В. П. МИНОРСКИЙ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
ИЗДАНИЕ ТРИНАДЦАТОЕ
До{гусЯ!&!Ъ 'Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия \
для студентов высшйх технически/ 'учебных заведений
МОСКВА «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
ББК 22.11
М62
УДК 517(075.8)
Мин о р с к и й В. П. Сборник задач по высшей математике!
Учеб, пособие для втузов. — 13-е изд. — М.: Наука. Гл. ред,
физ.-мат. лит., 1987. •—352 с.
Подобраны и методически распределены задачи по аналити-
ческой геометрии и математическому анализу. В начале каждого
параграфа приведены формулы, определения и другие краткие
пояснения теории, необходимые для решения последующих задач.
Сборник может быть использован при всех формах обучения,
12-е изд. — 1978 г.
Для студентов высших технических учебных заведений.
1702010000—021
053(02)-87
61-87
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1987
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем «Сборнике» подобраны и методически
распределены задачи и примеры ио аналитической
геометрии и математическому анализу.
В начале каждого параграфа приведены формулы,
определения и другие краткие пояснения теории, не-
обходимые для решения последующих задач.
В конце каждого параграфа «Сборника» приве-
дены (после черты) задачи для повторения, состав-
ляющие около одной трети всего материала «Сбор-
ника». Эта особенность поможет преподавателю в
подборе задач для работы в классе и для домашних
заданий или для повторений перед контрольными ра-
ботами. Кроме того, при таком распределении задач
легко определить минимум, необходимый для усвое-
ния курса, который можно рекомендовать заочникам
или для работы на вечерних факультетах.
«Сборник» может быть использован как для ра-
боты под руководством преподавателя, так и для са-
мостоятельного изучения курса высшей математики
во втузах, так как почти все задачи имеют ответы, а
некоторые и решения и, кроме того, ко многим зада-
чам в тексте или в ответах даны указания к их реше-
нию. Этому же способствуют краткие пояснения
теории.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия автора к третьему изданию................................................................... 8
Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости...............................................................9
§ 1.	Координаты точки на прямой и на плоскости. Рас-
стояние между двумя точками.......................... 9
§ 2.	Деление отрезка в данном отношении. Площадь тре-
угольника и многоугольника........................ ..11
§ 3.	Уравнение линии как геометрического места точек 13
§ 4.	Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом,
2) общее, 3) в отрезках на осях......................14
§ 5.	Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых,
проходящих через данную точку. Уравнение пря-
мой, проходящей через две данные точки. Точка пе-
ресечения двух прямых................................17
§ 6.	Нормальное уравнение прямой. Расстояние отточки
до прямой. Уравнения биссектрис. Уравне1?йе пучка
прямых, проходящих через точку пересечения двух
данных прямых......................................20
§	7.	Смешанные задачи на прямую.22
§	8.	Окружность ............................................................................23
§	9.	Эллипс ............................................................................26
§	10.	Гипербола .............................................................................28
§	И.	Парабола ..........................................................31
§ 12.	Директрисы, диаметры и касательные к кривым
второго порядка . .	 34
§	13.	Преобразование декартовых координат. Параболы
у = ах2 -|- Ьх + с и х = ay2 + by + с. Гипербола
ху = k............................................................................................38
§	14.	Смешанные задачи на кривые второго порядка	.	.	41
§	15.	Общее уравнение линии второго	порядка	...	44
§	16.	Полярные координаты........................................................48
§ 17.	Алгебраические кривые третьего и высших поряд-
ков ...............................................  52
§ 18.	Трансцендентные кривые...........................................................................53
Глава 2. Векторная алгебра ................................................................................55
§ 1.	Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр 55
§ 2.	Прямоугольные координаты точки и вектора в про-
странстве ...........................................58
1*	3
§ 3.	Скалярное произведение двух векторов..............60
§ 4.	Векторное произведение двух векторов ............ 63
§ 5.	Смешанное произведение трех векторов . ... 65
Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве ... 67
§ 1.	Уравнение плоскости . .	 67
§ 2.	Основные задачи па плоскость ........ 69
§ 3.	Уравнения прямой.................................71
§ 4.	Прямая и плоскость ..............................74
§ 5.	Сферические и цилиндрические поверхности .... 76
§ 6.	Конические поверхности и поверхности вращения . 79
§ 7.	Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды............80
Глава 4. Высшая алгебра................................ 84
§ 1.	Определители....................................84
§ 2.	Системы линейных уравнений . .	.............87
§ 3.	Комплексные числа...............................89
§ 4.	Уравнения высших степеней и приближенное реше-
ние уравнений....................................... 92
Глава 5. Введение в анализ...............................96
§ 1.	Переменные величины и функции..................96
§ 2.	Пределы последовательности и функции. Бесконеч-
но малые и бесконечно большие ....... 99
§ 3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей
§ 4. Предел отношения—-— при а->0.......
§	5.	Неопределенности вида	оо— оо	и	0	°°.106
§	6.	Смешанные примеры на	вычисление пределов . . . 107
§	7.	Сравнение бесконечно малых.....107
§ 8.	Непрерывность функции .................... ....	109
§	9.	Асимптоты ..... И2
§	10.	Число .......ИЗ
Глава 6. Производная и дифференциал..................115
§ 1.	Производные алгебраических и тригонометрических
функций ..............................................ИЗ
§ 2.	Производная сложной функции....................117
§ 3.	Касательная и нормаль к плоской кривой . . .118
§ 4.	Случаи недифференцируемости непрерывной функ-
ции .................................................120
§ 5.	Производные логарифмических и показательных
функций ........................................ ....	121
§ 6.	Производные обратных тригонометрических функ-
ций ...............................................  123
4
§ 7.	Производные гиперболических функций .	... 124
§ 8.	Смешанные примеры и задачи на дифференцирова-
ние ...............................................125
§ 9.	Производные высших порядков................. 126
§ 10.	Производная неявной функции..................128
§ 11.	Дифференциал функции.........................130
§ 12.	Параметрические уравнения кривой.............132
Глава 7. Приложения производной.........................134
§ 1.	Скорость и ускорение...........................134
§ 2.	Теоремы о среднем . ,..........................135
S 3. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя . 138
§ 4.	Возрастание и убывание функции. Максимум и ми-
нимум ...............................................140
§ 5.	Задачи о наибольших и наименьших значениях ве-
личин ...............................................144
§ 6.	Направление выпуклости и точки перегиба кривой.
Построение кривых...............................143
Глава 8. Неопределенный интеграл......................148
§ 1.	Неопределенный интеграл. Интегрирование разло-
жением .	...............................148
§ 2.	Интегрирование подстановкой и непосредственное . 150
Sdx C dx
-------------------------г \ --1 - Г >
х2 ± a2 J Vа2 — х2
dx
-----— и к ним приводящиеся...............152
V*2 + k
§ 4.	Интегрирование по частям......................154
§ 5.	Интегрирование тригонометрических функций . . . 155
§ 6.	Интегрирование рациональных алгебраических функ-
ций ................................................157
§ 7.	Интегрирование некоторых иррациональных алгеб-
раических функций...................................159
§ 8.	Интегрирование некоторых трансцендентных функ-
ций .............................................. .161
§ 9.	Интегрирование гиперболических функций. Гипер-
болические подстановки ...	...............162
§ 10.	Смешанные примеры на интегрирование .... 164
Глава 9. Определенный интеграл .........................165
§ 1.	Вычисление определенного интеграла.............166
§ 2.	Вычисление площадей............................169
§ 3.	Объем тела вращения ...........................171
§ 4.	Длина дуги плоской кривой......................173
§ 5.	Площадь поверхности вращения...................174
§ 6.	Задачи из физики...............................175
§ 7.	Несобственные интегралы........................178
§ 8	Среднее значение функции........................181
§ 9.	Формула трапеций и формула Симпсона . . , • .182
6
Глава 10. Кривизна плоской и пространственной кривой 184
§ 1.	Кривизна плоской кривой. Центр и радиус кривизны.
Эволюта ...	...........................184
§ 2.	Длина дуги кривой в пространстве.................186
§ 3.	Производная вектор-функции по скаляру и ее меха-
ническое и геометрическое значение. Естественный
трехгранник кривой ................................... 186
§ 4.	Кривизна и кручение пространственной кривой . . 189
Глава И. Частные производные, полные дифференциалы и
их приложения...................................... .	. 191
§ 1.	Функции двух переменных и их геометрическое
изображение ......................................,191
§	2.	Частные производные первого порядка.193
§	3.	Полный дифференциал первого	порядка . , ,	, 195
§	4.	Производные сложных функций	. ..  196
§	5.	Производные неявных функций.................198
§ 6.	Частные производные и полные дифференциалы
высших порядков....................................200
§ 7.	Интегрирование полных дифференциалов , . . , 203
§ 8.	Особые точки плоской кривой...............................  204
§ 9.	Огибающая семейства плоских кривых .... 206
§ 10.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности . 207
§ 11.	Скалярное поле. Линии и поверхности уровней.
Производная в данном направлении. Градиент . > 209
§ 12.	Экстремум функции двух переменных...........................210
Глава 12. Дифференциальные уравнения.................213
§ 1.	Понятие о дифференциальном уравнении .... 213
§ 2.	Дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными. Ортогональные
траектории .....................................  215
§ 3.	Дифференциальные уравнения первого порядка:
1)	однородное, 2) линейное, 3) Бернулли . . . 217
§ 4.	Дифференциальные уравнения, содержащие диффе-
ренциалы произведения и частного..................219
§ 5.	Дифференциальные уравнения первого порядка в
полных дифференциалах. Интегрирующий множи-
тель ..........................................  220
§ 6.	Дифференциальные уравнения первого порядка, не
разрешенные относительно производной. Уравнения
Лагранжа и Клеро..................................221
§ 7.	Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка.....................223
§ 8.	Линейные однородные дифференциальные уравне-
ния с постоянными коэффициентами..................224
§ 9.	Линейные неоднородные дифференциальные уравне-
ния с постоянными коэффициентами.................226
§ 10.	Примеры дифференциальных уравнений разных ти-
пов	< 228
6
§ 11.	Линейное дифференциальное уравнение Эйлера
4-	а1х',-1//<п’-1) + ... 4- ая-хху' 4- а„у = Цх) . . 229
§ 12.	Системы, линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.............................229
§ 13.	Линейные дифференциальные уравнения в частных
производных второго порядка (метод характери-
стик) .................................................230
Глава 13. Двойные, тройные и криволинейные интегралы 232
§ 1. Вычисление площади с помощью двойного инте-
грала ..........................................232
§ 2.	Центр масс и момент инерции площади с равно-
мерно распределенной массой (при плотности р. =
= 1)................................................234
§ 3.	Вычисление объема с помощью двойного интеграла . 236
§ 4.	Площади кривых поверхностей ....	.... 237
§ 5.	Тройной интеграл и его приложения............  238
§ 6.	Криволинейный интеграл. Формула Грина .... 240
§ 7.	Поверхностные интегралы. Формулы Остроградско-
го — Гаусса и Стокса ...............................244
Глава	14. Ряды.................................248
§ 1.	Числовые	ряды ...........................248
§ 2.	Равномерная сходимость функционального ряда . . 251
§ 3.	Степенные	ряды...........................253
§ 4.	Ряды Тейлора и Маклорена.................255
§ 5.	Приложения рядов к приближенным вычислениям . 257
§ 6.	Ряд Тейлора для функции двух переменных . . . 260
§ 7.	Ряд Фурье. Интеграл Фурье................261
Ответы ..........................................265
Приложение . . ..................................344
ГЛАВА 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1.	Координаты точки на прямой и на плоскости.
Расстояние между двумя точками
Г. Расстояние d между точками A(Xi) и В(х2) на оси:
d = | Х2 — Х1 | = V(*2 — Xi)2.	(1)
2°. Величина АВ (алгебраическая) направленного отрез-
ка на оси:
АВ = х2 — Xi.	(2)
3°. Расстояние d между точками А(хг, i/i) и В(х2; Di)
на плоскости:
d = V(*2 — X,)2 + (1/2 — I/|)2 .	(3)
4°. Проекции на оси координат направленного отрезка,
или вектора АВ на плоскости с началом A(xj; i/i) и концом В(х2;
Уг}-	___ ___________________
прх АВ = X = х2 — xt, пру AB = Y = у2 —yi. (4)
1.	Построить на числовой оси точки Д(—5), В (Д-4)
и С(—2) и найти величины АВ, ВС и АС отрезков на
оси. Проверить, что АВ Д- ВС = АС.
2.	Выполнить предыдущее упражнение для точек
А(+1), В(—4) и С(Д-5).
3.	Построить треугольник с вершинами А(—4; 2)',
В(0; —1) и С(3; 3) и определить его периметр и углы.
4.	Доказать, что треугольник с вершинами А(—3;
—2), В(0; —1) и С(—2; 5) прямоугольный.
5.	Построить точки А(—4; 0), В(—1; 4) и точки
Al, В1( симметричные данным относительно оси Оу.
Вычислить периметр трапеции ABB\Ai.
е
6.	Точка В симметрична А (4; —1) относительно
биссектрисы первого координатного угла. Найти
длину АВ.
7.	Найти точку, удаленную на 5 единиц как от
точки А (2; 1), так и от оси бу.
8.	На оси ординат найти точку, удаленную от точ-
ки А (4; —1) на 5 единиц. Пояснить построением, по-
чему получается два решения.
9.	На оси абсцисс найти точку, удаленную от точки
А (а; b) на с единиц. Исследовать решение при с > | b |,
с ==|Z>| и с < |£>|.
10.	На оси Ох найти точку, одинаково удаленную
от начала координат и от точки Л (8; 4).
11.	Найти центр и радиус круга, описанного око-
ло треугольника с вершинами Л (4; 3), В (—3;2) и
С(1; -6).
12.	Даны точки Л (2; 6) и В (О; 2); построить век-
тор АВ, его компоненты на осях и вычислить прх АВ,
прй АВ и длину АВ.
13.	В точке Л (2; 5) приложена сила, проекции ко-
торой на оси координат равны: Х = 3и У = 3. Опре-
делить конец вектора АВ, изображающего силу, и ве-
личину силы.
14.	В точке Л(—3; —2) приложена сила, проекция
которой У =—1, а проекция X положительна. Опре-
делить конец вектора АВ, изображающего силу, если
ее величина равна 5д/2.
15*). На числовой оси построить точки Л(1),
В(—3) и С(—2) и найти величины АВ, ВС и СА от-
резков на оси. Проверить, что АВ + ВС + СА = 0.
16.	На плоскости построить точки Л(—7;0) и
В(0; 1) и точки Л1 и Bit симметричные точкам А и В
относительно биссектрисы первого и третьего коор-
динатных углов. Вычислить периметр трапеции
АВВгА\.
17.	На оси ординат найти точку, одинаково уда-
ленную от начала координат и от точки А(—2; 5).
18.	На оси абсцисс найти точку, удаленную отточ-
ки Л(—2; 3) на Зд/5 единиц.
*) В каждом параграфе после черты приведены задачи, кото-
рые рекомендуются для задания на дом или для повторений,
10
19.	Определить центр и радиус круга, описанного
около треугольника с вершинами Л(—3; —1 ), В (5; 3)
и С(6; — 4).
20.	Даны точки А (х^ yj и В(х2; у2). В начале ко-
ординат приложены силы, изображаемые векторами
ОА и ОВ. Построить их равнодействующую ОС и до-
казать, что проекция равнодействующей на коорди-
натную ось равна сумме проекций составляющих на
ту же ось.
21.	Даны точки Л(1; 2), В(3; 5), С(5; 2) и Д(2;
—2). В точке А приложены силы АВ, АС и AD.
Найти проекции на оси координат равнодействующей
силы и ее величину.
§ 2.	Деление отрезка в данном отношении.
Площадь треугольника и многоугольника
1°. Деление отрезка в данном отношении.
Даны точки А(Х1‘, у А и В(х2; уА- Координаты точки Л4(х; у), де-
лящей отрезок АВ в отношении AM : МВ = X, определяются по
формулам:
Xi + Хх2 _______ у1 + Ху2	...
1+Х ’ У~ 1+Х ‘	Ш
В частности, при делении пополам, т. е. в отношении X — 1 : 1
= 1,
Xi + х?	У\ + Уг
Х 2	’ У 2	’
(2)
2°. Площадь многоугольника с вершинами Л(хн
УА', В(х2; уА, С(х3; уА, , F(x„; У А равна
S = ± —Г|Ж* 2/1 I + I*2 ^l + .-.+r" Ml (3)
2 L I х2 Уг I ' I Х3 Уз | ' I X| yi I J
т>	I X] у I I
Выражение вида	равно Xiy2— x2t/, и называется on-
| x2 у2 |
ределителем второго порядка*).
22.	Построить точки А(—2; 1) и В(3; 6) и найти
точку Л4(х; у), делящую АВ в отношении AM :МВ =
= 3:2.
23.	Даны точки А(—2; 1) и В(3; 6). Разделить от-
резок АВ в отношении AM : МВ = —3 : 2.
24.	В точках A(%i) и В(х2) оси Ох помещены мас-
сы /И1 и т2. Найти центр масс этой системы.
’♦) Об определителях подробно изложено в гл, 4, с, 84—85.
11
25.	В точках A(xi), В(х2) и С(х3) оси Ох поме-
щены соответственно массы т\, т2 и т3. Показать,
что центр масс этой системы будет в точке
_______mtxi -{-	+ т3х^
mt + iH2 + тя
26.	На концы однородного стержня длиной 40 см
н массой 500 г насажены тары массой 100 г и 400 г.
Определить центр масс этой системы.
27.	В точках А (—2; 4), В(3; —1) и С(2; 3) поме-
щены соответственно массы 60 г, 40 г и 100 г. Опре-
делить центр масс этой системы.
23.	Определить середины сторон треугольника с
вершинами /1(2; —1), В (4; 3) и С(—2; 1).
29.	В треугольнике с вершинами 0(0; 0), /1(8; 0) и
/3(0; 6) определить длину медианы ОС и биссектрисы
OD.
30.	Найти центр масс треугольника с вершинами
Л (1; —1), 13(6; 4) и С(2; 6).
Указание, Центр масс треугольника находится в точке пере-
сечения его медиан.
31.	Вычислить площадь треугольника с верши-
нами А(2; 0), В(5; 3) и С(2; 6).
32.	Показать, что точки А (1; 1), В(—1; 7) и
С(0; 4) лежат на одной прямой.
33.	Вычислить площадь четырехугольника с вер-
шинами А (3; 1), 23(4; 6), С(6; 3) и £)(5; —2).
34.	В точках Д(—3; —1) и В(4; 6) приложены па-
раллельные силы, соответственно равные 30 Н и 40 II.
На отрезке АВ найти точку приложения равнодей-
ствующей.
35.	В точках 0(0; 0), А(2; —5) и В(4; 2) поме-
щены соответственно массы 500 г, 200 г и 100 г. Опре-
делить центр масс этой системы.
36.	В треугольнике с вершинами /1 (—2; 0), В (6; 6)
и С(1; —4) определить длину биссектрисы АЕ.
37.	Найти центр масс треугольника с вершинами
A(xi; у А), В(х2; у2) и С(х3; у3).
38.	Найти центр масс четырехугольной однород-
ной доски с вершинами А(—2; 1), В(3; 6), 0(5; 2) и
0(0; —6).
Указание. По формулам, полученным в задаче 37, найти цент-
ры масс треугольников АВС и ADC и разделить расстояние ме-
жду ними в отношении, обратном отношению площадей треуголь-
ников.
12
39.	Даны точки А(1; 2) и В (4; 4). На оси Ох оп-
ределить точку С так, чтобы площадь ДАОС была
равна 5, и построить Д АВС.
40.	В треугольнике с вершинами А(—2; 2),
0(1; —4) и С(4; 5) каждая сторона продолжена в на-
правлении обхода периметра против часовой стрелки
на одну треть своей длины. Определить концы Л4, N
и Р продолжений сторон и найти отношение k пло-
щади &MNP к площади ДАОС.
§ 3.	Уравнение линии как геометрического места точек
Уравнением линии называется уравнение с перемен-
ными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки
этой линии и только они.
Входящие в уравнение линии переменные х и у называются
текущими координатами, а буквенные постоянные — параметрами.
Например, в уравнении окружности (задача 41) х2 + у2 = R2 пе-
ременные х и у — текущие координаты, а постоянная R — пара-
метр.
Чтобы составить уравнение линии как геометрического места
точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:
1)	взять произвольную (текущую) точку Л1(х; у) линии,
2)	записать равенством общее свойство всех точек М линии,
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить че-
рез текущие координаты точки М(х; у) и через данные в задаче.
41.	Показать, что уравнением окружности с ра-
диусом Р и с центром в начале координат будет
х2 + у2 = Р2-
42.	Написать уравнение окружности с центром
С(3; 4) и радиусом Р = 5. Лежат ли на этой окруж-
ности точки: А(—1; 1), В(2; 3), 0(0; 0) и 0(4; 1)?
43.	Написать уравнение линии, по которой движет-
ся точка Л1 (х; г/), равноудаленная от точек А(0; 2) и
0(4; —2). Лежат ли на этой линии точки С(—1; 1),
0(1; —1), 0(0; —2) и 0(2; 2)?
44.	Написать уравнение траектории точки М(х-, у),
которая при своем движении остается втрое дальше
от точки А (0; 9), чем от точки 0(0; 1).
45.	Написать уравнение траектории точки М(х; у),
которая при своем движении остается вдвое ближе к
точке А (—1; 1), чем к точке О (—4; 4).
46.	Написать уравнения биссектрис координатных
углов.
47.	Написать уравнение геометрического места то-
чек, сумма расстояний от каждой из которых до
13
точек F(2; 0) и F[ (—2; 0) равна 2 д/5 . Построить ли-
нию по ее уравнению.
48.	Написать уравнение геометрического места то-
чек, равноудаленных от точки F(2; 2J и от оси Ох.
Построить линию по ее уравнению.
49.	Наиисать уравнение линии, по которой движет-
ся точка М(х;у), оставаясь вдвое дальше от оси Ох,
чем от оси Оу.
50.	Построить линии: 1) у = 2х + 5; 2) у=7 — 2х;
3) у = 2х; 4) у = 4; 5) у = 4 — х2.
51.	Определить точки пересечения линии у = х2—
— 4х-|-3 с осями координат и построить ее.
52.	Определить точки пересечения с осями коорди-
нат линий: I) Зх — 2//=12; 2) у = х2 4х; 3) у2 =
= 2х 4~ 4. Построить эти линии.
53.	Написать уравнение геометрического места то-
чек, равноудаленных от оси Оу и от точки F (4; 0), и
построить линию по се уравнению.
54.	Написать уравнение линии, по которой дви-
жется точка М(х; у), равноудаленная от начала коор-
динат и от точки А(—4; 2). Лежат ли на этой линии
точки В(—2; 1), 0(2; 3), 0(1; 7)?
55.	Написать уравнение траектории точки М(х;у),
которая при своем движении остается вдвое ближе к
точке А(0; —1), чем к точке В(0; 4). Построить тра-
екторию движения.
56.	Определить точки пересечения с осями коорди-
нат линий: 1) 2х 4- 5р + 10 = 0; 2) у = 3 — 2х— х2;
3) у2 = 4 — х. Построить линии.
57.	Написать уравнение геометрического места то-
чек, равноудаленных от оси Ох и от точки ^(0; 2), и
построить линию по ее уравнению.
58.	Написать уравнение геометрического места то-
чек, разность расстояний от каждой из которых до
точек /д(—2; —2) и F(2; 2) равна 4. Построить ли-
нию по ее уравнению.
§ 4.	Уравнение прямой: 1) с угловым коэффициентом,
2) общее, 3) в отрезках на осях
1°. Уравнение прямой с угловым коэффи-
циентом
у = kx + b.	(1)
14
Параметр k равен тангенсу угла а наклона прямой к оси
Ox (k — tga) и называется угловым коэффициентом, пли иногда
наклоном прямой. Парамер b — величина отрезка на оси Оу, или
начальная ордината.
2°. Общее уравнение прямой
Ах + Бу + С = 0.	(2)
Особые случаи:
а)	при С = 0 у = — х — прямая проходит через начало
координат;
С
б)	при В = 0 х =-т-= а—прямая параллельна оси Оу,
д
С
в)	при А = 0 у = —— прямая параллельна оси Ох;
г)	при В — С = 0 Дх = 0, х = 0 — ось Оу,
д)	при А — С = 0 Бу = 0, у = 0 — ось Ох.
3°. Уравнение прямой в отрезках на осях
4+4 =11	(3)
а о
где а и Ь — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях ко-
ординат.
59.	Построить прямую, отсекающую на оси Оу от-
резок 6 = 3 и составляющую с осью Ох угол: 1) 45°;
2) 135°. Написать уравнения этих прямых.
60.	Построить прямую, отсекающую на оси Оу от-
резок b = —3 и составляющую с осью Ох угол: 1) 60°;
2) 120°. Написать уравнения этих прямых.
61.	Написать уравнение прямой, проходящей через
начало координат и составляющей с осью Ох угол:
1) 45°; 2) 60°; 3) 90°; 4) 120°; 5) 135°.
62.	Построить прямую, проходящую через начало
координат и через точку (—2; 3), и написать ее урав-
нение.
63.	Определить параметры k и b для каждой из
прямых: 1) 2х — Зу = 6; 2) 2х + Зу = 0; 3) у = —3;
4)-J + f=I.
64.	Построить прямые: 1) Зх + 4у = 12; 2) Зх—
— 4у = 0; 3) 2х —5 = 0; 4) 2у + 5 = 0.
65.	Определить параметры k и b прямой, проходя-
щей через точку А(2;3) и составляющей с Ох угол
45°, Написать уравнение этой прямой.
66.	Уравнения прямых: 1) 2х— Зу = 6; 2) Зх—•
•— 2у + 4 = 0 привести к виду в отрезках на осях.
15
67.	Даны точки 0(0; 0) и А(—3; 0). На отрезке
ОА построен параллелограмм, диагонали которого пе-
ресекаются в точке В(0;2). Написать уравнения сто-
рон и диагоналей параллелограмма.
68.	Написать уравнение прямой, проходящей че-
рез точку А (4; 3) и отсекающей от координатного
угла треугольник площадью, равной 3.
69.	Прямые у = —2 и у = 4 пересекают прямую
Зх— 4г/—5 = 0 соответственно в точках А и 13. По-
строить вектор АВ, определить его длину и его проек-
ции на оси координат.
70.	Лежат ли точки /1(3; 5), В (2; 7), С(—1; —3)
и D(—2; —6) на прямой у = 2х—1 или же они
«выше» или «ниже» этой прямой?
71.	Каков геометрический смысл неравенств:
1)	у > Зх -j- 1; 2) у<Зх-|-1; 3) 2х у—4	0;
4)	2хУ~ 4 < 0?
72.	Построить области*), координаты точек кото-
рых удовлетворяют неравенствам:
1) у < 2 — х,
2) у > 2 — х,
—2,
4,
х + 2,
У > —2;
У < 0;
х> —4.

73.	Точка М(х\у) движется так, что разность
квадратов расстояний от нее до точек А(—а; а) и
В (а; — а) остается равной 4а2. Написать уравнение ее
траектории.
74.	Написать уравнение траектории точки Л4(х; у),
проекция которой на ось Ох движется со скоростью
т ед/с, а на ось Оу — со скоростью п од/с. Началь-
ное положение точки М0(а; Ь).
75.	Построить прямые, заданные параметрами:
1) Ь = —2, <р = 60° и 2) b ==—2, <р = 120°, и напи-
сать их уравнения.
76.	Определить параметры k и Ь прямой, прохо-
дящей через точку (—2; 3) и составляющей с Ох угол
45°. Построить прямую и написать ее уравнение.
*) Слово «область» здесь означает часть плоскости хОу, коор-
динаты каждой точки которой удовлетворяют некоторым усло-
виям (например, неравенствам). Область называется замкнутой,
если в нее включены точки, лежащие на границе области. В про-
тивном случае область называется открытой.
16
Т1. Равнобедренная трапеция с основаниями 8 см
и 2 см имеет острый угол 45°. Написать уравнения
сторон трапеции, приняв за ось Ох большее основа-
ние и за ось Оу — ось симметрии трапеции,
78.	Написать уравнения сторон ромба с диагона-
лями 10 см и 6 см, приняв большую диагональ за ось
Ох и меньшую — за ось Оу.
79.	Написать уравнение прямой, проходящей через
точку (—4; 6) и отсекающей от осей координат тре-
угольник площадью 6.
80.	Написать уравнение линии, по которой дви-
жется точка М(х; у), оставаясь вдвое дальше от оси
Ох, чем от прямой х = —3.
81.	Прямые х = —1 и х = 3 пересекают прямую
у = 2х + 1 в точках А и В. Определить длину вектора
АВ и его проекции на оси координат.
§ 5. Угол между прямыми. Уравнение пучка прямых,
проходящих через данную точку. Уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.
Точка пересечения двух прямых
1°. Угол <р, отсчитанный против часовой стрелки от прямой
у — kix. + bi до прямой у — k2x + &2, определяется формулой
. k2 — ki	...
(О
Для прямых, заданных уравнениями
А।х	В[у -f- С\ = 0 и А2х -р В2у -|- Cg = 0,
формула (1) примет вид
Ai В2 — A2Bi
tg<₽~ 4^2 + В,В2 •
v	,	, A, Bi
Условие параллельности: ki = k2 или g—.
А2 В2
Условие перпендикулярности: k2 =-------или 4|Л24-
+ BiB2 =“ 0.
2°. Уравнение пучка прямых, проходящих через
данную точку 4(xi; yi):
у — yi = k(x — Xi).	(2)
3°. Уравнение прямой, проходящей через
две данные точки А(хг, yi) и В(х2; у2):
У — yi _ x — Xi
"*J/i — ft Гплш Хь
17
4°. Чтобы пайти точку пересечения непараллельных
прямых Atx + В,!/ + Ci = 0 и А2х + В2у + С2 == 0, нужно решить
совместно кх уравнения. Получим:
1-е, В, 1	14, -С, I
__ I — с2 в21	__ | а2 — с21
|4, В, I ' у~ 1ЛВ.1 '
IА2 В2 I	| А2 В2 I
82.	Определить угол между прямыми:
4-х+ 1;
2.V — 3z/ -J- 1 = 0;
у = Зх — 4;
6х + 4у + 9 = 0;
8х + 6 г/ — 11;
V + -=1-
Ь ‘ а
1)	г/ = 2х — 3, у
2)	5х — у + 7=-0
3)	2x-f-// = 0,
4)	Зх + 2у = 0,
5)	Зх — 4у = 6,
6)	— + X = 1,
J а * b
83.	Среди прямых Зх — 2у + 7 = 0, 6х — 4у — 9 =
= 0, 6х-|~4у — 5 = 0, 2х + 3у — 6 = 0 указать парал-
лельные и перпендикулярные.
84.	Написать уравнение пучка прямых, проходя-
щих через точку А (2; 3). Выбрать из этого пучка
прямые, составляющие с осью Ох углы: 1) 45°; 2) 60°;
3) 135°; 4) 0°, и построить их.
85.	Построить точку Л(—2; 5) и прямую 2х—
—у = 0. Написать уравнение пучка прямых, проходя-
щих через А, и выбрать из пучка: 1) прямую, парал-
лельную данной; 2) прямую, перпендикулярную к дан-
ной.
86.	Е> точках пересечения прямой 2х — 5у—10 = 0
с осями координат восставлены перпендикуляры к
этой прямой. Написать их уравнения.
87.	Написать уравнение прямой, проходящей через
точки Д(—I; 3) и В(4; —2).
88.	В треугольнике с вершинами А (—2; 0), В (2; 6);
и С(4;2) проведены высота BD и медиана BE. Напи-
сать уравнения стороны АС, медианы. BE и высоты
BD.
89.	Найти внутренние углы треугольника, стороны
которого заданы уравнениями х -j- 2у = 0, х -f-4у —
— 6 = 0, х — 4у — 6 = 0,
18
Указание. Чтобы найти внутренние углы треугольника, нужно
угловые коэффициенты сторон выписать в порядке убывания:
ki > k-2 > k2, затем вычислять тангенсы углов по формулам:
ki — k2 k2 — k3 k3 — k}
-—:——r~, т—r~  ;—, ,	 Убедиться в этом из чертежа,
1 +&|fe2	1 + k2k3 1 + kik3
поместив одну из вершин в начале координат.
90.	Написать уравнения прямых, проходящих че-
рез начало координат под углом 45° к прямой у =
= 4 — 2х.
91.	Написать уравнения прямых, проходящих через
точку А (—1; 1) под углом 45° к прямой 2х + Зу = 6.
92.	Из точки А (5; 4) выходит луч света под
углом <р = arctg 2 к оси Ох и от нее отражается.
Написать уравнения падающего и отраженного
лучей.
93.	Определить вершины и углы треугольника, сто-
роны которого заданы уравнениями х + Зу = 0, х = 3,
х — 2у + 3 = 0.
94.	Отрезок прямой Зх + 2у — 6, отсеченный осями
координат, служит гипотенузой равнобедренного пря-
моугольного треугольника. Найти вершину прямого
угла, если известно, что она лежит «выше» данной
прямой.
95.	Дан треугольник с вершинами А(—2; 0),
В (2; 4) и С(4; 0). Написать уравнения сторон тре-
угольника, медианы АЕ, высоты AD и найти длину
медианы АЕ.
96.	Написать уравнения сторон и найти углы тре-
угольника с вершинами А(0; 7), В(6; —1) и С(2; 1),
97.	Прямая 2х— у + 8 = 0 пересекает оси Ох и
Оу в точках А и В. Точка М делит АВ в отношении
АМ:МВ = 3:\. Написать уравнение перпендикуляра,
восставленного в точке М к прямой АВ.
98.	Построить треугольник, стороны которого за-
даны уравнениями х-\-у = Ь, Зх — у = 0, х — Зу—
— 8 = 0; найти углы и площадь треугольника.
99.	Найти точку пересечения медиан и точку пере-
сечения высот треугольника, вершины которого
А (-4; 2), В(2; —5) и С(5; 0).
100.	Из точки А(—5; 6) выходит луч света под
углом ф = arctg(—2) к оси Ох и отражается от оси
Ох, а затем от оси Оу. Написать уравнения всех трех
лучей.
19
(2)
(2')
прямыми
§ 6.	Нормальное уравнение прямой. Расстояние
от точки до прямой. Уравнения биссектрис.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку
пересечения двух данных прямых
1°. Нормальное уравнение прямой
X COS Р + у sin Р — р = 0,	(1)
где р— длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала
координат на прямую, а р — угол наклона этого перпендикуляра
к оси Ох. Чтобы привести общее уравнение прямой Ах + By +
+ С = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить
на нормирующий множитель М — ± —-^====г, взятый со зна-
ком, противоположным знаку свободного члена С.
2°. Расстояние d от точки (х0; !/о| до прямой най-
дем, если в левую часть нормального уравнения прямой на место
текущих координат подставим координаты (х0; Уо) и полученное
число возьмем по абсолютной величине-.
d = | Л'о cos Р + уа sin р — р |,
или
_I Ахр 4- Бур 4- С |
~ л/А2 + в2
3°. Уравнения биссектрис углов между
Ах -J- By “I- С 0 и А\Х -|- В\у -|” Cj = 0:
Ах -]- By 4~ С _ ।	У + G
л/л‘+в2
4°. Уравнение пучка прямых, проходящих через
точку пересечения двух данных прямых:
а (Лх + By 4- С) р (AiX + В\у + Ci) = 0.	(4)
Можно положить а = 1, исключив этим из пучка (4) вто-
рую из данных прямых,
101.	Привести к нормальному виду уравнения пря-
мых: 1) Зх— Ау— 20 = 0; 2) х-(-у + 3 = 0; 3) у =
= kx + b.
102.	Построить прямую, если длина нормали р = 2,
а угол р наклона ее к оси Ох равен: 1) 45°; 2) 135°;
3) 225°; 4) 315°. Написать уравнения этих прямых.
103.	Найти расстояния от точек А (4; 3), В (2; 1) и
С(1; 0) до прямой Зх + 4у—10 = 0. Построить точки
и прямую.
104.	Найти расстояние от начала координат до
прямой 12х— 5у + 39 = 0,
20
105.	Показать, что прямые 2х— Зу = 6 и 4х —
•—бу = 25 параллельны, и найти расстояние между
ними.
Указание. На одной из прямых взять произвольную точку и
найти расстояние от нее до другой прямой.
106.	Найти k из условия, что прямая y = kx-\-_5
удалена от начала координат на расстояние d = V5 *
107.	Написать уравнение геометрического места
точек, удаленных от прямой 4х— Зу = 0 на расстоя-
ние d = 4.
108.	Составить уравнение прямой, удаленной от
точки А (4; —2) на расстояние d—4 и параллельной
прямой 8х— 15у = 0.
109.	Написать уравнения биссектрис углов между
прямыми 2х + Зу = 10 и Зх + 2у = 10.
ПО. Написать уравнения биссектрис углов между
прямыми Зх + 4у = 12 и у = 0.
111.	Написать уравнение траектории точки Л'1(х;у),
которая при своем движении остается втрое дальше
от прямой у = 2х — 4, чем от прямой у = 4 — 2х.
112.	Написать уравнение прямой, проходящей че-
рез точку М пересечения прямых 2х + у + 6 = 0 и
Зх + 5у—15 = 0 и через точку 7V(1,—2) (не находя
точки М).
113.	Написать уравнение прямой, проходящей че-
рез точку М пересечения прямых 5х — у+10 = 0 и
8х + 4у + 9 = 0 и параллельной прямой х + Зу = 0
(не находя точки ЛГ).
114.	Найти длину высоты BD в треугольнике с
вершинами Л(—3; 0), В(2; 5) и С(3; 2).
115.	Написать уравнение прямой, проходящей че-
рез точку Д(2; 4) и удаленной от начала координат
на расстояние d = 2.
116.	Проверить, что точки Л(—4; —3), В(—5; 0)\
С (5; 6) и Ь (1; 0) служат вершинами трапеции, и найти
ее высоту.
117.	Через начало координат проведена прямая на
одинаковом расстоянии от точек А (2; 2) и В (4; 0).
Найти это расстояние.
118.	Написать уравнения геометрического места
точек, удаленных от прямой х + 2у — 5 = 0 на рас-
стояние, равное •
21
119.	Написать уравнение траектории точки М(х;у),
которая при своем движении остается вдвое дальше
от прямой у = х, чем от прямой у — —х.
120.	Написать уравнение прямой, проходящей че-
рез точку М пересечения прямых 2х — Зу 5 —- 0 и
Зх + у — 7 = 0 и перпендикулярной к прямой у — 2х
(не находя точки М).
§ 7.	Смешанные задачи на прямую
121.	Через начало координат провести прямую, об-
разующую с прямыми х-]-у — аих = 0 треугольник
площадью а2.
122.	Даны точки Л(—4; 0) и .6(0; 6). Через сере-
дину отрезка АВ провести прямую, отсекающую на
оси Ох отрезок, вдвое больший, чем на оси Оу.
123.	Даны точки А(—2; 0)и В (2; —2). На отрезке
ОА построен параллелограмм OACD, диагонали ко-
торого пересекаются в точке В. Написать уравнения
сторон, диагоналей параллелограмма и найти угол
CAD.
124.	Найти углы и площадь треугольника, образо-
ванного прямыми у ----- 2х, у = —2х и у = х + Ь.
125.	Из начала координат проведены две взаимно
перпендикулярные прямые, образующие с прямой
2х + у = а равнобедренный треугольник. Найти пло-
щадь этого треугольника.
126.	Найти внутренние углы треугольника, если
даны уравнения его сторон: (ЛВ)х— Зу + 3 = 0
и (ЛС)х + Зу-(-3 = 0 и основание D(—1; 3) высо-
ты АО.
127.	Даны уравнения боковых сторон равнобедрен-
ного треугольника Зх + у = 0 и х— Зу == 0 и точка
(5; 0) на его основании. Найти периметр и площадь
треугольника.
128.	В треугольнике АВС даны: 1) уравнение сто-
роны (АВ) Зх + 2у=12; 2) уравнение высоты
(ВМ)х + 2у = 4; 3) уравнение высоты (АМ)4х + у =
= 6, где М— точка пересечения высот. Написать урав-
нения сторон ЛС, ВС и высоты СМ.
129.	Две стороны параллелограмма заданы урав-
нениями у = х — 2 и 5y = x-(-6. Диагонали его пере-
секаются в начале координат. Написать уравнения
двух других сторон параллелограмма и его диаго-
налей,
22
130.	Дан треугольник с вершинами Л(0; —4),
В(3; 0) и С(0; 6). Найти расстояние вершины С от
биссектрисы угла А.
131.	Написать уравнение траектории точки М(х-,у),
движущейся так, что сумма расстояний от нее до пря-
мых у== 2х и у = —х/2 остается постоянной и рав-
ной V 5.
132.	Построить области, координаты точек кото-
рых удовлетворяют неравенствам:
1) х — 2 <Z. у и х > 0; 2) —2 у х 2;
3 ) 2 < 2х -j- у < 8, х > 0 и у > 0.
133.	Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы
уравнениями 2х—у + 5 = 0 и х — 2у + 4 = 0, диаго-
нали его пересекаются в точке М(1; 4). Найти длины
его высот.
134.	Найти вершины прямоугольного равнобедрен-
ного треугольника, если дана вершина прямого угла
С(3; —1) и уравнение гипотенузы Зх — у + 2 = 0.
135.	Даны две вершины треугольника Л(—4; 3) и
В(4; —1) и точка пересечения высот Л1(3; 3). Найти
третью вершину С.
136.	Вычислить координаты вершины ромба, если
известны уравнения двух его сторон: х + 2у = 4 и
% + 2у = 10, и уравнение одной из его диагоналей:
у = % + 2.
137.	Составить уравнения сторон треугольника,
зная одну его вершину А (0; 2) и уравнения высота
(ВМ)х А- у = 4 и (СМ)у — 2х, где Л4 — точка пересе-
чения высот.
138.	Даны прямая х + 2у — 4 = 0 и точка Л (5; 7)'.
Найти; 1) проекцию В точки А на данную прямую;
2) отражение С точки А в данной прямой.
Указание. Написав уравнение перпендикуляра АВ и решив
его совместно с уравнением данной прямой, найдем точку В, ко-
торая есть середина АС.
,139. Дана прямая 2х + У — 6 = 0 и на ней две точ-
ки А и В с ординатами Уа = 6 и ув — —2. Написать
уравнение высоты AD треугольника АОВ, найти ее
длину и Z.DAB.
§ 8.	Окружность
Уравнение окружности с центром в точке С (а; Ь) и
радиусом, равным R-.
(х — а)2 + (у — Ь)2 =/?’.	(1)
23
Если в уравнении (1) раскрыть скобки, то оно примет вид
х2 + у2 + тх + пу + р ~ 0.
(2)
Чтобы
(1), нужно
раты:
от уравнения (2) опять перейти к уравнению вида
в левой части уравнения (2) выделить полные квад-
2
2 т2 п2
= — + — ~Р-
(3)
140.	Написать уравнение окружности с центром
С(—4; 3), радиусом R = 5 и построить ее. Лежат ли
на этой окружности точки Л(—1; —1), 8(3; 2),
0(0; 0)?
141.	Дана точка (—4; 6). Написать уравнение
окружности, диаметром которой служит отрезок
О А.
142.	Построить окружности: 1) х2 Д- у2 — 4х + бу —
— 3 = 0; 2) х24-у2 —8х = 0; 3) х2 + у24-4у = 0.
143.	Построить окружность х2 + у2 + 5х = 0, пря-
мую х -Н у = 0 и найти точки их пересечения.
144.	Написать уравнение окружности, касающейся
осей координат и проходящей через точку А (1; 2).
145.	Н айти угол между радиусами окружности
х2 Д- у2 Д- 4х— 6у = 0, проведенными в точки пересе-
чения ее с осью Оу.
146.	Написать уравнение окружности, проходящей
через точки А (—1; 3), 8(0; 2) и С(1; —1).
Указание. Написать уравнение искомой окружности в виде
х2 + у2 + тх + пу + р = 0, подставить в него координаты каж-
дой точки и затем найти т, пир.
147.	Написать уравнение окружности, проходящей
через точки пересечения окружности х2 + у2 + 4х—
— 4у = 0 с прямой у =— хи через точку Л (4; 4).
148.	Определить область расположения кривой
у = — -yj— х2 — 4х. Построить кривую.
149.	Написать уравнения касательных к окруж-
ности х2 4-у2 — 8х — 4у 4-16 = 0, проведенных из на-
чала координат.
150.	Дана точка А (а; 0). Точка М движется так,
что в ЛОАТ4 угол ОМА остается прямым. Опреде-
лить траекторию движения точки М.
151.	Даны точки Л(—6; 0) и .8(2; 0). Найти гео-
метрическое место точек, из которых отрезки ОА и
ОВ видны под равными углами.
24
152.	Определить траекторию точки ЛЦх; у), дви-
жущейся так, что сумма квадратов расстояний от нее
до точек А(—а; 0), В(0;а) и С(а;0) остается рав-
ной За2.
153.	Определить траекторию точки М(х;у), дви-
жущейся так, что сумма квадратов расстояний от
нее до биссектрис координатных углов остается рав-
ной а2.
154.	Дана окружность х2 у2 — а2. Из ее точки
Л (а; 0) проведены всевозможные хорды. Определить
геометрическое место середин этих хорд.
155.	Даны точки Л(—3; 0) и В(3; 6). Написать
уравнение окружности, диаметром которой служит от-
резок АВ.
156.	Найти центры и радиусы окружностей: 1) х2+
+ У2 — 6x-f-4y— 23 = 0;	2) х2 + у2 + 5х — 7у Н-
+ 2,5 = 0; 3) х2 + у2 -|- 7у = 0. Построить окруж-
ности.
157.	Окружность касается оси Ох в начале коор-
динат и проходит через точку Д(0; —4). Написать
уравнение окружности и найти точки пересечения ее
с биссектрисами координатных углов.
158.	Написать уравнение окружности, проходящей
через начало координат и через точки пересечения
прямой х + у + а = 0 с окружностью х2 + у2 = а2.
159.	Написать уравнения касательных, проведен-
ных из начала координат к окружности, проходящей
через точки Д(1; —2), В(0; —1) и С(—3; 0).
160.	Найти угол между радиусами окружности
х2 + У2 — 4х + бу— 5 = 0, проведенными в точки пе-
ресечения ее с осью Ох.
161.	Показать, что точка Л(3; 0) лежит внутри
окружности х2 + у2 — 4х + 2у + 1 = 0, и написать
уравнение хорды, делящейся в точке А пополам.
Указание. Искомая хорда перпендикулярна к СА, где С —
центр окружности.
162.	Точка М(х;у) движется так, что сумма квад-
ратов расстояний от нее до начала координат и до
точки Д(—а; 0) остается равной а2. Определить тра-
екторию движения точки Л4.
163.	Дана окружность х2 + у2 = 4. Из точки ее
Л(—2; 0) проведена хорда АВ и продолжена на рас-
25
стояние ВМ=АВ. Определить геометрическое место
точек М.
164.	Отрезок АМ=а перемещается по плоскости
хОу, оставаясь параллельным Ох, так, что левый ко-
нец его А скользит по окружности х2 + у2 = а2. Опре-
делить траекторию движения точки М.
§ 9.	Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сум-
ма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F и
Ft (фокусов) есть постоян-
ная величина 2а, большая
i\F.
Рис. 1
Каноническое (простей'
шее) уравнение эллипса
Эллипс, заданный урав-
нением (1), симметричен от-
носительно осей координат
(рис. 1). Параметры а н b
называются полуосями эл-
липса. Пусть а~>Ь, тогда фо-
кусы F и Ft находятся па оси
Ох на расстоянии с = Vа2 — Ь2 от центра. Отношение — = е < 1
называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки Л1(х;
у) эллипса до его фокусов (фокальные радиус-векторы) опреде-
ляются формулами
(2)
г = а — ех, п = а + гх.
Если же а < Ь, то фокусы находятся на оси Оу, c=-^Jb2 — а2,
165.	Построить эллипс x2+4(/2= 16, найти его фо-
кусы и эксцентриситет.
166.	Написать каноническое уравнение эллипса,
зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а
малая полуось b = 3; 2) большая полуось а = 6, а
эксцентриситет е = 0,5.
167.	Найти малую полуось b и эксцентриситет е
эллипса, имеющего большую полуось а — 5 и пара-
метр с, равный: 1) 4,8; 2) 4; 3) 3; 4) 1,4; 5) 0. По-
строить каждый из эллипсов.
168.	Земля движется по эллипсу, в одном из фоку-
сов которого находится Солнце. Наименьшее расстоя-
ние от Земли до Солнца равно приблизительно
147,5 миллиона километров, а наибольшее 152,5 мил-
26
Лиона километров. Найти большую полуось и эксцен-
триситет орбиты Земли.
169.	Эллипс, симметричный относительно осей ко-
ординат, проходит через точки М (2; д/3) и В(0; 2).
Написать его уравнение и найти расстояния от точки
М до фокусов.
170.	Эллипс, симметричный относительно осей ко-
ординат, фокусы которого находятся на оси Ох, про-
ходит через точку М (—4; д/21) и имеет эксцентри-
ситет е = -^-. Написать уравнение эллипса и найти
фокальные радиус-векторы точки М.
171.	Найти длину хорды эллипса х2 + 2у2=18,
делящей угол между осями пополам.
172.	Найти эксцентриситет эллипса, если расстоя-
ние между фокусами равно расстоянию между кон-
цами большой и малой полуосей.
173.	В эллипс х2 + 4р2 = 4 вписан правильный
треугольник, одна из вершин которого совпадает с
концом большой полуоси. Определить координаты
двух других вершин треугольника.
Указание. Написать уравнение одной из сторон, имеющей на-
клон k = tg 30°, и найти точки ее пересечения с эллипсом.
174.	На эллипсе 9х2 + 25у2 = 225 найти точку, рас-
стояние от которой до правого фокуса в четыре раза
больше расстояния от нее до левого фокуса.
175.	Ординаты всех точек окружности х2 + у2 =*
= 36 сокращены втрое. Написать уравнение получен-
ной новой кривой.
176.	Определить траекторию точки М, которая
при своем движении остается вдвое ближе к точке
F(—1; 0), чем к прямой х ——4.
177.	Отрезок АВ постоянной длины «+ b движет-
ся так, что его конец А скользит по оси Ох, а конец
В — по оси Оу. Определить траекторию движения
точки М отрезка, делящей его на части ВМ = а и
МА = b (эллиптический циркуль Леонардо да Винчи ).
178.	Даны окружности х2 А~У2 = Ь2 и х2 + у2 =
= a2(b < а). Произвольный луч ОВА пересекает их
соответственно в точках В и Л, из которых прове-
дены прямые, параллельные осям координат, до пе-
ресечения их в точке М. Определить геометрическое
место точек М,
27
179.	Написать простейшее уравнение эллипса, у
которого расстояния от одного из фокусов до концов
большой оси равны 5 и 1.
180.	Эллипс, симметричный относительно осей ко-
ординат, проходит через точки М(2 д/3 ; д/6) и
А (6; 0). Написать его уравнение, найти эксцентриси-
тет и расстояния от точки Л4 до фокусов.
181.	Найти длину хорды эллипса -р-~ 1-
направленной по диагонали прямоугольника, по-
строенного на осях эллипса.
182.	Наптч общче точки элтшеа x2-j-4'/2 = 4 и
окружности, проходящей через фокусы эллипса и
имеющей центр в его «верхней» вершине.
183.	На прямой х = —5 найти точку, одинаково
удаленную от «левого» фокуса и от «верхней» вер-
шины эллипса х2 + 5//2 = 20.
184.	На эллипсе х2 -}- 5//2 — 20 найти точку, ра-
диус-векторы которой перпендикулярны.
Указание. Искомые точки суть точки пересечения с эллипсом
окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр
в начале координат.
185.	Абсциссы точек окружности х2 + у2 = 4 уве-
личены вдвое. Определить полученную кривую.
186.	Определить траекторию точки М, которая при
своем движении остается втрое ближе к точке А(1;0),
чем к прямой х — 9.
§ 10.	Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, раз-
ность расстояний от каждой из которых до двух данных точек Р
и Pi (фокусов) есть постоянная величина 2а (0 < 2а < АГ).
Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы
Гипербола, заданная уравнением (1), симмметрпчпа относи-
тельно осей координат (рис. 2). Она пересекает ось Ох в точках
А(а; 0) и 4|(—а; 0)—вершинах гиперболы и не пересекает ось
Оу. Параметр а называется вещественной полуосью, b — мнимой
полуосью. Параметр с = д/а2 + Ь2 есть расстояние от фокуса до
_ с <
центра. Отношение — = е > 1 называется эксцентриситетом ги-
. г,	b
перболы. Прямые у = ± — х называются асимптотами гипер-
28
болы. Расстояния от точки М(х- у) гиперболы до ее фокусов (фо-
кальные радиус-векторы) определяются формулами
г = | ex — а I, Г| = | ех + а |.
(2)
Гипербола, у которой а = Ь, называется равносторонней, ее
уравнение х2— у1 = а1, а уравнения асимптот у = ±х. Гипер-
/>	.,2	,,2
ними.
187.	Построить гиперболу х2— 4у2 = 16иее асимп-
тоты. Найти фокусы, эксцентриситет и угол между
асимптотами.
188.	На гиперболе х2— 4г/2 = 16 взята точка М
с ординатой, равной 1. Найти расстояние от нее до
фокусов.
189.	Написать каноническое уравнение гиперболы,
зная, что: 1) расстояние между фокусами 2с — 10, а
между вершинами 2а — 8; 2) вещественная полуось
« = 2^5, а эксцентриситет е = -д/1,2.
190.	Гипербола симметрична относительно осей
координат, проходит через точку М (б; —2-^2) и
имеет мнимую полуось b = 2. Написать ее уравнение
и найти расстояния от точки М до фокусов.
191.	Написать уравнение гиперболы, имеющей вер-
шины в фокусах, а фокусы — в вершинах эллипса
х2 . у2 ___.
25 "г 9 — 1'
192.	Написать уравнение гиперболы, имеющей экс-
центриситет е = д/2, проходящей через точку (2а;
о д/3) и симметричной относительно осей координат.
193.	Построить гиперболу у2 = а2 + х2, найти ко-
ординаты ее фокусов и угол между асимптотами.
29
194.	Написать уравнения касательных к гиперболе
х2— 4у2 — 16, проведенных из точки А (0; —2).
195.	Найти расстояние от фокуса гиперболы
2	ц 2
-^2----' до ее асимптот и угол между асимпто-
тами.
196.	Найти сторону квадрата, вписанного в гппер-
X2 /у2
болу ------ty~ = 1’ и исследовать, в какие гиперболы
можно вписать квадрат.
197.	Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота
которой составляет с вещественной осью угол: 1)60°;
2) а.
198.	Определить область расположения кривой
у — — д/9 + х2. Построить кривую.
199.	Определить траек-
торию точки М(х; у), кото-
рая при своем движении
остается вдвое ближе к пря-
мой х=1, чем к точке
F(4; 0).
200.	Даны точки А (— 1; 0)
и В (2; 0). Точка Л1 дви-
жется так, что в ДДЛ1В
угол В остается вдвое боль-
ше угла А. Определить тра-
екторию движения.
201.	Дана точка Л (а; 0).
По оси Оу движется точ-
ка В. На прямой БЕ, па-
раллельной Ох, откладываются отрезки ВМ и BMlt
равные АВ. Определить геометрическое место точек
М и Л4[.
202.	Даны прямыех = ±Ь и х = ±а (Ь < а). Про-
извольный луч О А (рис. 3) пересекает прямую х=Ь
(или х =—Ь) в точке В и прямую х—а (или х —
— —а) в точке А. Радиусом О А описана дуга, пере-
секающая Ох в точке С. Из точек В и С проведены
прямые, параллельные соответственно Ох и Оу, до
пересечения в точке М. Определить геометрическое
место точек М.
203.	Написать каноническое уравнение гиперболы,
зная, что расстояния от одной из ее вершин до фоку-
сов равны 9 и 1.
30
204.	Найти точки пересечения асимптот гиперболы
х2—Зу2 = 12 с окружностью, имеющей центр в пра-
вом фокусе гиперболы и проходящей через начало ко-
ординат.	_
205.	Гипербола проходит через точкуМ(б; 3 д/5/2)»
симметрична относительно осей координат и имеет ве-
щественную полуось а = 4. Написать уравнения пер-
пендикуляров, опущенных из левого фокуса гипер-
болы на ее асимптоты.
206.	На гиперболе 9х2—16у2=144 найти точку,
расстояние от которой до левого фокуса вдвое мень-
ше, чем до правого.
207.	На гиперболе х2— у2 = 4 найти точку, фо-
кальные радиусы-векторы которой перпендикулярны
(см. указание к задаче 184).
208.	Точка М делит расстояние между фокусами
гиперболы 9х2—16у2 — 144 в отношении F[M:MF=>
= 2:3, где Ft— левый фокус гиперболы. Через точку
М проведена прямая под углом 135° к оси Ох. Найти
точки пересечения этой прямой с асимптотами гипер-
болы.
209.	Определить траекторию точки М, которая
движется так, что остается вдвое дальше от точки
F(—8; 0), чем от прямой х =—2.
210.	Даны точки А(—а; 0) и В (2а; 0). Точка М
движется так, что угол МАВ остается втрое меньше
внешнего угла АМС треугольника АМВ. Определить
траекторию движения точки М.
§ 11. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, оди-
наково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой
(директрисы).
Каноническое уравнение параболы имеет два вида:
1)	у2 = 2рх— парабола симметрична относительно оси Ох
(рис. 4);
2)	х2 = 2ру — парабола симметрична относительно оси Оу
(рис. 5).
В обоих случаях вершина параболы, т. е. точка, лежащая на
оси симметрии, находится в начале координат.
Парабола
у2 = 2рх
имеет фокус F б) н директрису х =-------------фокальный
радиус-вектор точки М (х; у) на ней г = х
31
Парабола
и директрису у =
имеет фокус
х2 = ‘ipy
2 ’
фокальный
211.	Составить уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от точки /'(О; 2) и от пря-
мой у =4. Найти точки пересечения этой кривой с
осями координат и построить ее.
212.	Составить уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от начала координат и
от прямой х = —4. Найти точки пересечения этой кри-
вой с осями координат и построить ее.
213.	Построить параболы, заданные уравнениями:
1) у2 == 4%; 2) у2 — —4х; 3) х2 == 4у; 4) х2 — —4у, а
также их фокусы и директрисы и написать уравнения
директрис.
214.	Написать уравнение параболы: 1) проходя-
щей через точки (0; 0) и (1; —3) и симметричной
относительно оси Ох; 2) проходящей через точки
(0; 0) и (2; —4) и симметричной относительно оси
Оу.
215.	Канат подвесного моста имеет форму пара-
болы (рис. 6). Написать ее уравнение относительно
указанных на чертеже осей, если ирогиб каната
ОА = а, а длина пролета ВС == 2Ь.
216.	Написать уравнение окружности, имеющей
центр в фокусе параболы у2 = 2рх и касающейся ее
директрисы. Найти точки пересечения параболы и ок-
ружности.
217.	Написать уравнение параболы и ее директ-
рисы, если парабола проходит через точки пересече-
32
ния прямой х + у = 0 и окружности х2 + У2 + 4у = О
и симметрична относительно оси Оу. Построить ок-
ружность, прямую и параболу.
218.	На параболе у2 = 6х найти точку, фокальный
радиус-вектор которой равен 4,5.
219.	Зеркальная поверхность прожектора образо-
вана вращением параболы вокруг ее оси симметрии.
Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 10 см. На ка-
ком расстоянии от вершины параболы нужно поме-
стить источник света, если для отражения лучей па-
раллельным пучком он должен быть в фокусе пара-
болы?
220.	Определить область расположения кривой
у— — д/ — х. Построить кривую.
221.	Из вершины параболы у2 = 2рх проведены
всевозможные хорды. Написать уравнение геометри-
ческого места середин
этих хорд.
222.	Определить гео-
метрическое место цен-
тров окружностей, касаю-
щихся окружности х2 +
у2 = 2ах и оси Оу.
223.	Даны точки
Д(0; а) и В (а; а). Отрез-
ки ОА и АВ разделены
на п равных частей точ-
ками Л], Л2, /13, ... и
Bi, В2, В3, ... (рис. 7).
Пусть Mk — точка пересе-
чения луча OBk с прямой
AkMh || Ох. Показать, что
Рис. 7
такие точки Мк лежат на
параболе у2 == ах.
Построить этим приемом параболы у2 = 4х; у2 =»
.«= 5х; у2 = Зх. 
2 В. П, Минорский
33
224.	Составить уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от начала координат и
от прямой х = 4. Найти точки пересечения этой кри-
вой с осями координат и построить ее.
225.	Составить уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от
прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пере-
сечения ее с Ох и построить ее.
226.	Написать уравнение параболы: 1)' проходя-
щей через точки (0; 0) и (—1; 2) и симметричной
относительно оси Ох; 2) проходящей через точки
(0; 0) и (2; 4) и симметричной относительно оси Оу,
227. Написать уравнение параболы и ее директ-
рисы, если парабола проходит через точки пересече-
ния прямой у = х и окружности х2 + у2 + 6х = 0 и
симметрична относительно оси Ох. Построить пря-
мую, окружность и параболу.
228.	В параболу у2 = 2х вписан правильный тре-
угольник. Определить его вершины (см. указание к
задаче 173).
229.	Написать уравнения касательных к параболе
у2- = 8х, проведенных из точки А (0; —2).
230.	Через фокус параболы у2 = — 4х проведена
прямая под углом 120° к оси Ох. Написать уравнение
прямой и найти длину образовавшейся хорды.
§ 12.	Директрисы, диаметры и касательные
к кривым второго порядка
и*
1°. Директрисами эллипса—-7-+-^-== 1 (при а > Ь)
х? у2
и гиперболы —j---называются прямые, параллельные
_	а
оси Од и отстоящие от нее на расстояние—, где е — эксцентри-
ситет кривой.
Уравнения директрис:
Х = ±~.	(1)
Свойство директрис: отношение расстояний от точки
кривой до фокуса и до соответствующей директрисы равно экс-
центриситету кривой
34
2°. Диаметром кривой второго порядка на-
зывается геометрическое место середин параллельных хорд. Диа-
метрами эллипса и гиперболы оказываются отрезки и лучи пря-
мых, проходящих через центр, а диаметрами параболы — лучи,
параллельные ее оси.
Уравнение диаметра, делящего пополам хорды с на-
клоном tg а = k, будет
х2 у2
для кривых ±	= 1:
Ь2
^~^Х' <3)
для параболы у2 ~ 2рх:
(4)
Два диаметра эллипса и гиперболы, из которых каждый де-
лит пополам хорды, параллельные другому, называются взаимно
сопряженными. Их угловые коэффициенты k и k\ связаны зависи-
мостью kk\ =--^5- (у эллипса) и kkt = -^5- (у гиперболы),
3°. Уравнения касательной:
( X2 , у2 ,\ хха , ууа
к эллипсу (^—+—=1J —=
.	( X2 у2 ,\ ХХп УУо
к гиперболе	= 1)	= 1;
к параболе (у2 = 2рх) уу0 = р(х + Хо), где (х0; //о) — точка
касания.
231.	Построить ЭЛЛИПС +	= ег0 Дирек-
трисы и найти расстояния от точки эллипса с абсцис-
сой х =—3 до правого фокуса и правой директрисы.
232.	Построить гиперболу ----^~= 1, ее ди-
ректрисы и найти расстояния от точки гиперболы с
абсциссой х = 5 до левого фокуса и левой дирек-
трисы.
233.	Написать каноническое уравнение эллипса,
4
директрисами которого служат прямые х — ± —и
большая полуось которого равна 2.
234.	Написать уравнение гиперболы, асимптоты ко-
торой у = а директрисы х — ± дА)-
235.	Построить эллипс х2 + 4у2 = 16, диаметр
у=-^- и сопряженный ему диаметр и найти длины ai
и bi построенных полудиаметров.
2*
35
236.	Построить гиперболу х2— 4у2 = 4, диаметр
у = —х и сопряженный ему диаметр и найти угол
между диаметрами.
237.	Найти длину того диаметра эллипса
х2 . у2 ,
-^2- + -fr — 1 > который равен своему сопряженному
диаметру.
238.	Асимптота гиперболы ---1 составляет
с осью Ох угол 60°. Написать уравнение диаметра,
сопряженного с диаметром у — 2х. Выбрав произ-
вольно отрезок а, построить кривую, диаметры и
хорды, параллельные данному диаметру.
239.	Определить геометрическое место середин
хорд параболы у2 = 4х, составляющих с Ох угол 45°.
240.	Дан эллипс -^-4--^-=1. Через точку
(—2; 1) провести хорду, делящуюся в этой точке по-
полам.
241.	Дана парабола у2 =—4х. Через точку
(—2; —1) провести хорду, делящуюся в этой точке
пополам.
242.	На примере задачи 235 проверить теорему
Аполлония: 4-— а2Ь2 и albl sin <р = ab, где aL
и Ьу — длины сопряженных полудиаметров, а и b —1
полуоси эллипса, а <р — угол между сопряженными
диаметрами.
243.	Написать уравнения касательных к кривым:
1)	х2 + 4у2= 16;	2) Зх2 — у2 — 3;	3) у2 = 2х
в точке с абсциссой х0 == 2.
244.	Показать, что если прямая Ах 4- By 4~ С = 0
11^	Л Л
есть касательная к эллипсу —4-	= 1, то А2а2 +
+ в2Ь2 = С2.
Указание. Из пропорциональности коэффициентов уравнений
= 1 к Ах + By + С = 0 определить х0 и уо и под-
х2 . У2 ,
ставить их в уравнение	Т—р" = 1 
245.	Написать уравнения касательных к эллипсу
х2 4- 4у2 = 20, параллельных биссектрисе первого ко-
ординатного угла.
246.	Написать уравнения касательных к эллипсу
х2 4~ 2у2 = 8, проведенных из точки (0; 6),
36
247.	Написать уравнение касательной к эллипсу
= 1, отсекающей на осях координат равные
положительные отрезки.
248.	Показать, что если прямая Ах -j- By -j- С = 0
х2
есть касательная к гиперболе -----т0 ^а2 —
— В2Ь2 = С2 (см. указание к задаче 244).
249.	Написать уравнения касательных к гиперболе
4х2 — 9у2 = 36, перпендикулярных к прямой х +
+ 2у = 0.
250.	Доказать, что нормаль к эллипсу есть бис-
сектриса угла между радиус-векторами соответствую-
щей точки эллипса.
251.	Доказать, что касательная к гиперболе есть
биссектриса угла между радиус-векторами точки ка-
сания.
252.	Доказать, что лучи, выходящие из фокуса па-
раболы, отражаются от параболы по прямым, парал-
лельным ее оси.
Указание. Нужно написать уравнение нормали MN, найти точ-
ку N пересечения ее с осью параболы и доказать, что FM = FN,
где F — фокус параболы.
253.	Найти точки пересечения асимптот гиперболы
и2
-jg----9 = 1 с ее директрисами.
254.	Построить эллипс х2 + 4 у2 = 16, его диаметр
у = х и сопряженный ему диаметр и найти угол ме-
жду этими диаметрами.
255.	Определить геометрическое место середин
хорд гиперболы х2— Ьу2 = 16, составляющих угол 45°
с осью Ох.
256.	Дана гипербола 4х2— у2 =» 4. Через точку
(2; 2) провести хорду, делящуюся в этой точке по-
полам.
257.	На эллипсе х2 + 2у2 = 6 взята точка М с ор-
динатой 1 и отрицательной абсциссой. Найти угол ка-
сательной к эллипсу в точке М с прямой ОМ.
258.	Показать, что если прямая Ах + By + С = 0
есть касательная к параболе у2 = 2рх, то В2р = 2АС
(см. указание к задаче 244).
259.	Написать уравнение касательной к параболе
у2 = 8х, параллельной прямой х + у = 0.
37
§ 13. Преобразование декартовых координат.
Параболы у — ах2 + Ьх + с и х = ay2 -j- by 4- с.
Гипербола ху = k
1°. Координаты (х; у) в данной системе преобразуются к ко-
ординатам (X; У) в новой системе по формулам:
1) при параллельном сдвиге осей и перенесении начала ко-
ординат в точку 01 (а; 0)
х = Х + а,	y = Y + fr	(1)
2) при повороте осей на угол <р
х = X cos ср — У sin ф,	у — X sin ф + У cos ф. (2)
2°. Уравнение у = а(х — а)2 4~ 0 переносом начала коор-
динат в точку 0,1 (а; 0) приводится к виду У = аХ2 и, следова-
тельно, определяет параболу с вершиной О! (а; 0) и осью сим-
метрии, параллельной Оу (рис. 8). Уравнение у = ах2 + Ьх + с
выделением в правой части полного квадрата приводится к пре-
дыдущему и поэтому тоже определяет параболу. При а > 0 па-
рабола от вершины направлена «вверх», при а < 0 — «вниз».
3°. У р а в н е н и е ху = k при повороте осей координат на
угол ф = 45° приводится к виду X2 — У2 = 2k и, следовательно,
определяет равностороннюю гиперболу, асимптотами которой слу-
жат оси координат (рис. 9). Уравнение (х — а) (у — 0) = k пе-
реносом начала координат в точку (Л (а; 0) приводится к виду
ХУ = k и поэтому тоже определяет равностороннюю гиперболу.
260. 1) Точка А(3; 1) при параллельном сдвиге
осей координат получила новые координаты (2; —1).
Построить данные и смещенные оси координат и
точку А.
2) Найти острый угол поворота осей координат,
при котором точка А (2; 4) получит новую абсциссу 4.
Построить обе системы координат и точку А.
38
261. Перенесением начала координат упростить
уравнения:
1) ^4-0/4-
3) (у + 2)2 = 4 (х-3);	4) 2у = -(х4~2)2;
5) х2 + 4у2 - 6х + 8у = 3; 6) у2 - 8у = 4х;
7) х2 - 4у2 + 8х — 24у = 24; 8) х2 + 6х + 5 = 2у.
Построить старые и новые оси координат и кривые.
262.	Поворотом осей координат на 45° упростить
уравнения:
1) 5х2 - вху + 5у2=32; 2) Зх2 - 1Оху 4-Зу2 4-32=0.
Построить старые и новые оси координат и кривые.
263.	Построить по точкам кривую ху — —4 и по-
воротом осей на угол <р = —45° преобразовать урав-
нение.
264.	Переносом начала координат привести к виду
ху = k уравнения кривых: 1) ху — 2х = 6; 2) ху —
— 2х —у-)-8=0; 3) ху — х-[-2у — 6; 4) ху4*2х =
= 3у.
Указание. Уравнение ху + Ах + By + С = 0 можно написать
в виде (х + В)(у + А) = АВ — С.
265.	Построить параболы:
1)у = (х-2)2; 2) у = (х-2)2 + 3;
3)	у = (х + 2)2; 4) у = (х 4-2)2 — 3.
266.	Построить параболы:
1)	у = х2- 4x4-5; 2) у = х2 4-2x4-3;
3)	у = — х2 4- 2х — 2,
выделив в правых частях уравнений полные квад-
раты.
267.	Построить параболы:
1)	у = 4х — х2 и 2) 2у = 3 4- 2х — х2,
найдя их точки пересечения с осью Ох.
268.	Струя воды фонтана достигает наибольшей
высоты 4 м на расстоянии 0,5 м от вертикали, прохо-
дящей через точку О выхода струи. Найти высоту
струи над горизонталью Ох на расстоянии 0,75 м от
дочки О,
39
269.	Составить уравнение параболы, симметричной
относительно оси Оу и отсекающей на ней отрезок Ь,
а на оси Ох — отрезки а и —а.
Указание. В уравнении параболы вида у = Ax'1 + Вх 4- С
подставить координаты данных на параболе точек (—а; 0),
(а; 0) и (0; Ь) и затем найти Л, В и С.
270.	Парабола у = ах2 + Ьх + с проходит через
точки 0(0; 0), А(—1; —3) и В(—2; —4). Написать
уравнение окружности, диаметром которой служит от-
резок оси Ох, отсеченный параболой.
271.	На какой угол нужно повернуть оси коорди-
нат, чтобы исчез член, содержащий ху в уравнениях:
1) х2 - ху + у2 - 3 = 0; 2) 5х2 - 4хл/ + 2у2 - 24 = 0?
Построить старые и новые оси координат и кри-
вые.
272.	Определить траекторию движения пули, бро-
шенной под углом (р к горизонту с начальной ско-
ростью vq. Определить также дальность полета пули
и наивысшую точку траектории (сопротивлением воз-
духа пренебречь).
273.	Написать уравнение геометрического места
точек Л4(х; у), отношение расстояний от которых до
точки F(4; 0) к расстояниям до прямой х =—2
равно 2.
274.	Показать, что переносом начала координат
X1 ,	!/2	,
в левую	вершину	эллипса	+ -р-	—	1 или	в	пра-
^2	у2
вую	вершину	гиперболы	----ь^~	°®а УРавнения
приводятся к одинаковому виду: у2 = 2рх + qx2, где
/>2 2 .
Р = —. a q = е2 — 1 .
275.	По результатам задачи 274 определить экс-
центриситет и тип кривой: 1) у2 = х-^-х2; 2) У~~
—х-^-~х2; 3) у2=х. Построить кривые, найдя для
первых двух точки пересечения их с осью Ох и пара-
метры а и Ь.
276.	Выделением полных квадратов и переносом
начала координат упростить уравнения линий:
1)	2х2 + 5у2—12х+10г/+13 =0;
2)	х2 — у2 -|- 6х -)- Ау — 4 = 0;
40
3)	у2Д-4у = 2х;
4)	х2—10х = 4у—13.
Построить старые и новые оси и кривые.
277.	Поворотом осей координат на 45° упростить
уравнение Зх2 — 2ху -|- Зу2— 8 = 0. Определить коор-
динаты фокусов в старой системе координат.
278.	Написать уравнение окружности, диаметром
которой служит отрезок, отсекаемый на оси Ох пара-
болой у = 3— 2х— х2. Построить обе кривые.
279.	Написать уравнение окружности, диаметром
которой служит отрезок прямой х-фу = 6, отсечен-
ный гиперболой ху = 8. Построить все три линии.
280.	Точка А — вершина параболы у = х2 -ф 6х +
+ 5, В — точка пересечения параболы с осью Оу.
Написать уравнение перпендикуляра, восставленного
из середины отрезка АВ.
281.	Составить уравнение параболы, симметричной
относительно оси Ох и отсекающей на ней отрезок
—4, а на оси Оу — отрезки 4 и —4.
Указание. Уравнение параболы должно иметь вид х = а у2 +
+ с (почему?).
282.	Построить по точкам пересечения с осями ко-
ординат параболы:
1) Зу = 9 —х2; 2); у2 = 9 — Зх;
3)	у2 ~ 4 + х; 4) х2 = 4 + 2у.
283.	Написать уравнение геометрического места
точек Л4(х; у), отношение расстояний от которых до
точки Г(4;0) к'расстояниям до прямой х = 10 равно
1/2.
§ 14. Смешанные задачи на кривые второго порядка
284.	Написать уравнение окружности, диаметром
которой служит отрезок прямой — + ~ = 1, отсечен-
ный осями координат.
285.	Найти расстояние от центра окружности х2 +
+ у2 -ф ау = 0 до прямой у = 2 (а — х).
286.	Через центр окружности х2 + у2 = 2ах прове-
дена прямая, параллельная прямой хД-2у = 0 и пе-
ресекающая окружность в точках А и В. Найти пло-
щадь АДОВ.
287.	Показать, что геометрическое место точек М,
которые удалены в т раз дальше от данной точки Д,
41
чем от другой данной точки В, есть прямая при т = 1
и окружность при т У= 1.
288.	Отрезок АВ разделен на части АО = а и
ОВ == Ь. Показать, что геометрическое место точек,
из которых отрезки АО и ОВ видны под равными
углами, есть прямая при а = b и окружность при
а =А= b (аполлониева окружность).
289.	Определить траекторию точки М(х;у), дви-
жущейся так, что сумма квадратов расстояний от нее
до прямых у = kx и у =—kx остается постоянной и
равной а2.
290.	Эллипс, симметричный относительно оси Ох
и прямой х =—5, проходит через точки (—1; 1,8) и
(—5; 3). Написать уравнение эллипса и построить его.
291.	Найти площадь равностороннего треуголь-
ника, вписанного в гиперболу х2— у2 = а?-.
292.	Найти угол между диагоналями прямоуголь-
ника, вершины которого находятся в точках пересе-
чения эллипса х2 + Зг/2 = 12Z2 и гиперболы х2 — Зу2 —
= 6/2.
293.	Окружность с центром в начале координат
проходит через фокусы гиперболы х2 — у2 = а2. Найти
точки пересечения окружности с асимптотами гипер-
болы.
294.	Построить гиперболы ху =—4 и х2 — у2 = 6
и найти площадь ЛАВС, где А и В — вершины двух
пересекающихся ветвей гипербол, а С — точка пере-
сечения двух других ветвей гипербол.
295.	Доказать, что произведение расстояний любой
точки гиперболы от ее асимптот есть величина по-
а2Ь2
стоянная, равная —-
296.	Найти длину и уравнение перпендикуляра,
опущенного из фокуса параболы у =-----g~ на пря-
мую, отсекающую на осях координат отрезки а =
== Ь = 2.
297.	Построить эллипс х2 4- 4#2 = 4 и параболу
х2 = Ъу и найти площадь трапеции, основаниями ко-
торой служат большая ось эллипса и общая хорда
эллипса и параболы.
298.	Из фокуса параболы у2 ~2рх, как из центра,
описана окружность так, что общая хорда кривых
одинаково удалена от вершины и от фокуса пара-
болы. Написать уравнение окружности.
42
299.	Найти длину и уравнение перпендикуляра,
опущенного из вершины параболы by = х22ах-\-
+ а2 + Ь2 на прямую, отсекающую на осях координат
отрезки а и Ь.
300.	Построить по точкам пересечения с осями ко-
ординат параболы 4г/=12 — х2 и 4х = 12— у2 и
найти длину их общей хорды.
301.	Найти площадь четырехугольника с верши-
нами в точках пересечения параболы у = 4— х2 с
осью Ох и с прямой у — Зх.
302.	Написать уравнение окружности, проходящей
через начало координат и через точки пересечения
параболы У — —-----2х + а с осями координат.
303.	Дан эллипс х24-4у2 = 16. Из его вершины
А (4; 0) проведены всевозможные хорды. Определить
геометрическое место середин этих хорд и построить
кривые.
304.	Определить траекторию точки Л1(х; у), дви-
жущейся так, что разность квадратов расстояний от
нее до биссектрис координатных углов остается рав-
ной 8.
305.	Составить уравнение геометрического места
центров окружностей, проходящих через точку А(3;4)
и касающихся оси Ох.
306.	Выделением полных квадратов и переносом
начала упростить уравнение линии х2 — у2 — 4х—
— бу — 9 = 0. Построить старые и новые оси коорди-
нат и кривую.
307.	Найти геометрическое место середин фокаль-
ных радиус-векторов, проведенных из правого фокуса
ко всем точкам гиперболы -д----1-
308.	Написать уравнение эллипса, проходящего че-
рез точку А (а; —а), если фокусы его находятся в точ-
ках F(a; а) и Fi(—а; —а).
Упростить уравнение поворотом осей координат на
45°.
309.	Поворотом осей координат на угол
<р = arctg у- упростить уравнение линии Зх2 + 8ху —
— Зг/2 = 20. Построить старые и новые оси коорди-
нат и кривую.
310.	Написать уравнение геометрического места
точек, разность квадратов расстояний от которых до
43
прямой Зх + 4у — 0 и до оси Ох остается постоянной
и равной 2,4.
311.	Написать уравнение геометрического места
точек М(х-,у), отношение расстояний от которых
до точки F ( е +1’ ’ к Расстояниям до прямой
р
х = — . равно в.
8 (8 4-1) Г
312.	Построить области, координаты точек которых
удовлетворяют неравенствам:
1)	R2 < х2 4- у2 < 47?2 и х2 > Я2/4;
2)	х2 — у2 > а2 и х2 < 4а2;
3)	ху > а2 и | х 4- у | < 4а;
4)	2х < у2 + 4у и х2 + у2 + 4х + 4у < 0.
§ 15. Общее уравнение линии второго порядка
1°. Линией второго порядка называется линия, оп-
ределяемая уравнением 2-й степени, которое в общем виде можно
написать так:
Ах2 4- 2Вху 4- Су2 4- 2Dx 4- %Еу 4- F = 0.	(1)
Составим из коэффициентов уравнения (1) два определи-
теля:

