Наталья одного возраста.


222
Глава I. Задания базового уровня сложности
3) Елена и Дарья одного возраста.
4) Наталья младше Дарьи.
3. Некоторые учащиеся одной школы на летних каникулах отдыхали в городском оздоровительном лагере, а некоторые — за пределами города. Все учащиеся, которые отдыхали за пределами города, не отдыхали в городском оздоровительном лагере. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если учащийся этой школы отдыхал на летних каникулах в городском оздоровительном лагере, то он отдыхал и за пределами города.
2) Каждый учащийся этой школы отдыхал летом в городском оздоровительном лагере.
3) Среди учащихся этой школы, которые не отдыхали за пределами города, есть хотя бы один обучающийся, который отдыхал в городском оздоровительном лагере.
4) Нет ни одного учащегося в этой школе, который отдыхал и в городском оздоровительном лагере, и за пределами города.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
4. В классе обучается 18 человек, из них 10 участвовали в экскурсионной поездке в Санкт-Петербург, а 9 — в Ростов-на-Дону. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) По крайней мере один обучающийся участвовал в каждой из этих поездок.
2) Не найдётся 10 обучающихся, которые посетили оба города.
3) Обе экскурсии проходили в одно и то же время.
4) Обе экскурсии проходили в разное время.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
5. В классе рост каждого обучающегося меньше 1 м 90 см, но не меньше 1 м 40 см. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Рост каждого обучающегося класса не больше 189 см.
2) Рост каждого обучающегося больше 140 см.
3) Разница в росте двух обучающихся в классе меньше 51 см.
4) В классе есть обучающиеся ростом 155 см.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания
без пробелов, запятых и других дополнительных символов.


Задания для контроля
223
Вариант 3
1. Когда учитель биологии ведёт урок, она отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если телефон учителя включён, то она ведёт урок.
2) Если учитель ведёт урок биологии, то её телефон отключён.
3) Если телефон учителя включён, значит, она не ведёт урок.
4) Если учитель проводит на уроке контрольную работу по биологии, значит, её телефон включён.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
2. Молодой семье на новоселье подарили стол, картину, ковёр и сушилку для белья. Известно, что ковёр дороже картины, а стол дешевле ковра и дороже сушилки. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Стол дороже картины.
2) Картина дороже стола.
3) Картина и стол по отдельности дешевле ковра.
4) Сушилка дешевле ковра.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
3. Среди сотрудников коммерческого банка летом 2016 года некоторые отдыхали в Европе, а некоторые — в Южной Америке. Те сотрудники, которые отдыхали в Европе, не отдыхали в Южной Америке. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Каждый сотрудник этого коммерческого банка летом 2016 года отдыхал хоть где-то.
2) Среди тех сотрудников, которые не отдыхали в Южной Америке летом 2016 года, есть хотя бы один, который отдыхал в Европе.
3) Каждый сотрудник этого банка, который летом 2016 года не отдыхал в Европе, обязательно отдыхал в Южной Америке.
4) Нет ни одного сотрудника этого банка, который летом 2016 года отдыхал и в Европе, и в Южной Америке.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
4. В спортивном офисе работают 18 сотрудников, каждый из которых занимается либо волейболом, либо плаванием. 12 сотрудников занимаются волейболом, а 8 — плаванием. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.


224
Глава I. Задания базового уровня сложности
1) Все сотрудники этого офиса занимаются одновременно волейболом и плаванием.
2) Есть сотрудники, которые занимаются одновременно и волейболом, и плаванием.
3) Ровно два сотрудника офиса занимаются одновременно и волейболом, и плаванием.
4) Всякий, кто занимается волейболом, занимается также и плаванием.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
5. 	На предыгровой разминке тренер команды дал всем игрокам задание выполнить броски с попаданием в кольцо. Оказалось, что за оставшееся время количество бросков, выполненных каждым игроком, было больше 5 и меньше 9. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) В команде есть игрок, который выполнил ровно 4 броска.
2) В команде нет игрока, который бы выполнил 10 бросков.
3) Любой игрок выполнил меньше 9 бросков.
4) Разница в количестве бросков с попаданием любых двух игроков больше двух.
Вариант 4
1. Когда какая-нибудь мышка выглядывает из норки, кот Мурзик обязательно мяукает. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Если Мурзик молчит, значит, мышка не выглядывает из норки.
2) Если Мурзик мяукает, значит, мышка не выглядывает из норки.
3) Если из норки выглянула маленькая мышка, то Мурзик будет мяукать.
4) Если Мурзик молчит, значит, мышка выглядывает из норки.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
2. Петя, Ваня, Олег и Дима взвесились перед тренировкой в фитнес- клубе. Оказалось, что Дима весит больше, чем Олег, а Петя легче Вани и легче Олега. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Ваня легче Димы.
2) Ваня тяжелее Димы.
3) Петя — самый лёгкий из этой компании.
4) Олег легче Вани.


Задания для контроля
225
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
3. Среди сотрудников издательского отдела есть те, кто посещает тренажёрный зал, и есть те, кто посещает бассейн. Ни один из тех, кто посещает тренажёрный зал, не посещает бассейн. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Каждый сотрудник издательского отдела посещает либо тренажёрный зал, либо бассейн.
2) В издательском отделе есть сотрудники, которые посещают и тренажёрный зал, и бассейн.
3) В издательском отделе есть сотрудники, которые не посещают бассейн, но посещают тренажёрный зал.
4) Все сотрудники издательского отдела, которые посещают бассейн, не посещают тренажёрный зал.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
4. Инструментальный ансамбль состоит из 17 музыкантов, каждый из которых играет либо на скрипке, либо на флейте. 11 музыкантов умеют играть на скрипке, а 9 — на флейте. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Каждый музыкант, играющий на скрипке, играет также и на флейте.
2) Все музыканты играют на флейте.
3) Есть музыканты, умеющие играть и на скрипке, и на флейте.
4) Ровно трое музыкантов умеют играть и на скрипке, и на флейте.
В ответе укажите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
5. В районных соревнованиях по жиму гири 32 кг наименьший результат составил 27 раз, а наибольший — 52 раза. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.
1) Разница любых двух показанных результатов меньше 26 раз.
2) Среди показанных результатов нет результата 35 раз.
3) Среди показанных результатов есть результат 57 раз.
4) Среди показанных результатов есть результат 34 раза.
В ответе запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
15. 	Зак. №111


226
Глава I. Задания базового уровня сложности
§ 16. Планиметрия: площади фигур
16.1. 	Прямоугольный треугольник
Для вычисления сторон прямоугольного треугольника можно применять теорему Пифагора.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы с равен сумме квадратов катетов а и Ь:
с2 = a2 -f Ь2.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведе-
JL
ния его катетов: S = -у.
На рисунке 138 на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображены прямоугольные треугольники, у которых катеты а и Ь (за исключением одного треугольника) состоят из нескольких сторон клеток. Находим а и Ь по рисунку, а затем площади треугольников по фор-
муле 5 =
Рис. 138
Получаем соответственно: S = ^ = 1,5;
а Л
q Q/b 1 * 4 л. & оЪ 2*2 л. л оЪ 2*5 о к
S=y = -у = 2,5 = у = -£- = 2,5= — = — = 2,5.
В последнем случае катеты а и 6 прямоугольного треугольника равны и являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами, равными 1см и 2 см (рис. 138). Находим эти гипотенузы по теореме Пифагора (\/12 -I- 22 = л/5), а затем площадь указанного прямоугольного
треугольника по формуле S = ^ = 2,5.
15*


§16. Планиметрия: площади фигур
227
На рисунке 139 на координатной плоскости изображён прямоугольный треугольник АТС. Точки А, Т и С имеют координаты А(А\ 10), Т(4; 2), С(8;2).
Катеты АТ и ТС этого треугольника параллельны координатным осям. Поэтому длина АТ равна разности ординат точек А и Т (из большей ординаты вычитается меньшая: АТ = 10 — 2 = 8). Длина ТС равна разности абсцисс точек С и Т (из большей абсциссы вычитается меньшая: ТС = 8 - 4 = 4). Тогда площадь Sat с треугольника АТС
АТ•ТС 8 • 4 находим по формуле Satc = ^ = ~2~ =
Длина АС находится по теореме Пифагора: АС2 — ТС2 + АТ2.
АС2 = 42 + 82 = 16 + 64 = 80. АС = у/80.
669. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён
треугольник (см. рис. 140). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
1
см
Рис. 140
16.3aK.N9H1


228
Глава I. Задания базового уровня сложности
670. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 141). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
i
ш
i
I
i
%
%
ш
%
/У/
Рис. 141
671. Найдите площадь треугольника (в см2), вершины которого имеют координаты (4; 2), (6; 2), (4; 10) (см. рис. 142).
672. 	Найдите площадь треугольника (в см2), вершины которого имеют координаты (4; 10), (0; 2), (4; 2) (см. рис. 143).


§16. Планиметрия: площади фигур
229
16.2. 	Треугольник
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны а на высоту Л, проведённую к этой стороне: л ah
т*
На рисунке 144 изображены некоторые треугольники, у которых a — одна из сторон треугольника, a h — высота этого треугольника, проведённая к стороне a ( h — расстояние от вершины, противолежащей этой стороне, до прямой, проходящей через эту сторону).
Как правило, для нахождения площади удобно брать ту сторону, которая проходит по линиям клетчатой бумаги (или же проходит параллельно осям координат).
Рис. 144
Площади треугольников, расположенных в углах рисунка 144, рав- ны соответственно: 5=^ = ^= 6; 5=^ = ^ = 2;
п ah 2*3 о. с ah 5*3 7 г
~2 = ~2~ = ~2 ~ ~2~ ~
673. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён
треугольник (см. рис. 145). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Рис. 145
Рис. 146


230
Глава /. Задания базового уровня сложности
674. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 146 на с. 229). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
675. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 147). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
4
/
А
— S
\
\
-■/- г -
"■S
Sr-
1
Рис. 147
Рис. 148
676. 	Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 148). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
16.3. 	Прямоугольник
Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: S = ab.
На рисунке 149 изображены некоторые прямоугольники, у которых показаны смежные стороны а и 6.
Рис. 149
Если стороны прямоугольника лежат на линиях клетчатой бумаги, то площадь прямоугольника вычисляем, определяя по рисунку длины смежных сторон. Площади прямоугольников, изображённых в верхней части рисунка 149, соответственно равны: S = а Ь = 4-2 = 8; S = а • b = 3*2 = 6.


§ 16. Планиметрия: площади фигур
231
Если сторона прямоугольника не лежит на линии клетчатой бумаги, то её длину определяем по теореме Пифагора как гипотенузу соответствующего прямоугольного треугольника. Площади прямоугольников, изображённых в нижней части рисунка 149 (см. с. 230), соответственно равны: S = a • Ь = у/22 + 22 • у/22 + 22 = у/8 • у/& = 8; S = a-b= у/12 + 22 • у/А2 + 22 = у/5 • \/20 = \Ябб = 10.
677. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён прямоугольник (см. рис. 150). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Рис. 150
v-
-~4
т
5 -
1
"тг
Рис. 151
678. Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 (см. рис. 151). Ответ дайте в см2.
679. Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 152). Ответ дайте в см2.
Л
а
$
%
§
&
§
&
$
1
см
Рис. 152
Рис. 153
680. 	Найдите площадь прямоугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 153). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.


232
Глава /. Задания базового уровня сложности
681. 	Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке 154, вершины которого имеют координаты Л(4;0), В(0;6), С(3; 8), D(7; 2).
Рис. 155
682. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке 155, вершины которого имеют координаты А(3; 0), D(0; 6), В(7; 2), С(4; 8).
683. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке 156, вершины которого имеют координаты (2; 4), (5; 1), (7; 9), (10; 6).
684. 	Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке 157, вершины которого имеют координаты (2; 11), (4; 3), (6; 12), (8; 4).


§ 16. Планиметрия: площади фигур
233
16.4. 	Трапеция
Напомним, что трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований (а + Ъ) на высоту (Л):
^ (a 4- b)h
2 *
На рисунке 158 изображены некоторые трапеции, у каждой из которых показаны основания а и 6 и высота h.
Рис. 158
Тогда площади двух трапеций, расположенных в верхней части рисунка 158, равны соответственно: S = = (11. _ 3.
с (а + b)h _ (3 4-1)2 __ .
2 “ 2
685. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена
трапеция (см. рис. 159). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.
У
\
/
\
\
1 см
Рис. 159
Рис. 160
686. 	Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге
с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 160). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.


234
Глава I. Задания базового уровня сложности
687. 	Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3; 1), (7; 1), (7; 7), (9; 7) (см. рис. 161).
688. 	Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 162.
16.5. 	Ромб
Напомним, что ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делятся пополам точкой пересечения.
На рисунке 163 приведены чертежи некоторых ромбов, у которых показаны диагонали.
\\
k-U
<1\\
\\
А
В
V 1
D
С
Рис. 163
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: _ d\d,2 2 *
Обратите внимание на то, что площади ромбов для рисунков В uD легко посчитать по этой формуле, а для рисунков А и С сначала придёт-


§16. Планиметрия: площади фигур
235
ся вычислить длины диагоналей. Например, для рисунка А длины диагоналей вычислим по теореме Пифагора: d\ = d2 = л/12 + З2 = \/1б,
SA = = 5.
На рисунках В и D диагонали каждого из ромбов проходят по линиям клеток, считаем их длину по рисунку. Диагонали ромба В равны 6 и 4, диагонали ромба D равны 2 и 4. Найдём их площади.
SB = ^ = I2’ Sd = ^ = 4.
689. 	Найдите площадь ромба С, изображённого выше (см. рис. 163
на с. 234).
690. 	Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 164). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Рис. 164
691. 	Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 165). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Рис. 165


236
Глава I. Задания базового уровня сложности
692. 	Найдите площадь заштрихованной фигуры на координатной плоскости (см. ри^ 166).
Рис. 166
16.6. Произвольный многоугольник
Площадь произвольного многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, можно находить в два этапа. Сначала следует построить прямоугольник, содержащий заданный многоугольник. Затем от площади этого прямоугольника необходимо вычесть площади тех фигур, которые дополняют заданный многоугольник до построенного прямоугольника. Этот метод можно также использовать для поиска площадей уже рассмотренных нами фигур: треугольника, прямоугольника, ромба, трапеции.
693. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 167). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Рис. 167 Рис. 168
694. 	Найдите площадь четырёхугольника (в см2), изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 168).


§16. Планиметрия: площади фигур
237
695. 	Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 169). Ответ дайте в квадратных санти-
Рис. 169
Рис. 170
696. 	Найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 170). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
16.7. Круг и сектор
Площадь круга равна произведению числа 7г на квадрат радиуса: S = тг Я2.
Площадь сектора с углом а градусов равна .
оОи
697. 	Найдите площадь S крута, считая стороны клеток равными 1
(см. рис. 171). В ответе укажите —.
7Г
У
S
N
1
V
\
/
\
у
ч
/
0^
Рис. 171 Рис. 172
698. 	Найдите площадь S круга, считая стороны клеток равными 1
с
(см. рис. 172). В ответе укажите —.
7Г


238
Глава I. Задания базового уровня сложности
699. 	На клетчатой бумаге (см. рис. 173) нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 97г. Найдите площадь S заштрихованной фигуры.
с
В ответе запишите результат —.
4
£:
'А.
ш
У // /
д
/ —
%
Ш
ш
(///г.
//>/
'///^
у// А / А/ 4
^ с,
V
//
У
£
у
У/
У
У*
>
У
Я
У
У/
>
%
<4
'а
У
'а
/ j
/У
Рис. 173 Рис. 174
700. 	На клетчатой бумаге (см. рис. 174) нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 7г. Найдите площадь S заштрихованной фигуры.
с
В ответе запишите результат —.
7Г
1701. | Найдите площадь S заштрихованного сектора (см. рис. 175 А\ счи-
Q
тая стороны клеток равными 1. В ответе укажите —.
—
Л
Ъ Г
\vi
к
j
V
В)
Рис. 175
702. 	Найдите площадь 5 заштрихованного сектора (см. рис. 175 В), счи-
с
тая стороны клеток равными 1. В ответе укажите —.


Задания для контроля
239
703. 	Найдите площадь фигуры (в см2), изображённой на клетчатой бу-
с
маге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите результат —
Рис. 176 Рис. 177
704. 	Найдите (в см2) площадь S заштрихованной фигуры, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис. 177). В ответе
укажите
Задания для контроля Вариант 1
1. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён тре-
2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 179). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.


240
Глава I. Задания базового уровня сложности
3. 	Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке 180.
a
! I
1 3 5
Рис. 180
4. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1; 4), (5; 3), (3; 2) (см. рис. 181).
5. Найдите площадь S кольца, ограниченного окружностями, считая сто-
с
роны клеток равными 1 (см. рис. 182). В ответе укажите —.
7Г
Рис. 182
Вариант 2
1. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис. 183). Найдите её площадь в квадратных сантиметрах.
Рис. 183


Задания для контроля
241
2. 	Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (1; 2), (1; 5), (3; 3), (3; 6) (см. рис. 184).
3. Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты (1; 0), (6;3), (5; 6), (0; 3) (см. рис. 185).
4. Найдите площадь S треугольника, считая стороны квадратных клеток равными 1 (см. рис. 186).
Ё
Рис. 186
Рис. 187
5. 	Найдите площадь S кольца, считая стороны клеток равными 1
с
(см. рис. 187). В ответе укажите —.
7Г
Вариант 3
1. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён треугольник (см. рис. 188). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Рис. 188


242
Глава /. Задания базового уровня сложности
2. 	Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1; 2), (3; 5), (6; 5), (6; 2) (см. рис. 189).
3. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на рисунке 190.
4. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён прямоугольник (см. рис. 191). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Рис. 191 Рис. 192
5. 	Найдите площадь S заштрихованного сектора, считая стороны клеток
с
равными 1 (см. рис. 192). В ответе укажите
Вариант 4
1. 	Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 193.
Рис. 193


Задания для контроля
243
2. 	На рисунке 194 изображён треугольник. Найдите его площадь.
3. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (2; 2), (12; 2), (10; 12), (6; 12) (см. рис. 195).
4. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображён четырёхугольник (см. рис. 196). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
<<
Ss
4s
<<
>
ч;
S:
X
Л
/ч
s'
N
1
X
Л
S
S
А
X
\1
К
X
S:
X
<
s>
\
s>
^ 1
S:
X
s>
s\
\
S:
х
X
s>
\
s'
N
1
см
X
V
>>
Рис. 196 Рис. 197
5. 	На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображены две окружности (см. рис. 197). Найдите площадь S заштрихованной фигуры в
квадратных сантиметрах. В ответе укажите —.


244
Глава I. Задания базового уровня сложности
§ 17. Планиметрия: углы и длины
17.1. 	Свойства треугольника
Сумма длин трёх сторон треугольника называется его периметром. Раавс = АВ + ВС + АС.
Сумма углов треугольника равна 180°. На рисунке 198 ZA + ZB + ZC = 180°.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким- нибудь углом этого треугольника. Сумма внешнего угла треугольника и смежного с ним угла составляет 180°.
Например, Z4 и Z3 — смежные, следовательно, Z4 — внешний угол треугольника ABC (см. рис. 199). Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Угол 4 — внешний угол треугольника ABC. Z4 = Z1 + Z2.
Два треугольника будут равны при выполнении любого из трёх условий:
— три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника;
— две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника;
— сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Рис. 198
Bj
Рис. 199


§17. Планиметрия: утлы и длины
245
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны (или её продолжения) и перпендикулярный этой стороне, называется высотой треугольника.
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. На рисунке 200 MN — средняя линия треугольника ABC.
Средняя линия треугольника параллельна его стороне и равна половине этой стороны. MN || АС, MN = \^С.
Треугольник, у которого две стороны равны между собой, называют равнобедренным, равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, проведённые из вершины, совпадают.
Треугольник, у которого один угол прямой, называют прямоугольным. Стороны прямого угла прямоугольного треугольника называют катетами, а сторону, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Для вычисления длин отрезков применяют теорему Пифагора. Если а и Ъ — катеты прямоугольного треугольника, ас — гипотенуза, то
с2 = а2 + Ь2.
Медиана, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника.


246
Глава I. Задания базового уровня сложности
705. 	На рисунке 201 угол 1 равен 52°, угол 2 равен 26°, угол 3 равен 48°. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.
706. На рисунке 201 угол 3 равен 47°, угол 2 равен 35°, угол 4 равен 125°. Найдите угол 1. Ответ дайте в градусах.
707. В треугольнике ABC угол С равен 108°, биссектриса CD является перпендикуляром к АВ (см. рис. 202). Найдите угол DBC. Ответ выразите в градусах.
708. 	В треугольнике ABC угол С равен 106°, биссектриса CD является перпендикуляром к АВ (см. рис. 202. Найдите угол CAD. Ответ выразите в градусах.
709. 	В треугольнике ABC угол А равен 62°, угол В равен 76°. AL, BN и С К — биссектрисы, пересекающиеся в точке О (см. рис. 203 на с. 247). Найдите угол АОК. Ответ дайте в градусах.


§17. Планиметрия: углы и длины
247
710. 	В треугольнике ABC угол А равен 50°, угол В равен 30°. AL, BN и СК — биссектрисы, пересекающиеся в точке О (см. рис. 204). Найдите угол BOL. Ответ дайте в градусах.
Рис. 204
711. 	В треугольнике ABC угол А равен 44°, угол В равен 72°, AD, BE, CF — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол СОЕ (см. рис. 205). Ответ дайте в градусах.
С
Рис. 205
712. 	В треугольнике ABC угол А равен 46°, угол В равен 70°, AD, BE, CF — высоты, пересекающиеся в точке О. Найдите угол COD (см. рис. 205). Ответ дайте в градусах.


248
Глава I. Задания базового уровня сложности
713. 	Острые углы прямоугольного треугольника равны 39° и 51°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах (см. рис. 206).
А
D Н Рис. 206
714. 	Острые углы прямоугольного треугольника равны 37° и 53°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах (см. рис. 206).
715. 	Острые углы прямоугольного треугольника равны 34° и 56°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла (см. рис. 207). Ответ дайте в градусах.
716. 	Острые углы прямоугольного треугольника равны 35° и 55°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла (см. рис. 207). Ответ дайте в градусах.
1717.1В треугольнике МРК угол Р равен 35° (см. рис. 208), угол К равен 95°, MB — биссектриса, Е — такая точка на МР, что ME = МК. Найдите угол РВЕ. Ответ дайте в градусах.
Рис. 208


§17. Планиметрия: углы и длины
249
718. В треугольнике МРК угол Р равен 38° (см. рис. 208 на с. 248), угол К равен 92°, MB — биссектриса, Е — такая точка на МРУ что ME = МК. Найдите угол МВЕ. Ответ дайте в градусах.
719. В прямоугольном треугольнике ABC внешний угол при вершине В равен 112°, Z.C — острый (см. рис. 209). АО — медиана треугольника ВАС. Найдите угол АОС. Ответ выразите в градусах.
А/
720. 	В прямоугольном треугольнике ABC внешний угол при вершине В равен 110°, ZC — острый (см. рис. 209). АО — медиана треугольника ВАС. Найдите угол АОС. Ответ выразите в градусах.
721. 	Основания трапеции АВ и DC равны 14 и 10 соответственно (см. рис. 210). Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ BD.
722. 	Основания трапеции АВ и DC равны 12 и 20 соответственно (см. рис. 210). Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ BD.


250
Глава I. Задания базового уровня сложности
723. 	Средняя линия трапеции равна 22. Одна из диагоналей делит её на два отрезка, разность которых равна 4. Найдите меньшее основание трапеции (см. рис. 211).
Рис. 211
724. 	Средняя линия трапеции равна 25. Одна из диагоналей делит её на два отрезка, разность которых равна 7. Найдите меньшее основание трапеции (см. рис. 211).
725. 	Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Большая сторона параллелограмма равна 14. Найдите меньшую сторону параллелограмма (см. рис. 212).
726. 	Точка пересечения биссектрис двух углов прямоугольника, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона прямоугольника равна 4. Найдите большую сторону прямоугольника (см. рис. 213).


§17. Планиметрия: углы и длины
251
727. 	Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 5 : 6, считая от вершины тупого угла (см. рис. 214). Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 68.
D
728. 	Биссектриса угла С прямоугольника ABCD делит противоположную сторону AD в отношении 2 : 7, считая от вершины угла Л (см. рис. 215). Найдите меньшую сторону прямоугольника, если его периметр равен 64.
729. 	Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 3 (см. рис. 216). Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.
Рис. 216
730. Один из внешних углов треугольника равен 56°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 5 (см. рис. 217). Найдите наибольший из них (в градусах).
731. В треугольнике ABC угол А равен 48°. На продолжении стороны АВ отложен отрезок BD — ВС, ZACD = 102°. Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах (см. рис. 218).
С
Рис. 218


252
Глава I. Задания базового уровня сложности
732. 	В треугольнике ABC угол А равен 58°, а угол В равен 102°. На стороне АС этого треугольника взята точка D так, что ВС = DC. Найдите угол CBD. Ответ дайте в градусах (см. рис. 219).
Рис. 219
733. 	Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону ВС
(см. рис. 220), если стороны квадратных клеток равны у/2.
Рис. 220
Рис. 221
734. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону ВС (см. рис. 221), если стороны квадратных клеток равны у/2.
735. В треугольнике ABC АВ = ВС = 8, ZВАН = 60° (см. рис. 222). Найдите высоту АН.
736. 	В треугольнике ABC АВ = ВС = у/8, ZBAH = 45° (см. рис. 223). Найдите высоту АН.


§17. Планиметрия: углы и длины
253
17.2. Окружность. Касательные, секущие, хорды
Окружность — это множество точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии отданной точки (центра).
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности, называется радиусом.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной, к — касательная, ОМ — радиус, проведённый к точке касания (см. рис. 224).
Рис. 224
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
Свойства касательных и секущих
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр окружности и эту общую точку.
Пусть дана окружность с центром О, МР и МК — касательные, К и Р — точки касания. Тогда МР — МК, Zl == Z2, OP2 + РМ2 = ОМ2 (см. рис. 225).
3. Если касательная и секущая проведены из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат отрезка касательной равен произведению


254
Глава I. Задания базового уровня сложности
расстояний от общей точки прямых до точек пересечения секущей с окружностью.
Пусть дана окружность с центром О, МК — секущая, МР — касательная, Р — точка касания. Тогда МР2 = МК • МК\ (см. рис. 226).
Хорда — это отрезок, концы которого лежат на окружности. АВ — хорда, ^АВ — дуга (см. рис. 227).
Дуга — это часть окружности, соединяющая две точки окружности (см. рис. 227).
Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.
О — центр окружности, ZAOB — центральный угол, опирающийся на дугу В А (см. рис. 228).
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.


§ 17. Планиметрия: углы и длины
255
Пусть точки А, В, С лежат на окружности, тогда ZBAC — вписанный угол, опирающийся на дугу ВС (см. рис. 229).
1. Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается.
О — центр окружности, А и В лежат на окружности. ZAOB = '-'АВ (см. рис. 228 на с. 254).
2. Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
/.ВАС = |~ВС(см. рис. 229).
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
А, В, М, С лежат на окружности. LABC = ZAMC (см. рис. 230).


256
Глава I. Задания базового уровня сложности
4. 	Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90° (см. рис. 231).
5. 	Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
В А — хорда, ВС — касательная => ZABC =
(см. рис. 232).
6. 	Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключённую между касательной и хордой.
ВА — хорда, ВС — касательная => ZABC = Z.ADB (см. рис. 232).
737. 	Найдите угол АСО, если прямая С А касается окружности в точке Л, точка О — центр окружности, дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 128° (см. рис. 233). Ответ дайте в градусах.
Рис. 233


§17. Планиметрия: углы и длины
257
738. Найдите угол СВО, если сторона ВС касается окружности, а меньшая дуга окружности АС, заключённая внутри этого угла, равна 67° (см. рис. 234). Ответ дайте в градусах.
739. Угол АС О равен 38°. Его сторона С А касается окружности, точка О — центр окружности. Найдите градусную величину большей дуги (AD) окружности, заключённой внутри этого угла (см. рис. 235).
740. Угол АС О равен 40°. Его сторона С А касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги (AD) окружности, заключённой внутри этого угла (см. рис. 235).
741. 	Найдите угол АСВ, если вписанные углы AM В и МАК опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 106° и 42° (см. рис. 236). Ответ дайте в градусах.
742. 	Вписанные углы BAD и ADC опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 22° и 58° (см. рис. 237). Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
В
17.3ак. № 111


258
Глава I. Задания базового уровня сложности
743. 	Угол АС В равен 26°. Градусная величина дуги АВ окружности, не содержащей точек К и L, равна 80° (см. рис. 238). Найдите угол KAL. Ответ дайте в градусах.
744. 	Угол АС В равен 28°. Градусная величина дуги АВ окружности, не содержащей точек К и L, равна 76° (см. рис. 238). Найдите угол KAL. Ответ дайте в градусах.
745. 	Хорда АВ стягивает дугу окружности в 104°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах (см. рис. 239).
Рис. 239
746. 	Хорда АВ стягивает дугу окружности в 102°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах (см. рис. 239).
1 г


§17. Планиметрия: углы и длины
259
747. 	В окружности с центром О АВ и CD — диаметры (см. рис. 240). Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол ABC. Ответ дайте в градусах.
748. 	В окружности с центром О АВ и CD — диаметры (см. рис. 240). Центральный угол AOD равен 106°. Найдите вписанный угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Описанные и вписанные окружности
Окружность называют вписанной в угол или многоугольник (в частности, в треугольник), если она касается всех сторон соответствующего угла или многоугольника (см. рис. 241).
Рис. 241
Окружность называют описанной вокруг многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности (см. рис. 242).
18. 	Зак.№111
Рис. 242


260
Глава I. Задания базового уровня сложности
1. 	Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла. Пусть окружность с центром О вписана в угол ВАС. Тогда ZBAO = ZCAO (см. рис. 243).
Рис. 243
2. 	Если в многоугольник можно вписать окружность, то её центр — точка пересечения биссектрис всех его углов.
Пусть точка О — центр вписанной в ААВС окружности. Тогда ВО, СО, АО — биссектрисы углов ААВС (см. рис. 244).
Рис. 244
3. 	Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Пусть окружность вписана в четырёхугольник ABCD. Тогда
AD + ВС = АВ + DC = (см. рис. 245 на с. 261), где Р — периметр этого четырёхугольника.
18*


§17. Планиметрия: углы и длины
261
В
4. 	Центр окружности, описанной около многоугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
О — центр окружности, описанной около треугольника ABC (см. рис. 246).
5. 	Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середана гипотенузы.
Пусть окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника ABC. Тогда диаметр этой окружности — гипотенуза треугольника ABC, точка О лежит на АС, /.В = 90°, АО = ОС = ОВ (см. рис. 247).


262
Глава /. Задания базового уровня сложности
6. Радиус г окружности, вписанной в треугольник со сторонами
с
а, Ь и с, можно вычислить по формуле г = —, где 5 — площадь треугольника, ар — полупериметр. Радиус Rокружности, описанной около треугольника со сторонами а, Ь и с, можно вычислить по формуле
R = где 5 — площадь треугольника. Для нахождения радиуса R описанной окружности можно применять также теорему синусов:
О/ 6 с 2Л
sin A sin В sin С
где А, В и С — углы, лежащие соответственно против сторон а, 6 и с.
7. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают, центр лежит на высоте треугольника и делит её в отношении 2:1, считая от вершины.
8. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°. ABCD вписан в окружность (см. рис. 248). /-А + ZC = Z.B + Z.D = 180°.
В
9. 	Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.
749. 	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 113°, угол DAC равен 52°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах (см. рис. 249).
750. 	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол DAC равен 50°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах (см. рис. 249).


§17. Планиметрия: углы и длины
263
751. 	Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 120° и 82° (см. рис. 250). Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
752. 	Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 29° и 43°. Найдите больший из оставшихся углов (см. рис. 251). Ответ запишите в градусах.
753. 	Точки А, Ву С, D, расположенные на окружности, являются вершинами четырёхугольника ABCD. Градусные величины углов А, В и D относятся соответственно как 5:2:6 (см. рис. 252). Найдите угол С четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.
754. 	Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, являются вершинами четырёхугольника ABCD. Градусные величины углов Д В и D относятся соответственно как 24 : 10 : 30 (см. рис. 252). Найдите угол С четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.


264
Глава I. Задания базового уровня сложности
755. 	Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 4 : 7: 9 (см. рис. 253). Найдите большую сторону этого четырёхугольника, если известно, что периметр его равен 338.
756. 	Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 4 : 3: 5 (см. рис. 253). Найдите меньшую сторону этого четырёхугольника, если известно, что периметр его равен 216.
| 757.1 Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 42, её большая боковая сторона равна 12 (см. рис. 254). Найдите радиус окружности.
Рис. 254


§17. Планиметрия: углы и длины
265
758. 	Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 86, её большая боковая сторона равна 27 (см. рис. 255). Найдите радиус окружности.
759. 	Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 132, две его стороны (в последовательном порядке) равны 15 и 21 (см. рис. 256). Найдите большую из оставшихся сторон.
760. 	Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 136, две его стороны (в последовательном порядке) равны 16 и 23 (см. рис. 256). Найдите меньшую из оставшихся сторон.
1761.1 	Меньшая сторона прямоугольника равна 12, угол между диагоналями равен 60°. Найдите радиус описанной окружности (см. рис. 257).
Рис. 257


266
Глава I. Задания базового уровня сложности
762. 	Меньшая сторона прямоугольника равна 5, больший угол между диагоналями равен 120°. Найдате радиус описанной окружности (см. рис. 258).
763. 	Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 9 и Зл/7 (см. рис. 259).
764. 	Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 7 и Ау/2 (см. рис. 259).
1765. | Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 25, основание равно 30. Найдите радиус вписанной окружности (см. рис. 260).
766. 	Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13, основание равно 24. Найдите радиус вписанной окружности (см. рис. 260).


§17. Планиметрия: углы и длины
267
767. В равнобедренном треугольнике с основанием 6 и высотой, проведённой к основанию, равной 4, найдите радиус описанной окружности (см. рис. 261).
768. В равнобедренном треугольнике с основанием 8 и высотой, проведённой к основанию, равной 8, найдите радиус описанной окружности (см. рис. 261).
В
769.1 	Сторона АВ треугольника ABC равна 7. Противолежащий ей угол С равен 30°. Найдите радиус R окружности, описанной около этого треугольника (см. рис. 262).
Рис. 262
770. 	Сторона АВ треугольника ABC равна 8>/3- Противолежащий ей угол С равен 60°. Найдите радиус Я окружности, описанной около этого треугольника (см. рис. 263).
771. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 5\/3 (см. рис. 264). Найдите сторону этого треугольника.
772. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 7\/3 (см. рис. 264). Найдите сторону этого треугольника.
В
Рис. 264


268
Глава I. Задания базового уровня сложности
Задания для контроля Вариант 1
1. 	В треугольнике ABC угол А равен 38°, угол С равен 58°. На продолжении стороны АВ отложен отрезок В К = ВС. Найдите угол К треугольника ВСК. Ответ дайте в градусах (см. рис. 265).
2. 	Угол АСО равен 32°. Его сторона С А в точке А касается окружности с центром в точке О. Найдите градусную величину дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла (см. рис. 266). Ответ дайте в градусах.
3. 	Хорда РК делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 11 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки М, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах (см. рис. 267).
Рис. 267


Задания для контроля
269
4. 	Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 18 (см. рис. 268).
5. 	Около трапеции описана окружность (см. рис. 269). Периметр трапеции равен 142, средняя линия равна 50. Найдите боковую сторону трапеции.
Вариант 2
1. 	Один из внешних углов треугольника равен 72°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 5 :13. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах (см. рис. 270).
2. 	В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 50°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах (см. рис. 271).
Рис. 271


270
Глава /. Задания базового уровня сложности
3. 	Найдите угол АСО, если его сторона С А касается окружности в точке А, О — центр окружности, а меньшая дуга окружности АВ, заключённая внутри этого угла, равна 71°. Ответ дайте в градусах (см. рис. 272).
4. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен Бу/12 (см. рис. 273).
5. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной 5\/2 (см. рис. 274).
Рис. 274
Вариант 3
1. Углы треугольника относятся как 2:3:7. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.
2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 27° и 63°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах (см. рис. 275).