А В D
ВСЕ
D Е F
Определитель Л называется дискриминантом уравнения (I),
а 6 — дискриминантом старших его членов. В зависимости от зна-
чений б и Д уравнение (1) определяет следующий геометриче-
ский образ:
	Д 0	Л = 0
д > 0	Эллипс (действительный или мнимый)	Точка
6 <0	Гипербола	Пара пересекающихся пря- мых
б =0	Парабола	Пара параллельных пря- мых (действительных или мнимых)
44
2°. П р ео б р а з о в а н ие уравнения (1) к центру.
_ Л 1^51,.
если о = 1g с г О’ т0 линия имеет центр, координаты которого
находятся из уравнений:
®'х (х, у) = 0, ф' (х, у) = 0,	(2)
где Ф(х, у)—левая часть уравнения (1). Перенеся начало в
центр О|(хо; у0) (рис. 10), приведем уравнение (1) к виду
Ах\ 4- 1Bxiyl + Су? + F{ = 0,	(3)
где
F^Dx. + Ey. + F = А.	(4)
3°. Преобразование уравнения (3) к осям
симметрии. Поворотом осей O,\Xt и Oiyi на некоторый угол <р
(рис. 10) уравнение (3) приводится к каноническому виду:
Л^ + С^ + Г^О.	(5)
Коэффициенты At и Ct являются корнями уравнения
X2 - (Л + С) X + б = 0.	(6)
Угол поворота <р находится по формуле
‘8Ф = Я^С-	(7)
4°. Преобразование уравнения линии вто-
рого порядка, не имеющей центра. Если 6 = 0, то
линия не имеет центра или не имеет определенного центра. Ее
уравнение можно тогда записать в виде
(ах + Ру)2 + 2Dx + 2Еу + F = 0.	(8)
45
Случай 1. D и Е пропорциональны а и (3: D — та, Е =
= т|3. Уравнение (2) примет вид (ах + fit/)2 + 2т(ах + Ру) +
+ F == 0, откуда
ах + Ру = — т ± -у] т2 — F — пара прямых.
С л у ч а й 2. D и Е не пропорциональны а и р. Уравнение (8)
можно переписать в виде
(ах + ру +	п)2 + 2т (рх — ау + у) = 0.	(9)
Параметры т, п и	q найдутся сравнением	коэффициентов
в уравнениях (8) и (9). Далее, приняв за ось 0{Х прямую
ах -]- Ру	+	п — 0, за ось	О1У прямую Рх — ay +	q = 0	(рис.	11),
,,	ах + Ру +	га	Рх — ау + у	_
найдем: Y =------ _	Х = ~------- J . После этого
-LW-L-. Ось OtX
уравнение (9) примет вид Y2 = 2рХ, где р
направляется в ту полуплоскость, в которой рх — ау + <7 имеет
знак, противоположный знаку т, как это следует из уравне-
ния (9).
313.	Выяснить геометрический смысл уравнений:
1)	4х2 — г/2 = 0; 2) 4х2 + г/2 = 0;
3)	х2 + у2 + 2х + 2 = 0;
4)	х2 + у2 — 6х — 8у + 25 = 0; 5) х2 + ху = 0;
6)	у2—16 = 0; 7) х2 — Зхг/4-2г/2 = 0.
314.	Найти центры и преобразовать к центру урав-
нения линий:
1)	2х2+Зу2-4х + 6у-.7 = 0;
2)	х2 — у2 — 4х + 2у — 4 = 0;
3)	2х2 + 5ху + 2у2 — 6х — Зу — 8 = 0.
315.	Поворотом осей координат преобразовать
уравнения к каноническому виду и построить кривые:
1)	5х2 — 4ху + 2г/2 = 24; 2) 2х2 + 4ху — у2= 12.
316.	Преобразовать к каноническому виду уравне-
ния и построить кривые:
1)	Зх2 - 2ху + Зу2 — 4х — 4у - 12 = 0;
2)	х2 — бху + у2 — 4х — 4у + 12 = 0.
317.	Преобразовать к каноническому виду уравне-
ния линий:
1)	х2 + 4ху + 4г/2 - 20х + Юг/ - 50 = 0;
2)	х2 — 4ху + 4г/2 — 6х -f- 12г/ -(-8 = 0
и построить их.
46
318.	По дискриминантам 6 и Л определить геомет-
рический смысл уравнений:
1)	х2-4ху + 3у2-8х + 14//+ 15 = 0;
2)	х2 + 2ху + 4у2 - 2х + 4у + 4 = 0;
3)	х2 + 4ху + 4у2 + Зх + бу + 2 = 0.
Решив первое и третье уравнения относительно у, по-
строить линии, определяемые этими уравнениями.
319.	Привести к каноническому виду уравнение
3^2__________4- 4
кривой у =-----— и построить ее.
320.	Написать уравнение кривой второго порядка,
имеющей центром точку 01(1; 2) и проходящей череа
начало координат
321.	Показать,
определяет дугу
найти ее вершину.
Указание. Повернуть оси координат на угол <р «в —45°.
322.	Написать уравнение геометрического места
точек Л1(х; у), отношение расстояния от каждой из
которых до точки F(m\n) к расстоянию от нее до
прямой xcosa + ysina — q = 0 равно е. Обозначив
коэффициенты полученного уравнения через А, В,
С....определить инварианты А + С й S =
и через точки ч /_и	_
что уравнение V х + д/ у = -\[~а
параболы, построить параболу и
А В
В С
323.	Выяснить геометрический смысл уравнений:
1)	х2 — 4^ = О',
2)	х2 + 2у2 + 4х - 8у + 12 = 0;
3)	х2 + бху —6у2 = 0.
824. Преобразовать к каноническому виду уравне-
ния и построить кривые:
1) х2 —ху + у2 —2х —2у — 2 = 0;
2) Зх2 + Юху + Зу2 — 12х — 12у + 4 = 0.
325.	Преобразовать к каноническому виду уравне-
ния:
1)	х2 — 2ху + у2 — 10х — бу + 25 = 0;
2)	х2 + 2ху + у2 — 4х — 4у 4- 3 = 0
и построить линия, изображаемые ими,
47
326.	По дискриминантам 6 и А определить геомет-
рический смысл уравнений:
1)	х2 — 2ху у2 — 4х + 4у 4- 3 — 0;
2)	х2 — 2ху — Зу2 4- 6х 4- 1 Оу — 7 = 0.
Решив каждое уравнение относительно у, построить
линию, определяемую им.
327.	Написать уравнение геометрического места
точек М (х; у), отношение расстояний от которых до
точки F(3; 3) к расстояниям до прямой х4~у = 0
равно: 1) е = ~~; 2) е = 2.
328.	Написать уравнение геометрического места
точек М(х; у), одинаково удаленных от точки F(a/2;
а/2) и от прямой х 4- у = 0, и привести его к кано-
ническому виду.
329.	Написать уравнение геометрического места
точек, разность квадратов расстояний от которых до
прямой х — 2у = 2 и до оси Ох остается постоянной
и равной 3,2. Преобразовать его к каноническому
виду и построить кривую.
§ 16.	Полярные координаты
Пусть на плоскости дана точка О — полюс и луч ОР—по-
лярная ось (рис. 12). Тогда положение точки М на плоскости
определится:
1) полярным углом <р = ZMOP’,
2) радиус-вектором г ОМ.
то декартовы координаты
При изучении уравнений, связываю-
щих г и <р, бывает полезно рассмат-
ривать полярные координаты фиг
принимающими какие угодно поло-
жительные и отрицательные значе-
ния. При этом отрицательные углы
<р отсчитываются по часовой стрелке,
а отрицательные г откладываются
не по лучу, а по его продолжению
за полюс.
Если принять полюс за начало
декартовых прямоугольных коорди-
нат, а полярную ось ОР — за ось Ох,
(х; у) точки М и ее полярные коорди-
наты (<р; г) будут связаны зависимостью
х = г cos q>,	у = г sin <р;	(1)
r=Vx2 + y2, tg<P = -^-.	(2)
43
Если принять фокус эллипса, гиперболы и параболы за по-
люс, а фокальную ось симметрии за полярную ось, направлен-
ную в сторону, противоположную ближайшей вершине, то урав-
нение всех трех кривых в полярных координатах будет одина-
ковым:
Г=-Г—Р-------,
1 — в cos ф
где е — эксцентриситет, а р—параметр. Для эллипса и гипер-
, Ь2
болы р = — •
а
330.	В полярной системе координат (<р; г) по-
строить точки А(0; 3), В(л/4; 2), С(л/2; 3), £)(л; 2),
£(Зл/2; 3).
331.	Построить точки: Д(л/2; —2), В(—л/2; 3),
С(—л/4; —4), О(2л/3; —3).
332.	Построить линию г = 2 + 2 cos ср.
Указание. Составить таблицу значений г для ф = 0; ±л/3;
гЬл/2; ±2зт/3; я.
333.	Построить линии (см. с. 346 и 348, рис. 80, 81
и 86):
1)	г •= а<р
2)	r = a(l — cos ср)
3)	r2 = a2cos2<p
4)	r = ajcp
5)	r = a(l + 2cos<p)
(архимедова спираль);
(кардиоида);
(лемниската);
(гиперболическая спираль);
(улитка Паскаля).
334.	Построить линии: 1) г — а; 2) ф = -у; 3) г =
ь
с= -	.
sin ф
335.	Написать в полярных координатах уравнения:
1) прямой, отсекающей от полярной оси отрезок а и
перпендикулярной к ней; 2) прямой, проходящей че-
рез точку Л (а; а) и параллельной полярной оси.
336.	Написать в полярных координатах уравнение
прямой, проходящей через точку Л (а; а) и состав-
ляющей с полярной осью угол 0.
337.	Написать в полярных координатах уравнение
окружности с центром в точке С(0; а) и радиусом,
равным а.
338.	Построить кривые:
I)	г = 3- 2 sin 2<р; 2) r = 2 + cos3<p;
3) г = 1 — sin 3<р.
Указание. Определить сначала углы, при которых имеем гт«к
И Гт1п«
49
339. Построить линии (см. с. 347, рис. 82 и 83):
1) r = asin3<p (трехлепестковая роза);
2) r = asin2cp (четырехлепестковая роза).
340. Преобразовать к полярным координатам
уравнения линий:
1) х2-у2 = а2;	2) х2 + у2 = а2-,
3) х cos а + у sin а — р = 0; 4) у = х\
5) х2 + у2 = ах-,
6) (х2 + у2)2 = а2 (х2 — у2).
341. Преобразовать к декартовым координатам
уравнения линий и построить линии:
1) rcos<p = a; 2) г = 2а sin ф; 3) г2 sin 2<р = 2а2;
4) г sin (ф +	= а д/2 ;	5) г — а (1 + cos ф).
342. Написать канонические уравнения кривых
второго порядка:
1 \	9	m	9
1) г = -— -----;	2) г — -—=-----;
'	5 — 4 cos <р '	4 — 5 соз ф
3)	г = -р^-----.
1	1 — СОЗ ф
343.	Конхоида. Через точку Л(л/2; а) прове-
дена прямая, параллельная полярной оси. Произволь-
ный луч ОВ пересекает эту прямую в точке В. На
луче от точки В по обе ее стороны отложены отрезки
ВМ — BMi = b. Определить геометрическое место то-
чек М и М\ в полярных координатах и построить кри-
вую.
344.	Строфоида. Прямая х = а пересекает ось
Ох в точке А и произвольный луч ОВ в точке В. На
луче от точки В по обе ее стороны отложены отрезки
ВМ\ и ВМ2, равные АВ. Написать уравнение геомет-
рического места точек Mi и ТИ2 в полярных и декар-
товых координатах (рис. 84, с. 347).
345.	Овал Кассини. Точка Л4(<р; г) движется
так, что произведение расстояний от нее до точек
F(0; а) и А (л; а) остается равным Ь2. Написать урав-
нение траектории движения точки М в полярных ко-
ординатах.
346.	Кардиоида. На произвольном луче О А от
точки А пересечения его с окружностью г = a cos ср
50
откладывается по обе стороны отрезок AM = AMi ==
= а. Составить уравнение геометрического места то-
чек М и Mi в полярных и декартовых координатах.
347.	Кардиоида (эпициклоида). Круг диа-
метра а катится без скольжения по кругу такого жб
диаметра снаружи его. Написать уравнение кривой,
описанной точкой М катящейся окружности, если за
полюс и начальное положение точки М принять точку
касания кругов, а полярную ось провести через центры
кругов (в начальном положении).
348.	Построить кривые: 1) г = 3 + 2 cos 2<р; 2) г =
«=3 — sin3) г = асоз2ф (см. указание к задаче
338).
349.	Построить 1) г = 4(1 + cosф); 2) г = 2—
•—sintp.
350.	Написать в полярных координатах уравнение
прямой, проходящей через данные точки Л (а; а) и
В(₽;&).
Указание. Рассмотреть зависимость между площадями тре-
угольников АОМ, ВОМ и АОВ, где М(ср; г) —призвольная точка
прямой.
351.	Написать канонические уравнения кривых
второго порядка:
2 — 7з cos ф ’	2 — V5 cos <р ’
'	2 — 2 cos ср
352.	Лемниската Бернулли. Точка Л1(ф;г)
движется так, что произведение ее расстояний от то-
чек К(0;с) и Fi(a;c) остается равным с2. Написать
уравнение траектории движения в полярных и декар-
товых координатах.
Указание. По теореме косинусов FМ2 = г2 + с2 — 2rc cos <р и
FtM2 = г2 + с2 + 2rc cos ф, причем по условию FM2-FiM2 — с4.
353.	Улитка Пас к а л я. На произвольном луче
О А от точки А пересечения его с окружностью г ==
= a cos <р по обе стороны отложены отрезки AM =
= AMi = b. Составить уравнение геометрического
места точек М в полярных координатах.
354.	Чет ы р е х л е п е ст ко в а я роза. Концы
отрезка АВ = 2а скользят по осям декартовых коор-
51
динат. Из начала координат опущен на АВ перпен-
дикуляр ОМ. Написать уравнение геометрического ме-
ста точек М(х\у) при всевозможных положениях от-
резка АВ.
§ 17. Алгебраические кривые третьего и высших
порядков
355.	Построить кривые (см. с. 344, рис. 66—69):
1)	у = х3/3	(кубическая парабола);
2)	у2 = х3)
3	2>	(полукубическая парабола);
3)	у — х J
4)	у2 = х(х — 4)2 (петлевая парабола).
356.	Построить кривые:
1)	х2/3 + у213 = а2!3 (астроида равносторонняя);
( X \2/3	/ у X 2/3
2)	I—I 4- I у I =1, Ь^=а (астроида неравно-
сторонняя).
Указание. Найти точки пересечения кривых с осями Ох и Оу
и первой кривой с прямыми у = ±х, а второй — с прямыми
у = ± х (рис. 78 на с. 346).
357.	Построить на отрезке [—1; 1] кривые: 1) у =
— х2п+1; 2) у — х2п\ 3) х2п А~ У2п == 1 при п = 1, 2, 4.
К каким ломаным приближаются эти кривые, когда
п -* оо?
Указание. Найти точки пересечения первой кривой с прямой
У = “к—> второй кривой с прямой у = — и третьей кривой с
прямой у = х. За единицу масштаба принять 10 клеток клетча-
той бумаги.
358.	Астроида. Концы отрезка АВ = а сколь-
зят по осям декартовых координат. Прямые АС и
ВС, параллельные осям координат, пересекаются в
точке С. Из С опущен на АВ перпендикуляр СМ.
Написать уравнение геометрического места точек
Л1(х;у) при всевозможных положениях отрезка АВ.
359.	Построить кривые:
х, з
1)	У2== а_ х	(циссоида, рис. 85, с. 347);
2)	(локон, рис. 76, с. 346).
52
360.	Каждая точка Р(х0-,у0) параболы у2 = 2рх
смещена параллельно оси Ох на расстояние РМ ==
= ±ОР. Найти геометрическое место точек М.
361.	Стержень О А — а вращается вокруг начала
координат О. В точке А к нему прикреплен шарниром
стержень АВ = 2а, конец которого скользит по Ох.
Написать уравнение линии, которую будет описывать
при этом середина М отрезка АВ.
362.	Циссоида. Произвольный луч О А (рис. 85,
с. 347) пересекает окружность х2 + у2 — ах в точке А
и прямую х = а в точке В. На луче откладывается
отрезок ОМ —АВ. Составить уравнение геометриче-
ского места точек М.
363.	Произвольный луч ОВ (рис. 85) пересекает
прямую х=а в точке В. С — проекция точки В на
ось Оу и М— проекция точки С на прямую ОВ. По-
казать, что геометрическое место точек М есть цис-
соида.
364.	Если из вершины параболы у2 ~ —4ах опу-
скать перпендикуляры на касательные к этой кривой,
то геометрическим местом оснований перпендикуля-
ров будет циссоида. Доказать.
365.	Локон. Произвольный луч О А пересекает
окружность х2 + у2 = 2ау и прямую у —2а в точках
Л и В, из которых проведены прямые, параллельные
соответственно оси Ох и оси Оу до пересечения
в точке М. Определить геометрическое место то-
чек М.
366.	Декартов л ист х3 + р3 — Заху = 0. Пока-
зать, что это уравнение поворотом осей координат на
лео	V2 Х3ОЬ — Х}	, а
45 приводится к виду Y2— 3 +	, где Ъ
Построить кривую, определив в новой системе коор-
динат область расположения кривой и ее симметрию,
точки пересечения с прямой у = х (т. е. с новой осью
ОХ) и асимптоту. Показать, что уравнение асимп-
тоты в новой системе координат будет X= —Ь, а в
старой х + у + а = 0 (см. рис. 79, с. 346).
§ 18.	Трансцендентные кривые
367.	Циклоида. Круг радиуса а катится по пря-
мой ОХ без скольжения. Составить параметрические
уравнения кривой, описанной точкой М окружности,
приняв за параметр t угол поворота катящегося круга
63
ii положив, что при t — 0 точка М находится в на-
чале координат.
368.	Развертка круга. Нить, намотанная на
окружность х2 + у2 = а2, разматывается, оставаясь
натянутой. Составить параметрические уравнения кри-
вой, описанной концом нити, если вначале конец нити
находится в точке (а; 0). За параметр t принять длину
смотанной дуги (в радиусах).
369.	Кв а др а т р и с а. Произвольный луч ОМ,
составляющий с осью Оу угол t (в радианах), пере-
секает прямую x=at в точке М. Написать уравне-
ние геометрического места точек Л!.
370.	Эпициклоида. Круг радиуса г катится
без скольжения по кругу радиуса R снаружи его. Со-
ставить параметрические уравнения кривой, описан-
ной точкой М катящейся окружности. (При г = 7?
эпициклоида обращается в кардиоиду. См. за-
дачу 347.)
371.	Гипоциклоида. Круг радиуса г катится
без скольжения по кругу радиуса R > г внутри него.
Составить параметрические уравнения кривой, опи-
санной точкой М катящейся окружности. (При г =
= 7?/4 гипоциклоида обращается в астроиду
z2/3 _|_ у2/3 = а2/3 )
ГЛАВА 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Сложение векторов.
Умножение вектора на скаляр
1°. Определения. Вектором называется направленный от-
резок АВ (рис. 13), в котором точка А рассматривается как нача-
ло, а точка В — как конец. Вектор обозначается или указанием
его начала и конца АВ с чертой наверху, или одной какой-нибудь
буквой, например а. Модуль (длина) вектора обозначается |АВ|,
или |а|, или АВ, или а. Векторы, параллельные одной прямой,
называются коллинеарными. Векторы, параллельные одной пло-
скости, называются компланарными. Два вектора а и b (рис. 13)
называются равными, если они 1) имеют равные модули, 2) кол-
линеарны, 3) направлены в одну сторону.
2°. Умножение вектора на скаляр. Произведением
вектора а на число (скаляр) m называется новый вектор, имею-
щий длину а|т| и направленный одинаково с а (при пг > 0)
или противоположно а (при m < 0).
3. Сложение векторов. Суммой векторов а + b + с
называется вектор R ' = ОС (рис. 14), замыкающий ломаную
ОАВС, построенную из данных векторов. В частности, в парад-
лелограмме, построенном на данных векторах ОА = а и ОВ = Ь,
одна вектор-диагональ ОС есть сумма а + Ь, а другая ВА есть
разность а — Ь данных векторов.
4°. Проекция вектора на ось. Пусть вектор а со-
ставляет угол ф с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось
56
определяется формулой
прха = | a I cos <р = a cos (а, Ох).
Проекция суммы векторов па ось равна сумме проекций со-
ставляющих векторов на ту же ось:
прх (а + 6) = прха + прх6.
372.	По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ
отложены единичные векторы i и / (рис. 15). Выра-
зить через i и j векторы ОЛ, АС, СВ, ВО, ОС и ВА>
если О А = 3 и ОВ = 4.
373.	Пусть на рис. 15 М — середина ВС и N — се-
редина АС. Определить векторы ОМ, ON и MN при
О А = 3 и ОВ = 4.
374.	На плоскости даны точки Л(0;—2), В (4; 2)
и С(4;—2). В начале координат приложены силы ОЛ,
ОВ и ОС. Построить их равно-
действующую ОМ, найти ее про-
екции на оси координат и вели-
чину. Выразить силы ОА, ОВ,
ОС и ОМ через единичные век-
торы i и / координатных осей.
375.	Даны три компланарных
единичных вектора т, п и р,
причем (т, п) = 30° и (п, р) =
= 60°. Построить вектор и =
= тА-2п — Зр и вычислить его
модуль.
Рис. 15
Указание. В ломаной, построенной из векторов т, 2п и —Зр,
продолжить первое звено до пересечения с третьим.
376.	Проверить аналитически и геометрически век-
торные тождества:
i\ „ । Ь — а а+Ъ .	_ а + Ь _ а — Ь
а + —2— = —2—;	2) а-----—	-
377.	На трех некомпланарных векторах О А = а,
ОВ = Ь и ОС = с построен параллелепипед. Указать
те его вектор-диагонали, которые соответственно равны
аА-Ь — с, а — b А- с, а — b — с и Ь — а — с.
378.	С помощью чертежа задачи 377 проверить
переместительное свойство векторной суммы
аД-Ь — с = а — сА-Ь — Ь-^а — с = Ь — с-\-а>
53
379.	Даны векторы О А — а и ОВ = Ь, Вектор
ОС = с — медиана ДОАВ. Разложить аналитически и
геометрически: 1) вектор с по векторам а и Ь; 2) век-
тор а по векторам b и с.
380.	В прямоугольнике ОАСВ (рис. 15) М и N—
середины сторон ВС = ЗиЛС = 4. Разложить геомет-
рически и аналитически вектор ОС — с по векторам
ФЙ = а и ON = Ъ.
Указание. В условие с = та + nb подставить выражения а,
Ь и с через i и / и сравнить коэффициенты слева и справа при
» и /.
381.	Дан правильный шестиугольник OABCDE со
стороной О А = 3. Обозначив единичные векторы на-
правлений ОЛ, АВ, ВС через т, п и р, установить
зависимость между ними (например, рассмотрением
трапеции ОАВС). Выразить затем через тип век-
торы ОВ, ВС, ЕО, ~6Ь и DA-
382.	В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. 16)
угол ВОА = 60°, ОВ = ВС — СА — Ч, М и N — сере-
дины сторон ВС и АС. Вы-
разить векторы АС, ОМ, ON	в.	л
и MN через т и п — еди-	/	\
ничные векторы направле- /
ний О А и ОВ.	\
383.	Даны векторы а и А<7°\>[_____________\
Ь, угол между которыми о т	а
120°. Построить вектор с=	р 16
—Ча—1,56 и определить его	ис'
модуль, если а = 3 и b = 4.
384.	На плоскости даны точки /1(3; 3), В(—3;3)
и С(—3; 0). В начале координат приложены силы
ОА, ОВ и ОС- Построить равнодействующую ОМ,
найти ее проекции на оси координат и величину. Вы-
разить силы ОА, ОВ, ОС и ОМ через единичные век-
торы i и j координатных осей.
385.	1) В трапеции ОАСВ имеем ВС = ОА/3 и
ВСЦОД. Разложить геометрически и аналитически
вектор ОА = а по векторам ОС — си ОВ = Ь.
Указание. Из ЕОВС можно с выразить через & и а и затем
решить полученное уравнение относительно а.
57
2) Точка В делит дугу окружности ЛС = 90° в от-
ношении 1 : 2. О — центр окружности. Разложить век-
тор ОС = с по векторам ОА = а и ОВ = Ь.
§ 2. Прямоугольные координаты точки и вектора
в пространстве
1°. Определение. Пусть даны три взаимно перпендику-
лярные координатные оси с общим началом 0 и дана точка М
(рис. 17). Проекции ее радиус-вектора ОМ = г на оси координат
ОМ-, = х, ОМг = у и ОМ3=г
называются прямоугольными
координатами точки М или век-
Рис. 17
тора г = ОМ.
2°. Радиус-вектор
точки в пространстве.
Модуль или длина радиус-век-
тора ОМ = г:
г ~ л/х2 + у2 + Z2.	(1)
Единичные векторы коор-
динатных осей i, / и k назы-
ваются ортами. Радиус-вектор
выражается через орты:
г = xl + yi + zk. (2)
3°. Вектор, заданный координатами начала и
конца. Пусть даны точки уу, Zi) и В(х2; Уг', z2). Проекции
вектора и = АВ на оси координат будут:
прх АВ = X = х2 — *i’
прй АВ = У = у2 — г/i,	(3)
пр2 АВ = Z = z2 — Zi.
Можно написать формулы, аналогичные формулам (1), (2):
и = Vx2 + У2 + Z2 = V(x2 — х1)2 + (у2 — У i)2 + (z2 — Z1)2, (4)
a = AB = Xi + Yj + Zk.	(5)
Если a, f> и у — углы вектора и = АВ с осями координат, то
X _ У	Z	...
cosa=—,	cos р =—,	cos у = —,	(6)
и ' и	‘ и ’	' '
причем
cos2 a + cos2 0 + cos2 у = 1,	(7)
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна 1.
Из формул (4)—(6) следует, что вектор и вполне опреде-
ляется тремя числами: X, У и Z — его проекциями или его коор-
динатами. Поэтому иногда пишут или говорят: дан вектор
и{Х‘ У; Z}.
58
386.	Построить точку Л1(5; —3; 4) и определить
длину и направление ее радиус-вектора.
387.	Построить вектор г = ОМ = 2i + 3/ + 6k и
определить его длину и направление (проверить по
формуле cos2 a -j- cos2 р + cos2 у = 1).
388.	Вектор составляет с осями Ох и Ог углы 40°
и 80°. Найти его угол с осью Оу.
389.	Радиус-вектор точки М составляет с осью Ох
угол 45° и с осью Оу угол 60°. Длина его г = 6. Опре-
делить координаты точки М, если ее координата z от-
рицательна, и выразить вектор ОМ = г через орты
i, /, k.
390.	Даны точки Я(1;2;3)' и В(3;—4; 6). По-
строить вектор АВ = и, его проекции на оси коорди-
нат и определить длину и направление вектора. По-
строить углы вектора и с осями координат.
391.	Построить параллелограмм на векторах
OA—i-{-j и OB—k— 3j и определить его диа-
гонали.
392.	В точке А (2; 1;—1)’ приложена сила R = 7.
Зная две координаты этой силы X = 2 и У=—З.опре^-
делить направление и конец вектора, изображающего
силу.
393.	На плоскости хОу даны точки А(4; 2), В(2;3)'
и 0(0; 5) и построены векторы ОА = а, ОВ = Ь и
ОС—с. Разложить геометрически и аналитически век-
тор а по векторам Ь и с.
394.	Даны точки А (2; 2;0)’ и В(0;—2; 5). По-
строить вектор АВ = и и определить его длину и на-
правление.
395.	Вектор ОМ = г составляет с осями координат
равные острые углы. Определить эти углы и построить
вектор г, если его длина равна 2 д/3-
396.	Вектор составляет с осями Оу и Oz углы 60е
и 120°. Какой угол он составляет с осью Ох?
397.	Даны три последовательные вершины парал-
лелограмма А(1; —2; 3), Д(3; 2; 1) и С(6; 4; 4). Найти
его четвертую вершину D.
Указание. Из равенства AD = ВС следует, что равны и их
координаты: х — 1=6 — 3 и т, д.
59
398.	На плоскости хОу построить векторы ОА —
— a = 2i, OB = b = 3i-j-3j и ОС = с = 2i6/. Раз-
ложить геометрически и аналитически вектор с по
векторам а и Ь.
§ 3. Скалярное произведение двух векторов
Г. Определение. Скалярным произведением двух векто-
ров называется произведение их модулей, умноженное на коси-
нус угла между ними.
Скалярное произведение вектора а па вектор b обозначается
а Ь. Итак,
а  Ь = ab cos <р.	(1)
Из рис. 18 видно, что b cos <р = пр,, Ь. Поэтому
а  b = ab cos <р = а пра b= b пру а.
(2)
/ ।	2°. Свойства скалярного
ft /	I	произведения:
/	|	I. а  Ь = Ь • а — переместитель-
/	(	ный закон.
/V	I	II. а • (6 + с) = а  Ъ + а  с —
/г А	I а Д распределительный закон.
| _	,	III. Если а||6, то a - b — ± ab.
—осози—пО
'	В частности, аг = а • а = аа cos 0 =
Рис. 18	= “2; отсюда
a —	(3)
IV.	Если a J_ Ь, то а • Ъ — ab cos 90° = 0.
V.	Скалярные произведения ортов:
Ь/ = 0, f-fe = 0, i-* = 0, 4-4=1, /•/=!. fe-fe=l.
VI.	Если векторы а и b заданы координатами: а (ах, ад, аг}
и Ь{ЬХ, by, Ьг}, то
а-Ь = ахЬх-\- ауЬу + агЬг.	(4)
3°. Угол между векторами:
а  b	ахЬх + вуЬу + агЬг
cos <р = —— = —=====—.	—.	(5)
а ^/а2 + а2 + а2 л/ь2 + Ь2+Ь2
,,	,	Ьх __ Ьд _ Ьг
Условие параллельности; о — та или — — — — — = т.
ах а.у аг
Условие перпендикулярности: a b = 0 или ахЬх + ауЬу +
“Е а?Ьг *== 0.
399.	Определить угол между векторами а = —
и b = i — 2/ -|- 2fe.
400.	Определить углы ЛАВС с вершинами
Л(2;—1;3), В(1; 1; 1) и С(0; 0; 5).
60
401.	Даны точки А (а-, 0; 0), В(0; 0; 2а) и С (а; 0; а).
Построить векторы ОС и АВ и найти угол между
ними.
402.	На плоскости дан треугольник с вершинами
0(0; 0), Л(2а;0) и В (а;—а). Найти угол, образован-
ный стороной ОВ и медианой ОМ этого треуголь-
ника.
403.	Найти угол между биссектрисами углов хОу
и yOz.
404.	Из вершины квадрата проведены прямые, де-
лящие противоположные стороны пополам. Найти
угол между этими прямыми.
405.	Найти угол между диагоналями параллело-
грамма, построенного на векторах а — 2i -f- j и b =*
—
406.	Даны векторы а = i + j + 2k и b = i — j + 4k.
Определить пр«,а и npa6.
407.	Раскрыть скобки в выражении
(21 - /) • j + (/ - 2k) • k + {i - 2fe)2.
408.	Вычислить: 1)' (/n-j-n)2, если т и n — еди-
ничные векторы с углом между ними 30°; 2) (а — Ь)2,
если а = 2-\/2, Ь = 4 и (аТ'б)=135°.
409.	Раскрыть скобки в выражениях:
1)	(а + &)2; 2) (а + 6)2 + (а - 6)2
и выяснить геометрический смысл полученных фор-
мул.
410.	Даны компланарные векторы а, b и с, причем
а = 3, b = 2, с = 5, (а, Ъ) — 60° и (&, с) — 60°. По-
строить вектор и = а-}-& — с и вычислить его модуль
по формуле
и — -у/(а + b — с)2.
411.	Найти величину равнодействующей четырех
компланарных сил, приложенных к точке О, если ве-
личина каждой силы равна 10 Н, а угол между двумя
последовательными силами равен 45°.
412.	Определить длины диагоналей параллело-
грамма, построенного на векторах а — 2т + п и
Ь = т — 2п, где т и п— единичные векторы, угол
между которыми 60°,
61
413.	Дан вектор а = 2т — п, где т и л —единич-
ные векторы с углом 120° между ними. Найти
cos (а, т) и cos (а, п).
414.	Определить угол между биссектрисами двух
плоских углов правильного тетраэдра, проведенными
из одной его вершины.
Указание. Если т, п и р— единичные векторы ребер, то
т -р п и т + р —векторы, направленные по биссектрисам.
415.	На осях Ох, Оу и Oz отложить равные от-
резки а = 4 и на них построить куб. Пусть М — центр
верхней грани, а W— центр правой боковой грани
куба. Определить векторы ОМ и <9;V и угол между
ними.	______________________________
416.	Даны векторы ОА = а и ОВ = Ь, причем
а — 2, b = 4, а (а, Ь) — 60°. Определить угол между
медианой ОМ треугольника АО В и стороной О А.
417.	Из вершины прямоугольника со сторонами
6 см и 4 см проведены прямые, делящие противо-
положные стороны пополам. Найти угол <р между
ними.
418.	Даны три последовательные вершины парал-
лелограмма: А (—3; —2; 0), В(3; —3; 1) и С(5; 0; 2).
Найти его четвертую вершину D и угол между век-
торами АС и BD.
419.	Даны точки Д(3; 3; —2), В(0; —3; 4),
С(0; —3; 0) и .0(0; 2; —4). Построить векторы АВ = а
и CD = Ь и найти пра&.
420.	В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. 16,
с. 57) М и N — середины сторон ВС —2 и АС = 2.
Острый угол трапеции 60°. Определить угол между
векторами ОМ и ON.
421.	Найти угол между векторами а = 2т -|- 4и и
b — т — п, где т и п — единичные векторы, образую-
щие угол 120°.
422.	Показать, что угол между диагоналями пря-
моугольника, построенного на векторах а и 6(а_ПЬ),
— ^2
определяется формулой cosqp — ± д2_|.~йг-
423.	Проекции перемещения движущейся точки на
оси координат sx = 2 м, sy = 1 м, s2 = —2 м. Проек-
ции действующей силы F на оси координат равны
62
Fx = 5 H, Fy = 4 H я Fz = 3 Н. Вычислить работу А
силы F(A =F-s) и угол между силой F и перемеще-
нием s.
424.	К вершине правильного тетраэдра с ребром а
приложены три силы, изображаемые его вектор-реб-
рами. Определить величину равнодействующей.
Указание. Искомая величина равна a V(ni + п + р)2> где т,
пир — единичные векторы данных сил.
425.	Квадрат разделен на три полосы одинаковой
ширины и затем свернут в правильную треугольную
призму. Найти угол между двумя смежными звеньями
ломаной, образованной при этом диагональю квад-
рата.
§ 4. Векторное произведение двух векторов
с которой кратчайшее
совершающимся против
векторов а, b и с назы-
с=ахЬ
1°	. Определение. Векторным произведением вектора а на
вектор Ь называется такой третий вектор с (рис 19), который;
1)	имеет модуль, численно равный площади параллелограм-
ма, построенного на векторах а и Ь;
2)	перпендикулярен к плоскости параллелограмма;
3)	направлен в такую сторону,
вращение от а к Ь рассматривается
часовой стрелки. Такое расположение
вается правой связкой.
Векторное произведение обозна-
чается а Х Ь. Итак,
а X Ь = с.
если:
1)	с = 1 аХ& I = ab sin <р,
2)	с _1_ а и с _L b,
3)	а, Ь, с составляют правую
связку.
2°. Свойства векторного
произведения:
I.	а X Ь = — Ь X а.
II.	а X (Ь + с) =аХЬ + аХс — распределительный закон.
III.	Если а || Ь, то а X Ъ — 0; в частности, а X а = 0.
3°. Векторные произведения ортов:
«Х/ = *. 1Xk = i, kxi = b	(1)
Вообще произведение любых двух смежных векторов в по-
следовательности
дает следующий вектор со знаком +, а в обратной последова-
тельности — со знаком —,
Рис. 19
63
4°. Выражение векторного произведения че-
рез координаты сомножителей л{лж, ау, аг} и Ь{ЬХ,
Ьц, М:
I j k
ах ау аг
bx by bz
аХЬ =
(2)
5°. Площадь параллелограмма, построенного на
векторах а и Ь:
Sa = \aXb{,	(3)
а площадь треугольника, построенного на векторах а
и Ь:
S^=>~\aXb\.	(4)
426.	Определить и построить вектор с = а X Ь, если:
1) а -- 3i, b — 2k\ 2) а = i 4- /, b — i — j-, 3) а - 2i 4-
4- 3/, b = 3/ 4- 2k. Найти в каждом случае площадь
параллелограмма, построенного на векторах а и Ь.
427.	Вычислить площадь треугольника с верши-
нами А(7; 3; 4), В(1; 0; 6) и С(4; 5; —2).
428.	Построить параллелограмм на векторах а =
«= 2/ 4- k и b = i 4- 2k и вычислить его площадь и вы-
соту.
429.	Раскрыть скобки и упростить выражения:
1)	i X (/+ ft) - /X (i + k) + k x (i + / + k);
2)	(a 4- b 4- с) X C 4- (a 4- & + с) X & + (& - c)\a}
3)	(2a4-6)X(c-a)4-(6 + c)X(a4-&);
4)	21 • (/ x k) 4- 3/ • (i X k) 4- 4k • (i X j).
430.	Доказать, что (a — b)X (a4~&)= 2a X b, и
выяснить геометрическое значение этого тождества.
431.	Векторы а и Ь составляют угол 45°. Найти
площадь треугольника, построенного на векторах а —
— 2& и За 4- 2b, если | а | = | b | =- 5.
432.	Найти площадь параллелограмма, диагона-
лями которого служат векторы 2т— п и 4m — 5п, где
т и п — единичные векторы, образующие угол 45°.
Указание. Имеем а b = 2т — п на — b — 4m — 5л, где
а и b — векторы-стороны параллелограмма. Перемножив, найдем
вектор 2& X а, модуль которого и равен удвоенной искомой пло-
щади.
433.	Построить векторы а = 3k— 2/, b = 3i— 2/ и
с = а X Ь. Вычислить модуль вектора с и площадь
треугольника, построенного на векторах а и 6.
64
434.	Построить треугольник с вершинами Л(1;
—2; 8), В(0;0; 4) и С(6; 2;0). Вычислить его пло-
щадь и высоту BD.
435.	Вычислить диагонали и площадь параллело-
грамма, построенного на векторах a~k — j и Ь —
= i 7 +
436.	Доказать, что (2а Л)Х (а + 26) = За X Ъ.
437.	Найти площадь параллелограмма, построен-
ного на векторах а = т + 2п и b = 2т + п, где т и
п — единичные векторы, образующие угол 30°.
§ 5. Смешанное произведение трех векторов
1°. Определение. Смешанным произведением векторов а,
бис называется выражение вида (а X Ь) -с.
Если векторы а, b н с заданы своими координатами, то
як ау а,
(аХЬ)- с= bx by bz
СХ Су Сг
(1)
2Э. Свойства смешанного произведения.
I.	От перестановки двух любых сомножителей смешанное про-
изведение меняет знак:
{а X Ь) • с = — (а X с) • Ь = — (с X Ь) • а.
(2)
II.	Если два из трех данных векторов равны пли параллель-
ны, то их смешанное произведение равно 0.
III.	Знаки операций «точка» и «крест» можно поменять ме-
стами, (а X Ь)-с = а-(Ь X с); поэтому смешанное произведение
принято записывать в виде а&с, т. е. без знаков действии и без
скобок.
Зэ. Объем параллелепипеда, построенного на век-
торах а, & и с.
V — ± abc (+ при правой связке, — при левой связке).
Объем пирамиды, построенной на векторах а, &, с:
Кчир = ± аЬс/д.
4°. Условие компланарности. Если а, b и с ком-
планарны, то abc = 0, и обратно. При этом между а, b и с су-
ществует линейная зависимость вида с = та + nb.
438. Построить параллелепипед на векторах а =
= 3/ + 4/, Ь = —3/ + k, c = 2j-(-5k и вычислить его
объем. Правой или левой будет связка векторов
(а, Ь, а)?
439. Построить пирамиду с вершинами 0(0; 0; 0),
Л(5; 2; 0), В(2; 5; 0) и С(1; 2; 4) и вычислить ее
объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опу-
щенную на эту грань.
3 В. П. Минорский
65
44G. Показать, что точки /1(2; —1; —2), 5(1; 2; 1)',
С(2; 3; 0) и 5(5; 0; —6) лежат в одной плоскости.
4411. Показать, что векторы а = —i + 3/ -р 2k, b =
= 21— 3/ — 4k, с = —3i-j-12/ + ftfe компланарны, и
разложить вектор с по векторам а и Ь.
442.	Показать, что 1) (а + 6)  [(« + с) X 6] = —®Ьс;
2) (а + 26 — с)  {(а — 6) X (а — 6 — с)] = Забс.
443.	Найти объем тетраэдра, построенного на век-
торах 0.1, ОВ и ОС, если эти векторы направлены ио
биссектрисам координатных углов и длина каждого
вектора равна 2.
444.	Построить пирамиду с вершинами Л (2; 0; 0),
5(0; 3; 0), С(0; 0; 6) и D(2; 3; 8), вычислить ее объем
и высоту, опущенную на грань АВС.
445.	Построить векторы а = i + /	4k, b = i— 2j
и c = 3i— 3j + 4k, показать, что они компланарны, и
найти линейную зависимость между ними.
446.	Показать, что объем параллелепипеда, по-
строенного на диагоналях граней данного параллеле-
пипеда, равен удвоенному объему данного параллеле-
пипеда.
447.	Даны единичные векторы т, п и р. Угол
т, п) = [р, (тХ «)] = «• Доказать, что тогда(шХ«)Х
X Р;=у sin 2а.
448.	При любых векторах а, 6 и с векторы а — Ь,
b — с и с — а компланарны. Доказать это аналити-
чески и геометрически (рассмотрением параллелепи-
педа, построенного па векторах а, 6 и с).
449.	Вычислить объем параллелепипеда
ОА ВСО\А}В}С}, в котором даны три вершины ниж-
него основания 0(0; 0; 0), А (2; —3; 0) и С(3; 2; 0)1
и вершина верхнего основания ВДЗ; 0; 4), лежашая
на боковом ребре ВВ}, противоположном ребру ООы
ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнение плоскости
1°. Уравнение плоскости,
ку Af|(x1; щ; г,) н перпендикулярной
Пусть Л1(х; у, г) —произвольная
точка плоскости (рис. 20). Тогда
М,М X N и по условию перпендику-
лярности векторов
А (х — X!) + В (у — z/|) + С (г —
-*i) = 0.	(I)
2°. Общее уравнение пло-
скости:
Ах + By +Cz + D = 0.	(2)
Вектор N{A; В\ С} называется
нормальным вектором к плоскости
(2) или (1).
3°. Особые случаи урав-
нения Ах 4- By + Cz + D = 0:
проходящей через точ-
к вектору У (А; В;
I. 0 = 0, Ах + By + Cz = 0 —- плоскость проходит через на-
чало координат.
II.	С = 0, Ах + By + D = 0 — плоскость параллельна оси
Oz.
III.	С = D — 0, Ах + By = 0 — плоскость проходит через
ось Oz.
IV.	В = С = 0, Ах 4-0 = 0 — плоскость параллельна пло-
скости уОг.
V.	Уравнения координатных плоскостей: х = 0, у = 0, г = 0.
4°.	Уравнение плоскости в отрезках на осях:
а b с
(3)
450.	Построить плоскости: 1) 5х— 2//4-Зг—10 =»
= 0; 2) 3x4-2// —2 = 0; 3) 3x4-22 = 6; 4) 2г —
— 7 = 0.
3*
67
451.	Построить плоскость 2х Зу 6г—12 = 0 и
найти углы нормали к плоскости с осями координат.
452.	Даны точки АД (0; —1; 3) и Л1Д1; 3; 5). Напи-
сать уравнение плоскости, проходяще»через точку АД
и перпендикулярной к вектору N = А1ДД.
453.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку Л1(а; а;0) и перпендикулярной к вектору
ОМ. Построить плоскость.
454.	Написать уравнение геометрического места
точек, равноудаленных от точек Л(а; —а/2; а) и
В(0; «/2; 0).
455.	Написать уравнение плоскости, параллельной
осп Ох п проходящей через точки ЛД(0; 1; 3) и
АД (2; 4; 5), и построить ее.
456.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через ось Ох и точку АД(0; —2; 3). Построить пло-
скость.
457.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через ось Oz п точку Mi (2; —4; 3). Построить пло-
скость.
458.	Написать уравнение плоскости, параллельной
оси Оу п отсекающей па осях Ох и Oz отрезки а п с.
Построить ее.
459.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку А1 (2; —1; 3) и отсекающей на осях коор-
динат равные отрезки.
460.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку АД (—4; 0; 4) и отсекающей на осях Ох и
Оу отрезки а = 4 и b = 3.
461.	Построить плоскости: 1) 2x4-1/ — z -Д 6 = 0;
2) х — у--2=0; 3) у — 2г-Д8 = 0; 4) 2х—5 = 0;
5) X + z = 1; 6) у + г = 0.
462.	Построить плоскость 2х — 2у + z— 6 = 0 и
найти углы ее нормали с осями координат.
463.	Через точку Л4 (—1; 2; 3) проведена плоскость,
перпендикулярная к ОМ. Написать се уравнение.
464.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через ось Оу и через точку (4; 0; 3). Построить пло-
скость.
465.	Написать уравнение плоскости, параллельной
осп Oz и проходящей через точки АД (2; 2; 0) и
АД (4; 0; 0). Построить плоскость.
за
466.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку Afi(l; —3; 5) и отсекающей на осях Оу
и Oz вдвое большие отрезки, чем на оси Ох.
§ 2.	Основные задачи на плоскость
1°. Угол, образованный двумя плоскостями:
. N-Ni , AA.-V ВВ. + СС,
cos <р = ±--------1------------
(1)
где N и ЛГ1 — нормальные векторы к плоскостям Ах -j- Btf+Cz-^
+ D = 0 и AiX + В,у + CiZ -(-£)[ = 0.
Условие па раллельности:
А	В  С
А1	В j	С1
Условие перпендикулярности:
АА, + BBi + CCi = 0.
2°. Расстояние от точки Afo(xo; уа; г0) до
с т и Ах + By + Cz + D = 0:
д__ I 4~ Bya 4- Czp + D I
(2)
(3)
плоско-
(4)
N
3°. Уравнение пучка всех плоскостей, проходя-
щих через линию пересечения двух данных плоскостей:
а (Ах + By + Cz + О) + р (AfX + Bty + CiZ + DA = 0. (5)
Можно положить а = 1, исключив этим из пучка (5) вторую из
данных плоскостей.
467.	Найти угол между плоскостями:
1)	х — 2г/ + 2з — 8 = 0 и хz — 6 = 0;
2)	х + 2z — 6 = 0 и х + 2у — 4 = 0.
468.	Найти плоскость, проходящую через точку
(2; 2; —2) и параллельную плоскости х — 2у— 3z = 0.
469.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку (—1; —1; 2) и перпендикулярной к пло-
скостям х — 2у z — 4 = 0 и х + 2у — 2? + 4 = 0.
470.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку (0; 0; а) и перпендикулярной к плоско-
стям х — у — z = 0 и 2у = х.
471.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точки Afi(—1; —2; 0) и A42(l; 1; 2) и перпен-
дикулярной к плоскости х + 2у + 2z — 4 = 0.
472.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точки Alj(l; —1; 2), М2(2; 1; 2) и Л13(1; 1;4).
69
473.	Через ось Oz провести плоскость, составляю-
щую с плоскостью 2х + у — •y/5z = 0 угол 60°.
474.	Найти расстояние от точки (5; 1; —1) до пло-
ское™ х — 2 у — 2 г 4-4 = 0.
475.	. Найти расстояние от точки (4. 3; 0) до пло-
ское™, проходящей через точки Л1 j(1; 3; 0), Л42(4;
— 1; 2) и /И3(3; 0,1).
476.	Найти расстояние междупграллсльнымппло-
скостями
4х Зу — 5г — 8 = 0 и 4х -рЗу — 5г 4- 12 = 0.
Указана?. Взять па лертю;! плоскости любую точку, например
(2; 0; 0), пюгги ее расстояние от другой плоскости.
477.	1) Написать уравнения плоскостей, парал-
лельных плоскости х— 1y-\-‘2z—5 = 0 и удаленных
от нее на расстояние, равное 2.
2) Написать уравнения плоскостей, делящих по-
полам двугранный угол, образованный плоскостями
2 < + 2у = г и г = 0, и построить данные и искомые
плоскости.
478.	1) Написать уравнение плоскости, проходя-
щей через линию пересечения плоскостей 2х—у-\-
4-Зг —6 = 0, х 4- 2у — 2 4-3 = 0 и через точку
(1;2;4).
2) Найти две взаимно перпендикулярные плоско-
сти, проходящие через прямую пересечения плоско-
стей х = у ,ч г = 0, если одна из искомых плоскостей
проходит через точку (0; 4; 2). Построить прямую и
ис-.омые плоскости.
479.	Найти точку пересечения плоскостей 2х — у+
4- ог — 9 = 0, х 4- 2у 4- 2г — 3 = 0 и Зх 4~ У — 4г -|-
4- ('= 0.
480.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку (2; —1; 1) и перпендикулярной к плоско-
стям Зх 4- 2у — z 4- 4 = 0 и х 4- У 4~ z — 3 = 0. По-
строить се.
481.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точки (0; —5; 0) и (0; 0; 2) и перпендику-
лярной к плоскости х 4- 5у 4- 2г—-10 = 0. Постро-
ить ее.
482.	Найти угол плоскости, проходящей через точ-
ки 0(0; 0; 0), Л-ГДи, —а; 0) и М2(«; и; а), с пло-
скостью хОу,
70
483.	Найти расстояние от начала координат до
плоскости, проходящей через точки Mi (а; 0; 0),
М2(0; а; 0) и М3(а; а; а).
484.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через ось Ох и составляющей угол 60° с плоскостью
у = х.
485.	Найти расстояние от точки (а; 6; с) до пло-
скости, отсекающей на осях координат отрезки а, b и с.
486.	Написать уравнения плоскостей, параллель-
ных плоскости 2x-(-2z/ + z — 8 = 0 и удаленных от
нее на расстояние d = 4.
487.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через линию пересечения плоскостей 4х — y-\-3z —
— 6 = 0их + 5(/ — z-|-10 = 0 и перпендикулярной
к плоскости 2х — у 5г — 5 = 0.
§ 3. Уравнения прямой
Г. Уравнения прямой, проходящей через точку А (а;
Ь; с) и параллельной вектору Р{т; п; р}. Пусть М(х; у; г) —
произвольная точка прямой (рнс. 21), тогда ЛЛ4|'Р и по усло-
вию параллельности векторов
х — а у — Ъ
т	п	р
(D
Уравнения (t) называются ка-
ноническими уравнениями прямой.
Вектор Ррл; п; р} называется
направляющим вектором прямой.
2°. Параметрические
уравнения прямой получим,
приравняв каждое из отношений
(1) параметру t:
х = mt + а, у = nt + b.
Рис. 21
3°. Уравнения прямой,
проходящей через две точках
X — Х\
х2 —
г2 — г.
4°. Общие уравнения прямой:
Ах By 4" Cz 4- D = 0, А[Х 4” Biy 4- C\Z 4-	= 0.	(4)
5°. Уравнения прямой в проекциях получим,
исключив из общих уравнений (4) один раз у, другой раз X'.
х = тг 4- а, у = nz 4- b.
(5)
71
Уравнения (5) .можно записать в канонической форме:
х — а  у — b  z — О
1:1	И	1
488.	Найти следы прямых:
1)	х = г4~5, у — \ — 2z и 2) —j— ~ Л	~= ~ j—
на плоскостях хОу и xQz и построить прямые.
Указание. Положить в уравнениях прямой 1) z = 0; 2) у =
= 0.
489.	Уравнения прямой х 4- 2у -j- Зг—13 = 0,
3.t + у 4- 4г — 14 = 0 паппсать: 1) в проекциях;
2) в канонической форме. Найти следы прямой на ко-
ординатных плоскостях, построить прямую и ее про-
екции.
490.	Написать уравнения прямой, проходящей че-
рез точку Л(4; 3; 0) и параллельной вектору Р{—1;
1; 1}. Найти след прямой на плоскости yOz и по-
строить прямую.
491.	Построить прямую и = 4, у == 3 и найти ее на-
правляющий вектор.
492.	Построить прямые: 1) у = 3, г = 2; 2) у = 2,
г = х+1; 3) х = 4, z = y и определить их направ-
ляющие векторы.
493.	Написать уравнения прямой, проходящей че-
рез точки Л(—1; 2; 3) и В(2; 6; —2), и найти ее на-
правляющие косинусы.
494.	Построить прямую, проходящую через точки
А (2; —1; 3) и В (2; 3; 3), п написать ее уравнения.
495.	Написать уравнения траектории точки
М(х; у; г), которая, выйдя из точш! 4(4-, =3,1) .дви-
жется со скоростью п{2; 3; 1}.
496.	Написать параметрические уравнения пря-
мой:
1) проходящей через точку (—2; 1; —1 ) и парал-
лельной вектору Р{1; —2: 3};
2) проходящей через точки 4(3;—1;4)и В (1; 1; 2)’.
497.	Написать уравнения прямой, проходящей че-
рез точку (а, 6, с): 1) параллельно осп Ог; 2) перпен-
дикулярно к оси Ог.
498.	Найти угол прямой х = 2г—1, у = —2г 4-1
с прямой, проходящей через начало координат и через
точку (1; — 1; — 1).
72
499.	Найти угол между прямыми: х— у у-2 —
— 4 = 0, 2х + у— 2г+ 5 = 0 и х + у + z — 4 = 0,
2х + Зу — z — 6 = 0.
Указание. Направляющий вектор каждой из прямых можно
определить как векторное произведение нормальных векторов пло-
скостей (Р = N X #i).
500.	Показать, что прямая -|-= ~ =-у перпен-
дикулярна к прямой х = г + 1, у = 1 — г.
501.	Написать уравнения прямой, проходящей че-
рез точку (—4; 3; 0) и параллельной прямой х —
— 2у + г = 4, 2х + у — г = 0.
502.	Написать уравнения перпендикуляра, опу-
щенного из точки (2; —3; 4) на ось Oz.
Указание. Искомая прямая проходит еще через точку (01
0; 4).
503.	Найти расстояние от точки Л4(2; —1; 3) до
.. х + 1 у + 2 г — 1
прямой —=А2П_=___.
Указание. Точка А (—1; —2; 1) лежит на прямой; Р{3; 4j
5} — направляющий вектор прямой. Тогда
.	... . AM | Р У. ДМ | 1РХЛЙ1
d = AM sin а =--' <?.,—— = -I-+----
Р  AM	Р
504.	Найти расстояние между параллельными пря-
z+ 1
2	‘
505.	Найти следы прямой —. -- = у2. = —у на
координатных плоскостях и построить прямую.
506.	Уравнения прямой 2х + у + 8г—16 = 0, х —
— 2у — г + 2 = 0 написать: 1) в проекциях; 2) в ка-
нонической форме. Найти следы прямой на коорди-
натных плоскостях, построить прямую и ее проекции.
507.	Написать уравнения прямой, проходящей че-
рез точку /1(0; —4; 0) и параллельной вектору
Р{1; 2; 3}, найти след прямой на плоскости xOz и
построить прямую.
508.	Построить прямую х = 3, г = 5 и найти са
направляющий вектор.
73
509.	Найги направляющей вектор прямой х + у —
— 2 = 0, у = х и найти углы прямой с осями коорди-
нат (см. указание к задаче 499).
510.	Написать уравнения перпендикуляра, опущен-
ного из точки (2; —3; 4) на ось Оу.
511.	Найти угол между прямыми 2х— у — 7 = 0,
2.V — г + 5 = 0 и Зх — 2у 8 ~ 0, z = З.г.
512.	Написать уравнения прямой, проходящей че-
рез точку (—1; 2; —2) и параллельной прямой х—
— у = 2, у = 2z + 1.
513.	Найти расстояние от точки Л4(3;0;4) до пря-
мой у = 2х -J- 1, z = 2г (см. задачу 503).
§ 4. Прямая и плоскость
, о ,,	X — а у — b
1 . Угол между прямой —------=-----
т	п
и плоскостью Ах 4- By 4- Cz + D = 0:
. „	|/V • P I | Am 4- Bn 4- Cp |
Sln 9 = ~йГ -------~NP-----•
2 — C
P
(1)
Условие их параллельности (NLP):
Am 4- Bn 4- Cp =-. 0.	(2)
Условие их перпендикулярности (/VHP):
A = A = _L.
m n p
2°. Точка пересечения прямой и плоскости.
Написав параметрические уравнения прямой х = ml 4- а, у =
«= nt 4- t>, г = pt 4- с, подставим в уравнение плоскости Ах 4-
4- By 4- Cz D — 0 вместо х, у, г их выражения через t. Най-
дем /о, а затем х$, ya, za — координаты точки пересечения.
34 У с л о в и е расположения двух и р я м ы х в од-
ной плоскости:
а — ai b — bi с —
in п р
/7Д П1	Pl
514. Найти угол прямой у = Зх—1, 2 г =—Зх 4~ 2
с плоскостью 2х 4~ I/ + — 4 = 0.
" -ч г- П	X 4“ 1 У + 1	2 —' 3
.-4, :з. Показать, что прямая —— = —зтр- — —§—
параллельна плоскости 2x + y — z = 0, а прямая
х -)• 1 у 4- 1 г 4- 3	„
--= -—:—=—3—- лежит в этой плоскости.
74
516.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку (—1; 2; —3) и перпендикулярной к пря-
мой х - 2, у — z = 1.
517.	Написать уравнение плоскости, проходящей
х — 2 у — 3	2 + 1	, о Л ,
через прямую —j— —	— = —g— и точку (3;4;0).
518.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через прямую —j— = Щ-2—=—2— и перпендику
лярной к плоскости 2х + Зу — z — 4.
519.	Написать уравнение плоскости, проходящей
х — з у 2—1
через параллельные прямые ——= —=—2— и
X + 1 у — 1 ____ Z
2	—	1	—	‘
520.	Написать уравнения прямой, проходящей че-
рез начало координат и составляющей равные углы с
плоскостями 4у=Зх, у=0 и 2=0. Найти эти углы,
521. Найти точку пересечения прямой x = 2t— 1,
у = t 2, г — 1 — t с плоскостью Зх — 2у + г = 3.
522.	Найти точку пересечения прямой = 'у t - =
<2 “1“ 1
— —2—с плоскостью х + 2у 4- Зг — 29 = 0.
523.	Найти проекцию точки (3; 1; —1) на пло-
скость х -I- 2у + Зг — 30 = 0.
524.	Найти проекцию точки (2; 3; 4) на прямую
х = у = г.
525.	Найти кратчайшее расстояние между непа-
раллельными прямыми:
..	х — а и ~ Ь г — с х — а, и — Ь,
1)		= Щ-=------ и -------= —------=
' т	п	р	mt	щ
__ z ~ fi .
Pi
х + 1 у г — 1 х v + 1 г — 2
2)	-у— = т = -2— и Т = ^з~=—Г”-
Указание. Предполагая прямые в общем случае скрещиваю-
щимися, нарисуем параллельные плоскости, в которых они распо-
ложены. Из точек А (а; Ь; с) и Ai (fl,;	с:) проведем еекторы
АВ = А.]В) = Р {/и; п; р) и АС — AtCt = Р {m,; щ; pt}. Высота
призмы 4ВСт4|В|С| и равна искомому расстоянию.
526.	Показать, что прямые
л	ai, х — 2 у — 4 г — 2
х = г — 2, у — 2г 4-1 и —а— =	:—
7	*	.4	I	I
75
пересекаются, и написать уравнение плоскости, в ко-
торой они расположены.
527.	Написать уравнения перпендикуляра, опущен-
ного из точки (2; 1; 0) на прямую х = Зг—1, у = 2г.
528.	Построить плоскость х -j- у—г=0 и прямую,
проходящую через точки А(0; 0; 4) и В (2; 2; 0).
Найти точку пересечения прямой е плоскостью и угол
между ними.
529.	Построить плоскость у ~ г, прямую х =
——z -|- 1, у = 2 и найти: 1) точку их пересечения;
2) угол между ними.
530.	Найти проекцию точки (3; 1; —1) на пло-
скость Зх -1- у + г — 20 = 0.
53L Найти проекцию точки (J; 2; 8) на прямую
532. Напиеагь уравнение плоскости, проходящей
х — 1 у + 1 z — 2
через параллельные прямые —j— = -—д- = —г— и
1	Z.	о
V	у + 1	2—1
1	— 2	~ 3	
Г О О Т"Г	X -р 3 _ у 4- 1 Z -р 1
ЬЗЗ. Показать, что прямые —।—	।—
и х = Зг— 4, у = г + 2 пересекаются, найти точку их
пересечения.
534. Написать уравнения перпендикуляра, опу-
г 1
щепного из точки (1;0;—1) напрямую — =
__ у — 1  Z
535. Найти кратчайшее расстояние между пря-
мыми х = —2у — г и х — у = 2.
§ 5. Сферические и цилиндрические поверхности
1 °. Уравнение сфе р пиеской поверхности е
центром С (а, Ь, с) п радиусом R:
(Х-аУ+(у-ЬУ + (2-сУ = РВ-.	(1)
2°. Уравнение F (х, //) =0, не содержащее z, опреде-
ляет цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной
сен Oz. Аналогично каждое из уравнений: Г) У (у, г) = 0 и
2i F(x, z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с обра-
зующей, параллельной: 1) Ох; 2) Оу.
3е. Уравнение цилиндрической поверхности
с направляющей F(x, у) = 0, z = 0 п с образующей, параллель-
ной вектору Р {т; it; р]. Уравнение произвольной образующей бу-
76
X — Хй У — Уй z
дет '—т—= ~--------=~р'’ где л'0’	0)—точка на направ-
ляющей.
Определив отсюда Хп и уа и подставив их в уравнение на-
правляющей, получим уравнение цилиндрической поверхности:
f(x- — z, у-—	= 0.	(2)
536.	Найти центр и радиус сферы:
1)	х2 + у2 + 22 — Зх 4- 5у — 4z — 0;
2)	х2 + У2 + 22 = 2аг
и построить изображение второй сферы.
537.	Написать уравнение сферической поверхности,
вписанной в тетраэдр, образованный плоскостями
Зх — 2у + 6s—18 = 0, х = 0, у = 0, 2 = 0.
538.	Написать уравнение геометрического места
точек, расположенных вдвое ближе к точке Д(2;0;0),
чем к точке В(—4; 0; 0).
539.	Написать уравнение сферической поверхности,
проходящей через окружность х2 + у2 -ф z2 = а2, х 4-
+ у + z = а и через точку (а; а; а).
Указание. Искомое уравнение должно иметь вид:
х2 + У2 + г2 — а2 + X (х + у + 2 — а) = 0.
540.	Построить в левой системе координат поверх-
ности
1) У2 + z2 = 4; 2)' у2 = ах-, 3)' xz = 4; 4)' х2+
4- у2 =ах.
541.	Написать уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от прямой х = а, у = 0
и плоскости yOz. Построить поверхность.
542.	Написать уравнения трех цилиндрических по-
верхностей, описанных около сферы х2 + у2 + z2 —
— 2ах = 0 с образующими, параллельными соответ-
ственно: 1)' оси Ох; 2) оси Оу; 3) оси Oz.
543.	Нарисовать в первом октанте левой системы
координат кривую Вивиани:
х2 + у2 + z2 = 16, х2 + у2 = 4х,
построив ее точки при х = 0; 2 и 4. Показать, что
проекция кривой на плоскость xOz есть парабола.
544.	Найти центр и радиус окружности
x2 + y2 + z2= 10у, х + 2у + 2г — 19 = 0.
77
Указание. Центр окружности есть проекция центра шара на
плоскость (см, задачу 530),
5.	45. Написать уравнение цилиндрической поверх-
ности с направляющей у2 — 4х, г == 0 и с образующей,
параллельной вектору Р {I; 2; 3}.
546.	Построить в первом октанте поверхность
(с 4- у)2 + az = а2 по сечениям плоскостями л =0,
у = 0, г = 0, z — h а и показать, что эта поверх-
ность цилиндрическая с образующими, параллель-
ными прямой х 4~ у = a, z = 0.
547.	Шар г2 -|- у2 -f- z2 = 4z освещен лучами, па-
раллельными прямой л' = 0, у = г. Найти форму тени
шара на плоскости хОу.
Указание. Нужно написать уравнение цилиндрической по-
верхности, образованной лучами, касательными к шару. За ее на-
правляющую принять линию сечения шара плоскостью, проходя-
щей через центр шара и перпендикулярной к лучам.
548.	Написать уравнение плоскости, проходящей
через центр С поверхности х2 у2 4- г2 — 2х 4- у —
— '!; = 0 и перпендикулярной к прямой ОС.
549.	Написать уравнение геометрического места то-
чек, удаленных вдвое дальше от начала координат,
чем от точки (0; —3; 0).
550.	Найти проекцию на плоскость z =0 сечения
шаровой поверхности х2 4- у2 4"	= 4(х — 2у — 2г)
плоскостью, проходящей через центр шара и перпен-
дикулярной к прямой х = 0, у z = 0.
551.	В левой системе координат построить поверх-
ности:
1 ) г = 4 — х2; 2) у2 4- г2 = 4г; 3) у2 = х3.
552.	Построить в первом октанте левой системы
координат кривую пересечения цилиндров х2 4- z? = а2
и х2 4- у2 = а2.
Указание. Построив в плоскостях xOz и хОу четверти направ-
ляющих окружностей, разделить их приближенно па равные части
(например, па 4) и через точки деления провести образующие ци-
линдров до их пересечения (см. рис. 60, с. 331).
553.	Написать уравнение цилиндрической поверх-
ности с образующей, параллельной вектору Р{1; 1; I},
и с направляющей х2 4- У2 = 4х, г == 0.
554.	Построить тело, ограниченное поверхностями
у2 = х, z = 0, г = 4, х = 4, и написать уравнения диа-
гоналей грани, лежащей в плоскости х = 4,
78
§ 6. Конические поверхности
и поверхности вращения
Г. Конические поверхности. Пусть коническая по-
верхность имеет вершину в начале координат, а направляющую
F (х, у) = 0 на плоскости г = h. Уравнение образующей будет:
х	у	г	„
•—==~^~=~7~! где (Хо; уо\ п) — точка направляющей. Опреде-
ли	У а	п
лив отсюда х0 и уа и подставив их в уравнение F(x, у) — 0, по-
лучим уравнение конической поверхности с вершиной в начале
координат-.
f(^, J^ = 0.	(1)
Если вершина конуса будет в точке (а; &; с), то уравнение
примет вид
Р Г	(у- b)	1 = 0
L Z — С	2 — С	J
Уравнение (1) однородно относительно х, у, г, а уравнение
(2) однородно относительно х — а, у — 6 и z— с. По однород-
ности уравнения можно узнать уравнение конической поверхно-
сти.
2°. Поверхности вращения:
Уравнения кривой	Ось вращения	Уравнение поверхности вращения
Е(х, 0 = 0, 2 = 0	Ох Оу	F (х, а/у2 + 22) — 0 F (aJ x2 + z2, у) = 0
i О о II II 77	Ох Oz	F (х, а/у2 + z2 ) = 0 F (а/х2 + у2, z)=0
F (у, z)=0, х = 0	Оу Oz	Д(г/, а/х2 + z2 ) = 0 F (Vх2 + у2, г) = 0
555.	Написать уравнение конической поверхности
с вершиной в начале координат и направляющей
х2 + у2 == а2, 2 — с. Построить изображение поверх-
ности.
556.	Написать уравнение конической поверхности
с вершиной в точке Л(0; —а; 0) и направляющей
х2 — 2ру, 2 = h. Построить изображение поверхности.
557.	Определить вершину конуса х2 + (у — а)2—•
— 22 =0, его направляющую в плоскости г = а и по-
строить конус.
9
558.	Определить вершину конуса х2 = 2уг, его на-
правляющую в плоскости z = h и построить конус.
559.	Исследовать поверхность коноида *) пли кли-
на (а2— х2) tp ~ h2г2 по сечениям плоскостями 2 = 0,
у = h, х = ±:с(с^а) и построить коноид в области
2	0.
560.	Написать уравнение поверхности, образован-
ной вращением кривой z = х2, у = 0: 1) вокруг оси
Ог\ 2) вокруг оси Ох. Построить обе поверхности.
561.	Написать уравнение поверхности, образован-
ной вращением вокруг оси Oz: 1 ) кривой z — c~"J,
у = 0; 2) кривой z =	, у~0. Построить обе по-
верхности (в левой системе координат).
562.	Написать уравнение конической поверхности
с вершиной 0(0; 0; 0), направляющей х2+(у— 6)2 +
4- z2 - - 25, у = 3 и нарисовать поверхность.
563.	Написать уравнение конической поверхности
с вершиной С(0; —а; 0), направляющей х2 + у- +
4-z2 =25, г/ = 3 и нарисовать поверхность.
564.	Написать уравнение поверхности, образован-
ной вращением прямой z = y, х=0: 1) вокруг оси
Оу\ 2) вокруг Oz, и нарисовать обе поверхности.
565.	Показать, что сечение конуса z3 = ху пло-
скостью х + у = 2а есть эллипс, и найти его полуоси.
§ 7. Эллипсоид, гиперболоиды и параболоиды
Г. Канонические уравнения. Кроме цилиндриче-
ских, существуют шесть основных видов поверхностей второго по-
рядка, определяемых следующими каноническими (простейшими)
уравнениями:
X2	I/2	2*2
J. Эллипсоид: —— 4—4—т- — !
а2	Ь2	с!
II. Гиперболоиды:
х2	,	и‘	-z2	,
—г- 4- =-----— = 1 — однополоетныи,
а2	Ь2	с-
1!^
—— 4-4~------4- = —1 — двуполоетпый.
а2	Ь2	с1
III.	Конус второго порядка:	----~
*) Коноидом называется поверхность, образованная движе-
нием прямой, параллельной данной плоехостл и пересекающей
данную кривую и данную прямую.
80
( X2 f/2 n
------1- -— = 2z — эллиптическим,
P	<7
x2	у2	-
		I-— = 2z — гиперболическим.
(	P	Я
2s. Прямолинейные образующие. Через каждую
точку однополостного гиперболоида проходят две его прямоли-
нейные образующие:
и
Через каждую точку гиперболического параболоида тоже про-
ходят две его прямолинейные образующие (при р > 0 и q > 0)
(х
и
-V7 /
3°. Круговые сечения.
На всех
гцих эллиптические сечения, имеются также
поверхностях, имею-
и круговые сечения.
х2 у2 z-
Наиболыние круговые сечения эллипсоида ~г	= 1
(при а > b > с) находятся на сфере х2 + у2 + г2 = Ь2. Круговые
х2 . у2 п
сечения эллиптического параболоида т — = 2z, проходящие
через вершину, находятся на сфере х2 + у2 + z2 — 2рг (при
566.	Написать уравнение поверхности, образован-
ной вращением эллипса	= 1, у = 0 вокруг
оси Oz.
д»2	у2
567.	Построить поверхность -g~ +	= 1 и
найти площади ее сечений плоскостями: 1) z — 3;
2) //= 1.
568.	Написать уравнение поверхности, образован-
ной вращением кривой -----------^- — 1, у = 0: 1) во-
круг оси Oz; 2) вокруг оси Ох. Построить обе поверх-
ности (в левой системе координат).
569.	Построить поверхности:
1)	х2 + f - з2 = 4; ' 2) л-2 - if + z1 + 4 = 0.
61
воротом верхнего
Рис. 22
И* 2^
570.	Построить гиперболоид -у-г- + -gg- = 1 и
найти его образующие, проходящие через точку
(4; 1; -3).
571.	Нитяная модель цилиндра «закручена» по-
а па а° (рис. 22). Определить
уравнение полученной «линей-
чатой» поверхности, если ок-
ружности ее оснований лежат
в плоскостях z~+c, их цент-
ры — на оси Oz, а их радиусы
равны 2а. Рассмотреть частные
случаи при а = 90°, 120°, 180°.
Указание. Точка М(х; у; г) де-
лит расстояние между точками
А (2а cos /; 2а sin /; —с),
Л [2,-1 cos (t + а); 2а sin (t + а); с]
в отношении .4АРЛ!В = (с 4-2):
• (с — г).
572.	Написать уравнение по-
верхности, образованной вра-
щением параболы az=x2, у=-
=0 вокруг оси Ог. Построить
поверхность по сечениям пло-
скостями: 2 = а, х = 0, у = 0.
573.	Построить поверхности:
1)22 = л> + 4;	2) 2==С(1-^-4).
574.	Построить (в левой системе координат) по-
верхность х2— у2 = Az и найти ее образующие, прохо-
дящие через точку (3; 1; 2).
575.	Написать уравнение геометрического места то-
чек, отношение расстояний от каждой из которых до
плоскости х = 2а к расстояниям до точки F(a; 0; 0)
равно -у/2. Построить поверхность.
576.	Написать уравнение геометрического места
точек, отношение расстояний от каждой из которых до
точки F(0; 0; 2а) и до плоскости z = а равно д/2.
Построить поверхность.
577.	Написать уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от точки F{—а-, 0- 0) и
от плоскости х — а. Построить поверхность.
82
578.	Найти наибольшие круговые сечения эллип-
х2 . у2 . z2 .
соида 169 + 25 + э •
579.	Определить круговые сечения эллиптического
параболоида -^-+ 9 — 2> проходящие через начало
координат.
•780. Назвать и построить каждую из поверхностей:
1)	х2 + у2 + z2 = 2аг; 6)	х2 — 2аг;
2)	х2 + у2 = 2az\	7)	х2 = 2yz-,
3)	х2 4- z2 = 2az;	8)	z = 2 + x2 + t/2;
4)	x2 — y2 = 2az\	9)	(z— a)2 = xy,
5)	x2 — y2 = z2\	10) (z — 2x)2 + 4 (z — 2x) = y2.
581.	Написать уравнения прямолинейных обра-
зующих гиперболоида х2— у2 + z2 = 4, проходящих
через точку (2; 4; 4).
582.	Написать уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от точки F(0; 0; а/2) и
от плоскости z =—а/2. Построить поверхность.
583.	Написать уравнение геометрического места
точек, одинаково удаленных от точки F(0; 0; а/2) и
от плоскости z = За/2. Построить поверхность.
584.	Найти наименьшие круговые сечения гипербо-
лоида
х2 . у2 3z2	,
-й + V —25~ = "
585.	Написать уравнения прямолинейных образую-
щих гиперболического параболоида —~—2г,
проходящих через точку (4; 3; 0).
ГЛАВА 4
ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
§ 1.	Определители
Г. О п р е д е л и т е л и. Определителем
зывается число, обозначаемое символом
мое равенством
второго
at bi
а2 b2
порядка na-
il опрсделяе-
I “*
I а2
*1 I
— ctib2 — a2bt.
b2 I
(1)
Определителем третьего порядка называется
чаемое символом
a, bi ci
а2 b2 с2
а2 Ь3 с3
С2 I , I а2
— 61
с3 I I аз
bi Ci
Ь2 с2
Ьз Сз
и определяемое
1'2
<-з
+ С1
число, обозна-
равенством
а2
аз
&2 I
Ьз I
(2)
Определители второго порядка, входящие в правую часть ра-
венства (2), получаются из данного определителя третьего по-
рядка вычеркиванием одной строки и одного столбца п называ-
ются его минорами. Формула (2) называется формулой разложе-
ния определителя третьего порядка по элементам первой строки,
2°. Свойства определителе й.
I.	Величина определителя не изменится от замены строк
столбцами.
II.	Величина определителя от перестановки двух любых па-
раллельных его рядов меняет знак на обратный.
Из свойств I и II следует, что определитель можно разло-
жить по элементам любого ряда, так как этот ряд можно сделать
первой строкой.
III.	Определитель с двумя одинаковыми параллельными ря-
дами равен нулю.
IV.	Общий множитель элементов одного ряда можно выне-
сти за знак определителя.
S1
V.	Величина определителя не изменится, если к элементам
одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умножен-
ные на произвольное одинаковое число. Например:
at bi С]
b2
а3 Ь3 Сз
at + mCi
а2 + тс2
аз 4- шсз
bi+nCi с,
Ь2 4* пс2 с2
Ьз 4- пс3 с3
С помощью этого свойства
можно в любом ряду определителя
третьего порядка сделать два нуля, чем упростится разложение
определителя по элементам этого ряда.
3°. Площадь треугольника
3(х2; г/г), С(х3; у3):
Вычислить определители:
У1
У2
Уз
с
1
1
1
586. 3 —2	587. 2	3
4	6'	6 —10
589.
591.
а —1	590. sin а
а	—cos а
sin2 а cos2 а
sin2 р cos2 р
вершинами Л(хг, <л),
(з;
588.	3 —2
—4	5 ’
cos а
sin а
Вычислить определители, разложив их по элемен-
там первого столбца:
592.
2 3 4
5 -2 1
1 2 3
593.
а 1 а
-1 а 1
а —1 а
Вычислить определители, разложив их по элемен-
там того ряда, который содержит наибольшее число
нулей:
594.
1 Ь 1
О ь о
ь о ~ъ
595.
— х 1 х
О —х —1
х 1 — х
Упростить и вычислить определители:
596.
а —а а
а а —а
а —а —а
597.	1	2	5
	3	—4	7
	-3	12	-15
85
602. Найт» площадь треугольника с вершинами
А (2; 3), В (4; -1) и С (6; 5).
603. Лежат ли на одной прямой топки:
/1(1; 3), В (2; 4) и С (3; 5}?
604. Написать с помощью определителя третьего
порядка уравнение прямой, проходящей через точки:
1) (л,; i/j) и (л-2; у2); 2) (2; 3) я (-!; 5)-
Упростить и вычислить определители:
606. .2-31
О —6 2 .
В -> 2
607. ' <7л сВ -J- X2
и 7 (В -Н if
i.Z (В -L 22
m — a
2n — a
a
a
a
60S.	sin За	cos За	1
	bin 2ч	cos 2а	1
	sin а	cos а	1
за знак определителя, за»
трегыо и вынести (* — z)
Укамние. В примере (i07 вынести a
тем из первой п второй строк вычесть
и {ц— г) за знак определите.1::).
609. Доказать, что
1 '1 +	с а	;/|	+	7 я	।
~4 —	-‘<2	'И	~~	У2	J
2	2
*1	У\	1
86
610. Найти х из уравнений:
и проверить подстановкой
корней в определитель.
§ 2. Системы линейных уравнений
1°. Система двух
линейных уравнений
с дву-
м я неизвестными
Д1Х + Ь,у = ct,
OiX + &2</ — с2
имеет решение:
с, &,
сг Ь2
Л1 Й1
а2 Ъ2
Я1	С1
у=\	Д».	с*	I
J	I	Я,	bi	I
I	а2	b2	|
(2)
при условии, что определитель системы Д =
2°. Система двух однородных
нений с тремя неизвестными
a, 6i |
/И °-
0-2	^2 I
линейных у р а в -
Д|Х + Ъ\у + С\2 = 0,
н2х + ь2у + с2г = 0
имеет решения, определяемые формулами:
. I bi	Ci I	I ai	ci I	I a,	bi I
х = /г	, у = — я	, z — k	,	(5)
I	^2 |	| ^2	c2 I	I #2	02 I
где k — произвольное число.
3°. Система трех однородных линейных урав-
нений с тремя неизвестными
atx + biy + с,г = 0,
a2x + b2y + с2г = 0,
a3x + b3y + c3z = 0
(5)
имеет отличные от 0 решения, если определитель системы Л =
ai
а2
ал
4°.
bi ct
bi с2 = 0, и обратно.
Ьз с2
Система трех линейных
мя неизвестными
aiX + biy = Ci,
уравнений
с дву-
а2х 4“ b2y с2,
(6)
а2х -|- Ьзу = с2
87
совместна, когда Л =
«1
«2
аз
bi ci
Ь> сг
Ьз с3
и система не содержит
попарно противоречивых уравнений.
5е. Система трех л п н е и пых уравнений с тре-
мя неизвестны ми
aix + Ьц/ + cis = <Л,
а2х -f- b2y + c2z = (Ч,	(^)
азх + ЬзУ + С32 = d3
при условии, что определитель системы
имеет следующее единственное решение:
Х =	У=—’
(8)
где
Д;<
(Zj	bt	ct
d2	Ьз	с2
ds	Ьз	с3
di с,
42 е2
о'з Сз
6°. Песо в и ес т и ы с и п е о и р е д
bl di
Ьз d2
Ьз d3
л е и н ы е с и с т е м ы.
Обозначим левые части уравнении (7) через , Х2 и Л'з. Пусть
определитель системы (7) А = 0. При этом возможны два пред-
положения.
I. Элементы двух строк определителя Л пропорциональны, иа-
Нз	Ь2	с2	v ,.
пример ----= -— =------= rn. 1 огда Л2 — шл, и
с/,	bi	Ci
I) если d2 nidi, то система несовместна (первые два урав-
нения противоречивы)-,
2) если di = md-., то система неопределенна (если первое и
третье уравнения не противоречивы).
II. В определителе А нет строк с пропорциональными эле-
ментами. Тогда существуют отличные от 0 числа m и п такие,
при которых mXi пХ2 = Х3, и
I) если mdi 4- nd2 cl3, то система несовместна;
2) если mdy 4- nd2 = d3, то система неопределенна.
Числа m и п можно подобрать по соображению или же найти
их нз уравнений арп + а2п - - а3, btm + Ьыг = Ь3, с,.т + с-/г =
Решить с иомощыо
пений:
определителей системы урав-
611. Зх + 2у = 7,
4х — 5у = 40.
613. ох -}- 2z/ = 4,
7х Н- \у = 8.
612. ах — Зу — 1,
ах — 2 у == 2.
614. тх — иу = (т — п)2,
2х — у — п (при т=^2:0-
88
Решить системы уравнений:
615. 2х— Зу + z — 2 = 0,
х + Зу — 4z + 5 = 0,
4x4- у — 3z + 4 = 0.
617. 2х — 5г/4-2г = О,
х + 4у — 3z = 0.
619. Зх + 2у— 2 = 0,
2х — у + 3z = О,
х + У — 2 = 0.
621 • х -|- 2г/ -j- 3z = 4,
2х + у — 2 = 3,
Зх 4- Зу	22 = 7.
623. Пересекаются ли в
1) 2х— Зу = 6, Зх4-г/ = 9, х-]-4г/ = 3
и
2) 2х— Зу = 6, х4~2г/ = 4, х— 5г/=5.
Выполнить в обоих случаях построение.
618.
616. 2х — 4у 4-32=1,
х — 2у 4- 42 = 3,
Зх — у 4- 52 = 2.
Зх 4- 2у — 2 = 0,
2х — //4-32 = 0,
х 4- Зу — 4г = О,
620. х 4- 2у 4- 32 = 4,
2х 4~ 4у 4~ 62 = 3,
Зх + у — 2=1.
622. х 4~ 2у 4~ З2 = 4,
2х 4- у — 2 = 3,
Зх 4- Зу 4- 2z = 10.
одной точке прямые:
Решить системы линейных уравнений:
624. 2х— уz = 2,
Зх 4- 2у 4- 2z = —2,
х — 2t/4- 2= 1.
626. 3x4- 22/4-22 = 0,
5х 4- 2у 4- 32 = 0.
628. 2х — 2/4-32 = 0,
х 4- 2г/ — 5г = О,
Зх 4- у —- 2z = 0.
625. х 4- 2г/  З2 = 5,
2х — у — 2=1
х 4- Зу 4- 4г = 6,
627. Зх— г/4-22 = 0
2х 4- Зу — 52 = О,
х 4- у 4— z 0.
629. х — 2у 4- 2 = 4,
2х4-3г/ — 2= 3,
4х — г/4-2=11.
§ 3.	Комплексные числа
1°. Определения. Комплексным числом называется выра-
жение вида х + yi, в котором х и у — вещественные числа, аг —
некоторый символ, если при этом приняты условия:
1)	х + 0i = х, 0 + yi = yi и It = 1, (—1) i = —1;
2)	х -j- yi = Xi + УС тогда и только тогда, когда х = х1 и
У = УС,
89
3)	(х +	+ (*j + 7iO —	+ *1!' + (7 + '/1! 0
4)	(x + yi) (x, + yti) = (лл( — ууО 4- (л-r/i + Xi4} i-
Из условий 1) и 4) получаются степени числа i:
i'2 = — 1, 1' = —i, г — 1, z5 = i it т. д.	(1)
Комплексное число x 4- yi, в котором и =r= 0, называется м/-ш-
мым числом. Число i называется мнимой единицей.
2°. Д ействпя над комп л е к с и ы м и ч и с л а м н. Сло-
жение, вычитание, умножение и возведение в степень комплекс-
ных чисел можно выполнять по правилам этих действий над мно-
гочленами с заменой степенен числа 1' по формулам (1).
Деление комплексных чисел п извлечение корня из комплекс-
ного числа определяются как действия обратные.
З1. Тригонометрическая фо р м а ко м илек с -
н о г о ч и с л а. Комплексное число х 4- уч определяется парой ве-
щественных чисел (х, р) и поэтому изображается точкой /И(г-, I/)
плоскости пли ее радиус-вектором г ОМ (см. с. 48, рис. 12).
Длина этого вектора г — х‘ 4- у- называется модулем комп-
лексного числа, а угол его <р с осью Ох называется аргументом
комплексного числа. Так как х = г cos ф, у =rsinqi, то
х 4- yi = г (cos <р 4- i sin ф).	(2)
4°. Д е й с т в и я над к о м и л и к с и ы м и ч и с л а и и в
тригонометрической фо р и щ
г (cos ф 4- i sin ф) Г| (cos q.p 4- I sin qpj —
= (rrt) [cos (q> 4- qp,) 4- i sin (<p 4- Ф1)]. (3)
r (cos cp 4- i Sill q>) r ,	,	. ,   ,	4,
----------:—;----— =   [cos (ф — Q i) 4- 1 sill (ip — <p।)], (4)
r, (cos qp, 4- i: Sin q.t)	г, 1	*	J
[r (cos qp 4- i sin ф)]“ - rn (cos /up 4~ i sin ntp),	(5)
”/-7------;—;—:--r 11!— ( ф 4- 2ЙЛ . . . ф 4~ 2/гЛ У
-Vг (cos ф 4- Z sin ф) = д/г I cos-----i sin----------- j ,
(6)
где k = 0, 1, 2, ..., n — 1.
Формулы (5) и (6) называются формулами Муавра.
5°. Ф о р м у л а Эйлера: et,f = cos ф 4- i sin ф-	(7)
6°. Л о г а р и ф м комплексного числа:
In z = In г 4- /фо + 2/глг,	(8)
где фа — значение аргумента ф, удовлетворяющее неравенствам
—л < ф л. Выражение 1п г 4- z'ip0 называется главным значе-
нием логарифма.
630.	Выполнить действия: 1) (2 -j- 3/) (3— 2/);
2) (а + Ы)(а-Ы)-, 3)(3-2/)3; 4) (1 + /)3; 5) -Щ-;
631.	Решить уравнения: 1) х2 4- 25 = 0; 2) х2 —
— 2%Н-5 = 0; 3) х2 + 4х 4- 13 — 0 и проверить под-
становкой корней в уравнение.
90
Следующие комплексные числа изобразить векто-
рами, определить их модули и аргументы и записать
в тригонометрической форме:
632.	1) z = 3; 2) 2 = —2; 3) z == 3z; 4) z = —2/.
633.	1) z = 2 — 2z; 2) z = 1 + z д/3; 3)z = — д/3 — i.
634.	1) — д/2 +1 д/2; 2) sin a --f- t (1 — cos a).
635.	Числа, данные в задача i 632—634, записать
в форме ге<р* (при —л < <р л).
636.	Построить области точек z по условиям:
1)	| z | < 3; 2) | z | < 2 п л/2 < гр < л;
3) 2<|г|<4 и —л < ср <—л/2.
637.	Показать, что |zi — z2| есть расстояние между
точками Z[ И Z2.
638.	Дана точка z0 = —2 + 3Z. Построить область
точек г, для которых (г — z01 < 1.
639.	Число, сопряженное с z, обозначается через
г. Доказать, что z-z = |г|2.
640.	Вычислить по формуле Муавра:
1)	(1 + z)10; 2) (1 - i д/3)6; 3) (-1 + if-
4)	(1 + cos-+ + i sin -j-) 4; 5) (д/3 + if.
641.	Выразить sin 3a и cos 3a через функции угла
a, используя тождество (cos a + i sin a)3 = cos 3a +
+ i sin 3a.
642.	Найти все значения г — д/1 и изобразить их
радиус-векторами, построив круг радиуса, равного 1.
643.	Найти: 1) дЛ; 2) д/Г; 3) д/=Л; 4) V-24-2z.
644.	Найти: 1) д/z; 2) V—1+4 3) д/—S-J-8/д/З-
645.	Решить двучленные уравнения: 1) х3 + 8 = 0;
2)' х4 + 4 = 0.
646.	Найти главное значение логарифма: 1) In (—2);
2) ln(l +z); 3) In z; 4) ln(x + yz); 5) In(2 — 2z).
647.	Найти сумму sin x + sin 2x + sin3x + ...
... + sin nx.
xi -xi
£	— Q
Указание. По формуле Эйлера заменить sin х =-—---
и т. д.
648.	Найти сумму cos х + cos 2х ф- cos Зх + ...
... + cos их.
91
649.	Доказать тождество
х'; - 1 =
= (х - 1) (х2 - 2х cos 72° +1) (х2 - 2х cos 144° + 1).
650. Вычислить:
1)	2) (а + ЫТ-(а-Ы)3.
Лх "Т" 04
Следующие комплексные числа изобразить векто-
рами, определить их модули и аргументы и записать
г. тригонометрической форме и в форме ге'Ь’; (при
•—л, <' ф л):
651.	1) z = 4 + 4Z; 2) г = — 1 + i д/3; 3) z = 1 — i.
652.	1) z~ 5;	2) z — — i; 3) z = — д/2 — д/—2.
653.	Построить область точек z ио условиям
1 < | z | < 3 и л/4 < ф < Зл/4.
654.	Дана точка го = 3— 4z. Построить область то-
чек z, для которых |z — 20| < 5.
655.	Вычислить ио формуле Муавра:
1)	(1 - Z)6; 2) (2 + I д/12)5; 3) (1 + cos J + i sin £f.
656.	Выразить sin 4a и cos 4a через функции угла
ci, используя тождество (cos а + i sin а)4 cos 4а ф-
4- i sin 4а.
657.	Найти все значения корней: 1) V—1 и 2) д/,1
и изобразить их радиус-векторами.
658.	Решить уравнения: 1) х3— 8 = 0; 2) х6-{-
+ 64=0: 3) х4 —81 =0.
659.	На йти сумму
cos х + cos Зх + cos 5х + ... + cos (2/г — 1) х
(см. задачу 647).
§ 4. Уравнения высших степеней и приближенное
решение уравнений
Г. К у б п ч е с к о е уравнение:
х3 + ах2 + Ьх ф с = 0.	(1)
Если Xt, х2, х3— корни уравнения (1), то уравнение можно
записать в виде (х — xt) (х— х2) (х — х3) ~ 0. Отсюда a =j
= —(Х| + Ха + х3), b = хдд + Xi.v3 + .1'2X3, с = — Х1Х2Х3.
92
Уравнение х3 + ах2 + Ьх + с = 0 приводится к виду z3+'
+ pz q = 0 подстановкой х = z —7. Уравнение z3 + pz-\-q = Q
и
решается по формуле Кардано:
I.	Если Д = -Е- +	> 0, то Zi = ul-\-Vi, z2i3 =
Mj + »!	,	«! — Vi .	/г-
=----—%—L ± ——-iy3, где U] и Vi — вещественные зна-
чения корней и и V,
тт г,- л <72 . Р3 л	3<7
II.	Если Д = -2_ +	= 0, то Zi = —, z2 = z3 = -=«
_ ?!
2 ‘	___
III.	Если Д =4-+	< 0, то Z! = 2 л /-^-cos z2, з =
4 Z\ О . о
=2 лЛ?cos (1 ± 120°)’где cos <₽=- -г/д/
2°. Отделение вещественного корня урав-
нения f(x) =0. Между а и b содержится единственный ко-
рень уравнения ((х) =0, если [(a) и f (b) имеют разные знаки,
a f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и внутри него имеет произ-
водную f'(x)	0. Будем
считать еще, что на этом
отрезке и f"(x)	0.
3°. Способ хорд
приближенного ре-
шения уравнения
f (х) = 0. Пусть а0 — тот из
концов отрезка [а, Ь], отде-
ляющего корень, на котором
f («о) -f"(«o) < 0- Тогда при-
ближением к корню х бу-
дет точка ОС| пересечения с
Ох хорды, АВ (рис. 23):
„	„ f («о)
«1 — «о----—>
где k = т  --------•
о — а
4°. Способ каса-
тельных (способ Ньюто-
на). Пусть Ро — тот из концов отрезка \а, &], на котором
HPo)f,/(Po) >0. Тогда приближением к корню х будет точка
Pi пересечения с Ох касательной к кривой y = f(x) в точке
23
[ро, /Оэ)] (рис 23):

где = Г(р>Д.
Применяя повторно способ хорд и касательных, можно со-
ставить таблицу
с/. | р 1 / (a) I f (Р) I k | /г, , Аа. I Ар |
.. I .. |..|.. г. I.. I 
где k и /<| —наклоны хорд и касательных, а
Л / («>	, f (В)
Ла = — ~— п Др =---------L,—
к	к,
Последовательности получаемых в таблице (2) значений а и
р сходятся к искомому корню.
5’. Способ итераций. Если уравнение /(х) =0 можно
привести к виду х = <р(х), причем в некоторой окрестности корня
|ф+')| <0^1 и Хо — любое число в этой окрестности, то схо-
дящаяся последовательность приближенных решений будет
Х( = ф (л-q), Х2 = ф(Х|). Х-, = ф (л-2), ...
В уравнениях 660, 661 среди целых множителей
свободного члена подобрать один корень, разделить
левую часть на х— лц и затем найти остальные корни.
660.	1) >+ - 4+ 4- х + 6 = 0; 2) + — 4+ — 4х —
— 5 = 0. Решение проверить составлением выражений:
+ + Xj + -V.j,	+ .V >Vt + Х|Х;>, Xj.XAXj.
661.	1) х3 - 5+ - 2х + 24 = 0;
2)	х4 + х3 + 2х - 4 = 0;
3)	9х3 + 18+ — х — 2 = 0; 4) 4х3 — 4г2 + х — 1 = 0.
Решить по формуле КардаЕю следующие уравне-
н и я:
662.	1) + — 6г — 9 = 0; 2) + — 12г - 16 = 0.
663.	1) г3 — 12г — 8 = 0; 2) г3 + 6г — 7 = 0.
664.	х3 + 9л?-'+ 18л' + 9 = 0.
665.	Дано уравнение f(x) = х'1 — х — 10 = 0, Соста-
вив таблицу знаков f(x) при .v = 0, 1, 2, опреде-
лить границы положительного корпя и вычислить его
с точностью до 0,01 по способу хорд и касательных.
666.	Построить график функций у = опреде-
лить графически границы корней уравнения +— 6 г +
+ 3 = 0 и вычислить корпи с точностью до единицы
третьего знака.
91
667.	По способу итераций (последовательных при-
ближений) найти вещественные корни уравнений:
1) х3 + 60% — 80 = 0; 2) 2х = 4х; 3) х3 + l2x + I3 = 0;
4) х4 — 2х — 2 = 0.
668.	Подбором одного корня среди целых множи-
телей свободного члена решить уравнения:
1)	х3 + 8х2 + 15%+ 18 = 0; 2) х3 — Зх2 + 4 = 0.
Для проверки составить выражения
И Х|Х2Х3.
669.	По формуле Кардано решить уравнения:
1)	г3+ 18г- 19 = 0; 2) г3-62-4 = 0;
3)	23 — 32 + 2 = 0; 4) х3 + 6х2 + 9х + 4 = 0.
670.	Построив график функции у=-^-, опреде-
лить границы корней уравнения х4 + Зх—15 = 0 и
вычислить корни с точностью до 0,01.
671.	Найти с точностью до 0,01 положительные
корни уравнений: 1) х3 + 50х — 60 = 0; 2) хэ + х —
— 32 = 0.
672.	По способу итераций найти вещественный ко-
рень уравнения х3 + 2х— 8 = 0, вычисляя последова-
тельные приближения по формуле х = -^8 —2х.
ГЛАВА 5
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Переменные величины и функции
1°. Отрезки и интервалы. Множество чисел х, удо-
влетворяющих неравенствам а < х < Ь, называется интервалом
и обозначается (а, Ь). Множество чисел ,v, удовлетворяющих не-
равенствам а х sg b, называется отрезком и обозначается
[а, Ъ].
Эквивалентные неравенства (при а > 0)
х2 < а2, или | х | < а, или —а < х < а
определяют интервал, симметричный относительно нуля.
2°. Переменные вел и ч и н ы н ф у и кц и н. Если каж-
дому значению переменной х поставлено в соответствие одно чис-
ло, то переменная у, определяемая совокупностью эптх чисел, на-
зывается однозначной функцией х. Перем.гнч.гя х называется при
этом аргументом, а данная совокупность значений аргумента —
областью определения функции.
То, что у есть функция .v, символически записывают в виде
у — f(x), или у = F(x), пли у = <р(х) и т. п. Символ f(x) пли
г(х) и т. и. обозначает закон соответствия переменных. < и ц ,
в частности, он может означать совокупность действий пли опе-
раций, которые нужно выполнить нац х, чтобы попуче.ть соот.в.дт-
ствующее значение у.
673.	Построить области изменения переменной х,
у до в л створяющей неравенствам:
1)	|х| <4; 2) х2<9; 3) |.r-4l< 1;
4) —1<х —3^2; 5) л2 > 9; 6) (х — 2)2<4.
674.	Записать неравенствами и построить интерва-
лы изменения переменных: [—1,3]; (0,4); [—2,1].
675.	Определить область изменения переменной
х = 1--где t принимает любое значение х>\.
3 задачах 676—678 построить по точкам на от-
резке |х| нА 3 графики указанных функций.
96
676.	1) у = 2х; 2) у = 2х-\-2- 3) у = 2х — 2.
677.	1) у = х2; 2)у = х2+1; 3)у = х2— 1.
67	8.1) у=4: 2)^=4-+1; 3)z/=4-L
679.	Построить графики функций: 1) У = ~;
2)	у = 2х; 3) z/ = log2x. Какую особенность в располо-
жении этих кривых относительно осей координат
можно заметить?
680.	Построить на одном чертеже графики функ-
ций: 1) у = sin х; 2) у = cosх по точкам, в которых у
имеет наибольшее, наименьшее и нулевое значения.
Сложением ординат этих кривых построить на том же
чертеже график функции у = sin х + cos х.
681.	Найти корни Xj и х2 функции у = 4х — х1 и
построить ее график на отрезке [Xi — 1, х2-ф 1].
682.	Построить графики функций:
1)	f/ = |x|; 2) у = — |х — 2|; 3) у = \х\—х.
В задачах 683—686 найти области определения ве-
щественных значений функций и построить их графики.
683.	1) у = -\/х + 2; 2) г/ = п/9 - хг;
3)	У = -у/^х-- х2.
684.	1) у = V- х + V4 + X', 2) у~ arcsin х ~ 1 .
685.	1) у =	; 2) у = ±х\/4^х.
686.	1) f/ = -V2^iK^; 2) у=-—^~-х2-.
687.	1) f(x)=x2—х + 1; вычислить f (0), f(l), f (— I),
/(2), f (a + 1); 2) <p(x) = 2x ; вычислить<p(0), <p(—1),
X -J- 1
/ 34	/14	1
\ 2 ) ’ 45 \ x ) ’ <p (x)
688.	F(x) = x2; вычислить:
.. F (6) — F (a) . 9. P I a + h 4 p / a — h 4
1)		b^a---’ 2> F \—2~) ~ F	•
689.	f(x) = x2, <p(x) = x3; вычислить 2	•
690.	K(x, t/) = x3 — 3xy — y-\ вычислить F(4,3) и
F(3,4).
4 В, П. Мииорский	97
691.	Функция называется четной, если f(—х) =
= f(x); нечетной, если f(—х) ——£(х). Указать, ка-
кие из следующих функций четные и какие нечетные:
1)/(х) = ^; 2)<p(x) = -g^; 3)	= +
4)	ф (х) = ах —	; 5) W (х) = х sin2x — х3; 6) fj(x) =
— х + х2.
692.	Середина любой хорды графика некоторой
функции f(x) лежит выше графика этой (функции.
Записать это свойство функции неравенством. Прове-
рить, что этим свойством обладает функция f(x) = x2.
693.	Какая из элементарных функций обладает
свойствами /(1 )=0, /(«)=], j(xy)= /(х) + /(у)?
694.	Какая из элементарных функций обладает
свойствами f(0)== 1, /(1 )= a, f(x + у) =
695.	Построить области изменения переменной х,
удовлетворяющей неравенствам:
1) | х | < 3; 2) х2 < 4; 3) | х - 2 | < 2; 4) (х - 1)2<4.
696.	Определить область изменения переменной
х = 2 у , где t принимает любое значение
697.	Построить графики функций:
1)	у = 4--g- на отрезке |x|s^2;
№
2)	у = 3,5+3х----между точками пересечения
с осью абсцисс.
698.	Построить графики функций:
1)	у~х — 4 + |х — 2| на отрезке [—2,5];
2)	у == 1 — cos х на отрезке | х |	2л.
699.	Построить графики функций:
1)	у = -4; 2) у = 2“\
700.	Найти области определения вещественных зна-
чений функций:
1)у = д/4 —*2; 2) у=. д/* + 1 ~-'Л —
3)	у = 1 — и/2 cos 2х; 4) у = 	1^-—-
и построить их графики,
98
701.	Для функции f (х) = вычислить f (0),
f(—2), f(—1/2), f(x-l), f(1/2);
2)	для функции ср (х)=х3 вычислить	—f21.
3)	для функции f(x) = 4x —х2 вычислить f(a4-
+ 1)-/(ц-1).
§ 2.	Пределы последовательности и функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие
1°. Числовая последовательность. Пусть каж<
дому натуральному числу п = 1, 2, 3, ... по некоторому закону
поставлено в соответствие число хп. Тогда говорят, что этим оп-
ределена последовательность чисел Х|, х2, х3) ... или, короче,
последовательность {х„} — {хь х2, х3, ...}. Отдельные числа
последовательности {х„} называются ее элементами. Говорят еще,
что переменная х„ пробегает значение последовательности {хя}.
2°. Предел последовательности (предел пере-
менной). Число а называется пределом последовательности
{х„}, или пределом переменной х„ (обозначается х„->о), если для
всякого е > 0 найдется зависящее от в число па такое, что
|хя — а| < е для всех натуральных п > па. Интервал (а — в,
а + е) называется в-окрестностью числа а (или точки а). Таким
образом, х„^>а обозначает, что для всякого е>0 найдется та-
кое чрсло «о, что для всех п > п0 числа х„ будут находиться в
е-окрестности числа а.
3°. Предел функции. Пусть функция f(x) определена
в некоторой е-окрестности точки а, за исключением быть может
самой точки а. Говорят, что число b является пределом функции
f(x) при х->а (пишут f(х) -► b при х-*ц или limf(x)=6),
х-»а
если для любого е > 0 существует зависящее от е число 6 > 0
такое, что (х) —b | < в при 0 < |х— а | < б. Аналогично,
limf(x) = Ь, если для всякого 6 > 0 существует зависящее от в
число М такое, что |f(x) —b | < в при |х| > N. Употребляется
также запись lim/'(x) = оо, которая обозначает, что для всякого
х->а
числа А > 0 существует зависящее от А число 6 такое, что
If (х) | > А при 0 < | х — а | < б.
Если х->-а и при этом х < а, то пишут х->а — 0; анало-
гично, если х-»-а и при этом х > а, то пишут х-»-а-)-0. Числа
f (а — 0) = lim f (х) и f (а + 0) = lim f (х) называются
х-»а —О	х->а + 0
соответственно пределом слева функции f(x) в точке а и пре-
делом справа функции f(x) в точке а. Для существования пре-
дела функции f(x) при х->-а необходимо и достаточно, чтобы
было J(а — 0) = f(a + 0). Вместо х->-0 — 0 и х-»-0 + 0 пишут
х->—0 и х-^+0 соответственно.
4°. Бесконечно малые. Если lim а(х) = О, т. е. если
|а(х) | <е при 0< |х — а| < 6(e), то функция а(х) называ-
ется бесконечно малой при х->-а. Аналогично определяется бес-
конечно малая а(х) при х->ао.
4*
99
5°, Бесконечно большие. Если для любого сколь
угодно большого числа .V существует такое 6(A), что при
0< |х — а| < б (7V) выполнено равенство |f(x)| > N, то функ-
ция f(x) называется бесконечно большой при х—>-й. Аналогично
определяется бесконечно большая f(x) при х->оо.
702.	Полагая п — 0, 1, 2, 3, написать последо-
вательности значении переменных:
1
а — 2П ’
1
а —	2,г .
Начиная с какого п модуль каждой из переменной
сделается и будет оставаться меньше 0,001, меньше
данного положительного е?
703.	Написать последовательность значений пере-
(—1У1
менной х = 1 4~	_|_ 1 ' Начиная с какого п модуль
разности х—1 сделается и будет оставаться меньше
0,01, меньше данного положительного е?
704.	Прибавляя к 3 (или вычитая из 3) сначала 1,
затем 0,1, потом 0,01 и т. д., записать «десятичными»
последовательностями приближения переменной к
пределу: хп -> 3 -ф- 0, хп -> 3 — 0.
705.	Записать «десятичными» последовательно-
стями приближения переменных к пределам:
—> 5 -ф- 0, хп —> 5 — 0, хп —> —2 -ф- 0, хп —> —2 — 0, хп—>
—> 1	0, хп —> 1 — 0, хп —> 1,2 -ф- 0, хп —> 1,2 — 0.
706.	Доказать, что lim х2 = 4. Пояснить таблицами
Х->2
значений х и х2.
707.	Доказать, что lim(2x—1 )= 5. По данному
/->3
числу е > 0 найти наибольшее число 5 > 0 такое,
чтобы при любом х из 6-окрестности числа 3 значе-
ние функции у = 2х— 1 оказалось в е-окрестности
числа 5. Пояснить графически.
708.	Доказать, что lim (3 — 2х — х2) = 4. Из ка-
х->-1
кой наибольшей 6-окрестности числа —1 нужно взять
значение х, чтобы значение функции у~3— 2х — х2
отличалось от ее предела меньше чем на в = 0,0001?
709.	Доказать, что sin а есть бесконечно малая при
а -> 0.
Указание. Построить чертеж и показать, что |sina| < |a|,
710. Доказать, что lim sin х = sin а.
х^>а
Указание. Положив х = а -ф а, составить разность sin х —
— sin а и затем положить а -> 0.
100
711.	Доказать, что lim — —— = 3. Пояснить таб-
х-»оо Х
3 Y I {
лицами значений х и —-—прих=1, 10, 100, 1000,...
712.	Доказать, что lim 4‘Чгт — 2- При каких х
Л'->м х "Г 1
значения функции будут отличаться от своего пре-
дела меньше чем на 0,001?
।__2г2
713.	Доказать, что lim 2 = — 0,5. При каких
х значения функции будут отличаться от своего пре-
дела меньше чем на 0,01?
714.	Доказать, что lim 0,333 ... 3 =составив
п->оо '—„---------------------------'	3
п знаков
разности 4-0,3;	4 — 0,33;	4 — 0,333;...;
4 — 0,333 ...3.
п знаков
715. Написать последовательности;
1) хп = _Д—; 2) хп =	; 7 п п 4-1 ’ 7 п	n-f-l’	3) хп = ^- ' п	п 4- 1
Л	л 8 cos я -у 4)	хп=	5) 6) xra = 2-f! a cos пл.	2п + (-1)ге Хп '	п	'
Существует ли lim хп в каждом примере и чему он
равен?
3	3
716.	Найти lim —и lim ——5- и пояснить
Х-*2+0 Х 2	х-»2-0 х 2
таблицами.
717.	Найти lim 2'/* и lim 21/х и пояснить таб-
х->0+0	х->0-О
лицами.
718.	Выяснить точный смысл «условных» записей:
1) А = 0; 2)4 = ±оо; 3) 3“ = оо; 4) 3“~ = 0;
5) lg0 =— 00; 6) tg90° = ±oo.
719.	Показать, что lim sin х не существует, соста-
Х->оо
вив последовательности значений sin х:
101
1) при х = пл; 2) при х —	-j- 2лп; 3) при х =
= -^- + 2лм (n = 0, 1, 2, 3, 4, ...).
720.	Показать, что lim sin — не существует.
х->0 х
721.	Показать, что lim xsin ~ = 0 ПРИ любом
х->0	х
способе приближения х к 0.
722.	В круг радиуса /? вписан правильный много-
угольник с числом сторон п и стороной ап. Описав
около круга квадрат, показать, что ап < е, как толь-
ко п > 8^/е, т. е. ап -> 0, когда п -> оо.
723.	Пусть Гп — апофема правильного, вписанного
в круг п-угольника. Доказать, что lim гп = Я, где
Д — радиус круга.
724.	Вершина В треугольника АВС перемещается
по прямой ВЕ\\АС, неограниченно удаляясь вправо.
Как будут при этом изменяться стороны треугольника,
его площадь, внутренние углы и внешний угол BCD?
725.	Написать «десятичные» последовательности
приближений переменных к пределам: хя—>4Д-0;
х., -» 4 — 0; хп —> — 1,5 4- 0; хп -> — 1,5—0.
726.	Доказать, что:
1)	lim х3 = 27;	2) lim (х2 4-2х) = 3.
*-*1
5х Ч- 2
727.	Доказать, что lim —х*— = 2,5, показав, что
разность —-------2,5 есть бесконечно малая при х
бесконечно большом. Пояснить таблицей, полагая
х= 1, 10, 100, 1000, ...
728.	Доказать, что lim cos x=cosn (см. задачу 709).
х->а
729.	Написать последовательности значений пере-
менных:
1) Х„=1 +(-£)";	2) х„ = (-+
2п sin
3) Хп = (-1)" (2n + 1);	4) х„ =	‘
102
Какая из последовательностей
П->+оо?
__1
730. Найти: 1) lim 2 х-1;
х->1—0
имеет предел при
।_
2) lim 2 х-';
х->1+0
3)	lim 3(g2x;	4)	lim 3tg2x; 5)	lim ---------4—;
"а	л	п	л	,	1	+ 2tg х
Х->——0	х->—~+0	х->—+0
4	4	2
2 t
1 + 2tg х ’
а
6)
lim
я
* 2 "
7) lim
1 4“ д’
73L Доказать, что Пт 0,666 ...6==^-, составив
п~>м Ч—у—/	*
п знаков
разности 4-0,6; 4 — 0,66; ...; 4 — 0,666 ... 6.
U	О	О	ч, __j
П знак.;!.
732.	Пусть ап — внутренний угол правильного п->
угольника. Доказать, что lim а„ = п.
п-><х»
733.	На продолжении отрезка ДВ = а справа
взята точка М на расстоянии ВМ —х. Найти lim-4^-.
§ 3.	Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей
0	09
вида - и —
1°. Предел постоянной равен самой постоянной.
2°. Кт (и + и) «= lim и + lim п,)
> если lim и и lim о сущест-
3 . lim (uv) = lim и • lim v, )
вуют.
4 . 11mПт о"’ еСЛИ lm “ и ‘im ° существуют и limti^O.
5°. Если для всех значений х в некоторой окрестности точки
а, кроме, быть может, х =• а, функции f(x) и <р(х) равны и одна
из них имеет предел при х->а, то и вторая имеет тот же предел
Это свойство применяется при раскрытии неопределенностей
0 о°	х2 — а2
вида и  ор . Например, ~ = х + а при любых х, кро-
№ — а?
ме х = а. По свойству 5° lim -------= lim (х + а) = 2а.
х->а х	х->а
Найти пределы:
I, <• х2 — 4x4-1	1 4-sin 2х
734.	1) im —s; 2) lim ------------------т-.
2х+!	х->л/4 1 -COS4X
103
735. lim
x->2
(пояснить таблицей).
v __ О	1-2 _ О
736. lim  2 q .	737. lim - 2 л
х_^ х2 — Зх + 2	х_*э х2 — 2х — 3
Указание. Решить пример 736 двумя способами: 1) полагая
X = 2 + а; 2) разлагая знаменатель на множители.
738. lim
х->я
tg X
sin 2х
740. lim
739.
741.
lim
sin х — cos х
соз 2х
lim
х-*а
V ДХ — X
х — а
742. lim .
х-Ы -у X — 1
743. lim
х-»0 х
Указание.
I + тх = t3.
В примере 742 положить х = а в примере 743
„ . . ,. V1 + X — V1 — X
744.	lim ——1-----------------
х-»0	х
745.	Нт .Vi
х->л	Sln 2х
746.	1) lim -^47; 2) lim ^-g-.
Л->оо ол чл	х->оо 2
Указание. Можно решить двумя способами: 1) разделив чис-
литель и знаменатель на х в высшей степени; 2) положив х =»
<= 1/а.
747. lim Х->оо	3x — 1 x2 + 1 •	748.	lim x->oo	X3- 1 X2+ 1
749. lim Х-+00	V x — 6x 3x + 1 •	750.	lim Л->ОО		3n 1 —2/1
751. lim- П-»оо	V2n2 + 1 2n — 1			
752. lim П~>оо	1 +2 + 3+ ... V 9/14 + 1	 + n		
Найти пределы:
753.	lim x-> —2	3x + 6 x3 + 8 	754.	..	9 —x2 lim	:	.	
				x->3	V3x — 3
755.	lim x->-l	x2 — x — 2 x3 + 1	•	756.	Urn x->n+0 Sln x	
104
757. lim ——
x->oo 2.+ + 4x + 1
759. Um f 5x2 4- 2^
Х-Э.ОО \ 1 - *2	1
758. lim -31+.1..
П->оо Д/3/i2 4" 1
760.
..	1 + 3 + 5+ ... +(2n-l)
l+2 + 3+...+n
761. lim2. У*~3
x->7	x2-49
762. lim
х->л/4
sin 2x—cos 2x—1
COS X — sin X
§ 4. Предел отношения -sin a- при a->0
€C
Если угол a выражен в радианах, то
.. sin a ,	.. a ,
lim ----= 1; lim —; = I.
a->0 к	a->0 sin a
Найти пределы:
. x
763. lim -StoJL.	764. jirn----L.
x->0 x	X—>0	x
Указание. В примере 763 умножить числитель и знаменатель
на 4 (или положить 4х = а).
 2 х
765. Hm 766. lim—Д. 767. lim—
x->0 x	x->0 x	x->0 x sln x
768. Km _^3x	. 769. lim -^±^(*-4.
x->o Vx + 2 — д/2 Л->о	1
... .. arctgx	.. at'csin (1 — 2x)
770. 1) lim----—; 2) lim---------;—~-
x^o x	x^l2 4x2-l
Указание. Положить в примере 1) arctgx = a, а в примере
2) arcsin(l—2х) = а.
771. lim-^^.	772. lim
х-»0 х	х-»0 х
Найти пределы!
774. lim-.ЛИГ .
х-»о V* + 1 — 1
775. lim
х->-о х
776. lim
х->о
2х sin х
sec х — 1
103
777. lim	778. lim ^_.±
х2
h
[1 1
.?!.—(? T_?) -L. 2 (JC-2'! I (положить x=2+a),
X2 — 4	1	J
780. 1) lim CQS (* + A) ~ cos (* - Л) .
7 л->о	‘
m arcsin (x 4- 2)
2) J“”2 x^+ix- ' •
781. lim  ..... ..Лп2*-
x->0 -V 1 + X sin X — COS X
§ 5. Неопределенности вида oo — oo и 0 • oo
Найти пределы:
782.	lim (д/х2-]-Зх— x).
783-	Й •
784.	lim (д/х2 + x + 1 — -'Jx2 — x)’
785. lim (—X-
x->2 x z
78e-^f^
1 \
4 sin2-^- J
737. Hm ri.±3+-+.^-n._rtl
n -> oo L	tt -f- <5	J
788. lim (1 — x)tg~x (положить x = l— a).
X->1	z
789. lim (д/*2+1 — ^x2 — 4x).
7,|0-Д'Г|1(ттт+?
Найти пределы:
791,	lim (x — V^®-^ + 1).
X->-l-oo
792.	lim (x—\/jc2 — a2).
X->+oo
106
793.	lim (•Sr_ts2x)-
х->л/2 4 Л	7
— л 1 ‘	/ 1 -4“ 2 Ц~ 3 4“ • • • 4~
7М^™(--------Т+2--------г)'
795. lim (х —	tg.к (положить х = 4+а
Х-+Я/2 \	X	\	2
§ 6.	Смешанные примеры на вычисление пределов
Найти пределы:
>-	>nz> iV 1:™ V х + 4—2	..	1 + х sin х — cos 2x
796.	lim^^--------'•	2) hm-----^7x------
x->0 sin	x->0	s,n x
797.	1) lim 4^-;	2) lim-—-----.
*-*' ух 1	x->0 ^/l_^2x—l
798.	lim (д/х2 + ax — д/x2 — ax).
X -> - OO
7S9.
1 2x=.- 4- 2
zl+8x3
2)
lim
X->oo
x — sin x
1 — 5x
800. 1) lim . +,1 ;
x->-l sm (x + I)
2)
lim
X->-2
x2 + x —2
x24- 2x
801.
1)
..	1 — COS X
inn , ,	----r;
:<->0 X(V1 + X — 1)
2) lim
х->л
802.
1)
lim
X->1
sin (1 — x).
Vx — 1 *
2) lim - '-JOI .
h->4-oo 1 4"
803.
804.
1)
lim
.¥->cc
3x4
1 — 2x*
2) lim ——
„->-oo 2+ ion+1
1) lim
Л
V1 + cos 2x
yfn — V 2x '
2)
lim cos
x-»-l
Я (x + 1)
л/х + 1
§ 7.	Сравнение бесконечно малых
1е. Определения. Пусть при х->а функции а(х) и 0(х)
являются бесконечно малыми. Тогда:
I. Если lim — = 0, то р называется бесконечно малой
х->а а
высшего порядка относительно а.
107
fl
П. Если lim = А (конечен и отличен от 0), то р назы-
вается бесконечно малой n-го порядка относительно а.
О
Ш. Если lim — = 1, то р и а называются эквивалентными
х->а а,
бесконечно малыми. Эквивалентность записывается так: р « а.
2°. Свойства эквивалентных бесконечно ма-
лых:
а)	Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бес-
конечно малая высшего порядка относительно каждой из них.
б)	'Если из суммы нескольких бесконечно малых разных по-
рядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то остав-
шаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.
Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно
малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно
малой относительной погрешностью. Поэтому знак ~ мы приме-
няем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так
и для записи приближенного равенства их достаточно малых зна-
чений.
805.	Определить порядки бесконечно малых: 1)1 —
— cosx; 2) tgx— sinx относительно бесконечно ма-
лой х.
Показать на чертеже, что при уменьшении угла х
вдвое величина 1 — cos х уменьшается приблизительно
в четыре раза, а величина tgx— sinx— приблизи-
тельно в восемь раз.
806.	Определить порядки бесконечно малых:
1) 2sin4x — х5; 2) -^/sin'2 х х4; 3) д/1 Д- х3—1
относительно бесконечно :малой х.
807.	Определить порядок малости «стрелы» круго-
вого сегмента относительно бесконечно малой дуги
сегмента.
808.	Доказать, что при х->0:
1)	sinmx~mx; 2) igmx ~ mx; 3)^ 1 + х — 1 ~ 4-х.
809.	Коэффициент объемного расширения тела при-
нимается приближенно равным утроенному коэффи-
циенту линейного расширения. На эквивалентности
каких бесконечно малых это основано?
810.	По теореме lim~ = lim-|i-, если а а,,
и один из пределов существует, найти пре-
делы:
1) lim . п ; 2) hm—г—г1—; 3) lim
’ x->oSin2x’ '	tg&x	7 ,-_>3sm2x —х3
108
811.	Капля воды испаряется так, что ее радиус
стремится к 0. Определить порядки бесконечно малых
поверхности и объема капли относительно ее радиуса.
812.	Определить порядки бесконечно малых:
1) д/1 + х2 — 1; 2) sin 2х — 2 sin х; 3) 1—2 cos (х + у)
относительно бесконечно малой х.
813. Доказать, что при х->0: 1) arctgmxasmx;
2) Vi + х ~	4 х"’ 3)1— cos3 х те 1,5 sin2 х.
§ 8.	Непрерывность функции
Г. Определение. Функция f(x) называется непрерывной
при х = а, если она определена в некоторой окрестности а и
lim f (х) = f (а).
х-+а
Это определение содержит такие четыре условия непрерывности:
1) f(x) должна быть определена в некоторой окрестности а;
2)	должны существовать конечные пределы lim f (х) и
х-*а — о
lim f (х);
X~^d + о
3)	эти пределы (слева и справа) должны быть одинаковыми;
4)	эти пределы должны быть равны f(a).
Функция называется непрерывной на отрезке |хт, х2], если
она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его грани-
цах lim f(x) = f(xt)H lim f (x) = f (x2).
x-»x,+0	x-»x2 —0
Элементарные функции: степенная x", показательная a‘, ло-
гарифмическая, тригонометрические и им обратные, а также их
сумма, произведение, частное непрерывны при всяком х, при ко-
тором они имеют определенное значение.
2°. Р а з рыв ы функции. Функция имеет разрыв при х =
== а, если она определена слева и справа от а, но в точке а не
соблюдено хотя бы одно из условий непрерывности. Различают
два основных вида разрыва.
1) Разрыв I рода — когда существуют конечные пределы
lim f (х) и lim f (х), т. е. когда выполнено второе условие
х-»а —0 х-»а + 0
непрерывности и не выполнены остальные (или хотя бы одно из
них).
<	х — а
Например, функция у = । х _ а । . равная —1 при х < а и
•4-1 при х > а, имеет при х — а разрыв 1 рода (рис. 24), ибо су-
ществуют пределы lim у =—1 и lim у = 4-1, но эти пределы
х-»а-0	*->а+о
не равны.
2) Разрыв II рода — когда lim f (х) слева или справа ра-
х-»а
вей ±оо.
109
Например, функция у = f (х) = -	- (рис. 25) имеет при
х — а разрыв II рода. Все дробные функции, знаменатель кото-
рых при х = а равен 0, а числитель не равен 0, имеют при х — а
разрыв II рода. Функция f (х) = 21/х (задача 819, рис. 38 на
с. 281) также имеет при х = 0 разрыв II рода, так как
lim f (х) = 0, но lim f (х) = оо.
х->- 0	х->+ о
4
814.	Указать точку разрыва функции у = х — 2 ,
найти lim у, lim у, lim у и построить кривую по
х->2~0	х-»2+0 х->±оо
точкам
х = — 2, 0, 1, 3, 4 И 6.
815.	Найти точки разрыва и построить графики
функций:
1) У = —4‘> 2) У = ^х-, 3) у= г^-х2 -
816.	Построить график функции
( х/2 при
1 0 при х--2
и указать точку ее разрыва. Какие из четырех усло-
вий непрерывности в этой точке выполнены и какие
не выполнены?
X I 1 1
817.	Построить графики функций: 1) у = fx+'![ и
X I 1
2) у = х + । х t । . Какие из условий непрерывности
в точках разрыва этих функций выполнены и какие
не выполнены?
11Q
818. Построить график функции
у = f (х) =
sin х
X
2
при х=Н=0,
при х — О
и указать точку ее разрыва. Какие из условий непре-
рывности в ней выполнены и какие нет?
819.	Указать точку разрыва функции у — '21/х,
найти lim у, lim у, lim у и построить график
Х->—О Х->+0 Х->±оо
функции. Какие условия непрерывности в точке раз-
рыва не выполнены?
820.	Построить график функции
	• 0,5х2 при	|х	<2,
У = f (х) =.	2,5 при	|х	= 2,
	, 3 при	х|	>2
и указать точки ее разрыва.
821.	Найти точки разрыва и построить графики
функций
1) у =•=--Ц77-; 2) у = arctg—-—; 3) у =	х-т-..
' у 1 + 21/х	х — а	2 |х — 1 |
822.	Сколько однозначных функций задано урав-
нением х2— у2 = 0? Определить из них: 1) четную
функцию; 2) нечетную функцию так, чтобы они имели
конечные разрывы (I рода) при х = ±1, ±2, ±3, ....
и построить их графики.
823.	Указать точку разрыва функции у =
найти 11m у, lim у, lim у и построить график
х->-2-0 X ->-24-0 х->±00
по точкам х = —6, —4, —3, —1, 0, 2.
824. Построить график функции
(2 при х = 0 и х=±2,
у = f (х) = .
4 — х2 при 0 < | х | < 2,
4
при | х | > 2
и указать точки разрыва. Какие условия непрерыв-
ности выполнены в точках разрыва и какие нет?
111
825. Найти точки разрыва и построить' графики
функций:
2) 0 = 2^':	3)s=l-2‘;
4)
826. Сколько однозначных функций задано урав-
нением х2 + у2 = 4? Определить из них: 1) две непре-
рывные на отрезке |х|	2; 2) ту из них, которая от-
рицательна на отрезке |х|^1 и положительна для
всех остальных допустимых значений х. Построить
график и указать разрывы последней функции.
§ 9.	Асимптоты
Асимптотой кривой называется прямая, к которой не-
ограниченно приближается точка кривой при ее удалении по кри-
вой в бесконечность.
I.	Если lim f (х) = ± оо, то прямая х = а есть асимпто-
х-*а
а
та кривой y = f(x). Например, кривая у = * имеет асим-
птоту х = а (рис. 25).
II.	Если в правой части уравнения кривой у = f(x) можно
выделить линейную часть у =» f (х) = kx + b + а(х) так, что
оставшаяся часть а(х)->0, когда	то прямая у =
= kx + b есть асимптота кривой. Примеры: 1) кривая </ =
X3 + X2 + 1	. . , 1	...
-------------= х + 1 + имеет асимптоту у = х+ 1 (и
асимптоту х = 0); 2) кривая у =• / Д  = 0 + ——- имеет
асимптоту (/»=0 (рис. 25).
f (х)
III.	Если существуют конечные пределы lim ----------—
х-» + оо или —oo х
sek и lim [/ (х) — fex] — b, то прямая у = kx + b есть
X -> + 00 или —ОО
асимптота.
4
827.	Определить асимптоты кривой у=1— -р-
и построить кривую по точкам х = ±1, ±2, ±4.
В примерах 828—830 найти асимптоты кривых, вы-
делив из дроби линейную целую часть; построить
асимптоты и кривые.
828.	1)	2), = -^-; 3)
112
829.	1) // = ^-1!	=
алл	1—4* гл	*3 о. 4х — Xs
830.	1) у — J + 2х ; 2) у — + J ; 3) у — %2 + 4-.
Найти асимптоты кривых и построить кривые;
831.	1) х2— у2 = а2;	2) х3 + у3 = Заху,
3)	у = х — 2 arctg х; 4) у = arctg
832.	1) у = V*2+1 - V-v2-1;
2)	у = V*2 +1 + V*2 — 1; з) у = х —~.
у X
х4 -4- 1
833.	Построить кривые: 1) у = —у—; 2) у =
оХ
jj«3 1 д«2 _
=—Y~p"i— и параболы, к которым эти кривые
асимптотически приближаются.
/	2 \2
834.	Найти асимптоты кривых: 1) у=( 1 — — J 1
2)	у~ — х +-v и построить кривые по точкам х —
= ± -j . ± 1> ±2.
835.	Найти асимптоты кривых и построить кривые:
V — Л.	У %
= 2х + 4 ’ 2)	~ 2 — 2х *	х2 — 4 1
л\	*3
4) У^Т=^-
§ 10. Число в
Числом е называется предел
1
limfl+— Y‘= lim fl+ —')"= lim (1 + а) “= а.
rt->oo\	n->—oo\	a-»o
Это число иррациональное и приближенно равно е = 2,71828...
Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозна-
чаются loge X = In X.
Десятичный логарифм: lgx = Aflnx, где М = 0,43429...
113
Найти пределы:
836. lim (1 — —'l (положить — — = а
П-*оо V п) \	п
“7-
/	4 \ rt+3
2) lim (1+4) .
П -> _ ОО 4	/
1
838. 1) lim (1 + 2х)х;
х->0
839. 1) lim (-А—V;
v п + 1 J
1-Х
2) lim (1 — 4х) х .
х->0
2) lim
Х~>оо
2х - 1 \2*
. ^х + 1 /
840.	1) lim п [In (n+3)—1п п]; 2) lim (l+3tg2*)ct<1*.
М~>оо	Х->0
841.	lim (cos x)cleI х (положить sin2x = a).
Х->!)
842.	1) lim ln(1 +а) ;	2) lim ——
а->0 а	х-»0 х
Л2Х __ 1
3) Нт ---------L.
х->0 Х
Указание. В примере 2) положить е~х — 1 = а.
843.	Найти последовательные целые числа, между
которыми содержится выражение 6(1 — 1,01-10°).
Найти пределы:
844.	1) lim (1 +|)ЗП;	2) lim (^f.
845.	1) lim (-£=*)“>	2) lim i^=±.
Л->оо X ox 1 /	X-»OO x
846.	lim (sin 2x)tg’w (положить cos22x==a).
Х-»я/4
847.	1) lim; 2) lim n [In n — In (n + 2)].
in Ц -f XI)	rt“>co
ГЛАВА 6
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 1. Производные алгебраических
и тригонометрических функций
^.Определения. Производной функции у = f (х) в точ-
ке х называется предел
lim
Дх->0
f(x + kx) — f(x) _ Ьу
Дх-»0
(1)
Если этот предел конечный, то функция f(x) называется диф-
ференцируемой в точке х; при этом она оказывается обязательно
и непрерывной в этой точке.
Если же предел (1) равен +<ю (или —оо), то будем говорить,
что функция f(x) имеет в точке х бесконечную производную, од-
нако при дополнительном условии, что функция в этой точке не-
прерывна.
,	,	г/. . dy df (х)
Производная обозначается у или г (х), или или •
Нахождение производной называется дифференцированием функ-
ции.
2°. Основные формулы дифференцирования:
1) (с)/ = 0; 2) (хп)' — пхп~1-, 3) (си)' ~ си\
4) (и + о)' = и' + о'; 5) (uv)' = u'v + но';
/ и \' u't> — v'u / !—\Г	1
М-) —“Tvг
8) (sin х)' = cos х; 9) (cos х)' = — sin х;
10) хУ = 1 ° (ctg хУ = ”
848. Вычислением lim найти производные
Дх-»0
функций:
1) у = х3; 2) у = х^, 3) г/ = д/х; 4) z/ = sinx;
5) у = — ; 6) У = -7=; 7) у = Д-; 8) у = tgх;
х	ух	у
115
9)У=4-: 10) У= V1 +2х; И) =
л	ОХ -у- 2.
12) // = уг+^.
Найти по формулам производные функций:
849.	1) у =— 2х2 + 4х — 5; 2)у--=^±^.
850.	1) // = 4-^ + х; 2) у = (1 - ^-)2.
851.	1) г/= х Н-2д/х; 2) у = (д/а — д/х)2.
852.	1).у = -£;	2)^ = 1 + -^+^.
853.	1) у = x-J- -р- — -gb; 2) у = 3х —6д/^
854.	1) у = 6^Т-4^/х-, 2)у=(1-4=¥.
856.	1) у = х—sinx; 2) у = х— tgx.
857.	1) у = х2 cos х; 2) у = х2 ctg х.
858.	1)у=^Л;	2)у = -^-г.
859.	1) ^ = —^5	2) У =
860.	1) f(x) = cos *;	2) <p(x)=-7
1 — sin х	V х + 1
861.	1) s = -^—;	2) х = а(/—sin/).
862.	f(x) = -^—x24-x; вычислить f'(0)>/'(!)>/'(—1).
863.	/(x) = x2 —^2 ; вычислить f' (2) — f' (—2).
864.	f(x) = -^¥*—; вычислить 0,01 • f' (0,01).
Найти производные функций:
865.	1) y = (a-bx2)3-	2) y = (l+^x)2.
866.	1) y = —--------—;	2) y = JU-------
10xs 4x4	y x лГх
Wl. 1) y = x+ sinx; 2) y = x + ctgx.
116
868. 1) у — х2 sin х;	2)	y = x2tg X.
869. 1) у = Vх cos х;	2)	t	2 S— 2	t ‘
R7fj 1\	2	1 . о)	X2-l
KJ / U« LJ	•  Л-	Зх3 ’	y x2 + 1 1
871. 1) у = (1 +^)3;	2) 872. f (х) = -\/х2\ найти /7 (—8).		co? r
		а	1 4- 2 sin X ‘
873.	= найти f'(0), f'(2) и f'(-2).
§ 2. Производная сложной функции
Если у = f (и), а и = <р(х), то у называется функцией от
функции или сложной функцией от х. Тогда
dy dy du	,	,, , .	,
—i— = -j—‘-V— ИЛИ У =f (и)-и.	(1)
dx du dx	' '	' ’
Формулы предыдущего параграфа примут теперь общий вид
1) (и")7 = пип~хи\ 2) (sin и)7 = cos и  и;
3) (cos и)' ~ — sin и • и-, 4) {-yfu}' = —
2
Найти производные функций:
874.	1)	t/ = sin6x;	2)	у = cos (а — Ьх).
875.	1)	у = sin -|-+ cos-^-;	2)	# = 6cos-|-.
876.	1)	у = (1 - 5х)4;	2)	у = V(4 + Зх)2.
877.	1) у =	; 2) у = д/Г=^;
3) у = ^'соз4х.
878.	у = -^2х — sin 2х. 879. у = sin4 х = (sin х)4.
880.	1) у — sin2 х; 2) z/ = cos2x; 3) y = sec2x.
881.	у = sin3x + cos3x. 882. у = tg3x — 3 tgx -[• Зх.
883.	у =	+ cos2 х. 884. z/ = sinVx-
885.	г/ = д/1 + sin 2х — V1 — sin 2х.
886.	У = Г'>5 • 887. у = ctg" 4-•
v (1 + cos 4х)а	a to 3
117
888.	у =	.	889. у = х X х1 — I.
‘7 CGS X
890.	w =	~-1-.	891. s = a cos2 —.
X	U
892.	1) г = a v cos 2<р; 2) г = /\J 2ф + cos2 (2<р+£) .
893.	f (t) = -\!Х + b2 —- 2ab cos t\ вычислить /' (л/2),
Г (л),	894. f (х) = д/л: 4-2 найти f' (1).
Найти производные функций:
895.	у — д/4* + sin 4лс . 898. у = х2д/1—х2.
897.	у = sin4 х + cos4 х. 898. у — X 1 ф- cos 6х.
899.	1) у ~ ig х 4- у ig1 х + -j tg5x; 2) y=sin2x3.
*’=tzS'	901. S=V4-sin-i.
002. г = cos2 (7 -. 003. 11 = J 1 .
904.	/ (/) = д/1 + cos2/2; найти
§ 3. Касательная и нормаль к плоской кривой
Угловой коэффициент
у = f(x) в точке кривой (х0; Уо)
касательной к кривой
равен значению производной
функции f (х) в-точке х0:
ft = tg <р = Г(хй) = у' i,=Xo.
(1)
Это число k называют
иногда наклоном кривой в
точке (х0; у0). Уравнение
касательной в точке М (хо!
Ус) на кривой (рис. 26):
у - Уо = Л (х — х0). (2)
Уравнение нормали:
У-Уе = -4-(х — Хв), (3)
я
где k определяется форму-
лой (1).
Отрезки 7'?l=yoc(g<p, AN — ус 1g <р (рис. 26) называются
соответственно подкасательной и поднормалью, а длины отрезков
МТ и MN — длинами касательной и нормали.
118
905.	Найти наклоны параболы у = х2 в точках
х = zb2.
906.	Написать уравнение касательной и нормали
к параболе у = 4 — х2 в точке пересечения ее с осью
Ох (при х>0) и построить параболу, касательную
и нормаль.
В задачах 907—910 написать уравнения касатель-
ных к кривым и построить кривые и касательные;
X3
907.	К кривой у = ~т- в точке х = — 1.
О
908.	К кривой у2 — х3 в точках xi — 0 и Х2 = 1.
g
909.	К локону у = . , г в точке х = 2.
4 -j- X
910.	К синусоиде у = sin х в точке х = л.
911.	Под каким углом кривая у — sinx пересекает
ось Ох?
912.	Под каким углом пересекаются кривые
2у = х2 и 2у — 8 — х2?
913.	Найти длину подкасательной, поднормали, ка-
сательной и нормали кривой: 1) у = х2; 2) у2 = х3
в точке х = 1.
914.	Доказать, что подкасательная параболы у2 —
^2рх равна удвоенной абсциссе точки касания, а под-
нормаль равна р.
915.	В уравнении параболы у = х2 + Ьх + с опре-
делить бис, если парабола касается прямой у = х
в точке х — 2.
916.	Написать уравнения касательных к гиперболе
ху = 4 в точках Х| = 1 и х2 = —4 и найти угол между
касательными. Построить кривую и касательные.
В задачах 917—919 написать уравнения касатель-
ных к кривым и построить кривые и касательные
к ним:
917.	у — 4х — х2 в точках пересечения с осью Ох.
918.	у2 = 4 — х в точках пересечения с осью Ои.
919.	у2 ==(4 + х)3 в точках пересечения с осями Ох
и Оу.
920.	Найти расстояние вершины параболы у =?
= х2— 4х-|-5 от касательной к ней в т^очке пересече-
ния параболы с осью Оу.
921.	Под каким углом прямая «/ = 0,5 пересекает
кривую у — cos х?
119
922.	В какой точке касательная к параболе у=*
= х2 + 4х параллельна оси Ох?
923.	В какой точке параболы у = х2 — 2х + 5 нуж-
но провести касательную, чтобы она была перпенди-
кулярна к биссектрисе первого координатного угла?
924.	Найти длину подкасательной, поднормали, ка-
2
сательной и нормали кривой у х2 в точке х= 1.
925.	Какие углы образует парабола у = — с ее
хордой, абсциссы концов которой равны 2 и 4?
§ 4.	Случаи недифференцируемости
непрерывной функции
1°. Угловая точка. Точка А(хй уд) кривой у = f(x)
(рис. 27) называется угловой, если в этой точке производная у'
не существует, но существуют левая и правая различные произ-
Ау	Ау
водные-, lim ~т— = я lim —r— = k2. Из угловой точки
дх->—о	Дх->+0
выходят два касательных луча с наклонами k{ и k2.
2°. Точка возврата с
вертикальной касатель-
ной. Точка В(х2-, у2) (рис. 27)
называется точкой возврата с
вертикальной касательной, если в
этой точке производная у' не
существует, но существуют левая
и правая бесконечные производ-
ные разного знака (+<ю и —<»).
Такая точка является частным
случаем угловой. Из нее выходит
один вертикальный касательный
луч или, можно считать, что из
нее выходят два слившихся ка-
сательных луча.
с вертикальной каса-
тельной. Точка С(х3; у3) (рис. 27) называется точкой перегиба
с вертикальной касательной, если в ней существует бесконечная
Ду . Ду
производная у — Q "дТ" — дж^+0 Дх = + °° (или —°°^‘
В такой точке существует вертикальная касательная.
В точках А и В функция y = f(x) не имеет производной; в
точке С она имеет бесконечную производную. Во всех трех точках
функция непрерывна, но недифференцируема.
926.	Построить график функции г/=д/х2 (или z/Н х |)
и найти левую и правую у'+ производные в угло«
вой точке графика.
120
3°. Точка перегиба
927.	На отрезке [0,4] построить график функции
у = 0,5 -\j(x— 2)2 и найти левую у. и правую у+ про-
изводные в угловой точке графика функции.
928.	На отрезке [—л, л] построить график функ-
ции у = д/sin2 х и написать уравнения касательных в
угловой точке кривой.
929.	На отрезке [0, 2л] построить график функции
у = д/1 + cos х, написать уравнения касательных в
угловой точке кривой и найти угол между ними.
930.	На отрезке [—2,2] построить график функ-
ции у = д/х2 и написать уравнение касательной в точ-
ке х — 0.
931.	На отрезке [0,4] построить график функции
у = 1—-\/(х— 2)2 и написать уравнение касательной
к ней в точке х — 2.
932.	На отрезке [—2,2] построить кривую у3=4х
и написать уравнение касательной к ней в точке
х = О.
933.	На отрезке [0,4] построить кривую у3 =
= 4(2 — х) и написать уравнение касательной к ней
в точке х = 2.
934.	На отрезке [0, л] построить график функции
у = 1 — д/еоз2х и написать уравнения касательных к
кривой в угловой точке.
935.	На отрезке [—2,0] построить график функ-
ции у = ^(х+ I)2— 1 и написать уравнение касатель-
ной к кривой в точке х = —1.
936-	. На отрезке [—1,5] построить график функ-
ции у = \4х — х2[ и написать уравнения касательных
в угловой точке х = б и найти угол между ними.
§ 5.	Производные логарифмических
и иоказательиых функций
Основные формулы:
(In и)' =	(еи)' = еи • и'; (аи)' = a" In а • и'.
Найти производные функций:
937.	1) y = xlnx; 2) у=.1 + |-пх-; 3) y = lg(5x).
938.	1) у= Inx — -gp-j 2) у = In (х2 + 2х).
121
939.	1) y = In (1 + cos x); 2) у — In sin x — 4 sin2x.
940.	у = In (Vx + Vх + ')•
941.	y = In-J±^.	942. у = \Пт^.
943. y = lntg(f+ f). 944.
945. у — In (x + Vfl2 + x2).
946. у = 2 Vх — 4 In (2 + Vх)-
948.	Написать уравнение касательной к кривой
у = In х в точке пересечения ее с осью Ох. Построить
кривую и касательную.
949.	Показать, что парабола у = касается кри-
вой у = 1п х, и найти точку касания. Построить кри-
вые.
Найти производные функций:
950.	1) у = х2+Зх; 2) у = х2-2х\ 3) y = xV.
931. 1) y = asln*; 2) у = е~х"\ 3) у = х2в-2*.
952. г/ = 2(е*/2 —е-*'2).	953. у = ^хе^.
954. »=-1±4-	955. у <= e*la cos —.
956. 1) у = е~к (sin х + cos х); 2) у = In (е~х + хе~х).
957. у = In .	958. у *= (еах - в~ах)2.
959.	f (I) = In (1 + a~2t); найти f'(0).
960.	Под каким углом кривая у =иг?х пересекает
ось Оу?
961.	Доказать, что длина подкасательной в любой
точке кривой у ех,а равна а.
962.	Предварительным логарифмированием найти
производные функций: 1) у = хх; 2) t/ = xs,n\
Найти производные функций'.
963.	у >= In cos х —% cos2 х.
128
964.	у = In (д/* — ^Jx — 0 • 865. у = In 1	.
966. y = ln(sinx+ д/l + sin2x).
X	1
967. у = In —z...— --  968. у — — In tg x + In cos x.
v 71 -x2	2
969. у = In д/ t ;2nX2jc •	970. у = In (1 + sec x).
971.	у = a In (V* + a + Vх) — Vх2 + ax-
972.	y = ae~x!a-± xe~x!a. 973. у =	+ e~xla).
974.	у = -\-e~ •	975. у = In (e2* + V^TT).
976. y=An^j~£-.	977. y = x^.
978.	f (Z) = In : найти f' (л/3).
979.	Написать уравнение касательной к кривой
у=1—ех12 в точке пересечения ее с осью Оу. По-
строить кривую, касательную и асимптоту кривой.
§ 6.	Производные обратных
тригонометрических функций
,	.	,,	и'	,	\г	и'
(arcsin и) = —; (агссоз и) ------------
•VI — и2	VI — и2
,	, М	U'	11	-.Г	U'
(arctg u)'=	(arcctg и) = - ртрр-
Найти производные функций:
980.	у = -\/1	+ arcsin х.
981.	у = х — arctgx.	982. у = arcsin дЛ — 4х-
983. у = arcsin-^-.	984. у = arctg
1 Ч- v
985. у = arccos (1 — 2х). 986. у = arcctg ।	.
987. 1) у = х -у/1 — x2+arcsin х; 2) y=arcsin (е3х).
123
988. д = arctgх + In  989. t/ = arccos-^=.
990. у — х arctg -----1- In (х2 + а2).
Найти производные функций:
991. у — arcsin -у/х.	992. у = arctg д/бл' — 1.
993.	1) z/ = arccos (1—х2);	2) y = arcctgx----i-.
994.	г/ = e* дН — e2* -f~ arcsin ex.
995.	у = x arccos x — д/1 — x2.
996.	у = arctg e2x + In aJ* J .
997.	s = V4/ — /2 +4arcsin-^-.
998.	у = arccos д/l — 2x + y/~x — 4x2.
999.	f (z) = (z+ 1) arctg e-2z; найти f' (0).
§ 7. Производные гиперболических функций
Л,	—Л	Л , —Л
в в	в *т“ 6
1°. Определения. Выражения -----------, --------и
их отношения называются соответственно гиперболическими сину-
сом, косинусом, тангенсом и котангенсом и обозначаются
X -X	X , -X
. е — е '	. е + е
sh х --------5-----, eh х =-------------
л	А
th к
sh х
ch х '
cth х =
ch x
sh x
2°. Свойства гиперболических функцию
1)	ch2 х — sh2 x = 1;	4)	sh	0 = 0, ch 0 = 1;
2)	ch2 x + sh2 x = ch 2x;	5)	(sh	x)'	=	ch x, (ch x)' = sh x;
3)	sh 2x = 2 sh x ch x; 6) (th x)' = g
(cthx)' = -sl?T-
Найти производные функций:
1 000. 1) у == sh2 х; 2) у = х — th х; 3) у = 2 д/chx—1.
124
1001.	f(x) = sh— + chнайти f' (0) + f (0).
1002.	1)	z/= In [ch x];	2)	у = th x + cth x.
1003.	1)	y = x — cthx;	2)	y — In [thx].
1004.	1)	у = arcsin [th x];	2)	t/ = Vl + sh24x.
1005.	Линия у = ~(е*'а + е-*Д = ach-J- назы-
вается цепной. Написать уравнение нормали к этой
линии в точке х = а (см. таблицы гиперболических
функций на с. 349). Построить кривую и нормаль.
1006.	Написать уравнение касательной к кривой
у — sh х в точке х = —2. Построить кривую и каса-
тельную к ней.
1007.	Доказать, что проекция ординаты любой
точки цепной линии y — ach-^- на ее нормаль есть
величина постоянная, равная а.
§ 8.	Смешанные примеры и задачи
на дифференцирование
Найти производные функций:
1008.	1) у— 1 -rarcsin ±; 2) z/=^^-[-lncosх.
1009.	у = ^Ьх — 1 + arcctg -\/4х — 1.
1010.	x = ln(e2/+ 1) — 2 arctg (ef)-
1011.	у = 4 In (-\/х — 4) + д/х2 ~ 4х.
1012.	s = tg41 — у tg21 — In (cos /).
1013.	f (x) = (x2 + a2) arctg-ax; найти
[a21
x----—j; 2) y—x(coslnx4*sin Inx).
1015.	f (x) = arcsin * * найти f' (5).
1016.	<p (u) = e~ula cos у; показать, что qp(O) +
H- а<р' (0) — 0.
1017.	f(y) = arctg-y — in-\]y^ — а4; найти
125
1018.	F(z)= .	показать, что	—
V 7	1 + Sin2 Z	\ 4 /
-3F' (д-) = 3.
1019.	Показать, что функция s = t ct~ удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению t 4- s — — ts2.
t-e~v
1020.	Показать, что функция х =—^2—удовлет-
d X
воряет дифференциальному уравнению t \-2х=е~(г.
§ 9.	Производные высших порядков
Пусть мы нашли для функции у = f(x) ее производную у' =
= f'(x). Производная от этой производной называется производ-
ной второго порядка функции f(x) и обозначается у" или f"(x)
дгу .	,
или . Аналогично определяются и обозначаются
производная третьего порядка у ” = f (х) = > 
производная четвертого порядка wIV = flv (х) = j
и вообще
дп и
производная п-го порядка	(х) =	„  •
1021.	Найти производную второго порядка функ-
ции:
1) r/=sin2x; 2) у — tg х; 3) у = ^/1 + х'2.
1022.	Найти производную третьего порядка функ-
ции:
1) y = cos2x; 2) у — ~~г~> 3) y = xsinx.
1023.	Найти производную третьего порядка функ-
ции:
1) y = xlnx; 2) s = te_f; 3) z/ = arctg-^-.
1024.	s = —	— I2 + arcsin-4=-; найти -^Ц-.
2	V2	dt“
Найти производную ц-го порядка функции:
1025.	1) е~х,а-, 2) In х; 3) ^х.
1026.	1) хп-, 2) sin х; 3) cos2x.
126
1027.	Последовательным дифференцированием вы-
вести формулы Лейбница:
(uv)" = u"v 4- 2u'v' + uv"\
. (uv)"' = u"'v + 3u"v' + 3ti'v" 4- uv"’-,
(uv)iv = irvv 4- 4u"'v' 4- 6u"v" 4- 4u'v"' 4- uulv и т. д.
1028.	По формуле Лейбница найти производную
второго порядка функции:
1)	y = excosx-, 2) у = ахх3; 3) z/ = x2sinx
1029.	По формуле Лейбница найти производную
третьего порядка функции:
1) у = е~х sin х; 2) // = х21пх; 3) y — xcosx.
1030.	f (х) = хех!а; найти f'" (х), f(n)(x), /(,1)(0).
1031.	f(x) = (l 4-xf; найти f(0), f'(0), f"(0),
/'"(0), •••> f(n4ty-
1032.	fix) — —, x показать, чтб при
Vi +*
/W(Q)==(_ip-'
1033.	f (x) =	’> показать, что
( nl при n = 2m,
f()(0) —при д = 2да—1.
Указание. Применить тождество
1034.	Продифференцировав тождество (х— 1)Х
X (х2 4- х3 4- ••• + хп) = xn+1 — х2 три раза по х и
п
положив затем х=1, найти сумму k(k — 1) =
A-I
— (и+_1) п_(п —J)_ и датем СуММу квадратов чисел на-
турального ряда
п
£ Л2» 124-224- ... 4-пй-
k=i
127
1035.	Найти производную второго порядка функ-
ции:
1) у = е~х2\ 2) z/ = ctgr; 3) у = arcsin +-.
1036.	Найти производную n-го порядка функции:
1)	у = ах-, 2) =	3) */=sin2x.
1037.	f (х) = arcsin -у; найти f(2), f' (2) и f" (2).
1038.	По формуле Лейбница найти производную
третьего порядка функции:
1) у = х3ех; 2) у — х2 sin ;
3) у = xf' (а — х) + 3/ (а — х).
1039.	Показать, что функция у = ех cos х удовлет-
воряет дифференциальному уравнению yiv + 4у = 0.
1040.	Показать, что функция у — хе~'/х удовлет-
воряет уравненшо хлу" — ху' -ф- у — 0.
1041.	f (х) — х2е~х,а-, показать, что f(rt)(0) =
_ п(п- 1) (-1)га
~ ап~2
1042.	f(x)= е~х\ показать, что
fw (0) = - 2 (п - 1)	(0),	(0) = 0,
(0) = (-2)"' (2m - 1) (2т - 3) • ... • 5 • 3 • 1.
1043.	f(x) = x"; показать, что
। Г(') .	। /W(l)
7(1) + ——+ ~2Г + ••• +	’
§ 10.	Производная неявной функции
Если уравнение F(x, у) = 0, неразрешенное относительно у,
определяет у как однозначную функцию х, то у называется неяв-
ной функцией х. Чтобы найти производную у' этой неявной функ-
ции, нужно обе части уравнения F(x, у) = 0 продифференциро-
вать по х, рассматривая у как функцию от х. Из полученного
уравнения найдем искомую производную у'. Чтобы найти у", нуж-
но уравнение F(х, у) — 0 дважды продифференцировать по х
И т. д.
128
Найти у' из уравнений:
1044.	1) х2 + у2 = а2; 2) у2 = 2рх; 3) ~ - -f|- = 1.
1045.	1) х1 + ху + у2 = 6; 2) х2 + у2 — xy = Q.
1046.	1) х2/3 + у2/3 = а2/3; 2) еу — е~х + ху = О.
1047.	ех sin у — е~у cos х = 0.
1048.	х = у + arcctg у.
1049.	еху — х2 + if — 0; найти при х = 0.
1050.	Найти у" из уравнений:
*2 + £/2 = а2; 2) ах + by — ху = с\ 3) хтуп = 1.
1051.	+	1; найти у" в точке (0; Ь).
1052.	Написать уравнения касательных к кривой
x24-y2 + 4r— 2у— 3 = 0 в точках пересечения ее
с осью Оу.
1053.	Найти точки пересечения нормали гиперболы
х2— у2 = 9, проведенной из точки (5; 4), с асимпто-
тами.
1054.	Написать уравнение касательной в точке
!(х0; У о) к кривой:
1) 4 + -S-=1; 2) У2 = 2Р^
1055.	Написать уравнения касательных к астроиде
х2/3 + у2/3 _ а2/з в точках пересечения ее с прямой
У = х.
1056.	Под каким углом пересекаются кривые
х2 + У2 = 5 и у2  4х?
1057.	Найти у' из уравнений:
1)	^- + ^-=1; 2) х3 + у3 — Заху = 0.
1058.	Найти у" из уравнений:
1)	х2 - у2 = а2;	2) (х - а)2 + (у - 0)2 = /?2;
3)	arctgy = x + y; 4) х2 + ху + у2 = fl2.
1059.	Написать уравнения касательных к окруж-
ности х2 у2 + 4х — 4у + 3 = 0 в точках пересече-
ния ее с осью Ох. Построить окружность и каса-
тельные.
5 В. П. Минорский
129
1060.	Написать уравнение касательной к эллипсу
х2 4~4у2 = 16 в точке, в которой делится пополам от-
резок касательной, отсеченный осями координат, и
которая лежит в первой четверти.
1061.	te~sl2 + se~‘l2 = 2; найти	при /==0.
1062.	/1пх — xln/ = 1: найти	при /«1.
1063.	х2 sin у — cos у + cos 2у = 0j найти у' при
У = л/2.
§11. Дифференциал функции
Если функция у = f (х) дифференцируема в точке х, т. е.
имеет в этой точке конечную производную у , то = У т
где а -> 0 при Дх -> 0; отсюда
Sy = y'Sx + а Дх.	(1)
Главная часть y'Sx приращения Sy функции, линейная отно-
сительно Дх, называется дифференциалом функции и обозначается
dy.
dy = y'Sx.	(2)
Положив в формуле (2) у = х, получим dx «= х'Дх = 1-Дх=
= Дх, и поэтому
dy = у' dx.	(3)
Формула (3) верна и в том случае, если х есть функция но-
вой переменной t.
Из (1) следует, что Sy № dy, т. е. при достаточно малом
dx = Дх приращение функции приближенно равно ее дифферен-
циалу.
В частности, для линейной функции у = ах + b имеем:
Sy = dy.
Найти дифференциалы функций:
1064.	1)	у = хп-,	2)	у = х3 — Зх2 4- Зх.
1065.	1)	у = д/Т+х5;	2)	s = -^.
1066.	1)	r = 2<p— sin 2<р;	2)	х — -^-.
1067.	1)	d(sin2/);	2)	d(I-cosu).
1068.	1)	d(-l + arctg^-);	2)	d(a + lna);
3)	d (cos j 4) d (arcsin ,
130
1069.	Нахождением дифференциала каждого чле-
« du	«
на уравнения наити из уравнении:
1) х2 + у2 = ц2; 2) ху = а2; 3) х2 — ху— tf = O.
1070.	1 ) у = х2; найти приближенно изменение
у(\у № dy), когда хизменяется от2 до 2,01; 2) у = -\1х\
найти приближенно изменение у, когда х изменяется
от 100 до 101.
1071.	1) Сторона куба х = 5 м ±0,01 м. Опреде-
лить абсолютную и относительную погрешность при
вычислении объема куба.
2) Длина телеграфного провода s = 2b (1
где 2b— расстояние между точками подвеса, a f —
наибольший прогиб. На сколько увеличится прогиб f,
когда провод от нагревания удлинится на ds?
1072.	1) С какой точностью нужно измерить
абсциссу кривой у = х2^х при х 1, чтобы при вы-
числении ее ординаты допустить погрешность не бо-
лее 0,1?
2) С какой относительной точностью нужно изме-
рить радиус шара, чтобы при вычислении объема
шара допустить погрешность не более 1 %?
1073.	Определить приближенно: 1) площадь кру-
гового кольца; 2) объем сферической оболочки. Срав-
нить с их точными значениями.
Найти дифференциалы функций:
1074.	1) у = -^~2) г = cos (а — 6ф); 3) s =
в= -\Д — /2.
1075.	1) у = In cosx; 2) 2 = arctg д/4и — 1; 3)s—e~2t.
1076.	1) d(Vx+l); 2) d(tga-a); 3) d(bt — e~bt).
1077.	1) y = x3; определить Ду и dy и вычислить
их при изменении х от 2 до 1,98.	____
2) Период колебания маятника Т == 2л ^1/980 с,
где / — длина маятника в сантиметрах. Как нужно
изменить длину маятника I = 20 см, чтобы период ко-
лебания уменьшился на 0,1 с?
3) С какой точностью нужно измерить абсциссу
кривой ху = 4 при х 0,5, чтобы при вычислении ее
ординаты допустить погрешность не более 0,1?
Б*	131
§ 12. Параметрические уравнения кривой
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями х = f(t)
Л у = Обозначая точками производные по параметру, най-
дем:
dy  у	d2y	_ d (у/х)	_ ух —	ху
dx	х ’	dx2 dx	х3
1078. Построить кривые по параметрическим урав-
нениям:
1) х-= t2, y = ±t3-, 2) x — t2, У = ^—t.
Исключив из уравнений /, написать уравнение каж-
дой кривой в обычном виде: F(x, у)=6.
Привести к виду F(x,y) — 0 (или у — f(x)) урав-
нения кривых, заданных параметрически:
1079. 1) x = acos/, y = bsint-,
2) x = acos3/, у = a sin3/.
2) х = tg t, z/ = cos2/.
1081.	Построить «развертку», или «эвольвенту»,
круга (см. задачу 368)
х = a (cost +1 sin t), y = a(smt— tcost),
давая t значения: 0, л/2, л, Зл/2, 2л.
1082.	Положив у = xt, получить параметрические
уравнения «декартова листа» х3у3— Заху = 0 (см.
задачу 366) и исследовать движение точки по кривой
при монотонном изменении /: 1) от 0 до -|-со; 2) от 0
до —1; 3) от —оо до —1.
1083.	Написать уравнение касательной к циклоиде
(см. задачу 367) х = а(/— sin/), у = а(1 — cos/) в
точке, где / — л/2. Построить кривую и касательную.
1084.	Написать уравнение касательной к гипоцик-
лоиде (астроиде) x = acos3/, y=asin3/ в точке
/ = л/4. Построить кривую и касательную.
Указание. Для построения кривой составить таблицу значе-
ний х и у при t = 0; л/4; л/2; Зл/4 и т. д,
d2ti
1085.	Найти из уравнений:
1)	x = acos/, y = asmt\
132
2)	x = t2, t) = -yr — t\
О
3)	x = a(t—sin t), y = a(l—cost).
1086.	Построить кривые, заданные параметриче-
скими уравнениями:
1) x = 2t — 1, у = 1 — 4/2; 2) х — t3, у = 1г — 2,
найдя точки пересечения их с осями координат и за-
метив, что для второй кривой — = о° при £ = 0.
Написать уравнения кривых в виде F(x, у)=0.
1087.	Написать уравнение касательной к циклоиде
x = a(t— sinZ), у = а(\ — cost) в точке / = Зл/2. По-
строить кривую и касательную.
1088.	Написать уравнение касательной к развертке
круга х = a(cos/-|-/sinf), у — a (sin t—icost) в
точке t = n/4.
d2u
1089.	Найти из уравнений:
1)	х — 2cos^, r/ = sin<; 2) x = t2, y = t + P‘t
3)	x = e2t, y = e3t.
ГЛАВА 7
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Скорость и ускорение
Пусть точка движется по оси Ох и в момент t имеет коор->
динату х = f(t). Тогда в момент t
t\x dx
скорость ^=1™ -дГ = -й-
Аа de
ускорение w ~ lim ~Х7~~~Й7
d2x
~dt2‘
1090.	Зенитный снаряд выброшен вертикально
вверх с начальной скоростью а м/с. На какой высоте
х он будет через t секунд? Определить скорость и
ускорение движения снаряда. Через сколько секунд
снаряд достигнет наивысшей точки и на каком рас-
стоянии от земли?
1091.	Тело движется по прямой Ох по закону
/3
х = -д--2r -f- 3/. Определить скорость и ускоре-
ние движения. В какие моменты тело меняет направ-
ление движения?
1092.	Колебательное движение материальной точ-
ки совершается по закону х = a cos at. Определить
скорость и ускорение движения в точках х = ±а и
х = 0. Показать, что ускорение и отклонение х
d^ х
связаны «дифференциальным» уравнением
*= — Сй2Х.
1093.	Вращающееся маховое колесо, задерживае-
мое тормозом, за t секунд поворачивается на угол
<р = а + 6/ — ct2, где а, & и с — положительные по-
134
стоянные. Определить угловую скорость и ускорение
вращения. Когда колесо остановится?
1094.	Колесо радиуса а катится по прямой. Угол
<р поворота колеса за t секунд определяется уравне-
t2
нием <р=/ Н—2". Определить скорость и ускорение дви-
жения центра колеса.
1095.	Пусть v — скорость и w— ускорение точки,
движущейся по оси Ох. Показать, что w dx = v dv.
1096.	Точка движется прямолинейно так, что и2 =*
= 2ах, где v — скорость, х — пройденный путь и а —
постоянная. Определить ускорение движения.
1097.	Тело с высоты 10 м брошено вертикально
вверх с начальной скоростью 20 м/с. На какой вы-
соте х оно будет через t секунд? Определить скорость
и ускорение движения. Через сколько секунд тело
достигнет наивысшей точки и на какой высоте?
1098.	Сосуд в форме полушара радиуса R см на-
полняется водой с постоянной скоростью а л/с. Опре-
делить скорость повышения уровня на высоте уровня
h см и показать, что она обратно пропорциональна
площади свободной поверхности жидкости.
Указание. Объем шарового сегмента V = лк2 -. Обе
части этого равенства нужно продифференцировать по t, причем
dV
= а (по условию).
1099.	Зависимость между количеством х вещества,
получаемого в некоторой химической реакции, и вре-
менем t выражается уравнением х = Л(1—e~kt). Оп-
ределить скорость реакции.
1100.	Пусть угловая скорость — и> угловое
dco т-т	(<в2) п
ускорение -^- = е. Показать, что —= 2е.
§ 2. Теоремы о среднем
1е. Теорема Ролля. Если f(x): 1) непрерывна на отрезке
[а, 6], 2) имеет производную внутри него, 3) f(a) == f (b), то ме-
жду а и b найдется такое х = с, при котором
Г (с) = 0.	(1)
135
2°. Теорема Лагранжа. Если f(x): 1) непрерывна на
отрезке fa, й], 2) имеет производную внутри него, то между а и
b найдется такое х = с, при котором
f (6) - f (a) = (6 - a) f' (c).	(2)
3°. Теорема Коши. Если f(x) и <p(x): 1) непрерывны на
отрезке fa, й], 2) имеют производные внутри него, причем <р'(х)^
<=А= 0, то между а и b найдется такое х = с, при котроом
f (й)-? (a) _ f' (с)
<Р (й) — <р (“) ф' (с) ‘
Эти теоремы носят название теорем о среднем потому, что
в них говорится о некотором значении х = с, среднем между
а и Ь.
Геометрически теоремы Ролля и Лагранжа утверждают, что
на дуге АВ непрерывной кривой у — fix), имеющей в каждой
точке определенную касательную и не имеющей точек возврата,
найдется внутренняя точка, касательная в которой параллельна
хорде АВ.
На дугах, содержащих угловые точки или точки возврата, ус-
ловия теорем о среднем, очевидно, не выполнены.
Теорему Ролля в частном случае при fib) = ffa) =0 фор-
мулируют так: между двумя корнями а и b функции f (х) най-
дется по крайней мере один корень ее производной f'(x), если f (х)
непрерывна на отрезке [а, й] и имеет производную внутри него.
1101.	Проверить, что между корнями функции
f(x) — x2— 4хф-3 находится корень ее производной.
Пояснить графически.
1102.	Применима ли теорема Ролля к функции
f (х) = 1—'х/х2 на отрезке [—1, 1]? Пояснить графи-
чески.
1103.	Построить дугу Л В кривой t/=|sinx| на от-
резке [—л/2, л/2]. Почему на дуге нет касательной,
параллельной хорде ЛВ? Какое из условий теоремы
Ролля здесь не выполнено?
1104.	В какой точке касательная к параболе у = х2
параллельна хорде, стягивающей точки Л(—1; 1) и
В(3; 9)? Пояснить графически.
1105.	Написать формулу Лагранжа для функции
f(x) = x2 на отрезке [а, &] и найти с. Пояснить гра-
фически.
1106.	Написать формулу Лагранжа для функции
f (х) = '\/х на отрезке [1,4] и найти с.
1107.	Показать, что на отрезке [—1,2] теорема
Лагранжа неприменима к функциям и 1—^х2,
Пояснить графически.
136
1108.	Построить АВ кривой y = |cosx| на отрезке
'[О, 2л/3]. Почему на дуге нет касательной, параллель-
ной хорде АВ? Какое из условий теоремы Лагранжа
здесь не выполнено?
( х при | х | < 2,
1109.	Пусть/(х)=|1 при |%|^2. ПостРоить П^-
фик этой функции и, взяв на нем точки 0(0; 0) и
В (2; 1), показать, что между О и В на этом графике
нет точки, касательная в которой была бы параллель-
на ОВ. Какие условия теоремы Лагранжа для этой
функции на отрезке [0,2] выполнены и какие нет?
1110.	Поезд прошел расстояние между станциями
со средней скоростью по = 4О км/ч. Теорема Лаг-
ранжа утверждает, что был момент движения, в ко-
торый истинная (а не средняя) скорость движения
была равна 40 км/ч. Показать это.
1111.	Дано, что f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь\
и имеет производную в каждой точке внутри него.
Применив теорему Ролля к функции
Ф(х)
X /(х) 1
b f(b) 1 ,
a f (а) 1
получить теорему Лагранжа. Выяснить геометриче-
ское значение функции Ф(х).
<<.г> тт	>.	tz f (b) — f (a) f' (c)
1112.	Написать формулу Коши -Чтт—L-7Jr =-Ч-тт
э- г j j ' <р (6) — ф (а) ф' (с)
для функций f(x) = x3 и <р(х) = х2 и найти с.
1113.	Геометрически теорема Коши утверждает,
что на дуге кривой х = <р(1), у = f(t) для значений t
на отрезке а t b найдется внутренняя точка, в
которой касательная параллельна хорде, если функ-
ции <р(0 и f(t) на отрезке [а, Ь] удовлетворяют усло-
виям теоремы Коши. Доказать это.
1114.	Написать формулу Лагранжа в виде f(xA~
+ Дх)—f (х)= Дх/'(х + 6Дх), где 0<9<1, для
функций: 1) /(х) = х2; 2) /(х) = х3, и показать, что
для первой функции 6 не зависит от х, а для второй
зависит от х и Дх.
1115.	Показать, что	Ю Н-----*  =т~ 10,05.
v	2Vioo + e
137
1116.	с помощью формулы Коши доказать, что
если
f(O) = f'(o) = f"(o) = ... =/(«-1)(0)=0,
то
f(x) f^(0X)
хп nt
где
о<е< 1.
1117.	Написать формулу Лагранжа
для функции f (х) = х3 и найти с.
1118.	Написать формулу Лагранжа и найти с для
функций:
1)	f (х) — arctgх	на	отрезке	[О,	I];
2)	/(х) = arcsin х	на	отрезке	[0,	1];
3)	f (х) = In х	на	отрезке	[1,	2].
1119.	Написать формулу Коши и найти с для
функций:
1)	sin х и cos х на отрезке [0; л/2];
2)	х2 и ^х	на отрезке [1, 4].
1120.	Построить график функции у — \х—1| на
отрезке [0, 3]. Почему здесь нельзя провести каса-
тельную, параллельную хорде? Какое из условий тео-
ремы Лагранжа здесь не выполнено?
1121.	В какой точке касательная к кривой у =
= 4 — х2 параллельна хорде, стягивающей точки
А(—2; 0) и В(1; 3)? Пояснить графически.
§ 3. Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя
1°. Не о п р е д е л е и и о ст ь Первое правило Ло-
f(x)
питали. Если lim f (х) = lim <р (х) — 0, то lim , у =
х-ьа	х-ьа	х->а т'Ч
К W
= *im когда последний существует.
х->а Ф
138
2°. Неопределенность —. Второе правило Л о-
питали. Если lim f (х) = lim <р (х) = оо, то lim •<"=»
хха хха	х->а Ф (х)
f' (х)
= '’т t  когда последний существует.
х->а Ф W
3°. Неопределенности 0-оо, со — оо, 1“ и 0° сводятся
О °°	„	,
к неопределенностям -q- и путем алгебраических преобразо-
ваний.
Найти пределы:			
1122.	sin Зх Пт	. XX) х		— 1 1123. Пт х->о sin2x
1124.	о	х — а Нт 	уг. л и		1125. 1ип~Аг~ • x-»l lnx
1126.	1 — cos ах Пт 	7— 1 — cos bx		< <	1—cosx 1127. im —5—. *
1128.	lim -*~sin* . ХХО	х	П29. Пт х->о Х — Sin х	
ИЗО.	i\ 1-	ех 1) 11ГП —3-; х->+<х> х	2) Пт -j-. ХХ-оо х	1131. lim —. x->oo x
1132.	.. 1п X Ит —. XXJ ctg х		1133. lim -ДД. х-»л/2 ‘S 3x
1134.	Нт (л — х) tg	X о •	1135. lim xlnx.
		л	x->o
1136.	lim хп  е~х.		1137. Нт Xх.
	X -|- оа		
1138.	Пт (sin x)‘g\	1139. lim fl +4-V-	
	х->0		X->oo \	A /
1140. Определить порядок бесконечно малой
хех— sinx относительно х->0.
1141. Доказать, что при х->0г
1) х — arctg х ~	;	2) ах — Ьж ~ х In ;
3) е2х - 1 - 2х « 2х2;	4) 2х - In (1 + 2х) ~ 2х2,
139
1142. Доказать, что (при х->0) х — sin х ж и
отсюда sin х л; х с погрешностью, приближенно рав-
ной х3/6. Вычислить sin 1° и sin 6° и оценить погреш-
ность.
1143. Доказать, что (при а->0)	+ а—I —
— у а ~ —у- и отсюда \/1 + а 1 + уа с погреш-
ностью ~ а2/9. Вычислить 1,006, ^0,991, д^65, -^210
н оценить погрешность.
Найти пределы:
1144.	еах-еЬх 11 m 	:	. X^Q	Sln*	1145.	lim -	 — arctg х X3
1146.	1 — sin ах	1147.	lim- х->0	X — JX
	Х""/2а (2«х-Я)2‘			tgx
1148.	1 — 2 sin х lim 	5	. Х->Л/6 созЗх	1149.	lim х->л/4	1-tgx , cos 2x
1150.	е2х — 1 lim  /.-у—„-г-. х-м In (1 + 2х)	1151.	lim у х->1 1	In X — X3
1152. lim (1 — e2*)ctgx. x->0	1153. lim x l~x .
1154. lim (—’	y) • x_>o V x sin x x2 )	1155. lim (eM + x)1/x
1156. Доказать, что при х—>0 arcsin х— x~-g-.
1157. Доказать, что (при а->0) дЛ+а — 1 —
и а2	;—	1 , а
—	~-----=- и отсюда V1 + а ~ 1 + -у с погреш-
X	О	£
ностью, приближенно равной а2/8. Вычислить д/1>00б,
д/1,004, д/о,998, д/0>994, дД>5> д/85 и оценить по-
грешность.
§ 4. Возрастание и убывание функции.
Максимум и минимум
1°. Определения. I. Функция f(x) называется возрастаю-
щей в точке ха, если в некоторой е-окрестности этой точки
/ (х0 — h) < f %) < f (х0 + h)
при любом положительном h < е.
140
II.	Функция f(x) называется возрастающей на отрезке fa, Ь],
если для любых Х| и х2 на этом отрезке f(Xi) < f(x2), когда
Xi < х2.
Аналогично определяется убывание функции в точке и на от-
резке.
III.	Функция f(x) называется имеющей экстремум (максимум
или минимум) в точке х0, если )(Хо) является наибольшим или
наименьшим значением функции в некоторой двусторонней ок-
рестности этой точки.
2°. Достаточные признаки возрастания и
убывания функции у = f(x) (в точке и на отрезке):
если у' > 0, то функция возрастает-,
если у' < 0, то функция убывает.
3°. Необходимое условие эстремума. Функция
у = / (х) может иметь экстремум только в точках, где у' = 0 или
не существует. Такие точки называются критическими. В них ка-
сательная или горизонтальна (у' — 0), или вертикальна (в точке
возврата), или нет определенной касательной (например, в угло-
вой точке)'. В двух последних случаях у' не существует.
4°. Достаточные условия эстремума. Если функ-
ция f(x) непрерывна в точке х0 и имеет в некоторой окрестности
х0, кроме, быть может, точки х0, конечную производную и если
при переходе х через хо:
у' меняет знак с + на —, то /(х») — //max,
у' меняет знак с — на +, то /(Хо) = t/min,
у' не меняет знака, то экстремума нет.
Третий случай имеет место в обыкновенной точке (при
у' > 0 или у' < 0), а также в точке перегиба и в угловой точке.
Итак, чтобы найти экстремум функции, нужно:
I) Найти у' и критические точки, в которых у' = 0 или не
существует.
2) Определить знак у' слева и справа от каждой критической
точки, составив таблицу, например, вида
3>									
У'	—	0	4-	не суще- ствует	—	0	—	—оо	—
У	убы- вает	min.	возра- стает	mas	убы- вает	перегиб	убы- вает	перегиб	убы- вает
Далее можно найти ymax
и ymin и построить кри-
вую. На рис. 28 построена
кривая, соответствующая
приведенной выше таблице.
5°. Достаточные
условия экстремума
(второй способ исследова-
ния).
Если в некоторой точке
X = х0:
1)	у' = 0, а у" < 0, то
f (хо) = (/maxi
141
2)	у' = 0, а у" > О, то f (х0) = ymtn;
3)	у' = о и у" = О, то вопрос остается нерешенным и нужно
обратиться к первому способу исследования.
Исследовать возрастание и убывание функций:
1158.	1) у = х2-, 2) £/ = Х3	; 3) у =	4) у = In х.
1159.	1) У = tgx; 2) у =	ех\ 3) у = 4х — х2.
Найти экстремум функции и построить ее гра-		
фик*):		
1160.	у = х2 + 4х + 5.	1161. у = 4х-^~.
1162.	у = 	х2 — Зх.	1163. у=1 +2х2-^-.
1164.	X4	о У = ~4	X3.	lHS.y-4-+X.
1166.	у = ^х2—1.	1167.
1168.	х2 — 6х + 13 У- х-3	•	1169. j/ = x2(1 — х).
1170.	у=1 - V(x-4)2.	1171. у = е~х\
1172.	y = x + cos2x в интервале (0, л).	
1173.	х = 4х — tgx в интервале (—у, -у) •	
1174.	1 + 1п X У	х •	1175. у = х — arctg 2х.
1176.	1) у — хе~ 2;	2) у = х\пх.
1177.	1) У = Vsin х2;	2) y = -\Jexl—\<
1178.	у =* sin4 х + cos4 х. 1179. у = х \J — х.
1180.	^ = 4^.	1181. у =	.j^-
1182 и —	- Х2 4	L 1
	2 d	X '
1183. у==х2'3+(х-2Я. 1184. у = 4- - & + х3.
*) В задачах 1165, 1168, 1173 и некоторых других для по-
строения кривой нужно найти ее асимптоты (см, гл. 5, § 9, с, 112),
142
1185. у = х? (х + 2)2.
1187.
1188.^2(4--^).
1188. у — 2 tg х — tg2 х.
1189.	у = х + In (cos х).
1190.	1) z/ = ln Vl 4-x2 —arctgx; 2) у = | х |(х 4- 2).
1191.	у = х2е~х.
1192.	у = з7(*4- 1)2-2х.
Найти экстремум функции и построить ее график
1193. z/ = 4x — х2.
1195. у = 4 + ^-
О
^1.у=^.
1199. у = ±-Ы.
1203. у = х — 21пх.
1194. z/ = x24-2x-3.
1196. у = х3 4- 6х2 4- Эх.
1198. г/ = х34'4*
1200. у = 2х — 3^.
1202. z/ = xe~x4
1204.	г/= х2/3 (х — 5).
1205.	z/ = sin2x — х в интервале (—л/2, л/2).
1206.	y = 2x-|-ctgx в интервале (0, л).
1207.	у = х 4- arcctg 2х.	1208. у= 1 -f-^(х—I)2.
1209. у = 2 sin х 4- cos 2х в интервале (0, л).
1210. г/ = 3х4 —8х34-6х2. 1211. У = ^~-
1212. =	1213. z/= х 4* “•
л “j" л	л
1214. 1) у = ае~х cos х (при х>0); 2) z/ = 3x5 —Зх3.
1215	(4~*)3	1216
1215.1/	9(2 — х) •	1Х1О. у х2 + 8
1217. =		1218. у = (1-х2)(1-х3).
1219. y = -L±3.+ g.-	1220. у = х 4- 2 7=^.
1221. 1) у =	.	2) у = 71 -cosx.
143
§ 5.	Задачи о наибольших и наименьших
значениях величин
1222.	Решеткой длиной 120 м нужно огородить
прилегающую к дому прямоугольную площадку наи-
большей площади. Определить размеры прямоуголь-
ной площадки.
1223.	Разложить число 10 на два слагаемых так,
чтобы произведение их было наибольшим.
1224.	В треугольник с основанием а и высотой h
вписан прямоугольник наибольшей площади. Опре-
делить площадь прямоугольника.
1225.	Из квадратного листа картона со стороной
а вырезаются по углам одинаковые квадраты и из
оставшейся части склеивается прямоугольная короб-
ка. Какова должна быть сторона вырезаемого квад-
рата, чтобы объем коробки был наибольшим?
1226.	Определить размеры открытого бассейна с
квадратным дном объемом 32 м3 так, чтобы на обли-
цовку его стен и дна пошло наименьшее количество
материала.
1227.	Боковые стороны и меньшее основание тра-
пеции равны 10 см. Определить ее большее основание
так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.
1228.	В полукруг вписана трапеция, основание ко-
торой есть диаметр полукруга. Определить угол тра-
пеции при основании так, чтобы площадь трапеции
была наибольшей.
1229.	Сечение тоннеля имеет форму прямоуголь-
ника, завершенного полукругом. Периметр сечения
18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения
будет наибольшей?
1230.	Вблизи завода А проводится по намеченной
прямой к городу В железная дорога. Под каким уг-
лом а к проектируемой железной дороге нужно про-
вести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А
в В была наиболее дешевой, если стоимость 1 тонно-
километра при перевозке по шоссе в т раз дороже,
чем по железной дороге?
1231.	Два источника света расположены в 30 м
друг от друга. На прямой, соединяющей их, найти
наименее освещенную точку, если силы света источни-
ков относятся, как 27 :8.
1232.	Два самолета летят в одной плоскости и
прямолинейно под углом 120° с одинаковой скоростью
144
v км/ч. В некоторый момент один самолет прилетел
в точку пересечения линий движения, а второй не до-
летел до нее на а км. Через какое время расстояние
между самолетами будет наименьшим и чему равно
это расстояние?
1233.	Балка прямоугольного сечения со свободно
опертыми концами равномерно нагружена по всей
длине. Стрела ее прогиба обратно пропорциональна
моменту инерции сечения балки 1= 12—, где х и
у — размеры балки. Определить размеры балки при
наименьшей стреле прогиба, если балка вырезана из
круглого бревна с диаметром D.
1234.	Во сколько раз объем шара больше объема
наибольшего цилиндра, вписанного в этот шар?
1235.	Два коридора шириной 2,4 м и 1,6 м пересе-
каются под прямым углом. Определить наибольшую
длину лестницы, которую можно перенести (горизон-
тально) из одного коридора в другой.
1236.	В конус с радиусом 4 дм и высотой 6 дм
вписан цилиндр наибольшего объема. Найти этот
объем.
1237.	В полукруг радиуса R вписан прямоугольник
наибольшей площади. Определить его размеры.
1238.	На параболе у = х1 найти точку, наименее
удаленную от прямой у = 2х— 4.
1239.	Картина повешена на стене. Нижний ее ко-
нец на b см, а верхний на а см выше глаза наблю-
дателя. На каком расстоянии от стены должен встать
наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наи-
большим углом?
1240.	Общая длина стен изображенного на плане
дома (рис. 29) должна быть равна 90 м. При какой
ширине х коридора площадь трех остальных комнат
будет наибольшей?
1241.	В прямоугольный треугольник с гипотенузой
8 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание
которого расположено на гипотенузе. Каковы должны
быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь
была наибольшей?
1242.	Даны точки А(0; 3) и .5(4; 5). На оси Ох
найти точку М так, чтобы расстояние S = AM 4- МВ
было наименьшим.
145
1243.	Сопротивление балки продольному сжатию
пропорционально площади поперечного сечения. Оп-
ределить размеры балки, вырезанной из круглого
бревна диаметром D, так, чтобы сопротивление ее
сжатию было наибольшим.
W////////777' ww//////,