Задания для контроля
271
3. 	Хорда АВ стягивает дугу окружности в 104°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах (см. рис. 276).
4. 	Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 65°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах (см. рис. 277).
5. 	Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 2:3:4. Найдите большую сторону этого четырёхугольника, если известно, что его периметр равен 36 (см. рис. 278).
К
Рис. 278


272
Глава I. Задания базового уровня сложности
Вариант 4
1. 	В треугольнике МРК МК = РК = 18\/3, угол К равен 120°. Найдите высоту МН (см. рис. 279).
D
Н
Р А
Рис. 279
2. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, А В = 11, CD = 24 (см. рис. 280). Найдите периметр четырёхугольника.
3. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 31°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах (см. рис. 281).
4. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника МРК, если стороны клеток равны 1 (см. рис. 282).
С
В
5. 	Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, её большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности (см. рис. 283).
Рис. 283


§ 18. Практические задания по планиметрии 273
§ 18. Практические задания по планиметрии
|При решении предлагаемых заданий следует использовать теоретические сведения из двух предыдущих параграфов, посвящённых планиметрии.
773. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 0,5 км. Чему равно расстояние между городами А и В (в километрах), если на карте оно составляет 6 см?
774. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 0,4 км. Чему равно расстояние между городами А и В (в километрах), если на карте оно составляет 10 см?
775. На рисунке 284 показано, как выглядит колесо с 4 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 10°?
776. 	На рисунке 284 показано, как выглядит колесо с 4 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен Рис. 284
18°?
1777.1 Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 30 м и 60 м (см. рис. 285). Дом, расположенный на участке, также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 6 м и 4 м. Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.
60 м 40 м
6 м
8 м
«■о
30 м
5мГП
20 м
Рис. 285 Рис. 286
778. 	Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 20 м и 40 м (см. рис. 286). Дом, расположенный на участке, также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 8 м и 5 м. Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.


274
Глава I. Задания базового уровня сложности
779. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и
3 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 30 см и 25 см. Сколько потребуется таких дощечек?
780. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 6 м и
4 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 15 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
781. 	Частная спортивная площадка имеет форму прямоугольника со сторонами 30 метров и 35 метров (см. рис. 287). Хозяин планирует обнести её изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 20 метров. Найдите суммарную длину изгороди в метрах.
20 м
30 м
35 м
Рис. 287
782. 	Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 30 метров и 35 метров (см. рис. 287). Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 20 метров под строительство дома. Найдите суммарную длину изгороди, ограждающую весь участок не для дома. Ответ дайте в метрах.
783. 	Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1200 м и 600 м. Одна из больших сторон (см. рис. 288) идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.
1200 м 1800 м
600 м
Рис. 288
750 м
Рис. 289
784. 	Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1800 м и 750 м. Одна из больших сторон (см. рис. 289) идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.


§ 18. Практические задания по планиметрии
275
785. 	От столба к палатке «Мороженое» натянут провод длиной 13 м, который закреплён на стене палатки на высоте 3 м от земли (см. рис. 290). Вычислите высоту столба, если расстояние от палатки до столба равно 12 м.
Рис. 290
Рис. 291
786. От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 7 м от земли (см. рис. 291). Расстояние от дома до столба 12 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.
787. Пожарную лестницу длиной 15 м поставили к окну дома (см. рис. 292). Нижний конец лестницы отстоит от стены на 9 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.
Рис. 292
Рис. 293
788. 	Пожарную лестницу длиной 17 м поставили к окну дома (см. рис. 293). Нижний конец лестницы отстоит от стены на 8 м. На какой высоте расположено окно? Ответ дайте в метрах.


276
Глава I. Задания базового уровня сложности
789. 	Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 20 шагов от фонарного столба и отбрасывает тень длиной в 20 шагов (см. рис. 294). Определите высоту столба в метрах.
С
X
В/'
1,8 м
/ г
г
20 шагов 1
£ 20 шагов
Рис. 294
790. 	Человек, рост которого равен 2 м, стоит на расстоянии 4,5 м от уличного фонаря (см. рис. 295). При этом длина тени человека равна 1,5 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
2 м


Задания для контроля
277
791. 	Детская горка укреплена вертикальным столбом, расположенным посередине спуска (см. рис. 296). Найдите высоту L этого столба, если высота Н горки равна 7 метрам. Ответ дайте в метрах.
792. 	Детская горка укреплена вертикальным столбом, расположенным
о
на расстоянии уI от основания спуска, где I — длина всего спуска (см.
рис. 297). Найдите высоту L этого столба, если высота Я горки равна 3,5 метров. Ответ дайте в метрах.
Задания для контроля Вариант 1
1. 	Квартира состоит из комнаты, коридора, кухни и санузла (см. рис. 298). Кухня имеет размеры 3 м х 3 м, санузел 2,5 мх 2 м, длина комнаты 6 м. Определите площадь коридора в квадратных метрах.
3 м 6м
кухня
комната
с/у
коридор
2м
Рис. 298


278
Глава I. Задания базового уровня сложности
2. 	Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 42 метра и 23 метра (см. рис. 299). Хозяин планирует обнести его забором и разделить таким же забором на две части, одна из которых имеет форму квадрата. Найдите общую длину забора в метрах.
42 м
23 м
Рис. 299
3. 	Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом (см. рис. 300). Найдите высоту I этого столба, если наименьшая высота hi перил относительно земли равна 1,2 м, а наибольшая высота /&2 равна 2,4 м. Ответ дайте в метрах.
Ь,
Рис. 300
4. Диагональ прямоугольного телевизионного экрана равна 180 см, а ширина — 144 см (см. рис. 301). Найдите высоту экрана. Ответ укажите в сантиметрах.
5. В квартире две прямоугольные комнаты. Размеры первой комнаты 7 м х 4 м, а размеры второй комнаты — 6 м х 5 м. Какая из этих комнат больше по площади? В ответ запишите площадь этой комнаты в квадратных метрах.
144 см Рис. 301
Вариант 2
1. 	На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 12,7 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 3 м, а длина —
4,2 	м (см. рис. 302 на с. 279). На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от значения, указанного на плане?


Задания для контроля
279
4,2 	м
40 м
3 м
22 м
Рис. 302
Рис. 303
2. Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 22 м и 40 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м (см. рис. 303).
3. На рисунке 304 изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 10 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
4. 	Диагональ прямоугольного телевизионного экрана равна 250 см, а высота — 150 см (см. рис. 305). Найдите ширину экрана. Ответ укажите в сантиметрах.
777777777777
v777/
Рис. 304
Рис. 305


280
Глава /. Задания базового уровня сложности
5. 	В спортивном центре два плавательных бассейна. Размеры первого бассейна 25 м х 10 м, а размеры второго — 20 м х 15 м. В каком из этих бассейнов площадь поверхности воды больше? В ответ запишите площадь этого бассейна в квадратных метрах.
Вариант 3
1. Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 3,5 км. Чему равно расстояние между городами А и В (в километрах), если на карте оно составляет 8 см?
2. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 20 см. Сколько потребуется таких дощечек?
3. План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 мх 1 м (см. рис. 306). Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.
0
Рис. 307
4. На рисунке 307 показано, как выглядит колесо с 4 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 9°?
5. На местности расположены две прямоугольные спортивные площадки. Размеры первой площадки 20 м х 30 м, а размеры второй площадки 15 м х 35 м. Какая из этих спортивных площадок больше по площади? В ответ запишите площадь этой площадки в квадратных метрах.
Вариант 4
1. 	Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 25 км. Чему равно расстояние на карте между городами А и В, если на местности оно равняется 750 км? Ответ укажите в сантиметрах.
-<
п
Рис. 306


Задания для контроля
281
2. 	Два садовода, имеющих прямоугольные участки размером 20 м на 40 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 120 квадратных метров (см. рис. 308), причём граница участков проходит точно через центр пруда. Какова площадь (в квадратных метрах) оставшейся части участка каждого садовода?
3. 	Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 2 м и
3,3 	м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 8 см и 15 см. Сколько потребуется таких дощечек?
4. 	Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки в 20:00 (см. рис. 309)?
5. 	Участок земли для выпаса скота имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 300 м и 200 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль озера, а три другие огорожены забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.
Рис. 308
Рис. 309


282
Глава /. Задания базового уровня сложности
§ 19. Тригонометрия, координаты и векторы
19.1. 	Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором угол С равен 90° (см. рис. 310).
В
Стороны ВС и АС называются катетами, сторона АВ, лежащая против угла 90°, называется гипотенузой. Для угла А прилежащий катет АС (лежит на стороне угла), противолежащий катет ВС. Синусом угла называют отношение противолежащего катета
ВС АС
к гипотенузе. Для нашего треугольника sin А = sin В = .
Косинусом угла называют отношение прилежащего катета
АС ВС
к гипотенузе. Для нашего треугольника cos-А = cos В =
Обратите внимание, в одном и том же прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, т. е. sin А = cos В, sinB = cos Л.
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета
ВС АС
к прилежащему. Для нашего треугольника tg А — tg В —
ВС
Отметим, что tg А = = —4, аналогично tg В = •
ь AC cosA ь cos В
АВ
Используя определения и теорему Пифагора, можно получить основное тригонометрическое тождество:
sin2 А + cos2 А = 1.
Оно позволяет найти синус угла, если известен косинус этого угла, и наоборот. А именно, для острого угла sin А = vT^cos*~А; cos Л = л/1 — sin2 А.


§19. Тригонометрия, координаты и векторы
283
793. В треугольнике ABC угол С равен 90°, АВ = 20, АС = 16. Найдите sin А.
794. В прямоугольном треугольнике ABC угол С прямой. Найдите cos А, если АВ = 10\/2 и АС = 7у/2.
795. В прямоугольном треугольнике ABC известны катеты АС = 16, СВ = 12. Найдите sin В.
796. В треугольнике ABC угол С прямой. Известно, что ВС = 8у/3 и АС = 8. Найдите cos А.
1797.1В треугольнике ABC угол С равен 90°, cos А = 0,28. Найдите sin А.
798. В треугольнике ABC угол С равен 90°, sin А — 0,96. Найдите cos А.
799. В треугольнике ABC угол С равен 90°, sin А — Найдите tg В.
800. В треугольнике ABC Z.C — 90°, cos В = . Найдите tg Л.
801. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С ВС = Зу/17 и tg А = 4. Найдите АВ.
802. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С АС = 7\/5 и tg В = 2. Найдите АВ.
803. В треугольнике ABC угол С прямой. Известно, что АС = 8л/5 и ВС = 11V5. Найдите tg А
804. В треугольнике ABC угол С прямой. Известно, что АС = 3\/7 и ВС — 8\/7. Найдите tg А.
805. 	Найдите тангенс угла САВУ изображённого на рисунке 311. В от¬
вете укажите значение тангенса, умноженное на 3.
В
/
/
г
/
/
/
А
С
в
у
У
У
/
А
с
Рис. 311
Рис. 312
806. Найдите тангенс угла САВ, изображённого на рисунке 312.


284
Глава /. Задания базового уровня сложности
807. 	Найдите косинус угла MON. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на 5у/2 (см. рис. 313).
Рис. 313 Рис. 314
808. 	Найдите косинус угла MON. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на 7у/2 (см. рис. 314).
19.2. 	Высоты в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С две высоты АС и ВС являются катетами. Третья высота СН, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит треугольник на два прямоугольных треугольника, углы которых равны соответственно углам исходного треугольника (см. рис. 315)..
809. 	В треугольнике ABC угол С равен 90°, высота СН = 2л/54,
ВС = 15. Найдите cos В.
810. В треугольнике ABC угол С равен 90°, высота СН = 7, АС = 25. Найдите cos А
811. В треугольнике ABC угол С прямой, высота СН = 12, ВС = 15. Найдите sin А
812. В треугольнике ABC угол С прямой, высота СН = Зл/21, ВС = 15. Найдите sin А


§ 19. Тригонометрия, координаты и векторы
285
19.3. 	Равнобедренный треугольник
Равнобедренным треугольником называют треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, третью сторону называют основанием. Если в задаче дан равнобедренный треугольник, то пользуются его свойствами.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и биссектрисой (см. рис. 316).
С
813. В треугольнике ABC АС = ВС, АВ = 24, cos А = 0,6. Найдите АС.
814. В треугольнике ABC АС = ВС, АВ = 32, cos В = 0,8. Найдите ВС.
815. В равнобедренном треугольнике ABC основание АВ = 3, tg А = 5. Найдите высоту, опущенную на АВ.
816. В равнобедренном треугольнике ABC основание АВ = 5, tg А = 8. Найдите высоту, опущенную на АВ.
817. В треугольнике ABC АС = ВС, АВ = 24, cos А = 0,6. Найдите высоту СН.
818. В равнобедренном треугольнике ABC ВС = С А, АВ = 7, sin А = 0,96. Найдите длину высоты СН.
819. В равнобедренном треугольнике ABC ВС = С А = 15. Чему равна высота, опущенная на АВ, если sin Л = 0,9?
820. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что ВС = С А = 40. Чему равна высота, опущенная на АВ, если cos А = 0,28?
821. 	| В треугольнике ABC АС = ВС = 15, sin В = . Найдите АВ.
о
822. В треугольнике ABC АС = ВС = 14, sin В = Найдите АВ.
823. В треугольнике ABC АС — ВС = 20, АВ = 6%/39. Найдите sin А.
824. В треугольнике ABC АС = ВС = 32, АВ = 16V15. Найдите sin А.


286
Глава I. Задания базового уровня сложности
19.4. 	Тригонометрические функции тупого угла
Рассмотрим развёрнутый угол ВАК (см. рис. 317). Луч АР делит его на два смежных угла. По определению, синусы этих смежных углов равны, косинусы противоположны, то есть отличаются только знаком, а их тангенсы как отношения синуса к косинусу также отличаются знаком: sin /.РАК — sin /РАВ, cos /.РАК — — cos /РАВ,
tgZPAK = sinZ,^A/t = —tgZPAB. a cos ZPAK
P
ВАК Рис. 317
Например, если sin /LBАР = 0,6, то sin ZPAK = 0,6, cos ZBAP = 0,8, cos ZPAK = —0,8,
tgZPAK = = -°>75-
cos /РАК —0,8
825. 	В треугольнике ABC угол С равен 90°, cos Л = Найдите
тангенс внешнего угла при вершине А.
826. В треугольнике ABC угол С равен 90°, sin А = Найдите тан¬
генс внешнего угла при вершине А.
827. В треугольнике ABC угол С равен 90°, sin В = Найдите косинус внешнего угла при вершине В.
828. В треугольнике ABC угол С равен 90°, cos В = Найдите синус внешнего угла при вершине В.
829. 	В треугольнике ABC угол С равен 90°, косинус внешнего угла при
вершине А равен ВС = 2. Найдите 3 • АС.
830. 	В треугольнике ABC угол С равен 90°, синус внешнего угла при вершине Л равен ВС — Ъ. Найдите 4 АС.


§19. Тригонометрия, координаты и векторы
287
831. 	В параллелограмме ABCD sin С = 0,8 (см. рис. 318). Найдите cos D.
Рис. 318
832. 	В параллелограмме ABCD cos С = 0,6 (см. рис. 318). Найдите sin D.
19.5. 	Координаты точек Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху (см. рис. 319).
Длина отрезка АВ, для которого известны координаты его концов А(ха, Уа) и В{хв\ ув), определяется по формуле \АВ\ = у/(хв ~ ха)2 + (ув ~ Уа)2-
Координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ, вычисляются по формулам хс — ХЛ + ХВ - ус = UAstMB.
Z А
Если точки А и В симметричны относительно оси Ох (оси абсцисс), то их ординаты противоположны (см. рис. 320), а абсциссы равны: А(х; у), В(х; -у).
У‘
к
с
А
/1 .
оА
1В
Рис. 320
Если точки А и С симметричны относительно оси Oyt то их абсциссы противоположны, а ординаты равны: А(х; у), С(—х; у).
Если точки А и D симметричны относительно начала координат, то обе их координаты противоположны: А(х; y)yD{—x\ —у).


288
Глава I. Задания базового уровня сложности
1833. | Найдите абсциссу точки, симметричной точке А(2; 5) относительно оси Оу (см. рис. 321).
•А(2; 5)
О х
Рис. 321
834. Найдите ординату точки, симметричной точке А(2; 5) относительно оси Оу (см. рис. 321).
835. Найдите абсциссу точки, симметричной точке А(3,8) относительно начала координат (см. рис. 322).
• А(3, 8)
О
Рис. 322
836. 	Найдите ординату точки, симметричной точке А(3,8) относительно начала координат (см. рис. 322).
837. 	Точки А(—1; —2), В(4; —1), (7(6; 5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки Р пересечения его диагоналей (см. рис. 323).
Рис. 323
838. 	Точки А(—1; —2), В(4; -1), С(6; 5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки Р пересечения его диагоналей (см. рис. 323).


§ 19. Тригонометрия, координаты и векторы
289
839. 	Точки 0(0; 0), А(6;7), 5(5; 2), 0(1; 5) являются вершинами четырёхугольника. Найдите ординату точки Т пересечения его диагоналей (см. рис. 324).
840. 	Точки 0(0; 0), А(6; 7), В(5; 2), 0(1; 5) являются вершинами четырёхугольника. Найдите абсциссу точки Т пересечения его диагоналей (см. рис. 324).
841. 	Точки 0(0; 0), А( 16; 12), В(6; 8) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите, на сколько единиц ордината точки А больше ординаты точки В. В ответе укажите ординату точки D (см. рис. 325).
842. 	Точки 0(0; 0), А(16; 12), J3(6; 8) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите, на сколько единиц абсцисса точки А больше абсциссы точки В. В ответе укажите абсциссу точки D (см. рис. 325).
19. 	Зак. №111


290
Глава I. Задания базового уровня сложности
843. 	Точки А(—1; —2), jB(4; —1), С(6; 5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки D (см. рис. 326).
Рис. 326
844. 	Точки А(—1; —2), J3(4; —1), С(6; 5) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки D (см. рис. 326).
19.6. 	Векторы
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.
Вектор характеризуется модулем (длиной отрезка) и направлением. Два вектора, имеющие одинаковые модули и направления, равны. А два вектора, имеющие одинаковые модули и противоположные направления, противоположны.
Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначают АВ или строчной (маленькой) буквой, например сГ (см. рис. 327).
А
Рис. 327
Вектор, начало и конец которого совпадают, называют нулевым. Нулевой вектор направления не имеет.
Модуль (длину) вектора обозначают \АВ\ или | а].
Вектор, противоположный вектору <?, обозначают -a, -АВ = ВА.


§19. Тригонометрия, координаты и векторы
291
Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами (см. рис. 328). Заметим, что для любых точек А, В и С АБ + вб = АС.
Рис. 328
На первом рисунке сумма векторов находится по правилу треугольника, а на втором — по правилу параллелограмма.
Разность векторов тоже можно получить двумя способами: 'a — b = <?+(—&) или АВ — АС = СВ (см. рис. 329).
Произведение аа числа а на вектор ~а — это вектор, длина которого равна произведению числа |а| на длину вектора сГ. Направление вектора аа совпадает с направлением вектора ~ау если а > 0, и противоположно направлению вектора 'а, если а < 0 (см. рис. 330)
а
2а
-\а
Рис. 330
Координаты вектора
Выберем на координатной плоскости Оху векторы i и j так, что длины этих векторов равны 1, направление вектора г совпадает с направлением оси Ох, а вектора j — оси Оу. Тогда любой вектор ct на координатной плоскости можно представить в виде
~а = х~ъ -f у/,
20.3ак.№111


292
Глава I. Задания базового уровня сложности
где числа х, у — некоторые числа, которые называют координатами вектора ~а. Обычно записывают ~а{х; у} или бГ(х; у).
Пусть точки А и В на на координатной плоскости Оху имеют коор- динаты А(ха; у а), В(хв;ув)- ^
Тогда АВ = (хв - хА)Т + (ув - Уа)1 и АВ{хв - хА; ув - Уа}- Длина вектора, или модуль вектора АВ, находится по формуле \АВ\ = у/(хв - Ха)2 + (ув - УАр-
Длина произвольного вектора АВ{х; у} находится по формуле \АВ\ = у/х* + у*.
Координаты суммы и разности векторов of{£a; уа} и 6 {хь; уь}: a 4- 6 = с 2/с}» #с = “Ь 2/с = Уа 2/ь* а Ь — р {хр\ ур}, Хр — ха х\>, Ур — уа 2/ь.
Известно, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Значит, для параллелограмма ABCD (см. рис. 331) АВ = DC, так как АВ = CD и AJ9 || CD.
3С
Рис. 331
Диагонали параллелограмма пересекаются в середине диагоналей, поэтому АО = ОС, ВО = OD (см. рис. 332).
С
Рис. 332
Скалярное произведение векторов ~а • 6 = | <?| * | 61 • cosa, где a — угол между векторами ~а и Ь.
Если векторы заданы координатами a“{xa; ya}, 6{яь; Уь}> то a • 6 = Ха-Хъ + Уа'УЪ-
20*


§19. Тригонометрия, координаты и векторы
293
1845.1 	Стороны правильного треугольника KNP равны 10 (см. рис. 333). Найдите точку начала и точку конца вектора KN—KP. В ответе запишите его длину.
N
846. Стороны правильного треугольника KNP равны 22 (см. рис. 333). Найдите точку начала и точку конца вектора KP—KN. В ответе запишите его длину.
847. Диагонали ромба ABCD равны 15 и 10 (см. рис. 334). Найдите длину вектора АВ + AD.
В_
Рис. 334
848. 	Диагонали ромба ABCD равны 25 и 15 (см. рис. 334). Найдите длину вектора АВ — AD.
849. 	Найдите координаты вектора сГ — Ь (см. рис. 335). В ответе запи¬
шите сумму этих координат.
850. 	Найдите координаты вектора Ь - ~а (см. рис. 335). В ответе запишите сумму этих координат.


294
Глава I. Задания базового уровня сложности
851. 	Две стороны прямоугольника ABCD равны 12 и 5. Диагонали пересекаются в точке О (см. рис. 336).
Найдите длину разности векторов АО и ВО.
В
А
Ю
D
Рис. 336
852. 	Две стороны прямоугольника ABCD равны 16 и 7. Диагонали пере- секаются в точке О (см. рис. 336). Найдите длину разности векторов ВО и Аб.
853. 	Стороны правильного треугольника MKN равны 10. Найдите ска¬
лярное произведение векторов KN и КМ .
854. Стороны правильного треугольника МКР равны 14. Найдите скалярное произведение векторов МК и МР.
855. Найдите скалярное произведение векторов ct и b (см. рис. 337).
856. Найдите скалярное произведение векторов ~а и b (см. рис. 338).
Рис. 338


Задания для контроля
295
Задания для контроля Вариант 1
1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С АС — 3, АВ = 5. Найдите sin Б.
2. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым утлом С, причём из- вестно, что tg А = АС = 3. Найдите АВ.
3. Найдите основание АВ равнобедренного треугольника ABC, если АС — 7, cos Л = 0,125.
4. Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки А(-6;4) и В{4; 16).
5. Найдите скалярное произведение векторов 7? и Ь (см. рис. 339).
Вариант 2
1. В треугольнике ABC Z.C = 90°, АС = \/17, АВ = 17. Найдите tg Л.
2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С ВС = 2,25
и sin А — —г. Найдите длину гипотенузы.
1о
3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С АВ = 11\/П и tg А = Найдите АС.
О


296
Глава I. Задания базового уровня сложности
4. 	Точки 0(0; 0), А(8; 6), В(3; 4) и D являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки D (см. рис. 340).
5. 	Стороны правильного треугольника МКР равны 12 (см. рис. 341). Найдите длину вектора МК — МР.
Вариант 3
1. В треугольнике ABC угол С прямой. Найдите cos В, если АВ = 20, АС = 2л/19.
2. Дан острый угол a, sina= Вычислите cos а.
5
3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ — 8\/58 изве-
о
стен tgA= Найдите АС.
4. Найдите ординату точки, симметричной точке В(6; —2) относительно оси абсцисс (см. рис. 342).
О
В(6;~ 2) Рис. 342
5. 	Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 15 и 6 (см. рис. 343). Найдите скалярное произведение векторов АО и ВО.


Заданиями контроля
297
Вариант 4
1. В прямоугольном треугольнике ABC даны длины катета АС = л/19 и гипотенузы АВ = 10. Найдите sin Л.
7
2. В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, tg А = -. Найдите АСу если ВС = 2,8.
3. В прямоугольном треугольнике ABC угол С прямой. Найдите ВС у если
sin Л = АС = 8\/7.
4
4. Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки А(6;4) иВ(14;-2).
5. Две стороны прямоугольника ABCD равны 12 и 16 (см. рис. 344). Найдите дайну разности векторов АВ и AD.


298
Глава I. Задания базового уровня сложности
§ 20. Параллелепипед, призма, пирамида
20.1. 	Прямоугольный параллелепипед
Объём прямоугольного параллелепипеда («кирпича», см. рис. 345) равен произведению трёх его измерений: V = abc.
/
1 ч
/ ~ " -ч- — ■
✓
/ь
а
Рис. 345
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей его шести граней: S = 2(ab + Ьс + ас).
Диагональю прямоугольного параллелепипеда называют отрезок, соединяющий его противоположные вершины. Квадрат длины этого отрезка равен сумме квадратов трёх измерений параллелепипеда:
(р = а2 + Ь2 + с2.
Если все три измерения прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед называется кубом (см. рис. 346).
Формулы объёма, площади поверхности и длины диагонали куба: V = a3, 5 = 6а2, d = ay/3.


§20. Параллелепипед, призма, пирамида
299
1857. | Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке 347 (все двугранные углы многогранника прямые).
10
/ 10 i2z~
)-
/ь
16
Рис. 347
Рис. 348
858. 	Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке 348 (все двугранные углы многогранника прямые).
859. 	В единичном кубе вырезали прямую призму, в основании которой квадрат со стороной 0,2. Боковое ребро призмы равно 1 (см. рис. 349). Найдите объём оставшейся части куба.
Рис. 350
860. 	Найдите объём пространственного креста, изображённого на рисунке 350, если все изображённые двугранные углы прямые.


300
Глава I. Задания базового уровня сложности
1861.1 	Найдите квадрат расстояния между вершинами АиК2 многогранника, изображённого на рисунке 351. Все двугранные углы многогранника прямые.
862. Найдите квадрат расстояния между вершинами А\ и С2 многогранника, изображённого на рисунке 352.
863. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и С2 многогранника, изображённого на рисунке 353. Все двугранные углы многогранника прямые.
864. 	Найдите квадрат расстояния между вершинами С\ и А2 многогранника, изображённого на рисунке 353. Все двугранные углы многогранника прямые.


§20. Параллелепипед, призма, пирамида 301
865.1 	Найдите тангенс угла F2AB многогранника, изображённого на ри¬
сунке 354. Все двугранные углы многогранника прямые.
Рис. 354
866. 	Найдите тангенс угла С DCs многогранника, изображённого на рисунке 355. Все двугранные углы многогранника прямые.
Рис. 355


302
Глава I. Задания базового уровня сложности
867. 	Найдите угол AED2 многогранника, изображённого на рисунке 356. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
868. 	Найдите угол G\B2Fi многогранника, изображённого на рисунке 356. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
869. 	Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на
рисунке 357 (все двугранные углы прямые).
Рис. 358
870. 	Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 358 (все двугранные углы прямые).


§20. Параллелепипед, призма, пирамида
303
871. 	Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке 359 (все двугранные углы прямые).
Рис. 359
872. 	Из куба со стороной л/12 вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания \/3 и боковым ребром >/\2 (см. рис. 360). Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
1873.1 	Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 5. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 62. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины (см. рис. 361).
Рис. 361
874. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 15 и 42. Диагональ параллелепипеда равна 45. Найдите площадь поверхности параллелепипеда (см. рис. 362).
875. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 16 и 12. Диагональ параллелепипеда равна 25. Найдите объём параллелепипеда.
876. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объём этого параллелепипеда равен 36. Найдите диагональ параллелепипеда.


304
Глава I. Задания базового уровня сложности
877. 	Объём куба равен 24\/3 (см. рис. 363). Найдите его диагональ.
Рис. 363
878. Диагональ куба (см. рис. 363) равна у/48. Найдите его объём.
879. В кубе ABCDA\B\C\Di (см. рис. 364) найдите угол между прямыми DC\ и A\D. Ответ дайте в градусах.
В\ Ci
Рис. 364
880. 	В кубе ABCDA\B\C\D\ (см. рис. 364) найдите угол между прямыми В\ А и В\С. Ответ дайте в градусах.
881. 	Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на 90 (см. рис. 365). Найдите ребро исходного куба.
/1
/
'А
а
>Л:
I
■ -г —
-4 /
7
Рис. 365
882. 	Если каждое ребро куба увеличить на 4, то площадь его поверхности увеличится на 264 (см. рис. 365). Найдите ребро исходного куба.


§20. Параллелепипед, призма, пирамида
305
883. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5,8, 25. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого параллелепипеда.
884. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3,9,8. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого параллелепипеда.
20.2. 	Параллелепипед и призма
Объём параллелепипеда и призмы (см. рис. 366) может быть найден как произведение площади основания на высоту призмы:
V = Socn.h.
Рис. 366
Площадь всей поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания (так как площади обоих оснований одинаковы):
5полн. = S(50К> + 2£осн.
В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, поэтому высота h такой призмы равна её боковому ребру (см. рис. 367).
Рис. 367
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, а формула объёма остаётся прежней:
'ЗбОК. = -Росн.л, V — SoCH.h.
Любая правильная призма является прямой, в основании правильной призмы лежит правильный многоугольник.


306
Глава I. Задания базового уровня сложности
В правильной шестиугольной призме основание является правильным шестиугольником. Обозначив сторону этого шестиугольника через а, получаем следующие соотношения (см. рис. 368):
Ei Д
а
А
N
Вх
в
_ Зл/Зо2
^основания — 2 »
AD = 2a, АЕ = ол/3, ZEAD = 30°, ZEFA = 120°, радаус описанной окружности АО = а,
радиус вписаннои окружности г =
_ Q\/3
885. 	В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 600 см3 воды (см. рис. 369) и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 12 см до отметки 16 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.
Рис. 369
886. 	В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 900 см3 воды (см. рис. 369) и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 18 см до отметки 23 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.


§20. Параллелепипед, призма, пирамида
307
887. 	В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду (см. рис. 370). Уровень воды достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой такой же по форме сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.
888. 	Сосуд в форме шестиугольной призмы наполнен жидкостью до отметки 24 см (см. рис. 371). Найдите, на какой высоте будет уровень этой же жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, но со стороной основания вдвое меньшей, чем сторона первого сосуда. Ответ дайте в сантиметрах.
1889.1 	Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 48, проведена плоскость, параллельная боковому ребру (см. рис. 372). Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
890. 	Через среднюю линию основания заданной треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру (см. рис. 372). Объём отсечённой треугольной призмы равен 16. Найдите объём заданной призмы.
С,
В
Рис. 370
Рис. 371
Рис. 372


308
Глава I. Задания базового уровня сложности
891. 	Объём куба равен 180. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины (см. рис. 373).
892. 	Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 12,5 (см. рис. 373). Найдите объём куба.
893. 	Основанием прямой треугольной призмы (см. рис. 374) служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Площадь её поверхности равна 180. Найдите высоту призмы.
Рис. 374
894. 	Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь её поверхности равна 468. Найдите высоту призмы (см. рис. 375).


§20. Параллелепипед, призма, пирамида
309
895. 	В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 96 и 28 (см. рис. 376). Площадь её боковой поверхности равна 600. Найдите боковое ребро этой призмы.
896. 	В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 24 и 18 (см. рис. 376). Площадь её боковой поверхности равна 270. Найдите боковое ребро этой призмы.
897. 	В правильной шестиугольной призме ABCDEFAiBiC\D\E\F\ стороны оснований равны 1, боковые рёбра равны 3 (см. рис. 377). Найдите угол СЕ\Е. Ответ дайте в градусах.
Di
Ci
Рис. 377
898. 	В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\B\C\D\E\F\ все рёбра равны 1 (см. рис. 377). Найдите угол ЕАЕ\. Ответ дайте в градусах.
899. 	Найдите объём призмы, в основаниях которой лежит квадрат со стороной 2,5, а боковые рёбра равны 8л/3 и наклонены к плоскости основания под углом 60°.


310
Глава I. Задания базового уровня сложности
900. 	Найдите объём призмы, в основаниях которой лежит квадрат со стороной 1,5, а боковые рёбра равны 12 и наклонены к плоскости основания под углом 30°.
20.3. 	Тетраэдр и пирамида
Объём тетраэдра и пирамиды (см. рис. 378) можно найти по формуле
Рис. 378
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания и апофемы (высоты боковой грани, проведённой из вершины пирамиды, см. рис. 379):
Высота правильной пирамиды проектируется в центр её основания. Углом между ребром и плоскостью основания называют угол между этим ребром и его проекцией на плоскость основания. На рисунке 380 SABC — правильная пирамида, SO — высота. Тогда О — центр основания ABC. Угол между ребром AS и плоскостью основания а = AS АО.
Рис. 379


§20. Параллелепипед, призма, пирамида
311
Углом между боковой гранью и плоскостью основания называют угол между апофемой боковой грани и проекцией этой апофемы на плоскость основания. На рисунке 381 ABCS — правильная пирамида, SH — апофема, /? = ZAHS — угол между гранью BCS и плоскостью основания ABC.
S
С
Рис. 381
901. 	Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды (см. рис. 382) равны 16, боковые рёбра равны 17. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
902. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды (см. рис. 382) равны 20, боковые рёбра равны 26. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
903. Сечение площадью 2,25 проходит через середины четырёх рёбер правильного тетраэдра (см. рис. 383). Найдите площадь S полной поверхности тетраэдра. В ответе укажите 2л/35.
Р


312
Глава /. Задания базового уровня сложности
904. 	Сечение площадью 2,5 проходит через середины четырёх рёбер правильного тетраэдра (см. рис. 383 на с. 311). Найдите площадь S полной поверхности тетраэдра. В ответе укажите 5\/3S.
905. 	Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60° (см. рис. 384). Высота пирамиды равна 12. Найдите объём пирамиды.
Е
С
906. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие наклонены к плоскости основания под углом 30°. Высота пирамиды равна 5. Найдите объём пирамиды.
907. Три боковых ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их длины равны 3, 7 и 5. Найдите объём пирамиды.
908. Три боковых ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, их длины равны 3,8 и 6. Найдите объём пирамиды.
909. 	Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды
(см. рис. 385) равна 4, боковое ребро равно 8. Найдите объём пирамиды.
G
910. 	Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды (см. рис. 385) равна 5, боковое ребро равно 10. Найдите объём пирамиды.


§20. Параллелепипед, призма, пирамида
313
911. 	Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 24, а угол между боковой гранью и основанием равен 45° (см. рис. 386). Найдите объём пирамиды.
912. 	Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 16, а угол между боковой гранью и основанием равен 45° (см. рис. 386). Найдите объём пирамиды.
913. 	Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, J3, С, D, Еу Fy А\ правильной шестиугольной призмы ABCDEFAiB\CiDiEiF\ (см. рис. 387), площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
Ех
А
в
\,у--
$
А
D
Рис. 387
914. 	Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, D, Ai правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 (см. рис. 387), площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 9.


314
Глава I. Задания базового уровня сложности
915. 	Найдите объём пирамиды, изображённой на рисунке 388. Её основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания и равно 4.
916. 	Найдите объём V пирамиды, изображённой на рисунке 389. Её основанием является многоугольник со сторонами 3,4,5 и 5. Стороны основания длиной 3 и 4 перпендикулярны, а боковое ребро, проходящее через их точку пересечения, перпендикулярно основанию и равно 4>/3. В ответе укажите V + 8\/3.
Задания для контроля Вариант 1
1. 	Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 10 и 24, а её боковое ребро равно 20 (см. рис. 390).
2. 	Найдите угол CAD2 многогранника, изображённого на рисунке 391. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.