Рис. 29
Рис. 30
1244.	Из круга вырезается сектор, содержащий
угол а, а затем сектор свертывается в конус. При ка-
ком значении угла а объем конуса будет наиболь-
шим?
1245.	Груз весом Р, лежащий на горизонтальной
плоскости, нужно сдвинуть приложенной к нему си-
лой F (рис. 30). Под каким углом а к горизонту нужно
направить силу F, чтобы она была наименьшей. Коэф-
фициент трения ц = 0,25.
§ 6.	Направление выпуклости и точки перегиба
кривой. Построение кривых
1°. Выпуклость. Кривая называется выпуклой «вверх»
(«вниз») в точке х = ха, если в некоторой окрестности этой точки
(слева и справа) кривая расположена «ниже» («выше») касатель-
ной в этой точке. Если в точке х = Хо-
1)	у" > 0, то кривая выпукла «вниз»;
2)	у" < 0, то кривая выпукла «вверх».
2°. Точкой перегиба называется точка, в которой кри-
вая переходит с одной стороны касательной на другую (и, сле-
довательно, мадяет направление выпуклости). Необходимым усло-
вием точки перегиба является то, что в ней у" = 0 или не суще-
ствует, а достаточным. — то, что у" при этом меняет знак.
3°. Для построения кривой рекомендуется опреде-
лить: 1) симметрию; 2) область расположения; 3) точки пересече-
ния с осями Ох и Оу, 4) точки разрыва функции у = <р(х) или
х = и асимптоты; 5) возрастание или убывание у или х и
экстремальные точки; 6) направление выпуклости и точки пере-
гиба.
146
'1246. Исследовать направление выпуклости и по-
строить кривые:
1) у = х2- 2) г/= х3; 3) у = ех\ 4) у = 1пх;
5) у = х5/3.
1247. Определить экстремальные точки и точки пе-
региба кривых и построить кривые:
1)1/ = 4“х2’ у = е~х^ 3)^ = ТГ^’
4) у = 2'/\
Применяя некоторые из правил п. 3°, построить
кривые, заданные в задачах 1248—1262 уравнениями:
1248. у2 ==2Н 9.	1249. у = -х2 — 4х.
Указание. В задаче 1248 определить симметрию, область рас-
положения и точки пересечения с осями, а в задаче 1249—точку
экстремума и точки пересечения с Ох.
1250. z/ = sinx, y — cosx. 1251. y = shx, y = chx.
Указание. В задачах 1250, 1251 определить точки экстремума
и перегиба.
1252. г/ = 1п(х + 2).	1253. у = е~х.
Указание. В задачах 1252, 1253 определить область располо-
жения, точки пересечения с осями, асимптоту и направление вы-
пуклости.
1254.	1)	t/2 = x3;	2) г/2 = (х + 3)3.
1255.	1)	+	2)
1256.	1)	=	2) у — ехе~\
1257.	1)	У = х + -^‘,	2)у = ±--^.
Л 4	л л
1258.	1)	у = х-1пх’,	2) =
1259.	1)	y^-^-pi	2)У==4’+^-
1260.	1)	у2 = 2х2 — х4;	2) х(у — х)2 = 4.
1261.	// = (х + 2)2/з-(х-2)4
1262.	у2 = хе~х.
ГЛАВА 8
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Неопределенный интеграл. Интегрирование
разложением
Г. Неопределенным интегралом ^f(x)dx назы-
вается функция F(x) -]- С, содержащая произвольное постоянное
С, дифференциал которой равен подынтегральному выражению
f(x)dx, т. е.
j f (х) dx = F (х) + С,
если
d [Г (х) + С] = f (х) dx.
2°.Таблица основных
С	r" + 1
1. \ хп dx = — , , + С
J	п + 1
(«=# - 1).
Sdx
= In | х I + С.
С
3. \ ах dx = -р--J- С.
J	In а
интегралов:
sin х dx = —cos x + С.
4. \ ех dx — ех + С.
rfx	«
---5— — tg X -p C.
cos2 x
dx		, r,
——— = — Ctg x + C.
sin2 x	&
arctg x + C
или
—arcctgx-|-Ci.
( arcsin x + C
dx
б. \ cos х dx = sin х + С.
или
у 2	|
I —arccos x +
I +C.
3°. Свойства неопределенного интеграла!
I. d и dx = и dx. II. du = и + C.
III. \ Au dx = A \ и dx. IV. \ (u + v) dx = \ и dx + \ о dx.
148
Интегрирование разложением есть приведение данного инте-
грала (по свойству IV) к сумме более простых интегралов.
1263. В следующих равенствах заполнить пропу-
щенные места по соображению:
1)	d(	) = 2xdx;	2) d(	) = x3dx;
3)	d(	) = cosxdx;	4) d(	)==~£~'>
5)	d{	6) d(	)= ,^*-7.
7 v 1 cos2 Л	'	1 + X
Найти затем интегралы ^2xJx, ^x3dx и т. д.
Найти интегралы:
1264.	1)	J (x2 + 2x + -j-) dx;	2)	
1265.	i)	Г x — 2 , \ —a— dx; J x*	2)	J x3
1266.	1)1	f (aJx + -v^x) dx;	2)	JIVF ZJx*)
1267.	1)	t	dx. J	X	2)	f X — 1 J J dx-
1268. 1) 1		PC1 x’)dx:	2)	И1+^>
1269.	1)'	Г cos 2x , \ —5—dx; J cos2 x sm2 x	2)	ctg2 x dx.
1270.	1)	f	dx	2)	{ *-?-^dx. J	COS2 X
		J sin2 x cos2 x ’		
1271.	1) '	sin2 ~^-dx;	2)	cos2 -^-dx.
1272.	1) 1			2) I 1	Л
Найти интегралы:
1273. 1)
12?4- 1) $ ^dx;
149
12’5. 1) 5(2-+^ + ^)^
2) (sin ------СОЭ-уУ^Х.
1276. 1) L‘(l +	2) ( а*(1 + ^}dx.
J \	VU3 Л J	J	\	Л х
1277. t	1278. Gg2xdx.
J sm2 х	J °
§ 2.	Интегрирование подстановкой и непосредственное
Положив х = <p(u), dx = tp'(u)du, получим
f (х) dx = j f [<р (и)] <р' (и) du.	(1)
Такое преобразование интеграла называется интегрированием
подстановкой.
В простых случаях введение новой переменной и рекомен-
дуется выполнять в уме, применяя следующие преобразования
дифференциала dx-.
dx = ~~ d {ах + й); 2х dx = d (х2);
cos х dx = d (sin x);	= d (In x) и т. п„
и обозначая мысленно выражение в скобках через и. Такой при-
ем интегрирования называют непосредственным.
Найти интегралы:
1279. ^cos3xdx.	1280. ^sin-^-dx.
Указание. Пример 1279 можно решить двумя способами: 1) rjo»
дожив Зх = и, х = ц/3, dx = du/3; 2) приведя интеграл к виду
( cos Зх d (Зх).
3 J
1281.	е зх dx.	1282.	\ 6* J cos2 5х
1283.	J(ex/2 + e-x/2)rfx.	1284.	V4x — 1 dx. f О/
1285.	(3 — 2х)4 dx.	1286.	\ -у 5 — 6х dx.
1287.	С	1288.	\ sin (а — bx) d»,
J V3 - 2х
150
1289.	x2_5x + 7 dx.
1290.
x dx
x2 + Г
Указание. Примеры 1289—1298 решаются по формуле
и' dx
и
du
и
1п [ и | “1“ С,
т. е. если числитель подынтегральной дроби есть производная от
знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя.
1291.	f dx	1292.	f e2x dx
	J 1 —lOx '		J 1 - 3e2X '
1293.	ctgx dx.	1294.	\ tg x dx.
1295.	C cos2x , \ —	dx. J Sin X COS X	1296. '	f sin x dx
			J 1+3 cos x
1297.	C	COS X	J \ ч ~r~o 	dx. J 1 + 2 sin x	1298.	f	dx
			J X (1 + In x)
1299.	\ sin2 x cos x dx.	1300.	\ cos3 x sin xdx.
Указание. Пример 1299 можно решить подстановкой sinx = и
или непосредственно, заменив cosx dx через d(sinx).
1301.	f cos x dx J sin4 x	1302.	Г sin x dx J cos3 X
1303.	f 1—2 cos x , \	—2	dx. J sinzx	1304.	\ sin x cos x dx.
1305.	\ ecos x sin x dx.	1306.	( e*’x2 dx.
Указание. Пример 1306 можно решить подстановкой х3 = и
или непосредственно, заменив x2dx через -у d (х3).
г	f dx
1307. \e-x!xdx.	1308. \
J	J	ух
1309. JVx24-lxdx. 1310. J ^x3 — 8x2dx.
+ 1	Указание. Пример 1309 можно решить = и или непосредственно, записав		подстановкой интеграл в	виде
1 г 2 J	(х2+ \)'/2d (х2+ 1). 1311 С. x2dx	1312.	f x dx	
	Wl+x3		j Vl — x2	
	1313 (-,sinx-dx—	1314. 1	f* Vl + In x dx	
	J y\ + 2 cos x		J	x	
131
1315.	д/1 + 4 sinx cos л: dx.
1316.	— 6x5x4dx.
Найти	интегралы:		
1317. 1	J(ex + e-x)2dx.	1318.	\ sin3 x cos x dx.
1319.	Г dx J V1 — 4x	1320.	\ cos (a — bx) dx.
1321.	f 1 -j- 3x dXt	1322.	( V1 — 2x3 x2 dx.
1323.	f x dx	1324.	C 1 — 2 sin x j \	1	dx.
	J Vl + x2		J	COS2 X
1325.	£ 1 + sin 2x	1326.	\ esinx cosxdx.
	J sin2 x		
1 497	C x2 dx	1 49R	f dx
	J 1 — X3		J (a — bx]3
сом	f dx Г dx C dx
§ 3.	Интегралы вида J J ^—=, J ^==
и к ним приводящиеся
1329.	Показать, что
1)	j - Д2^Х2~ = 4~arctg-7- + С. положив x = atg/;
2)	(	=а arcsin — 4~ £, положив x = asin/;
J Va2 - х2	а '
3)	$7^ = i,n|Sl| + C- разложив
1	_ 1 а + х + а — х__1 / 1________1 Л t
х2 — а2	2а х2 — а2 2а \ х — а х + а) ‘
4)	—^== = In | х + Vх2 + 1+С> положив
^/x2+A= = t — X.
1330.	1)	2) J-^y.
152
1332. 1) (	2) (-5^3-.
J Vx2 —4	J x +3
,зм-ЧтВ?!	2) J-рЛ?--
1335.	1) ( -r. dx r=;	2) ( £Дт-
JV3-4X2	J Vл3 ~ 1
1336.	1)	2) ( 3x2~~ dx.
' J rf4 ’	J x2-4
I337-	'> j -7tmdx'	2) 5 ^dx-
1338-$йт-	,33’-Sra-
Указание. В примерах 1338, 1339 нужно из подынтегральной
неправильной дроби исключить целое выражение.
1340.	 r,dx , /.	1341. Г2  2  ,о.
J X2 + 4х + 5	J А/ 4“ 6х + 1о
Указание. В примерах 1340—1347 нужно из квадратного трех-
члена выделить полный квадрат.
. О.Л Г dx	С dx
J V^2 + 2x+T*	1343, J 71 - 2х - х2 '
1344‘ j vsfer- ,345- $-?+£+з-
1344vrf=T?-
Найти интегралы:
1348.
1349.
1350.
1352.
1354.
{(-7=^+-l^=W
J\72 — X2	‘у/ч + х2)
4х — 5 ,  2-г с dx. х2 + 5	1351.	Г х2 dx
		J х2 — 2 ’
х4 dx	1353.	Г вх dx
х2 + 2 ’		J Vl - e2X
xdx	1OCr f dx
х4 + 0,25 *	ia°0, Jx2 + 4x + 29-
153
13И- $,u«+3
1357. J
1359. (
dx
л/Ъ — 4x — x2
______dx_______
л]4х2 + 4x + 3
§ 4. Интегрирование по частям
Из формулы дифференциала произведения d(uv) *=udv +
+ v du получается формула интегрирования по частям:
и dv = uv — v du.
Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под инте-
гралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной
функций, например х2ех dx или ^x2lnxdx. При этом за и
принимается функция, которая дифференцированием упрощается,
а за du — та часть подынтегрального выражения, содержащая
dx, интеграл от которой известен или может быть найден.
Из трансцендентных функций за и обычно принимаются 1пх,
arctg х и arcsin х.
Например, в интеграле х2 In х dx за и нужно принять In х
(а не х2). а в интеграле j х2ех dx за и нужно принять х2
(а не е*).
Haim	i интегралы:		
1360.	In x dx.	1361.	ij x In (x — 1) dx,
1362.	xe2X dx.	1363.	x arctg x dx.
1364.	x2 cos x dx.	1365.	ex sin x dx.
1366.	Показать, что		
Vх2 + kdx = -±-[x Ajx2-\-k + k ln(x + Vx2+^)1
Найти 1367. '	интегралы:		C x dx J sin2 x ‘
	\ (In x)2 dx.	1368.	
1369. 1	f In x dx J A'2	1370.	Г arcsin x dx J Vl + X
1371. 1	arcsin x dx.	1372.	x3e~x dx.
1373.	In (x2 + 1) dx.	1374.	\ cos (In x) dx,
164
Найти интегралы:
1375.	1376. \x2e~~dx.
1377. Jarctgxdx.	1378.
Л	X
I arcsin-j-
1379. \e*cosxdx.	1380. j	dx.
1381. \*™*dx_,
J sin3 X
1382. ( arctg V2x — 1 dx.
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций
1°. Интегралы от квадратов и других четных сте-
пеней синуса и косинуса находят, применяя следующие
формулы понижения степени:
sin2 х
1—cos 2х , l+cos2x .	sin 2х
---------; cos2 x =---------; sin x cos x = —-—
2	2	*
2°. Интегралы от кубов и других нечетных сте-
пеней синуса и косинуса находят, отделяя от нечетной
степени один множитель и полагая кофункцию равной новой
переменной и.
Интеграл cos'” х sin" х dx находится по правилу 1°, если т
и п оба четные, и по правилу 2°, если т или п нечетно.
Найти интегралы:
1383.	j sin23xdx.	1384.	(1 + 2 cosx^dx.
1385.	j (1 — sin 2x)2dx.	1386. 1	1 cos4 x dx.
1387.	sin2xcos2xdx.	1388.	sin4 x cos4 x dx.
1389.	sin2x cos4xdx.	1390.	sin5xdx.
1391.	sin2xcos3xdx.	1392.	sin3x cos3x dx.
1393.	cos7 x dx.	1394.	(1 + 2 cos x)3dx.
1395.	C cos3 x dx J sin2 X	1396.	f sin3 x dx J cos2 X
165
1 on? f — ( _sltPx_+_COS^X_ .	,
J sin 2x J 2 sin x cos x a
1398. 1)	2)	.
7 J Sin X ’ J COS X
1399. C cosx+sinx	C__dx--------.
J sin 2x	J Sin X — COS X
1401. ^tg3xdx.	1402. ^ctg’xdx.
Указание. В примере 1401 положить tg х = t, х = arctg/.
1403. J sin Зх cos x dx. 1404. cos tnx cos nx dx.
Указание. В примерах 1403—1406 применить формулы
sin a cos 0 = [sin (a -f- 0) + sin (а — 0)],
cos а cos 0 = [cos (а + 0) + cos (а — 0)],
sin a sin 0 = ~ [cos (а — 0) — cos (а + 0)].
1405.	1) sin Зх sin 5х dx; 2) sin тх sin nx dx.
1406.	sin (5х —cos (х + -j-) dx.
1407.	Интегрируя по частям, вывести формулы «по-
нижения степени»:
1) j sinnxdx = —cosx sin"-1x 4-
4--~— ? sin"-2xdx;
nJ
2) cos" х dx = — sin x cos'1-1 x +
’ J	n
4- n ~ - cos"-2 x dx
и по этим формулам найти: 1) sinexdx;
2) ^cos6xdx.
1408. Найти интегралы: 1)	2)
-I Ы11 Л	J vUw «V
Указание. Применить формулы задачи 1407 к интегралам
f dx	f dx
\------ и \-------.
J Sin X	J cos X
156
Найти интегралы:
1409.	(1 + 3 cos 2х)2 dx.
1411. sin4 х cos2 х dx.
1413. J sin3 x cos2x dx.
1415 C (sinx-cos_x)2
J sin 2x
1417. sin3* + 1-rfx.
J COS2 X
1410. jsin4xdx.
1412. ^cos5xdx.
1414. (1 + 2 sin x)3dx.
1416. j sin 3x sin x dx.
J
1418. \ sin (x + cos x dx.
§ 6. Интегрирование рациональных алгебраических
функций
Г. Если подынтегральная дробь неправильная, то нужно ис-
ключить из нее целое выражение.
2°. Знаменатель правильной дроби разлагается на множители
вида (х— а)а и (х2 + рх + q) а правильная дробь разлагается
на сумму элементарных дробей следующим образом:
___________Р (*)_________ в А ।	^2	|	।
(х — а)“ (х2 + рх + q)$ . . . х — а (х — а)2
Ла	М'Х + ЛГ, М2х + У2 +	+
(х — а)а х2 + рх + q (х2 + рх + </)2
,	+ ^3	+
(х2 + рх + <?)Р
где Р(х)—полином степени ниже степени знаменателя.
Найти интегралы:
С уЗ	(* у4	С у5
1419. 1)	2)	3) J ^^dx.
1420.	С	х — 4	, J (х - 2) (х - 3) аХ’	1421. 1	Г 2х + 7 ' X2 + х —	 2 йХ‘
1422.	С Зх2 + 2х — 3 , \	з	dx. J	Ха — X	1423. 1	Г (X + I)3 J X2 — X	dx.
1424.	f х +2 ,1 \ —з—тгтйх. J х3 — 2х2	1425. '	’ Зх — 2а ) х4 — ах3	dx.
1426.	f 2x2 - 5х + ! Зх3-2х2 + хил‘	1427. 1	Г 5х — 1 J х3 — Зх -	_2dx.
1ST
1428, 5 х2 + 2х+ 10 dx‘ 1429, 5 х2—О,2х + 0,17 dx‘
Указание. В примере 1428 выделить в знаменателе полный
квадрат и затем положить х + 1 ==t.
1 кпл С 2х2 + х + 4	,	, С 7х — 15	,
1430. j хз + *2 + 4х + 4 dx. 1431. } хз_2х2 + 5х dx.
1432 ( dx	1433	+ 2* + 1
1432‘ J хз + 8 •	J (х + 1)2(х2+1)
1434. 1)	, 2 dx2 I 2)	}
' J (х2 + Ь2)2	' J (х2 + 62)3
Указание. Положить х = b tg t и затем (во втором примере)
использовать формулу 2) задачи 1407.
14 _ n С (2x+l)rfx 2. f dx
1400. 1) j (х2 + 2х + 5)2 1	> J (х2-6х + 10)’ •
143R f 4х dx__________	1437 (___х +2____dx
J (1+х)(1 + х2)2 	14d/- J х4 + 4х2 + 4аХ'
Найти интегралы, не применяя общего метода не-
определенных коэффициентов:
1438-	,439' S (» + .>(» + >>•
Указание к задачам 1438—1442. В числителе подынтегральной
дроби написать разность множителей знаменателя, разделив ин-
теграл на соответствующее число.
144°-	,441- S («-ЗН^+2)-
,442-	I44s- $-Нпг-
Найти интегралы:
1««- $ (>-2f)7«'-2j	>44s- S 2,‘++^dX-
Н4в. $ ^_^Z“+4-<U
4 С 11х+ 16	,
1447' J (X- 1) (х + 2)2 dx'
1448 (____бх~2---dx 1449	____х_+_2--
J хз _4х2 + 4х ах> 1**»- j х3-2х2 + 2х ах"
153
1450.
Sdx
x^r-
x3 + x2 + 2x 4- 2 •
x dx
(x2 + 2x + 2)* ‘
В примерах 1454—1457 выполнить интегрирование,
не прибегая к методу неопределенных коэффициентов.
1454-
1456.
<455-
1457-$7Г^2
§ 7. Интегрирование некоторых иррациональных
алгебраических функций
1°. Интеграл R (х, д/ах + б) dx, где R(x, у) — раци-
ональная функция, находится подстановкой ах + b = tn, а инте-
грал более общего вида R (xm, aJахт + Z>) хш-1 dx — подста-
новкой ахт -j- Ь = tn.
f Afx + Af
2° Интеграл \ //' , , , .	dx находится
в	j (x — a) ^Jax1 + bx + c
ч	1
подстановкой x — a = —.
3°. Тригонометрические подстановки. К рацио-'
нальному тригонометрическому виду приводятся интегралы
R (х, -у/а2 — х2) dx — подстановкой х = a sin t,
\ R(x, V^2 + х2) dx — подстановкой x = a tg t.
айхт +	+ ... +am dx
ax2 + bx + c
можно выделить алгебраическую часть по формуле
j а<>Хт am'dx = (Лохт- + ... + Ап-,) Г +
где 117= Vах2 + 6х + с. Коэффициенты Л находятся после диф-
ференцирования равенства и освобождения его от знаменателя
сравнением коэффициентов слева и справа при одинаковых степе-
нях х.
5°. Интеграл от дифференциального бинома
\ хт (a + bxn)p dx берется в конечном виде в трех случаях:
4°. Из интеграла
169
1)	когда р — целое число, разложением; 2) когда —------це-
, ,	,	т + 1 ,
лое число, подстановкой a-\-bxn = ts\ 3) когда -----гр — це-
лое число, подстановкой ах~п + b = ts, где s—знаменатель дроби р.
Используя подстановки 1°, найти интегралы:
1458.	С х + 1	. \ -3/ --—dx. J -у Зх + 1	1459. 1	х dx
			) V2x +1 + 1
1460.	С dx	1461.	x -\ja — x dx.
	J -ух + Vх		
1462.	С х3 dx	1463.	f x3 dx
	J ,1 + у/х4 + 1		J -y*x2 + 2
Используя подстановку 2°, найти интегралы:
1464. 1-----------..	1465. ------=^=
J х-ух2 — 1	J х д/2х2 + 2х + 1
S/1 V
-----7	-.
х л/2ах — х2
1467. ------------у*
J (х + 1) -ух2 + 2х + 2
Найти интегралы, используя подстановки 3°:
1468.	— х2 dx.
1470. J х2 д/4 — x2dx.
1472. J V3 + 2x-x2dx.
dx
V(4 + x2)3
x2 dx
x2 dx
V(2 - x2)3 ‘
Найти интегралы, применяя правило 4°:
1474.
1476.
f х2 + 4х ,
\ --г' ...	=.dx.
J -у х2 + 2х + 2
-\/х2	kdx.
1475.
J -уЗ —2х —х2
1477. \ -\/2ах — x2dx.
Найти интегралы от дифференциальных биномов!
1478.	—4 dx
X V1 + X3
1479.
dx
3
X3 V2 — X3
160
1480. 1	Г	dx	Г x*dx Jx2V(l + x2)3	J (а —6х2)а/’
Найти	интегралы:
1482.	(	— dx.	1483. (  з/—--	. J <2х - 1	J Л?3х +1-1
1484.	Г Vxdx_	I486. С х dx^ J х + 1	J -ya — x
1486.	t X,±-L dx.	1487. ( **..dx	. J x\x — 2	J v*2+l — 1
1488.	C	xrfx	148g f x*dx J x2 + 2 + 2 д/1 + x2	J 2 + V4 — x2
1490.	C	dx J х-/х2 + 2х
1491. 1	Г	dx	 J (x — 1) Vx2 — 2x
1492.	\ x2rfx_	1493. ( A/dx. JV4-X2	J V 2 —x
Указание. В примере 1493 положить х = 2 sin21,
1494.	j д/4х + x2dx.
1495.	C \ / J -y/5 + 4x — x4
1496.	f d*	1497 J x3Vl + x2	J x2Vl + *a
- 1498.	Г	dx J x Vl — x3
1499.	C	dx	 J xV3x2 —2x —1
§ 8. Интегрирование некоторых трансцендентных
функций
К рациональному алгебраическому виду приводятся инте-
гралы:
R (ех) dx — подстановкой ех = t, х = In t, dx = -у-;
161
6 В. П. Мннорский
j Я (tg *) dx — подстановкой tg x = t, x*= arctg t, dx «
di
“ 1 + ra:
J R (sin x, cos x) dx — подстановкой tg -y = t,
Я	1-t1 2 J„.. 2di
sin x =	, cos x =	, dx j p .
Найти интегралы:
1500.	-dx.
. _л_ f e3JC dx
l5M- J 3+ТЗГТ-
1506-
Указание. В примерах
1501. Jtg4xdx.
1503.
J sin X
i -ля f dx
’ J 3 sin x + 4 cos X *
i6°7- $ i+^>-
1506, 1507, 1512, 1513, где под инте»
градом sin х и cos х содержатся только в четной степени, лучше
применять подстановку
t’
tg х = t, sin2 x = ——
cos’ X
. dt
dx = ТГ
1
Найти интегралы:
1508. ’	1 елх dx J ex — 1
1510.	f e3X dx J e2X - 1 "
1512.	f dx
	J cos4 x *
1514.	f	dx
	J 2sin x + sin 2x "
1516.	C ex 4-1 . \	' г dx. J e — 1
1509. tg5 х dx.
1И‘- $зЛтГ-
151S- $т+тап-
1515.	---dx.
J sin3x
i Ki 7 ( t ~b tg x .
1S17, J sin 2x aX'
§ 9. Интегрирование гиперболических функций.
Гиперболические подстановки
1. j ch х dx = sh х + С.
3- 5~S--th* + C.
J ch* x
2. sh x dx => ch x + C.
c,h’+a
162
Интегралы от квадратов и других четных степеней ch х и sh х на'
ходится применением формул:
, , ch 2х + 1	,, ch 2х — 1	.	, sh 2х
ch2 х =-----, sh2 х =-----------------, sh х ch х ~	.
Интегралы от нечетных степеней sh х и ch х находятся тем
же способом, что и интегралы от нечетных степеней sin х и
cos х.
Гиперболические подстановки иногда применяются при нахо«
ждении интегралов вида
/? (х, V*2 — a2) dx — подстановкой х = a ch t\
\ R (х, V*2 + a2) dx — подстановкой х = a sh t.
При этом: если х = a ch t, то t = In
t- j л , * + V*2 + a2
если x = a sh t, to t = In--!—11--------
Найти интегралы!			
1518.	1) sh23xdxj	2) J (1	+ sh 2x)2 dx.
1519.	ch3 x dx.	1520. '	\ th x dx.
	f dx	1 K99	f dx
1OZI •	J ch x + 1		J th x — 1 '
1523.	J V*2 + a2dx.	1524.	\ aJx2— a2 dx.
1525.	C	dx	1526.	Г dx
	J V(x2 + 4)3		J -V(*2-5)a
Найти интегралы:			
1527.	j sh3 3x dx.	1528.	i sh2 x ch2 x dx.
1529.	sh4 x ch x dx.	1530. 1	cth2 x dx. f 1 4- 2 sh x j J ch2x dx’
1531.	Vch*+ 1 dx.	1532.	
1538.	C x2 dx	1534.	г V*2 + 3 . \ ————dx. J X2
	J V*2-3		
6*
163
§ 10. Смешанные примеры на интегрирование
Найти интегралы:
1Б35.	f ^1 4- x dx	1536. [ arctg x dx .	
	J	X		1 + x-
1537.	f dx	1538.	f dx
	J x3 + ax2 '		J 1 -j- sin x ’
1539.	f dx	1540.	C	dx
	J Vx (1 - X)		J sin2 x , cos2 x '
			a2 1 b2
1541.	j x cos2 x dx.	1542.	f dx
			J e2x + ex
1543.	SVi+x^-	1544.	f cos2 x dx J sin4 x
1545.	x tg2 x dx.	1546.	f cos2 x dx J sin x
1547.	f sin x dx	1548.	C dx
			
	J b2 + cos2 x		J -tfx2 + 2 V*
1549.	( ax--.b_dx J (ax + Ы ax'	1550.	f dx
			J x4 + x2 ’
1551.	f	dx	1552.	f	dx
	J (sin x + cos x)2 f x2 dx		J x-Va+blnx
1553.		1554. ]	I д/l — 2x — x2dx.
	J (a — &x3)n ’		
1555.	f dx	1556.	f arctg x dx
			J	X2
	J (1 + Vx)3		
J (2х + 1) (1 + V2*+ 1) '
1560.	^*~*-dx.
1557.
J е2Х + 4
1ББ9. ctg4 х dx.
f cosx , O4 C sinx .
1Б61- П 2) J
1563. \^^dx.
1564. J ^±^-dx.
161
Определить координаты центра кривизны и по-
строить кривую и круг кривизны кривой:
1783.	ху = 4 в точке х = 2.
1784.	у = 1пх в точке пересечения с Ох.
| 1
1785.	у -----— в точке пересечения с Ох.
Написать уравнение эволюты кривой и построить
кривую и ее эволюту:
у 2
1786.	0=1—-^-. 1787. № 2 cos i, у = sin/.
1788.	х2 — у2 = а2 (или x=*acht и у== ash/).
1789.	r==a(cosf + fslnf), у*= a(sinf— tco&tj.
1790.	Найти максимальную кривизну кривой
у = е\
1791.	Доказать, что радиус кривизны цепной ли-
X	ip
нии y = ach — в любой точке равен и равен от-
резку нормали между кривой и осью Ох.
1792.	Определить радиус кривизны в произвольной
точке кривой: 1) r = a(l — cos<р); 2) r2 = a2cos2<p;
о\ r2 _ fl2
J cos2<p 
Определить радиус кривизны и построить кривую
и круг кривизны кривой в ее вершине:
1793.	1794. х2-у2 = 4.
1795. f/=sinx. 1796. 2у = х2 + 4х.
Определить координаты центра кривизны и по-
строить кривую и круг кривизны кривой:
1797.	(/ = ехв точке пересечения ее с Оу.
1798.	у = х3/3 в точке (—1; —1/3)’.
1799.	у2 = х3 в точке (1; 1)'.
1800.	у = cos х в точке х = л/4.
Написать уравнение эволюты кривой и построить
кривую и ее эволюту:
1801.	^ = 2(х+ 1). 1802. x=J2, y^fi/3.
1803. ху=4.	1804. х«==йсоз3/, у = а sin81.
1805. Показать, что в любой точке астроиды
Л2/з_|_^2/з=ва2/3 радиус кривизны равен 3 Va|x^|.
166
ГЛАВА 9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1.	Вычисление определенного интеграла
Пусть на отрезке [а, Ь] определена функция f(x). Разобьем
отрезок [а, 6] на п частей точками а—х0 < Xi <	< ...
Из каждого интервала (х;-ь х<) возьмем произвольную точку
п
I; и составим сумму f (^) А-ч, где &xi=xi — xi_t. Сумма вида
£e 1
п
f (g() Дх/ называется интегральной суммой, а ее предел при
i = l
шахДх;—»-0, если он существует и конечен, называется опреде-
ленным интегралом от функции f(x) в пределах от а до b и обо-
значается :
ь	п
\f(x)dx = lim У/(^)Дхг.	(1)
а	1 i=l
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на
отрезке [а, Ь).
Для интегрируемости достаточно, чтобы на отрезке [а, 6]
функция была непрерывна или же имела конечное числа ко-
нечных разрывов.
Пусть f(x) непрерывна на [а, Ь]. Тогда на этом отрезке суще-
ствует неопределенный интеграл
^f(x')dx = F(x) + C	(2)
И имеет место формула
ь
J/(x)dx = F(&)-F(o)= J f(x)dx|J,	(3)
а
D. в. определенный интеграл от непрерывной функции равен раз-
ности значений первообразной функции (или неопределенного ин-
теграла) при верхнем и нижнем пределах. Формула (3) называет-
ся формулой Ньютона — Лейбница.
166
1565	f dx
	J x -\/x3 — 1
1567.	Г arcsin Vx J 7*
1569.	f cos 2x . \ —n—dx. J sin4 X
1571.	f dx
	J езх _ ex •
1573.	( In (x + 1) dx
	J	X2	*
1575.	f dx
	J 1 + sin2 x
1577.	e~7* dx.
1579.	f 7tg x dx J sin 2x
1581.	f aK dx
	J a2x + 1
1583.	I л/^^-dx J V (x — I)2
1585.	f dx
	J x2 7x2 — 1
1587.	f x — a < 1	- -o-dX. J V2aX + x2
1589.	C cos3 x + 1 \ i 2	dx. J sirrx
1566.	J 1 + tg x *
1568.	f sin 2x . 1 —-—dx.
	J COS4 X
1570. '	1 In (cos x) dx
	) sin2 x *
1572. 1	Г sin3 x dx
	J COS3 X
1574. '	д/i “ sin xdx.
1576. '	x dx
	
	J x4 — x2 — 2 ‘
1578.	Г arctg л]x dx
	J V*
1580. 1	In (x2 + 1) dx
	I	X3
1582. ]	1 — sin Vx , | 	7= dx.
	1	yx
1584. '	1 x arcsin x dx
	1	V1 — X2
1586. (	x2 dx
	
	J (x + 1)4
1588. 1	’ 4x + 1	.
	
	1 2x3 + x2 — x
1590. 1	, dx
	
	1 x4 + 4 *
1591. Составлением интегральных сумм и перехо-
дом к пределу найти интегралы:
а	а	а	п
1)	2)	3) ^e*dx; 4) sinxdx.
0	0	0	0
Указание. При решении второго и четвертого примеров вос-
пользоваться результатами задач 1034 и 647.
1592. Вычислить «нижнюю» и «верхнюю» интег-
2
ральные суммы $5 и S5 для интеграла разбив
1
отрезок [1, 2] на пять равных частей. Сравнить с
точным значением интеграла.
5
Указание. ss «= У пц &х, St “
шее, a Mi — наибольшее значение
1-м частичном промежутке.
Вычислить:
Б
У, Mi Ах, где tni — наимень-
подынтегральной функции а
2
з
1593. J
1
4
1594
1597.
1599.
1
а V?
Sdx
а2 + хг •
а
1
С dx
I
Sdx
— х2 ‘
о
3
J ех/3 dx.
о
Я/4
sin 4х dx.
о
я/3
l±^L.dx.
J (l+tgx)2
Я/4
1601 нужно применить подстановку
1596.
1598.
1600.
о
0
Г dx
J Vx - 1
4
Указание. В примере
х = /2; при этом пределы интеграла изменятся, что записывается
„ х I 4 | 9	„
в виде таблицы 'g-j'g-. Аналогично в примере 1602 при ин-
тегрировании подстановкой tg х = t нужно соответственно изме-
нить пределы.
1601
1602.
167
1603.
1605.
4
C dx
J 1 + V27+1 
1
f dx
J ex + 1 ‘
0
Я/2
1607. sinxcos2xdx.
0
1
1609. $ ln(x+ 1) dx.
о
а/з
,M1- S 7Й7Ж-
1604. ( fdXT‘
a/2	_____
1606. J л]-^=тАх-
0
yr v ______
1608. x2*Ja — x2dx.
0
1
1610. J ^/l+x2dx.
0
3
TT^
i
1613. Из формулы задачи 1407 получить, что
я/2	Я/2
sinnxdx=^~~— \ sin/t-2xdx,
п J
о	о
и вычислить:
Л/2
1)	sin2X£?X
о
Я/2
2)	sin4xdx;
о
Л/2
3)	j sin’xdx.
о
Вычислить:
1614. ^(х2 — ax)dx.
о
л/а
1616. { /Аг-
o’ V4-X>
4
1618. ( Zl
J (1 + VXT
в
. С х dx
teM- )^тт*
1615. J-g-.
2
n/6
'»”• J
л/8
1
1619.
V2
1621. ( ^2^x*d».
Л/2	Я/4
1622. jccosjcdx. 1623. tg3jcdx.
о	о
1624. Из формулы	задачи 1407	получить, что
Л/2	Л/2
( cos'1 х dx =	J созп~2х dx,
о	о
и вычислить:
Л/2
1) cos2xdx;
о
Л/2
2)	cos4xdx;
о
Л/2
3)	cos6xdx.
о
§ 2. Вычисление площадей
Iе, Площадь криволинейной трапеции AiABBit
прилежащей коси Ох (рис. 31):
X,
S == lim У у Ах = \ У dx.
Дх->0^	J
Xi
(1)
Дифференциал переменной площади А1АММ4 равен dS в
=« у dx.
Если кривая задана уравнениями л = /(0 и // = <₽(/). то
dS =» <р(0-Г (i)dt.
Рис. 31
2*. Площадь криволинейной трапеции, прилежа*
щей К беи Оу:
Чг
S •= lim У х Ау «= t х dy.	(2)
Ди-*о“ J
У1
Дифференциал переменной площади dS =^_xdy.
169
3°. Площадь сектора ОАВ (рис. 32) кривой, за-
данной в полярных координатах:
(р2
S = Пт У -5- гг Д<р = ( г2 d<f.	(3)
Дф->0*—1 *•	J *
ф. {
Дифференциал переменной площади aS = — г2 dtp.
Вычислить площадь, ограниченную линиями:
1625. у = 4 — х2, у = 0.	1626. -^-4--=£ = 1.
1627. у2 = 2рх, x = h.	1628. z/ = 3 —2х —х2,
№ 0.
1629. ху=А, х=1,	1630. у = 1пх, х^е,
х = 4, y — Q.	У = $-
• 1631. р2 = 2х + 4, х = 0. 1632. у2^х3, у = 8.
х = 0.
1633. z/2 = (4 —х)3, х = 0. 1634. Петлей кривой
4(у2 —х2) + х3=0.
1635. у = х2, у = 2 — х2.	1636. у = х2 + 4х,
у = х + 4.
1637. а2у2 = х3(2а— х).	1638. (у—х)2 = х3, х=1.
1639. Петлей строфоиды у2 (2а — х) = х(х — а)2.
1640.	Цепной линией у = ~ (е*/а + е~х1а), х — ±а
и{/ = 0.
1641.	Одной аркой циклоиды x = a(t — sin t),
у = а (1 — cos t) и осью Ох.
1642.	Астроидой х » a cos31, у = а sin31.
1643.	Лемнискатой г2 = a2 cos 2ф.
1644.	Кардиоидой г = а(1 —cos <р).
1645.	r = 3 + sin2<p между смежными наибольшим
и наименьшим радиус-векторами.
1646. г = 2 — cos3<p между смежными наиболь-
шим и наименьшим радиус-векторами.
1647. r = acos2q>.	1648. r = asin3<p.
1649. г = a(sinq> + cosqp). 1650. г =	^^ф^2я.
1651.	r = asin3-?-, лежащей ниже полярной оси.
О
1652.	Петлей декартова листа х3 + у3— Заху = 0
(см. рис. 79 на с. 346) (перейти к полярным коорди-
натам).
Ssin2 фсоз2 ф г/ф
. . . ,----8—та положить tg ш =:
(sin3 ф + COS3 ф)2
и, разделив сначала числитель и знаменатель на cos’ ф.
170
Вычислить площадь, ограниченную линиями!
1653.	у = Ьх — х2, у = 0.
1654.	у -= х3, у = 8, х = 0.
1655.	у2=1 — х и х = -3. 1656. у2 + х* = х2.
1657.	у = х2 + 4х + 5, х = 0, у = 0 и минимальной
ординатой.
1658.	Одной полуволной синусоиды y=sinx и
У = 0.
1659.	4у = х2 и t/2 = 4x.
1660.	ху = 6 и х + у — 7 = 0.
1661.	Петлей кривой х3 + х2 — у2 = 0.
1662.	г = 3 — cos2<p между смежными наиболь»
шим и наименьшим радиус-векторами.
1663.	г = 2 + sin 3<р между смежными наибольшим
и наименьшим радиус-векторами.
1664.	z‘ = asin2<p.	1665. r = acos3q>.
1666.	г = aev от <р = —л до ф = л.
1667.	Общей части эллипсов -v + 'fr = l и -тг +
аг о*	ст
и2
+ -^5-= 1 (перейти к полярным координатам).
1668.	г = а(1 + зй122ф) и г = а.
§ 3. Объем тела вращения
1°. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кри«
волинейной трапеции, Л|А8В| (рис. 33), где АВ — дуга кривой
у = f(x), определяется формулой
ема dV = nx2dy.
Определить объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями:
171
1669.	у2 — 2рх и х = h вокруг оси Ох.
1670.	-^2-—|j- = l и У = ±Ь вокруг оси Оу.
1671.	ху = 4, х=1, х = 4, у = 0 вокруг оси Ох.
3672. у2 =(х + 4)3 и х = 0 вокруг оси Оу.
1673.	х2 + у2 = а2 вокруг прямой х = Ь > а.
Указание. dV = л (& + х)2 dy — п(Ь — х)2 dy = 4nbx dy.
1674.	y = ach-^-, х = ±а, у = 0 вокруг оси Ох.
1675.	у2 = 4 — х, х = 0 вокруг оси Оу.
1676.	(у — а)2 = ах, х = 0, у = 2а вокруг оси Ох.
1677.	t/ = cosx и у = —1 вокруг прямой у =—1
Жри —Л	X л.
1678.	у = х л]— х, х = — 4 п у = 0 вокруг оси Оу.
1679.	у — cos (х “'j)» х== °’ У~® (ПРИ х>0)
Вокруг оси Ох.
1680.	у = а---— и х +у = а вокруг оси Оу.
Определить объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями:
1681.	i/ = sinx (одной полуволной)’, t/ = 0 вокруг
оси Ох.
1682.	х2 — у2 =4, у = ±2 вокруг оси Оу.
1683.	</ = *—, х = ±1, у = 0 вокруг оси Ох.
1 “Г %
1684.	вокруг оси Оу.
1685.	х2/3 + у212 = а2/3 вокруг оси Ох.
1686.	г/ = х3, х = 0, у = 8 вокруг оси Оу.
1687.	х2 — у2 = а2, х=±2а вокруг оси Ох.
1688.	у = х2, у = 4 вокруг прямой х = 2.
Указание. dV = n(2 4-x)2dy— л(2 — x)2dy.
1689.	Одной арки циклоиды x=a(t— sin/), у =
« а (I — cos t) вокруг оси Ох.
1690.	(у — З)2 4-Зх = 0, х = —3 вокруг оси Ох.
Й72
§ 4. Длина дуги плоской кривой
Г. Длина дуги АВ кривой y = f(x):
ХВ
s = j V1 + У'1 dx.	(1)
ХА
Дифференциал дуги ds = V1 + у'2 dx = dx2 dy2.
2°. Длина дуги АВ кривой x = f(t), у —<$(()'.
*В
s = V*2 +У4 dt.	(2)
*А
3°. Длина дуги АВ кривой г = f (<р):
<₽В
s=^ л/г2 + г'2d<p.	(3)
<рд
Определить длину дуги кривой:
1691.	у2 = х3, отсеченной прямой х = 4/3.
1692.	Всей кривой х2 + у2 = а2.
1693.	Всей кривой х2/3 + у2/3 = а2>3.
1694.	у2 = (х -j- 1 )3, отсеченной прямой х = 4.
1695.	Одной арки циклоиды
х = a (t — sin /), у = а (1 — cos Z).
1696.	х = -д-, у = 2—между точками пересе-
чения осями координат.
j^2
1697.	у = -х--1. отсеченной осью Ох.
3	2
Указание. + *z dx можно или найти по частям,
или написать по формуле задачи 1366.
1698.	«/ = у (ех/а + е“х/а) = асЬ-^ между прямыми
х = ±а.
1699.	у = In х от х — 3/4 до х = 12/5.
,,	„ С V1 + х2 dx	.
Указание. Интеграл 1 —-------- находится подстановкой
1 + х2 = t2.
1700.	t/= In (2 cos х) между смежными точками пе-
ресечения с осями координат Оу и Ох.
173
1701.	1) Qy2 = x{x—3)2 между точками пересече-
ния с осью Ох.
2) е21/ th х = 1 от х = 1 до х = 2.
1702.	1) Кардиоиды г «= а (1 — cos <р J,
2) Первого завитка спирали г => а<р.
1703.	Всей кривой r = asin3-|-.
1704.	Гибкая нить подвешена в точках А и В, на*
ходящихся на одной высоте на расстоянии АВ «2Ь,
и имеет стрелу прогиба f. Считая форму нити пара*
болой, показать, что длина нити л « 26 (1 + -|- р-)
f
при достаточно малом -у.
Указание, Применить приближенную формулу VI + S * 1 +
+ -у- а задачи 1157.
&
Определить длину дуги кривой»
1703. у2=-§ (2 — х)3, отсеченной прямой х™—1,
4706. y==ln(sinx) от х = л/3 до х*=2л/3.
1707. у ===== 1п(1 —х2) от х = —1/2 до х=> 1/2,
1708. у2=^2рх, отсеченной прямой х-=р/2.
1709. х =/а, у= -j (t2— 3) между точками пере-
сечения с осью Ох.
§ 3. Площадь поверхности вращения
1’, Площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги АВ кривой у » f(x}i
Рх =• 2л у da, где ds •= л/Лхг -4- dy2.
А
2°. Площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Оу дуги АЙ кривой х — <p(p) i
Ру — 2л х ds, где ds = ^dx2 -р dy2.
АВ
Определить площадь поверхности, образованной
вращением кривой:
1710» & ± у2 вокруг оеи
1Я
1711.	у = х2/2, отсеченной прямой у = 1,5, вокру®
оси Оу.
1712.	z/ = ach-^- между х»=±а вокруг оси Ох,
1713.	4х24- У3 = 4 вокруг оси Оу.
Указание. Приняв у за независимую переменную, получим^
2
что искомая площадь Р “ л V16 —3t/2 dy. Далее применяем
0
подстановку у « —т=- sin t.
1714.	Одной полуволны кривой у = sinx вокруг
оси Ох.
1715.	Одной арки циклоиды х«®а(/— sinf), «/«
.= а(1 — cos t) вокруг оси Ох.
1716.	Петли кривой х = t3, y = -j- О2 — 3) вокруг
оси Ох.
1717.	x2-j-y2 — a2 вокруг прямой х=&>а.
Указание. dP = 2л (6 4- x)ds + 2л (6 — x)ds.
Определить площадь поверхности, образованной
вращением вокруг Ох:
д-з
1718.	Дуги кривой #-=>-д-от х —-2 до х = 2.
1719.	Дуги кривой у2 = 4 4-х, отсеченной прямой
х = 2.
1720.	Всей кривой х — acos3^, у = a sin3t.
t3	t2
1721.	Дуги кривой “ "з" > # = 4 —g- между точ-
ками пересечения с осями координат.
$ 6. Задачи из физики
1722.	Определить силу давления воды на верти-
кальный прямоугольный шлюз с основанием 8 м И
высотой 6 м. Определить также силу давления на
нижнюю половину шлюза.
1723.	Определить силу давления воды на верти-
кальную треугольную площадку, основание которой £
расположено на поверхности воды, а высота равная*
176
1724.	Определить силу давления воды на верти-
кальный полукруг, диаметр которого 27? расположен
на поверхности воды.
1725.	Плотина имеет форму трапеции с верхним
основанием 20 м, нижним 10 м и высотой 6 м. Опре-
делить силу давления воды на плотину.
1726.	Найти моменты инерции относительно осей
Ох и Оу площади прямоугольника, ограниченного ли-
ниями х = 0, х = а, у = 0 и у = Ь.
Указание. Разбив прямоугольник на горизонтальные площад-
ки, умножим каждую площадку на квадрат ее расстояния от оси
Ох, т. е. на у2. Суммируя и перейдя к пределу, получим
h
Ix= lim У a lay у2 = \ ay2dy.
О
а
Аналогично Jy= bx2dx.
о
1727.	Найти момент инерции относительно осей
Ох и Оу площади треугольника, ограниченного ли-
ниями х = 0, у = 0 и —р-г = 1.
3	а 1 Ь
1728.	Найти момент инерции относительно оси Оу
площади, ограниченной линиями х = 2, у = х2 и у = 0.
1729.	Найти статические моменты относительно Ох
и Оу и координаты центра масс треугольника, обра-
зованного линиями х = 0, у = 0 и х-}- у = а,
а
Указание. Статические моменты: Мх = ху dy, Му =
о
г	Му	Мх
«= \ ху dx. Координаты центра масс: хс=—$—, ус =—тг—,
J	о	о
О
где S — площадь фигуры.
1730.	Найти центр масс площади, ограниченной ли-
ниями а2у = 6х2, х = а и у — 0.
1731.	Найти центр масс полукруга х2 + у2 = а2,
отсеченного осью Ох.
1732.	1) Вычислить работу, которую нужно затра-
тить на выкачивание воды из цилиндрического бас-
сейна с радиусом основания 0,5 м, если в начальный
момент уровень воды в бассейне равен 2,8 м и на 0,2 м
ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре.
176
2)' Вычислить работу, которую нужно затратить
на выкачивание воды из полушара радиусом 7? м.
1733.	Определить работу, которую нужно затра-
тить, чтобы поднять массу т с поверхности земли на
высоту Л.
Указание. Сила F земного притяжения на расстоянии к от
центра земли определяется из пропорции F: mg = R2: х2, где
R — радиус земного шара.
1734.	Котел имеет форму параболоида вращения
глубиной Н — 0,5 м и радиусом основания /? = 0,4 м.
Определить работу, которую нужно затратить на вы-
качивание воды из такого наполненного котла.
1735.	В цилиндре под поршнем находится воздух
объемом Vo = 0,1 м3 с давлением ро = 1,033-105 Па.
Определить работу изотермического сжатия воздуха
до объема 1Л = 0,03 м3. (По закону Бойля-Мариотта
pV = p0V0.)
1736.	Вычислить работу растяжения на 0,001 м
медной проволоки длиной 1 м с радиусом сечения
2 мм.
Указание. Сила F Н натяжения проволоки длиной /ми пло-
щадью сечения s мм2 при удлинении ее на х м определяется фор-
мулой F = E —у~> где Е — модуль упругости. Для меди можно
принять Е « 1,2- 10s Н/мм2.
1737.	За какое время вода, наполняющая цилинд-
рический сосуд с площадью основания S = 420 см2 и
высотой Я = 40 см, вытечет через отверстие на дне
площадью s = 2 см2?
Указание. Скорость истечения жидкости при уровне ее на вы-
соте х см определяется по формуле о = Ц 'Jigx, где Ц — коэффи-
циент, зависящий от вязкости жидкости, формы сосуда и отвер-
стия. Мы примем здесь, как и в задаче 1738, р = 0,6.
1738.	За какое время вода вытечет из конической
воронки высотой Н = 40 см, радиусом нижнего осно-
вания г = 0,3 см и верхнего R = 6 см (см. указание
к задаче 1737)?
1739.	Определить силу давления воды на верти-
кальную треугольную площадку высотой h, основа-
ние которой а параллельно поверхности воды, а про-
тивоположная вершина находится на поверхности
воды.
177
1740.	Определить силу давления воды на верти»
кальный параболический сегмент, основание которого
равно 4 м и расположено на поверхности воды, а
вершина находится на глубине 4 м.
1741.	Найти глубину х, на которой прямоугольный
шлюз высотой h разделится горизонтально на такие
две части, величина силы давления на которые оди»
накова.
1742.	Цилиндрическая цистерна с горизонтальной
осью наполовину наполнена маслом (плотность 0,9),
Определить силу давления масла на каждую из плО*
ских стенок цилиндра, если радиус ее равен 2 м.
1743.	Определить момент инерции относительно Ох
площади четверти круга х = a cos t, у = a sin t.
1744.	Найти координаты центра масс площади,
ограниченной линиями р = 4 — х2 и у = 0.
1745.	Вычислить работу, необходимую для выка-
чивания воды из ямы, имеющей форму конуса (с вер»
шиной на дне), высота которого Я = 2 м, а радиуа
основания R = 0,3 м.
1746.	Определить работу адиабатического сжатия
воздуха объемом Vo = 0,1 м3 и с давлением ра—
= 1,033-105 Па до объема Vi = 0,03 м3. (Адиабатиче»
ское сжатие происходит по закону Пуассона; pVft =
= poVo, где k « 1, 4.)
1747.	За какое время вода, наполняющая чашу
формы полушара радиусом 40 см, вытечет из от-
верстия на дне площадью 2 см2? (См. указание к за-
даче 1737; положим коэффициент вязкости ц = 0,8.|
§ 7. Несобственные интегралы
1’. Определения.
+ <»	ъ
I.	Интегралом \ f (х) dx называется 11m \ f (х) dx, если
J	ь->+« J
а	а
этот предел существует и конечен. Аналогично определяются
b	+<»
интегралы J f (х) dx и f (х) dx.
— ОО	—со
II.	Если /(х) непрерывна для всех значений х отрезка Га, frl
хроме точки с, в которой f(x) имеет разрыв II рода, то интегрй»
178
пом от f(x) в пределах от а до Ь называется сумма
с-е	Ь
lim ( f (х) dx + lim ( f (x) dx,
e->0 J	в->0 J.
a	с+й
если эти пределы существуют и конечны.
Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрыв*
ных (неограниченных) функций называются несобственными.
Если приведенные выше пределы конечны, то говорят, что не-
собственные интегралы сходятся, если нет, — то расходятся.
2°, Сходимость несобственного интеграла чау
Сто устанавливается методом сравнения! если при х>а|/(х)|^П
4-оо	4-ое
< <р (х) и J <р (х) dx сходится, то сходится и f (х) dx*
а	а
Диалогичный признак сходимости можно указать и для интеграла
от разрывной функции.
Вычислить интегралы!
оо
1748. 1) J-g-j
1
оо
О\ С ^Х
2) j -^-1
1
1749. 1)
2) хе~х' dx\
о
оо	оо
8) в) Ь2в"ж/2^
J X* + X	J
1	о
оо	оо	оо
Sdx	t	Г arctg х dx , f dx
xV^i '	? x1 5 ’ J (x2+l)i
e
1751. I) (
J ^(4 - x)4
2
f
J ?
2
Г dx
J ^(x-l)i*
1752. Исследовать сходимость интегралов:
00	oo	oo
4) |») $-7= I	6)
I Л	v Л "Г 1	rt
17£
1	b
1753.	1)	2) \~(b^ (wnb>a).
О	a
Указание. Рассмотреть три случая: и = 1 — а < 1, п = 1 и
п = 1 + а > 1.
1754.	Вычислить площадь, заключенную между
локоном у = t и асимптотой этой кривой.
1755.	Вычислить площадь, заключенную между
кривой у = хе-х‘1'1 и ее асимптотой (при х>0).
1756.	Вычислить площадь, заключенную между
и 9	X3	о
циссоидои у2 = 2а _ х и ее асимптотой.
Указание. Положив х = 2а sin21, перейти к параметрическим
уравнениям.
1757.	Найти объем тела, образованного вращением
х3
циссоиды у2 — 2а — х' ВОКРУГ ее асимптоты (см. за-
дачу 1756).
1758.	Определить площадь поверхности, образо-
ванной вращением вокруг оси Ох бесконечной дуги
кривой у = е~х при положительных х.
1759.	Найти объем тела, образованного враще-
нием вокруг оси Ох бесконечной ветви кривой
у = 2^— Дг) при 1.
1760.	Показать, что при т целом и положитель-
ном *):
”	с
1)	^e-xxmdx = m\-,	2)	x2m+1 dx ==	.
0	о
1761.	Вычислить интегралы:
oo
1)	2) \x2e~xidx-, 3)	4)
2	0	11
♦) Функция J e~xxf 1 dx = Г (/) называется гамма-функ-
0
цией от t. При целом t > 1, как это следует из задачи 1760, 1),
Г(/) = (/—1)! Полагая здесь t = 1, получим условно 0!
00
= Г (1) = е~хх° dx = 1. Поэтому принято считать 01 = 1.
о
160
In JC
Указание. В примере 3) при нахождении Пт --- приме*
Х-»оо X
нить правило Лопиталя.
ОО	ОО	00
1762.	1) \2)	3)	.
J x-VT+T2	J V(1 + *)3 Jx2 + x*
1763.	Вычислить площадь, заключенную между
кривой у = е~2х и осями координат (при х>0).
1764.	Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу площади бесконечной длины, заклю-
ченной между линиями:
ху = 4, у = 1, х = 0.
1765.	Определить объем тела, образованного вра-
щением кривой у = хе~х/2 (при х>0) вокруг ее
асимптоты.
§ 8.	Среднее значение функции
Теорема о среднем. Если на отрезке [а, 6] функция
ь
f(x) непрерывна, то между пределами интеграла Jf(x)dx най-
а
дется такое х = с, при котором
ь
\f(x)dx = (fi-a)f(c).	(1)
а
Значение функции
&
г/т = /(с) = -±^г^“	(2)
называется средним значением функции f(x) на отрезке Га, 6].
1766.	Определить среднее значение функции:
1)	у == sin х на отрезке [0, л];
2)	y = tgxHa отрезке [0, л/3];
3)	у = 1п х на отрезке [1, е];
4)	у = х2 на отрезке [а, Ь];
5)	У = -1 + хг на отрезке [—1, I].
Указать на чертеже среднее значение функции в
каждом примере.
181
§ 9. Формула трапеций и формула Симпсона
1’. Формула трапеций:
6	г	/1—1 "I
+	,	(I)
а	*•	i=l -*
где Л«= (6 — а)/п, a jfo, yt, у2, ..., у„ — равноотстоящие орди*
наты кривой у = f (х) на отрезке fa, Ь]. Погрешность формулы
(I):
8(Л)< (А.Т?)А2 |y^|max.	(1)
2°. Параболическая формула Симпсона для двух
полос:
ь
^f(x)dx»-!~(y0 + 4yt + y2),	(П)
а
где Л = (6 — а)/2.
8°. Формула Симпсона для 2п полос:
6	г	п	П-1 "1
f (х) dx tn — I у0 + у2п + 4 У Уи-t + 2 У у21 |> (Ш)
a	L	1-1	i=l J
где h =• (Ь — а)/2п. Погрешность формул (II) и (HI):
8(Л)<-^Ц^-^|/У|тах>	(2)
т. е. формула (II) является точной для парабол второй и треть*
ей степеней: у = а + bx + сх2 + dx3.
2
1767.	Вычислить по формуле трапеций In 2 —
1
и оценить погрешность по формуле (1)'.
1768.	По формуле Симпсона (III) вычислить ин*
5	2
теграл хя dx и х4 dx, оценить погрешность по фор-
1	о
муле (2) и результаты сравнить с точным значением
интеграла.
1769.	По формуле Симпсона (III J вычислить ин*
тегралы:
2	Я12
1) ( дД + dx 2)	д/3—cos 2х dx(2n=6)|
о	о
182
4
3) \ , 1* т (2п = 4),и оценить погрешность, пола-
J 1 Н“ х
о
гая в формуле (2) приближенно/i4|«/IV| тах « I ЩI max*
1770. Найти по формуле Симпсона (II) объем боч-
ки высотой 50 см с диаметром каждого дна 20 см и
с диаметром среднего сечения 30 см.
1771.	Вывести формулы объема пирамиды и
шара из формулы Симпсона (II).
2
1772.	Вычислить 1п2=^~ по общей формуле
1
Симпсона (III) (при 2п = 10) и оценить погрешность
по формуле (2).
1773.	Найти длину дуги эллипса x = 5cos/, у=*
== 3 sin t, применив к интегралу, определяющему пер-
вую четверть всей дуги, формулу Симпсона (II).
I
1774.	Вычислить приближенно л = 6 —j==, при-
менив к интегралу формулу Симпсона (II).
1
1775.	Вычислить -%- = \ г по общей фор-
о
муле Симпсона (III) (при 2н==10) и оценить по-
грешность, полагая в формуле (2) приближенно
/j4]i/IV|max Л! |Д41/|max-
1776.	Рассматривая площадь части круга,
ограниченного кривой х2 + У2 = 32, показать, что
4
J-\/32 —x2dx = 4n + 8; найти л, вычисляя интеграл
о
по формуле Симпсона (при 2п = 4).
1777.	Вычислить по формуле Симпсона (III) длину
дуги полуволны синусоиды у = sin х, разбив отрезок
10, л] на шесть равных частей.
ГЛАВА 10
КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ
И ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
§ 1. Кривизна плоской кривой.
Цейтр и радиус кривизны. Эволюта
Кривизна:
в	У"
ds а+у'Т2'
(1)
2°. Радиус кривизны:
Р (1+/)3'2
A	I t.ff I
(2)
(3)
i.
(*2 + у2)3/2
1ух — Лу1 '
3°. Координаты центра кривизны!
х = х _ _L±Z_ у' = х+Ла + С й
, 1 + у’2	, i2 +У2
У“у+  ?
Геометрическое место центров кривизны С(Х- У) называется
вволютой. Уравнения (3) и будут параметрическими уравнениями
эволюты.
4°. Радцус кривизны кривой г — /(<₽), где г н
<р —полярные координаты:
^3/2

Н)
Определить радиус кривизны и построить кривую
и круг кривизны кривой в ее вершине:
1778. J>=4x-x2.
1780. х* + 4у2 = 4.
1782.
184
1779. У*~е~х\
1781. x = a(i — sin/),
у ™а (1 — cos /).
§ 2.	Длина дуги кривой в пространстве
Дифференциал дуги: ds = ^Jdx2 + dy1 + dz2, или
ds = ^x2 + #2 + z2 dt.
t,
Длина дуги: s = J ^x2 + y2 + z2 dt.
Найти длину дуги кривой:
1806.	х = t, у = t2, z = 2P/3 от t = 0 до t = 3.
1807.	x = 3cost, у == 3sint, z = 4t от f = 0 до
Произвольного t.
1808.	y = x2/2, z = x3/6 от x = 0 до x = 3.
Найти длину дуги кривой:
1809.	х — i — sin t, у =1 —cost, z = 4sin-^- от
/ = 0 до t = я.
1810.	х = е<, y = e~f, z = t'\f2 от / = 0 до /=1.
1	х%
1811.	z/=“-ylnx, 2 = — от х=1 до х — 2.
§ 3.	Производная вектор-функции по скаляру
и ее механическое и геометрическое значение.
Естественный трехгранник кривой
Радиус-вектор г = xi + yj + zk точки кривой х = x(t), у =
*=y(t), z = z(t) есть вектор-функция скаляра t. Производная
г = xi + yj + zk есть тангенциальный вектор и имеет модуль
| г I = V *2 + У2 + z2 = а =	• Поэтому, если t — время, а кри-
вая — траектория движения, то г = » есть вектор скорости,
г я= w — вектор ускорения.
Через точку М(х; у; z) кривой (рис. 34) проведем три пло-
скости:
1)	перпендикулярную к г; она называется нормальной;
2)	содержащую гиг; она называется соприкасающейся;
3)	перпендикулярную к первым двум.
Они образуют естественный трехгранник (триедр) кривой.
В пересечении плоскостей имеем три прямые: касательную,
бинормаль и главную нормаль, определяемые векторами:
1)	г — тангенциальный,
2)	В = г X г — бинормальный,
3)	N = Bx'r — главный нормальный.
18
Единичные векторы этих направлений обозначим 1, fl, v; они
dr
ds
|^-|v И ₽ = TXV.
связаны зависимостью
____Пусть ЛЛ(Х; У; Z)—точка касательной (рис. 34). Тогда
Л4Л411| г и из условия параллельности векторов получим уравнения
касательной
Х—х _ Y-y , Z — z
х у ““ i
(I)
точка на нормальной плоскости.
Рис. 34
Пусть М2(Х-, У; Z) —
Тогда ММ2 ± г и из
условия перпендикулярности
векторов получим уравне-
ние нормальной плоскости:
ЦХ-х) + у{У-у) +
+ i (Z - z) - 0. (И)
Уравнения бинормали и
главной нормали получим,
заменив в уравнениях (I)
х, у, г соответственно на
Вл, By, Вл или на Nx, Ny,
Ni. Уравнение соприкасаю-
щейся плоскости получим,
заменив в уравнении (II)
х, у, z на Вх, By, Вх.
1812.	Радиус-вектор
движущейся точки в
момент t задан уравнением г = 4/1— З/f. Определить
траекторию, скорость и ускорение движения.
1813.	Уравнение движения г = 3/1 + (4/—/2)/.
Определить траекторию и скорость движения. По-
строить траекторию и векторы скорости в моменты
/ = 0, 1, 2 и 3 с.
1814.	В задаче 1813 определить ускорение w дви-
dv
жения и его тангенциальную = и нормальную
wn = V®2 ~ составляющие в любой момент /
и при / = 0.
1815.	Уравнение движения r = acos/*l+6 sin/•/.
Определить траекторию, скорость и ускорение дви-
жения и построить векторы скорости и ускорения в
точках / = 0, л/4, л/2.
В задачах 1816—1818 написать уравнения каса-
тельной прямой и нормальной плоскости кривой:
1816.	х = /, y^t2, z = t3 в любой точке и при
/ = 1.
167
1817.	у — x2, z2 = х в любой точке (х^О) и при
х = 4.
1818.	х2 + у2 = 10, y2 + z2 = 25 в точке (1; 3; 4).
Указание. Взяв дифференциал от левой и правой частей каж-
дого уравнения, найти затем отношения dx : dy : dz.
1819.	Найти тангенциальный г, бинормальный В и
главный нормальный N векторы кривой х = 1 — sin t,
у = cos t, z = t в точке t = 0. Найти также т, (J и v
в той же точке.
1820.	Написать уравнения главной нормали, би-
нормали и соприкасающейся плоскости к кривой
х = t, у = t2, z — t3 в точке t = 1.
1821.	Написать уравнения главной нормали и би-
нормали кривой х = у = z = t в точке t = 0.
1822.	Показать, что уравнения x = /cos/, у =
= t sin t, z — t определяют коническую винтовую ли-
нию, и написать уравнения главной нормали, бинор-
мали и касательной к ней в начале координат.
1823.	Написать уравнения касательной к винтовой
линии x = acos/, у = a sin/, z = bt в любой точке и
при / = л/2. Показать, что винтовая линия пересе-
кает образующие цилиндра х2 + у2 = а2 под одинако-
ь
вым углом у = arccos —^=====-.
1824.	Найти углы с осями координат тангенци-
ального вектора кривой х2 = 2аг и у2 = 2bz в точке
z = 'Jab.
1825.	Плоскость у = 0, на которой дана кривая
2z = x2, г/ = 0, накручивается на цилиндр х2-\-у2=2у.
Написать параметрические уравнения образованного
кривой винта и определить бинормальный вектор кри-
вой в любой точке и в точке t = n/2, где t — угол по-
ворота плоскости.
1826.	Радиус-вектор движущейся точки в момент
t задан уравнением r = a(t — sin /)/ + «(!— cos/)/.
Определить и построить векторы скорости и ускоре-
ния при /= л/2 и /= л.
В задачах 1827—1829 написать уравнения каса-
тельной к кривой:
1827.	у = х, г = 2х2 в точке х = 2.
1828.	х2 + у2 4- z2 = 14, х + 2у — г = 2 в точке
(1; 2; 3) (см. задачу 1818).
1829.	х = 2/, y — lnt, z^=t2 в точке
183
1830.	г = e*l + е~*] + t -y/lk. Найти углы с осями
координат бинормального вектора Ь в точке t = 0.
1831.	Написать уравнения главной нормали и би-
нормали кривой i/ = x2, z = у2 в точке х= 1.
1832.	Написать уравнения главной нормали и би-
нормали кривой х = i — sin t, у = 1 — cos t, z = 4 sin y
в точке t= n.
§ 4. Кривизна и кручение пространственной кривой
Кривизна \/R есть предел отношения угла <р поворота каса-
тельной к длине дуги As, когда As-*0. Кручение 1/р есть пре-
дел отношения угла 0 поворота бинормали к As, когда As 0.
Так как <р « | Ат| и 8» ±|Др|, то 1/7? и 1/р численно оказы-
ваются модулями векторов:
dT	1	___L
ds	R ’ ds р
Если кривая задана уравнением г = г(7), то
1 [гХУ| 1 = г гг
R | г I3 ’ р I г X г |2 '
1833.	Продифференцировав равенство v = vx по t,
с помощью первой формулы (1) получить разложение
ускорения w на тангенциальное и нормальное;
1 °2
w = —
А
1834.	Точка движется по параболе х = t, y = t — t2,
где t — время движения. Определить кривизну 1/7?
траектории и тангенциальное и нормальное ускоре-
ния в момент t и при t = 0.
1835.	Точка движется по эллипсу x = 4cosl, у=*
= 3sin/, где t — время движения. Определить кри-
визну 1//? траектории и тангенциальное и нормаль-
ное ускорения при t = л/4.
1836.	Для движения с уравнением r = /i-H2/ +
2
+ -g определить кривизну 1 /R траектории и тан-
генциальное и нормальное ускорения в любой момент
t и при t = 1.
Определить кривизну 1//? и кручение 1/р кривой:
1837. х = t, y = t2, z = t3 в любой точке и при
1 = 0.
189
1838.	х — е{, у = е~*, г = 1^2 в любой точке и
при t = 0.
1839.	у = х2/2, 2 = х3/3 в любой точке и при
X = 1.
1840.	Показать, что на правом винте (x = acosf,
y = asin/, z = bt) кручение положительно, а на ле-
вом (x = acos/, у = —a sin/, z = bt)—отрицательно.
Определить кривизну 1/7? и кручение 1/р кривой:
1841.	х = 2t, у = In t, z = t2 в любой точке и при
/=1.
1842.	x = z/2/2, z=x2 в любой точке и при у=1.
1843.	х = е' sin t, у = е* cos t, z = е‘ в точке t == 0.
ГЛАВА 11
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, ПОЛНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Функции двух переменных и их геометрическое '
изображение
1°. Определение. Переменная z называется однозначной
функцией переменных х и у, если каждой паре значений х и у
в некоторой области их изменения поставлено в соответствие одно
значение z. Функциональную зависимость г от х и у записывают
в виде
z = F (х, у).	(1)
2°. Геометрическое изображение. Уравнение (1)
геометрически определяет некоторую поверхность. Пара значений
х и у определяет на плоскости хОу точку Р(х\ у), а г = F(х,
у) — аппликату соответствующей точки М (х; у, г) на поверхно-
сти. Поэтому говорят, что z есть функция точки Р(х; у), и пи-
шут z = F(P).
3°. П р е д е л функции Hm F (Р) = А, если разность
Р->Ро
F(P)—А есть бесконечно малая, когда р = РоР_>О при любом
способе приближения Р к Рц (например, по любой линии).
4°. Непрерывность функции. Функция F(x, у) на-
зывается непрерывной в точке Ра, если limF(P) = F(P0). Ина-
че говоря, функция F(х, у) непрерывна в некоторой точке (х; у),
если
у 4- Ду) = F (х, у).
lim F (х + Дх,
Дх->0
дг/->о
1844. Указать области
рых следующие функции
ния:
1)
4)
6)
изменений х и у, для кото-
имеют вещественные знача-
х = х2 + у2; 2) ах = а2 — х2 — у2-, 3) 2 = х2±у21
z = '\/dl — x2 — y2; 5) х~л]ху\
2 = —-.-1	7) z =———
191
И построить геометрические изображения функций по
сечениям поверхностей плоскостями х = 0, у = О,
« — 0 и z = /г.
1845. Дан периметр 2р треугольника. Определить
площадь S треугольника как функцию двух его сто-
рон х и у. Определить и построить область возмож-
ных значений х и у.
184S. Для функции F (х, у)= ^—Уу' вычислить
Г(3, I), F(l, 3), F(l, 2), F(2, I), F (a, a), F(a, -a).
S47. Доказать, что если F (x, у) = x4 + y4 — 2xy,
to F <j.x, ty) — i2F (x, y).
1848.	Для z = x2— xy = y2 определить Axz, &yz
и Az.
Вычислить AjcZ, Ayz, Az, если x изменяется от 2 до
2,l, а у изменяется от 2 до 1,9.
1849.	Показать, что уравнение х2 — у2 — z2 = 0 оп-
ределяет z как бесчисленное множество однозначных
функций х и у, из которых две непрерывны. Указать
область определения всех этих функций и построить
геометрическое изображение положительной непре-
рывной функции. Пгчвести пример однозначной, но
разрывной функции z .= F{x,y), определяемой тем же
уравнением х2 — у2 = z2.
1850.	Построить линии уровней (при z = 0, 1, 2
и т. д.) функций:
1) z = д/1--^--у2; 2)z = x2 — y,
3) z = х2 — у2;	4) z = ху.
1851. Показать, что при х—»-0 и у^*-0 выражение
и — — у_  может стремиться к любому пределу. При-
вести примеры такого приближения точки (х; у) к
точке (0;0), при котором limu = 3, limu=2, limu=l,
lim и. = 0, lim и = —2.
Указание. Рассмотреть изменение х и у вдоль прямых у = kx.
1852. Показать, что:
1) пт.г--^7+±_ 1
х->0 ХУ	4
и + а
sin (ху)
3) lim х и
х->0
у->0
2) Пш	= 1;
Х->0 ху
0->О
192
при любом способе приближения точки (х; у) к точке
(0;0).
Указание. Положить ху = а.
1853. Изобразить геометрически функцию:
1 при ху > О,
2 = F (х,
О при ху — 0,
. —1 при ху < О
и указать линии ее разрыва.
1854.	Указать области определения функций:
I)	г = 1+,;!)г=^з) т-л/'-т-р.
4)	4=1 W' 5) 2 =
6)Vz = V* + V1/
и построить геометрические изображения этих функ-
ций.
1855.	Доказать, что если F (х, у) = ~х х , то
F (a, b) + F(b, d) = 1.
1856.	Показать, что уравнение z2 — 4 _ х2 _ yi оп-
ределяет z как бесчисленное множество однозначных
функций х и у, из которых две непрерывны. Указать
область определения всех этих функций и построить
геометрическое изображение функции, положительной
в области х2 4* у2 1 и отрицательной вне ее.
1857.	Построить геометрическое изображение од-
нозначной функции z = F(x, у), определяемой урав-
нением х2 -f- у2 4- г2 = а2, положительной в области
а2
х2 + у2;С~ и отрицательной вне ее. Указать линию
ее разрыва.
§ 2.	Частные производные первого порядка
Производная функции z = F(x, у) по х, найденная в
предположении, что у остается постоянным, называется частной
dz '
производной г по х и обозначается или Fx (х, у). Аналогично
определяется и обозначается частная производная z по у:
^F'y(x, у).
дг
ду
7 В. П. Мннорский
193
Найти частные производные функций:
1858.	2 = х3 + Зх'у — у3. 1859. 2 = In (х2 + z/2).
1860.	2 = -^-.	1861. z = arctg-j-.
1862. z = —1863. u==\n(^-----------------j-Ц.
v	VV* Vt /
1864. с = Va’ + b2 — ‘lab cos a.
1865. zz = — + — —1866. u = xe~vx.
x ' у Z
1867. u = ^x~^-.	1868. a = arcsin (/д/х)-
1869.	Доказать, что если z = In (д/х + д/у), T0
dz , dz	1
X -5-г У "з— == ~x~ 
ox 1 J dy	2
1870.	Доказать, что если z = д/х sin > T0
dz . dz	z
X ---F У = -7Г •
dx	- dy	2
1871.	Доказать, что если ц = е*//!, то
2хА+Л=0.
дх 1 dt
1872.	Доказать, что если и — ху, то
х ди .	1 ди п
----л—г -----ч— = 2zz.
у дх 1 In х ду
1873.	Ниже, в задаче 1898, будет доказана следую-
щая теорема Эйлера:
«Если z — F(x,y)—однородная функция и-го из-
dz . дг
мерения, то х + У~^~ = пг».
Проверить эту теорему Эйлера для функций:
1) г = х3 д- ху1 — 2z/3; 2) 2 = д/х2 + ХУ + У2 !
3) 2 = Лз1 „з!	4) 2 = ех1У.
л у
Найти частные производные функций:
1874. г = cos (ах — by). 1875. z == arcsin ~.
1876. 2 = о-Аг- 1877. и = In sin (х - 21).
Зу — 2х	 v 7
1878, и = sin2 (х + у) — sin2 х — sin2 у.
194
1879.	Доказать, что если и = д/х1 + у1 + z9-, то
( ди \2 . ( ди \2 . ( ди \2	.
Ьг) + W) + Ы) =L
1880.	Доказать, что если г — ех/у In у, то
, дг ___ г
' У ду In у
1881.	Доказать, что если Т = л А L т0
\' £	&1 '
I дТ Л
+ ^ = 0-
1882.	Доказать, что если z = exl- sin	—|-),то
(*L+aq2= 1 ^sin’f.
\ dx 1 dy )	2	2
1883.	Проверить теорему Эйлера об однородных
функциях (см. задачу 1873) для функций:
1) z = —~	; 2) 2 — —т\—у;3) z — arctg — .
' х — у ' хг + у2 ’	° х
§ 3. Полный дифференциал первого порядка
Если функция г — F (х, у) имеет в точке (х; у) непрерывные
частные производные, то ее полное приращение может быть пред-
ставлено в виде
Дг = 77Дл: + 47Д;/ + е‘р' (1)
где е->0 при р = Vl Ах |2 + | Д// |2 -> 0. Тогда выражение
dz .	, дг .	.
Дх + —Ду есть главная часть полного приращения Дг; она
называется полным дифференциалом функции и обозначается dz:
. dz .	, dz .
dz — -ч— Дх + — Ду.	(2)
дх ду
Полагая в формуле (2) z равным: 1) х; 2) у, найдем: dx = Дх,
dy = Ду. Поэтому
, dz , . dz
dz = -г— dx + -s— dy.	(3)
дх ду
Из (1) следует, что
Дг « dz,	(4)
т. е. при достаточно малых Дх и Ду полное приращение функции
приближенно равно ее полному дифференциалу (гл. V, § 7).
Функция F(x, у) называется дифференцируемой в точке (х;
у), если она имеет в этой точке полный дифференциал.
7*	195
1884. Найти полные дифференциалы функций:
1)2 = х2у, 2) 2 = ХХ— у '	3) и = es/z;
4) 2 = д/*2 + г/2 •
1885.	Найти значение полного дифференциала
функции:
1)	z = -^- при х = 2, у=\, dx = 0,l, dy — 0,2;
2)	и — еху при х = 1, у = 2, dx = — 0,1, dy = O,l.
1886.	Вычислить dz и Дг для функции z = ху при
х = 5, у = 4, Дх = 0,1, Дг/ = —0,2.
1887.	Подсчитать приближенно изменение функ-
ции <p = arctg-^-, когда х изменяется от 2 до 2,1,
а у — от 3 до 2,5.
1888.	При деформации цилиндра его радиус R уве-
личился с 20 см до 20,5 см, а высота Н уменьшилась
со 100 см до 98 см. Найти приближенно изменение
объема V по формуле ДУ т dV.
1889.	Катеты прямоугольного треугольника, изме-
ренные с точностью до 0,1 см, оказались равными
7,5 см и 18 см. Определить абсолютную погрешность
при вычислении гипотенузы.
1890.	Найти полные дифференциалы функций:
1)	2 = -^---у; 2) s = х In /; 3) и = д/х2 + у1 + z2.
1891.	Найти значение dz и Д.г для функции 2 =
— 1п(х2 + у2), когда х изменяется от 2 до 2,1 а у — от
1 до 0,9.
1892.	Подсчитать приближенно изменение функции
2 = arcsin-^- , когда х изменяется от 5 до 4,5, а у — от
3 до 3,3.
1893.	При деформации конуса его радиус R уве-
личился с 30 см до 30,1 см, а высота Н уменьшилась
с 60 см до 59,5 см. Найти приближенно изменение
объема по формуле ДК « dV.
§ 4.	Производные сложных функций
1°. Если z = F(x, у), х = f(t), у = <р(/), то z называется
сложной функцией от I. При этом
dz   dz dx	dz dy
dt	dx dt	dy dt ’
если функция F, f и <p дифференцируемы.
196
2°. Если z — F(x, у), где х — f(u, и), у = <p(u, и), и если
функции F, f и ф дифференцируемы, то
dz   dz dx dz dy
du	dx du "г dy du ’
dz	dz dx	dz dy
du = dx du	dy du ‘
dz
1894.	Найти по формуле (1) из уравнений:
1)	2 = X2 + Ху + У2, X = F, y = t\
2)	z ==-}-у2, x = sinZ, y = cos/.
Проверить предварительной подстановкой значений.
х и у в выражение для функции z.
1895.	Найти , если z = —, х — е*, у = 1 — е2*.
at	х	J
d. z
1898.	Найти , если z = ttv, где и и v— функ-
ции от х.
dz
1897.	Найти , если z — х'еу, где у — функция
от х.
1898.	Функция z = F(x, у} называется однород-
ной, если F(xt, yt) = tn-F(x, у). Дифференцируя обе
части этого равенства по t и полагая в результате
1 = 1, доказать теорему Эйлера об однородных функ-
dz , dz
циях: х—----'t-y-r— — nz.
дх ' v ду
1899.	Найти -¥ и 4^-, если Z-—, где х —
ди ди	у
— и — 2а, y = v-}-2ti.
1900.	Пусть z = F(x, у). Выразить ~ и че-
dz	dz
рез -j— и —- , если:
r du	du
1)	и = тх ~F пу,	о = рх-\-ЯУ>	2) н = ху,	v = y)x.
1901.	Пусть	и =	F(x, у), где	х = г cos ср, у ----- г sin	ср.
г-.	ди	ди	ди	ди
Выразить—,— и -5— через -s— и -3— и показать, что
г	or	оф	дх	ду
1902.	Пусть z = у -j- F(u), где и^=х2 — у2. Дока-
dz , dz	, „	, ,
зать, что у + х= х для любой дифференци-
руемой функции Д(ц).
197
1903.	Найти из уравнений:
1)	z — Ах2 + 2Вху 4- Су2, x=sint, у = cos/;
2)	z = arctg х = e2t + 1, у = е2/ — 1.
1904.	Доказать, что если z = ху + xF(u)', где
и = у/х, то
dz . dz .
X -77— + У -Г— = 2 4- ху.
дх 1 а ду
1905.	Доказать, что если z = yq(u)', где у = х2 —
— у2, то
1 dz_ . 1 dz  _z_
х дх ‘ у ду	у2 '
dz	dz
1906.	Пусть z — F(x, у). Выразить -5— и че-
€/Л	С/ w
х) у	А у
Рез и если: 1) и = х-\-2у, v = x — y;
2) и = л]ху, v = х + у.
§ 5. Производные неявных функций
1°. Уравнение F(x, у) =0, имеющее решение (х0; До),
определяет в окрестности хо переменную у как непрерывную функ-
dF п
цию х при условии, что производная т“0 и непрерывна в
некоторой окрестности точки (х0; До).
Если, сверх того, в окрестности точки (х0; у0) существует и
dF
непрерывная производная	то неявная функция имеет про-
d у
взводную определяемую формулой
dy   dF t dF
dx	dx / dy
(1)
2°. Уравнение F(x, y, z) = 0 при аналогичных условиях
определяет z как неявную функцию х и у, имеющую частные про-
изводные
dz   dF I dF dz	dF t dF
dx	dx j dz ’ dy	dy / dz '
d tf
Найти — из уравнений:
1907.	x2 + y2-4x + 6// = 0.
1908.	1) х2/3 + у2/3 = «2/3; 2) xe2y-,ye2X^Q.
198
1909.	Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = Q-
Найти угловой коэффициент касательной к кривой:
1910.	х2 у2 ~ 10г/ в точке пересечения ее с пря-
мой х = 3.
1911.	х3 + у2 — 2аху = 0 в точке х = у — а.
1912.	Найти точки, в которых касательная к кри-
вой х2 -|- у2 -J- 2х — 2у = 2 параллельна: 1) Ох; 2) Оу.
„ дг dz
Наити и из уравнении:
1913.
1915.
1916.
1917.
х2 + У2 + 22 — 6х = 0. 1914. z2=xy.
cos (ах + by — cz)~ k (ax + by — cz) .
Доказать, что если xyz = а3, то
dz , дг n
x-5----------И «——= — 2z.
дх ' a ду
Показать, что дифференциальному уравна-
dz , dz
+- У
нию х 4^- + у = z удовлетворяет неявная функ-
ция г, определяемая уравнением (конических поверх-
ностей) z/х = ф(у/х).
Найти -j— из уравнений:
1918. х2 — 4г/2 = 4. 1919. ху + 1п у + In х = 0.
1920. х А- У = еу1,с- 1921. 2 cos (х — 2у) — 2у — х.
1922.	Найти угловой коэффициент касательной к
кривой у2 — ху = 4 в точках пересечения
х = 3.
1923.	Пусть х2 + у2 + z2 — 2zx = а2,
дг
И дУ '
1924.	2 sin (х + 2у — Зг) = х + 2у — 3z.
дг . дг ,
ЧТО -т	г -т— = 1 •
дх 1 ду
1925.	Показать, что дифференциальному уравне-
дг , dz .	,
нию tn	1 удовлетворяет неявная функция
z, определяемая уравнением (цилиндрических поверх-
ностей) ; х — mz — q> (у — nz).
ее с прямой
т, „ dz
Иаити
Показать,
199
§ 6. Частные производные и полные дифференциалы
высших порядков
Пусть дана функция z = F(x, у), имеющая частные произ-
dF dF „
водные и Частные производные от этих производных
называются частными производными второго порядка. Они обо-
зяачаются:
дх	дх2 '
, ( aF \
\ ду ) d2F
дх ду дх ’
ат
ду дх ду ’
д(-^Л
\дх )	d2F
ду	ду2 '
Аналогично определяются и обозначаются частные производ-
ные третьего порядка и других высших порядков.
Смешанные производные, отличающиеся только порядком
дифференцирования, равны, если они непрерывны:
d2F = d2F d3F _ d3F _ d3F
дх ду ду дх ’ дх2 ду дх ду дх ду дх2 Т’ Д‘
Получим следующую таблицу производных высших порядков:
d2F d2F d2F
второго порядка
d3F d3F d3F d3F
третьего порядка	и т. д.
Полные дифференциалы
высших порядков определяются так:
d2z =	dx2 + 2 ——— dx dy + -т—5- dy2. Символически это
дх2	дх ду	ду2
Г <3 , , <Э . V
равенство можно записать так: d2z — “х т -J J г-
Аналогично d3z = ( —— dx + —— dy | z и
к дх ду )
т. д.
1926.	Найти частные производные третьего по-
рядка функции г = .г3 + х2у + У3-
1927.	Проверить, что ^~ = дх Для функций:
1) z = sin(ax — by); 2) z = х2/у2;	3) z =
= 1п(х —2у).
1928.	Найти частные производные четвертого по-
рядка функции и = х4 + Зл-2у2 — 2у4.
1929.	Найти частные производные третьего по-
рядка функции и = у/х.
200
1930.	Пусть s = In ----; проверить, что
d2s . d2s ___ 1
dx dt ' dx2 x2
1931.	Найти частные производные второго порядка
функции z — arctg .
1932.	Доказать, что если 2=sin(-^----то
(-f- 4-^-')% = — f--------Lyz,
\ dx dy )	\ a b J
1933.	Доказать, что если u = arctg(2x— t), то
д2и . n д2и ___„
дх2 ‘ дх dt '	______
1934.	Доказать, что если s = '\/axЫ, то
(	д	.	, д \2	2s
(	----г	"57 I s —-7Г-.
\	дх	1	dt )	9
1935.	Показать, что функция и = хе~у/х удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению
д2и , с, ( ди . ди X д2и
х "5—и--Г "3---Г “5— ) = У •
дхду \ дх ' ду ) и ду2
1936.	Доказать, что если z — F(x, у)—однородная
функция n-го измерения, то
или символически
( д . д \2 z , ,
И	z = n(n-l)z.
Указание. Равенство
продифференцировать: 1)
ные соответственно на х
х + у — = пг (см. задачу 1898)
по х; 2) по у, и результаты, умножен-
и на у, сложить почленно.
( д д \2
1937.	Проверить равенство + У~о^)
— n(n—l)z для однородных функций: 1) г = х2 +
+ ХУ + У2;	2) 2 = -^-;	3) 2 =	4) z=t
1938.	Найти d2u, если: 1) u = -p-; 2) и — х ln-^-.
1939.	Доказать, что если z — cos {тх + пу), то
d~z = — z (т dx п dy)2.
201
1940.	Доказать, что если z = In (ах + by), то:
1) d3z = 2dz\ 2) dnz— (—\)rl~[ (п — \)\dzn.
1941.	Доказать, что если z~F(u, v), где и =
= тх + пу и v = px + qy, то ~г= (т ~^+р^) Z,
дг2 ( д , д \ ( д . д \	дг2
-d^={m^ + PdF){ndir + ^)z’
Р д . д \2
=	---Н q -х- z.
\ да 1 оч /
d^z
1942.	Преобразовать выражение —— 4 дх —Р
+ З-^j- к новым переменным и ~ Зх у и v = х + у
(см. задачу 1941).
д~?
1943.	Преобразовать выражение -^~т — 4-—i—F
ил	(jX иу
O^z
+ 4-^р- к новым переменным и = 2х-\-у и v = y
(см. задачу 1941).
1944.	Доказать, что если z = F(u, v), где и и и —
функции от х и у, то
д2г ( г д . , д \2	. „ дг . ,, дг
~д^ — (Л-qF + vx 5?) z + u™~dF- + v™~d^-
d^z d2z
Определить аналогично —z— и -^-5-.
г	дх ду ду2
d2z d2z
1945.	Преобразовать выражение х2 —у2 р
к новым переменным и — ху и v — y/x (см. задачу
1944).
d2z I d2z
1946.	Преобразовать выражение	+
. I дг
+ — р. новым переменным х = г cos <р и у = г sin <р
(см. задачу 1944).
1947.	Найти частные производные второго порядка
х2
функции Z = -j—
1948.	Найти частные производные третьего по-
рядка функции и =
х и
1949.	Доказать, что если z = - _ . то
д2г . п д2г . дгг _________	2
дх2 ‘ дх ду ду2 х — у '
202
1950.	Доказать, что если s — \n(ax — bt), то
/ д , . д \3 о
I х ---------------И t-J7 I s = 2,
\ дх ' dt J
1951.	Доказать, что если z = 2cos2^x-^-), то
2 ^ + ^ = 0.
dt2 дх dt
d2z
1952.	Доказать, что если z = e*/y, то у (jx ду ~
__ дг dz
ду дх
1953.	Пусть ц = 1пх Найти сРи и d3a.
1954.	Преобразовать выражение —------~dip
к новым переменным и = ах-}-у и v = ax — y (см.
задачу 1941).
д22 d2z
1S35. Преобразовать выражение х + у
к новым переменным и = у и v~~ (см. задачу
1944).
1956.	Показать, что функция м =	+ Ф ( Д')
при любых дважды дифференцируемых функциях f и
ср удовлетворяет дифференциальному уравнению
д2и , о д2и . ди . п ди Л
ху -ч—т—h У1 -^г-т + х —:—)- 2у -т— = 0.
а дх ду а dyi дх J ду
§ 7.	Интегрирование полных дифференциалов
1°. Чтобы выражение Р dx + Q dy, где Р и Q — дифференци-
руемые функции х и у, было полным дифференциалом du, необ-
дР	dQ
ходимо и достаточно выполнение условия ——- = ——.
ду	дх
п	- ди	п	ди
Для нахождения и из условии —— — Р и	Q полу-
Sr
Р dx -f- <рг (//), и = \ Q dy + <р2 (х). Выписав из пер-
вого выражения все известные члены, а из второго — члены с у,
недостающие в первом, получим'функцию и.
2°. Чтобы выражение Р dx + Q dy + R dz, где P, Q и /?—•
дифференцируемые функции от х, у и г, было полным дифферен-
циалом du, необходимо и достаточно выполнение условий:
дР	dQ дР	_ dR dQ	_ dR
ду	дх	’ дг дх	’ дг ду	"
203
Для нахождения и имеем:
и = \ Р dx + <р, (у, 2),
и = \ Q dy + ср2 (х, г),
и = j R dz + <ра (х, у).
Выписав из первого выражения все известные члены, а из
второго и третьего — недостающие члены с у и z, получим функ-
цию и.
Нахождение функции по ее полному дифференциалу назы-
вается интегрированием полного дифференциала.
Проверить, что следующее выражение является
полным дифференциалом du, и найти и\
1957.	(2х + у) dx 4- (х - 2у — 3) dy.
1958.	х sin 2у dx 4- х2 cos 2 у dy.
1959.	(х 4- In у} dx 4- (у 4- sin у} dy.
1960.	xdy-ydx
X1 _|_ yi
1961.	(уг — 2х) dx 4- (xz 4- У) dy 4~ (ху — z) dz.
19S2. (4-4>+4—('Нтт^)''2'
Проверить, что следующее выражение является
полным дифференциалом du, и найти и;
1963.	(г/2 - 1) dx 4- (2ху 4- 3z/) dy.
1964.	(sin 2z/ — г/ tg х) dx 4- (2х cos 2y 4- In cos x 4-
4-	2y) dy.
1965.	(z/-^-)dx+ (x4--^-4- i)dy.
1966.	t а/df 4- --±-V-<2=+ - dx.
V t2 + 1	2 Vx
1967.	(In у — cos 2z) dx 4- (y 4~ 2) dy 4-
4- (y 4- 2x sin 2z) dz.
1968.	dx~3dy + .3u-.z dz.
z 1 z2
§ 8.	Особые точки плоской кривой
Точка кривой F(х, у) — 0 называется особой, если в этой
9F
точке — = 0 и -т— = 0.
дх	ду
204
Угловой коэффициент k — у' касательной в такой точке нахо-
дится из уравнения А 4- 2Bk 4- С/г2 = 0, где А, В и С — эначе-
d2F d2F
ния производных
d2F
ду2
в этой особой точке.
При этом возможны три случая:
1)	В2 — АС > 0 — две касательных; точка называется узлом.
2)	В2 — АС < 0 — нет касательной; точка изолированная.
3)	В2 — АС — 0 — или изолированная точка, или точка воз-
врата, или точка самосоприкосновения; в точках возврата и само-
соприкосновения существует одна общая касательная к двум вет-
вям кривой.
Чтобы в третьем, сомнительном, случае решить вопрос окон-
чательно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно
малой окрестности исследуемой точки.
Определить области расположения, точки переев
чения с осями координат, особые точки кривых и по
строить кривые:
1969. х34-х2 —у2 = 0.
1971. х3 - х2 - if = 0.
1973. (у-х)2 = х3.
1970. у2 = (х4-2)3.
1972. у2 4-х4 — х2 = 0.
1974. у2 = х (х — 2)2.
и
Определить области расположения, особые точки
и асимптоты кривых и построить кривые:
1975. (х + 2rz)3 + ху2 = 0. 1976. х3 - у3 - Зу2 = 0.
1977. х3 + у3 — Заху = 0. 1978. у2 (х2 — а2) = х4.
Определить области расположения, точки пересе
чения с осями координат, особые точки кривых и по
строить кривые:
1979. у2 + х3 — 2х2 = 0.
1981. у2 = х(х + 2)2.
1983. 4у2 = х5 + 5х4.
1980. а2у2 = х2 (2ах — х2).
1982. ху2 = (х + а)3.
1984. у2 —х4 + х2 = 0.
1985. Найти точки пересечения с осями координат,
Утах, особую ТОЧКу И ЭСИМПТОТу КрИВОЙ 4х2 — У2 +
4-Х3 — у3 = 0 и построить кривую.
Определить области расположения, особые точки
и асимптоты кривых:
1986. 1) у2 (2а — х) = х (х — af (строфоида);
2) а2 (х2 4" у2) — х2у2.
1987. 1) x(x2fy2} = a(x2-y2Y
2) а (х2 4- у2) = х (х2 — у2).
205
§ 9. Огибающая семейства плоских кривых
Кривая называется огибающей семейства кривых F(x, у, а) =
= О, если: 1) она касается каждой кривой семейства; 2) каждая
ее точка является точкой ее касания с кривой семейства, отлич-
ной от нее самой.
Огибающая семейства кривых F(x, у, а) = 0, если она суще-
ствует, находится исключением параметра а из уравнений
F (х, у, а) = 0 и F'a(x, у, а) = 0.
Может, однако, случиться, что полученная этим способом кри-
вая будет не огибающей, а геометрическим местом особых точек
кривых семейства [см. ответ к задаче 1990, 2)].
Найти огибающую семейства кривых и построить
огибающую и кривые семейства:
1988.	1) у = аха2\	2) у = ах2-[~.
1989.	1.) (х - а)2 + у2 = R2-,	2)	4ау = (х - а)2.
1990.	1) у— 1 = (х — а)2;	2)	{у — I)3 = (х - а)2-,
3) {у — 1 )2 == (х — а)3;	4)	9 (г/ — а)2—(х — а)3.
1991.	Отрезок постоянной длины	а скользит своими
концами по координатным осям. Найти огибающую
семейства таких отрезков.
1992.	Найти огибающую семейства окружностей,
проходящих через начало координат и имеющих центр
на параболе у2 = 4х.
1993.	Найти огибающую семейства окружностей,
имеющих диаметрами радиус-векторы точек гипер-
болы ху = а2.
1994.	Из начала координат выпускается снаряд с
начальной скоростью b под углом а к оси Ох. Найти
огибающую семейства траекторий при различных а.
1995.	Найти огибающую: 1) семейства прямых
xcosa -j- г/sin a — р = 0 при постоянном р; 2) семей-
ства прямых у = ах +	3) семейства кубических
парабол у— 1 = (х— а)3.
1996.	Найти огибающую семейства окружностей с
центрами на оси Ох, радиусами которых служат со-
ответствующие ординаты параболы у2 = 4х.
1997.	Найти огибающую семейства эллипсов
-^2- + ф-=1 при условии, что сумма полуосей имеет
постоянную длину I,
206
1998.	Найти огибающую семейства парабол, имею-
щих ось симметрии, параллельную оси Оу, и прохо-
дящих через точки (—а; 0); (За; 0) и (0; За2) при
различных а.
§ 10.	Касательная плоскость и нормаль
к поверхности
Пусть поверхность задана уравнением F(x, у, г) — 0; возь-
мем па пей точку Л1(.х; у; г).
Уравнения нормали к поверхности в этой точке будут:
X — х _ Y — у 2 — г	...
dF dF =~дР~'
dx ду dz
Уравнение касательной плоскости:
dF	dF	dF
^X-x} + ^{Y-y)+^2-Z) = d. (2)
В уравнениях (1) и (2) X, У, 2— текущие координаты нор-
мали или касательной плоскости.
n ..(dF	dF dF I
Вектор N	~ду' ~dz J	назовем нормальным векто-
ром поверхности.
р	- dF n dF
Если на поверхности есть точка, в которой = о,
dF
= 0, —— == 0, то она называется особой. В такой точке нет ни
дг
касательной плоскости, ни нормали к поверхности.
Написать уравнения касательной плоскости к по-
верхности:
1999.	z = x24-2y2 в точке (1; 1; 3).
2000.	xy = z2 в точке (х0; Уо, z0).
2001.	xyz — c? в точке (х0; г/0; г0).
2002.	+-р-“ Т2~ = 1 в точке Уо’ и в
точке (a; 6; с).
2003.	Определить плоскость, касательную к поверх-
ности х2 + 4у2 + г2 = 36 и параллельную плоскости
х + у — 2=0.
2004.	Написать уравнения нормали в точке (3; 4; 5)
к поверхности конуса х2 У2 = z2. В какой точке ко-
нуса нормаль неопределенна?
2005.	Найти углы с осями координат нормали к
поверхности x2-\-y2 — xz — yz = Q в точке (0; 2; 2).
207
2066. Написать уравнения нормали к поверхности
x2z + y2z = 4 в точке (—2; 0; 1). Построить нормаль
и поверхность.
2007.	Показать, что касательные плоскости к по-
верхности хуг = а2 образуют с плоскостями коорди-
нат пирамиды постоянного объема.
2008.	Показать, что сумма квадратов отрезков, от-
секаемых на осях координат плоскостью, касательной
к поверхности х2,3 4- у2/3 -j- z2/3 = а2'’3, равна постоян-
ной величине а2.
2009.	Найти расстояние начала координат от каса-
тельной плоскости к геликоиду y — xtg~ в точке
(а; а; ла/4). Построить поверхность по сечениям:
z = 0; ла/4; ла/2; ла.
2010.	Написать уравнение касательной плоскости
к поверхности az = х2 4- у2 в точках пересечения ее
с прямой X ~ у — Z.
2011.	Показать, что касательная плоскость к по-
^,2
верхности 4-	+ — — 1 в точке на ней (x0; Уо\ Zo),
определяется уравнением
хх0 . у у а zz0
а2 ”** уг “Г ci
2012.	Написать уравнения нормали к поверхности
x2-\-y2 — (z— 5)2 = 0 в точке (4; 3; 0). Построить
в первом октанте поверхность и нормаль.
2013.	Найти углы с осями координат нормали к
поверхности 2z — х2— у2 в точке (2; 2; 0).
2014.	Найти расстояние начала координат от ка-
сательной плоскости к коноиду (2а2 — z2)x2— a2y2=Q
в точке (а; а; а).
2015.	Показать, что сумма отрезков, отсекаемых
на осях координат плоскостью, касательной к поверх-
ности _1_ yi/2 _|_ 2i/2 _. д.1/2, равна постоянной вели-
чине а.
2016.	В какой точке касательная плоскость к по-
верхности 2 = 4— х2— у2 параллельна: 1) плоскости
хОу, 2) плоскости 2х 4- 2у 4- г = 0? Написать уравне-
ния этих касательных плоскостей.
208
§ 11. Скалярное поле. Линии и поверхности уровней*
Производная в данном направлении. Градиент
Уравнение и = F(x, у) определяет и в каждой точке (х; у)
некоторой области, которая называется полем скаляра и. Вдоль
каждой из линий F(x, у) = ub F(x, у) — и2, ..., где ult
1ь, ... — постоянные, скаляр и остается постоянным и ме-
няется только при переходе точки (х; у) с одной линии на дру-
гую. Эти линии называются изолиниями (изотермами, изобарами
и т. п.) или линиями уровней.
Уравнение и = F(x, у, г) определяет поле скаляра и в неко-
торой части трехмерного пространства. Изоповерхностями, или
поверхностями уровней будут:
F (х, у, г) = F (х, у, г) = и2, ...
Пусть точка (х; </; г) перемещается по прямой х = Хо ±
+ I cos а, у = у0 + I cos р, z = z0 + / cos у со скоростью = 1.
Тогда скаляр и = F(x, у, z) будет изменяться со скоростью
du du dF	dF a , dF	,
v = —- = —— — —- cos a + cos p + cos у = N • Zo,
dt	dl dx	dy	dz
,, ( dF	dF dF )
где N	— нормальный вектор изоповерхности, a
Zc{cos a; cos P; cos y} — единичный вектор направления I.
Производная
du	dF	dF	dF	,, ,
-ту- = —— cos a + —— cos p + cos у = N • Zo
dl	dx	dy , dz
называется производной от функции и — F(x, у, z) в данном на-
правлении Z0{cosa; cos Р; cosy}.
Градиентом скаляра и — F(x, у, г) называется вектор
. ди . , ди , , ди .
grad“= ~дх 1 + ~ду~ i + ~дг *• ГРадиент
наибыстрейшего изменения скаляра и.
есть вектор скорости
2017.	Пусть z = 4— х2 — у2. Построить линии уров-
ней и grad z в точке А (1; 2).
2018.	Пусть z = arctg-^-. Построить линии уров-
ней и gradz:
1) в любой точке прямой у — х; 2) в любой точке
прямой у = —х, в частности в точках (1/2; ±1/2),
(1; ±1), ...
2019.	Горизонтали возвышенности определяются
X2
уравнением h — 20---------у2. Построить горизон-
тали, соответствующие отметкам h = 20 м, 19 м, 18 м,
16 м и 11 м. Направление grad/t определяет здесь
направление линии наиболее крутого ската, а вели-
209
чина — крутизну этого ската возвышенности. По-
строить grad h в точке х = 2 и у = 1.
2020.	Найти наибольшую крутизну поверхности
22 = ху в точке (4; 2).
2021.	Найти производную функции и = In\ех + еу)
в направлении, параллельном биссектрисе координат-
ного угла.
2022.	Найти производную функции и = х2 + у2 +
~ г2 в точке (1; 1; 1) в направлении /{cos 45°; cos 60°;
cos 60°}, и найти grad it в той же точке и его длину.
Построить поверхности уровней.
2023.	Построить поверхности уровней скаляра
и = х2 + у2 — 2? и найти и построить grad и в точках
пересечения оси Ох с поверхностью и = 4.
2024.	Найти производную функции tz = -^- +
^/2
+ -^2- + — в точке (а;/>; с) в направлении радиус-
нектора этой точки.
4
2025.	Пусть х2 + у2  Построить линии уровней
и grad z в точке (—1; 2) и найти | grad z\.
2026.	Пусть u=xyz. Найти производную в на-
правлении, составляющем с осями координат равные
углы, в любой точке и в точке (1; 2; 1).
2027.	Построить поверхности уровней скаляра
т = х2 + у2 — г2, определить grad и на поверхности,
проходящей через начало координат, и построить его
в тех точках этой поверхности, в которых у = 0 и
z = 2.	_______________________
2028.	Пусть и = -\/х2 + у2 + г2. Найти grad «и его
длину.
2029.	Построить изоповерхности поля функции
z х^ и %
и — —----------и найти производную от и в точке
(а; Ь; с) в направлении радиус-вектора этой точки.
§ 12.	Экстремум функции двух переменных
1°. Необходимые условия. Функция z = F(x, у) мо-
дЕ . dF
лет иметь экстремум только в точках, в которых-^- = 0 и
= 0. Эти точки называются критическими.
210
2°. Достаточные условия. Обозначим через А, В иС
дгВ d2F d2F
значения производных	11 л, г~ в критической точке
(х0; г/о).	J J
Тогда, если:
|в С | У °’ Т0 F ^о) = 2rnax ПР» А < °’ F (Хо- -"о) “
= гт1п при А > 0;
2) IA В
|В С
3) |А В
|в с
< 0. то экстремума пет;
= 0, то экстремум может быть, а может и не быть
(сомнительный случай).
3°. Условный экстремум. Чтобы найти экстремум
функции г = F (х, у) при условии, что х и у связаны уравнением
<р(х, у) = 0, составим вспомогательную функцию и = F(х, у) +
+ Xq>(x, у).
Координаты экстремальной точки (х; у) должны удовлетво-
.	1 л <5“ л ди л
рить трем уравнениям: <р (х, у) = 0,	= 0,	113 кото-
рых и находятся X, х и у.
Найти экстремум функции:
2030.	2 = х2 — ху + у2 + 9х — бу + 20.
2031.	г = уд/х — у2 — х-{-бу.
2032.	z = х3 + 8у3 — бху + 1.
2033.	z = 2ху — 4х — 2у.	2034. z = ех/2 (х + у2).
2035.	z = sin х + sin у + sin (х + у) при 0^х=С
л/2 и 0 «С У ;С л/2.
2036.	2 = — + — при х-\-у — 2.
х у
2037.	2 = x + j при Д- + Д-=~.
Л	у
2038.	Определить размеры прямоугольного откры-
того бассейна, имеющего наименьшую поверхность,
при условии, что его объем равен V.
2039. Построить эллипс х2Д-4у2=4 и прямую
2x-f-3y — 6 = 0 и на эллипсе найти точки, наиболее
и наименее удаленные от прямой.
2040.	На гиперболе х2 — у2 = 4 найти точку, наи-
менее удаленную от точки (0; 2).
2041.	Определить размеры цилиндра наибольшего
объема при условии, что его полная поверхность равна
5 = 6л м2.
211
2042.	1) В эллипс х2 -ф Зу2 = 12 вписать равнобед-
ренный треугольник с основанием, параллельным
большой оси, так, чтобы площадь треугольника была
наибольшей.
2) Ось Ох расположена на границе двух сред. По
какому пути должен пройти луч света из точки 4(0; а)'
в точку В (с;—Ь), чтобы затратить на прохождение
этого расстояния наименьшее время (а > 0, b > 0,
ОО)?
Указание. Нужно найти минимум функции Т = cos а
v2 cos Р
при условии a tg а + Ъ tg р = с, где сч и — скоро-
сти света в двух средах, а а и р — углы падения и преломления.
Найти экстремумы функций:
2043.	2 = Зх -ф бу — х2 — ху — у2.
2044.	Z = х2 -ф у2 — 2х — 4 -\/ху — 2у -ф 8.
2045.	2 = 2х3 — ху2 -ф 5х2 -ф у2.
2046.	2 = Зх2 — 2х -у/ у + у — 8х -ф 8.
2047.	z=xy при условии, что х2 -ф у2 = 2.
2048.	Найти наибольший объем прямоугольного па-
раллелепипеда при условии, что длина его диагонали
равна 2д/3.
2049.	1) На параболе у2 = 4х найти точку, наиме-
нее удаленную от прямой х — у -ф 4 = 0.
г. \ п	х2 , у2 .
2) В эллипс —-+ф-=1 вписан прямоугольник
наибольшей площади. Найти эту площадь.
2050. Определить размеры конуса наибольшего
объема при условии, что его боковая поверхность
равна S.
ГЛАВА 12
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Понятие о дифференциальном уравнении
1°. Обыкновенным дифференциальным урав-
нением n-го порядка называется уравнение вида
у, у', у", .... yU)) = 0,	(1)
где у = у(х) —искомая функция. Любая функция у = <р(х), об-
ращающая уравнение (1) в тождество, называется решением, это-
го уравнения, а график этой функции — интегральной кривой.
Если решение задано в неявном виде Ф(х, у) = 0, то оно обычно
называется интегралом уравнения (1).
Функция у — ср(х, Ci, ..., С„), содержащая п независимых
произвольных постоянных, называется общим решением уравнения
(1), если она является его решением при любых значениях по-
стоянных Ci, ..., С„. Если эта функция задается в неявном виде
выражением Ф(х, у, С..... С„) =0, то это выражение назы-
вается общим интегралом уравнения (1). Придавая в выражении
у = <р(х, Си .... С„) или в выражении Ф(х, у, С,,	С„) =0
определенные значения постоянным С.... Сп, получаем частное
решение или соответственно частный интеграл уравнения (1).
Обратно, имея семейство кривых, задаваемы?: уравнением
Ф(х, у, Cj, ..., Сп) = 0 и исключая параметры С;, ..., Сп из
системы уравнений
получим, вообще говоря, дифференциальное уравнение вида (1),
для которого Ф(х, у, Ci.Сп) =0 является общим интегра-
лом.
2°. Дифференциальное уравнение первого
порядка имеет вид
(2)
213
Решив уравнение (2) относительно если это возможно, по-
лучим
= f (X, у).	(3)
Уравнение (3) определяет наклон k - tg а =	— / (х, у)
интегральной кривой в точке (х; у), т. е. определяет поле направ-
лений интегральных кривых.
Если в некоторой области функция f(x, у) непрерывна и
имеет ограниченную частную производную (х, у), то оказыва-
ется, что через каждую внутреннюю точку (х0; Ун) этой области
пройдет единственная интегральная кривая.
В такой области уравнение (3) имеет общее решение у =
= <р(х, С), или общий интеграл Ф(х, у, С) = 0, из которого мо-
жно найти единственное частное решение, или единственный част-
ный интеграл, удовлетворяющие начальным условиям: у = Уо
при х = х0.
2051. Проверить подстановкой, что функция
у = Схг является решением дифференциального урав-
нения Зу — ху' = 0. Построить интегральные кривые,
проходящие через точки:
1) (1; 1/3); 2) (1; 1); 3) (1; — 1/3).
2052.	Проверить подстановкой, что дифференци-
альные уравнения 1) у" + 4у = 0 и 2) у'"—9у' = 0
имеют соответственно общие решения: 1) у =
= Cj cos 2х + С2 sin 2х и 2) у — Ci + С2е2х + С3е-3*.
2053.	Построить параболы у = Сх2 при С = 0, ±1,
±2 и составить дифференциальное уравнение семей-
ства таких парабол.
2054.	Построить изображения семейства: 1) окруж-
ностей х2 + у2 = 2Сх, 2) парабол у = х2-\-2Сх и со-
ставить их дифференциальные уравнения.
2055.	Построить изображения полей направлений,
определяемых каждым из уравнений:
=	2^ = У~Х> 3^ = У + х2‘
2056.	Построить изображение поля направлений,
определяемого уравнением = У*2 + у2, с по-
..	dy 1	. п
мощью окружностей, вдоль которых - = -j ; 1; 2;
3; . . . Нарисовать приближенно интегральную кри-
вую, проходящую через начало координат.
214
§ 2. Дифференциальное уравнение первого порядка
с разделяющимися переменными.
Ортогональные траектории
1 °. Дифференциальное	уравнение первого
порядка
Р dx + Q dy = 0,	(1)
где Р и Q — функции х и у, называется уравнением с разделяю-
щимися переменными, если коэффициенты Р и Q при дифферен-
циалах разлагаются на множители, зависящие только от х или
только от у, т. е. если оно имеет вид
f (*) ЧР (У) dx + f, (х) ф, {у) dy = 0.	(2)
Разделив оба члена уравнения (2) на <p(y)fi (х), получим
fiW <₽(!/)
(3)
Общим интегралом уравнения (3), а следовательно и (2),
будет
С fM dx [ q>! (у) dy
J f.(x) +J Ф(у) c-	U
2°. Ортогональными траекториями семейства ли-
ний F(x, у, а) = 0 называются линии, пересекающие линии дан-
ного семейства под прямым углом. Продифференцировав уравне-
ние F(x, у, а) = 0 по х и исключив а из полученного и данного
уравнений, получим дифференциальное уравнение линий данного
семейства у' — f(x, у). Тогда дифференциальным уравнением ор-
тогональных траекторий будет у' ---т~,--г-
В следующих дифференциальных уравнениях:
1) найти общий интеграл; 2) построить несколько ин-
тегральных кривых; 3) найти частный интеграл по
начальным условиям: у — 4 при х — —2.
2057. ху'— у — 0.	2058. ху' у = 0.
2059. уу' + х = 0.	2060. у' = у.
Найти общие интегралы уравнений:
2061. х2у'-\-у = §. 2062. х + ху + у' (у + ху) = 0.
2063. ср2 dr -J- (г — a) dtp — 0.
2064. 2st2ds = (l + l2)dt.
В следующих уравнениях найти общий и частный
интегралы по начальным условиям:
2065. 2у''\/х = у, у=1 при х = 4.
2066.	у' = (2у + 1) ctgx, у =1/2 при х = л/4.
2067.	х2у' + у2 = 0, у = 1 при х =—1.
215
2068.	Построить интегральные кривые каждого из
уравнений: 1) у'(х2— 4) = 2ху, 2) y'-)-ytgx = O,
проходящие через точки: 1) (0; 1); 2) (0; 1/2); 3) (0;
— 1/2); 4) (0; -1).
2069.	Найти кривую, проходящую через точку
(1; 1/3), если угловой коэффициент касательной к ней
в любой точке кривой втрое больше углового коэф-
фициента радиус-вектора точки касания.
2070.	Кривая проходит через точку А (0; a), MN —
произвольная ордината кривой. Определить кривую
из условия, что площадь OAMN — as, где s — длина
дуги AM.
2071.	Найти кривую, проходящую через точку
(а; а), если подкасательная в любой точке ее равна
удвоенной абсциссе точки касания.
2072.	Найти кривую, проходящую через точку
(—1; —2), если поднормаль ее в каждой точке
равна 2.
2073.	За какое время тело, нагретое до 100°, охла-
дится до 25° в комнате с температурой 20°, если до
60° оно охлаждается за 10 мин? (По закону Ньютона
скорость охлаждения пропорциональна разности тем-
ператур.)
2074.	Нагрузка на канат висячего моста (с. 33,
рис. 6) от каждой единицы длины горизонтальной
балки равна р Н. Пренебрегая весом каната, найти
его форму, если натяжение каната в низшей точке
принять за Н Н.
Указание. Возьмем на дуге ОС (с. 33, рис. 6) произволь-
ную точку М. На часть каната ОМ будут действовать три силы:
горизонтальная Н (влево от точки Л'1), вертикальная — вес рх и
тангенциальная сила натяжения Т (вправо от точки Л1).Для рав-
новесия сумма проекций сил на Ох и Оу должна равняться 0.
2075.	Определить и построить кривую, проходя-
щую через точку Р(—а\а), если отрезок АВ любой
касательной к ней, заключенный между осями коор-
динат, делится точкой касания М пополам.
2076.	Найти ортогональные траектории семейства
парабол ау — х2. Построить их.
2077.	Найти ортогональные траектории семейства
гипербол ху = с.
2078.	Найти ортогональные траектории семейства
полукубических парабол ау2 = х2.
2079.	Найти ортогональные траектории семейства
эллипсов х2 4у2 = а2.
216
Решить уравнения:
2080.	z/'x3 = 2г/.	2081. (х2	+ х) у'	= Чу +	1.
2082. у' -\]а? + х2 = у.	2083. (1 + х2) у'	+ 1 + у1	= 0.
2084. dr + г tg <р ofqp =	0; г = 2	при	<р = л.
2085. у' = 2 л]у 1п х; У=1	при	х — е.
2086. (1 + х2) у' + у д/1" + = ХУ‘> У — 1 ПРИ х — °-
2087.	Определить кривую, проходящую через точ-
ку Л(—1; 1), если угловой коэффициент касательной
в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки
касания.
2088.	Кривая проходит через точку Д(0;а), MN—
произвольная ордината кривой. Определить кривую
из условия, что площадь OAMN = a(MN— а).
2089.	Определить и построить кривую, проходящую
через точку (—1;—1), для которой отрезок ОТ, от-
секаемый на оси Ох касательной к кривой в любой
ее точке, равен квадрату абсциссы точки касания.
2090.	Найти ортогональные траектории семейства
гипербол х2 — 2г/2 = а1.
2091.	Определить кривую, радиус-вектор любой
точки которой равен отрезку нормали между кривой
и осью Ох.
2092.	Определить линию, если площадь, ограничен-
ная осями координат, этой линией и произвольной ее
ординатой, равна 1/3 площади прямоугольника, по-
строенного на координатах конечной точки кривой.
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка:
1) однородное, 2) линейное, 3) Бернулли
1°. О д н о р о д н о е уравнение. Уравнение Р dx A-
+ Q dy = 0 называется однородным., если Р и Q — однородные
функции от х и у одинакового измерения. Оно приводится к виду
du ( у \	„у
= <р I “ I 11 решается подстановкой — — и или у - их.
2°. Линейное уравнение. Дифференциальное уравне-
ние называется линейным, если оно первой степени относительно
искомой функции у и всех ее производных. Линейное уравнение
первого порядка имеет вид у’ + Ру = Q. Оно сводится к двум
уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой у
= uv. Другой способ решения (вариация произвольной постоян-
ной) состоит в том, что сначала решаем уравнение tf + Ру = 0;
— ( Р dx
получаем у = — Ав J . Подставляем это решение в данное
уравнение, считая А функцией х, и затем находим А' и А.
217
3°. У р а в и е н и е Бернулли у' + Ру — Qyn решается так
же, как и линейное, подстановкой у = uv или вариацией произ-
вольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линей-
ному подстановкой г =
Решить дифференциальные уравнения:
2093.	у у' = ‘2у— х.	2094. х2 -ф у2 — 2хуу' = 0.
2095.	^ = ±-1.	2096. /-^ = х.
2097.	Г . 2г/	т*'*2 Z/ 	=	. и 1	X	X
2098.	у' cos х — у sin х = sin 2х.
2099.	у'х -ф у = — ху2. 2100. у' — ху = — z/3e-x’.
2101.	/У	У ху cos — = у cos -	X. 3	X	J	X
2102.	х2у' = у2 -ф ху.	2103. ху' -ф У — In х -ф 1.
2104.	х2у2у' 4- ух3 = 1 •
В задачах 2105—2107 найти частные интегралы по
данным начальным условиям:
2105.	Ух2 + у2 — ху' = 0; у — 0 при х—1.
2106.	/2 — = 2/s — 3; s=l при / = -1.
at	’	к
2107.	ху' = у (1 4- In — Y У = —7= при х=1.
X	х J	уе
2108.	Найти семейство кривых, подкасательная в
любой точке которых есть среднее арифметическое ко-
ординат точки касания.
2109.	Найти ортогональные траектории семейства
окружностей х2 -ф у2 = ‘lax.
2110.	Сила тока i в цепи с сопротивлением 7?, са-
моиндукцией L и электродвижущей силой Е удовлет-
воряет дифференциальному уравнению
£-g- + 7?t = £.
Решить это уравнение, считая R и L постоянными, а
электродвижущую силу Е линейно нарастающей:
Е — kt. Начальные условия: /=0 при i = 0.
2111.	Найти форму зеркала, отражающего все
лучи, выходящие из данной точки, параллельно дан-
ному направлению.
218
Указание. Рассматривая плоское сечение зеркала, примем в
нем данную точку за начало координат, а данное направление —
за ось Оу. Касательная к искомой кривой в точке М образует
равные углы с ОМ и осью Оу, т. е. отсекает на осп Оу отрезок
ON = ОМ.
Решить дифференциальные уравнения:
2112.	ху + у2 = (2х2 + ху) у'.
2113.	(а2 + х2) у' + ху ~ 1.
2114.	ху' + 2 д/хг/ = у. 2115. (2х + 1) у' + у = ’•
2116.	y' — ytgx = ctgx.
2117.	tds — 2sdt = t3\nidt.
2118.	у' + ху = ху3. 2119. у' + У cos х = sin 2х.
2120.	у'— ^2 —у=1 при х = — 1.
2121.	Зу2у' + у3 = х ф- 1; у = —\ при х=1.
2122.	(1 — х2) у' — ху = ху21, у = 0,5 при х = 0.
2123.	Определить кривую, проходящую через точку
Л (а; а), если расстояние от начала координат до ка-
сательной в любой точке кривой равно абсциссе этой
точки.
§ 4. Дифференциальные уравнения, содержащие
дифференциалы произведения и частного
. . .	.	,	. ( у \ х dy — у dx
d (ху) = х dy + у dx; 'И ~ =------------1
\ X /	X
j f х \ _ у dx — х dy
G I I	n	•
\ у J	y2
Такне уравнения иногда легко решаются, если соответственно
и у
положить ху — и, у = — или ~ = и, у = их.
Решить дифференциальные уравнения:
2124.	x2dy + ху dx = dx. 2125. у2х dy — y3dx = x2dy.
Указание. В примере 2125 уравнение приводится к виду
i/2d = dy или y2du = dy.
2126.	у dx + (х — у3) dy = 0.
2127.	ydx — (x — y3)dy = 0.
219
2128.	у cos х dx + sin xdy — cos 2x dx.
2129.	t~~s = s2lnt. 2130. x2y2 + 1 + xhyy' = 0.
2131. t2sdt + t?ds = dt. 2132. x dy — у dx = x2 dx.
2133. xy' + tg у = 2x sec y.
= xy'.
2134. у (ye 2 + 1
§ 5.	Дифференциальные уравнения первого порядка
в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
1°. Если в дифференциальном уравнении
Р dx + Q dy = 0
дР dQ
> то оно приобретает вид du = 0 и его общий инте-
грал будет и — С.
о» п дР _z. д0~
1 . Если =f= то ПРИ некоторых условиях существует
функция ц(х, у) такая, что up dx + цф dy = du. Эта функция
[1(х, у) называется интегрирующим множителем.
Интегрирующий множитель легко найти в случаях:
дР dQ
1) когда —-— ----= Ф (х), тогда In р. = \ Ф (х) dx-
SS.liL
2) когда -Х р-ду = Ф( (у), тогда In р. = j (у) dy.
Дифференциальные уравнения § 4 являются частными слу-
чаями уравнений, рассматриваемых в настоящем параграфе.
Решить следующие дифференциальные уравнения
«в полных дифференциалах»:
2135.	(4--^dy + ^-dy = 0.
2136.	Зх2еу dx + (х3еу — 1) dy — 0.
2137.	e~!idx + (1 — xe_y) dy = 0.
2138.	2x cos2 у dx + (2y — x2 sin 2y) dy = 0.
Найти интегрирующие множители и решить диф-
ференциальные уравнения:
2139.	(х2 — у) dx -ф xdy - 0.
2140.	2х tg у dx + (х2 — 2 sin у) dy = 0.
2141.	(е2х — у2) dx + ydy = 0.
2142.	(1 Зх2 sin у) dx — х ctg у dy = 0.
220
Показать, что левые части следующих дифферен-
циальных уравнений суть полные дифференциалы, и
решить уравнения:
2143.	(Зх2 + 2 у) dx + (2х - 3) dy = 0.
2144.	(Зх2// — 4х//2) dx + (х3 — 4х2// + 12//3) dy — 0.
2145.	(х cos 2у + 1) dx — x2sin2ydy = 0.
Найти интегрирующие множители и решить урав-
нения:
2146.	у2 dx + (ух — 1) dy — 0.
2147.	(х2 — Зу2) dx + 2xydy = 0.
2148.	(sin х + еу) dx + cos x dy — 0.
2149.	(x sin у + у) dx + (x2 cos у + x In x) dy — 0.
§ 6.	Дифференциальные уравнения первого порядка,
не разрешенные относительно производной.
Уравнения Лагранжа и Клеро
1°. Если уравнение F (х, у, у') = 0 второй степени относи-
тельно у', то оно имеет два решения относительно у': у' = fi(x,
у) и //'=/а(х, у), непрерывных относительно х и у в некото-
рой области, а геометрически определяет в любой точке (хо; i/o)
этой области два направления интегральных кривых.
Такие дифференциальные уравнения F{x, у, у') = 0, кроме
общего интеграла ®(х, у, С) = 0 и частных интегралов, иногда
имеют еще особый интеграл, не содержащий произвольной по-
стоянной и в то же время не получающийся из общего ни при
каком значении постоянной.
Особый интеграл, если он существует, можно, получить, ис-
ключив р = у' из уравнений F (х, у, р) = 0 и Fр(х, у, р) =О
или же исключив С из общего интеграла® (%, у, С) = 0 и Фс = 0.
Геометрически особый интеграл определяет огибающую семей-
ства интегральных кривых*).
2°. Уравнение Лагранжа
У = xf (р) + <р (р),	(1)
где р = у', интегрируется следующим образом.
Продифференцировав (1) ио х, найдем:
Р = f(p) + Ixf' (р) + <р' (р)]
Это уравнение линейное относительно х и Решив его,
получим:
х = СА (р) + В (р).	(2)
*) См, определение огибающей на с, 206.
221
Уравнения (1) и (2) будут параметрически определять общий
интеграл. Исключив из них параметр р (если это возможно), по-
лучим общий интеграл в форме Ф(х, у, С) = 0.
3°. У р а в н е н и е К л е р о
у = рх + <р (р)	(3)
является частным случаем уравнения Лагранжа. Оно имеет об-
щий интеграл у = Сх + ф(С) и особый, получающийся исключе-
нием параметра р из уравнений у = рх-]-ц>(р) и х = — ср'(р).
2150.	Построить несколько интегральных кривых
уравнения у'2 = 4у. Какие две интегральные кривые
проходят через точку М (1; 4 )?
2151.	Построить интегральные кривые уравнения
у'2 Н~ У2— 1=0. Какие две интегральные кривые про-
ходят через точку М (л/2; 1/д/2)?
2152.	Показать, что интегральные кривые уравне-
ния ху'2 — 2г/у'+ 4z = 0 содержатся внутри острого
угла между прямыми у = ±2х. Построить интеграль-
ные кривые, полагая в общем интеграле постоянную
С = ± — , ±1, ±2 и т. д.
2153.	Решить уравнения:
1)	УУ'2 + у'(х — у) — х^= 0; 2) ху'2 + 2ху' —у = 0
и построить интегральные кривые.
2154.	Решить уравнения, не содержащие явно од-
ной из переменных:
1) У = 1 +у'2; 2) х = 2/-^.
Указание. Обозначив у’ через р, продифференцировать пер-
вое уравнение по х, а второе— по у.
2155.	Найти общие и особые интегралы уравнений
Лагранжа:
1) У = ху'2 + У'2\ %) У— %ху' + -4г-; 3) 2у =	.
2156.	Найти общий и особый интегралы уравнения
Клеро и построить интегральные кривые:
1) у = ху'— у'2-, 2) у = ху'— а'х/\ + у'\
3) у = Ху' +	•
2157.	Построить интегральные кривые уравнения
у'2+ «/ = !• Какие две интегральные кривые прохо-
дят через точку М (1; 3/4) ?
222
2158.	Решить уравнения, не содержащие явно од-
ной из переменных: 1) у = у'2у'3\ 2) х — —т==-.
V1 -г У
х2
2159.	Решить уравнение у — 2у'х + -у + у'2-
2160.	Найти общий и особый интегралы уравнения
Клеро и построить интегральные кривые:
1)	у = у'х + -~-, 2) у = ху' + у' + у'2.
2161.	Найти кривую, касательные к которой обра-
зуют с осями координат треугольник постоянной пло-
щади, равной 2а2.
2162.	Найти кривую, касательная к которой отсе-
кает на осях координат отрезки, сумма которых
равна а.
§ 7. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
1 °. Уравнение вида (/<"’ = f(x) решается последова-
тельным n-кратным интегрированием правой части. При каждом
интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в
окончательном результате — п произвольных постоянных.
2°. Уравнение F(x, у', у"} =0, не содержащее у в яв-
,	zz d Р
нои форме, подстановкой у = р, у	приводится к виду
f is)-0-
3°. Уравнение F(y, у', у") = 0, не содержащее х в явной
,	„ dp dp
форме, подстановкой у = р, у =	= р приводится к виду
Решить уравнения:
2163. 1) у'" — -^з~', начальные условия: у = 2,
у'=\, у" = I при х=1; 2) y'/ = 4cos2x; у = 0,
/ = 0 при х = 0; 3) у" = t +‘ %2-.
2164. х3у" + х2у' =	I.	2165.	уу"у'2~0.
2166. у" + у' tg х —	sin 2х.	2167.	у" + 2у (у')3 = 0.
2168. у"х\пх = у'.	2169.	у" tgу = 2(у')2.
2170. 1) ху" - у' =	ехх2;	2) г/"	+ 2ху'2 = 0.
223
2171.	Определить кривую изгиба горизонтальной
балки, один конец которой наглухо заделан, а на дру-
гой действует сосредоточенная сила Р (весом балки
пренебречь и считать изгиб настолько малым, что
l+l//2 « 1).
2172.	Определить кривые, у которых радиус кри-
визны вдвое больше длины нормали.
2173.	Определить кривые, у которых радиус кри-
визны равен длине нормали.
2174. На отрезке [0,1] определить кривую, касаю-
щуюся оси Ох в начале координат, если кривизна ее
k = х, т. е. равномерно нарастает вдоль оси Ох (пе-
реходная кривая). Принять приближенно, что 1+
+ /2~ 1.
Решить уравнения:
2175.	=	=	/=1 ПРИ Х = Т-
2176. (1 4-х2)4-2х/= х3. 2177. у"у3=1.
2178. 2уу" = (у')2.	2179. t^ + ^ + t = 0.
2189. 2уу" = 1 4- у'2.	2181. y"tgx = y'+ 1.
2182. Определить кривые, у которых радиус кри-
визны равен кубу длины нормали.
2183. В интервале (—л/2, л/2) определить кри-
вую, касающуюся оси Ох в начале координат, если
кривизна ее в любой точке k = cosx.
§ 8.	Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Однородное линейное дифференциальное
уравнение
-ум + Р{У(п~'} +	+ рпу = О,	(1)
где pi — функции х, имеет общее решение вида
У =	+ С2уг + ... + Спуп,
(2)
где j/ь у2, ,.., уп — линейно независимые частные решения урав-
нения (1), a Ct, С2, ..., С„ — произвольные постоянные.
Если коэффициенты pi, р2, .... рп уравнения (1) постоянны,
то частные решения yt, у2, ,.., уп находятся с помощью харак-
теристического уравнения
Гп + р1гп ‘4- ••• 4-Рп = 0.
(3)
224
Г) Каждому вещественному корню г = а уравнения (3) крат-
кости т соответствуют т частных решений хе“, ..., хт~,еа1с.
2) Каждой паре мнимых корней г = а ± 01 кратности т со-
ответствуют т пар частных решений:
еах cos 0х, хеах cos0x, ..хт~хеах cos.0x,
еах sin 0х, хеах sin 0х, ..., xm-1ea\sin 0х.
Решить уравнения:
2184. у" — 4/ 4- Зу = 0.	2185. у" — 4/ + 4у = 0.
2186. у" - 4/ + 1 Зу = 0. 2187. у" - 4у = 0.
2188. у" + 4у = 0.	2189. у" + 4у' = 0.
2190. -$ +3-^4-4х = 0. 2191. 4^- + р = 0.
dt2 1 dt	аф2 1 г
2192.	24г + 2s = 0; при / = 0 s= 1, s'= 1.
Lv*	С4 t
2193. у'" - 5у" + Зу' - 4у = 0.
2194. у™- 16^ = 0.	2195. i/"'-8z/ = 0.
2196. у'" + Зау" + За2 у' + а?у = 0.
2197. r/IV + 4г/= 0.	2198. 4у™ — Зу" — у =0.
2199.	Определить уравнение колебаний маятника,
состоящего из массы т, подвешенной на нити длиной
/ (сопротивлением пренебречь и положить, что при
малом угле а отклонения sin а «а). Определить пе-
риод колебания.
2200.	Два одинаковых груза подвешены к концу
пружины. Под действием одного груза пружина удли-
няется на а см. Определить движение первого груза,
если второй оборвется (сопротивлением пренебречь).
Определить период колебания.
2201.	Решить задачу 2200 с учетом сопротивления,
пропорционального скорости движения.
Решить уравнения:
2202.	у" + Зу' + 2у == 0. 2203. у" + 2ау' + а2у = 0.
2204. у" + 2у' + Ъу = 0. 2205. 4J- — 2-^ — Зх= 0.
1	1 J	at2 dt
А2> Y	ft c
2206. -У + ш2х = 0.	2207.	= °*
2208. xtt + 2xt + 3x = 0. 2209. у'" - Зу" + 4г/= 0.
2210. //IV - 3y" — 4y = 0. 2211. z/IV + 8y" + 16г/ = 0.
2212. Найти интегральную кривую уравнения
у" — у = 0, касающуюся в точке (0; 0) прямой у = х.
8 В. П. Минорский	225
§ 9.	Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
Г. Основное свойство. Пусть даны уравнения)
</<n) +	+ РпУ = / (*) — неоднородное,	(1)
У(п) + Р1У,п~1>+ ••• +рпУ = 0 —однородное	(2)
и пусть и — общее решение уравнения (2), a yi— частное реше-
ние уравнения (1). Тогда общее решение у уравнения (1) будет:
у = и + у,.	(3)
2°. Метод неопределенных коэффициентов.
При постоянных pi, р2, ..., рп частное решение yi находится ме-
тодом неопределенных коэффициентов в следующих случаях:
1)	f(x)—многочлен,
2)	f(x) = emx(a cos пх + b sin пх),
3)	f(x) есть сумма или произведение предыдущих функций.
В этих случаях частное решение у\ имеет тот же вид, что и
f (х), отличаясь от нее только коэффициентами.
Исключения составляют особые случаи, когда: 1) f(x)—
многочлен, но г = 0 — корень характеристического уравнения
кратности 6; 2) f (х) = emlr (a cos пх + b sin пх), но г = m ± ni
есть корень характеристического уравнения кратности k. В этих
особых случаях у, отличается от f(x) не только коэффициентами,
но еще и множителем хе.
3°. Метод вариации произвольных постоян-
н ы х. Более общим приемом решения неоднородного линейного
уравнения является метод Лагранжа, или метод вариации произ-
вольных постоянных.
Если yi и pa — независимые частные решения уравнения
и" + ру' + qy = 0, то решение уравнения у" + ру’qy = f(x)
по методу Лагранжа находится в виде у — Ау\ 4- jQt/a, где А и
В — функции х, удовлетворяющие системе уравнений
A'yi 4- В'у2 = О,
Л'//' 4- B'y'z = f (х).
Отсюда
А, = _У±М,	a п = \У',У?.
w ’	w	\ У\ У2
Решить уравнения:
2213. у" — 2у' + у = е2х. 2214. у" — 4у = 8х3.
2215. у" + Зу' + 2у — sin 2х + 2 cos 2х.
2216. у" + у = х 4- 2ех. 2217. y" + 3y' = Qx.
2218.	у" + 4/ + 5у = 5х2 — 32х + 5.
2219.	у" - Зу' + 2у = ех.
2220.	+ k2x = 2k sin kt.
2221.	у" — 2y — xe~x. 2222. у'' — 2y' = x2 — x.
226
2223.	у" + 5г/' + бу = е~х + е-2*.
2224.	х + 2kx + 2k2x = 5й2 sin kt.
2225.	у'" + У" = 6х + е-*. 2226. у™ — 81 у = 27е~Ч
2227. х4-х = 3/2.	2228. у"' + 8г/ = е~2х.
2229. 1) х 4- 4х 4- 4х = e~2t\ 2) а3х 4- ах = 1.
1	р2х
2230. у" + 4у =	. 2231. у" - 4г/' 4- 5г/ =	.
2232. у" — 2г/' 4- У — х~2ех. 2233. у" + У = tg х.
1	г>~2х
2234. 1) г/"4-/ = т-к_; 2)у" + 4у' + 4у = е-г.
2235. Единица массы движется по оси Ох под дей-
ствием постоянной силы а, направленной по оси, при
сопротивлении движению, численно равном скорости
движения. Найти закон движения, если при £ = 0
имеем х = 0 и скорость v = 0.
Решить уравнения:
2236. у" у' — 2у*= 6х2.
2237. г/" — 5г/'4-6г/= 13 sin Зх.
2238. у" 4- 2у' 4- у = ек.
2239. у" 4- у' 4- 2,5г/ = 25 cos 2х.
2240. 4у" — у = х3 — 24х.	2241. у" — у = е~х.
2242. -g-+2-g- + 2s = 2/3-2.
2243. 1) г/" — 2/ш/'4-= sin mx;
2) п3у" -4пу = 8.
2244. у™ 4- 5г/" 4- 4у = 3 sin х.
2245. г/'" — Зу" 4- Зу' — у = ех.
Следующие уравнения решить методом вариации
произвольных постоянных:
2246. у" 4- 4г/' 4- 4г/ е~2х In х.
2247. 1) у" 4- у = —;	2) у" 4- 4у = -т-^—.
2248. у"-2у' +y = -^L=-.
8‘
227
§ 10. Примеры дифференциальных уравнений
разных типов
Определить тип дифференциального уравнения и
решить его:
2249. у' +	= е~*.	2250. у' + У tg х = tg х.
2251. (х — х3) у' 4- (2х2 — 1) у = х3.
2252. (1 + х2) у' + у (х — Vl + х2) = 0.
2253. t2 ds + 2/s dt = e* dt. 2254. xy' = 4 (y + VF)-
2255. 2xyy' = 2y2 + Vz/4 + x*.
2256. xy" + y' = In x.	2257. yy" — 2y'2 = 0.
2258. y" — m2y =e~mX. 2259. y'x In x + У = 2 In x.
2260. xy' + У In = 0. 2261. 2y' + y = y3(x- 1).
2262. y'" — 2y" + y' = x2. 2263. y" = y' + y'2.
2264.	— 3~ — 2s = sin/ +2 cos/.
dr dt	‘
2265.	1) sin / ds = (41 sin2 -y + s) dt;
2)	yy'x — y2=\.
2266.	1) xy' + y(x tgx + 1) = sec x;
2)	y"' + y = e~*.
2267.	3y' + 2y = —; 2) y'"y = y"y'.
2268.	Цилиндр радиуса а дм и массой т = а3 кг
плавает в воде при вертикальном положении оси.
Найти период колебания, которое получится, если
цилиндр немного погрузить в воду и затем отпустить.
Сопротивление движению принять приближенно рав-
ным нулю.
2269.	Полый железный шар с радиусами поверх-
ностей а и 2а имеет постоянную температуру внут-
ренней поверхности 100°C и наружной 20°C. Опреде-
лить температуру внутри стенки на любом расстоя-
нии г от центра (а 2а) и при г = 1,6а.
dT
Указание. Скорость падения температуры в проводнике
со стационарным распределением температуры обратно пропорцио-
нальна площади поперечного сечения.
228
§ 11.	Линейное дифференциальное уравнение Эйлера
+	... 4- ап_{ху' + a„y = f(x)
Частное решение однородного уравнения (при f (х) = 0) мо-
жно найти в виде у = хг, где г — постоянное число. Для нахо-
ждения г нужно подставить у = хг в однородное дифференциаль-
ное уравнение и решить полученное характеристическое уравне-
ние относительно г. При этом:
1)	Каждому вещественному корню г = а кратности m соот-
ветствует m частных решений ха, ха In х, х“(1п х)1, ...
2)	Каждой паре мнимых корней г = а ± pi кратности m со-
ответствует m пар частных решений:
хаcos (Р In х),	хаcos (Р In х) 1л х, ...;
ха sin (р In х),	ха sin (Р in х) In х, ...
Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера решается
методом вариации постоянных.
Решить уравнения:
2270. 1) х3/" — Зху' + Зу = 0; 2) х2/' —2# = 0;
3)	х2у" + 2ху' — п (п + 1) У — 0.
2271.	1) х2у" + Зху' + 4// — 0; 2) х2у" + ху' + у — 0.
2272.	1) ху" + 2у' = 10х; 2) х2у" — бу = 12 in х.
2273.	1) х2у" — 2х/4-2у = 4х;
2)	х3у" + 3x4/' + ху = 6 In х.
2274. 1) х2у" — 4ху' 4- бу = х5;
2) x?y" + ху' + у = х.
§ 12. Системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Решить уравнения:
2275.	4г + ^ = °> 4г“4г==3х + ^
2276.	-^+х-у = е{, ^--х + у = е*.
Указание к задаче 2275. Продифференцировав первое из ура-
.	. dy
внении по t, исключаем из трех уравнении у и
2277.	5^-2^- + 4x-s = £-‘,
+ 8х - Зу = 5e-f.
2278.	х — 4х 4- 4х — у = 0,
У + 4у + 4г/ — 24х = 16е‘.
229
Решить уравнения:
2279.	х + Зх + у = 0,
х = 1, у = 1 при / = 0.
у — х + у = О,
2280. х = у, y = x + 2sh/.
§ 13. Линейные дифференциальные уравнения
в частных производных второго порядка
(метод характеристик)
2281. Найти общее решение (содержащее две про-
извольные функции) уравнений:
1) -^- = 0; 2) -Й-=0; 3) ~---------=
'дхду	' ду2	2 дх ду х ду ’
4) _^_ = 2а —+6.
' дх ду у
Указание. Положить - = г.
ду
d^z
2282.	Найти частное решение уравнения = 0
а дг п	.
по начальным условиям: z = у, -^—У при х=1.
2283.	Преобразовать уравнение —^~дх^—Ь
д2и	Х	Х У
~^^~ду2=® к канонической форме и найти его об-
щее решение.
2284.	Преобразовать уравнение
+ 2хи—______\-и2 — = Ъ
х дх2 У дхду ^у ду2 и
к канонической форме и найти его общее решение.
В следующих дифференциальных уравнениях найти
общие решения, а если даны начальные условия, то
и частные решения:
2285.	^£_4-Д-+4-Й- = 0.
дх* дх ду ду*
2286.	-^-4 —ч-4 = 0; и — sin у, = у при х = 0.
дх2 ду2	22 дх я г
„пг„, д2и . д2и _ п , . ди
2287.	х -VT- + у =0; и — 2у 4- 1, -z— = у при
дх2 1 22 дх ду	22 дх 22 г
х= 1.
230
2288. Z2 ~ - x2 = 0; и = 2x2,	= x2 при t = 1.
Найти частные решения дифференциальных урав-
нений:
Л.,ПЛ <32“ , д2и , ди л л ди	,
2289.	+ -т—тг +	= 0; м = 0,	— х — 1
dt‘ 1 дх dt 1 dt ’	dt
при t = 0.
сллп. л 9 d2u д2и , п <, ди п п ди
2290. 4а2х --------+ 2а2 -х— — 0; и = 0, -хт — ах
дхг dt1 1 дх	dt
при I =0.
2291.a2-g- = $-; м = f(х),-^ = F(х) при t^O.
ГЛАВА 13
ДВОЙНЫЕ, ТРОЙНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Вычисление площади с помощью
двойного интеграла
1°. Двойным интегралом от непрерывной функции F(x, у),
распространенным на ограниченную область (S) плоскости хОу,
называется предел соответствующей двумерной интегральной
суммы:
\ F (х, у) dx dy = lim У У F (х у ) Ах. Ау.,
J	max Дх.-»0	‘ й/ 1 я
max Дуд. ->0
где дхг = xf + 1 — хр Ayft = yfe+1 — yk и сумма распространена
на те значения i и k, для которых точки (х,; ук) принадлежат
области (S).
Площадь S области (S) определяется формулой
S = dx dy.
(S)
2°. Если область (S) определяется неравенствами а х Ь,
ух (х) у sg: у2(х), причем каждая из непрерывных кривых у —
= У1(х) и у = у2(х) пересекаются с вертикалью х = X(xi <
.< X < х2) только в одной точке, то
b yi (х)
F (х, у) dx dy = dx F (х, у) dy,
(S)	а у, (х)
!/i(x)
где при вычислении интеграла F (х, у) dy величину х по-
У1(х)
лагают постоянной.
3°. Если область (S) определяется неравенствами h у
Х\(у) х «5-х2(у), причем каждая из непрерывных кривых х =
232
xt(y) и x = х2(</) пересекается с горизонталью y=Y(y,-^
< Y < Уя) только в одной точке, то
I х, (у)
F (х, у) dx dy=^dy F (х, у) dx,
(S)	h Xi (у)
хи (а)
где при вычислении интеграла j F (х, у) dx величину у по-
х.{у)
лагают постоянной.
4°. Если область (S) определена в полярных координатах не-
равенствами <pi <р Фа, Г1(ф) < г < га(ф), то площадь этой
области
<Р, Гг (ф)
S = j j г dr dtp = j dtp г dr.
(S)	<₽! ПЙЙ
Записать с помощью двойных интегралов и вычис-
лить площади, ограниченные линиями:
2292.	ху = 4, у = х, х = 4.
2293.	1) у = х2, 4у = х2, у = 4;
2)	у = х2, 4у — х2, х = ± 2.
2294.	у2 = 4 + х, x + 3z/ = 0.
2295.	ау = х2 — 2ах, у = х.
2296.	у — In х, х — у = 1 и у = — 1.
2297.	Построить области, площади которых выра-
жаются интегралами:
ах	а ^/а2—у‘	a ^2а1—х1
1) dx dy, 2) ^dy <Zx; 3) dx dy,
00	0 а—у	0	х
Изменить порядок интегрирования.
Указание. Чтобы получить уравнения линий, ограничивающих
область, нужно пределы интеграла по dx приравнять х, а преде-
лы интеграла по dy приравнять у.
2298.	Построить области, площади которых выра-
1	2-х’	О	О
жаются интегралами: 1) dx dy, 2) dy jj dx.
Ох	-2	у’-4
Изменить порядок интегрирования и вычислить пло-
щади.
2299.	Вычислить площадь, ограниченную линиями
г = а(1 — cos <р) и г = а и расположенную вне круга.
2300.	Вычислить площадь, ограниченную прямой
г cos ф = а и окружностью г = 2а.
233
Вычислить площади, ограниченные линиями:
2301. ху = -^-, ху = 2а2, У = ^~ у = 2х.
Указание. В этой задаче выгодно перейти к новым координа-
там ху = и и у *= их, после чего площадь определяется по фор-
муле
j /1 du du, где / =
дх ду
ди ди
дх ду
ди ди
и называется якобианом.
В задаче 2302 положить у2 == их, иу2 = х3, а в задаче 2303 пе-
рейти к обобщенным полярным координатам х — rcos3<p и у —
<= Г sin3 ф.
2302. у2 —ах, у2=[&ах, ау2 = х3, 16ау2 — х3.
2303. X2/3 + у2!3 = а2'3.
Вычислить площади, ограниченные линиями:
2304.	у = х2, у = х 4- 2.
2305.	ах = у2 — 2ау и у + х = 0.
2306.	у в= sin х, у = cos х и х =*> 0.
2307.	у2 — а2 — ах, у == а + х.
2308. г = 4(1 + cos<р), гсозф=3 (справа от пря-
мой ).
2300. г~ а(1—costp), г *= а и расположенную
вне кардиоиды.
2310. ху = 1, ху = 8, у2 = х, у2 = 8х.
2311. Построить области, площади которых выра-
жаются интегралами:
Ь х	a	у*
1) dx dy\ 2) dy dx\
а а	3 л/ау
4	8-х
3) dx dy.
°	2 V7
Изменить порядок интегрирования и вычислить
площади.
§ 2. Центр масс и момент инерции площади
с равномерно распределенной массой
(при плотности ,u=l)
Крординаты центра масс площади S е равномерно распреде-
ленной на Ней массой:
\\xdxdy	\\ydxdy
Хс =	, уа =- g-------.	(I)
Моменты инерции площади S:
]х = у2 dx dy,	Jу =	х2 dx dy,	г2 dx dy. (2)
(S)	(S)	(S)
Определить центр масс площади, ограниченной ли-
ниями:
2312. у = 0 и одной полуволной синусоиды у=
= sin х.
2313. у = х2, х = 4, у = 0. 2314. у2 = ах и у = х.
2315.	х2 + у2 = а2 и у = 0.
2316.	Площади, ограниченной астроидой х2/3 +
4- у2/3 = а213 и осью Ох.
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам
X = г cos3 <р и у = г sin3 <р.
2317.	Определить моменты инерции Jx, Jy и Jo пло-
щади прямоугольника, ограниченного линиями х = 0,
х = а, у = 0 и у = Ь.
2318.	Определить момент инерции относительно
оси Ох площади, ограниченной линиями у = х]2,
х = а, у = а.
2319.	Определить момент инерции относительно
оси Оу площади треугольника с вершинами Л (0; 2а),
В (а; 0) и С (а; а).
В задачах 2320—2323 определить полярный мо-
мент инерции площади, ограниченной линиями:
2320.	х 4- у - - а, х = 0, у = 0. 2321. г2 = a2 cos 2<р.
2322.	Окружностью г = а.
2323.	у2 = ах, х = а.
Определить центр масс:
2324.	Полусегмента параболы у2 = ах, х = а,
у = 0 (при у>0).
^2 у2
2325.	Полуэллипса 4-	— 1, отсеченного осью
Ох.
2326.	Определить момент инерции относительно
оси Оу площади, ограниченной линиями у — а 4- —,
у = 2х и х = 0.
2327.	Определить момент инерции относительно
оси Ох площади треугольника с вершинами Л(1; 1),
В (2; 1), С(3; 3).
Определить полярный момент инерции площади,
ограниченной линиями:
235
2328.	-у + -|-=1, х = 0, г/ = 0.
2329.	z/ = 4 — х2 и у = 0. 2330. r = a(l — cosqp).
§ 3.	Вычисление объема с помощью двойного интеграла
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z — F(x, у),
снизу — плоскостью 2 = 0 и с боков — цилиндрической поверх-
ностью, вырезающей на плоскости хОу область (S), равен
V = z dx dy = F (х. у) dx dy.
(S)	(S)
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхно-
стями:
2331.	z = х2 4- у2, х + ^=4, х = 0, t/ = 0, z =0.
2332.	z = х + у + а, у2 — ах, х = a, z = 0, у = 0
(при у > 0).
2333.	(х + у)2 + az = а2, х — 0, г/= 0, г==0 (по-
верхность построить по сечениям: х = 0, у=0, z = 0,
z = h а; см. задачу 546).
2334.	х2 + у2 = а2, х2 -j- z2 = а2 (см. задачу 552).
2335.	z2 = ху, х = а, х = 0, у = а, у — 0.
2336.	аг = х2 — у2, z = 0, х = а.
2337.	z2 = ху, х + у = fl.
2338.	х + у + z = За, х2 + У2 = а2, 2 = 0.
Указание. В задачах 2338—2344 перейти к полярным коорди-
натам.
2339.	г = тх, х2 + у2 = a2, z — 0.
2340.	az = а2 — х2 — у2, z = 0.
2341.	х2 + у2 + z2 = 4а2, х2 + у2 — а2 (вне ци-
линдра).
2342.	х2 + у2 + z2 = а2, х2 -|- у2 ± ах = 0 (внутри
цилиндров).
2343.	Первым завитком геликоида y = xtg— вну-
три цилиндра х2 + у2 — а2 и плоскостью z = 0.
2344.	z2 = 2ах, х2 + у2 = ах.
2345.	г = 0.
Указание. В задачах 2345 и 2346 перейти к обобщенным (эл-
липтическим) полярным координатам: х = ar cos <р, у ==. br sin <р.
236
2346.	z = ce~ a1 b‘ и + -|r = 1.
2347.	x2/3 4- Уага + 22/3 = а2/3 (положить x = r cos3 cp,
y = r sin3<p).
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхно-
стями:
2348.	z — а — х, у2 *= ах и z = 0.
2349.	z = х2 + у2, у —х2, у = 1, 2=0.
2350.	у2 + z2•== 4ах, у2=ах, х = 3а (вне ци-
линдра).
у2 а»2	у 2	«/2
2351.	4 + -J-I. -у + -^=1-
2352.	Коноида х2у2 + h2z2 ~ а2у2 при 0 уh
(см. задачу 559).
2353.	х2?3 + z2/3 = а2/3, х2'3 4- у2/3 = а2/3.
2354.	4z=16— х2— у2, z = 0, х2 + у2 = 4 (вне
цилиндра).
Указание. В задачах 2354—2358 перейти к полярным коор-
динатам.
2355.	z2 = {х + а)2, х2 + У1 = а2
2356.	z — x2^.yi-> z = 0, х24-у2=1, х2 + у2 = 4,
2357.	az = х2 + У2> 2 = 0, х2 у2 ± ах = 0.
2358.	az — а2 — х2 -* у2, z = 0, к2 -f- у2 ± ах = 0
(внутри цилиндров).
у2 „2
2359.	А- + 4т + тг=1-
а‘Ь£ ci
Указание. Положить х = ar cos <р, у = br sin tp.
§ 4.	Площади кривых поверхностей
Площадь о части поверхности F(x, у, г) = 0, проекция кото-
рой на плоскость z = 0 определяет область (<тг), равна:
(oz) ] dz I
237
Если область (V) определена неравенствами
а	yi (х)< 1/< г/2 (х),	2, (х, г/)< z < z2 (х, у),
то
j j J F (x, y, z) dx dy dz =
При F(x, y, z) «= 1 получаем
однородного тела объемом V :
хс = -у j х dx dy dz,
J(V)
Ь	Й1(х)	Z2(x, у)
i j dx j dy j F(x, y, z)dz.
a	y, (x)	Zi (x, y)
объем V. Координаты центра масс
вычисляются по формулам
Ус = у У dx dy dz,
(V)
ze = -L j j z dx dy dz.
(И
2369.	Определить объем тела, ограниченного по-
верхностями az = х2 + у2, 2az — а2 — х2 — у2.
2370.	Определить объем тела, ограниченного по-
верхностями х2 + у2 — г2 = 0, х2 4* у2 + z2 = а2, внутри
конуса.
2371.	Показать, что поверхность конуса х2 + у2 —
— z2 = О делит объем шара х2 + у2 + z2 = 2az в от-
ношении 3:1.
2372.	Определить массу пирамиды, образованной
плоскостями х у + z — а, х = 0, у — 0, г = 0, если
плотность в каждой ее точке равна аппликате z этой
точки.
Определить центр масс однородного тела, ограни-
ченного поверхностями:
237^. х у z = а, х = 0, у = 0, 2 = 0.
2374.	аг — а2 — х2 — у2, z == 0.
Определить момент инерции относительно оси Qz
тела, ограниченного поверхностями (плотность ц = 1):
2375.	х == 0, у = 0, у = a, z — 0, х + z = а.
2376.	х + у + z = a ^2, х2 -|- у2 = a2, z = 0.
2377.	Определить объем тела, ограниченного зам-
кнутой поверхностью:
1) (х2 + у2 + к2)2 = а3х; 2) (х2 + у2 + z2)2 = az (х2 + у2).
Указание. Перейти к сферическим координатам по формулам
х — г sjn 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, г = г cos ф; элемент объема
dV = fl sin 0 dr dq> dQ.
Определить объемы тел, ограниченных
СТЯМИ!
2378. аг = х2 + у2, х2 + у2 + z2 = 2а2.
поверхно-
239
2379.	x2 + y2-z2 = 0, z=-6-x2-y2.
2380.	az = x2 + y2, z2 = X2 -f- У2-
2381.	Определить массу тела, ограниченного по-
верхностями х2 + у2 — г2 = О и z = /г, если плотность
в каждой точке его равна аппликате этой точки.
2382.	Определить массу тела, ограниченного по-
верхностями
2x4-z = 2a, x-\-z — a, у2 = ах, у = 0
(при у >0), если плотность в каждой его точке рав-
на ординате у этой точки.
2383.	Определить центр масс однородного полу-
шара х2 + у2 + z2 = а2, 2 = 0.
2384.	Определить момент инерции относительно
оси Oz тела, ограниченного поверхностями zl = 2ax,
г = 0, х2 4- у2 = ах.
2385.	Определить объем тела, ограниченного по-
верхностью (х2 у2 + z2)2 -= axyz (перейти к сфери-
ческим координатам) (см. задачу 2377).
2386.	Определить массу сферического слоя между
поверхностями х2 4- у2 4- z2 = а2 и х2 4- У2 + г2 = 4а2,
если плотность в каждой его точке обратно пропор-
циональна расстоянию от точки до начала координат
(перейти к сферическим координатам).
§ 6.	Криволинейный интеграл. Формула Грина
1°. Определение криволинейно го интеграла.
Пусть на дуге АВ спрямляемой кривой определена непрерывная
функция Р (х, у, г). Разобьем дугу на части точками А (х0; //»: z0),
М, (xt; У1; г,), ,... Л4п_1(хи_1;	и В(хп; уп; гп) и
п
Тогда lim £ Р (xJt у., 2)Ьх
ах;-»0 i = 1
пусть х^ — х.
назы-
вается криволинейным интегралом, взятым по дуге АВ, и обоз-
начается \ Р (х, у, z) dx. Аналогично определяются интегралы
АВ
Q (х, у, z) dy, Р (х, у, г) dz и Р dx 4- Q dy + Р dz как
АВ	АВ	АВ
сумма предыдущих интегралов. Наконец, встречается еще криво-
линейный интеграл вида:
п
\ Р (х> У, 2) ds = lim Р (х^, уД«^, где As< =
240
2’. Вычисление криволинейного интеграла.
Пусть кривая АВ задана уравнениями х =/(/), у = cp(/),^zj=
= ф(/), а параметр t при перемещении точки M(t) по дуге АВ в
одном направлении изменяется монотонно; тогда
tВ
J Р (х, у, z) dx= J Р U (/), ф (О, Ф (0] Г (0 dt,
Ав	*А
т. е. все переменные и дифференциалы под знаком криволинейного
интеграла нужно выразить через одну переменную (t) и ее диф-
ференциал (dt) из уравнений кривой.
^.Механическое значение криволинейного
интеграла. Интеграл вида Jj Р dx + Q dy + R dz определяет
AB
работу при перемещении единицы массы по дуге АВ в поле, об-
разованном силой F{P; Q; Л}.
4°. Случай полного дифференциала. Если
в некоторой области (И) Р dx + Q dy + R dz = du, то
P dx + Q dy + R dz — uB — uA, т. e. равен разности значений
Ав
функции и (х, у, г) в точках В п А и не зависит от пути ин-
тегрирования АВ, взятого в области (I/).
5°. Формула Грина
jpdx + Qdy=^^-^-) dxdy
(С)	(S)
преобразует криволинейный интеграл от Р dx -|- Q dy, взятый (про-
тив часовой стрелки) по замкнутому контуру (С), в двойной ин-
теграл по области GS), ограниченной этим контуром,
6°, Площадь, ограниченная контуром (С):
S = -g- <^) х dy — у dx.
(С)
2387.	Даны точки А (2; 2) и В (2; 0). Вычислить
(x-j-y)dxs 1) по прямой ОА; 2) по дуге О А пара-
х2
болы у = —! 3) по ломаной ОБА.
2388.	Даны точки А (4; 2) и В (2; 0). Вычислить
(х + У) dx — х dy: 1) по прямой О А; 2) по ломаной
(С)
ОБА.
241
2389. Решить задачу 2388 для интеграла
(С)
х dy. Почему здесь величина интеграла не зависит
от пути интегрирования?
2390.	Даны точки А (а; 0; 0), В(а;а;0) и С (а; а; а}.
Вычислить интеграл у dx -|- z dy -j- х dz по прямой
ОС и по ломаной ОАВС.
2391.	Поле образовано силой F{P\Q}, где Р «
= х — у, Q — х. Построить силу F в каждой вершине
квадрата со сторонами х = ±а и у — и вычис-
лить работу при перемещении единицы массы по кон-
туру квадрата.
2392.	Поле образовано силой F(P; Q}, где Р =
= х у, Q = 2х. Построить силу F в начале каждой
четверти окружности х = a cos /, у = a sin t и вычис-
лить работу при перемещении единицы массы по ок-
ружности.
Решить эту же задачу при условии Р = х -ф у,
Q = х. Почему здесь работа равна 0?
2393.	Поле образовано силой F{y\ а}. Определить
работу при перемещении массы т по контуру, обра-
зованному полуосями координат и первой четвертью
эллипса х = a cos t, у = b sin t.
2394.	Поле образовано силой F{x; у; z}. Вычислить
работу при перемещении единицы массы по ломаной
ОАВСО, соединяющей точки 0(0; 0; 0), А (0; а; 0),
В(а; а; 0), С(а; а; а).
2395.	Написать и проверить формулу Грина для
ф (х + У) dx — 2х dy по контуру треугольника со сто-
С)
ронами х = 0, у = 0, х -{- у = а.
2396.	Вычислить интегралы: 1) 2хг/ dx + х2 dy,
2) cos 2у dx — 2х sin 2z/ dy, 3)	tg у dx + х sec2 у dy
АВ	АВ
по любой линии от точки Д(1; л/6) до В (2; л/4).
2397.	Применив формулу Грина, вычислить инте-
грал ф у2 dx + (х + у)2 dy по контуру ДДВС с вер-
ки
шинами Д (а; 0), В (а; а) и С(0; а).
242
2398.	Определить криволинейным интегралом пло-
щадь эллипса х — я cos t, у =• Ь sin t.
2399.	Определить криволинейным интегралом пло-
щадь петли кривой х3 х2 — У2 — 0 (см. рис. 48 на
с. 314).
Указание. Перейти к параметрическим уравнениям, положив
y = xt.
2400.	Определить криволинейным интегралом пло-
щадь петли декартова листа х3 + у3 — Заху = 0 (см.
указание к задаче 2399 и рис. 79 на с. 346).
2401.	С какой силой притягивает масса М, равно-
мерно распределенная по верхней полуокружности
х2 + у2 =* а2, массу т, сосредоточенную в начале ко-
ординат?
Указание. Пусть и — линейная плотность, ds — элемент длины
полуокружности, 0 — угол радиус-вектора с осью Ox, а X и Y —
_	,, С kmu cos 0 ds „
проекции силы притяжения. Тогда л = \-----%----, г =
С femu, sin 0 ds ,
— t —а--------> где я — гравитационная постоянная.
<с»
2402.	Даны точки А(—я; я) и В (я; я). С какой
силой масса М, равномерно распределенная по от-
резку АВ, притягивает массу т, сосредоточенную в
точке (0; 0).
2403.	Даны точки А (я; 0), В(0; я) и С(—я; 0).
С какой силой масса М, равномерно распределенная
по ломаной АВС, притягивает массу т, сосредото-
ченную в начале координат.
2404.	Даны точки А(0; 1), В(2; 5) и С(0;5). Вы-
числить (х + у) dx — 2у dy. 1) по прямой АВ; 2) по
С)
дуге АВ параболы у = х2 + 1; 3) по ломаной АС В.
2405. Даны точки А(—я; 0) и В(0; я). Вычислить
работу силы F{P;Q}, где Р — у и Q — y— х, при пе-
ремещении единицы массы: 1) по прямой АВ; 2) по
ломаной АОВ; 3) по дуге АВ параболы у —а —
2406.	Показать, что ф у dx + (х -j- у) dy по любому
(С)
замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив
интеграл по контуру фигуры, ограниченной линиями
у = х2 и у = 4.
243
2407.	Написать и проверить формулу Грина для
интеграла ф —-----—, взятого по контуру ДЛВС с
(С) у
вершинами А(1; Г) ,В(2-,1) и С(2-,2) .
2408.	С помощью криволинейного интеграла опре-
делить площадь фигуры, ограниченной астроидой
х = a cos31, у = a sin31.
2409.	С помощью криволинейного интеграла опре-
делить площадь, ограниченную кривой у2 + х4 —<
— х2 = 0. (Перейти к параметрическим уравнениям,
положив у — xt.)
§ 7. Поверхностные интегралы.
Формулы Остроградского — Гаусса и Стокса
Г. Поверхностные интегралы. Пусть F(х, у, г) —
непрерывная функция и г = <р(х, у\ — уравнение поверхности S,
<Эф (х, у} „ <Э<р (х, у)
причем существуют ------и ---——.
Поверхностный интеграл первого типа представляет собой
предел интегральной суммы:
п
И F {х, у, г) dS = lim V F (х;> zz) AS.,
J J	/1 -> oo
(S)	i.-l
где AS; — площадь t-ro элемента поверхности S, точка (x<; yr, zt)
принадлежит этому элементу, причем максимальный диаметр эле-
ментов разбиения стремится к нулю. Если проекция о поверхно-
сти S на плоскость хОу однозначна, т. е. всякая прямая, парал-
лельная оси Oz, пересекает поверхность S лишь в одной точке, то
соответствующий поверхностный интеграл первого типа может
быть вычислен: по формуле
F (х, y„z) dS =
(S)	_________________________
- j$ Г|«.,(«. »>! д/1+(^Л)!+
(О)
Если Р = Р(х, у, z), Q = Q(x, у, z), П = Р(х, у, г) —не-
прерывные функции и S+ — сторона поверхности S, характеризуе-
мая направлением внешней нормали n:{cosa; cos (3; cosy), то со-
ответствующий поверхностный интеграл второго рода выражается
следующим образом:
Р dy dz + Q dz dx + R dx dy =
(s+)
= (P cos a + Q cos p + R cos y) dS.
(S)
244
2°. Формула Остроградского—Гаусса:
(Р cos а + Q cos 3 + R cos у) dS =
(3)
-Ш
(Ю
где а, 3 и у — углы внешней нормали замкнутой поверхности S
и осями координат, а V — объем тела, ограниченного этой по-
верхностью. Первый интеграл можно записать в виде
J J \ дх ду дг J дг
(5г)	~дТ
где F(x, у, г) =0 — уравнение поверхности, a S,7— проекция S
на плоскость хОу.
3°. Формула Стокса:
ф Р dx + Q dy + R dz = [('If' — ) cos a +
(C)	(3)
, ( dP	dR \	„ , ( dQ	dP X	T	„
+ I “5---cos p + I ---------— I cos у dS,
X dz	dx J x. dx	dy J	J
где a, 3, Y — углы, образованные осями координат с нормалью
к поверхности S, направленной в ту ее строну, с которой обход
контура С рассматривается происходящим против часовой стрелки.
2410. Вычислить (х cos a + у cos р + z cosy)dS
(3)
по верхней поверхности плоскости х + У + z — а, рас-
положенной в первом октанте.
2411. Вычислить
j [х2 cos (п, i) + у2 cos (я, /) + z2 cos (я, £)] dS
(3)
по верхней поверхности параболоида х2 + у2 + 2аг =
= а2, расположенной во втором октанте (где х < 0,
у>0,2>0).
Указание. Приведя интеграл к виду	(х3 + у3 + az2)	,
(s2)
перейти к полярным координатам. Угол ср будет изменяться от
л/2 до л.
2412. Написать и проверить формулу Остроград-
ского для интеграла [х cos (я, i) + у cos (я, /) +
(3)
245
4-	scos(л, й)]г/5, взятого по поверхности шара х3-^
4- у2 + z2 = а2.
2413.	Написать и проверить формулу Остроград-
ского — Гаусса для интеграла
[х2 cos (л, i) 4- У2 cos (л, /) 4- z2 cos (л, Л)] dS,
(S)
взятого по наружной поверхности тела, ограниченного
поверхностями х2 4- у2 4- 2аг = а2, х = 0, у = 0, г = 0,
внутри первого октанта.
Указание. Двойной интеграл по плоским граням тела ра-
вен 0, ибо, например, на плоскости 2 = 0 и cos (л, i) = 0 и
со$(л, /) = 0.
2414.	Полагая в формуле Остроградского — Гаус-
са Р — х, Q = у, Р = z, получить формулу для
объема:
V = у [х cos а 4- У cos р 4- z cos у] dS.
(S)
Вычислить по этой формуле объем эллипсоида
v2 „2	~2
2415.	Полагая в формуле Остроградского — Гаусса
_ ди	„	ди	г, ди	,
Р = — ,	Q	= -~-	и	/? = ^—	(т.	е. полагая	вектор
дх	ду	дг	'	г
{Р; Q; Р} равным grad и), доказать, что
Ди dx dy dz = dS,
(Г)	IS)
, д’и , д2и . дги	-л
где Ли = —7+ -^-г + ^р- —оператор Лапласа.
2416.	Проверить полученную в предыдущей задаче
формулу для функции и = х2 4- у2 ф- г2 на поверх-
ности х2 + у2 + z2 = а2.
2417.	Показать с помощью формулы Стокса, что
\ yz dx 4- xz dy 4- xy dz по любому замкнутому кон-
(С)
туру равен нулю. Проверить это вычислением интег-
рала по контуру ДОЛВ с вершинами 0(0; 0:0),
4(1; 1;0) и В(Г; 1; 1).
246
2418.	Написать и проверить формулу Стокса для
интеграла ф (z — у) dx -ф (х — z) dy-j- (у — х) dz, взя-
(С)
того по контуру АДВС с вершинами Л (а; 0;0),
В(0; а;0) и С(0; 0; а).
Указание. Двойной интеграл можно взять по любой поверх-
ности, проходящей через периметр треугольника АВС, например по
плоскости х + у + z = а.
2419.	Написать и проверить формулу Остроград-
ского —Гаусса для интеграла
[х3 cos (n, i)+«/3 cos(n, /) + z3 cos (n, A)] ds,
(S)
взятого по поверхности шара x2 + У2 + z2 = a2-
Указание. Тройной интеграл преобразовать к сферическим ко-
ординатам.
2420.	Написать и проверить формулу Стокса для
интеграла ф х (г — у) dx -ф у (х — z) dy + z (у — х) dz
(С)
по контуру треугольника с вершинами А (а; 0; 0),
В(0; а\ 0) и С(0; 0; а) (см. указание к задаче2418).
2421.	С помощью формулы Остроградского — Гаус-
са вычислить х3 dy dz -ф у3 dx dz -ф z3 dx dy, взятый
(S)
по наружной поверхности пирамиды, образованной
плоскостями x-[-yA-z^=a, х = б, у = 0, 2 = 0.
ГЛАВА 14
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды
1 °. Ряд щ + щ + и3 + ... + ип 4- ... называется сходящим-
ся, если сумма S„ его п первых членов при га->оо стремится к ко-
нечному пределу S: lim Sn = S. Число S называется суммой
П~+<х>
сходящегося ряда. Несходящийся ряд называется расходящимся.
Для сходимости ряда необходимо (но не достаточно), чтобы
ия->0 при п-»-оо.
2°. Интегральный признак сходимости ряда с по-
ложительными убывающими членами:
Если ип = f (п), где f (х) — убывающая функция, и
ОО
г	( А, то ряд сходится,
\ f (х) dx *= 4
J	( оо, то ряд расходится.
3”. Признак Даламбера сходимости ряда с положи-
тельными членами: если
( < 1, то ряд сходится,
«...	I
lim —= г < > 1, то ряд расходится,
Н-4оо Un	j
= 1, то вопрос остается нерешенным.
4°. Сравнение рядов с положительными членами:
и1 + и2 +	+	• • • + ип 4"	  • 1	(О
Vj + t>2 + v3 +	. . . + Vn +	. . .	(2)
1) Если	un	< vn и ряд	(2)	сходится, то	сходится	и	ряд	(1),
2) Если	ип	Vn и ряд	(2)	расходится,	то расходится	и	ряд
(1).
5°, Ряд с чередующимися знаками Ui — «2 +,
+ и3 — ut + ... сходится, если щ > и2 > и3 > ,., и Пт ип = 0.
П->оо
6°. Абсолютная сходимость. Ряд
«I + и2 + «з + . •. + ип + ..,	(3)
сходится, если сходится ряд
| «11 + I «а I + I «з I + < •. + I ип | + .«j (4)
24$
В этом случае ряд (3) называется абсолютно сходящимся. Если
же ряд (3) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) назы-
вается условно (неабсолютно) сходящимся.
Выполняется ли необходимое условие сходимости
ряда:
2422.	| + 4 + 4 + 2+...
2423.	4 + 1 + 4 + 4 + ...
2424.	^+7+27 + зг+--‘
Исследовать по интегральному признаку сходи-
мость ряда:
2425.	1 +Д + 4 + 1+...
2426.	I + -X + -L + -!= + • • .
V4 V7 710
2427.	+	+	...
2428.	j + 12	+	j + 22	+	j + 32	+	•	• •
2429.	j + р	+	1 + 22	+	i +32	+	•	• •
2430.	32 _ j	+	52 _ j	+	72 _ j	+		• •
2431 •	2 In2 2	+	3 In2 3	4 In2 4 + ''	•
Исследовать по признаку Даламбера сходимость
ряда:
2432- 4 + 4 + 4 + -Я-+-"
2433.	1 + £+4 + А+...
2434.	1 + т-т + -ггт+...
2435.	1 + 2 . з “1“ 22 • 5 + ~^7	’
2436.	у + 2.4 + 2.4.6 + 2.4-6-8 + • ’ •
S49
Сравнением с гармоническим рядом или с убы-
вающей прогрессией исследовать сходимость ряда:
2438. 1 4--^+-U-+-U+ ...
V2 V-3 V4 1
2439. 1 + ^--1з4- + ^+...
244»- тк+ет + ет+тгт+---
2441. Методом сравнения рядов показать, что ряд
Т+75" + Т+~х4' + ~1 +'^~ + •' • пРи I х К 1 расходит-
ся, а при |х| > 1 сходится.
Указание. Для сравнения в первом случае заменить хг, х4,
Xе, ... единицами, во втором случае отбросить в знаменателях
единицы.
Найти сумму ряда:
2442-Л + ^з + ;Гт+---
Указание. Разложить ип на элементарные дроби.
2443-	Г4+Т7 + ТТ<Г+"-
Исследовать сходимость ряда:
2444.	1 ------------U + • • 
V2 V3 V4
2445.	1 —+ -дг —	+ • • •
2446,	ЗЛпТ “ TinT + 4 In 4 —	•
2447.	J^ + 2!^ + Jiya + ...
2448.	Показать, что сумма S условно сходящегося
ряда 1 —- у +	— -j- + ••• уменьшится вдвое, если
после каждого положительного члена ряда поместить
два последующих отрицательных, и увеличится в пол-
тора раза, если после каждых двух положительных
членов поместить один отрицательный.
Исследовать сходимость ряда:
2449. 1+^+^+...
250
2450. 1 + 101 + 201 + зо1 + • • •
2451 * 1 + I4 + 1 4-24 + 1 + З4 + • • •
2452.	1 +4 + } + -^+ ...
2453.	1 + -р- + уг + -jQ2 + • •.
2454.	+
2455.	4 + ^ + ^+...
2456. 4 + 4+4+...
2457. 1 --U + Цг- •••
•уз V5
24SS. 1-4+^г-Тг + ---
24S9. 1-4,+^-^+...
Найти сумму ряда:
2460. -рз + "эТУ + 5-7 + • ’ 
246*‘ 1-2-3 + 2-3-4 + 3-4-5 + ' • •
§ 2. Равномерная сходимость функционального ряда
1°. Совокупность значений х, при которых функциональный
ряд
«1 (х) + и2 (х) + ... +un(*)+	(1)
сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Функция S (х) = lim Sn (х) называется его суммой, а раз-
п-»<ю
ность /?„(х) = S(x)—S„(x)—остатком ряда.
2°. Ряд (1) называется равномерно сходящимся на отрезке [а,
Ь], если для всякого е > 0 можно найти такой номер N, что при
п > N и любом х на отрезке [а, &] будет выполнено неравенство
|Я„(х) | < е.
3°. Признак равномерной сходимости. Ряд (1)
сходится абсолютно и равномерно на отрезке [а, Ь], если суще-
ствует числовой сходящийся ряд с положительными членами
Ct + с2 + с3 + ... + сп + ...
такой, что |ип(х) | сп при а < х Ь.
851
2462.	Определить при |х|< 1 сумму и остаток
ряда 1 у- + х2 + х3 + ... и показать, что он схо-
дится равномерно на отрезке [0, 1/2]. При каком п
остаток |/?и(х) | < 0,001 для любого х на этом от-
резке?
2463.	Показать, что ряд
X + X (1 — х) + X (1 — х)2 + X (1 — х)3 + ...
сходится неравномерно на отрезке [0, 1] и равно-
мерно на отрезке [1/2,1]. При каком п остаток
]/?л(х) | < 0,01 для любого х на отрезке [1/2, 1]?
2464.	Показать, что ряд ----------------"*
сходится равномерно на отрезке [0,1]. При каких а
и любом х на этом отрезке | Rn (х) | < 0,1?
2465.	Показать, что ряд х3 + 44	+ ^4--^ + ...
сходится неравномерно при х > 0 и равномерно при
х^ 1. При каком п остаток |У?Я|< 0,001 для любого
х^ 1?
2466.	Показать, что ряд	Ч---т- +
1 V1 + х Зд/1 +3х
+ 3.;'+5Т+3-v'+7> + • • сюдится равномер“°
в интервале 0 х < оо. При каком п (и любом неот-
рицательном х) остаток ряда |/?п(х) |-< 0,01?
Указание. Сравнить данный ряд с числовым сходящимся
рядом.
2467.	Показать, что ряд	р——724.-4 +724 9 —
1
— ^24'16' + • • • сходится равномерно на всей число-
вой оси. При каком п (и любом х) остаток ряда
I Rn (х) |< 0,0001?
2468.	Показать, что ряд х	(х 4. i/(x 4.2)+
+ (х 4.2)\х + 3) + • ” СХ°ДИТСЯ равномерно к у в
интервале 0<х<оо. При каком п (и любом х>0)
остаток ряда | Rn (х) | < 0,1 ?
252
2469.	Показать, что ряд —— Ч—д/, п~~Ь
у 1 + X д/22 4- 2х
4- —^====-+	4 + • • • сходится равномерно в
интервале 0^х<оо. При каком п остаток ряда
|/?я(х) | < 0,01?
§ 3. Степенные ряды
Пусть дан степенной ряд
ао + aix + агХ2 + ••• + ctnxn 4* •••	(О
Число R называется радиусом сходимости ряда (1), если при
|х| <R ряд. сходится, а при |х| > R — расходится, R можно
найти или исследованием абсолютной сходимости ряда (1) по
признаку Даламбера, или, когда все ai отличны от нуля, по фор-