Задания для контроля
315
3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAiBiCiD\E\Fi все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла CFiF.
4. Объём куба равен Зл/З. Найдите его диагональ (см. рис. 392).
Рис. 392
5. 	В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiB\C\Di известны длины рёбер АВ = 7, AD = 24, АА\ = 15. Найдите синус угла между прямыми CAmDxCx.
Вариант 2
1. 	Дан куб ABCDA\B\CiDi (см. рис. 393). Объём треугольной пирамиды A\BC\D равен 3. Чему равен объём куба?
2. Найдите угол ADB многогранника, изображённого на рисунке 394. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.
3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите угол CiB\Fi. Ответ дайте в градусах.


316
Глава I. Задания базового уровня сложности
4. 	Найдите квадрат расстояния между вершинами D и В3 многогранника, изображённого на рисунке 395. Все двугранные углы многогранника прямые.
5. 	В правильной треугольной призме ABCA\BiC\, все рёбра которой равны 2, найдите угол между прямыми ВВ\ и АС\. Ответ дайте в градусах.
Вариант 3
1. 	Диагональ грани куба равна 3\/2 (см. рис. 396). Найдите объём куба.
2. 	Найдите угол АА2С многогранника, изображённого на рисунке 397. Все двугранные углы многогранника прямые. Ответ дайте в градусах.


Задания для контроля
317
3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\B\C\D\E\F\ все рёбра равны 1. Найдите угол BD\D. Ответ дайте в градусах.
4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности параллелепипеда равна 192. Найдите его диагональ (см. рис. 398).
5. 	Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 5 и 8. Её объём равен 120. Найдите высоту этой пирамиды.
Вариант 4
1. 	Боковые рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны 5, сторона основания равна 6 (см. рис. 399). Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Рис. 399


318
Глава I. Задания базового уровня сложности
2. 	Найдите тангенс угла АВА\ многогранника, изображённого на рисунке 400. Все двугранные углы многогранника прямые.
3. В кубе ABCDAiBiCiDi найдите угол между прямыми DC\ и В\С\. Ответ дайте в градусах.
4. Найдите квадрат расстояния между вершинами А и С2 многогранника, изображённого на рисунке 401. Все двугранные углы многогранника прямые.
5. 	В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 5, объём равен 480. Найд ите боковое ребро этой пирамиды.


§21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел
319
§ 21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел
21.1. 	Цилиндр
Для объёма и площади боковой поверхности цилиндра (см. рис. 402) справедливы те же формулы, что и для призмы:
V — SoQH.hy £бок. == ^осн.Л.
h
Л
Г -J0.
Рис. 402
Если радиус основания равен г, то площадь основания цилиндра равна 7гг2, а периметр — длина окружности, равная 2пг. Тогда формулы объёма цилиндра, площадей боковой и полной поверхностей цилиндра имеют вид
V = 7гг2Л, 5бок. = 2nrh, 5ПОлн. = 27г r(h + г).
917. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
918. Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки 36 см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в 3 раза меньше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.
919. В цилиндрический сосуд налили 3000 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см (см. рис. 403). В воду полностью погрузили деталь, при этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 4 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.
920. В цилиндрический сосуд налили 2500 см3 воды. Уровень жидкости оказался равным 8 см (см. рис. 403). В воду полностью погрузили деталь, при этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 5 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см3.
А
в,
в
Рис. 403


320
Глава I. Задания базового уровня сложности
1921. | Площадь осевого сечения цилиндра равна ~ (см. рис. 404). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Рис. 404
922. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 8п (см. рис. 404). Найдите площадь осевого сечения этого цилиндра.
923. Длина окружности основания цилиндра равна 2. Площадь боковой поверхности равна 14. Найдите высоту цилиндра.
924. Высота цилиндра равна 2. Площадь боковой поверхности равна 18. Найдите длину окружности основания цилиндра.
21.2. 	Конус
Объём конуса (см. рис. 405) может быть вычислен по той же формуле, что и объём пирамиды:
Если радиус основания конуса равен г, а высота— Л, то Soch. = ят2, и объём можно найти по формуле
V = \nr2h.
О
Площади боковой и полной поверхностей конуса вычисляются следующим образом (Z — образующая):
$бок. = ят/, SiKWIH. == тег (г -ЬI).


§21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел
321
925. 	Найдите объём V конуса, образующая которого равна 10 и накло¬
нена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите —.
7Г
926. Найдите объём V конуса, образующая которого равна 12 и наклонена
к плоскости основания под углом 60°. В ответе укажите —К—.
V37T
927. Во сколько раз уменьшится объём конуса (см. рис. 406), если диаметр его основания уменьшить в 2,5 раза?
Рис. 406
Рис. 407
928. 	Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Объём меньшего конуса равен 15 (см. рис. 407). Определите объём исходного конуса.
929. 	Найдите объём V части конуса, изображённой на рисунке 408.
В ответе укажите
930. 	Радиус основания конуса равен 4, высота — 93. Найдите объём V
части этого конуса, изображённой на рисунке 409. В ответе укажите
V
21.3ак.№111


322
Глава I. Задания базового уровня сложности
931. 	Диаметр основания конуса равен 12, а угол при вершине осевого сечения — 90° (см. рис. 410). Вычислите объём конуса, делённый на п.
S
К
932. 	Диаметр основания конуса равен 18, а образующая наклонена к основанию под углом 45° (см. рис. 410). Вычислите объём конуса, делённый на 7г.
933. | Длина окружности основания конуса равна 4, образующая равна 5. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
934. Длина окружности основания конуса равна 9. Площадь боковой поверхности конуса равна 18. Найдите образующую конуса.
935. Площадь полной поверхности конуса равна 907т, а радиус основания равен 5. Найдите высоту конуса.
936. Площадь полной поверхности конуса равна 3247т, а радиус основания равен 12. Найдите высоту конуса.
21.3. 	Шар
Объём шара и площадь его поверхности вычисляются по формулам:
V = |тгг3, S = 4тг г2.
О
21*


§21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел
323
937. 	Объём шара равен 36 0007г. Найдите площадь его поверхности, де¬
ленную на 7г.
938. Площадь поверхности шара равна 9007г. Найдите его объём, делённый на 7г.
939. Объём одного шара в 64 раза больше объёма второго (см. рис. 412). Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Рис. 412
940. 	Площадь поверхности первого шара в 4 раза меньше площади поверхности второго шара (см. рис. 413). Во сколько раз объём первого шара меньше объёма второго?
1941. | Площадь большого круга шара равна 10 (см. рис. 414). Найдите площадь поверхности шара.
22. Зак. №111
Рис. 414


324
Глава I. Задания базового уровня сложности
942. 	Площадь поверхности шара равна 76 (см. рис. 415). Найдите площадь большого круга этого шара.
Рис. 415
943. Радиусы двух шаров равны 9 и 40. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей обоих шаров.
944. Сумма площадей поверхностей двух шаров равна 16007г. Радиус одного шара равен 16. Найдите радиус второго шара.
21.4. 	Изменение размеров геометрических тел
Рассмотрим куб, все рёбра которого равны а. Его объём V = а3. Увеличим все рёбра этого куба в к раз. Получим куб, объём которого Vi = (ка)3 = к3а3 = k3V. Таким образом, при увеличении всех рёбер в к раз объём куба увеличивается в к3 раз.
Также убеждаемся, что при увеличении радиуса шара в к раз объём куба увеличился в к3 раз. Аналогично, зная формулы объёмов и площадей поверхностей геометрических тел, можно установить, как изменяются их объёмы и площади поверхностей при изменении их размеров.
945. Во сколько раз увеличится объём куба, если все его рёбра увеличить в 4 раза?
946. Во сколько раз уменьшится объём прямоугольного параллелепипеда, если все его измерения (длину, ширину и высоту) уменьшить в 2 раза?
947. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 3 раза?
948. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если все его измерения (длину, ширину и высоту) уменьшить в 4 раза?
949. 	Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основа¬
ния увеличить в 2,5 раза, а высоту оставить прежней?
2?


§21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел
325
950. Во сколько раз уменьшится объём цилиндра, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза, а высоту оставить прежней?
951. Объём первого конуса равен 30 м3. У второго конуса радиус основания в 2 раза больше радиуса первого конуса, а высота второго конуса в 3 раза меньше высоты первого. Найдите объём второго конуса. Ответ укажите в м3.
952. Объём первого цилиндра равен 24 м3. У второго цилиндра высота в два раза больше, а радиус основания в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
953. 	Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тет¬
раэдра, если все его рёбра увеличить в три раза?
954. 	Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра (см. рис. 416), если каждое его ребро увеличить в 7,1 раза?
Рис. 417
955. Во сколько раз увеличится объём шара (см. рис. 417), если площадь его поверхности увеличилась в 9 раз?
956. Во сколько раз увеличится объём куба (см. рис. 418), если площадь его поверхности увеличилась в 16 раз?
Рис. 418


326
Глава I. Задания базового уровня сложности
21.5. 	Комбинации тел
1957.1 	Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту (см. рис. 419). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 16.
Рис. 419
958. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра (см. рис. 419), если объём конуса равен 5,5.
959. Конус описан около правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания 6 и высотой —. Найдите его объём.
7Г
960. 	Конус описан около правильной четырёхугольной пирамиды со сто-
12
роной основания 8 и высотой —. Найдите его объём.
961. 	Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (см.
рис. 420), радиус основания которого равен 5. Объём параллелепипеда равен 600. Найдите высоту цилиндра.
71
Рис. 420
962. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра (см. рис. 420), радиус основания которого равен 8. Объём параллелепипеда равен 960. Найдите высоту цилиндра.
963. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом 20. Найдите его объём.
964. Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 18. Найдите объём цилиндра.


§21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел
327
965, Объём куба равен 30 (см. рис. 421). Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Рис. 421
966. Найдате объём многогранника, вершинами которого являются точки A, ByCiyD прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiCiDi, у которого АВ = 15, AD = 5, АА\ — 1.
967. Конус вписан в шар (см. рис. 422). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 15. Найдите объём шара.
968. 	Конус объёмом 5,3 вписан в шар (см. рис. 422). Радиус основания конуса равен радиусу шара. Найдите объём шара.
969. Объём правильной шестиугольной пирамиды GABCDEF равен 60 (см. рис. 423). Найдите объём треугольной пирамиды GABC.
970. Объём правильной шестиугольной пирамиды GABCDEF равен 90 (см. рис. 423). Найдите объём четырёхугольной пирамиды GAFDC.


328
Глава 1. Задания базового уровня сложности
971. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 4\/2. Боковые рёбра равны —. Найдите объём цилиндра, опи-
7Г
санного около этой призмы.
972. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 6\/2. Боковые рёбра равны —. Найдите объём цилиндра, опи-
7Г
санного около этой призмы.
Задания для контроля Вариант 1
1. 	Площадь боковой поверхности цилиндра равна 87т, высота равна 2 (см. рис. 424). Найдите диаметр основания цилиндра.
Рис. 424 Рис. 425
2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, высота которого равна 16 (см. рис. 425). Объём параллелепипеда равен 64. Найдите радиус цилиндра.
3. В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объём конуса, если объём шара равен 8.
4. Во сколько раз уменьшится площадь поверхности шара, если радиус шара уменьшится в 3 раза?
5. Сосуд в виде правильной треугольной пирамиды высотой 25\/3 см доверху заполнен водой. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд, имеющий форму куба со стороной, равной стороне основания данной треугольной пирамиды. Ответ выразите в сантиметрах.


Задания для контроля
329
Вариант 2
1. 	Найдите площадь поверхности сферы, если площадь боковой поверхности вписанного в сферу конуса с основанием, совпадающим с сечением сферы, проходящим через её центр (см. рис. 426), равна 6\/2.
2. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра (см. рис. 427), радиус основания которого равен 5, а высота равна 2\/3.
3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара (см. рис. 428), если его объём увеличился в 27 раз?
4. 	Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны \f2. Найдите объём параллелепипеда.


330
Глава /. Задания базового уровня сложности
5. 	В основании пирамиды лежит правильный треугольник (см. рис. 429). В него вписана окружность, являющаяся основанием цилиндра той же высоты, что и пирамида. Найдите объём пирамиды, если объём цилиндра равен 7Г\/3.
Рис. 429
Вариант 3
1. 	В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с углом при основании 60° и боковой стороной 6, при этом одно из оснований проходит через центр окружности. Найдите объём конуса, описанного около пирамиды (см. рис. 430), если высота пирамиды равна 10. В ответе укажите —.
7Г
2. Объём первой пирамиды равен 24 м3. У второй пирамиды площадь основания в 6 раз больше, чем площадь основания первой пирамиды, а высота второй пирамиды в три раза меньше, чем высота первой. Найдите объём второй пирамиды. Ответ дайте в кубических метрах.
3. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной у/б. Боковые рёбра равны —. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.


Задания для контроля
331
4. 	В конус вписан цилиндр (см. рис. 431), высота которого в три раза меньше высоты конуса. Во сколько раз объём конуса больше объёма цилиндра?
5. 	Найдите площадь поверхности сферы, вписанной в куб (см. рис. 432),
1. 	Если каждое ребро куба увеличить на 2 (см. рис. 433), то площадь его поверхности увеличится на 192. Найдите ребро куба.
2. Диаметр основания конуса равен 18, а длина образующей — 15. Найдите высоту конуса.
3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 357г, а высота — 7. Найдите диаметр основания.
4. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 5\/2. Найдите радиус сферы.
Рис. 431
Рис. 432
к
если ребро куба равно -7=.
у/п
Вариант 4
Рис. 433


332
Глава I. Задания базового уровня сложности
5. 	В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 5 (см. рис. 434). Боковые рёбра равны —. Найдите объём цилин-
7Г
дра, описанного около этой призмы.
Рис. 434


Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
§ 22. Тригонометрические уравнения и отбор корней
973. 	| а) Решите уравнение sin 2х + cos 2х = 1.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 2irj.
974. 	а) Решите уравнение sin 2х — cos 2х = 1.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку —7г; ^ j. 1975. |а) Решите уравнение le8™2* + le008** = Ю.
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку | —7г]. 976. а) Решите уравнение 27tg' 8 ж -h 81 • 27“tg2 х = 30.
Г37Г 1
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку —; 37гJ.
| 977.1 а) Решите уравнение 4 sin3 х + 7sin 2х — 4sin х = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку /тт. Зтг 1
V 3’ 2 J*
978. а) Решите уравнение 4 cos3 х + 5 sin 2х -f 2 cos х = 0. б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
(«я-


334
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
979.1 	а) Решите уравнение л/3 sin2 2х - 2 sin 4х + л/3 cos2 2х = 0.
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
980. а) Решите уравнение sin2 Зх — 2 sin 6х + 3 cos2 Зх = 0. б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-!;!]•
1981.1 а) Решите уравнение sin(37r — 2х) + 1 = cos^~ - х^ - cos(7r - х). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[!Н
982. а) Решите уравнение 2 cos2 х + sin 2х = sin ^х — |тг^ - cos + х^.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-тг;0).
1 /о \ sin 2i /»7\81п2х
983.1 	а) Решите уравнение (у j = 2.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
н -ч\
\ cos Зх /г\ cos Зх
v +Ш =2-
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
Ь ¥ )•
1985. | а) Решите уравнение cos Зх = 2 + х>) •
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
(-¥4
986. 	а) Решите уравнение sin За; = 2cos^ —
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( Зтг „1


§23. Стереометрия
335
§ 23. Стереометрия
987. 	В правильной треугольной призме ABCA\BiC\ через центр осно¬
вания треугольника ABC и центры симметрий боковых граней АА\В\В и ВВ\С\С проведена плоскость, которая составляет с плоскостью основания угол 30°.
а) Постройте сечение, образованное этой плоскостью.
б) Найдите площадь этого сечения, если сторона основания равна 6.
988. 	В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ точка О — центр основания треугольника ABC, точки 0\ и 02 — центры симметрий боковых граней АА\В\В и АА\С\С соответственно.
а) Постройте сечение призмы плоскостью 00\02.
б) Найдите угол между плоскостью ABC и плоскостью 00\02, если сторона основания призмы равна 9, а площадь сечения призмы плоскостью 00\02 равна 13,5\/3.
989. 	В основание цилиндра высотой 24 и радиусом основания 8 вписан
тупоугольный треугольник ABC, в котором ВС = 12, АВ — АС.
а) Постройте сечение призмы АВСА\В\С\ плоскостью, перпендикулярной плоскостям ВВ\С\С и А\ВС и проходящей через точку А, если АА\, ВВ\ и СС\ — образующие цилиндра.
б) Найдите величину угла между плоскостью В\ВС и А\ВС.
990. 	В основание цилиндра высотой 60 и радиусом основания 15 вписан остроугольный треугольник ABC, в котором ВС = 10, АВ = АС.
а) Постройте сечение призмы АВСА\ВхС\ плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярную плоскостям СВВ\ и ВА\С, если АА\, ВВ\ и CCi — образующие цилиндра.
б) Найдите величину угла между плоскостями СВВ\ и ВА\С.
991. 	На ребре A\D\ единичного куба ABCDA\B\C\Di взята точка Ку
А\К : KDX = 1:2.
а) Постройте сечение куба, проходящее через точку К и параллельное прямым C\D и B\D\.
б) Найдите площадь этого сечения.
992. 	На ребре AD единичного куба ABCDAiBiCiDi взята точка К, АК : AD =1:2.
а) Постройте сечение этого куба плоскостью, проходящей через точку К параллельно прямым С\ D и В\ D\.
б) Найдите площадь этого сечения.


336
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
993, В правильной треугольной призме ABCA\B\C\ боковое ребро
равно л/6, сторона основания 4.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую С\К и перпендикулярную плоскости ВСС\, где К — середина стороны АС.
б) Найдите косинус угла между прямой С\К и плоскостью боковой грани ВВХСХС.
994. 	В прямой призме АВСА\В\С\ в основании лежит треугольник ABC со сторонами АВ = АС — 16, ВС = 10. Боковое ребро равно \/33.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через прямую А\В и перпендикулярную плоскости СС\ В\.
б) Найдите косинус угла между А\В и плоскостью боковой грани
ссхвхв.
995. 	Дана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания
которой равна 18, а высота равна 24.
а) Постройте сечение, проходящее через две противоположные вершины основания и перпендикулярное одному из боковых рёбер.
б) Найдите косинус угла между смежными боковыми гранями.
996. 	Косинус угла между боковыми гранями правильной треугольной пирамиды равен — i сторона основания равна 12.
о
а) Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и перпендикулярную скрещивающемуся с ней ребру.
б) Найдите объём этой пирамиды.
997. 	Около шара описан усечённый конус, у которого площадь одного
основания в 4 раза больше другого.
а) Докажите, что длина образующей усечённого конуса равна сумме радиусов его оснований.
б) Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
998. 	Около шара описана правильная усечённая четырёхугольная пирамида, у которой площадь одного основания в 9 раз больше площади другого.
а) Докажите, что боковыми гранями усечённой пирамиды являются трапеции, высоты которых равны среднему арифметическому сторон оснований.
б) Найдите угол наклона боковой грани к плоскости основания.


§ 24. Неравенства и системы неравенств
337
§ 24. Неравенства и системы неравенств
999. 	Решите неравенство 1°§4*+2 ^ ч ^ 1
!og4x+2(-16x) ^ log4 log 1 4х
4
1000. 	Решите неравенство -л—*°ёз*+4 ^ ^ 1
log3„.(-m) logllog3(l)-
11001. | Решите неравенство (х — 1)(2 log^ х — 5 log3 х -I- 2) < 0.
1002. 	Решите неравенство (4 — x)(21og21 х — 31ogn х + 1) > 0.
1003. Решите неравенство log2 (х — 1) — log2 (х -f-1) + logx±i 2 > 0.
X—1
*
1004. Решите неравенство log0 5 (х — 3) — log0 5 (х 4- 3) — logx±3 2 > 0.
х-З
1005. 	Решите неравенство | |3Х + 4х — 9| — 8| ^ 3х — 4х — 1.
1006. 	Решите неравенство \\2Х + 4х - 9| - 8| < 2х — 4х — 1.
log4— ^ _2’
1007. Решите систему неравенств
1008. Решите систему неравенств
х3 -I- 7х2 + 27x2 + Ъх—— < 5. х — 5
log5-*(f=^-2’
X3 + 2х2 - 7x2 ~ 6ж + 24 < 6. х — 4
/ 251-1 - 27 • 51-2 + 2 > 0,
1009. 	| Решите систему неравенств < ^ _ ^2х 4
Г + 36) < 0.
D / 9х-2 - 83 • 3*-4 + 2^0,
1010. 	Решите систему неравенств | ш + щ ^ Q
4—х
2
1011. 	| Решите систему неравенств < (9) ^27,
[ 1®6х+2 (2х2 + х) > 2.


338
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
1012. Решите систему неравенств
10—ас2 2
Ш ' >8*'
к log2x+6(ar2 - 28я - 7) > 0.
1013.1 	Решите систему неравенств <
25§ + р > 9,
2® 22 >
1014. 	Решите систему неравенств { 2х ^ ’
{I
log,+6(^)<0.
' + Р > 13,
1оёх+г(5 - 2х) < 0-


§25. Планиметрия
339
§ 25. Планиметрия
1015. В остроугольном треугольнике АВС высоты АА\ и СС\ пересекаются в точке Н.
а) Докажите, что /ВНА\ = /АС В.
б) Известно, что ВН = 17, /АВС = 45°. Найдите АС.
1016. В остроугольном треугольнике АВС высоты ВВ\ и СС\ пересекаются в точке Н.
а) Докажите, что /ВНС\ — /ВАС.
б) Известно, что ВС = 25, /ВАС = 60°. Найдите АН.
11017.1 	Окружности с центрами 0\ и 02 касаются внешним образом в точке Р, на первой окружности взята точка Qi, на второй — Q2, при этом точки Qi и Q2 лежат по разные стороны от прямой 0\02, 0\Q\ || 02Q2.
а) Докажите, что отрезок Q\Q2 проходит через точку Р.
б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен 4,
Qi02 = 4V7 и ZPO2Q2 = 60°.
1018. 	Окружности с центрами 0\ и 02 касаются внешним образом в точке Q, прямая М\М2 проходит через точку Q, при этом М\ лежит на первой окружности, М2 — на второй, а точка 0\ не лежит на этой прямой.
а) Докажите, что 0\М\ параллельна 02М2.
б) Найдите периметр четырёхугольника 0\М\02М2, если радиус первой окружности — 4, радиус второй — 6, а расстояние между прямыми 0\М\ и 02М2 равно 8.
Медианы ААь ВВ\ и СС\ треугольника АВС пересекаются
1019.
в точке К. Известно, что АС = 6КВ1.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите длину отрезка EF, где Е — точка касания стороны АС и вписанной в треугольник окружности, F — точка касания стороны АС и окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон В А и ВС треугольника АВС, если известно, что АВ = 6, АС = 10.
1020. 	Медианы АА\, ВВ\ и СС\ треугольника АВС пересекаются в точке К. Известно, что АВ = ЪКС.
а) Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный.
б) Найдите длину отрезка EF, где Е — точка касания стороны АС и вписанной в треугольник АВС окружности, F — точка касания стороны АС и окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон В А и ВС треугольника АВС, если известно, что АС = 3, ВС = 4.


340
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
1021. 	На окружности радиусом 4\/3 с центром О взяты точки
А, В, С, TV, D в указанном порядке, при этом N — середина дуги CD, М — точка пересечения хорд NA и DC, L — точка пересечения хорд NB и DC.
а) Докажите, что четырёхугольник AMLB можно вписать в окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около AMLB, если
—' DA СВ, w АВ = 120°, cos /.NOC = ~ и точка О лежит внутри
AMLB.
1022. 	На окружности радиусом 2\/3 с центром О взяты точки М, N, Р, /Г в указанном порядке, 5 — середина дуги NP. SM и NP пересекаются в точке А, и 7VP — в точке В, ^MN — —КР.
а) Докажите, что МАВК — равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь трапеции, если точка О лежит внутри МАВК, -МАГ = 120°, ZSOP = 60°.
1023. 	[Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О,
ВС и AD — основания трапеции.
а) Докажите, что
б) Найдите площадь трапеции, если AD = 4ВС, SUob = 2.
1024. 	Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О, ВС и AD — основания трапеции.
а) Докажите, что
Ьвос ВС
б) Найдите площадь трапеции, если AD — 5, ВС = 1, Sabo = 5.
11025. [Диагонали АС и В£> трапеции ABCD взаимно перпендикулярны
и пересекаются в точке О, причём АО • СО = ВО • JDO.
а) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная.
б) Найдите радиус описанной вокруг трапеции окружности, если основания трапеции равны 6 и 8.
1026. 	Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О, причём АО • СО = ВО • DO.
а) Докажите, что средняя линия трапеции равна высоте.
б) Найдите боковую сторону трапеции, если радиус описанной вокруг трапеции окружности равен Зл/2.


§26. Экономические задачи
341
§ 26. Экономические задачи
1027.1 В банке взяли кредит на сумму 200000 рублей под г% годовых
(в конце года сумма долга увеличивается на г%) и выплатили его Двумя платежами — сначала 130 000 рублей, а затем 115 000 рублей. Найдите г.
1028. 	В банке взяли кредит на сумму 160000 рублей под г% годовых (в конце года сумма долга увеличивается на г%) и выплатили его двумя платежами — сначала 79 200 рублей, а затем 112 000 рублей. Найдите г.
1029. В сентябре планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 3,5% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по август каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года.
Чему равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты долга составит 7,956 млн рублей?
1030. В сентябре планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 2,5% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по август каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года.
Чему равна общая сумма выплат (в млн рублей) после полного погашения кредита, если сумма наибольшей годовой выплаты и наименьшей годовой выплаты долга составит 7,74 млн рублей?
1031. 	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на срок 8 лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку г, если известно, что последний платёж и составит не менее 1,68 млн рублей.


342
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
1032. 	В июле планируется взять кредит в банке на сумму 11 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на г% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку г, если известно, что последний платёж будет не менее 1,265 млн рублей.
1033. 	На первой шахте работают 162 шахтера, а на второй — 100, каждый из которых готов трудиться по 9 часов в сутки на добыче либо только алюминия, либо только никеля. На первой шахте один шахтёр за час может добывать 4 кг алюминия или 3 кг никеля. На второй шахте для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для добычи у кг
алюминия в день требуется у2 человеко-часов труда.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава ежедневно при таких условиях сможет производить завод?
1034. 	В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте трудятся 100 рабочих, каждый из которых готов работать 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте трудятся 192 рабочих, каждый из которых готов работать 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1,5 кг алюминия или 0,5 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
1035. 	Акционерное общество израсходовало 20% своей годовой при¬
были на реконструкцию производственной базы, 25% оставшихся денег потратило на строительство спортивного комплекса, выплатило 4 200 000 рублей дивидендов по акциям. После всех этих расходов осталась нераспределённой 0,1 прибыли. Сколько рублей составляла прибыль акционерного общества?


§26. Экономические задачи
343
1036. 	Прибыль предприятия к концу года составила 9 408 ООО рублей. Совет акционеров постановил распределить эту прибыль следующим образом: А рублей направить в фонд развития предприятия, 30% от А использовать для выплаты дивидендов акционерам, а 10% от А использовать на приобретение основных фондов. При этом было решено выплачивать дивидендов по каждой из 200 имеющихся привилегированных акций в полтора раза больше, чем по каждой из 300 имеющихся обыкновенных акций. Сколько рублей будет выплачиваться по одной привилегированной акции?
1037. Клиент взял в банке 12000000 рублей в кредит под 20% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа в рублях, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ округлите до единиц.)
1038. Клиент взял в банке 5000000 рублей в кредит под 10% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем клиент переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа в рублях, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами? (Ответ округлите до целого числа рублей.)
1039. В банк помещён вклад 64000 рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трёх лет (после начисления процентов) вкладчик дополнительно положил на счёт одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвёртого года после начисления процентов оказалось, что вклад составляет 385000 рублей. Какую сумму (в рублях) ежегодно добавлял вкладчик?
1040. Мария Петровна положила в банк 1500000 рублей под 7% годовых. Схема начисления процентов следующая: каждый год банк начисляет проценты на имеющуюся сумму вклада (то есть увеличивает сумму на 7%). По истечении двух лет банк повысил процент с 7% до 10%. Сколько лет должен пролежать вклад, чтобы он увеличился по сравнению с первоначальным на 577 993,5 рубля (при условии, что процент изменяться больше не будет)?
1 1041.1 Гражданин Плюшкин выиграл по лотерейному билету в Британской национальной лотерее, в которой выигрыш не облагается налогом.


344
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
На 800 тысяч долларов он купил предприятие, а остальные деньги положил в банк под 6% годовых от вложенной суммы.
В конце года выяснилось, что за год было реализовано продукции на 550 тысяч долларов, из них 350 тысяч долларов составили затраты производства (стоимость сырья, ремонт оборудования и т. п.) и 100 тысяч долларов выплачено персоналу. Остальные деньги составили прибыль гражданина Плюшкина. Через сколько лет общая сумма прибыли Плюшкина в первый раз превысит или будет равна начальному капиталу, вложенному в производство, если каждый год масштаб реализации продукции повышается на 10% от начального, затраты производства повышаются на 6% от первоначальных, а зарплата персонала увеличивается на 4% от первоначальной?
1042. Билл несколько лет назад вложил деньги в акции некоего предприятия. Ежегодно он получал прибыль по акциям сначала 9^у% в год, потом
о
37,5% в год и, наконец, б-% в год и сразу же вкладывал деньги в те же
о
акции. Известно, что одинаковые процентные ставки сохранились равное число лет, а в конце первоначальная сумма его вклада увеличилась на 156%. Определите срок хранения вклада.


§27. Уравнения и неравенства с параметром
345
§ 27. Уравнения и неравенства с параметром
11043. При каких значениях параметра а система уравнений Г (х - 4)2 + (у - 4)2 = 4,
\ у = |х - а| 4- За имеет ровно одно решение?
1044. 	При каких значениях параметра а система уравнений ' (х + 5)2 4- (у — 5)2 = 16,
= 5а — \х — а| имеет ровно одно решение?
1045. 	Найдите все значения параметра а, для которых неравенство
х2 4- Зх — 3 4- \х — aj > 1 выполняется при всех х.
1046. 	Найдите все значения параметра а, для которых неравенство х2 4* 5х — 4 4" |х — а| >2 выполняется при всех х.
1047. 	Найдите все значения а, при которых любое решение уравнения
6\/я - 1 + 51og3(2x — 1) 4- 11a = 0 принадлежит отрезку [2; 5].
1048. 	Найдите все значения а, при которых любое решение уравнения
2д/9 — 4х - 71ogi (2 — -х) — 4а = 0 принадлежит отрезку [—4; 0].
1049. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав-
д Q-2®
нение — 4- a = -1 — имеет ровно два корня, больший из которых не
меньше 0,5.
1050. 	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравне-
a 25“2х
ние — - a = 2 — имеет ровно два корня, хотя бы один из которых
не менее


346
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
§ 28. Исследовательские задачи
1 1051. | Девять членов жюри оценивают выступление танцевальной пары. Каждый из них выставляет оценки — целое число от 0 до 15 включительно. Известно, что все члены жюри поставили различные оценки. По старой системе оценивания оценка пары определяется как среднее арифметическое всех оценок членов жюри. По новой системе оценивания оценка пары определяется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и считается среднее арифметическое семи оставшихся оценок.
а) Может ли разность оценок, полученных парой по старой и по новой
о
системам оценивания, быть равна
б) Может ли разность оценок, полученных парой по старой и по новой системам оценивания, быть равна —г?
Оо
в) Найдите наибольшее возможное значение разности оценок, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
1052. 	Восемь членов жюри оценивают выступление вокального коллектива. Каждый из них выставляет оценки — целое число от 0 до 13 включительно. Известно, что все члены жюри поставили различные оценки. По старой системе оценивания оценка коллектива определяется как среднее арифметическое всех оценок членов жюри. По новой системе оценивания оценка коллектива определяется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и считается среднее арифметическое шести оставшихся оценок.
а) Может ли разность оценок, полученных коллективом по старой и по новой системам оценивания, быть равна
б) Может ли разность оценок, полученных коллективом по старой и по новой системам оценивания, быть равна
в) Найдите наибольшее возможное значение разности оценок, вычисленных по старой и новой системам оценивания.
1053. 	На психологический тренинг пришли га человек. В начале работы
психолог попросил каждого пришедшего написать записку с вопросом к любому другому из участников (ровно одному). После этого в группу А были отобраны те, кто получил не более 1 вопроса.


§28. Исследовательские задачи
347
а) Какое наибольшее число участников могло оказаться в группе А, если m = 100?
^ Какое наименьшее число участников могло оказаться в группе А, если m = 144?
в) 	Какое наименьшее число участников могло оказаться в группе Л, если m = 97, а в группу А вошли те, кто не получил ни одного вопроса, и половина тех, кто получил ровно один вопрос (если ровно один вопрос получило нечётное число человек, то берётся наибольшее число, не превосходящее половину)?
1054. 	На психологический тренинг пришли п человек. В начале работы психолог попросил каждого пришедшего написать записку с вопросом к любому другому из участников (ровно одному). После обработки вопросов всех участников разделили на группы, в каждой из которых никто никому не задавал до этого вопросов, по следующему правилу. Первой стала наибольшая из всех таких возможных групп, второй — наибольшая среди участников, не вошедших в первую группу, третьей — наибольшая среди участников, не вошедших в первые 2 группы, и т. д. Если на каком-то шаге было несколько наибольших групп, психолог определял очередную жребием.
а) Какое наименьшее число групп могло получиться при п = 20?
б) Могло ли число групп равняться 6 при п = 7?
в) Какое наименьшее число участников может быть в первой группе при п = 120?
1055. 	Среди четырёхзначных чисел найдите количество чисел, содержащих в своей десятичной записи а) ровно одну цифру 1; б) ровно две цифры 1; в) хотя бы одну цифру 1.
1056. 	Среди четырёхзначных чисел найдите количество чисел, содержащих в своей десятичной записи а) ровно одну цифру 0; б) ровно две цифры 0; в) хотя бы одну цифру 0.
1057. 	Натуральные числа от 1 до тг в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:
а) при п = 7;
б) при п = 12;
в) при п = 2015?


348
Глава II. Задания повышенного и высокого уровней сложности
1058. 	Натуральные числа от 1 до п в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:
а) при п = 6;
б) при п = 13;
в) при п = 2014?