муле R = lim
П->ОО
В частности, если этот предел равен оо,
то ряд (1) абсолютно сходится на всей оси Ох.
Степенной ряд сходится не только абсолютно, но и равно-
мерно на любом отрезке [а, 6], лежащем внутри интервала схо-
димости (—R, R).
Определить интервал сходимости ряда и исследо-
вать его сходимость на границах интервала:
у	у 2	уЗ
2470. 1 +^ + ^+^+...
2471. 1 -	X	х3	- xS 4-
	5 V2	52 Уз	53 д/4 '
2472. 1 Ч	2х з2 Уз		4х2 52 У З2"	ч- —+... 72 ViF
ОО 2473. £ П=1	«2. п!	ОО 2474. У П=1	(-хУ-1 п
2475. У
V(3n - 2) Чп
п=1
2476. 1)	Zli-prnyr.
2477. (.v+l)+<i±i + fc^-+<^+ ...
„л-то 2х - 3	(2х — 3)2 , (2х — З)3
t	з -+	5
253
Определить интервал сходимости ряда и найти его
сумму:
2479. 1 4- 2х + Зх2 + 4х3 + ...
;• Указание. Для нахождения суммы S найти сначала j Sdx.
о
4/3	4/5	уТ
2480.
V	„ ..	dS
Указание. Наити сначала ——.
dx
2481. 1 + Зх + 5х2 4- 7х3 + ...
Указание. Обозначив сумму ряда через S, составить выраже-
ние S — Sx в виде суммируемого ряда.
2432. 1 + 4* + г4£тл-12+"("ТГ.з"~2>х1+-• •
S' S'x
Указание. Показать, что	-j—— = S, и решить это диф-
ференциальное уравнение.
Определить интервал сходимости ряда и исследо-
вать его сходимость на границах интервала:
2433- ‘ + ^т + ^+у&+-
4*2	у 4	 ув
24М-1-Т^ + '5муГ-^77г+--
ОО	00	Q
2435.	2485. £(-.)-£4г.
п=!	п=»1
94R7 к -4- (х ~ 1)2 4- (х ~ 93 I
2487. -pyj- 4- 3.22 4- 5.2-Г- +  • •
2488. 2£+1+ +
Определить интервал сходимости ряда и найти его
сумму:
2489. 1 —Зх24-5х4 —7х64- ...
X
Указание. Для нахождения суммы S найти сначала ^Sdx.
oJ
254
2490. Х + 4+4- + •••'
d 5
Указание. Найти сначала —-— .
dx
2491. 1 -4х + 7х2- 10х3+ . .7
Указание. Составить выражение 5 4- Sx.
§ 4. Ряды Тейлора и Маклорена
1°. Формула Маклорена:
/« = /(0)+-Ц^х+М-.г2+ ... W, (1)
у-П
где Rn(x) = ^-/«’(0х), О<0< 1.
2°. Формула Тейлора:
/« = /(«) +^-{х-а) +-^М(х-а)2+... + Я,1(х), (2)
где /?„ (х) = (х~а)П fw [а + 0 (х - а)].
3°. Ряды Маклорена и Тейлора. Если в формулах
(1) и (2) Rn(x) ->0 при л->оо, то из этих формул получаются
бесконечные ряды:
f(x) = f(O) +ГВ-х + М-х2+ ....	(3)
f(x) = f(a) +^fi-(x-a) +1^-(х-а)*+ .... (4)
сходящиеся к f(x) при тех значениях х, при которых
lim 7?п (х) = 0.
П->оо
4°. Разложение в ряды элементарных функ-
ций:
хз	сходятся к соответствую-
sin х = х --гр +	---...,	щей функции при всех
d' 1	значениях х;
,, .	, т , т (т — 1) , ,	,
(1 + х)т = 1 + — х J-----~ х2 4- ••• — биномиальный ряд{
он сходится к биному (1 4- х)т при | х | < 1(
In (1 4- х) = х--—h——... сходится к In (1 4- х) при — 1<х<1|
х^
arctg х = х---5- 4- -----сходится к arctg х при | х | <11.
О и
255
2492.	Разложить в ряд по степеням х функции:
1) cos (я — а); 2) sin2x; 3) хех\ 4) sin(mx + —и
написать и исследовать формулу остаточного члена.
2493.	Написать первые три члена разложения в
ряд функции f (х) = In (1 + ekx).
2494.	По формуле Маклорена написать разложе-
ние в ряд по степеням х бинома I 1 +— I и пока-
зать, что полученный ряд сходится при ]х| < а.
2495.	С помощью биномиального ряда показать,
что при | х | < 1
1 —Зх + 6х2— 1Ох3-}- • • • = £	х)«- ’.
п=1
2496.	С помощью биномиального ряда получить
разложение в ряд функции
1	,	1о. 1*3 л	1 • 3 • 5 й .
= 1----X2 4-------X4---------X6 + ... ПрИ
Vl + x2	2	22 • 2!	23-3!
|Х|< 1.
2497.	Разложить в ряд по степеням х функции:
1) In-* +* ; 2) In (2 — Зх + х2); 3) In (1 — х + х2).
2498.	Интегрированием полученного в задаче
2496 ряда написать ряд для In (х -f- д/4 + %2)-
2499.	Разложить ех,а в ряд по степеням х — сг,
написать и исследовать формулу остаточного члена
ряда.
2500.	Разложить функцию Дх) = х3— Зх по сте-
пеням х — 1.
2501.	Разложить х4 по степеням х 4- 1.
2502.	Разложить в ряд по степеням х + 2 функ-
цию /(х)=-^- и исследовать сходимость ряда по
признаку Даламбера.
2503.	Разложить в ряды функции: 1) f (х) =
«= cos у по степеням х— у; 2) f (х) = sin Зх по
степеням х + -х ,
О
253
2504.	Разложить в ряд по степеням х 4- 1 функ-
цию f(x) = -^x и исследовать по признаку Далам-
бера сходимость полученного ряда.
2505.	Разложить в ряд по степеням х функции:
(Л \
тх + jj и написать и исследовать фор-
мулы остаточных членов разложения.
2506.	Разложить функцию f(x) = xi— 4х2 по сте-
пеням х + 2.
2507.	Разложить в ряд по степеням х — -у функ-
цию f(x) = cos2 л; и написать и исследовать формулу
остаточного члена ряда.
2508.	Разложить в ряд по степеням х—1 функ-
цию f (х) = sin
2509.	Разложить в ряд по степеням х — 4 функ-
цию f(x) = '\/x и исследовать по признаку Даламбера
сходимость полученного ряда.
2510.	С помощью биномиального ряда показать,
1	. , 1 о ,	1-3	4 . 1 -3-5 я .
что .   =14— х2 4----------х4 4------Xе 4- ...
Vi — х2 2	22 • 21	23 • 3!
При | X I < 1 .
2511.	Почленным интегрированием ряда, получен-
ного в задаче 2510, написать ряд для arcsin х.
§ 5. Приложения рядов к приближенным вычислениям
2512.	Написать биномиальный ряд дляд/14-* и
вычислить д/1’004. ^/0,992> д/90, ограничившись дву-
мя членами ряда. Оценить погрешность.
2513.	Написать биномиальный ряд для $ 1 4- X
и вычислить -^1,006- ч/0,991> 4/130, ограничившись
двумя членами ряда. Оценить погрешность.
2514.	Вычислить sin 12°, ограничившись двумя чле-
нами ряда для sinx, и оценить погрешность.
Указание, х — 12°, в радианах х = л/15 = 0,2094. Верхнюю
границу погрешности определить из условия х < 0,3.
2515.	Делением числителя дроби J 2- на ее зпа-
I “т' X
оо
менатель получить разложение —	(— 1)'2-|Х
П=1
9 В. П. Минорский	257
Xx2rt-2 и, проинтегрировав почленно полученный ряд,
написать разложение в ряд arctg х.
2516.	Полагая х = —в разложении arctg х —
(— 1)п-1 х2"-1
= >------2п — 1---’ П0ЛУЧ11ТЬ РЯД Для вычисления л:
71=1
(2п - 1) З^1
П=1
2517.	Вычислить л, взяв пять членов ряда за-
дачи 2516.
2518.	С помощью полученного в задаче 2497 ряда:
, 1 + х п г . х3 , Xs ,	1
вычислить In 2, In 3, In 4, In 6.
1 4- x
Указание. Положив ----= 2, найти х и т. д.
1 — х
2519. Определить в виде рядов интегралы
f sin х , f ех ,
\-----dx и \ — ах.
J X	J X
2520, Определить в виде ряда функцию Ф(х) =
X
= е-*2 dx и вычислить Ф (1/3), взяв столько членов,
о
сколько нужно для того, чтобы погрешность была
меньше 0.001.
2521.	Определить в виде ряда функцию Ф(х) =
X
= У1 + х2 dx и вычислить Ф(1/5), взяв столько
о
членов, сколько нужно для того, чтобы погрешность
была меньше 0,00001.
2522.	Найти в виде ряда решение уравнения i/"=x2y
с начальными условиями: при х = 0 у= 1, у' = 1.
2523.	Найти первые четыре члена ряда, опреде-
ляющего решение уравнения (Риккати) у’ = 1-|-х—
— у2 с начальными условиями: у = 1 при х = 0.
2524.	Написать в виде ряда решение уравнения
Бесселя ху" + у’ + ху = 0 с начальными условиями:
у = 1, у' = 0 при х — 0.
258
2525.	Вычислить д/1,0С5> -^1,0012, -^0,993, -v^0,997>
д/Пи, -а/70, д/40, ограничившись двумя членами
биномиального ряда (1-фх) = 1-\-тх-\---------(-• • •>
и оценить погрешность.
2526.	Вычислить cos 12°, ограничившись двумя чле-
нами разложения в ряд cos х. Оценить погрешность.
2527.	Полагая в разложении в ряд arcsin х (за-
дача 2511) х— 1/2, вычислить л, ограничиваясь тремя
членами ряда.
Указание. Сначала вычислить первый из отброшенных чле-
нов, а затем выразить десятичной дробью каждый из первых трех
членов с погрешностью не больше первого отброшенного члена.
2528.	Пользуясь тождеством -j = arclg + arctg
написать выражение для л через сумму двух беско-
нечных рядов.
2529.	Полагая x = \/N в разложении ln(l -f-xj
в ряд, получить формулы:
]) 1п(у+]) = 1п^ + [±_
2)	IgGV+1)=lgyV+0,4343 [ j -IhJL, - ..
2530.	Зная 1п2 = 0,6931, вычислить 1п5 и In 10 и
показать, что модуль М — [п'1О	0,4343.
2531.	Вычислить 1g 101 и 1g 102.
2532.	Определить в виде ряда длину дуги эллипса.
0,5
2533.	Вычислить	хй dx, взяв столько чле-
6
нов ряда, сколько нужно для того, чтобы погрешность
была меньше 0,001.
2534.	Определить в виде ряда функцию Ф (х) =
С хг ,	,т. /1 \
= \ COS — dx И ВЫЧИСЛИТЬ Ф!-^] с точностью до
о
0,000001.
2535.	Написать первые три члена ряда, определяю-
щие решение уравнения у' = х2 + у2, удовлетворяю-
щее условию: у = 0 при х — 0.
9*
25S
2536.	Написать в виде ряда решение уравнения
у"ху = О с начальными условиями: при х = О
У — 1, у' = 0.
2537.	Написать в виде рядов уравнения переход-
ной кривой, вдоль которой кривизна k нарастает про-
порционально длине дуги 5.
Указание. Из условия	гДе С—постоянная, найти
<р и затем решить уравнения dx = ds cos <р и dy = ds sin (p.
§ 6. Ряд Тейлора для функции двух переменных
Формулу Тейлора для функции двух переменных можно на-
писать в трех следующих видах:
F (х + h, у + Z) = F (х, у) 4-
+тг f i [‘ж+ 'f •
(I)
F(x, y) = F(a, b) + ±[(x-a)-^ + (y-b)-^F(a, b) +
+ + ^]Ifw+ <n>
2538.	Написать разложение функции F(x-±-h,
у + l) по формуле Тейлора (I), если F(x, у) = х2 +
+ ХУ + У2-
2539.	Разложить функцию F(x, у) = х3 -f- 2ху2 по
степеням х—1 и у — 2 [формула (II)].
2540.	Разложить функцию F(x, у) = 1п(х— у) по
степеням х и у1, написав члены 1-го и 2-го поряд-
ков и остаточный член [формула (II)].
2541.	Разложить функцию F(x, у) = sin(/nx + пу)
по степеням хну, написав члены 1-го, 2-го и 3-го по-
рядков и остаточный член [формула (II) при а —
= 6 = 0].
2542.	Разложить по степеням х и у функцию
е~х ~у [формула (II) при а = b = 0].
2543.	Определить приращение Дг функции z =
= х2 — ху^-у2 [формула (III)] и вычислить его при
условии, что х изменяется с 2 до 2,1, а у изменяется
с 3 до 2,8,
260
2544.	Определить приращение Az функции z —
— cos (ах — by), написав два члена формулы (III) и
остаточный член. 
2545.	Функцию F(x, у) = х2у разложить по степе-
ням х—1иу+1 [формула (П)].
2546.	Функцию F (х, у) = arctg ~ разложить по
степеням х—1 и у, ограничившись членами 1-го и
2-го порядков.
2547.	Разложить функцию z = ух по степеням
х— 2 и у—1, написав члены 1-го и 2-го порядков, и
вычислить 1,12- *.
2548.	Определить приращение Az для функции
z = х2у— у2 и вычислить его с точностью до 0,0001
при условии, что х изменяется от 2 до 1,99, ay — от
5 до 5,02.
§ 7.	Ряд Фурье. Интеграл Фурье
1°. Определение. Функция f(х) называется удовлетво-
ряющей условиям Дирихле на отрезке [а, Ь], если она на этом
отрезке:
1)	имеет конечное число разрывов, причем все они первого
рода;
2)	имеет конечное число экстремумов;
3)	f (х) = 2—в0 всех точках (а, 6).
2°. Функция f (х), удовлетворяющая условиям Дирихле на
отрезке [—I, I], может быть определена во всех точках этого от-
резка рядом Фурье-.
ОО
, , . До . V' Г ППХ t L • ППХ 1
f (*) =	, [an cos —I-h Sin —J j, (11
ГДе	I	I
o-n = j- {f(x)cos-^~dx-, bn = ±- f (x) sin —y— dx. (2)
-l	-I
Если f(x) = f(—x), t. e. f(x) — функция четная, то b„ = 0 и
ОО
, . х aQ , V’ плх
f м=— + 2_, а«cos ~т~-	(3)
/г = 1
Если f(x) = —f(—х), т. е. f(x) —функция нечетная, то ап = 0 п
. . . V , . плх	...
= bn Sln ~Т~’	(4)
П=1
261
Если функцию f(x), определенную рядом (1) на отрезке f—I,
/], продолжить по периодическому закону с периодом 21, потрс-
бовав, чтобы 1(1) —---------£--------> т0 она будет опреде-
ляться рядом (1) и на всем своем продолжении.
3°. Если функция f (х) абсолютно интегрируема в промежутке
/	+ °°	\
(—оо, оо) | т е. j | f (х) | dx сходится 1 и удовлетворяет уело-
\	—ОО	J
виям Дирихле на всяком конечном отрезке, то она может быть
представлена интегралом Фурье:
4-оо 4- «о
f (х) = j da f (/) cos а (х — Г) dt =
О	-г оо
— оо
= [а (а) cos ах + 6 (а) sin ах] da, (5)
о
где
4-оо	4-оо
а (а) = — \ f (/) cos а/ dt и Ъ (а) = — \ f (?) sin at dt. (6)
л J	л J
— оо	—оо
Разложить в ряды Фурье следующие периодиче-
ские функции с периодом 2л:
2549.	f(x)=\ при 0 < х < л и f(—x') = —f(x).
С помощью полученного ряда показать, что
.____1_ । _1_1_.	____л
1	З'Т	7"г----------7 '
2550.	f(x) = x при 0 х С л и f (—х) = f (х). С по-
мощью полученного ряда показать, что
1iJL_l._L_l._Li _ 1x2
1 + 32 “Г 52 + 72	• • • — 8 •
2551.	f(x) = x2 при —л х л. С помощью по-
лученного ряда показать, что
1) 1 --^ + 4--^+ ... =4;
2) 1 + 4‘ + 7г + 4’+-‘,=Т'-
( л при — л < х < О,
2552. f(x) = {	Л _	_
(л — х при О^х^л.
Разложить в ряд Фурье периодические функции
с периодом 2/;
262
2553. f (x) = 1 при 0 < x < l и f(—x) = — f (x).
2554. f(x) = 1—x при	f(—x)—f(x),
1=1.
2555. /(*)==
О при — I < x 0,
x при 0 x < I.
2556. fix) в области (0,2] задана графиком
(рис. 35) и продолжена: 1) по четному; 2) по нечет-
ному периодическому зако-
ну с периодом 21 = 4. Раз-
ложить каждую из этих
функций в ряд Фурьр.
2557. Распространение
тепла в стержне длиной I
определяется уравнением
1 ди д2и	.	.
= где
температура, и условиями
1) граничными: и — 0 при х = 0 и при х = /;
( х при х < 1/2,
2) начальными: и = \ ,	,,п при t = 0.
’	(1 — х при х>1/2
Определить методом Фурье функцию u{x,t).
2553. Продольные колебания стержня длиной I,
у которого один конец (при х = 0) заделан, а другой
(при х = /) свободен,
определяются уравнением
1 д2и д2и	, л
продольное смещение, и
условиями
1) граничными: и = 0
„ ди г,
при х = 0;-^- = 0 при
х = /;
2) начальными: и = /(х),	— 0 при / = 0.
Определить методом Фурье функцию u(x,t).
2559. Поперечные колебания стержня длиною I,
опертого в обоих концах, определяются уравнением
1 д2и . д*и _
a2 dt2 дх4
и условиями
д2и
1) граничными: и = 0 и-^2 =0 при х = 0 и х = 1\
263
2) начальными: и — f (х) и = 0 при / = 0.
Определить методом Фурье функцию и(х, t).
В задачах 2560—2562 написать интеграл Фурье для
функции:
2560.
( 1 при 0 <
'Моори
X < 1,
X > 1
и f(- х) = - f (х).
2561. f(x) = e~$x при и f (— х) = f (х).
25S2. f(x), заданной на отрезке [—2; 2] графиком
на рис. 36 и равной нулю вне этого отрезка.
Разложить в ряды Фурье функции:
2563. / (х) = я 2 х при 0<х^л,
f(— x) = f(x), f (х + 2л) = f (х).
2564. f (x) = | sin x |; с помощью полученного ряда
показать, что -L. +	+	+ ... = 1.
2565. f (х)=
х при 0 х л/2,
л—х при л/2 х л
и/(—х)=—Дх).
2566.	f (х) = х при 0 х I,
f(-x) = f(x), Дх + 2/) = /(х).
( 1 при — 1	х < 0,
2567.	f (х) = { п .	. , и f (х + 2) = f (х).
( х при 0 < х 1
2568.	f(x) = ex при —/<х</ и f(х + 2/) = f(х).
2569.	Методом Фурье решить уравнение = О
при условиях:
1) м = 0 при х = 0,	== 0 при х==л;
2) и = / (х) и = 0 при / = 0.
2570. Написать интеграл Фурье для функции
( 1 при — 1 < X < 1,
/ W — |о при | х | > 1.
ОТВЕТЫ
1. АВ = 9, ВС = -6, АС = 3, 9 - 6 = 3. 3. 5 (2 4- д/2). 90°,
45°.	5. 20.	6. 5 л[2. 7. (5; 5), (5;	—3). 8. В (0; 2)	и В (0; —4).
9. х	= а ±	д/с2 — ft2; при с > | Ь |	две точки, при с = \ Ь\ одна,
при	с < I b	| ни одной. 10. М (5; 0). 11. Центр (1;	—1), Р = 5.
12.	прх АВ = — 2, пр(/ЛВ = —4,	| ЛВ [ = 2 д/б".	13. В (5; 8),
|4В| = Зд/Г. 14. В (4; -3). 15. -4; 1; 3. 16. 18 д/f. 17. (0; 2,9).
18. В(4;0), В,(-8;0). 19. Центр (2; -1), /? = 5. 21. X = 7.
У = —1; 5 д/F. 22. М(1; 4). 23. М (13; 16). 24. х = ?1%1 + W2*2.
mi + m2
26. В 26 см от центра шара массой 100 г. 27. (1; 2,5)
29. ОС = 5, OD = 24 ^'2~-. 30. (3; 3). 31.9.33.18. 34. (1; 3),
если силы направлены в одну сторону, и (26; 27), если в разные
стороны. 35. (1; -1). 36. -12-^-. 87. х =*2 + *2 ,
У1.+.УХ±У2.. 38. 0L 39. С1(3; 0), Са(—7; 0).
40. М (2; -6), W (5; 8), Р (-4; 1), k = 7/3. 42. х2 + у2 - 6х -
— 8у = 0, А и О лежат на окружности.	43.	х — у — 2 = 0,
D и Е лежат на линии. 45. х2 + у2 = 8.	46. у = ± х.
47.	+ у2 = 1. 48. у =	— х + 2. 49. у = ± 2х. 51. (1; 0).
(3; 0), (0; 3). 53. у2 = 8 (х — 2). 54. 2х — у + 5 = 0. Точки В
№
и D лежат на линии. 55. х2 + у2 = 4.	57. (/ = -^-4-1.
58. д/(х + 2)2 4- (у 4- 2)2 — д/(х — 2)4 + (у — 2)2 = 4 или ху = 2;
при х = ± 1/2, ±1, ±2, ±4, у = ± 4, ±2, ±1, ± 1/2; по этим
точкам можно постооить кривую. 59. у = х 4- 3, у = — х 4- 3.
60. у = х Уз" — 3, у = — х д/3 — 3. 62. у = —1,5х.
63. 1)й = 2/3, 6--2; 2) fe=— 2/3, ft »= 0; 3) k = 0,
ft = -3; 4) k = -3/4, ft » 3. 65. k = 1, ft = 1, j = x+ 1.
265
66. 1) з + _2	1;	2) _,[/з + 2	67‘
4х — Зу = 0; у = 4; 4х — Зу + 12 = 0.	68. — — ~ = 1 или
Z о
“Т + ^ = 1-	69. пр^ ЛВ = 8, пр^ЛВ = 6, |ЛВ| = 10.
70. А и С — на прямой, В —«выше», a D — «ниже» прямой.
71. Неравенства определяют: 1) все точки, лежащие «выше»
прямой у = Зх + 1 (полуплоскость); 2) все точки, лежащие
«ниже» прямой у = Зх 4- 1; 3) все точки, лежащие «выше» пря-
мой у — 4 — 2х и на самой прямой; 4) точки, лежащие «ниже»
прямой у = 4 — 2х. 73. х — у = ± а. 74. Через t секунд коорди-
наты точки М будут х = а 4- mt, у = b 4- nt. Исключив t, полу-
х — а у — b __
чим уравнение траектории: ——— = —-—. 75. 1) у = х V3 — 2;
2) у = — х д/з — 2.	76. k = 1, b = 5.	77. х 4- у — 4 = 0,
х-у + 4 = 0; у = 3, у = 0.73.	± 4 = ±1- 79‘ 4 + v=1
О О	4 о
и +-^6=1.	80. у = ±2(х4-3).	81. АВ = 475,
___	__ з
прОх АВ = 4, прси,ЛВ = 8. 82. 1) arctg —; 2) 45°; 3) 45°; 4) 0°;
5) 90°; 6) arctg •	86. 5х 4- 2у 4- 4 = 0; 5х 4- 2у = 25.
88. х — Зу 4- 2 = 0, 5х — у = 4, Зх 4- у = 12. 89. 28°, 12°30' и
139°30'.	90. у = Зх и у = — — х. 91. х — 5у 4- 6 = 0,
5х 4- у = —4. 92. у = 2х — 6, у = —2х 4- 6. 93. (3; —1), (3, 3),
(-9/5; 3/5); 45°, 71°34', 63°26'. 94. (5/2; 5/2). 95. АЕ: 2х — 5у =
= —4, AD-.x — 2у= —2; 729. 96. А = 18°26', В=26°34', С=135'.
97. х4-2у—11=0. 98. tsA = 4!3, tg В = tg С = 2; S = 16.
99. (1; -1), (8/3; -2). 100. 2х 4- у = -4, 2х - у = -4,
2x4- у = 4. 103. 2,8; 0; 1,4. 105. V13/2. 106. k = ±2. 107. Две
прямые, параллельные данной: 4х — Зу ± 20 = 0.
108. 8х—15у4-6 = 0, 8х — 15г/= 130. 109. х — у = 0 и
х 4- у — 4 = 0. ПО. Зх — у = 12 и х 4- Зу = 4. 111, х 4- у = 2
или 4х 4- У — 8 = 0. 112. 31х + 26у = —21. ИЗ. х 4- Зу = 2.
114. V10. 115. Зх — 4у 4- 10 = 0; х = 2. 116. h = 18/734.
117. Прямые: х 4- у = 0 и х — Зу = 0; расстояния: rfi=2V2,
d2 = 0,4V10.	118. Пара прямых: х 4-2у = 0 и х 4-2г/= 10.
П9.х4-Зу = 0 и Зх 4-У = 0. 120. 11х 4-22у = 74. 121. у =
= — х/2 и у = —Зх/2. 122. х 4- 2у = 4. 123. у = 0, 2х 4- Зу = —4;
266
У = — 4, Чх 4- Зг/ = 0; х + Чу = —2; у = — х, tg а =	.
124. 18°26', 108°27'; Зд = 262/3. 125. а2/5. 12-3. А = Зэ°52',
В = 127°52'.	127. 4(7’10-1-75’); 20.	128. Чх - у + 6 = 0,
х — Ау = 4, Чх — Зу + 2 = 0.	129. у = х -|- 2, х — 5у = 6,
у = — х, Чу = х. 130. 710. 131. Точка движется по сторонам
квадрата, ограниченного прямыми х — Зу — ± 5, Зх + у = ± 5.
133. hi = /г2 = 6/75". 134. (3/5; 19/5), (—9/5; 17/5). 135. (4; 5).
136. (О; 2), (4; 0), (2; 4), (—2; 6).	137. у — х = 4, х + 2г/ = !,
2х + «/ = 8. 138. В (2; 1), С(-1; -5). 139. у = Чх + 6; 12/75;
Z.DAB 53°. 140. х2 4- //24-8х—Зу — 0; А и О — на окружност::.
В — вне ее. 141. х2 + у2 + 4х — бу = 0. 143. (0; 0), (—2,5; 2,5),
144.	(х — 1)2+ (у — I)2 = 1	или	(х - 5)2 + (у — 5)2 = 25
145.	tg а = —2,4, а=112°37'	146.	(х + 4)2 + (у + I)2 = 25.
147.	х2 + у2 — Зу = 0. 149. у =	4х/3 и	у	= 0. 150. у2 = х (а — х).
151.	(х—3)2+г/2=9. 152. х2+(.У	— уУ	= -^-- 153. х2+у2 = а2.
154. х2 + у2 = ах. 155. х2 + У2 — бу — 9 = 0. 156. 1) (3; —2),
В = 6; 2) (-5/2; 7/2), Я = 4; 3) (0; -7/2), R = 7/2.
157. х2 + у2 + Ау = 0;	(0;	0),	(2;	-2),	(-2;	-2).
158. х2 + у2 + ах + ау = 0. 159. у = 0, 15х + 8у = 0. 160. 90’.
161. х + У = 3. 162. х2 + У2 + ах = 0. 163. (х - 2)2 + у2 = 16.
164. х2 + у2 = Чах. 165. а = 4, 6=2, с = 2 7з’, е = ^/з 12.
у2	»i2	у2
166. 1) -^- + А-=1; 2) —+ -^ = 1. 167. 6 = 1,4; 3; 41
4,8; 5; е = 0,96; 0,8; 0,6; 0,28; 0. 168. а = 150 млн. км, е = 1/69.
169. 2j-+Jj-=l, 8 = ^-, г = 4-7з, Л = 4 + 7з.
170. ~^-4~=1, Г=Н. П = 5. 171. 473. 172. 7М.
173. (2/7; ±4 а/з/7). 174. (-15/4; ± ТбЗ/4). 175.	+ -у= Ь
176.
179.
I/2 _ .
4 "Г 3
х2 . У2 _ ,
9^5
иди
«.2
178. —+^- = 1
а2 о2
х2 и2
— + — = 1.
5^9
х3
ИЛИ ууН-
1М-	9
//z
а2
е = 73 /2, г = 3, Г! = 9. 181. 72 (а2 + 62). 182. (± 4 а/ч/3- 1/3)
и (0; -1). 183. (-5; 7). 184. (± 715; ±1). 185. х2 + Ау2 = 13.
186.	= 1. 187. е = 7б”/2, 53°08'. 188. г = 1, г, = 9.
267
у2 «»2
2 л/Т и бУз. 191. -tV--tt=1.	192. х2-у2 = а2.
1о У
193.	(О; ± а У2); 90°. 194. у + 2 = ± х. 195. 6; 2 arctg•
196.		; b > а. 197. 1) е = 2;	2) е = sec а.
У&2 - а2
198. у С-3, у<~\х\. 139. -^---^-= !. 200. х2-^- = 1
г 2	у«2
(при х > 0).	201. х1 — у2 = а2.	202.	----^-=1.
2°з- 4-v=i (или 4-4=-1)- 2°4- (°-0) и
(6; ± 2 Уз').	205. у = ± 4(х + 5).	206.' (—9,6; ±3 УТ19/5).
207. (± Уб"; ± V2). 208. (-4; 3) и (-4/7; -3/7).
у2 «»2	f,2
”> 76-JS-1- 2'0' 7-33-'
211. у = 3-^-.	212. у2 = 8 (х + 2).	214.	1) у2 = 9х;
2) у = — х2.	215. у = ~х2.	216. (х - -02 + У2 = Р2-,
±р). 217. у = --у-.	218. (3; ±3 УТ). 219. 40 см.
221. у2 = рх. 222. у2 = 4ах и у = 0.	224. у2 = 8 (2 — х).
225. у = х~4-; Oi(2; 1). 226. 1) у2 =-4х; 2) у = х2.
227. у2 = —Зх. 228. (0; 0), (б; ±2 УГ). 229. х = 0, х + у + 2=0.
230. у = — Уз (х + 1); 16/3. 231. г = 7,4, d = 9,25. 232. Дирек-
*•2
триса х = ±3,2; е = 1,25, г = 10,25, d = 8,2. 233. — + у2 = 1.
234. х2 — у2 = 12.	235. Сопряженный диаметр у = — —•
a1 = 6j = yi0. 236. Сопряженный диаметр 4у + х = 0; 81°,
237. Уравнение диаметра у = х, его длина У2 (а2 + Ь2).
238. у = 1,5х.	239. у = 2.	240. 8х — 9у + 25 = 0.
241. у = 2х + 3. 243. 1) х ± 2 Уз у = 8; 2) 2х ± у = 1;
3) х ± 2у = —2. 245. х—у = ±5. 246. у = ±2х + 6. 247. х + у=
= Уа2+62.	249. у = 2у±4У2-	250. Уравнение нормали
MN: а2уцХ — 62х0у = с2х0у0. Положим у = 0, найдем абсциссу
точки N пересечения нормали MN с осью Ox: Xj = е2х0. Тогда
f/V = с — е2х0 = er, FtN = с + s2x0 = srt, т. е. нормаль AW
делит FFi в отношении г: и и поэтому есть биссектриса.
268
252.	Нормаль к параболе у2 — 2рх имеет уравнение уйх + ру —
= У о (Р + -±). Положив у = 0, найдем xt — р 4- ха, FM=^
= х, -	+ ха = FM, т. е. ZFMiV = ZFNM.
253.	(±3,2; ±2,4). 254. Диаметры у = х и у = — х/4; угол 59°02'.
255.	у = х/4.	256. 4х — у = 6.	257. arctg 3 як 71°31'.
ч
259.	х ± у ± 2 = 0. 260. 1) 01 (I; 2); 2) tg <р =	261. 5) X2 ±
±4У2 = 16; 6) Y2 = 4Х; 7) X2 — 4У2 = 4; 8) У = А'2/2. 262. 1) Л2±
+4У2 = 16; 2) X2 — 4У2 = 16. 263. X2 — У2 = 8. 264. 1) XY = 6;
2) XY = — 6; 3) ХУ = 4; 4) ХУ = —6. 268. Уравнение струи:
у = 16 (х — х2); у = 3 м при х = 0,75 м. 269. у = Ь (у —	.
270. х2 + у2 + 4х = 0. 271. 1) 45°; 2) arctg 2. 272. у = х tg <р —
------------. 273. у2 = 24х + Зх2 (гипербола). 275. 1) Эллипс!
2^5 cos ф
X2 У2
2) гипербола. 276. 1) — + — = 1, Oi (3; -1); 2) X2 - У2 = 9;
3) У2 = 2 Л'; 4) X2 = 4Y. 277. X2 + 2У2 = 4. Фокусы в старой
системе (1; 1) и (—1; —1). 278. (х + 1)2 + у2 = 4. 279. (х — 3)2 +
+ (у — З)2 = 2.	280. х + Зу + 0.	281. у2 = 4 (х + 4).
283.	~-2-^- +	= 1. 284. х2 + у2 - ах - by = 0. 285. ^5.
CL	О?
286.	Основание АВ = 2а, высота OD = —— , площадь —.
V5	-V5
287.	За начало примем точку О, делящую АВ в отношении
АО : ОВ — т, а за ось Ох — прямую ОВ; пусть ОВ = а, тогда
координаты точек А и В будут: А (— та; 0), В (а; 0). Уравнение
искомой линии: (т—1) х2 + (т—\)у2 = 2тах; при т=£1
окружность: х2 ± у2 = —----р х; при т = 1 прямая: х = 0.
288.	Точку О примем за начало, а ОВ за ось Ох. Уравнение
искомой линии: (а — Ь) (х2 + у2) = 2аЬх; при а=А=Ь окружность:
х2 + у2 = 2а^ х; при а = b прямая: х = 0. 289. 2 (й2х2 + у2) =
а — b
==а2(й2+1); эллипс при fe=/=l, окружность х2 + У2 = а2
при fe = l. 290. -х2 +-.9 - + -v = 0-	291. За2д/з.
г	25	9
292.	arctg «36°52'. 293. (± а; ± а). 294. А (Уб; 0),
В (2; -2), С (-2 V2; V2); пл. Д АВС = д/2 + л/з + д/б.
296. 2 V2; у = х - 2. 297. 2 +2^ . 298. (х -
269
299. ax — by + a2 + b2 — 0; d = —4-—— 300. Вычитая урав
Va2 4- b2
нения почленно, получим 4 (у — х) = (у + х) (у — х), отсюда:
1) у — х; 2) х + у — 4; следовательно, точки пересечения пара-
бол лежат на прямой у = х или на прямой х + у = 4; найдем
X! = 2; х2 = —6; длина хорды 8 д/2- 301. 30. 302. х2 + у2 =
(х____________________2)2
= а(х-\-у). 303. 2---—д—у2 = 1 [эллипс с центром (2; 0)].
304. ху = 4. 305. у = —-6* + 25. 306. X2 - Y2 = 4; О, (2; -3).
О
fx__2 5)2	t/2
307.	-—	----= 1 [гипербола с центром (2,5; 0)].
308.	Пусть М (х; у) — точка эллипса. Тогда FM + FiM = AF 4*
4-Л/7! или V(x — а)2 + (у — a)2 + V(* + а)2 + (р + а)2 = 4а;
Зх2 — 2ху + Зу2 = 8а2; после поворота осей на 45°: X2 + 2Y2—4a2.
1	2.1
309.	cos Ф =—,	- = —sin ф = —новое уравнение
Vl+tg2? V5 V5
X2 — Y2 = 4. 310. Зх2 + 8хг/ — Зу2 = 20; поворотом осей на угол
Ф = arctg (1/2) приводится к виду X2 — У2 = 4 (см. 309).
311. у2 = 2рх + (е2 — 1) х2.	313. 1) Пара прямых у = ±2х;
2) точка (0; 0); 3) мнимая окружность; 4) точка (3; 4); 5) пара
прямых х = 0, у = — х; 6) пара прямых у= ± 4; 7) пара прямых
х	X2 У2
У = х и у =	314. 1) (1; -1), —+ —=1;	2)	(2; 1),
X2 У2
X2 — У2 = 9; 3) 2Х2 + 5ХУ + 2У2 = 8. 315. 1)	+ -у- = 1;
317,	1) У2 = 2 V5 2) пара прямых х — 2у = 3 ± 1.
318.	1) Зу = 2х — 7 ± (х — 2);	2) точка (2; —1); 3) 4г/=
= — 2х — 3±1. 319. 4Х2 — У2 = 8; центр (2; 0); tg ф = —1/2.
320. 5 (х — I)2 + (у — 2)2 = 9. 321. Повернув оси на —45°, полу-
чим У = —--г-— 4---~т=- Уравнение V-v+Vp=Va опреде-
ау2 2 V2
ляет дугу АВ этой параболы (рис. 87), на которой х а и у а.
322.	(х — т)2 4- (</ — »)2 — е2 (х cos а 4- у sin а 4- <?)2 = 0; А 4- С=
= 2—е2;	б = 1 — е2.	323. 1) Пара	прямых	х ± 2у = 0;
2)	точка	(—2; 2);	3) пара	прямых	у = х,	х 4-6р = 0.
X2 У2	X2 У2	,__.
324.	1)—4-—=1;2)^-----------г= 1. 325. 1) Y2 = 4^2X-
2)	прямые х + (/ = 2± 1.	328.	1) у = х — 2 ± 1;
2) Зу = х - 5 ± 2 (х 4- 1). 327. 1) 7х2 - 2ху 4- 7у2 - 48х - 43у 4-
270
+ 144 = 0; 2) х2 + 4ху + у2 + 6х + бу - 18 = 0. 328. (х - у)2~
— 2а (х + у) + а2 = 0; Y2 = а ^2Х. 329. х2 — 4ху — у2 — 4х -}-
+ 8у — 12 = 0;
X2 - У2 = 3,2 д/5 •	335,
а
cos <р
336. r = -? S—337. г = 2а cos ф.
sin (3 - ф)
при <₽ = 135°, 315°; rm|n = 1 при ф = 45°,
225°; г = 3 при ф = 0°, 90°. 180°, 270°; 2) rmax = 3 при ф = 0°,
a sin а
2) г = —;---------.
sin ф
338. 1) Г max = 5
120°, 240°; rmJn =1 при ф = 60°, 180°, 360°; 3) rmax = 2 при
Ф = 90°, 210°, 330°; rmin = 0, при ф = 30°, 150°, 270°.
339. 1) гшах = а при Ф = 30°, 150°, 270°; г = 0 при ф = 0°, 60°,
120°, 180°, 240°, 300°; 2) г = а при ф = 45°, 225°; г = — а при
Ф = 135°, 315°;	г-0 при	ф = 0°, 90°, 180°,	270°	(см. с. 347,
п
рис. 83).	340.	1) г2 =------F—; 2) г = а; 3)	г =----------А- г;
Е	' cos 2ф	cos (ф — а)
4) tg ф = 1; 5)	г = асозф;	6) г2 = a2 cos 2ф.	341. 1) х = а;
2) х2 + у2 = 2ау; 3) ху = а2; 4) х + у = 2а; 5)	(х2 + у2 — ах)2=*
у2	tj2	у2	1/2
= »(«• + »> ж » a+f-'i -пг-тг-';
3) у2 - 6х. 343. г = -- ± Ь. 344. г = О В ± АВ =
Sin ф	COS ф
, х (х — а)2	„
или в декартовых координатах у2 = ——	—. 345. FM--=
= г2 + а2 — 2ra cos ф, FtM2 = г2 + а2 + 2ra cos ф, FM2  /^М2--^
— (г2 + а2)2 — 4г2а2 cos2 ф = Ь4, отсюда г4 — 2а2г2соз2ф = 64 — а4.
346. г = а (1 + cos ф); (х2 + У2 — ах)2 = а2 (х2 + У2)- 347. Пусть
С — центр неподвижного круга, — центр смещенного круга, и
М (ф; г)— текущая точка. Так как Х.ОСС{ = X.MCiC — ф и
СО — С]Л1 = ± а, то ОМЦСС]. Спроектировав ломаную СОМС{
на CCIt получим	-у- cos ф + г + ~ cos ф	= а.	Отсюда	г==
= а (1 — cos ф). 348.	1) rmax =	5 при ф = 0°,	180°;	rmi!l = 1	при
Ф = 90°, 270°; 2) rmax = 4 при	ф = 90°, 210°,	330°;	/•„„•„ = 2	при
ф = 30°, 150°, 270°;	3) г = а	при ф = 0°,	180°;	г = — а	при
ф = 90°, 270°; г = 0 при ф = 45°, 135°, 225°, 315°. 350. г==
___________ab sin (3 - а)________	„5	.. %2 г
a sin (ф — а) + b sin (3 — ф)	’	4	’
г2
2) —-------у2 = 1; 3) у2 = х. 352. г2 = 2с2соз2ф; (х2-]-у2)2 =
~2с2(х2—у2). На рис. 80 положено с ^2 = а. 353. г
t= b + a cos ф. 354. Из Л ОАМ: г — ОМ = ОА cos ф, но из
А ОЛВ: ОА = 2а sin ф, отсюда г = a sin 2ф. 358. Пусть точка Л
271
на оси Ох, точка В на оси Оу и ZOAB — t. Тогда х =
•= ВМ cos I = ВС cos2 t = a cos3t, у = AM sin t = AC sin2 i =
= a sin31‘, итак, x = a cos31, у = a sin3t, отсюда x2^3 + y^B =
860. i/2 = -^-. 361. (3(/2 + x2)2 = 4x2 (a2 — y2). 362. В поляр-
ных координатах г — ОМ = АВ = BD sin ф = a tg ф sin ср; в декар-
товых у2 =------% (рис. 85). 365. Обозначив через t угол луча
О А с Ох, найдем х = 2й ctg t, у = 2а sin21. Исключив t, полу-
чнм у = х2^_ да2~ •	367- х = а (1 — sin 1), у = а (1 — cos t).
868. х = a (cos t + t sin t), у = a (sin t — t cos t). 369. у — x ctg-^-.
870.	x = (R + r) cos t — r cos	, у = (R + r) sin t —
. (R + r)t	,
•—r sin------где t — угол поворота линии центров,
р___г
871.	х = (R — г) cos t + г cos----1,	у — (R — г) sin t —
— rsin^-~-t. 374. Jf=£xi = 8; У = £ Уг=-2; OM=
=	+ 4 = 2 717. 375. д/8 + 27Г. 379. 1) С = А±±.
’2) д = 2с — Ь. 380. с =-tj-(д — 6).	381. т + р = п; ОВ =
»= 3 (т + п), ВС = 3 (п — т), ЕО = 3 (т — п), ОВ = 3 (2п — т),
DA = 6 (т - п). 382. АС = 2 (п — т), ОМ = 2п + т, О7Т=
^--ЗтА-п, MN = 2т — п. 383. 6 7з . 384. Х = Х, + Х2 + Я3 = -3,
Y = £У; = 6, ОМ = V9 + 36 = 3 7Г. 385. 1) д = 3 (с — 6);
2) с = 25— дл/3.	386. OM = r = 5V2; cos а = 0,5-72»
cos р = —0,3 V2 , cos у = 0,4-72".	387. г = 7; cos а = 2/7.
388. Р » 52° или 128°. 389. М (3 77; 3; -3), г = 3 (77/ + j — k\
390. u = 2i — 6j + 3k, и = 7. 391. ОС = i — 2/ + k, ОС = 7б ;
АВ = k — 4/ — i, АВ = 3 72- 392. Конец В (4; -2; 5) или
Bi (4; —2;	—7), cos а = 2/7; cos Р =—3/7;	cos у = ± 6/7.
303.	а — 26 — 0,8с. 394. и = 3 75 , cosa=-----395. cos а =
з7б
»=cosP = cosy= 1/73 - 396.45° или 135°. 397. D (4; 0; 6).
898. с = 26 —2д. 399. 135°. 400. В = С = 45°. 401. cos ср =
₽ 1/710 = 0,316; ср = 71°35'.	402. cos ф = 2/д/з = 0,894;
<р ж 26°37'. 403. 60°. 404. arccos 0,8. 405. 90°. 406. прйд = 4 72/3.
407. 2. 408. 1) 2 + 77; 2) 40. 409. (а + 6)2 = а2 + b2 + 2ab cos <р
272
(теорема косинусов); (а + Ь)2 J- (а — 6)2 = 2а2 + 2Ь2 (свойство
диагоналей параллелограмма). 410. 7.
411. R = д/(л + 2> + с + d)2 = Ю V4 + 2 75 ~ 25,3 Н. 412. Т?
/—	.. „	,	,	(2m — га) т 5	,
и V13. 413. соя (я, т) = 	-	 --=-----—; cos (а, п) =
V(2m - га)2  1	2 V7
= -2/7? 414. 5/6. 416. ОМ = 2 (i + j + 2k), ON = 2(1 + 2j+k);
cos 0 = 5/6. 416. cos <p = 2/7? 417. cos <p = 0,26 710; tp « 34°42'.
AB-CD 6
AB
418. £>(—1; 1; 1); <p = 120°.	419.
пра q —
420. OM = 7(2n + tn)2 = 7?
_ OM-ON =s 17	17
C°S T — OM-ON = 2 7эТ 19.08
4 л/2
423. 80 Дж, cos 0 = ——.	424.
ON = 7(3m + n)2 = 713;
«0,891, <p = 27°. 421. 120°.
а -у/6. 425. cos <p = —1/4.
426. a/6 равно: 1) —6;; 2) —2k; 3) 6i — 4/+ 6fe. Площадь
равна: 1)6; 2)2; 3) 2 722- 427. 24,5. 428. 721, h = 7£?
429. 1) 2 (A — i); 2) 2a X с; 3) a X c; 4) 3. 430. Площадь парал-
лелограмма, построенного на диагоналях данного параллело-
грамма, вдвое больше площади данного параллелограмма.
431. 50 72 .	432. 1,5 7?-	433. 3 717, 5Д = 3 717/2.
434. Sa = 775, ВТ) = 2 721/з. 435. | а + Ь | = |а - Ь | = 7?
£=7§. 437. 1,5. 438. 7 = 51, левая. 439. 7=14, Н = 7 7з/3.
441. с=5а + Ь. 443. 2 7з/3. 444. 7=14, 77 = 714. 445. с=а+2&.
446. V = |(а + 6) • [(& + с) X (а + с)] 1=2 | abc |. 447. (т X п) • р=
= | т X п I • 1 ‘ cos а = s>n а cos а = 0,5 sin 2а.	449.	52.
2	3	6
451. cosa = y, cos Р = —; cos у =	452. х -|- 4г/ — 2z = 2.
453. х + у = 2а.	454. х — у + z = а. 455. 2у — 3z + 7 = 0.
456. Зг/ + 2г = 0.	457. 2х + у = 0.	458. —+ —=1.
а с
459. х + г/ + г = 4.	460.	+	462. cosa = -|-,
2	1
cos р = — —, cos у = 3-; а = 48’11', Р=131°49', у = 70’32'.
463. х — 2у — 3z + 14 = 0. 464. Зх — 4z = 0. 465. х + у = 4.
436. -i-+ А + А = 1. 467. 1) 45°; 2) 78’30'. 468. х - 2г/ - 3z=4.
469. 2х + Зу + 4z = 3. 470. 2х + у + г = а. 471. 2х — 2г/ + г = 2.
472. 2х — у + z = 5.	473. Зх — у = 0 и х + Зу = 0.	474. 3.
475. 7б. 476. 27?. 477. 1) х — 2г/ + 2z = 11, X — 2у + 2z = — 1;
27?
2) х 4- (/ — 2z = О и х + I/ + z = 0. 478. 1) х — Sy 4- 9z = 21-
2) х — у + 2z =.0 и х — у — z = 0.	479. (1; —1; 2).
480. Зх — 4у + z = 11. 481. 2у — 5z + 10 = 0. 482. Уравнение
плоскости х + у — 2z = 0; угол ее с плоскостью г = 0; cos ф =
= д/б/З аг 0,8165, ф = 35°15'.	483.	484. y = ±z.
485. — 2ц6с-----------	. 486. 2х + 2у + z = 20 и 2х4-2г/ +
л/а26г + а2с2 + &2с2
+ 2 + 4 = 0. 487. 7х + 141/ + 24 = 0. 488. 1) (5; 4; 0) и (7; 0; 2);
2) (0; —4; 0) и (2; 0; 2). 489. х = — z 4- 3, у = — z + 5;	=
= -£-=А = _£_. 490.	= * У 7~=Т- 49L
492. 1) Р = i; 2) Р = i + k; 3) Р = j + k. 491	У ~ 2- =
—5 ’
cos а = 0,3 -y/2, cos P = 0,4 V2,
cos у = — 0,5 V2.
494. x = 2, z = 3. 495. Через t секунд координаты точки M будут
х = 4 + 2/,
у = — 3 + 3t, г = 1 + /;
х — 4_# + 3_г — 1
2	3	1 1
496. 1) х = — 2 + t, y = \—2t, z = —14-3/; 2) х = 1 4-/,
у = I — t, z = 2 + t. 497. 1) *-д"Д ~ У $ b = %	4T0 3Ha"
чит x = a, у = b; 2) z = с и —---— = —---498. cos <p = —
m n
499. cos qp = -ig-. 501. Направляющий вектор P = Л/ X AG =
. , „. ,	,,	„ x 4- 4 у — 3 z
= i 4-3j 4-5я. Уравнения прямой:	—:— = —т— =
1	о о
502. Зх 4- 2у = 0, z = 4. 503. 0,3 д/38. 504. 4 V2/3. 505. (4; 2; 0),
х___6
(3; 0; 2), (0; -6; 8). 506. х = 6 - 3z, у = -2г 4- 4;	=
следы: <6:4; °)- (°;0:2>- S07- T=J4r^=f-
508. Р {0; 1; 0). 509. Р {1; 1; 2); а = р = arccos -i=. 510. у = —3,
V 6
2х — z = 0. 511. Приведем уравнения к канонической форме:
х у 4- ? z — 5
Т— ~~2 ~ 2 и
х ^у —4
2	3
z	20	л ЛСГ1
—;	cos ф =	-tv	0,952,
о	21
<р = 17°48'.	512. Написав уравнения данной прямой в виде
__L
х—2 у 2	3	„
—-—=-^- = — ----, получим уравнение искомой прямой:
274
J -- =	513. Л (0; 1; 0), AM {3; — 1; 4},
P {1; 2; 2}, d =	514. sin 0 = 1/д/б- 515. Для обеих прямых
Am + Bn + Ср = 2 • 2 + 1 (—1) + (—l)-3 = 0, но точка первой
(—Г. —1; 3) не лежит на плоскости, а точка второй (—1; —1;
—3) лежит на плоскости. Б16. у + г + 1 = 0 (уравнения прямой
х — 2 и — 1 z \
можно записать в виде —j— = -р1. 517, х — 2^т”
+ « + 5 = 0. 518. 8х — 5у + z—11=0. 519. х + 2у — 2z = 1.
52О.-^- = 4- = -т-; 17°33'. 521. (5; 5; -2). 522. (6; 4; 5),
0	11
523. (5; 5; 5).	524. (3; 3; 3).	525. d = АА,РР‘ _ *
IPXPJ 7з
г__2 п_____ 1	7
526. х + 2у — 5z = 0. 527. -	—	8	= ур. 528. (1; 1; 2)j
70°.	529. (—1; 2; 2); 30°.	530. (6; 2; 0).	531. (3; —1; 1).
532. х — у — z = 0. 533. (-1; 3; 1). 534.	= -А-
535. Точки на прямых: О (0; 0; 0) и Л (2; 2; 0); направляющие
ОЛ РР
векторы прямых: Р {0; 0; 1} и Pi {2; —1; 2), d =	1 =e
I Р X Р\ I
= -у=-. 536. 1) С (1,5; —2,5; 2), Я = 2,5 V2; 2) С (0; 0; а),
V5
R = а. 537. (х - I)2 + (у + I)2 + (z - I)2 = 1. 538. х2 + у2 + г2 =
— 8х. 539. х2 + у2 + z2 — а (х + у + z) = 0. 541. у2 = 2ах — х2.
542. х2 + у2 = 2ах, х2 + z2 = 2ах, у2 + z2 = а2. 544. (1; 7; 2).
R = 4. 545. (ЗГ — 2Z)2 = 12 (ЗХ — Z). 546. 1) у = 0, х2 = а2 — az
(парабола); 2) х = 0, у2 = а2 — az (парабола); 3) z = h, х-\-у =
= ±V'-I(a—	— прямая, параллельная х + У = а (см рис. 59
па с. 331). Цилиндрическая поверхность 2х2 Д (у — z + 2)2 = 8,
/у |_ 2^2
форма тени — 4—— = 1 — эллипс. 548. 2х—i/+3z — 7=0.
549. x2+(</ + 4)2 + z2 = 4.	550.	(*	У ’" = 1.
553. (х — z)2 + (у — z)2 = 4 (х — z).	554. х = 4, z ± у = 2.
555. у  = Ар-. 556. h2x2 = 2pz [h (у + а) — аг]. 557. (0; а; 0),
направляющая — окружность z = а, х2 + {у — а)2 = а2. 558. Вер-
шина (0; 0; 0), направляющая — парабола г = /г, х2 = 2hy.
559. При z = 0 х = ± а; при у — h х2 + у2 = а2; при х = ± с
а2 — с2	,
прямые z = ±-------~-----у, т. е. поверхность образована дви-
жением прямой, параллельной плоскости yOz и пересекающей
275
окружность	АВС	(см. рис. 65	на	с. 333) и ось	Ох.
560. а) 2 = х2 + У2',	б) Vy2 + z2 =	х2.	561. 1) 2 =
2) 2 = %2	2-. 562. 9 (х2 + 22) = 16г/2.	563. х2 + г2 = г (у	+ а).
564. а) х2 +	г2 = у2',	б) г2 = х2 4- у2.	565. Повернув осн	Ох и
Оу вокруг оси Oz на 45°, получим уравнения поверхности и пло-
скости в виде 2Z2 — X2 — Y2, X = a V2. Отсюда сечение:
У2 Z2	г-
X = а V2,	2- 4—^2“ = 1 — эллипс с полуосями а-у2 и а.
у2 _1 «12	£12	ДК
566. -------2Н- + -2-=1.	567. а) 3,84 л; б) -^-л.
а2	с2	4
568. а)
х2 + у2
(однопол остный
гиперболоид);
У2 + z
(двуполостный
гиперболоид).
T-T-’(-f)
Х_ , Z_= 1 _У_±
4‘6	2’4
X COS t 4- (с 4- z) cos (t 4- а)], у = -у [(с — z) sin t 4- (с 4- z) X
X sin (7 4- a)], отсюда-
-%- (1 — cos a) = 1 4- cos a; при
ion° x2 + У2 3z2 _ .
у 2 1_ «12
при a = 180° —---------------= 0 (конус). 572. x2 4- y2 = az.
574.	x + У = 4, x — у = z; x 4- у = 2z, x — у = 2.
у 2	«12 _i
575.	+ - ~2----------—	^^б. x2 4- У2 — z2 = —2a2 (двуполост-
ный гиперболоид).
578. 9x = ±13z.
579.	4y — ±3z. 580. 1) Сфера с центром (0; 0; a) и радиусом
7? = a; 2) параболоид вращения вокруг Ог; 3) цилиндр; 4) ги-
перболический параболоид; 5) конус; 6) параболический цилиндр;
7) конус; 8) параболоид вращения; 9) конус; 10) цилиндр.
581. х + У = 2 + z. х — у = 2 — г; х 4- у = 3 (z — 2), 3 (у — х) =
х2 -4-
= z 4- 2. 582. х2 4- у2 = 2az. 583. z = а-584. 2у = ±32.
585. Зх 4- 4«/ = 24, Зх - 4г/ = 12г; 2 = 0, Зх = 4у. 586. 26.
587.—38. 588.7. 589.2a. 590.1. 591. sin (a 4-0) sin (a - 0).
592. -10. 593. 4a. 594. —2b2. 595. -2x. 596. —4a3. 597. 144.
598. 72. 599. (x — y) (y — z) (x — z). 600. 1. 601. sin (0 — a).
602. 10. 603. Лежат на прямой у = х 4- 2.
604. 1)
х а
Xi tjl
X2 Уг
1 '
1 =0;
2)
= 0.
605. 10. 606. amn.
607. a (x — z) (y — z) (y — x).
608. 4 sin a sin2-^-. 610. 1) Xj = 2»
x у 1
2 3 1
—1 5 1
4
x-2 = 3; 2) Xt = 0, x2 = —2. 611. x = 5, у = —4. 612. x= —,
у = 1. 613. x = 0, у = 2. 614. x = т, у — 2т — п. 615. 5; 6; 10.
616. —1; 0; 1. 617. 7/г, 8fe, 13fe. 618. 5fe, — life, —7k. 619. x = y =
2 4- 5z
= z==0. 620. Несовместна. 621. Неопределенна: x = ——----------------,
n___7^
y =—---. 622. Несовместна. 624. 2; —1; —3. 625. 1; —1; 2.
626. 2k, k, —4k. 627. x = у = z = 0. 628. — k, 13fe, 5k. 629. Неоп-
ределенна: у = 7 — Зх, z = 18 — 7x. 630. 1) 12 + 5г; 2) a* 2 4- I;2;
3) 5 - 12г; 4) —2 4- 2г; 5) г; 6) 1 4- i. 634. 1) 2 (cos у 4- 1 sin j ;
2) 2 sin £- (cos 4 4- । sin 640. 1) 32г; 2)64; 3)4(1-г);
4) 2 (З 4" 2 4/2) i; 5) 8г.	641. sin 3a = 3 sin a cos2 a — cos3 * a,
cos 3a = cos3 a — 3 sin2 a cos a. 642. cos 4- 1 sin ; k = 0,
1,	, 5. 643. 1) 1,	±2'	; 2) -t, -	;	3) ±i,
'А±г;	4)14-j.	-1,36 4- 0,365/,	0,365— 1,36/.
644. 1) ± -^-±2-; 2> V2 (cos <p 4- 1 sin q>), <p = 45°, 165°, 285°;
3) ±2(V3 4-/),	± 2 (—1 4-1 4/3).	645. 1) —2, l±/4/3;
2) ±1±Z. 646. 1) 1П2 4-Л1; 2) lln2+-^-;	3)
4) In л/х2 + уг + 1 arctg 5) -j- In 2 — -5- i.
nx , ra + 1	._ их n + 1
stn sin -----5--X	sin -5— COS-----X
647. --------------------.	648. ---------------------.
X	. x
Sin —	sin —
650. 1) 7 ~524- ; 2) 2b (3a2 - b2) I. 651. 1) 4 4/2епгм;
2) 2e2"'73; 3) ^2e-nili. 652. 1) 5 (cos 0 4- i sin 0); 2)
3) 2e_3ni,/4. 654. Точки внутри круга с центром С (z0) и г = 5.
655. 1) 81;	2) 512(1-14/3);	3) -27.	657. 1)
277
2) cos ср 4-Z sin ср, где ср = 0°, 72°, 144°. 2! 3°, 238° 633. 1) 2,
— 14-iV3; 2) ±2/, ±V3±z; 3) ±3, ±3/. 659. /1П 2гах .
2 sin х
__I 4- /' д/<5
660. 1) —1, 2, 3; 2) 5, - ~	.	661. 1) Х1 = 3, х2 = 4,
х3 = —2; 2) Xi = 1, х2 = — 2, х31 4 = ± i л/2-, 3) *! = —2,
х2> з = ± 1/3; 4) х3 = 1, х2) з = ± Z/2. 662. 1) Д = 49/4 > 0, и, = 2,
Vl = 1, z, = 3, г2,з = ~3 ± 1	2) А=0, г,=4. z2=z3=-2.
663. 1) А < 0, ср = 60°, г, = 4 cos 20°, z2,3 = 4 cos (20° ± 120°).
665.
а | р /(а)|/(в) k
1	2	—10 4	14
Аа
31	0,71
1,71 1,87 —3,2 0,36 22
26 0,14
АР
—0,13
—0,01
1,85 < х < 1,86.
666. 2,15; 0,524; —2,66. 667. 1) 1,305; 2) 4 и 0,310; 3) —0,682/;
1) X] = 1,494, х2 = —0,798 (х1 найдено по формуле х = ^2х + 2,
х4 Зх_________________________2 А
а х2 — по формуле х =----g----J . 668. 1) —6, —1 ± i -у2‘,
2) —1; 2; 2.	669. 1) А =-^-> 0, и, = 3, г>1=—2, z, = 1,
г2, 3 =	~^L	; 2) А = -4 < О, ср = 45°, г, =2-^2 cos 15°=.
— 1 + 73, z2 = —2, z3 = 1 — V3; 3) A = 0, z, = —2, z2j 3 = 1;
4) положив x = z — 2, получим z3 — 3г + 2 = 0; A = 0; z, = —2,
z2 = 23 = 1; x1 = —4, x2=x3 = —1. 670. 1,76 и —2,15. 671. 1) 1,17;
2) 3,07.	672.	1,67.	675. 0<х<1.	681. x, = 0, x2 = 4.
683. 1) х^г—2; 2) — 3 < x < 3; 3) 0 < x < 4. 684. 1) — 4<x<C;
2) — 1 + x •< 3. 685. l)x>0; 2) x < 4. 686. 1) 2йл<х<(2/г+1) я;
2) -4<x<+4. 687. 1) f (0) = 1, f (1) =- 1, f(-l) = 3, f(2) = 3,
f (a + 1) = a2 + a + 1. 688. 1) 6 + a; 2) 2ah. 689. ,2	+ a—
+ ab + a2
690. F (4; 3) = 19, F (3; 4) = —25. 691. 1) Четная; 2) нечетная;
3) четная; 4) нечетная; 5) нечетная; 6) и не четная и не нечет-
ная. 692. f <*1) + /Ог), >	693. ioga х. 694. ах.
696. 2 <х<3. 700. 1) |х|<2; 2) -1 <х<3; 3) -	+ kn <
+	4) |х|>2.	701. 2) 6х2 + 262; 3) 4 (2 - а).
3	3
702. |а|< 0,001, как только rt > J++ или /г'>ТТ=^‘
278
. 1?(1/е)	„2,1	6
| а | < e. как только n >. 703. x = 2; —; 1—; —
1 -i- ;...-> 1; | x — 1 | < 0,01, как только и 50; j x — 1 | < e,
1	6
как только n > —т-----. 704. x = 4; 3,1; 3.01; ... -> 3 + 0; x = 2;
2e	’
2,9; 2,99; ...->3 — 0. 705. x = 6; 5,1; 5,01; ...->5 + 0; x = 4;
4,9; 4,99; ...->5 — 0; x = — 1; —1.9; —1,99; -1,999; ...->
2 + 0; x = —3; —2,1; —2,01;	—2,001;	...->—2 — 0.
707. 6 = e/2. 708. 6 = 0,01. 712. При I x | > 2500,5. 713. При
| x | > 7,036. 715. lim x в первом примере равен 1, во втором —1,
П->оо
в четвертом 0, в пятом 2, в шестом 0, в третьем не существует.
716.
х
3; 2,1; 2,01; ... -> 2 + 0
3
х — 2
3; 30; 300;
I'm —Ц- = +°oj
Х>2+0 * * х — 4
х 1;	1,9; 1,99; ...->2 — 0
—--= —3; —30; —300; ...->— оо
х — 2
lim ------х- = — оо.
Х->2—О X — 2
717.
1; 0,1; 0,01;
2; 210; 2100;
lim 2|/х = +<ю;
х>+о
х	—1; —0,1; —0,01;	...->-0
	; lim 2,/х = 0.
21/х	1/2; 1/210; 1/2100;	...->0---х->-й
2	2	2
718.	1) lim-— = 0; 2) lim — = + оо; lim — = — оо;
х->оо X	х->+0 х	х->0 х
3) lim 3х = оо; 4) lim 3х = 0;	5) lim lg х = — оо;
Х->+оо	Х->-°°	Х>+0
6) lim tgx = + °o; lim tgx = —оо.
X->9a°-G°	х>9Э°+0°
724. ЛВ->оо, СВ —> оо, z BCD -> 0, ZACB-> 180°.
723. х = 5; 4,1; 4,01; 4,001; ...->4 + 0;
х = 3; 3,9; 3,99; 3,999; ... -> 4 — 0;
Л-= -0,5; -1,4; -1,49; -1,499; ...->-1,5 + 0;
х = —2,5; —1,6; —1,51; —1,501; ...->-1,5-0.
729. Только первая последовательность имеет предел:
lim х = 1. В остальных примерах lim х не существует. 739. 1) 0;
И->оо	rt->00
2) оо; 3) оо; 4) 0; 5) 2; 6) 0; 7) 0 при а > 1, 1/2 при а — ls
27S
а при 0 < а < 1. 733. 1. 734. 1) —0,6; 2) 1. 735. 4. 738. 1. 737. 3/2.
738. 1/2. 739. —1/V2- 740. 2/3. 741. —1/2 при а > 0 и со при
а < 0. 742. 2/3. 743. т/3. 744. 1. 745. -1/2. 746. 1) 2/3; 2) -2,5
747. 0. 748. оо. 749. —2. 750. —3/2. 751. 1/V2. 752. 1/6. 753. 1/4.'
754. —12. 755. —1. 756. lim -----------Ls‘n.*l----- = — 1/Уя-.
х->л+0 sin х -у 1 — cos х
757. 2,5. 758. д/з. 759. —4. 760. 2. 761. —1/56. 762. — V?.
763. 4. 764. 1/3. 765. 1. 766. 1/4. 767. 2. 768. 6 д/2. 769. 2 cos х.
770.	1) 1; 2) —1/2.	771. 1/2.	772. 1/2.	773. 1/3.	774. 8.
775.	lim -- 1 —	= — V2 .	776. 4.	777. m2/2.	778. 3.
x-> —о	x
779. 1/4. 780. 1) —2 sin x; 2) -1/2. 781. 1. 782. 1,5. 783. 1/2.
784. 1. 785. 1/2. 786. 1/4. 787. —3. 788. 2/л. 789. —2. 790. —1/4.
791.	792-	°- 793- !/2- 794-	— 1/2.	79S- —L	796-	О */20; 2) 3.
797.	1)	3/4; 2)	2 [положить в	примере 1) х =	t12, а	в примере 2)
1 + 2х	= t4].	798. —а. 799.	1) —1;	2) —0,2.	800.	1) 3; 2) 3/2.
801.	1) 1; 2)	—1/2. 802. 1)	—2; 2)	—0,1. 803. 1)	—2,5; 2) 1,5.
804. 1) —72л; 2) —1. 805. 1) 2; 2) 3. 806. 1) 4; 2) 1; 3) 3;
807.2. 809. При а -> 0 (1 -|- а)3 — 1 » За. 810. 1)2,5; 2) а/Ь.
3) 1,5. 811. 2 и 3. 812. 1) 2; 2) 3; 3) 1. 815. 1) При х = 0; 2) при
2п — 1
х =----------л; 3) при х = ±2. 816. При х = 2 выполнены пер-
вые три условия и не выполнено четвертое.
— 1	ПРИ	Х	<	~1>	лч	(	Х	~	1	ПРИ	х < — 1.
817.	1у	=	( .	н	’	2)	у =	<	,	,
'	11	при	х	>	— 1;	и	I	х	+	1	при	х > — 1.
При х = —1	функции	имеют разрыв I	рода	(выполнено только
второе условие непрерывности). 818. При х = 0 не выполнено
только четвертое условие (рис. 37). 819. Разрыв при х = 0,
Рис. 37
11m у = оо, lim у = 0, lim у = 1 (рис. 38). 820. Разрывы при
х-> + 0	х->— 0 х-»оо
х => ±2. 821. 1) Разрыв первого рода при х = 0, при этом
lim j/»0, lim у — 1, lim у=-±г, lim у =(рис. 39);
х->+0	х->-0	z Х->-оо -
280
2)	разрыв первого рода при х = а, при этом lim у = —т-;
х-»а-0
Л	Х^“	х2
lim J/=-я-, lim (/= 0; 3)у = — при х > 1 и--------------— при
Х-»а + 0	* Л->±оо	4	2
х < 1; при х = 1 — разрыв I рода, причем lim у = —
х->1—0	2
a lim У ~	822. Уравнение х2 — у2 ~ 0 определяет у как
х->1 + 0	2
бесчисленное множество однозначных функций х. Из них две
у = х и у — — х непрерывные. Остальные (разрывные) на одних
участках оси Ох определяются уравнением у = х, а на других
уравнением у = — х. Четную с разрывами при х = ±1, ±2,
±3, ... можно определить так:
( — | х | при 2п — 1 < х < 2га,
I + I х | при 2п < х < 2га + 1,
нечетную так:
< — х при 2га — 1 < х < 2га,
I + х при 2га < х < 2га + 1,
823. Разрыв второго рода при
где га = 0, ± 1, ±2, ±3, ...
х = —2.	lim у = + оо,
Х->~2-0
lim у = — оо, lim у = 1. 824. При х = 0 не выполнено
х->-2+0	х->±<»
только четвертое условие непрерывности; при х = ±2 еще и
третье. 825. Точки разрыва: 1) х = 0; 2) х = 2; 3) х=0; 4) х=0;
5) х =+2 и х = 0. 826. Бесчисленное множество. Из них: 1) не-
прерывные у — \ — х2 и у = — V4 — х2; 2) искомая разрывная:
( — V4 —х2 при |х|<1,
У = S .---------.
(.	+ -\/4	— х2 при	1 < | х | 2.
827. х = 0 и у =	1. 828. 1)	х =	0 и «/ = х; 2) х = — 1	и г/ =	х-1;
3)	у = 1. 829. 1) х	= 0, у —	—1;	2)х =	0иг/ = х — 1;3)х =	—njin
и у = ajm. 830.	1) х = —1/2	и у =	—2; 2) у = х;	3) у = — х.
881. 1) у = ± х; 2) х + у = — а\ 3) у = х ± л; 4) у = — я/4.
281
832. 1) //= 0; 2) у = ±2х; 3) х = 0 и у = х. 833. Параболы:
1) у = х3/3; 2) у = х2. 834. 1) х = 0 и у = 1; 2) х = 0 и у = — х.
X 4- 1
835. 1) х = — 2, у=Х/2; 2) х=1 и у =-------; 3) х = 2,
х = —2, у = 1 (рис. 40); 4) х = 1, х = — 1 и у = — х. 836. 1/е3-
3
837. 1) е-|/3; 2) e4. 838. 1) e2.
2) e-4. 839. 1) e~1; 2) e-2.
840. 1) 3; 2) e3. 841. 1/д/ё-
842. 1) 1; 2) -1; 3) 2 In a-
843. 3 и 4. 844. 1) e6; 2)-----!—.
845. 1) 1/е2; 2) -3. 846. 1/Ve •
847. 1) 1/х;
2) 4х3; 3)
5) ~~T’
X2
7) -	8)
2) —2. 848. 1) 3x2’
---4) cos x;
2 Vx
_ 1
2x V*
6)
1___
COS2 X
1	; ID —
------------; 12) X  -
(Зх + 2)2 V1 + *2
. 849.
10) ,
Vl + 2x
— 850. 1) (x2—I)2; 2) x3-2x. 851. 1)
(I
1) (х — 2)2;
2)
2) 1- a/—.852.1) —2)-
V x	л
2
2
1
855. 1)
----- 2)
2 / 1
хл
1
2) -tg2x.
857. 1)
х sin х + 2 cos x
2)
858. 1) -	.
4x — sin 2x
"л	2	’
4x -у x cos2 x
1) gt; 2) 2a sin2 у.
861.
865.
1)
866.
1)
856. 1) 2 sin2 — ;
2
x (sin 2x — x)
sin2 x
1) ______!------
’ (1 — 4x)2 ’
1
x (2 cos x — x sin x)',
 2) 2x__________________
' ’ (x2 + I)2 •
*	2)	_-----—---------.
1 — sin x 2 Vх (V* + О2
1; 0; 4.	863. 8,25.	864. —90.
859.
860.
1)
862.
-бйх (a - bx2)2-, 2)
2
3n/x
2x — 1
2xe
1
1) 2 cos2 — ;
2
232
2) — ctg2 x. 868. 1) x (2 sin x + xcos x); 2) -
cos x — 2x sin x ds _______________ 1 . 2
2 V* ’ ’ dt ~ 2 + t2 ‘
871. 1)-----!—f 1 +	2)
869. 1)
x (sin 2x + x)
cos2 x
(*2+l)2.
4
2) ----------...	.
(x24-l)2	' xx k ' Vх J '	(1 + 2 sin x)2
872. —1/3. 873. —1, —1/9, —1/25. 874. 1) 6 cos 6x; 2) b sin (a—bx).
-20 (1—5x)3;
2 + sin x
875,
2)	3/-^=-
V 4 + 3x
3) —2 tg 4x Vcos 4x.
cos ------sin ; 2) —2 sin
877.1) -------
(1 - x2)6
878. —2 s-in>—.
V2x — sin 2x
880. 1) sin 2x; 2) — sin 2x; 3) 2 tg x sec2 x.
876. 1)
2)
X
Vl - x2 ’
879.
4 sin3 x cos x.
881.
882.	3 tg4 x. 883.
—7=r- sin 2x X
<2
— sin 2x
4 ?y/(l + cos2 x)3
884. C0S 885. ±(л/Г — sin 2x + Vl + sin 2x); знак + при
2'У/х
cos 2x > 0, знак — при cos 2x < 0, а при cos 2x = 0 у' не сущест-
T, a lim / = -V2). 886.-gsin^a.
л	(1 + cos 4 л)6
4-0
4
вует
( lim y' =
x->^--0
4
887.
Ctg’f
О v2 __ 1
888. sin x (1 + sec2 x).	889. —
• 2 л
Sin2 -X-
O
1 — X
890. -----,	.
x2 aJ2x — 1
2) dr
891. - sin —.	892. 1) — = --C sin 2fp-
a	dtp Vc°s2(p
2 sin22ip__________ fi0Q f, _ ab
y/a2 b2
2<p + cos2
. 893. f'
f' W =
x (2 — 3x2)
896- -Vf^T
899. 1) sec6 x; 2)
• 2
sin4 —
4
-—	894. J=. 895. —^os22x	,
-\/a2 + b2 д/з V4-* + sin 4x "
898. - , 2 sin6x
V(1 + COS 6x)2
4 cos 2x	ds
(1 — sin 2x)3 ' dt
897. — sin 4x.
3x2 sin 2x3. 900.
. t
-sm
. 902. — = — cos <p. 903.
dtp 2
2(3x+ 1)
x3 V4* + 1
233
904. — A /4-- 905. k = tg a = ±4. 906. tj = 8 — 4x, x—4y = 2.
V 6
907. у = x+ -j-. 908. у = 0, у = ± у (Зх - 1). 909. у = - + 2.
910. у = л — х. 911. 45° и 135°.	912. arctg4. 913. 1) 4, 2,
д/б /—	2 3 д/13 д/13 П1_	, „ , . ...
4—, V5; 2)	~4т—, —г—- 915. у = х2 — Зх 4-4. Пара-
метр 6 находится из условия у' = 2х + b = 4 + b = 1, а с — из
условия, что (2; 2) — точка касания. 916. у = —4х + 8,
1	15
у =------— х — 2; <р = arctg —- а; 62°. 917. у = 4х, у — — 4х + 16.
4	о
918. х±4у = 8. 919. у = ± (Зх + 8) и у = 0. 920. 4/V17.
921. 40° 54' или 139° 6'. 922. (-2; -4). 923. (1/2; 17/4). 924. 1; 1;
V2; 72.	925. 11° 20' и 7° 7'.	926. у'_ = -\, у'+ = ],
х—л
<2 :
927. у_
— 1 /2; у'+ = 1 /2. 928. у = х и у = — х. 929. у = ±
109° 30'. 930. х = 0. 931. х=2. 932. х = 0. 933. х = 2. 934. у — I =
= 4-. (х — у У 935. х = —1. 936. у = ±4х; 28°. 937. 1) lnx+ 1;
_ inx 0Л3431.	938>	_(£+l)i: 2) Illi*!
’ х2	х	х3	х (х + 2)
х	1	4а2х
939. 1) — tg—; 2) ctgxcos2x. 940. - 941.-----------.
2	2 V*2 + х а4 - х4
9	12	1
942. -------. 943. ——. 944. ---------. 945. - ,
х (1 — х2)	cos х	1 — 4х2	Vq2 + х2 ’
946. --Ц=-. 947. 1) - 2 ctg2x-; 2) --?-. 948. у = х-\.
2 4- Vх	sin х х — ах5
949. Касаются в точке (Ve; 1/2).	950. I) 2x4-3*In3;
2) (2х + х2 In 2) 2х; 3) х (2 + х) ех. 951. 1) asln х cos х In а\
2) —2хе“х2; 3) 2х(1 — х)е~2х. 952. ех/2 4- е-х/2. 953.	X
X (1 + -4=-\ 954. — 2еХ 955. — ех/а (cos — - sin —Y
\ ух) (1—е)	а. \ а а)
956. 1) —2е-х sin х; 2) - -г^-. 957.	958-2а (е2ах-е“2ах).
'	14“Х	х2+1
959. — In а. 960. 26° 35'.
962. 1) хх(1пх+1);
2) xsIn * Гсоз х In х + -S‘n Х 1. 963. — tg х sin2 х. 964.-*
L	х J	2 -у x2—x
965.--------. 1	966. - .  Ct)— —-	967. ------!----.
X VI + X2	V1 + sin2x	x (1 — x2)
284
988. cig 2х. 969. Ctg 2* -. 970. —. 971. -	*___.
1 — sin 2x	1 -h cos x	у ax 4- x2
972.	— — e~x/a. 973. — (exla — e~x/a). 974.--------------
a	2	(ex - e~x)2
975. --2<?2X— . 976.	.	977. xVx		978. 16.
д/е4х + !	e4x+ 1	x2
Y	/ 1 — Y	Y.%	1
979. z/  --980. л  --------981. —--------. 982.--==-.
2	V 1 + x 1 + x2	-ух— 4x2
983. -----984. ---------------. 985. —r 1	986.-----—.
\а\\а2~ x2 a2 + x2	7x — x2	1+x2
_____	o«3x	9	1
987. 1) 2 71 - x2; 2)	'	988. -. 989.---------2=-.
71—e6x 1 - x4 2xVx-l
990. arctg —. 991.--.. 1___992. -------j_____
a 2 Vx^x2 2x ^/6x _ t
993.	1) ------2X .; 2) ----i-----.	994. 2ex 71 - e2x.
| x | 72—x2 x2 + x4
4e2x	/ 4	/~2
995. arccos x. 996.  --—— 1. 998.77' —-------------------4.
899. (л — 4)/4. 1000. 1) sh 2x; 2) th2 x; 3) 7ch x + 1. 1001. 1.5,
1002. 1) thx; 2) —4/sh22x. 1003. 1) cth2 x; 2) 2/sh 2x.
1004. 1) 1/chx; 2) 4 sh 4x.
1005. x + 1,175г/ = 2,815a.
1006. у = 3.76x + 3,89.
1008. 1) - 1
x2 7x2 — 1
= 2e‘ (e‘ ~ 9-. юн.
e2< + 1
2) tg3x. 1009.	1010.——=»
2x	ilt
. X 1012. — =tgst 1013.--.
7x2 —4x	dt	2
i л2	|	|
1014- ’> 7(^Г: 2) 2 cos (In x).	1015. -j-g-.	1017.———.
1022. 1) —4 sin 2x;
1021. 1) 2 cos 2x; 2) 2 tg x sec2 x; 3)------------------7-
(1 + x2)*4 2
24	1	i
2)	3) - (x cos x + 3 sin x). 1023. 1)	2) e_((3-/);
3)
3)
3)
2)
2a (3x2	a2)	_______2
(x2 + a2)3 '	‘	(2-/)3/2'
1025.	2)	(-1)^?-1)l;
(-ir-l.3.5.\^^-3)	I026 1)nf. 2) s.n ; + ЛЧ
2n^x2tl~x	k 27
2ra-1 cos ^2x + n -5-) .	1028. 1) -2ex sin x;
xax (x2 In2 a + 6x In a + 6); 3) 2 sin x+ 4x cos x — x2 sin x.
283
1029.	1) 2е~х (sin х + cos	х);	2) 2/х;	3) х sin х — 3 cos х.
1030.	Г' (х) = ех^,	(х)	=	ех’а,	(0)=-^_.
1031.	1, т, т(т — 1), т (т— 1)	(т—2), ..т	(т~ 1)	... (т—/г+1).
1035.	1)	2е-х!(2^-1);	2)	-2 С-SХ	;	3)	— Х .
sin2 х	(4— х2)
п 2га  га!	„га-1	/г, । л\
----------—; 3) —2 1 cosl 2х+/г — 1.
(1 + 2xf+‘	к 2?
1036. 1) ах (In а)" 2) (—1)
1037. 7-^-.
1038. 1) ех (х3 + 9х2 + 18х + 6);
2) Д- (ба2соз — — бах sin — — х2 cos — 1; 3) — xfIV (а — х).
7 а3 у a	a	a J
1041. По формуле Лейбница (х) = х2е~х!а -----------+
+ п • 2хе~х1а Г-2е~х,а Г----------------------.Отсюда
\ a J	1-2	\ a J
fM (Q) = ”1^21 (-If-2 = П ("	(-1)".	1042. /'(х) =
ап~2	ап 2
= — 2хе~х" = — 2xf (х). Далее по формуле Лейбница (х) =
= [-2хНх)^-‘> и т. д. 1044. 1)	2)	3)
1045. 1) --2х,+9у-; 2) -- ~ъу-.	1046. 1) — аУ—;
7 х -Г 2г/ х — 2г/	7	\‘х
2) в " + У . 1047. -£*slnX±e 7з1ПА. Ю48. -1—4-1. 1049. 1/3.
еч 4-х	е cos у 4“ в у cos х у
1050 П  91 2	~ Д)  31 т (-т + п'>У 1051 _А
105J. 1)	,2)	_ й)2 , 3) л2 .	1J51. д2 .
1052. у = 3 — х и у = х — 1.	1053. (40/9; 40/9) и (40; 40).
1054.1)^- + ^=!; 2) ууа = р (х + х0).	1055. х + у =
= ±-^.	1056. arctg 3.
72
/7^
1058.	1) - Дт-; 2) — А QV.
У3 (у- Р)’!
1057. 1) - —; 2) -
ару ах — у2
2(1 +у2). 4) __б£1_
} У3 ’ ’ (х + 2у)3‘
1059.	2у = — х — 3 и 2у = х + 1.	1060. х + 2у = 4 ^2 .
1061.	1--^-. 1062. е(е- 1). 1063. ±2. 1064. 1) dy = пхп~х dx-.
2) dy = 3(х- l)2dx. 1065. 1) dy = /	; 2) ds = gt dt.
V1 + x2
1066. 1) dr = 4 sin2 qi dq>; 2) dx = — 2dt!t\ 1067. 1) sin 2t dt-,
286
.ч a3 dx ..	(a-f-l)^a
2) sin и du. Ю68. 1) - -y(ft2 + *2) 1 2)	-	;
3) _ 1 sin rf<p; 4)----------.	1070. 1) 0,04; 2)0,05.
2	2	x Vx2 — 1
dV
1071.	1) dV = 3x2 dx = 0,75;	—^- = 0,006 или 0,6 %j
2) d=^ dg-. 1072. 1) rfx < Д < 0,005; 2) радиус нужно
8/	5x V x
измерить с погрешностью не более у %.	1073. 1) S = n.R2,
4
AS да dS = 2лЯ dR-, 2) V = у л/?3, AV да dV = 4л7?2 dR.
1074. 1)	(2 ~x) dx • 2) b sin (a - 6<p) d<p; 3)-----dt
x3	V1 — /2
1075. 1) — tgxdx; 2) -----/“  ; 3) — 2e~2t dt. 1076. 1)
2u -y4“ — 1	2 Vx
2) tg2 a da-, 3) b (1 + e~bt) dt. 1077. 1) by = 3x2 Ax + 3x Ax'2 4.
14
4 Ax3 = -0,2376, dy = 3x2 dx = -0,24; 2) dl = - — да 4,46 см;
Л
x2 • 0 1
3) I rfx К 4 — < 0,006.
y2 f/2
1079. 1) A-+^- = I; 2)
1078. l)4^2 = x3;2) ^x^y-l)2,
Х2/3 у ^2/3 = a2/3_ 1080> p x2 _ yi= ];
2)	1082- X = TTF- y = rFF- Ю83. f/ = x-i-
4- —-----л)_а_.	I084. x+y= a .	1085 1}---------1	.
2	V2	a sin31
2) li+L. 3)	1
'	4/3 ’ 2	4a sin4 (Z/2)
1086. 1) y = — x2—2x; 2) (,(/42)3=x3.
1087. x + y = af— + 2\	1088. у = x---------
\ 2 J	2V2
1	Q/2 __ 1	о	f. , 2
1089. 1)-------; 2)	-----• 3)	1090. x = at-^-*
4sin31	4i3 4ef	2
dx	. d^x	, a	or .
^rr = a—‘0t\	, ,9 = — g; через /=—. x =	• (высшая
dt	dt2	r q 2^
точка). 1091.	=/2 - 4t + 3; tx = 1, t2 = 3.	1095. v =
dv	„ dv
'^~=w> перемножим почленно. 1096.
= 2a -37- = 2ao, отсюда w —	= a. 1097. x = 10 + 201 —	;
dt	at	j.
287
4г = 20-£/;
dt
t = — яа 2,04 с.
Я
= — гт, В наив^лсшей точке
at2
1093. 4г
dt
= fe (Л — х).
1100.
dt
1099.-^ =
nA (2R — h)	nr2	dt
, ,	„	.	d (a2)	da
d (a2) = 2ca da, —:—- — 2a —— =
d,y	dip
da dt	1
= 2а —— -г- = 2ше — = 2е.
dt dtp а
производной f' (х) = 2х — 4 равен 2; 1 < 2 < 3. 1102. Не приме-
нима, ибо при х = 0 нет производной. 1103. Потому, что точка
х = 0 угловая (две касательные). 1104. Наклон хорды (АВ):
g_______ ]
k = -5——j- — 2; f' (х) = 2х = 2, х = 1; в точке х — 1 касательная
1101. Корни функции 1; 3. Корень
параллельна хорде. 1105. /' (b) = b2, f (а) — а2, {' (с) = 2с; подста-
вим это в формулу Лагранжа Ь2— а2 = (Ь— а) • 2с; отсюда
b + а
С~ 2
9
1106. с = ~^- П08. На дуге есть угловая точка при
2
в которой функция не имеет производной. 1109. Функ-
ция непрерывна и имеет производную внутри отрезка [0; 2], но
разрывна на его правом конце. 1110. Пусть s = /(/) —уравнение
движения, а ([ и — начальный и конечный моменты движения.
По теореме Лагранжа между ti и /2 найдется /3, при котором
f (ti) — f (Н) = j,	т. е_ 40 _ j/ _ ds в момент /з_
1111.
Ф' (х) =
1 Г (X) О
b f(b) 1
a f (а) 1
Так как Ф (Ь) — Ф (а) = 0 и
в интервале (а, Ь) имеется производная Ф' (х), то по теореме
Ролля между а и & найдется х = с, при котором Ф' (с) =0, т. е.
1 Г (с) 0
b f(b) 1
a f (а) 1
= 0,
отсюда f (b) — f (а) = (b — a) f' (с).
Функция
Ф (х) есть удвоенная площадь Д АМВ, где AI — любая точка на
дуге АВ.
1112.
63 — а3
Ь2 — а2
Зс2
2с ’
отсюда
2 (а2 + ab + Ь2)
3 (а + Ь)
1113. Угловой коэффициент касательной 4^~ —	, а в точке
dx ф (t) ’
t = с k =	Угловой коэффициент секущей =—----------=
ф (с)	%2 —
f(b)-f(a)
Ф(6)-<р(а)
по теореме Коши между а и b найдется t = с.
при котором ki = k, т. е. касательная параллельна хорде. При
этом, так как <р' (1)	0, то ф (а) < ф (с) < ф (Ь) (или наоборот),
288
и точка касания находится внутри дуги. 1117. с =
a2+ab+b2
3
11|8. ,) д/±-1; 2) ^/1-^-; 3) -jA-.	1119. 1) ±;
з/ / 15 \2
2) Л! I ~ ~ 2,4. 1120. Функция у = | х — 1 ] не имеет про»
изводной при х = 1. 1121. В точке х = —1/2. 1122. 3. 1123. 1/2.
1124. —Ц—. 1125. 1. 1126. а2/Ь2. 1127. 1/2. 1128. 1/6. 1129. 3.
па11 1
ИЗО. 1) оо; 2) 0. 1131. 0. 1132. 0. 1133. 3. 1134. 2. 1135. (I,
1136. 0. 1137. 1. 1138. 1. 1139. е3. 1140. 2-го порядка. 1144. а — Ь.
1145. 1/3. 1146. 1/8. 1147. 1п-~. 1148. 1/7з. 1149. 1. 1150. 1,
1151. —1/3. 1152. —2. 1153. 1/е. 1154. 1/6. 1155. а3. 1160. При
х = —2 l/min = 1-	И61. При х = —2 J/min = —16/3; при х = 2
у,пзх = +16/3,; точки пересечения с Ox: X! — 0, x2j3 = ±2 д/з «
а*±3,4.	1162. При х = —1 ут3х = 5/3, при х = 3 ymin = —9;
точки пересечения с Ох: Х!=0, х2,3 и 1,5 ± 3,3.	1163. При
х = ±2 утах = 5, при х = 0 у = 1, при у = 0 х « ±2,9.
1164. При х = 0 у = 0 — перегиб; при х = 3 Z/min = —27/4.
1165. При х = — 2 Уты = — 2, при х = 2 ут-1П = 2; асимптоты-
х = 0 и г/ = х/2. 1166. При х = 0 ymin = — 1 (точка возврата)
точки пересечения с осью Ох: х = ±1. 1167. При х = 0 ymax = 1,
при х -> оо i/->0, т. е. у = 0 — асимптота. Кривая симметрична
относительно оси Оу (почему?). 1168. При х = 1 t/max = —4, при
х = 5 t/min = 4; асимптоты х = 3 и у — х — 3. 1169. При х = 0
J/mln = 0, при х = 2/3 i/max = 4/27.	1170. При х = 4 г/тах= 1,
при у = 0 х = 3 или х = 5, при у = — 3 х = —4 или х=12.
1171. При X — 0 Утах — 1",
сительно Оу. 1172. При
асимптота у = 0. Симметрична отпо-
ят	л .	3	. .
Х = -|2 ymax=-j2 + —«1,1, при
х = 4^- pmIn « 0,4. 1173. При X = 4 Утах = 4^- - 7з « 2.45,
1 £,	kJ	О
при X = — у 1/min =
—2,45. Асимптоты х = ± у.
1174. При х«1 i/max=l, при X -> 0 у-> — оо; при X -> оо
^/—>0. Асимптоты х = 0 и у — 0. Точка пересечения с осью Ох:
1 + In х = 0, In х = —1, х =	« 0.4. 1175. При х = у ymin —
1 л	1
«= —----Т*« —0,28, при х = — — й'тах « 0,28. Асимптоты
у = х ±	1176. 1) При х = 2 утзх = 2/а. Асимптота у = 0.
Ю В. П, Мияорский
289
2) При х=\/е (/min = — 1/е; lim у = 0 — концевая точка; при
х-» + 0
х=1 у — 0.	1177. 1) При х = 0 r/min = 0 (угловая точка), при
/ 4/1 4- 1
Х = 4=А/---------Л z/max = 1; 2) при х = 0 z/min = 0 (угловая
точка). 1178. г/га(п=1/2 при х — л/4; Зл/4; 5л/4;...; z/max = 1
при х = 0; л/2; л; Зл/2; ... 1179. Область расположения кривой
х < 1; z/max = —-т= при х - —; у = 0 при xt = 0 и х2 = 1.
2 <2	2
1180. При х — 2 z/max = V2; область расположения кривой х > 0.
1181. Асимптоты х=1 и х = 4 (разрывы) z/min = —1/9 при
х = —2, (/max — —1 при х = 2. 1182. При х = 1 z/min = 1,5. Кри-
вая асимптотически приближается к параболе у — х2/2 и к оси Оу.
1183. При х = 0 и х — 2 z/mln = "^4 « 1,6, при х = 1 утах = 2 (в
точках минимума точки возврата). 1184. При х = 0 #перег = 0,
при х = 1 //1Пах = 0,2, при х = 3 z/min = —5,4. 1185. При xt = —2
Z/max = О, при Х2 = —1,2 Z/min «—1,1, при Х = 0 Z/neper = 0.
1186. При х = 2 z/max=l/2, при у = 0 х = 1; асимптоты — оси
координат. 1187. При х = —3 z/max — —4,5. при х — 0 г/перег = О,
при х = 3 z/min =+4,5; асимптоты у = х, x = ±V3. 1188. При
х = -^-+йл z/max =1, при х = -у- + kn — разрывы. 1189. При
х = -^- + 2йл z/max =-^-+ 2fen — у In 2.	П90. 1) При х=1
</min = у 1п 2 —-j-; 2) при х = —1 z/max = 1, при х = 0 z/min = О
(угловая точка с наклонами k = ±2). 1191. При х = 0 z/min = 0;
при х = 2 z/max = 4/e2«s 1/2; асимптота у — 0.
1192. При х = —1 точка возврата z/min = 2, при х = 0
z/max = 3, при у = 0 х 4. 1193. При х = 2 z/max = 4; при у = О
Х[ = 0, х2 = 4. 1194. При х = —1 z/min = —4; при у = О
Х[ = 1, х2 = —3.	1195. При х = 0 z/min = 0, при х = —2
z/max = 4/3; при у = 0 Xj = 0, х2 = — 3. 1196. При х = —1
z/mln =—4, при х = —3 z/max = О- П97. При х = 0
z/max = 0, при х = 2 у = ± оо, при х = 4 z/min = 8; асимптоты
х = 2 и у = х + 2 (рис. 41).	1198. При х = —3 z/min = —6,75,
при х = 0 z/neper = 0; при z/ = 0 х, = 0, х2 = — 4 (рис. 42)
1199. При х = ±2 z/min = —4, при х = 0 утах = 0; при у = О
Х[ = 0, х2> з = ± д/з" « ± 2,8.	1200. При х = 0 точка возврата
z/max = 0, при Х=1 z/'mln=—1; при у = 0 Xj = 0, х2 = 27/8
(рис. 43). 1201. При х = —1 z/max = 2, при х = 1 z/rain = 0, при
х = 0 у = 1. Асимптота у = 1.	1202. При х = —1 £/min =
= —1/V<? « — 0,6, при х = 1 z/max « 0,6; ось Ох — асимптота.
1203. При х = 2 z/min = 2 (1 — In 2) а* 0,6; ось Оу — асимптота
290
при х = 1 у = 1; при х = е2 7,4 у ж 3,4. 1204. При х — 0 точка
возврата г/тах — 0, при х	r/mjn — —3 ^4 —4,8, при х = 5
Umax 0,34,
х —	6	—0,34,
при
при
л
2
Z/ = T-y==F 1,57.	1206. При х=~ </mln = 4 + 1«2’57-
при х = -j- утах = +3,71; асимптоты х = 0 и х = л. 1207. При
1	1 , Зл . ос
х = — у Угаах = — у + — « 1,85, при
при х = 0 у = л/2. Асимптота у — х.
1208. При х = 1 точка возврата i/min = 1,
при х = 0 у =• 2, при х = 2 у = 2.
1209. При х *= п/6 и х = 5п/6 (zmax = 1.5,
при х = л/2 t/niin = 1. 1210. При х = 0
(/min = 0, при X = 1 (/neper •= 1- 12Н. При
х = е утах = 1/е « 0,4, при у = 0 х = 1.
Асимптоты х = 0 и у = 0.	1212. При
х = — 3 (/min “6, при х = — 2 у = оо
(разрыв), при х = —1 (/max = 2. Точки
пересечения е осями; х = 0, у = 1,5;
у = 0, х = ± д/з"	±1.7. Асимптоты
х = —2 и у = 2 — х. 1213. При х = 1
(/mln = 2, при х = — 1 (/тах =• —2, при х — 0 — разрыв. Асимп-
тоты у х и х = 0, 1214. 1) При х = 0 у «а, Точки пересече-
10*
291
ния с осью Ох: х =	+ kn. Экстремум: при xt =	+ 2Ал—
Л	*
7л
минимум, при х2 = —j—+ 2йл — максимум. Кривая — график за-
тухающих колебаний; она вписана в кривые у = ± ае х, на ко-
торых и находятся точки экстремума. Построение нужно начать
с кривых у = ± ае~х. Ось Ох — асимптота. 2) При х = —1
Утах = 2, при х = 0 — точка перегиба, при х =* 1 ymin = —2; при
у = 0 х, = 0, х2, 3 « ±1,3. 1215. При х = 1 Ущ1п = 3, при х = 2
у = оо (разрыв), при х = 4 уПерег = 0> при х = 0 у » 3,6.
1216. При х = — 2 Угп1п = 01 ПРИ х = — 4 утах = 0,8, при х=1
Утах « 2,8; ось Ох — асимптота. 1217. При х = ±1 Утах =• И при
y = 0L х = ±1/У1 « ±0,7. Асимптоты — оси Ох и Оу.
1218. При х = 0 Утах=1. при х=1 уга1п = 0; при у = 0
х = ±1. 1219. При х = — 1 Ут1п = 1/3, при х = 1 утах = 3, при
х = 0 у = 1; асимптота у = 1- 1220. При х = — 1 угаах = 1; при
у = 0 Xj = 0, х2 =—4; область расположения кривой х^О.
1221. 1) При х = —2 у = оо (разрыв), при х = —3 Уперег = О,
при х = 0 ymln » 27/4; асимптоты х = —2 и у = х + 5; 2) Ут1п=0
при х = 2/гл, Утах = У2" при х = (2л + 1) л. В точках минимума
у' не существует (угловые точки). 1222. 30 м X 60 м. 1223. 5 и 5.
1224. ай/4. 1225. а/6. 1226. 4м\4мХ2м. 1227. 20 см. 1228. 60°.
18	1
1229. д « 2,5. 1230. соза = — (однако при условии, что
1	. а	. _
—	где а — проекция АВ на направление железной до-
роги). 1231. В 18 м от более сильного источника света. 1232. Через
а	,
часов наименьшее расстояние будет равно а/2 км.
1233. х = D/2, у = D VT/2. 1234. В Уз~« 1,7 раза. 1235. /»5,6 м!
.	,	2,4 ,	1,6
определяется как максимум функции 1 =----------------------—.
sm a cos а
1236. omax = —g— дм3 при высоте х = 2 дм. 1237. 5щах = R2
при высоте х —	. 1238. (1; 1). 1239. л/аЬ. 1240. При х = 2 м.
V2
1241. 4 см и Уз « 1,7 см. 1242. х = 1,5. 1243. Сечение — квадрат
со стороной £)/УТ.	1244. При а = 2л У2/3 радианов « 294°.
1245. А =-------; tga=p=0,25, а «14°. 1246. 1) у=х2,
cos а + р sin а	' а
у" = 2 > 0, кривая всюду выпукла «вниз»; 2) у = х3, у" = 6х,
кривая выпукла «вниз» при х > 0 и «вверх» при х < 0, х = 0 —
точка перегиба; 3) у = ех, у" = ех > 0, кривая всюду выпукла
292
«вниз», (0; 1) — точка пересечения С Оу\ 4) у = In х (х > 0),
у" = —< 0, кривая всюду выпукла «вверх», (1; 0) — точка
пересечения с Ох; 5) (0; 0) — точка перегиба. 1247. Точки переги-
ба кривых: 1) (2; —8/3); 2) (±1/^2; е-1/2); 3) (± д/з~; ± Уз"/2)
и (0; 0); 4) при х =--—0,35. 1252. Область расположения
х > —2. Точки пересечения с осями (—1; 0) и (0; In 2). у всюду
возрастает, кривая выпукла «вверх». Асимптота х = —2.
1253. у > 0, у = 0 — асимптота. 1254. 1) Симметрична относи-
тельно Ох. Область расположения х^0. Верхняя ветвь выпукла
«вниз», нижняя «вверх». Обе ветви касаются Ох в точке (0; 0).
Кривая называется «полукубической параболой» (вместе с осью Оу
образует букву К); 2) такая же, как предыдущая кривая, но
сдвинута влево на 3 единицы. 1255. 1) При х = 0 утах = — Ь
асимптоты х = —2, х = 2 и у = 0 (три ветви); 2) при х = 1
ушах=2, при х = —1 i/min = —2, пересекается с Ох при
х = ± V3, перегиб при х = ±-^2, асимптоты — оси Ох и Оу.
1256. 1) Область расположения х>0, при у = 0 х = 1, асимп-
тоты — оси Ох и Оу, при х — в утах = 1; 2) при х = 1 z/max = 1,
при х = 2 г/перег = 2/е « 2/3, ось Ох — асимптота, при х = О
у = 0. 1257. 1) При х = 0 r/min = 2, асимптоты х = —2 и х—z/=0;
2) симметрична относительно Оу, при у = 0 х = ± V'2/2 « ±0,7,
при х = ±1 г/min = —1, асимптота — ось Оу. 1258. 1) Область
расположения х>0, при х= 1 z/n[l-n = 1> выпукла «вниз»; асимп-
тота — ось Оу, 2) Оу — ось симметрии, при х = 0 z/mjn = a,
всюду выпукла «вниз»; кривая называется цепной линией,
1259. 1) При х = 0 утзх = 0, при х = ^4 «1,6 ут1п х. 2,1, при
х = — -^2 «—1,3 z/перег ~ —0,8, асимптоты х = 1 и у = х; 2) при
х = — 1 z/min = —3, при у = 0 х = — ^0,25 « —0,6, асимптоты —
оси Ох и Оу. 1260. 1) Симметрична относительно Ох и Оу,
область расположения | х | < V2 , при х = ± 1 у3 = ± 1, при у = О
/-	2
х = 0 или х - - ± V2; 2) на ветви у = х ----т=г уmIn = 3 при
д/х
х = 1, ветвь у = х----пересекает Ох при х = ^4 « 1,6, оба
Vx
ветви имеют асимптоты у = х и х — 0. 1261. При х = —2 ут-1п =»
= — ^16 « —2,52, при х = 2 утах ~ 2,52 (обе точки возврата),
8х
ось Ох — асимптота, ибо у =--------гт-----'------------^->0,
(х + 2)4/3+(х2— 4)2/3+(х- 2)4/3
когда х->±оо.	1262. Симметрична относительно Ох, область
расположения х > 0, асимптота — ось Ox (lim у = 0), при х = 1
Х->оо
293
экстремум уэ — ±1/е « ±0,3.	1264. 1) -у ± х2 + In | х [ + С;
1	1 __х.	х%
2) 2х5 —-Д,-± С. 1265. 1) х2 + С; 2) — ± 2 In | х | -
—-2^г+с-	,266- О * (у V* + j-V^ ) + С; 2) 2д/х —
- 4 л/х + С. 1267. 1) -2х^~ - Зх ± 6 V? - In | х | + С;
□
2) |(х-4)^7±С.	1268. 1) e* + -L + C; 2)
Л	1JI (л
о
----у=- + С. 1269. 1) — ctg х — tg х ± С; 2) — ctg х — х + С.
у/ х
,, С dx С sin2 х + cos2 х ,	,	. _
1270. 1) \ —----г —	\-r-i----?----rfx=tgx — ctg х±С;
J sin2	X COS2X	J	sin2	X COS2	X
2) 3 tg x ± 2 ctg x + C. 1271. 1) A-2i|£+C; 2) -|±^+C.
x3
1272.	1) 2 arctg x — 3 arcsin x + C; 2) —-x ± arctg x + C.
О
1273.	1) x4 ~	21n|x| + C; 2)	3 \/х ±-|=-± C.
2x2	V x
1274.	1)	2 (X ~t2) + C; 2)	4 in | x [-- — ± C.
у x	у x x
1275.	1) In | x | — у — 2^2" + c< 2) x ± cos x ± C. 1276. 1) ex +
1
± tg x ± C; 2) yy —yy + c- 1277. cosx — ctg x ± C.
1278. tg x — x ± C. 1279. 4 sin Зх + C. 1280. — 2 cos 4 ± C.
О	X
1281. -4-e~3* +c- 1282. 4-tg5x±C. 1283. 2 (ex/2 - e~x/2)+C.
3	о
1284.	4(4x-1)3/2±C. О	1285.	(3 - 2x)S io + c-
1286.	- 4 (5-6X)4'3 + C.	1287.	— V3 — 2x + C.
1288.	~ cos (a — bx) + C.	1289.	In (x2 - 5x ± 7) ± C.
1290.	lln (X2 + 1) + C.	1291.	— 0,1 In |1 — Юх | ± C.
1292.	— -g- In I 1 — Зе2* I ± C.		1293. In | sin x | + C.
1294.	— ln|cosx|±C.	1295. In | sin 2x | + C.		
1296.	—|-ln|l +3cosx| + C. 3	1297. 1 ln|l +2sinx| + C.	
294
1298. In | 1 + In x ] + C. 1299. stn*- + C. 1300. -	+ Э*
1301. --^-Дз-----f- c. 1302. Ц------h C. 1303. —T-C(?s'L_p c.
3 sirr x	2cos1 2x	sinx
1304. sin2 x + C. 1303. — ecos * + C. 1306. 4 ex‘ + C.
2	о
1307. —-~e~xl + C. 1308. 2e^x + C. 1309. у V(x2 + I)3 + C.
1310.	V(*3 — 8)4/4 + C.	1311. 0,5 V(1 + x3)2 + C.
1312. — Vl — x2 +C.	1313. — Vl + 2 cos x + C.
1314. 2 V(1 + In x)3/3 + C.	1315. (1 + 4 sin x)3/2/6 + C.
J316. __L(1 _6x5)4/3+(?.	1317. 2x + ~ (e2x - e~2x) + C.
1318. 2JH12L|-C. 1319. — yV1^4x+C. 1320. — у sin (a—bx)+C.
1321. ^(1+3x)4/3 + C. 1322. - у (1 - 2x3)7/® + C.
1323. Vl +x2 + C. 1324. - 'ncpSy-2- + c- 1325. 2 1n|sinx| —
— ctg x + C. 1326. esln * + C. 1327. — у in | 1 — x3 |+C.
1328. оГ7 -T-VF + C. 1330. 1) 0,1 in I —jr?"1 + C-
2b (a — bx)2	| x + 5 |
2) 2- arctg 4 + C. 1331. 1) arcsin 4+C; 2) In (x+V*2+5)+C.
О	О	2
1332.	1) ln|x+V*2 —4 I + C; 2) —^=- arctg 	+ C.
уз V3
1333.	1) arcsin -^= + C; 2) —arctg— + C.
V5	6	2
1	1 I h]C — (T I
1334.	1)— arcsin -~+C; 2) —— in —----- + C.
2	V3	2a6 I bx + a |
1	2x
1335.	1) — arcsin-5^ + C;
2	V3
2) ± In (x4 + Vx®37^) + C. 1336. 1) 2,5 In (x2 + 4) - arctg4+C;
4	2
2) A in I x2 — 4 I — In |-4—41 + C.	1337.1)7^+? +
2	| X -f 2 j
+ In (x + V^+T) + C; 2) - '/T^x2 + arcsin x + C. 1338. x-
—arctg-x + C.
1339. — + 3x + 1^1. In -----------^4- + C.
3	2 x + V3
1	Y — 4
1340. arctg (x + 2) + C. 1341. arctg — +C. 1342. In (*+! +
2	2
295
x — 2
1344. arcsin-----|- C.
2
1346. —arcsin —------
V2	5
1343. arcsin--—f- С.
72
2	, 2x 4~ 3 , л
1345. —;= arctg-=- + C.
V3 <3
C. 1347. —L_ In | Зх — 1 4-
7з
____________ _/ i
+ 79x2 — 6x + 3 I 4-C. 1348. <3 ^arctg —^4-ln
+ с.
x
1349. arcsin -j=- 4- in (x 4- 72 4-х2) 4- C. 1350. 2 In (x2 4- 5) —
1351. x4-—Uln
72
x — V2"
x + 72~
+ C.
1352. —-2x 4-2 72 arctg4-C. 1353. arcsin (ex) + C.
3	72
1354. arctg (2x2) 4- C. 1355. 0,2 arctg * j? 2 4- C.
О
1356. -i- arctg *	- 4- C. 1357. arcsin -X Xi 2 4- C.
2	2	о
1358. — In (x2 4- x 4- 1)----arctg 2X+1 4- C.
2	73	73
1359. у In (2x 4- 1 4- 74x2 4- 4x — 3) 4- C- 1360. x In | x | — x 4- C.
1361. m I x - 1 , - 1	4- x 4- in , x - t i ) 4- C.
1362.4e2x (x - 4) +c- 1363- arctg x - f+c-
1364. x2 sin x 4- 2x cos x — 2 sin x4-C. 1365. A- ex (sin x—cos x)4-C.
1367. x [(In I x I — I)2 4- 1] 4- C. 1368. — x ctg x 4- in I sin x I 4- C.
1369. _ ln 1	+-1 4-C. 1370. 2 -y/T+~x arcsin x 4- 4 71 — x 4-C
1371. x arcsin x 4- 71 — x2 + C.
1372. — e~x (x3 4- 3x2 4- 6x 4- 6) 4- C. 1373. x In (x2 4- 1) - 2x 4-
4- 2 arctg x -|- C. 1374. 4 (cos in x 4- sin In x) 4- C. 1375. — 7^3 X
2	О
X !ZIn 1 x 1 - 4) + C- 1376. - 2e~xl2 (x2 4- 4x 4- 8) 4- C.
к	<J ✓
1377. x arctg x —in (1 4- x2) 4- C. 1378. x tg x 4- In | cos x | 4- C.
1379. 0,5ex (sin x 4- cos x) 4- C.	1333. 472 4- x — 2 72 - x X
X arcsin 4 + C. 1381. -	(-y4- 4- ctg x ) 4- C.
Xi x, □ 111 Jv	у
296
1382. x arctg V2* — 1 —	—-----Ь 1384- 3x4-4sinx4-
4-sin 2x 4-C. 1385.	+ cos 2x - Sin 4+ + C. 1386.	-f-
z	о	о
+ ^ + -^+с. .з«7 «_1!у£ + с. rn
4	uZ	о OZ	IZo
sin 4x , sin 8x	„	,x sin 4x sin32x
---128" + П02Г + C-	1389' 16 -“64~+^8—+C-
<onn	1 2 a cos5 x	n sin3x sin5 x . „
1390. — cos x + — cos3 x-----1- C. 1391. —----------1- C.
<3	о	3	5
1	1	4
1392. — sin4 x — — sin6 x + C. 1393. sln x — sin3 x + — sin5 x —
4	6	5
1	8 <una x
— 4- sin7 x + C. 1394. 7x + 14 sin x + 3 sln 2x	-4- C.
7	3
1395.-------r"--sin x + C. 1396. —!--------------1- cos x + C.
Sin X	COS X
1397. 1 In | tg x | + C. 1398. 1) ln|tgy|+C;
2) In |‘g (| +-J) j + C- 1399- 4 [|П |tg T | +
4-In Itg (4 + т) 11+ C- 1400. ( —---------------—-------=
|	\ 2	4 J | J	J sin x — cos x
= -^ln | tg (+ - £) | + C. 1401.	+ In | cos x | + C.
1402. -	- In | sin x | + C. 1403. - j (cos 4x+2 cos 2x)4-C.
,...	1 Г sin (m 4- n) x . sin (in — n) x 1	_
1404. -y---------i:------------------------—|4-£	при m^=n и
2 L m + n	m — n J r
X 1	1
g- + sin 2mx 4- С при m = n.	1405. 1) — sin 2x —
1	• o.. _t_ r .01 1 Г sin (m ~ ra) x sin (in 4- n) x I
----— sin 8x 4- C 2) 75---------------------------------;------ 4- С при
16	2 L m — n	m 4- n J
x 1	1
m^n и — — -— sin 2mx 4- С при m = n. 1406. —j-y cos 6x —
Z	4rrT	1Z
— 4 sin 4x + <?. «7.	+	+
+ ^i) + C. 1408. ,)^2i + 2.,„|,84|+ci
„4 sin X , 1 . I , f X , л \ I , „ ,	llx , „ . „
2) 2^V+Tlnitg U+ t)|+C- 1409- — + 3 sin 2x4-
207
Q	3	11
+ sin 4x + C. 1410. — x — sin 2x + — sin 4x + C.
о	о	4
x sin 4x sin3 2x	' 	2 sin3 x ,
1411.	---гп----75--------1- C- I412- sin x-5-(-
16	64	4o	о
. sin5x , „	cos5x cos3x _	.
4-----1- C. 1413. —5---5-h C. 1414. 7x — 14 cos x —
5	Da
— 3 sin 2x + 8c°S^-+C.	1415. ’ ln|tgx|-x + C.
a	z
1416. 4- (2 sin 2x — sin 4x) + C. 1417. —+ cos x + tg x + C.
o	COS X
1418. -4-cos f2x + 4') +4a: + C- 1419. 1)	+ x2 + 4x +
4	\	□ /	4	о
+ 8 In | x - 2 | + C- 2)	~ a.2x + a3 arctg - + C; 3) -£ +
a	Ha
+^In]x3-a31 + C.1420.1n	1421. ln|-(* 1P |+C.
a	x ““ о	I x x j
1422. In C*3 7 1} 	1423.	+ 4x + In 1)8- + C.
x + 1	2	| x |	* 1
1424. — + In I X ~2 I + C. 1425. in X~-a- + —+ C.
x | x |	a2 x 1 ax2 1
1426. lnCx(x—1)4-----2-r-.	1427. in ^=4-------l~r + C.
' x — 1	x+1 x + 1
5	x -I- 1
1428. 4 in (x2 + 2x — 10) — arctg --1- C.
2	a
1429. 2 In (x2 - 0,2x + 0,17) - 5 arctg 10*4~ 1 + C.
1430. in | x + 1 | Vx2 + 4 + C. 1431. 3 in 2x + L 4.
X — 1 + 2 arctg	h C. 2 x — 1 , r X arctg	+ °-	1432. — in —+ 2)1	4- —1_ x 24 x2 — 2x 4- 4	4 VT 1433. In A//x2+.1.	!	p arctg x 4-C. |x4-H	x+1
1434 1) — (arctg +   &x A + C- 2) 1 Г (56^ + 3x^)
1«4. 1) 2йз ^arcig b -Г x2 + b2 J -1- b, 2) gf)4 L (X2 + b2)2 +
+|arctB «]+ C. 1435. > -3--/+V.+ 5)-1Г”^Ф+С'
1437.
4 (x2 + 2)
+ ^arctg-^ + C. 1438. ±ln l+C. 1439.—L— X
8 V 2	a x + a |	a — b
X In I X +-b- + C. 1440. —In 1 —— l + C. 1441. —Ц=-Х
I x + a	2 x I	10 V3
298
Xln
x — Уз
x + Уз
+ yin
1444. In
g -7^ arctg+ С.
5У2	У2
+ С. 1443.—
1 С 4 + х2 — х
4 J х (4 + х2)
1442. —+
х
С (х - 2)3
х — 1	•
С(х — I)3
1445.
1446. In (х + 2)2 (д. _ 2) •
1448. 2 In С ~ 2)-----------!—
х х — 2
dx = -ln-^L=+C.
4 У4+х2
In С (х — 1) У2х + 3 .
1447. 3 In С (Х7~
х + 2
1449. In
,2
— In
а
1451. —In * Х + 1 L Ч---arctg-^=-+ С.
3 Ух2+ 2 зУг У2
1 , (х — 2)2	1	, х+1
24 х2 + 2х + 4	4 УЗ УЗ
+ arctg (х + l)j + С.
+ 2 arctg (х- 1) + С. 1450.
— arctg — + С.
а а
1453.
1454.
1455.
1456.
5 1п|ТТ5 | + С-
1 f х2 + 3 — х2	1	1	х , ~
— \----------dx -------------р- arctg —+ С.
з J х2 (х2 + з)	зх	зУз	Уз
1 f х2+1-(х2-1) .	1 , | х — 1 1	1	.	, „
- ---------------dx = - tn | — -- arctg х+С.
1457.
2 J (х2+ 1) (х2- 1)
1 fx2 + 1 — (х2 — 2) .	1 ,
— \----1-----1------dx =----In
3 J (х2 + 1) (х2 — 2) бУг
1 х — У2 __1_
I х + У^ 3
— arctg x-J-C.
X — 1
2
2
1458. -^4^ №х + О2 + С. 1459. -2Х 1 (2 У2х + 1 - 3) + С.
О	1 л
1460. бГ-^Г----4-+Vx -1п(1+Ух)1 +С.
I о	Z	J
1461. (Зх2 — ах — 2а2) Уа — х + С.
1D
1462. 4 [^(*4+ 1)2 - У^+7 + In (У^Ч7! + 1)] + с.
1463.	-+ 2 + С. 1464. Т arcsin-1 +С (-при х>0
Сх
и + при х < 0). 1465. In----- -------
х + 1 + У2х2 + 2х + 1
1466.
V2a — х
х
VC.
1467. In--С/*+1)
1 + -У*2 + 2х + 2
а
299
1468. ~ £х Уа2 — я2 + а2 arcsin J + С.
1469. ---/   + С. 1470. 2 arcsin — - — (2 - х2) X
4 У 4 + х2	2	4	'
X УГ^Т2 + С.
Х3
1471.		. _______- + С.
За2 У(а2 + х2)3
1472.	У4 — (х — I)2 dx решаем подстановкой х — 1 =
= 2 sin t, J У4 — 4 sin2 t 2 cos t dt = 2 arcsin X 1 —
_ {x— 1)Уз + 2х —x2 c
1473.	—, * —— arcsin -Д=- + C.
У2 -• x2	V2
1474.	1 (x + 5) Ух2 + 2x + 2 -
- 3,5 In (x + 1 + Vx2 + 2x + 2) + C.
1475.	— Уз — 2x — x2 — arcsin X-~ * + C.
1479. -	2--- + C. 1480. -W+ 1 + p = —+
4x2	n	2
+ -5- равняется целому числу; положив х 2 + 1 = t2, получим
f x~2x~3dx С t2 — 1	1 + 2х2	,
\	— ' са: — \-- at = — —' .. .	— -I-
J (х-2+1)3/2 J t2	хУ1 +х2
т + 1	3+1
1481. —+— = —g— равняется
целому числу; положив
.о .о	1 f <2-« j. 2а — fix2
“ -b“~ '  °°Л,"М V )	•“ - f
1482.	1 +с.
О
1483. Ж±-1^-+ (зх + 1)V3 + 1П | (зх + i)V3 _ ! 1 + с>
1484.	х — 2 Ух + 2 In (Ух + 1) + С.
1485.	- 0,3 (2х + За) У (а - х)2 + О.
300
1486.	2 V* — 2 + д/2 arctg aJ —+ C.
1487.1<^ЕП( ^E+2 + ДЕ+1) + c.
US». In (1 + V(1 + »’> + . , ! .. , + C.
1 + Vl + X2
1489. x2 + 4 V(4 - x2)3 + C; в этом примере выгодно сна-
о
чала освободиться от иррациональности в знаменателе.
1490. Т	— при 0 и + при х < — 2).
]491. arccos 4 f + с- I492, 2arcsin у — тр V4 — х2 + С.
1493.	2 arcsin д/— л/Чх — х2 + С.
1494.	^4х + х2 - 2 In | х + 2 + ^4х + х21 + С.
1495.	—*4~ — д/5 + 4х — х2 + arcsin * ~ 2 + С.
1496.
4,п
UI
1497. - v + C. 1498. ]
x
f x2 dx	= £ f dt
J x3 Vl -x3 = 3 j i2- 1 '
1499. Положив x = l/t, найдем
f dt	C dt
— i . -	----= — \ . ..	= arccos
JV3-2t-t2 JV4- G + l)2
1500. j In (e2x + 1) - 2 arctg (ex) + C.
Положив
_1_
3
In
1 — х3 = t2, найдем
V1 — х3 — 1
2х
1501.
4tg3 x -
е2х
1502.	----2е* + 4 In (ех + 2) + С.
1503. in
* х
tg2
1504.
2tgf + 1
fg|~2
1507. 1 arctg
A	\ Z /
1505. 4 In
О
1506. - -С<^3 * - ctg х + С.
1508. ех + In 1 ех - 1 | + С.
1509.	- In [ cos х | + С.
301
1И0. .> + 4 In |£+т| + С-
/. X\
i	I	9 I	fpr3 JC
1511. -Ar arctg I —A- I + C.	1512.	+ tg x + C.
\ J	3
1513. у arctg (2 tg x) + C. 1514. In | tg A | + tg2 A + C.
1515. -J- In (tg 4|-lctg2 A+C. 1516. 2 In | e* — 11 —
I X I 4	A
— x + C.
1517.-i-(‘g« + >n|tgxl)4-C. 1518. 1) -Ц^-А+С;
Z	1А	A
2) 4 + ch2x + Ar£ + C- 1519. 1) shx + ^-+C.
2	о	о
1520. In I ch x I + С. 1521. - -ЦсАА + С.
/х , sh 2x , sh2 x \	_
~ |/2+-^Г- + ~2~) +C‘
и 1524. См. c. 154, № 1366.	1525. --+ C.
4 V4 + x2
------A_---+ C. 1527. -Ch3---- ^A + C.
5^/x2-5	9	3
1529. ^- + C
6Z О	О
x — cth x + С. 1531. 2 Vch x — 1 + С (под интег-
ралом умножить сначала числитель и знаменатель на Vе!1 х ~ 0*
1532. -Ь 2- + С.
ch х
1533.	4- Ш 1 х + V^3 | + 4 7^3 + С.
А
1534.	In | х + ТхЧ^З I -	+ с.
1535.	2 7х + 1 + In |	j 4. о,
153в. .№^- + С.
1537- iln |	1 - i + °- 1537 1538- ‘s й -1)+с-
1539. 2 arcsin л/х + С (положить x=sin2/).
1540. ab arctg (A tg х) + С.
1541.	(я2 + х sin 2х + cos 2х j + О.
1522.
1523
1526.
1528.
1530.
302
1542. In С (ex + 1) - x - e~x.
1543. \ л/—---------— dx — \ —1	X dx = arcsin x 4-
J V 1+x J Vl — x2
4- У1 — x2 4- C. 1544. -	+C.	1545. x tg X 4-
+ In I cos x I - — + C. 1546. In I tg 4 I + cos x + C.
2	j 2 |
1547. - 4 arctg + C. 1548. Зх1/3 - 12х|/6 +
О	о
+241п (х1/6 + 2) + С. 1549. -Q^ax(положить ax-\-b=t).
1550.---- + arctg х + С. 1551. —j-—-г- (разделить чис-
литель и знаменатель на cos2 х и положить tg х = t).
1552. -|-Vfl + t>lnx + C.
1553.
------------!-----—г- + С при и =/= 1 и —5- х
ЗЬ (п — I) (а — Ьх3)п 1	36
X 1п | а — Ьх31 + С при п = 1.	1554. Выделив под корнем пол-
ный квадрат, положить х + 1 = V5 sin t (или же решить
методом неопределенных коэффициентов);—-—V1 — 2х — х2 4-
+ arcsin Х + С.
1555. -	+ С. 1556. 1 in ——--------arctg Х + С.
(л/х + 1)2	2	1 + х2 х
1 рх 1	1
1557. - arctg --------x + yln(4 + егх) + С.
1558. In
cV2x + 1
1 + У2хП
1559. х + ctg х — (cig3 х)/3 + С.
1560. -	_ arcsin 4 + с.
х	2
1561. 1)
Уз + ctgx
Уз — ctg х
2)
Уз + tgx
V3 —tgx
4- С. 1562. 1) Освободиться от
4-С;
ирра-
303
циональности в знаменателе; [(х + а)3/2 - х№] + С\
ОД
2) у [х Vх2 + 1 + In (х + Vх2 + 0 + х2] + О.
X2 ,	, 1 , , С(х - J)2
1563. — + х + - + In —~±L~-
1564. — у (~“~)3/2 + С (положить х = 7")'
1565. (2 arctg Vx3 — 1)/з 4- С (положить х3 — 1 — /2).
1566. 0,5 [х + In | sin х + cos х |] + С. 1567. 2[VxX
X arcsin Vх + Vl — x] + C. 1568. tg2 x + С или —L-----h Ct.
COS X
1569. 1 cos x_ 2i.n...x	_ Vctg2 x d (ctg x) + \d (ctg x) =
J sin X	J	J
= ctg x--------C-з — + G. 1570. — ctg x In [ cos x | — x +
1571. e~x + 1 In |	| + G. 1572. 1 tg4 x + С (поло-
жить tg x = /).	1573. In | x | —*	" In I x + 1 | + C.
1574. ( Vl ~ sin x dx = ± \ V-°S = ± 2V1 + sin x +
J	j VI + sin X
+ С (+ при cos x > 0 и — при cos x < 0).
1575. -4=- arctg (V2 tg x) + C.
V2
,й76 1 (	-1 ( x2+l-(x2-2)	_
*57b- 2 J (x2 + 1) (x2 - 2) ~ 6 J (X2 + 1) (x2 -2) a (X ’ ~
=4!n 1 х*2, ?--+c- i577- - 2e (^x+0+C.
6 X2 + 1
1578. 2 Vx arctg Vх — In | 1 + x | + C. 1579- Vtg x + С (по-
ложить tg x = t). 1580. In I x I-2~x^~ ln "l" И + C.
1581.	—arctg (ax) + C.
In Cl
1582. 2 (Vх + cosVx) + G.	1583.
4- 2 V2 In -!-X===---4- С (положить
Vх 4- 1 4- V2
1584. x — Vl — x4 arcsin x 4-C. 1585.
l^V7Ti +
X 4-1 = Z2).
Vx2 — 1 c
------ I положить
1586. — Д - 4- G (положить x 4~ 1 = /).
o (x T* t)
1
x= t
304
1587. д/2ах + х2 — 2а In | х + а + л/Чах + х2 ] + С (с. 159.
п. 4°). 1588. In	+ С.
1589. - .!. + .cos У+..sin2x +С.
Sin X
_лл 1 1 С (х2 + 2х + 2) , 1 t 2х ,
1590- -16 1П • х — 2х 4-2 " +т arctg [знаменатель
разлагается на множители так: х4 + 4 = х4 + 4х2 + 4 — 4х2 =
= (х2 + 2)2 — 4х2 и т. д.].
2
Sdx
— = 0,693.	1593. 20.
х
1
1594. 21/8. 1595.—. 1596.-2-.	1597. "	1598. 3 (е-1).
3	6	12а
1599. ln(l+V2)' 1600. 1/2. 1601. Положив х = /2 и изменив
V 2tdt
соответственно пределы» получим 1 t _ \
2
= 2 (1 + In 2).	1602. -? ~2~-•	>603.
_ VI. 1605. In -^-г. 1606. а (я ~ 2}-
2	е 1	4
= [2f-f-21n(/-l)]| =
2-In 2. 1604.-^-
О
(положить х= a sin2 t).
1	2
1607. 4. 1608. 44-. 1609. 2 In 2 — 1.
о	lb
16Ю. V^+ in(i +V2)  leil VL—Vl_ 1612_ ln j..
1fi14 nJ. n  91 > ’ 3 П .	1*3-5 П 1614 _____________ °3
I6I3. !) 2 ’T' 2) 2-4 2 ’ 3 2-4-6 2 ’	0 4	6 ‘
1615.-4.	1616.1. 1617.	- L. 1618. 2 In 1,5-4-
О	Z	о
1619. arctg e--4 « 0,433.	1620. 44.	1621.	.
4	6	4
1622. -2- - 1. 1623. —
ч 1  3 • 5 л	32
3) 2^Гб'Т-	1625- 2/
ведения основания (2л/2рЛ)
на
1624. I) 1-^; 2)44т;
1626. nab. 1627. 2/3 произ-
высоту h. 1628. 32/3.
1629. 8 In 2.	1630. 1. 1631. 16/3.	1632. 19,2.	1633. 25,6.
1634. 128/15.	1635. 8/3.	1636. 125/6.	1637. па1
(см. рис. 56 на с. 319).	1638. 0,8 (см. рис. 53 на с. 317).
1639. (4 — л) а2/2; положить х = 2а sin21 (рис. 84, с. 347).
1640. 2а2 sh 1 = а2 (е — в~ ‘) « 2,35а2.	1641. Зла2.
305
1642. Зла2/8.	1643. а2.	1644. Зла2/2.	1645. rmajt = 4 при
2<р = 90° + 360° п, т. е. при <р = 45° + 180° п = 45°, 225°; г1п[п =
= 2 при 2(р = — 90° + 360° п, т. е. при ф = — 45° + 180° п =
= 135°, 315°. Смежные экстремальные радиус-векторы при 45°
Зл/4
if	19л
и 135°. Искомая площадь равна — \ (3 + sin 2ф)2 dtp = ——.
2 J	о
л/4
1646.	1647. -у"- 1648.-ДУ 1649. г = a (sin <р + cos <р) =
= ад/2 cos (ф — Д-) ; rmax = а^/2 при ф — Д- = 0, ф =
_	«ТЕ Л»	ЗЯ
/Ш1п =0 ПРИ Ф --у = ±-у» Ф = — Y и —. Площадь
ЗЛ/4
S = — (а д/2)2 cos2 ^ф------j-) dtp =	. Ответ получается
-л/4
проще, если перейти к декартовым координатам: х2 + у2 =
— а (х + у) — окружность. 1650. 7а2/(4л).
1651. (10л + 27 V3) а2/64. 1652. За2/2. 1653. 36.	1654. 12.
1655. 32/3.	1656. 4/3 (см. рис. 52 на с. 317).	1657. 14/3.
1658. 2.	1659. 16/3.	1660. 17,5 — 6 In 6.
о
1661.2	— х х + 1 dx = -У (см. рис. 49 на с. 317).
-1
1662. гтах = 4, когда 2ф = 180° + 360° я, ф = 90° + 180° п =
= 90° или 270°; /пцп = 2, когда 2ф = 0° + 360° п, ф = 180° п = 0°
или 180°.
л/2
Площадь S =-^ \ (3 + cos 2ф)2 <Уф =-!^-.	1663.
1 J	о	4
о
1664.^-. 1665. -Д-. 1666.-Д(е2я-е“2я) = УД112л.
1667. 4ab arctg —. 1668. Д-ла2. 1669. nph2. 1670. — а??. .
Но	3
1671.12л. 1672.58,5л. 1673. 2л2а2&. 1674. ла3 + 1) .
1675. Д^-. 1676. 4 ла3. 1677. Зл2. 1678. Д^-.
1ЭО	7
1679.	1680.
тг \ О A J	О
1681. ДД 1682. -ДД 1683.	+	1684.	ла26.
о	о	4	3
306
1685.
32ла3
105’
1689. 5л2а3.
1686. 19,2л. 1687.	1688. V =
о	о
1690. 72л. 1691. -Ц^-.	1693. 6а. 1694.
2.1	21
1695. 8а.	1696. Точки пересечения с осями при it = 0 и
Ve
t2 = Vs, s = V^TT • t3 dt = 13/3. 1697. д/б + In (V2 + д/з).
о
1698. 2a sh 1 « 2,35a.
12/5 _______ 13/5
( Vl + *2 .	112/2 C
1699. s = \ —— ------dx\ полагаем 1+* —г, s = \	~
3/4	5/4
e= p + -1_ In 25 =	+ 'n 2,043. 1700. Точки nepe-
Л/3
„	л f dx
сечения с осями при Xl = 0 и x2 = -5-; s = \	— =
О	J COS X
0
я/3	Л/3
.= f cosxdx = C d (smx)_ _ ln (2	170J	4 y-
J cos2 x JI - sin2x
о	0
2) 0,5 In (2 ch 2) « 1,009.
1702. 1) 8a;	2) na Vl + 4л2 +
+ In (2л + Vl + 4л2). 1703. 3na/2. 1705.28/3. 1706. In 3.
1707. 2 In 3 - 1. 1708. p [V2 + In (1 + V2 )] » 2,29р. 1709. 4 V3 .
1711. 14Л/3.	1712. ла2 (sh 2 + 2).	1713. 2л ^1 +
1714. 2Л [V2 + In (1 + V2 )].	1715. ла2.
О
4я \
3 V3 /
1716. 3л.
1717. 4л2ай. 1718. 34 V*7---------?_я.	1719.	1720. 2,4ла2.
V	о
1721. 29,6л. 1722. 1,44 • 10s Н; на нижнюю половину сила давле-
/7/>2	О
НИЯ 1,08.10s Н. 1723.-^-.	1724. —-J?3.	1725. 2,4-106 Н.
о	о
1726. Ix = ^-,Jy =	1727. Jx Jv =	1728. 6,4.
а
и3	а	Г w
1729. Мх=Му*“-£-‘, хс=ус=—. 1730.	\ — ydx = 0,lab1,
О	О	J А
о
а	а
Му= xydx ® -у Ьа21 s^{ydx*» Хс = ~а, ус = о,ЗЬ.
о	S
307
2\-%-ydx
о	4	4
1731.	хй = О, ус = °о,5ла2 ~ = Зя ~9~а‘
1732.	1) 1,12 • 104л Дж; 2) 2,3- 103лЯ4 Дж.
R+h
1733.	(	ПкЛ»^,™ Дж.
J X	1\ 11' л	о
R
я
SC (1 <«
---------------------------------- --- = 100 с.
0,6s V2gx
0
я+л
п2	р
1738./ =--------р= \ jr-V^dx, где h « 2 — высота допол-
0,6г2Я2 ^2g J
п
ah^
нительного конуса. Вычислив, получим / « 42 с. 1739. ——.
О
1740. 17-^-. 1741. —1742. 2,4 • 104 Н на каждую стенку.
5	V2
а	л/2
1743.	Ix = у2х dy = a4 sin2/cos2/<// = -^-.	1744. хс = 0,
о	о
2
У2 dx	н
ус =	1745.л/?-:100Q f (/у _ Х)2 xdxtv 300л Дж.
*	и	Л J
2 у dx	0
о
•7«- ТТЛ- [&)'" - 1] “ 15 980 д«- 1747- ‘ “ тйлз х
X л/~ Т *** 419 с- 1748. 1) 1; интегралы 2) и 3) расхо-
ОО
.ч С dx 1	,
дятся; 4) \ —75- = ——у при п > 1; расходится при п<1.
1
1749. 1) 1; 2) 1/2; 3) л/4; 4) 1; 5) In 2; 6) 16.	1750. 1) л/6;
2) 4-+-^Г-; 3) Я7—•	1751. 1) 6^Г; 2) расходится; 3) 6.
4	2	о
,, f dx	.	1^1 f dx
1752. 1) \	7 сходится, ибо —	-- <  a \ -л^-
J Vl + x3	Vl + x3 x3^2 J x3^-
0	1
oo
C dx
сходится (см. задачу 1748); 2) \	---- расходится, ибо
j -у/x3 — 1
2
308
1_______ 1
3 _ 1 X *
с оч
а \ -у- расходится; 3)
2
00
00
-X
ie " dx
------------ сходится,
о
ибо	х при x^lt а е * dx сходится (см. задачу 1749);
1
J4 I sin х dx .	- sin x I. 1
4) \----я-- абсолютно сходится, ибо --=—а
' J х2	х2^х2
1
оо
dx
—я- сходится
х2
1
(см. задачу 1748); 5)
ОО
Sx dx
\/х* + 1
2
расходится, ибо
 ,	> .	. при X > 1,
V*4 + 1 У X4 + X4
оо	1	оо
расходится;
6) е dx = J е xl dx + J e x* dx сходится, ибо e *2 e x
о	о	1
00	1
ири x^l, a e~x dx сходится, 1753. 1)	при
i	о
ь
Л, C dx (b~a)l~n
n < 1; расходится при nSsl. 2) \ —-------ттг =------;--~----- при
J	X i	1 fl
a
n < 1, расходится при n^l. 1754. л. 1755. 2.	1756. Зла2,
1757. 2л2а3. 1758. л [д/Г + ln(l + д/г)]. 1759. 4л/3. 1761. 1) 1/2;
2) 1/3; 3) 1; 4) расходится. 1762. 1) ln(l+V2); 2) 2;
3) 1 - -2-. 1763. 4-. 1764. 16л. 1765. 2л. 1766. 1) —; 2)
'4	2	л л
3)	4) — +аз& + 62 ; 5) 4~.	1768. 1) в (Л) = 0;
4	55
2) I е (А) К — < 0,3. 1770. -f- л « 28,8 дм3. 1772. In 2 = 0,6932;
1 и	О
2-10 4
|е(Л)|<------—< 0,001. 1773. 8,16л. 1777. Приближенно 1,22л.
1778. R = 1/2. 1779. R = 1/2. 1780. В вершине (2; 0) R, = 1/2;
в вершине (0; 1) R2 = 4. 1781. R = 4а. 1782. </гпах=1/е при
х = 1; R = е. 1783. (4; 4).	1784. (3; -2).	1785. (0; 1)
1786. 27Х2 + 8У3 = 0. 1787. (2Х)2/3 + У2/3 = 32/3.
1788. Х2/3 - У2/3 = (2а)2/3.	1789. X = a cos t,	или
Л2 + У2 = а2.	1790. k = / (1 + е2х)-3/2; Amax = —в точке
3 V3
ЗОЭ
In 9	9	,  n2	ra
X = -	- 0,347.	1792. 1) R = л/tor, 2)	3) --5.
Z	<J	<jf	и
1793.	1794. 2.	1795. 1.	1796. 1.	1797. (-2; 3).
1798. (О; -4)- I799- (“T-; “r)- ,800- ^ = -J--y«-0,7,
Y=— -5/2 «-1,4. 1801. 8X3 — 27У2 = 0. 1802. X = — t2 (1+y),
У = 4/(1+4-У> Для построения кривой и эволюты составить
таблицу значений х, у, X, Y для 1=0; ±1; ±3/2. 1803. (Л+У)2/3—
- (X - У)2'3 = 4. 1804. (X + У)2'3 + (X - У)2/3 = 2а2/3; при пово-
роте осей на 45° это уравнение примет вид х/3 + у/3 = (2а)2/,3>
т. е. эволюта астроиды есть тоже астроида с увеличенными
вдвое размерами и повернутая на 45°. 1806. 21. 1807. 51. 1808. 7,5.
1809.2л. 1810. 2 sh 1 « 2,35. 1811. -3 ~НП 2 . 1812. Зх + 4у = 0;
44- = 41-3/.	1813. 1/ = 4-х-4; 44 = 31 + 2(2-/)/.
1814. w = 44 = — 2/,	= ~7—' * ---------- ,
dt	-V4/2—16/ + 25
Q
wn = —.—	; при / = 0 шт — 1,6;
V4/2-161 + 25
1815. —=- + -7=- =1; v = —a sin ti + b cos ti, 10 —
а1 о2
wn = 1,2.
—г.
1	2/	3/г '	‘1	2х ~
= Z^/jL 1818.-^4^- = -^^-=^^-. 1819. г = —i + А,
2 л/х
B=i + k, N = -2j- t =  "* + *-; ₽ = -ЦД v = -/.
V2	V2
1820. В = rXr = 6i- f>j + 2k, N = (rXr) X r = -221 - 16/ + 18A,
„	X — 1 у — 1 Z — 1
уравнения главной нормали: —j-j— — —-— =--------—;	бинор-
x — 1 у — 1 z — 1
мали: —— = ——у-=—j— и соприкасающейся плоскости:
Зх — Зу + z = 1. 1821. W = 3(1 + /), В = —i + j + 2k. Уравнения
- ,	х — 1 у — 1 Z
главной нормали: х = у, г = 0; бинормали: -j—= —— = —.
1822. Исключив 1, получим х2 + у2 = z2 — уравнение конической
поверхности, г = (cos 1 — t sin 1) i + (sin 1 + t cos 1) j + k = i + k',
T = (—2 sin t — t cos t) i + (2 cos t — t sin t) j = 2j; В = г X г =
310
= 21 + 2k, N = 4/. Касательная: x — z и у = 0; главная нормаль:
Л
ось Оу, бинормаль: x + z = 0 и t/ = 0.	1823. При t = -g-
йл	_
х 2	2	, Va
------ ------------; у = а. 1824. cos а = ± —т=-------=-,
—а	о	Va + V й
„	л/b	\ab ,
cos в = ± ——4----т=, cos V = ± —7=----7=^; выбор знака зави-
Va + V&	Va + Vb
сит от выбора направления на каждой ветви кривой. 1825. Урав-
нения винтовой линии: х = sin 2t, у = 1 — cos 2t, г = 2t2, где t —
угол поворота (рис. 44). Единичный бинормальный вектор 0
Рис. 44
в точке С (при t = л/2): fl =	1826. При t=~~
-V2 + л2	*
,, . ,,	. ,оо_ х — 2 у — 2 z — 8
v = a(i + /), w = ai. 1827. ---;;---------=---------.
1	1	о
1828.^1=-^- и 2 = 3.	1829.
1830. 120°, 60°, 45°. 1831. N = — 261 — 31/+22ft, В= 161— 12/ + 2ft;
X — 1 У — 1	2—1 X — 1 у — 1 Z— 1
~26	31	—22 ’	8~	—6	1 ’
1832. ДО = —4/— 46, В = 2/ — 2ft. Уравнения главной нормали:
х = л, 2 = у + 2; бинормали: х = л, у + 2 = 6. 1834. v = г = 1 4-
+ (1—21) /, w=r’=-2/,	= -1 Р * W 1 = р-; V - V2-41+4/2;
41-2	о2 2
WX = V= --.	= — V2 , Wn = -j- = — =:-J2.
' V2 - 41 + 4i2	V V
311
1835. v = г = — 4 sin ii + 3 cos ij = —w = r = — 4 *-7=-;
72	72
1	12	,	.	 n--o~.	7 sin 2/	Л
-^-=~• о = V16 sin /+ 9 cos1 2/, v=—~--------------; при t = ~
5	•	7 n_ /-	o2 12
v — —wx = v=-----------------=^ = 0,7'у2,	wra = ——  ----------
72	5 72	Я v
= 12	= 2,4 72. 1836. v = r = i + 2tj + 2/2A, w = 2/ + 4tk;
a=2/2+i, 1=Ц"1
2	_ 2
(2/2 + I)2	9’
wt = v = 4/ = 4,
o2	2(2/2+l)2
Wn R	(2/2+l)2
2 (в любой точке). 1837. Сначала со-
ставим матрицу координат векторов
t	t2	t3 4
1	2t	3t2
0	2	ы
0	0	6
6/2	—6/	2
Затем найдем:
1) |^| = 71+4/2+9/4; 2) |гХг!=2 79/4+9/2+1; 3) //7=12;
41 _L = 2 7э14 + 9t2 + 1 =	1 =	12__________
’ R V(i + 4f2 + 9fij3 ’ > р 4 (9/4 + 9/2 + 1)
72	1
Р
1838. 4~=	12 д >
R (х + у)2	4
1840. На «правой»
.	1	b
па «левой»: — =---------„ , ,, .
р а2 + Ь2
________2t ___________2
(2/2+ I)2 ~___________9 '
9р4 + 4у6 + 1	14
(У2 + 1 + У ’)3 ~ 27 ’
- -j-.	1844. 3) Вся
О
а2;	5) ху > 0
4- is», i-4.
1 ь
винтовой линии: — = —5----------г-
р а2 + Ъ2
1СМ1 1	2t	2
184L R	(2t2+ I)2 - 9 ’
18421 r = 4"i + w‘+ -4-k!
1843. 4- = ^у-,
Л	О
_1_
р
плоскость,
кроме точки (0; 0);
1
Р
1
R2
1
Р
4) х2 + у2
6) х2 + у2 <
(первый и
третий квадранты);
1; 7) вся плоскость, кроме прямой у = х. Уравнения
3
7 ‘
1) и 2) определяют параболоиды вращения; 3) — поверхность
4
вращения вокруг оси Oz кривой z = —^~ и у = 0 (рис. 45);
4) полусферу; 5) конус, для изображения которого возьмем сече-
ния: х = а, г2 = ау и у = b, z2 = bx -— параболы (рис. 46);
312
6)	поверхность вращения кривой 2 = —. у — 0 вокруг Oz\
V1 — х2
>•	kx
7)	конус сообразующими у = kx, z = -т----- и направляющими —
Л 1
равносторонними гиперболами
y = h, (х — Л) (z + h) = —ft2,
имеющими вершины на оси Оу
и одну из асимптот на плоскости
Рис. 46
у = х (х = /г, у = А); такие же гиперболы получаются в сечениях
х = h или z = h (рис. 47). 1845. s = Vp(p — х) (р — у) (х-\-у — ру