Глава III. Решения избранных заданий
349
Глава III. Решения избранных заданий
1. 	Смешанную дробь представляем в виде обыкновенной, а затем приводим дроби к общему знаменателю:
,2,3 7.3 7-4 + 5-3 43 _ 43-5 215 g
5 4 5 4 20 20 20-5 100 ’
5. 	Смешанную дробь представляем в виде обыкновенной, а затем пользуемся правилом деления обыкновенных дробей:
73 31 = 31 . 31 = 31 _2^_2_1__5__Пс
4 2 4 ' 2 4 ‘ 31 4 2 10 ’
9. Смешанную дробь представляем в виде обыкновенной, а затем в скобках приводим дроби к общему знаменателю:
( к7 з\ к? ( 47 3^ лк—( 16 _ 53 • 16 _
= -53 • 2 = -106.
13. Находим сначала разность дробей в скобках, приводя их к общему знаменателю, а затем применяем правило деления обыкновенных дробей:
/5 _ п\ . 7_ = (_ 22^ 48 ( 7_\ 48 7-48 g
\8 12/ 48 \24 24) 7 V 24/ 7 24 ’7
17. Применяя формулу разности квадратов, получаем:
(1532 - 1172) : 270 = ((153 - 117) • (153 + 117)) : 270 =
= (153 - 117) • (153 + 117) : 270 = 36 • 270 : 270 = 36.
21. Сначала выполняем умножение десятичных дробей, а затем вычитание:
0,13 • 0,5 - 0,04 = 0,065 - 0,04 = 0,025.
25. Находим сначала разность в знаменателе, а затем умножаем числитель и знаменатель полученного частного на 10, а потом ещё на 2:


350
Глава III. Решения избранных заданий
29. Находим в столбик или в уме: 1,072 + 3,228 = 4,3.
Далее делимое, являющееся десятичной дробью, запишем в виде обыкно-
венной дроби: 4,3 : у = 4,3 - ^ ^ = 0,5.
33. Выполняем сначала деление десятичных дробей, представляя их в виде обыкновенных:
1 1^ 25 = 23 = (Ш. 10(Л 23 = 37 100 -23 = о
' ’ • 1»а°Г37 ую • Ю0/37 V10 * 115/ 37 10115-37
37. Находим сначала сумму в скобках, приводя дроби к общему знаменателю:
“ (й-1-!-!) =63 (й+м-т1)=63 ш=63-1 = 14
41. Всего на складе 217 + 315 = 532 бочки. Чтобы получить число машин, делим с остатком общее число бочек (532) на число бочек в одной машине (85). Получаем 532 : 85 = б (остаток 22). Итак, 6 машин не хватит, значит, нужно 7 машин.
45.10 блокнотов стоят 64 рубля. У нас ещё останется 80 — 64 = 16 рублей. На них можно купить 2 блокнота, а 3 уже не купишь. Значит, всего можно купить не более 12 блокнотов.
49. За месяц в школе используется 1200 листов бумаги, поэтому за 3 месяца израсходуют 1200 • 3 = 3600 листов. В каждой пачке 250 листов, поэтому необходимо 3600 : 250 = 14,4 пачек. Ясно, что дробное число пачек никто продавать не станет, поэтому придётся купить 15 пачек бумаги.
53. Посчитаем, сколько пакетов яблочного сока (по 34 рубля за пакет) можно купить на 200 рублей. Для этого делим с остатком наши деньги (200 рублей) на цену пакета (34 рубля). 200 : 34 = 5 (ост. 30). Получилось 5 пакетов сока. В рамках рекламной акции покупатель получит за 4 пакета ещё 2 пакета бесплатно. Всего он сможет получить 5 + 2 = 7 пакетов сока.
57. Определим, сколько роз можно купить на 550 рублей. Для этого разделим с остатком 550 (деньги Сергея) на 45 (цена розы).
550 : 45 = 12 (ост. 10). Денег у Сергея хватит на 12 роз и 10 рублей останется. Но букет из 12 роз нам не подходит! Нужно нечётное число роз. Наибольшее подходящее число — это 11.
61. На 1 кг слив необходимо 1,4 кг сахара, поэтому на 23 кг слив нужно 23 • 1,4 = 32,2 кг сахара. В одной упаковке один килограмм, поэтому 32 упаковок не хватит. А 33 будет в самый раз.
65. Посчитаем, сколько ампул понадобится 25 больным в день: 25 • 3 = 75 ампул. В каждой упаковке 16 ампул. Чтобы узнать требуемое


Глава III. Решения избранных заданий
351
число упаковок, делим с остатком необходимое количество ампул (75) на число ампул в упаковке (16). Получаем 75 : 16 = 4 (ост. 11). Итак, нужно 4 упаковки и ещё 11 ампул. Поэтому придётся заказать 5 упаковок.
69. Разделим 44 на 5 с остатком. Получится 8 и 4 в остатке. Восемь этажей заполнится полностью и ещё 4 квартиры из этих 44 останутся на 9-й этаж. Значит, Пётр Иванович живёт на 9-м этаже.
73. Одна американская миля равна 1609 м = 1,609 км. Скорость автомобиля 47 миль в час соответствует скорости 1,609 • 47 = 75,623 км в час. Округляем ответ до целого числа по математическим правилам. Цифра в разряде десятых равна 6, поэтому округляем в большую сторону, с избытком: 75,623 « 76.
77. Так как минуты времени отправления и прибытия одинаковые, можно их уменьшить и заменить на 00. Нужно посчитать, сколько часов пройдёт с 10:00 до 6:00 следующего дня. В первый день пройдёт 24—10 = 14 часов, во второй — ещё 6 часов, всего 14 + 6 = 20 часов.
81. Купленные 3,3 кг помидоров стоят 40 • 3,3 = 132 рубля. Сдача составляет 1000 - 132 = 868 рублей.
85. Одна разовая поездка стоит 7 рублей, поэтому 48 разовых поездок стоят 48 • 7 = 336 рублей. Купив проездной за 280 рублей, Маша сэкономила 336 — 280 = 56 рублей.
89. Найдём разницу показаний счётчика. Первые три цифры одинаковы, их можно не учитывать. Разница равна 308 — 25 = 283. Найдём, сколько рублей нужно заплатить за 283 киловатт-часа. 283 • 2,1 = 594,3 рубля.
93. Стоимость платья без скидки составляет 100%, скидка равна 35%. Стоимость платья со скидкой составляет 100% — 35% = 65% от цены без скидки. Найдём 65% от 2120 рублей. Чтобы найти проценты от числа, нужно это число разделить на 100 и умножить на число процентов. 2120 : 100 • 65 = 1378 рублей.
97. Не прошли ОТК 8% станков, поэтому прошли ОТК 100% - 8% = 92% станков. Для того чтобы найти проценты от числа, нужно разделить это число на 100 и умножить на число процентов. 92% от 180000 составляет 180000 : 100 • 92 = 165600 станков. Продали 45% от этого количества, то есть 165 600 :100 • 45 = 74 520 станков.
101. Стоимость билета для ребёнка составляет 50% от 260 рублей, то есть 260 : 100 • 50 = 130 рублей. 17 детских билетов по 130 рублей стоят 130 • 17 = 2210 рублей. 2 взрослых билета по 260 рублей стоят 260 • 2 = 520 рублей. Билеты на всю группу стоят 2210 + 520 = 2730 рублей.


352
Глава III. Решения избранных заданий
105. После переоценки блокнот стоит 100% + 10% = 110% от начальной цены, что составляет б : 100 • 110 = 6,6 рублей. Посчитаем, сколько блокнотов по цене 6,6 рублей можно купить на 80 рублей. 80 : 6,6 = 800 : 66 = 12 (остаток 8). На 80 рублей можно купить 12 блокнотов.
109. Стоимость одного учебника по математике равна 2100 : 15 = 140 рублей. После подорожания он будет стоить 100% 4- 10% = 110%
от начальной цены, что составляет • 140 = 154 рубля. Посчитаем, сколько учебников по цене 154 рубля можно купить на 2100 руб-
98
лей. 2100 : 154 = (неполное частное равно 13 и остаток 98).
На 2100 рублей можно купить 13 учебников.
113. Найдём, сколько рублей будут составлять проценты по кредиту. 12% от 24 000 составляют 24 000 : 100 • 12 = 2880 рублей. Значит, всего Анна Владимировна должна заплатить за год 24000 4- 2880 = 26880 рублей. Месяцев в году 12. Каждый месяц она должна вносить 26880 : 12 = 2240 рублей.
117. Ясно, что толщина учебника не может равняться ни 960 км, ни 14 метрам, ни даже 80 см, так как это слишком много. Единственное подходящее значение — 2 см.
Далее, ширина реки не может равняться ни 960 км (слишком много), ни 2 см (слишком мало). Ручей шириной 80 см тоже вряд ли будет рекой. Единственное подходящее значение — 14 м.
Стол не может иметь высоту ни в 960 км, ни в 14 м (слишком много), ни в 2 см (слишком мало). Единственное подходящее значение — 80 см.
Наконец, расстояние между крупными городами Ростовом-на-Дону и Москвой (которое не все знают) явно больше 14 м, потому единственное правдоподобное значение составляет 960 км.
Таким образом, мы получили соответствие: А — 2, Б — 3, В — 4, Г—1.
121. Заметим, что лист бумаги весит намного меньше, чем 1,1 кг, значит, он может весить лишь 5 г. Пассажирский самолёт — это самый тяжёлый объект из представленных. Значит, его масса может быть равна 150 т. Сборник задач (книга) не может весить ни 70 кг, ни тем более 150 т (это много), ни 5 г (мало), единственное подходящее значение — 1,1 кг. Нако-


Глава III. Решения избранных заданий
353
нец, для сербернара осталось единственное не задействованное значение в 70 кг. Таким образом, мы получили соответствие: А — 2, Б — 4, В — 3, Г— 1.
125. Ясно, что площадь одной риски на циферблате наручных часов меньше площади одной клавиши на ноутбуке. Так же площадь одной клавиши на ноутбуке меньше площади оконного стекла в квартире, а эта площадь, в свою очередь, меньше площади городского парка. (В < А < Б < Г).
С другой стороны 2,5 см2 = 2,5 • 10~4 м2, 10 га = 100000 м2, 7 мм2 = 7 • 10“6 см2. Таким образом, если расставить варианты возможных значений в порядке возрастания, то получим последовательность: 3, 1, 4, 2. Значит, приходим к соответствию В — 3, А — 1, Б — 4, Г — 2 или, что то же самое, А — 1, Б — 4, В — 3, Г — 2.
129. Упорядочим величины в левом столбце по возрастанию объёма, то есть, грубо говоря, по «месту, занимаемому ими в пространстве». Ясно, что объём рисового зёрнышка меньше объёма стержня в гелевой авторучке. Объём стержня в гелевой авторучке меньше объёма бревна для строительства дома. Объём бревна для строительства дома меньше объёма кузова самосвала (В < Б < А < Г).
Упорядочим по возрастанию численные величины в столбце «Возможные значения», предварительно приведя их к общей единице измерения. Ясно, что 6,6 м3 = 6,6 • 106 см3; 5 мм3 = 5 • 10“3 см3; 250 дм3 = 250 • 103 см3 = 2,5 • 105 см3. Таким образом, если расставить варианты возможных значений в порядке возрастания, то получим последовательность: 2, 3, 4, 1. Значит, приходим к соответствию В — 2, Б — 3, А — 4, Г — 1 или, что то же самое, А — 4, Б — 3, В — 2, Г — 1.
133. Ясно, что продолжительность футбольного матча с учётом добавленного времени меньше продолжительности светового дня в Москве. Продолжительность светового дня в Москве меньше гарантийного срока для нового мобильного телефона. Наконец, гарантийный срок для нового мобильного телефона явно меньше возраста планеты Юпитер. (А < Г < В < Б).
С другой стороны, 94 минуты < 13 часов < 1 год < 4,6 млрд лет. Таким образом, если расставить варианты возможных значений в порядке возрастания, то получим последовательность: 4, 3, 2, 1. Значит, приходим к соответствию А — 4, Г — 3, В — 2, Б — 1 или, что то же самое, А —4, Б—1, В — 2,Г — 3.
137. По графику (см. рис. 435 на с. 354) определяем, что за первые два дня выпало 30 мм осадков. Последующие два дня — 3-го числа и 4-го числа — осадки не выпадали. За последующие 6 дней — 5-го, 6-го, 7-го, 8-го, 9-го
23. Зак. №111


354
Глава III. Решения избранных заданий
и 10-го — выпало ещё 30 мм осадков. Значит, за первые 10 дней выпало 30 + 30 = 60 мм осадков.
105
90
75
60
45
30
15
Количество осадков, мм
/
/
4 6 8 10
2 14 16 18 20 22 24 26 28
Дни
Рис. 435
141. Находим на оси абсцисс отметку, соответствующую 15 часам 7 октября, по этой отметке находим искомую массу продукции: 400 (см. рис. 436).
•у, 700 “600 I 500 !> 400
8, зоо § 200 a loo
о
±.
t
t
9 12 15 18 5 октября
12 15 18 б октября
1215 18 7 октября
ВремЯуЧ
Дни
Рис. 436
23*


Глава III. Решения избранных заданий
355
145. На графике (см. рис. 437) отметим нужный промежуток времени (ночь с пятницы на субботу). Видим, что ответ — 14 градусов.
Рис. 437
149. На графике (см. рис. 438) выделяем временной промежуток — четверг. Находим наименьшее значение 9 и наибольшее — 20. Находим разность 20 — 9 = 11.
Рис. 438
24.3ак.№111


356
Глава III. Решения избранных заданий
153. Положительная температура — та, что больше нуля, выше горизонтальной оси. Считаем месяцы: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Получаем 7 месяцев. 157. Будем рассматривать правый столбец таблицы, поочерёдно перебирая его строки.
1) Давление возросло на 6 мм ртутного столба. Такая характеристика соответствует только 9 июля, периоду с 06:00 до 12:00. Это пункт Б левого столбца.
2) Давление упало на 8 мм ртутного столба. Такая характеристика соответствует 10 июля, периоду с 18:00 до 00:00. Это пункт Г левого столбца.
3) Давление не изменилось. Такая характеристика соответствует только 9 июля, периоду с 12:00 до 18:00 июля. Это пункт В левого столбца.
4) Показание давления было наибольшим. Наибольшее значение давление принимало 8 июля в 06:00. Это соответствует пункту А левого столбца.
Теперь заполним таблицу, учитывая полученные компоненты ответа: А —4, Б —1, В —3, Г —2.
161. Будем рассматривать правый столбец таблицы, поочерёдно перебирая его строки.
1) Температура поднималась от 0° до 10° Такая характеристика соответствует периоду с 8 часов утра до 12 часов дня. Это пункт Б левого столбца. Поэтому под буквой Б таблицы запишем число 1.
2) Температура опускалась от 10° и была неотрицательной. Такая характеристика соответствует периоду с 12 часов дня до 22 часов. Это пункт В левого столбца. Поэтому под буквой В таблицы запишем число 2.
3) Температура была не больше 0° и не меньше (-2)° . Такая характеристика соответствует только периоду с 22 часов до 24 часов. Это пункт Г левого столбца. Поэтому под буквой Г таблицы запишем число 3.
4) Температура была не больше (—3)°. Такая характеристика соответствует только периоду с 4 часов утра до 7 часов утра. Это пункт А левого столбца. Поэтому под буквой А таблицы запишем число 4. Теперь заполним таблицу, учитывая полученные компоненты ответа:
А — 4, Б — 1, В — 2, Г — 3.
165. 20 стёкол площадью 0,85 м2 каждое составят общую площадь 17м2. Чтобы узнать стоимость стекла, нужно его цену умножить на площадь. Чтобы узнать стоимость резки стекла, нужно число стёкол (20) умножить на стоимость резки за одно стекло. Потом нужно результаты сло-
24*


Глава III. Решения избранных заданий
357
жить и получить стоимость заказа. Для фирмы А стоимость заказа равна 180 • 17 + 40 • 20 = 3860 рублей. Для фирмы Б стоимость заказа равна 200 • 17 4- 35 • 20 = 4100 рублей. Для фирмы В стоимость заказа равна 220 • 17 = 3740 рублей. Так как стоимость заказа больше 3500 руб., то в фирме В резка будет бесплатной. Следовательно, самый дешёвый заказ будет стоить 3740 рублей.
169. Автомобиль расходует 7 литров бензина на 100 километров пути, расстояние равно 1100 км (в 11 раз больше, чем 100 км), тогда бензина понадобится 7 • 11 = 77 литров. Вычисляем стоимость 77 литров бензина по цене 23,8 рубля за литр: 77*23,8 = 1832,6 рубля. Три билета на автобус будут стоить 3 • 1200 = 3600 рублей. Значит, автомобильная поездка будет самой дешёвой, её стоимость составит 1832,6 рубля.
173. Для стен из керамзитоблоков необходимо 520 штук керамзитоблоков по 40 рублей за штуку и 3 мешка цемента по 180 рублей за мешок, то есть 520 • 40 + 3 • 180 = 20 800 + 540 = 21340 рублей.
Для стен из кирпича необходимо 2500 штук кирпичей по 8 рублей за штуку и 7 мешков цемента по 180 рублей за мешок, то есть 2500 • 8 + 7 • 180 = 20000 + 1260 = 21260 рублей.
Наиболее дешёвый вариант стоимости материала будет для стен из кирпича и составит 21260 рублей.
177. Посчитаем расстояния от А до С по разным дорогам и время в пути. Грузовик едет через пункт D, проезжая 764-40 = 116 км со средней скоростью 40 км/ч. Чтобы найти время в пути, нужно расстояние разделить на среднюю скорость: 116 : 40 = 2,9 ч. Автобус едет через пункт Еу его путь равен 105 4- 9 = 114 км. Он едет со средней скоростью 48 км/ч, время поездки: 114 : 48 = 2,375 ч. Через пункт В едет легковой автомобиль со средней скоростью 70 км/ч. Его путь 63 4- 27 = 90 км. Найдём время в пути легкового автомобиля. Оно равно 90 : 70 = 1,2... ч. В ответе получится бесконечная десятичная дробь, но её точное значение нам не нужно, так как в задаче спрашивалось: «Какой автомобиль добрался до пункта С позже других?» Видим, что самое большое время в пути у грузовика, поэтому он и приедет позже всех.
181. Стоимость заказа складывается из стоимости подачи машины, стоимости минимальной поездки и стоимости минут сверх продолжительности минимальной поездки (для фирм В и С это 45 мин минус 20 или 10 мин соответственно). Заполним таблицу.


358
Глава III. Решения избранных заданий
Фирма такси
Подача машины
Продолжительность минимальной поездки
Сумма за
минимальную
поездку
Стоимость 1 минуты сверх минимальной поездки
Число минут сверх минимума
Сумма сверх минимальной
Всего
А
50 руб.
Нет
—
Зруб.
45 мин
135 руб.
185 руб.
В
30 руб.
20 мин
50 руб.
6 руб.
25 мин
150 руб.
230 руб.
С
Беспл.
10 мин
60 руб.
4 руб.
35 мин
140 руб.
200 руб.
Видим, что заказ будет стоить дешевле всего в фирме А, сумма этого заказа 185 рублей.
185. Посчитаем скидки (в рублях), которые клиент мог бы предположительно получить. Скидка 30% от 200 рублей на звонки абонентам других сотовых компаний в своём регионе составит 200 : 100 • 30 = 60 рублей. Скидка 15% от 300 рублей на звонки абонентам стационарных телефонов составит 300 : 100 • 15 = 45 рублей. Скидка 25% на услуги мобильного Интернета составит 260 : 100 • 25 = 65 рублей. Наиболее выгодная скидка составит 65 рублей.
189. Подставим данные таблицы в формулу для вычисления рейтинга.
Ri = (2 ' (~4) + 2124 + 4 • (~4) + 2) • 25 = 16,6... » 17;
Д2 = (2 0 + 2'^~1) + 4 '3 + 2) • 25 = 70,8... * 71;
Дз = (2 '1 + + 4 1 + 2) • 25 = 66,6... ю 67;
Rt = (2-(-2)+i2'4 + 4-() + 2) . 25 = 58,3... « 58.
Наибольший рейтинг R2 « 71.
193. Из чего складывается сумма вклада к концу года? Из первоначального вклада минус плата за ведение счёта, а также процентов от полученной суммы. Посчитаем сначала итоговую сумму без процентов. В банке А эта сумма будет равна 10000 — 120 = 9880 рублей, в банке Б — 10000 — 15 -12 = 9820 рублей, в банке С — 10000 рублей.
Теперь посчитаем проценты по вкладу. 8% от 9880 равно 9880: 100 • 8 = 790,4 рублей в банке А. 8,5% от 9820 равно


Глава III. Решения избранных заданий
359
9820:100-8,5 = 834,7 рублей в банке В. 7,5% от 10000 равно 10000 : 100 • 7,5 = 750 рублей в банке С.
Банк
Обслу¬
живание
счёта
Обслуживание счёта в год
Итоговая
сумма
без
процентов
Процентная ставка (% годовых)
Сумма % по вкладу (вруб.)
Вклад к концу года в руб.
А
120 руб. в год
-120 руб.
9880
8
+790,4
10670,4
В
15 руб. в месяц
-180 руб.
9820
8,5
+834,7
10654,7
С
Бесплатно
—
10000
7,5
+750
10750
Видим, что к концу года вклад окажется наибольшим в банке С и будет равен 10 750 рублей.
197. По двухтарифному счётчику Иван Семёнович за каждый месяц за дневное время заплатил больше на 110 • (3,43 — 3,23) = 22 руб., а за ночное время меньше на 135 • (3,23 — 2,68) = 74,25 руб. Экономия за месяц 74,25 - 22 = 52,25 руб., за год 52,25 • 12 = 627 рублей.
201. По условию задачи нас интересуют лишь учащиеся, не набравшие 70 баллов по химии, то есть те, кто набрал строго меньше, к ним относятся учащиеся с номерами 1, 2, 4, 6, 8, 9. Поочерёдно проанализируем результаты этих шести человек.
Учащийся с номером 1 не получил похвальной грамоты, так как, во-первых, не набрал 70 баллов и по физике и, во-вторых, в сумме имеет 58 + 63 = 121 балл, а неравенство 121 > 125 неверно.
Учащийся с номером 2 получил похвальную грамоту, так как набрал 74 балла по физике.
Учащийся с номером 4 получил похвальную грамоту, так как в сумме имеет 58 + 68 = 126 > 125 баллов.
Учащийся с номером 6 не получил похвальной грамоты, так как, во-первых, не набрал 70 баллов по физике и, во-вторых, в сумме имеет 41 + 54 = 95 баллов, а неравенство 95 > 125 неверно.
Учащийся с номером 8 тоже не получил похвальной грамоты, так как не набрал 70 баллов по физике и в сумме набрал 62 + 63 = 125 баллов, причём неравенство 125 > 125 неверно.
Учащийся с номером 9 получил похвальную грамоту, так как набрал 93 балла по физике.


360
Глава III. Решения избранных заданий
205. Так как Алевтина должна купить хотя бы одну упаковку сока, содержащего лимон, то ей необходимо купить сок № 1 или сок №3 (или оба вместе).
Предположим, что Алевтина купила сок № 1, который является импортным. Тогда ей надо купить ещё хотя бы одну упаковку отечественного сока, то есть либо сока № 3, либо сока № 4. Упаковки сока № 1 и сока №3 вместе стоят 310 + 230 = 540 (рублей). Но Алевтина предполагает потратить не более 600 рублей в сумме, то есть на третью упаковку сока остаётся 600 — 540 = 60 (рублей), чего недостаточно. Аналогично упаковки сока № 1 и сока №4 вместе стоят 310 + 120 = 430 (рублей). На оставшиеся 600 — 430 = 170 (рублей) нельзя купить никакую упаковку сока, отличную от уже приобретённых. Значит, Алевтина не может купить упаковку сока № 1 и при этом соблюсти все условия.
Но тогда надо купить упаковку сока № 3, также содержащего лимон. Сок № 3 — отечественный. Значит, Алевтине придётся купить ещё хотя бы одну упаковку импортного сока, то есть либо сока № 2, либо сока № 5, либо сока № 6 (сок № 1 уже исключён).
Упаковки сока № 3 и сока № 2 вместе стоят 230 +180 = 410 (рублей), на оставшиеся 190 рублей можно купить упаковку сока № 4. Таким образом, набор номеров соков 234 является ответом и задача решена (так как достаточно указать хотя бы один подходящий набор).
Аналогично, можно было получить: упаковки сока №3 и сока №4 вместе стоят 230 + 200 = 430 (рублей), на оставшиеся 170 рублей можно купить упаковку сока № 4. Таким образом, набор номеров соков 345 тоже является ответом.
Упаковки сока № 3 и сока № 6 суммарно стоят 230 + 380 = 610 (рублей), что уже превышает допустимый лимит в 600 рублей.
209. Пусть скорость первого байкера равна х км/ч. Обозначим через s половину расстояния между городами. Первый байкер проехал 2s км за
О с
время — ч. Второй байкер проехал первую половину пути (то есть s) со
X
скоростью 80 км/ч за время t = -§■-ч,а вторую — со скоростью, которая
oil
на 24 км/ч больше, чем скорость первого байкера (то есть (х + 24) км/ч), за время ~ ч. Заполним таблицу для составления уравнения.


Глава III. Решения избранных заданий 361
Расстояние
(км)
Скорость
(км/ч)
Время
(ч)
1-й байкер
2s
X
2s
X
2-й байкер (1-я половина пути)
S
80
S
80
2-й байкер (2-я половина пути)
S
х 4- 24
S
х 4- 24
Так как по условию время движения первого байкера равно времени движения второго байкера, то имеет место следующее уравнение:
2s _ s . s х 80 х + 24 ‘
Разделив обе части последнего равенства на s (где s > 0), получим
2- 1 + 1
х80х(х + 24) ф 0,
х 80 х + 24 ’
160 (х 4- 24) = х (х 4- 24) 4- 80х, х2 - 56х - 3840 = 0, xi = -40, Х2 = 96.
Первый корень явно не подходит по смыслу задачи, потому что скорость должна быть положительна. Следовательно, скорость первого байкера 96 км/ч.
213. Обозначим скорость катера в стоячей воде через х км/ч. Тогда скорость катера по течению равна (х 4* 1) км/ч, а против течения — (х — 1) км/ч. Заполним таблицу по условию задачи.
Расстояние (км)
Скорость (км/ч)
Время (ч)
По
180
х 4-1
180
течению
х + 1
Против
180
х — 1
180
течения
х — 1
Составим и решим уравнение.
180 180 = х х — 1 х 4-1 180(х 4-1) — 180(х - 1) = (х - 1)(х 4-1), 180х 4-180 - 180х 4-180 = х2 - 1, х2 = 361,
xi = —19, Х2 = 19.
х(х — 1)(х 4-1) ф 0,


362
Глава III. Решения избранных заданий
Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость катера в стоячей воде равна 19 км/ч.
217. Обозначим безостановочную скорость через х км/ч. Тогда скорость движения на обратном пути равна (х + 5) км/ч. Табличная версия задачи имеет следующий вид:
Расстояние
Скорость
Время
(км)
(км/ч)
00
Из города на побережье
6800
X
6800
X
Обратный
путь
6800
х + Ъ
6800 , - 1 + 5
Составим и решим уравнение. 6800 _ 6800 + 5
хх(х 4- 5) Ф 0,
х х + 5 6800(я + 5) = 6800а; + Ъх{х + 5),
Ъх2 4* 2Ъх — 6800 *5 = 0, |:5,
х2 + Ъх - 6800 = 0,
D = 27225 = 1089 • 25,
y/D = >/Ю89 • 25 = 33 • 5 = 165,
х\ = —85, Х2 — 80.
Итак, скорость экипажа дальнобойщиков по пути из города к побережью равна 80 км/ч.
221. Скорость поезда: v = 75 км/ч = 75 ‘м/с.
OOUUC 12>
250
За 24 с поезд пройдёт расстояние S = • 24 = 500 (м).
JLZ
Найдём длину поезда: 500 — 150 = 350 (м).
225. Средняя скорость находится так: всё пройденное расстояние делится на затраченное время. Найдём расстояние, которое проехал автомобиль. 60 • 2 4- 110 • 1 + 85 • 2 = 400 (км). Время, затраченное на весь путь, равно 2 + 1 + 2 = 5(ч). Средняя скорость равна 400 : 5 = 80 (км/ч).
229. Пусть второй геймер собирает х бонусов в минуту, тогда первый собирает х 4- 20 бонусов в минуту. Табличная версия задачи имеет следующий вид:


Глава III. Решения избранных заданий
363
Число
бонусов
Скорость сбора (бонусы/мин)
Время сбора (мин)
Первый геймер
2400
х 4- 20
2400 х -1- 20
Второй геймер
2400
X
2400
X
Составим и решим уравнение.
2400 _ 2400 = 20 х х + 20 ’
120 _ 120 = Л х х + 20
120х + 2400 — 120ж — х2 + 20х, х2 + 20х - 2400 = 0, х\ = —60, Х2 — 40.
Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Итак, второй геймер собирает 40 бонусов в минуту.
233. Пусть второй насос закачивает х литров в минуту, тогда первый — (х 4- 5) литров в минуту. Заполним следующую таблицу:
Скорость закачки
Объём
Время наполнения
(л/мин)
бака (л)
(мин)
1-й насос
х 4- 5
600
600
х 4- 5
2-й насос
X
600
600
X
По условию первый насос тратит на б минут меньше второго. Составим и решим уравнение.
600 _ 600 =б х х 4- 5 ’
100 _ 100 = 1
х х 4- 5
100х 4- 500 — 100х = х(х 4- 5), х2 4- 5х — 500 = 0,
Xi — —25, х2 = 20.
Отрицательный корень не подходи^ по смыслу задачи. Итак, второй насос закачивает 20 литров в минуту.
237. Пусть Винни Пух поливает самостоятельно весь огород (берём его за 1) за В минут, Пятачок — за Р минут, а Кролик — за К минут. Тогда за


364
Глава III. Решения избранных заданий
одну минуту Винни Пух поливает часть огорода, равную Пятачок —
£>
i, Кролик — Таким образом, сообщение о том, что Винни Пух и г JK
Пятачок вместе поливают огород за 35 минут, математически выражается следующим уравнением:
^1 + 1^ • 35 = 1, что равносильно уравнению 1 + 1 = 1.
Составив аналогично два других уравнения, получим систему
Г1 + 1.л
В Р 35’
< ±+±=±
Р К 63’
1 + 1 = 1.
k В К 45
Сложив все уравнения системы, получим
2(1 + 1 + IU J- + -1 + !
\В Р к) 35 63 45'
Приведём правую часть к общему знаменателю:
2(1 + 1 + = -9_ + -5. + J_
\В ^ Р^ К) 315 315 315’
2(1 + 1 + !) - -21
\В + Р^К) 315’
i + P + K = 30’
30(i + i + ^) = 1-
Последнее равенство означает, что Винни Пух, Пятачок и Кролик польют вместе огород за 30 минут.
241. Найдём массу вещества, содержащегося в растворе:
12 кг • 0,08 = 0,96 кг.
В раствор добавили 4 кг воды, получили 12 кг 4- 4 кг = 16 кг раствора, в котором содержится 0,96 кг вещества.
Найдём процент концентрации получившегося раствора:
0,96 • 100%


Глава III. Решения избранных заданий
365
245. Пусть в сосуде I х кг кислоты, а в сосуде II у кг кислоты. Тогда х + у = (75 4- 50) • 0,42; х + у = 52,5.
Доля кислоты в сосуде I —
75
Доля кислоты в сосуде II — ^г.
50
Если смешать равные массы т этих растворов, то
^ + ^ = 2т 0А # + Й = 1’2а: + 3!' = 150'
Составим и решим систему уравнений:
—2х — 2 у — —105,
Г х + у = 52,5, Г
\ 2х + Зу = 150 \
/ У = 45, Г у - 45,
\ х + у = 52,5 \ х = 7,5.
2х + 3у = 150 **
Значит, в первом сосуде 7,5 кг кислоты.
249. Пусть х рублей — зарплата жены, у рублей — зарплата мужа, г рублей — стипендия сына,
(х + у -f- z) рублей — бюджет семьи.
Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 37,5%.
Составим 1 -е уравнение: 2х + у + z = 1,375 • (х 4- у + z). х + (х + y + z) = 0,375 • (х 4- у + z) + (х + у + г), х = 0,375 • (х + у 4- z),
х
= 0,375.
x + y + z
Если бы зарплата мужа уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 39%.
Составим 2-е уравнение: х 4- \у + г = 0,61(х + у 4- z).
о
Зх + у + Зг = 1,83(х + у + z), 2х + 2z + (х + у + z) = 1,83(х + у + z), 2х , 2 z
x+y+z x+y+z
+ 1 = 1,83.
Сделаем подстановку —-= = 0,375:
x + y + z


366
Глава III. Решения избранных заданий
? = 0 08 : 2, = 0,04.
x+y+z x+y+z
Таким образом, стипендия сына составляет 4% от общего дохода семьи.
253. Исходом будем считать цифру на карточке, извлечённой последней. Общее число исходов равно 4. Число исходов, благоприятствующих событию «карточку с цифрой 3 извлекут последней», равно 1. Искомая вероятность равна ^ = 0,25.
257. Общее число исходов равно числу шаров: 14 + 9 + 7 = 30. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 9. Искомая веро-
Q Q
ятность равна ^- = -~ = 0,3.
oU J.U
261. Общее число исходов равно числу карточек — их 24. Благоприятных исходов 6 (так как номер 3 написан на шести карточках). Искомая веро-
Z» 1
ятность равна — = - = 0,25.
265. Так как школьник может ответить на 17 билетов, то на 3 билета он ответить не может. Вероятность получить один из этих билетов по опре-
делению равна А = |_| = _L| = 0,15.
269. Всего 20 спортсменок, у всех равные шансы выступать седьмой. Поэтому имеются 20 равновероятных исходов:. Из Франции 20 — 6 — 5 = 9 спортсменок, поэтому имеются 9 благоприят¬
ных для указанного события исходов. Искомая вероятность равна
9 _ 9 • 5 _ 45 =ft4r 20 20-5 100 ’
273. Сначала найдём, сколько докладов запланировано на последний день. На первые три дня запланировано 12 • 3 = 36 докладов. Остаются ещё 50 — 36 = 14 докладов, которые распределяются поровну между оставшимися двумя днями, поэтому в последний день запланировано
^ = 7 докладов.
Будем считать исходом порядковый номер доклада профессора Н. Всего таких равновозможных исходов 50. Благоприятствуют указанному событию 7 исходов (последние 7 номеров в списке докладов). Искомая
вероятность равна ^ = Ж = 0,14.


Глава III. Решения избранных заданий
367
277. Формулировка «на 100 качественных холодильников приходится 15 с дефектами» указывает нам на то, что дефектные 15 штук не входят в 100 качественных. Поэтому общее число исходов равно 100 4-15 = 115 (равно общему числу холодильников), благоприятных исходов 100. Искомая вероятность равна Для подсчёта приближённого значения дроби 115
удобно воспользоваться делением уголком:
115
_100,000 115 920 0,869...
_800
690
_1100
1035
Таким образом, « 0,87.
115
281. Как и в предыдущей задаче, необходимо внимательно прочитать условие и понять, что является исходом, а что — благоприятным исходом (так, неосмысленное применение формулы вероятности приводит к непра-
•7
вильному ответу ).
Здесь исход — это соперник Максима Зайцева. Так как всего теннисистов 16, а сам с собой Максим играть не может, то имеется 16 - 1 = 15 равновероятных исходов. Благоприятный исход — соперник из России. Таких благоприятных исходов 7 - 1 = 6 (из числа россиян ис-
г» о
ключаем самого Максима). Искомая вероятность равна ^ = - = 0,4.
15 5
285. Сформируем команды, последовательно помещая футболистов на свободные места, при этом начнём с Антона и Дмитрия. Сначала поместим Антона на случайно выбранное место из свободных 33. Теперь помещаем на свободное место Дмитрия (исходом будем считать выбор места для него). Всего имеется 32 свободных места (одно уже занял Антон), поэтому всего возможны 32 исхода. В одной команде с Антоном остаётся 10 свободных мест, поэтому событию «Антон и Дмитрий в одной команде» благоприятствуют 10 исходов. Вероятность этого события рав- 10 _ _5_ _ 5 • 54 _ 3125 _ п 32 16 24-54 10000 °>3125’


368
Глава III. Решения избранных заданий
289. В задачах про бросание монет удобно выписать все возможные исходы, записывая их при помощи букв Р (решка) и О (орёл). Так, исход ОР означает, что при первом броске выпал орёл, а при втором — решка. В рассматриваемой задаче возможны 4 исхода1: РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствуют событию «решка выпадет ровно один раз» 2 исхода: РО и
о
ОР. Искомая вероятность равна - = 0,5.
293. Исходом будем считать пару чисел: очки при первом и втором броске. Тогда указанному событию благоприятствуют следующие исходы: 2 — 6, 3 — 5, 4 — 4, 5 — 3, 6 — 2. Их количество равно 5.
297. Исходом будем считать пару чисел: очки, выпавшие на первой и второй игральной костях. Всего имеется 36 равновозможных исходов2 (на первой кости число от 1 до 6, на второй — также число от 1 до 6). Событию «в сумме выпало 4» благоприятствуют следующие исходы: 1 — 3,
о I
2 — 2, 3 — 1. Их количество равно 3. Искомая вероятность равна ^ = —.
ОО LZ
Для подсчёта приближённого значения дроби удобно воспользоваться
делением уголком:
_1,000 12 96 0,083...
_40
36
Таким образом, — « 0,08.
301. Обозначим события: W = «А. выиграл белыми», В = «А. выиграл чёрными». По условию, P(W) = 0,45, Р(В) = 0,4. Необходимо найти вероятность пересечения событий W и В, то есть P(W П В). События W и В независимы (результат одной партии не зависит от результата другой), поэтому P(W П В) — P(W) • Р(В) = 0,45 • 0,4 = 0,18.
305. Вероятность того, что из магазина А не доставят товар, равна 1 — 0,85 = 0,15. Вероятность того, что из магазина Б не доставят товар, равна 1 — 0,96 = 0,04. Так как магазины работают независимо, то вероятность отсутствия доставки из обоих магазинов сразу (то есть пе-
1 Вообще, если монету бросают п раз, то имеется 2п равновозможных исходов.
2Вообще, если бросают п игральных костей (кубиков), то имеется 6П равновозможных исходов. Столько же исходов получается, если один и тот же кубик бросают п раз подряд.


Глава III. Решения избранных заданий
369
ресечение вероятностей отсутствия доставки из каждого магазина) равна 0,15 • 0,04 = 0,006.
309. Обозначим через Ai, А2у Л3, А*, А& события, означающие попадание в мишень при соответствующем выстреле. По условию Р(АХ) = Р(Л2) = РШ = Р(А4) = Р(Л5) = 0,6. _ _ _
Нам необходимо найти вероятность Р(Аг П А2 П As П А^ П Л5). Так как рассматриваемые события независимы, то эта вероятность равна Р(Аг) • Р(А2) • Р(%) • Р(^) • Р(3^) =
= 0,6 • 0,6 • (1 - 0,6) • (1 - 0,6) • (1 - 0,6) = 0,62 • 0,43 =
= 0,36 • 0,064 = 0,02304 » 0,02.
313. Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться мышка (см. рис. 439). Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток мышка будет двигаться по выбранному нами направлению.
Выход Д
Рис. 439
Чтобы мышка достигла выхода В, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная стрелка,
равна \ \ \ \= 0,54 = 0,252 = 0,0625.


370
Глава III. Решения избранных заданий
317. Представим себе, что все 25 учеников выстроены в ряд, причём первыми стоят 16 мальчиков. Будем дважды выбирать из этого ряда по одному дежурному, каждый раз случайным образом. Обозначим через А событие «в первый раз выбран один из числа первых 16 (в ряду из 25 учеников)», через В — событие «во второй раз выбран один из числа первых 15 (в ряду из оставшихся 24 учеников)». Тогда АпВ — это событие «будут дежурить два мальчика», его вероятность нам нужно найти.
События А и В независимы, так как номер выбранного ученика в ряду не зависит от того, кто был выбран до или после. По формуле вероятности пересечения независимых событий
р(апв) = р(л) ■ р(В) = ЦЦ = j ;*;?:! = 1=о,4.
321. Будем рассуждать о том, когда может сломаться кофемолка. Она может сломаться уже на первом году работы, может сломаться на втором году работы, а может проработать более двух лет и сломаться потом. Будем заполнять следующую таблицу:
Событие
Сломалась на первом году
Сломалась на втором году
Сломалась после двух лет работы
Вероятность
Так как вероятность события «кофемолка прослужит больше года» равна 0,93, то вероятность противоположного события «кофемолка сломалась на первом году» равна 1 - 0,93 = 0,07. Вероятность события «кофемолка сломалась после первых двух лет работы» по условию равна 0,81. Вносим найденные значения в таблицу:
Событие
Сломалась на первом году
Сломалась на втором году
Сломалась после двух лет работы
Вероятность
0,07
0,81
В таблице перечислены три несовместных события, одно из которых обязательно произойдёт. Поэтому сумма вероятностей в таблице должна быть равна 1. Следовательно, незаполненное искомое значение можно вычислить как 1 — 0,07 — 0,81 = 0,12.


Глава III. Решения избранных заданий
371
325. Так как из 5 револьверов 2 пристреляны, то вероятность схватить
о
пристрелянный револьвер равна - = 0,4. Вероятность схватить один из
5
Q
трёх непристрелянных револьверов равна ^ = 0,6.
о
Обозначим через А событие «Билл схватит пристрелянный револьвер и попадёт из него в муху». Так как события «Билл схватит пристрелянный револьвер» и «Билл попадёт из пристрелянного револьвера в муху» независимы, то Р(А) = 0,4 • 0,8 = 0,32. Аналогично вероятность события В «Билл схватит непристрелянный револьвер и попадёт из него в муху» равна Р(В) = 0,6 • 0,25 = 0,15. События А и В несовместны (Билл не может одновременно стрелять как из пристрелянного, так и из непристрелянного револьверов). Искомая вероятность равна Р(А и В) = Р(А) + Р(В) = 0,32 + 0,15 = 0,47.
Второй матч
победа Р = 0,3
ничья Р = 0,4
поражение Р = 0,3
Первый
матч
победа Р = 0,3
0,09
0,12
0,09
ничья Р = 0,4
0,12
0,16
0,12
поражение Р = 0,3
0,09
0,12
0,09
Числа в ячейках получаются по принципу таблицы умножения (умножение вероятностей соответствующих результатов первого и второго матчей), так как вероятности результатов первого и второго матча не зависят друг от друга. Жирным шрифтом в таблице выделены вероятности тех результатов, при которых команда выходит в следующий круг. Искомая вероятность равна 0,09 + 0,12 4* 0,12 = 0,33.
333. Составим таблицу вероятностей возможных результатов в конце дня.
Второй автомат
кофе закончился
кофе остался
Первый
автомат
кофе закончился
0,22
кофе остался
По условию вероятность события «кофе закончился в обоих автоматах» равна 0,22. Это число мы сразу записали в соответствующую ячейку таблицы.
В первом автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в верхних ячейках таблицы должна быть равна 0,4. Значит, в правой верхней ячейке должно быть число 0,4 — 0,22 = 0,18.


372
Глава III. Решения избранных заданий
Второй автомат
кофе закончился
кофе остался
Первый
автомат
кофе закончился
0,22
0,18
кофе остался
Во втором автомате кофе закончится с вероятностью 0,4, поэтому сумма чисел в левых ячейках таблицы также должна быть равна 0,4. Значит, в левой нижней ячейке должно быть число 0,4 - 0,22 = 0,18.
Второй автомат
кофе закончился
кофе остался
Первый
автомат
кофе закончился
0,22
0,18
кофе остался
0,18
Так как сумма чисел во всех четырёх ячейках должна быть равна 1, то искомое число в правой нижней ячейке равно 1-0,22-0,18-0,18 = 0,42.
Второй автомат
кофе закончился
кофе остался
Первый
автомат
кофе закончился
0,22
0,18
кофе остался
0,18
0,42
337. Вероятность того, что Н. не сможет набрать 60 баллов ни по литературе, ни по математике равна (1 — 0,6) • (1 - 0,9) = 0,4 • 0,1 = 0,04. Следовательно, хотя бы по одному из этих двух предметов он получит 60 баллов с вероятностью 1 — 0,04 = 0,96. Для поступления нужно набрать требуемый балл по русскому языку, истории и хотя бы по одному предмету из литературы и математики. Вероятность поступления равна 0,5 • 0,8 • 0,96 = 0,384.
2
341. Подставив в формулу Е = значения v = 6 м/с, т = 15 кг,
А
получим Е = = isbM = 270 (Дж).
345. Подставив в формулу R = ?— значения a = 4 и sin a = полу-
т 2sina 3
чим R = -фъ = J = 4 • | = 3 (Дж). зз 4
349. Подставим указанные значения а, 6, г и S в формулу S = |г(а + Ъ + с). Получим 30 = | • 2 • (5 -I-12 + с), 30 = | • 2 • (17 + с), 17 + с = 30, с = 13.
353. Подставим в формулу d = у/a2 + Ь2 + с2 вместо d число 25, вместо а число 12 и вместо Ъ число 9. Получим 25 = у/122 + 92 + с2,


Глава III. Решения избранных заданий
373
25 = л/144 + 81 + с2, 25 = V225 + с2. Тогда V225 + с2 = 625, с2 = 400, с = 20 (метров).
357. Подставим в формулу С = 120 + 9(£ — 5) вместо t число 25. Получим С = 120 + 9(25 - 5), С = 120 + 9 • 20 = 120 + 180 = 300 (рублей)..
361. Заметим, что 1 < 6 < 2, 4<а<5 (см. рис. 440).
b, Д ..I»
— г'—1 0 1 Г2 3 4 *5 6 ' X Рис. 440
Тогда 3 < 36 < 6, 6 < a + 2 < 7, то есть 36 < 6 < а + 2. Наибольшее число — это (а + 2). Это число обозначено номером 4.
365. А) з2 = 11, s2 - 6 = 5. 5 € [5; 6]. Промежуток [5; 6] имеет номер 2, поэтому под буквой А) запишем число 2.
В) 3 < s < 4, так как З2 = 9 < 11, а 42 = 16 > 11. Тогда 1<\/3<\/£<\/4 = 2. Значит, y/s е [1; 2]. Промежуток [1; 2] имеет номер 1, поэтому под буквой В) запишем число 1.
Б) Заметим, что ^ = Д=. Так как 1<л/з<2, то0<^< Д= < 1.
s y/s v 2 y/s
Значит, Д= е [0; 1]. Промежуток [0; 1] имеет номер 4, поэтому под бук-
V5
вой Б) запишем число 4.
г) ^ = тгг= /W=>*•Кроме того’ <4-Значит’
е [3; 4]. Промежуток [3; 4] имеет номер 3, поэтому под буквой Г) запишем число 3.
369. Решим каждое неравенство отдельно.
A) 16х ^ 16, 16х ^ 161. Ясно, что 16 > 1, значит, рассматриваемое неравенство равносильно неравенству х ^ 1, то есть х Е [1; +оо), что соответствует решению 4.
^ (нО ^ ^ Ясно’ что 16 > 1» значит,
рассматриваемое неравенство равносильно неравенству — х ^ 1, х ^ — 1, то есть х е (-оо; -1], что соответствует решению 2.
B) log16 х ^ 1, ОДЗ х > 0. Преобразуем неравенство к виду log16 х > log1616. Ясно, что 16 > 1, значит, рассматриваемое неравенство


374
Глава III. Решения избранных заданий
равносильно неравенству а; ^ 16, то есть х Е [16; +оо), что соответствует решению 1.
Г) log16x < 1, ОДЗ х > 0. Преобразуем неравенство к виду log16x ^ log16 16. Ясно, что 16 > 1, значит, на ОДЗ рассматриваемое неравенство равносильно неравенству х < 16, то есть х € (0; 16], что соответствует решению 3.
373. Решим каждое неравенство отдельно.
A) 3х ^ 3, 3х ^ З1. Ясно, что 3 > 1, значит, рассматриваемое неравенство равносильно неравенству х ^ 1, что соответствует решению на рисунке 2.
Б)(|) ^ 3; 3“х > З1; х ^ — 1, что соответствует решению на рисунке 4.
B)(!) ^ 3; 3-* ^ З1; х ^ —1, что соответствует решению на рисунке 1.
Г) 3х ^ 3; 3х < З1; х < 1, что соответствует решению на рисунке 3. 377. Приблизительно оценим каждое значение, стоящее в правом столбце.
а) Из рисунка видно, что п « 1,5, —2 < т < —1,5. Отсюда видно, что п + т < 0, а это соответствует только точке А.
б) га2 + п2 > 1,52 + (—1,5)2 = 4,5, что соответствует только точке D.
Q Q 9
в) — « = 2. Тогда выполняется примерная оценка 0 < - + т < 0,5,
п 1,5 гг п
что соответствует точке В.
г) Считая п « 1,5, получим 3 < п — т < 3,5, что соответствует точке С.
Таким образом, точке А соответствует значение под номером 1, точке В соответствует значение под номером 3, точке С — под номером 4, точке D — под номером 2.
381.*-4:(-5§),
, 5 . Л2\ 17 . 17 17 3 3 «. 19 по«.
X12 Ч53; = 12 • У = 12 17 = 12 =3- 12 = 0’25’ х = —0,25.
385. Прибавим к обеим частям уравнения число 5. Получим уравнение 0,2х = 5. Разделим обе части этого уравнения на 0,2. Получим 5


Глава III. Решения избранных заданий
375
389. Разделим обе части этого уравнения на 2,5. Получим уравнение
о
х - 2 = = 3,2. Прибавим к обеим частям уравнения число 2. По-
2,5
лучим уравнение х = 5,2.
393. По условию а = 5, 6 = 7 и с = -6. Тогда по формуле корней
получаем:
-7 ± \/72 — 4 • 5 • (—6)
Х1’2 = 275 ’
-7± л/49+120 _ -7±13
Х1’2 = 10 ’Xl’2 = 10 ’
xi = —2, Х2 = 0,6.
Большим корнем является х2 = 0,6.
397. Перенесём (Зх — 4)2 из правой части уравнения в левую и разложим разность квадратов на множители:
(Зх 4-1)2 - (Зх - 4)2 = 0, ((Зх +1) - (Зх - 4))((3х 4-1)4- (Зх - 4)) = 0, 5(6х — 3) = 0,6х — 3 = 0, х = 0,5.
401. Рассмотрим это уравнение как пропорцию — равенство двух дробей:
2х — 21 _ х х + 12 1*
В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних (если говорить образным языком, умножаем крест-накрест):
2х — 21 х +12
Хх
1*
Получим х(х +12) = 2х — 21; х24-12х = 2х — 21; х2 4-Юх-f 21 = 0. Полученное уравнение имеет два корня: х\ = —3; х2 = —7. Убеждаемся, что оба числа являются корнями исходного уравнения, и пишем в ответ большее из них — (—3).
405. Представим левую и правую части уравнения в виде дробей с числителем, равным 2:
loo 2
— — ; —2 = —Получим уравнение
2х + 3 2(2i + 3) 4х + 6’ -1
2 2
= -4г. Из равенства дробей следует, что 4х 4- 6 = —1. Значит,
4х-}-6 —1’
х = = -1,75.


376
Глава III. Решения избранных заданий
409. Заметим, что —125 = (—5)3. Из определения корня третьей степени
5а: + 39 = _4_ 16 16’ 5х + 39 = 4, 5х = 4 - 39, Ъх = —35, х = -7.
417. Возводим обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение 66 — Ъх = х2, х2 + Ъх — 66 = 0. По формулам Виета получаем два корня: х\ — —11; Х2 — 6. Х2 = 6 корнем не является, так как \/36 Ф -6. х\ — —11 корнем является, так как у/121 = 11 = —(—11).
421. Из равенства нулю произведения следует, что хотя бы один из сомножителей равен нулю. Если у/Ъ — х — 4 = 0, то у/Ъ — х = 4. Возводим обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение 5 — х = 16, ж = —11. Аналогично из уравнения у/7 — х — 2 = 0 получим х = 3. Наибольшим из двух корней х = —11 и х = 3 является х = 3.
425. 52*+4 = 5~2,
2х + 4 = -2,
2х = —2 — 4, х = —3.
429. Заметим, что 81х+2 = (34)х+2 = 34х+8 и ^ i = З“3. Получаем
Z ( о
уравнение: 34х+8 = З~3. Отсюда следует, что 4х + 8 = —3, 4х = -11, х = —3,75.
Q
получаем, что х — - = —5, х = —3,5.
Проверка:
±39 _ 1 2’
1 11 2’ 2 2*
су
433. Заметим, что 0,4 = -. Разделим обе части уравнения на 53+х. Полу-
О
оЗ+ж о /2\3+х /2\*
чим уравнение = 5-(5] = (5J *3 + х = 1, х = -2.


Глава III. Решения избранных заданий
3 77
437. По определению логарифма: х + 8 = 25, х + 8 = 32, х = 24.
441 • log5(3x — 9)=log562,
Зх - 9 = 62,
Зх — 9 = 36,
Зх = 36 + 9,
Зх = 45, х = 15.
Проверка: log5(3 • 15 — 9) = 2 log5 6, log5(36) = log5 36, x = 15 — корень уравнения.
12
445. Решим сначала уравнение = х + 7. Оно равносильно в ОДЗ
уравнениям: 12 = (х — 4)(х + 7), 12 = х2 + Зх — 28, х2 + Зх — 40 = 0. По формулам Виета получаем х\ = — 8 и х2 = 5. Теперь выберем такие значения, при которых х + 7 > 0. При х = -8 значение х + 7 < 0, а при х = 5 значение х + 7 > 0. Поэтому уравнение имеет единственный корень
449.1) -|+4§ = -| + 1^ = -| + М =
= _1ХЗ+ Мх8= _21 .112 = 112 - 21 91
8 3 24 24 24 24"
о\91 Qfi-£1 qJL-91 96
; 24 ’ 24 10 24 10‘
Сокращаем 96 и 24, 96 : 24 = 4,
91 96 91-4 364 ofi4 or л
2410 = ~Ж = 10 =36^ = 36,4.
453. По формуле разности квадратов получаем 49х2 — 25 = (7х + 5)(7х - 5). Поэтому
~ ^ —7х = ^ — 7х = 7х — 5 — 7х = —5. Значит,
7х + 5 7х + 5
AQt2 — 25
^ - 7х = —5 при любом значении х.
|Х Т О
457. По свойствам степеней получаем:
(5“7 • 510) : 54 = 5((-7)+10>-4 = 5"1 = | = 0,2.
О


378
Глава III. Решения избранных заданий
461. (43)7 : 422 = 43 7-22 = 4-1 = 0,25.
465.15lT£ = 12!i|L3! = 3Mi = 3.8 = 24.
469. По указанным выше формулам = VaP. Поэтому
1\/с№ • y/cfi = \/cfi • ft? = fya™ = а2. Так как а = 0,5, то а2 = 0,25.
473 UWxgx = 14» “ж9 = 14х&+Н = 14хй+те-Й = н
J
477. ^(а — 5)2 + у/(а — 7)2 = |а — 5| + |а — 7|. Так как а > 5, то |а — 5| = а — 5. Так как а < 7, то |а — 7| = 7 — а. Значит, |а - 5| + |а - 7| = (а - 5) + (7 - а) = 7 - 5 = 2.
481. По определению логарифма 3log3 7 = 7.
485.621og«5 = 6log«52 = 52 = 25.
489. log7 4,9 + log7 10 = log7(4,9 • 10) = log7 49 = log7(72) = 2.
493. log16 log3 9 = log16 2 = log24 2 =| log2 2 = | = 0,25.
497. По формуле замены логарифма по одному основанию через логарифмы по другому основанию получаем:
= logvi517= = log^ 17» = log_ ^ j 17».
Отсюда по свойствам логарифмов получаем: log 1 173 = f log1717 = 6.
172 j
501. (1 - log3 15)(1 - logs 15) = (bg33 - log315)(log5 5 - log515) = = 0Og3 Й) (l0g5 1б) = (log3 5) (logs I) = (~ lo&> 5)(- log5 3) =
= bi73'log53 = 1-
505. Заметим, что sin 55° = sin(90° — 35°). По формулам приведения sin(90° - 35°) = cos35°. Поэтому ^ ^ = 3.
509. tg2 a = — 1 = 17 — 1 = 16. Так как a € (тг; то tga > О,
cos^a V 2 /
поэтому tg a = %/l6 = 4.
513.14\/6tg | cos | = 14y/6 ■ y/3 • = 14\/6 • ^ = 42.


Глава III. Решения избранных заданий
379
517. По формулам приведения cos 67,5° = sin 22,5°. Тогда (cos2 67,5° - cos2 22,5°) • cos 67,5° cos 22,5° =
= (sin2 22,5° - cos2 22,5°) sin2 22,5° cos22,5°. По формулам двойного аргумента получаем (cos2 67,5° - cos2 22,5°) • cos 67,5° cos 22,5° =
= - cos45° • | sin45° = -|(^) = “0,25.
521. По графику функции видно, что функция — убывающая, поэтому знак производной в точке касания — «минус». Выберем две точки касательной. Например, (—2; —9) и (—5; —3). Разность их абсцисс Ах = 3, разность ординат Ду = 6. Делим Ау на Ах, получаем 6:3 = 2, ставим знак «—».
525. Производная функции /(х) положительна, если функция возрастает.
На рисунке 441 отмечены точки, принадлежащие промежуткам возрастания, в которых производная функции /(х) положительна. Это точки -8; -7; -5; -4; -3; 0; 2; 3; 4; 6. Количество целых точек, в которых производная функции /(х) положительна, равно 10.
529. Значение функции положительно в тех точках, в которых график проходит выше горизонтальной оси абсцисс. Для того чтобы значение производной функции в заданной точке было положительным, достаточно того, чтобы рассматриваемая точка принадлежала интервалу возрастания.
Аналогично, значение функции отрицательно в тех точках, в которых график проходит ниже горизонтальной оси абсцисс. Если значение про¬


380
Глава III. Решения избранных заданий
изводной в заданной точке является отрицательным, то она принадлежит промежутку убывания.
Опираясь на вышесказанное, получим, что в точке А значение функции отрицательно и значение производной функции отрицательно (график в этой точке расположен ниже оси абсцисс, и точка А принадлежит промежутку убывания). Из тех же соображений заметим, что в точке В значение функции отрицательно, а значение производной функции положительно. В точке С значение функции положительно и значение производной функции положительно. Наконец, в точке D значение функции положительно, а значение производной функции отрицательно. Остаётся выписать ответ —1243.
533. Точка является точкой экстремума непрерывной функции, если при прохождении через эту точку производная меняет знак, то есть график производной пересекает ось абсцисс Ох. Производная функции у = f(x) на отрезке [—4; 3] меняет знак три раза, поэтому количество точек экстремума функции у = f(x) на данном промежутке равно 3.
537. Точка является точкой экстремума непрерывной функции, если при прохождении через неё знак производной меняется, то есть график производной пересекает ось абсцисс Ох. Таких точек на интервале (-3; 3) две: х = — 1 и х = 2.
Точка является точкой максимума непрерывной функции, если при прохождении через эту точку знак производной меняется с «+» на «-». В данном случае точкой максимума является точка х = — 1 (см. рис. 442).
Рис. 442
541. Расставим знаки производной (см. рис. 443 на с. 381) и выберем промежутки, где производная отрицательна (на них функция убывает). Это и будут промежутки убывания: [—1; 2], [6; 13], [15; 16). Длина наибольшего из них равна 13 — 6 = 7.


Глава III. Решения избранных заданий
381
Рис. 443
545. Значение производной в точке хо равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику этой функции в точке с абсциссой хо. /'(х) наименьшее в точке, в которой касательная образует самый маленький тупой угол с осью Ох («горка» в этом месте на вид «самая крутая»). Проведём касательные в заданных точках (см. рис. 444). Тупые углы (а значит, /'(х) < 0) в точках х = — 1 и х = 4. a < /3, значит, наименьшая производная в точке 4.
549. Касательная к графику функции у = f(x) параллельна прямой у = х -f 1 или совпадает с ней, если её угловой коэффициент к = 1. Но значение углового коэффициента касательной равно значению производной в точке касания, то есть нам нужно найти точки, в которых производная /'(х) = 1. Построим прямую у = 1, параллельную оси Ох (см. рис. 445 на с. 382). Видим, что прямая и график функции имеют 4 общие точки. Это и значит, что /'(х) = 1 в этих четырёх точках, и в них


382
Глава III. Решения избранных заданий
касательная к графику функции у = /(х) параллельна прямой у = х + 1 или совпадает с ней.
Рис. 445
553. По графику найдём значение производной функции у = /(х) в точке с абсциссой хо = 3 , которое будет тангенсом искомого угла наклона касательной: /'(3) = l = tga=>a = 45°.
557. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Угловой коэффициент касательной у = —4х + 15 равен —4. Получим у'(х) = —4, где у'(х) = (х3 + Зх2 — 4х + 11)' = Зх2 + бх — 4.
Зх2 + бх — 4 = —4; Зх2 + бх = 0; Зх(х + 2) = 0, следовательно, х = О либо х = —2.
Мы получили два возможных значения для абсциссы точки касания. Выбрать одно из них можно, подставив найденные значения х в формулы функции и касательной. В точке касания значения функции и прямой должны совпасть.
При х = 0 у = х3 + Зх2 — 4х + 11 = О3 + 3 • О2 — 4 • 0 + 11 = 11;
2/кас — —4х + 15 = —4 • 0 Н-15 = 15. у(0) = 11, Укас(0) = 15.
Так как значения функции и касательной при х = 0 разные, абсцисса х = 0 нам не подходит.


Глава III. Решения избранных заданий
383
Проверим при х — —2: у = х3 + Зх2 - 4х + 11 = (-2)3 + 3 • (—2)2 - 4 • (-2) + 11 =
= -8 + 12 + 8 + 11 = 23;
Укас = — 4х + 15 = -4 • (-2) + 15 = 8 + 15 = 23.
Значения функции и касательной при х = — 2 равны, значит, абсцисса точки касания х = —2.
561. По графику функции у = f(x) определяем, что производная равна нулю в двух точках промежутка (—5; 0). Но только при переходе через одну из них производная меняет знак с «+» на «—». Этой точкой является первая слева точка, в которой производная обращается в ноль.
565. Заштрихованная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной отрезками прямыхх = — 2 и х = 1 и графиком функции у = f(x). Для вычисления площади фигуры используем формулу S = F(b) — F(a), в нашем случае a = —2, 6=1.
S = F{ 1) - F(—2) = + 2 • l2 + 3 • 1 - 1 -
- (2'(J2)S + 2 ■ (—2)2 + 3 • (-2) - l) =
= § + 2 + 3-1-(-f + 8-6-l) =§ + ^+4-1 =
= ±£ + 3 = 6 + 3 = 9.
569. Найдём разность первообразных, посчитав площадь трапеции ABCD (см. рис. 446).
F(3) - F(-l) = Sabcd = - g • BA = ^ -2 = 7.
Рис. 446


384
Глава III. Решения избранных заданий
573. Найдём производную заданной функции.
у1 = 2*3* х2 — 5-2-х — 4 = бх2 — 10х — 4 = 2^х + ^(х — 2).
у* — 0 при х = 2, х = — ^ (см. рис. 447).
о
У
+ +
• • ►
У V 2 X
Рис. 447
Следовательно, единственной точкой минимума является х = 2, так как при переходе через неё производная функции меняет знак с «—» на «+».
577. Найдём производную заданной функции.
yf = 2(х - 2)(—2х - 3) + (х - 2)2 • (-2) = 2(х - 2)(-2х - 3 - х + 2) - = 2(х - 2)(—Зх - 1).
у9 = Оприх = 2,х = -i.
о
Заметим, что графиком производной является парабола, ветви которой направлены вниз. Поэтому на промежутке 2^ производная имеет
знак «плюс», а на промежутке (2; +оо) знак «минус». Значит, до точки х = 2 функция возрастает, а после неё убывает. Следовательно, х = 2
является точкой максимума. Точка х = — ^ является точкой минимума, так как на промежутке ^ — оо; —производная имеет знак «минус», а на
промежутке ^ 2^ знак «плюс».
Следовательно, единственной точкой максимума является х = 2, так как при переходе через неё производная функции меняет знак с «+» на «—».
581.1. 	Найдём производную:
2/'(х) = (3\/5sinx + 3\/2х — 15)' = 3\/2cosx + 3\/2 4- 0 =
= Зу/2 cos х + Зл/2.


Глава III. Решения избранных заданий
385
2. Определим знаки производной у'(х) = 3\/2cosx + Ъу/2.
Это выражение неотрицательно при всех значениях х, так как cos х принимает значения от —1 до +1 (всегда выполняется 3\/2cosx + 3\/2 ^ Зл/2 • (-1) + Зл/2 = 0). Следовательно, у/(х) ^ 0, и функция возрастает при всех значениях х. Наименьшее значение возрастающая функция принимает на левом конце заданного промежутка (при наименьшем возможном значении аргумента х = 0).
3. Вычисляем значение функции в точке х = 0. у = 3\/2sin0 + 3\/2 • 0 — 15 = —15.
585. 1. Найдём производную:
у' = (16х - 16tgx + 4тг - 56)' = 16 Щ 0 =
COS X
_ 16 COS2 X — 16 _ 16(cOS2 X — 1)
COS2X COS2X
2. 	Определим знаки производной на промежутке [“^» ^] •
< cosx ^ 1, 0 < | < cos2x ^ 1, cos2x — 1^0.
^)=16iccg2.r-_lj * v 1 cos X
Следовательно, заданная функция не возрастает на промежутке
7Г . 7Г
. 4’ 4. ‘
Наибольшее значение невозрастающая функция принимает на левом конце заданного промежутка, то есть при наименьшем возможном значении аргумента х = —
„(-£) , 16. (-1) - 16tg(-f) + 4* - 56 -
= —4ж + 16 + 47Г — 56 = —40.
589.1. 	Найдём значения функции на концах отрезка:
у(-9) = (—9 + 7)е~9+8 = —2е-1 « — Щ, так как е « 2,7; у(—7) = (—7 + 7)е-7+8 = 0.
25. Зак. №111


386
Глава III. Решения избранных заданий
2. Найдём производную:
г/ = ((х + 7)е*+8)' = (х + 7)'е*+8 + (х + 7)(е*+8)' =
= lex+8 + (х + 7)ех+8 = (1 + х + 7)ех+8 = (х + 8)ех+8.
3. Найдём значения ж, при которых производная функции равна нулю: (х + 8)ех+8 = 0; х 4- 8 = 0; х — —8.
4. Это значение х = —8 принадлежит промежутку, данному в задаче: -8 лежит на отрезке [—9; —7].
5. Найдём значение функции в точке, где производная равна нулю:
2/(—8) = (-8 + 7)е-8+8 = -1 • 1 = -1.
20
6. Видим, что из чисел — 1; —0 наименьшим является —1.
I
5 3
593. 1. По условию у = х2 —бх2 + 18 (х ^ 0). Найдём производную:
У' = Р -б | х2 = |х2 -^х2 = ±х2(5х-18).2/'= 0
при х = 0 и х = 3,6.
2. Знак у' совпадает со знаком функции у = 5х - 18 на интервале (0;+оо). Её графиком является прямая линия, которая образует острый угол с положительным направлением оси Ох. Поэтому при 0 < х < 3,6 производная отрицательна, а при х > 3,6 — положительна. Следовательно, на промежутке 0 < х < 3,6 заданная функция убывает, а на промежутке х > 3,6 — возрастает. Точка х = 3,6 является точкой минимума.
597.1. 	Найдём производную:
/ г 5 5х3 5 с х3 — 1 / л 4
у' — Ьх — = х2 = 5 • г/ — 0 при х = 1.
2. 	Знак у' совпадает со знаком функции у = х3 — 1. Её график получается из кубической параболы у = х3 параллельным переносом вверх вдоль оси Оу на одну единицу. Поэтому при —оо < х < 0 производная отрицательна, при 0 < х < 1 — отрицательна, а при х > 1 — положительна.
Следовательно, на промежутке - < х < 1 — заданная функция убывает,
а на промежутке 1 < х < 10 — возрастает. Точка х = 1 является точкой
25*


Глава III. Решения избранных заданий
38 7
минимума, и она — единственная точка минимума, поэтому в ней заданная
с
функция принимает наименьшее значение. у( 1) = - 4- 5 4- 2013 = 2020,5.
601.J/= log3(x2+2a:+4)+3. у' = (д.2 + 2з^+4) 1пЗ’ у'= 0пРиа: = _1-
Заметим, что х2 4- 2х + 4 > 0 для любого х, так как £> < 0 и коэффициент при х2 положителен. При переходе через х = — 1 производная меняет знак с «—» на «+» (см. рис. 448). Значит, точка х = —1 является точкой минимума.
/ - +
у - -1 X
Рис. 448 Наименьшее значение у(—1) = 4.
605. Пусть по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, равную х, тогда рейтинг можно посчитать по формуле
д = 7In + Op + 3Tr+Q = 7х + х + 3х + х = 1|г По условию R = x,
™£=х,А = 12.
А
609. Значение выручки предприятия за месяц, соответствующее условию задачи, задано формулой
г = q • р = (280 — 10р)р.
По условию г ^ 960, поэтому
(280 - 10р)р ^ 960, 280р - Юр2 > 960,
-Юр2 4- 280р - 960 ^ 0, р2 — 28р 4- 96 ^ 0,
Pi = 4, Р2 = 24 => р € [4; 24], ртах = 24. То есть максимальный уровень цены, при котором выручка предприятия составит не менее 960 тыс. руб., равен 24 тыс. руб.
613. Составим и решим неравенство:
5ех
26. Зак. №111


388
Глава III. Решения избранных заданий
П > 75%,
• Ю0% ^ 75%,
> 0,75,
Ti - 350 > 0,75Ti,
Tj - 0,75Ti ^ 350,
0,25Ti > 350,
7\ ^ 1400.
Наименьшее искомое значение температуры нагревателя равно 1400 К.
617. Составим и решим неравенство:
h(t) > 25, —Ы2 + 30t ^ 25, t2 — 6t + 5 < 0, ti = 1, t2 = 5 (см. рис. 449). t£ [1;5],
At = t2-h= 4.
\'///////////////Л +
rv - УЪ t
Рис. 449
Итак, на высоте не менее 25 м мяч находился в течение 4 секунд.
621. Время полёта t ^ 5с, значит, ~^ 5. sina >
9 2«о
t 1 1
sina ^ - 0* I-, sina ^ Наименьший острый угол a = 30°.
2 • о 2
625. Из условия следует, что Е = Р^ '^99? е = 0,32 cos2 тгt. Пусть t е [0; 1]. Найдём, при каких t выполняется Е > 0,24, то есть 0,32 cos2 Ttt ^ 0,24; cos2 irt ^ cos7rt > ^ф- или cos nt < Учиты-
4 Z Z
вая, что t € [0; 1], получим яt е [в; ^j или 7rt е 7г|, откуда t е |0; |j или t € [|;l]-
26-


Глава III. Решения избранных заданий
389
Таким образом, Е > 0,24 на протяжении | секунды в начале 1-й секунды и ± в её конце. И тогда Е ^ 0,24 на протяжении 4 + 4 = | секунды,
D UUO
| * 0,33.
629. Приведём данные к требуемым единицам измерения: 90 см = 0,9 м.
Составим неравенство по условию задачи и решим его относительно скорости.
р = т(т-5)^0, v2 ^ gL, v > 0,
v ^ y/gL, v ^ \/10 • ОД v ^ у/9 = 3.
Итак, искомое минимальное значение скорости вращения ведёрка равно 3 м/с.
633. Запишем формулу работы А = avT log2 ^ и подставим данные из
Pi
условия v = 40 молей, р\ = 1,3 атм., a = 3,5, Т = 300 К. Получим 3,5 . 40 - 3001ogj а « 125000, log, ^ log, « 3,
S ^ 23' Й ^ 8’ Л ^ 10’4'
Наибольшее давление при данных условиях равно 10,4 атм.
637. Чтобы ответить на вопрос, с какой высоты горизонт виден на расстоянии 16 километров, подставим в формулу I = у/2Rh известные величины и решим уравнение:
л/2^64(КГЛ = 16,
80\/2~h = 16, V'Tft = vm = I
2 • h = h = = 0,02, ft = 0,02 km.
zo 51)
641. Fa < 1130400,
|тгД3р0 < 1130400,


390
Глава III. Решения избранных заданий
r3 < 3 -1130400 "" ярд ■ 4 ’
„з ^ 3-1130400 _ 07
" 3,14 • 1000 • 10 • 4 ’
3.
Следовательно, максимальный радиус батискафа составляет 3 м.
645. Составим выражение для определения разности высот и вычислим эту величину.
hi = 4,9*?, ft2 = 4,9*i,
Ah = h2-hl= 4,9{t\ - t\) = 4,9(5,52 - 4,52) =
= 4,9(5,5 - 4,5)(5,5 + 4,5) = 49/
To есть второе сооружение выше первого на 49 м.
649.1) Утверждение не является верным, так как верным по правилу обращения следствия было бы утверждение «Если на доме не загорается фонарь, то к дому не подъезжает автомобиль».
2) Утверждение верно, так как является обращением исходного утверждения.
3) Утверждение неверно, так как фонарь загорается независимо от цвета подъезжающего автомобиля.
4) Утверждение верно, так как фонарь загорается независимо от цвета подъезжающего автомобиля.
653. Сумма, выделяемая на каждый вид расходов, является положительным числом, изображаемым точкой на числовой прямой. Чем больше число, тем правее соответствующая точка.
Пусть О, П, К, Р — суммы, выделяемые на одежду, питание, коммунальные услуги и ремонт соответственно. По условию О < П < Р, О < К. Отметим указанные точки на числовой прямой (см. рис. 450).
(К) (K)t (К) ОПР Рис. 450
На рисунке указаны различные возможные положения точки К (все они правее точки О).
Используя рисунок, сделаем выводы относительно данных четырёх утверждений.
1) 	Утверждение верно.