Рис. 47
Область существования функции: 0 < х < р, 0 < р < р и
х + у > р, т. е. множество точек внутри треугольника, ограни-
ченного линиями х — р, у — р и х + у = р. 1848. Дхг =
313
= (2х—у + Ах) = 0.2t, Дуг = (2у — х + Аг/) Аг/ = — 0,19,
Az = Ахг + AyZ— ДхАг/= 0,03. 1849. Непрерывные и однознач-
ные в области I у |	| х | функции г = +д/х2 — У2 и
z = — Vх2 — у2 изображаются верхней и нижней поверхностями
кругового конуса (с осью Ох). Примером разрывной функции,
определяемой уравнением z=±Vx2 — У2> может служить
функция
при
при
при
0<х < 1,
1 < х < 2,
2<х<3
и т. д. Прямые х = 1, х = 2 и т. д. — линии разрыва. Изобра-
жением будут чередующиеся полосы верхней и нижней поверх-
ностей конуса. Область определения этой функции |	| х |,
т. е. множество точек внутри острого угла между прямыми
у = ± х и на этих прямых. 1854. 2) Вся плоскость, кроме пря-
мой у = — х; 3) точки внутри эллипса	= 1 и на эл-
липсе; 4) вся плоскость; 5) точки внутри угла 1 у |	| х | и на
его сторонах; 6) квадрант плоскости х 0 и у 0. Поверхность
2) цилиндрическая с образующими z = h, х + у = 4/А и направ-
ляющей z = 4/х, у = 0 (рис. 48). Поверхности 5) — 6) кониче-
ские; поверхность 4) — параболоид. 1858. Зх (х 4- 2у), 3 (х2 — у2).
1860. --4,	1861.
X2 X	X2 + у2
х2	л/1
-----------. 1863. --------------з7=?,
(х - у)2 Зх (^х -----------------)
с2 + У2 '
31	— и/х ) '
У2
(х — у)2’
1864. — =
да
314
a — b cos a	de	b — a cos a	de ab sin a
c	’	db	c	9	da	c
1866. -f—= e~xy (1 — xy), -f—=— x2e~ dx	dy		-xy. 1867.	= dx
5t	du	5*	«лиг.	da	t
		