Глава III. Решения избранных заданий
391
2) Утверждение не следует из имеющихся данных, так как точки К и П могут не совпадать.
3) Утверждение верно.
4) Утверждение не следует из имеющихся данных, так как точка К может находиться справа от точки Р на числовой прямой.
657. Обозначим через Я, #, К соответственно множество не отдыхавших нигде сотрудников, множество тех, кто отдыхал в Китае, и множество тех, кто отдыхал в Японии. Тогда множества Я и К не пусты по условию и не пересекаются (так как отдыхавшие в Китае не отдыхали в Японии). Изобразим указанные множества на рисунке 451.
Рис. 451
Рассмотрим, какие утверждения следуют из исходных данных.
1) Утверждение не следует из исходных данных, так как некоторые сотрудники отдела могли не отдыхать нигде.
2) Утверждение следует из исходных данных.
3) Как и утверждение 1, это утверждение не следует из исходных данных: некоторые сотрудники отдела могли не отдыхать нигде.
4) Утверждение следует из исходных данных.
Отсюда следует, что предложения 2 и 4 являются следствием приведённых данных.
661. Обозначим:
Н — множество учащихся, не посещающих кружки;
Б — множество учащихся, посещающих только кружок по биологии;
X — множество учащихся, посещающих только кружок по химии;
БХ — множество учащихся, посещающих оба кружка.
Существуют разные варианты распределения школьников по кружкам. На рисунке 452 представлены два «крайних» случая: на диаграмме слева множество Н пусто, а на диаграмме справа пусто множество X. Рассмотрим, какие утверждения следуют из исходных данных.
1) Утверждение не следует из исходных данных, что иллюстрирует диаграмма слева.
2) Утверждение не следует из исходных данных, что иллюстрируют обе диаграммы


392
Глава III. Решения избранных заданий
Рис. 452
3) Утверждение следует из исходных данных, что иллюстрируют диаграммы. Действительно, если число не посещающих кружки школьников равно 0, то число посещающих оба кружка равно 4, так как 25 = (15 + 14) — 4 (диаграмма слева). С увеличением числа школьников, не посещающих кружки, число посещающих оба кружка увеличивается вплоть до 14 (диаграмма справа).
4) Утверждение не следует из исходных данных, что иллюстрирует диаграмма слева.
665. Согласно условию вес каждого отдыхающего лежит на интервале от
56 кг до 100 кг. Рассмотрим, какие утверждения следуют из этих данных.
1) Утверждение не следует из исходных данных. Отдыхающий с весом 98 кг может как найтись (так как 56 < 98 < 100), так и не найтись (например, если все отдыхающие легче 95 кг).
2) Утверждение не следует из исходных данных. Например, утверждение ложно в случае приезда только двух отдыхающих с весом 57 кг и 90 кг.
3) Утверждение не следует из исходных данных. Например, утверждение ложно в случае приезда только двух отдыхающих с весом 57 кг и 90 кг.
4) Утверждение верно, так как разница между весом пары отдыхающих меньше длины интервала (56 кг; 100 кг), равной 44 кг.
669. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В данном треугольнике катеты равны 2 см и 6 см (посчи-
о
таем по клеточкам), поэтому площадь S = = 6 (см2).
673. Проведём высоту /г. Треугольник тупоугольный, поэтому высота проводится вне треугольника.
На рисунке 453 сторона а = 2 см, высота Л = 3 см.
S _ g£ _ 2JJ = з см2


Глава III. Решения избранных заданий
393
Рис. 453
677. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон a и 6. Для того чтобы найти стороны прямоугольника, рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 2 и ВС = 1 и гипотенузой АС = Ь (см. рис. 454).
<<
<<
А
$
$
V
>
£
£
В
1
с
D
Рис. 454
По теореме Пифагора гипотенуза Ь = у/12 + 22 = у/5. Из треугольника CDE с катетами CD = 4 и DE = 2 найдём гипотенузу C7JE7. a — у/42 + 22 = \/20. Следовательно, площадь прямоугольника S = \/20-v^=10(cm2).
681. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон AD и АВ (см. рис. 455).
По теореме Пифагора AD = у/22 И- З2 = у/IS. Из треугольника ОАВ с катетами О А = 4 и ОВ = 4 найдём гипотенузу АВ. Л.В = у/62 + 42 = %/52. Следовательно, площадь прямоугольника 5 = \/13 • у/52 = 26.
685. Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту. Обозначим трапецию ABCD. Проведём из точки D высоту DM к основанию АВ. По рисунку 456 видно, что высота равна 2 см, основания АВ = 4 см, DC = 2 см.


394
Глава III. Решения избранных заданий
А
1
М
В
V
/
\
/
D
С
Рис. 456
Площадь трапеции S = ^ ^ = 6 (см2).
689. Диагонали находим как гипотенузы прямоугольных треугольников АСВ и МРК по теореме Пифагора (см. рис. 457).
Рис. 457
Диагональ АС = л/42 4- 42 = V32, МР = \/22 + 22 = \/8- Площадь ромба S = _ g
693. Достроим четырёхугольник до прямоугольника (см. рис. 458 см. с. 395).


Глава III. Решения избранных заданий
395
Рис. 458
Чтобы найти площадь четырёхугольника, нужно из площади прямоугольника со сторонами 5 и 6 вычесть площади четырёх прямоугольных треугольников и квадрата. Попробуйте посчитать площади прямоугольных треугольников самостоятельно, величины этих площадей указаны на рисунке.
Получаем площадь заданного четырёхугольника:
S = 30 - 7,5 - 6 - 1 - 4,5 - 4 = 7 (см2).
697. Площадь круга равна произведению числа тг на квадрат радиуса. Найдём радиус. Из центра О проведём радиус О А. В треугольнике ОАВ сторона О А — гипотенуза, катеты равны 1 и 2 (см. рис. 459).
в
\
А
s'
\
О
/
у
Рис. 459
Найдём гипотенузу по теореме Пифагора.
О А = у/12 + 22 = у/b. Площадь круга S = тг(у/Ь)2 = 57т, — = — = 5.
' 7Г 7Г


396
Глава 111. Решения избранных заданий
701. Посчитаем, какая часть круга заштрихована. Проведя дополнительные линии (см. рис. 460 А), видим, что сектор на рисунке А составляет
± часть круга. Поэтому Sc = 47т: 8 = 0,57г; ^ = 0,5. о ж
Рис. 460
705. Сумма углов треугольника равна 180°, а четырёхугольника — 360°.
В AACE Z5 = 180° - Z1 - Z2 = 180° - 52° - 26° = 102° (см. рис. 461).
В AABD Z6 = 180° - Zl - Z3 = 180° - 52° - 48° = 80°. В четырёхугольнике ABFE Zl + Z6 + Z4 + Z5 = 360°,
Z4 = 360° - 52° - 80° - 102° = 126°.


Глава 111. Решения избранных заданий
397
709.1. 	ZOAC = \ZA = \ • 62° = 31°.
2. ZC = 180° -ZA-ZB = 180° - 62° - 76° = 42°.
3. ZOCA = |ZC = | • 42° = 21°.
4. ZAOK — внешний угол треугольника ДАСО, значит,
ZAOK = АО АС + ZОСА = 31° + 21° = 52°.
713. В ААВС ZC = 90°, ZA = 39°, АВ = 51°.
CD — биссектриса, ZACD — ZDCB = 45°.
СН — высота, ZAHC = 90°. Нужно найти ZDCH, он равен разности ZACH - ZACD.
Найдём ZACH из ААСН.
ZACH = 180° - 90° - 39° = 51°. ZDCH = 51° - 45° = 6°.
717. AM КВ = AM BE по первому признаку (КМ = ME по условию, MB — общая сторона. ZKMB = ZBME, так как MB — биссектриса), ZBEM = ZK = 95°.
Внешний угол АВЕР равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, то есть ZBEM — ZP + ZPBE.
ZPBE = 95° - 35° = 60°.
721. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции, и её концы являются серединами боковых сторон. DC || АВ || EF, ED = ЕА, BF = CF. Параллельные прямые DC, EF и АВ проходят через концы равных отрезков на одной прямой (AD), значит, и на прямой DB они отсекают равные отрезки (по теореме Фалеса). В К = DK => ЕК и KF — средние линии AADB и ADCB. Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны, ЕК = АВ : 2 = 14 : 2 = 7; KF = DC : 2 = 10 : 2 = 5. Больший из отрезков равен 7.
725. В параллелограмме ABCD пронумеруем образовавшиеся углы (см. рис. 462). По условию BE и СЕ — биссектрисы углов В и С => Zl = Z2, Z2 = Z5 как накрест лежащие при ВС || AD и секущей BE =>■ Zl = Z5 =» АЕ = АВ.
Рис. 462


398
Глава III. Решения избранных заданий
Z3 = Z4, Z4 = Z6 как накрест лежащие при ВС || AD и секущей СЕ =>Z3 = Z6=>DC = DE.
АВ = DC как противоположные стороны параллелограмма =>
=► АВ = АЕ = DC = DE = \AD = 1 • 14 = 7.
jL Z
729. Сумма углов, не смежных с данным внешним углом, равна величине этого внешнего угла, то есть ZA 4- ZC = 85°.
Обозначим ZA = 2ху ZC = Зх.
2х + Зх = 85, Ъх = 85, х = 17.
ZC = Зх = 3 • 17 = 51° — наибольший из углов А и С.
733. По рисунку определяем, что треугольник АВС — равнобедренный (АВ = АС). Поэтому его высота h является медианой. А медиана, как видно из рисунка, является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого катеты равны по Зу/2. Следовательно, h2 = (Зу/2)2 + (Зу/2)2 = 36. Отсюда h = 6.
737. Угол между касательной и радиусом, проведённым в точку касания, прямой: ZOAC = 90°. Центральный угол DO А равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то есть ZDOA = ^DA = 128°. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним,
ZDOA = ZOAC -f ZACO, ZACO = 128° - 90° = 38°.
741. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ZAMB = 0уЪ^АВ = 0,5 • 106° = 53°. ZMAK = О.Ъ^МК = 0,5 • 42° = 21°. ZAMB — внешний к углу М ААМС, значит, ZAMB равен сумме ZMCA и ZMAC этого треугольника.
ZC = ZAMB - ZMAC = 53° - 21° = 32°.
745. Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой из конца хорды, равен половине угловой величины дуги, которую стягивает эта хорда. ZCBA = 0,5~АВ = 0,5 • 104° = 52°.
749. ZABD = ZABC - ZDBC. ZDAC = ZDBC = 52° (как вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу).
ZABD = 113° - 52° = 61°.
753. Четырёхугольник ABCD — вписанный, поэтому сумма его противоположных углов равна 180°.
По условию ZA : ZB : ZD = 5:2:6.
Обозначим ZA — 5ж, ZB = 2ху ZD = 6гг.
ZB -f ZD = 180°, 8х = 180°, х = 22,5°.
ZC = 180° - ZA = 180° -5ж = 180° - 112,5° = 67,5°.


Глава III. Решения избранных заданий
399
757. У любого четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то есть ВС + AD = DC + АВ.
Поэтому AD + СВ = — = 42 : 2
21. Наибольшая боковая сторона
СВ = 12 =*► AD = 21 — 12 = 9. Так как AD1.AB, то МК = AD = 2Л, где Д — радиус вписанной окружности. Тогда Я = 9 : 2 = 4,5.
761. ABCD — прямоугольник, АС = BD, ОС = OD (см. рис. 463). ZABC = 90°, значит, ЛС — диаметр.
В равнобедренном ACOD ZCOD = 60°, значит, Л COD сторонний, ОС = CD — 12.
равно-
765. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности О лежит на высоте, проведённой к основанию, т. е. О € СН (см. рис. 464). О — точка пересечения биссектрис. ОН — г. АО — биссектриса, она делит сторону СН треугольника АСН на отрезки, пропорциональные приле- АН АС
жащим сторонам, СН — медиана, как высота, проведённая
к основанию равнобедренного треугольника ABC, АН = 30 : 2 = 15. Из А АСН по теореме Пифагора СН = л/252 — 152 = 20. ^ ^,
25г = 15(20 - г), 40г = 15 • 20, г = 7,5.
С


400
Глава III. Решения избранных заданий
769. По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего к ней угла равно 2R:
773. Если в одном сантиметре заключено 0,5 км, то в 6 см соответственно заключено в 6 раз больше, то есть 6 • 0,5 = 3 (км).
777. Участок имеет прямоугольную форму, его общая площадь (вместе с домом) равна произведению сторон 30 • 60 = 1800 м2. Площадь дома аналогично равна 4 • 6 = 24 (м2).
Значит, искомая площадь равна 1800 — 24 = 1776 (м2).
781. Участок имеет прямоугольную форму, длина изгороди, огораживающей весь участок, равна 2 • (30 4- 35) = 130 м. Для огораживания квадратного участка понадобится ещё 2 • 20 = 40 м изгороди. Суммарная длина изгороди равна 130 4- 40 = 170 м.
785. Рассмотрим рисунок 465. В ААВС Z.A = 90°, АС = 12 м, ВС = 13 м. По теореме Пифагора имеем ВС2 = АВ2 4- АС2. Отсюда АВ2 = ВС2 - АС2, АВ2 = 132 - 122 = 25, АВ = 5 м.
2
В
Ъм\
12 м Рис. 465
Учитывая, что высота палатки 3 м, найдём высоту столба: 5м4-3м = 8м.
789. Рассмотрим рисунок 466 на с. 401. AACD ~ ААВЕ, -
CD АР, BE АЕ'
AD = AE + ED = 20 + 20 = 40; ££ = Щ = 2;CD
1,0 20 1,о
AD = АЕ + ED = 20 + 20 = 40;
^ = 2;С£> = 3,6м.


Глава III. Решения избранных заданий
401
793. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к гипотенузе. По теореме Пифагора АС2 + ВС2 = АВ2 найдём противолежащий углу А катет ВС (см. рис. 467).
ВС2 = АВ2 - АС2, ВС2 = 202 - 162 = 400 - 256 = 144,
ВС = у/ш = 12. sin Л = = ОД
797. Так как угол А острый, то
sin Л = Vl - cos2 Л = у/1 - 0,282 = ,/0,9216 _ 0,96.
801. По условию tg А = ^37 = 4. АС — По теореме Пифагора
АВ2 = АС2 + ВС2 = + 9 17= АВ = = 12,75.
10 10 4
805. Достроим угол до прямоугольного треугольника ABC (см. рис. 468
на. с. 402).
Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему.


402
Глава III. Решения избранных заданий
В
/
/
г
j
/
/
А
С
Рис. 468
ПЛ А
tg ВАС = Значение тангенса, умноженное на 3, равно 4.
809. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Рассмотрим прямоугольный треугольник СНВ с прямым углом Н и катетами ВН и НС (см. рис. 469). Найдём в нём катет ВН.
ВН2 = ВС2 - НС2,
ВН2 = 152 - (2\/54)2 = 225 - 216 = 9,
ВН = л/9 = 3.
cos В
ВН ... 3 _ » о ВС _ 15 _ ’
5
Рис. 469
813. Проведём высоту СН в треугольнике АВС. Тогда по свойству высо-
АН 12
ты в равнобедренном треугольнике АН = 12. — cos А, = 0,6,
ЛС=й=2°-
817. В треугольнике АВС стороны АС и ВС равны, значит, он равнобедренный. Высота СН, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, делит АВ пополам, поэтому АН = НВ = 24 : 2 = 12. Рас¬


Глава III. Решения избранных заданий
403
смотрим прямоугольный треугольник СНА с прямым углом Я и катетами АН и НС. АН = 12, cos Л = 0,6. Найдём АС. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.
АС — 12 : 0,6 = 20.
По теореме Пифагора СН = VAC2 - АН2 = у/202 - 122 = 16.
821. В равнобедренном треугольнике ABC высота СН является медианой, значит, АН = НВ (см. рис. 470). Рассмотрим прямоугольный треугольник ВСН с гипотенузой ВС = 15 и катетами СН и НВ. В данном
треугольнике sin В = = Щг, тогда
5 Cjd 5 15
СН = у/21 ■ 15 : 5 = Зл/21.
Катет НВ можно найти по теореме Пифагора:
НВ = sjBC1 - СН2 = ^225 - (Зл/21)2 =
= V225 - 189 = \/36 = 6.
АВ в два раза больше НВ, АВ = 6*2 = 12.
С
825. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной этого треугольника и продолжением другой его стороны. На рисунке 471 (см. с. 404) внешний угол при вершине А — это угол ВАК.
ВАК и САВ — смежные углы. Тангенсы смежных углов — противоположные числа (отличаются только знаком), поэтому найдём тангенс угла САВ. Тангенсом угла называют отношение противолежащего катета к прилежащему. Для нашего треугольника
Рис. 470


404
В
Глава 111. Решения избранных заданий
Рис. 471
3
С А2 = </109- 0,3. tg ВАК = -0,3.
100 = л/9 = 3. Тогда
Найдём ВС =
**влс“Ж = 1о
829. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной этого треугольника и продолжением другой его стороны. На рисунке 472 внешний угол при вершине А — это угол ВАК.
Рис. 472
ВАК и САВ — смежные углы. Косинусы смежных углов — противоположные числа (отличаются только знаком). По условию
cos/.ВАК = поэтому cos /САВ =
= о™18
АС =
ПАВ
'ТШ?'
По определению получаем, что
ВС
АВ
вшД = sin А
Но sin .4 = Vl-со^Л = Jl-Щ = . Значит, =
Следовательно, АВ = , 3-ДС7 — 3 — 11.
6
7157'


Глава III. Решения избранных заданий
405
833. Точке А симметрична точка В(—2; 5) (см. рис. 473). Абсцисса точки В равна —2.
В+_УА__.Л(2, 5)
—Ц х
Рис. 473
837. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Абсцисса точки Р равна Хл ^ ХС = ~ " - = 2,5.
Z Z
841. По рисунку и по условию определяем, что ордината точки А больше ординаты точки Б на 4 единицы. Так как OBAD — параллелограмм, то ордината точки D больше ординаты точки О также на 4 единицы (12-8 = 4). Но ордината точки О равна нулю. Значит, ордината точки D равна 4.
845. По определению KN — КР = PN. Началом вектора является точка Р, а его концом — точка N. Так как PN является стороной равностороннего треугольника со стороной 10, то |РЛГ| = 10.
849. Найдём координаты вектора ~а. Он выходит из начала координат, поэтому его координаты равны координатам его конца: ~а{2; 3}. Аналогично Ь{6; 4}._^
"а — b имеет координаты {2 — 6; 3 — 4}, то есть {—4; —1}. Сумма координат -4 + (—1) = —5.
853. Скалярное произведение векторов вычисляют по формуле KN • КМ = |jFsfiV| • \КМ\ • cos а, где а — угол между векторами. В пра- вильном AMKN углы равны по 60°, поэтому KN • КМ = 10 • 10 • cos 60° = 100 • 0,5 = 50.
857. Данный многогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов (см. рис. 474 на с. 406). Измерения большого параллелепипеда равны 16, 6 и 7. Измерения малого параллелепипеда равны 16 — 10 = 6, 6 и 10 - 7 = 3.
Суммарный объём этих параллелепипедов равен 16 • 6 • 7 + 6 - 6 • 3 = 96 • 7 + 36 • 3 = 672 + 108 = 780.


406
Глава 111. Решения избранных заданий
*
16
Рис. 474
861. Проведём плоскость F1F2K2 и отбросим ту часть фигуры, которая оказалась справа. Достроим оставшуюся часть многогранника до прямоугольного параллелепипеда AFKDA2F2K2D2 (см. рис. 475).
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
АК\ = FA2 + DA2 + АА\ = 42 + З2 + 62 = 16 + 9 + 36 = 61.
865. Заметим, что угол F2AB лежит в плоскости грани AA\E\E2F2F\BiB многогранника (см. рис. 476 на с. 407). Все углы многогранника прямые, поэтому F2F1 _L АВ.
Продолжим F2F1 до пересечения с АВ в точке F. В прямоугольном
Рис. 475
AAF2F A.F = 90°; tg a = F2F:AF=$ = 1,5.


Глава III. Решения избранных заданий
407
869. При решении этой задачи данный многогранник удобнее всего рассматривать как прямую призму с высотой h = 7. Основанием этой призмы является многоугольник (см. рис. 477) с периметром Р = 2 • (5 + 4) = 18 и площадью Soch. = 5 • 4 — 3 • 1 = 17.
5
|1
Рис. 477
Тогда площадь боковой поверхности призмы равна ^бок. = РЛ = 18 • 7 = 126, а площадь всей поверхности равна S = 5бок. + 25осн. = 126 + 2 • 17 = 160.
873. Нам известны два измерения прямоугольного параллелепипеда (2 и 5), нужно найти третье измерение. Обозначим его через х. Тогда площадь поверхности параллелепипеда равна
S = 2(2 • 5 + 2х + 5х). По условию S = 62, поэтому 2(2 • 5 + 2х + 5ж) = 62; 7х + 10 = 31; х = 3. Искомое ребро равно 3.
877. Если обозначить ребро куба через а, то объём V = а3 = 24\/3, а диагональ d = ay/3.
Из уравнения а3 = 24у/3 получаем:
a = \/24V3 = yj(24л/3)2 = v^26 • З3 = 2y/Z. Значит, d = 2(V3)2 = 6. 881. Обозначим ребро куба через а. Тогда площадь поверхности исходного куба равна 6а2, а площадь поверхности увеличенного куба 6(а + I)2. По условию 6(а + I)2 - 6а2 = 90; 12а + 6 = 90; 12а = 84; а = 7.


408
Глава III. Решения избранных заданий
885. Обозначим через S площадь основания призмы. Тогда из формулы объёма призмы V = Sh имеем 125 = 600, S — 50 (см2). После погружения детали уровень воды поднялся на 16 — 12 = 4 см. Объём детали V = 50 *4 = 200 (см3).
889. 	Обозначим через Vi и Si объём и площад ь основания исходной призмы, через V2 и 1S2 объём и площадь основания отсечённой призмы. Так
как у обеих призм общая высота, то ^ Средняя линия отсека-
VI о 1
ет от треугольника в основании исходной призмы подобный треугольник, коэффициент подобия А; = ^ (так как средняя линия в 2 раза меньше параллельной ей стороны треугольника). Отсюда ф- = к2 =
ibl 4 vi 4
V2 = \Vi = \-48 = 12.
893. По теореме Пифагора можно найти гипотенузу с треугольника в основании призмы, с2 — 52 + 122; с2 = 169; с = 13. Периметр основания призмы Р = 5 4* 12 4- 13 = 30. Площадь прямоугольного треугольника в
основании равна половине произведения его катетов: 50Сн. = 2 *5*12 = 30.
Площадь боковой поверхности Sбок. = Ph = 30ft. В условии дана площадь всей поверхности призмы 5П0лн. = 180. Отсюда 5б0К. + 250сн. = 180; 30ft + 2 • 30 = 180; 30ft = 120; ft = 4.
897. В правильной шестиугольной призме (см. рис. 478 на с. 409) в основании лежит правильный шестиугольник ABCDEF, в котором ZEDC = 120°.
В AEDC EC2 = ED2 + DC2-2 ED DC cos/.D.
ЕС2 = I2 4-12 - 2 • 1 • 1 * cos/120°,
ЕС2 = 2 - 2 • (-i) =2 + 1 = 3, ЕС = у/1.
В АЕгЕС ZEiEC = 90°, ЕС = л/3, ЕЕХ = 3,
tgZCEiE =
ZCEiE = 30°.


Глава III. Решения избранных заданий
409
901. Проведём апофему ЕН (см. рис. 479). ЕН — высота равнобедренного треугольника АВЕ, поэтому является его медианой,
и АН = ВН = 4г = = 8-
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АЕН имеем ЕН2 = АЕ2 - АН2\ ЕН2 = 172 - 82 = 225; ЕН = 15. В основании пирамиды лежит квадрат с периметром 4 • 16 = 64 и площадью 162 = 256. Искомая площадь равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:
5П0Лн. = Soch. + \Pl = 256 + | • 64 • 15 = 256 + 480 = 736.
Е
905. По условию высота пирамиды ЕН = 12. Из прямоугольного тре-
НС1
угольника EHG имеем ctg ZEGH =


410
Глава III. Решения избранных заданий
HG = ЕН ctg 60° = 12 • = 4\/3. Аналогично из прямоугольного
треугольника ЕНА получаем НА = 4\/3. Площадь прямоугольника в основании Soch. = -АВ ■ AD = HG ■ (2 • НА) = 4\/3 • 8\/5 = 96. Объём
пирамиды V = \SocH.h = ± • 96 • 12 = 384.
О о
909. Опустим из вершины G перпендикуляр GH на плоскость основания пирамиды. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник, и точка Я — его центр. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, поэтому отрезки АН, ЯЯ, FH разбивают шестиугольник на шесть равносторонних треугольников
/о
(см. рис. 480). Площадь каждого треугольника равна 42 • = 4Л/з> по¬
этому площадь шестиугольника равна 24\/3.
G
Теперь найдём высоту пирамиды. По теореме Пифагора для треугольника AHG имеем HG2 = AG2 - АН2; HG2 = 82 - 42; HG2 = 48; HG = 4у/3.
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на
высоту: V = ~ • 24\/3 • 4у/3 = 96. о
913. Указанный в условии многогранник является пирамидой, основанием которой является шестиугольник ABCDEF, а высотой — боковое ребро
1 1
АА\. Поэтому её объём V = S0QHh =--4-3 = 4.
о о
917. Объём воды после переливания остаётся тем же: V\ = У2; 7гг2 * 45 = 7Г7*2 • Л-2- Так как диаметр второго сосуда в 3 раза больше диаметра первого, то и радиус второго втрое больше радиуса первого:
45r2 = (3ri)2 • h2\ 45r2 = 9r2 • h2\ h2 = 5 (cm).


Глава III. Решения избранных заданий
411
921. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами 2г и Л, где г — радиус основания, h — высота цилиндра. Площадь этого прямоугольника равна 2rh. Площадь боковой поверхности цилиндра 5б0к. = 2nrh. Отсюда ^0К‘ = 7Г • 2rh = 7Г • — = 6.
ТГ ТГ
925. По условию h = I sin 30° = 10 • - = 5 (см. рис. 481); г = I cos 30° = 10 • = 5\/3. Искомый объём
V" = |тгг2Л = • (5\/3)2 • 5 = 125тг; ^ = 125.
6 6 7Г
929. Угол 60°, вырезанный из основания, составляет = - часть
ооО о
полного угла. Таким образом, ^ часть конуса была удалена, § оста-
о о
лось. Объём конуса с радиусом основания 15 и высотой 18 равен
\ • 7г • 152 • 18 = 225 • 67Г = 13507г. Искомый объём V = | • 13507т = 11257т;
6 о
= 1125.
ТГ
933. Обозначим через г радиус основания конуса, через I образующую. Тогда, по условию, 27тг = 4; 7гг = 2.
5бок. = = 2 • 5 = 10.
937. Обозначим через г радиус шара. Тогда -яг3 = 360007т; г3 = 27000;
о
г = 30. Площадь поверхности шара равна S = 4ят2 = 4 • тг • 302 = 36007г; - = 3600.
7Г
941. Обозначим радиус шара через г. Тогда площадь большого круга шара равна 7гг2, а площадь поверхности шара — 47гг2. Таким образом, площадь


412
Глава III. Решения избранных заданий
поверхности шара в 4 раза больше площади большого круга шара и равна 4 • 10 = 40.
945. Объём куба прямо пропорционален третьей степени его ребра, поэтому объём увеличится в 43 = 64 раза.
949. 	Объём конуса прямо пропорционален площади основания. Площадь основания равна ж г2, то есть прямо пропорциональна квадрату радиуса. Таким образом, при увеличении радиуса основания в 2,5 раза объём увеличится в 2,52 = 6,25 раза.
953. При увеличении всех линейных размеров тетраэдра в 3 раза его площадь поверхности увеличится в З2 = 9 раз.
957. 	Объём конуса равен \shy а объём цилиндра — Shy где S — площадь
о
их общего основания, h — общая высота. Видно, что объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса и равен 16 • 3 = 48.
961. Каждая сторона прямоугольника в основании параллелепипеда равна диаметру цилиндра, то есть 2 • 5 = 10. Площадь основания параллелепипеда равна 10 • 10 = 100. Высоту h параллелепипеда находим из формулы объёма параллелепипеда: ЮО/i = 600; h = 6. Найденная высота параллелепипеда одновременно является и высотой цилиндра.
965. 	Рассмотрим куб как четырёхугольную призму. Его объём ^куб = 5оснЛкуб- Основание пирамиды совпадает с основанием призмы, а высота вдвое меньше высоты призмы. Поэтому
Упир. = g'SoCH. • /&пир. = 2»SoCH. • Т^куб = ^ * 2 * ^куб = ^ * 30 = 5.
969. Обозначим сторону шестиугольника в основании пирамиды через г. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 правильных треугольников со стороной г, поэтому площадь шестиугольника равна
6 . 7,2= Мг2
4 2
Найдём площадь треугольника ABC.
Sabc = | • АВ ■ ВС • sin ZABC = | • г2 • & = ^r2 = \sABCdbf.
Таким образом, площадь основания пирамиды GABC в б раз меньше площади основания шестиугольной пирамиды, а их высоты совпадают. Поэтому объёмы этих пирамид находятся в том же соотношении, что и
площади их оснований. Vgabc = \Vgabcdef = 4 • 60 = 10.
О о


Глава III. Решения избранных заданий
413
973. a) sin 2х + cos 2х = 1
2sinxcosx + cos2 х — sin2 х — 1 = О 2sinxcosx — 2sin2x = О sinx(cosx — sinx) = О
1) sinx = 0; х = 7гfc, к £ Z.
2) sinx = cosx; tgx = 1; x = ^ + 7rn, n € Z.
б) При помощи окружности (см. рис. 482) отберём корни на промежутке ~
я
6
->
2я
Рис. 482
Получим корни 7г; 27г.
;2тг].
975. a) 16sin2* + 16сов2ж = 10,
16sin2* + 16i-sin2x _ 10>
Обозначим 16sin2 х =t,t^ 1. Уравнение примет вид t + = 10,
V
t2 - 10* + 16 = о,
*х = 2, t2 = 8.


414
Глава III. Решения избранных заданий
Вернёмся к исходной переменной. 1) 16‘
Rsin2 х 2
24 sin2 х == 2
4 sin2 х = 1,
sin2 х = т* 4
sinx =
2) 163i"2 * = 8,
24 sin x __ 2^
4 sin2 x = 3,
. 2 3
sin x = -,
4
sin x = ±
2 ’
X = ±77 -h 7ГП, n G Z. о
6) С помощью числовой окружности (см. рис. 483) отберём корни,
Х1>2 = ±|, *3,4 = ±§,
*5 = у,
Х6 =
2тг 3 ’
57Г 6 ’
Рис. 483.
977. а) Преобразуем исходное уравнение, воспользовавшись формулой синуса двойного угла, получим:
4sin3x 4- 14sinxcosx — 4sinx = 0;
2sinx(2sinx2 + 7cosx — 2) = 0; 2sinx(2 — 2cosx2 + 7cosx - 2) = 0; 2sinx(7cosx — 2cosx2) = 0; 2sinxcosx(7 — 2cosx) = 0;
sin 2x^cosx
Учитывая, что cosx ф получим: sin2x = 0, 2x = 7rn, n e Z\ x = 71 Gz Z.


Глава III. Решения избранных заданий
415
б) Выберем решения, принадлежащие указанному промежутку, для
ТГ <JT|J 4<jr О
этого решим двойное неравенство —— < Чг ^ — - < п ^ 3, от-
о Jt Z о
кудап = 0 и х = О, п = 1их = ~, п — 2 и х = 7Г, п = 3их =
979. 	а) \/3 sin2 2х — 2 sin 4х + \/3 cos2 2х = 0;
\/3(sin2 2х -f cos2 2х) — 2 sin 4х = 0.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, получим л/З — 2sin4x = 0; sin4x =
4х = ~ -f 27гА:, к € Z, о
4х = И- 27Г71, ft € о
х — — 4- — jfc е Z 12 2 * *
„ 7Г , 7Г72 /7
Ж=б + Т,тг€^ б) Найдём корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-1,1].
1) 	Рассмотрим серию решений х = + к € Z.
Очевидно, что при к = 0 значение х = принадлежит отрезку [—1; 1], таккак0<^<^ = !<1.
При к ^ 1 значения ж=^> + ^^^2 + ^^2>§>1не пРинадлежат
отрезку [-1; 1].
При* «-Значения* = £ + f <§-| = -Ц<-^<-1
принадлежат указанному промежутку.
2) 	Рассмотрим серию решений х = g + пе Z. При п = 0 получим х = ~ — принадлежит отрезку [—1; 1].


416
Глава III. Решения избранных заданий
981
При п ^ 1 значения х > ^ ^ > 1, при п < -1 значения
х ^ \ — о = —? < так как тг > 3. Промежутку [-1; 1] принад-
О Z о
лежит лишь ж = 5- о
. a) sin(37r — 2ж) -f 1 = cos^~ — ж^ — cos(7r — х).
sin 2ж -f 1 = sin х 4- cos ж, 2 sin ж cos ж 4- cos2 ж 4- sin2 ж = sin ж 4- cos ж, (япж 4- соэж)2 = втж 4- совж, (этж 4- cos ж)(sin ж 4- совж — 1) = О, sin ж 4- cos ж = О, sin ж 4- совж = 1;
втж 4- cosx = О,
у/2 . , у/2 у/2
sm ж 4~ "2" cos ж —
sin/ж 4- = О,
ж = — ^ 4- тгп, п € Z;
ж = -|4-(-1)*|4-тгЛ, n<EZ. б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
[!■*)•
1) f < ~ J + wn < Ьг; | < -± + п < 2, I + I<n<2 + i; |<п<|; n = l,n = 2. гг = -|+7г=^;х = -|+27г = ^.
2) | < -f + (-1)*! + < 2тг, | < -I + (-I)*! + к< 2.
к — чётное: | + <А:<2+|-|, i < /г < 2, /г = 1 (не является
чётным).


Глава III. Решения избранных заданий
417
к — нечётное: | + | + + 1 ^ fc < 2,5, fc = 1, А; = 2
(не является нечётным).
х = _Ж_Ж+7Г = Е Х 4 4 2'
(о\ sin2х /о\ — sin2х
I) 	+ (§) =2.
(о\ sin2х -j
^ J = f, t + - = 2, t2 — 2t + 1 = 0, t = 1.
(о\ sin2x
-j = 1, sin 2a; = 0, 2x = пк, к € Z.
i=y,leZ.
б) -5тг < x < -Ц, -5tt < & <-7-f, -5 < | <
-10 < к < -7. к = —10, x = — 57г;
* = -9, * =
к = —8, x = — 47г.
985. a) cos Зх = cos(2x 4-х) = cos 2х cos х — sin 2х sin х =
= (cos2 х — sin2 x) cos x — 2 sin2 x cos x =
= (2 cos2 x — 1) cos x — 2 cos x(l — cos2 x) = 4 cos3 x — 3 cos x. Тогда исходное уравнение равносильно уравнению 4 cos3 х — 3 cos х = —2 cos x, cos x(4 cos2 x — 1) = 0,
cosx = 0 или cos2 x = то есть cosx = ±~, x = + 7гку к e Z\
x — ^ 4- fra, n £ Z (см. рис. 484 на с. 418).
27.3ак. № 111


418
Глава III. Решения избранных заданий
Рис. 484
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие указанному промежутку (см. рис. 485).
Рис. 485
Получим: х = -у; х = -у; х = х =
987. а) Пусть точка О — центр треугольника ABC, точки 0\ и О2 — центры симметрий граней A4iJ3ii? и ВВ\С\С. Необходимо построить сечение призмы плоскостью OO1O2 (см. рис. 486 на с. 419).
Так как призма правильная, то грани АА\В\В и ВВ\С\С — равные прямоугольники. Поэтому расстояния от центров 0\ и О2 до сторон АВ и ВС треугольника ABC равны, то есть О1М1 = 02Ni. Значит, 0\02 || M\N\ как противоположные стороны прямоугольника Mi0i02Ni. Следовательно, прямая 0\02 параллельна плоскости ABC по признаку параллельности прямой и плоскости.
27*


Глава III. Решения избранных заданий
419
Плоскость сечения 00\02 проходит через прямую 0\02 и пересекает плоскость АВС у следовательно, линия пересечения этих плоскостей параллельна прямой 0\02. Через точку О проводим прямую MN, параллельную M\N\. Прямые МО\ и N02 пересекают плоскость А\В\С\ в точках К и Р соответственно. Четырёхугольник MKPN — искомое сечение.
б) По свойству параллельных плоскостей КР || MN, следовательно, четырёхугольник М К PN — трапеция.
Skmnp = — • FOy где FO — высота трапеции.
Точка О является одаовременно точкой пересечения медиан и вы- сот А АВС, поэтому MN = | АС = | • 6 = 4, ВН = 3\/3,
ВО = \вн = 2л/3.
О
АВ\0\К = ААО\Му так как точка 0\ — середина отрезка АВ\ и АВ || А\В\. Из равенства треугольников следует, что
В\К — AM = i • 6 = 2. Так как AKB\F прямоугольный и о
ZBiKF = 60°, то Вхр = ЩЛ = ^/з.
28.3ак.№111


420
Глава III. Решения избранных заданий
АКВ\Р — равносторонний, поэтому КР = 2. Проведём FE ± ВН, тогда BE = BiF = \/3, ОЕ = OB - BE = 2^3 - V5 = \/3.
По условию ZFOE = 30° в прямоугольном треугольнике FEO, по-
этому OF = OF = = 2.
J cos 30° х/з
Smkpn = ™^ ^ *2 = 6.
989. а) Пусть О и 0\ — центры оснований цилиндра, тогда F и Fi — середины хорд ВС и BiCi соответственно (см. рис. 487). Покажем, что AFFi — искомая плоскость. A\F — медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника А\ВС. FF\ || ВВ\, значит, FF\ ± (ABC) и, в частности, FF\ J_ ВС. Итак, FFi ± ВС и A\F _L ВС, тогда (AFFi) JL ВС, откуда (AFFi) JL А\ВС и (^FFi) ± BBxCiC. Сечением призмы АВСА\В\С\ плоскостью AFFi является прямоугольник ADDiAi.
б) Угол между плоскостями BiBC и AiBC — это угол AiFFi.
28*


Глава III. Решения избранных заданий
421
A\F 6 (А\ВС), FFi е (BiBC). ААгСВ — равнобедренный,
A\F ± ВС, В\ВСС\ — прямоугольник, FF\ || ВВг и FiF _L ВС, отсюда ZAiFFi — линейный угол двугранного угла между плоскостями АХСВ и BiBC.
Из AAiFFi ZA1F1F = 90°, tgZAxFFi = MF^ = AF;
Г Г1
AF = АО - FO.
Из AOFC, где ZOFC = 90°, FC = 6, найдём FO = VOC2 - FC2 = V64 - 36 = V28 = 2л/7. AF = 8- 2^7.
tg ZA1FF1 =
Z^FF^arctgi^^.
991. Сделаем чертёж (см. рис. 488).
а) В плоскости А\В\С\ через точку К проведём KL || B\D\. В плоскости АА\В\ через точку М проведём LM || C\D. Соединим точку М с точкой К. Треугольник MLK — искомое сечение.
б) По условию A\D\ = 1, А\К : KD\ = 1:2, тогда АгК : A\D\ = 1:3.
ALA\K * AB1A1D1 по I признаку подобия (ZA — общий, ZA\KL — ZA\D\B\ как соответственные при LK || B\D\ и секущей AM.
Из подобия следует, что fijj- = ^ ^ = 1.
AiBi = A\D\y значит, A\L = А\К = \.
о
Аналогично А\К = А\М = ^ (из AA\LM).
о
Имеем АХК = AXL = АХМ = ±
О
Прямоугольные треугольники АуКЬ, А\КМ и АХЬМ равны по
двум катетам, значит, KL = КМ = LM — —1^1 =
о «5
KL2V3 л/3 5/fLM= 4^ = 18'
993. а) В треугольнике АВС АН ± ВС, через точку К проводим КМ || АН, отсюда КМ ± ВС (см. рис. 489).


422
Глава III. Решения избранных заданий
А
М
С
А
D
Рис. 488
С\С _L (ABC) как высота прямой призмы, тогда С\С J_ КМ, поскольку КМ лежит в плоскости (ABC), КМ ± (BBiCi) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (КМ перпендикулярен двум пересекающимся прямым в этой плоскости: ВС и СС\). По признаку перпендикулярности плоскостей следует, что (CiMK) _1_ (ВВ\С\), так как (CiMK) содержит прямую КМ _L (BBiCi). Значит, (КС\М) — искомое сечение.
б) Проекция С\К на плоскость ВВ\С\С\ МК ± ВС, С\М — проекция С\К (см. рис. 489).
С,
С
в
Рис. 489
ZKCiM — искомый угол.
cos ZK С\М =
СлМ2 + СлК2 - МК2 2С\М ■ СгК


Глава 111. Решения избранных заданий
423
Из ACiMC, где ZCiCM = 90°, найдём С\М:
CiM = y/CiC2 + МС2 = у/6 + 1 = s/7.
Из ACCiK, где ZCiCK = 90°, найдём СгК:
CiK = у/СС\ + С К2 = v/6 + 4 = УШ.
Из АСКМ, где ZKCM = 60°, ZKMC = 90° найдём МК:
МК = КС • sin 60° = 2 • & = л/3
Итак, cos АКСгМ = Т+-^3 = ^
995. а) Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду EABCD и построим сечение, проходящее через вершины В и Д перпендикулярное ребру АЕ. Проведём ВК _L АЕ и докажем, что DK _L АЕ (см. рис. 490 а).
В треугольниках АКВ и AKD сторона АК — общая, АВ = AD и /.ВАК = ZDAK (в правильной четырёхугольной пирамиде боковые грани равны, а в основании лежит квадрат). Следовательно, ЛАКВ = AAKD по первому признаку равенства треугольников. Поэтому ZАКВ = ZAKD = 90°. Значит, АЕ ± DK и АЕ _L плоскости BKD. Таким образом, BKD — искомое сечение.
б) Пусть ЕН — высота пирамиды EABCD (см. рис. 490 а).
АС = BD = АВ • л/2 = 18V2, АН = ±АС = 9у/2.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника АЕН
АЕ = у/АН2 + ЕН2 = у^(9л/2)2 + 242 = у/738.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВЕ (см. рис. 490 б). Апофему ЕМ найдём из AM BE, учитывая, что MB = \&В = 9.


424
Глава III. Решения избранных заданий
ЕМ = \JBE2 - MB2 = v/738 - 81 = \/657.
Найдём высоту ВК из формулы площади для ААЕВ.
Saeb = \ЕМ ■ АВ = \ЕА ■ ВК.
о- ™вк = Ш£> = ^Щ..т.
Так как ААКВ = AAKD (см. пункт а), то DK = ВК.
По теореме косинусов д ля ABKD:
BD2 = DK2 + В К2 - 2D К • В К cos а, где а = ZBKD — угол между смежными боковыми гранями.
(18V2)2 = 65^38182 • 2 • (1 - cos а),
, 738 ! 738
1-COSa= 657’COSa = 1- 657 = -
_9
73'
997. 	Построим осевое сечение конуса, получим равнобедренную трапецию с основаниями AD = 2R и ВС = 2г. Вписанный шар в сечении даёт окружность, вписанную в трапецию, высота трапеции будет равна диаметру этой окружности.
Так как 5н.осн = 45в.0сн, то 7гД2 = 47гг2, или R = 2г.
а) По свойству касательных АВ = ВМ + AN, АВ — г + R = Зг.
б) АК = AN-KN = R-г = г.
Тогда из ААВК :
cos
a = a = arccos 4 (см. рис. 491).
£>Л ОГ О О
Рис. 491


Глава III. Решения избранных заданий
425
ОДЗ.
999. 	Решим исходное неравенство.
4Х+2 > О,
4Х+2 Ф 1, / х + 2^0,
-16х >0, х < о,
log4,+2(-16x) ^0, J -16x^1,
4х >0. I log4 4х < 0,
logi 4х > 0, ^ 1оё1 4х ф 1;
log4 log 1 4х ф 0; 4
х ф -2, х < 0,
JL 16’
X 7^ -1.
На ОДЗ преобразуем исходное неравенство, перейдя к основанию 4 в обеих его частях:
хе(-оо; —2)U(—2; -1)и(-1; о).
/ log416 \ llog^+V
(l0lg04g!4-}) log4 log4 Jr
lPg4 16
«J
1
log4( 16x) ^ log4(-x)’
2 ^ 1
log4(-x) + log416 " log4(-x) ’ log4( x) + 2 ^ log4( x) ■
Сделаем замену t — log4(—x), тогда t-2
21
t ~h 2
14” 2 t* t(t -H 2) t(t + 2) *
t(t + 2) ^ ^ешим последаее неравенство методом интервалов
(см. рис. 492), получим t £ (—оо; —2) U (0; 2]. Вернёмся к исходной переменной. Рассмотрим 2 случая.
0
Рис. 492
1) log4(-x) < -2, log4(-x) < log4 х >
2)0 < log4(-x) < 2, log41 < log4(-x) < log416, -16 < x < -1.
С учётом ОДЗ запишем ответ: х е [—16; —2) U (—2; —1) U (-^г* о)*


426
Глава III. Решения избранных заданий
1001. 	ОДЗ: х>0.
(х — 1)(2log| х — Ъlog3 х 4- 2) < 0.
(х - l)(log3 х — 2)(2log3 х - 1) < 0.
На ОДЗ выражение log3 х — 2 = log3 х — log3 9 совпадает по знаку с выражением х—9, выражение 2 log3 х — 1 = 2(log3 х - log3 V3) — с выражением х — V5. Получим, что исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству (х — 1)(х — 9)(х — у/3) < 0. Решив его методом интервалов, получим х € (-оо; 1) U (V3; 9). Учитывая ОДЗ, х € (0; 1) U (л/3; 9).
Замечание. Решить исходное неравенство можно иначе, заменив его
Г х - 1 > 0,
\ 2 log| х —5 log3 х + 2 < 0,
Г х - 1 < 0,
\ 2 log| х — 5 log3 х + 2 > 0.
Однако такое решение получилось бы более громоздким.
следующей совокупностью:
х - 1 > 0, х + 1 > 0, х + 1
1003. ОДЗ <
1 >°» х - 1 х > 1
х + 1
х — 1 k X - 1 Ф 0;
X + 1
log2
i— > 0, t = log2 i, х 4-1 х + 1
X — 1
*-±>0,
^> 0(см. рис. 493).
-1 0 1 X
Рис. 493


Глава III. Решения избранных заданий
427
\ КО, t > 1;
х — 1 . 1 х + 1 2’
х + 1 х — 1
<1,
х + 1
>2;
log2 хТГ > -1’
log2 frr < °’
log2 хТГ > 1;
х — 3
X + 1
-2 х+1
—х — 3 х 4-1
io«2 t+i> io^ I- log2 < log2 1,
l0g2fTI >l0g22;
>0,
< 0, (см. рис. 494). >0.
С учётом ОДЗ: х > 3.
1005. ||3Х + 4х - 9| - 8| < 3х - 4х - 1
|3Х + 4х - 9| < 3х - 4х + 7, |3Х + 4х — 9| ^ —3х + 4х + 9;
И
3х + 4ж - 9 < 3х - 4х + 7, 3х + 4х - 9 ^ -3х + 4х - 7, 3х + 4х — 9 ^ —3х + 4х + 9, 3х + 4х - 9 < 3х - 4х - 9;
<
х < 2, 3х ^ 1, 3х 5*9, х < 0;
х ^ 2, х > О, х Js 2, х < 0;
О,
2.
1007.1)log4_x^±^>-2.
ОДЗ
х 4- 5 (^4)5
> 0, ( х > -5,
I х<4,
’’ [ х ф 3.
4 — х > О,
4 — х ^ 1,
ОДЗ: х € (—5; 3) U (3; 4) (см. рис. 495 на с. 428).


428
Глава III. Решения избранных заданий
£
' * / / / /^/7\ ►
-5 3 4 *
Рис. 495
+ 5) “ !og4_x(x - 4)2 > -2, log4_x(x + 5) - 2 > -2,
l°g4_x(x + 5) > 0, log4_x(x + 5) > log4_x 1.
. Г О < 4 — х < 1, Г -4 < — х < -3,
а'\х + 5<1; \х< -4;
Г 3 < х < 4, .
I х < -4- решений нет.
Учитывая ОДЗ, получим [—4; 3).
2)х3 + 7х2 + %7g? ±.5g.-.25 ^ 5) х ф 5.
х — Ъ
х4 + 7х3 — 5х3 — 35х2 + 27х2 + 5х - 25 — 5х + 25 ^ п ^5 ^U’
х4 + 2х3 - 8х2 ^ п х2(х2 + 2х - 8) ^ п х — 5 ^ ’ х — 5
х2 + 2х — 8 = 0, xi + Х2 = —2, хх • ха = —8, х\ = —4, = 2.
Ж ^ д— {f—^ ^ 0 (см. рис. 496).
=7 +
-4 0 2 5
Рис. 496
х < —4, ж = 0, 2 < х < 5.
3) 	Решение исходной системы (см. рис. 497).
~"У" . fr/Я-
-4 О
Рис. 497
х = —4, х = 0, х € [2; 3).


Глава III. Решения избранных заданий
429
1009.1.Решим первое неравенство системы:
25х"1 - 27 • 5х"2 + 2 > 0,
(5х)2 - 27 • 5х + 50 ^ 0.
Обозначим 5х = t, t > 0.
Неравенство примет вид: t2 - 271 + 50 > 0, ft - 2){t - 25) > 0, t < 2, 25.
Зернёмся к исходной переменной:
5х < 2, х < log5 2,
5х > 25; а; S* 2.
2. 	Решим второе неравенство системы logx(x - б)2 < 0. ( хфб,
ОДЗ: I х > 0, х е (0; 1) U (1; 6) U (6; +оо).
I, х Ф1;
logx (х - 6)2 - logx 1 < 0,
(х - 1)(х2 - 12х + 36 - 1) < 0,
(х - 1)(х2 - 12х + 35) < 0,
(х - 1)(х - 5)(х - 7) < 0 (см. рис. 498).
х ^ 1, 5 < х < 7,
Учитывая ОДЗ, получим (0; 1) U [5; 6) U (6; 7].
3. 	Определим решение исходной системы (см. рис. 499).
/ / / /
Рис. 498
0 log52 1 2 5 6 7
Рис. 499
х е (0; log5 2] U [5; 6) U (6; 7].
1011.1. 	Решим первое неравенство системы.
4-х2
~ш\ iX Мш{Ш\


430
Глава III. Решения избранных заданий
х2 — 4 ^ Зх, х2 — Зх — 4^0,
(х + 1)(х - 4) > О, х < —1; х ^ 4.
2. 	Решим второе неравенство системы. 1°ёх+2(2х2 + х) > 2
{( х > -2,
X ^ —1,
■ _1 2’
х > 0;
х€(-2;-1)и(-1;-|)и(0;+оо).
1оЕ*+2(2а;2 + х) - logi+2(x + 2)2 > о, (х + 2 — 1)(2х2 + х — (х 4- 2)2) > 0,
(х + 1)(х2 - Зх - 4) > 0,
(х + 1)2(х — 4) > 0.
X
Рис. 500
х € (4; + оо).
Учитывая ОДЗ, имеем х € (4; + оо) (см. рис. 500).
1013.1) 	5х + р - 9 > 0.
^ ^ ^ д. Обозначим5х = t,t > 0(см. рис. 501).
t2 - 9t + 20
>0,
(t — 4)(< — 5) ^ Q t
0 < * < 4, t > 5.
4 5 Рис. 501


Глава III. Решения избранных заданий
431
О <5* <5log*4,5* х < logs 4, X ^ 1.
2) 	logx+6(£±^) <logx+5l.
{х + 5 > 1, , ,
I х > —4, J х
0<x±2<i; \0<х + 2<5; \-
с^З.
Г 0<х + 5<1, г_5<в<_4> г
|^>1; (х + 2^5; \
>-4,
2 < х < 3;
-2 < х < 3.
б)
—5 < х < —4, х ^ 3;
нет решения.
3) 	Решим систему х < logs 4,х^1, -2 < х < 3;
{
=Ф -2 < х < log5 4,1 ^ ж < 3.
1015. Сделаем чертёж по условию задачи (см. рис. 502).
Рис. 502
а) Рассмотрим прямоугольные треугольники ВНА\ и ВВ\С. Острый угол В\ВС у них общий, значит, острые углы ВНА\ и АС В также равны.
б) Рассмотрев аналогично предыдущему пункту треугольники ВС\Н и ВВ\А, получим ZBHCi = /.ВАС. Тогда АВС\Н ~ АСС\А по
трём углам, откуда = Щй*- Рассмотрим прямоугольный треугольник -АО С Ci
ВС\С. Так как ZABC = 45°, то ВС\ = С\С и, значит, = 1,
ЛС CGi
АС = ВН = 17.


432
Глава III. Решения избранных заданий
1017. а) Предположим, что это не так. Тогда проведём прямую Q%P до пересечения с первой окружностью в точке Q\ (см. рис. 503).
Точки 0\, Р, Ог лежат на одной прямой и ZO\PQ[ = ZQ2PO2 (как вертикальные), при этом ZO1PQ1 = ^OiQ^P (как углы при основании равнобедренного AOiPQ[), 0\Р = 0\Q'X (как радиусы).
Аналогично ZO2PQ2 = ZO2Q2P.
Но тогда ZO1Q1P = а это накрест лежащие углы при OiQ\ и
O2Q2 и секущей Q1Q2, поэтому OiQ'x \\OiQi-
Но по условию O1Q1IIO2Q2. Через точку 0\ проходит единственная прямая, параллельная O2Q2. поэтому точки Qi, Р и Q[ лежат на одной прямой, которая пересекает первую окружность в двух точках.
Однако Q[ и Q2 лежат по разные стороны прямой O1O2 по построению, поэтому Q[ и Qi совпадают, и точка Р лежит на Q\Q2- б) APO2Q2 — равнобедренный (см. рис. 504 на с. 433), поэтому Z02PQ2 = ZPQ2O2. Так как ZPO2Q2 — 60°, то ZPQ2O2 = ZQ2PO2 = 60°.
Так как угол ZO1PQ1 = ZO2PQ2, то ZO\PQ\ = 60°,
ZQ1O1P = 60°.
Обозначим искомый радиус R. Из AO1Q1O2 по теореме косинусов имеем QxO\ = OiQl + 0\0\ - 2O1Q1 • O1O2 cos 60°,
112 = 16 + (R + 4)2 - 4(Д + 4); R2 + AR - 96 = 0,
R = -2 ± 10, R = 8.


Глава III. Решения избранных заданий
433
1019. а) Выполним схематический рисунок 505.
По условию АА\, ВВ\, СС\ — медианы, К — точка пересечения ме-
ВК 2 диан, значит, = -.
Пусть В\К — х, тогда В К = 2х, SjBi = Зх, АС = бх.
Имеем В\А = В\В = BiC = Зх.
Следовательно, около треугольника ABC можно описать окружность радиусом Зх с центром в точке В\.
ZABC — вписанный, опирающийся на диаметр, ZABC = 90° , отсюда
A ABC — прямоугольный, что и требовалось доказать.
б) 1. Радиус окружности (см. рис. 506 на с. 434), вписанной в прямо¬


434 Глава III. Решения избранных заданий
угольный треугольник ABC, найдём по формуле г = a ^^ ~ с, где а и Ь — катеты, с — гипотенуза.
Рис. 506
г = АВ + Б2С~Ж7’ ВС = у/АС^ГаШ = V102 - 62 = 8. г _ 6 + 8 — 10 _ 2
2. Пусть окружность с центром в точке О касается сторон треугольника ABC в точках Р, К, Е.
Тогда OP JL ВС, О К ± АВ, ОЕ ± АС (как радиусы, проведённые в точки касания), следовательно, ВРОК — квадрат, BP = ВК = г = 2. Аналогично для окружности с центром в точке 0\ (окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон ВС и В А):
BMO\N — квадрат, ВМ = BN = R, где R — радиус этой окружности. Пусть CF = £, тогда AF = 10 — t.
3. CF = СМ — t, AN = AF — 10 — t, СЕ = CP = 6 (как отрезки касательных, проведённых из точек Си А соответственно).
Имеем: ВМ = ВС + СМ = 8 + t,
BN = АВ + AN = 6 + 10-* = 16-<.
Из равенства ВМ = BN следует: 8 +1 = 16 -1,2t = 8, t = 4, CF = 4.
4. EF = CE - CF — 6-4 = 2.


Глава III. Решения избранных заданий
435
1021. а) Рассмотрим исходную окружность и четырёхугольник AMLB (см. рис. 507).
В
Рис. 507
По свойству вписанного угла /.BAN = ^BN = ^(уВС + ^CN). По свойству угла между пересекающимися хордами ZBLC = + ~DN).
По условию '-'DN = ^CN, поэтому ZBAN = ZBLC.
ZBLC+ZBLM = 180° (смежные углы), тогда ZBLM + ZBAM = 180°,
а это по признаку вписанного четырёхугольника означает, что AMLB
вписан (сумма противоположных углов равна 180°).
б) Заметим, что ^NA = ^NB
(так как ^NA = ^ND + ^DA = ^NC + ^С В).
N
При этом ^NA + ^NB = 360° — ^АВ = 240°, откуда ^NA = -ЛГВ = ~АВ = 120°, ZNBA = ZNAB = ZANB = 60°


436
Глава III Решения избранных заданий
(см. рис. 508 на с. 435) как вписанные углы, опирающиеся на дуги в 120 градусов.
Из АОАВ по теореме косинусов
АВ2 = О А2 + ОВ2 - 20 A OB- cos 120° = 3 О А2, АВ = \/3 О А = 12. Заметим также, что ZNMC = ^(—CN + —AD) —
= h~CN + -ВС) = ZNAB.
£
Но тогда LM || АВ, так как равны соответственные углы при пересечении LM и АВ секущей N А.
Значит, AMLB — трапеция, а так как углы при основании равны (ZLBA = ZMAB), AMLB — равнобедренная трапеция.
Проведём её высоту KR через точку О.
Из AOBR получим OR = \JOB2 — BR2 = 2у/3,
OK = СО- cos ZCON = у/З и KR = OR + OK = 3 \/3.
Опустим высоту LL' = KR, тогда BL' = LL' ctg 60° = 3.
Если провести высоту ММ', то М'А = 3 и LM = L'M' = АВ — 2 BV = б,
AL = y/{AL')2 + (LL')2 = 6ч/3.
Окружность радиусом R, описанная около AMLB, описана и около
AALB. По теореме синусов 2R = г = = 12, Я = 6.
sin ZABL sin 60°
1023. а) ¥,аво = (треугольники АВО и AOD с общей высотой, про- &AOD Uls
ведённой из вершины А (см. рис. 509)). АВОС ~ AAOD по двум углам, откуда следует соотношение: а значит, и ^АВО =
AU UJJ &AOD AU
б\ Sabo _ I } Saod 4‘
2 =4- Saod = 8.
Saod 4


Глава III. Решения избранных заданий
437
Рис. 510
АВОС ~ AAOD, ВС : AD = 1:4 (см. рис. 510).
Тогда Sboc = JqSaod = |. Из соотношения Scod = 45jboc = 2. Итак, Sabcd = Scod + Sboc + Sabo + Saod =: = 2 + |+2 + 8 = 12,5.
1025. а) В трапеции ABCD треугольники AOD и BOC подобны, поскольку LOAD = ZOCB и ZODA = /.ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущих АС и BD соответственно (см. рис. 511).
в С
Значит, Умножая почленно это равенство на равенство
U (J t>(J
АО • СО = ВО • DO из условия задачи, получим АО2 = DO2. Отсюда АО = DO, ВО = СО и треугольники АО В и DOC равны по 1 -му признаку равенства треугольников (ZAOB = ZCOD как вертикальные). Следовательно, АВ = CD.
б) Т. к. трапеция ABCD равнобедренная, то вокруг неё можно описать окружность. Обозначим её радиус через R.
Треугольники AOD и ВОС равнобедренные и прямоугольные. Значит, ZOAD = 45° и СО = ^2, DO = По теореме синусов для


438
Глава III. Решения избранных заданий
треугольника ACD имеем:
СГ> = 2R, CD = RV2, R =
sin ZCAD ’ v ’ v/2'
По теореме Пифагора для треугольника COD:
С£>2 = СО2 + DO2 = i(AD2 + ВС2) = 50.
Отсюда CD = 5\/2ий = 5.
1027. 1. Через год сумма долга увеличится на г% и станет равной 200 ООО ^1 -b рублей. После выплаты 130 000 рублей долг станет равным 200 000 (l 4- ) — 130 000 рублей.
2. После увеличения в конце года на г% долг станет равным (200000(l + - 130000) (l + рублей. A после выпла¬
ты 115000 рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: (200000(l + - 130000)(l + - 115000 = 0.
3. Пусть ^1 + = х- Тогда уравнение принимает вид:
(200 ОООх - 130000)х - 115000 = 0;
200ОООх2 - 130000х - 115000 = 0; 200х2 - 130х - 115 = 0; 40х2 - 26х - 23 = 0.
По формуле корней квадратного уравнения получаем:
_ _ 13 ± л/169 + 920 13 ± л/П89 13 ± 33
Xia ~ 40 “ 40 “ 40 •
10 _ зз
xi = — — < 0, что невозможно по условию.
13 + 33 46 , 15 , . 15
2 40 40 100 100'
0тстов(1 + 15о) = 1 + Ш’’' = 15-
1029.1. 	Пусть п — число лет, на которое планируется взять кредит.
Тогда долг на сентябрь каждого года, последующего за годом взятия кредита, становится меньше долга на сентябрь предыдущего года на


Глава III. Решения избранных заданий
439
18
сумму =^. Согласно условию, последовательность долгов на сентябрь в млн рублей по годам имеет вид:
18; 18 — — = 18• 18 — 2• — = 18• ‘0^2.- ... ; 18-1; 0.
п п п п п
2. 	В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита, долг возрастает на 3,5% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть d — долг, который образуется в конце предыдущего года. В январе последующего года он станет равным d + d • ■—
1UU
Согласно условию к сентябрю этого года он должен стать рав- 18
ным d Следовательно, в этом году необходимо выплатить сумму
3,5 18
п
(d+d M)-(d-l?) = ‘i ioo • „
Отсюда получается последовательность *1; хз; ... ;хп выплат по годам в млн рублей:
х\ = 18 • х2 = 18 • х3 = 18 •
3,5
+
18.
100
п ’
п —
1
3,5
М-
п
' 100
1
п ’
п —
2
3,5
-f
18.
п
' 100
п ’
18 1 3,5 , 18
п га'ТОО "o'
Как видим, последовательность х\\ х2; хз;.. .хп является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является х\> а наименьшим — хп. Её сумма 5Л находится по формуле 5П = ^ ^ Хп * п.
7 956
Согласно условию получаем: Sn = — п = 3,978 • п.
3. 	Найдём теперь п из условия хг 4- хп = 7,956:
i8'M+f+18»'M+n =7'9М; i8M(1+n)+f=7>956;
0,63 + = 7)95б;
п


440
Глава III. Решения избранных заданий
= 7,326; п = = 5. 5„ = 3,978 • 5 = 19,89 (млн руб.).
71 (,oZ и
1031. Согласно условию возврата кредита ежегодно сумма долга будет уменьшаться на ^ млн рублей, а плата за пользование кредитом будет
о
составлять г% от оставшейся суммы долга. Тогда последний платёж будет
(12 12 г \
-g- + -g- • млн рублей, что по условию составляет не менее 1,68 млн
рублей, ^(l + ^ 1,68,1 + ^ 1,12, г ^ 15. Наименьшая воз¬
можная ставка —12%.
1033. 	1. Пусть а и Ъ соответственно — число рабочих первой и второй шахт, которые добывают алюминий. Тогда первая шахта в день добывает
a • 9 • 4 кг алюминия и (162 — а) • 9 • 3 кг никеля.
Вторая шахта в день добывает \/9Ь кг алюминия и ^9(100 - Ь) кг никеля.
Обе шахты добывают в день a • 9 • 4 + у/% кг алюминия и (162 — а) • 9 • 3 + >/9(100 — Ь) кг никеля.
2. Для получения наибольшего количества сплава надо, чтобы масса алюминия относилась к массе никеля, как 3 к 2. Поэтому
2 • (а • 9 -.4 + у/%) = 3 • ((162 - а) • 9 - 3 + ^9(100 - Ь)).
Отсюда,
72а + 2у/% = 162 • 81 - 81а + 9у/100 - Ь,
153а = 162 -81 - 6\/5 + 9л/ЮО - Ь,
162-81-6VS + 9л/100 — 6 54 - 81 — 2y/b + Зл/100 — Ь
153 51
3. Теперь выражаем через Ь массу алюминия, поступившего на завод:
36а + Зу/Ь = 36 - 54 / 81-2^ + 3^100-6 + =
51
_12 • 54 • 81 - 24^ + 36^100 - Ъ + 51y/b 17
_12 • 54 • 81 + 27\/b + 36V100 - Ъ _ ^
4. Найдём 6, при котором f(b) достигает наибольшего значения с помощью производной. Решаем уравнение /'(6) = 0.
= ( 27 36 \
* U 17 \2Vb 2y/100 — b)


Глава III. Решения избранных заданий
441
900 - 96 = 166, 6 = 36. Можно убедиться, что /'(6) > 0 при 6 < 36 и /'(6) < 0 при 6 > 36. Значит, /(6) достигает наибольшего значения при 6 = 36. Отсюда получаем, что масса алюминия, добытого на двух шахтах, равна
/(36) = 12lMl8jdigIli±36l8 = 3114 (кг).
о
По условию масса никеля составляет - массы алюминия. Значит,
о
2
масса никеля равна - • 3114 = 2076 (кг), а масса сплава равна о
3114 + 2076 = 5190 (кг).
1035. Пусть х рублей составила прибыль. На реконструкцию производственной базы израсходовали 0,2х рублей, после чего осталось х - 0,2а; = 0,8а; рублей. На строительство спортивного комплекса израсходовали 0,8х • 0,25 = 0,2а; рублей. 0,1а; рублей осталось нераспределёнными. По условию 4 200 000 рублей выплатили дивидендов. Составим и решим уравнение.
0,2а; -I- 0,2а; + 0,1а; + 4 200 000 = х,
0,5х = 4200000, х = 8400000.
8400000 рублей составила прибыль.
1037. Пусть а рублей — сумма кредита, х рублей — ежегодный платёж, т% — годовой процент. Тогда каждый год оставшаяся сумма умножается
После первой выплаты сумма долга составит a\ = at — х.
После второй выплаты а2 = ait — х = (at — x)t — х — at2 — (t + 1)х. После третьей выплаты
аз = a2t — х — (at2 — (t + 1 )x^t — x = at3 — t2x — tx — x =
— at3 — (t2 +1 -f l)x = at3 — ^ yx.
По условию за три выплаты клиент оплатил кредит полностью.


442
Глава III. Решения избранных заданий
at3 - = °’
д •<(«- 1)
<3-1
a = 12000000, m = 20, t = 1,2. х = 12000000 -1;23 • 0,2 и 5 б9б ?03 (руб )
25 5
1039. Пусть q = 1 + А — та сумма в тысячах рублей, которую
добавлял вкладчик в конце каждого из первых трёх лет. Тогда к концу четвёртого года на вкладе получим сумму (((64g+A)q+A)q + A)q. Получаем
уравнение: (((64g + A)q + A)q + A)q — 385, ((64q + A)q + A)q 4- A =
((64 q + A)q + A)q + A = 308, 64q3 + A(q2 + q -hi) = 308,
308 - 64(|)3 ^ = ql -j,q+ i— = ^(тысяч рублей).
1041. За первый год прибыль составила 550 - 350 - 100 = 100 (тысяч долларов). Увеличение прибыли каждый год составляло 550 • 0,1 - 350 • 0,06 - 100 • 0,04 = 30 тысяч долларов. Запишем ряд чисел, равных прибылям: 100,130,160,190, 220, 250...
Можно последовательно складывать эти числа, пока сумма не достигнет 800.
Или же можно заметить, что этот ряд представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом а\ — 100 и разностью d = 30.
п , „ 2а\ + d(k — 1) ,
Сумма первых к членов такой прогрессии равна —-—^ L • к, тогда
200 + 30(к - 1) к ^ 800) (200 4- 30* - 30)fc > 1600,
ЗОк2 + 170* - 1600 ^ 0, 3к2 + 17* - 160 > 0, * < -ю|, к >5.
О
Значит, за 5 лет суммарная прибыль будет равна 800 тысяч долларов. 1043. Решим систему графически. Первое уравнение задаёт окружность радиуса 2 с центром в точке (4; 4) (см. рис. 512 на с. 443).
График второго — смещённый график у = |х|, «уголок» с вершиной в точке (а; За). Очевидно, что вершина уголка лежит на прямой у = Зх. Из рисунка видно, что единственная общая точка у графиков возможна в


Глава III. Решения избранных заданий
443
двух случаях. В обоих из них окружность касается правой части уголка (х ^ а), то есть с прямой у = х 4- 2а. Найдём эти значения а. Уравнение (х - 4)2 + ((х -I- 2а) - 4)2 = 4 должно иметь ровно один корень. Преобразуем уравнение:
х2 — 8х 4-16 4- х2 4- 4а2 4-16 4- 4ах — 8х — 16а — 4 = 0;
2х2 4- (4а — 16)х 4- 28 4-4а2 — 16а = 0; х24-(2а-8)х4-144-2а2-8а = 0. Уравнение будет иметь единственное решение, если дискриминант D
равен 0. При этом ^ = (а — 4)2 — 14 — 2а2 4- 8а = —а2 4-2 = 0. Отсюда а = ±\/2.
1045. х2 4- Зх — 3 4- \х — а\ > 1, \х — а\ > — х2 — Зх 4- 4.
Рассмотрим функции д(х) = |х — а\ и /(х) = —х2 — Зх 4* 4.
На рисунке 513 изображены эскизы графиков этих функций.
Рис. 513


444
Глава III Решения избранных заданий
Неравенство g(x) > f(x) выполняется для всех х тогда и только тогда, когда график функции д лежит выше графика функции /.
Искомые значения параметра а определяются совокупностью неравенств a < ai, a > a2.
Зайдём значения ai и а2 при условии, что уравнения х — а\ = —х2 — Зх 4- 4 и аг — х = —х2 — Зх+4 имеют единственный корень.
1. х2 4- Ах — 4 — а\ = О,
-jj- = 0, 4 4- 4 4- ai = 0, ai = —8.
4
2. х2 4- 2х — 4 4- аг = О,
= 0, 1 4* 4 — ci2 =: 0» = 5.
4
Искомые значения a < —8 или а > 5.
1047. Рассмотрим функцию /(х) = 6\/# — 1 4- 51og3(2x — 1). Она определена при х ^ 1 и возрастает на области определения. Значит, уравнение /(х) 4- 11а = 0 может иметь только единственное решение (при соответствующих значениях параметра а). Это решение принадлежит отрезку [2; 5] тогда и только тогда, когда /(2) 4- 11а ^ 0 и /(5) 4- На ^ 0. Получаем систему неравенств:
Г 6 4-5 4-11а < 0, ( 11а 4-11 ^ 0,
\ 12 4-10 4- 11а ^ 0, \ 11 а 4- 22 ^ 0,
откуда —2 < a ^ —1.
1049. 	Пусть в данном уравнении 2 корня, х\ < х2, х2 ^ 0,5.
Сделаем замену 9~х = t,te (0; 4-оо).
t2
Тогда уравнение примет вид a£4-a4-l4--^-=0.
о
Пусть это квадратное уравнение имеет два корня t\ > t2 > 0. Тогда условие будет выполняться, если хг ^ 0,5, для переменной t t2 <
t2 —3 — t2
Перепишем уравнение в виде a(t +1) = -1 - a(t +1) =
а =
3 ’ 4 ' 7 3
—3 — t2 3 (f +1)
Исследуем функцию a(t) =
~(*2 + 3)
3(< + 1) '
ОДЗ: t ф —1. Функция не имеет предела при t —» оо.