(x + 2t)2 ' dt	(x+2/)2'	dx	2 Vx -- x2/2 '
da 		/ x dt ~Л/ 1 -xt2'	1874.	4^ dx	— — a sin (ax — by),
	1875. dZ	_	У 1 x 1
	dx	X2 a!X2 — у2 ‘
dz _	1*1	 1876	dz 	 3y	dz 		3x
dy x aj x2 — y2	dx (3y — 2x)2’	dy	(3y — 2x;2 '
1877.	= ctg (х - 21),	= -2 ctg (x - 2t). 1878. — =
= 2 sin у cos (2x + y),	= 2 sin x cos (x + 2y). 1885. 1) 0,075;
2) — 0,le2 xs —0,739. 1887.-0,1. 1888. 1,2л дм3. 1889.0,13 см.
1890. 1) dz = - (Л+v) dx + (4-+^)^: ^ds =
\ Л у J	\ л у /
x. dt
= In t dx +	“ -.	1891. Az = 0,0431, dz = 0,04. 1892. 0,15.
1893. —30л см3. 1895.	= — (e* + c“Z) = —2 ch t. 1897.	=
dt	a x
=	1899.fi = —(1
dx du у \
dz  dz du , dz dv
dx	du dx ' dv dx
2)
dx q du
du , du . du f du .	, du \
= — cos <p 4- — sin <p, -— = — — sm <p + — cos <p 1 л.
dr dx	dy d<f \ dx T ‘ dy J
1903. 1) -^- = 2 [(Лх + By) cos t — (Bx + Cy) sin t] = (Л — С) X
2e2i
e<* + 1 ’
. dz а/у
du 2 Vx
2 — x
1900. 1)
, dz
+ qfrT’
1901. dU
x\	dz	_ x (	x \
у J ’	du	~	у v	у ) 
dz	,	dz	dz	dz ,
= m -г—h p -4—,	= n -—P
du	dv	dy	du
dz dz dz , 1 dz
7— = x “5--------h --<-•
dy du x du
x2 dv '
du
dz
X sin 2/ + 2B cos 2/; 2) — =
dt
2) — =
dx
1907.	=	.
dx у + 3
3
4 ’
dz
dz_^ ^Z	дг
dy du	dv
2 а/у dv
2ye2X — e2g
‘ y,xe2y — e2X •
1906. 1) — = — + —,
du dv
dz__dz_
dy du
dx
dz
dv
1908.
1910
1911. -1.
1912.
(-1; -1); 2) (1;
1) и (-3; 1).
i913- -тг-
dx
1) (-1; 3) и
dz _ у
z * dy z'
3 — x
315
1914. AL = JL =	1915. -А = А, -А = А.
дх 2г ду 2г	дх с ду с
1918. -А = А- 1919. -У-. 1920. А + + У2 1921. _L
dx Ау	х	ху	2
1922. 4-.	1923. —=Ь 4^- = ——. 1926.6; 2; 0; 6.
6	5	дх ду х — z
1929 -%L- А- о- о 1931 2ХУ у2~х2 ~2ХУ
1^9. Х4  Х3’ и> и- *а>и- (х2 + у2)2’ (х2 + г/2)2’ (х2 + у2)2'
1938. 1) -А (Зу2 dx2 — Аху dx dy + х2 dy2)-, 2) ——х dy) .
1942.	ХУ
дх2 “ V да + до ) 2	“9 ди2 + 6 ди да + На2'
д2г = ( д д \ ( д	д2г д2г д2г
дх ду \ ди да ) \ ди да / ди2 ди да да2 ’
д2г / д д V	д2г д2г д’г
ду2 = V ди да /	ди2 ди да да2 ’
д2г д2г д2г	.  д2г
дх2 * дхду л ду2	ди да ’
1943. Записывая так же, как и в задаче 1942, получим
.алг д2г - „г о Уг d*z । У2 d*z I 2У дг
~дх$ У * * * * ди2 х2 ди dv xi dv2 ~r х3 dv ’
d2z
dv2 '
х2
d2z 2 d2z d2z 1 d2z
dy2 = X du2'’ dudv~r x2 за2>
,2 A _ „2 A = _4„2 d2z 2y dz
dx2 y dy2 y du dv ~ x dv '
1946 A5. +	A£	1947 A£= 2- . d2z	- ix
°' dx2	dy2’ dx2	1—21/’	dxdy (1 — 2y)21
W	1948 0-0-	4 - -	--28x -
dy2 (1 — 2y)3 ’	’ ’	9/2VA	27t3-^t
1953. d2u = — -^2 dx2 + A dx dy, d3u =-^-dx3 —dx2 dy.
1954. 4a2-AA.. 1955. -o2-Af- +AA.. 1959. u = A +
du dv	dudv и dv	2
X 1
+ x In у — cos у + C. 1962. и = — + — + In у — arctg г + C.
3w2
1963, и = xy7, — x 4—|-h C, 1964. и — x sin 2z/ + у In cos x +
+ t/2 + <?. 1965. u = xy+ 3in^- + y + C. 1966. a = VxX
X(l+Vi5+'i)+C.	1967. и = x In у — x cos 2z + yz + C.
1968. u = AzA-4-C. 1969. у = ± x Vl + x; область pacno-
z
ложения: 1-f-x>0; x>—1. Точки пересечения с Ox; y — 0,
316
х = 0 или х = — 1. Особая точка 0(0; 0) —узел. Экстремум у
2	2	2
при х =---г-, Уз = =F—т= ~ Т— (рис. 49). 1970. у —
d	3 V3 5
= ±(x + 2)V* + 2; х —2 — область расположения. Особая
Рис. 49	Рис. 50	Рис. 51
точка: (—2; 0) — точка возврата,
при х = 0 у = ±2 д/2; ПРИ
1971. у = ± х -\j х — 1. Область
расположения х^1, х = 0,
у = 0 — особая изолированная
точка. При х = 1 у — 0, при
х = 2 у = ±2. Точка перегиба:
Точки пересечения с осями:
у = 0 х = —2 (рис. 50).
1972. у = ± х V1 — х2; область
— 1<х<1. Точки пересечения
х2 =1. *з = —1. Особая точка О (0; 0) — узел.
х = ± —« ± 0,7 у3 = ± — (рис. 52). 1973.
V 2	2
расположения |x|s^l, или
с осями: при у = 0 X! = 0,
Экстремумы при
у = х ± х л/ х.
317
Область расположения х 0; точки пересечения с осями: при
у = 0 х = 0 или х = 1; особая точка 0(0; 0) — точка возврата
первого рода с касательной у = х. Экстремум имеет функция
/—	4	4
у = х — ха/x-, при X = -Q Утак. = -^- (рис. 53).
1974. у = ± (х — 2) Vx; область расположения х > 0; при у = 0
х = 0 или х = 2; особая точка (2; 0) — узел. Кривая имеет
такой же вид, как и на рис. 52, но сдвинута вправо.
области, где х и х + 2а имеют разные знаки, т. е. при
—2а х < 0. Особая точка (—2а; 0) — точка возврата; х = 0 —
асимптота. Кривая — циссоида, такая же, как на рис. 85, но сме-
__________________________________________ у3
----------------------------------------З-; область располо-
жения у х. Точки пересечения с осями: при х = 0 у = 0 или
у = —3. Особая точка (0; 0) — точка возврата. Найдем асимптоту
вида у = kx + Ь. Разделим члены уравнения на х3: 1 =	—
— 3 (—	— = 0. Отсюда k = lim — = 1, Ь = lim (у — х)=
\ X J X	х->оо X	Л->оо
_3„2
= lim —5—;-------:—5- = —1. Итак, асимптота у — х — 1. Экст
л->оо х2 + ху + у2
ремум функции х = qp (z/) = Vt/3 + З//2: при у = —2 хэ = -$4 «
« 1,6; при х = 0 у = —3 — перегиб (рис. 54). 1977. х3 + у3 —
— Заху = 0 — декартов лист (см. задачу 366). Особая точка
318
О (0; 0) — узел с касательными у = 0 и х = 0. Найдем асимп-
тоту у = kx + Ъ. Приведем уравнение к виду 1 +	“
— За (—'j — = 0; отсюда fe= lim Г —'I = — 1, Ь
\Х J X	\ X )
= lim (у + х) = lim • 2 _	- = - а.	Итак,
Л->оо	X — ху ф у
у = — х — а — асимптота (рис. 79). 1978. у = + -
Ух2 — о’
Симметрична относительно Ох и Оу. Область расположения | х |>
> а и | у | > | х |. О (0; 0) —
особая изолированная точка. При
х = ± a л/2 экстремум у — ±2а.
Асимптоты х = ± а и у = ± х
(рис. 55). 1979. у = ±хл/2 — х; область расположения х 2.
Точки пересечения с осью Ох: при у = 0 Х£ = 0, х2 = 2. Осо-
4	4 л/2.
бая точка (0; 0) — узел.Экстремумы у: при х = — у3 = ±-—• =
3	3 уз
= ±1,08. (Кривая имеет такую же форму, как на рис. 49.)
1980. у = ± Уа2 — (х — а)2 > область расположения
I х — а К а, или — а^ х — а У а, или 0 х У 2а. При у = О
X] = 0, х2 = 2а. Точка (0; 0) особая (точка возврата). При у'=0,
/-------; , х (а — х) п За	,3 л/з
т. е. л/2ах — х2 Н-.		= 0, х = —,	уэ = ± —— а ж
У2ах - х2	2	4
5	/—
« ± — а (рис. 56). 1981. у = ± (х + 2) ух . Область располо-
жения х 0 и еще изолированная точка (—2; 0). Точка пере-
гиба при х = 2/3. Кривая такая же, как на рис. 51, но смещена
319
влево. 1982. Две области
.	, За
Асимптота: у = х + —,
врата (—а; 0). Экстремумы
у 2	,	—
1983. у = ± -^-ух + 5;
расположения: 1) х > 0; 2) х < — а.
За
у = — х----j- и х = 0. Точка воз-
а	3 73а	, _ _
У при х = — уэ = ± —— аа±2.6а.
область
расположения
х 5г —5.
Особая точка (0; 0) — точка самоприкосновения. Экстремумы у:
при х = — 4 | у |тах = 8, при х = 0 | у |га1п = 0 (рис. 57).
1984. у = ± х Ух2 — Ь Области расположения | х | /5 1 с изоли-
рованной точкой О (0; 0). График такой же. как и на рис. 51,
с добавлением еще до симметрии кривой слева. 1985. При у = 0
Xj=0 и х2 = —4; при х = 0 z/! = 0, Уг = — 1. Особая точка
(0; 0) — узел с наклоном касательных k = ± 2. При х = —8/3
'/max = 1.8 и при х = 0 (/mfn = —1. Асимптота у = х + 1. Кривая
п ресекает асимптоту при х = —0,4 и затем описывает петлю,
пройдя через
(0; 0) и (0; —1). 1986. 1) у = ± (х - а)
д/2а — х ’
кривая расположена там, где х и 2а — х имеют одинаковые
знаки, т. е. при 0 х «С 2а. Точка (а; 0) особая — узел с на-
клоном касательных k = ±1. Асимптота х = 2а (рис. 84).
Q,X
2) z/ = ± —, —	-; область расположения | х | > а и | у | > а
ух2 — а2
с изолированной точкой (0; 0). Асимптоты х = ± а и у = + а.
Между каждой парой этих асимптот точек кривой, кроме особой,
нет, ибо | х | > а и | у | > а. Кривая состоит из четырех симмет-
ричных ветвей, приближающихся к асимптотам х = ± а и
VG — X
х + область расположения
— а < х а. Точки пересечения с осью Ох: у = 0, xt = 0, х2=а.
Особая точка (0; 0) — узел. Асимптота х = — а. Кривая — стро-
фоида и получается перегибанием рис. 84 по оси Оу и смеще-
нием затем оси Оу влево на а. 2) Области расположения: х^а;
х < — а и х = 0. Точка (0; 0) изолированная. Асимптоты х = — а.
„	а (75 + 1)
у = а — х и у = х — а. При х =----------------— а — 1,6а
уэ а ± 3,3а. 1988. 1) у = — х2/4; 2) у = ±2х. 1989. 1) у = ± /?;
2) у = 0 и у=-х. 1990. 1) у = 1; 2) у = 1 — геометрическое
место точек возврата, но не огибающая; 3) у = 1 — и геометриче-
ское место точек возврата и огибающая; 4) у = х — 4/3 — оги-
бающая, у = х — геометрическое место точек возврата.
1991. х2/3 + г/2/3 = а2/3. 1992. у2 = -^-5-. 1993. (х2 + у2)2 =
X “р л
320
= 4агху. 1994. Семейство траекторий y = xtga
gx2
262 cos2 а
b2 gx2
Их огибающая (парабола «безопасности») у =------------------------
1995.
1997.
2000.
2g 2b2 *
1) х2 + у2 = р2; 2) у2 = 4лг; 3) у = 1. 1996. у2 = 4 (х 4- 1).
Х2/3	у2/3 _ /2/3. 19д8
хуа + У Ха = 2220.
ХХд ууд	ZZq
а2 "* Ь2	с2
х — 3 у — 4
2004. з	4
2005. cos а— — созД = cos у=
= 4=-. 2006. у = 0,
Уз
4-1=0; поверхность
жена на рис. 45,
2009. Касательная плоскость
х — I/+ 2z = —. Ее рассто-
у = —4х2/3. 1999. 2х + 4г/ — z = 3.
2001.
2002.
= 1.
xyoza + yxqz0 + гхоуа = За3.
2003. х +у — 2 = ± 9.
изобра-
с. 313.
г — 5
-5
в
точке (0; 0; 0)
,z
ла
ла
Зла
У
ла
V":

х
Геликоид у=аЛо^
Рис. 58
Tta
яние от начала равно -------—.
2 Уб
Геликоид — поверхность «ли-
нейчатая». Прямые линии по-
лучаются в сечениях z = h. При
г = 0 у = 0, при г = ла/4 у = х,
при 2 = ла/2 х=0, при г=Зла/4
у = — х. при 2 = ла у = 0
(рис. 58). 2010. 2 = 0, х + у-2 = -^. 2012.	=
2013. cos а = 2/3; cos р = —2/3; cos у = — 1/3.	2014. Пло-
скость z 4- У — х = а, р = -^=. 2016. 1) 2=4; 2) 2x4-2 г/4-2=6.
Уз
2017. grad 2 = — 2x1 — 2у] = —2(l + 2j).
2018. 1) grad г =	2) grad г =	. 2019. gradft =
= _ _L 1 — 2/. 2020. tg <р = | grad г | = /\JХ	« 0,79.
4?- =	2022. -^- = 2 4- У2; grad и = 21 4- 2/ 4- 2k.
dl 2	dl
6
2 + b2 + с2 ‘
2026. -4г =“
al
2021.
I grad
2025.
и | = 2 V3 . 2023. grad и = ±41. 2024.
grad 2 = 0,321 - 0,64/, | grad z | = 0,32
5.
И В. П. Минорский
321
5
угЛ-хгА- ху
2027. grad и = 2 (xi + yj — zA),
| grad и | = 2z -y/2. 2028. grad и =	,	। grac] u । _ j
в любой точке. 2029.------ -   . 2030. zmin =—1 при
^аг + b2 + с2
х =—4, у = 1. 2031. zmax=12 прих = г/ = 4. 2032. zmin = О
при х = 1, у = —1/2. 2033. Нет экстремума. 2034. zmjn = —2/е
при х = — 2, у = 0. 2035. zmax = 3V3/2 при х = у = л/3.
2030. 2пцп = 2 при х = у — 1. 2037. гтах = —4 при х = у = — 2
и Zmin = 4 при х = у = 2. 2038. x = y = -$4V, z — 0,5^4V.
2039. (8/5; 3/5), (—8/5; —3/5). 2040. Нужно найти минимум функ-
ции z = d2 = х2 + (у — 2)2 при условии х2 — у2 — 4 = 0. Искомая
точка (± V5; 1). 2041. R = 1, Н = 2. 2042. 1) Вершины (±3; —1)
и (0; 2); 2) луч должен пройти так, чтобы sin а : sin р =	: а2,
как это и происходит в природе. 2043. zmjn = 9 при х = 0 и г/ = 3.
2044. zm]n = 0 при х = у = 2. 2045. zmin = 0 при х - 0 и у — О.
2046. zmin = 0 при х = 2, у = 4. 2047. zmax = 1 при х = у = ±1,
Zmln = — 1 при х = — (/ = ±1. 2048. 7 = 8. 2049. 1) Нужно
, х — у 4- 4
наити минимум а =--------^=-- или минимум г = х— у + 4
при условии 4х — у2 = 0; искомая точка (1; 2); 2) 2а&.
2050. R =	. 2051. Уравнения интегральных кривых:
1)	у = х3/3;	2)	у = х3;	3) у = - х3/3.	2053. ху' = Чу.
2054. 1) у2 — х2 = Чхуу’\ 2) х2 + у = ху'. 2057. у = Сх, у = —2х.
2058. ху = С, ху = —8. 2059. х2 + у2 = С2, х2 + у2 = 20.
2060. у = Сех, у — 4ех+2. 2061. у = Се1/х. 2062. х + у =
= In С (х + 1) (у + 1). 2063. г = Се1/<р + а. 2064. а2 =	С/.
2065. у^Сё^, у = ё^~2.	2066. у = С ат22* ~ 1 ;
у = 2 sin2 х--2067. ——— = С\ у = — х. 2068. Общие
2	х у
интегралы: 1) у = С(х2 — 4); 2) у— Ceos х. Все интегральные
кривые первого уравнения пересекают ось Ох при х = ±2,
Л	х3
а второго — при х = (2я — 1) — (особые точки). 2069. у = —.
ЛЛ	О
X	х
2070. у dx = а Vl + У'2 dx, отсюда у = а V1 + У'2‘
о	о
322
у' = ± д/—1; положим у = a ch и, тогда a sh и  и' =
= ± sh и. Отсюда: 1) sh и = О, ch и = I, у — at
х 4- С
2)	a du = ± dx, аи = ± (хС), у = a ch и = a ch—;
при х — 0 у = а и С = 0. Итак, или у = a ch --цепная ли-
ния, или у —а — прямая. 2071. у2 = ах. 2072. у2 = 4 (х + 2).
2073. За 40 мин. Решение. Пусть через t секунд температура
тела будет Г; ~^~= — й (Г — 20°), где й — пока неизвестный
коэффициент пропорциональности; In (Т — 20°) = — kt С; при
80°
t = 0 Т = 100°, поэтому С = In 80°, kt = In _ g-; подставив
сюда Г] = 25°	и Г2 = 60°	и разделив почленно,	исключим	неиз-
вестное й:	, / =	\П 'J*.	/ = 40 мин.	2074.
й • 10	In 2	z-i	1
= — Н + Т cos а = 0, У i = — рх + Т sin а = 0, отсюда tg а =
=	= -Ду-, у — -j- х2 -|- С (парабола). 2075. Уравнение каса-
аХ г!	2п
тельной У — у = у' (X — х). Положив У = 0, найдем абсциссу
точки А пересечения касательной с осью Ох; ХА = х—
По условию ХА = 2х, х = —решив это дифференциальное
уравнение, найдем искомую кривую ху — — а2 (гипербола).
2076. х2 + 2у2 = С2. 2077. у2 - х2 = С. 2078. 2х2 + Зу2 = За2.
2079. и = Сх4. 2080. у = Ce~w. 2081. 2у =	- 1.
а	»	а (1 _|_ х)2
2082. у — С (х V*2 + а2)  2083. у = f ~ . 2084. г = С cos <р,
1 “j” С X
г = — 2 cos <р. 2085. -у/у = х In х— х-р С, -y/y=xlnx —х+1.
х + vr+T2
Vl-j-x2
х -|- V1 + х2
2087. ху = —1.
2088. у = аех/а. 2089. у =
. 2090. х2у = С. 2091. Радиус-
вектор
ОМ = Vx2 + У2, отрезок нормали MN = y/cos а =
= у Vl + tg2a = у л/\ + у'2 Искомая кривая или х2 -|- у2 = С2
(окружность) или х2 — у2 = С (гипербола). 2092. у = Сх2.
X
2093. у — х = Сеу~* х. 2094. х2 — у2 = Сх. 2095. s2 = 2/2 In
4
И*
323
2096. у = Ox3 - х*. 2097. у =	2098. у = —j™** .
1	ех2	и
ж- »~1м- 2,ю- ’'-TTFC--г,п- “7 + '"*-£•
2102. 2 = Г *,п . 2|03- 2 = |п х + Т"- 2,и- у3 =	+ уг-
2105. у~ Х22~-	2106. s = C/2 + ^-, s = 2/2 + -t
2107. у = хеСх, у = хе~х^. 2108. (х — у)1 = Су. 2109. х2 + у2 =
= 2Су. 2110. i = ^- + ^-(e~RtlL - 1). 2111. Положив Х-=0
К К
в уравнении касательной Y — у=у' (X — х), найдем Уо = — ON=*
= у — ху', ON = ху’ — у = ОМ = V*2 + У2- Отсюда у =
хг_____С2
-------—--. Зеркало должно быть параболоидом вращения.
2112. у2 = Схе-У‘х. 2113. у = 2Д-С-Ц+. 2П4. При
-уа2 + х2
2117. s = t3 (Ini- 1) + Cf2. 2118. у2 =-------l-—T.	2119.# =
1 + Сех
= 2 (sin х — 1) + Ce-sinx. 2120. у = ^^, y = -^L-.,
2121. u3 = x + Ce~x, у3 = x — 2е1-ж. 2122. у --------—-------,
3 VI — х2 — 1
2123. (х - а)2 + у2 = а2. 2124. у = 1п^Х . 2125. у2 = х (Су - 1).
2126. ху =	+ С. 2127. — +	= С. 2128. у = cos х+-^-.
4	у 2	°	sin х
2129. s= „ , /	2130. х2уг + 2 In х = С.
С* “j” • ““ * Ш Г
а____1	с
2131. s =-----. 2132. у = х2 + Сх. 2133. sin# = x + -y.
2134. у =------Х .. . 2135. 4х2 + у2 = Сх. 2136. x3e^ - у = С.
С + 2е~х/2
2137. у + хе~» = С. 2138. х2 cos2 у + у2 = С. 2139. Ц=1/*2;
х +	= С.
х
2140. Inр = Ineos#; х2 sin у + 0,5cos2# = С. 2141. ц = е~2Х;
324
у2 = (С ~ 2х) е2Х. 2142. и, = ——;	— + ха = С.
а '	'	sin у sin у
2143. х3 + 2ху — Зу = С. 2144. х3у — 2х2у2 + Зу* = С.
2145. -2 C°S-2-^ + х = С. 2146. ц = —;	ху-1пу=0.
2	у
2147. ц = --^-; у2 = Сх3 + х2. 2148. ц = е~у\ е~у cos х = С + ж.
2149. In ц = — In х, Н = ~; х sin у + у In х = С. 2150. у
= (С ± х)2. Через точку М (1; 4) проходят кривые у = (1 + х)2
и у = (3 — х)2. 2151. у = sin (С ± х). .Через точку М ;
/ я \	f Зя
4
проходят кривые у = sin
2152. у = Сх2 + -g-; особые
и у =
х
интегралы у = ±2х. 2153. 1)
2) «(д/1+f ±|)’-С
У —
или
= х + С и х2 + у2 = С2;
(у — С)2 = 4Сх. Особые интегралы х = 0 и у = —х. Область
расположения парабол: при х>0 у — х, при .
Параболы касаются оси Оу и прямой у = — х.
-+-Ч^
о
1/ = Р2-у + С.
теграл у = 0; 2)
3) Су = (х — С)2; особые интегралы
2156. 1) у = Сх — С2; особый интеграл у =
особый интеграл у
2)
2155. 1) у = (С + -\/х + 1)2;
2154. 1) у =
* = 2р--1*.
особый ин*
. 1
где t = —;
Р
и у = — 4х.
; 2) у = Сх —
1
2С2 :
х = Ct2 — 2/3, у = 2Ct — З/2,
особые интегралы у = 0
х2
4
— а-у/\ 4- С2; особый интеграл х2 + у2 = а2; 3) у = Сх +
особый интеграл у = 1,5х2^3.	2157. у = 1 —	1
пройдут две кривые: у = 1-----— и у = х -
2158. 1) х = 2р + ^-р2 + С, у = р2 + р3; 2) х2 + (у + С)2 = а2
у2	у2	1
2159. у = -±- + Сх + С2; у = — —. 2160. 1) у = Сх +
(х + I)2
особый интеграл у2 = 4х; 2) у == С (х + 1) + С2; у = ——-—.
М
через
х2
“V'
2161. Отрезки касательной Y — у = у' (X — х) на осях коорди*
у	Ха • Ув
нат: ХА = х —= у — ху’. По условию -------------= 2а2;
325
(у — ху')2 = — 4а2у', у = ху' ± V—4а2у' ~ уравнение Клеро.
Любая прямая семейства у —— Сх ± 2а л/С, а также кривая,
определяемая особым интегралом ху = а2, дает решение задачи.
2162. Парабола (у — х — а)2 = 4ах. 2163. 1) у = 3 In х + 2х2 —•
— 6х + 6;	2) у=[— cos 2х;	3) y = CiX-|-xarctgx —
-1пУГТГ2 + Сг. 2164. у=-^+С11пх + С2.	2165. у2 =>
= — СуХ 4- С2.
2166. у = Ci sin х — х------------ sin 2х + С2.
2167. у2 + Суу + С2 = Зх.
2169. ctg у = С2 — С,х. 2170.
1	X
Х1п
+ С2 (при
2168. у = Ctx (In х — 1) + С2.
1) у = ех (х — 1) + Ctx2 + С2}
(при Ci > 0),	— U-— X
2 V-Ct
Су < 0), С2-— (при С1 = 0),
2171. у" =	(/ - х). При х = 0 у = 0 и у' = 0, у =- X
Г.1
X (/х2---у-) — уравнение кривой изгиба. 2172. Суу =
(х—Ь х—Ь\
4	'	-	а	4 s 6 й
2174. у =-g-. 2175. у = CjX 4- С2 — In cos х; частный интеграл
у = — In cos х.	2176. у =	----Ci arctg х + С2.
2177. С,у2 = 1 + (С,х + С2)2. 2178. у = (CjX + С2)2. 2179. з ==
t2
= __ + C1ln/ + C2.	2180.	4 (СуУ - 1) = (С,х + С2)2.
2181. у = С2 — С] cos х — х. 2182. См. 2177. 2183. у = — In cos х.
2184. у = Сувх + С2езх. 2185. у = (Су + С2х) е2Х. 2186. у = е2х X
X (Л cos Зх + В sin Зх). 2187. у = Сув2Х + С2е~гх = A ch 2х +
+ В sh 2х.	2188. у = A cos 2х + В sin 2х = a sin (2х + <р).
2189. у = С, + С1е~‘‘х.	2190. х = С^г + С2е~**.	2191. р =
= A cos -у- + В sin -у.	2192. s = е_< (Л cos t 4- В sin 1);
s = e~* (cos t + 2 sin t). 2193. у = Cyex + (C2 + C3x) e2X.
2194. у = Ct ch 2x 4- C2 sh 2x + C3 cos 2x + C4 sin 2x.
2195. у = Cye2X + e~x (C2 cos x л/з + C3 sin x -\/з).
2196. у = (Су + C2x + Сзх2) e~ax.
2197. у = A sin x sh x + В sin x ch x + C cos x sh x + D cos x ch a
2198. у = A ch x + В sh x + C cos ~ -f- D sin 2199. Откло-
326
пение х = a sin д/-у- (* — *<>)• период Г = 2лд/-^-.
2200. х = a cos aJ-у t, период Г = 2л /\J
2201. x = ae~kl sin (<al 4-ф), где <а = д/-у —2202. у =*
= Схе~2Х + С2е~х. 2203. у = (Схх + С2) еах. 2204. у = е~хХ
X (Ct cos 2х 4-С2 sin 2х).	2205. х = Схе3* 4- С2е~*.	2206. х =»
= С, cos of + С2 sin G>t. 2207. s = Ct + C2e~at. 2208. x = e~* X
X (A cos t V2 + В sin t 2209. у = ClS~x + (C2x + C3) e2x.
2210. у = Cte2X + C2e~2x + C3 cos x + Ct sin x. 2211. у =*
-----------------------------------------------------f>"~X
«= (C( + C2x) cos 2x + (C3 + C4x) sin 2x. 2212. у —---  =>
= sh x. 2214. у = Cxe2x + C2e~2x - 2x3 - Зх. 2215. у = Cxe~x 4.
+ C2e~2X + 0,25 V2 cos -----2x^ . 2216. y=Cx cos x+C2 sin x-f-
+ x + ex. 2217. у = Ci + C2e~3X + -|- x2 - x. 2218. y = e~2xX
X (Ci cos x+C2 sin x)4-x2-8x + 7. 2219. у = Cxe2X 4 (C2 - x) ex,
2220. x = A sin k (t — t0) — i cos kt.
2221. y = Clex^2 + C2e-x^2—(.x-2)e~x.	2222. у = Cx 4.
j-3	1
4- C2eix - 4-.	2223. y = -^-e-x + xe~2x 4 Cte~2X 4 C2e~3X.
о	X
2224. x = e~kt (Cx cos kt + C2 sin kt) 4 sin kt — 2 cos kt. 2225. у ==
= C, + C2x + (C3 + x) e~x + x3 - 3x2.	2226. у = Cxe3X +
+ (C2 — e~3X + C3 cos 3x + C4 sin 3x.	2227. x = Ct 4.
+ C2 cos t + C3 sin t + t3 - 6t 2228. у = (c, + -jy) e~2x 4-
4- (C2 cos x Уз 4- C3 sin x Уз)е*. 2229. 1) x = ^! 4- C2t 4-
2) x = A cos -y 4- В sin -y + ~ 	2230. Здесь yt — cos 2x,
X	1
y2 = sin 2x, w = 2; A ------— 4- Cx; В = — in sin 2x 4- C2 и
у = (с!----cos 2x 4- (c2 4- In sin 2x) sin 2x. 2231. у =
= [(Ci 4- In cos x) cos x 4- (C2 4- X) sin x] e2X. 2232. у =
= (C! — In x 4- C2x) ex. 2233. у = Cx cos x 4- C2 sin x — cos x X
Xlntg(-|-4--J-). 2234.1) г/=С14С2е-ж-(14-е-л)1п(14ед:)4х;
2) t/ = e-2^C14-C2x4--yr).	2235. x = n(e-4i-l).
327
2236. </= С,е* + C2e~2* - 3 (х2 + х + 1,5). 2237. y = Cle2X +
+ C2e3X + 4- (5 cos 3x - sin 3x). 2238. у = (C,x + C2) e~x + ±-ex.
o	4
2239. у e~x^2 cos + C2 sin ) — 6 cos 2x + 8 sin 2x.
2240. у = C,ex/2 + C2e~xl2 - x3. 2241. у = Ciex + (c2 - y) e~x.
2242. s = e_f (Ct cos t + C2 sin i) + (t — I)3.	2243.	1) у =
= emx(Cl+C2x} + ^^-,	2) y = Cle2xln + C2e-2xln-^-.
2244. у = A cos x + В sin x + C cos 2x + D sin 2x----£ x cos x.
2245. у = (c, + C2x + C3x2 + ex.	2246. у =
= (	* -	+ C, + C2x) e~2x. 2247. 1) </= C( sin x+
+ C2 cosx + 2 cos~x:	2)	1/= (Ci — In | sin x |) cos2x+
+ ^C2 — x----ctg x) sin 2x.
2248.	у — (Ci + V4 — x2 + x arcsin + C2x) ex.
2249.	у = ,9 :~(x + ^e * . 2250. у = 1 + C cos x, 2251. у =
x + 1
= x (1 + C V~x2), линейное. 2252. у = С (1 -]--------X
t	V V14-x27
2253. S = -£-±—. 2254.	= Cx2-l. 2255. 2Cy2« x (C2x2-1).
2256. у = x In x — 2x + Ci In x + C2.	2257. у (C2 — C,x) = 1.
2258. у = С,етХ + (c2 - £-) e~mx.	2259. у = In x +
\	x	1П X
£-i	i
2260. у = xe x . 2261. y2 =	, ‘ x . 2262. у = (Ci+C2x)ex+
x3	x + ce
+ C3 + — + 2x2 + 6x. 2263. Ciy = 1 + C2eC|X. 2264. s » Ctf2* +
+ e-< (C2 + C3<) -• —y—.	2265. 1) s = (12 +C)tg 2) y2 =
= Cx2 - 1. 2266. 1) у - sln.*+.Ccos*  2) у = e~x (c, +^) +
+ C2ex^2 cos £^^+C3ex/2 Sin
2267.	1) у = (Ci-ln V 1 + e22) &x + (C2 + arctg ex) e2x;
2) у = C\e^x + C2e ^x и y = C\X-\-C2.
328
2268. —	+ ЮООх = 0, x = A cos 'P-VW t+B sin 10
g di2	a	a
период T = —^=-.	2269. —  ---------—; T = — + C;
5 VTOg	dr 4лг2	8лг
k	R
k и С находим из условий: 20° = 3—-—|- С и 100° = -3-------1- C;
1	8л•2a	8л-a
T  160 a _ 60O _ 4()0.
r
2270.	1) у = ClX + C2x~> + C3x3;	2)	y=-^- + C2x2;
3) у = CiX" + C2x-(n+1).	2271.	1) у = x-2 (Ct + C2 In x);
5x^
2) у = C?j cos In x + C2 sin in x. 2272.1) y = —g—F C(x-1 -f- C2;
2) у = С^ + — - 2 In x 4- 4. 2273. 1) у = Ctx+C2x2-4x In x;
X2	О
Cl + C2ln x + In3 x . . /xa , r. , ~ \ ,
2) y=—--------------------. 2274. 1) y =	+ Cix+ C2J x2;
2) у = -у + Ci cos In x + C2 sin in x. 2275. x = C^4 + C2e-3<,
y = --^- = C1e4-3C2e-34.	2276. x = e4 + C, + C2e~2t,
у = e4 q- С, - C2e-24. 2277. x = 2e-4 + C,e4 + C2e~2t, у = 3e-<+
+ 3Ci? + 2C2e~2t. 2278. x = e4 + C,e3t + C2e“34 + C3 cos (t 4- <p).
2279. x = e-24 (1 — 2/).	2280. x = С1б4 + C2e-4 + t ch t.
2281. 1) и = <p (x) + -ф (у); 2) u = ytf (x) + ф (x); 3) u = x<p (y) +
+ i|) (X); 4) u=ax2 In у+Ьху+<р (х) + ф (y). 2282. z=y2(x+y—1).
<92u	f)2u	H2u
2283. Чтобы уравнение А-^-п + 2В-^—— + С —= F при-
ах2	дхду	ду2	г
вести к каноническому виду, нужно решить характеристическое
уравнение Ad у2—2В dx dy + С dx2 = 0; в двух его интегралах
<р (х, у) = £ и 1|> (х, у) = т) произвольные постоянные | и т) при-
нять за новые переменные и преобразовать к этим новым пере-
 менным данное уравнение (см. задачи 1941 и 1942). В нашем
примере нужно решить уравнение dx2 + 4dx dy-}- 3dy2 = 0, от-
сюда dy + dx — 0, dy + 3dx = 0, у + x = g, у + Зх_= т|. В но-
вых переменных уравнение примет вид
<Э2и . .	_
—= 0. Отсюда
От)
и = <р (|) + ф (т)) = Ф (у + х) -|- ф (у + Зх). 2284. Характеристи-
ческое уравнение х2 dy2 —2xydxdy + y2dx2 =0, или
(х dy — у dx)2 = 0, или d\—)=0;— = g. Решения равные^
\ X J X
за г) принимаем у. Итак, характеристики: ~= I и у = т]. Урав-
329
Q^tl
пение примет вид (см. задачи 1944 и 1945)	=0; и = т)<р (£)+
+ i|) (£), или и = y<f (у/х) + i|) (у/х). 2285. и = yq> (у + 2х) +
+ Ф (У + 2х)- 2286. и = ху + sin у cos х. 2287. (См. задачу 1944.)
и = у In х + 2у + 1. 2288. u = V* ^ф (у") + Ф (х01 частное ре-
X2 (1 I /3\
шение и = ——2289. и = е *Ф (х — 0 + ф (х); частное
решение и = (х — t) е t — х. 2290. Частное решение и = xat +
x+at
+ 4-fl3/3- 2291. ц== Hx-nO + Hx + qO.+ > С р (г) dz_
x-at
2292. 6 — 4 In 2 « 3,28,
2293. 1) 32/3; 2) 4.	2294. 125/6.
ax a a
SC	Г	f	л2
dx \ dy = \ dy \ dx = —;
оо	о	у
2295. 9a2/2. 2296. у - y. 2297-
2300. Площадь меньшего сегмента --------------^/з J а2 « 2,457а2.
2301. In 2. 2302.	а2. 2303. 4 ла2. 2304. 4,5. 2305.
2	10	о	6
2306. V2 — 1. 2307. у а2. 2308. 8л + 9 ^3 . 2309. ^2 —	а2.
Ь	х	Ь	Ь
2310. 7 In 2.	2311. 1) dx^ dy = dy dx = -(6 ~	;
а	а	а	у
а ^‘2а2-у2 а х*/а а л/г ^2а>-х,2
2)	dy dx = dx J dy + J dx J dy = °
0	0	0	а 0
4	8-х	4 £fV4 8	8-y
3)	J dx j dy = J dy j dx + j dy j dx = -y-.
0 2Vx" 0	0	4	0
330
»“• (т- f)- * М) 23,1 (£’ f)- («£)•
("’S-231S- т- 23”- 4- 232“- тг- т-
2322. ^1. 2323.	2324.	2325. (о;
2	105	\ 5	8 7 к Зл 7
2326.	2327. 3. 2328. °Й 6-*-. 2329. 47,5. 2330. -5^.,
ОО	1Z	10
2	79
2331. 42-т-.	2332. -—г- а3.	2333. Сечения плоскостью 2 = Л,
о	60
X + у = ± ^а{а~ h) — параллельные прямые, т. е. поверхность
Рис. 59	Рис. 60
а а-х
цилиндрическая (рис. 59). Искомый объем V — 2 dx zdy =
о о
= -^-. 2334. ~а3 (рис. 60). 2335. (См. рис 46, с. 313.) а\
2336. а3/3. 2337. ла3/12. 2338. Зла3.
я/2	а
2339. V = 4 J т cos ф dtp г2 dr — (рис. 61), 2340.
о	о
2341.’ 4ЯЛ/ЗО3. 2342. — (Зл - 4) (рис. 62). 2343. л2а* (рис. 58).
2344. а\ 2345.	2346. nabc (1 - —1 2347.
15	2	\ е 7	35
I	i
2348.	а3. 2349. V = 2\dx \ zdy = -Ж- (рис. 63).
ID	J	v	1UO
О хг
331
a h
2352. V = 4 dx ~ Vfl2 — x2 dy = — равен площади осно-
oo
вания коноида, умноженной на половину высоты (рис. 65)
Р ис.64
2353. а\ 2354. 18л. 2355. 2ла3. 2356. 8л In 2 (см . рис .45 ,
332
с. 316). 2357. -^-ла3. 2358.	2359.	.	2360. 13.
10	10	о
2361. -8У^ а2. 2362.2ла2. 2363.	(2 ^2 — 1). 2364. 2лр2 -у/2.
О	о
2365. 8а2. 2366. 4а2 (л — 2). 2367. ла2.
О
2368. а = И -V?_+JL2 + < dx dy -	/?2 sin а; при
J J	Z	leu
<Х)
0 = 60° и а = 30° а = лЯ2/6.
Коноид (аг-хе]уг=Лг2г
Рис. 65
2369. ~~~ ^радиус сечения г = -^=-^. 2370. ^-Л^- (2—-1/2).
а а—х а-х-у
2372. [dx ( dy ( zdz=-^-. 2373. (-3-;	4-Y
J J J	24	\ 4	4	4 )
2374. fo;O; —Y 2375. —.	2376.	2377. 1) —;
к 3 J	4	V2	3
2) —£.	2378.	(8 V2 - 7).	2379. — Л. 2380.
2381.	2382. 4g-•	2383. fo; 0; -^-Y 2384.
2385. a3/360. 2386. бйла2, где k — коэффициент пропорциональ-
ности.
{4 по прямой ОА,
•°	л л
— по дуге ОД
2 по ломаной ОВА.
2388. 1) 8; 2) 4. 2389. (х dy + у dx} = 8 в обоих случаях.
Это потому, что здесь =	2390. 1) 1,5a2; 2) a2. 2391. 8a2.
333
2392. ла2. 2393. ^£1.	2394. 0.	2396. 1) -у-; 2) -у;
3)2------2397.-^-. 2398. лаб. 2399. —. 2400. — а2.
V3	3	15	2
2401. X = 0, У = -k—-. 2402. У =	2403. У =
ла2	а2 -у 2	а2
2404. 1) -16; 2) -у-; 3) -12. 2405. 1)	2) у-; 3) ^у.
Ч	4
2408. 4 ла2. 2409. —.
о	3
частей формулы равна
а* ( 4 . л \
рэвна_ +
лЗ
2410. —. 2411.   . 2412. Каждая из
2	4о
4ла3. 2413. Каждая из частей формулы
2419. Каждая из частей формулы равна
— ла8. 2421. 0,15а3. 2422. Нет.
5
2423. Да. 2424. Да. 2425. Расхо-
дится. 2426. Расходится. 2427.
~	л \ xdx
Сходится, ибо \ -----—ггт
J (X + I)3
3
8 
2428. Сходится, ибо
dx
1 +х2
2429. Расходится, ибо
ОО
t + Х2 dx = оо. 2430. Сходится, ибо	-у =
1 1
[1 X 1°°	1
— In-----г-т-1 = — In 2. 2431. Сходится. 2432. Сходится.
4 х -|- 1 Jj 4
2433. Сходится. 2434. Сходится, ибо lim —2-±Д = -L < 1.
п->оо	2
2435. Расходится. 2436. Расходится. 2437. Сходится. 2438. Рас-
ходится. 2439. Сходится. 2440. Расходится. 2442. 1. 2443. -U
и
2444.	Сходится не	абсолютно.	2445.	Сходится	абсолютно.
2446.	Сходится не	абсолютно.	2447.	Сходится	абсолютно.
2448.	После первой	перестановки	членов	напишем	ряд в виде
полнив действия в скобках, получим ряд, члены которого вдвое
меньше членов данного ряда. После второй перестановки членов
,	ч	1.11
преобразуем я-ю тройку членов:  _	—— =>
с= 1_________1 1 _ 1 1	_ 1
4я — 3	4я — 2	"t" 4/1 —	1 4п	"Г" 4/1 — 2 4п	' П₽И
п = 1, 2, 3, ... первые четыре члена образуют данный ряд с сум-
334
мой S, а последние два — ряд с суммой S/2.	2449. Сходится.
2450. Расходится, ибо
dx
ЮОх — 99
2451. Сходится, ибо
ОО
f х dx ____ л
J 1 + х4 “IT'
1
2453. Сходится.
ОО
------I
------5— dx = ОО.
X2
1
2454. Сходится, ибо lim —= — < 1,
п->оо ип 2
2455. Сходится,
ибо
20/1 + 21
lim ~^= lim ———-
n->oo Wft п->оо з (20n + 1)
1
S'
2456. Сходится. 2457. Сходится не абсолютно. 2458. Схо-
дится абсолютно. 2459. При а > 1 сходится абсолютно, при а = 1
сходится не абсолютно, при а < 1 расходится. 2460. 1/2. 2461. 1/4,
2462. Сумма ряда S (х) = •„	-- при х < 1, остаток Rn = S —
хп	1
—Sn = -.------. На отрезке [0; 1/2] | Rn | < ——— < 0,001, как
1 —" X	%п 1
, 1g 1000
только п — 1 >—;
/1^11. 2463. Ряд имеет
„	X	II при
сумму 5=-— (1-	= | о при
0 <х< 1,
х = 0
и остаток
f (1 — х)п при 0<х^1,
(	0 при х = 0.
При любом п остаток Rn будет больше, например, 0,9, как только
п.
х<1-<9, т. е. на отрезке [0; 1] ряд сходится неравномерно.
Но на отрезке [1/2; 1] он сходится равномерно, ибо тогда при
любом X I Rn [ < -g7T < как только п >	;
в частности,
| /?п I < 0,01 при п > 7. 2464. Остаток знакочередующегося ряда
меньше по модулю первого отброшенного члена. Поэтому на
х^з* I	1
отрезке [О, 1] | Rn (х) | < -	 < —-г-г- < 0,1,	как только
М “Т“ 1 ft 1
я + 1 > 10 или л >9. 2465. Ряд имеет
{1 + х3 при х > 0,
0 при х = 0
( -----------г при х > 0,
и остаток /?п = < (1 + х3)п 1
I 0 при х = 0.
При любом п остаток Rn будет больше, например, 0,1, как
335
любом
n-_L
только x3 < V10 — 1, т. e. при x^O ряд сходится неравномерно.
Но при х 1 он сходится уже равномерно, ибо тогда при
1	.	—1g в
-----— < в, как только п — 1 > , ° ;
2"-1	1g 2
в частности, | Rn | <0,001 при n^ll. 2466. При любом неотри-
цательном х члены данного ряда меньше (или равны) членов
числового сходящегося ряда 1 + -у + "jr +	+ ••• Следова-
тельно, ряд сходится равномерно для всех х 0, Rn (х) меньше
/ 1
_ , . „ V. 3 )	1
остатка числового ряда, т. е. Rn (х) <-----— =---------
1_2_	2-3"-1
3
или п > 5, при любом
как только 3" 1
2467. | Rn (х) | <	< 0,0001, как только п 100, при любом х.
2468.	=------------г--------L
х + п — 1 х 4
у- при любом х =т^ 0. В частности, при х > 0
Поэтому S„ =
S = lim Sn =
(X)
---<——<10,1, как только п^Ю. 2469. При любом
+ п п	г
неотрицательном х члены данного ряда меньше (или равны)
членов числового сходящегося ряда 1 4- — 4- — 4--J + ...
2	4	8
Поэтому ряд сходится равномерно для всех х^0, Rn (х) <
(4)" 1
<-------— =----— < 0,01, как только 2" *>100, или п >8.
1	2"~1
2
2470. —3 =С х < 3.	2471. — ViT< х < л/b. 2472. — д/з"/2 <
<1 х С V^/2- 2473. Абсолютно сходится на всей числовой оси.
2474. —1 <х<1. 2475. — д/2/3 < х < V2"/3. 2476. 1) R = 0;
2) R = е. 2477. —5 < х < 3. 2478. 1 < х < 2. 2479. ———,
при | х | < 1.	2480. arctg х при | х |	1.
2481.	1	Х. при
(1 — х)2 F
|х|< 1.	2482. (1 4-*)'".	2483. - ^5 /2 < х < д/5 /2.
2484. — 7з"< х < л/з'- 2485. —0,1 =С х < 0,1. 2486. —1 < х < 1.
2487. -1 <х < 3. 2488. -1 <х < 0. 2489. -? , при Iх|< 1.
(14- х2)2 г 1 '
336
2492. 1) cos (лс — a) = sin a
1 — 2x . . . ,
7TW при|х|<1.
5 \
,	(, x2 , x*
+ cosa(j_ _+ _
Pn (*) I = cos (ox -
. »	2 • x2 23 • x4 , 2s • Xs
2) sin2 x
2!	4!	6!
y2 y3 vi
-ir+2T+v+-
3) xe
tnx
/3
2
m2x2 m4x4 \ .
2! + 4!	) +
, 1 ( mx	m3x3 , m5x5
+ У V i 31 + 5!
.	...	, kx fe2x2 kixi
2493. In (1 + ekx) = In 2 + — +	------+ .
2497. 1) mT-^ = 2^ + -+-T
2) in (2 - Эх + x2) = In (1 - x) (2 - x) =
(14-2-'1) —; 3) In (1 — x + x2) =
fl
n = l
= In
x2 2x3 x4 , x5 , 2x6
X — 2---3--T + -5- + -6-
2199. ex/a = e
= *+£ (—D‘
n=l
Fl I * — a (X — a)2
L1+~Tla~+' 2!a2
= —2 У' cos
n-l
„1-3- ...  (2n — 1)
2”n!
кп xn
3 n
x2n + l
2/i + 1 •
{x — a)3	]
3!a3	" J’
nVa~e
2500. x3 - 3x = -2 + 3 (x - I)2 + (x - I)3.
2501. x4 = 1 - 4 (x + 1) + 6 (x + I)2 - 4 (x + I)3 + (x -| !)*.
337
1
2502. — =
X
2 J
(х + 2)2 , (х + 2)3
4	*"	8
при — 4<х<0.
2503. 1) cos
X
Т"
п-1
— 1 — ------:
2 L 112
2122
= У к 27 , cos (2га-1)Я
(п— 1)! 2”-1	4
п = 1
ным 1 (см. сноску на с. 180 к
принимая 0! условно рав-
аадаче 1760); 2) sin Зх
= V / 1У> (Зх +л)2гг 1
Zu '	'	(2п- 1)!
п=1
2504. ^х = - У1 - (х + 1) = -1 4
х+1 . 2(х + 1)г
3-1! ' З2  21
, 2-5(х+1)3
33-31
2  5 • 8 • .   • (Зп 1)	, iin+i
3-1+‘(«+1)1	+
при —2 < х < 0.
2505. 1) 2* = 1+	+ х2^2 + ..., | Rn | = хП-^П-2 2*;
/	. п \ УГ Г, тх т2х2 , Т
2)	---5-[1—т,-------5J-+ ...]-
(тх)п 1
'(«-1)1
cos (2м — 1)
(полагая 0! = 1).
2
3
2
П = 1
2506. х4 - 4х2 = (х + 2)4 - 8 (х + 2)3 + 20 (х + 2)2 - 16 (х + 2).
2507. cos2 х =
ОО
9К0Я ПХ V* Я"(*— 1)" . /Л .
2508. sin -<j-= / , ---------sin -уJ (полагая 01=1).
n-o
838
2-м УГ -Jl ' *~4	(х~4)2 , 1-3(х-4)3
2509. д/х 2[1+ 23-l! 2е-2!	29 • 3!
l-3-5(x —4)4 ,	1
212 • 4! "Г •••]•
, 1 x3, 1-3 x5 . 1-3-5 x7
2511. arcsin x — x + 2 • 3 + 22 2[ 5 + 2з. 3, * 7 + • • •
2512. Jch992 = Vl — 0,008 « 1 — 0,004 = 0,996; д/90 = V81 +9 =
= 9 “Д/1 +4 ~ 9 (1 + 4") = 9’5’ 2513> '^9’99* = -0.009«
« 0,997; V130 = V125 + 5 =5 д/i + Д-~ 5 Л + ’ 'j =
2515. arctgx=4---V-+4-~ .‘. 25,7‘ я = 2 ^3 (1 -
+ sV- tV +9^) = ''814	” 3'142' 2SI9' '> S
д*3	y5	1 лХ	Y
= C + "-^3 + 5!5-	2)	^-^ = C+lnx + - +
<*2 у 3
4- — + — + ...
T 212 T 313 T
x
S,	уЗ f-5
e'X rfx==X--l!3 + 2K-3!7+ •••’
0
Ф (4) 4 ~"F ~ 0,419 c погРешностью < 2530 •
X
C nr	1 v3	О	y5
2521. Ф (x) = J Vl + x2dx = x + y-3------3221-Г +
0
+ £iT 4- ф (r) ” I +	~ °'2"8 ‘
ностью <  91	< 0,0001. 2522. Продифференцировав уравнение n
oz • о
раз и подставив х = 0, получим Удп+2^ = п. (п — 1) «/д1-2*. Отсюда
у" = Уо" — 0’ HoV = 2, *> #У = 3’2. Jl==0 ит. д. Подставив
Л	rt
л	»<	I	I ^0	2 I
эти значения в формулу Маклорена у —	+ -jy х + — хz+..
X Х^	X*1	X®
находим У = 1+~+ зТг+тТб + 3-~4  7-~8 + -
Х^	X3	х^
2523. у = 1 + —------— + —-----... 2524. Решением является
Z	о	о
339
х2
«функция Бесселя нулевого порядка»: /0 (х) = 1-----------------+
+ 22Т4Г - J2—42'.62 + •  •	2525. УГбО5 « 1,0025; Vh0012 «
л> 1,0004; Vo,993 « 0,9965; Vo,997 « 0,999; VHo = V100 + 10 ki
«1°(1+^-) = 1°,5;	V70~ 4(1+-!)= 4,125;
5 __
V40
“2('+i)-2’L
2527. п = 6 (у + у * 3Т2Г + 2,.2|-S.2= + ••’)"
«3(1 + 0,0417 + 0,0047) « 3,14.
2528. я = 2 [1 - y-y + y-y- - yyy + • • •] +
,1г,___________________L_.
тз[ З-З2 5-34	7 - 3s 'J
- 10 I 2 у (-1)" f 1 I 2 A
3 L 2n — 1 14"	9"-3
n=l
Л	Л
~	T
2532.	s = 4 V^2 sin2 t + b2 cos2 t dt = 4a Vl — e2cos2 t dt =
о	0
„ Г в2 / 1 - 3V в4 ( 1 -3-5 \2 е6 1
-2ла[1	22	(.2-4.) * 3 к 2-4-6 ) * 5	•••]’ Где
е — эксцентриситет эллипса, а а — его большая полуось (см. № 1624
и его ответ).
0,5
(	_____ Г V4	X2	Ч0’5	1
2533.	V1 + х3 dx = |х +	— 22 217 + ...1 =-2 +
о
+ Т‘Т'1Г“ •••	0,508 С погрешностью
1 J-S	1 X9	Z 1 \	1
2534.	Ф (х) = х- — -^—5- +-jj--jj-y — ...; Ф (у) = у~
- 5.2,0 + ••• «0,499805 с погрешностью < 27	.
х^ х^ 2 *
2535.	У—~з~+32.7 I 32.7. ц + •••	2536, Продифференциро-
1(п+2)-—_п^(П I),
^ = 0, «/'" = -1. уГ = УоУ = О.
, 1-4-Xе 1-4-7-х9 ,
61	9!	+ “•
вав уравнение п раз и подставив х = 0, получим
отсюда f/0=l, i/0 = О,
= 1.4 и = 1 - —
Уо 1 м • • •> у а
МО
s
C s2 Г s4
2537. x = cos ds = s p — 2) (2C)2-5
о
f . s2 s’ri S4 .	1
y = J sin 2C ds = ~2c	3! (2C)2 ~7 + • ]> ГДе П0СТ0ЯННаЯ
о
С = R • L, R — радиус круговой кривой и L — длина переходной
кривой. Кривая называется клотоидой (рис. 88, с. 348',
2538. F (х + h. у + I) = х2 + ху + у2 + h (2х + у) + I (2у + х) +
+ h.2 + hl + l2.	2539. х3 + 2ху2 = 9 + 11 (х — 1) + 8 (1/— 2) +
+ 3 (х - I)2 + 8 (х - 1) (у - 2) + 2 (у - 2)2 + (х- 1)а+2 (х-1)Х
X (у — 2)2.	2540. In (х — у) = х — (у + 1)-— + х (у + 1) —
(У + !)2 > п	о _	(х-у-1)3
2	+??3’ где ^3	3[0х + 1 -9(i/ + I)]3 '
,	.	.	. (пгх + пу)3 , (пгх + пи)4 t .
2541. sin (пгх + пу) = тх + пу-------------1--------X
X sin 0 (пгх + пу). 2543. dx = 0,1, dy = —0,2, Дг = (2х — у) dx+
+ (21/ — х) dy + dx2 — dx dy + dy2 = —0,63.	2544. Дг =*
= — (a dx—b dy) sin (ax—by)—— (a dx—b dy)2 cos (ax—by)+R3,
где R3 = -gp (a dx — b dy)3 sin [a (x + 0 dx) — b (y + 0 rfi/)].
2545. x2y = -1 - 2 (x - 1) + (y + 1) - (x - I)2 + (x - 1) (y + 1).
2546. arctg -^- = у — (x — 1) у + ... 2547. yx = 1 + 2 (y — 1) +
+ (x-2) (y — i) + (y ~ °- +	1.12’1» 1+2 -0,1 +0,1.0,1+
+ -&И.= 1215.
2548. dx = —0,01, dy — 0.02; Дг == 2yx dx + (x2 — 2y) dy +
+ y dx2 + x dx dy—dy2 + ~^dx2 dy — —0,1407.
sin (2,i — l)x	it , V3 cos (2n — 1) x
2550 2  2-i	(2n-l)2
2s«'t£	2„-i
n = l
2551 . ^-+4 £ (-1)"
cos nx
n2
2552 . 3n[£lnx
sin 2x , sin 3x "I 2 Г cos x , cos 3x , cos 5x
~T“ + —T“	J+ H[ I2 + 32 + 52
OECO 4 Г •	1 1	1 3jlX I 1	• 5ЛХ I
2553. — pin —j—+-g sin —j—+-g’sin —j—+ ...
341
, 1 5лх 2 блх .	1	2 Г . лх .
+ VC0S~“VC0S“+ •]: 2) TLsinT +
I 1	> 21tX I 1 I ЗЛ* L 1 1
+ Т sin— + Tsin— + •••] +
. 4 Г , пх 1 Злх , 1 , блх 1
+ ^Г1П~2------3^Sm “+ 5^Sin ~2---J*
оо	п!л’а2<
4Z V' 1	. пл , пах р
2557. и = —5- > —7 sin -7— • sin —— е	.
л2 Z_/ п2 2 I
П = 1
E2n + I . . 2п + 1
ап cos ——— плг sin —— лх, где ап =*
21	21
п=0
I
2 [ ,	. 2и + 1 s .6
= у \ f (?) sin ——{— ng dl.
о
OQ
V-' , плх an2n2t
2559. и==/_j bnsin—— cos ——>
n=i
I
где 6„ = y Jf(g) sin rfg.
0
00
2560. f (x) =	Sm
0
0
co
»	4 C (1 — cos Л) sin % . . ..
2562. f (x) « — \ -7-5--sin Ar dk.
nJ A
0
arno Л 1 4 Г , COS Зх COS 5x	1
2563-T+^rsx + ~^ + ^~+ •••]•
,	2	4 Г cos 2x . cos 4x , cos 6x , T
2564. I sm x I =---[—3- +	+ -у-у-Ч- ... J.
4 Г
2565. — I cos X
я L
342
2567. 4
4
[лх
eos z ,
l2 +
32
cos 3nx
~32
2568. sh I
1 Г sin nx
л L i
2nx
COS —j—
22n2 + /» +
cos 2rtr
2
n  2nX
2 sin—j—
лг-пл \ '	2n -f* 1 . . 2n + 1
2569. и = > an cos —~— t sin —5— x,
At	A
fl«0
fU) sin-^lug.
0
00
2 C sin % cos Ъх
2570. f (x) = — \	------d%.
' nJ л
0
ПРИЛОЖЕНИЕ
Т. НЕКОТОРЫЕ КРИВЫЕ (ДЛЯ СПРАВОК)
344
345
Рис. 76. Локон
Рис. 77. Кривая
«вероятностей»
Рис. 78. Астроида
Рис. 79. Декартов лист
Рис. 80. Лемниската Бернулли
Рис. 81. Кардиоида
346
роза
347

Рис. 86. Гиперболическая спираль
Рис. 87. Дуга параболы,
вписанной в угол хОу
Рис. 88. Клотоида
II. ТАБЛИЦЫ
1. Тригонометрические функции
а°	sln а	tg а	ctg а	cos а		а’		а ра- диа- нов	sln а		tga	
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45	0,0000 0175 0349 0523 0697 0,0872 1045 1219 139 156 0,174 191 208 225 242 0,259 276 292 309 326 0,342 358 375 391 407 0,423 438 454 469 485 0,500 515 530 545 559 0,574 588 601 616 629 0,643 656 669 682 695 0,707 cos а	0,0000 0175 0349 0524 0699 0,0875 1051 1228 141 158 0,176 194 213 231 249 0,268 287 306 325 344 0,364 384 404 424 445 0.456 488 510 532 554 0,577 601 625 649 675 0,700 727 754 781 810 0,839 869 900 933 966 1,000 ctg а	57.3 28.6 19.1 14,3 11,4 9,51 8,11 7,11 6,31 5,67 5,145 4,705 4,331 4,011 3,732 487 271 3,078 2.904 2.747 605 475 356 246 2,145 2,050 1,963 881 804 1,732 664 600 540 483 1,428 376 327 280 235 1,192 150 111 072 036 1,000 tg а	1,000 1.006 0,999 999 998 0,996 995 993 990 988 0.985 982 978 974 970 0,966 961 956 951 946 0,940 934 927 921 914 0,906 899 891 883 875 0,866 857 848 839 829 0,819 809 799 788 777 0,766 755 743 731 712 0,707 sln а	90 89 88 87 85 85 84 83 82 81 83 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 а"	0 5,73 11,5 17,2 22,9 28,7 34,4 40,1 45.0 45,8 51,6 57,3 63,0 68,8 74,5 80,2 86.0 90,0 91,7 97,4 103,1 108,9 114,6 120,3 126,1 131,8 135,0 137,5 143,2 149.0 154,7 160,4 166,1 171,9 177,6 180,0 Л 8Щ- = £ Л tg — 6 . Л sin	 4 * я tg --		0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 л 4 0,8 0.9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 л *2* 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2.2 2,3 ЗЯ 4 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2.9 3,0 3,1 л =_1_ 2 ’ 1 ” Уз" =cos - =ctg -	0,000 0,100 0,199 0,296 0,389 0,483 0,564 0.644 0,707 0,717 0,784 0,842 0.891 0,932 0,964 0,985 0,998 1,000 0,999 0,992 0,974 0,946 0,909 0,863 0,808 0,745 0,707 0,676 0,599 0,515 0,428 0,336 0,240 0,141 0,042 0,000 Л СОЗ 0 , т - ctg - л	1__ 4 V2 г-		0,000 +0,100 +0,203 +0,310 +0,422 +0,547 +0,684 +0,842 + 1,000 + 1,028 + 1,260 + 1,558 + 1,963 +2,579 +3,606 +5,789 + 14,30 -33,75 -7.695 -4,292 -2,921 -2,184 -1,711 -1.373 -1,118 -1,000 -0,916 -0,748 -0,602 -0,472 -0,356 -0,247 -0,142 -0,042 -0,000 УГ 2 ’ -=Уз\	
а градусов		1	2	3	4		5	в	7	8		9
а радианов		0,017	0,035	0,052	0,070		0,087	0,105	0,122	0,140		0.157
1 радиап=57°17л45''												
349
2. Гиперболические функции
X	sh х	ch х	X	sh x	ch х
0	0	1			
0.1	0,100	1,005	2,1	4,022	4.289
0.2	0,201	1,020	2,2	4,457	4.568
0,3	0,304	1,045	2,3	4,937	5,037
0.4	0,411	1,031	2,4	5,466	5.557
0,5	0,521	1,128	2,5	6,050	6.132
0,6	0,637	1,185	2,6	6,695	6,769
0,7	0,759	1,255	2,7	7,407	7,474
0.8	0,888	1,337	2,8	3,192	8,253
0.9	1,026	1,433	2,9	9,060	9,115
1.0	1,175	1,543	3,0	10,02	10,07
1.1	1,336	1,669	3,1	11,08	11,12
1.2	1,509	1,811	3,2	12,25	12,29
1.3	1,698	1,971	3,3	13,54	13,58
1,4	1,904	2,151	3,4	14,97	15,00
1,5	2,129	2,352	3.5	16,54	16,57
1.6	2,376	2,578	3,6	18,29	18,32
1,7	2,646	2,828	3,7	20,21	20,24
1.8	2,942	3,107	3,8	22,34	22,36
1.9	3,268	3,418	3,9	24,69	24,71
2,0	3,627	3,762	4,0	27,29	27,31
При х>4 можно принять, что sh л			Ch X « —	X — с точностью до 0,1.	
	shx=	—е~х 2	qX + £~~Х ch	;		
		sh х + ch х;	xi е =sin х + i cos х.		
Василий Павлович Минорский
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Редактор В. В. Донченко
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор С. Я, Шкляр
Корректоры Т. С. Вайсберг, Н. Д. Дорохова
ИБ № 32452
Сдано в набор 22.04.86. Подписано к печати И.12.86.
Формат 84X108/32. Бумага тип. № 2. Гарнитура литера»
туриая. Печать высокая. Усл. печ. л. 18,48. Усл. кр.-отт.
18,59. Уч.'изд. л. 21,06. Тираж 211000 экз. Заказ № 151.
Цена 90 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71,. Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАУКА»
ВЫПУСТИЛА В СВЕТ КНИГУ:
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика.
Задачник: Учебное пособие. — 2-е изд., испр. — 13 л.
Задачник соответствует программе по высшей математике
для инженерно-технических специальностей вузов. Он составлен
применительно к учебникам тех же авторов «Дифференциальное
и интегральное исчисление», «Элементы линейной алгебры и ана-
литической геометрии» и «Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного».
1-е изд. — 1982 г.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
Книгу можно приобрести в магазинах Союзкниги и Академ-
книги.