Глава III. Решения избранных заданий
445
_ 1 2t(t + 1) - (t2 + 3) • 1 _ t2 + 2t - 3 _ (t - 1 )(t + 3)
W “ 3 ' (t + 1? ” -3(t + If ~ -3(* + l)2 '
a'(t) = 0 при t = 1, t = — 3 (см. рис. 514).
a 0 / 1\
Рис. 514
o(l) = e(—3) = 2; o(0) = -1; o(|) = -1
Построим фафик у = a(t).
По рисунку 515 видно, что условие ti > t2 > 0, t2 < | выполняется
О
1051. Пусть ai < a,2 < а$ <•< ag — оценки, выставленные каждым из членов жюри в порядке возрастания.
а) Предположим, что выполняется равенство
| gL+.ga.±.:-:..+ q9 - ff2.±.ft.3 ++ Q81 — Умножим обе части равенства на 9 • 49, получим 7|7(ai + ... + a9) - 9(a2 + ... + a8)| = 18. Левая часть равенства делится на 7, а правая — нет, значит, указанное равенство не может выполняться.
б) Да, может. Например, если члены жюри выставили оценки 0,1,2,3, 4,6,7,8,9.


446
Глава III. Решения избранных заданий
п\ °i Q2 4- ... 4" Д9 о>2 4~ аз 4“... + 08 ' I 9 7
^ — бЗ^2 + а3 + — + ав)|-
Оценим сумму а2 4 аз + — + «8- «8 < а9 - 1; 07 ^ as - 1 < ад - 2; ...» о>2 ^ а9 — 7. Тогда аг 4* ... 4- а& ^ 7а9 — (1 -1- 2 4 ... 4 7) = 7а9 — 28. Аналогично а2 > ai -I-1; аз ^ а2 4-1 ^ а\ 4- 2,ag ^ ai 4- 7. Получим аг 4-... 4- ag ^ 7ai 4- 28.
Имеем 7ai 4* 28 ^ а2 ~h ... 4" ag ^ 7а9 — 28;
|(oi + 4) < ^(а2 + ••• + ав) ^ ^(аэ — 4);
— д(®9 — 4) < — ^j(a2 + ••• + ав) ^ —§(в1
ai~Q9 + 8 < - ^(а2 + аз + ... + as) <
_ ад — ai — 8 ^ 9
1^^ - ю(а*+аз+-+as)l ^
^ 15 — 0 — 8 _ 7 9 9*
Полученное максимальное значение разности оценок достигается, например, если выставлены оценки 0,1,2,3,4,5,6, 7,15.
1053. 	а) Очевидно, что все могут войти в группу А, например, если первый участник задаст вопрос второму, второй — третьему и т. д. При этом сотый участник задаст вопрос первому.
б) Пусть в группу А вошли к человек, тогда остальные (144 — fc) получили не менее чем по 2 вопроса каждый, то есть в сумме получили не менее 2(144—к) вопросов. С другой стороны, они могли получить не более 144 вопросов (общее число вопросов), поэтому 2(144 — к) < 144; к ^ 72. Покажем, что А; = 72 может быть реализовано. Пронумеруем всех участников. Пусть участник с номером г(1 ^ г ^ 72) задал вопрос участнику с номером г 4- 72, а каждый участник с номером г (73 < г < 143) задал вопрос участнику с номером г + 1. Участник 144 задал вопрос участнику 73, тогда группа А состоит из участников с номерами от 1 до 72.
в) Пусть kj — число участников, получивших j вопросов (0 ^ j ^ 96). Тогда всего участников А;0 4- кг 4- к2 4*.. .4- &9в = 97.
Вопросов же в сумме было получено 0 • ко 4-1 • к\ 4- 2 • к2 4-... 4- 96 • А^в = 97. Тогда 2(ко -I- fci -h ...fc96) - (A;i 4- 2fc2 4- ... 4- 96A^e) = 2-97-97, откуда


Глава III. Решения избранных заданий
447
2А:0 + *i - *з — 2*4 —... — 94*96 = 97, то есть 2*о + *i > 97, *о + ^ ^
+ 48,5.
Если *i чётно, то *о + ^ ^ 49, если *х нечётно, то в группе А не меньше,
L I
чем ко + ^1-— ^ 48 человек.
Покажем, что число участников в группе А может равняться 48. Пусть каждый участник с номером г, 1 ^ г ^ 48, задал вопрос участнику с номером г -h 48. Каждый участник с номером г, 49 ^ г 96, задал вопрос участнику г + 1, а участник 97 задал вопрос участнику 49. Тогда в группу А вошли участники с номерами от 1 до 48.
1055. а) Цифра 1 в четырёхзначном числе может занимать одну из четы- рёх позиций:
1 abc, количество чисел такого вида равно 9-9-9 (каждое из чисел
0, 6,с может принимать одно из девяти значений: от 2 до 9 или 0);
albc, количество чисел такого вида равно 8-9-9 (число а может принимать
одно из восьми значений: от 2 до 9);
able, количество чисел такого вида равно 8-9-9;
abcl, количество чисел такого вида равно 8-9-9.
Поэтому количество четырёхзначных чисел, содержащих в десятичной записи только одну цифру 1, равно
9-9-9 + 8-9-9 + 8-9-9 + 8-9-9 = 9-9-(9 + 8 + 8 + 8) = 81-33 = 2673.
б) Две позиции цифра 1 в четырёхзначном числе может занимать шестью различными способами. Если запись четырёхзначного числа начинается с цифры 1,то возможны три варианта:
(Паб, 1а16, 1а61). В каждом из этих вариантов количество чисел равно 9 - 9 = 81.
Если запись четырёхзначного числа начинается с цифры, отличной от
1, то возможны тоже три варианта: (а116, аШ, аШ). В каждом из этих вариантов количество чисел равно 8 - 9 = 72.
Поэтому количество четырёхзначных чисел, содержащих в их десятичной записи только две цифры 1, равно 81 - 3 + 72 - 3 = 459.
в) Количество четырёхзначных чисел, содержащих в десятичной записи хотя бы одну цифру 1, легче посчитать как разность между количеством всех четырёхзначных чисел (их 9000) и количеством четырёхзначных чи¬


448
Глава III. Решения избранных заданий
сел, не содержащих в десятичной записи цифру 1, т. е. чисел вида abed, где а ф 1,Ь ф 1> с Ф l,d ф 1, а Ф 0. Их 8 • 9 • 9 • 9 = 5832.
Поэтому количество четырёхзначных чисел, содержащих в десятичной записи хотя бы одну цифру 1, равно 9000 — 5832 = 3168.
1057. а) Нельзя. С помощью первых семи натуральных чисел в сумме можно получить два точных квадрата 4 или 9. Под числом 1 может быть записано только число 3, но под числом 6 тоже может быть записано только число 3. Противоречие с условием задачи.
б) 	Можно. С помощью первых двенадцати натуральных чисел в сумме можно получить три точных квадрата 4, 9, 16. Сумма числа 12 и числа, записанного под ним, заключена между 13 и 24. На этом отрезке имеется только один точный квадрат 16. Запишем под числом 12 число 4, аналогично под числом 4 — число 12. Также проверяем, что под числами 9, 10* 11, 5, 6, 7 должны быть записаны числа 7, 6, 5, 11, 10, 9 соответственно. Далее под оставшимися числами 1,2,3,8 записываем числа 3,2, 1,8 соответственно.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
2
1
12
11
10
9
8
7
6
5
4
в) 	Можно. Под каждым из чисел 101, 102, ..., 2014, 2015 запишем числа 2015, 2014,..., 102, 101 соответственно. Тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная с 101-го, равна 2116 = 462. Под каждым из чисел
21.22...., 99, 100 запишем числа 100, 99,..., 22,21. Тогда сумма чисел в каждом столбце, с 21-го по 100-й, равна 121 = II2. Под каждым из чисел 16, 17, 18, 19, 20 запишем числа 20, 19, 18, 17, 16. Тогда сумма чисел в каждом столбце, с 16-го по 20-й, равна 36 = 62. Под каждым из чисел 1,
2...., 14, 15 запишем числа 15, 14,..., 2, 1. Тогда сумма чисел в каждом столбце, с 1-го по 15-й, равна 16 = 42.


Ответы к тренировочным заданиям
449
Ответы к тренировочным заданиям
§ 1. Арифметические действия с дробями
1.2,15.2.0,85.3.2.4. -2.5.0,5.6.4.7.0,75.8.5,6.9. -106.10.70.11.15,5. 12.26.13. -2.14.-1,15.15. -0,25.16.7,25.17.36.18.12.19.200.20.100. 21. 0,025. 22. 0,105. 23. -1,962. 24. -2,969. 25. -0,56. 26. 0,64. 27. 0,285. 28. -1,175. 29. 0,5. 30. 0,5. 31. 0,5. 32. 11,6. 33. 2. 34. 2. 35. 0,2. 36. 0,2.
37.14. 38.24. 39. -30,75. 40.49,5.
§ 2. Простые текстовые задачи 41. 7. 42. 4. 43. 13. 44. 6. 45. 12. 46. 8. 47. 10. 48. 11. 49. 15. 50. 11. 51. 10. 52. 12. 53. 7. 54. 13. 55. 10. 56. 6. 57. 11. 58. 11. 59. 5. 60. 7. 61. 33. 62. 20. 63.17. 64. 12. 65. 5. 66. 6. 67.13. 68. 8. 69. 9. 70. 13. 71. 4. 72. 5. 73. 76. 74. 122. 75. 52,08. 76. 96,6. 77. 20. 78. 18. 79. 17. 80. 11. 81.868.82.348,8.83.24. 84.22. 85.56. 86.272.87.875. 88.625. 89.594,3. 90.182,7.91.1931,8.92.4282,2.93.1378.94.20.95.25.96.175.97.74 520. 98. 61200. 99. 144000. 100. 21000. 101. 2730. 102. 2850. 103. 18170. 104.1625. 105.12. 106.8. 107.27. 108.12.109.13. 110.22. 111.5. 112.23. 113. 2240. 114.4025. 115. 9500. 116.22500.
§ 3. Соответствие между величинами и их значениями 117.2341. 118.2143. 119.4123. 120.2413. 121.2431. 122.3412. 123.4312. 124.3412. 125.1432. 126.4123. 127.3241. 128. 2413. 129.4321. 130.2143. 131.4132. 132.1423. 133.4123. 134.2143. 135. 2341. 136.2431.
§ 4. График функции и элементы статистики 137. 60. 138. 30. 139. 0,6. 140. 12. 141. 400. 142. 31,5. 143. 48. 144. 30.
145.14. 146. 3. 147.45,5. 148.14. 149.11. 150. 2. 151.16. 152. 40. 153. 7. 154.4. 155.4. 156.5. 157.4132. 158.3142. 159.4312. 160.2143. 161.4123. 162.3124. 163.4123. 164.3214.
§ 5. Табличное и графическое представление данных 165. 3740. 166. 3600. 167. 8750. 168. 74500. 169. 1832,6. 170. 4131. 171. 2124. 172. 22528. 173. 21260. 174. 9750. 175. 2855. 176. 2950. 177. 2,9. 178.1,6. 179. 2,8. 180. 2,4. 181.185. 182. 710. 183. 250. 184.495. 185. 65. 186. 38. 187. 120. 188. 105. 189. 71. 190. 75. 191. 28. 192. 62,11. 192. 62,11. 193. 10750. 194. 20451,6. 195. 20811. 196. 205200. 197. 627. 198.1428. 199.840. 200.1060. 201. 249. 202. 389. 203. 6 или 8. 204. 4 или
5. 	205. 234 и 345. 206.135. 207.156. 208.156.
29. Зак. №111


450
Ответы к тренировочным заданиям
§ 6. Текстовые задачи 209.96. 210.18. 211.30. 212.15. 213.19. 214.12. 215. 3. 216.16. 217.80. 218. 30. 219.17. 220. 24. 221. 350. 222.1400. 223. 200. 224. 200. 225.80. 226. 70. 227. 57. 228. 69,625. 229. 40. 230. 45. 231. 45. 232. 330. 233. 20. 234. 25. 235. 6. 236.12. 237. 30. 238. 6. 239. 5. 240. 6,4. 241. 6. 242. 32,2.
243.11.244.27.245.7,5.246.375.247.40.248.6.249.4.250.40.251.30. 252.1562500.
§ 7. Теория вероятностей
253.0.25.254.0.4.255.0.2.256.0.4.257.0.3.258.0.16.259.0.45.260.0.4. 261. 0,25. 262. 0,25. 263. 0,25. 264. 0,25. 265. 0,15. 266. 0,92. 267. 0,91. 268. 0,375. 269. 0,45. 270. 0,16. 271. 0,2. 272. 0,375. 273. 0,14. 274. 0,16. 275. 0,1. 276. 0,125. 277. 0,87. 278. 0,85. 279. 0,007. 280. 0,35. 281. 0,4. 282. 0,24. 283. 0,2. 284. 0,8. 285. 0,3125. 286. 0,2. 287. 0,32. 288. 0,125. 289. 0,5. 290. 0,25. 291. 0,125. 292. 0,0625. 293. 5. 294. 5. 295. 0,17. 296. 0,08. 297. 0,08. 298. 0,08. 299. 0,12. 300. 0,28. 301. 0,18. 302. 0,12.
303.0.21. 304.0,225.305.0,006. 306.0,81. 307.0,96.308.0,94. 309.0,02. 310. 0,05. 311. 0,0001. 312. 0,0729. 313. 0,0625. 314. 0,125. 315. 0,25. 316. 0,25. 317. 0,4. 318. 0,12. 319. 0,15. 320. 0,35. 321. 0,12. 322. 0,16. 323. 0,52. 324. 0,5. 325. 0,47. 326. 0,7. 327. 0,18. 328. 0,38. 329. 0,33.
330.0.28. 331.0,33. 332.0,3125. 333.0,42. 334. 0,55. 335.0,43. 336.0,58.
337.0.384. 338.0,352.339.0,266. 340.0,282.
§ 8. Нахождение величины из формулы 341. 270. 342.162. 343.6. 344. 7. 345. 3. 346.12. 347.4. 348. 0,1.349.13. 350. 17. 351. 40. 352. 9. 353. 20. 354. 12. 355. 21. 356. 1,5. 357. 300. 358.1100.359.17.360.3.
§ 9. Координатная прямая и числовые промежутки 361. 4. 362. 4. 363. 2. 364. 3. 365. 2413. 366. 2143. 367. 4312. 368. 3142. 369.4213.370.2143. 371.4321. 372.2134.373.2413.374.2413. 375.4132. 376.3142.377.1342.378.4321.379.1234.380.1324.
§ 10. Уравнения
381. -0,25. 382. 15. 383. 32. 384. -16. 385. 25. 386. 5. 387. -0,625. 388. -0,45. 389. 5,2.. 390. -2,4.. 391. -1. 392. 1. 393. 0,6. 394. 2,5. 395. -1.396. -2. 397.0,5.398.0. 399.1.400.0.401. -3.402.1.403. -5. 404. -5.405. -1,75.406.2,5.407. -5.408. -9.409. -3,5.410. -6.411.27. 412.3.413. -7.414.22.415. -2.416.2.417. -11.418.3.419.1,2.420.3. 421. 3. 422. -1. 423. 2,5. 424. -5,5. 425. -3. 426. 8. 427. 3,5. 428. 2,5. 429. -3,75. 430. 2,25. 431. 8,5. 432. 0. 433. -2. 434. -1. 435. 6. 436. 5.


Ответы к тренировочным заданиям
451
437.24.438.18.439.5,25.440. -11.441.15.442.1.443.47.444.3.445.5.
446.7.447.1.448.8.
§ 11. Преобразования выражений 449. 36,4. 450. 2,96. 451. -5,3. 452. -0,9. 453. -5. 454. -1,8. 455: -2. 456. 2. 457. 0,2. 458. 0,25. 459. 3. 460. 0,5. 461. 0,25. 462. 5. 463. 49. 464. 121. 465. 24. 466. 54. 467. 4. 468. 8. 469. 0,25. 470. 6,25. 471. 0,5.
472.0,36.473.14.474.64.475.128.476.7.477.2.478. -5.479.5.480. -3. 481. 7. 482. 11. 483. 4. 484. 49. 485. 25. 486. 8. 487. 147. 488. 2. 489. 2. 490. 3. 491. -1. 492. -1. 493. 0,25. 494. 0,25. 495. 2. 496. 0,25. 497. 6. 498. 0,25. 499. 81. 500. 49. 501. 1. 502. 1. 503. 0,125. 504. 0,25. 505. 3. 506.5.507. -24.508. -5.509.4.510. -2.511. -0,875.512. -0,75.513.42.
514.15. 	515.27. 516. 22,5. 517. -0,25. 518. -0,375. 519. -1,5. 520.0,5.
§ 12. Геометрический смысл производной. Первообразная 521. -2. 522. 1,5. 523. -2. 524. -1,2. 525. 10. 526. 5. 527. 5. 528. 3. 529.1243. 530.4312. 531. 2314. 532. 4321. 533. 3. 534. 3. 535. 6. 536. -1. 537. -1. 538. 4. 539. 3. 540. 2. 541. 7. 542.4. 543. 5. 544. 5. 545.4. 546.6. 547. 2. 548. -4. 549. 4. 550. 2. 551. 1. 552. 1. 553. 45. 554. 45. 555. 1. 556. 1. 557. -2. 558. 2. 559. 10,5. 560. 1,5. 561.1. 562. 2. 563. 1. 564. 0. 565.9.566.18.567.6.568.8.569.7.570.18.571.18.572.21.
§ 13. Исследование функции с помощью производной 573. 2. 574. 2. 575. 6. 576. 0. 577. 2. 578. 1. 579. 1. 580. 9. 581. -15. 582.4.583. -6.584.2.585. -40.586.4.587.44.588.24.589. -1.590. -1. 591.51.592.1.593.3,6.594.16.595. -3.596. -4.597.2020,5.598.2007,5. 599.16.600.27.601.4.602.7. 603. -9.604. -3.
§ 14. Содержательные задачи из различных областей
науки
605. 12. 606. 11. 607. 0,3875. 608. 0,39. 609. 24. 610. 5. 611. 15000. 612. 2400. 613.1400. 614. 387,5. 615. 30. 616. 60. 617. 4. 618. 80. 619. 25. 620. 60. 621. 30. 622. 30. 623. 60. 624. 60. 625. 0,33. 626. 90. 627. 30.
628.30.629.3.630.2,7.631.30.632.20.633.10,4.634.45.635.8.636.5. 637. 0,02. 638. 0,045. 639. 7000. 640. 10000. 641. 3. 642. 0,075. 643. 6,8. 644.6,875. 645.49.646. 5,6. 647.4. 648.317,5.
§ 15. Логические задачи 649. 24. 650. 24. 651.14. 652.14. 653.13. 654.14. 655.2. 656.3. 657. 24. 658. 34. 659. 2. 660. 3. 661. 3. 662. 2. 663. 12. 664. 14. 665. 4. 666. 14. 667.234. 668.24.


452
Ответы к тренировочным заданиям
§ 16. Планиметрия: площади фигур 669. 6. 670. 14. 671. 8. 672. 16. 673. 3. 674. 8. 675. 4. 676. 27. 677. 10. 678.29.679.16.680.20. 681.26.682.30. 683.30.684.34.685.6. 686.18. 687. 18. 688. 20. 689. 8. 690. 16. 691. 4. 692. 22. 693. 7. 694. 14. 695. 28.
696.39,5. 	697.5.698.20.699.16. 700.8. 701.0,5. 702.2,5. 703.10. 704.5.
§ 17. Планиметрия: углы и длины 705.126. 706.43. 707.36. 708.36. 709.52. 710.40. 711.44. 712.70. 713.6.
714.8. 	715. 22. 716. 20. 717. 60. 718.63. 719.136. 720.140. 721. 7. 722.6.
723.18. 724. 18. 725. 7. 726. 8. 727. 22. 728.14. 729. 51. 730. 40. 731. 30. 732. 80. 733. 6. 734. 8. 735. 4. 736. 2. 737. 38. 738. 23. 739.128. 740.130. 741.32. 742.18. 743.14. 744.10. 745.52. 746.51. 747.36. 748.37.749.61. 750. 62. 751. 60. 752. 151. 753. 67,5. 754. 72. 755. 117. 756. 36. 757. 4,5. 758. 8. 759. 51. 760.45. 761.12. 762.5. 763.6. 764. 4,5. 765. 7,5. 766. 2,4. 767. 3,125. 768. 5. 769. 7. 770.8. 771.30. 772.42.
§ 18. Практические задания по планиметрии 773. 3. 774. 4. 775. 36. 776. 20. 777. 1776. 778. 760. 779. 160. 780. 800. 781.170. 782.130. 783. 2400. 784. 3300. 785. 8. 786. 13. 787.12. 788.15. 789.3,6. 790.8. 791.3,5. 792.1,5.
§ 19. Тригонометрия, координаты и векторы
793.0.6. 794.0,7. 795.0,8. 796.0,5. 797.0,96. 798.0,28. 799.0,6. 800.1,2.
801.12.75.802.17.5.803.1.375.804.0.375.805.4.806.0.75.807.5.808.7. 809. 0,2. 810. 0,96. 811. 0,6. 812. 0,4. 813. 20. 814. 20. 815. 7,5. 816. 20.
817.16. 	818.12.819.13,5.820.38,4. 821.12.822.16.823.0,35.824.0,25. 825. -0,3. 826. -2,2. 827. -0,3. 828. 0,7. 829. 11. 830. 55. 831. -0,6. 832. 0,8. 833. -2. 834. 5. 835. -3. 836. -8. 837. 2,5. 838. 2,5. 839. 3,5. 840. 3. 841. 4. 842. 10. 843. 4. 844. 1. 845. 10. 846. 22. 847. 15. 848. 15. 849. -5. 850. 5.851. 5. 852. 7. 853.50. 854.98.855.6. 856.24.
§ 20. Параллелепипед, призма, пирамида 857. 780. 858. 222. 859. 0,96. 860. 56. 861. 61. 862. 54. 863. 89. 864. 84. 865. 1,5. 866. 1. 867. 60. 868. 60. 869. 160. 870. 174. 871. 134. 872. 90. 873. 3. 874. 1944. 875. 2880. 876. 7. 877. 6. 878. 64. 879. 60. 880. 60. 881. 7. 882.3,5. 883.10. 884.6.885.200.886. 250. 887. 2. 888.96.889.12.
890. 	64. 891. 22,5. 892. 100. 893. 4. 894. 10. 895. 3. 896. 4,5. 897. 30.
898.30. 	899. 75.900.13,5. 901. 736. 902.1360.903.54. 904.150.905.384. 906. 250. 907. 17,5. 908. 24. 909. 96. 910. 187,5. 911. 10368. 912. 3072.
913.4.914.18. 915.36.916. 25.


Ответы к тренировочным заданиям
453
§ 21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел 917. 5. 918. 324. 919. 1000. 920. 1562,25. 921. 6. 922. 8. 923. 7. 924. 9. 925.125.926.72.927.6,25.928.120.929.1125.930.434.931.72.932.243. 933. 10. 934. 4. 935. 12. 936. 9. 937. 3600. 938. 4500. 939. 16. 940. 8. 941.40.942.19. 943.41. 944.12.945.64.946.8. 947.9. 948.16. 949.6,25.
950. 	2,25. 951. 40. 952. 12. 953. 9. 954. 50,41. 955. 27. 956. 64. 957. 48.
958.16.5. 959. 54. 960.128. 961. 6. 962. 3,75. 963. 64000. 964. 27. 965. 5.
966.12.5. 967.60. 968. 21,2. 969.10. 970.60. 971.81. 972.242.
§ 22. Тригонометрические уравнения и отбор корней 973. а) жк, к € Z; | + тгп, п е Z; б) J, тг, 2ж. 974. а) | + тгк,к<Е Z\
f + тгп,п € Z\ б) f. 975. а) ±£ + жп, п 6 Z\
4 4 z 4 о
±1 + „*.*€ г: б) §; Щ. 976. а) ±| + »п;
/- 7. _1_7Г . 1 1 г /7. г?\ 7тг. 117Г. 13тГ. ЭтГ. 117Г.177Г Л77 \ 7Г71
’ 4 , б) Т’ “6“’ “6“’ Т’ ^’“б-- 977- а) Т’
п € Z; б) 0, |, тг, 978. а) | + тг*, (-1)п+1| + тгп; к,п е
ТГ. 7тг 070 0\ 7Г I “Тг/ь 7Г . 7ГТ1 i ~ /7. 7Г . 7Г
б) -,т. 979. а) ^ + -у, - + т, к,п € 2, б) ^
980. 	а) ^ f ; + ^f ;k,n€Z- б) - J, _ * аг<|гЗ
JL. 981. а) - J + тгп, п € J + (-1)* J + тг*, к € Z. б) |тг; 7-f.
982. а) ±| + 2тгк, к е Z; + тгп, п € Z. б) 983. а)
fceZ; б)-5тг;-^;-4тг.984.а)| + ^, п € б) 985. а) |+ тгп,
±|+тгА:Д,пе2; б)986. а)тгп, ±^+жк ,к,п е Z; 77Г. 5тг. 7Г. л
б)-т, -тг, --g-, -g,°.


454
Ответы к тренировочным заданиям
§ 23. Стереометрия
987. 6. 988. 60. 989. arctg4"/^. 990. axctg 3+,;?А 991. ^f.
lz lz lo
992 3^3 993 \Щ 994 у/Щ 995 _ 9 996 72^35 997
. arccos i.
4 10 17 73 5 3
998. £.
О
§ 24. Неравенства и системы неравенств
999. [-16; -2) U (-2; -1)и(-^; о).
1000. (-оо; -4) U (-4; —1) U [—|; -^). 1001. (0; 1) U (уЗД.
1002. 	(0; VTT) U (4; 11). 1003. х > 3. 1004.3 < х < 9. 1005. х = 0, х = 2.
1006.0. 	1007. {-4; 0} U [2; 3). 1008. [-5; -3] U {0}.
1009. (0; log5 21 U [5; 6) U (6; 7]. 1010. (0; log3 2] U [6; 7) U (7; 8].
1011. (4;+oo). Ю12. (14 + 2v/51;+oo). 1013. (—2;logs4], [1; 3].
1014. (—1;0].
§ 25. Планиметрия 1015.17. 1016. 1017.8. 1018.18 + 2л/17. 1019.2. 1020.1.1021.6.
О
1022.8y/3. 1023.12,5. 1024.36. 1025.5. 1026.6.
§ 26. Экономические задачи 1027.15.1028.12.1029.19,89 1030.19,35.1031.12.1032.15.1033.5190.
1034. 	2745. 1035. 8400000. 1036. 5040. 1037. 5696703. 1038. 2010574. 1039.48000. 1040.4. 1041.5 лет. 1042.6 лет.
§ 27. Уравнения и неравенства с параметром
1043. ±у/2. 1044. £±2}/2 ,045 а < _8 или о > 5. 1046. а < -15;
a > 10. 1047. [-2; -1]. 1048. б]. 1049. а € (—1; —
1050. [-2,49;-2).
§ 28. Исследовательские задачи
1051. а) нет; б) да; в) 1052. а) нет; б) да; в) |. 1053. а) 100; б) 72; в) 48.
1054. 	а) 2; б) нет; в) 40.1055. а) 2673; б) 459; в) 3168.1056. а) 2187; б) 243;


Ответы к тренировочным заданиям
455
в) 	2439. 1057. а) нельзя; б) можно; в) можно. 1058. а) нельзя; б) можно;
в) 	можно.


456
Ответы к заданиям для контроля
Ответы к заданиям для контроля § 1. Арифметические действия с дробями
1
2
3
4
5
Вар. 1
0,6
-0,001
-16
-3,15
-15
Вар. 2
0,6
-0,001
-8
-2,45
36
Вар. 3
23
2
87
10
20
Вар. 4
3
2
53
10
50
§ 2. Простые текстовые задачи
1
2
3
4
5
Вар. 1
7
6
80
69300
15000
Вар. 2
8
6
456
15
2000
Вар. 3
11
22
1
7
11200
Вар. 4
10
3
56
15
15
§ 3. Соответствие между величинами и их значениями
1
2
3
4
5
Вар. 1
1243
4312
4132
1423
3142
Вар. 2
4123
2143
2413
3142
4321
Вар. 3
4123
4321
2143
2413
4321
Вар. 4
3421
2413
2314
4132
4123
§ 4. График функции и элементы статистики
1
2
3
4
5
Вар. 1
7
6
32
3
1342
Вар. 2
5
25
2
8,5
3421
Вар. 3
3
13
4
12
4123
Вар. 4
10
20
1
4
3421
§ 5. Выбор наилучшего варианта
1
2
3
4
5
Вар. 1
24480
209440
700
62,5
7
Вар. 2
30600
5900
95550
25375
256
Вар. 3
13600
97200
5200
65190
135 и 145
Вар. 4
22
1207800
20610
1173
56


Ответы к заданиям для контроля
457
§ 6. Текстовые задачи
1
2
3
4
5
Вар. 1
120
21
14
600
35
Вар. 2
75
16
20
22,5
513
Вар. 3
55
2
5
18
10
Вар. 4
36
20
1,5
20
5,9
§ 7. Теория вероятностей
1
2
3
4
5
Вар. 1
0,486
0,25
0,9936
0,19
0,088
Вар. 2
0,925
0,16
0,251
0,125
0,1056
Вар. 3
0,8
0,375
0,47
0,084
0,02
Вар. 4
0,65
0,25
0,79
0,45
0,16
§ 8. Нахождение величины из формулы
1
2
3
4
5
Вар. 1
35
15
1,2
12,5
0,125
Вар. 2
300
28,4
4500
4
22
Вар. 3
24200
40
-0,625
21
0,5
Вар. 4
405
60
5
4
-0,5
§ 9. Координатная прямая и числовые промежутки
1
2
3
4
5
Вар. 1
4312
2143
3142
3412
3412
Вар. 2
2314
4312
2341
3142
1342
Вар. 3
4321
4321
4231
1342
1234
Вар. 4
2413
2341
2314
4321
3241
§ 10. Уравнения
1
2
3
4
5
Вар. 1
18
8,5
7
-3,8
-2
Вар. 2
-42
2,625
-6
5
-2,5
Вар. 3
-507
-2
-2
-7,6
3
Вар. 4
118
9
2
-5
1,8


458
Ответы к заданиям для контроля
§11. Преобразования выражений
1
2
3
4
5
Вар. t
0,25
0,16
45
3
-18
Вар. 2
243
28
7
25
4
Вар. 3
3
144
3
2
8
Вар. 4
539
2
9
8
-8
§12. Геометрический смысл производной. Первообразная
1
2
3
4
5
Вар. 1
0
1
2
0,75
8,8125
Вар. 2
27
3
8
1
11,5
Вар. 3
-4
2
3
2
9
Вар. 4
-5,5
-14
6
2
27
§ 13. Исследование функции с помощью производной
1
2
3
4
5
Вар. 1
50
10
2
31
30
Вар. 2
-6
2
-88
-3
36
Вар. 3
2
8
-146
80
-22
Вар. 4
110
15
-14
11
2
§ 14. Содержательные задачи из различных областей науки
1
2
3
4
5
Вар. 1
0,3
3,75
50
15
1,6
Вар. 2
10
2,2
300
120
1800
Вар. 3
2000
80
90
45
2,5
Вар. 4
0,5875
5
20
45
8,8
§ 15. Логические задачи
1
2
3
4
5
Вар. 1
14
2
4
23
13
Вар. 2
13
14
34
124
3
Вар. 3
23
34
24
23
23
Вар. 4
13
3
34
34
1


Ответы к заданиям для контроля
459
§16. Планиметрия: площади фигур
1
2
3
4
5
Вар. 1
10
17,5
2
3
15
Вар. 2
15
6
18
3
12
Вар. 3
8
12
6
10
3,375
Вар. 4
12
8
70
7,5
21
§ 17. Планиметрия: углы и длины
1
2
3
4
5
Вар. 1
42
122
110
6
21
Вар. 2
52
70
19
20
5
Вар. 3
30
36
52
107
12
Вар. 4
27
70
14
5
2
§ 18. Практические задания по планиметрии
1
2
3
4
5
Вар. 1
17,5
153
1,8
108
30
Вар. 2
од
121
2,5
200
300
Вар. 3
28
2000
12
40
600
Вар. 4
30
740
550
120
700
§ 19. Тригонометрия, координаты и векторы
1
2
3
4
5
Вар. 1
0,6
3,25
1,75
10
64
Вар. 2
4
3,25
33
2
12
Вар. 3
0,9
0,6
56
2
0
Вар. 4
0,9
0,8
24
10
20
§ 20. Параллелепипед, призма, пирамида
1
2
3
4
5
Вар. 1
1040
60
2
3
0,96
Вар. 2
9
45
90
12
45
Вар. 3
27
45
60
13
9
Вар. 4
84
0,2
90
12
13


460
Ответы к заданиям для контроля
§21. Цилиндр, конус, шар, комбинации тел
1
2
3
4
5
Вар. 1
4
1
18
9
6,25
Вар. 2
24
180
9
8
3
Вар. 3
120
48
12
2,25
25
Вар. 4
7
12
5
5
89


ЕГЭ
Учебное издание
Иванов Сергей Олегович, Коннова Елена Генриевна, Кривенко Виктор Михайлович, Ольховая Людмила Сергеевна, Резникова Нина Михайловна, Фридман Елена Михайловна, Ханин Дмитрий Игоревич
МАТЕМАТИКА. ЕГЭ-2021. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ТРЕНИНГ. 10-11-е классы
Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. О. Иванова
Налоговая льгота: издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Обложка М. Сафиуллина Компьютерная вёрстка И. Кулабухов Корректор В. Пампура
Подписано в печать с оригинал-макета 09.07.2020.
Формат 60х84У16. Бумага типографская.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Уел. печ. л. 26,97.
Тираж 10000 экз. Заказ № 111.
ООО «ЛЕГИОН»
Для писем: 344000, г. Ростов-на-Дону, а/я 550.
Адрес редакции: 344082, г. Ростов-на-Дону, ул. Согласия, 7. www.legionr.ru e-mail: legionrus@legionrus.com
Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ООО «Август»
347900, г. Таганрог, ул. Лесная биржа, 6В.


ДЛЯ ЗАМЕТОК


ДЛЯ ЗАМЕТОК


ДЛЯ ЗАМЕТОК